1! i S f O R t Ë WI S KUNDE federt haaren oorfprong tot in onzen tyd ; door den Heere MONTUCLA, Lid van de Koninglyke Academie der Weetenfchappen en f raatje Letteren van Pruis/en. Uit last van het Genootfchap der MATHEMATISCHE WEETENSCHAPPEN onder de Spreuk: ÈEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TE BOVEN, üit het Fransch vertaald , en met eenige byvoeg. Telenjen ophelderende aanmerkingen vermeerderd, door 1ÓR.NÖLDUS BASTMAN STRABBEj Lid en Secretaris van het zelfde Genootfchap | enz. Derde DeeIi I. S t u k. Te AMSTERDAM, By P. G. GEYSBEEK, Boekverkooper op dé Princegragt en hoek van de Egelantierstraat. M D C C L X X X I X.   HISTORIE DER-' WI SKUNDE- DERDE DEEL. Bevattende de Hificrie der Wiskunde geduurende de zeventiende eeuwe. EERSTE BOEK. Bevattende de vorderingen der Meet en zuivere Wiskunde, op de wyac der Ouden verhandeld, geduurende deeze eeuwe. KORTE INHOUD. T. Algemeen Tafereel der Wiskundige ontdekkingen in de zeventiende eeuwe. II. Lucas Valerius maakt in de Theorie der zwaarheids-middelpunten een? grootere vordering dan Archimeues. Snellius herorden ook door eeni' ge vindingen de benaderde maat descirkels, III. Uitvinding der Logarithmen door den Baron v&» Neper. Eigenfchapf en en natuur van die getallen. Hoe Neper dezelve be' Jchouwt. Wie diegeener. zyn die hem in de faamenflelling der Logarithmi Tafelen, welke wy bezitten, gehol' pen hebben, Andere verrichtingen van Neper. 'Lyrfi Trigonometrifche vindingen. Zyne Stok/es- of Staafjes' Rekening. (RhabdologiaIV: hepier brengt in zy* ns Meetkunde der vaste Lighaamen (Stereometria) ee' A «t-  s. Hl S T*Ó R IE der nige inzichten en verfcheide. werkftukken (Problcmata) te berde, welke op den oo'fprong der nieuwe Leerwezen invloed fchynen igchcdre hebben.''- V. Van de Leerw.yze van Gufdirius ;. toepOsfihg wélke derïelver Uitvinder daarvan maakt op.Te lferk\iük%n varaKêpIcrr VI fun de Meetkunde aer Ondeelbattren (Iodivifibilia) ; korte beichtyving van Let lev&i van (..'.-.v-illeri. Verklaar mg zyner Leetwyïei en fidate ove'rcenkcTs:r met-die-thtr 'tinden. Gebruik dat hy daar van maakt tot de oplosfing van eene meenigie viaagQukken.,. Ontdekking der overeenkomst van den Spiraal en Pdtabobl. Vit. De Meetkunde verheft ziek omtrent dien tyd in Frankryk tot •moeijelyker ncijpotrmgeh; men beft houwt 'er de Krommen op eene atgemeenere wyze \de Logarithmifche spiraal en de Cyclois of Roltrekneemen aldaar hunnen oorfprong, of Monden aldaar de LMeelkundigen beezig. VI li. Vtrllandige Lcerwyze voorde raaHynen der Krommenu. door Robetval uitgevonden, en haare overeenkomst met dieder Fluxiên. IX. Uefcl imenis 'van dé Cyclbis en de gefckillen , wdke over dezelve ontjtann. VraagJlukken over deeze Kiommh doof den Heer Fafcal vooigejidd, en wat by die gelegetdieid voorvalt Verfcheide'zo 'zuiver Mfethtnjtige, ah Mtchanifche eige:fc!:appen, welke de MeetkunUigen in de Cyetois ontdekt hebben. Verfiag der Verrichting-n van verfcheide beroemde Meetkundigen , welken de oude Leerwyze geduurende deeze heme voortgezet hebben, L Onder de Eeuwen, welke vóór en na tot de bevordering der Weeteiuchapptn iets rocgebragc. lebben, moet zonder twyffel de laatstverioopene dén eerfttn rang houden, en die voordeel zal haar waarfchynlyk door geen der nog volgende Eeuwen benomen worden, 't Zy verre van ons de paaien van 't menfchlyk verftand te willen beftemmen , wie ' weet welke de uitet fte grenzen van kundigheden ?yn , waartte hetzelve geraaken kan? elke dag voegt iets by de ontdekkingen van den voorgaan.. den  WIS K Ü N D E. IIL Deel. I. Boek. 3 den, en zulks niette erkennen zou niets anderszyn , dan veelen onzer beroemde tydgenooten den püchtmaatigen lof weigeren , welke hun toekomt Wanneer men echter g^de Chat de verbaazende vlucht, welke de Weetenichappen, en vooral de Wiskunde, in de zeventiende Eeuwe genomen hebben , zal men moeten bekennen, dat, welke volkomenheid dezelve ook van de volgende Eeuwen ontfangen, echter een groot gedeelte der eere daarvan toekomt aan de lieuwa , die haare loopbaane zo gelukkig geopend heeft. Alvoorens tot de byzondere gefchiedenis derWiskundige ontdekkingen, welke tot de zeventiende Eeuwe behnoren, over te gaan, achten wy niet ondienftig te zyn, dezelven eenige oogenblikkcri onder een algemeen gezichtpunt te befchouwen. floe voortreffclyk fchoon is niet het fchouwtoneel 't welk zy ons ambieden! wat is het bekoorlyk en verwonderlyk voor een VVysgeerig oog! Als wy ons tot de zuivere Wiskunde" bepaalen, vinden wy terftond, in de eerfte Jaaren deezer Eeuwe, de kunftige en nog nuttiger vinding der Logarithmen;_ kort daar na zien wy onder de handen van ■ Qtygfieri eene nieuwe Meetkunde gebooren worden , en , door verfcheide anderen aangekweekt , zich tot nafpooringen verheffen, welke verre verheven zyn boven diegeenen waar mede de aloudheid zich bezig hielde. Echter flaat De]'artes eenen geheel anderen weg in, en geeft, door de Analyfis op de Meetkunde toe te pasfen, aan de Theorie der kromme Lynen eene uitgebreidheid en ongedwongenheid, welken dezelve nog niet gehadt hadt; hy verzint verfcheide Leerwyzen om de moeijelykfte VraagHukken, welke in dat vak voorgeftcld kunnen worden, door eenen zekeren weg op te losfen. Ftrmat, zyn mededinger en tydgenoot , onderneemt den zelfden taak, en geeft insgelyks zodanige vindingen aan de hand,welke een zeer ontwikkeld keen der nieuwe rekeningen zyn. IVallis, Barrow, Gregori verryken de Meetkunde met eene meenigte nieuwe LeerwyA 2 zen  4 HISTORIE der. zen en Ontdekkingen: Ntwton eiudelyk geeft d& geboorte aan die verhevene Meetkunde, voor welke het geen tot da:ir toe zo veel moeite gekost hadt flegts' een fpel is, en die alleen iu ltaat is toegang, te verleenen tot de zwaarwigtige navorfchingen »■ waar mede onze Meet gn Natuurkundigen zich hedendaags bc«K houden /ils wy van daar onze oogen flaanop de gemengde • Wiskunde, zullen wy niet minder voldaan zyn over de uitbreiding , d*e wy dezelve zien verkrygen. De Ulechanica zal-ons de ontdekking van de Wetten der beweegicge en haare mededeeling, van die derverfnellïng van de zwaare lighaatnen, van den weg der vportgewerpene dingen , van de onderlinge werking en.de beweeging der Vloeifloffen aan de hand g'eeven. Wy zullen haar mèt verfcheide grondige Theoriën zien vergroo:en, als die der Ihngerpuhten % die van den tegenftand der Vjoeiftoffen, der Centraal-krachten, enz, De vorderingen, welkende Gezichtkunde (Optica) geduurende den zelfden tyd maakt, zyn niet minder voortrelFelyk; de wyze óp v^elke de ziening gefchiedt wordt verklaard, de Wet der ftraalbreeking (RefraÏÏio) ontdekt, en eene nieuwe Weetenlclnp op dien groodflag gevestigd: de Telefcoop en Microjcuop bieden het gezicht hulpmiddelen aan , Welke in de aloudheid onbekend waren: de oorzaak van het verfchynfel des l\egenboogs worde aan de reaen Onderworpen : het licht wordt ontleed, en de verfchillende breekbaarheid der kleuren ontdekt: de Spiegel -Tel-fcoop wordt uitgevonden en mee een goed gevolg vervaardigd. L)e Sterrekunde etndelyk vertoont ons in den eerften opftag de ontdekking van de waare gedaante der Loopkringen, welken de Planeeten bei'chryven, en van de Wetten die haare beweegingen bellieren: kort daarna ziet men de Sterrekundigen met behulp van den Telefcoop, als 't ware, naar den hemel fnellen, en aldaar ontdekken de vlekken der Zón, de beweeging van dat Hemellicht om zynen As; defchyngeftaltens {Pha- fesj  r WISKUNDE. III. Beet. I. Boek. j fes) van Vews en Mercurius; die kleine PlaDeeten, welke* qelykfoortig met onze Maan zynde, jfupiter en Salurnus, mee den zonderlingen ring, dte deezen laattten omvangt, vergezellen, verfchynfelen welke over het waare fteliel van 't Geheelal een groot licht verfpreSden: de Aardrykskundè ( Geographia ) wordt volgèfs de Waarneemingen t'eenemaal verbeterd: de Aarde wordt met eene naauwkeurigheid , die der Ouden verre overtreffende, gemeeten, en haare waare gedaarte ontdekt: hetgeen Kepler uit de Waarneemingen geleerd hadt wordt, met behulp eencr grondige toepasfing van de Meetkunst en de Mechanica op de beweegingen der Hemel-Lighaa.Tien, betoogd: de Comeeten worden in den rang der Planeeten gefield , en haar loop aan de rekening onderworpen, in weerwil der zeldzaamheid van haare verfchyningen: de Maan, die Planeet welke aan alle de poogingen der Sterrekundigen zo lang wederf'pahnig geweest is, worde in boeijen gekluisterd, en de oorzaak van hasre ongeregeldheden ontdekt. Eindelvk ?iet men uit de handen van den onfterfIvkcn Newton ten voorfchyn komen een Natuur, én Sterrekundig Stelfel, een meesterftuk der Meetkunde en Mechanici,', .dat van dag tot dag uit de ■verëen'gde verrichtingen der Meetkundigen en W'aarneemers eene nieuwe bevestiging ontleent. Zodanig is het algemeen Tafereel der Wiskunde g duurende de laatfte Eeuwe; een Tafereel dat wy met eene meenigte andere trekken hadden kunnen aanvullen, zo wy niet, de kortheid in 't oog houdende, ons flegts tot de belangrykfte bepaald hadden. Laat ons thans overgaan om die verfchillende voorwerpen met de vereischte byzonderheden voor te dragen. Het is natuurlyk met de Meetkunde, welke haar licht over die Weetenfehappen verfpreidt, een begin te rnaak'en. Om de talryke ontdekkingen van verfcheide foorten, waar mede zy verrykc is, duidelyk voor te dragen, zullen wy dezelven in drie declen fchiften, A 3 wel-  6* HISTORIE der welke even zo veel Boeken zullen uitmaaken. In dit Beek zullen wy è])eénl.yk fpreeken over de Meetkunde op de wyze der Ouden behandeld, dat is te zeggen , zoncer Algebroïfche rekening. In het volgende zullen wy ons met de Meetkunde van Defcartes en de Stelkundige Analyfis bézig houden. Vervolgens zullen wy in eenige Boeken het verhaal doen wegens de vorderingen van de overige deelen der Wiskunde , geduurende de eerfte helft der zeventiende Eeuwe j waar na wy, tot de Meetkunde terugkomende , de Hiftorie der nieuwe rekeningen tot in 't begin der tegenwoordige Eeuwe zullen voordragen. Eindelyk zullen wy die der overige deelen van de Wiskunde tot aan den zelfden tyd hervatten. II, De Meetkunst maakte van de eerfte Jaaren der zeventiende Eeuwe af eenige merkwaardige vorderingen buiten den kring, waar in de Ouden gebleeven waren. Zy hadt dezelve den Ituiiaanfchen Meetkundige Lucas Faierius te danken. Deeze Wiskundige, bemerkende dat Archimedes dezwaarheiesmiddelpunten der vaste Lighaamen verwaarloosd hadt, en dat Commandinus, welke getracht hndc dat gebrek te vervullen , flegts de gemaklvhfte gevallen hadt kunnen oplosfen , bcvlytigde zich om die Theorie verder te brerigen. Gelukkiger, of bever meer met den geest eer uitvinding begaafd dan Commandinns, Haagde hy in zyn oogmerk, en bepaalde die middelpunten in alle de Conoïdes en Sphccroïdes, en haare Segmenten, door Vlakkenevenwvdig aan den Ecfis afgelneedcn. Hy gaf deeze be'iangwaardige, zelfs durf ik zecgen voor zynen tyd zwaarwigtige waarheden Ao. 1(04? in zyn Boek de Ctntro Gravitat/s Solidorum, in 't licht. Lucas Vahrius heeft ons een ander gedenkfluk van zyn vernuft nagelaaten , in eene Quadratuur van den Farabool, die ten aanzien der middelen verfchillende  W ÏSKUN D E. III. Deel, I. Beek. 7 vk is van- die, welke Jrclimedes eertyds g.egeeven Kadt: men vindt h< t/dve atüter hét Werk waar van wy zo even geiproken hebben. Deeze achtbanre Mb-tkunJre was Hoogleerjar der Wiskunde te Kff' me; dit'is alles wat wv daar van weeten; en wy moeten bekennen, dat 'wy, een overvloed van fktte voor ons hebbende, geenszins getrac'u hebben eene grondiger kennisle Van 't geen hem betrelt op te fpoórehf 'i , Wy zullen hier rog maatfèn eenen Meetkundige, welke één der ontdekkingen van Archimedes in fommige ftukkeu tot grootere volmaaktheid heeft ge' braat; deeze is Sneitw,' wiens naam beroemd is door zyne meeting der Aarde ea zVffe ontdekking van de Wet 'der Straalbuisrmg UltfrcEtio). Om van z'yhe'n arbeid een denkbeeld te verkrygen, moet men afch te binnen brengen , dar /jrchnnedes zyne berucite proportie van den Diameter tot den Omtrek des Cirkels gevonden hadt door middel van twee Veelhoeken, ieder van JQ2 zyden, de eene ïö en de andere om tien Cirkel befehreeven. Ludol/.h , het getal der zvden van die Veelhoeken geduung verdubbelende, was tot eene proportie gekomen, die met 35 cyffe'letteleu werdt uitgedrukt, waarvan alleende laatlte onnaauwkeurïg was, en flegts minder dan eene eenheid van de waare verfchilde. Deeze handclwvze f'cheen Snellius eenen zeer moeijeiykbn arbeid té zyn, en deeze beweegreden decJt Hem daar voor eene andere zoeken, welke minder langwyli^ was. Ky vondt in de daad twee Theoremata (a), (a) Het eerde van die Theoremata is dit. Als men den Diameter eens halven ■ Cirkels (Fig. i.) naar E verlengt, ziwi% dat A E gelyk zy aan den Straal, en door Jënte punt G de rechte 'EG H trekt, dan is het deel der raaklyn, 't welk dezelve affnydt. naamelyk B H, kleiner dan de boog B G , doch het terfchllt daar mede zo voel te minder als die boog kleiner is. Zie hi'sr het twesde: AU men uit het zelfde punt G de rechte F G I trekt, zodanig dat DE gelyk zy aan den Straal, dm is het gedeelte der A 4 raak-  8 HISTORIE der door welken de zyden van twee gelykvormige Veelhoeken, de eerie in en de andere om den Cirkel bcfchreeven, gegeevenzynde, men veel naauwere Limieten van den Cirkel bepaalt, als door die Veelhoeken op de gewoone wyze behandeld. Ken voorbeeld zal dit gezegde duidelyk doen blyken. Terwyl Archimedes zyne proportie van 7 tot 2a', of van 100 tot 314, flegts doormiddel zyner Veelhoeken van 19a zyden vindt, komt Snellius daar toe door twee Zeshoeken te gebru'ken, en hy overtreft den ouden Meetkundige het dubbeld,als hy van twee Veelhoeken van 180 zyden gebruik maakt. My ftaaft desgelyks ae proportie van Ludolph met eenen Veelhoek, welke deezen laatften flegts half zo veel naauwkeurige Cyfferletteren voortgebvagt zou hebben In dit Gelchrift van Snellius, tot Tytel voerende Cyclometricus, zyn nog veelé andere merkwaardige zaaken; doch wy haasten ons om die voorwerpen over te ifappen, ten eiude tot de groote ontdekkingen te komen, welke voor de bevordering der Meetkunde zulke gelukkige gevolgen gehad hebben. III. Eene van die ontdekkingen, cn deeerfte, welke de voorledene Eeuwe beroemd maakt, is die van de Logarithmen, van die getallen welke, bebalven het. voordeel dat zy hebben van de langdraadigheid en den omflag der rekeningen zeer te verkorten, van een zo uitgeltrekt gebruik zyn, zelfs tot in de hoo- raallyn BI grooter dan de 'eoog BG. Maar het is gemaklyk de grootte van de raaklyn B H (e vinden, en ten opzichte der tweede BI toont men aan, dat dezelve peiyk is aan de dubbelde Sinus van het derJende-el des boogs, meer eenmaal de Tangens van dat derdendeel.Wanneer dus eenige boog gegeeven is, kan men de Linieien van zyne grootte zeer na vinden.  WISKUNDE. III. DeeL f. Boek. 9 hoo*e Meetkunde. Deeze fraaije ontdekking is het "werk van den Baron Neper, een Schot .(&), dien zy met recht vereeuwigt. Dechiaaten wy tot omöandigheden overgaan overëenkomftig het gewigt van dat onderwerp. De Legarithnen zyn getallen, welk'e nevens die van de natuurlvke Ptogresfis in eene Tafel geplaatst en zodanig zyn, dat telkens als men in de laattte meetkundig-evenredige getallen neemt, de getallen welke in de Tafel der Logarithmen daar mede overeenkomen in eene telkunttige reden zyn. Laat ons van deeze eigenfehap gebruik maaken, zonder ons te bekommeren op wat wyze men tot het faamenHellen van die lafel gekomen is, en wy zullen dan gemaklvk alle de voordeden, welke de Logarithmen zo nuttig en dierbaar voor de Wiskundigen maa* ken , daaruit zien voortvloeijen. Wanneer men den vierden Term eener meetkunft-'ge Evenredigheid zoekt, vindt men dien door den tweeden met den derden Term te vermeenigvuldigen en het Product door den eerften te deelen. In tegendeel is in de telkunftige Evenredigheid de vierde Term gelyk aan de fora van den tweeden en derden, min den eerften Term. Wanneer men derhafven tot zeer groote getallen eene vierde-evenre* dige moet vinden, heeft men flegts de j.og-:rithmen van den tweeden en'derden Term faamen ie tellen, en die des eerften' Terms van de fom af te trekken , het overblyvende zal de Logariilmus van den vierden Term zyn; zo dat men, dezelve in de Tafel opzoekende, het gezochte Product daar nevens zal vinden. Deeze verkortingen der rekening breiden zich uit tot de bloote vermeenigvuldigingen en deelingen; want niemand is onbewust, dat wanneer meu twee getallen faamen vermeenigvuldigt, zulks het zelf- (b) John Neper, Baron van Merchiston in Schotland, in 1Ó18 overleden.  lo HISTORIE der zelfde is als of men een regel van proportie maakte, waar van de eerfte Term de eenheid'was , en de middelften de heide getallen, welke tc faamen vermecnigvuldigd moeten worden. Dus moet men de Logarithmen der te vermeenitvuldigen getallen faameutellen, en die der eenheid daarvan aftrekken, het overblyffel zal de Lcgntithmus van het Product ZVn. In de Deeling ftaat de deeler tot het deelul als de eenheid tot het Quiïknt; derhalven moec men de Logarithmen van de eenheid en het deeltal faamentellen, en die des deelers van de fom aftrekken, het overblyffel zal die van het Onotkv: zyn. Dit alles zal zelfs nog eenvoudiger zCïï, als men, de Tafel faamenfleKende, dezelve zodanig inricht, dat de Logarithmus van de eenheid o is, zo ais zulks in de gewoone Tafelen plaats heeft. Alsdan zal de vermeenigvuldigicg in eene eenvoudige optelling der Lcgarithmtn van de te vermeenigvuldigen getallen, tn de Reling in eene afttékfoog' der Logarithmus van den deeler van die des deehais veranderd worden : in beide gevailen zal h t komende de I.ogMïihmus van het Pioduct of 0-iotient £yn. De Worteltrekking, of de vorming u^Vimgten, wordt insgelyks door de vinding der Logarithmen zeer gemaklyK gemaakt: want de teerling van een getal, ,by voorbeeld, is de derde der geduuibe evenredigen tot de eenheid en dat getal; en in 't algemeen is de raagt n van een gctul de geduurige evenredige tot de eenheid en oac getal , welks rang door n wordt aangewcezen. Naardien derhalven de Logarithmen der Meetkundig evenredige grootheden in eene Jrithmetifche proportie ftaan, en die van de eenheid nul is, zal Ac Logarithmus van het vierkant het dubbeld van den Logarithmus des getals , die van den teerling deszelfs drievoud, eu eïndelyk die van den Wortel n uit een getal de Logarithmus van dat getal, gedeeld door n, zyn. Zodbnig is de natuur der Logarithmen: thans moeten wy voordragen op wat wyze Neper dezelve voor de eerfte maal befchouwde. Behalvea dat onze -Hi- fto-  W I S KOND E. III. Deel. I. Boek. 11 ftorie zulks vordert, doen wy dit des te liever, om dat 'er tusfchen de derjkbeelden van den Schotfchen Meetkundige, en de wyze op welke Newton zyne rekening der Fhixien befchouwd heeft, eene zekere overeenkomst gevonden wordt. Laaten wy ons met Neper een punt verbeelden, dat zich langs de onbepaalde lyn PA E fffe.;635 in t licht kwamen, hebben tot onderwerp het bepaalen van die middelpunten in de Cirkelboogen, de Sectors en de Segmenten zo van Cirkelen als Ellipfen. Wy behooren echter niet te ontveinzen, dat de meeste dier zaaken eenige Jaaren te voorenrjn 1632) in 't licht gebragt waren door een Autheur van de zelfde Order, genaamd de-K de la Faille, in een Gefchrift tot Tyt< 1 voerende, De centro gravitatis partium circuli 0 ellipfis, theor. 40. Daar in toonde die Meetkundige, die zekerlyk lot verdient, hoewel op eene eenigermaate wydloopige wyze, de zwaarheids-middelpunten der verfchillende deelen van den Cirkel en de Ellips. Inzonderheid deedt hy daar in zien het verband, dat tusfehen die bepaaling en die van de quadratuur dier Krommen gevonden wordt, en hoe. een van belden gegeeven zynde, de andere noodzaakelyk ook gegeeven is. Wat Guldinus aangaat, hy flaar eenen eenigermaate verfchilleriden weg in, en breidt die Theorie verder uit. _ De voornaamfte ontdekking, die het Werk van Guldinus lofwaardig maakt, beftaat in de toepasfmg die hv van het zwaarheids-middelpunt maakt op de meeting der Figuuren, welke door omwenteling voortgebragt worden. Wy hebben reeds op eene andere plaats aangemerkt , dat Pappus die eigenichap gekend, en flegts in eenigzins verfchillende bewoordingen uitgedrukt hadt. De oude Meetkundige hadt gezegd, dat de Figuuren, door omwenteling voortgebragt, onder elkander waren in de faamengeftelde reden der teelende Figuuren , en der wegen van haare zwaarheids-middelpunten. Doch wy behoeven tevens aan te merken, dat die plaats van Pappus won het licht niet gezien hadt, en allereerst in de Editie van dien Meetkundigen, in't Jaar 1660 uitgekomen, gevonden werdt Het zou, myns bedunkens, enkel kwaadaardigheid zyn te gisfen , dat Guldinus dezelve gevonden hadt, 0 door  3o HISTORIE der m-'^m door eenig Handfchrift van dien ouden Autheur door tefnuffelen, alhoewel zyne ongefchiktheid om dac grondbeginlel te betoogen zulks konde doen vermoeden. Wan 'er ook van zy , zie hier het gron jftellig voorftel van die Leerwyze: „ Iedere „ Figuur, zegt Guldinus, door de omwenteling van ,, eene Lyn of Oppervlakte, om eeDen onbeweeg„ lyken As , gevormd , is het vermeenigvuldigde der teelende grootheid met den weg, welke haar „ zwaarheids-middelpunt befchryft." Wy zullen deezen Regel door eenige gemaklyke Voorbeelden verklaaren , waarvan men het bewys door andere wegen ontdekt. Niemand is onbewust, dat de reente t<.egel gevormd wordt door eenen rechthoekigen Driehoek, welke om een der zyden, die den rechten hoek bevatten, draait; muar men weet ook, dat het zwaarheids midjelDunt vaa dien Driehoek het derde-deel van den Bafis van dien As verwyderd is, en dienvolgens belchryft dezelve eenen omtrek, welke het derde-deel van den omtrek is, die het einde van den 8a/is befehryfe. De Kegel zal derhalven, volgens Guldinus, het vermeenigvuldigde van den teelenden Driehoek met het derde-deel van dien lanften omtrek zyn; waar uit men gemaklyk afleidt, dat dezelve het derde-deel van den Cylinder van gelyke Bafis en hoogte is. Alen doec insgelyks door de Helling van het zwaarheids-middelpunt des halven-CirKels zien, dat de Kloot, welken dezelve voortbrengt v door om den Diameter te draaijen, de % van den Cy'inder van gelyke Bafis en hoogte is, en dat harre oppervlakke gelyk is aan de kromme oppervlakte van dien Cylinder; dat de Purabolifche Cmo'He da helft van den Cylinder van gelyke Bafis en loogte is, enz. Gildims doorliep aldus verfcheide reeds opgelos. te Vraag Hik ken, en zynen Regel op dezelve toeptsfende, trachce hy die ce bewyzen met die volJko nene overëeadem.Tiin j; Jer Oplosfingen, die dezelve vw-tbren-'t, de ouJe. Vlaar deeze waren flegts Iitductieu, welke, hoe gunftig oo'c, niet vol-  WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. f 31 voldoende zyn in de Meetkunde, waar in men het recht heeft zodanige bewyzen te vorderen, welke de toeftemming afperfen. Guldinus deedt , wel is waar, eenige poogingen om denzelven rechtftreeks te bewyzen, doch zulks mislukte hem; en hy hadt zonder twyffel beter gedaan zich aan zyne Inductien te houden, dan eene redeneering als de volgende op te maaken, welke eenen Wiskundige zo weinig betaamde Hy zeide, by voorbeeld, dat de afltand van het zwaarheids middelpunt tot den As van omwenteling een midden hieldt tusfehen alle de afIhnden der verfchillende deelen van de Figuur tot dien As: dat dit punt maar één was, en by gevolg, dat, zo één der punten van de Figuur het gemelde voorrecht moest genieten, het zwaarheids middelpunt in dat geval was. Uit toont aan, dat fomtyds in de ontdekkingen, zelfs in de Meetkundige , meer geluk dan fneedigheid is ; en dit werdt Guldinus door Cavalkri -,k) verweeten , geduurende eenen twist, welken zv, by gelegenheid der naauwkeungheid van de Léerwyze der Ondeelbaaren faamen hadden, in de daad het paste den Duitfchen Meetkundige weinig den Italiaanfchen aan te vallen, als zich aan verflapping in de Meetkunde fchuldig gemaakt hebbende. Ook hadt Cavalkri niet veel moeite zich te rechtvaerdigen, en, op zyne beurt van eene tegenbefchuldiging gebruik maakende, toonde hy aan, dat zodanig verwyt niet als op zyne tegenparty kon vallen: hy deedt Dog meer: om te betoogen , dat Guldinus over eene zwaarigheid geltruikeld hadt, die niec groot genoeg was om eenen Meetkundige tegen te houden, gaf hy hem een zeer eenvoudig bewys van dat grondbeginfel. Hetzelve is in de daad flegts het gtvolg eener eigenfehap van het zwaarheids middelpunt, zo dat het te verwonderen is, dat Guldinus hetzelve niet ontdekt heeft. (I> Ca- Ck) Exercit. Geom. Bon. 1647- *« \ (O Het aanbelang van dit gtondbeginfel noops ons  32 HISTORIE der Cavalkri eigent de vinding van ketzelve toe aan een van zyne oude Leerlingen, genaamd Antonia. Rsccha, die, zo als hy 'er by voegt, hem hetzelve hadt hier het bewys van 't zelve te geeven, ten voordeele der Leezers, buiten wier bereik hetzelve mogt zyn. Als de Rechthoek Aa (Fig. 6.) rondön den As G f3 draait, zal dezelve klaarblyklyk eenen hollen Cylinder befchryven, wiens Inhoud het vermeenigvuldigde zal zyn van Aa, met den middelbaaren omtrek tusfehen die welke haare zyden om den As van omwenteling zullen befchryven, dat is te zeggen, met den omtrek welks ftraal D#, de afftand van het zwaarheids-middelpunt oc tot dien As, is. Desgelyks zal het holle Lighaaai, doorliet Parallelogram Bh befchreeveh , het vermeenigvuldigde zyn van Bb met den Omtrek- welken het zwaatheidimiddelpunt /3 befchryft. Laat S nu het zwaarheids-middelpunt der beide Rechthoeken Aa, 15b zyn, dan zal het vermeenigvuldigde van Aa-f-13£ mei den afftand van S tot den As (door de eigenfehap van het zwaarheidsmiddelpunt) gelyk zyn aan de fom van het vermeenigvuldigde van Aa met den afftand van « tot den As, meer dat van B6 met den afftand van /3 tot dien zelfden As. En neemende dienvolgens, in plaats der ftraalen , de omtrekken, zal het vermeenigvuldigde van Aa met den weg van het zwaarheids-middelpunt a, gelyk zyn aan het vermeenigvuldigde van Aa-j-Bb met den weg van het gemeen zwaarheids-middelpunt Zo men derhalven in of om eenige kromme Figuur 'Fig. 7.) da Rechthoeken, als A, B, C, enz. befcuryft, zal het Lighaam dat zy zullen befchiyven, door om eenigen As te draaijen , gelyk zyn aan hec vermeenigvuldigde van hun fom met den omtrek, welke hun gemeen zwaarheids-middelpunt befchryft. Maar alhoewel deeze Recht, hoeken lot in 't oneindige vermeerderd worden, zullen zy zich echter mst de Figuur, en hun zwaarheids-middelpunt met dat van die Figuur verëenigen, Dus zai het vermeenigvuldigde der Figuur met den weg "aa haar zwaarheids-middelpunt geiyk zyn aan het Lighaam, 't welk dezelve ia ha»re omwenteling befenryven zal.  WISKUNDE. IIF. Bul. I Boei. 33 hadt medegedeeld, lang vóór dat zyne tegenparty Zyn Werk in 't licht gegeeven hadt. Door zich van het grondbeginfel van Guldinus te bedienen, is het gemaklyk veelc der Voordellen, welke Kepler voorgefteld hadt, op te losfen. Want 10. de Quadtatuur des Cirkels onderfteld zynde, heeft men het zwaarheids-middelpunt van. eenig Segment van eenen Cirkel of Ellips, als mede deszelfs grootte: by gevolg, als men dat Segi ment om deszelfs Pees, of om deszelfs Raaklyn, ofeindelyk om eenige andere Lyn, doet draaijen, zal men en de grootheid der teelende Figuur, en den weg , die haar zwaarheids - middelpunt heeft doorgeloopen , bekomen : het voortgebragt Lighaam zal derhalven niet onbekend meer zyn. Het zal eveneens gelegen zyn met de oppervlakte, gevormd door eenen Cirkelboog , op eenigen As draaijende: men heeft haare grootte en den darid van baar zwaarheids-middelpunt bekend , by gevolg zal men de beide Factores hebben van 't Product, dat de gezochte Oppervlakte is. Een gedeelte van 't Boek van Guldinus is tot de Oplosfingen van die Voordellen gefchikt. n ■ Archimedes hadt zich eertyds voorgefteld de grootheid van het Lighaam te vinden, dat door de omwenteling van het Parabolifch Segment om deszelfs As gevormd wordt, en getoond, dat hetzelve de helft van den Cylinder van gelyke Bafis en hoogte was. Kepler hadt voorgedeld de maat van het Lighaam te vinden, dat door het zelfde Segment, om deszelfs Ordinaat, of deszelfs Raaklyn in den top, draaijende, was voortgebragt. Deeze beide Voordellen , benevens verfcheide andere over de Paralolifche Segmenten, behooren insgelyks tot de Leerwyze van Guldinus. Men weet verders , dat het Parabolifch Segment de twee-derde van den omge. fchreeven Rechthoek is, en dat het zwaarheids-middelpunt van dien Rechthoek van deszelfs gemeenen Bafis met het Parabolifch Segment de helft van deszelfs As verwyderd is. Het Lighaam, door den C Recht»  34 HISTORIE der Rechthoek , om dien Bafis draaijende , voortge» bragt, zal derhalven tot het Lighaam, door den ■Parabool voortgebragt , in reden zyn als ixi tot |X| of T£. Deeze (wee Lighaamen ftaan derhalVen tot eikander in reden als £ tot x£ > of als 15 tot 8. Door eene foortgelyke handelwyze zal men bevinden, dat het Lighaam van den Parabool, om de Raaklyn in den top draaijende, tot den omgefchreeven Cylinder (laat, als |x| tot ixf, of als § tot §, dat is, als | tot 1. Hetgeen wy over den Regel van Guldinus gezegd hebben , is meer dan genoegzaam in een Werk , waar in men zich eeniglyk vooi ftelt den waaren zin en het kort begrip der ontdekkingen voor te dragen. Het is gemaklyk te zien, dat men denzelven meteen goed gevolg kan gebruiken in alle de gevallen, waar in men de grootheid en het zwaarheids-middelpunt der teelende Figuur bekend heeft. Wymeenen echter te mogen zeggen, dat dezelve voor de afmeeting der Lighaamen en Oppervlaktens geenszins den natuurlyken weg is, en dat dezelve niet als door eenen dikwyis noodeloozen omweg tot het doeleinde geraakt, ik wil zeggen , dat dezelve dikwyis kundigheden onderftelt, welke veel moeijelyker zyn dan het Voorftel, dat men tracht op telosfen. In 't algemeen is de bepaaling van de Inhouden der Krommen, of van haar zwaarheids-middelpunt, moeijelyker dan die der Lighaamen .welke zy door haare omwenteling vormen; men heeft daar van een voorbeeld in de Hyperbolifche Conoïde, welkers grootheid veel gemaklyker te vinden is, dan die van het Hyperboli/ch Segment, of deszelfs zwaarheids-middelpunt. De Regel van Guldinus fchynt zelfs in dit geval daar in tot dooling aanleiding te geeven, dat dezelve het Voorftel als van een hooger geflacht, dan het weezenlyk is, voordraagt. De oppervlakte van de Parabolifche Conoïde verfchaft daarvan alsnog een voorbeeld, üe Leerwyze, waar van wy fpreeken, zou het vinden der lengte (rectificatio) van den Parabolifchen boog, en de  WiS.KU.ND E. III. Deel. I. Boek. 3J dfe bepaaling van deszelfs zwaarheids-middelpunt 'verëifchen, fchoon de meeting van de oppervlakte alleenlyk afhangt van de Quadratuur van een afgekort Parabolifch Segment, en van die des Cirkels, Welke noodzaakelyk te pas komt in alle de Voordellen, die Oppervlaktens of Lighaamen , door omWenteling voortgebragt, betreffen. Echter moet men, in weêrwil van die zwaarigheden, dat verband, 't welk Guldinus maakt tusfehen de Figuuren, haare zwaarheids - middelpunten , en die welke zy voortbrengen, door om eenen As te draaijen, als een der fraaifte ontdekkingen van de Meetkunde aanzien. Zeker is het dat de hulpmiddelen der Weetenfehap daar door merkelyk vermeenigvuldigd zyn geworden, dat men drie Voordellen, welke tot ia dien tyd befchouwd waren, als geen de minde overeenkomst faamen hebbende , flegts tot twee gebragt heeft. v is Hoe vernuftig de Leerwyze van Guldinus ook zy, is dezelve echter van geen zo groote dienst geweest, om de paaien der Meetkunde uit te zetten , als die der ondeelbaaren (indivi/tbilia ). De groote vorderingen , welke die Weetenfchap gemaakt heeft, en door welken zy zich tot den ftaat verheven heeft, waarinzy zichthansbevindt, muet van dat tydperk af gerékend worden. Cavalkri gaf dezelve in 1635 in 't licht in zyn Boek getyteld: Geomstria ,indivi(ibilibus conlinuorum nova quadam ratione promota (Bon. in-qto) Wy zullen liet verhaal van 't geen dat gedenkwaardig Werk bevat eenige oogenblikken opfchorten, om deszelfs Autheur te doen kennen. t Cavalkri (Bonaventura) werdt in 150S te Milaan gebooren, en tradt, nog jong zynde, in de Order der Jefuaten of Jeronimiten. Hy toonde m zyne Studiën zo veel vaardigheid en vernuft, dat, na dat hy de Order aangenomen hadt, zyneOverften raadC a zaam  8< HISTORIE der zaam oordeelden hem naar P./a te zenden, op dat hy aldaar de hulpmiddelen koude genieten , welke de beroemde Hoogefchool, die aldaar bloeide, aarboodt. Dit was grootelyks tegen den zin van Cavallen. Nogthans heeft hy in zekere opzichten de beroemdheid van zynen naam aan die Reize te danken; want in die Stad leerde hy de Meetkunde voor de eerüe maal kennen. Benedictus Caflelli, een Leerling en Vriend van Galileus, hem dezelve aangeraaden hebbende, om hem van zyne kwellingen en de fmarten, welke de Jigt, die tteeds erger wierdt, hem begon te verwekken, af te trekken, maakte Cavalkri daar in zodanige vorderingen, en putte in zyne lesfen alle de oude Meetkundigen zo fpoedig uit, dat Cajlelli en Galileus van toen af aan de groo te beroemdheid, tot welke hy komen zoude, voorfnelden. In de daad hy bedacht kort daarna de Meetkunde der ondeelbaaren', en was reeds in 't Jaar ï62Q in 't bezit van die fcherpzinnige Leerwyze. \\'ant de Sterrekundige Magino, Hoogleeraar aan de Univerfite.it van Bologna, overleeden zynde, liet Cavalkri, om de openltaande plaats verzoekende, zyne Verhandeling over de Ondeelbaaren , benepens eene andere over de Kegeifneeden, aan eenige Geleerden en de Magiftraatsperfoonen van die Stad mededeelen. Meer werdt 'er niet verëischt: men vondt in die beide Gefchriften zo veel blyken van vernuft, dat men zyn verzoek bewilligde. Cavalkri werdt tot Hoogleeraar benoemd, en begon de pligten daarvan te oeffenen op het einde van 't Jaar 1629. Behal ven het beroemde Werk van Cavalkri, wy willen zeggen zyne Meetkunde der Ondeelbaaren, heeft men hem veele andere te danken, als eene Verhandeling der Kegeifneeden, getyteld: de fpcculo Uftorio, (in-po. 1633.), eene Driehoeksmeetkunde (Trisonometria) onder den Tytel van Directorium univerfale urano-metricum (tM-4/0. 1632.), dat in 1643 andermaal in 't licht kwam, onder'den Tvtel van Trigonometria plana ac fphericce, linearis & iogarithmica; een Compendium regu/arum de iriansu- lis,  W I S.K U N D E. III. Deel. I. Boek. 3? lis, een Centuria problemalum aflronvrhicarum, Wer, ken welke waarfchynlyk tot het onderwys van zyne Leerlingen beftemd waren. Het aanhoudend verzoek van fommigen zyner Toehoorders deedt hem , hoewel ongaerne , aan een ander Werk de hand liaan, waarover wy ons met recht mogen ver» wonderen. Hetzelve is eene Verhandeling over de Jfirologia, waar aan hy den Tytel gaf van Rota Planetaria, en welke hy onder den naam van Sylvius Philomantius in 't licht gaf. Als een vyand van de Sterrewikkery zynde, zo als de Schryver van zyn leven hem afmaalt , zou hy zonder twyffel beter gedaan hebben 3an dat verzoek geen gehoor te geeven. Is 'er eenige reden, welke een Wysgeer en 'een liefhebber der Waarheid beweegen kan, om iets, wat het ook zy, te doen, dat eenigzins behulpzaam kan zyn om een vooroordeel te verbreiden en voort teplanteD? Wy vinden eindelyk den Autheur van de Meetkunde der Ondcelbaaren weder in zyne Exercüationes Geometrke, diehy in 1643 in 't licht gaf. Dit Werk, dat wy in het vervolg beter zullen doen kennen, was het la3tfteder Werken van Cavalleri. Cavalleri verbeeldt zich het geheel als faamengefleld zynde uit een oneindig getal deelen , welke deszelfs laatfle elementa of de uiterfte paaien der ontleeding zyn, die men ^an hetzelve kan doen, door het geduurig in onderling evenwydige fneeden te verdeden. Deeze laatfte elementazyn het, welke hy Ondeelbaaren noemt; en het ïs in de betrekking volgens welke zy gvoeijen of afneemen, dat hy de maat der Figuuren, of haare onderlinge betrekking, zoekt. Men kan niet ontkennen, dat Cavalleri zich voor Meetkundige ooren eenigzins te hard uitdrukt. Naar zyne uitdrukkingen te oordeelen, fchynt het dat hy zich het Lighaam verbeeldt als faamengefteld zynde uit eene meenigte op elkander geftapelde Vlakken ; de Vlakken als uit een oneindig geta! desgelyks opgehoopte Lynen beftaande, enz. Dan het C 3 i»  38 HISTORIE der is gemaklyk deeze taal met de gezonde Meetkunde overëencebrengen door eene uitlegging, welke Ca? valleri zonder twyffel aanftonds bemerkte, fchoon hy dezelve in het Werk, waarvan wy fpreeken , niet gegeeven heeft. Hy deedt zulks alleenlyk in vervolg van tyd, toen hy door Guldinus in 1640 werdt aangevallen. Hy toonde toen dat zyne Leerwyzeniets anders is , dan eene natuurlyker fchikking der Leerwyze van Exhauftio der Ouden. In de daad die Vlakken, die Lynen, waarvan Cavalleri de betrekkingen en de fommen onderzoekt, zyn niet anders dan de inr of omgefchreeven kleine Lighaamen of Driehoeken van Archimedes, tot een zo groot getal voortgezet, dat hun verfchil met de Figuur, die zy omvangen , kleiner zy dan eenige gegeevene grootheid. Doch terwyl Archimedes, telkens als hy de betrekking eener kromlynige met eene andere bekende Figuur onderneemt te bewyzen, eenen langen omtrek van woorden op eene indirecte wyze van betooging gebruikt, grypt de hedendaagfche Meetkundige, door zich eenigermaate tot in Voneindige te verheffen, in zynen geest de uiterfte paal van die geduurige verdeelingen en onderverdeelingen aan , welke eindelyk het v ■fch'1 der in- of omeefchreevene rechtlynige Figuuren met de kromlynige Figuur, die zy befluiten, moeten vernietigen. Het is ten naaste by op gelyke wyze, dat, wanneer men de fom van eene Geometrifch afneemende Progresfie bepaalt , men den laatüen 'lerm gelyk o ftelt; want fchoon men dien Tetm nooit kan bereiken, ziet de geest echter klaarblyklyk, dat dezelve kleiner is dan eenige bepaalde grootheid, hoe klein die ook zy: by gevolg kan hy dezelve niet als door nul uitdrukken, vermits 'er niets anders dan het niet is, dat kleiner is dan alle mogelyke grootheid. Desgelyks moet men zich de Vlakken, de Lynen, waarvan Cavalleri de ekmenta der Figuuren maakt,verbeelden als de laaifte der verdeelingen, wasrvan wy boven geiproken hebben; hetgeen toereikende 't ' £ - 's  WISKUNDE. III. Deel l Boek. 30 is om het aanftootelyke en tegenftrydige met de ftrenge Meetkunde,, dat in zyne uitdrukking gevonden worde , te verbeteren. Voorts is in de Leerwyze der Ondeclbaaren geen geval, dat men niet gemaklyk tot de oude wyze van betooging kan overbrengen. Dus zou men zich aan den uiterlyken Tchyn moeten vergaapen, als men over het "woord Ondeelbaa? en wilde hairklooven. Het is, zo men wil, oneigen, doch de Meetkunde heefe 'er geen ge*aar uit te wachten, en wel verre van ons in dwaaliDg te brengen , heeft deeze Leerwyze in tegendeel gediend om ons tot waarheden op te leiden, welke tot in dien tyd de onderwindingen van alle Meetkundiaen ontglipt waren. De Meetkunde der Ondeclbaaren kan in twee deelen verdeeld worden- Het eene heeft tot onderwerp de vergelykirig der Figuuren onder malkander, met behulp van de gelykheid of de ftandvastige betrekking, welke tusfehen haare gelykvormige elemenia heerscht. Hier mede houdt zich Ca» valleri in het eerfte Boek van zyn Weik, en in een gedeelte van het tweede bezig. Hy betoogt daar in op zyne wyze de gelykheid en de betrekkingen der Parallelogrammen, der Driehoeken, der Prismata, enz. op gelyke Bafis en hoogte. Dat alles kan tot een "algemeen Voorftel gebragt worden, naamelyk dat alle Figuuren, wier elementa van den Bafis tot den top gelykvormig aangroeijen of ofneemen, tot de gelykvormige Figuur van gelyke Bafis en hoogte in de zelfde reden ftaan. Het is gemaklyk de waarheid van dit Voorftel te befpeuren; de gevolgen van hetzelve zyn zo talryk, dat wy noodig oordeelen eenige Voorbeelden daarvan te geeven. Zie de bygevoegde noot (,»). Het (m) Het vruchtbaar Voorftel. waarvan wy hier fpree- ken, geeft ons aanftonds eene gemaklyké Qziadretnm vaa den Parabool. Want laat (Fig. 8) ABC eene Piramide» en D E F de uitwendige Parabolifche ruimte zys, begteepeia C 4 : «**  40 HISTORIE der Het tweede Deel van de Meetkunde der Ondeelbaaren is gefchikt om de overeenkomst der fom van tusfehen den Parabool, de Raaklyn in den top , en eene evenwydige aan den As. Dan is het gemaklyk te befpeuren, dat die Figuuren zichtbaarlyk afneemende zyn. Want het element der Piramide ƒ g is in de zelfde betrekking als het vierkant van haaren afltand tot den top, en in de uitwendige Parabool is Hldesgelyks als het vierkant van D H. De uitwendige ruimte D E F van den Parabool z*l derhalven het derde-deel van het Parallelegram van gelyka Jtufis en hooste zyn, even als de Piramide het derde-deel van den overe'enkomlfigen Cylinder Is, Laat wederom (Fig. 9.) een Parabool voorgefteld worden, waarvan I de top, IK de As, en e F eene Ordinaat is. Het is eene eigenfehap van deeze Kromme, dat, trekkende eenige Lyn G H parallel aan den As. men alsdan heeft G H tot KI, als de Rechthoek E GF tot EK F, of K~F. Nu is deeze eigenfehap die der elementa van den Kloot, wiens As ef zou zyn. Wsnt door de eigenfehap van den Cirkel heeft men GM*: KL:t EGxGF : STf, en dienvolgens zal de Cirkel, befchreeven met de Straal GM, die één det elementa van den Kloot is, tot den Cirkel,dia KL tct Straal heeft, in de zelfde reden zyn. Derhalven K1:G h:: de Cirkel NL: OM. De Kloot en de Parabool ten aanzien van deszelfs Ordinaat zyn derhalven overëenkomttige Figuuren; by gevolg, naardien de Kloot tot den omgefchreeven Cylinder in reden is, als 2 tot 3, zal de Parabool tot het ParalleUgram van gelyke Bafis en hoog. te in die zelfde reden zyn ; of in tegendeel, zo de Quadratuur van den Parabool het eerst bekend was, zou men daaruit befluiten, dat de Kloot de twee.derde des Cylinders van gelyke Bafis en hoogte is. Deeze wyze van den Parabool te befchouwen zal ons nu ook de maat van de Hyperbolifche Comide aan de hand geeven. Want laat de Parabool b AC (Fig. 10 ) benevens de Ordinaat CB verlencd worden; en laat HK~be de dwarfe As van eene Hyberbolifche Conoide zyn. Indien men de lynen DF, EG trekt, zal men in den Parabool hebben D F tot G £, als FCxFBtotGCG b; snaar in da By-  WISKUNDE. lil. Ditl. ï. Boek. 41 van dat oneindig getal Lynen of Vlakken, 't zy aangroeijende of afneemende , met de fom van alle de elementa, van de zelfde natuur als die eerften, doch alle onderling gelyk, tebepaalen. Hen voorbeeld zal dit ophelderen. Een Kegel ( Conus ) is, volgens de taal van Cavalleri, faamengefteld uiteen oneindig getal van den Bafis tot den top afneemende Cirkelen, terwyl de Cylinder, van gelyke Bafis en hoogte, faamengefteld is uit een oneindig getal gelyke Cirkelen. Men zal derhalven de betrekking van den Kegel tot den Cylinder hebben, als men de overeenkomst vindi van de fom van alle die in den Ke. Hyperbolifche Conoide heeft men den Cirkel van den Diêmeter N P tot dien van O Q als L Kx L H tot MKxMH, dat is te zeggen, in die zelfde reden. Derhalven groeit de Varabolifche ruimte GBE met de Hyperbolifche Conoide NKP gelykvormig aan. Dus zal deeze Conoide tot den overè'enkomftigen Cylinder zyn, als die ruimte tot den Rechthoek van gelyke Bafis en hoogte. Het is gemaklyk te zien, dat deeze Leerwyze desgelyks de zwaarheids-middelpunten van eene meenigte Figuure» zal opleeveren. Daar, by voorbeeld, in de Parabolifche Conoide de elementa, welke als de vierkanten der Ordinaten zyn, dienvolgens ook als de AbfciSftn, of haare afltanden van den top zyn, zal de Conoide eene overeenkomst hebben met den rechtlynigen Driehoek: dus, behalven dat men daar door ontdekt, dat de Parabolifche Conoide de: helft van den Cylinder van gelyke Bafis en ho ogte is, ziet men dat haar zwaarheids.mieldelpunt als dat van den DriehoelC geplaatst is. De hier boven aangemerkte overeenkomst tusfehen de Hyperbolifche Conoide en eene zekere Parabolifche ruimte zal ook net zwaarheids-middelpunt van die Co. wide aan de hand geeven, en die, welke tusfehen de Segmentendes Kloots, als OEM, en de Parabolifche ruimte EG H is, zal het zwaarheids-middelpunt van den halvenKloot en deszelfs Segmenten voortbrengen. Doch genoeg hiervan; de voorgaande voorbeelden zyn genoegzaam,ora hun, welke met eenen Meetkundigen ge«st begaafd zyn „ op den weg te brengen, en hun duizend andere föortgely» 4e vergelykingen te doen ontdekken. C 5  4a HISTORIE dhr Kegel afneemende Cirkelen, welke oneindig in ge, tal zyn, met die van alle de gelyke Cirkelen des Cylinders. In den Kegel verminderen die Cirkelen van den Bafis tot den top, als de vierkanten der Termen van eene Jrithmetifche Progresfie. Het algemeen onderwerp der Leerwyze is de overeenkomst dier fom van aanwasfende of afneemende Termen met die der gelyke Termen, waaruit de gelykvormige en bekende Figuur van gelyke Bafis en hoogte faamengefield is, te bepaalen- Cavalleri begint derhalven met te onderzoeken, welke de overeenkomst is van de fom der vierkanren.van alle de Lynen, welke den Driehoek vullen, met de fom der Vierkanten van alle de Lynen, welke het ParalleUgram van gelyke Bafis en hoogte vullen, en toont aan, dat de eenre Figuur het derde-deel van de tweede is; waaruit hy het befluic maakt, dat de Piramiden, de Kegels, en alle andere Fi;>uuren, wier elementa als die Vierkanten afneemen , het derde-deel der gelykvormige Figuuren van gelyke Bafis en hoogte zyn. Van daar gaat hy over tot het onderzoek der lommen van de vierkanten der Lynen, welke verfcheide andere Figuuren, als de Cirkel of des?e!fs Segmenten, die der Kegelfneeden , enz. vullen i vervolgens maakt hy zyne Theorie op verfcheide Voorftellen toepasfelyk; en neemt de meeste van Kepler onder handen, welke hy zeer cierlyk oplost. Zie hier daarvan eenige. Kepler hadt de grootheid van het Lighaam gevraagd, dat door een Segment van een Cirkel of-Ellips A B E (Fig. 11.), om een pees draaijende, gevormd wordt. Laat C daarvan het middelpunt zyn, zegt Cavalleri, BI de pyf, I D het overige van den As ; en men ftelle voorts deeze evenredigheid: gelyk de omgefchreeven Rechthoek AF ftaat tot het Segment, alzo3CI tot DL; dan zal het gemelde Lighaam tot den CyUnder, m den zdfden tyd door A F befchreeven, zyn, als alL tot 3 1B. Uit deeze bepaaling ziet men de zo bekende betrekking van den halven-Kloot of de hzlve-Spheroïde.tot den Cylinder van gelyke Ba-. fis  WISKUNDE. III. Deel. I- Boel. 43 fis en hoogte weder ten voorfchyn komen. Want laat het Segment ABI het vierde-deel van een Cirkel of Ellips zyn, alsdan zal het punt I op het middelpunt Cf en het punt L op D vaUen; zo dat de redei van alLtot 3IB die-van aCD tot 3 CB, of van 2 tot 3 zal zyn. . . Door de zelfde Leerwyze bevindt men, dat het Lighaam , gevormd door de omwenteling der uitwendige ruimte des vierendeel?1 van een Cirkel ot Ellipst als GABH, rondom Gil, of HB, de «* van den Cylinder is. welke in den zelfuen tyjl door den Rechthoek GB befchreeven wordt , oneerltelende den Cirkel tot het vierkant des Diameters, als "z?deeze Driehoek, uit eene kromme en twee rechte Lynen beltaande , de uitwendige ruimte was van een Parabolifch Segment, om de Raaklyn in den top draaijende, zou het Lighaam, dat dezelve zon befchryven, tot den omgelchreeven Cylinder zyn, als 7 tot 15; en in tegendeel als 1 tot o als dezelve om de ev'enwydige aan den As draaide. Om den Leezerniette verveelen, zullen wy ons nog uegts Tot dé aanmerking bepaalen, dat het inwendig Hyperbolifch Segment, als ABE (Fig,^ ), om den toeepvoeeden As draaijende, een Lighaam maakt, dat de twle.derde is van den hollen Cylinder , die door de omwenteling van den Rechthoek A B in den zelfden tyd befchreeven wordt. Alle die waarheden zyn hedendaags gemaklyk te bewyzen,. met behulp der ïfeuwc rekeningen^ en zelfs door verfcheide zeer SoSdige Lelrwyzen, en welken den Meedomdigen , die eenigzins geöeffend zyn , hgtelyk iü- VaDee"ze Vraagftukken, en verfcheide andere verge vkingen van de zelfde Lighaamen houden Ca* Sin tot het einde van het vyfde Boek bézigWy vinden in het zesde, dat over de Spiraal-handel , Tre fr aije aanmerking, naamelyk, die der gelykS van den Parabool met die Kromme. Wy zullen ons nader verklaaren; men verbeelde sch een  HISTORIE der Cirkel, binnen welken een Spiraal befchreeven }», en men ontwinde dien Cirkel in den Driehoek C/V a (Fig. 13.), waarvan de Bafis den Omtrek, en de hoogte de ftraal is, die de Spiraal in 't middelpunt raakt. Indien alsdan alle de tusfehenftaande omtrekken insgelyks in rechte Lynen, evenwydig aan den Bafis ha, ontwonden worden, zal men bevinden, dat de Spiraale Kromme in eenen Parabolifchen boog veranderd zal zyn, welke zvn top in C heeft. Beiden zyn van gelyke lengte, en de Inhoud, tusfehen de Spiraal en den omtrek des Cirkels befloten, is gelyk aan dien , welken de Parabool met de Lynen CA en Aa influit. Daar uit ziet men, dat die eigenfehap de bepaaling der Inhouden van Spiraalen zeer gemaklyk maakt. Ook gebruikt Cavalleri dezelve tot dat einde zeer gelukkig. Ken hedendaagsch Schrvver heeft de eere van die ontdekking aan Gregoriusa St. Fincentio toegefebreeven; doch het recht, dat Cavalleri op dezelve heeft, was hem zonder twyffel onbekend. Daar benevens, hoe vernuftig; dezelve ook zy, verdiende zy geenszins zo hoog ia top gevyzeld te worden; want Archimedes hadt reeds in zyne Quadratuur van den Parabool , om zo te fpreeken, tiet ys gebroken, door by die gelegen, heid de eigenfehap te bewyzen, welke dezelve ten grondflag dient. Cavalleri klom weldra tot verhevener en moeiielyker befchouwingen op. Zulks was mede by gelegenheid van één der Voordellen van Kepler: deeze Wiskundige hadt voorgefteld de-gtootheid van het Lighaam te vinden, dat door den Parabool, om zyren Ordinaat, of de Raaklyn in den top, draaijen. de, befchreeven wordt. Cavalleri zocht dezelve en zag welhaast, dat het Voorftel hier op uitkwamt om naamelyk de betrekking te bepaalen van de fora der vierkants-vierkanten der Lynen, welke den Driehoek vullen, tot de fom der gelyke magten van de Lynen, welke het Parallelogram vullen. Hy bevondt dat deeze betrekking die van 1 tot 5 was. Hy ontdekte insgelyks, dat, ten aanzien der  WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 4$ der teerlingen van die Lynen, deeze betrekking die van i tot 4 zou zyn. De wyze van overëenItemming geleidde hem in het overige, en hy belloot, dat de Exponent van eenige magt n zynde, de betrekking dier lommen die van 1 tot n+i is. Deeze ontdekking bragr hem in 't bezit der meeting van alle de Paraboolen van hoogere gellachten, van die der Conoïden, van haare zwaarheids-middelpunten, enz. Hy gaf die zaaken in 1647, in zyne Exercitationes Mathematica , in 't licht. In dit Werk worden nog eenige gewigtige en nieuwe onderwerpen gevonden. Cavalleri vestigt in hetzelve zyne Leerwyze op vaste gronden, en verdeedigt dezelve tegen de befchuldigingen van eenige wederpartyen , onder anderen van den V. Guldinus: hy lost daarin verfcheide Voordellen over de Kegel • fneeden op: eindelyk bepaalt hy in hetzelve de brandpunten der glafen van ongelyke rondheid , een Voorftel dat Kepler niet opgelost hadt, cn, 70 het fchynt, tot in dien tyd zonder oplosfing gebleeven was. V I u Wy hebben ons tot hier toe byna met niets anders bézig gehouden, als met de ontdekkingen en de verrichtingen der Vreemdelingen: het wordt tyd dar wy tot Frankryk overgaan, alwaar reeds verfcheide Meetkundigen bloeiden , die voor hun, waar van wy nu gelproken hebben, in geenendeele behoefden te zwigten, zelfs durven wy zeggen, dat zy hun door de moeijelykheid hunner Dafpooringen verre voorby (beefden. Wy zullen de bewyzen daarvan als nog niet zoeken in de nieuwe Meetkunde, waarvan Defcartes de vinder is. Zonder buiten het vak te gaan, dat ons in dit Boek moet bézig houden, zullen wy in Frankryk ontdekkingen vinden, welke met de fraaifte der nu voorgedragene in vergelyking gebragt kunnen worden. In de daad, terwyl Cavalleri zyne Meetkunde toe-  46 HISTORIE der toepasfelyk maakte op de nafpooring dei' Lighaamen, door de Kegelfneeden gevormd , verleedigden de Franfche Meetkundiger! zich reeds tot de befchouwing van eene meenigte andere Krommen van een hooger geflacht , tot i de bepaaling van haare Raaklynen, van haare zwaarheids-middelpunten,van de Lighaamen , door haare omwenteling gevormd, enz. Zich mét de byzondere Oplosfingen weinig te Vreden ftellende, zochten zy algemecne, en verimaadende eenigermaate de takken, wendden zy alle poogingen aan om tot den ftam te komen , waarvan dezelve afhanglyk waren. De briefwisfeling tnsichen den Heer deFermat (n) en verfcheide andere geleerde Meetkundi^en , verfchaft ons van dit alles de bewyzen. Men ziet daar in, dat reeds in 't Jaar 1730 in Frankryk gefproken wordt van de Spiralen en Parabolen der hoogere gedachten. De heer de Fermat, in zynen eerften Brief aan den V. Merfenne, die van hec midden des Jaars 1636 is (0), geeft hem te kennen, dat hy eene Spiraal heeft befchouwd, welke van die van Archimedes verfchilt, In deeze nieuwe Kromme zynde Cirkelboogen, van het begin der omwenteling door het einde van den Straal doorgeloopen, geenszins, als in die van den ouden Meetkundige, in dezelfde reden als de ruimtens, welke door het befchryvende punt , door zich van het middelpunt te verwyderen, zyn doorgeloopen, doch in reden der vierkanten van die ruimtens, zulks dat de Cirkelboogen , welke de omwenteling meeten, gelyk mede de vierkanten der Straalen, en niet de Straalen zeiven, gelykmaatig aangroeijen. Fermat geeft aan Merfenne te kennen , dat de ruimte , door den eerlten omloop befloten, de (n) In het volgende Boek zal over den Perfoon en de Schriften van dien geleerden Meetkundige iets meer gezegd worden. (9) Fermat Op. p. 121.  WISKUNDE. III. Deel I. Boek 4? de helft is van den Cirkel, die denzelven bevat; dat de tweede ruimte, tusfehen den eerften en tweeden omloop, het dubbeld van de eerfte is, en dat vervolgens tusfehen de tweede en derde, de derde en vierde, en zo tot in 't oneindige alle die ruimtens gelyk aan de tweede zyn: hetgeen eene zeer merkwaardige eigenfehap is. Kort daar na met Roberval in eene briefwisfeling getreeden zynde, ftelde hy hem het Problema voor, om de Inhouden der Parabolen te bepaalen , waar in de Abfcifi'en niet meer zyn als de vierkanten der Ordinaten, ('hetgeen de eigenfehap van de oude Parabool is,) maar als haare teerlingen, vierde, vyfde magteu , enz.: hy maakte hem ook bekend de meeting van de Conoïde, welke door den Parabool, om zynen As draaijende, gevormd wordt, en van de Segmenten, welke door Vlakken, perpendiculair tot den As der draaijing, afgefneeden worden. Roberval draalde geenszins om zich hier in met den Heer de Fermat gelyk te Treilen. Hy zondt hem in zyn antwoord de oplosfing van het Problema, dat hem was voorgefteld, te rug. De Parabolen, zeide hy, waar in de Abfcijen als de teerlingen, de derde, de vierde magten van den Ordinaat zyn , zyn de f, de f, de § van het Parallelogram van gelyke Bafis en hoogte, en zo vervolgens. De wet des voortgangs openbaart zich gemaklyk. Er bleef nog over het geval waar in eenige magt der Abfcisfe, gelyk het Vierkant, als eenige andere magt,by voorbeeld de derde magt van den Ordinaat, zoude geweest zyn: men vindt daarvan de Oplosfing in een laater Gelciirift van Roberval (p)' hy merkt in hetzelve aan , dat , in het bovengemelde Geval , by voorbeeld, de Parabool tot den omgefchreeven Rechthoek in reden is als 3 tot 5; en dat in 't algemeen als n de magt der Abfcijfe, en m die van den Cr- (ƒ>) Lettre de Roberval a Torrice'.li en 1644. Mésn, de VAcad, avant le renouvell, T. VI.  48 HISTORIE dèï m Ordinaat uitdrukt , —~ ~ de betrekking van deiï n -f m ° Paraboohot hetomgefchreeven Pdrallelogramaanwyst. Roberval zondt aan Fermat (q) de bepaaling der Raaklynen van die foorten van Parabolen, en deeze znndt hem in antwoord hun zwaarheids - middelpunt (r). De aanmerking van Fermit is zo fraai, dat dezelve hier met recht eene plaats verdient. In alle Parabokn of hunne Conoïden, zegt hy, deelc het zwaarheidf-middelpunt den As in twee deelen, eodanig dat het naaste aan den Bafis Haat tot hec andere, als de Figuur zelve rot het Parallelogram of den Cylinder van gelyke Bafis en hoogte : het is gemaklyk dit te bewyzen in den gemeenen Parabool, zyne Conoide, en den Driehoek, die eene foort Van Parabool is, waar in de Ordinaten als de AbJciflen zyn. Op het zien van die Oplosllngen kan men geenszins twyffelen aan hetgeen Roberval in 1644 aan/orricelli fchreef ( s V, naamelyk dat in of omtrent den tyd, toen Cavalleri ia Lalie 'zyne Ondeelbaaren ;n 't licht gaf, de Franfche Meetkundigen in 't bezit van eene foortgelyke Leerwyze waren. Roberval verzekert in den Brief, waarvan wy fpreeken, dat hy, lang vóór dat de Italiaanfche Meetkundige zyne Leerwyze aan 't licht bragt, eene zeer overeenkomltige Leerwyze hadt, die hy na eene aandachtige leezing der Boeken van Archimedes hadt gevonden : doch opmerkzaamer dan Cavalleri, om de 00ren der Meetkundigen niet te kwetfen, hadt hy dezelve ontbloot van het harde en aanftootelyke in de denkbeelden, ten zy dezelve verklaard waren, dat in de Leerwyze van Cavalleri gevonden werdt. Hy vergenoegde zich, zeide hy, met de Vlakken en Lighaamen te befchouwen, als faamengefteld zynde uit eene onbepaalde meenigte kleine Rechthoeken of (q) Lettres de Fermat, p. 140. (r) I'jid. p. 147. (») Anciens Mém, T. VI.  WISKUNDE. IIf- Deel. L Boek. 4 ZY zagen, zeg ik, dat die Kromme rondom haar middelpunt, alvoorens tot hetzelve te komen, een oneindig getal omwentelingen deedt; dat de Straalen C A Meet-' kundig aangroeiden of afnamen , terwyl de hoeken van omwenteling in eenen Telkundigen Voortgang of gelykmaatig" aangroeiden. By voorbeeld , als men drie Straalen trekt, welke de hoeken DCB, BCA gelyk maaken , dan zyn de Straalen CD, CB , CA, in plaats van in eenen Telkunftigen Voortgang te zyn, als in de Spiraal van Archimedes, in eenen Meetkundigen Voortgang. Men befpeurde ook van toen af aan deeze voortreffelyke eigenfehap der Logarithmifche Spiraal; naamelyk dat, in weêrwil van dat oneindig getal omwentelingen, die zy rondom haar middelpunt doet, haare gehsele lengte eindig, en, dat meer is, gelyk is aan eene rechte lyn, die gemaklyk bepaald kan worden. Daartoe is in de daad genoeg de onbepaalde Raaklyn AS te trekken, en in het punt C op de Straal CA een Perpendiculair te laaten vallen , ontmoetende die Raaklyn in S, dan zal de lyn A S de lengte der geheele Spiraal zyn, tusfehen het punt A èn het middelpunt begreepen. De (w) Defcarte* Brieven. Deel II. D 2  52 HJSTORIE dsi De Leezers, welke nog weinig in de Meetkunde geöeftend zyn, zullen zonder twyffel in 't eerst bewogen worden tegen de Meetkunde op te ftaan, en deeze waarheid als één der ongeloeflvkfte Wonderfpreuken aan te zien. Hoe, zulten "zv zeggen, is het mogelyk, dat eene lyn die geen paaien heeft eene eindige lengte hebbe ? Maar wy zullen deeze 2waarigheid door eene zeer eenvoudige aanmerkingdoen verdwynen. Als men een Straal C A trekt, zat dezelve de Kromme in een oneindig getal punten inyden, als A, a, «, en de lynen CA, Ca, C», enz,, tot in 't oneindige, zullen in eenen geduurigen Voortgang zyn: de omtrekken der Cirkelen, met die Straalen befchreeven , zullen derhalven ook ia eenen Meetkunfiigen Voortgang zyn ; waaruit volgt, dat, fchoon hun getal onöindig zy, hun fom Dogthans eindig za! zyn. Doch het is gemaklyk te befpeuren, dat elk gedeelte der Spiraal, tusfehen twee van die gelykmiddelpuntige Cirkelen begree'pen, gelykvormig is, en by gevolg eene zekere bepaalde overeenkomst heeft met den omrrek des Cirkels, die hetzelve influit. Alle die gedeeltens der Spiraal zullen derhalven zeiven eenen afkiimm-nden Meetkundigen Voortgang maaken- Na deeze aanmerking verdwynt al het wonderbaare der eigenfehap, waarvan wy fpreeken. Sedert eenen geruimen tyd is men niet meer verwonderd, dat e'm oneindig getal geduurig evenredige en afklimmende 1 armen Uegts eeue eindige fom uitmaaken. VIII. Wy zullen voor als nog van de Cyclois niet fpreeken , maar alvoorens eenig verflag doen van eene kundige Leerwyze, welke de Heerae Roberval omtrent den zelfden tyd verzon. Dezelve betreft de Raafclynen der Krommen, en is daar in merkwaa-dig, dat de Franfche ivieetkundige het eerst het denkbeeld fchynt gehad te hebben, om de beweeging  WISKUNDE. III. Deel. I- Boek. 53 ging tot de oplosfing van dat gewigtig Vraagduk toepasfelyk te maaken. Hy zegt (x), dat hy reeds federt her Jaar 1636 in 't bezit van die Leerwyze was geweest, als wanneer één zynerLeerlingen zyne mondelinge onderrichtingen byëenverzamelde , en daar van eene kleine Verhandeling, getyteld over de faamengefielde beweegingen, maakte. Hy onderhielde daarover den Heer de Fermat in één zyner Brieven , in 1640 gelchréeven (y), zodat, fchoon Torricelli in 1644 iets diergelyks in 't licht gegeeven heefc (z), nogthans de verdiende van eerfte Uitvinder te zyn geweest aan Roberval niet betwist kan worden. Deeze Leerwyze heeft veel overeenkomst met die der Fluxien van den beroemden Newton. Zy welke in den roem van dien grooten man belang dellen, behceven zich echter over myne aanmerking niet in 't harnas te begeeven; ik zal zorg dragen , om het deel dat Roberval aan die voorrreffelyke ontdekkinge kan gehad hebben, op den rechten prys te dellen. De Leere der faamengedelde beweegingen is de gröndflag der Leerwyze van den Heer de Roberval. 't is een grondbeginfel 't welk alle MechanU ei bekend is, dat wanneer een lighaam gedrukt of geftooten wordt door twee krachten , welke langs de zyden eens hoeks haare werking doen, en men voorts op die zyden lynen neemt, welke als die krachten zyn, of als de ihelheden, die zy afzonderlyk hét lighaam zouden indrukken, de faamengeftelde richtdreek van dat lighaam de Diagonaal zal zyn van het ParalleUgram, dat op die zyden gemaakt is. Maar men kan alle de Krommen zich voordellen, als door eene faamengefielde beweeging befchreeven zynde, in navolging van de Spiraal van f» Epijl. ad Torr. anciens Mém. de l'Acaa. T. VI. (y) Ferm. Oper. Lettr. p. 165. [z) Tarriceltii op. ,D3  54 HISTORIE der van Archimedes , van de Quadratrix, enz. Mea heeft zich flegts te verbeelden , dat een punt zich op den Ordinaat volgens eene zekere Wet beweegt, terwyl die Ordinaat z)ch evenwydig aan zich zeiven, of met eene rondgaande beweeging, zal beweegen: dan zal dit punt eene Kromme befchryven, welkers n3tuur van de betrekking dier bcweegingen zal afhangen. Als, by voorbeeld, terwyl de Ordinaat evenwydig aan zich zeiven mee eene gelykmaatige beweegiug voortgaat, het be~ ichryvend punt zich van den As verwydert, zodanig dat de Vierkanten van deszelfs afftand in gelyke tyden gelykelyk aangroeijen, zal de Kromme, die daar uit gebooren wordt, de gemeene Parabool zyn. Men kan zich ook voordellen , dat het befchryvend punt zich, volgens eene zekere Wet, van twee of verfcheide punten te gelyk, of van een punt en eerie rechte lyn, verwydert. Aldus worden de Ellips , de Hyperbool en de Parabool ten opzichte van haare brandpunten befchreeven: want in'de Ellips verwydert zich het befchryvend punt even zoo veel van één der brandpunten, als bet nader by het andere komt, en in de Hyperbool nadert of verwydert het zich tot of van de beide brandpunten in den zelfden tyd even veel: eindelyk in den Parabool verwydert het zich tevens eene gelyke hoeveelheid van deszelfs eenig brandpunt en eene zekere rechte lyn , welke men de Directrix noemt. De Raaklyn tot eene Kromme, vei volgt Rcherraly is niets anders dan de n'chtfirtek van het leweeglyk punt, "t welk dezelve belchryft, tot ieder van haare punten. Dit grondbeginfel is fchier klaarblyklyk, en een gevolg van deeze zo bekenr. de waarheid in de Mechanica, dat een Lighaam, 'c welk eene kromlynige beweeging heeft, :ils hetzelve aan den indruk , die het in etnig punt heeft, was oycrgelaaten , langs de Raaklyn tot dat punt eou uitwyken. Voorts was Roberval beter in Haat dit gewigtig grondbeginfel zyner Leerwjze te bevat-  WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 55 •vatten dan te bewyzen ; want in het Gefchrift, waar in hy hetzelve verklaart (a), vindt men daar over gcene andere'dan zeer onzekere en verwarde redenen. Naardien hetzelve van eene genoegzaam fcherpe Thehrig der verlhelde en vertraagde beweegingen afhangt, zyn wy verpügt het bewys daarvan zo lang te verfchuiven, tot dat wy van de beroemde Leerwyze der Fluxiè'n fpreeken', als wanneer wy hetzelve den Leezer zullen mededeelen. In navolging van Roberval zullen wy ons hier vergenoegen met hetzelve te onderftellen. De Toepasfing van dit grondbeginfel op de wyze , om Raaklynen tot de Krommen te trekken is gemaklyk': naardien het beweeglyk punt, dat eene Kromme befchryft, in ieder van haare punten in eene rxhtflreek gevoerd wordt, welke de Raaklyn zou zyn , is het noodig die richtftreek te bepaalen. Maar dezelve is altoos het gevolg van twee beweegingen; alles komt derhalven hier opuit, om in ieder punt van de Kromme de betrekking en de richtftreek van die beide beweegingen , met behulp van eenige haarereigenfehappen, te ontdekken. Om dit bevattelyk te maaken, zullen wy één der eenvoudigfle voorbeelden verkiezen; naamelyk dat van de Ellips, rondom haare brandpunten befchreeven. Eene der eigenfehappen van die Kromme zynde , dat de fom van twee lynen , uit eenig punt derzelve tot de beide brandpunten getrokken, altoos dezelfde is, zo is het noodzaakelyk, dat de eene even zo veel aangroeit als de andere afneemt. Dus moet men het befchryvend punt A (Fig. 15.) zich voorHellen, terwyl ƒ A aangroeit en FA afneemt, men moet, zeg ik, het befchryvend punt zich voorftellen, als van twee gelyke beweegingen gevoerd wordende, naamelyk eene door welke het zich, langs fA, van het punt ƒ verwydert , en eene andere door welke het, in de richtltreek AF, tot F nadert. (.1) Anciens Mém. de l'Acad. T, VI. D 4  5<5 H l [tS TORI E '<2d e a 1 dert. Als men derhalven in den hoek F A

