WISKUNSTIG
MENGELWERK,
IN E E N E AANEENSCHAKELING
1 VAN
UITGELEEZENE VOORSTELLEN,
met derzelver
ONTBINDINGEN.
DOOR HET GENOOTSCHAP der MATHEMATISCHE
WEETEN SCHAPPEN,
ONDER DE SPREUK:
EEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TE BOVEN.
TWEEDE DEEL,,
Te A M STER D A
Gedrukt voor Rekening van 'tGnxooTscHAP, er zyn te bekomen by P. G. Geysbeek, op de Lelygragt, tusfchen de Keizersgragt ea Prinfegragt.
M d c c c i i*






WISKUNSTIG
MENGELWERK,
IN E E N E AANEENSCHAKELING
VAN
UITGELEEZENE VOORSTELLEN.
TWEEDE DEEL.
I. VOORSTEL. Dow B. van Beek.
Gegeeven zynde x + y—j/z, yz=i8x, en >»•+■ jirrx + z. Men vraagt naar de Waarden van *, y en z?
II. VOORSTEL. Door K. F. Folkers.
Iemand moet in eeuige Venster- Raamen glasruiten van 12 Duimen hoogte, en 10 Duimen breedte, die ieder 5 Stuiv. moeten kosten, maaken laaten: by kan ook van 't zelve Glas ruiten , die Ö Duimen hoog, en 5 Duimen breed zyn, en ieder I Stuiver moeten gelden, laaren vervaardigen; daarover maakt hy eene rekening, dat hem de kleinite foort 4-5 Guld. te ftaan zal komen. Nu is de vraag, hoe veel hy van ieder foort gebruiken konde? (a)
III.
<«) M. J. Zuidhof Rekenk. Mengeiw. p»g, 35, N> 4.' A



d Mathematifche en andere Foorftelkn(
III. VOORSTEL»
Dit en hit volgende Foorftel door Jan van D o b b e n'*
EeD Dief, zjch pp de vlucht begevende, legt dagelyks 8 Myleb af: hy wordt door een Gerechtsdienaar vervolgd, die den eerften dag ilegts 3, den tweeden 5, den derden 7 Mvlen, en zo vervolgens eiken.dag 2 Mylen meer aflegt. Men vraagt, in hoe veel dagen de Dief door den Gerechtsdienaar achterhaald zal worden , en hoe veel Mylen ieder van hun heeft afgelegd? (£)
IV. VOORSTEL,
Vergnderftellende dat de afftand tusfeben Pary§ en Lyon is 100 Mylen , én dac twee Couriers ten gelyken tyde, en langs den zelfden weg, vertrokken zyn , de een van Parys naar Lycn , leggende eiken dag 2 Mylen meer, dan den naastvoorgaan? den, afj en de andere Courier van Lyon naar Parys , leggende eiken dag 3 Mylen meer, dan den naastvoorgaauden, af. Zo zy nu malkanderen juist pp de helft van den weg ontmoeten , de -eeriie na verloop van 5 dagen, en de tweede ten einde vat» 4 dagen, viaagt 'mén hoé veel Mylen "ieder Courier eiken dag heeft afgelegd V (V)
V. VOORSTEL. Door L. No te boom.
De Som van cene Arithmetifche Progresjie , uit zes Termerf, bellaande , is 57; ook is de laattt<s Term 2 minder, dan het Quotiënt dat voortkomt, als men de Som door het vedchil der Fzogresjïg tjeelt. — Vraage-naar die Progresjie?
VI,
Qiakam Resrèat Ma'Mm. Tomé I, p„ ógjQuest./}» Cf) ïbid. 'lom. 1. f. 64, Quesc. 5.



Mathematifche en andere Voorjïetlen* 3
VI. VOORSTE U bit en het volgende Föorftel dóór L Kuipers.
Stellende — a'-\-bz + cz*, waar in a, b en c gegeevene heele getallen betekenen , vraagt meri naar de Waarden 'van x en z in heeie getallen ? (<0
VII. VOORSTEL.
Stellende *'rï' -f-az-l- b, waar in a en b gegeèvene heele getallen betekenen , begeert men de Waarden van x en z in heele getallen te vinden? {e)
VIII. VOORSTEL.
Dit en de twee volgende Voordellen door M. J*
ZUIDBOF.
Gegeeven zynde eehige , van hun begtn af, in örde volgende heele getallen , als 1) Langwerpige getallen , wier ééne zyde 10 langer dan de andere is; 2) Veertienhoekige getallen , van ieder foorc evenveel verzameld, zo meenigmaal, tot dat liet getal des Aggregats j of der verzamelingen , gelyk iedere msenigie der getallen zy ; en dat het eerfte tot het tweede Aggregat ftaat, ais 31 tot 30. Men vraagt naar de meenigte van ieder? (ƒ)
IX. VOORSTEL.
Als men de duizend eerfte getallen 9 waar van de eene zyde 13 langer dan de andere is; insgelyks de duizend eerfte twintighoekige getallen, iedtr byzonder, tot het duizendfte Aggregat maakt; dan ziet
men
Cd) A- B. Strabbb Inleid, tot dl Mathem. Weetenf. II, Deel, p. 250, N. 20. (e) Ihid. p. 250. N. 19. C/) Halcke Appendix des Kmstfpiegels, N« ia.
A 2



4 Nathsmaii/ihe en andere Vwfielleni
men gcmaklyk, dat 'er niemand zich aan waagerj zal, om die lommen te vertoonen : evenwel is de vraag naar aVklefofte proportie dier fommen , in heele getal.en? (g) *
X. VOORSTEL.
Er zyn 80, in orde volgende, geheele hexagonaalgetallen; indien men de eerfte en laatfte, de tweede met de 79fte, de derde met de 78fte, enz. vermeemgvuldigt ; dan is de Som deezer 40 produSen 6092567.8. Men vraagt naar het eerfte, of kleir> «e^ (/?)
XI. VOORSTEL. Bit en de drie volgende Voorftellen door A. Vryek,
Iemand heeft eene fomme Guldens, tegens eenen bepaalden Jaarlykfchen Interest, te rekenen Interest op Interest, uitgezet; na verloop van eenige volle Jaaren bedraagt het Capitaal en Interest te famen 2imnmtïimm maal zo veel, als 't Capitaal en Interest des eerften Jaars. Vraage hoe vee! per Cent de Jaarlykfche Interest op't kleinlte is . en hoe lang het geld dus heeft uitgeftaan? (i)
XII. VOORSTEL.
In eene Hongarifche Vesting hebben 8 voornaame Officieren een party Paarlen en Edele Ge(ieentens buit gemaakt; begeert iemand te weetea, hoe veel *eders deel aan Ducaaten waardig is, die geeve acht op dit volgende: het § van 't getal der Ducaaten van A, geaddeerd tot het § van de aodere zeven; als ook het
| van
(O Halcee Appendix des Kunstfpiegels, N. I?. (A) lbid. N. 14. - 3
CÓ H. Meiszner Arithn. Roezenkraru, vertaald dooï J. OosTWGUD, het ösfte Roosje.



Mathematifche en andere Vwftellen, 3
| van 't getal van B geaddeerd tot het § van de andere zeven; op gelyke wyze het Tg van C tot het T£ der andere; bet j£ van D tot het TJ der andere; het fj van E tot het TJ der andere; het j| van F tot het 7£ der andere; het || van G tot het i| der andere; en het §§ van H tot het 3| der andere zeven gead' deerd, komt telkens 4824^. Vraage hoe veel Ducaaten ieders deel byzonder waardig is? (*)
XIII. VOORSTEL.
Van een Driehoek ABC is bekend gegeeven de zyde AC 65 ; BC fiaat tot AB als 2 tot 3, en de middenlyn BD des omgefchreeven Ronds vindt men lang te zyn 34II1/ 14* Vraage naar BC en AB? Zonder Algebra.
XIV. VOORSTEL.
Van een Driehoek ABC is gegeeven de Bafis AB 56, en de middenlyn des ingefchreeven Ronds 42% voorts ftaan de opftaande zyden BC en AC in rede als 13 tot 15. Vraage naar de zyden BC en AC elk byzonder?
XV. VOORSTEL. Door O. S. Bang ma.
Twee gelykbeenige Driehoeken te befchryven, van gelyken Inhoud en van gelyken Omtrek; en wel zodanig, dat de loodlyn van ieder, uit den top tot den Bafis nedergelaaten, gelyk zy 3an eene gegeeve. ne rechte lyn ?
xvi,
(t) H. Mmsznir Aühm,Ro6zentranty het ioe.Roosje,
A 3



<& MtiihemaÈi/che en andere Voordellen»
XVI* VOORSTEL. Hit en het volgende Voorftel door S« van der
PiAUW.
Welke zyn de Waarden van x en j ia de cnder« ftaande Vergelykiflgen:
en xy +x+y~ 1286?
XVII. VOORSTEL.
Welke zyn de Waarden van *, y en 2 in de ori«s derftaande Vergelykingen:
xy + z = 46^ = 62, en x+y-t-z = 23?
XVIII. VOORSTEL.
Bit en het volgende Voorftel door C. Meyers.
Iemand verkoopt éenige Oxboofden Wyn, met 4 maal zo veel verlies ten honderd in 't Jaar, als hy Maasden tyd tot de betaaling geeft, ontfangt daar Voor ƒ638, en verliest dus ƒ 87. Men vraagt, hoe veel het verlies ten honderd in 'tjaar beloopt, en hoe veel tyd tot de betaaling gegeeven is ? (I)
XIX. VOORSTEL.
Een Vat Wyn wordt te Bourdeaux voor 75 Etui angekocht, voor Onkosten worden circa 11 Ecus per
Vat*
(O A. B. Strabbe vernieuwde Licht des Koophandels, fag» 330. Voor». 13.



Mathematijche en andere VoorftellenH
7
Vat, en voor Provifie 2 pCt. berekend. In Anty fterdam wordt voor Vracht, Avary, Impost, en andere Ongelden circa f 4: 12:— Courant van ieder Oxhoofd betaald; de Asfurantie benevens de Cour* tagie worden a. 2^ pCi. ia Courant gerekend. . Als nu 5 pCt. aan de Maat voor Leccagie en de WisfelCours è 54U § Banco, tot 5 pCt. Agio in Courant, gerekend wordt, op hoe veel komt dan het Vat van deeze Wyn in Amfterdam te ltaarj? NB, een Vat is 4 Oxhoofden. (tn)
XX. VOORSTEL,
Dit en het volgende Voorftel door J. F. Hoyman.
De gantfche Leere der Arithmetifche Progresfte wordt in 10 Voorftellen ontvouwd , wann er men met 3 der 5 Dingen, in haare Séries vervat, de overige 2, als onbekend, begeert te vinden.
Indien men nu deeze orde omkeert, naamlykj óm met a derzelve de overige 3 te zoeken, dan h'-sdt men 10 nieuwe Voordellen ; hierop vraagt mén: pf 'er onder deeze één of meer te vinden is, dat kunstmaatig aan 't begeerde kan voldoen ?
XXI. VOORSTEL.
Dat de famenHelling der Tovervierkanten, zo van evene als onëvene Perken, doorgaands de befpiegeling der Lief hebbers onledig houdt, behoef ik niet te bewyzen. Dan, dit thans ter zyde laatende, hadt jk echter eene geringe Bydrage , hier toe betrekjyk, voor te (tellen; zy is deeze:
Men verlangt, dat 'er eenen algemeenen Regel voorgedragen worde , door welken men de benoodigde Progresfiondale Getallen vindt, ter aanvulling van een Tover vierkant van , . . Perken, om, naar
de
{m) A. B Steabbs vernieuwde Licht des Koophandels» ?a§. 32?» Voorft. 6.



8
Mathematifche en andere Vmfkelktt.
de verëischte fchikking , de bepaalde Grootte • • • daar uit op te tellen ? — B. V.
1<\ Hoe vindt men, en welke zyn, de benoodigde Progresfionaale Getallen , om de Grootte 343, in een Povervierkant van 7x7349 Perken, daar uit op te tellen?
a°. Die van 520 in een van 8X8—64 Perken? ii -
XXII. VOORSTEL.
Boor J. Verschoor H. z.
Men heeft een Tovervierkant, betraande uit een onëven getal Perken, (dus iedere Rey groot
x Perken ) zodanig ingevuld met de getallen 1,3, 5, 1, 9, ïi &c., dat in hetzelve mede nog te vinden is eene Progresfie , welke uit zo veeie Termen beftaat, als eene Rey (of *) Perken heeft; beginnende deeze Progresfie met de eenheid , klimt op rqet 16, en eindigt met het hoogfte getal van dit Tovervierkant : men vraagt uit hoe veel Termen, e — x Perken ) deeze Progresfie beftaat ? -— hoe veel Perken (zzx*) dit Tovervierkant groot is ? — en hoedanig hetzelve is, of kan zyn, ingevuld? Zonder behulp der Algebra-
XXIII. VOORSTEL. Door Jan Pauw,
Een zeker getal 4 (of 16) voor één der Rechthoekszyden van eenen rechthoekigen Driehoek gegeeven zynde, de twee andere zyden te vinden ; en hoe veel Antwoorden in heele getallen kunnen hierop komen?



Mathematifche en andere Vborflelk». «j,
XXIV. VOORSTEL. Door R. F. Folkers.
Drie proportionaal-getallen aldns gegeeven zyndej,
ao vraagt men naar het vierde in orde ? («3
XXV. VOORSTEL. Door O. S. Bang m a*
üi't drie gegeevene punten A , B en C, gelegen iü eene rechte Lyn, op gelyke afftauden AB en BC van elkander, drie Lynèn te faamen te trekken tot één punt D, als AD, BDi en CD» zodanig dat men hebbe AD+BDzrCD, en AD : BD :: BD : CD,
XXVI. VOORSTEL. Dït en het volgende Voorftel doér E. G r i t t e r s.
De afftand van de kerk te Paaslfo van de Oude 'markt wordt bepaald op 3600 fcrireedeh : van de Oudem&rkt rydt een Wagen naar de kerk te Paasko, waar van de voorraden 5 , en de achterraden 5% Voeten hoog zyn. Nu is de vraag hoêveelmaal ieder , én de voorraden meer dan de achterraden, op dien afftand moeten omloopen, als de fchreede gerekend wordt óp 4 Voeten ?
XXVII. VOORSTEL*
Eens op zekeren tyd in den Tuin van myn Kostbaas komende, zag ik, dat dezelve een aantal Andyvie-
plan-
00 M. J. Zuidhof Rekenk.Mengeiw. pig, 107, N. 83.
B



lo Mathematifche en andere Vöofftelleiii
planten hadt laaten zetten, en bevond, dat zo* iK haar getal duhbeleerde , van het komende 66 af. trok, en de rest met 20 vermeenigvuldigde , heê ProduGt een Cubic was, welks Wortel een Pronik is, waarvan de Wortel gedübbeleerd , en dan gequadrateerd 64 voortbrengt. De vraag is, hoe veel Andyvie-plan ten ik in den Tuin van'mynen tegen= woordigen Kostbaas bevond?
XXVIII. VOORSTEL. Dit en de twee volgende Voorftellen door J. Pauw.
Men koopt een Elle goed voor 6 § 3 §, op 2f Maanden dag, en men verkoopt ze tot 6 $ 9 § gereed geld, laatende den Kooper het geld gebruiken 2^ Maanden tegen 10 ten 100 's Jaars. Vraage hoe veel ren 100 in 'tjaar gewonnen is?
NB, Dit is N". 19 uit Winst en Verlies met tyd van W. Bartjens, II. Deel, alwaar dezelve Jtaat uitgewerkt, en komt $if| winst ten 100 in 'Jaar: vraage of dit Antwoord recht is? — en zo niet, hoe veei 'er dan naar waarheid komen moet?
XXIX. VOORSTEL.
Een Slager koopt een Varken, op conditie, dat hy 400 fB zal om niet hebben, en de overige ponden betaalen a 1 Guld. 't fg; hetzelve geflagt hebbende , bevindt hy, dat, zo het Varken 20 minder gewogen, en hy dan voor de eerlte 25 fê betaald hadc 1 Duit, voor de tweede 3, voor de derde 5 Duiten, en zo vervolgens voor elke naastvolgende 25 W 2 Duiten meer, hetzelve hem dan juist 12^ Stuivers meer zou gekost hebben , als naar die conditie, op welke hy het nu gekocht heeft. Vraage hoe veel ponden het Varken gewogen heeft, eri wat hem het f8 nu kost ?
XXX*



Mathematijclre en andere Voordellen. u
XXX. VOORSTEL.
Iemand koopt drie vette Osfen, de eerfte voor 62 Guld. 7! Stuiv., de tweede voor 3 Stuiv. het fg, de derde 800 tg voor niet, en de overige ponden k 1 Guld. 't tg. Dezelve geflagt hebbende, bevindt hy, dat hem het 18 door elkander koruc te (taan op n\ Stuiv.; zo nu de ponden van de eerfte zyn een Pronik, van de tweede een Quadraat, en van de derde een Trigonaal, welkers Wortelen tot elkander ftaan als 4, 5 en 7, en-de derde Cs over de 800 fg zwaar was, vraagt men hoe veel ponden ieder Os gewogen heeft, en wat hem de tweede en derde gekost hebben?
XXXI. VOORSTEL. Door A. F. de Pauw.
Van een onregelmaatigen Vierhoek, in een Cirkel befchreeven, is bekend de zyde AB—a, haare overftaande CD~b; wanneer nu de zyden AC en BD verlengd worden , tot dat ze elkauder in een punt E ontmoeten, en bekend is de Inhoud van den Driehoek CDEnc, vraagt men naar den Inhoud van den Vierhoek?
XXXII. VOORSTEL. Dit en het volgende Voorftel door O. S. Bang ma.
-p — i/pp + aann-qaa Gegeeven zynde x =. — ,— -
nn — 4
° — p— 4; en «—2: vraage hoe veel is x? XXIII. VOORSTEL.
Gegeeven zynde eene rechte Lyn AB, op defcïlve, als grondiyn, een Driehoek te befchryven, B 2 zo-



sa Mathematifche w andere Voorftellen,
zodanig, dat het vierkant van één der opftaande zyden gelyk zy aan den Inhoud des Driehoeks ?
XXXIV. VOORSTEL. Dit en het volgende Vwfleldoor A. B. Strabbe.
Drie rationaale getallen in eene /Itithmstifchz Progresfie te vinden , wier Som aan de Som hunner Cuben gelyk zy ? (o) *
XXXV. VOOR S,T E L.
Men begeert alsnog getallen van de zelfde, ei. genfchap te vinden., mits dat dezelve giet in eens Arithmetifche Progresfie Haan ? (p)
XXXVI. VOORSTEL:
Dit en de tyvee volgende Voorfiellen door R. F. Folkers.
Iemand koopt fpmmige ponden Waaren , geeft; voor ieder pond 5| maal zo veel Stuivers als hy ponden inkocht; verkoopt wederom het pond voor1 ,| maal zo veel Stuivers als hy te faamen Guldens hadc UÜgegeeven; dit ontfangene geld doet hy op Interest, tegen a§ der ontfangene Guldens ten honderd in 'ê Jaar; na verloop van 10 Jaarèn ontfangt "hy het Capitaal en fimpele Interest, bedragende te faa» men zo veel, als of hy den twintigften-magts-Wortel uit 2653297705144420133945430765*519775390025 trok, dien Wortel met 2 vermeenigvuldig. de, en hier:by vergaderde het s| van zyn ontfangene geld in den verkoop , insgelyks hiér by'hetr product van zyn aangelegde geld met ï§s aller ge.
koclH
(e) Venema Algelva,, 1783». Befluit N. 9.



Mathematifche en andere Voorftelten, 13
kochte ponden , en het komende prodütï door 8 deelde. JN'u vraagt men , hoe veel ponden hy gekocht, hoe duur, en hoe duur ieder verkocht is? (g)
XXXVII. VOORSTEL.
Zeker Koopman accordeerde met een Rekenmees» ter, dat hy zyn Zoon, voor zekere fomme gelds, 5000 Voordellen zou onderwyzen. De Zoon, die in den beginne zeer vlytig was , en dagelyks 20 Voordellen leerde, werdt na het eerfte Vierendeejjaars iets traager , zulks dat hy zo meenigmaal 4 dagen ledig ging, als hy 16 dagen vlytig leerde. — Indien hy nog, in de ledige dagen, op iederen dag 5 Voordellen vergeeten hadt, die hy daar na telkens moest herhaalen, zo is de vraag, hoe veel tyd hy tot het bepaalde getal Voorftellen meer r.oodig hpdt, dan of hy by zyne eerfte vlytigheid gebleeven was? (r)
XXXVIII. VOORSTEL.
Om twee Raderen, welke 37 en 7 Duimen Diameter houden, en welkers middelpunten aj Duimen van malkander zyn, zal een fnoer getrokken worden; vraage naar de lengte? (*)
XXXIX. VOORSTEL. Door j. Correch.
Gegeeven zynde *a + x y -f- y' tl a\begeert men en x* + x*y' +y*-bt een algemeen Theorema voor *, en een ander voor y te vinden , zonder eenige Subftitutie te doen.
XL.
(?) M. J. Zuidhof Rekenk. Mengelwerk, p. 57, $ï. i. (r) Ihid. p. 90, N. II. (O Ibii. p. 90, N. ia.
«3.



ï4 Mathematifthe en andere Foorftellen»
XL. VOORSTEL.
Dit en de drie volgende Voorftellen door A. F.
pe Pauw, '
De {teling van een punt P te bepaalen , zodanig: dat de lynen, uit hetzelve getrokken tot aan de einden van drie rechte lynen AB, CD, EF, die in
A«ite rnnefe§E?'en Z?D * drie Driehoeken ABP, CPD, EPF zullen faamenftellen, die onderling aan eikanderen gelyk zyn ? (t)
XLI. VOORSTEL.
Uit het fnypunt P van twee gegeeven Cirkels een lyn PR te trekken, zodanig, dat het deel derzelve QR, tusfchen de beide Omtrekken befloten, gelyk zal zyn aan eene gegeevene lyn AB. («)
XLII. VOORSTEL.
Als c, b,c, d, e, f &c. ad inf. eene afneemende Geometrifche Progresfie is, vraagt men naar de Som van a-h2b-h3c + nd+5e+6f £?<;.?
NB. Van dit Voorftel wordt eene Jlgebraïfcke en eene Meetkundige Oplosjing geëischt.
XLIIJ. VOORSTEL.
Alles gefteld zynde als in 't voorgaande Voorftel, begeert men een Quadraat te conftrueeren , dat zo groot zy als a* + 2 b' + 3c1 + 4 d' -f- &c. ad inf»
XLIV. VOORSTEL.
Op eene gegeevene rechte Lyn, als Bafis, eenen
rechten) Gronden der Meetk. Byvoeeiel Prob. 0. {u) Md. Prob. 20.



Maihtmatifche en andete Poorjielkn.
rechthoekigenDriehoekACB te befchryvenjzodanig, dat als BD op de Hypothenufa, en BE op de Ca* thetus gelyk aan twee gegeevene Lynen genomen worden, DA en EC eene gegeevene reden tot elkander zullen hebben. (V)
XLV. VOORSTEL.
Van een Driehoek gegeeven zynde den tophoek* benevens de lengten van twee Lynen, uit de hoeken aan den Bafis tot het midden der overltaande zyden getrokken, begeert men den Driehoek te conftru.eeren. (w)
XL VI. VOORSTEL.
Van een Driehoek gegeeven zynde het verfchil der opftaande zyden , de Lyn , welke den tophoek in twee gelyke deelen ihydt , en den Rechthoek der deelen van den Bafis, welke uit die fnyding ontftaan» begeert men den Driehoek te conftrueeren. (aj
XLVII. VOORSTEL.
Van een Driehoek gegeeven zynde, de reden der deelen van den Bafis, door den Perpendiculair afgelneeden, als 5 tot 3, en de langlte der twee andere zyden _ 16 , den Inhoud te vinden, zulks dat dezelve een Maximum zy. (y)
XLVIH.
(v) Gentleman*! Diary for the fèar 1793 , Mathemati. cal Questions N. 4.
(w) 'ibid. N. 5.
00 Ibid. N. 6. , (y) Ibid. N. 7.



t$ Mathematifche en andere VwjleUen.
XLVIII. VOORSTEL. Bom A. B. Strabde»
Een Landmeeter verzocht zynde een vierzydi§ Veld te kaarteeren, mat met zyn Aftrolabium alle dd vier hoeken, én bevondtdaar door, dat hetzelve iri een' Cirkel befchreeven kon worden; vervolgens dé beide Biagonaalen gemeeten hebbende, meende by genoeg te weeten, om het verzochte ter uitvoer te brengen. Dan te huis gekosaen zynde, en zyn verrichte van nader by befchouwende, zag hy, to% zyne verwondering , dat, fchoon hy zes data of bekendheden hadt , naamlyk de vier hoekèn en de beide Biagonaalen, nogthanshy, noch niemand anders, daar door het Veld ih kaart brengén, of dess zelfs Inhoud vinden konde. Men vraagt naar de réden , of het bewys der onmogelykheid van dit Vóór» geftelde ? Als mede naar den mogelyk grootften eri kleinften Inhoud met deeze data?
XLIX. VOORSTE Li
Het kleinfte heel getal te vinden, dat door 50, 28 en 19 réfpedtivelyk gedeeld zynde, de refpedive overblyffelen 16, 9 en I zullen zyn?
L. VOORSTEL.
De Waarde van * te bepaalen, wanneer ~
een Maximum is.
LI. VOORSTEL;
Van eenen rechthoekigen Driehoek gefleld zyndé de Inhoud ~io, a~ den Bafis, éh z~ de opftaande zyde, begeert men alle de zyden van den Drié-
hoek te vinden, als az~loo is?
LIÏ.



M&ihemdli/che eh andere VsoirjlclM* i$ Lil. VOORSTEL. Bit en het volgende Voorftel door B. van Bëek.<
Twee hébben te famen in compagnie gedaan: na het opmaaken van de Rekening bevinden zy , dat A aan Cipkaal en Winst 721, en B 927 Guldens ontfangc. Zo nu A 200 Guld. minder dan B heeft ingelegd, vraagt men hoe v'eel elk ingelegd en ge* wonnen heeft? (i)
LUI. VOORSTEL.
Drie thaaken een Compagniefchap, waar in B ga ^rneer legt dan A, en A en C te farnen 1190 Guldens* Na verloop van eenigen tyd is 'er tienmaal zo veel gewonnen, als A ingelegd heeft: als nu C voor het aandeel van zyn winst 834^ meef geniet dan B4 vraagt men hoe veel elk ingelegd en gewonnen heeft? O;
liv. Voorstel»
Bit en de twee volgende Voorftellen door G. ScHixf<s
Men begeert veertien Pronik - getallen te vinden * waar van de Wortelen in eene drithmetifche Progresfie Itaan, welkers opgang de eenheid is; zodanig dat hunne Som met den Wortel van het kleinlte vermeenigvuldigd zynde, het Product 592 zy?
LV. VOORSTEL.
Eén myner Vrienden kwam te overlyden * toert dezelve een Quddraat getal Jan-en , met een Pronikgetal Maanden, en een Trigonaal- getal Dagen fie-
reike
f*} j. de Gelder Grondbeginfeleti der Cyfferiunst, pflg. 728, Voord. 6. Ca) Ibid. Voorftel 7.
C



lH Mathematifche e» andere Voordellen.
reikt hadt. De Pronik- Wortel is 3 minder dan de Trigonaal- Wortel, en 6 minder dan de QuadraatWortel; ook bedraagt de Som van de drie Wortelen een Pronik, welks Wortel 4 minder is dan de Qua. draat. Wortel. Vraage naar den ouderdom van mynen Vriend, toen dezelve kwam te overlyden?
LV1. VOORSTEL.
A koopt van B een Arnpt voor een zekere Som gelds, 't welk jaarlyks \i part van den koop kan opbrengen , en welk Capitaal A heeft opgenomen tegen 3| pCt. s Jaars. Men vraagt, hoe lang A dien Post voor niet moet waarneemen , of wel na hoe veel tyd de Koopfom en Interesten gelyk zyn met de genotene Inkomsten van dit Ampt?
LVII. VOORSTEL.
Dit en de drie volgende Voorjlellen door P. Vink.
A, B en C bebben te famen ingeleid 2600 Gul» dens, A voor 4, B voor (5, en C voor 8 Maanden deelende de Winst gelyk. Vraage wat ieder ingeleid heeft? (ti) &
LVIII. VOORSTEL.
Iemand heeft éen vierkant ftuk Lood, gelyk een Cubus , zynde op iedere zyde 5^ Duimen dik: daarvan wil hy Kogels gieten, waar van ieder één Duim dik zal wezen. Vraage hoe veel Kogels hy daar van zal bekomen? (c)
LIX. VOORSTEL.
Een Wynkooper heeft drie Vaten , welke even
lang
(ft) A. de Craaf Exemplaarboekje, pag. 112. N. 32. CO A- B. Strabbe Appendix, pag. 95, N. 280.



Matliematifche en andere Voorjlellen» 19
lang zyn, en hebbende gelyke Duigen; bet eerfte Vat houdt8i Potten, het tweede 144, en het derde, dat zoo veel inhoudt als de beide eerften, heeft 20 Duigen. Vraage hoe veel Du'gen ieder der twee eerstgemelde Vaten moet hebben ? (d)
LX. VOORSTEL.
Vier Scheepen voeren elk zo veel Lasten, dat als men doet by A,.B, C het * van D; by B, C, D het i van A; by C, D, A het f van B, en by D, A, B het l van C, zo bekomt men voor ieder post 514 Lasten. Vraage hoe veel Lasten voert nu ieder Schip byzonder? (e)
LXL VOORSTEL. Dit en het volgende Foorftel door J. Kuipers.
Uit twee Plaatfen , wier afftand 462 Mylen is, vertrekken ter zeiver tyd twee Perfoonen A en B, komende malkander te gemoet. A gaat den eerften Dag 1 Myl, en ieder volgende Dag 1 Myl meer. B gaat eiken Dag den Cubie der Mylen die A aflegt. In hoe veel Dagen zullen zy malkanderen ontmoeten? (ƒ)
LXII. VOORSTEL.
Een heel getal te vinden, by 'twelk ta en 25, ieder byzonder, vergaard zynde, de Sommen rationaale Quadraaten zyn ? (g)
LXIII.
(X) A. B. Strabbe Appendix, pag. 77. N. 185. (e) M. Wilkens Aritkmetita, Editie van 1630, pag, 304, N. 9.
<ƒ) A. D. Strabbe Meid. tot de Mathem. Weetenf., U. Deel, pag. 246, N. 56. (g) Ibid. pag. 350. N. 18.
C 3



?@ Mathematifche en andere Voordellen*
LXIII. VOORSTEL.
Dit en de twee volgende Voordellen door J. Kerkhoven.
Men vraagt naar eene algemeene CondruÜie de* JPalygonaal-getallen ?
LXIV. VOORSTEL,
De Waarde van * te bepaalen, zodanig dat 7^-5* ïr-i2*s een Quadraat zy?
LXV. VOORSTEL,
Een getal te vinden , dat door 28, 19 en 15 re* fpedivelyk gedeeld zynde ., de relpediive overblyfi felen zyn 15, 13 en 1 ?
LXVI. VOORSTEL,
Door Jacob Kkeppel,
Een Bakker bakt uit een Zak Tarwe q8|'fg brood; hem wordt toegeftaan voor zyne winninge, arbeidsloon, onkosten, .enz, «4 jj, mits dat hy *t brood zal bakken op behoorlyke zwaarte : nu ge, beurt het naderhand, dat de Tarwe 9 # 8 | op. de Zak afflaat; dies wordt hem-gelast een brobd van 2 § te verzwaaren mee 2|f Lood. Vraage op wat gewigt een brood van 2 §, vóór en na den afflag yan de larwe , gebakken werdt? —- en ook hoe veel de Prys van de Tarwe was?
LXVII, VOORSTEL. Dit en hst volgende Voordel door M. j. Zuidhof..
•• 1/054:* T-4sx3- ged. door ïg-iüx^-z-fcx
gufete -—- ~~ "—''
ged, doortog-- iSf»
m



Mathematifche en andere Poorftellen., 21
1/ 65^ x* 5 45 *3 ged. door 19-18 *+£ *
van ■ ' 11 ? (JO
1/ 65ix2 --45 x3 ged. door 19-18 * + J
LXVIIL VOORST-EL.
Men begeert drie getallen eener Geometrifche Pro» gresfie te vinden , die te famen '3 *3 + igx* -t- 25 ar— 26 doen, en hunne Ouadraaten gx6 +96*3 + 355 jr4 + 4i4ar» — 329 *a — Ö36 *-f-364; ook zo men by het kleinfte 35-}- 32*+ 12 vergaart, zal'men de helft van het grootfte bekomen ? (t)
LXIX. VOORSTEL. Door R. F. Folkers.
B heeft vierderlei Rogge, kost de Last des tweeden meer als des eerften 4 Dc.; de Last des derden meer als ües tweeden 6 Dc. ; de Last des vierden meer als des derden 3 Dc., en beloopt de Som in alies 6868 Dc. De Lasten des tweeden zyn 6 meer dan de Lasten des eerden; de Lasten des derden zyn 4 meer dan de Lasten des tweeden; de Lasten des vierden zyn 2 meer daD de Lasten des derden. De Lasten te famen geaddeerd , brengen in Som ic3 Lasten. Vraage hoe veel hy van ieder foort gehad heeft, en hoe"duur? Zonder Algebra, (k)
LXX. VOORSTEL. Door L. N o t e boom.
Eene algemeene F rmule te vinden, wasr door men de plaats van h-t oog kan bepaalen; waar men
twee
(A) H. Meiszner Kunstk. Aanhang N. 4.
Ci) Naar gisfing van G. Hiddinga.
(i) G. Auhalt Arithmttica, pag. 108, Voorftel n.



22 Mathematifche en andere Poorjlellen.
twee Beelden in den Voorgevel van een Gebouw, op eenigen afftand van elkander geplaatst , even groot ziet?
LXXI. VOORSTEL. Dit en het volgende Foorflel door Klaas Smit.
Van een' Driehoek , wiens tophoek driemaal zo ^roor is, als de grootfte der beide overige hoeken, is bekend het langfte been 125, en het kortfte 112. Men begeert hier door de lengte van den Bafis te vinden.
LXXII. VOORSTEL.
Als men eene Reeks van getallen heeft, als a, b, c, d, e. ƒ, enz., zullen dezelve eer.e Harmonifche Progresfie zyn , indien a: c~a~-b : b — c; b: d~ h—c:c—d; c'. e~c — d'. d — e &c. h ("Zie van Swimden Meetkunst, pag» 117 & fegq,). Nu zyn a en ƒ>, als beide uiterften van zodanig eene Roks, gegeeven; men begeert n, midden-evenredige tusfchen dezelve, te vinden.
LXXIII. VOORSTEL.
Dit en de twee volgende Poorjlellen door O. S. Bangma.
Op eene gegeevene rechte Lyn AB, als grondlyn, een Driehoek te btfchryven ; zodcrig dat deszelfs lf houd, te famen met het Quadraat van den Bafis, Jïflyk zy aan het Quadraat van één- der zyden
LXXIV.



Mathematifche en andere VmfteUen. a$
LXXIV. VOORSTEL.
Uit twee gegeevene punten A , B twee Lynen AC, BC te trekken, die in eene rechte Lyn DE, welke in ftelling gegeeven is, zullen ïamenkomen, zodanig; dat haar Som gelyk zal zyn aan eene gegeevene rechte Lyn BD. (i)
LXXV. VOORSTEL.
De Som te vinden van alle de natuurlyke Sinusfen, het zy van Graad tot Graad , of van Minuur tot Minuut, tot die van een Boog naar welgevallen ingefloten.
LXXVI. VOORSTEL. Dit en de twee volgende Voorftellen door A. F. de Pauw.
Een gegeeven Lyn PQ in een voorgefteld getal deelen te deelen, zodanig; dat gelykvormige rent* lynige Figuuren, op dezelve befchreeven, de zelfde gegeeven reden onder elkander zullen hebben, als een gelyk getal rechte Lynen AB, AC, AD, enz. naar welgevallen genomen. Cjii)
LXXVII. VOORSTEL.
Van den omtrek eens gegeeven Cirkels tot èenè rechte of kromme Lyn MN, die in (telling gegeeven is, eene rechte Lyn EF te trekken, die beide gelyk en parallel zal zyn aan eene gegeevene recnte Lyn PQ. 00
LXXVlII.
CO Gronden der Meetkunst, Byvoegf. Probl. XV. 'J (ir,; Ibid. Probi. VIII. («) HU, Probl. XIX.



$4 M&themtifche eH andere Piorjielle»»
LXXVIII. VOORSTEL
Een Perfoon, aan een Put ftaande, Iaat in den* fcelven een fteen vallen , en , na io Secunden ge* wacht te hebben, hoort hy het geluid van den val "des fteens op den grond. Men vraagt Haar de diepte van den Put? Onderfteller.de, dat de fteen in de eerfte Secunde 15, 6, en het geluid nc-8 Rhynl. Voeten in een Secunde doorloopt*
LXXIX. VOORSTEL. Bit en het volgende Poorjiel door A. B. S t r a b b e*
Een Boef met twee zakken gelds, houdende te faamen 1200 Guldens, naar de Markt gaande, om Vee te koopen, werdt onder den weg door een Struikroover aangerand , die hem van zyn geld Wilde berooven ; de Boer zich in verlegenheid bevindende, ftelde den Struikroover de zak van de kleinfte waarde ter hand, met bede dat hy zich daar mede wilde vergenoegen, zo als dan ook ge'fchieddè. Is iemand oe<;eerig te weeten, hoe veel Guldens in ieder zak is gewerst, dien diene tot ODder.ticht, dat als men den Cubic der Guldens in de grootfte zak met het Quadraat der Guldens in de kleinfle zak vermeehigvuldigt , het ProduEl de mogelyk grootflé van eenige twee verichilknde Sommen, in Guldens, zal zyn, waar in de Boer zyn geld, naamiyk 1200 Guldens, verdeeld zou kunnen hebben. Men vraagt hoe veel Guldens de Struikroover van den Boer ontfangen heeft, en wal nog in 't bezit van den laatften gebleeven is?
LXXX. VOORSTEL.
Gegeeven zynde de Abfcisfe vafl eenen CoMfèheh Parabool —30, en haaren overëet komstigen haivenOrdinaat "40, begeert men daar uit de aimeetin* gen en den Inhoud van het grootfte ingefchreeved Parallelogratn te vinden ?
LXXaI»



Matkematijche en andere Voordellen»
LXXXI. VOORSTEL.
Dit en de vyftien volgende Voordellen door M.
j. Zü JDH ÓF.
Men vraagt raar drie getal'en, die geduurig evenredig zyn , waar van de Som 21 , en hec produft 64 zy ?
LXXXII. VOORSTEL.
Men begeert vier evenredige getallen te vinden; bf een Regel van drieën met het Antwoord, in de kleinfle heele getallen ; zodanig, dat de Som van, fi, b, c door 9 gedeeld zyndè , het quotiënt ~d zy; 'en de Som van a, t, d doör 5 deeiehde j dé uitkomst ~c zy?
LXXXllï. VOORSTEL.
Drie geduurig evenredige getallen te vinden; die Se famen tg doen ; en als men het middelfte met het grootflé vermenigvuldigt , het produit by het kkinfte vergaart, dat 'er 58 kome?
LXXXIV. VOORSTEL.
Iemand hadt ƒ tsooo aah vyf perfoonen nit té deelen: zo dat A des daags 2 Guld. zal hebben, B om de twee dagen 3 Güld., C om de drie dagen j Guld., D oni de vier dagen 6 Guld., eri E om de zes dagen 8 Guld., tot dat die Sorri verdeeld is. Vraage, hoe veel elk bekomt?
LXXXV. VOORSTEL,
Men . heeft vyf getallen 10 eene Geometrifche Progresfie, iri dubbele Proportie voortgaande , tot het tiende Aggregat verzameld, en bekomen 2942. Welke getallen zyn het?
Ö LXXXVÏ.



flö Mathematifche en andere VoorJleUeni LXXXV1. VOORSTEL.
Gegeeven zynde e&e36723960, abd — .:* 4f878200, acd zz 55960320, en bcd zz 809T 7aoo. Men vraage naar a, b, c, d, ieder byzonder?
LXXXVIL VOORSTEL.
Gegeeven zynde «3—-18*^4-135—o, en 3>3— osy — 442=0; de waarden van * en y te vinden?
LXXXVMI. VOORSTEL
Gegeeven zynde x3 4- 19 x* — 43 * + 24 — Q'i waar "uit men , naar de gewoone wyze , niet ligtaan de Waarde van x geraaken kans maar na eeni* ge proeven beftoten is, dat 'er Cubi-Swden in begreepeu zyn , wordt alzo gevraagd naar de Leer* wyze, om x te ontdekken?
LXXXIX, VOORSTEL
Men befchryft eenen reebthoekigen Driehoek in een' balven Cirkel, zulks dat de rechte hoek den Omtrek raakt, en dus de Hypothetmfei gelyk zy aan den Diameter, Zo nu de eene rechthoekszyde g«« Iyk is aan de waarde van * uit deeze Vergelyking x2 + 2x ff azz 10 » en de andere gelyk de waarde van y uit yz-i-y\/azzi2~2]/6; dan vraagt men, volgens de gefchiktfte waarden van * en y gerekend , in welk punt van den halven-Cirkel de , rechte hoek des Driehoeks komt?
XC. VOORSTEL.
Tn eenen reebthoekigen Driehoek ABC doet de Hypothenufa, als Bafis , 56 ; en BC—AB—16. Vraage naar BC en AB ieder byzonder; insgelyks naar den Perpendiculair BD , benevens de deelen van den Bafis AD en CD 2
XC1.



Mathem atifche en andere Voordellen, , 21
XCI. VOORSTEL,
Een Bakker koopt voor den rand van den Bak-
Öven een yzere plaat , waar van de bukenrondte een balven-Cirkel is, en 50 Duimen houdt; en de uitgeholde rondte , evenwydig met de buitenrondte, is 33 Duimen lang, in den halven-Cirkel rond gemeeten; betaalt voor den vierkanten Duim 'è Penningen; wat beloopt de Som dan?
XCII. VOORSTEL.
In een Quadrant, of vierde-deel van een rond, is een Cirkel gelthreeven , zo groot als mogelyk i6. Zo nu de Radius van het eerfte Quadrant zza of 14 is, van hoe veel Inhoud kan dan de ingefchreeven Cirkel worden?
XCIII. VOORSTEL.
Van een' rechthoekigen Driehoek doet de Cathetus AB 12, en de Bafis BC 35 Voeten, indien de Bafis by C, in eene rechte lyn, 35' Voeten tot in D verlengd, en uit het punt D eene rechte lyn te rug getrokken wordt, fnydende de H\polhenufa in F , en raakende de Cathetus in b. ; dan wordt de Driehoek ABC, hier door, in een onregelmaatig Vierkant BCFE , en eenea fcheeven Driehoek AEF gedeeld , welk laaifte tweemaal zo groot is als het eerfte. Vraage naar AE en EFV
XC1V. VOORSTEL.
Van een Driehoek doet het Jangfte been AB •/14-I-I/6, het korrfte been &Ci/ic + i/6 , en de Bafis BC t/i4-t-i/iO. Vraage naar den Perpendiculair AD? (0)
xcv.
(#) H. Meiszner Kunstketen, Aanhang N. 61. D a



'S$ Mathematifche en andere Foorfiellen* XCV. VOORSTEL.
Van een' reehthoekigen Driehoek ABC , recHnoekig in den top A , is bekend bet kieinfte deel ïïïr.l'ï Ba& BD- i8 —91/3, en de Inhoud JftUC_672--384^3. Vraage naar de beide rechtnoekszyden AB en AC; als mede naar den Per., pendiculair- AO? (p)
XCVI, VOORSTEL.
Van een' fcherphoekigen Driehoek ABC doet de Sajis BC 21, en de Perpendiculair is AD; voorts 3S de Inhoud ABD+AC z: 109 , en de Inhoud ACD-+-AB_;5o. Vraage naar de beidé beenen Aii en AC? (q)
XCVJÏ, VOORSTEL* Bit en de drie volgende Vborflellen door J. B.
NOOKDINK.
Een Tavernier beeft in een Vat 3^ Aamen Wyns. waar van hem het Mengelen kost 12 Stuiv. ; met hce veel waters zal hy 't yoorfz. Vat moeten vullen , op dat hem het Mengelen op io4 Stuivers te liaan kome V (r)
XCV UI. VOORSTEL,
Tien Zwaluwen, op eenen Toren zittende, zien voor over vliegen een hopp andere Zwaluwen welke zy vraagen hoe veel haarer zyn? Zy antwoorden , wanceer men 't getal van ons allen mulUpLceert met ia|, cu dat gy 10 met ons vliegt, wy zouden te famen iocp zyn. Hoe veel zyn die
voor
(p) H. Meiszner Kumtketen, Aanhang N. 62. (?) Ibid. N. 63.
(»•) M. Wjlkews ArithmetUa, p. aio, N. 1?. Gro« gingen 1630. ~ ■ • •*



Mathematifche en andere VwrflelUni 29
voor over vliegende Zwaluwen dan gëweest? (*) Door Arithjuetica.
XCIX. VOORSTEL. Daar zyn twee Kogels van eenerlei ftoffe, waae van de eene , dik zynde f Voet , weegt 32 Vraage hoe veel de andere zal moeten weegen, die I Voet dik is? (r>
C. VOORSTEL.
Daar zyn drie Rukken Gefchuts , waar van het eerite dryft 27 ffi yzers , het tweede 64 fjg. Zo dan het derde zoo wyd is als de beide eerfte te famen * vraagt men , hoe veel Ponden yzers het» zelve dan dryven zal? («)
CT. VOORSTE L.
Dit en de drie volgende Voorftellen door J. CoRRECH.
Twee Perfoonen, welke te famen 35 Guldens by zich hadden , fpeelden met elkander zo lang, tot dat één van hen den anderen 4 Guldens hadc afgewonnen; w^ar na bevonden weidt, dat de Winner tweemaal zo veel Guldens hadt als de Verliezer , voor dat hy begon te fpeelen. Men vraagt, hoe veel geld heeft ieder dan gehad?
CU. VOORSTEL.
Een Heer naar den ouderdom van zyne twee Zoonen geVraagcl zynde, gaf tot antwoord : zo men by de Som van hunne jaaren 25 addeert, zal de Som het dubbeld van de Jaaren det> oudften zyn; doch wanneer van het verfchil hunner Jaaren 8, afgetrokken wordt, zal de rest den ouderdom des jongden zyn. Hoe oud was ieder?
Cllf.
(s) M. WiLKBNS Arithmetica, p.209. N. 4. Gron. I630. CO A. B, Strabbe Appendix, p. 93, N. 266. («) Ibid. N. 269.



j$o Mathematifche en andere Poorjlelkn*
CIII. V O O R S T E L.
' Welke twee getallen zyn tot elkander in reden als 5 tot 3 ; waar van de Som geiyk is aan het vierkant van hun verchil?
Cl V. VOORSTEL.
Eens | van myn geld iu 't Spel verloren hebbende, won ik 3 maal zo veel als ik had overgehouden , nog de helft van het geld waar mede ik begon, en 50 Guldens. Waar na ik bevond, dat ik zo veel-geld boven de 100 Guldens hadt , als de Som , waar mede ik begon , beneden de ioj Guldens was. De vraag is , met welke Som ik het Spel beb begonnen?
CV. VOORST E L. Dit en de drie volgende p'öorjlelien door O. S. Bangma.
Wanneer men beproeven wil of een deeler van liet laatfte lid eener' JEquatie ook een Wortel van de Mquatie zyn kan , gaat men gemeenlyk dus te werk: men ftélt den gedachten deeler in plaats van x , om te zien of deeze Waarde vóór x aan de Mquatie voldoet; zo ja : deelt men de JEquatie door x min de gevondene Waarde van x; waar door men eene JEquatie bekome van een Wortel minder, en waar mede men op gelykè wy^e handelt, als met de voorgaande, om de overige Worte's te vinden. Men vraagt naar de gemaklykfte bandelwyze, ora deeze berekening te verrichten?
CVI. VOORSTEL.
Op eene gegeevene rechte Lyn , als Bafis , een Driehoek te * befchryven , zodanig 'dat de Som der Qjiadraaten van de beide zyden AC en BC gelyk zy aan het Quadraat op den Bafis, te famen mee den Inhoud des Driehoeks 2
CVII.



MatliemÜJchê en andere Vmftéüen. %x CVII. VOORSTEL.
Van een Driehoek ABC gegeeven zynde deö fophoek B, de Som der beide zyden om dien hoek^ en de Lyn BD, getogen door het midden van den hoek B tot aan den Bafis; den Bafis AC te vinden?
CVUÏ. VOORSTEL.
Op twee gegeevene rechte Lynen , als Ba/hft twee gelykbeenige Driehoeken te befchryven, vaa gelyken Inhoud, en van gelyken Omtrek?
ClX. VOORSTEL.
Door E. Gritters.
Een Getal beflaat uit drie Cyfferletteren ïn eene Geometrische Progresfie. Zo wanneer men by dat Getal 4 optelt, zal de Som aan elfmaal de Som der Cyfferletteren gelyk zyn ; en vergaarende 795» by dat Getal, zullen de Cy lier Jetteren in eene omgekeerde orde te ftaan komen. Vraage naar dat Getal?
CX. VOORSTEL.
Dit en ie drie volgende Veorfiellen door A» F. de Pauw.
Van een Vierhoek, in een Cirkel befehreeven, zyn bekend de zyden AB—r, BC —2, ED~3, en AD —4. Indien de vier zyden Verlengd worden, dat de overftaande elkander refpe&ivelyK ontmoeten in E en F, vraagt men naar den afitand der punten E en F van elkander?
CXI;



jjï Mathematifche en andere FvorJlelieHi CXI. VOORSTEL.
. Van een gegeeven. punt P, buiten een gegeeven Cirkel, een Lyn PR te trekken, die den Omtrek binnen den Cirkel ftoot; zodanig, dat het deel PQ,. buiten den Cirkel, gelyk zy aan het deel QR, binnen denzelven; mits dat de afftand van het punt tot den Cirkel niet grooter zy , dan de middellyn des Cirkels.
CXII. VOORSTEL;
Door een gegeeven punt P een Lyn FPE té . trekken, zodanig; dat de deelen derzelvePF, PÉ, begreepen tusfcben dat punt, eu twee Lynen AB* CD (van welke de eene noodzaakelyk een rechte móet zyn ; de andere kan krom öf recht zvn), die in Helling gegeeven zyn , een gegeeven reded tot elkander zullen hebben, (v)
CXIII. VOORSTEL*
Door een gegeeven punt P een Lyn GH te trekken , die in eene rechte Lyn A33, en in eene rechte of kromme Lyn CD, beide in ftelling gegeeven zynde, zal eindigen; zodanig, dat de Rechthoek önder de beide deelen derzelve, PG, PH, van eene gegeevene grootheid zal zyn. (w)
CXIV. VOORSTEL. Bit en het volgende Voorftel dooi- j. B, Noordinkv
De grootfte Diameter eens afgekorten Kegels zy — 40 Duimen, de kieinfte zz 30 Duimen, en dé Inhoud — 17427 Cubic-Duimen. Vraage naar de hoogte? (at)
CXV:
O) Gronden dér Meetkunst, Byvöègf. Próbl. XVII. (v) Ibid. Probl. XVIII,
(*) J. Reimer Sammluns gemeinnütziger Matkematii lener Aufgaben, pag. 45. N. 74.



Mathematifche en andere VmfteUen»
33
CXV. VOORSTEL.
Iemand heeft een ft uk Lood, in de gedaante jyao een Parallelepipedum, dat 16 Duimen iang, 8 Dui. men breed, en 5 Duimen dik is. Vraage, wanneer men uit zodanig ftuk Lood een Kogel wilde gieten, hoe groot de Diameter zou zyn? (j)
CXVI. VOORSTEL. Dit en de drie volgende Voorstellen door R. Visscher.
Twee Werklieden kunnen te famen een ftuk Werks in 12 dagen afmaaken ; en indien de Som der dagen , in welken zy elk byzonder hetzelve Werk kunnen doen , vermeenigvulaigd wordt met de dagen, in welken A, die vlytiger w^rkt dan B, het alleen zou kunnen doen, zal het produEl 1000 zyn. Hoe veel tyd heeft elk noodig, om hec Werk alleen af te maaken? O)
CXVII. VOORSTEL.
Daar is een Breuk, van welken de Noemer 24 meer doet dan de Teller; wanneer men deezert Breuk verkleint, komt 'er een Breuk , waar van de Noemer 3 meer doet, dan de Teller; en wanneer men de Som der Quadraaten van de beide Noemers met de Som der Tellers vermeenigvuldigd , is het produSt 3378960. Wat is het voor een Breuk? (a)
CXVIII. VOORSTEL.
Daar zyn twee Breuken van zodanige eigenfchap, dat, zo men elks Noemer door zyn Teller deelt, het eene Quotiënt de eenheid meer zy , dan hec
vier.
(y) J. Reimkr Sammlung gemeinnütziger Mathematifeher Aufgaben, pag. 45. N. 75.
(2) A. B. Strabbe, Inleid, tot de Mathcm. Weeten f, II. Deel, pag. 354, N. ti.
(a) Ibid. pag. 255, N. 18.
E



34 Mathematifche en andere Voordellen,
vierkant van 't andere; en deeze Breuken doen, te famen vergaard zynde , iTêé« Men vraagt, welke deeze Breuken zyn ? (b )
CXIX. VOORSTEL.
Twee getallen te vinden, zodanig ; dat zo men by hun vermeenigvuldigde het Quadraat van ieder getal byzonder vergaart, de Sommen rationaale Qua» draaien zyn. (c)
CXX. VOORSTEL.
Dit en de twee volgende Voordellen door H. PosthümA,
Een Koe kost zo veel boven de 100 Guldens., als de Accys bedraagt. Vraage naar de duurte derzelve? JNB. De Accys van 7 Guld. is 1 Guld.
CXXI. VOORSTEL.
Iemand verkoopt een party Rogge tot 70 Ggl. 't Last, bevindt op de gantfche party 14 <£]VL gewonnen te hebben ; maar indien hy gemelde party 340 Guld. minder verkocht hadt , zou hy 6\ tea 100 verloren hebben, Vraage hoe veel Lasten in de gemelde party geweest zyn; als mede hoe ved hem ieder Last zelf kostte?
CXXII. VOORSTEL.
In de Gruttery van myn Kostbaas komende, be« merkte ik, dat in den fcbyvenloop van den MaalReen 3 fpillen meer waren, dan in den fcbyvenloop van den Breekfteen; en zo men de fpülen van ieder fchyveploop quadrateerd.e , die twee Quadraaten te famen telde, en daar van fubftraheerde de met elkander vermeenigvuldigde fpillen van beide fchyven-
ïoo'
Cb~) A. B, Strabbe, Meid. tot de Mat Hem. Weetenf. 11, Osei, pag. 257, N. 26■ (?) ibid. pag. 250, N, ai,



Mathmatijehe en andere Poorftelleni <j£
Joopen, zo zoude 'er uitkomen het getal der kammen , die in het groote Rad /laan, welk getal men aldus ontdekt: wanneer men de helft der kammen met elkander vermeenigvuldigt, het komende divideert door het getal der kammen , die in het Rad zyn, zal 'er komen 6r^. Nu vraag ik naar de kammen van het groote Rad, als mede naar de fpilleo van teder fchy venloop ?
CXXIII. VOORSTEL. Dit en het volgende Fborftel door A. Geikema,
A fourneert zyn Agent B f fJooo, om daar mede tot hun beider voordeel te negotieeren, met belofte, dat hy voor zyne moeite zo veel zal genieten, als met f iooo gewonnen zal worden. Zo nu B gaerne 1 van de winst wil hebben, hoe veel Capitaal moqt hy dan byleggen? (d)
CXXIV. VOORSTEL.
Een getal, beftaande uit drie Cyfferletters in eene afklimmende SJrWmetifche Progresfie, is, wanneer men dat getal deck door de Som der letteren, gelyk aan 4lf; en wanneer men van dat getal 198 aftrekt, toont het verfchil het omgekeerde van dat getal, Mea vraagt, welk dit getal zy?
CXXV. VOORSTEL. Door S. VAN der Paauw.
Van drie gebeele getallen, als A, B en C, is gegeeven, dat A het kleicfte getal is, welk door 2,
3
(V) A. B. Strabbe, Sckatk. der Koopm. Rektnk,, II. Deel, pag. 58, N. 25,
E 2



%6 Mathematifche en andere Voorftelltni
3 en 4 gedeeld wordende, i, a en 3 overlaat; ten
anderen, dat B + 18 = C + 18 x 2 is; ten derden , dat indien B door A, en ook door C gedeeld wordt, de refpeétive Overblyffelen zyn i en a. Vraage naar de getallen?
CXXVI. VOORSTEL. Dit en het volgende Voorftel door j. Pa uw.
De Jaaren van twee myner Vrienden zyn zodanig, dat wanneer men het viervoudig Quadraat van de Jaaren des jongften telt by het Quadraat van de Jaaren des ouditen , en bier by vergaart het produSt van hun beider Jaaren , komt 63015: en wanneer men 16 maal de Jaaren des jongften telt by 8 maal de Jaaren des oudften , en deeze fom aftrekt van het producl van hun beider Jaaren, komt 464. Vraage naar ieders ouderdom?
CXXVII. VOORSTEL.
Een Boer verkoopt 400 ftuks Kaazen aan een Koopman, weegende iedere Kaas 4! fg, tot 14 Guld. 8 Penn. de too tg; de Koopman telt daar voor eenige Zesthalven, en toen hy driemaal zo veel regels geteld hadt, als 'er Zesthalven in iedere regel lagen, zeide de Boer, „ indien gy 'er nu bo3) ven en aan iedere zyde zo veel Zesthalven bytelt, „ dat dezelve juist eenen gelykbeenigen Driehoek „ maaken, welks regels van onderen af met 2 ver-
minderen, en toti uitloopen, ben ik te vreeden:" de Koopman neemt zulks aan? doch de Boer zyn geld natellende, komt 8 Zesthalven te kort. Vraage höe veel Zesthalven de Koopman eerst aan regels geteld hadt, en hoe veel de Boer voor zyn Kaas ontfing? (door Arithmetica,)
CXXVIIÏ.



MatnemaHJèbe en andere FoofflelUn, 3 f
CXXVIII. VOORSTEL.
Dit en de twee volgende Foor Hellen door A. F. db Pauw.
Uit twee gegeevene Pnnten A en B twee Lynen AC, BC te trekken, die in een rechte, of kromme, Lyn DE, welke in ftelling gegeeven is, zullen famenkomen , zodanig; dat het verfchil van haara Vierkanten gelyk zal zyn aan een gegeeven Vierkant CDPQ> (O
CXXIX. VOORSTEL.
Uit twee gegeevene Punten A, B twee Lynen AC, BC te trekken, die in een rechte Lyn DE, parallel aan die (AB), welke tusfchen de gemelde Punten getrokken is, zullen famenkomen; en zodanig , dat de Rechthoek (CÜ AC, BC) van dezelve begreepen, gelyk zal zyn aan een gegeeven Rechthoek. (ƒ)
CXXX. VOORSTEL.
In eenen regelmaatigen Zeshoek een Quadraat te befchryven, zodanig, dat twee van deszelfs zyden parallel met twee zyden van den Zeshoek zyn.
CXXXI. VOORSTEL. Door O. S. Bangma.
Zoek drie getallen van zodanige eigenfchap, dat, Wanneer hunne Som by hun vermeenigvuldigde vergaard, of daar van afgetrokken wordt, de uitkomften rationuale Quadraaten zyn. (g)
CXXXII.
(e) Grpnden der Meetkunst, Byvoegf. Prob. ic« (ƒ) Ibid. Prob. 16.
Cs) a. B. Strabbe , Meid. tot de Mathem. fPeetenf, U, Deel, Befluic, pag. 259.
F



§3 Mathematifche en andere Voorftellen,
CXXXII. VOORSTEL. Boor Egbert Gritters.
Iemand my vraagende in wat Maand en op wat Datum ik gebooten ben, denzelven antwoordde ik; als men de Maand met den Datum 'multipliceert, en van het Produel ao aftrekt, de rest een Quadraat is, welks Wortel 4 meer is dan de Maand , en 7 minder dan de Datum derzelver Maand, waar in ik gebéoren ben: Zegmynu, zb het u belieft, in wat Maand, en op wat Datum derzelver Maand, ik gebooren ben?
CXXXIII. VOORSTEL. Bit en de drie volgende Voorftellen, door' K. Smit. Gegeeven zynde
iii
- -i h -?==« orfs,
x y z
x -|» y -!- z = h of 18, xs-i-y*-i-z*—c of 126, begeert men de Waarden van x, y en z te vinden.
CXXXIV. VOORSTEL. Wederom gegeeven zynde iii
- H .— ra of ijj,
. x y z
x rf- y -f- z ~ b of 9, en x3 + y3 -1- z3 ~ c of 99, vraagt" men naar de Waarden van x, y en *?
CXXXV. VOORSTEL,
Een reebthoekigen Driehoek te vinden, zodanig, dat de Som der drie zyden een mionaal Quadraat zy,
ea



Mathematijche en andere Voorfielleni 39
tn wanneer men tot deeze Som den Inhoud addeert , dat 'er ook een rationaal Quadraat kome. ( h)
CXXXVI. VOORSTEL.
Drie Trigonaal- Getallen in eene Arithmetifche Progresfie te vinden, zodanig , dat de Som hunner Wortelen ook een Trigonaal-Gti&\ zy. (i)
CXXXVII. VOORSTEL. Door J. F. Keyzer.
Den Dag en het Jaar te vinden , wanneer de Schemering op eeDe gegeevene Plaats van den kortften duur is? (k)
CXXXVIII. VOORSTEL. ■ Dit eu het volgende Foorftel door A. van L aun.
Gegeeven zynde ac*+ * + ieder gelyk een ratioen y"+x + yj naai Quadraat, vraagt men naar de Waarden van x en 3/?
CXXX1X. VOORSTEL.
Gegeeven zynde h + y — ieder selyk een ratioen h + y — y'J naai Qjiadraat, vraagt rren naar de Waarden van /; en y?
CXL VOORSTEL. Dit en het volgende Foorfiel door A. B, Strabbe.
Een gegeeven rationaal Quadraat in twee deelen £e deden, zodanig, dat hei verfchil hunner Qua-
ür'aa-
(A) P. Halcke Zintien-Covfet!, N. 329. (*') Ibid. N. 28r.
(*) Bukja Astronomie, lil. Theil, 1798.
F a



4<5 Mathematifche en andere Voorfiellm
éraaten. en het verfchil huneer Cuben, beide ratwmale Quadraaten zyn.
CXLI. VOORSTEL. Twee heele Getallen te vinden, zodanig, dat hurj Som, de Som hunner Quadraaten, en de Som hun» fier tuben alle rationaale Quadraaten zyn,
CXLII. VOORSTEL.
Dit en de drie volgende Voorfiellm door M. J. Zuidhof.
Een Getal (*) te vinden, dat men by een Quadraat (y'), en deszelfs Wortel (y) vergaaren kan, waar door de laatlte Som een Trigonaal-Getal, eö
de eerfte deszelfs Wortel zy?
CXLIII. VOORSTEL.
Men vraagt naar de zyden van een' rechthoekigen Driehoek, welke in Arithmetifche Progresfie Haan, waar van de Inhoud en de drie zyden lamen zoo veel doen, als of men het verfchil der rechthoeks» zyden met de Som der drie zyden vermeenigvuldigde?
CXLIV. VOORSTEL.
A en B, als Boden aangemerkt, loopen in hunnen gewooDen trant, A den eerften dag i Myl, den tweeden dag i Mylen , den derden dag 3 Mylen s enz. —- en B den eerften dag 1 Myl, den tweeden dag 4 Mylen, den derden dag 9 Mylen, enz. —— vermeerderende A in eene Arithmetifche Progresfie, en B in de elkander volgende Quadraaten. Nu gebeurt het, dat ze te gelyk van eene plaats gaan, eö te gelyk op eene andere plaats te famen komen; tot hunne verwondering bevindende, dat ze door hun» ne loopkoerfen eenen balven - Cirkel geformeerd hebben; zynde A den Diameter, en B den halvenOmtrek gegaan. Waar op gevraagd wordt, hoe lang die reis duurde; naar de lengte van ieders reis, en hoe veel Quadraat- Mylen die halve-Cirkel groot was; naar de rede van 7 tot 28?
CXLV,



Mathematljche en andere Poorjleïleni 41
CXLV*. V O ORS TEL,
Een zeker Gezel fchap ontfing eens een Gefchenk, Om dat onder elkander gelyk te verdeden; men bevondt, dat indien men het getal der Perfoonen van hun Gezelfchap addeerde tot de Guldens die elk ontfing , dat dan het vierkant van die Som gelyk viermaal de Som Guldens was , die zy te famen ontfingen j en ieder Perfoon ontfing één Gulden en het honderdfle deel van de overblyvende Som. Men vraagt naar het geheele Gefchenk, het getal der Perfoonen, en wat elk ontfing?
CXLVI. VOORSTEL. Door A. B. Strabbe*
Een gegeeven Quadraat - getal , grooter darj de eenheid, zodanig in twee deelen te deelen, dat elk der deelen by 't vierkant va»> het andere vergaard zynde, de Som een rationaal Quadraat zy.
CXLVII. VOORSTEL. Door J. F. Keyzer.
Op eene horizontaale Vlakte zyn drie ftokken A: B en C perpendiculair opgerecht; de ftok A is hoog 6, B 18, en C 8 Voet; ook is de afftand van A tot B 33 Voet. Nu gebeurt het op zekeren dag met Zonnelchyn , dat het uiterfte punt van de fchaduwe des ftcks A door de punten B en C, van den ftok B door de punten A en C , en van den ftok C door het punt A gaat. Men vraagt hier door naar de Zons Declinatie, en r aar rfe Breedte van de Plaats, alwaar deeze Obièrvatie gefchied is?
NB. Dit Voorftel is te vinden in den o-Msfen Wiskunstenaar J. J. Stjimpioemhs ontdekt. Leyden 1640, pag. 63 doch de t plosfing aldaar (zo 'er eene is) is my onbesend , vermits ik dat G Botk



49 Mathematifche e» andtre Voordellen*
Boek nooit gezien beb. Newton en van Schoten hebben dit Voorftel Geometrisch opgelost: hier wordt eene Astronomifche Oplosfing gevraagde Men zie Bode jifironomifches Jahrbuch, 1798".
CXLVIII. VOORSTEL. Boor O. S. Bang ma.
Twee Speelers A en B, wier onderlinge behendigheden in het fpeelen zyn als « tot /3 , lbeelen te iamen , wie van beiden het eerst zeker aantal ftreepjei telt. Nu gebeurt het, dat A nog * ftreep. jes moet hebben , om uit te zyn , en B nog y itreepjes: men vraagt naar de waarfchynlykheid van ieder Speeler om te winnen, of, dat op het zelfde uitkomt, men vraagt naar de waarde van ieder zyn fpei?
CXLIX. VOORSTEL.
Boor A. Geikema.
Drie Kooplieden A, B, C leggen te famen irr Compagnie zekere Somma: B ƒ 50 meer dan A,. en B en C te (amen ƒ 2600; winnen ƒ 360, waar van Cf 155 geniet. Vraage naar ieders inleg? Door jlrithmetica,
CL. VOORSTEL.
Bit en de drie volgende Foor (tellen door A. F. de Pauw.
Iemand naar een zekere Plaats reizende, verdeel» zyn weg in deezer voegen ï
In 't eerfte uur gaat hy 440 Roeden.
In 'f tweede 1080 Roeden. In 't derde 1568 Roeden. In 't vierde 1904 Roeden.
En-



Mathematifihe en andere Pmjielïen» 45
En zo in deeze orde voortgaande, komt hy ten laatften, geheel vermoeid, op de begeerde Plaats, daar hy ruste neemt. Men vraagt, hoe veel uuren hy op den weg is geweest, en in welk uur hy hec grootfte getal Roeden heeft afgelegd? (/)
CLI. VOORSTEL. Hoe veel is de Som van \\/10—21/5+ TJ V5°—ï°V'5+V'S--zv'5 + %\/Z5 — 10V5? CLII. VOORSTEL.
In eenen regelmaatigen Vyfhcek een Quadraat te befchryven.
CLIII. VOORSTEL.
Van een rechthoekigen Driehoek gegeeven zynde den Inhoud, benevens het verfchil van de Som der rechthoekszyden met tweemaal de fchuiue, begeert men den Driehoek te befchryven.
CLIV. VOORSTEL. Dit en de drie volgende Foorstellen door J. Pa u w.
Opeen waterpas Veld ftaan drie bcouien, A, B enC, in eene rechte Lyn Oost en West van elkander, A ten Oosten , en C ten Westen ; ü Itaat tusfehen beiden in, van A 70, en van C i>o Voeten, Nu ftaat nog een vierüe boom D benoorden de voorigen , zodanig dat de hoek A DB is 30 Graaden, en cle hoek BDC 45 Graadcn. Vraage wat koers, en hoe veel Voeten, D van A. B en C afftaat?
CLV.
CO A. B. Strabbe, Meid. tot de Mathem. fPeeten£ U. Deel, pag. 259' No. 44.
G 2



Mathematifche en andere Foorjlellen*
CLV. VOORSTEL.
Een Veldöverfte heeft eenige Soldaaten, Relt dezelve in eene langwerpig vierkante Slagorde, zodanig, dat 'er viermaal meer mannen in de lengte, dan in de breedte ftaan : deezen omkleed hy met Grenadiers 6 mannen dik ; zo hy nu in alles heeft 2520 mannen ; vraagt men , hoe veel Soldaaten , en hoe veel Grenadiers 'er geweest zyn?
CL VI. VOORSTEL.
Er is een Breuk , welke, verkleind zyn-
A8A
de, wordt. Indien nu ■ 3 meer is dan A *
* A
en L 3 meer is dan p, als mede ;f: het drie» vouwd van Q is, vraagt men naar den onverkleinden en verkleinden Breuk 2
CLVII. VOORSTEL.
r Als men & Ü A met 3 ifj multipliceert, is het Product 15 & m W' Indien nu B het dubbeld is van A , en A het dubbeld van % 9 vraagt men naar deeze drie getallen?
CLVIII. VOORSTEL. Dit en de drie volgende Foorjlellen door R. Visscöer.
Daar is een' gelykzydigen Driehoek ABC, waarvan iedere zyde doet 1/800 -f-1/266f. In denzelven is een Vierhoek overhoeks getrokken, zo groot
als



Mathematifche en andere VmfieMen. 45
als mogelyk was daar in te brengen. Vraage naar de zyde des Vierkants? (»»}.
CLIX. VOORSTEL.
Daar is een Piramide met eenen gelykzydigen driehoekigen Bafis , waar van elke zyde van den Bafis doet 04 Voeten, en baare hoogte, van eiken hoek des Bafis tot boven aan de fpitfe toe, is 39 Voeten. Vraage naar den lighaamlyken Inhoud van deeze driehoekige Piramide? (»}
CLX. VOORSTEL.
Een man won, met dobbelen, in de eerfte werp zo veel als hy in zyn zak hadt; in de tweede werp won hy 5 Stuivers mèer, dan den VierkantsWortel uit hetgeen hy toen hadt j in de derde werp won hy 't Vierkant van alles dat hy toen hadt , en bevondt na 't eindigen van 'e Spel ƒ112:16:— tc hebben. Men vraagt, hoeveel geld hy in 't begin heeft gehad? (0)
CLXI. VOORSTEL.
Drie Perfoonen A , B en C hebben te deelen 380 Guldens; waar van C, wiens deel het grootfte zal zyn, 100 Guld. meer zal hebben dan A, die het minst ontfangt. Zo nu hunne Portiën in eene Geometrifche Proportie ftaan , vraagt men hoe veel ieder heeft ontfangen? (p)
CLXIL
(«*) A. B. Strabbe Appendix, N. 134. C«) IMd. N. 293.
Co) A. B Strabbe, Inleid, ut de Mathem. Weetenfi II. Deel, pag. 244, N. 45. Q) Ibid. pag. 344. N. 48.
G3



üfS Mathematifche en andere Voordellen.
CLXII. VOORSTEL» Dit en de drie volgende Voordellen door M. J. Zuidhof.
Een Fontein kan door vier te gelyk open {taande pypen volloopen in 28 Minuten 48 Secunden; echter door de grootfte alleen in I Uur minder dan door de tweede; door de tweede in 1 Uur minder dan door de-derde , en door de derde ia 1 Uur minder dan door de vierde of kleinfte. Vraage hoe veel tyd 'er verëischt wordt, om de Fontein, door ieder kraan of pyp byzonder, te laatea volloopen? (g)
CLXIII. VOORSTEL.
Drie Getallen te vinden, welkers Som zy 13, de Som der Vierkanten 89» en die der Teerlingen
595?
CLXIV. VOORSTEL.
Gegèeven zynde x + yzzxy, en x' + y'zza, begeert men door eene Vierkants-Vergelykinge de Waarden van * en y ieder byzonder te vinden?
CLXV. VOORSTEL.
Men begeert drie Getallen te vinden , waarvan %y gedeeld door «r*|, yz door *-8f, en xz door j~ 15' zv?
CLXVI. VOORSTEL.
Dit en dis vier volgende Voordellen door Jacob en zyn Heer.
Twee rechte Lynen gegeeven zynde, haare gesaeene maat te vinden.
CLXVII.
(f) Urnen te Atfendelflt Ao. mi. N.



