OPUSCULES MATHÉMATIQUES d e M*. du BOURGUET* f LIEVTENANT DES VAISSEAUX DU ROI D Ë F R A N C E} Contenant des nouvelks théories, méthodes formulespotir la réfolution des Equations du fecond, troifieme & quatrième degrd; d'autres objets du Calcul abfolument nouVeaux, la théorie tres - fimple de toutes les Trigonométries par Fanalyfe, la dèmonflration rigoureüfe du principe fondamental de Catoptrique; lapartie aflronomique du métier de lamer , mifealaportée des commenpants, avec des nouvelles formules très-fimples pour réfoudre tous les problémes de Navigo-aflronomie, & la théorie fur U figure de la terre. 4 L ff / D ï, Chez les Freres MURRAY,   AVANT-PRÖPOS. fuccès le plus prononcé dans la fcience du calcul, a été la découverte faite vers le milieu du XVle fiècle, de la formule générale pour réfoudre les Equations du troifième degré. Deux favants de ce tems-lk,Cardan &Tartaglia5 fe difputerent Thonneur d'en être les auteurs; mais quoiqu'il en foit, fans entrer dans leurs quérelles fur ce fujet, nous conviendrons du moins , que c'efl a Cardan que nous avons 1'obligation de 1'avoir mife au jour, ainfi que ladémonftration. Mais ni lui, ni foncoopérateuf Tartaglia, ne purent prouver, & n'oferent même affurer que, dans le cas irrêduëtible, les trois racines font réelles; quoique Catdan eut réfolu quelques équations particulières qui pa-^ roiffoient s'y rapporter, & oü les difficultés s'évanouiifoient fortuitement, ce ne fut qu'en 1579 que Raphaël Bombelli fit la remarque importante, que les parties de la formule qiü repréfente une racine dans le cas irrêductible $ formoient parleur allemblage un réfultat réel: A &  iv AVANT - PROPOS. mais lui, ainfi que tous les favants qui lui ont fuccédé jusqu'a nos jours, n'ontpu obtenir direétement entermes finis, débarrafles de quantités imaginaires, ces trois racines, lesquelles font toutes réelles, inégales & incommenfurablesc'efl: cette difficultè qui a fait nommer ce cas-la, irrèduclible. Cette difficultè a affeété la réfolution des équations du quatrième degré qui eft indifpenfablement liée avec celle du troifième. Ces objets fi intéreflants du calcul, fur lesquels plufieurs auteurs ont écrit, & qui ofFrent tant de difficultés a furmonter, paree que les équations d'un degré quelconque au-deffus du premier, ne font que des puiflances imparfaites des racines; ces objets, dis-je, m'ont paru fufceptibles deplus d'étendue, de clarté & de fimplicité dans leur théorie & dans les formules de folutions; c'efl: ce qui m'a engagé a développer jusqu'a la plus grande extention tous les procédés dont il faut fe fervir a prévoir tous les cas, a les réfoudre, &c. c'eit par les recherches que j'ai été obligé de faire, que je fuis parvenu a fimplifier les formules connues; & enfin ji trouver une autre méthode pour réfoudre les équations du troifième degré, infïniment fupérieure, par' fon élégance & la fimplicité des formules de folutions, a toutes celles qui ont paru jusqu'a préfent. Enfuite, fans m'arrêter ala méthode généralenient connue de réfoudre les équations du  AVA NT - PROPOS. v quatrième degré, je fais tout de fuite connoitre celle de Mr. Euler , un des plus grands géomètres de ce fiècle; mais quin'a fait qu'indiquer les principeaux procédés de fa méthode, fans la développer aucunement; de maniè're qu'elle paroit, avant un examen férieux, être reftreinte dans desbornes très-rapproehées. Te 1'avois ■ lue autrefois dans le cours complet de mathématiques de Mr. 1'Abbé Sauri: elle me plut infiniment par fon élégance ; mais croyantque ce que j'avois vu, u'en étoitqu'im extrait pour en donner une fimple notion, je fis tout ce que je pus pour me procurer le cours de mathématiques de Mr. Euler; je ne le trouvois nulle part qu'a Basle, mais en allemand, langue que je ne fais pas. Enfin j'appris qu'unde mes amis,alors habitantla Savoye , en avoit une édition francoife: je lui écrivis de m'envoyer une copie exaóte de tout ce qui avoit rapport a eet objet. II eut effe&ivement la complaifance de copier depuis le §. 773 jusqu'au 77 8e inclufivementm'aflurant, que c'étoit tout ce qui dans eet ouvrage avoit rapport a la rèfolution des équations du quatrième degré. Mais ce qu'il m'envoyoit n'étoit que ce que je favois déjè; alors j'entrepris de développer cette charmante,méthode & de larendre générale pour la rèfolution des équations du quatrième degré dans tous les cas poffibles; auffi j'efpère, que le leéteur judicieux trouvera A 3  vi AVANT-PROPOS. que ma théorie fur cetobjet-la efl complette & tout - a - fait nouvelle. On pouvoit s'attendre, lorsqu'on fut parvenu a des méthodes pour la rèfolution des équations du troifième & quatrième degré par des formulesdire&es, que celles-ci; conduiroient a d'autres pour la rèfolution des équations dans les degrés fupérieurs au quatrième; mais, fi 1'on en excepte celles qui, par des transformations, fe réduifentendernière analyfe aux quatre premiers, 1'art de réfoudre ces équations n'a fait aucun progrès jusqu'a nos jours; mais du moins faut-il rechercher les cas, oü on peut par les transformations ramener les équations des degrés fupérieurs au quatrième, a celles dont les méthodes de folutions nous font connues: j'en ai trouvé un, dans lequel on refout des équations complettes jusqu'au neuvième degré inclufivement; & quand le degré del'équationeftimpair, onpeuttoujours, quelque foit fa grandeur, trouver la valeur, au moins, d'une racine réelle. l'Extraélion des racines quarrées des polyJiomes, qui n'ont qu'un terme rationnel, m'a paru traitée aflez vaguement dans les ouvrages de mathématiques que j'ai lus: j'en ai formé •une théorie très-étendue, dans laquellc, après avoir donné des méthodes générales pour tous les cas, j'en fais 1'application fur les polynomes de mêmes efpèces qui font quarrés d'au-  AVANT-PROPO S. vu 'tres polynomes entiérement, ou en parties compofés de quantités imaginaires. Après avoir traité ces objets de calculs, je vïens ad'autres plus -généralement utiles, puis■qu'ils ont tous rapport a 1'art de la navigation, & -:>-VS.-p, done e„ ,„ quarrant, nous aurons C O' = !> (^Ll^¥(~ll2y (*) Quand je dis que y — 1=0, eft une racine de 1'équation, y5—i=oj cela doit être pris dans Ie fens disjonftif; car c'eft i qui eft la vraie valeur ou racine de y ; mais comme alots y—1=0, je dis par abréviation que y—i = o,en eft la racine. (f) II faut faire attention en quarrant ^ 3 ) & —K(-3j qug quoiqueK(-3)Xï/C— i)~V% on n'a point V (— 3) X V (— 3)= 3, mais bien f XF(-3)=~3' En effet foit pris généralement laquantité }/ (— a), en la quarrant, c'eft-a-dire en quarrant -—3 fous le figne radical; on aura \/ (—a) X^( — a)t=J/a'; or, cette quantité J/as confidérée fans aucunedonnée amérieureii peut être regardée comme = a, ou = »- afuivmt quea'eftle pró- diliC  MATHÉMATIQUES. &Ty* =: ~ 1 ^ ^ ; multipliant la valeur de ö par chacune des trois de y2, & la valeur de f par chacünö des trois dey, nous aurons , en faifant atténcion que i , 3 • •' généralement— V h = K (—A), nous aurons , disje, les trois valeurs fuivantes de x. * +'--J^aJ X K 'f - ^ )• ,i x + Kjf+p') 6. Mais avant d'aller plus loin, je vais, Monfieur, vous donner la démonltration que je vous ai promife a la fin du §. 4. De 1'équation c3 = -j- 4. j/ (-^ + p3 ) en ne pre* mnt que le figne fupérieur qui précède le radical quarré» je tire c3 = 1 X ( |-*K(-f +P!) ) 5 mais ain{1 que nous 1'avons démontré dans le paragraphe précédent, "duit de a X a. ou da a X — 3; mais dacs le cas dont nous parlofls^ nous favóns qua aJ eft le produit de —aX— a ; donc /^a!=s — a; donc auffi V { — X V C-3) == P?9 =— tb  18 O P U S C U L E S 1'unité a les trois racines i, -jr$ KC-r-S'H donc en multipliant la valeur de c par ces trois racines de 1'unité, nous aurons pour lts trois valeurs de c, c=i XK-j + V &f p= ),c==i+^j "X- V \ ~\~ V (~ + p* )• Je démontrerois de même , que les trois valeurs de f tirées dé 1'équation fs = — +// \ *4~~f" p3 ) en ■ ne prenant que Ie figne fupérieur qui préeède le radical quarré, font f = i x y~ — v {.$ +ti^*+y^ _____ * \ S 2 11 paroit d'après ce que nous venons dedire, que, puisquc x = — yJ X c — y >< f, on doit avoir neuf valeurs de x; car chaeune des trois valeurs de c & de f doit être multipliée par les trois valeurs de — y2 pour c, & de — y pour f, ce qui feroit neuf équations réfultantes; mais dont les trois premières feroiènt identiqucs aux trois troificmes &par-conféquent aux trois équations du §. 5, qui expriment les trois valeurs de x, puisqu'elles font les réfultats du produit des trois valeurs de — y2 par une de celles de c, & des trois de —- y par une de-celles de f. Enelfet, Monfieur, fi'vous vous donnez la peine de multiplier les trois fa&eurs numériques des- valeurs de c par les trois valeurs de — y=; c'eft-a-dire les trois racines  MATHÉMATIQUES* 19 de 1'unité par les trois quarrés des mêmes racines•, vous trouverez (*) Valeurs de Fafteurs numériques de c Produit des facteurs mirnériques de c par les trois vSj leurs de — y» Les valeurs de — y étant les mêmes que celles de — y„, & les trois faéteurs numériques de f étant. ainfi que ceux de c lés trois racines de 1'unité, tirées de 1'équation yJ —1 = 0, il eft évident que les neuf produits réfultants de la multiplication des trois valeurs de — y par les trois fafteurs de f feront les mêmes que ceux que nouS avons trouvédans la table précédente: donc une feule valeur de chaeune des deux lettres c & f, fuffit pour faird connoïtre 1'expreflion des trois de x. ^ 7. Vous favez, Monfieur, que dans £oute équation d'un degré quelconque, les racines imaginaires, quand il y en a, font toujours en nombre pair; donc dans une" équation d'un degré impair, & par - conféquent du troifième il doi: y avoir de néceffité une racine réelle }4 or celle-ci eft toujours exprimée dans les équations du (*)■ II faut fe rappeler, enfaifant cesrriultiplications, decequö BOUE avons dimontté dans la feconde note du paragraphe g. B t  «o OPUSCULES troifième degré, par la première formule du §. 5^ en effet il eft évident que fi p* eft pofitif, ou que ps étant négatif, onsic^ >p3; alorsn'yayantriend'imaginaire dans Tex- presfion de la première Valeur de x, elle fera réelle ; il ne refte donc plus qu'a démontrer que fi p3 eft négatif & > S ce qui rend y _ pJ) une quantité ima- ginaire, la racine exprimée par la première formule eft toujours réelle. En elfet foit fuppofé, pour abréger que-^ = m 4 — P3 ="— «> nous aurons par - conféquent en met-tant ces nouvelles valeurs de -l1 _ p3 _ans celles de c& de %c=y m + K(-n)&f=Km~K(-rij; mais puisque généralement y A=Ad ; nous aurons c = m -J- y (—n)| & f =m— y( — n>? ; or, en développant les puiflanccs d; ces binomes valeurs de c & f,par la méthode fi connue de Mr. Newton, nous aurons les fuitesinfiniesc = m 2 4, ^ (•—") 1 „ . C * ) 3 ^ 3 m § T 9H| (*) Ces fuites des valeurs de c & de f, qui devroient être pour Is première c=rnï+^4 _ JL + £2^ jinJ 9iHj Sim, 843 m*l  MATHÉMATIQUES. 21 5ny r—n) o, o_______=__} 1*4 n _ "~ ••• 81 bi "243™^"^ 7291*1 6561 mi —&c. f=m s— —S—+'-r<-r oTTn| 31113 9ffli bimi >»' _ aan'KC —n) _54J_L , &c. Or puisü43m1f 729 yil '65611111 que x — c y2 — f y; üeil évident qu'en prenant la. première valeur 1 qua y dans 1'équation y* — 1 = o, on aura y2 = 1 & y == 1; donc alors x = - c — f, ce qui eft juftement la première formule qui exprime une des valeurs de x; mettanc dans cette équation , a la place de c & de f, les féries infinies qui en font les valeurs, an, nous aurons, toute réducfion faite, x = — 2 ra f- ^ , 20 — _L. &c. • donc puisque dans cette 243 nrf 6561 ml ^ exorePion en fuice infinie de la valeur de x, il n y entre rien d'imaginaire, il eft évident qu'elle eft toujours réelle. ■ 8. Les deux autres racines, exprimées par les deux J/n n + &c, &.pour Ia feconde f = ml — ^ p m| ^_ § n V " _ - I0-n,' &c, fin étoit pofuif, en change 81 m| 243 ms parfon figne négatif les fignes des termes aux troifiemes, quatrièmes , feptièmes , &c. La raifon en eft , que pu.sque 1/ {— n)1 = — n, il eft évident que dans tous les termes pün IjtionnelfctrouveraélevéaunepuiffanceimpaireJe figne pnmuif, devrafcehanger en négatif ou pofitif, fuivant qu'il étoii «éfa-pofittf ou négatif; mais lorsque n rrtionnel fera élevé a une puiffance paire, telle qu'il eft au troifième, cinquème, &c. termes aior.s le figne primitif devra être perir.arent , car— n X VJ^—n) A r ■ —n) = — nXK n)*=i —n X —n —a, B 3  *» OPUSCULES dernières formules du § 5, x= J/l-\-y(2L± pJJ ¥ = Kf+K (f+7') x (-x> 2, + K^-K(f_fp0xI+^3), font imaginaires quand n eft pofidf, c'eft-a-dire que ytl±P') eft une quantité réelle; ce qui arrivé quand p3 eft pofidf, ouqu'érant négatif, ^> pï; & ces deux expreffions des valeurs dé x font réelles' quand n == o ou que n eft négatif; ce qui a lieu quand p* étant négatif, on ai=p!; & quand p» étant toujours négatif, 0q. Si nous rnettons dans la première de ces deux formules en queftion, dernières valeurs de x, c & fa la place de leurs valeurs, nous aurons, x = cX ^t^l£rii2 + f X —-g^~"3^; en eifeftuant les multiplications» j ai x a f-, ^ " , ou ce qui eft la même chofe x = (^J^) + (-"~f)x Af(-3^  MATHÉMATIQUES.' 23 or, de cette feconde valeur de x, ii eft évident que la première partie {-^~^) eft rationnelle; car fi a la féiie qui exprime la valeur de c, on ajoute celle qui exprime la valeur de f, & qu'on divife cette fomme par 2, on /•ci-f\ ! JL 10n' • *5* n' aura, ( -^-j = m - 9m f - - 6$6l m"i — &c. Si n eft pofitif (* ); mais dans ce cas - la la feconde partie ( üi&kt ) j/( — 3) eft imaginaire; car alors re- tranchant de la valeur de c en fuite infinie celle de f exprimée de même, prenant la moitié de la différence , & multipliant tous les termes par le faéteur eommun ]/ Q —r 3 ~)., önaura (-fi) X V (-3) = —75 ~" 8i tof \ 729 m« * ^u Mais KnX K (—3) — K("3n)i d°nc touce c^te feconde - partie & par - conféquent la valeur entière de x eft imaginaire, quand n eft poficif. 9 Mais fi n = 0, c'eft-a-dire que p3 étant négatif on of ait — =p3; alors il eft évident que, n'y ayant que le premier 4* terme m? de la férie infinie, valeur de la première partie "j" -) de celle de x qui ne foit pas multiplié (*") Ilfnutferappelerdece que font les fu'tes infinies aii expritnent.lès valeurs de c & de f quand n eft pofitif. (voyez la nute précédeate.) B 4  U OPUSCULES. par n, H ne reftera que ce premier terme; donc alors X~up=//1 (*) & par-conféquent dans cecas-la, la feconde valeur de x eft réelle. 10. De même fi y ( | p5) eft unCquantité imaginaire & que par - conféquent n foit négatif, alors il eft évident que la feconde partie (-~-f ) y (_ 3 ) de- viendra réelle; car dans ce cas tous les termes de la férie infinie, qui exprime fa valeur, Jbnt multiplidés par ''y^«lTK$?ZÈ = ^3", c^eft-a-dire par une quanncé reelle; donc alors la feconde valeur de x eft re.eile , & en rafiemblanc les féries infinies qui expriment les^ valeurs des deux panies de 1'expreffion x ~ C-a-) ) K( —3>ous aurons (f), I r JL J° n* , 151-11» x = m3 4- i — _- u -f- - ^ ^ . • 4 9 nu S43 ml ~ 65Ó1 nrj ~ Kc- + (*) EnerFet'puisquem rr-J- , Ö* elt évident que ra3" ou 2 (f) A caufeque dans ce eas-cr, arnfl que dans celui du ri' on a n négatif, il faut dans les expreflions de x = (-£+f) +C^Tf) K (~3)5 10, &x = (£±£)+(l~c ) y (~ V' en fu:tcs manies, introduire ceilèi de c & de f prifcs dans le $. 7. ......  MATHÉMATIQUES. 25 s ( \ _5n 22 nJ K(3")X ^-8-_-__j + 7a9mi -&c> 11. Puisque les deux dernières expreiïions de x doivent fuivre les mêmes loix en réalité & en imaginaires, § 7, il eft évident que dans la même hypothèfe de n pofitif, la troifième valeur de x fera ainfi que la feconde imaginaire; d'ailleurs, Monfieur, pour votre propre fatisfadduti, en voici la démonftration rigoureufe. La troifième valeur de x étant, x= c X + fx i±VirJ>> — c~c^(-3)+f+fK(-i) ss (£±£) -f- {~~) V (- 3) '■> ce Q1" rea<^ toute la feconde partie, & par» conféquent toute la troifième valeur de x imaginaire. 12. Si n = o, alors il eft évident que la troifième va- i q leur de x feréduira comme la feconde a x donc alors la propofée (*) aura deux racines égales entr'elles & a la racine cubique de la moidé du dernier terme. 13. Si n eft négatif, alors tous les termes de la férie infinie, valeur de (~~^~^ V ( — 3) étant affecTés du (*) No,us fuppofpns toujours que la propofée efl: fans fecpad terme. B 5  t4 OPUSCULES fafleur commun y (—n) ]/ (—3) m y 3n, feront par- conféquent tous réels; donc dans ce cas, toute Ia troifième valeur dex eft réelle &on a x =s mj-L. 9 ion» 154 y? 243 nri + 656i &c' + K 3» X (— 5 n 22 na + Si m| ~ 729 p# + &cO 14. En rafièmblant, Monfieur les trois valeurs en fuites infinies de x que nous avons trouvé §.7, 10 & 13, nous aurons, après quelques réduclions qui en rehdent 1'ufage beaucoup plus commode dans la pratique, x éz —- 31— x ( "~ 243 ~" 27 11 10 n' —- 243 y m2 m1 ni* 27 nï3 1 1701 m* v ' , V v_ 5 J /-243 — &c. . . . . ; 3 X— 3 XI 243 V m' \ . . . . + "^fe X (^3+4_n 729 Km' m' , a6i8n» _& . m+ ~ 189 nv3 ütW> (*) Pour rendre ces formules d'un ufage plus étendu dans les cas oules fuites ce convergent pas "aflez vlte, j'ai calculé les deux termes de plus 26,8 ^ C —n) & 137S1 mf IÖ53372 ml3' v Jes valeurs de c & de f en fuites infinies §. 7, ce qui donne un terme de plus pour chaque férie, conjpofant les trois valeurs de x.  MATHÉMATIQUES. 27 m /—243 — &c 1 *=- 3_ X ( 243 y m« \ - fa.) - X (-4S + fc. 729 \/ ma * . . . • - &c.) 15. Lorsque n > m% alors il eft évident que les fuites iafinies, expreffions des trois valeurs de x, divergent, & par-conféquent plus on en prend des termes, plus on s'éloigne des vraies valeurs de x: il faut donc clans ce cas-la, pour rendre les fuites cpnvergenr.es, renver- fer les termes des binomes V ni (m-J/C-n))3 valeurs de c & de f, & cn aura c =1 (// (— n)" + m)' & f= C^ C-n) — ™)k développant les puiflances | de ces binomes, nous aurons nr • • m' , __5 ; c=(K-n>- + 3"CJ^!"~9CK--n)fi"-8iCK-n^""CXC* 1 . m m' r & f = - (K-n> + ^^)|+9(ï/-n)| + 8i((V — n)i (?/-n)3 =-ns (K-ny = n6V(-0 'donc en mettant dans les valeurs en fuites infinies de c & ï is de f i les rédudions nö K (—i),-n3, n8 K' (— 1) &c. h la place des quantités QJ/— n)ï, (K"11)3* (J/-)3 &c; nous aurons c = n6 K.(—O """" 3j/n  s8 OPUSCULES • . . 5m' ï r pnjKC-O + 81 nj — &c- &f=— ne K(-O _ m , m» i 5 ms 3Kn 9 nlfC- i ) + g7n| + &C; doncpuisque x^-c_fjx=(£±i) + (£rL0KC^3)& x — (-i-) -f. (—— ) KC-3)>oousauronsenmettant dans ces trois expreffions de xles valeurs en fuites infinies de c & de f, trouvees «-delfos ,après les rédudions nécéfloiies 243 X ( 243 —^m3 ^ io_ni* 154 ma c v? -31 V n n* a^n' "~&c'> X (243 - &c.' . . . . ; _&c.) .vn, VTdIeS f°nt' Mon^eur» C§» I4& 15) Iesfeules exp.cilions en quantités réelles qu'on a trouvées iusqu a ZÏT A?0iï raCines réelles' iné§ales & incommenïuraoies ,q ) des équations du troifième degré; les cas, ou quoique dans 1'équation x»—3 p x + q = 0 on a't 4 <. p»; on peut póurtant avoir trois valeurs de x en expreffions finies; mais alors il y a toujours la première qui e-ft  MATHÉMATIQUE S. 29 €fForts inutiles des plus grands géömètres, pour pouvoir dans ce cas exprimer les trois valeurs de 1'inconnue par des quantités finies, lui ont fait donner le nom de cas irréduiïibk (*). 17. Oneft donc obligé, Monfieur, dans ces cas-la, de fe contenter d'une approximation qui eft fenüblement fuffifante; & qui s'obtient avec peu de termes, quand ks féries, exprelfions des trois valeurs de x, convergent rapidement; c'eft-a-dire lorsque m2 eft beaucoup plus grand que n §. 14, on 1'inverfe §. 15. 18, Si au-contraire les quantités m2 & n différent peu en grandeurs, alors les parties des féries infinies, expresfionsdes trois valeurs de x, que nous avonscalculé §. 14 & 15 feroient infuffifantes ; ce qui obligeroit de calculer un trés-grand nombre d'autres termes pour chaque férie, & rendroit par-conféquent fopération d'une iongueuf extrêmement fatiguante : il vaat donc mieux dans ces commenfurable; ce cas-ia arrivé, quand dans les formules, exprefllons q /q1 * des trois valeurs de x, S- 5» les quantités ~ — P3 ) font des cubes parfaits : alors en en prenant les racines cubes 'par la méthode li connue, & indiquée particuliéretnent d'une majiière très-claire dans le traité d'algèbre de Mr. 1'Abbé Ilosfut, §. 330 & fuivants; les partiea imaginaires fe détruifent par 1'oppofition de leurs fignes, & il ne refte plus que des quantités réelles & rationnelles, dont la fomrne forme la racine commenfurable de la propofée, avec laquelle par - conféquent on trouv» les deux autres en exprefilons finies. (*) Cependant Nicok , grand Mathématicien francois , qui vivoit dans ce fiècle, a trouvé un moyen trés- ingénieux dans quelques cas particuliers de fommer la férie qui exprime la première valeur de x , qu'il a par-conféquent fouftrait au cis irréduótibie (v. les Mem. is l'dcai. de Sciences, années 173'S & fuiv.) ! ,  S» OPUSCULES cas-- Ia fe fervir, pour réfoudre les équations du troifième degré, d'une des autres méthodes indirectes, connues. .19- Scholie. 11 réfuke., Monfieur , de tous'les théorêmes démontrés depuisle §. 7, que toute équation ou troifième degré fans fecond terme & dont les deux premiers exidants font pofitifs , telle que 1'équation générale x»+ 3 p x + q-= o, n'a qu'Lme racine réelle; mais quand elle fe préfente fous cette forme x? — 3 px -I- q =0, 1'incertitude fur la réalité ou Timaginairë des deux dernières ■ racines ne dure que' le tems qu'il faun pour vérifïer fi 5-< p' ou fi il > p3. co. Lorsque dans une équation complette du troifième degré, le troifième terme eft pofitif, que le coëfficiënt de celui-ci eft plus grand que'le tiers du quarré de celui du fecond terme, qudques f0it d'ailleurs les fignes qui precedent le fecond & quatrième termes; alors on eft fur que la propofée n'a qu'une racine réelle. En effer dans toute équation complette du troifième degré , telle que celle-ci prife généralement z3 + a z* 4- b z + c = o, quelques foit les fignes qui en "précédent les termes; on eft toujours fur,: qu'en la transformant en une autre, dans laquelle ón faifz = x+ ^ le fecond terme n'aura plus pour coëfficiënt dans Ia transformée que zero, & que Ie coëfficiënt du troifième terme de celle-ci fera toujours & - 1J£ + b , ou en réduifanr, + b — ~; donc fi b dans la propofée eft pofitif, & que b > j-, il eft évident qu'alors les deux premiers termes exiftams de la transformée feront pofitifs; donc  MATHÉMATIQUES. 31 celle -ci & par-conféquent la propofée, n'auront chaeune qu'une racine réelle 19. 11 n'y a que ce cas-la, oü on pniffe, fans transformer une équation complette du troifième degré en une autre fans fecond terme, déterminer fi elle n'a qu'une, ou trois racines réelles. 21. La théorie précédente, Monfieur, met toujours en état de pouvoir obtenir dans toute équation de cette 3<1 xi ' d forme t + at + bt + c = o, trois, ou même fix valeurs de. 1'inconnue t, fuivant que d eft impair ou pair; car, en faifant t = z, on aura la transformée z3 + a za + b z j-f- c = o; qui étant réfolue par la mé? thode précédente, & donnant, je fuppofe, les trois valeurs fuivantes de z; z = M, z = N, z=P; on aura ... d bientöt les trois valeurs fuivantes det. . .t=//M, d d d t = J/N ,t = J/T;ce qui eft bien évident,puisque t= J/z.Donc de même fi d eft pair, on aura fix valeurs de t, a caufe des doublés fignes -{-» qui précédent les radicaux fous lesquels font immeriées les trois valeurs de z. Sd 22. Mais fi dans une telle équation t -f- &c. on a d> 2, alors il eft évident que la propofée~~écant plus élevée que le fixièmedegré, lafolution précédente, §. 21, ne fera pas complette; puisqu'elle ne fait connoïtre tout au plus que fix valeurs de t; voici comment dans ce cas-la, on pourra avoir toutes les valeurs de 1'inconnue. En ne prenant d'abord que la première équation par- d . , tielle t = ]/ M ,des trois qui cömpolent la propofée, je vois d d que je puisl'écrireainfi qu'il fuit,t=// 1 -f- //M; donc cherchantpar lafolution complette de 1'équation yd —1=0,  3^ OPUSCULES. v toutes les racines de Punité , & multipliant J/M paf chaeune d'el lesbon aura dans 1'équation partiefle J/M = t, autant de valeurs de t qu'il y a d'unités, dans la quantité d; & faifant les mêmes opérations fur les deux.autres équations partielles t = KN & t = ]/V , on aura le nombre 3d, des racines de la propofée. 23. 11 paroit au premier coup d'ceil exifter dans cette foluuon la même imperfeétion que dans celle du §. 21; car puisque y = Ki=i, ou y = + //i = -f- 1 on n'a par ce moyén rien qu'une racine de 1'unité fi delf. ïmpair, & deux fi d eft pair: mais ces racines y— 1 ou y 1|Z 1 t;rées de 1'équation générale yd — 1 = o , me fervent a trouver les autres; car dans le cas de d impair, en divifant yd — 1 = o par y - 1 — o, on aura toujours pour quotiënt, 1'équation complette inférieure d-i d-a d'un feul degré, y -f y -f &c. . . . . 4- 1 — a. d & dans le cas de dpair, divifant y 1 =0, par 1'équation du fecond degré ya — 1 = o produit de-fes deux racines déja connues y — i=o&y-f-i = o; On a toujours au quotiënt 1'équation de deux degrés feulement d-a d-4 d-tf inférieure, y -f y + y + &c. . . + 1 == o; or dans celle - ci, puisque d eft pair, il eft clair que tous les expofants de y le font auffi; donc en faifant y2=w, d X d —j d — 3 on aura la transformée w* -j- -{- ws -f. &c + 1=0, qui eft par-conféquent d'un degré moindre que la moitié de la puifiance d de 1'équation y — 1 = 0. 24 De ce que nous venons de démmtrer dans les deux paragrephesprécédents, il Ven ruit, Monfieur, que la  MATHÉMATIQUES. 33 la théorie des équations du troifième degré, n'embrafle pas la rèfolution de toutes les équations de la forme ts — 3 x -f- 3 = o, laquelle réfolue me donne pour la valeur des deux racines imaginaires,x == '—■ — • 32. Probleme II. Réfoudre 1'équation du 9me degré t9 -f- 12 t6 -|- 60 t3 — 103 = o? Cette équation eft de la même forme que celle tj(I -f&c. dont nous avons parlé ci-deflus & dans laquelle d rr 3; donc en faifant t3 = z, nous aurons la transformée z' -f 12 z! -j- Co z — 103 == Q ( * )» équation complette du troifième degré, dans laquelle, afin de la transförmer en une aurre fans fecond terme , je fais 7.:— x — " = x — 4: fubftituant cette valeur de z dans 1'équation z3 -{- 12 z2 -f- &c. = o, j'ai la feconde transformée x3-f-i2x — 215 = 0; (qui n'a qu'une 'racine réelle, puisque le fecond terme 12 xeft pofitif, §. 19.), la comparant identiquement avec féquation générale (*) Avant de trarsformer cette équation-ici en une autre fans fecond terme, je m'afiure bien vite qu'elle n'a qu'une racine réelle; car öo>-^-J — 48 (voy'ez le g. 2o> C 4  4o OPUSCULES XJ + 3 P * + q = o; j'ai 3p=ia, donc p = 4 &» q= - 215;donc x= y & + V {^f -f öV) + V ~ - V (fS + 64 ). Faifant les ré. duétions néceflaires, j'ai pour la valeur approchée de la racine réelle de la feconde transformée, a un centième prés, x = 5, 33, avec laquelle je trouve aifément que les deux imaginaires, a la même proximité d'un centième prés, font x = — 2, 67 _-f 33, A%ym. majs z = x -4, donc z = 5, 33 — 4 = i, 33 & z = — 2, 67 + 33 >40 — 4 = - 6, 67 + K (- 33 > 42) ; telles font les trois racines de la transformée z3 +12 z=-f &c. = 0, dont une feule eft réelle; par-conféquent la propofée t9 -}- &c. — =0 n'en aura auffi qu'une réelle, §. 27,6c les neuf valeurs de tferont t = ]/ (1, 33) , t = —Xi, i; t=K^-6,ö74-KC- 33,42); t-^-i+Kr-^ X K-6,67 +K (- 33,42). 33. Si la propofée étoic t,J-|-121» 4- 60 t4—103 = 0, alors en faifant t4 = z , on aura la même transformée, que dans le paragraphe précédent, z3 4,- 12 z3 -f- &c. = o; donc puisque celle-ci n'a qu'une racine réelle, mais pofitive, &deux imaginaires, nous en concluerons tout - defuite que la propofée a deux racines réelles & dix imaginaires , §. 30. Par le calcul on les trouve npprochées a un centième prés, telles qu'il fuit t = -4- V ( 1,33 ) j= + I, 08 ; t = + i , 08 F ( - i ) i  mathématiques. 41 1/ — 6,67 + ( — 33,42). 34 Probleme 111. Réfoudre 1 équation du troifième" dc^ré x3 — ia x -j- 16 = o: la propofée étant fans feconcTterme, je la compare tout - de-fuite identiquement avec 1'équation générale x3 + 3 p x + q = o; ce qui me donne p = — 4, & q = 16; mais - ———04 & p3 = (—4)3 = — 64; donc — p' = o; d'oü 4 je conclus que la propofée aura les deux racines égales x = —//8 = 2& x= a, §.12; connois- r 2 fant ces deux racines égales, il eft aifé d'en conclure toutde - fuite; que la troifième eft — 4 i car puisque la propofée eft fans fecond terme, il eft évident qu'une des trois racines, doit être égale a la fomme des deux autres, mais avec un figne contraire a ces dernières. 35. Probleme iv. Réfoudre'1'équation x3.— iS x — 28 = 0? . . Je compare la propofée avec 1 équation generale xï _L 3 p x -f - q = o, ce qui me donne p = — 6 & q = — 28 ; mais p3 == — 216 étant négatif & (*) On nuroit pu aufli trouver les deux racines égales de la propofée x3 — 12 x -f- 16 = o, en cherchant fon pius grand commun divifeur avec la transformée 3 x3 — 12 = o, qui eft le produit de la propofée x3 V-J- o x2 — 12 x -f- 16=0. par la piogreffion arithmétique 4'3 . 2. • I; en faifant 1'opération indiquée , on trouve que ce plus grand commun divifeur eft X — 2; donc la propofée a les deux racines égales 1 - 2 8 X --- 2: ceci eft démontré d:ns tous les traités d'a'lgëbre. C 5  42 OPUSCULES > - =s 196, j'en concluerai que la propofée a fes trois racines réelles & inégales, §.8, 10 & 13. Je vérifierai enfuitefi - + y (196 — 216) = 14 4.y (-20) ne font pas des cubes parfaits; (2de note du §.16) m'étant alfuré du contraire, j'en conclus que la propoféö .eft dans le cas irréducïible, & me fervant, pour la réfoudre, par approxiraation des formules du$. 14, paree que dans ce cas-ci m* > n , j'aurai, en ne. prenant d'abord que la première expreffion de Ia valeur de x, & réduifanc les fractions en décimales a un cent mjllième prés x = - 0,01984 X C-243 - 2,7551 + 0/10412 — 0,00606 + 0,0004a — &c.) = -» 0,01984 X C~ 245,65662) =4,87383. Telle eft la première valeur de x a un cent millième prés; pour avoir les deux autres je pourrois 'me fervir des deux dernières formules du g. 14; mais il eft beaucoup plus court de divifer la prtpofée par la racine déja trouvée x — 4, 87383 , ce qui me donne pour quotiënt 1 équation du fecond degré xs-f-4,87383 x -f5,75,122 = o, dont les deux racines a un cent millième prés font x = — 2,00755 & X= —• o , 86629. 36. Cherchons maintenant, Monfieur, \ rendre les formules de folution du %. 5 .dans le cas reduclible & des §.14 & 15 dans le cas irréducfible, encore plus fimples qü'elies ne font jusqu'a préfent; pour parveritr aux moyerrs que j'ai trouvés, il faut au - paravant que je vous fafie connoïtre Ia folution & le démonftration du probleme fuivant, qui eft très-iméreffant, & peut tacilitér la recherche des méthodes générales pour réfoudre les équations de degrés fupérieurs au quatrième. Probleme. Etant donné 1'équation complette d'un degré quelconque s, telle que celle-ci prife générale-  MATHÉMATIQUES. 43 3 s — I s I s — 3 »—+ , ment (P)x+ax +bx +cx + dx j^, & c -f- f = o;. la transformer en une autre de même nature, & dans laquelle un des termes défigné n'aye plus pour coëfficiënt que 1'unité? Solution. 