oneindig dicht by elkander zyn , en uit het middelpunt P de kleine boogen Ad, Bc befchryft, dan is het lïlaarblyklyk, dat de beweeging van het btfebryvend punt op P B uitgedrukt zal worden door c b. en die van omdraaijing, welke uit de rondgaat de bewecging van den Straal PB ontftaat, door Bc: eindelyk zal ■de faamengtftelde richiftretk van die beide aangeweezen worden door Bb; men moet derhalven de betrekking der beide faamenitellende fnelheden Bc, cb vinden. Tot dat einde zullen wy terftond aanmerken , dat, vermits BA gelyk aan ba is, ook bc~ad is. Nu fiaat bc tot B c in faamtrgeflelde reden van bc of da tot Ad, en van Ad tot Bc. Maar ad : dA :: AE: PE, en Ad:Bc: : TA -.VB, of PE: PG; derhalven bc:B c: : AExPEPExPG, of A E: P G, Ais men derhalven in het punt P een Perpendiculair PF trekt, welke een vietdt-even- re.  WISKUNDE. III. Deel I. Bock- 57 Hetgeen nu gezegd is toont genoegzaam de overeenkomst van deeze Leerwyze met die der luu- redige tot AE, PG en PB .zy . en voorts uit het punt F de lyn F15 trekt, zal dezelve eene Raaklyn tot de Conchoide zyn. Thans zullen wy de Canchoide algemeener befehouwen, en ots voorfteilen, dat dezelve zodanig befchree- . ven zy, dat haare hellende Ordinaat AB (Fig. 17.) lleeds pelyk zy aan het deel PE, be^reepen tusfehen den Pool T en de Kromme LEM, waarvan men de Raaklyn kan trekken. Het is zichtbaar, dat, zo Pi oneindig dicht bv PB is, en men zich voordele, dat de kleine boogen yf Ad, Bc uit het middelpunt P befchreeven zyn, de satjgTOeijiög cb gelyk zal zyn aan da en fe faamen genomen. Laat co gelyk zyn aan da, dan zal de lyn Ba een boog van eene geraeene Canchoide zyn, befchreeven ui' den Poel P met haare hellende Ordinaten, die ftandvastig gelyk zyn aan B A. Derhalven zal men haare Raaklyn hebben door hetgeen in het voorgaande voorbeeld Tez»i>d is,- laat deeze Raaklyn B N zyn, welke den Perpendiculair PK cp PB in N ontmoet; 'er blyft dus nos overig te vinden de betrekking van bo of/etot Bo Nu is deeze betrekking faamengefteld uit die van fe'tot ƒ£, van ƒ E tot Be, en van Bc tot Bo. De eerfte is de zelfde als die van PQ tot ÏN als men door het punt N de evenwydige N Q aan de Raaklyn KE trekt- de tweede is die van PE tot PB, en de derde die «ar, PN tot NB. Derhalven beeft men door faameniTeUinVdeezer redens, fl*soB::PQxPE:PBXNB, of 0 B • 0 b:: P BxN B: P QxP E- Indien men derhalven in den' hoek OBN een Parallelegram befchryft, welks zyden deeze betrekking hebben , zal deszelfs Diagonaal evenwydig zyn aan de Raaklyn in her punt B. Doch als men BN voor één van die zyden neemt, zal de andere, PQXPE, in de richtftreek B O, gelyk gevonden worden aan — — waar uit deeze vry fierlyke Conjlructie voortvloeit: neem BO een vierde-evenredige tot PB, PQ en IE, treK ÜN, en door het punt B eene evenwydige aan N O, deeze zal de gezochte Raaklyn^zyn.  5& HISTORIE der Fluxien aan: Roberval begreep zelfs deeze overeen komst , en maakte dezelve ,toepasfeIyk tS d krom" me Lynen, op eene zeer Meetkunftige ffVZe P gL£n 0,nde^e»ing van Onefdig Jkfe'neï vloeide. Men kan zich dlar van verzekfren door lbevbrüg,-*an de verfcheidene VoorbeeWen zyner Verhandeling, Docn wy denken niet, da" zulks Ra^fvnZv0anST'iyk/a' ?,M door dsezQ Leerwyze de ?T■ yo \ de Quad>atrix vinden. Want laar A R R Su^e8dioT;S dat het befchryvend eene die 2 ? beweegingen gevoerd wordt, Zat rt h ? f„ r * 6D /ene a,ldere ö's ^ E. Maar E f Haat tntAEm faamengefielde reden van Ei of F/ ot gV *" vta" °S fot 72 E. Nu zyn deeze twee red* s w' w n door de teeling van de Kronr.ne ftaat FV uw (3 g zl Je Diameter tot den halven-Omtrek, of SJsStlfd met uen i>traai c fc befchreeven. De Conftructiè^m nu P/ maKlyk: men bec't flegts op den Straal C E eenFe Zff. Straal C ) te nefm m!,n WOrdt» 60 ^ ^ *an den Atraal U) te neemen, dan zullen de beide lynen KT VT, refpectivelyk evenwydig aan E F, C E elkander ontmoeten ,„ een punt T, waar door de Raafen zal gaan Men kand..rH,t befluiten. dat de RaaklynNn het p„« D* Sum%~* bren eenen ^ HSS£' ten Ten V vereenigen zich_dan op och As. P  WISKUNDE. III. Deel. L Boek. 59 zulks de eere van Newton in 'c minst kan krenken. 1-let is 'er in de daad verte van daan, dat Roberval aan zyne Leerwvze de uitgebreidheid heeft kunnen eeeven , waar aan dezelve onderhevig was. De ontdekking van dat grondbeginfel was in zeker opzicht eene niet zeer moeijelyke taak: men moest nog een gemaklyk middel vinden, om in elk punt van eene Kromme de betrekking der fnelheden te vinden , waar uit de middelbaare richtftreek van het beweeg* lyk punt, dat dezelve befchryft, faamengelteld is* Ook bepaalde Roberval de Raaklynen met, als in zekere bvzondere gevallen, waar in die betrekking gemaklyk ontdekt kan worden. Zelfs moest hy in de bekendfte Krommen die van haare eieenfchap* pen kiezen, welke zich het gemaklykst laaten bemerken: in de Kegeïfaeeden, by voorbeeld, bepaalde hy de Raaklyn niet door de betrekking van den Ordinaat tot deAbfciffe; maar hy bediende zich. tot dat einde van die der lynen, uit de brandpunten tot de Kromme getrokken, zo als wy boven heb^ ben doen zien. Wanneer men dus in eene Kromme de eigenfehap niet kende, welke die betrekking byna onmiddelvk aan de hand gaf, dan was zyn Regel onder zyne handen niet toereikende, en hy konde alsdan de Raaklyn niet vinden. Wy zullen ons van deeze gelegenheid bedienen, om den perfoon en de Schriften van dien Meetkundige van nader by te leeren kennen. De Heer de Roberval, wiens eigen naam Perfonne is, kwam in t Jaar 1603 te Roberval, een Dorp in 't Bisdom\ Beauvals, waarvan hy zynen naam ontleend heeft, ter waereld. Hy kwam in 1627 te Parys, alwaar hy met de Geleerden van die Stad kennisfe maakte , onder anderen met den Vader Merfenne, en begon kort daar na eenen rang onder de Meetkundigen te houden, zo als blykt uit zyne vindingen, welke wy zo even voorgedragen hebben. Hy hadt hevige gefchillen met Defcartes, tegen wien hy zich altóós als een vyand gedroeg; en, wy mogen het niet ontveinzen, hy toonde in de meeste van die gefcbil- leo  Co HISTORIE der ^SSSS- dnTt' geleerdheid e" lïefde voor Men heeft van den Heer de Roberval verfcheide Schriften, doch geen derzelven is geduurende zvn even ter drukpersfe bevorderd. De Heer Abt Ga- «ma-K0 Jnr!fDs maakte hy kennis met Roberval, en ftelde het hem voor; doch rieezen ontbrak toen nog de noodige bekwaamheid om hst Voorftel op te losfen; hy gevoelde dit zelf, zo hy zeide, en zonder zich daar mede vruchteloos op te houden, gaf hy zich over aan eene gegronde ftudie der oude Meetkundigen, era in 'tVvzonder van Archimedes. Zés jaren verliepen met dien arbeid of andere bezigheden, en het Voorftel van de Cyclois was uit zyn geheugen gewhcht, toen' Merfenne het hem weder indachtig maakte. Hy viel hetzelve toen met de nieuwe krachten, welke hy in zyne Studiën verkreegen hadt, aan', en kwam het te boven. Hv bewees, dat de Inhoud van de gemeene Cyclois', naa-  W IS K U N D E. III. Deel. I. Boek. 6$ haamelyk die waar van de Bafis gelyk is aan den ömtrek van den teelenden Cirkel, her. drievoud van den Cirkel is. Hy vondt insgelyks de meeting der andere verlengde of verkorte Cycloïden. Naardien 'er tusfehen het eerfte voorftel van dit Problema en deszelfs oplosfing zes Jaaren verloopcn waren , zeiden de Vyanden van Roberval, dat hy dien gantfehen tyd in den zwaaten arbeid gebleeven was, om zyne ontdekking ter waereld te brengen. De V. Merfenne, in 'tjaar 1647 ichryvende, geeft aan de oplosfing des Voorftels van den inhoud der Cyclois de tydftelling van het Jaar 1634. Men kan aan de oprechtheid van dien Vader niet twyffelen; doch vermits men zyn geheugen, of zyne ongemeene toegeeflykheid om aan de indrukken zyner Vrienden het oor te leenen, zou kunnen verdacht houden , neemen wy onzen toevlugt tot een ander bewys, dat aan die uitzondering niet onderhevig is. De V. Merfenne heeft in zyne algemeene Overèenfitmming (Harmonie univcrfelle), een Werk dat in het licht zag (e) de ontdekking van Roberval over de Cycloïden van alle foort bekend gemaakt. Zo Wallis en de tweede Hiftoriefchryver van de Cyclois die bewyzen gekend hadden, zouden zy Italië de eere van de eerfte te zyn geweest, om deD Inhoud van die Kromme te vinden , niet toegeweezen hebben. Want men ziet uit eenen Brief van Galileus, ia 1040 aan Cava'/en'gefchreeven, dat de Inhoud der Cyclois voor de Italiaanfchc Meetkundigen nog een geheim was (f), en zelfs dat hy de mogelykheid om dezelve-te vinden hoopeloos ftelde. Dit is eene zaak welke Torricelliin eenen Brief, in 1646 gefchreeven , insgelyks heeft toegeflemd Cg). De V. Merfenne maakte aan Defcartes, in 't begin van (e) T. II. nouv. obf. Phyf. ob. XI. ( f) Grom hijl. Cycloid. p. 13. (g) Ibid. p. 35.  65 HISTORIE dek van 163S, de ontdekking van Roberval bekend (Al;-, doch dezelve hadt in zyne oogen de zeilde waarde niet, als in die van zynen Correfpondent, en dit is liet begin der meenigvuldige gefchiilen, welke de Cyclois tot verfcheide maaien onder de Meetkundigen verwekte. Defcartes antwoordde, dat de opmerking derzelve in waarheid vry fraai was, en dat hy 'er nooit aan gedacht hadt; doch dat men des wegens niet zo veel ophefs moest maaken , en dat elk, die flegts middelmaatig in de Meetkunde bedreeven was, zich in ftaat bevondt datgeen te vinden, waar ïn Roberval zo veel eere Helde. Hy zondt in den zelfden met haast gefchreeven Brief een kort bewys der betrekking van de Cyclois tot haaren teelenden Cirkel, 't welk hy in den volgenden Brief verder uitbreidde. Hy wilde door-dat voorbeeld toonen, dat het Voorftel ver beneden hem was. Zodanig was in de daad zyne uitfteekendheid boven alle de Meetkundigen va'n zynen tyd, dat de vraagftukken, welke hen het meest bézig hielden, hem meerendeels flegts eenen middelmaatigen aandacht koste, den. Men kan, door zyne Brieven te Ieezen, zich gemaklyk daarvan overtuigen. Roberval, door deeze beöordeeling van Defcaites gehoond, liet niet na te zeggen, dat hy in zyne oplosfing van 't Voorftel geholpen was door de kennisfe der uitkomst, welke hy moest vinden, en dat hy, zo hy dezelve niet geweeten hadt, daar in zou hebben kunnen misfen, of nog meer daar in belemmerd zyn geworden. Defcartes zulks veineemende, zocht, om zyne uitfteekendheid boven hem door eenen nieuwen trek te ftaaven, de Raaklynen van de Cyclois, een Voorftel waar mede Roberval' zich vooriang bézig hieldt, zonder daar in te kun. nen flaagen. Hy zondt daarvan de Oplosfing aan den V. Merfenne , met eene uitdaaging voor Roberval om dezelve te vinden. Het fchynt dat de Heer de. (ft) Brieven van Defcartes, D. III. Irief fi<5.  'VVIS K UjN D E. III. Deel. I. 'Boek. fcj de Fermat, mee wien hy toen een vry hevig gefchil hadt, insgelyks in de uitdaaging. begreepen was: deeze, wien men geenszins een vernuft byna gelyk aui dat van Defcartes kan ontzeggen, loste het Voorftel zeer algemeen op: doch Roberval bleef 'er voor (taan, of kwam niet als met veel moeite de zwaarlgheid te boven, als wy uit de Brieven van Defcartes daarover mogen oordeelen. De Heer Paf cal, die een vriend van Roberval was, en die zyne berichten over de Gefchiedenis van de Cyclois waarfchynlyk alleen van hem hadt , zegt, dat de halltarrigheïd van Defcartes alleen hem verhinderde de handen te flaan aan de oplosfing van zyne tegenparty; doch als men verfcheide Brieven van dien Wysgeer leest, als de een-en-negentig(te en de twee-en-negentigfte van het tweede Deel, en de vier-en-zestiglle, vyf-en-zestigfte en vier-entagtigfte van het derde Deel, zal men byna niet kunnen twyffelen aan de zaak die wy voordragen. Deeze Brieven bewyzen duidelyk, dat Roberval vergeeffche poogingen deedt om het Voorftel op telosfen ; dat hy vyf of zes verfchillende üplosfingen van hetzelve zondt, welke hy verfcheide maaien veranderde, even als een man die in 't wild fchermt; dat eindelyk Fermat de zyne gezonden hebbende, die naar allen fchyn onder de handen van den V.Merfenns ruchtbaar werdt, hetgeen zy, welke den inborst van dien Vader uit zyne Brieven en Schriften kennen, ligtelyk zullen gelooven, Roberval eene Oplosfing laamenftelde , waarvan Defcartes hem te vergeefs aanmaande het bewys te gecven. Hetgeen de Heer Abt Galois in de Memorien der Academie van 1692 gefchreeven heeft, naamelyk dat Roberval het eerst de Raaklyn van de Cyclois vondt, wordt door de voorgaande aanmerkingen t'eenemaal omvergejftoten. De Heer Galois, voormaals een vriend vari Roberval, fprak zonder twyfFel niet als in gevolge hetgeen deeze hem verhaald hadt: nu is het natuurlyk te denken, dat hy verre daarvan was om zyne uicvlugt te bekenaen, en zelfs, als men daar van J£ 2 oor-  HISTORIE der oordeelt naar de drift, welke hy altoos in .zyne ge-fchillen met Defcartes mengde, dat hy een manw3S, die het 'er lleeds op toeleide om zich ze'ven de overwinning toe te eigenen. Doch niemand van hun,, welke de boven aangehaalde ftukken geleezen hebben, zal twyffelen, dat Defcartes en Fermat niet, ten roinflen in den zelfden tyd als. hy, de Kaaklynen der Cyclois gevonden hebben, en dat de eerfte het Voorftel niet met eene zeer grooie algemeenheid heeft opgelost. In de daad de Leerwyze, door Defcartes voor de Raaklynen der Cyclois gegeeven, ftrekt zich in 't algemeen uit tot alle de Krommen, door de omwenteling van eene andere op eenigen Bafis, het zy rechte, het zy kromlynige, gevormd, en waar ook het befchryvend punt, binnen, buiten, of op den omtrek der teelende Kromme zy. Dezelve is ook zeer merkwaardig dcor haare eenvoudigheid. Defcartes toont aan (£), dat zo men uit het punt (Fig. 39 ), waarvan men de Raaklyn zoekt, een lyn tot dat van den Bafis trekt, 't welk door de teelende Kromme geraakt wordt , terwyl zy hetzelve befchryft, deeze lyn perpendiculair op de Raaklyn zal zyn. De reden, welke hy daar van geeft, is ligt te bevitten : indien men eenen veelhoek deedt omwentelen, zou de Kromme, welke ecnig punt van het zelfde Vlak'zou befchryven , uit even zo veel Sectors eens Cirkels faamenstefteld zyn, als dezelve Roeken heeft. Maar eene Kromme kan als een Veelhoek van een oneindig getal zyden befchouwd worden. Derhalven zal de Kromme, welke die Veelhoek met één van deszelfs punten, door achtervolgens op eenigen Bafis te vallen , befchryven zal, eene Figuur zyn , die faamengefteld is uit een onëindig getal Sectors, waar van ieder zyn middelpunt zal hebben in de raaking der teelende Kromme met den Bafis, en de oneindig kleine boog in het punta dat («'} Brisf65.D. II.  WISKUNDE. l!ï. Deel. I. Boel. tip dat in den zelfden tyd befchreeven wordt: de Raaklyn is derhalven perpendiculair toe den Straal van dien Sector, en by gevolg tot de lyn, die uit het raakpunt tot het befchreeven punt getrokken wordt. Dit onderftelt, gelyk men ziet, dat de teelende Kromme op eene lyn, die aan dezelve' gelyk is, omwentelt; doch als men onderftelde, dat dezelrVe in die beweeging een weinig uitglipte, zou het echter gemaklyk zyn den regel daar toe uir. te breiden (k). ;ln f«) Zie hier de wyze op welke men in het nu voorgemelde geval de Raaklyn zou bepaalen. Laat ons onderftellen (Fig. 2r), dat de Kromme H D door het punt D be« fchreeven zy, en dit, terwyl de teelende Kromme G A D op de rechte lyn HS valt, dezelve altoos ge!yke!yk uitwykt, zo dat elke kleine zyJe van die Kromme, als AB, in plaats van op een gelyk gedeelte van dsn Ba/is Ab te vallen, de hoeveelheid cb uitwykt, welke de zelfde betrekking heeft tot den Bafis Ab, als de lyn HK, die aan de geheele Kromme GAD gelyk is, tot KS, welke de ■hoeveelheid is, die zy in haare jehesle beweeging uirwykt. Om de Raaklyn der Kromme HD in het punt D te vinden, merk ik aan, dat, zo 'er geene uitwyking was, de bewej'sd g vao het punt D zou plaats hebben in den boeg Df, welke de Bafis is van den oneindig klei. ren feücr DA F, wiens hoek gelyk is aan den hoek BAi. Doch dit punt heeft in den zelfden tyd eene hosrizontaaie bewee^in^ De, die gelyk aan cb is. Men moet derhalven de betrekking van die beide beweegingen vinden, hetgeen aldus gefchtedt. De betrekking van Of tot De of cb, is f3amengeitald uit deeze drie , naamelyk; die van D ƒ tot Bs , van B 6 tot B A, en van BA tot cb. Maar de eerfte is de zelfde als die van D A tot AB. De tweede is gelyk aan die van BA tot AO. (AO is de kromteftraal in het punt A, hetgeen van eene Theorie afhangt, welke men in't vervolg zal zien). Eindelyk ftaat BA totcÉ in gegeevece reden, naamelyk die van HK totKS; dus zal men, door faamenftelling deezer redens, vinden, D/:De: :DAxtiK:AOXKS. De reden van D/":üffis derhalven gegeeven; en zo men in den hoek £DF een E3 f*'  7* H I S T O r réEr D K a In het geval der gemeene Oyc/ozx ziet men ge. maklyk uk het b'^wys Van Dejcattes, dat de Raaklyn Qf ( Fig. go. ) evenwydig aan de pees AP is, en dat de Raaklyn tot den Cirkel die van de Oydozx ontreet, zodanig dat PT gelyk is aan PQ, ot aan d«i boog AP. Aldus loste Fermat ciin Vooiltel0p, en hy voegde 'er nog by, dat, wanBeer rje Cyclois verlengd of verkort is, het Segmin\ p 'f ftaac tot den boog A P of den Ordinaat \ v?, als de omtrek des teelenden Cirkels tot dtn dufis. Defcartes m3skte ter zeiver tyd eene aanmerking, welke men niet behoort te vergeeten: naamelyk dat de verkorte Cycloidm r/ich binnenwaarts buigen, en dat de verlengde, die in 'c eerst aan haaren As naby den top irgebogen zyn, als men nader by den Bafis komt, uitgebogen worden. Ky leerde ook het middel om de plaats te bepaalen, alwaar deeze verandering van kromte of lichtftreek gefchiedt. Alles wat wy nu verhaald hebben is ten langden ïn het begin des Jaars .1639 voorgevallen: zulks bewyst zonder teg"enfpraak de dagtekening eens Briefs van Defcartes (1). Dus kan de onder dagtekening der Franlche Meetkundigen, in hergeen de Oplosfing van die Voorftellen betreft, niet in twyffel getrokken worden. Laat ocs tot Italië overgaan, alwaar wy gezien htbbtn, dat men in 't Parallclogrem befcfaiyft, welks zydtn !n de nu gevendeBe betrekkirg zyn, zal desztlls Dicgczaal de iicbtftteek van de Raaklyn zyn. .Men zou deeze Raaklyn nog op eere andere wyze kunren vinden, naamelyk door te ondeifltllen, dat de kleine 2yde D» der voorgtftelde Kromme een detl was van eene verlengde cf verkorte Cyclois, welkers middelpunt van den teelenden Cirkel in het punt o zou zyn; tiaar wy verger,eegen ons met dit ander middel, welks veiklaaiing yav een ie Isngtn adem zou zvn, flegts aan te wvzéd. (/) De 84 c. van Deel III.  WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 71 "t Jaar 1^40 nog flegts de geringe kennis der teelirjg van de Cyclois hadt. Merfenne, die met de meeste Wiskundigen van Europa Correspondentie hieldt , kwam , zo het 1'chynt, omtrent het Jaar 1639 op den inval om aan Galileus te fchryven, en hem over de bepaaling van den Inhoud der Cyclois, als van een Voorftel 'twelk de FranfcheMeetkundigen bézig hieldt, te fpreeken. Men zou geen den minften grond hebben om daaruit een bewys te trekken , dat dit Voorftel nog niet in Frankryk was opgelost, zo als lbmmige voorbaarige of kwalyk onderrichte lieden gedaan hebben , vermits wy een Boek, in i637; gedrukt, bygebragt hebben, waar in men de Oplosting van hetzelve vindt, 't Was eeniglyk uit achting, dat MeiJenne, aan Galileus fchryvende, zich in die bewoordingen uitdrukte; de voorgeftelde Vraag zou anders eene uitdaaging gefeheenen hebben, en zulks zou eenen weezenlyken hoon voor dien grooten man zyn geweest, uit aanmerking van de dienften, welke hy der Wiskunde be•weezen hadt, en zynen zeer hoogen ouderdom. Galileus fchreef derhalven omtrent het begin des Jaars 1640 aan Cavalleri. Men heeft een gedeelte van zynen Brief (m), hy Doodigt hem daar in op nieuw tot de nafpooring van den Inhoud der Cyclois; ik zeg op nieuw, want hy hadt, zo het fchynt, zulks reeds uit eigene beweeging gedaan, door eenen Brief in 1639" gefchreeven. Maar hy hadt rhet genoegen niet dat Voorftel opgelost te. zien, noen zelfs te weeten,, of het ergens "opgelostgwas geworden; hetgeen'hy in een zyner Brieven ernftelyk vraagde. Cavalleri, ^r alhoewel een fchrander Meetkundige, bleef 'er/voor ftaan, en Galileus ftierf in 1642. Torriceili en Viviani, zyne laatfte Leerlingen, en zyne Vrienden in zynen hoogen ouderdom, na zynen dood vernomen heb- ben- (ra) Groning. Hijl. Cicloid. £4  7i Historie de* bende de hem gedaane uitnoodigingen om aan dat Voorftel te arbeiden, beproefden hunne krachten san hetzelve, Torricelli vondc den Inhoud, en Viviani de^ Raaklytien (»); de eerfte ontfing deswegens in 't begin van 1643 de gelukwenfchingen van Cavalleri, weike bekende, dat hy vergeeflche poo. gingen hadt aangewend, om de zwaarigheid van het Voorftel te boven te komen (o> Torricelli liet toen zyne Werken drukken; hy voegde in hetzelve by wyze van een Appendix hetgeen men in Italië over de Cyclois gevonden hadt. Men kan niet loochenen, dat Torricelli en Viviani aan geene zyde der bergen een Voorftel hebben kunnen oplosfen , dat reeds aan deeze zyde was opgelost, cn wyl Roberval zo jaloers over zyne ontdekking was, was het hem genoeg zyn recht op dezelve door eigengeloofwaardige bewyzen te ftaaven, in plaats van den langdraadigen en beuzelagtigen Brief, welke hy aan 'Jorrifeilt fchreef, en waar in hy de bondige redenen, welke hy kende bybrengen , als het Boek van Merfenne, in 1637 gedrukt, niet heeft weeten te (doen gelden. Dit bewys zou krachtiger geweest zyn, dan alle zyne tegenftribbelingen , en de wydloopige geJchiedenis, welke hy van zyne nafpeoringen over de Cyclois bybrengt. Niemand is onbewu.'t , darmen in twistgedingen op de Hukken, door de partyen voorgedragen, geen acht flaat, als in zo verre dezelve op bewyzen gegrond zyn. De Heer Pa/cal zegt, in zyne Gefchiedenis van 'CC Cyclois, dat toen Roberval omtrent het Jaar 1634 den Inhoud van die Krcmme gevonden hadt, Merfenne hem vermaande om zyne oplosfing een Jaar lang verborgen te houden, en dat hy alle de Meetkundig gen van Europa aanfpoorde om dien te zoeken. Beide die zaaken fchynen my weinig naauwkeurig te zyn. (n) Letfre de Torricelli a Robeival, anciens Mém, de 1'Acad. T. VI. (») Gioning. Hift. Cycloid.  WIS KOND E. III. Deel. ï. Boek. 73 zvn. Want vooreerst fchynt Defcartes geen kennis aan dat Voorltel gehad te hebben a[s omtrent het Jaar 1638, toen Merfenne hem de eerfte maal daar van fprak, en'er is geen de minile waarfchynlykheid , dat deeze Correfpondent van onzen Wysgeer vergeeten zou hebben, hem in den rang der tente Meetkundigen van Europa te (lellen. 1 en tweeden ichynt de tydftelling van 1634 my vroeger dan de waare tyd te zyn. Want Merfenne verbetert op het einde van zvne Harmonie univerftlle, weke m 1637 het licht zag, in gevolge de ontdekking van Roberval, hetgeen hy in 't eerfte Deei over de Cyclois gezegd hadt, die hy toen voor eene Ellips aanzag. Het blykt dat hv eerst in 't Jaar 1638 voornam aan eenige Meetkundigen tefchryven, ten ende hen san te fpooren om den Inhoud van die Kromme te zoeken. Pafcal gaat voort, en zegt, zonder bewyzen bv te brengen, dat omtrent het Jaar 1638 aan zeker Heer de Beaugrand, een Wiskundige die door Defcartes zeer kwalyk gehmdeld weidt, en met recht, fchoon de V. Merfenne hem een zeer fcherpzinnig Meetkundigenocmt, de bewyzen der ontdekkingen , welke men in Frankryk over de Cyclois gedaan hadt, verzamelde, en, na dezelve eenigzins onkenbaar gemaakt.te'hebben, aan Galileus in Italië zondt. Deeze zaak fchynt my ten gevalle der drift van Roberval,vm wien Pafcal die hadt,voorgedragen te zyn; want Galileus fpreekt, in zyne Brieven aan Cavalleri, in 1639 en iÓ40,gefchreeven (p), van deOy. flois als van eene Kromme, waar van hy niet konde hoopen, dat ooit de maat gevonden zou worden. Niemand zal gelooven , dat deeze groote man, meer dan tagtig Jaaren oud, en met Lauweren belaaden zynde, welke hy in de Loopbaane der Wiskunde geplukt hadt, zou hebben willen verbergen hetgeen hy dien aangaande vernomen hadt. Dus denk ik, dat men de Gefchiedenis des Briefs van den HecröV Beau* {p) Groning. Hifi. Cyeloid. E 5  74 HISTORIE dek te kunnen worden, in een Werk, gedrukt iSTSl die bewyzen als de zyne verbreidde: de aanmeS- S nay tftïïktZ°reaD*0nC,S gC™3kc ^n^h?. j eiimy geicnikt te zyn, om tegen deezen -Jaaren uk des verhaals van Pafcal groote tSi„S te werpen. Deeze Hl&rfcfghrj*er vlïïeS/S ee° tvnaaomd?^^^nOCh "4' P«»ydfe fïï vanVenèn ^-; -P ü"uenn8 *™ Torricelli te Itaaven, \an eenen JJrier van herroeping fnreekt welke dnr>£ Sdn'Öro^ i00erc£ «z*ne s , 'cu 's een ter minaer waarachr a- m' &I ^ meD 2,'ec daar in niet an- Ce s, dan dat Rr«wtó, het gefchreeuw van Roierval moede zynde, hem eindelyk fchreef, da' S weinig aan gelegen was, of het Voorflel der Cyclois m Frankryk of in Italië zynen oorfprong fitï S/''Zlch 8eenszl'ns de vinder van hetïïve Se uit ^°mTCln ^ nif Bieten, en hy dl ?er bv £ hfft' ontfa"geD hadt: hy voegde f J-JY' hy üe,bewyzen, welke men hem beTr, t' gev?I,de" hadt> eh dat hy 'er zich weinig aan bekreunde, dat men hem al of niet geloofde vermits hetgeen hy zeide overëenaemL^de was rnet het getu.gema van zyn geweeten; dat hy voor het overige, als men over die ontdekk ng zo jaloers was dezelve aan elk die wilde overliet, als men S.pd'%mu; n.et met geweld poogde te ont. gewedde? r£3/ Ï°U ver% deezen voor. ww de nSnn -v u herro^p'Dg. die als een bewys der plundering van Torricelli is bygebragt. . I Maar  WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 7S Maar wy zullen hier de Gefchiedenis eener twist eindigen, waar in de hedendaagfche Meetkundigen geenszins het zelfde belang zullen (tellen. Het verhaal dat wv daar van gedaan, en met bewyzen geftaafd hebben, toont aan , dat Roberval ér rvetf drift onder mengde, en dat Pajcal in de GeichiedeBiè$ welke hy daar van gegeeven heeft, niet minder partydigheid heeft doen blyken. : D"V. Na de Voordellen over den Inhoud en de RaakIvnen der Cyclois, betreffen de eertten, weke zich alsdan voordoen, de Lighaamen, welke door haare omwenteling om haaren As en haareni ba ts gevormd worden. Roberval fchynt de verdienfte gehad te hebben van die beide te vinden. De V. Merfenne maakte in 1644 de reden van het eerde dier "Lighaamen tot den Cylinder van gelvke Bafis en hoogte, zynde die van 5 tot 8, aan Torricelli bekend; waarop Torricelli aanltonds antwoorde, dat hy het zelfde eenige maanden te vooren gevonden hadt. Wat het laatfte betreft, dat onvergelykelyk moeijelyker te vinden is, hier in floeg de Itahaanfche Meetkundige den bal mis, en Roberval bleef alleen m 't bezit van deszelfs maat ontdekt te hebben Torricelli hadt gedacht, dat het tot zynen omrefchreeven Cylinder ftondt, als mot 18; deFranfche Meetkundige toonde aan dat hy gefeild hadt, en bragc de wiare betrekking aan den dag (q). De Heer de Roberval heeft lang daarna gezegd (r), dat hy in den zelfden tyd de grootheid van den boog der Cyclois gevonden hadt, en dat hy, alle zyne andere ontdekkingen over die Kromme aan den dag gebrast hebbende , deeze verborgen hadt gehou& 0 den, (q) Het bedoelde Lighaau ftaat tot den omgefchreevetv Cylinder, als de % van het vierkant des halven-omtreks,. min het derde-deel van het vierkant des Diameters, tot het vierkant des halven-OflitreKs. ir) De Trochoïie.  76 HISTORIE der den , tof ia den tyd dat Wrtn aan zyne zyde daar toe geraakte. Doch ik denk niet, al men od deeze betuiging eenigzins acht behoort te flaan.In de daad, waarom heeft de Heer Roberval zyneontdek ÏXv^rf£fd med^de?'d> toenydeeZePzyn; laatfte Voor/lellen opgaf, onder welken de bepaaling der grootheid van de Cycloïda/e Kromme gevonden wordt? Zyn Vriend zou hem daar medzeker lyk eere aangedaan hebben; in plaats dat by, door' tl ^ ft eigenheid niet aan 't licht fe bre? gen, zekerlyk afftand deedt van de eere, welke hem daar door ten deel konde vallen. Kon Rob r atlVPf^l dat Voorftel, dooi Pa/alop. gegeeven, door hem zeiven opgelost zou worden, zo het door geen ander gedaan was; en by gevolg ontdekking een geheim te maaken, door een ander zou voorgekomen worden? * • De Theorie der Cyclois werdt in een tydverlooa 1™ jn o j8'am",geeDe Dieuwe waarheid vergroot. De Heer Pafcal was het, die dezelve KS>°P hetctü,°aLei b,a8t" DeWe be?oemdI Meetkundige en bchryver, zoon van eenen Vade" die zelf m de Meetkunde zeer bedreeven was, hS van zyne tedere jongheid af verbaazende vo denV gen in die Weetenfchap gemaakt. Niemand kau onkundig zyn ten aanzien der weinig geloof baare gefchiedenis, welke van hem verhaald wordt. In den ouderdom van ia Jaaren was hy, zegt men zonder Boek, en door de kracht van zynVrnu"t alleen, tot de twee-en-dertigfte Propofltie des eerJen Boeks van Euclides gekomen. De Leezers mo • gen hier van gelooven wat zy goedvinden: wat mv belangt, al moest my het zelfde overkomen als Baii ^.'^/^enige aanhangers van den Heer Pafcal gehekeld werdt, om dat hy over dien trek zyns levens eenigzins getwyffeld hadt, ik kan geenszins ontveinzen, dat ik dien trek verdacht houde van al te Weed mtgemeeten te zyn. Hetgeen men echter den Heer  WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 7? Heer Pafcal niet kan ontzeggen is, dat hy reeds in eenen ouderdom, waar in doorgaans de fchrandere vernuften nog niet weeten wat de Meetkunde is, een Meetkundige, en wel een groot Meetkundige was. In den ouderdom van 16 Jaaren maakte hy eene Verhandeling over de Kegelfneeden , waar in alles wac Jpollonius beweezen hadt zeer fierlyk uit een eemg algemeen Voorftel werdt afgeleid «. Deeze Verhandeling werdt aan Defcartes gezonden, die met konde gelooven, dat dezelve het Werk was vaneen Jongeling van 16 Jaaren, en dus dezelve liever aan Jde Heeren Po/rol de Vader, en Defatgues wilde toefchryven. Doch behalven dat wy in deeze eeuwe voorbeelden van die vordering in de Meetkunde hebben, zo weinig evenredig aan het getal, der Jaaren, zvn 'er in het leven van Pafcal zodanige «ekken, welke dit voorval waarfchynlyk maaken. Men kan zulks ligtelyk gelooven van hem, die het Rekenkundig Werktuig in den ouderdom van 10 Jaaren heeft uitgevonden. In de daad de Heer Pafcal was niet ouder, toen hy dat kunftig Werktuig verzon, dat alsnog, door de faamengefteldheid van deszelfs deelen, en de vinding, welke men daar in ziet uitblinken , de verwondering der grootfte verftanden °PDekHeer Pafcal hadt ia Jaaren vóór zynen dood de Meetkunde eenigermaate laaten vaaren, om zictt eeniglyk aan gewigtiger Studiën, als die van den Godsdienst en de Zedeleer, over te geeven. Maar de Wiskunde is voor hen, die dezelve eenmaal gekend hebben, eene geliefde Minnaares, met welke veel vermocendebeweegredenen de vriendlchap kunnen doen breeken, doch die men echter niet geer) Quid de bMs Pafcalibus dixero, pttre in omnibus Mathematici* apprimè verfato, oui min de trtangulis de ■ montlravit,filio qui unicapropofiiione quadringentiscorrolla' riis ftipata omr>ia Apollmn conka comprehendtt? Meifenae, Harm. univ.  7* HISTORIE öer - innLea a' ,verS-eften k™- De Heer Pafcal onder-' zelve ' ll^T^n em- ZWa« liZr'^ l eC ZU|KS.U1C Brieven aan den «eer de fermat. me: wien hy m 1651 verfcheide Vraagltukken over üe Comiaauen en d ' Kansrt kenrng onderzocht; hetge.n weiara derwvze to^ fflihVz^lf Ca Td 111 '< ft»*? nee acne Z3g Ja c /fllf en)d k , j> tyd dac wy den draaa onzer H;ftorie hervat en was een n.euw voorwerp van verftrcoijing, S zS„ byna zeggen een nieuw voorwerp vao afval voor 5? H7 b2g°n d- Kromrne ómr ent trekkende eenigen QrSfaS,'af §f zocht ny den inhoud en het zwaarhe \AdH punt van d,e Segmenten, als A H F; de groö heid T;Yie ^.a*e°> doo'r lm*Z'hot Omut 0l dea As te draaijea; hunne zwaarheids, ra.dd.lpuiten, en e.njelyk, hSt^es« di £S LighaamjD, door een Vlak, gaande door dea /s van omveitiimg, aFgefbeedèp. In 't bezit van die Vdorrtei'ien, zonder twvUM de moeyelykfti, welken de Meetkunde zich tot nog toe hadc voorgefteld, wilde de Heer F lal het vermogen der Meetkundigen zyne tydgenoo ten ter toette brengen. Hy zonde den eenen c??culturen Brief, o:n hun tot di Oplosfiig zyner Sr r r ' d.f d-z-,ve Z0J oplosten , veertjV Pmoolea , en dia tweeden twintig Pis'oalea co verderen; hy beptrtde dia eerlik OxonW- va? Ö3C zelfde Jiar als dea tyj, wair ia ds Oplosfia. gen,  WISKUNDE. III. Deel. I- Boek. 19 gen," met de in acht te neemen omftandigheden , om derzelver afleevering te ftaaven, overhandigd moesten worden. De Heer de Carcavi werdt als dengeenen benoemd , aan wien dezelve gezonden moesten worden. Wat hem betreft, hy verborg zich onder den naam van Dettonville, en het is onder dien naam, dat alle de Hukken, welke die Wiskundige uitdaaging betreffen, het licht zagen. De door den Heer Pafcal vastgeftelden tyd verfcheenen zynde, zonder dat iemand zyne Voorfrellen naar zynen zin hadt opgelost, bragt hy toen zyne Gefchiedenis van de Cyclois in 't licht, en gaf nieuwe Voorftellen belangende die Kromme op. Deezen betreffen de Oppei vlaktens der Lighaamen en halve-Lighaamen, waarvan wy gefpro. ken hebben, en de zwaarheids-middelpunten van die Oppervlaktens. Hy gaf, om dezelve op te losfen, tot den eerften January tyd, en verlengde tot zo lang den vergunden tyd voor de oplosfing der eerfte Voorftellen, en onder de zelfde Voorwaarden. Zy die deeze Voorftellen niet kennen, als door hetgeen de Heer Pafcal daarvan gefchreeven heeft, zyn^in den waan, dat niemand anders dan hy dezelve oploste. Maar na de befchouwing van verfchillende ftukken, heeft het ons toegefcheenen, dat die beroemde Schryver in het geval der meesten van diegeenen was, welke diergelyke uitdaagingen deeden. naamelyk dat hy geen lust hadt om de uitgeloofde fom te verliezen, en ongegronde zwaarigheden maakte tegens eene Oplosfing, welke men hem zondt. In de daad Wallis loste de eerfte Voorftellen vóór den beftemden tyd op. De Ridder Dighy , den Circulair en brief van Pa* fcal door de tusfehenkomst van den Heer de Carcavi, omftreeks den 10 Augustus ontfangen hebbende, gaf daar van bericht aan den Heer Wallis. Deeze, reeds in ftaat om de grootfte zwaarigheden der Meetkunde te overwinnen , begon aanftonds aan de bewuste Voorftellen te arbeiden, en zonde  so hii s:t o r i e, d e zonde vóór het einde der maand zyne Oplosïmg aan den deer de Carcavi, benevens een Getuigfchrift van een Notaris te Oxford, eene omftandigheid welke hy noodig oordeelde, om de dagtekening derzelve te ftaaven, by aldien eenige omftandigheid de aankomst derzelve te Parys langer dan den bepaalden tyd ophieldt. Pafcal ontfing dezelve den 23 September, en IVren antwoordende onder den naam van Dettonnlle, maakte hy hem den ontfang des Gefchrifts van Wallis bekend. Hy prees hetzelve ten hoogften, en zeide hem, dat hy met die Oplosfiog voldaan was, dat hy alleenlyk gewenscht hadt, dat hy, in plaats van den dag des vertreks door eenen Notaris van Oxford te laaten attesteeren, de aankomst en de depoGtie in handen van den Heer de Carcavi door eenen Notaris te Parys hadt laaten aankondigen, hetgeen eene der omftandigheden was , welke hy door zynen Circulairen Brief hadt gevorderd. Het was onder dit voo: wendtel dat hy Wallis den prys niet bewilligde, welke hy gewonnen hadt. Maar deeze handeiwyze, aihoewel overëenkomftig de Wetten der ftriktfte billykheid, zal, denk ik, de goedkeuring van veele lieden niet wegdragen. In eene zaak vin die natuur, welke geheel ter goeder trouw was , was het zonder twyffel genoeg dat de Heer Pafcal zelf, zo als hy bekende , de* Oplosfing van Wallis ontfangen hadt, om hem den prys te moeten toewyzen. Wallis klaagde met bezadigdheid en als een onbaatzuchtig man, welke, door aan die Voorftellen te arbeiden, veel meer zyne eere, dan de winst van eene geringe fom gezocht hadt. My is niet gebleeken, dat hy naar den prys der Voorftellen gedongen heeft , welken Pafcal naderhand in de maand October opgaf, het zy dat hy oy tyds geen kennis daar van gehad heeft, of dat hy, afgefchrikt door de ongegronde zwaarigheid, welke men hem tegengeworpen hadt, zich de moeite niet heeft willen geeven om aan dezelve te arbeiden. Hy gif zyne Oplosfin-  W I S.K U N D E. IIL Deel. I. Boek. 8 c üngen in 1659 in 't licht* in eene iwzon.iere Verhandeling, tot tytel voerende de Cycloïde & LyQuide, welke men ook'in 't eerfte Deel zyner Werken vindt- j tt d r 1 Een ander Meetkundige, wien de Heer Pafcal, zo het my toefchynt, geen recht genoeg deedt , is de Vader Laloubere. Deeze Jefuic van Touwufe, reeds bekend door een Werk,. tot tycel voerende : Elementa Tetragonimifca,, of Quad- circuü fegmentorum ex datis ijforum centris gravitatis (1 hol. 1051. in-övo.), dat v^el geleerde en gegronde Meetkunde bevat, zondt den Heer Pafcal de oplosfing van zyne Voorftellen over de Lighaamen der Cyclois, en hun zwaarheids-middelpunt, vóór net einde des Jaars 1658. Het bewys dat wy hier voor hebben fteunt daar op, dat de Heer Pafcal, hem met eenen Brief, gedagtekend den eerften January 1659, antwoordende, over eene vermeende dooling in de rekening met hem in twist zocht te geraaken. Doch Laloubere fchynt my zich deswegeus genoegzaam te rechtvaerdigen, eh aan te toonen , dat het flegts eene misflag van overfchryving ;s, zo door te verzenden tot zyn gedrukt Gefchrift, 'c welk den 9 January te Toukufe in 't licht kwam, en waarömtrent niet te vermoeden is, dat hy het-^ zelve geheel zou hebben verbeterd, en in drie or vier dagen laaten drukken, als door de vergelyking Van andere omftandigheden. De Heer Pafcal echter niet zeer genegen zynde, om aan een Lid van het Gezelfchap , waar toe Laloubere behoorde , recht te doen, bleef fteeds voorwenden, dat hy zich vergin, en zyne dooling niet eerder erkend hadt, dan na dat hem dezelve onuer 't oog was gebragt: hv zegt in eenige byvoegfelen tot zyne Gefchiedenis van de Cyclois veele voor dien Jefuit van TouXouCe fchandelyke zaaken, en naardien hy het vermogen bezit, om, zo als hy wilde, de reden naar zvnezvde te buigen, fcheen zyne tegenparty ougelyk te hebben. Het is wel waar, dat deeze Va-  32 HISTORIE dei der geen den minften grond hadt om op de Pryfca, door den Heer Pafcal uitgeloofd , aanfpraak te maaken ; hy hadt de eerfte Voorftellen niet vroegtydig genoeg opgelost, om 'er eenig reeht op te hebben , maar hy hadt dezelve vroeg genoeg gemaakt, om meer recht te verdienen , dan die beroemde man hem daar voor deedt. Laloubere gaf zyne betrachtingen over de Cyclois in 1660 in 't licht, in een Werk , tot tytel voerende: Geometria promota in feptem de Cycloide librit. Dit Boek is in alles uitmuntende door eene gegronde en verftandigeMeetkunde. Behalven de Oplosfingen der eerfte Voorltellen van den Heer Pafcal, befpeuren wy in het tweede Boek eene zeer vernuftige befchouwing.Laloubere onderzoekt in hetzelve de afmeeting der Kromme, welke op de oppervlakte eens rechten Cylinders afgefneeden zou worden met een Pasfer , welks onbeweegbaare punt in eenig punt C (Fig. 03, 04.) zou zyn, en het andere die oppervlakte zou doorlopen. Hy noemt deeze Figuur Cyclo-Cy~ lindrifch, en toont aan , dat zo dïkwyls de opening zodanig is , dat de beweegbaare punt het uiterfte van den Diameter D bereikt , deeze Oppervlakte volkomen gequadiateerd kan worden, naamelyk dat dezelve gelyk is aan viermaal den Kechthoek D H G. Maar zo de beweegbaare punt dat uiterfte niet bereikt, zal de Figuur, van de oppervlakte des bewusten Cylinders afgefneeden, aan die van eenen bepaalden lchuinfchen Cylinder gelyk zyn. Voorts zou men veel geduld en veel tyd te verliezen moeten hebben, om op den inval te komen van in dat Werk, als mede in dat 't welk wy boven aangehaald hebben, te gaan putten. De byzonderheid, der Leerwyze, welke de Autheur derzelven gebruikt, en welke Leerwyze doorgaans de zelfde is, waar van Archimedes zich in zyne Mecharitfehe Quadratuur van den Parabool bediend heeft, de verdrietige wydloopigheid , welke uit eene te groote liefde voor de Meetkundige ftriktheid ontllaar, en  Wiskunde, in. Deei. i. Boek. s§ fcö verfche'de andere dergelyke zaaken ; zyn^ bekwaam om den onvertzaagi'ten Leezer daar van af te trekken. , ... , Er waren nog verfcheide andere Meetkundigen* Welke a-m de Voorftellen van den Heer Pa/cal hun« ne krachten beproefden. Dc Ridder ChnfioffdWren vondt de Rectificatie der Cyclois. Hy toonde aan , dat eenige boog van die Kromme , van den top af genomen, als A F (Fig. tz.) gelyk was aan het dubbeld der pees AD, zo dat de helft Al» der Cyclois het dubbeld van den Diameter A C des teelenden Citkels is. Hy ontdekte ook de afmeeting van de oppervlakte der Lighaamen roadöm den Bafis en den As, en gevolglyk het zwaarheids-middelpunt der Kromme zelve. Hy zondt alle die zaaken aan den Heer Pafcal, in eenen Brief gedagtekend den 12 October, dat is, volgens onzen ftyl, den 22. De Heer de Fermat bepaalde ook de grootte der Oppervlaktens , waar van wy zo even gefproken hebben, en gaf by die gelegenheid, zegt de Heer Pafcal , eene algemeene en zeer fraaije Leerwyze voor de afmeeting der ronde oppervlaktens, waar van wy op eene andere plaats een woord zullen zeggen. Maar niemand heeft , zo ver ik weet , de moeijelykfte Voorftelien over de gemelde Oppervlaktens opgelost , naamelyk die welke betrekiyk zyn tot de Oppervlaktens der Lighaamen, rondöm evenwy ligen aan den Bafis gevormd, tot de zwaarheids-middelpunten van die Oppervlaktens, en halVe-Oppervlaktens. Indien dus de Heer Pafcal het genoegen niet hadt zyne eerfte Voorftellen buiten het bereik der andere .Meetkundigen van zynen tyd te zien, hadt hy ten minften het geluk te zien , dat hy alleen in ftaat was de Oplosfing van de laaiften te geeven. . Het begin des Jaars 1659 gekomen zynde , maakte de Vieer Pafcal zich gereed om zyne Oplosfingeri jn 't licht te brengen. Hy gaf dezelve kort daarna uit in een Gefchrift onder den tytel van Letlre de A. Dettonvills d M. de Carcavi. Men vindt daar in F 2 eer*  S4 HISTORIE der eerftelyk eene Leerwyze voor de zwaarheids-middelpunten van allerhande grootheden. Dezelve wordt gevolgd van eene Verhandeling , tot tytel voerende: Des Trilignes de leurs Ünglets, zynde eene algemeene inleiding tot de afmeeting der kromlynige Lighaamen, Hy onderzoekt daar in wat men in eenige kromlynige Figuur bekend moet hebben, om de maat te bekomen van de Lighaamen, voortgebragt door haare omwenteling', zo om den Bafis, als om den As, hunne zwaarheids-middelpunten, en die der halve-Lighaamen, benevens de Oppervlaktens van die Lighaamen en halve-Lighaamen, en hunne zwaarheids - middelpunten. In de volgende Verhandelingen, welke tot tytel voeren, des Sinus du quart de ccrcle, & des arcs de eerde? houdt hy zien bézig om in de cirkelvormige Figuur de verfchillende dmgen te bepaalen, welke hy betoogd heeft voor de Oplosfing der bovengemelde Voorftellen noodig te zyn. Findelyk, na aangemerkt te hebben, dat de Ordinaat der Oyelois zich iu twee deelen oplost, waar van het ee. ne de Ordinaat des teelenden Cirkels , en het andere de overëenkomltige boog is, hervat hy alle die dingen, en toont aan, dat hy in de voorgaande Verhandelingen alles gegeeven heeft, wat voor de Oplosfing van zyne Voorftellen over die Kromme noodig is. Het moeit ons, dat de ongemeene vruchtbaarheid onzer ftoffe ons niet toelaat de geheele handeiwyze van den Heer Pafcal breeder te verklaaren. Het zou niet mogeiyk zyn zulks te doen, zooder verfcheide bladzyden daar mede te vullen, en wy zyn genoodzaakt uit ftuk, fchoon van het uiterfte belang, aan de kortheid op te offeren. De Oplosfing, welke de Heer Pafcd van zyne Voorftellen geeft, wordt van eenige andere Meetkundige Gelchriften gevolgd, waarvan het eene by ons tegenwoordig onderwerp te pas komt. Hetzelve betreft de Rectificeering der Cyclois , zo gemeene, verlengde, als verkorte. Pafcal toont daar-  WISKU.NDË.-III. Deel. I. Boeh 8y •daarin door eene algemeene Leerwyze aan, dat alle die Krommen gelyk zyn aan balye-omtrekken van eene Ellips, waarvan hy de onderling toegevoegde Asfen bepaalt. Dit wederfpreekt geenszins de ontdekking van Wren, volgens welke de gemeene Cyclois het viervoud van den Diameter des teelenden Cirkels is. Het gebeurt in de daad in dit geval, dat de kleine As der Ellips nul is; het geen maakt dat haar omtrek op haaren grooten As valt. Dus is hetiieen Wren door eene byzondere Leerwyze gevonden hadt flegts een gevolg van die varrder.Meer p^Tml Deeze overeenkomst der Cycloidale Kromde,met de Ellips wordt met behulp der IntegraalRekening gemaklyk betoogt. Want de>Dtfferent,aa. fdtdrukking, of die van het element dier Kromme, is Strekt ovlrêenkomftig met die van het element des EMptifchen boogs. Schoon de maat der geheele Cyclois van de Oj/adraiuur des Cirkels afhangt, kan men echter verfcheide van haare gelyke gedeeltens op rechtlynige tusfchenwydtens vinden. De Heeren Wren en Huyshens hebben daar van het eerfte voorbeeld gegeeven door aan te merken, dat de Ordinaat, welke de helft des Straals van den top verwyderd is, een tegment affr.ydt, dat gelyk is aan den .geiykzyd.gen Dnehoek in den teelenden Cirkel befchreeven. De Heer Leibnilz heeft in laater tyd gevonden, dat, zo men uit den top eene lyn tot het einde van den Ordinaat, door het middelpunt gaande, trekt, het Segment A d I (Fig. 25.) volftrekt gmfrateerd konde worden, en gelyic zou zyn aan de helft van het omgefchreeven Vierkant. Maar dit alles is begreenen in de volgende ontdekking van den Heer Jan Bernoulli (t). Als men, zegt die geleerde Meetkundige, aan beide zyden van het punt, dat de naalte Straal aan den top in twee gelyke deelen deelt, twee Ordinaten op gelyke afftanden neemt, ft) Act Lipf. 1699. Bernoulji Op. T. 1, p. 32». F 3  86 HISTORIE der als Ee en D£, of Ee en Dd, en de lyn E $ of Ed trekt, zal het Segment eA$, 0f *d, votftrekt gequadrilleerd kunnen worden, dat is te zeggen het zfc* ih het eerlie geval gelyk zyn aan de fom der Driehoeken F HE, GDH, en in het tweede aan hun verfchü. Als derhalven de punten van E en D, geouiuïg nader tot het punt B komende, zich met hetzelve verëenigen, zal het Segment eAh dat van Wren en Huyghens worden; zo je tegendeel de punten E en D, zich gelykélyk van Li verwyderende, eindelyk het eene in A,en het andere in C komen, zal men zichtbaarlyk het Seg ent van Le{bnit% hebben. De Heer Bernoulli leert ook op wat wyze men door-Stelkundige Vergeldingen een Oneindig getal Cycloïdale Hukken, tuslchen twee Ordinaten befloten, welke eene vol-, ftrekte Quadratuur oncieihevig zyn, kan vinden. Men kau achter het Stuk, dat wy aangehaald hebben, fomm/ge andere Schriften zien^, welke die ftrffe betreffen, en waarvan eenige van den Heer %rcobüt Bernoulli zyn. De verlengde of verkorte Cycloïden hebben desgelyks ruimtens, welke volilrekt gequadrateerd kunnen worden; de Heer Bernoulli toont aan hoe men dezelve kan bepaalen, en in welk geval zulks mogelyk is. Het onderwerp waar over wy ihandelen eischt, dat wy hier nog, ten minden op eene hiflorifche wyze , eenige andere beruchte eigenfehappen van deeze Kromme te berde brengen. Men kan zeggen, dat in de Meetkunde weinig Krommen zyn, welke merkwaardiger eigenfehappen hebben. De Heer Huygmns heeft getoond, dat de ontwondene van de Cyclois zelve eene Cyclois was, doch flegts in eene tegenftelde richting geplaatst: wy zullen op eene SÉder'ë plaats een duidelyker denkbeeld van uie eigenfehap geeven, wanneer wy de Theorie der Ontwondenen zullen verkïaaren. De zelfde beroemde Meetkundige heeft insgelyks ontdekt, dat eei. Lighaam, 't welk langs eene omgekeerde CycMs rok, uit welk punt het Ook begint  WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 87 •nf tp rolien in den zelfden tyd beneden komt; waar uit volgt dat een fiinger, welks gewigt: geIn ïzaakt zou worden eene Cyclois te befchryven, ïolkomS gefyke flingerflagri^ S^Sirg'lk t F 4  83 HISTORIE der lis gelyk aan een vierde - deel eers Cirkels neemt, en uit de onderfc'ieidene punten van dien As de Sinuffett der boogpn gelyk aan de Abjciffen trekr, De Meetkund/gen, welke gearbeid hebben aan de Voorftellen van den Heer Pafcal over de Oy, clois, hebben ook over haare Gezel/in gehandeld én de afmeeting van haare verfchillende'deelen! haar zwaarheids-middelpunt, en de Lighaamen, gevormd door haare omwenteling, zo om haaren As, als cm haaren Bafis, enz. bepaald. De Heer Jan Bernoulli heeft over deeze Kromme ten raafte by het zelfde aangemerkt als over de Cyclois, in zo verre zulks derzelver volftrekte ruimtens betreft, welke gequadrateeri kunnen worden. Alleenlyk heeft hier dit verfchil plaats, dat men de Ordina, ten., welke het fchuinsen Segment bepaalen, dac' volftrekr gequadrateerd kan worden, op. gelyke afHanden van het middelpunt moet neemen, in plaats dat men dezelve in de Cyclois op gelyke afftanden van een punt neemt, H welk het vierdeceel des Diameiers van den top verwyderd is. _ In navolging der Cyclois zyn de Meetkundigen, Zich fteeds vsn zwarigheden tot zwaarigheden verheffende, en hunne denkbeelden algemeen maakende, op de ged. chte gekomen om eenen Cirkel 0p eenen anderen te laaten rollen, en de eigenfehappen Vap hei fpoor te onderzoeken, dat geduurende die beweeging door eenig punt van den beweegbaren Cirkel befchreeven zou worden. Men heeft deeze Krommen Epicydoïden genoemd, en dezelve hebben zeer merkwaardige eigenfehappen; het is hipr de behoorlyke plaats niet om dezelve te pntyouwen, wy zullen dit in een Artikel van het VI. Boek met eenige uitgebreidheid doen. X. Ces blyft nog cverig, om niets van ons onderwerp pvei te fiaan , verfcheide Meetkundigen te Jeertn kennen, waarvan wy nog geen gelegenheid ge-  WISKUNDE. III. Deel. t Boek. 89 ^ehad hebben te fpreeken, of welken na den tyd , geef,! hebben, waar toe wy thans gekomen zyn. Tïê orde der tyden verëiscnt aanltonds, dat wy melding doen van twee Meetkundigen van ver3e, welke kort vóór het midden der zevenSe êeime in Frankryk bloeiden: deeze zyn de iSren Wg< en Defarg^ eene byzondere Studie van de Kegeljneeden, en men heeft van hem eene Verhandeling m vier Bo ken, w,ar in dit onderwerp op eene .deerde In Ven aklvke wyze verhandeld wordt. Dejargnes wasgee>i ?rieD Tvan Defcartes, die de nog weinig gem«ne knnst bezat/om de voorwerpen onder leer algemeene oogpunten te befchotiwen. Hy gat diarvan eene proeve over de Kegelfneeden, wel tl den Meetkundigen van eenen verhevenen rang Her behaagde. Dit Gèfchrift is ons nooit vooroekonen, doch wy giffen, dat Defargues de/elve daarTn b'efchouwde", zo als fommige Meetkondipon in laater tyd gedaan hebben, naarnlyk als eezélfde KroJme, die door de veranderingen van zekere lynen dan een Parabool, dan eene flAMof £ho) wordt. In de daad . een Parabool kan Shouwd worden als eene Ellips, we kers midde num! of het andere brandpunt, oneindig vertSd zou zyn ; een Hyperbool is wederom niets dan eene Ellips, welkers middelpunt, of ITn nïarf «urnen aan de -gengeftelde ™de overgedaan, en eenen negatmnafftand van den top verwyderd zou zyn. & Cirkel » eindefvk (Sis eene Ellips, welkers beide brandpunten z?cb in het middelpunt verëenigcn. Voorts kan men d Afynptoten van de Hyperbool z\, enkele Raak. fvnen, doch op oneindig ver afgelegene punten Snme ken. Deeze wyze om de Kegelfneeden te befSwen verfchaft by uitftek gemaklyke bewySen van haare eigenfehappen, en om die reden JSnSen wy, dat de jonge Heer Pafcal dezelve ook op die wyze befchouwde, in die zonderlinge Verhandeling, welke hy in den ouderdom van zes* 5  $o HISTORIE der tien Jaaren in 't licht gaf, en waar in hy, met behulp van een eenig Voorftel, gevolgd van vierhonderd Corollatia, de gantfche oude Theorie van die Krommen betoogde. Ook zeide de Heer Defcartes die niet gelooven konde, dat zulks het werk eens Kinds van die Jaaren was, dat hy'df» Leerwyze van den Heer Defargues daar iQ ontdekte. De naam van 'lorricelli, zo gedenkwaardig geworden door de ontdekking der omhooghouding van het Kwikzilver in het ledige, en de zwaarte der lucht, is by een ieder bekend. De Meetkunde heeft hem ook eenige lofwaardige Werken te danken; dezelve kramen in 16M4 in 't licht , onder den tytel: JJe Solides Spharallbus Librii. de quad. parabol*, de Jolidohyp acuto. &c. In deeze Gefchriiten worden verlcheide zeer nadenkelylce zaaken gevonden; zodanige zyn de bewyzen, welke hy geeft over de betrekkin- van den Kloot tot den Cylinder, van de Uuadratuur^ des Parabools, enz., welke nieuw en by uitftek fraai zyn. Men vindt in het derde van die Verhandelingen eene aanmerkenswaardige ontdekking, en welke mogelyk veelen onzer Leczeren zal verbaazen; deeze ontdekking beftaat hier in, dat zo men ee Hyperbolifche ruimte AB D E (Fig. 27.) om haaren Afymptoot laat draaijen, het Lichaam , dat daar door voortgebragt wordt, eindig is,Vchoon oneindig verlengd zynde, en zelfs, dat nog meer te verwonderen is, lchoon de teelende ruimte onëmdig zy. Dit zal echter geenszins eene wonderlpreuk zyn voor hun, welke in eene eenigermaate verhevener Meetkunde bedreven zyn. Zy zullen zien , dat zuiks daaruit voortkomt, dat het zwaarheids-middelpunt der Hyperbo/ifche ruimte op den Afymptoot zeiven valt. JJewyi dus van de beide Factores des Products, dat het bedoelde Lighaam is de eene oneindig groot, en de andere oneindig klein is, heeft men geen reden meer zich te verwonderen, dat dit Product eene eindige groorheid zy. De Nederlanden vertoouen ons in den zelfden tyd eene Meetkundige, welke zich eenen grooten naam heeft  WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 91 heeft gemaakt, en aan wien wy een Werk verfchuldigd zyn, dat door eene meenigte ontdektaneen gedenkwaardig is, fchoon hy in de voornaamfte, en die we ke het eenig voorwerp van alle de anderen was, rily ven fteeif n. Als men in de Hiftorie der Meet kunde flegts eenigzins kundig is, het semaldyk fe zien, dat wy fpreeken willen van den Vader Gre. goriusdS.Finceniio, en van zyn berucht Werk, tot tytel voerende: OuadraXura circuit fif hyperbolts. ?Antverp in-fol. 1S7O Nooit heeft een Meetkundige, dwars door alle de doornen der Meetkunde, dit gewigtig Voorftel met meerder fchranderheid en vlvt nagefpooid: en fchoon hy in zyr, oogmerkniet geflaagd is, heeft echter de overvloedige oogst van nieuw!waarheden, welke hy van deeze nafpoonng wegdroeg, hem eene plaats onder de aanzienlykfte Meetkundigen waardig gemaakt Dit is het oordeel 't welk de Heer Huyghens zelf, die hem wedeüegd hadt, daarover velde, 't is ook dat van den Heer Leibnin, die zich in deeze bewoordingen uitdruk t. Majara Cnempe Galileanis ac Cavallerianis Jubjiiia ïtZire triurnviriiUufires, Cartefius, ojtenfa raiione Heas Geometrie communis exprimendi per cequatimes, Ftrmatius intentd methodo de maximis ac minimis, ac Gregcrius dSancto Fincendo, rnultis praclans inven- 'UüScrius « S. Fincentio geeft ons in zyne Voorreden te kennen, hoe veele verfchillende wegen hy infloeg om tot de Quadratmr des Cirkels te geraaken. In *t eerst heopte hy iets van de Spiraal, vervolgens keerde hy zich naar de Quadramx, over welke hy eene groote Verhandeling hadt faamengef*eld, die ter Drukperfe gereed lag, en ten tyde der inneeming van Praag door de Saxen, een prooi der vlammen werdt Lindelyk liet hy die nafpooisneen vaaren, en begon de Kegelfneeden, benevens de verfcheide Lighaamen , op haare Segmen- («) Act, Lipf. ann. 1695.  92 HISTORIE der ïe» gevormd, met ernst te befchouwen, in hoope dat een derzelven hem zodanige eigenfehappen aan de hand zoude geeven, welke toereikende waren om de oplosfing van dat moeijelyk Voorftel voort te brengen. Door deezen weg te volgen deedt hy een groot geul gewigtige en weetenswaardige ontdekkingen. Zodanige zyn eene meenigte nieuwe eigenfehappen der Kegelfneeden; de meer ontwikkelde fommeering der Termen en Magten van de Termen en ProgreJJien; ontelbaare middelen om den Parabool en de Figuuren, door de Ouden befchouwd , te meeten; de volftrekre meeting van eene meenigte Lighaamen, als de Cylindrifche Ungulds, op Cirkelvormige, Elliptifche, Hyperbolifche Bafes, en verfcheide andere. Wy wensenten gaerne in eene omftandiger verklaaring van alle die zaaken te kunnen treeden; doch de paaien van ons Werk laaten ons zulks niet toe. Wy zullen ons hier flegts verledigen om de fra3ije eigenfehap van den Hyperbool, door dien. Meetkundige ontdekt, voor te dragen. Als men op den Afymptoot van een Hyperbool de geduurige evenredigen CA, CB , CD, enz. {Fig. 28.) neemt, en de Ordinaten Aa, BK Dd, enz. trekt, dan zyn de ruimtens A b\ Bd, De, enz. gelyk. Waar uit volgt , dat de ruimtens Ab, Ad, Ae, enz. in eenen Telkunftigen Voortgang zyn. Eveneens is het gelegen met de Sectors aCb, bCd, enz., want dezelve zyn refpective/yk gelyk aan de ruimtens Ah, Bd, enz. De Hyperbolifche ruimte Ag groeit derhalven gelykmaatig aan, terwyl de Abfciffe CG Meetkundig aangroeir, en by gevolg is dezelve de Logatithmus van die Abfci(fe. Deeze er» genfehap is in de Hooge Meetkunde van een groot gebruik, en heeft het denkbeeld verfchaft om de practicaale Oplosfing van alle de Voorftellen, welke van de Quadratuur eener Hyperbolifche' ruimte afhangen, tot het gebruik eener Tafel van Logarithmen over te brengen. Voorts zyn wy verre van op ons te neemen de onmaatige lofredenen, welken de Schryver der Voorreden van het Werk van den .Heer  WISKUNDE. III. Deel. ï. Boek. 93 Heer Stone over-de ^^^f^Si ?dit i^ Ichtyver, die meer Sn de zydè der inbedding, dan aan die der' recht- Vonden heeKauwer uit te pluizen, fchynt een opzetlyk voVrneemen te zyn om *egeeneri te^doen lazchen, welke die Rekeningen en de Vooiiteuen bfkend zy^n, tot welken een Newton, een Lexb„ïtzTeJBernoulli, enz. zyn opklomme, van de eerfte proeven of, welke zy daar van gegeeven Èbben Men zou jene ^*«™Xo7JZ nen maaken over eiken regel van de Voorreden, welkers Autheur, om zynen held m top te yy Welen voorbedachtelyk de oogen fchyn; gefloten te hebben voor alles dat de Meetkundigen vóór m 55 hem gedaan hebben. Doch een zodanig onSerzoek zouS geenszins met de kortheid, die wy ons voorgefteld hebben , overeenkomen. Laat oïs ru de gewaande Quadratuur van Gregonw A v Vïncentio nost met een woord aanroeren. Ke- wérk van den Vader è S. Vincentio zag niet zodra het licht, of men haastte zich van ale zvden om het te onderzoeken. De tytel die het voTrde de naam van deszelfs Autheur en de meenigte uitmuntende zaaken welken het bevat, e waren bekwaam om de nieuwsgierigheid gaande'te maaken: maar zyne Qicadratuur kon, even als het overige, de toets va^ het onderzoek met doorftaan * Defcarte, bemerkte weldra de valschS derzelve, en wees den oorfprong der doo\Sft aan. in eenen Brief aan den V. Merfeme. Naderhand werdt dezelve in openhan, wedeVffi doer den beroemden Heere> Buyghen* , tner neezeer jong zynde, in een Gelcht.ft dat een voorbeeld v^n zuiverheid en naauwkeungheid is (VJt  94 HISTORIE der is (v), en nog breedvoeriger door den Vader LéotaudI, een ichrander Dauphineefch Meetkundige (w). Beiden toonden met veei omzichtigheid en nadruk, dat het gewigtig Voorftel van de Quadratuur des Cirkels nog niet opgelost was. De Vader 4 & Vincentio vondt niettemin Verdeedigers in twee van zyne Leerlingen, de Vaders■ Amfcom en Saraffa, beide fchrandere MeetUundigen. Ainfcom tradt bet eerst in 't ftrydpeik (jr), en ftak uit boven eenige Gelukzoekers in de Meetkunde, als Meibomius, welke, Gregenus d S.Pineentio aanvallende, zeiven in belagcheJyke doohngen gevallen waren. Vervolgens tot Huyghtns en Leotaud komende, gaf hy voor, dat zy den waaren zin van zynen meester niet begree* pen hadden , en gaf van denzelven eene verklaaring, die door den Vader Saraffa in 1663 bevestigd werdt (y). Dit was eenigermaate hetgeen de Vader Leotaud verwachtte, om de gewaande Quadratuur den dood (teek toe te brengen. Zyne verdeedigers konden zich dus niet langer met uituhigten behelpen i nu zy zich openlyk verklaard liadien over den zin, in welken zekere dubbelzinnige uitdrukkingen begreepen moesten worden. De Dauphi»eejche Jefuit toonde derhalven duidelyk aan (z), dat wanneer men zelfs die uitdrukkingen in dien zin opvatte, daar uit echter niets anders dan eene dooling, in plaats van de waare Ouadra. tuur (v) Exetafis quad. circuli P. Creg, a S. Vinc. 1651. in-4to. O) Examen quad. circuli hactenüs celeberrimte. Ltagd. 1653. in 4t° (x) Expofitio £? deductio Geom. quad. P. Greg. a S. Fine. 1656. in-fol (y) Solutio probl. de quad. circuli, &c. i66ï. (x) Cyclo ■ maihia , feu de multiplici circuli cmtempl. IÓ6£. in-410.  YV1ISKUNDE.LIII. Deel. I. Boek. 95 war des Cirkels, voortvloeit. Te vergeefs zegt de Schrvver der Voorreden, waarvan boven gefproken is, dat het nog niet wel beweezen is , dat Gregorius d S. Vincentio zich vergist hebbe. Wy durven verzekeren dat niets waarachtiger is: zelfs kunnen wy 'er nog by voegen, dat in de verdeedigingen der beide Leerlingen van dien beroemden Meetkundige eenigzins ter kwaader trouw gehandeld is- want fchoon zy verfcheide maaien verzocht werden die betrekking aan te wyzen,waarvan de Ouadratuur des Cirkels afhing, eene betrekkingT' die zy geduurig voorgaven gegeeven te zvn, deeden zy zulks echter nooit, en zich in hunne duillere en valfche Theorie der evenredigheden fchuil houdende, even als de Pleiter in de fchuilhoeken zyner bedrieglyke vonden, bleeyen zy fteeds halltarrig befluiten, dat die betrekking gegeeven was, zonder die te bepaalen. Zo die betrekking wezenlyk gegeeven was, was er aan wel eenig zekerer middel, om hunne tegenitreevers den mond te noppen, dan dezelve aan te wyzen? „, „. De V. Gregorius a S. Vincentio was af komftig van Brugse, alwaar hy in 1*84 ter waereld kwam- Hy onderwees eenen geruimen tyd de Wiskunde in het Roomsch Collegie, en is in 1667 overleeden. Wy kunnen Vlaanderen niet verlaaten, zonder co°- mClding te doen van eenen Meetkundige van aanzien die byca in den zelfden tyd aldaar bloeide. Deeze is de V. Tacquet, een Jefuit. Deeze fchrandere Wiskundige poogde ook de paaien der Meetkunde uit te zetten in zyn Boek, tot tytel voerende : de Annularibus £? Cyiindricis. Ik zal echter aanmerken, dat in dat Werk veel meer fmaak gevonden wordt om weinig moeijelyke zaaken ftrikt re bewyzen , dan nieuwe waarheden, vooral na hetgeen Cavalleri en de V. d S. Vincentio reeds beweezen hadden. Men heeft den V. Tacquet verfcheide Verhandelingen te "danken, waar van de meeste na zynen dood verzameld zyn in één Detl in-folio, ' on-  96 HISTORIE der ?tdeLdertt SteI Tan .AnAreot Taeq'atq Antverplenfis Up Math. Hetzelve is eene Verzameling, die door haare Klaarheid eene byzondere aanpryzing verdient, JJeeze Meetkundige was van Antwerpen, alwaar by m 1001 gebooren, en in iö6o overieeden is. 't Was omtrent dien tyd dat de beroemde Heer Huyghens in de Meetkunde een aanvang maakte. Deese naam alleen bevrydt ons van eene lofreden by hen, wien de fraaifte ontdekkingen der Sterrekunde, en de verhevenfte Vraagftukken der WisKunde bekend zyn. Hy werdt gebooren in 't Jaar 1629, en maakte zich reeds in het Jaar ïöyr beroemd, door de Quadratuur van den V. & S. Ptncen* tio te wederleggen: in 't zelfde Jaar gaf hy zyne Theoremata de circuli £f hyp. qual in 't licht, een Werk waar in hy op eene nieuwe wyze het verband tusfehen de Quadratuur der Kegelfneden en de vinding van haare zwaarheids-middelpunten betoogt. Vervolgens verbeterde hy hetgeen Snellius over de benaderingen van den Cirkel geleerd hadt, en maakte in 1654 zyne ontdekkingen over dat onderwerp bekend, in een Werk tot tytel voerende: de circuli magniludine inventa. Maar fchoon die Werken, en vooral het laatfte, hunne waarde wel hebben, kan men echter zeggen, dat ze flegts proeven der jongheid van den Heer Huyghens zyn. Koit daarna zag men hem eene hoogere vlucht néemen: in i<5?7 vondt hy de afméeting der kromme oppervlaktens van de Comïien en Spherdïlm, een Voorftel dat, wegens deszelfs moeijelykneid, door de Meetkundigen nog niet beproefd was; hy verzon toen ook zyne Leerwyze om de rectificeeringen der kromme Lynen tot de; Quadraturen over te brengen, en bepaalde de maat der Cisfois , waar door hy be^ondt, dat, fchoon men dezelve oneindig verlengt, nagthans haare uitgeftrektheid flegts gelyk was aan driemaal den halven teelenden Cirkel. Eindelyk begon hy van toen af aan de gronden te leg. gen van zyn beroemd Werk de Horologio ofcillat». rt'o» Dit Werk beftaande in eene mengeling van de fcherp-  WISKUNDE, lil, Deel. I. Bech' 07 fcherpzinnigfte Mechanica en. eene allergrondigftc Meetkunde, vertoont ons onder anderen de nieuwe Theorie der ontwondenen , welke federt dieu tyd in de Meetkundige en Mechanifche nafpooringen van een zo groot gebruik is. Het zou hier de plaats zyn daar van verflig te doen , dnch orizes bedunkens zal dezelve beter voegen by de ontdekkingen der nieuwe. Meetkunde. Deeze reden doet ons derzelver verklaaring tot het zesde Boek verfchuiven- ■ . ' . De Logarithmifche Lyn heeft den Heer Huyghens ftoffe geleeverd voor een Zeer zeldzaam en zeer geleerd ftuk der Meetkunde. Deeze Kromme wordt gevormd, zo als op eene andere plaats, gezegd is, als men óp de gelyke verdeelingen eener Onëindige rechte Lyn Perpendiculairs trekt, welke aan de eene zyde in eenen aanwasfenden, en aan de andere xyde in eenen afneemenden Meetkunfti van wiere ° men (c) William Öughred was iri *573 Mbóoré'n', en ftierf ' in 1660 aan eene verrukking van vreu?de, toen hy nee befluit, door bed Parlement genomen, vernam, om Kabel II. weder in te roepen. BehaWen zyn ClavtS Oe». ketrica ïWallis noemt dit Werk Clavis Mathematica, ea zegt, etft hét in 1631 voor de eerfte maal. gedrukt is,' {Treatift of Algebra botb Wfierical and Practical, JJ'g  112 HISTORIE der men eenige pryswaardige Werken over die Weetenfchap heeft. Hy verklaarde nog duidelyker de toepasfing der Analyfis op de Meetkundige Voorftellen, de Conftmtïie der Vergelykingen , de vorming der magten, de Formulen voor de hoekfneeden, enz. Maar de meeste van die onderwerpen gaan weinig verder, dan het geen men de Analyfis voor Eerstbeginnenden (Analyfis elementaris) zou kunnen noemen, of hetgeen men reeds van Vieta bezat. Om die reden zou het onnoodig zyn ons langer daar by op te houden. Aan Harriot (d) is het dat de Analyfis de eerfte Vorderingen verfchuldigd is, welke zy nadiegeenen die haar in de voorgaande eeuwe door Vieta toegebragt waren, deedt. Men beeft hem de gewigtige ontdekking van de natuur en de vorming der Vergelykingen te danken, eerie ontdekking door Vieta ontworpen, en welke hy met veel fchranderheid verklaarde. Het Weik, waarin hy dezelve voor. draagt, voert tot Tytel, Arfis analyticce praxis, en kwam in 1631, tien jaaren na den dood des Atttheurs, te London in 't licht. Tot ons beftek behoort voor21, dat wy onzen Leezeren het merkwaardigfte van dat Werk kortlyk voordragen. De eerfte ftap van Harriot is dat hy zich geenszins bepaald heeft, om de Vergelykingen onder de gedaanre, welke tot in dien tyd gebruiklyk was , te befchouwen, dat is te zeggen, door de Termen, waar in de onbekende grootheid zich bevindt, te vergelyken, of gelyk te (tellen aan dien Term , welke de bekende grootheid bevat. Harriot brengt by gelegenheid deezen laatften Tm»,door het tegendeelig te- XV.)] heefc men vsn hem verfcheide Werken, in verfcheide tyden in druk gegeeven, en welke meerendeels verzamel, en in 1667, onder den tytel van Üpufcula, gedrukt zyn. (d) Thomas Harriot, gebooren te Oxford in 1500, overleeden in 1621.  