SAMENSTEL
VAN
MEETKUNDE,






GRONDEN
DER
MEETKONST,
■ O F
BEKNOPT SAMENSTEL
D E E Z E R
WEETENSCHAP,
TEN NUTTE VAN HUN, DIE IN DE EERSTE BEGINSELEN DAARVAN ZICHZELVEN WILLEN ONDERW Y Z E N ,
EN TEN MEER DUIDLYKEN VERSTANDE
VAN ALLE
WISKUNDIGE VOORSTELLEN.
GEVOLGD NAAR HET WERK VAN DEN BEROEMDEN
S I M P S 0 N.
■sPfflTTHCEELE FIGOUREN OPGEHELDERD. <f -r -> ^ A, -
MSTER.D4M, by X^!''V W. S M I T,
U D C C X C I.






e R O N D E N
DER
MEETKUNST.
EERSTE BOEK.
HEt woord Geometria is uit de Griekfche Taal afkomftig , en beteekent eigentlyk Aard - Meetkunst , alhoewel haare nuttigheid veel verder ftrekt. vVant, het is zeker, dat het Landmeeten een der geringfte bezigheden eens Meetkunftenaars, en niet het eenige oogmerk is, dat men by het leeren van deezfe Weetenfchap kan hebben. Neen, de Geometrie bezit veel grooter rykdommen, waarmede zy andere Weetenfchappen veel meer als haar zelfs bedient* Zy praalt met geen ontleende pragt; maar verfchynt t'allen tydep m een eenvouwdi.g, hoewel natuurlyk, gewaad, niettegenftaande de Natuur-Leere haar alle den glans te danken heeft , waar door zy het hart van een wagr Wysgeer weet te bekoren. Zy heeft onder de Weetenfchappen een tamelyk hoogen ouderdom bereikt, en verwerft zich door dezelve een groote agtbaarheid; terWyl men haar nooit te vooren kan leggen, dat zy zich. in haare Jeugd van valfche of ontleende cieraaden heeft bediend, welke nogthans by andere Weetenfchappen van alle tyden in gebruik zyn geweeft, en ook bezwaarlyk hebben kunnen vermyd worden. Geene gelykenisfe, geene overeenkomft der woorden, geene gillingen en onderftellingen zyn immer by de Geometrie aangeno» men, en in gebruik geweeft. Neen, grondige Verklaaringen, overtuigende Bewyzen , eene natiiurlyke fchik» king, en volkomen overeenftemming , zyn altoos de kenmerken van een bekwaam Meetkunftenaar geweefr. Hier zyn geen Sekten, geen wederleggingen en twift. gedingen, geen befpotting des Ouderdoms, of veragting van het geen nieuw is; want, alle die deeze Wee-i t-i tA J ten-



I.BoeE. ( 2 )
tenfchap geleerd hebben, zyn zo wel met de Ouden, als onder malkanderen, zo eensgezind, als of zy een* onderling verdrag hadden aangegaan. Hoe gelukkig zouden andere Weetenfchappen zyn, wanneer men dit van haar konde zeggen. Laaten wy dus de Geometrie leeren kennen , miffchien worden wy daar door bekwaam gemaakt, zulk een heerlyk voorbeeld te kunnen volgen.
BEPAALINGEN. (Definitiones.)
1. De Meetkunst (Geometria) is die Weetenfchap waar door wy de grootheden , die uitgeftrektheid hebben, met malkanderen vergelyken.
Uitgeftrektheid, wordt in lengte, breedte, en dikte onderfcbeiden.
2. Een Lyn is een grootheid , welke lengte zonder breedte heeft.
De paaien, einden, of uiterften van een Lyn , zyn punten. Dienvolgens is een punt geen grootheid.
■ | 3. Een Vlak is eene uitgebreidheid,
a die alleen lengte en breedte
A heeft, als A.
De einden van een Vlak zyn lynen.
4. Een Lighaam is eene uitgebreid-
| heid, welke lengte, breedte, en
dikte heeft, als B.
J5
j 7 De einden van een Lighaam zyn
/ / Vlakken.
A B 5. Een regte lyn is die, welke
gelykelyk tuffchen zyne uitëinden ligt, of welke overal naar de zelfde weg ftrekt; en de kortfte lyn, die tuffchen twee gegeeven punten, kan getrokken worden, als A B.
6. Een Plat vlak is, dat overal volkomen vlak en effen
is.



( 3 ) J.Boek.
is, of het welk, in ieder deel, een regte lyn raakt, die, tuffchen twee punten, ergens in dat Vlak getrokken wordt.
<7. Een Hoek is.de neiging, of opening, van C- twee regte lynen, die in gen punt te faamen komen, als C.
q 8. Als een regte lyn , ftaande
op een ander AB, de hoeken aan beide zyden gelyk maakt, worden deezehoeken regte boeken genaamd, en de
I lyn C D wordt gezegd Perpen-
-A. jj -B diculair op de andere AB te zyn.
9. Een fcherpe hoek is die, welke kleinD der dan een regte hoek is, als D.
/io. Een Hompen hoek is die, welke grooter dan een regte hoek is, als E.
11. De afftand van twee punten is de regte lyn,reikende van het eene tot het andere.
12. De afftand van een punt tot een lyn, is een regte lyn , getrokken van dat punt, perpendiculair tot de gegeeven lyn, waar in dezelve eindigt.
r1 "D 13- Pwallele of evenwydige regte ly«
<—y~~ T~" nen AB, CD, zyn zulke,welke
op een plat Vlak zodanig nevens malkanderen getrokken worden ?
*—r rT"" dat wanneer dezelve verlengt wor-
** den, zy malkanderen nooit ontmoeten kunnen, 14. Een Figuur is een befloten ruimte, en is; of een Vlak, of een Lighaam.
[As] 15. E£?



I.Boek.' ( 4 )
IJ*1Eefr,r,egt,yHige p1atte Fig"un's die, welke in een plat Vlak gemaakt wordt, en waar van de uiteinden regte lynen zyn.
16. Alle platte Figuuren , door drie regte lynen befloten, worden Driehoeken genaamd.
Z\ 17. Een gelykzydige Driehoek is een Fi\ guur, welkers einden, of zyden , alle \ gelyk zyn, als F.
A
ƒ \ 18. Een gelykbeenige Driehoek is een Fi-
■ / q.\ gjuu^ waar vau tw6€ zyden gelyk zyöj
/\ 19. Een ongelykzydige Driehoek is een / -r- \ Figuur, waar van alle de drie zyden oii/ II \ gelyk zyn, als H.
C 20. Een regthoekige Driehoek is y\ een Figuur, welke een regte hoek X heeft, als ABC; en waar van de
X zyde A C, over den regten hoek,
/ fchuinfche zyde , of Hypotbenufa
J>X- l-g genaamd wordt.
21. Een Stomphoekige Driehoek is die , welke eene ftompe hoek heeft.
22. Een Scherphoekige Driehoek is die, waar van alle de hoeken fcherp zyn.
23. Ieder platte Figuur, door vier reete lynen bepaald, wordt een Vierhoek, of Vierkant (Ouadrangulum)genaamd.
) 1 24, Een Vierhoek, welkers over-
ƒ / ftaande zyden parallel zyn, wordt
ƒ een Parallelogram, of Raam, ge-
/ I naamd, als I.
' 2j. Een



C 5 ) I. Boek.
" j 25. Een Parallelogram, waar van de hoeken alle reet zyn , wordt een Jx. Regthoek (Reftangulum) genaamd. als K. '
26. Een Qtiadraat, of Vierkant, is een y Parallelogram, welkers zyden alle ge-
lyk, en waar van alle de hoeken regte hoeken zyn, als L.
ZÉ 27. Een Rhombus of Ruit , is een -jyr I Parallelogram, welkers zyden alle / gelyk zyn; doch geene regte hoe/ ken heeft, als M.
a8. Alle andere vierzydige Figuuren, behalven deeze
worden Trapeziums genaamd, sp. De regte lyn, die twee overfiaande hoeken, van
eene vierzydige Figuur, te faamen voegt,noemt men
Diagonaal.
33 -p 30. De zyde A C , op welke een
/ \T ' Parallelogram A B E C, of Drie-
/ \. / hoek ABC, veronderfteld / >v / wordt te ftaan, noemt men Ba-
L ^/ fis; en de Perpendiculair BD,
-D 0 vallende op dezelve, uit de o-
verftaande hoek B, wordt de hoogte van hziParalle. logram, of van den Driehoek, genaamd.
31. Alle platte Figuuren, onder meer als vier zyden begreepen, worden Veelhoeken genaamd; waar van die, welke vyf zyden hebben, Vyf hoeken ; die, welke zes zyden hebben , Zeshoeken , enz. genaamd worden.
32. Eene gefchikte, of regelmaatige Veelhoek, is een Figuur, waar van de hoeken, zo wel als de zyden , alle gelyk zyn»
[ A 3 ] 33, Een



L Boek. ( 6 }
_A_ 33. Een Cirkel is een platte Fi-
®guur, befloten door een kromffle lyn ABCD, die men Circumfenntie, Peripherie, of om3> trek, noeirt, welke van een punt O , binnen den Cirkel , overal even ver afftaat , dat men het Centrum, of middelq punt, noemt.
34; De Radius, of Straal, van een Cirkel, is de afftand tuffchen het middelpunt en den omtrek , of een regte lynOA, van het middelpunt tot den omtrek getrokken.
AXIOMATA, of klaarblykelyke Waarheden.
1. Alle grootheden, die aan één en dezelfde grootheid gelyk zyn, zyn ook aan malkanderen gelyk.
2. Ieder Geheel is grooter als deszelfs deel.
3. Ieder Geheel is gelyk aan alle deszelfs deelen faamen genomen.
4. Indien men by gelyke grootheden, gelyke grootheden vergaart, zullen de komende gehee'len gelyk zyn.
5. Indien men van gelyke grootheden, gelyke grootheden aftrekt, zullen de overblyffelen gelyk zyn.
6. Indien men by, of van, ongelyke grootheden, gelyke grootheden vergaart, of aftrekt, zullen de fommen, of overblyffelen, het zelfde verfchil hebben, als de voorgeftelde ongelyke grootheden.
7. Alle regte hoeken zyn gelyk aan .malkanderen.
A — B 8. Van een gegeeven punt A,
tot een ander punt B, kan niet meer als eene regte lyn getrokken worden. , 9. Indien twee
punten F, H, in w een regte lyn
^^>i D CD,oponge... lyke afftanden
FE, HG, van
i 1 Sa* een



( 7 ) I.Boek.
een andere regte lyn AB, in het zelfde plat Vlak gefield zyn, zullen deeze beide lynen, wanneer men die, aan de zyde van de kortfte afftand GH verlengt, malkanderen ontmoeten.
-r> __ 10. Indien twee
yv y\ regte lynen A B,
/\ /\ BC,maakende
/ \ / \ een boek B, we-
./ \p t*Z- —-^"p derzyds gelyk
Ar—■ ^ zyn aan twee an¬
dere regte lynen ED , EF, maakende een hoek E, en dat ook de hoeken, welke zy maaken, B en E aan malkanderen gelyk zyn; zullen de regte lynen AC DF, die hunne uiterften te faamen voegen,gelyk,'en de beide Driehoeken ABC, DE F in alle opzichten even groot zyn. (*). Indien dit niet klaar genoeg voor een Axioma mogt fchynen; zo verbeelde men zich , dat den Driehoek DEF opgenomen , en zodanig op den Driehoek ABC gevoegd wordt, dat het punt E op het punt B, en de zyde ED op de zyde BA valt; dan, dewyl ED gelyk BA gefteld is, zal het punt D op het punt A vallen. En om dat de hoek E aan de hoek B gelyk is, zal de zyde E F op de zyde BC vallen; en by gevolg , het punt F op het punt C , om dat E F gelyk B C gefteld is. Dewyl nu alle de einden van de beide Driehoeken overeen komen, of op malkanderen paffen, is het openbaar; dat niet alleen de Bajes AC, DF; maar ook de hoeken over gelyke zyden, alle gelyk zyn-
Als alle de vier lynen BA, BC, ED, EF gelyk
zyn;
(*) Het geen <wy hier als eene algemeene kundigheid voordragen, zou eigentlyker voor eene Propofitie kunnen dienen (Eucl. Prop. 4. B. 1.) , indien men een zodanig Bevoys, dat met de Meetkundige Jlriktbeid, en zuiverheid , volkomen beftaanbaar is, daar van konde geeven. Maar het leggen van een Figuur op een ander, welke baarblykelykbeid daar ook uit voortvloeid, is een Werktuiglyke befcbouwing, en hangt van geene Begeerten (Toftulata) af. L A 4 1



LBoek. ( 8 )
zyn; zal den Driehoek DE F, zodanig op ABC op legt zyn de , dat EF met BA overeenkomt, ook met den Driehoek ABC overeenkomen , of op dezelve pallen, als uit de voorgaande redeneering blykt: en zo de hoek F zo wel als de hoek D, op'de hoek A paft moeten de hoeken D en F, in dit geval, waar in den Driehoek DEF gelykbeenig is, noodvvendTg an m ï kanderen gelyk zyn. ' h
POSTUL ATA , of BEGEERTEN. Men eifcht
1. Dat, van een gegeeven punt, tot een ander gesee. ven punt, een regte lyn mag getrokken worden.
2. Dat een regte lyn verlengd, of, zo ver als men begeert, voortgetrokken mag worden.
3. Dat, uit eenig punt als Centrum, met eene Radius die aan eene gegeevene lyn gelyk is, een Cirkel ma* belchreeven worden. 0
AANMERKINGEN. Een Propositie is, wanneer 'er iets voorgefreld wordt te doen, of tè bewyzen, en wordt in een Problema (Werkjluk), of in een Theorema (Grondles) onderfcheiden.
EeirPROBLEMA handelt van zodanige zaaken die te doen , of te maaken zyn.
Een Theorema is de vergelyking van verfcheide Bepaalingen (Defimtiones) tegens eikanderen , en onderftelt derhalvep iets , dat beweezen moet worden
Een Lemma (Voerbewys) is, wanneer 'er iets vooraf moet beweezen worden, om het onderwerp gemakkelyker te maaken.
Een Corollarium (Gevolg) is eene gegronde waarheid, die, door een onmiddeiyk befluit, uit een voorafgaande Waarheid, of Bewys , afgeleid wordt.
Een Scholwm (Aanmerking) is eene verklaaring af opheldering van iets, dat vooraf gaat.
VERKLAARING der TEKENEN. Het teken = toont aan, dat de grootheden, tusfche,n welke hetzelve ftaat, aan malkanderen gelyk zyn.
Hei



( 9 ) I.Boek.
Het teken L~? toont aan, dat de voorgaande grootheid grooter is, als die, welke daar op volgt.
Het teken toont aan, dat de voorgaande grootheid kleindeï is, als die, welke daar op volgt.
Het teken + toont aan , dat de de daar op volgende grootheid bygevoegd moet worden.
Het teken — toont aan, dat de daar op volgende grootheid afgetrokken moet worden.
Een Cyfferletter, of getal, voor een grootheid (taande, toont, hoe veel maaien die grootheid moet genomen , of' herhaald, worden; als 5 A toont, dat de grootheid , door A vérbeeld, 5 maal genomen is.
Q D Wanneer vei fcheidene hoeken
\/ in een zelve punt (als }n j?} ge. / maakt worden, wordt ieder hoek / byzonder met drie ietteren be/ fchreeven, waar van de mjddel=~ _j (re het hoekpunt aantoont, en de
beide andere de lynen , welke dien hoek maaken. Dus beteekent CED, of DEC den hoek, welke door de lynen CE en D E gemaakt wordt.
Wanneer men in een Bewys , eenige Grootheden ontmoet, die geduurig, door het teken van gelykheid (— aan malkanderen zyn vereenigd, wordt het Befluit,dat men daar uit trekt, altoos uit de eerfte en laatfte derzelve opgemaakt; welke, uit kragt van het eerfte Axio. Via, aan malkanderen gelyk zyn. Dus, indien A — B = C:r_D is, zullen de eerfte (A), en de laaüïe (D) aan malkanderen gelyk zyn,
üok wanneer men in de aanhaalingen twee getallen aantreft, toont bet eerfte de Propofitie, en het tweede het Boek aan. Verder Ax. beteekent Axioma; Poft. Pojtulatum, Def. Définitie; Steil. Stelling, enz. Daar het woord Lyn voorkomt, zonder aan te merken, of dezelve regt, bf krom is, wordt altoos een regte Lyn verftaan ; en wanneer een Lyn gezegd wordt tot of uit een hoek getrokken te zyn, wordt het hoekpunt, of de faamenkomft der lynen, welke den hoek maaken, beoogd.
[ A5 J
THEO.



I. Boek.
( 10 )
THEOREMA I. (a)
Een lyn (C D), ftaande op een ander lyn (A B), maakt met dezelve twee boeken (CDA, C DB) die, te faamen genomen, gelyk zyn aan twee regte boeken.
■ft c Indien de hoeken C D A, C D B I / gelyk zyn , is het klaar, dat zy | / te faamen twee regte hoeken uit1 / maaken (Def. 8.); indien zv on\ / gelyk zyn, zo laat DE perpendi-
\J_ culair op A B getrokken worden
-A- D QPoJl. 4.), dan wordt de grootfte
hoek (CDA) door dezelve in twee deelen EDA, EDC verdeelt; dewyl nu het eerfte deel EDA een regte hoek is (Def. 8.), en dat het overblyvende deel EDC, met de geheele kleinfte hoek C D B, te faamen aan een andere regte hoek E D B gelyk zyn (Ax, 3.)» zo volgt, dat de beide voorgeftelde hoeken, ook aan twee regte hoeken moeten gelyk zyn
COROLLARIUM.
Hier uit blykt, dat alle de hoeken in het zelve punt (D), op de zelve zyde van een regte lyn (AB), aan twee regte hoeken gelyk zyn (Ax. 3 ).
THEOREMA II. (i)
Wanneer een lyn (C D), ontmoetende twee andere lynen (D A, D B) in bet zelfde punt (D), twee boeken (CDA, C D B) met dezelve maakt, die te faamen genomen aan twee regte hoeken gelyk zyn ; dan zullen deeze lynen (DA, DB) maar eene regte lyn uit maaken.
C Want, indien het mogelyk is,
/ zo laat DN, en niet DB, het
/ verlengde van de regte lyn A D
/ -wzyn; dan zyn de hoeken CDA
/ en CDN= twee regte hoeken
A tT B(i.i.)_CDA en C DB («««O;
In-
(a) Eucl. 13. 1. B.
(6) Eucl. 14. i. B.



( II ) I.BOEK.
Indien men nu van deeze gelyke grootheden, den hoek CDA, die aan dezelve gemeen is, aftrekt, zal 'er overblyven CDN=CDB(A. 5.); dat onmogelyk is (Ax. 2.).
THEOREMA HL
Als twee lynen (A B, CD) malkanderen in een punt (E) J'nyden , zyn de tegen eikanderen overftaande boeken (A E C, D E B) even groot.
\ Q Want AEC-f AED= twee regte
\ / hoeken (1.1.) — DE B+AE D; weshalven de gemeene hoek AE D wegneeS\ mende, blyft 'er over AEC__DEB
Op dezelve wyze betoogt men, dat A E D — C E B is.
THEOREMA IV.
Twee regte lynen (AB, CD) perpendiculair op een en dezelfde regte lyn (EF) 23172 parallel, of evenwydig,
C—.ï
Indien men fielt, dat zy niet parallel zyn , zullen zy, verlengt zynde, in een punt te faamen komen, als in G.
Verleng EA, zo het noodig is; maak EH —EG (Poft. 4.); en trek de regte lyn FH (Poft. 1.). De Driehoeken EHF, en EG F, hebbende EH —EG, de hoek HEF__GEF (Def. 8.), en EF gemeen, zyn derhalven in alle opzigten gelyk (Ax. ie); en dus de hoek EFH —EFG(EFD)r_een regte hoek zynde (Steil.), moet HFDG, zo wel als HEG, een regte lyn zyn (2.1.): dat onmogelyk is. Derhalven zyn AB , en C D parallele lynen.
THEOREMA V. 'Alle Perpendiculairs (E F, GH,) die op een (A B) van
twee parallele lynen (AB, CD) tot de andere (CD)
£"
(e) Eucl. 15. 1. B.



I.BOEK. C 12 )
getrokken -worden, zyn aan malkanderen gelyk • en 0fl»
j;r.ndlcuIair op de m aerCCD ^-&£*mt
_L Want, AB,en CU pa.
C T !H T>ra'feZ zyHde> kan G H noch
'"" _ TC1"» noch kJeinder zyn
- L alsEFC^.0.en£)e/. 1/)
en derhalven GH__ËF.
A I Indien men ftelt, dat EF
-A __ q _ niet perpendiculair op cd
lair op EF zyn, ontmoetend^ zo het noodig is m L: dan zal FL parallel met AB zyn (4.1 O; en by gevolg GL==E F (Steil.™ GHdat onmogelyk is (Ax. 2.). Derhalven is EF p/r^S
SL^op CD.En' d°°rde ZdV£ reden' ^US-
COROLLARIUM. Hier uit blykt, dat door het zelfde punt F, tot de zelfde gegeeven lyn AB, niet meer als eene parallels lyn kan getrokken worden. ^ ""7
THEOREMA VI. Alle regte lynen (AB, CD), parallel met de zelfde regte lyn (E F), zyn parallel met malkanderen.
A. ë _b Want> laat de lyn GHI
„ perpendiculair op EF zyn , zo
^ IDis dezelve ook perpendiculair
■tt, | -^OP AB en CD(5.i.);enby
j _j gevolg zyn de ]aatften (AB,
C D) ook parallel met malkanderen (4.1.)
THEOREMA VII. (<f)
Een lyn (IK) , fnydende twee parallele lynen (AB, CD), maakt de verwiffelende boeken (AHE, DEH) aan malkanderen gelyk.
Laai
"~0O Eucl. 29. I. B.



( *B ) I. Boek.
I Laat EF en GH Perpen-
diculair op CD en AB zyn
A "—/^i "R C5-i-); dan zyndeezely.
[;./}•-. nen EF, en G H parallel
i / ! (4«iO» Dewyl nu in de
I / j Driehoeken E F H en
f/ ! EHG, de zydeEF_GH
C 7E& ^ (5.iO*FH=EG(5.iO,
/ en de hoek F _~G is
-jj- £f *• 70> zal ook de hoek
FHE__GEHzyn. (Ax. 10.)
COROLL A RT TJ M I. Hier uit volgt, dat een lyn, die twee parallele lynen fnydt de hoeken (IHB, IED), op dezelfde zyde, aan malkanderen gelyk maakt;want, IHB is__EHA C3.i.; = IED (7.1.).
COROLLARIUM II. Een lyn, op twee parallele lynen vallende, maakt de Som der beide inwendige hoeken (AHE + CEH) aan de zelve zyde, gelyk twee regte hoeken: want! de hoek AHE = DEH, en DE H-f CEH= twee regte hoeken zynde (1.1.); is ook de hoek AHE + CEH__ twee regte hoeken (Ax.4.).
THEOREMA VIII. («) dis een lyn (PE) , fnydende twee andere lynen (A B cu), de verwijjelende boeken (FGD, GFaS aan malkanderen gelyk maakt, zyn deeze twee lynen parallel.
■tt... /£ Want, indien het moge-
A > ]Y lvk is» zo laat een ander
_y lyn FHj £n nkt FAj met
/ D C parallel zyn ; dan moet
/ de hoek GFH=_FGD
q J_ C7.iO_GFAzynCSfe//.),
/ ^ dat onmogelyk is (Ax, 2. ).
E Derhalven zyn de lynen AB
en CD parallel.
. : co.
(O Eucl, 27. 1. _. "



1. Boek. ( H )
COROLLARIUM. (ƒ)
Indien een lyn, op twee anderen vallende, de hoeken (PFB, PGD) boven dezelve, aan de zelfde zyde, aan malkanderen gelyk maakt;zyn deezelynenparallel; dewyl AFG—-PFB is (3.1 O»
THEOREMA IX. (g)
Als een zyde (AC) van een Driehoek (ABC) verlengt wordt, is de uitwendige hoek (BC D) gelyk aan de beide overftaande hoeken (A «72 B) te faamen genomen.
Want, laat C E parallel met
35 .13 A B zyn; dan is de hoek B —
&k / BCE (7.1.), en de hoek
/ \ / A__BCD (Cor. 1.wan7.1.);
/ V_/ derhalvenB + A:__BCE-H
A - D DCE CAx. 4.) = BCD
° (Ax. 3.).
COROLLARIUM.
Hier door is de uitwendige hoek van een Driehoek grooter als ieder der inwendige overftaande hoeken. THEOREMA X. (g)
De drie hoeken van een platten Driehoek (A B C) zyn, te Jaamen genomen, gelyk aan twee regte hoeken. Want, indien, in de voorgaande Figuur, AC tot D verlengt wordt, is B + A = BCD C9.1.'); laat by deeze gelyke grootheden den hoek BCA vergaard worden, dan heeft men B + A + BCA__BCD»4»BCA (Ax. 4.) _ twee regte hoeken (1.1.) .
COROLLARIA.
ï. Als twee hoeken in een Driehoek, gelyk zyn aart twee hoeken in een andere Driehoek, zullen de overige hoeken ook aan malkanderen gelyk zyn (Ax. 5.).
2. Als een hoek in een Driehoek, gelyk is aan een hoek
in
(f)Eucl. 28. i.B. (_0_w„32. i.B.



( 15 ) I.BoeK.
in een andere Driehoek, zullen de fommen der overige hoeken ook aan malkanderen gelyk zyn (Ax. y.). ■ 3. Als één hoek van een Driehoek regt is, zullen de twee andere, te faamen genomen,aan een regte hoek gelyk zyn.
4. De twee kleinfte hoeken, van ieder Driehoek, zyn fcherp.
THEOREMA XI.
De vier inwendige boeken van een Vierhoek (ABCD) zyn, te faamen genomen, gelyk aan vier regte boeken.
O Laat den Diagonaal A C getrok-
jB- ~X \ ken worden (Pojt. 1.}; dan zyn
/ \ de drie hoeken van den Driehoek
\ A C D ——: twee regte hoeken
A X) (10.1.3; en die van den Driehoek
ABC ook __twee regte hoeken (io.i.); en by gevolg zal de Som van alle de hoeken der beide Driehoeken, welke de vier hoeken des Vierhoeks uitmaaken, aan vier regte hoeken gelyk zyn (Ax. 4.).
COROLLARIUM. I.
Als drie van de hoeken regt zyn, zal de vierde ook een regte hoek zyn.
COROLLARIUM II.
Als twee van de hoeken aan twee regte hoeken gelyk zyn, zullen de beide overige ook aan twee regte hoeken gelyk zyn.
S C H O L I U M.
Als uit een punt, binnen een Veelhoek, tot alle de hoeken lynen getrokken worden, welke den Veelhoek in zo veel Driehoeken verdeelen, als dezelve zyden heeft; zal de Som van alle de hoeken in deeze Driehoeken, welke te faamen de hoeken van den Veelhoek, boven en om dit punt, uitmaaken, gelyk zyn aan tweemaal zo veel regte hoeken, als den Veelhoek zyden heeft (10.1.). Dewyl nu alle de hoeken, om dit punt, aan vier regte hoeken gelyk zyn, is het openbaar, dat alle de hoeken van den Veelhoek, te faamen genomen, gelyk zullen zyn aan tweemaal zo veel regte hoeken min vier, als den Veelhoek zyden heeft.
THEO-



t.Bom ( 16 1
THEOREMA XII. (b)
De boeken (A, C) op den Ba/is van een gelykbeenigen Driehoek (ABC) zyn aan malkanderen gelyk.
TJ Want, laat de hoek ARC in twee
A gelyke deelen ABD, CB D, gedeeld
7jY worden, door de lyn BD, die den
/ ; \ Bazis A C in D ontmoet; dan zal in / [ \ de Driehoeken ABD, CBD.de zyde . / \ \- AB — BC (Def. 18.), BD gemeen, >A—lP~^C en de hoek ABD _=CBD zyn (Steil.); derhalven is dehoekA__C (Ax. io.).
COROLLARIUM I.
De lyn, welke den tophoek van een gelykbeenigen Driehoek in twee gelyke deelen fnydt, verdeelt ook den Bafis in twee gelyke deelen ^ en is dus perpendiculair op dezelve (Ax. io.).
COROLLARIUM II,
Hier uit blykt nog, dat ieder gelykzydige Driehoek ook gelykhoekig is.
THEOREMA XIII. (i)
In ieder Driehoek (A B C) Jlaat de grootjle boek over de gtootjie zyde.
B Laat AC grooter als AB
y\ zyn;maak danAD—= AB;
/\\ en trek BD. Dewyl nu den
/ \\ Driehoek ABD gelykbee-
/ \ \ nig is, zyn de hoeken A B D
/ \ \ en ADB gelyk (12. i.);
. __ \ derhalven moet de hoek
A 2D ABC, die grooter is, als
ABD, ook grooter zyn als ADB (Ax. '0.), en gevolgelyk ook grooter als C, die kleinder als ADB is (Cor. van 9.1.).
CO-
Q>) Eucl. 5. 1. B. (O Eucl. 18 en 19. ï. B.



( 17 ) I. BoEK*
COROLLARIUM.
Hier door is in ieder Driehoek de grootfte zyde over den grootften hoek ; dewyl den hoek ABC niet grooter ais C kan zyn,ten zy AC grooter als ABzy(t3.i.).
THEOREMA XIV. (*)
AU de drie zyden (AB, AC, CB) van een Driehoek, ieder byzonder voederzyds aan de drie zyden (DE, D F, F E) van een andere Driehoek gelyk zyn; zullen de boeken , over gelyke zyden Jlaande 3 ook aan malkanderen gelyk zyn.
j^Z.—hH—4B D—^ »
x 1 *
\!/ '■<?'
&
Laat de hoek BAGrrrD, AG_DF zyn, en GB en GC getrokken worden; dan zullen de Driehoeken AB G, en DE F in alle opzigten gelyk zyn (Ax. 10.). Dewyl nu AG=DF=AC (Steil.), en BG=EF — BC is (Steil.), is ook de hoek ACG — AGC (i2.i.),BCG_BGC(i2. i.);en bygevolg ACB_ AGB (Ax. 4O-—DFE; derhalven zyn de Driehoeken ABC, DEF in alle opzigten gelyk (Steil.). SCHOLIUM.
Het Bewys van dit Theorema kan, als de Driehoeken ftomphockig zyn , nog tot een ander geval gebragt worden, dat nogthans niet noodzaakelyk is:want,als men den Driehoek AGB (gelyk aan DEF) op de langfte zyde, van den Driehoek ABC, maakt; zal de lyn C G altoos binnen de Figuur AC BG vallen (Ax. 2.)» om dat alle de hoeken CAB, CBA,GAB,GBA fcherp zyn.
THEO-
(k) Eucl. 8. 1. B.
EB 1



I.BoeK. ( 18 )
THEOREMA XV. (0 Als twee Driehoeken (ABC, DEF), wederzyds gelykhoekig, twee overeenkomjlige zyden (A C, D E) aan malkanderen gelyk hebben, zullende andere overeenkomjlige zyden ook aan malkanderen gelyk zyn.
B 1? Stellende, dat
a. A B C grooter is als
/ AG- / \ FE; zo laat van
/ / \ / \ B C een deel CG
// \ / \ —FE genomen,
\ / \ en AG getrok-
j^e—. \q jyZ. _j£ ken worden.Dan
t a y ^ „ „ „ „ is in de Driehoe¬
ken ACG, en DEF, AC—DE, CG=_EF, en de hoek C_E (Steil.); derhalven de hoek CAG-D (Ax. io.); maar de hoek D is __C AB (Steil.)- bvgevolg C A G == C A B (Ax. i.); dat onmogelyk is (Ax.2.).
COROLLARIUM. Hier uit volgt, dat alle gelykhoekige Driehoeken, welke twee overeenkomftige zyden gelyk hebben ook aan malkanderen gelyk zyn (Ax. xo.).
THEOREMA XVI. . Als twee regtboekige Driehoeken (ABC, DEF), hebbende gelyke Hypothenufen (AC, DF), twee andere zyden (B C, E F) gelyk hebben; zullen ook de overige zyden (AU, DE) gelyk, en de beide Driehoeken, in alle opzigten, even groot zyn.
C F Neem, in het
/ \. A verlengde van A B,
/ \ / BG___DE, en
/ \ / laat GC getrokken
/ \ / worden. In de
a-- J, V T)^~ 'v Driehoeken BCG
' B <*- en DEF, is BG
_DE, BC — EF, (Stelle en de hoek CBG= E
(Ax.
(O Eucl. 26. i.B.



( 19 ) i.BoE&
('Ax. 7.) 5 dienvolgens de hoek G = D, en CG __DF (Ax. io,)__AC (Sfe//.). Derhalven, dewyl den Driehoek ACG gelykbeenig is, zal de h®ek G, ofD, — A zyn ( 12. t.); en by gevolg ook de hoek F=ACB (Cor. i. vun io. _.). Nadien nu de Driehoeken ABC, en DEF wederzyds gelykhoekig zyn, en AC = DF hebben, zyn dezelve, in alle opzigten, gelyk (Cor. van 15. 1.).
THEOREMA XVII.
Als van twee Driehoeken (ABC, DEF) twee zyden (A B, B C) van den éênen , gelyk zyn aan twee zyden (DE, E F) van den anderen, en dat ook de boeken (A en D), over twee gelyke zyden ( B C, E F) ftaande, aan malkanderen gelyk zyn, dan zyn de beide Driehoeken, in alle opzigten, even groot.
-* c q> 0 J' Tl
Laat BG en E H Perpendiculair op AC en DF zyn. Dewyl de hoek A G B = D H E (Ax. 7.), A _ D (Steil.), en de zyde A B — D E is (Steil.), zal ook B G = E H zyn (15. 1.); en om dat BCzrEF is (15. 1.), zullen de hoeken GCB, HFE ook aan malkanderen gelyk zyn (16. 1.); derhalven zyn de Driehoeken A B C en DEF wederzyds gelykhoekig (Cor. r. van 10. t.), ert hebben de zyden AB en DE gelyk; by gevolg zyn dezelve, in alle opzigten, even groot. (Cor. van 15. t.).
Hetbewys is bet zelfde, wanneer beide de hoeken AcB, en D/E ftomp zyn,als in de Driehoeken ABc, DE/. Want, indien Bc (__BC=EF) —E/is, en dat de hoeken GcB, en Hfe, als vooren, gelyk zyn, zullen ook de hoeken AcB, en D/E gelyk zyn (\.i. en Ax. 5. 1.).
[Ba] THEO-



I. Boek. ( 20 )
THEOREMA XVIII. (m$ Als twee hoeken (A en C) van een Driehoek (A B C) gelyk zyn, zullen ook de zyden (B C, A B), over deeze boe. ken Jiaande, aan malkanderen gelyk zyn.
ZB
a Laat BD den hoek ABC in
/j\ twee gelyke deelen fnyden, en
/ j \ A C in D ontmoeten. Dewyl dan
/ ! \ de Driehoeken ABD, CBD ge-
/ I \ lykhoekig zyn (Cor. ï.van 10.1,),
/ j \ en beide BD gemeen hebben, zo
/ ! \ is ook AB_BC (15.1.).
-~—ï>—c
THEOREMA XIX. (n)
Twee zyden (AB, B C) van een Driehoek (ABC) zyn, te faamen genomen, grooter als de derde zyde (AC).
,.JÖ Verleng de zyde AB;
s<j maak B D _ B C, en trek
y ƒ CD. De hoeken D en
B ,X / D C B zyn gelyk (12.1.);
si I derhalven moet de hoek
/ \ l ACD, welke grooter is
S \ ƒ als dehoekDCB(_x. 2.),
/ \ I ook grooter zyn als de
\j' hoek D; en by gevolg;
-V ^ moet AD (of AB + BC) grooter zyn als AC (Cor. van 13. 1.).
THEOREMA XX.
Van alle regte lynen (NA, NB, NC) vallende uit een gegeeven punt (N) op eene oneindige regte lyn (P Q), is die (NA) de kleinjte, welke Perpendiculair op dezelve ftaat; en van de overige, is die (N B), welke bet naaft by de Perpendiculair is, kleinder als eenige andere (N C), op een grooter afftand.
Want,
(w) Eucl. 6. 1. B. 00 Eucl, 20. 1, B.



(21 ) I. Boek.
I N
/\ Want BAN een regte hoek
/ \ zynde (Steil.), zal ABN een
/ / \ fcherpe hoek zyn (Cor. 4. van
/ / \ 10. 1.;, en derhalven is AN
/ / \ ~I B N (Cor. wan 13.1.).
P C B A B Q
Wederom, als NB en NC beide aan de zelfde zyde van de Perpendiculair N A zvn; dan is C13 N C? als een regte hoek (Cor. van0. L7BCN (Cor.4, van 10.1 ~) en by gevolg NC C7 NB. .
Als NB aan de tegengefteldezyde van de Perptndicu. lm naar NC is; zo laat, in A C , het deel AB__AB genomen worden, dan zullen de beide lynen NB NB gelyk zyn (Ax. 10.); en derhalven zal N C * welke, door het voorgaande,grooter als de eene is, ook grooter als de andere zyn.
THEOREMA XXI. (0) Be overftaande zyden (AB, DC), als ook de overftaande boeken (B,D), vaneen Parallelogram (ABCD) zyn gelyk; en de Diagonaal (AC) deelt bet Parallelogram in twee gelyke deelen.
D™- Want AB,DC, en AD,
* BC parallel zynde (Def. 24.},-
yX is de hoek BAC=__DCA
yX (7. iO, en BCA = DAC
(7. 1.); derhalven zynde ge-
. __ _ lykhoekige Driehoeken ABC.
-B ADC (Cor. 1. watt 10. 1.) welke AC gemeen hebben , in alle opzigten gelyk
COROLLARIUM Als een hoek (B) van een Parallelogram een regte hoek is, zullen ook de drie, andere hoeken regt zyn;
want
(0) Eucl. 34. 1. B.
CB 3 ]



I, Boek. ( 22 )
want D, —B zynde, is een regte hoek; en BCD is — B, en DAB —:D, volgens Theorema V.
THEOREMA XXII. Eene vierzydige Figuur (ABCD), welkers overftaande zyden gelyk zyn, is een Parallelogram. (Zie de voorgaande Figuur).
Laat den Diagonaal A C getrokken worden; dan , dewyl de Driehoeken ABC, A D C wederzyds gelykzyzydig zyn (Steil.); zullen zy ook wederzyds gelykhoekig zyn (14. r.); by gevolg zal AB parallel met DC , en AD met BC zyn (8. i.%
THEOREMA XXIII. (p) De lynen (AD, B C), welke de twee'overeenkomjlige einden, van twee gelyke en parallele lynen (AB,DC) Jaamenvoegen, zyn ook gelyk en parallel.
j) 7 q Laat den Diagonaal B D ge-
/ trokken worden. Dewyl AB / \ / en D C parallel zyn (Steil.)
/ '\ I is de hoek ABD = C DB / \ / (7-1.)> derhalven, omdat
L _ƒ-„ B A _ D C (Steil.), en B D
gemeen is, zullen de overige zyden en hoeken ook Wederzyds gelyk (Ax. 10.); en by gevolg AD parallel met BC zyn (8. 1.).
THEOREMA XXIV. 'Als in een der zyden (A B) van een Driehoek (ABC), uit drie punten ( D, E, F), op gelyke afjlanden (D E, E F), lynen (DKI, EH, FG) parallel met den Bafis getrokken worden, zullen de deelen (K H, HG) welke door dezelve van de andere lyn (BC) afgefneden worden, eok aan malkanderen gelyk zyn.
j3 Laat LHIpara/fcZmetABzyn,
A fnydende FG, en UK in L en I.
/ \ Dan, dewyl de Driehoeken G HL,
_.ƒ X^i IHK, de hoek GHL — KHI
3/ C3.IO» GLH=I(7.iO, en
if HL [ —EFl (24.1.) —ED
jj. Xc (steil.)—HI (21.1.) hebben, zal
ook GH — HK zyn (r5. 1.).
CO-
(p) Eucl. 33. i. B.



* C 2 3 ) I-BoEK. COROLLARIUM I.
Hier uit blykt,dat ,zo een der zyden van een Driehoek in een willekeurig getal gelyke deelen gedeeld wordt, en uit de punten van deeling lynen parallel met den Bafis getrokken worden, fnydende de andere zyde, dezelve ook in het zelve getal gelyke deelen zal gedeeld zyn.
COROLLARIUM II»
Als twee lynen EH, FG, fnydende de zyden van een Driehoek, te faamen parallel zyn, en een ander lyn DK zodanig getrokken wordt, dat dezelve ED = EF, en HK_HG maakt, zal deeze lyn DK parallel met de twee eerfte zyn.
THEOREMA XXV.
Als in de zyden van een Vierkant (ABCD), even ver van de vier hoekpunten, vier andere punten (E, F, G, H) genomen worden, zal de Figuur (EFGH), uit de faamenvoeging van deeze punten voortkomende, ook een vierkant zyn-
DG o Want, dewyl de lynen AB,BC,
—T C D, D A gelyk zyn (Def. 26.), als / F ook de deelenAE,BF,CG, DH
/ / (Steil.), moeten de overige deelen
/ / EB, CF, DG,AH ookgelykzyn
/ ( Ax. 5. ); en om dat alle de hoe-
A.1 ^ 'b ken A,B}C,Dgelykzyn(_*.7.),
— zullen de zyden EH, EF,FG,GH ook gelyk zyn (Ax. 10.), en de hoek AEH__BFE (Ax. 10.). Derhalven, dewyl de hoek AEF — B + * BFE is (9.1.), zo laat van deeze, de gelyke hoeken AEH__BFE getrokken worden, dan zal'er overblyven HEF—_B (Ax. 5.) — een regte hoek {Bef. 26.'). Door de zelve reden (of door Theorema 22., en het Coroll. van Theorema 21.) zullen de drie overige hoeken regt zyn.
Einde van bet Eerste Boek.
[B 4 ] GRON-



GRONDEN
DER
MEETKUNST.
TWEEDE BOEK.
BEPAALINGEN. (Definitiones.)
j. A Ls in een Parallelogram A B C D twee regte ly_~_ nen E F, Hl, parallel met de zyden getrokken worden, zodanig, dat zy den Diagonaal in het zelfde p ~ punt G fnyden; zal het Paral-
, , ' lelogram in vier andere Paralle-
I \. / / logrammen verdeeld zyn; waar
' Tj / 1 van die GA» Gc> do°r wel*
ƒ r\ / ken den Diagonaal niet gaat,
A.' 4—-^B complementen, of vervulfels,ge-
noemd worden ; en de beide andere IE, FH, worden gezegd om den Diagonaal te ftaan.
r 1 C 2. Ieder Regthoek (Reclangulum)
wordt gezegd, onder de twee regte lynen AB, BC , de Ba fis en
. ,—ij} hoogte derzelve , hegreepen te
worden. "
Den Regthoek; hegreepen onder twee regte lynen AB en • B C, wordt gemeenelyk, kortbeidsbalven, door □ A B.
BC aangetoond;en als de Figuur een vitrkantis,Jeèryft ■ men voor de letteren^ die de zyde uitdrukken, bet teken
□ ; dus beteekent GAB bet vierkant, dat op de lyn AB
gemaakt wordt.
THEOREMA I.
De Regtboeken (AC, EG) onder gelyke lynen hegreepen, zyn gelyk.
Wam,
dere IE, FH, worden gezegd om den Diagonaal te ftaan.



( 25 ) II. Boek;
j> . .C Hr^r , G Want, laat
\. de Biagonaalen
\. BD, F H ge-
___i-r, —I — trokken wor-
A BE * den: dan, de.
wyl AB = EF, AD_EH, en de hoek A = E is (Steil.) , zyn de Driehoeken ADB , EHF gelyk (Ax. lo.). Op dezelve wyze blykt, dat de Driehoeken BCD, FGH gelyk zyn. Derhalven is de geheeleRegthoek A B C D ook gelyk aan de geheele Regthoek E F GH (Ax. 4. i ).
THEOREMA II. (q)
Alle Parallelogrammen (ABDC, BDFE), die op de zelfde Balts (BD), en tuffchen de zelfde parallele lynen (A F, B D) ftaan, zyn gelyk.
A Q 33 "F Want, aangezien de hoek
F-. I'/ DFE~BE A(Cor. i. van 7.
\ J0 ,enDCF = BAC( Cor.
\/ 1. van 7. 1.) is,zyn deDrie-
Jï< / hoeken F C D, en E A B ge-
B ^——■-'ƒ> lykhoekig (Cor. 1. van 10.1.),
en dienvolgens ook gelyk (15- 1.), om dat DF = BE is (21. i.J); indien men derhalven FCD—EAB van de geheele Figuur AB DF aftrekt, zal 'er overblyven ABDC_EBDF (Ax.5.).
COROLLARIUM I. (r) Hier door zyn alle Driehoeken BAD, BFD, die op de zelfde Bafis, en tuffchen de zelfde parallele lynen ftaan, ook aan malkanderen gelyk, om dat zy de helften van haare refpeEtive Parallelogrammen zyn (21. 1.).
COROLLARIUM II.
Hier uit blykt nog , dat alle Parallelogrammen, of Driehoeken, hoe genaamd, welkers Bajes en hoogten
ge-
(%) Eucl 3J. 1. B. (r) Eucl. 37. 1. B.
[B 5]



II. Boek. ( 26 )
gelyk zyn, onder eikanderen gelyk zyn; om dat alle zodanige Parallelogrammen gelyk zyn aan Regthoeken, die op de zelfde Bafis, en tuffchen de zelfde parallele lynen, ftaan; en deeze laatfte, volgens de voorgaande Propojitie, gelyk zyn.
THEOREMA III. (x)
De Complementen (AF, FD) vaneen Parallelogram (AD) zyn gelyk.
a S E Want de geheele Driehoek
\ \ /\ ABC gelyk zynde aan de
jjY. _kl—\ x geheele Driehoek BDC (21.
\ yX \E \ 1. en Def. 1.), en de deelen \yX \ \ BEF, CFG wederzyds ge-
c v_ -L ij) ]yk aandedeelenBFI,CFH
(si. 1.), moeten de overige deelen AF, FD ook gelyk zyn (Ax. 5. 1, B.).
THEOREMA IV. (0
Als een regte lyn (A B), naar welgevallen, in twee deelen (AC, B C) gedeeld wordt, zal het vierkant der geheele lyn, gelyk zyn, aan de vierkanten van de beide deelen , met twee regthoeken onder de zelfde deelen, te faamen genomen.
35 I p
h Laat ABDE het vierkant van
-p FT G AB, en CBGH dat van BCzyn;
■* en laat G H en C H verlengd wor¬
den, tot dat zy de zyden van het vierkant A B D E in F en I ontmoe-
AL__1 Ie ten.
Trek van de gelyke grootheden CI, FG (21. 1.) de gelyke grootheden C H en GH , zo blyft 'er overig Hl — HF (Ax. s. 1.). Dewyl nu alle de hoeken van de Figuur regte hoeken zyn (Cor. van 21. jf.)., is FI een
vier-
(x) Eucl. 43. 1. B. (t) Eucl. 4. 2. B.



