Ken onvermoeide arbeid komt alles te boven.
/$rï&-* waarde /c *



GRONDBEGINSELEN
DER
MEETKUNDE,
VERVATTENDE DE ZES EERSTE,
HET
ELFDE en TWAALFDE
B O E K
VAN
EU CLIDES,
Alles op een korte en duïdelyke
wvze voorgesteld , GEDEMO^je, streerd, en met veele iAST w| merkingen verrykt, gj(
door S^C^^"
S. J. DE PU Y^Tf^
Examinator der Landmeeteren vooü den Hove van Holland, Zeeland en Vriesland, als mede voor den Raade van Braband, en Lande van Overmaaze, mitsgaders geadmitteerd Landmeeter.
TE L E TD E N, By MURRAY en PLUYGERS;
MDCCLXXXIV.






VOORREDEN,
De Grondbeginfelen der Meetkunde i (elementa Geometria ) welke in dit boekdeel grondig geleerd worden , is een onderdeel van de Wiskunde, gelyk hiett ónder nader zal aangetoond worden.
De Wiskunde (Mathejïs) die wel eens genoemd wordt, Scientia qüantitatum , de Wetenfchap der grootheden; is dit wetenfchap, welke ons brengt tot de ken~ nisje der zaaken, die gemeeten, of liever die vergroot of verkleind worden: nadien nu alle eindelyke zaaken in deze waereld. vergroot of verkleind kunnen worden, zoo zal men niet te veel gezegd hebben, wanneer wy ons dus bepaalen dat er in dé waereld geen zaaken zyn, daar de Wiskunde niet in te pas kamt, zy fielt ons volkoomen in fiaai om dé eigenfchappen der zaaken te kennen: meer zal ik hief niet fpreeken van het nut dier wetenfchap, die begeerig is, om meer daar van te wee' ten, wyze ik na die Schriften; welke het nut dier verheeve wetenfchap zoo breed' voerig hebben aangetoond en verhandeld*
"Deze fchriften met aandagt geleezen hebbende, zal men geredelyk moeten toeflem' men, dat er geen kandelingen in de waereld zyn, daar de wiskunde niet te Jïaade komt, en dat geen menfch, van wat jia^t ■ * 2 en



iv VOORREDEN,
en rang hy ook mag zyn, deze wetenfchap behoort onkundig te weezen.
Ik zat dan liever overgaan tot de verdeè. llng der wiskunde.
De Wiskunde verdeelt men algemeen in de zuivere Wiskunde (Mathefis pura fu fimplex) en in de gemengelde Wiskunde (Mathefis, itnpura feu mixta.)
De zuivere Wiskunde , ook wel de eigenlyke Wiskunde genoemd, om dat de grootheden aldaar alleenlyk als grootheden worden befchouwd, heeft drie onder dtelen; als i=. de Rekenkunde ( Arithmetica) 2e. de Meetkunde (Geometrica) en 3e. de Algebra en Analyfis.
De Geometria of Meetkunde is wederom tweederiy\ als 10. de gemeene Meetkunde, en 20. de hooge Meetkunde.
De gemeene Meetkunde h eft nogh eens vier verdeelingen , als i°. de beginfelen der Meetkunde, 20. de werkdadige Meetkunde, 30. de rechrlinifche of platte driehoeks Meetkunde (Trigonometrïa plana) 'en 4n. de klootfche driehoeks Meetkunde (.Trigonometrïa fphertca.)
'Het is dan alken tot deze Grondbeginzeten der Meetkunde, dat wy ons alhier bepaaien ; en welke Grondbeginfelen het aller eerjl van Euclides ontrend 300 jaar voor de geboorte van Chri/ïus, in de Griekfcbe
Taais



VOORREDEN tr
Taaie zyn te boek gefield geworden, en wei in zoo een onvergelykelyke goede fchikking, dat dezelve naderhand van alle goede Wiskundigen zyn gevolgd.
Wy willen zoo veel van deze groote Meetkundige bekend is, alhier laaten volgen.
Men leeft in de Hiftorien, dat het magtige ryk van den grooten Alexander, naa deszelvs dood onder zyne Veldheeren verdeeld wiert ; en dat Lagus by die gelecgentheid Mgypten bekwam. Deze was een minzaam Por ft, en een groot beminnaar van de weterfchappen, waar door hy wel haajl alle de geleerden van geheel Griekenland tot zig trok; en men moet hem aanmerken als de Stigttr van die Schoole, welke Zoo veele eeuwen lang gebloeid heeft, en bekend is orader de naam van de Alexandrinfche Schoole en welke niet te gronde is gegaan, dan tegelyk met de verovering van Alexandrie door de Arabiers A°. 641. van onze tyd reke* ning.
Op dezen Lagus volgde deszelvs Zoon PtolomausPhiladelphus, geen minder ''beminnaar van de wetenfehappen dan deszelvs Vader.
Deze gaf, zegt men, aan de geleerden zelvs een gedeelte van zyn Paleis ter inwooning, ten minfte hy list voor hm een pragtig gebouw timmeren. Deze is het ook, die het eerft bepon die vermaarde boekery



Si V O O R R E D E N.
te verzamelen , welke met ter tyd is geworden de ganfche fchat van het menfchelyk verft and te zaamen, en welke by de voorgemelde verovering op nadrukkelyke laft van Omar ten vuure is gedoemd geworden.
Onder de eer/ie geleerden , welke naar Alexandrie zyn getrokken, is geweefï deefe Euclides, een tydgenoot van Ariftillus en Timocharis, twee vermaarde Sterrekundige, en de eerfte van de Alexandrinfche Schoole onder de regeeringe van Ptolomaus Philadelphus of Ptolomaus den eerften. ,
Men moet deze Euclides niet verwarren met een andere Euclides van Megera, wel* ke is geweeft den ftigter van een Sette, die Zeer vermaard is geweeft, in de difputeer kunft, waar aan hy een zonderlinge dienfte ioefchreeve; maar de tyd heeft het bedriegelyke van die kunft wel draa ontdekt. Deze Euclides van Megera was een difcipel van Socrates, en tydgenoot van Plato; Socrates is Ao. 3P3. voor de geboorte van Chriftus door de Athenienferen ter dood gebragt: daar en tegen is onzen Euclides den Meetkundige een tydgenood van Ptolomaus, ge» lyk wy boven reeds gezegt hebben, en leefde gevolgelyk byna een geheele eeuw daar naa.
Men weet de eigentlyke geboorteplaats van onzen Euclides niet, en even onkundig is men in de verdere gefchiedenisfe van zyn
leven



VOORREDEN, vu
teven: men meent dat hy te Athene onder de difcipulen van Plato geftudeerd heeft, waar is het, dat hy te Alexandrie geweeji is. Pappus (Coll: Matth: L. vu. prEeem.) fcbüdert ons zyn inborft af met de aller voordeeligste trekken, zagtzinnig en zedig van aart, niet minyverig nopens die geene, welke een byzonder genegentheid voor de wiskunde hadden, en bevorderingen in de zelve tragtede te maaken: niet te min was hy geen vleijer der grooten, want van Koning Ptolomaus gevraagd zynde, of 'er geen andere min ongemakkelyker weg was om de Meetkunde te leeren dan de gewoone, was zyn antwoord, non eft Regia ad Mathematicam via.
Buyten en behalven deze Grondbeginzelen der Meetkunde, heeft Euelides nogh een menigte andere werken gefchreeven, welke ge* deeltelyk maar tot ons gekomen zyn; als daar zyn, zyne Data, of gegeevene grootheden: dit werk is een vervolg van zyne grondbeginzelen, en de e'erjle trap tot de hooge Meetkunde: wy vinden deze data gevoegd agter de grondbeginzelen in een Latynfche uitgaave van A°. 1546. te ' Bazel gedrukt by Johannes Hervagius. Alwaar ook mede te vinden is een ander werk getituld de Phcënomena; nog een derde werk van den zefae getituld Specularia, nog een * 4 vièr



vm V O O R R EDE N;
vierde werk, getituld Perfpe&iva. Men had eertyds nog van hem twee boeken over de plaatfen (loei) aan het vlak, alt mede vier andere over de kegelmede; en nog drie andere boeken over de Porismata; \of over de algemeene leerjlellingen welke uit een geometrifche plaats getrokken worden, en tot oplosJing van algemeene opgaaven dienen) dog deze fchynen verhoren geraakt te zyn.
Proelus, de vermaarde Commentator van Euclides, haalt nog een ander werk aan, getituld de Divifionïbus, en, na men denktt zoude dit het zelvde bevatten, het geen wy hedendaags de Geodofie noemen dat is de verdeeling der figuren. En eindelyk heeft Euclides ook nog gefchreeven over de Theorie van de Muiïca, dit is nog in weezen.
Alhoewel Euclides over byna alle de dee~ ten der wiskunde gefchreeven heeft, en 'er in alle zyne fshriften de grootheid van 's Mans verfland in uitblinkt, zoo is het echter aan de Grondbeginfelen der Meetkunde, dat hy zyne vermaartheid verfchuldigd is.
Deze beginfelen van Euclides hebben zoo wel cpzigt tot de Reken- als tot de Meetkunde zoo als naaderhand genoegzaam blyken zal, en daarom koomen die wel eens met de algemeene naam van Beginfelen ( Elementa ) voor. Zy bevatten eigentlyk dertien boeken, waar van 'er tien handelen over de Meetkunde, en de drie andere over
dr



VOORREDEN.»
*
de Rekenkunde; van deze dertien boeken zyn 'er agt, welke den aanvanger ter aller uiterfte noodzaakelyk zyn, als namehtlyk dl fes eerfie, bet elfde en twaalfde boek. De overige worden als minder nuttig gefchat en wel voornamentlyk zedert dat de Rekenkunde van gedaante veranderd is, en dat de Theorie der onmeetbaare grootheden, en die der regelmatige lighaamen, den aandacht der meetkundïgen weinig meer opwektj want het zevende, agtfle, negende, en tiende boek handelt over die ontïzeetbaare grootheden , en het dertiende maakt een ontwerp tot de theorie der regelmaatige lighaamen, dog alhocvjil zy thans zoo noodzaakelyk niet meer zyn , zyn zy egter uitmuntende in hun foort, en voor al het tiende, dat een mee/Jerjluk is.
Hypficles van Alexandrie heeft deze dertien boeken van Euclides nog met esnK veertiende en vyftiende vermeerderd', waar in de theorie der regelmatige ligh-aamen verder wort voorgezet. Nog heeft Franciscus Flusfate Canclella, hier by gevoegd een zestiende, en zeventiende en agtknde boek, volgens het zeggen van Montucla, dog dt editien, welke ik bezüte, houd maar een boek van CandeUa in, bevattende 31 voorfeilen, of nu andere deze 31 voorjlellen, in 3 - boeken verdeelen, zulks is my onbekend. Deze voor/ïellen vervatten alles in zig, wat * 5 'er



V O O R R E D E N.
«rffcfc «fttfriM rf« maa1i zegeen, dat hoe zeer men die fchikhng van Euclides heeft willen omverwerpen, en gewaand heeft korter van ftoffe te zyn, zoois men egter gedwongen geweeft van de 173. voorftetlem welke Euclides ia-zyn fes eerjte hoeken ons geeft, 'er 148 van te behouden, een magtige verkortingl
Ik zal geen melding maaken van hunne bewys trant, die zy invoeren, alken om dat de Euclidiaarfche van hun te moctjelyk voor den aanvanger en geacht wort, en daarom een andere weg voorjiaan: maar het tt iutö die zoo genaamde moeijelyke weg,tangs welke de jonge lieden dat groot voordeel bekoomen; het is waar, die weg is nietKoninglyk, maar egter verfchaft hun het keren der Meetkunde langs die weg, dat het hun bezaadigt maakt, en hun leert net. en apter een volgende denken.
Daar is geen natie, die ziglanger aan de(ïriktheid der Meetkunde gehouden heeft, dan de Engclfche ; Euclides is daar het lanalïe van alle byna de eenige Schryver over ^grondbeginfelen geweeft, en egter heeft tt bun aan geen braave Meetkundigen
entbrooken. 1U Wy zldlen alle de Schryveren, welke deze 'grondbeginfelen vanEuclides tn zoo velerhande taaien verhandeld en verklaard hebben, niet aanbetalen, nog optellen,



VOORREDEN, xvh
begeerig daar na is, leeze zeker boek, De Variis Euclidis editiorsibus, Sched: Lit> ter, Lyfiae 1737 in quarto) maar ons alleenlijk bep aaien tot de weinige* welke in onze Nederduitfche taaie gefchreeven hebben en die, zoo veel my bekend is, vyf in getal zyn, als namentlyk:
1. De fes eer (Ie boeken Euclidis, van de beginfelen en de fondamenten der Geometria door Jan Pieterzoon Douw, der Stad Leyden Landmeeter en Wynroeijer gedr. te Amfi: A. 1626 in Oclavo.
2. Euclides fes eer/Ie boeken van de beginzelen der Wiskonfle, in het Néderduitfch vertaald door Jacob Wilkom. Verrooten van Haarlem, gedrukt te Hamburg ^.1638 in 4'0.
3. Euclidis beginzelen der Meetkonfl, vervat in 15 boeken, waar by.het 16 boek Fr. Fluffatis Cand4lce enz: door Klaas Janz: Vooght Geometra gedrukt te AmJI: A. ióy5 in quarto.
4. De zes eer/ie, Elfde en Twaalfde Boeken Euclidis, vertoonende de voornaam (ie gronden en eigenfchappen der wydberoemde en voortrejfelyke Meetkonfl enz: alles op een korte en wtskonjlige manier gedemonfireert door P. Pï'arius , &c. d n derden druk te Amft: A. 1735 in Ü£Iavo.
5. De fes eerfle boeken der beginfelen van Euclides, door H. Coets, en met eenige aanmerkingen en byvoegselen verrykt
• * door



£vm VOORREDEN,
desr W: la Bordus A. 1752 in Oclavo.
Zie daar dan de weinige uitgraven van Euclides in onze Nederduitfche taaie voorhanden, waar omtrent ik moet aanmer ken, en dat vjel in de eerjle plaats ten aanzien van de drie eerjle van Douw , Verroo* ten en Vooght, dat dezelve zyn gefchreeven in een zeer oud Neder duit fch, dat deze overzettingen byna onverftaanbaar maakt, egter moet men die van Verrooten en Voogt pryzen om de netheid hunner demonjlratien. Die van ïVarius wort, en is zekert tyk voor de befte te houden, maar zyne demonflratien koomen my voervjatal te onduidelyk voor een eerft beginnende ten opzigte van derzelver beknoptheid. En eindelyk die van la Bordus behelft niet anders dan de fes eerfte boeken, en bygevolg onvolmaakt om te kunnen dienen tot algemeene Grondbeginzelen der Meetkunde, alzoo daar aan ontbreekt die der lighaamelyke grootheden, en het geene verders in het elfde en twaalfde Boek geleerd wort. Daar en booven weet ik, dat er veelen zyn, die geen fmaak in zyne bewys trant kunnen vinden. • Beha hen deze 5 Uitgaaven van Euclides, heeft men nog de 15 boeken der ele-menten van Euclides uit het latin overge-. zet door Profiftor van Schoten te Amft: A. 1662. in duodecimo gedrukt, als mede de 15 boeken van Euclides uit het latin over*-.



VOORREDEN, m
gezet door C: V: N: en te Utrecht gedrukt; dan beide deze uitgaaven behelzen niet anders dan de bloote voor/lellen zonder eenige bewyzen of andere handleidingen, waarom daar verders niets van zeggen zat Miffchien zyn er nog andere die my onbekend zyn, maar zekerlyk zullen die nog ouder en van minder gebruik zyn, onder andere vinde ik elders nog gewag gemaakt van eene Ramus in onze nederduitfche taaie overgezet, dan het is bekend, dat deze Ramus meer nadeel dan voordteil aan de boeken van Euclides heeft aangebragd.
Dit dan, benevens de aanzoek van veelen Uefhebberen,heeft my genoopt deze uitgaave van de beginfelen der Meetkunde van Euclides, die eigentlyk inde eerjle plaats voor myn byzonder gebruik opgefeld hadde ,in het ligt te brengen, in ver trouwe, dat ik myne kunfiminnende landgenooten, en de aanvanger en in die kunfle in het byzonder, daar mede geen ondienft zoude doen.
Ik hebbe getragd zoo klaar en duidelyk my mogelyk was, te zyn, en indezelve vermyd al dat geene, dat eenige aanjïoot heeft gegeeven, en waar van verfcheide uitgaaven in uitheemfcbe taaien reeds gezuiverd zyn geweeft: ik hebbe de bewyzen meer redenerenaer wyze gedaan dan andere, het geene den eerflbeginnende vooral fmaakelyker zal gevallen.
Ik



xx V O O R R E D E N.
Ik hebbe alle de Corollaria en Scholia, die by andere Autheuren gevonden worden, en van eenige nuttigheid' 'kunnen zyn, overgenoomen, en eenige andere nieuwe ter neer gefield: van's gelyke hebbe ik agter dit werk van Euclides gevoegd, en het zelve verrykt met veele noten of aanmerkingen, zoo wel op de definitien als op de propojltien: en alzoo ik van oordeel ben, dat, om de voorflellen wel te bevatten, het overal noodzaakelyk is, dat men de definitien , welke Euclides vooraf geeft, welbegrypten verftaat, zoo hehbe ik my bevleitigd, dezelve zoo klaar mogelyk te verktaaren en uitteleggen; en dat geene, het welk by dè de definitien zelvs niet wel kon gezegd worden, bewaart tot in de aanmerkingen , alwaar ik dan ook alles heb aangebrand, wat maareenig ligt by kon zetten, en ik vlyemy, dat dezelve voor de aanvangeren van nut zullen zyn.
Heb ik ergens in gemift, of heb ikmy anders kunnen uitdrukken, zoo verzoeke ik verfchooning, en vriendelyk het zelve te verbeteren, en ikzalmyn oogmerk bereikt hebben, indien ik aan den begeerigen onderzoeker van deze zoo nuttige en bnontbeerlyke we. tenfchap eenig wezentlyk nut zal aangebragd hebben.
GROND-



GROND-BEGINSELEN
DER
MEETKUNDE
VAN
EUCLIDES,
EERSTE BOEK.
DEFINITIEN. jEen Punt is, dat geene deelen heeft.
i i.
Een Linie is een lengte zonder breedte. I I I.
De uiterjlens der Linien zyn punten. I V.
Een regte Linie is, welke gelyk tusfchen zyn punten geleegen is.
V.
•Een Vlak is, 't welk alleen lengte en breedte heeft.
v i
De uiterjlens der Vlakken Zyn Linien. V I I.
Een plat óf effen Vlak is, dat gelyk tusfchen zyn Linien begreepen is. VIII.
Een platte of effen Hoek ÏS de zaamekooming van twee Linien, die elkander in A een



t Grond-beginselen der Meetkunde
een plat Vlak, en niet in een regte Linie, ontmoeten.
I X.
Een regtliniefche Hoek wort genaamd, welke regte linien bevatten.
X.
Als een regte linie, ftaande op een andere regte linie, de hoeken aan beide zyden gelyk maakt, zoo worden die hoeken Regt genaamd: maar de regte linie, maakende die gelyke hoeken, wort gezegd Perpendiculaar te ftaan op die linie, waar op hy gefteld is.
(Fig. i. Tab. I. )
Alzoo is CD een regte linie, AB is een andere regte linie, waar op de linie CD ftaat; den hoek n is gelyk den hoek m, en daarom worden beide die hoeken genaamd Regte hoeken, en dus wort de linie CD gezegd perpendiculaar te ftaan op de linie AB y als den hoek n gelyk den hoek m' is NB. De Wiskunftenaaren zyn gewoon, wanneer 'er verfcheide hoeken om een punt ftaan, ieder derzelve met drie letters te noemen, van welke de middelfte den hoek aanwyft. By voorb: ADC of CDA wil te kennen geeven den hoek n, en BDC of CDB den hoek m, enz.
X L



Van EüclïdES; Eerste Boek. §
X ï.
Een hoek die grooter is dan een regte hoek, wort genaamd een Jlompe óf wyde hoek.
(Fig. 2. Tab. i.) Alzoo is den hoek ACB ftomp of wyd omdat die grooter is dan dè regte hoek ECB.
x i i.
Een hoek, die kleinder is dan een regte hoek, wort genaamd een fcherpe hoek.
(Fig. 2, Tab. i.)
Alzoo is-den hoek ACD fcherp, omdat die kleinder is dan de regte hoek ECD.
XIII. Uiterfle is het einde van iets; X I V.
Een Figuur is, dat met een óf meer üiterftens beflooten is.
(Fig. 3- Tab. ia Alzoo is de fig: A met een, fig: B met twee, fig: C met drie, fig: D met vier üiterftens beflooten enZ. , X V.
Een cirkel is een platte figuur, beflooten met eene kromme linie, die men om trek noemt, tot welke alle regte linien, getrokken van een zeker punt in dezelve i malkander gelyk zyn.
XVI.
Het centrum of midden punt des cirA 2 kels



4 Grond-beginselen der Meetkunde
kels is dat punt, dat daar midden in is.
(Fig. 4. Tab. V)
Alzoo is het punt E het centrum des cirkels.
XVII.
Diameter of midden linie eens cirkels is een regte linie, gaande door het centrum des cirkels, en eindigende wederzyds tegen de circumferentie, deelende den cirkel ook in twee gelyke deelen. (Fig. 4. Tab, I.) Zoodanig een is de linie AC, welke gaat door het centrum E, en aan beide zyden in de circumferentie eindigt, in A en C.
XVIII.
Een halve cirkel is een figuur, beflooten door den diameter en de helft van de circumferentie eens cirkels.
(Fig. 5. Tab. I.)
XIX.
Een cirkeljluk is een figuur, beflooten door een regte linie, en een gedeelte van de circumferentie eens cirkels.
Dus kan een cirkelftuk grooter of klein der dan een halve cirkel zyn.
(Fig. 6 en 7. Tab. I.)
Zoodanig een is fig. 6. zynde grooter, item fig. 7 zynde kleinder dan een halve cirkel,
X X,



van Euclides, Eerste Boek. 5
X X.
Regttinifche figuren zyn, welke met regte linien omflooten zyn.
X X I.
Een driezydige Figuur is, welke met drie regte linien beflooten is.
XXII.
Een. vierzydige Figuur is, welke met vier regte linien beflooten is.
XXIII. Een veelzydige Figuur is, welke met meer dan vier regte linien beflooten is. XXIV.
Van de driezydige Figuur en wort deeze, welke drie gelyke zyden heeft, een gelykzydige driehoek genoemd.
( Fig. 8. Tab. I. )
XXV.
Een Driebeek, welke alleen twee gelyke zyden heeft, wort een gelykbeenige driehoek genaamd.
C Fig. 9. Tab. I: )
XXVI.
Een Driehoek, welkers drie zyden ongelyk zyn, wort geheeten een ongelykzydige driehoek.
(Fig. 10. T>b. I.) XXVII. Een regthoekige Driehoek is, welke eene regte hoek heeft.
(Fig. 11. Tab. I.)
A 3 XXVIII.



6 Grond-beginselen der Meetkunde
xxviii.
Een jlomp of wydhoekige Driehoek is? welke een flompe of wyde hoek heeft. (Fig, 12. Tab. I.)
xxix.
Een fcherphoekige Driehoek is, welke drie^cherpe hoeken heeft.
CFig. 13- Tab. I.)
xxx.
Van de vierzydige Figuren wort deeze, welke vier gelyke zyden, en vier regte hoeken heeft, genaamd quadraat of vierkant.
CFig. 14. Tab. I.) Alzoo is de figuur ABCD, welkers vier. zyden AB , BC, CD en DA gelyk, en de vier hoeken A, B, C en D regt zyn, een quadraat of vierkant genaamd.
xxxi.
Een langwerpig vierkant is een figuur, welke vier regte hoeken, maar geen gelyke zyden heeft.
CFig. 15. Tab. I.) •
Dusdanig is de figuur ABCD, welkers vier hoeken A, B, C, D regt; maar de vier zyden AB, BC, CD en DA, niet gelyk zyn.
xxxii. Rhombus of Ruit is een figuur, welke
vier



van Euclides, Eerste Boek. 7
vier -gelyke zyden, maar geen vier regte hoeken heeft.
(Fig. 16. Tab. I.) Zoodanig is de figuur ABCD,. om dat de vier zyden AB, BC, CD en DA malkander gelyk, maar de hoeken A, B, C en D niet regt zyn.
XXXIII. Een Rhomboide of langwerpige Ruit is een figuur, welkers tegen overftaande zyden en hoeken de een den ander gelyk zyn, zonder egter te zyn gelykhoekig of gelykzydig.
(Fig. 17- Tab. I.)
Zoodanig een figuur is ABCD, alwaar AB gelyk DC en AD gelyk BC is, item de hoek A gelyk de hoek C en de hoek B gelyk de hoek D, maar AB is niet gelyk BC en den hoek A niet gelyk den hoek C.
XXXIV. Alle andere figuren met vier zyden beflooten, en tot geen van de voorgaande kunnende gebragt worden, noemt men Trapefia of ongefchikte vierhoeken. XXXV. Parallelle of evenwydige regte linien zyn, welke op een vlak zyn, en aan beide zyden verlengd zynde, nimmer zaamen zullen koomen.
A 4 BE~



8 Grond-beginselen der Meetkunde
BEGEERTEN S. I.
Daar wort begeerd van een gegeeve punt tot een ander punt een regte linie te trekken.
(Fig. 18. Ta'-, t. ) Daar wort by voorb: begeerd, dat men uit het punt A tot het punt B trekke. de regte AB : item uit dat zelve punt A tot een ander punt C de regte AC; nog eens uit dat zelve punt A tot het punt D de rtgte AD enz: zulks mag gefchieden tot in het oneindige.
I I.
Van 's gelyke begeert men een regte Unie oneindelyk te verlengen, (Fig. ïg. Tab. O Daar is by voorb: gegeeven de regte linie AB; dezelve mag, het zy uit het punt A, het zy uit het punt B, onbepaald verlengd worden. III.
En eindelyk begeerd men een cirkel te befchryven uit een zeker punt als centrum, met zoodanige tusfchenwydte na welgevalle
(Fig. 20. Tab. 7.)
Gegeeven zynde by voorb: het punt
q



van Euclides, Eerste Boek. 9
O en een der regte linien OA, OB of OC enz.- men begeert uit dat punt O met een dezer wydtens te befchryven den cirkel O AD, of OBE of OCF.
A X I O M A T A,
of Algemeene Kundigheden. [5
Die dingen, welke aan een zelve ding gelyk zyn, die zyn aan elkander gelyk. (Fig. 21. Tab. 1.) Indien, A gelyk B is; en B gelyk C, dan is A ook gelyk C, of zoo A gelyk C is\ en B gelyk C ; dan is A ook gelyk B, en dus zyn A, B en C onder elkander gelyk. Verftaat dat zelve ook van meer grootheden.
I I.
Zoo men by gelyke dingen gelyke toevoegt, dan zyn de fommen mede gelyk. CFig. 22. Tab. 1.) Dat is te zeggen, indien AB gelyk CD is, en BE gflykDF; dan zal mede AE gelyk CF weezen, I I I.
Zoo men van gelyke dingen<gelyke af neemt, dan zyn de reften mede gelyk.
CFig. 22. Tab, 1.)
Dat is te zeggen, indien AE gelyk CF A 5 en



IO GROND-BEGINSELEN DER MEETKUNDE
en AB gelyk CD is, dan zal mede BE gelyk DF weezen.
I V.
Zoo men by ongelyke dingen gelyke toedoet, dan zyn de fommen mede ongelyk.
(Fig. 23. Tab. 1.) Indien AB grooter is dan CD, maar BE gelyk DF, dan zal AE ook grooter weezen dan CF.
V.
Zoo men van ongelyke dingen gelyke afneemt, dan zyn de refte mede gelyk.
( Fig. 24. Tab. II.)
Indien AE grooter is dan CF; maar BE gelyk DF dan zal ook AB grooter dan CD weezen.
V I.
De dingen, die yder byzonder dubbeld zyn aan een ander ding, die zyn gelyk. (Fig. 25. Tab. II.) Indien AB en CD yder byzonder dubbeld zyn aan EF, dan is AB gelyk CD. Nota. Het zelve is mede te verftaan van 3, 4 en 5 maal enz. V I I.
De dingen die dé helft zyn van een zelve of van gelyke dingen , zyn gelyk. ( Fig. 26. Tab. II. ) Gefteld zynde, dat AB gelyk CD is, en dat EF gelyk i AB is, ook GH gelyk



van Euclides, Eerste Boek. ii
lyfe | AB of gelyk f CD is, dan ia EF ook gelyk GH.
VIII.
De dingen, die, op malkander gelegd zynde, in alle deelen over een koomen of pasfen, zyn gelyk.
CFig. 27. Tab. II. ) Indien wy ons verbeelden, dat de linie AB gelegd wort op de linie CD, zoo dat de uitfterfte punten A en B pasfen op de uiterfte punten C en D, van 's gelyke alle de tusfchen punten van de linie AB op alle die van CD, zoo kan men befluiten dat de linie AB gelyk is aan de linie CD. Indien nu uit A getrokken wort de regr te linie AE met een hoek na believen, en uit C de regte CF, zoo dat den hoek A paft op den hoek C, en de regr te AE op CF, zoo moet om die zelvde rede volgen, dat, wanneer men den hoek A legt op den hoek C, alles wederom gelyk zal zyn, namenltyk AB gelyk CD, AE gelyk CF en de hoek A gelyk den hoek G. Zoo nu eindelyk getrokken wort de regte BE en DF, en de figuur A8E gelegd wort op de figuur CDF, dan zal de zyde BE juift pasfen op de zyde DF; bygevolg blykt het, dat
nies



12 Grond-beginselen der Meetkunde
niet alleen linien en hoeken op malkander pasfende, gelyk zyn. maar zelvs ook de driehoek ABE gelyk den driehoek CDF, en dus ook figuuren. I X.
Het geheel is grooter dan zyn deel. En dus is ook het deel kleinder dan het geheel.
X.
Alle regte hoeken zyn malkander gelyk, X I.
Zoo een regte linie valt. op twee andere regte linien, alzoo dat de inwendige hoeken op eene zyde te zaamen kleinder zyn dan twee regte hoeken, dan zullen deze twee regte linien aan dezelve zyde verlengd zynde, eindelyk te zaamen koomen.
(Fig. 28. Tab. II.) De regte.linie AB valt op de twee regte linien AD en BC, en de twee hoeken BAD en ABC te zaamen zyn kleinder dan twee regte hoeken ; derhalven AD en BC verlengd zynde, zullen ergens zaamen koomen in E. Nota. Hier uit volgt ook, dat, wanneer twee hoeken ABG en BAF te zaamen grooter zyn dan twee regte hoeken, dezelve regte linien hoe lanr. s ger



van Euclides, Eerste Boek. 33
ger hoe meer van den andere zullen verwyderen.
X I I.
Twee regte linien kunnen geen figuur voorbrengen.
CFig. 29. Tab. II.)
Volgens de 14e. definitie moeten 'er, om een figuur te zyn, een of meer üiterftens zyn, die een zekere ruimte influiten; de regte linien BA en BC , met een hoek aan elkander gevoegd, kunnen op geenerly wyze eenige ruimte influiten, en bygevolg geen figuur voortbrengen.
VER-



t4 Grond-beginselen der Meetkunde
VERKLAARING
DER
TEEKENEN.
"^V''ai:lneer men ergens 'm dit Boek twee getallen zal ontmoeten, by voorbeeld 47: 1. zoo is het eerfte getal dePropofitie, en het tweede getal het Boek, En dus wil dit zeggen, de 47 Propofitie van het ie. Boek. En zoo met andere;
Verders Beteekent
Ax: Axioma.
k: b: ----- klaarblykelykheid.
Beg: Begeerte.
Def: Definitie;
Geg: - - - - Gegevene.
k: b: boven beweezen,
fcer: bereidzel.
Hyp: Hypothefis.
per: Perpendiculair.
Par: Parallel.
Cent: Centrum.
Sup: Supplement;
Gnom: Gnomon.
= --ge-



van Euclides, Eerste Boek, ïj
rz gelyk.
x grooter.
> ; - kleinder.
+ ----- meer of plus. •—«•---- min of minus. X - - - - - gemultipliceert.
V hoek.
V - - - - radix of wortel of zyde
( van een quadraat. P „ _ quadraat.
ABH
AT>2 X ' ~ "wil zeggen het quadraat Aö J (op de linie AB,
D regthoek.
cd - - - - parallellogram.
DE



ió Grond-beginselen der Meetkunde D E
PROPOSITIEN
VAN HET
EERSTE BOEK
^ VAN
E U C L I D ES.
PROPOSITIE ï. PROBLËMA L
(Q)p eetl gegeeve regte linie een ge* lykzydige Driehoek te befchryven.
CFig. 30. Tab. li.) 't gegevene is de regte linie AB 't begeerde is op dezelve de gelytz: A ABC te befchryven.
Conftruaïe.
ie. Uit de punten A en B als centrums met de wydte van AB als radii befchryft de cirkels BCED en ACFD v: 3. beg:
Deze fnyden elkander in C en D v: k: b: 2e. Trekt dan de regte AC en BC v:ib; Dan zal ABC den begeerden Driehoek weezen.
De-



Van Euclides Eerste Boek» ij
Demonfz"r,tie-,
AB en AC zyn. radii van") Öen cirkel BCED. I. v. conffc
AB én B ' zyn radii van t den cirkel ACFD. J
Ergo ir. AB — V V; I5 jef.
Om dat nu AB~ AC en AB =BC is V: b: b:
Daarom zyn AB, AC en BC onder malkander gelyk v.' i
De figuur ABC is dus een figuur, die * gelyke zvden heeft v: k: b:
Ërgo is ABC een gelykz: driehoek v. 24 def. Dat te bewyzen was-. Corollaria,
ie. Hier uit volgt nu, dat het niet no* dig is, de cirkels BCED en ACFD volkomen uit te befchryven, maar dat een gelykz-. driehoek kan befchreeven worden, door middel van het haaien Van twee cirkel - boog jes, die elkander fnyden in C. vide fig. A
2e. Hier door wort ook ligtelyk een gelykbeenige driehoek befchreeven, het zyde zyden gegeeven zyn, of na believen genoomen wor* den, vide fig. B en C;
PROPOSITIE Iï. PROBLEMA Ü*
Van een gegeeve punt eene regte linie B te



i8 Grond-beginselen der Meetkunde
te trekken, die gelyk is aan een gegeeve regte linie.
(Fig. 31. Tab. II.) 't gegeevene is het punt A en de regte BC 't begeerde uit A de regte AG te trekken, zoo
dat die is — de regte BC. Conftruclie.
ie. Uit C als cent. met de wydte CB als rad: befchryf den cirkel BEF v: 3 beg: 2e. En trek de regte AC v: i: b. 3e. Befchryf daar op den gelykz: A CAD v: i: 1.
4e. En verleng DC tot aan de circumf: in E v: 2 beg.
5e. Dan uit D als cent: met de wydte DE als rad: befchryf den cirkel EGH v: 3 beS-
Dan zal AG de begeerde linie zyn, namentlyk gelyk aan BC.
JDemonftratie.
Om dat nu DE en DG radii van den
cirkel EGH zyn v: conft: Daarom is DE DG v: 15 def: De A DCA is gelykz: v: conft: Ergo is DC = DA v: 24 def: Als men nu van DE aftrekt DC, en van
DG aftrekt DA zoo blyft 'er over CE —
AG^v: 3 ax:
CE en BC zyn radii vah den cirkel
BEF v: conft. Ergo is CE m BC v: 15 def;
Maar



van Euclides, Eerste Boek 19
Maar CE == BC en CE — AG zynde
v: b: b:
"Zoo is dan AG - BC v: i ax: Pat beweezen moeft worden.
PROPOSITIE III. PROBLEMA III.
Gegeeven zynde twee ongelyke regte linien" van de langfte een ftuk.gelyk aan de korfte af te fnyden,
. CFig. 32. Tab. II.) 't gegeevene is de 2 ongelyke leegte linien AB
en "CD . _
't begeerde is van CD een fuik af te fnyden — AB,
Conjïriiclie,
i'ö. Uit C trek CE r£ AB v: 2: i:
2K En uit C als cent: met de wydte CE als.r'ad: befchryf den cirkel EHG v: 3 beg:
Die fnyt de regte CD in G.
En dus zal CG het begeerde ftuk naaiend: — AB zyn, Demonjlratie.
CE en CG-zyn radii van den cirkel EHG v: conft.
Derhalven is CE == CG v: 15 def: ..
Maar CE — AB zynde v: conft. en CE — CG v: b: b:
Zoo is dan ook CG — AB v: i ax-. Dat te bewyzen was,
B 3 P£Q<



20 g«qnd-beginselen der meetkunde
PROPOSITIE IV. THEOREMA ï.
Zoo van twee driehoeken de twee zyden van den eene gelyk 'zyn de twee zyden van den andere, en de tusfchen beide ftaande hoek van den eene gelyk die van den andere; dan zal mede de bafis van den eene gelyk zyn den bafis van den andere:
En de overige hoeken van den eene gelyk de overige hoeken van den andere, ^namentlyk die over gelyke zyden ftaan) Ook zal de eene geheele driehoek gelyk zyn aan den andere geheele driehoek.
(Fig. 33- Teb. II.) Hypothefis. In de A". ABC en DEF is io. AB z=z DE 20. AC = DF 30. Va = vd Thefes 1°. BC = EF
20. vb = VE & vc = vf 30. A ABC =z a DEF. Praparata.
Verbeel u, dat de a ABC gelegd is op den a DEF, zoodanig dat den VA komt op den VD.
Dan zal, om de gelykheid van den VA en den V D, en om de gelykheid van de regte linie AB en DE, en van de regte AC met DF, de punten B en C
koo-



van Euclides, Eerste Boek. 21
koomen op de punten E en F, v: 8 ax, namentlyk B in E, omdat AB — DE is.
C in F, omdat AC == DF is. en BCopEF, omdat VA == VD is. Demonftratie.
Het punt B komt op het punt E, en het punt C op het punt F, v: ber:
Ergo paft BC op EF, en dus is BC = EF, v: 8 ax.
De linie AB komt op de linie DE, item BC op EF, v: ber: en b: b:
Ergo paft den VB op den VE, en duS is den VB — VE, v: 8 ax.
De linie AC komt op de linie DF, item BC op EF, v: ber: en b: b:
Ergo paft den yC °P den VF, en dus is den VC = VF, v: 8 ax.
AB paft op DE, en AC op DF, item VA op VD, v: hypoth.
BC paft op EF, en VB op VE, item VC op VF, v: b: b:
Ergo paft den A ABC op den A DEF v: k: b:
En dus zyn deze twee An. gelyk v: 8 ax:
dat te bewyzen was.
Corollarium.
Indien de hoeken A en D ongelyk zyn, dan zullen de zyden BC en EF, over dezelve hoeken mede ongelyk zyn,
B 3 tVant



È2 Grond-beginselen df.r Meet&unöë
Want zoo den. VA < dan den VD
Dan is ook BC < dan EF.
En dus is den A ABC < A DEF-
Maar zoo den. VA; y dan den \ D is.
Dan is ook BC % dan EF.
En dus is den & ABC > dan A DEF»
PROPOSITIE V. THEOREMA II.
In alle gelykbeenige driehoeken zyn de hoeken op den bafis gelyk.
En als men beide de beenen verlengt, dan zyn de hoeken onder den bafis mede de een den andere gelyk.
CFig. 35. Tab. II.) Hypothefis. In den A ABC is i°. AB :— AC
2°. AB en AC zyn verlengd. Thefis. i°. den V ABC =C den V BCE. 2°. den V GBD s=: den V BC£.
Praparata.
De beenen AB en AC ha believen verlengd zynde v: 2 beg:
Snyt van de langfte AG een ftuk AE af gelyk de korfte AD v: 3: i.
Eh trek de regte BE en CD v: 1 beg: Demonjlratie.
In dè A ? ACD en ABE-is AD zz AE v: b er: enzax: AB=ACv:hyp: VA=VAv:k:b:
Er-



van Euclides, Eerste Boek. 23
Ergo is DC = EB en V ACD - v ABE hem V ADC = V AEB v: 4: 1. In de An. CDB enBECis DB = EC v: ber: DC= EB v:b:b: V BDC=VCEBv:b:b: Ergo is den V DBC = V ECB en den
V BCD = V CBE v: 4: 1.
Als men nu van den V ACD aftrekt den
V ABD en van V ABE aftrekt V CBE zo blyft 'er over den y ACB = V ABC v: 3 ax:
dat op het ie. te bewyzen was.
Maar de 2e. Thefis, namentlyk dat den
V DBC = den V ECB is, zulks is reeds hier boven gebleeken, en heeft derhalven geen verder bewys nodig. Corollarium.
Hier uit vloeit voort, dat alle gelykzydige driehoeken gelykhoekig zyn. want de zyde AB = BC maakt den V B BC — CA maakt den V C en CA = AB maakt den V A. derhatven die zyden alle aan elkander gelyk zynde, zoo moet noodzaakelyk volgen dat de hoeken ook gelyk zyn.
Ergo alle drie de hoeken gelyk zynde, is den driehoek ABC gelykhoekig.
PROPOSITIE VI. THEOREMA ffl. Zoo in een driehoek twee hoeken geB 4 lyk



24 GrOND-BFGINSELEN DF.Ïl MsETKTJMD®
lyk zyn; dan zullen de zyden over de-, zelve hoeken mede gelyK zyn.
(Fig. 35. Tab. li.) Hypothefls. In den A ABC is dea V ABC =5
den V ACB. Thefis. AB = AC. Prceparata.
Een van drien is waar AB is ■( of =c of > dan AC.
Zoo wy nu eens flellen dar. AB < dan AC is
Neera dan ED = AC v: 3: 1. En trek de regte CD v: 1 Leg: Demonflraüe.
Dan zoude in de Ln. ABC "en DBC moeten zyn AC = DB v: Heli: V B = V ACB v: hyp: BC =c BC v: k: b: Ergo zoude dan den V ACB — V DCB en V BAC = V BDC en AB = DB. moeten zyn, als mede de A ABC ~ A DBC alles v: 4: t. Maar de A DBC is een deeH van den A ABC I de V DCB is een deel
van den V ACB V: k: b: en dus is ook AD een deel van AC - - Ergo is AB niet grooter dan AC v: 9 ax: Zoo wy nu ftellen dat AB > dan AC is dan neem BE = AC v: 3: 1.
En



van Euclides, Eerste Boek. 25
En trek de regte CE v: 1 ber:
Dan zoude in de Z-n. ABC en EBC moeten zyn AC = EB v: ftell: V B = V ECB v: hyp: BC = BC v: k: b: Ergo zoude dan den V ACB = V ECB en V B AC = V BEC en AB = EB moeten zyn, als mede de A ABC = A EBC mede alles v: 4: 1. Maar de A ABC is een deeH van den A EBC I de V ACB is een deel '
van den V ECB [ V: Ji: b: en dus ook AB een deel
van EB - - ■ Ergo is AB niet kleinder dan AC v: 9 ax:
AB nu is niet grooter dan AC enl^ ^ AB is nietkleinderdan AC J Ergo is AB = AC v: k: b: dat alhier beweezen moeit worden.
Coroüarium.
Alle gelykhoekige driehoeken zyn ook gelykzydig.
ïVantde V A=V B zynde, befmit de zyde KB. de V B= VC zynde, bejluitde zyde BC. de V C=V A zynde, bejlu it de zyde A C, derhalven die hoeken aan malkander gelyk zynde, zoo moet noodzaakelyk volgen, dat die zyden ook gelyk aan elkander zullen zyn;
B 5 duf



s.6 Grond-beginselen der Meetkunde
dus de drie zyden gelyk zynde, is het een gelykz: driehoek v: 24 def.
PROPOSITIE VII. THEOREMA IV.
Zoo van beide de üiterftens eener regte linie getrokken zyn twee andere regte linien, die malkander in een punt ontmoeten ; zoo kunnen op die zelve linie van de zelve üiterftens geen twee andere regte linien getrokken worden, die aan de twee eerlle gelyk zyn.
(Fig. 36. Tab. II. )
Hypothefis: AB is een regte linie, van welkers uitterftens getrokken zyn de 2 regte linien AC en BC, die elkander ontmoeten in 't punt C. Thefis. Wy moeten bewyzen, dat 'er ven dezelve uitterftens geen 2 andere regte linien kunnen getrokken worden , die gelyk zyn aan de 2eerfte, en die malkander ontmoeten.
Pr&parata.
Zoo het mogelyk Was, dat die linien malkander ontmoeteden in een ander punt dan in C, zoo laat het zyn, dat dit gefchiede in een ander punt D. Dit punt D zoude noodzaakelyk moeten vallen in een
van



van Euclides, Eerste Boek. 27
van de gegeeve linien, of binnen den driehoek ABC zelvs, of daar buiten.
Dus moeten wy de onbegaanbaarheid van deze vier onderftellingen bewyzen. Demonftratie.
ie. Gefteld, dat het punt D kwam te vallen in de linie AC.
Dan zoude AC—AD moeten zyn v: 't geft.
Maar AD een deel zynde van AC, is zulks niet mogelyk v: 9 ax.
Ergo AC niet = AD zynde, valt het punt van zaame - kooming niet in de regte AC.
2e. Gefield, dat het punt D kwam te vallen in de linie BC.
Dan zoude BC=BD moeten zyn v:'t geft.
Maar BD een deel zynde van BC, is aulks niet mogelyk v: 9 ax.
Ergo BC niet=BO zynde, valt het punt van zaame - kooming niet in de regte BC.
qe. Gefteld, dat het punt D viel binnen den A ABC.
Als dan verleng BC en BD na believen tot in E en F v: 2 beg.
En trek de regte CD v: 1 beg.
Dan is AD == AC & BD—BC v: 't geft.
En derhalven zyn de An. ADCen BDC gclykbeenig y- 25 def.
Vermits nu de V ADC en de V ACD zyn
de



a8 Grond-beginselen ber Meetkunde
de Yn.dp den bafis van dengelykb: A ADC, En - - de V F DC en de V ECD zyn de Vn- onder den bafis van den gelykb: A ADC.
Daarom zoude de V ADC == V ACD en de V FDC = V ECD zyn v: 5: i-
En dit zoo zynde, zoo zou den V FDC < dan den V ADC zyn.
En dus zou den V FDC ook < dan den V ADC zyn.
Maar den V FDC een deel zynde van den V ADC, zco zoude zulks ftryden tegen het oe. axioma.
Derhalven de y FDC niet < zynde dan den V ADC, kan het punt D by mogelykheid niet vallen binnen den A ABC.
4e. Gefield dat het punt D viel buiten den A ABC.
Als dan trek de regte CD, AD en BD v: i beg.
Alhier zoude dan AC = AD enBC=BD moeten zyn v: 't geft.
En derhalven de An. ADC en BDC gelykbeenig v: 25e. def.
Nadien nü de Vn. ACD en ADC zyn de Vp. op den bafis van den gelykb: A ADC.
En de V BCD en BDC de
Vn. op den bafis van den gelykb: A BDC.
Daarom is den V ACD = V ADC en
dca



van Euclides, Eerste Boek. 29
den V BCD = BDC v: 5: 5.
Maar den V ADC een deel zynde van den V BDC.
Moet den V BDC < zyn dan den V ADC v: 9 ax.
En den V BDC = V BCD v: ftell.
Dus zoude den V ADC < zyn dan den
V BCD en dus ook < dan den V ACD v: k: b.
Maar den V BCD een deel zynde van den v ACD.
Kan den v BCD niet < zyn dan den
V ACD v: 9 ax.
En dit zoo niet zynde kan het puntD niet buiten den a ABC vallen.
Het punt D dan niet vallen kunnende in de linie AC nog in BC nog niet binnen nog buiten den a ABC, zoo moet noodwendig volgen, dat van de uitterftens A en B geen 2 [andere regte linien, die gelyk aan AC en BC zyn, malkander kunnen ontmoeten dan in het punt C, en derhalven ook geen andere dan de linien AC en BC zelve.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE VIII. THEOREMA V.
Zoo van twee driehoeken, de twee zyden van den eene gelyk zyn de twee
zy-



30 Grcnd-beGïnselen dér Meetkunde
zvden van den andere, als ook de bafis van den ëene gelyk den bafis van den andere; zoo zal ook de hoek, van die gelyke'zyden begreepen, van den eene gelyk zyn aan den hoek van den andere.
(Fig. 37. Tab. II.) Hypothefis. In de An- ABC en DEF is 1°. AB = DE 2°. AC — DF 30. BC — EF Thefis den V A — den V D, Demonjlratie.
Een van drien is waar den V A is < — of > dan den V D.
Indien nu den V A < of > dan den V D Was. Dan zoude ook BC <of >danEF zyn v: cor: 4: t.
Maar BC is niet < of y dan EF v. hyp: Dus ook niet den V A < of > dan den V D, Ergo is den VA = den V D v: k: b. Dat te bewyzen was.
Corollaria.
ie. De overige hoeken van den driehoek ABC zyn gelyk aan de overige hoeken van den driehoek DEF, namentlyk die over gelyke zyden Jïaan, en dus den VB = VE en den V C = V F.
2C. En dus is den geheelen driehoek ABC gelyk aan den gehselen driehoek DEF v:^; I,
je. Indien de bafis BC ongelyk is aan
dm



van Euclides, Eerste Boek. 31
den bafis EF; dan zal den hoek A ook ongelyk zyn aan den hoek D.
En vuel BC < zynde dan EF, dan zal den
V A ook \ zyn dan den VD.
Maar BC > zynde dan EF, dan zal den
V A ook > zyra rfan akn VD.
PROPOSITIE IX. PROBLEMA IV.
Een gegeeve regtiinifche hoek in tweè'a gelyk te deelen.
C Fig. 38. Tab. II. ) 't gegeeve is den regil: V BAC. 't begeerde de.n V FAD = V FAC te maaken. Canjlruclie.
ié. Uit A ais cent: met eèn wydte na believen befchryf een cirkelboog DE v: 3 beg.
2e. En haal de regte DE v: 1 beg.
3e. Op dezelve befchryf een gelykb: A DEF na believen v: 2 cor: 1; 1.
4e. En haal de regte AF v: 1 beg.
Deze deelt den hoek BAC in tween gelyk.
Demonjlratie.
In de AFD en AFE is AD = AE v: 15 def.
FD = FE v: 25 defAF == AF v: k: b. dus ook den V FAD = VFAEv: 8: 1.
By



32 Grond-beginselen der Meetkunde
By gevolge is den hoek BAC in twëen gelyk gedeelt v: k: b:
Dat te*bewyzen was. Corollarium.
Uit dit werk ftuk teert men verders een regtlinifche hoek in 4, 8, 16, 32, enz: dee* ten te fcheiden.
Want den hoek BAC in twe'ên getyk gedeeld zynde, deelt men wederom den hoek BAF in tweën gelyk, van V gelyke ook den hoek FAC en zoo vervolgens.
PROPOSITIE X. PROBLEMA V.
Een gegeeve regte linie in twee gelyke deelen te deelen :
CFig. 39. Tab. II.) 't gegeevene is de regte linie AB. 't begeerde is dezelve in tweën gelyk te deeleft. Conftru&ie.
ie. Op AB befchryf 1
een gelykb: A ABC [V:2Cor:i:i.
2e. En onder dezelve mede j een gelykb: A ABD J
3e. En haal de regte CD v: 1 beg:
Deeze fnyt de gegeeve linie AB na begeeren in E. Demonftratie.
In de An. ACE en BCE is AC = BC v: conft.: en 25 def.
CE =3 CE v: k: b: V ACE



Van Euclides, Eerste Boek. 35
V ACE — V BCE v: 9: 1. Dus is ook AÈ ~ BÉ v: 4: i. Ergo is de regte AB in tweën gelyk gèdeeld. v: k. b. dat te bewyzen was. Corollarium..
Hier uit volgt klaar, op wat wyze men gen regte linie zal deelen, in 4, b', 16, 32 enz: gelyke deelen.
iVant AB in tweën gelyk gedeeld zynde in E, deelt men AE en BE wederom in tweën gelyk, en zoo voort.
PROPOSITIE XL PROBLEMA VI.
- Van een gegeeve punt in een gegeeve regte linie een perpendiculaar te ftellen.
(Fig. 40. Tab. WO 't gegeevene is i=. de regte linie AB, en i*. 'tpunt C in dezelve
't begeerde is de regte CF perpend: op AB te
ftellen.
Confiruclie.
ie. Uit C als cent: befchryf willekeürig den halven cirkel DGE v: 3 beg:
2e. En op DE befchryf mede willekeurig den gelykb: A DFE v: 2 cor: i. ii
3e. En eindelyk trek dè regte FC v: 1 beg:
Deeze is den begeerden perpendiculaar.
C De-



34 Grond-beginselen der Meetkunde Demonjlratie.
In de A" CFD en CFEis C D=CE v: 15 def: FD=FEv:25def: FC=FCv: k: b. dus is den vFCD=VFCEv: 8: 1. Ergo is de linie CF perpend: op de Unie AB v: 10 def. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XII. PROBLEMA VII.
Van een gegeeve punt buiten een gegeeve regte linie een perpendiculaar op dezelve te ftellen.
CFig. 41. Tab. III.) 't gegeevene is i*. de regte en 2e. 't punt C buiten dezelve.
't begeerde de regte CG perpend: op AB te Hellen.
ConftruEiie.
ie. Uit C als cent: befchryf willekeurig een cirkelboog EHF, zoodanig egter dat de linie AB door dezelve in 2 punten als in E en F gefneeden wort v: 3 beg.
2e. En trek de regte linien CE en CF v: 1 beg:
3e. Dan deelt EF in tweën gelyk in G v: 10: 1.
4e En eindelyk trek de regte CG v: 1. beg.
De-



van Euclides, Eerste Boek. 35
Deze CG is den begeerden perpendi-
cülaar. . Demonftratie.
In de A\ CEG cn CFG is GE — GF v: conft. CE —'CF v: 15 def.
CG CG v: k: b.
Dus is den V CGE = V CGF v: 8: 1.
Maar CG, maaker.de dus gelyke V". 00 de regte AB, is derhalven perpendiculaar op AB v. 10 def.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE Xlïl. THEOREMA VI.
Als een regte linie ftaat op een andere regte linie, dan zyn de hoeken aan beide kanten van die linie regt, of zaamen gelyk aart twee regte hoeken.
CFig. 42. Tab. IIL ) Hvpothefis. Öe regte AS ftaat op de regte CD. Thefis. i°. de V CBA en den V DBA zyn yder' byzonder regt; 2o. of V CBA + V DBA — 2 regte Vn;! Demonftratie.
Indien de Vn. CBA en DBA gelyk zyn* zoo blykt het genoegzaam uit de ioe. definitie.
Maar indien zy ongelyk zyn, zoo regt uit B op CD den perpendiculaar BE v: 11: ti
C 2 Na



2,6 Grond-beginselen der Meetkunde
Nu is den V CBA - V EBA1
— i regte hoek I , c den V DBA + V EBA V'10
~ 1 regte hoek J Derhalve den V CBA + V DBA == 2
regte hoeken v: 2 ax. Dat te bewyzen was.
Corollaria.
i°. Indien de eene hoek regt is, dan is de andere mede regt.
20. Indien de eene hoek Jlomp is, dan is de andere fcherp, en omgekeerd.
30. Indien 'er verfcheide linien EB, AB enz. tot een zelve punt B in een regte linie CD op een zyde getrokken worden, dan zyn alle de hoeken te zaamen CBA + EBA + DBA enz. gelyk aan 2 regte hoeken.
40. Indien 'er zyn 2 regte linien IH en GF, welke malkander in een zeker punt K fnyden, deeze maaken uit vier hoeken, welke te zaamen genoomen gelyk zyn aan vier regte hoeken.
(Fig. 43. Tab. III.)
Want de V FKÏ -I- V GKH
— 2 regte
En de V FKH +VGKH j"V: 131 tf
— 2 regte j Derhalven de V FKI 4- V GKI + V FKH
4- V GKH m 4 regte hoeken v: 2 ax. 5°. En waar uit wederom volgt, dat alle



van Euclides, Eerste Boek. 37
te de hoeken om een punt zaamgenoomen gelyk zyn aan 4 regte hoeken.
PROPOSITIE XIV. THEOREMA Vfl.
Zoo op het einde eener regte linie twee andere regte linien van beide zyden te zaamen koomen, alzoo dat de twee hoeken aan een zelve zyde te zaame maaken twee regte hoeken; dan zullen deze twee laatfte linien maaken eene regte linie.
CFig. 44. Tab. III.) Hypcthefis is dat op het einde B eener regte linie AB de 2 andere regte linien CB en DB van beide zyden zaamen koomen,en dat V ABC 4- V ABD = 2 regte V". zyn.
Tbefis is dat de linien CB en DB in een regte linie CBD te zaamen koomen. Demonftratie.
Indien het mogelyk is, dat CBD geen regte linie is, zoo zal CB verlengd zynde, het verlengzel BE koomen moeten onder of boven BD.
En dan zoude zyn de V ABC 4- V ABE — 2 regte v: 13: i en de V ABC 4- V ABD* = 2 regte v: byp. dus de V ABC + V ABE = VABC+VA3Dv:i ax. C 3 Der-



38 Grond-beginselen der Meetkunde
Derhalve zoude zyn de V ABE — V ABD v: 3 ax.
Dat onmogelyk is v: 9 ax.
Want VABE is een deel van den yABD.
Ergo is V ABE niet gelyk den V ABD
Derhalven kan het verlengzel van CB niet vallen onder of boven BD maar alleenlyk in BD.
En dus moet CBD een regte linie zyn v: 4 def.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XV. THEOREMA VIII.
Indien twee regte linien elkander doorfnyden; dan zullen de fchrikshoeken gelyk zyn.
(Fig. 45- Tab. UI.) Hypothefis. De twee linien AB en CD fnyden elkander in E.
Thefis. Den V AED == BEC & den V AEC =
BED. Demonftratie.
Dewyl DC een regte linie is") daar AE op vak ' " *
En AB een regte linie, ( daar CE op valt J Daarom is den V AED ~i 1 y AEC = 2 regte V". |
1 AT-/"' f* v . i j . i .
En een V AEC ,
yBEC = 2 regte Vn. J
En



van Euclides, Eerste Boek. 39
En bygevolg is V AED + V AEC = V AEC + V BEC v: 1 ax.
En dus ook V AED = V BEC v: 3 !*•
Wyders om dat nu AB een regte linie is, daar DE, als mede daar CE op valt v: hyp.
Daarom is V AED + V DEBl = 2 regte. t. |
en V AEC f V BEC | " 6
= 2 regte. J
Derhalven is V AED+V DEB = V AEC
+ v BEC v: 1 ax.
V AED = V BEC v: b: b.
Dus is den V DEB == V AEC v: 3 ax.
Dus beweezen hebbende dat de V AED — VBEC & de V DEB = V AEC is.
Zoo heeft men betoogd dat beweezen moeft worden. Schalia.
1°. Indien tot een punt A in een regte Unie GH twee andere regte linien EA en FA elk van een zyde getrokken worden, zulks dat de fchrikshoeken D en B gelyk zyn; dan zullen de regte linien EA en FA elkander in een regte linie EAF ontmoeten. (Fig. 46. Tab. III.)
Want denVB = den V D v: 't geft. den V A = den V A.
Dus den V A + V B = V A + V D z=z 2 regte v: 3 cor: m:- i;
C 4 eïi



40 Grond-beginselen der Meetkunde
En daarom is den V A + V B — 2 regte v: i ax.
Ergo is EAF een regte Unie v: 14: r.
2°. Indien 4 regte linien EA, EB, EC, ED van een punt E afioopen, alzoo dat de fcbrikshoeken a en a item b én b gelyk zyn; dan zullen de 2 linien EA en EB, item EG en ED i» /vg/e linie AEB ra CED gevqegt zyn.
(Fig. 47. Tab. III. )
Want 2 a 2 b = 4 regte hoeken v: 4 cor: 13: 1.
Dus « + b ■= 2 regte hoeken v: 7 air.
Ergo is V AEB ra V CED yder byzonder een regte linie v: 14: ï.
30. Indien een deezer hoeken regt is, dan zullen alle de andere mede regt zyn.
PROPOSITIE XVI. THEOREMA IX,
Van een driehoek een zyde verlengd zynde ; dan is de uitwendige hoek grooter dan een der tegen over ftaande inwendige hoeken.
Hypothefis. In den A ABC is BC verlengd in een regte linie.
Thefis. Den V ABC < dan den V A en ook < dan den V B.
Praparata.
- ie, De zyden AC en BC deel yder in
2 ge-



van Euclides, Eerste Boek. 41
2 gelyke deelen in E en H v: 10: 1.
2e. Uit B door E haal de i oneindige BF en j.v:I&2beg.
3e. Uit A door H haal de j oneindige AL J
4e. In BF neem EF — BE en in AI neem Hl = AH v: 15 def.
5e. Dan trek de regte CF en Cl v: 1 beg=
62. Eindelyk verleng na welgevalle AC tot in G v: 2 beg. Demonftratie.
In de 'An. CEF en ABE is") CE = AE !> v: beg:
EF == EB. j
V CEF — v AEB v: 15 1.
Dus is de V FCE == den V BAE v: 4: 1.
Maar den V FCE een deel zynde van den V ECD is dus > dan den V ECD v: 9 ax.
Dus is ook den V BAE > dan den
V ECD v: k: b.
Wyders is in de An. HCI en""| HBA HC = HB J. v: ber.
Hl = HC. j V CHI = V BHA v: 15: 1. Ergo is den V HCI — HBA v; 4: 1. Den V HCI nu een deel zynde van den
V HCG , is dus> dan den v HCG v: 9: ax. Dus is ook den V HBA > dan den
V HCG V: k: b.
C 5 Nu



4,2 Grond-beginselen der Meetkunde
Nu is nog den V ACD — den V HCG v: 15: 1. Óm dat het fchriksY". zyn.
Dus is dan den V HBA > dan den V ACD v: k: b.
Derhalven is den V BAE dat V BAC > V ECD dat is V ACD I fe
En den V HBA dat is V CBA ?V" ' ' yV ACD r ------ _
Dat beweezen moeft worde».
PROPOSITIE XVII. THEOREMA X.
Van alle driehoeken zyn de twee hoeken, hoe men die neemt, te zaamen kleinder dan twee regte hoeken.
(Fig. 49. Tab. III) Hypothefïs. ABC is een A. Thefis. V A 4- V ACB1_
V B -f V ACB L> dan 2 regte Yn.
V a + VB J
Praparata.
Verleng een der zyden.na believen, ge-
noomen BC v: 2 beg. P-emonftratie.
De uitw: V ACD is < dan den inw: V A V: 16: 1.
Maar de 2V". ACD + V ACB zyn = 2 regte V". v: 13: 1,
Ergo zyn ook de Vn. ACB -b V ABC ^ dan 2 regte Vn. V: 4 ax.
Op dezelve wyze betoogt men ook.
Da;



van Euclides, Eerste Boek. 43
DatVA r VACB1 ,
En VA+VB ;>^dan2regteVn.
Dat te bewyzen was. Corollaria.
i°. In alle driehoeken, wiens eene hoek regt of ftomp is, zyn de overige hoeken fcherp.
20. Zoo een regte Unie AE, /taande op een andere regte linie CD, ongelyke hoeken maakt, de eene AEC ftomp en de andere AED fchsrp; dan zal de perpendiculaar AD, vallende uit A op CD, koomen aan de zyde van den feberpsn hoek.
""CFig. Sft Tab. NI.)
Want getoogen hebbende de regte AC.
Dan is in den A ACE de V ACE -f V AEC > dan 2 regte v: 17: 1.
Derhalven kan den perpend: uit A op CD niet vallen dqar de ftompe V AEC is,
By gevolg moet die vallen aan die zyde, daar de fcherpe V AED is. v: k: b.
30. Alle dé hoeken van een gelykzydige driehoek zyn fcherp.
40. Als ook de hoeken op den, bafis van een gelykbeenige driehoek.
PROPOSITIE XVIII. THEOREMA XI.
In alle driehoeken ftaat de langde zyde tegen over den grootfte hoek. CFig. 51. Tab. III.)
Hypo.



44 Grond-beginselen der Meetkunde
Hypothefis. In den A ABC is AC de langde zyde. Thefis de V ABC is den grootften hoek. Praparata.
ie. In AC neem AD = AB v: 15 def.
2e. En trek de regte BD v: 1 beg. Demonftratie.
De V ADB is den uitw V van A DBC
Derhalven is den V ADB < dan den V C v: 16: 1.
De A ABD is gelykbeenig v: 't ber.
Dus is den V ADB == ABD v: 5: 1. Maar den V ABD een gedeelte van den
V ABC zynde, is den V ABC < dan den
V ADB v: 9 ax.
By gevolg is ook den V ABC < dan den V ADB v: k: b.
Nu is den V ADB < V C ~)
En den V ADB > V ABC/V: b: b*
Ergo is dan den V ABC < V C v: k: b.
Op dezelve wyze betoogt men dat V ABC < dan V B is.
Derhalven ftaat de langfte zyde AC tegen over den grootften hoek ABC,
Dat te bewyzen was. SchoMum.
In alle driehoeken flaat de korfle zyde BC tegen over de klein/Ie hoek A.
(Fig. 52. Tab. III.)
Want laat in AB genoomen worden BE — BC.
En getoogen zyn de regte CE v: 1 beg.
Dan



Van Euclides, Eerste Boek. 45
Dan is om rede als boven den V A >
V BEC v. 16: 1.
En den V BEC = V BCE v. 5: 1. Dus is A BCE een gedeelte van den
V BCA zynde > V BCA. v. 9 ax.
Dus is ook den V BEC > V BCA v.kb.
denV BEC < V A v.kb. Derhalven den^i BCA < V A v.kb. En zoo vervolgens.
PROPOSITIE XIX. THEOREMA XII.
ïn alle driehoeken ftaat de grootfte hoek tegen over de langfte zyde.
(Fig. 53. Tab. III.) Nypothefis. In den A A5C is den V A de grootfte hoek.
Thefis. - - BC is de langfte zyda. Demonftratie.
Indien BC de langfte zyde niet is, zoo moet noodzaakelyk AB of AC de langfte zyde zyn. v: k: b.
Omdat nu de grootfte hoek tegenover de langfte zyde ftaat v: 18: 1.
Dan moet C of B ook de grootfte hoek zyn.
Maar A is de grootfte hoek v: hyp: By gevolg moet dan ook BC de langfte zyde zyn v: k: b. Dat te bewyzen was.
Sebo-



4-6 Grond-beginselen der Meetkunde
Scholiitm.
En derhalven vloeit hier uit ook voort* dat de kleinfte hóek ftaat tegen over de korfte zyde.
PROPOSITIE XX. THEOREMA XIII.
Van alle driehoeken zyn de tweë zyden, hoe men die neemt, te zaamen langer dan de derde.
Hypothefis. In den A ABC zyn AB en AC" de
kortte zyden. Thefis. AB + AC < BC. Praparata.
ie. Verleng BA tot in D, zoo dat AD — AC is v: 2 beg: en 2: 1.
2e. En trek de regte DC V: 1 beg: Demonftratie.
Den A ADC is gelykbeenig v: conft. en 25 def.
Derhalven is den V D = V ACD v: 5:1.
En - - - - - nul > VACBv:k:b,
By gevolg dit geaddeerd komt V D > V BCD v: 4 ax.
BCD is een A v: 21 def. waar van BAD, BC en DC de zyden zyn.
In dezelve nu is den V BCD < VD v: b: b:
En daarom de zyde BAD<BCv:i8:I, Maar BAD is = AB + AC v: ber.
Ergo



van Euclides, Ehrste Boek. 47
Ergo is ook AB + AC < BC v: k: b.
Dit nu van de 2 korfte zyden beweezen zynde, moet de waarheid van het befluit van het zelve volgen met de twee langfte zyden. Corollarium.
Hier uit kunnen wy dan bejluiten, dat van alle driehoeken de twee korfte zyden te zaamen langer zyn dan de derde of langfte.
Scholium.
In alle driehoeken is de halve fom der drie
zyden langer dan de derde zyde.
. . AB + AC + BC nr dat is \ aan ÜL.
2
JVant AC + BC < AB v. 20: 1.
AB = AB
Dus AB + AC + BC < 2 AB v.^ax.
„ AB + AC + BC
Ergo < Anv.-aiï.
PROPOSITIE XXI. THEOREMA XIV.
Zoo van de üiterftens eener zyde eens driehoeks getrokken worden twee regte linien, die elkander inwendig (binnen den driehoek) ontmoeten; deze zyn te zaamen minder dan de twee andere zyden des driehoeks , maar ma-aken een grooter hoek.
(Fig.



48 Grond-beginselen der Meetkunde
(Fig. 55- Tab. III.) ' Hypothefis. De regte BD en CD koomen zaamen
in D binnen den A ABC. Thefis. - - ie. BC 4- CD > BA + CB.
2ë. V B°c < V BAC. Praparata.
Verleng BD tot dat die AC ontmoet ih E v. 2 beg. Demonftratie.
AB, AE, BE zyn de 3 zyden des A ABE en DE, CE, DC zyn de 3 zyden des A CDE.
En daarom is AB + AE < BEI
Zoo ook DE -i- CE < DC/V'2ai"
Deze dan by den ander vergaard, komt 'er AB r DE + AC < BE 4- DC v: 2 ax.
Aan byde kanten BE afgenoomen.
Zoo reft'er AB + AC< BD+DCv^ax.
Dat op het eerfte te bewyzen was.
Op het 2e. is verders den V DEC den witw: V van den A ABE.
Ergo is de V DEC < VA v: 16: 1.
Den V BDC is den uitw: V van den A DCE.
Ergo is den V BDC < V DEC. v: 16: 1.
Vermits nu is den V DEC")
<VA U:b!b. En - - - - den V DEC jv' u' v'
> V BDC J
Derhalven is dan den V BDC < V A
v: k; b.
Dat



van Euclides, Eerste Boes. 45
Dat op het 2e. te bewyzen was.
Dus heeft men dan beweezen 1°. dat BD -4- CD > AB 4- AC is, en 2°. dat V BCD < V A is.
Corollarium.
Indien van twee gelykbeenige driehoeken de bafis gelyk zyn, maar de tophoeken ongelyk; dan zullen de beenen mede ongelyk zyn: de klein/te beenen zullen de grootfte hoek begrypen, maar op den bafis de kleinfte hoeken maaken.
PROPOSITIE XXII. PROBLEMA ViH.
Van drie gegeeve regte linien, waar van de twee, hoe men die neemt, te zaamen langer zyn dan de derde, een driehoek te maaken.
(Fig. 50. Tab, III.j 't gegeevene is de linien A, B en C. 't begeerde van deze 3 linien een A te maaken.'
Conftruclie.
ie. Trek de oneindige DE v: 1 beg.
2e. In dezelve neem DF ■=■ A, DE =3 B en GH = C v: 2: i.
3e. Dan uit F als cent: met de wydte FD als rad: befchryf den hal ven cirkel DKI v: 3 beg.
4e. Dan uit G als cent: met de wydte
D GH



50 Grond-beginselen der Meetkunde
GH als rad: befchryf den halven cirkel HKL v: 3 beg.
Deze halve cirkels fnyden elkander in K.
5e. Trek eindelyk de regte FK en GK v: i beg.
Dan zal FKG den begeerden driehoek weezen. Derr.onftratie.
FK — FD = A & GK = GH — C item FG = B V: 15 def: en conft.
Derhalven is dan ook FK = Aen GK = C item FG-Bv: 1 ax.
En daarom zyn de 3 zyden van den A FKG gelyk aan de drie gegeeve linien A, B en C.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXIII. PROBLEMA IX
Uit een gegeeve punt in een gegeeve regte linie te trekken een andere regte linie, die met de eerfte maakt een hoekgelyk met een gegeeve regtlinifche hoek.
CFig. 57. Tab. III. D 't gegeevene is ie. de linie AB, 2e. 't punt C in
dezelve en den V E. 't begeerde den V GCH te maaken rz: den V E. Conftruclie.
ie. Van EF en ED fnyt af 2 deelen na believen door de regte IK.
2e. Dan in CB of zyn verlengde neem CG .= EK.
3e,



Van Euclides, Eerste Boek 51
ge. En befchryf op de zelve den A, CGH maakende in dezelve CH ■=. EI en, GH == KI v; 21: h
Dan zal den V GGH =? V KEI weezen j Demonftratie.
CGH enEKIzyn 2 A n. waar in CG—EK CH — EI
GH — KI is alles v: conft. Derhalven is den V GGH = V KEI v: 8:1.
Dat te bewyzen wass
PROPOSITIE XXIV. THEOREMA XV,
Zoo van twee driehoeken de twee zyden van den eene gelyk zyn de twee zyden van den andere, maar de hoeken van dezelve zyden begreepen van den eene grooter dan die van den andere; dan zal ook de tegen overftaande zyde van deü eene grooter zyn dan die van den andere.
(Fig. Tab. III.) Hypothefis. In cb A? ABC en DEF zyn A3 SS DE & AC ~ DF maar V A < V ö» Thcfis. BC < EF. Demonftratie.
Indien de V A: ^ den V D Was,
Dan zoude de bafis BC mede pé deü bafis EF zyn. v: 4: T>
Want hoe meer de beenen AB en AC verwyden, dat is te zeggen, hoe grooter' D 3 dert



52 Grond-beginselen der Meetkunde
den V A wort, hoe meer tusfchen wydte 'er moet koomen, en by gevolg hoe grooter ook BC zal worden. - Dus is het openbaar, dat den VA grooter zynde dan den V D, de bafis BC mede grooter dan den bafis EF moet zyn alles v: k: b. Dat te bewyzen was.-
PROPOSITIE XXV. THEOREMA XVI»
Zoo van twee driehoeken de twee zyden van den eene gelyk zyn de twee zyden van den andere, maar de bafis van den eene grooter dan die van den andere, dan zullen ook de hoeken van gelyke zyden begreepen, die van den eene grooter zyn dan die van den andere.
CFig. 58. Tab. III: ) Hypothefis. In de A? ABC en DEF is AB == DE
en AC — DF maar BC < EF. Thefis. de V A < V D. Demonftratie.
Indien de bafis BC — den bafis EF was.
Dan zoude de V A mede — den v D zyn v: 8. 1.
Hoe grooter nu BC wort, hoe mèer susfchen wydte 'er moet koomen, of hoe meer de beenen AB en BC moeten ver-
wy-



van Euclides, Eerste Boek. 53
wyden, en by gevolg hoe grooter den
V A zal worden.
Derhalven BC grooter zynde dan EF y: hyp.
Moet ook de V A grooter zyn dan den
V D. alles v: k: b. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXVI. THEOREMA XVII.
Zoo van twee driehoeken twee hoeken van den een gelyk zyn twee hoeken van den andere, en dat mede de zyden tusfchen de gelyke hoeken van dén een gelyk zyn aan die van den andere; of ook dat de zyden in elk over gelyke hoeken gelyk zyn; dan zullen mede de twee andere zyden van den een gelyk zyn aan die twee van den andere.
Ook zal de derde hoek van den een gelyk zyn aan den derden hoek van den andere.
CFig. 59- Tab. IV.) ie. Hypothefis is. In de An- ABC en DEF is V B = V E
VC = V
BC = EF Thefis V A = V D AC= DF AB = DE.
D 3 ae-



54 Grond-beginselen der Meetkunde.
se. Hypothefis V B — V E V C = V F AR H5 DE Thefis V A — V D AC — DF BC ~ EF Praparata op het eerjle.
Een van driën moet waar zyn AB <( af = of > DE.
Indien nu AB > DE is, zoo fnyt van DE af EG = AB v: 3: 1.
En trek de regte FG v: 1 beg. Demonftratie.
Dit gefield zynde, dan zoude in de An. OEF en ABC zyn GE = AB v: fupof: EF = BC1 VE=VBj>V: Ergo' zoude den V EFG n= y C zyn V: 4: \:
Den v C nu is = V EFD v: hyp: Dus zoude den V EFG mede ~ EFD zyn v: 1 ax: Maar den V EFG een deel van den
V EFD zynde, is y dan V EFD V: 9 ax: En by gevolg ook den v EFG y dan
V C. v: k: b:
Waar uit dan blykt dat DE niet groo¬ter dan AB kan zyn v: k; b:
Op dezelve wyze nu bewyfl men, dat DE niet kleinder dan AB kan zyn.
Ergo is DE ~ AB.
Der-



van Euclides, Eerste Boek. 55
Derhalven AB == DE zynde v: bï b: En BC = EF en V B = V E en V C = V F v: hyp:
Zoo moet volgen dat AC = DF en V A == V D is v: 4: 1.
Dat te bewyzen was. Prceparata op het tweede.
Hier is mede een van driën waar, BC < of = of > EF.
Indien nu BC s EF is, zoo fnyt van EF af EH — BC v: 3: *•
En trek de regte DH v: 1 beg:
Demonjlratie.
Alhier zoude dan in de An. DEH & ABC zyn EH — BC v: 't gefupon:
DE= A*lv:hyp: V E — V B ) ^
Ergo zoude den V DHE = V C zyn
V Den V C nu is = V DFE v: hyp: Dus zoude den V DFE mede = V DHE
zyn v: 1 ax.
Maar den V DHE is den uitw: V van
den A DHF. En by gevolg is den V DHE < V DFE
v: 16: 1.
En dus ook den V DHE < V Cvrk:b. Waar uit dan blykt dat EF niet grooter dan BC kan zyn v: k: b.
Op dezelve wyze betoogt men ook, D 4 dat



56 Grond-beginselen der Meetkunde
dat EF niet kleinder dan BC kan zyn
Ergo is EF — BC.
Derhalven BC = EF zynde y: b: b.
En AB = DE en V B = v' E en v C — V F v: hyp.
Zoo moet volgen dat dzn V A V D ïs en AC — DF v: 4: 1.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Het blyki hier uit dan klaar, dat den geheeien driehoek ABC gelyk is aan den geheelen driehoek DEF.
PROPOSITIE XXVII. THEOREMA XVIII.
Indien een regte linie valt op twee andere regte linien, alzoo dat de verwisfelde hoeken gelyk zyn; dan zullen dezejve linien parallel zyn.
C Fig. 60. Tab. IV.) Hypothefis. De regte linie EF valt cp twee andere regte linien A3 en CD.' ': Zoo dat den V AGH — V DHG is. -- ■ '
Thefis. De regte AB en CD zyn parallel.
Praparata.
Een van beiden is waar, AB is parallel of niet parallel CD. Indien dezelve niet parallel zyn. Dan zullen die aan de' eene of andere



van Euclides, Eerste Boek. 57
zyde verlengd zynde, eindelyk zaamen koomen gelyk hier in I v: 35 def.
En dus zoude GHI een driehoek vreezen v: 21 def. Demonjlratie.
Dan is AGH den uitW: V van den A GHI v: 't ber:
Derhalven den V AGH < V IHG of < V DHG v: 16: 1.
Maar de V AGH = V DHG v: hyp:
Uit deze tegenftrydigheid beüuiten wy dan
; i«; Dat GHI geen driehoek is, en 2e. Dat de linien AB en CD verlengd
zynde, nooit zaamen koomen. Ergo zyn zy parallel v. 35 def. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXVIII. THEOREMA XIX.
Zoo een regte linie valt op twee andere regte linien, zoo dat den uitwendigen hoek gelyk is aan zyn tegen overftaande inwendige hoek.
Of dat beide de inwendige hoeken op een zelve zyde te zaamen gelyk zyn twee regte hoeken; als dan zullen dezelve linien parallel zyn.
D 5 je'



58 Grond-beginselen der Meetkunde
CFig. 61. Tab. IV.) i«. Hypothefis. De regte linie EFWalt op 2 andere regte linien AB en CD , alzoo dat de V AGE ±= V GHC of
ae- - - - - De V AGH + V GHC ss3 2
regte Vn. is. Thefis. AB is parallel CD. ■ Demonjlratie op het eerjle.
De v«- AGE en BGH zyn fchrikshoeken.
En daarom is V AGE s= V BGH v: 15: 1.
Maar den V AGE — y GHC v hyp:
Dus is ook den V GHC = y BGH v: 1 ax:
Deze gelyke V". GHC & BGH nu zyn de verwisfelde hoeken v: k: b:
Ergo is AB parallel aan CD v: 27: 1.
Dat te bewyzen was. Demonjlratie op het tweede.
De linie'EF valt op de linie AB, en daarom zyn de \/n. aan beide zyden van die vallende linie te zaamen gelyk aan 2 regte v: 13: 1.
Derhalven is den V AGH + V BGH z=z 2 regte.
Nu is ook den V AGH + V GHC e= 2 regte v: hyp:
Ergo - - 'den V AGH + V BGH = V AGH + V GHC v: i: ax.^
Als



vam Euclides, Eerste Boek. 59
Als men nu van beide kanten afneemt den V AGH, zoo bïyft 'er over den V BGH = V GHC v: 3 ax:
Deze gelyke V". BGH en GHC nu zyn de verwisfelde hoeken.
By gevolg is AB parallel aan CD v;
27: 1.
Dat te bewyzen was.
Corollaria.
iA Indien een regte linie EF twee andere regte linien AB en CO doorfnydt, alzoo 'dat de verwisfelde hoeken AGH en DHG niet gelyk zyn, dan zullen dezelve linien niet parallel zyn.
(Fig. 62. TM-. IV.) Want laat door G gefjogen worden de regte IK.
Alzoo dat den VIGH — V DHG isv: 23:1.
Dan za/.IK doorfnyden AB v: t b:
Ook zal IK parallel aan CD zyn v: 27:1.
Derhalven kan AB niet parallel aan CD zyn v: 11 ax.
2e. Indien een regte linie EF twee andere regte linien AB en CD doorfnydt, alzoo dat de uitwendige hoek AGE met zyn tegen overgaande inwendige hoek GHC niet gelyk is, of
3e. Dat beide de inwendige hoeken AGH. en GHC op een zelve zyde van EF niet gelyk zyn 2 regte hoeken.
Dan



6,0 Grond-peginselen der Meeetkunde
Dan zullen dezelve regte linien AB en CD niet parallel zyn.
Het geene door het voorgaande genoeg openbaar, is.
4e« Indien dezelve hoeken AGH en GHC kleinder zyn dan 2 regte hoeken; dan zullen dezelve linien, aan die zyde verlengd zynde, eindelyk zaamen koomen: maar grooter zynde, verivyderen.
PROPOSITIE XXIX. THEOREMA XX.
Zoo een regte linie valt op twee parallelle linien; als dan zullen de verwisfelde hoeken gelyk zyn: en de uitwendige hoek zal gelyk zyn aan zyn tegen overflaande inwendige hoek.
Als mede beide de inwendige hoeken op een zelve zyde te zaamen zullen gelyk zyn aan twee regte hoeken.
(Fig. 63. Tab. IV.) Hypothefis is AB parallel CD. Thefis - - 1*. V AGH = V DHG 2?. V AGE = V GHC 3e. V AGH + V GHC = 2 regte,, Demonftratie op het eerjle.
Een van beide is waar, y AGH gelyk of ongelyk aan V DHGr.
Indien het laatfte waar is, dan is AB niet parallel aan CD v; 1 cor; 28: 1,
Maar



van Euclides, Eerste Boek. 6t
Maar dit is ftrydende tegens de hypothefis.
Ergo is den V AGH = DHG v:k:b:
Dat te bewyzen was. Demonjlratie op het tweede.
Hier is mede een van tweën waar, V AGH is gelyk of ongelyk aan V DHG.
Indien zy ongelyk zyn.
Dan is AB niet parallel aan CD v: 2 cor: 28: x.
Maar dit ftrydt tegens dè hypothefis.
Ergo is den V AGE ~ V GHC v: k: b:
Dat te bewyzen was. Demonftratie op het derde.
Wederom is een van beide waar, V AGH + CHG gelyk of niet gelyk 2 regte Vni
Indien zy niet gelyk zyn aan 2 regte, dan is AB niet parallel aan CD. v: 3 cor; 28: 1.
Maar dit ftryd tegens de Hypothefis. Ergo is den V AGH + V CHG = 2 regte V". Dat te bewyzen was.
Coroüaria.
ie. Hier uit blykt verders, dat een parallellogram, eene regte hoek hebbende, een regthoekig parallellogram is, dat is te zeggen, dat alle vier de hoeken regt zyn.
(Fig:



62 Grond-beginselen der Meetkunde
C Fig. 6^ Tab. IV.) Want yA + VB = 2 regte v. :q :i. VA =i regte v: hyp.
Sub .
Reft VB = i regte vt ax.
Dus V B + V C = 2 regte v: 29: 1, VB ~ 1 regte v: b: b.
Sub— • ■ •
Reft \/C — 1 regte v: 3 ax.
En V C + V D = 2 regte v: 29: 1» V C — 1 regte v: b: b.
Sub— ■ .—, 1
Reft V D — 1 regte v: 3 ax.
2e. Als de linien AB en CD parallel zyn, en de hoeken die EF met die parallelle linien maakt, zoodanig, zyn, als in de propojitie gezegt is, dan zal EF een regte linie zyn.
PROPOSITIE XXX. THEOREMA XXI.
Zoo twee regte linien tot een zelve linie parallel zyn, deze twee linien zyn mede parallel.
CFig. 65. Tab. IV.) Hypothefis. AB parallel EF en CD parallel EF. Thefis. AB parallel CD. Praparata.
Trek na gevallen door de drie gegeeve linien de regte GI v: 1. beg. Demonftratie.
Om dat AB par: EF is V: hyp.
Daar-



van Euclides , Eerte Boek. 63
Daarom is de uitw: V EHI == den inw:
V AGI v: 29: 1.
En om dat CD par: EF is v: hyp. Daarom zyn de verwisfelde V", gelyk dat is V EHI — V DIG v: 29 1.
De V EHI = V AGI & de V EHI —
V DIG zynde v: b: b.
Dan is ook V AGI 5= V DIG v: 1 ax.
Ten aanzien nu van de linien AB en CE zyn deze Vn. AGI en DIG de verwisfelde hoeken.
Ergo is AB parallel aan CD v: 29: *•
Dat te bewyzen was. Corottarium.
Indien verfcheide regte linien tot een zelve Unie parallel zyn, dan zyn die alle onder elkander parallel.
PROPOSITIE XXXI. PROBLEMA X.
Door een gegeeve punt een regte linie te trekken parallel met een gegeeve regte linie.
't gegeevene is 't punt A en de regte linie BC. 't begeerde is door dat punt A te trekken EF parallel BC.
CFig. 66. Tab. IV,)
ConftruSlie.
ie. Uit A trek door de gegeeve BC de regte AD v: 1 beg.
2<5.