11 faut divifer tous les termes de la propofée (P)> excepté le premier, par le coëfficiënt qu'on veut rendre égal a 1'unité, élevé a de telles puiffances, que ces dernières forment une progreffion arithmétique croiffante, dont le premier terme & la raifon foyent une fraftion qui a pour numérateur 1'unité, & pour dénominateur le nombre de termes qui précédent celui pour iequel on calcule. ConnoiiTant les valeurs des racines de h transformée, on aura celles des racines de la propofée, en multipliant les premières'par le coëfficiënt éliminé, élevé a une puisfance égale au premier terme, ou raifon de la progreffion gritbmétique. Rendons ceci fenfible par un exemple: foit propofé de transformer 1'équation (P) en une autre de même natu« s — 3 re', dans laquelle Ie quatrième terme cx dcvicnne I — 3 feulement x ? S— I Je divife le fecond terme ax de Ia propofée, par c coëfficiënt du quatrième terme, élevé a la puiffancef, fraclion dont le numérateur eft 1'unité & le dénominateur le nombre de termes qui précédent celui pour Iequel on S 2 calcule ; je divife le troifième terme bx par c élevé a la puiflance \ plus la raifon j égale au premier terme de la progreffion, c'eft-a-dire par cf ; je divife le quatriè- me terme cx , par c 3 == c, le cinquième dx par c = c5" &c. de manière que la transformée fera  44 OPUSCULES (T)x' -f 5.x"!1 + bx'~' +x~3 + dx ~~4 "T" &c7J — °» connoifiant les valeurs defx dans la transformée; j'aurai celles de x dans la propofée CP), en multipliant les premières par c3 ou I/c Demonstration. Faifonsdans lapropofée *(P), x = >' + c ; en introduifant cette valeur de x, nous aurons la première transformée; (O) cmS v' . y_4+bc y + cc' 3'Y-3+dcmS-4a L + &c- ;••••••+ f = o; chaffant Ie coëfficiënt du premier terme de 1'équation (Q) en faifant y== è nous aurons 1'équation (R) x' + ( ) Cette transformation confifte a multiplier chaque terme 1 excepté le premier, de 1'équation propofée par le coëfficiënt du premier terme élevé a une puilTance égale au nombre de termes TUrLm ' qül dam, "ne éqUation comPle«e Précédent cbacua de ceux pour lesquels on calcule. En efFet foit propofé 1'équa- non at + bt -4- ct -f et + &c + F =r o; en faifant t =. - , yamzi en introduifant cette valeur de t dans 1'équation en queftion,' cette première trans- , d . d—i d — 2 d * formee a 4- bx_ + cx + ex 3 + &c. . . . _a a a a 3 + f - o. Multipliant tous & termes de cette dernière équa-  MATHÉMATIQUES. 45 ac x + bc x -f cc x + dc x + &c Ij2 ^^a,s~'ms __ 0. ma;s par ies conditions du probleme, il faut que cc5™ = i \ donc a caufe que c c 3 - = c » nous aurons c ss i. En employant les logarithmes, que nous défignerons' par la lettre initiale L, nous aurons , L c X (3ms— 3m + 0 = Li, donc 3 ms — 3m+-r - hL\ mais L 1=0, donc ^ = 0, & par-conféLc' ^c quent 3ms— 3m-fi=o; équation de laquelle je tire m = Introduifant cette valeur de.m dans 35 3 1'expreffion m s — m, qui eft le premier terme & la raifon de la progreffion arithmétique croiifante que forment dans 1'équation (R) les puhTancesde c, fafteur de tous les termes, excepté le premier, alors & 1'un 1'autre deviendront — s + i. fraftionqui, reduite a fa plus fimple expreffion, 3S —3 devient —*; donc 1'équation (R) fe réduira ï cefle- S — f S—I — | S-2 — 1 ci (S) x + ac x -f- bc x + cc d—-I & I Cl — 3 tion, par a , j'aurai 1'équation x +bx +cax d 3 d—1 + eax + &c + a f = o ; qui eft telle que nous 1'avons defignéa devoir être. De plus cn remarquera que dans cette transformée les racines font a fois plus §randes d que dans 1'équation'at -f- &c. puisque x _ at.  4-Ö OPUSCULES s—3 —|. s_4 , x + dc x + &c. ....;_}_ fc x = o; mais acaufeque généralement A ^_A^ (*) nous aurons la dernière transformée (T) x" 4- ax' ~"* • - - • "• ■ ~7 -f- * o x + q = o. — 1  MATHÉMATIQUES, 51 40. Si dans Ia même équation, fans fecond terme, on Veut rendre le troifième, qui ne feroit que le quatrième d'une équation complette, égal a 1'unité, il faudra feu* lement divifer le coëfficiënt 3p du fecond terme par la racine cubique du quarré de q; & alors la tnnsformée, en repréfentant toujours par 3 p le coëfficiënt du fecond terme de la propofée, lëra, x3+3px-f-i=r:o; ce qui donne pour la formule, expreffion de la valeur toujours réelle dex, §.5, x = y -\~^V (^"b"*3) + y "~— — y (~--f F3)-" il eft clair que les s valeurs de x dans Ia transformée, feront y q fois plus petites que dans la propofée, §. 36 & 37. 41. Ces formules, §. 39 & 40, font toutes deux plus fimples que celles du §. 5 dans le cas réduclible; mais dans lecas irréductible la première de ces deux formules, §. 39» nerend pas celles en féries des %. 14 & 15 plus fimples que ce qu'elles font déja, paree que m = ~ & n =z ^ p3 varient fuivant les différentes valeurs de q ; 4 au - lieu que par la formule du §. 40 j'ai pour celles en féries, §• 14&15, la quantité m ca. - qui eft permanente; ainfi la formule en férie de la première valeur de x $. 14 tera x = 3 x (— 243— 4 X 2?n 243 V Q) ' 1 « „, 64 X is* . 256 X 6545 n* + 16 X ion» -f 1?01 — - &c.) D a  5* OPUSCULES Mais vous remarquerez, Monfieur, que, fi p' eft un nombre entier, la valeur de n fera une fraétion dont le dénominateur efl: 4 , puisque n == \ — p3 — I~4p3; . •' ''•"»•... 4 - • ou fi p3 eft une fraftion, le dénominateur de celle, a la» qnelle eft égale n, fera divifible par 4; or les premières, fecondes, troifièmes, qqatrièmes &c. puifiancês de 4 font égales aux fecondes, quatrièmes, fixièmes, huitièmes &c. puifiancês de 2, puisque 4 eft le quarré de 2: dorK en ayant 1'attention de n'introduire dans la forn ule précédente que le quadruple de n, que nous rtpréfenterons par lalettre capitale N, on pourra eifacer les fecondes, qüatrièmes,fixièmes,fiuitièmes&c, puifia- ces de 1 & alors les trois exprefiions de x en fuites infinies du §. 14 deviendront, K=^f^) XC--43-^N+ioN^^ 4. to_N? _&c<) 1 1701 J x= &llt) x(-«-fc &c-> , Cf) 2618Nj 729K(O X("243 + 45N-22N2+ ré9'-&cc) (*) Comme ici on a m fimple, ce facteur commun de tous les f 1 termes de la première férie doit être 3 r= " \ t~ i.', „ , H3K(i) 486 K'i). (.T; lei je mets 1 n naturel, paree que dans 'ce facteur comiiinn de tous les termes des dernières féries des feconde & troiüèma valeurs de x n ne peut fe combiner avec m.  MATHÉMATIQUES. 53 V C3n) - v — 3 X (~ 243 + >&c — &c.) 7=9 K CD , 42. Ces trois dernières exprehVns des valeurs de x ne peuvent fervir qu'en tant que J > n , paree qu'alors les féries convergent§. 15 ; mais fi jj < n , alors il faudra ie fervir des formules du $. 45 , aveC les mêmes change ■ ments fimpliliques que ceux que nous venons de faire dans leparagraphe précédent pour les formules du §. 14, & nous aurons alors les trois formules fuivantes: x == ' r. { a7 ~ n + 9 n3 '/ 81 Kn x = —:(-p( 27 — &c --&c. \ 1,62 J> n ' a43 \ n n* ü7W ) f X == —ff ( 27 — &c - &c.) 162 V n — K 27 n (243 - &c — &c.) 4^.aAinfi, Monfieur, la transformation du §.40 eft préférable a celle.du §. 39 dans le cas irréducf ible, & même dans le cas réducYiblè, car la formule du %. 40 ne peut jamais par cette transformation avoir plus de radicaux quarrés que ceux qui entrent dans la formule originelle , §, 5; au-lieuque, paria transformation duf. 39, on trouve fouvent-dans la formule du même paragraphe deux (*) Même obfervation que dans la première note du %. 41. (t) Même obfervation que dans la feconde note du J. 41. D 3  54 OPUSCULES radicaux quarrés de plus qu'elle n'auroic eu fans la transformation qu'on a fait éprouver a la propofée fans fecond terme. En effet foit celle - ci (A) x3 -fax -f b = o, qu'on veut réfoudre , en la transformant au-paravant en une autre dont le coëfficiënt a du fecond terme foit remplacé par 1'unité; j'aurai pour la transformée, §. 39 , (B) x' -f x -f —==. — 0; donc comparant identi- quement cette dernière avec 1'équation générale x» + 3PX + q=:o, j'aurai q = p-~^ : donc * = v ^fhn + y (~ +~J] 3 — b bJ ^ öy (a') ~" V ("4a* + oy)' formule'dans laquelle , fi y fV) ou y f4 aO ne font pas des quantités commenfurables-, il entrera deux radicaux quarrés de plus que ceux qui font dans les formules primitives $• 5' — . 44. Mais par la transformation du $. 40, on aura pour la transformée de la même équation (A) XJ -f. ax -f b=o, celle-ci, §.40, (D) x3 -f ~T~-L.I=o; yb* 1 * or, par la comparajfon identique de cette transformée avec 1'équation générale xs -f 3 px-f q — o, ona, a a* 3 p = 'y^ donc p ^Yfb' & p3==Srïï"2; ain{1 la formule du §. 40 fera en y introduifant cette va4" V ir ~ V + ïffr ^ ' expreffion qui  MATHÉMATIQUES. 55 ne renferme point d'autres fignes radicaux que ceux de c Ia formule primitive, §. 5. 45. Faifons maintenant, Monfieur, quelques applications de ces formules fimplifiées, fur les équations numériques fuivantes. Probleme L Réfoudre 1'équation du troifième degré fans fecond terme x^ -\- 16 x — 384 = o, en !a transformant au-paravant en une autre, dans laquelle x n'ait plus pour coëfficiënt que 1'unité? Comparant la propofée, avec 1'équation (AJ §-43» nous aurons a = 16 & b = — 134; donc la transformée (B) $. 43 fera xs -f x — = °u en réduifant x, -f- x — 6 = 0, & la formule de folution, première & feule valeur réelle de x , fera k= K3 + K(9+r7) +^3-^(9+^ en réduifant je trouve aundix-millième prés, x = 1,6342. D'oü je conclus a 1'ordinaire que les deux autres racines imaginaires font avec la même approxunation x = — 0,8171 + V (—3,0029): mais ces trois racines déja trouvées étant celles de la transformée, font y 16, ou 4 fois plus petites que celles de la propofée ( §• 36 & 37); donc ces dernières feront x — 1 ,J>342 X 4, ou x — 6, 5368 & x+ (o, 8171 X4 + K ( — 3,0029)) X 4 ou, x + 3,2684 + ]/ (—48,0464.) 46. Probleme II. Réfoudre 1'équation du troifième degré fans fecond terme x3 -f- 8 x -f- 6 = o, en la transformant au - paravant en une autre de même efpèce, & dans laquelle le dernier terme foit égal a 1'unité? Comparant identiquement cette propofée avec 1'équation x + ax + b = 0, j'ai a = 8, b = 6 ; donc ïa transformée (D) §.44, ™ y fubftituant ces valeurs D 4  S<5 OPUSCULES g ce a & de b, deviendra x' -f " -f i — 2 °U X' + y~6 + 1 = °i & Ja formule de folution, première & il'ule valeur de x §. 44, fera en y introduifant les valeurs de a & de b.. x =r K ~~—+ . 2 M ! 972/ ^lvf~! ( f + 0- Ou route réduct;on faite, on a par appreximation , x = - 0,39614. rrlais cette racine réelle de la transformée eft y 6 fois p us pente que celle de Ja propofée ; donc cette dermere a un dix-millième prés, fera x = - c, 39614 X Kó%== — o, 7133; d'oü je conclus a 1'ordinaire, que les deux racines imaginaires approchées font x — o, 3566 + y (— s, 48x6). 47- Probleme 111. Réfoudre 1'équation du troifième d.gre x? _ 96 x -f- 64 = o, avec les mêmes conduions que dans le problême précédent? : En C0™P'J«nt idendquement la propofée* avec 1'équa«on x3 ± ax + b =.0, jai a = - 96, b = 64, S- en introduifant ces valeurs de a & b dans la formule de iulution, première valeur toujours réelle de 1'inconnue, j'aurai tome réduction faite x — // ^ _L -f- // (-3*) 2. 4' s x~ ~~~ f "2 — V ( J-) '■> par-conféquent les trois racines de Ia- transformée font réelles, inégales; de plus ede* Iülc incommenfurables , car les quantités  MATHÉMATIQUES. 57 p. L- -f- y ^ j , ne font pas des cubes parfaits; donc la transformée & par-conféquent Ia propofée font toutes les deux dans le cas irrédu&ible: ainfi en faifant attentionque ma= | < n = f, & me fervant par cette même raifon des féries du §. 42, j'aurai, en y introduifant les valeurs de n = f & de N = 31 , les .expresfions fuivantes des trois racines: 1 _5 X = 3- X (V— 31 + 9(30' — &O 8t K C|l) - 1 6 x = —s + (27-&c...-&c.) + V?L> 839 ) -}-o, 01003 X C242,1185) = 2,3447;x = 0,00312 X (— 26, 839) — o, 01003 X (242,1183) = — 2,5122. Mais les racines de la transformée fonc 3 . j/ 64, ou 4 fois trop petites; donc il faudra les toutes multiplier par 4, pour avoir les racines approchées de la pnpofée. 48. Voici, Monfieur, une autre méthode de rendre - les formules de folutions dans le cas réduclible plus fimples qu'cües ne font §. 5, 14 & 15; mais pour y p^rvenir, réfolvóns & démontrans le probleme fuivanr. Probleme. Etant donné une équation complette  §3 OPUSCULES d'un degré quelconque s, telle que celle - ci prife zéné- ralement, (P) x + ax -f bx 4. Cx -4- dx + &c. . . . + f = o, la transformer en une autre, dans laquelle le coëfficiënt d'un terme quelconque déligné, foit égal a un nombré donné r? Solution. II faut multiplier tous les termes, exccpté le premier de la propofée, par une fracf ion qui a pour numérateur le nombre donné r, & pour dénominateur Ie coëfficiënt que r doit remplacer; enfuite éleveï ces faéteurs des coëfficients de tous les termes, a commencer par le fecond, a des puifiancês telles que celles<:i forment une progreffion arithmétique croiffante , dont le premier terme & la raifon foyent le nombre de termes, qui dans une équation complette précède celutpourIequel on calcule. Les racines de Ia transformée font , le fa&eur du fecond terme de 1'équation complette fois plus grandes que celles de la propofée. Demons tration. Soit fuppofé que c'efl: Ie coëfficiënt b du troifième terme de la propofée (P), qu'on veut qui foit remplacé dans la transformée, par la quantité r • je multiplie tous les termes de notre équation par la quan- tité arbitrairement prife m; & j'ai mx + max »—> s—3 •—4 4- mbx + mcx + mdx -f- &c. . . . ,-r-mf = o. Chaffantle coëfficiënt mdu premier terme de cette dernière équation (ie. note du §. 36), j'ai la transformée , (q) x + max * + m"b x"_'* 3 s — 3 4 ï — 4 Tm cx -f" m dx + &c ■ + m f = o. Mais par les conditions du probleme, il faut quele coëfficiënt nu b du troifième terme m b« -  MATHÉMATIQUES. 59 de Ia transformée foit égal a r; donc m2 b = r, équation de laquelle je tire m = y jp = (g- )*: fubfil- tuant cette valeur de m dans tous les termes de la transformée (Q) qui en font affe&és , j'ai 1'équation * + (r)1 +(rb)lbxs~"a + (£)! cx + \^ f dx + &c. + . . . . . »4- (j*- f =5 os & enfin toutes réduéïions faites, s /f vi s -1 s a nous aurons (T) x + ax + rx -Kir)'" + +&c...... ,f f = o, c'efl: ce qu'il falloit trouver & dé- montrer. 40. Mais vous remarquerez, Monfieur, que dans la transformée (T), les racines font (jj-)3 fois plus gran- des que celles de la propofée (P) ; en effet par la transformation de cette dernière en 1'équation ( Q ~) ou 1'équation (T) , qui eft la réduite de celle (Q), on a rendu (T) x, m fois plus grand que (P)x; mais m = (—-^» donc (T)x = (P)x X (ff. ' 50. II eft évident, Monfieur, que ce que nous avons démontré pour le premier terme de notre propofé (P) aura lieu pour tous les autres termes; voyons donc a préfent 1'ufage que nous pourrons faire de ces transfurma-  co OPUSCULES tinns, pour fimplifier les formules de folutions des éqvar tions du troifième degré, dans les cas réduétible & irrédu&ible. Soic 1'équation générale du troifième degré fans fecond terme (A) x' + ax -f- b = o, que je veux transformer en une autre dans laquelle le coëfficiënt du fecond terme ax, foic remplacé par le nombre 3: pour opérer certe transformation, il ne faut, d'après cèque nous avons démontré §. 48, que multiplier le troifième terme b de lapropolée (A), qoi ne ftroicjque le quatrième d'cmé complette, par (1)*; c'eft- k- dire par ]/ ^-: ainfiia transformée fera x3 + 3X -f b ]/ BL = 0 ; ou, (B)x3-f-3X + K ijr- — o ; comparant identique- ment cette dernière équation avec la générale x3 -f3 p X + q = o , j'ai 3 p — 3 , donc p =: 1 , & q = V ^T? faifant pour abréger f = ïL±2, nous aurons q = yf; doncla formule générale dela première valeur toujours réelle de x, fera x = y (~2tl \ yÜjLï) s /— yf T~ ~ + y \ a 'K4 + 1 ) ) ou pks fimplcment Cette expreffion de la valeur toujours réelle de 1'inconnue dans route équation du troifième degré fans f cond terme qui eft la plus firrple qu'on püiffe trouver par la-transformation du §. 48 , a Tinconvenient, fi y f n'cfi m% une quantité commenfurable, d'avoir deux radicaux quar-  MATHÉMATIQUES. te yés de plus que dansl'expreffion primitive que nous avons trouvé a x §.5-, auffi n'eft-ilpas h propos de s'en fervir dans les cas réduftibles. 51. Mais dans les cas irréduétibles la transformation du §. 48 fert beaucoup a fimplifier les formules en féries des §. 14 & -15; en effet foit toujours 1'équation (A) X3 — ax -f- b = o , que nous fuppofons être dans le cas irréduétible, je la transforme én une autre dans laquelle le troifième terme b de la propofée, qui neferoit que le quatrième d'une complette, foit remplacé par le nombre 2; transformation qui, d'après la loi prefcrite §. 48 , s'opère en multipliant le fecond terme de la propofée — ax, qui ne feroit que le troifième d'une complette, par ou K (gr) » donc la trans" formée fera xs — a yQr) X x + 2 = o, ou plus fimplement x3 — y (-4bir) x + 2 = 0 » comparant identiquement cette équation avec la générale x3 + 3PX + q = o, j'ai 3p = — y (-^-) ; donc pa ss :^r; deplus j'ai -q= 2, donc 3_ — 1 & — = 1: ainfi puisque la propofée (A) efi fuppo- 4 fée dans le cas irréduétible, nous aurons m = -p— I, ce qui fimplifie beaucoup les formules des paragrapbes 14 & 15 dans les deux cas de m ±= 1 > n , ou < n; car elles deviendront dans Ie premier de ces deux cas 2 / 1 2 154 n3 , 6445 n4 \  OPUSCULES X = X C — -£43 — &c. . . 3 . — &c) 729 IöJ J x - ^Tf X 243 - &c. . . , - &c> 6 — £1.3 «2 x C— 243 + &c - &c> 729 52 Et fi 1 < n nous aurons x — —f~ X (27 - 1. + ?1 — Sec.) 8iJ/n n 9 n' — 1 j'ai a = 9, b = 3, donc p' == 'A* — 4 X 729 _ 2916 _ q» — ^1T9 243- II;&Ï ~ * 5- 51. ainfi n = ^- — p3 = 1 — 12 =r — ii & m = 1; introduifant cette valeur de n dans la formule en férie, de la première valeur de x, §. 5 2, paree que 1 < n = 11, nous aurons, x == ' ; X (27 - 4- ——— 8r Kir 11 ^>(/0' — &c.) ou en réduifant, x = 0,011 X (27 — 0,45 -f- 0,02 — êkc.) = 0,296; mais x de la transfbr- * 3 snée eft y\ fois trop grand , §. 49; donc la première  H OPUSCULES racine réelle de Ia propofée fera x = o, 296 X V\ — o, 34.^ D'oü je conclus que les deux autres racines de propofée font auffi a un centième prés x = — o 17 + 2,98; donc x = 2,81 & x = _ 3,15. LETTRE IV. Depuis ma dernière Lettre, Monfieur, j'ai découvert une nouvelle méthode pour réfoudre les équations du troifième degré, qui eft: infiniment fupérieure par fa fimplicité & fon élcgance h toutes celles connues jusqu'a préfente , ainfi que vous pourrez en juger quand vous la connoitrez. 3 3 55. Soit x = y c -f- y f, une des racines cherchées d'une équation du troifième degré fans fecond terme qu'on veut réfoudre; fi avec les quantités c & f prifes peur racines, c'eft-a- dire avec les équations fimples y — c.= o& y — f=o, je forme une équation du fecond degré, j'aurai celle-ci y2 — (c -f- f) y + cf = o, dans laquelle faifant pour plus de fimplicitéd = c -f- f & r =2 cf; j'aurai celle-ci ya — d y -f- r == o, que nous appellerons la réduite. Si a pré- 3 3 fent je cube la racine fuppofée x =. y c -f. y f, j'aurai x = c + f + 3, y e f -f 3 y c f *, ou 3 _ ce qui eft la même chofe xs = c -j- f -\~ 3 y c f X (Kc -f; pï). Mais x = y.c 4- y f, donc 3 _ *! = c + f + 3 Kct'Xx; transpofant tous les  MATHÉMATIQUES. fa les termes dans le premier raembre & ordonnanc par rapport a x, j*ai 1'équation du troifième degré 3 lans fecond terme xJ — 3 y cf X x — (c + f) — o s qui a certainement pour üne de fes racines x = y c 3 _|- y f, puisqu'elle en eft le cube; donc pour trouver les deux autres valeurs de x, je divife cette équation 3 xs — 3 J/ c f X X (c -f f) = o par farad™ ne connue x — (y c -f- V f); ce qui me donne 3 3 pour quotiënt 1'équation du fecond degré x2 + Q/ c + y f) 33 3 X -f- y c2 -f- y f* — y cf = o, qui réfolue par la méthode ordinaire du fecond degré me donnera pour I " 3 la valeur de fes deux racines, x = — ï ±y (- v co — v (f5) + v cf + j S 3 1/ (c*) + V Cf2) + 27/cf\ ou plus fimplement en 4 / réduifant x = — . . é » (pc+yï) -j- y C-3 y ( c)-- 3 K (f')+6 K (c f') ) 3 ou enfin ce qui eft la même chofe x — — . . . (Kc+Kf)+K-3x(KCcO + K(fa)-2KCcf)> ~ " a mais V y Cc2) + K(f') '^*V (cf)=/>c-f-J/f 'donc x = - (Kc + KO+CKc-KQ KC-3> 2 E  66 OPUSCULES Ainfi les deux dernières exprefilons de x dans notre équation du troifième degré, feront x = — (j!/c -f- yf) 2 y C-3) &x =- Cyc+yO 2 ~" ' + VKf — K cJi/C-r X x — d = o, cequi • me donnera r = p!&d=q; donc connoifiant les valeursde r&d, les introduifant dans 1'équation du fecond degré y' - d y -f r = o (*), qui alors eft la rédu-ite de Ia ( * ) En réfolvant la réduite y» — d y -f r C= o , j'ai d dl d d* ' a y = T± Vt — doncc=- + ^—_ r & f = d ^ 4 2 7/dl .' 3 3 3~d 7~d* \ - K-~r; ainfi xazyc+yf-y- + y(-„x) , M 7d* x ~T V 2 — y{^— r J: or, fi la propofée avoit été com« me dans Ie §. 2, J' + jpx + q^o, il eft évident que , par fa comparaifon identique avec 1'équation x3 — 3 pr X x — d — o , nous aurions e'u r — — p', d 'Os q ;  MATHÉMATIQUES. 6? propofée x3 — 3 px — q = o, nous auröns les valeurs de c & f, qui étancles élémencs des trois expreffions de x, me les feront toutes connoïtre. 56. Il eft évident, que, fi lés deux racines c&f de la • y ,3. réduitefont réelles, ii n'y aura que la première x = ]/c 3 ■ / ,■ -f- ]/ f de la propofée qui le fera; car les deux autres x = - (Pc + KO + Ckc - pi) V (-?^ .11—; . , 1 • • ,i a 1 feront imaginaires; puisque des quantités réelles, multipliées par d'imaginaires, donnent des produits imaginaires, & les expreffions des deux dernières valeurs de % feront dans ce cas-la, . . ; . ; . . ; x = - (Pc + P?)± Cv(-rtVc—y(-ï)yf) 2. c= — (pc-j-yn± (.v3ccv— 3)—P?fvi-3)) 2 3 .3 C 6 6 "\ = — (yc+y?) ± vy(—27c) - ^(-27 fp) a formule qui démontre de refte ce que nous venons de dire, que, quand c&f font des quantités réelles# la propofée h'én a qu'une de telle. rnetiarit donc ces valeurs de d & r dans la formule . • 3 d d3 " \ 3 d / dJ ~" x-y- + y{—~x)+y- ^y\^tYnous zuror,sT-p^ + y{$ + f) + p~^-y{ï+?)' ce qui eft la même première expreffion ds la. valeur de & , qü* «elle que nous avon« trouvée g. 5. E 2  68 OPUSCULES 57. Mais fi les deux racines c & f 'de la réduite font imaginaires, alors les trois de la propofée font réelles; car foit c = m + K(— n) & f = m — y^ — n) 3 ' 3 £ nous aurons x — y c -f- V£ — m + K ( — n J 3 -f- m — y (— n)3 = a m3 + ■—t r, 1 9mi 243 nrj -f- &c. Or il n'entre rien d'imaginaire dans cette exr preffion de la première valeur de x; donc elle eft réelle. 3 3 58. Quant aux deux fecondes — (|/c + KO 2 3 3 + (Vz — KO y~3> ^ eft évident que la pre- 2 3 3 miere partie — (J/c + KQ commune aux deux der- 2 nières expreffions de x , eft réelle, d'après ce que nous venons de démontrer §. 57 ; les fecondes parties Kir VJ KC-3) & Kf - Kc KC-3), 2 2 le feront auffi; car les dé veloppements dem-f- K (—n)j — ra -\~ y (_—n)3 forment des féries infinies dont tous les termes font affecfés de la quantité imaginaire y (— n); mais ils le font auffi de la quantité imaginaire y (_ — 3 ); donc tous les termes de ces féries auront pour facf eur commun y — n) X y ( — 3 ) = K 3 n, & par-conféquent ils feront tous réels; donc &c. 59. Les expreffions en fuites infinies des trois valeurs de x quand n < m2, feront, toute réductron faite, —- 2 m x = 3 f le refte comme dans la ir* valeur de s 243 y m1  MATHÉMATIQUES. m X = "5 (le refte comme dans la 2de valeur de 243 V m* x %. 14-) m x éz " 3 (Ie refte comme dans la 3me valeur 243 ]/ m* de x §. 14.) 60. Et fi n > m3, alors nous aurons les trois formules fuivantes: — g m X = 3 (le refte comme dans la i« valeur de 81 y n x S- 150 m x = 3 (le refte comme dans la valeur de 81 y n x $. 15-) m x = 3 (le refte comme dans la 3me valeur de 81 yn > 61. Si dans Ia propofée, le fecond terme etant néga- "tif, on a p3 =="- j alors cette équation xs — 3px 4 -4- q = 0, aura fes trois racines réelles & deux d'entFelles feront identiques & de mêmes fignes que le dernier terme q de la propofée; enfin les trois racines de celle-'ci ferontx = + a/^(j),x = + K(a), x - .4. J/). En effet la réduite de notre propofée étant y'-fdy-j-r^o, celle-ci réfolue me donne v - ipi-f K--r;rnais £ = £ & r = p*. 9 —• T 2 J-*\ 4 4 4 ? E 3  70 ©PUSCULES donc puisque ^- = p', il eft clair que y ~— r = oj 4 4 _ d_ d_ _ d donc y == -j- 2 j ainfi c = -f- a &f=-j-a~* donc c = f; ce qui me donne pour 1'expreflion de lai 3 3 première valeur de Pinconnue x = ]/ c + Kf 5i d celle-ci x=|ï^^ ou a caufe que q == d >, — 3 q x = + 2 jK~>;. De meme u eft évident, que, puisque y c =s ]/ fx 3 j 3 3 3 les dernièresparties Vc — j/ï yQ—^y, & V?-- Vc (—3) ^es deux dernières valeurs de-x s'évanoui- ■ r,ont , il ne leur reftera par-conféquent que la partie1 3 3 commune a toutes les deux —r (Vc -f y f) « 2 / s d .3 d\ 3d sq a. c'eft ce qu'il falloit trouver & démontrer. 62, De ce que nous avons démontré précédemmenr, il s'enfuitque, quand dans la propofée le fecond terme gpx eft pofitif, elle n'a qu'upe racine réelle; car alors je dernier terme r de la réduite eft négatif, ce qui affure que celle^ci a fes deux racines réelles & inégales, & parconféquent la propofée a deux racines imaginaires. Donc auffi lorsque dans une équation complette du troifième degré, le troifième terme. étant pofitif, fon coëfficiem; eft plus grand que le tiers du quarré de celui du fecond terme, ejuelques foit d'uillcuis iea fignes qui précédent le feqondj  MATHÉMATIQUES. 71 & quatrième termes , on eft fur que la propofée n'a qu'une racine réelle, $. 20. 6j. En comparant, Monfieur, cette méthode ici, pour réfoudre les équations du troifième degré , avec celle que je vous ai expliquée dans la dernière lettre.que j'ai eu 1'honneur de vous écrire; vous verrez combien la mienne eft fupérieure, car je fuis parvenu bien plustöt aux formules de folutions, qui, quoiqu'identiques avec celles du § 5, paroiflènt bien plus fimples: d'ailleurs 1'incertitude que nous avons faic ceder par les démonftrations des paragraphes 3 & 6, n'exifte pas par ma méthode, & elle eft en général bien plus fimple. Faifonsen 1'application fur les mêmes problêmes numériques, que dans la lettre III, afin que vous puifiiez comparer enfemble 1'ufage des deux méthodes. 64. Probleme I. Réfoudre 1'équation du troifième degré fans fecond terme x3 — 6 x -f 5 = o? En la comparant idenriquement avec 1'équation générale x3 — 3px — q = o, j'ai p = 2; donc r = p3 = 8, & q = - 9; donc d = q = — 9. Introduifant ces valeurs de r & d dans la réduite y1 — d y -f- r = o, j'ai celle-ci y" -f- 9y -f- 8 = o, laquelle réfolue me donne y = — - -!- y~ — 8 = — rL=L?; a — 4 ~ir~ donc c = — 1 & f = — 8: ainfi x = p c + p f = K(-0 + K(-8) = - 1 - 2 = _3; G3 .» 3 3 /z + y f ) + yc — yï y (—3) == - G/..C)...+...K (-8)) -f '2 E 4  f% OPUSCULES = 5 + V (-*3); &x = — (yc+yf)+yf.yQ ? 2 - —- ' V C-s) = i - 5 KC~3) a 2 65. Probleme II. Réfoudre 1'équation du troifième degré fans fecond terme x3 — 12 x -f 16=0? La comparant identiquement avec 1'équation générals x3 — 3PX - q = o , j'ai p = 4 , q = — 16.; donc p3 = 64 & ~ =. 64; ainfi d'après ce que nous avons démontré %. 61, x = 2 y — 4 x== _i/Jl 2 a 66. Probleme III. Réfoudre 1'équation x' — 18s r- 2g = 0? La comparant identiquement avec 1'équation générale X1 - 3px — q = o, j'ai p = 6, q — a8 j donc r = p3 — 216, & d rr^q = 28: ainfi la réduite eft v* — .28 y -f" 216 — o, qui réfolue me donne y = 14 + y 196 — 216 = 14 4. y (_ 20); donc la propofée eft dans le cas irréduétible : faifant m = 14', n = 20 , j'aurai , en introduifant ces valeurs de m & n dans les formules du §. 59, paree " 28 que n = 20 < nr = 196; x = 3 " 243 y C H > * (243+^F-&c.) =4,87 &c. 67.. II eft évident , Monfieur, qu'en faifant éprouver notre équation générale les transformations indiquées,  MATHÉMATIQUES. 73 §. 39 & ao , les valeurs de c & de f en feront plus fimples dans 'le cas réductible; car alors par la première de ces deux transformations , notre propofée x* — gpx — q = o, fera transformée en celle-ci x3 — x _ q = o (*); donc r == p3 =. ^ (t), d-~q: ainfi y = £L+K- — doncx=K c + J/'f a — 4 27 , ■ &c. Par la transformaiion du §. 40, vous verrez aifément que la réduite fera r_^_Y_ + r = 0 » de lacluelle Je tire y = \ + V \ — *'■> donc &c' Cetce derr"ère transfbrmationT dans le cas irrédüftible & que par-conféquent | < r, fimplifiera les formules en féries des trois valeurs de x, ainfi que nous favons vu, §. 41. 68. Cette dernière transformation dont nous venons de pa'rler dans le paragraphe précédent, & qui fimplifie les expreffions en fuites infinies des trois valeurs de x, pourra auffi par ma méthode , s'opérer fur la réduite y* - cj y -j- r — o , en rendant d, coëfficiënt du fecond terme , égal a 1'unité; ce que j'obtiendrai d'après la règle préfcrite §, 36, en divifant r par d% & enfuite multi- (*) II faut faire nttention que q de la transformée n'eft pas égal i q de la propofée, puisque par la transformation, q de la transformée eft égal a qde la propofée, divifépar V 2 7 P! 5-395 mais nous avons "toujours repréfenté le dernier terme par q. (f);Eh effet ceitc équation x3 - x — q = o. comparée i celle dont elle eft la transformée, mais .confidérée a préfent que comme une équation générale a laquelle on a comparé identiquement une autre de même efpèce qu'on veut réfoudre, me donne p zzz l; donc p3 SZ -U. ? F 5  7+ OPUSCULES pliant les fuites infinies, expreffions des racines de la réduite, par p% en effet par Ia transformation qu'on ft» eprouver a Ia réduite , on rend fès racines d fois trop petites: les racines cubiques des racines trouvées feront pd fois trop petites; ainfi pour les rendre n leur yraies valeurs il faudra les multiplier par p d> En voici un exemple. r y 69. Probleme. Réfoudre 1'équation du troifième degre X - 96 x + 64 == o par la transformation de fa réduite en une autre, dans laquelle le coëfficiënt du lecond terme eft remplacé par 1'unité ? En comparant la propofée avec Péquation générale Sl 3Faifantm=_i & n = -l1 4 * 4 > 6 me fervant des féries du §. 42, paree que ma = - < 31 ., . n — Jai> eny introduifant les valeurs de n == *L & N = 31, les expreffions numériques en féries infinies des trois valeurs de x telles que nous les avons trouvées §. 47; mais celles-ci feront p d = p 64 = 4 fois trop petites; donc pour les rendre a leurs vraies valeurs u faudra les multiplier par 4.  MATHÉMATIQUES. 75 70. La folution des équations du troifième degré dans le cas irréduftible par les formules en féries des paragraph?s 51 & 52, pourra auffi avoir lieu, par cette nouvelle méthode, en transformant la propofée en une autre équation dont le dernier terme foit 2 ; ou ce qui eft préférable, en transformant la réduite en une autre équation du fecond degré, dans laquelle d coëfficiënt du fecond terme dans la première réduite , fera remplacé par le nombre 2 dans la transformée; ce qu'on obtiendra aifément en multipliant le dernier terme r de la réduite par i- , d'après la règle préfcrite & démontrée §. 48: ainfi cette transformée de la réduite fera y2 — zy -{-~ = o; mais fes racines feront ~ fois trop grandes ; donc celles de la propofée du troifième degré,' qu'on aura réfolue par la transformation de la réduite, feront j/ ~ fois trop grandes : ainfi pour les ramener a leurs vraies valeurs, il faudra les divifer par V |-. 71. Probleme. Réfoudre 1'équation du troifième degré x3 — 9 x -f- 3 = 0 , qui eft dans le cas irréduftible, par la transformation de fa réduite en une autre, ■dans laquelle le coëfficiënt du fecond terme foit remplacé par Ie nombre 1 ? En comparant identiquement la propofée avec 1'équation générale x3 — 3px — q = 0, j'ai p = 3 , q — — 3; donc' r = p3 = 27&d = q^ — 3: ainfi la réduke eft y1 -f- 3 y -f 27 = o, & la transformée eft y2 + ay + 4~^" = 0 '■> 011 en rédui~ fant y2 -f- 2 y -f- 12 = o; celle-ci réfolue me donne y — — 1 -f- y ( — 10 > faifant m = — 1 &  ?C OPUSCULES n = ii j'ai pour la première valeur de x, en mefervant des féries du §. 15, a caufe que nr- = x < " =f ™ jai, dis-je, pour la première valeur de 1'inconnue i m nnllieme^près, x = o , mais celle-ci e| V f—y \ fois tr°P grande: donc la vraie valeur de X a un millième prés fera x = o, 296" X V - = &c* Cvoyez pour tous les réfultats le §. 