Mathematifche en andere Foorftellen» i|| C LX VII. VOORSTEL.
Een ieder pofitif Getal a heeft deeze merkwaar*
77j-i ~
dige eigecfchap, dat y/azz Y a—i/a-t/a öV. is, vraage naar het Bewys?
CLXVIII. VOORSTEL.
Hoe hoog moet men te Amfterdam boven d# Oppervlakte der Aarde verheven zyn, om Pary» te kunnen zien?
CLXIX. VOORSTEL,
Men vraagt: i°. Wat is het Quadraat van f/—a$ — 20. Wat is de Uitkomst von y/ —a gemultipliceerd door — 3°. Wat is ae Uitkomst van a gedivideerd door.j/-a? — 4°. Wat is de Uitkomst van a gedivideerd door y—
CLXX. VOORSTEL.
In een' Brief, welke Jacob zo even ontfangerj heeft, van eenen zyner vrienden in de Indien 9 leezen wy deeze merkwaardige regelen : ,, In een „ Boek van de Braminen, getyteld Ayeen Akbery, „ hetwelk lang vóór den tyd van Archimedes ge„ fchreeven is, en byna zoo oud zal zyn als de „ Waereld zelve, wordt de rede van den Omtrek j, eens Cirkels tot zyne middellyn naauwkeuriger
opgegeeven , dan door Archimedes gedaan is; „ wilt gy nu weeten , hoe groot deeze rede i%,
zo merk op, dar als a en b heele Getallen zyn, j, dzza + b-'rt, czza-hd+2, en de middellyn ,, vai- den Cirkel — bcd-i-b-\-d is , zyn Omtrek ,, alsdan zal zyn ahed+ ab + ad + cd+ i." Wy nebben het wel der moeite waardig geöordeeld, om aan de beminnaars van Oudheden voor te ftetlen, hoe men, doör middel van deeze Opgaaf, de rede, door de Braminen opgegeeven, ontdekken kan?
CLXXf.



Mathematifche en andere Vwfiellen»
CLXXI. VOORSTEL.
Vit en het volgende Voorftel door Simplex.
Een Knecht dient zyn Heer een Jaar lang vóór een middelpuntig getal Guldens, waar van de eene zyde 3 langer is, dan de andere zyde. Na 20 Weeken ontflaat hem zyn Heer, wanneer hy tot zyn loon 5 maal zo veel Guldens ontfangt, als de Wortel van 't voornoemde middelpuntig getal. Vraage hoe veel hy 's Jaars gewonnen zou hebben? (r)
CLXXII. VOORSTEL.
Daar is eene Arithmetifche Progresfie van eem'ge Termen: zo mea de Som van alle de Termen, zonder den eerften, met den eerften Term vermeenigvuldigt, komt 70; zo men de Som van alle de Termen, zonder den tweeden, met den tweeden Tera vermeenigvuldigt , komt 198; en zo men de Som van alle de Termen, zonder den derden, met den derden Term vermeenigvuldigt, komt 310. Hoe veel Termen heeft deProgref/Se,en welke zyn dezelve? (O
CLXXIII. VOORSTEL. Door A. B. Strabbe. Iemand heeft op eene effene horizontaale Vlakte,op eene onbekende Plaats, een ftok perpendiculair opge. recht lang 10 Voeten. Nu bevond t hy op zekeren namiddag, dat de ftok, net ten 4 «uren, eene fchaduwe gaf, lang 1/300Voeten. Eenigen tyd daarna, ooden zeiven namiddag, bevondt hy andermaal de fchaduwe van den zeiven ftok lang te zyn 1/9900 Voeten en bevondt mede , dat de uiterfte einden der twee fchaduwen diftant waren y"j69o Voeten. Vraase naar de Zons Declinatie, en de Poolshoogte van die Plaats? (O CLXXÏV.
fr) J. J- Ferguson Labjrinthus Algebra, 5 Ceel, pag. 178 , N. IV.
f ») G. Kinckhuysen Algebra, pag. ICI.
(/) Idem. Verklaaring en gebruik van den altydduH» renden Uaanwjzer, Aanhahc, pag. 59.



Mathematifche en andere Voorftellen. 4%
CLXXIV. VOORSTEL. Door A. B. Strabbe.
Van een Cylinder de Diagonaal — 8 Voeten gegeeven zynde, vraagt men naar deszelfs Inhoud, als dezelve een Maximum is?
CLXXV. VOORSTEL.
Dit en de twee volgende Voordellen door A. F. de Pauw.
Van deeze Séries van Quadraaten 4, 16, 36, 64 &e. tot n Termen vervolgd , is de Som gelyk aan driemaal den laatften Term , vergaard by de Som der Arithmetifche Progresfie 3, 4, 5, 6 &c. tot 2«—2 Termen. Men vraagt naar de waarde van b, of het getal der Termen? (u)
CLXXVI. VOORSTE L.
Als in een' regelmaatigen Vyfhoek vyf Diagonaalen worden getrokken, zal , door hunne onderlinge fnyding, een tweeden Vyfhoek , gelykvormig aan den eerftén, gevormd worden: ('zie van Swinden Grondbeg der Meetk. VI. Boek, 29 Vonrft.) indien nu in den tweeden insgelyks vyf Diagonalen worden getrokken, ontltaat 'er een derde, dan een vierde, vyfde, en zo vervolgens. Als nu de zyde van den eerften gegeeven wordt s=2a, vraugc men naar den Inhoud van den n^n Vyfhoek?
CLXXV1I. VOORSTEL.
Den Inhoud van een rechthoekigen Driehoek, en de zyden van eenen Rechthoek , in denzelven be-
fchree-
C«0 A. B. Strabbe, Inleid, tot de Mathem. fVeetenfi II. Deel, pag. 259, No. 42. ' -
H



50 Mathematifche en andere Voorfiellen.
fchreeven , gegeeven zynde , de zyden van den Driehoek te bepaalen? (V)
CLXXVIII. VOORSTEL.
Dit en de twee volgende Voordellen door O. S. Bangma.
Van een' reebthoekigen klootfchen Driehoek ABC gegeeven zynde een der fcheeve hoeken A; te vinden het vérfchil tusfehen de rechthcekszyde AB en de Bypothenufa AC, als hetzelve een Maximum is?
CLXXIX. VOORSTEL.
In een ftuk van 'eene Ellips F AG» bepaald door een dubbelde Ordinaat FG van den grooteu As, een Cirkel te befchryven.
CLXXX. VOORSTEL.
Van een klootfchen Driehoek ABC gegeeven zynde de beide zyden AC en BC, benevens den boog DC, getogen uit het midden D van de tierde zyde tot den overftaanden hoek: de zyde AB te vinden?
CLXXXI. VOORSTEL. Dit en het volgende Voorftel door A. Harre RoiiïéE.
Gegeeven zynde x*y+ 3*s y* + 3*2y3 + *>'4 = 109760, en x^y + xy* = 560 , begeert men de Waarden van * en y te vinden?
CLXXXII. VOORSTEL.
Men vraagt naar drie getallen , welkers Som zy 22, en de Som van hunne Produclen, twee aan twee genomen, zy 136; als mede dat het vermeenigvul-
dig-
(O Toepasfing der Algebra op de Meeti. pag. 34, Prob. 9.



Mathematifche en andere Voorftelkn. 51
digde van het grootfte met het kleinfte gelyk zy aan driemaal het middelfte?
CLXXXIII. VOORSTEL.
Dit e» de twee volgende' Voorfiellen door R, Vis sc sb iu
Twee Perfoonen A en B hebben jaarlyks eene gelyke Inkomfte. A houdt ieder Jaar §• van zyn geld over ; doch B , die jaarlyks 120 Guld. meer dan A verteert, bevindt, dat hy, ten einde van vyf jaaren, ioo Guld. fchuldigis. Hoeveel heeft elk in één Jaar ontvangen, en verteerd? (w)
CLXXXIV. VOORSTEL.
Drie getallen te vinden, welker vermeenigvuldigde gedeeld door de Som der twee grootften , het Quotiënt 12; door de Som der twee kleinflen, 24; en dooi- de Som van 't grootfte en kleinfte 148
zy? O) 5
CLXXXV. VOORSTEL.
Iemand gaat met een zekere fom gelds in een Herberg, daar hy van een ander zo veel geld leent, als hy by zich hadt , en 1 Guld. verteert ; met het overige geld gaat hy in een tweede Herberg , daar hy wederom zo veel geld leent, als hy by zich hadt, en nogmaals 1 Guld. verteert; van daar begeeft hy zich naar een derde, en vervolgens naar een vierde Herberg, leenende en verteerende telkens even zo veel als van te voó'ren ; wa3r na hy geen geld meer heeft , en het geletnde nog fchuldig blyfr. Hoe veel geld hadt hy by zich, toen hy in de eerfte Herberg kwam? (y)
CLXXXVI.
O) A. B. Strabbe, Meid. tof de Mathem. Weetenf, II. Deel, pag. 033, N. 60. O) Ibid. pag. 336, N. 83. (y) Ibid. pag. 239, N. 43.
H ft



$2 Mathematifche en andere Veorftellen*
CLXXXVI. VOORSTEL.
Dit en de drie volgende Voordellen door Jacob en zyn Heer.
•Men begeert de volgende reeks te fommeeren:
2.3 2.3.4
CLXXXVII. VOORSTEL.
Men vraagt naar de Integraal van de volgende JEquatie:
— ) verftaan wy een FonBis $x/
ijl 51 f g n o ö ' T* v y v i»s van —. bx
CLXXXVIII. VOORSTEL.
Gegeeven zynde de rechte Opkhmming van eens Ster =7° 45'; haare Zuider Declinatie = I9°22j de Lengte en Breedte van dezelve te vinden.
CLXXXIX. VOORSTEL.
Eens op zekeren dag heeft Jagob met zyn ftaf {Baton de Jacob) de Zoo gefchoten in 'tWest ten Zuiden, hoog boven den Horizon 65*30', het was toen twee uuren over den middag; hier op ging Jacob flaapen : na dat hy eenigen tyd gerust hadt, en wederom wakker wierdt, bevondt hy, tot zyne groote verwondering, dat de Zon nog in 't West ten Zuiden Rondt. Men vraagt Baar dé reden van dit verfchynfel, en hoe lang Jacob geflapen heeft?
CXC.



Mathmatijthe en andere VwfteUen» ,gj
CXC. VOORSTEL. Door Simplex.
* Men begeert twee getallen te vinden, welker verfchil der Vierkanten is 20, en waar van het verfchil rusfchen de fem hunner Teerlingen en de fom hun> aer Vierkanten is 228. *
CXCI. VOORSTEL. Door K. Smit.
Van een Driehoek zy gegeeven het Produci der zyden 6720 V 3? verder heeft men uit het Centrum des Cirkels, om deezen Driehoek befchreeven, Perpendiculairs tot de zyden getrokken, waar door de Driehoek in drie ongelykzydige Vierhoeken worde afgedeeld; zynde derzelver Inhouden 52 V3, 3** j/3, en 32^ j/3a Men vraagt naar de lengte zydea? •(») 6 5
CXCIL VOORSTEL. Dit en het volgende Voorftel door S, vah der . Pa&uw.
Vind vier getallen zodanig, dat wanneer men hun Som multiphceert met het eerite, 'er een Ouadraat. met het tweede een Pronik, met het dei een Qlbic, en met het vierde een Surfolidus korue ?
CXCIII. VOORSTEL. Gegeeven zynde *:yx.*4-ï;l* = 2ooo,
en yzx* +y|" = 243o; vraagt men naar de Waarden van *, j ee z?
CXCIV,
(*) P. Halcks Zinnen-Corfeü, N. 487.
li 3



ff Mathematifche en andere Voorftelkn*
CXCIV. VOORSTEL. Door M. j. Zuidhof.
. Iemand verkoopt 20 x + 9 Ellen Lynwaat tot x %Vl. de Elinsgelyks 39 x — 2 Ellen tot x-f-3 % VU de Ël; en ontvangt 'er voor te famen ƒ 533:11:-» Vraage naar ieder verkoop 2
CXCV. VOORSTEL. Dit en het volgende Voorftel door A. Horstman.
Amfierdam heeft a 58» Soldi Correnti per f 1 Banco aan Milaan geremitteerd , en a 55 § Banco op 'Z-ionr getrokken : LtoMf daarentegen heeft zich op Milaan weder a 55^ Soldi lmperiali gerevaleerd. Zo nu Amjterdam in alles £ pCt. Onkosten heeft moeten doen , is de vraag , hoe veel pCt. Amfterdam gewonnen of verloren heeft ? NB. Te Milaan zyn 106 Soldi lmperiali gelyk aan 150 Soldi Correnti. (a)
CXC VI. VOORSTEL.
Amfterdam heeft a 89 § Banco aan Venetien geremitteerd, en a 7! pCt. in Giro-Valuta op Augsburg getrokken; Augsburg daarentegen heeft zich op Venetien a 95! Rd. Giro per 100 Z>«c. di Banco gerevaleerd. "Zo nu Amfierdam in alies J pCt. onkosten heeft moeten doen , vraagt men , hoe veel pCt. Amfterdam aan deeze Wisfel gewonnen of verloren heeft? (b)
CXCVII. VOORSTEL.
Dit en de vyf volgende Poorftellen door A. B. Strabbe.
Genomen dat 50 noodlydende Perfoonen van een
weiCo) A. B. Strabbe Schatkamer der Koopm. RtkenkI. Deel, pag. 55, N. ag. (6) Ibid. N. sé.



Mathematifche en andere Voorflelleni 55
welgegoed Man vereerd worden 100 Ryksd., naamlyk, een Man 3, een Vrouw 2 , een Jongman 1, en een jonge Dogter \ Ryksd. Vraage hoe veel 'er van ieder geweest zyn , en naar 't getal der Antwoorden? (cj|
CXCVHI. VOORSTEL.
Een Zilverfmit heeft viererlei Zilver , houdende de eerfte foort, of A, het Mark 15, B 14, C 10 en D 9 Loot fyn , begeert daarvan een Werk famen te fmelten, 't welk 30 Mark weegt, en waar van het Mark 12 Loot fyn inhoudt. Men vraagt, hoe veel ihy van elke foort van Zilver hiertoe moet neemen , en hoe veel Antwoorden in heele getallen op dit Voorftel te vinden zyn? (d)
CXCIX. VOORSTEL.
Met hun drieën hebben ze een Meir bedykt, als DFG, waar aan D tot onkosten gedaan heeft 1050, F 1000, en G 650 Ryksdaalders. Om dit bedykte Meir hebben ze elk een Huis gebouwd, alzo dat hunne Huizen (of de Schoorfteenen van hunne Huizen ) een' gelykzydigen Driehoek maaken, dat is van D tot F, van F tot G, en van G tot D elfc 1200 Roeden: voorts zyn zy voorneemens om een Kerk te maaken omtrent het midden in B; doch die het meeste geld aan onkosten gemaakt heeft, begeert de Kerk naast by zich te hebben: weshalven zy gezamentlyk overëenkomen, dat elkzyne Ryksdaalders, die hy tot onkosten gemaakt heeft fof het gewicht daarvan), zal hangen in zyn Schoorteen, en dat met een' fynen draad over gladde fchyven omtrent het midden in B vastgemaakt, en waar
dan
(c) P. Halcke Zinnen-ConfeU, Nederduitfche Editie p. 183 in de Noot.
(rf) H. Meiszjïsr Arithmetifcher Kunst.Spiegel, paa 59, N. 67. ™



5<£ MatMrMiffle eH andtrsrt7porftelUn*
dan:dit vastgemaakte punt B getrokken wórdt, dat daar de Kerk zal ftaan. De vraag is , hoe veel Ree. den elk de Kerk van zyn buis zal hebben, cf wel de lengceri BD, BF, en Bü? (e)
CC. VOORSTEL.
Een O&agonaal- Getal te vinden , zodanig, dat wanneer men deszelfs Wortel daar by optelt , of daar van aftrekt, 'er twee ratièhaale ÖÜ&gmaal Getallen komen, (f)
CCI. VOORST E L.
Drie TrtgenaaJ- Getallen in eene Arithmetifche '. Progresfie te vinden, wier Som desgelyks een ratio- , naai Trigonaal - Getal zy. (g j
CCII. VOORSTEL.
Als van eenen onregelmaatigen Vierhoek, in den Cifkel Befchreeven, de Proportie der twee eerfte zyden a's 3 tot 4 gegeeven is , en de beide overige zyden in eene zekere Proportie als p tot q ftaan, vraagt men , in gevalle de Inhoud van dien Vierhoek de mogelyk grootfte zy , naar de Proportie der twee iaatfte zyden p en q; als ook naar iedere syde in 't byzonder, in de kleinfte heele Getallen ? Qb)
CCÏII. VOORSTEL.
'vi ,v -ja -Cisei^ojii-s fcfey sjaasm Kt. erj>
Door Simplex.
'iGegeeven zynde I7**-I-I = een rationaal Quadraat■', vraage naar de Waarde van x in eenTieel getal ?
• CC1V.
1: .
(*) r>. R^mbiantz van Nierop Wiskcnflige Rekening pag. 'i66, isafe Vraagftuk. (/) P. Halcke Zinnen-Corfedl, N. 280. ' fg) Ib-a. N..282. , 1
lh) H. Goss Mathemaiifcher PrebierJlein; M.S, N.jSV



Mathematifche en andere Voordellen* 57 CCIV. VOORSTEL.
Door johannes kerkhoven.
In hoe veel iaaren kan men een Capitaal sflosfen door een bepaalde fom, welke men gebruikt tot jaarlykfche aftasting, en betaaling van den Interest van het voornoemde Capitaal ?
CCV. VOORSTEL.
Door j. F. Kevzer.
Op een gegeeven dag het uur te vinden, wanneer de Zon het meest in hoogte verandert?
CC VI. VOORSTEL.
Bit en de twee volgende Poor(lellen door A. Géi kema.
Twee getallen te vinden, van welken het eerfte tot het tweede in reden ftaat, als het tweede tot een gegeeven getal 50, en dat de fom van de Vierkanten der gezochte getallen 464 zy? (i)
CCVII. VOORSTEL.
Vier getallen te vinden, van welken het eerfte Raat tot het tweede, als het derde tot het vïerd ; het eerfte tot het vierde a's 1 tot 8; het tweedt >ot het derde als 8 tot 9; en dat de fom van het tweede en vierde zy 128 ? (k)
CC VIII.
CO A. B. Strabbe, Inleid, ttt de Mathem. fPeemfi II D?el, pag. 240. No. 23.
(O Ibid. pag. 241. N. 29.
1



59 Mathematifche en andere FoorJUlitn*
CCVIII. VOORSTEL.
Zoek twee getallen in de reden van 4 tor 5, van welken twee andere (begeerde) getallen, in de reden van 6 rot 7, refpeöivelyk afgetrokken zynde, de overbiyffelen in reden zyn als 2 tot 3 , en dat hun fom 20 zy. (I)
CCIX. VOORSTEL.
Dit en het volgende Foerftel door P. Vink.
Een Koornhandelaar prefenteert aan een Bakker te leveren koorn, een geheel jaar lang, voor eene zekere fora gelds; in deezer voegen: de eerlte week 2 graanen, de tweede week 4, de derde week 8, enz. in opklimminge, tot de volle 52 weeken incluis. Hoe veel koorn zou deeze Handelaar, inéén jaar tyds, aan den Bakker moeten leveren? NB, Een Once gerekend op 1400 graantjes; 64 Oneen één Maatje; 32 Maatjes één Zak; en 38 Zakken een Last. (in)
CCX. VOORSTEL,
Een Vischwyf heeft tweederlei foorten van Visch, te weeten Tarbot en Steur. Zoo men de Ponden, die al haar Visch te famen weegt, by tienmaal de Ponden die de Steur meerder weegt dsn de Tarboc vergaart, komt 'er 160; en zoo men viermaal het getal der Ponden, die al haar Visch te ftmen weegt, van dertigmaal de Ponden, die de Steur meerder weegt dan de Tarbot, aftrekt, rest'er 00. Vraage hoe veel Ponden zy van ieder foort gehad heeft ?(»)
CCXÏ.
(/) A- B. Strabbe, Inleid, tot 4e Mathem. IVeetenf. II. Deel, pag. 233. N. 65. (2») j. v. d Schud re, in de Ptegresf. Befluit. (») Clairaut, Gronden der Algebra, Aanh, No. 42.



Mathematifche en andere Voorftellen» 5$ CCXI. VOORSTEL.
Bit en de twee volgende Voordellen door O. S. Ba kg ma.
In den As van een Parabool twee flippen A en B gegeeven zynde, een punt E van den Parabool te vinden, zodanig dat Ali + BE een Maximum zy?
CCXII. VOORSTEL.
In de Middellyn van een Cirkel twee flippen A en B gegeeven zynde, een punt E van den Omtrek te vinden, zodanig dat AE + CE een Maximum zy ?
CCXIII. VOORSTEL.
In den Omtrek van een Cirkel is gegeeven een flip A, en in de Raaklyn aan dat flip een ander flip B, zodanig dat AB gelyk zy aan de middellyn van den Cirkel; het punt E van den Omtrek te vinden, tot hetwelk de lynen AE en BE getrokken zynde, de fom derzelven een Maximum zy ?
CCXIV. VOORSTEL.
Bit en het volgende Voorftel door Jacob en zyn Heer.
Gegeeven zynde de volgende Equatie
axs + bx3y!l + cxy3 + dyl^o.
Men vraagt naar de Waardyën van ten j?
CCXV. VOORSTEL.
Welke Waardyën moet men voor x en y neemen, op dat de volgende Formule
y1 (a x6 + b *5 y + c x2 y» -f- d y*) rationaal wét? . . CCXVJ.



Mathtmatifche en andere Voorftellen,
CCXVI. VOORSTEL. Dit en de twee volgende Voorftellen door K. Smit. De Deeimaal-Breuk^o. 141592653 tot een' gewoonen Breuk te herleiden.
CCXVII. VOORSTEL.
Vier Getallen te vinden, wier fora 12, de fom hunner-Qi£arlraaten 56, de fom hunner Cuben 300. en de fom hunner Quadraats-Quadraaten 1716 zy.(o) CCXVIII. VOORSTEL.
Van een Driehoek, in een' Cirkel befchreeven welks Perpendiculair tot aan den Omtrek verleDgd is, is gegeeven het ftuk des Diameters, welk onder den Bafis valt, 9SH, het aangevoegde ftuk des Perpendiculairs 86(-$, en het ftuk van den Bafis, 't welk tusfchen den Perpendiculair en den Diameter begreepen is, 288. Men begeert hier door de zyden te vinden.
CCXIX. VOORSTEL. Dit en het volgende Voorfiel door J. M. C. 'van
Ui enho ve. Van deeze reeks van Getallen: i, 4, 12, 26, 5% 93» *ó3 > 278, 466 enz. wordt begeerd de wet van opklimming, benevens den algemeenen Urm te bepaalen.
NB. Door den algemeenen term eener Ry verftasn wy haaren n^n Term, in eene Funtlie van » uitgedrukt: zoo als, B. V., a + (n—O b den algemeenen of n^ Term voorftelt van eene Arithmetifche Progresfie, die met a begint, en met b opklimt.
CCXX. VOORSTEL, Van hoe veele eigenlyke en onverkleinbaare breuken kan in het algemeen een gegeeven getal den noemer zyn?
NB. Eigeclyke breuken zyn zulke die kleiner dan de eenheid zyn.
CCXXI.
t» P. HaLcken's Zinnen-ConfeQ, N. 195.



Mathematifche en andere Voorjletleni 6t
CCXXI. VOORSTEL.
Door A. hae.re«om£e,
Het getal 16 in drie deelen te verdeden, zodanig" dat de fom der twee laatfte deeien , vergaard by het ProduSt der twee eerften, 'er 3» kome, en zo dé fom der twee eerften by het Produët der twee laat* Ren vergaart wordt, de fom 44 zy?
CCXXII. VOORSTEL.
Door J. Kerkhoven.
De eerfte Maan-Eclips van A°. 1804 te berëi Kenen ?
CCXXIII. VOORSTEL
Dit en het volgende Voorftel door J. R. Schmidt*
. Gegeeven zynde een Boog van een' Parabool, het Brandpunt te vinden?
CCXXIV. VOORSTEL.
Eene Arithmetifche Progresfie te vinden, van wel= ke het verfchil der Termen de eenheid meer zy, dan de eerfte of kleinfte Term, en zodanig, dat hec getal der Termen het viervouwd van het verfchil der Termen, en de fom der Progresfie 222 zy? (p)
ccxxv.
Cp) A. B. Strabbe, Meid. ttt de Mathem. IVeetenf Ü. Deel, pag. 257' No. 27.
K



@3 Mathematifche en andere Vmfteilen»
CCXXV. VOORSTEL.
Dit en de twee volgende Voorftellen door A, Horst ma s.
Men vraagt naar twee getallen van zodanige eigen* fchap; dat zo n> n d'e beie!e rbet 8 VeriaenigvulfJJgt , het eene ProduSt et.n Quadraat et? het.andeïö z>n Worrel zy; a's mede Mi zo mén die be de .net a vermenigvuldigt, het eerfte ProduSt een Cubic, en het tweede den Wortel van dien Cubic zy? (q)
CCXXV1, VOORSTEL.
Iemand heeft een ftuk lands dat rechthoekig is, de Lengte ilaat tot de Breedte als 3 tot 2, de Inhoud tot den geheelén omtrek (in getallen) als 48 tot s; de eigenaar wil in één der hoeken van dat land een vierkanten 'i uin maaken, die 't o^fte gedeelte van het geheele land moet zyn. Vraage naar den inhoud van den Tuin? O)
CCXXVII. VOORSTEL.
Amfterdam koopt Louis d'or 8/9:5 Courant, en zendt die naar Hamburg, alwaar dezelve4 10 Mark 0,4 0 Lubs Banco verkocht worden. Hamburg remitteert het beloop , na aftrek van f pCt. voor Pro-'ifie, Courtagie en Briefporten aan Amfterdam a 33 s Banco; zo nu Amfterdam insgelyks &
p t. onkosten heeft moeten doen, en da Agio van 't Bankgeld te Amfterdzm .4$ pU. is, vraagt men, hoe veel pCt. Amfterdam by deeze onderneeming gewonnen of verloren heeft? (s)
ccxxvm.
C?) 4 B. Strabbe, /«/«V, tot de Mithem. Weetenf. }h Deel, pag. £30. No. 49.
(O E. Flo«yn, Arithm.il. Deel, pag. aoi, N, 144.
CO A. B. Stra3be Schatkamer der Keopm. Rekenk. |. Pebi,, pag. 55, N. fljfr.



Mathematifche en andere Voorftellen. 6$
CCXXVIII. VOORSTEL.
Bit en het volgende Voorftel door Jacob en zyn ft eer.
Gegeeven zynde zoo veel Cirkelboogen AB als men wil, hebbende alle hunne middenpunten in Al, en gaande door het punt A; de Equatie te vinden van de Kromme MN, die alle deeze Cir« kelboogen rechthoekig doorfnydt?
CCXXIX. VOORSTEL.
Gege.ven zynde zoo veel Parakolen AB als men wil, hebbende alle hunne toppen in A, en Al voor AS; de JÈquatie van de Kromme te vin* ?en.» die alle deeze Paraboolen rechthoekig doorfnydt? ö
CCXXX. VOORSTEL.
Boor M. j. Züidbof.
Van een Driehoek doet de fom der drie zyden 280 + s8 1/ 30, de Inhsud 485^ -(- 746» ,/ ,Q en het Product der drie zyden 15368885* + 2ÓÓ933! V 30; zo nu uit den rniddelften hoek tot de overftaande zyde een Perpendiculair getrokken wordt, dan is de vraag, hoe lang een rechte lyn zal moeten zyn. die uit den grootften hoek, door gemelden Perpendiculair, tot aan deezes hoeks ondersetoogen zyde zodanig getrokken wordt, dat van"de vur «ukken, waar in de gegeeven Driehoek, door het trekken van deeze lyn en van den Perpendicutoj-,gefneeden wordt, het Trapezium by den klein«en hoek van den gegeeven Driehoek van een gelyken Inhoud zy, als het driehoekig ftuk aan den anderen kant van den Perpendiculair, *t welk <Joor de genoemde Lyn, den Perpendiculair, en K 2, des



^» Mathematifche en andere Voorfteüéni
des gegeeven Driehoeks kortfte zyde gemaakt wordt? (f)
CCXXXI. VOORSTEL.
Dit en het volgende Voorftel doof O, S. Bangm^
Uit twee gegeevene flippen A en 6 twee Lynen te iamen te trekken, tot den omtrek van een gt-gee* yen Cirkel, zo dat de fom of het verfchü der Quadraaten van deeze twee Lynen, een Maximum of Minimum zy?
CCXXXII. VOORSTE L. Uit twee gegeeven flippen A en B twee Lynen te famen te trekken, tot den omtrek van een gegeeven Cirkel C, zo dat de hoek welke die twee Lynen onderling maaken, een Maximum of Minimum zy?
CCXXXIFI. VOORSTEL. Dit en het volgende Voorftel door P. Vink. Een Comptoir-bediende bet Memoriaal van het Comptoir doorbladerende, vindt daar in de volgende posten
ƒ s8 i 15 ; n ƒ 20 : 12 : 8
27 : T4 : 10 24 : 10 : ii
26 : 13 : 9 22 : 14 : 6
25 : 12 : 8 21 : 15 : 9
24 : 11 : 7 23 : ir : 4
23 : 10 : 6 — rt,
22 : 9 : 5 ƒ113 : a : 6
179 : 7 : 8 Door deeze gefommeerde Guldens en kleinere Muntfpecien begeert hy met goed fondament te rekenen , hoe veel Stuivers een Gulden, en hoe veel Penningen een btuiver doen? (u)
CCXXXIV.
(/) Meishers Kunstketen, N. 77. 4«) Meiswers Roofenkrans, ifte Roesje,



Matfamutïjcfo en andere Pborjlellen» 6$
CCXXXIV. VOORSTEL.
Een Tapper hadt een vat wyn, daar van herri de ftoop koste 2 Guld., doch was bevreesd, dac hy dezelve zoo hoog niet zoude kunnen uittappen; yondt daaronï goed die met flegter wyn vad 22 ftuiv, te verffayden: tapte dus ö ftoopen uit het eerfte vatj en vulde het wederom zoo veel op Uit het andere vat; deedt zulks nog tweemaal, en bevondt eindelyk , dat de ftoop van de gemengde wyn hem kwam te ftaan op 32I» ftuiv.; hoe veel ftoopen heeft nu het eerfte vat ingehouden ? (v)
CCXXX V. VOORSTEL.
Dóór Simplex.
.Gegeeven zynde X]/yz = i2, yi/xz — Ê, efi %yx 7 = 27, vraagt men naar de waarden van x. j en z? *
CCXXXVI. VOORSTEL.
Door G. Harderwyk. *
Gegeeven zynde een hoek A, en een punt buiten of binnen dien hoek, in dat punt C een' hoek te maaken[=LA, en geen ander Inftrument als alleen de Winkelhaak te gebruiken.
CCXXXVÏI. VOORSTEL. Door J. R. Schmidt. Tusfeben eene Conchoïde en haare Direfitrix 't grootfte Parallelcgram, te bepaalen.
CCXXXVIIL VOORSTEL. Daor A. Horstman. Drie getallen in eene Geametrifchs Progresfie te
vin.
(O P. HaLc-HEN*s Zinnen.Coiife?t^ No. 146.



$S Mathematifcbe en andere Voorftellen,
vinden, welkers product is ai6, en de fom hunner Quben 1009?
CCXXXIX. VOORSTEL.
Dij en bet volgende Voorftel door Pi Vink.
Een vader heeft drie zoonen, wier jaaren ftaan: jn een Geomeirifche Progresfie: fubftraheert men ö van des vaders jaaren, zoo ftaan ze mede in dezelve Progresfie. Addeert men beider jongftens tot des vaders jaaren, komt 100; maar addeert men des jongftens en des oudftens jaaren tot des vaders, komt ua. Hoe oud is nu de vader, en ieder zoon?
CCXL. VOORSTEL. Daar is een' rechthoekigen Driehoek: uit deu rechten hoek B is getogen de Perpendiculair BD, oyerzujks 'doet de zyde AB en het ftuk van den gedeelden Bafis AD te famen aco, en de zyde BC en DC te famen 480, Men vraagt naar de drie zyden deezes Driehoeks (».
CCXLÏ. VOORSTEL. Door M. Boelhouwer. Gegeeven twee Cirkelen van onderfcheidene grootte, zynde de Diameter des kleinften Cirkels 2, en die van den grootften 14 Duim; het Centrum des grootften Cirkels, is van een Lyn AB 16 en dat van dea kleinden van de zelve Lyn 4 duim; zoo bo de afftand van A tot B, of de lyn AB, 26 duim is, vraagt men naar de Lengte der lyn. die deëze beide Cirkelen raakt ? '
CCXLII. VOORSTEL. pit en de twee volgende Voorftellen door Jacob en zyn Heer.
Gegeeven zynde de drie ribben van een Paralkleiv) No. 131. (*) Uid. Xfo 400,



Mathematifche en andere Voorftellen. 6'j
pipedum, met de hoeken die deeze ribheri onderling maaken; den Inhoud van het Paralleiepipedum te vinden? O) ' ..
CCXLIII. VOORSTEL, Gegeeven zynde de zes ribben van eene driehoekige Pyramxde; den Inhoud van dezelve te vinden?^) CCXÜV. VOORSTEL. Gegeeven zynde de zes ribben van eene driehoeki? ge Pyramide; dc Radius te vinden yan dea in- en omgefchreeven Kloot? (a)
CCXLV. VOORSTEL. Dit en de drie volgende Voorftellen door O. 8. B a ngm &.
Uit drie gegeeven flippen naar welgevallen A, B en C drie lynen te famen te trekken tot een punt D, als AD, BD en CD, zodanig dat men hebbe AD + BD = CD, en AD:BD=Bü:CD.
CCXLVi. VOORSTEL,
Men begeert de volgende Formule V (x+y + z—u) (x + y~z+u) (*—y-\-Z±.u\ (— *+y+z + u) rationaal te maaken?
CCXLVII. VOORSTEL.
Van een' Driehoek ABC zyn gegeeven de beide lynen AE en BD, getogen uit de hoeken A en B roe hec midden der overftaande zyden; beneifens de fom van die beide zyden ; begeert men AB ce vinaen ? CCXLVIII. VOORSTEL.
Op een vlak zyn belchreeven twee Cirkels , die elkander inwendig aanrasken in B, de Radius van den grootften Cirkel is CB = r, die van den kleinlten DB = s; nu zyn 'er in de hoornvormige ruimte , begreepen tusfehen de omtrekken van deeze bei, de Cirkels, een onbepaald getal Cirkels befchree-
ven,
(?) A. M. le Gendre Elem. de Géom. i») Ibid», ibid.



6t Mathematifche en andere Voorftellen,
yeti, die elkander aanraafcen,en alle door de belde voorgemelde Cirkels geraakt worden; de Radius van een derzeiven is Gi=*, men vraagt naar de Radius vim den «den Cirkel, welke op deèzen in het ftoornftuk volgt?
CC XL IX. VOORSTEL. Bit en het volgende Foor [iel door K. Smit. Van vier getallen x, y,z en v is gegeeven
i+' , 1 L 1 41209 I 1- — H - — a of
*" j>" *2 -» 129600
- + - -i- - + 1 m b of
* ? * f 360 x +3» +ï + v = f of 24 X2 4- + z* + *» = <| of 174 welke zyn die getallen?
CCL. VOORSTEL. Eene Grootheid a in n deelen te verdeelen, zodanig dat de fom van de »<je nJagten der deelen een Minimum, zy.
SLOT-QUESTIE, Boor A. B. Straübe. Op den zelfden tyd als A 102060 Guldens uitgegeeven beeft tot 3J PC:, te rekenen Interest op Interest, zo heeft B 97200 Guldens tot $$ pCt. fifflpeie Interest uitgegeeven. Maar B geen geld benoo. digd zynde, legt jaarlyks de Interest van de 972c© Guldens wederom aan, op de zelfde conditie als A zyn Capitaal uitgegeeven heeft. Nü wordt na eenigen tyd bevonden, dat B met zyne 97200 Guldens eene fom van 13^6 Guldens ï3*|'| Penningen meerder gewonnen heeft, dan A met zyne 102060 Guldens, v raage, hoe lang deeze Capitaalen op Interest hebben geftaan, zoo dat 'er geen fecunde aan ontbreekt, (ais men 'sjaars lengte (lelt te zyn 305 Dagen , 5 Uuren, 48 Minuten, en 50 Secunden} en hoe veel mee i?der Capita*! gewonnen is, zonder hes ininite verichil volmaakcelyk ?-
Einde van het tweede Deel.



ONTBINDINGEN
DER
VOORGAANDE
VOORSTELLEN.






ONTBINDINGEN
D ER
VOORSTELLEN;
Welke in dit II. Deel van het Wiskunstig Mbngelwekk. des Genootfchaps der Mathematifche Weetenfchappen , onder de Spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven , te vinden zyn.
I. VOORSTEL.
Door S. van per Paauw, waarmede de O* geever overeenkomt.
Door 't Voorftel is gegeeven
x->ry-j/z , yzzziBx,
of*- — J + i/z _y%
yz i8 x zz —' 18
1 vergel.
y z
k— — — y-f-i/z 18
— ■ 18
yz zz —i8j/ + iö|/z
A f +



« ONTBINDINGEN
Subftittreerende voor x haare waarde —, züj|eg. $y hebben 13,
'y*'
— F- z
18
r- 18 l8j>s4-i85t
183/3 + 18 5—yz+18 z } derh. z — ë,
■ ——- j>+18
yzzi8ys-f- i8y- 182
yz~— i8y 4- i8|/z boven gevonden*
; i—— vergel»
iR^3-fr i8y — i8zr—1831+ I8|/z
~ o» 181/Z+ i8x — iSy3-tpy, 18.- - « —
i8y3-Hi83ï
Maar z =s •
j4~ 18
- . .— ■' "" ■' -- w
rfc — ~ 31' + 2J
Df+i8
H———; -.-j'4- ï8,
y + 1* .yz + iüya+iSyzzy*+iiiy*+a-y*+$6y-
,.è . . ~— .1.1
of fj| + l8.i/z zz y^-i-üy1 -r-iSy
—— r
2*181 .a ryB-ir*ry6+ tfys + 4y*+7zy*-t-3Myr
IJern? z zz 'wmi&j. — ■ M _ ^
f +36?-{-334
f 3K



dbr. VOORSTELLEN, enz. 3 y+ 18
■ 1 1 ■—1—1 vergel.
y* + 3631-1-39.4 y-hi8
J8 + 43'6 + 363fJ + 43'4 + 723i3+3i'43'1ZiSy+ . .
, 32433 + 13 3,'+334V
of y8 +4ys + 3ÖJs-«4J4-»52J»+ 3c53)1-324j-o
j ■ • ————— , .
y7 ■+■ 4J-5 + 36 y*-i4j)S - 3523)» + 30631 -324 = 0.
Hier uit vindt men 3-a; dus xzzi, en z~ö.
II. VOORSTEL.
Z)sor de» Opgeever, S. van der Paauw J. Pauw, en E. Gritteus,
hoog 12 D. hoog 6 D. • '
breed 10 D. breed 5 D.
120 □ D. de 3o □ D. de kleinfte
grootfte Ruiten. Kuiten.
Naardien nu met deeze Ruiten een en het zelfde Raam gevuld zal worden , zo moet van de kleinfte Ruiten in aantal zo veel meer genomen worden, als haare Inhouden verfchillen. Daarom
30 D- Iftn. — 1 kl. Ruit — 120 D, Inh ?
Kt. 4 kl. tegen 1 gr. Ruit.
As 3 groo.



4 ONTBINDINGEN
i groote Kuit 5 St. 4 kleine dito 4 *>
Verfchil 1 St. — 1 Ruit — ƒ 4^-veifchiI ?
Komt 90 Ruiten van de grooten. Dus 360 s * van de kleinen.
III. VOORSTEL.
Door den Opoeever, j. Pauw, E. Gril ters, j. Verschoor H. z,, en S, van der Paauw.
Stel dat de Dief achterhaald wordt in x dagen; dan heeft hy afgelegd 8 x mylen.
Voorts hebben wy van eene Arithmetifche Progresfie den eerften Term — 3 , het gemeen verfchil — 2, en het getal dér Termen zzx; derhalven zal, volgens A. B. Strabbe lnleidinge tot de Mathem* Weetenf. II. Deel § LliL Geval 1, de Som der Termen, of der Myien welden de Dienaar aflegt, zyn:
BXm-1 xxx-i Szzna-i dzz^x-h xazr*' + 2*.
2 2
Nu is x* + 2XZZ2x
x ■
x + Q, ZZ 8
Dus x zz 6 dagen, in welke de Dief achterhaald wordt.
x' + zxzzSx — 48 Mylen, die elk afgelegd heeft,
IV, VOORSTEL.
Door den Opgeever,J. Verschoor H. z., ' S. varder Paauw, E. Gritters, en j. Pauw,
Stel



der VOORSTELLEN, ens£ $
Stel dat de eerfte aflegt den eerften dag x Mylen;
dus den tweeden dag x-f-a den derden dag x-f-4 &c {ft. en den vyfden dag x + % eerfte dag *
■ verg. 1
2S + 8
" - .1 helft der Termen -verrn. j
5*+20
Derha^en j*4- aars©
5* = 30
5
* = 6 Mylen de eerfte.
Stel dat de tweede den eerften dag aflegt y My» Jen ; dus den tweeden dag y + 3, tfc»
den vierden dag y + 9 eerfte Term y
De helft der Termen 2
—— verm.
431+18=50
4——
jzB Mylen de tweede,
V. VOORSTEL.
Door den Opoeever, j. Verschoor fj.z.; J. Pauw, £• Gritters, en S, van der Paauw.
A 3 Stel



5 ONTBINDINGEN
Stel den eerften Tem der Progresfie Si», den laatften _j>, en het gemeen verfchil der Progresfie ~z\ dan heeft men door de eigenfchappen der Arithmetifche Progresfie , en door het Voorftel, deeze drie volgende Vergelykingen:
*+y X 3=57,
3 ■ •
*+y zz 19
x zz 19—y 57
y+2zz—, en yzzx+zxs I
% ..———
——— z ^r*+5z
yz+2z~57 •,—
of 52 =; i'—*
57 5
z S —- y—x y,+ 2 z zz
—;~5
5Z =
285
Derhal ven y —x zz —— 314-2
y-\-x zz 19 boven gevonden '—■ ■ 1 verg.
285
zy zz 1 + 19
—————1—1 y+a
. 23i1+43' = 285 + i93l+38
3^ — 153» = 323 ■ 8
16



»s* VOORSTELLEN, eni. f i6y3—ïzoy == «584
151' = 225 —. t
l6-ya - iaoj»4- 15I ~ 2809
^ 1 *
4j —15 = 53
Ay =r= 68 4 _
y = 17. &ü ft *ri9— jra de eerfte ternii
y — * 17 — * 15
en z ~ r: -■ s — r 3 het ver*
5 5 5
fchil der Ptogresjie*
Dus is de Progresfie 2, 5* 8> n, 14 en 17.
VI. VOORSTEL
iÖoor A. Bi Strabbe, vaar mede de Opgèêveü* E. Gritters en J. Pauw overfe^omif».
Stel in de gegeevene Vergelyking szza+mz}
Dan is a + mz\% zz ü'-hbz-i-cz*
bf a1 + 2amz + m'z'>zza3 + bz + cz*
i.amz + m'z'zz bz-*~cz*
2iam + m'z zz b-¥ "cz
th'z—czzzb—sam
A 4 « s*



& ONTBINDING E*N
b — 2am
Hier uit blykt, dat men , orn eene fieÜMe Waarde te verkrygen , m gelyk aan een getal cusfchen b
l/c en — moet neemen. 2a
Stellende dus , dat de gegeevene Vergelykinge zal worden *• -64-12% 4-5 2* , dan moet de Waarde van m, in dit geval, kleiner dan 1/5, en grooter dan - }§ zyn; en wy hebben
^ — 12— i6m is + iöot
Neem mm; dan is z — 7, en *zrij. m~2; dan is ZH44, én *—96.
VII. VOORSTEL.
Door A. B. Strabbe, waar mede de Opgee ver, E. Gritters c« J0 Pauw overeenkomen.
Stel in de gegeevene Vergelykinge xzrz + m; Dan is z*-h 2mz-hm'~zt + az-\-b
az — 2mz~m1—b
rn'—b
z r= —: .
a-am
Stel a — 2mr«5 dan *s 2Jn~a—n; en -
Der-



db» VOORSTELLEN, enz. r>
a* — zan + n*— 4*
Derhalven z = ■ ^ van .. ..
471
aa — 4^
-——— - h+b. n
Zal nu de Waarde van z een heel getal zyn, zo, moet » een Deeler van de Grootheid aa — 46, en derhalven even of orëven zyn, naar dat a even of onëven genomen wordt. Laat dan au20, en b~o zyn ; zo is zzz-^X
400
— — 40 -f «. n
Nu zyn de evene Deelers van 400 deeze, 2, 4, 8, 10, &c. van welken de tweede alleen voldoende is; derhasven is z~i6, en xzzuz.
Of laat azz 100, en bzrioco zynj zo is z ZZZZ
6000
£ x —— — a°o + «. n
Nu zyn de evene Deelers van 6000 deeze, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 6?c. van welken 4, 12 en 20 voldoende zyn.
Neem n~ 4, zo is 2:1326, en «-±$74, nrri2 . . . zzr 78, en xniii. nzz2c . . . z~ 30, en «r: 70.
VIII. VOORSTEL. Door den Opceever.
A 5 For.



Formeering der getallen* zyden getall. Progr. verfch* ixii li n sxia »4 ~3~
3X13 39 15 * 4X14 r 56 17 2
5x15 75 19 I a Volgens het Voor^
enz* ftel, is de meenïg-
te der getallen vati Wort. h. Progr. verfch. ieder foort; and e ré
de Wortel des /ig^
i. gregats j endemee-
3 14 13 nigte der verzame^
1 ]ingen,ofdeNaanj
3 3P »5 12 des Aggregats, ee-
4 76 37 ia ner'ei*
* ' 37 1 Stel derhalven
5 las 49 12 den Wortel zzxs
enz.
Zo heeft men de volgende bewerking i * de Wortel verg. % Agregats-naam
•a*
* x fl Verfchïï, verg* ii ac-f-2
15*4-22 komt x *—
*+2



DER VOORSTELLEN, E»i. tt ■
i5*** + 7*-*a komt—————; verg. ns+t ; x + a
Aggr. +IXH.
26*a+4o* komt ' ■ enz.
* + 2
* de Wortel tn * Aggr* naam
2x
X 12 Verfchil, ad. i
x+ 2
25*4-2
komt X *-i
x+2 25 x*-2%x-2
komt , verg. *4-i}
«4-2
Jggr- 4-1X 1.
26 *3 — 90X
komt ———— enz.
* + 2
Dewyl de verdere multipliccmten wedérzyds gelyk, en ook onbepaald zyn, zo blyvea du-, zo ook de Noemer *+2, in de volgende werking teiug; als
26** +40* : 26x*—2ox :: 31 : 30
806** — 6ïox~!%ox* 4- 1200*
26x*zz -8lOX a6*—-|~———■
* = 70 Getallen van ieder.



ÏS ONTBINDINGEN •
IX. VOO R S TEL. Door den Op gek ver.
Formeering der getallen:
zyden [getall. Progr. ;verfch. ix14 14 a
2x15 30 i~ 3x16 48 18 2 4X17 68 20 2 5x18 I 90 22 a ' enz.
Wort. I 20 h. Progr. verfch. ijl 1
2 I 20 19
3 I 57 37 18
4 | 112 55 18
5 185 73 18 enz.
Stel, of neem het getal 1000:ra;' Derhalven a de Wortel
verg. a Aggregats-nzzm
ia
—— x 2 VerfchiL, verg» a a + 2
6a + 4 komt X a—1
a + 2 ; > :
komt



der VOORSTELLEN, ehz. 13
6a'— 2a—4
komt —, verg. 140+14;
a + 2
Aggr. 4-ix14.
sioaJ -!- 4c a 4-«4 komt ■ enz.
fl4-2
Wederom a de Wortel
en a Aggr. naam
,—,
2a
x 18 Verfchil, verg. I
fl + 3
37a 4-2 komt ——— x a—1 04-2
37fl'-35a-2
komt —> j verg. a4-i;
a4-2
' ^ggr. +1x1.
38a" —32a komt —— enz,
fl + 2
a i 1000 verwisfeld, komt
20040024 en 37968000.
24 .
dus 835001 tegen 1582000; de kleinfte popartie in heele getallen,
X. VOORSTEL. Door den Opgeever.
For.



H ONTBINDINGEN
Formeer eerj reeks van vooren? De Wortels De Hex. getallen.!
* 2** — x
*+i 2*»-t- 3*4-1
«4-3 f 2**4- 7*4-6;
*4~3 2xJ4-uac+i5
*4-4 2*'4-15*+28
*4-^ 2*'4-i9*+45
*4-6 2** 4-23*+66 enz.
Insgelyks een reeks van achteren?
De Wortels De Hex. getallen. *4-79 2*' 4-315*4^2403 *4-78 2*'4-311*4-12090 *4-77 2x' 4-307*4-11781 X + 76 24*4-303*4-11470 *-*"75 '-1-299*4-11175 «4-74 2*'4-295*4-10878 s + 73 2*' 4-291* 4-, 10585 enz. I
Nu zyn de produclen van twee en twee, van voo. yen en achteren genomen:
4 x* + 628*8+24491 x' ~ 12403*
4*4 + C28*3 + 25,I5jr» + 3Ö5§IX + I209O
4** +628J5 + 35723*1 + 84309*+70686 4*4 4-ft-;!*3+ 26315*'+ ?3G7«I*4-172I40 4*4 + '28*3 + 26893 **4- 175997 x 4-312900 4**4-628*34-27^51*'4-2199'7*4-489510 4**+ 6a8*3 + 27925**4- 262061 * 4- 69861 o,enz.
Dee*



PBR VOORSTELLENDE»**. i§
Deeze in order van elkander fetrokken, komt na de vierde aftrekking, 96 voor het g yke verfchil.
Hier mede van achteren ieder Colum of Progresfie vervuld , zo ftaan de bgven. Termen , tot liet ge» bruik, in deeze orde;
4*4 + 628 *s + 24491** —12403*, product, 640X1 4-50240*—38160, (.zz) N9, 2. -i6*s —1256*—54090, (ZZ) N°. ï. ^3936, boven de Progresfie , 96 gelyk verfchil,
De meenigte der producten is gegeeven , zynde de Wortel des Aggregats, =40; verg. 3, Aggr.
naam + 2 (—)
verfch. 96x4I»verg. -39)6
-15552
X *|, verg. (=) N°. 1,
5
^8o*a-628o*+i07iJ4
—— x *§» verg. (z) N°. 2#
5
6320** 4-496120* +-3820914
■ ' - x 39, Wortel *■ 1,
5
82:öo**+Ó44956o +40671 !!8a
— verg. Aggr. + ix
5 prod.
4Ó*4+02d.. *»+327O7O*a+632 530*4-49671,8 x 4f
jfomt i6o**-r-25i20*1 + I3ö83:8ox• + 25302120*.
+198687528 - 609256728.
Vep



i6 ONTBINDINGEN
Verwisfeld en door 40 verkle'nd, komt 4*r + <5a8*> + 327c7x» -+-6505?3*- 1026^230 komt * —10; en 2#a-* —190, Het eerfte getal.
XI. VOORSTEL. Door den Opgeever, en J. Pauw.
Stel de Jaarlykfche Interest ten 100 zzx, en de Jaaren welke het Capt. heeft uitgeftaan zzn. Capt. en Interest van ieder 100 is dus
na één Jaar z:ioo + x,
ioo+V
na a Jaaren zz — '
100
loo-,1-*3 na 3 Jaaren zz ———, —* 100
... T 100 -hx gevolglyk na n Jaaren r: .
k-i '
100
En, volgens 't Voorftel, is ioo4- x
100
100+ * -— ■ — ,
ioo+xj""1
10Q 1
<S654tS6o9I83 r79 84l IiJ48iS42 5SS!/5ÖJ5ïïc«
Wy



der VOORSTELLEN, Etfz. t?
Wy hebben twee onbekenden % en n,en 't Voorftel levert ekms op tot eene tweede vergelyking , dus kan het fchynen dat het Voorftel, zonder iets willekeurig te ftellèn, geheel onoplosbaar is ; doch als wy aanmerken dat de grootheid x een rationaal getal verbeeld, immers is 't niet natuuriyk eene Jaar* Jykfche Rente op eene Surdifehe hoeveelheid te bepalen , dan is , n een heel getal zynde, ....
665416609183179841 103+*
, _ _ , ^ ecn raïiQ7i;iai ge„
184884750895036416 100
tal uitdrukkende) tot zekere m:gt verheven.
Wy moeten derhalven onderzoeken welken rationalen Wortel, of wel, welke rationale Wortelen
• , r, ICO+*
mt het Breukgetal, 't welk zekere magt van ■
100
uitdrukt, kunnen getrokken worden; en die Wortel, welke den hoogden naam draagt, moet men ge100 + *
Jyk ftelien met ; want dan zal *, volgens
ico
den eifch van 't Voorftel, op 'c kleinfte zyn, en de naam van dien Wortel is zzn - r. Ten einde dit onderzoek te geregelder afloope, zal ik en Teller en Noemer van 5t aanüonds genoemde Breukgetal in derzelver t'famenfteüende kleinfte deelers (eersrgetallen) ontleden, en, dit doende, dan vinde ik
665416629183179841 Ï^I<T T36 i^j15
184884258895036416 ~"i"3ax"^1 ö~4 1 x 3""~121
Men ziet hier uit, dat uit dit Breukgetal de y/ kan getrokken worden , ea dat die Wortel f j is; ook zal men ligtelyk bezeffen , dat her. Breukgetal geen rationale Wortel van eene hoogeie benamiag
I 6
dan \/ bevat; zo dat men heeft
B de



18 pNTBINDlNGEN
i00 + *
de magt n—imö, en — . — ||
■ —— ioo
nzzi 7 deJaaren. —. ÏCO
100+*—ïo8|
ioo ~ioo
—— fuift.
x zz 8f de Jaarlykfchè ïuterest ten 100. NU. Dit antwoord komt met dat van den Heer Meister overeen.
Anders»
Door O. S. Bang ma.
Stel den 'Jaarlykfchen Interest y pCt*; dan zal na verloop van één Jaar 100 Guld. aangegroeid zyn toe
y
iGo-f-y, en dus ieder Gulden tot i -{ . Laat
ioo
nu de geheele hoofdfom bedragen x Guldens, dan zal deeze Som aangegroeid zyn:
Na verloop van één Jaar tot Ci x.
^ 100-^ "
van twee Jaaren tot \ x.
^* ioo-'
r + —> *; en na
verloop van n Jaaren tot C x + — 'S*
Deeze Som moet gelyk zyn aan een gegeeven getal maaien (Hel m maaien) het Capitaal en Ia-
s .j te-



©sa VOORSTELLEN, ene. i9
terest des eerften Jaars; by gevolg heeft men deeze /Equatie:
Cy N« >- y «v H ). xzZm ( i + — ) x; IOO-' v. IOO-^
of ("l-f-—V =,« A + iL^; V IOO-' >■ ioo-'
offi-i ) — m;
of Ci 4-—-•*} =Tf/m.
Cp dat nu ( i -5- j , en dus ook y, zo klein V. loo/
zy als mogelyk is, komt het 'er maar op aan te vinden den kleinst mogelyken Wortel van het getal wj; en dit valt niet moeijelyk; want
« = ^tmtimmu - tnmmiy - mm*
Dus is de kleinst mogelyke Wortel van m de zestiende, en deeze Wortel is iT'. By gevolg n-i
y y
ZZi69 en Bri7; desgelyks i-, z=ix§, of -—-
ICO ICO
-TI, en yzz8§.
Dus is de Jaarlykfchè Interest geweest 8* pCt. én het Capitaal heeft uitgeftaan 17 Jaaren.3 *
B 3 XII.



so ONTBINDINGEN
XII. VOORSTEL. Door den Opgeever , en O. S. Bancma.
Stel de Som der Ducaaten van de deelgcnooten te faarncn zzs.
§A-!-iBCDEFGH = 4824^
, 6
5A-f- BCDEFGH - 28947 * of 4 A + s — 2S947 4
Icomt A + is r~—' 7236^
|B+iACDEFGH = 4824-2-
i -8
7B+ ACDEFGH = 38596
of 6B + s ~ 38596
6
komtB + Jf zzzzz 6432?.
töC+xö ABDEFGH - 48 2^
10
9C-*- ABDEFGH zz 48245
of 8C4- j ZZ 48245
8
komt C+|j zzzzz 6030I.
4-jD-r- ABCEFGH zz 4824I
■ —— 12
11 D+ ABCEFGH r 57894 of 10 D+ s zz 57894
io ■ !
kcmt D-r-ïê* = 5789f-
^|E + ijABCDFGH - 4824^
— 14
13 E -h ACCDFGH zz 67543
of 12 E + s ZZ 67543
12 - ■—
komtE + T{x ZZZ 5Ö28TI.



der VOORSTELLEN, enz. as
ïfF + TsABCDEGH S 4824A
> 16
15F+ ABCDEGH - 77192
of i4F-i- s zz 77192 I4 ,
komt F4-tJj s= 5513^
i;G + T|ABCDEFH - 4824^
. 18
17G+ ABCDEFH zz 86841
of 16 G + s zz 86841
16 : '
komt G + T§r SS 5427
l%H + j£ ABCDEFG zz 4824^ ■ ^ 1. ■ —— 20
19 H+ ABCDEFG zz 96490 of 18 Ei + s zz 96490
18
Komt H+T|f = 536o§«
Daarom j-r-fg?gf - 474I9MÏ5
5040
9649 s ~ 238996081
9649
f zz 24769, dc geheele SomDucaten, die ze onderling te deelen hebben. Nu zullen we ieders deel gereedelyk vinden.
7236$ — is ZZ het deel van A, is 1044-5")
6432-f — \ t zz ■ B, — 2304i j g»
6030I S C, - 2934^ c ~
S789f <~iè*ZZ D, - 3312II | s
5628tJ-ï§j= E, — 35644 ï |f.
55131 -tV= F, - 3744è I ? *
5427tS-tI*= G» - 3«79i | 1
53ö°f ~ ilf H > — 3984i J
B 3 XIII.



aa ONTBINDINGEN
XIII. VOORSTEL. Fig. i.
Door den Opgeever, O. S. Bangma, en j. Fa uw.
De zyde AC hebbende gedeeld in E, zo dat CE: AE Raat::BC:AB::2:3, wanneer voor CE 26, en voor -AE 39komt; en AC tot G verlengd hebbende, zodanig dat AF (13; (17160 maakt nameiyk FEnCK) Raat : FE :: CE : CG, komende voor CG 52; dan trekt reen uit ü, met de wydte GE (78) als Straal, de Boog bEB; en 't is in dezen Boog dat de boek 13 van den Driehoek ligd, gelyk by Voorftel 189 in 'c eerfte Deel van 't Wisk. Mengelwerk is bewezen. — Steld op 't midden N der zyde AC óenperpend* NH, makende NH zo lang, dat CHzAHr de halve middenlyn des omgefchrevenen Cirkels ifï$f§ «/14 is, uit H, zynde dus het centrum. Nu met de wydte AH dien Cirkel trekkende, doorfnyd de^ Omtrek, den Boog bEB in de punten B en b , en deze punten zyn de plaatfen van den L 3 des voorgeftelden Driehoeks. Zo dat hier twee gevallen zich opdoen.
Be rekening van den Driehoek ABC.
Volgens 'c bewys in Voorftel 1S9 boven aange* haaid, Raat
AG : BG :: BG : CG dus is de □ AGC - DBG
Daarom ra£kt BG den Cirkel bCB in B, en ora dezelfde reden bG in 't punt b, Et'cu III. B. 37. Frop. en de hoeken GSH en GbH zyn regt. Wy. ders , wyl dé &en HGB en HG* in alles gelyk zyn, behoeft het geen o.mflagtjg bewys dat de reg. te Lyn Bb, door GH , regthoekig en gelykelyk doorlheden wordt , zo dat BI — ïb is. Men kan dus, BH de halve-middenlyn, en BG, bekend zynde , BI als perpend,, of de £theele Lyn B b, vinden ; aldus:
BH



oer VOORSTELLEN, ENZ. 23
BH I7fj 1/14 . . □ BH 95f||5 BGnEG 78 . . . DBG I3|IfI<s
a<fi. ■ "
□ HG s3j||*1
1/
HG i/33lir'of2751^14,
HG : BH :: BG : BI
37^14 BI = 76?r 1/14
1/14 »
275§ BI - Vfp
56
1521 BI r: 76050
1521 !i
komt BI — I* 50.
De t\en 6 MC en AMB zyn gelykvormig, gelyk ook de Aea AiM en BCM ; want Z.5MG is —' Z.AMB, Z.M//C — £MAB, Kaande deze op denzelfden Boog CB , zo ook ten aanzien der overige hoeken. Dienvolgens Raat
BC : MC :: kb : »M BCxfeM - MCxAlT Desgelyks Raat
AB : AM :: bC : bM
SCXAM ZZ ABxfrM :
BCx — kb xMC, zie boven.
»—- . 'tnultï
BCxbCx. AM x bMzz Ah xAbx MC xbM
iM - —.
BCx&CxAM -ABxAfexMC
maar BC : AB\
ook bC : Abf :: 2 : 3ï
B 4 der«



ONTBINDINGEN
derhalven is
3X2XAM zz 3X3XMC • of 4AM zz 9MC
overzulks ftaat
MC ; AM :: 4 : 9.
AC of 65 nu gedeeld in rede als 4 tot 9, dan is 't kleinfte deel de lengte van CMj komt voor CM 20, dus voor am 45. Vervolgens vind men IM volgens dezen Regel:
{Z]BM6-!-DlM=DBI. 5 P. II. B. Eucx. fZJBMb BM b
~— — fubfl.
piMz:üBI—f-jBM*,
□ BI 2j0o
C3 BM^m AMC (3J P* III. B. Éücl.) 900
W fuift,
□ IMióco
v
IM 40.
Van den A BMG zyn nu de drie zyden bekend, als BG 78, bm zz BI + im 90, en MG zz mc+. CG 72; waar door men, op de bekende wyze, het deel gk, den perp. BK, en vervolgens het begeerde vind.
, qbm 8100
□ bg 6084.
~-»ƒ«&/?.
verfchil 2016 — 't verfchil der □«« op MK en KG □ mg 5184
— fubfl.
rest 2[Z!MGK3ió8
2MG144 —
komt KG 22
CG



der VOORSTELLEN, ekz. ag CG 52
CK 30 AC 65
AK 95-
D BG 6084 P KG 484
O BK 5600 D CK eoo □ AK 9025
add.
□ BC 6500 □ AB 14625
Y
BC|/6joo(io j/65;, en AB 1/14625 (151/65),
Berekening van den Driehoek AbC,
AM : AB :: bM : bC 45 ' 151/65 :: 50-40 (10) : bC
45 bC zz 150 1/65
45 ~~ '
bC zz 5| 1/65.
MC: BC ::£M:A£ 20 : 101/65 :: 10 : A&
20 Ab zz 100 1/65 cc——" 1
Aéz: 51/65.
Dus is gevonden,
BC 101/65 en AB 151/65. En in 't andere geval,
bC 3| 1/65 en Ab $^65. Beide als a tot 3, naar den wcA va» UFoorfieU
B 5 XIV.