64 Grond-beginselen der Meetkunde
2e. En door A trek de regte EAF, zoo dat VEAD = V ADC is v: 23: 1. Dan is EAF de begeerde linie.
Demonftratie.
De linie AD valt op de 2 regte linien BC en EF v: conft.
En de verwisfelde hoeken zyn gelyk, dat is V EAD = V ADC v; conft.
Derhalven is BC parallel aan EF v: 27:1»
Dat te bewyzen was.
Conftrüclie anders.
(Fig. 67. Tab. IV.)
ie. Door de gegeeve BC trek na gevalle de regte AD en AG die ergens zaamen' koomen in het punt A, v: 1 beg.
2e. Dan uit A en D als cent: met de wydte DG en AG als radii befchyf 2 cirkelboogjes, die elkander fnyden in Hv: 3 beg.
3e. Dan door H en A trek de regte EF v: 1 beg.
Dan is EF parallel aan de gegeeve BC. Praparata. Trek de regte HD v: 1: beg;
Demonftratie.
In de A". HDA en GDA is AH — DG en DH — AG en DA gemeen v: de conft: en de 15 def.
Bygevolg is den V HAD=VGDA v: 8: r.
Ten aanzien nu van de 2 regte linien BC en EF, waar op de regte linie AD
valt,



van Euclides, Eerste Boek. 65
vak, zyn deze gelyke hoeken de verwisfelde hoeken, en om dat die gelyk zyn.
Daarom is ÈF parallel aanBC v: 27: i<
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXXII. THEOREMA XXII.
Van alle driehoeken een zyde verlengd zynde is de uitwendige hoek even zoo groot als beide de tegen overftaande inwendige hoeken te zaamen: en de drie inwendige hoeken zyn te zaamen even zco groot als twee regte hoeken.
(Fig. 68. Tab. IV.) Hypothefis, In den A ABC in de zyde BC verlengd. Thefis, i>. V ACD == V A + V B.
ofi. V ACB + V A + VS = 2regte V" Proeparata.
Trek CE par: aan BA v: 31: i. Demonftratie op het eer/ie.
De linié AC valt op 2 andere parallelle iinien AB eri CD v: bef.
Daarom zyn de verwisfi hoeken gelyk t: w: V BAC = V ACE v: 29: 1.
En daarom is ook de inw: V ABC —3 den ukw: V ECO v: 29: 1.
Nu getooni zynde dat den VI BAC = V ACE >v:b:b. \
Én den V ABC = ÉCD is. J
E wan-



66 Growd-beginsèlen der Meetkündê
Wanneer men dan deze gelyke by den andere vergaard, zal 'er koomen den V B AC + V ABC = V ACD v; 2 ax.
Dat te bewyzen was.
Demonjlratie op het tweede.
BD is een regte linie, daar een andere regte linie CA op valt.
Daarom is V ACD + V ACB = 2 regte V". v: 13: 1.
Nu is den V ACD is V BAC + V ABC v: b: b.
Ergo is V BAC + V ABC + V ACB =: 2 regte Vn. v: 1 ax. Dat beweezen moeit worden.
Corollaria.
ie. Uit dit voor fel is openbaar, dat twee hoeken van een driehoek bekend zynde» de derde mede bekend is.
2e. De driehoeken van een regtlinifche driehoek zyn te zaamen gelyk de driehoeken van alle regtlinifche driehoeken. En daarom
y. Zoo in een driehoek de 2 hoeken of byzonder of zaamen gelyk zyn de 2 koeken van een andere driehoek; dan is de ovirige hoek van den eene driehoek gelyk den overige hoek des, anderen driehoeks : item zoo twee driehoeken yder een hoek gelyk hebben, dan zal ook de fom der overige hoeken gelyk weezen.
4e. Zoo in een driehoek de eene hoek regt is, dan zullen de 2 overige te zaamen eene
regte



« vak Euclides, Eerste Boek. 67
hote hoek uit maaken: item de hoek, die gcfyk is met de twee overige te zaamen, is regt. ~~»
5'-. In een gelykbeenige driehoek den hoek, die 'van de gelyke zyden begreepen is, regt zynde , zullen de 2 overige hoeken yder half regt zyn.
o< Yder hoek van een gelykzydige driehoek'maakt \ van 1 regte uit: want\van 2 regte is'gelyk f van 1 regte.
7e pok leeren wy hier uit, op wat wyze men een regte hoek in drie gelyke deelen kan Ccheidun aldus.
J (Fig- 69. Tab. IVO
Laat ABC de regte hoek zyn. Neem in AB na believen een zekere lengteDB Befchryf op dezelve DB een gelykz, driehoek DBE v: 1: 1. Enfnyd den V DBE in tweën gelyk v.q-.ï. En haal de regte FB v: 1 beg. Dan zal den VABC in driën gelyk door de regte BE en BF gedeeld zyn.
iVant den V ABC is 'L 1 regte. Den V ABE z= \ regte
2 • 1
V ABF = j regte X FBE z= 4 regte
1 » ■ add.
E 2 VABF



68* GrÖND-BEGINSELEN DER MeÉTKUNDE,
VABF + VFBE=\ regte alles volgens VABC —iregte het werk
Sub ' ■
ReJlV EBC —\regte Scholia.
■ i*. Schol: Door dit voarfiel ontdekt men vervolgens ook, hoe veel regte hoeken alle regtlinifche figuren hunne hoeken, zoo in als uitwendige, uitmaaken; zulks als door de twee volgende vertoogen verklaard word. Eerjle vertoog.
Alle de hoeken van een ieder regtlinifche figuur maaken te zaamen tweemaal zoo veel regte hoeken uit, als de figuur zyden heeft, min vier regte hoeken.
(Fig. 70. Tab. IV.)
Nota. Dit kan zeer kort op deeze wyze ontleed worden.
Stel, dat de regtl: figuur d zyden heeft.
Dan word dezelve ge deelt in d A,n.
JTder A begrypt 2 regte yn.v: 32:1.
Dit met den andere gemuit: komt 'er
Voor de Vn» van alle de A°. te zaamen 2 d rëgte Vn«
Om het punt A flaan 4 regte \n. v: 5 cor: 13: 1.
m Dit dan van het voorige produel afgetrokken.
Rejl voor de \/n. des figuurs 2 d — 4 regte y. v. 3 ax.
Co-



van Euclides, Eerste Boek. 69
Corollarium.
Hier uit kan men op maaken, dat van alle regtlinifche figuuren even veel zyden hebbende, de fom der hoeken gelyk is. Tweede vertoog.
Alle de uitwendige hoeken van een regtlinifche figuur maken te zaamen uit vier regte hoeken.
Nota. Dit kan mede zeer kort op deze wyze betoogd worden.
Stel wederom dat de regtl: figuur d zyden heeft, dan doen de in en uitwendige Vn. des figuurs te zaamen --->--2 d regte Vn. v: b: b.
De inwend: Vn. doen te zaamen - - 2 d — 4 regte Vn. v: b: b.
Sub ■
Refl voor de uitwend: Vn. des figuurs 4 regte Vn. v: 3 ax.
Corollarium.
Hier uit volgt ook, dat van alle regtlinifche figuren de fom hunner uitwendige hoeken gelyk zyn.
2e. Scholium. Vermits nu uit hst voorgaande blykt, dat alle regtlinifche figuren uit een zekere punt binnen dezelve kunnen verdeelt worden in zoo veel driehoeken als de figuur zyden heeft, zoo kan ook nog dezelve figuur uit een der hoeken verdeelt worden E 3 «



70 Grónd-beginselen der Meetkunde
in twee driehoeken, minder dan 'er zyden zyn.
Stel wederom dat de figuur d zyden heeft, dan komt 'er als voor en voor de vn. des fig. 2 d — 4 regte V n.
Om dat nu elke A 2 regte hoeken heeft v: 32: 1.
Daarom 2 d — 4 regte vn. gedivideerd door 2 regte V". komt 'er d '— 2 regte V".
PROPOSITIE XXXIII. THEO" REMA XXIIL
De twee regte linien, welke twee gelyke parallelle linien te zaamen voegen, zyn mede gelyk en parallel.
(Fig. 71. Tab. IV.) Hypothefis. De regte AB is gëlyk en parallel CD Thefis. De regte AC en BD zyn mede gelyk
en parallel. Praparata.
Uit een der ' n. C tot zyn tegen overgaande V B trek de regte CD v: i: beg: Demonjlratie.
De vn- ABC en DCB zyn de verwisfelde V". der parallellen AB en CD derhalven zyn die gelyk v: 1.
Daarom in de n. ABC en DCB de V ABC -=é V DCB zynde v: b: b: "AB = CD - - v: hyp:
BC



van Euclides, Eerste Boek. 71
BC — BC
Zoo is AC = BD en den v ACB ~ V DBC v: 4: 1.
Maar de An. ACB en DBC zyn de verwisfelde hoeken der linien AC en BD.
En om dat die hoeken gelyk -zyn v: b: b:
Daarom is AC parallel aan BD v: 27: 1.
Derhalven is AC parallel en gelyk aan BD.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Def guur, welke door de zaamenvoeging van deze vier linien, die twee aan twee gepyk en parallel zyn, gehoor en wort, is een parallellogram,
PROPOSITIE XXXIV. THEOREMA XXIV.
Van alle parallellogrammen zyn de tegen overftaande zyden, als mede de tegen overftaande hoeken gelyk; en wort door den diagonaal in tweën gelyk gedeald.
CFig. 71. Tab IV.) Hypothefis. De fig,uur ABCD is een . parallellogram :
E 4 The-



72 Grond-beginselen der Meetkunde
Thefis - - ie. AB ~ DC & AD — BC a«'. V A — V C & V 3 ~ V D 3e- A ABD = A BCD.
Demonjlratie.
Vermits nu een parallellog: gebooren Wort door de zaamen voeging van vier 3inien , die twee aan twee gelyk en parallel zyn. v: cor: 33: 1.
Zoo volgt daar uit, dat AB = DC & AD ~ BC is v: k: b:
Om dat nu in de An. ADB en BDC de zyden AB — DC]
AD = BC|V: b: b: cndezydeBD gemeen is. Daarom is ook den V A =V C ]
ookisdenVABD—vBDC \y:2:^. endenx'DBC—VADBJ
• > Geadd:
komt den VABC—VADC v:2ax. En om dat eindelyk in deze 2 alles aan den anderen gelyk is v: b: b:
Daarom is den A ABD = den A BDC v: 4: 1.
En by gevolg wort het parallellog: ABCD door den diagonaal BD. in tweën gelyk gedeeld, v: k: b:
Dat te bewyzen was. « Corollaria.
ie. Hier uit volgt dan klaar, dat alle driehoeken halve parallellogrammen .zyn.
2e.



van Euclides Eerste Boek. 73
2e. Alle vierzydige figuren, de tegen overftaande zyden gelyk hebbende, zyn parallellogrammen.
Want in de A°. ADB en CBD is AD ~ BC1 AB = DC.T; DB — DB
Ergo is v ADB — V DBC1 -
En - - v ABD — V BDC ƒV: 'T
Maar om dat deze gelyke Vn. zyn verwisfelde hoeken ten aanzien van de gelyke linien AD en BC en van AB en DC.
Daarom zyn die linien parallel, t: w: AD parall: BC ra AB parall; DC,
By gevolg is ABCD een parallellogram vi 33 def.
Scholium.
Wmneer twee parallellogrammen elk een hoek gelyk hebben, dan zyn die parallellogrammen gelykhoekig.
CFig. 71 en 72. Tab. IV.)
In de parallellogr. ABCD en EFGH is V A - V E.
Nu is den V A + VD — 2 regte =z VE + VH v. 29: 1.
En VA = VE v: hyp:
Dus VD — V H v: 3 ax:
Zoo ook den VD + VC — 2 regte SS VA i \/G v: 29: 1.
VD == VA v. b: b: E 5



74 Grond-beginselen der Meetkunde
Dus VC=VGk 3 m Wyders is VA + V B + VC + VD = 4 regte = VE + VF + VG + VH w x
veft: 32: 1.
VA 4- VC + VP = VE + VG + VH •v: hyp' en b: b:
Bygevolg VB = VF v: 3 ax: Er po beweezen zynde dat VA — VE, VB = VF; VC = VG en VD — V H is, blykt het klaar, dat deze twee parallellog''. gelykhoekig zyn.
PROPOSITIE XXXV. THEOREMA XXV.
Alle parallellogrammen, ftaande op een zelve bafis en tusfchen twee parallelle linien, zyn gelyk.
(Fis:. 73 , 74 & 75- Tab. IV.) Hypothefis. De.paralleüogr ABCD en EBCF ftaan 3 10. Op eene bafis BC, en
ao. Tusfchen de 2 parallelle linien AF en BC.
Thefis. 't Parallellogr. ABCD = 't parallellogr. EBCF.
Nota. Dit kan op driederhande wyze voorgefteld worden, gelyk de figuren ons vertoonen, en dus moet ook de demonftratie op driederhande wyzen ;gedaan worden.
De-



van Euclides, Eerste Boek. 75
Demonftratie op de eerfte figuur.
CFig: 73-)
Dewyl *t parallellogr. AC en BF yder dubbeld zyn aan den a DBCV; 34: 1.
Daarom is ook 't parallellogr: AC = h paralleliogr: BF v: 6 ax.
Dat te bewyzen was. Demonftratie op de tweede figuur.
(Fig: 74-)
In de parallogr: ABCD en EBCF is AD — EF v: voorg: ED b ED
Sub:
Reft AE '— DF v: 3 ax:
In de An. ABE en DCF dan % AE = DF v: b: b: AB — DCi EB - FCj>V: V0°rg:
Derhalven is den A ABE —. A DCF v: 8: 1.
Maar - - - fig: EBCD =fig:EBCO Wanneer men nu fig: EBCD by a ABE &fig: EBCD by A DCF voegt, zoo komt 'er 't parall: AC — 't parall: BF v: 2 ax:
Dat te bewyzen was. Demonjlratie op de derde figuur.
Cl'! : 75.)
In de parallellogr: ABCD en EBCF is AD = EF v: 34: i. DE é= DE . add:
komt



j6 Grond-beginselen der Meetkunde
komt AE = DF v: 2 ax:
In de An. ABE en DCF nu is ae = DF v: b: b: ab — DC7
be = mr 34:
Derhalven is de A ABE — A DCF v: 8: 1.
Als men nu van deze gelyke An. aftrekt den gemeenen A DGE, zoo blyft 'er fig: ABGD = fig: EGCF v: 3 ax:
En als men by deze gelyke figuren voegt den gemeenen A BGC, zoo komt 'er- het parallellogr; AC = ft parallellogr: BF v: 2 ax:
Dat te bewyzen was. Scholium.
Alle parallellogrammen, welke op een zelve bafis. ftaan, en van een gelyke hoogte zyn, die zyn gelyk, of van een gelyken inhoud.
PROPOSITIE XXXVI. THEOREMA XXVI.
Alle parallellogrammen, ftaande op gelyke bafes, en tusfchen twee parallelle linien, zyn gelyk.
Hypothefis. In de parall: ABCD en EFGH is bafis BC — baf: FG en BG parallel AH.
The-



van Euclides, Eerste Boek. 77
Thefis. 't Parallellogr: ABCD r= 't parallellogr: EFGH.
Prceparata.
Trek de regte BE en CH v: 1 beg:
Dan is HCBE mede een parallellogram v: 1 cor: 33: 1. Demonjlratie.
ABCD en EBCH zyn 2 parallellogr. op een bafis BC en tusfchen twee parallelle linien AH en BC v: ber:
EFGH en EBCH zyn ook 2 parallellogr. op een bafis EH en tusfchen twee parallelle linien AH en FG v: ber:
Derhalven is 't parallellogr: 1 ABCD ±s 't parallellogr: EBCH I ^
En - - - 't parallellogr: 1 ' ^** EFGH = 't parallellogr: EBCHJ
By gevolg is 't parallogr: ABCD ~ \ parallellogr: EFGH v: 1 ax.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Alle parallellogrammen, Jlaande op gelyke baf es, en een gelyke hoogte hebbende, zyn mede gelyk, of van gelyke inhoud.
PROPOSITIE XXXVII. THEOREMA XXVII.
Alle driehoeken, ftaan de op een zelve
ba-



78 Grond-beginselen dér Meetkunde
bafis en tusfchen twee parallelle linien j zyn gelyk.
(Fig. 77. Tab. V.) Hypothefis. ABC en DBC zyn 2 An. (bande op een zelve bafis BC en tusfchen 2 pan linien BC en AD. Thefis. A ABC i A DBC. Praparata.
ie. Verleng AD aan werenszyde na gevalle v: 2 beg:
2e. Maak AE en DF yder — BC v: 2:1;
3e. En haal de regte BE en CF v: 1 beg: Demonflratie.
AEBC en DBCF zyn 2 parallellogrammen v: 1 cor: 33: 1.
Welke ftaan op eene bafis BC en tusfchen 2 parall: linien BC en EF v: hyp: & ber.
Ergo, is 't parallellogr: AEBC — 't paralfellogr: DBCF v: 35: 1.
Deze parallellogr: worden door hunne diagonalen AB en DC yder in tweën gelyk gedeeld v: 34: 1.
En by gevolg is den A ABC — A DBC v: 7 ax.
Dat te bewyzen was.
PRO-



van EuclIdes, Eerste Boék 70
PROPOSITIE XXXVIII. THEOREMA XXVIII..
Alle driehoeken, ftaande op gelyke bafes en tusfchen twee parallelle linien, zyn gelyk.
(Fig. 7», Tab. V.) Hypothefis. In de A„. ABC en DEF is BC iès EF
en BF pan AD. Thefis. A ABC 2*3 A DEF.
Praparata.
l«. Uit C haal CG par: BA")
2e. Uit A haal AG par: BC I
3«. Uit F haal FH par: ED f V: 3I: U
jf. Uit D haal DF par: EFj
Demonjlratie.
Om dat AG par: BC, en CG par: BA
is v: ber:
Daarom is ABCG eèn parallellogram, v: r cor: 33: ï.
Item om dat DH par: EF, en FH par: ED is v: ber:
Daarom is DEFH mede een parallellogram, v: 1 cor: 33: 1.
Om dat nu BC as EF en BF par: AH is v: hyp:
Daarom is 't parallellogr: ABCG 'ts parallellogr: DEFH v: 36: 1.
Maar deze paralieltogr. worden yder
door



8o Grond-beginsexen der Meetkunde
door hunne diagonaalen AC en DF in tweën gelyk gedeeld v: 34: 1.
Derhalven is dan den A ABC t= A DEF v: 7 ax:
Dat te bewyzen was. Cörollarium.
Alle driehoeken Jlaande óp gelyke bdfes, en zynde van gelyke hoogte, zyn getyk. Scholium.
■ Indien den bafis BC grooter of kleinder dan den bafis EF is; dan zal de driehoek ABC mede grooter of kleinder dan den driehoek DEF zyn.
PROPOSITIE XXXIX. THEOREMA XXIX.
De gelyke driehoeken, die op een Zelve bafis ftaan, ftaan ook op dezelve zyde tusfchen twee parallelle linien.
(Fig. 79- Tab- vO Hypothefis. A ABC = A DBC en ftaan op een
zelve bafis BC. Thefis. De regte AD is parallel aan BC. Praparata.
Een van beiden is waar, AD is parallel of niet parallel aan BC.
Laat gefteld worden dat die niet parallel is.
Zoo moet'er een ander linie onder of
boven



van Euclides, Eerste Boek. 8f
boven AD parallel aart BC zyni
Genoomen hier dat AE parallel BC 13* Deze AE ontmoet BD of zyn verlengde in E.
Zoo dit nu waar is, trék dan de regte CE v: i beg. Demonjlratie.
Om dat nu de linien BC en AE parallel gefteld zyn v: yt ber.
Daarom is den A ABC = A EBC v: 37:1.
Maar den A ABC is = A DBC v: hyp.
Derhalven zoude ook de £ EBC — A DBC zyn v: 1 ax.
Maar den A EBC nu een deel zynde van den A DBC.
Of den A DBC een deel zynde van den A EBC.
Zop kan den A EBC niet =a A DBC zyn v: 9 ax.
En daarom kan AE niet parallel BCzyn: 'want zulks zoude ftryden tegen de 37: 1. Ergo is AD parallel aanBC v: k: b* Dat te bewyzen.
PROPOSITIE XL. THEOREMA XXX.
De gelyke driehoeken, ftaande op gelyke bafes, ftaan ook op dezelve zyde tusfchen twee parallelle linies (Fig. 80. Tab. V.)
F Hy-



$2 Grond-beginselen der Meetkunde
Hypothefis. a ABC = a DEF en bafis BC =z
bafis EF. thefis. AD is parallel aan EF. Prteparata.
Een van beide is waar, AD is parallel of niet parallel aan EF.
Laat gefteld worden, dat die niet parallel is.
Zoo moet 'er een andere linie onder of boven AD parallel BF zyn.
Genoomen alhier AG, ontmoetende ED of zyn verlengde in G.
Zoo dat waar is, trek dan de regte FG v: i beg. Demonjlratie.
Omdat nu de linien BF en AG parallel gefteld zyn geworden v: ber.
Daarom zoude de a ABC = EGF moeten zyn v: 38: 1.
Ook is den a ABC — A DEF v: hyp.
Ergo zoude den a EGF = DEF zyn V: 1 ax.
Maar de a EGF een deel zynde van den a DEF.
Of den a DEF een deel zynde van den a EGF.
Zoo kan den a EGF niet — a DEF zyn v: 9 ax.
En daarom kan AG niet parallel aan BF zyn: want zulks zoude ftryden tegen de 38: 1.
Er-



vak EicLTcrs, Eerste Boek. 83
Ergo is AD parallel aan BF v: k: b. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XLI. THEOREMA XXXI.
Zoo een parallellogram en een driehoek op eene bafis en tusfchen twee parallelle linien ftaan; als dan is het parallellogram dubbeld tegen den driehoek.
CFig. 81. Tab. V.) Hypothefis. 't parallellogr: ABCD en de A EBC ftaan op eene bafis BC en tusfchen 1 parallelle linien BC en AE. Thefis. 't parallellogr: ABCD dubbeld van den A EBC of dat het zelvde is, 't parallellogr: ABCD =: 2 An- EBC. Praparata.
Trek de regte AC v. 1 beg. Demonftratie.
De A ABC en de A , EBC fiaan op een zelve bafis BC en tusfchen twee parallelle linien BC en AE.
Ergo is den A ABC = A EBC v: 37: 1. Maar de A ABC is de helft van 't parallellogr: ABCD. v: 34: 1.
Dus is ook de A EBC = de helft van 't parallellogr: ABCD v: 7 ax.
Of dat het zelvde is, 't parallellogram ABCD is dubbeld aan den A EBC v: 6 ax. Dat te bewyzen was.
F 2 O



84 Grond-beginselen der Meetkunde
Corollarium.
Zoo een parallellogram en een driehoek op gelyke bafes en tusfchen twee parallelle linien Jlaan; dan is het parallellogram dubbeld tegen den driehoek. Scholium.
Zoo een driehoek en een parallellogram op eene of op gelyke bafes en tusfchen twee parallelle linien Jlaan; als dan is de driehoek de helft van het parallellogram.
PROPOSITIE XLn. PROBLEMA XL
Een parallellogram te maaken gelyk aan een gegeeve driehoek, hebbende een hoek gelyk aan een gegeeve regtlinifche hoek.
(Fig. 82. Tab. VI.) 't gegeeve is den A ABC en den VD 't begeerde is parallellogr: FG te maaken == den
A ABC en de V EFC = V D. Conjlrutlie.
i'. Uit A trek AG paral: aan BC v 31- 1 2e. Deel BC in tweën gelyk in F v io- /
v/^rDan wiï trek FE maakende V EFC — V D v: 23: 1.
4e- En eindelyk trek CG par: aan EF v: 31: 1.
.Dan isEFCG't begeerde parallellogram. r
Pr*-



van Euclides, Eerste Boek. 85
P rap ar at a.
Laat getoogen zyn de regte AF v: 1 beg, Demonftratie.
Om dat CG par: FE, en EG par: FC is v: conft.
Daarom is EFCG een parallellogram v: 1 cor: 33: 1,
Verders om dat de An. ABF en AFC eene hoogte hebben, en de bafis AF — bafis FC v: conft.
Daarom is den A ABF= A AFC v: cor: 38: 1.
Nu is 't parallellogr: FG 't dubbeld van den A AFC v: 41: 1.
Of dat het zelvde is den AAFC = i parallellogr: FG.
En den A ABF = i parallellogr: FG v: fch: 41: 1.
Bygevolg is den A ABC = parallellogr» FG v: 6 ax?
Dat voor het overige de V EFC =è V D is, blykt genoeg uit de conft:
Bygevolg is 't parallellogr: FG == a ABC , en heeft een V EFC — de V D?
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XLIII. THEOREMA XXXII. In alle parallellogrammen zyn de fuple^ menten elkander gelyk.
F 3 Fig.



86 Grond-beginselen der Meetkunde
CFig. 83. Tab. V.) Hypothefis. ABCD is een parallellogr: BG en
'GD deszelfs fuplementen. Thefis. Supl: BG = Supl: GD.
Praparata,
Trek den diagonaal AC v: 1 beg. Demonftratie.
De diagonaal AC fnyt 't pa-~ï rallellogr. ABCD in tweën gelyk j
De diagonaal AG fnyt 't pa- [ rallellogr: AHEG in tweën gelyk V: 34: ï:
De diagonaal GC fnyt 't parallellogr: GFCI in tweën gelyk,
Daaromisie. A ABC= A ADC^
2e. A AHG= A AEG j. v: 7 ax= 3e. AGFC — A GIC J
Nadien nu A ABC—A ADC is v: b: b.
En A AHG -f A GFC = A AEG + A GIC v: 2 ax.
Deze grootheden van den andere afgetrokken, blyft 'er fupl: ABFG == fUplEGID v: 3 ax.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XLIV. PROBLEMA XII.
Op een gegeeve regte linie een parallellogram te befchryven, dat gelyk, is aan een gegeeve driehoek, en dat een hoek heeft
gelyk aan een gegeeve regtlinifche hoek
- - * ■ - > ■ ■
Fig.



van Euclides, Eerste Boek. 87
(Fig. 84. Tab. v.) 't gegeevene is de regte A, den A B, en den VC 't begeerde is te- maaken op A een parallellogr.
dat"— is den A B, hebbende den V FML = V C' Conflruttie.
ie. Maak 't parallellogr: GE = A B, hebbende een VDGF = V C v: 42: h,
2e. Verleng GF tot in H, zoo dat FH — Ais v: 2 beg: en 2: 1.
3e. Uit H trek Hl parallel FE v: 31: I. Deze ontmoet de verlengde DE in I. 4e. Wyders uit I door F trek de oneindige IFK v: 1 beg. Deze ontmoet de verlengde DG in K. 5e. Uit K trek KL parall. GH v: 31: 1. Deze KL eindelyk ontmoet de verlengde EF in M en de verlengde IH in L.
Dan is FMLH het begeerde parallellogram.Demonftratie.
Om dat DK par: IL, en KL par: Dl is
v: conft.
Daarom is DKLI een parallellogram v: 1
cor: 33: 1.
Waar vanKIden diagonaal is,en derhalven DGFE en FMLH de fuplem'.
Derhalven fupl: DGFE = fupl: FMLH v 43: i.
Dewyl nu 't fuplem'. DGFE = A B is v: conft.
Zoo is ook 't fupl: FMLH — A B v: t ax.
F 4 Ver-



88 Grond-beginselen der Meetkunde
Verders om dat de VFML — VEFIÏ = V DGH =r VC is v: 29: j en conft. Daarom is de V FML — y C v: 1 ax. En om dat de linie FH '~iA is v: conft. Daarom is 't parallellogram FMLH be. fchreeven op een linie, die gelyk is aande linie A. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XLV. PROBLEMA Xlli
Op een gegeeve regte linie een parallellogram te befcfaryven, dat gelyk is aan een gegeeve regtlinifcHe figuur, en dat een hoek heeft gelyk aan een gegeeve regtlinifche hoek.
C Fig. 85. Tab. V.) >t gegeevene is de regte linie FG, de regtl: %:
ABCD en de regtl: V E. 't begeerde is op FG te maaken een parallellogr;
IG z= fig: ABCD, hebbende een VFIHrsVEConftruclie.
ie. Deel de gegeeve fig: door den diagonaal AC in 2 An. v: 1 beg:
2e. Maak op FG 't parallellogr: FK — A ABC, hebbende een V F = V E v: 44: 1.
3e. Verders verleng FL v: 2 ber: 4e. En maak op LK >t parallellogr: LH, f= A ADC v: 44: 1. Dan is FH het begeerde parallellogram F i De-



van Euclides, Eerst» Boek. 89
Demonftratie.
Nadien GF, waar op het parrallellogr: FH befchreeven is, de gegeeve linie,
En den VF = den gegeeven V E is v: conft:
Zoo moeten wy alleenlyk maar betoogen dat 't parallellogr: IFGH gelyk figuur ABCD is.
Nuis'tparallellogr:FKr=AABC,l v: En 'tparallellogr:LH=AABCj conft: Deze gelyke grootheden nu by den andere gevoegd,komt 'er 't parallellogr:FH = fig: ABCD v: 2 ax: Dat te bewyzen was. SchoMum.
Door dit voorftel vint men iigtelyk het verfchil van twee figuren, by voorbeeld het verfchil dat de fig: ABCD grooter is dan de figuur EFGH aldus
(Fig. 86. Tab. V.)
Laat getoogenzyn deregteBD enFHv: 1 b:
En de perpendicularen AK, Cl en EL, GM v: 11: 1.
Trek dan de oneindige OV v: 2 beg.
Neem in dezelve OP — | BD en PV — 1 FH v: 2: 1.
Befchryv op OP V regth: pa-~\ rallellogr: PR —fig: ABCD ' 't
En - - op PV 't regth: pa- j 45' rallellogr: PW 5= fig: EFGH J
F 5 DaV



po Grond-beginselen der Meetkunde
Dan verleng "WX en RO, die ontmoeten malkander in Y. . Verleng ook WV v: 2 beg.
En haal uit Y door P de oneindige YZ?
Deze fnyt de verlengde WV in Z.
Eindelyk haal ZT par: VO v: 31: 1.
Dan is TSQR fe* begeerde verfchil, het geene volgens deze 45e. Prop: zeer klaar is.
PROPOSITIE XLVI. PROBLEMA XIV.
Op een gegeeve regte linie een quadraat te befchryven.
(Fig. 87. Tab. V.) 't gegeevene is de regte linie AB. 't begeerde is op dezelve een quadraat ABCD te
befchryven. Conflruclie.
ie. Uit beide de üiterftens van de linie AB ftel de perpn. AD en BC v: n: 1.
2K Maak AD en BC yder = AB v. 2: i.
8<=. En trek de regte CD v: 1 beg.
Dan zal ABCD het begeerde quadraat Weezen. Demonftratie
Nademaal de V". A en B regt, en AD — BC zyn v: conft:
Daarom is AD parallel aan BC v: 28: 1. ' De 2 regte linien DC en AB voegen
2



van Euclides, Eerste Boek. 91
2 gelyke en parallelle linien AD en BC zaamen.
Dus is DC = en parallel AB v: 33: ï, .Omdat nu AD — en par: BC & DC == en par: AB v: b: b.
En de Vn. A en B regt zyn v. conft:
Daarom is ABCD een regth: parallellogr: v: 1 cor: 29: 1.
Ook is DC = AB = AD ac BC v: 34: 1 en conft:
Ergo is ABCD een gelykhoekig en ge • lykzydig parallellogram, en derhalven een quadraat v: 30 def:
Dat te bewyzen was. * Coroilaria.
ie. Alle quadraten, Jlaande op gelyke linten, zyn gelyk.
C Fig- 88. Tab. V. ) AF en GC zyn 2 quad"., die op gelyke linien AB en CD Jlaan, en dus zyn die malkander gelyk.
iVant de A ABE — A CDH1 En de A EFB = A HGÖ J * Ergo □ AF — □ CG v: 2 ax. 2e. De linien, op welke gelyke quadraten ftaan, zyn gelyk.
(Fig. 89 Tab. VIO Het quad1. IO — het quad1. LQ_ en dus IK — LM.
Wmt een van beiden is waar, LM is
ge-



f>2 Grond-beginselen der Meetkunde
gelyk IK, of een ander als LF (die langer of korter dan LM is) zal gelyk IK zyn.
Zoo nu het laatfte waar is
Dan is het □ ÏO = □ of LF dat is het □ LS v: conft:
Maar het □ IO — □ LQ v: hyp:
Ergo is, dan □ LS — □ LQ. v. i ax.
Maar 't □ LS een gedeelte zynde van ?t □ LQ,
Qf 't □ LQ een gedeelte zynde van »* □ LS.
Zoo kan 't □ LS niet gelyk 't □ LQ zyn v: 9 ax:
Daarom is dan ook LF niet gelyk IK.
Ergo is LM — IK.
3e. Alle vierzydige figuren, hebbende 3 gelyke zyden en twee regte hoeken tusfchen deze zyden, zyn quadraten^
Scholium.
Op dezelve wyze, als hier boven van een quadraat gezegd is, befchryft men ook van twee ongelyke regte linien XV en YZ een regthoekig parallellogram XYZV.
(Fig. qo. Tab. VI. )
PROPOSITIE XLVII. THEOREMA XXXIII.
Van alle regthoekige driehoeken is het quadraat der zyde tegen over den regten
hoek



Van Euclides* Eerste Boek. 93
ïioêk even' zoo groot, als beide de quadraten der twee andere zyden te zaamen.
(Fig. 91. Tab. VI.) Hypothefis. De regth: A ABC regt in A. Tliefis. □ BC = □ AB f □ AC.
Preeparata.
i<=. Op yder zyde van A ABC befchryf een quad'. v: 46: 1.
2*. Dan uit A trek de regte AK par: BD v: 31: ï.
3e. Trek ook de regte AD, AE item CF en BI v: 1 beg. Demonftratie.
Dewyl de V". BAG en BAC, item de Vn. CAH en CAB regt en by gevolg = zyn v: hyp: ber: en 10 ax.
Daarom zyn BAH en CAG regte linien v: 2 fch: 15: 1.
Nadien nu de Vn. DBC en ABF regt zyn v: conft:
Daarom is den VDBC= yABFv: ioax.
En - - den VABC —VABC
Bygevolg den VABD = VGBF v: 2 ax.
Nu is in de An. ABD en CBF de VABD = VCBF v: b: b. AB = BF1 BD = BCj>v: 3° def-
Ergo is de A ABD == A CBF v: 4: r.
De □ BK en a ABD ftaan op een bafis BD en tusfchen twee parallelle li> nien BD en AK.
't d BG en a CBF ftaan op een bafis



94 Grond-beginselen der Meetkunde
fis BF en tusfchen twee parallelle linieii BF en CG.
Derhalven is den □ BK —] 2 An. ABD I
En -VDBG^ U
2 An. CBF. J
Ook is 2 An. ABD = 2 An. CBF v: b: b: en 6 ax.
Derhalven is den □ BK= □ BG v: 1 ax.
Aan de andere kant zyn ook de V". ECB en ACI regt v: Conft:
En daarom is de V ECB — V ACI v: 10 ax.
NuisookdenVACB= \/ACB v: k: b; Derhalven den VACE ±= VBCI V: 2 axi Dus is in de A". ACE en BCI den v ACE — VBCI v: b: b.
ac == cn , P
CE == BCj>v: 30 def'
Daarom is de A ACE=den A BCT v: 4:1.
De □ CK en A ACE ftaan op een bafis CE en tusfchen twee parallelle linien CE en AK.
't □ CH en A BCI ftaan op eene bafis Cl en tusfchen twee parallelle linien Cl en BH.
Derhalven is den □ CK — 2^j An. ACE I
En 't □ CH== 2 fV: 4I:I*
An. BCI. J
Ook



van Euclides, Eerste Boek. 95
Ook is nog 2 An. ACE ö 2 A». BCI
V: b: b: en 6 ax.
Dus is - - - □ CK — rJCHv:iax4 Nu is ook - - □ BK. — rjBG.v:b:b, Ergo is - - - □ BE =DCH + □
BG v: 2 ax.
Dat te bewyzen was.
Schotium.
Door behulp van dit voortreffelyk leerJluk, waar van men Pythagoras voor uitvinder houdt, wort de additie en fubflractie der quadraten uit gewerkt, waar toe deze twee volgende werkjlukken gefield worden. Eerjle werkfluk.
Geveeven zynde zoo veel quadraten als men wil, een quadraat te maaken, dat zoo groot is als die alle te zaamen.
(Fig. 92. Tab. VI.) 't gegeevene is de Dn. A, B, C en D. 't begeerde een □ IH te maaken ~ Dn. A, + B + C + D. Conflrutiie.
ie. Neem de regte EF =z A flellende op dezelve perp: FG = B v: 11: 1. en 2: 1.
En trek de regte GE v: 1 beg.
ie. Op GE flelperp: GH, en maak GH -Cd: n: 1 f» 2: 1,
En trek de regte HE v: 1 beg.
3e. Op HE Jlel Hl = D, en perp: op HE w 2: 1 en 11: 1.
En trek de regte EI v: 1 beg.
De-



g6 Grond-beginselen der Meetkunde
Deze EI zal een zyde des begeerden qua» draats zyn. Demonjlratie.
Omdat de An. GFE, HGE en IHE alle regt hoekig zyn v: conjl: en 27 def.
Dusisü EF = □ Al r .
~ >v: cor'. 46: ï.
□ FG = □ Bj 4
Ergo □ EG == □ A + G'Bw 47: U
□ GH = □ C v: cor: 46: 1. Ergo □EH = DA + DB-r-ü C 47: 1.
□ Hl = □ D v: cor: 46: 1. Ergo □ EI = D AtOB + DC
+ □ D v: 47: 1. Dat te bewyzen was.
Tweede werkjluk.
Gegeeven zynde twee quadraat en, een quadraat te maaken, dat zoo groot is als hes verfchil van de twee gegeevene.
CFig. 93. Tab. VI) ,t gegeevene is de dn. A en B. 't begeerde te maaken een Q EG ts □ A— □ B. Conjlruclie.
ie. Trek de oneindige CH, neem in dezelve CD = Ken DE — E v: 2 beg: en 2:1.
2e. Dan uit D a// cm/: met de wydte DC a/> rad: befchryf den cirk: CGFv: 3 beg*
3e.EindetykuitEjlelEGperp: opCFv: 11:1.
£teze EG /?oo* den cirkel in G is de zyde des begeerde quadraats.
Pra«



van Euclides, Eerste Boek» 97
Praparata.
Trek de regte DG v: 1 beg. Demon (Ir atie.
DC en DG zyn 2 radii van den cirkel* CGF, en daarom gelyk v: 15: def.
Dus is ook □ DC == □ DG v: 1 cor: 46: l
Om dat nu ook A=DC^DGi/ d: cons: en b: b.
Daarom is ook □ A = □ DG v: 1 axl 1 cor: 46: 1.
Nu is de A GDE regthoekigv: cons: en2jdef.
Daaromis DDG—□ GE4- □ EDv:47:1
porders is DE — B v: conft.
En daarom □ DE — □ B v: 1 cor; 46:1.
AWz>» (/au □ ED + D GE=] □ DG == □ A. >isv:b:h
En □ ED = □ B. j
Dit dan van den anderen afgetoogen
Zoo reft □ GE — □ A — □ B v: 3 ax.
Dus is dan GE het verfchil der quadraten A en B v: k: b.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XLVIII. THEOREMA XXXIV.
Alle driehoeken, waar van het quadraat van de eene zyde gelyk is aan beide de quadraten der twee andere zyden, zyn regthoekige driehoeken.



p8 Grond beginselen der Meetkunde
( Fig. 94. Tab. VI. ) Hypothefis- In den A ABC is □ BC s= Q AB + □ AC.
Thefis. de A ABC is regthoekig, regt in A.
Praparata.
ie. Uit A trek AD AB ,en perp: op AC v: 2 en 11: 1.
2e. En trek de regte DC v: 1 beg. Demonftratie.
Om dat nu AB — AD is v: ber.
Daarom is □ AB= □ AD v: 1 cor: 46": 1.
En om dat □ AC — □ AC is v: k: b:
add:
Daarom is □ BC — □ DC v: 47. 1. 2 ax: en hyp.
Nu is in den A". ABC en ADC BC = DC v: 2 cor: 46: 1. AB = AD v: ber. AC — AC v: k: b.
Derhalven is de V BAC— yDAC v: 8:1.
En nadien de V DAC regt is v: ber.
Dus is ook de V BAC regt v: 10; ax.
En dus is de L ABC regthoekig v: 27 def.
Dat te bewyzen was.
Einde van het Eekste Boek.
GROND-



GROND - BEGINSELEN
DER.
MEETKUNDE
VAN
EUCLIDES,
TWEEDE BOEK.
DEFINITIEN. I.
A
J\'ilé regthoekige parallerogrammen worden gezegd begreepen te zyn van twee regte linien, die een regte hoek befluïten.
CFig. 95. Tab. VI.) By voorb: het regthoekig parallellogram ABCD wort gezegd begreepen te zyn van de 2 regte linien AB en AD, die den regten huek befluiten. I I
Van alle parallellogrammen, wort een van.de parallellogrammen, welke om den diameter ftaat, met beide de fuplementen te zaamen, een Gnomon genaamd.
C Fig. 96. Tab. VI: )
ABCD is een parallellogram, AC den diameter, dit parallellogram is door de G 2 ïfc



iqo Grond-beginselen der Meetkunde
linien EF en GH gedeeld in vier parallellogrammen AFOG, FBHO, OHOE, en GOED.
De parallellogr: AFOG en OHCE ftaan om den diameter.
En de parallellogr: FBHO en GOED zyn de fuplementen van het parallellogr: ABCD.
Bygevolg de 2 fuplementen met een der parallellogrammen, die om den diameter Haan, te zaamen een Gnomon zynde volgens deze definitie; zooxis de fig: GOFBCDG een Gnomon, van 's gelyke is de fig: EOHBADE een Gnomon.
DE



van Euclides, Tweede Boek. iöi
D E
PROPOSITIEN
VAN HET
TWEEDE BOEK
VAN
EUCLIDES,
PROPOSITIE I. THEOREMA I.
^foo van twee regte linien, de eene gedeeld is in ettelyke deelen na begeeren; dan zyn de regthoeken dier deelen en van de ongedeelde linie te zaamen getyk aan den regthoek der beide linien.
( Fig. 97. Tab. VI. ) Hypothefis- AB en C zyn 2 regte linien d'eene AB is na begeeren gedeeld in Een D. Thefis. □ AEC + □ EDC + □ DBC —
□ ABC. Praparata.
Van de linien AB en C maak den □ AH v: 1 def: 2 en 46: 1.
En trek EK en Dl parall: aanAGv:3i: r. Dan is de □ AH gedeeld en 3 AK, EI, DH. v: 1 def: 2. 31 def. 1. en 1 cor: 29; i.
G 3 De*



io2 Grond-beginselen der Meetkunde
Demonftratie.
Dewyl nu de c]n. AK. EI, DH begreepen zyn van de deelen der linie AB en van de geheele C v: ber: en 34: 1.
Zoo is betoogd, het geene beweezen moeft worden.
Namentlyk dat □ AEC + □ EDC + □ DBC = C2 ABC is. Corollarium.
Hier uit Uykt, dat, als in een regthoek een of meer linien getoogen worden parallel met een der zyden, dezelve gedeeld wort in regthoeken gelykhoekig met de geheele regthoek, en een meer in getal als 'er linien getoogen zyn. Scholia.
ie. Indien twee regte linien ider byzonder of beide in eenige deelen gefneden worden; dan is de regthoek van beide de linien gelyk aan de regthoeken, die elk deel van de eene met elk deel van den andere maakt,
CFig. 98. Tab. VI.) Hypotbefts. de regte AB gedeeld in D en E en de
regte AC in F en G. Tbefis. □ EAC = AP + DQ + IL + FN + PÜ 4- QM + GI + NK 4- OH. Praparata.
Van AB en AC maak den □ AH v: 46: ï„ En trek DÏ en EK par. AC item FL en GM par: AB v: 31: 1.
Dan is de □ AH gedeeld in 9 n«-



van Euclides, Tweede Boek 103
I def: 2. 31: def: 1. en 1 cor: 29; I.
Welke 9 □".= zyn aan den □ AH v: 9 ax: Demonftratie.
Dewyl nu AB ra AF fw« r^*e zyra, waar van de eene AB gedeeld is in ettelyke deelen in D en E.
Faw 's gelyke FL «» P <™ Q.
jSfc' * - GM «» N ra O
Daarom is On. AP + DO_ + EL =
□ AL
En - - - - FN + PO + GM == D FM
Item - - - □-. GI + NK + OH =
□ GH
Deze gelyke grootheden nu by den andere vergaderd, koomen de 9 □ AP &c. — de o □ KL enz: v: 2 axr
Maar * 3 □"■ AL 4- FM -f GH ==
□ AH v: 1: 2.
Daarom zy* 00* <fc 9 AP raz. =
□ AH v: 1 ax.
2e. Zwrfim Kiw regfe linien elk in zoo veel deelen gedeeld wort, als het valt: dan is de regthoek der beide linien, met den regthoek gemaakt van een deel van de eene linie en het andere deel van de andere linie, gelyk aan den regthoek der zeiver deelen weerzydig gemaakt, met den regthoek, die van de andere deelen begreepen wort. Hypothefis. De regte AB na gevallen gedeeldm D.
En regte AC * ■
G 4 T"e~



jo4 Grönd-eeginselen der Meetkunde
Tbefts. DAB, AC + □ AD, EC = □ AB, EC + □ AC, AD -j- ODB.AE. Praparata.
Van AB en AC maak den □ AFv.46 1.
Uit D frf* DG par: AC, <?» uit E trek EH par: AB v: 31. 1. Demonftratie.
Om dat AB en AC /-uw rtfg^ //«/e» zyn.
Waar van de eene gedeeld is na begeeren
Daarom is de □ AF =; EF + AI + DH v: 1: 2.
^ara beide kante den □ EG by gedaan.
Komt 'er de Cjn. AF + EF — EF + AG + DH v: 2 ax.
Nu is de □ AF = □ AB, AC en
□ EG = □ AD, EC.
Item de □ EF.,= □ AB, EC en □ AG — n AC, AD.
En de □ DH = □ DB, AE Derhalven □ AF + □ EG = □ EF + □ AG + □ DH.
□ AB, BC, □ AD, EC,n AB, EC, □ AC, AD, □ DB, AE in plaats gefteld. Komt 'er □ AB, BC + □ AD, EC =
□ AB, EC + □ AC, AD + □ DB, AE y: 1 ax.
Corollarium.
Hieruit vloeit wederom voort, dat, indien twee regte linien elk in zoo veel deelen gedeeld wort, als men wil, dat dan de
regt».



'van Euclides, Tweede Boek. 105
regthoek van beide de geheele linten gelyk is aan de regthoeken, die gemaakt zyn van een dezer linün, en een deel der andere, linien, met de twee regthoeken, die gemaakt zyn van het andere deel derzelver linie, en elk deel van de laatfle linie.
(Fig. 99. Tab. VI.) Dat is te zeggen.
ie. Dat de □ AF = is □ EF ;gemaakt van de geheele AB en het deel EC ) + Qn, AI en DH ( gemaakt van het andere deel AE en de deelen AD en DB.)
2e. Dat de □ AF — is □ AH (gemaakt van de geheele AB en het deel AE) + □". EG en IF ( gemaakt van het andere deel EC en de deelen AD en DB. )
3e. Dat de CD AF — is □ AG (gemaakt van de geheele AC, en het deel AD ) + Qn.' DH en 1F {gemaakt van het andere deel DB en de deelen AE en EC.)
4e. Dat de □ AF =: »V □ DG (gemaakt van de geheele AC, en het deel BD) 4. AI en EG (gemaakt van het and;re deel AD en de deelen AE en EC.)
Om dit dan onder een oog punt te doen, voor koomen, zoo zeggen wy.
EF + □ AI + □ DH J □ AH + □ EG + □ IF | □ AG+ □ DH+ n-IF LU DF + □ AI + □ EG.
G 5 \J PRO-



xo6 Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE IL THEOREMA II.
Zoo een regte linie na gevalle gedeeld Is in twee deelen; dan zyn de regthoeken begreepen van de geheele linie en van yder deel te zaamen gelyk aan 't quadraat van de ganfche linie.
CFig.. ioo. Tab, VI.) Hypothefis. AB is een regte linie na gevalle gedeeld in C.
Thefis. □ BAC dat is O AF + □ ABC dat is
□ CE = □ AB dat is □ AE.
Praparata.
Op AB befchryf het quadt. AE v: 46": 1.
En uit C trek de regte CF par: AD v: 31: 1.
Dan is het quad'. AE gedeelt in 2 AF en CE, welke gelyk zyn aan het zelve quad'. AE v: cor: 1: 2. en 15 ax. Demonftratie.
Dewyl nu de □ AF beflooten is van de geheele AB en het deel AC.
En - - de □ CE beflooten is van de geheele AB en het deel CB.
Zoo is beweezen, het geene beweezen moeft worden.
Namentlyk dat □ AF 4- □ CE = □ AB is v: k: b. Scholia.
ic. Indien een regte linie na gevalle in ee-
ni-



van Euclides, Tweede Boek. 107
nige deelen gedeeld is, dan zyn de regthoeken van de geheele linie, en yder deel m het byzonder gelyk aan het quadraat van de geheele linie.
(Fig. 101. Tab. VI.) Hypothefis. AB gedeeld in E en F. Tbefis. □ ABF + □ BAE + □ ABEF
=. □ AB. Praparata.
' Op AB befchryf 't quadt. AC V. 46: I.
Vit E era F trek de regte EG era rH par: aan AD v: 31: *,
Dara 1/ £e* AC gedeeld in 3 O».
AG, EH en FC, we/£e gelyk zyn aan 't zelve quadK AC v: cor. 1: 2. Demonftratie.
Dewyl nu de □ AG fc/Zoottn fe va» * geheele AB era fof deel AE,
Ende H2 EH &e/Zoofera van * £e£ee/e AB en het deel EF.
Jmn de □ CF to/Zoott» «f van de geheele AB era het deel FB.
^co beweezen het geene beweezen moejt
worden. _
Namentlyk dat □ AG + □ EH 4- O FC — □ AB *r.
2e. IraaVen eera regfe /m?e raa gevalle gedeeld is in eenige deelen; dan zyn de regthoeken van elk der deelen, en yder deel in het byzonder gelyk aan het quadraat van de geheele linie. ^.



io8 Grond-beginselen der Meetkunde
CFig. 102. Tab. VI.)
.Hypothefis. ABgedee/d in D en E.
Tbtfis. AD X AD + DE X AD | EB X AD + DE X AD + DE X DE + DE X EB + EB X AD + EB X DE + EB X EB = Q AB.
Praparata.
Op AB befchryf het quacK AH v: 46:1. Uit D en E trek de regte Dl en EK paral: AC v: 31: 1.
Dara is 't □ AH g?aWa? in 3 Dn. AI, DK en EH, we/&? g<?/y£ zyK aan 't zelve □ AH. v: cor: i>. 2.
verders de linie AC ?<yra als de linie AB in F ra G, ra uit F en G trek de regte FL en GM ^ar: AB 31; 1.
Dan is de D AI gedeeld in 3 On. AP FN en GI we/te h= zyn D AI.
£?2 de □ DK gedeeld in 3 O DQ PO ra NK ivelke ~ zyn D DK. '
Item de O EH gedeeld in 3 Dn. EL, QM ra OH rff = □ EH zyn. Demonftratie.
Wanneer men nu aan beide zyde alle deze Dn. by den andere telt, dan komt 'er aan d'eene zyde de 3 Dn. AI &c: == de 3 Dn. AP gfc: v: 1 ax.
Nu is de D AP = AD X AD en D FN ~ DE X AD en D GI — EB X AD.
En de^ DQ = DE X AD en D PO = DE X DE en D NK — DE X:EB.
Item



van Euclides , Tweede Boek. 109
Item de □ EL — EB X AD en a OM = EB X ED en □ OH = EB X EB.
Derhalven ïs AD X AD + DE X AD + EB X AD + DE X AD + DEXDE + DE X EB + EB X AD + EBXED t EB X EB ~ □ AB v: 1 ax.
PROPOSITIE III. THEOREMA HL
Zoo een regte linie na gevallen gedeeld Is in twee deelen; dan is de regthoek van de geheele linie en een der deelen gelyk aan den regthoek der deelen te zaamen met het quadraat des zeiven deels.
(Fig. 103. Tab. VII.) Hypothefis. De regte AB gedeeld in C na gevallen.
Thefis. U BAC = □ ACB -f □ AC Praparata.
Van de geheele AB en het deel AC maak den regthoek AF v: 46: 1.
En uit C trek de regte CE par: AD v: 31: 1:
Dan is de ZJ AF gedeeld in 2 AE en CF, welke gelyk zyn aan den □ AF v: cor: 1: 2. Demonftratie.
Nadien de □ AF beflooten is van de geheele AB en 't deel AC v: ber.
Daar-



iio Grond-beginselen der Meeetkundh
Daarom is AE het quadc. op AC en □ CF = □ ACB v: 34: 1.
Ergo is □ BAC = □ ACB + □ AC v: k: b.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE IV.5 THEOREMA IV.
Zoo een regte linie na gevalle gedeeld wort in twee deelen; dan zyn de quadraten der deelen te zaamen met tweemaal de regthoek derzelver deelen, gelyk aan het quadraat van de gehee-le linie.
CFig. 104. Tab. VII.) Hypothefis. De regte AB na begeeren gedeeld in C.
Thefis. □ AC 4- □ CB + 2 □ ACB = □ AB.
Préparata:
Op AB befchryf het quadt. AE v: 46:1. En trek den diagonaal BD v: 1 beg. Dan uit C trek CF par: AD v: 31: 1. Deze fnyt den diagonaal in I. Door I trek GIH par: AB v: 31: r.
Demonjlratie.
Dewyl nu de V A regt en AD s=
AB is v: ber.
Daarom is ABD een gelykb: A, en de V A van gelyke zyden begreepen, regt.
£<n



van Euclides, Tweede Boek. iü
En gevolgelyk zyn de Vn. ADB en ABD yder halv regt v: 4 cor: 32: 1.
Vermits nu verders GI par: AB is v: *t ber.
Daarom zyn ook de Vn. GID en CIB yder halv regt v: 29: ï. of 3 cor: 32: 1.
En dus zyn de An. DGI en BCI mede gelykbeenig en regthoekig v: 34: i-
En daarom is ook AC = GI en GD
— IF v: 6: 1.
Derhalven is DAC =DGF1
□ CB =GCF I v: cor.
□ ACB = 13 AI | 46: 1-
□ ACB =nIEj . Geadd:
Komt □ AC + □ CB 4. 2 O". ACB
— □ AB v: 2 en 15 ax. Dat te bewyzen was.
Coroüaria.
Hier uit vloeijen voort drie waarheden als namentlyk.
ie Dat de regthoeken, die om den diameter eens quadraats Jlaan, mede quadraten zyn.
2e Dat de hoeken van een quadraat door den 'diameter of diagonaal in tweën gelyk gedeeld worden.
3e. Indien de gegeeve Unie gedeeld is in twee gelyke deelen, dat dan het quadraat
van



ii2 Grond-beginselen der Meetkunde
van de geheele linie gelyk is aan viermaal het quadraat van een der deelen. Want AC =r | AB zynde
V
Dan is □ AC = \ □ AB
4
Ergo 4 □ AC = □ AB "
In tegendeel indien 4 □ AC= □ AB is
4 ~
Dan is DAB^ïDAB
V
En dus wederom AC=f AB
PROPOSITIE V. THEOREMA V.
Zoo een regte linie gedeeld wort in twee gelyke deelen, en ook in twee ongelyke deelen; dan is de regthoek der ongelyke deelen te zaamen met het quadraat op het verfchil der gelyke en ongelyke deelen, gelyk aan het quadraat van de halve linie.
CFig. 105. Tab. VII.)
Hypothefis. De regte AB gedeeld in 2 gelyke deelen in C en in 2 ongelyke deelen in D.
Thefis. □ ADB + □ CD = □ CB.
Praparata.
Op een der gelyke deelen CB befchryf
het quad'. CE v: 46: 1.
En



van Euclides, Tweede Boek. 113
En trek den diagonaal BF v: i beg* Dan uit D trek DG par: CF v: 31: U Snydende de diagonaal BF in l, En op AB befchryv den regthoek AH, Zoo dat LH gaat door I v: 31: 1* Demonjlratie:
AK en CH zyn 2 parallellogrammen^ die óp gelyke bafes, en tusfchen twee parallelle linien ftaan v: hyp: en ber.
En daarom is □ AK = □ CH v: 36:1* Cl en EI zyn de 2 fuplementen van den □ CE v: ber.
En daarom is ook □ Cl =uti v:43:r. s Nu is - - - DA^DCH v:b:b.
c —Geadd.
Komt ..- □ Ai=aEi+nCH
dat is Gnomon QR v: 1 5 en 2 ax.
Nu is ook - □ Al = □ ABD v:
2 cor.- 4: 2. By gevolg is □ ADC = Gnomon QR
v: 1 ax. „ n CD = □ KG
v: 34 en 1 cor: 46: 1.
_ • '—~ ■ geaddé
Komt □ ADB + DCD ~ Gnom: QR. 4. □ KG dat is □ CB v: 2 ax.
Dat te bewyzen was. Coroilarium.
CD is, de helft van het verfchil der ongelyke deekn AD en D3, en daarom de H helft



h4 Grond-beginselen der Meetkundï
helft van het verfchil gevoegd by de halve fom, komt het groot/ie deel, dat is CD + AC = AD.
En afgetoogen, komt het kleinfle deel, dat is CB — CD = DB.
En daarom ook de halve fom afgenoomen van het groot/ie.
Of het kleinfle afgenoomen van de halve fom, komt het halve verfchil der ongelyke deelen.
Dat is AD — AC = CD Of CB — DB = CD.
PROPOSITIE VI. THEOREMA VI.
Zoo een regte linie gedeeld wort in twee gelyke deelen, en dezelve na gevalle verlengd wort; dan is de regthoek van de geheele linie en het aangevoegde deel te zaamen met het quadraat van de halve linie gelyk aan het quadraat op de linie, welke zaamgefteld is uit de halve linie en het aangevoegde deel.
(Fig. 106. Tab. VII.) Hypothefis. De regte AB is in 2 gelyke deelen gedeeld in C en dezelve is na gevalle verlengd tot in D. Thefïs. □ ADB + □ CB = □ CD. Praparata.
Op CD befehryv het quad'. CE v: 46.1. En trek den diagonaal DF v; 1 beg.
Dan



van Euclides, Tweede Boek. 115
Dan uit B getoogen BG par: CF v: 31: 1.
Déze fnyt den diagonaal in 1
Eindelyk op AD befchryv den □ AL met de hoogte BI v: 34: 1. Demonftratie.
Nademaal AC = CB is v: hyp;
Daarom is □ AH — □ Cl v: 36: 1.
Nadien nu Cl en EI fuplementen zyn van den □ CE.
Daarom is □ Cl — □ EI v: 43: tt
Derhalven □ AH = □ EI v: 1 ax. □ CL — □ CL geadd:
Komt □ AL = □ EI + □ CL dat is Gnom: QR v! 15 en 2 ax.
De □ AL nu is = □ ADB.
By gevolg is dan ook den □ ADB = Gnom: QR v: i ax.
Aan de eene kant □ BC, en aan de andere kant □ HG by gedaan, welke gelyk zyn v: 36: 1.
Komt'er □ ADB + □ CB ~ Gnom. QR 4- □ HG dat is □ CD v: 2 ax4
Dat te bewyzen was. Corollaria*
ie. Het blykt dat deze drie linien BD, CD en AD in een Arithmetijche progresfie zyn, vermits haar groote na haar verfchil vergeleekm wort.
H 3 *e.



n6 Grond-beginselen der Meetkunde
2e. Waar uit verders volgt, dat, wanneer drie linien in een Arithmelifche progresjie zyn, dan de regthoek van de twee bvAtenfle te zaamen met het quadraat van het verfchil tusfchen de middeifle en een der uiterjlens gelyk is aan het quadraat des middeifle.
Dat is BD X AD + CB*. ~ CD*.
Dat juf de Thefis van dit voorfel is.
3e. Dus is ook de regthoek van de geheele linie en het aangevoegde deel, gelyk aan het quadraat op de linie, welke zaamgefleld is uit de halve linie en het aangevoegde deel min het quadraat op de halve linie, Scholium.
Op dit 6e. voorfel kan men laaten volgen dit.
Vertap?. In alle rsgthoekige driehoeken is de regthoek, gemaakt van de fom dir fchuinfe of Irypothenifa met een dir teemn en derzelver verfchil gelyk aan het quadraat van het andere been.
CFig. iof. Tab. VIL) Hypothefis. De regth; A ABC. Thejis. BC + AC X BC - AC = AB. Traparata.
Verleng* BC tot in D, zoo dat CD = AC is v: 2 beg: en 2: r.
Dan is BD — BC + AC.
In BD maak BF — BC — AC of dat het zelvde is CF — AC.
Der



van Euclides, Tweede Boek. 117
Derhalven BC + AC == BD en BC — AC = BF zynde, zoo moet men bewyzen dat □ DBF — □ AB is. Demonjlratie.
Nu is DF gedeeld in 2 gelyke deelen in C, en dezelve is na gevalle verlengd tot in B v: ber.
Daarom is □ DBF + □ CF = □ CB v: 6: 2.
Nu is CF = CA v: ber.
Dus is □ CF = □ CA v: cor: 46: r.
Om dat nu de A ABC regthoekig is v: hyp.
Daarom het □ CB = □ CA + □ AC
V' Derhalven □ DBF + □ CA = □ AB 4- □ CA v: 1 ax.
Aan beide kanten nu □ CA weggenoo.
men. _
Zoo reft'er □ DBF = □ AB v: 3 ax. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE VH. THEOREMA VH
Zoo een regte linie na gevalle gedeeld is in twee deelen; dan is het quadraat van de ganfche linie te zaamen met het quadraat van een der deelen gelyk tweemaal de regthoek der geheele linie en H 3 het



Ït8 GlïOND-BEGINSELEN DER MEETKUNDE
het zelve deel te zaamen met het quadraat des anderen deels.
(Fig. 108. Tab. VII.) Hypothefis. De regte AB na gevalle gedeeld in C. Thefis. □ AB + DCB = 2 pn. ABC
+ □ AC. Praparata.
Op AB befchryf het quad'. AD vs.46.-jf;
En trek den diagonaal EB v: 1 beg.
Dan uit C trek CH par: BD fnyden-? de den diag: in I v: 31: 1.
En door I trek LK par; AB v: 31: 1. Demonjlratie.
Nu is de linie AB gedeeld in 2 deelen ïn C v; hyp.
En daarom is □ AB = □ AC + 2 Q CB + 2 p». ACB v: 4: 2.
Aan beide kanten □ CB by gedaan.
Komt 'er □ AB 4- □ CB — □ AC + 2 Dn. CB + 2 ACB v: 2 ax.
Nu is het □ CB + p ACB O ABC v: 3: 2.
En dus 2 □ CB 4- 2 □ ACB = 2 O ABC. v: 6 ax.
Gevolgelyk is dan □ AB + □ CB ==; □ AC 4- 2 □ ABC. v: 2 ax,
Dat te bewyzen was. Schotium.
Als een regte linie na gevalle in twee on* gelyke deelen gedeeld wort; dan zyn de quadraten der beide de deelen. gelyk aan tweemaal



van Euclides, Tweede Boek. ir§
maal de regthoek derzelver deelen met het quadraat van het verfchil der beide deelena
(Fig. 109. Tab. VII.) Hypothefis. De regte AB gedeeld in C na ge, valle.
Tbefis. □ AC + □ CB = 2 Qn. ACB
+ □ CD. Praparata.
Op AC befchryf het quad. AE1 _
Op CB befchryf het quad. Cl j*u'4 :I»
Trek DG par: CE v: 31: 1.
En verleng IK, tot dat die DG ontmoet in H v: 2 beg. Demonjlratie.
DC is het verfchil van beide de deelen»
En daarom is CB == AD v: k: b. DC = DC geadd.
Komt 'er BD = AD = AC v: 2 ax. en ber.
CB == CK zynde v: bert
Trek CB af van BD en CK van AC.
Zoo refl 'er DC = KE v: 3 ax.
Derhalven is DDC = □ KE dat is p HE v: cor: 46: 1.
En om die zelfde rede is DBD == rjAC v. utf en b: b.
Om dat nu CB = AD en BD == AC is v: b: b.
Daarom is □ DBC — □ ACB v:k\b H 4 Om



120 Grond-beginselen der Meetkunde
Om dat nu DB gedeeld is in 2 deelen in C na gevalle.
Daarom is □ DB + □ CB — Q DC + 2 DBC v: 7: 2
JVu is □ AC — □ DB en OACB =?: □ DBC v: b: b.
Derhalven is GAC + DCB. = DDQ + 4 ACB v: 1 ax.
PROPOSITIE VIII. THEOREMA VIII.
Zoo een regte linie na gevalle gedeeld wort in twee deelen, en dezelve uit een der eindens verlengd wort, zoo dat de aangevoegde linie gelyk is aan het aanleggende deel; dan ïs viermaal de regthoek der geheele linie en het zelve deel te zaamen met het quadraat des anderendeels gelyk aan het quadraat der geheele zaamgeitelde linie.
(Fig. 110. Tab. VII.) Hypothefis. Üe regte AB na gevalle gedeeld ia C. en dezelve verlengd tot in D, zoo dat BD = CB is. Thefis. 4 □ ABC + □ AC == □ AD. Praparata. Op AD maak het quad'. AE v: 46: r. En trek den diagonaal FD V: 1 beg. Uit B en C trek de regte BG en CH par: DE v: 31: 1.
Deze inyden den diagonaal in 1 en K.
Dus



van Euclides, Tweede Boek. 121
Dus door I en K trek de regte LM en NO par: AD v: 31; 1. Demonftratie,
Vermits nu AB na gevalle gedeeld is in 2 deelen in C v: hyp.
Daarom'is □ AB + □ CB = 2 ABC + Q AC v: 7: ».
Om dat nu BC — BD is v: hyp.
Daarom is □ BC — □ BD v: cor: 46:1.
Gevclgelyk is ook □ AB •;■ □ BD = 2 ABC 4- □ AC v: 1 ax.
Om dat nu verders BC — BD is v: hyp,
Daarom is □ ABD = □ ABC v:35:i.
En derhalven 2 ABD —2CP.ABC v: 6 ax.
Nu Is □ AB + □ BD =2nn.ABC + □ AC v: bï b.
Dus □ AB + □ BD + 2 □". ABD rz= 4 ABC + □ AC v: 2 ax.
Nu is □ AB = □ LG □ BD = □ BM
□ ABD — □ AI
□ ABD = □ IE.
'geadd.
Komt - - - - □ AD = 4 ABC i- □ AC v: 4: 2. en 2 ax. Dat te bewyzen was.
H j PRO-



122 Grond-begxnselen der Meetkunde
PROPOSITIE IX. THEOREMA IX.
Zoo een regte linien gedeeld wort in twee gelyke en in twee ongelyke deelen; dan zyn de quadraten der ongelyke deelen te zaamen dubbeld aan het quadraat der halve linie te zaamen met het quadraat op het verfchil der gelyke en ongelyke deelen.
(Fig. in. Tab. VII.) Hypothefis. De regte AB gedeeld in 2 ongelyke deelen in D en in 2 gelyke deelen in C. Thefis. □ AD -f- □ DB = a □ AC + 2 □
CD. Traparata.
Uit C ftel CE perpend: op AB v: ii: 1.
Maakende dezelve CE = AC v: 2: 1.
En trek de regte AE en BE v: 1 beg.
Uit D trek de regte DF par: CEl>v -1 ^
Uit F trek de regte FG par: AB J ' 3 :"
En trek de regte AF v: 1 beg. Demonjlratie.
De An. ACE en BCE zyn regthoekig v: ber: en 27 def: 1.
En AC =5 CE en BC = CE.
Derhalven zyn de £n. ACE en BCE mede gelykbeenig v: 25 def: 1.
Ergo zyn de Vn. CAE en CEA, item CBE en CEB yder half regt v; 5 cor: 32: 1.
Nu



van Euclides, Tweeue Boek 123
Nu is in de An. FDB en EGF de V FDB en EGF yder regt v: ber. De V DBF en GEF yder § regt v: b: b. Ergo de, V DFB en GFE yder § regt
v: 32: 1:
Den v CEA = § regtl , ,
w rcD , i>v-' b: b. V CEB — i regtj
geadd.
Komt V AEB — 1 regte v: 2 ax.
En daarom zyn ook DBF en GEF gelykbeenige An. v: 5 cor: 32: 1.
Dus is DB — DF, en GE == GF =s= CD v: 6 en 34: 1.
ACE, EGF en ADB zyn alle regthoekige An. v: b: b. en 27 def: 1.
Bygevolg is □ AE = □ AC + □ CE == 2 □ AC v: 47: 1. en 2 cor; 46: 1.
En □ EF = □ GF 4- □ GE = 2 □ GF = 2 □ CD v: uts: en 43: 1.
Als men nu □ AE voegt by □ EF en 2 □ AC by 2 □ CD
Zoo zal 'er koomen □ AF — 2 □ AC 4- 2 □ CD v: 47: 1. en 2 ax.
Nu is □ AF — □ AD + □ DFv: 47:1.
En □ DF = □ DB v: b: b: en cor: 46:1,
Ergo is □ AD f rj DB = □ AF v: 1 ax.
Derhalven □ AD + □ DB = 2 □ AC + 2 □ CD v: 2 ax.
Dat te bewyzen was. Scholiurn.
De quadraten der ongelyke deelen te zaamen



124 Grond-beginselen der Meetkunde
men zyn grooter dan tweemaal de regthoek derzeher deelen, zoo veel bedraagt viermaal het quadraat op het verfchil der deelen.
Dat is □ AD + □ DB 2 □ ADB 4- 4 CD.
Want □ AD + □ DB — 2 AC 42 □ CD v: b: b.
Nu is de regte AB gedeelt in 2 gelyke en in 2 ongelyke deelen.
Daarom is □ AC =±= □ ADB + □ CD v: 5: 2.
Dus ook 2 □ AC — 2 □ ADB 4 2 □ CD v: 2 ax.
Ergo □ AD + □ DB = 2 □ ADB 4- 4 □ CD v. 2 ax.
Nademaal CD het halve verfchil is tusfchen de ongelyke deelen v: 5- 2.
Daarom is A □ CD het 1uad'' °P het geheele verfchil v: 3 cor: 4: 2.
PROPOSITIE X. THEOREMA X.
Zoo een regte linie gedeeld is in twee gelyke deelen , en dezelve na gevalle verlengd wort; dan is het quadraat van de zaamgeftelde linie, te zaame met het quadraat der aangevoegde, dubbeld aan quadraat van de halve linie, zaamen -met het quadraat der linie, welke zaamgc-
fteld



van Euclides, Tweede Boek. 125
fteld is uit de halve linie en het aangevoegde deeL
Hypoüiefis. De regre AS gedeeld in 2 gelyke deelen in G en na gevalle verlengd tot in D.
Theils. □ AD + □ BD =' 2 AC +
2 □ CD. Praparata.
Uit C fteld CG perp. op AD v: ii: i.
Maakende CG — AC v: 2: r.
En trek de regte AG en BG v: 1 beg.
Dan volfchryf den □ CDFG^ v: 31. def: ï. en fch: 46: 1.
Verleng de zyde FD tot dat die de verlengde GB ontmoet in E v: 2 beg.
En haal de regte AE v: 1 beg. Demonftratie.
In de An. ACG en BCG is AC~| = CG, en de V ACG regt I
En BC = CG en de VBCG j regt J
DuszyndeVn.CAG~1 en CGA ^ yder half regt v: 5
Item deVn-CBG | cor: 32: 1. eh CGB J
Nu is FD par: GC v: 31 def. i. en de V BDF regt v: ber.
Daarom is de V BDE mede regt v: 1 cor: 13: 1. .
Den V CBG is half regt v: b: b.
Dus V EBD mede haif regt v: 15: 1.
Na



126 GROND-BEGINSELEN DER MEETKUNDE
Nu ïs in de A BDE de V BDE regt en de V EBD half regt v: b: b.
Derhalven is dan ook de V BED half regt v: 32: 1.
Verders is deyCGA= fregte1 , deVCGB —|regteJ>V: °
Bygevolg de VAGE—1 regte y: 2 ax.
Derhalven heeft men nu beweezen dat de A". ACG, BCG, AGB en BDE regthoekig zyn.
Dus volgt dat in den A ACG1 lsAC=:CG Jv:b:bj
In den A BCG is BC = | GC J
In den A AGB is AG =fj
In den A BDE is BD = | > ED J
Om dat nu de V AGB regt is v: b: b.
Daarom is ook de A AGE regthoekig v: 27 def: 1.
By gevolg is de □ AE = P AG + □ GE v: 47: ii
En □ AE = □ AD + □ DE en p DE = □ BD v: 47: n en 46: h
Dus P AE = □ AD + □ BD v: z ax.
Nu is ook P AG = P AC + P CG en P CG = p AC v: 47- h en 46: 1.
DuspAG=2PAC. ^



van Euclides, Tweede Boek. 127
Om dat nu de y GCD regt is v: ber. Daarom is ook de V F regt v: 94: 1. Derhalven is □ GE = □ FE 4- rj GF v: 47: 1.
Om dat nu FE = GF is, daarom is □ GE = 2 Dn. GF.
Maar GF = CD zynde v: 34: 1.
Is het □ GE = 2 □". CD.
Nu is - □ GE = □ FE + p CD v: cor: 46: 1.
Derhalven is □ AD + □ DB == □ AE = □ AG + □ GE.
Maar □ AG, = 2 □ AC, en □ GE — 2 O CD zynde v: b: b.
Dus is □ AD 4- □ DB = 2 □ AC + 2 □ CD v: 1 ax.
PROPOSITIE XI. PROBLEMA I.
Een gegeeve regte linie zoodanig te deelen, dat de regthoek van de geheele linie en het eene deel gelyk is aan het quadraat van het andere deel.
CFig. 113. Tab. VII.) !t gegeevene is de regte AB. * begeerde is d?zelve te deelen in G, zoo datQ
ABG =: □ GA is. Conftruclie.
ie. Op AB befchryf het quad'. ABCD 46: 1.
2e. Deel AD in tweè'n gelykin E v: 10:1.
En



xz8 Grond-beginselen der Meetkund*
ge Fn trek de regte EB vj i beg.
4e. Dan verleng EA tot in F zoo dat EF — EB is m 2: i-
5e. En eindelyk in AB neem AG =a AF v: 2: 1. of 15 def: 1.
Dan is D het deelpunt.
Prap: rata.
Op AF volfchryf het quad', AFHG
V: 46: 1.
En verleng HG tot in I v: 1 beg.
Demonftratie.
De regte DA is in tweën gelyk gedeeld in E en na gevalle verlengd tot in F v: conft.
Daarom is de □ DFA (dat is □ DH) 4. □ AE = □ EF v: 6: 2.
Nu is □ EF =□ EB v: conft: en cor: 46 :ïï
En om dat EAB een regth: A is v: conft.
Daarom is ook □ EB = □ AB + □
AE v: 47: i«
Derhalven is dan 'ÜJ DH + □ AE =
□ AB + □ AE v: 1 ax.
Aan beide kanten weg □ AE Blyft'er over □ DH = □ AB v: 3 ax. □ AI = □ AI
Sub: • • 1
Reft 'er □ AH = □ CG v: 3 axj
Nu is □ AH = □ AG en □ CG =5
□ ABG v: conft: en ber.
Derhalven □ ABG = □ AG v: ï ax. Dat te bewyzen was.
Co-



van Euclides, Tweede Boek. 129
Corollarium.
Hier uit is tigtelyk af'te neemen, hoe men een regte linie zal verlengen, zoo dat het quadraat van die gegeeve linie gelyk is aan den regthoek van dezelfde linie en het aangevoegde duel.
Dat is □ DA = □ DAF.
Want □ DA = O AC fB □ DAF □ DC.
En dus de conflrutfie van het 1 ie. voorfel naagaande, zal het zelve geen de minfte zwaarighsid vinden. Scholium.
Volgens deze propojitie kan men ook nog verrigten dit volgende werkfluk.
Gegeeven zynde een regte linie, dezelve te verlengen, zoo dat de regthoek van .dg Zaamgeflelde linie en de gegeeve linie gelyk is aan het quadraat van het aangevoegde deel.
(Fig. 114 Tab. VII.) 't gegeevine is de regte A3. 't begeerde is dezelve te ver/en gen tot in F, zos
dat □ FBA — □ AF is. Conflruclie.
Verleng AB oneindelyk v: 2 beg. Nemende in dezelve AD — AB v: 2: t _ Neem ook vervolgens DF,zoo dat DDF — □ AFD is v: 11: 2. aldus.
Deel AD in tive'èn gelyk in E v. 9: 1.
I En



130 Grond-beginselen der Meetkunde
En haal EK v: 1 beg. Maak EF — EK v: 2: 1. Dan is DF na begeeren genoomen v: 11: 2.
.Eb AF fx üfe begeerde linie. Praparata.
Op AF befchryf het quad*. AR v: 46" 1.
JE» op BF met de hoogte AD of DK befchryf den lJ BL v: 2: en 11: 1.
Verleng ook DK *o* i» Q1?: 1 fog. Demonftratie.
Om dat nu BA = AD «V ï?: cok/?,
Daarom is □ AN =s □ DM v: 1. cor: 46: 1.
En om dat AD verlengd is tot in F zoo dat □ AD = □ AFD is v. cons.
Daarom is, □ AD = □ DM zynde, het □ AN = □ AD v. 1 ax.
Om dat nu AF — PR, en DF = RL is v: 33: 1. Dus is □ AFD = □ MR v: 36: r. Wy hebben dan beweezen. Dat □ AN = □ AD. □ AD — □ AFD. □ AFD = □ MR. Derhalven □ AN — □ MR v. 1 ax, □ AL = □ AL.
"■ '• geadd.
Komt □ BL ~ □ AR v. 2 ax. Dat te bewyzen was.
PRO-



Van Euclides, Tweede Boek. 131
PROPOSITIE XIL THEOREMA XI.
In alle plomphoekige driehoeken is het quadraat op de zyde over den plompen hoek grooter dan beHe de quadraaten op de twee andere zyden te zaamen, zoo veel als bedraagt tweemaal den regthoek gemaakt van een der zyden, die den plompen hoek maakt, op welkers verlengde de perpendiculaar valt, en het verlengzek
(Fig. vtSi Tab. VIL) Hypothefis. De A ABC is flomp in B.
AB is verlengd tot dat de perp: CD die ont.noet in D. Thèfis. □ AC = □ AB + □ CB + a □ ABD. Demonjlratie.
De regte AD is na gevalle gedeeld in 2 ongelyke deelen in B.
Daarom is □ AD □ AB + □ BD 4- 2 □ ABD v: 4: 2.
En om dat de A CDB regthoekig Is v: hyp: en 27 def. i: Daarom is □ CD f □BD=DBCv:47:ii □ BD=aBD
Sub — —
Reft □CD —ÜBC-DBD.
Wy hebben dan beweezen dat □ AD sa □ AB 4- □ BD + 2 □ ABD is.
I 2 En



132 Grond-beginselen der Meetkunde
En dat □ CD — □ BC — □ BD is. By gevolg □ AC .= □ AB + □ BC + 2 □ ABD v: 47: 1. en 2 ax.
Dat te bewyzen. Coroüarium.
Indien de hoek B doet anderhalve regte hoek; dan is de regthoek ABD dubbeld van den driehoek ABC.
Want de V CBA = 1 \ regte zynde v. 't gejïelde.
Dus de V CBD = | regte v.t-S.i* Daarom de V BCD = \ regte v: 32; 1. Dierhalven BD — CD v: 6: 1. Nu is AB X CD
0 ABD# rr, Ïvijcb: 4k i
Gevolgelyk AB X CD ==. \ J 2 A ABC. J
PROPOSITIE XIII. THEOREMA Xfl.
In alle fcherphoekige driehoeken is het quadraat op de zyde over den fcherpenhoek kleinder, dan beide de quadraafen 1 der twee andere zyden te zaamen, zoo veel bedraagt tweemaal den regthoek, begreepen van een der zyclen, op welke de perpendiculaar valt, en het deel tusfchen den fcherpenhoek en den perpendiculaar. (Fig. n6. Tab. VII.)
Hy-



van Euclides, Tweede Boek. 133
Hypothefis. ABC is een fcherphoekige A
En uit C op AB valt den perp: CD. Thefis. □ AC =: □ AB + □ CB — 2 □ ABD. * Demonjlratie.
AB is na gevalle gedeeld in 2 deelen in D.
Daarom is □ AB -f □ DB' — 2 □ ABD + □ AD v: 7: 2.
Nu is de A CDB regthoekig v: hyp: en 27 def: 1.
Derhalven is □ CB — □ CD + □ DB v: 4p: 1.
Van beide kanten rj DB weg genoomen
Zoo reft'er □ CB - □ DB — □ CD v: 3 ax.
Wy hebben dan beweezen, dat □ AB + □ DB ~ □ ABD ■!- □ AD is.
En dat □ CB — □ DB = □ CD is.
Deze grootheden by den andere gefteld.
Komt 'er □ AB + □ CB = 2 □ ABD + □ AC v: 2 ax: en 47: r.
Van beide kanten. 2 □ ABD weggenoomen.
Zoo reft 'er □ AB + □ CB - 2 □ ABD — □ AC v: 3 ax.
Dat te bewyzen was.
Corollaria.
ie. Indien de boek B half regi is, dan is I 3 de



ig4 Grond-beginselen der Meetkunde
de regthoek ABD dubbeld van den driehoek ABC.
Want als dan de V B — 1 regte zynde V: feil.
En de v CDB — 1 reS,te VI k/P' Zoo is dan de V DCB = { regte v: 32:1, En daarom BD =± CD v: 6; 1. Nu is AB X CD of BD ]
£b AB X CD f
— 2 £n. ABC. J Gevotgelyk □ ABD =r 2 A^.ABC 1 er.
2e. Indien de hoek C plomp is, dan zal evenwel zyn "t p AB + □ CB -— 2". □ ABD = □ AC.
se. Indien P AC - □ AD = P CB
— p BD is.
Dan zal CD perp. op AB zyn.
PROPOSITIE XIV. PROBLEMA II.
Een quadraat te maaken, dat gelyk rs aan een gegeeve regtlinifche figuur,
CFig. 117. Tab. VII) 't gegeevene is de regtlinifche figuur A. 't begeerde is 't quad1. CH te maaken — fig. A. Qonflruüïie.
ie. Maak den regthoek BD^figAv: 45; t.
2e.



van Euclides, Tweede Boek. 135
2e. Verleng nu een der zyden DC tot dat CF — CB is v: 2: 1.
3e. Op DF befchryf een halve cirkel DB? v: 15 def.
4e. En verleng BC tot aan de circumferentie in I v: 1 beg.
5e. Op Cl befchryf het quad'. CH v: 46:1.
Dan is CH het begeerde quadraat.
Praparata.
Laat getoogen zyn den radius QI v; 1 beg.
Dan is DF gedeeld in 2 gelyke deelen in Q.
En in 2 ongelyke deelen in C. Demonftratie.
Om dat Ql en QF radii zyn van den halven cirkel DiF v: conft.
Daarom is QI = QF v: 15 def. i.
En dus ook □ Qf = □ QF v: cor: 46:1.
Nu is DF gede ld in 2 ge'yke deelen in Qen in 2 ongelyke deelen in C v:ber.
Daarom is □ QF = □ DCF + □ QC v: 5: 2.
Maar den □ DCF = □ DB v: conft.
Wy hebben nu beweezen dat □ QI — □ QF is.
En □ QF = n DCF + □ QC.
En □ DCF — □ DB
Derhalven is □ QI = □ QC + □ DB v: 1 ax.
I 4 Aan



136 Grond-beginselen der Meetkunde
Aan beide kanten □ QC weggenoomen. Zoo blyft 'er □ Cl = □ DB V: 47; j en 3 ax.
Maar de □ BD is = fig: A v: conft. Ergo □ Cl 'è=x fig: A v: 1 ax„ Dat te bewyzen was.
Einde van het Tweede Boek.
GROND-



GROND-BEGINSELEN
DER
MEETKUNDE
VAN-
EUCLIDES,
DERDE BOEK.
DEFINITIEN.
n l
?L7 elyke cirkelen zyn, wiens diameters gelyk zyn, of welke hebben gelyke regte linien uit de centrums tot de circumferentien getoogen.
CFig. ii 8. Tab. VII.) Dat is te zeggen, w'ens radii gelyk zyn. In de cirkels ABH en CDF zyn de diameters AB en CD gelyk, of de radii GH en EF zyn gelyk. I I.
Een regte Unie wort gezegd een cirkel te raaken, welke den cirkel raakende, en dezelve voortgetrokken of verlengd zynde, den cirkel niet doorfnyt.
(Fig, 119. Tab. VII.)
I 5 By



j33 Grond-beginselen der Meetkunde
By voorb: de regte IK raakt den cirkel in het punt B ; maar in tegendeel de regte KL floot den cirkel, vermits dezelve verlengd zynde den cirkel zal doorfnyden. j j j
De cirkelen worden gezegd malkanderen te raaken, wanreer zy al raakende malkanderen niet doorfnyden.
CFig. iao. Tab. VIII.)
Gelyk de cirkels DAC en BAE, welke malkander inwendig raaken in het punt A, als mede de cirkels BAE en BFG, welke malkander uitwendig raaken in het punt B.
Maar de cirkel BFG doorfnyt den cirkel FGH, of de cirkel FGH doorfnyt den cirkel BFG, of die cirkels doorfnyden elkander.
I V.
Regte linien worden gezegd in den cirkel even verre van het centrum af te ftaan, wanneer de perpendicularen uit het centrum op dezelve getoogcn, malkander gelyk zyn: maar de eene wort gezegd verder dan den andere, daar van af te ftaan, op welke de langfte perpendiculaar valt. CFig. m. Tab. VIII.) iyizoo ftaan de regte linien AB en CD even verre van het centrum O af, om
dat



van Euclides, Derde Boek. 139
dat de perpendicukaren OG en OH gelyk zyn: maar de linie EF ftaat verder van het centrum O af, dan de linie AB, omdat de perpendiculaar Ol langer is dan den perpendiculaar OG.
V.
Een cirkelftuk is een figuur beflooten door een regte linie, en een deel van de circumferentie eens cirkels.
(Fig. 122. Tab. vin.) Zoodanig een is de figuur ABC, welke beflooten is door de regte linie AC, en een gedeelte van den omtrek ABC.
Van gelyke ook de figuur DEF, welke beflooten is door de regte DF en een gedeelte van een omtrek DEF.
Derhalven kan een cirkelftuk zyn, of grooter of kleinder, dan een halve cirkel.
De regte linie AC en DF wort de koord of pees genoemd.
V I.
Maar de hoek eens cirkeljluks is, welke begreepen is van een regte linie en des cirkels omtrek.
(Fig. 122. Tab. VIII.)
By voorb: de hoeken A en C, item de hoeken D en F zyn beflooten van de



i4o Grond-beginselen der Meetkunde
regte linien AC en DF en van de cirkels omtrekken ABC en DEF, en daarom hoeken eens cirkelftuks. VIL
De hoek in een cirkelftuk is, wanneer 'er in den omtrek van een cirkelftuk genoomen wort eenig punt, en 'er uit dat punt tot het ukerfte van de regte linie, welke de bafis van het cirkelftuk is, getoogen worden twee regte linien; de hoek, welke van die twee gehaalde regte linien bevat wort, zal in het cirkelftuk zyn.
(Fig. 123. Tab. VIII.) Dien volgens wort de hoek B gezegd in het cirkelftuk ABC te ftaan, om dat beide de hoeklinïen AB en CB, die den hoek B maaken, uit het einde van de koord AC beginnende, in den omtrek in het punt B te zaamen koomen.
VIII.
Maar wanneer de regte linien , die den hoek maaken, een deel van den omtrek bevatten, dan wort de hoek gezegd te ftaan op het zelve deel der circumferentie, , (Fig. 124. Tab. VIII.)
By voorbeeld de regte AB en C3,maakende den hoek ABC, begrypen of bevatten het eene deel ADC des cirkels,



van Euclides, Derde Boek. 141
kels, en dus wort de hoek ABC gezegd te ftaan op het deel van de cir.. cumferentie ADC.
I X.
Cirkekkel (.Sector circuli) is, wanneer de hoek iri het centrum des cirkels gefteld wort: zoodanig een figuur, welke bevat wort door twee regte linien, een hoek (in het centrum) maakende, en door een deel van den omtrek, het welk door die regte linien omvangen wort.
(Fig. 125. Tab. Vin.)
Dienvolgens is ADBC een cirkeldeel, als mede ADBE, en is beflooten door twee halve diameters of door twee radii AD en BD, die een hoek D in het centrum maaken, en door een deel van de circumferentie ACB of AEB; zoo dat een cirkeldeel kan zyn grooter of kleinder dan een halve cirkel.
X.
Geiykformige cirkel/lukken (Jimilia fegmenta) zyn, y/elke gelyke hoeken hebben, of in welke de hoeken elkander gelyk zyn.
CFig. 126. Tab. Vilt.) Daarom worden de cirkelftukken ABC en DEF gelykformig genoemd, om
dac



24i Grond-begtnselên der Meetkunde
dat de hoek BAC ±= hoek EDF, en de hoek BCA == hoek EFD is; of om dat de hoek ABC ~ hoek DEF
Van 's gelyke worden de cirkelftukken fiCC en DHF gelykformig genoemd, om dat de hoek GAC = hoek HDF en de hoek GCA = hoek- HFD i* j of om dat de hoek AGC = hoek DHF is.
D Ë



van Euclides, Derde Boek. 143
D E
PROPOSITIEN
VAN HET
DERDE BOEK
VAN
EUCLIDES.
PROPOSITIE I. PROBLEMA £
Van een gegeeve cirkel het centrum te vinden.
CFig. 127. Tab. VIII. 3 5t gegeevene is den cirkel ABCD. 't begeerde is het centrum F te vinden. Conflruclie.
ie. In den cirkel trek na gevalle de regte AC v: 1 beg.
2e. Dezelve deel in tweën gelyk in E v: 10; r.
3e. Uit dit punt E haal den perp; BD v: ji: 1.
Stootende wederzyds den Ctfcumf- ï„ B en D. "
4e. Eindelyk deel BD in tweën eelvk m F v: 10: i, 6 y
Dan zal F het begeerde centrum zyn.