WISKUNDE. III. Deel. II. Boeh Ii3 teken van dat 't welk het in 't eerst hadt "er vóór te ftellen aan de zelfde zyde als de andere Termen, en ltelt alsdan de geheele uitdrukking gelyk aan nuL Zulks is natnurlyk, en volgens de Regelen^van de aemeene Akebraiiche Analyfis; als x _-_ b is, tarnen ook * - b z=z o hebben : en als ** 50 x o is, dan is het insgelyks waar, dat x1 —~ïö x — 9 = o is. Het is eindefyk klaarblvklvk, dat elkepofitm of negative Waarde, welke ju eenevergelyking , onder die gedaante gebragt,m plaats van a; en haare magten gefield zynde, dezelve o-elyk aan nul maakt, dc Waarde, of eene der Waarden van * zal zyn, vermits zy aan de condi. tie door deeze uitdrukking aangeweezen, zal voldoen Wy moeten nogthans aanmerken, om, in hetgeen deeze wyze van de Vergelykingen te befchouwen betreft, niets meer aan Harriot toe te keneen dan hetgeen hem toekomt, wy moeten, zeg ik aanmerken, dat by op verre na niet al het gebruik daarvan maakte, dat hy konde doen, noch al het voordeel daarvan befefte. 't Is alleen in t voorby gaan, en in een eenig Hoofdituk van zyn Werk, dat hy van dezelve gebruik maakt: overal op andere plaatfen, en zelfs daar, wanneer hy eene Veraelvking voorftelt, geeft hy aan dezelve de gewoone «euaante, en 't is alleen in den loop van het Bewvs, dat hy, alle de Termen aan eene zyde brengende , de geheele uitdrukking aan nul gelyk ftelt; maar hy komt zeer fpoedig weder tot de gewoone gedaante, even of deeze andere eenigermaate oer natuure geweld aandeedt. Ik zal zonder twylTel veelen myner Leezeren in verwoudering brengen,wanneer ik hier by nogaanmerke ,dat Harriot flegts een oppervlakkig denkbeeld van de negaibe Wortelen hadt; doch hoe wonderlvk dit voorgeeven ook fchynen moge voor hun, wien deezen Analist en zyne Werken niet anders kennen, dan door de winderige en opgepronkte lyst der ontdekkingen, welke Wallis bem toeeigent, zal echter het Bewys daarvan gemaklyk zyn: want H 4 eerste-  i*4 HISTORIE der éërstelyk gaat hy onder de gedaantens van algemeene Vergelykingen, van welke maat htt ook zy al; toos die geen en voörby, welke flegts negative\Voi. telen voortbrengen; ten tweeden, wanneer hy eene Vergelykmge voorftelt, welke negative en pofuive Wortelen bevat, als x' + - fl//~0 Waar in x te gelyk b of - a is, volgens de~bekende Oplosfing der Vergelykingen van de tweede magt, Ipreekt hy alleenlyk Van de pofitive Waarde, en handelt daarin op gelyke wyze ten aanzien der Vergelykingen van eene hoogere magt. Ten der tien, en dit zal het zegel hangen aan t Bewys van t geen wy zeggen , wanneer hy de Vergeivkingen van de derde magt, en de verfchillende Waarden der onbekende, onderzoekt, komen 'er nooit geene andere dan pofitive Waarden in aanmerkingen! die reden zegt hy (e), dat de Vergelyking *a -2bbx = -• armen verklaard kan worden als door twee Wortelen, wanneer e kleiner dan b i£ ■m de daad in dit geval en deeze gedaante van Vergelyking zyn flegts twee pofitive waarden, en de derde is negatif Daar uit komt mede voort hetgeen hy zegt Qf), naamelyk, dat de Vergelvking *» — 3 bbx = 2 c* niet verklaard kar» worden als door één Wortel: in de daad, wanneer c kleiner dan b is, heeft inen in dit revaï flegts één Wortel, als men eeniglyk op de p0fitiv\ Worden acht flaat ; doch'er zyn o0k nog tweeVnde . re Wortelen welke negatif zyn, en by den E„gelfchen Analist geheel m geen aanmerking komen Zells verklaart hy zich deswegens Heiliger wvzê op eene andere plaats (gj, aim)ar hy 8dfe ten jan Wortelen beroovend [pHMva ) noemtdoen zulks is alleenlyk om ons te zeggen dat hy (e) Art. Analyt. praxis, fect. 5, prop, 4» (ƒ) Ibid. prop. 3. (g) Ibid. pag. 27..  WISKUNDE. !tt Dal. IL Hoek Jij waren geweest, en ze *«y dat men genoemd hadt. Uusia ui in de *ydtaft««^ ^gf^rnaSe^mdekking van Antf. dié weSe hem onder de Analist \beroemd *aak beftaat daarin, dat hy aangemerk heeft dat all de VersreVvkin4n van hoogere magten [dan me van ac V ergeiyian^eii v^ * enkelvoudige ofSimpe~ als men wil, als x + a = o j * + b — , * +c=ojenmet zodanige verbinding van tekens a1s~menbegeert,by voorbeeld deeze^*+J=o^t_ n. r _i_ c— o; men vermeenigvuldige aezeivc ic dat in het tegenwoordig geval zal ^ ^welk'etnV Vergelyking van fe derde magt is om dir wv drie FaBores gehad hebben. JNu is net ge ÏS h door de ondervinding.te overtuigen, 2 - in deeze uitdrukking, in.plaats vari j en haare magten, - a, of of- ' lte J»,^ ve geheel gelvk aan o zal worden. Het is demaiTefklSSblyklyk, dat x drie Waarden heeft ver-* talts elk"derzelwn aan de Conditiën deriutdrukkmg voldoet Het zelfde zal nog duidelyker b yken , als Ten zich van voorbeelden in getallen bedient. Laat , —— f-, • -v? -4— Q * ^^^^  ii6 HISTORIE dèr daan worden; want men zal in 't eerfte geval heb, bdn i -r i -— 65 + 63, hetgeen in de daad gelyk aan nul is. In het tweede geval zal het zyn •.;. — 739 + 8r + 585 + 63 = o: dat insgelyks waar' is. Het zal het zeilde zyn in het derde geval, zo als gemaklyk beproefd kan worden. Uit deezen oorfprong der Vergelykingen vlöeijen eene meenigte waarheden s welke voor de Anahfk Van het uiterfte aanbelang zyn De eerde is dat m iedere Vergelyking zo veel Waarden zyn, als dé magt, welke aan die Vergelykinge den naam geeft eenheden bevat. Eene Vergelyking van de twééde magt zal twee, eene van de derde magt drie Wortelen hebben, enz. (A). Wanneer wy Waarden zeggen, geeven wy daardoor te verdaan, dat dezelve 70 weezenlyke, dat is te zeggen pofitive of negtttive Waarden, als ingebeelde (imaginaria) kunnen zyn. Niets verhindert dat 'et niet in iedere Ver- ge- (A) Deeze waarheid, welke nu door Induiïie beweezen is, wordt ook rechtftreeks door dit middel betoogd. Men ftelle eenige Ver^elyltinge voor , als deeze + xa «+■ Ax* -I- Bx -h C — ö, waarin A, 13, C bekende grootheden, welke die ook zyn, uitdrukken,- laat ons nu zo^veele enkelvoudige Vergelykingen neemen, als ar-r-a—o,* + ^>r:o,it-)-cnro, haar Pró. AuÜ is x' -h (a+b +C) X1 -\- (ab -f- ac -f- bc) X + abc = o. Indien men derhalven de Coëfficiënt des" tweeden Terms, van een deezer Vergelykingen, nier dert Coëfficiënt des tweeden Terms van de andere veraelykf dien des derden met dien des derden, enz. zal mem juist evenzo veel Vergelykingen hebben, als'er onbekenden: a, b, c zyn; In de Vergelykingen van boogere nugtenzal het even het zelfde zyn. Dus heeft elk der grootheden a, b, c, enz. eene bepaalde waarde: iedere Verge ylting is derhalven het Product van zo veel enkelvoudige Vergelykingen, als 'er eenheden zyn in den Exponent der saam waar van zy is.  WISKUNDE. III. Deeh II. Boeh 117 gelykinge verrcheide van deeze laatfte foort zyn; want eene Vergelyking van de tweede magt kan twee zodanige Wortelen bevatten (i). Eene zodanige Vergelyking is , by voorbeeld , deeze , x* — ix -f- 9 — o, waarin x gelyk is 1 + of 1/ «. g. Maar 'er kan eene andere Vergelyking zyn, faamengefteld uit de voorgaande , met eene andere enkelvoudige Vergelykinge vermeenigvuldigd: deeze, by voorbeeld, xs -h 2** -— * "t~ 45 — °» komt voort uit de bovenftaande Vergelykinge, vermeenigvuldigd met iftJS °- Dezelve zal derbalven twee ingebeelde Waarden hebben, naamelyk I-r-^"8, en I —»^~8, en eene weezenly- ke 5. Deeze befchouwing brengt ons tevens tot eene nuttige aanmerking, belangende de ingebeelde Wortelen ; naamelyk dat dezelve altoos even in getal zyn. Want dezelve moeten altoos zodanig gekoppeld worden, dat hun Produel eene uitdruk? king maakt , waar in niets ingebeelds komt, en zulks kan niet gefchieden, als wanneer zy twee aan twee eene weezenlyke Vergelyking van de tweede magt uitmaaken, Dus zou eene Vergelyking van eene evene magt, welke die ook zy, of een Voorftel, dat daar op mogt uitloopen , onmogelyk kunnen zyn, als zynde in die Vergelykinge geeneandeie dan ingebeelde Wortelen (*}• doch iedere Ver- ge- (i) De Vierkants-Vergelykingen, welke twee ingebeelde of onmogelyke Wortelen bevatten, kan men in twee foorten onderfcheiden, die beide algemeen aldus worden uitgedrukt: x* + As -H B = o; echter met die be. paaling, dat in elk derzei ven B grooter dan het Vierkant van | A moet zyn. Vertaaler. (fe) Een zodanig Voorftel is dit: Een getal te vinden, welks- Vierkant 12 minder is, dan het zesvOud van dat ietdl? VïRTAALEE.  HISTORIE der gelyking van eene onëvene magt, als die van de derde, vyfde magt, enz. zal ten minften eene Op. losfing hebben. Laat ons thans de gedaante van Vergelykingen hervatten, waarin de Wortelen der onbekende door letteren uitgedrukt worden, want dezelve zat ons gemaklyker zyn , om de faamenitelling van eiken Term teieexen kennen,alzo het fpoor der bewerkingen daar in niet, als in de gedaante in getallen, verdwynt. Laat ons derhalven eene Vergelyking van de vierde magt onderftellen, welke faamengefteld is uit deeze vier, x — /> — o; x — b — o; x — c r~ o; x + d — o; haar Produel; is de Vergelyking x* —— (a + b + c— d) x'-h (ab*i-ac-\-bc-ad-bd—cd) X1 — ([abc — abd—acd — bed) x — abcd — oDe Wortels van deeze Vergelyking zyna ,b,c ,-d: nu toont ons de bloote befchouwing deezer Verge» Jykinge, dat de Coëfficiënt van den tweeden Term de fom is van alle de Wortelen, met tegendeelige tekens gefteid,dat is met het teken — ,als dezelve/>ofitifzyn, en met dat van 4- als dezelve negatif zyn. De Coëfficiënt van den derden Term is de fom der Producten van de zelfde Wortelen , welke voortkomen, als men dezelve twee aan twee vermeenigvuldigt; de Coëfficiënt van den vierden Term is de fom der Producten van die Wortelen, drie aan drie genomen, doch met tegendeelige tekens gefield; de Ctëfficient van den vyfden Term is de fom der Produblen van die Wortelen , vier aan vier genomen, enz. eindelyk is de laatite Term het Produel van alle de Wortelen, met het teken daar van genomen, als de rang van dat Lil onëyan is, of met bet tegendeelig teken, als hetzelve even is. Het geen tot hier toe over den oorfprong der Vergelykingen gezegd is, geleidt ons tot eene Leerwyze , om niet alleen die van de derde magt, maar ook die van hoogere magten op te losfen. Want naardien de bekende grootheid het Produtc is van alle de Wortelen der Vergelykinge, wanneer deeze Wortelen rationaale en geheele getallen zyn, zullen dee«  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. n 9 deeze Wortelen noodwendig eenige der Deelers van dit laatfte Lid zyn. Men zal derhalven moeten beproeven , welke van die Deelers , pofitif of negatif genomen, in plaats der onbekende gefteld zyn« de, de Vergelykinge gelyk aan nul zal maaken. Zo dit gelukt, zal het één der waarden van de ombekende zyn. Laat ons daar van een voorbeeld bybrengen: de voorgeftelde Vergelyking zy #3 ,7 x* -h 79 x — 63 o. De Deelers van 03 zyn 1, 3, 7> 9» 21 > é35 by gevolg, zo één der Wortelen van de Vergelykinge een heel getal is, moet dezelve onder die Deelers gevonden worden. In de daad, als men, in plaats van x, in deeze uitdrukking 1, of 7 , of 9 ftelt, zullen alle de Leden elkander vernietigen. De Waarden der onbekende zullen derhalven zyn 1, of 7, of 5>, en de Vergelyking zal deelbaar zyn dóór x—\9 of jc —— 7, of * — 9. Desgelyks zyn in de Vergelykinge x* —— 34 x ~» 45 - o de Deelers van 4j, 1,3,5» 9» 15> 45; als men dezelve de een na den anderen beproeft, bevindt men, dat ——— 5 in de plaats van x gefteld zynde, de Vergelyking verdwynt; derhalven is —— 5 één der Wortelen, en deelende deeze Vergelyking door x -h 5, verlaagt men dezelve tot deeze x\ —r— 5» — 9 ~ o, waar van de Wortels zyn f + I5ï5 en I ~ V *5f: indien geene van deeze fub* ftitutien gelukt, is het een teken, dat de Wortel der Vergelykinge geen rationaal noch heel getal is: jnen moet derhalven zyn toevlugt neemen tot andere middelen, waarvan wy in 't vervolg zullenfpree. ken. Zodanig zyn ten naafte by de vorderingen , welke de Algebraifche Analyfis aan Harriot verfchuldigd is. Alzo de ontdekkingen, welke wy nu voorgedragen hebben, het voornaamfte deel daarvan uitmaaken; want wy plaatfen geenszins in dien rang verfcheide aanmerkingen ,waar mede Wallis de Lyst der vindingen van dien Analist vergroot heeft, in den zelfden tyd toen hy zyn best deedt, om de vin.  uo HISTORIE ped. vindingen van Defcartes in een zeer ongunftig dag. licht te ftellen. Ik kan niet zien, dat het eenige verdienfte uitmaakt, het gebruik der kleine in plaats van de groote letteren ingevoerd, en de magten door herhaalde letteren, als aaafm. plaats van Ac, zo als men voor hem deedt, achtervol. gens gefchreeven te hebben. Nog minder moet men als ontdekkingen van Harriot aanzien, de wyze van de Wortelen eener Vergelykinge te vermeenigvuldigen, te deelen, te vermeerderen ofte verminderen, zonder dezelve te kennen, om het tweede Lid , de Breuken en de irrationaale grootheden te doen verdwynen : dit alles was Vieta bekend. De Leerwyze waarvan Harriot gebruik maa,kt, om de Cubifche Vergelykingen tot de Formule» van Cardanus te herleiden, is mede op zeer weinig na die van den Franfchen Analist, Men wist ook reeds voor hem, dat de Cubifche Vergelykingen, welke op het onherleidbaar geval uitloopen, echter weezenlyke Wortelen hebben. Deeze waarheid was reeds in 't Jaar 1593 door Vieta bevveezen ,vermits hy die Vergelykingen door het in drieën-fnyden van den hoek geconftruëerd hadt, wat zeg ik, dezelve was reeds bekend geweest aan Bombelli, wiens Werk in 't Jaar 11573 was uitgekomen. Hoe kunnen wy dus den Heer Wallis van partydigheid vry pleiten, daar hy, ons eene Hiftorifche Verhandeling over de Algebra keverende, naauwlyks op eenig ander .Analist als Harriot het oog fchynt geflagen te hebben, en na alvoorens Defcartes voor een plunderaar uitgemaakt, en, zo veel in zyn vermogen was, zyne vindingen onderdrukt te hebben , de optelling der vindingen van zynen Land« genoot meerendeels doet beftaan in zaaken, die of van weinig belang, of van zyne Voorgangers ontleend zyn. Wie zal zelfs zich van lagchen"kunnen onthouden, als hy deezen yverigen herlteller der eere van Harriot hem ziet toeëigenen, ik zeg niet alleen de oplosfing der Vergelykingen van de twee • de  WI S KUNDE- JU. Deel. II Boek. iai rlë magt, door de verdryvmg van den tvyeederi W, eene vinding van Vieta, maar ook de bekende Leerwyze, volgens welke men , zo als een ieder weet, wederzyds iets byvoegt, om van het Lid, waar in de onbekende is, een volkomen Vierkant te maaken (i). De partydigheid en de verblinding die gewoonlyk een gevolg van de eerfte is,kunnen niet verder gebragt worden. 11 i. Wv vinden hier eenen weinig bekenden Holland^ fcheri Analist, welke door eenige omftandigheden wel verdiende meerder bekend te zyn- Zyn naam was Albertus Girard'. men heeft van hem een Werft, dat in 1629 in ;t licht kwam , onder den lytel van Nieuwe vinding in de Algebra (m), en 't welk daar in merkwaardig is, dat men 'er eène duidelyker kennisfe van de nègdtive Wortelen 111 vindt, dan in de meefte Werken der andere Analisten. Het voorwerp van dat Boek is te toonen, dat in de C«bifche Vergelykingen, welke op het onherleidbaar geval uitloopen, altoos drie Wortelen zyn, naamelyk twee pofitive en een negative, of in tegendeel. Vieta hadt, wel is waar, deeze Vergelykingen reeds o-econftrueerd, maar hy hadt zich flegts tot de aanvvyzing der pofitive Wortelen bepaald ; Girard deeze' Conflruttie dieper inziende, gaat nog verder, en wyst ook de negative Wortelen aan, welke hy in minus noemt. Voorts is ons onbekend, wat hy deswegens (/) Teculiarem, zest hy, oftendit methodum aquatlonei quad. refolvetidi complendo quadratum in fpèeiebus. De Alg. c. 53. p. 206. (ifl)Iktleb dat Werk nooit gezien , doch van Scheoten haalt Bet aan, en heeft daar uit verfcheide zaaken getrokken, ïrt zyn Commentarium over de Meetkunst van Defcartes. Zié p. 345 , en volg.  122 HISTORIE der gens dacht: het is zeer waarfchynlyk, dat hy, naaf het voorbeeld van Cardanus en andere Analisten, welke die Wortelen ingezien hadden, dezelve als nutteloos befchouwde. Defcartes is her., wien wy, zo als in het vervolg getoond zal worden , de onderfcheidene kennis van hunne natuur en hun gebruik te danken hebben. I V. Men kan van hetgeen het tydperk van Defccsr. tes in de hedendaagfche Meetkunde geweest isgeen gepaster denkbeeld geeven, als door het te vergelyken met dat van Plato in de oude Meetkunde, üeeze laatfte, de Analyfis uitvindende deedt deeze Wetenfchap eene nieuwe gedaante aanneemeni de andere heeft door het verband dat hy tusfehen dezelve en de Algebraifche Analyfis invoerde, insgelyks eene gelukkige omwen. telmg daar in bewerkt. De ontdekking der Analyfis gaf tot verfcheide verhevene Theorien aanleiding: de Meetkunst heeft uit haare verbinding met de Algebraifche Analyfis de zelfde voordeed len getrokken, en, van dat hulpmiddel voorzien eene meenigte voorwerpen, welke alsnog buiten haar bereik waren, onder haar bereik gebrast. Eindelyk even als Plato, door zyne ontdekking ' die van eenen Archimedes, van eenen Appollonius* enz. voorbereidde, kan men zeggen, dat Defcartes de gronden gelegd heeft tot de ontdekkingen, welke hedendaags eenen Newton, eenen Leibnitz enz. beroemd maaken. Wy zyn genoodzaakt ons hier tot een zeer kort verflag van het leven van dien beroemden man te bepaalen. [ Hy was de zoon van een Raadheer in 't Parlement van Bretagne, en van een aanzienlyk geflacht], en kwam den 31 Maait 1596 te la Haye in Touraine ter waereld. Van kindsbeen af toonde hy zo veel weetgierigheid omtrent alle natuurlyke keu-  WISKUNDE. IIt. Deel. II. Boek. 123 kennisfen , dat zyn Vader hem , by onderfcheiding, zvn WvïJM «oernde' Hv befteedde een gedeelte zvner jongheid, met wysgeerige oogmerken , tot reizen, en eindelyk deedt de liefde tot vryheid en eenzaamheid hem Holland tot zyn verblyf verkiezen* Aldaar gaf hy de meeste zyner Werken 111 »t licht. Schoon men 'er niet altoos de waarheid in aantreft, kan men echter niet misfen het daar in doordraaiend vernuft te zien, en hetgeen hetzelve nog meer kenmerkt, die edele vryheid, welke niets wil toeftemmen, dat niet zonder voor* fcordeelen, en volgens onvvrikbaare grondbegintelen onderzocht is. Daar door heeft Defcartes voornaamelyk veel tot de bevordering van de Wysbeeeerte toegebragt. Galileus en Baco hadden reeds een begin gemaakt met het menlchelyk veritand van het ilaaffche juk, waar onder het gekromd ein is x* -f 3 x3 - 5 x2 + 4 $ ■— 645804 rzr o], welke 5pofitive Wortelen te kennen geeft, zou hy daaruit belloten hebben , dat dezelve 4 ingebeelde Wortelen, en zekerlyk één po,, filive Wurtel hadt. Men kan zelfs den Regel van Defcartes volltrekt algemeen maaken, door de ingebeelde Wortelen als dubbelzinnig, of als tevens negatif en pofitif zynde , aan te zien. In de eerfte Vergelyking van Wallis zyn vier negative Wortelen , en in de tweede vyf pofitive Wortelen, dat is te zeggen één weezenlyke en pofitive Wortel, en de vier anderen negativo • pofitive , of ingebeelde, Wortelen- Kene enkel Analytifche en zeer gewigtige vinding, welke Wallis niet in Defcartes heeft willen zien, is die van de Leerwyze der onbepaalden. IJezelve be,itaat in de onderltelling eener Vergelykinge met onbepaalde Coëfficiënten, waar van men vervolgens, door de Vergelyking haarer Termen met die van eene andere, die aan dezelve gelyk moet zyn, de waarde bepaalt. Defcartes bedient zich van dezelve voor de herleiding der Vergelykingen van de vierde magt tot twee Vergelykingen van de tweede magt, uit wier vermeenigvuldiging dezelve gevormd worden. Het beloop zyner handeiwyze'; welke, om het in 't voorbygaan aan te merken \ veel verfchilt van die van Ferrari en Vieta, met welke Wallis dezelye fchynt te vermengen, komt hier op uit. Hy onderltelt twee Vergelykingen van de tweede magt, waar van de Coëfficiënten onbepaald, en de Termen zodanig faamengelteld zyn, dat uit haare vermeenigvuldiging eene uitdrukking voortkomt, die in alle haare Termen, behalven den laatlten, overëenkomftig met de voorgeltelde Vergelyking is. Hy fielt dezelve vervolgens gelyk, waar uit voorvloeit dat hun verfchil nul is, hetgeen hem eene nieuwe Vergelykinge van de derde magt opleevert, welkers Wortel de waarde van de, gezochte Coëfficiënt is. Deeze Leerwyze voor de oplosfing der Vergelykingen van de vierde magt is 3  WISKUNDE. III, Deel. II. Boek. is 9 is op eenige veranderingen na, die welke heden, daaos in gebruik is. Om die reden zal ik my mee ophouden met dezelve breeder te verklaaren : de gewoone Boeken over de Algebra geeven over datonderwerp alle noodige onderrichtingen. VVv kunnen ons niet onthouden hier te fpreeken over de befchuldiging van letterdievery, welke te*en Defcartes wordt ingebragt, om dat hy 111 zyne Meetkunst gebruik heeft gemaakt van de Leere van Harriot ovêr de faamenftelling der Vergelykingen , zonder hem daarvan uitdruklyk de eere te geeven. Wallis is in dit opzicht onvermoeid , en vaart op eene zo belachlyke als onbetaamlyke wyze tegen Defcartes uit; doch om dat gefchreeuw op den rechten prys te ftcllen zullen eenige aanmerkingen genoegzaam zyn. Wallis kon riiegeencn, welke niets vap de Hiftorie der Algebra wisten, gemaklyk om den tuin leiden door den voordragt, welke hy van de ontdekkingen van Harriot gedaan heeft, en zyu ftilzwygen omtrent alles wat vóór Harnoi sevonden was. Maar zy, welke dat gedeelte van onze Hiftorie geleezen hebben, hebben kunnen zien, dat de ontdekking, waar van wy fpreeken, zoo welwas toebereid, dat zy een man van verftand bezwaarlyk konde ontglippen. In de daad, ten eerften C-rdams en Mbertus Girard hadden dmdel«k van de negative Wortelen gefproken, en men kan niet ontkennen, dat Defcartes de eerfte is geweest, welke de natuur en het gebruik derzelven ontdekt heeft: ten tweeden Vieta hadt de faamenftelling van de CcffitUntèn der Ver-gelykingen, in de gevallen waar in' de Wortelen pofitif waren, aanfréweezen. Uit de verëeniging deezer twee opmerkingen nu ontftaat voor hetgrootfte gedeelte de ontdekking van Hatriop; want men heeft flegts eene vermeenigvuldiging van twee of drie Binoma te doen, om in het Produel te zien gebeuren alles wat men over de Coëfficiënten der Vergelykingen aanmerkt Er was derhalven flegts één ftap te doen, om in 't bezit der optdekkinge, waar van wyfpree. • 1 5 ken,  i3o HISTORIE der ken, te geraaken , en deeze (lap zal voor Defcartts niet te groot fchynen by hun, welken een gepast denkbeeld hebben van het verftand diens beroemden mans , een verftand zodanig toegerust, dat hetgeen andere Meetkundigen van zynen tyd veele overdenkingen koste, voor hem Uegts een fpel was, zo als veelen zyner Brieven bewyzen. Laat ons niettemin eens toegeeven, zo als mogelykis, dat Defcartes het Werk van Harriot , zes jaaren voor zyne Meetkunde in 't licht gegeeven, gezien, en daaruit die Theorie der Vergelykingen ontleend heeft, moet men hem dan daarom vooreen plunderaar uitmaaken? Wy kunnen dit niet gelooven, of'er zouden weinig Meetkundigen zyn, wel. ke dien fchandnaam konden ontgaan. Indien Defcartes , een Boek over de natuur der Vergelykingen noemende, daar in de ontdekkingen van Harriot onder eene andere gedaante hadt voorgedragen, zonder iets van haaren Vinder te zeggen, zou hy dien naam verdienen; doch het heeft altoos eenen Schryver vrygeftaan eenige denkbeelden van anderen te gebruiken , wanneer dezelve dienen kunnen om zyne eigene ontdekkingen in orde te brengen, of eenig licht over dezelve te verfpreiden, en vooral wanneer men 'er zo veel byvoegt, als Defcartes by die van Harriot gedaan heeft. Maar zo men eens den harden zetregel van Wallis moest aanneemeri, wat zou men dan moeten zeggen van hem zeiven , en van hem dien hy met zo veel yver boven anderen verheft? Heeft Harriot ergens openhartig te kennen gegeeven wat hy aan Vieta verfchuldigd was, die hem in byna alles wat hy leert over de fchikking der Vergelykingen, over de herleiding der Cubifche Vergelykingen tot deFormuien van Cardanus, over de Oplosfingen der Vergelykingen van de vierde magt door middel van eene Cubifche Vergelyking, over de faamenftelling der Termen in de Vergelykingen, welke geen andere dan pofitive Wortelen hebben, enz. was voorgedaan? Doch om weder tot Wallis te komen: geeft  WISKUNDE. 111. Deel* II. Boek. 13* hv zich met uit als vinder van eene Leerwyze door welke hy het onherleidbaar geval waant opgelost te hebben■ eene Leerwyze welke reeds federt byna 8o ^rll ówEombelli geleerd is, en welke, voV Edenl Heer de Moivre tpj niets anders is dan fene voorfteïling van 't geen betwist wordt (PettÜ^PrSclpS) Wy zouden nog kunnen aanmer. -en S de beide Regelen der Raaklynen, welke hv in 1672 heelt uitgegeeven, geene andere zyn dan d ■ van den Heer de Fermat, m %W iïl door Herlgonius in zyne Curfus in 't licht Geeven? » die van den Heer de Roberval, gegeeven,, 6 fa Frankryfc bekend , nd^lkeenied?elgevonJden worden in de Werken tan Torricelli, in 't jaar 1644 uitgekomen. Van «netlederen kant, als hy Defcartes met zoveel f ! 1 uiheid beichuldigt van zich in zynen Relaa, om 1 vaii de negative Wortelen te g, 4rl ennen , v gist te hebben , geeft hy ons het reiht om hem met de zelfde ftrengS^ te hSdeS Want behalven den bovengehei , ^ïflJi begaat hy nog een andere in de Con7rutl wellt'hy^an d'e Cubifche Vergelykingen ff hy een Parabool van het derde ge- flSt Set rechte Lyn gebruikt , hetgeen eene m™greep en eene PeWio Frinapn is, naardien het onmo'elyk is die Kromme 1» alle haare punïen S?coSftïiëeren, zonder de algemeene oplosfinVde-Cubifche Vergelykingen. Y^LfZZ «f dien hv in zo vcele opzichten boven Defcartes ffe'lt s inet minder vry van dooling. i De heer Halln heef aangemerkt («,;, dat hy in| betgeen dV SpaÏÏngderw ingebeelde Wor¬ tel V de* Cubifche Vergelykingen betref zich verheeft J™*^^^ rSlK^ gemaakt hebben, (p) TVati/". n«. 451. (g) Tranf. PhiU ann. 1687, n°. iSQ,  132 HISTORIE du Lhe-fiten' rTar eenig!vk om de onrechtvaerdigheid des gefcbreeuws van Wallis tegen D^fcarles aan te toonen. Om liet recht te 'hebben, ik zeg niet van de dooling eens grooten mans aan te merken, maar van hem die te vervvyten , moet men zelf er volkomen vry van zyn. Wy kunnen ons niet onthouden om no» eenige trekken van de zonderlinge partydigheid van Wal£ omtrent zynen Landgenoot, en van zyne verbittering tegen Defcartes op te haaien, Vermits het Werk van Harriot het eerst in h licht gekomen is, befluit hy da'ar uit, dat de Franlche Wysgeer het heeft moeten kennen, en daar mede zyn voordeel gedaan heeft. Maa/ vindt men in fch riften van Analisten, die vóó/ Harriot geleefd heb» ben, denkbeelden welke deeze gebruikt heeft dan heeft hy, volgens zyne zucht tot loffpraak» dezelve met gekend: 't is eindelyk zyn Landgenoot, alles is zyn werk, alles komt hem toe, tot zelfs de gewoone oplosfing der Vergelykingen van de tweede magt. Ten aanzien van de Franlche Analisten is her een ander gewigt eene andere Weegfchaal. Vooreerst gaat hy met ftfjl zwygen voorby, of fielt in een oneunftig daglicht al het ooripronkelyke dat in de Meetkunde van Defcartes gevonden wordt. Hy maakt byna geen •andere optelling van 't geen dezelve bevat als van het geringde in de Algebra, dat daar in gevonden wordt; zelfs rekent hy hem het eenigermaate als eene misdaad toe, dat hy van de eenvoudigfte bewerkingen der Algebra gebruik heeft gemaakt, en het fcheelt weinig dat hy hem niet voor een plunderaar uitmaakt. Daar hy echter genoodzaakt is dien fraaijen Regel voor de onderfcheuung der pofitive en negative Wortelen te erkennen, ftelt hy denzelven verre beneden dien van Harriot; een gevoelen dat niet geftaafd wordt door de Analisten, welke byna dageiyks van den Kegel van Defcartes gebruik maaken, en den anderen vergeeten hebben. Deeze man eindelyk, zo ftou>  wiskunde, iii. Diei. n. Boek. i$s ftoutmoedig als het "er op aan komt om aan Harriot ontdekkingen toe te fchryven, welke hem niet toekomen , zo hy al aan Vieta, aan Defcartes eenige weinig beduidende vindingen overlaat, laat niet na altoos te vreezen, dat by hun te veel zal toedaan. Deeze twyffelachtige voorfchriften ■ & forti anti eum alii; nefeio an non ante eum alii, of andere foortgelyke. worden meest overal gebruikt. Wanneer hy tot de gemengde ontdekkingen van onzen Meetkundige komt, ontwykt hy op eene behendige wyze dit hem in verlegenheid brengende ftak, onder het voorwendzel dat dezelve niet tot de zuivere Analyfis behooren, even als of de Algebra, door haare verbindtenis met de Meetkunde, niet even zo veel gewonnen hadt als de Meetkunde zelve, (indertusl'clien wordt zyne haat tegen Defcaites op nieuw ontdoken, hy treedt andermaal in 't drydperk, en fchroomt niet om het Werk van üef' eartes met de middelmantigfle gelyk ie dellen. Hy maakt ecu einde aan zyn gezwets door Harriot te vergelyken met Columlus, die de nieuwe VVaereld ontdekte, en wien de gelukzoeker Americm Vespucius van de eere beroofde, om zyn naam aan dezelve te geeven, Was 'er ooit een zo onberaamlyk , zo blind gezwets , dat door de algemeene verwondering der Meetkundigen over het Werk van Defcartes zo nadruklyk wederfproken wordt? Hetzelve voert met zich zyne befpottelykheid en wederlegging. V. Thans gaan wy over tot het verhaal der ontdekkingen in de gemengde Analyfis, welke wy aan den Heer Defcartes verfchuldigd zyn. De ontdekking welke de eerde plaats bekleedt, is de toepasfing die hy van de Algebra op de Meetkunst der kromme Lynen maakte. Wy zeggen op de Meetkunst der  134 HISTORIE oer der kromme Lynen ; want men heeft reeds gezien/ dat de toepasfing der Algebra tot de oplosfing der gewoone Voorlieden veel ouder is. Maar zonder die vindingen te verachten kunnen wy zeggen , dat ze flegts de eerde beginfelen van die van 'Defcattet zyn ; hetgeen hy 'er byvoegde bepaalt eigenlyk het tydbegin der omwenteling, welke der Meetkunde met foelie fchreeden verheven heeft tot den trap, waarop zy zich hedendaags bevindt. Reeds voorlang was de Meetkunde in 't bezit om de natuur eener Krommemit te drukken door de betrekking der onderling evenwydige Lynen , ge« trokken uit ieder van haare punten op eene andere vaste en onverauderlyke Lyn. Dit middel doet zich vry natuurlyk aan 't verftand op; want wat bepaalt eene Kromme om van eene zekere gedaante te zyn? immers niets anders dan dar tusfehen ieder van haare punten eene zekere overeenkomst van afftand is, ten aanzien eener rechte Lyn, die door dezelve gaat, en haar tot As verftrekr. In de gemecne Meetkunde is de Cirkel eene Kromme, waarvan alle de punten even ver afftaan van een ander, dat het middelpunt is. Maar eene verhevener Meetkunde befchouwt dit anders. Onder dit nieuw gezichtpunt is de Cirkel eene Kromme, in welke, als men, na eenige middellyn getrokken te hebben , uit een punt naar welgevallen genomeneen Perpendiculair op die middellyn laat vallen , de Rechthoek der deelen van die middellyn, door den Perpendiculair afgefneeden, gelyk zal zyn aan het vierkant van den Perpendiculair, of wel, dat dit Vierkant gelyk zal zyn aan dat van de ftraal, min dat van het deel tusfehen den Perpendiculair en het middelpunt begreepen. Dit is in de Theorie der kromme Lynen de byzondere en kennelyke eigenfehap van den Cirkel. In den Parabool is het vierkant van eenigen Ordinaat tot den As gelyk aan den Rechthoek van het deel, tusfehen dezelve en den top begreepen , en eene zekere ftandvastige Lyn, enz. Het  WISKUNDE. III. Deel. li. Boek. 135 Het was zonder twyffel gemaklyk deeze betrekkingen in de Algebraifche taal uit te drukken, zo dra de?clve den Meetkundigen bekend was.Maar men moest vooraf voorzien van wat gebruik deeze wyze om dezelve uit te drukken kon zyn,en zuiks werdt Defcartes door zyne fchrauderheid, zyn bovennatuurlyk verftand, en zyne bedreevenheid in de Meetkunde wel ras gewaar. Hy zag dat eene Algebraifche uitdrukking een korter en eenigermaate krachtiger tafereel is van de eigenfehappen eener Kromnie, en dat zy dengeenen, die de Analyfis verftaat, de beste gelegenheid aan de hand geelt, om haare verborgenfte eigenfehappen uit de gemaklykfte af te leiden. Hier van zullen wy eenige voorbeelden opgeeven. , , TT Men noemt in deeze nieuwe Meetkunde de Vercrelyking eener Kromme de Algebraifche uitdrukking, welke de altoos overëenkomltige betrekking tusfehen eiken Ordinaat der Kromme en haare Ahfcisfe aanwyst. Men heeft, by voorbeeld , gezien, dat men in den Cirkel altoos heeft AF x FB =r FÜ (Fi3, welk* die van eene Kromme is, waar in AB QFig- 35.) « zynde, het vierkant der Abfcisfe AE, vermeenigvufdigd met het overige EB, gelys zou zyn aan den Cubus of teeüing van den Ordi. naat y. Men ziet in den eetften opftag, dat men, y~o ftellende, zal hebben ax2 x* — o, dat is te zeggen x ~ o, of wel ~ a. Da Kromme gaat d;rh*l.ven door A en B. Zo lang nu x kleiner dan o en pofitif is, zal ook \/ ax1 —. x* , en gevolglyky pofitif zyn; wantde teerlings-Wortel uit ys is geen ander dan + y. Wiar uit men befluiten'moet, dat de Kronune boven dat de T van haaien As gaat. maar niet beneden hetzelve. Lj&t ons K nu  138 HISTORIE der men hebben, dat is te zeggen, dat wy begonnen hebben om dezelven van den waaren top der Kromme te rekenen. Niets verpiigt ons nogthans om dezelve aldus te befchouwen. Üe natuur van eene Kromme, van de Eclips by voorbeeld, kan insgelyks uitgedrukt worden, fchoon op eene minder eenvoudige wyze, door de overeenkomst van eenen Ordinaat, als KP, getrokken op eenen naar welgevallen genomen As Rd.met de Abfcisfe op dien As genomen, te beginnen van eenig punt R, insgelyks genomen waar men wil ( s) j dus kan de natuur du voortgaan met x pofitif, en grooter dan a, by voorbeeld 2 a, te neemen. Alsdan zal \/ ax1 —» x* wor- den ... 1/ 4a» 8a3, of —— o ^4. De Waar¬ de van y is dug al'dan negatif, en by gevolg moeten de Ordmaten onder den As genomen worden , zo als men in de Figuur ziet. Maar als men * negatif neemt, zal, hoe groot * ook zy, y ax* ■ xs altoos pofitif zyn; dus beeft de Kromme een tak A it boven haaren As, die zich tot in 't oneindige uiiftrekt. Zodanig is de Figuur der Kromme, waarvan wy de Vergelyking ontleed hebben.' Door een foortgeiyk middel wordt getoond, dat de Cubifche Paratcol, welks Vergelyking a'x ~y% is, niet als de gemeeoe Parabool gevormd wordt; maar dat ééu van deszelfs takken boven den As, en de anderen beneden denzelven is, zo als men in Fig. 36 ziet. Li tegendeel heeft de Parabool, welks Vergely-ing is ax* ~ y*, deszelfs twee tafcken boven den As, en geen beneden denzelven {Zie ftg< 370- (s) Het is mede van veel aanbelang een voorbeeld van deeze verandering van As by te brengtn, om dat daar uit een groot licht in de Theorie der kromme Lynen moetontJLan, Men Helle zich voor een Cirkel (Fig. 38.), welks middellyn AB ~ a zy, A D ~ x de Aofcufe, DP ~ y de Ordinaat; en dat men den^eiven wil overbrengen lot eenen anderen As RL, evenwydig aan de Middellyn  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 139 tuur van eene zelfde Kromme op eene meenigte wyzen uitgedrukt worden , volgens den As en den oorfprong der Abfcisfen, welke men verkiezen zal. Maar het is noodwendig aantemerken , dat, op weike wyza die As ook gefteld worde, echter de hoogde magt der Vergelykinge niet tot een kleiner of grooter tr*p kan overgaan. De reden daarvan is gemaklyk te befpeuren in de wyze op welke deeze verandering gefchiedt; want het is altoos de magt eener Lyn, met eenige ftandvastige grootheid vermeerderd of verminderd, welke men in de plaats eener overëenkomftige magt in de oorfpronkelyke Vergelykinge ftelt. Daar kunnen, wel is waar, in de eene meer of minder Termen en kagere masten dan in de andere zyn, doch de hoogde magt kan niet veranderen. De trap deezer hoogde magt van één der onbepaaleien in de Vergelykingen der kromme Lynen is derhalven een eigenlyk kenmerk, om dezelve in foorten te onderfcheiden. Dus zal men in eenen zelfden rang fchikken alle die Vergelykingen, in welke de hoogde magt van éé:i der onbepaalden tot den zelfden trap opklimt. De rech- A15, en welke daarvan eene hoeveelheid AGr b verwyderd'is: laat ons de "Abfiisje R F ~ z, en F P den Ordinaat ~ u ftellên: laat RG gtlyk aan c zyn: derhalven z%\ GF, of Al>,~ x, z c zyn, en DP, of y _ FP -r* FD,' zal u — b zvn. De vergelyking van den Cirkel, tor de middellyn AB overgebragt, is yy ~ ax — xx. Derhalven zal men in plaats van y en x haare Waarden moeten Helles, en men zal verkrygen « a —— 2 b u + bb ~ (a-haO 3 22 ac - cc. Dit js alsnog eene Vergelyking van den Cirkel, nrnr overgebrsgt tot eenen As evenwydig aan de middellyn A B-. Men zou desgeiyks dezelve kunnen overbrengen tut eener- As als Ra, maakende eenen hoek met den eerften, en zulks zou weibig moeijelyker zyn. De Vergeiyïing zou alsdan ingewikkelder, doch echter van ge-ne hoogere magt zyn, K 2  Ho HISTORIE d kr rechte Lyn, waar in die magt niet boven den eerden trap kan gaan, zal den eerden rang uitmaaken. De Cirkel en de Kegelfneeden. waar in dezelve niet boven het vierkant kan gaan, zullen den tweeden rang uitmanken, en zo' öok met de andere.^ De Heer Defcartes fcbikte deeze verfchillende foorten van kromme Lynen eeniffzins anders. Hy verdeelde dezelve in gedachten, in ieder van welken hy twee trappen of twee rangen befloot. Dus begreep het eerlle genacht de Krommen van den eerilen en tweeden rang; het tweede gedacht die van den derden en vierden rang , en zo vervolgens van twee tot twee rangen. Hy gaf daar van deeze reden, naamelyk dat eene Vergelyking van de vierde magt gebragt werdt tot eene Vergelyking [van de derde magt, eene Vergelyking van de zesde magt tot eene Vergelyking van de vyfde magt , waar uit hy befloot, dat twee Krommen, welke elkander op deeze wyze volgden, niet geacht moesten worden als of de eene meer faamengefteld dan de andere was. Maar dit grondbeginfel van Defcartes is niet t'eenetnaal waar, en zyne verdeeling der kromme Lynen om die reden niet meer in gebruik. Hedendaags houdt men zich aan de eerlle. Het fchynt dat men tot den tyd van Defcartes nog geen andere Lynen in de Meetkunde hadt aangenomen, dan de Cirkel en de rechte Lyn. Bflppus en de Heer Vieta getuigen ons zulks duidelyk; de eerde, wanneer hy zeide, dat men het Voordel der twee midden-evenredigen niet Meetkundig hadt kunnen condrueeren, om dat het lighaamlyk was; de tweede, wanneer hy vraagde (t), of men den Teerling als Meetkundig verdubbeld konde befchouwen ? als men het deedt, zeide hy, reclamaret Euciides & tota Euclideorum jbehola. Zy waren echter beiden niet onbewust yan de Conjiructien, welke "men door middel der Kc £0 Rssp. Mali. I, VIII.  WIS K U N D E. III. Deel. II. Boek. 141 kegelfneeden daar van gegeeven hadt. Men fluïde eindelyk, tot den tyd van Defcartes , byna in een<*.n zelfden rang alle de kromme Lynen , welke men niet met eene aanhoudende beweeging, door Liniaal en Pasfer, konde befchryven , en men roemde dezelven Mechanifche Krommen. De Heer Defcartes herdelt in zyne Meetkunde deeze dub-, belde dooling der aloudheid. Hy maakt in dezelve een gepaster onderfcheid tusfehen de Meetkun* ftige en Mechanifche Krommen. Hy merkt aan , dat men Meetkundig moet noemen alles wat door eene zekere en naauwkeurige handeiwyze verricht wordt, en geeft daar door der Meetkunde terug a'le de kromme Lynen, waar van men, door de faamenftelling van twee beweegingen , welke onj derling eene naauwkeurig bekende overéénkomst hebben, de punten kan bepaalen, of welkers natuur door eene Algebraifche Vergelykinge, welke aan eene Conftruclie onderhevig is, verklaard kan worden. Deeze conditiën pasfen op de Conchoïs en Cysfcïs; dus keeren dezelve terug in de clasfe der Meetkundige Krommen, even als de Kegelfneeden. Doch met de Spiraal en Quadrairix is het geheel anders gelegen: de beweegingen, welke dezelven teelen, zyn zodanig, dat men de betrekkingen derzei ven nog niet kent; want dezelve zyn onder malkander als eene rechte Lyn tot een Cirkelboog. Dus laat de Heer Defcartes dezelve in de clasfe der Mechanifche Krommen blyven Zodanige zyn mede de Cyclois, de Logarithmifche Lyn , enz. Deeze Krommen zouden Meetkundig worden, als men de Quadratuur van den Cirkel en den Hyperbool vondt. Het is niet ondiendig van nu af aan in aanmerking te neemen , dat de Meetkundigen, federt de ontdekking der nieuwe Rekeningen , de verdeeling der Krommen,door Defcartes gegeeven, in zekere opzichten verbeterd hebben. De Heer Leibnitz heeft alle die Krommen in de Meetkunde aangenomen; maar hy noemt fommige derzelven MgeK 3 brai'  o 142 HISTORIE der Iraifche, en andere Transcendentifche Krommen. De eerften zyn die waar van de natuur, of de betrekking der Abfcisfen en Ordinaten, door eene eindige Algebraifche Vergelyking wordt uitgedrukt. De Transcendentifche Krommen zyn die 'welkers Vergelyking een oneindig getal Termen bevat, ten «y men toevlugt neeme tot de betrekking van haare D'jferentiaakn, of van haare oneindig kleine elementen, in de daad eene oneindige reeks van Termen, in welke de magt van den Ordinaat of de Abfcisfe geduurig opklimt, moet als eene Vergelyking van eenen onè'indigtn rang, of die alle eindige rang te boven gaat, aangezien worden. Daar uit heelt Leibnitz den naam van Tranfcendentifche ontleend , welke hy aan die orde van Krommen geeft. Deeze laatfte verdeeling heeft echter die van Defcartes niet t'eenemaal buiten gebruik gebragt. Men zegt byna zonder omlerfcheid de Meetkunftige Krommen in tegenftelling van de Mechanifche, of de Algebraifche Krommen in tegenftelling van de Tranfctndentifche. De Heer Defcartes beproeft zyne Avalyfis fchier voor de eerfte maal a-an een Voorftel, 't welk de klip der geheele aloudheid was geweest. Zie hier dat Voorftel: Verfcheide Lynen, als AB, CD, EF, GH, enz. (Fig. 39.) byftelliftg, en oneindig verlengd, gegeeven zynde, begeert men een punt I, en de plaats van alle overëenkomftige punten , te vinden, uit welken op ieder van die Lynen andere trekkende, als IK, IL , IM, IN,'enz. onder gegeevene hoeken, de Rechthoek van twee derzelven met die der twee anderen, als 'er vier waren, in eene gegeevene reden zou zyn, of het Lighaam van drie in gegeevene reden met dar der drie audèreh, als 'er 6 waren, of zo wy flegts 5 Lynen oneierftejkm, dac alsdan het Lighaam van 3 Lynen in ftandvastigé reden zou zyn met het Produel dei- twee andeven, met eene zelfde Lyn ver» meenigvuldigd, of met het Froduiï van een der overige met het vierkant van de andere, en zo ver. vol-  WISKUNDE. III. Deel II. Boek. 143 volgens naar alle de faamenvoegingen, welke men van dezelve kan doen, en welk getal Lynen ook gegeven mogt zyn. Dit in de daad moeijelyk Voorftel, dat nogthans onder het bereik der Rekening valt, hadt de oude Meetkundigen zeer gekweld. Euclides hadt de oplosfing van hetzelve ontworpen; Appollonius hadt dezelve verder gebragt, en men was eindelyk zo ver gekomen dat men erkende, dat, wanneer die Lynen flegts 3 of 4 in getal waren, de Kromme, waarin alle die punten gevonden werden , eene Kegelfneede was, waarvan men in fommige gevallen de foort en de ftelling bepaalde (u ). Maar wanneer 'cr een grooter getal Lynen was, wist men alleenlyk, dat de gezochte plaats eenige Kromme van eenen hoogeren rang was, waar van men de foort flegts in een enkeld geval, dat Pappus niet uitdrukt, bepaald hadt. Dus kan men , zonder de verdienfte der geleerde Aloudheid te kort te doen, zeggen , dat de oplosfingen, welke dezelve van dit Voorftel gegeeven hadt , zeer onvolkomen waren: zy hadt flegts die van eenig eenvoudig ge* val ten halven doen zien, en was by de moeijelyk. fte geheel en al blyven ftaan. Defcartes dit Voorftel aan zyne Analyfis onderwerpende, geeft van hetzelve eene volkomene oplosfing. Hy doet op het einde van zyn eerfte Boek zien, van welken rang het Voorftel in de verfchillende gevallen is. Het zal eene eenvoudige rechte Lyn zyn, als 'er flegts twee Lynen zyn; een Kegelfneede, als 'er drie of vier zyn; eene Kromme van den derden rang, als 'er vyf of zea zyn, en zovervolgens. Eindelyk het Voorftel is altoos vlak, als men, zo lang 'er niet meer dan vier Lynen zyn , flegts één der punten, welke aan de vraag voldoen, begeert te vinden: het zal lighaamlyk zyn, zo lang het getal van die Lynen niet boven agt gaat, enz. IJlt (m) De Heer Newton heeft de Oplosfing daar van gegeeven in zyne Pcincipia L- I. Se£l. 5, Lemma XIX. K j.  J44 HISTORIE der Dit Voorftel, in het eerfte Boek ontworpen , wordt in het eerfte gedeelte van het tweede voltooid. De Heer Defcartes ontvouwt by die gelegenheid in hetzelve zyne algemeene Formule van Vergelyking voor de Kegelfneeden, welke ook de Helling zy van den As, tot welken men dezelve betrekkelyk maakt; en toont het gebruik daarvan, door dezelve op het Voorftel, waarvan wy fpreeken, toe te pasfen. Dit (luk, dat waarlyk het vernuft van onzen Wysgeer waardig is, bevat in weinig woorden de gantfche 'iluorie der Meetkundige plaatfen van de tweede magt. De Heer Defcartes befluit eindelyk hetgeen hy over'dit Voorftel te zeggen heeft, met eene zeer fraaije Meetkundige Conj'rutlie te geven van één dier byzondere gevallen, welke de tweede magt te boven gaan. Het is dat waarin men vyf Lynen heeft, van welke vier evenwydig zyn, en de vyfde hen rechthoekig doorfnydt, en waar in het Lighaam van drie deezer Lynen , welke met rechte hoeken getrokken zyn, gelyk zy aan het Lighaam , dat van de twee overige en eene gegeevene zesde Lyn gemaakt wordt. Alsdan bevindt zich het gezochte punt geduurig in eene foort van Conchois, welke hy Parabolisch noemt (v). Als (v) De gewoone Conchois wordt gevormd door de geduurige doorfnyding eens Cirkels, welke zich op den As ACE (Fig. 40.) doorfnydt met de be*eeglyke rechte lyn, die .geduurig door deszelfs middelpunt en liet punt P gaat. Men kan derhalven, om deeze Conftruüie algemeen te maaken, in plaats van een Cirkel eenige Kromme onderftellen, by voorbeeld, een Parabool, die zich op de zelfde wyze op den A: AE zal beweegen, en met zich voeren eene reclve Lyi, g^nde door een punt van zynen As, en door den Pool P. Hunne geduurige doorfnyding, zo hoven als onder den As, zal alsdan eene Kromme befchryven, welke men Parabolifche Conchois noemt, en beftaaa zal in verfcheide takken, zo als men in Fig. 41. ziet. Het is merkwaar lig dat, zo men, in plaats van een Cirkel of Parabool, van eenen rechtlysiigen Driehoek gebruik maa'it, deeze Conchois niets anders is, dan een Hyperboü tusfehen zyne Afymptoten,  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 14J Als wy tot onzen taalt genomen hadden om de Meetkunst van Defcartes van h> tot ftap te voleen zouden wv hier moeten fpreeken van zyne Leerwyze der Raaklynen, welkers verklaaring onmiddelvk voM op de ontdekkingen , welke wy nu hebben doenö. Maar Defcartes heeft, zo als wy ds gezegd hebben, toeir hy zyne Meetkunst Hreef, veel meer de fchikking zyner denkbeelden, dan die der ftolFen, gevolgd zo dat men^onder de hoedanigheden van dat gedenkwaardig Werk die van eene geregelde fchikking niet moet zoeken. Om ï "eden zullen wy hier van zyne fchiktongifi. wvken ten einde te fpreeken van zyne handelwyz?om 'de'bepaalde Vergelykingen van ^e derde en vierde magt te corftrueeren. De Leerwyze der Raak ■ lynen zalfwegens derzeiver aanbelang, het onderwem van een bvzonder Artikel zyn. F ven als een Voorftel, dat op eene Vergelyking van de tweede magt uitloopt, geconftrueerd wordt Joor defnydingyan een Cirkel of eene rechte Lyn, ïereifchen^de Voorftellen, welke op Vergely. Hngen va,, eene hoogere magt u.tloopen Krommen van eenen hoogeren rang. Te vergeets zou £en het middel zoeken, om eene Vergelyking van " derde of vierde magt met behulp van Liniaal en Pasfer re conftrueeren; de Meetkundigen zie na sbeweezen aan dat zulks onmogelyk is. Hunne iedeTen ft Vnen op de natuur der Vergelykingen: maar wy zouden tewydloopig moeten zyn, om dezelve ■ %l'nSSffiü brengt de Cimfinfje van alle Culilche of Vierkants -Vierkants Vergelykingen tot eene zelfde handeiwyze, welkers veranderingen door de Eedaante en de tekens der Termen aangeweez-Mi worden. Tot grooter algemeenheid befchouwt hy de Cubifche Vergelykingen onder de gedaante van die van de vierde magt, van welke, één van haare FaÖorw nul zynde, de laatfterTerm ge yk aan nul zou zyn ; het geen zeer vernuftig is. gy onderftelt ook , dat men den tweeden Tem  146 HïSTORiE der hebbe doen verchvynen, ("hetgeen altoos gemaklyk is): waar na hy den Parameter des Parabools bepaalt , overëeiiKumftig met de Helling van het middelpunt des Cirkels, welke befchreeven moer worden, en denzelven moet fnyden. In de Vergelykingen van de derde magt gaat dezelve door den top, en zo 'er drie weezenlyke Wortelen zyn, fnydt hy den Parabool in drie punten, uit welken de Ordinaten, op deu As des Parabools getrokken, de drie weezenlyke Waarden der onbekende zyn. Als'er flegts dén weezenlyke Wortel is, de beide anderen ingebeeld zynde, zal de Cirkel, door den top des Parabools gaande, denzelven flegts in één punt lhyden, dat op de zelfde wyze de weezenlyke en eenige Wortel der Vergelykinge zal opleeveren. In de Vergelykingen van de vierde magt, waar in vier weezenlyke Wortelen, ot'flegts twee, of geene moeten zyn , bepaalt de gedaante der Conflructie den Cirkel, om den Parabool in vier punten, of in twee, of in geene te fnyden. Als 'er twee gelyke Wortelen zyn, zal de"Cirkel den Parabool flegts raaken, en denzelven nog één of twee maal fnyden, naar het getal der andere ongelyke Wortelen: want een raakpunt is niets anders dan twee fnydpunten, welke oneindig dicht by elkander en faamenloopende zyn. Dus zal de Ordinaat, uit dat punt op den As getrokken, ieder van die beide Wortelen zyn. iiet zou ook kunnen gebeuren , dat in eene Vergelykinge van de vierde magt, van de gedaante dergeenen welke Defcartes conflrueert, drie gelyke Wortelen waren. Alsdan zou de Cirkel, na alvoorens den Parabool aan eene zy« de gefneeden te hebben, denzelven aan de andere zyde te gelyk in een raak- en ihydpunt ontmoeten, 't welk van de zelfde waarde is als drie fnydpunten. Wy zullen deeze foort van raakingen der kromme Lynen, bekend onder den naam van kusfing of beroering (ofculatio), in 't vervolg leeren kennen.  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 147 Na verfcheide voorbeelden over de ConftruEtie van LUEbaaWe Voorftellen, gaat de Heer Defcartes over tot de oplosfing der Vergelykingen van devyfSe en zesde magt. De zelfde redenen, welke be. tooaen,dat de eerfte niet gecongrueerd kunnen worden, als door eene Kegelfneede laamengevoegd niet een Cirkel, doen insgelyks zien, dat de ConftruSlte va" dèezen eenige Kromme van de derde magt vereischt. De Heer Defcaites geeft eenen algemeene» Reael voor de Vergelykingen van de vyfde en zesde magt, om dezelve tot eene Vergelyking van de ze.de magt te brengen, waarvan alle de Wortelen loiïtifzw: vervolgens gebruikt hy eene ParabohS Conchois, eene Kromme van de derde magt, W van wy boven gefproken hebben, met een Cirkel. Deeze Cirkel fnydt dezelve in zo veel tmnten , als 'er weezenlyke Wortelen in de Verselvkin 'e zyn , als men de raakpunten voor twee üiydpunten rekent; en de Ordinaten int deeze punten op den As getrokken, zyn de Wortelen der Vergelykinge. . De Heer Dejcartts fchynt ten aanzien der Krommen welke dienftig zyn om de Vergelykingen van hoogere rangen te conjlrueeren , in een verkeerd denkbeeld te zyn geweest. Het fchynt nat L eewild heeft, dat naar maate de Vergelyking twee afmeetingen opklom, die der Kromme, welke bv den Cirkel gevoegd moest worden, ïnsgelvks twee maaten hooger moest gaan ( , zulks dat men, om, by Voorbeeld, een Voorftel van de rf2tfte?magt te conffiteeren, eene Kromme van de zeide man, met een Cirkel faamengevoegd, zou moeten "hebben. Zo dit het gevoelen van Defcartes was , kan men niet ontkennen dat hy zich verniste, en deeze dooling ontglipte den Heer de Fermat niet. Hy heeft in eenige byzon- (jf) Cart. Geom. ad fin.  HISTORIE der dere Gefchrifren doen zien t>), dat het genoee' is , dat het vermeenigvuldigde van de Exponenten der kromme Lynen gelyk zy aan dien der Vergelykinge , welke gecongrueerd moet worden • dus kan men eene Vergelyking van de agrftc magt conjtrueeren door middel van eenen Cirkel, en eene Kromme van de vierde magt. Eene Yer^elyking van de negende magt zou flegts eene Kromme van de vyf'de magt met een Cirkel of twee Krommen van de derde magt, verëifchen.' De Heer Jacobus Bcrnouilli, zonder twyffel de Disfer* tatie van Fermat niet kennende, heeft in de Handelingen van Leipzig des Jaars 1688, en in zyne aanteekeningen op Defcartes, een Gefchrift gevoegd, waar 111 hy her zelfde bewyst. Ik moet echter aanmerken, dat het eenigzins onbedachtzaam is, dat men Defcartes met de dooling waar van wy fpreeken, betigt: want behalven dat de aangehaalde plaats dubbelzinnig is, heeft hv zelf ons een voorbeeld gegeeven, dat ftrydig is met den kegel, welke men hem to.eftb.ryft. In de daad, om de Vergelykingen van de zesde mast te confirmeren, gebruikt hy flegts een Cirkel zvn de eene Kromme van de tweede magt, met' zyn Parabolifche Conchoi, welke van de derde mast js; hetgeen met den Regel van de Heeren de Fer. mat en bernouüli overeenkomt. De Heer Defcartes heeft gedacht dat de eenvoudigfte Conffruttie der lighaamlyke Vergelvkingen die is, waar in men den Parabool, of één der Kegelfneeden-met een Cirkel gebruikt. Doch tv zyr. zeer krachtige redenen tegen dit gevoelen ju te brengen. Van alle de hoogere Krommen dan de Cirkel is de Parabool, we* is waarTdie waar van de Vergelyking de eenvoudige is • maar is mt genoegzaam om die Kromme boven aile an- de- (x) Fermat. Op. p, uo, £? ^  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 149 dere den voorrang te geevenVzo dat zo was,zegt de Heer Newton ( y), zou men dezelve ook den voorrang boven den Cirkel moeten geeven. Het is derhalven eenigzins tegendrydig, dat men in de Conjlnitlie der vlakke Voordellen den Cirkel by üitneemendheid boven den Parabool aanneemt, of wel, men zou dan moeten zeggen, dat men zulks om geen andere reden doet, ais om dat de Cirkel gemaklyker te befchryven is dan de Parabool. Waarom nu zou men hetgeen men hier doet niet in andere gevallen doen, en wat dient in Meetkundige belchry vingen noodwenuiger in acht genomen te worden, dan" het gemak der bewerkinge? Deeze redenen, welkers rechtroaatigheid niet ontkend kan worden , hebber, den Heer Newton bewogen ( z) , om tot de ConjtruSlie der lighaamlyke Vergelykingen aan te neemen de Conchois faainengevoegd met eene rechte Lyn, fchoon deeze Kromme van de vierde magt is; en hy keurt alleszins goed de C,njtruc~ïien, welke"Nüomedes eertyds van de Voordelien over de verdubbeling van den teerling, en het in drieënfnyden eens hoeks door dat middel gegeeven heeft. Inde daad, van alle de Krommen is de Conchois naast den Cirkel eene der gemakkelykften om te befchryven, en hetWeiktuig, door den vinder derzelve voorgedeld , is naast den Pasfer één der eenvoudiglte. Nogthans zyn 'er handelvvyzen om de Kegelfneeden door eene aanhoudende beweegingte befchryven, welke in het (tuk van eenvoudigheid voor de befebryving der Conchois niet behoeven te wyken. Men weet, by voorbeeld , en zulks was zelfs de Ouden niet onbekend (a), dat eene Lyn van eene onveranderlyke grootte, wanneer haare twee eindèn tegen de zyden van dien hoek deunen, met elk van haare punten een vierde-deel van eene El- (y) Arithn. Univ. Append. de JEquat.conftrutt. linedti. ( z) Ibid. ia) Proclus, Comm. in I. Eucl. ad def, 4.  i5o HISTORIE der Ellips befchryft, welke tusfehen die zyden, als halve-tocgevoegde middellynen, befloten is. Het is gemaklyk te zien, dat deeze eigenfehap tot een grondbeginfel kan dienen, voor een Werktuig van eene ongemeene eenvoudigheid, om alle foorten van Ellipfen door eene aanhoudende beweeging te befchryven. Zo men echter zwaarigheid rnogt maaken om eenig ander Werktuig dan het Liniaal en den Pasfer in de Meetkunde aan te neeroen, zouden wy aanmerken, dat zulks eene geheel ongegronde naauwgezetheid zou zyn. Want naardien het niet mogelyk is de Voorftellen van eenen zekeren rang anders op te losfen, als door middel der Krommen van een hooger geflacht dan de Cirkel, moeten ook de Werktuigen, welke alleen dienflig zyn om dezelve met eene aanhoudende beweeging te befchryven, in de Meetkunde aangenomen worden: want men moet als de waare en Meer.kunir.ige Oplosfing van een Voorftel aanzien de eenvoudiglte, 'welke de natuur van dat Voorftel medebrengt. Zo men echter aanhieldt te zeggen, dat de Pasfer en het Liniaal, als de eenvoudiglte Werktuigen zynde, minder aan dooling onderheevig zyn, zouden wy antwoorden, dat een Meetkundig volmaakt Liniaal van alle Werktuigen het zeldzaamfte is. Ook is het eeniglyk uit kracht eener önderftelling, dat men den Pasfer en het Liniaal als volmaakt befehouwt; en waarom zal men dan niet willen toeftaan, dat de Werktuigen, waarvan men zich in de befchryvingen der Krommen van hoogere gedachten bedient, insgelyks volmaakt zyn ? Wy kunnen niet nalaaten hier een denkbeeld te geeven.van één der vernuftigfte en diepzinnigfie plaatfen der Meetkunde van Defcartes. Het is die alwaar hy zyne Analyfis toepast op de nafpooring van zekere Krommen , welke hy Ovaaie»noemt,en den naam van Qvaalen van Defcartes benouden hebben. Deeze zyn Krommen, welke in navolging van de Ellips en den Hyperbool, tot haarebrandpunten overgebragt, befchreeven worden. Doch ter- wyl  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 151 wyl in die Kegelfneeden de Lynen , nit eenig punt der Kromme tot de beide brandpunten getrokken, altoos zodanig zyn, dat zy, even als in den Hyperbool, te faamen gelyklyk aangroeijen of afneeï rhen of dat de eene even zo veel aangroeitals de andere afneemt, hergeen het geval van de Ellips is zyn in de Ovaahn van Defcartes die rejpectm verminderingen of aangroeijiugen llegts in eene gegeevene reden: dus zyn dé Kegelfneeden in die orde van Krommen begreepen , en maaken flegts eene byzondere foort van dezelve uit. De Heer Defcartes bedient zich van die O-aakn tot de Oplosfing van een Voorftel der Gezichtkunde, dat even zo fraai als moeiielyk is. Hetzelve beftaat in de bepaaling der gedaante, welke de Oppervlakte, die twee doorfchynende Lighaamen van verlchillende dichtheid van elkander fcheidt, moet hebben, op dat a.le de ftraalen, welke uit een zelide punt komen, of naar een zelfde punt faamenloopen , door de refractie naar een ander punt te rug gekaatst, of evenwydig gemaakt worden , of zich van elkander verdeelen, even als of zy uit een gegeeven punt kwamen. De oplosfing, welke Defcartes daarvan geeft, is zo algemeen, dat zy zelfs de gevallen bevat, waar in de refractie zich 111 eene terügkaatfifig verandert. Dus is niet alleen hetgeen de oude Spiegelkünde (Catoptrica) over de Ellips en den Hyperbool beweezen hadt, maar ook hetgeen hy zelf ever de ftraalbreeking van het licht in de EllipHfche en Hyperbolifche glafeu betoogd hadt , in deeze Oplosfing begreepen, Wy"zullen, als wy over de Gezichtkunde handelen, een duidelyker denkbeeld van du Voorftel geeven. VI. Onder de ontdekkingen welke Defcartes in'zyne Meetkunde voordraagt, is'er gedne welke hem meer  15* HISTORIE der meer vermaak aandeedt, dan die van eenen alge» meenen Regel voor de bepaaling van de Raaklynen der Krommen. „ Van alle de Voordellen, ,, zegt hy, welke my in de Meetkunde bekend ,. zyn, is 'er geen dat nutriger en algemeener is, en dit is van alle die Voordellen hergeen, na ,, welkers Oplosfing ik het meest verlangd heb.' In de daad, dit Voordel dient tot verfcheide gewigtige bepaalingen in de Theorie der kromme Lynen. Door middel van hetzelve vindt men haare AJymptoten, zo zy die hebben; de richtftreek onder welke zy haaren As ontmoeten; de plaatfen alwaar zy zich het meest van denzelven verwyderen, ea die alwaar zy van kromte vei anderen, enz. Ik zwyge van het meenigvuldig gebruik der kennisfe van de Raaklynen in de Natuurleerende Wiskunde, Dus kan "t belang, 't welk Defcartes in dat Voorftel ftelt, niet te zeer vergroot fehynen. De Heer Defcartes heeft ons twee handelwyzen nagelaaten, om de Raaklynen der Krommen te bepaalen, de eene in zyne Meetkunde, de andere in zyne Urieven, zy deunen beide op het zelfde grondbeginfel. en om die reden zullen wy dezelve onder den naam van Leerwyze der Raaklynen van Dejcartes vervatten. Wy kunnen niet ontkennen, dat men federt zyn tyd andere verzonnen heeft, welke gemaklyker 'zyn , doch deeze reden moet eene vinding, welke de eerfte van die foort is geweest, en zeer vernuftig is,x in onze oogen niet vciachtlyk maaken. Het grondbeginfel van de Leerwyze der Raaklynen \au Defcartes is dit: Men verbeelde zich Ëeue Kromme, op eenen As befchreeven (Fig 42 ), eu dat uit een punt van dien As, als middelpunt, een Cirkel befchreeven wordt , die dezelve ten minften in twee punten fnydt, voorts dat uit die punten twee Ordinaten getrokken worden, welke dienvolgens aan den Cirkel en de Kromme gemeen zullen zyn. Laaten wy ons thans verbeelden, dat de.  WISKUNDE- III. Deel. II. Boek. 153 rie ftraal van dien Cirkel afneemt, terwyl deszelfs middelpunt onbeweeglyk blyft. Dan is het voor Sn ieder duidelyk te zien, dat . de fnydpunten , nader tot elkander komende, eindelyk elkander zullen bedekken, dat alsdan de Cirkel de kromme zal naken, en dat de ftraal, naar het raakpunt getrokken, perpendiculair op die Kromme, en op de rechte Lyn, die haar in het zelfde punt raakt zou zyn. Dus loopt het Voorftel, om de Raaklvn eener Kromme te bepaalen, hier op uit , naamelyk om de ftelling des Perpendiculairs, welke men uit eenig punt, op den As genomen, tot dezelve trekt, te vinden. Tot dat einde zoekt Defcartes op eene algemeene wyze , welke de fnydpunten zouden zyn van eenen'Cirkel met eene Kromme, befchreeven met eenen bepaalden ftraal, en uit een punt van den As als middelpunt (*> Hy geraakt tot eene Ver- (f) Zie hier ten voordeeie der Meetkundigen, op wat wyze men de doorfnydir.gen van twee kromme Ly ren beL.lt. Wy zulten ons hier toevan een Parabool ARA 'Fis 42.) en een Cirkel bedienen. Laat AC £_ a /d ~tz x, de ttraal CB ±2 r zyn; dan zal JL- a x zyn. Dewyl nu de Ordinaat B o tot den Cirkel behoort, zo_ volgt, dat yy r* of r± a-^! x! *is. Maar deeze zelfde Ordinaat 'behoort mede tot den Parabool, welks Parameter wy gelyk aan p zuilen Hellen. Men heeft derhalven yy tx; en by gevolg r* — «2 --H 2«* xx Px- Laat ons nu alle de Termen, volgens de magten van x, aan eene zyde brengen, dan zullen wy hebbendeezeVer- gelyking: x* + (P * + O* — ^> - °i eene Vergelyking die twee Wortelen ot twee Waarden van X zal hebben; want wy zouden, door de andere doorfnyding b te zoeken, het zelfde gevonden hebben. Indien men dertealven wil, dat r zodanig zy, dat deeze beide doorfnydingen in één punt vallen, moeten die beide Wortelen gelyk zyn. Om zulks te doen neemt  154 HISTORIE der Vergelyking, die in het geval van twee doorfnvdingen twee ongelyke Wortelen moet bevatten waar van de eene de afftand van één der Ordinaten van den top, en de andere die des anderen Ordinaals van den top is. Maar zo die fnydpunten op elkander komen te vallen, zullen alsdan de be!de Ordinaten zich verëenigen, hun afftand van den top zal dezelfde zyn, en de Vergelykinz zat twee gelyke Wortelen hebben. Derhalven zal men m die Vergelykinge de Coëfficiënten van de onbekende, welke onbepaald zyn, zodanig moeten maaken, dat die onbekende twee gelyke Waarden hebbe. De Heer Defcartes geraakt daar toe op eene zeer kunftige wyze , door de voorgeftelde Vergelyking gelyk te treilen met eene andere verdichte Vergelyking van de zelfde magt, waar in twee gelyke Waarden zyn; hetgeen hem den atttand des Ordinaats, uit het raakpunt getrokken, van den top voortbrengt. Dit eens bepaald zynde, ftelt de eenvoudiglte Analyfis hem in 't bezit van al het overige. De tweede Leerwyze, door onzen Wysgeer uitgedacht, om de Raaklynen te trekken, is" deeze. tiy verbeeldt zich eene rechte Lyn , die op den ver. Defcartes eene Vergelyking, faamengefteld uit x e - o, x e m o, dat is te zeggen %' - «. 2«* + ee zit ó, welke hy Term voor Term met de voorgaande vergelykt. Zulks geeft hem p 2 a — 2e, of 2 a p — se, 2x, vermits*" e is. Waar uit hy efndelyk trekt a x, of c D ZZZ p, dat u te zeggen, dat de Subnormaal in den Parabool'gelyk is aan den halven -Parameter. In andere Krommen zullen de bewerkingen eenen grooteren arbeid vorderen, doch dezelve zullen evenwel altoos uitloopen op de uitdrukking van den Subnormaal, welke gegeeven zynde, de Subtangens gemaklyk doet kennen. '  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. i5j Verlengden As der Kromme, om een middelpunt draait. Deeze rechte LynYnydt dezelve eerst in een zeker getal punten; doch naar maate zy zich van den As verwydert, of nader by denzelven komt, naar de omftandigheden, naderen de beide fnydpunten tot elkander, en verëenigen zich in een zelfde punt: eindelyk raakt zy de voorgemelde Kromme. Om den ftand, welken die Lyn alsdan heeft, te bepaalen, handelt de lieer Defcartes ten naaste by even zoo als in de voorgaande Leerwyze. Hy zoekt eerstelyk de algemeene Vergelyking, door welke men, deeze Lyn onder een gegeeven hoek hellende, haare fnydpunten met de Kromme zou vinden. Eindelyk bepaalt hydoor middel van eene verdichte Vergelykinge, die twee gelyke Wortelen heeft, die helling zodanig als dezelve moet zyn, op dat de Lyn eene Raaklyn zy. Eindelyk leidt hy daar uit af de betrekking van de Subtangens tot de Abfcisfe. . ., , Wy hebben in het begin van dit Artikel van veifcheide gewiatige bepaalingen in de Theorie der kromme Lynen gefproken, welke met de Leerwyze der Raaklynen verbonden zyn. Schoon Dejcar* tes daar over niet gehandeld heeft, zou men hem echter niet moeten kennen, als men dacht, dat hem dezelve onbekend waren geweest: het is zeer vvaarfchynlyk, dat deeze de dingen zyn , waar van hy aan het einde van zyne Meetkunde zegt, dat hy aan zyne Leezers het vermaak heeft willen laaten , van zelf die te vinden. Maar wy zyn van oordeel, dat wy hem hier in niet moeten navolgen: tot ons plan behoort noodwendig daar van een denkbeeld te ^Er Zyn weinig nuttiger en fraaijer Vraagftükken in de Meetkunde, dan die van maximis minimis. Men geeft deezen naam aan alle die Vraagstukken , in welken eene grootheid, die volgens eene bekende wet verandert, tot eenen zekeren eindpaal aangroeiiertde, en vervolgens afneemende, ot wel in tegendeel aangroeijende, na tot een zeker punt at0 La ge'  i5<5 HISTORIE der genomen te hebben , men alsdan dat punt begeert te bepaalen, waar in dezelve oP 't mogelyk grootfte of klemfte wordt. Behalven de nuttigheid van deeze bepaaling in de zuivere Meetkunde" is haare toepasfing dikwyls onöntbeeriyk in de gemengde Wiskunde. Zo meenigmaal een gewrocht, door eene faamenvoeging van oorzaaken, vermeerdert, en dan vermindert, of in tegendeel, heeft men het geval van een maximum, of van een minimum, te bepaalen. Dus behoort men deeze Vraaglhikkeri niet als loutere Meetkundige vermaaklykbeden, maar als de gewigtigfte in de gantfche uitgeftrektheid der Wiskunde, aan te zien. Elke verauderlyke grootheid , eene zekere wet op. volgende, kap uitgedrukt worden door den Ordinaat eener Kromme van eene byzondere foort. Dus is de bepaaling van het punt, waar in deeze grootheid haaren interfkn trap van vermeerdering of vermindering bereikt, in de oogen van den Meetkundige mets anders, dan die van den erootften of Ueinften Ordflwat eener Kromme van eene gegeevene Vergelyking. ° & Het is gemaklyk te zien, dat, zo M (Fig. a.