0 ONTBINDINGEN XIV. VOORSTEL. Fig, 2.
Door den Opgeever, O. S. Bangma, en J. Pauw.
Zonder den Cirkel in 't voorgaande Voorftel cebruikt (aldaar de Cirkel bEB , welks middenpunt , 18) te gebruiken, kan men de Ontbinding van t nu voor handen zynde Voorftel, Helkundig, op volgende wyze inrichten.
De Lyn CD deeld den AC van den Driehoek in tweeën gelyk, vallende het Centrum van den ingefchreven Cirkel in die Lyn in F, waar uit men de halve- middenlynen FG, Ffi en FI, tot de raakpun. ten, of loodregt op de zyden des Af, trekt, zvnfte/ni f öalve-middenlynen volgens 't Voor*
Verder deeld de Lyn CD, den £.C in tweeën gelyk fnvdende, (volgens Prop. 3, Eucl. B. VI.) den Bafis AB m D in rede van de opftaande zyden ; namelyk BD : AD :; BC : AC •" 1* • it zo dat men voor BD 26, en voor AD 30 vind.
Steld BCri3.x, en AC-ï$x; voorts CI = CE van LC toe de punten van sanra-.
dan is BI~BG —13 x-y *WS ~J>
en AEnAGrr ^x-j,
—~ ada\
AB ~28ir-2j'—56
23» —28x —55
2- -«
3>ri4*—28
BG = i3*—y~ — x + aS
BD— 26
das DG- ""jr-stT"
BC —



der VOORSTELLEN, enz.
BC zz 13* AC - i$x AB- 56
aH*-|-s6 omtrek des Driehoeks. ' 10^—-| middenlyn
2
294 x + 588 Inhoud des A'.
f ABzaS
loi*-h2izrCM, of des Ar hoogte.
FG : DG :: CH : DH 21 : x — i :: 10^^+21 : DH
21 DH - \oix* — A2 3.1 _
DH zz £s'-42 DB - 25
BH ZZ ^"-asT
NB. Het kon fchynen dat ik den Driehoek benaaldelyk befchouwde, als hebbende een wyden hcék in B, en daar naar de bewerking inrichtte, daar evenwel de form des Driehoeks in 'e Voorltel niet bepaald wordt; doch met weinig opmerking zal elk gereedelyk bezefTen, dat de Mqmtie, die wy terRond zullen verkrygen, de waarde van x bevat zo wel wanneer de L B fcherp of ook regt kan zyn dan wanneer dezelve ftomp is. Die heb ik gemeeld tusfehen beiden te moeten eriuneren.
BH*— ix*—28** ■+• 784 CH zz ucix' + 441*4-441
gH + CH-BCzz^^+82j:Jga+44Ix4,Iaag_:i69_ga
"of



tt8 ONTBINDINGEN
of ix1 — 86|*J + 44i x+1225—3 4
~4 —347*2-b 1764 x+4900—0.
Is | dan is 1 hier van zyn deelders ~l ^ Aril+ösiBrojlja^jó^iSji^enz. 13 If*
ro|-f-49oo=:o 1,2,4,5,7,10,14,20, enz. 14 1 r-i|+279o = c 1,2,3,5,(5, 9,io,i5,i8,enz. 15 j ^
*+- 347 *5+1764^+4900—0
'• --*3+ 14*»- 151
x—inzzo x—350— o.
Dus *= 14, en 13*—182BC-, 15* — 210 AC, de begeerde zyden.
Maar de laatfte /Equatie, door de deeling met a; — 14—0 verkregen , namèlyk x3 ■+■ i$x' —151 x— 350—o, heeft nog éène pofitive Wortel, doch dezelve is niet rationaal; men vindt x~8, 5a êp£.
Wanneer wy x~ of 8 , 5, een gefchikt en 't waare zeer Dabykomend getal, bepalen, dan zyn de. zyden, in dit geval, BC —13*—110, 5, ea AC —1 "ix — 127, 5. Wordende dit antwoord mede, gelyk het eerfte, proefhoudende bevonden.
XV. VOORSTEL. 3. Door den Opglever.
Constructie".
1. Verleng de eene Löodlyn BI tot in E, zo dac IE gelyk zy asn de andere Loodlyn'.
2. Befchryf cp de Loodlyn Bi esn gelykzydigen Driehoek BIG, er. trek de Lyn GE.
3. Richt op de Loodlyn BS, in het punt I, een Loodlyn \K, die gelyk is aan da Lyn Gü>
4. Trek de Lyn KB, en ftel op het midden derzelve de Loodlyn LC, ontmoetende IK in C.
g. Trek de Lyn XE , en ftel op het midden derzelve de Loodlyn MF, ontmoetende IK in F.
6. Trek



dïr VOORSTELLEN, èn2.'
6. Verlengde Loodlyn KI tot in A en D, zo dat IA gelyk zy aan IC, en 1D gelyk aan IF.
7. Trek de Lynen BC, BA, EF, en ED; dan is ABC de eene Driehoek, en DEF de andere.
Bereiding.
Men trekke in den gelykzydigen Driehoek BIG de Loodlyn GH.
Bewys.
I. BI = BI.
AI = Cf. (Conjlr. 6) en ZLAIB = ACIB zz recht. (Conftr. 3)
Dus AB = BC. CL B. 8 V.) Op de zelfde wyze heeft men EI — EI.
Dl == FI. (Conftr.ï) en L EID = L EIF zz recht. (Conjlr. 3)
Dus ED = EF. (I. B. 8 V.)
Derhalven zyn de Driehoeken ABC en DEF ge» lykbeenig. Bet eerfte dat te bewyzen was.
II. * CL = CL.
BL = KL. en Z.CLB = ACLKzz recht. (Conftr./Q
Dus BC ss CK. Hier by IC s= IC.
Komt IC+BC sr IK. Dus AC+AB + BC zz 2IK. (N*. I.)
Op



Sd ONTBINDINGEN
Op de zelfde wyze heeft men
FM ss FM. EM = KM. en zlFME s= FMK zz recht. (Conjiir. 5}
Dus EF = FK. (I. 8 v.)
Hier by 1F = IF. Komt IF + EF = IK. Dus DF-hDE + EF-aIKi C®°- IO Maar AC+AB + ECr2lK. (N°.II.)
Dus AC-f-AB-r BCzrDF + üE + EF;
Derhalven hebben de Driehoeken ABC en DEF evenveel Omtreks. Het tweede dat te bewyzen was.
III. GÉ3-: Gl+Ï5'+ 2 Hl xlE. (H. B, 0 V.)
Cf GËarFla-r-ÏË2-r-BIxIE. (I. B. 11v.4g.)
Deeze gelyke hoeveelheden gemultipliceerd, eersé door bi, en dan door IE, komt
GÉ °x Blr BÏ 3+ lTx BI + Bi x IE , en GtV x IE—ÏËS + ÏË x BI + BÏ x IE.
Dus GË'xBI-GË'xIE-bï5—ÏË* Of GÊ'xBI-'BÏ'r: gëaxIE-ÏË3.
cf Bix cgë'~bt;-ie x (gs'-ïê'^
Of BIXCÏK*-m'5-IEx(lK-IÏÏ >(Ctojïr. 3)
Dus



dbr VOORSTELLEN, zttt. 3t
Dus BIxCÏK^Bc' + ïc" | - lEx (Ï1T-Ëf\.
+ IF*). (II. B. 7 V. i G.) of BIX (ÏK- CK +1C J - IE x (Ik'-FK*. .
+ if2> (nCIE)
Dus BIxCalCxCK + aïc'; 'zz IE (alFxFK..
+ alF1). (ïï. B. 2 V.) of BIxICxCzCK-j-alQrlE x IFx (sFK+ qIF),
0fBIxICx2ÏK == IEXIF xaïkT " öf BIxIC == lExlF. Dus A ABC = ADEF. (lI,B.6V.iG.)
Derhalven zyn dé Driehoeken ABC en DEF van •gelyken Inhoud, het derde dat te bewyzen was.
Aanmerking. De aanhaalingen wyzen op de Grond, leginfels der Meetkunde van den Hoogleeraar J. H van Swinden; ik heb deeze boven die van Eo" clides verkozen, orn dat 'er in dit Bewys gronditellingeu voorkomen, welke by Euclides met. maar wel in dat Werk, te vinden zyn.
XVI. VOORSTEL,
Üoor'den Opgeever, J. Pauw, en R. Visscher.
*'+y'+x+y = 2538 &xy+2.x+y — 21-73
*' + nxy+y' + 3.x+ y zz 5110
C Cf



3» ONTBINDINGEN
Of x+y\ + $.x+y =. 5no H =
-—— ■ verg.
*+y\ +3.x+y+ H - 5**2%
V
x + y+ i£ z=Z 7i£
Dus x+y 1 70
Maar xy+x+y zzzz 1286, door 'tVoorft
Derhalven xy zzzz 1216
4^ = +36nafgetr.
s+y\ = xa+ zxy + y1 " 49001
*• — 2 xy+ y1 — 36
✓ ~ —•
*~~y >verg. en afgetr.
x+y = 70J
2* = 76, 25 = 64 2-— ——
#=38, y = 32 de begeerde Getallen.
XVII. VOORSTEL.
ZW J. B. Noordink , den Opgeever, R. Visscher, tn j. Paüw.
xy + z = 46
= 62
verg.
3cj + «z+y + z=:io8,
of y+z x *+1 = i°8
y+z



©eb VOORSTELLEN, enz» 33 10R
y+z = .
* +1
»'+* + ro8
x+y+z=
x+i
Maar x+y+z = 23 volgens 'c Voorftel.
** + * + 108
Derbalven =r 2»
*+i
——————— ■ ■ . ■ 1 1 i X*\~ i
**+*+108 = 23 *+23
** — 22* = — 85 lil = 121
X' — 22*+ I! |a = nö
1/— , i_
x—11 — jl 6 Dus * = 17 of 5.
Derhalven y + z ( — ) = 6 of 18,
^ x + i</ '
*y+z = I73/+Z 0f 5y+zr 46, xz+yzzi7z+y of 5s+yró2.
Trekkende nu van ieder deezer Vergelykingea y + z~6 of 18, zullen wy hebben i6y ~ 40 of 43; —,28, en 162 — 56 of 42 — 44. By gevolg j Z a£ of 7, en sZ3i of 11.
C 2 XVIII.



j4 ONTBINDINGEN
XVIII. VOORS TE L. Door J, Pauw, E. Gritters, S. van
der Paauw, en den Opgeever. Stel de Maanden zzxi dan is bet verlies ten ioo 's Jaars zz$ *.
Maand. Ver]. Maand. 12 : 4* :: x : lx' Verlies.
ƒ 638 Verl. * 87 Verl.
ico : i*a :: ƒ725 i f 87 Verlies.
of 300 : *s. :: 725 : 87 ,
U 25 :n 3 ^ Derh. 25*° == 900
V —
5* = 30
x = 6 Maanden dag. Dus 4* = 24 Verlies ten 100in't Jaar.
XIX. VOORSTEL. Dosr den Opgeever, J. Pauw, en S. van der Paauw.
Ct. ƒ * 1 Vat te Amft.
100 ioï Leccagie.
1 86 Ecus.
16 <—— 877 % Banco. 40 — 1 Gl. Banco, joo .. -. 105 Gl. Court. 100 <m— 102 Provifie. 200 •—— 205 Asfmantie &c.
Komt Cr. f 135:17' — circa. By Onkosten 3 18. 8: —
Qtyf 154- $ïA
XX.



der VOORSTELLEN, ES* Z9
XX. VOORSTEL. Ztoor den Opgeever.
Het zou te veel beflag vorderen, om, ftukswyze, van ieder Voordel het onvoldoende te becoogen. Bewust dat des kundigen dit gaerne met my zullen toeftemmen, zo kan ik des te gemaklyker die plaats voor iets anders meer zaaklyks inruimen. Intusfchen moet men het niet daar voor houden, als of 'er in deeze omgekeerde orde niet één eenig Voorftel ware, dat aan de verëischte Vraagen voldeedt, neen! want ik zal daadlyk doen blyken, dat 'er onder allen ten minden één beftaat, dat s met genoegzaame zekerheid, aan het oogmerk beantwoordt.
Om het werk wat te bekorten, noem ik:
Den eerften Term A, het Verfchil B, den laatften Term C, het getal der Termen D, de Som E.
Voorbeeld.
I. Zy gegeeven van eene Arithmetifche Progresfie D, het getal der Termen, zzg, en E, de Som — io4' Vraage naar A, den eerften Term, B, het Verfchil, en C, den laatiien Tem?
■ , aE
Volgens de Grondleer is — — A + C , of D
144X3
■ zz 32. Deeze Uitkomst (hoogst mogelyk)
9
gedeeld door D —1 ; dan is het Quotiënt (daar ip effen opgaande) ~A.
32 3ar:A+C 9—1 zz ü zz 4ZZA
28 = ë7"
C 3 Ne



gö ONTBINDINGEN
Nu is wederöm, aaar de Grondleer, C-—A gedeeld door D —I, ~B.
28 — 4 — 24
= 3 - B.
9 — 1—8
Dus heeft men An4, Brr3, en Cr 28. Dat begeerd werdt.
Want 4+7+10+13+16 +19+22 + 25+ 28zz 144»
Maar in de meeste Voorftellen blyft 'er, na de deeling van D —1 in A + C, een Overblyffel. In dit geval moet men de helft dier Rest voor A, en de Uitkomst voor B houden. B. V.
IL -Gegeeven DH25, en Ënooc ; vraage naar A, B, C?
iooox 2 zz 2000
■ zz 80 zz A+C.
25 *
95-ri -24/80^ 3zB. A+Cn3o 8 Rest A zzzzz 4
2
4 := A C = 76
Derhalven Ar4» B-3. Cir76. Zfctó begeerd Wtrdt.
Deeze beide Regels gaan algemeen door ; dan men moet niet uit het oog verliezen , dat de deeling van D — 1 in A+C aan willekeur van minst tn meest onderhevig is. B. V.
iii. Laat van deeze Progresfie 9, 10, 11, 12 , 13 gegeeven worden Dzj, en LZ55. Vraage als VQoren ?
55X2-HO
ZZ 22. 5 — IZ4/22^ 5-B.
| 2 Rest
*- ■
xzzA.
Dta



Tder VOORSTELLEN, enz. 3-,
Dan hebben we deeze i, 6, li, 16, 21. Daar
in zyn wel drie Waarheden, te weeten Dn5, E —55, A + C—22: maar daar zyn ook drie ontkenningen in; want A is niet Z9> B niet zzi, C niet —13I dus de gevondene Séries is die niet, welke men begeerde.
Neem nu
B = 4, dan is de halve Rest =3 A. = 3 =5.
Welke laatfte deeling d3n juist aan den eisch voldoet.
Men befpeurt dus hier uit, dat, wanneer men dé hoogjle en laagfie deeling, in Heeltallen, d£arftelt, hec dan mee misten kan, om de waare of bedoelde Progresfie volftrekt te vinden. Ik zeg in Heehallen; want verkiest men de deeling in Breuken te bewerken, dan loopt men tot in 't oneindige, waar in het betoogde ook volkomen proef houdt. En dat dit Voorftel elders zyoen invloed heeft, zal uit het volgende Voorftel blykcn.
XXI. VOORSTEL. Door den Opgeever.
Dewyl elke op te tellen Rei het maal des Wortelt van het getal der Perken eens gegeeven Vierkants minder opgeeft, dan de Som der Séries bedraagt, waar uit hec is fainengefteld, zo moet men, om de bepaalde grootte te behouden , die met het maal des 'Wortels van 't vcorgeftelde Vierkant vergtooten.
Dus, voor het eerfte 1/ 49 — 7 x 343 r 2401. . Dit bekend zynde, vloeit alles onmlddelyk uit het betoog der voorige Opgave; want nu is 0 — 49, en En2401, met welke men op de zelfde wyze te werk gaat, om 't overige te vinden.
C 4 2401



ft ONTBINDINGEN
2401x0-480» 49-1=48/98^22:15.
Z98ZA + C. 2 Rest
49 2
irA.
Das heeft men deeze getallen 1.3,5 ö"f« tot C—97. Of neemt men B—1. dan is A—25. Dan heeft men deeze 25, 26, 27 &c. tot Cr 73.
In 't eerfte geval heefc men louter onè'yene , in 't tweede afwisfëlendt getallen.
Voor het tweede Voorftel is
j/ 64r8 x 520 r 4160 x 2 r 8320
; r 130,
64
64—1^63/130^ arrB.
4 Rest
8"
ut 2 —A.
! Derhalven zyn de getallen 2, 4, 6, 8 &c. tot Cr 128, dat uit loutere eventallen beftaat.
XXII. VOORSTEL.
- Door den Opgeever.
Dit Voornel is zeer gemaklyk op te losfen, zon. der behulp der Algebra, indien men flegts acht geeft óp de voigende grondregelen, eigen aan alle dusda«ig ingevulde Tovervierkanten.
Ten eerften,
In alle Tovervierkanten, die met de eenvoudigfte 'Arithmetifche Progresfie 1, 2, 3, 4, 5, 6 &c. worden ingevuld, het zy die beftaan in een evenbaal even, of in een onëvenmaal onëven getal perken , moet , volgens de waare eigenfchappen derzeiven, eene Progresfie te vinden zyn, die even zo veel Termen heeft, als 'er perken in een rei zyn.
De



dbr VOORSTELLEN, enk. 39
De opgang van deeze Progresfie is altyd 1 meer dan dezelve Termen heeft; de eerfte Term is de eenheid, en de laatfte het hoogfte getal van het Tc, vervierkant.
By voorbeeld. Een Tovervierkant van 4 maal 4 perken, met de getallen 1, 2, 3, 4 &c. ingevuld, daar in vindt men eene Progresfie van vier Termen, gelyk het getal der perken van eene rei j de opgang is dan 5, bet eerfte getal is 1, en het laatfte 16; de Som derzeive is 34, gelyk aan de Som van eene rei.
Van 7 maal 7 perken heeft men 7 Termen; de opgang is 8, het eerfte getal 1, en het hoogfte 49, de Som 175 zz de Som van eene rei.
Van 9 maal 9 perken, zo heeft men 9 Termen^ de opgang is 10, het eerfte getal 1, en het hoogfte 81, de Som 369 zz de Som van eene rei.
Ten tweeden.
Alle Tovervierkanten, in gevalle de invulling wel met de eenheid beginc, maar met meer dan ds eenheid opklimt, het zy de invulling gefchiedt met de getallen 1, 3, 5> 7» 9 &c.9 met x, 4, r, jo, 13, 16 &c, met 1, 5, 9, 13, 17, 21 6fff. of zo men verder mogt verkiezen; dan zal 'er wel eene Progresfie in dezelve te vinden zyn, beftaande uk zo veele Termen, als 'er perken in eene "rei zyn; doch de opgang zal in deeze gevallen geregeld veranderen, naar maate het getal der opklimming verhoogt ; en wel in deezer voegen : met zo veele eenheden als de orde van invulling opklimt, zo meenigroaal zal de meenigte der Termen van de Pro. gresfie (~ de meenigte der perken van eene rei) begreepen zyn in den opgang derzelve, min het ge. tal waar mede de invulling opklimt.
Dat is, als de getallen, by invulling, met 2 opklimmen , zal de opgang van de Progresfie min 2 gelyk zyn aan het dubbeld getal der Termen van dezelve.
Met



4&? ONTBINDINGEN
t Met 3 opklimmende, is de opgang min 3 gelyk tan-bet drievoudig getal derTmne» van de Progresfie.
"Met 75 opklimmende , is do opgang min 7 gelyk aan 7 maal de meenigte der Termen van de Progresfie, en zo vervolgens.
Uit deeze geftelde grondregelen volst, dat de or»;osfing van he; voorgeftelde Tovervierkant zeer eenvoudig is, en met geringe moeite kan volbragt worden.
Want by het Voorftel :is bekend, gegeeven, dat bet is ingevuld met de getallen 1, 3, 5, 7, 9, 11 &c. (klimmende dus op met a), èn dus 'er eene Pr-gresfie in te vinden is , welke met 16 opgaat; bovendien dat x' is gelyk de meenigte der perken var eene rei. Derhalven heeft men deeze Vergelykinge , die uit hét Voorftel en de eigenfehappen wordt afgeleid.
zx — 16 — 2 .
of o.x = 14 2 —
, .Komt * 5= 7 Termen deezer Progresfie.
Of ieder rei 7 perken; dus #" — 49, de meenigte der perken van het voorgeftelde Tovervierkant, synde ingevuld als volgt:
j~43 öï , 79 97 1 al 39"
j 41 45 63 81 85 5 23
I 25 29 47 65 83 1 87 7
t t• 1 ■- 1 1 ——
9 27 31 49 67 71 89
91 'i 15 33 51 69 73
75 93 13 *7 35 53 57
59 77 95 1 19 37 55
Bv.



beb VOORSTELLEN, enz. 4i
Byvoegsei..
In alle Tovervierkanten, uit een even petal perken beflaande , en op de eenvoudigfte wyze ingevuld, zal de roeermaalen aangehaalde Progresfie, in de middelfte verticaale rei, zich verhouden, zo als in het bovenftaande Tovervierkant te zien is.
XXIII. VOORSTEL. Door A. B. Strabhe.
Stel de onbekende Rechthoekszyde zzx% de Hypothenufa ~3.
Dan is z'zzx' + zsó, en zzz\/acM-356. Stel y/x* + 256 zz xv.r
Zo hebben wy *=+ 256—** — arx+r*
Of irxzz r* — 356
ar ■
r 128
3 r
Derhalven moet r een even getal, en in 128 deelbaar zyn, om x tot een heel getal te bepaalen.
r 128 Voorts - > —— 2 r
»2r
f > 256
^ r > Ió.
De evene deelers van 128 zyn 2,4, 8, 16, ^2, 64, en 128, waar van alleen de drie Jaatfren voor r genomen kunnen worden. Dus zyn hier drie Zinwoorden.
Nee-



4> ONTBINDINGEN
Neemende rZ3a, 64, 128; dan is xzzia, 30, 63 de eene Rechthoekszyde
f/ac'+ajörrzïrao, 34, 65 de Hypothtnufa.
Anders. Door S. van der Paauw, en den OpgeeverV
Stel de onbekende Rechthoekszyde zzxt de Schuinfche zzy.
Dan is 31*— ** 1:256
of y+xx y — xzz256
De Deelers van 256 zyn 1, 2, 4, 8, 16, 32$ 64, 238, en 256.
Derhalven is door het Voorftel
y+x zz 256, 128, 64, 32 en y—x zz 1, 2,4,8
Dus ay , . zz 257, 130, 68, 40 en 2* = 255, 126, 60, 24
Derhalven zyn 'er drie Antwoorden in heele gè* tallen, als:
y zz 65, 34, of 20; en * — 63, 30, of 12.
XXIV. VOORSTEL* Door den Opgeever,
Stel het vierde getal zzx; dan heeft men
De



bb» VOORSTELLEN, enz. 43,
De eerfte en derde Term met a gemultipliceerd, geeft
^*-|/2-l/2:^7+ï/3~2 :: ^2 + ^2^/2 :
Of 2 — ^2-1/2:7 + 1/32 :: 2 + ^2^/2":**
2+|^2-|/a:i :: 2+^2-1/2:1
" — — vcrm.
2 + 1/2 : 7 + 1/32 *■! 6-^/2 + 4^2-1/2:*» 2 — 1/2 : 2 —j/ 2 :: 1 : 1
2 : 6 + |/2 :: 6-|/2 + 4^2^V2:«*
Dus a.x'-34+24^2^/2+4^4^/2. 2 ■ .
** — 17 + 12 f 2 -1/2+a f ~2|FT
— 174-12 + 2^^2" x ffn—y-z
ri7+^2ol-löpT
Derhalven xzz^ij+y208— 36 pa
XXV. VOORSTEL. Jïg. 4.
Door d«n Opgeever.
I. Befchryf op BC, als middellyn, een halvenCirkel BFC j en trek de radius EF loodrecht od JJC. K
II. Trek , door B en F , de lyn BFG, zo dat FG gelyk zy aan twee maal BF; en trek GC.
III. Trek CF, en bethryf uk C, a's middel, punt, met CF, als radius, een Cirkel, ontmoetende GC in H, en derztiver verlengde in I.
IV.



44 ONTBINDINGEN
IV. Befchryf uit a enC, als middelpunten, mee GH en Gl, als radiën, twee boogen, elkander? fnvdende in d ; trek ad, BD, en CD , zo zal men hebben AD+BDrCD; en AD : BD :: BD : CD..
Bewys.
Laat uit D, als middelpunt, met AD, als tadh ur, een Cirkel befchreeven zyn, ontmoetende AC in K ; BD en CD in O en P, en derzelver verlengde in N en M. Dan is i
cd ~ Gl zz GC + cf ad zz GH ± gc - CF
Dus MC — CD + ad zz aGC en pc ~ CD — ad zz üCF
Derhalven MC»PC = 4GC.CF
Dus KC.AC ~ 4GC.CF (Sw.5B.13V.) Of _kc.bc m aGCCF
of CKB-f BC) BC - 2GC.CF of KB.BC + BC == 2GC.CF
of KB. AB ZZ 2GC.CF-BC' Dus ^bTÖT^ aGC. CF-2CF (SW.5B. 13 v.)
•f (BD + AD) .(BD-AD) r 2 CF (GC - CF) Dus"bd'—AD* na CU. HG (Sw. 2B.5V.) ad r. BG ■
Dus BD*rÏÏcf+ 2 CH.HG afgetr.
"r VS»



der. VOORSTELLEN, KHz. 45
van GC zz HG* + 2 CH. HG -r- Gd *
Komt GC*-BÜ2-cTi\ of CF* Derhalven 51)' — GC*—CF *~ GF\ Daarom
I. BDar (GC4-CF). CGC-CF;,(Sw.2B.5V.) Of BÏÏ = Gl . GH.
Of = CD . AD.
Derhalven AD : BD :: BD : CD. > Het eerjte dat te bewyzen was;
II. ÈT/— GF*
Dus Bü - GF - 2BF = 2CF Daarom Bü = Hl '
AD = GH bygevoegd
Komt A.^ + ÜD-G1-CD.
Het tweede dat te bewyzen was,
XXVI. VOORSTEL.
Door den Opoeever , en S. van der Paadw»
3000x4:: 14400 Voeten afftand.
^5 : 15I Omtrek van 'c voorfte Rad. 7 : 22 :: <
L5i : 1;? van 't achterfte Rad.
Voet.
ï5f ) Omtr. Voet. f oi6Y} maal het voorfte
a S — l — 14400? I Rad. *7? J C832tït maal het achterfte
Rad.
Dus moeten de voorfte Raden 83^ mjai meet «mloopen, dan de achterfte Raden.
D XXVII.



45 ONTBINDINGEN
XXVII. VOORSTEL.
Door den Opgeever , en S. van der Paauw.
Stel den Wortel uic den Pronik zzy,.
Dan is yxz\ ~ 4jy~6i 1/
2J=8
2 — —-—
y = 4
Dus de Pronik — 20.
Stel voorts * voor 't getal Planten. nx—66
■■ 20 20 3
V
4cac — 1320 m: 8000
40* = 93^0
40-
x = 233 Andyvie-Planten.
XXVIII. VOORSTEL.
Door den Opgeever, en S. van der Paauw,
JVfj.and, Winst Msand. 12 10 2^?
Komt ~Tl Winst, dit moet de Koooer geevefl van ioo, en hy heeft maar 81 % , of 6 j$ 9 §, in gebn-ik. Dus ico —- aT| — 81?
Komt if£ Interest van 't gereede Geld.
Ver-



der VOORSTELLEN, enz. a?
v v S ? Verkoop 6 — 9
Inkoop 6-3 j** Jnrer.
7T~~ ••• is 6 % Winst op den Verkoop
<5Jj3§of75^ ——- è^o
Maand. 2^5 ƒ 8 £i2 Maand.
Komt 49| Winst ten 100 in 't Jaar.
XXIX. VOORSTEL.
Door S. van der Paadw, en den Opgeever.
Stel dat het Varken weegt *+4co f&; dan betaalt hy voor hetzelve x Guld. of 20 * Stuivers. Zo nu hetzelve 20 Ég minder weegt, en men dan, zo als de bedoeling zal zyn, de eerfte 25 m betaalt a r Duit per m, de tweede 25 i i o Duiten per fg, enz.; dan zal, indien men n maai 25 heeft, de
laatfte 25 m betaald moeten worden tot i-f«^i.2 of 2n — 1 Duiten 't SS.
Derhalven kosten de eerfte25 m ... 3J Stuiv.
de laatfte 25 . 6*n-j§ Stuiv.
Dus het beloop van alle de fêsn. = 6$n — %\ + ^x
n
- - si **• 2
Uit het bovenftaande volgt nu, dat
25« + 20 = * + 400
Derh. 25»=* + 380. Verder is door de laatfte conditie van 't Voorftel
31B1 — 124= X—20X 20
Da of



48 ONTBINDINGEN
of 25»* — ïoonöojc—3200
2JB*= IÖOaf —giOO
- -^—25 m
25»! —62572» li 4000 x — 77500—X + 380I
of 4000*— 775001:x- + 760 x+144400
Of *a —3240XZZ— 22190O
IÓ20I — 2624400
3£a — 3240»4- l6201 —24025OO
" + ~
x—1620 = _ 1550
Dus x~%i70 of 70, Doch de grootfte Waarde^ka-ï in dit geval geen plaats hebben.
Derhalven * + 400 zz 470 tS , de zwaarte van 't Varken.
Waar door men ligt vindt, dat het kost 2-|?Scuiy.
XXX. VOORSTEL.
Door den Otgeever, en S. van der Paauw.
Stel de Wortelen zz^x, 5*, en 7*. Dan weegt de eerde Os ió#5-r4*fS de tweede...25a;3 de derde... 24i*' + si * ^
6"5i*3 + 7i*Ê8 hzlStuiv.
zyn ió3ix3+ i8|* Stuiv.
Guld. 62:7$ zyn 1247^ Stuiv,;



der VOORSTELLEN, enz. 49
25*'®&3St 75 x*.
S45*J+3i*-8oo 3? a aoSt.-16000 + 7ox+ 490**
add.
— 14752^ + 70*+565 a'
Derh. 163!** +18| xzz—147 5?% + 70 sc+ 565**
Of 4oi^*'J + ji£*= '4?5-è
1605 *J4- 205 x— 59010
5
321 x' + 41 * — 11802
——- -321
3211 x2 + 321 x 41*^3788442 2O5I — 4204:
3211 ar» 4-321 X41 *4-2o-^j* - 3788852^
32i*4-ao£ = 1946^
321 * = 1926
321
* = 6
'Dus it5*a + 4* = 600 % de eerfte Os gewogen. 25x' .... =a 900 ffi de tweede, a 3S1. is 135 (Juld. 24iza + 3ix=; 903 m de derde, is 103 ffia 1ÜI./J03,
XXXI. VOORSTEL. Fig, 5. Door den Opgeever, en S. van der Pa a uw.
Z.DCS 3= ZiABE?
ACDE = z. BAE > Growi. derMeeth 10.ÏIL ZJ3EC = £AKB$
Derh. £DCE gelykvormig ABaE. Ziii. 21. iv.
O3 En



50 ONTBINDINGEN
En dus ClT: AB*:: A DCE: A BAE. Ibid.21.IV.
Dividendo CÖ': AB-CD*:: A DCE.ABAE-ADCE.
a'-b*.c
of P : ~b2 :: c : Vierh.ABDCr .
I*
: Dat te vinden was.
XXXII. VOORSTEL. Door den Opgeever.
I. Oplossing.
Als men de Waarde van volgens de bekende getallen azz6, p — 4, en «ra, berekent, vindt
— 4*4 o —8
men s zz———- j dat is; ir-, en x zz 3
o 00
o
maar — bepaalt geenszins de Waarde van *j want
.0
als o docr o gedeeld moet worden , zal ieder getal naar welgevallen de Quotiënt kunnen zyn; vermits deeze Quotiënt (hoedanig hy ook zyn moge) met den Divijer o vermeenigvuldigd , altoos we* derom den Dividendum Qo) voortbrengen zal. — — 8
Doch — geeft eene onmogelykheid te kennen y o
■want wat zal de Quotiënt moeten zyn van —8 gedeeld door o ? Immers geen getal (hoe genaamd) met o vermeenigvuldigd zal wederom —8 opleveren.
H«er uit blykt derhalven, dat, hoewel de voorgeftelde Mquatie dubbelde tekens drage , * echter maar ééne' Waarde hebben kan: deeze Waarde
wordt



der VOORSTELLEN, emz. 5x wordt te kennen gegeeven door de uitdrukking
o
maar zy wordt 'er geenszins door bepaald; evenwel heeft * eene bepaalde Waarde , en zy wordt gevonden op de volgende wyze:
—p — l/pp + aann — qaa ' x — .
bb-4
Dus (««—4) x—-p-i/pp + aann~4.7a]
of (nn—4) x+pzz — i/pp+aann — 4aöT Qequadrateerd, komt:
(nn-^y xx+n (bb-4) px+ppzzpp + aa (««-4) afgetrokken ppzzpp
(bk-4)"*jr+2 b«-4)pj; = aa (n»-4_) Gedeeld door bb —4, komt fnn-4) ïA?+:pï=:aa. Maar nr 2; dus (bb —4) xxzzo, Derhalven <ipx — aa, aa
of x zz — = 3| = 4*.
II. Oplossing.
Vermits de Teller en Noemer van den Breuk
—p + V pp+aann — S! aa
• »■ beide nul, of «iets, en
bb —4
D 4 dss,



5 a ONTBINDINGEN
dus, als bet ware, in hunne geboorte zyn; maar iets zullen worden , zo dra de Grootheden, uk welken zy beftaan, eeniae veianderirg ondergaan; daarorr moeten die Telhjs en Noemer, m dat oopertM-k van wording , het zeilde zyn als hunne Dffirentiaalen; by gevolg
_r_
— piV (pp + aann — 4aa')
x =
nn—'4
4- 1«
d (—p—(pp+aann — Aaayj
d ^«« —4)
_ t
•g(2a'«dn) (pp + aann — £,aa ) ~* snèn
a V (pp + aann — qaaj Of , om dat «2=2 is,
&*
x ZZ — — 3| — 4i« Het zelfde dat wy 9 p
boven op eene andere wyze gevonden hebben0
XXXIII. VOORSTEL. Fig. 6. Door den Cpgeever.
CONSTRÜCTI E.
7. Stel op één der uitë rden B van den Bafis een Perpendiculair BC, gelyk het vierde-gedeelte van AB»
a, Be



der VOORSTELLEN, ek8,
2. Befchryf uit C, als middelpunt, met CB, als radius, een Cirkel BiiDG. Zo men dan uit eenig punt K , in den Onvrek des Cirkels, twee lynen trekt tot A en B , als AE en BE, zal men altoos hebben: □ == A ABE.
B e w y s.
Laat de Perpendiculair BC, verlengd zynde, den Omtrek des Cu seis ontmoeten in D J en zy ge» trokken EF loodrecht op BD.
Dan is bT== bdx BF ( S w. 5 B. 5 V. 2 G.)
Maar BD = 2BC = £AB.
Dus BK*= iABxBF. Maar A ABE =j ABx BF.
Derhalven BE = A ABE.
Dat te hewyzen -was» 'Gevolg.
De lyn AE , of derzelver verlengde , zal de» Cirkel andermaal fnyden in G.
Dus BG'rr: AABG. En BË*= AA BE.
Derhalven BG - BÊ"- A EBG.
XXXIV. VOORSTEL. Door den Opgeever.
Stel de getallen ~x—y, x, en x+y; dan h hun Som ZZ$x, en de Scm hunner Cuben
D 5 3**



$4' ONTBINDINGEN
3*3 + 6xjJ==3*
Derh. ** zi-jf ~o — s'
Stel den Wortel zzvy— z; dan fs ' f*z'— za — ny2z' zzv' y1 — 2VJZ + S9
— 2jJz" — y' ^3 ~ 2vyz y .
— zyz2 ~ v* y — ivz
of v*y+ yz2 — 2 vz
V»4-2Z» .1 .M.H.-,
2V2
av'z
y' + üV v'z-r-az9 z =r —
V' + 3Z*
" afgetr»
v'z—az3 vy — z~xz =
Va+ 2 2* 2 — ■■
Va — 2 Z*
**+2Z*
Naardien nu het kïeinfte getal ~ s —y gefield is, moet * grooter dan y bepaald worden; der» halven hebben wy



der VOORSTELLEN, E2*z» 55
v2 — zz* > 2VZ
of y'-a»2-2z*>o
3«s — 32* verg.
v2—2vz + zS>32»
V
y—z > zi/3
z = z verg.
v>zx 1 + 1/3 =2|z naby. Neem nu z—ï, vzz3; dan is y~ï|.
— T? ^ de drie getallen.
*+y zz HJ ' "•"
Want hunne Som $x~SIct en de Som hunner Cuben $x3+6xy2zz*ï, naar den eisen.
Of, neem z~i, vzz Al dan is xzz*, yzz£. x-y zz f
x+y 1l-
Want hunne Som ^xzz2} of en de Som hun» ner Cuben 3*3 + öx•'), zz f, naar den eistb. 3
Anders.
Door O. S. E&ngma, en S. van der Paauw.
Stel voor de drie getallen x—yt *, efl waar van de Cabt zyn als volgt:
*» — 3 *a 3/ + 3 xy2 —• i)3 , ss
s'+S^'J+S^' + J8- „
Dag



J5 ONTBINDINGEN
Dan moet de Som deezer getallen gelyk zyn aan de Som hunner Cubi, dat is:
3*-3*3-r-6*y*. Dus i = ** + ay*. Of x2 = 1 — 23)%
en * = fi — ay2.
Op dat nu x rationaal worde, moet ï —2y' een rationaal Quadraat zyn. Men Helle daarom
f/i — ay* = 1 — ny. ' Dan is 1 — zy2 — 1 — any+ n3y3, en —zy3 ZZZZ — 2ny + n*y'.
Door — y gedeeld, komt 2y = zn — nzy.
2»
Dus y =5 ,
«° + 2
Als men nu voor « neemt een getal naar welgevallen , het zy pofitif, negatif, geheel of gebroken , dan zullen 'er voor x—y, x, x+y altoos zulke rationaale getallen uitkomen, dat hunne Som gelyk zy aan de Som hunner Cubi.
Stel, by voorbeeld, 72—2; dan is
2»
y~ - = !» x -i-xyzz- l.
n3+z 3
Dus * —y ZZ -1
* +y = h En de drie getallen zyn als volgt: 1J —•f J + h
Der-



der VOORSTELLEN, EN* s?
Derzelver Cubi
en de Som der getallen gelyk de Som der Cuhi
Doch indien men begeert , dat alle drie de getallen pofitif zullen zyn , dan wordt 'er Dog eene nadere bepaaling omtrent het willekeurig getal » verëischt. Wy hebben boven gevonden
aft
y ,
na + 2
en x — i — ny.
Waar uit volgt: x zz i — - ■ - — ■
b' + 2 ft' + 2
s-2b-b*
x-y ~ ,
b3 + 2 2 + 2b —b'
en x+y zz ————.
b» + 2
Maar x—y moet pofitif zyn; dus
2 —2b— b* >0, ^ Of Tia + 272 < 2, Of b' + 272+l^ 3
of «+i<±i/3.
Dus b i - f/ 3«
Het is niet genoeg dat x — y pofitif zy, x+y moet het ook zyn ; dus
2 + 2b—b* >o, Of S4 — 2»<2,
Of



58 .ONTBINDINGEN;
Of »2_2«+I <*3,
of »-i<±|/3.
Dus n< 1-1/3.
Waar uit blykt, dat x—y pojitif zal worden, ^o dikwyls n begreepen is tusfchen —1+1/3, en
— 1 —1/3; dat x+y pcjiiif zal worden, zo dikwyls n begreepen is tusfchen 1 + 1/3, cn i — j/?* en by gevolg dat s—y en *+y'te gelyk pofitif zullen worden, zo dikwyls» begreepen is tusfchen
— 1 + I/3, en 1—1/3. Als x-yt en *+j beide /jo/jtj/ zyn , is ook derzelver Som <ix, of halveSom x, pofitif; by gevolg wordt 'er geene andere bepaaling vefëiscbt, dan dat n genomen moet worden tusfchen' 1+1/3 en 1—1/3, en dan zullen alle drie de Termen van de gevraagde reeks pojitif worden. Stel, by voorbeeld, «—-ij
sn
-lan is y zz f;
«3 + 2 * = 1 — ny ZZ |,
'~y zz i% *'+y zz %
De drie getallen zyn derhalven .
S 7 II 9» '9* 9*
Derzelver Culi
jH- > ttl* *-Hh
De Som der g-tallen gelyk de Som der Cubi zz I. Stel« = -|; dan is y zz —
* —— TT I
Ea



der VOORSTELLEN, enc
En de drie getallen zyn als volgi'.
l » 7 _I
rn rn ii< Derzelver Cubi
"197 34-h i
rStt > rlïf» ttjt» De Som der getallen gelyk de Som der Cubi —
XXXV. VOORSTEL
Door den Opgeever.
Stel de getallen — x, y en z.
Danis *J + 3i« + 2s—*+j + z.
Laat j—z—•* zyn; dan is x+y+zzuz.
Verders x3~ x3
y3zzz3 — 3Z2' + 3jraz—*s
Z3 = 2»
xs+y3 + z3zz 2z* — 3*-zï + 3x*s Maar + .y3+z3 = 2 z ~ * -+- y -•- z
Derh. 2Z3 — sacz' + ^x'z — 2«
22 -
za — i£*z4- 'è*1 - 1
I6z2 —;4*z+ 24a-3 — f6
Of 1DZ2~24AZ —ió —24** <)X'— . . . pi-2
I6za — 24XZ-H9*1:: 16 — ï^*2 ,/.,
4Z —3*~f 16— 15**
4»3



öo 4OfN T.B IN D I N GEN
4 wH '
*f=r-n —
. 4 .
Derhalven 16— r5xa~D; met y* een Quadr.
"/ermeenigvuldigd, komt
lóv3 —15 v3 #a ~ Stel den Wortel ~u*— 4V; dan is i.'i 'v* — i5vJ*2 — a1*,-8ava+ 16V
Of' — 15V x'zz »* *2- 8wv* * . , —,
—15 v**~ a*#— 8«v Derh. t*2x-+ isv2ar zzSuv 8 at»
x — —1—— 11 «s 4- ij y2
•■ — «
8a3 v
4u»v4-6ovJ
4V =
14*4-15 v*
11 —>—afgetr.
4«2f — 00 v1
Dus f i6va-i5 va**zrax—4 v ~ —
us 4-lsy'
V
, » 4 u2 — tav'
y 16—15 x* . . . . — —— •



de* VOORSTELLEN, enz. 61
, 4»* — 60 v*
04 «v 3*... - —•
4 4" 24« V-óov»
3*4-1/16-15*' — ——
ü2 +15 v'
4 ,, „ ■ ^ —— i . L
3*4-f/16—15a;1 «'4-6MV—15*1
a — » -. « — .
4 u'-r-isv2
Dewyl nu jzra — * gefteld is, zo is z>#.
u'4-f'wf —15V 8uv
Derhalven >
»'4-i5va u* + i$v*
of U- + 6UV— 15> 8mv
— S«y-H l6tü zz-8bv4- 16 v*
ö2 —auy 4- v1 > ïGv1
u — v > 4 v
Dienv, u > 5V.
Neem nu vzzi, uzzó; dan is
* — ï75 ^ de drie getallen.
Want *3'+j34-2sr:A-+y + a;r: ff naar den eisch. Of, riecrn vzzï} mi: 15; dan is
E z =3



62 ONTBINDINGEN
z zz fl
* — l f» de drie getallen; -» = U
Anders. Door O. S. Bangma.
Stel voor de drie getallen i, y, en z. Dan moet x+y+zzzx3+y3 + z3 zynj of j + z — (y3 + z3.) r:*»—*.
Het eerfte lid van deeze Equatie beftaat uit deeze twee faclores:
y + z, en i— (ja—yz+z2); by gevolg
(y+z) (i+jz—3ia —zJ) * (x2-i>
Stel y + z ; dan is x' — izzp (i+yz—yi—z1')9
zynde p eene onbepaalde grootheid , welke hier alleen maar aangenomen wordt , om nog e*ne Equatie te erlangen; en naderhand uit de wyze, op welke zy met andere grootheden verbonden is, naauwer bepaald moet worden. Hier uit volgt derhalven:
y + z P
y3 + 2yz+z9r en x' = ,
r
y* -f- ayz+z" —p* **—I == .
r
Maar xz — i — p+pyz — p y*—pza
Du»



de» VOORSTELLEN, enï: g$
Dus ■ ■■ ■— — p+pyz—py* —pz*.
Of y'+ayz+z'—p'—ps-hpsyz—p*y'-p3z*.
Of, na verfchikking der Termen, volgens de maa. ten van y,
U+P3) T+ (2z-pH) yzzp3+p*~ O +p3)z\ Door i+p3 gedeeld, komt:
,2Z-/»»S^ P3 + P*-(1+P»)Z\
y1 + ( ) y - ——— .
v i+p3 s i+p*
Als men ter wederzyden I . J byvoegc,
2 + aps J
de grootheden , die tegen elkander opgaan, weglaat, en uit ieder lid den wortel trekt, vindt menj
+ C2-*>3)Z _ + P
a+ap3 a zps *
l/\Tp^W+Y+^f^lprr+T3T?.
Nu komt het 'er maar op aan , om p en z za* danig te bepaalen, dat
v 4 (^F+T+o^IfT 4+F3
een rationaal Quadraat worit: maar vermits het zeer waarfcbynlyk is, dat zulks op eene algemeene wyze niet gefchieden kan, of ten mir.sten zeer bezwaarlyk zal zyn te verrichten , willen we liever eenen byzoiideren weg inflaan , fchoon onze Oplosffng daar dóór een gedeelte van haare algemeenheid verïiest. «—- Deeze handel wyze beftaat hier in, dat men eerst hec eene lid 4 tp*+p^+p + iy rationaal maake, en dan z zodanig bepaale , dat de geheele Formule rationaal wordt, in alle gevallen E 2 waar



©4 ONTBINDINGEN
waar in dit eerfte lid rationaal is. —— Men on»
derzoeke ten dien einde abereerst, of de grootheid: 4(P* + P* +P+ O» of u'ever P4+P* -hp+ I , ook rationaale faclores hebbe; men ziet ïerftoDd, dat de Som der beide eerfte leden (p4+p3_) — p* (p+i ) deelbaar is door p-\- r, en dus dat pl + p* -t-p+r overeenkomt met (p-!-i) (p'-f-i ); maar/>»+i beftaa* wederom uit deeze twee faüores p-M, en ps—p-!- i: by gevolg is
♦(/>4-t-p3+P+0 =4(P+0' (p'-p-hi).
INu blyft 'er alleen maar over, om p*—p + i rationaal te maaken. Men ftelle ten dien einde
VP1— P+f = n—p; dan is P*—P"+i ~ n' — znp + p2^ of — p+i sa «'—2«p, of anp—p sa nx—i 9
n' — i
of /> = *
2b—i
Men mag voor n een getal neërnen wat men wil, 'er zal voor p zulk een getal uitkomen, dar4 CP4+P3 +P+ O een rationaal Quadraat wordt % welks Wortel zyn zal 2 fp-i-i) («""?}•
'Stellen we , kortheidshalve, 2(P+i)(b—/>> of, wat op het zelfde uitkomt: 4 CP + I>S (b—P/ =4 <"P4+P3+p + 0 - ƒ ; en3/> u+Psi z:gj dan hebben we:
(2-p3)z p _
3+ — - I fff~gz\
2+2/>3 2 + 2p3
(pS-2) Z±/> Y~f"&^
en y ~ "■
Om



der VOORSTELLEN, enz» 05
Om nu z zodanig te vinden, dat ff—gz' een rationaal Quadraat wordt, behoeft men maar te fielten: '
Vff—g**~f—mz\ dan is ff-gz* -#—2m/z + m'z\ of — gz'zz— amfz + m-z', imf
of z rr— .
tb1 +g
Neemt men nu ra en n naar welgevallen , dan hesft uien:
n1 — 1
t ' P — >
272— I
ƒ = 2 ifi+l) C«—p),
g = 3P C4+P3),
27»/ Z = ,
31 = ,
2+2/>»
y + Z P
By gevolg zyn alle drie de getallen *, y, enz rationaal.
Neem tj —2, en mzz 1, dan vindt men
P = 1. ƒ = 4, £ — !5»
Z ~ 2)
E 3 y =r



C6 ©NT&INDINGEN
"2 — ï 1 — 7
4 8 Dus y = |, of — 1, en * = i£, of —
By gevolg de gezochte getallen
Derzelver Cubi
145 27 8 64» 54» 54»
En de Som der getallen gelyk de Som der Caèt 'zs|.
XXXVI. VOORSTEL. Door den Opgeever, en S. van der Paauw,
Stel de ingekochte Ponden —100 x
50 2.x Stuiv.
verm. acoxx Stuiv.
20
10** Gl. Inkoop.' f8 Stuiv. ig 1 — f Verk. — 100*?
Komt 62^ ar3 Stuiv.
20
31 *s Gl. Verkoop.
40
looGl. —- 2|x3Gl. inter, — 3!** Gl.?
Komt 25|F x6 Gl. Inter, 10 Jaaren
verm.
Komt i§§4*6 Gl. Inter.
ea "ï x* Gl. Capitaal.
Dus iól4*6+ag*s Gl. Capit. en Inter.
Voorts



db» VOORSTELLEN, enz. 67
Voorts is «Je 2ofte magts Wortel uit het getal in 't Voorftel gegeeven
105
. 3
2IO
en jfx3 het SJ van den Verkoop, nog 1^*3 het | van den Ink. maal der ^ "~ " r —— Ponden.
i!!if ül*3 ~ *i* *3+210 0ntv'na IOJaarei«.
Tal**6+ 'l!*s === 2IO
' ^ IO24
2J*6+ I76O *3 r= 215O40
1761" = 30976
25ar6+i76o*3+i76j!l—246016
8/ ■
5*34-176 ZZZZ 496
5
3 *s :== «4 1/ -—
Du? ioo* zzzz 400 ©gekocht, a 2X z— 8 Stuiv. en f ** ZZZZ\ 10 Stuiv. Verk. het
XXXVII. VOORSTEL.
Loerden Opgeever, en S. van der Paauw.
Het Vierendeel-Jaars 13 Weeken
h 6 Werkdagen.
78 Dagen.
E 4 Dag



-68 ONTBINDINGEN
Dag Voorft. Dagen
i 20 78 ?
f" —' * ——
Kt. 1560 Voorftellen opgelost, van 5000
Resten 3440 Voorftellen 20———
172 Dagen hier toe noodig.
16 DageD a 20 Voorft $20 Voorft. opgelost.
4 Dagen a 5 Voorft. .... 20 Voorft. vergeeten,
20 Dagen ..... 300 Voorft. gevorderd.
Voorft. Dagen Voorft. coo — 20 — 3440?
Kt. 229! Dagen heeft hy 'er over toegebragt. 172 Dagen waren 'er flegts noodig.
Dus 57| Dagen heeft hy langer gewerkt.
XXXVIII. VOORSTEL, Hg. 7. Door den Opgeever.
7 Diam. — 22 Cour { ^ CD?
Komt ii(3f Duimen Omtr. het grootfte, en 22 Duimen Onj.tr. het kleinfte.
|AB = AE ~ 18^ iCD-,AG= si
—— ■ afgetr.
GE =r 15 ! —V
GE*



der VOORSTELLEN, enz. 09
GË*= 3257 . a Safgetr.
EF = 625^
GFJ= 400
1/
GF = 20 - AC.
GE : Rad. :: GF : Ta«£. Z.E. 15 — 100000 — 20
Komt 133333 TanS' van 53° 8' L GEF = Z.CFK; cf boog AI~ ooog CK.
l8o° o' de halve «Cirkel HAL 530 8' de boog AI. 1 afgetr. Rest 126° 52' de boog HA.
3600 — n6f Duimen — 126" 52'?
Komt byna 41 Duimen de boog HA.
36o» — 22 Duimen — 530 8' CK?
Komt meer of min 3^ Duimen de boog CK.
20 = CA
41 zzzz AH
— verg.
64I Duimen HAK
- —— 3
128$ Duimen de geheele Snoer.
XXXIX. VOORSTEL. Door S. van der Paauw.
Gegeeven x2 + xy + y*—a, en *4-f*1ja +y4"~b,
E 5 De



fo ONTBINDINGEN
De eerfte Vergelyking gedeeld in de tweede, b
komt xz—xy-r-y* zz —.
a
Dit van de eerfte Vergelykinge afgetrokken, a*—b
komt nxy — ——.
a
3——
__<•* — *
aa
Dit vergaard by, en drievoudig afgetrokken van de eerfte Vergelykinge, komt
** + üxy+ya — ■ 2a
3*—a*
en ** — a*y+3i* — .
aa
Uit deeze beide Vergelykingen den VierkantsWortel getrokken,
3aa — b
komt x+y- zz Y —
sa
3&—a* j
cn ar—y zz Y
2a
1 verg. en afgetr.
3a' — b zb—a*
%xzz f + V ,
aa 2a
ay =s



der VOORSTELLEN, emï. yi
3a2—b 36 — 0*
2*j ZZ ff— V— •
aa 2a
Anders; Door den Opgeever*
x* + xy+y* zza
of x' + y*zza—xy
1 1 ^
** + 2*sja+:y4—a' —2ajry+*2;ya
of ** + araja + y4 na' — 2a*y Maar x*+ x*y*+y* zz b door het Voorftel.
Derhalven a2 — aaxyzzb
of 2 a*3i = aa —ö
Rfl ■
a1—*
2a
x* + xy+y* = a
• —1 verg/
3aa-&,
** + 2*?y+j> =
aa 3*-a*
en a4—2*y+y!l = •
aa
Het overige komt in alles met de eerfte Ontbindinge overeen.
XL.



?f ONTBINDINGEN
XL. VOORSTEL. Fit, 8. Door den Opgeever.
CoNSTRUCTI e.
I. Verleng de gegeevene Lynen AB, CD, EF, totdat ze elkandenn G en H ontmoeten, __sC(Neem Gpr AB, Üj-EF, Gn enllr ieder
3. Trek mp parallel Gn, en maak dezelve ~Gfi\ ook st parallel en — Hr, en voegde punten pjTnh t, r te 1'amtn. '
4. Trek' de Dkgonaalen G p cn H f, en verleng dezelve, tot dat ze in P famenkomen j dan is het begeerde verricht.
Bewys.
Laat PA, PB, Pm, Pa, PC, PD, Pr, PE, Vs,
PF getrokken wonen. Dewyl dan de Dïiehoëken GPm, Gl'm den ze'fden Bafis GP , en (om dat Gmpn ten Parallelogram is) gelyke hoogte hebben, 20 hebben wy
AGPn — AGPw. Maar A^Pn = ACPD, en AGPw = A ATB.
Derh. A CPD =: A APB. Conftr. en Meeth Op de zeilde wyze blykt, dat A CPDr AFPü is.
Dat te hewyzen was»
XLI. VOORSTEL. Fig. 9.
Door den Cpgeever.
Constructie.
k. Zoek een vierde. evenredige tot den afftand
(MN )



dbr VOORSTELLEN, BNz. j*>
(mn) der middenpunten van de Cirkels, de Radius ( pm ) van één der C irkels, en de gegeevene Lyn Aö. (Gronden der Meeik t V. >
a. Vlet deeze gevoncene Lyn (SR ), ah Radius, befchryf uit het• 1'cypunt ( S ) der gegeiven Crrkeis een Cirkel (1>KC), fnydenae den Cirkel, wiens; Radius men tot her vinden der vierde-evenredige hteft gebruikt, in R.
3. Trek PK. Leeze is.de begeerde Lyn.
Dat te doen was.
Bereiding. Trek de Lynen ms, np,ns,ps, nq, en qs. B e w v s.
L SRP ZZ jASMP ( Grond, der Meetk. 4. III.}
Zsï<^ ="Znmp i4,1.
L SQjlzzL spq4- L psq . . . . 9. L i^^Qfï^PNQ . . . 4. HL TZ£np"_."~7~r . . 3 Ax. I. B,
Imnf ..... 14. I.
Derh. AQSR = AMPN .... iGev. 10.L
Dus aqsr gelykvormig amPN ii. IV*
Daarom nm : mp :: qr : sr,
en nm i mp :: AB : SR. Qmjlr.
By gevolg QK = AB. 3 Ax. IV. B.
Dat te bewyzen was.
KUL



74 'ONTBINDINGEN
XLII. VOORSTEL. Door den Opoeever,
Laat de Progresfie a, bt c, d (fc. onder deezë gedaante gefield worden:
a, ab, ab1, ab* .... aft03""1, en derzelver Som =«.
Dan is szza+ab+ab' + ab* + ab03"1
h
bszzab + ab* + ab3 ab 00
—— 1111 afgetr.
s—bs = a — ab°°
Vermits b een breuk is, zal a&°° onëindig klein zyn, en daarom kunnen verwaarloosd worden; daia heeft men
s — bs ~ a
l — b ,
a o1 szi — ZZ (P)
i-a a—ab
Nu kan de reeks a+zb+^c+^d öV. onder deez« gedaante gefield worden
o*
a—b b*
b+c+d+e+f&c. zz .
b-c c'
c+d+e+f &c. zz .
c-d
d-e
, - &fc<
Maar



der VOORSTELLEN, enz. 75
a' b* c* d*
. Maar de Sommen , —, , &c,
a-b b-c C"d d-e
zullen ook eene Geometrifche Progresfie uitmaaken; want
a : b :: b : c c : d :: d : e &c.
Dus a* : *• :: b' : C :: c2: d* : :dJ: e2 6fc. en ook a—b'.b—c v. b — c::c — d:. c—d:d—e 6fc.
—— • divid.
a" b' b* c' ca d'
a—b b—c b — c c—d c-d d—e n
Derhalven zal volgen9 Formule (P) oa ia c» da
! + + + — -H = ....
a—b b — c c—d d—e
C^~0
a' b* l~Zb~ b-c b*
Stellende — in plaats van c, zal men hebben a
(o'b — zab^ + b3) a3 o3
(a'b-aab^ + u*) ( a—by (a — b)*
geerde Som,
Geometrische Constructie. Fig. 10.
Trek eene onbepsalde. rechte Lyn BN ; neem io dezelve BA ~ a. Uit A trek eenen cnbepaalden
Per-



f6 ONTBINDINGEN
Perpendiculair AZ; neem in denzei ven AC ~ a. Uk C 'rek ÖDer# perpend. AZ ; dan trek uit B dóór D de t?yn BZ, ontmoetende AZ in Z; alsdan zal AZ de Som der Progresfie a — b, c — d &c. zyn: dan neem in AN de Lyn AK~AZ ; uit K trek KLziCZ perpend. AN; dan trek uit Z door L dé Lyn ZN» zo zal ANzza-tub-'r 3e-!- fefc, zyn, Dat te doen was. Bereiding, Maak CE~CO, en trek EF perpend. AZ ; ins* gelyks neem KM~KL, en trek MP perpend. AN. Bewys.
Om de gelykvormigheid der Driehoeken zal men hebben »
ZA : AB::ZC : CD. Daarom ZA-AB : AB :: ZC —CD i CD.
ZC* : AB :: ""55 ; CD,
Ook is ZC : CD :: ZG : EF.
Derhalven AB : CD :: CD : EF. Dat is a : b :: b : c.
Indien men nu op de zelve manier meer Pérpen. diculairen trekt , dan zal telkens de volgende eeri derde-evenredige tot de twee voorgaanden zyn» maar de Som van alle die Perpendiculairen is de Lyn AZ. Derhalven AZ~a+b+c+d &c.
Verder zal MP een derde evenreuige tot AZ en KL zyn, en dan heeft men
AK '= AZ = AC + CE + &c. KM&c-CZz= CE + ö»c..
AN = . . . AC + aCE + &c.
Of AN = . • • a ■+■ 2b + 'fë'c. Dat te bewyzen was,
XLlïï,



ber VOORSTELLEN, enz* 77
XLIII. VOORSTEL. Fig. Iu Door den Opgeever.
Constructie. Trek eene rechte Lyn ABra; uit B trek BC perpend. AR; befchryf dan ook uit R, als middenpunt, rret eene Lyn als Radius, een Cirkel: uit A trek aan denzelven een Tangens A B , en ver'eng dezelve , tot dat zy den Perpendiculair I C ommoece; dan trek CD perpend. op AC, en verleng A3, tot dat ze CD ontmoete; dan zal AD de zyde van 't begeerde Quadraat zyn.
Dat te deen was.
Bereiding.
Trek de Perpendiculairs BE. BF, FG, FH. HK. KL, fcfc.
Bewys.
AB: F.B::CF:FG
CF" : BÉT:: BH : F% :: FK : HL &g. a : b :: b : c :: e : d :: d : e &c. Verders is
AD == AC + CD*
CB+BD*
BF '+FD*
FH+ HD*
HK2+KD*
KL+LD*
Êfc.
F Even



$ ONTBINDINGEN
Even zo is
AC3= ABVCF3+ BB'+ FK+ ÏÏL*&c,
CB'— CF*+BÏÏ +PK
W= MÏ+m'+BL* &c.
ffih FKa+ HL* c/c
HKJ= HL^c. """"" -—->—■ . —-=-~~---~— add»
AD*- A BS+ aCF + SBH*+ 4FK + jfdTgV. Qf AD -sraHsi* -{- 3 c2 -h 4 a'1 -!- 5e2 £?c.
Lat te hewyzen was,
XLIV. VOORSTEL. % i2( Dear O. S. Bang ma.
Dit Voorftel lost zich gemaklyk dus op. Trek gene vsrtkoale Lyn BG, en neem op dezelve BE zo groot als gegeeven is, en EC naar welgevallen. Zoek eene Lyn DA toe welke EC eene gegeevene rede hebbe , en voeg BD te famen met DA. Befchryf pjr B als middelpunt, met BA als Radius, een Cirkelboog; welke CA, loodrecht op BC, in A fnydt; dan is BCA den begeerden Driehoeks zoals uit de Cenjlrutlie van zelve klaar is.
Op deeze wyze kan men zo veele punten A vinden als men wil , en even zo veel Driehoeken befchryven , die alle aan de Vraag zullen voldoen. Doch men zou ook dikwyls in ongerymdheid kunnen vervalen, door BA kleiner te vinden dan BC, terwyl de oplosffng van hei Voordel altoos mogelyk is. Wy willen derhalven liever de natuur van de KromBe onderzoeken , welke door ajle punten A moet
g«3j, '
fitej



der VOORSTELLEN, ènz.
Stel ten dien einde BF = a, BD = &, BC = ss CA-y, en EC:DA :: n : «i. DanisEC~*-a,
- m m DA = — O-a), en BA = — (*-a) ; by
n n gevolg heeft men voor de Equatie van de Kromme, waar van BG de Lyn der Abfcisfen is, en alle rechtftandige Lynen CA Ordinaaten zyn ,
n2 — m* amQam-bn)
(A) . . . . r+ • *2 + . *
n1 n2
(am-bii)*
*• ~o. Welke aantoont dat BG de As
van de Kromme is ; om dat y even zo veel pofitive als negative waardyën heeft, die gelyk aan elkander zyn , ieder aan ieder.
Om de punten F en G te vinden , in welken de Kromme den As fnyden zal, behoeft men flegts in de Equatie (A) yzzo te Rellen, waar door metï heeft :
im(am-bn) (am-bn~)*
X* -j x - — o«
M2—ma — m*
En by gevolg:
m{am—bn) j^fi(am-bn)
n2—m2 n2—m2
m(bn-am) — n(bn — am)
Of ë — i .i .
n2-- m*
^ bn — am atn — bn
n~m m — n
Fa Rfi



80 ONTBINDINGEN bn—am am — bn
n + m m + n
Welke beide waardyën van * de afftsnden van B tot F, en vaD B tot G e kennen geeven, en waar door derhalven de toppen F en G gevonden kunnen worden. Laaten we neemen:
am—bn am — bn
BF as , en BG as .
m+n m—n
Als men de beide waardyën van * van elkander trekt , heeft men den afftand der toppen F ea G, ol de lengte van den As FG; by gevolg 2a(in-at»)
FG =
n' — m1
De halve-Som der beide waardyën van * geeft den afftand van B tot het middelpunt M der Kromme, by gevolg:
m(bn — a r»)
BM as — -.
»a — m*
Laat z de Abfcisfe zyn, welke zyn oorfprong
am — bn
heeft in den top F; dan is xzzz H ; en
m + n
fubftitueert men deeze waarde van * in de Equatie
(A) , dan heeft men:
nB —m* a(am— bn)
(B) . . . . y>+ za+ zro,
n* n
Of ( — z-z> ).
n' V bj— m1 '
Het-



der. VOORSTELLEN, ewz„ 8i
Hetwelk de Equatie is van alle de Këgelfriederi, •n wel:
van de Ellips wanneer «>jb.
—— Hyperbool w<m.
— Parabool — — n tut
ïn die laatfte geval is
J' — 2 (b — a) z\
Om den Ordinaat MI te hebben, welke door het middelpunt gaat, ftelle men in de Equatie (8) dé Abfcisfe gelyk aan den halven-As FM, of z=s n(bn — am)
—; dan heeft men:
n**.m*
(bn—am)*
3* =
«' — m*
bn—am én y = ——4
Welke men ook hadt kunnen vinden, door in dg m (bn—att)
Equatie (A) s— BM — te ftéllen«
«* —wt'
Maar de dubbelde Ordinaat , welke door hél middelpunt gaat, is den toegevoegden As Hl; dós
a(bn — am )
Hl == .
m /
\/ni-~ma
Om de brandpunten te hebben, neeme men den Wortel uit bef ve fchil der Quadraaten van de 5eiH> ds halve-Asfeo FM en Ml, en men cal vinden F 3 « * t



Ba ONTBINDINGEN m( bn — am)
" » voor den afftand van ieder brand*
n' — m1
, .,, mCbn—am) punt tot bet middelpunt. Maar BM —
n' — ma
by gevolg heeft de Kegelfneede haar eene brandpUr>C 1» » en t0P des gevraagden Driehoeks.
De Parameter p is derde-evenredig tot de beide Asfen FG en Hl, derhalven
«
Welke men ook gevonden zou hebben, door in de Equatie (A) x — 0 , 0f in de ^«arïf (BJ
Cam — ) te fteüen.
heeftamene[ derhalven a' *» "'eD }» «e8«*en zyn,
am — bn am — bn BF = ; BG = i _.
m(b.n — am) z(bft-am) BM ~ ; ^ — __ ^
—»ïa „
n (bn — am) FM ~ MG — .
«2 —m2
bn — am HM r MI r — .
f/»2 —jm2
Waar door men de Kegelfneede befchryven kan welke een Ellips, Parabool, of Hyperbool zyn zal|
naar



esa VOORSTELLEN, ehz, 83
naar dat « grooter, gelyk of kleiner is dan «i. Uit ieder punt A van de Kegelfneede den Voerftraal AB , en den Ordinaat AC getrokken hebbende, zal altoos de Driehoek BCA aan het gevraagde voldoen.
Een voorbeeld zal misfchien de zaak wat nader ophelderen. Laat £~2«zyu, en »:»»:: 3 : 2; of an~$m. Dan vindt men BF — —fa, Bü—4a,
enMlrMHz — z^MF-MB1. Daarom: 1/5
Neem (Fig. T3) in den As een punt F boven B, op eenen afftand van. B gelyk fa; en een punt G beneden B, op eenen afftand van B gelyk 40; trek door het midden vaa FG de loodrechte HM1, en
maak MH - MI - V MF*— Mö\ Befchryf voor FG en Hl, als Asfen, eene Ellips FlAGtf. Trek een Voerftraal BA, en den overëenkomftigen Ordinaat CA; dan is BCA den begeerden Driehoek.
XLV. VOORSTEL. Fig. 14, Door O, S. Bangma.
I. Befchryf op de eene hoeklyn CD een Cirkelftuk CFD, dat een hoek CFD kan bevatten, gelyk aan den gegeevenen tophoek des Driehoeks.
II. Verleng CD rot in E , zo dat DG gelyk zy aan het derde-gedeelte van CD; en befchryf uit É als middelpunt, met een Radius EF, gelyk tweederde deelen van de andere hoeklyn AB, een Cirkelboog, doorlhydende het Cirkelftuk in F.
ill. Trek uit F door D de rechte Lyn FDG, en maak DG gelyk DF; trek CF en CG; dan is CGF den begeerden Driehoek.
Bewys.
Om dit te bewyzen moet 'er alleen maar worden aangeroond, dat, indien men trekt GH toe het midden van CF, GH gelyk AB zal zyn.
F 4 Laat



84 ONTBINDINGEN
Laat getrokken zyn uit F tot I, het punt alwaar de Lynen CD en GH elkander fnyden , de rechte *i; dan heefc men vooreerst:
ACIH = AFIH«\ rx _ „ „ en AGID±r AFId} (l b* 2? p°
Maar A CDF = A GHF = \ ACGFj hier afgetr. HFDI =—r HFDI
blyft a CIH = AGID * Dus a FIH sa a FID zz a GID ë A CIH.
Maar a FIH -+- a FID 4-AGIDr: A HFG.
3 —
Dus A FIH 5== 'j a HFG.
Dus Hl = | HG (6 B. 4 g. N°. a.) Op de zelfde wyze
A FID 4- A FIH 4- A CIH - A CDF
3— — ! "
Dus A FID —: f A CDF. Dus Dl zzzz | DC.
Maar DE r= | DC.
Derhalven Dl =3 DE DG ~" DF AIDG — AEDF
Dus 1G 3= FE zz | AB.
Hl == § HG bygevoegd*
Komt HG = | HG+f AB Dus f HG = f AB, en HG zz AB.
Dat te bewjten wat.
Gk<



, bsr VOORSTELLEN, ehs. 2§ Gevolg.
Indien men trekt uit E door bet middelpunt des Cirkels CFü de rechte ELK, welke het Cirkelftuk ontmoet in L en K ; dan is het klaar, dat, indien Ei» (= f AB ) kleiner ware geweest dan LD (— |CUJi doch grooter dan EL; of grooter dan EC (nf CD), maar kleiner dan EK , het boogje uit E belchteeven het Cirkelftuk CKFLD tweemaalen zoude hebben ontmoet; en by gevolg, dat twee vtrlchi lende Driehoeken aan het gevraagde zouden hebben kunnen voldoen. (Zie Sieenstra III. B. 4 Pr.)
XL VI. VOORSTE L. Fig. 15. Door O. S. Bangm a.
I. Verleng CD, de Lyn die den tophoek in twee gelyke deelen fnydt, tot in E, zo dat het verlengde iluk DE vierde-evenredig zy aan CU, en de beide zyden van den gegeevenen Rechthoek uit de ftukken van den Bafis.
II. Befchryf op CE als middellyn een halven Cirkel, en ftel DF loodrecht op CE , ontmoetende den omtrek des halven-Cirkels in F; trek CF en EF.
III. Neem op FE een ftuk PG, gelyk de helft van AB, het verfchil der beide opttaande zyden, en befchryf uit G als middelpunt, met GF als Radius, een Cirkel HFI.
IV. Trek uit C door G de rechte CGI, ontmoetende den omirek des Cirkels HFI in H en I , en neem op CF twee Hukken CKrCH, en CLziCI; trek KM en LIS' loodrecht tot CE.
V. Trek eene onbepaalde rechte Lyn PQ , en neem daar op PO "KM, en CQ — LN ; bulchryf uit P als middelpunt, met CK als Radius, en uit Q als middelpunt, met CL als Radius, twee Cirktlboogen , elkander frydende in R; trek PR en QK; dan is PQR den be.-euiden Driehoek.
F 5 Be-



86* ONTBINDINGEN Bewys.
Om dit te bewyzen moeten we aantoonen, dat Lebben rÖ ^ R°' he£ VdS€nde P,aats 4 RQ — JRP ~ AB
ZiPRO = AQRO PCxOQ aa CDx DE RO = CD. 1°. RQ = CL RP = CK
Düs RQ^~RP=KL - Hlr QFGrAB. a°. CK : CL ;: KM ; LN. Of RP : RQ :: "PO : ÜQ Dus Z.PRO = Z.QRO. (IV. B. o)
3°» CK : KM :: CL : LN CK : KM :: CK : KM
Dus CK% KM°:: CK.CL : KM.LN Maar CK*: KM*:: CF*: FD* Derhalven CF°: FD*:: CK.CL : KM.LN.
Maar CF rrCH.CI~CK.CL (V.B.13V.2.) Daaröm FD*— KM.LN zz PO.OQ
Maar FÏÏ^ CD. DE. By gevolg PO.OQ = CD.DE.
XL VIL



de» VOORSTELLEN, enz. 8?
SLVII. VOORSTEL. Fig. 16. Door A. B. Strabde.
Befchryf op de gegeevene zyde CB, als Hypothg' nufa, een rechthoekigen gelykbeenigen Driehoek CDB, als zynde van alle rechthoekige Driehoeken , op die zyde befchreeven, de mogelyk grootfte
fJVlEETK- Xl. 6.)
Verleng één der Beenen BD tot A , zulks dat AD : Bü :: 3 : 5 zy, en voeg de punten A en C te famen; dan isACBden begeerden Driehoek.
Want, naardien dereden der deelen van den Bafis gegeeven is, zal desgelyks de reden der twee Driehoeken CDB, CAB gegeeven zyn; en dewyl de Driehoek CDB de mogelyk grootfte is, Zo volgt, dat ook de Driehoek CAB de mogelyk grootfte is.
Berekening.
CB3=:"CD'+ BD*. Maar CB*—: 25Ó
Derh. CD -f- BD = 356 3 n
CD'= BDa= 128
v
CD = BD =3 8j/a CDxBD
By gevolg ACDB r 64.
'rk* 2 -1 Voorts BD : AD ;: ACDB : ACAD, en BD : AD :: 5 : 3
Derh. ACD3 : A.CAD :: 5 : 3 Cotnponendo ACAtf : ACDB :: 8 : 5
of



88 ONTBINDINGEN
of ACAB : 04 ï: 8 : s By gevolg 5 A CAB =5ia
A CAB —1 ioa,| den begeerden Inh»
Anders. Door O. S. Ban oma.
I aat ABC ( Fig. 16.) den voorgeleiden Driehoek zyn, waar van AB den Bafis is, BD het grootfte
ü™3," deDze'ven» e*» AD het kleinfte ftuk; dan is CB de grootfte zyde — ió.
Stel BD-5*, en AD-3*; dan is DC1- QÏ - Bd\steenstra I. B. 32.)
Dat is DC — 256 — 25 x2.
En DC — |/2s6~2j Met i^B ZZ 4* gemultipliceerd,
komt £AB xDC-4* t/256 — 25*».
By gevolg de Inhoud van den Driehoek ABC =
4 x 1/ 256 - 25 x1 ; maar deeze Inhoud moet zo groot zyn als mogeiyk is. Stel denzelven zzg. dan heeft men p
4*t/ 256- 23*2— g
16 256 x3 — 16. 25a4—
of 16. — 16. 256** — -e* 16.25 1_
256
25 16.25



öbr VOORSTELLEN, ehz. 89
— J ~ V—)
Komt *4 x*+ f— ) — f— ) .
Hier uit den Wortel getrokken, komt
128 '"~77ö»Z~2 ê7" a5 > 25^ 4oq
Dus x' — r- Y ( } — —-.
25 ^ 25-' 400
Waar uit blykt, dat het &.oc$e gedeelte van g* ^128-2
niet grooter zyn kan, dan f — ) ; Want indien
n. 25-*
grooter was dan ^—J| , zou x' imaginair
zyn, en by gevolg de Driehoek ABC onmo^elyk. — De allergrootfte waarde derhalven , die 2 hebben kan, is zodanig, dat
g' ^128^2 = ( — J is.
400 V.
„ g 128
Of - = ,
20 25
128.20 128.4 35 5



cp ONTBINDINGEN
- 512 — ~~ 5 ~
Dus kan de Inhoud des Driehoeks, onder de ge. geevene bepaalingen, nier grooter zyn dao io2§.
Dat te vinden was*
XLVIII. VOORSTEL. Door den Opoeever.
Aangezien de beide Diagonaalen elkander in eenL gen hoek kunnen fnyden , die grooter is dan die welke door dezelven gevormd zou worden, als zy elkander in den Omtrek des omgefchreevenen Cirkels ontmoeten, zo is het openbaar, dat de Inbond door de gegeevene data niet bepaald is , maar de grootfte zal zyn , wanneer de Sinus van den hoek der doorfnyding van de Diagonaalen de grootfte , of wel, wanneer die hoek reent is.
Want naardien de uatuurlyke Sinus vm 90 Graa» den de mogelyk grootfte is ; als meie de Inhoud van het Veld gelyk is aan den Rechthoek der beide gegeevene Diagonaalen 3 vermeenigvuldigd met de halve - Sinus van den hoek, door dezelven gevormd,. zal de Inhoud een 'Maximum zyn, wanneer die hoek recht is. En óp geiyke wyze blykt, dat de Inhoud de kleinfte zal zyn, wanneer die hoek de mogelyk kleinfte is; dat is, wanneer de Diagonaalen m een punt van den omtrek des omgefchreevenen Cirkels famen komen, en het Trapezium een' Driehoek wordt,
XLIX. VOORSTEL. Door A. B. Strabbe.
Lees in den laatften regel van dit Voorftel 19 in plaats van 10 j'-dan heoben wy de volgende bewer\ kinge.
Om



der, VOORSTELLEN, enz. 91
Om een getal te vinden, dat aan de twee eerfte» conditiën voldoet, zo laat het Quotiënt, dat voortkomt , als men het begeerde getal door 50, den eerften der gegeevene deelers , deelt, * genoemd worden; dan is het begeerde getal
= 50*4-19
9 afgetr.
50*4-10 deeze rest door 23 deelen» 50x4-10
de, moet het Quotiënt, dat is « —, of * 4aix+10
—— een heel getal zyn.
st
22*4-10 11*4-5
Stel , of ~ p
28 14
7 '*
H*4-5=I4P
11* = I4P-5 11 ——•
1 3P"5 11
1 , 3/>-5
Stel = q
11
*-r—■ ———1
Dan 13 3/> —
3P-HJ4-5
3- ' 1 »
zq-r-a
p ZZ Sq + 1 4--*—
3
G Sfel



9* ONTBINDINGEN
Stel > ss r
3
Dan is 25+2 = %r
aq == 3r —a
a 1 .1 1- rm
r ■ I
q — r — i + a
r
Stel - —: r a
■"■ —3
r —: is
/>=(3X3*—l + i+2x)-nx—g; *= (li*—a + 3f— 1) -14X—3. Neem 1 op 't kleinst — 1; dan is ar—11.
Derhalven 50*+19-50*9 het kleinfte heel getal* dat aan de twee eeifte conditiën voldoet.
Het kleinfte heel getal, dat door de twee eerfte deelers 50 en 28 effen gedeeld kan worden , zonder dat 'er iets overblyft, is 700. Stel daarom het begeerde getal =700^+569, dat aan alle de conditiën 1 afgetr. voldoet.
700J + 56S deeze rest door 19 dee* 700^-1-568
lende, moet het Quotiënt, dat is - ©f
%9
i6y-!-i7
30J+39 + «— een heel getal zyn,
J9
Stel



sna VPORSTELLEN, E»r, <%
iöy-f-17
Stel — . zz i
«9
Dan is 1694-17-191
t6yZZI9t— 17
16 *
D(-t—-1 + ,
16
Stel ■ u
16
Dan is 3»— 1 —16«
3Ï~ I6«+ i
3 —
«4-1
3
«4-1
Stel sas 1»
3
Dan is u + izz %v uzz 3V— i
Dus t-(5X3v— i+vr) i6f—5. j-(i6v—6+3V—1~) ipj»—7»-
Neem v op 't kleinst zrij dan is y— 13. Derhalven 7003-+509-8969 het gezochte getal*
0 2 U



14 ONTBINDINGEN
L. VOORSTEL. Door A. B. Strabbe.
ax*—xs Stel as y
Dan is aar*—*5 = 3* + axy. In .F/«x/e 4a*3i-5*4x —"3yx + 3*+a.y
Of 3*+a.y=r:4a*3*—5x*x-$yx".
Subftitueerende nu voor y haare waarde ,
3*»—a
zullen wy hebben:
. . . 3**4x—3*"*
3*+a.y==4fl*s* —5 *4 ——-
3*+al .yrr4a*4* — I2x5*-r-4a" x*x—o
4<3x ■ 1■ 1 r
ax ~ 3*° + a!=o
/ ■
of 3*" — ax = a«
- 1 ia
26x* — iaax— 12a*
as=- o*
36 x" — ia,a x+ a' r= 13 a*
v :—-
6x—a ZZZZ dZa^/13 4.
6x=a _ a*/23 6
LI,



der voorstellen, en»» $<
LI. VOORSTEL. Door A. B. Strabbe.
In dit Voorftel is gegeeven
L aa=20= het dubbeld van den Inhoud.
II. az=:ioo, of Log. axz — Log. 100 of 2
—— —— ê
Log. axaz=na
Hier in de eerfte Vergelykinge fubftitueerende, komt 'er
Log. aX20s=2o ao ——— .
Log. a — x|a. Derhalven 0 = 10 den Bafis,
2= 2 de opftaande zyde;
en f ïöf+fl."-^104-10,198 deHypothenufa,
LIL VOORSTEL.
Door A. F. de Pauw, den Opoeever, J. Pauw, E. Gritters, R, Vissches, A. Geikema, S. van der Paauw, H. Posthoma, en J. Verschoor ö. z.
Inleg en Winst van B 927 Guld. A 721 #> •
206 200 — J°27 1 9°° InleS van ?•
\72i j 700 —— van A.
Dus 27 Winst van B. ' ai ■ van A.
g % lui.