ï44 Grond-beginselen der Meetkundö
Praparata.
Indien F het centrum des cirkels niet is zoo moet het zelve ergens buiten de regte BD zyn, genoomen in G.
laat dan gewogen zyn de regte GA, GC , GE v: i beg. Demonftratie.
Dan zyn GAË en GEC 2 AnIn dewelke zoude moeten zyn GA s= GC v: de veronderftell: en i5dei„
GE =.^|v: conft.
A Derhalven ook de V GEA =• V GEC
v: 8: tm
En derhalven regt yi 10: de.:■ r. Maar den V FEA = den V FEC yder rest zynds T£ conft.
Zoo kunnen de V". GEA en GEC niet reat zyn, en dus niet gelyk v: 9 ax.
En daarom kan G nog eenig ander punt op die zelvde wyze buiten het punt F, het centrum niet zyn.
Ergo is het fxmt F het centrum des
cirkels.
Dat te bewyzen was.
Corollarium.
Dut kunnen wy nu uit dit problema de volgende waarheid afleiden,
„ Wanneer een regte linie in den ctrM „ getoogcn zynde, in tweën gelyk en regt^



Van Euclides, Deude Boek. 145
b hoekig gejheden wort door een andere reg~ i, te Unie; dan zal deze laatjle gaan door 1} het centrum des cirkels-.
PROPOSITIE H. THEOREMA I.
Zoo in de circumferentie eens cirkels tweepunten na gevalle genöomen worden; dan zal de regte linie, tot die twee punten getoogen, binnen den cirkel vallen.
(Fig. 128. Tab. VIII.) Hypothefis. A en 8 zyn 2 punten in de circumf: des cirkels AEB na gevalle genöomen.
Thefis. Öe regte AB zal vallen binnen deri cirkel.
Praparata.
In de regte AB neem het punt D na gevalle.
En uit het centrum C trek de regte CA, CD en CB v: 1 beg. Demonftratie.
De regte CA en CB radii van den cirkel AEB zynde, moeten gelyk zyn v: 15 def: 1.
En dus is de A CAB gelykbeenig v: 25 def: 1.
En by gevolg is de VA = V B v: 5: ti De V CDA is den uitwendigen y van den ' ADB. Derhalven de v B > V CDA v:i6:i.
& Dus



146 Grond-beginselen der Meetkunde
Dus moet ook de V A > V CDA zyn v: 1 ax.
Nu ftaat in alle An. de langfte zyde tegen over den grootften hoek v: 19: 1. By gevolg is CB < CD. Nademaal nu CB tot aan de circumf: komt v: ber.
Zoo komt CD zoo ver niet v: 15 def: 1. Gevolglyk is het punt D binnen den cirkel v: k: b.
Uit welke redenering dan verders blykt, dat alle punten in de linie AB binnen den cirkel vallen.
En dat by gevolg dan de linie AB binnen den cirkel valt.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Uit dit voorftel blykt het, dat een regte Unie een cirkel raakende, zonder die te doorfnyden, denzelve maar in een punt raakt i want zoo het mogelyk was, dat een regte Unie FG den cirkel kon raaken in 2 punten in H en ï, dan zoude het deel Hl, hoe klein ook genoomen, binnen den cirkel vatten vi 2: 3. en daarom fnyt FG den cirkel in H en I.
PRO-



van Euclides, Derde Boek. 147
PROPOSITIE III. THEOREMA II.
Zoo in den cirkel een regte linie, door .het centrum gaande, een andere regte linie, die niet door het centrum gaat, in twee gelyke deelen deelt; dan zal die regthoekig doorfneeden worden.
En zoo die regthoekig doordeden wort; dan zal die in twee gelyke deelen gedeeld worden.
(Fig. 129. Tab. VIII. ) Hypothefis. BD gaat door 't cent: des cirkel.?
ABCD, en AC gaat daar. niet door, dog fnyden elkander in F. ie. Zoo nu AF CF is. Thefis. Dan zyn de Vn- in F regt. Hypothefis. o.-. En zoo de y-"-- in F regt zyn Thefis. Dan is AF =z: CF. Praparata. .
In beide trek uit het centrum E de regte EA en EC v: 1 beg. Demonjlratie op bet eer/Je.
Alwaar beweezen moet worden, da£ de hoeken in F regt zyn.
Om dat nu EA en EC, radii van een cirkel zynde, gelyk zyn v: 15 def: 1.
Daarom is in de An. EAF en ECF . EA =- EC v: ij def: r, AF — CF v: hyp. EF == EF.
Bygevolg is de V-EFA'=y EFC v:8:1.
K 2 De



148 Grond-beginselen der Meetkunde
r De linie AF nu een regte linie, en de hoeken in F gelyk zynde v: hyp: en b: b.
Moeten deze hoeken regt zyn v: iodef:i.
En dus wort AC regthoekig doorfneeden door de regte BD v: k: b.
Dat te bewyzen was. Demonftratie op het tweede.
Alwaar beweezen moet worden, dat AF = CF is.
Om dezelve rede als voore is EA = EC v: 15 def: 1.
Daarom is de A EAC gelykbeenig v: 25 def. 1.
Derhalven is in den A EAF en ECF de V EAF — V ECF v: 5- 1. de V EFA = V EFC v: hyp:
En EF = EF.
By gevolg is AF = CF v: 26: 1.
En dus wort AC in tweën gelyk gedeeld in F door de regte BD v: k: b.
Dat te bewyzen was.
Corollaria.
1. Hier uit volgt ook, indien AC door BD niet in tweën gelyk gefneeden wort; dan zal ze dezelve niet regthoekig doorfnyden : of zoo die niet regthoekig doorfneeden wort; dan is AC niet in tweën gelyk gedeeld.
2". Ook volgt uit dit voorftel deze waarheid, namentlyk
In-



van Euclides, Derde Boek. 145
Indien in een gelykzydige of gelykbeenige driehoek een regte Unie uit den tophoek op den bafis vallende, den bafis in tweën gelyk deelt; dan zat die regte linie perpendiculaar op den bafis zyn.
Of zoo die perpendiculaar op den ba fis valt; dan zal de bafis-in twee gelyke deelen gefneeden worden.
En in beide de gevallen zal de tophoek in tweën gelyk gedeeld zyn.
Of zoo de tophoek in tweën gelyk gedeeld is; dan zal de bafis in twee gelyke deelen en regthoekig gedeeld zyn.
PROPOSITIE IV. THEOREMA III.
Zoo in den cirkel twee regte linien, niet door het centrum gaande, eikander doorfnyden; deze zullen elkander nooit in twee gelyke deelen fnyden.
(Fig. 130. Tab. VIII.) Hypothefis. De regte AB en CD (niet door 't cent; E van den cirkel ACBD gaande) doorfnyden elkander in 't punt E.
Thefis, Dat beide de linien niet in tweën gelyk kunnen gedeeld zyn. Praparata. '
Laat getoogen zyn den diameter GEFH v: 1 beg Demonftratie. Indien AB door CD of CD door AB K 3 in



ijo G kond-beginselen der Meetkunde
in tweën gelyk gedeeld was in F, danzoude de Vn. in F regt zyn, namentlyk EFD = EFB = EFA.
Maar de V EFD kan niet = V EFB zyn.
Want het eene een deel van het ande> re zynde, namentlyk V EFD een deel van V EFB, moet de V EFB < dan V EFD zyn v: 9 ax.
Derhalven de Vn. in F ongelyk zynde, kunnen die niet regt zyn: want dit zoude aanloopen tegen de 10 def: 1.
By gevolg de hoeken in F niet regt zynde, kan de linie AB nog CD in twee gelyke deelen gedeeld zyn, want dit zoude ftryden tegen de 3: 3.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE V. THEOREMA IV.
Zoo twee cirkels elkander doorfnyden, deze hebben geen een en het zelfde centrum.
CFig. 131. Tab. VIII.) Hypothefis; De cirkels BAC en BDC doorfnyden
elkander in de punten B en C. Thefis. Deze cirkels hebben geen een ëri het zelfde centrum! • ' '
Praparata,
Uit E als centrum des cirkels BDC trek de tfegte EB tot aam Hf t'.inypunt B.
Als



van Euclides, Derde Boek. 151
Als ook de regte EA tot aan de circumf. des cirkels BAC, fnydende den circumf. BDC in D v: 1 beg. Demonftratie.
De regte EB en ED zyn radii van den cirkel BDC.
Derhalven is EB — ED v: 15 def. 1,
Maar ED is een deel van EA.
Daarom is ED > EA v: 9 ax.
Dus EB ED en ED > EA zynde.
Moet ook EB > EA zyn v: 1 ax.
By gevolg kan, E het centrum van den cirkel BAC niet zyn, want zulks zoude ftryden tegen de 15: def: r.
Maar E is het centrum van den cirkel BDC v: ber.
Ergo hebben cirkels BAC en BDC geen een en 't zelve centrum.
Dat te bewyzen was. CoroUarium.
Indien twee gelyk cirkelen elkander doorfnyden; zoo zyn de deelen wederzyds gelyk, dat is BACDB = BGCFB .- want beide de cirkelen hebben het ftuk BDCFB gemeen.
PROPOSITIE VI. THEOREMA V.
Zoo twee cirkels malkander inwendig K. 4 ™~



152 Grond- beginselen der Meetkunde
raaken; deze hebben geen een en het zelfde centrum.
CFig. 132. Tab. VIII.) Hypothefis. De 2 cirkels BAC en BDE raaken
elkander inwendig in 't punt 13. Thefis. Deze hebben geen een en het zelve centrum.Praparata.
Uit F het cent: des cirkels BAC rr-ek de regte FB en FA tot aan de circumf: des cirkels BAC, fnydende de circumf; des cirkels BDE in 't punt D v: 1 beg. Demonftratie.
De regte FB en FA zyn radii van den cirkel BAC v: ber.
Daarom is FB = FA v: 15 def: 1. Maar FD een deel van FA zynde, is FD > FA v: 9 ax.
Derhalven FB = FA, en FA > FD zynde v: b: b.
Zoo is ook FB < FD v: k: b. Vermits de radii van een cirkel malkander gelyk moeten zyn v: 15 def: 1.
Zoo kunnen FB en FD geen radii van den zelve cirkel zyn.
En dus ook niet F het centrum van beide de cirkels.
Maar F is het centrum van den cirkel BAC, v. ber.
Ergo hebben de cirkels BAC en BDE geen een en 't zelve centrum v: k: b.
Dat



van Euclides, Derde Boek. 153
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Uit dit en het voorgaande voorfel kan men dus deze waarheden afleiden.
Wanneer 2 cirkels een het zelfde centrum hebben.
Dan kunnen zy malkander niet fnyden w 5: 3-
Ook konnen zy malkander niet raaken Vi 6.' 3.
In die veronderftelling egter, dat dezelve ongelyk zyn, want gelyk zynde, koomen zy geheel en al in, of op elkander.
PROPOSITIE VII. THEOREMA VI.
Zoo in den diameter eens cirkels eenig punt buiten het centrum genoomen wort en van het zelve tot aan de circumferentie getoogen worden eenige regte linien; dan is.
ie. Die geene welke door 't centrum gaat, de langfte.
2e. Het overige van den diameter de korfte.
3«. Van de overige linien is die geene de langfte, welke nader aan die geene is, welke door het centrum gaat, dan die geene, die daar verder af is.
K 5 4e-



ï54 Grond-beginselen der Meetkunde
4e. En alleen zal 'er aan werenszyde van den diameter maar eene linie zyn, die malkander gelyk zyn. 7 Hypothefis. In den cirkel AEBH is genoomen het punt G in den diameter buiten het cent: F, en na gevalle getoogen de regte GB, GD , GE, GH. Thefiü. GA<GC < G D < GE <GB,en GE = GH. Praparata. Trek de radii FC, FD en FE v: i beg. En laat de hoek BFH = BFE zyn v: 23: 1.
Trek dan ook den radius FH v: 1 beg. Demonftratie.
Op het eerfte, alwaar beweezen moet worden dat GA < GC is.
In den A FGC zyn de 2 zyden, hoe men die neemt, te zaame langer dan de derde v: 20: 1.
Ergo is FC + FG < GC.
Nu is FA ■==■ FC, om dat het beide ra' diivan eene cirkel zyn v: 15 def: 1.
Derhalven is FA + FG = AG < GC v: 15 en 1 ax.
Op het tweede, alwaar te bewyzen is datGB > GE is.
In den A FGE is om dezelve rede als vooren FE > FG + GE. v: 20: 1.
Ook is als vooren FB = FE.
Derhalven FB > FG + GE.
Aan werendzyde FG weggenoomen.
Zoo



van Euclides, Derde Boek. 155
Zoo blyfc 'er GB > GE v: 5 ax:
Op het derde, alwaar te bewyzen is, dat GC < GD en GD < GE is.
Men herinnere zig wederom, dat de radii van een cirkel malkander gelyk zyn,
En ook dat het geheel grooter is dan zyn deel.
Derhalven kan men zeggen, dat in de £n.. FCG en FDG is FC = FD v: 15 def: 1.
FG —FG maar V CFG < VDFG vroax.
Dus heeft men hier 2- An. waar van 2 zyden van den eene gelyk zyn 2 zyden van den andere, maar de hoeken, van de gelyke zyden begreepen, ongelyk dien volgens is GC < GD v: 24: 1.
Op dezelve v/yze bewyft men dat GD < GE is.
Op het vierde, alwaar beweezen moet worden, dat GE == GH is.
Om dat FE en FH radii van den cirkel zyn V: ber.
Daarom is in de A". EFG, en HEG FE = FH v: 15 def. FG ïs FG V GFE == V GFH v: ber.
Derhalven is GE = GH v: 4: r.
Dat 'er nu geen meer dan 2 zoodanige linien elkander gelyk kunnen zyn, is beweezen in het 3e. lid.
Dus



ï56 Grond-beginselen der Meetkunde
Dus is hier dan beweezen al het geene beflooten is geworden. CoroUarium.
In den cirkel is 'er geen punt buiten het centrum, uit het welke meer dan twee gelyke regte linien tot aan de circumferentie kunnen getoogen worden.
PROPOSITIE VIII. THEOREMA VII.
Zoo van cenig punt na gevalle, buiten den cirkel genoomen, getoogen worden tot aan de circumferentie verfcheide regte linien; dan is
ie. Deze die door het centrum gaat, de langfte van die geene, welke inwendig tot de circumferentie koomen.
2e. En van de andere is deze, die nader aan die is, welke door het centrum gaat, altyd langer dan die, welke verder daar van af zyn.
3e. Maar van die, welke uitwendig te> gen den cirkel vallen, is deze de korfte, welke tusfchen het gegeeve punt en den diameter is.
4e. En van de andere is deze, die nader aan de korfte ftaat , altyd korter, dan die, welke daar verder van af zyn.
5e.



van Euclides, Derde Boek. 157
5e. Ook kunnen 'er maar twee derzelver ten wederzyde van de korfte, elkander gelyk zyn.
(Fig. 134. Tab. IX.) Hypothefis. Van eenig punt A buiten den cirkel L1F zyn na gevalle getoogen verfcheide regte linien AI, AH, AG, AF enz. Welkers deelen BI, CH, DG, EF den cirkel doorfnyden. Thefis. ie. & 2e. AI < AH ^ AG ^ AF enz. 3e. & 4e. AB > AC > AD > AE enz. S«. Aan de andere zyde van Al kan 'er maar een AL tegen den circumf: vallen , die gelyk AC is enz.
Praparata.
Uit het cent: K laat getoogen zyn de radii KH, KG, KF, KE, KD, KC en KL v: 1 beg.
Maakende den V AKL == V AKC v: 23:1. Demonftratie.
Op het èerfte, alwaar beweezen moet worden, dat AI < AH is.
In alle An. zyn de 2 zyden, hoe men die neemt, zamen langer dan de derde.
In den A AKH is daarom KH + KA < AH v: 20: 1.
Maar KH en KI zyn radii van den cirkel v: ber.
Dus is KH — KI v: 15 def: i.
Derhalven is dan KI 4- KA < AH v: i ax.
Maar KI + KA = AI v: 1 ax. Ergo is AI < AH v: 1 ax.
Op



158 Grond - beginselen der Meetkunde
Op het tweede , alwaar beweezen moet worden „dat AH < AG is.
De 2 zyden van een A gelyk zynde de 2 zyden van een andere A, maar de hoeken tusfchen beiden ongelyk , dan ftaat de langfte zyde tegen over de grootfte hoek v: 24: it
Derhalven in de An. AKH en AKG is KH = KG v: 15 def. AK 5= AK
Maar y AKH < V AKG v: 9 ax.
Dus is de zyde AH < AG.
Op het derde, alwaar te bewyzen is dat AB > AC is.
Om rede als vooren is in den A AKC KA > KC + CA v: 20: 1.
Ook is als vooren KB — KC v: 15 def: 1.
Dit van den andere afgetoogen.
Reft AB > CA v: 5 ax.
Op het vierde, alwaar beweezen moet worden, dat AC < AD is.
Om dat nu op het einde eener zyde des A AKD 2 regte linien AC en KC getrokken zyn, die elkander inwendig ontmoe» ten in C.
Daarom is AC +KC >AD + KD v.-2i:i Aan de eènekant KC,en aan de andere kant KD weggenoome, want deze zyn gelyk om dat het zyn radii van den cirkel v: 15 def: I.
Zoo



van Euclides, Derde Boek 159
Zoo blyf 'er AC > AD v: 5 ax.
Op het vyfde, alwaar te bewyzen is, dat AL = AC is enz.
Alhier is in de An. AKL en AKC de V AKL — V AKC v: ber.
KL = KC v: 15 def: 1. AK = AK
Derhalven is AL -~- AC v: 4: 1.
Verders blyft uit het 3e. lid, dat uit her. punt A maar twee gelyke regte linien uitwendig tegen den cirkel kunnen vallen.
By gevolg is hier dan alles beweezen,dat gefteld is geworden. Corollaria.
ie. Hier uit volgt, dat 'er maar twee derzelver AH, en AM (die inwendig tot de circumferentie koomen) ten weaerzyde der langfte AI ( die door het centrum gaat) elkander gelyk kunnen zyn.
2e. Ook volgt hier uit, dat die linief wel':e den cirkel raakt, de langfte is van die geene, welke uitwendig tegen den cirkel vallen. x
PROPOSITIE IX. THEOREMA VUL
Zoo in een cirkel van eenig punt meer dan twee regte linien tot aan de circumferentie kunnen vallen; dan is dat punt
het centrum des cirkels.
(Fig;



lob Grond-beginselen der Meeetkünde
(Fig. 135. Tab. IX.) Hypothefis, dat 'er 3 gelyke regte linien AB, AC, AD in den cirkel BCD uit het punt A tot aan de circumf: getoogen zyn.
Thefis. Dat het punt A het cent: des cirkels is. Demonftratie.
Dewyl 'er in den cirkel geen punt buiten het centrum is, uit het welk tot aan de circumf: meer dan twee gelyke regte linien kunnen vallen v: cor: 7: 3, zoo is A het centrum des cirkels.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE X. THEOREMA IX.
Twee cirkels fnyden elkander niet meer, dan in twee punten.
(Fig. 136. Tab. IX.) Hypothefis. De 2 cirk: IAKBE en IEKFL, die
elkander fnyden. Thefis. Dezelve fnyden elkander niet meer
dan in 2 punten. Prteparata.
Indien het mogelyk is, dat ze elkander In meer dan in 2 punten fnyden, zoo laat gefteld worden, dat ze elkander fnyden in 3 punten I, Ken L.
Laat dan getoogen worden de regte IK en KL v: 1 beg: en
Door



van Euclides , Derde Boek. 161
Door de middelpunten M en N trek. de perpend11. EMO en BNO v: 11; i.
Dezelve ontmoeten elkander in O. ■■ Demonjlratie.
Om dat nu IK en KL in tweën gelyk en regth: gefneeden wort door de regte EMO en BNO v: ber.
Daarom zoude O het cent: der beide cirkels weezen v: cor: i: 2.
Maar 2 cirk: die elkander doorfnyden, hebben geen een en het zelvde centrum v: 5: 3-
Derhalven kan O het cent: der beide cirkels niet zyn.
En dus fnyden de cirkels malkander niet meer dan in 2 punten.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XI. THEOREMA X.
Zoo twee cirkels elkander inwendig raaken, en van het eene centrum tot het andere een regte linie getoogen wort; dan zal deze verlengd zynde koomen in het punt der raaking.
(Fig. 137. Tab. IX.) Hypothefis. De cirkels GASD en FABC raaken
elkander inwendig in het punt A. Thefis. De regte FG, van het eonë cent: tot het andere getoogen, verlengd zvi:de uit G, 't cent: des kleinfle cirL kels,



?ö2 Grond-beginselen der Meetkunde
kels, zal koomen in A het punt der raaking.
Praparata.
Indien het mogelyk is, dat de verlengde FG niet in de raaking A komt, zoo laat FG, verlengd zyn tot in de circumf: AHC in B.
Snydende den circumf: ANE in D.
En laat getoogen zyn de regte GA v: ï beg.
Demonftratie.
G is een punt in den diameter des cirkels ABC.
En daarom zoude dan GB \ GA zyn v: 7: 3: 2e. lid.
Omdat nu GA en GD radii van den cirkel ADE zyn v: ber.
Daarom is GA — GD v: 15 def: 1.
Nu is een van beide onmogelyk: want GB kan niet > GA en GA == GD zyn y; 9 ax.
GA is evenwel — GD v: 15 def: 1. By gevolg is GB niet > GA v: k: b: En derhalven komt de verlengde FG in het raakpunt A.
Dat te bewyzen was, 1
PROPOSITIE XII. THEOREMA XI» ,
Zoo twee cirkels elkander uitwendig
raa-



van Euclides, Derde Boek. 163
raaken; dan zal de regte linie van het eene centrum tot het andere getoogen, gaan door de raaking.
(Fig. 138. Tab. IX.) Hypothefis. De cirkels AFCD en BGCE raaken
elkander uitw: in C. Thefis. De regte AB, getoogen van het eene cent: A tot het andere B gaat dooide raaking C. Demon/tralie.
Een van beide is waar, de regte AB gaat door de raaking C of buiten dezelve door D en E.
Indien het laatfte waar is Dan is AD EB > ACB v: 4 def: 1
Ook is AD EB < AD + BE = AC + BC v: 0 ax: en 15 def: 1. En daarom is AD EB < AB MaarbovenisADEB > AB, dat ftrydïg
is.
En daarom is het onmogelyk dat de regte AB buiten de raaking door gaat. By gevolg gaat AB door de raaking. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XIII. THEOREMA XII.
Twee cirkels raaken elkander in- of uitwendig niet meer dan in een punt.
(Fig. 139 en I4°- Tab- ^.) Hypothefis. De cirkels CAF en BAH raaken elkander.
L 2 . The-



164 Grcnd-beginselen der Meetkunde
Thefis. Dezel/e raaken elkander niet meer
dan in een punt A. Demonjlratie.
Wanneer de cirkels elkander inwendig raaken.
Naaderaaal buiten het raakpunt A de circumferentien nergens zaame koomen» maar altyd verder van malkander». afwy~. ken, v; note op de ir: 3. Zoc vo'gr dat de cirkels elkander ne g -ns kunnen raaken buiten het punt A v: k: b.
Dat te bewyzen v/as. Prap rata.
W;mneer de cirkels eikander uitwendig raaken.
CFig: 140.)
Uit het cent: C, tot het cent: B laat ■ gétoogen zyn de regte CB.
Do elve gaat r'ocr het raakpunt v: 12W,
En uit C de regte CD tot aan de circumf: ADH v: 1 beg, Demonftratie.
C is een punt na gevalle buiten den cirkel ADH waar uit getrokken zyn de regte linien CA en CD tot aan de circumf: \: ber.
Derhalven is niet alleen CA s CD, maar CA is de korfte van al de linien, die uit het cent: C tot aan de circumf: ADH kunnen getoogen worden, dien volgens



van Euclides, Derde Boek. 1Ö5
gens hoe verder de linien van CA af zyA> hoe langer de;:elve vallen v: H: tl
Waar uk volgt, dat des cirkels afftand altyd grooter wort.
Ergo de cirkels raaken elkander alleen in het punt A v; k: b:
Dat te bèwyzèn was. Corollarium,
Hier uit volgt dan , dat twee cirkels elkander te gelyk niet kunnen raaken en fnyden.
Scholium.
Zoo men op den halven diameter, die aan de zyde van het centrum eens c'-rkels voortgetrokken is, een punt over het centrum neemt; zoo raakt de cirkel, die uit het zelve punt als centrum door het ulterjle punt van den halven diameter befchreêven wort, den eer f en cirkel in het zélve uiterjle punt des halven diameters, en valt geheel buiten den eerften cirkel.
CFig. 141. Tab. IX.)
Hypothefis. ABC is een cirkel, waar van D het cent: is, op het verlengde van den halven diam: DA is genoomett het punt E, «/2 uit het zelve als centi met de wydt? EA als radius befchreêven den cirke' AGP.
Thefis. De cirkel AGF raakt den cirkel'ABC alleen in bet punt A , en de cirkel AGF va.lt geheel en al buiten den cit kei A3C,
L 3 Pra,



l'66 GuOND-BEGINSELEN DER meetkunde
Praparata.
. Uit beide de centra's trek de radii DB en EH, item den radius EF v: i beg. Demonjlratie.
Deivyl nu EA. en EH radii van') den cirkel AGF ' \ v: ber.
En EB radius van den cirkel | ABC zyn. J
Daarom is EA = EH < EB <y; 15 def: 1 en o ax.
En derhalven EA < EB.
Om de zelvde rede is EH = EA < DH v; 15 \ en 9 ax.
Dus ook EA < DA 1;: k: b:
By gevolg EH 4 DA zynde, kunnen zy beiden geen radii van een en den zelvden cirkel of van gelyke cirkels zyn; maar de grootfte radius moet den grootflen cirkel geeven: want anders zoude zulks fryde tegen de 1 def: 3.
Op dezelvde wyze betoogt men, dat EA < EC, en EC > EF is.
Derhalven dan beweezen hebbende, dat EA < EB < EC, en EC < EF is.
Zoo is het zonneklaar, dat de cirkel AGF, uit het punt A gereekend, hoe langer hoe meer verwydert van den cirkel ABE; om dat de linien uit D getoogen tot de circumf: AGF hoe langer hoe grooter worden, en derhalven malkander niet dan in het punt A raaken kunnen. Dat voor eerfl te bewyzen was. yér»



VAx Euclides, Derde Boek. 167
Porders, vermits men hu reeds betoogt heeft, dat EA < EB < EC > EF is, zoo vólgt, dat deze linien geen radii van een en dezelvde cirkel AGF zyn, en dat derhalven de cirkel' AGF grooter dan den cirkel ABC is, en dus daar buiten móet vallen. Dat ten andere beweezen moeji worden.
PROPOSITIE XIV. THEOREMAXIII.
In een cirkel zyn de gelyke regte linien even wyd van het centrum.
En zoo de regte linien even wyd vatt het centrum af zyn; dan zyn die gelyk.
CFig. 142. Tab. IX.) ie. Hypothefis. De negtö AC en BD in den cirk: ACDB zyn even lang. Thefis. De pcrpn. EF en EG uit 't cent: op dezelve vallende, zyn mede even laag:
aè. Hypothefis. Die zelve pcrpendn. EF en EG even lang zyr.de. Thefis: Da i zyn de linien AC en AD mede even lang.
Praparata.
Trek uit het cent: E de perpend". EF en EG v: 12: r.
En voorts de radii AE en BE v: 1 beg. Demonftratie op hei eerfe.
De regte EF en EH gaan door het centrum, en fnyden de regte linien AG en BD regthoekig v: hyp;
E 4 Der-;



168 GrÓ*ND'BEGINSELEN DER MEETKUNDE
Derhalven zyn de linien, AC en BD in tweë'n gelyk gedeeld v: 3: 3.
Om dat nu AC = DB is v: hyp.1
Daarom is dan AF =3 BG.
De Vn-AFE en BGE zyn regt, en derhalven gelyk v: hyp: en 10 ax.
En dus zyn de An. EAF en EBC regthoekig v: 27 def: 1.
Nu is EA = EB, omdat het radii van den cirkel zyn v: 15 def: 1.
Derhalven aangetoond hebbende, dat AF = BG, en EA = EB is.
Zoo is ook EA* iaat EB*1
Eu AF* = BG*/V: 1 COn 4
Gefubf: ,
Reft EF* = EG* v: 47: 1. En derhalven EF == EG v: 2 cor: 46:1. Dat op het eerfte te bewyzen was. Demonftratie op het tweede.
EA en EB zyn radii van den cirkel en daarom gelyk v: 15 def: 1. EF = EG v: hypoth. de Vn. AFE en BGE zyn regt v: hyp. Derhalven zyn AFE en BGE regth; An. v: 27: def: 1. Bygevolg is EA? = EB*1
En EF*=EG*j>V:ICOr:46:I'
Gefub: i
Reft AF* ~ EG* v: 47: r. ' En dus AF = BG v: % cor: 46: ï.
Om:



van Euclides, Derde Boek. 169
Omdat nu EF en EH door het cent: gaan, en de regte AC en BD regthoekig doorfnyden v: hyp.
Daarom zyn AC en BD in tweën gelyk gedeeld v: 3: 3.
Derhalven AF=BG zynde v: b: b:
Gedubbeld komt AC = BD v: 6 ax.
Dat te bewyzen was. Coroltarium.
Indien van twee regtboekige driehoeken de zyde over den regten hoek en een der andere zyden de een den andere gelyk zyn; dan zullen de overige zyden en hoeken mede gelyk zyn v: 14: 3 en 8: 1.
PROPOSITIE XV. THEOREMA XIV.
In een cirkel is de diameter de langfte linie, en van de overige linien is die geene , welke hem nader is, altyd langer dan den geenen, welke daar verder van af is.
CFig. 143. Tab, IX.) Hypothefis. In den cirk: GAEDM zyn getoogen den diam: AD en de peezen EF en BC.
Thefis. AD < EF < BC» Praparata.
ie. Van de grootfte afftand GI fnyt af GN = GH v: 3: 1.
L 5 £«,



tjO GrOND-BEGINSELEN der MeETKUNDE
2e. Door N trek KL perp: op GI v: ii: i.
3e. Als mede de radii GK, GL, GB en GC v: i beg. Demonftratie op het eerfte. - (Namentlyk dat AD < EF is.)
De 2 zyden van een A zyn te zaamen grooter dan de derde v: 20: 1. . Daarom is alhier in den A KGL, GK + GL < KL.
Maar GK =± iG, en GL = GD v: 15 def: li Want het zyn radii van den cirkel.
En KL == FE v: 14: 3. Om dat die linien even wyd van 't cent: af zyn v: ber.
En AD .— AG + GD < EF v: 15 def: 1.
By gevolg GK + GL < KL
GK = AG en KL = EF GL — GD Derhalven AG + GD < EF AD ~ AG + GD, Ergo AD < EF.
Dat op het eerfte te bewyzen was.Demonftratie op het tweede.. i (Namentl: dat EF < BC is.) In de A". KGL en BGC is GK = GB1
GL = GCj>V: 15 def:I-
y KGt



van Euclides, Derde Boek. 17S
V KGL < v BGC v: 9 ax. Ergo is KL < BC v: 24: t.
Maar KL = FF v: 14: 3.
By gevolg ÈF < BC v: 1 ax.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Hier uit vloeit voort, dat van twee ongelyke cirkel/tukken KML en BMC, (vaneen en dezelvde cirkel of van gelyke cirkelen zynde,} kleinder dan een halve cirkel; de koord KL van 't grootfte cirkelftuk grooter is, dan de koord BC van 't Ueinfle cirkelftuk: maar de cirkelf ukken grooter zynde dan een halve cirkel, dan is de koord van het grootfte cirkelftuk kleinder dan de koord van het kleinfte cirkelftuk.
PROPOSITIE XVI. THEOREMA XV.
Wanneer door het einde des diameters eens cirkels een perpendiculaar gefteld wort.
ie. Deze valt buiten den cirkel.
2e. Tusfchen denzelve en den circumferentie kan geen andere linie gefteld worden.
3e. En de hoek des halven cirkels Is meer dan eenige regtlinifche fcherpe hoek.
4e. En het overige van dien hoek h
ma*



Xf2 Grond-beginselen der Meetkunde
minder dan eenige regtlinifche fcherpen hoek.
CFig. 144. Tab. IX.) Hypothefis. Op het einde van den diameter AH
is gefteld een perp: CD. Thefis. ie. Dezelve CD valt buiten den cirkel.
2e. Tusfchen deze CD en de circumf: ka) geen andere linie gefteld worden. 3e. Deu VBAI is meer ~\ dan eenige regtl: 4e. Den VDAIisminderJ fcherpe hoek. Praparata.
In AC neem het punt F na gevalle, en trek de regte BF v: 1 beg.
Laat dan getoogen zyn de regte AL na believen, egter tusfchen den diameter AH en de linie AD v: 1 beg.
Dan uit B op AL den perpend: BE v: 12: 1.
Demonftratie op het eerfte.
(Namentlyk dat CD valt buiten den cirkel.;
Om dat nu in den A ABF de V BAF regt is v: hyp:
Zoo zyn de overige fcherp v: 4 cor: 46: 1.
En omdat de langfte zyde ftaat tegen over den grootfte hoek v: 19: 1.
Daarom is BF < BA.
BA nu koomende tot aan de circumf: zoo moet BF gevolgelyk verder dan dc circumf: koomen v: k: b.
En dewyl het even veel is, waar het punt F in AC genoomen wort, de demon-
4ra-



van Euclides, Derde Boek. 175
fixatie altoos het zelvde blyvende, zoo volgt daar uit, dat BF altoos langer zullende zyn dan BA, de geheele CD bulten den cirkel moet vallen. Demonjlratie op het tweede.
(Namentl: dat tuflchen deze CD en circumferentie geen ander linie kan gefteld worden.)
In den A ABE is de VAEB regt v: ber.
En daarom de 2 andere Vn. yder minder dan regt v: 4 cor: 32: 1.
En om die zelvde rede als vooren is EB > AB v: 19: 1.
Nademaal nu AB komt tot aan de circumf.
Zoo kan over zulks BE zoo ver niet koomen.
Waar uit dan volgt, dat de regte AL den cirkel doorfnydt.
Uit deze demonftratie dan volgt ook, dat 'er geen regte linien kunnen gefteld worden tuflchen de raaklinie en de circumferentie des cirkels.
Demonjlratie op het derde en vierde.
(Namentlyk dat V BAI meer, en V DAI minder dan eenige regtl: fcherpe
Maar dit zyn beide gevolgen van het tweede geval.
Na



174 Grond-beginselen der Meetkunde
Nademaal het hier uit blykt, dat de hoek BAI grooter is dan eenige regtl. fcherpen hoek BAL, maar egter kleinder dan den fcherpe hoek EAD.
Het blykt mede genoeg, dat de hoek DAI kleinder is, dan eenige regtlin: fcherpen hoek v: 9 ax.
Derhalven is dan nu betoogd al het geene alhier beweezen moeit worden. Corollarium.
Hier uit blykt, dat als een regte linie op het einde des Diameters eens cirkels perpendiculair gefield is, deze den cirkel raakt.
Want AC en AD vallen beiden buiten den cirkel, en dus ook de geheele CD.
Bygevolg kan CD den cirkel niet fnyden.
Maar alleen raaken in het punt A v: 2 def: 3.
PROPOSITIE XVII. PROBLEMA II,
Van een gegeeve punt een regte linie te trekken, die een gegeeve cirkel raakt,
(Ei?. 145. Tab. IX.) 't gegeevene is het punt A en den cirkel DBC. 't begeerde is het punt C te vinden, zoo dat
AC den zeiven cirkel raakt in het punt C. Conftruftie.
ie. Van 't gegeeve punt A tot het cent, D trek de regte AD v: 1 beg.
Snydende de circumf: in B.
2e.



van Euclides, Derde Boek. 175
2e. En uit D als cent: met de wydte DA als radius belchryf den cirkel DAE v: 3 beg.
3 . Laat verders uit B getogen zyn de regte BF perp: op AD: v: 11: 1.
Deze ontmoet den circumf: AE In E,
4e. En trek de regte ED v: 1 beg.
Deze fnyt den circumf: BC in C.
5e» Haal dan eindeiyk de regte AC, die de begeerde raaklinie is. Demonjlratie.
AD en ED zyn radii van") den cirkel DAE |
CD en BD zyn radii van \V: COnfh den cirkel DBC. J
Derhalven is in de An: ACD en EBD AD ~ EDI
CD = BD}V: 15 d£f: IV D == V D.
Ergo Is de V ACD = V EBD v: 4: 1.
En nadien de V EBD regt is v: conft.
Zöo is ook den V ACD regt v: 10 ax.
Om dat nu de y ACD regt is, zóo volgt het, dat de regte AC den cirkel raakt In het punt C v: cor: 16 3.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Hier door kan ligtelyk een cirkel met een gegeeve radius befchreêven worden, die een gegeeve regte linie in een gegeeve punt raakt.
TVant



176 Grond-beginselen der Meetkunde
Want laat gegeeven zyn de regte AC, en in dezelve het punt C en laat den gegeeve radius zyn BD. werk aldus.
Uit C trekt CD perp. op AC v: n i.« maakt. CD =? BD v: 2 1.
£72* C nu als cent. met de wydte CD als radius befchryf den cirkel DBC v: 3. b.
Deze is den begeerden cirkel, dat geen verder bewys nodig heeft, als genoegzaam openbaar uit het voorgaande.
PROPOSITIEXV1II. THEOREMA XVI.
Als een regte linie den cirkel raakt, en uit het centrum tot aan het punt der raaking getoogen wort een regte linie; dezelve zal perpendiculair op de raakhnie zyn.
CFig. 146. Tab. IX.) Hypothefis. De regte AB raakt den cirkel EDC
in't punt E, en FE is radius. Thefis. Deze Radius FE is perpend; op de
raakende AB. Demonftratie. . Indien EF niet perpend: op AB is. Zoo moet er een ander, genoomenFG, perp. op AB zyn.
En dan is in den A EFG de V FGE < V FEG v: 4 cor: 32: 1. De langfte zyde nu ftaat over den grootften hoek, dus FE < FG v. 19: *■
Maar



van Ëüclïdes, Derde Boek. 177
Maar dat is niet mogelyk, want FË komt maar tot aan de circumf: v; hyp: en FG gaat verder v: 16: 3.
Derhalven FE, niet langer zynde dan FG , is ook niet FG maar wel FE perpendiculair op AB.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XIX. THEOREMA XVïï»
Als een regte linie een cirkel raakt, en uit het raakpunt een perpendiculair door den cirkel getoogen wcrtj dan is in deze getooge linie het centrum des cirkels.
(Fig. 147. Tab. IX.)
Hypothefis. De regte AB raakt den cirkel in 't punt C, en CE perpend: op AB zynde, doorfnyt den cirkel.
Thefis. CE is den diameter des cirkels.
Demonjlratie.
" Een van beide Is waar,1 CE gaat door het cent: , of een ander, genoomen CF, gaat daar door.
Maar CF gaat er niet door; want dan moeft dezelve CF perpendicul: op AB zyn v: 18 3.
Maar zulks is niet mogelyk v: 9 ax.
"Want CE is perpend: op AB.
Ergo gaat CE ook door het centrum.
Dat te bewyzen was.
M PRO-



zyS Grondbeginselen der Meetkunde
PROPOSITIE XX. THEOREM A XVIII.
In den cirkel is de hoek in het centrum dubbeld van den hoek aan de circumferentie, indien dezelve een deel van de circumferentie voor bafis hebben.
(Fig. 148. Tab. IX.j Hypothefis. In den cirkel ABC is de V BDC in 't cent: D , en de V A is den V aan den circumf: beide ftaande op den boog BC als bafis. Thefis. ;den V BDC is dubbeld aan den y BAC.
Nota drie gevallen kunnen hier voórkoo<men-, -gelyk de figuren toonen..
Het eerfte geval, wanneer een der hoeklinien den diameter zelvs is (fig: A.) Demonftratie.
Om dat' nu de V BDC den uitwendigen hoek van den A ADC is. - '• .-.Daarom is den V BDC — rVr A + t$3 C"v: 32: i. • : :.
AD en AC radii van den Cirkel zynde Zyn gêlyk V: i$J def: 1. ;
En derhalven is ADC een gelykb: A v: 25: def: 1.
En dus-.is de V A — V C v: 5 1.
En dien volgens is den V BDC = 2 yn. A v: k: b.
Dat te bewyzen was.
Het



v.ys FrcL-iDTvS, Derde Boek. ifg
Het' tweede''geval, wanneer er aan werend zyde van den d'ameter een hóeklinie valt (Fig: B') dan haalden diameter ADE, Demonftratie.
.Alhier is de V BDE den uitwend: V van den A ADB ,
En de V COE den uitwend:. V van den A ADC.
En daarom is den V BDE — ~V V DAB 4- V B [
En den y CDS == y DAC j v: '32 *• + C j
Dit by den andere vergaderd.
Komt den y BDC = y BAC + V B + y C v: 2 en 15 ax.
Maar DB,,DA en DC zyn radii.van den cirkel. r ...
Derhalven DB , DA en DC onder malkander gelyk v: 15 def: 1..
En dus zyn de An. ADB en ADC ge-< lykbeenig.
Bygevolg de V B = V DAB en de V C — V DAC v: 5: 1. .
Daarom is de y BDC = y DAB * V DAC + y BAC.
Maar ;de l V BAC m V DAB + V DAC.
Bygevolg den y BDC ±± 2 Vn. BAC
u «fc b. ■ '
. Dat.te.'bewyzen was.
M 2 - Het



180 Grond-beginselen der Meetkunde
Het derde geval, wanneer beide de hoeklinien vallen aan eene zyde van den diameter (fig: C.) Laat mede getogen zyn den diam: ADE. Demonftratie.
Hier is wederom de V CDE den uitwend, v van den A ADC
En de V BDE den uitwend. V van den A ADB.
En daarom is de V CDE1 — V DAC + VC I en de V BDE = V DAB j V: 32' ' + V B. J
Dit van de andere afgetogen.
Reit den V BDC •= V BAC + C — V B v: 3 en 15 ax.
DA, DC, BD zyn onder malkander gelyk , om dat het radii zyn van den cirkel.
Dierhalven zyn de A". DAC, en BDA gelykbeenig v: 25: def: 1.
En daarom is de V DAC = V C en V DAB = V B v: 5: 1.
Derhalven de V BDC = V BAC +
V C — VB
V C = V DAC VB == V DAB Dus V BDC = V BAC + V DAC —
V DAB.
V DAB = V DAB.
Dus V BDC == V BAC + V BAC. Ergo V BDC ±= 2yn. BAC v: k: b. Dat te bewyzen was. PRO*



VAN EüCLTDES, ÜERDR BOEK. l8l
PROPOSITIE XXI. THEOREMA XiX.
In den cirkel zyn de hoeken in een deel des cirkels elkander gelyk.
(Fig. i49. Tab. X.) Hypothefis. De V- DAC en DBC flaan in een
zelve deel des Cirkels. Thefis. De V DAC = V DBC.
Nota twee gevallen kunnen er voorkoomen; gelyk de figuren ons doen zien.
Het eerfte geval, wanneer het deel, waar in die hoeken liaan, grooter is dan een halve cirkel, (fig. A.) Praparata.
Laat getoogen zyn de radii ED en EC v: 1 beg. Demonjlratie.
Nu ftaat de V D in het centrum, en de V". A en B aan de peripherie, en alle drie op den boog DC als bafis v: 8 def: 3.
Daarom zyn 2 V". A1 T\i?n
2Vn.Br=vDECv:2°3*
En dus ook 2 Vn. A =2 vn- B v: 1 ax.
En by gevolg de V A — V B v; 7 ax:
Dat te bewyzen was.
Het tweede geval, wanneer het deel, waar in die hoeken ftaan, kleinder is dan een halve cirkel, (fig: B.)
M 3 Pra*



Ï&2 Grond-beginselen der Meetkund^
Praparata.
Laat getoogen zyn de radii ED en EC, als ook de pees AB v: i beg. Demonftratie.
De V". AFD en BFC zyn fchrikshóe-
v r >> - IS'"'»
ken, en daarom gelyk v: 15 1.
De V". ADF en BCF of de v*. ADB en BCA ftaan in een zelve deel des cirkels, dat grooter is dan een halve cirkel, en daarom zyn die mede,gelyk v; }t ie. geval.
Derhalven dan inde An, AFD en.BFC
de V AFD = V •BFC, en de V ADF —■ V BCF zvnde v: b: b.
Moet ook zyn de V DAF =r. V CBF V-' 2 cor: 32 1.
1 De V DAF is den V DAC en de V CBF is den v CBD.
Dat te bewyzen Was. '< Corollarkim.
De driehoeken AFD' en BFC 'zyn duï gelykhoekig. ficholium.
Indien van eenig punt I buiten een cirkel getoogen voorden twee regte linien IK en IL , die den cirkel doorfnyden' in M en N, en tegen de circumferentie aankoomen in R en L, wanneer nu in den boon KL ?enoomen wort KP gelyk MN ca getoogen wort
de



-van Euclides, derde Boek. 183
de regte PNj dan zal de V JPNL gelyk den V I zyn.
(Fig. 150. Tab. X.)
Praparata.
Trek de regte KN 1 fog. Demonftratie.
De boog KP — boog MN w %>.
.Era derhalven is de V KNP — V MKN ©; ar-. 3.
Daarom is ook PN parallel KM o/ KI v: 27. 1.
JSrgo efe V PNL den uitwend: en de V I den inwendige hoek zynde, zyn gelyk v: 29. 1.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXII. THEOREMA XX.
Van alle vierhoekige figuren, in cirkels befchreêven, zyn de tegen overftaande hoeken zaamen gelyk twee regte hoeken.
(Fig. igf. Tab. X.) Hypothefis. De vierzydige fig: ABCD in een
cirkel befchreêven. Thefis. De V ADC 4- V ABC, item V DAB + V DCB =z 2 regte V". Praparata.
Laat getoogen zyn de regte AC en BD v: i beg. Demonftratie. De fig: ABD is een A, en daarom de M 4 3



184 Grond-beginselen der Meetkunde
3 Vn. BAD + ABD 4- ADB ah z regte Vn. v: 32 1.
Maar de yn. ABD en ACD-, ftaan op den boog AD, ergo I jzyn die gelyk. j
En de V". ADB en ACB j V: 2I: 3' ftaan pp den boog AB, ergo | zyn die gelyk. J
Derhalven de V BAD -f ABD + ADB = 2 regte vn- v: b: b. V ABD = V ACD — y ADB — V ACB
Ergo de V BAD 4- DCB = 2 regte yn. v: 1 ax.
Dat nu ook de V ADC en V ABC = 2 regte V". zyn, blykt klaar genoeg uit het ie. vertoog op de 32: 1. 1 Want de 4 Vn- des figuurs zyn — 4 regte V":
2 Van die Vn. =p 2 regte zynde, moe-> ten de 2 andere mede — 2 regte zyn.
Dat te bewyzen was, Corotlaria,
1*. Hier uit blykt, dat de eene zyde (genoomen AB) eens vierzydige figuurs in een cirkel befchreêven, verlengd zynde, den uitwendigen V EBC gelyk is aan den tegen overftaande inwendige V ADC.
Want de V ABC + V ADC = 2 regte: Vn< v: 22: 3.



van Euclides, Derde Boek. 185
De V ABC + V EBC = 2 regte Vn. v: 13: i.
Ergo V ABC + V ADC £±5 V ABC + VEBC v: 1 ax.
Aan beide zyden nu V ABC weggenoomen.
Zoo reft er V ADC té V EBC v: 3 ax,
2'. Hier uit blykt ook , dat men geen cirkel kan befchryven om een rhombus, ruit, of fcheef hoekig parallellogram.
TVant deszelvs tegen overftaande hoeken te zaamen zyn altoos meer of minder dan 2 regte hoeken v. 31 en 32 def. t.
En by gevolg zoude dat ftryden tegen dit 22e. voor ft el.
3*. Waarom men dan ook befluiten mag, dat, zo in een vierzydige figuur de tegen overftaande hoeken zaamen gelyk zyn aan twee regte hoeken, dat het als dan mogelyk is, om die figuur een cirkel te befchrym ven, en anders niet.
PROPOSITIE XXIII. THEOREMA XXI.
Op een regte linie kunnen geen twee ongelyke gelykformige cirkelftukken gefteld worden.
(Fig. 152. Tab. X.) Hypothefis. De regte AC, en op dezelve befchreeve de ongelyke cirkelftukken ABCA en ADCA.
M 5 The-



i86 Grond-beginselen der Meetkunde
rTltefis. Dat die cirkelftukken niet gelykfor-
mig zyn. ( r
Praparap.
Laat eens gefteld worden, dat ze gelykformig waaren.
Zoo. trek na gevallen de regte CB, die de circumf: fnydt in D en B.
En haal de regte AB en AD v: i beg. Demonjlratie.
Dewyl nu de cirkelftukken gelykformig gefteld worden, zoo moet de V ADC = V ABC, of de V BAC = V DAC zyn v: 10 def: 3. .•. Maar beide is onmogelyk. ""'Want de V ADC is den uitwend: ( V van den A ABD.
En dus is V ADC < V ABC v: 16: 1.
Nu Is de V DAC een gedeelte van den V BAC.
En dus is V DAC >j V BAC V: 9 ax.
Derhalven kunnen de cirkelftukken ABC ADC niet gelykformig zyn, want dezelve hebben geen gelyke hoeken, en de hoeken in dezelve zyn mede niet gelyk»
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXÏV.THEOREMAXXII.
Gelykformige cirkelftukken, ftaande op gelyke regte linien, zyn gelyk.
(Fig. IS3- T-b' x->
Hy-



. van Euclides, Derde Boek. 187
Hypothefis, De cirkelft: ABC en DEE zyngelykf:
cn de peezen BC en DF gelyk. " Thefis, 't cirkelft: ABC cirkelft: DEF. Praparata. i
Leg by gedagte het cirkelft; ABC op het'cirkelft:' DEF, zoodanig dat hét punt Akorat op het punt D, en AG langs DF:
Dan zal het punt C koomen op "het punt F, omdat AC — DB" is, v: hyp. Demonftratie. : : •
Indien men nu deze linie aanmerkt als' eene linie v: 2 def: 1. -
En dat men ook aanmerkt, dat 'er op eene linie geen twee ongelyke gelykformige cirkelftukken kunnen gefteld wor-" den v: 23: 3.
Zoo volgt van zelvs, dat de cirkelftukken ABC en DEF gelyk zyn.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXV. PROBLEMA Hl.
Gegeeven zynde een cirkelboog of cm-, kelftuk, dezelve tot een geheele cirkel te volfchryven.
(Fig. 154. Tab.;X5' 't gegeevene-is de cirkelboog ASC.
begeerde dezelve tot een geheele cirkel ABCG
te volfchr.yven. . . Conftruclie,
ie. Neem in dezelve na believen 3 punten A, B en C.
2e.



188 Grond-beginselen der Meetkunde
2e. En laat getoogen zyn de regte AB en CB v: i beg.
3e. Deelende dezelve in tweën gelyk in D en E v: 10: i.
4e. Trek uit D en E de perpend". DF en EF v: ij: ï.
Deze fnyden elkander in het punt F, dat het cent: des cirkels is.
5e. Daarom uit F als cent: met de wydte van FA, of FB, of FC als radius volfchryft den begeerden cirkel v: 3 beg. Demonjlratie.
Om dat AB en CB yder in tweën gelyk gedeeld is, en dat DF en EF perp: op AB en CB gefteld zyn v:' conft:
Daarom moet het cent: des cirkels in beide die perpend: zyn v: V 3.
By gevolg moet het cent: in het fhypuntF zyn, omdat dat het eenigfte deel is, dat die beide perpend". gemeen hebben.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Hier door wort dan ook tigtefyk door 5 gegeeve punten, A, B, C (i« geen regte linie Jlaande) een cirkel befchreêven; het geene uit het voorgaande genoeg blykt, en geen verdere conflruclie nodig heeft.
PRO-



van Euclides, Derde Boek. 189
PROPOSITIE XXVI. THEOREMA XXIII.
In gelyke cirkelen ftaan gelyke hoeken, het zy in de centra's, het zy aan de circumferentien, op gelyke deelen der circumferentien.
CFig. 155. Tab. XO Hypothefis. In de gelyke cirkelen ABC en DEF zyn de cent. Vn. G en H gelyk. Item de Vn- B en F aan de circumfer: gelyk.
Thefis. De boog AIC de boog DKF t:
w: daar dezelve Vn- op ftaan. Praparata.
Laat getoogen zyn de regte DC en EF v: 1 beg. Demonftratie.
Om dat nu de cirkels gelyk zyn v: hyp.
En de linien GA, GC, HD en HF radii zyn van die cirkels.
Daarom zyn die linien onder malkander gelyk v: 15 def: 1.
Derhalven is in de An. AGC en DHF GA = AD GC = HF V G = V H v: hyp:
Ergo is AC == DF v: 4: 1.
By gevolg is mede de boog AIC = boog DKF v: 24; 3.
En dus ook - - de boog AB = boog DEF v: 3 ax. Wy-



1 ïïjö Grond-beöïkselen eer Meetkunde
Wyders wanneer dë Vn. B en E aari de circumferentien gelyk zyn.
Dan zyn de . centrums hoeken G en H mede gelyk, v/ant het eene is het dubbeld van het andere v: 20: 3. ' En. dus ftaan de Vn. B en E wederom op gelyke b'oogen. >
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Hier uit volgt dan ook, dat, indien die hoeken van den eenen cirkel grooter of kleinder zyn dan die van den andere, dat dan ook de boog van den eenen grooter of kleinder Zal zyn dan den boog van den andere; wel verfaande, als de cirkelen gelyk blyven. Scholium.
Zoo in een cirkel de boog AB gelyk den boog DC is; dan zal de regte AD parallel aan BC zyn.
CFig. 156. Tab. X.)
Want getoogen de regte AC. ' Dan is V ACB = V CAD, omdat ze pp gelyke boogen faan v: 26: 3.
Maar die hoeken zyn ook de verwisfelde hoeken, ten aanzien van de regte AD, BC en AC.
Ergo is AD paraltel BC pi 27: 1.
■ PRO-



van Euclides, Derde Boek. 191
PROPOSITIE XXVII. THEOREMA XXIV.
In gelyke cirkelen zyn de hoeken, het zy in de centra's, het zy .aan de circumferentien, die op gelyke deelen der cïrcumferentien ftaan, gelyk.
CFig. 157. Tab. X.) Hypothefis'. Deboogen AC en DF zyn gelyke deelen der circunifer: van gelyke cirkels. • Thefis. De V G = V H in- de 'cent: item de V B ^ V c aan de circumfer. ^Demonftratie.
Een van beide moet waar zyn de y AGC — V H.
Of een andere die grooter of kleinder is. t: w: den VAGI = H.
•Zoo het laatfte waar is. dan is de boog AI == DF — AC,; want gelyke hoeken ftaan op gelyke booge v: 26: 3.
Maar dat is onmogelyk v: 9 ax: want ?t geheel is grooter dan zyn deel.
Ergo is de v AGC = V H v: k: b.
En derhalven zyn de Vn. aan de circumfer: t: w: de v B = v E v: 20;; 3.
Dat te bewyzen was. . Scholium.. ,
Indien een regte Unie Hl raakende getoogen wort door het punt E, het midden eens boogs AED; dezelve zal parallel zyn met de koord AD, die het cirkelftuk beftuit.
(Fig;



igz Grond-beginselen der Mketkund
CFig. 158. Tab. XI.) ffant laat getoogen zyn de radii FA» FE en FD v: 1 beg.
Dan ts in de An. FAG en FDG en FA = FD v: 15 def. 1.
FG -~ FG V AFG é± V DFG v: 27: 3. Êrgo V AGF = V DGF v: 4: 1. £» daarom zyn die V". *'» G regt v:
13 En naadien de V". in E mofe «gf zyn v: iö': 3.
^00 moet Hl para/W AD zy» te 28: 1.
Cbro//an'wm.
i»afcn ««'* E, midden van
den boog AED fm; cir&/x ABKCDEA, regfe Unie EK getoogen wort, fnydende de regte AD regthoekig in G, zoo za/ EK aïra diameter des cirkels zyn.
PROPOSITIE XXVIII. THEO. REMA XXV.
In gelyke cirkelen fnyden gelyke linien af gelyke deelen der circumferentien (namentlyk het grootfte gelyk het grootfte en het kleinfle gelyk het kleinfle.)
(Fig. 158. Tab. X.) Hypothefis. De cirkel ABC = cirk: DEF en de regte AC == DF.
Toe,*



van Euclides, Derde Boek. 193
Thefis. De boog ABC ~ boog DEF en
boog Af C =£ DKF. Praparata.
Laat getoogen zyn de radii GA en GC item HD en HF v: 1 beg. Demonflratie.
Dewyl nu die getooge linien radii zyn van gelyke cirk den v: hyp.
Daarom zyn die aan malkander gelyk v: 15 def: 1.
Derhalven is in de An. AGC en DHF GA =3 HD GC = HF AC — DF v: hyp.
Ergo is de V AGC = V DHF v: 8: 1.
Dus ook den boog AIC = boog DKF v: 26": 3.
Dit nu aan de eene van den cirkel ABCI, en aan de andere kant van de cirkel DEFK, welke gelyk zyn v: hyp: afgenoomen.
Reft den boog ABC =. boog DEF v: 3 ax.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Indien AFB en AGC twee cirkelboogen zyn van gelyke cirkels, en m dezelve ge Held ' zyn gelyke regte linien AB en AE; dan zal de regtlinifche V DAE gelyk zyn aan den kromlinifchen V BAC.
N (Fig:



194 Grond-beginselen der Meetkunde
CFig. 159. Tab. X.)
Want de V FAD =}V GAE de V DAG = V DAG
■ geadd.
Komt den V BAC =3 V DAEu: 2 ax.
PROPOSITIE XXIX. THEOREMA XXVI.
In gelyke cirkelen ftaan over gelyke deelen der circumferentïen, gelyke regte linien.
CFig. 160. Tab. X.) Hypothefis. De cirk: ABC == cirk: DEF, en de
boog ABC = boog DEF. Thefis. De regte AC = de regte DF.
Praparata.
Laat getoogen zyn de radii GA, GC en HD, HF. Demonftratie.
' Om dat die getooge linien radii zyn van gelyke cirkelen v: ber: en hyp.
Daarom zyn die gelyk v: 15 def: 1. en 1 def: 3.
Dus is Ih de Vn. AGC en DHF
GA = HD1 , f n >v: 1 def: 3. GC — HFJ 3
V G — V H v: 27: 3.
Ergo is AC - DF v: 4: 1.
Dat te bewyzen was.
PRO-



tsx Eücltoes, Derde Boek 195
PROPOSITIE XXX, PROSLEMA IV.
Een gegeeve cirkelboog in tweën gelyk te deelen.
(Fig. 161. Tab. X.) 't gegeevene is de cirkelboog ABC. 't begeerde dezelve in tweën gelyk te deelen. Conjlrui'iie.
ie. Getoogen hebbende de koord AC, deel dezelve in tweën gelyk in D v: 1 beg: en 10: 1.
2e. Uit D regt op den perpend: DB tot in de circumf: in B v: n: r.
Dan is het punt B het midden van den boog ABC, of dat het zelve is, de boog AB is — boog CB. Praparata.
Laat getoogen zyn de regte AB en CB, deze zyn de koorden van de boogen AB en CB. Demonftratie.
In de An. ADB en CDB zyn de Vn.' in D regt, en AC is in tweën gelyk gej deeld v: conft.
En daarom is de VADB—VCDBv:ioax.
AD— CD v: conft. BD— BD
Ergo Is dekoord AB— CBv: 4:1.
Om dat nu in gelyke cirkelen gelyke N 2 reg-



iq6 Grond-beginselen der Meetkunde
regte linien affnyden gelyke deelen der circumferentien v: 28: 3.
Daarom is dan ook de boog AB =3 de boog CB.
Dat te bewyzen was. Scholium.
Hier uit leert men ook tejfens een cirkelboog in 4, 8, 16 enz: gelyke deelen te deelen ; want de cirkelboog ABC in tweën ge. lyk gedeeld zynde, deelt men op gelyke wyze de cirkelboogen AB en CB yder in tweën gelyk enz.
PROPOSITIE XXXI. THEOREMA XXVII.
In den cirkel is
ie. De hoek, die in een halve cirkel ftaat, regt.
2e. De hoek, die in een grooter deel ftaat, fcherp.
3». De hoek. die in een kleinder deel ftaat, plomp.
4e. De hoek, gemaakt van het grootfte deel der circumferentie en de koord, is meer dan regt. en
5«. De hoek, gemaakt van het kleinfle deel der circumferentie en dezelve koord, is minder dan regt.
(Fig. 162. Tab. X.)
Hy,



van Euclides, Derde Boek. 197
Hypothefis. r«. ABFCA 5 cirkel.
2e. BIHC < j Cirkel.
3e. BKFC y j cirkeL Thefis. ie. de V ABC is regr.
2*- de V BAC is fcherp.
3e- de V BFC is ftomp.
4e- de menglinifehe V IBC is meer dan regt.
5e. de menglinifehe V KBC is min. der dan regt.
Nota wy moeten hier dan vyf zaaken bewyzen. Praparata.
Laat getoogen zyn de radius DBv: 1 beg.
En AB na gevalle verlengd worden v: 2 beg.
Demonjlratie op het eerjle.
Alwaar beweezen moet worden, dat de V ABC, ftaande in een halve cirkel, regt is.
De V". ACB en ADB] ftaan op den boog AB I
De V". BAC en BDC (*V; 10 def} rftaan op den boog BC J
De V"- ACB en BAC zyn de V". aan de circumf.
De V". ADB en BDC zyn de yn. in het centrum.
_ Nu. zyn de V". in het cent: dubbeld aan die aan de circumferentie, wanneer die £>p een deel der circumf: ftaan v; 20: 3, N 3 Der«



198 Grond-beginselen der Meetkunde
Derhalven kan men dan ftellen
Dat 2 V". ACB = V ADB is
En 2 yn. BAC = v BDC
geaddc.
Dus 2 V". ACB + 2 V". BAC == y ADB + V BDC v: 2 ax.
ABC nu den diameter van den cirkel zynde v: hyp: en dus een regte linie, zoo is de V ADB + V ^DC __ 2 regte V". v: 14:
De Vn- ACB, BAC en ABC zyn de 3 hoeken van den A ABC.
En derhalven gelyk 2 regte v: 32: 1.
Dus dan 2 y„. ACB -f 2 y% BAC t= V ADB + V BDC.
En V ADB + V BDC =5 2 regte y_.
En 2 regte yn. — V ACB + y BAC 2 y ABC.
Dus dan ook 2 y«. ACB + 2Vn.BAC — 2 regte.
Derhalve y ACB + V BAC = ï regte.
By gevolg ook y ABC — 1 regte.
Op het tweede, alwaar te betoogen is, dat de y. BAC, ftaande in een grocter deel BAC van den cirkel, fcherp is.
Wanneer nu in een A eene hoek regt is, zoo zyn beide de overige Vn. fcherp; Y: 1 cor: 17: 1.
Alhier is in den A ABC de V ABC xegtv:b:b. Det-



van Euclides, Derde Boek. 199 Derhalven is de V BAC fcherp.
Op het derde, alwaar beweezen moet worden, dat de V BFC, ftaande in een kleinder deel van den cirkel, ftomp is.
De fig: ABFC is een vierhoek in een cirkel befchreêven.
En daarom isdeVA + VF — 2 regte v: 22: 3.
De V A 1 regte v: b: b.
By gevolg V F < 1 regte v: 5 ax.
Op het vierde, alwaar beweezen moet worden, dat de v IBC, gemaakt van het grootfte deel der circumf: BAC en de koord BC, meer dan regt is.
De V IBC, begreepen van de regte BC en de boog AIB is grooter dan den regtlinifche hoek ABC v: 9 ax.
Maar dien zelve hoek is regt v: b: b.
Ergo is de menglinifehe V IBC grooter dan regt.
Op het vyfde, alwaar te bewyzen is, dat den v KBC, begreepen van de regte BC en den boog KB minder dan regt is.
AE een regte linie, en de V ABC regt zynde v: ber. en b: b.
Zoo moet de regtlinifche hoek EBC mede regt zyn v: 1 cor: 13: 1.
N 4 Maar



200 Grondbeginselen der. Meetkunde
Maar de mengl: V KBC > dan den regtlin: V ABC v: 9 ax.
Derhalven de menglin: V KBC minder dan regt.
Dus is beweezen al het geene alhier te bewyzen was. Corollarium.
ie. Hier uit volgt wederom het 4e. coroll: van de 32: 1. namentlyk.
Dat, wanneer de eene hoek van een driehoek gelyk Ü aan de Wee overige ie zaamen, dat dan dezelve een regthoekige driehoek is. ■ ^
2e. Zoo in een regthoekige driehoek A3C de hypothenufa AC in tweën gelyk in D gedeeld wort, dan zal de cirkel uit D als centrum door A befchreêven, mede gaan door B en C.
Want DA r— DB — DC. 3e. Door dit voor/iel kan men ook het, centrum eens cirkels vinden, aldus.
(Fig. 163. Tab. XI.) In den cirkel ABDC trek na gevalle de regte hS,, fittende de circumferentie aan beide r.yden in A en B. v: 1 beg.
Uit beide de eindens dier linie regt op de perpend: AC en BD tot aan de circumf: in C en D v: n: 't'.
Haal eindelyk de regte DA en CB fnydende elkander in het punt E,
Het



van Euclides, Derde Boek. _oï
Het welk ook het centrum van den cirkel
is.
Dit is genoeg openbaar uit het voorgaande, en heeft derhalven geen verder bewys nodig.
4«. Hier uit leeren wy ook het verfchil van twee gegeeve quadraaten te vinden.
Gegeeven zynde de quad". A en B, wy moeten vinden hoe veel het quad'. B grooter is dan het quad1. A.
C Fig. 164. Tab. XI. )
Men befchryf op de linie B, of op de linie CD, de grootfte van de twee, een halve cirkel, en men neem in den diameter CF = A.
Uit C als cent: met de wydte CF als radius befchryf men den boog FE. . Die den boog van de halve cirkel fnyt in E
Men trekt dan CE die zal gelyk A zyn v: 15 def 1.
En men trekt ook de regte ED, deze zal het verfchil der 2 quad". zyn.
Om dat nu de V CED in een halve cirkel ftaat v: ber.
Daarom is de A CED regthoekig, regt in E v: 31: 3. en 27 def: j.
Dus is CD?. ~ CE? + ED? .v. 47: 1.
Van beide kanten CE?, weggenoomen.
N 5 Reft



202 Grond-beginselen der Meetkunde
Reft V CD*. — CE?. = ED2. m: 3 ax.
CD2. = B2. f» EC?. = A<3. zynde v:ie. cor. 46: 1.
Is dan ook B?. - A* = ED3. w 1 ax.
5e. Door kif eerfte lid van dit voor/tel wort ook nog ligtelyk van een gegeeve punt R buiten den cirkel een regte RM getoogen, die een gegeeve cirkel raakt aldus.
(Fig. 165. Tab. XI.)
Uit O het cent: des gegeeve cirkels, tot het gegeeve punt R, trek de regte OR v: 1 beg.
Op dezelve befchryf een halve cirkelOMR v: 3 beg.
Deze fnyt den gegeeve cirkel in M. haal vervolgens de regte RM v: 1 beg. ^
Deze RM is de begeerde raaklinie.
Want de V . ORM in een halve cirkel ftaande is regt v: 31: 3.
Dus raakt RM den cirkel in het punt M
v: cor: 16: 3.
6e. Door 'het zelve lid van dit voorfel wort ook ligtelyk op het einde van een reg■ te linie MR .een perpendiculair MO opgeregd. aldus.
(Fiï. 166. Tab. XI.) Buiten de gegeeve RM verkies het punt S na believen.
Door het zelve punt trek de oneindige RQ.
v; 1 beg.
In



van Euclides, Derde Boek. 203
In dezelve neem RS — SM v: 2: i.
Dan uit S als cent. met de wydte RS als rad: befchryf den halven cirkel RMO v; 3 beg.
Uit O trek de regte OM, deze is perpend. op RM.
Want om dat de v RMO in een halve cirkel ftaat v: conft.
Daarom is dezelve regt v: 3r: 3.
Ergo is OM perpend: op RM v: 10 def: 1.
PROPOSITIE XXXII. THEOREMA XXVIII.
Als een regte linie den cirkel raakt, en van het raakpunt een regte linie getoogen wort, die den cirkel doorfnydt; dan zyn de hoeken, die op de raakende linie gemaakt worden, gelyk aan de hoeken, die in de overhandfche cirkel Hukken Haan.
(Fig. 167. Tab. AT.) Hypothefis. De regte AB raakt den cirkel in C,
en CE doorfnydt denzelve. Tefis. ie. De V ECB Caan de regter zyde van de fnydende linie CE) — den V EDC Cftaande in het cirkelftuk EDC aan de andere zyde van de fnydende linie CE)
2«. De V ECA Caan de linker z.yde van de fnydende linie CE) ~ den
y



204 Grond-beginselen der Meetkunde
V efc (ftaande in het cirkelftuk efc aan de regter zyde van de fnydende linie ce.)
Praparata.
Laat getoogen worden CD perpend. op AB v: n: i.
Dan is CD den diameter v: 19: 3.
En trek de regte DE en EF v: 1 beg.
Demonftratie.
Om dat CD perpend: op AB is, daarom is de V DCB regt v: 10: def: 1.
En om dat de V DEC in een halve cirkel ftaat, daarom is die mede regt v: 3I: 3-
En derhalven zyn de Vn. DCE + D mede regt v: 4 cor: 32: 1 of cor: 31: 3.
Dien volgens is de V DCE + V D = V DCB v: 1 en 10 ax.
Aan beide kanten V DCE weggenoomen.
Zoo reft VD = V ECB v: 3 ax.
Verders zyn de Vn. D en F de 2 tegen overftaande Vn. van een vierhoek in een cirkel befchreêven, en by gevolg gelyk 2 regte Vn. v: 22: 3.
En om dat ACB een regte linie is v:
typ-
Daarom is V ECA + V ECB = 2 regte v: 13: 1.
Der-;



van Euclides, Derde Boek. 205
Derhalven isVD + VF — V ECA + V ECB v: 1 en 10 ax.
De V D nu is = v ECB v: b: b.
Aan de eene kant den V D en aan de andere kant V ECB weggenoomen.
Zoo blyft er V F =; V ECA v: 3 ax.
Dus hebben wy beweezen.
i°. Dat dey D — V ECB
20. dat den V F — V ECA is.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXXIII. PROBLEMA V.
Op een gegeeve regte linie een cirkelftuk te befchryven, waar ineen hoek kan gefteld worden, die gelyk is aan een gegeeve regtlinifche hoek.
(Fig. 168. Tab. XI.) 't gegeevene; is de regte linie AB en den V C t begeerde is op dezelve AB een eirkelfiuk AIEB te befchryven , waar in een V I kan gefield worden , die gelyk is aan de gegeeve V C Conftruftk.
ie. Uit A maak den V BAD =_ v C v^23: 1.
2e. En verleng DA na believen tot in H v: 2 beg.
3e. Dan uit A ftel AE perpend: op DH v: 11: 1.
4e. En maak den V ABF == V BAF v: 23: 1.
WeU



2©6 Grond-beginselen der Meetkunde
"Welkers hoeklinie BF den perpend: AE ontmoet in F.
5e. Dan uit F als cent: met de wydte FB of FA als rad: befchryf den cirkel AIEB.
6e. En ftel op AB den V I in dezelve na believen v: i beg.
Deze hoek I, hoe men die ook fielt, zal gelyk den gegeeven hoek C zyn. Demonftratie.
Om dat in den A AFB de V FAB — V FBA is v: conft.
Daarom is FA — FB v: 6: i.
By gevolg zoo de cirkel, uit het punt F als cent: getoogen, gaat door het punt
A, zoo zal die ook gaan door het punt
B, of zoo die door B gaat zoo zal die ook door A gaan v: 15 def: 1.
Nu is HD de raaklinie, en AB de fnylinie van dien cirkel.
En de V 1 ftaat in het overhandfche cirkelftuk ten aanzien van de fneylinie AB.
En daarom is de V I = V BAD v: 32: 3.
Maar de V BAD == V C v: conft. Ergo is de V C = V I V: T' ax' Dat te bewyzen was.
Scholium.
Mür is de hoek C fcherp gefteld, maar
•wan*



van Euclides , Deude 'Boek. 207
wanneer dezelve /lomp gegeeven was, zoo als by* voorbeeld den hoek O ; als danblyft op zig zelve genoomen de bewerking het zelfde: want men feit na voorgaande leering het complement van den hoek O, dat is den hoek C, in het cirkelftuk AIB, en dus zal de hoek O kunnen gefteld worden in het cirkelftuk AGB.
Want cfe V O + V C = 2 regte V: 13. i.
■ En den y I + y G ~ 2 regte v. 22: 3.
j Dus denyO+VC~yl + y G v: 1 ax.
V C = V I zynde v: conft.
Zoo neemt men aan beide kanten die ?elyke vn. weg.
En er blyft over V O =_ y G v: 3 ax.
Maar wanneer de gegeeve hoek regt is, dan heeft men maar op de gegeeve linie AB een halve cirkel te befchryven, en de hoek in dezelve is mede regt v: 31: 3.
PROPOSITIE XXXIV. PROBLEMA VI.
Van een gegeeve cirkel een ftuk afte fnyden, waar in een hoek kan gefteld worden, die gelyk is aan een gegeeve regtlinifche hoek.
(Fig:'



•zo8 Grond-beginselen der Meetkunde
CFig. 169. Tab. XI.)
»t gegeevene is den cirkel ABC en den regtlinifche hoek D.
't begeerde is de regte AC te trekken, zoo dat in het cirkelftuk ABC kan gefteld worden een hoek B rrz hoek D.
ConftruBie.
ie. Laat getoogen zyn de regte EF, xaakende den cirkel in A v: 17: 3.
2e. En trek de regte AC, maakende den V FAC — de gegeeve VD v: 23: il Deze fnydt van den gegeeven cirkel het begeerde ftuk af.
3°. Stel daarom in het zelve den V B na believen v: 1 beg. Demonftratie.
De linie EF raakt, en de linie"^ AC fnydt den cirkel. s De hoek CAF is gemaakt 1 van die raakende en fnydende con^ linien. | En de hoek CAF is gelyk I de gegeeve regtlinifche hoek | D , j
Daarom is de V B in 't overhandfche cirkelftuk gelyk V CAF v: 32: 3-
En derhalven is de V B ook gelyk aan de gegeeve V D v: 1 ax.
Dat te bewyzen was. Scholium.
Mier is de gegeeve hoek mede fcherp,
maar



van Euclides, Derde Boek. _oo
'maar wanneer het een /lompe hoek was > zoude de bewerking ook het zelvde weezen als nader komt te blyken uit het Scholium van de 33: 3.
PROPOSITIE XXXV. THEOREMA XXIX.
Ais in een cirkel twee regte lihiën elkander doorfnyden; dan zyn de regthoeken van elks deelen elkander gelyk.
CFig. 170. Tab. XI) Hypothefis. In dén cirke/ ACBD fnyden de regte linien AB èn CD elkander in het punt E. Thefis. □ AEB b_ Q CED.
Nota vyf gevallen, kunnen hier voorkoomen, gelyk de figuuren ons vertoonen en hier onder nader blyken zak • Demonftratie:.
Op het eerfte, wanneer de linien malkander in het centrum het zy regt of fcheefhoekig doorfnyden. (Fig: A.)
Maar dan is de ftelling genoeg openbaar uit de 15 def: 1 en Cor: 46: 1. ; Om dat de deelen van die fnydendë linien alle aan malkander gelyk zyn.
Op het tweede, Wanneer de eene 'doorhet centrum gaat, en de andere niet, maar dat zy malkander regthoekig door* fnyden. (Fig: Bj
0 Trek



sio Grond-beginselen der Meetkunde
Trek dan de radii FC en FD v: i beg. Nu is de regte AB gedeeld in 2 gelyke en in 2 ongelyke deelen in F en E. En daarom is de □ AEB + EF?. _4
FB?. v: 5: 2.
FB en FD radii van den cirkel zynde, zyn gelyk v: 15 def: 1.
Daarom FB?. = FD?. v: cor: 46: 1. _
Maar alzoo de A FED regthoekig is v hyp: en 27 def: 1.
Daarom is ook FD?. = ED2. 4- EF?. v: 47. 1.
Derhalven dan beweezen hebbende. Dat □ AEB + EF?. =_ FB?. En FB?. _ FD?, En FD?. = ED?. + EF?. Is. •Zoo is □ AEB + EF?. — EDq. + EF?. v: 1 ax.
Aan beide kanten dan EF?. weggenoo-
men.
Zoo blyft er □ AED = ED3. v: 3 ax, • Om dat nu ED s_ EC is v: hyp.
Daarom is ED?. = □ CED v: k: b.
Ergo is a AED ét □ CED v: 17 ax
Dat te bewyzen was.
Op het derde, wanneer de eene door het centrum gaat, en de andere niet, en dat ze malkander ook niet regthoekig doorfnyden. (Fig. C.)
Trek dan de radii FC en FD v: 1 beg: en FE perpend: op CD v: v: 12: 1.



van Euclides, Derde Boek. 211
Nu is CD in tweën gelyk gedeeld in E v: £ 3.
En dus is wederom CD gedeeld in 2 gelyke en in 2 onge^ke deelen, in de punten G en E.
En de a FED is regthoekig v: ber: en 27 def: ï.
Derhalven is dan □ CGD -f GE* __j CE?, v: 5: 2.
Aan beide kanten ef?. bygedaan.
Zoo komt er _□ CGD t FG?. ___ CF* ' v. 47 1.
' Nu is ook AB gedeeld in 2 gelyke en in 2 ongelyke deelen in F en G.
En daarom is de □ AGB + FG?. = FA?. v: 5: 2.
Maar FA en FC radii van den cirkel zynde, zyn gelyk v: 15 def: 1. Derhalven FA?. __■ FC?, v: cor; 46: r. Nu beweezen hebbende. Dat de □ CGD -f FG?. = CF?, is. En CF?. ~ J?A?. En FA? = D AGB + FG?. ' Zoo" is □ CGD + FG?. i~ □ AGB -f- FG?. v: 1 ax.
Aan beide kanten nu FG?. weggenoomen.
. Zoo blyft er □ CGD = q AGB v: 3 ax-
Op het vierde, wanneer zy geen van beide door het centrum gaan, maar malO 2 kan-



2i2 Grond-beginselen der Meetkunde
kander regthoekig doorfnyden. (Fig: D.)
Op het vyfde, wanneer zy geen van beide door het centrum gaan, en malkander ook niet regthoedig doorfnyden. (Fig: E.)
Dog deze twee gevallen kunnen te gelyk beweezen worden.
Trekt eerft door het fnypunt E den diameter GH v: i: 3.
Nu is hier □ AEB^ = □ GEH I v: 't beweezene
En ook □ CED = f in 't se. geval. GEH j
Ergo is ook □ AEB — □ CED V: 1 ax.
Dat alhier beweezen moeft worden. Scholium.
Uit dit 35e. Leerftuk kan men nog afleiden het volgende vertoog.
Wanneer door een punt buiten den diameter eens cirkels na gevalle een regte linie in den cirkel getrokken is, en uit dat punt op den diameter een perpendiculair gehaald wort; dan zal de regthoek van de deelen dier linie met het quadraat van den perpendiculair gelyk zyn aan den regthoek van de deelen des diameters.
CFig. 171. Tab. XI.) Hypotb. De regie linie FG gaande door het punt E buiten den diameter des cirkels AGF en ED perpend: op den diameter AB. Thtjis. Q FEG + EG?. =: □ ADB.
Pra*



Van Euclides, Derde Boek. 213 Praparata.
Laat getoogen zyn KI parallel AB en HC parallel ED v: 31: 1.
En haal de regte CK v. 1 beg. Demonjlratie.
Nu zyn FG en KI 2 /fofe» m den cirkel, die elkander doorfnyden.
En daarom is de □ FEG =; □ KEI v: 35: 3.
Nu is KI ook gedeeld in 2. gelyke en in 2 ongelyke deelen in H en E.
En daarom is de □ KEI + HE?- r_: KH?. v: 5: 2.
Derhalven de □ FEG = □ KEI zynde v: b: b. Aan beide kanten HE?, bygedaan. Komt er □ FEG + HE?! = KH?. v: 2 ax: en b: b. ED?. = CH? v. 33: 1 en cor: 46: j. Dus aan de eene ED? en aan de andere kant CH?. bygedaan.
Komt er □ FEG + HE?. + ED? = KC?. v: 47 1. Want A KHC is regt hoeHg.
Maar om dat KC en AC radii zyn van den cirkel, daarom is KC ___ AC v 15 def: 1.
En dus ook KC? =: AC? v. 1 cor. 46:1. Om dat nu AB parall: Kl, en HC parall: ED is v: ber.
O 3 Daar-



214 GroSd-beginselen der Meetkunde Daarom is EDHC een parallellogram •V: 33: i.
Om dat nu verders AB gedeeld is in 2 aelyke en in 2 ongelyke deelen in C en D. Daarom is ook □ ADB + CD?. =
AC?, v: 5: 2.
Derhalven beweezen hebbende. Dat □ ADB + CD?: =t AC,. AC*. == KC?.
KC*. — □ FEG + HE*. + ED?.
"'^oo is □ ADB + CD,. = □ FEG + HE?. + ED?. v: 1 ax.
Jan de eene kant nu hier van afgenoomen CD?, en aan de andere kant HE? want deze quadraten zyn gelyk om dat HE parall: CD en HC parall: DE is v: 33: 1 en 1 cor: 46: 1.
Dus btyft er □ ADB = □ FEC + ED*. w 3: ax.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXXVI. THEOREMA XXX.
Als van eenig punt buiten den cirkel twee regte linien getoogen worden, waar van de eene den cirkel raakt, en de andere den cirkel doorfnydt; dan is de regthoek der geheele doorfnydende
li-



van Euclides, Derde Boek. 215
linie, en het deel tuffchen het punt en den cirkel, gelyk aan het quadraat van, de raakende linie.
(Fig. 172. Tab. XI.) Hypothefis. D is een gegeeve punt buiten den cirkel ABC, DB raakt den cirkel en DA doorfnydt denzelve. Thefis. □ ADC £3: Dl?,
Nota. Drie gevallen kunnen hier voor koomen, zoo als de figuren vertoonen, en hier onder gemeld zal worden. Demonftratie.
Op het eerjle, alwaar de fnydende linie DA gaat door het centrum E. (Fig; A.)
Laat getoogen zyn de regte EB zynde de radius van den cirkel v: 1 beg.
Om dat nu BD de raaklinie is, en B door >t cent: gaat v: hyp: en ber.
Daarom is de V DBE regt v: 18-3 en de A DBE is regthoekig v: 27: def.'z
Derhalven is DE? — DB,. 1 BE v 47 1. q' :
Nu is verders de regte AC gedeeld in 3 gelyke deelen in E, en dezelve is onbepaald, verlengd tot in D.
En daarom is □ ADC * CE? =s nir v: 6: 2.
En DE?. — DB?. + BE,, v: b b Derhalven □ ADC + CE?. = DB? + BE?, v: i ax.
0 4 Om



2i0 Grond-beginselen dir Meetkunde Om dat nu CE en BE radii van den
cirkel zyn.
Daarom zyn die gelyk v: 15: aer: 1. En daarom ook CE*. == BE?, v: cor:
^Derhalven aan de eene zyde CE?, en aan de andere kant BE?. afgewogen. Zoo blyft er □ ADC == DB?, v: 3 «• Op het tweede , alwaar de fnylinie niet gaat door het centrum, maar valt tuffchen het cent:, en de raaklinie. (Fig: B.)
Op het derde, alwaar dezelve valt aan de andere kant van *t centrum. (Fig: C.)
Nota. Op beide de gevallen kan de volgende Demonftratie toegepaft worden.
Laat getoogen zyn de radii EB en EC item de regte ED v: 1 beg.
Als mede EF perpend: op AD v: 12: 1. Om dat nu de A». DBE, DEF en CFE regthoekig zyn v: 18: 3 en ber.
Daarom is EB?. z= EC*. v; 15: def: l en cor: 46: 1.
En EC?. = CF?, 4- EF?. v: 47. 1. Derhalven EB? = CF?. 4- EF?. v: 1: ax.
En daarom is ook DB? + EBO r»tr« J-v:47-"i'
' En DE?: = DF?. + EF?. J Dus ook DB?. + EB?. = DF?. + EF?. Aan de eene kant nu hier van afge-



van Euclides, Derde Boek. 217
noomen EB?, en aan de andere kant CF. + EF?, welke gelyk Zyn v: b: b.
Zoo blyft er DB? = DE?. - CF? v. 3 ax. • v-
Nu is AC gedeeld in 3 gelyke deele„ m *, en nagevalle verlengd tot in D
Dus is dan DF? CF?.. = D ADC v: 4 cor: 6 2:
Ook is DF? - CF? ^ DB?, v: b- b
Ergo □ ADC = DB?. V; 1 aX. *
Dat te bewyzen was. Corollaria.
i~.Zoo van eenig punt A Hi arket genoomen verfcheide regte Unien AB,
rLget°°fn W°rden' die den *** doorfnyden -, dan zyn de regthoeken van die gebe te fnydende Unien, en dezelve uitwendige deelen, elkander gelyk.
CFig- i73. Tab- Xïö Dat is a BAE = a CAF enz
PuntlT-^1^2 AD> AC^een
cZel ra T 7 ** *M « **
cirkel raakende, zyn elkander gelyk.
^Fig. 176. j\db XJrj ^
Z;i^r:u:ciizynd!defny-
Dan is AD? 1
AC?.J*~ D EAF V: 36. 3. En daarom AD?, a AC?, v 1 ax Dus ook AD = AC v: 2 cor: 46. 1 3 • fan een zelve punt A huiten den cir° 5 iel



2i8 Grond-beginselen der Meetk.unpe.
kei kunnen er maar twee regte linien AD en AC zetoogen worden, die den cirkel raaken,
(Fig: 174. Tab. XI.)
Om er maar mee elkander gelyk
kunnen zyn v: 8: 3. > 4e. ^00 fr gefyk regte hnien au AC -MÖ een zeker punt A fe£ft» den cirkel op de circumferentie vallen, en een van dezelve den cirkel raakt, zoo zal ook de andere den cirkel raaken.
CFig: 147. Tab XIII.)
Scholium.
Uit dit 36e. leerftuk kan men wederom afleiden het 'volgende vertoog.
Zoo in den diameter eens cirkels genoomen voort een punt na helieven, en uit dat punt een onbepaalde perpendiculaar getrokken; indien men dan verders uit eemg punt in die perpendiculaar een linie haalt, die den cirkel fnydt, en aan de bmne kant tegen de circumferentie floot; dan zal de regthoek van de geheele fnydende Unie en het deel buiten den cirkel, benevens de regthoek van de deelen des diameters , gelyk zyn aan bet quadraat van den perpendicu-
CFig: 175. Tab. XI.) Hypotb: DE ^ jèrpend: op den diam: AB D is ■ bet gegeeve punt, EF u de fnydende linie, die den peripberie inwaarts floot
The,.



van Euclides, Derde Boek. 2ig
f*M O FEG + a ADB c= ED? rr^parata.
Demonftratie.
niefvTf Unim EF » E*
men van den cirkel. J 1
E!lby g^olgis de O FEG =a KEI v: i cor: 36: 3.
«aaro»M de Q KEI -f Cl? — CE? ■E» om rfa; CB en Cl tóv „,„ i Daarom zyn die gelyk v: i5 def; n
0/72 afof ^ A rni? , '4u-i.
47^ar°m * CE? - CD? i DE, 2 Dus is nu beweezen.
&* a FEG == D- KEI is
CB* = a? a KEI + Cl? ^ CE
CE? = CD? + DE? ■ Ergo ts D FEG + CB? 3= CD? +
DE? V; i aXt — ^ +
f^yders om dat nu AB vede°H u ■ gelyke deelen in C «, ^ ' w 2
m D. ' * ln 2 0;2^
Daar-



220 Grond-beginselen der Meetkunde Daarom is de □ ADB + CD3 = CB*
V'Derhalven dan beweezen zynde. Dat □ FEC + CB? = CD* + DE*. En CB? = □ ADB + CD**. Zoo is ook □ FEG + □ ABD + CD* •__ cD* + DE? v: i ax. Aan beide kanten CD? weggenoomen. Zoo blyft 'er Q FEG + □ ADB ^ DE? v: 3 ax.
Dat te bewyzen was. Het punt D kan ook genoomen worden buiten den cirkel in het verlengde van den diameter AB.^ ^ ^ K0
Maar dan is de Thefis □ FEG - □ ADB + DE?. Q +
Alhier is mede als vooren [—1 CB* == CD? + DE?.
daarom *x CD* -P^
"j^pHS U a ADB * CB« + DE'
a FEG + CB? v. i a*. ~SsmennuaanbeidekantenWwe^U
Zoo blyft >er over □ ADB + DE* □ FEG w 3 a*.
Dat te bewyzen was. ?RQ~



v« Evcums, derbb bok. m,
PROPOSITIE XXXVII. THEO »EMA XXXI.
«s'cïïfpunt baittn den <&«
van dTJ T 8et°°«en W0'de"> waar --ere « «e
"gthoek van de gehëek r?° T *"
CFig. i77, Tab. XI.) Hypothefis. De re°tP ni j „
PnT d00^eidt den cirkel,
en de regte DB ruit tegen dezelve item D ADC = DB?.
pDuentTDBr*aktden drkeI in het
Praparata.
^Laat getoogen zyn de raaklinfc Dp ^
■Demonftratie. Om dat DA den rirlr,», r j
Daarom is q adc _ d^
Dus



m Geond-beginselen bek Meetkunde
Dus Is in de An. DEB en DEF DB = DF v: 2 cor: 46: 1. EB = EF v: 15 def: i. ED = ED. ' __ DFE
En daarom is de V DBE _. V
" Maar de V DFE Is regt v. 1*. t. En dus de V DBE mede regt v10 ax S by gevolg raakt DB den enkel m B v: cor: 46: 3.
Dat te bewyzen was. Corollarium. Hier ^ blykt je. Z>fl* <fe V BEU — V 2e D^^VBDE= VEDE
3e. Da. * V BDE = V FDE «, Mes v: 8 1.
Einde van het üeude Boek.
GROND-



GROND - BEGINSELEN"
DER
MEETKUNDE
van
E U C L I D E S, Vierde boek.
DEpINITIEK.
E
Wanneer ei een T u , ™™ " ZV>'
CF'g. 178. Tab. XIIo Akoo is de driehoek DEF gefchrpp ven m den driehoek ABC.
I I.
J>P*r, wanneer dke Zyded£^om_
ge-



m Grosd-beowou* dbr Meetkunde
figuur, om welke zy gefchreeven is. cFia 178. Tab. XII.)
^„o.de'driehce.ABCbeCchreeveom den driehoek DEK 1.1 L
hoek van de regthnifche figuur cumferentie raakt»
CFig. 179- Tab. XltÓ
Alz0ois de driehoek ABC befchreeve, in den cirkel ABC I V.
■ ui u,rrhreeven te zyn, wanneer tT^tTlgeficeve^den
circumferentie raakt.
(Fig. 180. Tab. XII.)
Alzoo is de driehoek ABC befchreêven om den cirkel DEF.
V.



Van Euclides, Vierde Boek. 225
! regtlinifche figuur befchreêven te zyn; wan' heer de circumferentie des cirkels raakt ielke zyde der figuur, in welke zy gefchreeven , is.
CF'g. 180. Tab. XII.)
Alzoo is d^ cirkel befchreêven in de» driehoek ABC.
V X.
Maar de Cirkel wört gezegd om een regtlinifche figuur befchreêven te zyn, wanneer de circumferentie des cirkels raakt elke zyde der figuur, om welke zy gefchreeven is.
(Fig; 179. Tab. XII.)
Alzoo is de cirkel ABC befchreêven om den driehoek ABC.
VII.
Een regte linie Wort gezegd in een cirkel gefteld te zyn, wanneer deszelvs üiterftens in de circumferentie zyn.
CFig. ilu Tab. XII.)
Alzoo is de regte linie AB in den cirkel ABC gefteld, om dat die met beide de eindens A en B ia den circumferentie komti
P Maaf



226 GllOND-BEGINSELEN DER MeETKUnDü
Maar DE en FG zyn zoodanige linien niet, om dat de eerfte maar met een einde, en de andere met geen van beide de eindens in de circumferentie komt.
d E



van Euclides, Vierde Boek. 227
D E
PROPOSITIÉN
V A n h E T
SunOS»1 :7 JlciA
VIERDE BOEK
Van"' '■■
EUCLIDES.
PROPOSITIE 1 PROBLEMA I.
Jfn een gegeeve cirkel een regte linie te voegen, die gelyk is aan:een gegeeve regte, welke niet langer zy dan den diameter van den cirkel.
(Fig. 182. Tab. XII. ) . 't gegeevene is den cirkel ABC, en de regte li¬
nie D
't begeerde is in die cirkel te voegen de linie
AB hz D. ConftruClie.
i,e. Van den diameter AC fnyt af AE = D v: 3 1.
2e. Dan uit A als cent: met de wydte AE als radius, befchryf den cirkel ABE v: 3: beg. Snydende den gegeeve cirkel in B.
P 2 3e*



228 Grond-beginselen der Meetkunde
ge. En trek de regte AB v: i beg. Deze is de begeerde linie. Demonftratie.
AB en AE zyn radii van den cirkel ABE v: conft.
En daarom is AB zas AE v: 15 def: 1.
Maar AE is D v: conft.
Dus ook AB =. D v: 1 ax.
Dat te bewyzen was. Stholium.
De confruSlie van dit werkftuk kan veel gemakkelyker gedaan worden op de volgende wyze. .
'CFig.' 183. 'Tab. XII.)
Uit eenig willekeurig punt A in de peri" phêrie des'- gegeeve cirkels als centrum met de ■ wydte van D als radius befchryf een cir~ "éèlboogje EB F, fnydende den circumferentie des gegeeve cirkels in B, trek dus de regte AB deze is de begeerde linie: want uit A " als cent: met de wydte van D als radius , 't cirkelboogje EBF befchreêven zynde, zoo is het klaar, dat de radius AB gelyk D moet zyn.
PROPOSITIE II. PROBLEMA II.
In een gegeeve cirkel te befchryven een driehoek, gelykhoekig met een ge„ geeve driehoek.
(Fig:



van Euclides, Vierde Boek, 229
Fig. 184. Tab. XIL "t gegeevene is den cirkel ABC, en den driehoek DEF.
't begeerde in dien cirkel te befchryven een A ABC, gelykh: den A DEF.
Confiruttie.
ic. Trek de raaklinie GH raakende den cirkel in A v: 17: 3.
2«. En maak den V HAC = V E, ïtem den V GAB = V F v: 23: 1,
3». Haal nu de regte BC v: 1 beg.
Dan is de A ABC den begeerden driehoek,
Demonftratie.
GH nu raakt den cirkel in A en AC fiiyd den zelve.
Daarom is de V B (ftaande in het andere deels des cirkels) =~ V HAC v; 32: 3.
En om dezelvde rede is ook de V C é= V GAB.
Nu is de V E = V HAC, en den V F = V GAB v: conft.
.Dus is dan ook de V B = V E, en de V C = V F v: 1 ax. By gevolg opk de V BAC = VD v:
2 cor: 32: r.
Derhalven is de A ABC gelykhoekig met den A DEF. En in den cirkel befchreêven zynde v;
3 def: 4.
P 3 Is



230 Grqnd-beginselen der Meetkunde
Is de A ABC den begeerden drie= hoek.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE III, PROBLEMA III.
Om een cirkel een driehoek te befchryven, gelykhoekig roet een gegeeve driehoek.
(Fig. 185. Tab. XII.) 't gegeevene is dén cirkel ABC en den A DEF. 't begeerde is om rjien cirkel te befchryven een A NLM, die gelykhoekig is met den gegeeven A DEF. Conftrutlie,
ie. Van den gegeeven A DEF verleng wederzyds den bafis EF na gevalle tot in G en H v: 2 beg.
2e. En in I 't cent: des ge-1 geeve cirkels maak den VAIB ' — v DEG f V: 2y' l'
En den V CIB % DFH. J 3e. Dan trek 3 regte linien NL, NM en LM zoodanig dat ze den cirkel raaken in de punten A, B en C v. cor: 16: 3.
Deze linien koomen te zaamen in dè punten N, L en M, en maaken den begeerden driehoek. Praparata.
Trek de regte linien AB, AC en BC v: i beg.
. De-



van Euclides, Vierde Boek. 231
Demonftratie.
Om dat de 3 V". van een A te zaamen gelyk zyn aan 2 regte Vn. v: 32: 1. Daarom zyn
de Vn. LAB + LBA^ item de Vn. NAC + NCA P 2 regte V"' en de V". MBC + MCB j v: 9 ax' Derhalven koomen de linien LN, LM en MN te zaamen in de punten L, M en N v: 4 cor: 28: 1. Maakende dus een A LMN.
Wyders AIBL en CIBM zyn vierhoeken. Waar van de Vn. LAI en LBI, item de Vn. MCI en MBI yder byzonder regt zyn v: conft.
En dus zyn de V". AIB 4- L = -> regte == V". CIB 4- M v: 1: fch: 32: 1.
Nu valt de lyn DE op de lyn GH, en de lyn DF valt mede op de lyn GH,
En daarom zyn de V". DEG + DEF =5 2 regte — Vn- DFH + DFE v.13.1.
Derhalven de V". AIB 4- L 1 de Vn. DEG + DEF ! = regte y«. zyn- de Vn. CIB 4- M j*de v: b: b. de Vn- DFH + DFEj
Dan is ook den V AIB + V L — v DEG + V DEF v: 1 ax.
En de v AIB — V DEG v: conft. Deze gelyke van den anderen afgetopgen.
P 4 Reü



232 Grond beginselen der Meetkunde
Reft de V L — V DEF v: 3 ax.
Ook is dan de V CIB -I- VM = V DFH + V DFE v: 1 ax.
De V CIB nu — V DFH zynde v: conft.
• Zoo trek deze gelyke hoeken daar van af.
| Daar reft de V M == V DFE v: 3 ax.
En daarom is ook de V N = V D v 2 cor: 32: 1.
Ergo is de A NLM gelykhoekig met den A DEF v: 28- def: 1.
En de A NLM is om den cirkel ABC befchreêven V: conft: en 4 def: 4.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE IV. PROBLEMA IV.
In een gegeeve driehoek een cirkel te befchryven
CFig. 186. Tab. XII.) »t »egeevene is den A ABC. 't begeerde is in deze A een cirkel EFG te befchryven.ConftruÜie.
!«. Deel 2 Yn. na believen, genoomen B en C, in 2 gelyke deelen door de regte lynen BD en CD v: 9: 1.
Dezelve ontmoeten elkander in een zeker punt D binnen den A v; k: b.
2e,



van EUCXIDES, VlEHDE BoEK. 233
2e. Dan uit D trek op yder zyde des A?. de perpend". DE, DF en DG v:
12: 1. ,
3e- En uk D als cent: met de wydte van een dezer perpend". als radius be. Ichryf den cirkel EFG v: 3 beg.
Ik zegge dat dezelve de begeerde cirkel is.
Demonjlratie.
In de An. DFB en DEB is de V DFB — V DEB"1 en de y DBF ~ y DBE/V: conft-
De zyde DB — DB
By gevolg is ook de zyde DF — DE v: 26: 1.
Ook is in de An. DGC en DFC de V DGC t~ y DFC] de V DCG == V DCF/v: con&-
De zyde DC ~ DC
By gevolg is ook de zyde DG == DF v: 26: 1.
Derhalven DE = DF, en DG = DF zynde v: b: b.
Is DE = DF = DG v: r ax. en dus radii van een zelve cirkel, waar van D het centrum is V: 9: 3 en 15 def- i
Dus de cirkel door F gaande, moet ook gaan door E en G v: 15: def: 1
Ergo is EFG den begeerde cirkel 'v: 5 def: 4 en cor: 16: 3.
Dat te bewyzen was.
P 5 PRO-



234 Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE V. PROBLEMA V.
Ben cirkel te befchryven om een} geoeeve driehoek.
CFig- l87- Tab' XIL) 't o-egeevene is den A ABC. n legeerde is om (dfZen A te befchryven een
cirkel ABC. Conftruclie.
,e deel 2 zyden, na believen, genoomen AB en AC, yder in twee gelyke deelen in D en E v: 10 x.
2e. Uit deze punten ftel de perpend . DF en EF v: ii: i,
oe Dan uit F als cent: met de wydte FA als rad: befchryf een cirkel ABC y:
q beg. . , n
Deze is den begeerden cirkel.
Praparata. —n Trek de regte linien FA, FB, en FC
v: ie- beg.
Demonftratie. ,
In de An. BDF en ADF is de zyde DF = DF v: k: b.
De zyde DB = DA v: conft.
En de V BDF = V ADFv: i2 aX.
Derhalven is de zyde BF _ A* v-
A' Ook is in de An. CEF en AEF de zyde EF — EF v: k: b.
De



van Euclides, Vierde Boek. 235 De zyde CE ^ AE v: conft. f* de V CEF == V AEF v „ ax Dus is ook de ^de CF = AF v ! r By gevolg BF = AF en Ap J zynde v: b: b. — ^
Is BF = AF = CF v: i ax En dus zal de cirkel vit v' 1 door Abefchreeven ooTmZeL de pnntenB en C v 15 S f" ^
fclr£n °m dC^'^C be-
Dat te bewyzen was. Corollaria.
10' Uit de 3i: 3 w het openbaar wanneer de driehoek regthoeLis L?' het centrum des cirkels ^n - , dan thenufa^alsinfil t *
Maar fcherp boekip zynde 1 binnen de driehoek afs Tj' T *"
En fomphoekig zynde valt het zelve hu ten den driehoek als in fia- Q bm'
Dus den driehoek regthoekia ™w * conftrume veel verkop 7 ' ^
2*. Door ditproblema kan men ?nn 1
als door de „ ' 200 Wet
uur ae 25. 3. een cirk l
PRO-



SgöGROND-BECMSELEN DER MEETKUNDE
PROPOSITIE VI. PROBLEMA VL
Ia een gegeeve cirkel een .quadraat te befchryven.
CFig. 188. Tab. XII.) 't gegeevene is den cirkel ABCD_ >t begeerde is in detizelve een □ ABCD te b.„ fchryven.
Cf de diameter, AB en BD-Odanig dat zy elkander regthoekig door. &yrEn:haaioeregteAB;BC,CD«n
DA. v i heg.
Zoo bekomt men het begeerde qua-
draat.
^dirdev,'^-gt en derden
gelyk zynv: conft: en 12 ax
Daarom zyn de boogen AB, BC , CD en DA gelyk v: 26: 3.
En dus zyn ook de koorden AB, BU, CD en DA gelyk v: 29: 3-
Wydersom dat de V". A, B, C, D in halve cirkels ftaan v: conlt.
Daarom zyn dezelve regt v: 3*- 3-
Ergo is ABCD het begeerde quadraat v: 30: def: 1 en 3 def: 4.
Dat te bewyzen was. ^



van eüclidès, Vierde Boek. s$7
' CóroUaria.
gelyk. f^evm, zyn A hoekm
V Maar '
altyd gelyk. ' zyn * W*" «*»
°p4L?L„™ m de 30 *
PROPOSITZE VH. PROBLEMA VH.
*£eïï£e7 " befChryTC" I ~
C'%. r89. Tab. XII •) ,* Begeevene is den cirkel ABCD gegeerde is Pm deazel.e te befchryven het □ Conflruclie. x\ Trek de diameters AC en BD ~
Deze koomen zaamen Yn de punj/p ^Henlen maaken 'tb FH1G Demonftratie.
Om



i38 Grond-beginselen der Meetkunde
Om dat de Vn. by A, B, C en D, (gemaakt van de diameters en van de raaklinien.)
Als mede de V*. in' E regt zyn V; 18:
a en conft. i.*v"Li'"i u
Daarom zyn de V". F, G, U en H
toede regt v: ie. föfe: 3^J-
Om welke reden FD, HD, FC en GC regthoeken zyn v: 28 1 en 3^^^
Zoo dat dan ook FG = Hl — BU — AC = FH = GI is v: 34: k
Ergo is FGIH een quadraat v: 30 det: 1.
En is om den cirkel ABCD befchree-
ven v: 4 def: 4-
Dat te bewyzen was. Scholium.
Een quadraat om een cirkel befchreêven is dubbeld aan het quadraat in den zeiven cirkel gefchreeven.
Want de O BG = * ^
BAÜ^DBI=2 ABCD J
Deze by den andere gevoegd.
Komt □ FGIH == □ ABCD 2 ax.
SSSsS* FGIH beffen om bet rfraa» ABCD.