53.) LETTRE V. Sije n'avois pas recu, Monfieur, votre denière lettre qui renferme la charmante méthode pour la rèfolution des équations du troifième degré, dont vous êtes 1'auteur; j auroiscru que celle que vous m'avez écrite auparavant I renfermoit tout ce qu'on peut attendre de plus complet dans ce genre-la. J y ai lu avec bien du plaifir tout ce que vous dites fur les équations de cette forme t3d + &c. • ce n'eft pas avec moins de fatisfaclion que j'ai viiTes trans' iormations ingenieufes que vous faites éprouver aux équations complettes d'une degré quelconque s §. *6 &lo & qui vous fervent k fimplifier les formules de folutions dans les équations du troifième degré fans fecond terme foit dans le cas réduétible ou dans le cas irréduétible' j ai meme avant de recevoir votre dernière lettre, trouve dans celle qui Ia précédoit, la route que vous fuiviez pour avoir les trois-expreffions de x, §. 5, fi fimpJe que j ai voulu men fervir, pourobtenir les expreffions générales des quatre valeurs de x dans les équations du quatrième degre fans fecond terme, telle que celle-ci prife généralement, x« + px» + qx + r\- 0; dPonQ  MATHÉMATIQUES. 77 eherché a combiner enfemble les équations y4 — i = ö & cy3 -f- fy2 + h y + x = o; mais bientöt je fuis tombé dans de calculs fi longs & fi compliqués, que, dégoüté de monentreprife, je P-aj entiérementabandonnée, & m'en fuis tenu a la méthode que donne Mr. Clairaut dans fes éléments d'Algèbre, dont j'ai parfaitement bien entendu la démonftration; mais rien dans ce genre-la & fur ce fujet n'égale en élégance & clarté, la méthode qu un de mes amis m'a appris & qu'il dit appartenir au fameux Leonard Euler , grand mathématicien. II eft malheureux que, fi cette méthode eft telle dans 1'ouvrage de 1'auteur, que ce qu'on m'en aappris, (ce dont on m'a affuré) elle foit privée de beaucoup d'avantages qu'ont les autres méthodes connues, ainfi que j'aurai 1'honneur de vous le faire remarquer a la fuite de ce que je vais vous en dire, qui eft, je vous afiure, tout ce que j'en fais. J'efpère que vous pourrez , Monfieur , lorsque vous connoïtrez cette charmante méthode, en développer tous les avantages qui échappent a mon peu de fcience, & que vous la rendrez auffi complette que toutes celles connues jusqu'a préfent. 72. Soit fuppofé que x = J/a-J-J/b -f- ]/ c eft une des racines , cherchée de 1'équation du quatrième degré, qu'on veut réfoudre;fi avec les quantités a,b,c, prifes pour racines, je forme une équation du troifième degré dont les équations fimples compofantes feront parconféquent y — a = o,y—b = o, y — c = 0; j'aurai celle-ci (A) y3 — my* -f- ny — s = o, dans laquelle m = a -f-b-j-c, n = ab-f-a'c -j-bc, s = abc: fik préfent je quarre la racine fuppofée x = J/a -f- Kb + //c, j'aurai x2 = a + b 4-c + 2//a.-[-2jk'b4-2 j/c ; mais a -f- b -j- c = m , donc xx = m-\-o,f/a-\- Qr leg trois racines de cette dernière font 50, a & 1; donc puisque q = 8o- eft pofitif, nous prendrons , pour nous coniormer a la règle démontrée §. 73, les quatre premières formules du §. 7a, & nous nurons x = v ïq + K2+Ki,x = K5o-K2-Fi; x = -J/5o v a -f- v1 ; x == — y50 _J_ j/2 _ yu Donc les quatre racines cherchées de la propofée, approchées aun cent millième prés, font 9, 48582; 4, 65686; «— 6,65686; — 7,48528. * LETTRE VI. Vous avez parfaitement bien fait, Monfieur , de ne pas vous obftmer a vouloir trouver 1'expreffion des quatre racines de 1'équation générale du quatrième degré x4 -f- px2 -f- qx -}- r — o , en combinant enfemble Jesdeux y<-i =Q & cys + fy» + hy + x = o; vous aunez, apres des calculs trè*-longs & très-penibles9  MATHÉMATIQUES. 83 óbtenu la réduite 64^ -f 32pf4 4Pa? fJ — q=o, — i6r5 dans laquelle il auroit fallu regarder f comme 1'inconnue; or cette réduite générale, la démonftration & le calcul de cette méthode étant beaucoup plus compliqués que dans celle de Car dan, vous avez eu raifon de donner la préférance a cette dernière: mais ainfi que vous, Monfieur , je trouve que celle-ci même n'approche pas en clarté & élégance la méthode de Mr. Euler. J'avoue que je n'en avois pas la moindre connoiflance, & je vous ai la plus grande obligation de me 1'avoir apprife ; jé veux vous en témolgner ma reconnoiffance en vous faifant, connoïtre tous les avantages que j'y ai trouvé renfermés , & qui rendent la théorie de cette charmante méthode infiniment fupérieure a celle fi généralement connue de Car* flan., 75. Le dernier terme de 1'équation du troifième degré ( A ) y3 — m y* -f- n y — s = o, que nous appele- ^rons auffi la réduite , ne peut jamais dans aucun cas être pofitif; car alors dans 1'équation s =•—•§. 72, le premier membre feroit négatif, ce qui efi: impoffible, puisque ^ quarré de -j- | ne peut qu'être pofitif. 76. Donc dans la réduite (A), le nombrejde racines pofitives doivent être en nombre impair, car fi elles étoienc en nombre pair, le dernier terme de 1'équation (A) feroit pofitif; ce qui ne peut être , d'après la démonftration du paragraphe précédent. Donc la réduite a toujours, ou toutes fes trois racines pofitives, ou feulement rien qu'une; mais elle ne peut les avoir toutes négstives, car alors ledernierterme.de la réduite feroit pofitif. 77. Lorsque dans la réduite. (A) toutes les racine3 font réelles & pofitives, il eil évident que toutes celles r s  OPUSCULES de la propofée (P) le feront ; puisqu'alors la formule générale x = + Ka + Kb + Kc , d'oü on tire ks expreffions des quatre valeurs cte x, ne contient rien d'imaginaire. 78. Lorsque dans la réduite (A) toutes les racines font réelles, inégales, & qu'il n'y en a qu'une de pofitive, toutes celles de la propofée ( P) font imaginaires. En effet, foit a, — b, — c; les trois racines de la réduite (A), la formule générale qui contient 1'expreffion des quatre valeurs de x dans la propofée (P) , fera x = + Ka + V ( — b) + K(-c), de laquelle on ne peut tirer que des expreffions imaginaires. 79. Ces quatre racines imaginaires feront exprimées par les quatre dernières formules du $. 72, fi dans la propofée le troifième terme qx eft pofitif, & par les quatre dernières fi q x eft négatif: avant de le prouver, démontrons le lemme fuivant. ■ Lemme. Sok d & h deux quantités inégales, je dis que V (— d2) X F(- h2) = — db; en effet y (- d2) X K(~h2) = K(d2 h'^demêmeKC — d2) X K C-h2; = Kd X K( — d)XKh XK(-h) -r=Kdh X Kdb;& = K( —dh) X K(-dh): or puisque dans 1'équation K C-— d2) X K (— h1) = y d2 h2 le denier membre eft le produitde deux quantités imaginaires, en la prenant encore comme produit des deux quantités imaginaires K (— dh) & KC — dh), nóus aurons KC~ dh) X K(—dh), = y d3 h* = — dh (*) Par-conféquent, puisque KC— b) X K C"~ O s= K bc: fi nous repréfentons par w, la racine quarrée ( *) Voyez la feconde note du J. 5.  MATHÉMATIQUES. 85 de bc, nous aurons K( — b) X K(~0 = - donc fi dans la propofée (P), | eft pofitif, & que par» conféquent Ks le foit auffi, il faudra prendre les quatre premières formules du §. 72, avec des fignes contraires devant Ka; c'eft-a-dire qu'il faudra prendre les quatre dernières, & vice verfd, fi -J- eft négatif; ce qui fe dé- montre de la même manière. 80. Quand la réduite (A) n'a qu'une racine pofitive, mais que les deux négatives font égales, & que par conféquent les trois racines de (A) font réelles (puisque deux racines imaginaires d'une même équation du troifième degré ne peuvent être égales entr'elles) alors la propofée n'a que deux racines réelles, & qui font toujours égales entr'elles & a la racine quarrée de la racine pofitive de la réduite. En effet, foit fuppofé que les trois racines de la réduite font a , — b , — b, alors la formule générale qui contient 1'expreffion des quatre valeurs de x, fera x = + Ka + K (- b) + K(— b); de laquelle on tire les huitformules fuivantes: x= Ka+K(-b)+K(-b), x=-Ka —K-b)—KC-b>, x= Ka-K(-b)-KC-b), x=-Ka+KC-b) + KC-b), x=-Ka-K(-b) + K(-b), Ka + K(-b)-K(-b), x=-Ka+K(-b)-K(-b); x= Ka-KC-b;+KC-b); ou en réduifantx=Ka + 2KC-b),x = -Ka—2K(-b), x=-Ka, x = Ka, x=-Ka; x = Ka; Ces huit dernières formules démontrent de refte 1'énoncé de cette propofition. 81. Dans le cas dont nous parions, les deux racines réelles & égales entr'elles de la propofée feront poft. F 3  OPUSCULES tjves quand Ie troifième terme qx efi: négatif, & né^atives quand ce même troifième terme qx de la propofée eft pofitif: car puisque la réduite (A) a deux racines 'négatives, les quatre premières formules du §. 80 feront, les expreflions de x, quand 2. eft négatif; 6? vice verfa quand | eft pofitif, §.79 donc dans le premier cas de ^ négatif, c'eft-a-dire de qx pofitif, les racines réelles de Ia propofée feront — jya & — Ka; &dansle fecond de |- pofidf, c'eft-a-dire de qx négatif, 'os deux racines réelles de la propofée feront Ka & K>. 82. Avant d aller plus loin, réfolvons & démontrons les -ux problêmes fuivants , qui font néceffaires pour 1Y tëlligênce de ce qui nous refte a dire. * Problf.mii L Etant donné les deux binomes f + V ( - d), trpuver fexpreffion de leurs racines quarréës en quantités finies'? (*) La démonftration dans ce cas ici eft encore plus fimple Ijiié oans celui du %: 79. En efFvt puisque s .= a X — b X — b, on aura Ks = Ka X K(— b) X K(— b); mais y ( — b) X K t—'bj z=. Kb3 = — b (2 Nous appelons radicaux du fecond, troifième, quatrième #c. ordre, ceux qui feront eux mêmes fousun, deux, iro ■• &c. ladicaux du même expofmt; ainfi, dans le cas préfent yt*4- d eft un radical du fecond ordre, & par-conféquent ceux qui erabraffent en entier les valeurs de h & x, font des radicaux da |jrermer ordre. " ' -  MATHÉMATIQUES. 89 cèdentles radicaux du premier ordre, c'eft-a-dire les valeurs "entiërcs de h & de k , il eft évident qu'ils feront tous les deux pofitifs il f & V C— d ) le font; & il feront en oppofuion, quand V (— d) eft négatif; car h + k, ou — h k, font également les racines quarrées de h3 + 2 h k + xa: & h — k; ou — h -f- k font égalemént les racines quarrées de h3 — 2 h k + k3 j donc f + K(— = K^f+ K f3 + d) + K (j - V fl + d) i &;t- //( - dj3 ^ 83. Probleme II. Etant donné les deux binomes f_L. y (_ d), trouver 1'expreffion de leurs racines quarrées en quantités finies ? Soit fuppofé que h j- k. = V — f + K( — d> & par-coiféquenth3 + 2h k + k* = — f -f- K(-d)> ie tire de cette dernière équation les deux fuivantes, (E) h3 + k1 = — f & ahK — \/ ( — d); de cette dernière tirantla valeur de h, j'ai h == Y 7^ i donc h' - ~-4-: ainfi 1'équation (E) devient, après que 4 K. . j'R. titiplié tous les termes par k3, tranfpofé & ordonné ar rapport a k ; . . . • • -j- f k3 = i;dönc,3=^+^ftA & K = + 4 ' 2 — 2 — y _|_ V f 'a+ d ) : introduifant la valeur de £ dans 1'équation (E), j'ai, après avoir transpofé, F 5  S>° OPUSCULES h' — —f -r y'f2 + d j 1/ f.+ K t' + CtN .. - ^ l £ ' y Ainfi en ne prenanc que les fignes fupérieurs des radicaux du fecond ordre, & les convenables du dernier radical du premier ordre, nous aurons h + K é k( ~f~^f2+d)+j/(zzl+yj[±}^ - donc, - f +7?xrd)ï_j/(ril — VJl+d) + ^ * V, & — f-kc- d)a =^("f"jrf'"i"(i- k(^f+yïi+a). 84. Si dans la réduite ca) -toutes les racines font pofitives, mais quil y en ak deux d'imaginaires, & qu'enfin clles foient a & f + y (_ d f, ]e dis qu\lo?s \ 1- piopoiee a aeux racines réelles & deux imaginaires. f T0,// S^r°ï racines de la réduite CA) étant a, f + K (- d) & f - // (_ d) , Ja formule génerale qui contient 1'expreffion des quatre racines de 1'inconnue, fera x = + yz _j_ y (f _^ K(-d)), i V — Vc— d)), de laquelle je tire al'ordinaire les huit fuivantes: x = Ka + (f+77^3; + f _k(_d};) * = Ka - Cr-FVC^dy + t~y(-4)è x==:~ya r ijz^-z^f _ yï^-éf) fx=:-Ka + Cf + y(^d~f - fzrpx^y)  MATHÉMATIQUES. $i &x=-J/a- ClWWTptV + f-K(-d)0 x= Ka+ Cf+yc--4^ - f-KC-dy) x= ya- Cf+ KC-d)2 — f=-K(~d)0 i i Or ndus avons vu §. 82, que f _L. K_(~_d)* = K (Ii£EO) + - ( i^f-Ö) & que f — K (j^O_ = K ^ 1 *' y ( f-Kf' + l . donc r+ K ( — dj1 + f—px^Td)' = K O f + » Kf1 + O, & fif yc**$y — t^c-co^KC^Kr+d): donc les huit formules ci-delfus deviendront, x= Ka + KCaf+sKf, + d)» x = Ka — KOf + aK fa + d)>', X - -Ka — K(af " ^ K fa + d), ■ x=-Ka + KOf — aKf2 + d); & x =-Ka - K(af + aK^M)' x = -Ka + K( af + *Kf' + .<})_> x = Ka + K( af- aKlïl+ii' X = Ka - KCaf - a Kf2 + d> Enexaminant ces huk formules, on voit aifément que les deux ipremières valeurs de x dans 1'un & 1 autre cas  9* OPUSCULES de + f font rée»es; c'eft évident: mais que les deux dernières dans les deux mêmes cas de + | font imaginaires, car f < V f * + d (*)- donc ïf-a^ÏÏ+d eit une quantité négative , par-conféquent V ( 2 f "t d) eft une quantité imaginaire: c'eft ce quil falloit démontrer. 85. Si la réduite (A) n'a que fa racine réelle de poiitive ceft-a-dire que les deux imaginaires foient 1 X y C— dj; alors la propofée (P) aura, ainfi que dans le paragraphe précédent , deux racines réelles ot deux imaginaires. Lestroisracir.es de la propofée étant a, — f-fKf-d)., L""^ (~~ d), la formule générale qui contient 1'cxpreiiion des quatre valeurs de x dans la propofée fera X = ±ya + V(_i + y(__ d)F} £ f Z~ V (~ d))i de laquelle je tire al'ordinaire les huit fimples fuivantes: (*) En efFet.il eft clair qu'on ne peut avoir f <; f* _|_ j. de même ii eft impollible que f== yW+^; car pour que cela fut, il faudroic que d = o & alors f + y (_ d) qui fe Téduiroit a f feulement, ne feroit plus une expreffion imsginaidlmom 9UI " conditio'is de la propofition que\>ut  MATHÉMATIQUE S.5' x=-Ka-(-f+KF"dy - - f-K(-d/)» &X=-Ka - C-f+KC-d/ + r-f-KC-d')"vj x = -Ka + C-f+KC-d)1 + -f-KC-d')p> x= Ka + C-t + KC-d)' - ^TrTd)2^ I x= Ka - Giq^7?^dy - rrTKTTdiO-1 Or, nous avons vu §. 83, que ~ 1+ V & que ^Vt^ =V{^~KV+") _ K ( -f+Kf'+dy donc (_ f + KC_d/» , "f^l7T^d)0 = V (-air'a aKf^+d) T ______ i _A &(-_t4-KC-d"33 : f - K(-d)^ __ jz ( _ af + la + d ); ainfi les huit formules précédemes deviendront x= j/a + K (- 3 f - a'Kf' Hrd) x = -Ka + KC- af + aKf3 '+ d> x = - Ka + K C- 2 f ~ 2 K fa + d) k s= Ka 4- K(— 2f +?-K^M7^-  §* OPUSCULES IJI eft aifé de voir, Monfieur, que de ces huit formules , les deux premières valeurs dé x dans 1'un & fautre cas de + qx font imaginaires, & que les deux dernières font réelles , car f < y f ^ + d ; donc —_ 2 f + 2 y f« + d, eft une quantité réelle: ce qu. demontre la propofition énoncée dans ce paraeraphe 86. En examinant attentivement, Monfieur, tout ce que vous & moi avons dit fur la théorie des équations du quatrième degré, nousconclurons, A qüe lorsque la réduite a tori fes termesalternativement pofitifs & négadfs la propofée (P ) ne peut avoir toutes fes racines im Jinaires • cnr fi les trois racines de (A; font toutes réelles, eet les de (P; le feront auffi toutes, $.?r, & fi des racines de Ia réduite (A) il y en a deux tfimaginaires, la pofee (P) en aura alors feulement deux de réelles (5. ' 87. 2°. Que, quand dans Ia réduite CA.) il v a fucceflion de memes fignes, la propofée ne peut avoir toutes les racines reelies; car alors, fi toutes celles de (A~) •font réelles & inégales,y enayantde néceffité deux de né- r?r?'8o* ?Ö' CdleS ^ W f0rOnt t0WeS iniaginai" Mais fi les deux négatives de Ia réduite font égales ou quelles foient imaginaires , alors la propofée én a ■deux de reelies & deux d'imaginaires, §. 80 & 8, & par-conféquent les dix de y, compris les deux + 1; d'oü on voit qu'on peut toujours trouver les quarante valeurs de t dans 1'équation du quarantième degré 4 X 10 3 X 10 2 X 10 , 10 t + at -f- bt _+ ct +f=o. I , & a les racines quarrées deab, ac, bc; nous aurons Kab —> - S Fac = - & J/bc = —. a S. 79; donc (Kf-aj +^C~b) + KC-c)> = - Ca -t"b + cH-2» + 2cr-f-2A); ou pour Gmplifier* en faifant, a + b + c + a«-fa «/>.+ 2x =" m, nous aurons O^C — a) + V(— b) -f V Q~ c)> = — m; donc V(— a) + KC— b} -f- y(-c) =K  MATHÉMATIQUES; |i f- K(— m): c'efl: ce qu'il falloit trouver & dêmon- tteï- r, r r 93. Si le polynome propofé avoit tous fes termes at- feftés de radicaux dont les expofants communs feroiehfc 4, ou 6, ou8, &c.on opéreroitde même; car,puisque 4, 6, 8, &c. font expofentiellement les fecondes, troifièmes, quatrièmes, &c. puiffances dei, il eft évident qu'on poürra toujours ramëner le polynome propofé"k un autre de méme nature que celui de 1'exemple précédent, c'eft-a-dire dont tous les termes feront affeétés de radicaux quarrés; & par-conféquent de même, la réduire a un monome imaginaire. Eri voici, Monfieur, quelques exemples. Soit propofé de réduire Ie binome imaginaire K(-a) 4. j/ (_ b) hun fimple monome imaginaire? en le quarrant, j'ai f K(-a) + VC- b))- == vT* . + aKab + Vb*; mais Ka* = V Q*- O (*)* Kb* = V C — b ) ■> & en appelant u la racine quarrêe 4 * (*) En effet, ici V (a») eft le'produit de K ( — a) X T/f —a); dönc Ka* = K K(—a) X K J/H) = p()/'(-OX^H))i mais K( —OX KC-a) 4 4i |= *j a donc KaI — K ( — a)> dernémè Ka& eft le pró- '4 4 .4 . , duitde Kr— O X V^h); donc Kab = KK(~a) x y y ( _ o) = j/(K(-a) X K(-b)); mais 7/ (—a) X K( b) = — » (en appelant toujours * la . 4 raeine quafrée de ab}, donc Kab' == K ( — *')•' G *  $8 OPUSCULES de ab, ... 2 Kab = 2 K( —«); donc a) + K(~ b)> =F(-a)-rK(-4«) + KC-b): quarrant ce quarré, qui efl: dans le même cas que le tnnome du paragraphe précédent, nous aurons (W-a) +/("4») + VC- b)> = - m; donc C^C-O + ^(-b)> = -m,&K(-a) 6 6 94. ^ Soit le binome (— a) + (—b) qu'on veut réduire a uri fimple monome imaginaire; je fais at- tention que F(~a) - V ( y (_a) ) & que ^C-b) = K(KC-b)); or fürement K(~0 & K (—b) font deux quantités négatives,- donc , enfai- ^ 3 fint y (— a) = _ „ & y ( — b) -: — J>, nö'tre binome propofé fe réduit a celui-ci, K (— »5 + K C— O» qui eft dans le même cas que le polynome du §. 92, & peut fe réduire de la même manière a un fimple monome imaginaire. 95. Soit pour quatrième & dernier exemple le binome y (— a) -J- y ( — b) qu'on veut réduire a un fimpie monome imaginaire; je fais attention que K(~a) = FCK(-a))6kqueKC-b) = K(K(-b)); donc (KC-a) -f y (-b)> = y (_a) + 4 4 K (16" //ab) -f y ( —b); & en rcpréfentant par « la racine quarrée de ab, on aura 'y&b = — donc CKC-a) + y(-bj y /V (-a) + "  mathémAtiqu es. y (—i6c*j -f y ( — b); mais d'après Texernpie dü 5* 93, KC-O + KC-i6w) + K(-b) ^(-m); donc (KC"3) + KC~*0> = — m) & par-conféquent K( — a) -f b) 8 —: j/ ( —m). 96 Après avoir pair ces différents exemples particuliarifé la folution générale du problême éuoncé dans le §. 92, je vous ferai remarquer, Monfieur, que le binö1Tiel/( —a) + J^C-b) ctani: q113"6» donne évidemmentpour produit une quantité rationnelle négative, puisquen repréfentant toujours par « la racine quarrée de ab , noüs aurons ( VC—a) + V{ — b))1 =: — a —< s w — b; mais fi le binome qu'il s'agit de réduire a un fimple monome imaginaire eft V(—a) — V (j-^bï), On a ( V ( —a) — ( — b)> = -a + 2» —^b; or il paroic au premier coup d'oeil que 2 w pcurroit être plus grand que a + b, & qü'alors — a -f 2 *> — bi étant une quantité pofitive, fa repréfentation m le feroit auffi, & que par-conféquent le monome auquel on réduiroit le binome propofé, feroit la quantité réelle V m; & qu'ainfi une quantité imaginaire pourroit fe réduire a une réelle. Mais, Monfieur, cela ne peut pas être; car il eft impoflible que 2 » > a + b, il ne pourroit que lui être égal fi a = b ; ce qui rendroit le binome en queftion y (— a) — V (—• b) == o; autrement fi a ^ b, ii . eft évident que a « < a + b. Ën 'effet puisque b, ou que a < b, la quantité K ( 2 « ~ (a + b) ) fera toujours imaginaire. 97- M ne nous refte plus, Monfieur, qu'a faire des applications de notre théorie fur des équations numériques du quatrième degré. Probleme I. Réfoudre 1'équation x4 + io« * - 80 x + 2409 (f)? En la comparant identiquement avec 1'équation généraleJP) x4 — px> — qx — r =5 o,. j'ai p = — 102, q — 80, r = 2409 ; introduifant ces valeurs de P, q, r dans les équations m = p-,n = ^-4- — 2- 16 1 4 & s — ü' i'ft; m — 102 10404 « s — 64 » J ai m — ■— 51, n = 2409 „ 6400 — 4rf? s — -gr- = 100; mettant ces valeurs de m, n, s dans la réduite (A) ys — mys -f ny — s =: o, j'ai ys -f- 51 y* -f. 48 y — 100 ==: o: a la fimple infpecfion de cette réduite je vois qu'elle doit avoir de néceffité deux racines négatives, $. 76, & que (*) Ccci eft fondé fur ce que Ie quarré des nombres en fuite naturelle augmentent li fort entr'eux, que leurs différences feules forment une progreffion arithmétique croiffantc dont Ia raifon .eft 2; c'eft le feul rapport direct qu'on puiiTe affigner entre ces quarrés. (10 Je ne donne pas ici d'exemples pour Ie cas oh Ia réduite,, ayant toutes fes racines réelles &'pofitives, la propofée les al toutes réelles, paree qu'il y en a déja un exemple $. 74.  MATHÉMATIQUES. 101 i la propofée ne peut avoir fes quatre racines réelles, §. , 87 (j'auroispu porter le même jugement fur cecte propofée, rien qu'a fa fimple infpeétion §. 88): en réfolyant la réduite, je trouve que fes trois racines font 1, — 2 , — 50 ; donc les quatre racines de la propofée font imaginaires §. 78. Pour avoir leurs valeurs , je prendrai les quatres dernières formules §.72, ainfi que c'efl: prefcrit §. 79; car le troifième terme de notre propofée efl: négatif; j'aurai donc x == — K 1 -f- CK(-O+K(-5<0) & x = Ki -KKC~0 —- y (— 50)); réduifant les binomes imaginaires qui* entrent dans les valeurs de x en monomes imaginaires par la méthode prefcrite & démontrée §. 92, & fuivants je trouve que KC-"2) + KC—5°) = KC~7a) &queK(— 2) — KC— 5°) = KC~1 32); donc les quatre vraies valeurs de x toutes imaginaires , font f--i± K(-70 & x = 1 +KC-30- jj 98. Probleme II. Réfoudre 1'équation du quatrième degré fans fecond terme x4 — 196 x;— 80x -\- 10400? : La comparant identiquement avec 1'équation généTale (P), j'ai p — 196, q =: 80, r = — 10400; introduifant ces valeurs de p, q, r dans les équations in = - , n = P- + — & s = 3_ , j'ai, toute ré2 16 ' 4 64 J duftion faite, m =: 98 , n = — 199 & s 3= 100; par-conféquent la réduite CA) fera, en y fubftitituant ces valeurs de m , n , s . . . y3 — 98 y2 —- 199 y — 100 =s o; qui m'annonce que la propofée ne peut avoir toutes fes racines réelles §. 87: les trois racines de la réduite font 100, — 1, —, 1; donc la propofée dok avoir deux racines réelles & deux imaginaires , de plus les deux premières doivent être égales entr'elles & a J/ xoo =10 (§. 80 & 81); on trouvera par le moyen des quatre dernières formules du §. 89 (paree que q eft pofitif §, 81) que les quatre expreffions de x O 3  toi OPUSCULES font x — — ylöö + 2 VC— i), x = /vTcV^ x = V 100; ou en rédqifant x = — 10 -f- KC— 4) §c x = 10, x = 10. Si la propofée avoir. été x4 — 196 x' -{- 80 x + 10400 =: o, la réduite auroit toujours été la même que: dans 1'exemple précédent; mais les racines de la propofée: auroient changé de valeurs, paree qu'alors le troifième: terme étant pofitif, il auroit fallu prendre les quatre premières formules du §. 80 , ce qui m'auroit donné! X = 10 + K(-4,), x = — 10, x = — 10. $9. Probleme UI. Réfoudre 1'équation x4 — 38, %' — 80 x — iii = o? La comparant identiquement avec 1'équation générale (P) , j'ai p = 38 , q = 80 , r = in 5l donc m = t = lp, n _. g. + L _ ll$ &< 9 = ^ — 100 '■> d'oü je conclus que la réduite eft y3 — 19 ya -f- 118 y -* 100 = o; les trois racines de celle-ci font 1 & 9 -j- V (— 19); donc la propofée a deux racines réelles & deux imaginaires , §. 84 j lesquelles feront, en prenant les quatre premières formu-. lus du g. 84, (paree que le troifième terme de la propofée eft pofitif §. 73 ; ét en faifant f + J/( —d) = a x= V \ + V (18 -f- 2 KiT+ "19), x = Ki — K (18 + 2 // bi -f- 19), % = — ]/x — y (18 —- 2 /V8f + 19), •x = — Ki+K(i8 — 2 |/"8i + 19); Ou toute réduefion faite | X = 1 + ^387 x = i — y^s.y  M A T H É M ATIQUES. 103 x = — i — x = - i + kc-2); donc les deux racines réelles de la propofée a un millionième prés feront, x = 7, 164415 & x = —■ •5,164415. 100. Probleme IV. Réfoudre 1'équation du quatrième degré fans fecond terme x« — x5 — 8 x — ^ = o? En la comparant identiquement avec 1'équation générale (P), j'ai p = i,q = 8,r = ^; donc m _ E — I n_p_5i_L_a — I. s _ ü! 2 ü ' l6 ' 4 l6 2 ' 64 = ^'== 1 : la réduite de notre propofée fera y3 — i ya _|_ I y „ ! _ 0. qU} réf0lue, me donne pour la valeur de fes trois racines 1, & —LiJri^,... I^» 4^ ' 'donc a = 1, & — f + y (—d) = — % + ^ftS^,5 fublHtuant ces valeurs de a &]—'f + ( — d) dans les quatre dernières formules du §. 85, paree que les deux racines imaginaires de la réduite lont ncganves, & que le troifième terme de la propofée efl: négatif §. 73, nous aurons x =1 — y 1 -f- //(— j~ -— " a y' ij &x= + -~ + 2J/1); ou en.réduifant,x ~ — i±V& x = 1 + k( f- )5 G 4  ïc4 OPUSCULES donc les deux racines réelles de Ia propofée a un milliot mème prés feronc x = 2,224745 & x = _. 0 . 224745, 5 101. Remarque. II peut, Monfieur, réfultej de notre. théorie fur la rèfolution des équations du qua^ tneme degré, lorsqu'eüe eft mife en pratique, un inconvément qui en rendroit 1'ufage d'une longueur fatiguante: ce qui mettroit en quejque forte notre méthode au deflbus «Je celle de Mr. Clairaut * fi nous n'y obvions pas ' Soit la propofée (M) x^- Ax' + Bx+ f)-0 quon veut réfoudre; par fa comparaifon identique avec 1 équation générale (P) ^ - px3 - qx - r = q 3ai p = - A, q = - B & r = - D; donc m == £ = HA, n = Pi . r_ ._ A' d AJ — 4D „ n» B2 a T6- > & » - | = r4 * " f > A2 4D „ B* • Ï6 a 04 vnt trois quantités ■ incommenfura- bles (*), alors la réduite de notre propofée, qui eft *3 j- ^,-j.a' — 4D Ba * T iy T iö y"~64 == °' deviendïa enchas- fant les dénominateurs & enfuite Ie ccëfEcient du premier terme f- ...(Q) f -f- 32 A y2 + (256 A2 — 1024 V'-V. T 405)4 B* — °> équation dans laquelle y eft' 64 fois plus grand que y dans la première réduite, & qm eft fort longue a réfoudre a caufe de la grandeur dos ———, ; (*) Quand même.il n'y auroit que deux pn une feuje de ces trois quantités incommenfurables, le même inconvenient exiftcrolt; moms fort a la verité, car les coëfficients de (q) auementent en grandenrs è mefure que la réduite de ( U) a davarW 4»e coeffioents. fraftionnaires.• ■ ■ * -  M AT H É M AT IQ U E S, 105 coefficients. Cet inconvénient ne fe rencontreroit pas par Ia méthode indiquée dans 1'Algèbre de Mr. Clairaut; car en s'en fervant, la réduite de notre propofée (M) feroit (N) y6 + aA y4 + A2 1 y1 — = 0; — 4D3 beaucoup plus fimple a réfoudre que Ia nötre (Q). Voyons donc, Monfieur, de faire dispa/oïtre cet inconvénient, afin que notre méthode n'ait jamais 1'infériorité fur toutes les autres connues. Pour parvenir a femplir cet objet, je multiplie le feH eond, troifième, quatrième terme de la propofée (M) par la feconde, troifième, quatrième puiflance de 2, 'c'eö-a-dire par 4, 8, 16; ce qui nous donne la transformée (R) x4 + 4AX1 + 8Bx + 16 D = o; dans laquelle x efi: deux fois plus grand que dans ( M ) ; } car en multipliai|t,.tous les termes de celle-ci par 2, on aura 1'équation (S) 2x4 + 2 Axa + 2Bx -f- 2D =0, qui efl: égale a celle ( M ); mais en chaffant de ( S ) le coëfficiënt 2 du premier terme x4, nous aurons 1'équation (R) dans laquelle x eft deux fois plus grand que dans (S) & par conféquent que dans (M). En comparant identiquement 1'équation (R) avec la générale (P), nous aurons p .==.vr- 4A, q = — 8B, r == — ióD; donc m = — 2A, n = ^6 + ~ =sAj —4D .& s = > = B3: introduifant ces valeurs dem, n & 64 s dans la réduite générale ( A ) y3 — my1 -f- nY :— s — o, nous aurons pour cèlle de 1'équation (R), (T) y3 + 2Ay= + A2 ? y — BJ = o ; laquelle eft parfaitement égale a la réduite (N ), fi ce n'eft que (N) y= yjTjy ( *)'■> c'eft ce qu'il falloit trouver. (*) II faut faire attention que (N) & (T) n'entrent pour G 5  Iif6 OPUSCULES 102. L'identicé qui regne encre la réduite (N) & fa réduite (T), du moins dans les coëfficients de l'inconnue, ma donné le defir de démontrer l'identité des expreffions de x par la méthode de M'. Clairaut & par la notre. r Nous favons que par la première de ces deux méthodes, la formulej générale expreffion des quatre valeurs en y introduifant les valeurs dep = A& q = Bpar la méthode de Mr. Clairaui , devient x = 4- V. 4. 1/ (— y2 — a —b\ . 1' r V 4 ~T" 4* ITyV» mais Par notre méthode, en appelant a, b, c les trois racines dê'la réduite (T\ 1 expreffion générale des quatre valeurs de x dans féquation (R) fera x = + ya ± yh + yQ. ^ (R) x eft deux fois plus grand que (M)x~; donc 1'expreffion generale des quatre valeurs de x dans la propofée donc il fautprou- ver que + — + K — a a j,/aJ — X a •j. Kb _i Effacant dans les deux membres de cette dernière équation les termes égauxHh -g-, j'ai + | t A —B n . Kb 4. K? . mais A coëfficiënt du fecond terme de la propofée (M), qui n'eft que le troifième terme d'une équation complette, eft égal a la fomme des fix produits des quatres racines de la propofée (M) muldpliées dejdeux en deux ; or en effectuant ces multiplications & additions, foit qu'on prenne les quatre racines dans le cas oü le troifième terme de la propoiée efl: négatif ou dans le cas contraire, on trouve toujours que A = - (f + \ + \ ): ^ même B coëfficiënt du troifième terme de la propofée , qui ne feroit que le quatrième terme d'une complette, eft égal a la fomme • des'quatre produits des quatre racines de 1'équation (M) multipliées de trois; en effecluant ces multiplications & additions, foit qu'on prenne les quatre racines dans le. cas oü le troifième terme de la propofée eft négatif, ou dans le cas contraire , on trouve toujours B — Kabc» donc en introduifant ces valeurs de A & B dans 1 equa-  io8 OPUSCULES tioa + ]/ C~-a —A jr —— \ — jl Vb i Vc nous aurons , + /~la -f- L 4. ^ , c , ^4 4 4 4 X ^abcv _ j Kb , ^"c ^ ij/a/ - 7" Effacant dans le premier membre les quantités égales qui ont des fignesoppofés, & faifant attention que — V* X Vb X Vc = -„b-c, nous ayrqns + + ~ 4- ^bc> _ 2 — 4 4 — 2 J — + *Y i ^ Réduifant le binome qui forme le fecond membre de cette équation h une expresfion qui foit toute entière fous un feui radical , nous aurons y + - ~\- l^S\ ^4 4 x 2 ; — V (4" + 4 X rftf)* équation identique; c'eft ce qu'il falloit trouver & démontrer. Tel eft, Monfieur, 1'avantage des fciences mathématiques fur toutes les autres, c'eft que toujours éclairé par le flambeau de la vérité, on va par des routes qui paroisfent beaucoup différer entr'elles, a un même point oü fiege 1 evidence : c'eft donc au plus adroit a trouver les « routes les plus fimples. ; 103. Comme il eft trcs-probable que dans 'une équation du quatrième degré qu'on veut réfoudre, une des trois quantités A , ', g eft incommenfurabl§;  MATHÉMATIQUES. 109 il faut préférablement fe fervir de la réduite (T), §. 101; & alors il efl: elair que, fi les trois racines de celleci font réelles, inégales, telles que celles-ci, a, b, c; + Ka + Vb + Vz on aura x = = — = . 2 104. Si les trois racines de la réduite étant réelles, il y en a deux de négatives, mais égales; alors d'après les démonftrations des paragraphes 80 & 101, nous aurons x = -~fa, x = x = Ks ± K(-b); ce qui font les quatre valeurs de x, quand dans la propofée (M) le troifième terme Bx eft pofitif; & fi ce même troifième terme eft négatif, alors on a , x = 2 2 7 2 -!— r > 105. Si les trois racines de la réduite font pofitives, mais qu'il y en ait deux d'imaginaires ; alors d'après les démonftrations des paragraphes 82 & 101, nous aurons les huit formules fuivantes, expreffions des quatre valeurs dex, dans lecas oü le troifième terme de la propofée eft négatif, & dans celui oüce même troifième terme eft pofitif, 106. Si des trois racines de la réduite (T)- il n'y en a qu'une de pofitive qui eft la réelle, & que les deux né-  ÏIO OPUSCULES gatives foient imaginaires; alors d'après'les démonftrations des paragraphes 83 & 101 nous aurons les formules fuivantes, expreffions de x, dans les deux cas du troifième terme de la propofée pofitif & négatif, & * =- + ^-f-Kf+jU - — \ 2 / 107. II eft aifé d'obferver, Monfieur, que les analogies exiftantes entre 1'équation du quatrième degré (P) & fa réduite CA), démontrées §. 