% > een punt van maximum of minimum is, de Kromme naby dat punt noodwendig gefneeden zal worden, door eenige evenwydige aan den As, op twee plaatten, als C, e. Om zich daar van te overtuigen. js het genoeg de ^ Figuur te befchouwen, welke alle de verfchillende foorten van punten van maxi. num of van minimum vertoont. Daar uit vol->t dat als men BC, of den bepaalden Ornaat,Ynderl ftelt, de \ergelykmg van de Kromme twee Wortelen , of twee onge/yke Waarden van de yllfcisfe, bevat, als AB, of Ab. Maar in het punt van maximum of van minimum frnelten deeze twee Ordinaten 111 een, en by gevolg moet de Vergelyking der Kromme twee aan de Abfcisfe gelyke Waarden voortbrengen. Men zal derhalven, wanneer men BC als onbepaald aanneemt, in deeze Vergelykinge twee gelyka waarden moeten onderftellen; hetgeen  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 157 geen op de zelfde wyze gedaan kan worden, als men .hier vooren in de Leerwyze der Raaklynen heeft gezien, en men zal alsdan de waarde der Abfcis'fe h & hebben, waar mede de grootfte of kleinlte Ordinaat overëenftemt. Er is eene gewigtige aanmerking te maaken belangende den Kegel de maximis £f minimis, die uit het grondbeginfel van Defcartes ontleend is; deeze aanmerking beftaat hier in, dat die Kegel niet alken de punten van grootfte en kleinfte Ordinaten eener Kromme opleevert, maar ook die waar in twee takken der Kromme elkander fnyden, wanneer zulks gebeurt; zo als men in N ziet. Dit is een noodzaakelyk gevolg van het grondbeginfel, waar op die Regel fteunt. Want het gebeurt ook in dit laatfte punt, dat twee doorfnydingen van de Kromme met eene evenwydige aan den As faamenloopen , en by gevolg zyn 'er alsdan twee gelyke Waarden in de Vergelyking der Kromme. Doch dit is eene foort van gebrek; want behalven dat een fnydpunt van twee takken eener Kromme van eene geheel andere natuur is , als die der grootfle of kleinfte Ordinaten, moeten deeze laatfte ook in twee foorten verdeeld worden, die men wel van elkander moetonderfcheiden, wanneer men de gedaante eener Kromme wil leeren kennen. Eenige zyn die waar in de Raaklyn evenwydig aan den As is; deeze zyn de waare punten van maximum of minimum. Anderen zyn die waar in die Raaklyn -perpendiculair of 1'chuins op den As ftaat, als de drie laatfte in de bovengemelde Figuur. Deeze punten worden hedendaags terugloopende punten genoemd. De Regel nu van Defcartes verwart alle die punten onder malkander, en voert ons gevolglyk over de gedaante der Kromme in dooling, ten zy men dezelve naderhand ieder byzonder onderzoekt. De wyze om dezelve te onderzoeken , als men zich van den Regel van Defcartes bediende, zou beftaan in de wyze, om tot leder van die punten de richtftreek van de Raaklyn te zoeken. L 3 Want  158 HISTORIE der Want zo dezelve evenwydig aan den As wierdt, zou zulks een teken zyn, dat de punten, waarin dit gebeuren zou, weezenlyke punten van maximum of minimum zouden zyn; doch zo dezelve perpendiculair of fchuins tot den As was, dat is te zeggen, dat de Subtangens nul of eene eindige grootheid was, zouden de punten, welke die eigenfehap hadden, enkele terugloopende punten zyn.. Zo het eindelyk gebeurde, dat dee e SuU tangens als onbepaald was,dat is te zeggen,dat de TtlIer en Noemer van den Breuk, die dezelve zou uitdiukken, beide nul wierden, zou men een fnydpunt van twee rakken der Kromme hebben. In de «aad zulks moet in een punt van die foort gebeuren; want de uitdrukking der Subtangens kan flegts eene ^waarde opleeveren: en echter zyn by eene doorfnyding Vun eenige takken der Kromme vericüeide Raaklynen, vermits ieder tak zyne eigene Kaaklynmdat punt heeft. Derhalven moet in dar gevaf de Analyfis niets antwoorden , en zulks doet zy, wanneer zy een Breuk als - opgeeft. o Wanneer eene Kromme, die eerst na haaren As uitgebogen was, ingebogen wordt, of in tegendeel is 'er een punt, dat de uitgebogenheid van de in°-e' bogenheid affcheidt, en dat eenigermaate de overgang van de eene tot de andere is; dit punt draaft den naam van huigpunt, of punt der verandering va» kromte. Wy moeten nu nog kortelyk aantoonen op wat wyze men dezelve in de Theorie van Defcartes kan vinden. J Om de natuur van een buigpunt te kennen, moet men de volgende aanmerkingen maaken.Wanneereene Kromme het eene deel uitgebogen en het andere ingebogen heeft, kan dezelve door eene rechte Lyn ■ui drie punten gefneeden, of in één punt geraakten in een smier freliieeden worden, hetgeen het zelfde is, vermits één raakpunt gelyk ftaat met twee fnydpunten. Laat ons nu onderflellen, dat het raakpunt tot het fnydpunt uadert, dan zal 'er een punt zyn,  WISKUNDE. UI. Deel. II. Boek. 159 zyn , waar in zy zullen faamenloopen , en de Raak" lyn zal tevens de Kromme fnyden. Nu kan dit punt geen ander dan het buigpunt zyn; derhalven zullen in de Vergelyking, volgens de Leerwyze van Dejcartes faamen gefteld, als om de Raaklyn tot de Kromme te trekken, ik zeg'er zullen in die Vergelyking drie gelyke Wortelen zyn. Want de drie fnydpunten, welke drie ongelyke Wortelen, of drie verfchillende Abfcisfen voor elk derzei ven, als zy van elkander afgefcheiden waren, zouden opleeveren, zullen daar voor drie gelyke Wortelen voortbrengen, als zy zich in één punt verëenigen. Dus zou men, de handeiwyze van Defcartes in zyne Leerwyze der Raaklynen volgende,de bewuste Vergelyking moeten gelyk ftellen aan eene andere verdichte Vergelyking, die drie gelyke Wortelen heeft. Waar door men de grootheid der Abfcisfe, met het buigpunt overëeenftemmende, zou vinden. Lr is nog eene andere eenvoudiger Leerwyze, om dit foort van punt te bepaalen: dezelve fteunt op deeze befchouwing, naamelyk dat de Raaklyn, in een overëenkomftig punt. met den As altoos een kleiner of grooter hoek dan alle de andere Raaklynen maakt. De befchouwing der -Ftpuur leevert daar van een overtuigend bevvys op. i)e reden van de Subtangens tot den Ordinaat in een buigpunt zal derhalven een maximum of een minimum zyn. By gevolg zal het genoeg zyn eene uitdrukking van die reden faamen te ftellen, (hetgeen aefchieden zal,als men dtSübtangens door denördinaat dèelt;, en dezelve te behandelen als eene grootheid waar van men het maximum of minimum be£eert\e vinden. Zulks zal de waarde van de Abfcisfe voortbrengen, welke met dat buigpunt overeenftemt. De bepaaling van de Afymptoten der kromme Lvnen is mede een der gewigtigfte takken van de Leerwyze der Raaklynen , en wy behooren dezelve niet te vergeeten. De Meetkundigen weer ten dat men Afymptote van eene Kromme noemt de L 4 Lyn  ifio HISTORIE der Lyn naar welke zy nadert, wy zeggen niet flegts met fommige weinig naauwkeurige Schryvers, hoe langs hoe meer, maar op zodanige wyze, dat haar afltand minder worde dan eenige gegeevene groot- n, V/°5der A°8tLa"S °0it ^nder te ontmoeten. De hedendaagfche Meetkunde befchouwt deeze Lv! nen op eene zeer verïtandige wyze. Zv ziet dezelve aan als Raaklynen tot e^en OEëiiid^eraVle«n punt van de Kromme, welke nogthans op een n eindigen afftand van haaien As gaan, of denzelveJ m een punt ontmoeten , dat flegts e ne eh dT.e grootlieid van den top verwyderd L be RrÖe van Ag. 46. n». 1. vertoont ons een voorbeeld der . Jlfymptotm van de eerfte foort, en de ft Z zynen dwaheri As overgebragt', zie FiX[ t 0 vertoont ons een voorbeeld der Afymptoten van *de tweede foort. Doch alvoorens Verder te gaan is het noodig eenige aanmerkingen vooraf te ftel. De eerfte js, dat, wanneer men in eene Algebraifche uitdrukking, als ,» + ttx + onbepaalde X oneindig maakt, alsdan alle de Termen ' waar m dezelve niet gevonden wordt, gelyk mede alle die itrmen, waar in dezelve in eene laaeere magt dan de hoogfte is, zullen verdwynen ■ en de eemgé TWm of Termen, waar in zy in de'hoogfte magt gevonden wordt, ftaande zullen blyven De reden hiervan is gemaklyk re belpeuren: een Vierkant, welks beide afmeetingen oneindig zvn, is oneindig ren aanzien van eenen Rechthoek, die flegts eene_ oneindige afmeeting heeft, en zo ook met de overige magten. By gevolg vernietigen zich de laagfte magten in vergelyking van de hoogften. De tweede aanmerking fe, dat een Breuk, waar van de Teller eindig en de Noemer oneindig is nul is, en dat integendeel die, welks Noemer ois, oneindig is. In de daad, naar maate de Noemer vermeerdert, vermindert de Breuk, en in tegendeel De eenvoudiglte voorbeelden zyn toereikende om zich  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. i(>i zich daarvan te overtuigen. Wanneer dus in eene a- b ... gebroken uitdrukking, als x oneindig gefteld wordt, zal die uitdrukking nul worden ; doch zo men dezelve oneindig wilde maaken, zou de zaak gemaklyk zyn. Men zou flegts aa -— xx ~ o, of x~a behoeven te Hellen, Alsdan zou de uitdrukking veranderen in — waar van de waarde oneindig is. Eene Kromme, welke tot Ver- a'b , , gelyking zou hebben —— 7 5 ZuU oer- halven haaren Ordinaat, op den afftand a van den top, oneindig hebben. _ Door deeze aanmerkingen gerugfteund, is de Leezer in ftant om ons voor te gaan, en uit zjcti zeiven de handeiwyze te ontdekken, om de AfytKptoten der kromme Lynen te bepaalen. Vooreerst vereifchen die van de eerfte foort niets meer dan de Vergelyking der Kromme. Het is genoeg daar in de Ab'j'cisfe oneindig te onderftellen, en, naar de •bovengemelde grondbeginfelen te onderzoeken ,wé!f ke Waarde de Ordinaat alsdan zal hebben. Zo de. zelve eindig is , zal het klaarblyklyk de afftand der Afymptote evenwydig aan den As zyn. Zo dezelve nul is, zal die As zelf de Afymptote der Kromme zyn. Indien men vermoedde, dat deeze Kromme tot Afymptote hadt één van haare Ordinaten, op eenen eindigen afftand yan den top geplaatst, zou'er niets anders te doen zyn, dan den Ordinaat oneindig te onderftellen, dat is, den Noemer des Breuks, die hem uitdrukt, gelyk aan o te ftellen, dan zou de daar uit voortkomende waarde de overeenkom, ftige slbfcisfe zyn. De tot den As hellende Jfymptoten vorderen eenigzins meerder toebereiding, en hier in is de bepaaling der Raaklynen noodzaakelyk. Deeze zyn , wy hebben het reeds boven gezegd, zodanige Lynen, L 5 wel.  162 HISTORIE der welke de Kromme in een oneindig afgelegen punt raaken, en den As op eenen eindigen afltand van den top ontmoeten. Men moet derhalven dien afftand in 't algemeen vinden; hetgeen op eene gemaklyke wyze gefchieden zal, ais men de Abfcisfe van de Subtangens aftrekt,of dezelve faamen optelt volgens de gedaante welke de Kromme heeft. Vervolgens zal men de Abfcisfe oneindig moeten onderftellen , en de waarde , welke uit die onderftelling voortkomt, als dezelve eindig is, zal het punt van den As te kennen geeven , waar door de Afymptote gaat. Dus blyft nog over te bepaalen wat hoek dezelve met den As zaj maaken. Dit zal niet moeije. lyker zyn ; het is gepaklyk te zien, dat die hoek bepaald zal worden door de betrekking van de Subtangens tot den Ordinaat, wanneer de Abfcisfe oneindig is. Men zal derhalven de uitdrukking van die betrekking moeten faamenftellen , dat is, de Subtangens door den Ordinaat deelen , en de Abfcisfe m die uitdrukking oneindig onderftellen. De reden welke daaruit zal voortvloeijen , indien dezelve die van eene eindige tot eene andere eindige grootbeid is, (even a's of'eralleenlyk ftandvastige grootheden in den Teller en Noemer des Breuks overblee. ven), zal den hoek van de Afymptote met den As zyn. Zo de Abfcisfe alleen in den Noemer bleef, zou zulks een teken zyn, dat die reden oneindig was; de Afymptote zou alsdan een perpendiculaire Ordinaat zyn. In tegendeel, zo de Abfcisfe in den Teller bleef, zou die reden oneindig klein , en de Afymptote den As zeiven ,der Kromme zyn. Wy zouden nog, zo de uitgeftrektheid, tot web ke wy bepaald zyn, het toeliet, hier de wyze kunnen opgeeven, om verfchejde andere eigenfehappen der kromme Lynen te leeren kennen, als de hoek welke zy met haaren As maaken, op de plaatfen waar zy malkander doorlnyden; haare terugloopende punten, 't zy dezelve fchuins of perpendiculair op den As ftaan, enz.; doch dat alles zou ons veel te ver van ons beftek doeu afwyken. Naardien die be-  WISKUNDE. flL Deel. II. Boek. i6$ bepaalingen met de bovengemelde grondbeginfelen verbonden zyn , laaten wy den Meetkundige Leezeren het vermaak over van uit hun zeiven daartoe te geraaken. V I I. Wy fchorten hier voor eenigen tyd op het verhaal der vorderingen van de Leerwyze van Defcartes, ten einde eenen zyner tydgenooten te leeren kennen, aan wien de Meetkunde insgelyks groote verpligtingcn heeft. Diegeenen wien de Hiftorie deezer Weetenfchap een weinig bekend is, zullen wel ras bemerken , dat wy van den Heer de Fermat wil. len fpreeken. Deeze waardige mededinger van Defcartes Haagde niet minder voordeelig dan hy in het veld der Analytifche ontdekkingen : men kan zelfs niet loochenen , dat fommige zyner vindingen die van Defcartes in eenvoudigheid te boven gaan, en meer ontwikkelde zaaden zyn van de zo gemaklyke Leerwyzen, welke wy thans bezitten. Zo het menschlyk verftand Defcartes hadt moeten ontbeeren, zou Fermat in de Meetkunde zyne plaats vervangen hebben. In de daad, zelfs vóór dat Defcartes zyne Meetkunst in 't licht gaf was de Heer de Fermat in 't bezit der meeste van zyne heerlyklte vindingen, als zyne Leerwyze de maximis fc? minimis en der Raaklynen, zyne Conftruclie der lighaamlyke plaatfen, enz. Het bewys daar van wordt getrokken uit zyne Brievenwisfeling (Commercium Epiftolicum) mer Roberval, achter zyne Werken gedrukt. Men leest daar in een Brief van de maand Augustus 1636; „ik heb veel andere Meetkundige Voorftellen gevonden, als de herftelling van alle de vlakke plaatfen van Appollonius, enz. Maar hetgeen ik het meest in achting houde, is eene " Leerwyze om alle foorten van vlakke en lig!, haamlyke plaatfen te bepaalen, door middel van " „ wel-  i<54 HISTORIE de* £ „ welke ik de maxima cif minima in omnibus proble„ matibus vinde, en zulks door eene zo eenvou„ djge^Vergelykmg als die van de gemeene AnaVeZrL' x ee,n a,nderen va" de volgende maand zegt hy hem dat hy dien Regel reeds voor zeven jaaren den Heer dlispagnet hadt medegedeeld. Slhf!' bJr»-1da-tJ hy de"zelven naderhand veel heeft uitgebreid, dat hy dien heeft doen'die- ?n T t L g V"," teQMtortntn der Krommen en Lighaamen, tot die der Raaklynen, der zwaarheids-middelpunten, tot de opging' va" zekere Voorftellen m getallen, eindelyk tot de bepaaling Wt^SS Plaatfen. wLr üif blykt, dat de Heer de Fermat aan zyne Leerwyze, om de Voorftellen te ontlede,,; zeer onëigenlyk den naam van maximis & minimis gaf • want men zal bezwaarlyk kunnen bevatten, dat de waare Leerwyze van dien naam in veele vau die Vraagftükken van eenig gebruik kan zyn. wir ;,£rwy™ ée maximi* & minimis van den rttZ 1 Fer™atPn™ °P dit grondbeginfel, 'twelk reeds door Kepler in zyne toereometr.a doliorum beS "f1^ dat wanneer eene grootheid , by voorbeeld de Ordinaat eener Kromme, tot haw maximum of minimum gekomen is, haare aangroeijmg of vermindering, i„ eenen oneindig nabygelegenen ftand, nul ,s. Als men van dit |rondbeginfel, welks waarheid gemaklyk ontdek? Sn worden, gebruik maakt, zullen wy den Regel van den Heer de Fermat zien voortkomen. Want har ons onderftellen, dat een Ordinaat y, door eene Vergelyking uitgedrukt, tot zyn maximum gek"! men zy, zo zal daaruit volgen, dat als men in die Vergelykinge onderftelt,* dat de Ak/csT^ eene oneindig kleine grootheid, aJs /vermeerderd of verminderd wordt, deeze beide waarden van y gelyk zullen zyn. By gevolg zal men, als men dezelve vergelykt de gemeene Temende van aftrekt, zo lang het mogelyk is door e deelt, en  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 165 en eindelyk de Termen, waar in e gevonden wordt, teniet doet, (want dezelve zyn, ten aanzien der andere, wegens de oneindige kleinheid van e, niets), eindelyk de waarde van x bekomen, waar mede de grootfte Ordinaat overöenftemt (c). Deeze ongemeen kunftige Regel is, behalven de aanwyzing der grootheden ( notatio) de zelfde als die, welke de Differentiaal- of Fluxie-Rekening leert. Dezelve moet voor die Rekening zwichten wegens ee- (cl Wy achten niet ondienitig de handeiwyze vandeezen Regel door eenige voorbeelden op te helderen. Tot dat einde zullen wy de Vergelyking van den Cirkel neemen, zynde 2a x xx ~Z yy, en onderftellen,dat men niet weet, welke de ftand van den grpötften Ordinaat is. Als men den bewusten Regel volgt, moet men in de voorgemelde uitdrukking x -f- e in plaats van e ftellen; hetgeen deeze uitdrukking voortbrengt, lax. + 2« —— xx ixe —- ee, welke men gelyk moet ftellen aan ïax xx. Als men de gemeene Termen wegneemt, heeft men iae ■ 2 x e ee ~— o. Men iaate nuee, wegens haare oriè'indige kleinheid , weg, en men zal hebben aa; 2xe~ o,lx ~ 2a,x~at hetgeen men reeds weet. Maar laat ons onderftellen, dat men in de Kromme welkers Vergelyking is y3 ~ ax* — x* den giootften Ordinaat, of, dat het zelfde is, het grootfte Vroduiï van één der deelen van eene Lyn met het Vierkant van het andere, begeert te weeten. Dan zullen wy, volgens het voorfchrift van den Regel, in dit geval hebben, ax* . x* ~ ax* + laxe + aee x3 • 3e Heer de Fermat één der eersten om dezelve te on* derzoeken, en zonder twyffel deedt hy dezelve het recht dat zy verdiende. Maar hy was zeer verwonderd van niets in dezelve re vinden belan* gende de Vraagftükken de maximis &? minimis, welke door hun aanbelang en zwaarwigtigheid in % by* zonder den aandacht der Meetkundigen waardig zyn. Hy fchreef derhalven aan den Vader Mer* /enne, en zondt hem zvne Leerwyzen voor de Vraagftükken de maximis £ƒ minimis, voor de Raak* lynen der Krommen, voor de Confiruclie der lighaamlyke plaatfen, betuigende hem tevens zyné Verwondering daarover, dat de Heer Defcartes de eerften dier vraagftükken over 't hoofd hadc gezien. Deeze aanmerking fcheen Defcartes eene» hem hoonende uitdaging te zyn: daar benevens, was zyne twist met den Heer de Fermat over dé RefraBie nog allerhevigst, en hy werdt ligtelyk vertoornd op diegeenen, welke te lang draalden;, om zyn gevoelen te omhelzen. In die omftandig* ^eden, en met die gemoedsneigingen bezield, ont-» ng'hy het gcfchrïft van den Heer de Fermat. Vooringenomen met de begeerte om iets berisplyks daar in te vinden, antwoordde hy den Vader Merfenne 4 dat beide die Regelen niets deugden* cn wierp zwaarigheden tegen dezelven op, welke wy wat laager zullen voordragen. De lieer de Fermat vondt twee yverige voorftanders in de Heeren Roberval en Pafcal den vader; van eeneit anderen kant kozen de Heeren Midorge, Dèfar gilet en Hardi de zyde van Defcartes, en hier uit ofit» ftondt een Letterkundig twistgeding , dat van beide zyden met veel hevigheid en verbittering bepleit werdt, Wy hebben daarvan de ftukkea in het derde Deel der Êrieven van Defcartes. Het eel'chil nam met dat, 't welk de Dioptrica betrof, B M te  *7° HISTORIE der te gelyk een einde. De Heer de Fermat, een vyand van twist, en rechtmaatiger ten aanzien van Defcartes, dan deeze ten zynen opzichte was, deedt de eerfte flappen tot verzoening; de vreede werdt getekend, en van eenige verpïigtende Brieven van wederzyden gevolgd. Wy ftaan geen oogenblik in bedenking om hier Defcartes t'eenemaal in 't ongelyk te ftellen. Het is klaarblyklyk in 't geen den Regel de maximis & minimis betreft; in de daad, Defcartes waande dat de Regel van den Heer de Fermat niet goed 'was, om dat dezelve niet doorging in een geval, waar in hy eene verkeerde toepasfing van denzelven maakte. Hy wilde dat de Raaklyn uit een uitwendig punt als C (Fig. 50.), tot den omtrek van eene Krom' me getrokken, ten aanzien der Lynen tot het uitgebogen deel getrokken, een waar Maximum, of ten aanzien van die, welke tot het ingebogen deel gaan, een Minimum was; ingevolge wilde hy, dat de Regel van den Heer de Fermat op die wyze 'diende, om de Raaklynen der Krommen te vinden • en vermits dezelve zulks niet deedt, verklaarde hy dat dezelve niets deugde. Maar de drift alleen' (want de groote mannen zyn 'er niet altoos vry van), konde Defcartes die tegenwerping inboezemen. Op wat wyze men het ook verftaat, is de Raaklyn CA geenszins een Maximum of een Mitnimum, en zy heeft 'er ook geen het minfte kenteeken van. De eigenlyke Regel van Defcartes voor de Vraagftükken van die natuur; die van de Differentiaal- of Fluxie-Rekening, welke, behalven de aanwyzing der grootheden, de zelfde is als die van Fermat, zouden gebreklyk zyn, als dit voorgeeven gegrond was. Hier is geen Maximum of Minimum, als de reden van CB tot B A, of wel het deel DE van de Raaklyn in het punt D, Wanneer men nu het vraagftuk op die wyze befchouwt, flaagt de Regel van den Heer de Fermat zeer wel , en geeft niauwkeurig de Raaklyn. Defcartes hadt eene waarfchynlyker, en in zekere  WISKUNDE. III. Deel. II, Beek. l?t re opzichten gegronder tegenwerping kunnen doen, als hy den grondflag des Regels beter gekend hadt. Hy hadt flegts eene Kromme te zoeken, zodanig als die welke Fig. 51. vertoont, en welke een terugloopend punt 'perpendiculair in B heeft, dat een foort van Maximum is. De bewuste Regel, op de; bepaaling van dat Maximum toegepast, zou hetzelve niet voortgebragt hebben, waar uit hy zou hebben kunnen'belluiten, dat dezelve gebreklyk was.. Doch Fermat zou hebben kunnen antwoorden, dat de natuur van zynen Regel medebragt, om alleen de punten aan te wyzen, waar in de Raaklyn evenwydig aan den As is, en dat men, wel verre van deeze bepaaling voor een gebrek te houden, dezelve als eene volkomenheid moest befchouwen. Eindelyk zo hy eenigzins onrierfteund was geworden, door de inlichting, welke wy hedendaags in dat vak hebben, hadt hy hem kunnen, tarten om eenigen Regel op te geeven, die niet aan eene zodanige of foortgelyke bepaaling onderhevig was. In de daad 'er is geen Regel, zonder zelfs die van de Differentiaal- of Fluxie- Rekening uit te zonderen, die niet te veel, of te weinig uitgeftrekt is, en om die reden eenige byzondere opmerkingen verëischt. Dit gebrek fchynt volftrekt onvermydelyk te zyn, In de tegenwerpingen, welke de Heer Defcartet tegen deU"Regel der Raaklynen van Fermat iubragt, is iets dat meer fchyn heeft; doch het is mede ia den grond niets anders dan eene weezenlyke vittery. Fermat hadt zich, in het voorbeeld zyner Leerwyze van eenen Parabool, en één van deszelfs eigenfehappen bediend,"om de Raaklyn daarvan te bepaalen- Defcartes, dat voorbeeld als algemeen befchouwende, paste .den Regel toe op andere Krommen, door naaüwkeurig de zelfde handeiwyze als die van het vobrbeeld te volgen;eene handeiwyze die niet toepasfelyk was als of> den Parabool: en vermits dezelve niet gelukte, verklaarde hy, dat dezelve valsch, en zo liegt was, dat men Ma ifl  HISTORIE der in denzeken niet eens gebruik maakte van da kenlyke eigenfehappen der Kromme, tot welke de Raaklyn moest getrokken worden. Men kan niet vermoeden, dat de Heer de Fermat, die waarlykeen verheven vernuft bezat, tot eene foortgelyke ongerymdheid verviel. Roberval en Pa/w/antwoordden op eene tiadruklyke wyze, en gaven voor, dat zo Defcartes den zin van den Regel en het bewuste voorbeeld verftaan hadt, hy geen gefchil met hem gezocht zou hebben. De Keer Defcartes hieldt aan zyne zyde hardnekkig ftaande, dat de Heer de Fermat zyn Regel niet verftondt, en niets, zelfs hunne verzoening niet, heeft hem van ge' voelen kunnen doen veranderen. Zelfs ziet men hem eenigen tyd daar na, in een Brief aan den vader Merfenne, voorgeeven, dat hy het was die. zyne tegenparty wegens dat onderwerp de oogeu geopend heeft, en dat zo deeze daar in geflaagd was om den Regel naauwkeuriger te maaken, hy zulks aan hem zou te danken hebben. Zo hv al ergens deszelfs voortrelFelykheid, en het voordeel dat dezelve in het ftuk van eenvoudigheid en kortheid boven den zynen heeft, erkent, is zulks om geen andere reden als om zich de verdienfte ervan toe te eigenen. Het is waar, dat men denzelven in eenen zyner Brieven (e) duidelyker verklaard vindt, dan zulks door den Heer de Fermat gedaan was. Doch dit was geen reden oui zich de eere daar van toe te fchryven. Zonder termat, die met den zynen te vreeden was,dacht hy aan mets meer; en de verdienfte eener vinding blyft altoos aan hem, die van dezelve de eerfte gronden gelegd heeft, fchoon men 'er naderhand etnige trappen van volmaaktheid heeft bygevoegd. By die Regelen voor de Raaklynen en de vraag, «ukken de maximis & min'mus voegde de Heer de Fermat nog eenen anderen, voor de bepaaling der Editie.DefCart" Brieïen' Ul' DcCl' P* 33a' Franfth»  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek, 173 der zwaarheids-middelpunten. Doch vermits dezelve zeer bepaald is, en zien alleenlyk uitftrekt tot de Parabolen en de Parabolifche Conoïden van alle gedachten, zullen wy ons daar by niet ophouden. Wy behooren onzen aandacht meer te vestigen op zyne Gefchriften over de vlakke en ligbaamlyke plaatfen, en over de Conftruclie der Vergelykingen van de derde en vierde magt. Men ziet uit die Gefchriften, waar van hy in zyne Brieven fpreekt, vóór dat nog de Meetkunst van Defcartes het licht zag, dat hy met onzen Wysgeer het zelfde denkbeeld hadt, om de natuur der kromme Lynen door Algebraifche Vergelykingen uit te drukken. In het eene, dat tot Tytel voert lfagoge Topica ad loca plana & Jolida, bepaalt hy de verfchillende gedaantens van Vergelykingen, welke uit de onderfcheidene ftanden van den As der Kegelfneede, op welken men de AbCcisfen neemt, en uit het punt van waar men dezelve begint te rekenen , ontflaan. Vervolgens gaat hy over tot de Conjlruftie van verfcheide lighaamlyke Vergelykingen in het Gefchrift, dat tot Tytel voert: Appendix ad ifagogem Topicam, 't welk de üitgeevers der Werken van Roberval zeer te onpas onder die van deezen laaiden ingelaschr hebben,doch dat huiten tegenfpraak den Heer de Fermat toebehoort. Wy zullen ons hier bepaalen met te zeggen , dat zyne Analyfis zeer veel overeenkomst heeft met die van den Heer Slufius, wien wy in 't vervoig van dit Boek zullen leeren kennen. De Heer de Fermat maakte nog eenige merkwaardige vorderingen in dat gedeelte der Meetkunde, 't welk de Quadratuur der kromlynige Figuuren betreft. In een Gefchrift, dat men onder zyne Werken leest, wyst hy de afmeeting van verfcheide vry faamengefielde Krommen aan, welke hy door kun. llige hervormingen tot die van den Cirkel of den Hyperbool overbrengt. Het is daar door, dat hy de meeting van de Cysfois, de volftrekte QuadraM 3 tuur  174 HISTORIE der tuur van de Hyperbolen der hoogere genachten enz. vondt. s <4tU-,,ceB» Wy twyfïelen geenszins of de weetgierigheid onzer Leezeren zal belang daar in ftellen", om een zo lofwaard^ Meetkundige eenigzins van nader by te kennen. Wy zullen hen het weinige dat wv 'er van weeten te Kennen geeven. De Beer de Fermat was van Toulou/e , alwaar hy in 't begin der zeventiende, of het einde der voorgaande eeuwe aebon. ren werdt. Schoon by zich eenen grooten*naam inde Wiskunde gemaakt beeft, was dezelve no?. toans zyne eenige en voornaamfte bézigheid niet. By dien fmaak en dat verheven talent, dat hv in dezelve hadt, voegde hy eene groote geleerdheid en eene volkomene kennisfe der Griekfche en vee! Ie andere hedendaagfehe Taaien. Daar hy nog daar benevens den post van Raadsheer in 't Parlemenr ▼an Foukufe bekleedde, bediende hy dien altoos met vlyt, en verwierf zich den roem van éen der verftandigfte Rechters te zyn (f). Hy ftierf in 't be. gin des Jaars i66j. De verzameling zyner WeZ ken beftaat m twee Deelen ( in -fol.), welke na zyn dood in 't licht kwamen. Het een is eene gave van Diophantus, verrykt met zyne aanteekelungen en ontdekkingen in dat deel der Analyfist welk door dien ouden Rekenkunftenaar b/vor'derd, en door hem nog verder uitgebreid is (* V het ander bevat zyne eigene Werken, zo van dl Meetkunde volgens de oude Leerwyze die hem zeer gemeenzaam was, verhandeld, als van de hedendaagfehe Analyfiu Men vindt ook nog i„ de. zelve zyne bnefwisfeling met verfcheide beroemde Meetkundigen van zynen tyd, als Roberral. Pafcal ; • VS m " ,Zeer, bela"Swaardig ftuk voor dé Hiftorie der Meetkunde en Analyfis. VIII. (f) Journal des Scav. Fe'v. s66s. pagS434 'e Ar'ikel m^mtetf'iu ons l- D«eU V. Bof*,  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. i?j VIII. Men zou bezwaarlyk iets anders kunnen denken, dan dat de Meetkunst van Defcartes algemeen zeer greetig aangenomen zoude zyn. Maar verfcheide oorzaaken vertraagden eenige Jaaren haare bevordering, br zyn vooröordeelen zelfs ten aanzien der Meetkunde, en het is iets zeldzaams, dat zy, welke reeds lang aan eene zekere wyze van redeneeren gewend zyn , eene geneigdheid toonen om eene oude gewoonte te verlaaten, en eene nieuwe te ombel, zen. Daar benevens was het Werk van Defcartes met eene zo groote beknoptheid gelchreeven , dat flegts zeer weinig lieden in flaat Konden zyn om hetzelve te verftaan. Defcartes eindelyk hadt zyne vyanden, welke, zo veel hun mogelyk was, zyna vindingen verachtelyk zochten te maaken. Alle die rédenen faaraengevoegd bragten de loort van tegenftand te weeg, welke zyn Werk in 't eerst ontmoette. De meeste Meetkundigen maakten weinig werk om het te onderzoeken, en fommige andere bemoeiden 'er zich niet mede als om het te berispen, zonder hem het recht te doen dat hy verdiende, wegens de ontdekkingen zelve, welke zy jiiet ontkennen konden daar in te vinden. Onder die verachters der Meetkunde van Dejcar-^ tes verdriet het ons den Heer de Roberval re vinden. Wv kunnen niet -ontveinzen, dat hy zich ten dien opzichte op eene zeer driftige wyze gedroeg,.en die hem weinig eere aandoet. Zyne ontmoeting met Milord Cavendish verdient verhaald te worden. Op zekeren tyd in gefprek zynde met dien Heer, welke in de Wiskunde zeer ervaren was, betuigde hy hem zeer verlangende te zyn om te weeten , waaruit Defcartes het denkbeeld hadt kunnen bekomen, om alle de Termen der Vergelykinge aan nul te vergelyken. Milord Cavendish antwoordde hem, dat hy zulks om geen andere redenj niet wist, als om dat hy een Franschman was, en boodthemaan hem het Boek te toanen, waar aan Defcartes die ymM 4 dl»5  J?6 HISTORIE der ding verfchuldigd was. In de daad by bragt her» in zyne kamer, en toonde hem de plaats van Harrtot, alwaar men het zelfde ziet; waarop Roberval. van vreugde verrukt uitriep, hy heeft het gezien, hy heeft het gezien', en zulks vervolgens overal verbreidde Ueezetrek vertoont ons, om de waarheid te zeggen, nog niet anders dan een blyk der afgunst van Roberval: doch hy liet het daar by niet berusten. Hv waande verfcheide feilen in de Meetkunde van Befcartes te verbeteren, en hier in is hy t'eenemaal onveiiehoonlyk; want zyne tegenwerpingen zyn allen ongegrond , en bewyzen niets anders dan zyne unf en hardnekkigheid. De eerfte tegenwerping, deedt' was dat hy gefeild hadt ii* zyne ConJlruBte der Vergelykingen van de zesde magt, en een gedeelte zyner Parabolifche- Conchoïs hadt voorbygegaan, zonder't welk een Cirkel dezelve met m zes punten kon fnvden. Hy hadt zichtbaarlyk onrecht; want Defcartes, zyne Vergeïyking tot eene andere herleidende, waar in alle de Tu^f^fW^ Was d« gedeelte Z;ner f0ï cwis, dat Roberval waande voorbygegaan te zvn. t eenemaal nutteloos, vermits hetzelve, als onder den As zynde, negative Wortelen zou opgeleverd hebben. Hy was ook het fpoor byster door voor Lf^nh^T^ b?Venfle deeI va» die Kinine door een Cirkel niet in zes onderfcheidene punten koude gefneeden worden. Defcartes wees hem een gemaklyk middel aan, om zich te verzekeren dat zulks mogelyk is, en dit gebeurt in de daad zo «Is de Heet- Hudde (h ), en de Vader Rabuel ( ?) betoogd hebben. Echter ziet men hem, nieue. genftaande den tyd, welke hy gehadt hadt 'om zulks te onderzoeken, tien jaaren daar na de zelfde ■ Schoot. Co-nm. ad fin.  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 177 de tegenwerping aan Defcartes vernieuwen (*). In den zelfden tyd maakte by nog eene nieuwe over de natuur der Vergelykingen Hy bepaalde zich niet meer tot het voorwendzel, zo als hy in t eerst gedaan hadt C O' da.£ #art« gefa d in zynen Regel om de pofitive en negative Wortelen van elkander te onderfcheiden .vermits dezelve geen plaats heeft als 'er ingebeelde Wortelen zyn. Hy wilde dat dezelve valsch was, zelfs als er geen ingebeelde Wortelen zyn. De Vergelyking, welke hy tot een voorbeeld opgaf, was deeze , x — Al> _i_ AX — ± =r o, waar in, zo hy zeide, ecen ingebeelde Wortel is, en die nogthans geen drie pofitive Wortelen heeft: men hadt gaerne ge•rien, dat hy die drie Wortelen, welke den Regel van Defcartes als ongegrond zouden doen aanmerken, getoond hadt; doch hy doet zulks niet: en jn de daad, deeze Vergelyking heeft flegts eene weezenlyke Wortel, die men op zeer weinig na bevindt te zyn 3. 13, en de beide andere, zynde ingebeelde Wortelen, zyn o. 43 ± V (- i«c9:°> Frankryk zou byna de fchande op zich geladen hebben, van de laatfte te zyn geweest om de Meetkunst van Defcartes met goedkeuring te vereeren , zo niet de Heer de Beaune daar voor ge. zorgd hadt (w). Deeze geleerde Analist was de (k) Lettres de Defcartes. T. III. p. 4j4(I) Deeze tegenwerping wordt den Heer de Fermat toesefchreewen in eena uitmuntende Memorie van den Heer Abt de Gua, (Mem. de PAcad. 1743)- Hetgeen dien Analist in dooling heeft kunnen brengen, is dat Roberval in den Brief, waarop hy zich beroept, niet genoemd wordt;, doch het is zekerlyk van hem, dat in dien Brief gefproken wordt. (m) De Heer d Tieaum was Raadsheer in het Regfsgebied van Ulois. Hy was in 't Jaar 16OJ gebooren, tnftieif in 't Jaar 1651. M 5  ï?8 HISTORIE oer eerfte die alle haare geheimen doorgrondde, en dezelve hadt nog met lang het licht gezien, toen hy reed* ondernam de moeijelyidle plaatfen met aantekeningen op te helderen. Hv deelde derel ve mede aan Defcartes, welke die op eene zeer verphgtende wyze goedkeurde, en hem antwoordde dat hy er geen woord in gevonden hadt, dat met overeenkornftig zyne meening was. Men vindt dezelve in het Commemarium van van Schooien, onderden Tyte| van Florimundi de Beaune, in Cart. Ceom. nota hreves. De yver met welken de Heer de Beaune zich ten voordeele der nieuwe Meetkunde gedroeg, verwierf hem in 't byzonder de vriendichap van onzen Wysgeer, die op verfcheide plaatfen zyner Brieven betuigt op zyn oordeel en goedkeuring meerder ftaat te maaken, dan op die van alwaren MeetkundiSen > welke r»en in Frankryk Deeze Brieven (n) geeven ons te kennen, dat de Heer de Beaune het berucht vraagftuk, om de natuur der kromme Lynen, door &de gegeevene eigenfehappen van haare Raaklynen, te bepaalen het eerst op het tapyt heeft gebragt. Dit noemt men de omgekeerde Leerwyze der ^Raaklynen, 0m dat dezelve het omgekeerde is van die, welke de Raaklynen door de ergenfenappen der Kromme be paalt Zelfs deedt hy op dat onderwerp verfcheide ontdekkingen , waar over de Heer Defcartes hem grootelyks pryst. „ Wat aangaat uwe kromme „ Lynen, zegt hy (o), de eigenfehap, waar van „ gy my het bewys zendt, heeft my zo fraai toe„ gfdcheenen, dat ik dezelve hooger achte dan de „ Quadratuur van den Parabool, door Archimedes „ gevonden; want hy onderzoekt eene gegeevene » Lyn, daar gy integendeel de ruimte bepaalt, wel„ ke belloten is binnen eene Lyn, die nog niet ee„ geeven is. 8 I» (n) Zie de 71e. van 't III. Deol, O) Ibid.  WISKUNDE. III. Deel. II. Beek, 179 In die omftandigheden gaf de Heer de Beaune aan Defcartes een Voorftel op, dat beroemd is geworden , en zynen naam behouden heeft. Deszelfs onderwerp was om de Conjlruftie eener Kromme te vinden, zodanig dat de Ordinaat Eü (Fig. 52.) in reden was tot de Subtangens E B, als eene gegeevene Lyn N tot GF, welke tusfehen de Kromme en de Lyn AF> met een hoek van 450 overhellende, befloten is. Dit Voorftel is vry moeijelyk, zelfs als men 'er de iwegraai-Rekening toe gebruikt: doch de verhevene verhanden .weeten doorgaans zich wegen te baanen midden door de zwaarigheden, welke de gemeene verftanden affchrikken; en de Heer Defcartes was over dit onderwerp niet zo kort, als men gemeenlyk denkt, en zo als een beroemd Meetkundige gefchreeven heefr (ƒ>)• Hy bevondt (g) 1°. dat die Kromme eene Afymptote hadt evenwydig aan de Lyn AF, en gaande door het punt C, dat eene grootheid gelyk aan N van A verwyderd is. 2". Dat, trekkende G I evenwydig aan CE, en GK als Raaklyn in het punt G, de Subtavgens IK ltandvastig was : eene eigenfehap welke genoegzaam is om te belluiten, dat de gezochte Kromme niets anders is dan eene Logarithmifche Lyn, welkers Ordinaten met een hoek van 45y op den As overhelled, 30. Hy conjlrueerde dezelve door de faamenvoeging van twee beweegingen, of door de geduurige doorfnyding van twee Liniaalen , waar van de fnelheden waren, de eene gelykmaatig, de andere yeranderlyk , volgens eene zekere Wet, welke hem toeliet zo veel punten van dezelve te vinden, als hy wilde. Het zou niet onaardig zyn, als de Analyfis, door welke Defcartes tot die kundigheden geraakte, tot ons gekomen was. Maar wy hebben in zyne Brieven geen fpoor daarvan gevonden. De ' (p) Het is de Heer Bernoulli in zyne LeÜ. calcull integ. Left. II. (q) Brieven van Defiattes.'j^Did.  »So HISTORIE &Ell Me^kunde t,f nür Vfr^mesde zich "]et ™t de voor derzel.er 0»&' Z^t men zich te binnen brengen hetgeen wv boven el, ben doen zien, naamelyk dat, de VeZlykinl van' Breuken en irrationaale grootheden gezSd"Inde zo dezelve eenige rationaale Wortel hefdeSë noodwendig een deeler van den laatftenVS H by len kiezen moer, om duizend vergeeffche en last% he proevingen te vermyden ? De Heer dl to„ F deswegens op den inva 0m de beid?"ballen? bepaalen , tusfehen welken de grooit f £l£ der gezochte. Wortelen gevonden worden het geen hy de Limiten der Vergelykinge noem?.' Dee ze vinding vermindert grooteivks HfnTli brengt dikwerf de dee.efs ^iS be .ro diëten worden, tot een zeer klein «eral- Wlft, n fomtyds aanltonds daar uit zTen, 'dat d #«51° k.ng geen rationaale Wortel heeft, gelyk in het ee val als het gebeurde, dat de Limtienm "fchen de r^vTele?ndD7teDd,e dpee'ers Va" Sn laltó letmvielen. Ue Heer ^ Beaune gunt alle de eedaantens van Vergelykingen, van de tweede tot^de vierde magt ingefloten, zeer zorgvuldig na eJ wyst ,naüe d,e gevallen, de Limiten'derVJitelS aan. VVy zyn de Verhandeling, welke zvne vin dingen bevat, aan den Heer /* verfchuldigd. Naden dood^van den Heet^W ne, wien hy te WaS gaan bezoeken/verkreen hy van zyne erfgenaamen de verftrooide Hukken zy. nerhandfehriften. Hy verzamelde dezelve voegde er by het geen 'er nog aan ontbrak, en liet dezelve in 't Jaar i6j9 drukken, achter dè nieuwe Edhie van  WISKUNDE. III. Deel II. Soek. i3« van het Commentarium van van Schoottn over de Meetkunde van Defcartes. Hy beloofde nog eene andere Verhandeling van den zelfden Heer de Beau-, ne, tot Tytel voerende De angub fólido; maar deeze belofte is niet uitgevoerd geworden. Na den Heer de Beaune zyn het voornaamelyk vreemdelingen, en byna alle Hollanders , welken de nieuwe Analyfis van Defcartes te danken heeft haare grondvesting, en de eerste vorderingen die zy buiten den eindpaal deedt, tut welken deszelfs vinder haar gebragt hadt. Wy merken nog aan , dat het meerendeels jonge Meetkundigen waren. In de daad, van Schooun, Huygens, Hudde, dei Witt, van Heuraet, Siufius, enz. wier verrichtingen of ontdekkingen in dat vak ons thans zullen bézig houden , begonnen eerst in de eerste jaaren na de uitgave des Werks van Defcartes zich op de Meetkunde toe te leggen. Wy behoeven ons hier over niet te verwonderen. Wanneer men nog geene vooröordeelen van gewoonte aangenomen heeft, is het verbrand veel vatbaarer voor den indruk der waarheid, en gefchikter om eene goede keuze te doen. Ook heeft men meenigvuldige maaien gezien, dat die ontdekkingen, welke de gedaante der Weetenfchappen hoe langs hoe meer veranderd hebben, haare grondvesting alleen aan jonge lieden hebben te danken. De Natuurkunde verfchaft ons daar van bekende voorbeelden; en zonder buiten ons vak te gaan , vinden wy 'er verfcheide. Ue Leerwyze van Cavalleri, door de oude Meetkundigen van zynen tyd verworpen, werdt door alle de jonge Meetkundigen omhelsd, tot groot voordeel voor de Meetkunde, welke daar door eenen zeer grooten aanwas verkreeg, jonge Meetkundigen deeden die van Newton en Leibnitz gelden, en vestigden haare overtreffelykheid boven die van Defcartes, welke de zelfde zwaarigheden ontmoet hadt, om die van Vieta te verdringen, en deeze laatfte hadt waarfchynlyk een foortgelyk lot on* dergaan. Schco  i8* HISTORIE der Schooien (Franciscus van) Hoogleeraar-» V^Atu één der eersten die de Meetkund J IZ V> haare waarde heeft toegekend hëefr ïirh?f ^ dig gemaakt door het tSSmS^'A hy over dezelve gegeeven heeft. hadt eefchree ven als een man van vernuft die SS fan Si kleine ophelderingen verbindt: zelf. hl/, u g n verfcheide plaatfen eenigS^ duister wflln Y °P om redenen welke hy if eenen zv lr R - Zy" » geeft zulks dat zyn Werk Ld^dTn oT den Heer de B^^$£^^g™ ve door aanteekeninffen on tp i10m1 S! netzelSchooten ondernam S dTt vaneen?0, D°Ch geftrektheid was. Hy vlrtaTde^rsf °d°af Werk we grootelyks vermeerderde W van hetzelve en daar achter eene meenigte belangwïrdteeflUl ken, als de aantekeningen van den ffirTÜÏ twee Brieven van den Heer Hudde over de Sei' ding der Vergelykingen, benevens dl Maliml Ju Mmtma; een van van Heuraet over dereflïEinï der kromme Lynen; de beide Verhandelingen lil den Heer meene goedkeuring weg'èdra £kun5èZvaVn S5L^ !H t0t de" ennfsfe der veeïenS i,^ no°di* is , zonder die ver- Ip«, Tt- anRdraadigheid te hebben , welke de meeste Uitleggers van Boeken ( CommentaZres ) zet den  WISKUNDE. III Deel. II. Baek, 183 den weeten te vermyden. Men zou alleenlyk eeniee ophelderingen op het einde van het tweede Boek, flwaar Defcartes van zyne Ov*fl/«fpreekt, kunr.cn wenfchen; hetgeen eene der moeijelykfte plaatfen van zyne Meetkunde is, Wy hebben nog een Cony mntarium over Defcartes door den1 \ ader Rabuel, een Tefuit. Dit Werk is zonder twyfFel uitmuntend: doch behalven dat het eenigzins te'laat gekomen is, dunkt ons dat het te veel met voorbeelden en verklaaringen is opgevuld. Wy denken ma Newton, ren de Vertaaler is hier in met den Heer Newton en den Autheur van één gevoelen], dat zy , welken zo veele ophelderingen noodig hebben, niet voor de Meetkunst gebooren zyn. De aantekeningen welken de Heer Jacobus Bernoulli by de Editie der Meetkunde van Defcartes , in 't Jaar 1690..te Bazel uitgekomen, gevoegd heeft,maaken die Edir tic van het uiterfte belang. Om zich hier van te overtuigen behoeft men flegts den naam van dien beroemden Meetkundige te weeten. Behalven het Commentarïum van van Schaoten over de Meetkunde van Defcartes, hebben wy nog van hem een zeer geacht Werk , onder den Tvtel van Exercitationes Mathematica. dommige van die OefFeningen betreffen voorwerken welke de grootfte oplettendheid waardig zvn:' eene zodanige is die, waar in hy de vlak. li plaatfen van Appollonius herftelt. Men moet ook in achting houden zyne Verhandeling de orzanica feEtionum conicarum defcriptione,. reeds m 'tiaar 1646 in 't licht gegeeven, waar in hy verfcheide handelwyzen leert,6mdeKegellneeden door eene aanhoudende beweeging te befchryven. Men Kindt eindelyk in het vyfde Boek van die Oeffeningen verfcheide voorbeelden der Analyfis, op eene kundige wyze toegepast op verfcheide moeijelyke en fraaije Voorftellen, zo van de Meet- als •Rekenkunde. Onder die geenen welke de Analyfis van Defi car-  !§4 HISTORIE cu cartes het eerst aangenomen en voortgezet hebben, zullen wy den Heer de Witt (r) den voorrang geeven. Deeze beroemde Staatkundige, wiens droevig einde zo bekend is,hadt zich, vóór dat hy Staatsmanwierdt, met den gelukkiglten uitflag aan de Meetkunde overgegeeven. Van Schooien heeft ons eeni gedenkftuk van zynen arbeid nagelaaten. Het is die Verhandeling, tot Tytel voerende Elementa curvarum, waar van boven gefproken is. Gezelve bevat twee Boeken, in het eerfte van welken cle Heer de Witt de Theorie der Kegelfneeden op eene Zeer verftandige wyze, die hém eigen is, verbanaeit. Hy (tek zich voor, dat die Krommen belchreeven worden door de geduurige doorfnyding van een der zyden eens beweegbaaren hoeks met eene rechte Lyn, die zich evenwydig aan haar zei* ve beweegt, waar uit hy met veel vernuft alle haare eigenfehappen afleidt. Het tweede Boek heefe tot onderwerp de Meetkundige plaatfen, welke hy duidclyker verklaarde dan Defcartes, en voor welken hy byzondere Formulen geeft. Men heeft nogthans federt dien tyd deeze Theorie eenvoudiger <*e« maakt. De Heer de Witt, aan het hoofd der beltiering van zyn Vaderland zynde, hadt niet langer den tyd om zich, enkel uit weetgierigheid, tot Meetkundige nafpoonngen te verledigen. Doch begaafd zynde met een Wiskundig vernuft, verleende hy Cr) De Heer de Wht (Joon) werdt in 't Jaar i6iS gtboorui. Hy was aan het hoofd van het Staatsbefiier in de angstvallige (yden der Republièk. Bezield met ee'nen biakenden yver voor de Vryheid van zyn Vaderland verzette hy zich altoos met nadruk tegen de verkiezing van een Stadhouder, en dit was de oorzaak van zyn verderf. Hy wierdt, benevens zyn' broeder Cornelis de fTitt, moorddaadig om 't leven gebragt, en in (lukken gelneeden, in eene Volksberoerte, in 't laar 1672 doof den aanhang van het Stadhouderfchap verwekt.  WISKUNDE. IK. Deel. II. Boek. 185 hy zynen aandacht tot nuttige onderwerpen, en wy vinden hem aau 't hoofd der geenen, welke de waarfchynlykheid van 's menfchen leven, en den prya, der Lyfrenten onderzocht hebben. Zyne overweegingen over dit Voorftel van ftaatkundigelpaarzaamheid gaven aanleiding tot eene nieuwe fchikking dien aangaande in de Republiek, en hy gat daarover een klein Hollandsch Gefchrift 111 t licht, tot oogmerk hebbende om de billykheut van die fchikking aan zyne Landgenooten te toonen. De Heer Leibnitz, van wien wy dit ontleenen (s), hadc grootelvks gewenscht dat Gelchrih te zien , maar ik deiik dat het niet meer, zeifs niet 111 Holland, gevonden wordt (t). \ De beroemde Heer Hudde (u) is mede een van die mannen, die door de Studie der Wiskunde niet van de Staats - bezigheden wenk afgetrokkens en die, na alvooreus die Weetenlchap door ontdekkingen van dienst te zyn geweest, ook zyn Vaderland in aanzienlyke posten van dienst was. Wy zien, hein aangehaald op (Sj Comm. Philof. T. II. p. 219. (tl Dat dit Gefchrift zeldzaam is, zelfs in Holland, kom' mv zeer waarfchyulyk voor, vermits ik het nooit cezién noch in veele nageldaten Bibliotheeken ,van geleerde Mannen aangetroffen heb. Dat het echter, alhoewel fc'naars nog 111 fomuiige Bibliotheeken van Hollandfche Geleerden voor handen is, blykt uit de Inleiding tot de aleemeent Ceographie van den beroemden Hier iVicolaas Struik, waar in p. 345 dat Gefchrift aangehaald werdt onder deezen Tytel: De waardy van de Lyfrenten na proportie der Losrenten door gan de Witt. % Gravenhage ÏÓ71, Vertaalsr. Cb") De Heer Hudde is lang één der Raaien en B*r« gemeester van Amfierdam geweest. Hy is in 't Jaar 1704 in eenen zeer hoogen oudeidora overleedea. N  H6 HISTORIE der op verfcheide plaatfen van bet Commentarium van van óchooten, dat van hem verfcheide vindingen, als proeven van zyne Jeugd, verhaalt. Naderhand leide hy zich in 't byzonder toe op de Analyfis der Vergelykingen, en maakte over dat onderwerp eene meenigte nuttige aanmerkingen. Hy was voorneemens een Werk in 't licht te geeven, waar in hy die iloffe grondig en met uitgebreidheid zou verhandeld hebben: maar zyne bézigheden hem zulks niet langer toelaatende, heeft hy zich vergenoegd met alleenlyk het licht te doen zien twee Fragmenten, welke van Sehooten in 't Jaar irtyg uitgaf, onder den Tytel van J. Hudde. Mi, de reduEiione aquationum, 'c? de maximis 6? minimis, epijt. II. Het eerlle van die Gefchriften leevert ons verfcheide nuttige Regelen, om te beoordeelen of eene Vergelyking, zo in letteren als in getallen, herleidbaar is of niet; of zy het Product is van twee andere Vergelykingen van eene laagere magt, en om in dit laatfte geval haare FaBores te vinden. Dit Gefchrift en het volgende zyn mede lofwaardig door de byzondefe vinding van den Heer Hudde, om de Raaklynen der Krommen , en de maxima £f minima te bepaalen. Dewyl wy voorneemens zyn de vorderingen van die Leerwyze in een ander Artikel voor te draden , zullen wy het bericht dienaangaande tot zoo lana uitltellen. ° Wy hebben flegts een zeer klein gedeelte der Analytifche vindingen van den Heer Hudde. Toen hy zich eens aan Staats-bézigheden hadt overgegeeven, was het hem niet meer mogelyk de noodige orde en verband, om dezelve in 't licht te geeven, daar in te brengen. Maar de Heer Leibnitz die, door Amflerdam reizende, hem bezocht en .met hem verkeerde, verzekert ons, dat die papieren eene meenigte uitmuntende zaaken behelsden ( v ). Hy voegt 'er by, dat de Leerwyze der Raak- t (y) Comm. Epijl. de Analyji promotd, p. 87. Ed. in4»„  WISKUNDE- III. Deel II. Boek. 187 Raaklynen van den Heer Slufias, hem federt lang bekend was, en zelfs dat hy eene betere en uitgebreidere hadt. Amplior, zegt hy, ejus methodus est quam qu (Fig 53.) de Ordimat zyn, getrokken uit een punt D, AD de Perpendicu air tot de Kromme, en ü L de Raaklyn in het zelfde punt Dj eindelyk B eene ftandvastige PD lof A^'1 7" d„eeze evenredigheid Helt, als PU tot AU, alzo B tot eene vierde - evenredige, u-a Welke nme" °P den zelfde" As, en in het zeilde punt P, perpendiculair lick, zullen het punt rp' e". alle ™™K °P gelyke wyze bepaalde punWH a "'"f f ron\me W» welkers Inhoud gedee d door de Lyn B de grootheid van den overeenkomnigen boog der eerlle zal zyn: by voor- houd VpPH0* ?V* ? ge,yk Zy" den in', houd FEPH gedeeld door B; waar uit volgt dat wanneer de Kromme Fit G één dergeenen wordt, welke volffrekr gequadrateerd kunnen worden, men alsdan eene rechte Lyn kan bepaalen, die gelyk aan den boog HD is. Dit nu gebeurt, als men enderftelt dat de Kromme H Ü die der tubtjehe Parabolen zy, waar van de Vergelvkin» ax _ o?s is. Alsdan wordt de Kr0mme F8E^ » fgrncnt van een gemeene Parabool; dus kan de Cubijche Parabool waar van wy boven gefproken hebben, yollcrektelyk gequadrateerd worde» Eveneens is het gelegen met de overige Par boten waarvan de Vergelykingen zyn sr:f axa~-y7* enz. Zo men echter onderllelde, dat dè Kromme HD een gemeene Parabool was, zou de andere l'ktx een Hyperbool, tot deszelfs Nxgevoegden As overgebragt worden: weshalven de rectificsering des Parabools van de Quadratuur eener Hyperbolt Jche ruimte afhangt, (y) Dee- (y) Her h*wvs van dit Theorema is gemaklyk; want als mei zich eenen Ordinaat pde (Fig. 53. S oneindig dicht by de eerste, en és Lyn 4/ evenwydig aan den As ver-.  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. lS9 Deeze ontdekking, ik wil zeggen, die van de eerde voldrekte reStificeeriner eener Meetkundige Kromme, is aan Engeland ais een eigendom opgedragen door de Heeren Wallis en Brounker, welke den Heer William Neil daar van de eere geeven; als men aan de omltandigheden, die zy vernaaien , geloof mag daan, kan men weezeniyk niet ontkennen , dat Neil reeds vroeger dan van Heuraet tot die ontdekking gekomen is: doch, behalven dat de Leerwyze van den Hollandfchen Meetkundige zeer verfchillende is van die van den Kngelfcheu, is het zeer waarfchynlyk , dat de ontdekking, waar van wy fpreeken, nog niet over de zee was gegaan ; want men ziet uit de Brieven van Pafcal, dat men in 't begin des Jaars 1659 op het vaste Land nog geloof' doeg aan deezen gewaandengrondregel, waar toe de recilficeering der Oycloir aanleiding gegeeven hadt; naamelyk dat de natuur niet toeliet, dat men eene Kromme rectificeerde, ten ware men reeds, even als in de CycioiY,eeiie Kromme gelyk aan eene rechte Lyn onderdeld hadt te zyn. Het is ook zeker, dat Huygens, die met Engeland briefwisseling hieldt, op het einde des Jaars 1658 nog niets van de ontdekking van Neil wist; hetgeen zeer waarfchynlyk maakt, dat van Heuraet even zo min daar van onderricht was. Wy vinden nog een derden dinger naar de eere van die ontdekking, naamelyk de Heer de Fermat. Zyne bewyzen over dat onderwerp, zagen, om da waarheid te zeggen, niet eerder 't licht als in 't begin Verbeeldt, heefc men de beide gelybvormiee Driehoeken rfJD.ÜPA , en by gevolg dl : JD :: p P : DA. Nu is DP : 1) A :: B : PE; derhalven rf/ofPp x PE s= dD X Bi dus is de oneindig kleina Rechthoek Pc gelyk aan d D X B, en hetzelf-e op alle andere plaatfen gebeurende, heeft men den Inhoud der Kromme EPgp'yjt aan den Rechthoek van den boog HD en de ftandvastige Lyn P. N 3  iSo HISTORIE der gin van 't Jaar iööo ( z ~) • maar «,„ u^uu om te geeven , dat L reed™ eenT/e? 5h ^V™ van dezelve was en niV yif-h S t>d 1,1 * bezit felyke barheid 'on V 1°?™% ons te kennen, dat Fennat hVm Z \ J ?l geefc de van hetjaa .SSd ?b?S °P het ein* meene Leerwyze Voof de afmeetiÏÏ T'n"" a'ge" tens, welke door oaiw!nmu^!fn^W?^Aj' en fchoon hy ons die niet hefr 2A V0°rrf^"gt, nen wy dezelve «^«^S*^ gj| Nu Cz) G«w. prwM,„ in 7. ds ^ od (a) Deeze Leerwyze is zonder ri»»ffrti j nee men eenige Krommêheeft K'»W»"en dat de Orrf/uaa» Pu zodanil J, L P C 'g' 54'^ ffl* 2y «. den P^SiTAn1fl ,retrPu;tdn 5E Kromme; dan zullen dit nm,r f ^ , , punt d der £»^^^ tot den omtrek N bevr t m?^ ^ M de ftraal «fee/ is, FE insge vks een /' C Z° ID een ^ IA tot groote As heeft, dan I ff L? P' ls'rwelke maar deeze «| een iLerhli met,e, eene voegden As overgeW^n1 T' d'SZelfs toe^' eene Ellips op hwren Lïeiren Afumme van °mwe'^ omwonden met eenen onëindig buigzaamen en dunnen draad, zonder aan rekking onderhevig S Zvn, en dat, va.» het punt A te beginnen, deeze draad zich ontwindt, door zich op die. Kromme uit te ftrekken , dan zal het uiterfte van di™n draiï eene andere Kromme befchryven. Men noemt deeze laatfte de Kromme door ontwikkeling of ontwinamg befchreeven, en de eerfte wordt haare ontwondene genaamd. Zie hier haare voornaamfte eigenfehappen ^ ^ ^  IQ* HISTORIE der i°.Het is in den eerften opflag gemaklyk te zien, dat de draad, dien zich omwindt, geduurig perpendiculair moet zyn op de Kromme,welke deszelfs uiterfte belchryft. In de daad , de ontwondene kan als een Veelhoek van een onöindig getal zyden befchouwd worden, en bv gevolg zal by elke kleine omwinding, boven ée'n van die zyden , het uiterfte van den draad eenen oneindig kleinen boog van eenen cirkelvormigen Seèïor befchryven. Nu is de ftraal van eenen Seclor des Cirkels perpendiculair op den boog; derhalven zal de draad in deszelfs onrwinding altoos perpendiculair zyn op den kleinen boog der Kromme, die de draad in den zelfden tyd befchryft. De lengte van dien draad wordt de ftraal der ontwondene genoemd. 2°. Het is mede klaarblyklyk, dat de draad ge.duung eene Raaklyn tot de ontwondene is: deeze is derhalven niets anders dan de Kromme, welke geraakt wordt van alle de Perpendiculairs op de Kromme die door omwinding befchreeven wordt: ofwel anders, het is die Kromme, welke de ruimte bepaalt, waar uit men geen Perpendiculair rot het deel AEF der Kromme kan trekken, 20 als Appollonius', die zeer na tot die ontdekking gekomen was, eertyds hadt aangemerkt. Men kan eindelyk de ontwondene befchouwen als de plaats der faamenkomst van alle de Perpendiculairs. welke oneindig dicht by de Kromme AliF zyn ; want zo die Perpendiculairs op eindige afftandeu zyn, zullen dezelve door hunne faamenkomsr eenen Veelhoek maaken, die om de ontwondene befchreeven is: doch wanneer men dezelve oneindig dicht by elkander, en onëindig in getal onderftelt te zyn, zal deeze Veelhoek de ontwondene zelve worden. 3°. Zo men uit eenig punt der ontwondene, als JB, en met den ftraal 13 li, een Cirkel befchryft, zal dezelve de Kromme in het punr E te gelyk raaken en fnyden Deeze zonderlinge eigenfehap is gemaklyk te bewyzen. Want vermits de kleine zyde  WISKUNDE. Hl. Veel. II. Boek. 193 de Fe der befchreevene Jvromme de boog der oneindig kleine Seclors is, welke hunne toppen in de ontwondene hebben , zullen de Cirkel, waar van deeze boog een deel is , en de Kromme AEF eene gemeene Raaklyn in het punt E hebben. De Cirkel zal derhalven de Kromme in dat punt raaken; maar men bewyst ook . dat hy 'er aan de eene zyde uitkomt, en aan de andere zyde uitgaat (*); waar uit volgt, dat by dezelve te gelyk raakt en lnydt. Dit zal zekerlyk eene foort van wonderfpreuk zyn voor hun welke niets anders dan de gemeene Meetkunde verdaan; doch men heeft flegts de Krommen als Veelhoeken van een onëindig getal zyden te befchouwen , om al het zonderlinge, dat te gelyk eene raaking en doorf lyding voordek, te doen yerdwynen. Het is in Big. 56. gemaklyk te zien, dat, zo CD, DE, E F drie onëindig kleine zvder van eene Kromme zyn , waarvan AR eene kaaklyn is, 'er nog eene andere kan zyn , als c I)Ve die met dezelve de kleine zyde D E gemeen, en bY gevolg de zelfde Raaklyn heeft, die aan eene zVde tusfehen de Kromme en de Raaklyn doorgaat, en aan de andere die beide aan de zelfde zyde laat. "Niets belet zelfs dat eene Kromme, als c O t beeld is genoeg om dezelve op te helderen; laat voorgefteld worden de Vergelyking x3—2Xxy+bxx-~bbx + byy—y3 = o, en dat men de Subtangens der Kromme, die zy voorftelt, begeert te weeten. Tot dat einde, zegt de Heer Slufius, moet men alle de Ter- ( _ b y+ x' — axrro, dat eene plaats aan den Cirkel is. In tegendeel zal haare onderlinge aftrekking voortbrengen de Vergelykinge y* — x1 + by - ax ~o, weike eene plaats aan den gelykzydigen Hyperbool zal zyn. Zo men eindelyk de Vergelykinge x' — ij-o door eenig getal, by voorbeeld 2, deelt, ( hetgeen dezelve niet vernietigt), en het komende by de eerlle optelt, of daarvan aftrekt, zal O 3 men  2o5 HISTORIEDER x1 by men bekomen y*— ax + = o , dat eene 2 2 ** by plaats aan de E/% is, of y* — flX |- _.— 0 dat eene plaats aan den ongelykzydigen Hyperbool is. Andere getallen zouden andere Ellipfen of andere Hy. berbolen voortgebragt hebben. Aldus kan men eene meenigte onbepaalde gelykheden maaken, welke alle waar zyn, vermits de oo.fprongkelyken , welke daar uit gevormd, zyn , waar zyn. By gevolg hebben wy Bier een oneindig getal verfchillende plaatfen, waar m ieder derzelven de gezochte onbekende y een zekere Ordinaat is. Indien men derhalven die aan den Cirkel met ieder der anderen fameuvoegt, zal men even zo veel verfchillende Conftructien van het Voorftel hebben; en de gemeene Ordinaat zal de waarde van y zyn. De wyze nu om die plaatfen (aamen te voegen is gemaklyk. Men heeft zich «egts te verbeelden, dat dezelve ieder in 't bv zonder befchreeven, en zodanig op elkander ge voeed worden, dat zy den zelfden As, en den ze!h>n oorfprong hebben. By voorbeeld , in het tecenwoordig geval betekent de bovengemelde Ver^elvking tot den Cirkel, volgens de bekende Formuleh, dar. de oorfprong der Abfcisfen aan het einde van eene Clwrda of Pees is, die gelyk is aan b, en 1 a van 't middenpunt verwyderd is, zo als men in Fie 6i, »o. x ziet. De Vergelyking jy = «* wyft eenen Parabool aan, Fig. 6i, «o. waar van de Abfcisfe, op den As genomen, x, de Ordinaat y en de Parameter a is. Men verbeelde zich nu dat deeze twee plaatfen op elkander gevoegd zvn als in de zelfde Figuur, Bo. 5, dan zal men zien/dae xle Conjtrudie daar op uitloopt , om S T - ü TC = \ a te neemen, en de Cirkel, uit het middenpunt C met de Straal C S befchreeven, zal den Parabool in N fnyden, waar uit de Ordinaat op d-n As getrokken de gezochte onbekende zal zyn. Men moet  WISKUNDE. III. Deel. II. Soek. «07 moet niet denken, dat men hier breedvoeriger verklaaringen van deeze Leerwyze zal vinden; de Lee. zérs, welke daar in grondleer onderricht, wenfchen te zvn kunnen hunnen toevlugt neemen tot het Boek van den Heer Slufius, of tot de Verhandeling over d= Kegelfneeden en Meetkundige plaatfen van den Heer de VHÓpital, na deszelfs oood m thcht aegeeven. Men vindt ook deeze gantfche Thmte no eene zeer voldoende wyze verklaard m de turlus 7laMeos\zn den Heer Wolf, I. Deel. Wy zullen nog een weinig bekend, fcnoon uitmuntend, Boek aanvoeren, dat over dit onderwerp handelt. Het X voert tot Tytel, Hyacinthi Chrijtophon, de eonllruclione equationum. Neap. jn-4°. 1699. Wy zullen ons hier eenen kie nen uitflap veroorlooven, om een gedeelte des Wetks van den Heer Slufius tt leeren kennen, waar van wy nog geen gelegenheid gehad hebben te fpreeken. Hetze ve Serfcheen inde tweede Uitgave van zyn Mefolabum, onder den Tytel van Mifcellanea. Deeze Mifcellanea of mengelftoffen van Meetkunde, zyn zeer gefchikt om haaren Autheur eere aan te doen , er. toonen de grondige vorderingen, welke hy in de gemaakt hadt. De Heer Slufius handelt daar m over de onBindige Spiralen, welke hy ^ Parabool^, den zelfden graad vergelykt: hy quadrateert daar in velheide Krommen , en wyst haare zwaarheidsSddïlpunten aan; hy bepaalt de buigpunten m de Concli ïs , waar over hy verfcheide voortreffelyke. aaïme kingen maakt; hy maakt daar m algemeen de vorming der Conchois, en onderzoekt de eigenfchappen der nieuwe Krommen, welke daar uit on ftaan , haare Inhouden, haare zwaarheids-middelpunten, en de lighaamen, die zy door haare omwenteling vormen , enz. Wy gaan veele andere wee enswaardige nafpooringen, welke dat. gedeelte Ts Werks van den Heer Slufius bevat, ftilzwygen. de voorby, ten einde deezen uitflap niet te veel uitgebreidheid te geeven. Wy komen weder tot ons hoofdonderwerp. ^ De  ïo3 HISTORIE DER De leerwyze, welke wy boven voor de Conliruc der lightamlyke Vergeldingen, dat fa Z t derde en vierde magten , voorgedragen hebben, V>o dt ook tot de hoogere magten toepasfelyk ge! ir.aakt. Kene Vergelyking van de zesde magt, bv voorbeeld , voorgefteld zynde , kan men dezelve r™ tot eene Vergelykinge aan den üghaamlyken Parabool o[ Hyperbool, en aan eene andere Kromme, eere eSft ^ KeSel,"e^en «1 «yn* Men moet hier eene eerfte plaats trachten te kiezen, die zodanig li'J the^-W;c'ke daar uit voor de tweede zal ontJaan, een Cirkel zy; hetgeen men, zo ik denk, nen0rdoeenLenWyZ? tdw a'toos'zal E Si ltsK'yk» za' eene Vergelyking van de aetlte magt herleid kunnen worden tot twee plaatlen, de eene van de vierde, en de andere van de tweede magt, of beide van de'derde ma^t Men vindt van die dingen voorbeelden in de Boeken , welke °^e%CrftT\e ,der Ve^lykingen handelenT^! te ïerén VJ« beho^e plaats, om eene vinding te leeren kennen , welke voor de ConPtmctie der Meetkundige plaatfen van den tweeden^ uttfg i'rerftf aT heeft»*el is waar, daartoe lene en Wi a!gemeene Form^ gegeeven, doch welke haare belemmeringen heeft, zo door de voorafgaan. ™i™W„!?'Tn' Weike ^ vereischt, als dolr de SeP kïn nld' met, w*lke men de verfcheidenheid der tekenen moet gade flaan. De Heer Crais fchvnt my .dit gewigtig deel van de Conftructie S Velï Kkingen gemaklyk gemaakt te hebben door nieuwe (Zë'rïV Wf'ke hy l69* jl1 '<■ licht gaf (M. Deeze JW/M zy„ niet anders d d ling van ieder der Kegelfneeden, zo ingewSd en %S£L quat,omm' 0zanam ** <»Vtt 2, L^^-irr* ** ******  WISKUNDE. UI. Deel. II. Boek. 209 en faamengefteld, als dezelve kan zyn. Om daar toe te eeraaken, ftelt hv den Oorfprong der Abfcisfm in een punt als O (Fig. 6a. no 1.) . dat eene onbepaalde grootheid, welke pofitif en negatif kan zyn, van den top en den as verwydeid is, en neemt de Abfcisfen op eene lyn OP, die eene insgelyks onbepaalde grootheid op eene evenwydige aan den As overhelt. Het is gemaklyk te zien, dat dit geval alle mogelyke andere gevallen bevat: want naar dat tic grootheden O Q , Q S, en de reden van 01 tot O V, elkander zullen vernietigen, of negatij zullen worden, zalhetpuntüopden top, of aan de andere zyde van den As, of binnen de Kromme vallen; de hoek van O P met den As zal nul of in tegengeflelde richting worden, hetgeen alle bcdenkelyke faamenvoegingen bevat. Vervolgens eenige Vergelyking voorgefteld zynde, vergelykt men dezelve Term voor ferm met de algemeene Formule, en de vergelyking oer Coeffi. cienten geeft den (tand van den oorfprong der ft bj cis. Zen denAs. Deeze Leerwyze heeft den HeerMarquis de VHópital aefcheetien de voordeden te hsbben , welke wy aan dezelve toefchryven. Om die reden heeft hy dezelve in zyne Verhandeling over de Meet. kundige Plaatfen als de zyne aangenomen. Wy kunnen ook onzen Leezeren, welke begeeng zyn om daar in grondiger onderricht te worden , wyzen naar de Curfus Mathefeof van den Heer Wolf , waar in zy dezelve met veel zuiverheid en juistheid voofgedragen zullen vinden. ,; . De hier opgegeevene Leerwyze van den heer Craig verdient in veeïe opzichten den lof, dien wy dezelve geeven. Echter is ons naderhand eene andere voorgekomen, die beter en gemaklyker is. Het is die welke de Heer Herman in de Memmen van Petersburg voor 't Jaar i?37 heeft voorgedragen, onder den Tytel: De locis Geometrtcis ad mentem Cartefii confiruendis. Dit is het oordeel, dat alle degeenen, wien ik dezelve getoond heb , daar over geveld hebben. , Wv behooren hier niet met ftilzwygen voorby te 3 O 5 g«n  «o HISTORIE DER gaanzekere ge wigtige befchouwingen in de Confiructie der Vergelykingen, waar aan de Meetkundigen niec cnynen gedacht te hebben, als na dac de Meer Rol. Ie de noodwendigheid derzeiven getoond hadt (i). Niemand twyffelde, dat wanneer men eene bepaalde Vergelyking te conftrueeren hebbende, door eene eerlte willekeurige plaats te neemen, en door middel van dezelve eene tweede onbepsalde in de voorgeftelde Vergelykinge re brengen , men niet twee plaatfen hadt , welkers doorfnyding de gevraagde Wortelen moest opleeveren. Doch zulks gebeurt niet aityd; in tegendeel, 'er zyn gevallen, waar in de plaatfen , op deeze wyze gevonden, elkander niet zullen fnyden, en waar in andere ongervmd. heden zullen voorkomen, welke de Heer Roüe in zyne Memorie doorloopt. Deeze gebreken moeten nogthans met aan de Leerwyze, maar eeniglyk aan de ongeschikte toepasfing van den Analitt toegeIchreven worden. Zo hy voor de eerfte plaats eene Kromme verkiest, welkers grootfte Ordinaat minder zy dan de minfte der Wortelen van de Vergeiykmge, die geconftrueerd moet worden, of dat, zo er negative Wortelen in zyn, hy eene Kromme neemt, die geen andere dan pofitive Ordinaten heeft, meet men zich dan verwonderen, dat de Leerwyze te kort fchiet, en aan de ongerymdheden, wel. ke de Heer Rdle haar toefchryft , onderhevig »? Men moet derhalven met oplettendheid re werk gaan in de verkiezing van da eerfte plaats , en zelfs in het onderzoek van de tweede, welke uit dezelve voortkomt. Maar zo men de handeiwyze von Slufius voltrt, zo als de Autheur die ontvouwt, of den Heer Wolf, die dezelve naauwkeurig heefc voorgedraagen , zal men van de ongerymdheden , waarvan wy gefproken hebben, niels hebben te vreezen, om dat de eerfte plaatfen der faamenvoeging, uit welke alle de andere voortkomen, uit de te (0 Mém. de CAcad. 