26 ONTBINDINGEN
LUI. VOORSTEL. Potr A. F. de Pauw, den Opgeever, j. Verschoor H> z., A. Geikema, S. van der Paauw, j. Pauw, en R. Vjsscher»
Stel den Inleg van A=
dan is die van B=*+go Dus de Winst 10*» en die van C~-af+1190
geheele Inleg =*+ia8o Derhalven
* +1280:119a ~ ar:: xax: ——• Winstvan
*+1280 C.
900*-!-10
t+1280: *-H9° 10* : ——— Winst van
*4-1280 B.
»n. afgetr.
noooar — 20 a*
3+1280
Hoooar-i-soa;1
Dienvolgens — —— * 834^
ar 4-1280
45 r poo ar — 820 ar» — 34200 * + 43776000
of 41 ar1— 20840ar—:— 2188800
-41
168" ar'— 854440*= 89740800
10420 \'=z 108576400 1681 ara — 854440 ar 4-104201a r 188356"oo
¥>
413—10420=4340
414



oer VOORSTELLEN, enz. 97
41 * = 14760 4,
* sas 360 Inleg van A.
x + 90 sss 450 ■ vaD B.
1190—9; sss 830 ■—— van C.
geh. Inleg Winst f* 360 A | 790|£ A. 1600 — 3600 — < 450 B 1 98731 B.
830 C I i8ai|f C.
LIV. VOORSTEL.
Door A. F. de Pauw, A. Geikema, S. van der Paauw, e» den Opgeever.
Lees in de eerfte regel van dit Voorftel vier, it) piaats van veertien.
Stel voor de Wortels ac, *+i,*+2,ar+3. Dan zynde Pronik-getallen:
x"+ x
*B + 3*+ a **4-5jf+ 6 *' +7*+ ia
1 ■ add.
4*a4-i6x + ao
4*s+ i6*a+aox—593 4 .
*s+4*2+5*= 148 * = 4.
Derhalven de getallen 20, 30, 42, 56*.
G 4 LV.



S$ ONTBINDINGEN
LV. VOORSTEL.
Door J. Verschoor H. z. , S. van der Paauw, J. Pauw, E. Gritters , A. F. de Pauw, en den Opgeever.
Stel den Pnnik uit de fom der drie opgegeevene Wortelen ZZx; dan is, volgens het Voorftel,
«4-4 Quadraat- Wortel der Jaaren. x — i Pronik-Wortel der Maanden. * -!-1 Trigonaal- Wortel der Dagen.
Dus 3*4-3 = *° 4-*
of *2—a* = 3
i='i by
x* — 3*4-1 = 4 V~
*—1 = 2
* = 3
Daarom:
* + 4 — 7, den Quadr.-Wortel van 't getal der Jaa¬
ren; zyn Vierk. — 49. den Prom'*-Wortel van 't getal der Maanden ; zyn Pronik zz 2.
* 4-1 ZZ 4, den Trig.- Wortel van 't getal der Da¬
gen; zyn Trig. zz 10.
Dus oud geworden 49 Jaaren, 2 Maanden, en 10 Dagen.
LVI. VOORSTEL.
Door J. Pauw, E. Gritters, waar mede S. van der Paauw, H Posthuma, en de 0"»geevsr overeenkomen,
Capt.



db* VOORSTELLEN, enz. <$ Capt. Intr. Capt.
ioo — 3^ — i ? Komt nls Inter., dit
van -JJ Jaarl. inkomen afgetr. —— Jaar geh.Koopfom rest zuiver Jaarl. inkomen s| i — i ?
Komt 4§ Jaaren.
Anders.
Door A. F. de Pauw.
Laat S de Koopfom zyn, a
ïs ' ***»
b
ioo b
Dan is het Jaarlyksch Voordeel — - S
b
a-c
Interest van 't Capitaal — S
b
■ 1 1 fubftr. c
Zuiver inkomen = - S in één Jaar. b
c Jaar
_ s i S?
b , *
b
Komt - Jaaren, of 4§ jaaren. c
Dergelyk Voorftel is nog opgegeeven geweest in de Kunst- Oefeningen van 't Genootfchap I. Deee. Voor Ad 175'
G 5 LVII.



ïoa ontbindingen lvii. voorstel. Door A. Geikema, J. Pauw, H. Posthü»
iMA, S. VAN der PaAüW, E. gritters,
en den Opgeever.
Maand.
—s- Guld. | 1200 Inleg van A;
13 — aóoo -—£ 4 I 800 van B.
1,31 600 —— van C.
lviii. voorstel.
Door a. F. de Pauw, den Opge&ver, s. van der Paauw, e. Gritters, r. Visscher, en J. Pauw.
Wanneer men de Proportie van Archimedes gebruikt , ftaat de Inhoud van een Kogel tot den Gubus van de middellyn als 11 tot 21.
Daaröm 91 : 11 :: 1» : 1 Kogel.
Komt l\ Cubic- Duimen.
Si 3
Kogel — •>
|| t ,66|?
Komt 317| Kogels.
lix. voorstel;
Door S. van der Paauw, A. F. de Pauw, den Opgeever, E. Gritters, Jan [Pauw, en Ryn Visscher.
Noem de Diameters der Vaten %} y, en z.
De.



X>er VOORSTELLEN, enz. iot
Dewyl nu- de hoogte van allen gelyk is, zyn dan hunne Inhouden refpe&ivelyk tot elkander, als
Derhalven *2 : y2 :: 81 : 144
of x 1 y :: 9 : 13 y' : z2 :: 144 : (144 + 81-2) 225
of y : z :: 12 : 15.
Dus de Diameters, en derhalven het aantal duigen van ieder Vat, in reden als 9, 12, en 15, of 3» 4» en 5-
Derh. 5 : 4 :: 20 : 16 duigen het middelfte, en 5 : 3 :: ao : 12 ——. het kleinfte Vat.
LX. VOORSTEL.
Door Bestierders, waar mede J. Pauw; E. Gritters, S. van der Paauw, A. F. de Pauw, den Opgeever, R. Visscher, en J. Verschoor ti. z. overeenkomen,
Uit het Voorftel volgt direcl;, dat % D-i A~ f B-|C is.
Derhalven A =A zynde, is B = ï|A,
tD=!A. ^
Daarom A + B + C+|Dr:3|7 A=5i4
Dus A = 160. Waar door B= 150, C = i44, D=l8o.
LXI.



loa ONTBINDINGEN LXI. VOORST E L
Dm A. B. Strabbe, J. Verschoor H. z., S. van der Paauw, A. F. de Pauw, den Opgeever, E. Gritters, J. Pauw, en R. Visscher.
Stel het getal dagen, waar in zy elkander ontmoeten, — x; en laat 462—3 zyn; dan is, volgens het aangehaalde Werk,
de Som der Progresfie 1+ 2 + 3+4 • • • • * * + ix*
= ; en
a
de Som der Progresfie 1 + 8+27+64 . . . *» 4
Nu is door het Voorftel,
xx' x+ixx
' — -1 — £
4 2
-— 4
*4-il X X* + *+! X2* = 4<J
[Stel *+ 1 x x = y.
Dan is y* + 2yr=4«
1= 1 by
y" + 2y + i=4a + i
r—r
y+l = f^o + I
y=V~4,a +1 — 1, ftel ~ ff.
Dao



nas VOORSTELLEN, enz» 103
Dan is y= (*+ix*"r) *' +xzzm _*ü
V —
x + i = Vm + %
Io getallen yrC f4x4624-1 —1~)42;
en *rC|/42^ —5—) 6 , het begeerde getal Dagen.
Hier uit volgt hetgeen één der Ontbinders, zon» der bewys, aangevoerd, en daaröp zyne Ontbinding gegrond heeft, naamlyk: dat de fom van eene Arithmetifche Progresfie, welke met de eenheid begint , en met de eenheid opklimt, een Trigonaal getal oplevert; als mede dat het vierkant van een Trigonaal - getal altoos gelyk is aan de fom van alle de Cubic-getallen der Termen, waar uit het Trigo-
*4-lX*
naal-getal beftaat. Want "■■ is een Trigonaal* 2
*-t-i| Xï1
getal, en deszelfs Vierkant.
4
LXII. VOORSTEL.
Door S. van der Paauw, Ryn Visscher, den Opgeever, A. F. de Pauw, J. Verschoor H. z., en J. Pauw.
Stel bet begeerde getal =*.
Dan moet *4- ia\ ieder zz □ zyn. Stel derzelver en *4- 25 j . Wortelen ~p en q.
Dan



304
ONTBINDINGEN
Dan is qQ—ppzzi%
of q+p x q ~pz= 13. Dewyl rw dit getal ondeelbaar is, kaD q.+p niet anders als z% 13 zyn,
Derhalven q—p = t
q+p =13
——verg. en afgetr;
3.q ZZ 14, 2p ZZ 12
2- — 1
2-7, PZZ6
By gevolg * + 12 — 36 en x + a5 zz 49
of x = 24.
LXIII. VOORSTEL. Door den Opoeever,
I. Men befchryve eenen kleinen regelmaatigea Veelhoek, van zo veel zyden als men begeerc.
II. Uit een der hoeken trekke men door de overftaande hoeken onbepaalde Lynen , en verlenge de Lyner tusfchen welke die hoek begreepen is.
HL Op één dier verlengde zyden van den kleinen Veelhoek brenge men deszelfs zyde zo veel maaien men wü.
IV. Uit de aldus verkreegene punten trekke men Lynen, welke met de zyden van dén kleinen Veelhoek parallel zyn , en de le dtez^ paralle/en in zo veele gelyke deelen , a's de diagonaalen ^ tusfchen wélke zy begreepen zyn) gedeeld zyn. Dan is de Conftruëie verricht.
Fig. 17, op de zevenhoekige getallen toegepast9 zal toereikende zyn, om de bovenüaande gegievene ConftruRie op alle veelhoekige getallen toe te pasfcu ; zynde alle begreepen in de algemeene For-
ma*



der VOORSTELLEN, enz. 1os
(m —2) n3 —(»»—4)» inule ——— —— , zynde m het getaï
2 . * .
der hoeken, dus in deeze Figuur 7; en n de zyde; dus in dito 1,2, 3, 4, 5, <S.
7, éfo
LXIV. VOORSTEL.
Door A. B. Strabbe, A. F. de Pauw, Opgeever, S. van der Paadw, en J. Pauw.
Volgens 't Voorftel is 7—5*--12** =r T^lr x 7—12* n □•
Stel i+*X7-i2*r—xi+*|* eenraïwB.Oaatfr.
1+*— —,
m2
7—I2*=r — X i + x
n2
7»J —12 n2 x-m*+m2 x of i2n2x+m2 x — 7«» — m*
7n*-m* x = .
i2»* + ma
Neem nzzz, mzz3; dan is xzzV Of neem »—I, j»r2j dan is pzZjtjL Of neem »~3, «i"T5; dan is x~§.
En zo tot in 't oneindige,
LXV.



io6 ONTBINDINGEN LXV. VOORSTEL.
Door A. B. Strabbe, den Opgeever, A. F. es Pauw, R. Visscher, M. J. Zuidhof, S. van der Paauw, j. Pauw, en E. Gritters.
Stel het Quotiënt dat voortkomt, als men het begeerde getal door 28, de eerfte der gegeeven* deelers, deelt, zzx; dan is het begeerde getal
= 28*.+15
13 afgetr.
28*+2. Deeze rest door 19 deelende, moet 28*4-2 9*4-2
het Quotiënt ——— ~ * 4 een heel getal
ij» *9
zyn.
9*4-2 Stel —— = a 19
Dan is 9*4-2 = 190
of 9* = 19a—2
9 — —
a-i
* = aa 4- ——
9
a>*2
Stel = b
9
——ij,
Dan is a—2 t= 96
of a = 9^4-a
Dus *— (2X9&+24-£z) I9&4-4.
Neem



der VOORSTELLEN, enz. 107
Neem b op 't kleinst z:o; dan is xzz4.
Dienvolgens 28*+15 —127 het mogelyk kleinfte getal, dat aan de twee eerltisvoorwaarden voldoet.
Aangezien nu 28 en 19, de twee eerfte gegeeven deelers, beide eerfte getallen onder elkander zyn, zo is 28 x 19 ~ 532 het kleinfte heel getal , dat door dezelve deelbaar is. Om dan een getal te vinden, dat ook aan de derde voorwaarde voldoet, zo ftelhetzelve ~532y+-i27; hiervan 1, volgens dc
5323+126
derde voorwaarde, afgetrokken, moet 7y+6
of 35 y + 8 + ■ een heel getal zyn. 15
7y + 6
Stel = c
15
Dan is jy-i-6 = 15c
of 7j=i5c —6
7
1-6
7
c — 6
Stel = d
7
Dan is c*—6 — id of c = 7 d + 6
Dus y— Cixid-tó-i-izz') 15^4-12. Neem d op 't kleinst ~o; daa is y~ 1?. Dienvolgens 5^+127226511 het hegeerde getal.
H Aan*



Ic8
ONTBINDINGEN
Aanmerking.
Wanneer men vrqr het Jaar 1-93, waar van da Zonne-Cirkel 15, het Gulden-getal 13, en de Inditlie 1 geweest is, de Juliaanfche Periade begeert te vinden, is men verplicht die onbepaald Voorftel op te losfen , door het kleinfte heel getakte vinden, dar aan de drie voorwaarden voldoet; fchoon men anders, door flegts in 't algemeen 4713 by het Jaargeld op te tellen, het begeerde zal vinden (de la Lande Astronomia of Stemkunde, II. Deel,
Si 1562).
Kunstmatiger is het Voorftel, wanneer men den Zonre - Cirkel , het Gulden-getal , en de lndicïie algemeen door letteren uitdrukt, waar door men eenen algemeenen Regelvindc, om het Jaar der Jw liaanfche Periode te ontdekken, zo als in het boven aangehaalde Werk (§. 1563) daarvan eene fieriyke Cplosfing voor handen is.
LXVI. VOORSTEL.
Door den Opoeever, A. Geirema , A. F. de Pauw, S. van der Paauw, J. Pauw, en J. Verschoor H. z.
Stel 98| f8 of 3164 Lood =a, 14 JJ =b,
9 jj 8 % =2 C,
2 % = 1 Stuiv.
m Lood = d. .
Stel de prys des eerften Zaks =* + c». ^
Dan is die des tweeden Zaks —x— c J *
Stuiv. Brood Stuiv. Brooden Berh. 1 ; 1 x + c : x + c.
m 1 ; ij; *—c ; x-*c,



der VOORSTELLEN, enz. 109
Erooden Lood Brood * x+c : a i: 1 : ——.
x + c a
x—c: au 1 : ■
x — c
By gevolg is door het Voorftel: a a
x—e x-'rc — herl.
ax — dx* +ac + c* d=ax — ac
Of dx*—c2d + 2ac 4 ,
zac
xazzc>-\ , of x—255 Stuiv.
d
meer czz 29 *
*+c~284 Stuiv, het beloop met alie Ongeld. hier af arbeidsloon ... 84 Stuiv.
rest 2c0 Stuiv. of ro Gl.
een Zak Tarwe.
Stuiv. Lood Stuiv.
284 — 3164 — 1 ? Komt 11 f| Lood vóó - den
aiftag.
af 58
- Lood Stuiv.
226 — 3164 — 1 ? Komt 14 Lood na den afflag.
LXV1I. VOORSTEL.
Voor S. vandkr Paauw, <fe» O p g e e ve r , «n A. F. de Pauw.
H 2 In.



iro
ONTBINDINGEN
V65**'-45*3 Indien men gemakshalve _____ — y
19— 18 X
ftelt, heeft men de volgende Breuken: y-t-i* y—ai*
— 5 en — . Deeze laatfte van den
D'+'i* y—iè*
3*J
eerften afgetrokken, komt -., of .
y1 — 2^X2
3*' 3Ö-36*
65£*' — 45*3 15 — 5*
2| *4
19— l8*
LX VIII. VOORSTEL.
Door S van oer Paauw, A. F. de Pauw, den Opgeever, en j. Pauw.
Stel voor de getallen y, yz, en yz9. Dan is z*+y* z' +y -gx" + 96 x* + 355*4 + 414*3 — 329 — 636*4-364, en yz'+yz+yzzsxi + ipx' + isx—nb (A).
De eerfte door de laatfte Vergelykinge gedeeld, komt »
yx' -J24-3=3*34-13*'+ ïi * — ï4.
Deeze van de Vergelykinge A afgetrokken, zal 'er overblyven 0 '
zyz—6xa+ 14*—12
ftSSj sa'-t> 7*--- 6



der VOORSTELLEN, enz. nt
van yz* + yz+y — $.xi + i9x, + 5$x—26 afgetr.
rest yz"-hy=^x3+ i6x' +iüx— 20
Ook is 3jJ z2~27**+126x3-I-39*1— 252*+108.
Deeze Vergelyking van de eerfte afgetrokken,
rest y' z4 — 2yaZ,+ y'~gxs-t.g6xs + ^28x*+o.^?x9 — 368x*~ 384*+256
✓ " ' 1 ■—
yz3- — ;y~3*3+ 16 x2 +12*-- 16
j>z' +yiz 3ac3+ i6*' + i8*-2o boven gevonden.
2V= .... 6X- 4, of yZ!34f-2.
Waar door yz' = 3»3 +16*=+ 15*— 18.
Verder is door het Voorftel, 35 a-' + 32*+ 12 -1-3*-2= i-èa-' + Sar' + zlir-o Of ii*3 — 27*1 — 274* — io~o. Hier uit vindt men * r_ 19.
Derh. j= (3* —2 = ) 55, *)
jz= (3*= + 7*-6-) I2IO, J^jT enys'= (3*3 + i6*'+ 15*—18 ~ 2óÓ2oj =«'
LX1X. VOORSTEL.
Door S. van der Paauw, A. F. de Pauw, J. Pauw, E. Gritters, A. Geikema, den O po kever, en R. Visscher.
Als men fen Voorftel zonder Algebra ontbonden wil bebbtn» meet de Ontbinding zodanig zyn, dat ze, zonder de Algebra tot hulp te neemen , verttaanbaar is;"defch dit j» hier geenszins net geval: g^en der ons toegezondene Ontbindingen voldoet aan ikn H 3 eisen,



na ONTBINDINGEN
eisch, noch kan aan denzelven voldoen ; of liever alle zyn niets anders dan afleidingen uit Algebraïfche Fortnulen, Waaröm wy , die dit met :een ander oogmerk dan tot onderrichting ter neder ftellen , de door Beftierderen best gekeurde Ontbinding laaien volgen.
't Verfchil der Lasten
des eerften en tweeden 6 des eerften en derden 10 des eerften en vierden 12
28 afgetr. van 108
80"
Kost 20 Lasten de eerfte; dus de tweede 36 * de derde 30 * de vierde 32 #
*i Verfchil der pryfen 4x26=104 Duc» 10x30=300 9 13x32=416 #
820 afgetr; van 6868
6048
108'
56 Duc. de 2oLastea; Das 60 * de 26 * 66 * de 30 * 69 f de32 •
LXX.



der VOORSTELLEN, in* 113
LXX. VOORSTEL. Mg. 18. Door den Opgeever, en A, F. de Pauw.
Laat AC den afftand van den voet des onderften Beelds van de aarde; CD de lengte van hetzelve; AE de hoogte van den voet des bovenften Beelds van de aarde; EF de lengte van hetzelve , en c de plaats van het oog zyn, waar men de Beelden even groot ziet.
Laat ACrra, CD~bt AErc, en EFre zyn; zo is ADz:a+&, en AP~c + e. 'Stel AOr*.
Dan is OA : Rad. :: AD : Tang. LAOn. Of x : r :: a+b : Tang. LAOD.
a + bxr
Dus Tang. L AOD = .
En OA : Rad* :: AF : Tang. _AOF. Of x : r :: c + e : Tang. AAOF.
c+e x r
Dus Tang. _.AOF = —- .
x
Ook is OA : Rad. :: AC : Tang. Z. AOC. Of * : r :: a : Tang. Z. AOC* axr
Das Tang. L ACC = .
jr
En OA : Rad. :: AE : Tang. Z.AOË. Cf x : r c : Tang. LAOE.
cxr
Dus Tang. L AOE = .
x
H , Aan-



ÏI4 ONTBINDINGEN Aangezien nu Tang. L DOC = ..... Rad.'x Tang. L. AOD — Tang. L AOC Rad.1 + Tang. _AOD x Tang. L AOE* en Tang. Z.FOE = . . . .
Rad.'x Tang. LAQF-Tang._ AOE
" ■ is,
üfid.2 + Tang, _. AOF x Tang. L AOE zal men, #ad. =i ftellende, hebben
Tang. _DOC = ,
** +«-1-
en Tang. Z.FOE = *- .
x' + c+exc]
Zal men nu de Beelden EF en CD even groot ziet;; dan moet de __DOC_=_EUF zyn, en dus ook hunne Tangens, dat is:
bx ex
i'-'rc + ixa x' + c-iexc
of ex" -\-a + bxae = bx' +c~+exbc
Dus ex' — hx*~-:+exbc — a-\-bxae
en ii'-fï'na + ixae-f-Hxif
De re-fte Verffe'vkinge door e-b, en de tweede door b-e gedeeld zynde, zullen wy hebben



£»er VOORSTELLEN, ehz, u$ c + exbe — a+bXae
a + Z'Xae—c+extc
of ** = .
b—e
c + e xbc — a+bxae
Derhalven * = Y .
e—b
a + bxae —c +ex bc Cf x = y .
b — e | v: .
Stellende nu bc—n, en aez=.m%
c + exn — a + bxm
zo is xz= 1f : , wanneer het bo-
e — b ventte Beeld het
grootfte is.
a + bxm —c+exn
en *_ Y ' — , wanneer het on-
* — * derfte tjeeld het
grootfte is.
LXXI. VOORSTEL. Fig. 19. Door den Opgeever, en A. F. de Pauw.
Laut ABC den Driehoek zvn , wiens _ A het drievoud van den Z_ B is; e?' AB en AC de bekende zyden, waarvan de eerfte 112, en de tweede 1C5 is.
Maak op dc Lyn AB den £PA£_-_f| cn ttek AE. Deel verders den _EHC in twee gelyH 5 ke



tï6 ONTBINDINGEN
lee deelen door AD; dan is § _.BAC = _.BAE_S £, EA D ZZ _. DAC - L B. Derhalven AE - BE.
«
En om dat
Z_ AHCrr Z_ ABE + Z. BAE~2,_BAE\ . en Z-EAC-_EAD + _.DAC-2_.BAEr ,s* zo is _AEC-_.EAC, en daarom ACrEC.
Indien rafii nu ADr», en BE-AEzry fielt; dan is BCzBE + EC = 3+125.
Nu is , om dat de Lyn AE den _, BAD door midden deelt,
AB : AD :: BE : ED. Of 112 : x :: y : ED.
Dus ED = .
112
En om dat de Lyn AD den Z.EAC door mid. den deelt,
AE : AC :: ED.: DC. xy
Of y : 125 :: — : DC.
112
125*
Dus DC =
112
ED _= — boven gèvonden. 112
jry+125*
Derh. DC+ED__EC zz 125 zz An*
112
Ook



der VOORSTELLEN, enz. ai?
Ook is ABx AD = AE + BExED,
ocy*
Cf imx = y% -\ .
113
Uit deeze beide Vergelykingen de Waarde van se gezocht, virjüt men
naya 28000
12544-^ y+135 112 —— «" herl.
ys + i'?552 = 1568000-1253»*
Of ys + 2joja —1568000_ro
Hier uit vindt men y~70 i dus y+125 195 voor BC.
lxxii. voorstel:
Door den Opgeever, en A. F. de Pauw.1
Dewyl a den eerften Term der Reeks is, zal, indien nen de volgende, en dus dn gevraagde h&rmo* nifche midden-evenredigen b. e. d e. f &c. noemt, 0, b, c. d, e. f ' {§c. ee;;e harmonifche Progresfie z\n, welkers laatfte 'lerm p is; en dcwyl het asneal niidden-evenre iioen n is, zal de ge heele Reeks n+i Termen heDben.
Nu is volgens hec Voorftel
a : c :: a — b : b — c. Dus ab — ac — ac — Ic. Of ab = 2 Jc — bc.
ab
Derhalven c = -, de waarde \an den berden
2«—b Term, We-



Ii8 ONTBINDINGEN
Wederom b : d :: b—c : c—d. Dus oc—bd—bd—cd. Of ie r= abd — cd.
bc
Derhalven d — .
zb—c
ab ab
Maar c == — zynde , is d = , de
aa — b 3a—2b
waarde van den vierden Term.
Verder c : e c — d : d — e. Dus cd—ce __ ce — de. Of cd _= 2ce — de.
cd
Derhalven e = .
2C — d
De Waarden van c en d, boven gevonden, ia
ab
deeze gefubftitueerd , vindt men e — , de
48 — 36
Waarde van den vyfden Term.
Nogmaals </:ƒ:: d — e : e— ƒ.
Dus de—df=df—ef. Cf de=2df—ef. de
Derhalven ƒ = ■ . De Waarden van d en
2d—e
e , door 't voorgaande , bekend zynde , kan men dezi lve hier weder lubltitueercn ; waar door men vindt
ab
f sa , de Waarde van den rerden
ja — ab Term.
Uit



©KR VOORSTELLEN, enz, ii$
Uit dit alles blykt, dat elke Term uit de twee eerfte Termen a en b kan worden afgeleid, en dat de uitdrukking der achterëenvolgende Termen aan eene beftendige wet onderworpen is ; zynde elke Term een Breuk , wiens Teller beftendig ab is, en de Noemer eene tweeledige Grootheid , in welke de Coëfficiënt van a altyd één , en van b altyd twee minder is, dan de rang van den Term. Zo dat de nde
ab
Term altoos zyn zal .
n — i. a — n—a.b
Dewyl nu p den n + s?en Term is, zal . . ... ab
• = p zyn.
»+ i. a—nb
Of ab~n+1 .ap—nbp, en np + a.bzzn-f-i ,ap. n +1 ,ap
Dethalven b = , de eerfte der midden-
np + a evenredigen.
Hier door worden nu de anderen gemak'yk bepaald. ab
Want c = — is , door de gevondene Waarde
aa — b
n+ i. ap
van b te fubftitueeren, = ~, de tweede
2«+n- i ,p
midden-evenredige; en zo vervolgens vindt men
«H-i.ap
■—, voor de derde,



HO ONTBINDINGEN
_** '———
<— — , voor de vierde, &c.
4a+n-$.p
LXXIII. VOORSTEL. Fig. 20. Door iM Opgeever, en A. F. be Pa,uw.
I. Stel op het uiteinde B van den Bafis een loodlyn BD, gelyk aan het vierde-gedeelte van AB; en trek ad.
ii. Befchryf uit D als middelpunt , met AD als Radius, eenen Cirkel ACFG , ontmoetende ab , verlengd zynde, in F.
j1l Neem in den boog van het grootfte Segment AC F een punt C naar welgevallen, en trek AC en
BC; dan is Aü'+A ABCzBC\ Bewys.
Laat BD en CE elkander rechthoekig ontmoeten in E ; er> zy getfokk^n DC; üan is:
BC^rcl3Vïïü24-2BD.DE. (Sw.2B.9V.) Of BC rüü+ BD*+ 2 BD. DE..
Cf BC,~a"bV2BD+2BD.DE. (Sw.2B.7V.)
Cf I3Ö r AB'-f a1 BDg( BD + DE)
Of B"*zAHViAB.EE.
Dat te bewyzen was,
Ge-



DB„ VOORSTELLEN, ENzi «i
Gevolg,
Voor ieder punt G in den boog van het kleinfte Segment AGF zal men hebben :
BG ~ AB - A ABG.
LXXIV. VOORSTEL. Fig, ar.
Door den Opgeever, en A, F. de Pauw, waar mede R. Visscher overeenkomt,
i°. Trek door de beide punten A en B eene rechi te Lyn AB, ontmoetende DE in E.
a°. Befchryf op AB als Bafis een gelykbeenigen Driehoek AHB, welks Beenen ieder de helfc zyn van de Lyn Bü.
3*. Trek Hl parallel aan DE , ontmoetende AE in 1.
4°. Trek in den gelykbeenigen Driehoek AHB de Loodlyn HF, en verleng dezelve tot in G, zo dat FG gelyk zy aan de helft var. BD
5?. Trek iG; FK loodrecht op IG, en EL lood» recht op FK.
6p. Befchryf uit L als middelpunt, met FK als Radius, een Cirkelboog, ontmoetende AB in M.
7". Stel MC loodrecht op AB,. ontmoetende, DB in C; en trek AC eu BC; dan zal men hebben' AC -{-BC ~ BD.
Bewys.
Laat getrokken zyn LO loodrecht tot AB ; als mede de Radius LM , en lanr Q vierde-evenredig zyn tot FG, BF en FM, dan heeft men:
I. MF'+FL'+sMF.FO-ML1. (aB. 8.) Of FL +3MF.F0=MLJ—MË\
Of



jta ONTBINDINGEN
Of FE.pO + aMF.FO~M*—MF*. (4b.10*.) Dus i : FO :: 2 F+FE : FK*—MF2. (4b.9.)
Of FE : FO :: 2mf.FE-I-FË*: fk*— MF*. Maar FE : FO (rFÊ*: f*L*) :: Ê7*: FK*.
Dus F!*! FK2:: aMF.FE + FË*: fT-MÊ* Dus F? -aMF.PK-FË":MF :: f7*:FF* (4b.3.) Of Fl5-aMF.FE-FSa:MF°:: Gl*: FG2. (4b.11.) Ofl^V2MF.FE+7Ë,:Flï-M7::GÏÏ:V"G.\4 B.3 ) Of +2MF.Frv+FÊ': ÏÏGfMÈ'i: Fi*: Fü! (4 B. 3,) Maar mT: MC*:: Fl': fïïv4B. 11.)
Dus FG*: Fh2:: FG —MF*: MC 2 Hier uit leidt men verder af:
II. FÖ°: BHa-BF\: FG"—MF*: BC—BM*.
Of FG : fTT— bf*:: FG2- MF* BC^-BM*. DusFG* mf:; l^'-BP 'FÜ -BC + BM - BF* (4 B. 3.)
Of FÜ\BF:: MF :: ÜC-FtT- 2MF.BF. (4 B. 3.) Maar FG*: BF*:: MP*: Q2. (Onderjlell.)
Dus BC rFG + aMF.BF-f-q'. Of BC°- FG*+ aFG.Q-r-Q».
Dus



der VOORSTELLEN, enz. ia^ Dus BC = FG 4- Q.
III, FG*: AT/-AF2::FGa-MF3: AC— AM*. Of FG : FG*—AF*:: FG2- MF*: AC8— AM*. DusFCfaWsJföVi^
Of FG: AF*!: MË'i AC —*FG - 2 MF, AF. (4 B. 3V) Maar FG*: AF*:: MF*: Qs* (Qnderfiell.)
Dus ~Kc'~ FG*+ 3 MF. AF -hQ'.
Of AC'= FG*4- 2FG.Q4-Q*. Dus AC = FG —Q. By gevolg AC4-BC-2FG3BD.
Dat te bewjzen was.
G E V 0 I. Cr.
Vermits de Cirkelboog, uit L befchreeven, AÖ andermaal fnyden zal in N, zo zal j indien NP loodrecht op AB fta3t, en DE ontmoet in P, men op geiyke wyze kunnen aantoonen, dat
AP+BP = aFG_=BDé
I. Aanmerking. Indien de Cirkelboog MN de Lyn AB niet fneedt, maar flegts aanraakte in O, zon 'er niet meer dan één Geval plaats hebben; en de fom der Lynen AC en BC zou dc; kleinfte zyn die mogelyk was. Indien hy Ali noch meedt, noch raakte, zou zulks een teken zyn, dat ce Op. losfing onmofüelyk was*
11. Aanmerking. Schoon deeze Oplosfing algemeen is, zyn 'er echter twee Gevallen, in welke zyniet I ge*



1H ONTBINDINGEN
gebruikt kan worden, naamlyk; wanneer de gègeë* vene Lyn Dl1 perpendiculair op AB ftaat, of para/lel aan ab loopt; doch deeze beide Gevallen zyn voor een vetl gernaklyker Opiosfing vatbaar.
LXXI. VOORSTEL. Fig aa. Door den Opgeever.
Laat ad den voorgeftelden Boog zyn, en AB de middellyn des Cirkels tot welken die Boog behoort; en laat de Boog ad gedeeld zyn in gelyke deelen ah, HI,id: eindelyk laat 'er getrokken zyn, loodrecht door de middellyn , de koorden AH, GLI, fnd; dan zyn de Driehoeken AKH, LKG, LMI, NMF , NCD gelykhoekig ( Steenstra 3 B. 11 Pr.J, en daaröm:
AK : kh :: KL : KG :: LM : mi :: mn : mf :: NC : cd . (6 B, 4 Pr.)
By gevolg:
AK : KH :: AK+KL + LM + MN-J-nc :
KH + KG + MI+MF + cd. (5 B. 16 Pr.)
Maar AK + KL + lm + mn + NC=AC. En KH + KG + mi + mf + cd = HG + 1f+de—ce . . . =
2 hk"+7im +Tdc"^~dc
Derhalven:
AK : KH :: ac : aHK + 2IM + 2DC-DC
KH x AC
Dus 2HK + 2IM+2DC — DC se -«
AK
KHxAC
Of 3HK+2IM+2DC = + DC.
AK
Ent



der VOORSTELLEN, enz» 125
a KHxAC
En HK-f-IM + DC = + £DC.
aAK
Maar HK + IM-f- DC is de Som der Sinus/en van de Boogen AH , AI, AD; by gevolg is de Som der omusfen, tot die van den voorgeftelden Boog AD mgefloten, gelyk aan deeze uitdrukking
KHxAC
+ ^DC.
2AK
In welke uitdrukking KH de Sinus, en AK de Sinus verfus is des kleinften Boogs AH ; en DC de Sinus en AC de Sinus verfus des grootften Boogs AD.
Begeert men nu de Som der Sinusfen van graad tot graad, dan ftelle men, dat de Boogen AH, til, 1D, enz. ieder één graad zyn, of één minuut, indien men die Som begeert van minuut tot minuut.
Gevolg.
Wanneer de Joog AD 90 graaden is, dan heeft
?Jfa j ij?» en on2e a,gemeene uitdrukking verandert alsdan in deeze: "
KH KH+AK
+ i , of ..
2AK 2 AK
Hier uit volgt deeze eenvoudige
Regel. Om de Som der Sinusfen te hebben
van / 8riad 1 rw» f ë^ad \
a \miBUut f loc \ minuut f tct die van een Boog van 90 graaden ingefloten.
ï 2 10. Tel.



Ï2Ó ONTBINDINGEN
i°. Tel de Sinus en Sinus verfus van één
Iminmtl te ^men' 2°. Deel deeze Som door de dubbelde Sinus verfus
van één | minuut \ 5 dm " AeJ QuotieCÊ geerde Som.
Aanmerking. Ik heb dk Voorftel als een gevolg afgeleiJ uit j. H. van Swinoen Grondbeginselen der Meetk. Vi. Boek, 24». en 25e. Voorftel.
LXX VI. VOORSTEL. Fig. 23, Door den Opgeever» en Ryn Visscher.
Onderftel dat PQ in vier deelen gedeeld moet worden.
C>0 k s t r U c t 1 e.
Op de grootfte 'ab der gegeevene Lynen be> fchryf een halven-Cirkel ; in AB neen de deelen AC, AD, AE gelyk de overige gögecvcne Lynen; uit C, D, en li erek de Perpendiculairs CF, DG, en EH , ftootende den Omtrek in F, G, en Hj' dan trek de Chorden AF, AG, AB. Verders trek; uit P eene onbepaalde Lyn PZ, maakende met PQ eenen hoek naar welgevallen ; in dezelve neem Pk. -AB, KL-AF, LM — AG, en MN-AH; dan trek de Lyn NQ , en parallel aan dezelve de Lynen MK, LS, KT; dan zullea PT, TS, SR, en RQ de begeerde Deelen zyn.
Dat te doen was*
Bereiding.
Trek de Chorde BF.
Bewys,
AB : AF :: AF : AC. —— 1; .11,
AF*



der VOORSTELLEN, enz, 12?
"aF*= AB . AC.
En om de zelfde reden AG*= AB . AD.
AH == AB . AE. AB2= AB . AB.
Derhalven
AB*: AF*:^G2: AB : AC : AD : AE.
PK*: KL*: LM*: MN*:: PT% fs*: SR*: RQ*.
Komt PÏ°: TS*: SR*: RQ*:: AB : AC : AD: AE.
Dat te bewyzen was. LX XVII. VOORSTEL, fig. 24. Door den Opgeever, en Ryn Visscher.
CONSTRUCTI E.
I. Uit het middelpunt C des Cirkels trek de Lyn CD geiyk en parallel aan PCX
II Uit D befchryf met de Radius CB een Boog, fnydende MN in F, en trek DF.
III. Trek CE parallel DF, ontmoetende den omtrek des Cirkels in E, en trek EF, deeze is de begeerde.
Bewys.
Om dat CE= en parallel DF is (Cos/ïr.), zo is EF= en parallel CO,
ss en parallel PQ. ( Meetk. 23.1.)
Dat te bewyzen was. I 3 LXXV1II,



128 ONTBINDINGEN
LXXVIII. VOORSTEL. Door den Opgeever, en S. van der Pa aow.
Laat io~a, 15,6—bt en iioSzrc zyn. Stel den tyd voor den val zzx Secundea; dan is die voor het geluid ZZ a — s Secunden.
Nu is, volgens de wet der vallende lighaamen, x*xb~ de doorgeloopene ruimte van den iteen , en
a — xx c~ de doorgeloopene ruimte yan 't geluid. Derhalven bx'=ac—cx
bx''-)rcx=ac
" • ' -b
b2x* + bcx=zabc
bixz+bc+^c' — abc+^c*
v ZTZZL
bx-\-±c z=Yabc+ic* bx=tfaTc+~ïc'' —ie
1 : zy
b'x* znabc+ic^-cVabc + ^c3
h :
abc + ^c' — cYabc+^c1 bx* = —123a
Voeten zeer na, de diepte van,de Put. LXXIX. VOORSTEL.
Dcor den Opgeever, A. F. de Pauw, en S. van der Paauw.
Stel



oer VOORSTELLEN, ehe. 139 Stel de Guldens van de grootfte Zak — *, en van de kleinfte .. • zzy. Dan is, volgens de bepaaling van het Voorftel, * + 31= a, en *3 y' = de Maximum»
In Fluxie x + y=o9
2**31
zx3yx+ 2x3yyz2o Of zxsyy=z — nx3yx
en sx'y'x + axtyy—o,
2x3yyzz — 2x3yx ■ ■■■ afgetr.
3x*y*x . . . . = nxsyx
x*yx »
3? == 2*
3
y?'tm-~ *}*
Daarom *-r-f * of ïfi = a
3
5* = 3» 5
_ II 5
2a
Dus ^ = —.
5
Gegeeven zynde a=i2oo; dan is
I 4 s . « l:



130 ONTBINDINGEN
== -—J ss 720 Guld. de grootfte, j
*Zak,
/ aa\
en y I = «— I = 480 de kleiDfte
>■ 5 ' J
LXXX. VOORSTEL. Fig. 25.
Door de» Opgeever, en A. F. de Pauw.
ABC zy den Conifchen Parabool. Laat AD qorf <H
CD40Z&J
Stel de' Abfcisfe AE~x} en 'den hslven - Ordinaat
eg — y.
Dan is FG, de lengte van het ingefchreeven Paralklcgram, =23/,
en ED = FI==GH, de breedte van hetzelve, ( = AD-AE) —a-x. f Derhalven is door het Voorftel FGxED (zziyx
a— x) — zay — zxy — de Maximum', of door a gedeeld, komt ay — xy = de Maxim. ... In Fluxie ay—xy — yx==o
Dus yx ~ a — xxy
Q—xx'y f —
y
Maar EG*: CD';j AE ï AD. (Toep. der Algebra op de Dat is y' : b' :: * : a hoogeMeetk.§.2$)'
ay''
By gevolg x = —, en ay'^b'X;,



oer VOORSTELLEN, enz. 131
2ayy
In Fluxie x — > .
b2
a—xxy aayy ?r y ~ b'
y —-
c—* nay y b2
zay2 =ab*—b2 x Boven is gevonden ay2—b2x; by gevolg 203!' B= 2 b% x. JDeihaiven 2b2 xzzab* —b" x
2b2 x = ab'
2,b'
a
3
b'
ab*
l'x — — 3
b2 x = ay2 bov. gevonden. ab2
ay" — —
•
a .
' b* f = —
* 1/3
15 I>$



13* ONTBINDIN GE N
. ib 20 >.
By gevolg 2yxa—x f ~ — ~ .— ) r—t/3 3
6b— aai/3
" — 3o|/|-.2o, als voor a en £ haare
3V3
waarden in plaats fielt, voor den Inhoud van het begeerde Parallelogram.
LXXXI. VOORSTEL.
Dm A. F. de Pauw, den Opgeever, A. Volkerse, P Otjes, J. Pauw, E, Gritteks, "en A. Harrebomee.
Stel voor de begeerde getallen *, j, ea s, Dan is * : y :: y : z.
xz = ya
T —3
xyz =3 y3
Maar xyz = 64 door het VoorfteL
s Dus y3 == 64 !/ . .
y = 4 afgetr.
van x+y+zzzm door het Voorftel „
rest x + zzzij
: 1/
x' + axz + z* — 289
4*ï H Ó4~4j2 11 afgetr.
— S*Z + J.'!~22J
*>- ; w
se — z zz 15
*+* - 17
r—1 ..1.. ...» in verg, en afgetr.
zxzz



©sa VOORSTELLEN, mz. 133 aacn3a, azzzn
2"
Das 16, 4, en 1 de begeerde getallen.
LXXXII. VOORSTEL. Door A. F. de Pauw, en den Opgeever.
a+b+czzgd a+b+dzz 5c
• • afgetr.
c—dzzqd—sc
c zz i%& Dus a+b zz 7\d,
Ook is door de natuur der Evenredighedens ' a + b : b :: c + d : d. Of 7\d : b :: afd : d
nb zz 7\d
b zzo.\d afgetr. van a + b — 7jd
rest a SS ^\d _ a| o"
c zzzzz ifd
Neemende d op 't kleinst — 1, en dan , om de breuken te doen verdwynen , de vier getallen met 12 gemultipliceerd, koene
fl-55» bzZ33» tzz20, dzziz, voor de begeerde getallen.
LXXXIJI.



134 ONTBINDINGEN
LXXXIII. VOORSTEL.
Door den Opgeever, A. F. de Pauw, en j. Pauw.
Stelde drie getallen ~xt xy, xy*. Dan is xy' + xy + xzz 19 en xzys + xzzs8
iq
x — —
y'+y+'i 1/
361
x' — - ■
.,5
361 >'3
*a>'3 = —
yA + 2y3 + 3yz + 2 y+i
JfXZZ ——
3>2-f.y + i
SÓiys + igy' + icjj + ip _ 5g
31 * + 2 J 3 + 3 y ' -f 2 y + i
gSj-4 +11631» +1743'9 +1lö3?4-58 — 361 j3 + 193»» o
4- i9J + i9
Komt j = ijj dus j = 4 *J = ö *J* = 9»
LXX XIV. VOORSTEL.
Door P Otjes, j. Pa uw, A. F. de Pauw, A. HarreBOMéE, en den Opgeever.
Guld.



be» VOORSTELLEN, enz. 135
Guld. 's daags A 2 B ii C jf D ii
E i| fa | f 3? 5° A.
. Guld. i * aöici ».
8 15000 , Js *3-fl5C.
I i£ * 28127 D. \\\ * 2500 E.
LXXXV. VOORSTEL. Door A. B. Strabbe, en den Opgeever.
Indien de vyf gezochte getallen uitgedrukt worden door a, b, e, d, e, worden de refpeéïive Aggregaten voorgetiteld in het volgende
Schema.
Eer[le Aggregat. Tweede AggregaU
a I a a
b la+b ta+b
c \ a + b+c 3a+2&-r-c
d ia+b+c+d 4a + 3 6-r-2C + d
e \a+b+c+d + e 5«+ 4* + ^c+id+c 1
Derde Aggregat. Vierde AggregaU
a | a
%a+b \aa+b l
Ca+^b + c j ioa + 4* + «
ioa + 6b+?,c+d J 2oa4-iofr-*-4ff4-d I 153+ iob + QC+$d+e I 35 a+2Qb+ loc+^d+e j
Vyf de Aggregat.
a
5t + b
15 0 + $b + c enz» S5« + i5b+5c+d 7oa+35*+>5*+ 5<*+*
J>e



i3Ö ONTBINDINGEN
De Coëfficiënten van a, b, c, d, e in deeze verichillende Aggregaten worden figuurlyke getallen genaamd. Zonder derhalven alsnog te letten op het getal der Termen, welke ons in de Termen dér i-elpechve Aggregaten voorkomen, heeft men in aanmerking te neeinen, dat de figuurlyke getallen
fi/Zen rang^j rt.i.i.i.i,&c.
Jsrfe» rang| j i . a . 3 . 4 . 5, &c,
van den i 2d<m rang J. zyn ^ I . 3 .6.10.15, &c.
I 4<k* rang [ | 1.4.10. 20. 35, &e.
L5*»raDgJ Li.5.15» 35-7o, ere
Waar uit openbaar is, dat, dm 'eene algemeene uitdrukking voor een figuurlyk getal van eenigen rang te vinden, even het zelfde is als het vinden der Som van alle de figuurlyke getallen van deri voorgaanden rang. Dus is in den tweeden rang 5= ;+1 + 1+1 +1 ; jn den derden rang 15 = 1 + 2 + 3 + 4+5 ; in den vierden rang 35 = 1 + 3 + 6+10+15; in den vyfden rang 70=1+4 + 10 + 20+35; enz.
Laat nu n den afftand van een zodanig getal van het begin van deszelfs refpecliven rang zyn, ofwel hec setal Termen in den voorgaanden rang, waar uit het is famengefteld: dan is het, uit de bloocé befchouwing , klaarblyklyk , dat de Som van den eerften rang, of de »de Term van den tweeden behoorlyk uitgedrukt zal worden door », het getal dei Termen van het begin af. Het is mede klaarblyklyk (Inleid, tot de Mathem. Weetenf. II, Deel, pag. 184 ), dat de Som van den tweeden rang 1 +
8a « f ».»+A
2+3 + 4 n zal zyn —i— ter ——— ),
2 2 \ 1.2/
dat, zo als te vonreö reeds is aangemerkt» de waarde is van den niea Term des derden rangs.
Wanneer nu vervolgens de getallen 1, 2, 3, 4, 5 i enz. achtervolgens, ia plaats van n, in de
ai.



©er VOORSTELLEN, enz. 13? n* n
algemeene uitdrukking ! gefubftitueerd wor-
2 a
dep, za,!en wy hebben i + i, # + §• £4-1, '£ 4-*» al + 2j e^z« voor de Waarden der eerfte, tweede, derde, vierde, vyfde , enz. Termen van deezen rang , refpecUvelyk. Waar uit blykt, dat de Séries 1 4- 3 + 6-h 10+ 15 4- 21 fcrV. ontleed kan worden in deeZe twee aodere, naamlyk:
en i + 1 + | 4- I 4- | 8V. De eerfte, eene SéWej van O^aaYaaJe» zynde, is b3 «* »
derzelver Som r= 1 1 (Inleid, tot de Ma*
6 4 12 them. Weetenf. II. Deel , p. 196 > ; en die van de laatfte Séries, als zynde eene Arithmetifche Progres* n* n
fis, = ! •
4 4
ns «* n
Derhalven is het Aggregat van beide 1— + —
623
(b.bH-1. ra-t- 2\ of — ) de waarde der voorgeftelde 1.2.3 / Séries 1 + 3 4- 6 4- 10 4- 15 &c, tot n Termen voortgezet.
Door een gelyk befluit, ontdekt men, dat «.b4-i.»4-2.b + 3
, . de Som is van n Termen der
1.2.3 . 4
{Séries 14-44-104-204-35 &c.



i& ONTBINDINGEN
«.»4-I.»+2.re + 3'»-r4
** —•— ~—-~— die van « Termen der"
j • a ♦ 3 '4 .5
( Séries 1 4- 5 4-15 4- 35 4- 70 {?«
Waar uit voorts de Wet van voortgang openbaar is.
Het blykt mede dat de algerneene uitdrukking der Som van » Termen van ieder Aggregat in zo veel isden beftaat, als de rang des AggregaU aanduidt.
Dus is de algerneene uitdrukking der Som van n Termen van het negenie Agpjegat . . ♦ . .
n. n+i • «4-2. n+3. «+4. «4-5. a+6. n+j.n+S
t . 2 . 3 . 4 • 5 * 6.7 . 8 . 9
Neemende derhalven
b = 5; dan is 715 de Som der Coëfficiënten van a. = 4; .... 220 varj bt
— 3 J • • • • 55 van c.
£=23 ... . 10 . . . . .. . , yan c,
ts 1; « . . < 1 ....... . van e,
By gevolg is 715a 4- 220b 4-yjc 4- lod4-e de algerneene uitdrukking van hec tiende Aggregat.
Dewyl nu a, b, c, d, e in eene Qeomeirijche Pro. gresfie, in dubbele Proportie voortgaande, moeten» itaan, zo laat a=x, b=zzx, cs=4*, d=8x, en e— 16* zyn ; dan hebben wy
715 X*+ 220x2*4-55x4*4-10x83;4- ïöxzz 2943 7.5 * 4- 440 x + 2 20 x 4- 80 * 4-16 x ~ 2942
Of 1471 * : 2942
X 3
Derhalven zyn 2, 4, 8, 16, 32 de vyf begeerde getallen.
LXXXVI.



der VOORSTELLEN, en*. 139
LXXXVI. VOORSTEL.
Door A. F. de Pauw, den Opgeever, P. Otjes, en A. Volkerse.
abc = 36723960 = 5.7.8.9.13.19.59 abd = 41878200 = 3.7.8.25.59.169 acd = 55950320 = 3.4.5.13.19.59,64 bed = 80917200 =r 7.9.16.19. 25.169 ~ ~ " J"~~ " mu'f«
, abcd\ =7.9.19.25.59,64.169!
y/ , ,
abcd — 7.9.19,25.59.64.169
fbcd~\ f 4.59 —236 — d
Dit gedeeld 1 acd • fc 1 +.3.5,7.13-341*-*. door *jaèdfK0,Ilt^ 3.8.19.... -450
l"bcj L5.8.I3 =5-0 ~d.
NB. Dit Voorfte! is gelvkfoortig met Nu. 82 uit de Inleid, tot de Mathem. Weetenf. van A. B. Sxrabbe, II. Deel, pag, 236.
LXXXVII. VOORSTEL.
Door A. F. de Pauw, den Opgeever, en J. Pauw.
ar3 —18*314-135—o
of- 18 xy= a^-l-135 18 x —
_ *3+i35 18*
y* — 9xy— 442:10
i*3 — 9xy+ 67^-0
m"~r ~7~". ~~, —afgetr.
y — 2**—-509^=^0
K In



Ho ONTBINDINGEN
In deeze Vergelykinge de waarde van y gcfubfti= tueerd, komt
x9 — 251T x6— 2916729 ar3 + 2460375—0 Hier uit vindt men xa = 3375
V
x = 15 Dus y = 13, •
LXXXVIII. VOORSTEL.
Door A. B, Strabbe,
Stel in de gegeevene Vergelykinge *—fy.
Dan is xs=zn$y3 + igx* = + ^y* —43* = —+|y ' + 24 =s +24
Derh. s»+19**- ö5^ - 4 y3+1 § f-4! y + 24 zz o
■ 27
y5 + 57y~~3^?y+^8zzo
Stel j —z— 19; dan is
y3zz%3 — 572'+1083 z~6!'i9 + 57y2r= + 57S2 —216621 + 20527 — 38731 = .... — 38/*+ 7353 + 648 = . , + 648
y» +57}* — &c.zz%* . . . —14702 + 21669-0
of z%— 14708 = — 216C9
Uit deeze Vergelykinge wordt nu, naar de Leer* wyze van C&rdanps, (zie Inleid, tol de Mxtkem. Weétenfchc fen, 11. Dekl, §. XXVI.) _ gevonden



©ER VOORSTELLEN, ehz. l4l
2 = V— i°834£+j7—262609I
+ f — 10834^+1/ — 262Ó09J, waar door y en * insgelyks bekend zyn. Ons lust het niet deeze ongefchikte Wortel-Grootheden verder uit te pluizen.
LXXXIX. VOORSTEL.
Door den Opgeever, A. F. de Pauw en J. Pauw. '
De gegeevene Vergelykingen zyn :
x' + a1/2.x=ïo en y- + i/2.yzz 12-21/6
1/2V—2 iï72\a=i
x2- + enz. =12 y + enz. = ï^-at/ó
1/ « 1/ :—_—
x+i/2=2j/3 y+ïv* = *V2-£v*
*=2|/3-(/2 y=2l/3-l/2
Dewyl nu de twee rechthoekszyden van den Drieheek even groot zyn , zo valt het punt van den rechthoek juist in het midden van den halvenCirkel.
XC. VOORSTEL, ^g. 26.
Door A. F. de Pauw, den Opgeever, tn J. Pauw.
BC—AB = 16
BC*—2BC.AB + AB — 2j5 afgetr. van 2BC +2AB2~6272r2ACa
K 2 "ËCS



143 ONTBINDINGEN
BC*4- a BC. AB + AB*=6oi6
V •
BC4-AB = 8|/94
BC —AB=ic>
BC = 84-41/94 AB—-84-41/94.
Voorts hebben wy door de gelykvormigbeid der Driehoeken abc, abd,
AC : AB :: AB : AD.
By gevolg ~k~B z=. ACxAD
Maar AB = 1568 — 641/94
Derh. ACx AD~ 1568-641/94
AC-56
AD = a8-|l/94^ afgetr.
ac = 56 jr 6
CD = a84-V94' Eindelyk AD : BD :: BD : CD
Dus ADxCD = BDS Maar ADxCD = 6öi«
By gevolg BDa= 66iy
v
bd = 35f. \
XCI. VOORSTEL. Dm J. Pauw, en den Opgeever.
5°



der VOORSTELLEN, enz. 143
50 is i Omtr.
Oratr. Diam. —— 2
22 —— 7 — 100 Omtr.?
Kt. 71* Diam.
□ Diam. Inh. ■ < ■ 1/
i4 — 11 4900009
Komt 795r| Inhoud.
33 is £ Omtr< Omtr. Diam. ——2 22 7 —— 66?
Kt. 21 Diam.
O Diam. Inh. ■— l/
14 ■ 11 441?
Komt 346£ Inhoud% afgetri 44811
□ Duim Penn. 2
, 8 — 224f £ □ Duimen?
Komt i795T? Penn. 16 —
ii|2 : 3X£ Penn*
Guld. 5:12:3X| Penn.
XCII. VOORSTEL. Fig. 27. Door den Opgèever, én A. F. de Pauw.
Het gegeeven Quadraat zy ABC. Maak op de Radius AB het Quadraat AüCD, met deszelfs Dia» gonaal AD. Neem EFizDE; en trek uit F, als middelpunt, den ingefchr. Cirkel, die gezoehc moet worden.
Zie A. de Graaf, Inl. tot de Wisk. p, 249,
K 3 Na



144 ONTBINDINGEN
Na is AbVbd rAD^za'
V .
ad — a 1/ 2 Diagonaal,
AE = a afgetr.
DE = ai/2-arEF Radius.
—— —— 2
2ai/2-2a:rEG Diameter
of aaxt/2-i
14 : ii :: 4aaX3-2v 2 Vierkant? —-— ■ 11
4:ka* x 3-21/2
22fl3X 3 —2|/2
Inh.desCirkels.
7
«ri4 zynde, komt
22X 14X 14X 3 — 21/ 2
—— = 1848—1233(^2.
7
XCIII. VOORSTEL. i%. 28.
Laat FG en FH getrokken worden parallel aan CB en AB. Stel BH~GF-*; dan is HC-35-i, „_ | A AiiC 280 HD_7o-*, AË — -— = , BEz:i2-
280 12*—280
bd



2)er VOORSTELLEN, eez. 145
BD : HD :: BE : HF.
12 x—280 70 : 7c-* s: ———— ï HF. x
560*—6*a —9800 HF = = BG
35*
12 x—280
BE =
x
■ —— ■ ' ■ add.
980 * — 6 x 2 —19600
HF4-BE =
35*
£BH = ±x ———, muit.
490X — 3*2 —9800
Trapez. BEFH = . >
35
HFxHC 3*3-385*"4-i47o°^-I?I5co
— AHFC ~ ■—
2 35*
1 ——— add.
3**4-140*—4900
Vierh. BEFC~ =70:=! AABC.
x
— — x
3*24- 140X—4900—703e 3*l4-70*=4yco gx' + 210*= 14700 35! * = 1225
9 acJ 4-210*4-351* = 15925
K 4 3*4-



ï46 ONTBINDINGEN
_3^ + 35 = 351/13
3*= —35 + 351/13 3 —
— 35 + 35KI3
* = — rBH-GF,
3
a8o 840
AE — — zz —— — 44-21/13")
* -35+ 35»/13 V afgetr.
BE - ♦ 10—21/13
BG — 16 — 41/13
—— afgetr.
& — ♦ _ —6+21/13
- V
EG = 88 — 24^/13
GF — 17150-24501/13rg
f- — 1
EF ri7942-26ó6i/ 13(9
V
EF -§1/17942— 2ÓÓ61/13
XCIV. VOORSTEL. Ftg. 29.
Door A. F. de Pauw, den Opgeevek, en J. Pauw.
Volgens de beginfelen van Euelides hebben wy AC* -I- 2BC. BD — AB + BC*
2 B C. B D = AB' + ÏÏC - AC *
BD



de8 VOORSTELLEN, enz. 147
aT+BG'—AC*
bd ~~ aBC 2AB.bc AB =
2BC
- -. 1. add» en fubft.
AB 4-aab.bc + BC-AC2
AB + BD =
aBC
AC* - (AB* 2 AB. BC + BC* ) AB—BD
2BC
, . — . muit.
(CAB4-BC;a-ACxCAC2-CAB-BC)') AÖ-BDr
4BC2
of atj*:=aT4Tbc+ac x a13+bc^"ac X
AC4-ab—BCx AC —AB4-BC gedeeld door 4BC . Hier uit volgt deeze berekening:
, (2i/l4+2j/l04-2^6)X2V/I4X£l/6X2l/lO
ad
964-161/35
( V14 4- i/io4- ]/6 ) x 1/14 x Vio X1/6"
~ 6+1/35
— — 420 4-28 V15 — 201/ ai + ?a\/ 35.
Derhalven ADzzY^^+^^5^^+7^35K 5 XCV.



148 ONTBINDINGEN
XCV. VOORSTEL. Fig. 30.
Door A. F. de Pauw, den Opoeever, en j. Pauw.
CDxAD _
■—-—- ö?2—3841/3-96 (2—y$y
CDxAD zz 192 (2 — 1/3)»
~-T~it; ~ 1/
/ CD x AD - 9x16 (2 — j/3)* AD zz CDxBD
CD xBD9- 9XÏ6 (2-1/3)4 Gedeeld door B9 = r8 — 91/3-9 (2_l/3-)j
zal 'er komen CD3- 16 *( 2—1/3)3
CD e= 16 (2 — 1/3) BD — 9 (2—1/3) BC = 25 (2-1/3) AD = ^CDxBDri2C2-v/3) AB = rB£xBD-I5C2-.^3) AC = yBCxCD-2o(a-^3) XCVI. VOORSTEL. jfe. 29. Z>oor &b Opgeever.
Stel den Perpend. AD = 2»; CD —y en BDrzai —y.
dan is BD 441 — 43^ -j-j,»
AD*



der VOORSTELLEN, enz. 149 AD^*'
1/441—42 y 4-T 4-4 *2 AB CDyx^ADx is ary Inhoud ADC
i/lwi~ï*y+ya+4*z 4- «^=50 1/441—42ï+j,2+4*a — 50—*y
441 — 423» 4- ïa 4- 4 x" — 2500 — ioo x j 4- *a ? * ^*<y»—y*— 100 acy 4-4237=4**— 2059
——2 voorts AD 4**
CüV
V~ï%* -hy2 AC BD21— jX^ADx is ai*—xy Inhoud ABD
1/ 4*a 4- y" 4- 21 *—*y = 109
x/l^+y = ioQ-2ix-)rxy^
^+3/1=:II8BI-4578^4-2IS^+44l*^-42*,y+x!^^',
;c=;y».j»-4iar^4-2i8jrjr:4S78r-437*1-II88i *»j»-y*—lOO*y4-42jr= 4X'-2059
3i3*y — 42*a3/-423'= 4578*-441*2—9^2
l526i-i47*J-3£74 ,. . ...
jjat is y = ; du verwisield
ioóx —14*'—14 in de eerfte vergelyking.
komt



150 ONTBINDINGEN
komt 21609*6 -654444$5+7050650*4-32o6o336ar* + 53o?3»44 ** - 10064483* — 8793964, gedeeld door io6*+ —a968*' + nö28*1 —2968* + 1364*' — 2059.
De breuk gereduceerd, en verwisfeld; komt 20825 x6 — 64257a*5 + 74077 u*4_ 38159576*3
+ 770IJ 212 *J — 16 ! 75600 * — 8390400 = o.
Komt x=6, ix— 12 AD Perpend.
AIzoy=5CD, 21— j=i6BD. AD + BD =400; zynde 20 AB. AD -f- CD =169; dat is 13 AC,
Op deeze wyze loopt de Bewerking van het 53fte Voorftel m het vierde B-ek van Gieter mak>rS Schatkamer, zeer gefchikt af; het geen anders vee" omwegen baart: gelyk by die oplosflng in de Ma thematifche Liefhebber^ te zien is. 8 ■
XCVII. VOORSTEL.
BDiSj j. Pauw, en A. HiJMBoMée. Aatn
Meng. Stuiv. icg
i 12 ■ 448?
1 —— 5376 Stuiv.?
Komt 512 Meng. Wyn en Water, af 448 * Wyn.
Rest 64 Meng. Water, 0f £ Aam.
XCVIII.



der VOORSTELLEN, enz. 151
XCVIII. VOORSTEL. Door C. Steenhdis, A. F. de Pauw, A,
HARREBOMéE, E. gritteks, P. O T-
jes, A. Volkersf.) en j. Pauw.
»
1000 10 af
990
I2§
80 Zwaluwen.
XCIX. VOORSTEL.
Door A, F. de Pauw, j. Pauw, C. Steenhuis, A. H a r r E b o m é f , P. O t j e s , en A- Volkers
Dewyl de Lighaa:nen tot elkander zyn, a's de Qiben van hunne overëenkomlttge zyden , beeft men :
— ,3 — 1 f| : |i :: 32 : het onbekende.
Dus 45tI ffi.
C. VOORSTEL.
Door A. f. iie Pauw, j. Pauw, C. Steenhdis , en P. Otjes,
Uit hoofde van 't geen in 't voorbaande VoorRel gezegd is, heeft men , dat de Cuben der Dia* meters van de Stukken Gcfchut %ot eikander zyn, als 27 tot 04.
Dus dc Diameters zeiven in reden als 3 tot 4; en daarom die van het derde Stuk, in vergelyfring van de twee andere , 7. Derhalven is , door i.et voorgaande, 73 = 343 $ het begeerde.
CL



»5»
ONTBINDINGEN
Cl. VOORSTEL. Door P. Otjes, A. F. de Pauw, T. Pauw. A. Volkers e, E. Gritters, C. Steenhuis, en A. ÜARREBOMéE.
Stel het geld des eenen = *; dan is dat des anderen =35 —ar. Derhalven 35-1-45=70 — 2* 3*=66
3
* = 22 Guld. de eene»
L>us 35 —*=i3 * de andere.
CÏL VOORSTEL. Door j; Pauw, P. Otjes, A. F. de Pauw, A. Volkekse, li. Gritters, en A.
H A r r e b O M £ e.
Stel de Jaaren desoudften = en die des fongften =y. J ö
Dan is x + y+zsz=2 x, en x — y— 8= y
— -add.
ax 4-17 = 2*4-31
Dus y = 17 Jaaren de iongfte. sc=2j4-B = 42 * de omlfte.
CIII. VOORSTEL. Door P. Otjes, den Op9eever, J, Pauw, C, Steenhuis, A, F. de Pauw, E. Gritters, en A. Harrebomce.
Stel de Getallen =5* en 3*. Dan is 8x=4x*
4*
2 =x. Dus ic = 5*, en 6 = 3*.
CIV.



der VOORSTELLEN, ^r*. 153
CIV. VOORSTEL.
Dm A. Harrebomóe, P. Otjrs, A. F. de Paüv/, en ü. Gritters»
Stel het Geld =* Guld.
|* verloren
|x overgehouden. |*X3S=2* gewonnen, nog \x -(-50 Guld.
100 af ' j
Dan is 3^*—50=100 — *
of 4|* = 150
—— 6
25 r = 900
a5
* = 36 Guld. waar mede" hy het Spel begon.
CV. VOORSTEL. Door den Opgeever.
Om te beproeven of xzzn een Wortel ïyu kan van eene Mguatie van eeniga magt, B. V. de vier> de, gelyk ae volgende:
***+/3 *3 + y x1 + $ x + e ~o*
gaa ik dus te werk:
i, : \
Ik maak a ZZ —, n



154 ö N T BINDING EN
Md
bzz ,
b + y n
d b+l3 n
Zo du «4-rf~o is, zal xzzn een Wortel zyn van de JEquatie, en de overige drie zullen begreepen zyn in de volgende Mquatie van de derde magc:
dxs 4-ex' 4- bx4-a— o,
waar van de Coëfficiënten a,'bt c, er..d in de bo« venftaande bewerkinge reeds gevonden zyn; en waar mede-men óp gelyke wyze kan handelen, als met de voorgaandè , om de overige Wortelen te vinden.
Deeze Regel is al ré eenvoudig, om'eene nadere uitlegging ^oodig te hebber:; wy zullen het gebruik derzelve ilegts door eèn paar voorbeelden aantoonen.
Öm te beproeven of x—j een Wortel is van de volgende Mqmdraatifche Mguatie
4ax* — 224 jr» 5S5x* + 533 x - 0 :
kan men de betekening gevoegslyk in deeze orde fcbikken.
s — 105
T**~r. i > s^Sk
a — — 15
* = 5.33
«4-S zzzzz 51%
7 1 :
* === 74
y = - 385
b~¥ y



ftift VOORSTELLEN, ftfafc i5|
b + y — — 5u
7—
« = — 73 /8 =r — 221
C-r- /3 = — 294
d =2 ~- 42
<* 42
d-i- « o '
Dus * —7 een Wortel van de Mquatie; en dg drie overige zyn begreepen in de volgende CubiJctie Mquatie:
42*3 + 73J.i_74a.+ i5:-0<
Om te beproeven cf r~| een Wortel is van dé zelfde biquadraatifche Mquatie. gaa ik op gelvka wyze te werk. a J
a = — 245
533
^a-i-i 3E3 288
ft ^rz 67a '
_ y - - 585^
, b + f S- i<7 * "~~ 1— —■ c ZLZZZ 203
(3 - - 32t
. è -f- y@ — *- 18 f" 1



156 ONTBINDINGEN
d ZZ — 42 ei ZZZZt 42
i + x o
Dus xzz%ï; en de drie andere Waardyën van # zyn te vindén in de volgende Cubifche Mqualie:
42 a;3—203 #a —672*4^245—o
' 6*3— 29»'— 96*4- 35—o
welke altoos deelbaar is door 7, den Noemer des Breuks, waar mede men de proef genomen heefr.
Men behoeft zelden de berekening tot aan het einde toe voort te zetten, om te zien of de uitkomst nul wordt; want de deeling door « moet altoos opgaan : zo dra mèü in gebrokens vervalt, kan men verzekerd zyn, dat het getal «, waar mede men de proef neemt, de waarde van « niet is ; ook dan, wanneer n zelve een gebreken getal is, zo als in ou's iaatfte Voorbeeld; men weet, dat in dit geval de Teller des Breuks een deeler moei zyn van het laatfte lid, en de Noemer een deeler moet zyn van
het voorfte lid. * Men moet altoos zorgvuldig
op de tekens letten, zo wel van den Wortel, waar door men divideert, als van de Ccefficienten.
C VI. VOORSTEL. Fig. 31. Door den Opgeever, en A. F, de Pauw.
I. Stel in het midden D van den Bafis AB een Loodlyn LE, gelyk het vierde-gedeelte van AD.
II. Trek Ali; en befchryf uit i£ als middelpunt, met AE als Radius, eenen Cirkel ACBG.
III. Neem in den boog van het grootfte Segment ACÜ een punt C naar welgevallen, en trek AC en
BC; dan is AC*-hBC*- ABa+ A ABC.
B £.



der VOORSTELLEN, enz. i57 Bewys.
Laat getrokken zyn BF loodrecht tot AC; dan zyn de Driehoeken ADE en BFC geiykhoekig: want A ADE = A BFC = recht; en A AED = £ AAErJ=AAC£i. (Sw. 5 B. 3 V.)
Dus AD : DE :: BF : FC. Maar AD : DE :: 4 : I.
Derh. BF : FC :: 4 : 1, en 4FC=rBF; of 2FC = 1BF.
Nu is AC'+ BC*== AB + 2 FC.AC. (Sw. 2 B. 9 V.) Dus AC + BC =ABa+iBF.AC.
Of AC +BC =AB + A ABC.
Dat te bewyzen was. Gevolg.
Voor ieder punt G in den boog van het kleinfte Segment AGB zal men hebben:
AG+ BG = AB' — A ABG.
* CVII. VOORSTEL. Fig, 32. Door den Opgeever.
I. Stel BD = a; AB+EC = ar; AB = s + x, BCzzi — x, en AC~j; dan heeft men:
AB : BC :: AD : DC. (6B. 3Pr.) Dus AB + BC : AB :: AC : AD,* , „ Pf . eu AB + BC : BC,:: AC : DC. j ' *
L 3 Der«



3|8 ONTBINDINGEN ABxAC
Derhalven AD = .
A3+BC '
. - BCxAC
en DC = ~ .
AB + BC
ABxBCx AC*
By gevolg ADxDC— .
(AB + BC)8
O» —x*)y*
Dat is AD x DC - .
4<a
II. Laat om den Driehoek ABC een Cirkel befchreeven zyn, welke BD, verlengd zynde , in F ontmoet ; dan zyn de Driehoeken AFB en DCB gelykhoekig; want AF~ AC (3 B. 11 Pr. )♦. by. gevolg
AB : BF :: BD : BC Dus ABxBC = BFx BD=:(BD + DF)x BD~
BD + BDxDF-BD+ADxDC, (3B.a3Pr.JI (j* — x*)y*
Dat is stL — z"-~a>+ . (N°. 1.)
4*J
Cf 45* — 4s*x*—4a*s'+ (s' ~x2)ya. Of (4iJ —y' ;i2—4** —4 a**2 —f'j!'
j'(4Ja—4a2—3>*) Dus xs = .
4*2-?a
HL Laat AË loodrecht op BC Aftaan, dan heefe ^aen:
1 s Sin. AB :: AB : AE=AB. Si* tB, sa 1 ; Co/. AB :: AB : BEc=AB. Co/. AB.
Das



c
des VOORSTELLEN, enz. 150 Dus CErrBC —AB. Cof. Z.B, en CË'-BC - 2 AB. BC. Cof. AB 4- AB. CÖf~£ti . Maar ae°~ . A~b\ Sin. L.B*.
Dus AC2-BCa—aAB.BC. Cof. LB + Kb.
Dat is ^ra^-r-s*1 —2 — Cof L. B.
Of j»= 2 r' (1 - Cof. L B) + 2 *2 C1 + Cof. L B )
y-zsXi-CofLK)
Dus acs ="—. .
2(14-Co/. ab)
«
IV. Als men nu de beide WaardySa van ** roet elkander vergelykt, heeft men:
fsC4iJ-4a'-3i1) ' y2—2ja (i — CofLB) 4S'—y' 2(l + Cof.L B~)~
4j»-4a»_i? yi — 2st(i—Cof,L,B) Of =
4i2__j,a 2i2(l + Co/.Z.b)
f t _ 2faO + Co/- AB}
4f3-j» ara(r + Co/.Z:8) ~"
4fle 4f9—.«y» 4ia-y» 2x2(j4-C(j/;aS)* Dus Us^—y'y =z Qa2s'(i + Cof.LB)
4ja—J1 = 2 a f i/^i"Tq/TZ Bj,
en y1 = ^s'—zasy'^iT^CofTLB).
L 4 Maar



l6o ONTBINDINGEN Maar Va(i+Cof. AB) = a Cof. i£Be Derhalven yzzVAs' — qas.CofiLB.
G e v o l G>
y* ==4 j* — <\aséCof. £ A B.
Dus ïas.Cof.i AB=4f3— jr%
(2*4-31) (ax—y) Cf Cty. $ AB = - '
(f+jj) (j~ly)
ax
Waar door het Voorftel opgelost zou zyn, in» dien gegeeven was AC , AB 4- BC, en BD j en ' men den hoek B begeerde te vinden.
ISB. De boven genoteerde aanhaalingen bedoelen de Meetkunde van P. Steenstra.
CVIII. VOORSTEL. Ftg. 33. Door den Opgeever.
I. Verleng de eene grondlyn AC tot in E , zo dat CE gelyk zy aan de andere grondlyn.
II. Befchryf op de grondlyn AC een gelykzydigen 'Driehoek AFC; en trek de Lyn FE.
III. Neem op EA het (luk EG gelyk aan EF, en trek uit G, tot EF, de Lyn GH, eVenwydig aan AF,
IV. Snyd van de Lyn EH een ftuk EK af, gelyk de helft <~L van de eene grondlyn AC.
V. Befchryf met HK als Radius, uit A en C als middelpunten , twee boogen , elkander fnydende
VI.



dbr VOORSTELLEN, ewz. 161
VI. Snyd van de Lyn EH een ftuk EI af, gelyk èe helft EM van de andere grondlyn CE.
Vil. Befchryf met Hl als Radius , uit C en I£ als middelpunten, twee boogen, elkander fnydende
10 VM. Trek de Lynen AB, BC, CD, en DE; dan is ABC de eene Driehoek, en CDE de andere.
Bereiding.
Men trekke in den gelykzydigen Driehoek AFC de Loodlyn FL; en in de gelykbeemge Dnehoeken ABC en CDE de Loodlynen BL en OM,
B e w y s.
I. Dat de Driehoeken ABC en CDE gelykbeenig zvn, volgt uit de bewerking ; want AB BC HK CBew. V.), en CD "DE" Hl. CBew, VIL) C llT Dat de Driehoeken ABC en CDE den zelf. den Omtrek hebben, blykt hier uit:
Vnmerst AL=CL = EK, (Jfc* IV.) enAB=BC = HK; {Bew. V.)
Dus AB + ALr BC + CL~H b'. Of A8 + BC4-AC-2HE
Ten tweeden CM=EM = 1E, (Bew. VI.) '.'en CD = DE = Hl; (Bew. VII.) Dus C D + CM zz DE + EM zz HE. Of CD + DE+CE = aHE.
Maar AB + BC + AC = aHE.
Dus AB + BC + AC — CD + DE + CE,
L 5 m'



ïö2 O N T B I N D l E G E N
III. Dat de Driehoeken ABC en CDE van gelyken inhoud zyn, kan men aantoonen op de voU gende wyze:
AE : FE :: GE : HE. (4 B. i V.iG.)
Of AE : FE :: FE : HE. {Bew. III.)
Dus Fe'= HExAE. (4B.7V.5G.)
Maar K*==FCJ*+CÊa+aLCxCE. (aB.aV.)
Dus HEx AË^FcVcÊVaLCxCE.
Of HExCAC+CE) = AC2+CË%ACxCE.
(TB. ii V, 4G. )
Als men- deeze gelyke hoeveelheden multipü. ceert, eerst door CE, en dan door AC,
komt HExCACxCE + CË)r:AC2xCE+CË34.
ACxCÊ*
en HExr AC,4-ACxCE)r:AC,+ACxCË,+
AC x CE.
Dus HtxCCE — AC ) = CË3— AÖ3. ' Of HExCi1— HEx AC = cT— AG3. Of HExCfi*-CË3=HEx M^-AC'. Of CË x(HE-CE)-AC x(HE-AC). Dus CË x (BI+IE-alË) - AC x (HK+KE-aKE). Of CK x(HI-IE)~AG XCHK-KE).
Of



©er VOORSTELLEN, ehz. i6g
Of CÊ1x(HÏ-IE)xHE=AC3x(HK-KE)xHE,
Of cTx(HI^IE)X(HI + lE)-AC x CHK-KE)
x (HK + KE).
Dus C^\(HÏ-Ïb') = ^^(hY —kê") • •
(2 B. 5 V.)
Of CË xCCD*— c¥lï)=AcIx(AB,-AL3), j
Dus CË'x ÜMS= AC'x BL,\ (SB. 1V. i G.} ;. Of CEx DM = AC x BL. Dus A CDE = A ABC. (2B.6V.1G.} Dat te bewyzen was,
Aanmerking Dc aanhaalingen zyn uit de Grondbejinfels der Meetkunde van den Hoogleerbar J. H.
VAN SwiNDEW.
CIX. VOORSTEL.
Door A.. F, de Paüw, C. Steenhuis, en J. Pauw.
Stel voor de drie Cyfferletteren x, y en z.
Dan is ioo^-hioy+ai+792—x+ io^-i-iooz
of ggx + jgzzBygz
x+ 8 = z
Hier uit blykt, dat x— 1, en z~9 tnect zyn. Dus yse i/*zr=3. Derhalven 239 het begeerde Getal,
cx.