( 27 ) ILBohk.
vierkant (Bef. 26. 1.) op HF (_AC), en AH, HD zyn gelyk twee Regthoeken van BCen AC (1. 2,); maar AD_;BH + HE+AH + HD, of DAB — O BC + DAC + 2DAC.BC(A.3. ï->
COROLLARIUM. I.
Hier uit volgt, dat het vierkant van een lyn gelyk is, aan viermaal het vierkant van de halve lyn.
COROLLARIUM II.
Als twee vierkanten gelyk zyn, moeten haare zyden ook gelyk zyn; om dat ongelyke lynen BA, BC geen gelyke vierkanten hebben.
COROLLARIUM III. («)
Indien een lyn, na welgevallen , in twee deelen gedeeld wordt; zo is den Regtboek van de geheele lyn, en bet eene deel, zo groot als den Regtboek der deelen, met nog het vierkant van dat eene deel. Want, EZ1ED, EI f_ □ AB. AC) rr □ EI. ID (=□ AC8 C) + DEI(—DAC); ot LDAB.BC — □ AC .CB + DaC, volgens Axioma 3.
THEOREMA V. (v)
Het verfchil der vierkanten (ABDF, ACGH) van twee ongelyke lynen (AB, AC), is gelyk aan den Regtboek van defom, en bet verfchil der zelfde lynen.
I* "F Ti Neem, in het verlengdevanDB,
| =7 1 B K = AC ; laat IK parallel met
DF getrokken, en CG na beide
H G> zyden verlengd worden , tot dat
zy DF en IK, in E en I ontmoet; dan is het blykbaar, dat EK een
A I I L Regtboek is (Cor. van 21. 1.), wel-
Cj ; kers Bafis IK (_CBfjn. 1.) — ! i het verfchil der gegeevene lynen AB, i ! AC is; en welkers hoogteKD ,om
X jK. dat BD — B A (Def. 24. 1, en BK
— AC
(ii) Eucl. 3. 2. (v) Eucl. 5. 3. B.



IK Boek; C 28 )
_AC is [Steil.),defom van de zelfde lynen uitmaaktmaar deeze □ EK is =L_EB-f (ZHB (Ax. 3 ) _
□ EB + CDEH [om dat □EH=fZlIB is l\ 2)1 = DAD— DAG.
THEOREMA VI. (vo)
ln alle regtboekige Driehoeken (ABC): is het Quadraat of Vierkant, op ie Hypothenufa (AC) befcbreeven, gelyk aan beide de vierkanten, die op de zyden (AB, BC) om den regten boek befcbreeven zyn.
D A U Laat de zyden der vierkan-
-p— | ten BD, BF verlengd wor-
/ ^\s_ [ den, zo dat zy in G en E te ;jrj—J- —^aaHien komen; neem in dei/B / zelve LG en IF ieder gelyk 1/ / AD (of AB); en trek Cl, T [ / IL, en L A. nfN, / Nadien ABH, enKBC 5 / regte (2. 1.), én gelyke (Ax.
G'Ér t ï 4.) lynen zyn, zullen DG,
A A EF, DE, en GF alle onder
malkanderen gelyk zyn (21. 1.); en om dat de hoeken D, E, F, en G alle regt zyn (Steil, en 5. 1.), zal D E FG een Quadraat, of Vierkant, zyn, en by gevolg is ACILook een Vierkant (25. Indien nu van het
□ EG, de vier gelyke (Ax. ?o.) Driehoeken AEC, CFI, IGL, LDA afgetrokken worden, zal 'er het vierkant AI overblyven; en als men van het zelfde □ EG, de twee gelyke (1.2.) Parallelogrammen EB,BG aftrekt, zullen 'er de beide vierkanten BD, en BF overbly ven. Nu zyn deeze Parallelogrammen E B, B G gelyk aan de vier Driehoeken AEC, CFI, IGL, LDA, om dat het Parallelogram E B twee zulke Driehoeken u'tmaakt (21. 1.); by gevolg, is het nAT — QBD + DBF (Ax.5.).
CO-
(w) Eucl. 47. i.B.



C 29 ) II. Boek;
COROLLARIUM. Hier uit volgt, dat het Vierkant op elk der zyden, welke den regten hoek befluiten, gelyk is aan het verfchil der Vierkanten, van de Hypotber.ufa en de andere zyde (Ax. 5.); of gelyk aan een Regthoek, begreepen onder de Som en het verfchil van de Hypotbcnufa, en de andere zyde (j. 2.).
THEOREMA VII.
In alle Driehoeken (ABC) is het verfchil der vierkanten van twee zyden (AB, BC) gelyk aan bet verfchil der Vierkanten van de beide afftanden (AD, DC),bejloten tuffchen de einden der Bafis (A C) , en de Perpendiculair (B D) van den Driehoek.
ï1 H D C A E Cl) _Want, nadien □AB = GBD + DAD, en QBC — DBD-f-ÖCDis (volgens de voorgaande Prop.) zo is het blykbaar , dat het verfchil van DAB en □ B C gelyk zal zyn aan het verfchil, tuffchen □BD + C1AD, e" □BD+DCD (Ax.5.), of tuffchen □ A D, en □ CD (.Ar. 6.), als men het gemeene □ BD aan beide zyden aftrekt.
COROLLARIUM I. Aangezien den Regthoek onder de fom en het verfchil, van twee ongelyke lynen, aan het verfchil van derzelyer vierkanten gelyk is (5. 2.), zo volgt; dat het verfchil der vierkanten, of den Regthoek onder de fom en het verfcnil, van twee zyden eenes Driehoeks, gelyk is aan den Regthoek, onder de fom en het verfchil der afftanden, befloten tuffchen den Perpendiculair, en de twee einden van den Bafis.
COROLLARIUM II. Hier uit volgt nog, dat het verfchil der Vierkanten, of
den



II. Boek. ( 3© }
den Regthoek onder de Som en bet Verfchil, van twee zyien eens Driehoeks, gelyk is aan tweemaal den Regthoek , onder de gebeelê Bafis, en den afftand des perpendiculairs tot bet midden der Bafis.
Want, laat E het midden der Bafis zyn, en EFED gemaakt worden; dan, dewyl AF = DCis (Ax. 5.), zal het verfchil, dat A D meer als D C is, of A F, (in Fig. i.) =DF — 2 DE zyn; derhalven is den Regthoek onder de fom en het verfchil van AD en CD [=□ AB — □ B C (7. 2.)] —2OAC.DE. Wederom (in Fig. a.) AD + CDrrAD+AF (Ax. 4.) —FD = ïE D , en AD — CD = AC zynde, zo volgt; dat DAB — □BC = 2fZI AB.DE is (7.2.). THEOREMA VIII. (x)
Het vierkant van eene zyde (A C) eens Driehoeks (ABC), is zo veel grooter, of kleinder, dan de Som der Vierkanten van den Bafis ( \ B) , en de andere zyde (B C) , als den dubbelen Regthoek onder de geheele Bafis (A B), de afftand (B D) des Perpendiculairs van de boek (B) over de eerftgemdde zyde; dat is, grooter, als de perpendiculair buiten de gemelde boek valt (als in Fig. 1.); maar kleinder, als dezelve aan de tegengeftelde zyde valt (als in Fig. 2. en 3.).
A Jk
3? G H I 111 I 111
ÏI(i H IE G H
Laat het vierkant A B H F, op den Bafis A B, in twee
, j ge-
(x~) Eucl. 12. en 13. 2. B.



( 3i ) II. Boek:
gelyke Regthoeken E F en E H (i. 2.), door de lyn E G, gedeeld worden, fnydende AB in E; en laat de perpendiculair CD voortgetrokken worden, tot dat zy FH, of derzelver verlengde, in I ontmoet.
In Fig. 1. □ AC — GBC:=r2OEI (Cor.2. van-?. 20=2fZlEH-f2aBIC^. 3O = OAH (DAB) ■4-2fZlBl(2[Z]AB.BD); derhalven, als van de eerfte en laatfte deezer gelyke grootheden, DAB getrokken wordt, zal 'er overbly ven QAC— QBC— DAB, of □ A C min DBC en DAB faamen genomen, ~ 2 qab.bd (Ax. jO-
In lig. 2. en 3. DBC □AC = 2aEI (Cor. 2.
van 7. iO =2dBI — 2tZ!BG(yfx. 3.) = 2DAB. BD — GAB; en dus, als men by de eerfte en laatfte deezer gelyke grootheden GAB vergaart, is de Som OAB + GBC — QAC = 2lZ3 AB.BD (Ax. 4.).
THEOREMA IX.
Het dubbeld van bet vierkant eener lyn (BE), uit den top eens Driehoeks (A B C) tot bet midden van den Bafis getrokken, meer bet dubbeld van bet vierkant der halve Bafis (AE), is gelyk aan de vierkanten van de beide ieenen (A B, B C), te faamen genomen.
E Want, laat B D perpendicu-
yh lair op A C zyn; dan, ver-
/ l\ mits (door de voorgaande Pro-
/ j\ \ pofitie) G AB zo veel grooter / \ \ is, dan de Som der beide vier/ /!' \ kanten GAE en QBE, of / \ \ \ G CE en G BE, als den dub-
-A- VT» C beien Regthoek AE .E D, of
■nr. * ,« \ 2 □ C E. E D; en dat ook G
fiC den zelfden dubbelen Regthoek kleinder is als de
zelf-



II. Boek. ( 32 )
zelfde Som; zo is openbaar, dat beide □ AC, en rj BC faamen genomen, aan deeze Som, twee maaien genomen , gelyk moet zyn; dewyl het overtreffende aan de eene zyde, het ontbreekende aan de andere zyde evenaart.
THEOREMA X.
De beide Diagonaalen (AC, B D) van een Parallelogram (A B C D) fnyden malkanderen ieder in twee gelyke deelen ; en de Som van baare vierkanten, is gelyk aan de Som der vierkanten, van alle de vier zyden des Parallelograms.
D c Want, dewyl de Driehoeken
/\ _ ^7 A E B, D E C gelykhoekig zyn / ^Ü-^ / (3.e« 7.1.), en AB = DCis / / (ai. 1.), zois ookAE = CE,
ALZl en BE = DE(i5.iO- Ver-
•A- der is 2üae4-2 nED = P
AD + DC D (9. 2.), en neemende hier van het tweevouwd , zo komt 4dAE[DAC(4. 2.)3 + 4DED (□DB) = DAD-f QBC + DCD+DAE (Ax. 4. en ai. i.).
Einde van bet Tweede Boek.
gronï



GRONDEN
DER
MEETKUNST.
DERDE BOEK.
BEPAALINGEN. (Definitiones.~)
©1"^ i het Centrum F van een Cirkel gaande, en wederE zyds aan den omtrek eindigende , wordt Diameter, of B Middellyn, genoemd. 2. Een boog van een Cirkel, is een deel van den omtrek, als CD E. 3. De Pees, cborda (fubtenfa) van een boog C D E, is een regte lyn CE, welke de einden van dien boog faamenvoegt.
4. Een hal ven Cirkel is een Figuur, begreepen onder een Diameter, en ieder deel van den omtrek, dat door dien Diameter afgefneeden wordt.
5. De affnyding van een Cirkel, of een Segment (Segmentum Circuli), is een Figuur, begreepen onder een boog C DE, en zyn pees C E.
6. De uitfneede , of een Seclor van een Cirkel, is een Figuur, begreepen onder twee regte lynen FA,FG, uit het Centrum tot den omtrek getrokken; en de boog AG tuffchen dezelve befloten. Als deeze twee lynen FA, FGperpendiculair op malkanderen ftaan, wordt den SeSlor een Quadrant genoemd.
C C J 7. Een



III. Boek. ( 34 )
^~-y\--^ 7' Een hoek A B C wordt ge-
/S / zegd in een Segment van
/ / \ \ een Cirkel ABC A te ftaan,
I / \ \ als het hoekpunt B in den \ / \ I omtrek is, en de regte ly«
A 1/ \J ^ nen BA, BC, welke den
J\ 7\ hoek maaken, doordeein-
/ \. y \ den der pees AC,van het
Segment, gaan.
8. Een hoek ABC inden omtrek, begreepen door twee regte lynen BA, B C, welke een boog van den Cirkel befluiten, wordt gezegd op dien boog te ftaan.
-a.——— b
y >. q. Een regte lyn AB wordt
f \ gezegd den Cirkel te raaken,
/ \ wanneer dezelve door een
} punt C in den omtrek getrok-
' / ken zynde, niets van den
\ I Cirkel affnydt.
10. Twee Cirkelen (HIK, LI M) worden gezegd malkanderen te raaken, als de omtrekken van beide door een punt (I)gaan,en nogthans malkanderen nietfnyden.
11. Twee Cirkelen, in het zelfde vlak,,worden gezegd
el»



C 35 ) III. Boek.
eikanderen te fnyden, als zy gedeeltelyk binnen, en gedeeltelyk buiten malkanderen vallen; of als haare omtrekken malkanderen fnyden.
12. Een regte lyn wordt gezegd tot een Cirkel tóegepalt, of in dezelve befchreeven te zyn , als derzelver uiteinden in den omtrek des Cirkels vallen.
13. Een regtlynige Figuur wordt gezegd in een Cirkel befchreeven te zyn, als alle haare hoeken , in den
. omtrek des Cirkels vallen.
14. Een Cirkel wordt gezegd om eene regtlynige Figuur befchreeven te zyn, als den omtrek des Cirkels door alle de hoeken van die Figuur loopt.
15. Een regtlynige Figuur wordt gezegd om een Cirkel befchreeven te zyn, als alle de zyden derzelve den Cirkel raaken.
16. Een Cirkel wordt gezegd in een regtlynige Figuur befchreeven te zyn, als dezelve door alle de zyden van de regtlynige Figuur geraakt wordt.
17. Een regtlynige Figuur wordt gezegd in een regtlynige Figuur befchreeven te zyn, als alle de hoeken van de eerfte in de zyden van de laatfte vallen.
THEOREMA I.
Als de zyden (AB, BC, CD, &c.) van een Veelhoek', in een Cirkel befchreeven, gelyk zyn, zullen de hoeken (AOB, BOC, COD, &c.) in 'bet Centrum des Cirkels , over dezelve ftaande , ook gelyk zyn.
^Jt^. Want, dewyl A 0,B 0,C O
'St/^^ &c. aau malkanderen'gelyk
/f\ x\ zvn (W- si- als ö°k
( \ / \\ AB, BC, CD, &c , zyn
// \ / \l de Driehoeken AOB,
vl\ JE BOC, COD,&c. weder-
\\ / \^ \ zyds van gelyke zyden-be-
\\ / N. J greepen; en derhalven zyn
T-rC alle de hoeken AÖB,B O C,
^^^^^ COD &c. aan malkanderen
G gelyk (14.1.).
£C 2 ] THEO-



III. Boek. ( 36 ")
THEOREMA II. (y)
Een Pees van een Cirkel (A B), valt geheel binnen dezelve; en een perpendiculair (C D), uit het Centrum des Cirkels op dezelve getrokken, deelt dezelve in twee gelyke deelen.
©Laat C,A, en C, Bfaamengevoegd, en door een willekeurig punt E, in de pees A B, de regte lyn C E F getrokken worB den, ontmoetende den omtrek in F.
Ji-
Dewyl CA = CB is (Def. 33. i.% zo blykt klaar, dat deeze gelyke lynen aan verfchillende zyden, van den perpendiculair C D zyn (20. 1.). En dus , om dat C E C A, of CF, is (20.1.)» zal het punt E, waar men het ook in de lyn AB neemt, en by gevolg ook de lyn AB zelve, binnen den Cirkel vallen (Ax. 2.).
Daarenboven, dewyl de Driehoeken ACD, BCD, de zyde CA—CB, en CD gemeen hebben, zal AD = DB zyn (16. t.}.
COROLLARIUM.
Als een lyn een pees regthoekig in twee gelyke deelen fnydt, gaat deeze lyn door het Centrum des Cirkels.
THEOREMA III. (z)
Twee pee/en (AB, DE), die even ver van bet Centrum (C) eens Cirkels ftaan, zyn aan malkanderen gelyk.
Laat
(y) Eticl. 3. 3. B. (z) Eucl. 14. 3. B.



C 37 ) UI. Boek.
Laat de perpendiculairs CF, a / \t> CG getrokken, en C, B , als
■^A A~ ook C, E faamengevoegd wor-
/ \ n / \ den* Dewyl nu C F=C G IX^/S^/J CB = CE(/»*ƒ. 33.1.),
V \ /\ / / en F,G beide regte hoeken zyn \ \ I \ / / (Conftr.j, zo is ook BF=rEG \A/ \L/ Cl6-lO) en by gevolg AB = ^*—2BFC2.3.) = 2EG (if*,*) -0 ^ = DE Ca. 30-
THEOREMA IV. (a)
De £oe£ (BCD) in bet Centrum eens Cirkels, is het dubbeld van de boek (BAD) in den omtrek, als beide de boeken op de zelfde boog (BD) Jlaan.
'I A ^ .
^j^^l B^^^}
Laat, in bet tweede, en derde Geval, den Diameter ACE getrokken worden, dan is
In bet eerfte Geval, daar AB door het Centrum gunt, de hoek BCD = A + D (9. i.) = aA (12. 1.).
In bet tweede Geval, de hoek BCE = 2BAE (door Geval 1.), waar by DCE = 2DAE vergaareude,heeft men de hoek BCD = 2BAD (Ax. 4.).
In bet derde Geval, de hoek BCE = 2B AE (door Geval 1.), waar van DCE = 2DAE aftrekkende, blyft 'er de hoek BCD = 2BAD (Ax.j.).
THEOREMA V. (b) De boeken (BAD, BED), die in bet zelfde Segment
(BA
(a) Eucl. 20. 3. B. (b) Eucl. 21. 3. B. [ C 3]



III. Boek. ( 38 )
CB AE D) eens Cirkels ftaan, zyn onder malkanderen gelyk.
,A^__ E Geval I. Indien het Segment
yr\_ gr00ter ah een halven Cirkel is.
f/ \\ Trek , uit het Centrum C, de
ƒ / y> \ \ \ ftraaien C B en C D; dan, ver-
I // \ \ mits de hoeken B A D, en B E D
T.U^- ""'"^VT) ieder ~ de halve hoek BCD & ^. yU zyn ^ , moeten dezelve
\. y/ ook noodzaakelyk aan malkan-
^ ^ deren gelyk zyn (Ax. 1.).
A^^r-^-JE Geval II. Indien het Segment
//^><^y\^ kleinder als een balven Cirkel is.
-p -p. Laat G het punt zyn , daar de
-0 f \ lynen B E, en A D malkanderen
C fnyden. Dewyl dan in de Drie-
\ / hoeken ABG, en EDG, de
\ / hoek AGB = EGD (3. 1 ),
\ / en ABGmE DG is) door Ge-
^ val 10 , zo is ook de hoek B A D
— BED (Cor, 1. van 10. 1.).
THEOREMA VI.
Alle boeken (C, D) in omtrekken van gelyke Cirkels, op gelykepeefen (A £5, EF) ftaande, zyn aan malkanderen gelyk. En de peefen van gelyke boeken, in de omtrekken , van gelyke Cirkels, zyn ook aan malkanderen gelyk.
C Laat , uit de
y7\^\ y* "^N. middelpunten P, / / \ \ f \ en Q, de ftraaien
■ / / P\ \ ƒ Q ^lljPA' PB' QE> 1/ ..•••""'-•.\ I I /J ' QE getrokken
j£kl _.y,3 X" ""-/F worden*
V y V y i. Steil. Nadien
^ AB = EFC^e«0,
en AP = BP (Def.^. 1.) = EQ = FQ is (fte//.): zo is ook de hoek Pr=Q ("'4. i.),en by gevolg de hoek
cc=iP(4.30=i93=a
e. AeJ/a Dewyl C = D is, zo is ook P = Q (4. 3.),
en



( 39 ) III. Boek;
en om dat PA=QE, en PB=QF is (Steil.), zal ook AB = EFzyn (Ax. io.)>
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat alle hoeken in den omtrek, die op gelyke peefen van den zelfden Cirkel ftaan, gelyk zyn.
THEOREMA VII. (e)
De boek (ABC) in een balven Cirkel, is een regte hoek.
~R Laat den Diameter B E D ge-
@trokken worden. Dewyl de hoek ABE=f AED, enCBE = |CEDis O (4. 30 - zo is derhalven A BE ° +CBE (=^ABC) = de helft van A E D en C E D (Ax. 4.)r=de helft van twee regte hoeken ( i.ï.) = één regte hoek.
THEOREMA VIII. (d)
De boek (A B C) bejloten door een raaklyn van den Cirkel, en een pees (BA), die uit het punt van aanraaking (B) getrokken wordt, is gelyk aan de boek (BEA) in bet cverbandfcbe Segment,
Laat den Diameter BGF getrokken, en E, F faamengevoegd worden.
B f-t De lyn D C geheel boven den
/^7j\~^\ Cirkel vallende (Def. 9.3.), is
/ / \ \ >w G B de kortfte lyn, die uit het / / I \ \ Centrum G tot dezelve kan ge/ / I \ \ trokken worden (Def. 33.1. en I / |G \ I Ax. 2.); en derhalven is GBC
; \/ I \l\ een regte boek (20. 1.): maar
-E"vJ~ | 7 FEB is ook een regte hoek \\j (7. 3.); dienvolgens, indien — van deeze gelyke hoeken , de * gelyke hoeken FBA, FEA C5.3P
(O Eucl. 31. 3. B. (d) Eucl. 32. 3. B. 00 [C4]



III. Boek. ( 40 )
(y. 3O afgetrokken worden, zal 'er overblyven de hoek CBA = BE A (Ax. 5.).
THEOREMA IX. (e)
De tophoek (A B C) van een Scheefhoekige Driehoek (A C B), in een Cirkel befchreeven, is zo veel grooter, of kleinder dan een regte boek, als de boek (CAD), begreepen onder den Bafis (AC), en den Diameter (AD), dk van bet einde der Bafis getrokken wordt.
^^^^^
Want, D B getrokken zynde , zal A B D een regte hoek zyn (7. 3.) en de hoek CAD^CUD (5.3.); derhalven is, in bet eerfte Geval, de hoek ABC = een regte hoek +CAD (Ax. 4.); en, in bet tweede Geval, de hoek ABC= een regte- hoek —CAD (Ax. 5.).
THEOREMA X. (ƒ)
Als van een Vierhoek (ABCD), in een Cirkel befchreeven , ééne zyde (A D) buiten den Cirkel verlengt wordt, zal de uitwendige boek (E D C) gelyk zyn aan de overftaande inwendige boek (A B C).
32 Laat den Diameter A F getrok-
/ ken, en BF en DF faamenge-
/y^Z^^L voegd worden; dan, dewyl de
D]A-^ \\ boek AB F een regte hoek (=z
/f' \ \ ADF) = EDF is (7.3O, als
// ••■•\T mede de hoek CCF=rrCDF
1/ vj'V: (5.3.)? om dat zy beide op de
jlJ^. YB zelfde boog C F ftaan ; zullen
\ / ook de overige hoeken A B C en y/ EDC gelyk zyn (Ax, 5.). CO-
" (0 Eucl. 31. 3. B. (ƒ) Eucl, 22. 3. B,



( 40 III. Boek.
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat de overftaande hoeken ABC, ADC van een vierzydige Figuur, in een Cirkel befchreeven, te faamen gelyk zyn aan twee regte hoeken.
Want, dewyl ABC = EDC is, zo is derhalven de hoek ABC + ADC = EDC + ADC (A. 4.) = twee regte hoeken (1. I.);
THEOREMA XI. (g)
Als twee lynen (AB, DE), die met haare einden den omtrek ftooten, malkanderen binnen een Cirkel fnyden ,is den Regthoek, begreepen onder de beide deelen (AF, FB) der eene, gelyk aan den Regtboek, begreepen onder de beide deelen (DF, FE) der andere.
A TT
C j W( lc^jB b d
Geval I. Als een der lynen (A B) door het Centrum Cgaat; zo laat CG perpendiculair op de andere DE getrokken, en C, D faamengevoegd worden,
Dewyl GE =G D is (2. 3.) zo blykt klaar, dat E F gelyk is aan het verfchil der deelen DG, enGF(^JC.j.): maar den regthoek onder de fom en het verfchil van twee zyden CD, CF, eens Driehoeks DCF, is gelyk aan den regthoek onder de geheele Bafis D F, en het verfchil der beide deelen, die door den perpendiculair afgefneeden worden (Cor. 1. van 7. 2.); dewyl nu de. fom der beide zyden CD, CF (r=CB + CF)r=BF, en haar verfchil (;=CA — CF) = AF is, zo is derhalven ook den regthoek, begreepen onder BF en AF, gelyk aan den regthoek begreepen onder DF en FE.
Ge-
(g) Eucl. 35. 3. B.
[Cj]



III. Boek. ( 42 )
Geval II. Als geene der beide lynen door het Centrum gaat, zo laat den Diameter HFG getrokken worden ; dan is , door bet voorgaande Geval, □ AF. BF = □ GF.HF=dDF.EF.
THEOREMA XII. (h) Als van twee punten (A, B) in den omtrek eens Cirkels, twee lynen (AF, BF) getrokken worden, welke, den Cirkel doorfnydende, buiten dezelve faamenkomen; dan is' den regtboek, begreepen onder de gebeele ( A F) en bet uitwendige deel (CF) der eene lyn, gelyk den regthoek, begreepen onder de geheele (BF), en bet uitwendigs deel (DF) der andere lyn.
1? Laat door het Centrum E, de
A lyn F H getrokken worden, ont-
//-\ moetende den omtrek in I en H;
/lV\ -rx Iaat E Gperpendiculair op B F zyn,
/>^5"7ï \ \ en B, E faamengevoegd worden.
y^// \ \ >. Dan is (door Cor. 1, van 7. 2.)
/ */.. ; \ \ den regthoek, begreepen onder
/ / X ! .AG \ FH( = FE + BË) enFI( —
1/ È;\ \ I FE — BE), = den regthoek,
aY I \,J begreepen onder B F en D F. Op
\ 1 J-R. de zelve wyze is LZIFH.FI —
V ! IZ1AF.CF; derhalven LZ1AF.
jfj^ CF = IZJBF.DF(/fo. 1.).
COROLLARIUM.
Indien FK een raaklyn in K is, en de Straal EK ge. trokken wordt; dan,dewyl FH= de fom van FE en EK. en FI= haar verfchil is; zo volgt, dat DFK = [=1FH, FI (Cor. van 6. 2.) —□ AF.CF is.
THEOREMA XIII. Indien uit het Centrum (C) eens Cirkels, tot een punt (D) in een pees (A B), een lyn (C D) getrokken wordt; dan is bet vierkant van die lyn, met den regtboek, be-
gree-
Q>) Eucl. 30 en 37. 3. B.



(43) III. Boek.
: greepen onder de beide deelen der pees, te faamen genomen, gelyk aan het vierkant, dat op de Jlraal van dien - Cirkel gemaakt wordt.
Laat EDF een ander pees
zyn , perpendiculair op CD, en
/\\T> *aat C > E faamengevoegd wor-
35/ \ ^en.
/ \ >. \ Dewyl D F —DE is (a. 3.),
"'Al \BzalDDE = nDE.DF(i.20
\ C I =GDA,UB zyn (11. 3.)
\ / Vergaarende nu by deeze gely-
\ / ke grootheden het DDC, dan
^^___^Z is □ C EnDDA . DB-f □ DC (6. 2.).
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat het vierkant van een lyn (DC), getrokken uit een willekeurig punt, in den Bafis van een gelykbeenigen Driehoek (A C B), tot de overftaande hoeken, te faamen met den regthoek van de deelen der Bafis, gelyk is aan het vierkant, dat op een der beenen,of gelyke zyden, des Driehoeks gemaakt wordt.
THEOREMA XIV.
De regthoeken, begreepen onder overeenkomftige zyden van gelykboekige Driehoeken (ABC, DEF), beurtelings genomen, zyn gelyk.
3ï • Wy zeggen,
E indien de hoek
/ / XX /N. A = D,Br=E,
/ a/ XA / \ en C = Fis,zal
Gbj iA nCW> I1 DACDErr
V ' / □ AB.DF zyn.
\ \ f I Laat in het ver-
\Xj / lengde van CA,
-tX / A G — D E ge-
—.— nomen worden;
laat GBC den omtrek eens Cirkels zyn, gaande door de drie punten C,B,G, welke het verlengde van BA in H fnydt; en laat G H faamengevoegd worden. Dewylde hoekH=C (s.3.) = F (Steil,,, HAG
= CAB



III. Boek. C 44 )
= CAB(3- i.)=D(M), enAG=rDEis, zo is ook AH = DF (15. iO; en derhalven D AB.uF — nAB.AHCi.aO = nAC.AG(n.3.j==nAC:
Ut, (i. 2.J.
SCHOLITJM.
Tot Bewys van dit Theorema wierdt vereifcht om door drie gegeeven punten een Cirkel te trekken. 'liet blykt klaar, dat deeze drie punten niet in een zelfde regte lyn kunnen zyn, om dat alle de punten van een omtrek, even verre" van een zelfde punt, te weeten het Centrum, of middelpunt, moeten afftaan.
Als men dan deeze drie punten, twee aan twee , of aan drie peefen voegt, welke drie boogen van deezen omtrek onderfteunen ; zo zal men het middelpunt in de tuffchenfnyding van twee lynen vinden, die twee van deeze drie peefen perpendiculair, en op de helft zullen fnyden.
Want, volgens Theorema 2. Boek 3, gaat ieder van deeze perpendiculairs door het middelpunt heen. Zo is dan het Centrum het punt, hetwelk aan hen gemeen is. In tegendeel , zo deeze drie punten in een zelfde lyn Honden, zouden de perpendiculairs, evenwydig zynde, nooit tot malkanderen kunnen komen (4. ï.Y *
THEOREMA XV.
Ben regthoek onder de twee opftaande zyden (A B, B C ) van een Brieboek (ABC) is gelyk aan den regtboek onder de perpendiculair (B D), uit den top-boek tot den Bafis getrokken, en den Diameter (BE) des omgefcbreeven Cirkels.
35 Want,C,E faamengevoegd
^-^"^fxs. zynde, zullen de hoeken Aen
/y^ / \\ E gelyk (5. 3 ), en ADB, a /n (\r, ECB beide reSte hoeken zyn
/ / D Xy-' (Steil, en-?, 3.); by gevolg zyn
I J7 /' de Driehoeken AD B,ECBgeV / / I lykhoekig (Cor. 1. van 10.1.):
\ / f J en derhalven , om dat AB, /.•••** y EB; BD, BC overeenkom.
ftige zyden zyn, die over ge-
■** lyke



( 45 ) III. Boek.
lyke hoeken ftaan, zal den regthoek van A B en B C, begreepen onder de eerfte en laatfte derzelve, gelyk zyn aan den regthoek van EB en BD, die onder de beide andere begreepen is (14. 3.).
THEOREMA XVI.
Bet vierkant van een lyn (BD), welke een der boeken (B) van een Driehoek (ABC) in twee gelyke deelen Jnydt, en tot op de overftaande zyde (AC) getrokken wordt, te faamen met den regtboek (AD, DC), onder de beide deelen van die zyde, is gelyk aan den regtboek der beide zyden, welke de voorgeftelde boek in/luiten.
IS Laat B D verlengt worden ,
tot dat dezelve den omtrek / / \ \ eens Cirkels, door de punten f / \ \ A,B,Cbefchreeven(5fMiMm / / \ \ van 14. 3.), in E ontmoetten
Ia ^ \; trek a E.
.A-w yC De hoeken E enC, ftaande
V--.. J op het zelfde Segment AB,
x" *"•••. , y zyn gelyk (5.3.); en ABE ^^j—is gelyk DBC (Steil.); der-k halven zyn de Driehoeken
AEB, DBC gelykhoekig (Cor. 1. van 10. i.);enAB, BD; BE, BC overeenkomftige zyden, die over gelyke hoeken ftaan: by frevolg □ A B. B C =LZ1B D. BE (14.3.) — □BD4-LZ]BD.DE(Gjr.3. tob4.2.).Maar den O B D.DE is =DAD.DC (11.3OS by gevolg DBD-f-IZlAD.DC = IZl AB.BC (Ax. 4.).
THEOREMA XVII.
Den regtboek der beide Diagonaalen (AC, B D) van een vierhoek (ABCD), in een Cirkel befchreeven, is gelyk aan de Som der beide regthoeken (AB,DC, en AD, B C), onder de overftaande zyden begreepen.
Laat



III. BoeK. ( 46 )
-£> Laat CE getrokken wor-'
den, maaken de de hoek B CE
/ j><<%\ rrDCA»en fnydende BD
//A Dewyl de hoek CBE =
j^M. J4/B DAC (5. 3.), en BCE =
\ / DCA is (Conftr.j- , zynde
NsSv^___^/ Driehoeken B C E , ACD gelykhoekig (Cor. 1. dot 10.1.); en om dat BC, AC; en BE, AD overeenkomftige zyden zyn, zullen de regthoeken BC.AD, en AC.BE gelyk zyn (14.3.).
Wederom , nadien,de hoek DCE = BC A (Ax 4.), en C D E = C A B is (5. 3.), zyn de Driehoeken D C E en CAB ook gelykhoekig; en by gevolg, om dat CD. AC, en D E, A B overeenkomftige zyden zyn, zo is D A B. D C = □ A C . D E (14. 3.); vergaarende hier by D BC.AD — OAC.BE (als boven beweezen is~) dan heeft men □AB.DC+fZlBC. ADr=(ZJ AC. DE-f □ AC.BE = aAC.BD (Cor. 3. van 4. 2.).
THEOREMA XVIII.
Als de Straal eens Cirkels, zodanig in twee deelen gedeeld wordt, dat den regtboek onder de gebeele Straal, en bet eene deel, gelyk zy aan bet vierkant van 't andere deel; dan zal dit laatfte deel gelyk zyn dan de zyde (CD) van een regelmaatigen Tienboek (ABCDËF &c.), in den Cirkel befchreeven; en die lyn, welkers vierkant gelyk is aan de beide vierkanten van de gebeele^ en van bet zelfde deel, zal gelyk zyn aan de zyde (A C) van een regeU maatigen Vyf boek, in de zelfde Cirkel befchreeven.
Laat CE getrokken worgden, maaken de de hoek B CE = DCA, en fnydende BD in E.
Trek



C 47 )
C 47 ) HL Boek.
Q——JD Trek de Straalen O A,
yf \r /f^s. 0C' OD,OF;alsook X// de AD> fnydende
/ƒ / <...•*'!'V / \ O C in G; en laat A H
I /.■••'' W Y\ perpendiculair op O G
*^"ÏV '® /ƒ Dewyl, in den Drie-
\\ I hoek ODG,dehoek
V J COD[ —| DOF (u
3.) =OADC4.303
^ =ODA is (12.!.);
20 is dezelve gelykbeenig (18 . 1.); daarenboven, vermits in den Driehoek AOG,dehoekAGO[= GDO +DOG (£>• i.) = aDOC (12. i.)]=AOCis, zo is dezelve ook gelykbeenig (18. i.) j en op dezelve wyze ook den Driehoek CDG, dewyl, de hoekCGD — AGO (3. i.),en CDG (CDA) —F AD zynde(Cor. van 6.3.), de Driehoeken AOG, CDG gelykhoekig zyn. Derhalven, aangezien CD, AO; CG, GO overeenkomftige zyden zyn; is □CG.AO(CjCG. CO) = DCD.GO (14.3.) =DGO, om dat GÖ = GD=DCis (18. 1.): waar door het eerfte deel der Propojitie openbaar is.
Wederom, dewyl AG=AO is, zal HG=rHO zyn (16. 1.); en dus, om dat GC het verfchil der deelen HO en HC is, heeft men (door Cor. 1. van 7. o.) DAC — □AO=DCO.CG = OOG (als boven); en by gevolg DAC = DAO+ÜOG (Ax.4.).
Einde van bet Derde Boek.
GRON-



GRONDEN
DER
MEETKUNST.
VIERDE BOEK.
BEPAALINGEN. (Definitiones.)
ïl T3 eden (Ratio) is de betrekking, welke twee gej£v lykfoortige grootheden , ten opzigte der veelheid , tot malkanderen hebben.
De maat, of veelheid, van een Reden bejïaat eigentlyk hier in, dat men zoekt, wat deel, of deelen, de eerfte bepaalde grootheid , die men de voorgaande (Antecedens) noemt, van de andere is, die volgende (Confequens) genoemd wordt.
2. Drie Grootheden A, B, C , worden gezegd proportionaal, of evenredig, te zyn, als de reden van de eeifte A tot de tweede B, de zelfde is, als die van de tweede B tot de derde C.
3. V^r Grootheden A, B, C, D, worden proportionaal, of evenredig genoemd , als de reden van de eerfte A tot de tweede B, de zelfde is, als de reden van de derde C tot dè' vierde D.
Om aan te toonen, dat vier Grootheden A, B, C, D propontonaal zyn^ fchryft men dezelve doorgaans op deeze wyze, A:B ::Ci D; het geen dus geleezen wordt, als A is tot B zo is C tot D. Doch wanneer drie Grootbeden A, B, C proport ionaal zyn, wordt de middelfte nog eens herhaald, en men fchryft dezelve aldus, A: Ö:: B: C.
4. Van drie evenredige Grootheden, wordt de middelfte gezegd, een Midden-evenredige tuffchen de beide andere te zyn; en de laatfte een Derde evenredige tot de eerfte en tweede,
5. Van



( 49 ) IV. Boek,
5. Van vier evenredige Grootheden, wordt de laatfte gezegd een Vierde-evenredige tot de drie andere, volgens hunnen rang genomen, te zyn.
6. Grootheden worden gezegd geduurig evenredig, of in eene geduurige evenredigheid, te zyn, wanneer de eerfte is tot de tweede, als de tweede tot de derde, als de derde tot de vierde, als de vierde tot de vyfde, en zo vervolgens.
7. In een rei van geduurig evenredige Grootheden zegt men, dat de reden van de eerfte en derde, dubbeld is tot die van de eerfte en tweede,- en dat de reden van de eerfte en vierde, driedubbeld is tot die van de eerfte en tweede.
8. Een getal van grootheden , A, B, C, D gegeeven , of voorgefteld zynde, zegt men; dat de reden van de eerfte (A) tot de laatfte (D), faamengefteld is uit de redens van de eerfte tot de tweede, van de tweede tot de derde, en zo vervolgens,tot de laatfte toe.
9. Reden van gelykheid , is die, welke gelyke grootheden tot malkanderen hebben.
Hier by dient aangemerkt te werden, dat reden van gelykheid, en gelykheid van redens geenszins een zelfde betekenis hebben: dewyl twee of meer redens gelyk kunnen zyn, niet tegengaande de vergelekene Grootbeden alle ongelyk bevonden worden. Dus is de reden van 2 tot 1 gelyk aan de reden van 6 tot 3 (vermits 2 bet dubbeld van 1, en 6 bet dubbeld van 3 is), nogtbans zyn geene der vier getallen gelyk.
10. Omgekeerde reden is, wanneer de voorgaande de volgende, en de volgende de voorgaande gemaakt wordt.
Dus, indien 2: 1 1:6:2 is, dan is omgekeerd 1:2:1
3
11. Verwiffelende reden is, wanneer de voorgaande met de voorgaande, en de volgende met de volgende vergeleken wordt.
Als, indien 2:1:: 6:3 is, dan zal door verwiffeling zyn 2:6:;: 1:3.
12. Saamengeftelde reden is , wanneer de voorgaande en. volgende, als eene grootheid genomen, met de volgende, of met de voorgaande, vergeleken worden.
[ D ] Duss



IV. Boek. C 5° )
Dus, indien 2:1:-.6:3 is, zo beeft men door faamen. flelhng 2+1: i::6 + 3:3, e» *-f 1: 2::6 + 3:ö. 33. Gedeelde reden is , wanneer het verfchil van de
voorgaande en volgende, met de volgende, of met de
voorgaande, vergeleken wordt.
Dus, indien 5:1:: 15:3 is, zo heeft men door deeling j— i:i::ij— 3:3, e»j — i:s::ij — 3:15.
14. Gelylcvormige, of gelyke , regtlynige Figuuren zyn zulke, waar van wederzyds alle de hoeken, de eene aan de andere, gelyk, en de zyden, om de gelyke hoeken, evenredig zyn.
■B Dus, indien de
/\ jx' boekA = D, B
/ \ / \ als ook AB: AC
jA/~ V -rvZ At? ::DE:DF;AC
f- CJ} F :BC::DF:EF,
&c, zo zegt men dat de Figuuren ABC, DEF gelykvormig zyn.
AXIOMATA, of klaarblykelyke Waarheden.
1. De zelfde grootheid, met eenige andere gelyke grootheden, naar vervolg, vergeleken zynde, zal tot die alle de zelfde reden hebben.
2. Gelyke grootheden hebben , tot een en de zelve grootheid, de zelfde reden.
3. Grootheden die, tot een en dezelve grootheid of tot gelyke grootheden, de zelfde reden hebben, zvn onder malkanderen gelyk.
4. Grootheden, tot welke een en dezelve grootheid de zelfde reden heeft, zyn gelyk.
5. Als twee grootheden zich tot een derde verhouden zal die de grootfte zyn , welke de grootlïe reden heeft.
6. Als twee grootheden zich tot een derde verhouden zal de grootfte ook de grootfte reden hebben. '
7. Redens, die aan een en de zelve reden gelyk zyn zyn ook aan malkanderen gelyk. '
8. Als twee grootheden in gelyke deelen gedeeld, of uit gelyke deelen faamengefteld worden; dan zal de
eene
' *



( 5i ) IV.Boek,
eene geheele grootheid, de zelfde reden tot de andere geheele grootheid hebben, die het getal der deelen in de eene, tot dat der gelyke deelen in de andere heeft.
o. Indien het dubbeld, drievouwd, viervouvvd, enz. van ieder deel eener grootheid genomen wordt, zal de Som het dubbeld, drievouwd, viervouwd, enz. der geheele voorgeftelde grootheid zyn.
THEOREMA I. (f)
De geheele grootheden zyn tot malkanderen in de zelfde reden , als haare gelyke deelen (A B, C D).
A- «2■> t E E jF 2 F Laat de re-
l i )—I 1 1 1 1 den van AB
i 1 ' 1 tot CD, die
C cd el> Gr K i h H yan een getal
\ | | | I | 1 j i 1 M (3) tot een
ander getal N
(4) zyn, of dat het zelfde is, laat AB, M (3) zuike gelyke deelen (Aa, ab,b B) bevatten (Ax.?,. 4.), waar van C D het getal N (4) bevat. Laat Aa, ab,b 'ti wederzyds als gelyke deelen van Ef, fg, gF genomen worden ; en laat Cc, cd, de, eD de zeJfde gelyke deelen van Gb, bi, ik, kil zyn; dan zal de gehe'ele grootheid AB het zelfde aangetoonde deel van de geheele grootheid E F, en de geheele grootheid C D van de geheele grootheid GHzyn, als ieder deel in de eene van deszelfs overeenkomftige in de andere is (A\ 9.4.). En nadien de deelen Aa, ai, &B, Cc, cd, del e D alle gelyk zyn (Steil.) zullen haare geheelen Er* '/V gF, Gb, bi, ik, kH. ook gelvk zyn (Ax. 4. 1.). Derhalven is E F in reden tot G H, als het getal vaii de deelen in E F is tot het getal der gelvke deelen in GH (Ax. 8. 4.), of, dat het zelfde is,"als het getal der deelen in A B tot het getal der deelen in C D dat is, als AB tot CD (Ax. 8. 40- Dat beweezen moeit moorden.
CO-
(") Eucl. 15. 5.B.
C D 2 ]



IV. Boek. ( 52 ;
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat gelyke deelen van grootheden, de zelfde reden als de geheele grootheden hebben.
THEOREMA II. (*)
De twee voorgaande (A B, DE) van vier evenredige groot beden, van de zelfde foort, (A B , B C, D E, E F) zyn in de zelfde reden,als de twee volgende (B C, EF).
Ji. „ "B 1 G Laat de gemee-
I 1 , , , 1 , , 1 ne reden van AB I 1 1 ! 1 1 > ' 1 tot B C, en van
DE tot EF, die
^ <L E ^ IE van een willekeu-
| I 11 1 i 1 1 1 rig getal M (5)
tot een ander getal N (3) zyn; dan zal A B, M (5) zulke gelyke deelen (Aa) bevatten, waar van 'er N (3) in BC zyn Ax. 8. 4.); en DE zal, op gelyke wyze, M (5) zulke gelyke deelen (Dd) bevatten, waar van 'er N (3) in EF zyn. En dus, dewyl AB en DE, zo wel als BC en EF, geheele Grootheden verbeelden, waar van Aa en Dd deelen zyn, zo is AB: DE :: Aa (B£):Di (Ee)::BC:BF(ïv40.
COROLLARIUM.
Hieruit blykt,dat de evenredigheid nog plaatsheeft, wanneer de volgende als voorgaande, en de voorgaande als volgende genomen worden. Want, BC:AB:: het getal der deelen in B C (of E F): het getal der deelen in AB (of DE)::EF:DE (Ax. 8. 4.).
THEOREMA III. (/)
Van vier evenredige grootbeden (A B, B C, DE, E F) is de Som, of bet verfchil, van de eerfte voorgaande en volgende (AB"±BC) tot de eerfte voorgaande, of volgende, als de fom, of het verfchil, van de tweede voorgaande en volgende (DEt±EF), tot de tweede voorgaande, of volgende.
Laat
(k) Eucl. 16. 5. B. (0 Eucl. 17,18,19. 5- B-



( 53 ) IV. BoeK.
Laat dat geene, wat tot Bewys van het voorgaande Theorema gezegd is, ook in dit geval behouden worden:
dan zal AC (AB+* _A_ c B C BC) in reden tot AB
[—i—|—i—j—|—1—1—| zyn, als het getal der deelen in AC, is tot D y -E -c het getal der gelyke
H I I 1 1 1 1 1 deelen in AB (Ax. 8.
4.), of als het getal der deelen in DF (DE + EF) tot het getal der gelyke deelen in DE, dat is, als DF (DE-fEF) tot DE (Ax. 8. 4.)- Wederom, indien van AB en DE, Bc=BC, enE/=EF, afgetrokken worden, dan zal het verfchil Ac tot AB in reden zyn, als het getal der deelen in Ac (of D/) is tot het getal der deelen in AB, of DE (Ax. 8- 4.)> dat is» als D/tot DE. Op dezelve wyze blykt klaar,dat AB + BC.-BC:: DE + EF;EF; en ab — BC:BC::DE — EF:EF is.
COROLLARIUM. (m)
Hieruit blykt, dat de Som der grootfte en kleinfte (ABH-EF) van vier evenredige grootheden, van de zelfde foort, grooter als de Som (BC + DE) der beide andere zal zyn. Want, A B grooter als D E gefteld zynde, zal Ac, in de zelfde reden, grooter als D ƒ zyn (3.4.); indien men nu BC+EF, als aan beide gemeen zynde, vergaard; zal de Som Ac + BC + EF (AB+EF) ook grooter zyn, als de Som D/+BC-f« EF [DE + BC] (Ax.5. 1.).
S C H O L I U M.
Wy hebben in het Bewys van dit, en de voorgaande Tbeoremata onderfteld, dat de voorgaande en volgende in onderling gelyke deelen gedeeld zyn. Doch het is den Wiskundigen bekend , dat'er zekere grootheden zyn, die met geene mogelykheid, op die wyze door middel van eene gemeene Maat, kunnen gedeeld worden. Niettemin zyn de Tbeoremata zelve even zeker, wanneer zy
op
(jm) Eucl. 25. 5. B.
[Dj]



IV. Boek; ( 54 )
op deeze Onmeetbaar e grootheden toegepaft worden '• dewyl geen twee grootheden, van de welfde foort 'met mogelykheid beraamd kunnen worden, waar van men de reden niet door die van twee getallen kan uitdrukken, en wel zo naby, dat het verfchil kleinder zal zyn, als de kleinfte zaak, die benoemd kan worden. Maar indien het onderwerp, ten deezen opzigte befchouwd, niet genoegzaam wiskunftig mogt fchvnen, zo zy gefteld, dat men, in'het voorgaande Theorema, de reden van AC tot B C niet voor even de zelfde, als die van D F tot E F, begeert aan te neemen, wanneer A B,B C, en DE, EF onmeetbaar zyn; laat dan, zo het mogelyk is, de evenredigheid zyn,als een grootheid aC,kleinder dan AC, is tot BC, zo is DF totEF. Laat Bb een deel, of maat, van BC, kleinder als het verfchil (Aa) tuüchen AB en aB, zyn; laat Bp dat veelvouwdige (Multiplex) van BÉ zyn, welk kleinfte grooter als Bais, en laat qE totEF, alspB totBC zyn.
AP,? ^ 5 C Het is blyk-
n-1 J—i 1 baar, dat pB
kleinder is dan
JD <T E P Ar>'. dewyl ap
r+ ■ r\ j -JB^Aa
uii- j , . (Steil.); en dat
qE kleinder dan DE is; want, dewyl de reden vanaE tot EF gelyk aan die van pB totBC is (Steil.), zo moet dezelve noodwendig kleinder als die van A B tot B C (Ax. 6. 4-) , of van DE tot EF, en dus qE kleinder dan DE zyn (Ax. 5. 4.).
Indien nu, zo als gefteld is, de reden van aC tot BC — de reden van D F tot E F kan zyn, zo moet dezelve, gevolgelyk, grooter als de reden van q F tot EF (Ax. 6. en 7. 4.), of, dat het zelfde is, als de reden van pC tot B C (Ax. 6. 4.) zyn, dat onmogelyk is. Op gelyke wyze zal blyken,dat geene grootheid,die grooter als AC is, tot BC kan zyn, als D F totEF is Derhalven A C: B C:: D F: E F. En door de zelfde wyze van redeneeren, door Euclides zelve goedgekeurd en aangenomen, kunnen alle hinderpaalen en zwaarigheden, die uit de onmeetbaarheid der grootheden elders mogten voorkomen, weg genomen worden.
THEO-



(55)
IV. Boek;
THEOREMA IV. («)
Als van vier evenredige grootbeden (A B, B C, P Q , Q R) gelyke veelvouwdigen (tnultiplices Ecquales) der voorgaande (AB , P Qj genomen, en met gelyke veelvouwdigen van haare wederzydfcbe volgende (BC, QR) vergeleken worden, zullen de redens de zelfde, en de vier grootbeden evenredig zyn.
Laat de gemeene reden van AB tot BC, en van PQ tot QR, die van een getal M tot een ander getal N zyn; zo zal A B, M zulke gelyke deelen bevatten, waar van 'er N in BC zyn (Ax. 8. 40t en PQ zal, op gelyke wyze, M zulke gelyke deelen bevatten, waar van 'er N in QR zyn.
a> _A_ B C X3 E
1 1 I I 1 1 M 1 M 1 M 1 I I 1
P ~2 Q E S T
| 1 1 1 1 I I 1 f 11 1 1 I 1 1 I 1
LaatCD, DE ieder =BC, en R S,ST, ieder - QR genomen worden, zo dat BE, en QT gelyke veelvouwdigen van BC enQR zyn; en laat CD, DE; RS, S T verbeeld worden , ieder in het zeilde getal van deelen met B C, of Q R, gedeeld te zyn. Op gelyke wyze, laat aB en pQ_ als gelyke veelvouwdigen van AB enPQ, &c. genomen worden. Dan zal het getal der deelen in BD — het getal der deelen in QS (Ax. 8. 4.), en het getal der deelen in BE — het getal der deelen inQT zyn (Ax. 4 en dus van gelyken ten opzigte van aB en ^Q. Dernalven is aB tot BE, als het getal der deelen in aB tot het getal der gelyke deelen in BE (Ax. 8. 4.), of, dat het zelfde is, als het getal der deelen in pQ tot het getal der deelen inQT, dat is, als p Q tot Q T, dat te bewyzen was.
THEO-
(n) Eucl, 4. 5. B.
[D4]



IV. Boek. ( 56 )
THEOREMA V. (0)
Als van twee reijen van grootbeden (A B, B C, C D; P Q, QR, RS), de reden van de eerfte en tweede , 'm de eene, gelyk de reden van de eerfte en tweede, in de andere , en de reden van de tweede en derde, in de eene, op dezelve wyze, aan de reden van da tweede en derde*, in de andere gelyk is; dan zal ook de reden van de eerfte tot de derde, in de eene rei, de zelfde, als m de andere zyn,
Laat de gemeene reden van AB tot BC, en van PQ tot QR, nog als in de voorgaande Bewyzen uitgedrukt worden. Laat, daarenboven, CD en RS begreepen worden, ieder in het zelfde getal van deelen met BC en QR gedeeld te zyn.
Ji- a- ~£> h C D E t ' I 1 1 ) I 1 I 1 I 1
P p Q a B^, S T
I i 1 1 1 i i lil]—I
Dewyl de grootheden BC,CD,QR,RS, evenredigzyn (Steil.) zullen haare gelyke deelen Bb, Cc, Qq,Rr, welke in de zelfde reden als de geheele grootheden zyn (Cor. van 1.4,), ook evenredig zyn; dewyl nu Aa = Bi, en Pp=Qq is (Steil.), zo is Aa:Cc ::Pj>:Rr (Ax. 2. 4.) Maar AB en PQ zvn gelyke veelvouwdigen van de voorgaande Aa en Pp(Ax. 2. 4.); en C D, R S zyn gelyke veelvouwdigen van de volgende Cc en Rr; derhalven AB:CD::PQ:RS (4.4.). Daf beweezen moejt worden.
COROLLARIUM. I. Indien andere grootheden DE, ST, die nog met de twee naaft voorgaande evenredig zyn, genomen worden, zo dat CD:DE::RS:ST is; dan blykt, door
de
(0) Eucl. 22. 5. B.