1708, 1709.  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. ai r te conftrueeren Vergelykinge zelve afgeleid zyn, en niet gefchikt zyn, om de Wortelen van die Vergelykinge niet te bevatten (k). üm van dit Artikel een einde te maaken, zullen wy verfcheide Vindingen of Gefchriften, belangende de Conftructie der Vergelykingen, haastig overftappen. Van dit getal is de algemeene Regel , welke Baker voor de lighaamlyke Vergelykingen gegeeven heeft (l), door middel van een Cirkel ca een Parabool, en welke hy centraal noemt. Dezelve verfchilt van den Regel van Defcartes alleenlyk. daar in, dat deeze de verdryving van den tweeden Term verëischt, daar in tegendeel die van Baker dezelve niet onderftelt. De Heer Halley heeft naderhand getoond (tb) , hoe men eene voorgeftelde Vergelykinge door middel van een Cirkel, met een gegeeven Parabool faamengevoegd, kan conftrueeren. Men kan insgelyks, om eene opgegeevene lighaamlyke Vergelykinge te conftrueeren, zich van zodanige der Kegelfneeden bedienen, als men be. geert, en welke in foort en grootheid gegeeven zyn. De Heer Newton congrueert alle de lighaamlyke Vergelykingen (b) op eene zeer cierlyke wyze, door te toonen, dat zy alle op het Problema uitloopen, om in een gegeeven hoek eene rechte lyn van eene bepaalde grootheid te voegen, die, verlengd zynde, door een gegeeven punt gaat; hetceen de wyze is, op welke de oude Meetkundige Nimmedes het Voorftel der twee midden-evenredigen geconfirueerd hadt. De Heer Jacobus Bernoulli (iO Zie eene Memorie van den Heer de la Hire van 't Taar 1710; de Inleiding tot de Theorie der kromme Lynen van den Heer Cramer, Cbap. IV, en de aanmerkingen van den Heer Herman over het Gefchrift van den Heer Rolie in de Mifcell. Berol. T. III. (t\ Clavis Geem. Catholica. 1684. in-40. O) Tranf. Phil. ann. 1687, no. 188. t») Arithm. Unit. /*ƒ>ƒ>. de aquat. Conjlrttct. lineari.  m HISTORIEDER heeft van de lighaamlyke Vergelykingen eene kunRige CmfiructU, of eene Meetkunftige en geduurige benadering, door Liniaal en Pasfer, gegTeve". Dezelve kan „ntrig zyn, om in de benaderingen m getallen den Wortel der Vergelykinge tot eeS zekeren trap van nauwkeurigheid te be, aaien • hetgeen van zeer veel aanbelang is, om fo0edi£ tot eene zeer benaderde waarde8 te Wn. ' Mefi kan over dit onderwerp ook nazien eenige ftukken van oen Heer Jan B^noulli (0) , die de gronde van deeze benadering aan den dag legt X I. Wy komen eindelyk tot één der gewigtigftc voorwerpen van. de Analyfis, tot de oplosü g§ der Ve gelykingen ,n getallen. Hier zyn wy gedwongen vernederende.bekentenis te doen, dat dit gedeelte der yHeebra niets mmder dan zeer gevorderd is Se dert lartaUa en Ferrari, welke de Vergelykingen van de derde en vierde magt oplosten, dat is! fedm meer dan twee eeuwen, heeft men to't de algemeene gedaan. De beruchte zwaarigheiJ, onder den naam van het onherleidbaar geval bekend , is zelfs „JS met eens uit den weggeruimd, en is dagelyks oof. zaak van de verlegenheid der Analisten, wdke zich daar door gedrongen vinden, om tot indirecte Leer. wyzen hunnen toevlugt te neemen Met dit gedeelte der Analyfis is'het ten naafte bv even zo gelegen, als met het Problema van de Qul dra uur des Cirkels. Alhoewel de grond van het vS ftuk nog met is aangeroerd, laat het echter niet ni ons eene meenigte nuttige vindingen en nafpoorin. gen voor oogen te ftellen. By gebrek van eene al gemeene Oplosfing, heeft men rot de benadeHngen toevlugt genomen; men heeft de byzondere gefaï len, (o) Lect. calcuü in/eg. ad fin, op. T. IJl,  WISKUNDE. III. Detl. II. Boek. 313 len, welke aan eene oplosfing onderhevig zyn, naeefpoord; men heeft eindelyk Leerwyzen gegeeven, Welke in de daadelyke oeffening geheel en al de plaats eener voikomene Oplosfing vervullen, en zelfs gemaklyker zyn, dan misleiden de Fermulen, welke liet Vraagftutc zou opleeveren , zouden zyn. Vieta is de eerlle geweest, die tot de benaderingen, zo voor de Vergelykingen van de derde en vierde magten, als voor die der hoogere magten, toevluat genomen heeft. Zyne Leerwyze voor de derde magt, wanneer het onhetleidbaar geval plaats heeft ,°is buiten alle tegenfpraak de gemaklykfte, en het oordeel, dat wy daar over vellen, wordt door dat van den Heer Hdky geftaafd ( p). Hy brengt, zo als reeds op eene andere plaats gezegd is, de Uplosfing der Vergelykinge tot de vinding der drie Chorden of Peefeo van drie boogen, welke uit het in drieën fnyden (trifectio) eens gegeevenen boogs voortkomen \ hetgeen met weinig moeite de verfchillende Waarden van de Onbekende tot een groot getal Decimaal-plaatfen voortbrengt. Voorts verzenden wy den Leezer tot hetgeen wy in één der voorgaande Boeken over dit onderwerp gezegd hebben- Wat aangaat zyne algemeene Leerwyze voor de uittrekking der Wortelen uit alle de Vergelykingen, welke hy Exegetice numerqfa noemt, dezelve is ook één der kunltigite. Maar dezelve bevat zwaarigheden en belemmeringen, welke Harriot, die zich fterk daar in gtöeffend heeft, niet geheel heelt kunnen uit den weg ruimen , en heeft plaats gemaakt voor andere gemaklyker Leerwyzen, welke wy haast zullen aanwyzen. Vieta, door aan te" merken, dat de bekende Term eener Vergelykinge het vermeenigvuldigde van alle de verfchillende waarden der Onbekende is , verfchaft nog een middel van Oplosfing voor alle de Vergelykingen, welke eenige rationaale waarde, en iu een tp)"Jr«nf. Phil. ann. I<5p4, n9. 310.  514 HISTORIE DER een geheel getal, hebben. Wy vinden het gebruikt door de Analisten van het begin der zeventiende eeuwe, als Michiel Coignet van Antwerpen, Alter, tus Girard , enz. Deeze foort van oplosfing der Vergelykingen heeft nogthans haaren voornaamften oor/prong uit de vindingen van Harriot en Defcartes genomen. Naardien wy dezelve in de eerde Arti kelen van dit Boek breedvoerig genoeg verklaard hebben, achten wy niet noodig dit weder te her* haaien, en wyzen daarom den Leezer naar het be. gin van dit Boek. Maar deeze Leerwyze heeft, in het geval zelf als de Wortelen geheele getallen zyn, haare beien* metingen. Want het kan gebeuren, dat de laatfte Term zo veel Deelers heeft, dat het uitermaten lastig zou zyn die allèn te beproeven; ten anderen heelt hier eene foort van tasting plaats, wejke de Wiskundigen altoos voor een gebrek gehouden hebben. Om die reden zyn de Analisten bedacht geweest, om de limieten der Vergelykingen naartevorkhen, dat is, tuslchen welke Termen de grootfte en klein (te der Wor.elen bcsreepen zyn. De Heer de Beaune is de eerfte Autheur van deeze vinding die door den Heer Newton in zyne Arithmetica tiniverfaus verder is voortgezet: en dezelve is zeer nuttig in de gevallen, waar in de gezochte Wor telen onderling niet veel van elkander verfchillen Want men zal alsdan flegts een zeer klein getal' Factores te beproeven hebben; en zo het gebeurt dat geen derzelvcn de Vergelykinge gelyk aan nul maakt, kan men met zekerheid zeggen, dat zv geen rationaale Wortel heefW In deeze Verhel/, kinge, by voorbeeld, xs - % x* — ÏO x' + 3, »» ± 63 * 7" V° ~ °' waar vaD de Iaatfte Term 16 Bactoies heeft, zouden 32 bewerkingen te doen ' zyn , als men dezelve pofitif of negatif beproefde Maar de Regel, die Newton opeeert, leerr dat de Jermen, tusfehen welke de Wortelen zyn begreepen 2 en 3 zyn; zo dat 'er geen andere beproevingen te doen zyn, als over 1 of—- 1, of— 2;  WIS KOND E. III. Deel. II. Boek. 215 en naardien geen van die beproevingen gelukt, moet men zeker lyn, dat de bovenftaande Vergeving geen rationaale Wortel heeft. Wy hebben voorbedachtelyk gezegd, dat deeze Leerwyze zeer nuttig zal zyn, alsde gezocnte Wortelen onderling niet veel van elkander verfchillen. Maar zo het gebeurde, dat zy veel van elkander verfchilden, als wanneer de eene zeer na by den grootHen Factor des laatften Terms, en de andere zeer na by den kleinften was, zuu deeze Leerwyze van weinig nuttigheid zyn , vermits alsdan byna alle de Jfac* tores van deezen laatften Term tusfehen de limieten, welke men zou vinden, vallen zoude. In dit geval is derhalven e erf ander middel noodig, om de meenigte der beproevingen te verminderen. Zie hier een middel, dat zeer vernuftig is, 't welk geleerd wordt door F. van Schooien Kq), die daar van de eere oeeft aan eenen Heer tYaesfenaer. Hetzelve beftaat fn de wyze om de Wortelen der voorgeftelde Vergelvkinge met een gegeeven getal , de eenheid , by"voorbeeld , te vermeerderen of te verminderen • nu is het gemaklyk te zien , dat zo één der Wortelen van deeze Vergelykinge één der Factores van haaren laatften Term is, deeze Factor, met de eenheid vermeerderd of verminderd, weder onder die van den laatften Term der nieuwe Vergelykinge gevonden moet worden. Derhalven zal men alle de Factores van den laatften Term deezer nieuwe Vergelykinge moeten neemen, dezelve met de eenheid vermeerderen of verminderen, in tegendeel van hetgeen men een opzichte der voorgeftelde Vergelykin|e gedaan zal hebben; dan kunnen alleen de getallen , welke de zelfde zyn als de Factores van deeze laatfte, haare Wortelen zyn. Men zal daar door een zeer groot getal uitfluiten, en eene tweede bewerking zal dikwyls de uitfluiting geeven aan de meeste' dergeenen, welke de eerfte niet uitgefloten zal heb- (j) Comm. in Cart, Ceom. L. HL  2J _£*♦ &e. Als men den Wortel de eenheid vermindert! vindt men,, dat van alle de Deelers van Ï2Ö geene len vVS &^7' 2',3' °f 2°' welke Se. len van de Vergelykinge kunnen zyn, en als men deeztn Wortel met de eenheid vermeerderd, vmd? men geen van deeze laatften, waar uit men befluken S wttenleVe0ft.r8eftelde Verg£l^e Pt?SE verzeknenrdri,me!J ,d00r ^ boyen^enicId onderzoek Wortelt dMvfren.e Ver^e,yki»? geen rari03fla/ff vvortei neaft, blyfc er nog overig te beproeven de S™^^ van Pverfenëi! de taamengeftelde Vergelykingen zou zyn. of in het zo? vn WnfV" ,dezdve ™ eveïe^fmïïtlng hpM ,Y ' °f erdanuieteenigeraamengefleldegrootheij zou zyn, welke aan beide zyden der Vefgelvk.nge, op eene zekere wyze gefchikt Ktikl Dffefer heeft de eerfte van deeze twee wegen gekozen in zyn Gefchrift, tot Tytel voerende: de reductione equationum. Hy geeft in hetzelve een groot getal nuttige Regelen , fm te beöïdee Jen, of de voorgeftelde Vergelykinge herlefdbïaHs hJoSRï'fi ,WaarVanry ^'Prokèn hebben Hy heeft ook Iafelen van de gedaantens van Vergelykingen gegeeven, welke deeze herleiding onderhe- 2SvK ' neVerS dC D^'erS' zo eenvo?,wd%e, geljk x -r «, ais faamengefielde, gelyk ax -+t wiï'*^11'6 dfzelve klinnen deeIen. e"~by ge": vo,g de Factores daar van zyn. De Heer Wallis aetft Holland tor deeze nafpooring verledigde, één zvner zdfdeged,eeT,^e"aamd MeTïe^ jn E«gelandyS zelfde deedt. Maar zyne Gefchriften hebben het licht met gezien dezelve zyn flegts in de nSkery nf« ?T tCr be,waar,ng gelegd. Wallis heeft eenige iafelen, veel overeenkomst hebbende met die van  WISKUNDE. III. Deel II. Beek. *i? Van den Heer Hudde, uit dezelve getrokken, en ia zyne Algebra medegedeeld,, üe Heer NeVton heeft van de wegen, welke wy boven aangeweezen hebben, den tweeden beproefd; hy heeft gezocht om de Vergelykingen te herleiden, door wederzvds eenige faamengelteide grootheid by te tellen, welke ieder Lid zodanig gefchikt maakte, dat 'er den Wortel uit getrokken koude worden. U6 Kegelen, welke hy tot dat einde gegeeven heeft, worden in zyne Anthmettca univerfalis gevonden. Maar dezelve vorderen zo veel arbeid, zo veel beproevingen ,en den faamenloop van zo veele byzon. d^re conditiën, dat men die naauwlyks anders dan als een kunstituk der Analyfis kan befchouwen. Zy hebben nogthans dit voordeel, dat men meesttyds by de eerfte frappen kan bemerken, dat de herleiding niet mogelyk is; hetgeen eenen overtolhgen arbeid befpaart. „ . . , .. , ., , De Heer Leibnitz heeft niet minder gearbeid dan de Heer Newton, om dit gedeelte der Anahfts tot meerder volmaaktheid te brengen, en hetgeen hy in Éón zyner Brieven, in 1676 gefchreeven ( O,zegt, geeft ons grootelyks reden tot klagen , dat zyne bedenkingen over dat onderwerp het licht niet gezien hebbent „ Ik heb, zegt hy, my fterk bézig ge„4 houden mee de wyze, om in 't algemeen de trrationaale Wortelen der Vergelykingen te vin. [\ den of alle de midden-Termen te doen verdwynen', en het is in 't voorleden Voorjaar reeds [[ een laar geweest, dat ik den Heer Huygeni proeven van Regelen, overeenkom ftig met de Fotmulen van Cardanus, mededeelde. Want ik had eene reeks van foortgelyke uitdrukkingen (voor alle magten), in welke die Formukn be* greppen waren. Maar dezelve waren boven de derde magt niet algemeen. Ik meen nogthans " de waare Leerwyze om verder te gaan befpeurd »> te (r) Comm. Epifl, p. 63» 64> en p. 05. > p  221 HISTORIE DER le hebben; 'er blyven , om de waarheid te zeg„ gen, nog veel kunsrgreepen overig te verzinnen„ om daar in te flaagen, hetgeen ik overlaat aan ,, den Heer Tfchirnhaufen, die aan zynen kant tot 5, de zelfde ontdekkingen gekomen, en zelfs nog 3, verder geweest is.... Voorts volgt uit myne be- denkingen over dat onderwerp eene vry zonder. „ linge wonderfpreuk; naamlyk, dat alle de Verge. 3, lykingen van de agtile, negende, tiende magten „ tot de zevende magt, enz. verlaagd kunnen wor- „ den Zo iemand moeds genoeg hadt, om ,, den arbeid daar van te onderneemen, zou ik hem eene algemeene en onfeilbaare Leerwyze toonen, „ om de Wortelen uit alle de Vergelykingen te vin„ den." Ons is onbewust, of de Heer Leibnitz niet te veel beloofde, toen hy deeze laatfte ontdekkingen bekend maakte; 'er is eenigzins reden om zulks te vreezen. Het gebeurt niet zelden, dat bekwaame lieden , verl trouwen ftellende in eene berekening of Leerwyze, Welke, zo het fchynt, moet flaagen, zich reeds verbeelden in 't bezit te zyn van 't geen zy zoeken • doch onvoorziene en onöverkomelyke zwaarigheden fluiten dikwerf eenen weg, welke open fcheen te zyn. De Heer Leibnitz zou misfchien in dat geval geweest zyn, als hy de laatfte band aan zyne berekeningen hadt willen leggen. Wat 'er ook van zy, van alle die vindingen van den Heer Leibnitz is niets tot ons gekomen,als eene zeer kunftige Leerwyze voor het onherleidbaar geval, leder der beide radkaale uitdrukkingen, welke de Formule van Cardanus faamenftellen, lost hy op in eene oneindige Reeks, en het gebeurt alsdan dat de Termen, welke de negative grootheid onder het Wortelteken van de tweede magt bevatten, in de beide Reekfen verfchillende tekens zyn toegedaan, zulks dat, als men dezelve faamentelt, die Termen verdwynen, en 'er geen andere overblyven, dan weezenlyke grootheden, welke eene Reeks, die de waarde der Formule is, faamenftellen. Hetgeen Leib.  WlSKÜtfDE. M. Deel. II. Soek. 110 hitz alleenlyk beeft aangeweezen, is nog meer ontwikkeld door den Heer JSficole in de Memorien van de .Academie des Jaars 1738. Deeze Leerwyze, gevoegd by zo veele andere over de benaderde oplosfing der Cubifche Vergelykingen , wanneer het onherleidbaar geval plaats heeft, (telt de uitgeftrektbeid der hulpmiddelen van de Meetkunde in een nieuw daglicht. Wy zyn den Heer de Moivre eene vinding over de Vergelykingen verfchuldigd, welke een gedeelte fchynt uit te maaken van diegeenen , in welkers bezit de Heer Leibnitz, naar zyn zeggen, was. Hy heeft ons voer eenige gevallen der Vergelykingen Van alle magten Formule.n gegeeven , overöenkomftig met die van Cardanus (s). Als men, by voorbeeld, deeze Vergelyking heeft ny -f- * fin—\ nn— I k«—0 — X ny1 + ... x —— Xny5 + &c. — a, 2. 3 2. 3 3. 4 eene Vergelyking die eindig zal zyn, als » een oneVén getal is , zal de Wortel uit dezelve, die alsn n dan eenig is, zyn W \a + \/ (aa + 1)] — ifr* [ —» a + V Caa + 1 JJ: dus neef O. 1. Daar nu o. I flegts de benaderde Wortel der Vergelykinge *s *f- 6s* -j- £fV. jS| zal ffien} door o. 1 -1- u z z "e Hei-  WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 2ü$ Men onderfok, dat men reeds de naaste geheele Wortel hebbe, dat is, die flegts minder dan eene eenheid van den waaren Wortel verfchi t; dit is de erondflag der bewerkinge. Men vergelykt derhal. ven dit getal meer eene nieuwe onbekende met dat der voorgeftelde Vergelykinge, en kelt het in deszelfs plaats. Dan bekomt men eene andere Vergelykinge , welkers Wortel datgeen is 't welk men by den eerken Wortel zou moeten optellen , om de nauwkeurige waarde te verkrygen. Doch alzo men onderftek, dat dit overblyflèl zeer klein, en ten minften onder de eenheid is, befluit men daar uit, dat de waarde der hoogere Termen zeer klein «i en men verwaarloost dezelve, hetgeen de Vergelyking brengt tot den bekenden Term, en tot dien waar van de onbekende in de eerfte magt is, ten zy men eenigzins in twyffel trok, dat de eerfte Wortel na genoeg was ln dit geval zou men ook de Term kunnen behouden , waarin de tweede magt der onbekende was; hetgeen eene Vergelyking van de tweede magt ter oplosfing zou overlaaten. Men zoekt derhalven den Wortel uit deeze Vergelykinge in tiendeehge breuken, het komende moet by den eerst gevonden Wortel opgeteld, of daar van afgetrokken worden, naar dat het teken, 't welk die breuken is toegedaan , pofitif of negatif is. Zo deeze trap van naauwkeuiigheid niet genoeg is, zal men de geheele tweede Vergelykinge moeten hervatten, en met dezelve ftellen, en als boven te werken, bekomen de Vergelykinee aJ + é.3»I + ii. 23 « + o. 061 ZZ O, waarvan men flegts de beide laatfte Termen in aanmerking neernt. "elke voortbrengen «~ - o. 0054. Men ftelle derhalven nog — o. 0054 = Men vindt alsdan door eene foortgelyke handeiwyze r ZZ — o. 00004853: telle eindelyk alle de pofitive deelen te faamen, en treKue daarvan de fom der negative deelen af, dan viadt oen 3 ZZ 2. 07955 3 47. Pi  sa* HISTORIE DER bandelen als met de eerfte gedaan is; hetgeen eene derde Vergelykinge zal voortbrengen, welke van de eerfte magt zal worden, als men alle de Termen daar boven verwaarloost. Derzelver oplosfing zal dan nieuwe cyfferletteren voortbrengen, om by den tiendeeigen breuk, welke den gezoebten Wortel uit. drukt, opgeteld te worden, en zo vervolgens in drie bewerkingen vindt de fleer AVwo», dat de Wortel van deeze Vergelykinge f — iy — 5 zzzz o in tiendeelige breuken is 2/094551*7 + , hetgeen tot de negende cyffêrletter toe waar is. Van de beide Leerwyzen. welke de Heer Hal/ey voer de benaderingen der Vergelykingen gegeeven heeft, heeft de eene zeer veel overéénkomst met die, welke wy zo aanftonds befchreeven hebbens zy verlchilt met dezelve alleenlyk daar in, dat hv altoos weder tot de voorgeftelde eerfte Vergelykinge komt, door de waarde van den meer en meer benaderden, en met een onbekend overblyffel vermeerderden Wortel voor de onbekende in plaats te ftellen, hetgeen by iedere bewerking nieuwe decimaaien en eene naauwkeuriger Waarde oplevert (w) Jn de tweede behoudt hy de Termen, waar in de onbekende in de tweede magt is, doch door een kunftig middel, waar van hy den Heer de Lagni de eere geeft, brengt hy nogmaals de geheele bewerking tot eene enkele deeling. De Heer Jan Bernoulli bedient zich tot het zelfde einde van eene foortge» lyke Leerwyze. ix). De Leerwyze, welke Raphfon gevolgd heefr, verfchilt mede zeer weinig van die van Newton (y); hv heeft dezelve flegts eenigzins gemaklyker gemaakt door zekere Tafelen, welke, op de bloote befchouwing eener Vergelykinge van eenige magt, den TelIer en JNoemer des Breuks doen kennen, welke he* ove> (») Tranf Vhil. n°. 210, ann. 1694, (x) Lect. calcnn inleg. Lect. 53. Jnaiyfis *quat univerf. Bond. /»-4°. itfoo.  WISKUNDE. III, Deel. II. Boek, 3a5 overige is, dat by den reeds benaderden Wortel op. geteld moet worden. Vermits het Boek van dien Analist in deeze Landftreeken zekerlyk fchaars te vinden is, wyzen wy hun, die zyne handeiwyze willen weeten, naar de Werken van Wallis, II. Deel. De voorgaande Leerwyze is niet de eenige, welke de Analisten voor de benaderingen der Wortelen van de Vergelykingen bezitten. (Je vruchtbaarheid der Wiskunde, en de verfcheidenheid van haare hulpmiddelen, is hirr even ais in alle andere gevallen eenerlei. De heer Tailor heeft voor die benaderingen eenen nieuwen Kegel gegeeven, welke op de Theorie der Aangroeijingen (Incrementa^ gevestigd is z). Wy zullen eindelyk nog twee Regelen der vinding van den Heer Thomas Simpfon aanwyzen , welke zeer kunftig zyn, en zeer fnel benaderen. De eene onderltelt de Differentiaal- Rekening, doch dezelve is daarom niet minder gemaklyk in 't gebruik, en wordt ook toepasfelyk gemaakt, om de waarden van twee onbekenden, welke door twee Vergelykingen gegeeven zyn , te gelyk te vinden (a). De tweede volgt uit eene Leerwyze van benadering, welke hy voor de oneindige Reekfen geeft, en insgelyks zeer gemaklyk is Cb). Daar het ons onmogelyk is alle die zaaken voor te dragen, verzoeken wy de Leezers tot de Gefchriften van die geleerde iVleetkimdigen toevlugt te neemen. Het is in de ontleeding der Vergelykingen van veel aanbelang het getal der ingebeelde Wortelen , welke zy bevatten, te kunnen kennen, zonder genoodzaakt te zyn tot haare Oplosfing over te gaan, dje, zo als wy reeds gezien hebben, aan zo veel zwarigheden onderhevig is. Men kent, in de Cubifche (z) Tranf. Phil. arm, 1717. (a) Efays on feveral curious and ujeful fubjects, b. 81 • &c. Ib ) Mathem. Dislertations, p. j.03. P 5  aarS HISTORIE DER fiche Vergelykingen, das geen 't welk de ingebeelde Wortelen aanwyst, en vermits dezelve niet meer dan twee kunnen zyn,heeft men alles wat men in datbyzonder geval kan wenfchen. Maar deeze onderfchei. ding is in de Vergelykingen van hoogere magten veel moeijelyker. De Heer Newton heeft alles aangewend om daar toe te geraaken, en tot dat einde in zyne Arithmetica univerfilis eenen vry eenvouwdigen Regel, doch die nog zeer onvolkomen is, gegeeven. Deeze reden heeft verfcheide Analisten opgewekt hunne poogingen aan te wenden, om dat gebrek te verhel, pen. De Heeren Maclaurin (c) en Campbell ( welke my va» de. Anthmettca unnerfalis van Newton bekend zyn f*), ichynt my de laatfte de voorkeur te verdie. neti. Men vindt achter dezelve de nuttige Verza7>inrg«aD Verfc'fide flllk^n, uit de PhilofophMé JransaBten getrokken, over de Oplosfing der Vergelybmgen, zo door de Meetkunde als in getallen, welke voor zekere plaatfen van dat Werk tot een Commentarium of Supplement verftrekken. Men heeft op het einde der voorgaande eeuwe de Eeginfelen der Wiskunde ( Etémens des Mathélal gues) van den Vader Prefiet m groote achting gehouden. Deze ve bevatten in de daad veele goede zaaien.' d?ch hebben het gebrek van eene te Lotè wydluftrgheid. Dit zelfde gebrek kan ook SeS ichreeven worden aan de betoogde Analyfis (Anaïyfe démomrée) van den Vader Reyneau, een Boek dat nog hans ,n veele andere opzichten achting verdient Men heeft hedendaags verfcheide Verhandelingen Spin'0 meer keurig«eiJ ziet uitblinken? en' welke ik liever zou aanraaden ; zodanige zyn de Algebra van den beroemden blinde Saunder/bn, onlangs in 't Fransch vertaald (in 4*0; die van den ver maarden Meetkundige den Heer Maclaurin ?£t ook vóór eenige jaaren, met verfcheide nuttige byvoe° felen van den Vertaaler,in onze [de Franfchel Si is overgebragt Wy zullen eindelyk aanhaa en de Gronden der Algebra (Elèmens d'Algebre) van den Heer Clatraut: dit werk\ dat wy, wegens de klein, heidvandit boekdeel, en de uitmuntendheid der zaa« (g) Een zodanig Commentarium ii naderhand, in 't Jaar 1769, in 't Engelsch uitgekomen, onder den Tvtel j. iVewton univerfal Arithmetiek, illu/lrated and Vx. plaxned ,n a feries of mtes by the Rev. The aker WlLDEK D. D. * Vertaaler.  'WISKUNDE. III. Deèl. II. Boek. ast) zaaken, niec beter kunnen vergelyken , als met de Ariihmeüca univerfalis van Newton, verdient aangenreezen te worden aan alle de geenen . welke, met een vaardige bevatting begaafd, grondige vorderingen in de Algebra wenfchen te doen, en zich weldra met haare grootfte zwaarigheden gemeenzaam trachten te maaken. . . De meeste Werken , welke wy dus verre genoemd hebben , handelen eeniglyk over de zuivere Algebra: zie hier eenige welke tot onderwerp hebben de ge. mengde AlgeW, of op de Meetkunde toegepast. Onder deeze laatften geeven wy, in de orde van onderwys, den eerften rang aan dat van den Heer Gvisnée, tot tytel voerende: Application de P Algebra Sfa&ïfcW. >7°4) CO; Vandaar kan men overgaan tot de uitmuntende Verhandeling over de Kegelfneeden en Meetkundige plaatfen, van den Heer Maróuis de l'Hdpital. De naam van derzelver Au£ en de achting welke alle de Wiskundigen Sedert eene halve eeuwe , voor die Verhandeling hebben, zyn alleen genoeg om dezelve met lof te verheffen. De Inftitutiones Analytice (k) van Meiuff ouw Agnefi verdienen ook eene byzondere blïïts, in deeze aanwyziug der beste Boeken over Se AnahUs, De Leezers zullen niet zonder verbaaÏnf zien , dat een perfooii van eene kunne , die zo weinig gefchikt fchynt om zich met de doornen der Wiskunde gemeenzaam te maaken, in alle de deeien Zr Anahlis. zo gemeene als trar,fcendentifche, zo SJpteTd^Befrongen. Zy die de Elementa Ma- m Aangaande bet Jaargetal, waar in, volgen den Aurfceur dU uitmuntend Werk gedrukt zou zyn , fchynt h.er ^r' fitelling plaats te hebben. Want in de vctoeterae eenö mistte ^ H yan Ao leest mm in de VoorS! dat de eerfte Editie van dit Werk in tfn h« ücht zag. Vertaaler. (1) Indituzioni at>alyticke,ad ufo delia gioventu Ito. liana. Mil. i» 4°. * ^' .  *ao HISTORIE DER thefeos univerfalis van den Heer Wolf bezitten, kunne» zich de moeite befpaaren van byna van geen ander JBoek gebruik te maaken. Men vindt daarin met kiesch. heid en juistheid byna alles verzameld, wat in de zo zuivere, als op de Meetkunst toegepaste Algebra, het merkwaardigfte en gewigtigfte is, zo dat men van daar onmiddelyk tot de leezing derzwaarfteBoeken kan overgaan. Wy zouden nog verfcheide andere lofwaardige Werken over die ftoffen kunnen aanhaalen, zo hier ons oogmerk was in die byzonderheid te treeden. Wy hebben gedacht ons te moeten bepaalen tot een klein getal, en wel byzonder tot die Werken, waar uit men eene algemeenere kennis van alle de deelen der Analyfis kan verkrygen,, Einde van het tweede Boeki  HISTORIE DER WISKUNDE. DERDE DEEL. Bevattende de Hiftorie der Wiskunde, geduurende de zeventiende eeuwe. DERDE BOEK. Vorderingen der Optica, tot aan het midden der zeventiende eeuwe. KORTE INHOUD. I. Kepler verklaart de wyze op welke men de voorwerpen ontdekt. Befchryving van het werktuig des oogs. Verklaaring van de voornaamfte verfchynfelenderzsemng. Andere trekken der gezichtkunüige Sterrekundevan Kep. Ier II. Vinding van den Telejcoop. Verfchillende wy. zen op welke deïelve verhaald wordt. Weetenswaardige ftukken over dat onderwerp. Vau de verfcheide foorten van Telefcoopen, en wie wy dezelve te danken hebben.  234 HISTORIE DEK' III. Van de Microfcoopen. en hetgeen men Van derzei. ver vinding weet. iv« Kepler geeft zyne Doorzicht, kunde ( üioptrica) in 't Hebt, waar in hy ds bi andpunten der Linzen-Glafen, en de oorzaak der werkingen van de Tckfcoopen onderzoekt. Vrklaaring van dit mtkïngen* en van die der Microscoopen. V. Ontdekking van de wet der ftraalbreeking door Sneilius. Vf. Defcartes poogt dezelve te bewyzen. Twist deswegens tusfehen hem en Fermat ontflaan, en hoe die einaigt» Kort denkbeeld der poogingen door andere Wysgeeren gedaan , om van deeze eigenfehap des lichts reden te geeven. VII. Nieuwe inzichten van Descartes over de volmaaking der Telcfcoopen. Zyne entdekkingen over de gedaantens der oppervlaktens, welke de eigenfehap hebben van het licht te breeken. VII1. Hy voltooit de verklaaring van den regenboog, door Antonio de Dominis ontworpen. y komen eindelyk tot een gedeelte van oilS Werk, dat gefchikt is om de Leezers te doen rusten Van de fterke iufpanning van geest, welke de voorgaande Boeken van hun gevorderd hebben. Voorwerpen van eene aangenaamer en genaakbaarer na* tüUl' zullen ons in dit Boek bézig houden. De ontdekking der wyze op welke de ziening gefchiedt, en haare vooniaamlre verfchynfeleo, de uitvinding der Telefcoopen en Microfcoopen, en de oorzaak Van hnnne werkingen, de wet der Itraalbreeking,en de gedaane poogingen om van dezelve reden te geeven , de verklaring van den regenboog, zyn de Voornaamfte Heffen, welke men in hetzelve zal vinden. Dierge_ ïyke voorwerpen hebben het recht tot zich over të haaien , ik zeg niet alleen de Wiskundigen , maar ook alle de geehen voor welken de natuurlyke ken* flbfen eenig aanlokfel hebben. De wyze op welke de ziening gefchiedt, dat is te zaggen, hoe men de voorwerpen ontdekt, was nog r.  W ï S KUN D E. III. I)eel. I». Sösk, A33 neg een geheim in het tydbegin ( Epocha~)s waar toe ons het voorgaande Deel gebragt heeft. Porta en Maurolkus waren zeer na by de waarheid gekomen ; maar toen zy dezelve byna gevat hadden, waren zy ongelukkig daar in blyvsn fteeken. Deeze gewigtige ontdekking was aan het begin der zeventiende eeuwe, en aan Kepler voorbehouden. Deeze groote man, alle de lichtftraalen , welke hem die beide Na. tuurkundigen verfchaften, by een verzamelende, bragt eindelyk dit geheim aan den dag. Hy ontdek, te het waar gebruik van het Kristallyn en het Netvlies, de aanweezigheid der beelden, welke op het laatfte getekend worden, en hunne omkeering, de oorzaaken van de duidelykheid en verwarring , met welke men de voorwerpen ontdekt. Hy verklaarde alle die dingen in zyne AJltonomia pars Optica, een Werk waar in- men die naauwkeurigheid niet moet zoeken, welke het eigenaartig kenmerk der Werken van onze eeuwe is, doch dat vol is van nieuwe denkbeelden , een man van vernuft waardig. Laat ons alvoorens over de inrichting der ziening ih byzotidef*heden te treeden, van het hulplid, dat daar van het Werktuig is, een denkbeetd geeven. Het oog is een holle kloot, welks bekleedfel of* Rok uit drie vhefen of dunne huidjes gevormd is. Het eerfte is dat 't welk men het Sclerotis noemt; hetzelve is een voortbrengzel van het harde Herfenvlies (dura Mater), het uiterfte dergeenen welke de herfenen bekleeden. Het Choroiles, dat beneden is, komt Voort uit het dun Herfenvlies (pia Mater Tt of het tweede dunne huidje,waar mede de herfenèn bekleed zyn. Zy komen uit de herfenpan , en bekleeden het waarlyk zenuwachtig deel van de ge* zichtzenuw, welke zich eenigermaate openende,het binnenfte van het ChonïJes bekleed met een faarnenweeffel van zenuwachtige Vezelen, met bloedvaten vermengd; hetgeen hetzelve de gelykenis geeft vai een fyn net,en daar door den naam van het Netvlies aan hetzelve heeft doen geeven. Dit is het derde der dunne huidjes, welke het bekleedfel des oogs Q uit  «3+ HISTORIE DER ztmaaken, en 't is daar in dat liet gevoel der ziening; yn verblyf heeft (i). Het voorde deel van het Schroiis is doorfchynend, en vormt datgeen 't welk men het Hoornvlies noemt; dit is een gedeelte van eer.en kleineren kloot, zo dat het oog, van ter zyde befchouwd zynde, in die plaats eene kleine verhevenheid maakt. Onder het Hoornvlies ontdekt men een klein middelfchot, of een Cirkel, die in zyn midden een rond gat heeft; dit noemt men het Druivenvlies, of de kegenboog (ir/ï), uit hoofde van deszelfs koleuren, flet Druivenvlies is gevormd uit eene famenvlech* ring van fpieraehtige vezelen, waar van ibmmige rond en gelykmiddelpuntig, andere recht, en als de ftraalen eens Cirkels gefchikt zyn,door welkers beweegiug de opening, waar van wy zo even ge. fproken hebben , zich faroent-rekt of uitzet. Het achterdeel van de Iris of het Druivenvlies is in den mensch (/) Twee beroemde mannen der voorgaande eeuwe , de Heeren Pecquet en Mariotte, hebben onderzocht, of het Netvlies waarlyk het hulplid van 't gezicht was. De Heet Pecquet was voor het ftellige; de Heer Mariotte was van een tegengefteld gevoelen, en gaf voor dat het Choróldes dat hulpiid was. Het zon te wydloopig zyn hunne redenen te onderzoeker. Doch ondanks die van den Heer Mariotte, welke ze.r vernuftig zyn, is het Netvlies in 't bezit gebleeven van het hulplid te zyn, dat den indruk van het licht tot de ziel overbrengt; en ik üaar gten oogenblik in bedenking, om bet tegengefteld gevoelen ols volftrekt onbeweetlyk aan te zien. Wat toch kan het gebruik zyn van een deel, dat byna geheel zenuwachtig is,. gelyk het Netvlies, ten zy alleen oin den indruk der uileilyke voorwerpen over te brengen. Daar over kan geen verdeeldheid zyn onder de Phyfiologisten, welke door duizend beflisfcnde proefneemingen Weete». dat alleen in dezenuwen, en de deelen, welke het meest uit dezelve zyn faamengefteld, het gevoel zyn verblyf heeft. Men kan de voornaamfte ftukien van deezeu twist in de Verzameling der Weiken van tien Hser Mariotte nazien.  W IS KUNDE, lïl, Deel lïl. Boek 23$ tiiensch altoos geverwd met een zwart fiym, hebbende de eigenfehap om het binnenfte des oogs te verdonkeren , door alle de zydelingfche draaien op te florpeh. Ter plaatfe alwaar het Druivenvlies zich van 'het Sckrotis affcheidt, is het zeer fterk daar aan gehecht door een Lindfel, dat men oog' öppel-fpier (Ciliaris) Eoemt, en 't welk, zo als eenige phtftologifche Gezichtkundigen gispen , een fpier is, welks famentrekking of uitzetting dient, om de uitgebogenheid van het voorde deel des oogs te vermeerderen of te verminderen, ten einde het naar het verfchil der naby zynde of ver afgelegene voorwerpen te fchikken (m). Wat 'er ook van zy,uit dat bindfel gaan eene meenigte vezelt' jes , Procesfus ciliares genaamd, welke diehen, om het Kristallyn, waar van wy aanltonds zullen fpreeken , te onderfchragen. De Gezichtzenuw is geenszins, zo als de oüde Geziclukundigen'die hebben afgebeeld, recht tegen over het gat des oogappels, maar een weinig binnenwaarts en hoogeringevoegd, zo als de ondervinding en de Helling van 't gat, waar door dezelve uit de herfenpan in de holligheid des oogs komt, zulks aamo^nen. Deeze holligheid, welke wy nu befchreeven hebben is met drie vogten gevuld, het waterachtig, het kristallyn , en het glasachtig vogt. Het glasachtig vogt, dat de vastheid des wits van een Ey fchvnt te hebben, is nogthans een zeer helder en zeer vloeibaar vogt, doch dat in eene meenigte kleine vaatjes (capfiddt) beïloten is; hetgeen hetzelve dat aanzien geeft. Het beflaat den gror.d van het oog, en houdt het Netvlies tegen het Chotoid^s. Het Kristallyn is als eene klein lenfenglas, befloteu in eene zeer dootfehynende huid, het Arachno'uhi genoemd, en vast gemaakt in eene holligheid van (ra) Zie den Heer Jurin, Dif. on diftinél. and itidi* finct vifion. Op liet einde der Optica of Gizislnkac&i* van den Heer Smith.  S3Ó HISTORIE DER het glasachtig vogt, even als de ffeen eens rings in zyne kast. Het waterachtig vogt bedaar de voorde kamer des oegs,welke door het middelichot van 't lJruivenvhes in tweeën gefcheiden wojdt. Zes lpieren, vier rechte, naamlyk één boven, één beneden , benevens twee zvdelingfche , en twee fchui ne, of waar van de richting Diagonaals-wyze i«, omringen dien kloot door haare vliezige uitzettingen en zyn dtenltig tot deszelfs beweegingen, tiet voor* ite van t oog is eindelyk overdekt met een zeer dun wit vlies, dat men de Cor.jrwdiva noemt, en een aanwas is van het vlies, dat het binnende der bolligbeid bekleed. Zodanig is de famendelling der deelen van dit verwonderlyk zintuig; thans zullen wy overgaan tot hetgeen ons onderwerp meer byzonder betreft. r J Het voorbeeld van eene donkere kamer, welkeis opening van een bultig glas voorzien is, is ongemeen ciendig om de wyze te verklaaren op welke de ziening gefchiedt. De appel in 't oog is de opening van de kamer, het Krbtallyn is daar van het glas, en het Nephes is het kaartpapier of de witre muur, waar op de voorwerpen zich fchilderen. Het oog is flegts eene meer famengedelde donkere kamer De lichtdraalen, un het zelfde punt afvloeijende, ondergaan, wanneer zy 0p het Hoornvlies vallen, en het watcachtig vogt doordringen, een bn.ging, welke hun eenigzins doen comer%eren of faamenloopen. Een gedeelte wordt door de opening des oogappels ontlangen, en valt op het Kristallyn Dit lenzenvormig lighaam breekt dezelve nog meer* en maakt ze meer faamenloopende. Zy komen ui' het Kristallyn, en ondervinden eene nieuwe breeking, door in het glasachtig vogt over te gaan - mer behulp van alle die draalbreekingen verëenigen zicli die, welke uit een zelfde punt van 't vo^rweip komen zo het oog welI gedela is, zeer naauwkeurig m etn ander, en fchilderen op het Netvlies het beeld van dat punt. Dus vormen alle de Kegels van draa. len, uit de verfchillende punten van het voorwerp ko. men-  WISKUNDE. HL Deel. III. Boek. «37 mende, deszelfs beeld op het Netvlies , en hetzelve is omgekeerd, zo als Kepler ten laatften ontdekte, na zich lang en te vergeefs gekweld te hebben, om het recht te Hellen ( n). Men kan zich door proefreeming van alle die (hikken gemaklyk verzekeren. IVlen neemt een oog van een pas geftorven dier, en hetzelve van achteren van zyne vliezen ontbloot hebbende,zonder het Netvlies tebefchadigen, houdt men het voor de opering der donkere kamer. Men ziet alsdan alle de uitwendige voorwerpen, met eene verrukkende waarheid, omgekeerd z;ch daar in fchilderen. In "t bezit van die zaaken zynde, zal het ons niet meer moeijelyk zyn verflag te doen van de wyze op welke wy de voorwerpen ontdekken. Wy zullen met de meeste fchryvers niet ftilftaan by die elkander zo wel gelykende beelden, welke zich op het Netvlies fchilderen. Zulks zou niets anders zyn dan te onderllelkn , dat de ziel dezelve daar op even als in een fpiegel, die haar dezelve vertoonde, zou befchouwen; hetgeen belagchelyk en kinderachtig zou zyn. Men moet de oorzaak der ziening navorfchen in den indruk, welke ieder lichtkegel oelFentop de 7enuwachtige vezel, die hy met zynen top bereikt. Men behoeft zich geenszins te verwonderen , dat het licht, in wcêrwil van deszelfs ongemeene fynheid , indruk kan maaken op de zenuwen, vermits hetzelve, tot eenen zekeren graad van die dichtheid gebragt, bekwaam is, om eene fmertelyke aandoening op de zenuwachtige tepels van het zintuig des gevoels te ve wekken. Men kan dienvolgens in de vezelen van het Netvlies eene zodanige gevoeligheid onderftellen, dat de werking van het licht dezelve kan doen trillen. De ziel, hoedanig ook de natuur van haare verëeniging met het lighaam zy, die trilling opmerkende, zal van eene zekere gewaarwording aange. daan zyn, en de tegenwoordigheid van het licht ontdekken, zo als zy de andere hoedanigheden der lighaamen door die der zenuwen, voor de andere zin- tui- (») Aftro/t, Optica, p 205. 20S. Q 3  S38 HISTORIE DER tuigen gefchikt, ontdekt. Men kan ook begrypen , en het is waarfchynlyk dat zy verwittigd wordt van de verfchillende grootheid der voorwerpen door de af* gelegenheid der vezelen van het Netvlies, welke de uiterfte ftraalen ontfangen ; van de fterkte des lichts door de hevigheid der trilling die hetzelve verwekt; van de koleuren door de na* tuur van die verfchillende trilling , zonder twyffel, naar het verfchil der koleuren; van de gelegenheid of den ftand der voorwerpen door die dar vezelen, welke het indrukfel daarvan overbrengen. De beruchte vraag, waarom men , daar de beelden omgekeerd op het Netvlies gefchildcrd zyn, nogthans de voorwerpen recht ziet, is, naar i'nyne gedachten, flegts eene kinderachtige vraag. Wy kunnen van het rechte en omgekeerde niet oordeelen, als door vergelyking met den fiand van ons lighaam, en met de gewoone gelegenheid der voorwerpen. Van teen sfdatwy begonnen hebben van onze zinnen gebruik te maaken, hebben wy de gewoonte aangenomen, om aan de trilling van een boven-vezeltje van het Metvlies het denkbeeld te hechten van een voorwerp,, dat beneden of Dader by onze voeten is. /lis men dus vraagt, waarom, daar de beelden in het oog omgekeerd zyn, de voorwerpen ons recht fchynen, is /.niks niets anders dan re vraagen , waaröm wy de «/corwerpen zien, zo als wy gewoon zyn dezelve te zien. ten blind geboorene, wien het licht fchielyk wedergegeeven zou wotden, zou in 't eerst noch van naby, noch van verre, noch hoog, noch laag zien. Dit was het geval van hem , aan wien Che, fèldtti de ft sar ligtte; hy begon niet eerder over de ïbcden en vervvyderingen te oordeelen, als na dac hy de voorwerpen betast hadt. Defcartes bedient zich van de vergelyking eens blinden,die tweekruisliugs over elkander liggende Hokken houdt, en ddor den indruk der linkerhand oordeelt, dat het voorwerp ter rechterhand is , en in tegendeel, Deeze vergelyking is vernuftig , en beantwoordt vry wel 88e d§ zwaarigheid. , als zien flegts m aanmerking neemt s  WISKUNDE. III. Deel. III. Beek. =39 «leemt, dat het niet door de natuur van 't geve-d is, Sat die blinde den geoeilenden indruk op de hnkeri. hand tot een voorwerp ,aan de rechteriiand geplaatst, overbrengt, maar eeniglyk door de gewoonte , die bv aangenomen heeft, om 'er dus over te oordeelen. 7onder deeze gewoonte zou hy, even als de blinde van Chefelden ."voelen; doch hy zou geen oordeel kunnen vellen over de gelegenheid van het voorwerp, waar van hy aangedaan zou zyn. De duidelykheid met welke wy een voorwerp ontdekken . hangt af van die met we.ke deszelfs beeld in 'het oog gefchüderd is. Als elk der kegels, door de ftraalbreekingen van het oog gevormd, zynen top naauwkeurig cp het Netvlies brengt, zullen alle de deelen van het voorwerp en deszelfs randen naauwkeurig bepaald zyn; men zal alsdan het voorwerp duidelyk zien. Maar zo die top vóór- of achtervaarts vak, zal dat beeld verward zyn, als wanneer in de donkere kamer de muur, waar op de voorwerpen zich fchilderen, re dicht by,.of te ver van het glas is; in dit geval kan men niet anders dan verward zien. Het is derhalven voor het duidelvk zien van veel aanbelang, dat het oog zodanie eefleld zy, dat de vereeniging der gezichtftraa. len niet te naby, noch te ver, maar neauwkeung on het Netvlies gefchiede. . Dit brengt ons natuurlyk tot de oorzaak der gebreken,welke men in de verfchillende gedichten beJheurt 'Er zyn menfehen welke de voorwerpen . iet ais on zeer kleine afïhflieo ontdekken, en anderen welke alleen de ver afgelegene voorwerpen duidelyk zien. Dit laatfte gebrek is doorgaans dat der oude Heden, en men geeft om die reden den mffl van Vefrezienden aan hun, welken het werktuig des cezichts dus gefield hebben; de anderen worden B^iendnt genaamd. Ir. de Verrezienden breeken her Hoornvlies of bet Kristallyn, als te plat zynde, h't Hcht niet genoeg, of mivfchien brengt eenige hy•onderesefteldtenishet Netvlies-te dicht by het Knstadlyn. Daar door gebeurt het, dat de ftraalen van  240 HISTORIE DER. een nabuurfg voorwerp komende, en dienvolgens re veel van elkander wykende, zich niet als achter hec Netvlies verëenigen; maar zo hec voorwerp ongemeen ver verwyderd is, zo dat de ftraalen, welke int ieder van deszelfs punten komen, zichtbaarlvk evenwydig zyn, zal de trap van ftraalbreeking, welke zy in dat oog zullen ondergaan, genoegzaam zyn om hun te doen famenloopen, en zich naauwkeurie op het Netvlies verëenigen. De kunst komt deeze ichikking van de natuur of het voorwerp te baat door middel van een rond verheven glas. Dit glas' waar door de ftraalen, van de voorwerpen afkomende, minder van elkander wyken,of evenwydig worden, maakt dezelve gefchikt om zich naauwfceurhr op het Netvlies te verëenigrn, en zie daar de reden waarom de glafen van deeze gedaante nuttigzyn voor Juin, welke men Verrezienden noemt. Det gebrek der Byzienden is het gevolg van eene gantsch ftrydige oorzaak. Zo de vogten van het oogde lichtftraalen te veel breeken, zo het Hoornvlies of het Kristallyn te bultig, of het Netvlies te veel verwyderd is, zullen de ftraalen zich verëeni. gen, alvoorens hetzelve te bereiken, en flegts een verward beeld daar op fchilderen. Dit gebrek ka» verholpen worden met een holrond glas, 't welk die ftraalen vefdeelende, hunne verëeniging vertraa* gen, en het beeld duidelyk maaken zal. De verklaaring der wyze op welke dezieningge» fchiedt is niet de eenige verdienfte van het Werk van Kepler. liet vertoont ons nog verfcheide andere voorwerpen , welke waardig zyn aangeweezen te worden. Zodanige zyn de oplosfing van het Proble. tna van Anftoteles over de rondheid van hec licht der Zon, gaande door een gat van eenige gedaante , en op eenen zekeren afftand voortgeworpen; de oorzaak dtr uitzetting van de fchynbaare middellyn der Maan en van alle de lichtende lighaamen, op eenen donkeren grond geplaatst , als mede van haare inkrimping in de Zon- Eclipfen; het onderzoek:van het dus verre aangenomen grondbeginfel oyer de plaats van  WISKUNDE. III. Deel. III. Soek. 241 van het beeld in de bolronde fpiegels, eene plaats welke men in den famenloop van den Perpendiculair van invalling met den te'ug gekaatften (haal (telde. Kepler toont aan, dat men zich tot in dien tyd bedrogen hadt , en dat dit grondbeginfel eene naauwere bepaaling noodig heeft. Hy befluit in het zelf. de Werk d priori ( 0) de fchynbaare langrondheid der Zon naby den Hotizon, eene ontdekking die ge. meenlyk aan den V. Scheiner wordttoegeëigend. Men vindt in hetzelve nog verfcheide ongemeene Waarreemingen van de Gezichtkundige Sterrekunde, als over de gedaante van het licht der Zon, door den dampkring der Aarde,en dwars door derzelver fchaduwe voortgeworpen, waaruit eenige zonderlinge verfchynfelen der liclipfen voortkomen, welke Kepler zeer wel verklaart. Maar hy was in andere opzichten minder gelukkig: men ziet hem veele poo» gingen doen, en zich op veelerlei wyzen keeren en wenden, om de wet der ftraalbreeking te ontdekken. Hy beproeft eene meenigte redens, welke hy vergelyfct met de Tafel, door Vitellio gemaakt, en die der S-terrekundige ftraalbreekingen, door 'Fycho gegeeven. Maar zich altoos vergenoegende met die reden tusfehen de ftraa!breekingzelve,en de Sinus of de Secans van den hoek van helling, te zoeken, miste hy de waare reden ; en de Heer Flamfleed, die hem van de ontdekking deezer reden de eere geeft (/>), heeft zich zekeflyk vergist. Kepler was niet gelukkiger in de nafpooring van een ander Voorftel der Gezichtkunde, naamlvk dat om de ftraalbreekende oppervlakte te bepaalen, welke de ftraalen, uit een punt komende, evenwydig, of naar een gegeeven punt faamcnloopende zal maaken. Het voornaamfte grondbeginfel van deeze nafpooring ontbrak hem, gelyk ook de hulrmiddelen der Meetkunde, die dezelve vordert. Dus is het niet te verwonderen, dat hem zyn oogmerk hier in geheel en al mislukt is. II.' (0) Pag. 131- (p ) Hifl, celeftis proleg.  54^ HISTORIE DER I I. Zo'er eenige vinding is, welke op onze verwondering recht heeft, is het zonder twyffel die van den Telefcoop en Microfcoop. Laaten wy ons voor een oogenblik in die eeuwen overbrengen, waar in men nog die verwonderlyke Werktuigen miste; wat zouden toen wel de Wysgeeren zclven gezegd hebben, als men hun hadt aangekondigd, dat 'er een dag zou komen, op welken men , met behulp van eenige doorfchynende (toffe , op eenige kundige wyze bewerkt, de verst afgelegene voorwerpen nader by zou brengen, en de kleinfte in zo verre vergrooten, dat men alle hunne deelen zeer duidelyk kan onderfcheiden. Zonder twyffel zouden zy deeze bekendmaaking als eene herfenïchim aangezien hebben. Dit is nogthans hetgeen 't begin der voorgaande eeuwe gezien heeft, en waarvan wy heden nog dagelyks getuigen zyn. Wat is 'er dus meer gefchikt om het menschlyk verftand te leeren van zyne eigene krachten, die van den tyd en het geval, niet te veel te mistrouwen! Het is zeer zeker, dat de Telefcoop in de aloudheid onbekend was. Het oudfte gedenkftuk, dat men heeft aangehaald, om daar van het tydmerk vóór het begin der zeventiende eeuwe te brengen , is een oud Handfchrift, aargehaald door den V. Mabillon, in zyne Reize van Duitschland {Voyage d'Allemagnè) (^). waar in men eenen Ptolumeus, door eene Tuhus, fameDgefteld uit verfcheide beweegbaare en in elkander fchuivende pypen, naar een Hemellicht ziet mikken. Men heeft daar uit befloten, dat die Tuhus een Telefcoop was, en dat dit Werktuig reeds bekend geweest is in den tyd, waar in dit Handfchrift gefchreeven is; hetgeen omtrent het midden der dertiende eeuwe fchynt te zyn. Echter heeft men, niettegenftaande de waarfchyn- lyk- Pag. 46".  WISKUNDE. III. Detl. III. Boek. 043 lykheid van dit getuigenis, zich nog niet kunnen overreeden, dat een zo wonderlyk Werktuig zo lang in de duisterheid begraven geweest hebbe, en men heeft liever willen denken, dat deeze Tubus niets anders was dan eene foort van Dioplra, gefchikt om de zydeüngfche ftraalen te verftrooijen. Daar benevens zou men, om dat getuigenis te onderzoeken, eene getrouwe afbeelding van die teke« ning moeten hebben. Het is niet zeldzaam Geleerden te zien, die, vooiingecomen met eene ontdekkinge, welke zy meenen gedaan te hebben, zich verbeel. den in eene plaats iets te vinden dat 'er niet in isj ccsgely'ks is het mogelyk, dat de geleerde Benediclyher, hier boven aangehaald, de overéénkomst van het Werktuig, dat de tekening, waar van wy fpreeken, voorftelt, met een Telefcoop eenigzins vergroot hebbe. Zo wy geloof flaan aan het in 't gemeen aange. nomen gevoelen, dan hebben wy den Telefcoop aan het bloot geval te danken. Defcartes, die in het Land zelf fchreef, dat denzelven hadt zien geboren worden, was van dat gevoelen. Hy begint byna zyne Dioptrica met die vernederende bekentenis: na eene korte lolfpraak van den Telefcoop, vervolgt hy in deeze bewoordingen: „Maar, tot fchande voor onze Weetenfchappen, is die zo " wonderfyke vinding in 't eerst niet als door proef. „ neeming'en geluk te weeg gebragt. Het is omtrent dertig jaaren geleden, dat zekere Jacobus \ Metitts, een mandie nooitgeftudeerd hadt, fchoon ' hy eenen Vader en Broeder hadt gehad, welke ' zich op de Wiskunde hadden toegelegd, doch die *' vermaak fchepte in het maaken van fpiegels en " brandglafen , by die gelegenheid glafen van ver. ! fchillende gedaantens hebbende, op den inval kwam, om door twee glafen, waar van het eene " bultig en 't andere hol was, te kyken; en hy " voegde dezelve zo gelukkig aan het einde van een " PJ'P of buis , dat de eerfte der Kvkers, waar van " wv fpreeken, daar door werdt faamengefteld." " 3 * Som,  44 HISTORIE der Sorr.mige Schryvers, weinig in hunnen fchik met deezen oorfprong van den Telefcoop, hebben het fchynt gezocht dezelve nog meer vernederend^ re maaken. De Kinderen van eenen Brillei maaker te ÏSe?Urf',Z£¥en in den winkel vaïïmn en vader fpeelende kwamen op den inval om met wee glafen het een bultig, het ander hol, na™ den haai! van hunnen toren te kyken; en, daa by geval d>' ze twee glafen z.ch op'den behóorlyken^and be' vonden zagen zy hem zeer vergroot en zee nabv vïdïr" 'h? hUnn/ Verw?»^ri"/bekend aan hunnen' t?n 5« 6» °m de Proefneeming gemaklyker te rrna ken,dezelve op eene duurzaame wyze 06-een n£n£ je fchikte. Weldra voegde een ander dezelve Sn rf trap van volmaaktheid gebragt heeft veroaazend«" van een Gezant der Staaten van Ho land «üiif over dat onderwerp eenig lich* ?ertpreiden' Van deeze vyfgetuigenisfen zyn 'er twee w! ^. der vinding van den Telefcoop eenen zeken ri« W. Brillenmaker te M^ddrurgf jSifent" Zy verfchillen, wel is waar, i„ de da^eSfugen; het Jss? PietCr B°reel' De Vero Tel*>i« i*»»tort. In 40,  WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. S45 het eerfte, 't welk dat van den zoon van Zacharias is, brengt bet tydmerk derzelve tot in 1590 te rug, en dat van de Zuster verlchuift dezehe flegts tot het Jaar 1610. Maar de drie anderen zeggen geen woord van Zacharias, en wyzen de vinding, wairvan wy fpreeken, toe aan eenen zekeren Jan Lapprey, Briilenmaaker in de zelfde ftad. De Brief van den Heer Boreel bevat verfcheide zonderlinge (lukken,welke waardig zyn hier plaats te vinden. Deeze Gezant der Staaten verhaalt, dat hy dien Zacharias Jans, waar van wy boven gefproken hebben, byztnder gekend heeft, als hebbende in zyne jeugd dikvvyls met hem gefpeeld,cn meenigmaal in den Winkel van zynen Vader geweest ; dat hy verfcheide reizen heeft hooren zeggen, dat zy de Vinders van den Microfcoop waren; dat hy, in 't Jaar 1619 in Lngeland zynde, onder de handen van Corrielis Drebbel, zyn vriend, den Micrefcooj) zelf gezien hadt, dat Zacharias ert zyn Vader den Aartshertog Albert hadden aangeboden, en dat die Vorst aan Drebbe/ gegeeven hadt; vervolgens maakt hy 'er eene befchryving van, welke niet toelaat denzelven voor iets anders dari eenen fiamengedelden Microfcoop te neemen. Hy voegt 'er nog by , dat de beide bovengemelde Brillenmaakers omtrent het Jaar 1610 de Telefcoopen uitvonden , en dat zy èön derzelven den Prins Maurits aanboden, die dezelve geheim wilde houden, om zich op eene voordeelige wyze daarvan te bedienen in den Oorlog, waarin de vetëeuigde Provinciën toen gewikkeld waren. Maar de vinding raakte bekend, en op het gerucht, dat dezelve maakte, kwam een onbekende te Middelburg, en naar den uitvinder des Telefcoops zoekende, vervoegde hy zich by Jan Lapprey* dien hydaar voor aanzag , en gaf hem door zyne vraagen aanleiding, om deszelfs ïaamendel, dat hy het eerst ontdekte , te raaden, hetgeen hem voor den Vinder deszelven deedt aanzien- Nogthans, voegt de Heer Boreel 'er by, onrl dekte men kort daarna dea misdag. Want Adihnus  446 HISTORIE DER Metias en Drebbel, kort daar na tc Middelburg gekomen zynde, gingen aanltonds by Zacharias fans, van wien zy Teleicoopen, enz. kochten. Op deezen grond wyst de Autheur van het Boek de veto Telefcopü inventore de vinding van den Telefcoop toe aan Zacharias Jansx de Brief van den Heer Boreel brengt in de daad vry wel overeen de tegenftrydigheid der getuigenisfen, die wy boven aangehaald hebben. Maar wat zullen wy van den Microfcoop zeggen? moeten wy, tegen alle de tot hier toeaangenomene denkbeelden, geloven, dat deszelfs ooriprong dien van den Telefcoop voorgegaan hebbe? Men zou dit nogthans moeten belluiten uit hec getuigenis Van dien Gezant der Staacen, dat, zo het mytoefchynt, onmogelyk verworpen kan worden, ten zy misfehien door eeniggebrek van geheugen tegen te werpen* Het zy my genoeg deeze {hikken voorgedragen te hebben, welke my als weinig be* kend zyn voorgekomen, fchoon duizend Autheurs gelegenheid gehad hebben, om over de vinding vau den Telefcoop te fpreeken. Ik laat het aan den Leezer over dezelve te overweegen, en daar na een befluit te neemen. Wat'er van de ontdekking des Telefcoopsookzy, dezelve was te voortreftelyk, om in één gewest van Europa lang befloten te blyven. Het duurde niet lang of zy verfpreidde zich aan alle kanten, en men belpeurt gemaklyk, dat de Geleerden en de Sterrekundigen de laatften niet waren om 'er belang in tö ftellen. _ Maar onder die geenen voor welken die Werktuig geen ydel onderwerp van nieuwsgierigheid was, verdient Galileus den eerften rang. IIy was te Venetien, toen het gerucht der ontdekkinge, waar van wy fpreeken, zich aldaar verfpreidde. Onzeker wat hy gelooven moest, wachtte hy daarvan de bevestiging, welke Brieven, uit Parys gefchreeven, hem eindelyk bragten. Daar hy toen verzekerd was van de wonderen, welken de faam van het nieuw Werktuig verbreidde , begon hy , naar zyn zeggen, mee behulp van de Theorie der ftraal*  WISKUNDE. III. Deel. Ül. Boek. *\1 ftraalbreekingen grondig te onderzoeken, welka deszelfs faamenftelling konde zyn, en hy ontdekte dezelve. Dy voorzag de einden eener pyp van twéé glafen, het een bultig, het ander hol; en de. zelve naar de voorwerpen keerende, bemerkte hy, dat dezelve in hunne middellyn driemaal vergroot werden. Dit eerite geluk moedigde hem aan 5 hy maakte kort daar na eenen anderen Telefcoop, die omtrent agt maal vergrootte: eindelyk, noch moeite, noch kosten fpaarende, voorzag hy zich van eenen Telefcoop, die omtrent drie-en-dertig maal in middellyn vergrootte, en het was door middel van deezen laatften, dat hy de Satellieten van .ƒ«• piter, de vlekken der Zon, enz. ontdekte. _ Hetgeen wy hier nu bygebragt hebben, is volgens het verhaat zelf van Galileus, Dus is mets minder gegrond dan hec voorgeeven van hun, welke hem voor den Vinder van den Telefcoop gehouden hebben. Hetgeen men hem met kan weigeren is, dat hy het eerst een Telefcoop van eene zekere lengte gemaakt, en naar den hemel gekeerd heelt. Het is mede waar, dat, volgens het verhaal twelk. hv doet, in zyne ontdekking meer verdien te is, dan in die van den Hollander, die waarfchyrdyk flegts by toeval daar toe geleid werdt. Maar moet men GaliPus op zyn wo. rd alleeu gelooven , wanneer hy zegt, dut hy geen kennis hadt van de gedaante der glafen welke in het famenltel van dat nieuw Werkuiig Kwamen? Het is moeijelyk zich te overreeden, dat hy ten minften niec gehoord zou hebben, dat het beftondt in twee glafen, aan de einden van een pyp gevoegd. Nu was m dat geval het getal uer famenvoegineen van te beproeven glalen niet zeer groot, en dit was zonder twyffel het kortfte middel, om deszelfs weezenlyk famenftel te ontdekken. De Dioptrica was nog te weinig gevorderd, op dat het mogelyk ware anders als door beproevingen daar toe te geraaken. Hetgeen Galileus ergens zegt, dat hy door zyne Theorie bevondt, dat 'er noodzakelyk een bul-  35° HISTORIE der bultig en hol glas moest zyn, toont ten minften dat dié 1 heorie valsch was. De Telefcoop, waar van wy nu de vinding verhaald hebben, was eenen geruimen tyd alleen in gebruA, Men kende nog geen ander in den tyd van Dejcartes, die byna dertig jaaren daar na Ichreef. Men vindt in zyne Dioptrica geen andere famenvoeging van glafen, dan die van een bultig Object. glas met een hol oog-glas. Deeze fchikking heeft nogthans een zeer grooc gebrek; hier in beltaande, dat zyde uitgeltrektheid der voorwerpen, welken men met eenen enkelen opflag van het oog ontdekt, on. gemeen vernaauwt, en dit gebrek vermeerdert naar maate de 1 elefcoop meer vergroot, zo dat men zich hedendaags bezwaarlyfc kan overreeden, dat dezelve zulke groote cnenften aan de Sterrekunde heeft kunnen doen, als hy onder de handen van eenen Galtkus, eenen Scheiner, enz. gedaan heeft D- Kv kers van deeze fchikking zyn federt lang rot klei. Ó engten bepaald. Zelden ziet men zulke Kykers d e lanaer dan van vyftien tot agtien duimen zyn,eil de gemeende zyn flegts vyf of zes Duimen , en zelfs minder lang. Deeze eerfte foort van ICyker wordt! ïïamï deszelfs oorfprong, BataafJihe Kyker ge' Men kan Kepler de eere niet betwisten van den Sterrekmdigen 1 elefcoop in de Theorie het eerst ge kendte hebben. Deeze is de Telefcoop, die flegts uit twee bu tige glafen is famengetteld, en de "oor. werpen omkeert, iets dat van weinig aangelegen heid is voor de Waarneemers, welken het geno g is daarvan onderricht te zyn. Kepkr befchrvft hem wzyne Dwptnca O) op eene wyze, dat me-i lS niet kan miskennen, en hy verklaart zeer wel de? zelfs werkmgen, zo als men uit de oiïtleedinJ dt wy eerlang in dit Werk zullen doen , iet Maar (O prop. 86.  WTPKÜNDE. III. Dkl. ifl. Boek. «49 Maar hy liet het daar by beiusten. Deeze beroemde man, zich eenigSyk daar op toeleggende om de bemelfche beweegingen met naauwkeurigheid te bepaalen , maakte weinig gebruik van den Telefcoop, in dit is waarfchynlyk eere der redenen, om welken hy verzuimde in prafctyk te brengen hetgeen eene' lichtverfpreidende Theorie hem geleerd hadt. Eene andere reden van het weinig belang dat Kepler in zyne ontdekking ftelde, zou kunnen zyn, dat hy het voordeel van die nieuwe famenvoeging van glafeti niet kende; naamlyk de zeer groote vermeerdering van het veld der ziening. Misfchien was hy van oordeel, dat het vry onnoodig was eere fchikking van glafen te beproeven, welke van'de reedsbekende ceniglyk daarin moest verfchillen, dat zy de voor« werpen zou omkeeren. Het gemeen gevoelen is, dat de Vader de Rheüa, een Capucyner Monnik, die geen is, welke de eerfté uitdruklvke meldmg van den Sterrekundigen Telefcoop gedaan hêeft. Maar dit'gevoelen is kwalyk gegrond, en zy, die hetzelve begüulligd hebben, hadden de Rof'a urfina van den Vader Scheiner, in 't Jaar 1630 in 't licht gekomen , niet geleezen. Het is , naar myne gedachten, die Vader, welke de werking van een bultig oogglas, voor een hol in plaats gefteld, hét eerst door de ondervinding duidelyk heeft leeren kennen (t). »« ^° gy» zegthy, twee gelyke Lenfenglafeny.naamlyk beide bultig, aan f-, den Tubus voegt, en op de behoorlyke wyze het ,, oog daar dicht by brengt, zult gy alle de aardfche ,, voorwerpen, wel is waar, omgekeerd, doch ver^, groot, en met eene zeer groote helderheid en uit- gebreidheid zien. Gy zult desgelyks de Hemel-' lichten zien, en naardien zy rond zyn,zal huns, ne omkeering hunne uiterlyke gedaante niet bena-' deelen." Wat verder geeft hy de famenilelling van den Telefcoop met drie glafen , welke de voor- wer* (y) llofa urfina, p. 139- &^fe<}.  *5o HISTORIE DER werpen herftelt, en waar van Kcpkr ook liet grondt beginfel bekend was. Hy zegt eindelyk cp Je zelfde" plaats, dat by zich vóór dertien Jaaren, in eene waarceeming, welke by vóór den Aartshertog Maxi' miliaan had gedaan, van twee bultige glafen bediend hadt. Dus kan men zich niet onthouden den V. Scheinet als den eerften te erkennen, die de Theoric Van Kepler, over deeze twee nieuwe Telefcoopen,in praktyk heeft gebragt. Het is waar, dat een Napolitaansch Waarneemer, Fontana genaamd (a),zich de vinding van den Sterrekundigen Telefcoop, gelyk mede die van den Microfcoop, aanmaatigt, Hy geeft voor, dat hy dien het eerst reeds in 't Jaar 1608 gevonden heeft , en brengt het fchriftelyk getuigenis by van eenen vriend, welke zegt hem daar van gebruikte hebben zien maaken omtrent het Jaar 3614. Maar deeze foort van laat aankomende aanfpraaken op iets vinden altoos weinig ingang, ten zy men zeer overtuigende bewyfen daar voor heeft. In de Republiek der Letteren is, even als in de maatfchappy, eene foort van verjaaring , tegen welke men niet toegelaaten wordt zich aan te kanten. Zo Fontana reeds in 't Jaar 1608 in 't bezit van den Sterrekundigen Telefcoop was, waarom maakte by dan toen zyne ontdekking niet bekend tot welzyn der Sterrekunde , en om zich de eere daar van te verzekeren ? Deeze gierige uitvinders, die van 't geen zy gevonden hebben een geheim maaken, verdienen niet meer daar in geloofd te worden .wanneer, anderen, de zelfde zaaken vindende, hun vóórkomen, en dezelve aan de maatfchappy mededeelen. Wy zyn dan nu reeds in *t bezit van drie foorten van Telefcoopen; de Bataaffche met twee glafen , het een bultig, het ander hol ; de Sterrekundige met cwee bultige glafen , en een derde die, met behulp eener zekere fchikking van twee bultige oog- gla- (») Nova terrejliium celsfliutv ohf. Neap. 1646^ ïa - 40.  WlSKUNDE. IK. Heet. III. EoiL i$t glafen , de voorwerpen herflelc. Deeze laatfte heefc nogthans hei gebrek van de voorwerpen eenigzins ' krom aan de randen te vertoonen, van aan de koleu • ren des regenboogs zeer* onderhevig te zyn ^ en üë onvolkomenheden van 't eerfte oog-glas in 'c oog te doen loopen; om die reden heeft men eene andere famenvoeging van glafen gezocht, bekwaam om, zonder die belemmeringen, de voorwerpen te herftellen. üe V. de Rheita fchynt my daar van de Vinder te zyn. Na ahoorens den Telefcoop met drie glafen s waar van zo even gefproken is, be-* ichreeven te hebben, maakt hy eenen anderen bekend Cv) onder verplaaifte letteren, welke hy in 't vervolg verklaard heeft. De zin derzelven is „ dat vier bultige glafen de voorwerpen beter herftèlJen, en dat van die vier glafen drie de oog-glafen, en een ander het object-glas zyn. Rheita hadt reden te' zeggen, dat die Telefcoop de voorwerpen beter herftelt: op eenig verfchil na van klaarheid, geniet hy de zelfde voordeelen als de o'terrekundige Telefcoop. De Telefcoopen, welke wy nu befchreeven hebben, voldoen aan alle de oogmerken, welke men zich kan voorftellen. De Bataaffche is uitmuntend voor de kleine afftanden; de Sterrekundige is gemaklyker voor de hemelfche beweegingen t, de laats fte, die men Aardfche noemt, is in alles de beste die men kan wenfchen, om de voorwerpen te befchouwen, welken het voordeelig is in hunne natuurlyke gelegenheid te zien. Daar zyn echter nog eenige andere foorten van Telefcoopen, doch die weinig opgang gemaakt hebben. Zodanige zyn zekere Telefcoopen met vyf, of meer, bultige glafen, welke men by Defchaks (w) befchreeven vindt. Zo 'er fomtyds van die foort geweest zyn, wel* (v) Oculus Enich £f FlU, feu radius ftdcreo-tny/Ii* euté O) In Dioptrica, Mimd^Math. T. IH.  %Ü% HISTORIE OER welke om hunne deugd zyn geacht geworden, dpnfc ik dat zulks voortkomt uit de uitnèemendheid der glafen, waar uit zy famengefleld waren, en dat zy nog beter zouden gewee r zyn , als zy even als de Sterrekundige of de Aardïche Telefcoop, eenvouwdlger waren geweest. Hevellus maakt ook gewag van eenen Telefcoop met twee bultige objetl ■ glafen , en een hol oo^glas. D zelve was reeds befchreeven door Syrturuf in zyn Telefcopium (x); maar het is zicln baar, dat die beide cbject-gïafen van de /elfde waarde zyn als een enkeld glas, en dat deeze flegts een Bataafsche 1 elefcoop is: deeze fchikking kan nogthans in zekere omftandigheden voórdeelen hebben. De Heer Molyneux■ (y) gewaagt met veel lof van eenen Sterrekundigen Telefcoop met twee objecl-glafen , en hy noemt denzelven nacht-Telefcoop, uithoofde dat men dien voornaamlyk in de waarneemingen by nacht <*eb^uikte; in de daad, naardien élk der objecl-glafen alsdan tot eenen kloot behoort, die het dubbeld is van dien, waar van het enkeld Objecl:-glas een gedeelte zou zyn geweest, kan men hem eene opentug geeven, die in oppervlakte omtrent het dubbeld van die des laitften is, hetgeen gemaklyk kan zyn, on weinig verlichte voorwerpen te betchonwen. Daar is nog eene andere famenvoeging van glafen, door eenige Gez'chtkundigen voorgefteld , met oogmerk om een middelmaatig objèct-glas te doen dienen, om een veel grooter beeld, dan de lengte van des. zelfs brandpunt medebrengt (z">, te fchilderen Zy wilden , dat men een weinig vóór het brandpunt,' op^ (x) 1618. in 40. Dit is een Werk van zeer weinig belang, en men ziet gemaklyk, da; Syrturus flegts een onweerde was, wien zelfs de beginfelen der Dhptrica niet bfkerd waren.. (y) Diofurick. (a) Vindingen van den Heer de HautefeulUe.  