75 & fuivants exiilent auffi entre 1'équation (M) & la réduite (T); car celle-ci eft la réduite de 1'équation CR)» laquelle eft de même efpèce que 1'équation CM): or nous avons identifié enfemble les équations CR) ^CP^S^oi» & c'eft par cette comparaifon identique que nous avons formé la réduite (T), qui par-conféquent doit être identique avec la réduite C^),' donc puisque CR) = (P) & que CT) = (A), nous aurons CR) ou (M) (qui eft de même nature) eft a CT), comme (P) eft a CA). 108. Probleme I. Réfoudre 1'équation x4 — ?x* -f 8x — 2 = o? Par la comparaifon identique de cette propofée avec 1'équation générale (M), j'ai A = — 7, B =r 8 & D = 2; introduifant ces valeurs de A, B, D dans la réduite CT), j'ai y* — 14 y» 4. 57y - 64 = o; les trois racines de cette dernière qui eft dans le cas irré-  MA THÉMATIQUES. ffl duótible, font a un millième pres y = 7,627; y = 4, 51.5; y == 1, 859: celles-ci étant toutes réelles & pofitives, il eft clair que notre propofée aura toutes fes racines réelles; &a caufeque fon troifième terme eftjpofitif, nous aurons, en prenant de la formule générale §, 103 les quatre fimples, dans lesquelles les radicaux négatifs font en nombre impair, & en y fubftituant les valeurs numériques de a, b & c, nous aurons, dis-je, * — -K7.627 — —y~i^59 = - 3» 125» x = "K7^62f+K4T5^4-Klt7859"= 0,3633, x= y 7jM7+_ K 4 7 515 — K^T8l9 = 1,7616, 2 s= 1/7,627— y4,515+y x,\i59 = 0,9951; a 109. Probleme II. Réfoudre 1'équation x4 -f» 6x2 4" iox + 3 = 0? Par la comparaifon identique de cette équation avec la générale (M), j'ai A = 6, B = 1© & D = 3; donc en fubftituant ces valeurs de A, B, D dans la réduite (T), nous aurons y3 + i2y3 + 24y — 100 ■ars o ,* équation dont les trois racines font 2 & — 7 Ht KC— O» donc a = 2,f=7&d = 1; introduifant ces valeurs de a , f & d dans les quatre for- mules x - ^ -f K (=^±£EÏ2) & x%ss ya. , .,/ - f — yf' + dN 3r , - + K ^ 2 —J » ^ *°nt ^es quatre premières du §. 106, a caufe que le troifième terme de notre propofée eft pofitif, nous aurons x = —  na O P U S C U L E £ en réduifant, j'ai a un dix-millième prés, les quatre valeurs fuivantes dex: x = — 0,5186; x = —- 0,8956; X = 0,7071 -f- V — 7» °355- LETTRE VII. La transformation par la laquelle on peut, Monfieur; faire évanouir un terme quelcortque de toute équation complette, eft fans doute ce qui a leplus contribué a nousi faire avoir des formules de folutions pour les équations dü troifième & quatrième degré; eela feul doit nous la rendre très-précieufe: mais combien ne la feroit pas davantage une transformation quelconque qui feroit évanouir un plus grand nombre de termes? Quoi, Monfieur, ne peut-elle pas exifter? ou du moins y a-t-il quelques cas, oü par une transformation quelconque on put obtenir un fi grand avantage? J'avoue que, s'il exifte, je ferois infiniment curieux de le connoïtre, & de 1'apprendre de vous, a qui j'ai déja tant d'obligations, & donti j'ai 1'honneur d'être, ékc. LETTRE Vlll, 110. Une transformation telle que celle que vous defirez,, Monfieur, n'exifte pas a ce que je crois; mais il exifte; un cas oü par la fimple transformation qu'on fait éprouver: aux:  MATHÉMAflQÜÉS. irj aüx équations complettes pour en faire évanouir le fe-» cond terme, un plus grand nombre d'autres s'éyanouisfent: c'eft toujours ceux qui occupent les places paires dans les équations complettes d'un degré quelconque: cecialieu, lorsque la transformation enqueftion s'employe fur une équation dont les racines forment une progreffion arithmétique. Soit 1'équation complette du troifième degré 4 (F) x3 — 3a?x> + 3a* 7 x — aï ") _ 3ri + 6ar > _3a2r^=:o -j-ar — üat1) dont les trois racines font, a,a-f*r,a-f-ar & forment par-conféquent une progreffion arithmétique dont la raifon eft r; en faifant x — y 4- p, & fubftituant: Cette valeur de x dans la propofée (F), j'ai 1'équation, (T) y3 + 3P7Y2 + 3P1 M+PJ 1 — 3a > — 6ap — 3aP — 3r-> — érp — 3rPa j + 3al f + 3a'P | -j- 6ar j ~f- 6arp j, = o O. 2r, J 4. ar3p | f *- 3aaf I — aar1 J p étant une quantité arbitraire , je fais 3 p — 3 a — 3 f == o, d'oüje tire p = 3*-+ & =• a + r ; mais a 4- r eft une des racines de la propofée (F), car elle eft le tiers du coëfficiënt 3a + 3r du fecond terme; or, celui-ci eft la fomme des trois racines, & puisqu'elles forment une progreffion arithmétique , le tiers de leur fomme doit être la moyenne; car il n'y a que le tiers d'urt nombre qui puiffe être moyen proportionnel arithmétique entre deux autres termes formants en fomme les deux tiers du nombre totah Donc p eft égal a une des  H4 OPUSCULES racines de 1'équation (F), & par-conféquent p = x; or , en examinant le dernier terme de la transformée (T)^ vous verrez qu'il eft égal a 1'équation entière (F), fi ce n'eft qu'il ya p a la place de x; mais puisque p-x^ tout ce dernier terme de (T) doit être égal a zero & par-conféquent s'évanouir. En introduifant Ia valeur de p= a -f r dans la transformée (T), elle fe réduira a celle-ci (S) y3 - r2y .—o; dans laquelle par-conféquent y = o; il refte donc 1'équation du fecond degré y2 = r2 qui me donne pour les deux autres valeurs de y, y = + r; donc puisque x = y+ p, nous aurons x = o -f. (a-j-r) = a + r; x. = r -f (a + r) = a -f sr, x = — r + (a f rj = a. in. Donc, quand par la transformation ordinaire dune équation complette du troifième degré, le fecond & qtatricme termes de la transformée s'évanouiront, vous' cn concluerez tout defuite qu'une des racines de la propofée^ eft le tiers du coëfficiënt du fecond terme ; avec cette racine réduifant Ia propofée a une équation du fecond degré, la folution de celle-ci fera bientöt connoïtre la valeur dts deux autres racines cherchées. 112: Soit maintenant 1'équation complette du quatrième degré, (A) ........ x4 — 4a?X3-f öa'Tx'— 4a' *} x -f- é ? — dij +i8arV — ïSa'r' -f- da'r [ +. 11 ra 3 — 22ar* f -f- na'tra j ~° — dr* J -f. dar' J dont les quatre racines font, a, a-f-r, a -f. sr, a + 3 r, & forment une progreffion arithmétique croisfinte dont la raifon eftr; je dis que par Ia transformation ordinaire faite a cette équation, on aura une transformée qui fera fans fecond ni quatrième terme. , m effet foit fuppofé pour un moment, que Ie coëfficiënt 4a + 6r du fecond terme de notre propofée (A) foit égal a zéro, c'eft-a-dire qu'on ait 4a + 6r = o;  MATHÉMATIQUES. n3 jfoü je tire a '=s\ en introduifant cette valeur de & dans tous les termes de la propofée CA), elle fe réduit a 1'équation du quatrième degré fans fecond ni quatrième terme (B) x4 — x2 + ^~ = o; or quand je fais x = y + p & que j'introduis cette valeur de x dans la propofée, je la transforme en une autre de même efpéce, c'eft-a-dire qui a auffi fes racines en progreffion arithmétique; mais toutes celles de la propofée ont pour: quantité conftante a; & puisque je fais pour la transformation, x = y+p , töutés celles de la transformée aurorit pour quantité conftante p; donc p remplira dans ce:te dernière les-mêmes fonctions que a dans la propofée (A). Ainfi prenant dans la transformée la valeur de p, comme nous avons pris celle de a dans la propofée, & introduifant cette valeur de p dans tous les termes de la transformée, cette dernière fera de même après ia réducr.ion$ une équation du quatrième degré fans fecond ni quatrième terme. En faifant les opérations néceflaires, on trouve qué kt2 9 r* la transformée eft y« — i- ya-f- — o ; équation qui eft identique avec celle (B), fi ce n'eft que 1'inconnue eft dans 1'une x & dans 1'autre y. Cette identité eft bien aifée h. concevoir ; car puisque nous .'avons fait K == y + p, nous avons diminué les valeurs de toutes les racines de la propofée (A) d'une même quantité p; donc puisque les premières formoient une progreffion arithmétique dont la raifon étoit r, les fecondes formeront auffi une progreffion arithmétique dont la raifon fera de même r: ainfi la différence des valeurs de x dans la propofée "regardéë comme transformée, & la valeur de y' dans la vraie transformée , ne gjt que-dans.la--diffirencè! qui exifte entre a & p; or ces deux quantités n'entretjf H s  »i6 OPUSCULES pa? dans les réduites de fB) & de Ia vraie transforméei donc a 1'exception de la figure de 1'inconnue, les deus réduites doivent être identiques. En refolvant 1'équation y4 — y2 4. 9£4 -_ 01 qui efi: la réduite de la transformée , i'ai v2 = ^ 4 + r% donc y=+K9j = -f3J & y = -|J ^pi] » mais x = y + p& p = a+Y> donc x = - lr + a + Lr = a, x = nJL +a + |r = a + r , x = l +:t + U->t±t+A & x = H + a + 41 = a + gr. Ce qui font lesi quatre vraies valeurs de x dans la propofée. 113- H eft aifé de voir, Monfieur, queT quoique par la transformation d'une équation du quatrième degré on fe foitafluré que la propofée a fes racines en progreffion 1 arithmétique, on ne peut en déterminer aucune que par' !a rèfolution de la transformée; car p n eft point comme dans les équations du troifième degré de cette nature , égal a x ; mais il a pourtant un rapport conftant avec les valeurs de x, qui n'eft pas fufifant pour faire connoïtre une de ces dernières; en effet ainfi qu'il eft aifé dejei voir, p = a + H eft moyen proportionnel entre les: deux valeurs moyennes de x, qui font a + r & a + ar; car, ^a + r.a + ^i - a + ar; proportion  MATHÉMATIQUES. 117 ontinue arithmétique dans laquelle la raifon efi; ~ ; mais infi que je Pai déja dit, cette valeur de p eft infufifante our connoïtre les deux valeurs moyennes de x, car le uart d'une fomme peut être moyen proportionnel ntre d'autres nombres qui font termes moyens d'une proreflion arithmétique dont la fomme des quatre termes ft celle en queftion (*). 114. Si Pon a 1'équation du cinquième degré X5 — 5 a ? x4 — iori - &c. ^ = 0; dont les cinq racines font a, a + r, ,+ 2r, a + 3r, a + 4r, & forment par-conféquent ne progreffion arithmétique, on trouvera que la transfor- léeétant réduite, eftys — 5 r2 y3 + 4r4 y — o, équa- on du cinquième degré fans fecond, quatrième & fixiè- 1e terme, qui d'abord diviféepary, & enfuite réfolue ar la méthode du fecond degré, donne y = o, y = |- ar, y se + r; d'oü on conclud aifément que r= a, x = a + r, &c. Sans réfoudre la réduite de la transformée, on auroit . , r . 5a + ior „1 rouvé tout defuite que x = s-—L = a -f- 2 r ; ar 5a + ior eft la fomme des cinq racines; or, il n'y que la cinquième partie d'un nombre qui puifie être ie erme moyen d'une progreffion arithmétique compofée de :inq termes, dont la fomme eft le nombre en queftion. (*.) Soit, par exemple, le nombre 36, dont le quart eft 9 • jo rois que 9 eft moyen proportionnel entre les deux termes noyens 8 & 10 de la progreffion ~r 6 • 8 • lo • iz dont a fomme des quatre termes eft 36; le nombre 9 eft aufll moyen >ropqrtionnel entre 7 & Ji de la. progteflïon v 3 • 7 • it ■ 15 , dont la fomme des quatre termes tft 3$. H 3  n8 OPUSCULES 115. Enfin généralement, toute équation complett d'un degré quelconque & dont les.racines forment entr'el les une progreffion arithmétique, fe transformera en un< autre dans laquelle s'évanouiront tous les termes qui 00 cupent les places paires dans les équations complettes c'eft-a-dire les fecondes, quatrièmes, fixièmes, huitiè mes, &c. 'termes. 116V Lorsque le degré d'une telle équation, quelqn fort qu'il foit, eft impair, on pourra toujours connoitr la valeur d'une de fes racines en divifant Ie coëfficiënt di fecond terme de la propofée par le degré de celle-ci mais par la théorie de la folution des équations du troifiè me & quatrième degré, on ne pourra réfoudre complet tement ces fortes d'équations que lorsque leur degré n dépaffera pas le nombre 9; car la transformée de celle-1 eft de cette forme yp + my7 + nys + py* -f- qy = 0 laquelle divifant tous le termes par y, ~& faifant y2 b= i fe réduit a la fimple équation du quatrième degré a4 -{ m w3 + n w2 + ,p a + q=o; mais fi le degré de la rédul te propofée étoitle nombre 11, la dernière réduite feroit a -f-mw4+ ckc... = o., équation du cinquième degré qu étant complette ne peut être réfolue par les méthodes dii recles de folutions (*)• 117. Lorsque les équations en quefiion font d'un de gré pair, ou ne pourra connoïtre la valeur de fes racines qu'en tant que.ce degré ne dépaffera pas le nombre 8; (*) J'entends par , méthodes direSes de folutions , celles qtj m'ont fait avoir une formule générale des expreffions de 1'incon. nue dans les équations du fecond, troifième & quatrième degré. mais pour l;s équations du cinquième degré je n'ai pas de mé« thodes direftes de folutions, puisque jene fuis pasencoreparvent, i trouver une formule générale des expreffions de ieurs racines  MATHÉMATIQUES. 119 car la transformée de celle-ci efl: de la forme y8 + my4 ^_ ny4 -f. py2 -j- q = o; qui fe réfout par la méthode du quatrième degré; mais fi la propofée efl; du dixième degré, alors fa transformée en faifant ya = », efl: 1'équation complette du cinquième degré ws + m»4 + n«5 + p a>' 4" q« "f" S = O. ~~n8. ~Les équations de 1'efpéce dont nout parions, peuvent, lorsqu'elles font d'un degré impair, n'avoir qu'une racine réelle, & celle-la fera toujours déterminée par le quotiënt du coëfficiënt du fecond terme divifé par le degré de 1'équation; en effet on concoit, que fi dans une équation du cinquième degré, par exemple, les deux premières racines font a -f- a K ( — m) &a-r"K(—"m)» dont la difference efl: K( — ™)i les deux dernières feront a — 2 KC-m) & a— KC — m;,&que,parconféquent, afin que ces quatre la & la cinquième qui eft toujours réelle, forment une progreffion arithmétique, il faut quelle foit a; ce qui forme la progreffion f~ a + aKC-m) * a + K(-m) * a ' a-K(-m) * a „K(—m); dont la raifon eft K( — m)'-> ™a!s a eft le terme moyen entre tous; donc il fera la cinquième partie du coëfficiënt du fecond terme de 1'équation complette en queftion, §, 114. 119. Ces équations la d'un degré pair peuvent avoir toutes leurs racines imaginaires; ce qui eft évident, puisque pour une du fixième degré, par exemple, élles peuvent être 4- a + 5]/ (-m) • a + sK(-m) y a + K(-m) * a—KC~m)- a-3K(-m)' a__5J/( — m) & former par-conféquent une progreffion arithmétique dont la raifon eft 2 K ( — rn ). 120. 11 eft clair, Monfieur, que, quelque fok la grandeur du degré de ces équations, les racines doivent être toutes réelles, ou toutes imaginaires dans celles d'un degré pair, & toutes réelles ou toutes imaginaires, ex- H 4  Ï2Q OPUSCULES ■cepté la moyenne , dans celles d'un degré impair : car alors ia raifon doit être de néceflité une quantité abfolument imaginaire, & affeéter tous les termes en + ou — excepté le terme moyen k tous, dans les équations d'un degre impair, §. 118. 121. Dans toute équation de cette efpéce d'un degré quelconque impair, dont les racines forment une progreslion arithmétique compofée de termes tous imaginaires excepte le moyen , les premiers doivent être des binomes compofes dun terme réel & 1'autre imaginaire, c'eft-adire de cette forme, a -f y(-m), car fans cette condition la racine moyenne a toutes, qui eft nécéflai- pSere ll8' n'exifteroic Pasice iui eft ™- 122. Donc toutes les racines d'une pareille équation doivent etre toutes pofitives, ou toutes négatives, condition fans laquelle la progreffion ne pourroit pas exifter,car Ia raifon ne pouvant qu'être imaginaire, §. 120 la quantité réelle qui aflette chaque terme doit être conftante dans tous , non feulement par fa valeur intrinfeque, mais par fon figne ; cn effet un changement dans ce dernier, changeroit fa valeur & la feroit par-conféquent co-opérer avec la raifon de la progreffion arithmétique ; ce qui eft impoffible. 123. Dans une équation d'un degré pair dont toutes les racines forment une progreffion arithmétique & font nnaginairés; celles-ci peuvent être compofées feulement de monomes imaginaires , tels par exemple que + Y (— m) ; mais alors k propofée fe préfente foü? 1'afpecT: des transformées des équations dont nous parions, c'eft-a-dire avec tous les termes occupant les places paires de moins. Mais lorsque la propofée eft complette & qu'elle a fes racines en progreffion arithmétique 6c imaginaires, celles-ci doivent être toutes des binomes dont Ie premier terme eft réel & le fecond imaginaire,  MATHÉMATIQUES. iai 124. Ces racines doivent être toutes pofitives ou toutes négatives; ce qui fe démontre de la même manière que nous 1'avons fait §. 12a pour les équations d'un degré impair. 125. Faifons maintenant, Monfieur, quelques applications fur les exemple fuivants. Probleme I. Réfoudre 1'équation du troifième degré x3 + 3X2 — x — 3 = o? Faifant a 1'ordinaire, pour éliminer le fecond terme, jr — y — 1— y — 1, j'ai la transformée y3 —- 4 y s= o , fans fecond ni quatrième terme ; donc x = | s= 1, §.116"; en effet en réfolvant 1'équation y1 — 4 — o, j'ai y = -f- 2, de plus y ;= o; donc puisque x— y — 1, j'aurai x = o — 1 =' — 1; x =: 2 — i = i;x = — 2 — 1= —3;ce qui forme la progreffion arithmétibue ~ 1 • — 1 1 — 3; dont la raifon eft — 2. "■ 126. Probleme II. Réfoudre 1'équation complette du cinquième degré, xs -f- 15x4 -f- 70x3 -4- 90x* — 71 x — 105 == 0? En faifant x = y— ~ = y — 3 5 Pour la trans- formation ordinaire , j'ai toute réduétion faite, ys — 20 y3 _j_ 64 y — o; équation du cinquième degré dans laquelle il manque le fecond & quatrième terme , donc x = — ~ = 3: quant aux quatre autres racines je les trouverai bien aifément, car la transformée étant divifée par y , me donne y4 •— 20 y1 -f- 64 = o ; donc y2 = 10 -f- ]/ 36 = 10 -f- 6, & par-conféquent y = -f_4 & y = + 2~ ainfi a caufe que % = y — 37\j'auïai x = o — 3 = — 3, x = 4 H 5 .  Isa OPUSCULES ■— 3 = 1 > x"== — 4 — 3 = —7,x = 2 — 3 _ — i , x — —• 2 — 3 = — 5; donc les cinq' racines de la propofée forment la progreffion arithmétique fuivante r i • —■ I • — 3. — 5 . — j. 127. Probleme III. Réfoudre 1'équation complette du feptième degré x7 — yx6 4. 49 xs 175X4 4. 5IIXÏ — 889X2 + 1023X — 513 == o? En faifant a 1'ordinaire x = y 4- y- = y 4. 1?- j'ai pour la transformée, toutes réductions faites f -f28 y5 4- iQéy3 4> 288 y =' o; dans laquelle il manque tous les termes desplaces paires;doncx = - ar 1. Trou- 7 vons acluellement les fix autres valeurs de x. La transformée étant divifée par y, j'ai 1'équation du fixième degré y5 + 28y« -f igöy* 4- 288 = o, laquelle réfolue par la méthode du troifième degré, me donne pour les trois valeurs de ys .... y* ~ — 1 g, ys — _ 8 T = -?■■■> doncy = 4-K(-i8), y = 4- KC~8> y == + KC~ 2> deplus y = o; ainfi en introduifant ces valeurs de y dans 1'équation x == y 4- 1, 0n trouvera que les fept valeurs de x font x = 1 4. KC-iS), x = * ±K(-8), x = 1 + KC-Ö; x = 1 ce qui en faifant attention que y (_ — 18) F 3KC—2), KC —8) = 2KC-3); medonnera pour les fept racines de la propofée, en les arrengeant fuivant 1'ordre de la progreffion —1 + 3 KC-2) • 1 4- 2KC-2) • 1 + K C-*) .1.1KC-2) • 1 — 2KC-2) • 1 - sK(-4 128. Probleme IV. Réfoudre 1'équation complette du quatrième degré x44- 10x3 4 icx3 — <;o x — 56 = o? Pour en éliminer le fecond terme je fais x =* y — —  MATHÉMATIQUES. 123 = —• 2 ; ce qui me donne pour Ia transformée, toutes réductions faites y4 — ^ y2 + 729 t=t o; laquelle réfolue par la méthode du fecond degré, me donne y* ss ->y2=ri donc y~ + 7>y = + f i ainfi puisque 4 4 — 2 — -* x = y — - , 1 aurai x — ~ — 2=2; x = fi 2 2 2. 2 ■ - yj' ~ {** -X ! * """ a ~~" 1 > X "— ~ — 5 — — 4, Ainfi les quatre racines de la pror pofée dans 1'ordre de la progreffion font ~- —— 7 •< — 4 . — 1 ' 2. Vous remarquerez, Monfieur, que le quart ~, du coëfficiënt du fecond terme de Ia propofée avec un figne contraire , efi: moyen proportionnel entre les deux termes moyens de la progreffion que forment les quatre racines de notre équation propofée: car -j 4 . — | .» — 1 $. 113., 129. Probleme V. Réfoudre Péquation complette du fixème degré xö —-6xs + 82X4 — 288 x* + 131; 6 x1 — 1972X + i8e»o = o? 1 Faifant x = y + £ — y + 1, j'ai pour Ia transfor* mée, toutes réduétions faites, y(-0; or en faifant attention que y(— 50) = 5 y( 2) & que (—18) = 3 a) ; nous aurons pour les fix valeurs des racises de la propofée dans 1'ordre de la progreffion arithmétique ~ 1 -j- ? ï/f^n\ ., 1 + 3KC-0 • 1 • 1 . 1 - 2) • 1 - 3 y (_a) . x - 5K(-2> LETTRE IX. , Vous avezvu, 'Monfieur, §. 82 quel étoit 1 expreffion des racines quarrés des binomes imaginaires — d);il vous fera aifé après cela, & enfuivantles mêmes raifonnements de trouver que y ï -f- y& = K(1±1TE3) + K (f ~ Ainfi fi on me propofé d'extraire Ia racine quarrée du binome numérique 12 + y iAo; j'aurai en faifant f === 12 & d = 140 . . . . y 12 +~y 140 — y(i* + K144 - 14°) { yQ*-Viw-uo^ oua caufe que K^^Mo = K4 = 2, j'aurai  MATHËMATIQU ES. iss v 12 -t- y 140 = y-ïl±_? ± K 2=K^ 131. Mais foit la quantité f -f- yd Km + Kn dont on veut avoir 1'expreflion générale de la racine quarrée; il efl aifé de voir avec un peu de réflexion que ft ce quadrinome eft un quarré parfait, il ne peut avoir pour racine qu'une quantité de Ia forme yx + V y -f- y Z' foit fuppofé que ce trinome eft la racine cherchée, nous, aurons |/x + yy 4- yz = y (£ 4- yd-{- yra + ynj; &en quarrant cette équation, on aura x + y + z + 2 y xy + 2. y xz + 2y~Jz = i+ yd + ym + yri', comparant jdentiquement la partie rationnelle du premier membre avec celle de même efpèce du fecond, & les parties radicales du premier membre avec les correfpondantes de mêmes efpèces dans le fecond, nous aurons les quatre équations fuivantes (A) x -f-^ y + z = f, (BJ^J/xy -== yd, (C) %y%z=.ym., (D) 2^yz = y^ de 1'équation (B) je tire y = — , de (C) je tire z zzz — & de CD ) ie tire z = ; introduifant dans * 4X v J J 4y' 1'équation (A) la valeur de y , tirée de l'équatioi» fB") & celle —■ de z, tirée de 1'équation (C), nous ^ ~ 4 x a , m „ , , d -{-m c aurons x -f- — + ~ = f; donc x» i -——tx; 4 x 4X + transpofant & ordonnant par rapport a x, nous aurons 1'équation du fecond degré xa — f x -{ — = 0,  U6 OPUSCULES qui réfolue, me donne x — f- + V ^ ~~ d m>- ' Vous remarquerez, Monfieur, que fi le quadrinome propofé f -f- J/d -f- ym + y n eft un quarré parfait, la quantité y (f2 — d — m) fera rationnelle ; car par 1'équation (A), je vois que f* = (x -f-y -f z)2 C= +'y* + z2 -f axz + 2xy + syz; par 1'équation (B),qued=4xy, & par 1'équation (C), que m = 4xz; donc f2 — d — m = x2 -f- y* + z2 + axy + 2xz + 2yz — 4xy — ,4xz; ou en réduifant, f2 — d — m = x2 -f- ya 4- z* — 2xy — 2xz + 2yz; or , ce-dernier membre eft le quarré de x — y — z; donc, y f2 — d — m = x — y — z. Cela pofé, pour plus de fimplicité, fai- fans y (f2 —■ d — m) = p; nous aurons x = f— 2 7 mettant dans 1'équation y = -i & celle z == *!! 4 x 4 x * cette valeur de x, nous aurons y = -^-Jf—— & z —* i-^i^cy^+yy+y^=yC^~) + ^(flf+ap) + K{ï?i±w>b, xfKx + v? + yz =z y(t + yd + ym +yny, donc, (E) K(f + yd +>m + Kn) = K(~±-P) + ^ (af + ap) + y (-a~f-?"2p)- Mais afin que cette extraction foit poffible, il faut qué, puisque  MATHEMAT I QUE S. ia? des équakons (C) & (D) , j'ai tiré z = ^ & 4X z = —, onaït — = —: ou en fubftituant les va4Y 4X 4y leurs de x & de y, qu'on aït 1'équation de condition m n f ~f" np r ; = -—==—on trouvera furement que at + ap ad ' n cette équation eft réelle , 11 p étant rationnel & par-conféquent la quantité propofée un quarré parfait» on donne aux lettres d, m, n, les valeurs qui leur conviennent, & qu'on prenne des deux fignes -f- & — qui précédent p, celui qui lui appartient; or, je dis que celui la fera pofitif quand une des trois parties intégrantes x, y, z, de la racine cherchée fera plus grande que la fomme des deux autres; ou qu'une d'elles fera égale a la fomme des deux autres; mais p fera négatif fi chaeune des trois parties intégrantes, eft plus petite que la fomme des deux autres; en effet foit par exemple x > y 4- z il eft evident que puisqu'on ax + y + z = f, & par-conféquent x = f— (y + z), on aura x > f f ""f- P r-; donc dans 1'exprefiion x = _==i— il faudra prendre p pofitivement; ce qui fe continuera de même dans les expreffions de y — - & de z = ~ ou z = —. De r J 4X 4X 4y même fi x — y + z, alors il eft clair que 1'équation x sS: f -— fy + z") fe réduira a celle-ci x = - J y a » donc p s'évanouïra , ce qui réduit 1'équation de condi- m af -f np j "',' . 'rn nf tlon af + ap = —T&— 3 CelIe'CI' f ~ dT: ^ 3 x < y + z, alors puisque x = f-(y-f z)>  128 OPUSCULES on aura x < donc dans 1'expreffion x = Li-Jiy il faudra prendre p négativement, ce qui fe propagera dans toutes les expreffions de y & de z. 132. S'étant alfurépar la réalité de 1'équation de condition qu'on a pris p avec fon vrai figne, elle fera connoïtre. la valeur de z qu'on introduira dans 1'équation ("F) y = —, tirée de 1'équation (D) : connaiffant 4z . • les valeurs de y & z, ilme fera bien aifé, en les introduifant dans de 1'équation (H) x = f — y — z, de' connoïtre celle de x. 133. Un quadrinome, dont un feul terme efl: rationnel, ne peut être un quarré parfait qu'en tant que fes termes j fonc tous pofitifs, (tel que celui dont nous avons parlé précédemment), ou que deux termes parmi lesquels efl: toujours le rationnel, font pofitifs, & que les deux autres font négatifs; c'eft-a-dire que ce quadrinome eft d'une des trois formes fuivantes ï -\- ]/c\ — ym — Vn , ou enfin f — J/d — J/m -J- J/n, car de la formule générale de la racine + yx + + Kz» je ne puis tirer que les huit fimples fuivantes . . . J j/x + Ky + J/z, l/x + Ky-Kz, yx — yy -j/z, ~yx + yy + yz, — yx — yy + yz, — yx + y.y — yz% or, les deux premières étant quarrées me dorinent également deux quadrinomes dont tous les termes font pofitifs, & les fix dernières étant quarrées me donnent des quadrinomes dont un terme, fomme des parties rationuelles,. & un autre terme radical font pofitifs; tandis que leai deux autres termes radicaux font négatifs. 134. Vous appercevrez aifément , Monfieur, que dans:  MATHÉMATIQUES. 1*9 Idntisce dernier cas, toutes les parties intégrantesde la raciné de notre nouveau quadrinome, rooide pofitif moraé Béganfi, | t"ou'ent par les mê nes méthodes & formules que pour celui dont tous les tenues font pofmfs «I Mais i caufe que par les fignes qui precedent ks radicaux des röispartieslnrégrantes de la racine cherchée, onpeut trouver de fix manières digérentes, «quarrant ces racines,. L quadrinome qui a deux termes radicaux neg fs, on ne pourra déterminer la vraie racine,_ qu en les eflayant toutes jusq'uace que Ton 1'ait trouvée; jene connorspas, 'Monfieur, de moyens de déterminer autrement cette mErtkude,' qui n'a pas lieu lorsque le ^«fflOj fé a tous fes termes pofitifs, car V% + V y -f V z 135 Probleme L Extraire Ia racine qmrree du ij quadrinome nnmérique u + V 7* » K 4^ "T 1 l/24.? l Je fais f == ti , d=== 7& v-rn = 4», « ==*4* donc 1/t* - d — m s= K121 + 72 - 4b — 1/ = 1 Ce qui m'affure que le quadrinome propofé dl un quarré parfait §. 131 : ainfi p = I \ introduifant n _ rri _ n f + n p dans féquation de condition af _j- ap l~d , ., . _48_ __ 2^4+f4, les valeurs de m, n, f* d, p; ] ai 22_j_ - 144 ' en prenant les fignes fupérieurs, j'ai, toute réduction faite, 1'équation identique 2 = 2; donc i = 2; mettant dans féquation (F) $. tfr', les valeurs de p & da z, i'ai y = - — 3 > enfin mettant danS l"écimtiotl fl-h «. i« , les valeurs de f, y & z; j'ai x = 11 |/Vt + 4- K48  130 OPUSCULES 136. Probleme II. Extraire la racine quarrée du quadrinome 10 + V 60 -\~ ]/ 40 -f- K24? Je fais f = 10 , d = 60 , m = 40, n = 24; donc p = yf2*—ci—ju = y 100 —60 — 40 = or Ce qui m'alfure que Ie quadrinome propofé eft un quarré parfait, & que x = -~ .— 5 §. 131 ; donc y = i 2 4* - ~ —3, &z = - = t = 2: ainfi j/5 4. Ks + =-K(io + K6b + K40 + K24). 137. Probleme III. Extraire la racine quarrée du quadrinome 15 + yTóT 4> K"5ó*+ K48? Je few f = j5, d = 168, m = 56, n = 48; donc p = Vt* — m — d = k225 — 168 — 56 = Ki = 1: ainfi le quadrinome propofé eft un quarré parfait, féquation après les introductions numériques des valeurs des lettres qui y entrent, devient ———* 30 i.2 = —Prenant le fiSne négattt~> j'ai toute ré- duction faite, 1'équation identique 2 = 2; donc z = 2 n 48 , y = 4Z ~ F ~ ' x = f~y_z= I5 — 6" — 2 = 7; d'oü je conclus que Vj 4. 7/5 4. vi = k(i5 + k168 4. f56 4- ^5;. 138. Probleme IV. Extraire la racine quarrée du quadrinome 21 — V 84 4- ^ 308 — V Je fais f = -1 , d = 84, m = 308, n = 132; donc p =5 yi% ~ d — m = ^44t »4 — 308 = k49 =~ 7: airfile quadrinome propofé eft un quarré parfait. Les valeurs numériques de f, d, m, p, me  m;a thématiques. 131 donnenr. pour 1'équation de condition, en prenant le figne pofitif, f = if,ou^> = **, ce qui eft abfurde; prenant Ie figne (négatif, j'ai, toute réduftion faite, féquation identique n = li ; donc z = n , y=Jl = ii2 = 3,x=:f-y— z = 21 — 3 .— 11 3= f: ainfi les trois parties intégrantes de Ia racine cherchée font 11, 7 & 3; mais a caufe de la forme du quadrinome propofé, je ne fais fi la vraie racine eft - K11 + V7 + K3, ou Vu + V7 — V?» ou Vu — V7 + Kar, ou Vu — K7 — vs* ou — jf/u — V7 Hr K3 , ou enfin — Kn + j/^ — K3, S- ^s- Ce n'eft 139. Avec un peu de réflexion, vous appecevrez aifément , Monfieur , que les racines étant des monomes, binomes, trinomes, quadrinomes. &c. dont tous les termes font radicaux, leur quarrés devront être des monomes , binomes, quadrinomes, 7-nomes, &c. (*) (*) En écrivant la fuite naturelle des nombres qui expriment la quantité ue termes de chaque racine , riepuis fe monome, on ,aura le nombre da termes du quarré de chaeune d'elles, en ajoutant le nombre qui précédé dans Ia fuite naturelle avec celui quf lui répond v< rticalement auJeffous, ainfi qu'on le voit dans la table ci-joint--. 12 3 4- 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 ï&c« Si donc je veuxpóuiïer cette table plus lom ,&connoïtre lenom. brede tormes du.quarré d'un 19-nomes dont tous les termes font affectés d'un figne radical quarré , j'ajoute 18 avec le nombre 154 qui lui correspond verticalemenc en deiïous. ce qui ms donne pour le nombre cherché de] termes d'un pareil 19-nc* -mes, 172. 1 i 2  ï3« OPUSCULES qui ont tous un terme rationnel & les autres, radicaux" quarrés; ainfi tous les polynomes de cette forme tels que les trinomes , 5-nomes, 6-nomes &c. intermediaires a ceux indiqués plushaut, ne peuveut être des quarrés parfaits. Notre théorie fur l'éxtraélion de la racine quarrée d'un quadrinome quelconque dont un feul terme efl; rationnel, pourra fervir a trouver celle de 1'extraétion de la racine quarrée des 7 nomes, 11* nomes &c. de la même forme, c'eft-a-dire qui n'auront qu'un terme rationnel. Je vous prie , Monfieur, dans la première lettre; que vous me ferez 1'honneur de m'écrire , de m'en-'< voyer la folution générale du problème fuivant; extraire 'la racine quarrée d'un 7-nomes , dont un feul terme eft rationnel , & les autres affecfés chacuns d'un figne radical quarré ? LETTRE X. Au moyen de Ia dernière lettre que vous m'avez faitl'honncur de m'écrire, Monfieur, il eft impofiible de ne pas trouver avec la plus grande facilité, la folution que vous me demandéz du problème fuivant; 140. Probleme. Etant donné le 7-nomes f + Vd + ym 4- Vn -f- Va + Vb + Vc, en trouver 1'exprelfion de la racine quarrée, fi le 7-nomes propofée eft un quarré parfait? Soit yx + yy + Vz + V", la racine cherchée, hous aurons par conféquent x + y + z + » + 2 Vx y + 2 Vxz + zVl~Z + ïV~y~z~ + 2 yjl + 2y7Z — ï+Vd + ym + Vn + Ka -f Kb + Vc;  MATHÉMATIQUES. 133 lonc (A) x + y_+ z + * = f ' Cg) 2 V*J = Vd, (C_) aKxz = Km, (DjjsKx- = Ka, ;E) aKyz = Ka, (F) 2J/y« = Kb, (H) ■kS* == Kc ; des fix dernières équations, je tire :r=fy' ^F')M = ïy' ofé efl: un quarré parfait, f2 — d — m — n le fera lufli ,• car Féquation ( A ) étant quarrée me donne :» = x' + y2 + z2 + co2 + 2xy + 2 x z + 2x41 4. 