( 57 ) IV. Boek.
de zelfde redeneering (met betrekking tot A B, CD, DE in de eene, enPQ, RS, ST in de andere rei), dat AB:DE::PQ:ST is (5.4.). En dus kan men verder gaan, met fteeds zo veel andere grootheden te neemen, als men begeert; en de reden van de eerfte en laatfte , zal geduurig in de eene rei de zelfde, als inde andere zyn, Derhalven befluit men, dat redens , faamengefteld uit het zelfde getal, of gelyke , redens, gelyk zyn (Def. 8- 4->
COROLLARIUM II.
Hier uit blykt nog, dat als twee grootheden, evenredig met de beide volgende van een gegeevene evenredigheid , genomen worden, dezelve ook evenredig zullen zyn, wanneer men die met de volgende vergelykt, en wederkeerig. Want , het is klaar, dat de beide grootheden CD en RS, als zy agtervolgens met de volgende, en voorgaande, van de gegeevene evenredigheid (A B: B C:: P Q: Q R) vergeleeken worden, zo wel in het eene , als in het andere geval evenredig zyn C5-40-
THEOREMA VI. (p)
Indien by de beide volgende (BC, KL) van vier evenredige grootheden (AB, BC, IK, KL), twee andere
■ grootheden (C D, L M), welke tot de respeetive voorgaande de zelfde reden hebben, vergaard worden; zullen ook deeze Sommen en de voorgaande evenredig zyn. Dat is, indien A B: B C:: IK: K L ,• era A B: C D: .1K: L M is, danzal A B: BD: :IK:KM zyn.
A, B C D E Want, dewyl
| f 1 1 1 CDenLMmet
de voorgaande AH en IK evenredig" I K li M 3ST zyn (Steil.), zyn
| | 1 1 1 zy met de volgende
(BC, KL) ook
evenredig (door Coroll. 1. van bet voorgaande Theorema):
der-
(p) Eucl. n. 5. B.
[d 5]



IV. Boek. ( 58 )
derhalven is (door faamenftelling) B C: 15 D:: K L: K M (3.4.). En dus wederom (door bet zelfde Coroll.) AB: BD::IK:KM.
COROLLARIUM.
Uit dit Theorema zal blyken, dat, indien de redens van de overeenkomftige grootheden van twee reijen, met betrekking tot de twee eerfte, in de beide reijen (AB:BC::IK:KL , AB: CD: IK: LM , &c.) de zelfde zyn ; de reden van alle de grootheden tot de eerfte , ook in de eene rei de zelfde, als in de andere, zal zyn.
Want, vergaarende DE en MN by de laatfte voorgaande (BD, KM), zal men hebben AB:BE::IK: KN (6.4.); en dus is door faamenftelling, AB:AE:: IK:IN.
Als de grootheden, in de beide reijen, van de zelfde foort zyn, zal, door verwiffeling, blyken, dat de reden van de beide Sommen, en die van ieder twee 0vereenkomftige Termen, de zelfde is.
THEOREMA VII. (4)
De Driehoeken (A B C, C B D), als ook de Parallelogrammen (CF, CE), die de zelf de boogte hebben, zyn tot malkanderen in de zelfde reden als haare Bafes (AC CD).
E ~B "E Laat de Bafis A C tot de
/!: x ' ' 1 Bafis C D in reden zyn , Aj. \ \V a's een willekeurig getal m
Ai \ \ nL C2), tot een ander wille-
Af \\ keurig getal n (3), of, dat
/ / \ \ \^ het zelfde is \Ax. 8.4.),
a ■ r—c<—rf—t—t» laat a c > m C2) zulke ge-a. lx o ±1 1 Jj lykedeelen bevatten,waar van 'er het getal n (3) in C D gevonden worden; dan dewyl de Driehoeken ABG, GBC, CBH, HBI, IBD, die door het trekken van lynen, uit de deelpun-
ten
(3) Eucl. 1. 6.B.



( 59 ) IV. Boek.
ten tot den tophoek B, gemaakt worden, onder malkanderen gelyk zyn (Cor. 2. van 2. 2.); zal den Driehoek ABC tot den Driehoek CBD in reden zyn, als het getal der gelyke deelen in de eerfte, tot het getal der gelyke deelen in de laatfte, of als het getal der deelen in AC, tot het getal der deelen in CD; dat is, als AC tot CD (Ax. 3. 4.)- Aangezien nu de Parallelogrammen CF,CE het dubbeld van haarerespettiveDriehoeken zyn (Cor. t. van 2. 2.) , zyn zy ook in de zelfde reden, als haare Bajes AC en CD (4. 4.).
THEOREMA VIII.
Alle Driehoeken (ABC, DEF), die op gelyke BafeS (AC, DF) ftaan, zyn tot malkander en in de zelfde reden als haare hoogten (B G, E H).
B I
/^\ ./.Jk -e
■A^G- C D^—fi -^ï1
Laat Cl perpendiculair op AC, en gelyk BG zyn; neem daar in C K^=E H , en trek AI en AK.
Den Driehoek ACl is = ABC (Cor. 2. van 2. 2.), en ACKrrrDEF (Cor. 2. van <L 2.); derhalven ACI (ABC):ACK (DEF):: Cl (BG) :CK (E H) [7.4.3.
T H E O R E M A IX. (f)
Als vier lynen evenredig zyn (AB:CD::DH:BG, zal den regthoek (AG) der twee niterjle, gelyk zyn aan den regthoek (C H) der twee middeljle. En, indien de regthoeken onder de niterjle en middelfie, van vier gegeeven lynen (AB, CD, DH, BG), gelyk zyn , dan zyn deeze vier lynen evenredig.
In
(r) Eucl. 16 en 17. 6. B.



ÏV.DoeK. C Go )
In DH, laat DI = BG genomen , en IK parallel met C D getrokken worden.
F P H i. Steil. □ AG:
E G „i ; i !Z)CI::AB:CD
\ r. ! L C7-4-) DH:BG ; (Steil.) :: D H: DI
,1 I 1 f U (A.i.4.):;DCH:
A. ^ C Q □ Cl (7.4.); der¬
halven, nadien de volgende, van de eerfte en laatfte deezer gelyke redens, de zelfde grootheid CI zyn, zullen ook de beide voorgaande AG en CH gelvk zyn (Ax. 3.).
1. Steil. AB:CD::1Z)AG:[=]CI (7.4.) ::dCH: □ CIC^.2.40::DH:DI(BG) [7.4.].
S C H O L I U M.
Uit het zelfde Bewys zal blyken , dat de twee voorgaande van vier evenredige lynen (A B, C D, D H, B G) in de zelfde reden, als de twee volgende, tot eikanderen zyn. Want, indien men inDC, DQ — BG neemt, en PQ parallel met DH trekt;dan is AB: D H:: □ AG :CZ1QH(7- 4-)':nCH:IZlQH::CD:QD(BG>
THEOREMA X. (s )
Ah een lyn (DE) parallel met eene zyde (AC) van een Driehoek (ABC) getrokken wordt, zal zy de beide andere zyden evenredig deelen. Dat is, BD: B A::BE: BC, BD:DA::BE:EC, en BA:DA:: B C: EC.
US Trek AE en CD. Dan zullen
/\ de Driehoeken A E D, en C D E
/ \ aan malkanderen gelyk zyn (Cor.
/ X-r, &• van 2* 20;en vergaarende we-
JD/r-j -XE derzyds den Driehoek BDE, zal
/ ">< \ den Driehoek AEB — BDC zyn
Maar BD-.BA :: Driehoek BDE: Driehoek AEB
(7-4.)
(x) Eucl. 2. 6. B.



( 6i ) IV. Boek.
(7.4.) [BDC] :: BE:BC, en BD:DA:: Driehoek BDE: Driehoek AED (7.4.) [CED]::BE;EC.
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat een regte lyn, welke twee zyden van een Driehoek evenredig deelt, met de overige zyde parallel is; want AB kan nimmer met BC in de zelfde reden gedeeld worden;*als alleen, wanneer DE^arallel met AC is (Ax. 2. i. en 6. 4.).
S C H O L I U M.
Volgens dit Theorema, kan men de faamenftelling en deeling der redens, aangaande de vergelyking van regte lynen, zeer bevatbaar voorftellen.
a E Want, laat AB, BC,
y, r S£ A D, DE evenredig zyn ;
^ en uit een punt A twee
js^ onbepaalde regte lynen
D I A P, A Q getrokken wor-
2c •■ den ; neem in dezelve
A^-i L 4 Q AB—AB,BC=BC,
■A. c » E ^ AD = AD, en DE = DE. Op dezelve wyze, neem Bc=BC,De —DE, en laat BD, CE, en ce getrokken worden.
Nadien AB:BC::AD:DE is (Steil.), zo is EC parallel met DB (Cor. van 10. 4.); en op dezelve wyze, Bc=BC, en De —DE zynde, zal ec ook parallel met DB zyn (Cor. 2. van 24. 1.). Derhalven
AC(AB + BC):AB: :AE(AD + DE):AD;
AC(AB + BC):BC::AE(AD + DE):DE;
Ac(AB—■BC):AB::Ae(AD — DE):AD;
A c (AB — BC):BC::Ae(AD —DE):DE; EnAC(A3-(-BC):Ac(AB-BC)::AE(AD+D£) Ae(AD — DE).
THEOREMA XI. (O
De gelykboekige Driehoeken (ABC , DEF) hebben de
over..
(t) Eucl, 4. 6» B,



IV. Boek. ( 6i )
overeenkomjlige zyden (AC, DF; AB, DE) die ge. lyke hoeken (A, D) benutten, evenredig.
-B Neem in A C
H/\ E en AB (ver-
/\ \ lengdzynde,zo
\ \ \ het noodig is)
a/ \ \r r,/, X-p AG = DF, AH
G C D — P =DE,envoeg
G, H te faamen.
De Driehoeken DEF, en AGH hebben DF=r AG, DE = AH, en de hoek D=:A; derhalven is de hoek AGH=rF (,&. 10. i)=C(M.), en duszalGH ■parallel met B C zyn (Cor. van 8. iO; bv eevolff APAGCDF;::AB:AH(DE) [10.4.].
ANDERS.
Dewyl □ AC.DE —□ OF. AB is (14.3.), z0 is ook AC:DF::AB:DÊ (9.4.). j>
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat alle gelykhoekige Driehoeken aan malkanderen gelykvormig zyn (Def. 14. 4.).
THEOREMA XII. («) Als twee Driehoeken (ABC, DEF) een hoek (A) in de eene, gelyk aan een hoek (D) in de andere hebben en dat de zyden (AC, DF, AB, DE) om deeze boeken evenredig zyn; dan zyn de Driehoeken gelykhoekig. (Zie de voorgaande Figuur).
In AC en AB, neem AG —DF, en AH — pp en laat G H getrokken worden.
Nadien AC :DF (AG):: AB:DE (AH is [Steil.-], zo is derhalven GH parallel met BC (Cor. van 10. 4.)," dienvolgens is de hoek C = A G H (Cor. 1. van 7. 1,) =:F (Ax. 10. 1.), en de hoek B = AHG=E.
THEOREMA XIII. (v) Als twee Driehoeken (ABC, DE F) een boek (A) in de
eene,
(u) Eucl. 6. 6. B. (v) Eucl. 7. 6. B.



( 63 ) IV. Boek.
esne, gelyk aan een boek (D) in de andere hebben, en dat ook de zyden (AC, D F, BC, E F), om ieder der andere boeken, evenredig zyn; dan zullen de Driehoeken gelykhoekig zyn, behoudens nogtbans, dat deeze laatfte hoeken (C, F), of beide kleinder, of beide grooter als regte boeken zyn. (Zie de Figuur van Theorema XI.) In AC, laat AG—DF genomen, en GH parallel met BC getrokken worden, ontmoetende AB in H.
De Driehoeken ABC en AHG zyn gelykhoekig (Cor. ï; van 7. i.') ; derhalven BC:HG::AC-AG (u.4.)::AB:DF (Ax. 1. 4.)::BC:EF (Steil.) 1 en by gevolg HG=EF (Ax. 4.4.): weshalven de Drie. hoeken DEF, en AHG, hebbende DF=AG, EF = HG, en de hoek Dr=A, in alle opzigten gelvk zullen zyn (17.1.), mits dat de hoeken F en C (==. AGH) of beide kleinder, of beide grooter als regte hoeken zyn. Derhalven, nadien de laatfte van deeze gelyke Driehoeken (DEF, AHG) gelykhoekig met de Driehoek ABC is, is de Propofitie openbaar.
THEOREMA XIV. (w). Als twee Driehoeken (A B C, DE F) alle haare zyden wederzyds evenredig hebben (AB:DE::AC:DF::BC* EF); dan zyn deeze Driehoeken gelykhoekig. (Zie de* Figuur van Theorema XI.)
In AB en AC, neem AH-rrDE, AG = DF en voeg G, H te faamen.
Dewyl AB:AH(DE)::AC:AG(DF) is rStell.1. zyn de Driehoeken ABC, AHG gelykhoekig fi2dV derh alven B C; H G:: A C: A G (D F ) [11. 4.]:; B C • E F (StelL)i en by gevolg HG — EF (Ax. 4. 4.): nadien dan de Driehoeken DEF, AGH onderling gelykzydig zyn, moeten zy op dezelve wyze ook gelykhoekig zyn (14. i.); en by gevolg is DEF,zo wel als AGH gelykhoekig met ABC.
THEOREMA XV. (x) Als een hoek (B) van een Driehoek (ABC), in twee ge-
lyke
(w) Eucl. 5. 6. B. (x) Eucl. 3. 6. B.



IV. Boek. ( 64 )
lyke deelen gedeeld wordt, door een regte lyn (BD), welke den Bafis des Driehoeks in D Jnydt; dan zullen de deelen der Bafis (AD, D C), evenredig zyn met de zyden (A B, BC), welke dien boek bevatten.
Laat AE en CF perpendi/k culair op BD zyn.
/ Dewyl dan de Driehoeken
/ \ \ ABE, BCF, en ADE,
/ \ \^ CD F wederzyds gelykhoe-
/ •■\E \. _ kig zyn (Steil, en 3.1.), zo
A-^ jy is AD : CD :: AE : CF
(n.4-ena.40::AB:BC.
THEOREMA XVI. (?)
Als men uit den regten hoek (B) van een regtboekige Drieboek (ABC), op de Hypothenufa (A C)een perpendiculair (BD) trekt: zal dezelve een midden-evenredige tuffchen de*beide deelen (AD, DC) der Hypothenufa zyn: en ieder der zyden, welke den regten boek bevatten , zal een midden-evenredige zyn, Juffcben zyn aanleggend deel, en de geheele Hypothenufa.
Want, dewyl de hoek CDB _B =CBA (Ax. 7. 1.) , en de
/7f\~""~\ hoek C gemeen is, zyn de Drie// V \ hoeken CDB, C BAgelykhoe(/ \ kig (Cor. 1. van 10. i.). Op de
a 1/ I _^jr zelve wyze zal blyken, dat de
J> ^ Driehoeken ADB, en CBA
gelykhoekig zyn.
Derhalven is door Theorema XI.
CD : BD :: BD : AD AC : CB :: CB : CD AC : AB :: AB : AD.
COROLLARIUM.
Dewyl de hoek in een halven Cirkel een regte hoek
is
(y) Eucl. 8. 6. B.



( 6$ ) IV. Boe*."
Js (7.3.), zo volgt, dat indien men uit een willekeurig punt B, in den omtrek eens halven Cirkels ABC, een perpendiculair B D op den Diameter A C laat vallen, en uit het zelfde punt B, tot de uiteinden van dien Diameter, twee peefen BA, BC trekt; dat, zeggen we, het vierkant van dien perpendiculair aan een regthoek , onder de beide deelen des Diameters gelyk zal zyn; en het vierkant van eiken pees, gelyk aan een regthoek, onder den geheelen Diameter, en deszelfs aanleggende deel. Want , door de bovenftaande evenredigheden blykt, dat □ 13 Dr= □ A D. C D , □ BC = IZ1AC. CD, en □ A B = □ A C. A D is (9. 4.).
THEOREMA XVII.
Als, in gelykvormige Driehoeken (A B C, D E F), uit twee gelyke boeken ( B, E) tot de overftaande zyden, regte lynen (BG,EH) getrokken worden, die met de overeenkomftige zyden (B C, E F) gelyke boeken maaken; dan zullen deeze regte lynen de zelfde reden bebben, als de zyden (A C, DF), waar op zy vallen, en dus deeze zyden evenredig deelen.
IB Want, de Drie-
A\ "R hoeken AGB,
/ \\ a\ DHE,enCGB,
/ \\ /W FHE , zyn , zo
/ \ \ / \\ wel als de geheele
/ \ \ / \ \ Driehoeken ABC,
•A-Z GO "D JHL^ P. LF , gelykhoe-
kig (Steil.).
Dienvolg. is A C: D F (:: A B: D E):: B G: E H ft 1.4. en en AG: DH (:: B G: E ti):: C G: F H {At. 7.4.
THEOREMA XVIII.
Als in twee Driehoeken (ABC, A C D), hebbende eene zyde (AC) aan beide gemeen, uit een willekeurig punt G in die zyde, twee lynen (GE, GF) wederzyds parallel met de beide aanleggende zyden (CB, CD), tot op de overige zyden (A B , A D) , getrokken werden; zullen deeze lynen (G E, G F) de zelfde reden bebben, als de zyden (C B , CD), met welke zy parallel zyn.
C E ] Want,



IV. Boek. ( 66 )
B
Want, AC:AG::BC:EG / (11.4.), en AC:AG:CD: a Aj n GF (11.4.); derhalven is, door
^vT\ \ ver§elyking » B C: E G:: C D: n. \ \ G F ; en , door verwiffeling , \ BC:CD::EG:GF(2.40.
COROLLARIUM.
Als BC = CD is, zal ook EG=GF zyn.
THEOREMA XIX.
De regthoeken onder de overeenkomjlige lynen, van twee reijen van evenredige Grootheden, zyn op de zelve wyze evenredig. Dat is , indien AB:BC::CD:DE, en BF:BG::DH;DI is, zal □AF:DBK::OCH "□DN zyn.
G K
. * _ fZZ]M H T N *
i =tTI ^L
A. BB CC ddhq
Laat in B G en DI, of in haar verlengde, B F =z B F, en DH — DH genomen worden;trek FM parallel met BC,en HL met DErdan is AF:BM::AB:BC(>.4.) ::CD:DE (SteH.)«CH:DL (7.4.); derhalven is, door verwiffeling, A F: C H:: B M: D L:: B K: D N; dat is, omgekeerd, AF:BK::CH:DN.
COROLLARIUM I.
Hier uit volgt, dat de vierkanten van vier evenredige lynen ook evenredig zyn.
COROLLARIUM II.
Op de zelve wyze zullen ook de zyden, van vier evenredige Vierkanten (GAB, DBC, PCD, DDE)
even-



( 67 ) IV. Boek.
evenredig zyn. Want, laat de lyn PQ zodanig getrokken worden, dat AB:BC::CD:PQ zy ; dewyl nu
□ AB:DBC::DCD:dPQ (door Cor. en DAB :DBC::DCD::DDE is (onderftell.); zo is ookDPQ = GDE(A 4.4.) ; derhalven P Q =: D E (Cor. 1. van 4. 2.), en by gevolg AB:BC:;CD:DE (Ax. 1. 4.).
THEOREMA XX.
Zr door een punt (i) fc'wBen ee« Driehoek (ABC), uit dé hoekpunten tot de overftaande zyden, drie regte lynen (AF, CE, B D) getrokken worden, zullen de deelen (AD, CD), van één der zyden (AC) , tot malkanderen zyn, als de regthoeken (A E . B F, C F. B E.) onder de deelen van de andere zyden, hy verwiffeling genomen. G B H. Laat G B H parallel met A C
zyn , en AF, CE verlengd worden, tot dat zy G B H in H en G ontmoeten. Het is openbaar, dat de Drie_ hoeken ECA,EBG; FAC, d 0 FHB; AIC,GIH gelykhoekig zyn (7. en 3.1.); derhalven AE : BE :: AC : BG 1 BF : CF :; BH : AC (TIi4* Dienvolgens OAE.BFiDBE. CF:: □ AC.BH: __ÏBG.AC(ig.4.)::BH:BG (7.4.); maarBH:BG:s AD:CD (17. 4.); derhalven is, door vergelyking,
□ AE.BF;CJBE.CF::AD:CD.
COROLLARIUM.
Hier uit is blykbaar, dat,als ADmC D is,Ü AE. BF = OBE.CF, en dus AE: BE::CF:BF zal zyn (9.4.).
THEOREMA XXL (z) Alle gelykboekige Driehoeken (ABC, DEF) zyn tot malkanderen, als de vierkanten (AK, DM) van haare overeenkomftige zyden.
Laa«
(z) Eucl. iy. 6. B.



IV. Boek. ( (58 )
35 Laat op AC
j/h E en DF de per-
/ \ \ /\ pendiculairs B G
/ | V y j V en E H vallen,
/_ j \ _^ / i \_ en trek deDfa-
•^l Cr ••ït^ ir..-W gonaalen Cl,
Dewvl den Driehoek ABC : ACI : : BG:
IiL ' M AirAC]C8.4.)
_Li lK : : E H : D F
[DL] : : den
Driehoek DEF:DFL is (8.4.); zo is, door verwisfeling, den Driehoek A B C: DE F:: A CI:DFL (2.4.) :: A K: D M (Cor. 2. van 2. 2.).
THEOREMA XXII.
Als twee Driehoeken (ABC, DEF) een hoek (A) in de eene, gelyk een boek (D) in de andere, hebben, dan zyn dezelve tot malkanderen in reden , ah de regthoeken ( A B. A C, D E. D F) der zyden, welke de gelyke boeken injluiten.
35 E
a//TNnc *4r^*
Laat op AC en DF de perpendiculairs BG en EH vallen. Dan is □ AB.AC : DI3G.AC :: AB.-BG C-.4.):'DE:EH (11. 4.) :: □ DE. DF: □ E H ;DF (7.4.); en, door verwiffeling, □AB.AC:dDE. DF::fZlBG.AC:IZ]EH.DF;:Driehoek ABC:DriehoekDEF(7.4.).
COROLLARIUM. (a) Hier uit volgt, dat als de regthoeken der zyden,
wel-
(a) Eucl. 14 era 15. 6. B.



( 69 ) IV. Boek.
welke de gelyke hoeken bevatten, gelyk; of dat de zyden zelve wederkeerig evenredig zyn (9.4.), de Driehoeken ook gelyk zullen zyn. Het zelfde heeft ook plaats in Parallelogrammen, als zynde het dubbeld van zodanige Driehoeken.
THEOREMA XXIII. (6)
Me gelykvormige regtlynige Figuuren (ABCDE, FG HI KJ) zyn tot malkanderen in reden, als de vierkanten van baare overeenkomftige zyden (AB, FGJ).
D
E \--- \ \ /":~~~-\lx-
Trek de regte lynen BE, BD, GK, GI. Dewyl de hoek A = F,enAB:AE::FG:FK is (/)<?ƒ 14.4.), zyn de Driehoeken BAE, GFK gelykhoekig (12.4.); derhalven, indien van de hoek AED — F KI (Def. 14. 4O de hoek AE B = F KG afgetrokken wordt, zullen de overblyvende hoeken" BED, GKI ook gelyk zyn (Ax. 5. I.). Nadien nu ED : KI [ :: EA:KF (Def. 14.4O] ::EB:KG C11.4.J) is, zyn de Driehoeken EBD, KGI gelykhoekig (Jio..4.J). Op de zelve wyze zal blyken, dat de Driehoeken DBC, IGH ook gelykhoekig zyn.
Derhalven,dewyl den Driehoek A BE: GFK[:;DB E :DGK (21.4.)] :: den Driehoek BED:GKI [:: □ B D : □ GI (21.4.)];: den Driehoek B D C :G [H is(21.4.), zo is blykbaar , dar de Som van alle de voorgaande (A B C D E) is tot de Som van alle de volgende
(FG*
(V) Eucl. 20. 6. B.
[E 3]



IV. Boek. ( 7° )
(FGHIK), als de eerfte voorgaande ABE tot de eerfte volgende G F K (Cor. van 6. 4.), of als □ A B: □ F G,
THEOREMA XXIV. (c)
Van alle regtboekige Driehoeken (ABC), is de Figuur (E) op de Hypothenufa (A C) befchreeven, gelyk aan de Som der gelykvormige Figuuren (G en H), welke op de beide zyden (AB, BC), om den regten boek, befchreeven worden.
E
Want ,G:H::DAB:DBC (23.4.); derhalven, door faamenftelling , G+H:G:: □ AB-f DBC [_DAC (6.2.)]:DAB::E:G (23.4.); en by gevolg G+H — E (Ax. 3. 40-
(e) Eucl. 31. 6. B.
Einde van bet Vierde Boek.
GRON-



GRONDEN
DER
MEETKUNST.
VYFDE BOEK.
PROBLEMA I. 00.
Op eene oneindige regte lyn (PQ),uit een gegeevenpunt (B) in dezelve, een perpendiculair te trekken.
Neem aan beide zyden van het gegeeven "■^J^T punt B, de gelyke af-
/fS\ ftanden BC, BD; en
// vv laat uit de punten C en
// \\ D , met eea gelyke
ff \\ ftraal, die grooter als
f \ B C (of B D) is, twee
j li c\ boogen FG , EG be-
J- CE jB 3?D V fchreeven worden (Poft. 3 ) die malkanderen in G fnyden; trek dan uit B door G de lyn BA, welke perpendiculair op PQ zal
Z Want, als men uit C en D de regte lynen C G, D G trekt, zo blykt klaar, dat dezelve ftraaien van gelyke Cirkels zvn fCo»(JrO;en derhalven is in de DriehoekenCGB, en BOD, de zyde CG=DG, BC = BD (Conftr.), en BG gemeen; by gevolg de hoek CBG = DBG (14.1.) •> en dus de lyn BG' of deszelfs verlengde BA, perpendiculair op PQ (Def. 8.1.).
Cd) Eucl. 11. i.B.
L L 4 ]



v.B0EK:o ( 72 )
ANDERS.
Laat uit een willekeurig punt C, boven de lyn PQ, als Centrum, door het gegeeven punt B, den omtrek eens Cirkels befchreeven worden (Poft. 3.), fnydende PQ in D; trek den Diay -\ meter DCA, als mede
f aa AB, welke, om dat de
/ q \ hoek D B a in een hal-
j ...v"*' j ven Cirkel ftaande, een
-r, \,1/ ^ hoek is (7-3-)»
•* jjfyr ~_ ^ perpendiculair op P Q zal
zyn. Dat te doen was.
COROLLARIUM.
; Uit de eerfte van deeze Conjlrucïien blykt, dat, indien uit twee willekeurige punten , met twee gelyke ftraaien, die ieder grooter als de halve afftand deezer punten zyn, twee Cirkelen befchreeven worden; deeze Cirkelen malkanderen zullen fnyden.
P R O B L E M A II. (e)
Op eene oneindige regte lyn (P Q) , uit een gegeeven punt (li) buiten dezelve, een perpendiculair te trekken.
~B Laat uit het gegee-
A ven punt B, als Cen-
ƒ \ trum, een Cirkelboog
/ \ befchreeven worden,
ƒ \ welke de lyn PQ in
/ \ twee punten D en E
« ƒ \ y fnydt. Laat uit deeze
\^/ \/ punten, met eene wil-
* jjy^-— 1U^-'__J V lekeurige gelyke ftraal,
twee andere boogen
\ / befchreeven, en uit
\ J het punt C, daar dezel-
I3L ve malkanderen fny-
C"** den,
(e) Eucl. 12. 1. B.



( 73 ) V. Boek.
den, de regte lyn CAB getrokken worden; deeze zal perpendiculair op PQ zyn.
Want, laat BD, BE, CD, en CE getrokken worden; dan, dewyl BD = BE (Def. jj3. r.>, eaCD = CE is (Steil.) f is de hoek ADB =A EB (Aanm. van Ax. 10. i.); CDA —CEA; en bv gevolg BDC=r BEC (Ax.4.1.). Dus is BDr=rBE,CD = CE, en dienvolgens zyn de Driehoeken BDC, BEC in alle opzigten gelyk (Ax 10. i.j; weshalven DBA = EBA zynde, is de hoek DAB ook = de hoek E AB (Ax. ic. 1.) en daarom A B perpendiculair op PQ (Def, 8. I.). PROBLEMA III. (f)
Een gegeeven regtlynige boek (A B C) in twee gelyke deelen te fnyden.
Neem in de lynen, welke de Jy^^ gegeeven hoek influiten, BD =BE; en befchrvf uit depun\ ƒ ten D en E, als Centrums, met
_B<^- ! eene willekeurige gelyke Straal,
i ...•*""v ' twee boogen (Poft. 3 ), mal^bf$£ kanderen fnydende in F. Trek
Evan B tot F de lyn BF; deeze C zal de gegeevene hoek ABC in twee gelyke deelen fnyden.
Want, laat DE, DF , en EF getrokken werden (Poft. l.y-, dan zyn de Driehoeken BDE, en DFE beide gelykbeenig (Conftr.en Def. 33.1.). derhalven zal de hoek BDE = bED,FDE=FEü (Ax 10. 1.); en by gevolg de geheele hoek BDFrrde geheele hoek BEF zyn (Ax. 4. i.); weshalven, BD=BE, en DF = EF zynde, is ook de hoek DBF= de hoek EBF (Ax. 10. J-).
PROBLEMA IV. (g)
Een gegeeven regte lyn (A B) in twee gelyke deelen te fnyden.
Be-
(ƒ) Eucl. 9. 1. B. (g) Eucl. 10. i.B. [ E 5 ]



V.Boek. ( 74 )
\C/ Befchryf uit de einden,
X A, B der gegeevene lyn,
.-•'/ i \X met geIvke Straalen , twee
>••** / ! \ \ boogen , malkanderen fny-
• / iEi dende in C en D (Poft. 3.
A-tr j—\— en Cor. van i. 5.). Trek,
\ \ J y' tuffchen deeze twee fny-
\\ i y' punten, de lyn CD; deeze
>\u-y' zal de gegeevene lyn A B,
J< in twee gelyke deelen, in E
/■"^ fnyden. Dat te doen was.
Want, indien de lynen AC, AD, BC,BD getrokken worden, zullen de Driehoeken ACB, ADB gelykbeenig zyn (Conftr. en Def. 33. 1.); derhalven is de hoek CAB = CBA , en DABrrrDBA (Aanm. van Ax. 10. iO; by gevolg de hoek CAD —CBD (Ax. 4. i.J; waar uit blykt, dat de Driehoeken ACD en 15 C D in alle opzigten gelyk zyn (Ax. 10. L); en dus de hoek ACE^BCE. AC = BC, en CE gemeen zynde, zal ook AE=BE zyn (Ax. 10. 1.).
PROBLEMA V. (b). Uit een gegeeven punt (A~)in een gegeeven regte lyn(hïï) een lyn (AC) te trekken, welke met de eerfte een boek zal maaken, die gelyk is aan een gegeeven boek (QRS).
q
X 5r
11^— J o , X \
JE b -A- g -B
Laat uit de hoekpunten R, A, als Centrums, op willekeunge gelyke afftanden RE, AG, twee Cirkelboogen ED, GF befchreeven worden (Poft. 3.) , fnydende de gegeevene lynen in D, E, G; vervolgens befchryf uit G , met een ftraal gelyk aan de afftand der punten
D,
(b) Eucl. 23. 1. B.



( 75 ) V.Boek.
D, E , een andere Cirkelboog aRb, fnydende de eerfte GF in H, en trek AHC; dan zal de hoek CAB de begeerde zyn.
Want, als men van E tot D, en van G tot H, regte lynen trekt, zullende Driehoeken RED, AGH met malkanderen gelykzydig zyn (Conftr.), en derhalven ook gelykhoekig (14.1.).
PROBLEMA VI. (t)
Een Driehoek te maaken, waar van de drie zyden aan drie gegeevene lynen (A, B, C) gelyk zullen zyn; onderstellende dat twee derzelve, hoe men die neemt, te faamen langer zyn als de derde.
Maak DE=A;
befchryf uit D, als
•A- ' 7 \ Centrum, met een
/ \ ftraal gelyk aan de
/ \ lyn B ; en uit E,
C ~/ \ als Centrum , met
D^- ^E een ftraal gelyk aan
de lyn C, twee Cirkelboogen, die malkanderen in F fnyden; trek dan uit het fnypunt F, de lynen F D, F E, zo is D E F de begeerde Driehoek.
Want, de afftand DE der beide middelpunten, is kleinder als de fom der ftraaien B en C (Ax.6. 1.); en grooter als het verfchil derzelve ; dewyl A + B LT C zynde (Steil.), ADC — Bis (Ax. 6. 1.); derhalven fnyden de beide boogen malkanderen, en by gevolg is DE = A, DF = B, en EF=r=C (Def. 33. i.> PROBLEMA VII. (k)
Door een gegeeven punt (E) een regte lyn (AB) te trekken, parallel met een gegeeven regte lyn (CD).
Trek
(0 Eucl. aa. 1. B. (*) Eucl. 31. 1, B.



V-Boek. ( ?<s )
A 33 „AH -r Trek uit het gegeeven /"\ 1 punt E, op CÖ,delyn
ƒ \ ƒ EF, na welgevallen,
ƒ \ ƒ neem de wydte EF, en
/ V' zet dezelve, in de ge-
^ 3? g D geeven lyn CD, van F
„ , tot G; laat dan uit de
punten E enG, met de wydte FG, twee boogen befchreeven worden (Poft. 3.), welke malkanderen in H zullen fnyden; trek door de punten E en H de lyn AB deeze zal parallel met C D zyn. '
Als men de lyn EG trekt, zo is het klaar, dat de beide boogen malkanderen zullen fnyden , dewyl de fom van haare ftraaien ( — EF + FG) grooter als EG is (19.1.)- Derhalven, indien EHB, en GH getrokken worden, zal EF=FG=GH —HE (Ax O en dienvolgens AB parallel met CD zyn (22. i.).' PROBLEMA VIII. (I)
Op een gegeeven lyn (AB) een vierkant (ABCD) te befcbryven.
~ \ c Stel op de lyn A B, uit het eene
ju n^i--,- einde derzelve (A), een perpendi-
; culair AD (i.j.j), en maak dezelve gelyk AB. Befchryf uit de punten B en D, met A B (of A D) als ftraal, twee boogen (Poft. 3.), die malkanderen in C fnyden; en
I 1 trek C D en C B, dan zal het Vier-
kant gemaakt zyn. Want, dewyl, door de Conftnibïie, de vier zyden gelyk zyn, is de Figuur een Parallelogram (22. 1 )• en om dat de hoek A een regte hoek is (Conftrl), zullen de drie overige insgelyks regte hoeken (Cor. van 21.1.) èn ABCDeen Quadraat, of vierkant, zyn (Def. 26.1). S C H O L I U M. Op de zelfde wyze, kan men een Regthoek (Rettangulwn) befchryven, als deszelfs zyden gegeeven zyn
PRO-
(0 Eucl. 46. i. B.



( 77 ) V. Boek;
PROBLEMA IX. (m)
Een gegeeven lyn (AB) in een voorgefteld getal gelyke deelen te deelen.
_ ;p Trek van de einden der ^p^" gegeeven lyn AB, twee ;3yrJ^rl onbepaalde lynen AP, Xt^\ i ! B Q, parallel met malkan-
. ^ic b Ie It, deren (7.5.)l» neem in
-A-j j j T^P*** ieder van dezelve , zo veel ! I j^^raT gelyke afftanden AL ,
i j^m> LM, MN, NO; B«,
J^o «f»., mZ, /os, van eene
willekeurige lengte , als het getal der deelen , waar in AB zal gedeeld worden; vervolgens trek Li, Mm, N», fnydende AB in C, t), E, dat te doen was.
Want , nadien LM en lm gelyk en parallel zyn (Conftr.), zal DMpirallel met CL (23.x.)'" en °P de zelve wyze E Nparallel met DM zyn ; dewyl nu AL, LM, MN, &c. alle gelyk zyn (Conftr.), zullen AC, CD, DE, &c. ook gelyk zyn (Cor. r. van 24. 1.).
PROBLEMA X. («)
Tot twee gegeeven lynen (A B, B C) een derde evenredige te vinden.
' _ Q Trek , uit een
•A. j> j3f^ willekeurig punt
33 ——C i A,twee onbepaai-
cy ƒ de lynen AP, AQ;
>^T ; neem in dezelve
ƒ / A£ — A B , Ac
A^— ^ — t> =BC,enS'D —
4 jd r BC; trek ic, en maak DE parallel met 6^(7.5.), fnydende AQ in E; dan zal c E de begeerde derde evenredige zyn. Want» Aé(AB):Ac (B C) :: £D (B C) : cE [10.4.].
PRO-
(m) Eucl. 9. 6. B. (n) Eucl. 11. 6. B.



V.Boek. ( 78 )
PROBLEMA XI. (V)
Tot drie gegeeven lynen (AB, AC, BD) een vierde even* redige te vinden.
-a- 33 Q- Hebbende, als in het
-A- C voorgaande Problema,
H —J>cy^ f AP en AQ getrokken,
yf I zo laat daar in geno-
I ƒ men worden, Ab=:
y I i AB, Ac=AC , en
_< d P SD = BD; trek 5c,
en DE parallel met dezelve (7.5.)» fnydende AQ in E; dan is cE de begeerde vierde evenredige. Want, A5 (AB): Ac (AC) ::5D(BD):cE [10.4.].
PROBLEMA XII. (p)
Tujjchen twee gegeeven lynen (AB, B C) een Middenevenredige te vinden.
A x> In de onbepaalde lyn
AP, neem A5~AB,
-B C en 6C = BC;deelAC
j% in twee gelyke deelen in
y\ D (4.5O5 en laat uit D,
/ X als Centrum, met DA,
/ \ of D C, als ftraal, een
/ \ halven Cirkel befchree-
L -! f -L jp ven worden (Poft. 3.);
-a- 6 d C trek 6E perpendiculair
op AC (1.5.), fnydende den omtrek in E; dan zal b E de begeerde middenevenredige zvn. Want, Ah (AB):5E::5E: 5C (B C). [16.4,] PROBLEMA xiii. (3) 2&« gegeeven lyn (A B) z'rc JU'ee ace/en (A C, C B) te fnyden , die tot eikanderen de zelfde reden bebben, als twee gegeeven lynen (A D, D E).
Trek
(0) Eucl. 12. 6. B. (ƒ>) 13. 6. B. (jaj Eucl. 10. 6. B.



C 79 ) V.Boek.
A 1) Trek uit A de lyn AL,
^ maakende met AB een
willekeurige hoek BAL; a Pt? neem in dezelve Ad —
r ! AD, en de = DE; trek
ï I eB, en dC parallel met
Olj. | dezelve (7.5.), ontmoe-
I tende AB in C. Dan zal
AC:CB::Ad(AD):dtf Ij (DE) zyn [10.4.]. Dat te doen was.
PROBLEMA XIV. (r)
Een raaklyn tot een gegeeven Cirkel te trekken, door een gegeeven punt (A).
t B I B )
Geval I. ^Zx foï gegeeven punt in den omtrek is. Trek van het gegeeven punt A, tot het Centrum B, de ftraal A B, en laat CAD perpendiculair op A B getrokken worden (1.5.); dan zal dezelve den Cirkel in A raaken.
Want, als men uit een willekeurig punt, in de lyn CD, tot het Centrum B , de regte lyn FB trekt; zal dezelve grooter als AB zyn (20. 1.); derhalven moet het punt F noodwendig buiten den Cirkel vallen (Def. 33. en Ax. 1. i.), en by gevolg ook alle de punten' die men, behalven het punt A, in de lyn CD kan neemen. Dus is het openbaar, dat deeze lyn niets van
den
(r) Eucl. 17. 3. B.



V..BOEK. ( 8o )
den Cirkel affnydt; maar dezelve flagts in één punf raakt.
Geval II. Als bet gegeeven punt buiten den Omtrek is.
Trek van het gegeeven punt A, tot het Centrum B, de lyn AB, deel dezelve in twee gelyke deelen, in E (4.5.); en befchryf uit E als Centrum, met AE, of BE, als ftraal, een halven Cirkel (Poft. 3), fnydende de gegeeven Cirkel in C; vervolgenstrek ACD, welke de begeerde raaklyn zal zyn.
Want, trekkende BC, is ACB een regte hoek (7.3.), en dienvolgens ACD perpendiculair op B C, of een raaklyn des Cirkels (door Geval 1.).
PROBLEMA XV. (j)
Op een gegeeven regte lyn (AB) een Segment van een Cirkel (A D B) te befcbryven, hebbende een boek gelyk aan een gegeeven boek (P Q R).
V * ( """c"""" j
Trek Q N perpendiculair op Q R (1.5.); en maak de hoeken ABC, BAC ieder gelyk aan de hoek NOP (5.5.) , zynde het verfchil tuffchen de gegeevene , Ven een regte hoek. Befchryf dan uit het punt C, daar de lynen AC en BC malkanderen fnyden, met AC, of BC, als ftraal, een Cirkel, en het werk zal verricht zyn.
Want, de hoek D is — een regte hoek -f-BAC (0.3.) = NQR-f NQP (Conjir.) — PQR (Ax. 3.1.).
SCHO-
(O Eucl. 33. 3.B.