WISKUNDE. III. Deel. IIÏ. Soek. 555 /Op eene zekere verwydering, een hol glas voegde, pp dat hetzelve, door de verëeniging der ftraalen te vestraagen, het beeld van het voorwerp vergrootte. Het oog-glas zou, even als in den Sterrenkundigen Telefcoop, bultig moeten zyn, Deeze famem'lelling is vernuftig, en in de Theorie goed, maar de praktyk heeft ser gebreken in doen ontdekken, waarom men dezelve verworpen heeft. Wy moeten hier niet vergeeten den tweeledigen Telefcoop, eene andere vinding van den V. Rhtita, en welke een Gezichtkundige van zyne order (de V. Cherubin van Orléans) veele jaaren daarna in aanzien heeft trachten te brengen. Dezelve beftaat in twee gelyke Telefcoopen, welke zodanig gefchikt zyn, dat men door dezelven te gelyk het zelfde voorwerp zier. Hier in komt een merkwaardig verfchynfel yoor, en waar uit men echter niet moet befluiten, dat deeze Telefcoop eenig voordeel boven de andereu heeft. Wanneer men door een der beide Telefcoopen een voorwerp befchomvt, ziet men hetzelve als naar gewoonte door een Telefcoop van de zelfde deugd, en de zelfde lengte; maar zo dra men in de beide Telefcoopen te gelyk ziet, fchynt hec veld der ziening zich te vergrooten, en het voorwerp vertoont zich als dan veel grooter en van nader by. Maar dit is flegts een bedrog van het gezicht: men ontdekt door dat middel niets, dat een der beide Telefcoopen alleen niet aan een oplettend oog zon vertoonen,- 'er zyn fkgts eenige trappen van meerdere klaarheid, hergeen de werking is van den dubbelden indruk, welke te gelyk in de oogen gefchiedr. Voorts ftaat dit voordeel gelyk met het ongemak,om naar het zelfde voorwerp te mikken, en in weêrwil der lofredenen van den V- O'hrubin, ftellen wy grootelyks in twylTel,dat de Obfervattria. zich ooit van zodanige Telefcoopen zullen voordien. R 3 HL  Ï54 HISTORIE DER I I I. Op de Hiftorie van den Telefcoop troef natuurJyk die van den Microfcoop volgen. Hetgeen da eerfte in de Sterrekunde is , is de tweede in de Natuurkunde; zo de een ons eenigermaate in de afgelegenfte hemelgewesten overbrengt , ontdekt ons de ander de kleinfte voorwerpen der natuur; de eerfte heeft ons de verbazendlle verfchyn'elen in de Hemelen doen ontdekken, en voornaamlyk veel toegebragt, om de denkbeelden der Natuurkundigen over het ftelfel van 't Geheel-al te verbeteren. Ue laatfte heeft, door cns in de innerlyke famenvoeging der lighaamen te doen dringen, ons eenigermaate eene nieuwe Waereld ontdekt, zo vruchtbaar in wonderen,en zo zeer de verwondering van het menschlyk verftand u-aardig. Daar zyn twee foorten van Microfcoopen, de enkelvouwdige en de famengeftelde. De eerfte beftaat alleenlyk in eene lens van een zeer kort brandpunt. Ken glafen bol van eene kleine middellyn is "mede pen Microfcoop. Zo dikwyls als men dus diergelyke lenfen of glafen bollen gemaakt heeft, heeft men Microfcoopen gehad. Het is waar dat men nog byna niet bedacht is geweest, als omtrent het midden der voor^ gaande eeuwe, om zeer kleine Microfcoopen te maaJcen, en in dat opzicht kan men zeggen, dat de vinding van den enkelvouwdigen Microfcoop niet minder jong is, dan die van den Telefcoop. De farnëogeftelde Microfcoopen zyn die, welke gevormd zyn uit een leus van een zeer kort brandpunt, die men hec objcét-glas noemt, en uit één of verfcheide oog-glafen. Hunne vinding is niet minder onztker, dan die van den Telefcoop. Men gelooft in 't algemeen, dat Cornelh Drebbel Ca) de Vin- O) Drebbel, de uitvinder van den Thermometer, was geens-  WIS K U N D E UI. Deel. III. Boek. 255 Vinder daarvan is, en dat de eerften omtrent het Jaar i6i'd of 1620 zyn. bekend geworden. Maar volgens den Brief, dien "wy boven aangehaald hebben, moet men dit Werktuig meer oudheid geeven, en het zelfs het recht van eerstgeboorte boven den Telefcoop toefiaan. De Microfcoop, die Drebbel ie Loiutiy hadt, was zyn werk niet, zo als de Brief, waarvan wy fpreeken, uitdruklyk zegt, en het zóu zeer wel kunnen zyn, dat het gerucht, *t welk hem den uitvinder daarvan roaakr, geen anderen grond hadt, dan het gebruik dat hy daarvan maakte , en de ongcineene dingen, welke hy door deszelfs middel toonde. Het zou van veel gewigt zyn, ale de Gezant der Stnaten van Holland, die ons het uitwendige des Microfcoops van Drebbel befchreeven heeft, ons ook het inwendige daarvan hadt doen kennen. • ik gis dat dezelve , even als de Telefcoopen van deezen tyd, famengelteld was uit twee glafen, het een bultig, het ander hol. In de daad, men kan een Microfcoop met eene lens van een middelmaatig brandpunt maaken , door he: voorwerp een weinig achter dat brandpunt te plaatfen, en het oog.glas tusfehen dat glas en de plaats van het beeld te zetten. Maar deeze Microfcoop heeft het gebrek van den BataafIe hen Telefcoop; deszelfs veld is zeer naauw : om die reden wordt van denzelven geen gebruik meer gegeenszin», zo als men in verfcheide Boeken, en onder anderen in het Schpuwtoonee! der Natuur, leest, een Boer uit Noord.Hofland. Hy was gebooren te Alkmaar, en hadt, zegt de Chionyk van die uad, eene zeer keurige opvoeding gehad. Hy was zeer weetgierig in fcbérpzimiige nieuwigheden, en natuurlyl'.e geheimen; hetgeen hem geliefd maak. te by Jacobus I. Koning van Engeland, aan wiens Hof hy eenigen tyd woonde. De Heer Boreel, Gezant der Staa. ten in Engeland en Frankryk, noemt hem zyn vriend; dit is geenszins de tytel, welke een aanzienlyk man aan een . Roer geeft, die eenige ongemeene dingen toont, of uitgevonden heeft. li 4  ajö HISTORIE DER gemaakt, federt de uitvinding der Microfcoopen met bultige oog ■ glafen. De Microfcoop uit bultige glafen famengefteld is ren aanzien van den Sterrekundigen Telefcoop, hetgeen de voorgaande ten aanzien van den llataai'lijhen 1 elefcoop is. Deeze reden doet ons denken, dat deszelfs tyd merk niec hooger dan dat van den Sterre. kundigen Telefcoop opklimt; en in de daad , wy vinden van denzelven geen fpoor vóór het Jaar 1646, toen het Werk van Funtana, waarvan wy gefproken hebben, het licht zag. Fontana waande daar van de Uitvinder te zyn, gelyk mede van den Telefcoop met een bidtig oog-glas. Wy kunnen daar over nifts vastfteilen. De ftukken ontbreekèn ons; vveshalven wy dien Italiaanfchen Sterrekundige gaernc in 't be?it der ontdekkinge van die foort van Microfcoop zullen laaten, vermits niemand anders zich dezelve aanmaatigt. I V. De Telefcoop was een te verworderingswaardig Werktuig, om niet in alle Wiskundigen eene levendige bekommering over de oorzaak zyner werkingen te verwekken; en onder dezelve was zonder twyf fel een groot getal, welke arbeidden om die qorzaak te ontvouwen. Maar Kepler was de gelukkglle en de vaardigfte van allen. Hy verklaarde dezelve in 't faar 1611, in zyne Dioptrica, een Werk dat hem geen minder eere aandoet, dan die waar mede hy de Stenekunde verrykte. De volgende ontleding zal toonen, dat deeze beoordeeling zonder deminfle vergroot'tng gefchiedr. De eerfte ftap , die men in de Dioptrica hsdt te doen, was de Wet te ontdekken, welke het liehc in 't breeken volgt. Kepler was, wel is waar, hier in rjiet gelukkiger, als hy geweest was in zyne Aflronoinia Optica, waarin wy hem gezien hebben zich uitputten in nafpooringen en gisfipgen, om dezelve te bepaaleri. Maar door de ondervinding geleid,(lelde hy  WISKUNDE. III. Deel. UI Boek. hy daar voor eene andere, bekwaam om in de nafpooringcn, weike hy te doen hadt* derzei ver plaats te vervullen. Hy bemerkte dat, zo lang de hoek van helling (b) eens ftraals niet boven 30° is, de brceking, welke die ftraal ondergaat, daarvan op zeer weinig na Pet derde-deel is, en hy nam deeze betrekkina voor de waare Wet. Maardien de klootfche oppervlaktens der glafen, wtlke men 111 de 1 eJcfcoopen gebruikt, zelden 200 uirgeftrektheids van hun midden naar de randen hebben, dacht Kep,er zich met zekerheid daarvan te kunnen bedienen; en in de daad, hy geraakte daar door niet op eenen dwaalweg. Zyne bepaalingeu zyn geheel en al overéenkomftig met die, welke de waare Wetderllraalbreeking aan de hand geefr. ' Het licht, van een dikker 111 een dunner miaJenfloffe overgaande, wykt van de loodlyn af, en wel 'zo veel te meer als de helling grooter is ; 'er is eindelyk eene zodanige helling, dat de gebroken ftraal evenwydig met de breekende oppervlakte werdt. Deeze hoek is van 48 graadenen eenige minuten ui het glas, dat is ie zeggen, dat een lichtftraal, die op eene platte oppervlakte van glas zou valien, om van daar in de lucht te gaap, door met dezelve een hoek van 42» te maaken, die oppervlakte by het uitgaan eetrgzins zou aanroeren. Maar wat zu len de ftraalen worden, die dezelve nog Ichuinfer ont. moeten zullen? Hier gebeurt een merkwaardig \ err fch\nfe), dat Kepler niet omfhaptc. De Itraalbretr kin-* alsdan geen plaats meer kunnende hebben , verandert in eene terugkaatfihg, die voorts als tiaar gewoon- De hoek van de helling, waervan wy dik*yls geleeenheid zulkn hebben te fpteeken, is die, welk^ de invallende ftraal wet de loodlyn op de breekende oppervlakte vormt. De hofek, welken de gebroken flrsal met dié loodlyn vormt, wordt de gebroken koek genoemd. Het js echter federf eenige jaaren in gebruik geraakt, van ooit deeze'uetde hoeken hóeken van invalling en brtekuig tg noemen. • . K- 5  25* HISTORIE db* woonte gefchiedt, naamlyk met eenen hoek die gelyk is aan dien van invaliing. Deeze algemeene grondbeginfelen over de ftraalbreeking vastgefteld zynde, gaat Kepler over om de .eigenfehappen der lenfen gialen te onderzoeken. Hy doet aanftonds zien, dat diegeenen weike bultige vlakken zyn, hun brandpunt hebben, dat is, de ftraalen evenwydig aan hunnen As verëenigen, op den afftand van de middellyn des kioots, waarvan hunne bultigheid een gedeelte is, en dat diegeenen, welke aan beide zyden even bultig zyn, hetzelve op den afftand des ftraals hebben. Wat aangaat de glafen , welke ongelyk bultig zyn % hy bepaalt den afftand van hun brandpunt niet als door te zeggen, dat dezelve het midden (medium) is tusfehen de beide bultige vlakken. Sedert heeft men dien afftand naauwkeuriger aangeweezen ( c), en het is, zo ik denk, Cavalleri, die zulks het eerst gedaan heeft. Alles wat nu van de bultige glafen gezegd js, wordt ook op de holronde glafen toegepast, met dit onderfcheid, d2t de famenloop der gebroken ftraalen , in plaats van achter het glas te gefchieden, aan deeze of de zelfde zyde, alwaar de invallende ftraalen komen, gefchiedt; de Analisten zouden zeggen, dat de alftand van hun brandpunt negaftf is, terwyl die der bultige glafen psfitif is. Het is daar na niet mueijeijk te vinden, welke verandering een bultig glas in de richtflreek der ftraalen , welke uit een punt, op zynen As geplaatst, komen, te wege brengt. Vermits de ftraalen, welke evenwydig zyn, zich in deszelfs brandpunt vereenigen, moeten die, welke uit dat brandpunt komen, evenwydig worden. Zo dezelve uiteen punt tusfenen het brandpunten het glas komen, zullen zy dhtrgeerende, of zich van eikander fpreidende, blyven, doch minder als of zy geen breeking onder. * O) Men moet dellen, gelyk de fom van de middelly. nen der beide bultige vlakken tot één der beiden, alzo de andere toe den afltand van het brandpunt,  WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. 259 dergaan hadden. Eindelyk de draaien, welke uit een punt achter het brandpunt komen, zuilen by het uitgaan van het glas convergeer en of famerloopen, en zich in een punt, achter het tegen overseftelde brandpunt geplaatst, gaan vereenigen. . Kepler merkt in 't byzonder aan, dat de ftraalen komende van eenen afftand, die het dubbeld van dien des brandpunts is, zich insgelyks ver van de andere zyde gaan vercenigen. De laatere Gezichtkundigen hebben de anderen van nader by onderzocht, en aangevveezen op welken afftand de vereenigtng der ftraalen, uit eenig punt van den As komende, gefchiedt (d). Deeze bepaaling was nog eenigzins te moeijelyk voor Kepler, wien zyne Sterrekundige en zeer onderlcheidene bezigheden niet toegelaaten hadden, om grondige vorde* ringen in de Meetkunde te doen. Een verfchynfel by alle dieceenen bekend, welke Jenien-glafen behandeld hebben, is dat van het beeld der voorwerpen , welke zy achter hen fchilde. ren. Men plaatfe m eene kamer een bultig glas aan den muur over een venfter, en men verwydere hetzelve daarvan omtrent zo ver als de afftand van deszelfs brandpunr, dan zal men op dien muur het beeld van het overftaande venfter zo veel grooter en duidelyker zien , als het glas van eenen grooteren kloot zal zyn. De verklaaring van dit verfchynfel is ge- (d) Om dit punt van verè'eniping te vinden, moet men deeze evenredigheid ftellen. Gelyk 't verfchil, 't welk de afftand van het voorwerp tot het glas grooter is dan die van het brandpunt, tot den afltand van bet brandpunt, alzo deeze afilaud tot dien van het punt van verëeniging achter het glas. Deeze zelfde evenredigheid geeft het punt, waar uit de ftraalen divergceren, wanneer het voorwerp tusfehen het glas en het br.mdpunr ij. Want alsdan is het verfchil, 't welK de afftand van het voorwerp tot het glas grooter dan die van het brandpunt is, negatif; hetgeen de laatfte Term der Evenredigheid negatif maakt: nu is een r.egattve afftand flegts de zelfde afftand, doch in eenen tegengelieldcn zin genomen.  *6o HISTORIE DER. gemaklyk;uit elk der punten van het voorwerp r*dat wy in den A* van het glas of daar omtrent anaejftel. len ) gaat een bundel ftraalen •> die op hec glas vallen, en zich achter hetzelve vcrëenig'cn. De liraa> len die van den As zelf komen, vèrëenigen zich in den As; zy die van de zyden komen loopen iaamen in een punt der Lyn, door het midde;i van 't glas getrokken: daar uit komt het, dat de famenloop der ftraalen, uit de laagere deelen van het voorwerp ko« mende,'naar boven en in tegendeel is; hetgeen Kaakt dat het beeld omgekeerd is. Wat deszelfs grootheid aangaat, dezelve ftaat tot die van het voorwtrp , als deszelfs afftand van het glas tot den afftand van het glas tot het voorwerp, is dit voorwerp honderdmaal verder afgelegen dan het beeld, zal het laatfte honderd maal kleiner, en integendeel zyn. Wy zeggen niets van den afftand op welken let beeld zich n oet fchilderen. Dezelve is gemaklyk te bepaalen, zo dra men zich herinnerd zal hebben hetgeen wy over het punt van famenloop der ftraalen, uit den As van een glas komende, hebben gezegd. Hetgeen wy nu gezegd hebben is de grond der Theorie van de Telefcoopen en Microfcoopen. Maar vóór dat wy tot de verklaaring van hunne werkingen komen, moeten wy met Kepler aanmerken, dat men de voorwerpen door convergeer ende, of zelfs evenwydige ftraalen, niet duidelyk ziet, ten zy men verrezitnde is. De natuur onze cogen gefchikt hebbende om weinig afgelegene voorwerpen te zien, heeft dezelve zodanig ingericht, dat, buiten eenig byzonder gebrek, 'er geen andere dan de middelmaatig dhergeerende ftraalen zyn, welkers famenloop op het Netvlies gebragt moet worden: als dan het oog zodanig gefteld is, dat het convergecrende of famenloopende ftraalen ontfangt, zal men de ziening dui. delyk kunnen maaken, ais men flegts eenig middel heeft om dien famenloop te verbeteren, en in eene middclmaatige cliiergeenng, of ten hoogteen jn even^yydigheid te veranderen. Laat ons dit op den B4taalfchen Telefco p totpasfelyk maaken. Als  WISKUNDE. III. Deel III. Boel. 9ÉI Als men een bultig glas nanr de Zon, of naar een ver afgelegen \oorwerp houdt, zal in het brandpunt van dat glas een beeld van dat Hemellicht of van dac veorvverp gevormd worden. Als het oog bicotelyk geplaatst was tusfehen dat brandpunt en het glas, zo dat de ftraalen die het zou ontfaDgen convergeerende waren, zou het niet anders dan onduidelyk zien; maar zo men tusfehen beiden en zeer dicht by'toog, een hol glas ftelt, 't welk die. naaien middelmaa* tig doe dhergeeren, zal het voorwerp duidelyk gezien worden; het zal ook grooter fchynen, om dat de draaien, van de einden komende, eenen groo. teren hoek zullen maaken. De Heer Huyghens heeft naderhand getoond, dat die vergrooting gefChiédde in de reden van de vertyydering de» brandpunts van het holle glas, tot dat des brr.ndpunts van het bultige glas. Zo dit laatfte zyn brandpunt, tienmaal verder afgelegen heeft dan het ander, zal liet voorwerp tienmaal zo groot fchynen, als of men'hetzelve met het bloote oog befehouwde. Zie lig. 63. De reden der werking, welke de Telefcoop met bultige glafen voortbrengr,is ten naaste by de zelf. de. Het Objtct-glas fchildert by zyn brandpunt een beeld van het voorwerp. Het tweede glas zodanig gefchikt zynde, dat dat beeld in deszelfs' brandpunt is, zo volgt daar uit, dat de ftraalen,' welke uit ieder der punten van het beeld komen,,-evenwydig of middelmaatig divergeetende gemaakc worden. Daar uitqntftaat de duidelykheid met welke iéder van die punten op het Netvlies getekend wordt. Het voorwerp wordt duidelyk gezien, en het fchynt in de reden van de alftanden der brandpunten van het oog-en objee^-glas vergroot te zyn. Ik zeg dat de ftraalen, welke uit ieder der punten van het beeld komen, evenwydiit of middelmaatig (Rvergeerende gemaakt worden. Wat aangaat de richtftreek van ieder der bundels, welken zy famcnlfel. lén , zy worden gebogen door de breeking, welke zy in het oog «glas ondergaan, zodanig dat hunne- as.  2(52 HISTORIE DER asfen zich allen by het overftaande brandpunt door* fnyden.- De 64^. Figuur is zeer gefchikt, om vart' deezeu weg der ftraalen een duidelyk denkbeeld te geeven. Daar uit is het dat de fchynbaare omkeering van het voorwerp oncftaat; want deeze fnyding of doorkruifing der bundels van ftraalen maakt dac hec beeld, 't welk zich in 't oog fchildert, in den zelfden ftand is als hec voorwerp": het moet derhalven omgekeerd verfchynen. Het is ook om die reden, dat men het oog op eenen afftand van het óog-glas moet houden, die ten naaste by gelyk aan die van deszelfs brandpunt is. Daar door vereenigt men de meest mogelyke penceelen der zydelingfche punten van het voorwerp, en het veld der zieninj; is dies te grooter. Laaten wy ons thans voorftellen, dat men in plaats van dit oog-glas naar het beeld, door het object glas gevormd , een glas van een kort brandpunt houdt, op eenen dubbelden afftand van dien van dit brandpunt. Men heeft boven gezien, dat aan den' anderen kant zich een beeld moet fchilderen , gelyk aan het eerfte, en alleenlyk omgekeerd. Wy zullen derhalven door die middel het beeld, door het objecl: • glas gevormd, kunnen omkeeren; en zo wy op dezelfde wyze, als men in den bovengemelden Telefcoop gedaan heeft, een oog-glas naar hetzelve houden, zal men het voorwerp gelykelyk vergrootj, en met de zelfde duidelykheid, doch herfteld zien. Zie Fig. 65. Men heefc echter in deeze fchikking van glafen eenige zwaarigheden befpeurt , van welken in heE tweede Artikel gefproken is, en die heefc een ander middel doen verzinnen, om de vertooning van het voorwerp te herftellen. Men houdt naar het beeld, dat door het object-glas getekend wordt, een oogglas zodanig , dat dat beeld in deszelfs voorfte brandpunt zy. Dit oog-glas maakt de ftraalen evenwydig , welke ieder penceel, uit ieder punt van het eerfte beeld gekomen, famenftellen. Men plaatst tegen over dezelve een tweede glas gelyk aan het eerlle  WISÉÜNDE. III. Deel III. Beek, tg fie, en op eenen dubbelden affrand van deszelfs brandpunt, 't welk die evenwydige ftraalen dntfa"r#gende, dezelve op nieuw doec famenloopen, en achter hetzelve fchilderen , een bpeld gelyk aan het eerfte, doch in tegengeftelde richting. Men voegt 'er eindelyk eenderde oog-glas by, als in den Sterrekundigen Telefcoop. Deeze is dan de zo genoemde aardfche Telefcoop, die de voorwerpen herfielt. Zie Fis. 66. Hetgeen wy nu over de Telefcoopen gezegd hebben baant ons den weg tot de Leere derfameagefielde Microfcoopen. Maar in hunse famenftelliug is een byzonder grondbeginfel,- dat wy aanfcondsmoeten leeren kennen. Wy hebben reeds aangemerkt v .dat een vooiwerp, een weinig achter het brandpunt van een bultig glas geplaatst, een veel grooteren verder afgelegen beeld vormt. Men plaatfe eene Lens van één duim brandpunts op dertien lynen van een klein voorwerp, dan zal op omtrent dertien duimen van dat glas zich een beeld vormen, en hetzelve zal twaalf maal zo groot zyn als het voorwerp zelf. Op deeze vergrooting is de werking, welke do Microfcoop voortbrengt, gegrond. Want als men naar het bovengemelde beeld een bultig oog-glas houdt: dit beeld in deszelfs brandpunt geplaatst zynde, zal hec zyn als of wy met dac oog-glas een voorwerp gelyk'aan het eerfte, en twaalfmaal grooter befchouw. den. De Microfcoop zal derhalven vergrooten in fameiigeftelde reden der vergrooting van het beeld , door het eerfte glas gevormd, en van die welke hec oog-glas zelf vergroot. Het is mede gemaklyk te zien, dat het voorwerp omgekeerd zal fchynen; dit js een noodzaakelyk gevolg van de omkeering des beelds, door het object-glas voortgebragt. Het veld der ziening is ook veel grooter, als of men een hol oog-glas gebruikt hadt, zo als men in 't eerst deedt. Zelfs maakt men dit veld nog grooter, als men, in plaats van een eenig oog-glas, twee famengevoegde oog-glafen , of die op eenen korten afftand van  2*4 HISTORIE der van elïïander zyn, gebruikt. Naardien het alsdsV nier noodig is, dat ieder een gedeelte van eenen zo kleinen kbot zy, kan men daar uit een grooter ré*, ment ontdekken , en daardoor verzamelt men in 't gemeen brandpunt der beide oog.glafen een grooter getal zydelingfche penceelen van het voorwerp. V. Men heeft in het voorgaande Artibel gezien, dat Kepler tot grondbeginfelen van zyne nafpooringen nam, dat de hoek van breeking het derde deel van dien van helling was, zo lang deeze laatfte niet groo-. ter dan 30" is. Maar welke ontdekkingen hy ook door middel V3n deeze benaderde wet der ftnalbreeking gedaan hadt, hadden de Wiskuuftenaars nogthans grondige redenen , om 2ich niet met dezelve te vergenoegen, Men moest de waare Wet vinden, etx 't was alleen door dat middel, dat zy tot de algemeene oploshng van alle de Voorftellen, welke van deeze eigenfehap des lichts afhangen,konden geraaken 0 tiet was aan Snellius te), een Hoh'andsch Y\ isktm- di- O) Willebrordus Snellius ($>nel), zoon van RudoU p/ius Snellius, Hoogleeiaar der Wiskunde aan de Univerfiteit te Leiden, en ztlf Hooglee.'iur aau deeze Hooge School, kwam in 1591 ter waereld. Behalven de ontdek, king, waar van wy fpreeken, is men hem verfchuldigd de eerde naauwkeurigé meeting der Aarde, of ten minden de wyze om daartoe te geraaken. Hy is Autheur vart verfcheide gedrukte Werken, als zyne Cyclemetricus, waar Van wy m 't begin van het eerde Boek dsczes Dee's gefproken hebben; zyn Typhis Batavus; zyn Eratoflenei Batavus; Appollonti, de fecttone rationis & determinant libri reftituti; Obf. Hafiaca; de Com. ann. 1618. Re Hy ftierf A°. 1616, in eenen nog zeer weinig gevo.derden ouderdom,' 00  WISKUNDE. III. Deel. III. Boek, 965 dige, en in verfcheide opzichten lofwaardig , voorbehouden deeze ontdekking te doen. Het Werk, dat liy over dat onderwerp en oyer de Gezichtkun Je in 't algemeen gereed maakte, heeft, wel is waar, nooit het licht gezien: men weet nogthans, en men (laat toe, dat hy de eerffe is , die de waare wet der (Iraülbreeking gevonden heeft. Men kan met waarfchynlykheid gisfen, dat de ondervinding hem daar toe geleid heeft. Hy ontdekte, dat, als men aan den As van ftraalbreeking ACB QFie. 68.) eene evenwydige DH trekt, 'er altoos, in de ftraalbreeking tusfehen gelyke plaatfen , een zelfde reden tusfehen den gebroken ftraal CE, en de verlenging CF van den invallenden ftraal was. By voorbeeld, wanneer het licht uit de lucht in 't water gaat, is deeze reden ftaudvastig die van 4 tot 3 : wanneer de ftraalbreeking \iit de lucht in 't glas gefchiedt, is het de reden v n 3 tot <2. Als men dus e^nen anderen invallenden ftraal onderftelt, heeft men Ctë tot CF,, als Ce tot Cf, dat is, dat in de ftraalbreeking, welke tusfehen twee ?e'fde middenftefrVn gefchied is, de Secans - complementen van den hoek van helling en den gebroken hoek in ftandvastige reden zyn. Schoon het Werk van Snellius nooit in 't licht gegeeven zy, is evenwel de ontdekking, waar van, wy fpreeken, nog vóór den tyd van Defcartes al« gemeen bekend geworden. Fosftus zegt ons, in zyne Verhandeling de ttaturd lucis, dat de Hoogleeraar Hortenfius dezelve in 't openbaar en in *t by zonder hadt onderweezen. Hy voegt er by, dat de Erfgenaamen van dien Wiskunftenaar zyne handfehriften zeer gemaklyk aan de Geleerden mededeelden , en vermits hy zelf zyne drie Boeken over de Gezichtkunde in handen hadt gehad, gewaagt hy van dezelve met den grootllen lof. Wy hebben de voordeeligfte gedachte van die Boeken, doch veeleer wegens de bekende bekwaamheid van derzelver Autheur, als op den grond der kundigS heid  266 HISTORIE Ö E R heid van Pbsfius in die ftoffen. Want de hier boven aangehaalde Verhandeling is een zeer (legt Werk, en bewyst niets anders dan zyne eerzucht om over ftoften tefchryven, in welken hy naauwlyks onderweezen was. Wy ontleenen nog uit Fosjïus, dat [zyn Landgenoot èe ftraalbreekende lyn hadt nagevorscht; hy gaf deezen naam aan de kromme, welke eene platte oppervlakte , als die des bodems van een bekken, fchynt te vormen, als dezelve, door ftraalbreeking, door het water dat denzelven bedekt , gezien wordt. Volgens den zelfden Schryver hadt de beroemde Penfionaris van Holland , de Heer de Wit, deeze kromme lyn insgelyks grondig onderzochc, en bevonden, dat dezelve van een hooger geflacht was, als kunnende door eene rechte lyn in drie punten gefneeden worden. Zonder twyffel namen beiden tot grondbeginfel aan, dat het punt, door ftraalbreeking gezien, zich in de loodlyn op de breekende oppervlakte vertoonde. Dit voorftel heeft den aandacht van den lieerde Mahan verdient, en ons eene fraaije Memorie over dat onderwerp verfchaft Oeeze geleerde Academist, van het bovengemeld grondbeginfel gebruik maakende , bevindt dat de kromme, waar van wy fpreeken, eene Eliiptifihe Conchois is, dat is door eene Ellips geteeld, even als tle gemeeue Conchois door een Cirkel geteeld wordt Qj), enby die gelegenheid treedt hy in weetenswaardige en grondige nafpooringen over dteze foort van kromme lynen. Maar laat ons weder tot Suellius, en tot de wet der ftraalbreeking overgaan. Men wil dat Defcattes het eerfte denkbeeld van zyne Wet der ftraalbreeking uit die van Snelliusomleend heeft, laat ons maar ronduit zeggen , dat hy dezelve van hem heefc, en alleenlyk heeft veranderd, door dezelve op eene andere wyze uit te drukken» f/) Mém: del'Acad. ann. 1740. (g) Zie de noot van pag. 144.  WISKUNDE. Hl. Deel. III. Beek. a6j ken. Wy kunnen niet ontveinzen, dat in die be» ichuldignsg eenige fchyn van waarheid is. Behalven de boven bygebragte ttukken op het getuigenis van Pos/lus, zegt ons de Heer Huyghens, dat hy zeker wist, dat Defcarns de handfehrifcen van Snellius gezien hadt. Hy trekt echter daar uit niet volftrektelyk het s;evolfF, dat Defcartes die ontdekking aan dezelve verfchuldigd was. Hy vergenoegt zich met zulks te vermoeden, en wy denken niet, dat men op eene rtchtraaatige wyze verder kan gaan. V I. Zo wy al aan Defcartes de ontdekking van de wet der ftraalbreeking niet verfchuldigd zyn, kan men hein ten minften de verdienfte niet betwisten van de eerfte vernuftige verklaaring, uit de grondbeginfe» len eener gezonde Natuurkunde afgeleid, daarvan gegeeven te hebben. Dit was één der voorwerpen, welke hy zich voorftelde in zyne Dioptrica, die in 1637 het licht zag. Ik zeg één der voorwerpen , want Defcartes handelt in dat Werk, ten deele Natuur- en ten deele Wiskundig , over veele andere vracgltukken, als de natuur van het licht, de wyze op welke de ziening gefchiedt, de oorzaak van den regenboog, de inrichting der Lenzen-glafen, welke tot de volmaakt/te Telefcoopen dienftig zyn. Wy zullen van die voorwerpen die geenen doorloopen , welke ons de nieuwfte eu rechtmaatigfte denkbeelden opleveren. Niemand is onbewust, dat Defcartes het licht doet beftaan in de drukking eener dunne vloeiftoffe, door het lichtend lighaam in beweeging gebragt. Naardien hyde verbreiding van het licht oogenblik. ]yk oordeelde, onderftelde hy, dat de deelen van die viotiftoffe geheel onbuigzaam waren, op dat de drukking, door het lichtend lighaam geoeffend , op het oogenblik tot het verst afgelegen uiterfte ging. De aanhangers van dien Wysgeer hebben daar in delee. re van hunnen meester verbeterd, door die vloeiftofS 2 'te  268 HISTORIE DER fe veerkrachtig (e maaken, en daardoor hebben zy dezelve meer overëenkomltig met eenige verfchynfelen gemaakt; maar zy hebben dezelve niet ontheven van eenige hoofdzaakelyke tegenwerpingen. De eene is, dat zo hec licht in eere gelyke drukking beliondt, het zich altoos zou doen gevoelen in alle de punten van die vloeiltuffe, zonJer dat de tusfchenfteiling van ten donker lighaam zich daartegen aankantte. — Want in het ftelfel van Defcartes is het noodig de geheele vloeiftoffe, die het beginlel vart *t licht is, te onderftellen als beflolen zynde in een vat, welks wanden dezelve verhinderen daar uitte loopen. Laat ons derhalven eene vloeiftoffe onderftellen, welke in eenen bol bedoren is, en dat een lighaam, in deszelfc middelpunt geplaatst, door zyne heen en weêr beweegingen op dezelve werkt, dan zullen alle de deelen van die vloeiiioffe in alle lichtingen gedrukt worden; want het is eene eigenfehap der vloeifteffen, dat zy den indruk, dien zy zy ontfangen, in alle richting overbrengen. Dus zou de tusfchenftelling van een donker lighaam den indruk van hec licht geenszins benadeelen; menzon «midden inden nacht daar in even zo klaar zien , dan Wanneer de Zon boven den Horizon is. Dus ook wordt het geluid, in eene heen en weêr bcweeging , ot eene wederzydfche drukking van alle de deelen eener veerkrachtige vloeiftoffe, beftaan 'e, in alle richtinaea overgebragr. Omtrent het licht heeft zulks geen plaats, waar uit men moet befluiten, dat de inrichting der beweeging van het licht van eene andere natuur is. ftfcar hec is hier mede genoeg over dit onderwerp, dat in zeker opzient niet tot ons Plan behoort. Het ftiac aan de Aa. tuurkunde om deeze groote vraag te onderzoeken. Lnat ons weder overgaan tot de wyze op welke Defcartes de Wet der irraalbiëeking verklaard, en getracht heeft te tetoogen. Defcaues doet de Wet der ftraalbreeking niet , even als Snellius, bellaan in de ftandvastige reden der invallende en gebroken ftraalen, tot eene even- wy*  WISKUNDE. III. Desl. III. Boek. iC9 wydige aan den As van ftraalbreeking verlengd, by drukt dezelve uit door de ftandvastige overeenkomst der Sinus van den hoek van helling ARD (Fig 69) met die van den overeenkomltigen gebroken hoek CRB. Neetnende dus eenen anderen invallenden ftraal aR, en zynen gebroken ftraal Kb, is 'er altoos de zelfde reden van AD, tot BC, als van ad tot bc. Deeze reden wordt uit die van Snellius (b) gemaklyk afgeleid, doch zy verdient den voorrang boven dezelve, wat ook Fosftus daar van zegt, of liever zy hebben beide haar gebruik naar de voorvallende gelegenheden. Defcartes voerde deeze Wet niet in door proefneemingen. Het zy dat hy 'er gedaan hadt, om zich van de waarheid re verzekeren, of dat hy aan die van Snellius kennisfe hadt, by heeft 'er niets van aangeroerd, en hy draagt ons dezelve ceniglykvoor, als het gevolg van zyne navorfchingen over de natuur der terugkaatfing en ftraalbreeking. Naardien, volgens Defcartes, de verklaaring der terugkaatfing dient, om die der ftraalbreeking te bereiden, zullen wy hem navolgen, door van daar af te beginnen. Men kan, zegt hy, van hetgeen aan het te rug gekaatst licht gebeurt tot voorbeeld neemen, hetgeen een volmaakt harde bol, tegen een volmaakt hard en onbeweeglyk vlak gedreeven, ondergaat. De beweeging van dien bol is famengefteld uit twee beweegingen; de eene volgens de lood- (h) Want in den Driehoek ROB (Fig 69) heeft mea de zelfde reden van RB tot RO, als van de Sinus des hoeks ROB, of ROG, die gelyk aan den huek van heljirg is, tot die van RBG, of BRC, welke de gebroken boek is. Maar deeze twee zelfde lynen RD en RO zyn da Secanten der hoeken GRO, GRB, welke K/aarblyklyk de Comtlementen van den hoek van invalling en den gebroken hoek zyn. Derhalven zyn RB en RO wederkeerig als die Secpnten. S 3  Ko HISTORIÉ DER. loodlyn AF, en de andere volgens de evenwyli-' ge met het tefugkaatfend vlak AU. Zodanig zou J_n de daad zyne richtftreek z^n, zo hy te gelyk in die beide richtingen gedreeven werdt door twee krachten, wélke hem in die betrekkingen fnelheden indrukten. Maar deeze bol in het raakpunt R gekomen zynde, ondergaat het gedeelte van zyne beweeging Al) geene verandering; want het vlak (lelt heiri in die richting geen hinderpaal; de fnelheid AD, of in de richtftreek AD, zal derhalven geheel, en uit kracht van die fnelheid, beltaan, de bal zou dus de evenwydige HE , die van KI) éven zo ver ais AF is, in den zelfden tyd achterhaalén, dien hy heeft noodig gehad om van A in R te komen. Van eehen anderen kant, zegt ptfcatM, rnoet de bal, ais niets van zyne beweeging mededeelende, zich even zo fnel als re vooren beweegen, en by gevolg eenig punt van dèn Cirkel bereiken, die uit het middelpunt R. niet den ftraal RA befchreeven is, in den zelfden tyd dien hy hefteed heefi, om de lyn AR te doorloopen. Hy moet derhalven in het gemeen punt van dien Cirkel en van de evenwydige Hli gaan, dat Is te zeggen, in het punt E. Het overige is gemaklyk, en het is klaarblyklyk, dat de hoek ÉRGziARF, of KRD— AK.D, dat is, dat de hóek van invalüng gelyk aan dien van te rug ftuitina is. Defcartes zou zich korter en duidclyker op deeze wyze hebben kunnen uitdrukken. De richtftreek AF van de bal A, in welke het vlak zich rechtftreeks tegen denzelven aankant, en die bal zouden met de zelfde fnelheid en in de zelfde richtftreek te rug wyken, zo hy geen andere dan die beweeging hadt: Maar hy heefc tevens de be.Weeging AD, welke geen verandering ondergaat: de beweeging van deezen bal in R zal derhalven fa ;-.e.' eftel.t zyn uit de twee RH , RD, gelyk aan de twee A'), AF, of RF, RD; by gevolg zal Rb, de lamengeftelue. richtftreek zyn, en uic hoof-  WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. *?l boofde der gelykheid van de Driehoeken RHE , RF<\, zal dè hoek ERH gelyk aan ARE zyn. Op deeze wyze is het dat wy dezelve hedendaags verklaaren. Maar Defcartes hadc z>ne redenen, om den voorrang te geeven aan de wyze, welke wy nu voorgedragen hebben, en zulks alleen op dat dezelve tot eene voorbereiding diende van zyne verklaaring der ftraalbreeking , waar in men noodzaak'dyk de zaak op die wyze moet befchouwen. Laat ons thans met hem onderftellen, dat men, in plaats van een hard en ondoordringbaar vlak, flegts eene oppervlakte hebbe, als een uitgefpannen laken, dat de bal A de helft van zyne fnelheid zou beneemen. De beweeging van dien bal zal dan nog famengefteld zyn uit de twee AF en AD, ot UK en FR waarvan de laatfte geen verandering der op* oervlakte zal ondergaan, vermits zy niet tegen elkander overgefteld zyn. Maar deeze oppervlakte brengt de fnelheid van den bal A tot de helft; derhalven zal dezelve niet tot een punt van den Cirkel, uit het middelpunt R met den ftraal R belchreeven, aeraaken, als in het dubbeld van den tyd , dien hy befteed heeft om van A naar R te gaan. Nu zal in het dubbeld van dien tyd het lighaam ut de richtftreek RG eene lyn, die het dubbeld van FR is, doorloopen. De nieuwe richtftreek RB zal derhalven zodanig zyn, dat RH, of BC, het dubbeld van AD zal zyn, en zulks in alle de yerlctnllende hellingen. Dit voldoet aan de ftraalbreekingen, welke gefchieden door zich van de loodlyn te verwyderen. Maar zo men, in plaats van te on* detftellen, dat het bewogen lighaam, de oppervlakte FG doorlooper.de, een gedeelte van zyne fnelheid verliest, in tegendeel onderftelde, dat het vermeerderd werdt, als met de helft, het derde-deel, enz., zalmen alsdan, de zelfde handeiwyze volgende, met Defcartes bevinden, dat de nieuwe richtftreek zodanig zal zyn, dat BC de helft, het derde-deel kleiner dan Al) zal zyn, en dat by gevolg de Stnus. fen AD, AC van den hoek van helling en den gern S 4 brr>  *7» HISTORIE DER broken hoek altoos in de zelfde reden zullen zvn naamlyk het omgekeerde der fnelheden in de verichiilende middenftofleii. Alvoorens ce vernaaien tot welke gefclüllen deeze ver laarillg aanleiding gaf, is hec Noodig dacvvy «•"^^verweegmgendaar overdoen. Men moet iu /L!f , , aCJK geevfcn °P de wV*e> hoedanig Defnemeid Ln" hdC kvermeerdc"'"- of ^™>n lenngg der riën r ff v„a"^bew°gen lighaam in de tweede raid- ftre eRH \i"' rHet 'S,ln deSzdfs ^neele richtïehiL^ u° d-atuhy onderfteIt> dat, onder wat " « ok,)« licht uit de lucht in 'c water gaat, by voorbeeld zyne fnelheid de helft, vermeerderd zy. Deeze eerfte onderftelliug is wel gegrond: wanc zo wy .toeflaan dat, door de verfchillende nam w der nnddenftoffen, het licht zich meer of min ge". £ r yfu"/e eenc 'oodiïchïïgS ak Ó/s t h;irWaiLr'eer ^ onde^!de, dat hy die altoos de helft, by voorbeeld, verminderde zon lin^TSen^e?6^6 ™ de" h«ik vVn SE ling en den gebroken hoek, maar tusfehen de Tan- iieenchen. Er zou eene andere inrichtine nooditr zyn, om te maaken, dat die verander X eenf ftandvastige reden eeniglyk op den geheelei ricl r STftegtf aï^' • Hi"r -" voldoef vofmanakte^k Bet ittütl van eenige aantrekking , door de ftraal. f/ f:6 medatUlSrffe 1 i?" rena. m dat Keitel wordt betoogd, dat het licht fn de'ee'rleT2^ "«*of £ f„ef da altoos de-efee-gt* V?geDS eeRe be^kking dï flreekool^ ,S, Wette deS2dfs meuwe De  WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. 273 De tweede onderftelling van Defcartes is, dat de fnelheid in de richting, evenwydig aan het ftraalbreekend vlak, geen verandering ondergaat. Deeze is, alleen met behulp der grondbeginlèlen, welke Defcartes gebruikte, niet zo gemaklyk aan tc neemen , noch te bewyzen als de voorgaande; en dit is de bron der gegrondfte tegenwerpingen, welke men tegen zyne verklaaring doet. Zulks is wel waar in de te rug kaatling, om dat het bewogen lighaam niet in de tweede middenftoffe dringt , en dat, zo de loodrechte richting vernietigd was, hetzelve zich evenwydig aan die oppervlakte , alleen met zyne fnelheid FR, zou beweegen. Maar zo dra het zich eenigermaate daar in dompelt, moet zyne beweeging daar door tegenftand, of eene groo* tere gemaklykheid in die richting als in de andere, ondervineen , en dienvolgens verandering ondergaan. Deeze onderftelling is niettemin op eene floffelyke wyze waar, men vergunne my dit fchoolwoord, dat is, dat fchoon Defcartes geen bondige reden daar van kan geeven, dezelve nogthans plaats heeft. Want zo wy ons over de waarheid van het Newtoniaansch ftelfel niet vergisfen , werkt de aantrekking ( welke het ftraalbreekend lighaam op den lichtftraal oeffent, en die de oorzaak der ftraalbreeking is, alleenlyk loodrecht op de oppervlakte van dat lighaam , en maakt dienvolgens geen de minfte verandering in de fnelheid van dien ftraal in de evenwydige richting. •Er is nog eene noodige onderftelling m de verklaaring van Defcartes, om reden te geeven van de nadering des ftraals naar de loodlyn, wanneer hy van een dunner in een dikker middenftofFe gaat. Defcartes geeft voor, dat net licht deeze laatfte middenftofFe gemaklyker dan de eerfte doordringt, en hy geeft daar van eene meer vernuftige dan gegronde reden. Hy fchryft die werking toe aan den verfchillenden famenhang der dikkere lighaamen , welke maakt, dat hunne luchtgaten meer van hinderpaalen bevryd zyn, dan die der dunnere ligS 5 haa-  274 HISTORIE der haamen; zulks, zegt hy, dat even als een kloot met meer gemaklykheid op een zeer hard en zeer effen vlak zal rollen, dan op een tapyr, alzo ook het licht zich met meer gemaklysheid door de luchtgaten van een hard en vast lighaam zal voeren, dan door die van een ander, dat minder hard en vast is. Defcartei heelt zich hier wederom al« leenlyk vergist in de verklaanng , en niet in de zaak. De hedendaagfcbe Natuurkundigen denken even als hy, dat het licht zich in rie dikkere middenttoffen rasfer beweegt, doch om verfchibende redenen. Het is om dat deszelfs beweeging by het naderen der oppervlakte van die lighaamen verfoeid wordt, door de aantrekking die zy op dezelve oeffenen. De overweegingen, welke wy nu gedaan hebben, toonen aan , dat als men eeniglyk de Mediarifche grondbeginfelen , die Defcartes gebruikt heeft, volgt, zyne verklaaring aan groote zwaarigheden onderhevig was. Dus behoeft men zich geenszins te verwonderen, dat , behalven zy, welke voorgaven zyne leerlingen te zyn, die verklaarirg , ichcon in den grond waarheid zynde, weinig voorftanders gevonden heefc. Zy was het onderwerp van eene oncenigheid , welke byna eene twist tusfehen hem ter eener zyde, en Fermat en Hobbes ter andere zyde, zou geworden zyn. Deeze laatfte wierp aanftonds tegen de grondoeginfelen van Defcartes eenige betere tegenwerpingen op, dan men met grond zou kunnen verwachten van een man, die naderhand de Quadratuur des Cirkels vondt , en de Meetkunde tot in haare Axiotnata ondernam te hervormen. Het is , by voorbeeld, met reden, dat hy voorgaf, dat de terug kaatfingniet gefchiedde, als door de veerkracht van het bewogen lighaam, of die der oppervlakte Waar tegen het botlte; zo dat, wanneer men beiden volmaakt hard onderftelde, 'er geen terug kaatfing zou zyn. Deeze zyn waarheden, welke de verlichte Cartefiaanen niet verzuimd hebben toe  WISKUNDE. III. MÉ Boek. 07i toe té ftaan, en zy hebben in de onderfteltingen van Defcartes de behoorlyke veranderingen gemaakt. , gelyk door aan de lichtdeeltjes veerkracht te geeven. Wat de üraalbreeking betreft, de voornaamfte zwaarigheid van Hobbes kwam daar op neer, dat, nasr zyn voorgeeven, de verandering van de fnelheid des lichtftraals in de loodrechte richtftreek, en niet, zo • als Defcartes waande, in zyne geheele richtftreek , genomen moest worden. Hobbes was daar in kwnlyk gegrond: hy fchrsef verfcheide brieven aan Defcartes , die hem overeenkomftig zyne grondbeginfelen. antwoordde. Maar Hobbes altoos nieuwe zwaarigheden ophoopende, brak onze Wysgeer die brietwisfeling af, door geen van zyne Brieven meer teontfangen. , , Wy hebben met Hobbes begonnen, om dat het vetfchil van Fermat met Defcartes na den dood van den laatften, met zyne opvolgers hervat, en van andere gebeurtenisfen gevolgd werdt, welke wy niet van elkander hebben willen fcheiden. Fermat was het eerst in 't ftrydperk getreeden , en hadt door middelen, welken onnoodig zyn te verhaalen, een Exemplaar der Dioptrica van Defcartes in handen gekreegen , buiten weeten van den Autheur , die dezelve nog niet in 't licht hadt gegeeven Hy haastte zich zodanig om hem aan te vallen , dat hy zelfs niet eens afwachtte, dat dezelve het licht zag; hetgeen Defcartes zeer moeijelyk maakte. Hy vergeleek de handeiwyze van Fermat met die van een man, die zyne vrucht vóór haare geboorte hadt willen verflikken , en hy behieldt daar lik altoos eene foort van wraakzucht, welke men in de Brieven, na hunne verzoening gefchreeven, nog ziet uitblinken. De eerlle tegenwerpingen van Fermat, men moet het bekennen, doen hem niet veel eere aan, en dezelve bewyzen alleenlyk, dat hy , fchoon een groot Meetkundige zynde, een zeer liegt Natuurkundige was. Men ziet hem in de daad aanltonds hetgrond» beginfel van de fcheiding óf ontleding der bewee.' gin*  s-6 HISTORIE DER ginge betwisten; maar hy liet naderhand die «wn. werping vaaren, en vergenoegde zich met am^Defcartes te ontkennen, dat de verandering der beweeping van zyn bewogen lighaam inde geheels richtftreek genomen moest worden; Defcartes, aan zyne zyde, vestigde dit hoofdpunt zyner verklaaring vrv wel: eindelyk floeg de twist tot verbittering over. toen hunne gemeene vrienden ondernamen hen te verzoenen. Fermn deedt de eerlle voorllagen van vreede; en dezelve werden door DeCcartes aanpenomen. Zy fchreeten elkander vvederzvds zeer beleefde Brieven, doch zonder van ïneeninir te veranderen. Fermat bleef overreed, dat de verklaaring Van Defcartes gebreklyk was, en deeze, dat zyne tegenparty in het geval was van een man, die weigert de oogen voor het licht re openen. Aldus werdt het eerde onderzoek, dat de Cartebaanfche verklaaring van de ftraalbreeking verwekte, seemdigd of liever opgefchort: ik zeg opgefchort, want het werdt omtrent 20jaaren daarna hervat, tusfehen den zelfden Deer de Fermat en eenige aanhangers der leere van onzen VVysgeer. De Heer C/erfe/ter, een beroemd Cartefiaan , aan Fermat over eenige zyner oude Brieven, belangende zyn gefchil over de ftraalbreeking, gefchreeven hebbende, nam deeze die gelegenheid waar, om de zwaarigheden , die hem altoos van de verklaarine van Defcartes vervreemd hadden, weder in een nieuw daglicht te ftellen. Hy voegde 'er deeze by . naamlyk, dat men niet kan zeggen, dat de bewee' ging in de evenwydige richting met het ftraalbreekend vlak onveraiiderlyk is. Het antwoord van den Heer Clerfeker is daar in overëenkomftig den zin van zynen meester, dat by (taande houdt, dat de vertraag.ng of verfpelling van het bewogen lighaam in de geheele richtftreek genomen moet wordei: Maar ik vmde daar in niets, dat ten opzichte der nieuwe tegenwerping voldoet. Kort daarna begaf zich Fermat tot andere onderzoekingen, waar in hv dan eens ongelyk, dan wederom gelyk hadt, en detwist  W18K ü N D E. III. Deel. Hl. Soek. m twist üep eindelyk op eene wezcnlyke woordentwist u;t Fermat bleef meer dan ooit van de ongenoegzaamheid van het Cartefiaansch bewys overreed , en om den ftryd te eindigen, bekende hy, dat hy hem niec verftondc, vermits dat bewys, t welit zyne tegenpartyen overtuigde , geen licht in zynen geest 'ondertusfchen hoorde hy aan alle zyden, dat de wet der ftraalbreeking, door Dfcartes voorgefteld, waarheid was. iien Natuurkundige van dien tyd , de Heer Petit genaamd, eeu man van veel verdienfte hadt dezelve met de ondervinding overëenkomftig bevonden. Dit noopte eindelyk Fermat om gebruik te maaken van een grondbeginlel , dat hy voorlang den Heer de Ia Chambre hadt medegedeeld , en dat hem eigenaartig fcheen om den weg, welken het licht in 't bieeken moet neemen, te bepaaien. Dit grondbeginfel is ove^eakomftig met dat 't welk de ouden hadden uitgevonden, om de gelykheid der hoeken van invalling en terugkaatfing te betoogen. Zv hadden onderfteld, dat het licht, zo lang het in eene zelfde middenftoffe blyft, den konftcu weg nepmt Fermat, die natuurwet op eere algemeenere "wyze bevattend-, breidt dezelve uit tot het geval van twee middenftoffen , welke verfchillende 111 dikte zyn. Hy onderttelt, dat het licht altoos van het eene punt tot het andere in den minden tyd gaat hetgeen den kort ft en weg geeft, wanneer het 'in de zeilde middenftofFe blyfc; maar zo men onderftelt, dat het van de eene middenftofFe iu eene andere overgaat, gaat het, volgens den Heer de Fermat, in "de minst dikke middenftorFe rasier, en her maatigt dan zynen weg zodanig, dat , in de dikfte middenftofFe minder ruimte doorloopende, de geheele tyd minder is dan in ieder anderen weg, dien het genomen zou hebben. Dit grondbeginlel toegettaan zynde, ziet men reeds, dat her. licht ge. brokenmoet worden byde aannadering der loodlyn, als het in een dikker middenftofFe overgaat. Maar wat waarfchynlykheid, dat uit twee zo tegengeftei- de  *F8 historie der de grondbeginfelen, als dat van Defcartes en deezen aarden dezelfde waarheid moest /ooryloeijei? Uk f ™S*h»ns hetgeen gebeurde, Na de zwaarighe' den van eene arbeidzaame rekening te boven eeko. teïhIF0* HbTndt *V**. dat de sZsfil van den hoek van helling en den gebroken hoek in eene iaudvastige reden waren; naamlyk, het omgekeer. de der tegenfhn.den in de beide middeoftoffen üene zo weinig verwachte gebeurtenis overtuigde den Heet de Fermat, dat het gevolg van Defiartes wettig was, maar dezelve maakt hem niet buS' raer over der. grond van zynbewys: in tegendeel dezelve maakte hem dien nog meer verdacht Hy leide in de daad de zelfde waarheid af uit eene onderdel. img, die geheei waarfchynlyk, en ftrydig met aie van deezen Wysgeer was. Welke rein tm te den! ken, dat deeze laatfte valsch, en dienvolgens de redeneering, aan welke dezelve ten grondflag diende gebrekkig was? Hy onderrichtte den Heer de li Chambre van dit onverhoopt gevolg, en deeze maakte zu.fcs den Heer Ckrfelier bekend: deeze leerling van Defcartes deedt by die gelegenheid eene laatfte pooging, om den Heer de Fermat tot de Cartefiaanicne verklaaring over te haaien (i\ Hy toonde hem op eene verüandige wyze, dat ftet bovengemeld^ grondbeginfel niet natuurlyk was, en dat het geer/szins als oorzaak van eenige natuurlyke werking befchouwd kon worden^ Uy opperde ook vermoedens tegen deeze verklaaring , welken het vervolg bewaarheid heeft, naamlyk, dat dezelve twee valfche onderftel ingen bevatte, welke door een gelukkig toeval elkander herdelden. De Heer de Fermat, die dit onderzoek moede was , zo dra hy dacht dat de waarheid daar by geen nadeel meer hadt' wilde liever een einde daar aan maaken , dan 'er op antwoorden. Hy ftondt den Heer ClerfiRer alles toe wat (i) Brieven van Defc. D. III. B. 52, 53.  WISKUNDE. -Deel. III. Boek. 279 wat hv eischte (k). hem toeftemmende , dat het beSvAafSi«VvvOT goed gehouden mogt worden ichoon t é hem npoit overtuigd hadt, en .nets SfflW, dan het gering be.it van zyn Meetkundig Voorftei. Hy vergunt ook , aa men zvn grondbeginfel eene üwaal.ng noemt mits dat men 1 en minften naa« die dvvaalingen ftek, welke uïcr waarfchynlykhcid dan de waarheid «hg hebben en hy eindigt door hem deeze vernuftige vaerlen van de tasje toe te voegen. Ouando fata il vero Si helle chejt poft a tl preporrel ' In de daad, niets bewyst beter dat de! Beer de Vermot aeeiond was om zich aan zyn grondbegmS ThX, en om met de Carteflaaniche verklaaring der ftraalbreeking weinig voldaan te zyn, dan de talryke beproevingen der Natuurkundigen, ïda ïïc .ptóte verklaarem Onder dezelven fs'er byna geen een, die van de eerfte toppenaf Set eenen weg, van dien van Defiartes ver cnillende hflatt, door te onderftellen, dat het licht de &èUmiddenftoffe het bezwaarlykst dwrdr.ngu Wy kunnen geen gunftlger gelegenheid hebben, om van deeze verfchillende beproevingen verflag te doen ; derhalven zullen wy dezelve hier onder een zelfde gezichtpunt verzamelen. ■„,,_, . (>der de Wysgeeren welke de Wet der ftraalbreeking getracht hebben te yerklaaren of te beioo. oen, hebben fommigen , naar *t voorbeeld van vm\ tot de eindöorzaaken toevlugt genomen , anderen hebben getracht dezelve uit louter natuurlyke oorzagen af te leiden. Onder de eerften vinden wv den Heer Leibnitz. Deeze beroemde Meet- en Bovennatuurkundige onderftelt, dat het licht van het eene punt naar het andere gaat, niet in den (k) Ibid. Brief 54-  fi&o HISTORIE der kortten tyd, gelyk de Heer de Firma: onderftelt maar langs den gemaklykften weg (0; en hy meet de gemaklykheid van dien weg door de famengcftelden reden van zyne lengte en van den tegenltandin oe midden ftoffe , waar in het licht zich beweegt. Hy gebruikt vervolgens zyne Differentiaal- Rekening om te bepaalen welke de gemaklykfte weg is, en fty bevindt, dat de Sinus/en der hoeken, welke de ftraal me» de loodlyn op de breekende oppervlakte maakt, wederkeerig tot elfcandef zyn als de tegen* lfa-Hen Jn de verklaring van den Heer Leibnitz is dit aa merkelyk, dat hy voorgeeft, dacde ihelheid naar re. en van den tegenftaud vermeerdert, zo dat hy Defcartes overSenftemt, door het licht in de dikfte middenfmffe meer fnelheid te geeven. Maar zyne redenen fchynen my te fcherpzinnig om overtuigende te zyn. Wat het grondbeginlel van den Heer Leibnitz aangaat, het is aan de zelfde zwaarigheden als dat van den Heer de Fermat onderhevig; het fchynt hedendaags wel beweezen te zyn, dat het hcht, in 't breeken , noch den kortften tyd, poch den gemaklykften weg kiest, zo als men zal zien, wanneer, men de inrichting (mecbani/mut) der ftraalbreeking, volgens den Heer Neutmj, zal heb. ben doen kennen. Wy gaan nu over tot de loutere Natuurkundige verklaaringen van deeze eigenfehap des lichts. ^ 'Er zyn Natuurkundigen geweest, welke een lichtftraal befchouwd hebben, als famengefceld zynde uit langwerpige deeltjes, welke zich evenwyoigaali hen zeiven, en in eene richtftreek loodrecht op die van den ftraal, beweegen. Deeze onderltelling aan. genomen zynde, redeneerden zy aldus. Wanneer, by voorbeeld , een lichtftraal fchuins op de platte oppervlakte van een dikker en meer tegenftaud bie. dende middenftofFe valt, begint het einde van een klein langwerpig deeltje van dat licht, dat het eerst aan (1) Att. Lipf. ann. 168a,  WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. 23i aan die oppervlakte komt, eenen tegendand te ondervinden, terwyl het ander, dat in de eerde middendoffe is, geen tegendand ondervindt. Dit laatde zal altoos met de zelfde fnelheid gaan, en eenen kleinen boog befchryven, terwyl het andere, dat zich in de tweede midden dofte dompelt, eenen ge. lykffiiddelpuntigen, doch kleiner, boog befchryft, om dat deszelfs beweeging vertraagd wordt. Wanneer eindelyk alle de beide einden in de tweede middenftofle gedompeld zullen zyn, zal alsdan de rondgaande bcweeging ophouden , en dit lichtdeeltje zal zich evenwydig aan zich zeiven blyven beweegen. JNu is het gemaklyk te zien, dat in het geval waar in de tweede middenftofFe de dikfte zal zyn, de ftraalbreeking by de loodlyn zal gefchieden, de boog a b (Fis. 70) kleiner dan AB zynde: en dat zulks het tegendeel zou zyn, ais de tweede middenftofFe de dunfte was. Maar, voegt men 'er by niets is natuurlyker dan de betrekking der gema'klykheden van de beide midden ftcfE-n door die der boogen AB, ab te mecien. Want het zyn deeze boogen, welke de opzichtelyke wegen meeten, die van de bewogen lighaamen A en a in gelyke tvd in die beide middenftoffen doorloopen worden. Dus welke helling men in den ftraal ouderfteit, als flegts die zelfde betrekking aanhoudt, betoogt men aemaklyk , dat de Sinus/en van den hoek van hel. ling en den gebroken hoek in ftandvastige reden zvn Het eerfte denkbeeld van die verklaaring zyn wv* zo ik my niet bedrieg, verfchuldigd aan den Vader Maignan; Hobbes heeft hem gevolgd in een Gefchrift, dat de V. Merfenne tot ons heeft overgebragt. (m) De Heer Baiow heeft dezelve ook aangenomen in zyne Gezichtkundige Usfen, en het is Ivne voordragt die wy gevolgd hebben. Maar m weêrwil van het gevoelen van dien beroemden Meetkundige, fciuootnen wy niet te zeggen, dat die (as) Syn. univ.'Jdatfa ^  283 HISTORIE' DER verklaaring weinig gelukkig is. Behalven de weinig gegrondheid der eerfte onderftelling, op welke dezelve gevestigd is, is 'er niets minder beweezen dan die, welke men in den loop der redeneering gebruikt. De Heer Rizetti heeft , vóór weinige jaaren (»), poogingen gedaan, om aan die verklaaring eenige waarfchynlykheid by te zetten, en om die onderftellingen te betoogen. Maar het is, naar myne gedachten, van geen zeer gelukkig gevolg geweesr. Niets is minder een Bewys, dan de redeneering aan welke hy dien naam geeft. Eenige andere Natuurkundigen,aan het hoofd van ru°nde Hcer David Gregori \* f», hebben eenen verfchillende weg ingeflagen. Zy laaten zich voorlraan, dat het licht, van eene middenftofTe in eene andere overgaande, zich daar in zydelings uitzet of inkrimpt, naar reden dat het meer of min gemaklyk daar in vloeit. Zy onderftellen vervolgens in die uitzetting of inkrimping eene zekere betrekking, waar uit zy de bekende Wet der Straalbreeking afleiden. Deeze verklaaring is zo min voldoende als de voorgaande. Want deeze betrekking, die zy vastzeilen, fluit zelve in hetgeeu in verfchil is. Dit is net gebrek van verfcheide andere beproevingen van verklaaringen, als die van Uerigonius, welke onderitelt, dat een lichtftraal op de breekende oppervlakte weegt, en dezelve poogt door te dringen, even als een gewicht zou doen, dat op een gelykelyk hellend vlak zou trachten te rollen. Ik zeg niets van een gewaand Bewys , door een Engelsch Wiskundige, genaamd Gmlterus Werner, gegeeven, waarvan de Vader Merfenne ons het Gefchrift met loffpraak aankondigt. Hetzelve is niets anders dan eene vallche redeneering Cparalogifmus), en eene voorftelling van 't geen betwist wordt ( Petitio Principii). Het («) Acï. Lipf. ann. 1726. (O Catoptr. ac Diopt. Elem,  WISKUNDE. III. Deel. 1IÏ. Boek. 383 r Het denkbeeld van Herigonius, fchoon weinig gelukkig, fchynt den Heer Bernoulli dat van een ander Bewys gegeeven te hebben, dat insgelyks uit een beffinfel der Weegkunde , ( Statica ) wordt afgeleid. Men fteile zich voor twee gegeevene en ongelyke magten, welke een beweeglyk punt langs eene lyn van eene gegeevene ftelling trekken. Zodanig is, volgens den Heer Bernoulli , het geval van twee lichrftraalen, de een invallende, de ander gebroken; hetgeen hy vastltelt door eene redeneering, welke ik beken niet wel te bevatten. Maar zo men onderzoekt, welke ftand het beweeglyk punt, waarvan wy fpreeken, in de bovengemelde onderftelling zal neemen, zal men bevinden dat dezelve zodanig'zal zyn, dat de Sinmfen der hoeken met de loodlyn op de lyn, langs welke dat punt beweegbaar is, in gegeevene reden zyn, naamlyk, die der krachten met welken dat punt ter wederzyden getrokken wordt ; waaruit hy befluit, dat de zelfde ftandvastige overeenkomst in de ftraalbreeking moet heerfchen. Onder de Mechanifche verklaaringen der ftraalbreeking is my geen eene bekend dieverftandiger is, dan die van den Heer Huyghens (ƒ>). Dezelve Ls een zeer natuurlyk gevolg van zyn ftelfel over het licht, het waarfchynlykst en meest voldoende ftelfel van allen, zo men geene krachtige redenen hadt om tot dat van de uitftraaling over te hellen. De Heer Huyghens doet, zo als een ieder weet, het licht beftaan in de golvende beweegingen van eene zeer fyne veerkrachtige vloeiftoffe, welke zich rondgaande en net eene ongemeene vaardigheid om het lichtend middelpunt verfpreiden. Maar dit is niet alles: ieder van die rondgaande golven, rondom het lichtend punt verfpreid, is flegts het gevolg van een on. eindig getal andere byzondere golvende beweegingen ,"wier middelpunten in alle de deelen der bewogen vloeiftoffe zyn, en welke alle famenloopen om (ƒ>) Tracl. de lum. c. 3.'  a84 HISTORIE DER de voornaamfte te vormen. Dus hangt de loodrechte richtftreek van ieder dier golven af van de opzichtely ké inelheiddergeenen welke dezelve vormen .zodanig dat 20 door eenige omftandigheden defnelheden van deeze laatfte ongelyk worden, de richtftreek van de voornaamfte zal veranderen. Dit nu, zegt de Heer Huighens, is hetgeen in de ftraalbreeking gebeurt ten ftraal als LAD (Fig. 71), vallende, by voorbeeld, fchmns op eene middenftoffe, waar in het licht bezwaarlyker dringt,en waar in het by gevolg zich traager beweegt, komt het deel A der golf, AD, die loodrecht op de richtftreek LA ftaat, het eerst; aldaar verwekt zyne botfing in de ftoffe, waar mede de tweede middenftoffe doortrokken is, eene golvende beweeging , welke zich rondgaande omA, in 1, 2, 3, 4, uitffrekt, terwyl de punten n, ü , D, schtervolgens in b, c, d komen, en aldaar de golvende beweegingen b 1, b b y, c 1, c z; d 1 verwekken. Dus is G H de geheele golvende beweeging en A H de richtftreek van de lichtftraal, die loodrecht op dezelve ftaat. Maar, door t'e onderftelling, beweegt zich het licht, by voorbeeld eene helft, traager in de tweede middenftofFe, dan in de eerfte. Derhalven is de uitgeftrektheid van de golf Au de helft kleiner dan die van de golf h b, en by gevolg is A 3 in de zelfde betrekking met D , A, O ontltaan. Maar dit dient in aanmerking genomen te worden , naamlyk , dat die krommen zich naar de omftandigheden in kegelfneeden veranderen. Zo men , by voorbeeld, in de eerfte foort het punt A oneindig verafgelegen onderftelt, wordt bet Ovaal de gemeene Ellips , hebbende tusfehen haaren grooten As en den aiftand haarer brandpunten de reden der ftraalbreeking: hetgeen ons zou te kennen geeyen , zo wy bet niet reeds wisten, dat de Elltpufche gedaante, de bovengemelde conditiën hebbende, de met haaren As evenwyd'ge traalen naar één van haare brandpunten zou te rus kaatfen. Zo men , in tegendeel , het punt B oneind.g ver afgelegen onderftelde , zou de kromme een Hyperbool werden, die de ftraalen, uit het punt A komende, evenwydig zou te rug zenden. De overige eigenfehappen der Kegelfneeden zyn , in het geen de terugkaatfing van het licht betreft, op gelyke wyze Ikgis bloote gevolgen van het alge, meen Problema van Defcartes. Men heeft flegts de vericlnllen der lynen , uit de punten A en B tot de pui.tcn G getr okken , in reden van gelykheid te onekrftellen, dan zullen de ftiaalbreekingen veran. deren in terug kaatfingen met gelyke hoeken aan die van ïnvalimg, en men zal , volgens den ftand der punten A,'B, S, een Parabool, eere Ellips, of een Hyperbool hebben. Deeze Theorie, welke'de Heer Defcartes niet met de noodige ophelderingen YPor alle Leezers heeft voorgedragen, js naderhand door  WISKUNDE. III. Deel. lil. Boei. 291 door den Heer Huyghens in zyne Verhandeling de lumine duidelyker verklaard. Men behoort zynen toevlugt te neemen tot dat Werk, of wel tot het feleerd Commentarium van den V. Rabuel over de leetkunde van Defcartes. De eigenfehappen , welke wynu, met den Heer Dejcartes , in de Elliptifche en Hyperbolifche glafen aangemerkt hebben, bragten hem in het denkbeeld, dat zy niet konden misfen van eene groote nuttigheid te zyn, om de Dioptrifche Werktuigen tot grootere volmaaktheid te brengen. In de daad , vermits glafen van die gedaante de evenwydige draaien in een eenig Wiskundig punt verëenigen , hetgeen de bolronde glafen Diet doen, fchynt het t'eenemaal natuurlyk te zyn daar uit te beüuiten, dat de beelden der ver afgelegene voorwerpen onvergelykelyk duidelyker zullen zyn. De/cartes geeft derhalven den raad, om aan de glafen der Telefcoopen eene Elliptifche of Hyperbolifche kromte te geeven, eii in 't byzonderde laaide, welke hy oordeelde den voorrang te verdienen. Tot dat einde geeft hy op het einde van zyne Dioptrica verfcheide Werktuigen op. Zyne Brieven geeven ons ook te kennen, dat hy alles wat mogelyk was aanwendde om daar in te daagen. In den Jaare 1Ó28 te Parys zynde , verbondt hy een Maaker van Wiskundige Werktuigen , Ferrier genaamd, om in zyne oogmerken te treeden, en hy fchreef hem naderhand uit zyne eenzaame woonplaats verfcheide Brieven vol onderrichtingen, om hem op den weg te helpen. Het gelukte in de daad deezen Kunften.iar, zegt Defcartes, om een tamelyk goed bultig Hyperbolisch glas te fnyden, doch in het holronde kon hy niet flaagen , en naardien hy eindelyk een walg kreeg ven dien moeijelyken arbeid, hadt die onderneeming geen ander gevolg. De beloften van Defcartes, die niet minder behelsden, dan om jn de Hemellichten de kleinde voorwerpen pot. dekken, en de aanfpooring van den Heer Huyghens van Zuilichem , de vader van den beroemden Heer Huyghens, met wien hy in vriendfehap verbomen 9 V 4 was,  &9* HISTORIE DEa was, bewogen ook fommigéHollandfche Kunftenaars hupne poogingen aan te wenden , om zyne werktuï gen ter uitvoer te brengen (r) maarte zw a ig heden deeden hen waarfcbynlyk daar van afzien en dien arbeid verlaaten. WyLn niét, dat DeTartes langs dien weg eenig Hyperbolisch glas bekomen w \' SJde" óreltyd hebben eene «^nigie 'ndeïï Wiskundigen of Kunftenaars nieuwe vindingen tot ïnH~ 'fde,einfde, voorflagen. De Heer Wren f onder anderen, heeft >er eene voorgefteld (sy die' nieuwe eigenfehap van den Hyperbool gegrond is! en, zo het mv toefchynt, één der geenfn is, w a van men op de rechtmaatigfte wyze ten goed gevolg zou kunnen wachten. Men vindt ook in de Memorien der Academie van Berlyn (O de befchryving van een Werktuig, door den Heer Hertelius Z dat einde uitgevonden. Nogthans zyn, niet tegenftaanin Jb^PO°§,ngen' te Hyperbolifche glafen alsnog ingebeelde wezens , en zy wien de wyze bekend i! op welke men de Lenzen-glaftn bewerkt . zullen daar over niet verwonderd zyn. Men heeft, wel is waar, lomtyds in de Journaalen zien aankondigen dat men eindelyk daar toe gekomen was om glafen van die gedaante te maaken. Men leest in de PhZ fophfche TranfaElien f» dat een zeker Heer d» Sm goede Parabolifche glafen gemaakt hadt, (men heeft waarfchyn yk Hyperbolifche willen zeggen; want Parabolifche glafen zouden het onderwerp, dat men zich yoorftelt niet vervullen;) maar die fchoone b S3 ten hebben zich tot deeze bekendmaaking bepaald. Voorts zou men zich veel moeite befpaard hebben als men eene overweeging gedaan hadt, welke zich vry natuurlyk opdoet; deeze is, dat zo een glas van eeiie Elltptifche of Hyperbolifche kromte alle de ftraa- len 9 U) Tranf. Phil. aap'. ió68, iC6o. (/) T. III. ad. ann. 1710. («) Ann. 1663.  WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. 