164 ONTBINDINGEN
CX. VOORSTEL. /%. 34. Dcor den Opgeever,
AFAB gelykvormig &FCDs Gronden der AËCB gelykvormig A E AD J Meetk. 10. III,
Daaröm
AF : AB :: CF : CD. f x : 1 :: 24-y : 3
_J3* == 2 4-ï
ac = = | = AF.
3
BF : AB :: DF : CD. * y : 1 ;: 44-* : 3
3y = 44-*=4+
3__
$y = 144-^
8j = 14
8
31 = \ = BF. Dus DF=AD4-AF = 3|. I CF=BC4-BF=I|.
« . WederÖm
BE : BC :: ED : AD. v : 2 :'.'34-m' : 4
64-2»» = 4V



öeo. VOORSTELLEN, enz. iCS
w = 2v — 3Z f ~EC
EC : BC :: AE : AD. w : 2 i + v : 4
4w == 24-2V 2 "
aw — i + v = 4V — 6 3V = 7 3~T = | = BE.
Dus DE = CD4-CE = I|. AE = AB4-BE=
CG en EH perpendiculair on DF getrokken zyn« de, windt men, door de drie zyden van den Driehoek DCF, DG± 'f.
Verder DC : DE :: DG : DH
3 . i* :: : '§ = DH.
H = DF. i ——--afg.
£f = m-
DË2-DHarËTla.
I9ö _ ioo — 33
ËHa+FHa-ËF\
Tll/floöS^EF» 4e begeerde afftand.
CXI.



ffi ONTBINDINGEN CXI. VOORSTEL, tig. & Door den Opgeever.
J' JVaü„'t SeSee¥ej5 i>"nt P trek een Raaklyn PA aan den Cirkel, en befchryf op dezelve een balvenCirkel; trek de Radius BC perpendiculair op AP, en trek de Chef de PC. H '
II. Uit P als middelpunt, met PC als Radius* befchryf den öoog DE , fnydende den Cirkel in Q; uit P trek door Q de Lyn PR 5 dan is het begeerde verricht.
B E W ï Si
_AP3= PR, PQ. {Steenstra 24.3) 4BP* 4
"a PC* PC =. PQ. Confir.
—— — -gedeeld*
2PC = PR,
Maar 2 PC Sb 2 PQ. Derh. aPQ = p^.
Dat tt bewyzen was.
CXII. VOORSTEL. Fig, 36". Door den Opgeever,
I. Laat de Lynen RS, TV in de gegeevene R@. den zyn; uit het punt P trek PG perpendiculair oö de rechte Lyn AB. K
II. Zoek een vierde-evenredige tot RS, TV, en PG; verleng PG, zulks dar PH gelyk aan die evenredige zy, Trek HF parallel AB; dan uit F,
dotf



beh VOORSTELLEN, enz. iÖ?
door 't punt P, getrokken FE, waar mede het be» geerde verricht is.
Bewys.
PS : PF : : PG : PH. (Meet*, tu IV.) RS : TV :: PG : PH. (Conftr.)
PE : PF :: RS : TV.
Dat te bewyzen was.
CXIII. V O O R S T E L. Fig. 37. Door den Opgeever.
Laat de gegeevene Grootheid den Rechthoek RSTV zyn.
Uit hec gegeeven punt P trek tot de gegeevene rechte Lyn AB de Lyn PE — RS ; uit P verleng dezelve, tot dat PF_rt<.Vzy; dan befchryf op PF het Segment eens Chkels, dat een' hoek bevat =r £BEi< ', fny Jende de andere gegeevene Lyn CD in ti. Uit H trek door 't gegeeven puüt P de Lyn HG, daa is 't begeerde verricht.
Bereiding.
Trek de Lyn HF.
Bewys.
GP :_PF_S: EP : HP. (Meetk. ii.IV.)
W "lIF
~GpT HP = RS, RV.
Dat ie bewyzen was.
CXIV. VOORSTEL. Fig 38.
Door den Opgeever, A. F. de Pauw, ƒ. Pauw, en C. Steenhuis.
Laat



IÓ8 ONTBINDINGEN
Laat AB 40 —
CD tpzzb, Inh. 17427 — Q, en de proportie van "t □ des Diameters van een* Cirkel tot deszelfs Inhoud :: 1 : p zz, 785 zyn. Stel de hoogte van den afgekorten Kegel ON zz
a a-b
CVzzx. Dan hebben wy AN zz —, en AP-
.« " 3 Derhalven AP : CP :: AN : VN.
a-b a 1
Dat is —— VN. 2 2
ax
Dus VN =
a-b
ON = x
* • afgetr.
bx
OV = .
a—b
ax
By gevolg Inh. AVBA =: -— x a*p
3. a — b bx
en Inh. CVDC = —-— x b'p" 3-a—b
m -i -— * afget.
a3 — b3.xxp Inh. ACDBA zz = . . .
3.a-& a*—hab + b'.xxp
Dui



der VOORSTELLEN, enk io>
a' + ab+b* ,xxp Dus — - Q
—■ ~ 3j
a' + ab + b' .xxp — 3Q
^ _ 3Q """"
Toepasfing in getallen, fl1 ~ 1600
ofc zi 1200 Q zz 174a?
fc1 — 900 • — 3
————— 3Q — 52281
a*+ab + bazz 3700
P - ,7^5 ■ ■ verm.
a*-\-ab+b'xpzZ2^04,5
3Q 52281 Derhalven ■ — ■» — i3 Düï?
aTT^4:Fx)> 29°4'5 men, de begeerde hoogte.
CXV. VOORSTEL. Door A. F. de Pauw, C. Steenhots, S. van dek Paaüw, E. Gritters, en j. Pao w.
Als de middellyn van een' Kloot 1 is, dan is, volgens de proportie van ArcMmedes. de Inhoud \\,
Derhalvsn \\ : 16x8X5 :: i3 : x*
Of 15 *^ — 1^44o 51—™,— 11..
M *3 =s



j7o ONTBINDINGEN
3 jr3 = i22i.8i fife.
V
x=z 10,7 naby, voor den begeerde® Diameter.
CXVI. VOORSTEL.
Door S.'van der PaAüwr J, Pauw, den Opgeever, A. F. de Pauw, A. Meïer, C. Steenhuis, en A.
H a R REBOMéE.
Stel dat A bet Werk kan doen in x, en B in ydagen.
Dan is 't gedeelte desWerks, 'twelk A in één dag; i
afmaakt, = -en dat, 't welk B in één dag af* r
X
maakt, = -.
y
i i
Derh. fc .n - -i- - X 12 = *>
* y
Of x+y x 12 = xy.-
Qok is x-\-y x * = 1000.
gedeelC
12 xy.
x 1000
Of x2y = 12000. Maar x7 + xy = 1000.
x3 + x*y = 1000* x2 31 =2 12000 « —— -afgetr..,



©ér VOORSTELLEN, ÈUz; ift
X* = iooo* — i2o0o
of X3 — 1000 *4" 12000 = 0.
Hier uit vindt men * = 20 dagen Ai
i2c0o
Derhalven y zz = 30 dagen B«
**
cxvii. VOORSTEL.1
Door A. F. de Pauw, A- van Laon, Mever, S. van dek Paauw, C.
STEENHUÏSj A. HARREBOMéE,
E. Gritters, en J* Pauw.
Stel den Teller des onverkleinden Breuks ±±xyi dan is de Noemer =zxy+&4»
x
Derhalven is de verkleinde Breuk *■
24 *+ —
y
Dus — zz 3» of 5 zz 8i f
Verder Qèx + Q^]'+ x+s\a>) X9* — ?3?fö6ö
of 585*34-3510x*+5265* = 3378960
385
*s +6 a;2 4-9* = 5776
x3 + 6 v' -f 9* —5776 —o Hier door * zz 16,
M a Dus



%1% ONTBINDINGEN
xy 128
Dus — s
*3f-r-24 15a
* 16
24 19 *4- — -
y
CXVIII. VOORSTEL. Boor S. var der Paauw, A. F. de Pauw,
A. VAM LAUN, C. STEHNHOIS, J,
Pauw, en A. Harrekomóe.
Stel voor de Breuken * en y ; dan is het omgekeerde derzelven ('t welk men verkrygt, als men
1 1
elk der Noemers door zyn Teller deelt) - en -.
* 3
Nu is volgens het Voorftel
1 1
- = Hl
of y1 =zx + xy'
—-
Dus * = j
1 + yt J. afgett. m I
Wederom «4-31 = — I ïccj
1114-1131* y = —"
100 4-100 y*
1 11 ico 4- ioo y*
IOO



der VOORSTELLEN, ENa,
ic3oj' + tooy3 = 111+ n y*
of 10031' — 11 y' + 10031- 111 — 0
233* f 1631+37 ——
4 Dl—3 = *
of y = II
% 'de begeerde
_ y _ o f breuken, e n * - zz s | |
i+y' J
CXIX. VOORSTEL.
23oor A B. Strabbe, K. Smit, A. F. dB Pauw, a. van I. aun, C. Steënhuis, J. Pauw, A H a r r f b o m é e , en den Op o eevek.
Stel x en v voor de begeerde getallen; dan hebben wy te bepaalen
x^ + xyzzOt en y + ïjr □.
Stel x* + xyzz x*z*
x
x+y zz xz*
yzzxz* —x~z% — 1 .x
Dus j* =zJ — li . x*
y* + xyzzz* — z% .** — z2 —i.*az* Derhalven 2* — 1 = □•
M 3 Stel



ONTBINDINGEN v
Stel den Wortel =ztA-;
v
2VZ V*
, Dan is z1 — i = z' — 1
i1 ' 1111 1— 111 ■ _J 2j>a
Of — + i
i 'W*i !
2VW2 ~ Va+W1
Va + W* z == •
zvw
V'1 — '»*
Daarom »a — i 1
2VW|
cc?' »— ,3
v*—.*
en 31 zz _ . .
2VM>1
By gevolg 2vw|a.j = vJ — wa|%#
Neemende nu * = 2vw\ ; dan is j — y4 —- w* | *; 1 waar door de begeerde getallen tot in het oneindige bekend zyn; mits v>w ftellende.
Neem via, en wzzi;
dan is c i6ï de begeerde Geta}]eQ<
Of peemende y:i3, en w~2;



»as VOORSTELLEN, &Kz* f75
4ao is * = M4\ de begeerde Getallen, en 31 = 25J
En zodanig kan men tot in 't oneindige heele Getallen vinden, welke aan den eisen, voldoen.
CXX. VOORSTEL. Door den Opoe ever.
Stel de duurte der Koe = x.
x
Dus 7 Gl. : 1 Gl. :: * : - de Accys; addeer 7
hier by 100 GL, zo is de Som de waarde van de Koe. '
Derhal ven x= 100 4
1 J
— 7
7*-=7co 4- x
of 6* = 700
6
* = u6| Guld.
CXXI. VOORSTEL.
Door A. F. de Pauw, C. Steenhcis, E. Gritters, S. van der PAauw, At Meyer, J. Pauw, en den Opoeever.
14 • Winst is 60 Ggl. Ï40 Gl. minder verkoop Ioo *
Dus verlies 40 Ggl.
M 4 ó£



T76 ONTBINDINGEN 6i ——- ioo 40 Ggl.?
Komt 640 Gg'. Inkoop. 6b * Winst.
700 Ggl. Verkoop,
h Ggl. 70
Komt' 10 Lssten.
L-aaröm 6|§ — 64 Ggl. 't Last Inkoop.
CXXII. VOORSTEL.
Dm A. F. de Pauw, j. Pauw, E. Gritters, A. Meyer, C. Steenhuis, S. van der Paauw, en den Opgeever.
Stel de Spillen in den Breekfteen ~x, dan'zyn die in den Maalfteen zzx4-3.
. *l = *a
< verg.
2*a + 6* + 9
** + 3*
■ ■■ ■ afgetr. 6i£
4
*a + 3*+9 zzzzt 247 Kammen
x3 + ^x + ^ z=z 2404;
,/
x + ii ZZZZ 15^
* zzzzz 14 Spillen in den Breekfteen.
*+3 = l7 o in den Maalfteen.
CXXIII. VOORSTEL.
Door A. F. de Pauw, S. van der Paauw, l. E. Gritters, J. Pauw, A. Meyer, en den Op oee ver.
Vol.



der VOORSTELLEN, ehz. 177
Volgens het Voorftel geniet A zoo veel va de WinstT, als met ƒ5000 gewonnen wordt; zal dit nu maar f zyn , dan moet het geheele Capitaal ƒ 8000 zyn, en dus moet B f 2000 byleggen.
CXXIV. VOORSTEL.
Door S. van der Paauw, A. F. de Pauw, A. Meyer, C. Steenhuis, j. Pauw, den Opoe ever, ë. Gritters, en A. Harkebomók.
Stel voor de afklimmende Arithmetifche Progresfie der Cyfferletteren af-t-8, jc, en x—'a. Dan hebben wy door bet Voorftel
100*+100 a x 10*
x— a
— verg.
Jii*-r-QQa = 4ifx3*~l25ï#
tajX = 99 a
?
99* = 7x990
99 1
x = 7a
100*— 100 a 10*
*•+- a .in ■—ver 2 b
llix-h 99»!
198 a ~ 198
198 ——
a zz 1 Dus x zz 7. Derhalven is 8?6 het begeerde Getal.'
M 5 CXXV.



i7S ONTBINDINGEN
CXXV. VOORSTEL.
Door A. F. de Pauw, den Opgeever, en J. Pauw.
Stel de Quotiënten, die voortkomen, als A doof *» 3» 4--gedeeld wordt, = *, ;y, 2. Dan is AzZ2x+izz^y+2zz4.z+^,
3*4-i = 3D» + 2
2* = 3y+i a :
2+1
« = y-\
y+i
Stel = p
2
Dan is y -+-1 = ip
y = 2p — i Hier door A~ 3y4-2ró> — r,1
Verder 42+ 3=6^ — 1
42 = 6/1—4
4
P „
%—p— 1 4- —. Stel dit = j,
."3; .
Dan is p == i q
zzzp — i+q-^a—ï Dus A~4Z-f-3 —125 —1. ^eem $ op 't kleinst iij dan is Ag 11.
Tm



per VOORSTELLEN, ehk 17*
Ten tweeden,
B + i8 = üC+36
B = aC + i8 en C = i B ■— 9„
Ten derden.
Stel de Quotiënten , die voortkomen; aïs E dooi A. en C gedeeld wordt, zzv en
Dan is B-Av+iinv+i
en BrCw + a-CiB —g)«' + a — i B w— 9^ + 2
£ Bw—B~9 w—3
9w—3 18w-4.
£w-r-l w — 3
i8m>—4
Dus iiv+i — ——
w — 3
Brw+tt> — 22 v — 3 — i8w—4 uvw — 17w 22 v — 3
22v—2 32 w = ~ 2 + 6
iiy—17 iiy--i7
» 32
Stel =& 2f
11 v-17
Dan is 32-a7rv—34r
2 — 1
lór nrv—17»"
lgm~m mAXA
of



30<* ONTBINDINGEN of nrv~i7r + i6
o>4-5
rvzzr+'i 4 .
6r + i
Stel = *
, ii
Dan is 6r+5 = ii»
of 6r~ ii 1 — 5 <5 „. j .
5f —5 r = H .
a—* . 6
* , Ss-~3
Stel — .5* -
- 6
Dan is 5 j — 5. = 30*
of 5 ƒ =30*4-5
5:—"~—~ ;—4
f = 6f + i
Dus r = 111 4. 1 r v = 17*+ 3
Neem ( = 0, dan is s — 1 . r = 1, ry = 3, by gevolg v = 3.
B=uv-r-1 = 34. Derhalven zyn de getallen
A ==Ü



der VOORSTELLEN, fiMzi %U
A = ii.
B = 34C = 8,
CXXVI. VOORSTEL. Door A. F. de Pauw, den Opoeever, »»* ü. van der Pa au w.
Lees in de vyfde regel van dit Voorftel 6385»
in plaats van 63015.
Stel de Jaaren des jongften =*, en die des oudften =y. Dan heeft men volgers bet Voorftel " 4*J + y' + 17 = 6385, en xy—,16* — 8j= 464
of xy — 8 y~ 464+ 16*
at—a 7-
' 4644-16*
y =
x-8
, V
2152964-14848 *4-256x*
>a
*»-—16*4-64
4** —64 *3 4-256*'
Derhalven 4*1 zz "
x* —16 x -1-64
2152964- 14848*4-25°'*''
^ x'—16x-M4
464* + 16 *a
*y ~ —
x — B
. '"verg.
4*9-r-



tU ONTBINDINGEN}
qx*+y' + xy = ....;
45+ --48 x 3_+j!48 *' +11136 * 4.21529^ *2—16*4-64 Maar 4*1 4-4-*J» = 6385 Daarom
4 ac*—48 *3 4- 848 x" +11136* 4- 215296
——— 1 —— — 6385
x1 —16*4-64
4*« — 48 *3 4- 848 *' ■+■ 11136 *+ 215296=6385 x1 1021 co * 4- 4.08640
Of 4**—48*3 —5537**4-113296*-193344—o
Hier uit vindt men *~ 24, de Jaaren des jongften, 4644-16*
Dus y — — 53» de Jaaren des oudften.
*—8
CXXVII. VOORSTEL.
ïhor den Opgeever , A. F. de Pauw, en
A. Mever.
Kaas Kaazen .1 — 4I —- 400 ? Komt 1900 fjg,
* Ê 100 —ƒ14: — : 8 — 1900?
Komt 10659 halve Stuiv.
ii ■ —
969 Zesthalven 8 te min ontfangen.
961 Zesthalven ontfangt de Boer voor zyn Kaas.
Dm



BER VOORSTELLEN* ENzi 183
Dus 961 Zesth. aan den Driehoek, Inhoud van eene Arithmetifche Progr efie, met i beginnende, en mee 2opklimmende,
y —
31 Termen der Progresfie* 1 Opklimming, ■ — verm. 62
af 1 eer Re Term
61 Zesth. in de onderfte regel, laatfte Termi
T«rwyl nu de byvoeging aan iedere zyde één onder de eerfte regel begint , en met 1 opklimt, zo volgt , dat ieder onderfte regel van het bygevoegile 1 minder is, dan de regels die 'er lagen; ea daar dezelve drie maal zo veel waren, als de Zest« halven in ieder regel, zo volgt deeze bewerkinge.
3 maal
2 beide zyden'
6 maal de Zesth. in ieder regel min ft* 1 middenfte regel. 61
7 63 1?
Komt o Zesthalven in ieder regei« Dus 27 regels eerst gelegd. Derhalven 243 Zesthalven, die eerst geteld lageüi
CXXVIIÏ. VOORSTEL. Ag. 39» Door den Opgeever.
I. Voeg de punten A en B te famen. üit A trek ^F^Pqperpend. op AB, en trek BF.
ÏL



a8* ONTBINDINGEN
II» Deel BF midden door in G, en uit G trek GH perpend, op BF, fnydende AB in H.
III. Trek HC perpend. opAB, ontmoetende DE in C; trek vervolgens AC en BC, dan is het begeerde . verricht.
Bereiding*
Trek FH.
Bewys.,
Volgens de ConftruStie is dï D^Uloëi Br.F gelykbeenig, daaröm
BHS= FH*
AH = AH • —— ■ afgetr.
Bti— AT32=: FHa— AH -
AF =: PQ* Confir. Bfï'—A~H BC*— AC * Grond, der Meetk. 7. II.
Derhalven BC*— AC*= PQ.
Dat te bewyzen was.
CXXIX. VOORSTEL. Fig. 4a Door den Opgeever.
Laat ADEF den gegeeven Rechthoek zyn; dan
I. Deel AB en AF ieder midden door in G en H, en trek GK perpend. op AB.
II. Uit A als Centrum, met AH als Radius, befchryf een' boog, fnydende GK iu L, en trek AL.
III.



der VOORSTELLEN, Enz, i8y
III. Uit L als Centrum, met AL als Radius, 'iefchryf een Cirkel, fnydende DE in C, trek AC ca BC, dan is het begeerde verricht.
Bewys.
CM perpend. op AB, of haar verlengde, getrok*
ken zynde, is
AC, BC=aAL (2 AH) x CM. Meetk. 15. III. ^tTThLTcönftu
Dat te bewyzen was.
CXXX. VOORSTEL. Fig. 41. Door den Opgeever.
Constructie.
Trek den Diagonaal BF; maak Ra = AB„ en uit A en D, a's Centra, met Fa als Radius befchryf twee Cirkels, fnydende de zyden van den Zeshoek in K, L, M, N; trek de Lynen KL, LM, MN en KL; dan is het begeerde verricht.
Bewys.
Laat AB en DC verlengd worden , tot dat ze elkander in P ontmoeten; dan is BP = AB. Verders uit het middenpunt Q getrokken AQ, fnydende BF in G; dan is BG = FG, en AG=iAQ = £AB. Derhalven heeft men
B(j'zz AÏT— AÖ'zz f ABa
~~zr,—~~ zz;—4 v
4BG = BF* — 3 AB*
Verder AK = BF - AB Conjlr.
— , BF
N AK,



186 ONTBINDINGEN
AK, BF =BF* - AB, BF = 3Atf"— AB , BF
AB —
AK BF
—— -3AB-BF=3AB-(AB+AK)=aAB-AK. AB
Ook is KN parallel BC, en KL parallel BF ( Grond.
der Meetk. 24. B.j}
Daarom j>B_ : pk_ :: B£ t KN.
"aÏÏ": a"AB~-ak TTaB : kn.
Dus KN == 2 AB — AK. Wederom AB : AK : : BF : KL.
AK „BF
Dus KL = .
AB
Derhalven kn = kl. CXXXL VOORSTEL. Door den Opgeever.
Ik Rel de drie getallen a;, y en z. xyz + x + y-v-z—a1, xyz—X—y — z=b2-t en om te verkorten xy — », en x+y.~fi* Dan moet men hebben
»z-\-@-\-Z = a\ »z — @—z=b3.
aa — fi
Dus z = .
#+1
b*+0 en z = —.
Der-



der VOORSTELLEN, enz. 1B7
a* — @ b* + /3
Derhalven zz\ .
a + x a — i
c*-f3 = b> ( ■ ) +/8 ( 1 ,
\oi — X' \» — X'
/oi + l\ Sco + I \
en c' — b* ^ J + /S ^ + ij.
Om l'et tweede lid van deeze JEquatié tot een Quadraat te maakea, Rel ik vooreerst «+1
=p'.
<&—!
P'+l
Hier door heeft men aZZ , en a* zzb* p* +
p'~x
0>* + i).
Ik ftel ten tweeden
aszbp + rt Of o* = tapa + 2&pr + rs. Dan is nbpr + ri = @ (p' + i),
/8 (P' + O — r« en £ = •
2pr
fi 0>"+O +r*
Dus a = .
2r
Zo wy nu wederom xy in plaats van « Rellen, en x+y in plaats van y3, vinden wy de volgende uitdrukkingen:
p'-hx
xy =
/>a-i
Na a =



i8& ONTBINDINGEN
l—fff i 1 n
* i * = ■ • - ' '
'"- apr
a' — x—y b* + x+y
xy + i xy—l *
Waar iri men * of y en r naar welgevallen kas nemen; doch p grooter dan i«
Zy pzzrz:3, en xzz i ; dan is azz-5-kt èzz^i y—i$, en z — 11+
*vz = a*-|.
De Som = = (*|)4 = «*• Het verfchil = r| = (|/ = b\
Zo men neemt fr2, r~4, en *~5; dan ia a-5f, *=f, yzzu en s-8f,. _,B ^
. xy? r= '1°. *+?+z =^_If6-_
De Somc= afö = ('f)1 = «*• Het verfchil =. | 3= (O* = £2.
Deeze getallen zullen altoos nog zodznige éigen» fchap hebben, dat een rationaal Quadraat is»
CXXXI1. VOORSTEL. Door A- HiRREBOMéE-, «Vb Opgeever, en
S. van der ïaaüvv. „ ,
Stel



»br VOORSTELLEN, e»e. 189
Stel de Maand =*, en den Datum =y.
Dan is, volgens het Voorftel,
y/xy — 2C=x + 4» en i/*y— 2ory —7
_ ■ »/
«31— io-** + 8*4-16 Ook i* y —7=:*+4
y = *+ii
Dus *y-20=** +11*—oor:*'+ 8*+16 3* ==S<5
a; = ia de Maand. y n *+11 zé 23 de Dag.
CXXXIII. VOORSTEL. Door den Opgeever, en S. van der Paauw.
x-hy +z=b
x* + zxy+y2 + 2*z + 2 yz + z'zzb2
x2 . . . + y* +z'ZZe
. afgetr.
2acy . . . +2*z+2yz = &J — c ft ■
*j . . . + *z+ yxz:
2
iii -+-+-—«
* y z - ■ * y 2
yz+*z+*y=0*312
£a —c
Derhalven a*yz =
2
N 3 Of



ïqo ONTBINDINGEN b'-c
Of xyz = .
ia
Nu is bekend de Som der getallen — b, de Som £3 — c
der prodttSien twee aan twee ~ —-—, en het pro^
3
b* — e
der getallen — ———.
sa
Derhalven zal de oplosling van deeze Vergelyking
b*—c b' — c
A3 — bA* 4 A — • r o de Groot-
3
heden *, y, en 2 doen bekend worden.
Nu is gegeeven a~{£, bzz ï8, en-{26. Deeze waarden nu gefubftitueerd in de boven gevonden* Vergelyking, heeft men
A3 —18 A' + qq A —162 — o. Waar door *, y9 en z~3, 6, en 9.
CXXXIV. VOORSTEL.
Door den Opgeever, A- HARREBowéE, en S. van der Paauw.
De tweede Vergelyking tot de derde magt ver» heven, heeft men
x-\ry + z\% — x*+y* + z3 1 + 3a:3X3)+z| + 3/X*+z^ =iK
+ 6xyz J
Hier



der VOORSTELLEN, enz. 191
Hier van x3+y3+z3-2*yz-C-$xyz afgenomen,
rest 3*»xjl-l;+3/X*+z + 32ix*+^ + 9*:y*= b3 — c+sxyz.
Maar 3*,x^+z + 372X*+z+3z,Xir4-7 + 9*3»* i>
= 3X*+lv + 3 x *;y4-*z + :yz.
Derhal ven 3 x x+y+ * X * J+* z+3> z - £3 - c 4- 3 * jz.
Of, om dat x+y + zzzb, en door herleiding der eerfte Vergelykinge,
xy + xz + yz—axyz is, heeft men
^abxyz = bi—c + 3xyz
Of $a~b — 3X *^z=A3 —f Z>3—c
Derhalven jc.yz — •
3flfc— 3
ab3— ac
Waar door *r + *z + vzz:ffl*jz ~ •
S»* —3
Nu heeft men weder de zelfde bekendheden als in 't voorgaande Voordel. Derhalven zal de oplosfing van deeze Vergelyking
ab3 — ac b5 — e
A3 — b A* 4 A —— ro
30& —3 $ab—3 de grootheden j, j- en z doen bekend worden.
Nu is gegeeven azzijl, £-9» c-°9 5 yaar door de gegeevene Vergelyking verandert m A3-9Aa+a6 A—241=0, en hier uit zyn de Wortel? », 3, en 4 = *> 3* en z'
CXXXV. VOORSTEL. Door dtn Opgeever.
N 4 Ste)



Mi ONTBINDINGEN
Stel voor de zyden ** — y*, cxy, en x2+y3.
Dan moet baar Som, of ax24^2sy. en haar Som + den Inhoud, of 212 + 2xy + x3y — xy3 ieder == □ syn.
üewyl nu 2*J.-f 2xy + x3y —xy*zz 2x' + 2xy x
i + ixyr-±y* is, zal het 'er flegts op aankomen, om deeze beide Faftores tot Quadraaten te maaken , • waar do:?r aan de verëischtens van 't Voqrliel voldaan zal zyn.
Stel nu 1 -tr^xy — iy* — aa.
Dan is xy—f = 2ac — 2
Waar door x—y xy = a— 1 x 2a4-2
Of * — y xj=a-i-ix 2a — 2.
Dewyl nu a;>3! moet zyn, kan men hebben
. OO *-3>=2a-|-2 (2.) *-;y=ï a+i enj= ü — t y — 2a — 2
Dusx=3a + i Dus * = 3a— 1
Zo ras nu de waarde van a pofitif is , zal * >j zyn , en deeze beide waarden van x en j zullen i-r-ixy«—iy* akoos =□ doen zyn.
Nuinoetnog 2xa + 2xy, of t+yxa^rD zyn. Indien men de eerst gevondene Waarden van x en y in deeze uitdrukking fubftitueert , verkrygt eb en 24 a2-!- Ba, 't welk zeer gemaklyk tot een □ ' te maaken is. Want ftehcnde deszelfs Wortel
dan is 4a2t2 = 24aa 4- 8a ■ —1 . ——■———« of 4aJi2 —24a" = 8a
Dus



oer VOORSTELLEN, enz. 105 Dus a ps
i'—è
b*
Waar door *=s«+i = — > en j=a—1
i»— 6
8-*»
"*" b' — ó'
Nu kan men * naar welgevallen neemen, doch >V/6 en <i/8. Neemende fcr=a£, dan is *r25» en )>-7* Waar door «»—y*=:j76» »*:y = 350, en * 4-
Maar wanneer men de tweede gevondene Waar.' den van * en y gebruikt, om in x+y*zx te lub. flitueeren , zal Ja—3 X 6 a — azz □ moeten zyn. Stel deszelfs Wortel zzp X 5" — 31 dan is pp xJa~—Sl2 - 50 — 3x60—3 Of 5app—3pp = 6fl— 2 5app—6a =
— 3PP~* 5 pp—6* 4 PP
Hier door «-3a-*1 » en ï-sa-a
8 —4/>P *~~ 5^-6
Nn kan men p naar welgevallen, doch grootet dan v/iy, of 1.095 &c> en kleiner dan Va. of
1.414 &c. ceemen. K.
N 5 Wee»



19+ ONTBINDINGEN
Neemende p~i\; dan is * — sf, en 3) — ff. Waar door *2 —3?"" 4|°f, aa-y-^fH, en *'4-
CXXXVI. VOORSTEL. Door den Opgeever.
Stel de Trigonaal- Wortels z-l-a, *, en x — ga.
Dan zyn dc Trigonaalen
ix'-t-ax+iaa+^x + ^a,
en ^x* — zax+aaa + ix—o.
Dewyl nu deeze in eene Arithmitifcbe Progresfie moeten zyn, heeft men
ax + n^aa + x — %a — x* + x of ax-=zi\aa—\a
Dus * = 2£ a — \. Hier dooris de Som der Wortelen, of 3»—a, =6£«— tjr- '£ welk een Trigonaal moet zyn. Derhalven deszelfs 8 vouwd 4- 1, of 520—11
Stel dus 52a—11 =è4
b1 + 11 Dan is a = .
•> ■ j- >■o — <ï 6 7« 5** + 3
. Waar door x—n^a—i = -———.
, 104 •
Hi«



dsr VOORSTELLEN, EMz. iqj
Hier door is x + a =
104
— 5 ^ + 3 {. de Trigonaal-
1Q4 j WOrldS'
è2— 41 I x— 2 a r= I
104 J
Nu kan men b naar welgevallen neemen, doek >t/4i. By voo:b. iZ7i
Dan zyn de Wortels ff, |i, en , wier Som ~6 een Trigonaal-getal is.
Derhalven zyn Ce Trigonaalen *j;, enr^,
welke in eere Arithmetifche Progresfie iban, nair den eisch.
CXXX VII. VOORSTEL. Fig. 42* Door den Opgeever.
In de Figuur betekent Z hst Zenith, P den Noord-Pool, tIR den Horizon, ab, parallel met HR, betekent den Cirkel, alwaar de lchemering yerdwynt, ais de Zon tot denzelven beneden den Horizon gedaald is, en dus 180 onder HR.M de Zons plaats aan den Horizon, ZM haaren Verticaal, PM de Declinatie - Cirkel, die over de Zon in JVl gaat, N de Zon in den Cirkel vvi fcheme» iing ab, ZN deszelfs Petticoat, PN den Declinatie, Cirkel. CD den Parallel, welke de Zon, ten tyde van de kortfte fchemering, befchryft.
By de Uplosfing 'van dit Voorftel zal het nu daarop aankomen , te bepaalen wat Declinatie de Zon heeft, als de Boog NM, of Z.NPM, in Graaden gerekend, een Minimum is.
Ten dien einde Helle whn de Zons Declinatie z=q>, den Z-ZPM-jj, Z.MPN,-da maat van dea boog MN, — £, de Pools hoogie zz».
In



196 ONTBINDINGEN
In de beide Driehoeken ZPM , ZPN is PZ=s 900 —*, ZM:=900S ZN-9o0+i80, en PM — tNz±9o° + Q, Verder is, als de Radius zzi gefteld wordt, in den Driehoek ZPM, volgens Steenstra Klootfchs Driehoeksmeeting, pag. 150.
Cof. ZM - Cof. PZ - Cof. PM
Cof. L ZPM = ■ , 0f in
Sin. PZ x Sin. PM
voorgenoemde waarden Cof *i zzzzz .....
-— Sin*ot, x Cof. {90+<p Sin. a. Sin. <p
■ = ■ = Tang. «.
Cof. a x Sin. ( 90 — «) Cof. *. Cof. <p
Tang. <p.
Dus Cof. vi zz Tang. «. Tang. <p, noemende deezé Mquatie A.
Op gelyke wyze is in den Driehoek ZPN, Cof* Z.ZPN of Co/.(£+„) —
Cof. ZN — Cof. PZ x Cof. VN _
." Sin. PZ x Sin. PN
Co/. ( 90 + 18 ) + Sin. x x <?»
Co/. <* . Co/. <p Sin. ».Sin.<$ — Sin. 18
- = Tang. «. Tang. <p — •
Co/. «• Co/. <o
Sïs. 18
Cof. x.Cof.df Dus Co/. (£ + 0 E r«n^. <* . Tang.Q — . .. . Sin. 18
. Noem dit B.
Cof.os,. Cof. <Sf
Vao



deb VOORSTELLEN, enz." 19?
Van deeze beide Mquatkn A en B de Differentiaal genomen, in de verönderfieHing , dat <p en q veriinderlyke grootheden zyn; daa is
d <p
d Cof. *i — -d n. Sin. jj, en d Tang. <p zz ———; de
Cof. <p'
difierentiaale JEquatie van A is dus — d y Sin. y =s d <p Tang. <»
. Voorts is d Cof. ( ?+ y ) zs — . . .
Cof. <p>
d (£ + 1) • ( Z + vi 0f*» °'aar C een Minimum moet zyn, en dus d£~o, zo is d Cof, (£-!-jï} — — Sin. 18 x
.— , ) . .
Cof, K.Cof.QS — Sin. 18. Cof. <p^ ~d<p. Sin. <p Sin. 18
) = — .
Cof. a . Cof. <p1 * Cof. a,. Cof <p *
Dus zal men hebben voor de differentiaale /Equatie
van ü
d <p . Tang.»
— dn Sin, (£+ *i ) = ■ ——• — • • • .
Cof, r
dq>. Sin <p . Sïn.iS* Cof. <*. Cof.
d <p . Tang. a
Door — d'v Sin, *i = — gedivideerd, .
Cof <p*
Sin, ^ h- j» Sin. <p. Sin- i 8
geeft • =1
Sin. n Sm, * : .
Si».«. 5/'». ( £ + >)) — Sin» a,. Sin n — Sin <p . Sin. y, Sm. ïS Mqmtie C.
Nu



ONTBINDINGEN
Li m •
fcfl • • •
"o
> • •
«o • • *
1, : . .. II
.5? • ê «
8 * II 1 S • li
+ Ie- * * l» I I ^ I
o Q- I * 9- .IS Q- I
0 b- c v£ || . Ioo.
*ïtt 5 êMt ; • * 2*U,S i § "I? i 4
•ii~Kh r -Tl" * tf
1 ii tra'f.s H« ? j r
■s b ~ : 03 1 > 11 2
Des.



»br VOORSTELLEN, enz. 199
Deeze Waarden van Sin. (£+0 en Sin n in de Mqmtie C g-funftitueerd, geeft Sin. » . . . .
i/i—Sin.oc,'-Sin,<pa+2Sin,oi. Sin,<p. Sin.18-Sin.iii' Z2
Sin.r» V 1— Sin. <pa — Sin. <*a — Sin.<p. Sin. 18 . , .
V1 — Sin. ^ - Sin. <*2 = ( Sin, et, - Sin, <p, Sin, 18 )
j/ 1 — 0'z». <p' — Sin. <*'.
Om nu deeze Mqmtie te ligter te knnnen overzien, zo ftelle men Sin. i3~a, Sin, a~bt en Sin. <p ~3». Alsdan heefc men
b\/i-a2-Z»2-j'+ — (b-ay) \/\~Zb*If. . ^
en ay* — aby3 + (ab — a}y* + 2by — ab*zzoi na behoorlyke herleidifg. De vier Wortelen van deeze Mquatie zyn
^Ci+i/T^a7")
, y= — i , y = ,
a
£(1 — t/~a=)
en y == — , en dus Sin. <p = i,
a
Si».« C1 + l/ï—■ 18a)
St'72. <p ~— 1, Sin. <p rs ■ '■■ =;
Sin. 18
Sin.« (i + Co/. 18)
■ , Sin. <p .
Si». 18
Si». «Ci— V^'ï — ^wTiT') Sin.#(i-~Cof. 18)
Sin. 18 £in. 18
De derde Opbsfing laat zich eenvoawdig door Sin.»
■ , en de vierde door Sin, a . Tang. 9 uit-
Tang. 9
6 O druk-



soo ONTBINDINGEN
drukten. Want i— Cof, 2 A = 2 Sin. A' (Steenstra Klootfche Driehoeksrek, pag. I6ï)„ Dus Cof. aA= 1—2 Sin. Aa = 1—2 (1 — Cof. A») 2 Co/". A2 — 1, en dus 1 + Co/. 2 A = 2 Cof. Aa.
Vermits nu Sin. 2 A = Co/. A x 2 Sin. A is (Steenstra Meetk. 7 8. 4 Pr. 3 Gev.), zo is < Sin. &A
aCo/. A = .
S/n. A
Dus ï + Cof. aAzzzCof. A'zzzCof. AxCo/.A= Sin. 2 Ax Cof. A Sin. 2 A
Sin. A "~ Tan*. A*
l + Cb/. 2A Sin. 2A 1
Derh. = .
Sin. 2A Sin. 2 A Tang. A Tang A
Sin.<* (1 + Co/. 18 )
By gevolg is ook Sin. <f> = —-— —
Sin. j8
S/n. a Sin. <& i — Cof 18)
———, en insgelyks is Sin. <p — ——
Ta»g. 9 Sin. 18
= Sin * Tang 9.
De beide eerfte Üplosfingen knnnen eeen plaats hebben ^ want, daar de Zons Declinatie <p niet boven 230 28' kan gsan, zo kan Sin. <f> nooit — jl 1
Sin. *
worden. De derde Oplosfing Sin <p zz is
Tawg.9
niet mogelyk» ten zy dat Sin. a < 7ang. 9 zy. De vierde Oplosfing Tang, 9 Sin. <p = Sin. a. Tang. 0 is algemeen , en kan voor alle rJreedtens gebruikt worden. Neemt men azzo, dan is Sin. <p~o, en <pzzc; en als « —00 is. dan is Sin <p — Tang. 9» en cp —9°7': »zz 520 23' zynde, dan is Sin. <p ZZ Sin. 52°23'x Tang. 9; dus <p ZZ 7" 12' 20".
Der-



des VOORSTELLEN, enz. 401
Derhalven is de fchemering te Amfterdam 00 het kortst, ais de Zon 70 12' 20" Zuider Declinatie heeft, het welk omftreeks den 1 Maart en 11 Oc* tober plaats heeft. J\'B. Op Zuider Breedte is de kortfte fchemering met Moorder Declinatie.
Wat de duuring van de kortfte (^beroering aangaat , zo hecit men maar uit de Mjuutien A en ö de hoeken n en (£+»?) te bepaalen, en hun verfchil £ in tyd te br-.-ngen.
Cof ti zz Tang. x . Tang. <p zz Tang, 520 23' x Tang 7°i2/2o"; dus tizzao"^', en Cof. (£+>}}
Sin. 18
= Tang. x. Tang. <p — — 7"aB£. 52°23'x
Cof. x. Co/, <p
Sin, 18
Ta«g. 70 12' 20'' — — ,
Cof. 52° 23' x Cof, 70 12*20"
en 1100 20". Dus £-29°42', eo in tvd
i" 58'48". s '
Derhal ven is de kortfte duuring van de fcheme» ring te Amfterdam i« 50' 48".
CXXXVIII. VOORSTEL. Door den O p g e e v e k.
Stel den Wortel van x' — * +
Dan is x* + x+yzz** +x + $
Dus y = £ en f+x+y=TJ + iï=Cl, Stel zza'é Dan is rg + * = aa
16
5-hi6x = i6aa
I6a»—5
* £S •
16
Neem «5=1; dan is *s=f§, en 9:=£.
O a CXXXDL



soa ONTBINDINGEN
CXXXIX. VOORSTEL. Door den Opgeever.
Stel h = nJ^
en n+y—y2z.h2 J
Dan is ny+y — n' y2z=y* y
n+i —n2 y — y
Of n'y+y=n+1
«+1
y = .
n' + i
n.n+ i
Dus h = .
n* + i
CXL. VOORSTEL. Door O. S. Bangma.
Laat a* het gegeeven Quadraat zyn; ^ en y de beide deelen, waar in hetzelve gedeeld moet worden. Dan heeft men
x-hy = a2
Ik ftel ac—y = n2a*
■ verm.
Dan is a;1 — y2 = n*a*, x = -ka2 +
en ï3 — j3 =in,a5(»4 + 3).
Nu komt het 'er maar op aan» om n4 + 3 tot een Quidraat te maaken: het geval van nzzi loopt
ter-



der VOORSTELLEN, enz. 203
terftond in 't oog ; doch dan wordt y_o; ik ftel daarom n~i —p,
of «4+3=4 —4/> + 6p2 —4p3_j_p49 en i/«*+3 = 2—/>+ƒ>». Dan is »♦-!- 3-4—4p+5p*— tpi+p^ en men heeft, om p te bepaalen, o = p* — 2p*.
Dus p = %, en wr^. Derhalven *— f a', en ƒ — §a\
Anders. Door den Opgeever.
Laat a» het gegeeven rationaal Quadraat zyn, en itel x en y yoor de deelen.
Dan is *4-y_a9, x* — y* — □.
*5 — 3)'_0.
Of y JZa" — x
— V ■
y* zza4 — ia3x + x* ^ -
*•= . . . . # y afsetr-
x*>--a* ■+-2 aa acz:afl x -^a7*~x-Q. Stel —a2H-2af = y'
2
a'-i-v1")
* ~ 2 ^ af8etr' *4-j=aa J
O 3 7 =



a©4 *3 ONTBINDINGEN aa—v»
ƒ ~ ; das jr —y—v'zzU-
2
**—3>3rr*—y x x- + xy+y'; maar *— y— O; derh'lven moet x* + xy + y* mede een rationaal Quadraat zyn.
a44-2a* va + v*
Nu is ac1 = .
4
a4 —v*
^* 4
a4 — 2 o* vs4-v* 5* =
.4 .
3 a4 4- v*
%~ + xy+ y* r= = □.
4
De Noemer is reeds een rationaal Quadraat; dus blyfr nog overig , dat 3a4 4-v4 een rationaal Quadraat moet zyn. Stel vzza — w,
Dan is 3«44-v*zz4a4-4a3 w + 6a' w' — 4 a ws4* w4_ p.
"~ Stel den Wortel z=aa* — aw+w*.
Dan hebben wy 4a4^-4a3»4-6a,»'*-4an>s4-w4 =
4a4-4a3«>4-5a= w1 -2aic34-'H'4
Derhaiven aaw3 = a5 wa
8flWJ——
a
Dus



dbs VOORSTELLEN, ens. 205
a j Dus v (zza-w) — -.
2
2 ! de begeerde
Ca4 — v*** %a* f Getallen. _ ) _ — I
2 > 8 J
Gegeeven zynde a_4; dan is xzz 10, 31 — 6.
Proeve.
*4-y - 16 zz □ — 4|a. «'-y1 ZZ 64 - □ _ 8|'. afs-j3 — 784 r □ zz 28|a. CXLI. VOORSTEL.
Door O. S. B angm a.
Laaten x en v de beide gevraagde getallen zyn.
Ik Rel x = a* + ab en y=ab + b%
Dan is x + y = (a+by ,
*i4-y, = Ca4-*')a • Ca'+*')t en x* + y*z=(a+by . (a* — a*4-£a).
Ik ftel a2 = n2 (p* — 2p«4-i), en J>2 = . . . 4n*p2
Dan is a94-*a —4-i)S eD a* — ai»4-^,=:iJ1(p'1-2p34.2p'4-2p4.i).
O 4 Nu



aoó ONTBINDINGEN
Nu moet nog (P4 — 2p3-!-2/>J + 2/>-r-i) een Quadraat zyn. ik flei den Wortel hiervan (p*-p+i), waar van het Quadraat is (p+—2p3+ 2P2- 2/>-r»i), en hier uit voi^t, om p te bepaalen ,
2P' — sp = 2p1 +np.
Dus ƒ> — 4. fl—:« (ƒ>*—■ O =I5« b = inp — Sn
a+b . . , =23» x—a (a + b) s=345Bs. y=b (a + b) =i84n2.
Anders. Door den Otgeever.
Stel * en y voor de begeerde Getallen, Dan heb'-en wy , door het Voordel, x+y, x'+y' , *3.+j3 ieder = ten rationaal Quadraat te bepaalen.
Stel x + y=s2 een ration. Quadr.
Dan y = ;J—*
- V
y*z=s*— 2s2x+ x'
x-= .... x'
Stel den Wortel =zs2 — rx;
Dan is s* — 2ss x + 2x2zzs'<-~2itrx + r1 x'
Of r**s — aaE'r—arr**—21'x
x . ,
r'x — 2x = 7rs* — 2*1



der VOORSTELLEN, enz. 007 ar —2 x f1"]
* ~ ~~r~ j*afgetr'
x + y=s' J
r' — !rxi'
y =
ra — a
Wederöm *3 + y3rx+jix *J — xyH-j'-D.
Dat is ï' + y'-x'x^-jpj+J1Derhalven moet
r4-6 r3 + i$r'~ 12 r-j- 4x1*
*2—tfj+ji2 = ■ '—— >
r' —al*
of wel r4 —6r3 + 14»" — i2r -1-4 nog een ration* Quadraat zyn.
Stel den Wortel =r1 —3f + |J Dan is r4 — 6rs-h I4r2 — i2r + 4=: r4 —6rs +14^ — 15»- +s|
~" of 3r = 1
C2f-4Xi'v 8fa r2 —2 23
3, f — J = .
v r' — a a3
Neem f^a3; dan is *=i84\de begeerde 3'=345f Getallen. O 5 Proe-



flol ONTBINDINGEN Proeve.
*+y = 529 ~ □ = 23 j*
*'+y - 152881 _ □ - 391!" xs+y3-47293129 r □ _ 6877!*
CXLII. VOORSTEL. Door den Opgeever.
Volgens het Voorftd tmt x + y = een Trigo> naai-getal, en v3H-* den Trigonaal-worcel zyn.
Derhalven y'+x-r-x x •
- 2 '' •
'3i*+2^*+3,a + j.» + x
of = *+J
2
2 'y*+y2+*5+x-2 *+2 y
ar» + 2j?a — ix*=— y*-ja+aj, = 7*—J' + j
xzz—y= — i + i/ — 23)a + 2y"+T Stel den Wortel van dit Surdifche zzbj — ± Dan is — zya + 2y+ q—fry* —by



©er VOORSTELLEN, ekz, 309
b,y2 + 3.y* — by+ ay
y—
b*y + ay ZZ b + 2
b + z
y ZZ .
b' + z
Neem bzzii', komt yzz& en xzzlfö het getal. Derhalven y*zzlfê het OaaaVaaf, en ffden Wortel. By ieder vergaard, komt fxf den Wg. Wortel, en £jg het ZVi£. getal.
CXLIII. VOORSTEL. Door den Opgeeveb, «» A. Harrebomóe.
Stel den Bafis zzx — y Cathetus ZZ x
Hypoth. zzx+y
x'-xy
zynde 3* de Som, en ——. de Inhoud.
2
Xz — xy
Dan is \-3x-yx3x
* .. 2
xa xy
~3*y—3*
2
. ■ —— 3
x2—xy zz 6xy — 6x
*a _ "xy— 6x
x
* - 7y—6
En □ Bafis + D Cathetus zz □ Hypothenufa zynde';
zoo



2jo ONTBINDINGEN
zoo is x— j' -f-x» rrx-f-yi*
2*'- a*y + y» - x' 4- 2xy4-j» . - 4*?
* - 4y - "y—6 3y -6
y — z, x — 8.
Zo zyn de drie zyden, 6, 8, io.
Anders. Dööt S. van der Paauw.
Stel voor de zyden des Driehoeks at*—y*, 2xy, en x"+j*.
Volgens de eigecfchappen der Arithmetifche Pr», gresfie is J ax* — 4*y
ix _
x = ay
Derhalven zyn de zyden 3j»j 431', en 531=. Dus hebben wy door het Voorftel
6y*+ 12 j3 —: 12 ** y _
6>2+ 13 — ÓJI3 —: 12 Ja = 2
Dus de zyden 6, 8, en 10.
CXLIV.



der VOORSTELLEN, emz. au
CXLIV. VOORSTEL. Door den Opgeever.
Stel het aantal dagen die elk gegaan heeft, of cle rneerigtc der Termen io iederen voortgang der getallen — X.
* xa -f- ac "ï
i + ar x - zz
a Y Product .... aa;+ i
Ajr+1 door 3 =
3 J
X* + X x 2 X+ l
■ Mylen langs den Omtrek.
ax3
*—i x 1 + 1=* de laatfte + i de eerfte
*
x+l x -
Xa + X
- Mylen langs den Diameter.
3
X* +x
7 Diam. ^— n halve -Oml. —— —— Diam ?
2
*s+*xh x2 + xxzx+l
Komt * de \ Oml. = —■
2X7 2x3
. h
2 * +1
Of '| =
■ 3
14



ara ONTBINDINGEN
j4*+7 = 33
14* z= 26
* = Dagen heeft ieder ge* gaan.
s* + x
Derhalven = ||§ Mylen de Diameter.
3
»' + ix 1 r
en = **se Mylen de i Omloop.
ax 7
—— —— verm.
I859QO I 5S07
4
iêm Quadr.- Mylen de halve-Cirkel.
CXLV. VOORSTEL. .Door Bestierders.
Stel het Gefchenk =x, het getal Perfoonen =
dan is ieders deel zé —. .
y
Derhalven is door het Voorftel
y + -\ =4*
y\ *•
Waar door y — — — o
Of * — ja,
Ver-



der VOORSTELLEN, enz. 313 x—y
Verder y + x ƒ = *
IOO
Of y* + x y =: y*
100
Dus ■ xjao
ioo
By gevolg y2 = y
en y = 1 grV.
CXLVI. VOORSTEL. Dow den Opgeever, en A. van Laun.
Laat a2 het gegeeven Quadraat - getal zyn, en ftel * en y voor de twee begeerde deelen ; dan moeten de lïrootheden x'+y en y* + x beide ra* tionaale Quadraaten zyn.
Stel xa + yzzac-|-v|3, en y2 + x~y + w[' Danis*M-;y:r*a4-2v.r+yJ ,en ja+*ry24-3»'3i+wa
1 av
2 r xzz 4 v w j +• 2 v »3
v2 zz v% 2 v * + ys ~ 4 V w_y + 2 y w2 -f- ys
Derhalven ƒn4vipj +2V1C* 4-y* of j—4vwy—2vwa -t- va



414 ONTBINDINGEN
2VW*+V*
y zz
I — 4VW
Daarom 2 wy + y>\zz'.x — —
i — 4vw
2 v wa 4- v2 4- wa 4- 2 v * w
Dus *4-y _ ——* —- zza\
i —4VW
Stel v_i—w;
i
dan is x+y zz ■■■ _ aa
i — 4w+ 4wa
4aiM'a —4a1 w4-a*_ i
1/
<iaw — a_;i
■ -*ia
zaw = a+i 2a ■———
_ 0+1
aa
d— i
Dus v C — i — w) zz ,
aa
i
en i — avw zz —.
By gevolg
/ 2v-w+w~\ a+i 1
x f— I zz x aa' —a+iy j
\ i—4vw ' 4« i
/ 2vw24-v2\ fl —1 ^
en y (= ) zz x 2a-+a + i j
\ i-4vw/ 4 J
zyn»



bks VOÖRSTÊLLÉN, enz. '215
«ynde de algemeène Waarden der deelen, waar in het gegeeven Quadraat -getal a2 gedeeld kan worden, om aan den eisch te voldoen.
Gegeeven zynde azzz; dan is x~2|\ de hegeer* y zz z{f de deelen»
CXLVÏI. VOORSTEL. Fig. 43. Door den Opgeever.
De punten A, B, eh C zyn, volgens deCpgaaT, in een horizontaal Vlak. Lüt A rechte men een ftok AA' perpendiculair op , en uit A' trekke reen eene Lyn parallel met den As der Aarde, ontmoetende het horizontaal Vlak in O. Men ftelle de hocgte van den ftok A=r, van den flok Br::$'t van den ftok C = r", en a'd = a; zyi de de Po«<ls hoogte, volgens de Conftrucïie , de L A'DA=zl. Men trekke BM perpendiculair op AD, en ftelle Verders AM:—*, bm-j.
Vervolgens de Lynen AB, BD, en BA" getrokken hebbende, heeft, men
BTj'-BA' +DA''-2BA'.DA'.Co/; BA'D. Van Swingen Meetk. p. 349. fen BüBA + D~k~ -iMA. DA
-*1—— — afgetr.
Dus AA'a+AA»3-f-2MA . DA—2BA'.DA' Cof...,
BA'D = o 2 » • ——
Of AA'2-f MA. DA ~BADA' Cof. BA'Ü
Verder is
~:~m , Sin. AA'D
&'».ADA :Sfn4AA'Dï: AA': DArrAA'.
Sin. AD A'
en Sin, AD A': 1:1 AA': DA'~ AA' x .
Sin* ADA' P De«.



ai6 ONTBINDINGEN
Deeze Waarden voor DA ca DA' geiubftitueerd, heeft men
, Sin. AA'D
AA'+MA.AA'. -BA'.Co/.BA'Dx
Sin, ADA'
. AA'
Sin. ADA'' Cof. C i
of AA'+ MA zz BA'. Cof. BA'D . ,
Sin. C Sin.l
en zo men de Zons Declinatie, dat is het Complement van den _BA'D, zz$ ftelt , en met Sin, l multipliceert, zullen wy hebben
s. Sin. 1 + sCof. I zz BA'. Sin. 3 _ v
f . Sin, l'+x* Cof. l' + 2 sxSin. ICof IzzBV.Sin, l2.
Maar BA'*- Ba' + AA'*- BM'-f- AM*+ AA'2 — s2+x2 +y*: dus i*6 (Sin.l'— Sin. 3') + 2 rx. S/n. i. Co/ i + ( Co/. i; — Sin. S1) zzy*. Sin. K Derhalven
(Sin. i' - Sin, S2 \ alx. Sin. I. Cof. I ) + ■ + Sin. a» / Sin. i-
* Cof. I*-Sin. S*\ ' V, Sin. /"
Of
/Cof.}*-Cor.!'\ zsx.Sin.l.Cof.l
i°.y2zzi*. ( ] +■ +
\Sin. S2 J Sin.
(Cof.l2-Sin.$2^ Sin. /'
Laat



Der VOORSTELLEN, ens, 217
. Laat nu het einde van de fchaduwe des ftoks A in Czyn, en men ftelle AHz:—x', en flC_y, en fubftitueere y' voor y, en —*', zo is
^Cof.Z'-CofJ*^ zsx'Sin.lCof.l
2°. 3>"r*2f ) i_ +
>■ Sin, S' y Sin. S1
sCof./'—Sin. S*v
i" C- >
> Sin. s
Men verbeelde zich uit B een ftok BB' te zyn opgerecht, en neeme aan, dat de fchaduwe van het tiiterfte einde des ftoks BB' in A zy, zo heeft men voor Abjcisfe üOzz-x, en voor Ordinaat AO--y; als men dan in de Mqmtie
i°. in plaats van x fubftitueert —*, en, in plaats van y, — y, als mede in plaats van s fielt f', zo heeft, men
rCof »• - Cof. /»N zs'x Sin, ICof. I
3°.J3-x" ( ) — +
^ Sin. S1 S Sin. 4'
sCof. lx — Sin. iJv
'* f )'
K Sin, $> y
Stellende nu, dat het einde van de fchaduwe des ftoks B in C valt, zo heeft men de Abfcisfe BP~— O 4-*'), benevens den Ordinaat PC_Pri — HC — — (y + j')t en daar uit de Mqmtie
4°. o+y'y-s" C ^ - . i
v Sin. $* y at'(x+x') Sin.l.Cof l (x+x')2(Cof. l*-Sin. Ss)
Sin. S' Sin. 3'"
L Als men eindelyk zich verheelt uit C een ftok P a CC'



ai8 ONTBINDINGEN
CC' opgerecht te zyn , en dat het einde van de fchaduwe deezes ftoks in A vaMe , zo heeft men CQr*', en CB~j' voor de Coördinaten , en ia plaats van f beeft men s". Derhalven
sCof S4- Cof. l^ as"x'Sin.l.Cof. I
5°.j'Zf"3( ) + h-
^ Sin. S* y Sin. S*
^Cof. l* — Sin. S1^ x" ( J.
Eindelyk heeft men ABzz\/xz+y2zz33 Voeten, en dus
6°. x2+y zziii*.
Dit zyn ru zes Mouatien, en evenveel onbeken« de Grootheden x,'y, x', y', l, en S. Ik zal l en 4, door de overige ce d^n verdwynen bepaalen.
Men fubftraheere de Mquatis 30. van de JEquH' tie i°., zo heeft men
/Cof. V--Cof l' \ nO+s'ïxSinJ.Cofl
(x2-.f'2)f ) + =0,
V. Sin. S1 / Sin. of Cf — r') Cof. r--Cof. l')+2xs.Cof. Izzo.
Qs'-s) Cof. i' — Cof. ia Dus x = —— = . • . •
aSin. l.Cof. I
rCof. S' — Cof. I*
6 ( >
^ Sin,l. Cof.I S
Subftitueert men nu deeze Waarde in de JEquatie 10., zo vindt men
( Cof. S2 — Cof. I*) Cof. $2-Cofl2
y*=26 + 72 +
Sin, S' Sin. i1



beu VOORSTELLEN, enz. 215
<66<jCof.l*-Sin. $*) (Cof &*-Cofl'y
Sin, /*. Cof.I*. Sin. i*
(Cof. i'-Co/J»)
= 108 h
Sin. S*
36 ( Cof. — Cof l> y ( Cof l' - Sin. S')
Sin. l'.Cofl* .Sin. S1
Trekkende nu Mqmtie 50. van de Mquatie 2?. af, zo* heeft men
(**—*'/•) CCo/J3— Cof.l=) Sin. S'
*(s + s'')x' Sin.l-Cof.l)
! — o.
Sin. S3
Of (f-s") (Cof. S*-Cof. I') — zx'Sin.1. Cof.lzzo.
(s-s")(Cof.$'-Cof.l>ï
Dus x' =: — — . , ,
2 Sin. I. Cof l
^Cof.V — Cof. Z3^
^ Sin. I. Cof, l ■/*
Deeze Waarde in de Mquatie 2Q. gefubftitueerd, geeft
^Cof.^-Cof.l^ ^Cof.S'-Cof.l^
ys=36 r )+i2f — v
^ Sin. ^ y \ Sin..l* J
&'«." 5». Sin. i». C»/. /*
P 3 =48



«30 ONTBINDINGEN
(Cof ^-Cofl*)
— 48 4- . . . ,
Sin. S3
( Cof. S3 — Cof. Uy\ Cof. I* - Sis. )
Sin. Sin. l-.Cof.l*
„ , . 5W*'-Co/J3)
Ook is ac'4-* = . Dit ia
Sin.l. Cof.l
Mquatie 40. gefubftitueerd, hebben wy
^Cof.S*—Cof.l* ~ ,*+:y/* + 2jy-l83 r ) . . .
^ Sin. $> s
( Cof. ï3 — Cof. I*) (Cof. S» - Co/.
— IO. 18 4-25 .
Sin. $* Sin. I2. Cof. 1=
^Cof.l*-Sin.^^ (Cof.l* — Co/.
( ) - 144
S Sm S1 -/ Sin. S3
( Co/ S3 - Cof. I* Y rCof.l* — Sin. S3 v + 25 ( - \
(Co/, S3 —Co/./3)
Dus zyy' zz: — ia • . . . .
Sin. Sa
( Co/ S3 — Co/, r» )* C Co/. /• —Sin. 52)
— 12 ,
Sin l' .Cof.l*.Sm.$*
CCof. y-—cof. } + « . o Sin. I* y
(Cof.P- Cof. r- y ( Cof. I* - Sin. $» 3.
Waag



der VOORSTELLEN, enz. sit
Waar uit volgt
143 Sin. Z1. Cof. Z2 + 49 ( Cof. J»— Co/. Z2) . . . (Co/Z1 —Sin. S2)=o. (a)
143 Sin. 7*. g»/>
Dus Cof.l*-Sin.S* == — ■ . Dee-
49 Cof. S1- Co/. /'
ze in plaats van j>2 gefield:
(Cof.*1 — CofJ*)
Si»
Subftitueert men de Waarden van x' en y* in de Mquatie 6'., zo volgt:
QCof.^—Cof. 10 (Cof.ï'-CofJ'y _ 5
Tij +s6 -33) . (&)
Sin. Sm. /'.Co/./'
Maar de Mquatie (a) geeft:
192 Sin. /2. Co/: /• — 49 Sin. S2. Cof J2—o. Verder heeft men Sin.*24-Co/. r Sm. P+Cof. I', Of Cof S' -Cof^zzSin.^ - Si», ï\ Dus (Co/ S« — Cof, Z2) = (Co/S2 — Co/./1) . . . C Sin. /' — Sin. S1) r Co/ S2. Sin. /' - Cof. S1. Sin. — Co/Z2 . Sin. /* + CofJ*. Sin. Ss = Co/. .Sin Z1 — ( '»| +1) Sin. /». Co/. /» + Cof. /2 Sin, S'; en derhalven (Cof S1 — Co/. Z*- )• Cof. *» Sin. * •
Cof. I*. Sin. 1* Co//1 Sin./1
Verders
Co/S* — Co/ia_ i-Sin. —4'Co/Z1 S/n./*
Sin. ~~ Sin. X2 Sin. S* '
P 4 en



asa ONTBINDINGEN en daarom
_ . 144 Sin.l>% 144 36 Ce/S' 36.241 ^° 49 Sin.i* 49 Cof. 1* 4s>
36 Sin. Sa-
Si». *"
Co/iSa 192 Sin.l*
(en om dat '± — . — is ditlaatftej
Cof. /2 49 S/n. Ss
144 Sin./1 144 36.192 Sin. I* 49 Sin. §2 49 49 Sin. S1
36.241 36 Sin- Sa 7076 Sin ia
r —— . • *
49 Sin. i* 49 Sin, $2
88co 36 Si». 5»
49 Sin. /a
" 784 Sin. I' 980 4 Sin. S1
49 Sin. Sa 49 Sin. i2
Sin. i2 Sin. S2
Cf 6909=784 . h 196 • •
Sin. y- Sin. I*
Sm, /+ 6909 Sin. ia ' 196 Sin a+ _ 704 Sin. S2 784
Sin. /+. 141 Sin l%
Of z — .
Sin. &<■ 16 St». èa
Dus



tsa VOORSTELLEN, enz. 223
Si». I" 141 + 1413 Dus ZZ — J- Y \ ZZZZ » * .
Sin. 32 32»
l4t4-i/"s4Ïs-B.32 141 4-1/ 19625 _
32 32 Dus Sin. i! = A Sin. J*: maar 192 Sin. /2. Co/ P = 49Si».*3.Co/"i»; dus 192A Co/ ia 349Co/ J*, of 192 A (. 1 — Sin. I*. j ZZ 49 ( 1 Sin. ^ ),
I92 A 49
Dus Sin. == , waar door mep vindt
192 A*
• 1
49
Sr 19027'8", en Sin. /= Sin. S i/A zynde, vindt men /=8o°45V, en dus is deeze Obfcrvatie ge. daan op ao°45V' Pools hoogte, toen de Zon 199 Declinatie hadt. NB, Ik heb het teken 4- by de Wor'telgrootheid gebruikt ; want het teken — zou 700 45' voor de Zons Declinatie gegeeven hebben , dat niet mogelyk kan zyn. Ook zyn de beide andere Wortelea
»+j — —£ van geen dienst; want dan
zou v/A intsginair worden.
CXLVIII. VOORSTEL.
Door den Opgeever.
Hi t is klaar , dat de waarde van ieder zyn fpel (dat van A, by voorbeeld') afhangkelyk moet zyn van de onderlinge bekwaamheden der beide Spee. Iers, en van het aantal ftreepjes, dat ieder Speeler P 5 U0S



S24 ONTBINDINGEN
Dog ontbreekt om te winnen, en by gevolg dat zy eene Fonclie moet zyn van de beide getallen * en y, verbonden met de getallen « en 0 ; wy zullen
deeze Fonclie aanduiden door F C f » en Hellen
^ y s
dat A zyn kans waardig is F Q * ^. —»
Laeten we nu eens zien wat 'er gebeuren zoude, indien zy voortgingen met fpeelen: als A het eerfte ftreepje wint, zal het getal <* één minder worden, en A zyn kans zal waardig zyn F ; maar als B het wint, zal y één minder worden, en dan zal A zyn kans waardig zyn F j). Door
f (*-I)> f (j-i)verftaa ik het seen f (;)
wordt, wanneer in die Fonclie x in x-i, y in y — i verandert), — Nu zyn de onderlinge bekwaam, heden der beide Speelers als «tot 0\ maar de kans van ieder Speeler, om met zyne eigene kracht, tegen den ander met de zyne, één ftreepje te winnen , zal het zelfde zyn , als wanneer zy beide even veel kracht hadden , en 'er a kanfen waren voor A, en @ kanfen voor B ; men kan derhalven
onderftellen, dat A «% kanfen heeft tot F (*"*)» hetgeen hy hebben zal, als hy het eerfte ftreepje wint, en 0 kanfen tot F hetgeen hy heb¬
ben zal, als B het wint; hetwelk ham zo veel waardig is, als of hy
—.Ff—-V—
\ ■', .. ze*



ber VOORSTELLEN, enz, 225
zeker hadt (zie van Schooten Mathematifche Oeffen, Bladz 491;, of zo wy de volgende verkortingen maaken
« $
~~ a + @ ~~ » + /39 zullen we voor de waarde van A zyn kans hebben
f (*-') + >. f (;_;>
Maar wy hebben gefield, dat A zyn kans waardig was f ^ * ^ ; by gevolg heeft men
w... f o =«•(;-) +»•"(*-.)•
en tot de oplosfing van het Problema wordt xerëischt, dat men door middel van deeze Mquatie de
waarde van F f *^ bepaale.
Vooreerst, als * nul is, is A uit, en krygt al wat ingezet is} zo wy de ingezette Som door de éénheid
verbeelden, zullen we hebben f =
Ten tweeden, als y nul is, is B uit, en A krygt
niets: by gevolg moet men hebben f = °« Nu ftel ik (B)
f Qzï) +
ü u u
f Door A, B, C, &c. verftaa ik Fonclim van «;
u is



S26 ONTBINDINGEN
M is een ge<-al naar welgevallen; en het tweede lid van deeze Mquatie zal uit even veel Termen beftaan, als 'er éénheden in j zyn : want indien, B. V, , 3>=2 was, zoude men, uit hoofde van de JEquatie
F (o)=o, hebben F = o).
De redenen , waarom ik deeze ftelling Deerne, zyn, om dat wanneer ik uzzx itel, heb ik, uit hoof.
de van de Mquatie F ( °y ) = i:
Dus F ( * ) = 1 +B-1-C+
en by gevolg za! het Problema opgelost zyn, zo dra u u u
men deFonclien A, B, C, 6rV> zal hebben bepaald.
De Mquatie (B) geeft my ten dien einde, doof x en u ieder één te laien verminderen,
Die zelfde Mquatie geeft my rog, door j één te laaten vermindeten,
Ik fubftitueere voor F (*~!). en F QL,) hunne waardyën in de Mqmtie CA), dan heb ik
- ' F



der VOORSTELLEN, emz.
225
O T3 — M
O S
> cj _ „0
- -° «s
• .♦ co O «d
.5-" _s t» e a
& *> ^ « 1-3
+ + 1 " So"
0 $ 1 sïï tf ( 1 g a .es
x ssaa «aa
11 £ *< „ §3 +
w £ | . • . O
a3 : ■§ f i< iu 'i§ V
+ + sf s . . .«swfa
5 °~ « « « . *-g OM
• n a 11 11 I" n +.
1 ^ W ^ a< apa aü ^ . 8
fa w> Mi>. v ;
« ^ S Su
1 < > e •« g -o
11 ca ï ba — a I
fa q 5J2 j> s
en



228 ONTBINDINGEN
en vermits deeze Mquatie waar moet zyn voor iedere waarde van * tnji, moet men noodzaakelyk hebben
q o o
A—1=0, B = o, C = o, &c. , waar uit blykt,
U tl U
dat, als« nul is, A = i, B—o, C = o, &>c. moet zyn.
, ii «— i
Nu begin te integreeren: de Mquatie ArraA a—i ii-1 u u
geeft my A ZZZZ a , Dus A = a.
u
Voor A hnare waarde gefte'd in de Mquatie U li — i «
B = a B -f- b A , en dan geïntegreerd , komt 'er a-i ii—i B =r: a . b («—i;; u u Dus B=a.b.ü.
Voor B haare waarde gefield in de Mquatie v o—I li
C = 0.C + £.ü, en dan geïntegreerd, komt 'er ii—i ii—I iivii — O C = a.è* .
I . 3
« ii «(a+0 Dus C = a.£3 . ■
i . 2
(Men kan over deeze manier van integreeren natten Coosin Traité du Calcul differentiel £f in^rai
a « u
Ik ftel voor A, B, C, {ft. hunne waardyën in de Mquatie CB), en verandere « in *, dan heb ik, uit hoofde van hetgeen boven reeds gezegd is:
F



D2s VOORSTELLEN, ehz» èag
Ci-:- 7'6 +—-7-*' +
£3 + i , 1 1.
1.2.3 1.2... (J—I) /
ïn de onderftelling dat A en B gelyke krachten hebben, heb ik de volgende Tafel geconllrueerd. £y geeft alleen de kans van A: die van B wordt gevonden, als men A zyn kans aftrekt van de eenheid.
s 2 3 4 5 6 . . ^ . * J
1 £ 3 rd jï s|
♦ 'tf T» 32 Si TSS
37 II 16 52 37
. 15 3* '» _64 _93 ISO
c 31. 5Z _28 *«5 35<5 306
5 3=- <S + T2H 53^ 5ÏÏ TSÏ4
/, (53 I xao aio iaa 63$ ioï3
u 54 I ia"B 250 jiï' TtJBu 204S
y
Men ziet uit deeze Tafel, dat, als x—4 is, en ym, of ;p=:ö, en 3»= 2, de kans van A in beide gevallen zyn zal T|; waar uit blykt, dat het even gemaklyk is, om, met gelyke krachten, 4 ftreepje» te winnen tegen 1, als 6 te winnen tegen 2 ; en in 3t algemeen za' men bevinden , dat het even gemaklyk valt 2 (2n — 1) — n te winnen tegen 1, als a ( 2« — 1) te winnen tegen 2.
CXLIX.