( 8i ) V.Boek.
SCHOLIÜM.
Het Problema kan nog op de zelfde wyze opgeloft worden, als de gegeevene hoek fcherp is; alleen met dit onderfcheid , dat de lynen AC, B C aan de andere zyde van A B moeten getrokken worden, als uit het Qde Theorema des derden Boeks openbaar is.
PROBLEMA XVI. (t) Om een gegeeven Driehoek (A B C) een Cirkel te befcbry*
ven.
~B Laat twee der zyden des
©Driehoeks, welke men begeert, A B en A C, elk in twee gelyC ke deelen gefneeden worden, door At perpendiculairs DF en E F (4.5.). Deeze perpendicu. lairs zullen malkandereu in F , het Centrum des begeerden Cirkels , fnyden.
S C H O L I U M.
Op dezelve wyze , kan den Omtrek eens Cirkels, door drie gegeeven punten , die ten eenemaal willekeurig zyn, als dezelve maar niet in een regte lyn ftaan, befchreeven worden; en men kan dus ook het Centrum eens Cirkels vinden, als een Segment des Cirkels gegeeven is.
PROBLEMA XVII. («) In een gegeeven Driehoek (A B C) een Cirkel te befchryven.
-g Laat twee van de hoe-
ken, welke men begeert, /\ A en C, elk in twee ge-
—\ lyke deelen gedeeld wor-
IyC A-^ den, door de lynen AD
A NEK )\ en CD (3.5.), die mal/ \."1 \ kanderen in I)ontmoeten; I y --\ maak DG perpendiculair op
k^~——-^Ur AC (2.5.) ; en befchryf
^ uit D als Centrum, met DG als
(t) Eucl. 5. 4. B. (w) Eucl. 4. 4. B.
[F]



V. Boek. ( 82 )
als ftraal, een Cirkel (Poft. 3.), deeze zal alle de zyden van den Driehoek raaken.
Want, laat DE en D F perpendiculair op AB en B C zyn 0-505 dan hebben de Driehoeken ADG, ADE wederzyds een hoek gelyk aan een hoek (Conftr.), en AD gemeen; derhalven zullen dezelve niet alleen gelykhoekig zyn (G>r. 1. van 10. i.), maar ookDG=: DE hebben (ij.i.): door de zelfde redeneering is ook DG = DF; derhalven gaat den omtrek des Cirkels door E en F (Def. 33. 1.); en om dat E en F regte hoeken zyn (Conftr.) raakt zy de zyden des Driehoeks ïn deeze punten (14.5.).
PROBLEMA XVIII. (v)
In een gegeeven Cirkel een Driehoek te befchryven, gelykhoekig met een gegeeven Driehoek (MNP).
/x (A%
■mA Ar"" j " y C
È
Trek, uit het Centrum D , de ftraaien DA, DE, DC,maakende de hoeken ADE en C D E ieder gelyk de hoekN(j.5.); voeg A en C te faamen, en maak de hoek AC B = P (5.5.). Trek uit het punt B, daar CB den Cirkel fnydt, de lyn BA; dan zal ABC de begeerde Driehoek zyn.
Want, ACB = P (Conftr.), B [ = A DE(4.3.)] =N (Conftr,); en by gevolg BAC=M (Cor. 1. van 10.1.).
PROBLEMA XIX. (w)
Om een gegeeven Cirkel een Driehoek te befchryven, gelykhoekig met een gegeeven Driehoek (HIK).
Ver-
(v) Eucl. 2. 4. B. (<vo) EucL 3. 4. B.



( 83 ) V.Boek; B
iTiL IM E ^
Verleng H K aan beide zyden | en trek de ftraaien DÉ, DF, DG, maakende de hoek EDF = LHI, en EDG = MKI (ï.5.); dan trek drie regte lynen, welke den Cirkel in de punten E,F, G raaken (i4-50> zo zal het begeerde verricht zyn.
Want, indien EF getrokken wordt, zullen de hoeken AFE en AE F kleinder als de twee regte hoeken AFD en AED zyn (Ax. 2. 1, en 14. 5.); endusAE, en AF , niet parallel zynde (Cor. 2. van 7. 1.), zullen malkanderen ontmoeten ; dewyl men nu op gelyke wyze , ten opzigte van EC en CG, enz., kan redeneeren, zo is het openbaar, dat de drie raaklynen een Driehoek ABC zullen maaken.
Vervolgens is E DG-f C=: twee regte hoeken (Cor: a.van 11. iO=HKI + MKI (li.), en EDG = M KI (Conftr.); dus zal ook C = H KI zyn: en, door de zelve redeneering, A = K HI; by gevolg ook B = I.
PROBLEMA XX. (*)
In een gegeeven Cirkel een Quadraat, of Vierkant, te befchryven. Tr£k
Cx) Eucl. 6. 4, B,
[Fa]



V. Boek. ( 84 )
B Trek twee Diameters
0A C en B Dperpendiculair tot inalkanderen (1.5.) 9 en laat AB, BC, CU, DA getrokken worden; dan zal AB CD een vieren kant zyn , dat in den Cirkel befchreeven is. Want, nadien de hoeken AOB,B OC,C OD, DOA, zo wel als de zyden om dezelve OA, ^ OB, OC, OD , gelyk
zyn (Ax. 7. 1O5 zullen de overftaande zyden AB, BC, CD, DA ook gelyk zyn (Ax. 10. i.l; en de hoeken ABC, BCD, CDA, DAB zyn alle regte hoeken (7.3.)» en derhalven gelyk (Ax 7.1.). S C H O L I U M. Indien twee andere Diameters ac, bd getrokken worden, welke de hoeken AOB , BOC in twee gelyke deelen fnyden (3.5.), kan men eeniregelmaatige Agthoek AaBJCcDd in den Cirkel befchryven. En, wanneer alle de hoeken in het Centrum O wederom in twee gelyke deelen gefneeden worden, kan men op gelyke wyze een regelmaatige Veelhoek van zeftien zyden bepaalen; en zo vervolgens, naar welgevallen.
PROBLEMA XXI. fj). Een gegeeven lyn (B F) zodanig in twee deelen te fnyden; dat bet vierkant van bet eene deel (H C), gelyk zy aan den regtboek onder bet andere deel (CF ), en een tweede gegeeven lyn (A B).
D Voeg AB en BF
—IK in een regte lyn te
y/^ / \ faamen, en laat tus-
/ I \ \ fchen dezelve een
f \ \ midden - evenredige
1/ l \ ■• \ \ B D gevonden wor-
V / \ \ \ den Oa-50» fnydt
1 / 1 I AB in twee gelyke
■AOB CF dee-
(y) Eucl. 11. 2. B, en 30. 6. B.



( 85 ) V.Boek*.
deelen in ü C4-5-); trek OD, en maak OCrrOD; dan zal O B C — □ C F. A13 zyn. Dat te doen was.
War.t, als door A en B, uit het Centrum O, den omtrek eens Cirkels befchreeven , en E C getrokken wordt, czullen de Driehoeken O CE, O DB, hebbende OE = O B, O C = O D (Conftr.), en de hoek E O B gemeen , in alle opzigten gelvk zyn (Ax. to. i.); en dewyl EC een raaklyn des Cirkels is, zal □ A C . B C [— □ C E (Cor. van 12. 3.) =□ B D ( i.2.)] =□ AB . üF (Cor. van 16. 4.) zyn; trekkende nu van ieder deezer gelyke grootheden, den €3 A B. B C, zal 'er overblyven □ BC=OAB.CF(A.j.i.).
COROLLARIUM.
Als AB = BF is, zal DB C = O BF. CF zyn, in welk geval de lyn B F gezegd wordt, in de uiterfte en middelfte reden gedeeld te zyn.
PROBLEMA XXII. (z) In een gegeeven Cirkel eene regelmaatige Vyf boek (A B C D E) te befchryven.
A_ Trek uit het Centrum O,
^^yW^~\ op den Diameter N P, de
/ / I y\\ perpendiculair O A(1.5.)9 /yA \ \ n^X ontmoetende den omtrek ■p. 1/ j \ ^A-d in A; deel OP in G; zo -
h \ fr' danig, dat □ OG^D
m-Y"-^öGrtF GP.OP zy (21.50; d*t
\\ // en FG= de afftand FA.
\\ 1/ Vervolgenstrek AG, wel-
-D V. ^ C jje een zyde des Vyfhoeks
zal zyn (18. 3. en 6. 2.). Zet dan AG, uit A, in E en B; uit E in D; en uit D of B in C, en trek de punten met lynen te faamen,zo is ABC DE de begeerde Vyf hoek.
S C H O L I U M. Hier door kan men ook eene regelmatige Tienhoek in den Cirkel befchryven , dewyl O G daar van een zyde zal zyn (18. 3.)» *
PRO-
(z) Eucl. 11. 4.B.
[F 3]



V.BoeK. ( 86 }
PROBLEMA XXIII. (a)
In een gegeeven Cirkel een regelmaatige zeshoek (ABCD EF) te befchryven.
A ,— - B Trek den Diameter F C,
yff^T /V en maak FA, FE, CB, // 'V^Nw / Y\ CD ieder gelyk aan de // \ /JnQ V\ ftraal F O; dan voeg A, •ü / >$ / ^\\\ ^' e" E, D te faamen,
* kOf -j^C zo is ABC DE F de be-
\\ ƒ \ /] geerde Zeshoek. \\ / J\ // Want, indien de ftraa\\ *yf, \ // len OA,OB, OD, OE J^<^r J^jy getrokken worden , zul* „—TT len de Driehoeken FOA
en £™ P ykzyd'g zy" (Conftr.), en de hoek OFA ==COB hebben O4.1/); dernalven is FA parallelten gelyk, aan O B (Cor. van 8. i.); en by gevolg zyn AB en F O ook gelyk en parallel (23.1.). Derhalven, aangezien de Driehoeken FOA, AOB, BOC, &c. gelykzydig, en in alle opzigten gelyk zyn, zullen niet alleen de zyden; maar ook de hoeken FAB, ABC, BCD, &c. des Zeshoeks, onder malkanderen gelyk zyn (Ax. 4. 1.).
COROLLARIUM.
Hier uit blykt, dat de zyde van een regelmaatige Zeshoek, in een Cirkel befchreeven, gelyk is aan de halve Diameter, of ftraal. En trekkende AE, AC, EC, zal AEC een gelykzydige Driehoek zyn, die in den Cirkel kan befchreeven worden,
S C H O L I U M.
Behalven de Figuuren, welke wy, in de voorgaande Problemata, in Cirkelen hebben leeren befchryven , en die, welke door geduurige deelingen, of door het verfchil te zoeken, voortkomen, kan, enkel door Lynen en Cirkelen , volgens een zuivere Meetkundige
Leer-
(a) Eucl. 15. 4. B,



( 87 ) V.Boek.
Leerwyze, tot nog toe bekend, geene andere regelmaa. tige Veelhoek befchreeven worden.
PROBLEMA XXIV. (b)
Om een gegeeven Cirkel een regelmaatige Veelhoek te befchryven, van het zelfde getal zyden, als eene regelmaatige Veelhoek (ABC DE F; in den Cirkel bej'ebreeven.
j± t Trek uit het Centrum
'•■ de ingefchreeven Veel-
"Sfff \ 7KB hoek, de ftraaien O A,
/"•••-.. j ...-••'* V OB, OC, &c. , en / Ó.Wit- perpendiculair op de-
G( ;:•;<. /K zelve de lynen M A L ,
\ • ! / LBK, KCI, &c.
3L< i ""Vc O-JOj fnydende malv\ I /fff kanderen in M,L, K,
V^^U^/V i, h, G; dan zal G H
IIv ^jff 1 IKLM de begeerde
Veelhoek zyn. Want, als men van de gelyke (regte) hoeken O AM, O AL, OBL, O BK, &c. de gelyke hoeken (Suil.) O AF O AB, O BA, OBC, &c. aftrekt, zullen de overblyvende hoeken FAM, BAL , A B L , C B K, &c. ook gelyk zyn (Ax. 5. i > Dewyl dan de Driehoeken FAM, ABL, BC K, &c. de zyde FA-AB (Steil )=-BC, &c. hebben, zyn dezelve in alle opzigten gelyk (iS*)i en duszuMe^de hoeken M L, K &c. , zo wel als de zyden ML, L K, KI, etc. onder malkanderen gelyk zyn (Ax. 4. li).
PROBLEMA XXV.
In een gegeeven Driehoek (ABC) een Quadraat, of Vierkant , te befchryven. ^
(V) Eucl. 12. 4. B.
[F4]



V-Boek; ( 88 )
Vr E JD E j£
Geval. I. Als den Driehoek regtboekig is.
Maak op AB het vierkant ABE D (8.5.), en trek den Diagonaal B D , welke de Hypothenufa A C in F fnydt; trek uit F de lynen FG, FH perpendiculair op AB en BE (2.5.), zo is GBHF het begeerde Vierkant.
Want, nadien de Driehoeken BHF, BGF gelvk hoekig zyn met de Driehoeken BED, BAD (7.1. en Conjtr.) ,die te faamen een Vierkant uitmaaken CConltr ~) zyn de Driehoeken BHF, B GF ook te faamen een Vierkant (23.4.)» dat in den Driehoek ABC befchreeven is.
Geval II. Ah den Driehoek fcherp-, of flomphoekig is, of dat men het Vierkant op de Hypothenufa, van een regthoekige Driehoek, begeert te Jlelkn.
Befchryf op een der zyden van de gegeevene Driehoek ABC, welke in een ftomphoekige Driehoek noodzaakelyk de langfte zyde moet zyn, een Vierkant ABED(8.j.), laat door C op A B een perpendiculair FG getrokken worden (2.1.); trek uit G de Diagonaalen GD, GE, fnydende AC en BC in H en 1: laat uit H en I de perpendiculairs HK en IL op A B getrokken worden C&dO.» en trek de lyn Hl, zo is KLIH het begeerde Vierkant.
Want,de Driehoek GKH is gelykhoekig metGAD GLI met GBE, en GHI met G DE C7.1.). Dewyl nu de Driehoeken GAD, GDE, GBËte faamen een Vierkant uitmaaken, zyn ook de Driehoeken GKH GHI, GLI te faamen een Vierkant (23.4.), dat in den Driehoek ABC befchreeven ig,
AN-
/



( 89)
V.BOEK.
ANDERS.
£ Laat uit een willekeu.
s\ rig puntH, in een derbee-
/ \ nen , de perpendiculair Hl,
~%f- Vl? op de Bafis AB, getrok-
"H/T" "V;.v-"1 KV ken worden (a.5.); maak /.):■ ■' I | \ H K perpendiculair op HI yf-"' : j I \ C2-50> en gelyk aan de-
J^- jj5—i, (J zelve; laat AKD getrok-
ken worden, ontmoetende B C in D ; vervolgens trek E D parallel met AB (7.5.), enEF, DG perpendiculair op AB (2.5.); dan is FG DE een Vierkant, dat in den Driehoek ABC befchreeven is.
Want, als KL parallel met DG getrokken wordt, dan is K L (H F;: D G (:: A K: A D) :: H K: E D (10.4.). Dewyl nu III en H K gelyk zyn (Conftr.), zo volgt, dat DG en ED ook gelyk zullen zyn (Ax. 4. 4.).
S C H O L I U M.
Door de zelfde Leerwyze kan een regthoek , waar van de zyden in een gegeeven reden zyn, in een Driehoek befchreeven worden; want, indien, volgens de eerfte wyze, AB en BE; en, volgens de tweede wyze, HI en H K, in plaats van gelyk te zyn, in de gegeeven reden genomen worden , zal het overige der ConftruEtien, in alle deelen, met de voorgaande overkomen.
PROBLEMA XXVI.
Een gegeeven lyn (A B) zodanig in twee deelen te fnyden-, dat het Vierkant des grootften deels (C B), bet dubbeld zy van den regtboek onder de geheele lyn (A B, en bet kleinfte deel (AC).
y -^E Verleng de gegeeven lyn
/ •••• ^\ AB na welgevallen, en maak
/ V\ BD —AB; befchryf uit B
/ ,..••*'"' V\\ als Centrum, met AB, of
ƒ \ \\ BD, als ftraal, denhalven
'J£ tï H Cirkel AED; ftel de leng-
D C te van AB, of BD, uit A
[ F 5 ] tot



V.BOEK. (9G)
tot in den omtrek in E, en trek DE; befchryf uit D, als Centrum, met DE als ftraal, de boog EC, fnydende de gegeeven lyn AB in C; dan zal QBC = 2 OAB.AC zyn.
Want, trekkende AE, is □ AD [=r4ÜAB (Cor. ï. van 4.a.)] = ÜDE+D AE [□ AB(G»«/Zf.)](7.3. ««6.2.); derhalven 3ÜAB = DDE (A t.i): maar □ DC [DDE (Conftr.)'] is zzrDOB [DAB (Conftr. en Cor. 2. van 4. 2.)] + □ B C-f-2d J iJ. B C [cd AB.BC (Conftr.)]; by gevolg 3□ A B = □ A B + □ BC-h2IZlAB.BC (Ax. 1. 1.), of aDAB=±D»C ■f- 2 □ A B. B C ( Ax. 5. 1.) — ad AB.BC + arZJ AB.AC (Cor. 3. van 4. 2.); trekkende nu van ieder deezer gelyke grootheden 2DAB.BC, zal 'er overblyven □ BC = 2!Z1AB.AC (Ax. 5. 1.). Dat beweezen moeft worden.
PROBLEMA XXVII.
In een gegeeven Vierkant (AB C D) een gelykzydige Drieboek te befchryven.
E _A_ G; B
Deel de lyn AB in G; zodanig, dat □AG=2fZl AB.BG zy (26.5.); dat is, verleng AB, en neem EA = AB; befchryf uit A als Centrum met AB als ftraal? den halven Cirkel EDFB; maak BF —AB, en trek EF; befchryf uit E als Centrum, met EF als ftraal, de boogFG, fnydende AB in G. Laat uit C door F de lyn CH getrokken worden , ontmoetende
AD



( 91 ) V.Boëk» AD in H, en voeg de punten C enG, als mede H en G te faamen, dan is CHG de begeerde Driehoek.
Want, als men van de gelyke lynen AB en AD, BG = DH (Conftr.') aftrekt, zal 'er AG = AH overblyven (Ax. 5. 1.). Nu is □AG = 2QAB.BG (26.5.), waar by vergaarende DAH=rDAG, heeft men DAG+DAH [ = GHG(6.i.)] =20AB. BG[=aüAG.GB + 2ÜBG (Cor. 3. van 4.2.)] -f DAG (Ax. 4.1.).
Wederom, DGC-OBC (=□ AB)+DBG (6.2.); en □ AB=r2fZlAG . GB-f DAG + DBG (4.2.); derhalven DGC = 2DAB . BG+aDBG + DAG (Ax. 1. 1.) Op dezelfde wyze kan becoogd worden, dat D H C = 2 □ AB.B G + a O BG + □ AG is.
By gevolg is □HG = DGC = nHC (Ax. 1. 1.), en dus ook HG=GC = HC (Cor. 2. van 4.2.); derhalven is G H C de begeerde gelykzydige Driehoek , die in het Vierkant ABCü befchreeven is.
Einde van btt Vyfde Boek.
GR.ON-



GRONDEN
DER
MEETKUNST.
ZESDE BOEK.
PROBLEMA L
/'?en Vierkant te maaken, gelyk aan een eegeeven Rest* <* boek (ABCD). S
—^r^x \,
D' ; 'c
Verleng; een der zyden AB van den Regthoek, en maak BE gelyk de andere zyde BC; fnydt AE in twee gelyke deelen in O (4.5.) , en laat uit O als Centrum, met de afftand van OA, of OE, een halven Cirkel AFE befchreeven, en CB tot aan den omtrek in F verlengd worden. Vervolgens befohryf op BF een Vierkant BFGH (8.j0> en het zelve zal aan de gegeeven Regthoek AB CD gelyk zyn (16.4.).
PROBLEMA II.
Een Vierkant te maaken, gelyk aan de Som van twee gegeeven Vierkanten.
Laat



( 93 ) VI. Boeit,
IS" Laat P en Q de zyden der _________ gegeeven Vierkanten zyn.
" / D Trek de onbepaalde lynen
q / B L, B N , regthoekig tot
/ malkanderen (1.5.); neem
JA ■ / C daar in BA — P, BC = Q,
// en trek AC; dan zal het vier/f kant , op AC befchreeven
/ (8.5.),gelyk zyn aan de Som
/ f der beide Vierkanten, die op
/ / I AB en BC kunnen befchree-
Ii _A_ E -B ven worden (6.2.).
S C H O L I U M.
Op de zelfde wyze kan een Vierkant, gelyk aan de Som van drie, of meer, gegeeven Vierkanten, gemaakt worden. Want, indien P, Q, R voor de zyden der gegeeven Vierkanten genomen worden , dan is het blykbaar, dat, als men BD_=AC, BE__R maakt, en ED getrokken wordt, dat, zeggen we, het Vierkant op E D sjelyk zal zyn aan de Som der drie Vierkanten, op P, Q, R; of dat DE D__D BDfDAC) + ö BE __ het □ op P + hetDop Q 4- het □ op R is.
PROBLEMA III.
Een Vierkant te maaken, dat aan bet verfchil van twee gegeeven Vierkanten gelyk is,
J3 Laat A C en A B , in de
y "^Sw zelfde regte lyn genomen ,
/ f! n. aan de zyden der twee ge-
/ f { \ geeven Vierkanten gelyk
/ / | \ zyn.
jr ƒ ! \ Laat uit A als Centrum,
» —-j» q met AC als ftraal, een Cir-
kei befchreeven worden, en trek BD perpendiculair op AB (1.5O » ontmoetende den omtrek des Cirkelsin D; dan zal het Vierkant,op BD befchreeven (8 jO> aan □ AD (□ AC)—DAB gelyk zyn (Cor. van 6. 2.).
PRO-



VI.Boék. ( 94 )
PROBLEMA IV.
Een 'Driehoek gelyk aan een gegeeven vierzydige Figuur (A B C D) te maaken.
C Trek den Diagonaal A C, als ook DE parallel met /\ yA/' \ AC (7.50? ontmoetende y 1/ / \ het verlengde van BA in //] / \ E ; en voeg C, E te faa1 /' \ inen; dan zal den Driehoek *r !■■' \ ECB gelyk aan de gegeeld 4. _J vene vierzydige Figuur A BCDzyn.
Want i de Driehoeken ACE, ACD, ftaande op den zelfden Bafis A C, en tuffchen de zelfde parallele lynen AC en E D, zyn aan malkanderen gelyk (Cor. 1. van 2. 2.); derhalven, wanneer men de gemeeneDriehoek A B C by deeze gelyke grootheden vergaart, zal den Driehoek ECB-: de vierzydige Figuur ABCD zyn Ax. 4. 1.).
PROBLEMA V.
Een Driehoek te maaken, die gelyk is aan een gegeeven Vyf boek (ABC DE).
Trek de Diagonaalen DA en DB, als ook EF en CG ^-^7^^. parallel met dezelve (7.j.),
E .S/ j VVS C ontmoetende A B, aan beide 'f\f' j \f\J'\ einden verlengd zynde, in F i/ \ ƒ \ /SX en G; vervolgens laat D F en
1/ v '••■/ \. DG getrokken worden; zo
DF A B G; zal den Driehoek D F G=de Vyf hoek A B C D E zyn.
Want, den Driehoek DFAis__DEA (Cor. 1.van S. 2.), en DGB = DCB (Cor. ï.van 2.2.); derhalven D F G (__D FA + DAB + DGB = DEA + DAB + DCB) —ABCDE (Ax. 4. f.>
PRO-



( 95 ) VI. BoeS.
PROBLEMA VI. (e).
Op een gegeeven lyn (P Q) een Regtboek te maaken, gelyk aan een gegeeven Driehoek (A B C).
G IL _ Trek door Bs
; I j den top desDrie-
P ! hoeks , de lyn
i _X I DE parallel met
15 i"^v-;X 'E den £o/zr A C
/\ \ ! \ I C7-5-); en deel /'"^ j \ j \ j den Bafis AC,
j \j *'■••.! door den perpen-
Q A. I1 CK diculair FG, in
twee gelyke deelen c4.5.), ontmoetende DE in D; trek ook CH perpendiculair op AC (i.j ) , fnydende DE in I; dan neem in AC , na gevallen verlengd zynde, CK=: PQ, en trek KIG, fnydende FG in G; trek G L en KL, parallel met AK en FG (7 5.)?ontmoetende malkanderen in L; zo zal IE L H den begeerden Regthoek zyn.
Want het is blykbaar , dat FI, IL, en FL alle Regthoeken zyn (Cor. van 21. i."): derhalven IE —=
CK C2i.iO==PQCO»B/2r.),en □IL==nFIC3.aO :__den Driehoek AfJC (Cor, 2. van 2. 2.).
ANDERS.
B Laat uit den
If G tophoek B , op
y^ \ de Bafis A C ,
\ de perpendicu-
1 \ I j lair BD ge-
D C E -*1 trokken wor¬
den (2.5.):
maak EFrrrPQ, en trek daar op de perpendiculair EH C1.5.) •> gelyk aan een vierde-evenredige tot 2EF, AC, en BD (11.5.); dan zal de Regthoek, begree* pen onder £ F en EH , aan den Driehoek ABC gelyk zyn.
Want,
(O Eucl. 44. 1. B.



VI. Boek. ( 96 )
Want, nademaal, door de ConjiruSlie, 2EF- AC" BD: EH is, zullen ook 2□ EF. EH—;□ AC . BD (y.4.), en by gevolg □ E F. EH — i □ AC. B D — den Driehoek ABC zyn (Cor. 2. van 2. 2.).
SCHOLIUM.
Door ieder van deeze twee Leerwyzen, kan een Parallelogram, hebbende een gegeeven hoek, op een gegeeven lyn,gelyk aan een gegeeven Driehoek befchreeven worden. Want, in plaats dat KCH, KFG, of CDB, FEH regte hoeken zyn, maakt men die alle gelyk aan den gegeeven hoek. Verder is het overige der Conjlruiïie als vooren.
PROBLEMA VII. (<j).
Op een gegeeven lyn (A B) een Regtboek te befchryven, gelyk aan een gegeeven regtlynige Figuur (NOPQ).
JE 1T Laat de gegee-
V P I 1 ven Figuur in Drie-
D C hoeken NOP,
| I N Q P verdeeld
3ST" O A £ worden , en be-
fchryf op de ge-
geeven lyn AB, door het voorgaande Problema, een Regthoek ABCD, gelyk aan den Driehoek NOP,- laat ook op DC den Regthoek DC FE gelyk den Driehoek NQP gemaakt worden: zo zal ABFË, dat een Regthoek is, om dat ADE, en BCF beide regte lynen zyn (2.1.3, — den Driehoek NOP + NQP (Ax. 3. en 4. 1.) __ N O P Q zyn. Dat te doen was.
S C H O L I U M.
Als de gegeeven Figuur niet meer als vyf zyden heeft, is het gemakkelyker eerft een Driehoek gelyk aan dezelve te vinden (door Prob. 4. 0/5.), en vervolgens een Regthoek gelyk aan dien Driehoek te maaken.
» Maar
(d) Eucl. 4j. 1. B.



( 9? ) VLBoek.
Maar indien de Figuur een Regthoek is, zal de gemakkelvkfte weg van allen zyn,tot de gegeeven lyn AB, en de beide zyden NO,NQ van den gegeeven Regthoek, el vierde-evenredige AE te vinden (n-sO5 welke vierde-evenredige de hoogte van den begeerden Regthoek zal zyn. Want, dewyl AB:NO: :NQ. A E is (Conftr.), zo is derhalven r_AB.Ab== —NO.NQ (940-
PROBLEMA VIII.
Een Regtboek te befchryven, gelyk aan de Som, of het verfchil , van twee regtlynige Figuuren.
33 Laat L , en ABC
-p /\ Q. de twee gegeeven Fi-
r -/ \—I' guuren zyn.
" V D / V~E Maak, volgens het
-*- \ / \ voorgaande Problemd *
Ij \A^ ° den Regthoek AE ge-
A lyk den Driehoek
I ABC, en aan beide
"F G zyden van AC, den
Regthoek AG gelyk de Figuur L} dan zal den Regthoek DG gelyk de Som , en den Regthoek FE gelyk het verfchil, der beide Figuuren, zyn(Ax. a. en 5.1.).
COROLLARIUM.
Hier door worden twee lynen, die, met twee gegeeven regtlynige Figuuren, de zelfde reden hebban bepaald. Want, AD:AF::OAE (üneh. ABC):Q AG (7.4O LLJ-
PROBLEMA IX. (O
Een Vierkant te maaken, gelyk aan een gegeeven regtlynige Figuur (A B C D E).
(O Eucl. 14. 1. B.



VI. Boek. C 98 ) d
E( ^\ Befchryf op A B een
\ \r Regthoek AF, gelyk
\ aan de gegeeven Fi-
A /b guur A B C d E (7.6.);
I 1 T7 maak een Vierkant
l / BG gelyk aan dien
\ / Regthoek (1.6.) Dan
\ / zal bet begeerde verricht
SCHOLIUM.
tnSP de "Ifde ^ kan (d0°r Problema 8.) een Vier&ant, gelyk aan de Som, of het verfchil, van twee ge. geeven regtlynige Figuuren befchreeven worden S
PROBLEMA X.
Een2ïZr,(FGmK> teb*fcbryven, gelyk en gelykvormig met een gegeeven regtlynige Figuur QA B C D E).
— j_. GV —^
Trek de Diagonaalen AC, AD, en maak FG = dnhr?,GFH = BAC, HFI_-CAD, en ir k__d AE (5.5.); vangelyken, maakFH__AC en FI—rAD; eindelyk trekGH, Hl, IK, en KF zo zal bet begeerde verricht zyn.
Want, dewyl den Driehoek FGH__ ABC (Ax. 10. 1.), FHI = ACD, &c. is, zo is ook den geheelen Veelhoek FGHIK gelyk aan-den geheelen Veelhoek ABCDE (Ax. 4. 1.).
Na-



( #3 ) VLBoeK.'
Nadien nu deeze gelyke Driehoeken ook wederzyds haare hoeken aan malkanderen gelyk hebben (Ax.io. i.), zo is openbaar, dat ook G = B, GHI_=BCD$ HIK=CDE, en zo vervolgens, is (Ax. 4. 1.); derhalven , aangezien FG = A B, G H~BjC , Hl _CD, &c. is (Ax. 10. l.% zullen de beide Veelhoeken ABC DE, FGHIK gelykvormig zyn (Def» 14. 4.).
S C H O L I U M.
De Figuur FGHIK kan nog op een andere wyze faamengefteld worden, als men de Driehoeken FGH , FHI, &c. wederzyds haare zyden gelyk maakt, met die van ABC, ACD, &c. als uit 14.1. en Ax. 4. blykbaar is.
PROBLEMA XI. (ff,
Op een gegeeven lyn (A B) een Figuur f ABC DE) te bef fcbryven, gelykvormig met een gegeeven regtlynige Fi» guur (PQRST).
S
p r q A b
Trek de Diagonaalen PR en PS, en neem inPQ* die, zo het noodig is, verlengd mag worden, P _== AB : trek ar parallel met QR(7.5.), ontmoetende PR in r • oü de zelve wyze trek nenU, parallel met K b en S T (7.50 , fnydende P S en P T in * en t, danbe-
*



VI. BoeK. (■ ioo )
opAÜ, door het voorgaande Problema, een Veelhoek gelyk en gelykvormig met Pqrst; zo zal bet begeerde verricht zyn.
Want, nadien een hoek BCD (qrs) van de Veel. hoek ABC DE, gelyk is aan zyne overeenkomftige hoek QRS (Cor. i. van 7. \.), en dusCBC?r):CD 00::RQ:RS (18.4.), zo zyn derhalven de beide Veelhoeken ABCDE, PQRST aan malkanderen selyk (Def. 14. 4.).
S C H O L I U M.
Dit laatfte Problema kan nog op een andere wyze opgeloft worden , als men de Driehoeken ABC, ACD, ADE wederzyds gelykhoekig maakt aan de Driehoeken PQR, PRS, PST.
Want, vermits dan de hoek BCD = QRS, CDE = RST, &c. zal zyn (Ax. 4. 1.% en dus BC:OR C:: AC:PR);:CD:RS, &c. (11.4.), zullen de beide Veelhoeken ook gelykvormig aan malkanderen zyn (Def. 14. 4.).
PROBLEMA XII.
Een Figuur te befchryven, gelykvormig aan een gegeeven regtlynige Figuur (ABCDE) welke tot dezelve in een gegeeven reden, van een regte lyn tot een ander, zal zyn.
D Neem in AB, of, zo
✓<r"~\^^ het noodig is, in zyn ver-
j&dfi- ^"--^ C lengde > A m tot A B in de //; \ gegeeven reden, van de
•E \ X f 7\ \ Figuur, die befchreeven
dX i \ \ moet worden, tot de ge-
\ / \ \ geeven Figuur (ic.j.) ;
\ / \ \ en in de zelfde lyn A B,
\/t \ \ neem Aa gelyk aan een -A g B midden ■ evenredige tus-
fchen Am en AB (12.5.). Laat hier op, door bet voorgaande Problema, de Figuur Aabcd, gelykvormig aan ABCDE, befchreeven worden , zo zal bet begeerde verricht zyn.
Want



( ïoi ) VI. Boek.
Want, dewyl A?n:Aa::Aa:AB is (Conjtr.); zo is derhalven A?»:AB :: Aabcd:ABCDE (7,19 en 23. 4.).
PROBLEMA XIII. (g)
Een Figuur te befchryven, gelyk aan een gegeeven regtlynige Figuur (ff) en gelykvormig aan een andere (ABC D).
C
__^-« D.—
) \ M\^- -V^B
Gl 1 'JE
Maak op A B den Regthoek ABEF=ABCD (7.6.), en op AF den Regthoek A FGH=Q (7 6.); in A B neem AI gelyk aan een midden-evenredige tusfchen AB en AH (12.5.); en laat op A I de Figuur AIKL gelykvormig aan ABCD befchreeven worden (11.6.), zo zal het begeerde verricht zyn.
Want, ABCD [□ AE] : Q [□ AG] ::AB:AH (74.)::ABCD: AIKL (23.4.)^ derhalven AIKL = Q (4*. 4- 4->.
PROBLEMA XIV.
Een Figuur te befchryven, gelykvormig aan een gegeeven regtlynige Figuur (ABCD), welke, tot een ander gegeeven regtlynige Figuur (Q), in een gegeeven reden, van een regte lyn (S) tot een ander (R) zal zyn.
Maak
(g) Eucl. aj. 6. B.
[G33



VI. Boek. ( j02 j
ï> ,C
r"\ X./ ;,■„
I l_i 3NT H A/•••••" I
.s.—
—C (i F E
Maak den Regthoek ABEF=-ABCD (7 6 , en den Regthoek A F G H = Q C7.6.); neem, i„ het'verlengde van A H, A N= een vierde evenredige tot R, S1 en AH (12.5.); vervolgens maak, door bet voorgaande froblema, AIKL gelykvormig aan ABCD, en gelvk aan den Regthoek van AF en AN: dan zal AIKL (□ AF. AN):Q(IZ3AF.AH) :: AN:AH (7 ^ ;: S: R zyn (Conjlr.). Dat te doen was. ' ' '
Einde van bet Zesde Boek.
GRON-



GRONDEN
DER
MEETKUNST.
ZEVENDE BOEK.
BEPAALINGEN. (Definitiones).
ï.T?En regte lyn wordt gezegd perpendiculair op een IZj vlak te ftaan, als dezelve perpendiculair is, ©p alle de regte lynen, die uit het punt, waar op dezelve fteunt, in dat vlak kunnen getrokken worden.
2. Een Vlak wordt gezegd perpendiculair op een ander Vlak te zyn, als alle de regte lynen , die in het eene, perpendiculair tot de gemeene fneede, getrokken worden , perpendiculair op het andere zyn.
3. Parallele , of evenwydige, Vlakken zyn, die overal even ver van malkanderen ftaan.
4 Een Lighaam (Solidum) heeft lengte, breedte, en
dikte (zie Def. 4. 1. Boek.). 5. Gelykvormige Lighaamen zyn zulke, die door een
gelyk getal gelykvormige Vlakken bepaald zyn.
If^jÉ 6. Een Prisma, of kantige Zuil, is een
| lil , Lighaam, waar van de vlakken der
I A 11 zyden Parallelogrammen, en de beide
I 11 einden, of overftaande Bajes, platte
II regtlynige figuuren, en parallel met
jij j|||P malkanderen, zyn, als A,
£ G 4 ] 7' Een



VII. Boek. ( 104 )
/1S^MÏ_25£|j 7- Een Parallelepipedum, of
/ i B jéJÊ °a!k, is een lighaam, be-
ÉilllPWWilW door zes p^allelo.
I 'ril f I ! 1111S 1111 Wammen, waar van de o-
I 1 lll ftP Él SSIP verftaande parallel, ge]yk,
llMIIBlll deS!yzyn0m?
8. Eer, regt Prisma is een Lighaam , waar van de
Sflaan.r ^ ^mdM °P & vS vïn den
É. 9' .Een hoekig Parallelepipedum Slil ^ ffn Llg{iaam , waar van de 1 vlakken der zy^en alle RegthoepF 10. Als de Vlakken der zyden alle rallelepipedum een Cafoo-, of Teerhng , genoemd , als G. ^~ ii. Een Piramide, of Naald,
Ik " een Lighaam , wiens /?a-
|.m /»f een regtlynige platte Fi-
Êmtök f"Hr' en welkers zyden
|M4 driehoeken zyn, hebbende
I 3« üLle hwnne t0P-Punten in
/ i WÊk ■ püm> boven den Bafis,
WÊmjMk vereemgd ; welk punt den
/ - ' \ t0P Piramide genoemd
Uil a n wordt. Dus verbeeldt ABC
jijt. DE een Piramide, waarvan
mmÊmËmr A den.f°P, en BCDE den
-d c bafis is.
ClBft^ Len Cylinder, of Rol, (DCcrf) is PT I I 1 Ll^aam» ~t begreepen wordt
J | i voort te komen ,door de omwenteling; van een Regthoek A C D B, om een van II' f-yne zyden A B, die men Gnderftelt m ruit te zyn; en deeze niet bewee-
LJB i Zyde AB wordt: de Axis, of ^Ijjlgll^ As, vaa den Cylinder genoemd.
^ I3« Een



( io5 ) Vil. Boek»
"V 13. Een Conus, of Kegel, (ACc) is
A een Lighaam, dat begreepen wordt
/ Ik voort te komen, door de omwente-
/ ISk van een re§lnoekige Driehoek
II f ik ABC, om één van zyne regthoeks-
/ lllv zVden AB' die men de ^xiSy of
As' van den C°ms noemt'
U. Een Spbcera, Qlobus, Kogel, of Kloot, is een regelmaatig Lishaam, in wiens buitenvlak, alle punten even ver "van het middelpunt ftaan; en wordt begreepen voort te komen, door de omwenteling van een halven Cirkel, om zynen Diameter.
C C 15. Een afgekorte Pira-
;■■ A mide, of Conus, is het
;"\ l\ deel(ADBEFG),dat
; \ ƒ • 'er overblyft , als één
3?Ef&kB deel, het naaft aan den
Irwk l^lil top, door een vlak, j>a>
// lf\ ff IHm raZW met den fia/ïr, af-
n win l---WÈk gefneeden zynde, van
.A l^----llP-B Af^'-"-jllSpIJ de geheele Piramide,
•A-sr |pjr x—WW • 0f Conus , afgenomen
wordt.
iö. Ieder regthoekig Parallelepipedum wordt gezegd ,
onder drie regte lynen begreepen te zyn, die men
lengte, breedte, en hoogte noemt. 17. Een Vlak wordt gezegd door een regte lyn te gaan,
als ieder deel der laatfte in het eerfte geplaatft is s of
door hetzelve wordt aangeraakt.
AXIOMA.
Alle regte Prisma's (Aa&cCBA, Dde/FED),van de zelfde hoogte, die op gelyke en gelykvormige Bafss (ABC, DEF) ftaan, zyn aan malkanderen gelyk.
[ G s 3



VU. Boek. ( r06
A 1— f C D IN-, 7P
#J?? %farblykeWMd van dit Axioma i» M&r mttefteUen zo laat begreepen worden, dat eene regtlynige platte Figuur NPQ, ,» ai/, 0/>z/^B ^ « * tytaorazg *,» de Bafes ABC, DEF Ier beide Prisma's gemaakt wordt; vervolgens verbeelde men zich, dat op de. zelve de Prisma s, het eene na het andere, geplaatft worden zo dat haare Bafes op dezelve paffen.' Dewyl dan de vlakken der zyden, in de beide gevallen, perpendiculair op bet P'lak van den Bafis, op de'zelfde lynen, NP PQ QU Jlaan, en tot de zelfde hoogte gebragt zyn, zo 'is bet openbaar dat de einden der beide Lighaamen, als zy dus geplaatft worden, de zelfde Stelling zlllen bebben ,en dat, by gevolg, de Lighaamen zelve, vervullende naar vervols de zelfde ruimte, ook aan malkanderen gelyk zyn. THEOREMA I. (jf)
De gemeene fneede van twee Vlakken CAB. CD") is een regte lyn. 3 '
C ^i Want, laat tuffchen de bei-
h<E-rfrfliffI eerfte punten E, F der 11 iiwCfi i P gemeene fnyding, een regte
^|WSi,i{iiP&; ^WB dan is dezelve in het Vlak AB IWlnpBËMiiïFli: W-6. i.), en dus ook in
I I?!,: het Vlak C D (Ax. 8. iBy
ppw >^ gevolg is de lyn EF de gejv meene fneede der beide Vlakken.
. THEO.
(b) Eucl. 3. ii. B. ~ "*



( ) VII.Boek.
THEOREMA II. (*)
Als een regte lyn (AB) perpendiculair op twee andere regte lynen (C E, DF)ftaat, die malkanderen m een vunt (A) Jnydtn, zal dezelve ook perpendiculair of bet Vlak (C D E F) zyn, dat door deeze beide lynen gaat.
C Neem AC, AD, AE, AF
lppiEIF2g| aue gelyk aan malkanderen; ^llBBfl voegC,D;D,E;E,F;C,Fte ^^ggpipgggs faamen, en laat, door A, in ^^jjjjifli het Vlak CDEF, naar welgeGlllilllllEfe-u. vallen een regte lyn GH geHBlllSillli trokken worden , ontmoetende WÊÈÊÊÈÊiÊÈÊÈ c F en D E in G en H; vervolÖIIIlHlli gens laat B, C j B, G; B, F; B9 D; gCl^BEI B , H; en B, E faamengevoegd f " ^^^-f worden.
Dewyl, door de Conjlruêlie , AC — A E = AD = AF, en de hoek CAF = DAE is (3.1.), ™> is dohalven CF=DE (Ax. 10. 10, en de hoek F CA (of G C A) — D E A (of H E A) ; en dus nadien ook GAC = flAE (3.I.3 en AC=:AE is (Conftr.-), zal ook AG — A H, en GC —HE zyn (15.1.).
Wederom, dewyl de regthoekige Driehoeken Uö, DAB, EAB ,FAB haare Bafes alle gelyk (Steil.), en de perpendiculair AB gemeen hebben, zullen haare tlypotbenufenVC, BD, BE,. BF ook gelyk zyn (Ax 10. 1.); nademaal nu de Driehoeken CB F, D BE ha, re zvden wederzyds gelyk hebben, zal de hoek rLJi (of GC B) r= D E B (of H E B) zyn (14.O; en om dat ook GC = HE, en BC = BE is, zoisBG =
BH (Ja:. 10. £•). . . „
Derhalven AG, als boven beweezen is, ==AH,en AB gemeen zynde, zyn de hoeken GAB, ti ab gelyk, en by gevolg regte hoeken (Def. 8- I-)- ÜP de" zelve wyze, is A B perpendiculair op ieder andere reg-
(t) J£uci. 4. 11. B.
\



VII. Boek. ( ipg )
te lyn, die door A, in het Vlak PfiPi? u
ken worden (D,/. x! 7.): to?^^ g*rok-
COROLLARïUM. Hier uit blykt, dat zo een reete Ivn rA m tende verfcheide andere TAF ar * (AB^' OHtaoe. Punt CA), perpendiculair op -het iaatfte ook alle in het zelfde^? zullen zyn" ' "
THEOREMA III. (kj
eene (A B) «ï^^ ^ S C D? Wr*" ' *
(CD); dan JZire&Lgffi^*r* h" punt(A),regtboekig totdeee^etrl'^ btet Sneven in bet Vlak (BAE) v^W^S^^' • culair op bet gegeeven Vlak cn r n( l Perpendipunt CA) m? CBCD), m bet gegeeven
JU u ^ant' dewyi CA
yé 'Ik «n e PerPendiculair op
ytÉ lik " B en A E is (Steil.),
vflfli Ik f al dezelve ook /,£
E ^Silli ik fTtf* op Af iyn
^1 Ëfliiflk ' ? fF 20 wel Perpen.
^1 I ?£1S C-»e«0, is ook
m iPP^ ?Li Perpendiculair op
n AB en CA getrokken zyn (2.7.) S C H O L I U M. In dit Theorema wordt de wyze, om een ator tot een Vlak, in een gegeVven' pl^Trtgl
— ■—. ten,
C*} Eucl, ia. ii, B» ' ' ~*



( lop ) VII. BoeK.
ten, aangetoond, en de beftaanlykheid der eerfte Bepaaling van dit Boek beweezen.
THEOREMA IV. (Z)
Tnoee regte lynen (AB, CD), perpendiculair op bet zelfde Vlak (E F), zyn parallel met malkanderen.
C Trek, in het vlak E F, de
B j regte lyn AD, als ook DG
IE h>^___L perpendiculair op AD ; maak
Jj l V^I~~/ DG=AB,en laatA G, B G* J|lpfa5ipPill|ï|sF en B D getrokken worden. ÊÊË^MÊIÊÊSÈëÊ De Driehoeken B A D, A D J " (BH f G , hebbende AB = DG i^^^^^^^^B (Conftr.), A D gemeen, en de f Q1 hoek BAD [= één regte
F hoek (Conftr. en Def. i. 7.)] — A DG (Conftr.), is ook BD = AG (Ax. 10. 1.). En op de zelve wyze, dewyl de Driehoeken BDG, B AC wederzyds hunne zyden, de eene aan de ande» re, gelyk hebben, zal de hoek B DG=rBAG (14.1.) z=z een regte hoek zyn (Def. 1.7.). Maar aangezien de lvn CD, zo wel als B D en A D, perpendiculair op D G is (Def. 1. 7.), zo is deeze lyn CD ook, met BD, en AD, in het zelfde Vlak CDAB (Cor. van 2. 7.); en by gevolg, om dat de hoeken BAD,CDA beide regt zyn (Def. I. 7.), is de lyn CD parallel met AB (4.1.).
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat uit een zelfde gegeeven punt,tot een en het zelfde Vlak , met geene mogelykheid ,meer als eene perpendiculaire regte lyn kan getrokken worden. Want, het is klaar, dat lynen, uit een zelfde punt getrokken , niet parallel kunnen zyn , dat nogthans weezen moet, zal het geval plaats hebben, doordien alle perpendiculairs, tot het zelfde vlak, parallel zyn.
THEO-
(l) Eucl. 6. 11. B.