Van Ëücmdes, Vierde Boek. 239
PROPOSITIE VIII. PROBLEMA VIII.
beL;^egeeVe qU3draat een «É* te
CFig. 190. Tab. XII.) t gegeevene is liet Q ABCD
bS;:;ïisinhet zewe s»w:*^
Con/trutlie. ie' Deel alle vier de zyden vnn t,
2= En trek de regte HF en EG y 1
Het gegeeve quadt. is door t; •
Sj"EGfa-«elyket;drt'r. deeld v: 33: 1 en 1 Cor; 46. x SÊ*
PRO-



ê40 dto»»*»»»» ■» M«mmB*
PROPOSITIE IX. PROBLEMA K. Eea cirkel te befehryven om eer. gegeeve quadraau ^ %^
befchryven.
Conftrutïie. Ar en BDS
£ Trek de diagonalen AC en BU * deze fnyden elkander , regthoekig m het
PUD; Dus uit E als cent: met de wydvaneen dier diagonalen als radras befchryt
den cirkel ABCD.
Deze is den begeerden cirkel.
gonalea in twe'n gelyk gedeeld v:a cor:
«Daarom zyn in de V- AEB AED CEB en CED de zyden AE -
^t^oVde cirkel door Agaat, i , Derhalven zoo ae zoo zal die ook door B, C, en u g
"Ergotd1; cirkel ABCD ótn het quad, ABCD befchreêven v: 6 det: 4. Dat te bewyzen was.



van'Euclides, Vierde Boek. 243
PROPOSITIE X. PROBLEMA X.
Een gelykbeenige driehoek te maaken, wiens hoeken op den bafis yder dubbeld zyn aan den overigen hóek.
(Fig. 192. Tab. XIII. 5 't gegeevene is een onbepaalde regte linie AB. 't begeerde is een A te maaken, wiens Vn- B
en D op den bafis BD yder dubbeld zyn aan
den overigen tophoek A.
Gonflruffie.
ie. Neem na gevallen de regte AB, deel dezelve in 2 deelen in C, zoodanig dat de □ ABC ±= □ AC is v: 11: 2.
2e. Uit A als cent: met de wydte AB als rad: befchryf deri cirkel ABDE v; 3 beg.
3e. Trek ook uit het pürit B de regte BD = AC v: 1 4.
4e. En haal de regte AD v: 1 bëg.
Dan is ABD den begeerden driehoek.' Pfaparata.
Laat getoogen zyn de regte CD v: 1 beg.
En om den A ACD befchryf den
cirkel AC DE v: 5 4.
Demonftratie'
Om dat nu BD == AC is\
En 't □ AC = □ ABCJ V: Confh
Q Daar«



242 Grond-beginselen der Meetkunde
Daarom is □ BD = □ ABC v: i cor: 46: 1 en 1 ax.
Derhalven raakt BD den cirkel ACDE in het punt D v: 37; 3.
En CD doorfnydt denzelve.
Daarom is in de An. ABD en CDB
De V A '= V CDB v: 33: 5:
De V B — y B v: k: b.
Bygevolg is de V B = V ADB v: 3 cor: 32 1.
En de zyde AC — DC v: 6: 1.
Derhalven is de V A = y CDA v: 5:1..
En de V A — V CDB v: b: b.
Deze gelyke V". by den anderen vergaderd.
Komt 2 Vn. A = v ADB v: 2 ax.
Vermits nu AD en AB radii zyn van den cirkel ABDE v: conft.
Zoo is de A ABDgelykbeenigv: 25 def: 1.
En derhalven is de V ABD = y ADB y: 5: 1.
Maar de y ADB = 2 Vn. A v: b: b.
Dus is ook de V ABD = 2 yn. A v: 1 ax.
Ergo zyn de Vn. ADB en ABD yder dubbeld aan den regthoek A.
Dat te bewyzen was. Corottaria.
ie. Het blykt dan
Dat de V A is f
En de V". B en D yder — | yan 2 regte\/\is. ffrmS



van Euclides, Vierde Boek. 243
Want de V A — ~ van 2 regte Is = f van 1 regte V v: 32: 1.
DeV B é±l van 2 regte is = f van 1 regte V v: 32 1.
De V D — s van 2 regte is r= | van é, regte V v: 32: 1.
Dit by den ander geteld.
Komt f = 2 regte voor de Vn. A4- B 4-D.
2e. De boog BD -3 Van de geheele circumf: BDE V: 26: 3.]
3e. De driehoek CBD is gelykhoekig met den A ABD.'
PROPOSITIE XI. PROBLEMA XI.
In een gegeeve cirkel te befchryven een gelykzydige en gelykhoekige vyfhoek»
(Fig. 193. Tab. XIII.) 't gegeevene is den cirkel ABCDE. 't begeerde is in denzelve een gelykz: en gelykhi vyfhoek ABCDE te befchryven.Conflruciie.
i=. Befchryf een gelykb: A FGH wiens hoeken op den bafis yder dubbeld zyn aan den tophoek v: 10: 4.
2e. Dan befchryf in den gegeeven cir-« kei een A ACE gelykhoekig met dea A FGH v: 2: 4.
3e. Dan deel deszelvs hoeken op den bafis AE in tweën gelyk door de regte AD en EB v: 9: 1.
q s V.



244 Grondbeginselen der Meetkunde
4». En trek de regte AE, ED, DC, CB en BA v: i beg.
Dan zal ABCDE de begeerde vyfhoek zyn.
Demonftratie.
Om dat de V". CAD, CEA, DAE, BEA en ACE gelyk zyn v: conft.
Daarom zyn de boogen CD, CB, DE, EA en AE mede gelyk v: 26: 3.
En dus ook de koorden CD, CB, DE, BA en AE gelyk v: 29: 3.
Zoo dat dan de zyden des vyfhoeks malkander gelyk zyn v: k: b.
En dewyl de Vn. CDE, DEA, EAB, ABC en BCD ftaan op de gelyke boogen CBAE, ABCD BCDE, AEDC enBAED v: b: b.
Daarom zyn ook die hoeken elkander gelyk v: 27: 3.
Ergo is de vyfhoek ABCDE gelykzydig en gelykhoekig.
En.is ook in den cirkel befchreêven v: 4 def: 4.
Dat te bewyzen was. Corollaria.
ie. Yder hoek van een gelykhoekig?. vyf. hoek doet 1 \ regte hoek v: Schol: 32: 1.
2e. Het blyke dat de diameter Cl den boog AIE en de zyde AE des vyfhoeks in tweën gelyk en perpendiculaar deelt.
Want



van Euclides, Vierde Boek. 245
Want de boog CBAI den boog CDEI v: 17 def: 1.
.Ek èoog CBA == den boog CDE v: 28: 3.
Deze gelyke boogen van malkander afgetoogen.
Reft de boog' AI — den boog EI sv 3 ax.
En dus ook de koord AI — den koord EI v: 29 3. Nu is ook KI — KI v: k: b. En de V EAI — V AEI v: 27: 3; Derhalven AK == EK -y: 4: 1. En de V IKA = V IKE = 1 regte
3e. Hier uit en uit de 30; 3. is het openr baar, op wat wyze men een tienhoek, een twintig hoek enz: in een cirkel kan befchryven.
PROPOSITIE XII. PROBLEMA XII,
Een gelykzydige en gelykhoekige vyfhoek om een gegeeve cirkel te befchryven.
(Fig. 194. Tab. XIII.) 't gegeevene is den cirkel ABCDE. 't begeerde is om denzelve een gelykz; en gelykb: vyfhoek te befchryyen. ConfrucJie.
ie, Uit het punt F, het cent: des gegeeve cirkels, als centrum met een radius na believen, dog grooter dan die van Q. 3 'den



246 Grond-beginselen der Meetkunde
den gegeeven cirkel, befchryf den cirkel MNOPQ. v: 3 beg.
2e, Befchryf in denzelve een gelykz: en gelykh: vyfhoek v: ïï: 4.
3e. En trek de diameters MT, NV, OW, PR, QS v: 1 beg: en 17 def: 1.
Deze deelen de boogen OTV, PVQ, QWM, MRN en NSÖ in tweën gelyk |n de punten T, V, W, R en S. v: 2 cor: 11; 4,
Snydende den gegeeven cirkel in de punten C, D, E, A en B.
Ook zyn de hoeken in het cent: F onder malkander gelyk v: 27: 3.
4e. Dan uit een dezer punten, genoomen A, trek GH perpend: opPRv:ii: 1.
Ontmoetende MT in G, en NV in H.
5e. Dan uit H door B trek Hl, die ont' moet OW in I.
6e. Item uit I door C trek IK, die ont-? moet PR in K.
7e. Dan uit K door D trek KL, die ontmoet QS in L. en eindelyk
8e. Uit L door E trek LG, die ontmoet MT ia G.
In dier voegen is GHIKL den begeerden vyfhoek. Demonftratie.
Nu is in de /; n. FAH en FAG
de v FAH — V FAG1 . deV AFH = VAFGj>V:COnft-
FA
1



van Euclides, Vierde Boek. 247
FA — FA daarom ïs AH ~ AGI 6< en de V FHA == VFGA j ' ' * Alzoo is ook in de A". FHB en FHA FB = FA v: 15 def: 1. FH = FH de V HFB = V HFA v: conft, En daarom is ook HB ±±t HA"Ï de V FHB ~ V FHA \v. 4: 1. en de V FBH == V FAH. j
Op dezelvde wyze betoogt men dat BI — BH. en de V FIB = V FHB is enz.
Zoo is dan BI — BH = HA =fc AG v: b: b.
En daarom is BI = AGI
En BH = HAj 1 aX'
add.
Komt Hl ~- HG v: 2 ax. En om dat de Vn. in A en B regt zyn V: conft.
Daarom raaken de linien Hl en HG den cirkel in de punten A en B v: cor: 16: 3.
Op dezelve wyze bewyft men, dat Hl = IK = KL = LG is.
En dat die lynen den cirkel raaken in de punten C, D en E.
Nu zyn de Vn- FIC = V FHB — V FHB — V FHA v: b: b-
Q. 4 V



248 Grond-beginselen der Meetkunde
V FIC = V FHA v: i ax.
By deze laatfte nu aan den eene kant
V FiC, en aan den anderen kant V FHA bygedaan.
Komt den V HIK = V GHI v: 15 en 2 ax.
Op dezelve wyze betoogt men, dat de
V HIK - v IKL Mi V KLG = y I >G« is. By gevolg heeft men nu beweezen. 10. Dat de vyfhoek GHIKL gelykzy-
dig, en
2°. Gelykhoekig is, en
3°. Dat dezelve is gefchreeven om den Cirkel ABCDE v: 4 def: 4.
Dat te bewyzen was. Corottarium,
Hier uit is openhaar, dat de lyhen, welft, de hoeken van een gelykzydige en gelykhoekige vyfhoek in Hveën gelyk deelen, te zaamen koomen in F, het centrum van den in- en omgefchreeven cirkel: en dat dezelve lynen zyn <radii of ftraalen van den omgefchreeve cirkel: en dat de perpendiculairen, die de zyden in tweën gelyk deelen mede zaamen koomen in het zelve centrum F en radii of f raaien zyn van den ingefchreeven cirkel.
PROPOSITIE XIII. PROBLEMA XIII.
Een cirkel te befchryven in een gelykb , zydige en gelykhoekige vyfhoek.
(Fig;



van Euclides, Vierde Boek. 249
(Fig. 195. Tab. XIII.)
st gegeevene is den gelykz: en gelykh: vyfhoek ABCDE.
'i begeerde is in denzelve te befchryven een cirkel GUIKL. Conftruclie.
ie. Deel 2 zyden van den vyfhoek ,na believen, genoomen AB en AC, in twee gelyke deelen door de perpend"- GF en HF V: 10: 1.
Deze ontmoeten elkander in het punt F, welk punt het centrum is van den cirkel in deze vyfhoek befchreêven v: cor: 12: 4.
2e. Derhalven uit F als cent: met de wydte FG of FH als radius befchryf den GHIKL; deze is den begeerden cirkel. Demonftratie.
Alzoo het bewys hier van ten eenemaale openbaar is, uit de bovenliaande Conftructie en uit het Corollarium des voor» gaande voorftels, zoo agte ik het onnodig hier eenig ander bewys by te voegen, v
Corollarium.
Hier uit volgt ook, dat, indien twee hoeken eens iegelyke gelykzydige en gelykhoekige figuurs in tweën gelyk. gefneeden worden, en uit het punt, in welke deze fnevlinten te zaamen koomen, tot alle de overige hoeken des figuurs regte lynen getoogen worden; dat Q. 5 dan



s$o Grond-beginselen der Meetkunde
dan ook alle de hoeken des figuurs in tweën gelyk zullen gedeeld zyn.
En waar uit dan wederom volgt, op wat wyze men in een iegelyk gelykz: en ge~ tykfo figuur een cirkel kan befchryven.
PROPOSITIE XIV. PROBLEMA XIV,
Een cirkel te befchryven om een gelykzydige en gelykhoekige vyfhoek.
(Fig. 196. Tab. XIII.) 't gegeevene is den gelykz: en gelykh: vyfhoek ABCDE.
't begeerde is om denzelve een cirkel te befchryven.ConJïruc~lie.
ie. Deel 2 hoeken des vyfhoeks, na believen genoomen A en B, in twee gelyke deelen door de regte AF en BF v: 9: 1. Deze ontmoeten elkander in het punt F, dat het cent: is van een cirkel om deze vyfhoek befchreêven v: cor' 12: 1.
2e. Derhalven uit F als cent: met de wydte FA of FB als radius befchryf den cirkel ABCD v: 3 beg.
Deze is den begeerden cirkel, Demonjlratie.
Dit bewys is mede tea eenemaal openbaar uit de Conftruclie, waarom ook ee» nig verder bewys onnodig agte.
Co-



van Euclides, Vieiide Boek. 251
Corollarium.
Uit dit en het voorgaande problema blykt het, dat een regte lyn uit het centrum des cirkels, om een gelykz: en gelykh: figuur befchreêven, tot desfelvs hoeken getoogen, die hoeken daar door in twee gelyke deelen gedeeld worden.
En waar uit dan wederom volgt, op wat wyze een cirkel befchreêven wort om allerley gelykz: en gelykh: figuren.
PROPOSITIE XV. PROBLEMA XV.
Een gelykzydige en gelykhoekige zeshoek te befchryven in een gegeeve cirkel.
CFig. 197. Tab. XIII.) . 't gegeevene is den cirkel ABCDEF. 't begeerde is in denzelve te befchryven een gelykz: en gelykh: zeshoek. Conftruclie.
ie. Trek den diameter AD v: ï: 3. én 17 def: 1.
2e. Uit A en D als centa. met de wydte van den radius van den gegeeven cirkel als radii befchryf de cirkelboogen FGB en EGC v: 3 beg.
Deze fnyden tien gegeeven cirkel irt de punten F, E, E en C.
3e. Dan trek de regte lynen AB, BC CD, DE, EF en FA v: 1 beg,
Dan



252 Grond-beginselen der Meetkunde
Dan is ABCDEF den begeerden zeshoek.
Demonftratie.
Omdat de \/n. CGD en AGF, item de V". EGD en AGB, en de Vn. EGF en BGC fchrikshoeken zyn.
Daarom is de VCGD=VAGF"!
de VEGD—VAGB j>v: 15:1. de VEGF = yBGCj
En om dat de A» CGD, AGF, EGD J # AGB, EGF en BGC gelykzydig zyn v: conft: en 15 def: 1.
Daarom is yder van deze bovenftaande hoeken in G gelyk | van 2 regte v: 5 cor: 32: 1.
Nu is \ van 2 regte gelyk £ van 4 regte v: 1 ax.
Derhalven de Vn- in G gelyk zynde, zyn yder gelyk § van 4 regte v: 1 ax.
En daarom zyn de boogen AB, BC, CD, DE, EF, FA malkander gelyk v: 26: 3.
Dus zyn ook de koorden AB, BC , CD, DE, EF, FA malkander gelyk v: 29: 3.
By gevolg is den zeshoek ABCDEF gelykzydig. ,
Verders om dat de Vn. A, B, C, D, E, F pp gelyke deelen van een cirkel ftaan.
Daar-,



Van Euclides, Vierde Boek 253?
Daarom zyn die zelve hoeken malkan* der gelyk v: 27: 3.
Ergo is de zeshoek ABCDEF gelykhoekig.
En dat dezelve in den cirkel befchreêven is, volgt uit de conft: en de 3e. def: 4.
Ergo is beweezen dat beweezen moeft worden, namentlyk dat de zeshoek ABCDEF gelykz: gelykh: en in den cirkel ABCDEF befchreêven is. Corollaria.
ie. Hier uit volgt, dat een zyde des zes* hoeks, in een cirkel befchreêven, 'gelyk is aan den halven diameter des zeiven cirkels.
2e. Hier door wort ook ligtelyk een gelykzydige driehoek in een cirkel befchreêven.
3e. Op wat wyze nu een twaalf hoek en een vier en twintig hoek enz: in een cirkel kan befchreêven worden, volgt klaar uit deze en uit de 30 3. Scholium.
Hier door wort ligtelyk op een gegeeve regte lyn BC een gelykzydige en gelykhoekige zeshoek befchreêven.
Want men befchryf op de gegeeve lyn BC een gelykz: A BGC v: 1 ï.
Uit G als cent: met de wydte GB of GC als radius befchryf men een cirkel ABCDEF v: 3: beg.
En vervolgens wort de begeerde zeshoek
Hg*



454 Grond-beginselen der Meetkunde
ligtelyk volfchreeven volgens de boven ftaande conftruclie.
PROPOSITIE XVI. PROBLEMA XVI.
Een gelykzydige en gelykhoekige vyftien hoek in een cirkel te befchryven.
(Fig. 198. Tab. XIII.) 't gegeevene is den cirkel ABC. 't begeerde is in denzelve te befchryven een gelykz: en gelykh: vyftienhoek.
Conftruclie.
ie. Befchryf in den cirkel een gelykz- * en gelykh: vyfhoek AEFGH v: ïi: 4.
20. Als mede een gelykzydige driehoek ABC v: 2 cor: 15: 4.
3e. Dan trek de regte BF en GC v: 1 beg: zynde 2 zyden van den vyftienhoek,
4e. Derhalven volfchryf met deze lengte, rontom den cirkel gaande, den begeerden vyftienhoek. Demonftratie.
Om dat nu de boog AF — f — £>
En de boog AB =; f = Is van den gegeheelen circumf: is v: conft.
Zoo zal, AB van AF afgetoogen zynde, 'er overblyven.
BF = ls dier circumf: v: 3 ax.
En dewyl alle de overige zyden gelyk aan BF zyn v: conft.
Zoo



VAN EüCLIDES, VlÉRDE BOEK. 255
Zoo is den vyftienhoek gelykzydig.
En om dat alle de hoeken van deze vyftienhoek op gelyke boogen ftaan.
Zoo zyn die malkander gelyk v: 27: 3:
By gevolg is de vyftienhoek mede gelykhoekig.
Dat nu dezelve in den cirkel befchreêven is, volgt uit de 3 def: 4.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Op wat wyze nu een dertighoek en een feflighoek enz: in een cirkel befchreêven kan worden, volgt klaar uit de 30: 3.
Einde van het Vierde Boek.



GROND-BEGINSELEN
DER
MEETKUNDE
Van
EUCLIDES,
VYFDE BOEK. DEFINITIEN.
iH^en deel is een grootheid van een grootheid, kleinder dan het grootere, wanneer het zelve het grootere meet. By voorbeeld, een grootheid A, doende 2 wort genoemd een deel van een grootheid B doende 6, ook van C doende 8 enz: zoo Ook 3 is een deel van 6 en 5 een deel van 20 enz: dewyl de deelen 2, 3 en 5 elk [ zyn meerdere 6, 8. 20 meet.
1 i.
Een meenigvuldige grootheid is een grootheid, die grooter is dan een kleindere, wanneer die kleindere de grooter meet.
By voorbeeld een grootheid A doende 8 wort genoemd, de menigvuldige grootheid van B doende 2, ook van C
doende



van Euclides , Vyfce Boek. 257
"doende 4, om dat de kleindere 2 en 4, de grootere 8 meet.
I I I.
Reden is een betrekking van twee grootheden van eenerley aart of natuur na haare grootheid.
Dé betrekking van 2 grootheden zullende ontdekken, moeten die twee grootheden met malkander vergeleeken worden, en door deze vergelyking ontdekt men haafe Onderlinge betrekking, die zy tot elkander hebben. Laa* ten wy dit met een voorbeeld ophelderen, A en B zyn twee grootheden nota van eénerly dart of natuur, het zy dat het zyn 2 linien, of 2 vlakken of 2 lighaamen of iets anders, liet is het zelvde, zy moeten met elkander vergeleeken Worden. De grootheid B nu genoomen zynde voor een gemeene maate, zoo d^ent deze om dë grootheid A te bepaalen: Indien nu B was gelyk 5 en A gelyk 3. dan is de betrekking vari A tot B gelyk de getallen van 3 tot jjj Waar 'uit blykt dat A is gelyk f deelen van B. Maar de grootheid A genoomen zynde voor een gemeene maatë, zoo diént dezelve, om de grootheid B te bepaalen, en dus is de betrekking van B tot A R als



258 Grond-beginselen der Meetkunde
als de getallen 5 en 3, waar uit dan blykt dat B is gelyk f of 1 f deelen van A. Hier uit dan wort hunne wederzyd" fche betrekking duidelyk bevat, en derhalven wort gezegd, dat de reden van A tot B is gelyk f maar de reden van B tot A is gelyk § of 1 f. Hier uit blykt ook, dat de reden van A tot C (NB: C doende 1.) gelyk is aan 3, en die van B tot C gelyk 5: maar de reden van C tot A gelyk § en die van C tot B gelyk } caz. I V.
De grootheden worden gezegd reden tot elkander te hebben, indien de eene Cnamentlyk de kleinfle) eenige maaien kan genoomen worden, tot dat die de andere (namentlyk de groofte) te boven gaat. By voorbeeld de 2 grootheden 4 en 6 hebben reden tot elkander, om dat de 4 eenige maaien (by voorb: 2 maal) kan genoomen worden, en als dan grooter is dan de 6.
V.
De grootheden worden gezegd in een zelve reden te zyn, de eerfte tot de tweede, en de derde tot de vierde, wanneer de even vermenigvuldigdens van de eerfte en derde grooter, gelyk of kleinder zyn, dan de even vermenigvuldigdens van de tweede en vierde, na welke multiplicatie, dat men wil. By



van Euclides, Vyfde Bolk. 259
By voorbeeld de grootheden 2 en 6 hebben eën zelve reden als de grootheden 8 en 24 namentlyk |j want dè reden van 2 tot 6 is \ of \ en de reden van 8 tot 24 is % of §. V I.
Dè grootheden, welke een zelve reden hebben, worden genoemd evenredige of geproportioneerde grootheden.
By voorb: de vier bovenftaande grootheden A2,B 6.C 8,D24 zyn geproportioneerde grootheden, om dat zy, als boven getoond is, een zelve reden, namentlyk f hebben. V I I.
Dog wanneer de even vermenigvuldigdens by elkander vergeleeken zynde, het vermenigvuldigde van de eerfte te boven gaat dat van de twede, maar het vermenigvuldigde van de derde niet te boven gaat dat van de vierde; als dan wort gezegd, dat de eerfte grooter reden heeft tot de twede, dan de derde tot de vierde heeft.
By voorbeeld, sis van vier grootheden A 12, B 2, C 6, D 4, de eerfte A 12, de twede B 2 meer begrypt of in dezelve begreepen is, dam de derde C 6 de vierde D 4 begrypt, of indezelvebegreepenis; zoo zegt men, dat de eerfte A 12 grooter reden R 2 heeft



2ó"o Grohd-begtnselen der Meetkunde
heeft tot de twede B 2, als de derde C 6 tot de vierde D 4: want de reden van 12 tot 2 is 6; en die van 6 tot 4 is r |»
VIII.
Evenredigheid of proportie is een over eenkooming van redens.
I X.
Een evenredigheid of proportie beftaat ten allerminfte in drie termen. X.
Wanneer drie grootheden evenredig zyn, dan wort de reden van de eerfte, tot . de derde gezegd dubbeld te zyn, regen de reden van de eerfte tot de twede, of tegen de reden van de twede tot de derde.
By voorbeeld A 3, B 6, en C 12
zyn drie evenredige.
De reden van A tot B, is I.
Of de reden van B tot C is„ of f.
Maar de reden van A tot C is f5 of
Nog eens A12, B 6 en C 3 zyn drie
evenredige.
De reden van A tot B is §*.
Of de reden van B tot C is f of 2.
Maar de reden van A tot C is *| of 4.
Nog eens A 16 B 4 en C 1 zyn drie
evenredige.
De reden van A tot B is f.
Of de reden van B tot C is I of 4.
Maar



van Euclides, Vyde Boek. 261
Maar de reden van A tot C is f of 16. X I.
Wanneer vier grootheden evenredig zyn, dan wort de reden van de eerfte tot de vierde gezegd drie dubbeld te zyn tegen de reden van de eerfte tot de twede, of tegen die van de twede tot de derde, of tegen die van de derde tot de vierde.
Als by voorb: A 2, B 4, C 8 en D 16 zyn vier evenredige. A is tot B als B tot C als C tot D. De reden van A tot B is \ die van B tot C is | en die van C tot D is En by gevolg een zeive redens want
» 4 * —_ I
ï 8 — is 5?
Maar de reden van A tot D is \z of f. X I I.
Gelykftandige grootheden worden genoemd de voorgaande met de voorgaande en de volgende met de volgende.
By voorbeeld, indien men heeft vier evenredige grootheden, A, B, C en D, dan zyn A en C de voorgaande en B en D de volgende, en daarom A en C gelykftandige als ook B en D gelykftandige.
XIII.
VerwiiTelde reden is een ftelling van de voorgaande tot de voorgaande, en van de volgende tot de volgende,
R 3 By



i6s Grond-beginselen der Meetkunde
By voorbeeld men heeft vier groott heden A : B : .- C : D, deze verwisfeld, zoo ftelt men de eerfte tot de derde en de tweede tot de vierde en dus A : C : : B : D.
X I V.
Omgekeerde reden is een itelling van de volgende tot de voorgaande. By voorbeeld hebbende. A : B : : C : D:
Deze reden omgekeerd, zoo ftelt men de tweede tot de eerfte, en de vierde tot de derde j en dus B : A : : D : CXV.
Zaamenftelling der redens is, als de fom der voorgaande en volgende te zaamen gefteld wort tegen dezelve volgende. Hebbende by voorb: A : B : : C : D, deze zaamgefteld, ftelt men de eerfte en tweede tot de tweede, en de derde en vierde tot de vierde, en dus A + B : B : : C + D : D XVI.
Deeling der redens is, als de reft, dat de voorgaande meer is dan zyn volgende , gefteld wort tegen dezelve volgende. Hebbende by voorb. A : B : : C : D, deze gedeeld, ftelt men de eerfte min de tweede tot de tweede, cn de derde min de vierde tot de vierde; en
dus



van Euclides, Vyfde Boek. 263
dus A — B : B ; : C — D : D V I I,
Omkeering der redens is, als de voorgaande gefteld wort tegen het geene de voorgaande meer is dan zyn volgende, By voorb: hebbende A : B .- : C : D, dan ftelt men door omkeering der redens de eerfte tot de eerfte min de tweede, en de derde tot de derde, min de vierde, en dus A : A — B : : C : C - D.
XVIII. Gelyke reden is, als van veele grootheden, meer dan twee, aan de eene zyde, en ook zoo veele aan de andere zy de, twee aan twee in een zelve reden zyn, en dat dan wederzyds de eerfte tot de laatfte in dezelve reden zyn, of anders* een ftelling der üiterftens door wegneeming der middelftens.
By voorbeeld indien men heeft Aan de eene zyde A 2 B 3 C5, D 6 Aan de andere zyde E 4F 6 G 10 H12. Wanneer deze nu in gelyke reden zullen zyn. Dan moet zyn A : B : : E : F,
dat is 2 : 3 : : 4 : 6. Als mede B : C : : F : G,
dat is 3 : 5 : : 6 : 10. Ook C : D : : G : H,
dat is 5 : 6 : : 10 : 12.
R 4 En



264 Grond-beginselen der Meetkunde
En A : D : : E : H,
dat is 2 : 6 : : 4 : 12. Hier van zal de 22: 5 fpreeken. X I X.
Geordineerde of gefchikte proportie is» wanneer er zyn zoo veele grootheden , als men wil, aan de eene zyde, en ook zoo veele aan de andere zyde, welke twee aan twee in een zelve reden zyn : namentlyk de eerfte tot de tweede aan de eene zyde, als de eerfte tot de tweede aan de andere zyde; als mede de tweede tot de derde aan de eene rryde, als de tweede tot de derde aan de andere zyde enz: zoo veele grootheden als 'ét Zyn; en dat ook de eerfte tot de laatfte aan de eene zyde is als de eerfte tot de laatfte aan de andere zyde.
By voorbeeld wanneer men heeft. Aan de eene zyde A2E3C5D6". En aan deanderezydeE4F 6 G 10 Hi2. Wanneer deze grootheden in een get 1'cHkte proportie zullen zyn. Dan moet zyn A : B : : E : F,
dat is 2 : 3 : : 4 : 6. Als mede B : C : : F : G. dat is 3 : 5 : : 6 : 10. Ook C : D : : G : H
dat is 5 : 6 : : 10 : 12. En A : D : : E : H
dat is 2 : 6 1 : 4 ; 12.
" ' ' XX.



VAN ËUCLIDES, VfFDE BOEK. 265
X X.
Beroerde proportie is, als van drie grootheden aan d'eene zyde, en ook zoe veele aan de andere zyde, de eerfte is tot de tweede aan de eene zyde, als de tweede tot de derde aan de andere zyde; en de tweede tot de derde aan de eene zyde, als de eerfte tot de derde aan de andere zyde.
Hebbende by voorb: aan d'eene zyde
3 grootheden A 12, B 8, C 4. En ook zoo veele aan de andere zyde als D 6, E 3, F 2. Deze proportie nu beroerd zullende zyn.
Dan moet zyn A : B : : E : F
dat is 12 : 8 : : 3 : 2. Item B : C : : D : E
dat is 8 : 4 : : 6 : 3. Zie hier van de 23 : 5.
Nota. In het vervolg van dit werk zullen 'er eenige tekenen voorkoomen , die de evenredigheid der grootheden , zullen te kennen geeven.
Als by voorb: vindende a ; b : : c : d.
Zulks zal te kennen geeven , dat a zoodanig een reden heeft tot b, als e tot d heeft.
Over zulks vindende a : b : : e : d.
Dit zal beduiden dat' a tot b grooter reden als c tot d.
En 10 tegendeel a : b V : c : d.
Dat a tot b kleinder reden heeft als c tot d,
R 5 DE



266 Grond-beginselen der Meetkunde
D E
PROPOSITIEN
VAN HET
VYFDE BOEK
VAN
EUCLIDES,
PROPOSITIE I. THEOREMA I.
^^oo 'er zyn eenige grootheden, welke yder byzonder zyn eenige gelyke maaien van zoo veel andere grootheden; zoo veel maal nu de eene grootheid van de andere grootheid is, zoo veel maal zullen ook alle de andere grootheden te zaamen van malkan der en zyn.
(Fig. 199. Tab. XIV. ) Hypothefis. AB en CD zyn de gelyke maaien
van E en F: Thefis. AB -J- CD zyn de even zoo veel
maaien van E + F.
Praparata.
Laat zyn AG, GH en HB yder — E En Cl, IK en KD yder == F.
Demonftratie.
Dan is de veelhd der deelen in AB =
de veelhd, der deelen i n CD.
Dus



van Euclides, Vyfde Boek. 267
Dus is AG + Cl — E + F GH + IK ~ E -f F HB + KD = E + F. r ■ —— add.
AG + Cl -f- GH + IK + HB + KD ■=. E + F 3 maal.
Dat is AB 4. CD — E + F 3 maal.
En dus bevat AB even zoo veel maal E, en CD bevat even zoo veel maal F.
Als AB + CD bevat E + F, namentlyk alhier 3 maal.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Hier uit volgt ook, dat indien E meer of minder maaien in AB begreepen is, dan F in CD; dat dan ook E 4. F meer of minder maaien in AB + CD zal begreepen zyn, dan E in AB, en anders om.
PROPOSITIE II. THEOREMA II.
Zoo de eerfte zoo veel de tweede is, als de derde de vierde is, en insgelyks de vyfde zoo veel maal de tweede is, als de zesde de vierde is; dan is de eerfte en vyfde te zaamen zoo veel maal de tweede.» als de derde en zesde te zaamen de vierde is.
(Fig. 200. Tab. XIV.) Hypothefis AB en DE") zyn de gelyke maaien van En BG en EHJ C en F.
The-



268 Grond-beginselen der Meetkunde
Thefis AG en DU zyn mede de gelyke maaien van C en F. Demonftratie.
OmdatABnzooveelm^rDEl
En BGj C is als LEHj ^
r add.
Daarom AG zoo veelm: C,alsDH, Fis v: i ax. k: b. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE III. THEOREMA III-
Zoo de eerfte is even zoo veel maal de tweede, als de derde de vierde is, en dan de vyfde en zesde yder gelyke maaien van de eerfte en derde genoomen worden; dan is ook elk der genoomen even veel maal van de twede en vierde-
(Fig. 201. Tab. XIV.) Hypothefis. A is even zoo veelmaal B, als C, D is,
en EI is even zoo veelmaal A, als
FM, C is.
Thefis. El is even zoo veelmaal B , als FM D is.
Praparata.
Laat zyn EG, GH, Hl, yder — A & FK, KL, LM yder ~ C. Demonjlratie.
Dan is EG (dat is A) zoo veelm: B als FK (dat is C) D is v: hyp.
GH



van Euclides, Vyfde Boek. 269
En GH (dat is A) zoo veelm: B als KL i^dat is C),D is v: hyp.
En Hl (dat is A) zoo veelm: B als LM (dat is C), D is v: hyp.
Nu is EG + GH + m êz EI.
En FK + KL + LM = FM.
Dus is EI zoo veelm: B, als FM, D is v: 2; 5.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Hier uit volgt.
ie. Gelyke met gelyke vermenigvuldigd, zyn de produüen medegelyk en 2°. gelyke door gelyke gedeeld, zyn de quotiënten mede gelyk.
PROPOSITIE IV. THEOREMA IV. Zoo de eerfte tot de twede dezelvde reden heeft als de derde tot de vierde; dan zullen de even vermenigvuldigdens van de eerfte en derde dezelve reden hebben, als de even vermenigvuldigdens van de twede en vierde, naa zulk een multiplicatie als men wil, indien dezelve zoo genoomen worden, dat zy met elkander over een ftemmen.
(Fig. 232. Tab. XIV.) Hypothefis. A : B : : C : D
E en F zyn even vermenigv: van A en C.
G en H zyn even vermenigv: van B en D.
The-



270 Grond-beginselen der Meetkunöe
. Thefis. E : G : : F : H. Praparata,
Neem I enK, yder even veelm: E enG;
En L en M yder even veelm: F en H„
Demonjlratie.
Dewyl I even veelm: E is als"j K van G. j, v: bef.
En L even veelm: F is als |
M van H. ^ Item E even veslm: A is als"]
G van B # ï>v:hyp.
En F even veelm: C is als j
K van D J Daarom I even veelm: A als K~l
van B lv:q:5i En L even veelm: C als M f
van D. J .
Indien dan I grooter gelyk or kleinder
dan L is.
Zoo zal ook K grooter gelyk of kleinder dan M zyn v: k: b.
En derhalven is I en K in een zelve reden als L en M v: 5 def: 5-
Maar I en K zyn even veelm:]
E en G. tv:ber.
En L en M zyn even veelm:
F en H. *
Derhalven is E en G in een zelve reden als F en H v: 5: def: 5. En dus is E : G : : F : H v: 6 def: 5.
En



van Euclides, Vyfde Boek. 271
Dat te bewyzen was. Corothria.
ie. Hier uit wort beweezen de omgekeer' de reden (invertendo) vide def: 14.
Want E : G : : F : H.
Deze reden omgekeerd, zal er koomen G : E : : H : F v: 14: def.
En zulks moet beweezen worden.
Indien E grooter, gelyk of kleinder dan G is.
Dan zal ook F grooter gelyk of kleinder dan H zyn v: 5 def: 5.
Dus ook zoo G grooter, gelyk of kleinder dan E is v: k: b.
Dan zal ook H grooter, gelyk of kleinder dan E zyn v: k: b.
En daarom zal G : E : : H : F zyn v: 5: def: 5.
ie. Maar wanneer de eerfte tot de tweede grooter reden heeft dan de derde tot de vierde", dan zal door de omgekeerde reden de tweede tot de eerjle kleinder reden hebben dan de vierde tot de derde.
Dat is indien E : G : : ^ : : F ; H-
Dan is invert. G : E H : F
Want laat zyn E — q ; G : : F : H.
Dan is invert. G : E — q : : H ; F V: 1 cor: 4 5.
En by gevolg G : E : : > : : H : F v: k: b.
3'



g78 Grond-beginselen der Meetkunde
3e. En wanneer de eerfte tot de tweede kleinder reden heeft, dan de derde tot de vierde; dan zal door de omgekeerde reden de tweede tot de eerfte grooter reden hebbèm dan de vierde tot de derde.
Dat is E : G : : > : : F : H.
Dan invert: is G : E : : < : /■ . &
Want laat zyn E — q : G : : F : H.
Dan is invert. G : E — q : ■" H . v: i cor: 4: 5' F
jE» 6y gew/g G : E : : < : : • v: k: b. immm
PROPOSITIE V. THEOREMA V.
Zo een grootheid zoo veelmaal een andere grootheid is, als bet afgetrokkene van de eerfte is van het afgetrokkene van de tweede; dan zal het overige van het eene zoo veel maal het overige van het andere weezen.
(Fig: 203. Tab XIV.) Hypothefis. AB en CD zyn even zoo veel maal
van AE en CF. Thefis. EB en FD zyn even zoo veel maal
van AE en CF.
Praparata.
Laat zyn een andere grootheid GA zoo veelm: de overige FD als de geheele AB van CD is: of als het afgetrokkene AE van het afgetrokkene CF. J^r



VAN EuCBIDES, VYFDE BOEK. 273
Demonftratie.
Dan is GA + AE (dat is GEï zoo veeim: CF + FD (dat is CD) als AB vart CD is v: 1: 5.
'By gevolg is AB — GE v: 6. ax. AE — AE Sub: i— —
Reft EB == GA v: 3 ax.
Frgo dan zoo veelmaal GA begrypt FD.
öf zoo veelmaal AB begrypt CD. .
Zoo veelmaal ook zal EB begfypen FD v: k: b.
Dat te ' bewyzen was;
PROPOSITIE VI. THEOREMA VI.
Zoo men van twee grootheden, die yder ettelyke gelyke maaien van ëen andere grootheid zyn, aftrekt twee grootheden , die mede eenige gelyke "maaien van die zelvde gèftelde grootheden zyn: dan zullen de overige mede gelyke maaien van die zelvde geftelde grootheden zyn.
.(Ti*. 204. Tab/iïv.^ "■ B*Q HypothefK ABe.i CD"-)
AG en C4 j zvAeven verm; van E en F Thefis. GB en HD zyn even verm.- van E en F Demonjlratie.
Nademaal AB en CD de gelyke vermenigv. zyn van E en F v: hyp.
S En



274 Grond-beginselen der Meetkunde
En dat alle vermenigv. door getallen (2, g, 4 enz: uitgedrukt worden.
Zoo zullen deze getallen , die de menigv. van AB en CD uitdrukken, gelyk zyn.
En alzoo zullen de getallen, die de menig: van AG en CH uitdrukken, gelyk zyn.
Zoo men dan 't getal der menigv: van AG aftrekt van dat der menigv: vanAB.
En het getal der menigv: van CH aftrekt van dat der menigv. van CD.
Dan zullen deze reften gelyk zyn v:
3 ax«
AB is zoo veel maal El als CD van F is I .
Ook AG is zoo veel maal E j 3 als CH van E is. J Deze dan van den anderen afgetoogen. Reft GB zoo veel maal E als HD van F v: 3 ax.
Derhalven indien dan GB = E is, dan HD ook =p F zyn.
Of indien GB eenige gelyke maaien van E is.
Dan zal HD eenige gelyke maale» van F zyn. Dat te bewyzen was.
PRO-i



van Euclides , 'Vyfde Boek. 275
PROPOSITIE VII. THEOREMA VII.
Gelyke grootheden hebben een zelve reden- tot een andere grootheid.
En een grootheid heeft een zelve reden tot twee andere gelyke grootheden» CFig. 205. Tab. XIV.) Fiypothefis. A — B maar C ^oï > A. Thefis. Ie. A : C : : B : C.
2e. G : A : : C : B.
Praparata.
Neem D én E yder eenige gelykti maaien van A en B.
Ook F eenige gelyke maaien van C< Demonftratie op het eer/ie. Dewyl D = E is v; ber. Daarom indien D grooter, gelyk of kleinder F is.
Dan zal ook E grooter, gelyk of kleinder F zyn v: 5 def: 5.
Derhalven D : F : : E : F v: 6 def: "5; En om dat D en E gelyke"! maaien van A en B zyn. I . '.,
En F gelyke maaien van C. j*V' et° J
Daarom is ook A : C : : B : C v. 3. 5. Dat te bewyzen was.
Demonftratie op hei tweede.
Hier boven hebben wy reeds bewee» éea dat A : C : : B i C is.
S z bas



276 Grond-beginselen der Meetkunde
Dus bekomt mea ook alternando, C : A : : C : B : v: cor: 4 5. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE VIII. PROBLEMA VIII
Van twee ongelyke grootheden, heeft de grootfte tot een andere grooter reden dan de kleinfte.
En dezelve gefielde grootheid heeft tot de kleinfte grooter reden, dan tot de grootfte.
(Fig. 206. Tab. XIV.) Hypothefis. AB < dan C item D. Thefis. ie. AB : D < : : C : D.
1<=. D : C < : : D : AB.
Praparata.
Van AB fnyd af AE = C v: 3 1. ■ En neem HG en GF zoodanig dat HG zoo veel maal AE of G is, als GF van dd overige EB.
Neem dan IK zoo veel maal D, dat IK grooter is dan HG maar kleinder dan HF. Demonftratie op het eerfte.
Nadien HG zoo veelm: AEis, als GF Van EB v: ber.
Zoo is ook HF zoo veelm: AB als HG van AE of van G v: 1: 5Maar HF is < dan IK] y> b£„ En HG is > dan IKJ
Nu



van Euclides, Vyfde Boek. 277
Nu is IK een gelyk menigvuldigde van D v: ber.
En daarom AB : D < *: : C : D v: 5
def: 5.
Dat te bewyzes was. Demonjlratie op het tweede.
Boven is reeds beweezen dat AB : D < : : C : D is.
Dus bekomt men alternando D : AB < : : D : C v: cor: 4: 5.
En by gevolg D : C > : : D : AB v k: b.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE IX. THEOREMA IX.
De grootheden, die yder tot een andere grootheid dezelve reden hebben, die zyn gelyk.
En zoo die gefielde grootheid tot die twee grootheden dezelve reden heeft; dan zullen die twee .grootheden gelyk zyn.
Fig. 207. Tab. XIV. ie. Hypothefis A : C .- : B . C
Thefis A = B, 2?. Hypothefis. C : A : : C : B '.
Thefis A ~ B.
Demonftratie op hst eerfte.
- Indien A niet gelyk B is, dan mcetA
grooter of kleinder dan B zyn.
S 3 En



%7% Grond-beginselen der Meetkunde
En dan zal A : C < of > : : B : C
zyn v: 8 5.
Maar A : C : : B : C v: hyp. Ergo moet A = B zyn v: 7 5/ Dat te bewyzen was* Demonftratie op het tweede.
Wederom indien A niet ^elykBis, dan •is A grooter of kleinder dan B.
En dan zal ook C : A ( of s : : C : zyn v: 8 5. B Maar C : A : : C : B v: hyp.
Ergo moet C : A : : C : B zyn v: 7 5Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE X. THEOREMA X
Van eenige grootheden is deze de grootfte, die de grootte reden tot een andere heeft.
• En die, tot welke de gefielde grootheid de grootfte reden heeft, in de kleinfte.
(Fig. 208. Tab. XIV. ) De eerfte Hypothefis is A : C < : : B : C.
Thefis A < B. De twede Hypothefis is C : A ^ : C : B. Thefis B > A.
Demonftratie op het eerjle.
Indien A = B gefteld wort, dan is A : C : : B : C v: 7 5-
En zoo A > B gefteld wort, dan is A : C > : : B : C v: 8 5.
Er-



van Euclides, Vyfde Boek; 279
Ergo A : C < : : B : C zynde, kan het niet anders zyn of A is < dan B v: k: b.
Dat te bewyzen was. Demonjlratie op het tweede.
Stelt men B = A ,dan is C : B :: C : A v: 7: 5.
Stelt men B < A, dan is C : B < : i C : A v: 8 5.
Ergo C : B > : : C : A of dat het zelvde is C : A < : : C : B zynde volgens myne verklaring op de ye. defin: 5.
Zoo kan het niet anders zyn of B is kleinder dan A : v: k: b.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XI. PROBLEMA XI.
Als eenige redens byzonder aan een andere reden gelyk zyn; dan zyn ze alle malkander gelyk.
CFig. 209. Tab. XIV.) Hypothefis. A:B::E:F&C;D::E:F. Thefis. A : B : : C : D.
Demonftratie.
Want zoo de reden van A tot B even ïs als de reden van E tot F.
En ook de reden van C tot D even is als de reden van E tot F,
Zoo moet de reden van A tot B even S 4 zyn



28o Grondbeginselen eer Meetkunde
'zyn als de reden van C tot D v: k": b. en i ax.
Het geene dan verder geen bewys nodig beeft.
PROPOSITIE XII. THEOREMA XII.
Indien er zyn zoo veele evenredige grootheden als men.wil, gelyk zig een der voorgaande houdt tot zyn volgende . alzoo houden zig alle de voorgaande te zaamen tot alle de volgende.
' CFig- 210. Tab. XIV.) Hypothefis. A : B : :'C : D : : E : F.
Thefis. {c ! l\: : A + C + E : B + D + E LE ; F J
Praparata.
' Laat genomen worden G, H en I elk . even veel maal na gevalle van de yoorgaandens, A, C, en E.
Als mede K, L en M elk eyen veel aiaal van de volgendens B, D en F. JDemenftratie.
Nu is G + H + -I zoo veelm;'] A + C '+ E als G van A y. ben
En K + L + M zoo veelm; ( B + D + F als K van D J
En A : B : : C : D : : E : F y: hyp,
Indien dan G < = >; K i.s
Dan zal H < = > L
Ea I.< = > M zyn v: 5 def: 5.
Der-



van Euclides, Vyfde Boek.- 281
Derhalven by den anderen vergaart. Komt G+H + I< = >K + L + M v; 2 en 4 ax.
Ergo is A B : : G + H + I : K + L + M v: 6 def: 5.
En bm dat G + H 4- I evenl vermenigv: zyn van A + C + E I
En K + L -f M even \ V' ber:
vermenigv: zyn van B f D + Fj
Daarom is ook A : BI
C : D i> : : -A + C + E : B + D"+ F E : F j
Dat te bewyzen was. Corollaria.
ie. Hier uit volgt dan, dat, indien men tot evenredige grootheden, evenredige grootheden toevoegt, de f ommen mede evenredige grootheden zullen zyn.
2e. Ook volgt hier uit, dat,indien men tot gelykftandige evenredige gelykftandige evenredige toe doet, de Jommen mede evenredig zyn. Scholium.
Indien er zyn zoo veele grootheden als men wil, aan de eene zyde, en mede zoo veele aan de andere zyde;
En dat de reden van de eerfte aan d'eene zyde tot de eerfte aan de andere zyde grooter is dan de reden van de tweede aan de eene tot de twede aan de andere zyde;
En ook de reden van dezelve twede aan S 5 de



4g2 Grond-beginselen der Meetkunde
de eene tot de tweede aan de andere zyde grooter is dan de reden van de derde aan de eene tot de reden van de derde aan de andere zyde-,
Dan zal ook de reden van alle de grootheden te zaamen van de eene zyde tot de reden van alle de grootheden te zaamen aan de andere zyde,
ie. Grooter zyn dan de reden van de fom van alle de grootheden aan de eene zyde uitgezonderd de eerjle, tot de fom van alle de grootheden aan de andere zyde, uitgezonderd de eerfte.
2e. Kleinder zyn dan de reden van de eerfte aan de eene tot de eerfte aan de andere zyde.
3e. Grooter zyn» dan de reden van de iaafte aan de eene tot de laafle aan de an* dere zyde:
(Fig. 211. Tab. XIV.) Bypotb: A, B , C zyn grootheden aan de eene zyde
en X. Y, Z zyn grootheden aan de andere zyde A : X < : : B : Y en B : Y < C : Z. Tiefis. ie. A + B + C : X + Y + Z
< : : A + B : Y + Z.
2^. A + B + C:X + T + Z
> : : A : X. 3e. A -f- B + C : X + Y + Z •
< : : C : Z.
De-



van Euclides, Vvfde Boek. 283
Demonftratie. Om dat A : X < ; : B • y
En B : y < : : C : Z v: hyp.
■L-aat daarom zyn A : X : : B + n : Y ? •' C + m : Z : ; A : X.
Dan is A + B + n + C + m : X + Y + Z ■ : A : X v: 12 5
Ergo A + B + C;X4-y + Z> f A • X : : B : y : : C : Z
En dus A + B + C:X+'y - z > : : B + C : y + Z v: 12 5.
<SV^/ dan verders A + B-j-C-X + Y
Dan z/A + B + C:X + Y4-7 < : B : X : : C : Z +YrZ
En by gevolg A + B + C- X + Vj. + Z < : : C : Z v: ii 5. ' + ö?oor ö^ö beweezen is
CI:\VzB + C:X + Y + Z<B +
:.2A :V B +C--X + y + z>
3e- A + B + C : X + y + 7 / : : C : Z. >
£W bewyzen was.
PROPOSITIE mrafiOREMA XHI
redefrf t0t de tw^e dezelve
mat H ^ ds de derde ™ ^ vierde maar dezelve derde tot de vieJeeen
grooter reden dan de vyide tot de zcZ
de.



a84 Grond-beginselen der Meetkunde
de; als dan heeft qc-Ic de eerfte tot de tweede een'grooter reden, dan de vyfde
tot de zesde. .
CFig. 213. Tab. xv.) Hypothefis. A : B : : C : D
maar'C : D : : \ E : F. Thefis. A : B ^ : : E : F.
Demonftratie.
De reden van A tot B is .-g- en de reden van C tot D is % en' de reden van -E tot F is Tv: 3 dei: 5.
Om dat nu A.: B : : C : D is, daarom-A — V: 6 def: 5.
En om dat C : D < : : E : F is,
daarom is ^ ^ T v: utf.
_a_ / e_
Derhalven is ook b E En daarom A : B < : : E ; F v: k: b.
Dat te bewyzen was. , Corollaria.
Hier uit volgt dan
ie. Indien d" kleinder dan-p- is, dan zal
A E
■^■kleinder dan f zyn.
«« Indien ifgrooter dan "p grooter dan — is, dan zal 4" grooter dan -f zyn. F 3e. Indien f kleinder dan 4 kleinder dan
|- is, dan zal 4 kleinder dan | zyn
PR.U"



van Euclides, Vyfde Boek. 235
PROPOSITIE XIV. THEOREMA XIW
d/etfleT ViCr eVem'6dige gr00theden zal Z/ ? Sr°0£er dan de de^ dari vtde ^ gr0°ter ^ande
daf zal tf rft£ Sdyk de d-de^' danzal mede de twede ge]yk de viefde
Of zoo de eerfte kleinder is dan de derde, dan zal ook de tweede kleinder dan de vierde zyn. "
C%. 213. Tab. XV.) «et te. ,id a,ie de he .s
want ,n alle drie wort gefteld dat A:B." C D is' Wet ae lid van de ie. Hypothefis is A < C. '
Thefis B < D.
Het ae. hd van de ae. Hypothefis is A = C.
Thefis B rrD
"et lid vaft de 3e. Hypothefis is A > C.'
Thefis £ V n
Demonftratie.
Om dat A : B : : c • D is vkornis ^ y;6def. v:
Indien dan A grooter dan C is, dan kan B niet gelyk D zyn. ' *
Want dan,was 4- grooter ^ c
ftrydigis met de hyp Veel min kan dan B kleinder dan D
Om



m Grond-beginselen der Meetkunde
Om dat dan. | nog grooter dan -~
zoude zyn v: 8: 5. ^ Maarzoo A gelyk C tt, zoo kan B
nog grooter nog kleinder dan D zyn. Want dan moeft i grooter of kleinder
dan ~ zyn v: 8: 5.
Of indien A kleinder dan C tt, dan kan B niet gelyk D zyn. c
Want dan zoude ~ kleinder dan » zyn, dan ftrydlg is met de hyp ^
Veel min kan dan B groots zyn. c
Om dat dan t ™>s b*ltr dan »'
Zta%-0: Mi-A gedane Is,
dan is B ook grooter dan D. Maar indien A gelyk aan Cis,
dan is B kleinder dan D. Dat te bewyzen was.
terftegrooter, gelyk of klernder dandetw deis,dan zat ook de derde grooter, ff Ijk of kleinder dan de vierde zyn.



van Euclides, Vtmi Boek 2g7 PROPOSITIE X^E0REMA xy
Hypothefi,ACBFl^TE4-z^;XV0
CenF 7neven vermenigv.. vaa
lhsÜS- C.F: t AB : DE. rraparata.
Laat Zyn AG en GB yder - C
„En DH en HE yder - p ■Demonjlratie. *
De veelh: der deelen in AR lykde veelh: der deelen l D~E Tl ^ Derhalven is GB.HE,.rGDEDVJber-
GB HE
Dus ook AG : DH;: AB~~nï? ^ NuisC = AG&P^DHErh2:^
Dat te bewyzen was. 5* Corollarium.
Ook zyn de grootheden tot elkander t haare gelykmatige deelen. '
Om dat de grootheden zyn deaetu»
PRO*



PROPOSITIE XvT^EOREMA XVI. dezelïe ver*» ^ ^
Hypothefis. A • B • , ^ Thefis. "
PrSrg«ooBeu worden E en E yd»
Demonftratie. ., B , . C : D: : *• Dan is b ; r "
G •• H V: '5 5 F ■ • G : H v xx 5' . Daarom E . * • • elyK: of
Derhalvenj mdiem S
fife F grooter, gelyk of kleinDan zal mece 0
der dan H ^V^* G : : F " H En by gevolg zal u
zyn v. 5 deI'^' G de evenl Vermits nu E en »j (
• . wan A en ^ >v: ber:
^F-Hdeevenverme
nigv. van B en D zyn -> V;
Daarom is dan ook A . C •
5 def: 5-;
Scholia. „„nuiiTeld zynde, bij-
vm de buiten^ de bmtenP. en a ptyoen de binnenfle.



VAN ËÜCLTDÉS, vyfde BoEK. 2%$
2=. De ve-w [Ifeldffedën heeft alleen plaat ff wanneer de grootheden 'jan eeuerfy aart of natuur zyn: by'voorb: li ten en Unien, of vlakken en vlahen enz: om dat die dn* ders niet met elkander kunnen vergeleeken worden-,
3e. Indien de eerfle tot de tweede grooter reden heeft, dan de derde tot de vierde; dan zal, deze grootheden verwisfeld zynde, de eerfle tot de derde wede een grooter reden hebben dan de tweede tot de vierde. Dat is A : B «; ■ : C : D zynde Dan is A : c <, : : B : D Want laat zyn A — q : B : .- C : D Dan is ook A — q : C : : B : Dv: 16: 5 Dus dan A ; C < : \ A — q • C : : B : D v: 8 en 16: 5.
Ergo A : C <; ; : B : D v: 11: 5. ' 4e. Zoo de eprftf tot de tweede kleinder reden heeft, dan de derde tot vierde, deze verwisfeld zynde, zal de tweede tot de eerfle kleinder reden hebben, dan de vierde tot de derde.
Dat is A : B > : : C : D Dan is A : C > : : B : D Want laat zyn A ■}■ q : B : : C : D Dan is A -f- q : C : : B : D v: 16: 5* Om dat A ; C \ : : A + q ; :C : B: D v: :6: en 16: 4. Daarom A : C > : : B : D v: 11: 5.
T PRO-



290 Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE XVII. THEOREMA XVII.
Indien de vergaderde grootheden evenredig zyn, dezelve gedeeld zynde, zullen mede evenredig zyn.
CFig. 216. Tab. XV.) -Hypothefis. AB is de vergaderde grootheid van AC en CB.
DE is de vergaderde grootheid van DF en FE.
Nu is AB : CB : : DE : FE. Thefis. AC : CB : : DF : FE.
Demonjlratie.
Om dat AB : CB : : DE : FE v: hyp:
Daarom is v: 6 def. 5.
Nu is AB — CB — AC & DE — FE = DF v: 3 ax.
Derhalven is g—|g' V: k: b.
By gevolg is AC : CB : : DF : FE V: 6 def: 5.
Dat te bewyzen was. Schoiium.
Zoo de eerjle tot de tvjeede grooter reden heeft, dan de derde tot de vierde, dezelve gedeeld zynde, zal de eerfte tot de tweede mede grooter reden hebben dan de derde tot de vierde.
Dat



van Euclides, Vyfde Boek. 291
Dat is AB : CB < : : DE : FE Dan is AC : CB < : : DF : FE. Want laat zyn AB : GB : : DE FE Dan is AG : GB : : DF : FE v: 17: 5' Ergo is AC : CB < : : DF : FE v: 8: 5. Corollarium,
Zoo de eerfte tot de tweede kleinder reden heejt, dan de derde tot de vierde, dezelve gedeeld zynde, zal de eerfle tot de tweede mede een kleinder reden hebben, dan de derde tot de vierde. Dat is AB : CB ) : : DE : FE Dan is AC : CB > : : DF : FE.
PROPOSITIE XVIIL THEO* REMA XVIIL
Zoo de grootheden gedeeld zynde, evenredig zyn, dezelve vergaderd zyndej. zyn mede evenredig.
(Fig. 217. Tab. xv.) Hypothefis. AS : BC : : DE : EF. Thefis. AC : BC : . DF : EF. Demonjlratie.
Om dat AB : BC :: DE : EF is v: hyp,
ab de
Daarom is ëc—éf v: 6 def: 5. Nu is AB + BC = AC & DE + EF ab DF v: 2 ax.
T 2 Ver-



292 Grond-beginselen der Meetkunde Perhahm is §g = J* v: k. K
En by gevolg is AC : BC : : DF : EF v: 6 def: 5.
Dat te bewyzen was. Schotia.
ie. Zoo de eerfle tot de tweede grooter reden heeft, dan de derde tot vierde, dezelve vergaderd, zal de eerfte tot de tweede mede een grooter reden hebben, dan de derde tot de vierde.
Dat is AB : BC < : ; DE : EF zynde Dan is AC : BC < ; : DF : FF Want laat zyn GB - BC : : DE : EF Dan is ook GC: BC : : DF: EF v: 18- 5 Ergo is AC : BC < ; : DF : Ef! 2e. Waar uit ook openbaar is, dat, Indien AB • BC > : .- DE : EF Dan ook AC : BC > : : DE; EF is. 3e- Ook heeft de eerfte tot de derde een
grooter reden, dan de tweede tot de vierde Dat is AB : DE \ : : BC • EF
v: 16: 5.
En daarom heeft ook de vergaderde AC tot de tweede DE een grooter reden dan de vergaderde DF tot de vierde EF. Dat is AC : DE < : : DF • EF 4e- Ook heeft de vergaderde AC tot de vergaderde DF kleinder reden, dan de eerfte AB tot de derde DE.
Da



van Euclides, Vyfde Boek. 293
Dat is AC : DF > : : AB : DE JVant laat zyn AB : DH : : BC : HF Dan is AC : DF : : AB : DH v: 12: 5. Ergo is AC : DF > : : AB ; DE v: 8: 5-
5e. Dezelve verwisfeld, is AC : AB > : : DF • DE v. 1 cor: 16: 5.
PROPOSITIE XIX. THEOREMA XIXZoo een geheele grootheid tot een andere geheele grootheid is, als een afgetrokke deel van de eerfte, tot een afgetrokke deel van de tweede; dan zal het overfchot van de eerfte grootheid zyn tot het overfchot van de tweede grootheid als de eene geheele tot de andere geheele grootheid.
CFig. 218.Tab. XV.) Hypothefis. AB : DE : : AC : DF. Thefis. CB : FE : : AB : DE.
Demonjlratie.
Om dat AB : DE : : AC : DFv: hyp is.
Alternando AB : AC : : DE : DFv: 16: 5.
Dividendo CB : AC ; : FE : DFv: 17: 5-
Invertendo AC : CB : : DF : FE v: cor: 4: 5.
Componendo AB : CB : : DE : FE v: 18: 5.
T 3 Al-



204 Grond-beginselen der Meetkunde
Alternando AB : DE : : CB : FE vj 16: 5.
Dat te bewyzen was. Corollaria.
ie. Hier wit blykt, dat, zoo men gelykftandige evenredigen aftrekt van gelykftandige evenredige, de overfchottm mede evenredig zyn.
Want AB en AC zyn gelykftandige, item DE en DF zyn gelykftandige.
Pan AB afgetrokken AC.
En van DE afgetrokken DF.
Reft CB : FE : j AB : DE v: b: b.
2e. Hier uit zal nu ook kunnen beweezen worden de omkeering der redens.
fVant laat zyn AB : BC : : DE : EF.
Dan zal door omkeering der redens, deze proportie aldus worden,
AB : AC : :DE : DF.
Nu is AB : BC ; : DE : EF v: typ.
.Alternando AB : DE : : BC : EF v: 16: 5,
Nu is ook AB : DE : : AC : DF v; ï9: 5.
'Alternando AB : AC : : DE : DF v: io: 5. Scbolia.
je. Zoo de eerfte geheele grootheid tot de
twee-



van Euclides, Vyfde Boek. 295
tweede geheele grootheid grooter reden heeft, dan het afgetrokkene van de eerfte tot hei afgetrokkene van de tweede; dan zal de eerfte geheele tot de tweede geheele kleinder re* den hebben, dan het overfchot van de eerfte tot dat van de tweede grootheid. Dat is AB : DE < : : AC : DF Dan is AB : DE > : : CB : FE. Want laat zyn AB : DE : : AG : DF Dan is AB : DË : : GB : FE
v: 19: 5.
Ergo is AB : DE > : : CB : FE v: 8: 5-
ze. Zoo de eerfte geheele tot de tweede geheele grootheid grooter reden heeft dan het afgetrokkene van'de eerfte, tot het afgetrokkene van de tweede; dan zal ook het overfchot van de eerfte tot het overfchot van de tweede grooter reden hebben, dan de eerfte geheele tot de tweede geheele grootheid.
Dat is AB : DE < : : AC : DF.
Dan is CB : FE < : : AB : DE.
Want laat zyn AB : DE < : : AC : DC
Dan is AB : DE y : : CB : FE v. 1
fch: 19: 5-
Ergo is CB : FE < : : AB : DE v:
k: b.
$e. Zoo de eerfte tot de tweede grooter reden heeft, dan de derde tot de vierde; dan zal door omkeering der redens, de cerT 4 S"



2Qé GroND-BEGINSEIBN der MEETKUNDE
fte tot de tweede kleinder reden hebben, dan de derde tot de vierde.
Dat is AB : L-B < : : DE : FE.
Dan is AB : AC y -. ; DE : DF.
Want laat zyn AB : CB < -: ; DE : FE v: hyp.
Dividendo AC ; CB '< • -
DF : FE v: iy. 5.
Invcrtendo. CB : AC \ : :
FE : DF v: cor: 4: 5,
Componcndo AB ; AC > : ; DE : DF vs t8; 5.
4e. Item zoo AB : CB y : : DE : FE dan is AB : AC < : : DE : DF.
5e. Indien de eerfte tot de tweede kleinder reden heeft, dan het afgetrokkene van de eerfte tot het afgetrokkene van de tweede grootheid; dan heeft de eerfte tot de tweede grootheid grooter reden dan het ovt rjchot van de eerfte tot het overf chot van de twee* de grootheid.
. Dat is AB : DE > : : AC : DF.
Dan is AB : DE < : : CB : FE.
IVant laat zyn AB ; DE X : ; AC : DF v: hyp.
Alternando AB : AC > * • DE : DF, v: 16 i5.
Dividendo CB : AC y : ;
FE : DF. vs 17: 5.
Invertendo AC : CB < : j DF ; FE. v: cor: 4: 5,
Corn-



van Euclides, Vyfde Boek. 297
Componendo AB : CB < : : DE : FE v: 18: 5.
Alternando AB : DE < : *! CB : FE v: 16: 5.
PROPOSITIE XX. THEOREMA XX.
Zoo van drie grootheden aan de eene zyde, en van drie grootheden aan de andere zyde twee aan twee in een zelve reden zyn, en dat in gelyke reden de eerfte grooter, gelyk of kleinder dan de derde is; dan zal ook de vierde grooter, gelyk of kleinder dan de fesde zyn.
CFig. 219. Tab. XV.) Hypothefis. A, B en C zyn 3 grooth: aan de
eene zyde.
X, Y en Z zyn 3 groofh: aan de andere zyde.
A : B : : X : Y & B : C : : Y : Z, Item A < r= of S dan C. Thejis. X < — 0f > Z. Demonftratie,
Om dat nu is A : B : : X : Y & B : C : : Y : Z v: hyp.
Alternando is A : X : : B : Y & B : Y : : C : Z v: 16: 5. Derhalven is A : X : : C : Z v: Iii 5. Indien dan A < ~ of > C is. Zoo is ook X ^ = of > Z v: 14; 5. Dat te bewyzen was.
T 5 PRO-



2q3 Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE XXI. THEOREMA XXI.
Zoo van drie grootheden aan de eene zyde, en van drie grootheden aan de andere zyde twee aan twee in eene zelve reden zyn, en dat hunne propofitie beroerd is, en dat dan in gelyke reden de eerfte grooter, gelyk of de kleinder, dan de derde is; dan zal ook mede de vierde grooter, gelyk of kleinder dan de fesde zyn.
CFig: 220. Tab. XV.) Hypothefis. A, R ca C zyn 3 grooth: aan de eene zyde
X, Y en Z zyn 3 grooth: aan de andere zyde.
A : B : : Y : Z & B : C : : X : Y. Item A < ~ of y C. Thefis. X < = of > Z. Demonftratie.
Want ftelt men dat A <► dan C is.
Dan is ook A : B < : : C : B v: % 5.
Maar A : B : : Y : Z v: hyp.
Ergo is Y : Z < : : C : B v: 13: 5.
Maar B : C : : X : Y v: hyp.
InvertendoC : B : : Y : X: v:cor:4:5.
Derhalven is Y : Z : : < Y : X v: kï b.
En gevolgelyk is X / dan Z v: 10: b. Dat te bewyren was. Stelt men dat A = C is,
Dan



van Euclides, Vyfde Boek. 299'
Dan is ook A : B : : C : B v: 7: 5. Maar A : B : : Y : Z v: hyp. Daarom is C : B : : Y : Z v: 11: 5Maar B : C : : X : Y v: hyp. Invertendo C : B : : Y : X y: cor: 4: 5, Derhalven Y : Z : : Y : X. En gevolgelyk X Z v: 9: 5. Steld men nu eindelyk A > dan C. Dan is ook A : B > : : C : B v: 8: 5. Maar A : B : : Y : Z v: hyp. Ergo is Y : Z > : : C : B v: 13: 5. Maar B : C : : X : Y v: hyp. Invertendo C : B : : Y ; X v: cor: 4: 5. Derhalven is Y : Z > : : Y : X. En gevolgelyk X > dan Z v: k: b: v: 10: 5.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXII. THEOREMA XXII.
Indien 'er zyn zoo veele grootheden als men wil, aan de eene zyde, en mede zoo veele aan de andere zyde, dewelke twee aan twee in eene reden zyn; deze in gelyke reden zynde, zyn geproportioneerd.
CFffc. 219. Tab. XV.) Hypothefis. A, B en C zyn' 3 grootheden aan de eene zyde.
X, Y en Z zyn 3 grootheden aan de andere zyde.
A



3too Grond-beginselen der Meetkunde
A : C : : X : Y & B : C : : Y : Z. Thefis. A : C : : X : Z.
Demonjlratie.
Wy hebben in de demonftratie van de 20'. 5. reeds gezien.
Dat A : X : : C : Z : is.
Dus alternando A : C : : X : Zv: 16"; 5
Dat te bewyzen was. Corotlarium.
Indien de eerfte tot de tweede aan de eene zyde grooter reden heeft dan de eerfte tot dttweede aan de andere zyde, en dat de tweede tot de derde aan de eene zyde grooter reden heeft, dan de tweede tot de derde aan de andere zyde; dan heeft ook de eerfte tot de derde aan de eene zyde grooter reden, dan de eerfte tot de derde aan de andere zyde.
Dat is A : B < : : X : Y & B : C < : : Y : Z.
Dan is A : C < : : X : Z.
Want laat gefteld zyn A — q: B:: X: Y.
B : C : : Y + r : Z.
Dan is A — q : C : : X .* Z v. 20 5.
Ergo A : C v : : X : Z 1?: 8 5.
PROPOSITIE XXIII. THEOREMA XXIII.
Zoo van drie grootheden aan de eene zyde, en van drie grootheden aan de andere zy^
de



van Euclides, Vyfde Boek. 302;
de twee aan twee in een zelve reden zyn, en dat hunne proportie beroerd is; zoo zullen deze in gelyke reden zynde, ge-: proportioneerd zyn.
(Fig. 220. Tab. XV.) Hypothefis. A, B en C zyn 3 grootheden aan d'eene zyde.
X, Y en Z zyn 3 grootheden aan d'andere zyde.
A:B::Y:Z&B:C -X Y Thefis. A : C : : X : Z.
Demonftratie.
In de Demonjlratie van de 21: 5 hebbe» wy reeds gezien Dat A< =:0f > C,& X < = of > Z
is.
Derhalven A ; C : : X : Z v: 6 def; 5 Corellarium.
Indien de eerfle tot de tweede aan d'eene zyde grogter reden heeft, dan de tweede tot de derde aan de andere zyde, en de tweede tot de derde aan de eene zyde grooter reden dan de eerfte tot de tweede aan de andere zyde; zoo beeft ook de eerfte tot de derde aan de eene zyde grooter reden dan de eerfte tot de derde aan de anderè zyde.
Dat is A : B ::<::¥ % & B : C < : : X : Y.
Dan is A : C < : : X : Z-
Laat zyn A — q : B : : Y '. Z.
En B ; C : : X + r ; Z.
Dan



302 Grond-beginselen Der Meetkunde
Dan is A — q : C : : X : Z v: 21 5 JSrgo is A : C < : : X : Z v: 8 5.
PROPOSITIE XXIV. THEOREMA XXIV.
Zoo de eerfte tot de tweede eeri zelve reden heeft, als de derde tot de vierde, en dat ook de vyfde tot de tweede een zelve reden heeft als de zesde tot de vierde; dan is de fom van de eerfte en vyfde tot de tweede, als de fom van de derde en zesde tot de vierde.
CFig. 221. Tab. XV. ) H ypothefis. AB : C : : DE : F & B G : C:: E H :F. Tihefis. AG : C : : DH : F.
D emonftratie.
Na dien nu is AB : C : : DE : F & BG : C : EH : F v: hyp.
Alternando AB : DE : : C : F & BG : EH : : C : F v: cor: 4: 5.
Ergo AB : DE : : BG : EH.
Alternando AB : BG : : DE : EH v„ cor: 4: 5*
Componendo AG : BG : : DH : EH v: 18: 5
Nu is BG : C : : EH : F v: hyp. Ergo AG : C : : DH : F v. Dat te bewyzen was.
PRO-



van Euclides, Vyfde Boek. 303
PROPOSITIE XXV. THEOREMA XXV.
Zoo vier grootheden evenredig zyn; dan zyn de grootfte en kleinfte te zaamen grooter dan de twee andere te zaamen.
Hypothefis. AB : CD : : E : F. Thefis. AB + F < CD 4- e.
Praparata.
In AB neem AG s= E, en in CD neem CH — F v: 3: r. Demonftratie.
Om dat nu AB : CD : : E : F v: hyp.
En E = AG, item F = CHisv:ber.
Daarom is AB : CD : : AG : CH
Alternando AB : AG : : CD : CH v: cor: 4: 5.
Dividendo AB : GB :: CD: HD V: 17: 5. Alternando AB: CD:: GB: HD v: cor:4:5. Om dat nu AB < CD & E < F is v: hyp: en 14: 5.
Daarom is GB < HD v: cor: 14: 5. AG = E 1 . F =:CHr:ber-
add.
Bygevolg is AB + F < CD + E v:4axDat te bewyzen was.
Einde van het Vyfde Boek.
GROND-



GROND - BEGINSELEN
DE R
MEETKUNDE
VAN
EUCLIDES,
ZESDE BOEK.
DEFINITIEN. I.
elykformïge regtlinifche figuren zyn* welkers hoeken yder byzonder aan elkander gelyk, en de zyden om de gelyke hoeken evenredig zyn.
(Fig. 223. Tab. XV.)
Indien de hoek B gelyk den hoek DCE, de hoek A gelyk den hoek D, en de hoek ACB gelyk den hoek E is, als ook AB : BC : : DC : CE, en BA : AC : : CD : DE. Item BC : CA : : CE : ED is.
Dan zyn deze driehoeken gelykformig j maar een ran die onrbreekcnde, dan zyn ze niet gelykformig.
1 I.
Wederkeerige reden wort gezegd van ylet grootheden, wanneer een van de
voor^



vaM Euclides, Zesde Boek. 303
Voorfte is tot een van de agterfte, als de andere agterfte Is tot de andere voorde. (Fig. 224. Tab. XV.) By voorbeeld de vier grootheden AB, BC, BE en BG zyn in een wederkeer ige reden. Hier van v/ort gehandeld iri de 1^. en if. Prop: dezes boeks.
■m.
Een regte linie wort gezegd in de uiterfte en middelfte reden gedeeld te zyn, wanneer de geheele linie is tot het grootfte deel, als het zeive grootfte "deel tot het kleinfte deel.
CFig. 225. Tab. XVI.) By voorb: de linie AB is in de uiterfte en middelfte reden gedeeld, wanneer AB : BC : : BC : CA is. I V.
De hoogte van een figuur, is de perpendiculair getoogen van den top ofbovenfte des figuurs tot deszelvs bafis.
CFig. 226. Tab. XVI.)
In de figuur ABC is uit den tophoek A tot op den bafis BC den perpendiculair AD getoogen, dierhalven is AD de hoogte van de figuur ABC,
^ BE.



%o6 Grond-beginselen der Meetkunde
D E
PROPOSITIEN
van HET
ZESDE BOEK
VAN
EUCLIDES.
PROPOSITIE I. THEOREMA I
Alle driehoeken , en alle parallellogram, men, die een gelyke hoogte hebben, zyn tot elkander in dezelve reden als hunne bafes.
CFig- 227. Tdb. XVI) ^Hypothefis. De A". ABC en ACD, item de
£T7n. BCAE en CDFA hebben een
gelyke hoogte. Thefis, A ABC : A ACD]
En C7BCAE.: CTDEA j>:: baf:BC:baf: CD"
•Praparata.
Laat BD wederzyds verlengd worden na believen tot in H en I v: 2 beg. En in BH neem BG en GH — BC. Op dezelve wyze neem Dl CD. En trek de regte AH, AG en AI.
De-



Van Ëucliees, Zesde Boek. 307
Demonftratie.
Nu zya HC en A AHC del gelyke vermenigvuldigdens van BC en A ABC. ! y. «g. u
Item Ct en A ACI de ge- 1 lyke vermenigvuldigdens van j BD en A ACD. J
Indien nu HC < = > Cl is.
Zoo is ook de A AHC < = > A ACI v: 38: i. en cor: 4: 5.
En derhalven is A ABC i A ACD : :
BC : CD v: Ï5- 5-
En nademaal de c~rn. het dubbeld zyn
de Ln. v: 34: 1.
Zoo zyn ook de £y BCAE : co CDFA : : BC : CD v: 15: 5-
Dat te bewyzen was.
Schalium*
Hierom hebben ook de driehoeken ABC en DEF, en de parallellogrammen AGBC en HDEF, wiens bafes BC gelyk EF is, reden tot elkander als haare hoogtens Al en DK.
CFig. 228. Tab. XVlO. Want om dat co GI : co GC : i rj HK : co HE v: 1: 5-
Daarom is A ABC : A DEF : : co GC : £9 HE :: coGl: en HK: : AI:DK v: 34: 1. en 15: 5« fra I: öDienvolgens is A ABC : A DEF ï : V 3 AI



3oS. Grond-beginselen der Meetkunde
AI : DK : : ca AGBC : cd HDEF v.\ ii: 5*
Corottarhim.
Alle vierzydige figuren NOPQ.(Fig. 229 Tab. XVI.) worden door de twee diagonalen NP en OQ. gedeeld in vier proportionale driehoeken, dat is A NOP : A QOP : : A PQN : A OQN.
PROPOSITIE II. THEOREMA II.
Als in een driehoek een linie parallel met een der zyden getoogen wort; deze> zal de twee andere zyden proportionaal deelen.
En als die zyden proportionaal gedeeld worden; dan is die regte linie parallel met de derde zyde.
(Fig. 230. Tab. XVI.) ie. Hypothefis. In den A ABC is DE parallel met BC
Thefis. AD : DB : : AE : EC. 2,e.Hypothefis. In den A ABCisAD:DB :: AE.-EC
Thefis. DE parallel met BC. Praparata.
Laat getoogen zyn de regte BE en DC v: 1 beg.
Demonftratie op het eer/ie.
Nu ftaan de An. DEB en EDC op eene bafis DE en tuffchen twee parallelle linien DE en BC v: hyp: en ber.
En
■



van Euclides, Zesde Boek. 309
En daarom is de A DEB = den A EDC v: 37 1.
En om dat de An. CAD en CBD een ge? lyke hoogte hebben.
Gelyk ook de 42. DAE en DCE.
Daarom is ook AD : DB : : DAE : A DEB : : A DAE : A EDC : : AE ' EC v: 1: 6: & 7; 5.
Ergo is AD : DB : : AE : EC v^ 11: 5-
Dat te bewyzen was. Demonfiratie op het tweede.
Om dat nu de An CAD en CBD als mede de An. DAE en DCE een gelyke hoogte hebben.
Daarom is A DAE : A DEB : : AD : DB : : AE : EB : : A DAE : A EDC v: 1: 6 en 2 hyp.
Endus isADAE: A DEB : : A DAE : A EDC v; n 5-
En daarom ook A DEB — A EDC
v: 9 5-
Om dat nu ook die 2 gelyke An. op eene bafis DE ftaan. Daarom is ook DE parallel met BC v:
39: i-
Dat te bewyzen was.
Corallaria.
i«. De perpendiculair AH , vallende uit A, een hoek van den driehoek ABC, «p V % de



gio Grond-bsginseeen der Meetkunde
de zyde BC. is door den parallel DE mede in dezelve reden gefneeden, dat is AD : DH : : AI : 1H : : AE : EC. CFig. 780- Tab. XVI.) 2e. Wanneer in een paratettogram ABCG gen linie DF parallel AG of BC getoogen wort, dezelve DF deelt de twee andere zyden AB en GC als mede den perpendiculair AH en de diagonalen CB en AC proportionaal.
CFig. 231. Tab. XVI.)
Vat is AD : DB : : GF : FC : : AI : 1H : : AE : EC : : GK : : KB.
Want AD : DB : : AI : IH : AE : : EC : : GF : FC : GK : KB v: 2: 6,
Vat het zelvde is.
3e. Wmneer er meer zoodanige parallelle lynen getoogen worden, zoo zullen alle de deelen dezer zyden door dezelve proportionaal gedeeld zyn. Als ligt te bevatten is
PROPOSITIE III, THEOREMA III.
Zoo in een driehoek een der hoeken gedeeld wort in twee gelyke deelen door een regte linie; deze linie den bafis doorfnydende, zal denzelve deelen in zulke reden , als de andere zyden tot elkander hebben.
Ea



van Euclides, Zesde Boek, 311
En zoo dezelve deelen der bafis tot elkander in reden zya, als de andere zyden des driehoeks; dan zal de tophoek, over den bafis ftaande, door die regte linie in tweën gelyk gedeeld zyn.
(Fig,- 232. Tab..XVI.) ie. Hypothefis, In den A ABC is de V fiAC in tweën gelyk gedeeld door de' regte AD.
Thefis. . En dan isBD : DC : : AB : AC. 2e. Hypothefis. Als in denzelve is BD : DC : : AB : AC.
Dan deelt de regte AD den V BAC in tweën gelyk.
Praparata.
Verleng BA tot in E zoo dat AE = AC is v: 2 beg: en 3: 1.
En trek de regte EC v; 1 beg: Demonjlratie op het eerfte.
AE — AC zynde, zoo is de A ACE gelykbeenig v; ber: en 25 def: 1.
En daarom is de V ACE =q V CEA v: 5: 1.
Item de uitwendige V CAB — y ACE + V CEA — 2 yn. ACE v: 32: 1.
Nu is de helft van V CAB = V CAD v: hyp.
Ergo de V CAD = V ACE v: 3 ax Nu valt de regte linie AC op de 2
regte linien AD en EC v: k: b: En de verwisfelde hoeken CAD cn
ACE zyn gelyk v: b: b;
V 4 De



3i2 Grond-beginselen der Meetkunde
Derhalven is AD -parallel met EC v; 27: i,
In den A BEC is dus BD : DC : : EA : AE v: & Si
Maar AB is —- AE v: ber:
Ergo is BD :. DC : : BA : AC v:
7: 5-
Dar te bewyzen was. JJtuionjtratie op het tweede. . Nu U BD : DC : : BA : AC v: hyp:
Derhalven is AD parallel met EC v; 2: 6.
En daarom is ook de uitwend; V DAB r— den inwend: V E v: 29: 1.
AE nu gelyk AC zynde, zoo is de AACE gelykbeenig v: ber: en 25: def: if
En dus de w E — y ACE v: 5: 1.
En by gevolg is de V DAB — VACE v: 1 ax.
Maar de verwi'.felde hoeken ACE en CAD zyn mede gelyk v: 29: r.
Ergo is ook de V DAB = CAD y: 1 ax.
Dat te bev/yzen was.
PROPOSITIE IV. THEOREMA IV.
In alle gelykhoekige driehoeken zyn de zyden om de gelyke hoeken proportionaal: en zyden, die over gelyke hoeken



van Euclides , Zesde Boek. 313
ken ftaan, die zyn in een zelve reden.
(Fig. 233. Tab. XVIO Hypothefis. De Ap- ABC en DCE zyn gelykhoekig.
Naamentlyk de V * = V DCE, de V ACB — V E, en de V BAC == V CDE. Thefis. ie. AB : BC : : DC : CE.
2». AB : DC : : AC : DE ; :BC : CE.
Prapctrata.
Stel beide de a°. zoodanig aan elkander, dat de zyde BC van den eene A met de zyde CE van den andere A in een regte lyn BE koomen.
En verleng BA en ED, tot dat ze zaamen koomen in F v: 2 beg. Dt monjlratie.
Om dat na is de inwend: VI B r~ den uitwend: y DCE «'
En de inwend: V E — den j V: yp: uitwend: V ACB. J
Daarom is BF parallel met CD 1
En CAuarallelmetEF.j>V: 28: u
In den A EFB is derhalven AB : AF : : BC : CE : : FD : DE v: 2: 6.
Maar AF — DC, en FD = AC v:
Dienvolgens is AB : DC : : BC : CE : : AC : DE v: 9: 5.
En bygevolg ook AB : BC : : DC:CS v; 16: 5.
V 5 Dat



Grond-beginselen der Meetkunds
Dat te bewyzen was. Scholia.
ie. Hier uit blykt, indien men in een driehoek FBE een regte lyn AC parallel met een der zyden EF trekt; dan is de driehoek ABC gelykformig met den geheele driehoek FBE.
(Fig: 233. Tab. XVI.) 2e. Indien uit eenig punt D eener regte linie AC in den cirkel ABCE epn perpendiculair DB opgeregt wort, en befchreêven den driehoek ABC; dan is de diameter BE tot een der zyden BC deszelvs-driehoeks ABC, als de andere zyde AB tot den perpendiculair DB.
CFig. 234. Tab. XVI.) W'ant laat getoogen zyn de regte AE. Zoo blykt het dat de An. ABE en DBC gelykhoekig zyn.
Omdat de V EAB == V BDC 17:31:3. Be v AEB = V DCB ^.-27:3'
En de y ABE — V DBC v: 2 cor; %2\ 1.
Derhalven is BE : BC j : 3A : DB v: 4: 6",
PROPOSITIE V. THEOREMA V,
Zoo van twee driehoeken de zyden ge-; propertioneerd zynj dan zyn mede de
hoe*



van Etjceides, Zesde Boek. 315
hoeken, over welke de zyden van eene reden zyn, malkander gelyk.
CFig. 235. Tab. XVI.) Hypothefis. ïn de An, ABC en DEF is AB : BC : : DE : EF,
En AC : CB : : DF : FE.
Ook AB : AC : : DE : EF. Thefis, De VC ex de V DFE, ook de VB
== de V DEF. Praparata.
Op de zyde EF maakt de V FEG — de v B> en de V EFG ^ de v C v: 23: h
Dan ïs de v G = den V A v: 2 cor: 32: 1.
Demonftratie. Nu is GE : EF : : AB1
: BC : : DE : EF I
GF : EF : : AC : BC:: \ V: 4:6*en hW-
DF : EF. J Waarom GE : EF : : DE : EF^ En GF : EF .- : DF: EF. j vm$' In de An. GEF en DEF is dus
GS DEI
GF == DF kv: 9: 5. EF = EF. j '
Dienvolgens is de V DFE"Ï = de V GFE — de v C.
De V DEF — de VGEF ' n = de y B. 5-v: 8.1. hyp.
De V D - de V G — | de y A. j
Ergo



$i6 Grond-beginselen der Meetkunde
Ergo is de V DFE = V C, de V DEF = V B, en de V D = V A v: i ax.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE VI. THEOREMA VI.
Zoo twee driehoeken elk een hoek gelyk hebben, en de zyden om dezelve geproportioneerd ; dan zullen mede zulke driehoeken gelyhoekig zyn, waar van deze hoeken gelyk zyn, over welke de zyden in gelyke reden zyn.
(Fig. 236. Tab. XVI.) Hypothefis. In de An. ABC en DEF is de V A = V D en AB : BC : . DF: EF, Thefis. De VC =z VDFE en de VB 3= VDEF. ' Proparata.
K Op de zyde EF maak den V FEG — VB en de VEFG = VC v: 23: 1.
Dan is de V G = den VA v. 2 cor: 32: r.
En dan zullen de An, ABG en DEF
gelykhoekig zyn v: 2 cor: 32: 1.
T7 a ■ a ^ T7T7 rAB:BCv:hyp. En daarom dan DE :EF::< \.
l,AB: BGv: 4:6.
Dien volgens is BG — BC v: 9: 5.
En de a BGC gelykbeenig v: 25: def. ï.
„ . rdeVBGCv:5:i.
Endusookde VC=< .-fJf~.A , a l<ie VBGAv: 'tg.-lr.
Maar zulks is onmogelyk', om dat BGC
een



van Euclides, Zesde Boek.' 317
een driehoek is, waar van een zyde verlengd zynde, de uitwend: hoek BGA grooter moet zyn dan een van de tegen overftaande inwend: Vn. C of GBC v: 16: 1
Derhalven de V C niet gelyk zynde aan de V BGA, zoo is de A ABF niet gelykhoekig met de A DEF.
Maar de An. ABC en DEF zyn gelykhoekig.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE VII. THEOREMA. VII.
Zoo twee driehoeken elk een hoek gelyk hebb'en, cn de zyden om den anderen hoek geproportioneerd, het zy nu dat de overige hoeken beide elk kleinder of grooter als regt zyn ; zoo zyn die driehoeken gelykhoekig, waar van deze gelyk zyn, om welke de ?yden geproportioneerd zyn.
(Fig. 236, Tab. XVI.) Hypothefis. In de An. ABC en DEF is de V A == V D en AB : BC : : DE: EF Item de V C beide fcherp of plomp. Thefis. De V B = V E en de V c = V F> Praparata.
Uit den VB haal op de zyde AC na gevallen de regte BG v: L beg. Demonftratie,
Indien de a„. ABC en DEF niet gelykhoekig zyn.
Zoo