*$> ONTBINDINGEN
CXLIX. VOORSTEL, Doer den Opgeever, A. H a r r e b o m é e en j. Kerkhoven.
De Capitaalen van B + C = ƒ 2600 Dus die van ... A + C ■=.* 2550
Capit, van A + B + 2C = ƒ 5150
(Winst van A + B+ 2C) : Capit.vanA + B+2C) :: Winst van C : Capit. C.
IJ5 + 3ÓO : 5*5° ' • IS5 '• Capit. C.
515 : 5150 :: 155 J 15 5°. aöoo — 1550= Capit. B= 1050.
Dus Capit. A = ioco.
Antwoord*
De Inleg van A = f ïoco. De inleg van B = f 1050. De Ideg van C = ƒ 1550.
CL. VOORSTEL. Door den Opgeever, waar mede A. Har. r e b o m é e overeenkomt.
Laat ieder Term van de gegeevene Sériet door deeze algerneene Formu'e, waar in y de waarde van iederen Term, en * den hoeveelften is, uitgedrukt worden
y — A-*-B* + Cas9 + D*3+ &c. Can hebben wy volgens het Voorftel 440 = A+ B + C + D+ io«o=A+2B + 4C + 8D+ &c, I5r,= A + 3B + 9C + 27D+ &c. Ico4 = A+4B+i6C + ó4D+ &c.
Tret-



dsr VOORSTELLEN, enz. 631
Trekkende iederen Term van zyn' volgenden af. heeft men
64o=B + 3n+7D+ &c. 488 = B + 5C + iqD+ &è. 336 = B + 7C-|- 37D+&C.
Wederom ieder van deeze van den volgenden afgetrokken, komt 6
— r*2 = 2C+ r2D + tfc. —152 = 20+ 18D + &c.
Deeze insgelyks aftrekkende, komt
o =rz 6 D. Hier door vindt men
D = o; C—— 76; B = 868;A = — 352.
Dit in de algerneene Formule gefubftitueerd, aeeft men
3——352+868x— 76x\ Naardien nu in het Voorftel gezegd wordt daar hy ruste neemt, zo moet de laatfte rerm +i = ozyn. Stel derhalven 31 =c; dan is
76*' — 868 x — 25*
—— •■ , i , .- 1 |Q
14440c* — l6492 x =—6688 _ 217' "= 47089
^ 1444*— 16492 x +2171 =340401 38* — 217 = 2or
38*=4i8
38
*—=11
Dus heeft hy het elfde uur gerust i derhalven ïo uuren op weg geweest.
Q Om



!
23a ONTBINDINGEN
Om nu te bepaalen in welk uur het grootfte getal Roeden is afgelegd, zo moet y zo groot zyn al» mogelyk is. Stel derhalven
76*'— 868* = — 353—y.
Hier door vindt men
38*— 217 =i/40{oj — igy.
Waar uit blykt, dat 19 y nier grooter dan 40401 kan zyn ; anders wierdt * imaginair , hetgeen onaerytnd zou Neemende dan y op't 40401
grootst = , zo is
19
38*— 217=0. Of* = 5|I.
Dus heeft hy in 't zesde uur het grootst getal Roeden afgelegd.
Anders.
Door den zelfden.
440. 1080. 1568.1904 6fc. ifte Verfchillen . 640. 4§8. 336 &c. ade Verfchillen . — 152,-152 £7*. 3de Verfchillen . * . . o£r>.
Du» ifte Üur 440 2de —— 440 4- 640 3de — 440 4* 2X640— 153
4de 440-^3x640—3x153
*;de — 4404-4x640 —6x I52 &c. &c.
b—1. n—2
jideüur . 4404- «-1.6*40 _xi5«.
i. a
De-



der VOORSTELLEN, enz. 333
Dewyl gezegd wordt daar hy ruste neemt, zo de
moet het getal Roeden in het n 4- 1. uur = o zyn.
de n. n—1
Dusn + iuur . . 4404.fJ.640 ————xi52=ro
1 1
Of 76 7i6n=440
19
1444 »jB — 13604 n = 8360
179I =32041 — 19
1444 fi3 — i36o4«4-179' =404or
V
38 n — 179 = 301
^ 38 n — 380 n = ie
Dus is hy 10 uuren op den weg geweest. De rest is als in de voorgaande Oplosfing*
CLI. VOORSTEL. Boor den Opgeever.
»V'ïö^3i/54-I*v^ioI^
Of Té(5 V~ü>-2 V54-1/50-10 V5+101/5-n/ 5.+
4V/35 —101/5)
Dewyl, volgens de Theorie der Surden, V a x \/ b = 1/ a b is, of, dat het zelfde is , a \/ b = %/ a* b, het welk beweezen wordt in her Schoiium op de aafte Prop. des 6den Ëoeks Euchdis, zal Q a men



934 ONTBINDINGEN
men hier door zeer gemaklyk de volgende herlel* dingen kunnen nagaan. ,
Of T§ ( ( 5 4- x/T^-7X/~5+ (io +jV^J^jl Öf tS( i/(5+V5)^ï o~ V5)+/Öö+4k/5)3(5"at/5) ) Of Th oo~c"+ 4~öV 5 + ^ TÖo + 40^ 5 ) Of ï (rló+~iöl^5 + ^25 + ioy" 5)
Of | ^ (|/lö-r"ici/"5 + ï^"a5 + io^ 5")* Of 1^ 15 + 20^ 5 + 2 f7750+"750^ 5 ^ Of 1 f 75+^o^T+"all5~*^5 ^ 5^ Of | f~Ï25~7— 5° ^ 5
Offf~5—+ af 5 de begeerde fom. CUI. VOORSTEL. Fig. 44* Door den Opgeever.
L Trek de Diagonaalen EC, DF, en AG perpend, op A8.
II. Snydt EH in L, zodanig dat men hebbe : AG : 2 UK :: HL ; EL (Van Swinden ii W, I. B.> Hl. Door L trek PS parallel AG, PQ en SR 'parallel aan Atf, en trek dau is het
fcegeetde verricht.
42 e*



der VOORSTELLEN, R»z. 237 Bewys, AG : 2 EK HL : EL (Conjlr.) Of AG : EK :: 2 HL : EL
Of AG : EK :: PQ : EL Maar AG : EK :: PS : EL
Dus PQ ZZZZ PS &c. CLIII. VOORSTEL. Door dtn Opgeever.
Laat de Inhoud = a2, en het gegeeven verfchil es b zyn; (tel de fcbuine s= *, en de rechthoeks* zyden = y en z» Dan heeft men
y* ~*— r — s: a , en 2 x — 31+2 = *
2 — '—"
2* — b = y + z
_ r
4*> — tbx + b' =31* + 2JJ2-S-Z1 ( x' . . . =y2 . . -r-*9
— afgetr.
3*"— 4**+J>2s= 2,yz=4aa
3 x* — 4 b x ZZZZ 4 a2 — b' 3 .
**—^bxZZZZl *a2
3
*b'Z=z . . ji" b2
+ = *a2H
9
V „



«36 ONTBINDINGEN
9
V P
9
Constructie, fig. 45.
1°. Op eene onbepaalde rechte Lyn neem AB rs 50, en BC = fa; op AC befchryf ten' ha!venCirkel, en uit B trek BÜ ptrpend, op AC, fLotende den omtrek in D.
a°. Neem BE = \b, en trek ED.
3». Maak EF = ED, en BG e= BE, en befchryf op FG een halven-Cirkel.
40. Maak BH .-ïerde-evenredige tot \ FG en a en trek HK paral/el BF, fnydende den hal ven-Cirkel op FG 111 K.
5°. i rek FK en GK. dan is FKG den begeer, «len Driehoek,
Bewys.
Laat FH en GH getrokken worden,
1°. A FKC = L (Steenstra 18. III.)
Dus a FKC rechthoekig.
Dat i°. te bewyzen was, a'. a FKG — a FtiG (26. i.)
£F^BH (36. i.)
' a^JConfir. 4».)
Dus a FKG e= TT-""""
Dat



sss VOORSTELLEN, enz. 337 Dat a°. te bewyzen wat» 30. CFG-EG)a = tóË]
(FÜ-aBET^Ëiy (Conftr. 30.)
OfFG*— 4 FG, BE -4- 4ÖË ==; Ba + rJÖC3a. I.)
BC^i.Gev.o.V.) FG— 4FG,BE4-3ÖË==BC,A3
_~ TTT^ 3
3 FGia FG, BE + 9 Bü = ab'-4 a» (Cow/tr. 1.)
4AFKG(bew. a°.}
aFK,GKC34. I.) !
FG* = FK+GK*C32. I.)
__ ———^ — verg,
4FG-1iFG, Ba4-yBÈ== P K+3FK,GK+GK*
r
a FG — 3 HE — FK -1- GK
Dus a FG — (. FK 4- G K) r 3 B t£r^Co»Jr>. 2°.) Daf 30. te bewyzen was.
CLIV. VOORSTEL, Fig. 4$.
Dow den Opgeever, en J. Kerkhoven.
De bekendheden zyn BC = 90 Voeten, en AB = 70 Voeten; derhalven AC= 160 Voeten.
Z.AOB = a ACEt=3o«. <CBDC=Z.CAE = 45(>.
Q 4 Om



438 ONTBINDINGEN
Om CE te vinden in den Driehoek ACE.
Sin, Z.CEA:AC::ACAE:CE.
9 . 8494850 2 . 2041200
12 . 0530050 9 . 9849438
2 . 0686612 N. Log, van 1T7. 1 voor CE.
Om L CBE ff in den Driehoek EBC.
Z.CBE + ACEB
CE^-H CB:CE—CB:: Tang: ..
2
ACBE-/LCEB Tang .
a
10 . '5710475
1 . 4329693
12 . 0049168
2 . 3161801
9 . 6b87367Zog.7fl«g.vana6*2, Z.CBE—LCEB
Z.CBE + /LCEB v = 750 o'
Z.CBE —^CEB
2
1 verg.
£CBE = £-ABD = ioi° a' LhDB= 30^ o'
— verg.
131*



der VOORSTELLEN, enz. 939
1310 a'afgetr. van i8o° o'
rest L BAD = 48°5«' DusCompl. £BAD = 410 2' de Boom D van A bewesten het Noorden.
Óf» AD in den Driehoek ABD te vinden. Sin» L ADB: AB:: Sin. L ABD.; AD.
9 • 9918974
1 . 845C.980
11 • 8369954 9 . 6989700
2 . 1380254 N. Zog. van 137,
4 Voeten voor AD.
Om BD in den Driehoek ABD te vinden.
Sin, L ADB: AB:: Sin. L BAD:BD. 9 , 8 75°oi
1 . 8450930
11 . 7206381 9 . 6980700
2 . 0236831 N. Log. van 105,
6 Voeten voor BD»
AABD4-LCBD—1800 o' AABD . . =ioi9 2'
., afgetr.
£.CBi) = 7«°58/ Dus Compl. Z_CBD= n° 2' de Boom D van B bewesten het Noorden,
Om CD in den Driehoek CBO te vinden. Sini. BDC; BC:: Sïn. Z.CBD: CD.



14* ONTBINDINGEN
9 • 9918974
1 . 9542425
li . 9461399 9 • 8494850
2 . 0966549 N. Log. van 124,
9 Voeten voor CD.
£CBD= 78« 58' £BDC= 45- o'
- verg.
12 30 58' afgetr. van 180" o'
restZ.BCD= 560 2' Dus Compl LaCD= 330 58' de Boom D van C beöosten 't Noorden.
CLV. VOORSTEL. Boor J. Keerhoven, en den Opgeever.
Stel het getal der Soldaaten, die in de breedte ftaan. ZZ x; dan is het getal derzelven, die in de lengte ftaan ,141.
De breedte zal zyn, als 'er de Grenadiers om zyn, zz x 4- 12, en de lengte, als 'er de Grenadiers om zyn, . , . . zz 4 x 4* 12.
Das de geheele inhoud
4*14-60*4-144 "2520
4 *fl 4-60*1:2376 225" 225
4*J 4" 60*4- 225~2öoi
V •
2*4- 15 = 51
3 #"36"



der VOORSTELLEN, ene. 441
a
x=i8
Du» zyn 'er geweest 18 x (4 x 18) — iïo<$ Sol.
daaten, en 1224 Grenadiers.
CLVI. VOORSTEL. Door], Kerkhoven, en den Opgeever.
Volgens het Voorftel is
▲ = □ + 3. ■ = Ü + 6,
* = 3 □•
Dan is de Breuk:
ioorTJ+3>t-f °(0 +3^DH^J[of3D)+a
iooCa-H3)-HoCa4-6)+CD+3) io(3d>KO+3>
mO+336_ 3sü
niD+363 3*Ü+3
(HIO+363'Xf!?iD+33
3441GD+I0749G+1008=3441 q<j+ 11253a
1008 zz 504 □
ara
5 = D-r3 = A 8 ~ □ + 6 ~ ■
6zz 3 □ - * Dus ii de Breuk f jf Z ff als d«zelve verkleind i«.
CLVII,



34» ONTBINDINGEN CLVII. VOORSTE L. Dm J. Kerkhoven, en den Opgeever. Volgens het Voorirel is
A = 2 # ■-4*
Dan is het Produd van (AHA)x(3>fOr:i5 Ali
Of gefubftitueerd
^(2oc^!+4c%+2>fï)xr3^+4'^i5O004-244>{<
g42^X(3O+if0z:i500O + 244Hg
242 * * + 7260 * "15000 + 244 *
242 * * + 7016 * zz 15000 842—— «—— > — _
* * _1_ 75J * * — 15000
I 242 — 242
12300064 12306064
^ C242)* C242)*
* * + 7°1<5 * -j_ l23o6oö4 15936064 242 (242)* ~ (242)'
* 4- S5o8 — 3 9 94 T 242 — 234
* zz iU zz 2" '
A= 4 ■ = 8
Dus is opgegeeven 484 x 32 ZZ 15488.
CLVIII.



der VOORSTSELLEN, enk* 343
CL VIII. VOORSTEL. Fig. 47.
Door den Opgeever.Stel een zyde des Vierkants — *.
ÊG—i? 'AG na**
DF=:** GH2-^*« — verg. — afgetr.
GDr 2-*» "Ah - i£ s*
1/ V —
AD-AG-GD-i/a*» AHri/ii*»
GI-GH^HD-i/i**
Derhalven AH : AG :: Gl : BG; Dat is j/ i|sa:|/ax2::i/i*3:BG.
Dus BG - 1/ | x2
AG n 1/ 2.r' ■ verg.
AB — |/ f *2 4-1/2x1 het Binomium, dat voor de zyde des Driehoeks gefteld is.
Dus is y1 1 x* ZZ V 800
——V
2I'Z öOO Q ■
x* ZZ 4CO
j/
* — no een zyde van 't Vierkant.
Of, Hellende •/ f ** ZZ \V 266», zal men tot het zelfde befluit geraaken.
CLIX.



«44 ONTBINDINGEN CLIX. VOORSTEL. Fig. 48. ■Door den Opgeever.
"bc*—"bf1— ÊC*
_ . —4 —3
Dat is 24 — ia — 433
V
12 V 3 — EO. ia zz BF
— »<n — verm.
144»^ 3-ABEC. T Cpiif ECrS*'3.
AC 2:1521 —•
CDz 19a ■ 11 ■—■ afgetr*
AD~ 1329; dus ADnjVi^. ^BECxjADr i44f 443 — deD begeerden Inhoude CLX. VOORSTEL.
Door J. Kerkhoven, A. H a r r ÉtiöMé e , en de» Opgeever.
Stel dat hy in 't begin gebad heeft * Huivers* j *
hy wint x
add.
8 *
wint Y 3 * 4- 5 ■- ■. add.
2x4- f 2 »r 4- 5 «?fot(2*4-p 2 * 4- 5)»
- —add.
(2x4V3*+5;2+ 2x4-1/2*4-5 =2256ft.of/i 12:16*.
_o i= *.by
(2x4-



der VOORSTELLEN, Etuti 04$
¥ !
3* + l/2*-l-5 + ï=9|
Of IX— 42——t/2£
\/
4*a- ?68 * 4- 1764=2»
4 xa—• T7oif=—1764
4 —~—: —
x*—'l0xz=— 44r
7fS5 = 7 IS5
x4-I|"a:4-73§5 = I-fr ^ , _ r-r-
* 8.5 4" I 3
* 4 — 4
*=: 18
Antw. de man hadt, toen hy begon, 18 ftuiv. in zyn zak.
CLXI. VOORSTEL.
Door J. Kerkhoven, A. HARREBOMéE, en de» Opgeever.
Stel dat A ontvangt x Guldens, en C ontvangt * 4- Ioo
dan moet B ontvangen \Zx* 4- roo *,om dat hunne Portien in Geometrifche Progresfie ftaan. Dan zegt het Voorftel,'dat
*+V *a + ioo*4-(*4-too)r±380
Y icoarr^aSo— 2X
~ —— —ff ■
«-4-100*^78400 — 1120*4-4**



*4ó ONTBINDINGEN
3 *» — iaao* = — 78400 3 —.
«a_ iaao _ 7 8400 ï ■*1— 5 S7aio» 372100
9 9"
%* «««Ojf^. «7.IOQ. 1 36150
* — 6ia=jr »|
* = 80 Guldens. Antwoord.
A ontvangt f 80 : — : —. B ..... 0 120 : — t —. C # 180 : — : —.
CLXII. VOORSTEL. Door den Opgeever, en J. Kerkhoven.
Stel het volloopen, door ieder kraan byzonder» m#, * + 1, at -h a, ar + 3 üuren.
Uur. Font. Uur.
ia 12 * : 1 :. — : —.
25 25*
12 13
ar-r-xtx:: — : .
35 35*+25
13 13
s 4.2:1:: — : .
25 25*4-50
12 12
*4-3:i:: — : ——.
35 35*4-75
Deeze vier gedeeltens van de Fontein verzameld, somt *



d*A voorstellen, bus, s4?
48*»+ 216*'+ 264* + 73
* — = 1 Fontein.
z5x* + t5Q*3+27$*a+ 150X
35** +150*3 + a7J x*+i5ox = 48** + ai6jr, + 264*+73
25*^ + ioax3+ 59J.a— ii4x=^a~" Komt * z 1
*+i ZZ 3
*+2 Z 3 * + 3 - 4
clxiii. voorstel*
Doer J. Kerkhoven, A. HarrEBoMéB, e« a>» Opgeever.
* 4- y+z z r 3, *'+y> + z* - g9, * 3 + y 3+ ^ s --^
*a + J' + z' Z 89
* + y + z z 13
— —-— verm.
*s +*j,+***+3r*»+yH-j»,+*ss+j9*+s»ri 157 *9 • * • • • +J* ..... + *>= 59J
Xy*+XZ*+yx"+y%* +x*Z + yaz ~ $6* —*-—— < _ — — «
* 3 *D>* + 3*2*+i y *'+3y 2a+3** z +3J' zzi68fj
* + y + z — 13
* »
^s+3f3+29+3*^+3*»z+3*%. + 3n24.^flz4s 3*jia + 6xyzzZ2!9l
* J ' * * * ' * J ■ • • ~ 595



94» ONTBINDINGEN
3jr2^+3#a24- 3*2a+5yz*+3y '24- ixy* 4-
Subftr. sf: 3*ïj4-3*2*+,3W,'+3}iz*+3J324-3*Dia .
• . m 686
6*312= — 84.
6
xyz—— 14
14
*J—
x+y+Z=iz z
- ■■■. ■— ■ ■ ■■ a
Of*-!-j~ 13 — z 28
— 1/ a*y=
»s4-2xyf3»s= 169—2624-2" z #a . 4-y'= 89 . — %a
axy • ss 80—a6z4-22a
. 28
a*j» . == — — z
" ' 28 VergeL
80—36 z 4- 2 *2 =
z
8oz— 2öz2-!-az3 = —28
Ofa z3 — 26 z1 + 80 z 4- 28 = o
2 ——— 1 - 1 ■ ■
Z3_i32« + 408 4-i4=s:o
Hier uit vindt men
C" 7 ] bet welk de gevraagde Getallen 3:r=C 34-1/11 £ zyn, om dat zy gelyke waar£3—V uJ den moeten hebben.
CL XIV,



der VOORSTELLEN, enz. «4$
CLXIV. VOORSTEL.
Door den Opgeever, J. Kerkhoven, en A. Ha ure iioMéE.
Gegeeven * + y = xy, en*2 + 3ia=a — V ixy — ab
*a 4- 2 xy + y* = x*y* afgetr.
x* . . +y'=a s*—axy+y'z=a—2b —— afg. V- ——
axy — x*y* — 0 jr— jrrf/ a—ab **Ja— 2*j = a jc4-y = i
ï=sl 2Xz=.b + \/ a — ab
x*y*~- axy+i=a-i-i ay = b — \/a—ab
v __. 2 TTT"—
xy — i=i/fl-fi x^^b + ii/a — ab
x+y=xy= (+i/a+ f =b y=.\b—\\/a — ib
— '1 . . 2
2*31= . . 2^ a kan men nu willekeurig neemen.
CLXV. VOORSTEL.
Door A. HARREROMéE, den Opgeever,
en J. Kerkhoven.
Gegeeven zynde
*y 48
2 ~~ 5
3»z 80
* ~ 3
R 3 *a



If 9 ONTBINDINGEN xl
— =15
y
i — verm. xyz = 3840
Dit ProduSt door ieder der gegeevene Vergelykiis* gen gedeeld, heeft men
*» = 144. y* = 256. za = 400. Derhalven izn,j - 16, en * ~ 20.
CLXVI. VOORSTEL. Door de Opgeevers.
Men brenge op de grootfte Lyn AB {Fig. 49. K. i.) uit A de kleinfte Lyn CD zo dikwyls naast elkander, als gefchieden kan: ik ftel tweemaal , en dat 'er een ftuk BE overblyve, het welk dus kleiner is dan CD. Men brenge nu deeze rest BE op CD over; ik ftel dat deeze rest één* maal in CÏ3 begreepen is, en dat *gr DF overblyft; zynde dus ook kleiner dan BE; men brenge deeze tweede rest DF wederom op de eerfte rest BE, zo veelmaalen als aangaat: ik ftel wederom eens, en dat 'er BG rest. Met deeze rest vervaa» re men als met de voorigen, en gaa voort tot dat men eindelyk op eene rest komt, die de voorgaande naauwkeurig meet: doch zo men volgens deeze handelwyze nooit tot een zodanige rest mogt komen, dan kan men ook verzekerd zyn, dat de beide gegeevene Lynen geen gemeene maat heb. ben; maar komt men eindelyk tot'zulk eene rest, die de voorgaande naauwkeurisr meet, dan is deeze rest ook de gemeene maat der beide gegeevene Ly. nen, en wel de grootfte gemeene maat, die de be»« Öe Lynen hebben.
De reden van deeze handelwyze is klaarblyklyk
niet»



dbr VOORSTELLEN, ene» 951
rfets anders als die, naar welke men gewoon is den jroottten gemeenen Deeler van twee Getallen te vinden: want als men AB als Lineare eenheid be. CD
fchouwt, zo is — een eigenlyken Breuk, die in AB
dit geval, alwaar AB de Lyn CD tweemaal en nog
Ê ' CD i
het ftuk EB bevat, gelyk is _ • •
a CD + EB a + EB
CD
MaarCDzEB+ED,
en EB rzFD+GB, enFDzaGB. CD
Dus CD ZZ—xAB. AB
ZZ —-— X AB a+EB
CD
ZZ —-— X AB i
aH
i+i
l+GB FD
ZZ —^— x AB ZZ AB. i + i
R 4 EE



§5* ONTBINDINGEN
- En dus, als men in dit Geval de grootfte Lyn AB in 13 gelyke Deelen deelt, dan zal de kleinfte Lvn CD vyf zulke Deelen bevatten, en dus is bet vyfde gedeelte van de kleinfte Lyn, of het dertiende ge. deeite van de grootfte Lyn, de grootfte gemeene maat deezer beide Lynen AB en CD.
Als men de grootfte gemeene maat tusfchen de zyde eens Vierkants en deszelfs Diagonaal, volgens deeze handelwyze, bepaalen wilde, zo verlenge men den Diagonaal AC (Fig. 49. N. 2.) van het Vierkant, en beichryve uit C als middelpunt, met de zyde BC des Vierkants eenen halven-Cirkel KBD; dan is volgens de Grondbeginfelen der Meetkunde AD : AB :: AB : AE.
AD AB AB
Pus ZZ ZZ ,
AB AE aAB + AD
I
"~ a + AD
AB 1
2+1 2+1
24-1
Daar nu deeze Breuk nimmer eindigt, zo is ook AD niet meetbaar met AB, en dus kan ook AB niet meetbaar zyn met AE, dat is met AC + AB, en dus AB ook niet met AC 4- AB j dat is AB is niet meetbaar met AC.
CLXVII,



der VOORSTELLEN, EKz. 3jj
CLXVII. VOORSTEL. Dm de Opgeevers.
bi—i tn m tn Lees in *t Voorftel i/a = |f af/ aft* a &c. aiinf,
m m m Stel i/a t/aya&c. z=x;
tn tn
dan is a V a \/ a tfc. = *m, Dasa* = atw' eng = »m-'.
w-i tb m m
Dusi/a = xz=y/a\/a\/a. 6rV.
I. Gevolg.!
Stel a =r n™"1; jm—i
dan is |/ a = 71.
»« „ . wi ' . wj " ~ Dus n=|/n k» {/»
II. Gevolg. Laat m s a zyn ; dan heeft men
0 ss « 1/ n j/ n. gV.
R s Dut



&54 O N T B'I NDINGE N
Dus is by voorbeeld
4=1/41/4^4^. •nu
CLXVIII. VOORSTEL. Kg. 50. Door A. F. de Pauw, in J. Kerkhoven.
Laat in de Figuur N den Noord-Pool, A de Plaats van Amfterdam, en P die van Parys zyn; dan beeft men in den klootfchen Driehoek NAP bekend ,
AN = 370 38' Compl der Breedte van Amfterdam, PN=4l°io' — .— .— — Parys. /.ANP ==2°32'45", verfchil in Lengte, dat Am fierdam beoosten Parys ligt (zie Alg. Konst- en Le$. terbode van 13 Decemb. 1709), of 10' 11'' tyds: en de Boog AP moet gezocht worden, trek ten dien einde uit A den Perpend. A d.
Cos. N: Rad. 11 Cotang. AN: Cotang. N d. 10 . 112928a
10 • OCOOCGO
20 . 1129282
9 • 999571!»
ïo . H33570 Log. Cotang. 37» 36' 22"= Nd. 41» 10' o"=PN.
3'33'38"=P<i.
Cos.



der VOORSTELLEN, enz* a$$
Cos. Nd ; Cos Pd:: Cos. AN : Co« AP.
9 . 8986893 9 . 999.619
19 • 897851a 9 . 838851s
9 . 9989997 Zog. Cofin. van
3053/20" = AP.
Laat nu C het Centrum der Aarde, PC en AC twee-halve-middeilynen, en PH een Raaklyn aan de Aarde uit Parys zyn, ontmoetende de verlengde Radius CA in H; dan is in den rechtlynigen Driehoek CPH bekend:
I.CZZ Boog AP = 3* 53' 30",
L. CPH 390° of recht, om dat de Raaklyn altyd rechthoekig op de Radius Maat.
De zyde CP, zynde de Radius der Aarde — 169*776 Rhynlandfche Roeden (zie Verh. over het tepaalen der Lengte op Zee door j. H. van s winden, :7y6, in de verkl. der 'lafels pag. 3, noot a.)
Cox. L PCH: PC :: Rad.: CH.
16 . 2283429 9 • 9989997
6 . 2293432 Log. van
1695676=CH. 1091776 =r: CA.
3900= AH.
Zynde dus het Antwoord 3900 Rhynlandfche Roeden,
CLXIX.



*5<5 ONTBINDINGEN
CLXIX. VOORSTEL.
Door de Opgeevers, en A,. B. Strabbe.
Ten eerften. Het Quadraat van y — a is — a; dit volgt oomiddelyk uit de bepaairg, welke men van de uitdrukking |/ — a geeft.
Ten tweeden. y — a is zo veel als |/ a x V — i > en V — b 70 veel als 1/ ^ X 1/ — 1» dus — a x
maar v/ a.
y b ZZ y' a b, en 1/ — 1. y — 1 ZZ — 1; dus y — ay. V — b ZZ —.1 xv'abzz — i/ab, (en niet gelyk y a b, zo als men by fommige elementaire Schry vers vindt).
Ten derden. De uitkomst van a gedivideerd door a « a. (/ — a a 1/ — a
•/ — a, is ZZ ——* iz ~ — —.
\/—a y—a.y—a —a l/ — a, Cen met gelyk 1/ — a, zo als by fommige elementaire Schryvers gevonden woTdt). Om hier van een tweede proef re hebben» behoeft men flegts den Divifor met het Quotiënt te vermeenigvuldigen , en te zien, of het Product wederom het Dividendum oplevert.
Ten vierden* De uitkomst van a gedivideerd door a
1/ — b, is zz ——; en deeze Breuk onder en bo»
y-b
ay — b
ven met y — b gemultipliceerd, geeft —— zz
y—b.y-b
ay—b a,
——— zz — — */ — b* Dusa gedivideerd door — b b
a a y — bzz— — |/ — by (en niet gelyk — y — J);
b b
een



deb VOORSTELLEN, emz. «57
een tweede proef hiervan kan op gelyke wyze genomen worden, als i.. het laatstvoo gaande geval.
CLXX. VOORSTEL. Door de Opoeevers.
De rede van de middellyn tot den omtrek is* yolgens de Opgaaf, als
b c ,1+ b,+d: a b e d + a b + a d+c d •+■ i.
Dus ook als
cd + i
i : a -r- 1 =
bcd + b + d
l : a + — = t + d
cd -h i
I
i:H i
+ - i c + -
d
No zyn a en ft, dus ook eend, heele getallen, eri de opgeaeevcne rede is naauwkeungerdan die van Archimedes, welke is als I ; 3 + f» Joch 3 + l ia te veel: by gevolg moet a = 3 zyn, en * =7; öus d = li, 5n c = 16}-daarom, ae opgegeevene rede der Brammen als
1
1 : o + — 1
3 T 7 + — I = 1250:39^ IÓ + 11
~ 1 : 3, 1416, en hangt by gevolg af van èen Veelhoek van 768 zyden. CLXXI.



•5 ONTBINDINGEN
CLXXI. VOORSTEL. Door den Opoeïver,
Lees in den derden regel van dit Voorftel, ia plaats van 2 langer, 1 langer.
Stel x voor den Wortel van het middelpuntig getal, dan vindt men het middelpuntig getal door den volgenden algemeenen Regel van Fergoson, in het aangehaalde Werk pag. 82.
Multipliceert het Duplat min 1 van de gegeevene zy* ie met het getal min 1, 't welk de eene zyde langer is dan de andere zyde; het Produel addeert tot het Duplat van t Quadraat op de gegeevene zyde: komt het bigeerde getal.
Dus x Wortel.
Duplat min 1 — 2 * — i i min 1 =; o
... verm.
komt o
Duplat van 't Quad. der zyde 2 x*
— add.
» 2** zyn jaarlyks Loon.
Week. Guld. Week. Guld.
Derhalven 52 : 2* 20 : 5*
By gevolg 40 x* = 260 x 40 x ,
* = 6è
Dus ax* —■ 84* Guld. in 't Jaar gewonnen.
CLXXII.



der VOORSTELLEN, enz» a$o CLXXIL VOORSTEL.
Door den Opgeever.
Stel van de Arithmetifche Progresfie dén eerften Term zz *, het gemeen Verfchil — y, en het getal der Termen ZZ z; dan is de laatfte Term ZZ x +
z~ixyzzx + zy — y,ende fom zr x z +
».ï— i
—— jrii + fji' — iyz. Stel, korts3
heidshalve, deeze fom zz x.
Dan is door het Voorftel,
sx—Mazzjo,sx—x'+s y—3*3»— j^zr 198
sx—** zz 70
—i —— afgetr.
sy — 2ijr — 3*ZZI28
Wederom*»—x' +2xy— 4»j —4j»zZ3iö xx —** + sy — zxy— y3 —198 -—— ■ afgetr.
x-y — asj— y'ZZiaB /a,Scir*
2J>*~ 16
a .
3iaZZ 8
V —
y zzt/8
Subftitueerende nu \f 8 » in phrets van in de boven gevondene Vergelykinge t j-ixji-j' ZZ 128, zullen wy hebben
|/8xx — ai/8.x—8zzia8 Of \/ 8 X s ZZ 136 -f- 21/ 8. *
y 8 :—-—
x zz



460 ONTBINDINGEN
V/8
136*
Derhalven x* r—+ a #*.
1/8 ••
Voorts is x * — *« — 70,
136 a;
én dus + x* zz ïo
1/8
Of V 8. *a +136*=: 701/8
1/8 _
*» + j/ 8. 17 x — 70
Dus * zz Y a
Wanneer nu de Waarden van * en y gefubfti. tueerd worden in de uitdrukking voor de fom x ZZ *l+5j2J-ijï, hebben wy
x z: V 2. z+V 2. z* -1/ 2.2 z v/ 2. z* 136 136
Wederom xz: — -H 2 * zz —— +21/2 f8 f/8
136
Derhalven^ 2.zsz: f-21/ 2
^8
« y g
4Z2(= 136 + 8) zz 144
z* z: 3! ^
z zz 6 het getal der Termen.
Derhalwm is de Progresfie Y 2, 3 Y 2,~§ y * * 7 1/ =» 9 2, en 11 f a»
CLXX1II.



OER VOORSTELLEN,
CLXXIII. VOORSTEL. Fig. 51. <s,j
Door den Opgeever.
AtiZZ ICO "AB*— ioo BC zz 300 TDz 9900 '"' '— verg-. ~r~- — verg.
AC~ 4C0 AD- ïocoo v . __v
AC z ao AD zz ico
In den Driehoek ACD laat uit A, met AG als Braai, een boog befcbreeven weden, fnydende AD in E, cn trek CE; djn 13 AsL ZZ AC: trek Vervolgens CF perpend. op AD,
AD zz. iOico AC — 400
AC ZZ 400 s
AP — 184,96
fom 10400 ■— afgetr,
— d ,n C^z 315,04
CD ZZ 768Ó
__i afgetr, FE ~ 40,90
2 AD x AF ± 2720 — ■ verg.
AP x AF z: 1360 CE ~ 256
AÜZZ ioo—— V ' —
AF-13,6-1 af CE- 16 AEziiO J b
FEz: 6,4
Wanneer nu in den Kloot de groo?fb halve.rnid. dellyn zz ao is; dan is {Fig 51. é.j CE ~ 16 de Pees (in oen taraliel) van den Uurhoek tusfchen de eerste eu tweede Waarneemin?;; als mede AU — ,o de Sinus van de Zons hoogte in de eerlte Waarnee* S n.ing



3<53 ONTBINDINGEN
ming; en wanneer men ftelt, dat AD = ioo dc grootfte halve-middellyn is, dan is AB = 10 de Sinus van de laatfte hoogte.
Dus wanneer de Radius = 10 x gefteid wordt, aan is de Sinus van de eerfte hoogte — 5x, de Sinus van de tweede hoogte == *, en de Pees in den Parallel = 8 *.
Derhalven hebben wy in de laatstgemelde Figuur *K = *, DN =sx, BC = tix, AQ= 10%.
De eerfte fchaduwe was na den middsg ten vier uuren; dus is dan de hoek BEL = 60 Graaden; wanneer men dan voor de halve-middellyn EL ftelt lo; dan is BL mede = io, en ED = 5.
Om nu tot eene vergelykinge te komen, zoeken wy 1 ü op tweederlei wyzen, aldus:
luPn^uuf hoek ?LS ha,r zo Sro0t is aIs ^ hoek linu, nebben wy deeze evenredigheid:
BE : BG (= i BC) :: BL : B3. Dat is io : 4 x :: 1Q : BS.
Derhalven BS - 4 x,
BS ~ 16 x' BS3- ió *a
"TT!: afgetr' afgetr.
CS ~ 48 x* SLz:ioo-i6»» — j/
Cs=^_48*_2 SLzr'i/Tc^^rJ^ SLr
- ■ ■—■" ■■-—■ verg,
CL—]/ 48 * +1/ 100 — ió~x*
ELzz



der VOORSTELLEN, enz» 363
EL = 10 ED= 5
afgetr.
DL - 5
PL : CL :: CL : FL. Dat is 20 : |/ 48 x* + y 100 — 16 1/ 48 *' + 1/ 100 — 16 x* : FL.
Derhalven FL zz 5 -1- if x2 + \7^x*^lïx* DL zz 5 afgetr.
FD zz i% x2 + 1/48"** ~1 \\ *4 DN = 5 x FK r= x
■ afgetr.
Dl = 4 x Dl : FD :: DN :: DT.
Dat is 4 * : »'f x"' + V 48 x"~ ~7 ïf «T;: 5 a;: DT. Derhalven DT = 2 *2 + 1/ 75 aa — 12
s
Wederom BE zz 100 —%
—3 AL —icoac3 ED— 25 —a afgetr. EL r 100
• BDr 75 lf — afgÊtr*
ïf" f ats* ae — ï00*°—100 ALztoo*2j j/— .
—2 AE—t/ ico*s-ioo
ADz:ioo*s-75
DN" 25^
• —■- afgetr.
ANr 75*'-75 .
AN-j/75*^-."75
s 2 DN



364 ONTBINDINGEN
DN : AN :: AE : re, Dat is 5 * : 1/ 7j *' •— 75 k 1/ icoa-* — ïodTrE.
1/ 300 ac* — eoc*a 4- 300
Derhalven re =
x
DN : ae :; ae : RM (~ ZN) Dat is 5 x : \Zloox2 — ioo::\/ ico*s — ioq: ZM.
20 *" — ZO~\
Derhalven ZN — — ; f
a j. afgetr.
dn — 5 x j
DZ "~ 1J X' 20 x
^ I/300X4 —ócoa;2 4-303
x
ed = 5
5 * -T-1/ 3°~ — *2 4- 300
DR =: —
x
DZ : dr v. DN : DT.
— 15 #2 4- 20 53:4-^/300**—6ooxa -4-;cö
Dat is —■—1 : 1_
* x 5*: DT.
5 x2 + V 3ccX6- 600x4-f 3O0X2
Derhalven dt~ ——— tZ
4 — 3*a
Hier



eer VOORSTELLEN, enz. 365
Hier door hebben wy dc volgende vergelykinge
jff24- V 3°° *c — 600**4-300 x'
£*3+i/ 75 *3 - »£*"4 1
• 4 —3*1 * ' * —*=—»——— ■
5 * 4" l/ 300 ** — öoo x1 4- 300
2 * ' 1/75 4 — 3^a
—— _ _ _4 - 3 **
8* — 6 ff3 4- V120° —1992 a-5t-+9c55jc4— 1 c8# s—gx+ 5/ 30c £4 — 600 ffa 4- 300
Ofi/Taoo— 1992 a2 4-963 ff4 — s 08 * 6—6 x*~ 3*4.
l/300x*«-öoox- 4-300
. _ - — . y.
1200 — J992 *J 4-9Ö3*4— ïott x* ~ 36 x6 +264.x* —
59'ff* 4- 3004-
i 2 ff3 — 6 x 1/ 300 ff 4 — 600 ff2 4- 300
Of 900 — 1401 ff4 4- 659 ff* — 144 *1 = 12» —6x
)/ 300 ff — 600 ff * 4- 300
3co — 467 x2 4- 233 *4 — 43 a:gz: 4 ff3 — 2 * l/^ooff4 — 6ooff2 4-303 . r—— f
9ccoo — 280200 ff2 4- 35?889 *4 — 24646a ff6409131 *s — 23c,ó8 ff10 4- 3304 x1- _ 4800 xIe — 14400 a.8 4- l5ÓC0ff6—72C0ff44- iacoff1
Of 2304 ff12 — 27168 ff10 4-11352:ff8 — 262023 x 64-
565089 A4 — t»
28 J400 x' -f- 90OCC = o. S 3 Laat



3(56 ONTBINDINGEN
Laat *2 = z zyn, dan hebben wy 23042*- 27168^+ 1 r352i2*-262022 2s +3650803»
~ 28I4CC z 4- gocoo = O.
2.504 — . "■■ .
2Ö — 11,79 x5 4- 49»27 — 1 r3,7-v23 + 158,46 «• — 122,14% 4-39=0,
Door nadering vindt men z = i, f;
en dus x = 1,04877 Derhalven 10 *- i?,4S77 - AQ of AL.
^o!VaRDfrr Tn dan EL = ?° voor Radius neemt, dan is AL de Secans van 1? Graaden qsi Min, voor de Zons Declinatie.
Voorts BE = ro de halve.middellyn zynde, is £n W7 r4r)r, 4nf,P 4»ï95oS de Kn«r van den haiven Uu-hcek BEG = 24 Graaden 4.3 Mimnen. Derhalven is de Uarhcek BtC — 4q Graaden 30 Minuten, zynde 3 Uuren 18 Minuten; dus was ce tweede fchacuwe ten 7 Uu'en i3 Minuten,
Eindelyk ftaat DN tot DT, aie 5 * tot 2 x* 4-
V75** — ia'**.
Dat is DN : DT u 10*: 4*J 4-1/300*» —^,7*, Of DN : DT :: 10: 4 *+ V 3^o~4~8
Stekende nu in plaa's van ar de gevondene waar» de 1,04877, zuilen wy hebben
DN : DT :• jo : 19,91780.
Wanneer dan DN, of 10, voor halve middellyn genomen wordt, dan is DT = 19,91780 de Se> cans van 59 Graaden ^2 Minuten voor de Pools hoogte.
CLXXI V.



der VOORSTELLEN, enz. 367
C LXX IV. VOORSTEL. Fig. 52.
Door J. Kerkho ven en j. F. L. Schröder.
Volgens 't Voorftel is AD =. 8 voeten. Stel de hoogte . . AC = x voeten. — den Diameter van den Cirkel tot den Omtrek = I, c;
Dan is CD = V 64 —■ x', c
De Bafis = — (64—*»), 4
c
En de inhoud van den CijlinderZZ—£64*—*3),
c 4 Derhalven — (64 x — *3} — 't Maximum.
4
c
Wiens f7axie—(64^* — 3*= d*)Co 4
of 64 — 3 ff2 = o 64
3
Z8 _81/3
1/3 3 c 3^^X2561/3 Hier door — (64 x — x*) z= ——— = 155
4 9 Cwk'c-voeten ten naaste by voor den gevraaguen inhoud.
S 4 CLXXV.



3$a ONTBINDINGEN
CLXXV. VOORSTEL. Dm den Opgeever, M. Boelhoüwer,
J. R. schmidt, S. van der paaüw,
en C. Steenhcis.
4+l6+364-64+<Sfc.Z4(i24-2a4- 3a + 4s4-....s')
Volgens §. 5t der Inl,t is deszelfs fom Z 4 x -b2 n2 n ^ 4 ss + 6 «» + j s
V3 2 6^ 3
De laatfte Term van deeze óerz'gr is rr 4 «*. Verders is de. fom van 2 a — a Termen van de
■fórisr 3+44-5 + » (3 + u - 3) z
(2 b + 3^ X (s—1); derhalven heeft men volgens 'c Voorftel
4«3+6«24-an
' =12B-4-2»24-«—3
3_
of 4«3 — 36 b2—b 4-9 = o hier door n = 9 (Termen) CLXXVI. VOORSTEL. -Fig. 53. Door den Opgeever,
Dewyl, volgens Eucr,. 8 Prop. 13 Boek; de Diagonaalen elkander in uitterfte en middenfte reden fnyden, zodanig dat het grootfte deel gelyk de zyde van den Vyfhoek is, zal men hebben F* : Ab = Ab 1 AF of x : 2a :: 2a : aa + x
of x2 + sa x = 4 a«
of xa 4- 2a * 4- a* z 5 a'



der VOORSTELLEN, enz. 36$
x + a = a V S
ïZü{- i + i/5) = Fi —Ad 23 = Aé
a (3 — 1/ 5) = W = de zyde van den tweeden Vyfhoek; en ,dus de reden van de zyde van iederen Vyfhoek, tot die van zyne volgende, als
aa : a (3~y/ 5) « 2 : 3-V 5 Derhalven
2 : 3-v/ 5 :: a (3-1/ 5) = « » de zyde
2
van den derden» Wederom
C3-1/5)2 (S-V5)s
2 : 3—1/ 5 :: a : a de zy-
2 aa
de van den vierden. Kier door
a x -t—1^_^2_ de zyde Van den «den Vyfhoek.
2 n—2
Cm den Inhoud van den eerften Vyfhoek te vinden, heeft men
FLS= AF — AL*
of FL\= (2fl-|-*)2 — a1 r(5 + 21/5)
FL ±= a ^"""al^ 5 (dit is de fora der vier Surdifche groothed-n van Goorst 151, aantoonende de waarde der vier deelen waar in FL in de Figuur verdeeld is)
S 5 Laa{



370 ONTBINDINGEN
Laat K het Centrum zyn; dan is AK Z FK. AKz KL + AL CFL^KL)2
FL — 2 FL, KL-AL3 °ïl£lt_!f 2a^5 + ^V~5X KLza2
KL- ^ + %/ 5 V*5^ol/~5
5 AL, KL z a2 i/ £5 -j- Tö i7 « — den Inhoud van dea eerften Vyfhoek.
Dewyl nu alle gelykvormige Figauren tot eikanderltaan, als ae Quadraaten van hunne "eivkvormige zyden (£ae/. 2c,$>, heeft men
(3—^5)20-2
4 a* i a2 :: a' i/ 25 + i0,/ 5: den
2 b — 4
begeerden Inhoud, welke dus is aJ f + ioJ~e * 3 — i/ 5 2 « — 2. v ^ 0
c—)
CLXXVII. VOORSTEL,^. J4. Dosr aen Opgeever m M. Boelhouwer.
Opl ossing.
Laat DE = <., DF z 6, de Inhoud van den Driehoek z c* zyn;
Stel BC z x, dan is CE z x - £
AB



der VOORSTELLEN, enz. 37i
AB : BC :: DE : CS (Steenstra 4. 6) of AB : x :: a : x—b
a x
AB as
BC *
2 2
A ABC = = c'
ax — ab
a xa =. 2 c* x — a b c*
-■ a
a* x*— 2aca x— —aabc*
ofa2x' — 2ac'x + c* — c —aabc* V j_ •
a x — c2 = Z V c* — 2 a b c1
c' ^ y c* abc*
a a' a
c2 , j
Scsi — ZZ d; dan is * zz d Z |/ d' — 2 b d ZZ
1 a
d—V (d—2 b). d hier uit vloeit de volgende Constructie.
i°. Verleng EB, tot dat BG - c zy; trefcFG, en Grl perp, FG, fnydende het verlengde c*
van FB in H; dan is BH - — - d (St. 9. 6) O
a°. Neem



$72 ONTBINDINGEN
2°* Neem BLzBHzrf, eo HKr. 2 DFr. 2 b' dan is BK - d - 2 6; op KL befchryf eed haiven-Cirkel, fnydende BS in Mj dan is BM ZZ \/ (d—2 *). d. (St. m. 6)
3°. Verleng BE tot dat UCzz BHzdzy; dan
is BC zz d + i/- (d—2 è;, d zz x.
40.. Uit C trek door D de Ivn CA, fnydende het verieDgde van BF ia A ; dan is ABC den begeerden Driehoek.
Aanmerking.
Indien men BN zz BH — EM hadt genomen, en dan uit N docr D een Lyn N : hsdt getrokken het verlengde van BF in O fnydende, zou men een adderen Driehoek OBN gehad hebben, onder de zelfde voorwaarden ajs_de Driebeek ABC; want dan ware * = d — j/ (d — 2b).~a\7
CLXXVIIL VOORSTEL. &g, 55.
Docr den Opgeever.
Stel ABif, AC zzy en L Ara; d3n heeft m«ri Cof.ai 1;: Cot.y : Cof. *;: Tar.g. s: Tangy.
Dus Tang. x zz Cof, a. Tar.g. y dx dy
enco/7x~ Cof'acoJ7y(zie Fas ^-^S- rt&fwl
Maar volgen? de onderftelling is y — in Max.
Dus d 3» — d x r= o, en d y = d x.
- . By



Dsa VOORSTELLEN, brc. 373
1 1 By gevolg — ■■ == Cof. a, ——— >
Co/.2* Cof*y \
en Cü/.3y = Cof. a> Cof**x.
Sin x Sin, y
Maar Cof. a: 1 :: Tang. x: Tareg. 31:: :
Cof. x Cof.y
Sin, 2* Sin, *y
en — ~ Cof \ a
Co/, sff Cof 1 y
Co/. 'a.Sin.1y.Cofax
en Co/. 2y rr
Sin.2*
Cof,'a. Sin. *y.Cof*x
Dus Co/, a. Co/. —
&'«. 'x
en Sin. =* — Cof, a. Sin,1 y.
Maar Cof, -a. Cof. 'x ZZ Cof. a. Cof. *y
add.
Dus Sin. ax + Cof, 2a. Cof. 'x ZZ Cof a of Sin. *x+ Cof. 'a. — Cof. 2a. Sin 2x zz Cof a en Sin. 2* (i — Cof. 2«; r Cof. a — Cof. *a
Cof. a
Dus Sin, 'x 5= -= ——
ï+Co/.a 1
en "31 = — ■ .
1 + Cof. a
1
Das Cof. *x = ——
i + Co/a Co/, a
en Cof. 3y s= — —* ï+Cofa
Du;



374 ONTBINDINGEN i
Dus Sin. y. Cof. x =
i 4- Cof a
Cof. a
en Cof. y Sin. x = —. ■
14- Cof. a
Nu is Sin. (31—*) = Sin, y. Cof. x — Cof. y. Sin. x
i-Cof.a Sin'. | a
Dus Sin. (y—x) =- —.— — -
1 4- Cof, a Cof\ \ a Tang*. ? a, en dit was bet geen wy moesten vinden.
I. Gevolg. ■Sï». 'x
*- — Tang. *x — Cof. a.
Cof. 'x
Dus Tang. x ™ 1/ Co/» a Co/, 'y
Cot\ y zz Cof. a,
Sin. *y
Dus Cot. y — j/ Co/ a, waar door de plaats van het Maximum, het zy op de rechthoekszyde, het ay op de Hypothsnufa, gevonden kan worden.
II. Gevolg.
Vermits Tang. x zz Cot y is, is * het Complement van y , en by ge volg x + y — so Graaden.
A an merking.
Door middel van dit Voorftel, en deszelfs eerfte gevolg, kan men de hoeveelheid en de plaats van de grootfte Reductie vinden van den loopkring eener
Pla.



dér VOORSTELLEN, es& 37S
Planeet tot de Ecliptica, wanneer de fchuinsheid vaa den loopkring gegeeven is. — Wanneer we (lellen dar de fchuinsheid van de E;liptica is ZZ 23° 2&', zullen we vinden voor de grootfte Reductie vaa de" Ecliptica tot den Mquatar, a° 28' 20", o; en voor' den afftand van de naaste nachtevening tot de plaat* Van het Maximum,
op den Mquatot 43° 45' 49'', 7, op de Ecliptica 46° 14' 10", 3.
CLXXIX, VOORSTEL. Fig. 56*
Door den Opgeever.
Laat AB den gfootén As zyn van de Ellips; DÉ den kleinen As; C het roidaenpunt ; V éeo dér brandpunten; L de doorfneede van den grooien As inet FG; men ftelle dat K her middenpunt is van den gevraagden O nel, en H een der raakpunten van Cirkel tn Ellips i dan h HK. == LK.de Radius van den ingefcareeven Cirkel; meo ftelle verder dat de rechte HT een Raaklyn zy aan de Ellips in het punt H, en by gevolg ook Pen Raa'viyn aan den Cirkel in hei zelfde punt; dan is L THK ZZ recht; Laat ook AI loodrecht ftaan op Atf, dan heeft mtü
"Tl zz LR* +~Ki'+- a LK, KI
- H2l+^7,+ 2 LK* K} ZZ HI + 2~KÏ"4- 2 LKi KI
zz KI,IT + 2KI(KÏ + LK) ZZ KI (IT + 2 1.1)



37« ONTBINDINGEN
Nu is volgens de eigenfchappen der Ellips
ag°: CD ;: AI, IB :~hT
Ci, IT : KI, IT :: Cl i KI :: GI(ir + aLI;:KI(IT + aU) Cl (IT + 2 LI) .TT Maar Cl (IT + a Li) z CI^U + 3 C i, LI
zAl,BI+(BI-AI). LI
= AI, BI+fBI-AI%LI-LT+II
~ CAI+LÏ) CBI~LI)+LI * = AL, BL 4-~LL
Dus AC*: CDAL, BL + LI* ÊT "ac'-CD3: CD*:: AL, BL : LI
"CV* : CD*:; AL, BL : LI*
Maar AC': CD*:: AL, BL :~LT
dus "CV : AC*:: LF*: Li en CV : AC :: LF : LI, Hier uit ontleen ik deeze
Constructie.
Ik maak LI virrde-evenredig tot CV, AC en LF; ik ftel ;h lood ec^r op ab, en trek LH} ik ftel op het midden v*n LH een Loodlyn, ontmoeiende AB in K; en befchryf uit K als middenpunt ,



de» VOORSTELLEN, ens; 5$f
punt, met KL als Radius, een Cirkel; deeze va? aan de vraag voldoen. — , Op deeze' w7™ant
CLXXX. VOORSTEL. Ffe. 57. Z)oor den Opgeever.
D13 = i AB = x; dan heeft men Cof. tn ZZ Cof, x. Cof r + Sin, x. Sin. r. Cof. ADC Cof. n zz Cof. x. Cof. r -f- Si», x. Sinr. Cof. BDC
Dus Cof. m + Cof.n—i Cof. x. Cof. r
en Cof. ( —-j Cof (—) ZZ Cof. x, Cof. r
m-Yn m_« Cof ( *)Cof.f >
DusCe/.*zi . .
Cof.r
CLXXXL VOORSTEL.
Door A. Horstman, M. B. Gïswïtj M. BoELHoowEt<, j. Kerkhovem, M. j. Zuid hof, j. r. Schmidï, S. van der Paauw, C. Stüeühuis, R, F Fol kers; P. Vink, den Op gke< ver, Jan Pa uw ;» A. Bakkes,
*4 + 3 *s 3-'1 + 2 +'»• yzzx y x *+j ~109760
(A) +3fjJz:a;j'Xff+'yr: 560 — —— —-■ di v.
1 2 x -F



378 ONTBINDINGEN
x 4- y ZZ 196"
1/
hier door div* (A) . . * 4- y _ 14
* y zz 40 _ J 4
4 xy ZZ *6o
* — y*— ,6
- v —
x — y ZZ 6
Dus *Zio,)14
CLXXXII. VOORSTEL.
Door J. R. Schmidt, J. F. L. Schröder, A. Horstman, S, van der Paauw, M. Boelhouwer, C. Steenhuis, J. Kerkhoven, R. F. Folkers, den Opgeever, P, Vink, A. Bakker, Jan Pauw, en M. J. Zuidhof.
Stel het grootfte getal zz x\ *t middenfte ZZ 3», en het kleinfte ZZ 'z, dan heeft men volgens 't Voorftel
xy + xz + yzzz 13Ö
3xy+i *z+3 y 2~ 4°8
maar * a,_ 3 y
— 1 etv.
136
1 + 3 + 2 : ——
_ y
en * -H y 4- x _ 22 . . ■ —_ fubf.



des VOORSTELLEN, ene. 979
V — 3 _ 22
y
Of j» — 35 J I - I36
y2 — *5J I5öi= 1/
y-i2j=:±4i
y zz 17 of 8, duch'de laatfte waarde kan alleen gebruikt worden, dewyl 31 het middenfte der drie serallen is; deeze waarde in de twee acdere Equatien overgebragt, heeft men X 4- z zz 14
—v
x2 + 2 x z + z2 n 196
4 * z ~ 96 -
xa — 2 ac z + z2 ZZ 100 X — Z ZZ IO
* z: 12, zz 2 Dus zyn de getallen 2, 8 en 12.
CLXXXIII. VOORSTEL.
Door M. Boelhouwer, M. B. Gyswyt, S. van der Paauw, J. Kerkhoven, j. Pauw, C. Steen huis, j. R. Schmidt, R. F. Folkers, A, Bakker, den Opgeever, en j. F. L. Schröüer.
Stel de jaarl. inkomften — *, dewyl dan A jaarr lyksch | overhoud, is zyne verteering f *, en dus is de verteenrg van B ZZ \ x + 120.
T 3 Derh,



$80» ONTBINDINGEN Deih. 4 * + 600 =r 5 * + 100
x 2= 500 verteering v3ii A 400 . . « . B 520
CLXXXIV. VOORSTEL.
Boor R. F. Folkers, M. B. Gyswyt, J. Kerkhoven, M. Boelhouwer, S. van der Paaow, C. Steenhuis, J. R. Schmidt, J. F. L. Schroder, J. Pauw, den Opgeever, en P. Vink.
Stel de getallen 3;, 31, z, dan is xyz xyz
= 24 en = I4f
y-h-z x + z
r — j a ■" —t div.
f+J
*+y _ *+y _ 6
ï-ï-z x+z
6x + 6z
x+vzziy+sz x+yzz •
5
x + 6z
^ 3'~ Z_ |^ 5
J ï — IO 2 Z ï + 6 2
4 * z: 16 2



Per VOORSTELLEN, enz. 3*1
x ZZ 4 X
y zz a z zz x — 2 z
zzz z
xyz 8zs x+y 6 z
z1 ~ 9
y zz 6
X ZZ 12
de begeerde getallen. CLXXXV. VOORSTEL.
Door S. van der Paauw, J. F. L. Schröder, M. Boelhouwer, den Opgeever, M. B. Gyswyt, J. R. Schmidt, R. F. Folkers, J. Kerkhoven, C. Steenhuis, J. Pauw, A. Bakker, en P. Vink.
Stel dat hy by zich hadt * Guld.; leent daar by x^ en verteert ƒ 1,
houdt dus over 2 x—i Gald., leent daar by zoo veel, en vei teert ƒ 1,
houdc dus over 4 x—3 Guld., leent daar by zoo veel, en verteert ƒ 1,
houdt dus over 8 *—7 Guld,, leent daar by zoo veel, en verteert ƒ i,
houdt dus over i5x — 15 ~ o volgens *t Voorftel
i6 x zz *5
xZZ §•§ Guld., of i8| Stuiv. ,
T 4 CLXXXVI.



3&§ ONTBINDINGEN
CLXXXVI. VOORSTEL.
Door de Opgeevers, en J. M. C. van Uteshqvf.
Men ftelle x zz;danis* —z*\x zzz%\&c.
Dus komt het 'er maar op aan om de volgende ïeeks te fommeeren
z<k z3 z* i 4- z 4- —• 4- 1 + &e, ,
2 2-3 2.34
Men ftelle de fom derzelve zz s, dan heeft men z2 z* z4
a' - I 4" Z + 1 + +
a a.3 2'3.4
Difierentieerende dszzdzf 14 4- — 4» Éfff ) zz s. dz
v. 2 2.3 y
ds
dus —- ZZ dz waar van de integraal is I
Sf
z *
■Jffypc Log. s *_: z. dus siezs j zynde e de £aJf der Hyp. Logarithmtn.
CLXXXVII. VOORSTEL.
Door de Opgeevers, en J. M. C. van U t e n h o v e.
Als men de voorgeftelde Equatie differentieert ^
vindt men
h $y ly-S*. — —4-SF( — ) ~ o
• ' is I* Ms<



bkr VOORSTELLEN, enz. 3g3
of S F ( - — zo.
Maar S F f — ] is gelyk aan S. — , gemultiph% *>
ceerd door een andere Functie van —, welke wy zuk
*y
len aanduiden door F' —; zoo dat men heeft
Jy
dus F' f — > & *. » - z o.
Divideerende door F' ( — J — *,komt $ — zo.
Mr' Sx
yraar van de integraal is
— = conft. Sx
$y
fielt men nu voor — eene ftandvastige grootheid c $x
in de voorgeftelde Equatie, dan heeft men voor de begeerde integraal
j-c*tF(c)Z Q.
X 5 CLXXXVIII,



384 ONTBINDINGEN
CLXXXVIII. VOORSTEL,^, 58. Door A. F. de Pauw, en J, M. C. van
U 1 £ k h 0 v e,
Laat AQ dec Mquator, N en Zdeszelfs Poolen; EC de Ecliptica, P eu p baare Poolen, en S de fters plaais z^n;' dan is in den klootfchen Driehoek p aZ bekend
L p ZS — 820 15'zz Compl. fters rechte opklimming ZS ZZ 700 38' ZZ Compl. . Declinatie pZ r: 230 38' z: de (onderftelde) fchuinsneid. der Ecliptica.
Cof. L. pZS : Rad. Cot. ZS : Cot. Zd Log. Cot. ZS = 9'54592 70 Compl. i..Co/X/>ZS=o.87oi4Ói
io,4ióc73?-Co*,2o°5Q'ao":rZd 20^28' rpZ
2°28'4c//z:^ A'n. Zd : Smj pd Cot L. pZS 1 Cot. L, ZpS Log.. Cot. LpZSzz9.I33839I — Sin. pd ZZ 8.6358043 Compl L Sin. Zd ZZ0.4458903
8.2i55337=Cot.893»32^ZfrS - Boog AC. r
Dus fters Lengte 27c9 4- 39f> 3' 32"of 1 n 29? 3^2^ Sin. L. ZpS : Sin. L pZS :: Sin. ZS: Sm ps Log. Sin. LS \=. 0.974 ?C31 — Sin.LpZ =9.5960149 CoBJp.L.Si».Z.Z/!S^:o-ooco586
9.9707766 = Sin. 69012'58"=Ï)S dus S« = ao? 47' a" fters Breedte.
CLXXXIX.



der VOORSTELLEN, enz. 383
CLXXXIX, VOORSTEL. Fig. 59. Door de Opgeevers,
Lees in de opgaaf van 't Voorftel 610 30% in plaats van 650 30'.
Laat ZH.een gedeelte van den Horizon verbeelden, Z het zuiden, T het toppunt; THV den Verticaal die door heï west te-i zuiden loopt, drn zal de Zon zich in beide gevallen in deezen Verticaal moeten bevonden hebben. S-el dat ze tem twee uuren was in A , dan is AT = 28° 30* Camp/, van 6i° 3°'» en L ZTH = ;8° 45% of zeven ftreeken. Laat P de Zuidpool zyn, ftaande ergens in den ha!ven-Cirkel iZV; dan is L. APT — 50'*, of twee turen; zoo nu Aü loodrecht op PT ftaat, heeft men
Cof. L T : Rad.:: Cot. AT : Cot, DT. 'Log. Cot. AT — 10.26524 -—Cof.L.Tz= 029966
1096558 = L Cot.6° 11 '=DT. Sin, APT : Sin. LI:: Sin. AT : Sin. AP. Log. Sin. AT=9.67 866
Sin. £T = 9.99157
Compl.—. &'».APT=o.30103
9.97126 j_ L. Sin. 690 23' HAP. Cof. AT i Cof. AP :: Cof, DT : Cof DP. Log. Cof. AP = 9.54668
Cof. DT = 9.99747
Compl. — Cof. AT=0,056 s o
9,00025 ZZ L. Cof. 66" 32 '= DP 6°ii' = DT
~^zzfF. Laat



3?6 ONTBINDINGEN
Laat PC loodrecht ftaan op TH; dan heeft men
Rad : Tang. LT::CofPL: CoU Z, TPC, log, Tang,Lt= 10.70134 Cof. PT = 9-41290
io>i7424=L.Coï.33°-48'=Z.TPC maar . 300 =Z,TPA
"~3048'rZ.APC
hy sevolg TC > TA; zoo men nu TB gelyk maakt aan IC 4- CA; .of CB = CA, zyn de rechthoe. kige Driehoeken PCB en PCA gelyk aan elkauder, en BP = AP; by gevolg zal de Dagcirkel van de Zon (mAn), door tiet pui t A gaande, ook door het punt B moeten gaan; het is derhalven in B dat Jacob ds Zon voor de tweede maal heeft moeten z'en; en het verloop van tyd tusfchen belde de Waarneemingen is L APB = 2 L APC u
70 36'= o 30' 24" zynde de tyd welke Jacöb geflapen heeft: weshalv?n 'er in dit verfchynfei niets vreemds is opgefloten., en hetzelve in de daad heeft moeten plaats hebben op 17° 17' Zuider Breedte, met 200 37' Zaider Declinatie.
A an werking.
Men zal dit zelfde verfchynfei Cdat naamlyk de Zon tweemaal vóór- en tweemaal na den middag, in den zelfden Verticaal, of op de zelfde ftreek van het Kompas komt te ftaan) waarneemen op alle plsntfen, w?ar van de Breedte minder is dan de Declinatie der Zon, beide van den zelfden naam, dus tusfchen de Keerkringen; en wy kunnen'er in onze geweien de proef van neemen aan alle vaste fterren, die meer Noorder Declinatie hebben, dan de plaats Noorder Breedte heeft.
cxc.



der VOORSTELLEN, ENz; 387 CXC. VOORSTEL.
Door M. J. ZüIDHOF, S. van der paaüw,
den Opgeever, A. Horstman, R. F. Folkers, j. R. Schmi dt, j an Pauw,
A. Bakker, en P. Vink, Stel de twee getallen x en y; dan is
ar* — y2=20 en *3 + y3 — x2 — y* = 228 , x*— j3= 20 y2 ZZx* — 20 •
,3-1-2,3 IX2— 20Ö
j3 = 208 + 2 x2 — *3
Het eerfte tot de derde, en bet ander tot de tweede magt verheven; komt y6 = enz ; dos X6 _ 60 x* + 1200 x2 — 8oco = 43164 + 832 ar2 — 416 *3 -1- 4 *4 — 4 xs •+- #6
~4*5—64* +4i6*s + 358*s — 5^64=0
4
Jt5__,6Jr4+io4ï3-|- 92*1— 12816 = 0
komt * = 6 en y — 4.
CXCI. VOORSTEL. Fig. 60.
Door den Opgeever en M j. Zoidhof.
Men trekke den Perp, AH, den Diameter AK, en de Radiën BD en CD.
Vierh, BEDG = 5S 1/3 _ AEDF = 35i ^ 3
— FPGC = 32* 3
A ABC



383 ONTBINDINGEN
AHxBC A ABCrt =320$/3
3
AHx BC = 240i/3 Verders
AH. AK zz AB, AC (Gr, der Meetk. i$, III.) AH, BC, AK = AB, BC, AC
z^V 3 X AK = 6723 V 3 volg. *i Voorft.)
Aj\ = 28 Wederom
Vierh, BEDG + CGDF = 84^ 1/ 3
A BE D + A CFD = 35-i 1/ 3=AE DF
A BDC=49^3=BG,Da
2BG,DG = 98p7*" BD*= BG + DG = s 96 r (i A Ky
BG2 + 2 BG, DG + ÜGzz 196 "t 98 y13
BG + DG = 7 + 7 i/ 3 ™ jBG —- DG = — 7 + 7 1/ 3
2 BG = BC = 14 V 3
AH, BB ='401/3 (gevonden)
AH i|j
Verders
Vierh.