VII. Boek.
( uó f
THEOREMA V. (mj Indien van twee parallele regte lynen f AB, CD) de eènë
^AB^PArpendicuIair °P een Vlak (&F) **5 ™l de andere (CD) ook perpendiculair op bet zelfde Vlak (EF) zyn. Zie de voorgaande Figuur. De ConftruStie van DG, AG, &c. hier als in het voorgaande Theorema gefteld zynde, zo blykt daar uit dat A DG, en BDG beide regte hoeken zyn. En dewyl BD in het Vlak der voorgeftelde parallele lynen AB, CD is (Def. 6. i;>, zal de hoek CDG een regte hoek zyn (2.7.), en op dezelve wyze ook de hoek CDA (4.1.). Derhalven is CD perpendiculair op het Vlak ADG (2.7. en Def. 1. 7.). r
THEOREMA VI. (n)
Ah een regte lyn (E F) perpendiculair op een Vlak (A B) is, zal een ander Vlak (CD), door die lyn gaande perpendiculair op bet zelfde Vlak (A B) zyn.
C GEI Trek in het Vlak C D,
|l||Pllllllllil!|!IIIW"IWi^ Uit een wiIlekeung Punt <*, delynGH perpendi-
i j ! |i| culatr op de gemeene fnee-
Ê i L Ï^P' Dewyl dan de
' 1 Hlfll hoek K H G r= een regte
| I j li I ! Jl| f hoek =KFE is (Def.
K^MJJ^^g]) !.7j , zal GH parallel
/ --■»*•-••-•*•-ƒ met EF (4.1.), en der-
F~:-~z^e^^^^^ halven 'perpendiculair op
' ~ het Vlak AB zyn Cj-7.)-
Op dezelve wyze befluit men, dat alle andere regte lynen, die in het Vlak CD, perpendiculair op de gemeene fneede K D zyn getrokken, ook perpendiculair op het Vlak AB zyn. Derhalven is het Vlak C D zelve perpendiculair op het Vlak AB (Def. 2. 7.).
CO-
(m) Eucl. 8. 11. B. (n) Eucl. 18. H.B.



( ui ) VII.Boek.
COROLLARIUM L
Hier uit blykt, dat het Vlak AB, volgens den zin der bepaaling, perpendiculair op het Vlak CD is. Want, als men in het eerfte, perpendiculair tot de gemeene fneede K D, een regte lyn F L trekt, zal dezelve ook perpendiculair op EF zyn (Steil, en Def. i. 7.). Derhalven is de lyn FL (2.7.), en gevolgelyk ook het Vlak AB, waar in dezelve Raat, perpendiculair op het Vlak CD (6.7.).
COROLLARIUM II.
Hier uit blykt nog, dat zo een lyn regthoekig, op een of twee perpendiculaire Vlakken, in een willekeurig punt (H) der gemeene fneede (K D) ftaat, dezelve ook in het andere Vlak moet zyn. Want, de lyn GH, in het Vlak CD, Raat perpendiculair op het Vlak AB; en buiten deeze lyn, kan uit het zelfde punt H, geen andere perpendiculair op AB getrokken worden (Cor. van 4-70-
THEOREMA VII. (0)
Alle Vlakken (CD, EF) tot welke een en de zelfde regte lyn (AB) perpendiculair ist zyn tt faamen parallel.
A A Laat uit een willekeurig
AwÈ ylffl punt G, in het vlak CD,
C <dff ^ lyn G H parallel met A B
11 P'i-i I II lil getrokken worden; dan zal
Bil dezelve, even als AB, per-
iiiïl pendiculair tot de beide Vlak-
M'r- - InS ken zvn CJ'70' Indien der-
I I Ït» llL halven AG> en BH ge-
: / 1 \\vW trokken worden, zullen de
W \W boeken A, B, H, G alle
Y Y regt zyn (Df/. 1.7-). By
gevolg is de Figuur AB HG, waar van de zyden AG, BH, met de parallele lynen AB, GH, in het zelfde Vlak zyn (Def. <5. 1.), een
iegt-
(9) Euel. 14. ii.B.



VII.Boek. ( 112 )
regthoekig Parallelogram (4. 1. en Def. 24. i.); en daarom GH = AB (21.1.). Door de zelfde rede'neering zal blyken, dat alle andere perpendiculairs, tot de beide vlakken getrokken, aan malkanderen gelyk zyndat te bewyzen was (Def. 3. 7.).
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat alle regte lynen, perpendiculair tot een of twee parallele Vlakken, ook perpendiculair tot het andere zyn.
S C H O L I U M.
Uit dit, en het voorgaande Theorema blykt de zin en eigenfchap van Def. 1. en 2. van dit Boek, wegens Perpendiculaire, en Parallele Vlakken.
THEOREMA VIII. (p)
Regte lynen (A B , CD) parallel met een en de zelfde regte lyn (E F), fchoon niet in het zelfde Vlak met dezelve zynde, zyn ook parallel met malkanderen.
irl t. Laat G H, en GI, perpendicu-
-v V- -0 lair tot E F , in de Vlakken A F
\ en E D der voorgeftelde paralle-
JE \q -p le lynen , getrokken worden.
/ ' Dan zal GF perpendiculair op
/ het Vlak zyn, dat door HGI
C ± j) gaat (2.7.); en HB,ID zul-
1 len ook perpendiculair op het
zelfde Vlak (5-70, en derhalven parallel met malkanderen zyn (4.7.).
THEOREMA IX. (3)
Indien twee faamenkomende regte lynen (A B, B C) parallel zyn aan twee andere Jaamenkomende regte lynen ("DE, FE), die met de twee eerfte niet in een zelfde Vlak zyn; zullen de boeken (ABC, DEF), van deeze lynen begreepen, gelyk zyn.
Neem
00 Eucl. 9. 11. B. (5) Eucl. ic. 11, B.



( ) Vil.Boek."
33 Neem AB, BC, DE, EF aile ge-
Élyfc aan malkanderen , en laat AD; c BE, CF, AC, DF getrokken wor£Dewyl A B en DE, als ook B C en EF, gelyk en parallel zyn (Steil, en Conftr.), zyn ook AD en CF beide gelyk en parallel aan BE (23.!.)» en dienvolgens gelvk , en parallel , aan F malkanderen (Ax. i.i.en 8. 7.); bier door is AC = DF (23.1.); en dus » om dat de Driehoeken ABC, DEF wederzyds haare zyden aan eikanderen gelyk hebben , zullen ook de hoeken ABC, DEF gelyk zyn (14.10»
THEOREMA X. (r) Indien twee faamenkomende regte lynen (A B, A C) parallel zyn aan twee andere faamenkomende regte lynen (DE, DF), die met de twee eerfte niet in een zelfde Vlak zyn, zullen de Vlakken (BAC,EDF) van deeze boeken parallel zyn.
t> Laat A G perpendicu-
ft* lair tot het Vlak BAC
a zvn> ontmoetende het
ik — PjlThk. Vlak EDF in G; laat,
Utov lillik in in dit laat(te V!ali' G H
II k I II Iftllill en GI parallel aan ED
I 1 I I I I I 11*- en D F getrokken wor«
111 dcn' dan zu!len deeze
I I l i l lynen ook parallel aan
^1 AB en AC zyn (8 7.).
i I Dewyl dan de hoeken
^ >li g a b en °A c beide
regt zyn (Cunftr.') zo n| N volgt , dat de hoeken
AGH, en AGI ook regte hoeken zyn (5.1.). Aangezien dan A G zo wel perpendiculair tot het Vlak L DU (2.7O, als tót bet Vlak BAC is (Conftr ), zyn de beide Vlakken parallel aan eikanderen (7-70- „,Tr</~
x HEO-
(r) Eucl. ïj. 11. B.
[ H ]



VIL Boek, ( li<j )
C Laat uit het uiterfre punt
a l\ ~ H der gemeene fneede,r)e
IllllllHr1 IniSiiiiiiiHia ?«rtetoty "h ? v perpendicu'
-_J||| ifflll „§ li 1 bokken wórden; dewyl nu H 1 k^ls" c dC -beide V_iak"
^^^^^^^^^^ meene fneede zyn.^ Der-
de perpendiculair op het Vlak ^C^mnc^.^'
THEOREMA XIV.
Indien een Ligbaam (Ac), hebbende een regtlynige Bafis
Pr VP\m^T l??dt Vhkkm d*r zyden (Ab, a c, a, Ad) Parallelogrammen zyn, door een l/lak
?P RT ?7 Bafis *»- *heede
UH) gelyk, en gelykvormig, aasden Bafis z^n.
A??n' b" VJa0k EFGH parallel met
»?P Zy"1f fStelL>> 20 is kalven EF parallel met AB O1.7O; dus is AF een Parallelogram CDef. ai i ï en dienvolgens EF 20 wel gelyk,'als para/W, aan A B Cgl.»"). Op dezelve wyze is * G gelyk, en parallel,"aan BC enz... Derhalven is de hoek EFG—de hoek ABC: (9.7.); en dus ook mTz het overige. By gevolg is EFGH bei^ ctegelykzydig en gelykhoekig aan AB
COROLLARIUM. Hier uit volgt dat de overftaande Bafes van een S~nWzyn?elyky M §elykvormig> ^«"«W, aa!
THEOREMA XV. rf& Mff^"^ ^/)afite« CA) een, na welgevallen
■ geno-
(*0 Eucl. 24. ti*8. ~"



( ii7 ) VU. Boek.
genomen, Parallelogram (AC), een regte lyn (AE), boven bet vlak van bet Parallelogram , wordt opgerecht, mankende willekeurige boeken (EAB, EAD) met de twee aanleggende zyden derzelve ; en dat ook, uit de drie overige hoekpunten, drie andere regte lynen (B F , CG, ÜH) parallel, en gelyk, aan de eerfte (AE), getrokken worden; dan zal de Figuur (AG), voortkomende, als men de einden van deeze lynen faamen voegt, een Parallelepipedum zyn,
F n* Want, dewyl AE , BF,
A ^fj CG, DH alle parallel aan el-
U ffmnmmtimmmnumi^Ê kanderen zyn (Steil, en 8.7.) , lllllll'ÊIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIÊiS A E en B F in het zelfde
IÊÊÊlÈÈÊÈuÊÈÊ vlak CDef. 13. U), als ook lÊÊiÊÊÊÊnnM^^ AE,enDH,enz, Aangezien . iÊIIIIIIIIIIIIIIÈ dan alle deeze lynen onder mal-
kanderen gelyk zyn (Steil.), zyn AF, AH,DG, en BG Parallelogrammen (23.1.); en dus, nadien HF parallel met AB, parallel metDC, parallel met HG is (8.7.), zyn EF en HG in het zelfde vlak (Def. 13. 1.); en EG is desgelyks een Parallelogram (21.1.), gelykzydig met zyn overftaande AC. Nadien nu E F parallel met AB, en EH parallel met A D is, zo is derhalven de hoek FE ll=ïi A D(0.7.), en het vlak E G parallel met het Vlak A C (10.7.). Op de zelve wyze zal blyken, dat de andere overftaande Parallelogrammen zo wel gelykhoekig en parallel, als gelykzydig, aan malkanderen zyn. Derhalven is het lighaam AG, door dezelve beflooten, een Parallepipedum (Def. 7. 7.).
COROLLARIUM.
Indien de hoek A van het Parallelogram A C een regte hoek is, en AF, perpendiculair tot het Vlak A C wordt opgerecht ; zal het Parallelepipedum regthoekig zyn. Want, dewyl de drie aanleggende Vlakken AC, AF, AH alle regthoekig zyn (Steil, en 21.1.), zullen haare overftaande Vlakken van gelyken regthoekig zyn (15.7.). En dus, om dat de hoeken HGF, HGC regt zyn, zal HG perpendiculair op het Vlak GB zyn (2,7.); en by gevolg zyn de beide vlakken EG, en D G ook per[ H 3 ] pen-



VII. Boek. ( 118 )
pendiculair op het Vlak BG (6.7.). En dus ook met het overige.
SCHOLIUM.
In dit Theorema wordt de weg, om een Parallelepi, pedum, van gegeeven al meetingen, te befchryven aangetoond , en de beftaanlykheid der 7de en 9de Bepaalingen van dit Boek beweezen.
THEOREMA XVI. Af^l^ hoekpunten van een gegeeven regtlynige Figuur **7 tt ge yke PerPendiculairs ( A a, B £, C c,L)<n tot hst Vlak derzelve opgerecht, en de einden derzelve La > 0; b, c; ótc.) faamengevoegd worden; zal de Figuur, daar uit voortkomende, een regt Prisma (AabcdDC b A) zyn,
l c Want,nadien Aa,B£,Cc,
/llllllllllllllllllllk D d alle ge]yk ^ Conftr-)» en / 11 fifilfl Wtm Parallel zyn (4-70' 20 's het
<i I:::hh11 1111111 ^ klaar'dat A a b B'3 b c c'&c*
■^ara^0Rrammen (23.1.),- en II lij i :''!'■ I de Vlakken derzelve' alle per*
li! ui 111 1 li''JI pendiculair , op dat van den ffiffllllllllllll'll Bafis A B C D zyn (6.7.), om
dat Aa, Bb, Cc, &c, door 1 ' r de Confiru^ie » zodanig zyn
Af- ' "x> opgerecht. Verder zal blyken,
dat abcd een platte Figuur, parallel aan ABC D , is; want, de lynen ac, AC (als a, c, en A, C faamengevoegd zyn) parallel zynde (23.1.), zo wel als aft, AB; ad, AD, is derhalven het Vlak abc parallel aan ABC (10.7.) [ofABCDl; en acd is van gelyken parallel aan ABCD. Maar afcc,' en acd zyn in één Vlak; dewyl, A a perpendiculair op die beide zynde (Cor. ua» 7.7.), en gevolgelyk ook op alle de lynen ab, ac, ad (Def. 1.7.), alle deeze lynen ook noodzaakelyk in één Vlak (Cor. van 2. 7.), parallel aan ABCD moeten zyn; dat te bewyzen was (Def (5.70-
COROLLARIUM. Hieruit blykt, dat indien op alle de deelen ABC,
ACD,



(ii9 ) VII.Boek.
ACD, in welken een, na welgevallen genomen, regtlyniee Figuur AB C D gedeeld is, regte Prisma s (Aa jcCB, AacdDC), van de zelfde hoogte, geplaatft worden; deeze Prisma's maar één Prisma, op de geheele gegeeven Bafis ABCD , zullen faamenttellen ; aangezien abc, en acd een onafgebroken plat Vlak abcd, parallel aan ABCD, uitmaaken (16.7.). S C H O L I U M. Door de zelfde weg, kan een Prisma, welke neiging hetzelve ook tot de gegeeven Bafis ABCD heeft, faamengefteld worden; door aan Aa de voorgetelde neiging te geeven , en vervolgens B£, Cc, Dd parallel, en gelyk, daar aan te trekken. Want, A a b 13, b b c C , &c. zullen fteeds Parallelogrammen zyn (23,1.;; en op dezelve wyze zal blyken, dat a b c d een Vlak, parallel aan ABCD is; indien uit a tot het vlak ABCD een perpendiculair verbeeld wordt, getrokken te zyn.
THEOREMA XVII. («0 Regtboekige Parallelepipeda (AG, ag), op geZ^e Bafes (AC, ac)ftaande, tn gelyke hoogten (AE, ae) hebbende, zyn gelyk.
_ Laat de Regt-
3? Ga -f j hoeken HQ en
liHH C|^Ï^B g^lykvofnng^aan
A """""""^ « d nigfdat'OQ en
j£ IVT li QP maar één en
VIlllllilillllllllllllMI oe zelfde regte
llilll 111 ilJTMlTi111 lvn uitmaaken j
I 1 |B I d'an zal MQ ook
^ ! i I t> in de ze1fde regte
° llltliiiil lvn met QN tyn
MliilllllilL (,:,); en de Fi-
1 N JC guu-
(w) Eucl. 28. 11. B.
[H4]



VII. Boek. ( 120 )
K^tS voortkomen , als men de zyden der
==^/nq"'^ 1j^vTql—'por" Driei10ek 0iq
□ HQ =r □ oK zvn V^/>7m• 2 <^2VlO' e» den
woraen te (taan, aan eikanderen gelvk zvi fA 1 7 1
00 oio OmV CCVfl" l6^70 op de V« HM nVoPKN ÏI 5 noï^ hatfte uit drie anderen, op QPKN, INO, QPL; waar van het tweede en derde 111 de beide wede-keerig gelyk zyn (Ax. i. 7 ).
QO.QPK n, ook gelyk zyn (Ax. 5. 1.). Maar het
eerfte van deeze is = AG, en het laatfte =zag (Ax.
1.7O; derhalven is ook AG = a# r^yjx. 1.1.). THEOREMA XVIII.' (x) '
Ah, op gelyke Bafes (ABC, DEFG), een regt driehoekig Prisma , en een regthoekig Parallelepipedum, van dezelfde hoogte, geplaatft worden; zullen de beidLighaamen ook gelyk zyn.
2 Laat B H per-
/ V pendiculair op AC
-rl 1 ^ HlTr ^XErfffSfiP^ trek 00k M L Pa'-
(x) Eucl. 23. 11. B.



( i2i ) VIL Boek.
len in M; clan zal AMLI= JACKI (i.20 = ABC, (Cor. van i. 2.) := DEFG zyn (Steil.). Nu zullen de b'eide Prisma's op A B H , en C B H, in welke dat op ABC gedeeld kan worden (Cor. van 16.7.), wederkeerig aan twee andere, op de gelyke, en gelykvormige LVwAIB, CKB (ai.i.)i gelyk zyn (Ax. 1.7.); en by gevolg is het Prisma op ABC = het halve Pris* msopACKl (Ax. 4. i.) = de helft der beide Prisma's ©p AMLI, en CMLK (Ax. 3. i.\s±= het Prisma op ,AMLI= het Prisma op DEFG (i7-7-)-
THEOREMA XIX. (31)
Ieder regt Prisma (AaceA) is gelyk aan een regthoekig Parallelepipedum (Fk) van gelyke Bnfis, en hoogte.
Laat AC, ac, AD, ad getrokken worden; en trek in de Bafis FK van het Parallelepipedum, H L, IM parallel aan FG,zodanig; dat de Regthoeken FH, HM, IN, wederzyds gelyk zyn aan de Driehoeken ABC, AC D, A DE(6.60;dan zal het Prisma (AabcCB A), op ABC, gelyk zyn aan het Parallelepipedum (F b) op FH (187O; e|i het Prisma (AacdDCA, op ACD, gelyk aan het Parallelepipedum (Li) op LI (\S-7-); by gevolg is het geheele Prisma (AaceA),opAB C DE, gelyk aan alle de Parallepipeda op FK, die te faamen " één
(y) Eucl. 30. 11. B.
[ H 5 3



VIL Boek. ( 122 )
één Parallelepipedum (Fk) uitmaaken ; dewyl L / Mr» m het Vlak Fn, en tib,li in het Vlak Gk zyn (16. 7. e» Cur. van 6. 7.). J v *
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat alle regte Prisma's, die gelyke Bajes , en hoogten, hebben, onder malkanderen gelyk zyn.
S C H O L I U M.
Op dezelve wyze zal blyken, dat de Som van een willekeurig getal Prisma's , die een gemeene hoogte hebben, gelyk is aan een eeaig Prisma, of Parallelepipeau», van de zelfde hoogte, waar van de Bafis gelyk is aan de Som van alle haare Bafes.
THEOREMA XX. (z)
Regtboekige Parallelepipeda (A c, Eg), die gelyke hoogten > i\ hebben, zyn in de zelfde reden als haare Baks (AC, EG).
A_ II I ' D E^^
Laat de reden van de Bafis A c tot de Bafis EG die van een willekeurig getal m (3) tot een ander willekeurig getal n (2) zyn. Laat AC in m (3) gelyke deelen of Regthoeken, AK , HL, IC gedeeld worder!? door a D in het zelve getal gelyke deelen te deelen (9.j.), _ en
(z) Eucl. aj. en 32. 11. B.



(123) VII. Boek,
en HK, IL parallel met AB te trekken (7.5, en 1.2,). Laat op gelyke wyze, E G in n (2) gelyke deelen, of Regthoeken, E N, M G gedeeld worden; welke deelen, één voor één genomen, aan die van de eerfte deehng, in grootheid zullen gelyk zyn (Steil, m Ax. 8.4.), en dus zyn ook de Parallelepipeda op dezelve (A£,HZ,Ic, E«, Mg) alle onder malkanderen gelyk 07-70- Derhalven is het Lighaam Ac in reden tot het Lighaam Eg, als het getal der deelen in Ac, tot het getal der gelyke deelen in Eg (Ax. 8. 4O, of als het ëetalder deelen in AC, tot het getal der gelyke deelen in EG, dat is, als A C tot E G (Ax. 8. 4->
Indien de Bafes onderfteld worden , onmeetbaar te te zyn zullen de Lighaamen fteeds in de zelfde reden met dezelven zyn, als blykt uit het Scbolium van Theorema III. Boek IV.
THEOREMA XXL
Regtboekige Parallelepipeda (Ac, Eg), die op gelyke Bafes (AC, EG) ftaan, zyn in de zelfde reden als haare hoogten (Aa, Ee),
l .. c
Laat AL een Parallelepipedum op de Bafis AC zyn, waar van de hoogte AI gelyk is aan die (Ep van het Parallelepipedum Eg; dan zal het lighaam AL= het lighaam Eg zyn (17.7O. Indien nu AS en A K als Bafes aangemerkt worden, zal Ac: AL (ot Eg).:Aö. AK(ao 70 =: Aa:AI(7.4-3 [of Ee]i *»» te ^zen
COROLLARIUM. Uit dit, en het voorgaande Theorema, volgt; dat ook alle regte Prisma's , die gelyke hoogten hebben, tot 0 mal-



VIL Boek. C 124 )
malkanderen in reden zvn ak h«.« z>,r /«gelyk zynde, a,s haYre \oo^T J* haamen zyn (door Tïeor. XIX.1 «Jvfr„° ' zu'ke,J.>gParalleleplpei van gelyke ii^/eï^hoogte. regth0eklge
THEOREMA XXII. ^fer^e Prisma's, en Parallelepipeda (Ac, Eg) tüe?t-n t.L,(j:,r>s:Afl), zyn aan eikanderen gelyk.
Laat AL een op de ^ A C zyn, waar van
de hoogte AI gelyk ia aan die (E e) van het iVsVma E R.
rSh£ïlL:^;:AC-EGC^70::Ee[AI]:Aa (fte«0::AL:Ac(2i.70j en by gevolg Eg == Ac QAx. 4.4.).
THEOREMA XXIII.
Gelykvormige regte Prisma's, en Parallelepipeda (AG flg) xyn tot eikanderen, in de driedubbelde reden van baare hoogten (AE, ae).
Heb- ■



C 155 ) VII. Boek.
Hebbende AP = ae gemaakt, neem AE, AP, AQ, AI in eene geduurige evenredigheid (11.5.); en laat AL een Prisma op den Bijïs AC zyn, waar van AI de hoogte is.
Dan is, door de gelykvormigheid der Vlakken , A C: ac::OAB:Dab (2-3.4.);:D AE:aaeCCor.i.van 19.4O [□AP]::DAP:OAQ (Cor. 1. van 19.4.):: AP(ae): Al. Dewyl dan de Bdfes en hoogten der lighaamen AL, ag wederkeerig evenredig zyn, zyn ook de lighaamen aan malkanderen gelyk (22.7.); en derhalven AG:ag::AG:AL (Ax. 1.4.) : :AE:A 1(2.1.7.); maar de reden van AE tot AI is driedubbeld van die van AE tot AP [of ae] (Bef. 7.4.) ; by gevolg zyn ook de Lighaamen in de zelfde reden.
COROLLARIUM I. Hier uit volgt, dat de Cuben , of Teerlingen, in de driedubbelde reden van haare zyden, of hoogten, zyn. COROLLARIUM II. Hieruit blykt ook, dat alle gelykvormige regte Pmma's tot malkanderen zyn, als de Cuben van haare hoogten i vermits beide Prisma's en Cuben in de zelfde driedubbelde reden der hoogten zyn.
THEOREMA XXIV. Regtboekige Parallelepipeda, begreepen onder de overeenkomjtige lynen van drie reijen van proportionaalen, zyn evenredig tot eikanderen.
rAB:CD::EF:GH 7 Dat is, als< AI :CK::EL:GM lis, JLaN:CO::EP;GQJ
dan



VIL Boèkï ( ifldr )
2^ ^^^^^ ^^^^^^^j^
dan zal het lighaam (li), begreepen onder de drie eerjie voorgaande, tot dat (Kk), onder haare drie volgende begreepen, zyn, als bet lighaam (LI), onder de drie andere voorgaande begreepen, Jlaat tot het lighaam (Mi»), dat onder de drie overige volgende begreepen is.
Laat KT en Mf- Parallelepipeda op de Bafes KO en M Q, wederzyds van de zelfde hoogte met I i en L l, zyn. Dan zal li :KT-.'.Bafis IN : Bafis KO?_vn r.n _ v En LliMt::Bafis LP:BafisMQ£ yn ^0'7'->'
Maar de vier Bafes zyn, door de evenredigheid van haare zyden, ook onder malkanderen evenredig (19.4.)» en dus is, door vergelyking, de reden van li tot KT de zelfde, als de reden van LZ tot Mi. En de reden van KT tot Kk is van gelyken de zelfde, als die van Mt tot Mm, dewyl KT:KS::CS [AB]:CD(21.7.) :: E f [G j] : G H (Steil.) :: M t: M m (21.7.) is. Derhalven zal de reden van li tot Kk ook de zeilde zyn , als de reden van Li tot Mm (5.4.).
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat de Cuben van vier evenredige lynen ook evenredig zyn.
Einde van het Zevende Boek.
GRON-



GRONDEN
DER
MEETKUNST.
AGTSTE BOEK.
PQSTULATA, of BEGEERTEN.
Men eifcht dat toegeftaan worde, i .TP\at, van twee ongelyke Grootheden , van de zelfde foort, de kleinfte zo dikwils mag vermenigvuldigd worden, tot dat zy de grootfte overtreft.
2. Dat een regte lyn'zo klein mag genomen worden, dat het vierkant derzelve kleinder zy, als een, naar welgevallen genomen, Vlak.
3. Dat den Omtrek eens Cirkels grooter zy, als defom der zyden van een ingefchreeven Veelhoek,en kleinder als de fom der zyden van een Veelhoek , om dien Cirkel befchreeven.
Het geen in bet tweede, van deeze drie Poftulata, ver eifcht wordt toe te ftaan, kan door middel van het eerfte te wege gebragt, en beweezen worden; docb aangezien het tweede even zo bevatbaar is als bet eerfte, fcbynt bet onnoodig te zyn , bet zelve daar van afbangkelyk te maaken.
LEMMA I.
Als van de grootfte (A B) van twee ongelyke grootheden (AB,CD) de helft (MB) afgenomen wordt, van het overbly f fel (A M) wederom de helft (MN), en zo vervolgens, geduurig', dan zal 'er eindelyk een grootheid, kleinder als de kleinfte (C D) der beide eerji voorgefteide Grootheden, overblyven.
Neem



VIII.Boek. ( 128 )
BT, ,P jM ,B NeerhDErs
H F 1-° CD, EF=
CD, en laat dit
C 1 . [3? zo dikwils ge-
1 1 1 1 daan worden,
tot dat de veelvouWdige C F grooter zy als A B (Poft. 1.8.) Laat AB , AM , &c. zo menigmaal in twee gelyke deelen gefneeden worden , tot dat de deelen MB, NM , AN in getal gelyk zyn , als de deelen EF, DE, CD. Dan is A M[f AB (M)]G'CF (Steil.) "DCE; en, op de zelfde wyze, AN(|-AM) O l C E (C D); dat te doen was.
S C H O L I U M. Als de gegeeven grootheden CAB,CD) regte lynen zyn, kan een deel, of maat, (AP) van de eene , klein, der als de andere, in ééne bewerking gevonden worden ($>.5')> door AP het zelfde deel van AB te neemen , als C D van C F is.
Want, dewyl de geheele lyn A B kleinder als de geheele lyn CF is (Steil.), zal het deel AP ook kleinder als het deel C D zyn (Cor. van 1.4.).
THEOREMA I. Twee Veelhoeken kunnen, de eene in, en de andere om, een gegeeven Cirkel befchreeven worden, welke minder van eikanderen, en by gevolg ook van de Cirkel zelve, zullen verjcbillen, als eene willekeurige grootheid (S), hoe klein die ook zy.
I C K
I A|Off-:- jE
rp qR\ / | \ WM.
P G JST Laat T de zyde van een Vierkant zyn, dat kleinder
als



( 129 )v VIII. Boek.
als S (Poft. 2. 8.), of daar aan gelyk is; trek in den Cirkel de pees An = T; en de beide Diameters AE, CG regthoekig door malkanderen; deel dan geduurig de hoeken in het Centrum ieder in twee gelyke deelen, tot dat eindelyk een hoek AOB kleinder zy als de hoek AOn, waar van hn de pees is (3.5. en Lemma 1.8.). Befchryf in den Cirkel de regelmaatige Veelhoek ABCDËFGH, door de hoeken BOC, COD, &c. gelyk aan AOB te maaken; en laat een andere regelmaatige Veethoek RIKLMNPQ, van het zelfde getal zyden, om den Cirkel befchreeven worden (24.5.), welke de ingefchreeven Veelhoek eene grootheid,kleinder als S, zal overtreffen.
Want als, tot een der hoeken K van de grootfte Veelhoek OK getrokken wordt,zal deeze hoek in twee gelvke deelen gefneeden worden (16.1.), en de lyn OK zal de zyde CD , van de ingefchreevene Veelhoek, regthoekig fnyden [in m~\. (Cor. 1, van 12. 1.) Dewyl dan de Driehoeken OCK, tbCK, gelykhoekig zyn (16.4.), zullen dezelve, en by gevolg ook haare dubbelde Figuuren OCK DO, CKD, tot eikanderen in reden zyn,als DOC tot OCm (21.4.),of als □ AE tot DAB (1.4.). Dus is het openbaar, dat de geheele omgefchreevene Veelhoek (OCKD + ODLE,&c.) tot het geheele verfchil (CKD + DLE), dat dezelve grooter als de ingefchreevene Veelhoek is, in de zelfde reden van □ A E tot □ A B is C ï.4.). Maar de eerfte voorgaande is kleinder als de tweede, of als een Vierkant , om den Cirkel befchreeven (Ax. 2.1.). Derhalven is de eerfte volgende (CKD+DLE, &c.) ook ~J □ AB (2.4.) ~JdA«(DT)"Z]S (Steil). Dat te bewyzen •was.
COROLLARIUM. Hier uit volgt, dat een grootheid, welke grooter als een Veelhoek, die in een gegeeven Cirkel, en kleinder als een Veelhoek, die om denzelven kan befchreeven worden, is, aan den Cirkel zelve gelyk moet zyn. THEOREMA II.
Ieder Cirkel (A C E) is gelyk aan een Regtboek(OVQ R); onder den Straal deszelven(OP), en een regte lyn (O R), die aan den balven omtrek gelyk is.
[ I ] Het



VIII. Boek. ( 130 )
Het blykt ten eerften, dat de voorgefielde Regthoek OPQR grooter is, als een Veelhoek ABC DEF,die in den Cirkel kan befchreeven worden. Want, trekkende O A, O B, &c., als mede O n perpendiculair op A B; zo is het klaar, dat den Driehoek A O B [ \ □ O n. A B (Cor. van 2.2.) ] kleinder zal zyn dan £ □ Ó A . A B (20.1. en Ax. 2.1.), ofJdOP.AB. En op de zelve wyze, BOCGJDÜP.BC, &c. By gevola, is de geheele Veelhoek ABCDEF kleinder dan-'□OP. AB4-1DOP.BC, &c. , dat is, kleinder als een Regthoek (O/) onder OP en Op~ de halve Som der zyden (AB+BC + CD &c). Maar deeze Regthoek (O/) zelve, is kleinder dan OQ, dewyl Op, de halve Som der zyden van den Veelhoek, kleinder is dan OR, den halven omtrek des Cirkels (Poft. 3.8.). By gevolg is de Veelhoek ABCDEF kleinder als deReathoek OQ. 5
Ten tweeden zal blyken , dat de zelfde Regthoek OPQR kleinder is als een Veelhoek GHI KLM, die om den Cirkel kan befchreeven worden. Want, indien OG, OH,&c. faamengevoegd worden, en trekkende de ftraal ON tot het raakpunt van GH, dan zal den Driehoek GOH=|DON.GH [ = -;dOP.GH] zyn (Cor. van 2. 2.). Op de zelve wyze is den Driehoek HOIzr:^ □OP.HI, &c. en derhalven de geheele VeelhoekGHIKLM = -J □OP.GH + -jn OP . Hl, &c. Ax. 4.-1..)— een Regthoek (Om) onder OP en Oa=zde halve Som der zyden (G H + HI+IK,&c); welke Regthoek klaarblykelyk grooter is dan OQ, nadien Og (== de halve Som der zyden van den Veelhoek) grooter als OR is (Poft. 3.8 ). Aangezien dan de Regthoek OQ grooter is als een
Veel-



C 131 ) VIII. Boek;
Veelhoek , die in den Cirkel, en kleinder als een Veelhoek, die om den Cirkel kan befchreeven worden ; zo moet dezelve aan den Cirkel gelyk zyn (Cor. van 1.80-
THEOREMA III. (a)
■Alle Cirkelen (ACE, ace) zyn tot eikanderen in reden, als de vierkanten van hunne Straalen (DAOjDao).
0hji a\ A #
M li
7, P i
Laat QcCirkel acei-.aAO-.Oao zyn; dan is 0=5 Cirkel ACE. Want, voor eerft is het blykbaar, dat Q grooter is als een Veelhoek A^BCDEF, die in den Cirkel ACE kan befchreeven worden; doordien, een andere Veelhoek abcdef, gelykvormig aan deeze, in den Cirkel ace befchreeven zynde, de Veelhoek ABC DEF: Veelhoek abcdef [: :□ AO:Dao] :: Q: den Cirkel ace zal zyn (Steil.); dewyl nu de eerfte volgende (Veelhoek abcdef) kleinder is als de tweede, of als den Cirkel, waar in dezelve befchreeven is (Ax. 2.1O, zo is het openbaar, dat de eerfte Voorgaande ABCDEF ook kleinder moet zyn, als de tweede Q (MO-
Qp
(a) Eucl. 2. ia. B.
[Ia]



VIII.Boek. ( 132 )
Op de zelve wyze zal blyken, dat Q kleinder is, als een Vee hoek GHI KLM, die om den Cirkel ACE kan befchreeven worden. Wanr, indien om de andere Cirkel ace ten gelykvormige Veelhoek ghiklm befchreeven wordt; zal GHIKL M :g HHto (:. □ AODaoy.iQ tot den Cirkel ace zyn (Steil.); dewyl nu 4e eerfte volgende (ghiklm) grooter als de tweede (ace)1 is [4x. 2. 1.], zal ook de eerfte voorgaandeGHI KLM grooter als de tweede Q zyn (2.4.).
Aangezien derhalven Q grooter is, als een Veelhoek, die in den Cirkel ACE kan befchreeven worden, en kleinder als de omgefchreeven Veelhoek; zo moet ook Q aan den Cirkel ACE gelyk zyn (Cor. van 1. 8.3S C H O L I U M.
Op dezelve wyze kan beweezen worden, dat alle andere gelykvormige kromlynige Fieuuren tot elkanderen in reden zyn, als de vierkantenvaii hunne Diameters, of andere gelykfoortige afmeetingen.
THEOREMA IV. De omtrekken van alle Cirkelen (ABCD, abcd) zyn in
de zelfde reden, als hunne ftraaien (OB, ob).
JBJ5 _
D
e f
LaatOE, oe, de vierkanten op de ftraaien OB, ob zyn; en laat OF, 0 f twee Regthoeken zyn, begreepen
on-



( i33 ) viii. Boek
onder de zelfde ftraaien, en regte lynen O G, og, wederzyds gelyk aan de halve omtrekken ABC, abc. Dewyl dan deeze Regthoeken aan de Cirkelen zelve gelyk zyn (2.8.) > zo is derhalven OE: O F: :oe:o f f3.8.) ; en in deeze zelfde reden zyn ook de Bajes OC:OG;:oc:og (7.4.), dus is, door gelykheid, en verwiffeling, OC (ob) : oc(ob)\: OG :o g :: 2OG [omtrek ABCD (Steil.)'] :zog (omtrek abcd).
LEMMA II.
Als een lighaam (AC), voortkomende uit de beweeging van een platte Figuur (EB CF), rontom één van derzeiver zyden (E F), als As, door een Vlak perpendiculair tot de As, gejneeden wordt; zal de fneede een Cirkel zyn, waar van een punt (O) in de As bet Centrum is.
JUTMIS». Trek uit O, in het voortbren-
»Aj§ M IÉB gende Vlak EBCF, de lyn O R,
|J ■•■fllllll perpendiculair tot de .As E F, ontij j li II moetende BC in R. Dewyl dan I 1 Hl ' deze lyn 0 R ' geduurende de flr^iiSÏB geheele omwenteling, overal zy^ffl...^|||l|iiTr ne regtftandigheid tot de As E F M. -llflttfilfinl behoudt, zo is dezelve ook al-
ff'*^'iliMttll toos in het Vlak»dat d°°r °»
fi I lllllti perpendiculair tot deeze As, geil 1 1111 tr°kken wordt (Cor. van 2.7.); lil 1 1111 en by SevoIS 5 als de lengte der//f —*-4^-lHiljlU|^U\ zelve ook in iedere Helling de - ..L Tjf. zelfde blyft,moet de lyn Rrrrrr, T)r'vC door het uiterfte punt R , het - welk de fneede bepaalt, in dat
Vlak befchreeven , den omtrek eens Cirkels zyn (Def. 33. 1.), waar van het punt O het Centrum is.
COROLLARIUM.
Hier uit blykt, dat niet alleen de Bafes van Cylinders en Kegels, maar ook alle fneeden, parallel aan deeze , Cirkels zyn.
[ I 3 3 LEM-



VIII. Boek. ( 134 )
LEMMA III.
Een regte lyn (E F) fiaande perpendiculair op bet vlak der Mis van een Cylinder, en niet langer zynde als de As(CÜJ, valt geheel binnen, of geheel buiten de Cv-
S6r' Tu -at bf pmt (E>>°P welke ^ulve fteunt, linnen, of buiten den omtrek der Bafis is. - '
33 I) F H TF Trek uit het Gffltrwm C, j j T~| tot het gegeeven punt E, de lyn CE ; neem in CD en ■do ' naar we'gevallen, twee
N i_X.p gelyke afftanden CN, EP,
en laat NP getrokken worden , ontmoetende de oppervlakte des Cylinders in Q. ^__-g __ Dewyl C N en E P parallel
■ C4'7-)» en derhalven bei-
-A ^==^W-^^;I^-^E de in het zelfde Vlak zyn VSjjCTHIlF^ C4-70, zo is NV parallel en
^. , ' g^yk aan CE (23.1.).
Dienvolgens, als CE kleinder is, dan de ftraalCG zal NP ook kleinder zyn, dan CG, of NÓ, die daar aan gelyk is (Def. ra. 7. en Ax, 2.1.); en dus moet het punt P binnen de Cylinder vallen. Het zelfde is van gelyken waar, ten opzigte van een ander punt in de lyn E F. Want, als CE grooter dan CGis, zal NP ook grooter als C G (N QJ zyn; en het punt P zal dan buiten de Cylinder vallen.
THEOREMA V.
leder Cylinder is gelyk aa» een regthoekig Parallelepine-^ dum, van gelyke Bafis en hoogte.
Wy zeggen, indien de Bafis ace van de Cylinder al gelyk is aan de Bafis M K R S van het regthoekig Pa rallelepipedum MP, en de hoogte LH van de eerfte ook gelyk is aan de hoogte KO van het laatfte, zullen de beide hgnaamen gelyk zyn.
Want,



( i35 ) VIII. Boek.
AC //
Want, het is blykbaar, dat de Cylinder grooter is, als een Parallelepipedum (Mp), van de zelfde gegeeven hoogte, welks Bafis MKrï kleinder is, dan de Saj^f (ace) des Cylinder s; dewyl in den Cirkel ace een Veelhoek (abcdef) kan befchreeven worden, die grooter als MKrj 0-8.) zal zyn ; verder kan op deeze Veelhoek, als Bafis, op de gegeeven hoogte, een regt Prisma gefteld worden (16.7.), dat, zynde geheel in de Cylinder begreepen, kleinder als dezelve zal zyn; nadien, door Lemma 3., alle regte lynen , perpendiculair tot den Bafis, in de Vlakken der zyden (Cor. 2. van 6.7.), uit willekeurige punten in ab,bc, &c. getrokken, geheel binnen den Cylinder vallen, en by gevolg ook de vlakken zelve, waar in zy zyn. Maar dit begreepen Prisma is grooter als het Parallelepipedum Mj> (30.7.); derhalven moet ook de Cylinder zelve noodzaakeiyk grooter als M^ zyn (Ax. 2. I.).
Op gelyke wyze zal blyken, dat de Cylinder kleinder is, als een Parallelepipedum Mï, van de zelfde [ I 4 ] hoog-



VIII. Boek. ( 13 (5 )
hoogte, welks■ Bafis MKXZ grooter is, aJs die vin
, L>r^ü,tFJ befchreeven worden, die kleinder t^\XZ 231 T ^'80; ^ op deeze Ve !hoek als Bafis, kan een Prisma gefteld worden (16.7.) d£
S«5 tMc^- n^thans
t,rAa??eMD f"" de C^êr noch kl"nder,nochgroogSykl. f Zynj Z° V°lgt' dat cezelve d*« San
COROLLARIUM.
Hier uit volgt, dat het geen in Tbeor. 20, 21 22
Se? PrL^l3^6 B°ek-' Wegens de evenredrgh'eden der Prma; beweezen is, van gelyken op Cilinders
llVk°e%TÜ Trden; dÊWyl deze'veyaan plisiStzl gelyke Sa/fo en hoogte gelyk zyn (19.7. m 5.8.3.
S C H O L I U M.
Uit het zelfde Bewys blykt nog , dat ieder regelmaa üg lighaam, welkers fneeden, door Vlakken SS culair tot den Bafis, alle Regthoeken zyn, gelyk £aan een Paralklepipedum, van gelyke Bafil en hoogte- en by gevolg, dat alle lighaamen van dit foort, ITzy Z
lyk'zynf' 60 °°gten hebbe"' °nder n!alkanderen fe-
LEMMA IV.
Als twee lighaamen (HAH, bab). van dp «w. u
op gelyke afftanden van dezelven, gelyk aan matinlZ' ren bebben; wordt voorgefteld, gen, bier onder uitgedrukt, te bewyzen, dat delSaa men zelve gelyk zyn. "goaa-
Laat II, KK&c? ii,kk &c. fneeden van de beide lighaamen, door Vlakken parallel aan de BaTes HH bb «yn; deelende de hoogden AB, abt deelen BC* CD &c. bc, cd, &c, die alle onderling aan malkan, deren gelyk zyn. Dewyl dan geduurig fwee overeet komfoge fneeden gelyk zyn (Steil.) [HH~bb n~~ »,&c.] zullen de regte lighaamen HNNH, bnn~b[ IOOI, 1001, &c. op dezelve gemaakt, ook weder-
zyds



( 137 ) VIII. Boek:
zyds het eene aan het andere gelyk zyn (19.7. en Scbol. van 5.80? het zy dat de fneeden regtlynige Figuuren, Cirkelen, of kromlynige Figuuren, van een ander foort, zyn.
Indien nu deeze Sneeden HH, II fifc., van den Bafis opwaards, onderfteld worden te verkleinen, zo dat de lighaamen (HNNH, IOOI &c), op dezelve gemaakt , grooter zyn als de overeenkomftige deelen (H11H, I KKI &c.~) van het gegeeven lighaam H AH; dan is het openbaar, dat de Som van alle de gemelde lighaamen HNNH + IOOI £f(\)van gelyken grooter zal zyn, als het geheele voorgeftelde lighaam^HAH (Ax. 2. i0« Doch indien, binnen HAH,op de zelfde fneeden, en aan de tegengeftelde zyden derzelve, een andere Rey van zulke lighaamen ÏRRI, KSSK &c. gemaakt wordt; zal de Som van alle deeze lighaamen , klaarblykelyk, kleinder zyn, als het voorgeftelde lishaam H AH, in welke zy begreepen zyn (Ax. 4. iO> en op dezelve wyze blykt, dat deeze laatfte Rey [ I 5 ] zo



VÏH.BaBK.1 ( 138 )
zo veel kleinder dan de eerfte chnnh-f IOOI &c1 is, als de grootfte van deeze lighaamen hnnh-A? wylmen dit lighaam alleen uitzonderend , totieder" ander lighaam van de Rey, een gelyke, in de beSe
T8 ). l1tl = lqql 09-7- en Schol, van w^k^uU de hoogte BC'van hetlighaam hnnh
^ïïaSS^n&begrypende ^en> van e'ka"!
ueren vencnillen , zulk een gering deel van B A kar.
fyn°ree7ewnJe\daC-het ^ ^IveTeinder"zal dSi'/die oohT rreU"ge aau§enomen grootheid, hoeoanig die ook zy (Lemma 1.8. en ai. 7.) zo is het openbaar volgens het Coroll. van Theorem.1 dat eene grootheid, welke grooter is, als een Rey van liSZ
der als een RL ƒ H ka" ^Aen,aakt worden, en kleinaan h A h „ Yï dle om hah kan gemaakt worden, grooSr 2vndge Y5 — 1?' Maar het bah kssk lc v£ h%? nieenu Rey Van ^«^men C<rr.+ *jx* fccO in het zelve begreepen (Ax. 2.1.), is deT-
R tTk s°s /TT' • da'i'i AÊ1^Rey v™ üg^amen (I R KI-f-rssk &c.), in hah begreepen, om dat deefatten weder_yds aan de eerfte"gelyk zyn ' en het zelfde lighaam bah kleinder zvndf, als een Re? van lighaamen (bnnh + iooi &c.), om hetzelve _Z
rmHNWH4-Tooleknde{ aiS 6611 Rey -n^tanfen i- j ,01 &c^' die om hah kan gemaakt
worden. Derhalven is het lighaam bab gelyk aan h ah In dit Bewys wordt onderfteld, dat de fneeden van den Bafis opwaards, geduurig kleinder woldea, zo dat de zyden der regte lighaamen , op dezelve gemaakt geheel buiten of geheel binnen, de opplrvfaï? der* gegeevene lighaamen hah, bab vallet., higetn al leen het geval kan zyn, wanneer alle de perpen£u7abs' m willekeurige punten in de oppervlakte™n ZT' tot het vlak yan den Bafis getrokken,binnen de paaien* der Bafis vallen. Indien nogthans gefteld wordt , dat de fneeden alleen tot een zekere afftand verkleinen endan wederom vergrooten; zullen de twee lighaamen ft.S gelyk zyn: dewyl de deelen van het een ? door ^ paaien van vermindering ea vermeerdering hlüot™,
door



( I3g ) VIII. BoeKJ
door het zelfde bewys , wederzyds aan de overeenkomftige deelen van het andere gelyk zullen zyn. Doch alzo zulke lighaamen niet tot de gronden der Meetkunft behooren, zoude het overtollig fchynen ,hier meer van
tCZeggen' LEMMA V.
Als Piramiden m Kegels (ABCDEFG, HIKLM), die gelyke boogten (AP, HQ) bebben, door vlakken, parallel aan de Bafes, gefneedm worden; zullen de fneeden (bcdefg, ikhn), op alle gelyke boogten (Vp, Q q), in de zelfde reden zyn, als de Bales.
^ ^^^^ ^^^^^^ ^
Want, dewyl het Vlak bcdefg parallel aan B CD EFGis, zo is ook bc parallel met BC, bg met BG, fcfc. C11.7.), en by gevolg, de hoek c&g^CBG, bcd = BCD, &c. (9-70; als mede *cBC[::A6: ABCti.401 ':tg:BG. En op de zelve wyze, zyn ook de zyden om de andere gelyke hoeken evenredig. Aangezien dan de beide Veelhoeken bcdefg, BCD EFG gelykvormig zvn (Def. 14-40? zvn dezelve in reden, als abc tot DBC (23.4O , of als □ A& tot
□ AB (Cor. 1. van 19.4O, of eindelyk, als □ Ap tot
□ AP (Cor. 1. uara 19.4O; dewyl, BP en &p getrokken zynde, de hoeken APB, Apb regte hoeken zullen zyn (Cor. van 7.7.), en derhalven bp parallel aan
^^Maafde lneede iklm is ook tot de Bafis IKLM in de zelfde reden van PAp (□Hg)tot □ AP (PHQ);
de-



VIILBoEit. f I40 )
Nademaal nu de twee fr>ppH»n j tot haare Bafes hebbel zo hlvk?w« • ?lfde reden van deeze &yofite(2.i™ Waarheid
COROLLARIUM.
eefaf^/atdttt Zvï" ^~or 5<i# is. ge'ykvormig met den
THEOREMA VI
gei (LM^^^rssis:-""
M
Geval I. Indien de perpendiculair, uit den top D van de Piramide op het Vlak van de Bafis ABC getrokken,niet buiten de 2?^r, of over de paaien vfn den Driehoek valt, zo blykt, door Lemma 4, dat, aangezien de fneeden der lighaamen A B C D, L M N O P, op alle gelyke afftanden van de Bafis gelyk zyn (Lemma\ V de lighaamen zelve ook gelyk zulle/zyj. J°» Oeval 11. Indien de perpendiculair (DE), uit den top tot het vlak van de Bafis getrokken , over de paa-
len



( i4i ) VIII. Boek.
len van den Driehoek valt, zo laat tot het punt E, daar dezelve het vlak ontmoet, BE en CE getrokken; en op BE een Driehoek EBF, gelyk aan ABC (of L MN O), befchreeven worden ; wanneer men dan. F, D te faamen voegt, zal de Piramide CBFED, ftaande op de Bafis C BFE , gelyk zyn aan de Piramide CABED, die op de gelyke Bafis CABE ftaat (Lemma 4.)» Laat, van elk deezer Piramiden, de gemeene Piramide CBED afgetrokken worden; dan zal 'er overbly ven de Piramide B F E D—Piramide ABCD (Ax. 5. iO- Maar de eerfte van deeze is, door Geval 1., gelyk aan de Kegel LM NOP; derhalven is het blykbaar, dat de laatfte ABC D ook gelyk zal zyn aan de Kegel LM NOP (Ax. r. iv); en by gevolg, dat alle Piramiden van de zelfde hoogte, op gelyke driehoekige Bafes ftaande, onder malkanderen gelyk zullen zyn (Ax. 1. i.);jn aanmerking neemende,dat ieder zodanige Piramide gelyk is aan een Kegel (L MN OP), van gelyke Bafis en hoogte.
THEOREMA VII. (b). leder Prisma (ABC DE FA), hebbende een driehoekige Bafis (AFE), is gelyk aan bet drievouwd eener Piramide , van de zelfde Bafis, en boogte.
C Laat, in de vlakken der drie zyden,
Éde Diagonaalen BE, BF; FD getrokJJ ken worden; dan zal het deel F B C D van het Prisma, dat door een Vlak, van F B en F D begreepen, afgefneeden wordt, een Piramide op B C D , als Bafis, zyn, hebbende de zelfde hoogte,als het Prisma zelve (Def. 16;' 7.), dewyl de beide lighaamen tusjs- JE fchen de zelfde parallele vlakken AFE,
BCD begreepen zyn (Def. 6. 7.). Daarenboven zal het overige deel F A B D E van het Prisma, door een Vlak, van FB en FE begreepen, in twee Piramiden FBAE, FDBE gedeeld worden, welke Piramiden, door dat dezelve op de gelyke driehoekige Bafes A BE,
BDE
(6) Eucl. 7. 12. B.