3i 3 Grond-êeginselen der Meetkunde
Zoo zal de V ABC niet gelyk aan den y E zyn v: k: b.
Laat dan zyn de V ABG — den V E.
En dan zullen de A". ABG en DEF gelykhoekig zyn v: 2 cor: 32: 1.
En daarom dan DE: EF:: j"^' ^F^'h^ \_Ao : o kj v-4'.o^
Dien volgens is BG — B C v: 9: 5.
En de A BGC gelykbeenig v: 25 def: 1.
^ ^ 1 j ^ fdeVBGCv: 5: r, Endusookdeyc= ; , -„„ ,
Lde V BGA v: geft:
Maar zulks is onmogelyk, om dat BGC een driehoek is, waar van de een zyde verlengd zynde, de uitwend: VBGA grooter moet zyn dan een van de tegen overftaande inwend: V". C of BGC, v: 16:1 .
Derhalven de V C niet gelyk zynde aan den VBGA, zoo is de A ABG niet gelykformig met den A DEF.
Maar de An. ABC en DEF zyn gelykhoekig.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE VIII. THEOREMA VIIK
Zoo in een regthoekigen driehoek uit den regten hoek tot den bafis getoogen wort een perpendiculaar; dan zyn de driehoeken aan beide zyden van dien perpendiculaar elkander, en mede yder by-
zoja*



van Euclides, Zesde Boek. 319
zonder aan den geheelen driehoek gelykformig.
(Fig. 237. Tab. XVI.) Hypothefis. De A ABC regt ia A , en AD perp. op BC.
Thefis. De An. ABC, ADB en ADC zyn gelyk„
formig. Demonjlratie.
Nu is in de An. ABD en ABG
de VADB = VBAC v: 10 def: i, de VB —VB
En daarom de VBAD = VCv:2 cör: 32:1.
Ook is in de An. ACD en ABC
de VADC=: VBAC v: 10 def: 1. deVC —VC
En daarom de V DAC=VB. v.-2cor.'32:i
Ergo zyn de An. ABD en ACD gelykformig de A ABC v: 1 def: 6: en 4: 6.
En daarom de A ABD ook gelykformig den A ACD v: k: b.
Dat te bewyzen wasCoroltarium.
Hier uit is openbaar,
Dat BD : AD : : AD : DC is.
En dus AD midden evenredig tusfchen BD en DC.
Item dat BC : AC : : AC : DC.
En dus AC midden evenredig tusfchen BC en DC.
En dat BC ; BA : : BA : BD.
En dus BA midden evenredig tusfchen BC en BD.
PRO-



3 ao Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE IX. PROBLEMA L
Vaa een gegeeve regte linie een be-, geerd deel af te fnyden.
CFig. 238- Tab. XVI.) »t gegevene is de relte linie AB. 't begeerde is 't punt G te vinden, zoo dat
AG s£ het begeerd deel van AB is. Conftruclie.
Genoomen, dat men een derde deel van AB begeerde af te fnyden.
ie. Voeg aan AB met een hoek na believen een oneindige linie AC.
2e. Neem in dezelve 3 gelyke deelen na gevallen als AD, DE en EF.
(Namentlyk zoo veele gelyke deelen s als de naam van 't begeerde deel mede brengt.)
3e. Dan trek de regte FB v: 1 beg. 4c En eindelyk- ook de regte DG parallel aanFB v: 31: x. Dan zal AG het begeerde derde deel
zyn.
Demonftratie.
Om dat AFB een A is, waar in DG parallel FB is v: conft.
Daarom is AG : AB :: AD : AF v: 4: 6.
Maar AD is gelyk f van AF v: conft;
En daarom ook AG gelyk \ van AB v: 6 def: 5.
Dat te bewyzen was. !



van Euclides, Zesde Boek. 32Ü
Vorollarium.
Uit dit problema is het openbaar, op wat wyze men zal handelen, wanneer men van AB, éttelyke gelyke deelen zouden moeten ajfnyden. by voobeeld drie agtjle deelen: want als dan heeft men in AC maar te neemen agt gelyke deelen na gevallen, en uit het derde deel te haaien een linie parallel aan FB , zoo als ligt te verf aan is.
PROPOSITIE X. PROBLEMA Hi
Een gegeeve ongedeelde regte linie te deeien gelykformig aan een andere gedeelde regte linie.
(Fig. 239. Tab. XVI.) 'tgegeevene is de linien AB en AC, én de punten DenE.
't begeerde is de punten F en G te vindern Zoo dat AF : FG : : AD : DE En FG : GB : : DE : EC is. Conftruttie.
ie. Voeg de linien AB en AC te zaamen met een hoek BAC na believen.
2e. En trek de regte BC v: 1 ax.
g«. Laat ook getoogen zyn de regté DF en EG beide parallel aan BC v: 31: 1.
Deze fnyden AB in G ën F na begeeren,
P rap ar at a.
Uit D trek DH parellel aan AB v: pi U X Das



gü2 Grond-beginselen der Meetkunde
Dan zyn FI en GH parallellogrammen v: cor: 33: 1., Demonftratie.
ia den L ABC nu zyn DF, EG en CB aan elkander parallel v: conft-
En daarom is AF : FG : : AD : DE : : GB : EC v: 2: 6 en cor: 2: 6.
In den A DHC is ook EI parallel aan CH v: conft.
En daarom is Dl: IH : : DE : EC v: 2: 6.
Maar om dat Fl en GH parallellogrammen zyn v: ber.
Daarom is Dl = FG en IH =GB
En derhalven is AF : FG : : AD: DE v: b: b.
En FG : GB : : DE : DC v: n: 5. Dat te bewyzen was. Scbolium.
Hier uit teer en wy een gegeeve regte linie deelen in zoo veel gelyke deelen als 'men wik (Fig. 240. Tab. XVI. )
Genoomen, dat de linie AB moe ft bedeeld worden in 6 gelyke deelen.
Voeg aan AB met een V BAP na belle' ven de oneindige AP.
En uitB trek de oneindige BQ_, dog parallel aan AP v: 31: 1.
Neem dan in AP en BQ_ even veel gelyke deelen ( namentlyk in elk een deel minder dan de begeerde deelen van AB) als AG,
GH



van Ë'jci.toes, Zesde Boek. 323
GH,KI,IK,E-P fnBL,LM, MN,NO,OQ.
En trek de regte QG, OH,NI, HKen LP.
Deze fnyden de gegeeve linie A3 in de punten C, D, E, F en' R na begeeren. ■'
Want om dat Qp, ON, NM \ ML, en LB gr/yé parall: zyn aan AG, GH, Hl, IK en KP u: cern/h
Daarom zyn OG, NH, MI, «2 LK 0/2cfcr malkander gelyk V: 33: 1.
£ri rfwy/ AG, GH, Hl, IK, KP, BL, LM, MN, NO en OQ. onder malkander gelyk zyn v: conft.
Daarom zyn ook AG, CD, DE, EF, FR en RB onder malkander gelyk ■<&; 10: 6.
En dus is AB in 6 gelyke deelen gedeeld v: 0 ax.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XI. PROBLEMA ïft.
Tot twee gegeeve regte linien een der-, de evenredige te vinden.
(Fig: 241. Tab. XVÜ.) 'f gegeevene is de regte linien a8 en AD. *tBegeerde is de regte DE te vinden.
Zoo dat AB : AD : : AD : DE is. GonflruCUe.
ie. Voeg AB en AD met een yBAD na believen aan elkander. 2e. En trek de regte BD v: beg.
X 2 3*



324 Grond-beginselen ber Meetkunde
3e. Dan verleng AB tot in C Zoo dat BC — AD is v: 2: 1. 4e. En trek CE parallel aan BD v: 31: 1. Deze ontmoet de verlengde AD in E. En dan is DE de begeerde derde evenredige.Demonjlratie.
In den A ACE nu is BD parallel aan CE v: conft.
En daarom is AB : BC : : AD ; DE y: 2: 6. Maar BC is = AD v: conft, Derhalven is AB : AD : : AD ; DE v: 7- 5-
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XII. PROBLEMA IV.
Tot drie gegeeve regte linien een vierde evenredige te vinden.
(Fig. 242. Tab. XVII.) 'tgegeeve is de 3 regte linien A, B en C, 'tbegeerde is de regte GH te vinden, Zoo dat A : B : : C ; GH is.
Conftruclie.
ie. Trek twee verknogte linien DF en DH met een VD na believen.
2e. En neem in de zelve DE = A en EF = B en DG == C v: 2: 1.
3e. Trek nu de regte EG als ook FH parallel EG v: 31: i«
Dan



van Euclides, Sesde Boek. 325
Dan is GH de begeerde vierde evenredige.
Demonftratie.
In den A DFH nu is EG parallel aan FH v: conft.
En daarom is DE : EF : : DG : GH v: 2: 6.
Maar DE — A, EF — B en DG =3 C zynde v: conft.
Zoo is ook A : B : : C : GH v: 7: 5. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XIII. PROBLEMA V.
Tufïchen twee regte linien een middem evenredige te vinden.
(Fig. 243. Tab. XVII.) 't gegeevene is de regte linien AE en EB. 't begeerde is EF te vinden .
Zoo dat AE : EF : ; EF : EB is. Conjïruclie.
ie. Voeg AE en EB in een regte linie AB aan den andere.
2«. Op dezelve AB befchryf een halve cirkel AFB v: 3 beg.
3e. En eindelyk uit E ftel EF perpend: op AB v: 11: 1.
Stootende de circumf: in F
En dan is EF de begeerde linie.
x 3 Dt



ga6 Grond-beginselen der Meetkunde
Demonf ratte.
De V AFB, ftaande in een halven cirkel, is regt, v: 31: 3.
En daarom is de £ AFB regthoekig v: 27: def: 1.
En om dat uit dien regten V F tot de zyde AB getoogen is de perpend: FE v: conft.
Daarom zyn de a.n. FEA en FEB gelykhoekig v: 8-' 6.
En dus is AE : EF : : EF : EB v: cor: 8: 6.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Hier uit volgt, dat, zoo een regte linie uit eenig punt in den diameter eens cirkels perpendiezdair opgeregd wort tot acn den circumferentie, dezelve is midden evenredig tuffchen de twee deelen des diameters. Scholium.
Door deze propoftie kan men zeer gemc.kkelyk vinden een derde evenredig tot twee gegeeve regte Unien, onderfebeiden van de wyze, welke in dc elfde dezes aangetoond is.
Laat de gegeeve linien zyn AE en EF.
Men moet vindin EB, zoodanig dat AE : EF : : EF : EB is. Conftruclie.
Uit E het einde van de linie AE fel perpend: de linie EF v: 11: 1.
JEn haal de regte AF v: n beg.
Uit



van Euclides, Zesde Boek. 327
Uit F flel perpend: op AF de oneindige FB v: 11: 1.
Verleng vervolgens de gegeeve regte linie AE, zoo lange tot dat die de oneindige FB fneyt in het punt B v; 2 beg.
Ik zegge dat EB de begeerde derde evenredige is. Demonftratie.
Om dat nu de £ AFB regthoekig , en FE perpend: op AB is v: conft.
Daarom zyn de A". FEA en FEB gelykformig v: 8: 6.
Bygevolg is AE: EF:: EF: FB v: cor: 8: 6. Dat te bewyzen was. Corollarium.
Men ziet dan hier uit, dat in alle regt' hoekige driehoeken, de perpendiculair EF, koomende uit den regten V F op den hypothenufa AB, midden evenredig is tusfchen de deelen van den hypothemfa AE en EB.
• En hier uit kunnen wy wederom afleiden dit volgende. Confeclarium.
Van een regthoekige driehoek bekend gegeeven zynde den perpendiculair vallende uit den regten hoek op den hypothenufa (welke ' den hypothenufa deelt in Puree gelyke of ongelyke deelen) als mede een dier deelen van den hypothenufa.
Of wanneer in dezelve bekend gegeeven is een der regthoeks zyde, en een der voorz: X 4 dee-



g28 Grond-beginselen der Meetkunde
' deelen tusfchen die regtbqeks zyde en de gezegde perpendiculair, als' dan kan men atle de andere paaien van den driehoek vinden.
Want in het eerfte geval bekend gegeeven zynde van den regthoeken A AFB den perpend: FE en het deel EB of AE. Dan is EB : EF : : EF : AE1 Of AE : EF : : EF : EBJ V' I3En derhalven AE of EB bekend zynde, kan AF en BF mede gevonden worden^ door de 47: 1.
In het tiveede gevat bekend gegeeven zynde de regthoeks 'Jyde FB of FA, en een derdeden EB of EA. Dan is FB*. = EB?. + EF* 1 _ O/ FA*. — EA?. + EF?. J ' f'" Derhalven wort EF bekend. Nu is. EB : EF : : EF : EA] O/ EA : EF : : EF : EB J 5 * j£?2 dus kan dan FA FB mede gevonden worden door de 47: 1.
PROPOSITIE XIV. THEOREMA IX,
Van de gelyke parallellogrammen, die elk een hoek gelyk hebben, zyn de zyden om dezelve in een wederkeerige reden
En de parallellogrammen, die een gelyke hoek hebben , de zyden om dezelve in een wederkeerige reden, die zyn gelyk.
Fig^



van Euclides, Zesde Boek. 329
CFig. 244. Tab. XVII.)
1*. Hypothefis O AC = O BF en V ABC
= V EBG. Thefis AB : BG : : EB : BC. 2e. Hypothefis In de CDn. AC en BF is V ABC = V ABG en AB : BG : : EB : BC. Thefis. CD AC ~ CD BF. Praparata.
Stel de cd11. AC en BF zoodanig aan een, dat de zyde AB en BG, om de gelyke hoeken ABC en EBG. in een regte linie AG zyn.
En verleng DC en FG tot dat ze zaamen koomen in H v. 2: beg.
Dan is EC mede een regte linie v: 1 fchol: 15: 1.
Demonftratie op de eerfte thefts.
Om dat nu 't cd AC met 't cd BH, als mede 't cd EG met 't cd BH yder byzonder een gelyke hoogte heeft.
Daarom is AB : BG : : ld"\ AC : cd BH ! ,
En EB : BC : : cd fV' h
EG : cd BH J
Ergo is AB : BG : : EB BC v: li: 5.
Dat te bewyzen was.
Demonftratie op de tweede thefts.
Alhier heeft ook cd AC met cd BH item cd EG met cd BH een gelyke hoogte.
X 5 Daar-



g3o Grondbeginselen der Meetkunde
Daarom is cd AB : cd BH : : AB • EG v: i: 6".
En AB : BG : : EB : BC v: hyp.
Nu is ook EB : BC : : cd EG : cd BA v: i: 6.
Dien volgens is cd AC : cd BH : : cd EC : cd BH v: n: 5-
En nademaal van deze laafte 4 evenredige de 2e. ■=. de 4e. is: ' Zoo is ook de ie. = de 3e. dat is cd A.C = cd EG v. 14: 5.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XV. THEOREMA X.
In de gelyke driehoeken met eene gelyke hoek, zyn de zyden om dezelve in een wederkeerige reden.
En de driehoeken, welke eene gelyke hoek hebben, en de zyde om dezelve in een wederkerige reden zyn, die zyn gelyk.
(Fig. 245. Tab. XVII.) ie. Hypothefis A ABC — A DBE en V ABC
— V DBE. Thefis. AB : BE : : DB : BC. j
2e. Hypothefis In de A ABC en DEE is V ABC
— V D3E en AB : BE : : DB : BC, Thefis. A ABC — A DBE.
Prafarata.
Voeg An. ABC en DBE zoodanig aan
el-



van Euclides, Zesde Boek. 331
elkander, dat de zyden CB en DB, om de gelyke hoeken ftaande, in een regte linie CBD komen,
Dan zal ook om de gelykheid dier hoeken , de regte ABE mede een regte linie zyn v: 1 fch: 15: 1. Demonftratie op de eerfte thefis.
Om dat nu de A ABC met den A BCE. Item de A DBE met den A BCE yder byzonder een gelyke hoogte heeft.
Daarom is AB : BE :: A ABC") : A BCE.
En DB :BC : : A DEB j I: 6'
: A BCE. j
Ergo is AB ; BE : : DB : BC v:il:5. Demonftratie op de tweede thefis.
Alhier heeft ook de A ABC met den A BCE , item de A DBE met den A BCE yder byzonder een gelyke hoogte. .
Daarom is de A ABC : A BCC : : AB : BE v: s: 6.
En AB : BE : : DB : BC v: hyp.
Nu is ook DB : BC :: A DBE j A BCE v: 1: 6.
By gevolg is A ABC 2 A BCE : : A DBE : A BCE v: n: 6.
En nadien hier ook van deze laatfie vier evenredige de 2. de 4e is.
Zoo is ook de ie. — de 3e. dat is A ABC eg A DBE v: 14: 5.
Dat te bewyzen was. PRO-



332 Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE XVI. THEOREMA XL
Zoo vier regte linien evenredig zyn; dan is de regthoek, begreepen van de twee middelftens, gelyk den regthoek begreepen van de twee buitenftens.
En zoo de regthoek begreepen van de twee middelftens gelyk is aan den regthoek, begreepen van de twee buitenftens; dan zyn de vier regte linien evenredig.
C Fig. 246. Tab. XVII.) ie. Hypothefis. AB : FG : : EF : BC.
Thefis. □ EF, FG =; □ AB , BC. 2e„ Hypothefis. □ EF, FG — □ AB, BC.
Thefis, AB : FG : : EF : BC. Praparata.
Van de 2 middelfte lynen FG en EF maakt den □ EG.
Van de 2 buitenfte linien AB en BC maakt den □ DB. Demonjlratie op de eerjle Thefis.
Dewyl nu alle de hoeken van beide de regthoeken regt zyn. Daarom is de VB — den VF v: 12 ax. Om dat nu AB : FG : : EF : BC is v: hyp.
Dat is te zeggen, dat de zyden om de gelyken Vn. B en F in een wederkeerige reden zyn.
Daar-



van Euclides, Zesde Boek 333
Daarom is de □ EF, FG =35 O AB BC v: 14 6. '
Dat te bewyzen was. Demonjlratie op de tweede Thefts.
zynm nU bdde d£ Q"' reSthoekJg
Daarom Eis de VB = de VFv:i2aX. Ook is de □ AB, BE - de a EF *G v: 2 hyp.
% gevolg heeft men hier 2 gelyke parallellogrammen, die elk een hoek gelyk hebben en over zulks Zyn de zyden om
t!n^°tn k Wed«e
Dat is AB : FG : : EF : BC.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Hier door kan men ligtelyk op een gegeeve hme een regthoek befchryven gelyk aan een gegeeve regthoek. * 3
^nt laat AB de gegeeve linie zyn, en MÜH de gegeeve regthoek.
Men maakt AB ; EF : ; GH • BC v
PROPOSITIE XVII. THEOREMA XII. Zoo drie *egte linien evenredig zvn -
fn Ve «Kthoefc, begreepen L^e' tweebul£enftenSjgeIykaanPet ƒ
befchreêven op de middeifle.
En



gg4 Grönd-èegïnselen dér Meetkunde
En zoo de regthoek, begreepen van de twee buitenftens, gelyk is aan het quadraat befchreêven op de middeifle; dan zyn de drie regte linien evenredig.
(Fig. 247. Tab. XVII.) Ie. Hypothefis. AB : EF : : EF : BC.
Thefis. □ AB, BC ±r: □ EF. ae. Hypothefis. □ AB, BC = □ EF.
Thefis. AB : EF : : EF : BC. Praparata.
Neem FG == FE v: 2: 1. en maakt van de 2 gegeeve linien AB en BC den regt' hoek ABCD, als meede van de 2 linien EF en FG den regthoek EFGH v: 46: 1.
Demonjlratie op de eerfle Thefis.
Om dat AB : EF : : FG : BC is v:
7- 5-
Daarom is □ AB,BC = □ EF,FG v: 16: 6.
Maar om dat EF — FG is v: ber.
Daarom is □ EF , FG — □ EF
En by gevolg is □ AB,BC — □ EF v: 1 ax.
Dat te bewyzen was. Demonjlratie op de tweede Thefis.
Om dat nu de □ AB,BC = □ EF is V: hyp: en EF — FG v: ber.
Daarom is de □ AB,BC = □ EF,FG
By gevolg is AB ; EF : : FG : BC v: 16: 6.
Maar



van Euclides , Zesde Boek. 335
Maar EF = FG v: ber. Daarom is AB : EF : • EF • BC v 7- 5-
Dat te bewyzen was. Corollaria.
m Hier door kan men ligtelyk op een gegeeve linie een regthoek befchryven, die getyk is aan gegeeve quadraat.
2?. Hieruit volgt ook, dat zoo van drie Itmén of grootheden A, B en C het gemultipliceerde van A en B gelyk is aan het quadraat van C, dat is A X B = C* dat dan is A : C : ; C ; B Schólia. ' .
ie. Bet Pythagorifche voorfel kan door deze i7e. prm des ^ m dg ^ ^ ^ ^
zeer gemakkelyk gedemon/lreerd worden al' dus.
CFig. 248. Tab. XVII.) Jrraparata.
Op den Hypothenufa AB van den driehoek ABC befchryf het quadraat AB v 46: 1 En uit C trek CG parallel aan BE of AF v: fï: #. Demonjlratie.
Om dat nu ABC een regthoekige a is en uit den regten hoek C tot den ba fis AB getoogen is den perpend: AD v: >t ber Daarom zyn de ■ n. CAD rnr\ Zf malk™der gelykformig v 8- 6 En bygevolg zyn derzelver hoeken 'gtlyk,
en



336" Grond-beginselen der Meetkunde
en de zyden om de gelyke hoeken evenredig v: i def: 6.
En dus AB : AC : : AC : AD. Item AB : BC : : BC : BD. En daarom is □ AB, AD ="1 □ AC. \v:i7\6. En □ AB, BD = □ BC. j En derhatvenüJ AB,AD 4- □ AB,BD dat is O AB = □ AC + □ BC v: z ax. Dat beweezen moeft worden2e. Hier uit volgt ook het voortreftetyk vertoog van Ptolomaus.
Fan een vierhoek in een cirkel befchreêven, zyn de regthoeken van de tegen over* ftaande zyden te zaamen gelyk aan den revthoek der diagonalen.
(Fig. 249- Tab. XVII.) Laat ABCD den vierhoek zyn, befckree* ven in den cirkel.
Wy moeten bewyzen dat de O AB, CD + nAD,CB=□ BD, AC is. Praparata.
Laat getoogen zyn de regte AF, zoo dat de V BAF == V CAD is v: 23: 1. of 27: 3.
Demonftratie.
De A". ABF en ACD zyn gelykhoekig; want V BAF — V CAD v: ber.
V ABF = V ACD v. 20: 3.
V AFB == V ADC v: 2 cor: 32: i.
De A». ABC en ADF zyn gelykhoekig: - want



van Euclides Zesde Boek; 537
want V BAC — V DAP é ber: en 2 ax.
V ACB — v ADF v: 20: 3.
V ABC = v AFD v: 2 cor: 32: 1. By gevolg dezelve gelykhoekig zynde, zyn
de zyden om de gelyke hoeken in proportie
dat is AB : BF : : AC : CD1
En AD : DF : : AC : BC. j*^ ^ 6' En daarom is □ AB * CD ="1
□ BF,AC. ^
En □ AD, BC = □ DF,AC j
Deze gelyke grootheden by den andere ver* gaderd.
Komt □ AB,CD 'f □ AD,BC ±i
□ BD,AC v: 2 ax: en 1: Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XVIII. PROBLEMA VI.
Op een gegeeve regte linie een regtlinifche figuur te befchryven, gelykformig en al eens gefteld een gegeeve regtlini« fche figuur.
(Fig. 250. Tab. Xvn. 3
't gegeevene is de regte linie AB eri de fifniur CEFD. s
't begeerde is de fig: AGHB te maaken gelvkfoxmig de fig: CEF'D. B«y«or.
Conjlruélie. ie. Deel de gegeeve figuur in drie ia*
Ken door de regte CF.
Y m



338 Grond-beginselen der Meetkunde
s?. En maak den V ABH — V CDF,< item den V BAH 5= V DCF.
3e. En den V AHG = V CFE, item den V HAG — V FCE. alles v: 21: ï.
4e, En alle de linien getoogen hebbende, zoo is V AHB c== v CFD, en AGH = CEF v: 2 cor: 32: r.
En AGHB is de begeerde figuur. Demonftratie.
Uit de Confiruclie is het genoeg openbaar, dat de A AHB gelykhoekig met den A CFD.
De A AHG gelykhoekig met den A CFE.
En de fig: AGHB gelykhoekig met de fig: CEFD is.
En daarom zyn de zyden om de gely» ke hoeken evenredig v: 4: 6.
Dat 5s GA : EC:: AH : CF :: AB : CD.
En BH : DF : : AH : CF::HG :FE.
Alternando krygt men
GA:AB::EC:CD1
En BH:HG::DF:FE.J D
Ooki HG: GA:: FE: EC "1
En AB:BH::CD:DF.j ' 4- '
By gevolg zyn de figuren AGHB en CEFD gelykformig v: 1 def: 6.
Dat te bewyzen was.
Corollarium.
Hier uit is openbaar, dat in alk gelykforimige figuren de zyden over de gelyke
hoe-



van Euclides, Zesde Boek. 339
hoeken van een zelve reden zyn.
Namentlyk AB : CD ; : BH • DF • HG : FE 5 i GA : EC.
PROPOSITIE XIX. THEOREMA XIII.
Alle gelykformige driehoeken zyn. tot elkander in de dubbelde reden haaref zyden, die in gelyke reden zyn.
CFig. 251. Tab. XVII.) •Hypothefis. De A ABC en DEF zyn gelykhoe.
kig.
En de V BAC = y EDF zynde g zyn BC en EF in gelyke reden. ■ Thefis. A. ABC : A DEF : : 2 y. BC !; 2 v. EF. Fraparata.
Zoek tot BC en EF een derde evenredige BG v: 11: 6.
En trek de regte AG v: 1 beg. Demonftratie.
Om dat nu de An. ABC en DEF gelykformig zyn v: conft.
Daarom is AB : DE : : BC : EF V; 1 def: 6.
Nu is ook BC 2 EF : : EF : BGv: ber.
Derhalven is AB : DE : : EF • BGv 11: 5.
Nu is ook de VB = den VE v: hyp. By gevolg hebben de An. ABG en een Selyke hoek, en derzelverzyY a dea



340 Grond-beginselen der Meetkunde
den om die gelyke hoeken zyn in een wederkeerige reden.
En dus is de A ABC = den A DEF v: 15: 6.
Ook is de A ABC : A ABG : : BC : BG v: 1: 6.
Nu zynBC, BG en EF drie evenredigen, dat is BC : BG : : BG : EF v: her*
En daarom is de reden van de ie. tot de 3«. dubbeld tegen de reden van de ie. tot de 2e.
. Dat is BC : BG : : 2 v: BC : 2 v: EF v: 10 def: 5.
Dus beweezen zynde, Dat de A ABC : A ABG : : BC: BG. En dat de A ABG — A DEF. Item dat BC : BG :: 2 v: BC: 2 v: EFis. Zoo mogen wy belluiten, dat A ABC : A DEF:: 2v:BG : 2 v: EF is
v.ii. 5'
Dat te bewyzen was. Scholium.
Om dat de An.ABC en DEF gelykformig zyn v: hyp.
Daarom is AB : BC : : DE : EF v: I def: 6.
By gevolg zyn AB en DE de voorgaande, en BC en EF de volgende.
En derhalven is AB met DE en BC met EF gelykftandig vj iz def 5.
Eu.



van Euclides, Zesde Boek. 341
En daarom kunnen in de gelykformige driehoeken die zyden, welke over gelyke hoeken /laan, genoemd worden gelykftandige zyden, welke uitdrukking veeltyds aan den «erflbeginnende klaarder zal voorkooment dan te zeggen , de zyden die in gelyke reden zyn.
Corollaria.
ie. Hier uit volgt, dat, wanneer'erzyn drie linien bc, EF en bg, die evenredig zyn, dat dan de eerjle is tot de derde, als den driehoek befchreêven op de eerfle tot den driehoek op de tweede gelykformig en gelykflandig befchreêven.
Dat is bc : bg : : a abc : a DEF
Of de eerfle is tot de derde, als den driehoek befchreêven op de tweede, tot den driehoek op de derde gelykformig en gelykflandig befchreêven.
Dat is bc : bg: : a op EF: a op bg.
2e. Gelykformige driehoeken zyn tot elkander in^ reden als de quadraten der zyden, die in gelyke reden zyn.
abc en DEF zyn 2 gelykformige driehoeken.
Dus is a abc : a DEF;.- □ bc: □ EF. Want a abc : A DEF : : 2 v: bc : 2 v: EF v: 10: 6. En 2 v. bc ~ □ bc, en 2 v: EF Y3



342 Grond-beginselen der Meetkunde
e= □ EF v: de note op de 13 en 11 def: 1, By gevolg is A ABC : A DEF : ; Q BC : □ EF v\ 1 ax.
Zoo dat men. in het vervolg voor de dubbelde reden van twee linien kan neemen derzelver quadraten, en in aanmerking neemende het bovenfaande Scholium, kan men deze ioe. Propoftie aldus uitdrukken.
„ Alle gelykformige driehoeken zyn tot eU '» kander als de quadraten der gelykftandi» ge zyden.
PROPOSITIE XX. THEOREMA XIV.
Gelykformige veelzydige figuren kunnen in evenveel gelykformige driehoeken onder elkander, en tot haar geheele evenredig gedeeld worden.
En de gelykformige veelzydige figuren zyn tot elkander in de dubbelde reden haarer zyden, die in gelyke reden zyn.
(Fig. 252. Tab. XVII.) Hypothefis. De fig: ABCDE en FGHIK zyn ge-
lykf: en veelz: figuren. Thefis, i« De A ABC is gelykf: met den AFGH,
De A ACD is gelykf: met den AFHI,
De A ADE is gelykf: met den A FIK, 2e. A A3C : A FGH : ; A ACD : A
FHI : : A ADE : A FIK ; : fig.
ABCDE : fig: FGHIK, 3e. Fig: ABCDE :' fig: FGHIK : : 2 v;
BC : 2 v: GH.
Pra-



van Euclides, Zesde Boek. 343
Prcsparata.
Laat getoogen zyn de regte linien AC, AD, FH en FI v: 1 beg. Demonjlratie op de eerfle Thejls.
Om dat nu beide de veelhoeken gelykformig zyn v: hyp: ■ Zoo is in de an. ABC en"1 FGH de V B = V G ^v: 1 def: 6.
En AB : BC : : FG: GH. j
En derhalven zyn de a°. ABC en FGH gelykformig en gelykhoekig v: 6: 6. & 1 def: 6.
Om dezelvde reden is in 1 de a". AED en FKI de V !,v ldef;6 E — V K
En AE : ED : : FK : KI-J
En derhalven zyn de an. AED enFKl gelykhoekig en gelykformig v: 6: 6. en i def: 6.
Verders is de V BCD =± V GHI, en de V EDC = V KIH v; hyp.
Ook is de V BCA == v GHF, en de
V EDA =p V KIF v: b: b:
De V BCA nu afgewogen van den VBCD, en de V GHF van V GHI, en
V EDA van V EDC, en y KÏF van VKIH.
Reft de V ACD — V FHI, en de
V ADC == V FIH v: 3 ax.
En daarom is ook de V'CAD = VHFI v: 2 cor: 32: 1.
Y 4 Der3



344 Grondbeginselen der Meetkundi
Derhalven zyn de £n. acd en Fm gelykhoekig, en dus ook gelykformig v: 4: 6". 6
Ergo zyn deze an. onder elkander gelykformig,
' Waarom dan de gelykformige veelzydige figuren in evenveel gelykformige an. kunnen gedeeld worden.
Dat te bewyzen was. Demonftratie op de tweede Thefis,
Om dat nu deze veelhoeken gelykformig syn v: hyp.
Zoo is bc : GH . : cd : Hf : : PE : ik : : ea : kf : ; ab ; FG v: 1 def: 6".
En om dat de an. onder malkander gelykformig zyn v: b: b:
Daarom is a abc : a~\ FGH : : 2 v: bc ; 2v: GH
a ACD : a FHI : ; 2 v: CD : 2 v: Hl. ' > v: W- <?,
a AED : a FKI : : 2 v DE : 2 v: IK. j
Nu is a ABC + A ACD + A AED e= fig. ABCDE.
En A FGH + a FHI + a FKI — fig. FGHIK: ~^
Ergo fig: ABCDE : FGHIK • • A ABC : a FGH enz: v: cPr- 12: j,.. '
Dat te bewyzen was,
De-



van Euclides, Zesde Boek. 345 Demonjlratie op de derde Thefts
v»m uat nu ae hg: ABCDE : fig' FGHIK : : A ABC ■ A FGH.
>v: b: b*
En a ABC : A Ff.H ..,1
v: BC : 2 v: GH. j
Daarom is de fig: ABCDE : fig: FGHKI
; •• 2 v: BC • 2 v: GH v: tx: 5. Dat ten laaflen te bewyzen was.
Corollaria.
ie. Hier uit volgt, als 'er drie regte timen evenredig zyn, dat dan de eerfte is tot de derde als de veelzydige figmr befchree„
Z7al dg Wormige en ge-
tykjlandtge veelzydige figuur befchreevenL ae tweede. c
H^ant laat zyn CD : Hl : ] Hl • CO
Dan is CD : CO: : veelz: fig: op CD ■ veelz: fig: op HI ™' °P CU
Waar uit dan verder openbaar is de WyZe> om al*e regtlinifche figuren te vergroten of te ^kleinen, nalel gegeeve re. den, als by voorbeeld.
Indien men na een vyfhoek, wiens zyde Hl is, een ander begeert te maaken, vyfvouatg m de eerjle, zoo vind tusfchen Hl ™ 5 maal Hl een midden evenredige CD hoel^rnï" befchryf °* dezehe de Vf'
Y 5 Maar



546" Grond-beginselen der Meetkunde
Maar zoo men een vyfhoek begeerde te maaken, welke maar een vyfde was van den voorgejlelden vyfh&ek; genoomen, dat de 1 gegeeve vyfhoek was ABCDE; zoo vint men een middel evenredige tusfchen een der zyden CD, en een vyfde deel van CD welke is Hl, en men befchryft op dezelve den vyfhoek FGHIK gelykformig aan den gegeeven vyfhoek ABCDE, dan zal deze den begeerden vyfhoek zyn.
2e. Ook volgt hier uit, dat, wanneer van de gelykformige figuren de zyden, die gelyke reden hebben, bekend zyn, de proportie der figuren ook bekend wort, namentlyk door het zoeken van een derde evenredige.
je. Het blykt hier uit ook
Dat AB : FG : : BC : GH : : CD : Hl : : DE : IK : : EA ; KF is v; 4: 6, en 11: 5.
PROPOSITIE XXI. THEOREMA XV.
De regtlinifche figuren, welke yder byzonder aan een ander regtlinifche figuur gelykformig zyn, die zyn ook onder malkander gelykformig.
(Fig. 253. Tab. XVII.) Hypothefis. fig: ABC en DEF zyn gelykformig fig: GHI.
Thefis. fig: ABC gelykformig fig: DEF.



van Euclides, Zesde Boek. 347
Demonftratie.
Om dat nu de fig: ABC ge-Ti lykformig de fig: GHI. I .
En de fig: DEF gelykformig \ 1S V: hW' de fig: GHI. j
Daarom is den VA ~ VGI en AB : AC : : GH : GI I
En den VD = V G \ v: 1 def: 6' en DE ; DF : • GH : GL J
Gevolglyk de VA = v G en de V D = v G zynde v: b: b.
Zoo is ook de V A = D v: 1 ax.
Als mede AB x; AC : : GH : GI & DE : DF : : GH : GI zynde v: b: b.
Zoo is ook AB ; AC : : DE : DF v: 11: 5.
Derhalven zyn de fig". ABC en DEF mede gelykformig v: 1 def; 6. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXII. THEOREMA XVI.
Wanneer vier regte linien evenredig zyn; dan zyn mede de gelykformige en als eens gefielde figuren op dezelve befchreêven, evenredig.
En zoo de regtlinifche figuren op-vier regte linien gelykformig en als eens gefteld befchreêven, evenredig zyn; dan zyn die vier regte linien mede evenredig.
Fig.



348 Grond-beginselen der Meetkundï
(Fig: 254. Tab. XVIIL) ie. Hypothefis. AB : CD : : EF : GH
Item fig: AIB gelykf: fig: CKD & fig: EM gelykf: fig: GO. Thefis. fig: AIB : fig: CKD :: fig: EM: fig: GO. Jt«. Hypothefis. fig: AIB : fig: CKD : : fig: EM : fig: GO.
Item fig: AIB gelykf: fig: CKD & fig: EM gelykf: fig: GO. Thefis. AB : CD : : EF : GH.
Pr&parata.
Vind tot AB en CD een derde evenredige X
En tot EF en GH een derde even, redige Y.
Demonjlratie op de eerfte Thefis.
Om dat nu AB : CD :: EF : GH v: hyp.
En AB : CD : : CD : XT '
Item EF : GH: : GH : Y j V:
Daarom is AB : X : : EF ; Y v: 22:5.
Maar nu is ook AB : X : :T
fig: AIB : fig: CKD { ö_ \T c > v:i cor: 20: r
En EF : Y : : fig: EM j
fig: GO. J
Om dat nu AB : X : : EF : Y v: b: h.
Daarom is fig: AIB : fig: CKD : : fig: EM : fig: GO v: 11: 5. Demonftratie op de tweede Thefis.
Dewyl nu fig: AIB : fig: CKD : : fig: EM : fig: GH is v: hyp.
En



Van Euclides, Zesde Boek: §4$
En dat fig: AIB gelykformig 1 fig: CKD f
En fig: EM gelykformig fig: [ v: hyPGO. is J
Daarom is fig: AIB : fig; CKDl : : 2 v: AB : 2 v: CD f
En fig: EM : fig: GO • • 2 v /*Vi I9i ** EF : 2 v: GH J
Dus is ook 2 v: AB : 2 v CD * * 2 v: EF : 2 v: GH v: n: 5.
Derhalven is AB : CD • • EF * GH v: 17: 5.
Dat te bewyzen was.
i^/wr Herigoniusgeeft onsnogdit volgende BEWYS-STUK.
Hg,, ^ Ma gwoto» gebeid, wort » ^ ^ ^
retort der deelen midden evenredig tutJchen de quadraten der zeiver deelen.
Ook if de regthoek van de gegeeve linie en een der deelen midden evenredig tuffehen het quadraat van de geheele linie in het qUa. draat des zeiven deels.
CFig. 255. Tab. XVIII.) Hypothefis. De regte AB na gevalle gedeeld in
2 ongelyke deelen in D ï*. Thefis. □ AD : O ADB : • □ ADB : Q DB ae< thefis. □ AB : □ AB.BD :: Q AB,BD : USD °f QAB : DAB.AD:: Q AB,AD: Q AD.
Prop



35© Grond-beginselen der Meetkunde
Praparata.
Op AB befchryf een halve cirkel AEB V: 3 beg.
Dan uit D trek DE perpendic: op AB v: ii: i.
.Dtfze ontmoet de circumferentie in E.
cfe i^gte AE BE i beg. Demonftratie op de eerfte Thefis.
Om dat nu de A AEB regthoekig is f regt in E v: 31: 3.
En uit den regten V E op den hypothenufa AB regthoekig getoogen is de regte ED v. ber*
Daarom is AD : DE : : DE : DB v: cor: 8: 6.
En by gevolg ook □ AD : □ DE : 3 □ DE : □ DB v: 22: 6.
Om dat nu van 3 geduurige evenredige de regthoek van de twee buitenfe gelyk is, aan het quadraat op de middeifle v: 17: 6*
Daarom is O ADB = □ DE.
Derhalven is □ AD : □ ADB : : □ ADB ; □ DB v: 7: 5.
Dat te bewyzen was. Demonftratie op de tweede Thefis.
Om dezelve reden als vooren is AB : AE : : AE : AD v: cor: 8: 6.
En by gevolg ook □ AB : □ AE : . O AE : □ AD v: 22: 6.
Nu is ook als vooren de □ BAD = O AE v: 17: 6.
Der*



van Euclides, Zesde Boek, 351
Derhalven is □ AB : □ BAD } ; O BAD : □ AD v: 7: 5. Dat te bewyzen was,
PROPOSITIE XXIII. THE Os REMA XVII.
De gelykhoekige Parallellogrammen zyn tot elkander in de zaamgeflelde redea hunner zyden.
CFig. 256. Tab. XVIIL) Hypothefis. De O». AC en CF zyn gelykhoekig Thefis. De <C7n. AC en CF hebben een reden'
zaamgefteld uit de redens der zyden. Praparata.
Voeg de on. AC en CF zoodanig aan elkander, dat de zyden om de gelyke hoe. ken in een regte linie BCG en DCF koomen.
En volfchr-yf het parallellogram CH Neem nu na gevalle een ander regte linie I.
En maak BC : CG : : I : Kl
En DE : CE : : K ; L j v: l2t 64 Demonjlratie.
Om dat nu BC : CG : I : K & DC CE : : K : L v: ber. is
Daarom heeft I tot K dezelve rede als BC tot CG.
En K tot L dezelve reden als DC tot CE
En



§52 Grond«beGiNselen der Meetkunde
En by gevolg heeft I tot K, en K tot L dezelvde redens, als de zyde van de 2 On. AC en CF.
Maar de reden van I tot K wort gezegd zaamgelleld te zyn, uit de reden van I tot K en van K tot L v. volgens onze aanmerking op de 10 en 11 def: 5.
"Waarom dan ook I tot L een reden heeft, zaamgefteld uit de redens der zyden.
En nademaal nu BC : CG : : □ AC : □ CH is v: 1: 6.
En BC : CG : : I : K v: ber.
Daarom is □ AC : CD CH : : I : K. V: n: 6.
Wederom nadien DC : CE : : □ CH ; O CF is v: 1: 6. En DC : CE : : K : L v: ber. Daarom □ CH : □ CF : : K : L
V: 11: 5. Nu dan beweezen hebbende,
dat □ AC : □ CH : : I : K En dat □ CH : □ CF : : K : L Zoo is ook = AC : □ CF : : I : L
v: 22: 5.
Maar I heeft tot L een reden zaamgefleld uit de redens der zyden v: b: b.
Derhalven moet □ AC tot □ CF mede hebben een reden, zaamgefield uit de redens der zyden.
Dat tc bewyzea was.



Van Euglidbs, Zesde Boek. 353 Corollaria.
■i f fZ uit ™ ** * 34: x. blykt bet, dat aUe driéóeken, welke een gelyke hoek hebben, reden tot elkander hébben, zaamge field utt de redens der zyden, die een velyke hoek begrypen. '
u' d> 1- "we parallellogrammen en daarom wederom v: 41: alle driehoe. ken, order elkander een reden hebben* zaamgejleld uit de redens van de bafis tot de bafis, en van de hoogte tot de hoogte.
Wint zoo men de hoeken in C aanmerkt als regt, neemende AC en CB voor bafes, dan zal CF en CL de hoogte zyn.
3*. Hier uit blykt mede, op wat wyze de proportie der driehoeken en parallellogrammen kan bekoomen worden'. namentlyk door het vinden van een vierde evenredige tot CL» CF en CB, dat is CL ; CF : : CB • DC v: 12; 6. of als volgt,
CFig..257. Tab. XVIIt.):
Trek de regte LB, item FD parallel met L10 v: 31: 1.
Deze ontmoet CA of zyn verlengde in D. D^CL:CF:;CB:CDy;4;(j; Ln daarom is □ AL : O DL • • AC • en v: 1: 6. ' U
Derhalven iso AL: CjCG.-.AC : CD z PRO,



354 Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE XXIV. THEOREMA XVI II.
In alle parallellogrammen zyn die parallellogrammen , welke om den diameter ftaan, onder elkander, en ook met de geheele gelykformig.
(Fig. 258. Tab. XVIII.) Hypothefis. ABCD is een parallellogram en de CDn. GE en KH ftaan om den diameter. Thefis. De CD*- BD GE en KH zyn onder malkander gelykformig.
Demonjlratie.
Nademaal nu DC parallel GH en BC parallel EK is.
Daarom is de V ADC = V AGF en de V ABC = AEF v: 29: 1. ' Nu is ook de V ADC = V ABC en de V BCD = V DAB y: 34=
By gevolg zyn de z=7n. BD,EG en KH gelykhoekig v: fch: 34: 1.
En daarom zyn ook de An. ADC» AGF en FKC. Als mede de t=j. ABC, AEF en FHC, onder malkander gelykhoekig v: 34: en 4: 1.
Derhalven is AG : GF : : AD : DC ; : FK : KC v: 4= 6• By gevolg zyn de cn. BD,GE en KH Biet alleen gelykhoekig.
Maar



van Euclides, Zesde Boek. 355
Maar de zyden om de gelyke hoeken £yn ook evenredig v: b: b.
En derhalven zyn die gelykformig v I def: 6.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXV. PROBLEMA VII.
Een regtlinifche figuur te befchryven; die gelykformig is aan een gegeeve regtlinifche figuur, en gelyk aan een andere gegeeve regtlinifche figuur.
CFig-. 259. Tab. XVIIL) 'tgegeevene is de regtl. fig. ABCDE, als mede
de regtl. fig. F. 't begeerde is de fig. X te maaken gelykform. de
fig. ABCDE en gelyk de fig. F. Conflruclie.
ie. Op een der zyden AB van de gegeeve figuur ABCDE maakt den regthoek AL gelyk de gegeeve figuur ABCDE v: 45- 1.
2^. Maak nu ook op BL den regthoek BM gelyk de fig. F v: 44: 1.
3e. Zoek dan tuffchen AB en BH eea midden evenredige BG v: 13; 6.
4«. Maak nu GN = GB, v: 2: 1.
5e. En op GN befchryf de fig. X gelyk* formig de fig. ABCDE v: 18: 6.
2 2 Deze



356 GROND-BEGINSELEN DER MEETKUNDE
Deze is de begeerde figuur. Demonjlratie.
Nadien nu AB : BG : : BG : GH en BG = GN is v: conf.
Daarom is AB : GN :: GN : GH v: n: 5'
Dien volgens is fig. ABCDE : fig. X ; : AB : BH v: 20: 6.
Ook is het cd AL : cd BM:: AB : BH V: 'i: 6.
Maar om dat nu fig. ABCDE = cd AL is v: conft.
Zoo is ook de fig. X = cd BM v: 14:5-
Maar het cd BM is = fig. F v: conft.
By gevolg is de X = fig. F v: 1 ax.
Derhalven is de fig. X niet alleen gelyk de fig. F, maar dezelve is ook gelykformig met de fig. ABCDE.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXVI. THEOREMA XIX.
Zoo van een parallellogram een ander parallellogram afgenoomen wort, het welk met het zelve gelykformig en alzoo gefield is. en beide een hoek gemeen hebben; dan ftaat dat afgetrokkene parallellogram ook om denzelve diameter als het geheele.



van Euclides, 2ÏSde Boek. 357
CFig. 260. Tab. XVIII.) Hypothefis. De ^7». ABCD en AGFE, een V
gemeen hebbende, zyn gelykformig. iftefls. Deze 2 CD^ ftaan om denzeIven
diameter.
Praparata.
Een van beide is waar, of de diameter AF is in den diameter AC, of hy is 'er niet in. Geftelt, dat het laatfte waar is. Zoo laat AH zyn den diameter van 't D AGFE.
En laat door H getrokken worden Hl parallel BC; en HE par: AB v: 31: 1. Demonjlratie.
Om dat nu de z=7n. ABCD en AIEH om een zelve diameter ftaan v: ftell:
Daarom zal \ c=? ABCD gelykformig zyn aan H c=j AIHE v: 24: 6.
Derhalven DA : AB : : EA : AI v 1 def: 6.
Maar om dat de CDn. ABCD en AGFE zyn gelyformig v: hyp.
Daarom is ook DA : AB : : EA : AG v: 1 def: 6.
Dus de grootheden DA en AB een zelve reden hebbende tot EA en AI, en ook tot EA en AG, zoo volgt dat AI ■= AG zoude zyn v: 9: 5.-
Maar AG een deel zynde van AI, is zulks onmogelyk v: 9 ax.
2 3 Der-



358 Grond-beginselen der Meetkunde
Derhalven is AI grooter of kleinder 'dan AG v k: b.
En dus kan ook niet zyn DA : AB : : EA : AI.
En daarom dan ook 't cd ABCD niet gelykformig 't cd AIHE.
Want zulks zoude ftryden tegen de i
def: 6,
En deze niet gelykformig zynde, kunnen zy niet om een zelve diameter Haan, want dit zoude wederom ftryden tegen de 24: 6,
Derhalven AH den diameter van t cd AGFE niet zynde, moet noodzaakelyk volgen, dat AF, die in den diameter AC Is, den diameter van het cd AGFE is.
En by gevolg ftaat % cd AGFE ook om den diameter van 't cd ABCD,
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXVII. THEOREMA XX,
Van alle parallellogrammen, die op een regte" linie gevoegd worden, zoodanig» dat 7er nog een ftuk van de linie over blyve, op fhet welk een ander parallelJogram gemaakt wort, gelykhoekig, en van gelyke hoogte met het eerfte; is dat parallellogram, dat op de helft van de
ge-



van Euclides , Zesde Boek. 359
gegeeve linie gemaakt is, en gelykformig aan dat parallellogram,datop het overgefchoote ftuk dier linie gefield is, het grootfte.
CFig. 261. Tab. XVIII.) Hypothefis. ab is een regte linie, gedeeld in tweën gelyk in C, en in twee ongelyke deelen in K; op cb Cde helft vn de linie ab) is na welgevalle befchreêven het cd bd, en op AK een ander cd AF, gelykhoekig en van gelyke hoogte als het cd bq_ Thefis. cd bd < dan cd AF.
NB. AK nu kan grooter of kleinder dan AC zyn, en by gevolg dient het bewys op tweederhande wyzen voorgefteld te worden.
ie. Laat AK grooter zyn dan AC. Praparata.
Nadien het cd CE gelykformig is aaa het cd KH v: hyp.
.Daarom ftaan die beiden om een zelve diagonaal v: 26: 6.
Laat daarom de diagonaal BD getoogen, en de figuur befchreêven worden. Demonftratie.
Om dat nu de cdn. CE en FE de fuplementen van 't cd CE zyn.
Daarom is het cd CF = ^ FE v: 43:1. het cd KH — ^ KH
Derhalven het cd CH = cd KE v; 2: ax.
Maar AC = CB v: hyp.
Z 4 En



360 Grond-beginselen der Meetkunde
En daarom het co CH — co CGv: 36: 1.
3Ergo is het co CG as co KE v. 1 ax.
het co CF = co CF Derhalven het co AF = gnom: CBELF y; 2 ax.
Waarom dan het co CE < dan z=7 AF is v: 9 ax.
Maar om dat AC — CB is y: hyp.
Paar is het co CE = co AD v: 36:1,
En by gevolg is het co AD < dan co AF v: 1 ax:
Dat te bewyzen was".
2% Laat nu ook AK kleinder zyn dan AC
Prerparata.
Nadien hier ook het co CE gelykformig is aan het co KH v: hyp*
Daarom ftaan die beiden ook om een Zelve diagonaal v: 26: 6.
Laat daarom hier ook den diagonaal BF en de figuur befchreêven worden, JDemonflratie.
Om dat nu AC = CB is v. hyp.
Daarom is het co DG=CO DHv: 36:1.
En derhalven is het co DH < dan het 'co LG v: 9: ax.
Maar de con. DH en DK zyn fuplementen van het co KH. En bygevolg is het cp DH g~ co DK
En



van Euclides, ZESDE BoEK ^
En derhalven is het cd DK < dan het *~3 LiU v: i ax.
Het p AL = het cd ah
Ergo is het cd AD < danhet^ AFv.'a ax.
PROPOSITli~^vin. pro BLEMA Vilt
Op een gegeeve regte linie een paral kilogram te voegen, dat soo groot fe "w een gegeeve regtlinifche figuur -gtans, da£ ,er op die g^g
CFig. 262. Tab. XIX ) ^ gegeevene is de regte AB het cdd en defi°- O begeerde is op AB te befchryven a cd" ' ' hoogte, het eenez/ge7y^,gcd D en het andere AP 23 n> c **onftruEiie.
Z5 3'.



3<J2 Grond-beginselen der Meetkunde
ge. Maak ook het fS Hl = fig. C, met eenVHrzV FEB v: ippji
4e. Laat verders van het cd EG afgefneeden worden het cd KG ■=. o Hl, door het vinden van een vierde evenredige tot BG, Ha, en al, v: 12: 6.
Want BG ; Ha : : al : BK zynde, zyn de zyden in een wederkeerige reden,
En derhalven cd KG = cdüï v: 14: 6,
5e. In AK nu neem EM == EK v: 2: i.
6e. En maak EN midden evenredig tusfchen EB en EK v: 13: 6.
f. En maak EZ = EN v: 2: 1.
8e. Trek nu ZO parallel aan EF of aart
BG v: 31: 1.
Snydende den diagonaal FB in P.
9e: En eindelyk door P trek RS parall: AB, en AS parall. BR v: 31: r.
Dan zyn AP en ZR de begeerde parallellogrammen.Demonjlratie.
Om dat EA = EB is v: conft.
Daarom is het cd A Q = cd ER v: 36: u
En om dat de cd-. EP en PG fuplementen van het cd EG zyn,
Daarom is het cdEV — cdVGv. 43: 1.
Het cdVP nu gevoegd by het cd AQ. en het cd PG by het cd ER.
Zoo zal 'er koomen het cd AP = gnomon EBRGÖPQ. v: 2 ax.
Om



van Euclides, Zesde Boek. 363
Om dat nu verders de ayn. EG en EL een gelyke hoogte hebben
J:7iTzytoteik"nderds huMe
Dat is EB : EK EG : Q £
FBis v^cwift. ^ ^ ^aSonaal
Daaromflaathet^Qpomdeii diameter
«tó^V^*gelykfo<:
Ook is EB:EK:;C7EG:^ELv:b.b Daarom is dan a EG : ^ Q0 • .'
° EG : o EL v: n> 5 * % gevolg is ö QQ m EL v: 14. 5 ?CZlia afSetrok^en van >t ^ EG Zoo^blyft over de gnomon EBRGO-' ^ — ^ KG v: 3 ax Maar >t ^ KG is — ^ HI1 En 't Hl is = fig. c ƒ v: conft.
^Ende gnomon EBRGOPQ ^ Ap
By gevolg is 'toAP^ fig. C v 1 ax Derhalven lebben wy beweezen.
Ic.



364 Grond-beginselen der Meetkunds
10. Dat 't cd AP = fig- C, en
2o. Dat?t^7 ZR gelykformig't£7Dïs
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXIX. PROBLEMA IX.
" Op een gegeeve regte linie een parallellogram te voegen, gelyk een gegeeve regtlinifche figuur, zodanig nogtans, dat ?er van het zelve een ftuk buiten de gegeeve linie komt, dat gelykformig is met een gegeeve parallellogram.
CFig. 263. Tab. XIX.) 't o-eeeevene is de linie AB , de fig. C en 't cd D. ,t begeerde is AB te verlengen tot in P, en op ; AP te befchryven een cd AN gelyk aan de fig. C, zoo nogtans dat't £=7 BN, op het aangevoegde ftuk BP, gelykformig met 't cd D. is-
Conftru&ie. .
ie Deel AB in tweën gelykinEv: 10:1.
ae En op EB befchryf >t cd EG gelykform.met 't^Dv: 18: 6.
o« Verleng AB na gevallen v: 2: beg. 4e. En op dit verlengfel befchryf t cd ICi = fig. C, even als in de conftruftie van de voorgaande prop.
ce Verders zoek een midden evenredige tüffchen EB en El, deze is EK v: 13:6. 6-e. Maak nu EP = EK v: 2; h
7e'



VAN EüCLIDÊS, ZESDE B0EK. 365
7e. Door het punt P trek PM parallaan GB v; 31: 1.
™DeZ(LOIUm0et den verle°gde diagonaal tii m N.
8«. En volfchryf >t & AN v: 35: def r en 31: 1.
Dan zal AN het begeerde parallellogram weezen. Demonftratie.
Om dat nn de cdd. LB en BM fuplementen van 't cd LM zyn v: conft. Daarom is >t cd LB cd BM v:'4r 1 En om dat AB — EB is v: conft Daarom is H cd RE = cd LB v: 36: r. By gevolg is ook 't cd RE = cd BM V: 1 ax.
Wyders om dat de cd*. EG en EH een
gelyke hoogte hebben. Daarom is't^EG:^EH::EB:EIvrS En om dat nu EB : EP:: EP: EI is v: conft. Daarom is EB : EI:: A EBF : a LNO
v: 1 cor: 19: <5. Nu is 2 An. EBF = cd EGT En 2 An* LNO= cd LMj>4I: ï' |evolS °<* EB :EI: : 4=7 EG; cdLM
Nuis EB:EI:.^EG:^EH v: b: b Derhalven cd LM =3 cd EH v: 142 5.'
Sb P EG cd EH * Reft cd LP \ cd BM, = cd BH.
Na



$66 Grond-beginselen der Meetkunde
Nu is 't cd BH of cd IG = fig. C v: conft.
En 't cd BM z=z cd BE v: b: b.
Dus is 't cd LP + cd RE, dat is 't jcd AN — fig. C v: i ax.
By gevolg 't o AN = fig. C, en \ cd BN gelykformig 't cZt BF v: 24: 6. ~En h cd BF gelykformig 'tpD zynde v: conft.
Zoo is beweezen dat beweezen moefi
worden.
PROPOSITIE XXX. PROBLEMA X;
Een gegeeve regte linie in de uiterfte en middelfte reden te deelen.
CFig. 264. Tab. XVIIL) 'tse°-eevene is de regte AB. 'tbe°eerde is dezelve te deelen in H, zoo dat AB : AH : : Afl : HB, is
Conjirudie.
Ie. Op de gegeeve linie AB befchryf
>t O ABCD v: 46: t.
2«: Voeg dp de zyde AD 't cd DEFG q ABCD, zoo nogtans, dat het overJ fchietende ^=7 AGFH gelykformig is met >t □ ABCD v: 29: 6.
By gevolg is 't AGFH mede een quadraat v: 30: def: 1. ,..
De zyde EF nu fneidt de gegeeve linie AB in H na begeeren. ^



van Euclides, Zesdï Boek; 367 Demonjlratie.
^ Nadien nu'tQABCD=ÖDEFG.3
En't n ADEH — o ADEH
°*O BCEH = D AGFH
Om dat nu deze n „„1 1'
*********
Daarom zyn de zyden om de geJvke
AHv?coe„rEH=ABiS-»HP =
T.Zoo«dano„kAB:AH::AH:HB Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXXI. THEO REMA XXI. ^
In de regthoekige driehoeken is de figuur befchreêven op de zyde tegen over regten hoek gelyk beide zoodanige gekï
fonrnge %^n op dk der andefe zyden zaamen. *yuen
(Fig. 265. Tab. XIX.)
Hyphothef". is regth: a aj$c regt in a
en dat de figuren AL> ^ ^ ^
Thefis. ng.BF ^flg. AL + fig. AH. *



368 Grond-begtnselïn der Meetkunde
Praparata. .
Laat getoogen zyn de regte AD en DE perpend: op BC v: 11: i. Demonftratie.
Om dat nu de A ABC regt is, en uit den jegten VA op den Hypothenufa BF getoogen M den perpend. AD v: hyp. en ber.
Daarom is BC: AC:: AC:DC"Vv:COr.8:<5.
En BC:AB::AB:BDj
En om dat nu van 3 geduurige evenredigen de eerfte tot de derde is , als de nelykformige figuren befchreêven op de
eerfte tot die op de tweede v:eer 19:£ Daarom ïs BC : DC:: fig. BF: fig. AL
pn BC:BD : : fig. BF : fig. AH
By gevolg is BC : DC -t* BD : : fig. BF : fig- AL + fig. AH v: 12: 5. En om dat BC = DC + BDïs v: i5«. Daarom is ook fig. BF = fig. AL + fig.
AH v: 9: 5. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXXII. THEOREMA XXII.
Als van twee driehoeken elk twee zydenbyzonder evenredig zyn, enalzoo met een hoek aan elkander gefteld, dat de zyden, die in gelyfee rede» *yn, paraUel
zyn



van Euclides, Sesde Boek. 369
zyn; dan zullen de twee andere zyden in een repte linie zyn.
C i-ïgr. ié. Tab. XVtlt.j Hypothefis. In de An. ABC èri DCE is AB : BC : : DC : CE.
Item AB parall'! DC , en AC parall.DE. Thefis. De linie BCE is eef) regte linie. Demonftratie.
Vermits nu AB parall: CD , en AC parall: DE is V: hyp.
Daarom zyn de verwiffeldé V". gelyk
v: 29: 1.
Dat de V D = V ACD. == V A.
En nadien de ABC en DCE elk een V gelyk hebben v: b: b.
En de zyden om dezelve in gelyke reden f of evenredig.) v: hyp.
Daarom zyn die £.»J gelykhoekig v: 6: 6.
Derhalven dan de V ACD = V A
V DCE = V B
V ACB = V ACB Maar de 3 Vn' A, B en ACB zyn de
o V". van den A ABC;
En by gevolg gelyk 2 regte y. * 32: t2
En dus zyn de V". ACD, DCE en ACB mede gelyk 2 regte v». v: 1 ax.
Ergo is BCE een regte linie v: 14: r>
Dat te bewyzen was.
A a PRO*



370 Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE XXXIII. THEOREMA XXIII.
In de gelyke cirkelen zyn de hoeken, zoo in het centrum als aan de circumferentie, tot elkander in reden als de boogen, op welke die ftaan.
Insgelyks zyn mede de deelers zoodanig tot elkander.
(Fig. 267. Tab. XIX.) Hypothefis. Dat de cirkelen ABC en EFG gelyk zyn.
Thefis. V BDC : V"EHF *|
VBAC: V FEG j»:: boog BMC : boog FKG deeler DBC: deeler FHGJ Praparata.
? ie. Laat getoogen zyn de regte BC en FG v: 1 beg.
2e. En in den cirkel ABC voeg de regte Cl = BC
; 3e. En in den cirkel EFG voeg de regte GL en LP — FG v: 1: 4.
4e. Dan neem in den boog BC en Cl de punten M en N na gevalle.
5e. En trek de regte Dl, HL, HP, BM, CM, CN en IN v: 1 beg. Demonftratie.
Om dat nu de regte BC ~ de regte Cl is v: ber.
Daarom is de boog BC = de boog Cl
v: 28: 3.
Ge-



van Èüclides, Zesde Boek. 5$ : Gevolglyl; is de V BDC = den v CDÏ
D;en volgens is de boog BCI zoo veel maal den boog BC, als de V BBI is van den V^BDC v: k: b.
Op dezelve wyze is de boogFSLP zoo veelmaal den boog 1 G als de V FHP XS van den V FHG.
Daarom zoo de boog BCI < — of > den boog FGDP is.
Zoo zal ook de V BDI < = of > den
V EHP zyn v: 27: 3; t Ergo is de boog BC : boog FG . .
V BDC : V FKG v: 5 def: 5.
En om dat de V BDC >t dubbeld is van
den V BAC.
En de V FHG 't dubbeld van den V* E<j
v En daarom is ook boog BC : boog FG : : V BAC 1 V FEG v: 9: 5,
Dat "eerftelyk te bewyzen was.
Wyders is de V BMC = V C NI v: 27:3.
Daarom is >t cirkelft. BCM == ?t cirkelft. CIN v: 24: 3.
Ook is de A DBC Bz A DCI v: t5-
deErgoenis4de deeler BDCM ='deeler CDJ.N 15: en 2 ax.
Op dezelve wyze zyn de deelers FHG, GKL en LHP mede gelyk.
A a 2 Daar-:



372 Grond-beginselen der Meetkunde
" Daarom zoo nu de boog BMC <:=* > den boog FG is.
Zoo is ook de deeler BDCM < — «f \ den deeler FHG. . — »l 7
Ergo is deeler BDCM : deeler FHG • • boog BMC : boog FG v: 5. def: 5. ' '
Dat vervolgens te bewyzen was. ' Corollaria.
i*. Hier uit volgt, dat de deeler is tot den deeler, als den hoek tot den hoek v: n: 5. en 33; 6.
2e. Dat de cent: hoek is tot 4 regte hoeken, als den toog BC tot de geheele circumferentie.
3e. De boogen IL en BC van ongelyke cirkelen ( Fig. 268. Tab. XIX.) zyn evenredig tot hunne geheele circumferentien, dat is de boog IL tot de geheele circumferentie ML als de boog BC tot geheele circumferentie DBC.
Gok zyn deze boogen gelykformige boogen, dat zyn boogen van gelykformige cirkelf ukken.
T^ant alhier is de V BAC : 4 regte V. : : boog BC : de geheele circumf DBC.
Ook is de V BAC : 4 regte V* ; ; 'boog IL : de geheele circumf: E1L.
Bygevolg is de booz BC tot de geheele circumf: DBC als de boog IL tot de geheele circumf EIL v: 9: 5.
Laat



vas Euclides , Zesde Boek 373
Laat verders getoogen zyn de regte IL en BC.
Dewyl nu de V BDC ~ V IEL is.
Daarom zyn de cirkelftukken BDC en IEL gelykformig v: 10 def: 3.
Ook zyn de Vn- die in deze cirkelftukken kunnen gefteld worden mede gelyk v: 22: 3.
En daarom mede gelykformig.
4e. By gevolg gelykformige cirkelftukken afgenoomen van der zeiver geheele cirkels, dan zyn de reften mede gelykformige cirkelftukken.
f. Hier uit volgt ook, dat twee halve diameters AB «AC van twee circumf erentien, die een gemeen centrum hebben, gelykformige boogen IL era BC affnyden.
6e. ^En daarom gelykformige deelers dat is deelers, welkers cirkelftukken gelykformig zyn.
Einde van het Zesde Boek.
A a 3 GROND-



GROND-BEGINSELEN
DER
MEETKUNDE
VAN
EUCLIDES,
ELFDE BOEK.
DEFINITIEN. ï.
Ljgbaamefyke figuur (SoMum) is welke lengte, breedte en dikte heeft.
(Fig. 269. Tab. XX.) Alzoo is de figuur ABCD, waar van AB is deszclfs lengte, BC de breedte, en CD de dikte.
J I.
De üiterftens van zoodanig een figuur zyn fuperlitien of vlakken.
Gelyk in dezelve figuur te zien is. I J I.
Een regte linie is perpendiculair op een vlak, wanneer alle de linien, op het zeivevlak naar dezelve linie getrokken, met dezelve in regte hoeken zaamen koomen. CFig. 270- tab. XX.)
Alzoo is de linie AB, die in de lugjt
ftaat



van Euclides, Elfde Boek. 375
ftaat, perpend: op het vlak CD, alwaar men zig verbeelden moet, dat de V". ABD, ABE, ABF enz. regte hoeken zyn.
I V.
Een vlak is perpendiculair op een ander vlak geregd, wanneer de regte Urnen getrokken op een dier vlakken en perpendiculair met de gemeene doorfnydmg, mede perpendiculair op het andere vlak zyn. P F (Fig: 271. Tab. XX.)
Alzoo moet men zig verbeelden , dat in deze figuur de linie EB is de gemeene doorfnyding der vlakken AB en CD, en dat de linien FG en HA, getoogen in het vlak AB perpendiculair op EB is; zoo dan deze lmien FG en HK perpendiculair op het vlak CD zyn, zoo is het vlak AB perpen. diculair op het andere vlak CD. V.
De neiging of helling eener regte linie tot een vlak is den fcherpen hoek, begreepen van 'dezelve linie, en van een andere linie, getoogen in het vlak uit het begin der neigende linie, in welke een 'perpendiculair valt van het bovenfle derzelve neigende linie.
(Fig. 272. Tab. XX.)
Over zulks moet men zig in deeze figuur verbeelden, dat AB niet perpendicuAa4 lair



376 Grond-beginselen ber Meetiw^e
lm maar hellende op het vlak CD feat, en dat uit A, eenig punt na be„ heven m de hellende linie AB genoomen, een regte linie AE pernenrihet vlak CD neer eehJ P r gelaaten wort, en dat getoogen is de regte EB; zoo zal
ner\Tdeflei^^WAB
op het vlak CD zyn.
V I.
De neiging of helling van een «rilt * een ander vlak is den fcLpen^jf ^ greepen van de regte linien, welke L beide de vlakken op de gemeene doo ! ^ LT rZ£lVepUnt gokken zyl de met die gemeene doorfneede reL hoeken maaken. &
CFig: 273. Tab XX.)
meene doorfneede EB, uit het wSc getoogen zyn de perpend: GH in het
vlak AB W 6 PerpeXld' HF■» ^e vlak AB. Wanneer nu de perpendiculaire Unien HF en GH, i/elk v] k
|7Z%Td- °pde^eene door. %ding EB uit een zelve punt H,
dan met perpendiculair de ceL op dé andere hnie zyn, zoo is de f P hoek FHG, begreepen van die ^ linien HF en GH de neiging ofhel! hrig dier vlakken. ë
VII.



van Euclides, Elfde Boek. 377,
V I I.
Een vlak wort gezegt op een vlak gelykformig te neigen of te hellen, als de hoeken der helling aan malkander gelyk zyn.
CFig. 274. Tab. XX.)
Alhier zyn in het vlak CD uit de punten H K. en N in de gemeene doorfneede getoogen de perpendiculairen GH, IK en MN, en in het vlak AB de perpendiculairen FH, LK en ON, bepaalende de hoeken GHF, IKL en MNO; zoo dan deze hoeken gelyk zyn, zoo zegt men dat vlak AB gelykformig helt op het vlak CD. VIII.
Parallelle vlakken zyn, welke aan de eene of andere zyde verlengd zynde, nooit zaamen koomen.
CFig.'275. Tab. XX.) Zoodanige vlakken zyn A en B , Wanneer die ter regter of ter flinker zyde, van onder of van boven verlengd zynde, nimmer zaamen koomen. I X.
Gelykformige lighaamelyke figuren zyn, welke van evenveel gelykformige vlakken begreepen zyn.
CFig. 276. Tab. XX.) Zoodanige figuren zyn A en B, wanneer de vlakken AB, BC, CD, DA, Aa 5 BD



$7$ Grond-beginselen der Meetkunde
BD en IK, door welke de figuur A beflooten is, gelykformig zyn aan de vlakken EF, FG, GH, HE, FH en LM, door de welke de figuur B beflooten is.
X.
Gelyke en gelykformige lighaamelyke figuren zyn, welke van eeven veele gelyke en gelykformige vlakken begreepen zVn. (Fig. 277. Tab. XX.) Zoodanige zyn de figuuren A en B, waar van de vlakken AB, BC, CD, DA, BD en IK, waar door de figuur A beflooten is, gelyk en gelykformig zyn aan de vlakken EF, FG, GH, HE, FH en LM, waar door de figuur B beflooten is,
X I.
Lighaamelyke hoek is de zaamen koo mmg in een zelve punt van meer dan twee" regte linien, dieniet in een zelve vlak zyn. Of anders een lighaamelyke hoek is de zaamenkooming iQ een zelve punt van meer dan twee platte hoeken op verfcheiden vlakken gefield zynde.
CFig. 278. Tab. XX.) Zoodanige hoeken zyn fig. 1. en 2,, alwaar in fig. 1. de hoeken BAD, BAC en CAD ieder in een byzonder vlak zyn. Zoo ook in fig. 2 de hoeken EFI,
EFG,



van Euclides, Elfde Boek. 379
EFG, GFH"en HFI, ieder in een
byzonder vlak zyn, en maaken over
zulks een lighaamelyke hoek. NB. Men is gewoon, wanneer men een
lighaamelyken hoek wil aantoonen, de letter, die by den hoek zelfs ftaat, het eerfte te noemen , by voorb: willende den ügh: hoek A noemen, zal men zeggen den V ABCD , en den ügh; hoek F willende noemen , zal men zeggen den V FC GHI enz.
X I I.
Piramis is een lighaamelyke figuur van verfcheide vlakken begreepen, die malkander in een zelve punt ontmoeten, hebbende een ander vlak tot bafis.
(Fig. 279. Tab. XX.)
De figuren A, B en C zyn dus pyramides, de figuur A beftaat'uit 3^ de figuur B uit 4, en de figuur C uit 5 vlakken, die alle in het punt F te zaamen koomen, en derhalven driehoeken zyn, hebbende over zulks de figuur A een driehoek , de figuur B een vierhoek, en de figuur C een vyfhoek voor bafis en dus kan een pyramis drie,- vier, vyf en meer hoekig ' zyn.
XIII.
Prisma is een lighaamelyke figuur, be-
gre-



38o Grond-beginselen der Meetkunde greepen van zoodanige vlakken, waar van die twee, welke tegen over elkander ftaan gelyke, gelykformige en parallelle vlakken zyn, maar de andere zyn parallellogrammen. "
CFig. 280. Tab. XX.)
De figuren A, B en C zyn over zulks pnsmata, de figuur A beftaat uit de twee gelyke, gelykformige en parallelle vlakken ABC en EDF als mede üit de drie parallellogrammen EC, CD en DA. De figuur B beftaat uit de twee vierhoeken AC en HF, die gelyk , gelykformig en parallel zyn , en uit de vier parallellogrammen HD, FG, GC en HB. De figuur C beftaat uit de twee gelyke gelykformige en parallelle vyf hoeken ABCDE en KGHIK en uit de vyf parallellogrammen AK, AG, GC, IC en IE En derhalven kan een prisma drie, vier vyf en meer hoekig zyn. NB. Ook is men gewoon, wanneer men een pyramide wil aantoonen, de letter, die den top van de pyramide zal aanduiden, het laatfte te noemen by voorb: willende de pyramide A noemen, zegt men de'pyramide ABCF, van >s gelyke zullende de pyramide B noemen, zegt men de pyramide ABCDF enz. Vï
XIV.



van Euclides, Elfde Boek. 381
X I V.
Sphera (Globus, Kloot) is een figuur 5 welke ontftaat, wanneer de diameter van een halve cirkel onbeweegelyk blyvende, de zelve halve cirkel gekeerd wort, tot dat hy weder komt, daar hy begonnen heeft.
(Fig. 281. Tab. XX.) Verbeel u in deze figuur, dat de diameter AB van den halven cirkel ACB vaft en onbeweegelyk gefteld is, endat dezelve halve cirkel een geheele keer om den zeiven diameter bewoogen wort, dan zal 'er door deze beweeging een fpheer befchreêven worden.
X V.
Axis ( Asfe ) der Spheer, is den onbeweegelyken diameter om welke den halve cirkel draait.
XVI.
Centrum der Spheer is het punt D> het zelve van den halven cirkel. Corollarium. Hier uit volgt dan, dat alle linien uit het centrum D der fpheer tot aan het oppervlak der fpheer getoogen malkander gelyk zyn, om dat het centrum van de fpheer mede het centrum van den halven cirkel is. v; 15 def: 1.
xvn



382 Grond-beginselen der Meetkunde XVII.
Diameter der fpheer is een zekere regte linie, gaande door het centrum van den fpheer, en eindigende wederzyds aan het bultige oppervlak van den fpheer. Coroltarium. Dien volgens is de axis meae een diameter van den fphéer.
XVIII. Conus ( Kegel; is een lighaamelyke figuur , welke gebooren wort door de geheele omdraaijng van een regthoekige driehoek om een der regthoeks zyde. CFig. 282. Tab. XX.) Wanneer nü deze regthoeks zyde, welke in ruft verbeeld wort, gelyk is aan de andere regthoeks zyde, dan zal de conus een regthoekige conus zyn, wegens den regten hoek ACB, : vide fig: A.)Maar wanneer deze regthoeks zyde kleinder is dan den andere 3 dan zal de conus een plomphoekige conus weezen wegens den plompen hoek ACB (vide fig: B.) In tegendeel wanneer deze regthoeks zyde grooter is dan den anderen; dan zal de conus een fcherphoekïge conus zyn, wegens den fcherpen hoek ACB ( vide % C.)
De eene regthoeks zyde dan blyft onbeweegelyk, terwyl de andere regthoeks zyde een cirkel befchryft, maar
de



van Euclides, Elfde Boek. 383
de hypothenufa befchryft het bultige oppervlak van den conus.
XIX.
Axis, (Asfe) van den conus is dezelve onbeweegelyke regthoeks zyde van den driehoek, of die linie, waar om de driehoek draait,
X X.
Maar de bafis van een conus is den cirkel, welke befchreêven wort door de andere omdraaijende regthoeks zyde. XXI.
Cylinder (Rol) is een lighaamelyke figuur, welke geformeerd wort door de geheele omdraaijng van een regthoekig parallellogram om eene zyde, welke onbeweegelyk blyft.
(Fig. 283. Tab. XX.)
ACED is een regthoekig parallellogram, de zyde CE blyft onbeweegelyk, terwyl het geheele parallellogram rond draait, en dus zal dat parallellogram het lighaam van een Cylinder be* fchryven, alzoo dat de tegen overftaande zyden AB en DF twee cirkels, en de zyde AD het bultige of rolagtige vlak befchryven.
XXII.
Axis (Asfe) des cylinders is dezelve onbeweegelyke linie, om welke het parallel-



384 Grokd-beginselen der Meetkunde
lellogram gedraait zynde het lighaam van den cylinder befchryft."
XXIII.
Maar de bafis van een cylinder is een yan de cirkels, welke door het omdraaijen van het parallellogram door deszelfs andere zyde befchreêven wort. XXIV,
£ Gelykformige coni en cylinders zyn, Welkers asfen en de diameters hunner bafes evenredig zyn.
(Fig. 284. Tabi XX.) Dat is te zeggen , dat de as DC ïs tot den as HG, als de diameter AB tot den diameter EF, en als dan zyn die coni en cylinders gelykformig. XXV.
Cubus (Teerling) is een lighaamelyke figuur, beflooten van zes gelyke qua. draaten.
CFig. 285. Tab. XXI.) Aldus is BGH AD EFC een cubus, om dat ABCD, ABGH, AHED, FGHE, FGBC en FCDE, zes gelyke quadraaten zym
XXVI. Tetraedrun (Viergrond) is een lighaamelyke figuur, welke door vier gelyke en gelykzydige driehoeken beflooten is. CFig. 286. Tab. XXI')
Zooi



VAN ÈÜCXIDÈS, ËLFDE ËOEK. g3.§
Zoodanig een figuur is ABCD, om dat de én: ABC, ADB, ADC en BDC, gelyke en gelykzydige An. zyn, of verbeelden.
X X V ï T. O'aaëdfürn (Agt grond) is een lighaamelyke figuur, welke door agt gelyke en gelykzydige driehoeken beflooten is' (Fig. 2V7. Tab XXI.) Dusdanig is de figuur ABCDE, vermits dezelve beftaat uit agt gelyke en gelykzydige driehoeken, waar van 'er maar vier te zien zyn.
x x v 11 r.
Dodecaëdrum (Twaalf grond) is een
lighaamelyke figuur, welke door twaalf
gelykzydige en gelykhoekige vyf hoeken
beflooten is.
CFig. 283. Tab. XXL )
Aldus is deze figuur, vermits .dezelve
beftaat uit 12 gelyke, gelykzydige en
gelykhoekige driehoeken, waar van
'er maar zes zigtbaar zyn.
X X I X.
Icofaëdrum (Twintig grond ) is een lighaamelyke figuur, welke door twintig gelyke en gelykzydige driehoeken beflooten is.
CFig. 289. Tab. XXI.) Dusdanig is deze figuur, vermits dezelve beflooten is van 20 vlakken, Bb dat



gH6 Grond-beginselen der Meetkunde
dat alle gelyke en gelykzydige driehoeken zyn, waar van 'er maar tien zigbaar zyn.
xxx.
Parallellepipedum (Balk) is een lighaa melyke figuur, begreepen van zes vierzydige vlakken, waar van die, welke tegen elkander over flaan, parallel zyn. C Fig. 290. Tab. XXI. ) Zoodanig een is figuur ABCDEFGH alwaar ABCD parallel aan EFGH en AHED parallel aan BGFC, item ABGH parallel aan DCFE is.
NB. O beteekend parallellepipedum.
DE



van Euclides, Elfde Boek. 3S7
D E
PROPOSITIEN
VAN HET
ELFDE BOEK
VAN
EUCLIDES.
PROPOSITIE I. THEOREMA I.
"^^an een regte linie kan niet een deel op een vlak en een ander deel in de lugt zyn.
(Fig: 291. Tab. XXI.) Hypothefis. Is de regte linie AB , en het vlak DE.
Thefis. 't Deel AC kan niet op het vlak, en
het deel CB in de lugt zyn. Praparata.
Verleng AC in 't voorgeftelde vlak na believen tot in F. v: 2 beg.
Demonftratie.
Indien nu ACB een regte linie ïs. Dan hebben de 2 regte linien ACB ea ACF een gemeen deel AC. Maar dit is volftrekt onmogelyk.
Bb 2 Ec



388 GaOND-BEGïNSELEN der MeeTKUNÜÉ
En by gevolg kan van een regte linie met een deel op een vlak, en een ander deel m de lugt zyn.
Dat te bewyzen was. Corollaria.
i*. Zoo een deel van een regte linie in een vlak is, zoo is de geheele Unie in het vlak.
Zo° in een V^t vlak twee punten genoomen zyn, zoo zal de regte linie, welke door deze punten getoogen wort, in het zelve vlak zyn,
PROPOSITIE II. THEOREMA II.
Zoo twee regte linien elkander doorfnyden; zoo zyn ze in een zelfde vlaken een iegelyk driehoek is ineen zelfde vlak. . ^juc
(Fig. 292. Tab. XXI.) Hypothefis. De regte AB en CD doorfnyden elkander in E.
Thefis. ie. Deze AB en CD zyn in een zelve vlak. ,
2e. De A DEB is in een zelve vlak. Praparata.
Laat in deze AB en CD genoomen worden 2 punten F en G na believen. 1 En getoogen de regte CB en FG, item FH en GK, V: j beg.
De.



van Euclides, Elfde Boek. 389.
Demonftratie.
Stel nu dat de A DEB en deszelfs deel FEG in een vlak zyn.
Maar het deel DFGB in een ander vlak.
Dan is, van de regte DE, een deel EF in het voorgeftelde.
Maar het deel FD in een ander vlak, of in de lugt.
Dat onmogelyk is v: 1: ir.
By gevolg is de linie DE in een zelve vlak v: k: b.
En op dezelfde wyze bewyft men, dat de linie BE mede in een zelfde vlak is.
Waar uit dan verders volgt, dat de geheele AB en CD - in een zelve vlak zyn.
En by gevolg ook de A DEB.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Zoo dat twee regte Unien elkander fnydende, of in een punt zaamen koomende altyd in een zelve vlak zyn: maar drie of meer linien elkander in een zelve punt fnydende, of zaamen koomende, kunnen wel in een zelve vlak zyn, maar dit gaat altyd niet vaft' door, egter zyn zy twee aan twee in een zelve vlak. v: dit voorfel.
Bb 3 PRO.



390 Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE III. THEOREMA III.
Indien twee vlakken elkander doorfnyden; dan is hun gemeene doorfneede een regte linie.
CFig. 293. Tab. XXI.) Hypothefis. De vlakken AB en CD doorfnyden
elkander. Thefis. EF is een regte linie. Praparata.
Indien de gemeene doorfneede geen regte linie is.
Zoo laat in het vlak AB getoogen zyn de regte EGF.
En in het vlak CD de regte EHF vI beg.
JDemonfratie,
Nademaal nn beide deze regte linien EGF en EHF, dezelve üiterftens hebben, zoo zouden die een plaats befluiten v: k: b.
Maar dit kunnen geen 2 regte linien doen v: ï2 ax.
I xgo zyn dit dan geen regte linien.
Maar wel EF.
Dat te bewyzen was.
PRO-



van Euclides, Elfde Boek. 391
PROPOSITIE IV. THEOREMA IV.
Indien een regte linie op twee andere regte linien, die malkander doorfnyden, uit het fnypunt perpendiculair opgeregd wort; dan zal deze linie mede perpendiculair zyn op het vlak, waar ia deze linien zyn.
(Fig: 294. Tab: XXI.) Hypothefis. AB en CD eyn 2 linien, die nialkander doorfnyden , EF is een ande- , re linie, die uit het fnypunt E perpend: ftaat op de 2 eerfte linien. Thefis. EF is mede perpend: op het vlak ADBC.
Praparata.
Neem EA, EB, EC en ED alle aan den andere gelyk.
. En trek de regte AD, CB, AC en DB v: 1 beg.
Trek ook na gevalle de regte GEH
v: 1 beg.
En in de hoogte of lugt haal mede de regte AF, CF, DF, BF, HF en CF v: 1 beg. Demonftratie.
De An. AEF, CEF, DEF en BEF zyn regthoekig v: hyp: en 27 def: 1.
Ea om dat nu EA, EB, EC en ED alle aan den ander gelyk zyn v: ber.
Bb 4 Daar'



39* Grond-beginshlen m.:i Meetkunde
Daarom zyri die ook onder malkander gelyk en gelykzydig v: 4- 1
En om>die zelfde .reden zyn' ook de gexyivbeemge An. AED en CDB mede gelyk en gelykzydig v: nêf:
Waar uit dan volgt, dat de reh-klr An AFD en GEB mede gelyk en gelykf dig zyn v: 8: 1. J 3
Om welke rede dan de A" 'G^D GEA HEB en HEC, mede gdyk. en gel iykzydig zyn v: 15: en 26: 1.
Zoo ais dan ook wederom ÜiêKït volgt, dat de An. FGD, f GA, FHB cn FHC mede al gelyk en gelykzydig zynv: 8: 1.
En uit welk laatfte al mede volgt, dat de A". FEG en FEH gelyk cn gelykzydig zyn J By gevolg ïs de y FEG.c=FEH v:8-j Om dat nu GEH een regte linie is v' ber' Daarom zyn de V* FEG en FEH rêet v: 13: 1. 0 •
Op dezelfde wyze bewyfr. men,* dat EF met alle linien, die in het vlak ADBC en door E getoogen zyn , regte hoeken maakt.
Ergo is EF perpendiculair op het vlak ABCD,
Dat te bewyzen was. Corollaria.
?«, Van alk de regte linien, koomende
Uit



vam Euclides, Elfde Boek. 393
uit het punt E buiten het vlak ADBC kunnen geen derzelver perpendiculair op EF zyn.
2e, Gok alle linien, koomende uit E, welke met EF geen regte hoeken maaken, zyn buiten het zelve vlak ADBC.
3e. Zoo dat EF perpend: is op alle regte linien, die in het vlak ADBC door het punt E getoogen worden.
4e. Indien perpend: is op EA en ED, of op EB en. EC, of op EA en EC , of op EB en ED, zoo zal EF mede perpend: op het vlak ADBC zyn.
PROPOSITIE V. THEOREMA V.
Indien een regte linie op drie anderereg* te linien, die elkander in een zelve punt ontmoeten , perpendiculair ftaat, dezelve Jinien zyn in een zelve vlak,
CFig. 295. Tab. XXI.) Hypothefis. AC, AD en AE zyn 3 linien , die elkander ontmoeten in het punt A , cn .AB ftaat perpend: op alle drie. Thefis. AC, AD en AE zyn in een zelve vlak. Demonjlratie.
Twee van deze drie linien, hoe men die neemt, zyn in een zelve vlak v: 2: 11. Dat is AC met AD en AD met AE. Nademaal nu AB met geen andere linie, Bb 5 do°*



394 Grond-beginselen der Meetkunde
'door A gaande, perpendiculair kan zyn,' dan met die, welke in dat zelve vlak zyn v: i con 4: ii. '
Daarom zyn de drie linien AC, AD en AE in een zelve vlak.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Alk regte Unien elkander in een punt doorfnydende, op welke een regte linien perpend: ftaat, zyn in een zelve vlak v: 4: 11.
Zoo dat dit veorftel wel befchouwd een gevolg is van het voorgaande voor/tel.
PROPOSITIE VI. THEOREMA VI.
Indien twee regte linien uit een zelve vlak perpendiculair zyn opgeregd, dezelve zyn parallel.
C Fig. 296. Tab. XXI. ) Hypothefis. De regte AB en CD zyn beide
perpend: op het vlak EF. Thefis. AB is parallel CD.
Praparata.
In het vlak EF laat getoogen zyn de regte AC v: 1 beg.
Item CG = AB en perpend: op AD v: 2 & 11: 1.
Nog de regte AG, en in de hoogte de regte GB en CB v: 1 beg.
De-



van Euclides, Elfde Boek. 395
Demonftratie. Dan is in de An. ACG en BAC. CG = AB v: ber.
AC gemeen.
V ACG = v BAC v: ber, 'By gevolg is de An«
BGC en BAG.
BC = AG v. 4: i* CG m AB v: ber. BG gemeen.
En daarom V BCG sai V BAG v: 8:1. Maar de V BAG is regt v: 4: ïi. Daarom ook de V BCG mede regt v: 10: ax.
By gevolg is CG perpend: op de 3 linien AC, BC en CD v: 5: n»
Om welke rede dezelve in een vlak zyn v: 2: si.
En nademaal de Vn.BAC en DCA regt zyn v: hyp.
Daarom is AB parallel CD v: 28: 1. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE VII. THEOREMA. VII.
Indien twee regte linien parallel zyn, en in dezelve na gevalle genoomen worden eenige punten, en van deze punten getoogen regte linien , dan zullen deze regte linien in een vlak zyn*
CFig. 297. Tab. XXI.)
Hy-



396 Grond-beginsel der Meetkunde
Hypothefis. AB en CD zyn paraIIel> in
■ zyn genoomen dc punten E en F*
Thefis DerTvv ^ get°°gen de regteEf! lhcfis. Deze EF is met de parallelle AB en CD
in een zelve vlak ABDC. ■Demonjlratie.
NademaalAB en CD parallel zyn v:hyp Daarom zyn dieinhet zelve vlak v o/f Ergo is EF mede in dat zelve vlak v V cor: i: ii. v- 2*
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE VIII. THEOREMA VIII.
Indient zyn twee parallelle regte lï-
het vlak is; dan zal ook de and Jro J hoekig op het zelve vlak zyn. S
(Fig: 295. Tab. XXI ) Hypotefi, AB en CD parallei, en AB perpM(].
op het viafcEF 1 " F"??0,
Thefis; CD is mede perpend: op het vlak EF. Demonftratie.
Dewyl wy de fig. van de ff. dezes ponder eenig verandering of byvoegin/ alhier-genoomen hebben, zoo zullen £ Voor beweezen aanneemen Dat de VGAC'en GCö regt zyn; En derhalven GC regthoekig 0p het vlak, dat door AB en CD gaat v: 4: ' 1 zyn.



van Euclides, Elfde Boek. 307
zynde dit het zelfde vlak, in welke de parallelle AB en CD zyn v: 7: n:
By gevolg is GC perpend; op CD v: 3. def: ii.
En daarom is de V DCA mede regt v: 29: 1. om dat hier de beide inwendige Vn. op een zyde van 2 parallelle gelyk 2 regte V". zyn.
Ergo is CD perpend: op het vlak. EP v: 4: 11. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE IX. THEOREMA IX.
De regte linien, die tegen een andere regte linie parallel zyn, maar niet in een zelve vlak, die zyn ook onder elkander parallel.
(Fig. 298. Tab. XXI.)
Hypothefis. AB en CD zyn parallel met EF, maar zyn yder in een byzonder vlak, als AB in het vlak AF, en CD in het vlak ED. '
Thefis. AB parallel CD.
Praparata.
Neem in EF het punt G na gevalle, en uit het zelve in het vlak der parallelle AB en FE trek GH perpend: op EF.
Ook in het vlak der parallelle EF en DC trek GI perpend: op CF v: 11: 1.



jp8 Grond-beginselen der Meetkunde
Demonjlratie,
Dewyl na de y EGH en EGI regt zyn v: ber. J
Daarom is EG perpend: op het vlak HGI v: 4: 11.
En AH en Cl zyn mede perpend: op het zelve vlak HGI v: 8: 11. Ergo is AH parallel Cl v: 6: «. Dat is AB parallel CD v: k: b. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE X. THEOREMA X.
Indien twee regte linien, die malkander raaken of te zaamen komen in een zeker punt, parallel zyn met twee andere regte linien, die elkander mede in een zeker punt raaken of te zaamen koomen, niet een zelve vlak zynde; deze zullen gelyke hoeken begrypen.
C Fig. 209. Tab. XXI. ) Hypothefis. De regte AB en AC , die elkander raaken in A, zyn parallel met 2 ande. re regte ED en DF, die elkander mede raaken in D, maar zyn niet in het zelfde vlak. Thefis. De V BAC rr y EDF. Praparata. Maak AB = DE & AC = DF v: 2: u En trek de regte AD, BC, EF, BE CF v: 1 beg.
De-



van Euclides, Elfde Boek.. 399
Demonftratie.
Dewyl dan AB gelyk en parallel DE is v: hyp: en ber.
Daarom is BE gelyk en parallel AD v: 33: 1. om dat gelyke parallelle gelyke parallelle zaamen voegen.
Om gelyke wyze is CF gelyk en parallel aan AD v: 33: 1.
En daarom is BE gelyk en parallel CF v: 0: it. en 1 ax.
Waarom ook BC gelyk en paraüel EF v: 33: 1.
By gevolg Zyn in de An. ABC en DEF de zyden de een den ander gelyk v: ber: en b: b.
Ergo is de V BAC == V EDF v: 8:1.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
De helling van een vlak tot een vlak is ever al gelyk.
PROPOSITIE IX. PROBLEMA I.
Van eea gegeeve punt in de lugt op een onderfteld vlak een perdendiculaire
linie te trekken.
(Fig. 300. Tab. XXI.) 't gegeevene is het punt A in de lugt, en het vlak BC.
't begeerde is uit dat punt op dat vlak een perpend: AI te trekken.