2yz + 2yw -f 2Zm, & des équations (B), (C),, 'D), jetired = 4xy, m = 4XZ , n = 4x«; lonc toute réduólion faite , f1-rd-m-n = xi 4. y2 4- z2 + «2 — sxy - axz - sxa + 2yz +- sy» 4- 2z«; or, ce dernier membre eft le quarré parfait de x — y — z — <*\ donc y'(f3 — d—m — n) = x — v _ z _ M: ainfi faifons _ pour abréger K f2 — d — m — n s= p ; alors nous auronss(I) e t= ^f ^ pj; mettant cette valeur de x dans les équa* 2 / I 3  134 OPUSCULES dons (B') , (C) , (D');] nous aurons (B"J y = 2 X Cf + 'y>? z = aXTf ±7>' » — a x"(" + p)* Mettant 'a dernière valeur trouvée de y dans les équations (F/) & CF') , nous aurorjj CE") z = l>üi.+22,CF')«= *j* qui contient les formules fimples de toutes les racines qunrrées poflibles d'un 7-nomes qui n'a qu'un terme rationnel, je tire les quatorze fuivantes. Kx + Vy + V* + V", V* + Vy + Vz—V«, *-yx - j/y — Kz — V«; Vx — yy — Vz-V», yx — yY + yz-i-V*, — V* —Vy—Vz + Vx, — Vx + W+Vz + V«, — yx -f y's — yz — V-i & Vx + Vy -Vz -yJ/ yx _ yy + yz _ yUj Vx — Vy — Vz + y», — yx — yy + yz -f y*, — yx -f yY — yz + V*, — y^ + Vy + yz — v*; or, les deux premières étant quarrées donnent des 7-1101 4  ¥3 peuvent être également repreientez par + f + Kd4-K(- m) + K(-n> 145- Ceia poié, fi on veut extraire la racine quarrée du quadrinome, — f 4. y d -\- y m jSy n. je trouve en fuivant Ie même mode de calcul que celui employé §. 131, x = l±±. Mettant cette raleur de x dans les équations y = z = m_? & ^ de T* 4 x ' dans 1'équatibn z = —: i'ai v — ■ — . 4y j y ~ 2 X C— f ± p)» z - E n X (- f + p) . .par-conféquent j'aurai 1'équation de condition t— 1 2Xc— t-j-p) n X (— f -f p) — 2~d"^ 0r ^ et* aifê de voir ^ue Ies valeurs de x, y & z font négatives; car quand même p feroit pofitif. on a roujours f > p: en effet f — y fK & p = //fJ - d - m- mais yf> > y f> - d-~rr7, donc f > p; or d, m & n font trois quantités pofitives; donc 2-^-p-f4j pj valeur de z efi: une quantité négative; donc auffi, y =z ~ & x = EL feront 4 z 4 z 'des quantités négatives: ainfi Kf — f 4-t/j i u + Kn) = K(- x) 4- KC- yJ+vZ-z). employé S. 121 „ x = — p Metr™, ^« »„i...... jj  MATHÉMATIQUES. ï3> 146. Sile quadrinome propofé fe préfente avec deux tetmcs imaginaires tel que cclui-ci + f + Kd -f — m) + K(— n)ï a'ors ^ évident que les mêmes formules du paragraphe précédent feront connoïtre les valeurs des trois parties inrégrantes x, y & z; d'ailleurs le calcul déterminera fi la racine cherchée elt de la forme Kx + K(- y) Jr KC— z), ou dc cel'e yx 4. j/y 4. y (— z) ; nous remarquerons feulement qualors la valeur de p = V t2 + d + m dé- pendant des fignes de d & m, on pourra avoir f ^ p; ce qui déterminera les fignes de z & des autres parties x & y. 147. Probleme I. Extraire la racine quarrée du quadrinome — 8 + yin + V 16 4- K48? A 1'afpect de ce quadrinome je vois que fa racine doit être compofée de trois quantités imaginaires §. .144; je fais f = — 8, d = 12, m = 16, n =: 48; donc p = y~ï2 —■ d — m = y €4 — 12 — i'p = y 36 = 6; par-conféquent féquation de condition = n X C-f+ p) • dev-endra sX(-f+p) ad l _ 43 XO- *±6}9 prenant le figne pofitif de p, j'ai 2* Erfr ; ou — 4 =■=. - 4, donc z = — 4,y=r— — ~"~ ~~ °' x = — = —=— i; donc KC-8 + K" 4 z —16 + K16 + K48) = KC—O + KC—3) + KC- 4>  Ho OPUSCULES 148. Probleme II. Extraire la racine quarrée du quadrinome — 1 -f y ( _ 48 ) 4. y ?A) AFafpeét de ce quadrinome je vois que fa racine doit avoir un ou deux termes imaginaires g. 144; je fais f — — 1 » d — — 48 , m = -- 72, n = &4; donc p = K f > - d — m = y 1 + 48 4. ?2 =: y 121 = 11; par conféquent Féquation de condi- t- m nX(-f + p) tion a x (- f ± p) ^d » deviendra — 7a _ 24 X (— 1 4 11) ft X C— 1 + 11) ï~X~tr^ Penant le figne pofitif, j'ai ~ZJ1 - , ce qui eft abfucde; prenant le figne négatif, j'ai = ~ ^,ou 3 = 3; donc z = 3,y=ii = H — a & x = » 4z 12 4Z — —12 = — 6; donc K(- 48) + KC- 7O + K24) = KC- 6) 4- y2 rr K3* 149. Probleme III. Extraire la racine quarrée de 2 4 K48 4 V(~ 108) 4 KC- 144)? Je fais f =_a, d = 48, m - Io8, n — _ ,44. donc p = Kf3 — d~m = K 4 — 48 4- 108 — K 64 — 8; & par-conféquent Féquation de condition fera ~ 108 ■ — *44 X (2 + 8) *,on Iera 2 X ( a + 8 ) ÖTïT^ ; pr** nant le figne pofitif, ~ZJ^ - ~=LW ce qui ne peuE  MATHÉMATIQ U E S. Sf| Itre; prenant le figne négatif, j ai ~zn% = ~ys » ou 9=9; donc z = pj y — 4Z — -—— 4' x = 3 - = - 3 ; ainfi V ( 2 + K4S + y (_. ro8) + KC— 144)) = y (- 3-) * K(— 4) + K9- LETTRE XI. Les trigonométries recïilignes & fphériques étant; Monfieur, les parties les plus utiles des fciences mathématiques, par 1'application que font fans cefie obligé d'en ffire les Ingénieurs & les Aftronomes dans leurs opérations t je mefuisoccupé a rendre plus fimple & plus générale la théorie pour la rèfolution de toutes les efpéces de triangles. Je ne vous entretiendrai pas ici, Monfieur, de tous les' préliminaires de la Trigouométrie recfiligne que peu de perfonnes ignorent, & qui fe trouvent expliqués de la manière la plus claire dans tous les ouvrages élémentaires de mathématiques. Pour répandre plus de fimplicité dans le calcul & les formules que nous emploirons dorénavant , nous repréfenterons les mots Sinus , Cofinus , Tangente par les fimples lettres initiales& capitales S, C, T; &les mots Cotatigente, Sécante, Coféquente, par les lettres initiales & capitaies de ces moes avec un petit t caracférifiique en forme d'expofant a la première, & un petit c caractérifh'que en forme d'exporant aux deux dernières; ainfi Cotangente bb O, Sécante = S= & Coféquente e= Ce.  14* OPUSCULES 150. Paria comparaifon des quatre triangles recïilignes reétaiigles formés dans un quart de cercle par les deux rayons qui le limitent & font par-conféquent perpendicu^iïires 1'un fur 1'autre, le rayon qui paffe par 1'autre extremité d'un are quelconque du même quart de cercle, les Sinus, Cofinus, Tangente, Cotangente , Sécame, Cofecarite de cet are & les parties des deux rayons perpendiculairs 1'un fur 1'autre compris entre le centre & les pieds des Sinus & Cojinus de 1'arc en queftion, qui font égales,la première aaCofinus, la feconde au Sinus; nous aurons les 18 équations fuivantes, I, S = CT (*); K, S = J; III, S = IV, S = <4;V,C = |; VI,C = ^;VII,C = SCt;VIII,C=g,-IX,T= |; X, T = SSC; XI, T = ir; XII, C' = |* XIII, C' = CCC ; XIV , Ct = ±; XV, S* = XVI, Sc = ~ ; XVII, C« = |'« XVIII, Cc = 151. Le triangle rectangle formé par le rayon, le Sinus, le rayon moins le Sinus verfe de 1'arc en queftion , me donne féquation S2 -j- C* = 1; de laquelle je tire les quatre fuivantesI, S2:= 1 — C2;1I,S:=K( 1 -C2); III, C2 = 1 - S2; IV, C = V(i - S3> (*) On fait que gécéralement dans la fcjence t-rigonométrique on repréfente le rayon par 1'unité,  MATHÉMATIQUES. j43 152. Le triangle recfangle formé par le royon , la Tangente & li Sécante , me donne les fix équatiors fuivantes, I, (Sc)a = 1 + T2; II, Sc =J/_(1 4, Tf),-III, T° = (SQ2 — 1, IV , T = ]/'( S6")1- ij V, 1 r= (SO2 - T2; VI, 1 = F(SC)2 - T. 153. SoitM & n deux arcs de différences grandeurs; paria XIe équation §. 150 , nous avons TmOm = 1 & TnC'n -s. li donc Tm: Tn:: C'kiC'm; par-conféquent les Tangentes des arcs de différentes grandeurs, mais d'un même cercle, font én raifons inverfes des Cotangentes des mêmes arcs. ' 154. Probleme I. Connoiflant les Sinus & Cofinus de deux arcs inégaux d'un même cercle, trouver le Sinus & Cofinus de la fomme de ces deux arcs? Soit ba, eb (fig. 6.) les arcs propofés que nous appéllerons a & b; bd, em leurs Sinus que nous appélerons c & d; co, cm leur Cofinus, que nous appéllerons ƒ' & h\ il s'agit donc de trouver les valeurs de ef = x & cf — y. Les triangles femblables cdb , cfh me donnent les deux proportions3»:/::cH:i ::fh:c; donc ch = 2 , hf = les triangles femblables hem, cbd me donnent les deux proportions f:d:': c: hm.: : 1: eh ; donc hm = jy bh = y \ mais hm = mc — ch = £ — £ ; donc H — —ƒ—" '•> ou ca = fa — , . . —!—-ƒ ; maïs c2 = i — ƒ*; donc toute fé- duction faite, nous aurons x =■ ch 4> ainfi mettant dans ces expreffions des valeurs de x & y celles rélatives aux arcs a tk b; nous aurons S O + = Cb + S£C« & Cf> + b) = CaCb — SaSb. 155. Probleme II. Connoiffant les Sinus & Cofinus de deux arcs a, h d'un rrême cercle, mais de dilfé-i rentes grandeurs, trouver le Sinus & Cofinus de leur dif-J férence ? Soit acfucllement ea = ba r= £ (fig. 6.) leur différence fera 1'arc e b ; il faut donc trouver les valeurs des lignes em, cm; nous appéllerons la première x & la feconde ;y: de plus nous ferons ef =ü d & cf = A;i Ie refie comme dans le §. 154; les deux triangles femblables emh , bdc me donnent les proportions x:f:t\ eh: 1 ::mh : c douc eh = > & mh = Les deux! ƒ f triangles femblables bdc, hfc me donnent les proportions h: ƒ:: hf : c :: cH : 1 donc hf = ~ & ch y ; mais hf = ef — eh — d — y; donc ch =fd -/ x & x — fd — ch; de plus ch 5= mc —■ mh = y — ~f — ^y ~f cx* donc n — fy — cx > & y cs - c?: introduifant dans cette équation la valeur deja trouvee a a*, j ai • donc toute réduftion fake y s= -f" /^j lainfi mettant dans cette équation ici, & celle x = fd — ch les valeurs rélatives de ces lignes aux arcs a, b nous aurons S (a — SaCb — SbCa, & C(> — b) = SöS£ -f CaCh i 156. Ppobleme III. Connoiffant les Tangentes & JCotangentes des deux arcs & I» de différentes grartdeurs' irnais de mêmes courbures , trouver la Tangente & Coitangente de la fomme a h\ 1 Par la $>me équation dü §. i5o,j'aiT(^4/^) = ST^-f-è). c (a+b)' mettant dans cette équation les valeurs que nous avons crouvées $. 154 a S(a + ^) & C -f" b ) > nous .aurons Tc> +4) = 'c^cT^Sl' divifantt0US iles termes de cette fraétion par CaQb, j'ai, toute réduc- c ■ t /■ ~ 1 n S /? -f* S A T^r + T^ uon faue, T. C« + — r— tt> — ■:—t,t» ' v 1 r C C £ i — Lal» ï—Sa Sb c'eft ce qu'il falloit premièrement trouver. Par la i4me équation §. 150, nous avons Ö (a -f- fe ^—Ju—, t donc mettant dans cette dernière équation la valeur que nous venons de trouver a T(a + nous aurons Ó (óf 4* O = ~TVTT^ X57. Probleme IV. Connoiffant les Tangentes & Cotangentes de deux arcs a & b de différentes grandeurs, mais de mêmes courbures, trouver la Tangente & r!ja Cotangente de leur différence a — b? D'après la $mt équation §. 150, j'ai T O b) =s ïJË,^-^-^; mettant dans cette équation les valeurs quê  14$ OPUSCULES nous avons trouvées §. 155 a S (\a — b) & C (a~b}% t /■ ?n S aCb •— S bC a ,. . nous aurons T(* - = g--& f+cfc* i dlvl" fant tous les termes de cette dernière fraction par C#C£, j'ai', toute réduction faite, & en me rappelant que T =t ^ , féquation T(a — b) = .—^^^p—; par-conféquent auffi C*(a - b) = J^l±+-b\ 158. Des expreffions trouvées au Sinus & Cofinus de a -J- b §.154, je conclus que fi a = b j'aurai Sia — iSaCatkCia == C2a — S2a; ou a caufe que S2 a = 1 — C2a; j'ai C ia — iC2a— 1. 159. Soit fuppofé ia = m , alors féquation Cia £= C2a — S=tf deviendra Cm = Ca ~ — Sa~ ; donc Qm — 1 — 2S - ,&par-conlequentS — = —-—m 160. Même fuppofition de ia — m, féquation S aa == zSaCa fe changera cn celle-ci Sm b= 2S—C - j 2 s7 donc C - = —^ ï6ï. Puisqüe S77; = 2S j- C-^ , ainfi que noua venons de le voir §. 16e,' il s'enfuit qu'en ayant un autre are n ^ m, on aura Sm -f- S« ==2 (g^- C-^ + .(sjcs)=.(.s5csx .) +.(s*cf X 1 );or 1 = S"| + C"* = S=°- -f C'|; duns  MATHÉMATIQUES. :H7 Lw + S» = ft(s| c| )(s'£ + c-ï) + 2 S ?) ( S ï S f + C T C J )< mais d'après Ies .démonftrations des §. 154, 155, ce qui eft renfermé dans les deux premières paranthéfes eft — S + ^ )j j & ce qui eft renfermé entre les deux fecondes paranthé- jfeseft = C (~ — |) j donc + S» =j= sS 162. Suivant toujours le mdme mode de calcul, nous trouverons que Sm S« = 2c —jj-—S ^ ■— n ^ 163. De féquation Cm = C1 j — Ss ~ §• x59* j'en conclus que C »z + C n = C2 ^ — S' + e « _ S> mais C« = = 1 - Sl 2 , & C1 f 2 2 7 2 2 § j=i-S2-; donc Cm + Cn = 2 (1 — S5 f -3 2 * S- 2- V mais 1 _ S' - = C' ? ;doncO«+C*=| a II faut fe rendre bien familieres ces reduétions, que nous emploirons trés feuyent dans la trigonométrie fphé;  MATHÉMATIQUES. 149 j;ique & dans la réfolucion des problèmes de navigo aftrohomie. 165. En touc triangle reétiligne retfangle abd C»gE), fi de 1'angle droit b j'abaiiTe fur 1 'hypothénufe ad a perpendiculaire bc , cette dernière fera égale au produit les deux cötés qui forment 1'angle droit, divifé parjfhy • aothénufe; c'eft-a-dire que fi on fait ab = a, bd — b, id = ƒ, bc = d, on aura d — y. ' En effet foit le fegment a c = c & par-conféquent Ie egnient cd == ƒ — c; nous aurons les deux proporions continues rr c : a : ƒ (*) & -H ƒ — c : b:f; lonc c = ƒ — c = ^-;mais^c:i:/-c(t); conféquemment d — c (j—c) — J a ƒ — ƒ2 ' li ^ ^ lionc d — -jt. f \ 166. La première équation S = CT du %. 150, Inife en proportion, me donne i:T::C:S ; mais remarinuons que rélativement au triangle recfangle formé par [e rayon qui paffe par 1'extrémité fupérieure de 1'arc en hueftion, le Sinus de ce même are & le rayon moins le Sinus verfe, ou ce qui eft égal, le Cofinus de notre are; | eft le rayon , T eft la tangente de 1'angle formé au I (*) Cette proportion & la fuivante provier.nent de la compaiaifon des deux triangles partiels bca, bcd avec le total ajd lui eft évidemment femblable aux deux premiers. F (f) Puisqueles deux triangles rectangles bca, bcd font feraLlables au total abu, ils le font par-conféquent auffi entre eu*i Borc , par leur comparaifon , on trouvera que la perpendicalaites K eft moyenne proportionnelle entre les deus cótés a & !>, I K 3  Ï5Q ÓPÜSCULES centre C eft le cóté de 1'angle droit adjacent a Tang) aigu en queftion, & S eft le cóté oppofé a ce même ai gle ; donc , en tout triangle reciiügne re&angle, rayon eft a la tangente Sun des angles aigus, comme I cóté de fangle droit adjacent a cet angle ejl au cêté q\ lui eft oppofé. 167. Donc dans le triangle reétiligne rectangle abI (fig- !•)» 1 : Ta ::a:b, & 1 : Td: : b:a; de a deux proportions je tire les huit équations fuivantes 1 Ta = t;n,a-^. lli,£=öTA,-IV,i=eTA V, Td= |; VI,* = 'fD ; VII, a = /3Td VIII, t = b-lR. j De ces huit équations il eft vifible qu'il n'y en a qu fix qui peuvent fervir a la folution des triangles recliligm re&angles, c'eft-a-dire a trouver la valeur d'un des angk aigus, ou d'un des trois cötés quand on connoit deux d ces cinq chofes; car la quatrième & huirième équatio: ne donnent que la valeur de funité. 168. Par la comparaifon des deux expreffions de a &'; ainfi que celle de Punité prifes dans les huit équations d paragraphe précédent, on obtiendra encore trois autw équations dont les deux premières ~.~ = b T o i PTas=i~ nous mèneront également aux XIe, i XlVe équations de §. 150; car en divifant les deux men bres de la première par b, on a ~ = Td ; mais T. 1 A fe C^d; donc Tp = ^g. Jetrouverois de même pg  MATHÉMATIQUES. 15» Ie moyen de la feconde équation, que Ta — ^r^« Mais par la comparaifon des deux expreffions de 1'unité prifes dans les équations IV & VIII, j'obtiens celle-ci *JA = de laquelle je tire les fix analogies fui- b a vantes. „ , , i o. En tout triangle recliltgne rectangle, les tan o ent es des angles Jont porportionnelks aux quarrés ées cótés oppofés a ces angles. Car en chaflant de notre équation les denominateurs , nous avons celle-ci T a X a = T d X b2 qui mife en proportion rae donne Ta : Td:: V': a. , , _ ü°. En tout triangle reciiligne re&angle la Jomme de la tangente & cotangente d'un des angles aigus eft ct la cotangente du même angle, comme le quarre de Vhypothénuje tfï au quarré du cóté de Vangle droit adjacent a Vangle aigu en quejlion. Car Td — Oa; donc Ta : OA :: ¥: a2, '& conféquemment Ta f C«a : O a :: ¥ + a* : O2, mais b1 + a' = ƒ% donc Ta + C«a : C«a : : ƒ1 : a\ I 3°. En tout triangle re&iligne rectangle . le quotiënt de la tangente d'un des angles aigus divifé par fa cotangente efl égal a celui du quarré du cóté oppofé divifé par le cóté deTangle droit adjacent et 1"angle aigu. Ce qui fe déduit facilement de la proportion trouvée cideflus Ta : C1a :: i3 ; a2 qui mife en équation me T a _ b2 donne ^— — —• 40. En tout triangle reciiligne re&angle, les cotangentes des angles aigus font en raifon inverfe ^ des qurrrés des cótés qui leurs font oppofés; ce qui fe déduit de la première conclufion , en nous fouvenant que les tangentes des arcs, ou angles, font en raifon inverfe des. cotangentes §. 153. K 4  ?52 OPUSCULES 5o» En tout triangle re&iligne re&angle , la fomme de la tangetite & cotangente d'un des angles aM guseft a la tangente du même angle, comme le quarré 4e l nypothénufe efl au quarré du cóté oppofé; ce qui fe cémontre comme Ja feconde analogie. [ M* triangle reciiligne re&angle, le quo.- pent de la cotangente d'un des angles aigus divifé par la tangente eft égal a celui du quarré du cóté de 1'angle droit adjacent a cet angle divifé par le quarré du cóté Qppoje; ce qu'on trouvera aifément en renverfant les fractions qui forment les deux membres de f équation finale qui nous a démontré la 3™. analogie. 169, La feconde équation S = 1 du,§. 150 mife. en proportion me donne, 1 :S:: Sc : T; mais rélativement au triangle reciiligne rectangle formé par le rayon, la tangente & la fecante d'un are , t eft le rayon, S eft le Smus de 1'angle aigu formé au centre, S° eft 1'hypothénufe du triangle reclangle en queftion , & T eft le cöré de ce triangle oppofé a 1'angle aigu formé au centre. Donc, en tout triangle reciiligne re&angle le rayon ek a Vhypothenufe, comme le Sinus d'un des angles ahus (ft au cóté oppofé a cet angle. 170. Ainfi dans le triangle reciiligne reclangle abd (fig. 1) j'ai. 1 ; ƒ;: S a : b : : Sd : a; donc en, core Sa : Sd : : b : a: ces trois proportions me démontrent que généralement dans tout triangle re&ilis,ne re&angle, les Sinus- des angles font proportionnels auxi cfyés qui leur font oppofés (*) II faut fe rappeller qu,e Ie ravon, ou 1 eft Ie Sinus de |^n^9ron;; donc les de^s ^emi^res orppprtions dénionuenfc  MATHÉMATIQUES. i53 171. De ces trois proportions je tire les douze équations fuivantes,I, 1 = i 11 > f = sl'1II,SA=j? IV,*=/Sa;V, i=£fD; VI,/=fD;VII, Sd = 4'; Viü, « = ƒ Sd; IX, Sa = X, | - tsA = öTa = aC*D\ xi, Sd = Sd xii, * = '-ff = *Td = bOA. De ci • douze équations il eft vifible que pour la réfolution de< problêmes de la trigonomètne rechligne rectangle, il faut rejetter les équations I & V paree qu elles ne nous donnent que les expreffions de 1 unite, & les quatre dernières, paree qu'elles fuppofent la connoiffance de trois cbofes dans le triangle reftangle , outre 1 angle droit (*\ Mais les fix qui reftent avec les fix admitlibles da §.167, fuffifent ponr réfoudre tous les cas pouV bles ainfi qu'il eft aifé de s'en convaincre (f). " Les douze équations ci-deflüs, a caufe des doublés expreffions de 1'unité, a , b & ƒ pourroient m en donner f» nuand ie dis que de ces 12 équations il faut en refter fix dans resque les font comprifes les X' & XII', je ne parle p s S quatre fupplémentaires a ces deux la, qui tal les mêmes que ff $ % leltl'^de tables pour 1. rèfolution de tous les loffiblesde la trigonométrie reftiligne reftangle-, paree quea toUière. le. analogies de. J..166 * 169. on poujj. pujours, connoii&nt deux. chofes du triangle. obtemr la valets a'une des trois autres. K 5  Ï54 OPUSCULES quatre autres, mais qui ne me conduiroient qu'a une des js premières. ' 172. En tout triangle reciiligne re&angle la fomme, cu la différence du Sinus au Cofinus d'un des angles aigus efl égale au cóté oppofé a cet angle plus ou moins le cóté de rangle droit adjacent a l'angle en queftion, le tout divifé par l'hypothénuje, c'eft-a-dire quefi on opére pour 1'angle a par exemple, onauraSD -4- Cd = — / ' Eneffet^:SD::/3:cd, §.170, donc a+ b : Sd + \* c SDi°Sfa ^ : Sd : : ƒ: 1, %. i?0; dotTc a -\- t? : i> o -f- Ld : : f : 1, & coniëquemmeat Sd 4- Cd = a±± ■ f ' 173. En tout triangle re&iligne re&angle, la perpendiculaire abaifjée de 1'angle droit fur ïhypothénufe eft égale a la moitié de l'hypothénufe moins le quarré de la différence des deux autres cótés divifée par le doublé de ïhypothénufe. En effet f2 = a* + b\ donc ƒ == t±£■ 0r fans altérer cette équation je puis 1'écrire ainfi qu'il fuit (A) jr» lab . a* — 2 ab + b' ■f — ƒ" ~r~ ƒ ■ ; mais ainfi que nous 1'avons démontré §. 165, d =z j; donc %tl — ad; mettant dans féquation (A) a la piace du premier -y- fa valeur 2 d, nous aurons ƒ — 2 d -f. *:Taafb + i'. ; donc d = f - _ ƒ _ o - iy — 2 2/ •  MATHÉMATIQUES. 155 174. Chacun des deux cotés d'un triangle reciiligne re&angle qui renfermé 1'angle droit , eft égal au produit de 1'autre multipüé par la perpendiculaire ■abaijfée de 1'angle droit fur ï'hypothénuje, divifé par la racine quarrée de la différence du quarré de 1'angle droit au quarré de la perpendiculaire. f f q--iab-\-b'\ En mettant dans 1'équation d = - — ^ %j J k la place de ƒ fa valeur //O2 + nous aurons , _ KO' + kD ; M* ~-*>ak + t) Chaüant d — 1 UK("1 + i!)_/ les dénominateurs & réduifant, j'ai dy a* + bl=~ab\ quarrant cette équation, j'ai a2d\ -f- b^d'J^^f l ^ laquelle je tire également a2bx a2d2 — b d cc — V d2 = a' d2 ; or la première me donne = .Pd' >, & la feconde me donne = ^—wrt Zr — «2 prenant les racines quarrées de ces deux équations, j'ai bd o , _ _fjL_ * == yT^72 ^ ~ - d2' 17 <. Probleme. N'étant connu dans le triangle reélande abd que 1'hypothénufe ƒ & la perpendiculaire d trouver les autres dimenfions du triangle propofé? "Nous favons que ƒ: a +b :: a — b : 2 c —ƒ (*); f*) Cette proportion eft fondée fur le théorême fulvant 5éttontré dans les oUvrages élémentaires de mathématiques,- M Jo«S iriawle reOUiffU, fi d'un des mSles m aUiïïe une PerPsndl"ll™ef?r le cóté oppofé, ou Jon prolongement , on a la proportion, le cóte fur Iequel ou fur le prolongement duquel tombe la perpendiculaire eft o la fomme des deux autres cótès, comme la différence de cern-u efi a li iifferme oa a lafqmme des deux fegments.  ~*56 OPUSCULES donc 2c—f= "J b ; prenant dans cette dernière équation la valeur du fegment c, j'ai c =z a*— maïs 1 autre fegment eft ƒ — c; donc ƒ — £• = ƒ — «' + - f2 _ ƒ» - a2 + ö> „ 2/ — Tf ~ 0r c : d : : d : f _ c, donc *V~ t ^- X + _ ou, effecluant Ia multiplication, chaffant le dénominateur, changeant les fignes & ordonnantpar rapport a k lettre a; j ai a4 — za2 V — f4 ^ ft donc a% = + KT7 - 4/'2^, & * = K cr + K/4 - f *\); mais ƒ* = a2 + donc mettant dans cette dernière équation la valeur que nous ve nons de trouver k a' , nous aurons ƒ1 — 2 y _i J^C/* — 4 /V). Prenant la valeur de j'ai ï Mettant dans la valeur déja trouvée de b, on demande les valeurs de a - En introduifant les valeurs de ƒ & d dans les formules des expreffions de a & b §. 175 ; j'ai a = ^ ^ 100 + V 10000—9^^ _ y ^ roo + Vj^^ 177. On feroit porté a croire, Monfieur, que d'après tous les rapports & analogies trouvées précédemment entre les trois cötés d'un triangle recfangle & la perpendiculaire abaiffée de 1'angle droit fur i'hypothénufe, on pourroit ne connoiffant que la perpendiculaire en conclure les dimenfions du triangle propofé; car dans les expreffions générales de atk b §. 175 il n'entred'autres quantités litérales que d & fi donc en les introduifant dans féquation ƒ. 3= «s + b*> ou dans 1'équation d = a-~ §. 165 f  t£8 OPUSCULES ou dans celles a = & * = §. 174, on auroit des équations dans lesquelles il n'entreroit d'autres quantités littérales que d & ƒ*, & par-conrequent on pourroit en obtenir aifément la valeur de ƒ (*) par une expreffion dans laquelle il n'entreroit que Ia quantité connue d. Mais, Monfieur, fi vous preniez la peine d'effayer les opérations que nous venons d'indiquer , vous trouveriez que toutes ces équations finales s'évanouïroient, ou feroient identiques , ou vous en trouveriez une qui ne vous donneroit la valeur de /qu'entant que celle-ci efl: doublé de la hauteur d & que pareonféquent les cötés a & b font egaux; cette équation fe trouve en cherchant les valeurs de a & b par le moyen de féquation d = y $. 165; en fuite mettant ces nou- velles expreffions des deux cötés dans féquation f2 = a* -f- b'; on parvient après de longscalculs ala finale f6 •—. 8 d2 ƒ4 + ao d4 f\ • - 16 d6 — o, qui étant réfolue par la méthode du troifième degré §. si, me donnera fix racines dont trois négatives que je rejette, & trois pofitives dont (quelque foit la valenr de d~) deux feront égales entr'elles, mais telles que leur immerfions dans les valeurs de a & b rendroient celles-ci imaginaires ; il faut par-conféquent auffi les rejetter; il n'en reftera donc qu'une qui donnera a ƒ une valeur toujours doublé de celle dc la perpendiculaire d; ce qui n'arrive cependant que quand d efl = au rayon du cercle circonfcrit. L'infignifiante folution de ce probleme n'eft telle que (*) Quant a d il efl: clair qu'on ne peut trouver fa valeur par celle de f, car 1'hypothénufe reftant toujours la même, la hauteur £ peut augmenter ou diminuer a chaqu'inftant.  MATHÉMATIQUES. 15$ (paree que connue nous 1'avons die §. 175, le triangle) jireétangle and eft parfaitement — a celui abd; donc i la perpendiculaire of:étant la même dans les deux cas de ï'a > />, le réfultat du calcul dont Ie feul agent étoit d Idoit être moyen a tous ceux poifibles; c'eft-a-dire qu'on \ doit avoir ƒ = 2 d, cas dans Iequel a — b. Soit fuppofé par exemple que d = 2 ; alors notre I équation finale devient ƒ6 — 32 f4 -f- 320 f' — 1024 ; = o; multipliant cette dernière par la progreffion arithmétique 4- '. fa2 — m2\ ' b2 -f- m2 — a3 de meme pd ( j— 1 as —c_ '± . 2 \ zb / 2 b > & dans le triangle rettangle bpd on a Cd = ——'^ donc Cd — b-ji-ln ~~, c'eft ce qu'il falloit trou- 2 o m 1 ver. 180. Quand même la perpendiculaire abailfée d'un des angles tomberoit en dehors du triangle, les formules de folutions refteroient telles que nous les avons trouvées dans le paragraphe précédent ,* car fuppofons qu«  M A T I-I É M A T I Q U E S. rót jque le triangle propofé adB ayant pour bafe ab, j'ahaisjfe du poinc d fur le prolongement bs de la bafe, la perpendiculaire dt; alors j'ai la proportion a : b -}- m : : Ib — m : a -\- zp (en appellant p la partie bt dn jprolongerrientdela bafe ab); donc a -\~ip == *—* & p = hl^Z-^=^; mais at = a + pi donc iAT = ^,Ty^i or, dans le triangle reftangle Iatd, j'ai CA = f = 2lJ:12Tf::Jli' có qui S!ï la même formule de folution que celle trouvée §. 178' 181. Si c'eft 1'angle obtus b, dont on veut avoir 1'ex* jpreffion générale de la valeur,- alors par la ccnftrucliort | précédente §.si8o, j'ai, comme nous f avons démontré Idansle même paragraphe, p ==? *£j * : mais dans I le triangle reélangle bTD, nous avons Sbdt = -J-; or! ISbdt s= Ctbd = Cabd ; donc mettant pour/» fa valeur, nous aurons Caëd = £a th * 182. Vous remarquerez, Monfieur, i°. quécetceex-preffion du Cofinus de 1'angle obtus b 11e peut être né?ative; car il eft évident que b1 > (m2 -f- a2)': en efbc li fur la ligne at, & au point b ,, j'éléve la perpendiculaire qb, j'ai le triangle reéringle abq dans Iequel AQ3 = Ti' -f- e~q3: mals la ligrie tq quöiquë < què b d , fe rapproche davantage de cette dernière qUe a f> de ad; car fi du point b comme centre, & d'un rayon = b q, je décris le petit are eelui ei coupera lecóté bo dans un point qn.i déterminera la différence rö de bd a b oj or cette différence eft moins grande que  IÓ2 OPUSCULES celle qd de ad a aq; car dans le triangle qtd il eft vifible que 1'angle r eft > que 1'angle q ; ce premier étant > que 1'angle droit qjd, donc qd > Dr,*d'oüil ré fuite que ad2 > ab1 -f- bd'. 183. 20. Que fi fans autres connoilfances antérieures que celle des trois cötes , 1'angle b qu'on a cru obtus n'étoitque droit, ou même aigu; ce a quoi on peut aifément fe tromper dans un grand terrain oü on eft fans graphométre, & oü on ne fait'que mefurer les trois cötés du triangle; alors 1'erreur feroit tout de fuite corrigée par la formule même de folution, qui fe réduiroit a zéro' fi 1'angle b étoit droit; car alors b feroit 1'hypothénufe d'un triangle re&angle dont les deux autres cötés feroient a & m ; donc b1 — (a2 -f- w2) = o; & fi 1'angle b étoit aigu, alors la formule de folution deviendroit négative, puisqu'évidemment dans ce cas-la, le cóté bd êtant en dedans de bq, on auroit ad3 < ab -f bd', donc b ~^f;;+ a- feroit négatif. ip, 4. Des trois formules que nous avons obtenues dans les §. 179 & 181, nous pouvons en déduire celles qui fervent a la folution de tous les cas poflibles de la trigoiiométrie reciiligne obliquangle; en prélevant les cas mentiolinésau §. 178, & dont les formules de folutions font encore plus fimples. De la première formule I, Ca = - +2^"" m\ je tire les trois fui V antes ;W,a~bCk-\-ym2-b2-\-b2C2\ = bCx + y'm2 — b2S2A C); III, b = aC\ (* ) Puisque C3|a = I — S*A, f. 151, nous aurons l*C3k z=:b2 ~-b2S2 a ,& par-conféquent»»3 — b2-\-b2C2a. =: m' — fi3S2Aj ilen eft de même pour les formules III, VI, VII, X & XI.  MATHÉMAfiQÜESi 16$ ;«]- y'm' — a'S'A; IV, ■= ]/a*-\-b-— zabCM de la feconde formule, V, Cd =, ƒ a^,~" > Je. ^" lire les trois VI, £ = 7»Co -f- — w^S:d; VII $ » = JCd -f -^'S'ö; VIII , * = y b2 -j- m2 — nbmCo. De la troifième formule IX, Cb = blnSal 4"»') ;e tire les trois fuivantes, X, a = — wCb -f- y!>2 — »^Sjb;XI,w=—aCè Jf. y b1 — ö3S2b; XII, b — y 'al ^lrF^\- 2amCeÜ Vous remarquerez* Monfieur, que ces trois dernières formules qui font formées d'après 1'hypothéfe de b obtus $ me différent de ce qu'elles feroient fi cet angle b étoit aigu, qu'en ce que tous les termes affeclés de la premièfé ipuisfancë de Cb ont un figne contraire a celui qu'ils iavoient dans 1'hypothéfe de b aigu. 185. Ainfi, Monfieur * cönnöhlant dans uri trianglé iiiecfiligne obliquangle un angle & deux cötés quelcon|ques, noUs fommes toujours en état de trouver 1'autfë 'fcóté par une feule formule; voyons a préfent de foumeture aux mêmes loix 1'exprefliort des deux autres angles. Soit fuppofé connu 1'angle a , & les deux cötés a & b\ je fais que Sd = mais par féquation IV §. 184* ilj'ai, m = ya* -\-b2 — 2<2&Ca; donc, XIII* Sri = \y\a2 -f l2*— iabCh)'^ démcmtrerois de même que,puis- icue Sb & j'aurai, XIV,SÏ = . ... , f Sa . F* ni ,J yXa2+ë2—zabCAy LdefuiteXV, Sa = ^ XVI, L a  164 OPUSCULES Sb> = 7, ?P / ; XVII, Sa =s m s * xviii s — *Sb 186. Le figne négatif qui précédé fous le radical dans les deux dernières formules, le terme affccfé du Cofinus de 1'angle b, eft pourle cas oü cet angle eft aigu, &le figne pofitif eft pour le cas oü ce même angle eft obtus. C'eft une actention qu'il faudra avoir en fe fervant de mes formules pour la folution des triangles obliquangles. 187. Faifons, Monfieur, quelques applications de ces formules fur les exemples fuivants. Probleme I. Etant connu dans le triangle obliquangle abd, les trois cötés a = 71, £ = 92, m = 32; trouver la valeur de 1'angle a? a' = 5041 b1 = 8464 d* -1- V =5 13505 m' — 1024 a> + b3 — m' = 12481 L. 4,0962494 + aab ss 13064 L. 4,1160762 —■ diff. 9,9801732, qui eft le hg. cof. de 1'angle a se 170 10' 54". 188. Probleme II. Ayant les mêmes données que dans le problème précédent, trouver la valeur de 1'angle obtus b? a' = 5041 m = 1024 a1 -{- tn* = 6065 V — 8464 V — + «O = 2399 L. 3,3800302 -f aam = 4544 L. 3,6574383 — diff. 9,7225919 qui eft le  MATHÉMATIQUES. 165 hg.eof. des8° 7' 59"; mais puisque 1'angle b eft obtus ^ ion aura évidemment, angle b = 180* — 580 7' 59" = 121° 52' i". 189. Probleme III. Connoiflant 1'angle a — 17„ 110' 54", a = 71, rn = 32; trouver la valeur du cöté bl d — 5041 L $,70*5167 I - A = 170 10'54." LS3 8,9409017 Som. ê, 6434184 fog. de ö3S5a= 440 m2 = 1024 m=_^»S2a= 584 £ 2,7654128 ï£ 1,3832064 iquieftle log. de J/(w2-ö3S2a) = 24,1-» *=7i £ 1,8512583 ! a= 17° 10'54' LC 9,9801732 ( Som. 1,8314315 £ de öCa = 67,9.5, Som. 92 donc & = 92. 