VIII. Boek. ( h2 )
BDE ftaan Oi.rO, aan eikanderen gelvk zvn r« 0 ^ Indien nu B als de top der Piramidf l h I\ C aangemerkt, zo blykt, dat de£Jp va,e wordc
COROLLARIUM AS^1^^» ^ een driehoekige rató, van de zelfde n0ogtP i;P eVOUWd eener Pi' hoekige Jtf, ftaat (rj. 8 el jJu gdyke ^
THEOREMA* VIII
Indien de 5a/er in Driehoeken, ABC, ACD *r gedeeld worden , zo is het openbaar , dat B ia e CA*
dlnnrm^',°P de ABC, zal zvn? want na
dienACc Selyk en parata/ aan Aa is (Def 6 v ïA zal Aa.C, zo wel als B**A en%baC
een



( 143 ) VULBomc. een Parallelogram zyn (23.1.). Derhalven is BbacCA gelyk aan het drievouwd der Piramide FGHL (Cor. van 7. 8.), ftaande op een gelyke Bafis FGH (Steil.en Ax. 10. 1.). En op dezelve wyze, is het Prisma Aa cdDC, op de Bafis ACD, gelyk aan het drievouwd van de Piramide FHIL, op de gelyke Bafis F Hl; en zo vervolgens. Dus zal ook het geheele Prisma Ad, op de Bafis ABCDE, gelyk zyn aan het drievouwd der geheele Piramide FGHIKL, op de gelyke Bafis FGHIK.
COROLLARIUM I. Hier uit volgt, dat alle Piramiden, welke de zelfde Bafis en hoogte hebben, gelyk zyn ; als zynde gelyke deelen van een en het zelfde Prisma.
COROLLARIUM II.
Op dezelve wyze zyn ook alle Prisma's, die de zelfde Bafis en hoogte hebben, aan malkanderen gelyk; als zynde gelyke veelvouwdigen van een en de zelfde Piramide.
COROLLARIUM III.
Derhalven blykt, dat ieder Prisma, op deszelfs Bafis overhellende, zo wel als ieder regt Prisma, gelyk is aan een regthoekig Parallelepipedum, van gelyke Bafis en hoogte (19.7.)5 en by gevolg5 dat alle Prisma's, hoe genaamd, die gelyke Bafes , en hoogten, hebben , aan malkanderen gelyk zyn. Het zelve is ook waar in Piramiden en Kegels; dewyl ieder zodanig lighaam één derde deel van een Prisma, of Cylinder, van de zelfde Bafis en hoogte, is (8.8. en 6.8.).
COROLLARIUM IV.
Hier uit volgt nóg, dat het geen, in Tbeor. ao. ar. en 22. van het voorgaande Boek aangaande de evenredigheid der Prisma's, beweezen is, van gelyken ook waar is in Piramiden en Kegels, dewyl deeze laatften gelyke deelen van de anderen zyn.
COROLLARIUM V.
Verder blykt , dat alle overeenkomftige affneeden
van



VUL Boek. ( i44 )
van Piramiden en Kegels, die de zelfde hoogte heb ben, ook tot eikanderen in reden zyn, als haJe __S Want dewyl de fneeden, op alle gelyke hoogten in' die reden zyn (Lemma 5.),hebben de afgefneeden dee" len, zo wel als de geheelen, ook de zelfde reden tot e kanderen (Cor. 4. van 8.80; en by gevolg, de "ver blyvende deelen van gelyken (3.4.).
COROLLARIUM VI
ho?gtednIykeniblynen%dat aUe Kege,S' waar ^n de noogten , en de Diameters van haare Bafes, in eene
regte reden Zy„ i„ de driedubbelde reden van haare hoogten tot malkanderen ftaan C23.7O; want dezehï zyn tot eikanderen in de zelfde red en 'met PrüinTs van gelyke Bafis en hoogte, waar van zy gelykeS len zyn (Cor. van 3.8. en Cor. van 1. 4.)
THEOREMA IX. (c) MtSPnsma's, en Piramiden, zyn tot el. kanderen m de driedubbelde reden van haare hoogten.
^^^^È^ ^^^^
Laat, van de einden der overeenkomftige zyden Aa, Ee op de Bafes ABCD, EFGH der voorgefteldê ighaamen Ac, Eg, de perpendiculairs aP, eQ getrokken worden. Dewyl dan de hoek BAD — FEH B Aa—FEe,en D AarrHEe is (Def. 5.7.^0"is ook
aP
, (c) Eucl. 33. 11, B. en 8. 12. B.



C 145 ) VIII. BoUK.
_P:_Q:-:aA:cE::AB:EF::AD:EH 14.4.). Derhalven zullen twee regte Prisma s, op de Bajes ABCD, E FGH geplaatft, walke, met de beide lighaamen Ac, Eg, de zelfde hoogten (aP,eQ) hebben, aan malkanderen gelykvormig (Def. 5-?Oi en dus in de driedubbelde reden der hoogten zyn (23-70- Maar de lighaamen Ac, Eg, als Prisma's aangemerkt wordende , zyn wederzyds gelyk aan de gemelde regte Trisma's; en wanneer men die als Piramiden aanmerkt, zyn dezelve gelyke deelen van deeze regte Prisma's (Cor. 3. van 8.8-). Dienvolgens zyn de lighaamen Ac, Eg ook in de driedubbelde reden van haare hoogten aP en eQ (Cor. van 1. 4.).
COROLLARIUM.
Dewyl aP:eQ:: Aa:Ee:: AB:EF&c.is,zo volgtj dat alle gelykvormige Prisma's, en Piramiden, tot elkanderen zyn, in de driedubbelde reden van de overeenkomftige zyden der gelykvormige Vlakken, die dezélve befluiten (Cor. 1. van 5.4->
THEOREMA t.
Ieder afgekorte Piramide (ABC DE FA), hebbende een driehoekige Bafis, is gelyk aan een geheele Piramide, van de zelfde Bafis en hoogte, met nog twee andere Piramiden, welke tot dezelve in reden zyn; de eene, als één der zyden (BD) van de bovenfte Bafis (BCD) tot derzelver overeenkomflige (A E) van de onderfte Bafis AFE); en de andere, als bet vierkant van de eerfte zyde, tot bet vierkant van de laatfte.
q Laat, in de vlakken der
Edrie zyden , de diagonaalen BE, B F , F D getrokken worden; dan zal het deel F BCD der afgekorte Piramide , dat door een Vlak, van FB en FD begreepen, afgefneeden wordt, een Piramide op BCD, als Bafis, zyn , hebbende de zelfde je hoogte als de affneede (Def.
* [K] 16.70;



VIII. Boek. ( 146 )
16.7.); dewyl de beide lighaamen tuffchen de zelfde parallele Vlakken AFE , BCD begreepen zyn (Df/?
Verder, indien van F B en FE een Vlak gemaakt wordt, zal het overige deel FABDE der affneede,iTtwee Piramiden F BDE, FABE gedeeld worden, die tot dkanderen de zelfde reden hebben, als haare Bafes BE D, ABE (20.7.) of als BD tot AE(7.4.). Maar de laatfte van deeze Piramiden (FABE), neemende B a s den top derzelve, heeft de zelfde Bafis en hoogte , als de gegeeven afgekorte Piramide; en de eerftgemelde Piramide FBCD is derhalven tot dezelve in reden, als de Bafis BCD tot de Bafis AFE (20.7.), dat is, ,eWSodn BqfeS 8eA'yTkv°mig zyn CCor. van Lemma 5.)l
Jf 2BP/-ft0tuD^,E,Cf3-4'^ waar door de waarheid der Propofitie baarblykelyk is.
COROLLARIUM.
t, i^d™ *al van deeze drie üghaamen (F A BE,FB D E, FBCD) in welken de voorgeftelde afgekorte Pirami. de gedeeld is, de reden, van het eerfte en derde, het dubbeld is van die van AE tot BD, of van de reden yan het eerfte tot het tweede (23.40, zo is het blykbaar, dat deeze drie lighaamen evenredig zyn (Def. 7.4.). Daar uit volgt dan, dat ieder afgekorte driel hoekige Piramide gelyk is aan twee geheele Piramiden* vande zelfde hoogte op Bafes gelyk aan de twee o! veritaande Bafes der affneede, met nog een derde Piramide , welke een midden-evenredige tuffchen de beide eerften is. Dus is het ook klaar, dat het geen hier boven, ten opzigte van driehoekige Piramiden, beweezen is, ook waar is in alle Piramiden en Kegels, hoe genaamd; dewyl een zodanig lighaam gelyk is aan eene driehoekige Piramide, van gelyke Bafis en hoogte (Cor. 3. van 8.8.), en iedere affneede van het eene, ook gelyk is aan de overeenkomftige affneede van het andere (Cor. 5. van 8.80-
THEO-



( 14? ) VIII. Bots.
THEOREMA X! (J)
Jeder Sphrera, of Kloot, is twee derde-deelen van een Cylinder , die om dezelve befchreeven is, of van een Cylinder , die gelyke Diameter en hoogte beeft.
a Laat AB de As zyn,
E;;; y-r-r-t^V-VI-P om welke denhalven Cir-
i \/ H /XT1' kei AGB, en de regthoek
; /\ ay\ ADCB, zich omwente-
[/ \ // \ lende, den Kloot en Cy-
_ \ [/_ ' linder voortbrengen (Def.
ty\_— jGc 12. en 14.7.)* Laat HL * j\ / een regte lyn zyn , die \\ J perpendiculair opAB ge: \ / trokken is, welke D C in ] I I L, en den omtrek des halli1' _B C ven Cirkels in K ontmoet;
en trek uit het Centrum ü, de lynen OK en OD, fnydende HL in I.
Nadien nuAO=AD (Steil.), ^en lil parallel met AD is C4.1O» zo is 00k Hi=OH QmOï d°ch aangezien O HI regthoekig in H ïs, zal den U^el, waar van OH (of Hl) de Straal is, gelyk zyn aan het verfchil der beide Cirkelen, waar van OK (HL)_en HK ftraaien zyn. Of liever, den Cirkel met Hl befchreeven, of de fneede des Kegels, door den Driehoek AOD, in deszelfs omwenteling' rontom de As AB, voortkomende , zal gelyk zyn aan het verfchil der beide Cirkelen, met HL en HK befchreeven; dat is , gelyk aan den Cirkel met KL befchreeven (Ax. 2 1. ) , of de fneede van het lighaam , dat overblyft , als de Kloot uit den Cylinder genomen wordt (24.4). Derhalven, aangezien deeze beide fneeden overal aan eikanderen gelyk zyn, zyn ook de lighaamen zelve aan eikanderen gelyk (Lemma 4.); dat is, de Kegel (EOD) zal gelyk zyn aan het verlchil, zo veel de Cylinder (GDEg) grooter is,als de ïngefchree-
. (d) Eucl. 17. 12. B.
_ K 2 J



VIII. BöÈK. ( 148 )
nf"LhalVr ,K!°0t C9A^5 by §evolg' als ^ Kegel, of het verfchil, een derde-deel van de Cylinder is (6 8 en Cor. 3. van U.), moet de halve Kloot noodzaakelyk aan de overblyvende twee derde-deelen gelyk zvn. Het geen nu hier, ten opzigte der helften van de voorgefielde lighaamen, beweezen is, is gelykelyk waar in de geheelen. Derhalven is ieder Kloot gelyk aan twee vin is eeaCybndcr>di& om dezelve befchree-
COROLLARIUM I.
Hier uit volgt, dat een Kegel, halve-Kloot, en Cylinder, van de zelfde hoogte, en op gelyke Bafes ftaande, in reden zyn, als de getallen 1,2, en 3, respetïive-
COROLLARIUM II. CO
Hier uit blykt ook, dat alle Klooten tot eikanderen in de driedubbelde reden van hunne Diameters zyn (Cor van 5. 8. en 23.7O, als zynde in de zelfde reden der omgefchreevene Cylinders, waar van zy overeenkomftige deelen zyn.
CO EucL 18. 12. B.
Einde van bet Agtste Boek.
GRON-



GRONDEN
DER
MEETKUNST.
NEGENDE BOEK. OPLOSSING
Van eenige gemakkelyke
MEETKUNSTIGE VOORSTELLEN,
V/aar in de toepaffing , en bet gebruik, der voorgaande THEORRMATA, klaar en bevatbaar wordt voorgedragen.
VOORSTEL I.
Van een regtboekigen Driehoek ABC ,de Bafis AB(it7), en de opftaande zyde B C (ijó) gegeeven zynde, de Hypothenufa AC te vinden.
OPLOSSING.
C i. Vergaar □ A B en □ B C te faa.
y\ men, zo heeft men □ A C (6.2.).
/ 1. Trek uit □ A C de Vierkants.
/ Wortel; dan is het begeerde ge-
/ vonden.
Toepafflng.
□ AB=_ 13689
□ B C = 24336 ■ verg'
□ AC=3S02j ✓
AC= 195
C K 3 ] VOOR-



X.Boeic. ( 150 )
VOORSTEL II.
Vaneenregthoekigen Driehoek ABC de opftaande zyde BC (116), en de Hypothenufa AC (145) negenen Figuur US AB U Vinden' Zie de ^órgaanS OPLOSSING.
ï. Trek DBC van DAC, zo heeft men □ AB (Cor van 6. 2.) v
a. Trek uit PAB de Vierkants-Wortel; dan is het be. geerde gevonden.
ToepaJJing. P AC —21025 PBC = 13450
— ■ afget.
PAB== 7569 «
AB= 87
VOORSTEL III.
Van een regtboekigen Driehoek ABC, de Bafis ABf_4"> en de Hypothenufa AC (91) gegeeven zynde, de op.
- VOORSTEL I. " Vindm' Zl£ dC FigUUr van
OPLOSSING.
j. Trek PAB van PAC, zo zal PBC overblvven (Cor. van 6. 3.). *
2. Trek uit P B C de Vierkants-Wortel, dan is het begeerde gevonden.
Toepaffing,
PAC = 828i PAB=7Q56 " afget,
PBC=I22T
V —
BC= 3S
VOORSTEL IV. Van ten gelykzydigen Driehoek ABC ieder zydt (=24)



( 151 ) IX. Boek.
gegeeven zynde, de Perpendiculair, of boogte, AD te vinden.
OPLOSSING. a i. Dewyl BD = DC is (16.1.),
a zo deel één der zyden als B C,
/ j\ door 2.
/i\ a. Trek □ B D van □ A B, zo zal
/ I \ OAD overblyven (Cor. van
/ I \ 6.2.).
/ \ 3« Trek uit □ A D de Vierkants*
_> C Wortel, dan heeft men A D.
Toepaffing.
_BC = BD=DC=I2
□ AB = 576
□ BD = i44-
. . ■ afget.
□ AD=43a
Y •
AD —20.78 &c.
VOORSTEL V. Van een gelykbeenigen Driehoek ABC de Bafis AC (42), en één der beenen AB, of BC, (75) gegeeven zynde, de perpendiculair, of boogte, BD te vinden.
OPLOSSING.
B 1. Dewyl AD = DC is (16.1.), zo
A deel den Bafis A C door 2.
/:\ 2, Trek DAD van DAB, zo zal
/ 1 \ _BD overblyven (Cor. van 6. 2.).
/ \ 2. Trek uit DBD de Vierkants-Wor-
j± I j A _ tel, dan heeft men BD.
Toepaffing.
■ AC = AD=:DC = 2i DAB —5625
□ AD= 441
- afget.
□ BD = 5i84
V
BD= 72 [ K 4 ] VOOR-



IX. Boek. ( i52 )
VOORSTEL VI. Fan een gelykbeenigen Driehoek ABC de Bafis A C (66Ï
33 OPLOSSING.
A I. Deel den Bafis AC, als voo-
/ ] \ ren' door 2.
/ \ \ 2. Vergaar □ A D en DBD te
/ i \ laatnen, zo heeft men DAB
/ | \ (Ö.2.).
kL ! \ 3- Trek uit DAB de Vierkants.
X» C Wortel, dan heeft men AB.
Toepaffing.
' ACr=ADmDC =33
□ BD = 3i36
□ A D= 1089
" verg.
□ AB=422J
V ,
ABz= 65
VOORSTEL VII.
De zyde van een Quadraat, of Vierkant C24V geseeven zynde, de Diagonaal A C te vinden. Segeeven
OPLOSSING.
X>i ji'c »• Vergaar DAB en DBC te
faamen, zo heeft men DAG (6.2.).
2. Trek uit □ AC de Vierkants, Wortel, dan zal de lengte van ,y' A C bepaald zyn.
Ar~ Lb
Tot-
\



( 153 ) IX. Boek.
Toepaffing.
□ AB= J7ö
□ bc= 57ó verg.
□ AC=iïj2 V „
a 0 = 33.94 &c*
VOORSTEL VIII. Van een Regtboek de lengte ab (68), en de breedte bc (5O gegeeven zynde, de Diagonaal ac te vinden.
OPLOSSING.
~ q 1. Vergaar dab en dbc te
W faamen ,zo heeftmenD ac
/ (6.2.)-
2. Trek uit dac de Vierkants - Wortel, dan zal de
xx m t, lengte van a c bepaald
15 zyn.
Toepaffing.
□ ab = 46a4
□ bc = fl6oi -verg.
□ ac=7225
V
AC~ 85
VOORSTEL IX.
Van een Regtboek de lengte ab (132), en de Diagonaal ac (143) gegeeven zynde, de breedte bc te vinden. Zie de voorgaande Figuur.
OPLOSSING.
I* Trek dab van dac , zo zal dbc overblyven
Cor. van 6. 2.). 2. Trek uit dbc de Vierkants-Wortel, zo heeft men
bc.
[KJ] T<*'



IX. Boek. C *54)
Toepaffing. □ AC = 20449 OAB= 17424
nnr— * afSet-
V _, .
BC= 55
VOORSTEL X.
Van een regtboeHgen Driehoek één der regtboeks zyden AE (45), en de Hypothenufa AC C?s) ïJiiA.
der Bafis AD nr ^f*ro^« **l de deelen
te vS£. AD' DC^ m de md™ regtboekszydeBC
OPLOSSING.
jB U ï- Vindt tot AC en A Been der-
/^TV\ ADOo-^f' 20 hÊeft men !/ \\ 2%Tre,k-AD van AC, 20 zal
■A- k fDC overblyven.
• ^ 3- Vindt tot AD en DC PPn
midden-evenredige, zo heeft men BD f16 a ï 4. Vindt tot AC en CD eenmidden-evenredise zo is ook BC gevonden (16.4.;. "cu_e, zo is
Toepaffing.
AC:AB::AB:AD AC = 75
75 : 45 « 45 = a? AD=27
AD:BD::BD:DC "Tc^IT^ 27 48 ^
rTrTTT _ AC:BC::BC:CD
v PBD=i396 __I___i___J 48
BD= 36 QBC = 3(5oT"
BC= 60
VOOR-



( 155 ) IX. Boek.
VOORSTEL XI. Van denzelven Driehoek, de deelen der Bafis AD (36), D C (64) gegeeven zynde, te vinden B D, A B, en B C. Zie de voorgaande Figuur.
OPLOSSING, li Vindt tot AD enDC de midden • evenredige BD
2 ^Veraaar A D en D C te faamen, zo heeft men A C.
o* zoek tot A D en AC, als ook tot AC en DC, een midden-evenredige, dan heeft men in het eerfte geval AB, en in het andere BC (16.4.).
Toepaffing.
AD:BD::BD:DC AD= 36
n6 : x :: x : 64 DC= 64
. . verg.
□ B 0 = 2304 AC =100
y.
BD= 48
AD: AB::AB: AC AC:BC::BC:DC 56: x :: x : 100 100: x :: x : 64
□ AB = 3<Soo DBC=640O
!/• • V
AB= 60 BC=: 80
VOORSTEL XII. Van twee lynen ABenDE, die malkanderen binnen een Cirkel fnyden, en met haare einden den omtrek ftooten; gegeeven zynde BC (42), AC (15), en DC (36); het deel CE te vinden.
OPLOSSING.
A,
Oi.Dewyl (door 11.3.) □ A C. . CB=aDC .CE is , * zo is ookDC:CB::AC :CE(Q.4-); derhalven heeft men tot DC, CB, A Cüegts een vierde evenredige te vinden.



IX. Boek.' ( 156 )
ToepaJJing.
dc:cb::ac:ce 3« : 42 :: 15 : ijf
VOORSTEL XIII.
OPLOSSING. V ^\ 1 • P£el A O door 2, komt
/ƒ \\ \ 40==ob=oc.
// \ ?\ \ 2- Trek □ bD van□ OB, // \ >s_ \ dan zal □ d O overblv-
^-Q ven (Cor. van 6.2.).
a. id o c 3« Trek uit DD Ode Vier-
4- Trek do van ao, dan ^Sa^^'
5. Vergaar do by oc, komt dc.
6. Zoek, door A d en bd de lyn ab, en door neen B d de lyn b c (Voor-ft. i. o.> °r U-C
Toepajjtng.
AC = 5o DOB — ^oy
□ DO = 49 ë
v ■
do= 7
AO = 25 OC=2s _LO= 7 do— 7
, AD=^afg'
□ ad = 324 ddc = io24
DBD = S76 DBD— 576
TTTp verg' ' " verg.
DAB-900 DBC==iöoo
V
AB= 30 BC= 40
VOOR-



( 157 ) IX. Boek;
VOORSTEL XIV. Van een Driehoek ABC de drie zyden (21, 20, 13) gegeeven zynde, de perpendiculair, die uit de boek B op den Balis valt, te vinden.
OPLOSSING.
1. Befchryf uit den top des Driehoeks B, als Ctn/ \ trum, met de kleinfte
f ...-••'vE zyde B C , als ftraal, een
f I?.--*'"' ; Cirkel, en verleng A B \ : tot aan den omtrek des
G3^/-y I ƒ Cirkels in E. Dan is
, -j AE de fom, en AG het
•A. _ D verfchil der beide zyden
AB en BC.
2. Dewyl □AE.AG = nAC.AFis(i2.3.), zo is ook AC:AE [of AB + BC] ::AG [of AB-BC] : AF (9.4O5 derhalven heeft men tot de Bafis AC , de fom der zyden AB, BC, en haar verfchil, een vierde-evenredige AF te vinden.
3. Trek AF van de Bafis AC, zo zal 'er FC overblyven.
4. Deel FC door 2, komt DF, of DC (2.3.).
5. Vergaar DF by AF, komt AD.
6. Trek DDC van DBC, dan zal DBD overblyven (Cor. van 6. 2.).
7. Trek uit □ B D de Vierkants-Wortel, zo heeft men BD.
Toepaffing.
AB + BCz=AE = 33, en A B — BC= AG=7-
AC:AE::AG: AF 21 : 33 :: 7 : 11
AC = 2i OBC = i69
AF=u fJDCrr 25
afget. ' afget.
FC = io □BD = i44
2 V ■
DC=DF__ 5 BD= 12 AF = n
. verg.
AD=i_ VOOR-



I
IX. Boek. ( ï5g )
VOORSTEL XV. Van een Stompboekigen Driehoek ABC de drie zyden (100, 55, 65) gegeeven zynde, de Perpendiculair te vinden, welke buiten den Driehoek valt.
OPLOSSING.
..<•-*1. Befchryf uit den top
/ \ des Driehoeks B, als
/ \E Centrum, met de klein-
f B i fte zyde BC, als ftraal,
Qi^-jJ^'X i een Cirkel j verleng A B
A ^—i 'X ƒ tot aan den omtrek de»
c'\"J)7& Cirkels in E, en AC
*'* f tot aan den omtrek in
* ^ ^ "7,"., F* Dan is A E de fom,
en AG het verfchd der beide zyden AB en BC
fl..Dewyl □AE.AG = nAF.AC is (12.3.), zo is ook A C: A G [of A B - B CJ:: A E [of A B-j- B C] :A1- (9-4-); derhalven heeft men tot de Bafis AC, het verfchil der zyden AB, BC, en haar fom, een vierde-evenredige AF te vinden.
3. Trek AC van AF, zo zal 'er CF overblyven.
4. Deel CF door 2, komt DC, of DF Cu.'*.).
5. Vergaar CD by AC, komt AD.
6. Trek □ CD van GBC, dan zal DBD overblyven (Cor. van 6. i.\ '
7. Trek uit □ BD de Vierkants-Wortel, zo heeft men B D.
Toepajfing.
AB + BC=AE=:i65, en AB-BC=AG=35 AC : AG AE : AF 55 - 35- 165 : 105
AF = io5 dB 0=4225
AC = 55 OCD= 025
—- afget. •— afget.
CF = 50 □ BD = sóco
2 \/— 1 ,
DF = DC = 25 BD= 60 AC= 55
—— verg.
AD= 80 t VOOR.



( 159 ) IX. Boek.
VOORSTEL XVI.
De Bafis AB (84) van een regthoekigen Driehoek ABC, en het verfchil (56) tuffchen de Hypothenufa AC, en de opjiaande zyde BC, gegeeven zynde, de opftaande zyde. en de Hypothenufa te vinden.
OPLOSSING.
u Befchryf uit den ... r^ top des Driehoeks C..•••*"" \ C, als Centrum, | met C B,als ftraal, ir*^ ƒ een Cirkel; en
.-JSf''\ J verleng AC tot
' j ......^ aan den omtrek
A 1 " B" des Cirkels in E.
Dan is AD het
verfchil tuffchen de Hypothenufa AC, en de opftaande zyde BC; en AE de fom van die zyden. 2 Dewyl □AE.AD = DAB is (Cor. van 12. 3.), 'zo is ook AD:AB :: AB : AE (9.4O; derhalven heeft men tot A D en A B een vierde-evenredige AE te vinden.
3. Trek AD van AE, zo zal 'er DE overblyven.
4. Deel DE door 2, komt DC, of CE, =BC.
5. Vergaar AD by DC, komt AC.
Toepafftng.
AD : AB :: AB : AE 56 : 84 :: 84 : 126 AE=i2Ö DC=35 AD= 56 AD = 5ö
• 1 —afget. • • verg.
DE= 70 AC =91
DC=CE==BC = 3j
VOORSTEL XVII.
De drie zyden A B (69), B C (52), A C (29), van een Driehoek ABC gegeeven zynde, de ftraal des Cirkels, die in dezelve kan befchreeven voorden, te vinden.
OP-



IX. Boek. ( 16b )
G
OPLOSSING, i» Indien men E, F, G als raakpunten, en O als het Centrum des Cirkels aanmerkt, dan is OE perpendiculair op AB, OF op AC, en O G op BC (8.3.); en dewyl deeze perpendiculairs OE,OF, OG ftraa-
» ™an de£ Cirkel zyn* 20 hebben de Driehoeken AOB, AOC,COB alle een gelyke hoogte, en derhalven is haare fom, of den Driehoek ABC , gelyk aan een Driehoek, welke de fom der zyden AB-f* AC + BC tot Bafis, en de ftraal des Cirkels OE tot hoogte heeft.
Nu is den Regthoek onder de fom der zyden, en den ftraal des Cirkels, gelyk aan het dubbeld van den Driehoek ABC; en op dezelve wyze, den Regthoek onder de Bafis AB, en de perpendiculair CD, die uit den top des Driehoeks op den Bafis valt, ook gelyk aan het dubbeld van dien zeiven Driehoek (Cor. 1. van 2.2.). Dienvolgens □AB+A^+BC . OE = D AB .CD, en dus A B + A C-f B C: A B::CDrO E.
Men zoeke derhalven eerft (door Voorftel 14.) de Perpendiculair C D, en vervolgens tot de fom der drie zyden , de Bafis A B, en de gevondene Perpendiculair C D een vierde-evenredige. Deeze zal de ftraal des ingefchreevenen Cirkels zyn.
Toepaffing.
Volgens Voorftel 14. vindt men CD =120
AB + AC + BC:AB::CD:OE ijo : 69 :: 20 : 9}
VOOR-



( iöi ) IX.Boek.
VOORSTEL XVIII.
De drie zyden AB (30), BC (26), AC (28) van een Driehoek ABC gegeeven zynde, de ftraal des Cirkels, die om dezelve befchreeven kan worden, te vinden.
OPLOSSING.
1. Zoek de perpendiculair -BD, —door Voorftel 14. //f\ 2. Dewyl □ AB . BC=n /y^ / \\ EB.BD is 05-30- zo is
kU- <\ HC BD:BC::AB:EB C9.40;
/ ■»/ 1 en derhalven heeft men tot
1 / f J B D, B C, en A B een vier-
\ / /' / de-evenredige E B te vinden. \ / /* / Deeze zal den Diameter des Xjfr ^y Cirkels zyn.
-p n. Deel EB door 2, zo heeft
men FE, of FB.
Toepaffing.
Volgens Voorftel 14. vindt men BD=24. BD : BC :: AB : EB 24 : 26 :: 30 : 32} EB = 32^
FE = FB = i6' VOORSTEL XIX.
De zyden AB (60) ,enBC (52") van een Driehoek ABC, in eera CirW bejcbreeven, en den Diameter des Cirkels EB (65) gegeeven zynde; de Bafis A C te vinden. Zie de voorgaande Figuur.
OPLOSSING. t. Vindt tot EB, BC, en AB een vierde-evenredige Vis.3. en 0.4.)*. zo heeft men BD.
2. Trek DBD van DAB, zo zal □ AD overblyven (Cor. v m 6.2.).
3. Trek DBD van DBC, zo-zal DDC overblyven (Cor. van 6. 2.). _ ,
. [ L ] 4- Trek



IX. Boek. c l6i )
^S?kZoUihe?ftAmDen ÏD 1,,^°' * V^ants-Wo, J. Vergaar AD en DC te faamen, komt AC.
ToepaJJing.
EB : BC :: AB : BD 6J : J2 :: 60 : 4g
□ AB=36oo □BC=:a7o4
□ BD=ra3o4 □ B D = 3304
|/_DAD = ,^ afget^Jü£C^7crafget' AD= 3Ö ' Dc= —
IJ C = 20
" ■1 ■— verg.
AC= j6
VOORSTEL XX. De Bafis AC (56), ff« </e perpendiculair Rn r,.c^
Diameter^rFf'6^ r^ a/r ^ol
OPLOSSING.
£ ^ J- Trek OF^ra/WrnetBD,
x. en üGparallel met AC
/ / \x \ a# D?eldenZ)w^erBEdoor
/ / \ x \ 2,komt AO = OB = OE
f /g \o\ 3- Deel den AC door 2,*
1/ 7|v \/ komt AF, of FC.
x \ / zal □ F O, of □ D G, over.
x. \y blyverj (Cor. van 6.2.)
E 5- Trek D G van B D, zo' zal
_ , Ju Lr overblvven
6\Trt DB° van DB0> 20 zal OGO,'of DDF overblyven (Cor. van 6. 2.) »
7. Vergaar DF by FC, komt DC; en trek ook ni? van AF, zo zal AD overblyven. °k DF
8. Zoek door A D en B D de lvn AB Pn r>r> BD de lyn BC (Voorfl. 1.9.). ' d°0r DC en
Toe*



( i6"3 ) IX. Boek.
Toepajjing. BEr=oj DAOrriTOSÓI
2 DAFrrr 784
AO = OB=:OE=32| afget.
□ FO = 272I
AC = 56 V
1 FO= i6f = DG
AF = FC = 28
BD = 48 DBO=:ioj6|
DG = i6| DBGzr 992I
afg. ■ afget,
BG = 3i* DGO=z 64
V
GO= 8 = DF
FCr=r28 AF = 28
DF= 8 DF= 8
verg. • — afget.
D C = 36 AD = 2o
□ BD = 2304- □BD = =304
□ ADrrr 400 □ DC = 1296 verg. ■ ■ — verg,
□ A B: 2704 DBC: tfco
V V
AB= 52 BC 7. Co
VOORSTEL XXI.
Van een Vierhoek ABCD, in een balven Cirkel befchreeven, gegeeven zynde den Diameter AD (65), de pees CD (25), en de pees BC (39.)» de pees AB te vinden.
OPLOSSING.
-d I. Trek de Diagonaalen
B D, en A C; als ook // ' " XC C E perpendiculair op
// '■><••""/ Yv BD. // M;, \\ 2. DewyldehoekACD
f/..--"'" ^ '••...\\ —- een regte hoek
.A- 3i> (7.3.) =CEB
(Confir.); en de hoek CAD=CBE is (5.3.), zo C L 2 ] zyn



IX. Boek. ( 164 )
zyn de Driehoeken AC Den BEC gelykhoekig (Cor. i.vang. 1.); derhalven AD:BC::CD:CE(n 4.): en dus heeft men in dit geval tot AD, BC, CD een • vierde-evenredige te vinden, dan zal de lengte van de perpendiculair C E bepaald zyn.
3. Trek □ CE van DBC, en ook van □ CD, zo zal m het eerfte geval □ BE, en in het andere O ED overblyven (Cor. van 6. 2.).
4. Trek uit □ BE, en QED de Vierkants-Wortel: dan heeft men B E en E D.
5. Vergaar BE en ED te faamen, zo heeft men BD. ö. Trek DBD van O AD, zo blyft 'er □ A B (Cor.
van 6. 2.).
7. Trek uit □ AB de Vierkants-Wortel, zo heeft men A B.
Toepajjing.
AD : BC :: CD : CE
6j : 39 :: 25 : 15 OBC=tj2i DCD— 625
DCE= 225 D CE = 225
afg. afget.
öBE=i29ö nED=4oo
V v
BE=3<5 ED= 20
ED=20
. verg.
BD=j6
□ AD: 4225
□ BD = 3i3ö
■ afget.
□ AB: 1089
V
AB= 33
VOORSTEL XXII.
Van een Driehoek ABC, uit wiens top B een lyn "RE, tot bet midden van den Bafis, getrokken is; gegeeven zynde AB (25),BC O?)» en BE (16.15), vinden AC.
OP-



( lés ) IX, Boek;
B OPLOSSING.
/h i. Vergaar DAB, en OBC
/ \\ te faamen, en trek van de
/ \\ fom 2D.BE , dan zal 'er
/ /1 \ jQAE, ofaOEC,over-
/ / I \ blyven (9.2.).
/ / ! \ 4. Deelditoverblyffeldoor2,
&f- *C zo heeft men O AE , of
3. Trek uit □ AE , of O EC, dé Vierkants-Wortel, zo heeft men AE, of E C.
4. Vergaar AE en EC te faamen, komt ac.
Toepajjing. □ AB=625 QBE = aÖo.822J
DBC = a89 T~a
. 1 verg. aOBErjai .645
□ AB-r-öBC = 9i4
2dBE = 52i. 645
afget.
2 □ A E = 2 D E C = 392. 355
p AE EC= 196.1775
V
. AE:—:EC— 14 naby AE= 14
. verg.
AC= 28 VOORSTEL XXIII.
J% Van de ne-
sy ;\ venjtaande Drie-
// j \ boek ABC ge-
// \ geeven zynde,AB
// \ >~v<ij \ (49) , en CE // \ r\ \ (65) \te vinden
AV I ! BE.



IX. Boek. ( 166 )
OPLOSSING.
%' ^iK?®' EP beide Perpendiculair op de Bafis AC en EF perpendiculair op 6D. ^AL'
6BE.ek U" ° ^E de Vierkants-Wortel, zo heeft men Toepajjing.
Door VOORSTEL XIV. vindt menCD=ro2, GG=j7.i, üD=óo, en EG=31,05.
CG=57.r BD=z6o CD = 32 EG = FDr=3i.o5
pjTTTn afget* — afg-
EP_GD = 25.i. BF=28.95
□ EF=—: 63o.oi OBF= 838.1025
- verg'.
□ BE = ia68.Ii25
v ! _-
BE— 38.31 VOORSTEL XXIV. Op de» Diameter eens Cirkels zyn twee Perpendiculairs getrokken, welkt den omtrek Jiooten, en is gegeeven AH (24), CD(i8), DB (42; ; den Diameter V P te vinden.
^ -^a OPLOSSING.
C/C..... ,/\ n i* Trek CG evenwydig
7 "'"?"" F \(x aan VP, en G H even-
/ / ! \ wydig aan A B, of aan
[ / 1 \ CD.
VIB E—WiHï a- Dewyl AB —BI
1 ju Ji= ±11 Ca.sO.en BF = Cü
\ \ 1 is, zo is FI de Som,
* V \ J en A F het verfchil der
3/ Perpendiculairs A B en
^ <E CD.



( i6'7 ) IX. Boek.
CD. Derhalven O AB - □ BF [□ CD] = □ AF.
FI (5.2.) ==ÜCF.FG [DOrJ.Bh] (11.3O.
Men trekke dus DCD van DAB, en deele het o-
verblyffel door D B, komt B H. Vergaar DB en BH te faamen, komt DH. 4 Deel DH door 2, komt DE, of E H. 5. Vergaar DDE by O CD, komt □ CE (6.2.). 6 Trek uit O CE de Vierkants-Wortel, dan heeft men
'CE = AE = VE = EP. 7. Vergaar VE en EP te faamen, zo zal den Diameter
VP gevonden zyn.
Toepajjing.
□ AB = 576
□ CD = 324 afget.
ODB.BH = 252
DB = 42
BH= 6
DB=: 42
- ■ verg.
DH= 48 2 —■
DE=EH= 24
□ CD = 324
□ DE=576 ■ verg.
□ CE = 9oo
v ■
VE = CE = 30 EP=AE= 30
■ ■ verg.
VP . . . . 60 den Diameter.
VOORSTEL XXV.
Van een Driehoek ABC de drie Perpendiculairs BD (260), AE (273) , CF (420) gegeeven zynde, de zyden des Driehoeks te vinden.
[ L 4 ] OP-



IX. Boek. ( 16$ )
OPLOSSING.
1. Dewyl , in de Driehoeken A BD, ACF, de hoek Sri? a riregte u°-e} CStdL:> — F» en de hoek BAC vnrmia %T ^^emeen is» zy" dezelve gelyknnl £ (n^I4/40; en door de zelve reden zyn elSnï Dneh°e\™ ABE, BCF gelykvormig aan dkanderen. Derhalven A B: A C:: B D: CF,en A B '£™aAEjCF^(«-4->. Men bepaale, derhalven ,
es Driehoeks in proportfcjen,door VOOR.! öijiL, Aiy., de geproportioneerde Perpendiculair bd.
2. Dan iii bd'geproportioneerd tot BD, als a A, Ac, ac tot AB, BC, AC respe£livelyk(n.^.,). ' '
Toepaftng.
AB:AC::BD:CF::26o:42o, of:: iV2I AB;BC::AE.:CF::273:42o, of::I3:20 Indien nu AB—13 is; dan is na de zelfde reden
xiv^^^^tó0^door V00RST^
Derhalven Ad : BD :: al : AB 12 : 260 13 : ag»V*
Ad ; BD :; £c : BC '12 : 260 :: 20 : 433J
Ad : BD :: ac : AC 12 : 260.;; 31 ; 455
VOOR..



( I0-9 ) IX. Boek.
VOORSTEL XXVI. Van een Driehoek ABC de drie zyden AB (13),, BC W KF KB KE KC KD der lynen, welke uü elk denhoeken, tot bet midden der overmande zydet getrokken worden.
a. g p x> C
OPLOSSING.
ï Aangezien de Driehoeken ABD, DBC gelyke Bafes en hoogte hebben, zo zyn dezelve aan malkanderen eelvk (Cbr. 2. van 2. 2.), en op dezelve wyze ook den Driehoek ARD = üKC. Indien men nu deeze laatfte gelyke Driehoeken van de eerften aftrekt, za? derf Driehoek ABK = BKC overblyven (Ax. <■ 1 ") Door een gelyke redeneering zal blyken , dat den Driehoek A K C = A B K = B K C is; dewyl nu deeze gelyke Driehoeken te faamen den Driehoek A B C uitmaaken, zo is, Driehoek A B C : A K C :?3:1.
2. Zoek, door VOORSTEL XIV., de Perpendiculair B G
o Trék K P Perpendiculair op A C, en K Q parallel aan 3' A C; dan is , Driehoek A B C : A K C : B G tot K P fa a ~) Men deele derhalven BG door 3,komtKP. 4. Trek KP(=QG) van BG, dan zal BQ overbly-
< Vergaar □ AB en DBC te faamen, en trek van de fom 2 □ A D, dan zal 'er 2 □ B D overblyven ^.a.).
6. Deel a □ B D door 2, zo heeft men □ B D.
7. Trek uit DBD de Vierkants-Wortel, zo heeft men
BD' [Lj] 8. De-



IX. Boek. C 1?o )
8. Dewyl nu BG:BQ::BD:BK isdn^ ï wn.
l a Pt ZV? BK zyn' en raen zal vervolgens«. makkelyk ook de overige deelen kunnen bepSen?
Toepajjing.
DS=fBGX=;.Vindt men BG==I2Ï d«haIven
ap BG=ri2 KP —QG = 4
AD=i0.S * ^t.
□ AB=:iö9
□ B C - _- 400
□ AB + DB 0=569 Verg' 2DAD= 220.5
' ■ < afger.
2 06 0=348.5
2 • _
□ BD=i74.25
V -—
BD= i3.2
BG : BQ :: BD : BK 12 : 8 :: 13.2 : 8.8 &c.
VOORSTEL XXVII.
D Van de nevenjlaande Figuur A B
A C D E , hebbende twee regte
/•• \ boeken A en B, gegeeven zynde
ff \ AB (24), BC C14), CD
/ >' \ C3o),DECas),eijAEC20i
/ / \ de Perpendiculair DG te vin-
/ \ den.
E L ilL. 1 \
"h"---..... \ OPLOSSING.
Fj^jAp I. Trek de lyn EC; en FC parallel aan A B; dan is A F =BC,en FC = AB. Trek derhalven AF van AE, zo
a (k jj Zal EF overblyven.
2. Ver-



( 171 ) IX.Döek.
2. Vergaar E3 E F en □ F C te faamen, dan heeft men DEC (6 2.).
e Trek uit □ E C de Vierkants-Wortel, komt E C.
1 Trek uit D, op EC als Bafis, de Perpenaiculair D H, en bepaal, door Voorftel XIV., de deelen der Bafis E H, H C, en de gemelde Perpendiculair.
5. Trek EI parallel met AB, fnydende de Perpendicu- ' lair DH in K. ... *' h .
6. Nadien de hoek DIK = een regte hoek (Conftr.) ^DHErrEFC, DKI = EKH(3.i.),en J% — ECF is (7.1O; 20 zyn de Driehoeken DKI, HEK EFC gelykhoekig (Cor. 1. van 9. i.),en dus ook gelykvormig (Def. 14.. 40- Derhalven FC: E F ::EH:KH (11.4.). Datis, zoek tot FC, EF, en E H een vierde-evenredige, komt KH.
- Trek KH van DH, zo zal DK overblyven.
a Dewyl, door de gelykvormigheid der Driehoeken EFC, DKI; EC:FC:: DK:DI is (11.4O» zoeke men tot EC, FC, en DK een vierde-evenredige,
komt Dl. „ „ r.
9. Vergaar Dl en IG (of AE) te faamen, komt DG.
Toepajjing.
AE = ai □AB = DFCr=:57<5 BC = AF=i4 DFE= 49
afget. — — verg.
FE = 7 DEC=025
Y
EC= 25
Door Voorftel XIV. vindt men EH = 7, HC = i8, en DH = 24.
FC: EF::E H :KH D9~24 ,
ui : 7 :: 7 : 251 K. H —
24 7 ' 2+ _ afget.
EC:FC::DK:DI DK = 2iif
***M*>*m&™* DI=«.oB AE —IG=2i
DG =42.08
VOOR.