Uer VOORSTELLEN, enz. 389
Vierh. FDGC = 32^ |/ 3
A DGC = 24I V 3 = è A BDC CF, DF
A FDG = 81/3=
2
4
2 CF, DF ~ 32 1/ 3
DC = CF'h-19Ö
~CF*± 2 CF, DF 4-DF 'zz l96 ± 323
1/ *
" CF + DF = 2 + 8 V 3
CF — DFzi-2 h- 8 (/ 3 2 CF = AC = 16 V 3 Eindelyk
AB, AC = AH, AK =: 480
AC = i(5 V 3
AB — — =.ioy 3. 1/3
Dus zyn de zyden, 10 f/ 3;»4^ 3 en 16y 3.
CXCII. VOORSTEL.
.Door de» Opgeever, *n M. Boelhouwer.
aa 4'4-è c3 ' ds
Stel de getallen —, , — en —, en laat
*, x x x ma fom = x zyn; dan wordt door de (telling aan
een



390 ONTBINDINGEN
een gedeelte van den eisch in 'c Voorftel voldaati, en zai geiseel voldoen, wanneer
a* b2 + b cs ds XZZ— + + —+ —
XX XX
óf*23fla +ba + b-r-c3 + dsÜt Stel * = b 4- e; dan is b» + 2be+e2 = aa+b' 4-fc-r-e34-d5 of 2 be — b ~ aa 4- c3 -f d5 —ea a' + c3 + ds — e'
i ~ i ! : i .
a ê — i
Dewyl nu a, c, rf, e naar welgevallen genomen
kunnen worden, mits e > £ en < \/ a* + c3 4- d5 zy; zo neem a — 5 , c —. 4, d — 2, e — i; dan is è ^_ iao, en x zzz l2i*
a> 25 b* + b c3 64 32
Derh. —c—; = 130;— = —*
ï m j * 121 * 121
CXCIII. VOORSTEL.
Deer de» Opgeever*
Stely ~/>#, en z zz qx; dan worden de VergelykingerJ iu4x (1 +•?)" -2000 qx*x(p+q)*zz2Q0ï
Waat



dér VOORSTELLEN, ene. s9i
Waar door
aoco 2904 24 ge
Derh.243oxp(i + 9)ï = 2cooxpj('i + >.)3 j
0f243x(i + 9)ï = 3OoX5(i+p)» (A) en 2904 x pq (t -H ƒ>)2=2430 x q (.p + qY
of 484 xj>(«= 4°5X(/>4-$)i
484 405
j/ _ , , , .
p+q = *l(i 4-/>) t/Jp
qï=-p+'l (1+PÏViP
l + q = i-p+1hCl+p)\Jlp , - y
(t+qyzzo-py+'io-p^vTp+^.xi+pyxip
Deeze gevondene waardens in de Vergelykinge A cvergebragt, komt
V * H%



g$a ONTBINDINGEN
343 (i-py + 594(1-p*)\/Tp+36*30 +py x tp
2200
=—2cop(i+py-i—— {i-t-pyf%p j>_
2200
( (l4-/>)'-594(i— p») V*p = 243(1-/))»
9 *
2452 4- /.(i +py
5
(22ocp34-iïQ46p*-i-«560op — 3146. i -)|/fp =
9 '
245-P' 4-6ii9p'4-22p 4- 1215
5
(liocop3 4- 5973° Ps 4- ssoocp— 15730) t/ *p = 220o8p3 + 5507j^i+i98p_j_ 0935
v
96800000 p7 4- io5£248jCOp6 4- 3;349j8320ps 4287*3896000 p* — 63V084640P3 — 830544000 p2 4!9794ö3 -0 P = 4^69066:14 p6 -f- ?43o6i36";6 p5 430-41553969 P4 + 5:4435270ps 4- I2C444S974 p2 -|4^3o2óop-l- £19574225
96800000 p7 f64251376 p6 4- 1004324664p? — 1646579^9p+ — 1536^19916 p3 — 2034^85974P* + 19361606c p **> I9;"74225 =0
Hier



der VOORSTELLEN, enz. 393:
Hier door p = dus q = i^. 2000
= = 256
PO + ï)a
* = 4
y = px ZZ 5 ï = p ^ 6
CXCIV. VOORSTEL.
Door S. van der Paauw, J» Kerkhoven, M. Boelhouwer, P. Vink, R. F. Folkers, j. R. Schmiot, A. Horstman, den Opgeever, A. Bakker, en J. Pauw.
(20 x + 9) x = ac xa + 9 x
(39 x — z ) (* -r 3) zZ 39 #» 4- u 5 * - 6
59 ar2 + 124* —6 81343$ 59 *2 4- 124 * — 2 "348
59.59 *2 4. 59,124 * - 1259532 (.2.62 — 3844
59-59*' +J9«I'?4*+62«62- ï2<53376 [/
Va 59 *



194 ONTBINDINGEN 59 * 4- 6a zz i;24
59 * — io6a * - i3
Pgrb, de eerfte verkoop 369 Ellen d 18 § tweede • . 700 . , 21 .
CXCV. VOORSTEL.
Door den Opgeever, en M. Boelhouwer.
f 100 Banco 1 —'—- 5»! Soldi corr.
150 — 160 So/di imp+
55$ ——~ 1 Ecu
» 55 §
40 ' ' « 1 Guld. ïoo| iep voor onk,
-i. 'ii ii
circa ƒ 100 f oncfarjg. ioo uitgaaf
dus circa | pCr. winst.
CXCVU



dbr VOORSTELLEN, enz- 305
CXCVI. VOORSTEL. Door den Opgebver, J- Kerkhoven, en
M. BoELHUUWEB.
ƒ ioo Banco
1 40 §
gp I Ducaat
100 : 95| Rd. Giro
10 100 Rd. Ho!l. Beo,
2 5 Culd.
ïcof 100 voor ock.
cföll onrfang 100 uitgaaf
dus i2| pCt. verlies
CXCVIÏ. VOORSTEL.
Door J. Pauw, A. Bakker,en j. R. Schmidt.
3 a Mannen •1 i£ £ Vrouwen 1 £ c Jongmans
i
• "2
35 4. 2| a + 1-5 b + % c — ico Rd. i c = 75 — *i a — * ^
c = l50 —5a—-3*
V | JNcetn



S95 ONTBINDINGEN
Neem a ZZ 29; * — 1> czzi; dzziSin&iverand.
a ZZ 28; b ZZ 3 tot 1 3
a zz 27; b zz 4— 1 4
a zz 26 j b zz 6 — i 6
a zz 25;"»— 8 — 1 8
a zz 24', b zz 9 — 3 7
« z 23; * -ii — 5 7
a z 22; b zz 13 — 7 7
a z 21; b —14 — 9 6
a _ 20; £ zi6 —11 6
a = 19; & —18 —13 •< 6
a zz 18; b zit9 —'5 ' 5
fl z 17; £ —2i —17 5
a zz 16; 6 —23 —19 5
a zz 15; b Z24 —21 4
a zz 14; & za6 —23 4
c~ 13; b ~a8 —25 '■ 4
a Z 12; * —29 —27 3
a zz 11; 6 Z.31 —29 3
a ZZ 10; £ zg3 —31 3
ö ZZ 9; ^ =34 —33 " 2
si 8; b Z3Ó —3<s 2
U ZZ 1\ b -58 —37 ■ 2
a z: 6; b —39; c — 3; d~2 — 1 az 5; & Z41;f-s; dra - 1 IZ 4 j b Z43 j c — 1; d r 2 — E
Dus Antwoorden 106 in heele getallen*
CXCVIII,



CBR VOORSTELLEN, ENzï 357
CSCVIIL VOORSTEL. Boor A, Bakker, R, E. Folkers en ƒ. Pauw.
Stel voor de Marken, die hy moet neemen, u, at, y, z; dan is
IS
15a 4-15x4-155-4-152= 45° ig«4-14* 4- ioy4- 92=3<5o
x + sy+6z= 90
5 y =r 90 — * — 6z
5
*4-*
y~~ 5 x+z
Stel = r een heel getal
5
* = 5 r — z
dus y = 18 —r —z z = z
add.
#4-3/4-z= 184-4*" — z «4-ac4-y+ z= „o
. . fubft.
w = ia—4»" 4-2
Uit



SpS ONTBINDINGEN
' Uit de gevondene waardens van *, y en « blykê r >o
r + z< 18
4 t - z < ;a
5 r < 30 r < 6
Dus kan r geen andere waardens hebben, dan jj 3» 3» 4» 5. Neem r = 1, dan is
* = 5 — z
y = 17 — z 2 < 5 dus 4 Antwoorden, i* = 84-2
Neem r = 3, dan is
* = 10 — z
y — 16 — 2 2 < 10 — p
« = 4 + 2
Neem r = 3, dan is
* = 15 — z
*>' = 15 — 2 z < 15 — 14
« = z
Neem r = 4. dan is
* = 20 — z .
Neem r = j, dan is
a = 2 — fc | 2 > ö — 4 '
famen 40 Antwoorden, & CXCIX.



der VOORSTELLEN, enz» 39;
CXCIX. VOORSTEL, Fig. 61.
Door O. S. B ANGMa.
Wy zullen dit Problèma in den algemeen (ten zin óplosfen , door te onderftellen, dat de Driehoek DFG ongelykzydig is, zynde naamlyk DFz=?«, FG=è, en DG = r; dat de gewigten, in D, G en F hangende, zyn a, /3S en y; dat de vermo» gens van deeze drie gewigten uirgedrukt worden door de rechte Lynen B«, Bfi en By, werkende in de richtingen BDS BG en BF; en dat de knoop van de drie draaden, aan het geweld van deeze vermogens ovetgegeeven zynde, in B is bïyven ftaan. Dit voorafgelteld, redeneer ik op déeze wy?e: de vermogens Bas en B/3 trachten den knoop te be« weegen langs den Diagonaal BS van het Parallelo. gram, dar, op de lynen (i<a en t fi befchreeven is 5. maar deeze beweeging wordt tegengehouden door het vermogen By, om dat de knoop in B blyft rusten; bygevolg moet B£ gelyk zyn aan By, en iïi een rechtftreeks tegengeftelde richting ltaan, of het verlengde zyn van BF; nu heeft men, volgens de rieenlchappen der Driehoeken , uit den Driehoek
FS2r=ÏÏ«3 + «/ — aB«.<*S. Cqf.LüuS.
of F"y = BV + Bfi- — aB *.B/3. Cof. jLBaH. Maar L B«S is het Supplement van £. DBG: Dus Cof. L B * i — — Cof. L DBG
dus By'^ B« + Ffi + 2 B «. B/3. Cof. L DBGi
~By' — B»"— 1T@
en Of. L DBG =
2 B<* . B/3
X Maar'



400 ONTBINDINGEN
Maar de vermogens Ba ,Bfi, By hebben de zelfde reden cot elkander, als de gewigten », fi, y.
ya — <*» — /3* Dus Cof. L DBG = .
2 «s/3
Of zo wy, kortheidshalve, den L DBG aandaiden door R, hebben we
y3— x* — fi* Cof.R zz
2 xfi
i + Cof.R ~ y'"('a"^'_Cy+*-ff)Cy-*+/S)
2 «S £ 2 «, /3
C«+£)*-y« (*+/0+y)r>+0-y) i — Cof.R — —— = ;
2 CC fi 2 »■ 0
Sin.*Rzz—(%+£+yX*+/8-y) («-/S+y)^ 4*'/6^ G8-*+yV
Of zo wy het product der vier laatfte faStorcti van het tweede lid = p ftellea
i
Sm* R = . p
4»*fi* i
l
Sin. K = — yp
2 * fi
Laaten we de hoeken DBF en GBF aanduiden door M en N, dan hebben we op gelyke wyze
Sin.



Dia VOORSTELLEN, EKz. 401
1
Sin, M = 1/ p
2 » y
1 .
Sin, N = \/ p
a fiy
Men ftelle verders L BGF = g; L BDF = d; en BF er z; dan heeft men
»■ »5ïw, g
Sin. N : n — &'«. £ : z =
&'»,N.
m : M = z : Ji». d
Dus f». 5tn. N : » Sin, M =± g : Sin. d
n. Sin. M «. /3
en &n. d = . Sin. g = , Sin. g,
m.Sin.N tn.»
Maar L DBF + L. DFB = DB* Z. BGF + GFB = £. GB$
, add.
L. BDF + L BGF + L DFG := L. DBG
of £.d + Lg = LR — LF = &
en L d = A — C g.
Das Sin.LdzzSin. CL — Lg) SSm A Cof.g— Cof.
£.Sin,g
Als men nu de beide waardyën van &'«. Z» d met elkander vergelykt, heeft men
( — + Co/.A ).SimgZZSin.L.Cof.g
X 2 ry



402 ONTBINDINGEN-
^na02 a/3
f + 2. . Cof. A + Cof. aA Mts. 'g =&"a.3A«
addeer Sin.' A . Sin.2g—Sin.2£,.
Uiting
(n1 02 *>0 -\ j_ 9. .Cof.A + iJ Sin.2 g Sin 2 A m-a2 mot, ^
Sin.2 A
Dm Sin.' g =
n'02 n0
ha. Cof.A-\-i
m2 ot,2 mot,
m'a'Sin.'&
=
m- c62 + zmn»0. Cof.h-Vn2 02
jh a>. .Sïra. A
en Sin. g = — ~~7
y(m* »2 + 2mn<x,0.Cof.L+n20:ij
ti. Sin.g sn0y.Sin.g ""Maar z = —— = rr '
Si»- N yp
amn»0y.Sin A
Dus z = <1
yim-ci2+2mnoL@.Ct>fA+n202fyp
Nu heeft men
A = R — F
Dus Si*. A = Sm. R. Cof. F— Co/. R. Sw. F en Co'/: A = Co/. R. Cof F + Sin. R. Am. F
.. of



der VOORSTELLEN, enz. 403
of 2 * 0. Si». LVj.Cof. F+ (>s +0 *— y 2> Sï». F en 2«/3. Cof. AVT-Sin.F— (*'+/32-y').Co/.F.
Maar de Driehoek DFG geeft
r1 = f»a 4- «s — 2 f» »«Co/T F
f/224-«*— r1 G>/.F =
2f»«
0»+«)s— r2 (iM + B+r)(»i+«-r)
i-hC</.F= =
nmn imn
r^ — Cjn—nY (r+t»~ri)(r—m+n)
^ 0 tan tmn
1 r
SinSF= ( (BH-w+rX»+r.—00»—
Of, zo wy het produel van de vier laatfte faclores van het tweede lid s= §■ ftellen »
..^ - ■ , • ( > - • •• *••» ? '■ M)
Sin.» F = . q
i
Sta. F = . j/3
&mn
Stellende nu voor Cof. F en Sin* F haare waar. dyen, dan heeft men
X 3 2



404 ONTBINDINGEN
m'+n'—t' _ <*'+/3ï—v» _ a»0. Sin. A = . y 'p -\ . {/q-
loLfi. Cof. A——.ypq~
2mn <±mn l . 1 — ■ '■> i
4 ««*/3. Sin A^Cw'+o*—r,)i//)4-(<*24-/31— y') i/^
4mn»0. Cof.A=Vpq — («a4^2 — y*) (m*4-»3— r»)
Stelt men nu deeze waardyën van Sin* Acn Cof. A in
4mna0y. Sin. A Z=—— • : «,
|/(af»2*' 4-4ffl»«/3.Cö/.A4-a»2/S2>1/20 Dan heeft men
C«34-»2—-r •) |/?4-fV 4-,8*— y
z=y—.—
tfQm'**+ 2»3 £«—(«3 4- £' - y1 X»24-«J-r3)
(«»4-«s—?•) i/p + 4- i8'-y3) j/f r~4//«»aC«>2+»,J—«*>M2("3+r*—m,;4-y2(w1-h
Door welke formule den afftand BF berekend kan Worden.
Laat nu zyn *» = 392;»=364; r = 420 Roeden, - »3ji§= *4;?— i^Pond;
dan



DER VOORSTELLEN, EBt. 4oj dan vindt men BFzjjj; BG- 031 ;BD =1073.
Als de Driehoek DFG gelykzydig is t heeft men mz.nz.ri en in dit byzonder geval
z ZZ r y. ' 1 -
V 0*4- £ 24-y '4V370' V*P
Aanmerking.
Als de gewigten », a, y, gelyk aan elkander zyn, worden de hoeken M, N, R het ook ;naamlyk, ieder gelyk iao graaden, en by gevolg in dit byzonder geval de fom der lynen BF, BG, en BD een Minimam*
CC. VOORSTEL,
Door den Opgeever.
Stel den OEtagonaal-Wortel zz x', dan is het OSag<w«3<-getaal — 3 x* — 1 x. Wanneer wy nu den Wortel * daar by optellen, en ook daar van aftrekken, zullen wy hebben
33c1—x\ die beide rationaale Ocïagonaa!■ getal3*'«— xy len moeten zyn.
Stel de Wortelen ~a—o/en t—x; dan is
J.) 3a*—6ax + $x*— aa4-2jr=3«r!!—*
Of 6ax—3Jr=3aa—aa
30* —2 a
x — - h. ■
6a — 3 X4 a;}



4©6 ONTBINDINGEN
fl.) 3b*~-6bx-\r2X*---!ib+2X—2X* —3*
Of 6bx—5x = $b!l—ab
3&1 — ab
x ZZ
6b -5
Stel in de eerfte Formule azzb + y, dan wordt de. zelve
3^» — 2^+3^* 4-6 by — ay
6b+6y—3
3^ — 2*+ 3y* + 6by- zy 3b1*— ab
Derhalven ———=• i—
6M>4-óy—-3 6b — 5
— —— 111 herl.
l8è3—S7fc*+366a3i4-1 Sby*—^by—isy^+iob+icy—
ï8&3—aiZ>ffl-hï 8èaar ...» —is&y. .. «4-6£
Ï8y —6.£' -HlSy1 — soy-i-4.^ = i5D'1— iov
I/81 5*—9J2+4 —93'ï + iSJ*2 ~" 1831 — 6 ~
Derhalvèn moet 81 j* — 9yJ4"4 een rationaal Quadraat zyn.
Stel 3y—z; dan wordt de bovenftaande uitdrtikking
z* —z44-4-0«
Wanneer ru z~i is, dan wordt z* — z*4-4 een rationaal Quadraat.
Maar i'üy > 6; dus 331 of z > I.
Stel daarom % ZZ v + 1.
Dan



der VOORSTELLEN , ikn. 40?
Dan is z« —za4-4=,'*+4»,3 + 5v,Tav+4=0.
3
Stel den Wqrtel = 2+5*41 — **.
16
Dan hebben wy
v* 4- 4v* 4- 5** 4-iv 4-4 ==
i°5 3 3 — v*-Ki--34-5»',4-av4-4 256 16
105 13 Derhalven — = s 256 16 __ —jp 35$
105 v =3 720 105 — —
-
7
55
Dus 'z z:
7
%9
5o4 _ 253
1 -. 72
~* .31243 ../ X 5 Der-



4©8 ONTBINDINGEN
1609526545
Derhalven 3*3—a*=— het begeerde 05a-
3*5479*68
gmaal- getal.
CCL VOORSTEL. Door den Opgeever.
Stel voor de Trigonaal' Wortelen *, x+y> *4-z. Dan zyn de Trigonaal- getallen aca 4- * 2
ac» 4- 3*j + y' + x + y 2
#» 4- 2** 4- z* 4- * 4- z 2
Deeze getallen in eene Arithmetifche Progresfie ftaande,is de fom der twee uiterften gelyk aan het dubbeld van het tniddelfte.
2*»4-2arz4-za4-2jr4-z . Derh. ■~»»4-2yy4-y»4-jc+y 2
.1 ■ n 3
2*24-3*z4-z14- 2x+z—2jra4-4*y4-a3ia4-2*4-2y Of 2^24-z3+zr:4jry4-23f,4-ay
Of



Dft& VOORSTELLEN, t,Hti 405 Of 43—az.x~z*-\-z—vy^+ay
z34-z—2Ja4-2j 4J—2Z
Stel z — ay ~ a;
a<y» — qay + a» — d
Dan is * = » —— > ,
üê
Laat ay' — 4031 = o zya
Dan is y = aa, fl — 1
2
**4-* <iE—s Dus — =
2 8
x+y 134-*4-y 25a* —I
2 ' 8
ï + 2 I * + x+z 49a'— i
7"" 8
: ——s
75a*—3
Som ■ dat een rationaal Tri'
8
gonaal- getal moet zyn.
Stel den Wortel zz bi
Dan



4io ONTBINDINGEN
,75^-^3. b' + b Dan is 111 ■— — —1—
——-9n— t-s
8
75<*a- 3 = 4&2 + 4*
Of 75** = 4$» 4-464.3
-*-h» 3
225a3 — i2^s + ub+9 V — i
15a == j/i2és + i2f>-r- 9
l/l2*3-i-I2i-4.9 3 = . —■
15
Dus blyft nog maar alleen overig, dat i2is-{12&+9 een rationaal Quadraat moet zyn. Stel den Wortel zz bc — 3.
Dan is I2£34-I2&4=9 = b'c' — 6bc+$
Of I2É*+I2è = b*c2— 6bc
b —
12^4-ia = bc2 — 6c
Of ea —12.& = 6c4-ia
C + 2XÖ b =
•c3-— ia
Nu moet c* > 12, en dus.c > j/ ia, en om dat
. . ... _ 1 + 1/73 a > i is, kleiner zyn dan
2
Neem



dkr VOORSTELLEN, bkï. 411 11
Neem c—4; dan is b — 9, azz—— 9 enwyheb.
5 ) t
ben alsdan:
a' —1 ia" 8 25 25*° —1
—- = 15 y de drie begeerde TrigonaaU
8 | getallen.
49*g — » 738 |
Of neemende e ~ 3f, dan hebben wy
a3 —1 2923"!
8 2J
25 a1--1
= 2926 y de Tr/gonaaAgetalIen als
8 I vooren.
49«a-i 143377 I
~~ 1 25 J
CCII. VOORSTEL* Door den Opgeever.
Stel de vier zyden van den Vierhoek, in gevolge de opgegeevene Proper tien, 3*, 4*, />j en gj*
Das



4i9 ONTBINDINGEN
Dan is, volgens A. B. Strabbe Esrfle ieginjelen der Fluxie - Rekening, §. 174, pag. 156.
— X i/—■49X'! + 5opaxayi -r- o6pqxaya—piy*-h l& ap'q^y*—q*y* —
den Inhoud des Vierhoeks.
Derhalven — 49x94-50p3ac3jI ^-Qópqx^y2 — p*y* + 2p9$'y* — q*y*— de Maximüs,
In Fluxie
*- 196X3x+lOCpayixx-i° loop' x'yy-^r IQipqy* x • . • ».
192P9x*yyioo^j2 x* + i&oq*x*yy —
4?* 3' j+%v*? y3 y—4 s *j8 j - o.
Stel ï io; dan is loop'xtyy+iyipqxtyyjr ïoóq*x'yy—4p*y*y 4-
4;yy i -> _
25/>2*,4-48/>j** -F25q' x'—p*y2 + 2p*gty3-*-
q*y*—o
Of 5+ —2/>2^*4-p*.33-25J24-48^^4-25pJ.*2
2 j £a 4- 4 8p q 4- 2j/>2. x*
Dus ~ ■ : ■
q*-2q'q*+p*
V ±- — --
|/25?a + 48/)?4-25/.^ j
y 1 ■*
? -r
Stel



ökR VOORSTELLEN , ÉAa* 413
Stel )/!~S4i + tfPq+l*5P* = 5f+5p — r _ 1 j
Dan is 25 ^2 4- 48/» # 4- 25/»2=
25^*4-50/)^ —10gr 4- 25/>a — iopr + r*
1 ! • ' 1 *, nM
Derhalven ap#—ic o r = iep r — r*
lopr — r*
en q—
2p—'or
49r»
of ? = 5H »
2/>— ior
Dewyl cu p en # hefele getallen rhoeteü zyn, zo
4QA2
inoet ook een heel getal zyn.
2p— ior
Derhalven moet 2p—ior een veelvouwd van 7 zynde, een deeler van 49 zyn*
Stel daarom ip— wr = 7a; dan moet gjj nog deeU baar zyn door a.
of 2/>=rior4-7« a v ■ ,
a
p = 5r + 3a + —. Dus moet a doof 2
2 deelbaar zyn, en daarom r een veelvouwd van 2*
Stel r32 ai.
49»'* lQ6f* 98f»
Dan is —■ — ■ — — —
a/> — ior ap — 20* p—iof
98r2 98
Neem i,op't kleinst, = 1; dan is = *§
p-ios p-10



414 ONTBINDINGEN
98
en dus blyft nog overig, dat— een heel getal
p —10
moet zyn. .
• De deelers van 98 zyn 1,2,7,14, grY, Dus p —10=1,2,7,14, {jPe. Derhalven p = 11,12,17,24,^,
Ciopr—r*v = 1=108, 2p—lor-7
P-ï2'-> • • 9 = 59.
P~li; • . q =24.
p-24; . . q = 17.
&C. ®C«
Naardien nu in het Voorftel de kleinfte Proportie begeerd wordt, hebben wy/> = 17, en 5=24.
~ , l/25?2+4^P?+S5P2-*x1 202* 20s Derhalven y( zz J—_——
Neem *~41; dan isyza9.
Dienvolgens zyn de zyden van den Vierhoek
3* = 123. 4* = 164. P3> = 493. g;y = 696.
CC1II,



der VOORSTELLEN, ens. 415
CCIII. VOORSTEL.
Boor J. M. C. v an UtEJïHOVE.
De algerneene en volledige onlosfing'der ocbepaaï. Qe Aegmne Ax' + i — y- j„ heele getallen behoort onder de grootfte door het menfchelyk vernuft in riet vak oer onbepaalde Analyfn gemaakte on.'dekKmgen geteld te worden. Fermat fcliynt de eerfte geweest te zyn , die 'er het belang van inzag en er zich mede bezig hieldt: althans Helde hy dezelve den Engelfchen Wiskunftenaaren van zynen tyd als eene uitdaaging voor, eene oplosflng derzelv* van hun eifchende. Mylord Brownker gaf 'er hierop ook eene, te viaden in de werken van Wallis i en byna letterlyk door den grooten Euler in zyne Algebra (a) overgenomen; doch deeza oplosfing, hoewel zeer vernuftig in zich zelve, heeft nogthans net ongemak van niet algemeen noch rechtreeks te zyn, noch ook de moogelykheid eener oplosfing in alle voorkomende gevallen van vooren te doen inzien. Fermat van zynen kant fchvnt zyne eigene oplosfing geheim te hebben gehouden. Lagranec js derhalve de eerfte geweest die op eene volmaakte en grondige wyze bewezen heeft, dat de Jeguatie, 3*—Ax' _ i , wanneer A geen Quadraat- noch negatief getal is, altyd een onbepaald aantal onlosiingen in heele getallen toelaat:, en die dan ook eene zoo fraaije als bondige manier heeft geleverd. om deeze ODlosfingen alle te vinden (Mélanges de Turin Tom. IV. et Mémoires de l'ACad. de Berlin ann. i/ój). Het vraagftuk zelve was inderdaad de navorfchingen der fchrandeifte vernuften overwaardig, niet alleen wegens deszelfs belangrykheid m zien zelve befchouwdj maar wel voomaamlyk, dewyl het ons,
«14
(*) II. Deel p. 379 Nederd. üitg, Y 2



4i6
ONTBINDINGEN
als 't ware, de deur opent tot de algerneene oplosfing der Aequatie van den tweeden graa^l met twee onbekenden, waartoe hetzelve volftrekt onöntbeerlyk is, wanneer die oplosllog in heele getallen moet gefchieden. Daar wy nogthans zouden genoodzaakt, zyn, ten eirde van deeze wyze van oplosfing eefï volledig bewvs te geeven, geiieele verhandelingen alhier intelasfchen, 't welk het bellek van dit Tydwerk niet zoude toelaaten, zoo zullen wy ons thans vergenoegen, met alleenlyk het hoofdzaakelyke vaif deeze manier, by wyze van regels, alhier voortedrageo. Ten dien einde znl het nogthans noodig zyn,om vooraf eenige van de voornaamite eigenfehappen der geduurige breuken aancetoonen, temeer daar deeze , oflchoon de uitvinding van eenen der beroemdfte Nederlandfche Wiskundigen fa) zynde, nogthans tot dus verre in geen Nederduitsch Werk, voor zoo veel ons bewust is, verhandeld zyn , en daardoor voor de meesten onzer lezeren welligt niet zoo zeer bekend zullen zyn, als zy bet wegens de menigvuldige hulpmiddelen, die zy in de behandeling der moeijelykfie rekenkundige voorftellen verichaffen, wel verdien» den te wezen.' Weshalve wy vertrouwen, dat men ons by deze gelegenheid de volgende uitweiding over dezelve wel zal willen veröorioven , we'ke wy i-ogthans zullen trachten, zoo veel ods mogelyk is, te bekorten.
Door eene geduurige breuk verftaan wy zoodanig eenen breuk, of de verzameling van een heel ge/ tal cn zoodanig eenen breuk, wiens noemer wederom zulk' eene verzameling is , waarin de noemer des breuks 'al wederom gebroken is, het zy die uitdrukking aldus tot in het oneindige voortgaat, het zy die ergens ophoudt, (tellende wy alhier de tellers deezer breuken altyd aan de eenheid gelyk, doch de noemers aan ails mogclyke getallen. Dus zyo
b. v.
(«) Huigetis. Men zie zijne Defcripti» Antomati. planetarii.



d5u VOORSTELLEN, ekz. 4f7
« . ; s ' I ,.. .
b .v. I. )-r i , of ook ï F.>-j-— 3 gedma+— 1 i>-i-~ t
H— I c-h- 1
1 d+»+■ — e enz.
e enz.
r£g« breuken, en het komt 'er voor eerst op aan om deeze, mee eenen begeerden Term afgebroken zynde, op eene bekwaame wyze tot eenen gewoonen breuk te brengen. Deeze gewoone breuk ftelle A
men te zyn — wanneer men den Ilden geduutieen
A' B breuk terftond met a afbreekt, -— wanneer men
1 c b' 1
dit met —,— wanneer men het met — doet enz.,
b Q' c zoo heeft menrterftond A = a, en A'=ï« 13 = A*-fi, en B'=*; C = Bc+A, enC'=B'H-A'. Ur Itelt men alle,de noemers van den geduurigea breuk op eene ry, met a beginnende, en onder de. zelve de hun toebehoorende gewoone breuken, ais volgt:
a .„è • c . d . e I » m . n enz.
A B C D E L M N
A'' B'' Cl D'* Et'h' U1' N'
zoo wordt ieder teller N uit zyne twee voorgaande M en L op zoodanig eene wyze zaarogefteid, dat men het bovenland getal » met den laatften teller M vermenigvuldigt, en by dit produel den voorlaatften L by voegt: eveneens handelt men met den noemer IM'; zoo dat men in 't algemeen hebben moet: NzMn + L, en N'= M'/;+En hiermede is de wtt openbaar , waardoor zoo de tellers als de noemers deezer gewoone breukeD, wanneer men flegis de twee eerffe op de hier'boven aangeY 3 toon»



fïS
ONTBINDINGEN
toonde wyze gevonden heeft, alle bepaald worden. Dus vormen deeze tellers en noemers Bulfce ryen, als by de Wiskundigen onder den naam van wederleerige (returrentes) bekend zyn. Wy noemen de op deeze wyze bepaalde gewoone breuken na* derende breuken, dewyl zy inderdaad de grootheid, door den geduurigen breuk voorgefteld, immer meer èn meer naderen, zynde dezelve beurtelings iets kleiner of grooter dan deeze grootheid, (naamlyk grooter wanneer hun rang een even, en kleiner wanneer die een oneven getal is) tot op de laatfte, wel» ke eindelyk aan dea gedutirigenbreub volmaakt gelyk 3s. ftog hebben zy deeze lchoone eigenfehap, wel' ke in de onbepaalde Anahfis van een zeer uitgeftrekt gebruik is, dat M'N-MN'=-t is, hebbendé het bevende teken plaats, wanneer de naderende N
Ireuk — even in rang is, en dus hel: onderfte in
' N'
het tègengeftelde geval.'
Door de opgegevene manier kan men dus terftond eenen eindigen geduurigen breuk tot eenen gewoone» brengen, doordien deeze gewoone breuk niets an« ders is dan de laatfte der naderende breuken. Het omgekeerde, om naamlyk eenen geaeevenen gewoonen breuk in eene geduurige te' ontwikkelen, gefchiedt door eene geduurige deeling, op dezelfde wyze als men pleeg den grootften gemeenen deeler tusfchen twee getallen te vinden. Men ftelle b. v. P
den gegeevenen breuk n —; m;n deele p door 5,
' 9 .
noeme het quotiënt 0, en de rest r; deeze rest r neeme aten nu vefvolgens voor deeler aan, en den voorgaanden deeler 'q voor deeltal, en deele andermaal, hoeraende het quotiënt b en de rest j. Üp deeze wyze voortgaande, fteliende de volgende quotiënten ZZc,d,e,enz. en de resten ZZt,u,v, enzi, zoo zal men, wanneer p en q geheele en onderling ondeelbaare getallen betekenen, eindelyk eene resc
— 15



15er VOORSTELLEN, ehz. 413!
ZZi, en dus de volgende gelyk aan o verkrygen, waarmede de bewerking aal voleindigd zyn. Deeze bewerking gefchiedt derhalve op volgende wyze:
0 I p I a
' I a11
r tj b
_br
s r e cs
t s d . dt •
u | enz- : ,
. . 1 ! m J m
l ml
ö
en de quotiënten a,b,c, d....m geeven voor de P
ontwikkeling van — den volgenden geduurigen 1
breuk: ais
p 1 -— = o4— 1 q b + — 1
c-\ 1
d+ — e
: 1
: + —. m
Breekt men nu deeze met eenigen begéérden term af- zoo heeft mén voor mdsrende breuk eene waardy Y 4 van



420
ONTBINDINGEN
P
van —, welke wel daaraan niet volkomen gelyk zal 9
zyn, doch daar altyd nader by zal komen, hoe meer termen men van den geduurigen breuk verkiezen zal te neemen; en wel zoo, dat het niet mogelyk zy daar nader aan te komen, zonder beide teller en noemer van den gevondenen naderenden breuk te vergrooten. Hier door lost men dus het in de Rekenkunde zoo gevvigïig vraagftuk op, weleer door Wallis voorgeiteld, om naamlyk eene gegeevene onverkleinbaare breuk fiogthans zoodanig te verkleinen, dat heï niet mogelyk zy derzelver waare grootheid nader. dan door eene min' der eenvouwdige, uitdrukking, te bekomen.
Dus verre hebben wy de geduurige breuken als uit een eindig of bepaald aantal termen beftaande, benevens derzelver voornaamfte eigenfehappen , be« fchouwd, en aangetoond. Doch wanneer de door eenen geduurigen breuk voorgeftelde grootheid door haare natuur voor eenige eindige uitdrukking in getallen onbekwaam is, zoo als b. v. de irrationaale wortelen der getallen die geene volmaakte magten zyn , dan zal noodzaakelyk de geduurige breuk, zulk eene grootheid voorftellende, in het oneindige voortloopen. De eenvouwdigfte van zulke oneindige ge* duurige breuken zyn die, waarvan de noemers, al>« tyd in een geregelde orde elkander opvolgende, we. derkeeren, en daarom wederkeerende of periodieke geduurige heuken genaamd worden , en het zal tot ons oogmerk genoeg zyn, ons hier alleenlyk met dat foort van oneindige of nimmer ophoudende geduurige breuken nog een weinig bezig te houden: men kan dus dezelve op volgende wyzen voor», ftellen:
I i
ff-h*- ; of a-I— i
1 i b-\— r
• i c+— x
' b + - b + -
of



der VOORSTELLEN» ehz, 4a! 1
ï. of a + — i ; enz,
b + — 1 c + - 1 d-\— 1 b+- 1 c+ —
De Wiskundigen hadden reeds overlang bemerkt» dat de getallen x, y, en z enz. zich op deeze wyze altyd door eene quadraatfche Aequatie laaten bepaalen , z o als bet in der daad aan een ieder, by daadelyke ontwikkeling, blyken zal: doch Lagrange heeft het allereerst op eene zoo grondige als ichrandere wyze betoogd, dat ook het omgekeerde van deezen grondregel plaats heeft, dat is, dat de wortelen van een iedere quadraatfche Aequatie altyd door geduurige breuhn kunnen uitgedrukt worden, die noodzaakelyk periodiek zytb Eulsr hadt, wel is waar, in eene uitmuntende Verhandeling over dit onderwerp, te vinden in het XL Deel der Nieuwe Petersburger Commentarien, reeds opgemerkt, dat de quadraat -wortelen der getallen zich al te maal tot zulke periodieke geduurige breuken lieten brengen: doch dit byzonder geval van den door tagrange betoogden grondregel is door Euler niet bewezen, waarin wy nogthans alhier genoodzaakt zullen zyn hem te volgen, daar het bellek van die Mengelwerk geenzios zoude toelaaten,.het bewys van Lagrange hier in te voegen; ten minften niet zonder daar in meer ta verönderftellen, dan men met duidelykheid en billykheid verönderftellen kan en mag. Wy befpaaren derhalve het volledig hswys van deeze voonrcflyke eigenfehap der geduurige breuken voor eene nadere gelegenheid, waarby wy deeze ftoffe op eene misfehion meer rechtftreekfche en meer uitgebreide manier ons voorneemen te behandelen: Voor het tegenwoordige zy liet ons genoeg dezelve als eene onloochenbaare Y 5 e»



422 ONTBINDINGEN
en elders (a) bewezene waarheid alhier te hebben aangetoond.
Wyders zal het ter bereiking van ons oogmerk noodig, en tevens genoegzaam zyn, alhier aante» toonen, hoe en op wat wyze men eenen iederen irrationaalen quadraat - wortel van een gegeeven getal door zulk eenen geduurigen breuk voorftellen, en de èltyd wcderkeerende reeks der noemers van haare termen vinden kan: want men ziet terftond, dat de hierboven opgegeevene manier om eenen P
breuk — in eenen geduurigen breuk te ontwikkelen
q
h:er van geenen dienst kan zyn, dewyl 'er geen
p
irratienaak wortel door eene eindige breuk — kan
worden voorgefteld. Tot meerdere duidelykheid verkiezen wy daartoe eerst een byzonder geval, en ftellen ons voor, om b. v. den quadraat-wortel uit 17 op deeze wyze te bepaalen : het naaste ge. heele getal van dien wortel is, zoo als bekend is, =4; doch daarby moet dan nog een breuk ko-
1
men: men ftelle dien te zyn iSa —, zoo dat men 1 * 1
hebbe y 17 =r 4 4 ', dus ar = , welke
* I/17—-4
breuk, onder en boven met 1/174-4 vermemgvul-
digd, geeft x= = 1/17-1-4: het groot-
1
fte geheel getal in deeze grootheid begreepen is 8:
1
men ftelle derhalve * = 17-5-4 zz 8'4—, welke
x'
laat-
(a) Mémoires de F'Académie de Berlin Pour J767, et Additims 4 ÏAlgèbre d'&ukr §. ƒƒ.



des VOORSTELLEN, enz. 423
1
laatfte Aeqmtie wederom geeft —-—-, het
v 17—4
geen wy ook voor * gevonden hadden, dus %'~x;
1 i maar wy fielden ook x~*S + — , dus xzzQ-h—•
1 x' %
■—84— 1 , dat is x gelyk aan den geduuiigen
84- —
1
breuk 84—■ t
84-- 1
84 1
1 8 4-enz.zonderetnde:dus 44-—, of 1/17:144— I * 84— ï 84—
8 4-£i?<:. zonder einde. Op gelyke wyze kan men in ieder byzonder geval te werk gaan: doch alvoorens meer al^emcene manteren aantetoonen , oordeelen wy het niet ondienftig nog een ander voorbeeld te overwegen, dat wat minder eenvoüwdig is, en meer bewerkingen verëischc, voor dat men in ffaat is de wet van voortgang in den geduurigen breuk te ontdekken: men zoeke dus ook nog den quadraat^ wortel uic19: het ,naast kleinere geheele getal is weder 4, waarby dan wederom een' breuk moet komen: men
1 1
heeft dus 1/19=4+ — » waaruit x=z~ =
1/19+4 x t/19 — 4
— ; het grootfte geheel getal in deeze laatfte
grootheid begreepen, is 2, welke daarvan afgetrok* 1/19—2
ken zynde, rest , 't welk dus een breuk
3 1
moet zyn, dien wy ftellen z: — te zyn, men heeft
dan



42* ONTBINDINGEN
i/i9+4 ^19—2 1 dan *= c=2+— = 2-r—. Daar
3 3 *'
I 1/19 — 2 nu — = is, zoo heeft men, beiderzyds
*' 3 3 omkeerende, x'zz , of (met j/i9 4-2Ver-
. ,A , ✓»9—a 1/19 + 2 menigvuldigende,endoor 3 deelende) *'= —:
hierin is het grootfte geheel getal = 1, 'r,5 welk
daar afgetrokken, rest —— voor den breuk —:
5 5 *"
dus weder omgekeerd heeft men *" =3 ., en
^1/19 + 2^ 1/19 -3 _ 1 i/:9 — 3
x'— —H ——14—. Op deeze wy-
5 5 *"
ze nu gaat men verder voort; en zie hier de ge« heele bewerking voor de ontwikkeling van j/ 19 in eenen geduurigen breuk:.
Vig—4. 1
1/19:14+ -4 + —
1 *
1 1/19+4 1/19—2 1
* = ~ -24- H24- —
J/I9—4 3 3 *'
3 j/19+4 1/19— 3 1
*' ~ ~ =14-
1/19—2 J 5 sii
. 5 1^9+3 19-3 1
*" = ZZ-- = 3+ ■ =3 + -
I/19—l 2 2 #w
2 ^19+3 I/19—2 1
*"'= -1+ ZZ1+ —
J/I9—3 5 J »"



dbr VOORSTELLEN, ehz. 40$
a: iv —_ — - —24 :— —24—
I/19—2 3 3 *T
3 l/'9+4 Vi9—4 l
- —— -84 -84-
1/19—4 1 1 *VI
l 1/19+4- I/19—2 1 a;vi- i-a4 =24— r*. enz,
V/19—4 3 3 <*'
Men ziet dus dat wy eindelyk aan een termx™ zyn gekomen die 'gelyk is aan x, waardoor dan de geheele bewetkirig in dezelfde orde moet wederkeeren , en dus als volëindigd befchouwd worden. De ry der grootfte geheele getallen in *, x', x'1 enz. begreepen is derhalve 2, r, 3, 1, 2, 8j en komt daarna altyd in dezelfde orde weerom; men heeft dan voor de ontwikkeling van 1/19 in eenen geduurigen breuk, of
11 »
t/l9=4 + - = 4+— 1 H4+— 1 - &c . .
x 2-1 24— 1
*' i+-
1 *" = 4+~ 1
2 + - i
i+— i
3+- 1 i+- 1
24 1
84--
24- i
+-
'twelk, gelyk man ziet, een periodiquen geduurigen breuk is.
Men ftelle nu op eene algerneene wyze het getal
waar-



4*6 ONTBINDINGEN
waaruit de quadraat- wortel moet getrokken worden A; t»et grootfte daarin begreepen geheel qtu» straat de temen van de 3ie kulom onzr-r voo-
nge tafel Toor de ontwikkeling Vau den quadraat-
. . VA-i-B wortel uit 19 op eene algerneene wyze — 5
; C
en het grootfte daarin begreepen heel getal zzm% zoo is het voor een ieder, die de gemelde tafel met aandacht overweegt, openbaar,dat het daarin voorpaamlyk maar op de bepaaling der getallen B en C aankomt. Kon men derhalve deeze, volgens eene zekere wet in alle gevallen bepaalen, zonder alvoorens door alle de daartoe aangetoonde bewerkingen ddor te gaan, dan hadt alle de overiae rekening weinig zwaarigheid meer. Dit nu kan gefehieden wanneer men flegts twee elkander onmiddelyk volgende termen in deeze kolom kent, welke
7 h» „ l/A-r-B» (/A+B wy b. v, [tellen zullen te zyn en
C° ' C * benevens het in de laatfte uitdrukking begreepen grootst geheel getal mi want dan heeft'men altyd pen volgend getal J
B'~ Cm — B
en C- C° ~(B — B')nt
Men behoeft das alleenlyk de twee eerfte termen VA+B *
Van de form op de hier boven geleerde wy-
C
ze te berekenen, om daarna alle de volgende door de alhier aangetoonde wet te bepaalen, waarby men noodzaakelyk op twee getallen, b y BN en CN zal komen, welke ieder in 't byzonder aan B en C gelyk zyn, als wanneer B, C, en tn te zarnen wederkomen, en eene nieuwe periode beginnen, welke aan de voorgaande volkomen gelyk is.. De grond van dit verfchynfei is eigenlyk daar in te zoeken,
dat



der VOORSTELLEN, enz. 42?
dat de getallen B en ■ C in ieder geval zekere be. paalde grenzen niet kunnen te boven gaan, en dus maar een zeker bepaald aantal verfchillende waardyën kunnen aanneemen: 'er kunnen derhalve ook maar een zeker bepaald aantal combinatiën of verbindingen deezer twee getallen met elkander plaats heb. ben, welke alle uitgeput zynde, 'er noodzaakelyk eene moet wederkomen die meu reeds eenmaal gehad heeft; en meer is 'er niet noodig, om de gant« fche bewerking op nieuw van vooren aan te doen beginnen. Men heeft dan hierdoor in het algemeen:
1
f/A=a-\— 1
m+— i ta'-\— 1 tn"+-~ m'".
1
. + — 1 «»+ —
waarin m altyd het grootst geheel getal is, in de i/A + B
form begreepen.
C
Wy meenen dus hiermede op eene volledige wyze de manier te hebben voorgefteld, waardoormen in 't algemeen alle de quadraat-wortelen der getallen in geduurige breuken ontwikkelen kan. In verre dc meeste gevallen zal men genoodzaakt zyn tot deeze manier zynen toevlugt te reraen. Nogthans zyn 'er zeer veele byzondere gevallen , waarin men zeer veele moeite fpnaren, en daartoe ingerichte byzon. dere formule*, gebruiken kan. Dusdanige formulen zyn 'er verfcheidene door den beroemden Eubr geleverd , (Men zie zyne fntroduêïio in Analyfin hfi. , nitorum §■ 377 ci 378. benevens zyne reeds aange-
haal-



4?8 ONTBINDINGEN
haalde verhandeling in de Petersburger Commenta* riên). Wy laaten 'er hier eenige volgen, welke wy tot dat einde gevonden hebben:
I. ) i/»1 + i = « + — i
284- — i
2b-| I
2«4
~ i in 4- &c.
II. ) 1/»*+ 2 = « + — ï
h + — i a»H— I «H
' i 28 4-cifr.
III. ) j/w'-h » = n-\ i
2+- I
2» + — I 2-f—
I 28 4" $if«
IV. ) l/»2 + 2» = » + — I
I+- I
2« + — I I + -
i fi» + &V*
V. ) t/»2+i» k *+- i
4-1 i
2m4-— i 4 + —
28 t 28 4" c?c.
VI. ) */«a4— = «4— i
m jb4— i
2«4— 1 m-\—
ï 2« 4- 6rV*
VII. ) ^«'4-28-ï™ «4— i
14 -I
(8-1)4—. I
14
2«4-c?f. Doaï



oia VOORST ELLÉN, enz.. 4*9
Door deeze formulen kan meri, io veele byzon dere gevallen , de ontwikkeling zonder eenige ra kening verrichten: de Vide fluit de vyf voorgaan, de in, en men ziet tevens in alle dezelve, dat de noemers van de laaifte termen der pmoden fteeds ~ in zyn; alsl obk dat in de laatfte rte Urmen die eyen ver van het raidden eener periode afftaan elkander gelyk zyn, het geen insgelyks rn de uier boven gevondene periode voor de ontwikke1 nu van dèn 1/19 plaats had: eri dit zyn inderdaad ook nog twee algerneene en zeer fchoons eigenfcbappen vaa die geduurige breuken, welke uit de ontwikkeling van de ^uaóirY/ar-wortelen der getallen voo-tkomen; zoo dat men in het algemeen ,den quadraat -wortel uit eenig getal A op deeze wyze kan vooifteliera
i
i/Azr«4— ï
ffl4— i m'-\r—
*>"+&ci
4
+— 1
7S"-j j
m'-\—- 1 m-\— i aa4—•
enz.'
Wanneer men nu op de Kier boven geléérde manier de mierende bréuktn daarvan zoekt, dan veri'chaft ons deeze wyze van worreltrekkiDg dit on. fcbatbaar voordeel, dat wy daardoor' eene reeks van grootheden bekomen", welke den itfitionaaUri wortel varr een getal óp dé Mèretnvotiwaigfle, en tevens op de alleffnetfie wyze naderen; en inzon» derheid verdient daaronder dïe naderende h'etik onze tgnaerkmg, welke onder den vcoriaatften roemer'



13o ONTBINDINGEN
der periode, m, die*2« cnrniddelyk voorafgaat, behoort , wegens eene zee"- gewigtige eigenfchap, waardoor wy ons eigenlyke oogmerk tetft-nid bereiken: noemt men naamlyk deezen mierenden breuk P
— ,zoo heeft men noodzaakelyk altyd —A^3r=—i. 9 .
dat is 4-1 waqneer de rang van dien vcorlaatfiennoe* P
mer m waaronder — behoort, van a af te reke»
nen, even, en — i wanneer die rang oneven in getal is; heeft dit laatfte plaats, dan komt nogrhans die voorlaatfte noemer m in de volgende periode met eenen evenen rang weder; en geeft dus ten mniften voor de 2de, 4de, 6de reize enz. p* — Aq-~+ï. Hier uit kan men dan roet zekerheid befluten, dat de Aequatie Aqa+i=p- altyd een oneindig aantal oplo'öngerj in heele getallen p en q toelaat, dewyl de perioden oneindigmaal wederkeeïeiïj en dus ook dc voorlaatite noetr.er as, waarP
ond?r de breuken — te ftaan komen. Hiervan zyn
q ■ ■ 1
openbaar uitgezonderd de gevallen, 1) waarin A een quadraat is, b. v, ~a%, want alsdan was ook a* q* een quaaraat, en een ieder weet dat een quadraat met de' eenheid vermeerderd of verminderd geen ander quadraat kan opleveren, behalve in de zichtbaare gevallen van O'en 1: waarin h negatief, of ten minften kl iner dan — 1, en tevens q grooter dan o is, dewyl alda p denkbeeldig of onmoaelyk wordt. Buiten deeze twee openbaare gevallen ka^ men vaar A alle nogelyke geheele getal! (feiten en de Aequatie /***+.—y» zalmen aiiyd donr de volgende rf-ge!* kunnen oplosfen: 1) men anjwikketé d< n quadraat wortel uir A in eene')- geduurigen breuk; ) men zoefce de naderettdt gewoone breuken, die onder de gevondene noe» uiers der lermtn van den geduurigen Lreuk behaoren;



öer VOORSTELLEN, enz. 43*
ren; 3) nieri zondere hier van af alle die naderende breuken, welke onder de voorlaatfte noemers der pet loden van den geduurigen breuk re ftaan komen, en waarvan de rang tevens een even getal is; 4) men ltelle de noemers deezer afgezonderde naderende breuken voor s, en haase tellers voor <y, zoo heeft men altyd: Aï»+ ir:^.
In het voorftel, 't welk wy alhier moeten oplos* len, is A = i7, en wy vonden hier boven voor den wortel uit 17 deezen geduurigen breuk, welke oufc int onze lfte byzondere formule volgt:
i
B + ~ 1 '8 + - i 8 + -r
8-1- enz.
Nu ftelle men eerst de noemers der feraf>«, rast het geheel getal 4 beginnende, op eene ry, en on» dér dezelve de naderende breuken, die daaruit volgens de aangetoonde wet gevormd worden, als
Volgt:
4. 8. 8 . 8* St 8 . 8 . g
4 33 268 2177 17Ó84 143649 it668j6 9478657=^
i 8 65 5^8 4289 34843 283009 2208912 =r*'
Daar alhier de periode van den gsduwigen breuk maar uit e«B<?« enkelen term beftaat, die cius te gc« Jyk de eer/ie en de laat/ié van iedere periode is, zoo is de voorUutfia in ieder ook tevens dc laatfte, dat is de etry?e 0/ eenigfle, eeher voorige' periode :■ cri wanneer men oaarby in overweeg:* g . neemt, dat men, om +1 te verkregen , altyd zulke termen Rit de hier geplaatite reeks moet ueeuien, welke in' Z 2



433 ONTBINDINGEN
dezelve eenen evenen rang bèkleeden; zoo vólgt hier uit, dat alle de evene termen van dezelven ons byz-ir.de'-e oplosungen van hec opgegeeven voorftel ve-fchafFen moeren; w?ar.>m wy dan ook deeze termen met het teken (>k) bemerkt hebben. Wy kunnen dus voor * de getallen 8, 528, 34840, 2298912; en voor y 33, 2177, 143649? 9478057 enz. ftellen; en men kan verzekerd zyn, dat daarmede de Aequatie 17x2 + i=y2 volkomen, en in geheele getallen, zal zyn opgelost. De o-evene termen van de reeks der naderende breuken zouden even zoo veels oplosfingen der Aequatie i-tx2—1=3)°
y
geevcn, en de breuken zelve — zyn grootheden
x
die den quadraat-wortel uit 17 zoo naby komen, dat het niet mogelyk is dien wortel naauwkeuriger en te gelyk eenvouwdiger uittedrukken, als kunnende hunne quadraaten niet meer dan de eenheid door het quauraat hunner noemers gedeeld van 17 verfchillen.
Overigens kan men ook, zoo dra men een byzonder geval kent, waarin Ax2 + i=y* is, alle ove* rige gevallen op volgende wyze vinden. Men ftelle dat dit geval plaats hebbè, wanneer b, v. x~q, en y—p is, zoo dat men hebbe p2 —Aq2 — i. Men heeft dus ook die zelfde gro theid, tot eene onbepaalde magt m verheven zynde, aan de eenheid gelyk, waaraan ook tevens de voorgeftelde in * en y moest gelyk zyn: du« =(p2—hq2jmz=z y*—-A*% ea hier uit trekt men de twee volgende:
y + x\/A=(p + q[/ y—xi/A=z(p~q\/Ay»
dewyl deeze, in elkander vermenigvuldigd zynde, de voorige wedergeeven. Hier uit nu heeft men: terftond, door by voeging en aftrekking:



der VOORSTELLEN, enz. 433
( p+ q )/A;« +(p — q |/A )» 3, — .
2
2 i/A
Ontwikkelt men daar in de magten (p± qi/A)"> door het Theorema van Newton, zoo is bet openbaar, dat alle de wortelgrootheden uit deeze uitdrukkingen verdwynen, en dat deeze alzoo voor * en y geheele getallen, indien 'er m zoodanig een is, opleveren moeten.
CCIV. VOORSTEL.
Door den Opgeever en J. R, Sxhmidt,
Het gegeeven Capitaal zy a,
de jaarlykfchè Interest b ten honderd,
de fom tot aflosfing en betaaling van Interest Hf,
100 -4- b
en ftel . . — e
100
ioo : ioo 4- b :: a % ea hier af c
dus In 't ifte jaar . . ea—e IOO : IOO + b :: ea— c : e2a — ec hier af . . e
in 't tweede jaar . e'a—gs—e
Z 3 100



434 ONTBINDINGEN
ioo : ioo + b e^a — ec—c : e*a — e*c—ec hier af .... c
in 't derde jaar . . e3a—e'c-rec—$
hier uit ziet men, dat het Capitaal in het «de jaar zal zyn
ena — en~sc — en"sc~~ es"H . . . en""c
Maar in 't «de jaar moet het Capitaal afgelost, en dus —o zyn, derhalven
ef>a—c (ê»-,i4-eK'-,24-é3™3 . . e»-») — o
M-cC ) = O
e"-i-Ia—en a—c en + c — o
—c ea—a—c
dus n Log. e =: Log. C- ^
—Qe — i) a**
logl a —f—*)
en n ——: —"., - —.....
Log. e
ccv.



dbr VOORSTFLLEN, enz. 435
CCV. VOORSTEL. Fig. 63.
Door den Opgeever.
Men ftelle de Breedte ETzzb; de zons Declinatie SD^d; de Hoogte BS~h\ het Azimuth STP =a ; den uurhoek SPT:z« ; den Paralla£iifchen hoek TSP—p; dan beeft men in den Driehoek SIP
Cof. ST ZZ Cof SP. Cof. TP -f- Sin. PS,. Sin.PT. Cof. SPT (Steenstra kl. dr. meet. pag. 151.)
Dus Sin. h ZZ Sin. d. Sin. b + Cof. d. Cof. b> Cof. u,
Dit gedifferentieerd; komt
Cof. h. dh. ZZ — Cof. d. Cof. b. Sin. u. da (Fas , p. 23.}
1 dh Sin. u. G>f. d.
du X Cof. h
Maar Cof. h: Sin. ü ZZ Ccf. d: Sin a dh
en dus — — — Cof. b. Sin. a zz ean Maximum du
volgens het voorftel. — Daar nu b confhmt is, zoo moet Sin. a zoo groot zyn als mogelyk is;
dh
nu is Sin, oo° de grootfte Sinus; dus za! — hec
du
. grootst zyn als « =±- 9c» js • {„ ^it geval is dus de Driehoek t>PT rechthoekig in T,
Tang. d
en dus Cof. u zz .
Tang. b
Z4 In
1



436 ONTBINDINGEN
In het geval alwaar d > b, zal Cof u > i zyn, dat me; mogelyk is. In dit geval kan a niecrriruo» • Cof. d
zyn; maar daar ook Sin. a zz x Sin. p is, en
Cofd ■ Cof.b
——- conftant, zo moet Sin. p zoo groot zyn alg
Cof. b
mogelyk is, en dus p zz ±r 90»; zoo dat in dit geval de Para/laSifche hoek TSP - Recht is, en dus
Tang b
Cof. u zz -t
Tang. d
In beide Formulen is met Zuider Declinatie op N. Breedte, Tang. d negatief, en dus de uurhoek «> 90*, en dit heeft ook plaats op Zuider Breedte met Noorder Daainatie»
CCVI. VOORSTEL.
Door J. R. Schmidt, den Opgeevèr, j. Kerkhoven, j, va n Wy k , C. Steenhuis en P. Vink.
Stel ypor de getallen * en y; 50 — m\ 464 ~ a, x : y :: y : »;
55= TM*
** = *3
s1 4- 51 = *.2 -f- = a ___ 4 4 '



pBR VOORSTELLEN, enz. 43?
m% 4<j + tn*
x* + mx 4 sr •
4 4
m
* 4 = iJ/4a + m*
É
- (« -h |/ 4« + BI'
2
CCVII. VOORSTEL.
Door C. Steenhuis, j. R. Schmidt, j, van WïKi J- Kerkhoven, den Op. geever, P. Vink,
Stel de getallen *, 8j, o-y, en 8a. * : Sy :: 931 : 8*
** = ft>'
1/ —
* = 3v
. 8
8* — 2431 = o
8* 4- By — 128 32y = 128
y — 4 ; * == 12 ilus de getallen zyn 12, 32, 36, q&
Z 5 CCVIIU



438 ONTBINDINGEN
CC VIII. VOORSTEL.
Door den Opgeever, j. R. Schmidt, L van Wyk, j. Kerkhoven, C. Steenhuis, en Pi' Vink.
Stel de eerfte getallen 4* en 53c; de tweede . . 6y en 731.
4* — 6y : 5* — 73; 2:3 6* — oy = 5* — 7J
x — 231 = o
5>jt — 1831 r= o 9* — 13J = oo
5* == 20
y = 4 ; * = 3.
Dus de getallen zyn 32,-40, 249 28.
CCIX. VOORSTEL.
Door j. van Wyk, C. Steenhuis, den Opgeever en j. R. Schmidt.
Volgent M. tot de Math. Weetenf. van a. B» Strabbe, pag. 136 en 137, is de algemee* T se



dér' VOORSTELLEN, Enz, 439
ne uitdrukking der fom van eene Geometrifche Pro(r" — O a
gresfie S as — ■
r — i
Hier nu is r = 2; « — 52, en a =s a. Dus r3= 25a = 4503590627370490 1 = 1
rK —1 = 4503599627370495 a = 2
(r«- i) «
dus = 9007199254740990 Graanen
r — 1
1400 ■ ——
Ö43371375338ö Oneen 590 Graanen
64
100526777395 Maat. 42 Onc. 590 Gr.
32 1 ■
3141461793 Zak 20 M. 42 Onc 590 Gr. 38
82670047 Last 7 Zak 20 Maatj. 42 Oneen 590
Graanen.
CCX. VOORSTEL.
Boor J. van Wyk, J. Kerkhoven, J. R. Schmidt, den Opgeever, en C. Steenhuis.
Stel * $ Steur en y % Tarbot.
10*



44a ONTBINDINGEN
Iot —- ioy en go* — 303? x + y 4* 4- 431
verg. — i. afgetr.
ii*— ey zz 160 06x — 3431 — 60
".: \ \ '■ '13 a —— ■
I43* — 11731 — 2080 Ï3*— I7J = 30
1433; — 187.3» - 3->o "——*-«
■ afg.143* — l%iy ~ 330
70? - 1750
y ZZ 25 gj Tarbut. dus x zz 35 f8 Steur,
CCJtl. VOORSTEL Mg. fa Door den Opgeever.
M Lees in de opgaave van st Voorftel Minimum in ,, plaats van Maximum.'*
Laat 'er.uit A en B, als Brandpunten, een Ellips befchreeven zyn die den Parabool aanraakt in E5 dan is E het gevraagde ftip, tot hetwelk AE en BÜ getrokken zynde, de fom derzelven een Minimum zy; want ieder ander punt E' van den Para* looi ligt buiten de Ellips: dus AE'4- BE' groote; dan Ae 4- Be of AE + Bü; het kcmr 'er dus maar op aan dit ftip van aanraaking te beoaalen. -— Zv ten dien einde NM den hal ven grooten As en OM den aalven kleinen As, van gebelde Ellips; C tiet toppunt, en F het Brandt unt van den Parabool; EG dt gemeene Ntrmaal, en ED de gemeene Or*> dinaas van beiden; dan hee'ft ma



©Bk Voorstellén, bhz. 44a i» ÖMfl4- am*- Km'
a° NM*: CMzz IsM*DM*: 55"
3» NM - DM*: DË8— DM : DG
4» DÊ'zz 1 DC, DG (Zie Flokyn §§ ui; iojj 145; 8 en 31}
N8. 2 en 3 geeven
NM : öma :: DM : DG
Ni": NJm'—ÖM :: DM : DM — DG
NM: AM3:: DM ; MG (Nó. 1.)
aaar DM*: DM, MG :: DM : MG
— —•- 1~~ *—— fabf.
dus NM*— DM°: AM*— DM,MG :: DM:MG
Deeze Equatie vergeleêken by N°. 5. geefr
~ÜE : AM'— DM, MG ::DG':MG
of a DC, DG: am—DM, MG:: DG: MG(N9.4.) maar DM, DG : DM, MG :: DG: MG
» ! ! add,
dus (2 DC 4- DM) DG : am:: CG: MG Maar aDC + UM - «CF -f- 2FD + DM
~z7DÏ>~_-+-~TvT+ FM
- FG"~ 4- FM



4}2 ONTBINDINGEN
dus (FM 4- FG) dg : AM*:: DG : FM — FG Am'z: FM2— fga
FG*- FM2— AM*
' ' '—
fEzz(fm — am) CFM 4- am) §. 18. - fa, FB.
Hier uit volgt deeze
Constructie.
Maak TE middengvenredig tusfchen FA en FB| befchryf uit F als middenpunt, met IE als Radius, een Cirkelboog, fnydende den Parabool in E ; dan is E het begeerde punt.
CCXII. VOORSTEL. Fig. 65.
Door den Opgeever, en J, r« Schmidt*
Laat uit A en B, als Brandpunten, eene Ellips befchreeven 2yn, die den Cirkel uitwendig raakt in E, dan is E het begeerde ftip, tot hetwelk £,et;okken zynde iE en BE de fora derzelven een Maxi' mum zy; want ieder ancer punt E' van den omtrek des Cirkels ligt binnen 'de Ellips; dus AE' + BE' kleiner dan Ae 4- Be of + BS; by gevolg komt het 'er maar op aan om het ftip E van aanraakm. te bepaalen. — Zv ten dien einda .NM den halven grooten As. en OM den haiv.-n k'cinen As van de onderftelde Ellips; ED den gemeenen Ordinaat, en
EC



BSft VOORSTELLEN, enz. 443
EC den gemeenen Normaal', dan is C het midden* punt van den Cirkel, en men heeft
1° Ü + Tm — NM
a° NM': OÏ=: NM*— DM% DÊ~* 3° NM1- DM : DE*== DM : DC 4" CË'= DE 4- DC* (Zie Floryn §§. mj ioi; en i^.y
2 en 3 geeven , NM : ÖMa:: DM : DC
NMS: NM'- om*:: DM : DM — DC
Km* : AM2:: DM : CM (jsjo, , }
maar DM : DM, CM :: DM : CM . *
~ZI ZZ ZL — fubf.
NM*- DM2: AM - DM,CM :: DM;CM Deeze Equaie vergeleeken by N»^, geeft DË*: AM*— DM, CM :: DC : CM _ ï.'DC'.-DC, CM
DEui DC*:: AM*- DM, CM : DC, CM
DÊjf DC3: ÏJc'i: AM'—CM: DC.CM (N°.4.)
HUM



444 ONfBltfDiNGfcN
dus AM**— CM2: CË"*:: CM : DC
waar door DC gevonden, en dus het ftip E bepaalt! kan worden,
CCXI1Ï. VOORSTEL. Fig. 66.
Door den Opgeever.
Laat uit A en B als Brandpunten eene Ellips befchreeven zyn , die den Cirkel uitwendig raakt in E, dan is E het ftip tot hetwelk getrokken zynde AE en BE, de fom derzelven een Maximum zy.— Laat, om dit ftip E van aanraaking te bepaalen, NM den halven grorten As, en OM den halven kleinen As van gemelde Ellips zyn; ED den gemeenen Ordinaat, en EG den gemeenen Normaal, gaande door het middenpunt C van den Cirkel; dan heeft men
1°. ÖM*+ AM2= NM i°. NM : ÖM2= NM - DM.*: DË' 30. NM'— DM: DË*= DM :' DO . 4". AG : AMB= DG*: DË*
5°.~AG : AGa-r- TUl = AD% AM
(Voor de drie eerfte Equatien zie Floryn §§ iii; ioi; en 145; de twee iaatfte worden afgeleid uit de gelykvormigheid der Driehoeken GAC en GDE, door optemerken, dat
AM =s= £ AB == AC == CE is, en "AG* 4>
IM — GC*)
JP»



f>lR VOORSTELLEN, enz; w
£>e V>quat\m N*. a en 3 geeven NM*: OM* se DM: DG
NM*: NM — OM* — DM: DM —DG* !■ ————— ui —
KM*: AM* =DM: GM (N°. 1.)
tiaar DM*: DM, GM =DM: GM
f fubf.
NM*— DM*: AM*—DM, GM = DM: GM
DË *: AM*—DM,GM~DG: GM (doorN 0.3.)
=DG :DG,GM
AG*: AM* —DG,GM: AM*—DM,GM fdoor N«.4.)
AM* AGH-AM*— AM—DM,GM: AM — GM*
AD*: AM*- DM, GM ZAG : AM - GM* (door maar DM,GMzrAD,GM+AM,GM
AD*: AM, AG — AD, GM — AG*: AM* - GM*
Maar AM* — GM = (AM+GM) (AM—GM) = (BM+ GM) (AM—GM; = BG,AG
Aa AD*



448 ONTBINDINGEN
AD*: AM,AG - AD,GM = AG : Maar AD, AG: AD,BG = AG : BG
ir- i— , ■ addf
AD,DG : AM,AG4-AD,AM ZZ AG : BG
of AD,DG : AM,DG - AG : BG
AD j AM zz AG ; BG
Uj: AM*-ACT: BG *
püs"üg - AG 4- AM* (door N°. 5.)
-Tg 4-Tc3 = GC'
Dus BG ~ GC
Hier uit ontleen }k deeze
Constructie.
Stel op het midden van BC een loodlyn, ont* moetende AB in G, en trek uit G door C de rechte GCti, die den omtrek des Cirkels fnydt in j£; dan is E het gevraagde ttip»
CCXrv. VOORSTEL»
Bm de Opgeevers, en J. M. C. vifl Utenhove,
Mgo ReY.e x ZZ yz; dan heeft men



Obr VOORSTELLEN, ehx. 447
ay'z* 4- bysz* + cy*z + dy* zz ö Of ayz5 + byZ3 + cz + d ZZ O of (az5 + bz3)y + cz -h d ZZ o cz 4- d 4
Dus y zz — —1—
oz* + bz3
cz + d
X ZZ —• 11"'
os4 + bz2
CCXV. VOORSTEL. Dm de Opge evers, en j. M. C. van
ÜX ENHOVfi;
V <dy6z6 + by6z^ -f CJ?2a + dys)
s
of J V (ayZ6 4- fcjz5 + cz1 + d) Laat cu zyn
|/ («yz6 4- iyz5 4- cz* 4. =r «
fljz8 4- £yzs 4- cz* + d = us
' us — cz* — d az" 4- i*s
|Q a *



4*8 ONTBINDINGEN us — cz* — d
azs + 6«*
CCXVI. VOORSTEL; Door den ÖVgeever, en J. R. Schmidt.' ï 41592653
De gegeeven Breuk zynde, wordt
1000000000 dezelve, door herleiding, dus uitgedrukt:
1
8851429 141592653
8851429 1
Maar ——— —— »
141592653 8821218
58S5i4a9
8821218 1
en — »
8851429 $ozii
8821218
30211 1
8821218 " 29817
291 ' !
30211
Op



der VOORSTELLEN, enz, 449
Op deeze wyze voortgaande, vindt men den ge* geeven Breuk gelyk te zjn aan den geduurigen Breuk
l
- c
I5+— » 1+— t
3qi + ~ i
i+- i
7S+- «
*+- 1 «+- 1 9H— « ï + - t 3+~
öf.
Indien men nu eenige van dészelfs leden verwaarloosd, en de overblyvende leden tot eenen gewoonen Breuk herleidt, zal de Breuk-, welken men in ieder geval verkrygt, den Breuk zyn, welken de gegeeven Decimaal-Bienk kan voortbrengen.
i
Dus — I is 15 106
1
«~ 1
7+— 1 16
1 ~ ii3 *
Aa 3 I



450 ONTBINDINGEN
tv*' p
I
— t
74-— i
154— 1 4671
291 32989
CCXVII. VOORST E L.
Door J. R. Schmidt, en den Opgeever.
Stel de getallen *, y} z, v.
Dan heeft men volgjens 't Voorftel
*+y+z-\-v — 12 — V
f* +y 2+z-+v2 -h 2 C xy ±x z+x yj-yz+yv+tv)=144
ïi+r+ïi+^' = 56
2 (:iy4-«4-*^4-;?z+jH-2v) = 88
xy-*-xZ+xv+yz+yv-\-%v — 44 (a) x-ty+z+v ■. =12
*2(}t+x4->';4-j2(*4-24-i,j+2sC*+3'4->')4-v,C*4-3i4-x)4-3 (*}i34-*'iv4-AZ»'4-3'2v) = 528 (P)
verder
a:24-}>,4-ss,4'v,=: 56 * +y +z +v — 12



der VOORSTELLEN, enz» 451 t»+y*+z*+vs+x' (y+z+*)+y* (x+z+v)+z'(x+y
Ma(y+z+y)+yX*+z+v)+z!l(x+y+v +v* (x+y-iz) = 372.
Dit afgetrokken van P, Myft $(xyz+xyv~\-xzv+yzv) = 156
xyz+xyv+xzv+yzv = 5a (6) *+;y+z+i> = 12
*■ (jz+yv+zv)+y Xxz+xv+zv )+z*(xy+xv+yv)
(xy-T-xz+yzy'rWyzv = 624 (Q)
Verder
■
X*+y'*-\-Zi+Vi = 30O
at -t-y +z +v — 13
^44;.3i++24H->,4-ha:3C3,+2+*')+3'3Ca;+2+v)+23(*-!-y +v)+v3(z+y+2) = 3Ö00 ^44.3,4+2"+v* — 1716
x\y+z+v)-ry\x+z+v)+z%x-r-y+v)+vs (x+y+z) == 1884 (R)
Verder
xy+xz+yz+xv+yv+zv = 44 (o) .«"-r-y"-!-?2-!-** = 56
Aa 4 *?