190. Probleme IV. Connoiflant 1'angle a == 170 ;ïo' 54'', a — 71, b = 92; trouver la valeur de 1'an- a = 170 ïo 54 LS 9,4704139 a — 71 £ 8512583 Z, «Sa 1,3216722+^ «J = 5°4i I £2 b= 8464 < «» + £>3 = 13505"] I (40*= 13064 £ 4,1160762 I. r k = 17010'54" £C 9,9801732 j f de a« Z>Ca 4,o962494/og.dej248oj a*-{-b2—2tf£CA= 1025 i Zi,5053620—-j diff. 9,8163102 Lui eft le log. cof. de 1'angle cherché d = 40°- 57'5". L 3  }66 OPUSCULEg LETTRE XXI. Je vais, Monfieur, dans cettelectre-ci, vous donner ia folution purement analytique de tous les triangles fphérfc ques reftangles = T| • mais T* = H (*), & Cb = ^1 - S^; de plus par la première folution, Sb = — ■ donc Sm' Ca 1/ S'm — S"« , __ . maig Cp _ y l s^ . don(; r * — 1/ f C*f? — S'm + SJ«\ ^ " — V \ " £rn J » or nous favons que C'n + S3« = i j donc Cp == k( 1 ~ s'y*) = jy f ^'Ifn \ C m ^ \Q' nJ ~~ Ca' 3me Solution. la feconde proportion me donneS^= *L?. ■ S«* mettant dans cette équation la valeur que nous avons trouvce ci-dtfius a Sp, nous aurons Sa = y (^m ~~ 'S^V mais Ctf =. j/(1 -s3ö),'donc Ca =1/( C'"S'*»-S'»»+SJ» \ . v C'n&m }> prenant la racine quarrée du dénominateur, faifant attention (*) Jepréviensle lefteur qu'il doit avoir fans ceiTe préfent a 1'efprit les équations des paragraphes 150, 151 &152; paree que a chaque inftant nous en ferons ufage dans le courant de cette lettre.  MATHÉMATIQUES. i69 queC«» = i - S*n,& enftiice que S2m — i — C* m- „ _ T/iym^n _ Cm Sn — T » nous aurons Ctf _ - 3w?Cw" — sm * C» ~~ T> 195. Probleme. II. Etant donné dans le même triangle adb 1'angle b & le cöté oppofé n; trouver lés valeurs des deux autres cötés m, p, & du troifième angle al ire Soluiion. de la 1" proportion je ure Sm= — ame Solution, de la 3me proportion je tire Sp == 3™ Solution. de la 2de proportion je tire S ^ = $1; mettant dans cette équation les valeurs que nous venons de trouver a Sp & Sm, nous aurons Sa = ^ _ Sb _ c± * Tb ~~ Cn' 196. Probleme III. Etant donnés les deux cötés p &cn, trouver les valeurs des deuxantres angles a,b,&c 'du troifième cöté m ? jr« Solution. la 4me proportion me donne Ta = . 2ffle Solution. la 3me proportion me donne Tb = Jjt 3me Solution. de la ireporportion je tire S m = mais S£ = TbCb= Tb ]/ i -S'b = V T^b^Fb^f, donc S,* = j-prT^ ^ Tb L-^ + A-j" ca .,_— f , . Donc S;m =: -— ? KC1 + l2^ L 5 jr« Solution. la 4me proportion me donne Tö = -j^.  i?o OPUSCULES mais par Ia &rae folution, Tb ==. donc Sj» J s/>s»K'+££) = s^p2ïi;orTw=s t« s« donc Sw = yC'nS'p + S3»: mais Cw =] F 1 ~ S2?»;doncCf« == y i — s*n - C2«S2/> =J ^C3« — Ca«S2p = yC'nfJ'p = C»C6 197. Probleme IV. Etant donné le cöt'é p & Fangle b, trouver les valeurs des deux autres cötés n m & du troifième angle i« Solution, la troifième proportion me donne T» ~ SpTb. £me Solution. delapremièreproportion,jetireSw=^« Sb* mtisSn=Tnyl - S'n = yT'n - T*«S^;donc SJM — 3_2£ • &• c « — t» venons de voir que Sm=z~', donc S»z == t" . or par la ire folution, Tn = SpTb ; donc Sm = SpTb . Sb Sb K(i + S2pT2£): mais T* = c$ » donc S«* = Sj< ~ TW = K(C^ + CJ/s%T^r=T^J3 ; & a caufeque T»i = j'ai Tw = Sp  MATHÉMATIQUES. 171 Sp _ Sp _ Sp ^_ Tp 3me Solution, Ia feconde proportion me donne Stf= _ . . ———— KTi T Hiais S?« = Tm y 1 — S ra = —_p_.donc S* = s**/' + T>; or T», = £f ( 2ac foIution de ce SOi donc Sa = ^VC2J + T^ ; mettant dans cette équation Ia valeur de Tp = j'ai S# = vP yc-bc2p + s2/) = j^c»j>.- sap~& »caufeque C'p -j- s'p = t, j'ai Sa = y 1 — C2pS2b; donc Ca == y'C'pS'b = CpSb. 198. Probleme V. Etant connu 1'angle # & Ie cöté wz, trouver les valeurs des deux cötés p, n & de 1'angle *? iw Solution. Ia feconde proportion me donne Sp = Sm. 2rae Solution. de la quatrième proportion,je tire S»=-jA; mais Tp = , y> ^ ,—- : mettant dans cette dernière ■ y(1 - s,py équation la valeur que nous venons de trouver par la ire folution aSp, nous aurons, Tp = y ^ ^z^^s^m)^ iQm Sn = )» i OrSra=CwTra;doncT»= C«C»;T» : K(i-Sa«Ca»Ta» -C2«C3»31>,)* mais C3a = i — Sa# , donc toute réduction faite, _ CaCmTm , , _ _ ln ~ - C'aTf^ö»' de Plus CmTm = Sm, &K0 — S'm) = Cm, par-conféquent Tn = CgSffl— CöT?b. 3me Solution, de la 3** proportion ie tire T£ = Ti?» mettant dans cette équation les valeurs trouvées précé- demm'ent a T« & Sp , nous aurons Tb = CaT»1 S a Sm "°a X ïj& &acaufequeTra = gj* j'ai p 199. Probleme VI. Connoiffant les deux angles a, b trouver les valeurs des trois cötés? 1re Solution,la3me proportion me donne Tn=SpTb; mais Sn = T» yC\ — S1») = T" ^ KC-r + T3»;> donc mettant dans cette équation a la place de T» fa valeur SpTb; nous aurons S» = ^7^-+ f^T' 0r T* = ^, donc S» = ; de la 4**  MATHÉMATIQUES. 173 , „ T aSm 1 proportion je tire Tp—Ta Sn; donc lp —^p^^-^=z | ap = rt°y*±J&% maisCp = ^ = SpOp, Lnc Có = yJ^yb±^^ & par-conféquent CtyT'* Ër (CV* + S2/> = (C1)2^ + 1 — C'P '■> donc \apTa + c>, ouC2p (Ta« + 0 = (c,)a*+i5 Rfc# = = ryri doncT°* + i=r=?s^ :s= ^,&(C<)2 & — 1 = gb» par-conféquentC>=_ & nous avons trouvé (2*» I folution) que Cn = ~ ; donc S» = ,KS * t c _ : & Sm = V ss^ ~; doncC«= ^S';a = I %H'gS^ -^Sj* + C3f mettant dans ie numérateur a  t74 OPUSCULES laplacede S2£fa valeur i-C2£, i'ai Cra=^^-S^^': 3 SaSff * mtisCb = SbOb; doncCra =a KCCQ'* —S'« &acaufe que S*a= i — C'tfJ'ai Cra = ^C^CC' S <2 _ OS " T ,■ mais de ces quatre problêmes il efl: aifé de voir que le premier eft de même efpéce que celui réfolu §. 194; que Je fecond eft de même epéce que celui réfolu 5. 195; qUe je troifième eft de même efpéce que celui réfolu §. 197; & enfin que le quatrième eft de même efpéce que celui réfolu §. 198. 201. D'ailleurs, Monfieur, afin de rendre plu» commode 1'ufage que vous ferez dans Ie cas de faire de ces formules , je vais les reunir toutes dans la table fuivante.  A B L ü, pour la rélöluüpn de tous les cas poffibks de ia trigonometrie fphérique. ; donné tro.ver formules de Solutions. Etantdonné trouver formules de Solutions. b Sb = c— » ö a — $m bm "m Cm C/W | p Cp=^n m,P * C"=c> a Ca=%Z b Cb =H TraTp ra Sra = || ra Sra = ; — a Ta = p P Tp ==' TaS« s » «T" T/ï p b Tb=~ a,n ra Tra = g£ ra Cra = C«Cp & Cb = SaCn n Tn c= SpT£ » S« = S£Sra P ra Tra= jEj ^,ra p Tp == C£Tra ^ Ca - SbCp a Ta = ^ p Sp = S^Sra ra Cra= C^C'é ra « T« = CtfTra ' a,b n Cn = 9È ba b Tb= — p Cp == C1 Cm tjb  176- OPUSCULË S 202. Pafïbns maintenant, Monfieur , a Ja réfolutldrl des triangles fphériques obliquangles. Soit les deux triangles fphériques obliquangles azp * (fig. 7 & 8); en abaiflant d'un des angles z fur le cóté oppofé ap (%7)> ou fon prolongement (fig- 8), un are perpendiculaire zq; on aura deux triangles fphériques reetangles aqz, pqz & deux fegments aq, pq fur la bafe; je nommerai le premier b, le fecond r, & q le cöté ap fur Iequel tombe la perpendiculaire. 203. Dans les deux triangles reftangles aqz, zqp j j'ai les deux proportions, 1 : Sm : : Sa : Sd, & 1 : Sb :: Sp : Sd §. 193; donc a caufe que ces deux proportions ont les mêmes extrêmes, j'en tirerai la troifième Sm : Sp :: Sn : Sa; donc , en tout triangle fphérique , les Sinus des angles font propertionnels aux Sinus des cóiés qui leur Jont oppojés. Ce qui efl la première analogie de la trigonométrie fphérique obliquangle. 204. Par 1'application de la formule , feconde folution §. 194, j'ai dans le triangle fphérique reftangle aqz^ Cd = Q$', & dans celui zqp, j'ai Cd = ^~r; donc ^ = & Cm : Cb : : Cn : Cr; par-conféquent J en tout triangle fphérique obliquangle lorsque d'un des angles on abaiffe fur le cöté oppofé, ou fon prolongement, un are perpendiculaire; les Cofinus des deux autres cotés font proportionnels aux Cofinus des fegments adjacents Jur la bafe. Ce qüi efi: la feconde analogie de la trigonométrie fphérique obliquangle. 005. Dans les deux triangles aqz, zqp, j'ai TV =r TaSb, & Td=TpSr (*); doncTaSb = TpSr, & (*) ire Solution J. 197.  MATHÉMATIQUES. 177 J& Sb : Sr : : Tp : Ta; ainfi les Sinus des fegments font entr'eux en raifon inverfe des tingentes des angles ;adjacents: mais les tangentes des angles font entr'elles en iraifon inverfe des Cotangentes des mêmes angles §. 153; Idonc , les Sinus des fegments font proportionnels aux \Cotangentes des angles adjacents ; c'eft-a-dire qu'on a !la proportion Sb 1 Sr :: O-a : Op ; ce qui efl: la : troifième analogie. 206. Dans les deux triangles aqz, zqp; j'ai, Cd = U^- ; tkCd = donc Ca : Sazq :: Cpi \Sazq ' S qzpK r \Sqzp; par-conféquent, les Cofinus des angles a la bafé < (ont proportionnels aux Sinus des angles formés h l'ori\gine de 1'arc perpendiculaire fur la bafe, & abaiffé dé 11'angle oppofé. Ce qui efl: la quatrième analogie. 207. Avec la feconde proportion analogitielle C m : ÏCb :: Cn i Cr, $. 204 ; je forme celle-ci C b -f[Cr : Cm -f- Cn :: Cb — Cr : Cra — C«; ouce ; qui eft la même chofe C- + C- : C~ + Cj : : >C- C- : C — — C - ; donnant k chacun de ces ;: termes les valeürsqui leur conviennent §. 163& 164,nous Uurons C(tfr)c(^) .C(!f)c(t!) | =. s (**-') s < s (^") s C*v-*>- a caufe que b + r = q, nous aurons c| G(-^I-J (*) ame Solution f. I99< M  17' OPUSCULES 5 (—-—*) ; divifant ie premier & troifième terme par le premier, le fecond & le quatrième par le fecond; alors il efi: vifible que les deux premiers termes de notre proportion deviendront 1'unité, & que les deux derniers feront T£ T (L=J)&T (*±_?, T (^) ,par- conféquent ces deux-ci feront egaux; ce qui me donne Ia proportion Ti : T'f^JL*^ :: T ^ — :T(~r^)* Donc» «* tout triangle fphérique lorsque dun des angles fabaiffe fur le cóté oppofé im are perpendiculaire, la tangente de la moitié du cöté fur Iequel tombe la perpendiculaire efl a la tangentede la moitié de la fomme da deux autres cóiés, comme la tangente de la moitié de la différence dc ceux-ci efl a la tangente de la moitié de la différence des deux fegments. 208. Dans la figure 8 , nous aurons évidemment Ia même proportion; mais dans celle-ci il faut remarquer, que q efi: égal a Ia fomme des deux fegments aq & p q] 6 que b — r efl: égal au cöté ap fur le prolongement duquel tombe Ia perpendiculaire; donc en faifant changer les extrêmes de placcs dans notre proportion, nous aurons, la tangente de la moitié du cöté fur le prolongement duquel tombe la perpendiculaire efl a la tan«ente de la moitié de la fomme des deux autres cötés, comme la tangente de la moitié de la différence de ceux-ci eft a, la tangente de la moitié de la fomme des deux fegments. Ces deux analogies dans les cas de la perpendiculaire inténeure (fig. O» ou extérieure (fig. 8.) fe démontrent dans tous les traités de trigonométrie fphérique; mais  MATHÉMATIQUES. 179 c'eft finthétiquement; ce qui rend la démonftration trés longue & compliquée. 209. Par le moyen de ces analogies § 207 & 208,° il eft vifible qu'on pourra toujours, connoiflant les trois Cötés d'un triangle fphérique , calculer la valeur des angles," car elles font connoïtre la moitié de la différence des fegments (fig. 7.), ou la moitié de lafomme (fig.8.); donc on trouvera la valeur de chaque fegment , & par-conféquent dans les triangles fphériques reébmgles aqz, pqz on pourra trouver les valeurs des angles a, p, &c. 210. On peut donc auffi avec les mêmes analogies, trouver la valeur des trois cötés d'un triangle fphérique, lorsque on ne connoit que la valeur des trois angles: car alors dans le triangle fuppiémentaire formé pu- les trois arcs de grands cercles , qui ont leurs poles aux angles du triangle propofé, on connoit les trois cötés, puisqu'ils font les fuppléments des angles connus 'qui leurs lont oppofés. Donc on peut trouver la valeur des trois angles de ce triangle §. 209 ; & en prenant leurs fuppléments, avoir la valeur des cötés qui leur font oppofés dans le triangle propofé. Cependant pour réfoudre ces deux problêmes §, 209 & 2ïo, nous nous fervirons d'autres méthodes qui font plus fimples & plus briéves. 2Probleme I. Etant donnés dans Ie triangle fphérique azp, les angles a , p & le cöté m oppofé h. un des deux angles connus p, trouver les trois autres dimenfions ? Par 1'analogie du §. 203 , j'ai, S n = -^y* • Abaifïïint du troifième angle z fur le cöté q ar'jacent aux deux angles connus * un are perpendiculaire d, je' partage le triangle propofé en deux reétangles ; or je eonnois dans chscun des deux, un angle indroit & 1'hY•M 2  180 OPUSCULES pothénufe, il me fera conféquemment aifé de trouver les valeurs de» fegments b & r (*); les ajoutant (fig. 7.), ou retranchant r de b (fig. 8.), j'aurai' la valeur du cóté cherché ap. Connoiflant ap, je trouverai la valeur de 1'angle 2 par 1'analogie du §. 203. 212. Probleme II. Etant donnés deux angles a, 2 & le cóté compris entre deux m, trouver les trois autres dimenfions ? D'un des angles connus 2 j'abaiife un are d perpendiculaire fur le cóté oppofé q; or dans le triangle rectangle zqa, j'ai Tazq = ^ ( t )• Connoiflant 1'angie azq, je connois celui qzp. Dans le même triangle reftangle aqz, j'ai Td =z CazqTm (**). Dans le triangle zqp connoiflant le cóté d & 1'angle T d qzp, j'ai Tn =. tjjj~ (tt)* Mais nous venons de voir que Td = CazqTm ; donc Tn = C^?Tffl. Dans le triangle reftangle aqz, connoiflant les deux angles a & azq, j'ai Cd — ■—— (§). Dans le triangle reftangle zqp, connoiflant le cóté d & 1'angle qzp. j'ai Cp — SpzqCd (§§) mettant dans cette (*) ame Solution §. 198. (t) 3me Solution J. 19b". (**) 2nie Solution 198. (tt) 2'"e Solution $. 197. (g) ire Solution g. 199. (SS) 3me Solution $. 197.  MATHÉMATIQUES. 181 dernière équation la valeur que nous avons trouvée ci-des- _^ SpzqC a fusa Cd, nous aurons Cp — SJZ? • 213. Probleme. III. Etant donnés deux cötés tn, n & un angle oppofé a, trouver les trois autres dimenfions? D'un des angles inconnus 2, j abaiffe un are d perpendiculaire fur le cöté oppofé ap ; alors par 1'analogie §. 203, jai Sp — -gj-. Dans le triangle reftangle aqz, j'ai T£ = CaTm (*); connoiffant &, m & », je trouve aifément la valeur de 1'autre fegment, par le moyen de la feconde analogie §. 204; ce qui me donne Cr = Connoiffant b & r, j'aurai la valeur du cöté ap — b + r (fig. 7), = b — r ( fig. 8> Dans le triangle reftangle aqz, j'ai Tazq = (f),- & Td = CazqTm (•*). Dans le tri- angle 2^p, 'füCqzp = ajr; (tt) i donc mettant dans celle-ci la valeur que nous avons déja trouvée a Tij nous aurons Cqzp ss ^nr-^' ainfl connoiiratlt les angles «2?, #2/>, je connoitrai 1'angle tfzp qui efl: leur fomme (fig. 7), ou leur différence (fig. 8). 214. Probleme IV. Etant donné 1'angle a & les (*) 2me Solution g. io3. (f ) Solution §. 108. (**) arae Solution J. 108. (ff) 3me Solution §• 194. M 3  I8i OPUSCULES - deux cótés qui ie forment m tkq, trouver les trois autres dimenfions? J'abaiffe d'un des angles inconnus z fur le cóté qui] lui eft oppofé ap , 1'arc perpendiculaire zq & j'ai Tb] — CaTm (*); connoiffant le fegment £, je trouverail aifément 1'autre r, puis que je connois le cótéap; doncl par la feconde analogie §. 204, j'ai Cn '= -C™pr, Cb Connolfant les trois cótés & 1'angle a , j'ai par 1Q| moyen de Ja première analogie §. 203, Sp = SaSm : S» 5 215. Duns les quatre problêmes que nous venons dei réfoudre, la pluspart ont exigé deux formules pour ob-'. tenir une feule des trois chofes chercbées; en effet pour' avoir la valeur du cöté ap §. 213 , j'ai été obligé del falculer le fegment b par la formule Tb = CaTm}\ en fuite 1'autre fegment r par la formule Cr = 9bc"- j Cm J j & de même pour plufieurs autres. On pourroit trouver' des formules de folutions dirtcfes p"ur réfoudre ces difféï rents cas: mais elles font li compliquées, que le calcuf: dansl'ufage qu'on en feroit, feroit infinimentplus long quei Celui qu'exige les métho.'es que nous avons indiquées; en| effet la formule direeïe de folution pour trouver la valeur du] ^ rT aft r>* - CwS» + Sa$m V(C>m-C'n±£a£m) ] 1 — S2aSzm • D'ailleurs, comme on opére généralement dans la pratique (*) ame Solution J. 108.  MATHÉMATIQUES. 183 11 du calculdes trigonométries par les logarithmes; il faut le plus qu'il eft poffible, éviter d'employer les formules dans lesquelles il y a des fignes additii's & fouftraétifs i entre les attributs des arcs, lorsqu'on ne peut foumettre ij ceux-ci a des réduftions telles que celles que nous avons obtenues dans les §. 161 & fuivants. 216. Cependantles formules direcfes de folutions des i expreffions du cöté n & des deux angles p , z , nous I étant utiles dans 1'application que nous ferons de la théorie acfuelle a celle de la navigo-aftronomie : je vais, 1 Monfieur, vous les faire connoïtre ; d'ailleurs je vous i prèviens que quand nous les emploirons, nous leurs ferons 1 éprouver des réduftions d'après lesquelles s'évanouironc l les difficultés que nous leurs avons repochées dans lepa!ff ragraphe précédent. Soit donc propofé de réfoudre le même problème que 1 celui du §.214, en trouvant pour les valeurs de «, p I & z , des formules dans lesquelles il n'entre d'autres I quantités que celles connues m & q. r-.W=gf = &=CT£T).M*CC, Ji- O = SbSq + CbCq §. 155; donc Cn „ .. . cr CbCn'—CbCmCq a — —tt;— , „ i r- ,d ouietire 00 = pr^ > 1 — SbSq + CbCq^ J Cjribq ' Sb rr> 1 C» — CmCq nif . i & par-conféquent ^ ou Ti = —• iVi£»s Cn ■— CmCq ] 1b = CaTm (*); donc CaTm = ——* 1 d'ou je tire C» = C^TraCraS^ + CroC? = j CöSraS^ + CmCq. (*) 2™ Solution j. 198. M 4  ?84 OPUSCULES J'ai par Ia première analogie §. 203 Sp — S a?m ' S n _ SaSm SaSm <~ t7^— ^ '■> donc Tp = —5==- — ; Mettant dans cette équation la valeur que nous gvons trouvée ci-deflus a Cn, & faifant attention que b aS m = S2m — S'm Ca ; nous aurons Tp == S aSw 7/(1 - CVS>S'^ - zCaSmSqCmCo- C*mC'a+Q'a$*m -S'mS maisi — S2»2 = C3ra, & — C2« S'mS^ = — CaS*m -f- CaSmCq. Par-conféquent nous aurons Tp = S a S m 1/(C2m + Ca S'mC'f — 2 CaSmCmSq Cq — Cm C2?)> oua caufe que- CqCm =- Cm -f CmS'q, j'aurai Tp '= S a b m V {.CaS'mCq — 2 C*Sln'SjCm'Cq -f- S'jC'»)' or, la quantité qui eft fous le radical eft le vrai quarré de CaSmCq — SqCm; donc Tp = „ c f"Sn'fc 0 : r CaSmCq — S^Cf»' ou a caufe que Cm 2= Sm Cm, en divifant les deux termes de la fraéh'on qui exprime la valeur de Tp par Sm, nous aurons Tp ar ___—?a, • • je trouverois c CaCq — SqOm^ ' S a de même que Tz = ^ „—■— r~. ^ Ca Cm — SmCq 217. Vous remarquerez , Monfieur, que puisque généralement (a — b)2 = (b—a)'; la quantitéquieft fous le radical quarré de Ia formule §. 216, avant 1'extraction de la racine quanée de cette même quantité , eftaufli bien le quarré de Cm Sq ~r Ca Sm Cq , que celui de CaSmCq — CnSq; donc la formule de folution valeur de Tp pourra être celle que nous avons indiquée, ou bien celle ci Tp = , fuivam que CaCm  MATHÉMATIQUES. 185 K Sq Cm. II en efl: de même pour la formule valeur de Tz qui pourra être celle indiquée §. 216, ou Tz =r l ___Jïf — , fuivant que Ca Cm ^ Sm Oq. Sm ( Probleme V. Etants donnés les trois cötés Ij», n & q trouver les trois angles a, p & z? ^ rp C«— CmCq, Nousavonseu§.2i6,1 équation Ca Lm = - Cw$g > idonc C* = ®h'tJ.tC* c"r C»T» = S»0;orf fo£ = %. 159 ; donc S-- = —Vs^st"* i mais SraSf + CmCq = C (q — w) §• »S5; donc « _ C(<^ «Ój-G») de plus C(^ — «») — C» - fl s (? - '» f-) S (?Lz^i^ ) §. 164, par-con: féquent SJ- - S ( --^ j H 2_k SmSq I Faifons pour abréger la fomme des trois cötés = q; alors il eft vifible que tL±JJ=US = 1 — m & que 1 n + fn—q Q q . donc Ss£ = jkj - *> & s? = s",s? M 5  186" OPUSCULES V fs{~-ms)sQ — q)\ On aura de même V" SitSq / ^(s(r-»)s(r-«)} ^ S 7» S « ✓ 219. Probleme VI. Etant donnés les trois angles 4t, z, p trouver les trois cótés? Suppofons pour le moment un triangle fupplémentaire au propofé , dans Iequel par-conféquent 180° at 1800 — z, 180° — p feront les trois cötés; donc dam ce triangle, Q = 540° - (a -f p _|_ 2) . foit a — -f- 2, alors q = 54e)o A . donc fi nous repréfentons par n, f, m, les trois cötés du trian- gie fupplémentaire , c'eft-a dire que n = 18o° a r = 1800 — z, m = 180° - p; alors j'aurai en opérant pour le cöté n de notre triangle propofé, ce qui eft 1'angle 1800 — n du triangle fupplémentaire, S — = A- — l8o° + p = p _j_ 9öo _ ± >& s. _ f = 2 + «o» - £ . donc s üslri», ouc^ '-rA(p^^r--|)s^ + 900 mais SG + 9oo -|-) = cG-f ), sG + 9°° ~r) = cG -~), S(!8o0 -p) = Sp  MATHÉMATIQUES. 187 & S(i8o° — 2) = Ss; donc nous aurons . . . C" = 1/cQp - f)c^z - ï )» de même . . 4:>cC«-)cCi> -O. LETTRE XIII. aao. Vousfavez, Monfieur, que les inftruments efob- fervations dont on fe ferc a la roer tels que les octants, fextants, cercksdereflexions^^ontcoï^Tuks d'après le (*) Le cercle de réflexion eft fans doute infiniment préférable a tous les inftrumerns de marine: il fut inventé en 1767 par Tobie Mayer Aftronome de Goettingue , & perfectioi né en 1775 par Mr- de fiorda: en voici fommairement la defcription. Soit fuppofé un cerce, auquel eft adapté un alidade mobile, attachée au centre, & égale au diamètre du cercle, fur laquelle eft placée une lunette; & qu'a 1 extrémité de cette alidade en face de la lunette, foit placé un miroir, dontla moitié foit étamée & 1'autre point; de forte qu'en regardant'un aftre dans cette lunette, on voie 1'aftre au travers de la partie du miroir non étamée. Soit encore fuppofée une autre alidade, égale au rayon du eerde, aufli attachée au centre & mobile, portant un auire miroir placé au centre du cercle fur Iequel doit fe peindre 1'autre aftra  188 OPUSCULES principe fuivant de catoptrique , Vangle formé par Uft plan fitfceptible de réflexion , tel qu'un miroir, & les rayons de lumière qui vicnnent s'y reflechir, eft égal k Vangle formé par le même plan & les rayons d'incldence; or, n'y ayant jamais eu perfonne, du moins que je fache, qui ait démontré ce principe regardé généralement comme incontestable, je me propofé de vous en donner la démonltration rigoureufe. On doit accorder comme un axiome que quand un rayon de lumière partant d'un corp lumineux (*), va dont on veut connoïtre la diftance de celui vü par la lunette. Cette conftiuttion concue, voici 1'ufage de 1'inftrument; i°. on fixe 1'alidade qui ne porte qu'un miioir fur le point de zéro de Ia divifion; 2". ou dirige 1'alidade, portant la lunette & un miroir fur l'aftre qui eft a droite, jusqu'a ce que 1'image de 1'autre aftre qui eft a gaüche vienne fe réfléchir au miroir adapté a 1'alidade fixée fur le miroir portant lunette, & coïncide dans la lunette avec 1'image de l'aftre vü dire&ement; 30. cette obfervation achevée, on fixe 1'alidade de la lunette, & 1'on fait tourner le cercle dans fon plan jusqu'a ce que la lunette foit dirigée fur l'aftre a gauche; 40. defferrant enfuite 1'alidade qui eft fur Ie point de zéro de la divifion on la fait mouvoir a droite jusqu'a ce que les deux images fe trouvent en contact.; 50. alors fixant cette alidade, 1'arc qu'elle aura parcouru dans ies deux obfervations de diftance, fera 1'angle doublé de la diftance des d'.ux aftres. Le grand avantage de cet inftrument, c'eft qu'en répétant plufieurs fois les mêmes obfervations en partant toujours du dernier point oü eft 1'alidade , on peut quadrupler, octupler , fextupler, dëcupler 1'angle de la diftance des deux aftres qui font obfervés, ce qu'on ne peut faire avec les o£lants& fextants; on parvientdonc ainfi a détruire Terreur que 1'artifte auroit pu faire dars la divifion du cercle, & a avoir la nufure de la diftance apparente des aftres avec toute la précifïon que 1'on peut obtenir fur mer. (*) Les effets naiurels ne pouvant être concus qu'en tant que nous les foumettons aux loix de la méchanique ; je me repréfente que la lumière ncnous parvient pas direftementdes aftres (u'ayant 4gard qu'a ces corps eclairants) par des rayons chargés de paities  MATHÉMATIQUES. i«? Trapper uu objet quelconque qui n'eft entouré d'aucune 'atrnosphére, ou air ambiant, Iequel par fa condenfité refringe les rayons, alors il y parvient en ligne droite & 6par-conféquent par le plus court chemin poffible ;& quand tle corps fur Iequel tombe le rayon eft iufceptible de réiflexion, tel qu'un miroir, le rejet du rayon te fera avec iautant de vitelfe, que fi le centre lumineux etoit dans le point du miroir fur Iequel tombe & incide le rayon ; donc I ft ira au fecond objet par incidence comme il a ete cürecfement fur le premier, c'eft-a-dire par le plus court chemin poffible; d'oü je conclusencore que a curvihgne formée par les rayons de réflexion & d incidence, eft la lumineufes détachés de ces corps lumineux; mais plütót, je crois oue ces derniers font compofés d'une matiere qui eft dans un mouvement perpetuel , Iequel s'imprimant a 1'éther environnant, fait fonner a celui-ci desondes fphériques. fccroiffantes a mefure qu'elles fe propagent dans la matière. Enfin parvenues |usqu d hous la dernière produit par fon contact avec le globe de 1'ceil le fentiment de la vuë; mais ces ondes fphériques lorsqu'elles ceffent de fe propager dans la maiière homogéne, & qu'elles le font dans notre atmosphére, perdent un peu de leur forme fphélique; donc un rayon quelconque de la plus grande fphére ondovarte, par exemple celui qui aboutit au point contactant avec le globe de 1'eeil, & qui peut être concu comme formé par la férie de tous les points correfpondants des fphéres ondoyantes depuis 1'originede leur développements fucceffifs, a été une ligne I droite jusqu'a la region la plus haute de notre atmofphére; mais I a, partir de ce demier point, il a commencé i avoir une certaine I coiirbure d'autant plus forte qu'il fe projettoit dans une maffe d air I dont la raréfaftion diminue en proportion des diftances a la lurI face du globe terreftre: donc pour la plus grande intelligence de notre démonftration actuelle, ainfi que celle fur 1'efFet produit Ipar la réfraftion dans 1'afpeft des aftres §. 233, je puis confidérer cette férie de points d'ondes de lumière , comme un rayon Itunineux venant directement du corps éclairant.  «qö opuscules plus courre poffible. Soit donc fuppofé que le corps lumineux eft en m (fig 9) t que, ab eft un miroir firf Iequel tombe le rayon de lumière md; que, eh eft ufl autre miroir parallele au premier fur Iequel vient frapper par incidence en k le rayon de lumière: alors d'après 1-axiome pofé ci deffiis, la curviligne mdv. eft la plus courte poffible de toutes celles qu'on peut mener de nt en k, en la faifant paffer par un des points du plan ab'. voyons donc aauellement oü doit être placé le point d fur la ligne d'interfeftion ab du miroir avec un plan qui lui feroit perpendiculaire, & qui pafieroit par les points m & k, afin que la condition ci deffus exifte. Suppofons que du point k j'abaiffe fur ab une ligne perpendiculaire indefinie k/; que je prenne furie partie inférieure tfune longneur tn — Kt; qu'enfuiteje tire du point n au point m la ligne ndm, & que du point d oü la ligne ab eft coupée par Ia ligne nm, je tire au point k la ligne dkj alors Kdm eft le minimum de toutes les curvilignes ménées du point m au point k en paffant par un des points d de la ligne ab; car fnppofons tout autres points p & p' pris fur la ligne ab, & d'oü je mène aux points k & m ks lignes pK, pm & p'n, p'm: menons auffi des points p , d , p' au point » les lignes pn, dn, p'n\ alors il eft évident que puisque ba eü perpendicalaire fur Kn, & que Kt — tn ; nous aurons, Kp = pn, nd = dn, Kp' = p'n ; donc np -f- pm = Kpm, nd -f- dm = Kdm & »p' + p'm = np'm; or de ces trois fignes np -\- pm , nd ~\- dm , ou nm, & »p'' + p'?», il n'y a que celle du milieu qui foit droite, les deux autres étant des curvilignes; donc Kdm < Kpm & Kdm < Kpm; mais les angles mdb, adn , font égaux comme oppofés par le fommet, & de plus les angles Kda, adn, font auffi égaux, puisque les triangles Kpt, tpn, ayant tous leurs cötés égaux , Ie font auffi; donc 1'angle d'incidence Kda eft égal a 1'angle de ré* flexion m db.  MATHÉMATIQUES. Sp Ce que nous venons de démontrer, Monfieur, a lieu même quand le miroir oü fe réfiéchit 6c incide le rayon j de lumière eiï envéloppé d'une atmosphére réfringente; :car fi le rayon de lumière paifant d'un milieu plus rare idans un milieu plus denfe, éprouve une certaine courbu];re, il efi: évident que par fon rejet, fortant de ce milieu plus denfe pour retourner dans celui plus rare, fa courbure diminuera dans la même proportion qu'elle a augmenté dans le premier cas; ainfi ces deux courbes feront réjlativement 1'une a 1'autre dans la même pofition que les 'rayons de réflexion & d'incidence qui fe feroient projet\tès dans un efpace dépouillé de tout air ambiant, & pariconféqueut en ligne droite. 22i. 11 y a aétuellement beaucoup de marins qui con^noiffent & fe fervent de la méthode dont Mr. de Bordci jeft 1'auteur, pour obtenir la longitude du vaiffeau, par dfobfervation des diflances de la Luneau Soleil, ou a quelïquesétoiles,• mais malheureufement legrand nombre parmi deux ne calculent que par routine; de manière qu'a la Jmoindre déviation qui fe rencontre dans 1'ordre fymécriilque des moyens dont ils ont 1'habitude de fe fervir, ils fe Itrouvent égarés dans un labirinthe dont il leur efi: impofliIble de fe retirer; ce qui leur feroit trés aifé s'ils connoisijfoient la théorie de ce qu'ils pratiquent journellement. Ije me fouviens que revenant de 1'Ifle de France en 1789, Inos pilotes, malgré le grand défir qu'on avoit d'obtenir Ila longitude du vaiffeau par 1'obfervation de la diftance I du Soleil a la Lune , qui pour la première fois depuis llongtems furent trés vifibles le 2 Juillet a 4 heures, létoient au moment de manquer cette belle occafion d'obiferver, paree qu'ils ne trouvoient pas marquées dans Ia 1 connoiffance des tems , les diftances vraies du centre du ■ Soleil a celui du fatellite de la terre, pour 1'obfervatoire I de Paris, aux époques aux quelles il étoit néceflaire de les I eonnoitre; & ce fut avec peine que j'obtins d'eux qu'ils  rpa OPUSCULES me fécondaflbnt dans mon obfervation (*) ,• les afïurariê que par le calcul j'aurois bien vïte les données aéceflairesj a avoir, & qui ne fe trouvoient pas dans la connoiffance des tems,* il me fut bien aifé, Monfieur, de remplir mon engagement, car il y a comme vous lefavez dans la connoiffance des tems de chaque année, la longitude du Soleil marquée de 24 en 24 heures, & la latitude ainfi que la longitude de ia Lune marquées de 12 en 12 heures; je n'eus donc après avoir calculé ces pofitions du Soleil parrapport au point équinoxial du bélier & de la Lune par rapport a ce même point, ainfi que fa pofition par rapport a 1'Ecliptique pour les heures oü je voulois obtenir la connoiflunce des difiances vraies des centres des deux altres rélativement au méridien de Paris, je n'eus , dis'je, qu'a réfoudre un triangle fphérique reéhngle formé fur 1 Ecliptique; i°. par la différence en longitudè des deux aftres; i°. par la latitude de la Lune; 30. par la diftance des centjes,' or connoiflant les deux premiers cötés, il me fut aifé de trouver le troifième, c'eft-a dire la diftance vraie des centres: maisle calcul des longitudes & latitudes de la Lune pour les heures oü je voulois lesi avoir, exigeoit quelques confidérations particuliéres; car ainfi que vous le favez, Monfieur, 1'accéleration en longitude de la Lune & faugmentation, ou diuiinution de fa latitude fe font d'un mouvement fi inégal, que fi pendant les douze heures, époques oüelles font marquées dans la connoiffance des tems , je me contentois de les calculer pour ccrtaines heures intcrmédiaires par les parties proportionnelles , je n'obtendrois pas cette précifion fi né- Soleil marquée de 24 en 24 heures, & la latitude ainfi (*) Nous verrons 5.226, qu'un feul obfcrvateür peut faire' toute 1'obfervation , mais elle eft beaucoup plus longue , & k 1'époque dont je parle, je craignois que le clel ne fe reeouvrij bientót de nouveaux nuages.  MATHÉMATIQUES. 