IX. Boek. ( x?% )
VOORSTEL XXVIII. D
/ \ Vm de nevenflaande
/ \ Figuur ABCD,
y \ \ hebbende een regte
/ \ \ boek B, gegeeven
/ \ zynde AB (63),
/ p ...l \r B C (16), C D
/ KC37),^AD(67);
/ H de Perpendiculair
A ( DE te vinden.
■A- eb
OPLOSSING.
\ fiZy*r dab'en dbc te faamen> komt dac
3'r?H7—ei°HkAEHTeen regte hoek =B = DGH,
DriehoeTeA ARp*'A'J° de h°ek ^AC aan dl ^nenoeKen Ac, AEH gemeen is 70 7vn He
T^r«fl»0n ^ B C, A E H, D G^H gelyk'ho^ékig^Cor? v'cTt en dus AB:BC::DG:GH (11.4.) Zoek derhalven tot AB, BC, en DG een vierde, evenredige, komt GH.
4. Trek GH van AG, zo zal AH overblyven.
5, hnpE! rrRdp' d°°Me eenvormigheid der Driehoeken ABC, en AEH, AC:BC::AH:HE is O MO, zoeke men tot AC, BC, en A H een vierde-evenredige, komt HE.
S'M?£' door de gelykvormigheid der DriehoeJen ABc eDDGH) dat BC:AC:: HG:DH is. Zoek derhalven tot BC, AC, en HG een vierdeevenredige, komt DH. Ö
7. Vergaar DH en HE te faamen, komt DE.
Toe-



( 173 ) IX. Boek.
Toepajjing.
□ A B = 3969 Door Voorftel XIV. vindt
□ BC= 156 menAG = 56f,GC== j __verg. 8ï, en de Perpendiculair
□ AC = 4aas DG = 3ö-
V 7^_- 6y AB:BC::DG:GH 63 : 16 :: 36 : 9.14
AG=56.5
GH— 9.14 AC:BC::AH:HE afget. 6j : 16 ::47-36:u.65
AH=47.3Ö DH=37.x3 BC:AC::HG: DH HE = u.ö6
,6 : 65 ::9.i4:3M3 5~*«*
VOORSTEL XXIX.
Van een Trapezium ABCD drie zyden AB (08), BC (95), CD (3a); «n de Diagonaalen AC (87), BD (82) gegeeven zynde, de overige zyde AD te vinden.
A.
/g] -^^D
* E 1? C
OPLOSSING, ï. Zoek, door Foor/WXIV, AE,BE,DF,FC.
2. Voeg BE en FC te faamen, en trek de fom van BC, zo zal EF (=GD) overblyven.
3. TrekDF (=GE) van AE, zo zal AG overblyven. •
4. Ver-



IX. Boek. ( 174 )
4. Vergaar DAG en GGD te faamen; dan heeft men □ AD (6.2.). "
5. Trek uit □ AD de Vierkants-Wortel, komt AD.
Toepajjing.
Door Voorjlel XIV. vindt men AE=r6o,BE — 1» DF=i26.79, enFC = i7.j. 3 *
BE—32 AE = 6b VC=ij.s DF=rGE = 2ö.79 * verg. a f„
BE+BC = g-4afget' AG=33.2i *'
□ AG r=r 1102.9041
□ GD =: 2070.25
■ ■ verg.
aAD:=3i73.ij4r
V •
AD= 56.33
VOORSTEL XXX.
Ben Diameter eens Cirkels AB (130), deszelfs verlengde deel BC (6), en de Perpendiculair DF (63), getrokken uit een willekeurig punt D op den Diameter, gegeeven zynde; te vinden CE , en E D. '
^^—^JSy OPLOSSING.
j^S. *• Deel den Diameter
/ l \\ AB door 2, komt
/ / \E AO=rOB = DO.
. f / V\ 2. Trek DDF van □
t ö—if—li C D0' 20 zaI D0F
\ ƒ overblyven (Cor. van
\ J 6. 2.).
\ JT ' .'3. Trek uit DOF de ^^^^ Vierkants-Wortel, komt OF.
4. Trek OF van O f5, zo zal FB overblyven.
5. Vergaar F B en B C te faamen , i'omt FC.
6. Vergaar □ FC by □ DF, komt DDC (6.2.).
7. Trek



( 175 ) IX. Boek.
7. Trek uit DDC de Vierkants-Wortel, komt DC.
8 Vergaar AB en BC te faamen, komt AC.
o'. Dewyl nu □ AC.BC = □ DC. CE is (12.3.), zo is ook DC:AC::BC:CE (9.4.). Men zoeke derhalven tot DC, AC, en BC een vierde-evenredige, komt CE.
10. Trek CE van DC, zo zal ED overblyven.
Toepajjing. *AB = AO = OB = D O =65.
□ DO=4225 OB = 65
□ DF=39ö9 OF = 16 afget. ■ . afget.
□ OF= 256 FB=49 f/ BC = 6
OF== 16 ■ verg.
FC=55
□ FC = 3025
□ DF = 39<39
^ «—- vérg. AB = 130
DDC=6994 BC = 6
Y- ■ verg.
DC=83-ö3 AC = I36
DC : AC :: BC : CE 83.63 : 136 :: 6 : 9.76
D 0 = 83.63 CE= 9.7Ö
afget.
DE=73.87
Einde van bet Negende Boek.
GRON-



GRONDEN
DER
MEETKUNST.
TIENDE BOEK.
Van de MEETING der Vlakken en Lighaamen.
Ieder Grootheid wordt door eene andere Grootheid, van de zelfde foort, gemeeten; als een lyn door een lyn, een vlak door een vlak, en een lighaam door een lighaam: en het getal, dat aantoont, hoe menigmaal de kleinfte grootheid, of de meetende eenheid, in de grootfte, of gemeetene, grootheid begreepen is, wordt de Jirea, or Inhoud, der gemeetene grootheid genoemd.
J>l—,—,—1 ; c
M II! I
a! ' ' s 1 B
Om dit door een Voorbeeld op te helderen, zo laat den Regthoek ABCD de grootheid zyn, die gemeeten zal worden, en het vierkantje M de voorgeftelde meetende eenheid. Deeze meetende eenheid is grooter, of kleinder, vol gens de ondtrfcheidene maaten , welke men tot de Afmeetingen der voorgeftelde grootheid begeert over te brengen, of met dezelve vergelykt.
Dat is; indien de Afmeetingen in Duimen genomen worden, zal de Inhoud uit vierkante Duimen faamenge-
fteld



( 177 ) X.Boek
field zyn; indien de Afmeetingen in Voeten genomen worden, zal de Inhoud uit vierkante Voeten faamengefteldzyn; indien de Afmeetingen in Roeden genomen worden, zal ook de Inhoud uit vierkante Roeden bejiliicin enz»
Stellende nu, dat een zyde van het vierkantje M, of de meetende eenheid, één Duim is, dan bevat de voorgeftelde Regthoek zo veel vierkante Duimen, als het getal, dat aantoont, hoe menigmaal het vierkantje M in den Regthoek begreepen is; zo dat, ftellende j Duimen voor de lengte AB, en 3 Duimen voor de breedte AD; de Inhoud van de Regthoek 3 maal 5,of 15vierkante Duimen, zal zyn. Want, indien men, op één Duim afftand, lynen parallel aan de zyden trekt, zullen dezelve de geheele Regthoek ABCD in 3 maal 5, of 15 gelyke deelen, elk van één Duim verdeelen. En in 't algemeen, hoedanig de maaten der beide zyden ook mogen zyn, zo is blykbaar, door 7. 4., dat den Regthoek het vierkantje M zo veel maaien zal bevatten , als den Bafis A B de Bafis van het vierkantje begrypt, en dat zo menigmaal herhaald, als de hoogte AD de hoogte van het vierkantje bevat. Derhalven, om de Inhoud van een Regthoek te vinden, zo vermenigvuldig de Bafis met de boogte, en het produft zal bet antwoord zyn. Dus, indien de lengte 16 Duimen, en de breedte 12 Duimen is; zal de Inhoud 12 maal 16, of 192 Vierkante Duimen zyn.
De wyze, om de Inhoud van
een Regthoek te vinden, dus be-
/^s. / kend zynde , zal de Inhoud van
/ / een Parallelogram ABEC, of
/ ^v/ Driehoek AUC, ook bekend
AT^r\ C zvn» dewyl de eerfte van deeze
Figuuren gelyk is aan een Regthoek van de zelfde Bafis en hoogte, en de laatfte even zo groot is,als de helft van eenen zodanigen Regthoek Cor. 2. van 2. 2.). Derhalven vermenigvuldig de Bafis met de Perpendiculair, voor de Inhoud van een Parallelogram; en de Bafis met de halve Perpendiculair, voor die van een Driehoek. Laat dus, bv voorbeeld, de Bafis AC 18 Voeten, en de Perpendiculair BD 10 voeten zyn; dan zal de Inhoud van het Parallelogram 180, en die van de Driehoek 90 vierkante Voeten zyn.
I M ] Door



X.B'oekV ( 178 J
Door de wyze, ~~ C om den Inhoud
ƒ \ TT .•• •"' / eens Driehoeks te
\"4 jp \ ...? •:" / vinden, kan ook
\ i \ / die van eene wil-
\ / G \ / lekeurige regtly-
j%y~~ '-'-n nigepïatteFiguur,
-0 als ABCDE,bepaald worden, door de geheeie Figuur in Driehoeken fe deelen, en de Inhoud van ieder Driehoek te vinden. Dus indien de deeiende lynen, of de Diagonaalen AC, en AD 37 en 20 Duimen, en de Perpendiculairs BH, DG, EF, op dezelve getrokken, respectivelyk 12,16, en 14 Duimen zyn,zal van de Driehoek ABCi r2toi ACD VdeInhoud< 280 ivierkante Duimen zvn. ADE J l^oi
Dus blykt, dat de Inhoud van de geheele Figuur, de fom van alle deeze Driehoeken, of 630 vierkante Duimen, zal zyn. Doch, als de gegeeven lynen door breuken , of zeer groote getallen uitgedrukt zyn, kan het werk eenigermaaten verkort worden, door de Inhoud van twee Driehoeken, die de zelfde Bafis hebben, in ééne bewerking te vinden; dat is, door eerft de beide Perpendiculairs te faamen te vergaaren, en vervolgens de helft van de fom met de gemeene Bafis, der beide Driehoeken , te vermenigvuldigen. Dus, dewvl, in het laatfte voorbeeld, de halve fom der beide Perpendiculairs , BH en DG, 14 is , zo vermenigvuldigt men dit getal met 35, de maat der gemeene Bafis AC, en het produtï (490) zal de Inhoud van het Trapezium ABC DA ?yn; hier by 140, de Inhoud van den Driehoek ADE vergaarende, zo zal de fom (630) de zelfde als Vooren zyn.
Indien de voorgeftelde Veelhoek regelmaatig is, dat is; een zodanige, waar van de zyden en hoeken alle gelyk zyn, is de kortfte wee, de halve fom van alle de zy. den, met de lengte der lyn, uit bet midden van één der zyden, tot bet Centrum van den Veelhoek getrokken, te vermenigvuldigen. De reden hier van blykt klaar, uit het Bewys van Theorema II. Boek VUL
Heb-



( i79 ) X.Boek.
Hebbende getoond, hoe de inhoud van eene regtlynige Figuur bereekend kan worden , zal het noodig zyn, ook iets van den Inhoud,en den omtrek , des Cirkels te zeggen. ... i
Het is genoegzaam bekend, dat het bepaalen van den waaren Inhoud eens Cirkels, en de vinding eener regte lyn, die naauwkeurig aan den omtrek deszelven gelyk is, door Wiskunftenaars, als volftrekt onmogelyk wordt aangezien. En fchoon noch het eene, noch het andere, naauwkeurig bekend kan worden , zyn er echter onderfcheidene wegen gevonden , door welken men ,tot eene bepaalde trap van naauwkeurigheid, daar toe kan naderen. .
Wy zullen hier toe eene Leerwyze verkiezen, die , hoewel langwyliger als veele andere, nogthans de natuurlykfte voor dit onderwerp fchynt, als van de eenvouwcliyfte en klaarblykelykfte grondbeginfelen afhangende. Tot dat einde zullen wy vooraf Hellen het volgende
LEMMA.
Indien AU een Diameter, ra AC, CD twee gelyke booeen van den zelfden Cirkel zyn, dan zal, trekkende de peefen B C , BD, □ B C = { □ AB . BD + \ □ AB zyn.
EL \
Laat, in het verlengde van BA, AF = BD genomen, als ook CF, CA, CD, en de ftraal CE getrokken worden.
, Dewvl dan de uitwendige hoek F AC, van het lrapezium A C D B, gelyk is aan de overftaande inwenaige [Ma] hoek



X.Boek. ( 180 ) \
hoekBDC Cio.30,als mede AF= BD,enAC-Dr (Steil.); zo is het blykbaar, dat ook F C—R^ en by gevolg de hoek F = FBC = BCE is. Du~sk rf„nr degelykhoe^
BC*»r°*'GflB):BC::BC:BF CBD+ ABVen bv gevolg □ B C = j □ A B . B D + J □ AB. Dat te bewl zen vaas. oewy-
COROLLARIUM.
Indien den Diameter A B door het getal 2 wordt uit drukt^al de pees B C uitgedrukt worden, door
?,D + 2; naar uit b'vkt' dat' indien *y de maat, •van de vervullende pees eens boogs , bet getal 2 vergaard wordt, de Vierkants.wortel uit defom de vervullende pees der helft van dien boog zal zyn. ' r
Om dit nu op hec voorgeftelde onderwerp toe te pasten, dat is, om den Inhoud, en den Omtrek, des Cirkels te vinden; zo laat de boog ACD gelyk aan f van den halven-omtrek ADB genomen worden; dan zal de pees AD gelyk zyn aan de ftraal AE (Cor. van 22 5.); en derhalven , nadien ADR een regte hoek U (7.3 O, zal □BD[ = DAB - D AD (Cor. van 6 2 ) 7 — 4 — 1 = 3 zyn; en by gevolg HD = y o~ 1.7320508075 &c. . Aangezien dan de vervullende pees, van { des halven-omtreks, 1.7320508075 &c. is zal men , door het voorgaande COROLLARIUM' vinden, 3
^2 4-1.732*0708075=1 «931851652511 r 11«
^2+1.9318516525 = 1.9828897227 I'S j| 2
V 2+ 1 982889'7227 — 1. 9957178465 j" & j| q Yj+ 1.9957178465 =1. 9989291749^ ?| j.g
V 2 + 1.998929*749 = 1. 9997^227^7 I t | ^ -f |/ 2+1.9997322757 — 1. 9099330678 | g 1' *
V 2 + 1.9999330678 = 3.999933067 8 J g M Nadien dan gevonden is, dat 3.9999330678 het vierkant der vervullende pees van des ' halven-omtreks is, zo laat dit getal van 4, het vierkant des Diameters getrokken worden, dan zal het 0 verblyffel 0.000066932a
het



( i8i ) X, Boek.
%et vierkant der pees van de zelfde boog zyn; derhalven is de peeszelve = i/o.ooo<s669322 = o.oo8i8i2i. Laat dit getal met 768 , of tweemaal 384 , vermenigvuldigd worden, zo zal het produtl 6.28317 de Perimeter, of de fom der zyden, van een regelmaatigen Veelhoek van 768 zyden, in den Cirkel befchreeven, zyn; dewyl nu de zyden des Veelhoeks zeer na in den omtrek des Cirkels vallen , moeten dezelve ook zeer na de lengte van den omtrek zelve uitdrukken.
Om nu te toonen, hoe ^^'"^S^^n^ 1 Ha dit gevondene met de ifr^ =: 3^<\ waarheid overeenftemt, Tkfjkjt'\ =; \\ 20 laat A B een zyde eens
// ■••■.. \ j ..•*•"" \\ regelmaatigen Veelhoeks
<&/L !'.;;;'':\!/ó w\ van 768 zyden, in den
\Ml /ue Cirkei befchreeven, zyn
\\ j \ Ij/ [welks lengte (0.008181
V\ ..-•*' | \_/r 21) wy hier boven ge^ •• 'j^rj-p vonden hebben], en laat
^^^iJS?^^^-' ah de zyde van een ande^$b^*^ ren gelykvormigen Veel-
$ hoek zyn, om dien Cirkel
befchreeven. Laat, uit het Centrum O, de ftraal O N getrokken worden, fnydende AB en ai elk in twee gelyke deelen , in M en N. Aangezien dan A M — \ A B =0.0040006, en A O = 1 is, zo is het klaar, dat □OM(DAO-GAM) = 0.00998327, en by gevolg O M = 0.99999163 zal zyn. Dus is. ,door de gelyk vormigheid der Driehoeken AÖ B, aOi, &c. , 0.9&999163 (OM):i (ON) :: AB:ahy. 6.28317 (de Som der zyden van de ingefchreeven Veelhoek) : 6.28322, de fom der zyden van de omgefchreeven Veelhoek. Maar, den omtrek des Cirkels grooter zynde , als de fom der zyden van de ingefchreeven Veelhoek, en kleinder als die van de omgefchreeven Veelhoek, zo moet dezelve, by gevolg, grooter dan 6.28317, en kleinder dan 6. 28322; en derhalven zeer na aan 6.2832 gelyk zyn; om reden, dat dit laatfte getal flegts 0.00003 grooter als de ingefchreeven, en maar 0.00002 kleinder als de omgefchreeven Veelhoek is. Den omtrek dus gevonden zynde, zal ook den InC M 3 ] houd



X.BoEK. ( 182 )
houu des Cirkels bekend zyn; in aanmerking neemende, dat dezelve gelyk is aan het produtl van den halven omtrek met de ftraal, dat is, =3.14 i6x i~ 3.1416
Du hal ven, nadien, in THEOREMA 111. en IV.' Boek VIII., beweezen is, dat de omtrekken van Cirkels in reden ais hunne Diameters, en de Cirkelen zelve als de vierkanten van deeze Diameters zyn ; zo volgt, dat den Diameter eens Cirkels tot deszelfs omtrek is, als 2 tot 6.2832, of als i tot 3.1416; en het vierkant van deszeifs Diameter tot den Inhoud, als 4 tot 3.1416, of als 1 tot 0.7854.
Doch indien men de Proportien liever in heele getallen begeert, en het voorgeftelde geval geen groote trap van naauwkeurigbeid vereifcht; kan die van Archimedes (7:22:: den Diam : den Omtr., en 14: 11;; het vierk. des Diam. : den Inhoud) gebruikt worden; alzo deeze Proportien maar zeer weinig van de boven gevondene verfchillen , als uit het volgende voorbeeld zal blyken; waar in , den Diameter eens Cirkels (28) gegeeven zynde , deszelfs omtrek en Inhoud begeerd worden. Wy vermenigvuldigen derhalven, volgens de eerfte Proportien, 28 met 3.1416 voor den omtrek, en het vierkant van 28, of 784 , met 0.7854 voor den Inhoud; en vinden voor de respeftive Produtlen 87 964, en 615. 75. En, door de Proportien van Arciiimedes, zal men den omtrek gelyk aan 88, en den Inhoud gelyk aanöiö vinden, welke produtlten zeer weinig van de eerfte uitkomften verfchillen.
Indien men de Proportie tuffchen den Diameter eens Cirkels en den omtrek, en tuffchen het vierkant des Diameters en den Inhoud, bekend heeft, kunnen de geboogen, of bultige , oppervlaktens , van vafte lig. haamen , gemakkelyk bepaald worden; waar van wy de Leerwyze vervolgens zullen voordraagen, na alvoorens de meeting der vlakken, door toepaffelyke Voorftellen, opgeheldert te hebben.
VOORSTEL I.
Van een Trapezium ABCD, hebbende twee regte hoeken A en B, gegeeven zynde, de Bafis AB (24), AD (14), en B C (20); den Inhoud te vinden.
OP-



( i83 ) X.Boeh. OPLOSSING.
„ i. Trek DE parallel met AB. -TT ^-^]° 2. Trek A D ( = EB) van
P^^k^ q. BC, zo zal CE overblyven.
j) — Ji" 3. Vermenigvuldjg A B met
AD, komt de Inhoud van de Regthoek ABED. 4. Vermenigvuldig} CE met
j±J 'jj D E (AB), komt de Inhoud
van de Driehoek DEC. < Vergaar den Regthoek ABED en den Driehoek DEC te faamen, zo heeft men de Inhoud van-het Trapezium ABCD.
ANDERS, ï Deel CE in twee gelyke deelen in G, en trek GF 'parallel aan AB,ontmoetende het verlengde van AD in F
2 Dan is het gemakkelyk te zien, dat den Driehoek *DFH= den Driehoek C HG is, en dat by gevolg ook den Regthoek ABGF= het voorgeftelde Trapezium ABCD zal zyn; dewyl zo wel den Regthoek, als het Trapezium, een gelyk deel grooter is, als de Figuur ABGHD, die aan beide gemeen is.
3. Vergaar derhalven AD en B C te faamen, en deel 'de fom door 1, komt BG.
4. Vermenigvuldig AB met BG, komt de Inhoud van het Trapezium ABCD.
Toepafling. BC=20 AB=: 24
AD = EB = i4 AD— 14
■ afget. verm.
CE= 6 OABED = 33«s
adec= 72
. . verg.
Trapez. ABCD = 4c3
DE=r24
:ce= 3
. .. - -verm.
adec = 72 ' „,
r m 4 ] of



X.Boek; C 184 )
Of AD-fBC = 34
AB— 24
Trapez. ABCD=^o7Vemf
VOORSTEL li.
^AlfLTnTZium,,C,ABCD^ ™aar ™» twee zyden
% . j r\ en de Perpendiculair DF
CÜJ de /„^„i bet Trapezium\te vinden "
OPLOSSING.
•^/T \ * • Vergaar A B en D C te
/! \ faamen, en deel de fom
/ : \ «°or 2; zo heeft men
I \ \ de gemiddelde lengte.
/ j \ 2- Vermenigvuldig deeze
.a jÜ gemiddelde lengte met
de Inhoud van het Trapezium ABCD?6 °E' k°mt
Toepajjing.
^ = gemidd. lengte 11
DC— 6 DE= 8
verg. — , verm
22 Trapez. A B G D = 88
2 ■
gemidd. lengte 11
OP-



( 185 ) X.Boek.;
JB
aZ ! fiL i .-k..\d
\ g I i | "/
\. i
F
OPLOSSING, ï. Zoek, na voorgaande Leering, de Inhoud van alle de Driehoeken ABG, CID, AFH, KED.
2. Bereeken, door Voorftel I., de Inhoud der Trapeziums BGIC, KHFE.
3. Vergaar de gevondene Inhouden te faamen,zo heeft men de Inhoud van den voorgeftelden regelmaatigen Veelhoek.
Men zal, door de toepaffing, 1534 voor het begeerde vinden.
VOORSTEL IV.
Fa» een Driehoek ABC, maar van alle de zyden AB (200) , B C C130), A C (2 ic) gegeeven zyn, een ftuk ABE (6120) af te fnyden, door een lyn BE, die uit één der boeken, tot de overftaande zyde, getrokken wordt.
E OPLOSSING. /K I. Zoek door Voorftel XIV.
/ i-\ BoeklX., de perpendiculair
/ \\ \ BD'
/ / i \ 2- Vermenigvuldig AC met / / I \ f B D, komt de Inhoud van / ƒ j \ de Driehoek ABC. -A- £D C[Mj] 3. De-



X.Boek. ( :86 )
3. DewyJ A ABC:A ABE::AC:AE is f7.4 ), zo zoeke men tot den Inhoud ABC, den Inhoud A BE en de Bafis AC, een vierde-evenredige AE
4. Breng AE op de So/*r AC over, van A t'ot in E en trek BE; welke de voorgeftelde Driehoek, naa? den eifch, zal deelen. '
Toepajjing.
Door Voorftel XIV, Boek IX. vindt men de perpendiculair BD = 120. r r
AC = aio AABC:AABE::AC:AE *BD = 60 12600 : 6120 ::2io:ic2
• ■ —■— verm.
AABC = i2öoo
VOORSTEL V. Van een Driehoek ABC, waar van alle de zyden A B C36J), B C (267), A C (302) gegeeven zyn, een ftuk ALI (6000 Jafte fnyden, uit een gegeeven punt 1, in de Bafis AC; zodanig dat Alzy 240.
B OPLOSSING.
/\\ R Deel het gegee-
/ | V vendeelA Lidoor
I \ 2 AI, zo komt de
:: \ hoogte DK.
t / t \ 2. Stelde lengte DK
j^^^^"i-tv \ van D tot K.
k/- , * C 3- Trek , uit K, een
r , • "yn KL />ara/W
met AC, fnydende A B in L.
4. Trek van I tot L de lyn IL, zo is AIL het begeerde deel.
De toepaffing hier van is zeer gemakkelyk. VOORSTEL VI.
Een Driehoek ABC, waar van de Inhoud (756), en de drie zyden AB (39), BC (45), AC (42), gegeeven zyn, door een lyn, die met één der zyden, als A C, pa-
, rallel loopt, te deelen.
OP-



r- 187 ) X. Boek.
^ OPLOSSING.
/\ 1. Zoek tot den Driehoek ABC,
/|\ den Driehoek BEF, en D AB
/': \ een vierde evenredige, komt
/ I \ DBE (23 4-)-
/ j \_, 2. Trek uit DBE de Vier-
: - ^ kants-Wortel, komt BE.
/ **\ \ 3. Stel B E van B tot in E, en
j£—*~"ï> 0 trek uit E de lyn E F paral¬
lel aan AC, zo is den Driehoek ABC na begeeren gedeeld.
Toepajfing.
Laat het deel, dat men begeert af te fnyden, of den Driehoek BEF, 425.25 zyn; dan is, AABC:ABEF::aAB:DBE
7J6 : 425.25 ::i523 :855-5625
Y
EB = 2y.25
Indien men verder de lengten van BG, BF, en EF begeert te weeten, zo ftel'te men
/Inh. ABC> AABC,.ABEF::DBD(^—- JtüBG
75ó : 425.25 « 124 ' • y ' 729 BG = 27 AABC:ABEF::DBC:DBF 756 : 425.25.:: ao25 ;i 139.0625
BF = 33.75 AABC:ABEF::DAC:DEF 756 : 425.25 :: 1764:992.25 EF=3i.5
Aanmerking. Alhoewel men , de drie zyden eens DrVehoïsbekend'hebbende, den Inhoud kan vinden bebben wy nogthans dezelve ten overvloede, m dit Voorftel, bepaald voorgefteld, ten einde den aandagt des



X- Boek.
( 138 )
Leezers, zo veel mogelyk is, tot het onderwerp zelve
VOORSTEL VII.
Een gegeeven Driehoek ABC, door een lyn, die met den JJaüs parallel loopt, zodanig te deelen, dat de deelen tot eikanderen m reden Jtaan, als 5 tot 3. Zie de voorgaande Figuur.
OPLOSSING.
1. Aangezien de gantfche Driehoeks is, zo zoeke men tot 8, j, en DBD een vierde-evenredige, komt □ BGO3.4.).
2. Trek uit DBG de Vierkants-wortel, zo heeft men B Cj.
3'T?SrlB(f,rn B ^in,G' en trek> door G, de lyn E F parallel met AC; dan is den Driehoek ABCnaar begeeren gedeeld.
VOORSTEL VIII.
Eiken gegeevenen Driehoek ABC in twee gelyke deelen te deelen, door een lyn, die met één der zyden, als AB parallel loopt. ' '
OPLOSSING.
3 •::*.. '.x'-' "' / \\ !• Deel B C in twee
/\_, ...-•*" / \ \ gelyke deelen ,
/ / \ / \ \ 2. Befchryf uit F
/ / 3><v \ I met FB,of FC,
/ / >v \ ƒ als ftraal, den
/ / Nv \ / halven-Cirkel B
A. 1 -^p Dc'
n : „ , 3- Trek uit het
Centrum F, tot den omtrek des halven - Cirkels de perpendiculair FD. ' 4. Befchryf uit C, met CD, als ftraal de boog DE, fnydende BC m E. '
5'tT-^ "I' E* ieJyn EG parallel met AB, zo is den Driehoek ABC na begeeren gedeeld.
BE-



( igo ) X.BoeK.
BEWYS. Aangezien de hoek CFD een regte hoek is (Conftr.), zo is □CF + aDF = DCD (6.s ); en om dat CF — DF (Conftr.) , of □ C F = □ D F is, zo is ook DCD = 2DCF; en □ BC: □ C 0 [DCE (Conftr.)^ ::DCD [aDCF]:DCF ( 16.4 ) - a:t :: AABC.AGEC (23.4.). Dat te bewyzen was.
VOORSTEL IX.
Fan een Parallelogram, welks boogte DE (18), en Bafis AB (48) gegeeven is, een gegeeven deel (288) af te fnyden, door een lyn, welke met één der zyden parallel loopt.
a OPLOSSING.
7 7^ 1. Zoek den Inhoud van
/'■ / / het Parallelogram AB
/ ! / / CD.
A / ; / .—J 2. Zoek tot den Inhoud
EP B ABCD, ADGF,
en AB een vierde-evenredige , komt AF (7-4-)' 3. Stel de lengte A F van A tot in F; en van D tot in G; vervolgens voeg F, G te faamen, zo is het Parallelogram ABCD naar begeeren gedeeld.
Toepalftng.
AB = 48 DE = i8 • verm.
Parallelog. ABC D=864
Parallelog. ABCD : ADGF :: AB : AF 864 : 288 :: 48 : 16
VOORSTEL X.
Van een Trapezium ABCD, hebbende twee regte boeken AenB, een deel AGHD af te fnyden, door een lyn G A, die met AD, of BC, parallel loopt.
OP-



X.Bqek. ( 1901)
D
3? ■
a g b t>-m
OPLOSSING.
1. Zoek, door foor/W1., de Inhoud van ABCD, en trek het deel AÜHD daar van af, zo zal BGHC overblyven.
2. Trek BC (©f AF) van AD, komt DF.
3'k?mt B°E ruil ' £n BC vierde"e^nredige, 4. Zoek de Inhoud van den Driehoek BCE.
SnAWF de lDhoud des D»eHoeks BCE tot het deel tfU-HC, komt de Inhoud des Driehoeks EGH.
0. Zoek tot de Inhoud des Driehoeks 13CE, EGH en DBEeen vierde-evenredige,komt DEG''Ci-\.± >*
7. Trek uit DEG de Vierkants-Wortel, zo heeft men L (j.
8. Trek BE van EG, zo zal BG overblyven
9. ötel de lengte BG van B tot G, en trek GH parallel met AD, zo is het Trapezium ABCD naar begeeren gedeeld.
Laat het deelAGHp=824,AD=3(5,BC =20,
ipr^rf"4?27"' 20 J5',door Vmr^1 L> de I«houd A£iLU = ii2o; en het deel BGHC = 206.
AD—36
BC = 2o DF:AB::RC:BE
TTT -TT- afget. 16 : 40 :: 20 : 50 Dl1 = 16
,EE= 50 ABCE:AEGH::DBE:DEG
|-BC— 10 500 : 79Q :: 2jQO : 3980
~ verm. y— .
nrSr = r°. EG = 63.08 BGHC = 29ó BE=JO vei.j> f
AEGH = 796 BG = i3.oS
Fan



( ioi ) < X.BoeK.
' Van de MEETING der bultige Oppervlakten!. L E M M A I.
De Oppervlakte, of de Inhoud van alle de zyden eener re. gelmaatige Piramide, in welke een Kegel kan befchreeven worden, is gelyk aan een Regthoek, onder de Som der zyden van den Bafis, en de helft der lengte van de dwarfcbe zyde des Kegels.
5Ï
Want, laat BCDE &c. de Bafis der Piramide, en BPGM die van de ingefchreeven Kegel zyn; en uit den top A tot het punt P, daar een der zyden D E van den Veelhoek den Cirkel raakt, AP getrokken worden. Dewyl dan den Driehoek ADE=£ AP xDE = f AB kDE is, en dat hetzelfde ook waar is, in betrekking i tot



X.BoEK. ( 192 )
tot elke andere zyde der Piramide, zo is het blykbaardat de fom van alle de zyden, of de geheele oppervlakte der Piramide, behalven van den Bafis, gelyk zal zyn aan 'ABxDË + EF+&c7; dat is, gelyk aan een Regthoek, onder { AB, en de fom der zyden van den Bafis.
COROLLARIUM. I.
Hier uit zal ook blyken, dat alle de zyden , van eene afgekorte PiramideBg, gelyk zullen zyn aan een Regthoek, onder de halve lengte van ieder zyde, en de fom der Perimeters van de beide einden. Want, de Inhoud van de zyde DEed=iVpxDE+de, of 'Bbn DE-{-de , zynde, zal by gevolg de Inhoud van alle de zyden = 'Bbx DE + de+EF + e/+&c. zyn. COROLLARIUM II.
Aangezien dan de voorgaande befluiten algemeen ftand houden, hoedanig het getal der zyden ook mag zyn, en dat de Piramide door heti getal van derzelver zyden te vermeerderen, geduurig nader en nader tot de ingefchreeven Kegel komt, welke haare eindpaal is, zal de oppervlakte des Kegels, zo wel als die van de Piramide , gelyk zyn aan een Regthoek onder de halve lengte van de dwarfche zyde, en de fom der zyden van den Bafis. En de gebogen oppervlakte, van eene afgekorte Kegel, zal op dezelve wyze gelyk zyn aan een Regthoek, onder de halve lengte van zyne dwarsfche zyde, en de fom der omtrekken van zyne twee einden, of Bafes. Hier uit volgt van gelyken , dat de gebogen oppervlakte van een Cylinder, gelyk zal zyn, aan een Regthoek onder zyne halve hoogte, entweemaal den omtrek van zyne Bafis, of onder de geheele hoogte en eenmaal dien omtrek; dewyl, in dit geval, de beide einden gelyk zyn.
LEMMA II. Als een regelmaatigen Veelhoek ABCD &c. , van een even getal zyden , te gelyk met de ingefchreeven Cirkel RQS#, gefteld worden rontom den Diameter RS, als een As, te beweegen, zal de oppervlakte van bet lighaam



( 193 ) X.Boek.
haam, door den Veelhoek voortgebragt, gelyk zyn aan een Regtboek onder zyne As A F , en een regte lyn , die aan den omtrek RQS q van de ingefcbreevene Cirkel gelyk is.
Laat uit het
y _P Centrum O, tot
Qa^v \ het raakpunt Q,
t, y/\ >x -t-, van een der zy-
/T X11 TT den BC, de ftraal
v \ \ OQ getrokken
ƒ \ \ worden ; trek
L t -o \ J * ci^ ookB&K,QP?,
M u pendiculair totA
\ / F, en B L perpen.
\ / diculair tot CI.
•A J G Dewyl het lig-
xJ / haam, door het
jN^ w ^ vlak BfcC voort-
jfï—- gebragt, een af¬
gekorte Kegel is,
zal de gebogen oppervlakte derzelve, door BC voortgebragt, gelyk zyn aan een Regthoek onder {BC, en de Som der omtrekken van de beide Cirkelen, door B b en Cc befchreeven (Cor. 2. van bet Voorgaande Lemma). Maar de fom van deeze twee omtrekken, als QP, zynde eene Aritbmelifcbe midden-evenredige tusfchen B l en Cc, is gelyk aan tweemaal den omtrek Qa; en derhalven de gebogen oppervlakte, van de gemelde afgekorte Kegel, gelyk aan f BCx2 omtr. Qq = BCxomtr. Qq. Aangezien nu de Driehoeken O PQ , BLC gelykvormig zyn, heeft men BC:BL (&0::OQ:PQ:: omtr- R-QS?: omtr. Qq C4-3-)i en by gevolg BCx omtr. Qq=zbcx omtr. RQS^trr: de oppervlakte door B C voortgebragt. Door de zelve redeneering, is de oppervlakte, door een andere zyde CD voortgebragt, =cdxomtr. RQS$. Waar uit openbaar is, dat de oppervlakte van het geheele lighaam = Ab + bc-tcd+ &c. x omtr. RQS4 = AFx omtrek RQSa. is.
[ N ] CO-



X. Boek. C m )
COROLLARIUM I.
Nadien de oppervlakte van het lighaam, in 't alge^ meen, gelyk is aan AFx omtr. RQS4, hoe veel zyden den voortbrengenden Veelhoek ook hebbe; en dat de gemelde oppervlakte, door het getal der zyden te vermeerderen, geduurig nader en nader komt, tot de oppervlakte van den ingefchreevenen Kloot, welke deszelfs eindpaal is; zal ook de oppervlakte van den Kloot zelve, aan een Regthoek onder zynen As RS, en omtrek RQSg gelyk zyn. En de gebogen oppervlakte van een Segment deszelven nRra, zal ook gelyk zyn aan een Regthoek onder zynen As (of hoogte) Rc, en den zelfden omtrek RQS 4; dewyl beweezen is, dat de overeenkomftige oppervlakte van CBAKI, in 't algemeen, gelyk is aan Acx omtr. RQSq.
COROLLARIUM II.
Hier uit blykt ook , dat de oppervlakte van eiken Kloot, gelyk is aan viermaal deszelfs voortbrengenden Cirkel; vermits (door 2. 8 ) den Cirkel R Q S q = { R S x§ omtr. RQSg=|RSx omtr. RQSgis.
Aanmerking.
In de afleiding van deeze befluiten, zo wel als van die welke van het voorgaande Lemma afhangen, zal den'Leezer befpeurd hebben, dat iets gefteld wordt, dat nergens in de Tbeoretifcbe gronden van dit Werk beweezen is. Doch dit kan van niemand, die weet, dat het onmogelyk is, op eene volkomen regelmaatige en Meetkundige wyze, te betoogen, dat een kromme oppervlakte, van eenige foort, aan een platte, van eene bepaalde grootheid, gelyk is, als een misflag aangemerkt worden. Platte oppervlakten worden met eikanderen vergeleeken , uit kragt van het tiende Axioma des eerften Boeks, waar uit alles, wat tot de gelykheid van platte Figuuren betrekking heeft, oorfprongkelyk voortkomt; doch geene grondbeginfelen zyn noch in de gemeene Meetkunft aangenomen, waar door een kromme met een platte oppervlakte vergeleken, noch waar door de reden van een kromme tot een regte lyn bekend kan worden. Zelfs kan men door de veele Pro-
pofi'
C 194 )



( 195 ) X.Boek.
pofitien van Eöclides niet bewyzen, dat den omtrek eens Cirkels kleinder is , als de lom der zyden van het omgefchreeven Vierkant. Wy kunnen de proportie van lighaamen, welken door kromme oppervlakten befioten zyn, bepaalen door andere lighaamen in en om dezelve te befchryven, die minder van dezelve verfchillen, als eenig aangenomen deel, hoe klein het ook zy. Doch in het vergelyken der oppervlakten mift deeze Leerwyze; want, laat het getal der zyden van het ingefchreeven, of omgefchreeven, lighaam, eenigzins zo groot zyn, of laat het lighaam zelve zeer na tot het voorgeftelde naderen; nogthans zullen de beide oppervlakten geen deel gemeen hebben, waar uit een Bewys kan opgemaakt worden; maar fteeds onderfcheidene zaaken zyn. Alvoorens zulk eene vergelyking , op eene regelmaatige wyze, met mogelykheid, kan gemaakt worden, moet men nieuwe Grondbeginfelen ftellen , die gevoegelykft tot de verhevene Meetkunde, of de Leerwyze der Fluxien, behooren.
VOORSTEL XI. Den Diameter D d (42), en de boogte AB (52) ™n een
CvYmdev gegeeven zynde, deszelfs gantfcbe oppervlakte
te vinden.
-f-anjk OPLOSSING. ^!r"lBr *" Vindt den Omtrek van den Bafis, en lil vermenigvuldig dezelve met de hoog-
I 1111 te A B van het lighaam , komt de geil ' B bogen Oppervlakte (Cor. 2. van Lem-
i ii! I fl' Zoek de Inhoud van de heide Bafes, ||é[||§§1 . en vergaar dezelve by het voorenge-
^^91^ vondene, zo heeft men het begeerde.
Toepaffing.
7:22: :Dd (42): Omtrek 13a 14:11 ::□ 0^(1764) hoogte AB 52 :. Inhoud (138Ó)
verm.
gebogen oppervlakte r=z 6864 de beide Bafes =2772
verg.
de geheele oppervl. =9^ ^ voor_



X. Boek. ( 196 •)
VOORSTEL XII.
Ben Diameter Cc 08), en de dvoarsjcbe zyde AC (36") eens Kegels gegeeven zynde, de gebogen Oppervlakte te vinden.
a OPLOSSING. /él 1. Zoek, door den Diameter Cc, de
/ Omtrek van den Bafis.
Il Iil 2' Vermenigvuldig dien Omtrek met i' lUk de dwarsfche zyde AC, zo
// ■-•-iIMIl *s de lie?eerde Oppervlakte gevente J-'' JIIlHl den ^or'2*mn ^emm
IP^ Toepajjing.
7:22::Cc(28):88 omtr. van den Bafis.
; |AC=i8
komt de ge- verm.
bogen Oppervlakte =. 1584.
VOORSTEL XIII. De oppervlakte van een afgekorte Kegel te vinden, als de beide Diameters AB (49), CD (28), en de fcbuïnfcbe hoogte AC (36) gegeeven zyn.
c/c^^t% OPLOSSING.
j^-têA !• Zoek de omtrekken der
Èjl |Hk beide einden , en vergaar
Wj i dezelve te faamen.
i'! (lil 2. Vermenigvuldig deeze Som
II flIlS» met de halve Rhuinfche
Wlll WÊmm hoogte, dan is de begeerde
■A. »-"-"-| J mMïpB oppervlakte gevonden (Cor.
lllll^lltiUV^ 2. ©ara Lemma I.).
J :: AB ("49): 154 I 7:22} ::CD (28): 88 f omtrekken der beide einden.
verg.
242
|AC= 18
de gehee- verm.
Ie Oppervlakte = 43j<y VOOR-



( ip7 ) X.Boek. VOORSTEL XIV.
Den Diameter AB (84). of de grootfte omtrek A.C BD (26a) gegeeven zynde,de Oppervlakte van een bphsera, of Kloot, te vinden.
OPLOSSING.
(3 i. Indien den Diameter ge-
egeeven is, zoekt men den Omtrek; en indien den omtrek gegeeven is,zoekt men den Diameter. ff||f| 2. Vermenigvuldig den om|||||1B trek met den Diameter; WÈÈ zo heeft men de opperjOÊ vlakte (Cor. 1. van Lem^ 2. Zoek den Inhoud des
grootften Cirkels. 4. Vermenigvuldig deeze Inhoud met 4; zo heeft men de Oppervlakte (Cor. 2. van Lemma II.).
Toepafftng.
7.-22::AB(84):omtr. ACBD = 2Ö4 AB= 84
. ■ ■ verm .
de oppervlakte — 22176
O F
14:11 ::DAB(7o;6):5J44 Inh. van den Cirk. ACBD 4
i verm.
22176 Oppervlakte desKloots.
VOORSTEL XV.
Van ten Segment eens Kloots, de boogte C D (t6), en de Pees AB (48) gegeeven zynde, de Oppervlakte te vinden.
[ N 3 3 op-



X.BOEK. ( ip8 )
D OPLOSSING.
^ppp||||^ 1. Zoek tot CD, en AC JÊÉÊf ''■ =§§llllk een derde-evenredige,
jV 0mZ(0^^^mmji 20 heeft men CE (16.4.). i x c= \ 2' VerPar CE, en de
i "'"••-..!...•*••■" i hoogte CD te faamen, i Ó! ; komt denZ)/amererDE.
| f / 3- Zoek tot 7, 92, en de
v \ / gevondene Diameter DE,
V j / een vierde-evenredige,
**>... ? ^ 20 heeft men den Öm-
"Ü" trek A D B E.
4. Vermenigvuldig deezen Omtrek met de hoogte CD; dan is de begeerde Oppervlakte gevonden (Cor. 1. van Lemma lï.).
Toepajjing.
ABr=4S CD:AC::AC:CE
2 16 : 24 :: 24 : 3Ö
AC=CB = 24
7:22::DE (52): 163* omtr. AD BE CE = 36 Cü= 16
CDmiö verm.
verg. de oppervl. = 25i4s7
DE =52
Van de MEETING der Lighaamen.
Gelyk ieder Vlak gemeeten wordt, door een Vierkant ,



( 199 ) X.Boek.
kant waar van één der zvuen de eenheid is, als één Duim , één voet, ééne Roede, &c., zo wordt ook ieder Lighaam door een Cubus, of Teerling, gemeeten, waar van één der zyden insgelyks de eenheid is. Laat dus het lighaam, dat gemeeten zal worden, het regthoekig Parallelepipedum AG, en de Cubus P, waar van ieder der zyden één Duim is, de meetende eenheid zyn; laat ook de lengte AB, van den Bafis AC, 4 Duimen, de breedte BC'a Duimen, en de hoogte AE van het lishaam 5 Duimen zyn. Dewyl dan de Inhoud van de Bafis ABCD = 2 maal 4, of 8 vierkante Duimen, is, zal het gemakkelyk te begrypen zyn, dat, indien het lishaam . in plaats van 5 Duimen , flegts één Duim hoog was, den Inhoud juift het zelfde getal 8 Cubic Duimen zoude zyn; alzo dan op de agt gelyke vierkanten , waar in den geheele Bafis ABCD deelbaar s , een Cubus van één Duim kan opgeregt worden, welke een Parallelepipedum op dien Bafis, van één Duim hoog, zal faamenftelien. Derhalven, aangezien den Inhoud van het Lighaam, op één Duim hoogte, 8 Cubic-Duimen is zal by gevolg den geheelen Inhoud, op 5 Duimen hóogte, 5 maal 8, of 40, Cubic- Duimen zyn, doordien het geheele lighaam AG, als faamengefteld uit K zulke hoogten van Cuben, boven eikanderen geplaatft, kan aangemerkt worden. En, in 'c algemeen, hoedanig de afmeetingen ook mogen zyn , kan men (door 20. en 21. 7.)befluiten, dat het Parallelepipedum de Cubus P zo menigmaal zal bevatten , als de Bafis ABCD den Bafis van de Cubus bevat, tot zo veel maaien herhaald, als de hoogte van de Cubus in de hoogte AE begreepen is. Hier uit worden nu de Regelen, om de Inhoud van alle foorten van lighaamen te vinden gemakkelyk afgeleid , die wy vervolgens door toep'affelyke Voorbeelden zullen verklaaren.
VOORSTEL XVI.
De Inhoud van een Parallelepipedum te vinden, waar van de beide afmeetingen van den Bafis AB (i6),BC(i2), en de boogte AE (10) gegeeven is.
t N 4 ] O?'