293 lcn, welke evenwydig aan zynen As zyn , naauwkeuriger verëenigt dan een bolrond glas, het echter yrre beneden het laatfte zal zyn in 't geen de ftraalen betreft, welke met dien As eenigen zichtbaaren hoek maaken. Want de klootfche kromte vertoont aan alle zyden eene gelykformige gedaante, hetgeen de Eilipttfchc of Hyperbolifchtr kromte niet doet. Om die reden zullen deeze laatften de ftraalen, uit de zvdelingfche deelen van het voorwerp komende , minder naauwkeurig verëenigen. Eindelyk de oorzaak welke hedendaags niet meer toelaat zich tot het maaken der Glazen van deeze gedaante te verledigen , is de ontdekking der verfchillende breeking van de lichtftraalen. Uit deeze verfchillende breeking ontftaat de voornaamfte hinderpaal in de onder-, fcheiding van het beeld; en de aberratie, die dezelve veröorzaakt , is onvergelykelyk grooter dan die , welke uit de bolronde gedaante van het glas ontltaat. Wanneer men deeze laatfte door de Hyperbolifche gedaante wilde verbeteren, zou de eerfte niet minder ftand houden , en de ocderfcheiding van het beeld daar door niet grooter zyn. Thans vindt men nergens een kundig man, die in de Hyperbolifche Glazen eenig belang ftelt, en het zyn geen andere dan hoogvliegende Kunftenaars , die , om hun werk in top te vyzelen, voorgeeven, dat zy het geheim gevonden hebben , om dezelve te bewerken, VIII. Wy zyn eindelyk eene volkomeaer verklaaring van den Regenboog, welke Antonio de Dominis eertvds gegeeven hadt , den Heer Defcartes verfchuldigd. Men heeft op het einde van het voorgaande Deel gezien , dat deeze Italiaanfche Natuurkundige meer door een gelukkig toeval dan door zyn verftand beftierd, tot het wezenlyk grondbeginfel van die verklaariog gekomen was: maar om dezelve volkomen te maaken, hadt hy nog veele zaaken, welke gedaan moesten worden , voorbygegaan. Ten eer* V 5 fte<*  294 HISTORIE des ften hadt hy die van den uitwendigen Regenboog geheel oyergeflagen. Ten tweeden bleef hem nol overig redsn te geeven , waarom die verlichte boogen flegts van eene zekere grootheid fchynen, naamlyk de inwendige van omtrent 4a0 ftraals, en de uitwendige vao 54°. Hy moest eindelyk nog verklaard hebben, van waar de koleuren komen, die zy ons verroonen , en haare fchikking. Van deeze drie zaaken werden door Defcartes twee ontdekt. De derde bepaalde zich tot de verfchillende breekbaarheul van het licht, en was den Heer Newton voorbehouden. De inwendige of voornaamfte Regenboog wordt gevormd, zo als wy gezegd htbben5 toea* Antomo de Dommts fpraken , door eene eenige terugkaatfing van den Zonneftraal tegen het achtcrfte de> l van de waterdruppelen of dampen, eene terugkaatfing , die , by den in- en uitgang van deezen druppel. van eene ftraalbreeking voorgegaan en gevolgd wordt Hier by was de Italiaaniche Autheur b.y ven ftaan , als hebbende zich verbeeld , dat by op gelyke wyze den uitwendigen Regenboog Jonde verklaaren , door flegts in fomtaiga omftandigheden eemge verandering te maaken. Defcartes met een dnnrd-ingcnder verftand begaafd, ontdekte en verzekerde zich door de ondervinding (v) dat de uitwendige Regenboog voortgebragt 'wordt door twee terugkaatfingen in het inwendige der druppek«> van dampen, zo als men in fig. 73 in B ziet De üchrftraal, uit de Zon komeni, Semt zynen weg do r het benedenfte deel des druppels en ondergaat daar eene breeking; hy k iatst tweemaal te rug tegen zyne oppervlakte, en ondergaat einde vk uic dezeive komende, eene tweede breeking,die hem te rug kaatst naar een punt van den As , uit de Zon do-r het oog van den Aanfchouwer getrokken. Zodanig is de we* van ieder lichtitraaJ, die een punt van den tweeden Regenboog uitmaakt. (v) Meteor. Wc. S. Ma"  WISKUNDE, lil Deel. 1U. Buk. 29S Maar waarom zyn het alleen de ftraalen als AO en fjO , hellende tot dien As , de eene 4a0, de andere 540 , welke in het oog des aanfchouwers eenen indruk van licht maaken: want het is klaarblyklyk, dat 'er geen druppel is , het zy beneden A, het zy tusfehen A en B, of eindelyk boven B, die niet insgelyks eenige lichtftraal naar het oog zendt. Echter befpeurt men geen glans als in A en B: volgens den Heer Defcartes is de reden daar van deeze. Het is niet genoeg, dat een lichtftraal tot onze oogen kome, om eenigen indruk in dezelve te verwekken j daar toe wordt eene zekere ingedrongenheid (denfitas) in denzelven vereischt, geëvenredigd naar de gevoeligheid van ons zintuig: nu vindt de Heer Defcartes doorrekening, dar van alle de bundels Zonneftraalen , welke evenwyiiig op eenen druppel damps vallen, flegts eene eenige is, (naamlyk die welke tusfehen de 85 en 86 hon«» derdlte deelen des ftraals van het bolletje van den middelpuntigen ltraal verwyderd is) welke na de breekingen terugkaatfing, die hy ondergaat, nog uit evenwydige draaien i» famengefield Derhalven is detze bundel lichts alleen bekwaam, om op een afgelegen oog eenigen indruk te verwekken- Nn maakt deeze met den As, uit de Zon tot het recht daar tegen over ftaanrte punt getrokken, eenen hoek van 419 30', onderfteüende de reden der Sinus van den hoek van invalüng tot die van den breekenclen h'>ek in het regenwater, als 257 tot 180. Derhalven moet men den verlichten rand des eerilen Kegenboogs flegts op eenen afftand van omtrent 41° 30' van het recht over de Zon ftaande punt zien. De Heer Defcartes betoogt, door eene foortgelyke handeiwyze , dat van alle de kleine bundels ftraalen, welke op dezelfde bolletjes vallen, en na twee terugkaaifingen daar van afwyken, 'er flegts één is, wiens famtnftellende ftraalen hunne evenwydigheid behouden, en dat hy met den zelfden As als boven eenen hoek van 510 57' maakt. Dus kan de ver- s lichte rand aan het zelfde oog niet verfchynen, als op  296 HISTORIE der op omtrent 52.° van het overftaande punt der Zon De tmfchenwydte tusfehen den druppel A en deu druppel B kan geenen rand opleveren, waar vla een evenwydige bundel tot het zelfde oog kan E! IfeMba?' :°'k?mene ^erklaaring van datVerfchynlel ftaat, zo als Wy reeds gezegd hebben , in verZLT d%Newtoniaanfche Theorie der koleuren. Oef artes geeft niettemin daar van eene reden, die £edeehrva?^?rMV°-,d°endeis' door h« » gedeelte van het bolletje, waar uit de ftraalen van den evenwydigen bundel komen , als eene kleine Prtsma aan te zien, die, zo als men weet, gekoleurkleine S a^aatSt; de .verfchi"ende Randen die f'u "f ten opzichte van het oog des aan- fchouwers, maakt dat de koleuren in de beide boo. gen in eene omgekeerde orde fchynen. Wy zullen thans niet meer daar van zeggen; heweeï hier nog over dat onderwerp overblyft te wenfthen , bewaaren wy voor het Boek, waar in wy de fraai ie jer fleuren moeten leeren kennen. Wy zullen daar m ook verilag doen van de vernuftige befchou- Etude va» het derde Boek. Hl.  HISTORIE DER WISKUNDE. DERDE DEEL. Bevattende de Hiftorie der Wiskunde, geduurende de zeventiende eeuwe. VIERDE BOEK. Hiftorie en vorderingen der Sterrekunde , van het begin tot aan het einde der zeventiende eeuwe. f KORTE INHOUD. 1 De Sterrekunde wordt in U begin deezer eeuwe door Kepler aangekweekt. Korte levensbefchryving van dien Stenekundigen. Hy ontdekt de waare gedaante van de loopkringen der Planeeten, en de Wetten die zy m haare beweeeingen volgen. Verfcheide gelukkige gisfingen van Kepler. Beknopt denkbeeld van zyne vindingen. 11 l^an de nieuwe Sterren, welke in de jaaren lóoo en 1604 vetfcheenen zyn. Andere die,gelyke vetfchyrfelen , na dien tyd waargenomen. III. Van Galileus. Zyne Sterrekmdige ontdekkingen in de Maan en de vaste Sterren.  ap8 HISTORIE DiR Die van de Satellieten van Jupiter, en van de Vlekken der Aon. Gevolgen die hy daar uit trekt. IV Van dé Sterrekundigen, welke Galileus de eere van die ontdekhngen betwisten -, van Jan Fabricius. Van Scheiner, theorie der vlekken van de Zon verklaard. Van Marius V Van de verrkhtingek van verfcheide Sterrekundigen Vóór Je meeting der Aarde, in dit eerfte deel der zlven tunde eeuwe. Over de meeting van Snellius, en zyne handeiwyze; over die van REfefew en Norwood. Over die van de Vaders Riccioli en Grimaldi. VI, Waar* neeming van Mereurius onder de Zon, in V Jaar 1621 H,aZ' 'ï i°Sr WJSf Nuttigheid die men daar uit ge rokken heeft. Andere diergelyke Waar neemingen, Z dien tyd gedaan. Venus desgelyks onder de Zon waar- fnZf»:1"^'?™''^9' SterrekuXè Z, roccius, die deeze Waarneeming gedaan heeft. Voordeel dat rr.en van eene gelyke haarneeming, die in 't W I76r plaats zal hebben , verwacht. Vil. Natuur L Stcrrekur.dig Syvewa van Defcartes. Zwaarigheden waar aan hetzelve onderhevig is. VIII. Va» eenige Sterrekundigen, waar van mg niet gefproken is. Denkbeeld van Hunne Werken. I. J_Je ontdekkingen , waar mede de onfrerflyke Ket>* Ier in t begin deezer eeuwe de Srerrekunde verrykie maaken één der gedenkwaardige rydperken van de Gefchiedenis deezer Weetenfcliap uit. Zo Copermcus ,htt juk van een oud vooroordeel affchuddende, oe waare fchikking der Hemellighaameu wist te omwikkelen; zo Tycho-Brahê de werkdaadiïe Sterrekunde tot volkomenheid bragt , onte oa fe \VaarneemiDgen verzamelde , en de denkbeelden van zyne voorgangers in verfcheide Rukken verbeterde , was het echter Kepler voorbehouden ded £SS '00P Planee'?n>^ gedaante der Loopkringen , waar m zy zich beweegen, en de Wetten volgens welken die beweeging gefchiedt, te 1 eeren kennen. Om deezen beroemden Sterrekundige wel af  WISKUNDE. IU. Deel. IV. Soek. 299 af te maaien , verkiezen wy hier eenige van zyne ontdekkingen , die het meest bekend zyn. Want men zou eene wydluftige optelling der dingen kunnen doeni welke de Sterrekunde hem verfchuldigd is. Wy zullen zekerlyk onzen Leezeren eenen aangenaamen dienst bewyzen, door hun eenige levenstrekken van dien beroemden man mede te deelen. Kepler werdt den 27 December 1571 te Weil in 't Hertogdom Wurtemberg gebooren, uit edele Ouders , cloch door den dienst en het liegt gediag tot eene foort van behoeftigbeid vervallen. De zucht om kundigheden te verzamelen deedt hem de middelen daar toe vinden , en het gelukte hem eindelyk , om in de jaaren Ï589 en 1591 aan de Univerfiteit van Tubingen tot eeretrappen bevorderd te worden. Kepler fchikte zich toen nog niet tot de Wiskunde: vol eerzucht en eene brandende be* geerte om zich roem te verwerven , zag by dezelve toen nog niet als toereikende aan , om zyne oogmerken te voldoen. Echter hadt 1 hy dezelve met een goed gevolg onder den Sterrekundige Maft' linus geöeffend. Het Hoogleera'arfchap der Wiskunde te Gratz, door den dood van Stadius, opengevallen zynde, bezorgde de Hertog van Wurteraburg hetzelve aan Kepler, die het niet aannam., als om zynen Souverein en zynen Befchermer niet tegen hem te verbitteren. Toen alleen was het, dat de vermaaningen van Maftlinus, die in hem een levendig vernuft zag, dat tot de grootfte ontdekkingen bekwaam is, hem tot de Sterrekunde overhaalden. Hy be?:on dezelve met fmaak en yver te oeffenen, en gaf m 't jaar 1593 zyn Myfferium Cosmographicum in 't licht. Niettegenftaande de verborgene overëenkomften der getallen en figuren, welke Kepler daar toe gebruikte, om de herrekkingen der afltanden van de Planeeien te bepaalen , ontdekte Tycho het vernuft van den jongen Autheur, en oordeelde hem waardig weder op den rechten weg ge* bragt te worden. Hy vermaande hem tot het. aoen van waarneemingen, een raad dien Kepler volgde, doelt  Söd HISTORIE dür Joch die hem Van zyn zwak voor die Pytkagorifikè herlenfchiromen niet ten vollen genas. Verfcheide plaatfen van zya Epitome Aftronomm Copemieana, en zyne Harmoma Mundi, zyn daadelyke bewyzen van dat zwak, dat hy den meesten tyd met de reehtmaatigfte en verbevenfte denkbeelden verbondt Kepler g.ng in 't jaar 1598 Tycbo, die zich te Praag ophieldt, bezoeken, en deeze Sterrekundige bezorgde hem den eernaam van Keizerlyk Wiskun, Ilenaar, benevens een Jaarwedde, die hem bynë altoos vry flegt betaald werdt. Daar nu deeze U aardighe^ hem geen genoegzaam beftaan oplegde, ^zocht en verkreeg hy in 'tjaar 1613 het Hoogleeraarfchap te Lintz, dat hy bekleedde tot in t jaar 1626, toen hy tot hec Hoogleerëarfchap Van Sagan, en vervolgens tot dat van Roflock beroepen werdt ; eindelyk naar de Ryksvergadering. van Regensburg gegaan zynde , om aldaar de ach* teritalhge jaargelden , welke hy nog moest hebben* te verzoeken, ftierf hy aldaar' op °den 15 Novem- " ber 1631. Men heeft hem een groot getal Werken te danken, waar van fommige ons reeds bezig gehouden hebben, Wy zullen in dit Artikel eenige andere van dezelve ontleden , en men zal de 0%, telling derzelven in de volgende Noot (w) vinden. Een (*) Prodoniüs dijf. Cosmograthicarum , Rc, Tubines • 1596, in - 40. De fundam. Aflrologia certioribus. di (Terratiuncula. Prag. 1602, in-4°. Pa-alipomena ad ntèllLem feu Aflïon. pars Optica. Francof. 1604, in -4° *■».■/? Z'j TTt nt ÜT- de/°lr" Miqui0 mni l6°5- P"? 160T De ftrlld wd tn pede ferperuarii, &c. Cui accejjit nar', ratio de Itelld tncognU& cygni, Prag. 1606, i- -/ MeS eurius in Me fa Lipf ,609. Afironomianóva, M Pnyfica ceMts de motibus Jlella martis, &c. Pra* jn^n id fol. Diopcrica pM(S> ,6lI, in ;'<..» EplrV^ll tuuu calejhum ab anno 1617 ad 1636, panes in JiZli ?c Sa£ in -4°. Epitome Aftron. dpern. iö,8 & jöaf in -8«. U*z Uarmonices, L. V. Linz 16.9, in-US Gmetu, hb. Ut. Aug. Vind. 1615,, in -4*/'Hyperes 7>.  WISKUNDE. UI. Deel. W. Boei. 301 Ëen geleerde Duitfcher ( de Heer Gottlieh Hansch)^ die in 't Jaer 1718 eene Verzameling der Brieven van Kepler heefc uitgegeeven , beloofde ons in 't Jaar 1714 eene volkomene uitgave van zyue Werken in twee-en-twintig Deelen in-folio (x). Hoe groot de achting ook zy, welke wy dien beroemden Sterrekundige toedragen, gelooven wy nogthans, dat eene zodanige Verzameling thans weinig aftrek zou vinden. De naam van Kepler zal zonder twyfFe! zo lang in leven zyn , als de Srerrekunde geöeffend wordt: maar zyne te liegt in orde gebragte Schriften , te zeer vervuld met gewaagde denkbeelden, welke de toegeevendheid der Leezeren noodig hebben, en in weêrwil der uitmuntende ontdekkingen, welke daar in verfpreid zyn, kunnen in eene eeuw ais deeze niet herdrukt worden. Wat voordeel zou men kunnen beöogen, door ons zyne geleerde mymeringen over de eenflemmigheid der Waereld, enz. mede te deelen? Op het einde der voorgaande eeuwe zou men eene uitgave van die Werken door eenen man, die in (laat was het geen waardig was het Publiek voorgelegd te worden, van het geen men behoorde achter te houden, behoorlyk te onderfcheiden , toegejuicht hebben. Maar hedendaags zou het te laat zyn, om zelfs die Verzameling te onder* neemen. De beide ontdekkingen welke het meest toegebragt hebben, om Kepler eenen grooten tiaam te maaken, zyn die van de gedaante der Loopkringen van de Planeeten , en van de beide Wetten haarer bewee- gin- Tychonis contra fcip. Claramontium. Francof. 162$, in-4°. Tab. Rudolphma, éfc. ülm 1617, in - fok Refp. ai Epiff. jfac. Bartchii. &c. Sag. 1629, in -40. Aimon. aa Aflnn. de tniris ac raris, 1631. P/ienomenis , nempe Mercur, ac Ven. in Solem iticürfu. Lipf. 1629, in-40. Somtiium Kepleri,feu de AflronAunari. &c. Opus pofthumum. Francof. 1624» in-49. EpiH. Keplmana qusi cum refponfis. Lipf. Ï718, in -fbl. Ster. dol. Linz 1Ö05, in - fob (*) A£t, Lipf. ann. 1714. X  Soa HISTORIE der gingen. Wy gaan hem volgen in zyne Commcntaria over de beweegingen van Mars, waar in hy zorg ge* dragen heeft ons wegens de proeven en gisfingen , welke hem eindelyk tor de eerfte van die gedenkwaardige ontdekkingen aanleiding gaven, te onderrichten. Het was een foort van toeval, dat de navorfchingen van Kepler over de Theorie van Mars verwekt»; en het was een gelukkig toeval, om dat die Planeet, als één der uitmiddelpuntigften zynde, dén der geenen was, welke hem gemaklyker tot de waare oorzaak van haare oneffenheden konde brengen. Hy was naar Praag gegaan, om Tycho te bezoeken, die, by gelegenheid eener aanftaande Oppofltie van Mars, arbeidde om zyne Theorie over die Planeet in orde te brengen. Tycho was met Copernicus overtuigd, dat de Apfiden van de Loopkringen der Planeeten door de middelbaare plaats der Zon moesten gaan, en met behulp van eenen grooten toeftel van Cirkelen Haagde hy vry wel, om de beweeging van Mars in Lengte voor te ftellen: maar zyne onderftelling miste geheel en al in 't geen de Breedte betrof. Kepler, die reeds natuurkundige denkbeelden hadt, welke hem overtuigden, dat de Zon geenszins een middelpunt zonder werking, maar de beheerschter van de beweeging der Planeeten was, vermoedde aanftonds, dat de onderftelling van Tycho in dat opzicht valsch moest zyn. Van denkbeelden tot denkbeelden (want wy zouden te langwylig zyn, als wy de achtervolging derzelven hier wilden befchryven) kwam hy ten laatften tot de ontdekking, dat het noodig was de uitmiddelpuntigheid in tweeën gelyk te deelen. Hy werdt waarfchynlyk geholpen door de befchouwing, die Ptolomeus reeds gedaan hadt, naamlyk dat de eerfte oneffenheid der Boven-Planeeten ten deele wezenlyk, ten deele gezichtkundig was, eene reden die hem het middelpunt van haare gelyke beweeging buiten dat van haaren uitmiddelpuntigen Cirkel hadt doen ftellen. De laatere waarneemingen hadden hem ook van die noodwendigheid overuigd, cn men hadt flegts  WISRÜNDË» Hl. Deel. IV. Boek. flegts de Aarde alleen van die gemeene Wee uitgezonderd; maar Kepler, die by overeenkomst reden* kavelde, oordeelde dat men die Wet desgelyks op de Aarde , die gelyk aan de andere Planeeten is, moest toepasten. Hy toonde aan , dat men hét middelpunt des Loopkrings de helft der uicmidctelpuntigheid , die men hem eertyds gaf, mider by moest brengen; en dat men, door te onderftellem, dat de gelyke beweeging gefchiedt rondom h*t punt, dat van het middelpunt aan de andere zyce even ver Verwyderd is, aan de waargenomene oneffenheid der beweegingen van de Zon veel beter i dan door den eenvoudigen uitmiddelpuntigen Cirkel voldoet. Dit is hetgeen men de-in tweeën fuydiug der uitmiddeipuntigheid noemt ; zynde de cerlte trap van Kepler tot zyne groote Ontdekking. Onder andere bewyzen der noodwendigheid om de uitmiddelpuntigneid aldus te deelen, en de beweeging van de Zon, of liever van de Aarde, wezenlyk ongeiyk te maaken» gaf hy dit. Zo de Zon eenpaarig rondö n het middelpunt van haaren Loopkring liep, zou de fnelheid van haare-beweeging naauwkeurig de betrekking van haare fchynbaare middellynen volgen; dat echter zö niet is. In de daad, de middellyn der Zon is in haaf Apogeim flegts byna een 3ofte. kleiner, dan in haar Perigeum; hetgeen aanwyst, dat haar afïtand, in het eerfte van die punten , byna een softe, grooter dan in het tweede is. Doch haare beweeging is in het /Ipogeum een - vy'tiende langzaamer : zo mert derhalven aan het verlchil van afgelegenheid toe* fchryft de werking die zy moet voortbrengen j naamlyk een-dertigrte vertraaging, zal het ander dertig* fte-deel eene wezenlybe vertraaging zyn. Nu vol* doet men aan beide die voorwaarden, ais men het middelpunt van den Loopkring der Aarde de iielfc der oude uitmiddelpuntigheid naar de Zon te rug brengt, en de Aarde, ten aanzien van net overltaan* de punt, en even ver van de andere zyde des rnid* delpunts, gelykmaatig doet bew^egen. Kepler paste dit ook toe op de beweeging van Mats* en bevondt,  3°4 HISTORIE der dat zyne uitmiddelpuntigheid , op de zelfdè wyze verdeeld , zyne beweeging beter zou voorftellen, dan eenige onderftelling die men alsnog gemaakt hadt. Deeze onderftelling zou veele Sterrekundigen voldaan hebben, en wy bevinden in de daad , dat veelen daar by gebleeven zyn ; maar Kepler, die naar eene grootere volkomenheid haakte , bemerkte dat zy nog niet t'eenemaal aan de beweegingen buiten de Alpheden en Perihelien voldeedt. Gerugfteund door eene meer gelukkige dan naauwkeurige en dringende redeneering, beproefde hy om, in deeze cirkelvormige onderftelling, de Seiïors rondöm het uitmiddelpuntig punt S ( Fig. 74.) gelykmaatig te doen aangroeijen. Dit bragt hem in de daad veel nader tot de volmaaktheid: alleenlyk vondt hy in deeze onderftelling het gebrek van de berekende plaatfen in het eerfte Quadrant des Apheliums te veel, en in het laatfte te weinig voorwaarts op te geeven; hy bevondt ook, dat, buiten het Aphelium en Perihelium, de berekende afftanden grooter dan de waargenome11e afftanden waren, en wel dies te meer naar dat de Planeet nader by de middelbaare plaatfen was. Deeze beide waarneemingen gaven hem te kennen, dat de uitmiddelpuntige Cirkel, die hy in 't eerst verönderfteld hadt, flegts het gebrek hadt van naby de middelbaare afftanden te veel uitgebogen te zyn , en dat de waare Loopkring in de gedaante van een Ovaal binnenwaarts keerde, en den zelfden As hadt. Maar welke foort van Ovaal zal men in plaats van den Cirkel moeten kiezen? want men kan od den zelfden As zich een oneindig getal kromme Lynen verbeelden, waar van eenigen meer geplat dan anderen, en door zekere Meetkundige handelwyzen befchreeven zyn. Dit gaf Kepler niet weinig gelegenheid om te arbeiden. Vooringenomen met zekere faamengeftelde beweeging , door welke hy dit Ovaal dacht befchreeven te zyn , verzon hy een Ovaal, dat verfchillende was van de gewoone El' Ups, waar op zyne gedachten nog niet gevallen wa- re».  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 305 ren. Hy meende Mars in zyne magt te hebben, toen hy bemerkte dat deze've hem op nieuw ontfnapte. De woorden van Kepler zyn merkwaardig, en verdienen bygebragt te worden, als aan den dag leggende eene levendige verbeeldingskracht, die van hem gemaklyk een Dichter gemaakt zou hebben, zo hy geen Sterrekundige ware geweest. At dUm de wotilms marlis in hunc modum triurnpho, eique ut plant tlevicto tabularum carceres equationumque compedes neeto, diverfis nuntiatur locis, futilem viSloriam, ac helium totd mole recrudefcere ; nam dmi quidem capttvus, ut contemptus, rupit omnia aquationum v'mcula, earcerefque tabularum efregit. Jamque parum obfwt qutn hojhs fueitirus fefe cum 'rebellibus fuis confungeret. rnequem defperationem adigeret, nifi raptim nova rattonum FbyRcarum fubftdia, fufts & palantibus vetetibus^ fubmiHirem, ëf q>'d fefe captivut p'oripwjpit, vestigus ipfius, mild mord merpofua inheefifem, &c. In de daad , om mv van de figuurlyke uitdrukking van Kepierte bedienen, hy liet niet af om zynen ontfnapteu gevangene zo lang te vervolgen, tot dat hy hein achterhaald en geheel t'ondergebragt hadt. Hy bemerkte dat hec lebrek van zyn Ovaal hier in beftondt, dat het te veel in den Cirkel liep, en te plat was,; hy befloot daar uit, dat de gewoone Ellips, die tusfehen dat verdicht Ovaal en den Cirkel het midden hieldt, het waare fpoor der bewceginge van de Planeet was.. Zyne gevangene , zegt hy , met deeze capitulatie te vreeden, gaf zich goedwillig over, en deedt verders geene poogingen om hem te ontfnappen. Sedert dien tyd houdt men voor een grondbeginfel der hemelfche beweegingen, dat de Planeeten Elliptifche Loopkringen doorlobpen, waar van één der brandpunten de plaats van de Zon of Hoofdplaneet is, en dat zy zich op zodanige wyze daar in beweegen , dat de Inhouden, door de Lyn, uit het brandpunt, waar in de middelpuntige Planeet is, befchreeven, evenredig tot de tyden zyn. Wanneer de Loopkring eener Planeet door de Ellips A FPG (Fig. 75-)* waar van AP de Lyn desApftden is, verbeeld wordt, X 3 z"  $o6 HISTORIE bu zal de Zon S in één der brandpunten zyn, en zich daar in zodanig beweegen , dat de Setïors AST, ASt, AFPS 0 als de tyden zvn , welke hefteed worden , om tot de plaatfen T, *, 0 te komen. Naar dit grondbeginfel zyn de Tafelen berekend, welke de Sterrekundigen hedendaags gebruiken. Men heeft den gebeelen Inhoud van de Ellips, of dien van den Cirkel ADPA, voor 3600 genomen: voorts heeft men onderlteld , dat de Se&ors D S A in het brandpunt S van graad tot graad , dat is van 3600 tot §6op des geheelen Inhouds , gelyk* maatig aangroeijen, en vervolgens bepaald, welke de hoek 1 SA was , die met ieder van die Setïors overëenftemde; waar door men gevonden heeft de waare Anomalie , die met iedere middelbaare Ano~ malie , van graad tot graad aangroeijende , overëenfternt (>}; want het is klaarblyklyk , dat de Sector Cy) Dit Problema om de waare Anomalie te bepaalen, de middelbaare gegeeven zynde, is, wegens deszeifs moeijeiykheid, onder de Meetkundigen berucht geworden. Kepler loste het flegts op eene indireéte wyze op, door den boog A D (dien hy de Anomalie van het excentrum noemt) meer of mm groot te neemen , zulks dat voor den Seftor ASD de grootheid der gegeevene middelbaare Anomalie voortvloeide; vervolgens leidde by daar uit gemaklyk de waare Anomalie AST af. Maar na dat de Meetkunde in krachten was toegenomen, heeft men haarer onwaardig geoordeeld, dit Problema niet anders dan op eene indireéte wyze op te loslen: men heeft direéie Oplosfingen gezocht, en verfcheide Meet - en Sterrekundigen hebben zich geoeffend om dezelve te geeven. De eerfte van deeze foort is die van den Ridder Wren, die tot ons is overgebragt door den Heer Wallis (de cycl. od fin.), en door den Heer Newton ( Princ, /. I. ). Zy is zuiver Meetkundig, en heeft tot grondflng eene lantrwerpige Cycloïs. Doch zulks is niet voldoende als in de Theorie, Vai me reden Jaar de Heer Newton aanltonds eene andere daar op volgen , we!ke in eene reeks van afneemende hoeKen beftaat, zynde de verbetering, welke men in de middelbgare Jnomlk moet doen f qm de waare te bekomen. Naar*  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 307 tor ASD, in graaden gebragt, de middelbaare Anomalie verbeeldt, en dat de overëenkomltige hoek Naardien deeze Oplosfing vry faamengefteld is, hebben de Heeren Keil en Gregori eene andere voorgedragen, de eerde in zyne LeSt. Aftron., de andere in zyne Elem. Aftron. Het hoofdzaakelyke derzelve komt hier op uit. Het bewustProblema bellaar, zo als men weet, hier in, om van eenen Cirkel eene ruimte ASD af te fnyden, gelyk aan eene gegeevene ruimte , door eene lyn uit een ander punt S dan het Centrum getrokken. Wanneer men nu van de hedendaagfche berekeningen gebruik maakt, vindt men eene reeks, die de waarde van den Settor, in 't punt S gemaakt , uitdrukt, en met den onbepaalden Ordinaat DE overè'enftemt. Men vergelykt alsdan deeze reeks met de gegeevene ruimte, en vindt door de wederkeering der reekfen DE uitgedrukt door eene nieuwe reeks . die zeer faamenloopendü is, wanneer de uitmiddelpuntigheid niet zeer groot is; zulks dat een klein getal Termen genoegzaam is, om de waarde van DE te bekomen. Deeze Oplosfing is den Heer Newton niet onbekend geweest. Men vindt dezelve in de Comm. Epift. p. 53- , , Deeze verfcheidene oplosfingen hebben de bekommeringen der Wiskundigen niet weggenomen. Aan den eenen kant hebben de Sterrekundigen enkel Trigonometrifche benaderingen gezocht. Zodanige zyn die welke de Heeren Hor~ rébow (AÜ. Lipf. Suppl. T. VI.) en Cosfini (Mém. de VAcod 1719) gegeeven hebben. Aan eenen anderen kant hebben de Meetkundigen nieuwe Geometrifche of Analytifche Oplosfingen gezocht. De Heer Hermann heeft (Mém. de Pexersh. ann. 1726) eene Memorie gegeeven , waar in hy twee oplosfingen voordraagt, de eene Geometrisch door middel der Quadratrix van den Heer Tfchirnhaufen , de andere Arithmecisch, en die zeer gemaklyk ter uitvoer gebragt kan worden. Men heeft ook (Tranf. Phil. ann. 1738) een geleerd Gefchrift van den Heer Machin, waar in hy reekfen opgeeft, die op eene ongemeene wyze convergeeren, en daar uit eene zeer vaardige en uitvoerlyke handeiwyze afleidt. Men vindt eindelyk in de Werken van den Heer Simpfon (Esfays en feveral curious and ufeful fubje&s in fpecvlative and mix' d Mathematieks, p. 41) eenige nieuwe Uplodingen van dit Problema. X 4  SoB HISTORIE der hoek AST de waare Anomalie is. Eindelyk heeft men de waare van de middelbaare Anomalie afgetrokken, of daar by gevoegd, en by het verichil bet behoorlyk teken van optelling of aftrekking nevens de middelbaare Anomalie aangete•r'yV ten,e,nde. voISens de fchikking der oude Iafeten,-de vereffening te bekomen, naamlyk het deel dat by de middelbaare plaats opgeteld, of daar van afgetrokken moet worden, om de waare plaats te verkrygen (V). r Zo- (z) Aangezien hetgeen hier oVer de Anomalie gezegd wordt eenigzins te kort is , zuilen wy het in deeze noot uitbreiden en ophelderen. In de oude Sterrekunde heeft men Anomalie genoemd , de afftand van de Zon of eenige Planeer tot haar Apogeum. De middelbaare Anomalie was die ai!tand,_ uit het middelpunt van den uïtmiddelpnntigen Cirkel gezien , of de hoek die gevormd wordt door de lyn, die tut dat punt tot het Apogeum getrokken is, met de lyn, int het zelfde punt tot de Planeet getrokken. De waare Anomalie was die afftand , uit de uitmiddeipnntige plaats, waar in zch de Aarde bevindt , gezien, of de hoek gevorrad door de beide lynen, uit de Aarde tot het Apogeum en de Planeet getrokken. Het verfchil van die beide hoeken was hetgeen men de proftapherefu noemde , die men dan eens by de middelbaare plaats moest optellen, dan wederom daar van aftrekken , om de waare of fchynbaare plaats te bekomen. In de hedendaagfohe Sterrekunde is de Anomalie eemgzips anders. De waaie Anomalie is wel de hoek AST, gevormd door de lyn der Apfiden, en de lyn , uit het brandpunt tot de Planeet getrokken: doch de waare Anomalie wordt door den Sector ASTA gemeeten, om dat het alleen die Settor is , die evenredig met den tyd aangroeijende, desge.yks in gelyke tyden aangroeit. Om derhalven de oude Ichikking der Tafelen te behouden , heeft men den geheelen Inhoud der Ellips gelvk aan 360° onderfteld en den Inhoud van ieder Settor- ASTA in graaden en deelen van een graad berekend. Maar vermits, als men den Ordinaat TE tot den Cirkel verlengd, 'er de zelfde rede van de geheele Ellips tor den Cirkel is, als van den Settor AST tot denStffor A-SI>? komt het daar uit voort, dac men de betrek-  WISKUNDE. III. Deel. IV. Beek. 309 Zodanig is de eerlle wet van de beweeginge der Planeeten, door Kepler ontdekt; 'er is nog eene tweede belangende de opzichtelyke beweegingen van verfcheide Planeeten, welke om het zelfde punt dfaaijen. Deeze bellaat hier in dat , in dit geval de vierkanten der tyden , die zy in haare omloopen befteeden , als de teerlingen haarer afftanden van dat punt zyn, of, dat het zelfde is, dat die afftanden als de vierkanten der teerlingswortelen uit de omloopstyden zyn, Kepler merkt zulks aan in zyne Epitotne Aflronomiae Copernicance (<»), en bewyst dit in de eerfte plaats door de vergelyking der beweegingen van de boven-Planeeten. In de daad , wanneer wy de Aarde met Saturnus vergelyken, bevinden wy , dat de omloopstyd der Aarde tot dien van Saturnus ftaat, als 1 tot aof, waar uit de teerlingswortelen zyn 1 en 3T5; wannee r wy deeze tot het vierkant verheffen, zullen wy vinden 1 en 9 + tlé. Dit is in de daad de betrekking haaTer afftanden van de Zon, afgeleid uit de Theorie», welke met haare beweegingen het best overëenftemmen. Zo men nogthans de omloopstyden van twee Hoofdplaneeten naauwkeuriger neemt, zal men de betrekking van haare afftanden met grootere naauwkeurigheid vinden, en nader by die, welke de •waarneemingen der beste Sterrekundigen opleveren. Het- trekking van den Se&or ASD tot den Cirkel voor de middelbaare Anomalie genomen heeft. Wanneer dus de middelbaare Anomalie gegeeven is, heeft men in 't eerst, om de waare Anomalie te vinden , niets anders te doen , dan den Settor ASD te bepaalen , welke tot den geheelen Cirkel fiaat, als het gegeeven getal graaden ftaat tot 3600. Dit gedaan zynde, is alles verricht; want men zal alsdan den hoek ASD hebben , en deeze hoek gevonden zynde, zal men AST, of de waare Anomalie, hebben, dewyl debetrekking van E D tot E T gegeeven is, zynde deeze betrekking de zelfde , als die van den grooten tot den kleinen As des Loopkrings. («) Épit. JJlron. Cep. p. 500, 530, 554X 5  3io HISTORIE der Hetgeen wy onder de Hoofdplaneeten opgemerkt hebben , wordt ook onder de vier Satellieten van Juptter waargenomen, zo als Kepler aanmerkt, die daar uit een nieuw bewys voor zyne ontdekking af. leidt. Men ziet eindelyk deeze wet onder de vyf Satellieten van Saturnus heertenen. Indien wy even als die twee Planeeten met verfcheide Maanen bevoorrecht waaren, zouden wy zonder twyfel het vermaak hebben, van die Wet onder dezelve te zien heerfchen. Zo wy ons hier naar onzen wensch konden uitbreiden , zouden wy ons gaerne willen verledigen om van de Natuurkunde van Kepkr eenig denkbeeld te geeven. Want hy bepaalde zich niet ilegts tot de zaaken zeiven , hy poogde ook de oorzaaken daar van aan te toonen, en hy doet de Sterrekunde byna altoos van de Natuurkunde vergezellen. Maar wy willen het niet ontveinzen , dit gedeelte der Schriften van Kepler is op verre na het verhevenlre riiet, en fchoon de man van vernuft daar in doorftraalt, heeft het nogthans de toegeeflykheid der Leezeren grootelyks noodig. Zy die echter daar van een denkbeeld wenfchen te hebben , zonder tot zyne Werken toevlugt te neemen, kunnen daar over nazien the E/ements of Aflronomy van den DoüorGr*^y,.waarin zy een zeer kort en zeer wel famengeiteld Uittrekfel daar van zullen vinden. Nogtfians zyn in de Natuurkunde van Kepler verfcheide gelukkige gisfmgen, welke geheel en al overëenfcomfrig met de hedendaagfche ontdekkingen zyn. Men ziet hem , in zyne Commmtaria over Mars, vermoeden, dat de onregelmaatigheden, welke de Maan byaonder eigen zyn, het gevolg zyn der werkingen, welke de Aarce en de Zon gezamentlyk op haar oefenen (*;. Hy gist daar in, dar de Aphelien der Planeeten dan eens voorwaarts gaande, en dan wederom te rug gaande zyn, maar dat zy, als zynde in (*) c. 37. Epit, Aflrm. Cop. L. IV, J. 5 , 1. VI.  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek, 311 iederen omloop langer voorwaarts dan -te rug gaande , na een zeker getal omleopen voorwaarts gegaan fchynen te zyn. Dit wordt ten aanzien der Maan bevestigd, en het is zeer waarfchyniyk, dat zulks ten opzichte der Planeeten plaats heeft, welke om de Zon draaijen , fchoon de traagheid der beweeging van haare Apfiden niet toelaat zich daar van te verzekeren. De algemeene aantrekking der ftoffe wordt in het zelfde Werk duidelyk uitgedrukt (c). „ De zwaartekracht , zegt Kepler , is flegts eene lighaamlyke en onderlinge neiging „ tusfehen gelykformige lighaamen , om zich te ,, verëenigen. De zwaare lighaamen , voegt hy „ 'er by , neigen geenszins naar het middelpunt „ der waereld , maar naar dat van het rond lig,, haam, waar van zy een deel uirmaaken; en zo ,, de Aarde niet rond was , zouden de lighaamen niet loodrecht op haare oppervlakte ceder vallen. „ Zo de Maan en de Aarde niet in haare opzich- telyke afftanden gehouden werden , zouden zy ,, op elkander valien , vermits de Maan omtrent \\ van den weg, en de Aarde het overige af. legt , onderftellende dat zy even ingedrongen zyn." Hy denkt ook, dat men het verfchynfel van den vloed en ebbe der Zee aan niets anders , dan aan deeze aantrekking der Maan moet Kkfcbryven. „ De aantrekking der Maan, zegt hy, ftrekt zich tot op de Aarde uit. Zy trekt de wateren van den Oceaan in de gezengde Luchtftreek aan, ,, onder de plaats waar zy in het Zenith ftaat, enz. 9, De Maan, gaat hy voort, zeer fnel door hec ,, Zenith gaande, en de wateren haar niet met de ,, zelfde fnelheid kunnende volgen , ontftaat daar uit een geduurige ftroom van het Oosten naar hec „ Westen , die onöphoudelyk op de overftaande oevers aanvalt, en aan de kusten te rug fluit. ,, Van daar de oorfprong van den geduurigen lucht- ftroom, (f) Ibid in Intred.  SI3 HISTORIE oer „ Aroom, welke zy , die onder de gezengde Luchtflreek zeilen, ondervinden , en de oorzaak van „ de opkomst of den ondergang van verfcheide „ Zandbanken of EHanden, enz. van de uitholling ,, der Golf van Mexico en der Oostkust van Aha." Hy fchynt ook de zwaartekracht der Planeeten naar de Zon duidelyk te bemerken (V); want hy vergelykt met dezelve die der zwaare lighaamen op de Aarde, en fchoon hy in zyn Kort begrip der Copernicaanfche Sterrekunde niet wil, dat de aantrekking van de Planeeten en de Zon wederkeerig zy, uit vreeze dar de Zon uit haare plaats gerukt worde , laat by echter niet na zulks op eene andere plaats te erkennen. Want hy voorkomt deeze tegenwerping , door te zeggen , dat de masfa en de dichtheid der Zon zodanig zyn , dat 'er geen reden is om te vreezen , dat dezelve door de verëenigde werking van alle de andere Planeeten zou kunnen verplaatst worden (e). Kepler hadt eindelyk de beweeging der Zon om haaren As vermoed, en daar van één der grondiiellingen van zyne hemelfche Natuurkunde gemaakt (ƒ); ieder weet dat zyne gisfing kert daar na, door de ontdekking der Zonnevlekken, bevestigd is. My maakt hier eene aanmerking , die onze oplettendheid waardig is, naamlyk dat de Loopkringen der Planeeten tot den Equator der Zon , of tot den Cirkel, welke die Equator, verlengd zynde , onder de vaste Sterren aantoont, en niet tot onze Ecliptica, behoorden overgebragt te worden: in de daad, onze Ecliptica is een Cirkel tot welken die Loopkringen geene natuurlyke betrekking hebben , en om die reden moet het noodwendig gebeuren, zo als Kepler insgelyks aanmerkt (g) , dat hunne helling tot de Eelip* (<0 Epü- Aftron. Cop. 1. V, §. r. ( e) Comm. de Mot- Mart. Ibid. Cf) Comm. de Mot. ftellce Mortis. P. IV. cap. 34 , flf êlibi pajjim. (g) Ibid. c. 60.  WISKUNDE. UI- Deel. IV* Boek. %i 3 Ecliptica veninderlyk is , ten zy de: knooper,. van den Loopkring der Aarde en van die der andere Planeeten , ten aanzien van den Equatorder Aon , eene naauwkeurig gelyke beweeging hebben.. Naardien nu deeze beweeging in de daad ongeiyKis. moeten wy eeniglyk aan haare ongemeene ">a6n«0 toefchryven, dat wy die Verandering nog niet be- fPNadzomede' trekken van vernuft behoorde men, zo het fchynt, te verwachten, dat Kepler| het waard Systema der Comeeten gekend zou hebben, een Systema dat zo voldoende is, en hem met ree■ht m zo veele opzichten moest behaagen. Maar de meest doorziende mannen zyn het niet desgelyks in alles en deeze verhevene waarheid ontfnapte hem. wei verre van te vermoeden, dat die heme lichten zeer uitmiddelpuntige Planeeten zyn , zo als de hedendaagfche waarneemingen zulks meer en meer ichynen te bevestigen , maakt hy van dezelve nieuwe gedachten , en befchouwt hun als verdikkingen der lucht, welke bekwaam zyn het licht tot ons te rug te kaatfen fA). Hy geeft bun eene rechtlymgei beweeeing, en eenigermaate in weerwil der waarneeminlen. ; want dezelve moesten hem in tegendeel beweegen , om hunne looppaden uit verfcheide deelen van rechte lynen , op eene onderfcneider.e wyze hellende, en achtervolgens hoe langs hoe meer in tene zelfde richting,famen te ftellen; hetgeen eenen kromlvnigen Loopkring aanduidde, in plaats dat hy, ten einde zyne Onderftelling met te laaten vaaren, aan die Hemellichten eene vertraaging van inelheid toefchrvft, naar maate zy zien van hun Perihelium verwyderen. Aangaande de ftaarten der Cmeeiert hadt Kepler een gevoelen, dat verfcheide heuendaag. iche Nuuurkundigen als waarfchynlyK is voorgekomen. Hy dacht, dat dezelve een gedeelte van hunnen Dampkring,door deZomieftraalen weggevoerd, (Zi) De Com. lib. 3.  3H HISTORIE der en tot ons te rug gekaatst, konden zyn. Nog# thans zyn 'er krachtige redenen , om dat gevoelen te verwerpen. Wy zouden Kepler alleen een voornaam gedeelte der plaats moeten inruimen , die wy voor verfcheide andere lofwaardige Sterrekundigen noodig hebben . indien wy onderneemen wilden alle zyne ontdekkingen, met de zelfde uitgebreidheid als de voorgaande , bekend te maaken. Wy zullen ons om die reden bepaalen tot eene korte optelling vart het overige, dat hem de Sterrekunde verfchuldigd is: zodanig zyn vooreerst verfcheide handelwyzen voor.de bepaaiing van de Loopkringen der Planeeten, haare afmeetingen en (landen; eene meenigte waarneemingen welke hy deedt, om by die van Tycho te voegen ; de waarneeming des Elliptische gedaante van'de Zon en Maan in de nabyheid van den Horizon, eene waarneeming waar van men doorgaans den Vader Schemer de eere geeft, doch welke Kepler vóór hem , en voor de eerfte maal m t Jaar 1600 , en Bayer tekende haar üra"°metr.ia\ of ^ Hemelkaarten, d e hy m den Jaare 1603 m 't licht gaf. Zy was, in 1605 of r6o6, van de derde grootte • MderhJrf verminderde zy geduurende eenige jïr'en, eE^ verdween ten laatften geheel en al. De Heer CaZ) zag haar wederom in 'c Jaar 1655, Van de ze\Se grootte, en zy verminderde trapswyze tot in 'S hJ?'^06?. m£Q haf mt het Sezicht verloor. De Heer ffeuftw nam haar op nieuw in 't Jaar 1666 waar, toen zy zich weder begon te vertoonen. üic deeze waarneemingen en andere, die men vervolgens gedaan heeft, heefc men bélloten, dat dëew Ster in^4».Zie K'*kf ' dsJlelld "ovd inPede s*PMarH- i6o6v  WISKUNDE. Deel. IV. Bóek. 31? Ster eenen geregeldpn omloop van omtrent vyftieti Jaaren heefr, dit zy omrrent tien Jaaren lcbynbaaf en vyf Jaaren onzichtbaar blyft. Met tweede verlehynfe! van die natuur, (wiht dS Hemelen vertoonen ons verfcheide zodanige v rfchynielen) is de veraurJeriyke Ster in den hals vin den VValviscn. Dau'd Fabficius hadt haar in 't Jaar I59Ö gezien , zonder haar voor 't geen zy was fe kennen, en vervolgens uit het oog verloren , zonder haar te kunnen wedervinden (Bayer ontdekte haar omtrert het Jaar 1600, e-; rekende haar in zyne Üranfrxctria aan , als door Tycho overgellagen zynde. éJndelyk zag Phocylides Hoiwarda haar m 't} 1 ar 1638 verdwynen , en 9 Maanden daar ha weder telt Voorlchyn komen; en Veele ahdere rieeden,in voor* beeld van hem , in de Volgende Jaaren de zelfdeWaarneeming. Sedert dien tyd heeft men opgemerkt, dat zy alle Jaaren ten voorfchyn komt en ver'wynt, telkens omtrent een Maand vroeger kómende (#_), en dat zy4 in haaren grootften glans zynde, foirttyds , doch zelden, de Sperren van de tweede grootte , en doorgaans die Van de derde grootte evenaart. De Heer Bouillaud ( Buli aldus j (0) bepaalt de diniring van haaren omloop, rusfchen haare twee grootfte Phafes, óp 333 dagen; hetgeen eene |aarlykfche vervroeging van omtrent 33 dagen uitmaakt: de Heer Casftni, eene groorere reeks van Waarneemin-< gen tot een grondflag hebbende, heelt dezelve op 35§ dagen bepaalt. Het Gefterfite van de Zwaan zou reeds daar in vry merkwaardig zyn , dat hetzelve eene Ster bevat van de foort, die wy zo aanltonds befchreeven hebben. Maar het is zulks nog in een ander opzicht; (m) Kepl. Aftt. pars Optica, p. 14& . C n ) J, Hevelii, kiflcriola mirte ftellte in collo cett. Co) Ai Aftron. monita duo. l'rimum de novd ftél'.i t'H collo ceti. Secunium de nebuhfd in cingulo Atuiromedrf anti hiennium iterum ortd. Par. 1665. Y  3i8 HISTORIE dik zicht; want men heeft in 't Jaar 1670 eene tweede daar in ontdekt. Men is, zo het fchynt, den Heer Hevelius, en den V. Anthelme, Karthuizer Monnik en Waarneemer van Dijon , deeze ontdekking verfchuldigd. De veranderlyke Ster , waar van wy fpreeken, ftaat in den hals by den bek. Zy verdween in 't zelfde Jaar, en verfcheen weder in 't Jaar 1671, waar na zy zich op nieuw verborg, en men verwachtte verfcheide Jaaren achtereen eene nieuwe ver» fchyning. Zy is nogthans in *i vervolg weder ten voorfchyn gekomen, en men heeft ondervonden dat, op eenige onregelmaatigheden na, haar omloop van dertien Maanden is. De Heer Kirch heeft denzelven naauwkeuriger op 404^ dagen bepaald O). De Heer Maraldi heeft in 't Jaar 1704 eene diergelyke Ster als de voorgaanden in de Hydra ontdekt (0). Zy was, wel is waar, door Hevelius en Montamri in de Jaaren 1662 en 1672 gezien , doch zonder dat zy dachten eene byzondere Ster te zien. Hetgeen deeze merkwaardigs heeft is , dat de tyd van haare verfchyning niet veel langer dan vier Maanden is; zy is byna twintig maanden onzichtbaar , zonder te verfchynen , zo dat haar geheele omloop juist twee Jaaren is. Wanneer zy in haaren grootlten glans is , overtreft zy geenszins de Sterren van de vierde grootte. Het Gefternte van Andromeda heeft ook zyne byzonderheden. Men ontdekt daar in eene nevelachtige Ster, van een verfehillend geflacht als die der andere van deeze foort, welke, zo als men weet ^ flegts verzamelingen van kleine en zeer dicht by el kander ftaande Sterren zyn. Deeze gelykt op het bloot gezicht naar eene kleine fchynbaare wolk, in welkers midden men, met behulp van den Telefcoop, een meer verlicht deel ontdekt. Simon Mar'ms ontdekte deeze Ster omtrent het Jaar 1612, en de be- fehry* (p) Mifcell. Berol. T. III, ad ann. 1710. (j) Mém. de l'Acad. 1706, 1709..  WISKUNDE. III. tkel. IV. Êoeh 319 fchryving, die hy daar van geeft, is zeer overëehkomftig met de waarheid. De Heer Bulialdus (f} geeft öns nogthans te kennen, da: Marius de eerfte iliet is die dezelve gezien heefc. Hy haalt een naamloos Handfchrift aan j door den Heer de Thoa uit Holland medegebragt, en welks Autheur, die byna eene eeuw vöór Marius leefde, getuige van dat ver° fchynfel was geweest. De Heer Bulialdus merkt in dat Gefchrift aan, dat vermits die Ster niet is aangetekend , .noch in de oude Naamlysten , noch hi die van Tycho, noch in de Urariomeïrië van Bayer, en. evenwel in tusfchentyden is gezien geworden, het zeer waarfchynlyk isi dac zy aan geregelde verfchy* ningen en verdwyningen onderhevig is ; hetgeen dé Heer Godefroi Kirch door zyne toeftemming en waar^ heemingen bevescigd heeft. Aangaande dë oorzaak Van deeze nevelachtigheid kunnen wy geene, dié tvaarfchynlyker is , opgeeven , dan die welke dé Heer de Mairan vermoede (f); Hy denkt, dat dié flaauwe glans wel zou kunnen veroorzaakt wordërt door eenen önmeerelyken dampkring, even als die Welke onze Zon omringt , en die het Zödiakèlicht verwekt, waar van de ontdekking, zo men weeti den Heer Casfini toekomt: deeze gisfing fchynt my volkomen gelukkig en voldoende te zyn; Na dat men aan den Hemel Sterren gezien heeft } Welkë na haare verfchyning weder verdweenen zyn $ andere welke geregelde tyden van Verdwyningen eii verlchyningen hebbenj zal men zich flegts op eerié middelmaatige wyze behoeven te verwouderen , als Wy Önder dezelve fommige vinden , welke in dë Oudheid onbekend fchynen geweest te zyn, en ahdere welke fedeft eenige eeuwen haar hetit verloréd fchyi (r) Ad Aftron. tooniia duo, &c; {s) Traité de CAurore Boreale, noüv. Uk. Sett. Vj p; 350. Men vindt in de aangehaalde afdeeling verfcheidé voorbeelden Van nevelachtige ruimtens , aan den Hemel verftrooid, en onder anderen dat van eene Ster; die fedeiê den Heer Huyghens nevelachtig fchyrit gewordeo te %H y a  320 HISTORIE der fchynen te hebben. Men heeft, wel is waar, geea zeer yolkomene bewyzen van deeze laatfte gebeurtenisfen; maar zo men alle de gisfingen, welke verfcheide Sterrekundigen daar over gemaakt hebben, door oude Naamlysten met de onze te vergelyken, overweegt, zal daar uit een famenftel van bewyzen voortvloeijen , welke die gebeurtenisfen vry waarfcbynlyk maakt. Naardien het eenen arbeid van eenen langen adem zou zyn, zullen wy ons vergenoegen met den Leezer te verzenden naar de Naamlyst der Zuidelyke Sterren van den Heer Halley % die veele van die nieuwe verfchyningen of van die verduisteringen van Sterren vermoedt. Nog moet men over dit onderwerp nazien eene Memolie van den Heer Maraldi, onder die van de Academie in 't Jaar 1708 gegeeven, ais mede verfcheide Gefchriften, in de Philofophifche Tranfaüien ingelascht (/), welke verfcheide zodanige waarneemingen bevatten. Eindelyk moet men, om in alles wat die verfchynfelen betreft ten vollen onderricht te worden, de Gefchiedenis der nieuwe Sterren leezen, welke men in de Tranfactien van 't Jaar 1715 vindt, ( f wel die welke de Heer Casjim in zyne Beginfelen der Sterrekunde (E/émens cfAftrommh} gevoegd heeft. 6 8 Om de gantfche uitgeftrektheiu van ons onderwerp te vervullen, zou men hier iets moeten zeggen over de gisfingen , welke de Natuurkundigen gemaakt hebben , om die zo zocderlinge verfchyningen en verduisteringen te verklaaren. My is over dit onderwerp niets, dat vernuftiger en waarfchynlyker is , bekend , dan hetgeen de Heer de Maupertuis in zyn Boek over de gedaante der Hemellichten (fur la figvre des afires) gezegd heeft. Hy gist, dat 'er wel Zonnen zouden kunnen zyn, welke door de fnelheid haarer omwenteling ongemeen geplatte Spberoïden waren. Nu zouden He- mel- (/) Zie Tables des Tranf. p. 149, 150.  wiskunde. iii. Deel. iv. Boek. mellichten van die gedaante , welke ons dan eens hunne fchyf, dan wederom haaren fcherpen kant vertoonden, in het eerfte geval verfchynen , en m het tweede verdwynen. Maar uit welke oorzaak zullen de Hemellichten die veranderingen van Hand ondergaan: men vindt die ooizaak m het zelf Je mechamsmus, dat de nutatie van den As der Aarde, en verfcheide andere zodanige onregelmaaiigbeden in de hemelfche beweegingen bewerkt, ben der Zonnen , waar van wy fpreeken, zou desgelyks door de werking der Planeeten, die om baar loopen, van plaats kunnen veranderen. Zelfs merk ik hier iets aan, dat de Heer de Maupertuis ontglipt fchynt te zyn ; naamlyk dat de nutatie van den As der Aarde, de terug gang der nachteveningen, enz. Uegts voortgebrast worden door de verplatting der Aarde, ot door de werking der Zon op dien hollen ring , welke buiten de Spneer gaat. Hemellichten , welke ongemeen plat zyn , zouden derhalven,om zo te Ipreeken, veel meer gelegenheid geeven aan de werking der lighaamen, welke rondom hun zouden draaijen , om dezelve van plaats te veranderen; waar uit volgt, dat zy aan veele veranderingen onderhevig zouden zyn. Deeze aanmerking fchynt my dienftig te zyn, om de bewuste gisfmg eenen nieuwen trap van waarfchynlykheid by te zetten. i i i. Terwyl Kepler in Duitschland de ontdekkingen deedt, welke boven zyn voorgedragen, bloeide de beroemde Galileus in Italië, en bragt door bezigheden van eene andere natuur tot de bevordering der grondige Sterrekunde niet minder toe. Van den Telefcoop geholpen , ontdekte hy aan den hemel nieuwe verfchynfelen , en fchoon hy zich in een Land bevondt, alwaar zekere omftandigheden het vermogen der vooröordeelen verdubbelen, trok ny echter uit die verfchynfelen wettige gevolgen ten voordeele van het waare Syftema des Geheeials. y 3 vyy  323 HISTORIE DER Wy zullen, alvoorens in het verhaal der ontdekkin. gen van Galileus te treeden , van zyn perfoon en" zyne geboorte nog een woord zeggen. Galileus kwam den 18 February 1564 te Pi/a ter waereld, van Fincenzio. GaliJei, een Florentynsch Edele , en Julia Ammanaii, oorfprongkelyk uiteen oud en edel Gedacht van Pifloja. Zyn Vader was» in de Wiskundige Weetenfchappen bedreeven , en voornaamlyk in de Theorie der Muziek, waar overhy een Werk gefchreeven heeft, dat wy nog heden bezitten («).. Galileus kreeg eene opvoeding geÊvenredigd naar zyne geboorte en de kundigheden zyns Vaders. Hy was tot de Geneeskunst voorgefchikt, maar de inblaazing der natuur maakte van hem een Wiskunftenaar, en hy werdt reeds in 'tjaar 1589 tot Hoogleerëar te Pi/a bevorderd. Hy bleef daar niet lang: eenige proeven, ftrydig met de Leere van Arifloteles over den val der zwaare lighaamen , deeden den geheelen aanhang van Arifloteles tegen kern opftaana en noodzaakten hem Pi/Jnc verlaaten ter bekleeding van het iloogleeraarsampt te Padua. waar zyne verdienfte hem deedt wenfchen.' Hy bekleedde aldaar dien post tot in 't Jaar 1609 of 1610, toen zyne voortreffelyke ontdekkingen hem te Pi/a. deeden te rug roepen door den Groothertog van Tofcane, die niet wilde gedogen , dat een vreemde Staat één van zyne onderdaanen bezat, die zo °qfchikt was om den zynen beroe*nd te maaken. Hy $eldehem aan als Hoofd en Beftierder der Studiën te Si fa, alwaar hy hec overige van zyn leven doorbragt, om alle foorten van wysgeerige dwaalingen uit te roeijena en om de Wis- en Natuurkunde door verfcheide ontdekkingen tot grootere volkomenheid te brengen. Schoon de jeugd van Galileus, even als zyne rype ouderdom s door yerfqheide trekken van vernuft gete- («) Bjaleghi della Mufica antka è nova. i?8r. Flos. m -fok ' ' ' r« b/;: i\'  WISKUNDE. III. Deel. IV. Beek. 313 tekend is, moet men echter het tydperk van zyne beroemdheid eerst in 't Jaar 1609 bepaalen. In dat laar te Venetien zynde, hoorde hy daar, door het algemeen gerucht,de uitvinding van den Telefcoop; en na verfcheide proefneemingen maakte hy 'er een , die omtrent 33 maal in middellyn vergrootte Zyne eerfte zorge was hem naar den Hemel te wenden , en het eerfte vosrwerp, dat hy befchouwde, was de Maan Zy was toen even in Conjunöie geweest, en hy bemerkte , dat de fcheiding van het licht en de fchaduwe zeer onregelmaatig was , en als getand fcheen te zyn; hy befpeurde desgelyks op eenigen afftand van het licht reeds verlichte deelen. Aangezien hy de vooröordeelen der Schoole over de natuur der hemelfche lighaamen niet zeer was toegedaan , was 'er niets meer noodig om hem te overreeden, dat de Maan een foortgelyk lighaam als de Asrde , en van opryzende onëlfenheden voorzien was, die men niet beter dan by bergen kan vergelyken. Hy deedt nog meer, hy viel in het denkbeeld om de hoogte van één dier verhevenheden te meeteo , en betoogde door eene Meetkundige handeiwyze, dat zv veel hooger was dan één der bergen van onzen Kloot. De vaste Sterren vertoonden hem geen minder nieuwe verfchynfelen. Hy zag den Melkweg met eene meenigte ten uiterften kleine Sterren bezaaid, zo als oude Wysgeeren gegist hadden. Hy vondt 'er meer dan veertig in de naauwe ruimte van de Groep der Pleyades, tn meer dan vyfhonderd in Orion. De nevelachtige ftip van dat Gefternte fcheen hem uit één en twintig zeer dicht by elkander ftaande Sterren famengefteld te zyn , en dat van den Kreeft (Cancer), onderden naam van Prefepe Lanen bekend, vertoonde hem meer dan veertig Sterren. De ontdekking der Satellieten van Jupiter volgde zeer kort op de voorgaanden. Toen Galileus den 3 January des jaars 1610 Jupiter waarnam, ontdekte dhy dicht by hem drie Sterren , waar van twee aan de eene zyde, en de derde aan de andere zyde waren. Hv nam dezelve in 't eerst, dat zeer natuurlyk J Y 4 was,  Sa4 HISTORIE d e u was, voor eenige van die vaste Sterren, die men met als met behulp van den Telefcoop kan ontdek. Ken Gelukkigerwyze kwam hy den volgenden dag op den naval, om die Planeet op nieuw te befchouwen, en hy zag i0en duidelyk, door haare nieuwe configuratie en de on Handigheden der beweegingevau ^iptfe, , dat zy noodwendig Vae Pl,ats veranderd zyn- Hy ontdekte kort daar na de vierde, die hem dus verre ontfnapt was, en vervolgende zyne waarneemingen geduurende twee geheele Maanden, betoogde hy zich, dat Jupiter va„ vier kleine mnentw omringd was, welke haare omloopen Xm eom bem doen , even a's de Maan rondom de Aaide irly noemde dezelve Hemellichten van Medi?j* van het doorluchtig Huis dat hem be- lchermde, In 't begin der volgende maand Maart gdt ny (tie ontdekkingen en waarneemingen in 't licht, order den J ytel van Nuntius Siderus; een gedenkwaardig tydmerk, en dat men als dat der zegepraal der gezonde Natuur- en Sterrekunoe, over de voorouderen der oude Wysbegterre, kan aanzien. Ga* Mits lier het, ten aanzien van die nieuwe Planeeten, -daar met by blyven: nieuwsgierig om de wonderly. U oatbndighedcn ]vaint[ btweeüingen te leeren kennen, nam by de,eive in de volgende Jaaren zo veelmaaleu waar als hy konde. Hy niaakie zich daar wan tene foort van Th-otie, en dorst in 't begin des Jaa'-s /6j3 haare covfeutatien voor twee achteiëenvo;gei»de muisden se vooi2eggen O). a Gaiikus moest een te groot genoegen daar in geffftaakt hebben , dat hy zynen Telelcoop naar de Maan er Jupiter hadt gewend, om niet insgelyks de andere pianee-en Te befchouwen. De waarneeming van Yenus vertoonde hem een fchouwfr.el, dat een net minder bondig bewys tegen de oude Wysbegeerie oplevert. Hetgeen Copernicus eertyds gezegd hadt poodzaakdyk te zyn , naamlyk dat Yenus Phafes. hadt,, (?) 'k*M ?«. al S. Yeyer^  WISKUNDE. Hl. Deel. IV. Beek. 335 hadt, gelyk aan die van de Maan, werdt Galileus door den Telefcoop getoond, Hy zag haar aanwasfende in de nabyheid van hjare benedenfte Conjunctie, half-vol by haare grootfte elongatien van de Zon, eindelyk vol of byna vol in de nabyheid der bovenfte Conjun&ie. Naardien hy dit verfchynfel te gemoet zag, was hy deswegens meer voldaan, dan verwonderd ; maar het verfchynfel, dat hy in Saturnus ontdekte, bragt hem in de uiterfte verwondering. Naardien zyn Telefcoop de voorwerpen niet genoeg vergrootte, om deooren des rings, welke, zo als men weet, die Planeet omvangt, te onderfcheiden, fcheen zy hem van twee klootjes vergezeld te zyn, welke hy voor twee onbeweeglyke Satellieten hieldt. Zyne verwondering was nog veel grooter, toen hy,na de waarneemingen van twee Jaaren , die gewaande Planeeten zag verdwynen. Het was Galileus niet mogelyk de oorzaak van dat vreemd verfchynfel te bevroeden. Wy zullen deswegens verflag doen , als wy de ontdekkingen van den Heer Huyghens over dat onderwerp verklaaren. De ontdekking der vlekken van de Zon heeft niet minder dan de voorgaanden tot de beroemdheid van Galileus iets toebragt. Zy is hem , wel is waar, door den V. Scheiner betwist, en zelfs, zo men in eenen volftrekten zin over den dag eener ontdekkinge moest oordeelen, door dien der Schriften, welke dezelve publiek gemaakt hebben, zou men de eere daar van moeten geeven aan Jan Fabticius, die reeds in de maand Juny des Jaars 1611 dit verfchynfel dooreen klein Werk aankondigde, Maar Galileus fchynt my door verfcheide aangehaalde plaatfen (w) vry wel geftaafd te hebben, dat hem ten minften met de ouditen van hun, welke de Zonnevlekken waargenomen hebben, een gelyk recht toekomt. Wy zullen jn 'c volgende Artikel ons omftandiger uitlaaten over de gefchillen, welke hy deswegens met den V. Schei» (w) Op. T. II, p. 152. & Seq. Y 5  3Q6 HISTORIE du Schemer hadt , en tevens de gevolgen , welke men uit dat verfchynfel afleidt, ontzwagtelen. Galileus was te weinig vooringenomen met de vooröordeelen der oude Wysbegeerte, om niet uit die ontdekkingen de fterkfte bewyzen af te leiden, welke zy ten voordeele van het waare ftelfel des Geheelals opleveren. Hy {lelde vast de overéénkomst der Hemellighaamen met de Aarde, door de veranderingen welke men op de oppervlakte der Zon ontdekt, en door de Satellieten van Jupiter. Deeze vier Planeeten, aan eene andere ondergefchikt, en welke haar in haaren gantfchen omloop vergezellen , verfchaften hem een antwoord zonder tegenfpraak aan hun, welke daar in eene ongerymdheid vonden , dat hy de Maan om de Aarde'deedt loopen, terwyl zy zelve om de Zon loopt. De Phafes van Venus dienden hem om vast te (lellen, dac zy haaren omloop om de Zon doet. Hoe groot zou niet de verrukking van Copernicus geweest zyn, zo hy diergelyke bewyzen voor zyn Systema hadt kunnen bybrengen! Hoe groot zou niet de verrukking van Galileus zelf geweest zyn, zo hy van volmaaktere Werktuigen voorzien , de omwentelingen van alle de andere Planeeten , op Asfen die naar het vlak van hunne Loopkringen overhellen , zo als die van de Aarde tot de Ecliptica in het fteifel van Copernicus is , hadt kunnen befpeuren ? zo hy de talryke vlekken , waar mede zy bedekt zyn , de nieuwe Satellieten van Saturnus, enz. hadt kunnen Zien? Wy zullen de gefchiedenis der vervolging, welke Galileus, by gelegenheid van zyne nieuwe ontdekkingen , en van de gevolgen welke hy daar uit afleidde, onderging, hier niet herhaalen. Wy heb. ben dat onderwerp wydluftig genoeg verhandeld, toen wy de tegenftribbelingen , welke het ftelfel van Copernicus ondergaan beeft, voordroegen. Het verontwaardigd Europa zag in het vonnis tegen den Italiaanfchen Sterrekundige uitgebragt , flegts het werk van eene onkundige ea onwettige Rechtbank, en  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boei. 327 en de Proteftantfche Landen zegepraalden daar in, dat zy Rome op eene zo zichtbaare wyze zyn gezag in de waagfchaal zagen ftellen. Dit was de gantfche vrucht van die onbezonnene veröordeeling, welke de zegepraal der waarheid geen oogen, blik te rug hieldr. 1 Maar het is hier genoeg over die gebeurtenis des levens van Galileus ; wy zullen dus liever weder tot zyne Sterrekundige verrichtingen overgaan. Een der voornaamften, en waar mede hy zieh een groot gedeelte van zyn leven onledig hieldt, was de waarneeming der Satellieten van Jupiter, en de grondlegging eener Theorie van hunne beweegingen. Men weet niet naauwkeurig welke vordering hy daar in gemaakt hadt. Hy hadt zich een denkbeeld gemaakt , om dezelve tot de oplosfing van het Voorftel der Lengten toepasfelyk te maaken. De Staaten van Holland, die in de volmaaking van de kunst der Zeevaart een groot belang Helden» beloofden hem eene aanzienlyke vergelding, zo hy daar in mogt flaagen. Zy zonden hem in den jaare 1636 Hortenjius en Blaeuw, om met hem waarneemingen te doen, en hem in de berekening der noodige Tafelen te helpen. Doch naauwlyks waren zy aangekomen, of eene zinking, op de oogen van Galileus gevallen , beroofde hem van 't gezicht, en zy keerden van daar weder te rug, zonder iets gedaan te hebben. Na dit toeval werdt één van zyne Leerlingen, met naame Vincento Reyneri, Autheur der Tabula Medicea, door den Groot-Hertog gelast, om met de waarneeming der Satellieten van Jupiter voort te gaan , en Tafelen van hunne beweegingen te maaken. Reyneri werkte in de daad aan dezelve, en ftond tien jaaren daar na , naamlyk in 1647, op het punt om dezelve op de pers te brengen, toen een onverwachte dood de Sterrekundigen van dat Werk beroofde: alle de papieren van Reyneri, gelyk mede de waarneemingen van Galileus, welke hem toevertrouwd waren, verdweenen, zonder dat de navorfchingeu van den GrootHer-  3s8 HISTORIE der Hertog daar van iets hebben kunnen doen wedervinden (x). Galileus was bezig om de verfchynfelen der wag. gelende beweeging {Jibratioj van de Maan , welke hy het eerst ontdekt hadt, te onrknoopen , toen hy het gezicht verloor (yj. Em zo droevig toeval, en dac rog dies te droeviger is voor een weetgierig Waarneemer der natuur, dan voor een man zonder kundigheden , bena.n hem niets van zyne gewoone vrolykheid. Van eenige Leerlingen , onder anderen van Fiviani en Torricelli, geholpen, waar van de eerfte de drie laatfte Jaaren van zyn leven met hem doorbragt , ging hy voort om de Weetenfchappen , die hy altoos geliefkoosd hadt, zo veel zyn gezicht hem konde toelaaten , aan te kweeken. Hy ftierf in 't Jaar 1642 te Arcetri op het grondgebied van Florence, dat de Inquifnie hem tot eene gevangenpuats hadt aangeweezen. De beroemde Meetkundige, de Heer,ïfiviani, heeft voor den roem diens grooten mans eenen onvoorbeeldigen yver getoond. De teêrhartiglte Zoon betoonde nimmer meer genegenheid en dankbaarheid voor zynen Vader, dan deeze Leerling van Galileus voor zynen beroemden meester. Hy ftelde altoos eene eere daarin, dat hy zich zynen laatften Leerling noemde , en toen Lodüwyk di veertiende hem eenejaarlykfche wedde gaf, en tot butter.landsch Geasfocieerde van de Academie der Weetenfchappen benoemde, liet hy te Florence een huis bouwen, dat, behalven hec voornaamfte opfchrift, 't welk zyne dankbaarheid jegens den Fraufchen Monarch aantoont,een gedenkftuk is, dat hy aan den roem van Galileus heeft toegewyd. Men ziet daar zyn borstbeeld in metaal, naar zyn afbeeldfel, in 'tjaar 1610 mtgehouwen, gemaakt, en de meeste zyner uitvindingen worden daar by in verheven beeldwerk, vergezeld van voortreffely- ke (x} Riccioli, Alm. n$v. T. I, p. 489. (y) Zie Lett. al Sig. Amonini, Op. T. II.  WISKUNDE. Hl. Deel. IV. Boek. &?? ke opfchriften, vertoond (z). My is onbewust of' dat gederkftuk nog ia wezen is O j* Het ltreüt die van Florence tot eere het in eenen goeden ftaat te houden , uit vreeze van zich tiet verwyt waardig te maaken , dat Cicero eertyus aan die van Syacufs deedt, naamlyk dat zy de nagedachtenis van eenen hunner beroemdfte medeburgcr.n verwaarloosden. De Werken van Galileus zyn verzameld en in drie Boekdeelen in -4°- gedrukt. Viviani heeft zyne levensgefchiedenis zeer breedvoerig befchreeven. Men vindt dezelve in de fafti confolari dell Acad. Fwrentina ( b). Hy liet eenen Zoon na, genaamd Vincentio Galilei,die in de Wiskunde bedreeven was, en wien de itaüaanen de eere geeven, dat_hy den Slinger aan de Uurwerken gevoegd heeft. Maar dit is een voorgeeven, dat op niets grondigs gevestigd is. I V. Byna alle uitfieekende vindingen hebben het lot, dat zy betwist worden door verfcheide lieden , die op dezelve aanfpraak maaken , van welken ieder zelfs dikwyls het zo verre brengt, dat hy zyne zaak zodanige koleuren byzet , welke het zeer moeijelyk maaken te onderfcheiden aan welke zyde de waarheid is. Die, welke wy nu voorgedragen hebben, zyh van die byna algemeene Wet niet uitgezonderd geweest; en Galileus heeft verfcheide mededingers gevonden, van welken fommigen zich de ontdekking der Zonnevlekken, anderen die der Satellieten van Jupiter toegeëigend hebben. Maar onder die (3) Men ziet de tekeningen vau dat hniS, en de opfchriften, 'vaar van bier gefr-ro^n wordt, in de Divinatio in Ariftatutn van den Heer Vïvüni. (a Volaen» den beroemden F7cr de la Lande (Foyage d'un Francnis en Italië, fait dans les anr.ées 1705 & 1/66, Tom. II. p. 312.) wa' dit geuenfcPuk, in .ien tyd toeu hy zich in ''ie Stad Bévoi dt, n^a ir> wi z'P. V. (b) Zxe uok Heumann, rfff. Phil. T. III.  33" HISTORIE dek mededingers tot de eere dei-eerfte ontdekkingen, met den Telefcoop gedaan, vinde ik geenen, wiens recht op betere gronden fteunt, dan Ja» Fabrkiuu Ih de daad zyn Gefchrift, tot tytel voerende: de maculis in jfole vijis , & earum cum fole revolutione narratio, kwam in de maand Juny des Jaars i6ineWittenberg in 't lichts Zo men aan de dagtekening der gedrukte Schriften eenig geloof ican Haan, kan men hem niet herwisten, dat hy op die wyze het verfchynfel der Zonnevlekken het eerst ontdekt heeft. De tweede mededinger van Galileus in de ontdekking van dat Verfchynfel is de V. Scheinet, een Je* füit (e); doch onzes bedunkens zyn zyne rechtert toiet zo wel gevestigd als die van den Voorgaanden. Laaten wy hem Zelf hooren in zynen eerften Brief aan Marcus Velfer ,die als het eenvoudigst en naauwkeurigst verhaal van het deel dat hy aan die ontdekkinge heeft, gehouden moet worden. In deezed Brief, gedagtekend den 12 November r6n , zegt hy, dat hy , vóór zeven of agt maanden de Zori door eenen Telefcoop ziende, op haaren fchyf eeni^ ge zwartachtige vlekken befpeurde, dat hy 'er toeii wei' (c) Chriftoffel Scheinet, in 't jaar 1575 gebooren, tradt in 't Jaar 1595 in de Sociëteit der Jefuiten. Hy was eenen gtruimen tyd Hoogleeraar der Wiskunde te Ingolftadt, ié Gratz en te Rome. Hy was Biegtvader van den Aartshertog Karei, en ftierf in 't Jaar 1Ó50. Behalven zyne Rafd Urtina, waar van wy in dit Artikel fpreeken, heeft men van hem verfcheide Wiskundige Werken; naamlyk 2yne Oeülut of Furtdam. Opticum, dat eene Verhandeling over de rechtflreekft; Gezichtkunde is; Sol Ellipticuf, waar in hy over het verfchynfel van de fchynbaare Elliptifche gedaante der Zon en Maan naby den Horizon handelt; RefraÜiones Gelefles; Exeg. Fund. Gnom., Pantographiai in dit laatilé Werk toont hy het gebruik van den Tekenaap, een Werktuig dat naderhand zeer bekend is geworden , en dienftig is om eene tekening van 't groot in 'tklein, of in tegendeel , na te maaken, zonder eenige kennis van de Tekenkunst ie hebben.  