19$ iwéceflaire pour remplir 1'objet que je m'étois propofé; jVoici donc comment je m'y pris; je calculois dabord la rllongitude de la Lune par les parties proportionnelles pour ms heures auxquelles je voulois les avoir,- enfuite prenanc dans la connoiffance des tems ces longitudes pour deux iépoques antécéderites & deux fuivantes, j'en pris les trois fldifférences, & enfin les deux différences de celles-ci; fnommant b la fomme des deux f.condes différences, è li'efpace de tems compris entre fheure pour laquelle je il calculois, & 1'époqüe immédiatement précédente a laqueli| le je connoiffois la longitude de la Lune, d fefpace dé tems 'jentre les époques auxquelles elles m'étoient connues, e le 1 nombre de fois que la diftancedestemsdu moment pour leJquel je calculois a 1'époque immédiatement fuivante, étoit ticontenu dans la diftance des époques auxquelles je connoiffois l) la longitude approchée par les parties proportionnelles; en- i| fuite je fis la proportion d : c : : - : ex ; donc x == I Vous remarquerez, Monfieur, que fi on calcu- 1 4 de ;| loic pour l'heure moyenne a toutes celles auxquelles ört |connoit la vraie longitude; c'eit-a-dire pour 6 heuresi Ialors évidemment d == 2c\e ss a; donc x — S22. Ce que nous avons dit pour la correétiort a faire I aux longitudes de la Lune, s'applique aufii a fes latitu| des fi ce n'eft que comme celles-ci vontquelques fois en i augmentant, quelques fois endiminuant, il faut 1'ajouter* 1 ou la retrancher de la latitude approchée , fuivant que I la fomme des deux fecondes différences eft négacive, oU I pofitive; c'eft-a-dire fuivant qu'il y a eu dimination con1 tinue dans les quatre ladtudes prifes dans la Connoiffancë I des tems, ou qu'il y a euaugmentation continue parmi elI les, ou encore 1'ajouter, ou la retrancher fuivant qué N  194 OPUSCULES celle des deux fecondes différences qui efl: pofitive, eflj plus petire, ou plus grande que la négative. 223. Quant aux longitudes du Soleil elles accélerenc avec un mouvement aflêz uniforme pendant les 24 heures, pour que les réfultats que donnent les parties proportionelles foient régardés d'une précifion fenfiblement fuffifante. 224. Voici, Monfieur, 1'application que je fis'de cette théorie a 1'époque que je vousaicitée §.221, c'eft-a-dire le 2 Juillet 1789: long. O (*) le 2 Juill. a o>> Qj) 3» 10° 53' 8" long. O le 3 Juill. a oh 3* 11° 50' 19" différence en 2411 57' 11" différ. en 6h . . i4' ï7'\ 8 différ. en 3h ?' 8"?p long. O le 2 Juill. k 6u 3S n° 7' 25", S long. O le 2 Juill. a9h y Il0 I4' ^",? long. £ le 2 Juill. a oh 7» 12° 37'50" long. C le 2 Juill. a iah . . . . . 7* 19° 19' 27" différence en i2h 6° 41' 37" différ. en 6h 30 20' 48//,5 différ. en 3»» lQ 4Q- %fa long. appr. d le 2 Juill. a 6h . . 7* 15° 58' 38", 5 long. appr. (£ le 2 juill. a9h . . 7* iy° 39' 2"^7 . $*l T^T)S 'e ca,cuI A^onomiqUe, la marqué diftin&ïve du Soleil eft O, & celle de la Lune eft tj. •1 f6 J?Ur Aflronomi<]»e étant compté d'un midi a ]'autre. »' eft zéro heuie pour ce jour li, lorsqu'on compte 1'heure «u midi dans le jour civil. 1  MATHÉMATIQUES. 195 latit. (Cle sJuill. a o1* . . * . i° 21' 34'' attfl. latit. die2Juill.a i2h 46' 3" diff. en iab 35' 31" diff. en 6k . . . 17' 45", 5 diff. en 311 8' 52", 8 latic.appr. Cle2juill.a6h . . . . 1° 3' 48",5 larit.appr.Cle2Juill.a911 54.' 55", 7 . nres diff f6ZC 9,9999249 fom. 9,7568486 qui eft Ie log. cöf. de 55° 9' 38"; donc la diftance vraie des centres des deux aftres a 6h tems vrai de Paris, étoit 180» — 55° 9' 38" = 124° 50' 22". Calcul pour le 2 Juilliet a 9^ tems vrai de Paris, long, vraie £ 7' 17° 38' 43",6 long. vraie O 3S »° H' 34", 7 diff. 4' 6° 24' 8",9 £C 9,7733870 1 latit. vraie £ . . 54'5&"', 8 ZC 9,9999445 fom. 9,7733315 qui. eft le log. cof. de 530 36' 10"; donc la diftance des centres des deux aftres a 91» tems vrai de Paris, étoit 180°' — 53° 36' 10" = 126° 23' 50". 225. La méthode que j'emploie, Monfieur, pour ob■teniren mer la connoiffance trés approchée dc Ia longitude; du vaiffeau par 1'obfervation de la diftance de la Lune au: Soleil, ou aux écoiles, n'étant que le réfuftat des plus;  MATHÉMATIQUES. 197 fimples propoficionsde trigonometrie fphériquedémontrées dans la lettre XII; je vais fucceffivement vous dévelop>er tous les procédés donc on fe fert pour 1'obfervation, jescalculs préparatoires, & la nouvelle formule que j'ai rouvée pour avoir la diftance vraie des deux aftres. ' ■ Ordinairemenc les obfervations de la diftance du Soeil a notre fatellite, fe fom par trois obfervateurs. L'un )bferve la hauteur du Soleil au-deifus de 1'horizon, 1'aure celle de la Lune, & le troifième la diftance des bords ;clairés : cette obfervation repétée cinq ou fix fois deuite, afin que les erreurs qui pourroient s'être gliflees lans chaeune deviennent fenfiblement nulles , lorsqu'on jrend le moyen proportionnel a tous les réfultats qu'on .obtenus, donne, fur tout quand 1'obfervation des diftances fe fait avec un cercle de réflexion, une precifion asfez grande pour qu'on puifie connoïtre la longitude du railfeau a tout au plus 15'de degrés d'erreur, ce qui ne ait que g lieues. ■ 2.16. Un feul obfervateur peut faire 1'obfervation enière lorsqu'il a une montre a fecondes pour marquer 'heure jufte de chaque obfervation,- il obfervera d'abord leux hauteurs du Soleil, deux de la Lune, enfuite pluieurs diftances des bords éclairés; après quoi il obferrera encore deux hauteurs de la Lune & deux du Soleil; 1 aura attention de mettre le moins de tems poffible entre es obfervations, & que celles des hauteurs faites avant après celles des diftances foient a mêmes intervalles de ems de 1'heure moyenne a toutes, & qui correfpond a la liftance moyenne des disques: avec ces données la, il lui 'era aifé de connoïtre par les parties proportionnelles les ïauteurs des aftres pour 1'heure moyenne de leurs diftances. üette obfervation la donnera desréfultatsfenfiblement aufl] uftes que celles faites par trois obfervateurs ,• je m'en fuis öuvent fervi avec autant de fuccès. 227. L'horizon fenfible eft comme vous le favez, Vlonfieur, celui qui tangente le globe terreftre au poine N 3  ip8 OPUSCULES par oü paflè Ia ligne zenith & nadir dc 1'obfervateur j c'eft a-dire 1'horizon que verroit ce dernier s'il avoit son ceil au niveau de la furface de la mer: donc quand un aftreeft a cet horizon, il eft encore éloigné duzénith d'un are de 900 qui auroit fon centre au point du globe 0» 1'horizon fenfible le touche: mais 1'obfervateur étant fur uil mvire, & par-conféquent élevé a une certaine hauteur au| delfus de la furface de la Mer, fon rayon vifuel n'eft pluj dansle plan de 1'horizon fenfible, & il voit un nouvel horizon plus étendu, qu'on appelle vifuel; or, c'eft d« celui-ci qu'il méfure les hauteurs des aftres; donc fon ob-:[ fervation eft fautive d'une quantité égale a 1'abaiffemeni de 1'horizon vifuel au-deifous de 1'horizon fenfible; c'eft-; a-dire de 1'angle que forment entr'eux ces deux horizons, Iequel eft plus ou moins grand fuivant que 1'obfervateui eft plus ou moins élevé au-deffus de la furface de la mer; or, fi on concoit que du centre de la terre on tire un rayon au point oü 1'horizon vifuel touche le globe terreftre; 1'angle formé au centre par ce rayon, & celui! qui prolongé va a 1'ceil de 1'obfervateur fera égal a 1'an-1 gle d'erreur en plus; c'eft-a-dire égal a lacorreétion fous<[ traétive qu'il faut appliquer a la hauteur obfervée,- car cet angle au centre eft ainfi que celui formé par les deus! horizons, le complément de 1'angle formé a 1'oeil de fob< fervateur par le rayon vifuel, & la partie de la ligne zénith & nadir comprife entre fon ceil & le centre de la terre; donc dans le triangle rectangle au point oü 1'horiH zon vifuel touche Ia terre, formé par le rayon vifuel, le rayon de la terre, & ce dernier plus la hauteur de l'rjeill de 1'obfervateur au-delfus de la furface de la Mer, il fera aifé de connoïtre 1'angle au centre, puisque je coni nois 1'hypothénufe, & le cóté de 1'angle droit adjacen? a 1'angle cherché; donc en appellant r le rayon de la terre, h 1'élévation de 1'oeil de 1'obfervateur au-delfus de la furface de la mer, & x la valeur de 1'angle cherchéJ  MATHÉMATIQUES. 199 j'aurai 1'équation Cx = 'r h> D eft aifé arec cette formule, en faifant vader h, de calculer des tables de la correction de la depreffion de 1'horizon (toujours fouftradtive quand on prend les hauteurs par devant, & additive quand on les prend par derrière) pour autant d'élévation au-deffus de la furface de la mer qu'on le veut: il y a ordinairement une de ces tables dans la connoiffance des tems de Paris. 228. Les diamètres apparens des aftres font les angles vifuels fous lesquels ils nous paroilfent, exprimés en parties de degré; or, puisque la terre par fa révolution annuelle autour du Soleil décrit une orbite elliptique, dont ce dernier aftre occupe un des foyers; il eft clair qu'elle fe rapproche, ou s'éloigne du Soleil, fuivant qu'elle court vers 1'origine de 1'ellipfe la plus prés du foyer qu'occupe l'aftre, ou qu'elle va de ce point la vers 1'autre extrémité du grand axe: dans la première pofition elle eft a fon périhélie; dans la feconde elle eft a fon aphéüe. De ces rapprochements & éloignements fuccesfifs de notre planéte au Soleil, il réfulte que 1'angle vifuel fous Iequel nous paroit ce dernier aftre doit être plus ou moins grand fuivant ces différentes circonftances ; donc les diamètres apparens des aftres font en raifons inverfes des diftances. 229. De même la Lune décrivant dans a-peu-près 27 jours , 7 heures 43 minutes 4 fecondes , fon orbite elliptique autour de la terre qui en occupe un des foyers ; fe rapproche & s'éloigne fucceilivement de nous, fuivant qu'elle court vers fon périgé ou fon apogée: donc fon diamètre apparent doit nous paroitre plus grand, ou plus petit fuivant ces différentes circonftances. 230. On trouve dans la connoiffance des tems les grandeurs des diamètres apparens du Soleil & de la Lune pour chaque jour, mais feulement horizonteaux, c'eft- N 4  200 OPUSCULES a dire pour le moment oü ces deux aftres font a 1'horizon f de 1'obfervateur; ce qui eft fenfiblement fuffifant pourle | Soleil , ainfi que nous le démontrerons plus bas, mais 1 non pas pour la I une; car a meiure qu'elle s'éléve au- ï delfus de f horizon, elle fe rapproche de 1'obfervateur: I en effet foit fuppofé ce dernier au point t du globe terreftre (fig. 10); lorsque la Lune eft au point l de fon orbite I tel qu'en abaiffmt une perpendiculaire de fon centre fur 3 le rayon tb de la terre, cette perpendiculaire lm paffe i par le milieu du rayon terreftre; alors ü efi évident que 'I la difiance de 1'oeil de 1'obfervateur au centre de la Lune eft égale a la diftance de ce dernier au centre de la terre ; mais lorsque la Lune (en fuppofant qu'elle paffe par le zénith de 1'obfervateur) eft arrivée au point a, alors il eft clair que la diftance de 1'oeil de 1'obfervateur au centre de la Lune fera égale a la diftance des centres ba - le rayon de la terre bt; donc ce fatellite fe fera rapproché de 1'obfervateur de depuis fa première pofition en l d'une quantité égale au rayon de la terre; & de fa pofition en n a 1'horizon fenfible t n , d'un peu moins que le rayon de la terre," car il eft clair que tn < tl, puisque cette i dernière ligne eft la diagonale d'un trapéze dont tn n'eft que la petite bafe: ainfi , Monfieur, puisque les diamètres apparens font en raifons inverfes des diftances, la Lune doit nous paroitre fous un plus grand angle a, mefure qu'elle s'éléve au-delfus de 1'horizon (*). On : (*) Cependant le disque de laLune paroit a Ia vuë, beaucoup. p'us grand a 1'hon'zon qu'a une certaine hauteur: la raifon cn eft, ce me femble, que dans la première pofition nous voyons cet aftre derrière une plus grande maffe d'air arr.biant (comme nous le démontrerons au §. 234) qui par le mirage nous le fait paroitre moins brillant, mais d'un plus grand disque; ainfi qu'un corpplongé dansl'eau, nous paroit d'une furface plus grande que celle qui lui eft naturelle; ou, ainfi que dans un jour de brouil-  MATHÉMATIQUES. 20I trouve dans la connoifTance des tems une table qui fait connoïtre 1'augmentation du diamètre horizontal de la Lune pour tous les degrés de hauteur apparente. Je vous ferai connoïtre la théorie de la conftruaion de ces tables au $. 237. , . , „ 231. Ce que nous venons de dire relativement a 1 augmentation du diamètre horizontal de la Lune a mefure qu'elle s'éléve au-deilus de 1'horizon, pourroit auffi s'appliquer au Soleil; mais ce dernier aftre eft a une fi grande diftance de la terre, que fon rapprochement de 1 obfervateur, fut-il de tout le rayon du globe terreftre, augmente de fi peu la grandeur de fon diamètre apparent, que cette augmentation eft fenfiblement nulle , auffi la nédige-t-on. , 232. Connoiflant ainfi les diamètres apparens des aftres pour le moment de 1'obfervation (*), on en ajoutera, ou retranchera les moitiés des hauteurs obfervées, fuivant qu'on a obfervé les hauteurs des bords inférieurs, ou fupérieurs ( f ) i & on a paree moyen les hauteurs apparentes des deux aftres. Pour avoir la diftance apparente des centres des deux aftres, on ajoute a celle trouvée des disqués, la fomme des deux demis diamètres. lard . les objets que le rapprochement commence a nctys faire appercevoir, ne nous paroiffent plus fous leurs vraies formes, mais beaucoup plus grands. - . i (*) On fait que tous les éléments pris dans la connoiffance des tems ccfujets par leur nature a des variations continues, tels que les diamètres apparens des aftres, leurs parallaxes horizont* les, déclinaifons, longitudes &c. doivent etre réduits d apres la longitude eftiméedu lieu oü on eft, a 1'heure du vaiffeau. ft) Ordinairement, on obferve la hauteur du bord inférieur du Soleil, & fupérieur de la Lune ; les obfervations en font plus juftes. N 5  S02 OPUSCULES 233- Telles font les méthodes dont on fe fert pour avoir ies hauteurs & diftances apparentes des deux aftres; mais pour obtenir leurs hauteurs vraies, il y a encore deux correftions a faire aux apparentes; 1°. celle de la réfracfion , 2°. celle de la parallaxe de hauteur: occupons nous d'abord de la première. Le globe terreftre eft comme vous le favez , Monfieur, entouré d'une maffe fluide & invifible de molécules trés fubtiles, élaftiques, qu'on appelle atmosphére, & dont la denfité augmente toujours en fe rapprochant vers la furface de la terre: les rayons de lumière en la traverfant (*) fe réfringent, de manière qu'aulieu de venir a nous en lignes droites, ils éprouvent une cour. bure qui nous fait paroitre l'aftre qui les j'aillit plus élevé qu'il n'eft reëllement; cette courbure eft d'autant plus grande que la partie de 1'atmosphére qu'ils ont a traverfer eft plus confidérable; c'eft pourquoi lorsque l'aftre eft a 1'horizon, fa refraétion eft la plus force poffible; car foit te le globe terreftre (fig. 11), anrdfa la limite de 1'atmosphére, t le lieu de 1'obfervateur, ts fon horizon fenfible, sle centre du Soleil; il eft clair que l'aftre étant dans cette pofition-ci, fes rayons qui parviennent a 1'obfervateur traverfent une plus grande partie rt de 1'atmosphére que quand il eft parvenu au point m, pofition dans laquelle fes rayons ne traverfent plus c,ue la partie nt de 1'atmosphére, plus petite que rt: & enfin plus l'aftre s'éléve au-deflus de 1'horizon, plus auffi la partie de fes rayons piongés dans notre enveloppe ambiante diminue; & fi le Soleil paffe au zénith de 1'obfervateur, alors il n'y a plus pour celui-ci de réfraétion, paree que les rayons de lumière traverfent perpen- (*) Voyez la feconde note du 5. 210.  MATHÉMATIQUES. 203 diculairement la partie de 1'atmosphére qui eft au-delfus de lui. D'après plufieurs obfervations faites fur les refraétions par quelques favants, & en différends point du globe terreftre, on a trouvé que la moyenne eft a-peu-près de 32' lorsque l'aftre eft a 1'horizon: ainfi quand au lever, ou coucher du Soleil le bord fupérieur de cet aftre lance le premier ou dernier jet de lumière, il eft a 32'au-dcsfous de 1'horizon. La réfraétion étant caufée par la denfite de 1 atmosphére , elle doit être plus ou moins confidérable fuivant que la maffe d'air ambiant que traverfent les rayons de lumière eft plus ou moins denfe; or les barométres embarqués k bord des vaiffeaux, determinent de combien la denfité aftuelle de 1'atmosphére différe de la moyenne ; cette différence détermine celle que doit éprouver la réfraétion moyenne, qu'on applique a cette dernière comme correélion pofitive ou négative. II y a ordinairement dans Ia connoiffance des tems une table de la réfraétion moyenne des aftres pour tous le degrés de hauteurs; & une table de la correótion a appliquer a cette réfraétion fuivant le degré d'élafticité de l'air, que méfure le barométre. 234. Deux obfervateurs placés a une grande diftance 1'un de 1'autre fur la farface de la terre, doivent évidemment lorsqu'ils appercoivent en même tems un aftre, le voir chacun correfpondre a un point différend de la voute célefte; & un troifième obfervateur qui feroit placé au Centre de la terre verroit par-conféquent auffi l'aftre correfpondre a un troifième point du ciel différend des deux premiers. Cette différence des points céleftes oü paroit correfpondre un aftre vü de la furface & du centre de la terre s'appelle la parallaxe; elle eft furnommée horizontale, lorsque l'aftre eft a f horizon de 1'obfervateur, & elle eft alors la plus forte poffible. Sok Ti' le globe terreftre (fig. 10), t le lieu de  co4 OPUSCULES 1'obfervateur;" tne, fon horizon fenfible,- n le Iieu de l'aftre,- il eft clair que celui-ci vü du point t ira correfpondre au point e du ciel, & que vü du centre b du globe, il correfpondra au point q du ciel; ainfi la révolution diurne des aftres fe faifaic autour du centre b de notre planéte, & non pas autour du point t pris fur la furface du globe,- on voitclairement que lorsque la diftance apparente de l'aftre au zénith fera 1'angle droit atn, elle ne fera reëllement que 1'angle aigu abn , orla différence de ces deux angles eft celui tnb , qu'on appelle par cette raifon , 1'angle de parallaxe horizontale. II fera bien aifé de trouver fa valeur; car dans le triangle btn, j'ai, S(tnb) = IZ: ou, en appellant p la parallaxe horizontale, r le rayon de la terre, & dh. diftance des centres, nous aurons Sp — - . d On voit clairement que 1'angle de la parallaxe horizontale d un aftre, fera plus ou moins grand, fuivant que ce dernier eft plus ou moins prés de la terre; ainfi la Lune étant de tous les corps céleftes celui qui eft le plus prés de nous, doit avoir la plus grande parallaxe; le Soleil, Mercure & Venus qui font a une même diftance moyenne de la terre, ont la même parallaxe moyenne, mais beaucoup plus petite que celle de la Lune étant environ 450 fois plus éloignés de la terre que notre fatellite: quant aux quatre planétes fupérieures, Mars, Jupiter, Saturne & Herfchel, leurs parallaxes font trés petites,- & on n'y a égard que dans les calculs les plus exacfs de 1'Aftronomie. La parallaxe des étoiles étant infiniment petite, eft regardee comme nulle. 235- U eft aifé de voir que 1'angle de parallaxe diminue a mefure que 1 aftre s'éléve au-deffus de 1'horizon • lorsqu il eft en f, 1'angle tfb de parallaxe eft plus petic que celui de parallaxe horizontale tnb; enfin lorsque l'aftre eft au zénith a, il n'y a plus de parallaxe.  MATHÉMATIQUES. 205 Lorsque l'aftre eft a une certaine hautenr F, 1'angle tfb s'appelle 1'angle de parallaxe de hauteur: cherchons en 1'expreflion. Dans le triangle reftiligne obliquangle btf nous avons bf : bt : : S(btf) : S(bft); ou en appellant * la parallaxe de hauteur, & laiflant au rayon de la terre, & a la diftance du centre de 1 aftre a celui du globe terreftre les mêmes dénominations que dans le paragraphe précédent; on aura d : r :: S(btf): Se; mais nous avons vu §. 234 que•. d: r■ :: 1 :: bp; donc i:S/>::S(btf):S*-, or S(btf) = S(atf) = Ch (en appellant h la hauteur apparente de 1 aftre; donc 1 : S/> :: CA : S» , & conféquemment Se = SpCh; donc le Sinus de la parallaxe de hauteur eft égal au Sinus de la parallaxe horizontale multiplié par le Cofinus de la hauteur apparente. 236. Mais on fait que la figure de la terre eft celle d'un fphéroïde applati aux poles, figure que doit prendre tout globe fluide qui tourne fur un axe , comme Newton la démontré; ce célébre Philofophe a trouvé par la'théorie de la péfanteur, que la différence des arcs, ou 1'applatiffement de ce fphéroïde devoit être ^ ; c'eft-kdire que le rayon de la terre' fous 1'équateur eft a celui fous les poles, ou le ^ axe , comme 230 : 229 ; parconféquent les meridiens terreftres font des ellipfes qui ont pour grand axe le diamètre de 1'équateur, & pour conjugué 1'axe de la terre,- donc toutes les ligraes menees du centre a différends points de la furface du globe terrestre, que nous appéllerons toujours pour le préfent rayons de la terre, diminuent de longueurs a mèfure que les latitudesaugmentent; d'cüje conclus que puisque une des fonaions de 1'expreflion de la parallaxe horizontale §. 234, eft le rayon de la terre, les parallaxes horizontales a mêmes diftances des aftres a la terre, ne font pas égales par  fiórS OPUSCULES différentes latitudes. Soit le rayon de la terre par une certaine latitude = A; la parallaxe horizontale par cette latitude = nous aurons f === s (LP + 7;p - 2L.) s (LP + zaL~2-p) S z p S zl §. 218; ou fubftituant dans le dernier membre de cette équation les valeurs affignées ci-delfus aux trois cótés du triangle fphérique lzp, on a S: ~ == s (£.+ na ~ m) S (9. + m- H) 5 ou faifant comme C m C n au §. 218 q -\-m-\-n = (li & pour encore plus de fim- ' • plicr-  MATHÉMATIQUES. S09 jjïeiri - — m = b >k ^ — n — f; nous aurons Cz = 1 — It4t£ Or dans le' triangle fphérique" l'zp', j'ai C(l'p') ou Cx = Cz S(zOS(zp') -fC(zl')C(zp') §. 216 , ou fubft.ir.udnt dans cette équation la valeur que nous verions de' trouver a Cz* 6c celles aiïïgnées aux trois cötés du triangle fphérique l'zp', on aura Cx = (* "~ ■ffc») Ci,Cc/' +SaijJ' ~C«Ce/> + S»S — 2.S^Sf'Ca,C-; mais C«C/ -f S«S^ == C(> —cf) §. 155; donc Cx = CO—cT) — Telle eft ma formule de folucion i celie de Mr de Borda en faifant m + " "fr ? = ^+a"-g=/, eft Sfa: = K(C(^-±-i)' — ^bcmCir)" AM lamienne eflpIusfu"PIe' &Ia dé" monfttation en pourra! étre enfehdue aifément par tous ceux qui auront lu avec atcention ma théorie fur les trigö1 tiométries.1 Développons aéluellement notre formule afin d'en rendre Fufage plus commode s foit fup'pofé C54> == .*S^(?"P3. - _ , o &WC*CÏ $é cr = y 1 — C2$, donc Sd; = K €^»CC«- *J • O  tió OPUSCULES multipliant tous les termes de cette équation par V C («-«f), or tout ce qui efl: fous le radical du fecond membre de cette équation efl: = Cx; donc y Cx =zStpf/ C (<»-=48°27'py = 48**7' 6" £ S 9,8741317 a-S = 4°57'3°" ^£0^9991858 Som. 9,8733:75 le doublé 9,7466350 qui efl: le log. cof. de x=. 56° 458" dilbp.Par.de(La«pég.ii5h56oIo'3o''ifr' sV'log.logis.i^*^ difF.xo27'47"log.Iogis. 3119 ïdem a i8h. ..... 5404,43" dilT. 12004 qui efl: le logarithme logistique den' 21"; 0r les diftances des deux aitres diminuanc a mefure que les tems augmentent, j'en conclus que 1'heure vraie de Paris dans Jinllant de mon obfervation étoit 1511 n'ar". 240. Remarque h Auiieu de retrancher de Ia fomme des cinq premiers logarithmes , les logarithmés Cofinus de u — m, rtf il eft plus fimple d'ajouter les compléments anthmétiques de ces logarithmes, en rejettant de la carafleriftique de la fomme totale, autant de dixaines qu'on a ajquté de compléments arithmétiques de logarithmes, ce qui, comme vous le favez, Monfieur, eftlaméme chofe, car généralement d — e =d * + c — f> + c). ■ ®4i- Re marqué IL Connoiflant Ia diftance vraie ƒ des deux aftres, le calcul exige, comme nous Pavei» déja dit, de prendre pour Paris deux diftances vraie* de*  MATHÉMATIQUES. 413 3eux aftres 1'une plus grande & 1'autre plus petite que pi enfüite appellant la première ou la feconde indifléremment a & 1'autre e, de faire la proportion a — e rapprochement ou éloignement de deux aftres pendant i'efpaee de 3 heures ou 10800" de tems, eft a ce même :ems , comme a — x rapprochement ou éloigmeroent obfervé des deux aftres eft au tems que ce rapprochement ou éloignement doit employer pour s'effeftuer. La recherche de ce tems la exigeant 1'addition de deux logarithmes , & de cette fomme la fouftraction d'un troifième logarithme; ou bien 1'addition du complément arithmétique de ce dernier aux deux premiers; on a imaginé pour abrcger le calcul, que puisque les diftances des aftres marquées dans la connoiffance des tems 1'étoient a des époques diftantes entr'elles de 3 heures, ou 10800" de tems, & que 1'eloignement, ou le rapprochement des deux aftres pendant les trois heures ne pouvoient pas excéder 3' ou 10800" de degrés, on a dis-je, imaginé de prendre les compléments arithmétiques de tous les nombres plus petits que 10800 , au logarithme de ce dernier nombre qui eft 4,0334238, & on a formé de ces logarithmes furnommés logifliqaes des tables ; ce qui réduit tout le calcul indiqué ci-deffus a la fimple fous» traftion du logarithme logiftique du plus grand nombre de celui du plus petit; la différence eft le logarithme logiftique du nombre de fecondes cherchées, ces logarithmes ne font ordinairement marqués dans les table9 qu'avec quatre ou cinq chifres, compris la caradthéristique, ce qui eft d'une précifion fenfiblement fuffifante ; ainfi le logarithme logiftique de 549 eft 4,0334 — s>7396 = »»a938- v „ • 42. Connoiffant 1'heure vraie du lieu d oul on compte le premier méridien dans 1'inftant de 1'obfervation ; on calcule pour le même inftant 1'heure vraie du vaiffeau, ce „qui eft trés aifé a obtenir;' car connoiffant la latitude du lieu de 1'obfervation, la déclinaifon de l'aftre & fa bauO 3  ar4 OPUSCULES teur vraie, on connoitra en prenant les compléments de ces trois chofes connues, les trois cótés du triangle fphérique formé par la dillance du pole élevé au zénith & a« centre du Soleil ou a l'étoile, & la diftance de l'aftre a| zénith; par-cónféquent on pourra trouver la valeur dt 1'angle formé au pole élevé par le méridien de 1'obfervé teur, & le cercle de déclinaifon du Soleil ou de 1'étoiléj il eft évident que cet angle fa eft 1'horaire de l'aftre doiïj on a ohfervé la hauteur; car il a pour mefure 1'arc d« 3'équateur compris entre fes cöoés; cet are la réduit ét degrés a raifon de 150 par heure, donne la vraie diftanct en tems écoulé depuis le palfage de l'aftre au meridiet du lieu de 1'obfervation jusqu'a 1'inftant oü on a obfervé; & par-conféquent 1'heure vraie du vaiffeau, fi c'eft le Soleil dont on a obfervé la hauteur,- & fi c'eft une étoili on prend la différence. de fon afcenfion droite avec celk du Soleil, ce qui fait connoïtre la vraie pofition afcenfion" nelle rélative des deux aftres 1'un par rapport a 1'autre c'eft h-dire 1'angle que forment leurs deux cercles de dé! clinaifon au pole, & par-conféquent on connoit 1'angle formé au pole par le cercle de déclinaifon du Soleil & % méridien , puisqn'on a déja calculé celui formé par le cercle de déclinaifon de l'étoile & le méridien. Soit d la diftance de l'aftre au pole élevé, c'eft-a-diré au pole de I'hémifphére dans Iequel fe trouve 1'obfervai teur, l la latitude du lieu de 1'obfervation, & h la ham teur vraie de l'aftre au-deflus de 1'horizon. J'ai en met* tam les compléments des deux dernières quantités dans la formule du §.218 avant fa réducbon, & en appellant y l'an> gle horaire, féquation Cy s= C(9°°~^ ~ c dc (9°°~O S d S C 900 —- /) _ S & - Cr/S/. ... c y i-Cv „ r 57C/ ,; ™,s sf = —T2 S- 159; donc |* = S^^éj mais SdCl+CdSJ  MATHÉMATIQUES. «S = S(d + /), donc S*f = ^sjcT C (i±-L±-k) S §. donc S| = sTcï y /(J-j^fcii A) S (--+ ^ )^ ; ce qui eft la \ " ' SUcT ^ f°T4t Faïonsl'applicudon de cette formule fur tem- ^eTjuillet 1789, je trouvai par la méthode^ da € 2^8, que fheure vraie de Paris dans 1 mftant ou 1 obfovois la diftance du centre du Soleil a celui de la Lune étoit f 10 21": voicicomment je calculois fheure vraie du vaiffeau pour le même inftant. iatit.duVaa • 28° 19' o"com.ari. LC 0,0553499 dift.'pol. O 6?° o'io'/com.ari.JL80,0359650 haut.vra. O a6°33'so" Som. 121053' o" ïSom. 6o°56'3o" . . . £09,6863676 |Som.-h.v.0 34°22'4o" • • • £S9!75i77^9 Som. 19,5294594 jSom. 9,7647*97 qui eft Ie hg. fin. du demi angle horaire du O == 35° 34'. 23" multiplié par • • • heure vraie du vaiffeau 1 . . • - • 4h 44^ 35 ^ 4 , heure vraie de Paris _7h 10 21 diff. 2^ 25' 46" cette différence d'heures réduite en degrés, me donne s6° 26' 50"; ce qui eft conféquemment la longitude du «rfflteu a POueft de Paris dans 1'inftant de 1'obfervation. O 4  ai6 OPUSCULES 244. Quoiqu'on puiiïe faire les obfervations nofturnes de longitudes, exacfement comme 'celles'de jour en obfervant les diftances d'une étofie au bord eclairé de la Lunu, & les hauteurs des deux aftres au-delfus de 1'honzon; cependant a caufe de la difficultè qu'on a Ja nuk a bien diilingner 1'horizon & par-conféqueut a prendre de bonnes hauteurs des aftres, on opére différemment , & aulieu de calculer les angles horaires ces deux aftres par leurs hauteurs vraies, on calcule ces dernières par la latitude du vaiffeau, les angles horaires & diftances polaires ces deux aftres; connoiflant les hauteurs vraies de cenxci on cn conclut les hauteurs apparentes, en faifant aux premières les mêmes correétions, mais a 1'inverfe de celles qu'on faites aux apparentes pour avoir les vraies, c'eft-adire qu'on retranche de la hauteur vraie de la Lune la parallaxe de hauteur — laréfraftion, & qu'on ajoute k la hauteur vraie de l'étoile la réfraétion. Ainfi Ia nuit on n'oblèrve quela diftance des deux aftres, & on calcule leurs haujeurs apparentes,- mais ce dernier calcul néceflite la connoiffance des angles horaires des aftres dans f inftant de 1'pbfervation de leur diftance. Or voici les opérations nécefiaires pour obtenir cette connoiffance. On prend dans 1'nprès-midi qui précédé la nuit 011 1'on veut obferyer plufieurs hauteurs du Soleil au-delfus de 1'horizont au moyen desquelles on calcule plufieurs angles horaires iblaires §.242, & qui fervent a faire connoïtre la différence de fheure vraie du vaiffeau 3 celle marquée par une montre'a fecondes dont 1'obfervateur eft fuppofé mum: ces précautions prifes & executées avec la' plus grande exacf.if.ude poffible, on marqué dans le tems des obfervations des diitances de l'étoile a la Lune, fheure précife de la montre a chaeune d'elles ; après cela prenant la moyenne próportionnelle entre toutes les heures marqueés par ln montre, & ia corrigeant.'de'la 'différence' du tems moyen au tems vrai depuis les obfervations faites dans ; après-midi précédent des hauteurs du Soleil, & du die-  MATHÉMATIQUES. 217 min fait en longitude depuis les mêmes époques & converti en tems; on aura fenfiblement le vrai angle horaire folaire pour 1'inftant de la moyenne propprtionelle des obfervations des diftances de l'étoile 3 la Lune, d'oü on concluera par les différences afcenfionnelles de ces deux aftres ao Soleil, leurs angles horaires. On connoit dans le triangle fphérique formé par le complément de la latitude du vaifieau, la diftance du pole élevé h l'aftre & le complément de la hauteur vraie de celui-ci, les deux premiers cótés & 1'angle qu'ils forment au pole ; on pourra donc calculer le troifième cóté qui eft la diftance -vraie de l'aftre au zénith de 1'obfervateur par la méthode du §.214, bien préférable a celle que donneMr.deBorda dans fon ouvrage fur ie cercle de réflexion; car cette dernière eft infiniment plus 1'ongue que la notre. En eflet foit fuppofé que dans Je triangle fphérique en queftion, on nbailfe de 1'angle formé au zénith de 1'obfervateur un are perpendiculaire fur le cöté oppofé, c'eft-adire fur la diftance' de 'l'étoile au pole élevé; appellons b le premier fegment tout le refte comme au §. 