X.BoEK; ( 2cc5 )
. - - - -^lia 0PL°SSING. t?/|~ T^JI Jengte A17 meSt de
lllllfllllllllllllllllllil mreedhteBC, zo heeft
IW ^ 2' Jer ™enG;vuIdig ver"
^Hlllli zo komt de begeerde
-t> Inhoud.
AB— l6 BC= i2
» /■ TTTZV "—* verm.
ABCD— ip2
hoogte AE:= i0
n „ ; " verm.
Parallelep. AG = i92o
VOORSTEL XVII.
De Inbond van Prisma te vinden, waar van de zyden van den Bafis DE (n) EFCr^l ni?^,^ y J - boogte DA C28), gegeVvenls. °°' °F Cu}' en de
ÖOPLOSSING, i. Zoek vorens Karfel 14. £w* IA., en de Meeting der Vlakken, het grond- vlak D E F der Prisma. 2. Vermenigvuldig verder dit grondvlak met de hoogte DA, zo heeft men de begeerde Inhoud.
Toepajftng.
Door de MEETING der Plakken,vindt men 8a voor de Inhoud van het Grond-Vlak DEF. 4
Der-



( 20i ) X. Boek.
Derhalven Grond-vlak DEF=8d hoogte DA = 28
verm.
Inhoud der Prisma D ABC FE 0 = 2352 VOORSTEL XVIII.
De Inboud van eene Piramide te vinden, waar van Un der zyden van bet Grond-vlak AB (76), de Perpendiculair C D (56), en de boogte BE (156) gegeeven is.
13 OPLOSSING.
F" ..•••'■'] 1. Zoek het Grond-vlak ABC van
7t 3 de Piramide.
I \ \ 2. Vermenigvuldig het zelve met
| Ij li : { deel van de hoogte BE ; zo
: Ij ||i f heeft men de begeerde Inhoud
: li I \ Cor. 3. van 8.8.).
! I \ Toepajfmg.
\l j I ||i ABx£CD = Inh.ABC = 2i23
KmÊ^ 111 n | hoogte BE = 52
A^^-'-ppJi , verm.
> Inhoud der Piramide m: 110656
VOORSTEL XIX.
Den Diameter van bet Grond-vlak Dd (35), en de boogte AB (48) eens Cylinders gegeeven zynde, den Inboud te vinden.
Cff^Êto OPLOSSING.
|j i in l. Zoek den Inhoud van het GrondI lllllll v^ des Cylinders, volgens de MEE-
11 TING derf^lakkenI IR 2' Vermenigvuldig dezelve metdehoogte A B ; komt de begeerde Inhoud
Toepajjing.
14:11 ::DD/3?Ci225):o622' Inhoud vanhetGrond-vlak hoogte AB = 48
—-—verm.
Inhoud des Cylinders —46200
[ N 5 ] VOOR.
1



X.BOEK. ( 202 )
VOORSTEL XX.
Den Diameter van het Grond-vlak Cc (56) , en de boegte AB (87) eens Kegels gegeeven zynde, den Inboud te vinden.
"4* OPLOSSING.
/;|V 1. Zoek, als vooren, de Inhoud van
/ lik het Grond-vlak.
ft | ||\ • 2. Vermenigvuldig dezelve met | deel
§ 1 11l van de noogte AE>» 20 heeft men
#-'"''lSiiSk de hegeerde Inhoud (Cor. 3. van
Toepajjing.
14 :ii::rjCe(3i36): 2464 Inhoud van het Grond-vlak
{ hoogte AB = 29
■ verm.
Inh. des Kegels =71456
VOORSTEL XXI.
Den Diameter AB (21) eens Kloots gegeeven zynde, den Inboud te vinden.
C OPLOSSING.
01. Zoek de Inhoud van de grootfte , of voortbrengende, Cirkel ACBD. 2. Vermenigvuldig dezelve 35 met | van den Diameter AB; zo heeft men de begeerde Inhoud (11.8.). 3. Dewyl de Inhoud van zodanigen Cirkel, tot het vierkant des Diameters in reden is, als 0.7854 tot 1, zo vermenigvuldigden Cubic des Diameters met de breuk 0.5236 van 0.7854), en het produtl zal den Inhoud zyn.
Toe-



( 203 ) X.Boek.
Toepaffing.
14:11:: □ A B (441): 346ï lnh* van den Cirkel A C B D
\Diam. AB=i4
— verm.
Inh. des Kloots = 4851
ANDERS. Volgens de tweede wyze.
De Cub. van AB = S>26l 0.5236 . verm.
Inhoud des Kloots =r4349-0596Aanmerking.
Deeze laatfte wyze is volgens de Prytfcjan Lu. dolf van Keulen (100 tot 314, of 1 tot 3.1416 &c.) fngericta, waar door het verfchil in de beide bewerkingen ontftaan is. Volgens de. Proportie van Archimedes , die wy gemakshalven in de voorgaande Op. ïóffingen gevolgd hebben, Raat de Cubus van den Diameter tot de Kloot, als 21 tot M.
VOORSTEL XXII.
Van eene vierhoekige afgekorte Piramide een z^/ ™» bet srond-vlak A B (12), van bet boven-vlak ab (8) , en de boogte aE (18) gegeeven zynde, den Inboud te vinden.
\ 7 OPLOSSING.
1 a éSS^Ê^i*. *• De wyze, om den Inhoud
* JBBBfllk der affneeden van lighaamen
j^^^^^^^^ te vinden , wordt gemakke-
fÊÊl^K^ÊÊÊk». lyk uit Tbeor. 10. en 11.
Boek VIII. afgeleid. Om dus ^^^^^P^^^^^C de affneede eener Piramide fPllëllliS=fi^ Ac te bepaalen, zoekt men A eerft den Inhoud van een
geheele Piramide, welke de zelfde Bafis en hoogte geneeie ri7» afgekorte Piramide, heeft. Vervolals de gegeeven »f ^enredigheid. Gelyk één der
Zzelver overeenkomftige zyde ab van bet boven-vl^



X.BOEK. ( 204 )
alzo (laat ook de Inboud tot een vierde-evenredige; en wederom, gelyk AB ftaat tot ab, alzo ftaat de laatfte gevondene Grootheid tot een andere evenredige: ivelke beide evenredigen, by de eer ft bepaalde Inboud vergaa* rende, zal de voaare Inboud der afgekorte Piramide gevonden zyn,
2. Doch als de overftaande Safes, der afgekorte Piramide, even als in dit geval, Vierkanten zyn, zal de Regel eenvouwdiger zyn, en het werk gemakkelyker kunnen verricht worden. Want, dewyl dan de Inhoud van de Bafis DAB, dat is ABxAB, zal zyn, zal ook de Inhoud van een geheele Piramide op dezelve, welke met de affneede een zelfde hoogte heeft, gelyk zyn aan het Parallelepipedum faExG A.B. Maar AB:ab :: ' aExDAB: 'sExABxaè (21.7.), en AB:ab :: laExABxab:] aExOab. Derhalven is jaExDAB + jaEx ABxai^aE x Dab — iaExDAB + ABxab + OaTCScbol. van 19. 705 in dit geval, de waare Inhoud.
3. Om dus de Inhoud, van eene afgekorte vierkante Piramide, te vinden, zo vergaar bet vermenigvuldigde der beide zyden, van bet boven- en onder-vlak, tot de Som van bunne vierkanten, en vermenigvuldig de geheele Som met f van de boogte der Piramide.
Toepajjing. Door de eerfte REGEL.
□ ABr=i44 Inh. van de Bafis ~ a E ==. 6
— verm.
864 Inh. der Piramide van gelyke hoogte als de affneede, die wy N zullen noemen. AB:ab:: N : een vierde-evenredige,-die wy P noeia: 8 ::864:576 (men.
AB:ab:: P : een vierde-evenredige, die wy Q noe12 : 8 ::576: 384. (men. N= 864 P= 57G
Q= 384
Inh. der afgek. Piram. Ac = 1824
Door



( 205 ) X.Boek.
Door de tweede REGEL. AB= ia Bafis— 304
ab— 8 1 hoogte aE= 6
. -verm. "
yf5 Inh. der afgek. Piram.Ac —1824
BAB = i44 ah = 64
. i verg.
304
VOORSTEL XXIII.
Van een afgekorten Kegel den Diameter van bet onder-vlak AB Cs6)? die van het boven-vlak CD (42), en de boogte E e (24) gegeeven zynde, den Inboud te vinden.
ctT^\-Q OPLOSSING.
Èj—jjiSÉL 1. Aangezien, in Cor. 5. van
JÊ/i, |i|^B 8. 8., beweezen is,dat alle
Èll 'lllflk overeenkomftige affneeden
i I lSSS^M van Piramiden en Kegels,die
Êl L -•■■■MftlHft ^ zelfde hoogte hebben, tot 'MjiflIBBl eikanderen in reden zyn,als
J\_ Wffjr" ^'IvMB^ haare Bafes; zoeke men eerft,
^*ilL , ^IMvP"^ d0or het voorgaande Voorftel, de Inhoud van eene afgekorte Piramide, welke het vierkant van den Diameter des Grondvlaks, van de voorgeftelde affneede, tot Bafis, en dezelfde hoogte , als de voorgeftelde affneede, heeft. 2. Dewyl op pag. 182. getoond is, dat het Vierkant van den Diameter eens Cirkels, volgens Archimedes, ftaat tot den Inhoud van dezelve als 14 tot 11.; en dat ook de Bafes, van de afgekorte Piramide en Kegel, in de zelfde reden zyn, zo heeft men tot 14, 11, en den Inhoud der eerftgevondene afgekorte Piramide flegts een vierde-evenredige te vinden.
Deeze zal den Inhoud des voorgeftelden afgekorten Kegels zyn.
Toe'



X. Boek. ( 206 )
Toepajjing.
AB = 56 Bafis 7251
CD= 42 {hoogte Ee= 3
verm. . vern3>
2352 Piramide =58016
□ AB=3i36
□ 00=1764 14:11:: 58016:45584 debeverg- (geerde Inhoud.
7252
VOORSTEL XXIV.
Van een Sector des Kloots AOBD A, gegeeven zynde,de pees AB (48), en de ftraal AO (30); den ligbaamelyken Inboud der uitfneede te vinden.
jy OPLOSSING.
^^zmm^ 1. Zoek, door AC en A O,
y^^^^^^^ de lengte O C (Cor. van
A ^^^^^^^HkT* 6-2^» en trek oc van O D; zo heeft men D C. I ^^rjps»»^ \ 2. Zoek, door DC en DE, I Cf - **e oppervlakte der af.
\ \ | fneede ADBACVoorM
% \ $ Boei).
\ i / 3« Vermenigvuldig deeze
'Nt f met -J deel des ftraals A O,
*"■"«;■•«** zo heeft men den lighaa-
melyken Inhoud der uitfneede.
Toepajjing.
□ A O = 900 AO —OP—30
□ AC = 576 OCrzrig
. . afget. afget.
□ 00 = 324 DC=i2 V
OC= 18
7 : 22 :: DE (60) : 188$ omtrek ADBE DC= 12
» ■ - verm.
Op.



( 207 ) X.Boek.
Oppervl. ADBA=226a« }A0= io
— verm.
Inh. AOBDA = 2aö28t VOORSTEL XXV.
Vaneen Segment des Kloots, de pees AB (168), en de boogte D C (56), gegeeven zynde, den ligbaamelyken Inboud van hetzelve te vinden. Zie de voorgaande Fi-
gUUr' OPLOSSING.
1 Zoek, door AB en DC , de oppervlakte der af' fneede A D B A (Voorftel 15. X. Boek.).
2 Den lighaamelyken Inhoud des Sectors AUrJDA ' (Voorftel 24. X. Boek.).
o Trek de hoogte DC van DO, zo heeft men de hoogte O C des Kegels A B O A.
a Zoek door de hoogte O C, en den Diameter A B, den Inhoud des Kegels ABOA (Voorftel 20. X. Boek.).
? Trek den Kegel ABOA van den SeSlor AOB DA, zo zal den Inhoud des Segments ADB A overblyven.
Toepajjing.
Door Voorftel 15. vindt men de Opperylakte des Segments ADB A = 32032; deeze met f des ftraals AO, dat is met 30}, vermenigvuldigd, komt den lighaamelyken'inhoud des Setlors AOBD A=97«637f. D0 = 9i
DC=5ö . afget.
OC = 35
14: ii::OAB(28224):2217ö grond-vlak des Kegels
l hoogte OC = uf
-verm.
Inh. des Kegels AB O A = 258720
Setïor A O B D A = 971637} Inhoud des Kegels A B O A = 2587 20
. afget.
Inhoud tesSegments ADBA = ?i2Qi7v V00R.



X.Boeky C 20g )
VOORSTEL XXVI. Den Inboud van een Dyk te vinden, waarvan eemeeten is, de lengte BG, of CH Ciooo)' VoeLn^Truns breedte-DC (18 V.), de boogte DE, 0/CF,(iovT en de Dosfeenngen AE (5 V.), BF (3 V.).
OPLOSSING.
1. Vergaar AE, BF, en EF (of DC) te faamen, zo heeft men den aanleg AB.
2. Vergaar AB en DC te faamen, en vermeniffvuldiV de fom met de halve hoogte DE, zo heeft men den Inhoud van het Profil ABCD.
3. Vermenigvuldig de Inhoud van het Profil ABCD met de lengte van den Dyk BG, of CH, zo heeft men de begeerde Inhoud.
Toepajjing. AE== 5 BF— 3 DC=EF= i|
—- verg.
AB= 26 DC= 18
, -verg.
AB + DC= 44 ;DE = 1CF= 5
■ '■ —verm.
Profil ABCD = 220 □ Voeten, lengte BGzz 1000
, verm.
De begeerde Inhoud =220000 Cubic-Voeten. Einde van bet Tiende Boek.
GRON-



GRONDEN
)
DER
MEETKUNST.
elfde boek.
Van de MAXIMA en MINIMA, of de GROOTSTE en KLEINSTE van Meetkundige Grootbeden. .
THEOREMA I.
/Ndien uit twee gegeeven punten A, B, aan de zelfde zyde van een onbepaalde lyn M N, in bet zelfde Vlak met dezelve, twee lynen AC, B C getrokken worden, welke op de gemelde lyn MN in een punt C faamenkomende, gelyke boeken A CN, BCM met dezelve maaken; dan zullen deeze dus getrokkene lynen, te faamen genomen, kleinder zyn, als twee andere lynen AD, RD, die uit de zelfde punten, naar welgevallen , getrokken worden, tot dat zy op de zelfde lyn MN, in een willekeurig punt D te faamen komen.
jB A Want,laat BFE
:v A perpendiculair tot M
|\\ // FN zyn, en AC
| x/N. / / verlengd worden ,
| \ / I ontmoetende BFE
i \ >c / in E, en trekED.
\/\J Dewyl dan de
JVI —^ N Driehoeken EFC,
i * / ° B F C, de hoek ECF
| / / [ = ACN(3.iO]
: / =BCF (Steil.),
\ /,.- '' EFC =±= B F C
j (Conftr.), en F C
J£*' aan beide gemeen hebben; zo is der-
[ O ] hal-



XI. Boek. ( 210 )
halven EF = BF, en EC = BC (15.1.); en by gevolg ookED = BD )Ax. 10. 1.). Aangezien nu AE (AC-fBC) kleinder is als AD + DE (19.1.5, zo is dezelve ook kleinder als de gelyke grootheid AD+BD. Dat te bevoyzen was.
THEOREMA II. 1
Van alle regte lynen AP, B P; A Q, B Q, die uit twee gegeeven punten A, B kunnen getrokken worden, tot dat zy, twee aan twee, op de uitgeboogenheid van een gegeeven Cirkel RPQK faamenkomen, zullen deeze twee AP, BP, te faamen genomen, de kleinfte zyn, welke met de raak-lyn MPN, of met de ftraal DP, in bet punt van faamsnkomjl P, gelyke boeken maaken.
. Want, als men tot
A een willekeurig punt xs. /I\ n, in het deel der
\V /Ir raak-lyn,befioten tus".
VV. / // fchen A Q en B Q, de
\nc- / // lynen A n en B n
V Xn.. / ff trekt; zal AP + BP \"wv- nv- I kleinder zyn, als A n
TVf J^/Of'4 N"+B» (Tbeor.T.),
en A n -f- B n kleinder / Q\ alsAQ+BQ. By ge-
/ \ volg is ook AP + BP
/ \ kleinder als AQ +
j^l \R BQ. Dat te bewyzen
was.
ï> Dit Bewys behoudt
zyn volle kragt, fchoon de kromme R P R van een ander foort gefteld wordt; indien flegts alle de raaklynen tot dezelve geheel buiten de kromme vallen.
THEOREMA III.
Als in een gegeevenDrieboek ABC, een punt zodanig zal bepaald worden, dat de Som der drie lynen, die uit betzelve tot de drie hoeken getrokken worden, de mogelyk kleinfte zy; dan moet de ftelling van dat punt zodanig genomen worden, dat alle de hoeken om hetzelve, door deeze lynen gemaakt, onder malkanderen gelyk zyn.
In-



( 2" )
XI. Boek:
Indien het gefielde
a ontkend wordt, zo laat
/ \ een ander punt E, om
/ \\ het welke de hoeken B
/ \\ E A, C E A ongelyk
/ \ \ zyn, het begeerde wee-
/ \ \ zen.
/ '-c-Xp laat uit a' als cen'
P/- Dl trum, door E den om-
/ \ trek eens Cirkels PEP
/ ^>o\ befchreeven worden; en
fs^" ftel D a1s het Punt m
- ~ C dezelve , rontom het
welke de hoeken ADB, en A D C gelyk zyn.
Dewyl dan BD + CÜ kleinder is als B E + C E (Tbeor. 2 ) , zo is derhalven AD + BD + CDookklemder als AE + BE + CE (Ax. 6. \.y,bet geen tegenpydig is. Derhalven kan geen punt, om het welke de hoeken ongelyk zyn , het begeerde voldoen,
ANDERS.
Laat D het punt zyn, a om het welke alle de hoe-
/ \ ken A D B, A D C, BOC
/ \ gelyk zyn; en laat uit
/ \ een ander punt P, op
/ \ de lynen, welke die hoe-
/ \ ken maaken, de Perpen-
/ 7 j> \ , diculairs Pa, Pb , Pc
/ j) ,..<"L \ getrokken worden; dan
/ /f\i'Q \ zal de fom der drie af/ j \ Randen Aa, Bb, Cc,
q, j vp^\ tuffchen deeze perpendi-
~R —— C culairs, en de drie ge¬
geeven punten A, B, C befioten, aan de fom der drie eerfte afftanden AD+B D-i-C D gelyk zyn. Want, indien, door het fny-punt Q van Dc en 6P, r s parallel aan Aa getrokken wordt, ontmoetende het verlengde van B b in s; en op de zelve wyze D E parallel aan aP, ontmoetende rs in E;zo is het blykbaar , dat , aangezien de hoek r=BDa [ O 2 ] (Cor.



XI. Boek. ( 212 )
(Cor. van 8- i.) = xDQ=r* van een regte hoek is (Steil.), den Driehoek DsQ gelykzydig zal zyn; en dat in de regthoekige Driehoeken P Qc, P Q r, hebbende P Qc C=DQ5) = xQ5 = PQr,ook cQ-rQ is; laat hier by QD = Qj vergaard worden; dan zal cD = rj = aD + jEr=aD+DÈ zyn. En indien men by de eerfte en laatfte van deeze, AD + BD+Cc wederom vergaart, zal AD + BD + CD = Aa+BJ+Cc zyn,zo als hier boven beweerd is. Dienvolgens blykt de waarheid van dit Theorema als van zelve: want, nadien de fom AD + BD+CD gelyk is aan de fom der drie Bafes Aa, Bb, Cc, zo moet dezelve noodwendig kleinder zyn, als die der drie Hypotbenufen AP, B P, C P. Vat te bewyzen was,
THEOREMA IV.
De grootfte Driehoek ABC, die onder twee gegeeven reg' te lynen, en een ander regte lyn, welke haare uiteinden faamenvoegt, begreepen kan worden, is die, welke voortkomt ; als de beide gegeeven lynen A B, B C regthoekig tot eikanderen zyn.
C Want , laat B D
—=BC,endehoek ~&/Lf/.... J^Xpv ABD of grooter, ^/^^^"^^y1^ of kleinder, als den /TxC--' y \ regten hoek ABC — y zyn; laat ook DE
a .^Ë_l_ \X parallel aan A B ge-
ZB trokken worden ,
ontmoetende BC in E; en voeg A, E, en A, D te faamen.
Dewyl dan de hoek BED= een regte hoek is (5.1.)» zo is het blykbaar, dat BD (BC) grooter is als BE (20.1.); en derhalven, om dat den Driehoek ABC grooter is als ABE(Ax. 1. i.),zo is dezelve ook grooter als zyn gelyke ABD (Cor. van 2.2.). Dat te bewyzen was.
THEOREMA V.
Van alle Driehoeken AB C, ABD, die de zelfde Bafis, en de fom van baare andere zyden gelyk bebben, is den gelykbeenigen Driehoek A C B de grootfte.
Laat



( £IS ) XI. Boek;
n LaatCH perpendiculair
V op AB, enDEF/wraliei
-F ./.\. aan AB zyn, fnydende
/JÉr •\ HC, of zyn verlengde ,
/••• j in E;en trek AE enBE.
/•' >^'\ Het is openbaar, dat
// Sf\ '\ ie hoeken AE F, BED ff'y^ ! \ gelyk zyn(i6.en 7. i.);
. XL derhalven is AE + BE
•A- H kleinder als AD + BD
(Tieor. 1.) , of als zyn gelyke AC + BC (Steil); en dus den Driehoek AEB, Een den Driehoek AC B vallende, moet kleinder zyn als ACB (Ax. 2. 1.); derhalven moet ook ADB (=.AEB [Cor. 1. van 2.2.]), kleinder zyn als AC 13. Dat te bewyzen was.
THEOREMA VI.
Van alle Drieboelen A BC, ABD , welke op den zelfden Bafis AB ftaan, en gelyke top-hoeken ACB, aub bebben, is den gelykbeenigen Driehoek A C d de grootpa.
C Laat ACDB het Segment
/-~7?t-\ eens Cirkels zyn, waar m de
y /j\ n, gelyke hoeken ACB, ADB / /^r\-'"^p begreepen worden O5»50» / // x y^\ l\ maak C E F perpendiculair op ƒ 'N\ 11 A B, en D E parallel aan A B;
\ /K^Öj "X / trek uit het Centrum O de
j^)^— ^ ^jj ftraal O D, en laat A, E en
\ Jb, . / B,E faamengevoegd worden. X Het is blykbaar, dat CF niet alleen AB in twee gelyke deelen fnydt (16.1.), maar ook door het CentrumO gaat (Cor. van 2. 3.). Derhalven, aangezien O D (O C) grooter is als O E (20.1.), zal ook den Driehoek ACB grooter zyn als AEB, of zyn gelyke ADB (Cor. 2. van 2. en Ax. 2. 1.).
THEOREMA VII. Van alle regte lynen DE, FG welke, van een gegeeven Driehoek ABC, gelyke Inhouden ADE, AF G affnyc O 3 ] den,



XI. Boek. ( 214 )
den, is die DE de kleinfte, welke de afgejneeden Drie. boek gelykbeenig maakt.
..H
^Jff / \ \ \
B^ "
Laat AFG den omtrek eens Cirkels zyn , welke door de drie punten A, F, G gaat; laat ook H O terpendiculair op FG,in het midden derzelve Q zyn , ontmoetende den omtrek in H, en laat FH, GH ge'trokken worden. Dewyl dan den Driehoek FHG gelykbeenig is (Ax. 10. 10, zo is dezelve ook grooter als F AG (Tbeor. 6.), of zyn gelyke ADE (Steil.). En dus de Driehoeken FHG, ADE gelykhoekig zynde (Steil, en Cor. van 10. 1.), moet den Bafis FG van de grootfte, gevolgelyk grooter zyn als den Bafis DE van de kleinfte. Dat te bewyzen was.
THEOREMA VIII.
Van alle regte lynen EF, GH, GH, welken door een gegeeven punt D, tujjcben twee regte lynen BA, BC, die een gegeeven boek ABC maaken , kunnen getrokken worden; zal die EF, welke,door bet gegeeven punt D
' in twee gelyke deelen gefneeden wordt , den kleinfien Drieboek (EBF) met dezelve maaken.
Want



( 215 ) XL Boek.
c
, ii
Af
jj^f Il
-a. GEi /Gr KL B i
Want, indien EI parallel aan BC getrokken wordt, ontmoetende GH in I; zullen de gelykhoekige Driehoeken DFH, en DEI (3. en 7.1.)» hebbende DF = DE (Steil.), aan eikanderen gelyk zyn (15.1.); en DFH zal derhalven kleinder, of grooter, als DEG zyn (Ax. 2. t.), na dat EG grooter, of kleinder, als B E is. Laat in het eerfte geval D E B H, als gemeen zynde, tot beide vergaard worden; zo zal FEB kleinder als HGB zyn (15.1.). En indien in het laatfte gevalDGBF vergaardt wordt, zal HGB grooter als FEB (Ax. 6.x.); en by gevolg FEB, in dit geval, ook kleinder als H G B zyn. Dat te bewyzen was.
COROLLARIUM.
Indien DK,en DL parallel aan BC en BA getrokken worden; zullen de beide gelyke Driehoeken DEK, DFL,te faamen genomen [door dat EK = DL(i5.i.S rrrKB is (21.1.)] gelyk zyn aan het Parallelogram D KBL ,* en by gevolg het Parallelogram DKhL = -£. BEF\3lBGH. Waar uit blykt,dat een Parallelogram [04] al-



XI. Boek. ( 216 )
altoos kleinder is als de helft van een Driehoek, waar in hetzelve befchreeven is, behalven alleen,als de Bafis van het eene juift de helft van de Bifis des anderen is; dewyl, in dit geval, het Parallelogram naauwkeurig de helft van den Driehoek zal zyn.
THOREMA IX.
Vm alle regtlynige Figuuren, onder bet zelfde getal van zyden begreepen, en in den zelfden Cirkel befchreeven, is die Figuur de grootfte , welkers zyden alle gelyk zyn.
Want, zo het moge^^^t? lyk is, laat een andere
/ / ^<\\ Veelhoek ABC FE, / >a\ hebbende ongelyke zy-
\\\ den CF,EF, degroot-
I \ /j Laat C D E een gelyk-
\ / I beenigen Driehoek zyn ,
\ \ / / welke met CFE in het
\\ / / zelfde Segment befchree-
\\ // ven is; dan is de hoek
>\- -Kk P = £ C5-30, en dus
** den Driehoek C D E
ï\ ... grooterals C FE (Töeor.
6.). Indien men nu wederzyds het gemeene deel AB CE vergaart, zal de geheele Veelhoek ABCDE ook grooter zyn, als de geheele Veelhoek ABCFE; bet geen tegenftrydig is. Derhalven is de Veelhoek de grootfte, als alle de zyden gelyk zyn.
THEOREMA X.
Van alle regtlynige Figuuren, onder de zelfde Perimeter, en bet zelfde getal van zyden, begreepen, is die de grootfte,waar van alk de zyden gelyk zyn. Zie de voorgaande Figuur.
Want, indien ABCDE de mogelyk grootfte is, moet den Driehoek C D E noodwendig grooter zyn dan een andere Driehoek CFE, op de zelfde Bafis, waar van de Som der andere zyden ook de zelfde is. Nn blykt., door Theorema V., dat, als den Bafis en de Som
der



( 2Ï7 ) XLBOÉtf.
def zyden gegeeven zyn, den grootften Driehoek die geene zal zyn, waar van de zyden gelyk zyn. Derhalven zyn D C en ED gelyk. Op dezelve wyze blykt, dat B C = D C, &c. is. Dat te bewyzen was.
THEOREMA XI.
Als alle de zyden van een Veelhoek, bebalven één, in leng' te gegeeven zyn, en de ftelling van die lynen zodanig begeerd wordt, dat den Veelhoek zelve de mogelyk grootfte zy; dan moet defchikking der Figuur zodanig ingericht worden, dat twee lynen, uit de einden der onbekende zyde tot één der boeken van den Veelhoek getrokken , een regten boek faamenftellen.
J^=^> } is;
M. F G M
Want, indien men begeert, dat den Veelhoek AB CD E F de mogelyk grootfte zy, en dat nogthans de hoek AD F, (leunende op de onbekende zyde AF, geen regten hoek zy; zo laat GKM een regten hoek zyn, begreepen onder GK=AD , en MK = FD; laat ook, op GK en MK, de Figuuren GKIH, en MKL, gelykzydig, en gelyk, aan ADCB en FDE, befchreeven worden (10.6.).
Dewyl dan gefteld wordt , dat AD F geen regte hoek is, zo is den Driehoek GKM grooter als den Driehoek ADF (Theor. 4.); derhalven, aangezien GK IH = ADCB, en MKL=FDE is (Conftr.), zal den geheelen Veelhoek GHIKLM ook grooter zyn, als den geheelen Veelhoek ABCDEF (Ax. 6.1.),dat tegenjlrydig is.
COROLLARIUM.
Dewyl de hoek in een halven Cirkel een regte boek is C7-3-) 5 20 blykt; dat de grootfte Veelhoek , begreepen onder een voorgefteld getal van gegeeven zyden, en een andere zyde, na welgevallen genomen, in een
hal-



XL Boek. ( 218 )
halven Cirkel moet kunnen befchreeven worden waar van de onbepaalde lyn den Diameter zal zyn, '
THEOREMA XII. Een Veelhoek ABCDEA ineen Cirkel befchreeven is grooter als een andere Veelhoek GHIKLG, hoedanig, die ook zy, welks zyden, beide in lengte en getal, de zelfde zyn. 5
Q_ J) 1 K
3^ Ij/^
Laat AF den Diameter des Cirkels zyn, en voeg e, F te faamen; maak ook de hoek GLM = AEF LM =EF, en trek GM.
Dewyl AB=GH, BC = HI, CD = IK, DE = KL, en EF = LM is (Steil.), zal den Veelhoek ABCDEF, in een halven Cirkel befchreeven zynde grooter zyn als de Veelhoek GHI KLM (Theor. n,y en indien van deeze, de gelyke Driehoeken AEF G LM ifgetrokken worden, zal 'er overblyven ABCD EAC7GHIKLG. Dat te bewyzen was.
Aanmerking. Dat de grootheid van den grootften Veelhoek, welke onder een willekeurig getal van ongelyke zyden kan begreepen worden, in geenen deele afhangt van de fchikking, volgens welke deeze lynen aan elkanderen verknogt zyn, zal in deezervoegen blyken.
D Laat ABCDE van
I» een kant de grootfte zyn,
y^ \ of volgens ééne fchikking
Hf£::1 \ \ der zyden;en laat opEC
\ • n. \ een Driehoek ECF ge-
1 X\. plaatff worden , waar van
\ C de zyden CF en EF we-
1 / derzyds aan e D en C D
\ j gelyk zyn; dewyl dan de
1 ƒ Driehoeken e D C, E F C
\ / gelyk zyn, zullen de ge-
\ / heele Veelhoeken ABC
V 'B de



( 2i9 ) XI.Boek.'
DE en ABCFE ook gelvk zyn, niettegen ftaan de hunne gelyke zyden ED, CF, &c. volgens verfchillende fchikkingen geplaatft zyn.
THEOREMA XIII. Van alle Veelhoeken, onder de zelfde Perimeter, en het zelfde getal van zyden, begreepen; is die de grootfte, welks zyden, en boeken, gelyk zyn. Want, den grootften Veelhoek, die onder een gegeeven Perimeter kan begreepen worden, is een zodanige, waar van de zyden alle gelyk zyn (Theor. io.). Maar van alle diergelyke Veelhoeken is die de grootfte welke in een Cirkel kan befchreeven worden (Theor. 12.). Derhalven is die de grootfte van allen , welks zyden alle gelyk zyn, en welke in een Cirkel kan befchreeven worden; of waar van de hoeken, zo wel als de zyden, alle gelyk zyn. Dat te bewyzen was.
THEOREMA XIV. Den mogelyk grootften Inboud, die onder een regte lyn, na gevallen genomen, en een ander lyn , of lynen, boe genaamd , waar van de Som gegeeven is, kan begreepen worden; zal zyn, als twee regte lynen, van de einden der eer ft gemelde onbekende lyn getrokken, tot dat zy ergens in de gegeeven bepaaling faamenkomen, regte boeken met eikanderen maaken.
AT JB 3>
. Want, indien men begeert, dat den Inhoud ALC MBA, begreepen van een regte lyn AB, en al,^ MB, waar van de lengte gegeeven is, de mogelyK grootfte zy, en dat evenwel ACB geen regte hoek is; io laat D FE een regte hoek zyn, begreepen onder DU = AC,enEF = BC;en hebbende DE getrokken, zo laat begreepen worden, dat op D F en E F twee Figuuren DPF en EQF gemaakt zyn, die in alle opzigfen gelyk, en gelykvormig, aan ALC,enCMB zyn.



XLBoEK* ( 220 )
Nadien nu den Inhoud DFE grooter is als ACB
£™rr\4l?; Z° 'S hf °Penbaar> dat den Inhoud DP FQE D ,begreepen door de regte lyn D E en DPFQE fj—ALCMB (Steil.)"] ook grooter zal zyn, als den Inhoud AL CM BA (Ax. 6. t), bet geej te'genftrX is. Derhalven kan de Inhoud AL CM BA de moeelvk grootfte niet zyn , ten zy de hoek A C B een regte hoek is. Dat te bewyzen was.
COROLLARIUM. . Dewyl de hoek in een halveri Cirkel een regte hoek is (7-3-)> zo is het blykbaar, dat'den Inhoud de mogelyk grootfte zal zyn, als de gegeeven lengte , of bepaaling, de boog van een hal ven Cirkel uitmaakt: waar van de voorgeftelde onbepaalde regte lyn den Diameter is.
THEOREMA XV.
Van alle platte Figuuren AH CD, EFGH, onder gelyke Perimeters (of bepaalingen) begreepen, is den Cirkel ABCD de grootfte.
Want, indien den Diameter A C getrokken , en E F G gelyk aan de boog ABC genomen wordt; zal de Inhoud A B C A, door het voorgaande Theorema , grooter zyn als de Inhoud EFGE, begreepen door EFG en de regte lyn EG; en ADC A zal op dezelve wyze grooter zyn als EHGE. Derhalven moet ABCD noodwendig grooter zyn als EFGH. Dat te bewyzen was.
COROLLARIUM. Hier uit blykt, dat de mogelyk grootfte Inhoud,welke door een regte lyn AB, en een kromme lyn AeB,
die



( 221 ) XI. Boek.
die beide in lengte gegeeven zyn, kan begreepen worden • zal zyn , als de laatfte een Cirkel-boog is. Want, laat'a»B een ander kromme lyn, gelyk aan A ê B zyn, en laat den geheelen Cirkel Ae BCD voltrokken worden; dewyl dan den geheelen Cirkel, zo als beweezen is, grooter is als de gemengdeï Figuur AbBCD; zal ook het gemeene Segment ABCD aftrekkende, AeBA grooter als AraB A zyn.
THEOREMA XVI. Den grootften Regtboek , welke onder de twee deelen van een zeseeven lyn AB , na welgevallen genomen, kan begreepen worden, zal zyn, als de beide deelen aan el' kanderen gelyk zyn. A CD B Want, indien het moge ■>
■™ . , | lyk is, zo laat de beide dee-
f—{ —1 len AC, BC ongelyk zyn.
Deel A B in twee gelyke deelen in D; dan zal den Regthoek, onder BC (BD + CD1 en AD(BC-CD). het vierkant van CD kleinder zyn, dan DBD (of □ AD.DB) [5.2.]. Dat te bewyzen was*
COROLLARIUM. Hier uit volgt, dat van alle Regthoeken , welken een gülyken Perimeter hebben, het Quadraat, of Vierkant, h^t grootfte is.
THEOREMA XVII. In alle Driehoeken. niet ftompboekig zynde, ftaat bet grootfte Vierkant op één der zyden A C , die met den Perpendiculair BD, op dezelve vallende , bet minft verfcbilt.
B Dewyl FG parallel met
A AC is. zo is BD: A C::
• \ BE:FG(ED") [10.4."l;en,
/ \ door faamenftelling , BD +
/ \ AC:AC:;BE + ED(BD)
—AXi :FG. Derh. [=1BD + AC / \ .FGr=QBD.AC(9.4).
/ \ Indien nu BD-f AC als één
/ \ lyn wordt aangemerkt, zal
/ I 1 I \ □ B D . AC , en dus ook AID H C FG, een zyde van het in[ P ] ge-



XI. Boek. ( 222 )
gefchreeyene Vierkant, de mogelyk grootfte zyn, als
? f (Jbe,0r.' l6£>' En ^evolgelyk, hoe min-,
der den Perpendiculair B D, en Bafis A C van eikanderen verfchillen, hoe grooter het ingefchreeven Vierkant F G Hl zal zyn. Dat te bewyzen was.
THEOREMA XVIII.
Het grootfte Parallelepipedum, dat onder de drie deelen van een gegeeven lynAB, na welgevallen genomen , kan begreepen worden, zal zyn, als alle de deelen aan eikanderen gelyk zyn.
-A. C IE D 35 Want, indien het
J 1—I J I mogelyk is, zo laat
1 I 1 I 1 twee deelen A E, E D
1 ' ongelyk zyn. Deel AD
m twee gelyke deelen, in C', dan zal den Regthoek onder A E (A C + C E) en E D (A C - C E ), het vierkant van CE kleinder zyn, dan DAC (of CDA CC D) L5.2.]. Derhalven zal het lighaam AExEDxDBook kleinder zyn als het lighaam ACxCDxDB (20.7.") • bet geen tegen de Onderftelling firydt. *
COROLLARIUM. Hier uit volgt, dat van alle regthoekige Parallelepi. peda , welke de Som van haare drie afmeetingen gelyk hebben, de Cubus, of Teerling, de grootfte is.
THEOREMA XIX. . Eet mogelyk grootfte Parallelepipedum DACxCB, dat onder bet vierkant van een deel A C, eener gegeeven lyn AB, en bet andere deel AC kan begreepen worden; zal zyn, als bet eerfte deel bet dubbeld van bet laatfte is.
-A. dl> c C B Want, laat Ac en
1 II |[ j Bc andere -willekeu.
I 1 1" i 1 : 1 rige deelen zyn, waar
in de gegeeven lyn A B kan gedeeld worden; en laat AC en Ac in twee gelyke deelen gefneeden worden in D en d. Dan zal DAC xCB = 4ADxDCxCB (Cor. 1. van 4. 2.)C?A.Adx dcxcB(DAcxcB), door het voorgaande Theorema, zyn. Dat te bewyzen was.
THEO-



( 223 ) XI.BoeK. THEOREMA XX.
/vHvpothenura AC van een regtboekigen DriehoekABC i^SZen zynde; zal bet lighaam B C x □ A ponder een hJL bC en bet vierkant van het andere AB, begree-
. I n bet mogelyk grootfte zyn, als bet vierkant van bet laatfte been; A B M dubbeld is van dat van bet eerfte BC.
Want, indien BD begree. B pen wordt perpendiculair op
/S^T/^\ AC, en DE op AB te zyn; / sK 1 W zo isDAB[OAC.AD (Cor. f/ \ | M van 16. 4.)] : üAC ::AD:
X T> C AC(Cw.«»ni.40::ED:BC
A- (11.4O; en by gevolgd AB*
BC=DACxEDC9.40- Dus' indienf,D' o{ ifST zelfs vierkant [□ E D] (Cor ». «« 4- 20 d* ™* grootfte is, zal ook (DAB gegeeven zynde) GAB „npde mogelyk grootfte zyn.
X ïaar OED:OASD::DBC [ O CD .ACMvan
'Dilnvolgens zal DADxCD, en dns ook □ Co-40- UienJol§ens ft als AD het dubbeld
ED, de mogelyk groottte zyn , van CD is (Tèeor. 17.) 5 dat is,als □ AB (□ AD AC) het dubbeldSan DBCCnCD-AC) is. Da* ft to*.
z«w was.
THEOREMA XXI. De hoogte BC des mogelyk grootften Cylinders HG, die ineen Kegel ADE kan befchreeven worden, ts eén-derdedeel van de boogte AB des Kegels; enden Cylinder zelve is % deelen van de Kegel.
[Pa] Want



xi. Boek. c 224 )
-A, Want, laat g h een an-
êdere Cylinder , in den Kegel befchreeven zyn; zo heeft men, DACx BC:DCGxBC::DA C:QCGC2i-70::D Ac-.Ocg (Cor. u van 19.4O OAcxBc : □ cgxBC; Derhalven is, door verwiffeling , □ A C xBC : □ AcxBc : : □ CGxBC:DcgxBc;en in die zelfde reden is e ook den Cylinder H G tot den Cylinder bgC^.en;. van 8.> Maar DACx BC is grooter als DAcxBc (Theor. 17.), derhalven is HG ook grooter als bg. Wederom, nadien AC = ï A B, en derhalven C G = f B E is, zo hebben we; Cylinder HG : Kegel ADE (óf Cylinder DN) [Cor. 3. van 8. 8.])::DCG fJDBE):DBE(3.8.),:: J: 1. Dat te bewyzen was.
Einde van het Elfde Boek.
BY-



BYVOEGSEL.
VAN EENIGE
MEETKUNDIGE
WERKSTUKKEN.
Tot Oefening, in de toepqffing der Theoretifche gronden van dit Werk, voorgejïeld.
PROBLEMA I.
TN een gegeeven Driehoek ABC een Regthoek te S befchryven, gelyk aan een gegeeven regtlynige * iguu?Q, en niet grooter zynde, als de helft van den Driehoek. pROBLEMA II.
In een gegeeven Cirkel een Regthoek te befchryven gelyk aan een gegeeven regtlynige Figuur , en niet grooter zynde, als de helft van het vierkant des
Diameters. - TIT
PROBLEMA III.
Een lyn EF parallel met een gegeeven lyn AD te trekken, welke in twee andere lynen AB.AC, die in (telling gegeeven zyn, zal eindigen, zulks dat dezelve megtgdeeze lynen een Driehoek AEF zal maaken, die aan een gegeeven Regthoek gelyk is.
Aanmerking. Wy zeggen, die in Stelling gegeeven zyn - ver [taande daar door, dat de lynen AB, AL een gegeeven boek te faamen maaken.
PROBLEMA IV. Tuffchen twee lynen AB, AC, die in Stelling gegeeven zyn, een lyn D E te trekken , gelyk aan eea legeeven lyn PQ, zodanig; dat den Driehoek AD E, daar uit ontftaande, van een gegeeven grootheid zal
zya- L P 3 ] PR0-



Byveegfel. Q 226 )
PROBLEMA V.
Door een gegeeven punt P een lyn EPD te t«t ken, ontmoetende twee lynen AB, AC, die in £l ling gegeeven zyn, zodanig; dat den Driehoek ADE daaruit.ontftaande,van eengegeeven grootheTdzalzyf' PROBLEMA VI. een gegeeven Veelhoek ABCDEFG een deel
£HJFrGMat?fnyden» ë'W*™ een gegeeven ReS hoek LM, door een lyn RS, die of pfrfl«Si; met een gegeeven lyn AQ, of door een gefeevén punTS
PROBLEMA VII.
Een gegeeven Driehoek ABC in een voorgefteld getal deelen te deelen, die een gegeeven reden, rnt J kanderen hebben; door lynen , d?S^ n'der zyd n BC van den Driehoek parallel getrokken worden. PROBLEMA VIII.
Een gegeeven lyn PQ in een voorgefteld getal deelen te deelen zodanig; dat gelykvormige ?egüvntee Figuuren PmM.M/L, LqQ 0p dezelve befchreeven de zelfde gegeeven reden onder eikanderen zullen'heb* ben, als een gelyk getal regte lynen AB, AC an naar welgevallen genomen. ' ni/' ÜU>
PROBLEMA IX. De ftelling van een punt P te bepaalen, zodanigdat de lynen , uit hetzelve getrokken, tot aan de"fe den van drie regte lynen AB, CD, EF, die in leng CPn ttg' gf,geeren Zyn.' «rie Driehoeken AbT ^ci£P&^.^^n. die onderling^
PROBLEMA X.
Uit twee gegeeven punten A, B, twee lynen A C
lC^e-trenn"' dlC in een regte'°f «rommJjyn DE * welke,in ftelling gegeeven is, zullen faamènkomen zodanig; dat het verfchil van haare Vierkanten Sk zal zyn aan een gegeeven vierkant (QPQ).
PRO.



( 227 ) Byvoegfel. PROBLEMA XI. Uit twee gegeeven punten A, B, twee lynen AC, BC te trekken, die in een regte , of kromme, lynDE, welke in ftelling gegeeven is, zullen faamenkomen, zodanig ; dat de fom van haare Vierkanten gelyk zal zyn aan een gegeeven Vierkant (DPQ).
PROBLEMA XII.
Uit twee gegeeven punten A, B, twee lynen AC, BC te trekken, die in een regte , of kromme ,lynDE, welke in ftelling gegeeven is, zullen faamenkomen,zo. danig; dat dezelve een gegeeven reden hebben, van twee ongelyke regte lynen Pp, Q?.
PROBLEMA XIII.
Uit twee gegeeven punten A, B, twee lynen A C, B C te trekken , die in een regte lyn DE, welke'in ftelling gegeeven is, zullen faamenkomen ; zodanig, dat zy met dezelve twee hoeken ACD,BCE zullen maaken, welkers verfchil gelyk zal zyn aan een gegeeven hoek
lCb' PROBLEMA XIV.
Uit twee gegeeven punten A, B, twee lynen AC, BC te trekken, die in een regte lyn D E,welke in ftelling gegeeven is, zullen faamenkomen, zodanig; dat haar verfchil gelyk zal zyn aan een gegeeven regte lyn
Bd' P R O B L E M A XV.
Uit twee gegeeven punten A, B, twee lynen AC, BC te trekken, die in een regte lyn DE, welke in ftelling gegeeven is, zullen faamenkomen, zodanig; dat haar fom gelyk zal zyn,aan een gegeeven regte lyn Bd. PROBLEMA XVI.
Uit twee gegeeven punten A, B, twee lynen AC, BC te trekken, die in een regte lyn DE, parallel aan die (AB), welke tuffchen de gemelde punten getrokken is, zullen faamenkomen; en zodanig; dat den Regthoek (OAC.BC) van dezelve begreepen, gelyk zal zyn aan een gegeeven Regthoek.
PRO-



Byvoegfel. ( 228 )
PROBLEMA XVII.
Door een gegeeven punt P, een lyn FPE te trekken, zodanig; dat de deelen derzelve PF,PE, begreepen tuffchen dat punt, en twee lynen AB,CD,die in ftelling gegeeven zyn, een gegeeven reden tot elkanderen zullen hebben.
Aanmerking. In de Conftruclie van dit Prablema wordt noodzaakelyk vereifcbt, dat één der beide gegeeven lynen een regte lyn zy. De andere kan een kromme lyn zyn, van veelke natuur men die begeert.
PROBLEMA XVIII.
Door een gegeeven punt P een lyn GH te trekken, die in een regte lyn AB, en in een regte, of kromme, lyn CD, beide in ftelling gegeeven zynde, zal eindigen; zodanig, dat den Regthoek, onder de beide deelen derzelve PG, PH, van een gegeeven Grootheid zal zyn.
PROBLEMA XIX. '
Van den Omtrek eens gegeeven Cirkels, tot een regte, of kromme, lyn MN, die in ftelling gegeeven is, een regte lyn EF te trekken, die beide gelyk en parallel zal zyn aan een gegeeven regte lyn PQ.
PROBLEMA XX.
Uit het Sny-punt P van twee gegeeven Cirkels, een lyn P R te trekken , zodanig ; dat het deel derzelve QR, tuffchen de beide omtrekken befioten,gelyk zal zyn aan een gegeeven lyn AB.
EINDE.



■