4ÖO Grond-beginselen der Meetkunde
'Conftruftie.
*e. Cp het vlak BC trek na gevalle de regte DE v: i beg.
2e. En op dezelve uit A trek de perpend: AF v: 12: 1.
3e. Dan uit F in het vlak BC trek FH perpend: op DE v: ir: 1. 4e. En op FH de perpend: AI v: 12: 1. Deze AI zal de begeerde perpend: weezen. Praparata.
Trek IL parallel DË v: 31: i. Demonftratie.
Om dat DE perpend: opFH, en ook op AF is v: conft.
Daarom is DF perpend: op het vlak IFA v: 4: 11.
Waarom IL mede perpend: op het zelve vlak is v: 8: 11.
By gevolg is de V LIA regt v: 3 def: ir. En nademaal de V AIF mede regt is V: conft.
Daarom is AI perpend: op het vlak BC v: 4: 11.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XII. PROBLEMA II.
Uit een gegeeye punt in een gegeeve
vlak



van Euclides, Elfde Boek. 401
Vlak een linie op te regten, die perpen* diculair op het zelve vlak is.
CFig. 301. Tab. XXI.) 't gegeevene is' vlak BC, en het punt A op het zelve.
* begeerde is uit dat punt op dat vlak een perpend: AF te fteileh. Conftruüie.
iK Uit het punt D, na gevalle buiten het vlak in de lugt genoomen, ftel op het zelve vlak de perpendic: DE v: 11: «. 2e. Dan trek AE V: 1 beg. f. Als mede AF parallel aanDEv: 31: iï Dan is AF de begeerde perpendiculair. Demonjlratie. Dewyl ED perpend: op het vlak BC, En AF parallel ED is v: conft. Zoo is ook AF perpend: op het vlak BC v: 8: 11. Dat te bewyzen Was.
PROPOSITIE XIII. THEOREMA XI.
Van een gegeeve vlak uit een gegeeve punt in het zelve kunnen 'er op eene zyde geen twee perpendiculaire linien ge-; toogen worden.
(Fig. 302. Tab. XXL) Hypothefis. C is een punt in een gegeeve vlak AB Thefis. CD en CE kunnen beiden niet perpend: op het vlak AB zyn.
cc m



402 GllOND-BEGINSELEN DER MEETKUNDE
Demonftratie.
Indien CD en CE beiden op het vlak AB perpend: vvaaren.
Zoo zouden dezelve parallel zyn v: 6; i r j
Maar zulks is onmogelyk v: 34: def: 1.
Dewyl dezelve in een punt C zaamen koomen v: hypoth.
Ergo kunnen 'er uit punt C geen twee linien CD en CE op eene zyde perpend: zyn.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XIV. THEOREMA XÏÏ.
Indien een regte linie perpendiculair is pp twee vlakken, zoo zullen dezelve vlakken parallel zyn.
CFig. 303. Tab. XXI.) Hypothefis. De regte AB is perpend: op het vlak CD , en ook perpend: op het vlak EF. Thefis. Het vlak CD is parallel met het vlak EF. Demonftratie.
Indien de vlakken CD en EF niet parallel zyn.
Zoo zullen zy, verlengd zynde, zaamen koomen, zulks dat hun gemeene fneede zy de regte GH.
Zoo men dan hier in neemt het punt I na gevalle. En getoogen worden de regte IA in ÏB
Die



vah Eueiiw», Elfde Boek. 4°3 ryie zullen in den A IAB de hoeken IAB en 1BA yder regt moeten maaken
Maar'zulks is onmogelyk v: ra i. WTnt alle An. zyn de z hoeker> hoe ben die neemt, te zaamen klemder dan
2 Bfa'evolg dit niet zoo zynde, moeten üelkkenCDenEF parallel zyn. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XV. THEOREMA XIH.
««itiftiea. elkander raakende . parallel *ya n^ ^
C J AR en AC, welke elkander raaHypothefis. De regte AB e n'koomen in het punt
' tmpê re<ne DE en »
-„Hoi met de twee n-0^
tooien in he. punt D e» m he, vl*
P üS'tlrek AG perpend: op het vla* ^««kGHprfDE.er.GI, parall:
DÏCJ" Cci' ^



4°4 Grond-beginselen der Meêtkünd2
Demonjlratie.
Dewyl nu GH, DE en AB
Als mede GI, DF en AC onder malkander parallel zyn, v: hyp: en ber.
Daarom zyn de Vn. AGI, AGH, GAC en GAB regt v: 3 def: n. en 29- ï '
Derhalven is AG perpend: op het vlak v; 3 def: 11.
Maar AG is ook perpend: op het vlak El* v: ber.
Ergo is het vlak BC parallel met het vlak EF v: 14: n.
Dat te bewyzen was. Scholmm.
Dit zat niet alleen zoo zyn van twee vier zydige> zoo ak Mgr> maar ^ ^
alle andere , al was de eene van meer of minder zyden dan den andere.
PROPOSITIE XVI. THEOREMA XIV.
Indien twee parallelle vlakken van een ander vlak doorfneeden worden; dan zyn de hmen van hunne gemeene doorInyding mede parallel.
CFig. 3c5. Tab. XXII.) Hypothefis. De vlakken AB en CD zyn parallel en worden doorfneeden door een ander vlak EHFG. Thefis. EH en GF, hunne doorfnydingen zyn mede parallel. y
De-



vak Euclides, Elfde Boek. 405
Demonftratie.
Indien EH en GF niet parallel zyn.
Zoo zullen dezelve verlengd zynde zaamen koomen by voorb: ml.
En nademaal de geheele AEI en FGl in de vlakken AB en CD zyn V: 1: iï.
Zoo zullen dezelve vlakken voort getrokken zynde mede te zaamen koomen.
Maar zulks kan niet weezen v: 8 det: 11.
En by gevolg moeten de linien EH en GF parallel.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XVII. THEOREMA XV
Indien twee regte linien van verfcheide mrallelle vlakken doorfneeden zyn, dezelve Zyn, dezelve dan evenredls
doorfneeden.^ ^ ^ ^
Hypothefis. ALB° en CMD zyn regte linien , die yP door de parallelle vlakken EF, GH
en IK doorfneeden zyn. Thefis. AL : LB : : CM : MD.
PrTZ vlakken EF en IK trek de regte
AC en DB. Item AD, gaande door het vlak GH
in N. , En trek NL en NM alles v: 1. beg:
Cc 3 Ds'



4o5 Grond-begixselen der Meetkunde Demonjlratie.
Dewyl nu de An.ADC en ADB vlakken Zyn v: 2: ij.
Maakende de fnede NL parallel BD,en de fnede NM parallel AC v: 16: 11.
Daarom is AL : LB : : AN • ND ■ • CM : MD : v: 2: 6.
By gevolg is ook AL: LB : ■ CM : MD T> 11: 5Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XVIII. THEOREMA XVI.
Indien van een regte linie, die perpendiculair op een vlak ftaat, eeniae andere vlakken beginnen of doorgaan ; deze zullen alle perpendiculair op het eerfte vlak zyn.
CFig. 307. Tab. XXII.) Hypothefis. De regte AB ftaat perpend: op het vlak CD, en van dezelve re-te beginnen eenig andere vlakken EF &c Thefis. Dit vlak EF ftaat mede perpend: op i ', vlak CD. . -■•" v 1
Praparata.
Laat EG de gemeene doordydinc van de vlakken CD en EF zyn.
En uit eenig punt H na gevallen in het Vlak EF genoomen , getrokken zyn Hl parallel aan AB v: 31; 1.
De-



tak Euclides, Elede Boek. 4°?
^SS^AB perpend: is op het vlak
CD v: hyp. En Hl parallel aan AB v. ber
Daarom is Hl mede perpend: op het
vlak CD v: 8: ii.
Van >s gelyke zullen ook alle de pe pendiculairen op de doorfneede EG per pendiculair zyn op het vlak CD v: ».
By gevolg ftaat het vlak EF perpend. op het vlak CD v: 4 def: , „
Om dezelve rede zullen ook alle ande, re vlakken, gaande door AB, perpendiculair op het vlak CD zyn.
Dat te bewyzen was.
PROPO SITIE XIX. THEOREMA XVII. Indien twee vlakken elkander perpendiculair op een ander vlak fnyden; dan II derzelver gemeene doorfnyding mede perpendiculair op het zelve,yU*,;
fFi» 308. Tab. XXII.; Hypothefis. De vlakken AB en CD fneyden het
vlak GH perpendiculair. Thefis. De gemeene doorfneede EF is perpënd: op het vlak GH.
^rjewyl^de vlakken AB en CD perpend: TO het vlak GHzyuv^hyp. ^



4o8 Grond-beginselen der Mhstjutkd,
Zoo kan üit he£ pmu E op ^ AB en CD een regte linie getoogen worden per-pend: op het vlak GHv 4 def: n En nademaal uit het punt F geen andere perpendiculair op het vlak GH kan odgeregd worden als die in beide vlakken komt, om dat'er anders uit een zelve punt twee perpendiculairen zouden kunnen worden opgerigd. Dat flrydig zoude zyn met de i3: ir JJaarom is de gemeene doorfnyding EF mede perpend: op het vlak GH. ■uat te bewyzen was.
PROPOSItTe^X. THEO. R em A XVIII
Indien een lighaamelyke hoek drie platten hoek begrypt. ^ P
dezelve, hoe men die ook neemt, te zaa men grooter dan de derde.
Hvnnt, r CIig' 3°9- Tab- XXIL) ■Hypothefis. De lieh w Aiirn i,
e iign. v AJ5CD begrypt 3 platten
TW « -BAD, DAC en BAC.
Thefis. De y DAC + V DAB < da„ V BAC Of V DAC + V BAC < dall V DAB
^ + VBAC<da'lVDAC
Jocixen de driehoeken onder elkander ge-
6e V BAC de grootfte vis, 2po neem daar van BAE=3BAD vj 23: r.



van Euclides , Elfde Boek. 409
En maak AE — AD v: 2: 1. Dan trek door E, zoo als het vak, de regte BEC v: 1 beg.
Deze iheidt AC en AB in C en B. En trek de regte BD en DC v: 1 beg. Demonjlratie. Nu is in de An. BAD en BAE AE = AD v; ber. AB gemeen.
En V BAE — V BAD v: ber. En daarom is BD = BE v: 4: 1. Ook is DC + BD < dan BC, om dat dit 3 zyden van een a zyn v: 20: 1.
Wanneer men dan hier van aan de eene kant BE aftrekt.
Zoo reft 'er DC < dan EC v: 5 ax. Derhalven is in de An. DAC en EAC DC < dan EC AD = AE En AC gemeen.
En daarom is de V DAC < dan V EAC V: 25: r.
Aan de eene kant nu de V DAB en aan de andere kant de V EAB, die malkander gelyk zyn v: ber. bygedaan.
Zoo komt 'er de V DAC + V DAB < dan V BAC v: 4 ax.
Dit nu waar zynde met de grootfte hoek, is het ook algemeen waar met de andere hoeken.
Ergo zvn dc twee van de drie platte 3 ' Qc 5 b°<*



^ro Grond-beginselen der Meetkunde hoeken van een ligh: hoek, hoe men die pok neemt , te zaamen grooter dan de derde.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXI. THEOREMA XIX.
Alle lighaamelyke hoeken worden van minder dan van vier regte platte hoeken begreepen.
CFig. 310. Tab. XXII.) Hypothefis. ABCDE is een lighaamelyke hoek. ihefis. Dezelve is kleinder dan 4 regte platte Vn- • Praparata.
Laat in de linien AB, AC, AD, DE genoomen worden de punten B, C, D en E na gevalle, en getoogen worden de regte BC, CD, DE en EB v: 1 beg. Demonjlratie.
Nademaal nu de ligh: V by B bevat Wort van de 3 platte Va. ABE, ABC en EBC.
Zoo zyn de 2 v». hoe men die neemt,
grooter dan de derde y: 20: 3.
En daarom V ABE ± y ABC < V EBC, Alzoo is het ook geieegeu met de ligh?
Vn. by C, D en E.



van Euclides, Elfde Boek. 41*
En daarom is
V ACB + v ACD < V BCD
V ADC + V ADE <, V C-E
V AED + V AEB < V DEB Waarom dan de 8 Vn. ABE, ABC,
ACB, ACD, ADC, ADE, AED,AEB, < zyn dan de 4 Vn- EBC, BCD, CDE, DEB v: 4 ax.
Nu zyn de 4 Vn. EBC, BCD, CDE? DEB = 2 X 4 — 4 dat is =4 regte Vn. v: fch: 32: 1.
Daarom de 8 Vn.ABE, ABC, ACB, ACD, ADC, ADE, AED, AEB, zyn < dan 4 regte V». v: Je b.
Daar nu de 3 yn. van ieder A Ab^, ACD , ADE , AEB, byzonder gelyk
2 regte Vn- zyn v: 32:
Daarom zullen de 12 Vn. van deze 4 An. te zaamen uitmaaken 8 regte yn.
Maar de g V". ABE, ABC enz. zyn < dan 4 regte Vn- v: b: b.
Derhalven zyn de overige 4 hoeken BAC, CAD, DAE, EAB, die den ligh:
V uitmaaken, kleinder dan4regte hoeken. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXII. THEOREMA XX.
Indien 'er zyn drie platte hoeken, waar van de twee, hoe men die neemt, grooter



412 Grond* beginselen der Meetkunde
ter zyn dan de derde, begreepen van gelyke regte linien; zoo is het mogelyk dat uit de regte linien, die gelyke regte Imen te zaamen voegen, een driehoek kaa gemaakt worden.
CFig. 3ii. Tab. XXII.) Hypothefis. Van de platte Vn. A, B en CHI 2y„ 'er 2, hoe men die neemt / dan de 3«. AD, AE, BF, BG, CH en Cl zyn gelyk.
Thefis. Van de 3e. linien DE, FG en Hl kan
een A gemaakt worden, Praparata.
Maak den V HCK = V B zoo dat »-lv = CH is v: 23 & 2: 1.
En trek de regte IK v; 1 beg. Demonjlratie Dan is in de A». FBG en KCH. CK ~ BF v: ber. CH r= BG v: hyp/ V HCK = VBv: ber. _ Daarom is HK = FG v: 4: r. En in de An. KCI en ADE is," KC f= AD v: ber: en 1 ax. Cl t= AE v: hyp: V KCI < v A v: ber: hyp: en 9. ax. En daarom is KI < dan DE v: 24: 1. Om dat nu KI, IH en HK de 3 zyden «yn van den A KHI v: 21 def: 1. Daarom is KI > dan HK + IH v 201 Nu is KI < dan DE, enFG^HKv:b: b-



Van EudLiDis, Elfde Boek. 4*3
By gevolg ïs DE > dan FG + Hl v:
k: b:
Op dezelve wyze nu demonftreert men, dat van de overige linien ieder twee aan twee grooter zyn dan de derde.
En derhalven is het mogelyk, dat van dezelve drie linien een driehoek kan gemaakt worden v: 20: 1.
Dat te bewyzen was. Scholium.
Indien de hoeken A, B en HCI te zaamen kleinder zyn dan twee regte hoeken, en van de drie Unien DE, FG en Hl, een driehoek KHI gemaakt wort, en om denzelven een cirkel befchreêven is; dan zullen de radii van denzelve cirkel kleinder zyn, dan een der hoeklinien AD.
(Fig. 312; Tab. XXII.) Indien de radii LK, LH, LI gelyk een der hoeklinien waaren.
Dan zouden de V". in het cent: L gelyk zyn aan de 3 vn- A, B, HCI v: 8; 1, Dat is kleinder dan 2 regte yn- v: hyp'. Maar zulks is niet mogelyk v: 2 cor: 13: xt En daarom kunnen dezelve radii dan ook niet gelyk zyn aan een der voorgefleld» hoeklinien.
Ook kunnen die radii niet grooter zyn, , TVant dan zouden die hoeken in het cent: nog kleinder zyn v: 21: z.
Dat



414 Grond-beginselen der Meetkunde
Dat nog meerder onmogelyk is v: 4 cor: 13: i.
Ergo zyn de radii kleinder dan de hoeklinien.Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXIII. PROBLEMA III,
Van drie platte hoeken, waar van de twee, hoe men die neemt, te zaamen grooter zyn dan den overige, een lighaamelyken hoek te maaken, mits dat derzelver drie hoeken te zaamen minder zyn dan vier regte hoeken.
(Fig. 313. Tab. XXII.) 't gegeevene is de 3 platte Vn- A, B en C , welke zekere conditiën hebben , als dat de 2, hoe men die neemt, grooter zyn dan de derde, en dat die 3 Vn- zaamen minder zyn dan^egte.'t begeerde van dezelve een ligh: V te maaken. Conftruclie.
ie. Maak AD, AE, BF, BG, CH en Cl onder malkander gelyk v: 2: r.
2e. En trek de regte DE, FG en Hl v: r beg.
3e. Van dezelve maak den'A KLM, namentlyk KL — DE, LM — FG, en MK = Hl v: 22: 1.
4e„ En befchryf om denzelve den cirkel OKML v: 5: 4.
5e. En trek den radius OM.



van Euclides, Elfde Boek. 415
6e. Aangezien nu AD grooter is dan, een van deze radii, daarom ftel ON perpend: op het vlak des cirkels v: 11: 11.
Zoodanig dat KO? + ON* = AD* is v: ie. lid 31. 3.
7e. En getoogen de regte KN , NM en NL v: 1 beg.
Dan is NKML den begeerden lïgh-J hoek.
Demonjlratie.
Nademaal de yKON regt is-\^i COn.ft
En KO? 4- ON* ~ AD* is. J
Zoo is KN *== AD v: 47: 1. en 1 as:
en 2 cor.- 46: 1. En op dezelve wyze is MN en LN
se AD.
En daarom is de V KNL = V A, en V LNM - VB, sen V KNM = VC. v: 8: 1.
Derhalven is van de 3 gegeeve platte hoeken gemaakt den lighaamelyken hoek N.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXIV. THEOREMA XXI.
Indien een lighaam begreepen is van parallelle vlakken; dan zyn derzei ver
over-



4ï 6 Grond-beginselen dèr Meetkunde
overftaande vlakken gelykformige en gelyke parallellogrammen.
(Fig: 314. Tab; XXII.) Hypothefis. AB is een lighaam, begreepen van'
parallelle vlakken. Thefis. 't Vlak AG — en par: 't vlak DB, 't vlak AC = en par: 't vlak FB, en 't vlak AE = en par: 't vlak HB.
Praparata.
Laat getoogen zyn de regte DF en CG v: 1 beg.
Demonjlratie.
Nademaal nu de parallelle vlakken AG en DB gelneeden worden door het vlak AC.
Zoo is derzelver fnede AH — DC v. 16: ai.
Op dezelfde wyze is AD — HC.
En daarom is ADCH een parallellogram v: 33 def: 1.
Op gelyke wyze zyn de overige vlakken van het lighaam parallellogrammen.
En om dat AF = HG is v: b: b.
Daarom is in de An. DAF en CHG.
V DAF — v CHG v: 10. 11.
AF — HGI _ ,
AD = HC/v: b: b: en 34= 1.
Ergo zyn de vlakken ADEF en HCBG gelyke parallellog: v: 4: en 34: 1.
En ook zyn die gelykformig v: 4; 6". en 1 def; 6.



Van Euclides, Elfde Boek. 417
Op gelyke wyze toont men het zelfde aan van de andere tegen overftaande vlakken.
Dat te bewyzen was,
PROPOSITIE XXV. THEO* R EM A XXII.
Indien een lighaamelyk parallellepipedum gefneeden wort door een vlak, parallel met de tegen overftaande vlakken j dan zal de bafis van het eene ftuk tot den bafis van het andere ftuk als het eene lighaamelyk ftuk tot het ander lighaamelvk ftuk zyn.
(Fig. 315. Tab. XXII.) Hypothefis. ABCD is een f3, dat gefneeden is door het vlak EF parallel aan de vlakken AD en BC. Thefis. Baf: AH : baf: BH : : ligh: ADF : ligh: EFC.
Praparata.
Laat het Q ABCD aan beide zyden verlengd worden, zoo dat AI afc AE, en
BK — BE is.
En volfchreeven Worden de Ö1. AQ.
en BP. Demonjlratie.
Nademaal nu de Ö». IM, AH, DL, en DG, item IQ., AD, EF en BC &c.
Dd ge-



4i8 Grond-beginselen der Meetkunde
gelyk en gelykformig zyn v: 36: i„ en r def. 6. en 24: 11.
Zoo zyn ook de 0*. AQ. en AF ge: lyk v: 10 def: 11.
En om dezelvde rede zyn ook de BP en BF gelyk.
By gevolg zyn de Qfa. jp en EP de gelyke vermenigvuldige van de B> AF en EC.
Even als de bafes.IH en EN zyn van de bafes AH en BH v: 10 def: ïï.
Zoo nu de bafis IH grooter, gelyk of kleinder dan den bafis EN is.
Dan zal mede >t 0 IF grooter, gelyk of kleinder dan het O EP zyn v: 10 def: 11: en k: b.
En daarom is baf: AH • bafi BH • • '0AF:B EC. 'Dat te bewyzen was. Schol-mm.
Dit zelfde kan ook toegepaft worden aan de prismata, gelyk ligt te bevatten, is, en het bewys komt op het zelfde 'uit. Corollarium.
Wanneer een prisma gefneeden wort door etn. vlak parallel met de tegen overftaande vlakken; dan zal de fneede zyn een fiauur gelyk en gelykformig de overftaande vlakken.
PRO-



YAM EUCUDES, ELFDE BOEK. 419
PROPOSITIE XXVI. PROBLEMA PV.
Op een gegenve regte linie uit een gegeeve punt in dezelve een lighaamelyke hoek te maaken, die fe'yk. is aan een andere gegeeve lighaamelyke hoek.
(Fig. 316. Tab. XXII.) 't gegeevene is de reste linie AB , hst punt A,
■en den lishamel: Ifoek CDEF.' 't begeerde js te maaken den ligh': V AffiL 33 . iigh: V CDEF. ; ;
Conftruclie.
s*. Uit een punt F Hei FG perpend* 00 het vlak DCE (het vlak der twee andere hoeklinien DC en EC) v: n: n.
2e. En getoogen de regte linien DFsj EF, EG, DG en CG v: x beg.
3?. Dan maak AH == CD v: 2: 1.
4e' En de V HAI =.V DCE v: 23: 1?
5=. Ook AI.= CE v: 2: 1.
6e. En in het vlak HAI maak den \f HAK ét V DCG v: 23: ii
f. Wyders AK és. CG v: 2: A
8e. En LK = FG perpend: op het Vlak
HAI v: n: n.
9\ Eindelyk trek de regte AL v: 1 beg, Dan zal de -ligh: V AHIL = ligh: V
CDEF zyn,
Dd 3 Pr*l



42o Grond-beginselen der Meetkunde
Praparata.
Laat getoogen zyn de regte HK, KI, IL en LH v: i beg. Demonftratie.
Nu is in de An. DGC en HAK.
AH = CD -)
AK = CG j>v: conft.
V HAC -= V DCGJ Ergo HK = DG v: 4: 1
Zoo men nu van den V HAI = VDCE v: conft.
Aftrekt den V HAK — y DCG yi conft.
Zoo blyft 'er den V KAI == V GCE v. 3 ax.
Derhalven is in de a«. KAI en GCE,
V KAI = y GCE v: b: b: AK = CG")
AI = CE.j>v: conft' Ergo KI = GE v: 4: 1. Ook is in de An. AKL en CGF AK = CG -) KL^rGF j>v: conft.
V AKL = V CGFj' Ergo AL = CF v: 4: 1.
Verders is in de a„. HKL en DGF. HK =5 DG v: b: b: KL = GF -)
V HKL == v DGF j v: confiErgo HL = DF v; 4: 1,
Daar<*



van Euclides, Elfde Boek. 42*
Daarom is dan in de An. HAL en DCL.
HL — DF v: b: b. •
AH = CD1 -
AL = CFJ v; Con&'
Ergo V HAL — V DCF v: 8: u
Nog is in de An, LKI en FGE.
V LKI — V FGE1
KL = GF > v: conft.
KI =z GE j
Ergo LI — FE v: 4: 1.
Eindelyk is de An. LAI en FCE.
LI = FE1 .. .
AL = CFj v: b' b*
AI = CE v: conft.
Daarom y LAI = V FCE v: 8: 1.
Derhalven dan beweezen hebbendé
Dat V AHI -3= V DCE.
, V HAL = V DCF. En V LAI = V FCE is. Zoo is ook de ligh; V AHIL =3 ligh: V CDEF v: 1 ax. Dat alhier beweezen moeft worden.
PROPOSITIE XXVII. PROBLEMA V.
Op een gegeeve regte linie een parallellepipedum te befchryven, gelykformig en gelykftandig een ander voorgefteld pa: rallellepipedum.
Dd 3 (Fig:



'%Zz GaötfD-BËGïsafij.ex' 'eer -Meetkunde
.dJÜ 83 . CFig. 317. Tab." Xaü.)
't gegeevene is de regte A3 , cn 't ggj CD
ft begeerde is te maaken 't QJ AK gelykformig
en gelykftaodig.'t; £B CD. Conjlructie.
x*. Befchryf het ^ BH" gelyliform; het t7 FE.
2e. En het ^7 BI gelykform: n FG T. 18: 6.
Zoo dat deMigh1; VA — ligh: V C is V: 26: 11.
Se. Dan volfchryf het o 'MZ.
Dit is het begeerde. Demonflratie.
De BH en FE zyn gèlySormig
En de 1=7*. BI en FG zyn méde zoodanig "v: conft.
En om dat de ligh: VA hè ligh; y C ïs v: conft.
Daarom zyn de co Hl en EC mede gelykformig v: cor: 34; Ia '
Dewyl nu deze 3 vlakken gelykformige On. zyn, als getoond is.
Daarom zullen de 3 overige mede rrelykformig zyn v: 15. en 24: u.
Derhalven is het ó AK gc'iykforrn^ het B CD y: 9 def: n.
En pok gelykftandig v: k: b, |^ Pat te bewyzen was.
PRO



van Euclides, Elfde Boek, 423
PROPOSITIE XXVIII. THEOREMA XXIII.
Indien een parallellepipedum van een vlak doorfneeden wort door de diagonaaT len der tegen overftaande vlakken heen; dan wort het ganfche lighaam door het zelve vlak in twee gelyke deelen gefneeden.
(Fig. 314. Tab. XXII.) Hypothefis. Het ÉE3 A.B is van het vlak FGCD gefneeden, en deze doorfneede gaat door de diagonaalen DF en CG.
Thefis. Het AB is in tweën gelyk gedeeld. Demonjlratie.
Nademaal het ö AB beflooten is door zes parallellogrammen, waar van de tegen overftaande gelyk en gelykformig zyn v: 30 def: 11. & de 24 p: n.
Zoo volgt het, dat het vlak FGCD mede een parallellog: is v: 9 ji. 1 ax. 33: 1. en 33 def: 1.
Waar uit dan blykt, dat de £7n. AE en HB ieder gedeeld zyn in 2 An. die onder elkander gelyk en gelykformig zyn v: 34: & 8: 1. en 1 def: 6.
By gevolg 'is het S> AB door het v!ak FGCD gefneeden in 2 prisrnata FGCD AH en DCGFEB, welke van even veel gcDd 4 ft»



424 Grond-beginselen der Meetkunds
lyke en gelykform; vlakken begreepen zyn.
En daarom is het O AB in tweën gelyk gefneeden.
Dat te bewyzen was. Corollarmm.
De prtsmata FGCDAH en DCGFEB zyn ook gelykformig.
PROPOSITIE XXIX. THEOREMA XXIV.
De parallellepipeda, die op een zelve bafis en op dezelfde hoogte gefield zyn, en waar van de opüaande linien in dezelfde regte linien zyn, zyn elkander oe-
lyK " ö
(Ffe 318. Tab: XXHL) Hypothefis. De Qj. AGHEFBCD en AGBEMLKJ ftaan op een zeljse bafis AGHE, &n hebben dezeiide hoogte AE, en de opftaande linien AF en AM zyn in dezelfde regte linien AG en FL. Thefis. Beide deze Q1' zyn aan maikander
gelyk. Demonjlratie.
Het blykt uit de demonftratie van de 35; 1, dat de A". DEI, CHK, AFM, en BGE onder elkander gelyk en gelykformig zyn v: 1 der: 6.
En daarom is het prisma AFMEDI ^ «rlsma GBLHOK, v: 10 def: n.
Alt



van Euclides, Elfde Boek. 425
Als men van beide kanten het gemeen prisma NBMPCI aftrekt.
Zoo blyft 'er over het ligh: AFBNEDCP — het ligh: GNMLHPIK v: 3 ax.
Wanneer men hier nu by doet het gemeen ligh: AGNEHP.
Zoo komt 'er het Q AGHEFBCD =2 het £3 AGHEMLKI v: 2 ax.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXX. THEOREMA X X V.
De parallellepipeda, welke op een zelve bafis en hoogte gefteld zyn, en waar van de opftaande linien niet zyn tuflchen dezelfde regte linien, zyn elkander gelyk.
(Fig. 319. Tab. XXIII.) Hypothefis, De Qa- ADCBHEFGen ADCBIMLKftaan op een zelve bafis ADCB, ea hebben dezelfde hoogte; maar de opftaande linien AH en AI zyn niet tusfchen dezelve regte linienThefis. Beide deze f3a. zyn malkander gelyk.
Praparata.
Verleng HE, GF, LM en KI, tot dat ze te zaamen koomen in de punten O, P, M en I v: 2 beg.
En trek de regte AP, DO, BI en CM v: 1 beg.
Dd 5 -.



426 Grond-beginselen der Meetkunde
Demonjlratie.
Nademaal nu DC, AB, HG, EF, PI en OM onder malkander gelyk en parallel' zyn.
Van 'sgelyke pok AD, HE, GF, BC, KL, IMen PO vr 3o: i. *
Daarom zal ACDBROMI een Q zyn v: 15: 11. & 26 def: 11.
By gevolg het g ADCBHEFG — E3 ADCBPOMI = OADCBIMIKv:29:n.
Ergo het 0 ADCBHEFG = Q ADCBIMLK v: 1 ax.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXXI. THEOREMA XXVI.
De parallellepipeda'asdie op gelyke bafes ftaan, en van een zelfde hoogte zyn gefteld , zyn elkander gelyk.
(Fig. 320. Tab. XXIII.) Hypothefis. De QALEKGMBI en CPaOHQDN ftaan op felyke bafes ALEK en CPaO, en hébben dezelfde hoogte. Thefis. Beide deze zyn eikander gelyk.
Nota twee gevallen kan men hier ftellen, als:
ie. Dan de Qi. AB :ea CD, de zyden AG= LM, EB, M en CH, PQ., aD, ON, perpend: op de bafes ALEK en CPap O. heb-



van Euclides , Elfde Boek. 437
hebben, en dan is om de gelyke hoogte de perpendiculair. AG z: CH.
2e. Of dat deaè linien niet perpendiculair zyn op derzelver bafes. Praparata op het eerjle.
Vcleng CP tot in R, zoo dat PR — KE is v: 2: 1.
En befchryf op PR het tst PRTS gelyk en geiykfoimig het cd KELA vi8:6.
Dar' befchryf op het zelve het E3 PRTSQVYX gelyk en gelykformig het ö AB v: 27: 11.
. En laat verder befchreêven worden het 0 PVEDQdaK v: 27: 11.
Verlengende dV en DQ_ tot in XY of zyn verlengde in G en F.
En eR en aP tot in ST of zyn verlengde in b en Z. Demonftratie
Dan zal ('uit hoofde van de 4 gelyke A". VgY, QFX, RbT, PZS) Zg mede een 'cd zyn, gelyk en gelykformig het cd SY v: ber. 10: 11. en 29:, 20:33: en 30: 1. en 1 def: 6.
Ook is het cd SY gélyk en gelykf: het 'cd PV v: ber. • En het & KL = cd SR v: ber.
Derhalven is het £5 AB — het £=5 SV ei hetFJ ZV v: ber. en 29: 11.
En daarom is cd KL ( — cd SR — Ö ZR) tot cd pe (= o Ca; als o ZV
fes



428 Grond-beginselen der Meetkunde
(= B SV = B AB ) tot e3 RD C— O CD) v: o: 5. 29: 11 en ber.
By gevolg is cd KL: Ca:: 0 AB: 0 CD v: 22: 5.
Om dat nu KL = cd Ca is v: ber.
Daarom is ook het 0 AB == het£3 CD v: cor.' 14: 5.
Dat te bewyzen was.
Op het tweede.
Maar zoo de 0*. AB en CD de zyden op de bafes niet perpendiculair hebben.
Zoo laat in dezelve hoogte op ieder cd een ander by gedagten verbeeld worden, •welkers zyden op den bafis perpendiculair zyn.
Deze zullen onder elkander gelyk zyn v; b: b. en 29 n.
Ergo de gegeeve fchuynfe zullen mede gelyk zyn v: 1 ax.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXXII. THEOREMA XXVII.
De parallellepipeda, welke een zelfde hoogte hebben, zyn tot elkander als hunne bafes.
CFig. 321. Tab. XXIII.) Hypothefis. De Qa ABCD en EFGH hebbe» een zelfde hoogte,
The-



van EtiCxiDES, Elfde Boek. "429
Thefis. 0 abcd: 0 efgh :: baf. ab : baf. ef. Praparata.
Verlengd EH tot In I, zoo dat Hl: AD • : BD : FH is v: 12: 6. »
En volfchryf het cd IF.
Als mede het 0 FIKM. Demonftratie.
Nademaal nu het cd AB = het cd FIïs V: i& 6":
Daarom is ook het q FIKM : — het 0 ABCD v: 25 11.
Ook is het 0 FIKM : 0 EFGH : : cd FI : cd EF v: 25: 11.
Ergo is ook het 0 : ABCD : 0 : EFGH ; : cd AB : cd EF v: 7 5.
Dat te bewyzen was. Coroltarium.
De parallellepipeda'as ABCD en OPQR met gelyke bafes AV en OS zyn tot elkander als hunne hoogtens.
Want indien men zig verheelt, dat de zyden BD en PR perpend. zyn op derzelver bafes AV en OS, en dat in RP genoomen is RW — BD.
Dan is het. & : OWXR = het 0 ; ABCD v: 31 11.
En daarom het 0 : OWXR f==^0 : ABCD) /o? fo*0 : OPQR a//RW(= DB) tot RP 1: 6 en 32: 11.
PRO^



430 Grond-beöïnselen der Meetkunde
PROPOSITIE XXXIII. THEOREMA XXVIII. ,
De gelykformige paraHellepipéda'as zyn tot elkander-in-de drievoudige rede hunner gelykformige zyden.
(Fi<?. 3-22. Tab. XXIII.•) Hypothefis. De g>. : ABCD en EFGA zyn ge» lykfonpig. ; ,
' Thefis. He£ ^ . ABCD : 0 - EFGH : : , 3 v: AI : 3 v: EK Praparata.
Verleng Al, BI en Dl" zoo. dat IL ha EK, IN = KF en 10 = KH is v: 2 i. En volfchryf het 0 : 1XMT. Het zelve zal gelyk en gelykformig het 0 : EFGH zyn v: 27: 11 en 10 def: 11.
Volfchryf ook de Q» IXPB en DLYQ. Demonftratie.
Nadien nu is 0 AQ : 0 ld : : ö AD : : c=j 1Z : : AI : IL v: 32 11 en 1: 6.
En 0 ld : O OY : : o IZ . ö IX : : ID : OI v: utf. .
En 0 OY : 0Tw~: : CJÏe: CDlT:: BI : IN v: utf:
Zoo h ook 0 AQ : 0 ld : : 0ld : 0 OY 1 0 OY : 0 1W :: AI .TL v: 11. en 7: 5.
Dus ook g AQ : 0 PW : : 3 v; AI ; 3 v: IL v: 10; def: 5.
Maa/



'Van'Eücxides, Elfde Boek. 43-1
Maar nu is g IW = e EFGH.
En IL — EK beide v: ber.
En daarom is 0 AQ. : 0 EFGH i : 5 v: AI i 3 v: EK v: 1 ax. ,
Dat te bewyzen was. CoroHarium.
Men ziet dan dat Al; IL, BI en IN vier continue proportionaalen zyn. , En dat het parmUeüep: AQ befchreêven is op de eerfe AI.
En het paratleüep: IW getykform: befchreêven is op de vierde IN, waar uit dan volgt.
Zoo vier regte titlfyri proportionaal zyn; dan zal het parallellepipedum op de eerfle zyn tot het parallellepipedum gelykformig befchreêven op de tweede, als de eerfle is tot de vierde v: 10 def. 5. en 33: n.
PROPOSITIE XXXIV. THEO REMA XXiX.
Van de gelyke parallellepipeda zyn de bafes en hoogtens in een wederkeerige reden.
En de parallellepipeda, wiens bafes en hoogtens in een wederkeerige reden zyn, die zyn gelyk.
, (Fig: 323- Tab: XXIII.) ïe. Hypothefis, de 0a. ABCD en EFGH zyn gelyk.
The-



432 Grond-beginselen der Meetkünêé
Thefis. Baf: AD : baf: EH : : hoogte EG : hoogte AC, fie. Hypothefis, Baf: AD : baf: EH : : hoogte EG : hoogte AC. Thefis. De 0,. ABCD en EFGH zyn gelyk.
Praparata.
Indien de hoogtens gelyk zyn, dan zullen de bafes mede gelyk zyn.
Of zoo de bafes gelyk zyn, dan zullen de hoogtens mede gelyk zyn v: 31: 11.
Maar gefteld dat de hoogtens niet gelyk zyn.
En dat de zyden AC en EG perpend: zyn op derzelver bafes.
Dan zyn AC en EG de hoogtens van de parallellepipeda.
Zoo dan EG grooter dan AC is.
Zoo laat in EG genoomen worden EI — AC v: 2: 1.
En laat door I getoogen zyn het vlak IK parallel EH. Demonftratie op bet eerjle.
Nu is z=7 AD :£=7EH::öAB:eEK.
En O AB : Q EK : : o GL : cu IL.
En c=j GL : 1=1 IL : : EG : EI.
En EG : EI : : EG : AC.
Ergo is baf: AD : baf: EH : : hoogte^ EG : hoogte AC v: ii; 5. Demonftratie op het tweede.
Nu is 0 AB : O EK:: AD: hd EH.
En EG : EI n^iè IL.
E9



van Euclides, Elfde Boek. 433
Èn cd GL : cd IL : : SEF :g EK En daarom ÖAB : S EK : ; SEF i É5 EK v: ii: 5.
By gevolg Is £3 AB = £5? EK v: 9: 5. Dar te bewyzen was. Coroilarium.
Het geene Van de parallellepipeda beweezen is ih de 29". 3013. 3ie. 32e. g3e. en 34^ pmpofïtie dezes, moet ook zoodanig ver/laan worden van de driehoekige prismata v: 28; 11. en 15: 5.
PROPOSITIE XXXV. THEOREMA XXX.
Indien 'er zyn twee gelyke platte hoeken , uit welkers fpitfeh regte linien in de lugt gefteld worden, die met dê eerfte hoeks zyden eiks tot de zyne gelyke hoeken maaken, en in deze lugt linien genoomen worden in elk een zeker punt, en van deze punten tot het vlak der eerft gefielde hoeken getrokken worden perpendiculairen j en van de punten, dié van de perpendiculairen op de vlakken zyn, tot de eerftgeftelde hoeken gevoegd worden regte linien; deze Zullen met die in de lugt gaande gelyke hoeken begrypen.
(Fig. 324. Tab. XMII.) Hypothefis. De platte V". BAC en EDF zyn
Ee ge.



434 Grond-begimselen der Meetkunde
gelyk, uit de fpitfen A en D zyn in de lugt gefteld de i regte linien AG en DH, die met de eerfte hoeks zyden AB en DE gelyke Vn- maaken CV GAB = V HDE en V GAC — V HDF.) In deze lugt linien AG en DH zyn genoomen de punten G en H na believen, en uit deze punten tot het vlak der eerft gefielde Vn. BAC en EDF getoogen de perpend»». GI en HK, van deze Punten I en K, zyn getoogen de regte AI en DK. Thefis. Deze AI en DK zullen met AG en DH niaaken den v/ GAM — V HDK. ~~ Praparata.
In AG neem AL r= DH v: 3: r. En trek LM parallel GI v: 31: 1.' Dan maak MC, MB, KF en KE perpend: op AC, AB, DF en DE v: if- 1 En trek de regte BC, LB, LC, EF* HF en HE v: 1 beg. Demonftratie.
Nadien nu GI perpend: op het vlak BAC is v: ber. Zoo is LM mede perpend: daar op v: 8: n. En daarom zynde V". LMC, LMA en LMB. regt v: 3 def: n.
Op gelyke wyze zyn de V". HKF, HKD en HKE mede regt.
En daarom is AL* = AM* + LM* v: 47: 1.
Eu



van Euclides, Elfde Boek. 435
Ën AM? — AC? -f CM v: 47: i* Ergo AL? — AC? + CM* + LM yi 1 ax.
Ook is CM? + LM? — LC? v: 47; 1. Daarom AL — AC? + LC? v: 1 ax. By gevolg is de V ACL regt v: 48: 1. Van 's gelyke bewyffc men alzoo dat de
V DFH regt is.
Wederom is AL? :— JAM? + LM* v: b: b.
En AM? — AB? + BM? v: ^yTi. Ergo AL? = ABf + BM? + LM? v: 1 ax.
En BM? + LMq ra BL? v: 47: 1. Daarom AL? — AB? + BL? v: 1 ax. By gevolg is de V ABL regt v: 48: ï. Op dezelfde wyze betoogt men dat de
V DEH mede regt is.
Daarom is dan in de An. ABL en DEH. De V BAL = V EDH v: hyp.
V ABL — V DEH V: b: b. AL = DH v: ber.
Daarom is AB rr= DE v: 26: 1. Ook is in de An. ACL = DFH. De V CAL = V FDH v: hyp.
V ACL — V DFH v: b: b. AL =s DH v: ber.
Daarom is AC ra DF v: 26: 1.
Zoo dat dan de An. ABC en DEF twee zyden en een hoek tusfchen beide gelyk hebben v: b: b,
Ee 2 En



i
436 Grond-beginselen ï>er Meetkunde
En daarom V ABC = y DEF1
V ACB = V DFE f v:+-iBC ~ EF. j
Nu is V ABM — V DEK v: ber.
En V ABC =3 V DEF v: b: b.
Dit van den anderen afgetoogen.
Reft 'er V CBM 3= v FEK v: 3 ax.
Ook is V ACM = y DFK v: ber.
En V ACB =5 V DFE v: b: b.
Dit van den anderen afgetrokken.
Reft 'er y BCM — V EFK v: 2 ax.
Zoo dat dan de An. BCM en EFK twee zyden en een hoek tusfchen beide gelyk hebben.
En daarom is CM — EK v: 2(5: 1.
En AC =a DF v: b: b.
Dus is CM? m FK?1
AC* = DF?j*v: 1 cor: 4Ö: ï'
En omdat nn de yn. ACM en DFK regt zyn v: ber.
Daarom AM? ~ DK?.
Nu is AL? i= DH2 v: ber. en 1 cor: 46: 1. .
En om dat nu de V ALM en DHK regt zyn v: ber.
Daarom AL? afgetoogen van AM?.
En DH? afgetoogen van DK?.
Zoo zal 'er blyvenLM? = HK? v: 47:1.
En by gevolg ook LM = HK v: 2 cor: 46: 1.
Der-



van Euclides, Elfde Boek. 437
Derhalven zyn de An. ALM en DHK onder malkander gelykzydig.
En dus is de V LAM = HDK v: 8# .
Dat te bewyzen was. Corollarium.
Uit de demonjlratie blykt, dat, als 'er zyn twee gelyke platte hoeken, uit wiens toppen in de lugt gelyke regte linien /laan, die met de eerjl gefielde linten gelyke hoeken maaken, de een tot de andere; dan zullen de perpendiculairen, die de uiterfte punten der in de lugt Jlaande linien op de vlakken der eerjl ge/telde hoeken vallen, onder el-° kander gelyk zyn, dat is LM gelyk HK,
PROPOSITIE XXXVI. THEOREMA XXXI.
Wanneer drie linien evenredig zyn; dan zal het parallellepipedum, dat van dezelve drie linien gemaakt is, gelyk zyn het parallellepipedum, dat van de middelfie linie gemaakt is, als dezelve gelykhoekig zyn.
(Fig: 325. Tab: XXIII.)
Hypothefis. DE, DG en DF zyn 3 evenredigen.
Thefis. £3J DH (gemaakt van deze 3 evenredigen) rsr £3 IN C gemaakt van de middeifle DG) mits dat die beide gelykhoekig gemaakt worden.
Ee 3 De-



438 Grond-beginselen der Meetkunde Demonftratie,
Om dat nu DE i DG : : DG : DF is Ti hyp.
En IK = IL = DG is v: hyp. Daarom is DE : IK : : IL :DFv:k:b. En by gevolg DE X DF = IK x IL* Of dat het zelfde is cd FE — ,C7LK v: 14: 6.
Wyders om dat de platte V EDF ~ platte V KIL is v: hyp.
En om dat de in de lugt gaande DG en IM gelyk zyn v: hyp.
Daarom zyn de hoogtens der 0S. me-> de gelyk v: cor: 35: 1 r.
Om welke rede dezelve dan gelyk zyn v: 31: 11.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXXVII. THEOREMA XXXIL
Wanneer vier regte linien evenredig zyn; dan zullen ook de parallellepipeda'as, die op dezelve gelykformig en geJykftandig befchreêven zyn, evenredig
zyn.
En wanneer vier gelykformige en gelykftandige parallellepipeda'as evenredig zyn; dan zullen de vier regte linien, op
wel»



van Euclides, Elfde Boek. 439
- welke zy befchreêven zyn, mede evenredig zyn.
CFig. 326. Tab. XXIV.) ie. Hypothefis. A : B : : C : D.
Thefis. £3 A : £3 B : : £3 C : £3 D. 2e. Hypothefis. £3 A : £3 B: : £3 C : £3 D.
Thefis. A : B : : C : D. Demonftratie op het eerfte. Alhier is £3 A: £3 B :: 3 v: A : 3 V: B. En A : B : : C : D v: hyp. Dus 3 v: A : 3 v: B : : 3 v: C : 3 v: D. En 3v: C:3v: D::£3C:£3D v: 33:11. Ergo£3A:£3B::£3C:£3D v:n:5. Dat te bewyzen was. Op het tweede.
Alhier is 3 v: A : 3 v: B : : £3 A :
£3 A v: 33: n.
En£3A:£3B::£3C:£3Dv: hyp. En C:£3D::3V:C:3v:Dv:33:n. Ergo 3 v: A : 3 v: B : : 3 v: C : 3 v: D
v: 11: 5'
By gevolg ook A : B : : C : D. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XXXVIII. THEOREMA XXXIII.
Indien een vlak perpendiculair op een ander vlsk geregd is, en uit een pufit in een dezer vlakken tot het andere yfek getoogen is een perpendiculair; deze perEe 4 Ven'



44° Grond-beginselen der Mestkundi»
pendiculair zal op de gemeene doorfny»
ding dezer vlakken vallen.
CFig: 327. Tab. XXVI.)
Hypothefis. Het vlak AB is perpend: op het vlak CD, en AD is hunne gemeene door^ fnyding, uit een zeker punt E in het vlak AB is getoogen tot het vlak CD den perpend: EF.
Thefis. Deze EF zal vallen op AD.
Praparata.
Indien het mogelyk is, dat EF, welke perpend: op het vlak AC getoogen is, niet op de gemeene doorfnyding der vlakken valt.
Zoo laat het ergens anders zyn in het punt F.
Laat dan uit P getoogen worden FG perpend: op de fneede AD v: 1:: 1.
En getoogen de regte EG v; 1 beg: Demonftratie.
Aangezien nu EF perpend: op het vlak ACisv: ftell.
Zoo is mede EF perpend: op FG v: 3 def: n.
By gevolg zuilen in den A EGF beide de vn. EFG en EGF yder regt zyn v: 4 def: 11.
Maar zulks is onmogelyk v: 17: 1.
Derhalven dit niet mogelyk zynde, kan de perpend: EF niet buiten maar op de gemeene doorfnyding AD vallen.
Dat;



van Euclides, Elfde Boek. 44.1
Pat te bewyzen was. Corollarium.
Indien EF niet valt in de gemeene doorfnyding der vlakken; zoo fnyden die vlakken elkander niet perpendiculair v. k: b.
En als dan valt EF in EG , die met EG door den fcherpen hoek EGF de helling dervlakken aantoont.
PROPOSITIE XXXIX. THEOREMA XXXIV. Indien van een lighaamelyk parallellepipedum de zyden der tegen overftaande vlakken in tweën gelyk gefneeden zynde, door deze punten gemaakt worden andere vlakken; dan zal de gemeene doorfnyding dezer vlakken en de diameter van het geheele parallellepipedum malkander in twee gelyke deelen.
(Fig. 328. Tab. XXIV.) Hypothefis. Van 'tQABzyn de zyden AE, FG . AF, EC, en DH, GB, DG, HB in tweën gelyk gedeeld , en door deze punten gemaakt de vlakken ILQO en PKMR.
Thefis. De gemeene doorfnyding ST en de diameter AB fnyden malkander in tweën. gelyk. Praparata.
Laat getoogen zyn de regte SA, SC, TD en TB V; 1 beg.
E e 5 De-



442 Grond-beginselen der Meetkunde
Demonftratie.
Nademaal de /~rn. EF en GH ieder gedeeld zyn in 4 gelyke en gelykformige c7n. door de regte IL, KM, OQen PR v: fch: 34: 1. 15: 5. en r def: 6.
Daarom gaan diagonalen AC en DB door de punten S en T v: 26: 6.
En worden in tweën gelyk gedeeld v: 2 cor: 2: 6.
En dewyl GF gelyk en parallel AD en v: 2 cor: 2: 6. BC is v: 24: 11. en 34: 1.
Daarom is AD gelyk en parallel BC vj 9: 11. en 1 ax:
En AC gelyk en parallel DB v: 33: 1.
Zoo dat AD, ST en BC in een zelve vlak zyn v: 7: 11.
En eindelyk is de A". VAS en VBT.
De V AVS =5 v BVT v: 15: 1. V ASV ai; v BTV v: 29: 1. AS — BT v: hyp en 7 ax.
Ergo is AV = BV'1
En SV = TVJ V: 2Ö: r'
En by gevolg fnyden de gemeene doorfnyding ST en de diameter AB malkander ïn tweën gelyk in het punt V, v: k: b.-
Dat beweezen moeit worden. Corollarium.
In alle parallellepipeda fnyden de diagoTiaate'n malkander in tweën gelyk.
PRO-



van Euclides, Elfde Boek. 443
PROPOSITIE XL. THEOREMA. XXXV.
Wanneer twee prismata van gelyke hoogte, de eene een parallellogram en de andere een driehoek voor bafes hebben, en dat het parallellogram dubbeld Is aan den driehoek; dan zyn de twee prismata gelyk.
(Fig. 329. Tab. XXIV.) Hypothefis. De Prismata ABCFED en GHMLIK zyn van gelyke hoogte. | ABCFED heeft een CD, en GHMLIK een A voor bafis.
CD ABCD is dubbeld aan den A GMN.
Thefis. Prisma ABCFED == prisma GHMLIK Demonjlratie.
Wanneer de prismata voltrokken worden tot 0S. AN en GQ.
Dan zullen deze E3J. gelyk zyn v: 31 11. ' En nademaal de prismata helften zyn ieder van zyn 0 v: 28 n.
Zoo volgt het, dat prisma ABCFED prisma GHMLH^ is v: 7 ax.
Dat te bewyzen was.
Einde Van het Elfde Boek.
GROND-



GROND-BEGINSELEN
DER
MEETKUNDE
VAN
EUCLIDES,
TWAALFDE BOEK.
D E
PROPOS!TIEN
PROPOSITIE I. THEOREMA I.
JQ)e gelykformige veelhoeken, in cir kels befchreêven, zyn tot elkander als de quadraaten der diameters dier cirkelen.
CFig. 330. Tab. XXIV.) Hypothefis. De gelykf: veelh". ABCDE en FGHIK zyn befchreêven in de cirkelen ACEA en FHKA.
Thefis. Veelh: ABCDE : veelh: FGHIK : : AL? : FM?.
Praparata.
Laat getoogen zyn de regte AC, BL s FH en GM v: 1 beg. Demonjlratie.
Om. dat nu de veelh". gelykformig zyn v: hyp.
Daar-



van Euclides, Twaalfde Boek. 445
Daarom zyn de £n. ABC en FGH mede gelykformig v: 20: 6.
By gevolg is in dezelve An.
De V ABC = V FGH 1 , _ .
En AB: BC : : FG : CH j V: 1
By gevolg is ook de VACB = v FHG v: 6: 6.
Nu ftaan de V". ACB en BLA, item de Vn- FHG en GMF elk in een deel der cirkels.
Dus is v ACB = V BLA1
En V FHG = y GMFj Vï 2V' 3*
Derhalven is in de An. ABL en FGM.
De V BLA — V GMF v:b: b: en jax, V ABL — V FGM namentl: regt v: 31: 3. en 10 ax,
y BAL — V GFM v: 2 cor. 32:1.
Dien volgens AB :FG: : AL : FM v: 4: 6.
Als nu vier regte linien evenredig zyn, dan zyn ook de gelykf: en alzoo gefielde figuren op dezelve mede evenredig v: 22: 6.
By gevolg veelh: ABCDE : veelh:
EGHIK : : AL? : FM?.
Dat te bewyzen was.
Corollaria.
ie. De gelykformige oneindig veelzydige
figuren in cirkelen befchreêven zyn tot elkander als de quadraaten der diameters van dezelve cirkelen.
2e„ Ook zyn de zyden der veelhoeken in
cirt



44<* Grond-beginselen der Meetkunde
cirkelen befchreêven, welke in gelyke rede zyn, tot elkander als de diameters van dezelve cirkelen,
3e. De omtrek van dezelve figuren zyn mede tot elkander als de diameters der cirkelen , waar in zy befchreêven zyn.
Want AB : FG : : BC : GH : : CD : Hl : : DE : IK : : EA : KF v: 3 cor2o: 6;
Ergo omtrek ABCDE : omtrek EGHIK : : AB : FG : : AL : FM v. 12: 5. en ï: 12.
LEMMA I.
Gegeeven zynde twee ongelyke grootheden, indien men nu van de grootfte affnyt meer dan zyn helft, en van de reft me-, de affnyt meer dan zyn helft, en zoo geduurig telkens van de reft meer affnyt dan de helft; zoo zal 'er eindelyk overblyven een grootheid minder dan eenige grootheid, die gegeeven kan worden.
CFig. 331. Tab. XXIV.) Hypothefis. Van de grootheid AB is AH < i-AB
en Hl < i HB &c. Thefis. IB is y dan de kleinfte grooth<l c, Praparata.
Laat DE zoo menigmaal C zyn, tot dat dezelve ten naaften byAB te boven gaat, zulks dat DF = FG = GE = C is v: 2: 1.
En laat zyn HA < dan £ AB.
Dus



van Euclides, Twaalfde Boek. 447
Dus is HB > dan AH.
En laat verders zyn Hl < dan | HB.
Dan is IB ^ dan Hf.
Dit nu zoo menigmaal gecontinueerd, tot dat de menigte der deelen in AB gelyk zyn de menigte der deelen in DE. Demonftratie.
Nu is AB > DE v: ber.
En | AB > AH.
En AH < DF.
En DF > | DE.
Nu is AB — AH = HB."|
En DE — DF = FE. j v' 3 3x'
Ergo HB > FE
Verders is f HB > Hf.
En Hl > FG.
En FG — | FE.
Nu is HB — Hl — IB.
En FE — FG == GE.
En GE — C.
Ergo is IB > GE,
Dus is ook IB > C.
Want nademaal AB > DE is, en dat van AB is afgetoogen AH grooter dan zyn helft, maar van DE is afgenoomen DF kleinder dan zyn helft;
Gevolgelyk is de reft HB > dan de reft FE.
Wyders is van de reft HB afgenoomen Hl mede grooter dan zyn helft, zoo als ook FG van FE gelyk zyn helft.
Er-



448 Grónd-beginselen der Meetkunde"
Ergo is de reft IB mede > dan de reft GE v: k: b:
En om dat de reft GE ■= C is v: ber: 1 Zoo is dan IB mede > dat C v: 1 ax. ■ En het is klaar, dat dit tot in het oneindige toe zal continueren. Scholia.
ie. Het verfchil tujjchen dén cirkel en de oneindig veelzydige gefchikte figuur in den zelve, is minder dan eenige fuperfiti'èele grootheid, die gefield kan voorden.
2e. Het verfchil tusfchen den cylinder op den cirkel, en het prisma op de oneindige veelzydige gefchikte figuur, is minder dan eenige lighaamelyke grootheid, die gefield kan worden.
3e. Insgelyks is het verfchil tusfchen den kegel op den cirkel, en de pyramide op de oneindig veelzydige gefchikte figuur, in denzelven cirkel befchreêven, mede minder dan eenige lighaamelyke grootheid, die gefield kan worden.
Nota verftaat, dat de cylinders en de prismata van dezelve hoogte zyn, het geen men ook moet begrypen van de kegels en pyramides.
(Fig. 332. Tab. XXIV.)
Demonftratie.
Door het Schol: van de 7: 4. blykt het, dat □ ABCD in den cirkel ABCD gelyk it't i □ EFGH om denzelve cirkel.
Dien



van Euclides, Twaalfde Boek. 449'
Dien volgens grooter dan de helft van denzelvèn cirkel v: 9: ax.
Op gelyke wyze blykt uit de %i\ 11. en tor: 34: 11. dat het prisma op het quad'in den cirkel gelyk is de helft van het prisma op het quad'. om den cirkel.
Dien volgens grooter dan de helft van den cylinder op denzelvèn cirkel.
Gelyk nu verder blykt uit de 41: 1., dat da gelykb: A AEB grooter is dan de helft van het cirkel/luk AEB, in 't welk. dien driehoek befchreêven is.
Zoo als mede te verftaan is vcïn de 3 'óverige cirkelftukken.
Zoo dat het prisma op den A AEB grooter is, dat de helft van het cylinder ftuk op het cirkelftuk AEB (om dat bet de helft is van een prisma, dat grooter is dan het zelve cylinderftuk v: 32: 11 en Cor: 34; 11.)
Het zelfde is ook ie verftaan van de prismata en cylinderftukken op de 3 overige An. en cirkelftukken.
En gelyk ieder gelykb. A afgefneeden van het cirkelftuk, in het welk dezelve is ingefchreeven, overlaat twee cirkelftukken EIA en EKB enz.
Alzoo laat ook ieder prisma op de zelve An. AEB enz: afgefneeden van ieder cytitu derftuk op dezelve cirkelftukken A.EB enz* E f over



\
45O GllOND-BEGINSELEN DER MEETKUNDE
over twee cylinderjtukken op dezelve cirkelftukken EIA, EKB enz., welke te zaamen kleinder zyn dan het halve cylinderftuk befchreêven op het cirkelftuk AEB enz.
En gelyk als het quad*. in den cirkel te zaamen met de 4 gelykb: An. in de 4 cirkelftukken uitmaaken een gefchikte agt hoek in den cirkel.
Alzoo maakt het prisma op het zelve quad'. met de 4 prismata op de 4 voorn: gelykb: An. AEB enz. te zaamen uit het prisma op den zeiven ingefchreeven gefchikten agthoek AEBFCGDH.
Aangezien nu de g overblyvende cirkelf 'ukken het verfchil is tuffchen denzelvèn agthoek en den cirkel.
Alzoo zyn ook de cylinderf 'ukken op die 8 overblyvende cirkel/lukken het verfchil tusfchen den cylinder op die cirkel en het prisma op den ingefchreeven agthoek v: 15 axen k: b.
Indien men dan geduurig continueert van de overblyvende cirkelftukken de inge* fchreevene gelykb: An. af te fnyden.
Gelyk mede van de prismata op dezelve ingefchreevene An. van de overgebleevene cylinderf ukken.
Zoo zullen er eindelyk overblyven een onnoemelyk getal van oneindig kleine cirkelflukjes, welke, te zamen genoomen, kleinder



van Euclides , Twaalfde Boek. 451
der zuilen zyn dan eenige fuperfiiüete grootheid, die gefield kan worden.
Op dezelve wyze zullen 'er van de ?*elve cylinder overblyven een onnoemelyk getal van oneindig kleine cylinderfturjcs, welke, te zaamen genoomen, kleinder zullen zyn, dan eenige lighaamelyke grootheid, die gefteld kan worden v: dit lemma.
En nademaal dit onnoemelyk getal van cirkefukjes, van den cirkel afgefieeden zynde , van den cirkel zal overlaaten een oneindig veelzydige gefchikte figuur in den cirkel befchreêven.
Zoo zullen ook de cylinder ftukjes op dit onnoemelyk getal van cirkelfiukjes, afgefieeden van den cylinder op den cirkel, overlaaten een prisma, wiens bafis is een oneindige veelzydige gefchikte f guur in den cirkel befchreêven.
Wy bef uiten dan, dat een cirkel en een oneindige veelzydige gefchikte figuur, > in den zelve cirkel befchreêven, minder verfchülen, dan eenige oppervlakkige grootheid, die gefield kan worden. Dat op het eerfte te bewyzen was.
Insgelyks, dat de cylinder op dien cirkel, en het prisma op die oneindig veelzydige gefchikte figuur in dien cirkel, minder ver fchillen,,dan eenige lighaamelyke grootheid, die gefteld kan worden.
F f 2 Dat



452 Grond-beginseleM der Meetkunde
Dat op het tweede te bewyzen was.
Het derde Scholium word op de zelve wyze als het tweede beweezen. Corollarium.
Zoo dat een oneindig getal van oneindige kleine grootheden te zaamen kleinder zyn , dan de kleinfte grootheid van den zeiven aart, welke gefteld kan worden.
LEMMA II.
De grootheden a en b, dewelke grooter of kleinder zyn dan twee andere grootheden c en d, zodanig, dat elk verfchil kleinder is dan eenige grootheid, die gegeeven kan worden; zyn tot elkander evenredig. Dat is a : b : : c : d. Demonjlratie.
Zoo a grooter of kleinder dan c is.
Dan is ook b grooter of kleinder dan d v: hyp.
Op het eerfte laat nu gefteld worden a < b. Dan is b < d.
Zoo dan niet is a : b : : c : d.
Zoo moet zyn a : b <( of > : : c : d.
Daarom laat dan een van beide gefteJd worden na believen, genoomen dat was a : b > : : c : d
Dan is c : d < : : a : b v: k: b.
Laat ook zyn a : q : : c : d.
Dan



van Euclides, Twaalfde Boek. 453
Dan is q > b v: 10: 5,
En laat het verfchil zyn r
Dan is b — r — q v: k: b.
En b — r > d v: 't geft. en dit lemma.
Zoo is dan a : b — r :: c; d v: geft. en 7: 5.
Nademaal nu in deze vier evenredige de 1 a > dan de 3e c is v: \ lemma.
Zoo is ook de 2e b — r < dan de 4e d v: 14: 5.
Het welk ongerymd is, want
Om dat b — r > dan d is v: boven.
Zoo kan dan a : b > : : c : d niet zyn.
Op dezelfde wyze demonftreerd men, dat niet kan zyn a : b < : : c : d.
Op het tweede laat gefteld worden, dat a > dan c is.
Zoo zal op dezelve wyze blyken, dat dit niet kan zyn. Ergo is a : b : : c : d. Dat te bewyzen was, Schnlium.
Om dat de grootheden in dit Lemma niet. anders dan van eenerly aart kunnen zyn, zoo kan de verwijfelingplaats hebben v, 16: 5,
Zoo dat ook is a : c : : b : d. Corollarium.
Uier uit en uit het \% voorgaande fcholium blykt, dat in alle cirkels de circumferentien tot dezelver diameter in de" zelfde reden zyn,
F f 3 PRO-



'454 Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE II. THEOREMA II.
De cirkelen, zyn tot elkander als de quadraaten der diameters. . .
CFig. 333. Tab. XXIVO Hypothefis. ABCD er. EFGH zyn 2 cirkels. Thefis. Cirk: ABCD : cirk: EFGH : : AC*
: EG?.
Praparata.
In beide de cirkels befchryf de oneindig veelzydige gefchikte figuren ABCD en EFGH. Zhmónjlraite.
Naderraal nu de oneindig veelzydige gefchikte figuren in de cirkels ABCD en EFGH zyn als de quadraaten der diameters AC en EF v: 1 cor: 1: 12.
En die zelve figuren ook zyn als dezelve cirkels v: 2 lemma.
Zoo volgt daar uit, dat de cirkels zyn tot elkander als de quad". der diameters v: 11: 5.
Dat is cirk: ABCD : cirk: EFGH : : AC? : EG?.
Dat te bewyzen was. Corollaria.
ie. De cirkelen zyn derhalven ook tot malkander als de veelzyaige figuren in dezelve gelykformig befchreêven,
26, Van twee cirkelen zyn de eene cirkel
tot



van Euclides, Twaalfde Boek. 455
tot de veelzydige figuur in dezelve, als de andere cirkel tot de veelzydige figuur in de ze, gelykformig befchreêven v: 16: 5.
PROPOSITIE III. THEOREMA III.
Alle pyramides met driehoekige bafes kunnen in twee gelyke pyramides gedeeld worden, die elkander en yder byzonder de ganfche pyramis is gelykformig zyn.
Als mede in twee gelyke prismata te zaamen grooter dan de helft van de geheele pyramis.
C Fig. 334. Tab. XXIV. ) Hypothefis. ABCD is een pyramis met een Z\e.
bafis, en gedeeld in 2 pyrs. en in 2 prismata.
Thefis. ie. Pyram: AEGH =3 piram: HIKC.
En de pyrams. ABCD , AEGH eu HIKC zyn gelykformig. 2e. Prisma BFGEHI *=: prisma FGDIHK. En beide deze prismata zyn grooter dan de helft van de geheele pyramide.
Praparata.
Deel alle de zyden van de pyramide in tweën gelyk in de punten E, F, G, H, I, K v: 10: 1.
En trek de regte EF, FG, GE, EI IF, FK, KG, GH, HE, Hl, IK en KH v: 1 beg.
Dan zullen parallel zyn.
Ff 4 i«.



456 Grond-beginselen der Meetkunde
ie. Hl en GF met AB~]
2*. EG en IK met BD j>v: 2: 6,
3e. EF en HK met AD J Demonjlratie.
Uit hoofde nu van deze parallelle Ji* nien zyn a», ABD, AEG, EBF, FDG en HIK onder malkander gelykformig v: fchol: 4: 6.
Welke vier laafte ook onder malkander gelyk zyn v: 2: 6. en 38: ï.
Maar de An. ABD en HIK zyn parallel v: 15: 11.
Op dezelve manier zyn onder malkander gelykformig de An. ABC, AKE, EIB, HIC, FGK.
En de 4 laatfte zyn ook gelyk.
Insgelyks de An, BFI, FDK, 1KC* EGH.
Als mede de a". AHG, GDK,HKG, EFI.
Waar uit dan voorts volgt. Dat de pyramides ABDC, AEGH, HIKC gelykformig zyn v: 9: ij.
En de twee laatfte gelyk v: 10 def: 11. Dat op. het eerfte te bewyzen was. Op het tweede.
De pyramides BFEI en AEGH zyn gelyk v; b; b.
' Wyders is a EBF — A GDF v: b: b, En a EGF m A GDF y: ber.
%\ 0. en 38: i.



van Euclides, Twaalfde Boek. 457
Nu Is A EBF + A EGF = cn BFGE, Derhalven cn BFGE ~ 2 A". GDF v: 2 ax.
Zynde dit de bafes van de 2 lighaamen BFGEIH en FGDiHK.
Waar van het je. beflooten is tusfchen ' de gelyke en gelykformige An. BF1 en v: b: b; en tusfchen de cn*. HD, ID eri FH.
Zoo als het 2=. beflooten is door de ge lykformige An. FGD en HIK, en door de cnn. HD, ID en FH.
Dien volgende zyn het prismata v: iq def: ix. ö
En van gelyke hoogtens, om datze tusfchen parallelle vlakken ftaan, en daarom gelyk v: 40: n.
En om dat de pyramides BFEI, AEGtf en HiKC onder elkander gelyk zyn v 10' def: 11.
Daarom Is
Prism: BFGEIH < pyram: BFEI en ii Prism: FGDIHK < pyram: HIKC en Pyram: BFEI — pyram: AEGH v b: b:
Derhalven prism: BFGEIH + prism; FGDIHK < pyr: AEGH + pyr: HIKC v: 4 ax.
Nadien nu deze 2 prismata te zaamen met deze 2 pyramides uitmaaken de geheele pyramide,
Ff5 Zoo



'458 Grond-beginselen der Meetkunde
Zoo zyn dan de 2 prismata te zaamen grooter dan de halve pyramide ABDC.
Dat op het tweede te bewyzen was. Corollarium.
De hoogte van de pyr: HIKC is tot de hoogte van de pyr: ABDC, als Cl tot CB.
Want indien men uit C een perpend: op het vlak ABD laat vallen, zoo zal dezelve gaan door het vlak HIK.
Indien men dan uit het punt , daar de perpend: het vlak Jloot, tot B een regte Unie trekt.
En uit het punt in het vlak HIK, daar de perpend: door gaat, tot I een regte linie trekt.
Zoo Zal het gezegde blyken.
PROPOSITIE IV. THEOREMA IV.
Indien twee pyramides zyn met gelyke hoogte en driehoekige bafes, waar van ieder gedeeld is in twee pyramides, el kander en de geheele gelykformig, en in twee gelyke prismata, en op dezelve wyze elke pyramide, die uit deze deeling fpruit, gedeeld; dat altyd gedaan zynde, zal zyn de bafis van de eene pyramide tot den bafis van de andere pyramide, als de fomme van alle de prismata, die in de eene pyramis, tot alle de prisma-



van Euclides, Twaalfde Boek. 459
mata, die in de andere pyramis gelykme-: nigvuldig is.
CFig. 335. Tab. XXIV.) Hypothefis. ABCD en EEGH zyn 2 driehoekige pyramides, met gelyke hoogtens, ieder van deze is gedeeld in 2 pyramides, AILM, MNOD, EPRS en STVH, die onder den andere en ook met de geheele gelykformig zyn; en in 2 gelyke prismata IBLKMN, KLCMNO . PFQRST en QRGTSV.
En op dezelve wyze is elke pyramide, die uit deze deeling gebooren is, gedeeld, en daarmede voortgegaan.
Thefis. De bafis ABC tot de bafis EFG, als de fom van alle de prismata in de eene pyramis tot de fom van alle de prismata in de andere pyramis. Praparata.
Deel deze pyramides, als in de voorgaande gedaan is, ieder in twee gelyke prismata, en in twee gelyke en gelykformige pyramides.
Demonftratie.
Nadien nu de hoogte van de punten D en E gelyk zyn V: hyp.
Daarom zullen deze 4 prismata van gelyke hoogte weezen v: cor: 3: 12.
Dus prism: KLCNMO: prism: QRGTSV : : A KLC : A QRG v: 32: iïl en cor: 34: IL
En



'460 Grond-beginselen der' Meetkunde
En prism: IBKLMN : prism: PFQRST ; : A KLC ; A QRG v: 3: 12.
Ergoprism: KLCNMO-f prism. IBKLMN tot prism: QRGTSV + prism: PFQRST, als A KLC tot A QRG v: 15: 5.
Indien dan vervolgens ieder pyramis, Welke uit deze voorgaande deeling ontüaan zyn, op dezelfde wyze gedeeld wort.
Zoo zullen altyd de even menigvuldigde prismata van de eene tot de andere van gelyke reden zyn, te weeten als A KLC tot A QRG.
Want de fom van de 2 nieuwe prisma'ta' in de eene pyramis zal zyn tot de fom van de 2 nieuv/e prismata in de andere pyramis als A KLC tot A QRG v: b.
En daarom de fom van de 4 nieuwe prismata in de eene pyramis tot de fom van de 4 nieuwe prismata in de andere pyramis als A KLC tot A QRG v: 15: 5.
En zoo vervolgens, indien 'er meer deelingen gedaan worden.
Dien volgens is de fom van de 6 prismata in de eene pyramis, tot de fom van de 6 prismata in de andere pyramis, als bafis ABC tot bafis EFG v: 12: 5.
En daarom zal altyd zyn de fom van alle de prismata in de eene pyramis tot de fom van alle de prismata in de andere
py-



van Euclides, Twaalfde Boek. 46*1
pyramis, als bafis ABC tot bafis EFG.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE V. THEOREMA V.
De Pyramides van gelyke hoogte en driehoekige bafes zyn tot elkander als de bafes.
CFig- 336. Tab. XXIV.) Hypothefis. De pyrams ABCD, en EFÖH zyn van gelyke hoogte ,.en hebben driehoekige bafes ABC en EFG. Thefis. Pyr. ABCD : pyr. EFGH : : bafis ABC •
bafis EFG. Demonftratie.
Nademaaï de deeling der pyramides ABCD en EFGH zoo lange kan gedaan worden, tot dat men heeft.
Pyr. ABCD tot pyr. EFGH als de fom van alle de prismata in pyr. EFGH, als bas. ABC tot bas. EFG v: 3 en 4: 12. en Lem.
Daarom is ook pyr. ABCD tot pyr. EFGH, als bas. ABC tot bas. EFG v: 11:5. Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE VI. THEOREMA VI.
De pyramides van gelyke hoogte, en veelhoekige bafes zyn tot elkander als haare uales.
Fig.



462 Grond-beginselen der Meetkunde
CFig. 337- Tab. XXIV.) Hypothefis. De pyrams. ABCDEF en GHIKLM zyn van gelyke hoogte, en hebben de
veelhoeken ABCDE en GHIKL tot
haare bafes.
Thefis. Pyr. ABCDEF : pyr. GHIKLM : : bas.
ABCDE •• bas. GHIKL. Praparata.
Laat getoogen zyn de regte AC, AD , enGI, GK v: 1 beg. Demonftratie.
Nu is pyr. ABCF : pyr. GHIM : : baf. ABC : baf. GHI.
En pyr. ACDF : pyr. GIKM : : baf. ACD : baf. GIK.
Ook pyr. ADEF : pyr. GKLM : : baf. ADE : baf. GKL v: 5: 13.
Nu is pyr. ABCF + pyr. ACDF + pyr. ADEF = pyr. ABCDEF.
En pyr. GHIM + pyr. GIKM + pyr. GKLM = pyr. GHIKLM.
Item baf. ABC + baf. ACD + baf ADE = baf. ABCDE.
En baf. GHI + baf. GIK + baf. GKL — baf. GHIKL.
By gevolg pyr. ABCDEF : pyr, GHIKLM : : baf. ABCDE : baf. GHIKL v: 12: 5.
Dat te bewyzen was. Scholium.
In deze demonftratie is onderfteld, dat de polygonen der bafes evenveel zyden beb-



Van Euclides, Twaalfde Boek. 463
ben: maar indien dezelve geen evenveel zyden hebben, gefteld dat de eene den vyfhoek ABCDE en de andere den driehoek GHI voor bafes hadden, dan is het bewys aldus
Pyr. ABCDEF : pyr. ABCF • : baf. ABCDE : baf. ABC v: 5: I2.
Pyr. ABCF . pyr. GHIM : ; baf. ABC : baf. GHI v: utf.
Ergo pyr. ABCDEF : pyr. GHIM : • baf. ABCDE : baf. GHI v; 11: 5.
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE VII. THEOREMA Vlf.
Alle prismata, hebbende driehoekige bafes, kunnen in drie gelyke pyramides met driehoekige bafes gedeeld worden.
CFig- 338. Tab. XXV. ) Hypothefis. Het prisma ABCDEF heeft een A tot bafes.
Thefis. Pyr. ACBF — pyr. ACDF = pyr. CDFE Praparata.
Laat getoogen zyn in de £^n, AC, CF en DF de diagonaalen AC, GF en'üF v: 1 beg.
Demonflratie.
Nu zyn de A". ABC, ADC, AFD, en DFE gelyk en gelykformig v; 13 def. 11 en 34 p. 1.
Daarom



4Ö4 Grond-eegiksëlen der Meetkundé
Daarom is pyr. ABCF == pyr. ADCF — pyr. DFAC = pyr. DFEC v: 5: 12.
En nadien de pyrs. ADCF en DFAC een zelve pyramis is v: k: b„
Zoo is het prisma ABCDEF gedeeld ia • 3 gelyke pyramides met driehoekige bafes, als pyr. ABCF, pyr. ABÜF en DCEFv: k: b.
Dat te bewyzen was. Corollarium.
■ Hier uit e'ti uit de 28'. en pê. prop: des ne. b: blykt het, dat een pyramis 'het derde deel van een prisma is, als die een zelve bafis en hoogte hebben, of dat het zelfde is, een prisma is het drievoud van "een pyramis, als die een zelve bafs en hoogte hebben.
CFig: 338. & 339- Tab: XXV.)
Want laat de veelh. prisma GHIKOLMNOP en de pyramis, LMNOPH gedeeld zyn in driehoekige prismata en pyramides, welker bafes zullen zyn de An LMN , LNO, en LOP.
JSfademaal nu elk prisma is het drievoud van die pyramide, die daar mede op een zelve bafis ftaat.
Zoo zullen alle de prismata te zaamen (dat is het veelh. prisma') zyn het drievoud van alle de pyramides te zaamen {dat is de veelh. pyramis) v: 5: 12 en 12: 5-
PRO-
\



VAtf ËüCLTtftS; TWAALFDE BOEK. 4Ö5
PROPOSITIE VIII. THEOREMA VHÊ
Dc gelykformige pyramides met driehoekige bafes zyn tot elkander m de ■drievoudige reden haarer zyden, die in gelyke rede zyn.
6 * cFl„. 34o. Tab. XXV. )
Hvpotfaefis. De pyram. ABCD en EFGH Zyn ge' lvkfotmis, ca hebben dfiehockipc bafes.
' r r. " ARrn • pvr. EFGH. ; : 3 v: AC ; Thefis. Pyr. ABUJ . py-
3'v: EG:
1 ' Volfchryf de pyramides tot parallellepipeda AK en EO. W V-
* selykfor'
miTcdIroXotenisvan4AU.dieae
J^rdTde ee„ defander ge.ykformig ^ 'dafda* ook deze S, ge.ykfor-
ffiig TV™ itt^ABCD: pyr. EFGH
En daarom is py1- ^ . ÖHK: 0EO v.cör. 7: • O^k is 0 AK : 0 EO : : S - AC
: 3 v: EG 33^ «• eFGH Bv gevolg pyr- p} AC: ^:EGV. .1: 3.



466 GnoHD.BBGWflW» der Meetkünüe
Dat te bewyzen was. Coro/Zarmw.
ger uit en uit voor'gaande blykt dat ^
voudtge reden hebben van haare gZrtdL Vjen, gelyk ligfeiyk beweezen kl l ^
PROPOSITIE IX. THEOREMA IX
ge bales zyn haare hoogtens in weder
keenge reden met haare bafes
En de pyramides met driehoekige bafes, d« met de hoogtens in wederkeerit reden zyn, zyn gelyk. «eenge
CFig. 34I. Tab. XXv Sf> Hypothefis. Pyr ABCD = pyr EFGH heb.
bende beide een A tot bafis Thefi%arTBCD:h0°-H------0.-
2e" HyPOthefc- Beide 'W pyr. hebben een A voor bafes, e„ h00 teD
_ n : : ^f. EFG : baf. ABC Thefis. Pyr. ABCD = pyr. EFGH
Demonftratie op het eerfle.
Nademaal nu deze 0.. Zya de „eIvke ^emgvuldigdens der pyramides v: 77x1
Als



van Euclides, Twaalfde Boek. 46?
Als ook dat de bafes der O3, zyn de gelyke menigvuldigdens van de bafes der
pyramides v: 34: 1. „ *
En dat de bafes van de 0S. tot elkander zyn in een wederkerige reden met de hoogtens van de €33. f 34:
Daarom zyn de bafes van de pyramides mede in een wederkerige reden met der zeiver hoogtens v: 15 en ii: 5.
Dat te bewyzen was. Demonjlratie op het tweede.
Alhier zyn de &. aan elkander ge^
^'VTafuit'dan volgt, dat de pyramides (die "het eenfesde deel der & jjya V: 28: xi. en cor. 7: 12.) mede gelyk
zvn v: 7 ax. Dat op het tweede te bewyzen was.
Corollarium. •'
Dat geene, dat in de 6*. en 9«. pr> dezes beweezen is van de pyramides, moet men ook alzoo begrypen van de prismata, welke het drievoud zyn van de pyramides, wanneer die gelyke hoogtens hebben, en
daaï°mDe prismata met gelyke hoogtens zyn tot elkander als hunne bafes v: ö:
2e De gelykformige prismata zyn tot elkander in de drievoudige reden hunner zyden> die in gelyke reden zyn. v. 8:
G g 2 3-



3°. Van de geh/ke prismata zyn de Wet
en hoogtens in ppr, »„„j l ,3 ue mJef
PROPOSITffiT^EOREMAX, tocgte hebben. ^ Ms «
hoo-terkel ABCD h6bben Gen gel^ n\tcnftZ^SiS CCn derde ™ aen cylinder.
env: i5: 5. ' ^ V00r de
En nademaal de pyramis het een derde deel van zoodanig een prisma is v: cort "
va\ 1TküeCOnush«-n derde deS van zoodanig een cylinder vobens ü definitie der evenredigen. g *
Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE MEOREMA XI
Fig



•van Euclides, Twaalfde Boek. 469
(Fig. 343. Tab. XXV.> Hypothefis. De coni en cylinders ABCDK en
EFGHM zyn van gelyke hoogtens, Thefis. De conus en cylinder ABCDK tot conus en cylinder EFGHM, als bafis ABCD en EFGH. Demonjlratie.
Nademaal de conus op cirkel ABCD is tot conus op cirkel EFGH van gelyke hoogte, als pyramis op de oneindig veelz: reguliere figuur in den cirkel ABCD, tot pyramis van de zelfde hoogte op de oneindig veelz: regulier figuur in den cirkel EFGH.
En de eerfte pyramis tot de tweede pyramis, als de bafis van de eerfte tot de bafis van de tweede pyramis.
En de bafis van de eerfte pyramis tot den bafis van de tweede pyramis , als cirkel ABCD tot cirkel EFGH alles v: 1 en 2e. lemma voor de 2: 12 en 6: 12.
By gevolg is conus op cirkel ABCD, tot conus op cirkel EFGH , als cirkel ABCD, tot cirkel EFGH v: 1 r: 5.
Dat nopens de conus te bewyzen was.
Op dezelve wyze demonftreert men het van de cylinders.
Of anders blykt dit uit de 10: ia en 15: 5. Corollaria
ie. Indien de bafes van twee parallellepipeda, prismata, of pyramides met gelyke Gg 3 boogt*



47° Grond-beginselen der Meetkunde
hoogte tol elkander zyn, als de bafes van twee cylinders of kegels; dan is het grootJle parallellepipedum, prisma of pyramide tot het kleinfle parallellepidum, prisma Of pyramide, als de grootfte cylinder of kegel, tot de kleinfle cylinder of kegel, JVant f3 A ; S B : : baf A-.baf.B m baf A : baf. B : : baf C : baf DEn baf C : baf. D : : cyl. C : cyl. D v- S^: 11 en 11: 12.
Ergo SA:gB;; cyh C . . D v: 11 en 16: 5.
Op dezelve wyze blykt het mede van de prismata , pyramides , en kegels.
2e. Hier uit volgt, wanneer een cylinder en een parallellepipedum gelyke bafes en hoogtens hebben, dat die dan gelyk zyn
PROPOSITIE XII. THEOREMA XII.
Gelykformige coni en cylinders zyti tot elkander in de drievoudige reden der diameters hunner bafes,
(Fi£- 344- Tab. XXV.) Pypothef». De coni en Pyiinders ABCDK cn
MGHMzyn gelykformig. mts. Conus en cyl: ABCDK , con- en
cyl: EFGHM : . 3 V: diam; Tx ^
v: diam: PR. ' 3
De-



van Euclides, Twaalfde Boek. 471
Demonjlratie.
Nadien nu is con: ABCDK tot con: EFGHM, als pyr: op de oneindig veelz: reguliere fig: in cirkel ABCD, tot pyr: op de oneindig veelz: reguliere fig: in cirkel EFGH.
En de eerfte pyr:, tot de tweede pyr: als het 3 v: des diam: TX tot het 3 v: des diameters PR v: 1 lem: en fch: 2: 12. cor: 8: 12, en het 2 cor: 1: 12.
Dien volgens is conus ABCDK, tot conus EFGHM, als het 3 v: des diam: TX tot het 3 v: des diam: PR fe i3:-5.
En dewyl de cylinders op dezelve bafis en hoogte.het drievoud zyn van de coni v: 10: 12.
Zoo zyn de cylinders mede in de drievoudige reden van dezelve diameters TX en PR v: 15: 5Dat te bewyzen was.
PROPOSITIE XIII. THEOREMA XIII.
Indien een cylinder gefneeden wort door een vlak, parallel met zyn tegen overftaande vlakken; dan zal het eene cylinderftuk zyn tot het andere, als den as van het eerfte tot den as van het tweede ftuk.
(Fig: 345- Tab: XXV.) .
Gg 4 H^



472 Grond-beginselen der Meetkunde
Hypothefis. De cyl: ABCD rrefneeden door het vlak EF parallel BC. • Thefis. Cyl: AEFD : cyl- EBCF : : as Gr: as m Praparata.
Maak het a ZW na gevalle v « def; en 31: 1. dJ
Op het zelve befchryf het Q ZY zoo dat de hoogte ZS = de hoogte HG is v: 27: 11.
Dan in ZS neem ZR - de hoogte Hl v: 3: 1,
En befchryf het c RV parallel ZW v: 35 def: 1. 15; n. cn 3I. fc
Demonjlratie.,
Nu is cyl: BF : Q ZV : : cyl; ED • £3 RY v: cor: ui ï2.
Daarom cyl: BF • Cyl: ED : : 0 ZV * 0 RY v: ifj: 5.
Ook is 0ZV:0 RY : . ZR • RS V: 32: ii. ■ ■ ■ >
En ZR : RS : : Hl : IG v: k- b Ergo cyl: BF : cyl: ED : ; Hl • TG
y: 11: 5. " ¥
Dat te bewyzen was,
Corollarium.
Cylinders met gelyke bajes zyn tot elkan. der als hunne hoogtens.
JPROv



yAN Euclides , Twaalfde Boek. 473
PROPOSITIE XIV. THEOREMA XIV.
De coni en cylinders met gelyke bafes zyn tot elkander als "hunne hoogtens.
CFig. 346. Tab. XXV.) Hypothefis. Van de coni AEB en CFD en van de cyl?. AH en CK zyn de hoogtens ME en NF gelyk. Thefis. Con: AEB : con: CFD : : ME : NF.
En cyl: AH : cyl: CK : :+ME :NF. Demonftratie.
Het is reeds gebleeken van de cylinders uit het cor: 13: 12. Dus cyl: AH : cyl: CK : ; ME : NF En nademaal de cylinder AH is het drievoud van conus AEB.
En cylinder CK het drievoud van conus CFD v: ïo: 12.
Zoo is ook con: AEB : con: CFD : ; ME : NF v: 15: 5.
Dat te bewyzen was. CoroUarium.
Cylinders met gelyke bafes en gelyke hoogtens zyn gelyk.
PROPOSITIE XV. THEOREMA XV.
Van gelyke coni en cylinders zyn de bafes en hoogtens in een wederkeerige reden.
Gg 5 Ea



474 Grond-beginselen der Meetkunde
En de coni en cylinders, wiens bafes en hoogtens in een wederkeerige reden zyn, zyn gelyk.
CFig. 347. Tab. XXV.) ï*. Hypothefis. Conus BAC mt conus ED1-.
En cyl: BH =3 cyl. EK. Thefis. BC : EF : : MD : LA. 26. Hypothefis. BC : EF : : MD : LA. Thefis. Con. BAC fe con: EDF. Cyl: BH = cyl: EK.
Praparata.
Indien de hoogtens gelyk zyn.
Dan zullen de bafes mede gelyk zyn,
Of zoo de bafes gelyk zyn.
Dan zyn ook de hoogtens gelyk v: cor14: 12. ö *
Maar de hoogtens ongelyk zynde
Zoo neem van de langfte MD het ftuk MU ~ LA v: 3: 1. Demonjlratie op het eerjle.
Nu is baf BC : baf- EF : : cyl- BH • cyb EQv: u: rt
En cyi: BH : cyl: EQ: \ cyl: £K • cyl: EQ v: 7: 5. '
En cyl: EK : cyl: EQ .- : MD : MO v? 14: 5.
En MD .- MO : : MD : LA v: >t geftelde en 7; 5. ö
Ergo is baf BC : baf EF j : MD : LA T? ii: 5-
Dat op het eerfte te bewyzen was.
Vei



van Euclides, Twaalfde Boek, 475
Demonjlratie op het tweede.
Nu is cyl: BH : cyl: EQ.: : baf: BC : baf: EF v: 11" 12.
En baf: BC : baf: EF : : hoogte MD ! hoogte LA v: hyp.
En MD : LA : : hoogte MD : hoogte MO v: ber:
En MD : MO : : cyl: EK : cyl: EQ
v: 14: 12.
Daarom Cyl: BH ; cyl: EQ i : cyl: EK : cyl: EQ v: ïi: 5-
Ergo cyl: BH f= cyl: EK v: 9: 5.
Dat op het tweede te bewyzen was.
En nademaal de coni het een derde deel der cylinders zyn v: 10: 12.
Zoo volgt het, dat het met de coni mede zoodanig geleegen is als met, de cylinders v: 15: 5-
Zoo dat nu betoogd is het geene beweezen moeft worden.
PROPOSITIE XVI. PROBLEMA I.
Twee cirkels om een centrum zynde, in de grootfte cirkel een gelykzydige veelhoek, even zyden hebbende, te befchryven, die de kleinfte cirkel niet raakt nog fneidt.
(Fig. 348. Tab. XXV.) 't gegeevene is, 2 cirkels ABCG en DFE om een cent: M.
7t



47$ Grond-beginselen der Meetkunde
't begeerde een gelykz: veelh:, even zvden heb: > in de grootfte cirkel te befcjjry-
veii, die de kleinfte cirkel niet raakt
nog fneidt. Conftruclie.
ie. Trek den diam: van den grootften cirk: ABC v: i beg.
Deze fneidt den kleinften cirkel in de punten D en E v: k: b.
2\ Den uit E ftel EH perpend: op DE v: ii: i.
3e- En maak de boog Cl = |, j, L 0f h enz: van den halven circumfer:1 v: 30: 3, zoo lange de boog Cl kleinder dan den boog Hl is.
4*. En trek de regte Cl v: 1 beg. '
Dezelve is een zyde van den begeerden veelhoek. Praparata.
Verleng HE tot in G v: 2 beg.
En uit I trek IK perpend: op AC vt 12: 1.
Die fneidt AC in L. Demonftratie.
Nadien nu de boog Cl den halven circumfer: meet, en het getal der boogen even is v: conft.
Zoo meet dezelve ook den geheelen circumfer: waar van het getal der boogen mede even is v: k: b.
Derhalven is de koord IC een zyde van
een



van Euclides, Twaalfde Boek. 477
een ingefchreeve gelykzydige veelhoek, hebbende een even getal zyden.
En dewyl IK parallel HG is v: conft," En dat GH den cirkel raakt v; cor: 16: 3.
Zoo raakt nog fneidt IK den cirkel niet y: k: b.
Veel min raakt nog fneidt IC, den cirkel DEF niet, dewyl die nog verder van het cent: M af is v: k: b.
Ergo is IC een zyde van een ingefchreeve gelykz: veelhoek, even veel zyden hebbende, en raakt nog fneidt den cirkel DFE niet.
Dat te bewyzen was Corollaria.
ie. Het blykt dat de koord IK den cirkel nooit raaken nog Jheyden zal.
2e. Dat ook de boog ICK den cirkel ABC meet. en dat het getal der boogen mede even is, om welke reden IK 200 wel als IC een zyde van den begeerden veelhoek is; namentlyk wanneer IC niet grooter is als een vierde van de halve circumferentie des cirkels DEF.
3e. Al was de boog Cl een derde of een vyfde van de halve circumferentie des cirkels ABC geweefl, zoo zoude de veelzydige figuur mede even zyden gehad hebben.
PRO-
1