452 ONTBINDINGEN
*» (y+z+V)+y*(x+z+v)+z* 0H-J+») +vs(x+y+z) +xHyz+yy+Zv) -r-y" (xz-\-xv-i-zv) +z* (jcj+^v+ yv) -i-v* (xy+xz+yz) z= 2464.
Dit afgetrokken van Q + R,
blyfc ^xyzv = 44
xyzv 11 (j)
Stel nu dat de gezochte getallen de wortels var* deeze aangenomen Equatie zyn
»* — Aa» 4- Ba* — Ca + D s o.
Dan is, volgens eene bekende eigenfchap de| Vergelykingen,
A zz 12; B r 44 (a) C - 52; (W, D zr/ii (c>
Dit in de aangenomen Equatie gefubftitueerii komt
u* — i2«3 4- 44a* — 52 u 4- ii — 6.
Waar uit men de wortels vindt
4+l75; 4 —^S; a-t-j/3; en a—1/3, 't welk de gezochte getallen zyn. (Zie lnl. tot de Math» IVeetenf. 2de üEEL, pag. 128 tot 13I.)
CCXVIII. VOORSTEL. Fig. 67.
Door j. R. Schmidt, en P. Vink. Volgens 't Voorftel is gegeeven DF = 5SCfï EG ZZ 866$; DE = 288;
Laat



dbk VOORSTELLEN, enz. 453
Laat de Lyn FG getrokken worden, en ftel AD —x; BE=y; CD=z en CE=»>; dan heeft men
z : v ZZ 956$ : 866$ zz 85 : 77 (Steensta
a. 6.)
f - 85 y
77 ' i/
7225 »-»
t» — — + 288
5929
7225 »■* ZZ 3029 *» -f- (288.77)*
1296 va r (288.77)* 36 »* ~ 288.77
» z 616 r CE. z - 680 zz CD.
Nu heeft men verder
(y ■+■ a88) * =: 956$ z ZZ 650250 en (* + 288) 31 ZZ 866$ v ZZ 533610
388 ac — s88 j ZZ 116640 > ' " ■ " '■ »
x—y zz 405
* - 3) + 465
iiuii iw»n 1 rr i—f
Aa 5 «



454
ONTBINDINGEN
*y - j' + 405.7 288 y zz "28831
xy 4- 288y zz y* 4- 69331
y~ 4- 69331 - 533610 693 2 480249
2 J 4 . 'j « .ii. .' «
69312 2614689
y1 4- 693» 4- =
2 I 4
1/- « , *
693 ^ 1617
2 2
, <— I 1 1 ■— fcllTll i
y z= 462 == BE. x st 867 = AD.
Derhalven
ab = ad + de + bé z 1617.
AC I v' AÊ^H- CE ± 1309.
bc z j/ BË~a+ CE* r 770.
CCXIX.



der VOORSTELLEN, EMz. 4tf
CCXIX. VOORSTEL.
Door O. S, Bangma, en den Opgeever.
Laaten de Termen van de voorgeftelde Reeks genoemd worden a, b, <r, d &c. dan heeft men a ZZl; b~4', ezzia; dzznó; ezz^i; fzzmï g—163; hzzn7%-. «1:466 enz.; en door de verfchillen te Deernen
b — a ZZ 3 c — 1 b + a ZZ 5 c — b ZZ 8 d — 2 c + b ZZ 6 d — c ZZ 14 e — 2 d + C ZZ ii
j e— dzz 25 ƒ—3 e 4-</z: 17
i f — eZZ 42 g — 2/4-e=:28
g—fzz 70 A — 2g4-/=45
A — gz: 115 * — » Af £ - 73 * — 6~ 188
Nu bemerk ik, dat ïederen Term van de tweede verfchillen gelyk is aan de fom der beide onuiiddelyk voorgaande; naamlyk:
e— zd-hczzd — c — b-]ra e — 30" — ac — b -\- a e — $d 4- 2c 4- b — a ZZ o. Op gelyke wyze
f ZZ 7,e — — c + b



45$ ONTBINDINGEN
en ƒ — 3* + ad + c — b == o
g = 3/ — ze — d -h c en g — 3/4- ae 4- d — c = o
Deeze eigenfchap moet derhalven voor een wet Van de voorgeftelde Reeks gehouden worden; zoo
I II III IV
dat wanneer y, y, y, y, y vyf op elkander volgende Termen zyn, men hebben zal
iv iii ii x
3 = 3? — zy — y+y,
iv hz ii 1
en y — $y 4- ay 4- y — y — o.
Waar door het eerfte gedeelte van het ProbUma opgelost is.
Laat 'er nu ten tweeden meer algemeen voorgefteld worden, den algemeenen Term te vinden van de Reeks
a+bx+cx* + dx*+ex* + &c. = R.
Ik multipliceer dezelve met
i — 3*4-3 *34-*3—**, op de volgènde wyze:
a+ bx+ cx- + dx*-h ett*+ /*54-ctV. I— 3*4- 2**4- *3— je*
04- bx + c*a4- dx3-h ex*+ fx' + — %ax—sbx1 — 3c*9 — 3d*+—$ex^—. 4-aa** -T-2.bx3-\-sex*-h 2rf*s44- a*34- *^"44- cxs + — <zx4 — fc*5 —
Komt,



dhr VOORSTELLEN, ens. 4*7 Komt, uit hoofde van de Equatie»
e~$d+ac + b—a=ot f—3e + 2.d+c — b=o, £?V.
1—3*-r-2*a-f-*s—*4 Maar azzi, i:r 4, c~iz, en dzZ26, dua
1 + x -hax^—x* R —
li+6x io — jx
1—x — x* 1 — 2* + **
1+1/5
i0-7* 3 7 en — «_ _j_ , _J>
l—2#+*a I—2x+x1 I — , *
Du, R = i^lS-/--—\+—-
1+1/5
i



ONTBINDINGEN
l 3__ 7_
^ 2 J t—2X+X* 1—X
Na heeft men , door divifie, de vier volgende Reekfen
= — +f—j •*+( —)
2 2 ^ 2 V 2 ^
K0 *2 + J .*»->
= + C ) •*+(—~ )
3 2 V 2 ^ ^ 2
1-1/5 X a-L ^«-l^5v» KJ #a + . ^ J
i
■ = 14-2*4-3** + .
I—2*+.*a I
— = X + * + *2+, X*~*
1—X
Dus is de Reeks a + bx-\-cx* + dxs+&c, = R ge3^5+8 , 3^5-8
Jyk —— maaien de eerfte Reeks, plus ■ —
VS VS maaien de tweede Reeks, min 3 maaien de derde Reeks, min 7 maaien de vierde Reeks; eu by ge»
3^5 + t*
volg de «de Term derzelve gelyk ~ maaien
V5 den



der. VOORSTELLEN, enz. 459
3^5 — 8
den «den Term der eerfte, plus — - maaien den
Vl
«den Term der tweede, min drie maaien den «den Term der tweede, min drie maaien den «den Term der derde, min 7 maaien den «den Term der vierde: dus de «de Term der Reeks a + bx+cx2 + dx3 + &c. zs
( ).*»-»H (
V/5 V 2 ^ 1/5 Vi a -/
— Sn*»"1 —7*»"1.
Zoo wy nu 1 ftellen, hebben wy voor den «den Term van de Reeks a + b-hc + d + Ofc., of 1 + 4 + I2 + 26+ &c., die voorgelield is, de volgende uitdrukking
3V5 + 8 f i + l/S s.*
r \ _ 3„
1/5 v 2 ^
31/5 — 8 ^. 1 — 1/5 xn
+ r ) -7.
Aanmerking van <&« Opgeever.
Wanneer men, uit de nieuwfte en volkomente Registers van de Heeren de la Lande en Bode, het getal der fterren van elke grootte tot de 5de toe optelt, dan vindt men 'er van de eerfte grootte 18, van de tweede 69, van de derde 209, van de vierde 468, en van de vyfde 909: en zoo men de Termen onzer opgegee ven e Ry één voor één met 18, zynde het getal der fterren van de eerfte grootte, vermenigvuldigt, dan verkrygt men deeze getallen: 18, 72, 216, 468, 918 £?c., welke, zoo als me,n ziet, B b niet



46o ONTBINDINGEN
niet dan zeer weinig van die der fterren van iedere der 5 eerfte grootten afwyken. Van de 6de grootte echter geeven 'er thans de waarneemingen veel meer, dan uit deeze wet zoude volgen: doch hier omtrent kan men opmerken, dat veele der fterren, die men doorgaans onder de éde grootte rangfchikt.misfchien tot de 7de, of nog geringere grootte, behooren, dewyl by zulke kleine, en zwak fchitterende fterren, een juiste oogfchatting zeer moeijelyk vak. Maar offchoon deeze Ry het waare getal der fterren, ten minften voor die der 5 eerfte grootten, veel naauwkeuriger voorftelt, dan verfcheidene andere die men daar toe heeft voorgeflagen, (onder andere die der met 18 vermenigvuldigde Quadraaten ést natuurlyke getallen) zyn wy 'er nogthans wel verre af van ons te verbeelden, den waaren regel, hier in door de natuur gevolgd, daar mede ontdekt te hebben, doch ftellen die hier enkel als eene proeve voor.
CCXX. VOORSTEL. Door den Opgeever.
Een ieder getal N kap altyd in zyne eenvouwdige deelers of grond-getallen opgelost, en das. op de al-
gemeende wyze — a" b® d^ ..... n gefield worden, waar in a , b, c, êPe- g*ond- of prim-getallen , en de exponenten *, /3, y &c. alle tnogelyke heele getallen betekenen. Befchouwt men hu een getal onder zodanig eene form als Noemer van eenen onverkleinbaaren Breuk , welks Teller tevens kleiner dan dat zelve getal moet weezen, zoo is bet openbaar; voor eerst, dat alle de Tellers, die men aan zodanig eenen Noemer geeven kan, al te famen in de eindige Ry der natuudyke getallen 1, 2, 3, 4,
N, welkers Termen by gevolg ook N = a*
.... »v in getal zyn, vervat moeten weezen:
ten



der VOORSTELLEN, em*. 46,
ten anderen, dat ieder Term deezer Ry voor Teller van zodanig eenen Breuk zoude kunnen dienen zoo niet diegeenen daar van behoorden te worden uitgezonderd, die door één of meer der prim-getallen a, bt c Êfc deelbaar zyn, en daar door verkleinbaare Breuken zouden opleveren. Men moec derhalven uit deeze Ry voor eerst iederen aden Term wegneemen, op dat 'er geen door a deelbaar meer in overblyve; daar na om gelyke redenen ook eiken Men Term weggenomen zynde, zoo zal men, op deeze wyze voortgaande, eindelyk een overblyvend getal van Termen overhouden, 't welk aan dat der begeerde Breuken gelyk moet weezen.
Laat dan voor eerst N = a* zyn, zoo heeft de
Ry 1, 2, 3 . . . a* voorzeker ook aa Terment hier van alle de door a deelbaare Termen, wier aantal baarblykelyk se a*~1 is, weggenomen zynde,
rest a* — a*~l = (« —1) a'~~ 1 voor het overfchot der Termen van deeze Ry, na dat eiken aden Term 'er uit is weggenomen: en dus is dan ook
ia— i)**""1 het getal der Breuken die a* voor Noemer hebben kunnen. Is 0=1, zoo volgt daar uit, dat een ieder prim-getal de Noemer zyn kan van een getal Breuken 't welk één minder is dan dat
zelveprim-getal; dewyl alsdan a'*~I = a°=zi is.
Wyders ftelle men N=a* b^. Neemende hier
eerst wederom uit de Ry 1, 2, 3, 4,..... aa b®,
die N = a" b@ Termen heeft, iederen aden Term
weg, zoo blyft hun overfchot = a" b® — a*""1
b® = (a — i) a*"1 b in getal: hier van nu ook iederen iden Term wegneemende, zoo blyft 'er
O-O a""1 ^-(«-!)«*-* ^-'^«-o
voor het getal der Termen Bb 2 va;



4<5a ONTBINDINGEN
van deeze Ry, die noch door a, noch door b deef»
baar zyn, en dus voor dat der Breuken, die af b voor Noemer hebben kunnen. Op gelyke wyze voortgaande zal men vinden, dat
voor N = a* b® cy dit getal = (£^i)
Cc— i) a*~l b^"1 cy_I wordt; waar uit men dus in 't algemeen kan befluiten, dat een ieder getal
N = aa b@ cy d? n de Noemer van (a-1)
. ai— i ,/3— I
(&-i) (<?-! (d — i) a b
cy — i J—i nv~ i eigenlyke en onverklein-
baare Breuken zyn kan.
Om nu dit nog door een byzonder voorbeeld optehelderen , zoo zy N = 360 = 23. 3». j1, dan zal het getal der eigenlyke en mverkleinbaare B reuken die ^60 tot Noemer hebben kunnen, gelyk zyn aan (a-I) (3-0 (5-0 aï_I- 5'-1 =
1. a. 4. 2'. 3*. 5° = !• 25. 3 = 9ö. Er zyn dus wezenlyk niet meer noch minder dan 96 zulke Breuken mogelyk, zoo als blykt uit de enkele optelling van derzelver Tellers , die wy ten dien einde alhier ter neder ftellen.
i, 7, 11, IS» 17, 19. 23. 59* 3». 37» 41» 43» 47. 49» 53. 59» 61, 67,71. 73.77. 79» 83, 89, 91, 97. 101. io3. 1Q7> i°9. H3» 119, 121» I27, 131» 133. I37» 139, !43» 149» J51» *57» 161, 163, 167, 169. 173, 179, 181, 187,19»,i93. '97> 199. 203, 209, 311,217,221,223, 227,229,233, 239,241, 347, 251, 253» 257,259, 263, 269, 271, 277, 381, 283, 287,289, 293,299,301,307.3"* 313, 3179 319, 3a3, 329» 331» 337, 341, 343, 347, 349, 353. 359Men ziet dus, dat alhier 96 dier getallen voorkomen, welke alle tot 360 ondeelbaar zyn; en dat alle andere getallen, die minder dan 360 zyn, deeze eigenfchap misfen. CCXXI



D2R VOORSTELLEN, enz. 463
CCXXI. VOORSTEL.
Door J. van Wyk Rz., M. Boelhouwer, den Opgeever, A. Bakker, G. Har.
derwïk, A. VoLKERSE, H. van
Vliet, en P. Vink.
Stel de drie deelen s, y , %; dan is
sy + y+z—3* en jz+jr-r-j=44 * 4-3i4-z=i6 x 4-y4-2=l6
xy—s — 16 yz—z =28
16 28
y—i 31—1
Dit in de Vergelyking van *4-y4-z=i6 gebragt, dan is
16 28
4. 31 4 r= 16
y— 1 j—1 i J-»
—y 4- 44 = iój>—16 j*—i?y = — 60
72^ = 72* yï — i73i4-72i= I2£ = £ 3* Bb 3 *



464 ONTBINDINGEN
y = ia of 5 . * = lil — 4 • z = at!— 7 .
CCXXII. VOORSTEL. Fig. 68.
Door den Opgeever.
i°. Moeten door de Epacten de middelbaare Op» pofitien van de 0 en £ voor het jaar 1804 gezocht worden.
2°. Moeten de middelbaare afftanden van de (£ en Q, gezocht worden, om te weeten, met welke de eerfte Eclips kan (of moet) voorvallen.
3°. Dit gevonden hebbende, mjet de tyd der waare Oppofitie berekend worden.
40. Moet op dien tyd, de <p Uurwinst, (£s Radius, (£s Breedte en de Radius van de fchaduw, en dan de fchynbaare helling van den (£s weg en Ecliptica.
(Tot het vinden der Lengte, Breedte enz. heb ik gebruikt de verbeterde ([« tafelen van Mayeu. door Ma sson.)
Ik vinde dat de eerfte middelbaare Oppofitie, by welke eene Eclips moet voorvallen, in 1804, is den 26 January 1711 28' 27'', en dat de waare Oppofitie voorvalt den aö January ten 911 19' 29'', 4 middelbaaren tyd te Parys. Op dien tyd is
(£s üurwinst op de 0 3o'4i,"8
f£s Radius IS'38" 7
(£s Noorder Breedte 45*42'' 8
Radius van de fchaduw der Aarde . 41'ji" 6 Het Complement van de fchynbaare Helling van den (£s weg en Ecliptica • • • 84*34'10''
Nu



der VOORSTELLEN, enz. 46*
Nu kan men de Figuur van de Eclips, om haar begin, midden, en einde te berekenen, befchryven als volgt:
Trek eene onbepaalde lyn die de Ecliptica verbeeldt; richt een loodlyn DG (op een onbepaald punt D), die men op een fchaal, die in Minuuten en Secunden afgedeeld is, afmeet 45' 42" 8 = de Noorder Breedte van de Maan; befchryf dan uit D, met eene Radius, grooc 41'51,'' 6, de fchaduw der Aarde, vervolgens trek eene lyn die, aan de Oosrelyke zyde van het punt G,den L DG c\ r= 840 34' 10" maakt, waarna men een loodlyn moet neêrlaaten op den ([s weg AB Cl, die hem raakt in het punt B, alwaar zich 't middenpunt der(£, ten tyde van 't midden der Eclips, bevindt» vervolgens fnydt men, met de Radius AD=DC = de fom der Radicn van de Maan en fchaduw, den Maansweg in A en C, dan is in A het begin en in li het einde der Eclips; en befchryf ten laat» ften met haare Radius groot 15'38,''7 de Maan, om de punten A, B en C.
Om het midden der Eclips te hebben, moet BG berekend worden, als volgt:
Rad,: GD =Sin. GDB : BG
of R. :45'42/'8==5i«.5025'3o/':4,"Ï9/'6 in tyd gebragt zynde door de Uurwinst, is BG = 8'a7,"4— dus valt het midden der Eclips 8'27,';4 na de waare Oppofitie voor , zynde den a6 January 9ul9'2c},»4
't geen 't midden der Eclips laater voorvalt . . . 8*27 " 4
*t midden der Eclips 26 Jan. 9" 27*56'/ 8 middelb. tyd
te Parys.
tyds vereffening . ia'5i"6
Bb 4 2c5



466 ONTBINDINGEN
flöjan. ouiS'5 " 2 waa'ré tyd te Parys.
Meridiaan - verfchil tusfchen Amft. en Parys . io'
dus midden derEclips 26 Jan. 9«2j'5" 2 waare tyd te
Amfterdam.
Om het begin en einde te hebben, moet eerst BD berekend worden, als volgtï
Rad. : GD = Sin. BGD : BD of R. : 45'42,"8= 5i«.84034'io//:45'30,//5
Vervolgens AB == j/AD, — BD*_= vlJi^sö^sT*
— C45'30,//5)a = 35'9/,3 die door de Uurwinst in tyd gebragc zynde, bedragen iuï8/42//7,welke bygevoegd en afgetrokken zynde van den tyd dat het midden voorvalt, 't begin en einde der Eclips geeven; als volgt;
Midden der Eclips is 16 Jan. 91125' 5,"a 't Verfchil (by en af) i"i8'42,"7
Begin 26 Jan. 8u 6'22, "5 Einde 26 Jan. iou43'47,'!9
Nu blyft nog overig de grootte der Eclips te be« paaien: hier toe heeft men
BD = 45'30,''5 berekend.
FD = 41'51," 6 de Radius der fchaduw.
BF:,= 3'38," 9
GE == is'38,"7 de Radius van de Maan.
FE = li'59" 8 de grootte der Eclips, die tot duimen gebragc moeten worden, als volgt:



der VOORSTELLEN, enz, 467
(£s Diam. : 12 duimen = n'59,"8: Grootte der Eclips in duimen. 31'17, "4: 2 333 n'59»"8 : 4,7 duim.
Dus zal de Maan 4,7 Duim aan de Z. zyde verduisteren.
CCXXIII. VOORSTEL, tig. 69.
Door G. Harderwyk, en den Opgeever.
Men trekke in den gegeeven Boog ABCD de parallels Chorden Ac, ab, b D en ee en deele die Chorden in twee gelyke deelen in/, g, h en t en trekke BE en CF; dan zyn deeze Diameiers van den Para» bool. Trekkende nu verder de Tangenten kl ea mn, enmaakendeZ./B* = /L*BE, en£\mCp = LnCF; dan zullen Bac en Cp zich in 't Brandpunt x moeten fnyden, en dus is x 't gezochte Urandpunt. Het bewys hier van blykt uit de allereerfte eigenfchappen van den Parabool. Men zie Ypey, ie. en 2e. Prop. van de Kegelfneeden»
CCXXIV. VOORSTEL.
Door den Opgeever, G. HarderwykiA, Bakker, J. van Wyk Rz., A Vol. kerse,H. van Vliet e»M. Boelhouwer.
Stel den eerften Term x; dan is het verfchil der Termen x+i. En dus de Progresfie
Bb 5 *,



468 ONTBINDINGEN *, 2*4-1, 3*4-2 4- (Ëfc. tot . . n*4-« —ï.
» («4-ï) * 4- «f»—i)
Hier van is de fom . — 222
2
maar « = 4* -ï- 4 »—4
dus * == dit in de bovenftaande Vergelyking overgebragt, heeft men
»(«4-0 (« — 4) »'»—O
—. 1 — = 222
8 2
__ , g
»(«4-D C«—4) 4- 4«(« —O = 1776
of ns+ni-*- 8«— 1776 = o
Hier uit vindt men ra = 12, zynde dit het getal der Termen,
»—4
en «— ~a den eerften 7èn«, 4
en dus de Progresfie 2, 5. 8.11. &c» tot 12 Termen. CCXXV. VOORSTEL.
Door M. Boelhouwer, Opgeever, G. Harderwyk, j. van Wyk Rz., H. van Vliet, A. Volkerse, A» Bakker, en P. Vink.
Stel de getallen x en y
Das



der VOORSTELLEN, enz. 469
dan is 8ï = 6 f en ix = 8y3
8
9
y = a * = 3a
CCXXVI. VOORSTEL
2)wr den Opgeever, M. Boelhoüwer, G. Harderwyk, P. Vink, A. Bak» ker, en J. van Wyk Rz.
Stel de Lengte = 3* de Breedte = 2* dan is de Inhoud = 6xa en de Omtrek = 10* 6x' : 10 ar = 48 : 5
30** = 4^0*
* = 16
dus 3* = 48 2* = 32
6*a 3= :53Ö
64 .
24 de inhoud van den tuin.
CCXXVIL



4?o ONTBINDINGEN CCXXVII. VOORSTEL»
Door den OpgeeverG. Hardjerwyk, tn M. Boelhoüwer.
,, Lees in de opgaaf van het Voorftel ƒ9:2: — „ in plaats van ƒ 9:5: — "
ƒ 100 Uitgaaf. 9T§ 1 Louis d'or
1 - iioffc Mark Beo.
2 i Daald.
ioo !**> 9Si
1 331 a' Bco-
ao i Guld. Bco.
joo - I04I Guld. court.
ioof —— 100 voor onkosten
circa 99H ontfangst 100 uitgaaf
j.| pCt. verloren. CCXXVIII. VOORSTEL. Fig. 70*
Door de Opgeevers, en J. M. C. van Utenhove.
Laaten AB en MN elkander fnyden in E, men trekke ED loodrecht tot AI, en ftelle AD=*, DE =j, en de Radius van den Cirkel =r; dan heeft:
men



dsr VOORSTELLEN, enb» 471
men met betrekking tot den Cirkelboog deeze Equatie y2Z22r*—x*. Laat AD de oneindig kleine vermeerdering DD' ondergaan; men trekke D'E'parallel aan DE, fnydende NM in h, en AB in E', en ftelle E/ loodrecht op DE'; zo nu de verandering van DE, als Ordinaat van den Cirkelboog AB befchouwd, genoemd wordt dy, en als Ordinaat van de fnydende kromme NM befchouwd , genoemd wordt $y, dan heeft men E'f = dy, fh=Eg =~ $y en Ef = dx', maar de Driehoek E'Eh, die wy onderftellen rechthoekig te zyn, geeft E'f: Ef=
dx dy
Ef:fh;dns dy:dxz=dx: — Sy;en — —- = —-;
Sy dx
maar de Equatie van den Cirkel geeft aydy = urdx
2xdxl en zoo men hier in voor r haare waarde
ftelt, getrokken uit de Equatie y2" 2r*—*a, heeft
dy y*—x*
men 2ï^j=(ï1-*')<i* en-— — voor
dx ixy
de Differentiaal-Equatie van den Cirkel, onaf banketje y* — x*
lyk van de Radius; dus — — = ; of 2 xy dx
Sy axy
= (*» j») Sj, waar van de Integraal de Equatie
van de kromme NM zyn zal; om deeze Integraal te vinden, ftel ik x* = z, dan heeft men axdx=dz, dus ydz = zSy — j'Sy
jn/z—zSy+j* Sy=o
ydz—zSy 5 —. + Sy —o
Waar" van de Integraal is
Ü



47* ONTBINDINGEN
z
— 4- y = const,
y
of x* -1- j9 = cy
of x* — cy — y*
Hetwelk de Equatie is van een' Cirkel, waar van het middenpunt, is in Ak, loodrecht op Al, gaande door het. punt A, hebbende voor middellyn de willekeurige grootheid c ; daarom, indien men met een Radius Ak naar welgevallen, uit k als middelpunt, een Cirkel befchryfc , zal d<-eze alle Cirkels die hunne middelpunten in Al hebben, en door het punt A gaan, rechthoekig doorfnyden.
CC XXIX. VOORSTEL. Fig. 70.
Door de Opgeevers, en j. M. C. van Utenhove.
Alles het zelfde gefteld zynde, als in het voorgaande Voorftel, benalven dat AK, in plaats van een Cirkelboog te zyn, een Parabool is , die voor Equatie heeft y* ZZpx; zoo heeft men zydy—pdx
y'
of zoo men voor/> haare waarde — ftelt, %xydy — x
dy y dx y
y-dx; dus — == —; dus — — = —; en ySy dx ax Sy 2*
1
4- ax4x = o; waar van de Integraal — y 4- x* =5
2
const.', dus y2 = 2 Cc-*2); of, om dat c willekeurig is, y1 = 2 (cl—*"')
het-



, der VOORSTELLEN, enz, 473
hetwelk de Equatie is van eene Ellips', die het middenpunt heeft in. A, en waar van de Asten gelegen zyn op Al en AK; cm deeze Ellips te befchryven; ftel y zz. o, dan heeft men x = e; en * = o gefteld, geeft y zz. ci/2 ; daarom: neem op AI, AG = c naar welgevallen, en op AK, AF == AG en AH = GF = c\/<x; dan is F het brandpunt, AG de halve kleine as, AH de halve groote as ; waar door de El' Ups befchreeven kan worden, die al de Paraboolsn, welke op AI als as befchreeven zyn , en A voor top hebben, rechthoekig zal dooifnyden.
CCXXX. VOORSTEL. Fig. 71.
Dm J&cob tn zyn Heer, en den Opgeever.
ao+ai/30
De fom der zyden is deelbaar door —
Cao-1-31/30.. 2 \ >
C20 + 21/ 30^ 3 — J ;
20 + 21/30 ^
zoo dat wanneer men — = n ftelt, en de
3
zyden des Driehoeks *, y en z noemt, men heeft *+y+z = 42» 1 rC*+y+«0«(*+y~- z)x~.
=84*»
4 K* ~ y+»> (—*+j +*0 -1
cd



474 ONTBINDINGEN
en xyz = 2730 «J
De beide eerde Equatien geeven
1 r 42» . (42»— az) x-, — V — 84 «*
4 L-C42»-~2y)'(42«—2z) -1
E2I « (21 » — Z) X-, = 84. 84. n» (2I«—j)(21« —
21» " ■
(21»—x~)(ztn—y) (2I«—2)^:336»*
dus 2i»*—(ac4-y4-»)«2in 4-C^+*z+3'ï;)21 »~
xyzzz 336»'
Stellende hier in-voor (x4-ji4-z) en voor xyz hunwaardyen» dan heeft men
■— 21 «3 4- + xz+yz") 21»—2730 »»= 336»a
of — 21» 4- xy + xz -+- ya — I30«ï = iö»a
of' *;y4-*.5 + yz = 587»*
By gevolg zyn *, y en z de drie Wortels van de volgende Cubifihe Equatie
X3—42«Xa4-587*JX — 2730«3=o
en deeze Wortels zyn:
X = is»; X = 14»; X= 15».
Laat



öer VOORSTELLEN, en*. 475
Laat nu ABC de Driehoek zyn, A de kleinfte hoek, B de middelde, en C de grootfte. Dan is
rR T \3H i *C ~ I4"^ en AB = '5* ; laat BD loodrecht ftaan op AC, en CF de begeerde deellyn zyn, fnydende BD in E, dan is Trap. ADEF = A BEC dus AACF = jL BDC
_AC* = 195 «•
BC sb 169 «a
AC' +JC3= 365 «3 AB — 245 »»
2 AC, DC — ï40
aAC=28».- ' : »
DC= 5 « dus AD = o n i -—*
AD = 81 »*
Ar> = 225 «»
BD2r= 144 »»
BD = ïa „ ' UC = 5 «
2 muit.
* AC —7 » ABDC ==_3Q «2 = AACF GF = 4' 71 Nu heeft men deeze evenredigheid
BD : AD = GF i AG
i2«; gn 3= 4ffj : AG sa +| «
AC = r+4 n
GC 3 lofT»
c GC



416 ONTBINDINGEN
—-a 228or GC = . »»
196
—, 3600
GF zz . n»
196
. 26401
CF n-
196
ia .
dus CF = — y1 06401 14
1 r
= — ( 10^26401+^792030 \ ai •»
CCXXX1. VOORSTEL. 72.
Door den Opgeever.
Laat E een punt zyn van den omtrek des Cirkelsi men trekke ED loodrecht tot AB, en EM tot hes midden van AB, dan heeft men
~AE ss EM* + AM1— 2 AM, DM
*BE = EM* 4- BM + 2 BM , DM
Dus i°. A&*4-BËf=: 2 ÊM + 2 AM *°. BÊ1— AËa= 4 AM, DM.



DER VOORSTELLEN, ênz. m
Waar uit blykt, ten eerften: dat de forti der Oui« draaten een Maximum zyn zal, als EM een Maxi. mum is, en een Minimum, als EM een Minimum is ■ teè tweeden: dat het verfchilI der Quadraaten een Maximum . t3T ' aIs D^ een Ma*tmutn is, en een Minimum ais DM een Minimum is. Hier uit volgt deeze
CONSTRUCTIE;
i°. Trek uit M door het middelpunt C des Cirkels een rechte lyn, fnydende den omtrek in E en
L'n Arg e<T FJ?ec ^'«-w». en E het Minimum è Van de fom der Quadraaten ;
. 3u * Trek doo,r, .het middelpunt C des Cirkels een rechte lyn parallel aan AB, fnydende den omtrek in U en d; dan geeft G het Maximum, en H het Mü timum van het verfchil der Quadraaten.
CCXXXII. VOORSTEL. Fig» 73, Door dén Opöeëver.
Stel voor eerst, dat 'er door de punten A en fi êen Cirkel gaa , die met zyn bollen omtrek den gegeevenen Cirkel raakt in E, dan is L AEB een Maximum; want als men tot een ander punt 1 van den omtrek des gegeevenen Cirkels trekt Al . en
?I,.f?^df?de den bo°S AEB in K5 dan heeft men L AIB kleiner dan L AKB of AEB. Stel ten tweeden, dat *er door de punten A en B een Cir» kei gaa, die met zyn hollen omtrek den gegeeven Cirkel raakt m G; dan is L AGB een Minimum; want als men tot een ander punt I van den om« trek des gegeevenen Cirkels trekt Al, en BI, fnydende den boog AGB in H; dan heeft men L'MB grooter dan AHB of L AGB. Het komt 'er dus maar op aan de beide raakpunten £ en G te be« paaien; laat 'er ten dien einde 8au de Cirkels C Ce a m



4jS ONTBINDINGEN
en AEB, in E, een raaklyn getogen zyn , die de verlengde AB ontmoet in F; laat ook CD loodrecht ftaan op AB, en M het midden zyn vanAB, dan heeft men
Ffi3+ CÊa=TDl + CD = ÉT
AF.FB -f- CÉ^ FËT+ CD*
AF, AP = AFa add.
2 AF,FM -h CË = FÖVaf' + CD* 2 AF,FD = a AF,FD ...I . afg»
2 AF,DM + CË'= ADa+ CD* Dus 2 AF,DM ZZ ACa— CE*
Laat 'er aan de Cirkels C en AGB, in G, een raaklyn getogen zyn, die de verlengde AB ontmoet in F', dan zal men, op gelyke wyze redene-erende, vinden
a AF', DM = AC — CÈT*
Dus AF'= AF, en 2 AF, DM £ AC—CE^ (AC - CE) (AC + CE) zz AL, AN; dus 2 DM : AN = AL : AF. Hier uit ontleen ik deeze
CONSTRUCTIE.
Maak AF vierde-evenredige tot 2DM, ANenAL; trek uit F twee raaklynen aan den Cirkel C, als FE en FG; dan zal L\ AEB een Maximum zyn, en L. AGB een Minimum. Aanmerking. — Als het verlengde van AB den Cirkel C ontmoette* het zy



dhr VOORSTELLEN, enz. 479
de punten A en B beide binnen of beide buiten den Cirkel C gegeeven waren, zouden 'er twee Maxim* en geen Minimum plaats hebben, om dat 'er alsdan door A en B geen Cirkel kon getrokken worden, die met zyn hollen omtrek den Cirkel C raakte: als AB zelve den Cirkel G doorfneedt, zoude 'er noch Maxi' mum noch Minimum zyn»
CCXXXIII. VOORSTEL.
Door M. Boelhouwer, G. Harderwyk, J. van Wyk Rz., den Opoeever, A. van Vliet, en A. Volkerse.
Indien men de Guld., Stuiv. en Penn. ieder byzonder addeert, dan ontfiaan 'er twee Vergelykin» gen:
/ ï79:7:8 = ƒ 175:84:56 en ƒ 113:2:6 — 110:60:33
Hier door heeft men
ƒ 4= 77= 48 en/ 3= 58: 39
ƒ 12 =231:144 ƒ 11=1232:128
Dus 231:144 rr 232:128
1 Stuiv. zz 16 Penn. Hier door 1 Guld. zz co Stuiv.
CCXXXIV. VOORSTEL.
Door J. R. Schmidt, J. Kerkhoven, en den Opgeever.
Om dit Voorftel algemeen optelosfen, zo ftel ik Cc 3 dat



£go ONTBINDINGEN
dat 'er * ftoopen in bet vat waren tegen b Huiver? de ftoop; ftel nu dat 4e wyn waar mede hy de zelve vermengde c ftuiv,, en de gemengde wyn, na » af« tappingen ," cl ftuiv. de ftoop waardig zy. Zo men riu ftelt, dat hy ieder keer a ftoopen aftapt, is het a
fclaar dat hy elke reis het <~ gedeelte van ieder der *
byzondere foort van wyn aftapt; en dus heeft men x ftoopen van b ftuiv. hier af a
rest a—a...... na de eerfte aftapping
a ax— a* af—deel ■
SC X
jest oa de sde aft.
x
a a (ar-a)s
af— deel •
x x1
(x-ay
rest ■ na de 3de aft.
*»
en dus na de «de aftapping Cs—a)"
— ftoopen van b ftuiv.
(ju—a n
en dus$ — ftoopen van e ftuiv,
Men heeft dus volgens 't Voorftel (x—ay* f Cx—aj»
$a \- cf X J = 4%
%»-* >• x"-1 *
fel!..l'-B " "
CM)



cbr VOORSTELLEN, kmz, 481
(x—a)* (b—c) (d—c) x
(*-a3»_ d—c
m x° b—c |/
x—a \/ d—c — — —— ftel dit ZZp x b—c
x—px ~ a
a
~\-p
In dit byzonder geval is az:6t bzz 40, c — 2*: 5 5 » = 32 — - »= 3» dusP zz — en * zz 36. 12, 6
CCXXXV. VOORSTEL.
Door J. R. Schmidt, j. Kerkhoven, en G. Harderwyk.
Stel * = m*, y = «» en z =s r»; dan zyn de Equatien
m% nr — 12 mn5 r = 8 ** nr* = 27
Cc 4 De
1



48a ONTBINDINGEN
De derde door de twee eerfte gedeeld, geeft Q 4
m = 3
na
?7« . mr = — 8
Dit gefubftitueerd ia de tweede, komt 64
n! = — &7
4
3
3»
2
16 81 dus a5 - 4; j -n' r —;z^r» ~—,
9 16
CCXXXVJ. VOORSTEL.
Door J. Kerkhoven, den Opgeever en J. R« Schmidt,
In alle gevallen: Iaat men uit 't punt C op de beide óeenen; of verlengde beenen van den L A
lood.



der, VOORSTELLEN, enz. 483
loodlynen neêr; deeze zullen dan een hoek == L A of == 't fuppkmmt van L. A conttrueeren. 't Bewys blykt uit de gelykhoekigheid der Driehoeken, die door de Conjtrucïie gevormd worden.
CCXXX VII. VOORSTEL.^. 74.
Door den Opgeever en j. Kerkhoven.
Stel BC = a, AB = fc.jmBD =: *.
(b + x) i/a2 — z3
Dan is DE = • (JAS Dif. rek' §. 116}
x
DusOBE = (J>4-*)i/<»J ——de Maximum.
xdx(b + x)
Wiens Fluxie dx\Za" —x* zz o
X/a^—x*
of aa — *3 — x Q + x) ZZ o zx' + bx — a2 4 ** 4- 2 bx zz 2 a2
4*' 4-2^*4— = -5— 4 4
6 j
2*4— = „if/ 8a»-h62 2
x zz
4 Cc 5 Hier



4*4 ONTBINDINGEN
Hier uit ontleen ik deeze
CONSTRUCTIE.
x°. Verleng BC tot dat CF BCzy, en maak FG — en perpend. BF en trekt BG; dan is BG - 8a*
S?. Maak HG =: AB perp. BG, en trek BH; dan is RH ss; \/ 8 a» 4- b*.
3°. Maak Hl = HG, en BK zz — BI, en BD=BK, 4
— b+V 8a' + i'
dan is BD ZZ ZZ x.
4
4°. Trekkende DE perpend. BD, ontmoetende de Conchoïde in E, en EP perpend. DE, dan is BE t begeerde Parallelogram.
Aanmerking» — Zo men a — b ftelt, is * — i i
— a, of BD E — BC ,en de Inhoud van *t grootfte a 2
3
Parallelogram — — V 3»
2
CCXXXVIII. VOORSTEL»
Z)w j» R. Schmidt, des Opgeever, en j. Kerkhoven.
Stel de Progresfie x* , xy, en ys
en ftel 216 zz a, en 1009 — b\ dan is
i»



©br VOORSTELLEN, enz. 485
s6+x3 y3 + y6— b
x6 -t2x3y3+y*= a+b 4*3j» — aa
x6 — 2x3y* + y6= b—30 en x6 + ax3y' +y6 = a-\- b
x3 ■+- y3 = & ** — = |/t — 3«
*3 ss + Vb—3a
a
y* s= — 1/*—3a
—r—;=3.
, /V~ö+ b — yb — sa\
, = k( ;=*.
Dus de Progresfie 9. 6. 4.
CCXXXIX.



486 ONTBINDINGEN
CCXXXIX. VOORSTEL.
Dm J. R. Schmidt, J. Kerkhoven, den Opgeever, en G. Harderwyk.
Stel den ouderdom der kinderen x. xy, xy2,en die van den Vader *y3 + 6 jaaren, dan is, door dec ze ftelling, aan twee der voorwaarden voldaan; en men heeft
x+xy -hxys + 6 =± ioo x-i-xy* -hxy3 + 6 = 112
xyz — xy ZZ 12 x — 12 94
y*—y i+y+y*
izy3—9iy' + io6y+i<i—a 6y*~ 47y'+ 53J+ ö = o 3
y = — ; dus x = iö
/ a
en de ouderdom der kinderen 16, 24, 36; en van den Vader 60 jaaren,
CCXL. VOORSTEL. Fig. 26.
Door J. Kerkhoven, j. R. Schmidt, en den Opgeever.
Stel de zyde AB = x, BC=y;
dan



der VOORSTELLEN» enz. 487
dan is AD = stoo — *, DC = 480 — 31.
Uit den Driehoek heeft men
dat(AB + DC)«=AB» + BC* AB*-AD»==BD»
— liL2 — IJL.
ot(6So-x-yy = x* + y; *1-(200-*)s = 51-
C480—yy
y* + axy+xa —1360* —1360 y + 462400 —x' + y* en 40OX—40000—9603» — 230400
125—2380
2*5-1360*—13605 + 462400=0,*:=:
5
680 5 — 231200 y—68o
680 y — 231200 125 — 2380
Dus == <-»—
y — 680 5 55 — 3400
340031 —1156000=1231* —105405+ 161840©
I2j' — 139405 = — £7744°° _ 3
4
9 5*— 104555 = — 2080800 , 12145225 12145285
4 ~ 4
9



#83 ONTBINDINGEN
12145225 3828023
9>f—ms5y+ = -
4 4 ^
3485 + 1955
2 2
37 = 765 a 3 r
y = 255 = BC
dus ac = 136 == AB
en (200—* 4- (480 — 3») xs 289 = AC«
ccxll Voorstel, mg. 75.
2>oor j. R. Schmidt, den Opgbever^ G. Harderwyk, en j. Kerkhoven.
„ Dewyl in de opgave van het Voorftel niet geu j, zegd wordt, welke der twee raaklynen FG of IK 31 moet berekend worden, zal bet best zyn die bei3i de te bepaalen."
Stel ten dien einde
CF = CIr a, BG~BK = *, AC zz ff, BDzz dy en AB = c.
Zo men dan CD trekt, als ook DE parallel AB ,Dft par. FG, DL paf. IK ontmoetende 't verlengde van Cl in l; dan is CH zza — b, CL = a —*, EC =
c — d, DE rr e, dus CD 55 i^Tc~^d~Yi~+7*: verders DL ZZ IK, ea DH FG. ; '



©e» VOORSTELLEN, ens. 489
CD* = (<r—d)' + *» . CHa= (a—by . CL*= (a + by . De twee laatfte van de eerfte afgetrokken 5 geeft
HD '= (c—dy+c» — da—
DL = (c—(a + ftj*
HD=: FG=i/lrJ^Öz+e'—ta-by DL— IK = j/(c—d^+C—Ca+b~y
Stellende nu a ZZ7 tbZZ I,czz 16, dzzaene~26"j
is FG = 28,
en IK zz 6 V n .
CCXLII. VOORSTEL, fïg. 76;
Door tf« Opgeevers.
Laaten AD, BD, en CD, de ribben zyn van het Parallelopipedum, en genoemd worden a, b. en 6} Laat vervolgens zyn L BDC = «, L. ADC = /3, en L. ADB t= y. ~ Om nu den Inhoud van het Parallelopipedum in eene fontïie van deeze bekende dingen te vinden, tnaak ik de volgende bereiding: ik trek CG loodrecht tot het grondvlak ADBH, GF en GE parallel aan AD en BD, en BM loodrecht
cot



493 ONTBINDINGEN
tot AD.; dan heb ik vooreerst uit den Driehoek DBM
I : Sin L BDM = BD : BM = b. Sin y.
met AD = a gemul.
komt ADBH zz ab. Sin y, Inhoud van het grondvlak.
Ten tweeden, de A A GGD en GÊD geeven i°. CD2 — CGa — DG2
=DE*+GES— 2DE.GE.Cdr.ADEG, =, DE4 + DF* + sDEiDF.Cox.y.
De A A CGF en CFD geeven s
&9. CG'+ DE1 = CG3 + FG 2=CF*
=DF2 + CDa—2 DF. CD. Cos. *.
De A A CGF en CSD geeven:
v 3°.CG3+DF» —CG*+EG2=CE»
= DEa + CD3—2 DE. CD.Cöf. 0.
Ik addeèr N°. I en 2 , trek aan weêrskanten CD2 4- DE" af, en deel door2DF, dankomt'er
4°. DF 4- DE. Cos. y — CD. Cos. « = o.
Ik addeer N°. i en 3, trek aan weêrskanten CD'4- DF2 af, en deel door 2 DE, dan komt 'er
50. DE 4- DF Cos. y — DC. Cos. & ZZ} 0.
ik



der VOORSTELLEN, a»*» m
Ik addeer JM°. s en <), trek aan weerskanten DE» + DF» af, en deel door 3, dan komt 'er
6. CG' = CD (CD — DF Cof. « — DE. Cof.0).
De Eqüatien 4 en 5 geeven:
Cof. « — Cof. 0. CoC y DF ± CD. l
Sin. y*
' _ Cof. 0 — Cof. ». Cof y DE = CD. - - ,
Sin. y*
Voor DF en DE hunne waardyën gefteld in Np. 6, dan verkrygt men
(i*~Cof.«*—Cof.Q*—Cof.y*+<iCof#.^ Cof. 0. Cof y \ Sin. y * " ✓
Dus de hoogte
^ f \—Cof.«,* —Cof.0 *—Cof.y-+2.Cof.#:\
*A Cof.0.Cof.y )
CLj—c. 1 m ^
Sin. y
Deeze hoogte gemultipliceerd met de grondvlak» te AD BH = ab. Sin. y, komt voor den Inhoud van'het Parallelopipedum:
ateV(i-Cof.**^of.0*-Cof.y*+2Cof.x.ty
pe grootheid onder het wortelteken is een Pro. duel van twee Fa&oren. te weeten
Dd Sin.



m ONTBINDINGEN
Sifié *. Sin, 0 *• Cof et. Cof. 0-CoC.y, e» Sin. a. Sin. 0 - Cof. ct. Cof. 0 + Cof. y.
De eerfte is gelyk aan Cof. (* — 0) — Cof. y
Cet—0 + y~ f—« + 0+y^ —->5K——>
De tweede is gelyk aan Cof. y — Cof. (ju, + 0}
(* + 0 — y\ ^*+#+yx ~—— >
Dus de Inhoud van het Parallelopipedum =
|K—>s/<">(
\Sinf \SiH.C ) 1
«CXLIII. VOORSTEL. Jfe. 76,
' Door is Opgeevers, en j. R. Schmidt,
Laat ADB de grondvlakte zyn van de Pyramiie, C. den top; ik voltooije op de ribben AD, BD, en CD het Parall lopipedum DL; zoo nu de letters a, b, et en «, 8, y, de zelfde betekenis hebben, als in het voorgaande Voorftel; dan beeft
men



de» VOORSTELLEN, enz» 493
rren door dat Voorftel, voor dtn Inhoud van dit
Parallelopipedum:
abc 1/ {l — Caf.«* — Cof.0* — Cof.y' + iCof «.
Cof. 0. Cof y).
Laaten nu de ribben BC,AC, en AB, genoemd worden a', b', en c'; dan heek men uit den AtiDC
a'*=b* + c- —abc. Cof.*.
Das Cof.»— .
abc
©p gelyke wyze uit den A ADC,
a*+ca —Va
Cof. 8 = .
2 uc
£a uit den A ADB >
aa + 6f—c"
Cof.y= .
%ab
Aïs men nu voor Cof. «, Cof. 0, ea Cof. y, haare waardyën fttlt, in de bo-enltaande waarde van bet Para/ltlopip'dam t en de uitkumst do>r zes deelt, om dat ue fyramtde rtBDC net Qerde gedeelte is van het Prisma ABDCK l, en bygevolg het zesde gedeelte van ha Paradelopipednm uL, dan vindt toen voor den Inhoud van die Pyramidg ABDC de volgende uitdrukking.
Dd 2 fi ]/



494 ONTBINDINGEN
f a*. a'* («—o*—a'« 4- b* 4- 4- c* 4- c'«) +" | ;. b» ( a» 4- a'*—b*—b"+c* 4- c'1) +
^1 cV's( «*4-a',4-A1+è'*4-c'4-c/V—
CCXL1V. VOORSTEL. Fig. 77.
Door de Opgeevers.
Laat ABC den Bafis, en L den top zyn van de Pyramide; men noeme AL = «, BL ~b, CL —p» BC=a', AC=b', AB=c'j L BLC = #, L. ALC=/3, L ALBzry; dan faeefc men (van
s win de n pag. 349.)
ia4-c*— «<2 Co/. # == —: ——1".
a ie
Co/. 0 == ■ ♦
2 ac
a*+b* — c'*
Cof. y =z —.
2 ab
Om nu het middelpunt van den omgèfchreeven Klooc te bepaalen, ftelle men op het midden van de ribbe AL de loodlynen Dl en DK, ontmoe. tende BL en CL in I en K; vervolgens op het midden der ribben BL en CL de loodlynen GE
W



der VOORSTELLEN, enz. 4§g
en HF, ontmoetende Dl en DK in E en F; dan zyn E en F de middelpunten der Cirkels, die orr» de Driehoeken ABL en ACL befchreeven kunnen worden; men ILlle eindelyk EM en FM loodrecht op Je Driehoeken ABL en ACL, deeze ontmoeten elkander in het midd^punt M van den Kloot} dus is LM de Radius, die gezocht moet worden» De Driehoeken 1LK en IDK geeven
IK* = IL* + KL* — alL. KL. Cof *> IK* = ID» + KD' — alD KD. Cof. D
—— afg„
DLS4-DL* 4- a ID. KD.Cof.D- 21L, KL Cof *—o. 2DL= + 2lD.KD.C»/.D-.2lL.KL Cf «=o'
IL. KL. Cof.a—DLa
Dus Cof. D 85 .
ID, KD
De Driehoeken IDL en KDL geevenï
ID : IL = Sin. y : r KD : KL = Sin. 0 : i
ID : DL = Sin. y : Cof. y KD : DL = Sin. 0 i Cof. 0.
De twee eerfte evenredigheden geeven IL. KL i ID. KD ~" Sin. 0. Sin. y
De twee laatfte evenredigheden geeven DL' Cof. 0. Cof. y
ID. KD ~~ Sin. 0. Sin. y
Dd 3 Dus



49S
ontbindingen
Cof. » — Cof 0. Cof. y
Dus Cof. D = ■ ■ J—i
Sin. 0. Sin. y
Nu heeft men van den Vierhoek DL GE bekend, DL» GL, AL, en AD = AG^l; en van den Vierhoek DL HF heeft men bekend DL,HL, AL, en Z.D —AHrL. Zoo men van deeze Vierhoeken de zyden ÜE en DF berekent, heeft men van den Vierhoek MED F bekend DE, DF, LD, en
èE=sAF = L; zoo men hier van den Diagonaal . M berekent, heeft men
LM = i/DL3-i-DM%
Het komt 'er dus maar op aan om gemelde Vierhoeken te berekenep. Laat de Vierhoek DEfiG (Fig. 60.) rechthoekig zyn in E en G, en laat bovendien bekend zyn BE, BG, en AB; zoo nu BG en ED te famen komen in C, heeft men
BE.BCrrCfl/.AB: 1 DG:GC=0?/.AB;5fffl,AB Dus BE= BC.Cof. B enDG Sin. B = GC. Cof. B
,— . „ tfgèt.
DusDG.iS/fl.B —BE~—B G.Cof.B .
BE— BG.O/^B
5D DGs — ,
Sin. B
B E '4-BG'. Cof B■ —z B E. BG. Cof. B
DCc -s-w—>. ;
Sin. B*
BG*



beb VOORSTELLEN , EMïi 497
BGa = BG2 geaddeerd, komt
B E* -h B G9 ■— 2 B E. B G. Cof. B
BDJ =
Sin. B*
Als we dit nu op de Vierhoeken van onze Piramide toepasfen, vinden wy
G L — D L. Cof. Z. DL G
DE== .
Sin. LDLG
b — a.Cof.y
2 Sin» y
HL—DL. Cof. DL H
DF= »
Sin. Z. D L H
c—a.Cof.B 2 Sin» B
DE'4-DF1 —2DE.DF.O/.Z.D
en DMJ = —
Sin. D3
Nu wordt *er, om LM te vinden, niets meer vereischt dan de noodige fubftitutien, waarin geen andere zwaarigheid gelegen is dan de langwyligneid der rekening; als wy deeze fubftitutien ten uitvoer brengen vinden we vooreerst
Dd 4 LM



498 ONTBINDINGEN
f>2 Sin. $* 4,e, Sin fe*V
(Cnfix-Cof0Cofy)~ a ac {.Cof. 6—Cof. ctCpfyy-a ab Cof. y LM=1 j/« - &fi Otfi0) . ,
l-Cof.#*--Cof.&'—Cof.y' ,r<:.Cor.«. i <- Cof.0.Cof.yi\
Vervolgens
(aa'-bb' ïccj (~aa'+bb'+cc') . LMz=ii/4 a*a"l(—a*—a'*+b,+b"+c*+c") + .
(,a2i«c'a—asA"c»—a"b'c»—a'H'aC*. Ji
Om de fla#«* van den ingefchreeven Kloot te vinden, verbeeld ik my de Pyramide ontbonden te zyn in Ver andere, die voor gemeen toppunt hebben het middelpunt van den Kloot, en voor grondvlakken de verfchillen de Dri hoeken die de Pyramide t-epaahn. Z o nu de Ra.'ïus vaii den Kloot aangeduid wordt door r, en de Inhoud van de Piramide door P, dan heeft men
PN= |r (A ABCALB + A ALC + ABLC) Dus
■ 3 Pr
AABC + AALB + AALC + ABLC ■
P is gevonden door bet voorgaande Voorfte!, soo men nies voor, en vooi de AA ABC, ALB,
ALCS



der VOORSTELLEN, enz. 499
ALC, BLC, hunne waardyën ftelt in Fonüien van de ribben, heeft men:
pa. an (_aa_a'3 4-b* + b'* +c> +c'*,, 4-"| \b*b"( a*+a'>-b*-b" + c*+c'*)+\ Jcac/Jl( a»4-a,J 4-i*-t-6,,—c»—c'O —|
|/ (2 a'a b"- + 2 a'2 e's+2 b" c'* — a'+ — f + — c'*) 4-l/Caa* ba+&a* c'^+ab' c'1 — ^ — — 4-v/(2aa i'= + 2aï c'+2b''c*—a* —i* - c*) 4- j/(a«'2£4 4- 2a'sc2 +2 c2 — c*)
CCXLV, VOORSTEL. ?8.
Door den Opgeever,
ie. Trek een lyn van A tot B; verdeel dezelve in uiterfte en middelfte reden in É; en verleng ze tot in G, zoo dat AG gelyk zy aan het grootile ftuk BE. (Str. 2 b. ii pr.)
2e. Trek een lyn van B tot C; verdeel dezelve in uiterfte en middelfte reden in F; en verleng ze tot in H, zoo dat B H gelyk zy aan het grootfte ftuk CF. (Str. 2 b. ii pr.)
3e. Befchryf uit G als middelpunt, met GS als radius, en uit H als middelpunt, met HF als ral dius, twee Cirkels elkander fnvdende in D; trek AD, BD, en CD, zoo zal men hebben AD + MD = CD$ en A D: BD = BD:CD.
9 «,



SOQ ONTBINDINGEN Bewys.
Daat 'er getrokken ?yi de radius GD, dan heeft aten:
AE:BË = BS:AB Conftr. u
of AE: Aürr A G: AB
das AG:GE=AB GB (Str. 5. b. 13.)
of AG:GD = GD:GB
dus A AGDw A OGB (Str. 6. b. 6.)
dus AG:GD = AD:BD (Str. 6. b. 4.)
of BE: AB=AD:BD.
Of AE:BE=AD: BD; orn dezelfde reden BF:FC = BD: CD. Maar A E:BE = BF: FC. Conflr*
dus AD:BD = BD:CD.
d. C. b. w. ie.
Maar AE :BE= A D:BD
en BE:AB = BD:CE2
dus AE:AB=AD:CD (Str. 5. bi io>
en (<0 AE:AB = AD:AD+BD CSTR.jb.13}.
flus JlD + BDcCD.
d* t. b. w. ae»



dbs VOORSTELLEN, ems* 502
Gevolg.
Vermits de beide Cirkels zich andermaal fnyden in D', zoo zal men om dezelfde rede hebben
AD'+BD'srCD'; en
CCXLVI. VOORSTEL.
Door den Opgeever, en j. R. Schmidt.
Indien de nde wortel uit het Produel der vier op» gegetvene fa£iores rationa l moet gemaakt worden, fttüe men
x + y + z — u ZZ a° sc-ï-y — z + u zz b* x—y+z+u zz c* —x + y + z + u zz d"
, a^d.
ax+ay + nz+au — a" 4- b" 4- e» 4- d*
a —. ———
O" -h b* + c" + d»
x + y + z+u zz —— •
3
Ieder der vier voorenftaande Mqnatien van deeze afgetrokken, heeft men
an + b» + c»— d" x — "»
4
y



$oa ONTBINDINGEN
a» + ba—-c*+d« 4
a„—l» + cn+df>
Z = —
4
—ös4-J«4-f8 4-i" u ~ ■ .
4
Door deeze ftelling verandert dan de Formule M abcd.
CCXLVII. VOORSTEL. Fig. Zn.
Door den Opgeever en J. R. Schmi bfc
De Driehoeken ABD en CDB geeven
A B2=Aj> + B D» -a- a AD. BD. Cof. ADB
BC* ~DC*4-BD2-y-2DC. BD. Cof CDB
— add.
komt AB* 4- BC2 = 2 AD* 4- 2BD*
of ^B'4-4BE2-2AD'4-2BD* . . . («) wart Cof. Lt\m + Cof.L CDB =o
Men hecfc op gelyke wyze
AB«4-4ADi~aBE»4-2AE» . . . (Q)
dus 4AD1—4BE»~aBE1—2AD*+aAli;j-aBD»
en



Cbr VOORSTELLEN* eijs jö§
en 3 AD» —3BEa = AEi — BDa
en AD»— BE* = ICAE'-BO»)
(( AE+BDXAE—BD)%,
dus AD — BE z=.\.{ f
V. (AD 4-BE) 1
Waardoor AD—BE gevonden kan wn-den; Stel AD+BE = s, ea AD-Btt^y, dan heeft men
AD=iS.+*y. BE=*S.— iy.
Tel de Eguatien «en B te famen, en neem v4E de fom de helft, dan komt 'er
AB»+AD» + BE*= AE* 4-AD» AB' = AEa + BD» — AD3 —BE*
Waar door AB gevonden is. CCXLVflI. VOORSTEL. Fig» 79; Dm den Opgeever.
Laaten de middelpunten D en G vereenigd zyn door de rechte DG, en getrokken zyn CDB.OGI, en GE loodrecht op DC of deszilfs v<. iengie, dan heeft men DG=.s+x; CG — r—x; CU—r-;; en CE of
DO»-CG»—CD»
EB~CB = —
aCD



|o4 ONTBINDINGEN
DG*—CG3 4- CD (2 CB ~ CD) en EB- .
aCD
r+s
of EB~ .x
t—s
, Zoo nu H hét middelpunt, en UK~y de Radius fs van een' arceren Cirkel in het Hoornftuk , en HF loodrecht op CD ftaat, heeft men op gelyke wyze
r + s FB = ,y
f r— s
Laat GO loodrecht ftaan op HF, dan heeft men r+s
GO= .(*-•/)
r—f
Laaten we nu ftellen dat de Cirkel H den Cirkel G raakt, dan hebben we GH = *4-j,
Hö!» = GHa — GÖ*
(H£-GE)2=(*+y)*-(^—^ (x~yy
4(r4+x9) *y— 4 rsx'-£rsy'
HF' 4-G E3—aHF.GE kb —.
tr—sy
HF'=CH' - CF3=f> - j)s-( —. y-r) , ^-r —s"
Ars



der VOORSTELLEN, enz. 505
4« (r — s)y—Arsy* _ Tr-oa
31-r )
r—f S
&rs(r—s)x—4nx'
" ' 1 >• — afgetr,
4(fa+f3) xy—4rf(r— — 2HF.GE = ■ *
4(r»+* 4rr(r-0 (jc+y)xy - aacj. HF.GE— —— . '
Cr-sy
ArsQr— x)*»y - 4«i,j'
x'.HF» s i —
(r-sy
4rs(r—t)xy% — ±rttay* y\ GE* - ——■ — —
. 4 : _ iadd.
ac» HF» — a xy. HF. GE +ya GE1 = 4**3»
*.HF — ji.GE - zsy
Maar ac.HF — —Vl rs^r—s^y—rsy1) r—t ^ ^
ix
Ee =—
m



S0$ ONTBINDINGEN
= — • vCrmy—rsyz>S i» V +*•
en y.GE == — yQr$(r— —m2)
(}k heb körtheïjshalve t» in plaats van r-j ge» fteldj. Dus
^vCrsmy — nj2^ ** —■ \/(rsmx—ra») = jtj
Xy 1 i ■ ■ ■ ui J2J
v
firn ✓ -.rxw xN*
Wsar uit volgt,
5=



dbr VOORSTELLEN, enz» $07 rsm
y ~ -■■ ' &
Wanneer het middelpunt G van den Cirkel, wiens Radius =.x gefteld is, aan den anderen kant van de middellyn ACB viel, zoude men de wortel uic
Crsm ^ — — rr J negatief moeten neemen om y te vin-
den; dit blykt uit de Equatie
aHF—y. GE=2*;y
want GE zoude dan het tegengeftelde teken hebben, en de bovengaande Equatie zoude verande* ren in
■ Ztx.HF+y.GE=z2xy
waar uit het gezegde volgt.
Laaten nu de Radien van de Cirkels M, N &c, die onmiddelyk op elkander en op den Cirkel volgen , genoemd worden z, u £rV., dan zal men op gelyke wyze hebben
rsm
z = — 11
rsm
Qn + v(~rs)^ +rs
enz.
Ee a li



goS ONTBINDINGEN
Ik fubftitueer voor y haare waarde in die van Z, en vinde
rsm
^zm + yQ——rsy^ -hrs
Ik fabflitueer voor z haare waarde in die van », en vinde
rsm
u ~ —— , , i- ...'"i \
(3w+<T~rO) +rs
En op deeze wyze voortgaande, voor de Radius van den aden Cirkel, welke volgt op de geene, wiens Radius x genoemd is:
rsm
tv =s ———' ' ■■ .u
/ /- rsm N v»
{^«.m+f/f^ —• — rsJJ +rs
I. Gevolg. Wanneer het midde'punt G in den Diameter \YS valt, heeft me» s= r — s =zm; en in dit byzonder geval
rsm
n'.m' +rs
a. Gevolg. Laat G beneden AB zyn, en ff boven denzelven, zoodanig dat AB raaklyn is aan de beide Cirkels G en H, dan zullen deeze Cirkels gelyk aan eikander zyn, en men zal hebben 31=ac, du»
:'!. *=



der VOORSTELLEN, 8Nz. joo rsm
(jrsm vN.' rsm tn — y (——rs) \ + rs=—— v* v * \
(/rsm Nv* rr* "-Kt-")) = — -"
^fw v ssm v
.rsm N
En in dit byzonder geval rsm
(n.m — im)a + rs
rsm
ss——- '
ü(2« — iy.m*+rs
Ee 5 Aan.



510 ONTBINDINGEN
Aanmerking. De middelpunten G, H, M, N &c. van de ingefchreevene Cirkels vallen in den omtrek van eene Ellips ,die haare brandpunten heeft in C en D; „want CG+DG=:CH+DH=&c.= r+s, !
CCXLIX. VOORSTEL.
Boor den Opgeever.
Stel dat de getallen *, y, zé?*' de wortelen zyn van de vergelyking »*■—A»3-f-B»* —C«4-D
i x i i c=o., dan zyn — — «— & — de wortelen van de
* j s «
vergelyking
C B A i
m'* «3+—»s—-»+—so
D D D D
Zie ons Mengelwerk van Wiskundige Verhandelingen, I. Deel, pag. 50. &c. 3e. Theorema*
IV u is door liet bekende Theorema der vergelykingen,
In de ie. vergelyking A^c.
Axc—dc & B ~ —-—— lcc—ld, 2
C
In de 2e. vergelyking — zz. b D



der. VOORSTELLEN, enz. $11
C
B — x£—a & — = D
D =ifó-i«
2
Waardoor B - £ bb —£*X D Derhalven i cc—■irf=4»-i«xD
cc—d
of D =
bb—a
ec—dxk
Dus C - bxDzz ——
bb — a
Dewyl nu de Ccïfficienten der aangenomen vergelyking alle bekend zyn, heeft men door fubuitutie der gevondene waardens.
cc—d x b ec—d
Bi-cns+icc—ïdXtf —*a+7T—=©
bb—a bb—a
Of in getallen
24»» -f- aoi n*—674 » 4- 720 = o
Wiens Wortels 2. 5. 8 & 9. respe&ivelyk gelyk de gefielde Getallen zyn,
Ee4 An.



5ia ONTBINDINGEN
Anders. Door j. Kerkhoven.
i i i i S37
de ade Equatie is —h — 4 1—■— —
* y z v 360
= ■■ i V
i222i22i2i ii^öo —+—+—I !-—+—I + 1 + -c,",,
x* xy xx xv y1 yz yv zz zy v* 129600 af i Eq.
1 l ï i 41209
4~ .... —— .
y* z* v* 129000
2 'v- , .
i ii iii 67
■—I—+—4 1 1 =
Xy xz xv yz yv zv 240
— ! - Sn . ' xyzP
6-}xyzv
zv + yv+yz-t- xv + xz + xy=.———
240
ae 3de Equatie is 14. y 4- z+v = 24
. 1/
x*+nxy+2xz+xv+y*+<iyz+2yv+z*+2zv+v*=:576 if^Eq.
• • • • 4-a1 . . 4.v3r=ï74
2 —— . ...
%y ^-xz+xv+yz-{- yv + zvz=20i 67xyzv
dus '— = 201.
240 240
0/
xyzv~i%o>
De



der VOORSTELLEN, ehz, 515
1 1 1 1 337
De zét Equatie, is —V—\—\—==
x y z v 360
yzv+xzv + xyv + xyz=174.
Daar nu eene Equatie van de 4 Magt is geconftrueerd als volgt: (Zie Cl ai ra ct pag. 149.) 1
VeCeëffiJent van de 2e Terme=de fom van alle Wortels met tegengeweld teken.
3 « zz\ * ... * defroduSen
der Wortels2 aan a,
4 * dito....
3 aaD3
met tegengefteldteke .
en eindelyk de 5 # = het * Product van alle
Wortels.
Zo verkrygt men de volgende Equatie, waarvan men de Wortels voor de waarde van *, y, z en v houden kan,
—24p3 + 20Ip2— 674/) + 720 = 0.
Hiervan zyn de Wortels 2, j, H en 9. (De manier is te vinden in Clairaut &c. )
dus ftelt men x = <2., y~ 5, z~8, en vzzgt
Ee s
CL.



5U ONTBINDINGEN CCL. VOORSTEL. Door J. Kerkhoven, enden Opgeever.. Volgens 't Voorftel heeft men v+y+xm + * + &c. . . . = Minimum
n V dz -V ny* ~*afj+nx» ~l dx + nv* ~« dv 4- Qfc. = o en
«+j' + * + v+e><7. ... tot « deelen r; a dz+dy+dx+dv+&>c. . . . . . = 0
<h——dy~dx—dv~&c.
Deeze waarde van dz gefubftitueerd in bovenftaande Equatie, geeft
Ky*~'dy + fix»~<dx+nv*"*dv-r.cyc. »
Waar uit men trekt
ny~*dy zz nzH~ldy nx""ldx zz nz"~ldx nv*~*dv zz KZn^dv £rV.
dus zK "J xji« - xB "r :~. 1-1 r; Gfo
z 'ZZ y . zz x s v— ieder deel a
n
SLOT-



der VOORSTELLEN, ekz. 515 SLOT-QUESTIE.
Door den Opgeever.
ICO 3* —ƒ102060? Antw. ƒ 540a jsarUntr. van A»
IOO 3|—ƒ 97200?Antw./3Ó45jaarl.Intr.van B.
Laat nu 100=0,103! B b,3402=*:,3645=^1^
I35ö — =s e zyn. Dan hebben wy 500000
Ic
a : * :: c : — 0
c eerfte Jaar by
f— -
b + a.c
— het tweede Jaar.
a
b + a c b*+ab.c
« • b :: — 5 " *
a a
c by i24-a&4-a* e
, ■ het derde Jaar.
aa
b*-ï-ab -t- a".c b~^+ab1Jra"b.c m : h :: : p
e by
fcs4-



5i<5 ONTBINDINGEN
———-———— vierde Jaar. a*
h + a»c ba-^a~3.c
Nu is -a = —_ hee tweede Jaar.
0 I
b*+ab~+~a~.c b»-.a».c
' — het derde Jaar.
aa
b—a.a*
b^+ab'+a'b + aKc l*—a*,c
~ " ~ = _ — het vierdejaar.
By gevolg .... _- het«dejaar,zyade
b-a.a»~* de winst van A.
Op gelyke wyze is de algerneene uitdrukking der winst van B
/ b"—a*>.d
b—«.<a»~» b"— ap»e
b — a,a»~* •—"—-r' - afgetr.



der VOORSTELLEN, sus, Sn
in — a». d — c
hn—a» e
of =
d—e
b—a.a»-1
bï^iv.c c$ 25214.
Dus _ = = ƒ18984 deinst
d—c 50C000 vanA.
bï^a*.d de 27015
cn — =ƒ 20340 de winst
d—e jooooo vanB.
b—a.an~l
Om nu ook den tyd te vinden»
b* — an. d—c
■ s=e
b — a. ar~l
b—axexa""1
Of = —
d — c
T^-aXe .
Stel 1 — =/> dan 1S
d—c
k*—a* = ƒ x a""1
a" = a x fl""1 . .... —-—— verg,



S*S ONTBINDINGEN
an~i ƒ + ƒ
Of — J_
Dat is » Log.£~} = Log^'f-Log.*
Das « = t^Eti^
^ I5OOQ0X343
a • f * JOo
a+f . . . - 4333°gl8ol_3^X '51
IJOOOOX243 150000x243*
i:0.5:31 =*• 4913^1^93,83437267^(57
Log. 3is= 7-.4S«8Ö84691713^339835 5 ^^^51 = 2^17807694729316943687
^«ff. 31* X I5« = ,9.6357854I6464l3T837^r" Log. 150000=5.176P9»25905S63I24208 f^gl_fl^3 - * . 38y5aóa7359831218648



der VOORSTELLEN, ewï. J19
Log. 150COX 243 = 7 • 56I697532ÓS39934285Ö
9.63578541646453283522 7.56169753965399342856
_ afg.
a + ƒ= a. 074087883810S3940666
Log. # = 2. OOOOOOOOOOOOOOOOOOOQ
Log.o+f — Log.a-o. 0740^788381053940566
£ 1 — 310
3 S ».,..== 100
* _ 310 S1
a 300 30 Log. 31 = 1.49130169383427267967 Z.0£. 30 ~ 1-47712125471966>43730
X,05.^-^=o.oi424O439ii46io24237 Derhalven
(Log.a+f-Log.a o.074o8»8838i©53940666_« ^b^ 0.01424043911465024237 J
2885688^748819481
5 Jaaren;
14240439114610*4x37 Dat is 5 Jaaren, 74 Dagen, o Uuren, 18 Minuten, 29 Secunde^, iets minder; doch 't verfchil is op verre na geen Secunde.
liINDE DER ONTBINDINGEN VAN HET TWEEOE DEEL.






"WX S K, , ME N GE I/W. .P6
II. 1)1 c l .






WIS JC, M ENGE UW. jPIjT






WISK. MEIÖELW. /'/ 7JI
JOTJDeel






VI g K • MENGELW. " IV
IT Deel