242; parconféquent le fecond fegment fera d — b\ cela pofé, on a Tb '=CyT (90" - /) = CyOl, & C(90o-A) cr'og■ - octd - *) nn SA _ siccd-b^ F cb, ouö«— cb Rb marqué. La perpendiculaire abaiffée de 1'angle formé au zénith fur' Ja diftance du pole élevé a l'étoile , tombera toujours en-dedans du triangle, car les compléments de la iatitude du vaiffeau & de la hauteur vraie de l'aftre font évidemment des arcs plus petits que 900; donc les angles parallacfique & horaire qui leur font oppofés, font de même affection; donc b étant le premier fegment, d — b , fera toujours le fecond. 246. Faifons 1'application de notre méthode furl'exemple fuivant. . Le 7 Juillet 1789 étant par 310 g? de latitude nord, O 5  aiS OPUSCULES & par S59 i6' de longitude eftimée Oueft, je fis k i ah 50' 24" heure vraie du vaiflèau, une obfervation de ]a diftance de * pégaze au bord eclairé de la Lune le plus voifin de l'étoile ; voulant connoïtre les hauteurs vraies & apparentes des deux aftres, voici le calcul feulement pour l'étoile. longit. efti. duV»« = 35°, ;6', réduite en tems= 2h2i' 4" heure vraie du Va" = i2h 50'24" heure vraie eftimée de Paris = I5hn'28" afcenfion droite O le 7 Juill. au midi de Paris = 7U 7' 56", 1 afcenfion droite O le 8 Juill. au midi de Paris = 7h 12' i",9 diiféren. en 24 heures 4' 5", 8 différen. pour i5h 11' 28" 2' 34", 6 afcenf droite O le 7Juill. a 1511 n'28"dePar. = 7tio'.,o",7 afcenf. droite^-corr.de la nutation&aberratiorczr 2ah54'i7", 5 différ. i5h43'46",8 heure vraie du vaiffeau 5= iah5o'24" différ. 2h53'22", 8 cette différence réduite en degrés me donne pour la valeur de Pangle horaire de l'étoile 430 20' 42", ceci étant connu, voici le calcul pour avoir la hauteur vraie de l'aftre. angle horaire de « pégaze — 43°2o'42" LC 9,8616741 latitude du vaiffeau = 310 3' Z-O 0,2203682 Som. 0,0820423 cette fomme eft le \ log. tan. du i«feg.=r 509 22'48" com. ar. LC 0,1953884!' dift.pol. de l'étoile =75^5 =45.  as4 OPUSCULES kil pour que les bords inférieur & fupérieur foient tan>' gents a 1'horizon: fi donc dans la première pofition du Soleil on abailfe du centre t au point de cohtacf d le rayon dt , celui-ci efl: perpendiculaire fur 1'horizon: foit encore fuppofé que du point m j'abaiflê la perpendiculaire mn furie rayon td, elle fera le Sinus de 1'an-' gle mtd formé aü centre du Soleil, & tn en fera le Cofinus; or l'angle mtd efl: égal a f angle de latitude vraie de 1'obfervateur ^ car il eftle complément dé l'angle tmn = angle tpb qui méfure 1'inclinaifon dé 1'horizon fur 1'équateur & efl: par-conféquent le complément de la latitude de 1'obfervateur; donc tp elt la fécante de la latitude & tn le Cofinus; ainfi en appellant / la latitude du lieu de 1'obfervation, x le rayon td du Soleil & u la fécante tp de la latitude, nous aurons Cl = — ai (équat. 6. §. 150). Mais cette valeur du Cofinus de la latitude efl: en parties du rayon du Soleil; pour la réduire en parties du rayon des tables = 1, je fais la propor- tion x : t :: — : Cl = —. Telle efl: la valeur du Cofinus de la latitude de 1'obfervateur fi le centre du Soleil étoit a 1'équateur; mais dans le cas oü cet aftre fait fa révolution diurne dans le plan d'un des paralleles, alors les degrés de ces derniers étant plus petits que ceux de 1'équateur dans.le rapport de leurs rayons a celui de 1'équateur; il eft évident que puisque nous avons réduit: letems en parties de 1'équateur, c'eft-a-dire a raifon de 150 par heure, le réfultat que donne la formule ci desfus contiendroit un plus grand nombre de degrés & parties de degrés que celui qui lui conviendroit reëllement de 1'équateur; donc pour le ramener a fa vraie valeur il faudra faire la proportion fuivante, le rayon de 1'équateur, ou des tables efl: au rayon du paralléle que décrit le Soleil,,' ou  MATHÉMATIQUES. ii$ ou le Cofinus de la déclinaifon de cet aftre, cbmrfie le Sinus de la latitude de 1'obfervateur fi le centre du Soleil étoit a 1'équateur eft au Sinus de la vraie latitude de 1'obfervateur ; donc en appellant d la déclinaifon du Soleil,' faifant attention qu'k caufe que Cl = ~, on a SI =S }/ (^i — p ^ & appellant S la latitude vraie, ón aura i : Cd :: — ~) : SS; donc S!> = . . 2 C d J/ ( i — £ )• Voila Ia formule direcfe de Solution, mais il eft plus commode pour la pratique quand on a le logarithme Cofinus de la latitude du vaiffeau fi lè centre du Soleil étoit a 1'équateur, de prendre le logarithme Sinus de cet arC , & d'y ajouter le logarithme Cofinus de la déclinaifon du Soleil pour ivoir lè Sinus de la vraie latitude. Voici une application de ma méthode.' 256". Le 14 Aout 1791 vers les fept heures du foir, j'ai obfervé que le Soleil a refté a paflèr mon horizon 3' 4" de tems; le demi diamètre de l'aftre pour le moment de 1'obfervation étoit de 16' 22", 5, ou 982", 5 & fa déclinaifon de 140 14' 30" boreale; ayant cesdonnêei voici le calcul. tems de 1'obfervation = 3' 4" | tems de 1'obfervation == 1' 32" |tems réduit en parties de 1'équat. = i 380"jL 3,1398791 —|diamètre du o = 16'22",5 =982",5 L2,99233264-' . r. V:i. diff- 9^5*4535. cette différ. eft lelog.cof.de 440 36W2, S 9,8464743 déclinaifon du Soleil = 140 i^'go" £09,9864433. Som. 9,8329176 cette fomme eft' lc logarithme Sinu3 de la latitütide vrate du vaiffeau = 42^ 53' 37". ., t  a«6" OPUSCULES 257. De toutes les méthodes connues pour trouver Ia latitude en Mer par les obfervations des hauteurs du Soleil hors du méridien de 1'obfervateur, celle dont Mp. Douwes eft Pauteur m'a toujours paru la préférable par 1'exaótitude des réfultats qu'on en obtient,* mais 1'aftronome dont je parle a conftruit des tables pour la pratique de fa méthode qu'on a beaucoup de peines a pouvoir fe procurer , ce qui fait qu'elle eft peu connue & encore moins ufitée parmi les marins: c'eft pour la rendre plus utile que j'en ai cherché une autre fondée fur les mêmes principes, & dont Ia pratique n'éxigeat que le fimple ufage des tables de logarithmes des nombres naturels & des Sinus, Cofinus, &c. dont tous les pilotes font pourvus, la méthode de Mr. Douwes ainfi transformée, bienloinde perdre de fa fimplicité en acquiert une bien plus grande. Régies a fuivre pour les deux obfervations de la hauteur du Soleil, 258. i°. Elles peuvent fe faire toutes les deux Ie matin, & dans ce cas il faut que la première ne foit pas faite avant 9 heures, & que la fecode le foit a une diftance du midi eftimé égale a-peu-près en tems a 1'intervalle de celui écoulé entre les deux obfervations. 259. 20. L'on peut faire les deux obfervations après midi, & dans ce cas, la feconde ne doit pas être faite après trois heures; de plus la diftance de celle-ci k la première doit être d'environ la moitié du tems ecoulé depuis le midi eftimé jusqu'a fheure de la dernière obfervation. 260. 30. On peut faire la première obfervation le matin & la feconde après midi; mais il faut que 1'intervalle des tems ecoulé entr'elles ne dépaffe pas quatre heures, & que le midi intermédiaire foit a-peu-près a égale diftance des deux heures d'obfervations. 261. 40. On aura foin de compter exacfement le tems! ecoulé entre les deux obfervations & mefuré fur une montre a fecondes.  MATHÉMATIQUES. *2? 262. 5°. Oh fera relever le Soleil au compas azimu* tal, ou de variation, dans 1'inftant de la première obfer* vation. 263. 6°. Lorsque le Soleil fera prés du zénith de f obfervateur, celui-ci aura fattention de beaucoup plus rapprocher les heures des obfervations a fheure du midi eftimé. Calculs préparatoires. 264. i". On eftimera la latitude du vaifleau, & calcul lera la déclinaifon du Soleil pour le midi eftimé. 265. 20. On corrigera les hauteurs obfervées du Soleil pour avoir les hauteurs vraies du centre. 266. 30. Si dans 1'intervalle des tems ecoulé entre les deux obfervations, on a couru un nombre n de nceuds vers le point de 1'horizon oü on a relevé lê Soleil dans 1'inftant de la première obfervation; on ajoutera a la première hauteur obfervée un nombre n de minutes de degrés, &au contraire on les retranchera fi le nombre « de noeuds courus dans 1'intervalle des tems a été dans un fens diamétralement oppofé au point de 1'horizon oü le Soleil a été relevé. 267. 40. Si la route n noeuds courus pendant 1'interValle des tems a été fur un rumb de vent qui forme avec la ligne du relévement un angle droit, c*eft-a-dire de S rumbs de vent, alors on ne fait aucun changement a la première hauteur obfervée. 2(58. 5°. Lorsque n nceuds courus pendant 1'iritervalle des tems ont été dans la direction d'un rumb de vent qui forme avec la ligne du relévement un angle a obtus, ou aigu; alors on réduit n noeuds fur la lignè du relévement en faifant la proportion 1 : n : : Ca : x\ donc x — «Ca; connoiflant la valeur de x en minutes de degrés, on 1'ajoutera a la première hauteur obfervée fi f angle a pris du cöté du relévement eft aigu , & Jfiu contraire on la retranchera fi l'angle a toujours pris P 2  8.28 OPUSCULES du cöté du relévement eft obtus,' rendons ceci plus claif par un exemple. Soit fuppofé que dans 1'inftant de la première obfervation on a relevé le Soleil au S S E du compas, & que dans 1'intervalle des tems entre les deux obfervations le vaiffeau ait couru 15 nceuds dans PEjjSE du compas, alors on aura n = 15 nceuds & a = 5 6° 15'; car la route de 1'EïSE forme avec la ligne JNNO & SSE du cöté de ce dernier un angle de cinq rumbs de vent, c'eft-adire de cinq fois n° 15' au 560 15'; mettant ces valeurs de » & a dans la formule ci-delfus, j'ai x =z ig X C 56° 15'= 8|; or. puisque l'angle a eft aigu il faut ajouter a la première hauteur obfervée 8'f ou 8'2o". Si les 15 noeuds avoient été courus dans le NE^N, alors la réducfion a la ligne dn relévement feroit toujours 8 noeuds \; car la ligne de route forme dans ce cas lk avec celle du relévement prife du cöté du SSE un angle de 11 rumbs de vent, ou 1230 45' dont le fupplément eft 56° 15' & par-conféquent puisque l'angle eft obtus, il faut retrancher de la première hauteur obfervée 8' 20". Régies du calcul. 269. Au complément arithmétique de la fomme des logarithmes Cofinus de la latitude eflimée & de la déclinaifon qu'on appelle logarithme rationnel, on ajoutera ïe logarithme Cofinus de la moitié de la fomme des deux hauteurs corrigéesdu centre du Soleil, le logarithme Cofinus de la moitié de la différence des mêmes hauteurs & Ie complément arithmétique du logarithme Sinus du demi intervalle de tems ecoulé entre les deux obfervations & réduit en degrés; la fomme de ces quatre logarithmes fera le logarithme Sinus d'un are fubfidiaire dont on prendra la difïérence avec le demi intervalle de tems réduit en degrés. Du logarithme du complément arithmétique du Cofinus naturel dc cette différence on retranchera le complément arithmétique du logarithme rationnel; cette diffé-  MATHÉMATIQUES. 2sq rence donnera le logarithme d'un nombre qui, ajoutéavec le Sinus naturel de la plus grande hauteur du centre du Soleil, donnera pour fomme le Sinus naturel de la hauteur méridienne du Soleil. I £70. Si la latitude obfervée différe beaucoup de 1'eftimée , alors on recommence le calcul en prenant pour eftimée celle déja trouvée par obfervation; on continuera ainfi jusqu'a ce que les deux latitudes foient les mêmes, ou que du moins elles different trés peu entr'elles, mais il efl: infiniment rare qu'on foit obligé de recommencer deux fois Ie calcul, & fouvent le premier donne Un réfultat fuffifant en faifant connoïtre que la latitude eftimée efl: bonne; d'ailleurs il eft clair que tous les feconds calculs font plus courts que le premier, car on a déja dans celui-ci la plus grande partie de ce qu'on doit trouver dans les nouveaux calculs. 271. Si lorsqu'on s'eft affuré de la bonté de la latitude obfervée, on veut, fans être obligé de calculer des angles horaires folaires, d'après les hauteurs obfervées du Soleil §. 245, avoir la différence fenfiblement reëlle de l'heure marquée par la montre a fheure vraie, on réduira en tems la différence de 1'arc fubfidiaire au demi intervalle des tems réduit en degrés, ce qui donnera la vraie valeur du tems ecoulé entre l'heure de 1'obfervation de la plus grande hauteur du Soleil & le midi vrai. Cette diftance comparée avec celle marquée par la montre, fait connoïtre de combien l'heure de celle-ci différe de l'heure vraie. 272. Voici, Monfieur, 1'application de cette excel* lente méthode fur une de mes obfervations. Le 13 Aoüt 1791 étant en calme plat, j'ai obfervé a 9h 44' 36" de ma montre une hauteur du Soleil au-desfus de 1'horizon qui corrigée ma donné pour la hauteur vraiedu centre 50° 59' 30". a io* 57'13" de ma montre , j'ai obfervé une feconde hauteur du Soleil qui corrigée m'a donné pour la hauteur vraie du centre 6?°. La föb P3  *3° OPUSCULES tude eftimée du vaifleau étoit de 410 57' 2o"Nord, & ia déclinaifon boréale du Soleil de 140 38' 40"; voicij le calcul. *£ n «mfi IE 3 &■ S. 5 2 5 2 3 " o 3 *"H cf? ï4 o £ 2 £L1 fa ft fa r, ro ^ S^^O- % O O- E .— fN Ï?S W ' cn S I S. i S2. '5» E/2 f& tri Ox™ ONOt 3* tfl £ S "O. "O 4=> VO <-r< O 0aOg ofo" r-, 000 °o 0 0 £ï f * * o öj&jj * ' .flukss1 t£ „° te «\oo - vooocj: V3 W =sta +■ Ö\4» "NI C\oo Cn H s vi Y oos« vo + a 1 o q  MATHÉMATIQUES. $$i ConnoifTant la hauteur méridienne du Soleil, j'en coriclus aifément la latitude, en ajoutant a fon complement 270 27' 14" la déclinaifon du Soleil 140 58 40 ,\ ce qui me donne pour la latitude cherchée 42° 5 54' la* quelle différe de 1'eftimée 41° 57 a°" de 8 34 ■ Pour vérifier fi la calculée eft la vraie, je recommence le calcul en prenant pour eitimée la dernière latitude trouvée, & m pour le complément arithmétique du logarithme rationnel o,i4394'8 , & par-conféquent la fomme: des quatre logarithmes eft 9,5941214 ce qm eft le logarithme Sinus de 1'arc fubfidiaire 23° 7' 36 duquel retran chant le demi intervalle des tems réduit en degrés Q° 4' 40", il refte 14° *' 5" dont le Cofinus naturel eft 97008 ,• le complément arithmétique de ce dernier eit sqo2, & le logarithme de celui-ci eft 3>47596l6,\ re~ tranchant de ce logarithme le complément arithmétique du logarithme rationnel o,i4394i8 , j'ai pour relte « 0*20198 qui eft le logarithme de 2148 , Iequel ajouté avec le Sinus naturel 86603 de la plus grande hauteur du Soleil me donne pour fomme 88751 , ce qui eiftle Sinus naturel de la hauteur méridienne 620 34; dou je conclus que la diftance du Soleil au zénith eft 270 26 & ajoutant a celle-ci la déclinaifon 14° 38'.p', 3 f 1 pour la latitude du vaiffeau 4 4° qul eft f^ementla vraie; car elle ne différe pas de la première trouvée dune minute, ce qui eft trés peu de chofe. Pour trouver la différence en tems de l'heure marquée par la montre \ l'heure trouvée par 1'obfervation, ie réduis en tems la différence 140 a* 55' de 1 are fubfidiaire trouvé par le dernier calcul, au demi interval e des tems réduit en degrés; & j'ai pour le vrai intervalle de tems écoulé depuis 1'inftant de Tobfervation de la plus grande hauteur du Soleil jusVau midl vrai .5,44„' mais celle marquée par ma montre étoit de 1 2 47', donc elle rétardoit fur le tems vrai de 6' 3'. Re mar que. Si le calculateur n'avou pas des taP 4  *3* OPUSCULES bles de Sinus, Cofinns naturels des arcs, il pourroit trés aifément y fuppléer par les tables des logarithmes des nombres naturels; car ne prenant ces Sinus, Cofinus quavec cinq chifres, on peut toujours les obtenirs par Jes logarithmes des nombres naturels, puisqu'il eft évident que la partie des décimales des logarithmes des nombres entiers efi la même que celle des décimules, ia caracïhenftiqueen fait toute la différence, ainfi le'logarithme de ??6° — 3>4724°39 eft le même quant a la partie decimale que celui de p,2958 Iequel eft 9,4724639 (*). ' LETTRE XIV. m- Le globe terreftre eft comme nous 1'avons dit, Monfieur, au $. 236, un fphéroïde applati vers les poles; donc tous les méridiens font des ellipfes qui ont pour grand axe les lignes d'interfecfions de leurs plans avec celui^ de 1 équateur & qui font par conféquent auffi les diamètres de ce dernier grand cercle, & pour petit axe, 1 axe ue la terre, c eft-a-direla ligne qui paffe par les poles & autour de laquelle la terre fait fa révolution diurne. Soit donc fuppofe que adb (fig. 14) èft un de ces méridiens & qu en divifant cette courbe en de trés petits arcs f'^' r'f &c- qui peuvent être confidêrés comme des lignes droites , on éléye des perpendiculairs ak , (*) Le lefïeur inflr.uit me pardonnera, d'entrer dans tous ces détails en fe rappelant gue j'ai anoncé vouloir mettre la partie èsvigo.aftfónomique de mon ouvrage a la portee des perfomW Jes moins inftruites.' '•" " ■' .• • • • . • ••  MATHÉMATIQUES. #33 rp, r'p, r"p' &c. il eft clair que fi le méridien terreftre étoit un cercle, toutes ces perpendiculairs iroient fe rèunir dans un même point qui eft le centre, car comme vous le favez tous les rayons d'un cercle font perpendiculairs fur les arcs auxquels ils vont aboutir: mais dans toute autre courbe aulieu de concourir vers le même point, ces perpendiculaires fe coupent dans différends k,p,p\p" &c. d autants plus éloignés de 1'origine A de la courbe que les latitudes Ar, Ar', Ar", Ar'" &c. augmentent, & forment par la férie de leurs interfections une courbe Kpp'p"p"' &c. qu'on appelle la développée paree qu'en effet fi on la concoit enveloppée d'un fil, un des bouts étant en r', le développement de pp' s'opérant, le fil r'pp' décrit autour du point p' comme centre 1'arc r'r" auquel évidemment il eft perpendiculaire. Toutes ces lignes rp r'p r"p' &c. qui s'appelleroient des rayons dans un cercle, s'appellent dans tout autre courbe rayons ofculateurs, ou rayons decourbure, paree que comme nous le verrons bientöt ils fervent a comparer la courbure d'une même courbe en différents points, ou les courbures de différentes courbes dans des points défignés. ' 274. Puisque comme nous 1'avons dit §. 273, les rayons ofculateurs augmentent en même tems que les latitudes, il eft évident qu'ils feront dans leur minimam a 1'équateur & dans leur maximum aux poles. Cherchons a avoir 1'expreffion de ces rayons. Soitfuppofé qu'on veut avoir 1'expreflion du rayon rp pour une latitude quelconque Ar; j'imagine les deux arcs infiniment petits rr', r'r" confécutifs & fenfiblement de mêmes grandeurs; or, par la définition que nous avons déja donnée des rayons ofculateurs §. 273 les lignes pr pi1 font perpendiculaires fur les deux petits arcs rr', r'r" aux points r & r', donc le triangle r'rp eft droit en r, ce qui me donne féquation r'p — ; ou & caufe que  s3* OPUSCULES rp eft fenfiblement égal a r'p & que les Sinus de trés petits arcs font fenfiblement egaux a ces mêmes arcs; nous aurons rp = — r rpr Soit préfentement meué des points r, r' r" les ordonnées ra, r' d, r"d' & les perpendiculaires fur ces prdonnées rn, r'n'; il eft évident qu'alors rn = ad r'n' = da". Donc fi on appelle x les abfciffès fur le grand axe comptées depuis 1'origine a de la courbe, ou de fon centre e, les infiniment petits rn, r'n' qui font égaux aux infiniment petites différences ad dd' des abfciffès feront des dx; de même fi on appelle les ordonnées y , les infiniment petites parties r'n r'n' &c. feront des dy. Imaginons actuellement le petit are rr' prolongé indéfiniment jusqu'en m, fon prolongement r'm qui eft tangente a la courbe au point r' for.je avec la première un angle mr'r" == angle rpr', car ils font tous les deux compléments de l'angle r r'p a caufe des deux angles droits prt',pr'r"; donc a la place de féquation rp — l~-t nous aurons celle-ci rp = • rP~ mr'-r"" or, puisque mr' eft le prolongement de rr', il eft clair que l'angle mr'n'ett = a l'angle r'm; donc l'angle infiniment petit mr'r" eft la différentielle de l'angle r'm, donc rp =. -v-^— * Or, dans le triangle rectangle r'nr, j'ai i : Tr :: rn t r'n, donc Tr = .£2 = de plus j'ai dans le même triangle, rr' = J/Qr'ny -f {rny = ydf + dx- & CrV» — rA=—,. Mais a eau- fe de 1'extrème petiteffe de 1'arc rr' on peut le regarder comme la différentielle d'un autre are quelconque que  MATHÉMATIQUES. 43'S nous appéllerons donc d^ydx^df&iC (r'rn^ 5= £?• or, nous favons que la différentielle de la tan" d1» eenre d'un angle, ou are quelconque eft égalé a la différentielle de cet are divifée par le quarré de fon Cofinus (♦); donc rf(TO = &\ S équation de laquelle je • ( *) Etant poffible que le lecleur ne connoiffe pas la méthode de différentier les fix attributs des arcs de eerde qui éprouvent des variations a raefure que les arcs auxquels ils appamennent vanent ; nous croyons lui faire plaifir enplacant ici la doctrine de ce calcal fiintereflknt, fur tout dans les mathématiques transcendantes. S(.G + dS) étant le Sinus d'un are > G de la quantité inij. niment petite dC, eft lui même augmenté d'une quantité irjfijon Sent petite; donc d(SC) = S(C + dSj - SG; mais «fC 4- dC) = SGCdG -4- cCSdC J. 154; ora caufe que dC eSft( ir.ïnJtpetit CdC =Ti, & SdG = donc S (C + -Q S= SG + dtCQ; par conféquent d(SS) = S» + dCCC-SC S dGCG,- de même d(CG) = C(C! +■ dS} - CG ; _-h CCÊ 4- dg) = cGCdG — sSSdG (f. 154) == Sc_Scsc7donc d(CG) = CC-dCSC-CC s-dCSj. Avant les différent ielles des Sinus & Cofinus on en obtient aifé. inent celles des quatre autres attributs des arcs^ en effet TG = !?; donc d(TG) = 4 (gj = d(SGC \j = ^sc ecG + dGsec e = ër + "FT ~ c^s X^+'P^pUl de même i(CtC)=i (^) --dSSSs""1; -dGCJGs""2C = ^. =3  *3é OPUSCULES tire dC = y-> cc ^ — ^r, mettant dans cette équation la valeur de ƒ tirée de féquation de 1'ellipfe; j'ai df ==■ ^ê^S3' donc d£ ~ —■ —. ■.,(dx't + *ldx* ^ — - ■ - - yax> + df = y\ qTzrf;*) — • • - * "\ tf — tfx1 ) gvq1 — ** ' Or, nous avons vü ci-deflus que dy — - ^x, donc ddy;=d{—xdxq~~*y~1)= — 3| ^ ö. Voyons d'après cette formule quel efl: le rayen de courbure fous ks poles & fous 1'équateur: dans le premier eas, il eft clair que puisqu'on prend les abfciffès depuis le centre, nous aurons x ss 0, doac R e= ££21 — p — q*; donc fi le rapport entre les deux demi axes eft •\ c'eft-a-dire que le demi petit axe p étant i, on  MATHÉMATIQUES. £3£ aft q = i + w; alors R = Ci + w)3== i + a <* «2; ou en négligeant les fecondes puifiancês de w h caufe de Ia petiteflè de cette quantité qui ne renfermé que des décimales; nous aurons R = i + 2&>. Dans le fecond cas c'eft-a-dire pour les rayons ofculateurs fousr 1'équateur, il eft clair qu'alors x = q, donc R =3 =r ?1 = I = —*— = i — «; ainfi les rayons q* q* q i+* ofculateurs fous les poles font égaux au demi petit axe plus deux fois le rapport entre les deux demi axes, & les rayons ofculateurs fous 1'équateur font égaux au demi grand axe moins deux fois le rapport entre les deux demi axes conjugués. 275. Cherchons maintenant une expreflion du rayon ofculateur que nous puifiions appliquer généralement a toutes les latitudes. Soit ehb le méridien terreftre de 1'obfervateur que nous fuppofons placé au point m (fig. 15); fi du centre q du méridien elliptique avec un rayon q_b moitié du grand axe ou diamètre de 1'équa-, teur, on décric une circonférence de cercle eab; il eft clair qu'elle repréfente le méridien qu'auroit 1'obfervateur fi la terre étoit fphérique; donc en faifant palfer par lef centre q & le point n laligue qnz, le point oü cette ligne coupe le méridien circulaire eft celui oü feroit 1'obfervateur dans 1'hypothéfe fphérique; donc alors fa latitude feroit mefurée par l'angle rqb & par-conféquent plus petite que fa vraie latitude; car en faifant palfer par le point n une tangente ant, la verticale z'nxi a la tangente forme avec le diamètre de 1'équateur eb un angle nxb qui mefure fa vraie latitude, & eft plus grand que celui rqb qui mefure la latitude dans 1'hypothéfe fphérique (& que nous appéllerons par cette raifon la latitude apparente') d'une quantité égale k l'angle qnx formé par le rayon du fphéroïde q n & la normale n x , nous ferons bientöt connoïtre 1'cxprelfion générale de cet angle.  *4» OPUSCULES Sak t la tangente b2 de la laritude apparente, sle Si-' nus & c le Cofinus de la même latitude, les triangles femblables qbn, qbz me donnent la proportion qd : dh :: qb : bz, ou x : y :: q . t. ^onc x = £2 & »* = *jr» mettant dans cette équation la valeur de jf« prife dans féquation de 1'ellipfe, j'ai x1 = £ "«^ donc = - pÜ- - ^ , , Mais q = i -f«, donc x' = ca —- & ar = c' 4- introduifant ces valeurs de q & ar, dans 1'expresfion générale du rayon ofculateur $. 274, nous aurons __ Ci + 4* — c' — 4"C 4- c' + 2*f3)j 1 + 4. — - • • qj-j_« - a«Qj _j (ï + a» - 1+4* r+7^~~ = ' ' • • —— 1 + a* — 3»** = i — « -{-i 3^6),- expreffion qui réduite aux poles ou a 1'équateur me donne les mêmes réfultats que ceux que nous avons obtenus au paragraphe précédent : car dans le premier cas , s = 1 donc R = 1 -J- fl M & dans le fecond s = o; donc R = 1 — «. 476. Nous remarquerons en palfant, Monfieur, que 1'expreflion trouvée ci-deflus aux abfciffès x == c 4-pmt donnera auffi celle de la valeur du rayon du paralléle k 1'équateur pour la latitude dont c efl; le Cofinus: car évidemment 1'obfervateur étant en k, le rayon nl dé fon cercle de longitude efl: = dq = x = c + cm ce qui pour 1'équateur oü c = 1, donne x = 1 jl'.'i valeur  MATHÉMATIQUES. 241 Valeur que nous favons être la reëlle du rayon de 1'équateur. 277. L'expreffion de la fou-normale d x eft comme on . Ie fait ^~ ; or , en diiférentiant féquation de 1'ellipfè ax f = £-=r*-\ ou q*f = q\'— x% j'ai . . . . ; . " J J ' rfj zq2y q y " & ij-j- = —; mais quoique nous ayons trouve une expreffion négative ala fou-normale nous la prendrons pofitivement, car ce figne — n'eft qu'une indication que li fou-tangente tombe dü cöté oppofé a 1'abfehTe rélativement a 1'ordonnée, ce qui a toujours lieu dans toutes les courbes lörsque les abfciffès augmentent a mefure que les ordonnées diminuent; ainfi la valeur intrinféque de la fou-normale étant \ noUs en conclueroris quë (*) Cette indication eft même un avantage qu'on retire dii ; calcul différentiel , car par le calcul ordinaire ahalytique ont I n'obiient que la valeur intrinféque de la fou-normale; en effet foit II ƒ' & ƒ les foyers de 1'ellipfe; /'n,/n les rayons vefbeurs aboutiffants au point n; on fait que Ié grand axe étant =: 25 on a \ /'n -f-/n ~ 2q. Appailons2 0 1'intervalle /'/des deux foyers; i & la différence des deux rayons vefteurs, donc /'n = 5 -j- b \ & fnz=zq— h\quarrant ces deux dernières équations, j ai (/'n)j — q- -f- 2 bq -f> b2 & (/n)3 — — 2bq -\- b2 : j'ai de plus '| jd = a -\- x & /d = x — a; donc (/'d)2 ~ a2 -f- 2a* \ -f1- x2 & (ƒd)2 — x2 — 2ax -}- aa; mais les triangles rectsrijj gles/'Djf, /dn, me donnent les deux équations (/'n)2 — (/'d> + (dn)1 & (/n)j = (fa)' -f- (dn)3; donc q1 +• 4/ i' = s1 -f i« + ï1 + J' ^ !! — + Q  24a OPUSCULES * —■ ta» -f- a* -f- yJ. Retranchant de Ia première équation la feconde, j'ai 46a = 4a», donc b z= ^j-. Soit mainte- nant prolongé /'n jusqu'a ceque hv = »ƒ & enfuite mené Ia ligne fv qui comme on le fait efl: perpendiculaire fur la tangente & par conféquent paralléle a Ia normale; nous aurons donc n» , ax qi — qx — »ƒ — q — b = q — g = - ; or les triangles femblables /' xw, ff v me donnent la proportion f' v :f'f : : Mr ou n/ : x/; donc a{ ; 2a :: g' ~ a*;x/= 3 9J * mais dx = /x + /d = — «'* + x — a = ^x ~ 3' 3* = ^ (f —* O-" °r en fuppofant que les rayons veekeurs ail- lent aboutir au pole h , alors dans Ie triangle ƒ' qh, j'ai (Z'h)2 = (fW)2 + (q<03» nrais évidemment fn = a, de plus nous avons fuppofé le - petit axe ho, = 1; donc 22=a*-f-t d'oü je tire 1 = j' — a par-conféqnent dx = 4" (j* — a*> 3 35 1 sr -» ; meme expreffion de la fou-normale que celle que nou9 avons trouvé par le calcul différentiel, mais avec 1'avantage de moins que dans ce cas-ci elle ne m'indique pas que la fou-tangente tombe du cóté oppofé a 1'origine des abfciffès. Je n'ai donné cette démonftration que pour convaincre le leéteur qu'en prest nant t pofitivement quoiqu'il fe fut préfenté négativement, Jen.'ai point a'téré la vérité qui eft I'effence principale desfeiences mathématiques & cn fait un des plus beaux attributs.  MATHÉMATIQUES. 243 — V i + a« JK ~ J 1 + 2* i + 2* 278. La normale nx — K(ND); + (DX>! — y (V JL ~ y, mettant dans cette équation la valeur de f tirée de 1'équation de 1'ellipfe & appellant n k normale nx, j'aurai n = V F |« ) " --_^_jil_!V Telle eft la valeur éénéralo de lA normale qui comparée avec celle du rayon ofculaïêuj. _ fii__i______l, me donne r — n%cf\ donc" n% __ £ gr w — f/C ; ainfi pour les poles oü r __ q* §. 274. « = 1 . donc fous les poles la normale eft égale au demi axe da la terre. Cette valeur de la normale réduite a 1'équateur oü R — * nous aurons n = q\ donc fous 1'équateur Ia f? normale eft égale au demi grand sxe > ou rayon de 1 éqüateur. \ Les valeurs que nous venons de trouver aux normales fous les poles & fous 1'équateur qui font des fcéfultats de nos calculs, nous aurions pu les trouver tout de fuite en faifant.atcentton que les deux poles & les points Aa la circonférence de 1'équateur font les feuls fur lesquels font perpendiculaires les lignes parties du centre, & ks feuls par-conféquent oü les normales, fe confondant avéc les demis axes, vont couper le Conjugué aü centre* O a,  344 OPUSCULES 279. Connoiffant l'expreffion générale de la normale il rie nous refte plus pour la rendre appliquable a toutes les latitudes, qu'a y introduire les valeurs de q & x; ainfi n = V ( 1 + 4" ~ c> ~ 4«c' + c' + a«c'-i V 1 + 4* ^ __ 1/ f I_-f- 4" ~ \ l-f-2w »c5 — y \ r_p^_ ; , + 2 la proportion

-}- ^s2u : 1 -{- « ; dorïc 4> = e X 1 ~ "-iLMJL e x (1 — 2» -}- 3af»J = e X (1 + » — 3«c2). Voici le calcul. Q 4  «48 OPUSCULES latitude = 52° 2' . , , . , . Lc 9,7890184 Lc* 9,5780368 > Lde 3 0,47712)35 Lde%e2 0,0551581 7 Lde _ 7,638272-5 L de 3_c» 7,6934303 3 wc2 = 0,0049 7 1 -f _ = 1,004348 ¥ + » -~ 3 » r3 =. 0,9994 i 1 6 =- 57,97 699 5995 9994 609588 4997°55 (; ï _|_ _ 3a5i549*7$ Somme 6,5143176 qui eft Ie logarithme de 3269268, vraie longueur en toifes du rayon du fphéroïde par 520 2' de latitude.  MA THÉMATIQtJES, 25* to t Nous avons vü §. 236 ± + y(£ + p3) ^ > ~ 34 A ƒ_ table yd — i / , 36 hgn. 4 multipliant #/èz multiplient 41 0 la note lig. 5 ■_ g.,., ^2 ^ 3 V f» -f- d y j 124 la progreffion arithmétique qui finit la lettre X ne doit pas avoir le terme 1 qui eft au-milieu. I26 lign. ,7 aT^p tyfa 126 20 K(f + &c. (yt 4. &c_ ^ 157 diftant /(£z diftance.  Page 216 lign. 8 horaires ces deux lifez horaires de ces deux Planche I fig. 2, q r eft la corde de 1'arc compris entre les cótés bd , ad & qs eft perpendiculaire fur bd. Fautes moins effentielles. Page 12 dernière ligne complette lifez complette. —— 13 lign. 20 convénable lifez convenable —— 14 lign. 6 dénominater lifez dénominateur 15 lign. 15 chaques lifez chaque 15 lign. 21 même faute •—— 21 lign. p de la note cinquème lifez cinquième —— 33 lign. 6 de la note indiqueé lifez indiquée —— 54 lign. 4 au-paravant lifez auparavant, ■ 54 lign. 20 o na lifez on a —-— 64 lign. p <_? 10 préfente lifez préfent 88 lign. ire de la note appelons lifez appéllerons —— 89 lign. 7 égalément lifez également — — 110 lign. 4 négatif lifez négatif — — 113 lign. 5 s'employe lifez s'emploit ■ 13e lign. 15 chacuns lifez chacun 160 lign. 9 deux lifez d'eux mm — 1 pp Hgn. 2p perigé lifez perigée 203 lign. 4 point lifez points — 205 lign. 24 méridiens lifez méridiens   OPUSCULES MATHÉMATIQUES.      SS'.