47% Grond-beginselen der Meetkunde
PROPOSITIE XVII. PROBLEMA II.
Twee fpheeren om een centrum zynde tt de grootfte fpheer éen lighaamelyke veelhoek te befchryven, wiens vlakken met raaken het oppervlakkige van den kleinfte fpheer.
CFig. 349. Tab. XXVI.) 't gegeevene 2 fpheeren ABCV en EFGH om een centrum D.
't begeerde een ligh: veelh. te befchryven, die den
klemften fpheer niet raakt. Conjlruftie.
i*. fnyd beide de fpheeren met een plat vlak door het cent. D, maakende de cirkels ABCV en EFGH.
2e. En getoogen de diameters AC en BV, malkander regthoekig fneidende y ii: i.
3e. Dan befchryf in den grootften cirkel ABCV een gelykz: veelhoek CNLMV enzdie den kleinfte cirkel EFGH niet raakt v: i<5: i2.
4*. En getoogen den diam: Na v: i beg.
5«. Dan op het vlak des cirkels ABCV regt op den perpend: DO v: 12: n.
6*. En door DO en de diameters*AC en Na trek de cirkels vlakte DOC en DON enz.
Die



van Euclides, Twaalfde Boek. 47$
• Die zullen regthoekig op 'het vlak der cirkels ABCV en EFGH zyn v: 18: 11.
En vervolgens in het vlak der fpheeren de quadranten DOC en DON maaken v: 33: 6.
7e. Waar in gefteld de regte CP, PQ,' QR, RO, NS, ST, TC, CO = CN, NL enz:, gelyk en evenveel in menigte.
8e. En getoogen de regte SP , TQ, CR, enz.
9e. Dan in de overige quadranten OL9 OM en OV enz: en in den geheelen. fpheer insgelyks het zelfde gedaan.
Zoo is ORQPCN den begeerde ligh: veelhoek. Praparata.
Van de punten P en S trek PX en SY perpend. op het vlak ABCV v: x'ti 12.
Dezelve zullen perpend: vallen op de gemeene fneiding AC, Na v: 38 pr: en 3 def: 11.
En uit D ftel DZ perpend op het vlak SPCN.
Als ook Dd perpend: op het vlak SPQT.
En getoogen de regte ZN, ZC, ZS, ZP, dP, dQ, dT, en dS.
Dan NI perpend op AC. x
En eindelyk getoogen de règte XY. vi 1 beg.
Demonjlratie Nu is de An- PXC en SYN.
De



HSo GrÖnd-beginsexen der Meetkunde
De VPXC=VSYN1
V PCX pc V SNY ƒ v: conften 27-1 3° PC = SN. v: conft Daarom PX jfu SY T En XC — YN ƒ v: z6: u
DC =é DN v: 15: def: ï. Dus DX =DY v: 3 ax. Derhalven DX : CX : \ DY : NYv i def: 6t
En daarom YX parallel NC v: .2: 6.
En om dat PX gelyk en parallel SY Is V; b: b. en 6: n.
En beide op het zelve vlak ABCV regthoekig zyn v: ber.
Zoo zal ook SP gelyk en parallel XY zyn v: 33: 1.
En daarom SP parallel NC v: 9: n. Derhalven is de vierz: NCPS een 'vlak v: 7: 11.
En op dezelve wyze dèmonftreert men dat SPQT, TQRC mede vlakken zyn. Ook is de A CRO mede een vlak 2: 11.
Op dezelve wyze is de ganfche fpheere van zoodanige vierzydige en driezydige vlakken vervuld.
En derhalven een lighaamelyke veelhoek daar in befchreêven.
Wyders is DN : NC : • DY • YX v: 4: 6.
En



.. H*r Éucltdes, Twaalfde Boek, 48!
En DN < DY v. 9: ax. En daarom NC < YX v: 14: 5, En YX — SP v: co.nl. Ergo NC < SP.
En zoo mede SP < TQ en TQ < cR j
En om dat in de A'^ DZC, D ZN. DZS en DZP, Cc y.DZC, DZN, DCS ert DZP regt zyn v: ber
Ook de zydjn DC = DN = DS =a DP v: 15: def: 1.
En de zyde DZ gemeen.
Daarom zyn de zyden ZC =z ZN =3 ZS — ZP v: cor: 14: 3.
By gevolg kan om de vierzydige NCPS eén cirkel befchreêven worden v: 15. def: 1.
En om dat is NS — CP = NC1 , Maar NC < SP ƒ v:b:b.
Daarom begrypt NC meer dan een qüadrant v: 28: 3.
Derhalven is de V NZC aan het centrum ftócrip v: 33: 6.
En daarom is NC*. < CZ*. + ZN*, v: 12:- 2.
Maar CZ*. + ZN*. =z 2 ZC* v: b: b. Ergo NC*. < 2 ZC?. Verders zyn de ys. NIC en ADV regt v: ber.
Dies is de V ADN ftomp v: g ax. en zo def: u
H h Dieö



482 Grond-beginselen der Meetkunde
Dien volgens is de V DCN < dan een halve regte v: 5. en 32: 1.
En daarom het overige der regte dat is V CNI > dan een halve regte v: 32- 1
Derhalven is IN < IC v: 19: 1.
En daarom is CN*.<f <t 2 IN?- v: 47-' £ L > 2 ZC?. v: b: b. Dien volgens is IN < ZC v: 1 en cor 46: 1.
By gevolg DZ < Dl v: 47: y.
En dewyl het punt I buiten den fpheer EI<GH is v. cor: 16: 12.
Daarom is het punt Z nog meer buiten den zeiven fpheer v: k: b.
En derhalven raakt nog fneidt het vlak NCPS. wiens centrum Z het naaft aan de fpheer EFGH is, dezelve niet.
En op dezelve wyze, als boven beweezen is, dat PS > CN is.
Zoo bewyft men ook dat QT > PS is.
En daarom ook QT > CN.
Zoo zyn ook de 4 linien dP, dQ, dT en dS onder malkander gelyk. • En nademaal de 3 zyden van het vlak PQTS gelyk zyn de 3 zyden van het vlak CPSN. ' -
Maar de 4«. zyden QT < dan de 4«. zyden CN v: b: b. ' i Zoo volgt, dat Pd > ZC is. En daarom Dd < ZC v: 47: 1,
Zoo



van Euclides, Twaalfde" Boek. 4%
Zoo dat het vlak PQTS (wiens centrum d is; nog verder van het centrum
D af is.
En over zulks de fphera EFGH niet raaken nog fneiden kan.
En van de overige vlakken der veelhoek is het het zelfde v: k: b.
Ergo is de ligh: veelh: OBQPCN enzJ in de grootfte fpheer befchreêven.
Dat te bewyzen was. Scholium.
Indien in de kleinfle fpheer mede een veelhoek befchreêven woft, gelykformig den lig' haamelyken veelhoek in de grootfte fpheer;
Dan is de reden van de veelhoek in de eene fpheer tot de reden van de veelhoek in de andere fpSeer, als de drievoudige reden der diameter van de eene fpheer, tot de diameter van de andere fpheer.
iVant zoo uit het cent: der fpheeren tot alle de hóeken der bafes der gefielde veelhoeken regte linien getoogen worden.
Zoo zullen de veelhoeken in pyramides veranderen.
Zoo dat de pyramides in de eene gelykformig en gelyk in getal zyn met de pyramides in de andere veelhoek, welkers gelyk. formige zyden zyn halve diameters der fpheeren.
Ook zullen de regte tinten van het centrum Hh % d*ri



484 Grond-beginselen der Meetkünd^
der fpheeren tot de hoeken der bafes, cni degefykformigheid der bafes, in een koomen*
Daarom zullen de pyramides gelykformig worden.
Derhalven zal elke pyramis in de eene fpheer zyn tot elke pyramis in de andere fpheer C te weeten, die gelykformig zyn ) in de drievoudige reden der gelykformhe zyden v: 8: i2. {dat is de halve diameters der fpheeren.)
Maar gelyk de eene pyramis is tot de andere, alzoo zullen alle de pyramides te zaamen in de eene ligh: veelhoek zyn tot alle de pyramides te zaamen in de andere lighveelhoek v: 12: 5.
Alzoo hebben alle de veelhoeken in de eene fpheer tot die in de andere fpheer een drievoudige reden hunner diameters.
PROPOSITIE XVIII. THEO. R EM A XVI.
reden hunner diameters.
CFig. 35o. Tab. XXVI.) Hypothefis. De fpheeren ABC en DEF. Thefi,. spheer ABC : fpheer DEF : • 3 y
diam: BC ; 3 V; diam: EF.
Pro*



van Euclides, Twaalfde Boek. 4S5
Praparata.
Laat zyn fpheer ABC : fpheer G : : 3 v: diam: BC : 3 v: diam: EF.
Dan zal de fpheer G < = of > fpheer DBF zyn v; k: b.
Laat gefteld worden dat de fpheer G > dan de fpheer DEF is.
Wyders verheel u, dat de fpheer G een zelve centrum heeft met de fpheer DEF.
En dat in dezelve DEF befchreêven is een veelhoek, welke de fpheer G niet raakt, dat mogelyk is v: 17: 12.
En dat ook in de fpheer ABC befchreêven is een veelhoek gelykformig aan de veelhoek in de fpheer DEF. Demonftratie.
Dan is veelh: in fpheer ABC tot veelh: in fpheer DEF, als het 3 v: BC tot het 3 v: EF.
En 3 v: BC tot 3 v: EF, als fpheer ABC tot fpheer G v: cor: 17: 12. en gefielde.
En daarom veelh: in fpheer ABC tot veelh: in fpheer DEF, als fpheer ABC tot fpheer G v: 1.1: 5.
En nadien veelh: in fpheer ABC kleinder is dan fpheer ABC v: 9 ax,
Hh 3 Zoo



'485 Grond-beginselen der Meetkun
Zoo is ook veelh: in fpheer DEF kleinder dan fpheer G v: 14: 5.
Dat onmogelyk is v: 9 ax.
Derhalven kan de fpheer G niet kleinder zyn dan fpheer DEF v: k: b.
Laat nu ook gefteld worden fpheer G grooter dan fpheer DEF.
En fpheer DEF tot een andere fpheer
Alzoo dat is fpheer G tot fpheer ABC als 3 v: EF tot 3 v: BC.
Nadien nu fpheer DEF kleinder dan Ipheer G is v: geft.
ABC° ^ °°k fP^Cer H ldeinder dan fPheer
Dewyl nu niet kan zyn fpheer ABC tot fpheer G (y dan fpheer DEF; als 3 v: BC tot 3 v: EF v: b: b. .
Alzoo kan ook niet zyn fpheer DEF tot fpheer H (> dan fpheer ABC f als 3 V: BC tot 3 v: EF y: k: b.
Ergo is fpheer ABC tot fpheer DEF als 3 v: BC tot 3 v: EF v: k; b.
Dat te bewyzen was. Scholium.
In de demonjlratie. is gebteeken, dat de fpheer ABC tot geen andere fpheer {grooter of kleinder dan fpheer DEF ) in de 'drievoudige reden kan zyn van den diameter BC tot den diameter EF
C*



van Euclides, Twaalfde Boek. 487
Gorollarium.
Hier uit, en uit het geene volgt blykt, dat gelykformige veelhoeken in fpheeren befchreêven, tot elkander zyn in de drievoudige reden der diameters.
En gelyk de eene fpheer is tot de andere, alzoo is ook de veelhoek in de eene tot de veelhoek in de andere fpheer.
Want indien uit het cent: der fpheeren tot alle de hoeken der bafes van de gefielde veelhoeken getoogen worden regte linien.
Dan zullen de veelhoeken in pyramides gedeeld wórden, gelyk in ieder fpheer v: 6* 12. en gelyk in getal in beide de fpheeren, welkers gelykformige zyden zyn halve diameter der fpheeren v: k: b.
En alzoo verftaan wort, dat de kleinfte dezer fpheeren in de grootfte om een zelve centrum befchreêven is.
Daarom zulten de regte linien, getoogen van het centrum der fpeeren tot de hoeken der bafes {om de gelykformigheid der bafes ) over een koomen.
Derhalven elke byzonder pyramis in de eene fpheer, tot elke byzonder e pyramis in de andere fpheer, in een drievoudige reden der gelykformige zyden v: cor: 8: 12. {dat is de halve diameters der fpheeren.
Maar gelyk de eene pyramis tot de andeHh 4 re



488 Grond-beginselen der Meetkunde
re, alzoo zullen alle de pyramides, uit welke de eene ligh: veelhoek is zaamen gejleld zyn tot alle de pyramides , uit welke de andere ligh: veelhoek is zaamen gejleld.
En aldus hebben de veelhoeken in een fpheer een drievoudige reden der hc^ve diameters.
Derhalven ook van de heele diameters En daarom de eene fpheer tot den 'andere-, als de ligh: veelhoek in de eerfle, tot de ligh: veelhoek in de tweede v: n; 5.
Eynde van het Twaalfde Boek.
AAN*



AANMERKINGEN
OP DE ZES EERSTE, ELFDE en TWAALFDE
B' O E KEN
DER
GROND -BEGINSELEN VAN
EUCLIDES.
NOTE OP DE I", DEFINITIE DES l\ BOEK.
-u-^oor dit punt moet verftaan worden het mathematifche punt, zoodanig een punt, dat geenerhande uitgebreidheid heeft; dus wort het alleeniyk bepaald door dat geene , dat het rriet en heeft, „ Het is een punt, dat geen deelen „ heeft", Het is niet wel mogelyk de regte eigenfchappen van het punt uit te drukken, om,, dat het in der daad niets wezentlyks heeft, daar het door verbeeld kan worden.
De Meetkunft heeft de grootheid tot haar onderwerp; alle grootheden beftaan uit lengte, breedte en dikte, maar het punt heeft geen van alle : want anders zoude het een grootheid zyn, het welk tegens de definitie van Euclides ftryden zoude; grooter nog kleinder dat doet hier niets toe ,* het aller kleinfte zardje is een grootheid , en. een oneindig klein gedeelte van een Hh s zan-



49« AANM ERKINGEN.
zandje blyft een grootheid; jaa de allerfynfte punt van een naaide, die bedagd kan worden, is, om zoo te fpreeken , een grootheid, èii dus zeer verfchillende met het wiskundige punt.
Derhalven beiïuiten wy, dat dit punt alleen denkbeeldig is, en maar met het verftand alleen begreepen kan worden, en zeer verfchillende is van het phyfifch'e punt. De wiskunft eifcht noodzaakelyk dit punt, en de kenniffe van het zelve is van het uiterfte aanbelang.
Wy zullen 't vervolg in deze noten nog nader tragten te betoogen de beftaanbaarheid van dit wiskundig punt, het geene eenige wysgeeren getragt hebben om verre te werpen.
OP DE If. DEFINITIE DES Ie. BOEK.
Gemeenelyk heldert men deze deflniiie aL!usop. w Als een punt voortloopt, zoo wort de weg, „ die zy maakt, Linie genaamd, en dewyl een „ punt ondeelbaar is, zoo volgt, dat de lengte „ die zy maakt, ook ondeelbaar is in breedte, „ en daarom een zekere lengte , die met het „verftand bevat moet werdén, én vervolgens „ zonder eenige breedre."
Rïaar vermits het punt niets wezenflyks heeft, en alleenlyk denkbeeldig is v: i def. Zoo kan dit punt eigenüyk niet voorrlocpen , derhalven moet dit voonioopen med'e denkbeeldig opgenoomen worden.
Wy krygen anderzints oen zeer goed denkbeeld van een li-ie, by voorbeeld, als 'er gezegd wort dat twee bekende Heden zoo veel uuren' van den anderen ai^cleegen zyn , alhier word immers aifienlyk iiiaaf in agt genoomen de'lengte van de weg, zonder de'breedte van dien in eenige aanmerking te neeaicii.
ftlaar



AANMERKINGEN. 49S
Maar als men in het afgetrokkene naagaat, dat lengte en breedte twee ouderfcheide dingen zyn , kan immers de 'bepaaling of uitdrukking van een linie in der zeiver natuurlykfte beteekenis niets anders' beduiden als lengte, en dus had Euclides zelvs kunnen volllaan met te Zeggen ypccufty èé tüéx.®' een linie is een lengte en het negative woord «s-Aa™^, zonder breedte, fchynt zelvs overvloedig.
OP DE IIf\ DEFINITIE DES F. BOEK.
Indien men zig verheelt het voorloopen van het punt, waar door een linie befchreêven wort, zoo begint en eindigt dit voorloopen; dus, alwaar zulks begint, bevint zig een punt, en daar zulks eindigt, moet zig wederom een punt bevinden.
Verbee't men zig een weg tusfchen twee Heden als een linie, zoo worden die twee fteden, de üiterftens van die linie zynde, als de punten aangezien.
Dog dit moet al wederom denkbeeldig genoomen worden.
OP DE IV'. DEFINITIE DES F. BOEK.
Euclides zegt alleenlyk maar, wat een regte linie is, en ieh;.nt dezelve te onderfcheiden van de kromme , alhoewel hy van deze laalle niet melt: want alle linien, welke men bezetten kan, zyn regt of krom. De regte nu, zegt Euclides, is die, welke gelyk tusfchen zyn punten leit,
Proclus , de vermaarde Commentator van Euclides, zegt verders , dat een linie gelyk tusfchen zyn punten leit, wanneer dezelve een ruimte befiaat gelyk met de uisfehenruimte, die 'er tusfchen twee punten is.
Pla-



492 AANMERKINGEN.
Plato geeft een andere definitie van de regte linie, zeggende aldus:
„ Een regte linie is, welkers middelde deelen „ de üiterftens befchaduwen.
Is het niet volgens deze grondles, dat een Meetkundige, een linie op het veld willende afbaakenen , naauwkeurig let, dat alle de middelfte veldftokken, die de middelfte deelen van die veldlinie verbeelden of uitmaaken, alle onzigtbaar moeten zyn, terwyl men op het voorfte baken ziet, en dus befchaduwt worden? En mag men deze definitie naa de leering van Plato ge« fteld, niet als de grondles van dat veldwerk aanmerken ?
Archimedes zegt „ dat de regte linie de korfte „ fpatie is tusfchen twee punten.
Dit is in der daad de eigenfchap van de regte linie wel uit gelegd.
Maar die geenen , welke de eigenfchap van een linie verklaaren door het voorloopen van het punt kunnen de uitlegging van een regte linie aldus geeven.
„ Een regte linie is zoodanig een, welke voort„ komt, wanneer een punt bewoogen wort in „ zoodanig een leiding, dat die onder het voort„ loopen nog opwaarts, nog nederwaarts, nog „ herwaarts, nog derwaarts afwykt, maar altoqs „ een en dezeivde rigting houdt.
OP DE VDEFINITIE DES F. BOEK.
Proclus zegt, dat de fchaduw van een lighaam ons een klaar beeltenis van een vlak vertoont. Andere zeggen, dat de üiterftens van een lighaam vlakken zyn, om dat zy ons de uiterlte grooce van een lighaam voordraagt, neemende met het
yet-



AANMERKINGEN. 4g$
verftand alle lighaamelykheid weg, en alleen de üiterftens befchouwende.
Dog alzoo ons nog geen definitie van een lighaam gegeeven is, zoo kunnen wy den aart en eigenfchap van een lighaam voor als nog niet beseffen , en dus moet deze verklaaring op de definitie van het vlak als te voorbarig aangemerkt worden.
Nog andere zeggen, dat een vlak een hoe grootheid is, "ftaande tusfchen twee wydtens
En wederom andere, dat een vlak voortkomt door het overdwars beweegen van een regte linie, en dat de weg, welke deze linie afleidt een vlak genaamd wort.
Dog al die omilag fchynt my onnodig, als men zig maar gelieft te verbeelden, dat Euclides hier door bepaalt een uitgebreidheid, welke alleen lengte en breedte heeft, en verftaat daar door dat geene, zoo als wy gewoon zyn te begryPcn, fpreekende van Landen, Velden, Wateren. Zeen enz.- dat of dat land, veld of water, die of die Zee is zoo groot; koomende alhier alleenlyk maar in aanmerking de lengte en breedte, zonder in agt te neemen eenige dikte of diepte.
In geenen deelen kunnen wy voor goed keuren het zeggen van andere; dat namentlyk de Meetkundigen een lyn dikwyls begrypen zaamgefteld te zyn uit punten, en dat dan door punten verftaan moet worden oneindig kleine maar egter gelyke grootheden, en dat zulke lynen gezegd worden de breedte van een punt te heb. ben. Insgelyks dat men begrypt, dat door zaamenftellmg van zulke lynen een vlak wort voortgebragt, welke vlakken dan de dikte van zoodanige punten hebben, en dit brengt men aldus verder over tot de lighaamen. Wy zeggen alleenlyk hier op, dat, vermits dit
al-



4SM AANMERKINGEN";
alles denkbeeldig m ;et bevat worden, men vaii het (luk geheel afwykt, zoo dra men zig by een linie eenige breed:e ca by een vlak eenige dikte gaat verbeelden, hoe gering dat ook is, men blyft altoos hangen aan de woorden ■ „ oneindige „ kleire maar egter gelyke grootheden:" want buiten en behalven dat deze woerden direct, ftryden tegen de i'. 2'. en 5=. definitie van Euclides zelvs, zoo is het onmogelyk, dat iemand, hoe vol verbeeldingen hy ook mogte weezen, een regt denkbeeld van een linie en van een vlak kan krygen-, derhalven moet men zoodanige aanmerkingen als zeer gevaarlyke klippen voor eerft beginnende aanzien.
OP DE VF. DEFINITIE DES F. BOEK.
Gelyk de üiterftens der linien punten zyn , alzoo zyn de üiterftens der vlakken linien; en over zulks worden de vlakken gezegd door Unien beflooten te zyn.
OP DE VIP. DEFINITIE DES F. BOEK.
Euclides zegt^hier alleenlyk maar, wat een plat vlak is , en fchynt het zelve ook te onderfcheiden van de gebooge of bultige vlakken : want gelyk een regte linie overal vlak en ongeboogen leit tusfchen haar uiterfte punten , alzoo leit ook een plat vlak over al effen en ongebuid tuffchen zyn uiterfte linien. Dus is deeze definitie van den zeiven aart als de 4'. en kan daarom even eensbefchouwd worden, te weeten dat een plat vlak zoodanig éenis, dat, gelyk tuffchen zyn linien leggende, geen linie in dezelve moet kunnen genoomen worden, dat opwaarts of nederwaarts, herwaartg of derwaarts buiten de üiterftens fpringt.
En daarom kan men met Plato zeggen. dat een
plat



AANMERKIN G E N. 4^5
plat vlak is, wiens middelfte deelen de üiterftens befchiduwen.
Of met Archimedes , dat een plat vlak is het geene de minfte uitgebreidheid heeft der geener, die dezelvde üiterftens hebben.
Heron zegt, dat een plat vlak is alle wiens deelen een regte linie mag toegevoegd worden.
De aart van een linie en van een vlak aangetoond hebbende, kunnen wy nu. begrypen , dat een linie een uitgebreidheid alleen in lengte is», als mede dat een vlak een uitgebreidheid alleen in lengte en breedte is. Al verbeelt men zig dan oneindig veel linien naaft den anderen te leggen, kunnen zy met haar allen nooit eenig vlak voortbrengen , want geen van allen eenige breedte bezittende , hebben zy met haar allen zaamgenoomen mede geen breedte, daar een vlak immers, wil het een vlak zyn , eenigte breedte moet hebben: derhalven kunnen wy befluiten , dat deri aart van eer. linie geheel en al verfchillende zynde met die van een vlak, nooit kan overgaan tot in een vlak, nog den aart van een vlak tot in een linie.
OP DE IXe. DEFINITIE DES h. BOEK.
In het algemeen heeft men driederhande foorten van hoeken, als i«. Regtlinifche hoeken, welke bevat zyn door twee regte linien. i'. Kromlinifche hoeken, welke door twee kromme linien bevat zyn, en y. Menglinifehe hoeken, welke van een regte en van een kromme linie bevat zyn.
Euclides bepaalt zig hier alleenlyk maar aan den regtlinifche hoek. Om een regtlinifche hoek te hebben, gelieft
men



4$6 A A N M È R K I N G E ff.
men aan te merken, dat 'er drie dingen vereifcht worden.
ï*. Dat de linien, xvaar van de hoek gemaakt is., regt zyn. 2". Dat die linien elkander aanraaken. •3'. Dat zy elkander zoodanig moeten aanraaken > dat zy niet te zaamen koomen in een regte linie.
En hier uit l| ligtelyk te verftaan, hoe twee kromme linien, als mede een regte en een kromme linie moeten zaamen koomen om een hoek te maaken.
OP DE XIII', DEFINITIE DES L. BOEK.
Vermits dan volgens deze definitie het uiterfte is het einde van iets, dus zyn dan de punten de üiterftens van een linie, en de linien de üiterftens van een vlak.
OP DE XIV. DEFINITIE DES F. BOEK.
Schoon alle uitgebreidheden door hunne üiterftens bepaald worden , zoo moet men egter niet begrypen, dat alle uitgebreidheden, hoewel bepaald , figuren kunnen genaamd worden. Een eenvoudige linie, by voorbeeld, fchoon door zyne punten bepaald, mag evenwel geen figuur genaamd worden, ten zy daar eenige verdere omftandigheden bygevoegd worden; Om een figuur te zyn, moeten 'er een of meer üiterftens zyn, die een zekere ruimte influiten. Dit vergelykenende met het na te meldene ii'. axioma, zal men hier een aller klaarft denkbeeld van krygen.
Euclides geeft dan in deze definitie een befchryviDg van een figuur in het algemeen, en



AANMERKINGEN. 497
bepaalt zig in het vervolg nader aan de foorten ; dat is te zeggen, hy zal ons verder het byzonder onderfcheid der figuren iecren: en alhoewel ten aanzien van den aart der figuren dezelve tweederly zyn, als i'. platte of vlakke, en 1'. lighaamelyke, zoo bepaalt hy zig nu voor als nog alhier aan de eerftgenoemde, en onderfcheidt die in de eerfte plaats in twee foorten , als i'. in kromlinifcbe, en 7,*'. in regtlinifche: nopens de kromlinifche handelt hy alleenlyk maar van den cirkel, dog nopens de regtlinifche, daar van handelt hy verfcheideiulyk.
Een figuur kan op veele byzondere wyzen befchouwd worden, en vervolgens deze befchouwingen ook veele byzondere naamen hébben. Een figuur dan kan befchouwd worden.
i". Ten aanzien van zyn aart, dat is te zeggen , of het is een platte of een lighaamelyke figuur, en kan dien volgens genoemd worden een platte figuur of een lighaamelyke figuur.
2,e Ten aanzien van zyn gefchaapenheid, dat is te zeggen, of het is een figuur met kromme of met regte linien omvangen, en kan derhalven genoemd worden een kromlinifche of een regtlinifche figuur.
3e. Ten aanzien van Zyn üiterlyke -gedaante, dat is te zeggen , of het is een reguliere of een irreguliere figuur, en. kan dus genoemd worden een reguliere of een irreguliere figuurs
4C. Ten aanzien van deszelfs zyden, dat is te zeggen, of het is een gelykzydige figuur, ook of het it een drie, vier of meer zyden hebbende figuur; en kan over zulks genoemd worden een gelykzydige of een ongelykzydige figuur; ook een drie, vier of meer zyden hebbende figuur.
5'. Ten aanzien van deszelfs hoeken, dat is te zeggen, of het is een gelykhoekige of ongelykIi hoe-



498 A A N M E R K I N G E ^
hoekige figuur; ook of het is een drie vier oi Veelhoekige figuur : en kan daarom genoemd wórden een gelykhoekige of ongelykhockige ffruurook een drie , vier of veelhoekige figuur ° ' Wy zien dan uit dit weinige als in het vocrby gaan, dat een figuur veele byzondere naamen kan hebben, van alle welke Euclides in zyne Grond-beginfelen breedvoerig en zeer net handelt; wy zullen dus gelcegentheld genoeg hebben om alle de byzondere eigenfchappen vart«lk in het byzonder na te fpooren.
OP DE XVe. .DEFINITIE DES F. BOEK.
Deze definitie toont ons aan den anrt en eigenfchap van den cirkel, en doet ons een duidelyke bevatting van den zelve krygen wanreer wy letten op de manier om een cirkel te befchryven, welke wy ons aldus kunnen verbeelden. CFig. 4. Tab. I.)
„ Laat na believen getoogen zyn een regte „ Unie EA, weikers eene einde E onbcwecs„ lyk en vaftgefteld wort , maar het andere „einde, mitsgaders.de geheele EA moet be „ woogen kunnen worden rontom het punt „ E; dan zal de linie EA door deze ronde beweegmg befchreêven hebben den cirkel EAC "
Clavius geeft een ander definitie van den cirkel, en zegt „ Een cirkel is een platte fi„ guur, die befchreêven wort door het om„ draaijen van een regte linie, die aan het eene „einde onbeweeglyk vaft is, en al draaijende
l7eu Is» Pl3atfe' d3ar die be-on'
Uit deze definitie van Clavius ziet men eer op wat wyze een cirkel gebooren wort dan wel deszelvs aart en eigenfchap. ' *
De



AANMERKINGEN. 499
De cirkel is van een groot nut in de ganfche wiskunde, alzoo men in de Meetkunde den cirkel alleen voor alle andore kromme figuren behouden heeft; waarom Euclides ook alle deszelvs eigenfehappen beweezen, en zelvs twee boeken daar mede opgevuld heeft.
Wy moeten ook nog aanmerken , dat een cirkel gcmeenlyk ook, hoewel oneigentlyk genoemd wort, die in zig zelvs krom loopende linie, die de figuür van den cirkel iniluit, en eigentlyk de peripherie, circumferentie of omtrek uitmaakt.
By den cirkel heeft men riog eenige dingen te overweegen , die in aanmerking moeten koomen, rals daar zyn het centrum, den diameter enz: waar van Euclides in zyn volgende definitien de eigenfehappen te boek ftelt.
OP DE XVII'. DEFINITIE DES I'. BOEK.
Twee eigenfehappen dan worden 'er in een linie vereifcht om den diameter van een cirkel te zyn. als
i'. Dat zy door 't centrum gaat.
2'. Dat zy wederzyds in' de circumferentie eindigt.
Een linie derhalven, die maar een van beide , of geen van dezelve eigenfehappen bezit, kan ook geen diameter zyn.
Dat zoodanig eën linie den cirkel in twee gelyke deelen moet fcheiden, 'is gemakkelyk té bevatten. R. Simfon in zyne uitgaave te Glasgouw Ao. 1756. gedrukt, laat dit lid van deze definitie geheel weg, hoewel ik het in alle andere Autheuren zelvs in de Griekfche grond test gevonden heb.
De linien EA, EC, enz: zynde halve diameli a ters



500 AANMERKINGEN,
ters, worden genoemd Radii of ftraalen van den cirkel.
OP DE XIX'. DEFINITIE DES F. BOEK.
Veele Autheuren, welke de grond-beginfelerc der Meetkunde van Euclides verhandeld hebben zyn deze definitie voorby gegaan, om geene andere rede, dan dat dezelve nog eens woordelyk herhaald wort voor het 3". boek, gelyk men aldaar de 5'. definitie bevint te zyn. Het is evenwel niet te denken, dat Euclides, van wiens naauv/keurigheid wy te zeer overtuigd zyn, hier zoo los zoude te werk gegaan zyn, en tweemaal een ding zeggen zonder eenige reden, neen, wy durven ons verzeekerd houden, dat die groote Wiskunftenaar wel degelyk zyne byzondere redenen daar toe gehad zal hebben, en ons komt niet onaannemelyk voor, dat hy gewild heeft, dat dën aanvanger, nu reeds kennis gekreegen hebbende van den cirkel, te gelyk ook aanftonds zoude weeten wat een cirkelftuk was, om het een niet met het andere te verwarren, en dat hy die zelvde definitie voor zyn 3'. Boek herhaalt, fchynt ons toe, geweeft te zyn alleenlyk om die te herinneren , aangezien hy in dat boek meer eigenfehappen van het cirkelftuk te verhandelen heeft.
De bepaalingen van den cirkel, en al het seene daar aan behoort, gedaan zynde, gaat "Euclides over tot de regtlinifche figuren , en zegt eerft in 't algemeen, wat een regtlinifche figuur is, en onderfcheidt dezelve naaderhand in foorten.
Q*



A ANMERKINGEN. 501
OP DE XX'., XX?., XXII'. EN XXIII'. DEFINITIE DES F. BOEK.
In de 20'. defin. dan algemeen gezegd hebbende, wat Regtlinifche figuren zyn, gaat Euclides deze in de 3 volgende definitien onderfcheiden in 3 foorten, als in drie, vier en veelzydige figuren.
In de 21'. leert hy, wat een driezydige figuur Is, en overzulks de figuur C, (Fig. 3. Tab. I.) beflooten zynde door de 3 regte linien, is een driezydige figuur. Ook wort zoodanig een figuur genaamd een Driehoek of Triangel, na deszelvs hoeken.
In de 22'. leert hy, wat een vierzydige figuur is, en aldus is de figuur D, beflooten zynde door de 4 regte linien, een vierzydige figuur.
Inde 23'. leert hy, wat een veelzydige figuur is, naamentlyk die door meer dan vier linien beflooten is.
Alle figuren dan, welke met meer dan vier zyden beflooten zyn, worden met een algemeene naam genoemd veelzydige figuren; en ook wei Polygonen, of veelhoekige figuren, na deszelvs hoeken; en dat men deze algemeene naam ge* bruikt, zulks gefchiet alleenlyk om niet in een oneindige menigte van namen te vervallen.
Evenwel mag men een figuur met 5, 6, 7 enz: zyden ook noemen, een vyf, zes, zevenzydige figuur, Euclides naaderhand deze veelzydige figuren zullende onderfcheiden, noemt die vyfhoeken , zeshoeken en vyftienhoeken.
OP DE XXIV'. XXV. XXVI.. XXVIF. XXVIII. ' XXIX'. DEFINITIE DES F. BOEK.
In deze zes definitien bepaalt Euclides zig aan de driehoeken, en onderfcheidt dezelve in zes li 3 foor-



592 aanmerkingen.
foorten, waar van de crie perjte hunne naarcr ontleenen van hunne zyde , en de drie laafte var hunne hoeken.
In de 24°. def. leert men , wat een gclvkzydbe driehoek is; (Fig 8, Tab. I.) en alzoo is Je figuur ABC een gelykzydige driehoek, om dat die beflooten is door de drie gei;ke z,n AB, BC, en CA. Deze driehoek leert Euclides maaken in de eerfte Propofkie van het cirfk- Boei: In de 25". definitie leert men, wat een gelykbeenige driehoek is; (Fig. g. Tab. I. ) Q], aIti i& is de figuur ABC een gelykbeenige driehoek , om dat die beflooten is door de twee gehke zyden AC en BC, en door een derde zyde A3, die aan de beenen BC en AC ongelyk ig.
Het maaken of zaamftellen van zoodanig een driehoek leert men 'in het 2 Coroll. van dc eerfte des eerfte Boeks.
Jn de 26». definitie leert men, wat een ongelykzydige driehoek is, in gevolge daar van 'is de figuur ABC ( Fig. i.q, Tab. ï. ) een ongelvkzydige driehoek, om dat alle drie de zyden met malkanderen in lengte verfehillen , want AB is kleinder danpc, en BC kleinder dan CA, en by gevolg CA grooter danAB. " • — 1
Het zaamen ftellen van een onbepaalde osgeJykzydige driehoek leit geen zwarigheid, en kan ter uitvoer gebragt worden door een iegelyk die maar een linie weet te trekken. Dog wa.meer die drie Unien bepaald gegeeven zyn, moeten
nebl ,n!C,n ^ dkander Cen Zekere «fe?^
driehoVk f 1Cert EUClideS' °"S d« «! driehoek formeren in zyn 22°. Prep 'des ]■ B
dat hv onf "'ï kUnne" dan naa
driehoek /, Cenige bekappen van den nehoek zelvs aangetoond had, en vooral naa *S hy ons eerft geleerd had, dat men Tan £
la



AANMERKINGEN. 50J
is linien zonder onderfcheid geen driehoek maaken kan , gelyk hy doet in zyn 20". Prop. des ic. Boeks. Deze driederly benaamingen heeft den driehoek dan ten aanzien van deszelvs zyden.maar ten opzigte van deszelvs hoeken , is den driehoek mede driederly, als volgt:
In de 27e. definitie wort geleerd , wat eea Regthoekige driehoek is, (Fig. li: Tab. I.) derhalven is de figuur ABC een regthoekige driehoek, om dat de eene hoek regt is,
By den regthoekigen driehoek valt nog op te merken, dat de zyden tegen over den regten hoek genaamd wort de Hypothenufa of fchuinfe zyde, en dat de zyden, welken den regten hoek maaken, beide genoemd worden de cathetici of de regtsboeks zyden.
In de 28'. definitie leert men, wat een ftomphoekige driehoek isj (Fig, 12. Tab- I.) naamentlyk, welkers eene hoek ftomp is.
In de 29'. definitie leert men, wat een fcherp» hoekige driehoek is, (Fig. 13. Tab. I.) en volgens die leer is een driehoek, wiens drie hoeken fcherp zyn, een fcherphoekige driehoek.
De leer van den driehoek, waar van Euclides zoo wydloopig handelt, en waar van hy zoo veele fraaye en verwonderingswaardige eigenfehappen aantoont, is van' H'et aller uiterfte nut zander dezelve kunnen 'er geen Meetkundige waarheden beweezen of opgeloft worden, zoo dat men kan zeggen, dat de. Meetkunde alzoo min den driehoek kan ontbeeren , als alle verdere wiskundige weeienfchappen de Meetkunde. En al hoewel de figuur-op zig zclvcn befchouwd', een der eenvoudigfte is, nogtans is dezelve ten aanzien van derzelver eigenfehappen een der voornaamfte en fraayfte, jaa men zoude moogea zeggen, dat de driehoek ten opzigte van de andéli 4 r@



^AANMERKINGEN,
re figuren was, het geene Arifloteles het getal 3 getuigde te zyn ten aanzien van alle andere getallen, naamentlyk het volmaakfte; hy zegt, dat het getal 3f het eerde ongelyk getal zynde,' het begin der ongelykheid is.
De ouden hadden met de ongelyke getallen Zeer veel op, en hadden voor dezelven de ui. terfie hooeagting, als zynde die getallen, waar door de Goden zig lieten verzoenen ; Virgiliüs zingt Numero Deus inpare gaudet.
De driehoeken dan kunnen algemeen befchouwd worden op tweederly manieren , sis t°. Ten aanzien van de zyden , en ». ten aanzien van de hoeken. Euclides dit afgehandelt hebbende toont aan het onderfcheid van alle vierzydige figuren in de vier volgende definitien.
OP DE XXXF. DEFINITIE DES F. BOEK.
Euclides zegt hier, dat een Langwerpig vierkant een figuur is. welke vier regie hoeken, maar geen gelyke zyden heeft; egter is het waar, dat de tegenoverftaande zyden aan malkander gelyk zyn, namentlyk AB gelyk DC en AD gelyk BC, (F,g. 15, Tab. I.) dog dit zal Euchdes in de 34'. Prop. des i«. Boeks, zelvs aantoonen en bewyzen.
OP DE XXXIF. DEFINITIE DES F. BOEK.
Euclides zegt hier, dat een Rombus of Ruit een figuur is, welke vier gelyke zyden, maar geen vier regte hoeken heeft, egter kan men aanmerken , dat de overftaande hoeken malkander gelyk zyn, namentlyk den hoek A gelyk den hoek C, cn den hoek B gelyk den hoek D ^Fig. 16. Tab. I. )
OP



AANMERKINGEN. 505
OP DE XXXIII.. DEFINITIE DES F. BOEK.
De Aanvanger zoude miffchien kunnen vraagen, waar toe het geeven van deze drie naam definitien als zy/n de 31.. 3*. en 33=. definitie, vermits Euclides van dezelve in geen van zyn boekengebruik maakt? Hier op andwoorde ik, Euclides fpreekt hier in zyn 31» definitie, van een Langwerpig vierkant Ciufi^HÏ dezelve figuur noemt hy in Zyn 2, goek ^ regthoekjg paraüel_
»ogram ( n^x^xiy^^ .,»„,„'„„) of cen ■K-egthoek (n£,«z^flS( ieuvim„.^
Van 'sgelyken fpreekt hy in zyn 32=. defin van een Ruit (r^,) en in zyn 33'. definitie van een langwerpige Ruit C r«>«j3«^is-) dog in zyn ganfche eerfte Boek noemt hy die zelve figuren een Parallellogram (nte.faxtxx!1y?amm>) zon_ der eenige verdere bepaaling, en verftaat daar gemeenelyk door een fcheefhoekig parallellogram , gelyk men zien kan in de 34c, 35*, 36=, 4j>«! 42', 43% 44' en 45' Prop. des u. Boek.
De reden, waarom Euclides deze figuren hier genoemd heeft een langwerpig vierkant , een KU't, en een langwerpige Ruit, fchynt ons toe f"e te ^ • dat hy dezelve voor als nog, zoo «nge hy niet bepaald heeft, wat parallelle linien zyn, en geen eigenfehappen van dezelve aangetoond heeft, niet anders heeft kunnen noemen?'
Daar zyn 'er, die meenen, dat Euclides het geeven van de definitie eens parallcllograms vergeeten zoude hebben, en die daarom een definitie van deze figuur laaten volgen op de definitie der Parallellen zoo ook geeven zy een definitie van de fuplementen eens Parallelloyrams die zekerlyk by Euclides te vergeefs zoude ge'zo-d worden, alzoo wel als wat de bafis van een&fi°uur is, waar van zy nog een definitie geeven. °
!iS De



§06 AANMERKINGEN.
De befchuldiging van dit verzuim, 't welke men Euclides ftilzwygende wil aanyryven, kan ik geenzints gpedkeuren : het is waar Euclides bepaalt dit zekerlyk niet; maar de boeken van dien grooten wiskunftenaar naagaande? zal men bevinden , dat 'er meer zaaken zyn , die hy juift niet bepaalt, en evenwel daar van fpreekt, als iets dat bekend is, dit had men dan pok niet'over het hoofd moeten zien, by voorbeeld; Euclides bepaalt niet wat fchrikshoeken zyn ( yanat KaruMpvpi,-) cn evenwel fpreekt hy van die hoeken in zyn 15'. Prop. des 1'. Boek, als iets dat men reeds weet; dit is erger hun oplettend oog ontfnapt, en was egter van meer ten minden Tan zoo veel aanbelang als te bepaalen wat de bafis van een figuur is, die geheel willekeurig kan genoomen worden.
Euclides dan, in wiens fchriften overal de uiterfte nettigheid en naauwkeurigheid doorftraalt, zal gewiflelyk begreepen hebben, dat den onderzoeker zulks genoeg konde afleiden , en heeft zyne werken met geen overtolligheden en onHUttigheden willen opvullen.
OP DE XXXV'. DEFINITIE DES F. BOEK.
Uit deze definitie der parallelle, welke Euclides ons geeft, volgt dan, dat, ;als die linien aan een van beide zyde zaamen koomen , dezelve niet parallel zyn ; of zoo die niet parallel zyn, dat zy dan aan de eene of andere zyde immers zaamen zullen koomen.
Deze definitie van Euclides wegens de parallelle voldoet aan veelen niet, om dat 'er geze^t wort, wat de parallelle niet doen, daar'er, volgens hun meening, moeft gezegd zyn geworden, wat zy imniers doen, dien volgens hebben



AANMERKINGEN. |g|
ben zy deze verworpen , en een geheel andere in de plaats gefteld, te weeten deze volgende.
„ Zoo een regte linie perpendiculair op een „ andere linie fchuift, zoo zal het uiterfte punt „ van die fchuivende linie een andere linie be„ fchryven , die gelyk en parallel is met de „ linie, waar op zy fchuift."
Waarom die fchuivende linie nu juift perpendiculair op de andere linie gefteld moet worden , bekenne ik gaarne niet te weeten: want dat zelve uiterfte punt zal evenwel een linie befchryven, die gelyk en parallel is aan de gegeeve linie, al fchuift die juift niet perpendiculair, als maar die fchuivende linie onder het voortfchuiven altoos een en dezelvde hoek behoudt.
Deze nieuwe definitie dan bevat in zig de voortteeling der parallellen , daar de definitie van Euclides ons leert den aart en eigenfehap der zelve. Waarom nu een definitie, welke de voortteeling van een zaak bevat , gefteld moet worden voor een , die den aart en eigenfehap van die zelve zaak aantoont, daar van kan ik geen redenen bezeffen.
Ik keure derhalve deze onnodige verandering af, dewyl men uit de definitie, welke Euclides ons geeft, zeer gemakkelyk kan begrypen, dat de parallelle linien altoos een en de zelvde wydte van elkander houden, en dit is al, dat men dient te weeten. •
De leer der parallellen geeft in de ganfche wiskunde zeer veel nut, en voornamentlyk in de oeftening der Meetkunde , alwaar zy van een byzonder nut is in het uitvinden en bewyzen van zaaken.



5o8 AAN MERKINGEN.
OP HET IV'. AXIOMA.
Het is mede waar, dat, wanneer by gelyke grootheden ongelyke grootheden toegedaan worden, de fomme mede ongelyk zyn. (Fig. 24 Tab. II.) BE is gelyk DF, maar AS grooter dan CD: dus is AE grooter dan CF en bygevolg ongelyk.
OP HET V'. AXIOMA DES F. BOEK.
Mede is waar , wanneer men van gelyke grootheden ongelyke af neemt, dat dan de resten mede ongelyk zyn. (Fig. 351. Tab. XXVI.) AE is gelyk CF maar BE grooter dan DF dus is AB grooter dan CD.
OP HET VF. AXIOMA DES F. BOEK.
Het is van dezelvde klaarblykelykheid, dat de grootheden, die aan gelyke grootheden dubbeld zyn, mede gelyk zyn. (Fig. 26. Tab. II.) Indien EF gelyk GH is en AB dubbeld van EF, item CD dubbeld van GH dan zal ook AB velyk CD zyn.
En hier uit volgt ook, dat AB mede dubbeld is van GH, cn CD dubbeld van EF.
OP HET VIP, AXIOMA DES F. BOEK.
Buiten en behalven dat deze kundigheid uit zig zelve kla'arblykelyk is, zoo is het mede een gevolg van het voorgaande axioma..
OP HET VHF. AXIOMA DES F. BOEK.
De verklaaring van dit axioma is een weinig Uitgebreid om redenen, dat 'er uitleggeren zyn,
uit-



'AANMERKINGEN. 509
die zeggen, dat dit axioma plaats grypt tot linien en hoeken betrokken zynde, maar niet tot figuren , ten zy ze gelyk zyn.
Dit zeggen kan ik niet begrypen , en het fchynt my toe , dat 'er in dit zeggen een groote tegenzeggelykheid beflooten leit: want het ftryd direct tegen de duidelyke woorden van het axioma, het welk zegt „ De dingen die op ,, malkander gelegd zynde, in alle deelen paffen, „ zyn gelyk." Derhalven de figuren op elkander gelegd zynde , paffende, zyn gelyk. Hoe komt dan hier te pas de woorden maar niet tot figuren, ten zy ze gelyk zyn?
Andere uitleggeren hebben by dit axioma nog gevoegd deze woorden „ En wederom die din-
gen, die van een zelve foort zynde gelyk „ zyn, die zullen met al haar deelen net op „ malkanderen paffen." Dit is niet algemeen waar, en heeft alleen plaats in linien en hoeken, maar niet altoos in figuren: want de figuren ABC en DEF (Fig. 78. Tab. V.) zyn van een zelve foort, om dat zy beiden driehoeken zyn, en Euclides zal in zyn 38'. Prop. des V. Boaks bewyzen dat ze gelyk zyn, niet te., gejiftaande dat, zullen zy, op malkander gelegd zynde , niet paffen.
OP HET XF. AXIOMA DES F. BOEK. •
Dit axioma hebben eenige uit het getal der axiomata verworpen, en het zelve agter de 28°. Prop. des i'. Boek gedemonftreerd , om dat hun het zélve zoo klaar niet voor komt dan wel de anderen.
Deze rede kan ik wel begrypen, maar ik kan niet wel van my verkrygen om toe te ftem-
mefl



jio AANMERKINGEN.
men, dat een Meetkundige zoodanig een als Euclides geweeft is, niet zoude geweeten heb" ben het onderfcheid tuffchen een axioma eii propolitie, en al fchoon 'er tegen de li". »xio_ ma gefchreeven is, moet men egter niet denken , dat het wederlegd is geworden; tegens de geheelen Wiskunft en der zeiver vaftigheid is mede gefchreeven, maar zy is daarom niet te min waar gebleeven zoo lange men geen overtuigende redenen voor dén dag kan brengen,, moet zulk fchryven geen ingang vinden.
Laaten wy dan dit axioma met een behoorlyke aandagt toetfen aan de definitie van eert axioma, namentlyk Dat 'er aan het gefteldé „ niet kan getwyffeld worden f en de zaak an„ ders zynde een tegenzeggelykheid in zig zou„ de bevatten." Zoo draa wy dan ftellen, dat die linien of zouden verwyderen, of parallel blyven, zal niet alle en een iegèlyk, die de voorgaande 35". definitie verftaan heeft, de on. mogelykheid van dat gefuponeerde moeten bevatten.
Daar zyn 'er dan, welke om geen ruimte open te laaten in deszelvs plaats gefteld hebben dit axioma Als twee regte linien elkander fnyden, „ dan kunnen deze beiden niet parallel zyn aan „ een zelve derde linie." Dog tot wat noodzaakelykheid en op welk gezag, wil ik wel bekennen niet te weeten, even zoo min als waarom men agter de axiomata van Euclides nog meer andere axiomata gevoegd heeft, die van Euclides niet zyn; derzelver nut niet hebbende kunnen naafpeuren ben ik die met ftilfwygeri voorby gegaan.
OP



aanmerkingen. 5ïï
OP DE IP. PROP. DES P. BOEK.
Het gegeeve punt A is hier genoomen buitere de linie 15C, dog het zelve zoude ook kunnen gegeeven worden in de linie BC zelvs, (Fig. 352. Tab. XXVI.) wanneer de conftru&ie en het bewys het zelvde is, de figuur maar volgende ,alleenlyk met dat onderfcheid, dat men in de demonftratie van dit geval, zal moeten adderen.' daar men eerft hadde gefubftraheerd.
Beide deze gevallen kunnen mechanifch op het papier volbragd worden door middel van dea pasfer, aldus, opent uw pasfer met de wydte van, BC, zet de eene punt in A , en haalt een cirkelboogje , eindelyk haalt uit het punt A tot aan het cirkelboogje een regte linie, dan is deze de be. geerde linie.
En al fchoon dit geen begeerte voldoet, gelyk Proclus wel zegt, zoo is het egter voldoende in hergebruik by het maaken van alle linien, die gelyk moeten zyn aan een gegeeve linie.
OP DE HK PROP. DES F. BOEK.
Beide de gegeeve linien ftaan hier van malkanderen af, maar dezelve zouden ons nog op drie andere verfeheidene wyzen kunnen gegeeven worden, als i°. Wanneer de langfte gefteld is op de korfte als in fig. 353. Tab. XXVI. * 20. Wanneer de korfte gefteld is op de langfte,
als in fig. 354. Tab. XXVI. 3°. Wanneer dezelve malkander fnyden, ali in
"g. 355. Tab. XXVI. In alle deze gevallen blyft de conftruaie en het sewys het zelvde, gelyk men zien kan, wanneer men de figuren maar gelieft te volgen. Alle vier deze gevallen kunnen mede mecha*
nifeta



512 AANMERKINGEN*
nifch op het papier door middel van den pasfer volbragd worden, aldus, opent den pasfer met de Wydte van AB, zet de eene punt in C en haalt een cirkelboogje, dit boogje fnyt de linie CD in G en dus is CG het begeerde ftuk.
En of fchoon dit mede geen begeerte voldoat, zoo is het egter in het gebruik voldoende.
OP DE V. PROP. DES P. BOEK.
Daar zyn Schryvers, welke het tweede Iit van dit voorftel geheel en al uitlaaten , om dat het, zeggen zy, in het vervolg niet gebruikt wort: maar al was dit al eens zöo, mogen de aanvangeren dan niet weeten, „ dat de hoeken onder den „ bafis van een gelykbeenige driehoek aan ellcan„ der gelyk zyn". Is de kennis van dit leerftuk,, waai- van Thales voor de uitvinder gehouden wort, op zig zelve genoomen, geheel en al onnut? Euclides, die het zelve te boek gefteld heeft, heeft egter gewild, dat men het wift, en mag men zoo willekeurig met een Autheur handelen? Verders zeggen zy, „ in dien men de 13° Prop. des 1' B. „ als beweezen aanneemt, volgt het tweede lid
van zelvs", dit is waar, maar om iets te bewyzen door iets, dat zelvs nog niet beweezen is, is een ganfch nieuwe manier van bewyzen, diea zoo als ik vertrouw, weinige zal fmaakcn, ten minfte geen goede Euclideaanen.
OP DE VIP. PROP. DES K BOEK.
Daar zyn 'er, die dit voorftel geheel en al agter wegen gelaaten hebben, om dat zy oordeelden, datEuclide^ die nergens anders om te boek gefteld he-ft, dan om het volgende 8° voorftel te bewyzen, het geene zy aantoonen, dat zonder 4it 7° kan gefchieden. Waarlyk eca ganfch kin-



AANMERKINGEN. 513
deragtige rede , waarom ik van die gedagte niet ben, maar wel, dat dit voorftel zyn eige en byzondere nuttigheid heeft , cn toepasfelyk moet gemaakt worden op den driehoeli; Euclides heeft dit voordel algemeen gedaan , gelyk hy méérmaalea doer, en heeft willen hebben, dat men daar uit afléidë, „ dat op een zelve zyde van een „ en dezelfde linie geen twee driehoeken kun„ nen befchreêven worden, die gelykhoekig en „ malkander gelyk zyn.
O? DE IXe. PR.0?. DES F. BOEK.
Euclides leert hier, om een regtl:hoek in tweëngelyk te deelen, en waar uit afgeleid is om een regtl: hoek in 4,-8, 16, 32 gelyke deelen enz. te deelen : maar om een hoek in 3 of andere gelyke deelen te fcheiden, zulks kan door geen regte linien gedaan worden. Veele hebben zig wel dé moeite gegeeven, om daar toe te geraaken, do" te vergeefs , en kan niet gefchieden dan doot de hooge Meetkunde. Egter kan zulks tot het gebruik genoeg Mechanifeh verrigt worden aldus. (Fig. 356. Tab. XXVI.)
Haal na welgevallen een cirkelboog AB.
Deel dezelve in driën gelyk in D en O
En trek de regte OD en OC.
Dan zal de V A°3 i;1 driël1 Sel.'k gedeeld zyn.
Hier uit blykt verders, op wat wyze men dezelve in 9, 27. en andere deelen zal deelen; als mede de wyze om (een hoek in andere gelyke dee* len te fcheiden,
•OP DE X'. PS.OP: DES F. BOEK.
Alhier leert Euclides een linie in twee g?lyke tfeelen te fcheiden, en daar uit ■volgt ook de wy-



514 AANMERKINGEN.
ze om een linie in 4, 8 ,' 16 deelen enz: te deelen: maar om een regte linie in andere gelyke deelen te deelen, zulks zal men eerft leereu in het fcholium van de ioe Prop: des 6e Boeks.
OP DE XP. & XIP. PROP: DES P. BOEK.
Deze twee werkftukken worden doorgaans uit gewrogd door middel van een winkelhaak: dan wanneer de linien, welke men te trekken heeft, lang zyn, moet men zeer zorgvuldig met dit werktuig omgaan, eensdeels om dat onze befte werktuigeu nooit accuraat genoeg zyn, en ander deels, om dat wy dezelve nooit met die vereifchte aocuratefle kunnen gebruiken. Zie hier op wat wyze men kan te werk gaan, indien men de manier , welke Euclides ons alhier wiskundig voorfchryft, te omflagtig oordeelde, en de mechanifche door middel van den winkelhaak verkoos ( Fiz 9 47- Tab. III. )
.. Zy dan gegeeven de regte AB, op dewelke men een perpend: CD zal trekken.
Men leit het eene been van den winkelhaak langs en onder Aa, en men haalt langs het andere been de regte aD.
Van 's gelyke leit men het eene been langs en boven Ab, en men haalt langs het andere been de regte bC.
Zoo nu DC een regte linie uitmaakt, zoo kan men geruft zyn, dat CD wel perp: op AB is; en anderzints kan men het gebrekkige verbeeteren door de zelvde bewerking te doen langs en onder de linie bB en aB.
OP DE XIIP. PROP. DES P. BOEK.
Dit leerftuk is van zeer veel aanbelang in de ganfche Meetkunde, niet alleen voor zoo veel
be-



A A N M ËRKINGEN. 5t§
betref::'net voorftel zélvs, maar ook orh de geVolgen , die daar uit gehaald zyn.
OP DE XV'. PROP. DES I'. BOEK.
Dit leerftuk, waar van Thales den vinder gegehouden wort, is van geen minder aanbelang» zoo wel als de gevolgen, die daar uit gehaald zyn.
0° DE XIX'. PROP. DES 1'. BOEK.
Men heeft Zig veel moeite gegeeven, om dit 19'. voorftel te demonflreren, Warius met eene manier niet vergenoegd, bewyft: het zelve op twee byzondere manieren. Coets bewyft dit niet Volledig genoeg, gelyk. zyn verbeteraar La Bordus zelvs getuigd, dat daarom het bewys Van Clavius, overgenoomen van Proclüs , beeter oordeelt , maar om dit bewys te doen , heeft men vooraf nog eerft een Lemma of Voorbewys van doen. Het is onbegrypelyk, dat men met het bewys van dit voorftel zoo veel om (lag gemaakt heeft, daar het my voorkomt, dat het niet anders dan een klaar gevolg van het voorgaande iS°. voorftel is , want wat kan 'er klaarder zyn, dïti dat, wanneer in alle driehoeken, de langfte zyde ftaat tegen over den grootfte'n ho,ck , dat dan oök noodzakelyk de grootfte hoek ftaat tegen over d§ langfte zyde. '
Dit heeft immers byna geen verder bewys tio4\g.
OP DE XXIP. PROP: DES t'. BOEK,
De aanvangeren dienen te letten , dat men van alle linien zonder onderfcheid geen driehoek kap aiaaken: die linien, daar men een driehoek vafl Kt 3 jiai



5i6 AANMERKINGEN.
zal maaken, moeten deze eigenfchap hebben, dat tde twee, hoe men die neemt, zaamen langer zyn dan de derde : want anders zoude het ftryden tegen de 20% Prop: des r. Boeks; als mede tegen de definitie, welke Archimedes geeft van de regte linie , als hy zegt „ Een regte linie is „ de korfte fpatie tuflehen twee pusten'." vide myne note op de 4e. def: dezes.
Derhalven is de conditie, welke Euclides daar by voegt „ Dat namentlyk van die drie gegeeve li„ nien 'er twee moeten zyn, die langer zyn'dan de derde." om hst even welke van die, volftrekt noodzaakelyk.
OP DE XXIX. PROP: DES I„. BOEK.
Wel ingezien Zynde is het eerfle befiuit van dit voordel het omgekeerde van dea?*. het twee 'e en derde befiuit het omgekeerde van de 28=, Prop: dezes.
OP DE XXXP. PROP: DES P. BOEK.
De 2c. conftruclie is wel zoo zeeker voor al wanneer de linie, die getrokken moet worden, wat lang valle .de , de punten D en G ver van den andere genoomen worden.
Dit werkftuk is men anders gewoon , op het. papierte volbrengen door middel van een expres daar toe vervaardigd inilrument, een parallelliniaal genaamd; dan alzoo dit werktuig, hoe naauwkeurig en net ook gemaakt , door het gebruik zeer fchielyk verloopt, en onnut wort, keurt men hetzelve tegenwoordig geheel af, waarom 'er vernuften zyn geweeft, die een andere bedagt hebben die dat gebrek zoo veel niet onderheevigzyn , en als my voorgekoomen ij, zeer handelbaar. An
der



AANMERKINGEN. 517
cicrfints kan men zig by het haaien van enkele parallelle linien bedienen van het bekende regthoer kige driehoekje en een liniaal.
OP DE XXXIP. PROP: DES P. BOEK.
Men heeft dan' gezien, dat Euclides in zyn 16: 1. geleerd heeft „ Dat de uitwendige hoek „ van een driehoek grooter is, dan een van zyn „ tegen overftaande inwendige hoeken." Maar hier bepaalt hy zig nader, en zegt „ Dat die zoo „ groot is, als beide de tegen overftaande uitwen" „ dige hoeken." In zyn 17: 1. heeft hy ons geleerd „ Dat de twee hoeken van een driehoek, „ hoe men die neemt, te zaamen kleinder zyn „ dan twee regte hoeken." Maar hier bepaalt hy' zig wederom nader nopens alle drie de hoeken van een driehoek, en zegt „ Dat die te zaamen „ gelyk zyn aan twee regte hoeken."
De nuttigheid en noodzaakelykheid van dit 32°. voortel met alle deszelvs gevolgen niet alleen, maar ook van deze Vertoogen, in de ganfche Wiskunde, maar in zonderheid in de fraaije driehoeks rekening, is van dat aanbelang, dat men weinig zonder dezelve zoude kunnen verrigten.
Op het tweede Scholium moet men nog aanmerken, dat 'er volgens hetzelve gemakkelyk he; volgende Tafeltje kan gemaakt worden.
Kk 3 . Zy-



jï8 aan merkingen,
_.yde des A«-Uit een A«-.'uit een Som der Figuurs. puntbinnen Jer y„. des regte V-
dezelve. Figuurs. 3
3- 3- 1. 2.
4- 4- - 2. 4.
5- 5- j 3. 6. 6_ 6. | 4. g.
7- 7- j 5- 10.
8- 8. £ t2.
k 9- 7_ 14- |
ïo- 10. 8. 16. j
7I- li- 9- 18.
J3 12. IO. | 20.
J3- 13- II. | 22
r4- 14 12. sX"
jï_ ■ '?r 2o7
ió. r4. 2g.
15. 30.
J8. 18. 16.
IQ- 10. 17. 34
2Q. I ~ 18, ■
Nopens dit Tafeitje is aan te merken, dat de getallen van elke colom alle in een Arithmetifehe jrogreffie zyn , 'alleenlyk met dat onderfcheid *at de getallen van de eerfte en tweede colom
be-



AANMERKINGEN. 5i9
beginnen met 3 en opklimmen met 1 , dog die van de derde colom beginnen met 1 en opklimmen met 1 , en die van de vierde colom beginnen en opklimmen met 2.
OP DE XXXIV.. PROP: DES I». BOEK.
De twee eerfte befluiten van dit voorftel zyn eigentlyk dat geene, het welk in de 33°. definitie van dit boek reeds bepaald is.
OP DE XXXVI'. PROP: DES P. BOEK.
Uit dit voorftel dan bek-omt men den inhoud vinding van alle parallellogrammen, waar ontrent ik my een weinig brecder zal moeten uitbreiden
De inhoud is de groote der ruimte van een vlakke figuur naa haare lengte en breedte, welke grootheid uitgefprooken wort na een bekende en bepaalde maat, by voorbeeld als men zegt, dat of dat Land is groot zoo veel of zoo veel roeden, dan is de roede de maate van dat Land , waar na de grootheit wort uitgedrukt , waar ontrent hier naa breeder: (Fig- 357- Tab. XXVI:)
De inhoud danvan een regthoekig parallellogram wort bekoomen door het" vermenigvuldigen van de twee raakende zyden, by voorb: Hl X IK brengt voort den inhoud van 't parallellogram Hl KL.
Alzoo wort ook den inhoud van een fcheefhoekig parallellogram bekoomen ( door het vermenigvuldigen van een der zyden als bafis met dea perpendiculair, koomende uit de tegen overftaan. de zyde op den bafis of op zyn verlengde, by voorb: MN X LK of OP brengt uit den inhoud van het parallellogram LMNO.
Laaten wy dit eens wat nader befchouweti Een getal, dat aanwyft , hoe meenigmaal een Kk 4 bc-



52o AAN MERK INGE N.
bekende linie IF in een ander linie IK of IH begreepen is, wort gezegd de lengte te zyn va.i de linie IK of IH, en IF wort genaamd de maate van IK of IH.
Het vermenigvuldigde der twee getallen, die de le :gte der linien uitmaaken van een regdiockig parallellogram HIKL , welke een der hoeken I begrypen als IH en IK, verroont, hoe menigmaal het vierkant van de maat der linien PI en IK in 't parallellogram bevat wort: want laat IF 3 maal in IK, en 4 maal in IH begreepen z> n ; zoo rm Tu, uK, IS, SR, RQ en Q!l ieder gelyk IF genoomen wort, en men uit T en u haait linien parallel aan Pi , dah, zal 't par'aliél ogram HIKL gedeeld zyn in drie regthoek; -e parallel• logrammen v: 3 1 def 't coroll: van de 29 en de 36: 1. welkers lei<gte is 4, en de breedte is 1. v:k:b.
Indien men wyders uit S, R en Q trek linien parallel aan IK tot aan de tegenoverftaande zyde KL, dan zal ieder regthoekig parallellogram gedeeld zyn"in 4 geiyke quadraten, zynde dus te zaamen 12 quadraten , welke gelyk zyn v: 1 as. 't coroll: 29, de 36: 1. en 30 defin:; derhalven isdit dan den inhoui van het geheele parallellogram HIKL.
Het confteert hier verders uit, dat de inhoud van een fcheefhoekig parallellogram LM NO bekoomen wort door het vermenigvuldigen van een der zyden MN met de'ti pe pendiculair OP , koomende van de tegen overftaande zyde LO op dezelve zyde MN, of met den perpci dicuiair LK, koomende als vooren tot óp het verlengde \rah MN: want indien MN gcF k IK is, dan zyn de parallellogrammen IL en MO van gelyke inhoiid v: 36: I.
Dewyl nu dedivifie ontbint; al wat de mu'ltiplicatie zaam gezet heeft, zoo volgt hier uit,
dat



AANMERKINGEN. 521
dat'de inhoud van een regthoekig parallellogram en een van deszelvs zyden bekend zynde" de andere zyde ligtelyk gevonden wort
Hier uit volgt ook, op wat wyze men den inhoud van een quadraat zal bekoomen: wam nadien de zyden van een quadraat onder malkander gelyk zyn v: 30 def: zoo heeft men niets anders te doen, dan een van die zyden in zig zeiven te vermenigvuldigen, het produd is den inhoud van het quadraat. Doj; den inhoud van een quadraat bekend zynde , zal het vinden van een der zy den eerft blyken uit de 4.. Prop: des 2'. Boeks. "
Uit al dit voorzeide blykt het dan klaar, dat den mhoud van een vlakke figuur, of van een and of van iets anders, uitgefprooken wort na klemdere vierkantje of quadraten, die de maat va.i de figuur of van het land is; en daarom zeit men ook de quadratuur van een figuur zoeken of een figuur quadrateeren.
Men is verder gewoon diergelyke quadraten waar door den inhoud van een Land bepaald wort, een byzondere benaaming te geeven als by voorb: her Land is groot zoo veel Voeten Roeden, Morgens, Bunders, &c.
OP DE XLP. PROP: DES P. BOEK.
Door dit voorftel bekomt men den inhoud des driehoeks: want nademaal de inhoud eens paraliellograms bekoomen wort door het vermenigvuldigen van den bafis met de hoogte volgens de voorgaande note; en nadien alle driehoeken halve parallellogrammen zyn v: 4 cor: 33: j. aiZoo wort ook door dit voorftel de inhoud eens drie hoeks gevonden.
1°. Door het vermenigvuldigen van' den bafis rnet de halve hoogte.
Kk 5 a°.



522 AA NMERKINGEN.
2°. Door het vermenigvuldigen van den halven bafis met de geheele hoogte.
3». Door het vermenigvuldigen van den geheelen bafis met de geheele hoogte,' en daar naar dit product gehalveerd.
Wy hebben dan nu reeds aangetoond, op wat wyze men den inhoud vindt van een quadraat, van een regt en fcheefhoekig parallellogram en van een driehoek, en aangezien wy in het i'. Scholium van de 32: 1. algemeen aangemerkt en gezegt hebben, dat alle regtlinifche figuren in driehoeken kunnen verdeeld worden , zoo volgt hier uit ook, dat men reeds aangetoond heeft den inhoud vinding van alle regtlinifche figuren, cn by gevolg ook van alle regtlinifche begangkelyke Landen, het geene het voornaanifte deel der Landmeetkunde uitmaakt: want het Land in driedriehoeken verdeeld zynde, en den inhoud van ieder driehoek byzonder gevonden hebbende, zal de fom van alle de driehoeken te zaamen uit. maaken den inhoud van het geheele Land.
OP DE XLIV'. PROP. DES I'. BOEK.
Dit voorftel is bepaalder dan het 42'. om dat hier de ünie, waar op het parallellogram zal befchreêven worden, bepaald gegeeven is, daar in het 42°. die linie na believen kan genoomen worden.
OP DE XLV=. PROP: DES P. BOEK.
Dit voorftel fpreekt algemeen van een regtlinifche figuur, alhoewel alle Autheuren, die tot myn kenniffe zyn gekoomen, zig alleenlyk bepaald hebben tot een vierhoek, nogtans kan men die zelvde methode zeer gemakkelyk overbrengen tot alle ongefchik'.e polygonen, -wanneer men de gege e-



524 AANMERKINGEN,
om zyne dankbaarheid te betuigen, een Os zow de geofferd hebben: anderen willen van 100 Osfen : wederom andere, dat niet Pythagoras zelvs, maar zyne Difcipulen zulks zouden gedaan hebben : dog tegen dit alles beweeren nog anderen , dat dit offeren van een Os of van 100 OlTen, het zy door Pythagoras zelvs, het zy door zyne Discipulen niet beftaanbaar is met, maar regelregt ftrydende tegen zyne leerftellingen ontrent de Ziels verhuizing: wat hier van zy, laaten wy daar. Vitruvius verhaalt alleenlyk maar, dat Pythagoras by die geleegenth'eid aan de Mufen opdragte gedaan heeft. Dog het zy hoe het zy, het neemt daarom niet weg de voortreffelykheid en nuttigheid van het voorftel zelve in alle deelen van de Wiskunft, die niet veel zoude weezen zonder het zelve, waarom dit leerftuk b.y zommigen is genoemd geworden Magiftra Mathei feos , de Meeftei eife van de Wiskunft,
Om de Meetkunde niet te verwarren met de Rekenkunde, hebbe ik voor deze noten bewaard een gevolg, dat men uit dit 47'. voorftel kan afleiden, en dat men anderzins als een Corollarium op het voorftel zelve laat volgen , zie hier het zelve. Wanneer twee zyden van een Regthoekige driehoek bekend gegeeven zyn, wort de derde ligtelyk gevonden. (Fig: 359- Tab: XXVU.}
By voorbeeld van een regthoekige driehoek ABC, wiens bafis AC doet 4, de opftaande zyde AB doet 3, men vindt de Hypothenufa BC aldus. AC == 4 AB = 3
— Y V
AC« = 16 + AB? = 9 zr: BC? =z 25
V
Hypothenufa BC — 5
de



AANMERKINGEN. 525
De bafis AC en de Hypothenufa BC bekend zynde , vindt men de opftaande zyde AB aldus. BC = 5 AC = 4
_ ^ . y
BC* = 25 - AC? = ió = AB* = 9
f
de opftaande zyde AB 3 De opftaande zyde AB en de Hypothenufa BC bekend zynde, vindt men de bafis AC aldus. BC = 5 AB — 3
— v
BC? = 25 — AB? = 9 — AC? — 16
v
de bafis AC r: a.
Men moet alhier aanmerken, dat 'er van de rj eerfte cyfferletters maar van de 3 , 4 en 5 een regthoekige driehoek gemaakt kan worden.
Verders dient men te weeten , dat men gewoon is onverfchillig het quadraat op een linie uit te drukken door dit teken , Q AB , en wil zeggen het quadraat op de linie AB , en wort uitgefprooken het quadraat op AB. Als mede nog door dit teken , AB?, en wil mede zeggen het quadraat op de linie AB , en wort uitgefprooken AB quadraat Nog mede door dit teken , AB2, het quadraat op de linie AB, maar wort dus uitgefprooken AB 2 of AB in de 1' magt gefteld , om dat het quadraat de 2e magt is.
OP DE F. DEFINITIE DES IF. BOEK.
Een figuur, welke vier regte hoeken maar geen vier gelyke zyden heeft, wort van Euclides in zyn 3i«. Definitie des i«. Boeks genaamd een Langwerpig vierkant, en vervolgens in het ganfcbe eerfte Boek zoo als ook in deze 1° Definitie



52<5 AANMERKINGEN.
van het 2" Boek , een regthoekig parallellogram ! maar in het vervolg van dit werk zal hy die zelvde figuur noemen een regthoek.
Zoo dat een langwerpig vierkant, een regthoekig parallellogram, en een regthoek een en de. zelvde figuur is onder drie differente benaamingen. Zie verder hier over na onze note op de 33e defin: des 1' Boeks.
Hier by ftaat nog aan te merken , dat men in het vervolg maar zal zeggen den regthoek AB, BC of ABC en daar onder verdaan de fig. ABC DA. (Fig: 360. Tab: XXVII.) cn vecltyds zal men niets anders vöorftellen dan dc linien by T, daar men zig door moet verbeelden den regthoek Z , om dat die regthoek gemaakt kan worden door de 2 linien by Y.
En vermits door de multiplicatie der twee li. nien by Y, den inhoud van den regthoek ABC voortkomt, volgens het geene wy aangetoont 'hebben in onze note op de 36=, Prop: des ie, JBoeks. Zoo wort derzelver product ook wel gefteld met het teken der multiplicatie aldus AB >< BC en is wederom het zelvde , of 'er ftond □ AB.BC of □ ABC, zoo dat □ AB, BC . □ ABC en AB X BC een en het zelvde te kennen geeft, te weeten de regthoek gemaakt van de linien by Y.
Even eens is het gelcegen, wanneer men heeft een zekere regte linie AB (Fig: 361. Tab: XXVII.) zoo zegt men wel het quadraat AB, het zy dat het quadraat gemaakt is of niet: het is dan het zelvde of men zegt het quadraat AB of het quadraat op AB , of het quadraat ABCD , en zoo het quadraat niet gemaakt is, zoo moet het 'er door verftaan worden.
OP



AANMERKINGEN. 527
OP DE IF. DEFINITIE DES IF. BOEK.
liet woord Gnomon zet men doorgaans over Winkelhaak; dan alzoo men zig den meeften tyd by het woord winkelhaak verbeeld zoodanig een figuur, welke met regte hoeken beflooten is, en evenwel een Gnomon een figuur is, die zoo wel fchecve als regte hoeken hebben kan, zoo hebben wy, om de aanvangeren, die zomtyds aan de woorden blyven'hangen, in geen verkeerde denkbeelden te brengen , het woord Gnomon onvertaald gelaaten, als weetende zonder omfchryvingdaar geen Hollandfch woord voor te neemen , dat met de natuur van de zaak over een komt, genoeg is het, dat men weete, wat 'er met het Woord Gnomon gemeend wort.
Wy zouden ons over de woorden Gnomon en winkelhaak wel verder kunnen uitbreiden, en aantoonen, dat deze woorden weinig of geen overeenkomft met den andere hebben , was het niet, dat men vreesde eene al te verre afleiding, en miffchien een verveeling aan onzen leezer] zoo men zig in een woorden twift inliet, die veeltyds niet ter zaake dienende is, gelyk alhier in dit geval.
OP DE IIP. PROP: DES IF. BOEK.
De Hypothefis de zelvde blyvende, kan de Thefis ook aldus genoomen worden. (Fig 103 Tab VII.) ' '
O ABC — □ ACB + □ CB.
En de demonllratie zal op het zelve uitkoomea.
OP DE IV. PROP. DES IF. BOEK.
Uit dit leerftuk is openbaar, en door het zelve
wort



AANMERKINGEN. 5&. ■
veel (let wel dat dit tienen zyn) daarom zegge ik. 4C0X 30— 12000'— □ GFHI + □ ELMF
En 30X30= 90cr= □ FN
l_ï geadd.
Komt er 12900 — gnomon ELN1GFE dit afget. Van . 14756 =± gnolTiOn EBCDGFE
Reft 'er 1856 == gnomon LBCD1NL.
Dus, myn eerft gevonde radix was 200, erf de tweede 30 maaken te zaamen 230 , deze 230 dan wederom gedubbeld , komt 'ér 460.
Men gaat nu wederom na, hoe menigmaal 460 men heeft hi de laaft gehoude reft 1856, men zal .■vinden 4 maal.
Daarotn zegge ik 460 X 4= l84° = CjLBKN
4- □ DiNQ.
Pll \ v/'> — 16 — □ NC.
~ geadd.
Komt 'er 185Ö = □' LK + fJD DN + □ NC — gnom: LBCDILN.
En is over een koomende met de laait gehou.-
*Sene reft. (1J.y 8«m6j ^fa jfcfav u»(ti
Waaruit dan blykt, dat zynde De i". gevondene'radix — 200 De 2.. - - " - = 30
De 3'. - - - - ' ' = 4
Men zal krygen - - - - 234 voor de radix van het ganfcfte gagéeve getal 54756.
Hier uit volgt, op wat wyze "men, den inhoud van een regthoekig gnomon, benevens de lengte AB gegeeven'zynde, de lengte AF en EF vinden zal.
Den inhoud-van '_£ gnomon is gegeeven 252, en de lengte AB"kÖ.
LI 2 *



532 AANMERKINGEN.
't Gnomon - - . — 2™ AH=«XÖ - - = '36
Sub — _
Reft DAH+QEGr: 2J<J 2
O AH = a EG =_ 108 Gedividt, d""rAP—ft-
Benevens den inhouden het regthoeki* gnomon bekend zynde de lengte AF of EF kan men de lengte van AB vinden aldus.
't Gnomon rr: 2« AF of EF = 18X18 - - . =- s^
OBC =^6^
£__L
BC = 24 AF = EH - ,J
Sub ■-
CH = AB = 6t Nog eens, benevens den inhoud van hét regthoekig gnomon bekend zynde de lengte van BC * men vindt de lengte van BH en HC aldus ' BC = 24
1f
OBC = 575 't gnomon =_ 232
Sub _____
O BH~ 324
V
fiH = 18
BC =_ 24
HC = 6.
OF



AANMERKIN GEN. 535
OP DE VP. PROP: DES IP. BOEK.
In het corollarium van dit voorftel wort gefproolcen van een Arithmetifche progrefile. De aanvangeren, die onkundig mogten weezen, wat daar mede gemeend wort, gelieven te weeten, dat een progrefile is een rey van getallen of grootheden, die in een zekere ordre toe of afneemen; deze kan tweederly zyn na maate van haar voor. koomen. als:
1». Een Geometrifche progrefTie.
V. Een Aritmetifche progrefile.
Een Geometrifche of Meetkundige progrefile it een rey van verfcheide grootheden of getallen meer dan twee, waat van de groote door een zelve exponent vergeleeken wort, of om tans duidelyker te fpreeken, waar van de vergelyking gefchiet door middel van de divifie. Hebbende by voorbeeld deze rey van getallen-,-2, 4, 8-16. &c.
Deze by den anderen vergelykende door de
divifie, zal men verkrygen \ > f» sg- &c. Het welk geduurig gelyk f is, derhalven is
hun exponent f.
Wy kunnen voor het tegenwoordige de aanvangeren geen meerder ligt hier van by zetten , maar zullen dit moeten bewaren tot tyd en wylen men van de proportien in het algemeen handelen Zal.
Een Arithmetifche of Telkundige progrefile is een rey van verfcheide grootheden of getallen meer dan twee, waar van de groote na baar verfchil vergeleeken wort, bygevolg gefchiet deze vergelyking door middel van de fubftra&ie, en dit verfchil noemt men den Exes of Overfchot.
By voorb: de getallen 1, 4, 7, 10, 13, ióenz.
LI 3 "aan



AANMERKINGEN. 525
Het 3°. Corotiarium is eens luidende gefteld met het voorftel zelvs , maar om hét zelve te doen over een koomen met de uitdrukking van •het 2». coroll: had men moeten zeggen.
Wanneer 3 linien in een Arithmetifche progreffie zyn , dan is de regthoek van de 2 buitlende gelyk aan het quadraat van de middelfte min het quadraat van het verfchil tuffchen dé middelfte en een der üiterftens.
Dat is BDXAD = CD? - CB?. ■
Waar uit dan volgt dat, wanneer 3 getallen in een Arithmetifche progreffie zyn, dat dan het produft der 2 buitenfte gelyk is aan het vierkant van het middelfte min het vierkant van het verfchil des middelfte en een der buitenfte.
By voorb: in de voorn: getallen 7, 10, 13.
Het middelfte is - - - - = 10
V
't quadraat rz: iöo
13 — 10 of 10 — 7 2!z 3
— Y
9 - - - 9
Sub ■
7 X 13 — — 91 OP DE VII'. PROP: DES IP. BOEK.
By het Scholium van deze propofïtie valt aan te merken, dat zommige de Thefis van 't zelve aldus gefteld hebben
DC? XS. AC2 + CD? — 3 □ ACB.
Maar dit komt op het zelvde uit.
Want AC?. + CB?. . . = DC?. + 2 □ ACB — 2 □ ACB . . . = . . — 2 □ ACB
Komt AC?. + CB? - 2 □ ACB LI 4
■=. DC?.
OP



536AANM ERKINGEN,
OP DE VIII*. PROP: DES IK BOEK.
Dit voordel zegt, dat die linie uit een der eindens verlengd wort, derhalven onbepaald, wy hebben genoomen dat die verlengd is uit B:'maar men had ook kunnen Hellen, dat AB verlengd wierd uit A. als dan moet het aangevoegde deel gelyk AC genoomen worden, en de demonftratie gefchied op dezelvde wyze.
OP DE XP. PROP: DES IR BOEK,
Alle de Propofitien van dit Boek kunnen door rationaale getallen opgeloft worden, hehalven deze Elfde, om dat geen getal zoodanig kan gedeeld worden, dat het gemultipliceerde vari het eene deel gelyk is aan het vierkant van het andere deel, gelyk als Euclides ook aantoont in de 6'. Prop: van zyn 13*. Boek: want aldaar zegt hy
,, Indien een rationale regte linie in de uiterfte ,, en middelfte rede gedeeld is, dan zyn beide de „ deelen irrationaale linien.
En uit de 30*. Prop: des 6'. Boeks zal nader blyken , dat deze linie AB gedeeld is in de uiterfte en middelfte rede. En derhalygn zyn deze deelen irrationaal. (Fig- 117. Tab. VIII.)
OP DE XIP. PROP: DES IP. BOEK.
Hier uit blykt ook, dat men, van een ftomphoekige driehoek de drie zyden in getallen bekend zynde, ligtelyk kan vinden het verlengze! BD, en den perpend: CB, en gevolgelyk ook den inhoud des driehoess. (Fig. 11S. Tab. VIII.)
want



AANMERKINGEN. 537
Want laat zyn AB — s BC— 7
-— V ' V
□ AB = 25 □ BC —
□ BC == 49
• add.
□ AB+P BC == 74
en AC =_ 10
— : f
D AC rr: 100 □ AB + □ BC = 74
Sub .
Reft 2 □«. ABC zzz 26 v: 12: 2
2 ■ « .
□ ABD =_ 13 AB r_ s gediv.
BD rr: 2| v: cor: 36.1 J/
□ BD = 6s|
□ BC =49 Sub.
□ CD =3 425f v: 47: r. y
CD~V 42,! dus den perpendiculair bekend zynde , kan den inhoud des driehoeks gevonden worden volgens onze note op de 41: 1.
OP DE XIIP. PROP: DES lp. BOEK.
Uit dit voorftel blykt het ook, dat, van een fcherphoekige driehoek bekend zynde de drie zyden , ligtelyk kan gevonden worden den perp: CD , en de deelen van de bafis als AD en BD, als mede den inhoud van den driehoek ABC.
LI s want



J38 AANMERKINGEN.
Want laat zyn. AC =13 CB — 14 AB ~ 15
□ AC — 169 ,□ CB = 196 □ AB = 225^ □ AC — 169
add.
□ CB + □ AC = 365
□ AB =t 225 Sub. , .
Reft 2 □ ASD — I40 v: 13: 2. 2 • „ ______
□ AED — 70
\ AB 15 1 , gediv
O BD = 2i57 □ CB = 196 Sub. ■ -
'Reft O DC = 1745
V
D C = y i74|
dus den perpendiculair bekend hebbende, kan men ligtelyk den inhoud des driehoeks bekoomen volgens onze note op de 41: 1.
OP DE XIV. PROP: DES II.. BOEK.
Dit voorftel fpreekt, even als het 45'. des i" Boeks wederom algemeen, van een quadraat te maaken, dat gelyk is aan een gegeeve regtlinifche figuur, wy hebben ons, in navolging van alle andere Autheuren bepaald gehouden, aan een vierhoek. Egter kan men die zelvde methode gemakkelyk overbrengen , tot alle ongefchikte polygonen, wanneer men de gegeeve figuur maar
öp



AANMERKINGEN. 539
op gelykcwyze uit een der hoeken verdeeld in driehoeken volgens het 2'. Scholium 32: 1 aldus (Fig. 365. Tab. XXVIII.)
Laat «/3y^«3 de gegeeve polygoon zyn.
Wy moeten een quadraat maaken gelyk aan den "gegeeve polygoon.
De Polygoon uit een derhoeken « gedeeld zynde in maakt den □ AEFB -=z fig. «^3.
Langs ABmaaktook den □ IBCD — fig. «èyp.
Volgens de leering nu van de 43: 1. maak ook □ BFGK = □ IBCD.
Dan is deze □ BFGK — fig. *Jy/S v: I ax.
En □ AEFB = fig. «^3 v. b: b. -
Ergo □ AEGK = v: 2 ax:
En derhalven is het nu niet moeijelyk om volgens de leering van dit 14 werkftuk het quadraat GOPQ □ AEGK te maaken.
OP DE F. DEFINITIE DES IIP. BOEK,
' Deze definite bepaalt, wat men door gelyke cirkelen verfiaat, namentlyk, wiens diameters of radii gelyk zyn.
Gevolgelyk indien de. diameters of radii ongelyk zyn, zoo zullen de cirkels mede ongelyk zyn.
OP DE VIIP. DEFINITIE DES IIP. BOEK.
JSiz het gezegde van deze en de voorgaande 'definitie kan men derhalven nubefluiten , dat niet alleen den hoek B in het cirkelftuk ABC ftaat. maar ook in den cirkel ABCD op het deel der circumferentie ADC , zoo als in de 26'. Prop: van dit Boek nader zal koomen te blyken.
OP



540 AANMERKINGEN.
OP DE X'. DEFINITIE DES HF. BOEK.
Onveenigfins een denkbeeld te geeven van het onderfcheid tuflchen gelyk en gelykformig kan het volgende dienen.
Gelyk (./Equalis) noemt men die dingen, welke zonder vermeerdering of vermindering in malkanders plaats kunnen gefield worden, zonder dat 'er eenige verandering uit voort komt, maar dat alles het zelfde blyft.
Maar gelykformig (Similis) noemt men zekere overeenftemming van zaaken, ai fchoon die niet gelyk zyn; derhalven wanneer de zaaken gelykformig zullen zyn , moeten die een zekere verhouding tot elkander hebben.
Dienvolgens dan twee cirkelftukken zullen malkander gelyk zyn, wanneer hunne peefen gelyke zynde gelyke booge befpannen.
Maar gelykformige cirkelftukken zyn, welke gelyke hoeken hebben of in welke de'hoeken elkander gelyk zyn, v: deze definitie.
Klaarder denkbeeld van de gelykformigheid der cirkelftukken zal men eerft krygen uit het a« coroll: 33: 6.
Twee cirkels zullen elkander gelyk zyn, wanneer hunne diameters gelyk zyn, v: r def: 3 maar gelykformig zullen derhalven alle cirkels onder malkander zyn,
Dit is dan al het geene men voor het tegenwoordige hier van zeggen kan: een klaarder denkbeeld van het gelykformige zal men eerft krygen by de verhandeling van 5». en 6'. Boek.
OP DE IP. PRQP: DES IIP. BOEK.
Het voorftel zegt wel, dat de regte linie AB valt binnen den cirkel; maar eigentlyk gefproo-
ken



AANMERKINGEN. 541
ken , valt die regte linie binnen den circumferentie der cirkels, of anders in den cirkel.
OP DE IV'. PROP: DES III'. BOEK.
Volgens de 'duidelyke woorden van liet voorftel, moet het zelve in die zin opgenoomen worden, dat geen van beide de linien door het centrum gaan: maar al gaat de eene duor het centrum en den andere niet, zoo kunnen zy evenwel geen van beide in tweën gelyk gedeeld worden ten zy dat de fnydings hoeken in F regt zyn: want regt zynde volgt het uit het 2'. lid van de 3: 3. dat een dier linien in tweën gelyk gedeeld wort.
Wanneer zy beiden door het centrum gaan, het zy dat de fnyding hoeken regt zyn of niet, zoo worden zy ook beiden in tweën gelyk gedeeld : want dan zyn het de diameters van den cirkel zelve, die malkander gelyk zyn. v: 15 def. 1.
OP DE VI'. PROP: DES III'. BOEK.
Schoon Euclides hier maar alleen fpreekt van cirkels, die malkander inwendig raaken, zoo is het zelvde niet te min ook waar van cirkels , die malkander uitwendig raaken: want dat zoodanige cirkels mede verfcheide centrums hebben, blykt daar uit dat die beide ganfche cirkels den een buiten den andere ftaan.
Euclides moet dit zoo algemeen kundig geoordeeld hebben , dat het de moeite niet waardig was een voorftel daar van te maaken; egter is het niet kwaad, dat men weete dat 2 cirkels malkander in of uitwendig raakende geen een en het zelve centrum hebben.
OP



542 AANMERKINGEN'
OP DE XP. PROP: DES IIP. BOEK. -f
In dit voorftel is onderfteld, dat FG verlengd is uit bet centrum des kleinfte cirkels , want uit het centrum van de grootfte cirkel verlengd zynde, zal FG de circumferentie des kleinfte cirkels doorfnyden, alwaar de cirkels het wydfte van een ftaan. (Fig. 137. Tab. IX.)
Getoogen hebbende de radii FB en FH.
Dan is FH — FB = FH aai FC m 15 def: 1;
En FA < FI < FN < FE v: 7: I.
Gefub. 1—.
Reft IB y NH > EC v: b: b.
Derhalven had 'er in de Hypothefis moeten gezegd zyn geworden, dat FG verlengd moet worden uit het punt G 't centrum van de kleinfte cirkel.
OP DE XIX'. PROP: DES IIP. BOEK.
Dit voorftel wel ingezien zynde, is niet anders dan een confect-arium van het voorgaande. 18'.
OP DE XXX'. PROP: DES III'. BOEK.
Euclides leert ons hier om een cirkelboog in tweën gelyk te deelen , waar uit openbaar geworden is om dezelve in 4, 8, 16, enz. gelyke deelen te deelen. Maar om een cirkelboog in andere gelyke deelen te deelen, als by voorbeeld in 3 , 5, 7, enz. deelen, zulks kan Meetkundig niet dan door de hooge Meetkunde gedaan worden : want alzoo het 'er hier op aankomt om den hoek in D in 3, 5, 7, enz: gelyke deelen te deelen, het geen volgens onze nota op de 9: 1. door geen regte linie kan gefchieden, zoo is zulks onmogelyk.
Egter



AANMERKINGEN. 543
Egter kan het zelve tot het gebruik genoeg voldoende mechanifeh gedaan worden, het zy door middel van den Pafler, die den boog juift net zoo veelmaal befpaut, als nodig is , het zy door behulp van den bekende Tranfportcur.
OP DE XXXP. PROP: DES IIP. BOEK.
Dir leerftuk is van zeer groot aanbelang in de ganfche Meet- en .Wiskunde, waarom ook Thales , die men voor den uitvinder van het zelve houd, gezegt wort zoo veel genoegen over deze zyne uitvinding fehepte , dat hy de Goden daarom een Offerhanden deed.
Omtrent de Corollaria uit dit leerftuk voortvloeiende kan men aanmerken, dat het ie. corr: het zelve is als het 4*. cor: 32: 1. dat het 3e. coroll: is de p. Prop: des 3'e. Boek; dat het 4'. coroll: is het werkftuk op de 4.7: 1. en dat het se. coroll: is de 17'. Prop: des 3°. Boeks, en dat het 6'. coroll: is de fï~ des i\ Boeks.
OP DE XXXV?. PROP: DES IIP. BOEK.
De nuttigheid van dit voorftel in de garfche Wiskunde is te groot, dan dat men dit met ftilzwygen zoude voorby gaan; om alles aan te haaien , zouden te wydloppen zyn, alleenlyk zullen wy hier maar aantoonen deszelvs nut in de ontbinding der regtlinifche driehoeken.
1'. Hebbende dan een regthoekige driehoek ABC (Fig. 366. Tab. XXVIU. ) regt in B wiens fchuinfche zyde AC doet 10 de regthoeks zyde A& = 6.
Nu is DA — AC ~ 10 En FA = AC == 10 AB r_ 6 AB =6
DB =z 16 BF z= 4
Der-
r



544 AANMERKINGEN.
Derhalven
DBXBF=i6X4=ö4=aDBF=nGBC~BC?.
V y
8 sa BC
De fchuinfe AC rr: io, en de regthoekigzyde AB = 8 bekend zynde, CFig. 367. Tab. XXVIII.) dan is
AC = AD = 10 & FA ■=. AC — 10 AB == 8 AB =8
DB — 18 BF _~
Derhalven
DBXBF=_:i8X2=36==nDBF=DGBC=BC*.
Y —.
6 = BC.
Maar bekend zynde de 2 regthoekszyden (Fig 366. Tab. XXVIII.)
BC — 8 en AB ~ 6
BC?. =. 64 AB?. z=z 36
Nu is
O DBF=a GBC == BC?=64 □ AS —36
O DBF + AB?. =100 =_ AF?, y 5- 2
V ;
10 AF rr: AC 2«. Hebbende een plomhoekige driehoek ABC (Fig. 368. Tab. XXVIII.) plomp in B, waar van bekend zyn, de drie zyden
AC = is, AB e=j 13 , en BC == 4.
Dus



AANMERKINGEN. 545
Dus dan AC =15 & AC — 15
AB — 13 AB — 13
BF — 2 EB — 28
BF == 2
□ CBD = □ EBF — 56 * , . Gedivid.
BD == 14
CR — 4 ■
CD '== 18
2 "
CG =9 CB =4
Sub. — ' tó
BG =5
■/
BG?. — 25
AB?. — l69
Sub. ■
AG?. = !44
v—
AG = 12
"Hebbende nu eindelyk een fcherphoekige driehoek, ABD, CFig. 369. Tab. XXVIII.) waar van de drie zyden bekend zyn ,
AD = 15 BD — 14 AD = Nuis AF = AD = i5 & AE = AD —. 15 AB =13 AB = n_
BF = 2 EB = ^
BF == 2
□ EBF = 5<5
BD = 14- 1 " ——
CB =4 Mm CB



A A N M E R K I N G E N. 55%
wiens hoeken op den bafis yder dubbeld zyn tegen deszelfs tophoek : in het algemeen kan men zeggen, dat alle reguliere figuren in cirkels kunnen befchreêven worden door behulp van ge. lykbeenige driehoeken, wiens hoeken op den bafis verfchillen met den tophoek na maate , dat de figuur zyden heeft, klimmende telkens met een zekere progrefile op ; want beginnende met, den driehoek, zoo volgt het uit de 23 defin: 1. en 6 cor: 32: 1. dat de hoeken op den bafis yder gelyk den tophoek moeten zyn , om dat zulks noodwendig vereifcht wort, om een gelykzydige driehoek te zyn. Maar een vierhoek kan in een cirkel befchreêven worden , door middel van een gelykbeenige driehoek, wiens hoeken op den bafis/yder i§. maal zyn van den tophoek.
Vervolgens een vyfhoek, door een gelykb: A wiens Vn. op den bafis yder 2 maal.
Een feshoek door een gelykb: A , wiens V- op den bafis yder ii . maal.
Een zevenhoek door een dito A , wiens y. op den bafis yder 3 maal.
Een Agthoek door een dito A , wiens V". op den bafis 3 \. maal.
Een Negenhoek door een dito A, wiens. V-op den bafis 4 maal.
Een Tienhoek door een dito A , wiens V". op den b'afis 4{. maal zyn tegens den tophoek. En zoo vervolgens opgaande in dezelve progreffie. Het komt 'er dan maar op aan, om zoodanige driehoeken te maaken. Mechanifch kan zulks wel verricht worden: maar om dit Meetkundig te doen volgens deze Grondbeginzelen der Meetkunde van Euclides, zulks achte ik onmogelyk, gelyk reeds aangetoond is, by de 9'. Prop. des eerfte Boeks.
Mm 4 Deze



552 AANMERKINGEN.
Deze manier om een vyfhoek in een cirkel te befchryven, welke Euclides ons hier aan de hand geeft, is niet zeer gemakkelyk maar omflagtig en zaamgefteld, waarom men zal bevinden, dat deze manier, hoewel zeer wis op zig zelve , echter in de uitvoering zelden zal flaagen; als moetende eerftelyk een linie verdeelen, zoodanig dat de regthoek van de geheele linie en van het eene deel gelyk is aan het quadraat van het andere deel Cv: li: 2.) daar naa moet men manken een gelykbeenige driehoek, wiens hoeken op den bafis yder dubbeld zyn aan den tophoek, ( v: io: 4.) vervolgens moet men in den gegeeve cirkel befchryven , een driehoek, gelykhoekig met den reeds gemaakte driehoek, QV. 2: 4.) en dan eindelyk kan men eerft geraaken tor het belchryven van een vyfhoek in den cirkel. Men heeft van den beginnen af aan wel gezien de zwaarigheid, welke hier in geleegen was , en daarom getracht een ander min moeij lyker manier om een vyfhoek in een cirkel Meetkundig te befchryven , uit te denken. Dit is eindelyk aan Ptolomaus gelukt, welke circa 450 jaaren naa Euclides geleeft Heeft. Hy toont eerit aan „ Dat een regte „ linie, welke zaamgefield is uit de zyde eens fes„ hoeks en uit de zyde eens tienhoeks, in een zelve „ cirkel befchreêven , gefneeden is zoodanig, dat de „ regthoek van de geheele zaamgeftelde linie en „ van het eene deel gelyk is arm het quadraat „van het andere deel; van welke het grootfte „ deel de zyde des feshoeks is." Daar naa toont hy aan „ Dat het quadraat der zyde eens regu„ liere vyfhoeks in den cirkel befchreêven even „ zoo groot is, als beide de quadraten der zy„ den des tjenhoeks en des feshoeks in den zel„ ven cirkel." Dit aangetoond en be'veezen hebpende gaat hy over, om op een zeer ligte manier



AANMERKINGEN. 555
nier een vyfhoek in een cirkel te befchryven: en dewyl deze manier van Ptolomreus niet zoo zaamgeiield is, als die van Euclides, is die ook veel zekerder in de bewerking , en derhalven kiesbaarder; dan uit vreefe van deze note te ver alt te breiden, zullen wy daar van niet meer zeggen.
OP DE P. DEFINITIE DES V«. BOEK.
Door het woord Meeten . ( Kaïa/terp} 5 verftaat Euclides, dat een kleindere grootheid een grootere grootheid bevat of begrypt, en dat wel ettelyke gelyke maaien; derhalven moet woord Deel, alhier ook genoomen worden voor een effen deel: want Euclides geeft ook eerft in de 4.. defin. van zyn 7e. Boek een definitie van een oneffen deel.
E;i daarom zoude men deze eerfte definitie van het 5«- Boek aldus kunnen begrypen.
„ Een effen deel is een grootheid welke in een „ andere grootheid cttelykc gelyke maaien bert greepen is."
Nu worden de deelen 3,2, 5 elk in zyn meerder 6, 8, 20 gelyke maaien, dat is effen zonder overfchot, bevat of begreepen.
Het minder is altyd wel een deel van het meerdere , al is het juift geen gelyke maaien in hea zelve begreepen, alzoo is 6 wel een deel vaji 16, en 4 wel een deel van 18 enz.- dog dan ""is het geen effen, maar een oneffen deel; en als dan wordt gezegd, dat het grootere het kleindere niet meer.
OP DE IP. DEFINITIE DES V*. BOEK.
Deze definitie is het omgekeerde van de voorgaande, ingevolge dan van myne boven/taande aanmerking kan men deze definitie aldus begrypen.
M m 5 „ Een
I



556 AANMERKINGEN.
ben , volftrektelyk van eenerlyk aart of natuur moeten zyn: want neemt een linie zoo menige maal als men wil, deze kan nooit een vlak worden . alzoo min als een vlak een lighaam worden kan, hoe menigmaal het ook mogt genoomen worden.
Uit deze definitie vloeit ook voort, dat niet tegen iet geen reden kan hebben , by voorbeeld als o tot i: want multipliceert o met zoo groot een getal als men wil, daar zal altoos o uitkoomen, en derhalven de i nooit te boven kunnen gaan.
OP DE V. DEFINITIE DES V. BOEK.
Alhier zegt Euclides dan, wat de eigenfchap is der grootheden , die gezegd worden in een zelve reden te zyn, namentlyk, wanneer de eerfte 2 met de derde 8 beiden door een getal en de tweede 6 met de vierde 24 beiden door'een ander getal gemultiphceerd worden, dan zullen de uitkomften van de eerfte met de derde grooter gelyk of kleinder zyn dan die van de tweede met de vierde by voorb: men heeft 4 grootheden A == 2 B = 6, C = 8, D = 24.
De even vermenigvuldigdens van de eerfte A 2 , en de derde C 8 X 8 = 16 en 64 zyn grooter dan de even vermenigvuldigdens van de tweede 6 en de vierde 24 X 2 == 12 en 48.
Of de even vermenigvuldigdens van eerfte A2, en de derde C 8 X « = 12 en 48, zyn gelyk aan de even vermenigvuldigdens van de tw°ecde en de vierde 24 X 2 ==z 12 en 48
Of de even vermenigvuldigdens van de eerfte A 2 en de derde C .8 X 3 = 6 en 24, zyn klein, der dan de even vermenigvuldigdens van dc
twee-



AANMERKINGEN. 557
sweede B 6 en de vierde D 24 X 6 — 36 en 144.
En daarom worden deze grootheden gezegd in een zelve reien te ftaan, namentlyk A met B en C met D.
OP DE VIP. DEFINITIE DES V. BOEK.
Euclides verklaart hier derhalven de eigenfehappen van vier grootheden, die in geen zelve reden zyn; dus volgt hier ook uit, dat A — 6, B zr: 4, C r: 12 , D r: 2, en dus de reden van A 6 tot B 4 — i|. en die van C 12 tot D 2 ~ 6 zynde, de eerfte A tot de tweede B kleinder reden heeft dan de derde C tot de vierde D.
OP DE VHF. DEFINITIE DES V. BOEK.
Zie eens wat een fraaye order Euclides gehouden heeft, in het geeven van zyne definitien: wy zullen dezelve alhier als onder een oogpunt brengen.
I. Eerftelyk zegt hy, wat Reden is, „ Reden „ is een betrekking van twee grootheden van „ eenerly aart na haare grootheid.
II. Daar op zegt hy, wanneer de grootheden gezegd worden reden tot elkander te hebben, „ namentlyk wanneer de kleinfte eenige maaien „ kan genoomen worden, tot dat die de grootfte „ te boven gaat."
III. Daar naa ze ;t hy, wanneer de grootheden gezeïd worden in een zelve reden te zyn „ wanneer namentlyk de even vermenigvuldig„ dens van de eerfte en derde grooter, gelyk of „ kleinder zyn , dan de even vermenigvuldig„ dens van de tweed? en vierde , naa zooda» nig een multiplicatie, als men wil."
IV.



558 AANMERKINGEN.
IV. Vervolgens zegt hy, welke grootheden ge» noemd worden evenredige grootheden „ die na„ mentlyk, welke een zelve reden hebben."
V. Al verders zegt hy, wanneer de grootheden gezegd worden grooter reden te hebben „ wan„ neer, namentijk het vermenigvuldigde van de „ eerfle te boven gaat dat van de tweede , maar „ het vermeenigvuldigde van de eerde, dat van de „ vierde niet te boven gaat."
VI. En eindelyk zegt hy wat evenredigheid is, namentlyk „ een overeenkoming van redens."
Niet tegenflaande dit, heeft aan veele deze ordre niet gefmaakt, waarom zy die na welgevallen verfchikt en veranderd hebben, zelvs hebben zy 'er geheel andere voor in de plaats gefteld.
Euclides zal nu eerft eenige eigenfehappen van de evenredige aantoonen, en dan wederkeeren tot de redens, met dezelve in veele byzondere te onderfcheiden.
OP DB IX*. DEFINITIE DES V% BOEK.
Volgens de 3' defin: is een reden een betrekking van twee grootheden; en volgens de 8e defin: is een evenredigheid een overeenkooming van redens, derhalven zoude eigentlyk een proportie of evenredigheid moeten beftaan uit vier of meer grootheden : maar alzoo het mogelyk is, dat de eerfte tot de tweede een zelve reden kan bebr ben, als dezelve tweede tot de derde, daarom kan een evenredigheid ook beftaan uit dne termen: maar als dan kan men begrypen , dar de tweede term 2 maal genoomen wort, zoo als men die proportie ook gemeenelyk uit fpreekt, by voorb: A is tot B als B tot C, deze rei met grootheden kan agter volgd worden aldus, als C tot D als D tot E enz: dog alzoo deze zaamenhang juift niet
no»



AANMERKINGEN. 559
nodig is om evenredige te hebben, en het volgens de woorden van de definitie genoeg is, dat de redens der grootheden over een koomen , by voorb: dat A tot B is als C tot D, zoo volgt het als van zelvs, dat de evenredige grootheden kunnen onderfcheiden worden in tweederhande foorten , als in continue, geduurige, en in discontinue ongeduurige.
Continue proportionalen , of geduurige evenredige grootheden zyn dan, welkers redens aan malkander hangen , als by voorbeeld A 2 , B 4, C 8, D 16, enz: alhier heeft A tot B dezelvde reden als B tot C , en B tot C heeft dezelvde reden als C tot D , enz: Een rei of reeks van diergelyke grootheden wort genaamt een Geometrifche progrefile.
Discontinue proportionalen of ongeduurige evenredige grootheden zyn , welkers redens niet aan malkander hangen; maar twee aan twee in een zelve reden zyn , als byjvoorb: A 4, B 8, C 15, D 30. Alhier heeft A tot B dezelvde reden als -C totD heeft, namentlyk h ; maar alzoo is de reden van B tot C niet: want die is *j enz-
OP DE X* EN XP. DEFINITIE DES V . BOEK.
Daar zyn eenige Autheuren, die deze twee definitien by den andere genoomen hebben, en in eens een definitie geven van de dubbelde en driedubbelde reden: dan dit doet tot da zaak niets, wy willen liever overgaan tot een nadere uitlegging van de woorden dubbeld en drie dubbeld. Wy weeten wat men gemeenelyk verfiaat door de woorden dubbeld en drie dubbeld: want het dubbeld van 2 is 4, en het drie dubbeld van 2 is 6: maar geheel iets anders geeft Euclides alhier door de woorden dubbeld en drie dubbeld te kennen,



560 AANMERKINGEN.
nen. Met het woord dubdeld verftaat Euclides een reden met lig zelve gemultipliceerd want J gemultipliceerd met f brengt uit |, en dus is de reden van A tot C dubbeld tegen die van A tot B of van B tot C.
En met het woord drie dubbeld verftaat hy een reden tweemaal met zig zelve gemultipliceerd: want è X $ X I — s, en dus is de reden van Atot D drie dubbeld tegen de reden vanA tot B, of van B tot C, of van C tot D.
De dubbelde reden , die men ook tweevoudige reden zoude mogen noemen, drukt men gemeenelyk aldus uit ~ == 2 v: | dat te zeggen is „ dereden van a tot c, is dubbeld of tweevou„ dig tegen de reden van a tot b. ,
De drie dubbelde reden , die men ook drievoudige reden zoude mogen noemen, drukt men aldus uit, a 3 v: t dat te zeggen is, „ de „ reden van a tot d driedubbeld of drievoudig te„ gen de reden van a tot b enz."
Uit deze verklaringen is hatme.le openbaar, dat van een reeks zoodanige grootheden, de reden van de eerfte tot de laalte gelyk is aan het gemultipliceerde van alle de redens met malkandere: want van de laafle grootheden is de reden van 3 t0t 6 — §,van 6 tot 12 ==- i, van 12 tot 24 — i, van 24 tot 48 — l, en van 48 tot 96 — 5 , nu is 1 X ; X > X 1 X 1 = p maar ook deraden van 3 tot 96 is — si of !§•
En dit is juift het geene men noemt zaamgeJleldt reden , waar van in de meefte uitgaaven van deze Grondbeginfelen gewaagt de 5e. definitie des 6'. Boek, welke aldus luit.
„ Een reden wort gezegd uit redens zaamge„ fteld te zyn, wanneer de grootheid der redens
„ met



AANMERKINGEN. 56s
ft met malkander gemultipliceerd zynde , een an„ dere reden voortbrengt."
Dan deze definitie is van alie tyden af voor de Meetkundigen een fteén des aanftoots ge .veelt, Veele en de befte onder hun erkennen dezé'vg voor geeti definitie van ËucliJes, maar houden die als van Theon verzöm.én, eri in de Meetkunde ingevoerd, zelfs volgens meening van 2ommige, geheel onnut, ong.rymd en onmeetkundig; waarom die by eenige in het gehéél niet gevondërt wort, gelyk oider andere by Can pantia. Andere wederom hebben ftaande gehouden, dat dezelve van Euclides wel is , ten minfte dat die geen zwaarigheid ondèrheevig is, gelyk Hieronymus Sacherius wil. Wederom andere vermeenen, dat deze definitie, ingeval men die al eens aan Euclides toe eigent, aldaar C namentlyk als dé 5=. defin: des 6'. B eks) zyn regte plaats niet bekoomen heeft, maar dat die behoor de gefteld te worden agter, of di-.nde te volgen op de io en iu. definitie des 5°. Boeks , ah\ aar gefprooken wort van de Dubbelde en Driedubbelde reden, om dat beide deze redens, fpecies offoorten van de zaamgeftelde reden zyn.
No°- op een geheel andere wyze behandelt zeker Uitgeever deeZer Grondbeginf len de leer van de Zaamgeftelde reden, gelyk men zien kan zekere Latynfc e Editie in groot 0"lavo A°. 17ï5te Oxfort gedrukt en getituld , Euclidis élementorttm Ubri priores fex, item undecimus & duo* decimus ex verjsoné latina Fredv-.ci Comman Mi &c. in ufum juventutis Acddemia. Deze eeft eerft een definitie van de zaamgeftelde reden,' zeg-ende def: V des 6°. Boek pag. 123.
„ Een feden wort gezegd uit redens zaamge„ fteld te worden, wanneer de grootheden dér N n „ re-



Jöa AANMERKINGEN.
„ redens onder malkander gemultipliceerd zynde „ eenige reden voortbrengen " y '
Verder ftelt hy op pag. ^ eve„ Prop: des »; Boeks (waar in eigentlyk va„ dé zaamgeftelde reden gehandeld wort) een Lemnn of voorbewys, alwaar hy betoogt
* Dat van drie grootheden A, B en C na wel» gevalle de reden van de eerfte tot de dTrde „gely.ls aan de reden m ,e eerfled o -de
„tweede, en van de tweede tot de derd^ Als mede:
„ Dat van vier grootheden A, B, C en D na „ welgevalle de reden van de eerfte f . eelvlr ic ^ ^ e tot dc vierde
« geljk. ,s aan de reden van de eerfte tot de ■ tweede en van de tweede tot de derde en „ van de derde tot de vierde. '
Dit beide beweezen hebbende fteIt inv ?. ProP: des ö\ Boeks voor 7 ^
ieenlyk bepaalen by l,et pi e
daar van te Boek gefteld heeft, in zyn ÈZr,> elementorum Ubri priores M ' Eucl**'* & duodecimus , enZlA Tt Mcim™ mm agter'de fl^^&g definitie A viz: rationis compofit^
„Indien 'er Zyn eenige grootheden van een «zelve foort, da„ wort de eerfte va» «n
« te gezegd te hebben een reden za™ '» u" » "itd den, W£jkede eerfte ^
» tweede , en uit de reden van de tweede tot de . derde, en uit de reden van de d°rde tot / „ vierde en zoo vervolgens tot de laatfte toe
.Laaten 'er by voorbeeld zy„ de »A,B,CenD;de eerfte A wort gezegd tot
de



564 AANMERKINGEN.
„ geeft: wy hebben dan een andere daarvan tus„ fchen de n«. en 12'. definitie ter neer gefteld, „ welke Euclides zonder twyffel gegeeven heeft' „ want hy haalt dezelve uitdrukkelyk aan in dé „ 23e- Prop: des 6'. Boeks, en welke Clavius. „ Herlgonius en Barrovins overleveren zelfj „ met agterwegenjaating van de definitie van „ Theon, welke zy uit de Grondbeginfelen heb„ ben moeten wegneemen."
Al verders ftelt Profesfor Simfon in de note oP de 5'. definitie des 6'. Boek pag. 37o. ter neer.
„ Maar de ge definitie > we,ke ^ ^
„ mak der leerlingen van den tyd van Theon af „ m de Grondbeginfelen plaats gehad heeft is , om redenen in de note op de 23.. Prop:' des' „ 6< Boeks byte brengen, met regt uit dezelve „ gelaaten."
En eindelyk vint men in de note op de 23. Prop: des 6'. Boeks pag. 372.
„ In de eerfte Grondbeginfelen der Meetkunde „ pleegt men voor den eerft beginnenden niets „ ongemakkelyker te verftaan te houden, dan de „ leer der zaamgeftelde redens, welke Theon „ ongerymd en onmeetkundig gemaakt heeft met „het ter neer zetten van de 5=. definitie des „ 6. Boek, ia de plaats van een goede definitie
',rff ^T1gefte,de reden' deweIke ^nder „ twyffel Eudoxus of Euclides gegeeven "had naa „ de definnie van de driedubbelde rede enz-
„ plaats. — De defimtte nu van Theon is deze „ Een reden wort gezegd uit redens zaamgefteld „ te zyn it TS, ^/av ^ ,..,
• mandinus aldus vertaald, „ Wanneer de groot « .. heden der redens onder malkander verrnenig-
»» 1*1 vul-



AANMERKINGEN. 565
„ „ vuldigd, eenige redens voortbrengen." Maar „ WaUifius vertaalt het woord ï\i>Mx.hVtit ,, de „ exponenten der redens „ en Gregorius zet de „ laafte woorden van de definitie over „ illius „ facit quantitatem."
„ In wat zin nu de woorden genomen worden „ „ grootheden ( quantitates) of exponenten der „ „ redens Cexponentes rationum) en zelfs ver„ „ menigvuldiging (multiplicatio) de definitie „ zal onmeetkundig en onnut weezen. Want ,, daar zal geen vermeenigvuldiging kunnen zyn '„' dan door een getal; de grootheden nu of het „ exponent van een reden, gelyk Eutocius in „ de Commentarii op de 4". Prop: des 2'. Boek „ van Archimedes over de Sphseren en Cylinders, ,, en de nieuwere het uitleggen, is een getal, ,, het welk, wanneer het volgende daar door ge,, multipliceerd wort, voorbrengt het voorgaande „ of dat op het zelfde uitkomt, een getal ont, ftaat uit de divifie van het voorgaande door het ,, volgende; maar veele redens zyn zoodanig, ,, dat 'er geen getal kan ontftaan uit de divifie ,, van het voorgaande door het volgende; by
voorbeeld , de reden, welke de diagonaal van
een quadraat heeft tot des zelfs zyde; en de „ reden, welke de circumferentie van een cirkel „ heeft tot deszelvs diameter; en andere foort
gelyken. Daar en boven vindt men niets van „ deze definitie by Euclides, Archimedes , Apol„ lonius en by de overige Ouden. Want in de „ 23e. Prop: des 6'. Boek van de Grondbeginze„ len , alwaar het eerfte gewag gemaakt wort " van de zaamgeftelde reden, blykt geen een „ woord van deze definitie , welke hier of ergens „ elders noqdzakelyk zoude geweeft zyn. De ., egte definitie nu wart duidelyke gegeeven door Nn 3 deze



366 AANMERKINGEN,
„ deze woorden. „ Maar de reden van K tot „ „ M is zaamgefteld uit de reden van K tot L „ „ en uit reden van L tot M." Geheel onnut „ derhalven en ongerymd is de definitie van „ Theon: want daar kan naauwlyks aan getwvffeld „ worden, of Theon heeft dezelve in de GroAdbe„ ginfelen ingevoerd; want het wort gevonden „ in deszelfs Commentarii op de v'yi^ „ van Ptolomaus Pag. 62. van de Commentarii'", „ alwaar hy ook zyne kindpragtige verklaaring „ geeft, naa dien alleenlyk ovcreenkoomc:,de „ met die redens , welke door getallen kunnen „ worden vertoond. Hier uit nu is (ie definitie „ woordelyk gehaald, teg-lyk met de voorre» „ melde verklaaring , .en gefteld voor aan in dé „ definitien van het 6«. Boek, gelyk blykt uit de „ uitgcve van Hervagius. Maar Zambertus en „ Commandinus voegen deze by dezelve definitipn in hun-e Latynfche overzettingen. Cam. „ panus nu erkent deze definitie niet, nog ook ' „ zoo als het fehynt de Arabifche Boeken waar „ van deze gebruik gemaakt heeft. Clavius by de 5'. „ def. des 6' Boek heeft zeer wel geoordeeld, dat „ de definitie van de zaamgeftelde reden kan ge„ maakt geworden zyn, op dezelvde wyze'ais „ de dubbelde en driedubbele reien enz. ge„ maakt zyn geworden, gelyk namentlyk, Eucii„ des in de ios. def. 5°. Boek gezegd heeft, .. gelykerwys by het voordellen van verfcheide „ ,, evenredige grootheden , dat dc eerfte tot de „ „ derde een dubbelde reden heeft, als de eer„ „ fte tot de twede heefr; maar dat de eerfte w " tot de v]eriQ een driedubbelde reden heeft, ., „ als de eerfte tot de twede heeft • dat is zaamgev „ fteld qit twee of drie gelyke midden even,, „ redigen, en zoo vervojgens. Zoo ook in. „ „ dien 'er in ordre gefteld worden verfcheide
„ ,„ groot-



AANMERKINGEN. 569
8, in de zaamgeftelde reden plagt te worden ge„ bruikt, zoo uitgedrukt als beweezen kan wor„ den zelvs zonder deszelvs behulp. Dog het „ gebruik van de zaamgeftelde reden beftaat alleen„ lyk hier in , dat door deszelvs toedoen om„ fchryvingen gemeid worden , en aldus de voor„ ftellen korter of uitgedrukt of beweezen kunnen ., worden , of dat zulks beide kan gefchieden , by „ voorbeeld, indien deze 33: 6. moet voorgefteld „ worden , wanneer 'er geen gewag van dezaam„ geftelde reden gemaakt ü, zal zulks aldus 1110e„ ten gefchieden; indien 'er zyn twee gelykhoe„ kige parallellogrammen, en dat de zyde van de „ eerfte tot de zyde van de tweede als een iege„ lyk aangenoome regte linie tot een tweede reg„ linie , gelyk nu de overige zyde van het eerfte „ parallellogram tot de overige zyde vanhettwe„ de parallellogram, alzoo^'sde tweede regte linie „ tot een derde regt e linie , en het bewys zal het „ zelvde zyn als dar, het welk wy nu hebben. — „ De ouden nu ziende , dat deze uitdrukking kor„ ter gedaan konde worden, zoo 'er een naam „ gegeeven wiert aan een reden, welke de eer„ fte regte heeft tot de laafle , door welke naam „ te gelyk zoude uitgedrukt worden de tuffchen „ beide ftaande redens , de eerde naamentlyk „ tot de tweede , en de tweede tot de derde reg„ te linie en zoo voorts, indien 'er meer regte „ waaren ; deze reden van de eerde tot de laafte „ hebben zy genoemd een reden zaamgedeld uit „ de redens van de eerfte tot de tweede, en van „ de tweede tot de derde regte linie, dat is in „ dit tegenwoordig geval, uit reders, welke de,, zelvde zyn als de redens der zyden , en aldus hebben zy het voorftel korter uitgedrukt; aldus indien 'er. zyn twee gelykhoekige parallello„ grammen, deze hebben onder malkander een
„ zei-



57o AANMERKINGEN.
,, zelve reden met die, welke zaamgefteld is uk ,, redens, welke dezelve zyn als de redens der f, zyden. Welke uitdrukking wel met minder „ woorden uitgebragd wort dan de voorgaande, ,, dog met dezelvde zin. Of nog korter, gelykhoekige parallellogrammen hebben onder malkander een zelve reden als die,welke zaamge„ fteld is uit de redens der zyden. En deze twee „ laafte uitdrukkingen, inzonderheid de eerfte, „ koomen over een met de demonftratie, welke ,, men nu in de Griekfche text behoudt. Dogh ,, het voorftel kan korter beweezen worden , ge,, lyk by Franciscus Candella op deze wyze (Fig: „ 244. Tab: XVII.) Laaten ABCD en BEFG de gelykhoekige parallellogrammen zyn, en laat „ het parallellogram BGHD aangevuld worden;
nadien het derhalven zyn drie parallellogram„ DB, BH en BF, zoo zal (volgens de definitie ,, der zaamgeftelde reden ) de eerfte DB tot de „ derde BF een reden hebben , welke zaamgefteld is uit de reden van DB tot BH, en uit de „ reden van BH tot BF, het parallellogram DB ,, nu is tot het'parallellogram BH, als de regte AB tot de regte BG ; en het parallellogram BH is ,, tot het parallellogram BF, als de regte CB tot de regte BE, by gevolg heeft het parallellogram DB tot het parallellogram BF een reden, wel,, ke zaamgefteld is uit redens, welke dezelvde ,, zyn als de redens der zyden, en met deze de„ monftratie komt over een de uitdrukking welkc men nu behoudt."
,, Gelykhoekige parallellogrammen hebben onder ,, malkander een reden zaamgefteld uit de redens „ der zyden. Want de gemeene Ieezing ,, zaam s, ,, gefteld uit de zyden" Is onvoegelyk. Wy heb„ ben dan in deze uitgaave behouden de demon-
ftratie, welke, in de griekfche text gehouden
,, wort



572 AANMERKINGEN.
eerfte af tot de laatfte toe, van de eerfte na„ mentlyk A tot de tweede B, en van dezelve „ B tot de derde C, en van dezelve C tot de „ vierde of laatfte D , welke redens in der daad „ onder malkander dezelvde.zyn. Het zelvde „ moet men teffens zeggen van alle andere ver„ menigvuldigde redens.
„ Dat nu deze uitlegging dezer redens waar ,, is, blykt uit de definitien der dubbelde en „ driedubbelde reden , waar in Euclides gebruikt ,, het woord xhynat (genoemd of gezegd wort) „ welk woord zonder twyffel gebruikt is geweeft „ in de definitie van de zaamgeftelde reden „ 't welk Theon en andere uit de Grondbegin,, zelen gelaaten .hebben ; want het zelvde woord „ is behouden in de onbedreeve definitie van de ,, zaamgcfielde reden , welke nu gehouden wort „ in de 5'- defin: des 6". Boek. In de aanhaalingen nu van deze definitien wort zomtyds be„ houden, gelyk in de demonftratie van de 19.. Prop: des 6'. Boek, de eerfte tot de derde een dubbelde reden 'é%eiv ^ytlxt gezegd wort te ,, hebben, welke woorden Commandinus en an„ dere kwaalyk overzetten ,, heeft „ in plaats ., van „ gezegd wort te hebben „ dog zomtyds ,, wort dat woord isyerxi weg gelaaten , gelyk ,, in de demonftratie van de 33: 11. Boek alwaar ,, de eerfte zig verhoud tot de vierde in een drie„ dubbelde reden ,' 't%ei , want zonder twyffel ,, betekend hier het zelve als é^e» ^yetai t ,, zoo ook in de 23: 6. Boek, alwaar men leeft ,, >,, maar de reden van K tot M Tiyx.e{\a.i , is ,, zaamgefteld uit de reden van K tot L, en uit ,, de reden L tot M . om kortheidshalve, daar gezegd moeft zyn geweeft gelyk in de definitie ,, s-iyx.iOa.1 &tyir«,i gezegd wort zaamgefteld te „ worden.
„ Hier



Sy6 AANMERKINGEN.
A : C > : : E : D, 3 : 16 > : : 2 : 10. Door Omgekeerde reden of Invertendo v: 3 eor. 4. 5-
B : A < : : D : C, 2 : 3 < ; : 10 : 16. Door Zaamenftelling der redens of Componendo v: 2 Schol. 18: 5.
A + B:B>:.-C + D:D, 3+2 :2>:: 16+10:10. Door Deeling der redens of Dividendo v: 1. cor. 17: 5-
A-B:B>::C-D:D, 3 — 2: 2 >:: 16— 10: 10 Door Omkeering der redens of Convertendo. v: 4 Sch. 19: 5. A:A —B<::C:C-D, 3:3 —2<:: 16: 16—10
OP DE IK PROP: DES V'. BOEK.
Deze Propoiitie wel ingezien en begreepen zynde, zal men ras ontdekken, dat het is een klaarblykelyk gevolg van het 1'. Axioma. Naadien de grootheden, welke aanwyzen, hoe menigmaal F begreepen is in AB en iri BG, gelyk zyn aan die, welke aanwyzen hoe menigmaal F begreepen is in DE en in EH ; zoo volgt dat de fom der twee eerite getallen gelyk is aan de fom der twee andere v: 2 ax.
OP DE IIP. PROP: DES V.. BOEK,
Deze Propofitie met aandagt inziende , zal men de waarheid van dien ligtelyk kunnen ontdekken voornaamentlyk als men tot een algemeene grondregel ftelt, < at alle geheel gelyk is aan alle deszelvs deelen te zaamen genoomen v: 15 axioma want het is het zelvde , gefteld zynde twee ongelyke grootheden EI eu FM, gedeeld yder in evenveel gelyke deelen, dan yder deel elk mede gedeeld in even veel gelyke deelen enz; dan zal het
getaj



580 A ANMERKING EN.
OP DE IIP. PROP: DES VP. BOEK.
Indien AB, AC en BC, en dus de drie zyden van een driehoek, in getallen gegeeven zyn, zoo wort hier door ligtelyk gevonden de lengte van BD en DC. Laaten wy nu algemeen Hellen. Dat AB = a, AC ztz b en BC — c is. Dan.is AB : AC : : BD : BC v: 3: 6.
a •" b .- : x : c Of BE AE : : AB 'ï BD v: i8- 5 a + b : b : : a . x Op wat wyze nu deze onbekende x gevonden wort, zal eerft blyken uit de 16: 6.
Dit is eigentlyk een Corollarium van deze 3 Prop: maar wy hebben het agter de zelve niet laaten volgen.- en in deze noten gefteld om het Meetkundige niet met het Telkundige te verwarren , gelyk wy op meer plaatfen hebben aangemerkt, egter hebben wy den aanvanger daar van met onkundig willen houden.
OP DE X=. PROP: DES VP. BOEK.
Men zoude de verdeeling van de linie AB in het voorftel en in het Scholium' wel op een en dezelvde wyze kunnen verrigten, maar de laafte manier is zekerder in de uitvoering, en daarom beeter. ,
OP DE XIP. PROP: DES VP. BOEK.
Alhier moet men aanmerken, dat zoo men A aanmerkt als de eenheid, dat GH dan zal zyn het produa van A met B gemultipliceerd om' dat in yder multiplicatie de eenheid zoo menigmaal begreepen is in een van de faftoors, als
de



AANMERKINGEN. s8i
de andere faftoor in het product; en daarom het product tot de eene factoor, als de andere factoor tot de eenheid.
Maar zoo men C aanmerkt als de eenheid, dan zal GH zyn het quotiënt van B gedivideerd door A; om dat in yder divifie de eenheid is tot het quotiënt, als den divifor tot het dividendum of by verwifieling de divifor tot het dividendum als de eenheid tot het quotiënt.
OP DE XIII6. PROP: DES VI.. BOEK.
Ook moet men hier aanmerken. Indien een van de gegeeve linien voor eenheid genoomen wort, dan is EF de radix of wortel van de andere.
En indien men dé* grootfte voor de eenheid neemt, dan zal EF een breuk zyn.
OP DE XXII. PROP. DES VI. BOEK.
Hier uit volgt de multiplicatie en divifie der Surdifche quantiteiten. By voorbeeld laat 'er gemultipliceerd worden f 5 met Y 3, daar komt f15. want volgens de definitie der multiplicatie is de eenheid tot een der faótoors, als de andere factoor tot het product.
Eenheid 1 tot faftoor 3, als fadoor 5 tot het product i5-
En daarom Eenheid r tot factoor Y 3, als factoor Y 5 tot het produa Y 15.
Laat ook Y 15 gedivideerd worden door |/ 3, daar komt,^ 5. want volgens de definitie van de divifie is de eenheid tot den divifor als het quotiënt tot het dividendum.
Eenheid 1 tot den divifor 3, als het quotiënt 5 tot het dividendum 15.
En daarom Eenheid 1 tot den divifor y 3 als het quotiënt Y 5 tot het dividendum Y Ió-
Oo 3 OP



AANMERKINGEN. 587
OP DE XIe. EN XII.. PROP: DES XP. BOEK.
Deze twee werkftukken worden Mechanifch ligtelyk volbragd door middel van twee winkel haaken , wanneer die tot de twee gegeeven punten gefteld worden.
OP DE XV. PROP: DES XP. BOEK.
Dit vooftel kan men ook gevo'egelyk op de volgende wyze voordellen.
„ Indien van twee vlakken BC en EF twee raa„ kende zyde AB, AC van het eene vlak paral„ lel zyn met de raakende zyden DE, DF van „ het andere vlak; dan zullen dezelve vlakken „ parallel zyn."
OP DE XXP. PROP: DES XP. BOEK.
Alhier is genoomen een lighaamelyke hoek., welke vier platte hoeken begrypt, en daar naa is ook de demonftratie gefchikt geworden : maar alzoo een lighaamelyke hoek meer of minder platte hoeken kan begrypen, zoo zullen wy alhier een algemeene demonftratie laaten volgen, welke wy in het werk zelfs agter wegen hebben gelaaen, om dat de aanvanger, die niet gewend is Algebraifch te werken, in dezelve mogelyk eenige zwarigheid zoude kunnen ontmoeten, zie hier dezelve.
Laat even als in de andere Demonftratie genoomen worden in de linien AB, AC, AD, AE de punten B, C, D en E.
En getoogen worden de regte BC, CD, DE, EB.
Hier door ontftaat nu den veelhoek BCDE. Waar van ik de fom. der zyden noem x.
En



588 AANMERKINGEN.
En daarom de fom der hoeken van den zeiven veelhoek 2 x — 4 regte V v: fch: 32: 1.
En om dezelve rede doen de V". van al de A*. BAC, CAD, DAE en EAB te zaamen 2 x v= 32: r.
Nu zyn de V". BEAC, CDAE, DCAE en EDAB ligh. V*. 11 def. 11. En daarom is v: 20: 11.
V ABE + V ABC < V EBC.
V ACB + V ACD < V BCD.
V ADC+ V ADE< V CDE.
V AED + V AEB ^ V DEB.
'» ■ • geadd.
Komt 2 x — ligh. V A <. 2 x — 4 regte 2 x — 2 x
Sub ,. , .
Reft ligh- \/A > 4 regte V"-
S ax.
Dat te bevryzen was.
ÖP DE XXIV. PROP. DES XP. BOEK.
De maat van een lighaamelyke grootheid is een cubicq roede, voet of duim &c. Dat is te zeggen , dat het getal, het welk aanwyft, hoe menigmaal een cubicq roede voet of duim &c. in een Lighaam begreepen is, de hoegrootheid van zoodanig een lighaam vertoont. Of men kan het ook zoo verftaan , dat de maat van een lighaam een lighaam is van een roede voet of duim &c. van inhoud, egter moet men dit zoo niet verftaan, als of de de inhoud van een lighaam gemeeten wiert door den inhoud van een kleinder lighaam, zoo als een regte linie gemeeten wort door een kleinder reyte linie.
OP



AANMERKINGEN. 589
OP DE XXV*. PROP: DES XP. BOEK.
Het woord Lighaamelyk, Corporaal', is hier overtollig, want alle paralleflepipeda'as zyn (lighaamelyk. Ik heb dat overtollige woord om geen andere rede behouden dan om dat ik dat in de Latynfche overzettingen mede gevonden heb, Si Solidum parallellepipedum, &c.
OP DE XXIX'. EN XXX"- PROP: DES XP. BOEK.
Het valt moeijelyk om verfcheidene lighaamelyke figuren, op een platte vlakte afgebeeld, wel te onderfcheiden, wanneer dezelve eenige Hukken gemeen hebben, gelyk hier; men kan in diergelyke gevallen niet beeter doen, om buiten verwar, ring te blyven, dan nauwkeurig agt te geeven door welke vlakken een lighaam omvat is. gelyk em de prismata AFMEDI en GBLHCK (van het a9e. voorftel) wel te onderfcheiden 9 zoo kan men vinden , dat het ie. prisma beflooten is.
Door de 2 A°- DEI en FAM.
En door de 3 CJa. AD , AI en Fl.
Het 2e. prisma is beflooten.
Door de 2 A". CHK en BGL
En door de 3 CD GC , GK en BK.
Wyders zal men bevinden, dat het gemeene lighaam NBMPCI mede een prisma is, beflooten °Door de A". CPI en BNM.
En door de 3 CJ". CM, CN en PM.
Al verders kan men vinden dat het lighaam AFBNEDCP beflooten is.
Door de 2 trappefia DEPC en FANB.
En door de zigbaare EDa.
En het lighaam GNMLHPIK is beflooten
Door de 2 trappefia IPHK en MNGL
En door de zigbaare cp".
En



590 AANMERKINGEN.
En eindelyk is het gemeene lighaam AGNEHP beflooten.
Door de A". EHP en AGN.
En door de zigbaare CD".
Tot opheldering nu van de 30°. Propofitie, kan Uien zeggen.
Dat het i«. van deze voorgeftelde parallellepipida'as beflooten is.
Door het CU AC Qb&t welk aangemerkt moet worden als de gemeene bafis) en zyn tegen overftaande CD HF.
Door het CD AG en zyn tegen overftaande CD DF.
Door het CD HD en zyn tegen overftaande CD GC.
Het andere parallellepipedum is -beflooten. Door het CD AC en zyn tegen overftaande CD IL.
Door het CD AM en zyn tegen overftaande CD BL.
Door het CD AK en zyn' tegen overftaande CD DL.
Het blinde parallellepipedum is beflooten. Door het CD AC en zyn tegen overftaande CD PM.
Door het CD BM en zyn tegen overftaande CD AO.
Door het CD AI en zyn tegen overftaande CD DM.
Om nu de CDa. daar ieder parallelepipedum door beflooten, gemakkelyk te kunnen vinden, dat in het demonftreeren noodzaakelyk is, dewyl men anders de demonftratie niet kan verftaan , zoo neem dit volgende in agt, by voorbeeld, ik wilde die van het parallellepipedum ADCBIMLK vinden, zoo neeme een CD, die'
my



AANMERKINGEN. 591
my het eerft in het oog valt, laat dit zyn de gemeene AC, zyn tegen overftaande IL is, dat ligt te vinden.
En dewyl van de overige CD", op ieder zyde van AC een EZJ gefchreeven is.
Zoo kan men die ligtelyk de. eene naa den andere vinden.
Men moet zig ook nog verbeelden, dat de £~7a. HT, IL en PM de tegen overgeftelde zyn van de gemeene AC in de parallellepipeda AF, AL en AM.
En daarom zyn dezelve CD", in een zelve vlak.
OP DE XXXIP. PROP: DES XP. BOEK.
Uit dit voordel bekomt men de afmeeting def parallellepipeda'as , waar door men deszelfs inhoud kan vinden.
Want gelyk in de 36 pr. des 1' b; aangetoond is, hoe men den inhoud van alle parallellogramme kan bekoomen, welke uitgefprooken wort door quadrateten van een bekende maat, namentlyk van roeden voeten en duimen enz., alzoo wort dei: inhoud van een parallellepipedum uitgefprooken door Cubiquen van dezelfde maaten.
Om dan den inhoud van een parallepipedum te vinden, by voorb. van ABCD (Fig. 321. Tab. XXIII.) genoomen dat de bafis ADV was 36 duimen (NB. quadraat duimen) en de hoogte DB 12 duimen (NB. Liniaal duimen) zoo begrypt een duim hoogte op den bafis ADV 36 cubicq duimen , namentlyk zoo veel als de bafis quadraat duimen begrypt v: deze 32: 11.
Maar het geheele parallellepipedum ABCD bevat in zig zoo veele cubiquen op den bafis ADV van een duim hoog, namentlyk 12 als de •
hoog-



592 AANMERKINGEN,
hoogte DB duimen in zig bevat v: Cor: 32: 11.
Gevolgelyk moet men den bafis ADV, 36 quadraat duimen door de hoogte DB 12 duimen vermenigvuldigen, en daar zal koomen 432 cubiq duimen voor den inhoud van het zelve parallellei pipedum ABCD.
Hier uit blykt mede , dat parallellepipeda'as met ongelyke bafes en ongelyke hoogtens tot elkander zyn in de Zaamgeftelde rede van bafis tot bafis en Van hoogte tot hoogte.
OP DE XL'. PROP: DES XP. BOEK.
Uit de demonftratie van dit voorftel heeft men: de afmeeting der drie en vierhoekige prismata v note van de 32: 11 als by voorbeeld.
Indien de vierhoekige bafis doet 100 quadt. voeten en de hoogte 10 voet, zoo komt er voor den inhoud van het geheele parallellepipedum iöoo cub. voeten v: onze note op de 32: ra1.
Dit gehalveerd komt er 500 cub: voeten voor den inhoud van het prisma v: 28: ri.
Zoo nu de driehoekige bafis doet soquad*: voetenf en dehoogteio voet, de inhoud nu van den driehoekigen bafis met de hoogte 10 vermenigvuldigd, komt 'er mede 500 cub: voeten voor den inhoud van het prisma, zynde mede de helft van het parallellepipedum: Want nademaal het geheele parallellepipedum gemaakt word uit de hoogte en den geheelen bafis zoo zal ook een driehoekig prisma, zynde de helft daarvan, gemaakt worden uit de vermenigvuldigde hoogte met de halve bafis van het parallellepipedum, dat is den driehoek GHM.
OP



AANMERKINGEN. 593
OP DE P. PROP: DES XII-. BOEK:
De demonftratie van dit voorftel kan op een Veel korter wyze gedaan worden , aldus.
De V ABL = V FGM v: 31: 3. V BLA = V GlvIF v: 21: 3.
Ergo V BAL zxz V GFM v: 2 cor. 32: 1.
En daarom AB : BL : : FG : GM v: 4 6.
Dus zyn de A". ABL en FGM gelykformig \1 def: 6.
Bygevolg A ABL : A FGM ; : AL* : : FM* v: 19 6.
Ook is A ABL : A FGM : : veelh. ABCDE : veelh, FGHIK v. 20 6.
Derhalven ALi: FM':: veelh. ABCDE : veelh.FGHIK v. 11: 5,
Dat te bewyzen was.
OP DE VIL. PROP: DES XIP. BOEK.
Uit het Corollarium van dit voorftel, en uil onze note op de 32 Pr. des ii". B. blykt_mede de afmeeting der drie en veelzydige prismata en pyramides. Want volgens de 280. Pr. des 11 B„ Is een driehoekig prisma de helft van een parallellepipedum. Wanneer men dan een van de driehoekige vlakken van een prisma voor bafis néémt, zoo bekomt men den inhoud van het prisma, vermeenigvuldigende den bafis met de hoogte „ gelyk als in de note op de 40. 11. getoond is. En •Wanneer men dit product dan deelt door 3 , zoo bekomt men den inhoud van een pyramis met dezelfde of gelyke bafis en hoogte.
Ook blykt het, dat men met de veelzydigai P p pris--



594 AANMERKINGEN.
prismata en pyramidis op dezelvde wyze moet handelen. Want gelyk als de veelzydige prismata met de zelvde hoogte als de geheele kunnen gedeeld worden namentlyk twee in getal minder als de bafis zyden heeft (v. 2°. fch, 32, 1.) zoo kunnen ook op dezelve wyze alle veelzydige pyramides in driezydige pyramides gedeeld •worden, gelyk in de demonftratie van de 6. 12 gebleeken is.
OP DE XP. PROP. DES XIP. BOEK.
. Uit het 2°. Corollarium van dit voordel volgt dan, op wat wyze den inhoud van een cylinder gevonden wort: want daar wy in de note op d32 11. geleerd hebben, den inhoudvinding vaneen parallellepipedum, namentlyk vermenigvul digende den bafis met de geheele hoogte, al zoo ook wort den inhoud van een cyliode'r ge vonden door het vermenigvuldigen .van den bafis met de geheele hoogte. En vermits volgens de 10. 12 een Conus een derde deel van'een Cylinder is, als die een zelve of gelyke bafis hebben , en van gelyke hoogte zyn, zoo vol°\. ' hier dan uit de inhoudvinding van een Conus,' namentlyk door het vermenigvuldigen van den, bafis met de hoogte en door het deelen van dit product door'3.
OP DE XVP. PROP. DES XIR BOEK. Ö
Zommige nederduitfche Schryvers beginnen' dit voorftel aldus. „ twee ongelyke 'cirkels om een centram zynde enz. Het woord 'onzelyks is hier overvloedig, alzoo het niet mogelyk'is,
dat



















































AANMERKINGEN. 523
geeve figuur maar op gelyke wyze uit een der hoeken verdeeld in driehaken, het welk volgens het 2'. Sch: van de 32: 1. kan gefchieden. en voor het overige te werk gaat,als in de conftruflie van dit voorftel geleerd is, en op die wyze zal men dan een parallellogram kunne befchryven, 't welk gelyk zal zyn aan een veelhoek. Om dit met een voorbeeld op te helderen laat gegeeven zyn de figuur ABCDEF de linie P en den hoek O. (Fig. 358. Tab. XXVII.) De figuur uit een der hoeken in verdeeld
zynde, maak volgens voorgaande leering het
parallellogr: LQ — fig. ADEF met een hoek
QML rrr de gegeeve hoek C. Langs RQ maak ook het parallellogr: RU =3
fig. ADCB, gelyk uit de figuur genoeg te zien is Maak nu volgens de 34: 1. her parallellogr: LV
F^jfiet parallellogr. RU.
Dan is het parallogram WQ ~ fig. ABCDEF
Haal nu de regte WE de gegeeve linie ?
Op dezelve maak 't parallellogr. W^ — parall. WQ het welk mede = de fig. ABCDEF is. *>
Dat wy hier niet verder zullen bewyzen , maar aan de leergierige overlaaten.
En wederom zal daar uit, en uit het Scholium van deze 45.. Propofitie voortvloeijen, de wyze hoe men vinden kan het verfchil, dat de eene veelhoek grooter is dan den andere.
OP DE XLVIP. PROP: DES F. BOEK.
Dit voortreffelyk en zeer nuttig leerftuk is 3 gemeen bekend onder den naam van het Pvtha<*o ruche voorftel, na deszelvs uitvinder Pytha°orat alzoo genaamd. 0
Proclus verhaalt, dat Pythagoras, toen hy dit leerftuk hadde uitgevonden, de Zang-Godinnen.*
om



528 AANMERKINGEN.
wort beweezen de bewerking van het trekken van de vierkante wortel.
Het zal niet onvoegclyk zyn, dit ftuk alhier Uit den grond op te haaien.
Euclides heeft ons reeds in zyn 30' defin: des r Boeks geleerd , wat een quadraat is , van's gelyke hebben wy reeds gezien door het 36= voorftel des i- Boeks, op wat wyze de inhoud van een quadraat gevonden wort: maar op wat manier» de inhoud van een qua.lraat bekend zynde, de zyde van dien gevonden wort, dat is het geene alhier in dit voorfiel geleerd wort. .
Euclides zal naderhand, te weeten in zyn 18-. defin: des 7° Boeks zecge 1 ,wat een quadraat getal is , namentlyk , dat het is een getal, dat tusfchen twee «elyke getallen beflooten rs, by voorb: 4X4= 16. dus is 16 een quadraat getal, vermits het voorkomt door de multiplicatie van twee gelyke getallen 4 en 4. het getal 4 nu wort den wortel genaamt. Derhalven is een quadraat geral niet arders dan feen quadraat, en een quadraat wortel niet anders dan een zyde van een quadraat.
Het vinden van een Zyde des quadraats of van den wortel van een quadraat wort genoemd, het uittrekken of extraheren van den quadraat wortel y Extractio radicis quadratoe.
Wy zullen nu volgens dit 4= voorftel het trekken van den vierkanten wortel uit een gegeeve vierkant meetkundig gaan ontlecdigcn.
Stel, dat gegeeven is den inhoud van een quadraat , 'doende '1444 of dat het zelvde is het qua. draat getal 144^»
Aangeven nu het getal 1444 "iet kan voortgekomen zyn door de multiplicatie van een enkele cyfferletter in aig zelvs, omdat het grootfte en-



AANMERKINGEN. 529
kei getal 9 in zig zelvs gemultipliceerd maar uit« brengt 81, zoo volgt, dat het gegeeve getal 1444 uit de multiplicatie van meer dan eene cyffer let. ter in zig zelvs is voort gekoomeh.
Het zelve getal 1444 kan ook niet voort gekoomen zyn door de multiplicatie van 3 talletters in zig zeivs , om dat het getal 10000, Het welk gebooren wort door de multiplicatie van het allerkleinfte getal 100, uit 3 letters beftaande, reeds grooter is dan het gegeeve getal 1444.
Derhalven volgt het dan van zelvs , dat het getal 1444 gebooren is door de multiplicatie van 2 talletters in zig zelve, dat is te zeggen, dat de wortel zal beftaan in 2 talletters naamentlyk in Tienen en Eenheden.
Om dit dan te beginnen, zal men het grootfte vierkant getal 900 , waar van de wortel 30 is, aftrekken van het gegeeve getal 1444 (want 40 X 40 ±* 1600 is te groot.)
Deze 900 is het quadraat AI, en 30 is de linie AE. CFig. 362. Tab. XXVII.) Van het quadraat AC — 1444 afgetrokken het quadraat Al = 900
Zoo blyft 'er over
Den Gnomon EBCDFIE — 544-
Breng nu, tot gemak, of tot meerder klaarheid van de zaak, de □ FH over aan de zyde BC, dan is □ KC = gnom: EBCDFI — 544*
De lengte KE -= EI = 30.
Derhalven KI r= 60.
De lengte IH moet dus gezogd worden, zoodanig dat, indien die met de lengte KI gemultipliceerd wort, te zaamen met het vierkant der geLl zog-



53° AANMERKINGEN.
zogte IH voortbrengt het getal 544, gelyk het overfchot of gnomon. Dit gefehiet aldus.
Men gaat naa , hoe menigmaal 60 'er gaat in deze reft 544, men zal krygen 8 maal, want 9' maal zoude te veel zyn ; daarom zegge ik 60 X 8 ~ 480 = □ KG 8X8= 64= D IC
' '~ • -— geadd.
Komt 'er S44 — □ Kc.
Nu is □ KC — gnom: EBCDFIE = reftS44. Derhalven is de lengte IH ~ EQ — g En AE — 30
By gevolg AB =. 38.
Zynde de waare wortel van het quadraat AC en van 't quadraat getal 1444.
Wanneer een quadraat getal meer dan twee talletters in den wortel uitbrengt, by voorb: 't getal 54756, waar uit drie letters zullen voortkoomen , als dan komt de bewerking op een uit.
Men moet alhier in aanmerking neemen dat de eerft te vindene wortel honderden 'h» „„„„,,«,
tienen, en de derde of laatfte eenheden zyn Men begint dan met te zoeken de eerfte wortel
letter namentlyk uit5ocooofde lengte van de li-
nie *E is m # 200 X 200 ^ 40000
ö □ AF. (Fig. 363. Tab-XXVIIO Van □ AC — 54765 afgetrokken □ AE — 40000
^efl I4756 == gnom: EBCDGFE.
De irevonde radix 200, derhalven gedubbeld, komt 'er 400.
Dus gaat men na, hoe menigmaal 400 men ten naaften by heeft in de boven gehouden reft 14756 Men zal krygen 30 maal, want 40 maal is te
veel



534 AAN M K R K I N G E Nj
ftaan in een Arithmetifche progrcffic: want indien ik deze by malkander vergelyke, vinde ik dat hun verfchil geduurig 3 is, dat is te zeggen, Bat zy telkens met 3 opklimmen.
Daar entegen de getallen 16, 1.4, 12, 10, 8 enz. ftaan mede in een Arithmetifche progreffic: maar indien ik deze by den andere vergelyke, vinde ik wel, dat hun verfchil geduung 2 is, dog met
2 afheemen.
Wy zoude zeer veele fraaye en aardige eigenfehappen van de Arithmetifche progreffien kunnen zeggen , maar alzoo deze plaats daar metzeer toe gefchikt fchynt, zalmen zulks uitfiellen tot een beter geleegentheid, genoeg is het voor als nu, dat den aanvanger weete, wat een Ambmetifche progreffie is, en daar aan ineenen *vy te hebben voldaan,
Wy zeggen dan , om weder te keeren tot het *K Coroll: van de 6 des 2'. Boeks dat de 3 ïlmen BD, CD en AD in een Arithmetifche progreliic zyn. • '
Waar uit wy vervolgens afgeleid hebben , dflt BC X AD -f- CB? 3=3 CD? jS.
Waar uit dan verders voort vloeit, dat, indien
3 getallen in een Arithmetifche progreffie zyn' dat dan het product van de 2 buitenfte■zaamen met het vierkant van het verfchil des middelfte cn -en der buitenfte gelyk is aan het vierkant van het middelfte.
By voorb: 7. 10. en 13 zyn in een Arirhmct! fche progreffie.
'tProd: der buitenfte 7 X 13 — 91
't □ van 't verfchil van de middelfte cn ecu .der buiftenfte 13 — 10 of 10 — 7 — 3
■...*: Y
9 9.
't Middelfte 10 dus 10 X 10 - - - - TgoT
met



3-0 AANMERKINGEN.
CB = a
CD
2 -
_g = 9
GD*. = SlV
AD*- = 225 Sub.: . .
AG*. = r44 -~-
AG •_— I2
Men ziet dan in alle deze gevallen, dat nier, telkens bekend krygt den pendiculair van den driehoek, welke valt op eene bekende zyden waarom dan volgens het byvoegzel van de 4i- / de verdere ontbinding van den driehoek openbaar is. r
OP DE XXXVI'. PfiOP: DES IIP. BOEK.
Uit dit voorftel kan men mede alle driehoeken ontbinden.
i- Hebbende dan een regthoekige driehoek ABC (Fig. 37o. Tab. XXVIII.) regt in B, waarvan bekend is de fchuinfe zyde AC io en de regthoeks zyde AB — 6.
'Nu is AC = io ac — i0
AB — AE = 6 AD ~ AB — 6
EC = 16 - DC 2= 4
DC — 4
□ EDC = 64 ~ BC?-.
V
8 == BC.
In»



AANMERKINGEN". $4f
Indien de benevens de .fehuinfe zyde de ande= re regthoeks zyde BC ~"8 bekend is.
Dan is CA s: 10 CA 222 10
CE 222 CB 222 8 CB 222 8
EA 222 18 AD — 3
AD = 2
□ EAD ~ 26 — AB?.
y
6 AB-
Maar indien bekend zyn de 2 regthoeks zyde®. (Fig. 171. Tab. XXYIII.) AB — 6 BC =22 8. Dan is BC?. 2=2 64 222 □ ECD v: 36: 3. AD?. — AB?. — 36 AD? -f □ ECD 222100 222 CA?, v: 6: 2,
V
10 — CA.
2». Hebbende een plomphoekige driehoek, (Fig. 372. Tab: XXVIII. ) waarvan de zyde, AC _S IS AB =z 13 BC 222 4 is. Dan is CA 222 15 AB 1523 AG 525 EA. S±J 13
EA_== AB 2=2 13 — 3
, Z . — addr EG 222 2<5
CE =2: 28 EC -2= suf
CG 222 2
CE 22= 28-
□ ECG ~ 56 =2 □ DCB BC 222 4 -»—1 ■
. 14 222•„ DC
4= BC
Mm % Reft



548 AANMERKINGEN.
Reft 10 rr: DB
2—- -—
5 =s FB
v
25 =_ FB?. 169 = AB?.
144 = AF?.
V —,
12 = AF. ,
y. Hebbende nu eindelyk een fcherphoektee driehoek ADC, CFig. 373. Tab. XXVIH.) waar ran doet AC = 15 DC == 14 AD = 13
I>anisGA==EA=_:AD=_i3 AC=i5
~ 2 DA~AG—13
GE — 2Ö . *
GC = 2 GC= 2
EC = 38 GC r= 2
Q ËGC = 56 == □ DCB DC = 14
4 ~ BC ï4 = DC
Sub: — ._
10 =_ DB 2— .
5 == DF
v
25 = DF?. 169 =_ AD?.
144 = AF?.
Y
xa ■ 3=3 AF.
Ia



AANMERKINGEN. 549
In alle deze gevallen dan wederom bekend gefcreegen hebbende de perpendiculairen, vallende op een der bekende zyden, wort nu ligtelyk door het byvoeg van de 41: r. de verdere ontbinding dier driehoeken verkreegen.
OP DE XXXVII. PROP: DES III.. BOEK.
Dit voorftel is eigentlyk het omgekeerde van het voorgaande voordel.
OP DE DEFINITIEN DES IV«. BOEK IN HET ALGEMEEN.
Euclides, naa in zyn voorgaande derde Boek te hebben aangetoond zoo veel i'raaye eigenfehappen van den cirkel, gaat nu verder in zyn vierde Boek aantoonen, op wat wyze allerhande regtlinifche figuuren in en om een cirkel, als mede een cirkel in en om allerhande regtlinifche figuuren befchreêven zullen worden -, dog voor af bepaalt hy, wat men verftaat door het in en om fchryven van figuren in het algemeen. Als namentlyk , in de 2 eerfte definitien zegt hy, wat het is een regtlinifche figuur in en om een regtlifche figuur befchreêven, alhoewel hy in Izyt Boeken daar verder niet van handelt.
In zyn 3'. en 4'. defin: leert hy wat het is, een regtlinifche figuur in en om een cirkel befehreeven.
Ei in de 5'. en 6«. defin. wat het v$ een cirkel in en om een regtlinifche figuur befchreevetv
De 7'. of laafte definitie fpreekt van een regte linie in een cirkel gefteld.
OP DE P. PROP: DES IV*. BOEK.
De laatfte conditie in dit problema vervat, na.
Mm 3 ment-



55° AANMERKINGEN.
imentlyk, dat de gegeeve linie D niet langer By dan de diameter des gegeeve cirkels, is noodzaakelyk, wyl het voordel anders ondoenelyk is om dat de diameter de langde linie is, welke in den cirkel kan gefteld worden v: 15: 3.
OP DE IV*. PROP, DES IV'. BOEK.
fPer uitvloeit voort, dat, wanneer de drie zyden eens driehoek bekend zyn, de deelen der Zeiver (gemaakt door de raaking erns voorichreeve cirkels} gevonden kunne worden. Want laat zyn AB ±rf2 BC =16 en AB-=i8. AB = 12 BC 'é~ 16
— add:
-AB f BC — 28 AC = l8
. Sub: .
Reft BE - BF 53 10 Omdat CG = CF
k2 ~—i—1 enAG=AEisv:2cor.36:3 omt Bb of BF fc 5 OmdatBE = BFis vrtf Wyder is AB — 12 BE — 5
Sub: _
Reft AE — 7 — AQ En BC — 16 BF — 5 Sub. _
CF — 11 — CG.
OP DE XU. PROP: DES IV.. BOEK.
^uclides befchryf hier een vyfhoek h een cir, W *00* middel van een gelykbeenige driekoek,
Wiens



554 AANMERKINGEN.
«Een menigvuldige grootheid is een groot. " ^,d/ We|kf een al^re mindere grootheid et„ telyke gelyke maaien begrypt
De grootheid 8 bevat de 9 «telyke gelyke maaien (namentlyk 4 maal) ook beval de groot-
2 maal f 4 ''-^ ^ ""^ <^««-J*
OP DE IIP. DEFINITIE DES Vf. BOEK.
Aiy®. M zegt de gtondtext, Redenis. Veele Overzetteren hebben dit vertaald Proportie of evenredigheid; maar daar is-veel onderfcheid tusiciieo de woorden «»«Aoy©. evenrendigheid en reden, gelyk in het vervolg nader zal blyken: derhalven hebben wy deze definitie vertaald „ Reden is , enz."
Een reden is dm, gelyk wy het uitgelegd hebben, een betrekking van twee grootheden , dat is te zeggen, dat die grootheden met elkander vergeleeken kunnen worden na haare grootheid waar doormen gewaar wort haare onderlinge betrekking: maar deze grootheden reden tot elkan der zullende hebben, moeten die van eenerley aart en natuur zyn, dat is te zeggen, zy moeten zyn of linien , of vlakken , of lighaamen , of ook wel getallen; want een linie en een vlak van een yerfchillende aart zynde, kunnen.nooit met elkander vergeleeken worden, en daarom ook met een linie meteen Iighoam, nog ook niet een vlak met een lighaam, en kunnen derhalven dan ook geen betrekking tot eikander hebben.
Dog men moet weeten, dat de redens'van zommige grootheden niet uit gedrukt kunnen worden door gemeene getallen van 1, 2, 3 enzket zy met of zonder breuk; by voorbeeld als
daar



AANMERKINGEN. 555
daar is de reden van de zyde eens quadraats legen den diagonaal, welke is Als mede
de reden van den diagonaal eens quadraats tegen dejzelvs zyde, welke is Y2- volgens de 117: ?o Euclides.
Deze getallen, Welke de redens der grootheden uitdrukken , worden genoemd de Exponenten , dat is de noemers der redens ; dus is | het exponent van A tut B, en if is het exponent van B tot A.
In alle redens wort die grootheid , welke by een ander vergeleeken wort, genaamd de voorgaande , en die by welke een a.ider vergeleeken Wort, de volgende, by voorb:
In de reden van 4 tot 6, alhier wort 4 vergeleeken by de 6, en daarom is de 4de voorgaande, en 6 de volgende: maar in de reden van 6 tot 4 wort de 6 vergeleeken by de 4, en daarom is hier 6 de voorgaande en 4 de volgende.
Uit al dit gezegde dan blykt het, dat de grootbeid van alle redens ontdekt wort, wanneer men de voorgaande deelt door zyn volgende, by voorbeeld de reden van 12 tot 5 is i\ , het welk ook uitgedrukt kan worden door ï§; Algemeen gefprooken de reden van a tot b wort uitgedrukt aldus -J : maar de reden van b tot a aldus 1.
Ik heb maar een eenig Autheur ontmoet, die Heilig heeft durven leeren tegen alle goede Schryvers aan , dat de reden van a tot b is gelyk ~. en de reden van b tot a geiyk |.
OP DE IV.. DEFINITIE DES V«. BOEK.
Uit deze definitie volgt ten klaarfie , dat de grootheden, reden tot elkander zullende hebben
\



A A N M E R K I N G' E tf. 5«3
i de laatfte D een reden te hebben zaamgefteld „ uit de reden van dezelve A tot B, en uit de „ reden van B tot C, en uit de reden van C tot D: „ of de reden vati A tot D wort gezegd, zaanv* „ gefield te zyn uit redens vau A tot B, van B „ tot C, én van C tot D.
„ Derhalven indien de reden van A tot B de„ zelfde is, als de reden van E tot F, en de feden „ van B totC dezelfde, als die van G tot H, en „ de reden van C tot D dezelfde als de reden „ van K tot L; dan wort A tot D gezegd te „ hebben een réden zaamgeileld uit redens, die „ dezelvde zyn, als de redens van E tot F, en „ van G tot H , en van K tot L. Dit zelfde wort „ oü'i verftaan, wanneer kortheidshalve A tot D „ gezegd wort te hebben een reden , zaamgefteld „ uit de redens van E tot F, van G tot H en van „ K tot L.
„ Van's gelyke, indien de reden van M tot N „ dezelfde is, als de reden van A tót D, de voor„ gaande grootheden blyvende, zoo wort kort'„ heidshalve de reden van M tot N gezegd de„ zelfde te zyn, als de reden zaamgefteld uit de „ redens van E tot F; van G tot H, en van K „ toi L."
Daar or> volgt de Note op de n°. definitie des 5«.' Boeks pag. 33S.
„ Op deZe definitie heeft men moeten laaten „ volgen, gelyk als op zyn eigentlyke plaats, de „ definitie van de zaamgeftelde reden , waar van „ de dubbelde en driedubbelde reden enz- foor„ ten zyn , en welke in deze en in de vooi'gaan„ definitie bepaald worden. Maar Theon heeft s, dëzelve verfchooven tot de 5'. definitie des „ 6e. Boeks, alwaar hy een onnutte en ganfch. „ ongerymde definitie van de zaamgeftelde reden t N n a i, geeft



AANMERKINGEN. 567
grootheden, van een en dezelvde foort, maar „ ,, die niet evenredig zyn , dan wort de eerfte " tot de laatfte gezegd te hebben , een reden „ „ Zaamgefteld uit alle de tuffchen beide ftaande
redens, daarom alleen, om dat die
„' ," tuffchen beide ftaande redens ingelaft zyn, ,, tuffchen twee uiterfte grootheden in; zoo \ als door de 10.. def 5e- Boek de reden van „ „ de eerfte tot de derde gezegd wort, dub„ ,, beid te zyn , om die rede alleen, om dat 'er ,, ,, twee gelyke redens gefteld zyn tuffchen de ,. twee uiterften grootheden in: zoodanig dat 'er geen ander onderfcheid is tuffchen deze * )( zaamenftelling der redens en die verdubbe„ ling of driedubbeling enz. welke in het 5=. ,', Boek verklaard is, dan dat'er in de dubbeling en driedubbeling enz. der redens alle gelyke evenredigen tuffchen beiden gefteld worden, daar hier in de zaamenftelling der redens niet nodig is, dat men gelyke redens tuffchen beide fteld." Maar Edmundus '„ Scarburgh in zyn Engelfche Euclides pag. 238. ■266.beveftigt.igt verftandelyk, dat de 5e.def. des 6'. Boeks daar tuffchen ingevoegd is, en dat de waare definitie van de zaamgeftelde reden bevat wort in de 10=. defin: des 5=. te weeten " van de dubbelde en driedubbelde reden , of ' dat dezelve uit die te verftaan is, namentlyk op die wyze, als Clavius die in de voorgaande " aanhaaling uitgelegd heeft. Maar deze en andere nieuwere behouden te gelyk de 5°. defin: " des 6°. Boeks en helderen die op met wydloo, pige commentarii, daar zy dezelve liever uit ' de Grondbeginfelen hadden moeten uitlaaten. " Maar door de 5C defin: des 6, Boeks te verge„ l'yken met de 5*. Prop: des 8= Boeks, zal men „ klaarlyk ontwaar worden, dat deze definitie 'er
Kn 4 »by



5r§ AANMERKINGEN,
„ by gevoegd is : want in "die Prop: wort bewee„ zen, dat een vlak getal (numerus planus) wel. «j kerj zyden zyn E , Z (zie de uitgave van Her" V3;',US °f ;an Gregorius) een zaamengeftelde „ reden beeft uit derodensderzyden.dat is uit „ de redens van C tot E, en van D tot Z, maar „ de reden zaamgefteld uit de redens van C tot E „ en van D tot Z is, volgens de 5. def: des 6= B„ en volgens de uitlegging, welke alle de Com„ mentator,, daar aan geeven, de reden van het » getal, gemaakt uit de multiplicatie van de voor „ gaande C en D tot het gemaakte uit de muki „ Plicatte van de volgende E en Z, dat is de re" „ den van het vlak getal, wiens zyden zyn E en' „ Z. Het voorftel derhalven, het weik is de 5*. » def: Jes 6' Boeks, is ten eenemaale het zelfde „ als de 5. Prop: des 8' B eks, in een van beide „ deze plaatfen moet het uitgewift worde i want „hetis niet voegelyk, dat een propofitie in de „ Grondbeginzelen gefield wort als een defi ,itie „ en dat dit zelvde vnor.lel in d-e zelve Grondbe„ gmzelen beweezen zoude worden. Daar is " da" gee" twyfel of de 5» Prop: des 8' b:
„ moer m de Gfondbeginzelen plaats houden, „ v-ant het ze'v;e wort daar in beweezen van „ de vlakke getallen, dat in de 23, Pr0p: des 6». „ Boek, beweezen wort van de gelykhoekige pa„ ralleHogrammen; waarom de ge def: aes 6-boek „ m de Grondbeginzelen geen plaats hebben kan „ waar uit ten eenemaale openbaar is, dat diede„ firma geenzins van Euclides is gefteld gewor„ den , maar van Th,eon of van eenig ander mi». „ ervaarene in de Meetkunde "
„ Niemand dog, zoo yeel ik weet, toont tot s, hier toe het eigentlyk gebruik der zaamgeftelde < « reden aan, of om welke rede die in de Meet„ kunde is ingevoerd geworden . daar alles, waar



AANMERKINGEN. 571
wort, alhoewel wydloopiger dan die, welke ,, Candella geeft, ichoon genomen in die, maar ,, niet in deze, getoond wort, op wat manier
men uit de gegeeve redens der zyden vindt de ,, reden uit die zaamgefteld , dat is de reden ?, der parallellogrammen, welke de eerft begin-
nende in dier gelyke gevallen de reden uit
twee of meer gegeeve redens vinien kunnen."
,, Uit het gezegde kan men opmerken, dat in
alle grootheden van een foort, A, B, C, D ,, enz: de reden zaamgefteld uit de redens van de ,, eerfle tot de tweede, en van de tweede tot ,, de derde, en zoo vervolgens tot de laafte toe, s, alleenlyk een naam of manier van fpreeken is , ,, waar door te kennen gegeeven wort de reden, ,? weike de eerfte A tor de laafte D heeft, en ,, waar door te gelyk uitgedrukt wort de re,, dens van alle de groothedens van A tot B , van
B tot C en van C tot D , va i de eerfte tot de ,, laafte onder malkander, het zy die redens alle ,, onder malkander gelyk zyn of niet gelyk zyn, ,, gelyk vervolgens in de evenredige grootheden >, A, B, C, D enz: de dubbelde reden van de ,, eerfte tot de tweede alleenlyk een naam of een ■ ,, manier van fpreeken is, waar door te kennen ,, gegeeven wort de reden , welke de eerfte A heeft
tot de derde C, en waardoor te gelyk aange-
toond wort, dat 'er zyn twee redens dergroot,, heden van de eerfte tot de laafte, van de eerfte ,, A namentlyk tot de tweedeB, en van de tweede ,, B tot de derde of laafte C, welke redens zeker,-, lyk onder malkander dezelvde zyn; en de dric,, voudige reden van de eerfte tot de tweede is een
naam of manier van fpreeken , waar door bete„ kent wort de reden van de eerfte- A tot de vier„ de D, en waar door te gelyk aangetoond wert, „ dat 'er zyn drie redens der grootheden van de
eer-



AANMERKINGEN. 573
., Hier uit dan, en uit de Propofitien, welke „ wy by het 5=. Boek gevoegd hebben, kan men „valles, wat by de Mcetkundigen zoo Oude als ,,■ Nieuwere nopens de zaamgeftelde reden be,, houden wort, verftaan en uitleggen."
Ik heb dan noodzaakelyk geoordeeld een translaat te geeven van ai het geene de Heer Proffesfor Simfon, te boek gefteld heeft, nopens de zaamgeftelde reden, waar uit, en uit het geene ik in het begin van deze gezegd heb, dat dezaamgeftelde reden by afleiding voortkomt uit de definitie van de dubbelde en driedubbelde reden, heb ik geen zwaarigheid gemaakt daar geen definitie van te geeven
Die verder luft heeft om te weeten, wat 'er meer iis gefchreeven geworden over de zaamgeftelde reden, leeze onder andere Claudius Richardus over de 24'. def: des 5'. Boek pag. 146. & feq: en overdes". def: des 6«. Boek pag: I7ó,item D. Franciscus Flusfate Candella over de 5'. def: des 6'. Boek pag. 113. & feq: En Fredericus Commandinus over de 5". def: des 6'. Boek pag. 71 & 72. [Men kan ook uaaleezen Proffefibr Koenig in zyn Elemens de Geometrie den appen. dix op het 5*. Boek aldaar en het geene daar meer volgt pag. 224.
OP DE XIIP. DEFINITIE DES V'. BOEK.
Wanneer men een proportie volgens deze de. finitie verandert, zoo zegt men gemeenelyk, dat men zulks doet Alternando, en dat zulks gefchieden kan, zal ons de 16: 5. leeren.
OP DE XIV. DEFINITIE DES V'. BOEK.
Een proportie volgens deze definitie verandert zegt men dat zulks gedaan.wort Invertendo; en
dat



574 AANMERKINGEN.
dat dit kan gefchieden , zal ons het Corollariutri van het 4: 5. leeren. En daar uit zal dan blyken, dat men voor A : B : : C : D Hellen kan B : A : : C : D. Maar indien men heeft A : B ^ : : C : D, dat men dan Invertendo moet agt geeven om te Hellen B : A : : > : : D : C. Zoo als ligt te bevatten is, en omgekeerd.
OP DE XV'. DEFINITIE DES V'. BOEK.
Een proportie volgens deze definitie verandert zegt men, dat men dit doet Componendo. En dat zulks gefchieden kan , zal ons leeren de 18: 5- Men moet de zaamenftelling der redens niet verwarren met de zaamen gefielde reden, welk laatfte geheel iets anders beduidt, gelyk in het vervolg klaar zal blyken.
OP DE XVF. DEFINITIE DES vi BOEK.
Een proportie volgens deze definitie verandert zegt men , dat men dit doet Divtdendo, en dat zulks kan gefchieden leert ons de 17: 5.
OP DE XVIP. DEFINITIE DES V'. BOEK.
Een proportie aldus verandert, zegt nien, dat zulks gedaan wort Convertendo, en dat dit kan gefchieden , leert ons 19: 5.
Men ziet dan , dat 'er een merkelyk onderfcheid is tuffchen een omkeering der redens (Convertendo) cn een omgekeerde reden (Invertendo) vide defin. XIV.
Zie daar dan de 5 byzondere manieren , op welke men een proportie kan veranderen. Men zal dezelve nu als onder een oogpunt brengen.
Hebbende dan 4 grootheden A, B , C, D.
Indien dan A : B : : C : D is,
A



AANMERKINGEN. 575
A ~ 4, B = 3, C =: 12, D = g.
Dan is door Verwiifelde reden of Alternando, v: 16: 5.
A : C : : B : D , 4 : 12 : : 3 : 9.
Door Omgekeerde reden of Invertendo v: i cor. 4: 5.
B : A : : D : C , 3 : 4 : : 9 12.
Door Zaamenftelling der redens of Componendo , v: 18: 5.
A+B:B::C+D:D, 4 + 3 : 3 :: 12 + 9 :9
Door Deeling der redens of Dividendo v: 17: 5.
A — B:B: : C— D: D, 4 —3 : 3 :: 12 — 9 : 9.
Door Omkeering der redens of Convertendo v: 2 cor. 19: 5.
A : A - B : : C : C-D, 4: 4 - 3 :: 12 :12 — 9
Maar indien A : B < : : C : D is.
A — 5, B = 3, C=i2, D — 9.
Dan is door Verwiifelde reden of Alternando v: 3 Sch. 16: 5.
A : C < : : B : D , 5 : 12 < : : 3 : 9
Door Omkeering der redens of Invertendo v: v: 2 cor. 4: 5.
B : A > : : D : C, 3 : 5 > : : 9 : 12.
Door Zaamenftelling der redens of Componendo v: 1 Sch. 18: 5.
A + B;B<::C +D:D, 5 + 3:3<;:i2 +9:9.
Door Deeling der redens of Dividendo v: Schol. 17: 5.
A-B:B<:: C-D:D, 5 - 3 : 3 ^ :: 12—9:9.
Door Omkeering der redens of Convertendo. v: 3 Schol. 19: 5.
A:A~B>::C:C-D, 5:5~3>:: i2.-i2—
En indien A : B > ; : C : D is.
A = 3, B = 2, C =. 16, D ~ 10.
Dan is door Verwiifelde reden of Alternando t: 4 cor: 16: 5.
A



Aanmerkingen. 577
getal der deelen in EI gèlyk zyn aan het getal der deelen in FM.
Ook zal yder deel in EI zyn tot yder deel in FM, als de geheele EI tot de geheele FM, maar dit zal eerft blyken uit de 15: 5-
OP DE IV. PROP: DES V. BOÉK.
Uit dit voorftel dan wort afgeleid de omgekeefde reden, gelyk in de Corollaria te zien is.
OP DE VP. PROP: DES V. BOEK.
Deze Propofitie met aandagt inziende, zal men gewaarworden, dat niets anders behélft, dan dat van twee öngelykë grootheden een evenmatig deel afgenoomen zynde,-voor dé tellen een óf evenveelmaal gelykmatigc deelen zullen ovcrblyven. Het welk in dér daad niet anders te zeggen is t dan gelyke van gelyke afgetoogen, zullen de reften mede gelyk zyn, alhoewel de zaaken dezer grootheden niet gelyk zyri.
OP DE VIP. PROP: DES V. BOEK.
Dit voorftel wel ingezien zynde , zal men gemakkelyk kunnen befluiten, dat het zelve voor een Axioma zoude kunnen doorgaan, ja alzoo wel als het eerfte Axioma: want het behelft in zig zelve niets anders dan de woorden. ,, De „ grootheden, die een zelve grootheid gelyk zyn,
die zyn onder malkanderen gelykb
OP DE VIlI*. PROP: DES V. BOEK;
Deze mede met opmerking inziende, zeI ook een klaarblyklykheid in zig bevatten , want zoo dfahet geheel grooter is dan deszelvs deelen» Oo zal



578 AANMERKINGEN.
zal de Thefis van dit voorftel mede geen tenn fpraak lyden. ' s
OP DE IX'. PROP; DES V. BOEK.
Deze Propofitie is eigentlyk het omgekeerde van de 7: 5.
OP DE X'. PROP. DES V*. BOEK.
Alzoo is deze ook het omgekeerde van de 8: 5.
OP DE XP. PROP. DES V. BOEK.
Dit voorftel behelft dan eigentlyk niet anders dan het eerfte Axioma, en zoude derhalven zonder eenig bewys mogen aangenoomen worden, en daarom kan men algemeen zeggen „ Alle re„ dens die aan een zelve reden gelyk zyn, die
zyn ook onder malkander gelyk.
OP DE XIIP. PROP. DES V'. BOEK.
Indien men algemeen voor waarheid mag aanneemen, dat van drie grootheden A, B en C, wat het ook zoude mogen weezen, A gelyk B maar B grooter dan C zynde, dat dan ook Agrooter dan C is; als dan zoude men dit voorftel voor een Axioma kunnen houden.
OP DE XVP. PROP: DES V. BOEK.
Dit voorftel bewyft dan de verwirfelde reden , (Alternando) gelyk ook het 3*. en 4'. Scholium ** van dit voorftel.
OP DE XVII.. PROP: DES V. BOEK.
Dit voorftel bewyft dan de deeling der reden
CDi-



AANMERKINGEN. 579
(Dividendo) gelyk ook het Scholium en het Corollarium op het zelve.
OP DE XVIIP. PROP: DES V*. BOEK.
Dit voorftel bewyft dan de"' Zaamenftelling der redens, (Componendo) geiyk ook het i*. eua'. Scholium.
OP DE XIX'. PROP: DES V. BOEK.
Uit dit voorftel .dan volgt de Omkeering der redens (Convertendo) gelyk te zien is in dit 2'. Corollarium, als mede in het 3=. en 4e. Scholium op dit voorftel.
OP DE IP. DEFINITIE DES VL-. BOEK.
Volgens de mening van Simfon is hier een verkeerde definitie gegeeven ; want hy zegt „ Het „ fchynt toe , dat de tw eede definitie niet van * Euclides, maar van eenig andere onbedreevene " is, want daar wort van Euclides, nog zoo " veel ik weet, van eenig ander Meetkundige " en gewag gemaakt van wederkeerige figuren . " in plaats van die nu, zegt hy verders, fchynt " het'toe, dat men deze volgends moet ftellen. " Twee grootheden worden gezegd wederkeerig evenredig te zyn aan twee andere, wan" neer eene van de voorfte is tot eene van dp
j agterfte , als de andere agterfte tot andere
, voorfte."
Deze gedagte fchynt my juift, en hebbe daar om deze definitie van de wederkerige reden oversenoomen, met agterlaating van die der wederkeerige figuren die my geheel abfur.l voor komt.
Qo 2
ÖP



5o*2 AAN MERK I-N G E N.
OP DE-XXVIP. XXVlir,. XXIX'. PROP. DES VK BOEK.
• Daar zyn eenige Uitgeveren van deze Grondbeginfelen, als Taquet, Descales, Koets en andere, welke deze drie voorfteilen. agtcr wegen hebben gelaaten, om dat, gelyk zy zeggen, del zelve zeer moeijelyk, van weinig nut en gebruik zyn, maar waarfehy.nelyk moeten zy het nut cn gebruik , dat de Ouden in Analyfering van andere werklïukken daar van hadden , niet geweeten hebben, om kortheids wille , wyze ik. nieuwsgierige des wegens naar de Elemens de Geometrie par Mr. IeProffeiTeur Kcenig, Remarques ftir le 28'. & ar/. Propof: du livje fixieme. En die geenen, die de Latynfche taal magtig zyn , naar de note op de 28". en 2oe. Prop: des 6=. Boeks van Proffesfor Sim'fon, welke beide zeer omftaiidig het nut en gebruik van deze voordellen aantoonen.
OP DE XXXP. PRÓP: DES YU. BOEK.
Deze Propofnie fpreekt in het algemeen van gelykformige figuren, zoo dat men niet moet denken op regthoeken alleen, om dat die juift hier. iéiiobmeh zyn geworden; maar men moet het ze ve ook yerftaan van alle gelykformige figuren r. :'t zy fcheevhoekige parallellogrammen , driehoeken, trappefia'as en alle veelhoeken.
Bygëvok kan men door dit voorftel alle gelykDVrtilge figuren by doen en afneeiftèn, even op ,:czelvde ma-nier , als in het Scholium van 'de 47: i." van de quadraaten gezegd is.
OP DE XXXIIP. PROP: DES VP. BOEK.
Door di'So, Cciol'prium leeren wy eerft regt wrikte , wat geiykrurmige cirkelftukken zyn
naa-



AANMERKINGEN. 583
naamentlyk wiens boogen tot hunne geheele circumferentie in gelyke reden zyn.
OP DE P. DEFINITIE DES XP. BOEK.
Het woord Solidum of corpus hebben wy vertaald lighaamelyke figuur of lighaam.
Men kan deze definitie, even als hier voore die van de linie en het vlak, aldus ophelderen.
„ Wanneer een vlak voortloopt, zoo wort de „ weg, die het maakt, Lighaam genaamd."
Men ziet dan , dat een lighaam drie afmeetingen heeft, namentlyk lengte, breedte en dikte; welk laafte ook wel genoemd wort hoogte of diepte» na de gevallen, die'er voorkoomen. Want fpreekende van iets,dat gelyk met de grond en onder ons oog is, by voorbeeld van een fteen, zoo zal men zeggen, het lighaam van den fteen is zoo lang, zoo breed en zoo dik, maar fpreekende van iets , dat verheevener dan ons oog is , en willende het geheele lighaam befchouwen, men genoodzaakt is naar om hoog te zien, by voorbeeld van een hoogen dyk, dan zal men zeggen , het lighaam van den dyk is zoo lang , zoo breed en zoo hoog. En eindelyk fpreekende van iets, dat beneeden ons oog is, het welk, zullende het zelve befchouwen, ons noodzaakt naar beneeden te zien, by voorbeeld van een put, zoo zalmen zeggen, het lighaam van den put is zoo lang, zoo breed en zoo diep.
Daar blyven dan maar altoos drie afmeetinge'n aan de lighaamen; ook zyn 'er in de natuur geen meer.
OP DE IP. DEFINITIE DES XP. BOEK.
Even gelyk de üiterftens der linien punten, en O o 4 die



584 AANMERKINGEN.
die der vlakken linien zyn, alzoo zyn de üiterftens der lighaamen vlakken.
OP DE XP. DEFINITIE DES XP. BOEK.
Deze definitie zegt, dat een lighaamelyke hoek is de zaamenkooming in een zelve punt van meer dan twee platte hoeken op verfcheide vlakken gefield, zoodanig een is by voorbeeld den hoek van een kamer, alwaar de hoeken van twee wanden, en die van de zolder, of van de vloer te zaamen koomen; Eigentlyk bepaalt Euclides hier een lighaamelyke hoek uit vlakken te zaamen gefield.' Want de hoek aan de fpits van een conus of kegel is mede wel een lighaamelyke hoek, maar deze begrypt maar een vlak , dat het ronde van den kegel uitmaakt. Waarom 'er zyn , die een algemeene definitie van een lighaamelyken hoek hebben Willen geeven.
„ Een lighaamelyke hoek beftaat uit een geboo»» ge, of uit meer dan twee platte vlakken, in
een gemeen punt zaamen koomende, om het ,, welk een tuffchen wydte beflooten wort door n dat gebooge of door die verfcheide vlakken."
OP DE XIV«. DEFINITIE DES IP. BOEK.
Deze definitie leert ons, op wat wyze een Spheer gebooren wort, en is een foortgelyke als die welke wy booven aan gehaald hebben ; en bepaalt pp welk een wyfe een Lighaam ontftaat door het beweegen of voortloopen van een vlak ; want door het rontom beweegen van den halven cirkel, gaat dezelve mede een weg door, en deze weg maakt den Spheer.
Men kan anderfins den Spheer bepaalen , dat die is een lighaamelyke figuur, beflooten meteen rond of gebooge oppervlak , binnen het welk een
ze-



AANMERKINGEN. 585
zeker punt is, uit het welk alle regte linien, getoogen tot aan het gebooge oppervlak, elkander gelyk zyn. En aldus bepaalt Theodofius dezelve-
OP DE XVII.. DEFINITIE DES XP. BOEK.
Zommige Meetkundige onderfcheiden den diameter van den fpheer, en willen dat dezelve tweedcrly is, als i6. in de eigentlyke, en 2°. in de oneigentlyke diameter. Zy noemen de eigentlyke diameter van den fpheer dat vlak of die fchyf, die door het centrum van den fpheer gaat en dezelve in twee gelyke deelen fcheidt.
En de oneigentlyke diameter van den fpheer noemen zy die linie in deze definitie befchreêven.
OP DE XVIIP. DEFINITIE DES XP. BOEK.
Men ziet dan hier uit, dat de conus beflooten is , deels door een platte , en deels door een <&» booge oppervlakte, welke platte vlakte een cirkel is, maar wat de gebooge oppervlakte voor een figuur is, valt moeijelyk om te beduiden: om dit egter, zoo veel mogelyk is, te doen. Zoo verbeel u eenvoudig deze gebooge oppervlakte doorfneeden door een regte linie AC en uitgefpreid of losgerold tot een plat vlak, welke zi» zullen vertoonen als cirkel deelen , gelyk dezelve waarlyk zyn.
In den regthoekigen kegel is het een halve cirkel, als in n°. i. In den plomphoekige kegel Zal het zelve grooter dan een halve cirkel zyn als in n°. 2. Maar in den fcherphoekige kegel zal het zelve kleinder dan een halve cirkel weezen , als in 11°. 3. door welke befchryving het lighaam yan den kegel duidelyk genoeg bepaald is.
Oo 5
OP



5Z6 AANMERKINGEN.
OP DE XXP. DEFENITIE DES IXv BOEK,
Zoo dat een Cylinder beilooten is door twee cirkels AGB en DHF, en een bultige of rolagtige oppervlakte ABFD, welke beilooten is door de circumferentien des cirkels, en zoo die bultige oppervlakte gefneeden wort door een regte linie AD, en uitgerold tot een plat vJak, zoo wort het een regthoekig parallelogram.
OP DE XXVP. XXViP. XXVIIP. & XXIX* DEFINITIE DES XP. BOEK.
Deze vier definitien behooren eigentlyk niet «ot het Elfde en Twaalfde Boek, maar tot de volgende Boeken van Euclides, waarom die by veele Schryveren zyn agter wegen gelaaten, ik heb dezelve egter wederom hier by gevoegd , om dat ik van meening ben, alle de Boeken van Euclides te verhandelen, zoo God my in het leeven fpaare. maar dewyl de Ses eerfte, het Elfde en Twaalfde van meerder nut zyn, hebbe ik met deze begonnen.
OP DE IV«. PROP: DES IX'. BOEK.
In de demonftratie van dit voorftel moet men zig zelve niet miflyden met het meer maal gebruikte woord gelykzydig. Even als of elke driekoek op zig zelve genoomen gelykzydig was, neen, maar de driehoeken, waar van telkens gefprooken worden , zyn ten aanzien van malkan der gelykzydig, dat is de eene zyde van den eene gelyk de eene zyde van den andere en daarom had men kunnen 'Zeggen gelyk en gelykformig.
OP



AANMERKINGEN. 595
dat twee gelyke cirkelen in een vlak om eea centrum befchreêven kunnen worden. De goede latynfche fchryvc-en maaken ook geen melding van ongelyke, maar zeggen alleenlyk „ duobus circuits cif ca idem centrum exijlentibus Waarom het hier dan ook weg gelaaten is geworden.
EINDE.