WISKUNDE. III. Deel. IV. BseL 331 weinig acht op floeg, dat het eerst in de volgende maand Odtober was , wanneer, na eene herhaalde befchouwing der Zon , die vlekken hem en zynen medewaarneemer in 't oog vielen, en dat zy , na veele redeneeringen en navorfchingen , befloten,dat die vlekken niet als op de Zon of daar omftreeks konden zyn. Zy herhaalden die waarneeming, te beginnen van den 21 October, geduurende het overige van die maand en de volgende , waar door zy bevonden, dat die vlekken eene voorwaartsgaands beweeging hadden naar den rand der Zonnefchyf, waar zy achtervolgens verdweenen. Iemand, die zich zonder twyfFel ten kosten der wandelende Wysgeeren verlustigde , heeft de volgende vertelling gedaan: De V. Scheiner zyne ontdekking aan zynen Overfte medegedeeld hebbende, gaf deeze hem rot antwoord, dat zulks niet konde zyn. „ Ik heb, zeide hv toe hem , verfcheide maa» „ len mynen Arifloteles geheel doorgeleezen, en ik „ kan u verzekeren , dat ik 'er niets diergelyks in „ gevonden heb. Gaa heen myn Zoon, voegde hy „ 'er by, ftel u gerust, en weest zeker, dat het ge,, breken van uwe glafen of oogen zyn , die g^ „ voor vlekken in de Zon houdt." Hoe het mei dien trek ook moge zyn , de Overfte van den V, Scheiner wilde hem niet toeftaan, dat hy zyne ontdekking onder zynen naam ruchtbaar maakte ; hy liet hem flegts de vryheid om zynen Vriend , den Raadsheer Marcus Velfer , Magiftraatsperfuon van Augsburg, daar van kennis te geeven. Scheiner deed*: zulks met drie Brieven , welke Velfer in 't volgende Jaar iöi^liet drukken, waarfchynlyk met toeftemming van den Schryver , die daar by zynen naam verzweeg , of zich onder den naam van Appelles post tabulam verborgen hieldt, Velfer maakte Galileus reeds in de eerfte dagen des Jaars 161a de ontdekking van Scheiner bekend, en verzochc hem zyn gevoelen daar over te zeggen. De volgende woorden van zynen Brief zyn merkwaardig, en toonen aan, dat ra den tyd der ontdekking van  533 HISTORIE der van Scheiner, reeds eenig gerucht, uit Italien ko* mende, over de Zonnevlekken liep. „ By aldien , „ zo als ik denk, zeide Velfer, het voo? u geen „ geheel nieuwe zaak is, hoop ik ten minften dat „ gy met genoegen zult zien , dat hier aan geene „ zyde de bergen lieden zyn , welke uwe voet,, flappen navolgen." Galileus antwoordde hem, dat in de daad dit verfchynfel niet nieuw voor hem was , dat hy bet reeds agttien maanden te vooren gekend en aan verfcheide aanzienlyke lieden getoond hadt; hergeen, naar de dagtekening van dat TaaHS/'rn00'^61611' in «e«rftemaagndende8 jaars 1611 moet geweest zyn. Wy zullen dit ftuk, als bezwaarlyk te bewyzen zynde, overftappen; doch hetgeen men Galileus niet kan ontzeggen, is' da hy met meer oordeel dan de V. Scheiner over dat onderwerp redeneert. Deeze Vader houdt in de daad in de Schriften, waar van wy zo even gefproken hebben, de Zonnevlekken voor kleine Seet5"' w,e,ke °m dat Hemellicht draaijen , 2an malkander blyven hangen en zich verëenigen, en vervolgens van elkander fcheiden (d\ Hv was nog, zo het fchynt, verkleefd aan de vooröordeelen van Arifloteles over de natuur der Hemellichten . en daar uit kwam waarfchynlyk voort zvne afkeengheid , om die vlekken als" veranderingen welke op de oppervlakte der Zon voorvallen , aan te zien. De Brieven van Galileus aan Velfer zyn voornaam yk ingericht, om de weinige gegrondheid des gevoelens van Scheiner te toonenf en verfcheide an- (d)1 Dit Sydemaover de Zonnevlekken, fchoon weinis vernuftig, en naderhand door Scheiner verlaaten , U omhelsd door den V. Mahpertius, die dezelve in een Werk dat hy in t Jaar 1627 over dat onderwerp uitgaf, Sidera Auftnaca genoemd neeft. Het was reeds eenige j^ren geleeden, toen een Kanonnik van Sarlat, genaamd Tarde m het zelfde denkbeeld was, en een.Werk in 't licbfS'pï geeven, waar in hy haar den naam van Borbtnia Sidera gaf.  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 333 'andere even zo weinig rechtrrsaatige denkbeelden fö beftryden. Hy fielt daar in vast , dat de vlekken der Zon haare oppervlakte raaken, of zeer dicht by dezelve zyn, en befluit uit de geregelde beweeging van die vlekken , dat dit Hemellicht eene omwentelende beweeging rondöm zynen As heeft* Zo men Galileus den lof niet kan weigeren, dat hy allereerst met het meeste oordeel over de Zonnevlekken geredeneerd heeft, moet men ook den V. Scheiner voor die geen erkennen, die door zynen onvermoeiden arbeid het meest heeft toegebragt, om de Theorie haarer beweegingen te vestigen. Hy deedt eene verbazende meenigte waarneemingen van die foorr, en maakte dezelve in het Jaar 1630 bekend in zyn Boek, op eene wonderlyke wyze getyteld Rofa Ur/tna, uit hoofde dat hy hetzelve aan eenen Hertog Orfini opdroeg. Hy ontwikkelt daar in met Veel fcherpzinnigheid de zonderlinge veranderingen van haare beweegingen. Wy moeten hier een denk* beeld van die Theorie geeven. De altoos in de zelfde richting voorwa&rtsgaandè beweeging der Zonnevlekken , heeft aanltonds de eerften, die zulks waarnamen 4 geleerd, dat dit Hemellicht eene beweeging rondöm eenen As heeft. Zo wanneer die As perpendiculair tot de Ecliptica was, zou de beweeging der vlekken altoos reehtlynig, eü zelfs evenwydig zyn met de lyn, welke op denfenyf der Zon de Ecliptica aanwyst. Maar 'er zyn flegts twee Saifoenen van het Jaar. waar in zulks gebeurt i deeze zyn het einde der maanden February eD Augustus. Kort daar na wordt dat fpoor kromlynig, en drie maanden laater is het gelyk aan eenen boog die eenen met de Ecliptica evenwydigen Cirkel tot pees heeft j op het einde van May ftaat de bolronde kant van dien boog naar het Zuiden , en op het ein* de van November naar het Noorden. De aandachtige befchouwing van dat verfchynfel heeft geleerd, dat de omwenteling der Zon gefchiedt op eenen As, die tot het vlak der Ecliptica overhelt. In de daad , wanneer men onderftelt, dat die Aa Z zö.  334 HISTORIE oeb zodanig geplaatst zy, dat hy op het einde der mamden February en Augustus aan den rand van den fchyiibnaren fchyf der Zon is, zal alsdan het fpoor der viekken r chtlynig zyn , vermits het oog van den befchouwer der Aarde zich in het vlak van den verlengden Equator der Zon zal bevinden. Maar drie maanden daar na zal hy boven den Equator verheven, of beneden denzelven gedaald zyn, zo dat alsdan alle zyne Parallelen kromlyuig moeten fchynen. Met behulp eener groote meenigte waarneemingen heeft men ontdekt , dat de As der Zon van de loodlyn op het vlak der Ecliptica 7* graaden afwykt , en dat het Vlak van haaren Equator den Lo pkring der Aarde by den tienden graad van de Visfchen en de Maagd doorfnydt, zulks dat de Poolen, om welken de Zon zich omwentelt, tegen over twee purten zyn,welke zeven en een halve graaden van die der Ecliptica ftaan , en zich in den Cirkel bevinden , welke door die Poolen en den tienden gnad van de Tweelingen en den Schutter getrokken is. Wat aangaat de tyd van de omwenteling der Zon , de zelfde waarneeminaen tooneo , dat hy , ten aanzien van den befchouwer der Aarde, omtrent 27^ dagen is ; doch alzo de Aarde beweeglyk is , ets naar den zelfden kant gaat waar de omwenteling der Zon gefchiedt , moet hier eene vermindering gemaakt worden, en men bevindt dat die omwemeling , ten aanzien der vaste Sterren, of zodanig als zy zich aan de onbeweeglyke Aarde zou vertoonen , flegts omtrent 25J dagen is. Ons blyft nog overig van eenen derden , die naar de eere der voorgaande ontdekkingen geftaan heeft, te fpreeken. Deeze is Simon Marius, Wisen Sterrekuvidige van den Keurvorst van brandenburg. Marius gaf in 't Jaar 16T4 zyne Mundus Jovta/is anno 1609 deteéïus, &c. in '1 licht: Hy voegt daar in by die gelegenheid eene gefchiedenis, over de waarheid van welke hy tien Heer Fuchs te Bintbath, geheime Raad van den Keurvorst, tot getuige roept, en geelt daar benevens voor, dat hy de Sa-  WISKUNDE. Iïï. Deeh IV» Bot*. Satellieten van Jupiter reeds in de laatfte dagen van December des Jaars 1009 gezien heeft. Men kan over dat onderwerp niets met zekerheid bépaaien J doch zeer Zeker is het, dat de onderftelling en de Tafelen welke hy geeft, om de beweegingen van die kleine Planeeten te berekenen , in geenerlei wyze met het wezen der zaak overeenftemmen. Galileus nam daar uit gelegenheid om in twyffel te ftellen , of Marius , wel verre van hem in haare ontdekking voorgekomen "te zyn . dezelve ooit gezien hadt. Nogthans vindt de Heer Casjini deeze gevolgtrekking gedwongen, en merkt aan , dat zekere omftandigheden niet toelaaten te twyffelen , dat Marius dezelve waargenomen heb» be, fchoon hy in zyne poogingen, om haare beweegingen voor te ftellen , niet zeer gelukkig is geweest. Deeze Sterrekundige heeft insgelyks geftaan naar de eere der ontdekkinge van de Zonnevlekken , welke hy , naar zyn zeggen , reeds den 3 Augustus 1611 gezien hadt. Dit is een voorgee* ven waar omtrent het desgelyks onmogelyk is ïeta vast te ftellen. V. Al was 'er niet anders dah ohze weetgierigheid.« die by de meeting der Aarde belang hadt, durft men zeggen , dat zodanige beweegreden zeer wee» tig en redelyk zou zvn. Wat is voor het denkend wezen, dat deezen Kloot bewoont, natuurlyker, dan de begeerte om de üirgeftrektheid van dat ge« deelte des Geheelüls te kennen, dat hem tot eene woonplaats is aangeweezen ! Maar wy züllen ona aan deeze beweegreden niet verbinden , om de zorgvuldigheid te billyken , welke de Sterrekundigen getoond hebben, voornaamlyk federt anderhalve eeuw , om de Aarde met naauwkeurigheid te meeten. Men moet in de Aardrykskunde flegts geoeffend zyn , om te befeffen , dat die meeting van de grootfte nuttigheid, en eindelyk den grond* fiag eener - volkomëne Aardrykskunde is. Welke Z & doo*  336 HISTORIE i) e r dooüngen zou men in de afftanden van'een onëindig getal plaatfen, wier onderlinge liggingen flegts door J>terrekund:ge waaineemiugen bepaald worden, niet begaan, als men niet wist, welke uitgeftrektneid met een zeker gefal graaden op de Aarde overeenftemr. De Zeevaartkunde maakt ook een byna geduurig gebruik van die meeting. Op deeze js de ghfing gegrond , welke één der voornaamlte begtnlelen van die Kunst is. Men heeft reeds, op de behoorlyke plaatfen, verllag gedaan van de poogingen, welke eértyds de Grieken en Arabiërs in 't werk ftelden, om de Aarde té nieeteu. Maar de bepaalingen, welke zy tot ons hebben overgebragt, waren met bekwaam om in tyden , waar in men naar eene groote naauwkeurigheid begon te haaken, te voldoen. Al ware 'er niets arders geweest, als de onzekerheid der overeenkomst van onze maaten met c!e hunne, zou die reden alleen gevorderd hebben, dat men die bewerkingen herhaalde. Met nog krachtiger reden was zulks noodzaakelyk , toen men door bet onderzoek hunner handelwyzen verzekerd was, dat zy tot die bepaaling niet alle de naauwkeurigheid en zorge, welke dezelve verëiscbte, aangewend hadden. De beroemde Femel, Arts en Wiskundige der zestierde eeuwe, is de eerfte der hedendaagfche Wiskundigen , welke ondernomen heeft de grootheid der Aarde cp nieuw te bepaalen. Hy ging van Patys naar Amiem, meetende den weg, dien hy afleidae, door het getal der omwentelingen van een Wagenrad , en ging op die wyze zo lang voort , tot 'dat ly n>auwkeurig bevonden hadt, dat de Pools boogie één graad meerder was; en daar door bepaalde hy de grootheid van den graad op 5Ó74Ó Paryfche zesvoetige Roeden (Toifes). Detze naauwkeurigheid zou Pet nel veel eere aandoen, zo dezelve een gevolg was v an de gegrondheid zyner handeiwyze ; want men weet rhars, dat die graad omtrent 57060 zodanige Roeden lang is: maar wie ziet niet, dat het flegts een gelukkig toeval was, dat hem zo na aan de  WISKUNDE, ffl. Deel. IV. Boek. 337 de waarheid bragt, en als men de handeiwyze , die hy volgde, op de rechte waarde ftelt, wie zou dan zulks hebben durven vermoeden V Men was dus tot in 't begin der voorgaande eeuw e zonder meeting der Aarde, op welke men eenigen ftaat korde maaken. Deeze reden noopte toen verfcheide Sterrekundigen , om daar in op eene Meetkundiger en naauwkeuriger wyze te handeten. Snellius maakte het begin, en gaf her voorbeeld. Hy is de Vinder van eene uitmuntende hande_lwy*e , om de lengte van eenen grooten boog des Meridiaam in Roeden te meeten. Naardien dezeive,als den grondllag dier gantfche bewerking, gebruikt is door de Franfche Academisten, welke in de voorgaande en tegenwoordige eeuw de grootheid en de gedaante de°r Aarde bepaald hebben', zullen wy dezelve thans verklaaren. Men verbeelde zich in de nabyheid van de Mufdaplyn eene reeks van verhevene plaatfen, als bergen, torens, A, B, C, D, enz. (Fig. 76). Men neemt alsdan met een zeer naauwkeurig Werktuig de hoeken op, welke de lynen, uit die voorwerpen tot elkander getrokken, onderling maaken, en men vormt door dat middel eene reeks van annëengebondene Driehoeken (naamlyk zodanige, welke eenige zyde gemeen ,en alle hunne hoeken bekend heoben), die aan de uiterfte einden van den te meeten afftand ten einde loopt. Men draagt ook zorg om by het begin den ftand van één der zyden van die Driehoeken ten opzichte van de Middaglyn te bepaaien , waar uit die van ieder der andere zyden gemaklyk befloten kan worden. Dit verricht zynde, meet men werkelyk , naamlyk met de Roede , ia eenige gemaklyke plaats, als in eene vlakte, eenen langen Bafis LM, en men befluit dan daar uit de lengte eener zyde, als AB, van één der nabuurige Driehoeken in Koeden. Deeze eenige zyde bekend zynde, is bet gemaklyk de lengte van allé de zyden der reef s van Driehoeken te bepaalen , en door haaren bekenden ftand met de Middaglyn, de deekn van die Z 3 Mie-  333 HISTORIE der Middaglyn Ab, Bc, Cd, enz. begreepen tusfehen de evenwydigen, welke doorA, B, C, enz. gaan. Men bekomt alsdan, door de famentelling van allé die deelen, de lengte van den boog des Meridiaam, tusfehen de Parallelen der uiterfte plaatfen begreepen. Daar blyft dus niets anders overig, dan haar verfchil van Breedte te meeten , dat gemaklyk is, en men weet daar door met welk deel van den Meridiaan de gevondene lengte overëenftemt, zo dat men de lengte van den graad, en die vac den omtrek, daar uit afleidt. Deeze is de handeiwyze die Snellius volgde. Hy vondt tusfehen de Parallelen van Alkmaar en Bergen tip Zoom, welke zyne uiterfte plaatfen waren, 3401b" RhynlanüfcheRoeden, en een verfchil van i°u'30" in Breedte ; waar uit hy opmaakte , $n de graad 28473 Rhynlandlche Roeden lang is. Hy nam oolc de Breedte van Leiden waar, eene plaats' ter halverweg tusfehen Alkmaar en Bergen op Zoom, en vondt door deeze bewerking 28510 Roeden ; weshalven py, een medium neemende, den graad der Aarde op 28491 of 28500 Roeden begrootte, overeenkomen, de met 55021 Paryfche zejvoetige Roeden, Het byzonjiere zyner bewerkingen wordt in zyne Era. sadhenes Batavus voorgedragen , een Werk dat hy over dat ouderwerp in 't Jaar 1Ó17 in 't licht gaf. De Heer Picard, in 't Jaar 1671 de Aarde gemeeten, en door bewerkingen, welke het kenmerk van de grootfte naauwkeurigheid dragen,den graad tus. fchea Parys en Amiens 57060 Toi/cs lang bevonden hebbende, heeft men ontdekt, dat Snellus gefeild hrdt (e); Maar de Heer Musfchenbroek, nayverig ©ver de eere van zynen Landgenoot, heeft ons byzonderheden medegedeeld, welke hem rechtvaerdigeu (/), Snellius hadt zyne dwaaling befpeurd, hy hadt (O Mimoires de P Académie 1702. Zie ook het Boek van ce eroutheid d:r Aarde. Part. II, c. 8. (ƒ) Qjfli * Magnit, terra. Onder zyne DiJJ, Phyficcf.  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 339 hadt zynen Bafis en de hoeken zyner Driehoeken op nieuw gemeeten, en zelfs zyne Middaglyn aan den kant van het Zuiden door Antwerpen tot Mechelen verlengd. Hy was voorneemens zynen Eratofthe* nes Batavus, met de behoorlyke verbeteringen, op nieuw in 't licht te geeven, toen een haastige dood hem wegrukte, en zyn ontwerp deedt mislukken. Zyne handfchnften daar na in de banden van den Heer Musfchenbroek gevallen zynde, heeft deeze geleerde Leidfche üooglceraar afe ue driehoeken van Snellius, naar de verbeteringen welke hy daar in gemaakt hadt, berekend, en door dat middel 29510 Rhynlanüfche Roeden , of 57033 ToU fes, voor de lengte van den graad gevonden, hetgeen flegts 30 Toifes met de meeting van Picard verfchtlt. Snellius hadt nog niet lang zyne meetirg -olbragt, toen Blaew.v (g) eene diergelyke ondernam. Wy weeten niet welke redenen hem daar toe bewogen, alzo het werk, 't welk hy over dat onderwerp vervaardigde, nooit het licht heeft gezien. Mogelyk vermoedde hy de dooüng, die in de meeting van Snellius geflopen was. Hoe het ook zy, zeker is het, dat na de meetingen van den Heer Picard en de Academisten, welke het beruchte vraaglr.uk van de gedaante der Aarde bellest nebben, 'er niets naauwkeurigers gedaan is. Blaeuw fnk door de Driehoeksmeetkunde eenen zeer grojten boog van den Meridiaan, en bepaalde het verichil der Breedte van de uiteinden, met eenen Sector van twaalf graaden, zynde het gedeelte eens Cirkels van veertien Voeten ftraals (A,. üok beSiat- woort (g) Willem Janjon Blaeuw (in 't Latyn Ccefius), een Leerling van Tycho, heeft zich eenen beroemden naam gema-ikt door zynen Gëographifchen arbeid. Hy ftierf in 't jaar .638, in den ouderdom van 77 jaaren. Hy heeft verfcheide nakomelingen gehad, welke de groote achting, die hy zich verworven hadt, in Holland lang ftaande gehouden hebben. (i) Vosfius, de Sdent. Math. p. 263. Z 4  $4° HISTORIE der woort de naauwkeurigheid zyner meeting aan zyne aangewende vlyr. Dit is het getuigenis dat de Heer Picard daar van gaf deeze naauwkeurige Waar* «eemer naar Uranienburg reizende, en door Amflcr' dam trekkende, zag daar het Handfchrift van Blaeuw onder de handen van eenen zyner nakomelingen, en geeft ons te kennen, dat zyne meeting Heats zestig Rhyniandfche Voct;n van zyne eigene verfchilde. ; Dit moet ons van de behendigheid van Blaeuw in het doen van waarneemingen, en van de opletterdhei i welke hy by die verrichting hadt, een groot denkbeeld inboezemen. Wy vinden omtrent den zelfden tyd eenen Engelfchen Sterrekundige, die, voor de derde maal, asn de meeting der Aarde met eenen goeden uitflag arbeidde (T). Richard Rfoiwood, dit is de naam van dien Sterrekundige, hadt den moed'om den afftand van Londen tot Tork, naamlyk- meer dan zes, tig Mylen, met de keten in de hand te meeten. Zyne handeiwyze beftoudt hier in. Hy mat de lengte der wegen, door zo veel hy'konde de zelfde richtftreek te houden: te gelyk was hy bedacht om door middel van het Kompas den hoek van den weg of de gemeeten lyn met den Meridiaan, gelyk mede de hoeken van helkng tot den Hertzon, tèlkers als hy naar de hoogte ging of nederwaarts daalde, te bepaalen; waar na hv de gevondene kngtens tot het horizontaal vlak en den Meridiaan overbragt. Hy mat eindelyk, in twee dagen van den zomerfchen Zonneftand, de hoogten van dé .Zon te London en Toik, met een Seclor van vyf voeten ftraals, en bevondt dar die beide Steden 2° 28' in Breedte verfchilden. Waar uit hy beftoor^ciat de graad 376176 Engelfch» Voeten hing V;:s, welke 57300 van onze Toifes uitmaaken. Wy behooren mede den V. Riccioli en zynen medewaarneemer den V. Grünaldi onder die geenen te (i) Reize van Uranienburg. {kj Seamans Fratïice,, London 1655,  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 341 te tangfchlkken, die tot de meeting der Aarde alle hunfle zorgen aangewend hebben; doch wy kunnen tevens niet ontveinzen, dat zy minder gelukkig waren dan één der geenen, welke hun in de zelfde eeuwe voorgingen. Waut daar Snellius eenen misflag van twee duizend Toifes beging, was de dooling van Riccioli, door verfcheide ongehoopte kleine misrekeningen, meer dan 5000 Toifes, Wymeenen de oorzaak daar van te befpeuren; niets is eenen Waanieemer nadeeliger dan de voorïnneeming, dat hy eene zekere uitkomst moet aantreffen. Ric cioli, na aivoorens op eene geleerde wyze de oude meetingen onderzocht te hebben, hieldt zich ver zekerd, dat hy den graad van omtrent 81000 Komeinfche Schreeden moest vinden. In gevolge ziet men hem altoos by voorkiezing de waarneemingen omhelzen, welke hem eene grootere maat opleveren. Daar benevens vindt men de oorzaak der grove dwaaling van Riccioli in de natuur der handeiwyze, die hy gebruikt heeft. Wel verre van de eenvourligfle te ktezen, die van alle onzekere of bezwaarlyk te bepaalen beginfelen het meest ontheven was, is de handeiwyze, waar van hy zich bediend heeft, de meest famengeftelde die bedacht kan worden. Het zyn, by voorbeeld, waarneemingen der hoogten van Sterren, in eenen zekeren Verticaal, en naby den Horizon genomen, in welke de Refracïie verwaarloosd, en de Declinatie uit de Naamlyst van Tycho getrokken is, waar in men, zonder dien grooten man onrecht te doen , eenige dooling van één of twee minuten mag onderftellen. Nog komen in de bewerking van Riccioli Pools hoogten, waarin hy zelf verfchillig is; eindelyk zie ik ongemeene fcherphoekige Driehoeken, ih welke eene geringe misflag in eenen hoek, eenen zeer grooten in éóu der zyden kan doen ontftaan. Deeze onzekerheid, gevoegd by de voou'niieeming waar in hy was, dat de graad omtrent 81000 'Komeinfche Schreeden, of 64 tot 65 duizend Schreeden van Boulogm moest bevatten, ve»Z 5 fchaf-  S42 HISTORIE der fohafte hem in de daad het middel om zyne maat zodanig te verlengen, dat hy eindelyk de graad op 6^6?> Schreeden bragt, welke met 63650 Paryfche Toifes overeenkomen, dat is te zeggen, meer dan 5000 Toifes boven zyne waare grootheid. Men kan ia het Boek over de grootheid en de gedaante der Aarde (de Ja grandeur & de la figure de la Terre), door den Heer Casfmi, een wydiuftig onderzoek van deeze meeting zien. Zy bevestigt volkomen hetgeen wy zo aanltonds gezegd hebben, en dat l egts het ,gevolg is van het oplettend onderzoek, dat wy zelf deswegens over het werk van Riccioli geoaan hadden. «VI. Weinig waarneemingen zyn zeldzaamer dm die, waar van wy in dit Artikel te fpreeken hebben. De eene, naamlyk die van den voorbygang van Mercurius onder de Zon kan flegts een klein getal maaien in eene eeuw plaats hebben. Sedert het jaar 1631, toen de eerfte waarneeming van die foort gedaan werdt, heeft men dezelve flegts tienmaal kunnen hervatten. Maar die van den voorbygang van Venus onder de Zon is veel zeldzaamer. Eene eeuw is een te kort tydperk om de. zelve te zien herhaalen, en federt het jaar ió?o toen men die waarneeming voor de eerfte maal dtedt, hebben de Sterrekundigen het genoegen niet gehad dezelve te hervatten. Zy wachten met ongeduld het jaar 1761 af, dat hun op nieuw dat zeldzaam verlchynfel moet vertoonen Cl). Laaten wy eerst een denkbeeld van de nuttigheid dier iborten van voorbygangen geeven. De waarneemingen van Mercurius zyn zo zeldzaam , en worden op zulke ongelegene plaatfen gedaan, dat men, zo lang men geen ander middel (O Zie over dien Voorbygang dklaLande 4W miaof&errekuntk, UI. Deel, Boek XI, §. 2140 £? feq. V.  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 343 de! dan de gewoone wyze om hem waar te neemen gehad heeft, in de gepastheid der Theorie van die Planeet niet te veel mistrouwen konde gehad hebben. Maar zyn yoorbygang onder de Zon geeft het "middel aan de hand, om twee der voornaamfte beginfelen van die Theorie - naamlyk de ftand der knoopen en de helling van den Loopkring tot de Ecliptica, met veel naauwkeurigheid te bepaaJen. In de daad, het is zichtbaar "dat Mercurius niet als in de nabyheid van zyne knoopen, oneer den fenyf der Zon kan voorbygaan. Maar terwyl hy onder dien fchyf doorgaat, en denzelven onder de gedaante van eene zwarte vlek fchynt over re loopen, kan men in ieder tydftip, en voornaarn'yk by zynen in- en uitgang, zynen ftand ten aanzien van de Ecliptica, naamlyk zyne Lengte en Breedte, bekomen. Deeze zaaken nu gegeeven zynde, is niets gemaklyker, dan op de Ecliptica het punt te bepaalen, waar in het verlengde van zynen weg dezelve ontmoet, en den hoek, dien zy onderling te famen maaken. Men zal derhalven de naaste knoop by de plaats der waarneeming, en den hoek van de Ecliptica met den Loopkring der Planeet bekend hebben. Het groot aanbelang der Waarneeming, welke wy nu befclneeven hebben, hadt Kepler reeds in *t begin van die eeuwe aangezet, dat hy, om zo te fpreeken, Mercurius onder de Zon wilde befpiedeu, en hy verbeeldde zich, dat hy hem den 28 May des jaars 1607 aldaar ontdekte. Toen by op dien dag het beeld der Zon in de donkere kamer onifangen hadt, hadt hy daar in eene zwarte vlek gezien, die hy, overêenkomftig de berekening, welke hy naar eene valfche ftelling der knoopen hadt gedaan, voor Mercurius genomen hadt. Hy hadt zyne waarneeming in 't jaar 1609 aangekondigd; doch zo dra hy de vlekken der Zon ontdekt hadt, zag hy dat hy in eene dooling was gevallen, en hy bekende toen, dat-hetgeen hy voor Mercurius i-o de Zon hadt genomen, flegts eene vlek was,  S44 HISTORIE der was, die zich toen by geval op den fchyf van dat Hemellicht hevordc j>j. Op de zelfde wyze moet iren.ook oordeelen over eenige andere zodanige waarneemingen, in vroegere eeuwen gedaan, als die welke Lycoflhenes tot het jaar 178 overbrengt, die van d n naamloozen Historiefchryver van I.odewyk den zagtmoedigen, in 't jaar 807 gedaan, en eene derde aan Averrhoës toegefchreeven. Kepler zyne dwaaling ontdekt hebbende, verbeterde *y'pe Theorie naar nieuwe waarneemingen, en gaf eindelyk in 't jaar 1629 den Sterrekundigen bericht, dat zy zich gereed moesten maaken, om den 7 November des j3ars 1631 Mercurius onder de Zon waar te neemen. Hy maakte eenen gelyken voorbygnng van Vetms voor den 6 December des zelfden jaars bekend. Deeze laatfte moest, om de waarheid te zeggen, ten aanzien van Europa s nachts voorvallen; maar Kepler hieldt zich van zyne berekeningen niet genoeg verzekerd, om openJ'yk te durven zeggen, dat hy in dat gedeelte der Aarde niet zichtbaar zou zyn. .'. Een groot getal Sterrekundigen hielden zich tot de waarneeming van Mercurius gereed; maar weinigen waren gelukkig genoeg om dezelve te doen. Alle die geenen welke zich daar mede vergenoegden, dat zy het beeld der Zon in de donkere kamer, bragten, in verwachting van daar in Mercurius te zuilen ontdekken, werden in hunne verwachting bedrogen. Geen anderen dan zy, die zich van den Telefcoop bedienden, om de Zon onmiddelyk te befchouwen, cf haar beeld in iets anders te zien, befpeurden die kleine Planeer. Zodanige waren Gasfer.di te Parys, de V. Cyfatus te In/pruck, Joan Remus Qtiietanus, Arts en Wiskundige van den Keizer Matthias, in de Elfas, en een Onbe. kende te Ingolftadt. Van de waarneemingen der drie laatften zyn ons geene omftandigheden bekend; (w) Mercurius in Sok, &c. Lipf. 1609. in -4°.  WISKUNDE. HL Deel. IV. Beek. 345 bend; wy zullen, ons derhalven tot het verhaal van die van Qaslendt (n) bepaalen. " •• Het fcheeldè weinig of he. flegte weêr hadt den F-anfchen Sterrekundige van het vermaak eener zo zddzaame en zo nieuwe waarnecromg ber. oïd. De hemel was alle de voorgaande dagen donker, eindelyk die, welke door Kepler afgekondigd was, gekomen zynde, hieldt de beneveling op. éi die het tydüip bei'piedde, waar m hy ae M fn) De beroemd Oasfe'di kwam in 't Jaar 1591 ter waerel i op net grond^ebUd van flurne, van eenen Vader die flegrs eenen eenvoijdigen boer was, en niet zonder bekommering zag, dat fy zich in de loopbaa- der Weeienfchn»nen begaf. Na een verblyf van verfcheide jaaren te Aix en te Diene, alwaar by eene Kauooikaah Pte'iende ta8. ai ann. 1652. haVn*. Ibid. De Mercwio tnfele vifo &" ven. invrfi, epiji. ai Schik, cum refpnnfo i6jt. Par: in-4 . Op T III. De novem tle'.ih ci':h Jovem vftsi P. Rhdta. Ibid. Prop Gnont. ai um&am joiftit. Mas/ifa obf. Ibid. Ad P. Cüfrdum de acrelerat. gravium epift. 3. T. I K . Kt* Purbachii, TychoMs, Cipe>niri ff Regiemontuni, 1655. Hag. in-40. Op. T. V. SpifitU van*. T.-VI.  S4<5 HISTORIE der znu kunnen ontdekken, keerde aanftonds zynen Tehjcoop naar dat Hemellicht, en zag op hetzelve flegts eene kleine zwarte en ronde vlek, die reeds tamelyk ver op zynen fchyf gevorderd was. De orcemeene kleinheid van die vlek deedt hem in 't eerst gelooven, dat het Mercarfus niet was; want men was in de verwachting te zullen bevinden, dat hy eene fchynbaare middellyn van één of twee minuten hadt; maar weinig tyd daar na liet de fnelheid van haare bëweeging hem niet langer toe de Planeet te miskennen, die hy onder de Zon verwachtte, en hy haastte zich, om haaren weg over de fchyf van dat Hemellicht, benevens het tydftip en de plaats van haaren uitgang, te bepaalen. Hy beyondt dat haar middelpunt ten tien uuren a°t en twintig minuten 's morgens op den rand van die ichyf was, en bepaalde de ConjurMie ten zeven uuren agt en vyftig minuten, in den veertienden graad zes en dertig minuten des Schorpioens, Hy ftelde het oogenblik van den ingang op vyf uuren agt eri twintig minuten s morgens, en de plaats van den nabuurigen knoop op den veertienden graad twee en vyftig minuten van het bovengemelde teken in plaats van den vyftienden graad°en twintig mi' nuten, waar op Kepler dezelve ftelde. Gasfendi mat eindelyk de fchynbaare middellyn van Mercu. rtus, en begrootte dezelve flegts op twintig fecunden. Van toen af aan giste hy, dat die van Versus niet veel grooter dan één minuut was; hetgeen door de uitkomst in 't iaar 1639 bewaarheid is. Ten opzichte van Pemis, waar van wy gezien hebben, dat Kepler den voorbygang voor den 6 December van het zelfde jaar aankondigde, kan men zeggen dat dezelve niet gebeurde, of ten minlten m die Gewesten niet zichtbaar was. Gaslendi verwachtte dien verfcheide dagen te vergeefs, om die reden gaf hy aan het verhaal, dat hy van die waarneemmg deedt, den tytel van de Mercurio in Jele vtlo & Venere imifd. Dit Gefchrift kwam in den jaare 1633, met een geleerd antwoord van Schic  WISKUNDE. III. Deel. IV. Beek. 347 Schickard (o), in 't licht. Men zal misfchien verwonderd zvn van Kepler niet onder de Waarneemers van Mercurius te vinden. Deeze beroemde man hadt zelfs het genoegen niet van te weeten , of zyne berekening naauwkeurig was. Hy was twee dagen vóór den dag, dien hy voor die waarneeming had aangekondigd, overleeden. Welk een verdriet voor eenen Sterrekundige, wien zyne kunst ter harte gaar, om in zodanige omftandigheid het leven te verlaaten! Het verfchynfel, waar van wy zo arn'tondF gefproken hebben, gebeurde op nieuw in den jaare lóst • maar het werdt flegts van een eenig Sterveling waargenomen. Men zag by die gelegenheid een voorbeeld van eenen grooten yver voor de bevordering! der Sterrekunde. ■ Jeremias Shakerley, een Engelschman, het oogenblik des voorbygangs van Mercurius onder den fchyf der Zon berekend, en bevonden rhebbende, dat dezelve niec dan in Afia zichtbaar zou zyn, begaf zich fcheep, om derwaarts te gaan, en nam dien in de daad waar te Suratie den 3 November ten zes uuren veertig minuten *s morgens, naamlyk ten i uur 58 minuten na middernacht, voor den Meridiaan van Parys. Hy gaf de vrienden, die hy in Europa hadt, tflKKht van zyne waarneeming, en van deezen is het, dat wy dit verhaal ontkenen. Want hy fiierf in de ludièn, en wierdt dus het flagtoffer van zyne liefde voor de Sterrekunde. Sedert dien tyd zyn de Sterrekundigen getuigen van veele andere zodanige voorbvgangen eeweest: dezelve hebben plaats géhad in de jaaren 1661, 1677, 1690, 1697, 1707, fd) Schickard, Hoogleer*;!' in de Wiskunde en Oosterfche Taaien te Tubingen, was een behendig en kundig Waarreemer. Hy ftierf in 't jaar 163*; Z"ne waarneemineen zvn door Lucius Barretus, of Alben CurHus, verzameld, en. in zyne- Hifi. GekRis, adbter dfa van Tycki, P- 913 gevoegd  348 HISTORIE ou held van den voorbygang des ja/rs f753 eene waa . ichouwing aan de Waarneemers in (t licht, welke verdient geleezea te worden. Deeze geleerde Sterrekundige heeft ons daar in eene volkomcne Ver. handeling over de foorten van Voorbyganeen be. loofe, waar 1.1 by alle de waarneemingen f welke reeds van dezelve gedaan zyn, zal byëen verdane, len. Men kan du voorneemen geen goedkeuring weigeren, en niet nalaaten te Wenfchen, da "et ipoedig uitgevoerd moge worden. • De zeilde redenen welke de Sterrekundigen dee. fen wenfchen, om Mercurius onder de Zon te •zien, maakten ook eenen voorbygang van ÏUx onder dat Hemellicht zeer gewigfig. &Kepler hadt uien voor het jaar ,631 aangekSnd%d; £r, zo as wy reeds gezegd Hebben, dezelve'hadt geen plaats, of was in üuropa niet zichtbaar. Dezelve werdt derhalven niet waargenomen , en Kepler lil klaard hebbende dat geduurende 'het ovSe der eeuwe geen-andere zou plaats hebben, lietem de Sterrekundigen het vermaak van dat zeldzaam lchouvvfpe! aan hunne Opvolgers over 'ciuzdam Kepler vergiste zich nogthans, en 'het was een jong bterrekundige, in bet binnenfte van Celand befioten, byna van hulpmiddelen en WerkfuK ontbloot die zulks bemerkte, en deeze waa nS nung, die tot in onze dagen nog de eenfeis deedt. Zyn naam was Horeccius. Jn het Graaf! fchap Lancaster uit niet zeer rvke Ouders o^b„0. ren, hadt hy omtrent het jaar "1633 foia"k k1 de Sterrekunde gekreegen. doch van huTpm ddelen en Boeken ontb oot, begon hy moedeloos te worden, toen hy kennis maakte met eenen anderen jongen Sterrekundige uit zyne "buurt , met ïame ontZnöf'n: r'6 fbytVa,de Ze,ftU; ^aarigheden ondervondt. De Bnefwisfehng, die zv over Ster «kundige ftoffen hielden, gaf' hun bdden eènen meuwen moed. Zy verfch&teu zich £"ken en Werk-  WISKUNDE. IÏI. Deel. IV. Boek. 345» Werktuigen , en van niets anders geholpen , dan van de inlichtingen die zy zich wederzyds mededeelden, maakten zy gewigtige verbeteringen in de Theorie der Planeeten. Horoccius was in 't eerst door de grootfche beloften van Lansbergen, en de prachtieeMofredenen van fommige vleijers, die men aan 1 hoofd van zyn Werk leest, misleid geworden. De eerfte vrucht van zyne vriendfchap met Crab'ree was, dat hy een groot mistrouwen tegen dien Sterrekundige opvatte, die wel dra in zekerheid veranderde: hy zag dat zyne onderltellingen gebreklyk, en de waarneemingen , waar op hy dezelve vestigde , of vervalscht , of op eene wyze , die byna trouwloos genoemd mag worden, gebogen waren; eindelyk dat hy Kepler en Tycho-Brahé op eene onrechtvaerdige en onwaardige wyze in hunne eere hadt te kort gedaan. Hy kwam weder tot die beide herftellers der Sterrekunde , waar van hy eene uitmuntende verdeediging tegen Lansbergen maakte (/>), en de denkbeelden van Kepler omhelzende, verbondt hy zich aan niets anders, als om zyne Theorie in de deelen, waar in zy nog gebreklyk was, te verbeteren. Onder anderen maakte hy vetfcheide zeer gewigtige aanmerkingen over de Theorie der Maan, en het ftelfel dat hy opgaf, om aan haare beweegirgen te voldoen, heeft den Heer Flamfteed het naauwkeurigfte gefcheenen , dat alsnog verzonnen was ; zo dat die beroemde Sterrekundige zich wel heeft willen verwaardigen , om de Tafelen te berekenen , welke Horoccius den tyd niet hadt gehad naar zyn ftelfel op te maaken (q). Wy zullen daar van (p) Zie Horoccii opera pephuma, vid. A/lronomia Kppleriana defenfa &f promota Excerpta ex epi/hlis ad dab' traurn. Obfervatiorum Catalogus: lune thema nova; ura eum Crabtrei obfervationibus, rec non Jnannh Flamft'edii de JEquat. temporis dialribe, & numeris lunaribui ad novum hmte fystema Horoccii. Lond. 1678. in -4". (j) Zie het voorgaande Werk. Aa  35o HISTORIE DEd van fpreeken, als wy verflag doen van de poogingen der Sterrekundigen , om die Theorie te volmaaken. Thans komen wy te rug tot de beroemde waarneeming, welke wy boven aangekondigd hebben. Het was een louter toeval, dat Horoccius aanleiding gaf om te bemerken, dat de benedenfte Conjunftie van Yenus, die op het einde des jaars 1650 moest plaats hebben, zichtbaar zou zyn. Befpeurd hebbende, dat de Tafelen van Lansbergen, fchoon in andere opzichten zeer gebreklyk, dezelve als zodanig aankondigden , wilde hy onderzoeken, wat die van Kepler voortbragten; en hy bevondt tot zyne groote verwondering,dat zy dezelve insgelyks als zichtbaar voor den 4 December, nieuwe flyl, aankondigden. Door eenige verbeteringen, welke hy noodig gevonden hadt, in acht te neemen , bepaalde' hy het oogenblik der Conjuncïie ten vyf uuren zeven en vyftig miuuten 'savonds van den 4 December, met esjne Zuider- Breedte van tien minuten. Hy gaf aanftonds zynen vriend Crabtree kennis van deeze gewigtige ontdekking, en hem aangaande begon hy reeds één dag vóór den tyd, die door de berekening voorzegd was, de Zon waar te neemen: den avond van dien dag, zo als hy van den Kerkdienst te huis kwam, welks gevoegelykheid, zo hy zeide, hem jiiet toeliet, zich om eene zodanige zaak afwezi°re houden, zag hy eindelyk Yenus , die eerst op den fchyf der Zon kwam, waar van zy den rand raakte. Het was toen drie uuren vyftien minuten *s avonds» Hy mat aanltonds den afftand van Yenus tot hec middelpunt der Zon , hetgeen hy geduurende den tyd, dien hy dat fchouwfpel konde genieten, verfcheide maaien herhaalde. Want de Zon ging ten drie uuren vyftig minuten onder, zo dat de waarheeming flegts vyf en'dértig minuuten duurde. De vriend van Hoioccius deedt dezelve insgelyks , en deeze zyn tot hier toe de" eenige fterveüngen, welke Yenus in die omftandigheden gezien hebben. Alhoewel de plaats, slwaar Horoccius zyne waarneeming deedt', hem niet heeft toegelaaten , om het fchuuw-  WIS K Ü N DEë HL Deel. IV. Boek 351 fchouwfpel van Venus onder de Zon langer dan eenen zeer korten tyd te genieten, heeft de Sterrekunde echter niet nagelaaten , om uit die waarneeming eene groote vrucht te trekken. Hy bepaalde in de daad door middel van dezelve, met veel meer naauwkeurigheid dan men tot nog toe gedaan badt, den ftand der knoopen , en verfcheide andere beginfelen der beweeginge van die Planeet. Hy bevondt aanllonds» dat de Conjunctie voorgevallen was ten vyf uuren vyf en vyftig minuten 'savonds, in plaats van vyf uüren zeven en vyftig minuten, welke men door rekenen vondt, en dat de Breedte van Venus in dat oogenblik flegts agt minuten een en dertig fecunden, in plaats van 10', was geweest, waar uit hy befloot, dat men de knoopen op 130 aa' 45" van den Schutter en de Tweelingen, in plaats van 130 31' 13", waaf op Kepler dezelve plaatfte, moest ftellen ; dat de hel« ling van den Loopkring tot de Ecliptica 30 24' of 05' was; eindelyk dat van alle de toen bekende Tafelen de Tabula Rudolphinee het naast aan de waarheid kwamen. Horoccius fchreef over dat onderwerp eene uitmuntende Verhandeling, tot tytel voerende; Venus in file vi/d, waar toe wy voor de verdere gevolgen, welke hy uit zyne waarneeming afleidt,den Leezer verzenden. Hy hadt het genoegen niet de» zelve in 't licht te geeven; naauwlyks hadt hy dezelve geheel in orde gebragt, toen hy den 15 January des Jaars 1641 byna onverwacht overleedt. Dit kostelyk Werk, en verfcheide andere Schriften van Horoccius ,bleeven byna twintig Jaaren in de vergeetelheid begraven, tot dat zy in de handen van iemand kwamen, die bekwaam was dezelve te waardeeren* Huyghens verfchafte zich een affchrift van de bovengemelde Verhandeling, en deelde het mede aan He* velius, die het in den Jaare 1661 liet drukken, benevens zyne waarneeming van den voorbygang van Mercurius, iu dat Jaar voorgevallen. Hetgeen men voorts uit die kostelyke Schriften heeft kunnen trek» ken, heeft, door de zorgen van den D. Wallis, en de Koninglyke Maatfchappy van Londen, in het Jaar Aas Jó?8  35* HISTORIE der 1678 het licht gezien. Wat Cr abtree aangaat, hy volgde zynen vriend kort daar na , insgelyks in den bloei zyner Jaaren. Hy is, naar men gist, even als Gascoigtie, wien de lingelfchen de eerlle uitvinding van den Micrometer toeëigenen, in de burgerlyke oorlogen , welke Engeland omtrent dien tyd verwoesteden, omgekomen. Sedert het Jaar 1639 is 'er geen zodanig verfchynfel geweest, dat de Sterrekundigen hebben kunnen waarneemen. Maar over weinig Jaaren , naamlyk In 't Jaar 1761 (den 26Juny) zal men dat fchouwfpel andermaal genieten; en naardien hedendaagsch op de gantfche oppervlakte der Aarde Waarneemers verfpreid zyn, kan men zich verzekerd houden, dat die voorbygang van Venus onder de Zon op een groot getal plaatfen gezien zal worden (r). Behalven de nuttigheid, welke dezelve zal hebben , om eenige beginfelen der Theorie van die Planeet met nog grooter naauwkeurigheid te bepaalen, zal dezelve dienen, om met eene naauwkeurigheid, welke geen andere handeiwyze kan bereiken, de Parallaxis der Zon en haaren afftand van de Aarde te bepaalen. De HeerHa/ley heeft daar toe inde Ttanf. PhiJ. (ann, 1716) eene handeiwyze gegeeven, waar van het hoofdzaakelyke hier op uitkomt. leder weet dat de afftand van Venus tot de Aarde, in haare benedenfte Conj'unftie, flegts omtrent het vierde-deel van dien der Zon is; waar uit volgt, dat haare Parallaxis alsdan het viervoud der Parallaxis van dat Hemellicht is. Men onderftelle nu eenen aanfchouwer, die den voorbygang van Yenus waarneemt, op eene zodanig gelegene plaats , dat de in- en uitgang ten naaste by op den zelfden afftand van het Zuiden gefchieden; dan zal de beweeging van dien aanfchouwer, door de omwenteling der, (r) Zie wegels d;n voorbygang van Venus des Jaar» ï76t, de la lande Aftronomie of Sterrekunde , XI» Boek. V.  WISKUNDE, UI. Öeel. IV. Boek. 353 der Aarde veroorzaakt, en welke in eene tegenftrydige richtftreek van die van Venus zal eefchieden, de duuring van haar verblyf op de fchyf der Zon iets minder verkonen , dan her dubbeld van den tvd, dien Venus zou befteeden, om door haare eigene beweeging eenen boog gelyk aan haare Parallaxis door te loopen. De Heer Halley bevindt dat, als men de Parallaxis der Zon van twaalf fecunrten oriderftelt , die verkorting van duunng omtrent elt minuten zal zyn. Zo men, in tegendeel, den voorbygang van Venus op eene zodanige plaats waarneemt! dat men haaren ingang by Zonnen ondergang , en haaren uitgang by het opkomen derzelve ziet hetgeen op fommige plaatfen van NoordAmerika kan plaats hebben , zal de bëweeging van Venus op de Zon ten aanzien van den Waarneemer der Aarde, wiens beweeging naar den zelfden kant zal eefchieden , vertraagd worden , en deeze vermaging za! den geheelen voorbygang zes minuten langer doen duuren, dan wanneer die Waarneemer, in het middelpunt der Aarde geplaatst, onbeweegIvk ware geweest. Dus hebben wy hier zeventien minuten verfchil tusfehen de duuringen van den waargenomen voorbygang dier beide plaatfen ; zy wien de naauwgezetheid der bedendaagfche Waarneemers bekend is, hebben niets meer noodig om te zien, dat men door dat middel, op eene zeer geringe dooling na, de Parallaxis der Zon kan be. raaien. Wy verzenden den Leezer , die hier omtrent meerdere byzonderheden wenscht te weeten, naar het Gefchrift van den Heer Halley. De redeneering, die nu ten opzichte van Venus aedaan is, kan desgelyks ten aanzien van Mercurius ledaan worden, behalven dat, vermits de Parallaxis van deeze laatfte Planeet veel miDder, en haare be weeging fneller is, 'er op verre na geen zo groote ongelykheid tusfehen de duuringen haarer voorbygangen voorby de Zon , op verfchillende plaatfen der Aarde waargenomen , kan zyn. De Heer Dehjle maakte nogthans ftaat, toen hy zyn bericht ova Aa ^ l3cu  354 HISTORIE der den laatften voorbygang van Mercurius in 't licht gaf, dat hy zig van dezelve koude bedienen, om de Parallaxis der Zon te bepaalen , in afwachting dat die van Venus zou dienen, om zulks met nog grooter naauwkeurigheid re doen. Maar hy heeft natuurlyke hinderpaalen daar in ontmoet, waar van de VVaarneemers vóór hec verfchynfel, dat men in 'tjaari7öi verwacht, behooren gewaarfchouwd te worden. Naamlyk dat de waare fchynbaare middel, lyn der Zon geduurig vergroot fchvnt te zyn met eene verlichte kroon, die naar de koleur en de on. doorfebynendheid der glafen , waar van men zich bedient, veranderlyk is, terwyl die van de Planeer, welke baar doorloopt, in tegendeel met eene gelyke verlichte kroon , die op baar voorwaarts gaat, verminderd is; hetgeen aanleiding geefc tot eenige byzondere verfchynfelen , welke den in- en uitgang van die Planeet, geduurende eenigen tusfehentyd, onzeker maaken. Wy zyn den Heer de Barros, een I orrugeesch Edelman, de waarneeming en verklaaring van die verfchynfelen verfchuldigd, welke hv heeft medegedeeld in een Gefchrift, door hem aan de Academie der Weetenfchappen voorgeleezen, ea Jn 't Jaar 1753 in 't licht gegeeven. Waar uit volgt, dat, voor de naauwkëurige waarneeming der duuring van die voorbygangen , eenige oplettendheden noodwendig zyn, waar over die fchrandere Waarneemer, zo als ook de Heer Delifle , nog nietten vollen voldaan zyn; en thans zyn zy bezig om die onzekerheid te bepaalen. Het bericht dat de Heer Delifle wegens den aanfraanden voorbygang van Vems zal bekend maaken, en eerstdaags het licht Itaat te zien, zal de Sterrekundigen het noodig onderricht mededeelen wegens de voorbehoedfelen , die zy in dar opzicht behooren te neemen. V I I. Men kan de Sterrekunde in twee deelen verdee. Jens naamlyk in een zuiver Wiskundig, en in een Na-  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 355 Natuurkdndig deel; (trekkende het eene om de hemelfche beweegingen te vertonnen, en aan de rekening te onderwerpen, het andere om de oorzaaken en het Mechanismus daar van aan te wyzen. Het eerfte behoort eigenlyk alleen tot ons Plan, en om die reden zouden wy ons met recht kunnen onthouden , om in het onderzoek van het Natuur - en Sterrekundig Systema van Defcartes te treeden, dat geheel en al tot het tweede behoort. Maar de bèroemdheid van dat Systema fchryft ons op eenigerlei wyze de Wet voor, om daar van te fpreeken, en hetzelve te onderzoeken. Om niet in het byzondere van den natuurkundigen Roman van Defcartes te treeden , ik noem dus de wyze op welke hv de vorming van zyne drie hoofdftolFen bevat, zal ik alleen maar zeggen, dat hy vnn ons Planeetgeftel eenen wyd uitgeftrekten draaikring maakt, in welks midden de Zon is. De verfcheide deelen van dien draaikring beweegen zich met ongelyke fnelheden, en voeren mét zich dePlanceten, die in denzelven gedompeld zyn, en daar in zwemmen in laagen van gelyke dichtheid (denfitas) als de haare. De Planeeten , welke Satellieten hebben, zyn zelve in het middelpunt van eenen kleineren draaikring, die in den grooten zwemt, geplaatst. Deliehaamen, in deezen kleinen draaikring gedompeld zyn die Satellieten, en beweegen zich in denzelven volgens de zelfde Wetten, als de Uoofdphneeten rondöm de Zon. Zodanig is met weinig woorden het Hemelsftelfel van Defcartes: niets is in den eerften opüag eenvoudiger , veiftandiger, en meer voldoende ; zo dat men zich niet behoeft te verwonderen, dat het denkbeeld van hetzelve zynen Vinder ongemeen behaagd hebbe, en dat het zelfs nog heden aanhangers heeft, welke moeite hebben, om zich daar van los te maaken. Maar men moet zich niet altoos op dat eerfte gezicht ten vootdeele van een natuurkundig gevoelen bepaalen. Eene onderftelling moet aan de Verfchynfelen voldoen; dit is de toetsfteen waar aan men deAa 4 zei-  356 HISTORIE der zdye moet beproeven, en, wy moeten hetNoiet leedweezen zeggen , die van Defcartes kan de-ze toets niet mtftaan. Ce volgende aanmerkingen zu'len dit toonen. s i°. Men weet dal de beweegingen der Planeeten elliptisch zyn; derhalven moeten de laagen der draaikringen het insgelyks zyn. Maar wat zal daar van de oorzaak zvn? Defcartes fchryfr dezelve toe aan de persfing der nabuurige draaikringen. Als dit zo was , moesten alle de Loopkringen der Planeeten aan de zelfde zyde verlengd zyn, dat zo niet is. VVat nog meer is, het fchynt dat de Zon zich in het gemeen middelpunt van alle die Loopkringen, en niet m één van hunne brandpunten, moest bevinden, Eindelyk is bet klaarblyklyk, dat-zo die verlenging der draaikringen het gevolg was van de zydelingfche persfing der nabuurige draaikringen, alsdan de bemeliche ftoffe, die by het middelpunt, zou ronddraaijen, daar van het minst aangedaan zou zyn; zo dat de Loopkring van Mercurius ét minst ui:middelpuntige van allen zou zyn : dus is het noodzaakelyk dit mechanismus geheel te verwerpen. '2° Schoon Defcartes zich niet ftellig verklaart over hetgeen die beweeging van draaikring onderhoudt , is het genoegzaam klaarblyklyk dat hv gedacht heeft, of dat de omwenteling der middelpuntige Planeet daar van de oorzaak was, of dat in tegendeel die beweeging de oorzaak des omloops van die Planeer was. Doch wy zullen doen zien, dac men geen van beiden kan zeggen. Het is in de daad aanltonds gemaklyk te befpeuren , dat alle de Planeeten haaren omloop in den Equator, of even wydig aan den Equator der middelpuntige Planeet zouden moeten doen. Nu weet men , dat onder* de Hoofdplaneeten er geene is, welkers Loopkring met tot den Equator der Zon overhelt: de Maan loopt ook rondöm de Aarde, zonder dat zy eenige natuurlyke betrekking tot den Equator der Aarde ichynt te hebben. Ten tweeden, zo de omwenteling der middelpuntige Planeet de beweeging van den  WISKUNDE, ül. Deel. IV. Boek. 35? draaikring voortbragt, of door denzelven voortgebrast werdt, zou de laag des draaikrings, welke het naast by de Planeet is , de zelfde fnelheid als zy hebben; hetgeen met de vermaarde Wet van Kepler niet overëengebraat kan worden. De berekening daar van is gemaklyk te doen : men vindt, by voorbeeld, dat wanneer deeze Wet plaats zal hebben, de fnelneid der naast by de Zon zynde laag haaren omloop in byna één-derde dag zou moeten doen: echter doet de Zon den haaren niet dan in 271 dagen; haare omwenteling moest derhalven verlneld zyn , tot dat zy eene bëweeging , o vereenk omftig roet de wet van den draaikring, hadt aangenomen, of wel dezelve vernietigd zou hebben. De P.aneeten, welke Satellieten rondöm haar hebben, als de Aarde, Jupiter en Saturnus, verfebaffen nog oiiöplosbaarer tegenwerpingen , om dat zy geen plaats laaten voor eenige uitvlugt, welke een hardnekkig aanhanger der draaikringen zou kunnen verzinnen, om de Zon van die mededeeling der beweegmge te ontheffen. 30. De Natuurkundigen welke, met behulp van de Meetkunde en eene grondige Theorie der Hydrodynamica, de beweeging onderzocht hebben, welke een draaikring zou kunnen neemen , hebben dezelve nooit met den regel van Kepler kunnen overeenbrengen. De Heer Newton heeft op het einde van het tweede Boek zyner Principi* Philofophia naturalis over die ftoffe gehandeld, en bevondt, dat in eenen Cylindrifchen draaikring , naamlyk eenen zodapigen welke geteeld wordt door eenen Cylinder, die om zyn middelpunt fnellyk ronddraait, de omloopstyden der laagen als de afftanden tot den As zouden moeten zyn, en dat in den klooifchen draaikring , naamlyk die welke geteeld wordt door de beweeging van eenen middelpuntigen kloot , de omloopstyden der laagen als de vierkanten der afftanden tot de middelpunten zouden zyn, terwyl zy, volgens de wet van Kepler, behoorden te zyn als de vierkants-wortelen uit de teerlingen van die atiUuAa 5 den.  353 HISTORIE di* dep. De Heer Bernoulli heeft, we! k wa'Sr in % vei vol* aangemerkt (,) dat de Heer in die bepaaling geen acht geflagen hadt op een Ieb ginfelen , welke daér toe verëischt werden en meende te bevinden, dat de laagen van eenen kloot fcnen draaikring, fa welken men d" dichtbei in omgekeerde reden ytó den Vierkants - wortel uk dén afftand van het middelpunt onderftelde , zodanS beweegingen zouden hebben, dat de vierkanten dl? omloopstyden als de teerlingen der afftanden zouden zyn. Hy verklaart ook de uitmiddelpuShdde! Planeeten door eene flingerende bëweeging, senaard Maar de Heer dTAlembert, de berekening van den Heer Z?^//, zorgvuldig onderzoekende .heeft bevonden (O,, dat die groote man gefeild hadt door een ftandvasng deel van eenen integraal, dat de uï- i?nn"h.ge f1 V,era"denrt ' te veriaarl'oozen Nu toont hy, door deeze ftandvastige grootheid fa achc y//!S hC' Z* deze!^ ««e cyitnanjcne of klootfche gedaante heeft , niet kart beftaari, zo met alle zyne laagen baare om wen elin gen m den zelfden tyd doen, en hy nie? oï „o> is, even als de wanden van een vaas zouden zvn Men kan mede het gantrche gebouw van den Heer* Bernoulli om ver werpen door eene aanmerking welke de Heeren Daniël Bernoulli en dAIeZlrtll daaa henben. Naamlyk dat ten einde een draaTkrL van vloeibaare ftoffe beftaan kunne, de midde pumvliedende kracht van eenig deel van eene gegeevene uitgebreidheid, m eenige laag, welke die ook zy genomen niet grooter zy dan die van een gelyk deel, in de bovenfte laag genomen. Het zou gSs zins genoeg zyn, zo als fommige Wysgeerent S han'. (s) Nouvelle* penfées fur le Sylléme de M,,,,. . Redevoering d.or de Academie in ' L , - t l?J ' e!"e CO Traité der Fluïde*, p 385 en^olg.'3 °0"d'  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 359 hangers der draaikringen, gedacht hebben, dat de geheele kracht eener laag de geheele kracht van de daar op volgendeniet tebovenging; want als men vloeiftoffen van verfcheide lborten famengemengd in een Vaas deedt, zou het dan, ten einde die orde geduurzaarn zy, genoeg zyn, dat de geheele zwaarte eener laag die van de benedenfte niet overtrof? zonder twyffel, neen! Geen Waterweegkundige zal ontkennen, dat zo ?er op eenige plaatsongelykheid is, het overtreffend deel der bovenfte laag de onderfte zal nederdrukkc" , en niet ophouden zal te daalen, toe zo lang het eenen gelyken tegenftand gevonden hebbe. Dus moet het in de onderftelling der draaikringen eveneens daar mede gelegen zyn. Zo wy nu de ongelykheid van dichtheid ( denpas ) verwaarloozen , zullen wy in de onderftelling van den Heer Bernoulli bevinden , dat de middelpuntvliedende kracht wederkeerig als het vierkant des ftraals aangroeit, en zo wy acht geeven op de dichtheid, die hy in wederkeerige reden van der. wortel uit den afftand van het middelpunt onderftelt, bevindt men , dat die middelpuntvliedende kracht in omgekeerde reden is van de magt des ftraals, wiens Exponent \ is. Waar uit klaariyk biykt, dat die kracht van den omtrek tot het middelpunt fteeds zal aangroeijen. Het is even het zelfde, als of men verfcheide vloeiftolfen van ongelyke byzondere zwaarte in een Vaas zodanig wilde fchikken, dat de ligtfte op den bodem was. Wanneer zelfs de laagen fteeds in uitgebreidheid afnamen, op dat de geheele kracht van iedere die van eene andere niet overtrof, zou echter niets de menging verhinderen. Die welke de grootfte byzondere zwaarte hadt, zou naar den grond gaan, ten zy het vloeiftoffen van eene zeer groote verkleefdheid waren. De Heer Bouguer (u) verfchaft ons twee andere krachtige tegenwerpingen tegen het gevoelen van den (u) Entretiens fur ïinclinaifon det orbites des Planeter. Ee.air. p. 8g. /  5 HISTORIE der den Heer Bernoulli. De eerlle is deeze. Als men eene klootfche laag des draaikrings , naar zyne onderftelling , laat ronddraaijen, (telt men een foort van evenwicht tusfehen de verfchillende dee!en des draaikrings, in de richting van den ftraal des evenwydigen Cirkels, of, zo men wil, van den ftraal zelf des draaikrings. Maar in de perpendiculaire richtftreek tot dien ftraal is geen evenwicht. Alle de deelen hebben eene neiging om weder naar den Equator op te klimmen , zonder door eene ftrydige en gelyke kracht opgewogen te worden ; hetgeen niet misfen kan dien draaikring in verwarring te brengen, en te vernietigen. Zelfs fchynt daar uit te volgen , dat een klootfche draaikring volftrekt onmogelyk is. Ook fchynt dit het gevoelen van den Heer cPAlembert te zyn in het Werk, dat wy boven aangehaald hebben. De tweede der tegenwerpingen , waar van wy zo even gefproken hebben, betreft de wyze op welke de Heer Bernoulli zich voorftelt, dat de Planeeten elhptifche Loopkringen befchryven. De Heer Bouguer toont in eene Memorie , onder die van de Academie in 't Jaar 1731 ingelascht, dat de beide deelen der Kromme, welke de Planeet door haare llingeringen van het Aphelium naar het Perihelium zou befchryven, niet gelyk en gelykvormig kunnen zyn. Men heeft nog van den Heer Bernoulli een ander ftuk als dat, 't welk wy boven aangehaald hebben, en waar in hy de Cartejiaanfche draaikringen, benevens de veranderingen , in het eerfte verzonnen, aanneemende , de belling der Loopkringen van de Planeeten tot den Equator der Zon , alleen uit de Wetten der voortdryving, door den draaikring aan die Planeeten medegedeeld , waant 'af te leiden. Doch alzo hy daar by toeftaat, en het zelfs noodzaakelyk is,dat hy tot eene grondftelling aanneeme, dat iedere Planeet , de Aarde by voorbeeld , eene verlengde Spherdideh, hetgeen met de hedendaagfche waarneemingen ftrydig js, achten wy ennoodig ons daar by cp te houden. De  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. & De Heer Leibnitz beproefde in een Gefchrift, dat in de Aflen van Leipzig is ingelascht, en tot tytel voert Tentamen de motuum cele/hum caufit, om «te Stogen op eene andere wyze met dverfbj nfelen overeen te brengen. Hy onaenw>u -d ï chillende hagendea ^An^n^MJ^t L «rpHerkeeriee rede van de afftanden, en veivt. kd??o"d°ro„gof ann .rok SS v^hTviert.deSSwas, deW £ Mlïk" i4den gelyke inhouden, en eene M», j. ffl„ J t brandpunt hebbende, zou befchry- puntvliedende kracht van reder ftofdee«J« JJJ0 ;,. M.«zorasü "wee verfchillende Planee.en met el- Hi™ welken de Heer Lrito/e onderftelt. De draait ' ' ™„ Har, als in verfcheide laagen van eene zeet Se dïh" en fcdS op zich zelve tonde, .er. „eerigl fnelheder. zouden h^ben- "> SS^SX- r^stï.-rr^ntx^dj  3Ó2 HISTORIE DER Heer Leibnitz onderfteld , t'eenemaal nutteloos Js. Want alleen de middelpuntvliedende kracht, die bv gebruikt, benevens hetgeen hy deparacemrifihekracht der Planeet noemt, doch in de daad niets anders is als eene verbloeming der Newtoniaanfche aantrekkineskrachr, w genoegzaam om elliptifche Loopkringen te doen befchryven. Wy zullen tegen het Systema der draaikringen geene aanmerkingen meer verzamelen. Die welke wy nu gedaan hebben fchynen ons den aanhangeren van dat Systema gaen antwoord over te laaten. Welke fchikking men zich in de laagen en fnelheden van die draaikringen verbeelde, kan men echter niet flaagen , om dezelve roet alle de Wetten van de Hydroftattca en Mechanica overeen te brengen Te vergeefs hebben de Heeren Fiilemot f», de Molie res f», de Gamaches (x) , en byna onlangs de Schrvver van de Theorie der draaikringen (Théorie des Tourbtllons) (y), beroemde aanhangers van dat Systema, hunne gantfche kunst uitgeput, om haare deeien famen te voegen , om nieuwe beweegingen te verzinnen, om elku.der te verbeteren , om eindelyk de tegenwerpingen voor te komen , en ilZ 7 anr^00[df" ; het is een gebouw dat door de gantfche bekwaamheid van zyne Bouwmeesters niet ftaande gehouden kan worden. Terwyl men het aan de eene zyde herftelt, wordt het aiMss?* bouwva,iis> » ** ** 5°. Maar laat ons voor eenige oogenblikken toeliaan , dat het Systema der draaikringen overëenkomftig was met de verfchynfelen , die wy waarneemen, en de bekende Wetten der Mechanica, dan Lyoï !^ZV.el'e expUcatim du »•*«■»«- des Phnetes. (w) Ltfons de Phyfique, Paris 1733. in 12". (x) J/iron. Phyfique, &e. Paris 1740. in -4°. (y) Paris, 1753. '* 1  WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 363 dan zou echter deszelfs oorzaak daar door weinig verbeteren. Wy hebben Heilige bewyzen, dat men in de hemelfche ruimtens geene, ten minften geene zeer merkbaare , wederftand biedende ftoffe kan aanneemen. Thans is het zeker, dat de Comeeten dia ruimtens in alle richtingen doorloopen, zonder in haare beweeging eenige fchynbaare verandering te ondergaan; wy zullen dit ftaaven , als wy verflag doen van hec hedendaagsch Systema over die Hemellichten van eene zonderlinge foort; en dit is zo wel bekend , dat byna federt het begin deezer eeuwe alle de voorftanders der draaikringen niets vergeeten hebben , om de ftoffe, waar uit zy dezelve famenftellen , allen wederftand te beneemen (z). Tot dat einde hebben zy verzonnen, fommigen eene onëindig weinig dikke vloeiftoffe, anderen eene onëindig verdeelde vloeiftoffe , en zy hebben gedacht daar door aan de tegenwerping ten vollen te voldoen. Doch , naar ons gevoelen, is niets krachteloozer en flegter ingericht , dan dat antwoord. Als men hunne onderftelling aanneemt, naamlyk dat die vloeiftoffe geen of onëindig weinig tegenftand zal bieden , van welk gebruik kan dezelve dan zyn , of om de Planeeten de beweeging in te drukken , welke zy daar van ontleenen , of om de oorzaak der zwaarte daar uit af te leiden? Eene vloeiftoffe die geen of onëindig weinig tegenftand biedt, is flegts tot eene onëindig kleine werking bekwaam. Wat aangaat het voorgeeven van hun die willen , dat eene onëindig verdunde vloeiftoffe geen tegenftand zal bieden aan de lighaamen , die dezelve doorloopen, wy kunnen, zonder ons aan het boven gegeeven antwoord te binden , ons niet onthouden aan te merken , dat niets minder gegrond en ftrydiger met de Wetten der Me- (2) Zie den Heer Bernoulli,in de aangehaalde Hukken; den Heer de Molière, Legor.s Phyfiques, Lee. V; den Heer 'de Gamaches, Aftroii. Phif. cjSV. Ve. Diff.  364 HISTORIE Dit Mechanica is. Deeze Wetten leeren ons , dat de tegenftand, alle het overige gelyk zynde , evenredig is tot de te verplaatfen Masfa, welke ook haare gedaante en verdeeling zy. Wy zullen , om kort te zyn , hier toe aanwyzen de uitmuntende aanmerkingen van den Heer Bouguer in zyne Gelprekken over de oorzaak der helling van de Loopkringen der Planeeten ( fintretiens fur la caufe de finclmatjon des Orbites des Planetes). VIII. Vóór dat wy dit Boek eindigen, moeten wy gewag maaken van eenige Sterrekundigen, waar vim wy dus verre nog fiets gezegd hebben. Wy zullen een begin maaken met Longomontanus (a), wiens naam beroemd is door het gedeeld Systema van die van Copernicus en Tycho, waar van men hem ten onrechte als den Vinder aanmerkt; want dat Systema;is ouder, en fchynt het Werk van Raymard Urfus Dithmarfus te zyn , zo als wv op eene andere plaats gezegd hebben. Longomontanus is Schryver van verfcheide Wiskundige Werken, onder anderen van de Afitonomia Danka , voor de eerfte maal in t Jaar 1621, en op nieuw in 't Jaar 1640 gedrukt. De onderftellingen, welke hy daar in gebruikt, zyn eigenlyk die van Tycho, zo dat men aan hem de verpügting heeft van de denkbeelden van dien beroemden Sterrekundige tot ons overgebragt te hebben. Maar dit is zyne voornaamfte verdienfte; want hy toont vry weinig oordeel te bezitten , dooi die onderftellingen hoo«er te achten, dan die welke Kepler zo grondig en vast gevestigd hadt: ook is dat Werk onder de Sterrekundigen met lang in achting geweest. Jan (a) Gebooren in 't Jaar 1562 te Langberg in Denemarken, waar van by zyn naam untleewd heeft, en als HooeJeeraar der Sterrekunde te Kopenhagen in 't laar 1647 ovet eeden. * ™  WISKUNDË. Ut. Deel. IV. Boek. 3^5 Jan Bayer van Augsburg béwees, in 't begin van deeze eeuwe , eenen grooten dienst aan de Sterrekunde, door de uitvoering van een gewigtig Werk. Hy gaf in 't Jaar 1603, ónder den tytel van Vranometria, in 't licht eene befchryving der hemelfche Gefterntens in verfcheide Plaaten , benevens hunne verklaaring , en de Naamlyst der Sterren «. die zy bevatten. Bayer tekent daar in iedere Ster met eene Griekfche of Latynfche letter, eene benaaming die naderhand onder de Sterrekundigen als eene Wet gehouden is. Men vindt op dit Werk, dat anders de greetigheid, met welke het gezocht werdt, waardig is, niets anders te zeggen, dan dat de beelden daar in verkeerd Haan, even als of zy, recht zynde voor hun, die binnen de Hemelglobe waren, buiten dezelve gezien werden. De oorzaak van dat gebrek is gemaklyk te befpeuren voor hnn, die van de graveerkunst kennis hebben. Bayer nam niet in acht, dat als men een beeld, zodanig als het gezien moet worden,op eene kopere plaat graveert, als dan op het papier, waar op men het drukt, de rechter in de linker zyde Verandert. Maar dat gebrek is van geen belang, en zulks belet niet, dat de Vranometria van Bayer alsnog zeer greetig door de Sterrekundigen gezocbc wordt , en dat zy het voor een kosteiyk Boek houden. Eenige Jaaren daar na was 'er een Landgenoot van Bayer , die eene zonderlinge onderneeming in den zin kreeg. Zyn naam was Julius Schillet* Deeze godvreezende Uranographus was daar over gebelgd , dat hy den Hemel vol perfonaadjen en voorwerpen zag , welke tot de Verdichtfelkunde (Mythologia') behooren; en by ftelde voor om die te veranderen,. en beelden, uit het oude en meuwe Testament ontleend, daar voor in plaats te ftellen. Hy plaatfte de twaalf Apostelen in den Zodiak; de naamen der zuidelyke Gefterntens ontleende hy uit het oude , en die der noordelyke uit het nieuwe Testament. Zyn Boek is om die reden getyJ3b teldi  3«6 HISTORIE der teld: Caktm Stellatum Chriftianum , en kwam in 't Jaar 16$* f» 't licht. Maa>- de Sterrekundigen hebben geen deel willen neemen aan dat wonderlyk omwerp, dat tot niet anders gediend zou hebben, al? om üc T.rerrekunde in verwarring te brengen.Lansbergen (Phd/ppus) (b) -bloeide omtrent dien. tyd in de Nederlanden, M>-n kan hem geen talenten weigeren, en hy zou der Sterrekunde meer dienden hebben kunnen bewyzen, zo hy, in plaats van de eeuucht te hebben, om op zyne eigene onderftelling,.n een volkomen famenftel van die VVeetenlchap te bouwen, en, zo als hy doet, Tyeho en Kepler in hunne eere te krenken , over die beroemde mannen en huune Sterrekundige gevoelens beter g.öordeeld hadt. Hy gaf in 't Jaar 1632 zyne Uranomcttia, en in 't volgende Jaar zyne eeu* wigduurettde Tafelen in 't licht ; maar zyne groote beloften , en de hoogdravende loffchnften , die men aan het hoofd van dit laatfte Werk leest, hebben de Leezers van hetzelve niet lang misleid; Men heeft weldra befpeurd , dat d'e Tafelen, als eeuwigduurend opgevyzeld, niets minder dan dien Tytel waardig waren: zelfs heeft men trekken van kweeg.ng, die het dubbeld is van die des middelpunt* van den bykring. Dus is de berisping, welke de Doctor Seth Ward van Oxford dien aangaande deedt, alleszins rechtmaatig («)> en Bulialdus doet yereeeffche poogingen om zich te verdeedigen. vvy lullen over de Aftronomia Philolatca, dat anders een geleerd en achtingswaardig Werk is , in geene andere byzonderhedeo treeden. De Heer Bulialdus sing geduurende het overige van zyn leven voort, om eene meenigte waarneemingen te verzamelen, waar van het famenftelfel thans onder de handen van~ den Heer le Mannier is. De Dr. Seth Ward f/), waar van wy, by gelesenheid van Bulialdus, zo even geiproken hebben, wordt als den uitvinder der onderftelling, die men eenvoudig elliptisch noemt, aangezien, zo men echter hem , die niets anders doet, dan een om bondige redenen verworpen denkbeeld te gebruiken, uitvinder Jan noemen. De onderftelling, waar van wy fpreeken is die waar in men de Planeet m eene Ellips doet omloopen, maakende in het brandpunt, waar in de Zon of de Hoofdplaneet zich met bevindt, geVke hoeken in gelyke tyden. Wy merken als iets zonderlings aan, dat een groot getal Sterrekundigen, en zelfs fommige van de eerfte verdienfte, eenen geruimer tyd in de elliptifche onderftelling van Kepler niets anders gezien hebben, dan de bëweeging die wv zo even befchreeven hebben. Rtccioh, die alle de Sterrekundige onderftellingen , welke vóór hem gedaan zyn, verhaalt, fchynt flegts niet eens vermoed te hebben, dat Kepler de Inhouden rondom de middelpuntige Planeet, in de zelfde betrekking als (e) InquiJitioinlfm.Buliialdi. AJlr. -ti*}»? ( ƒ ï Gebooren in 't Jaar 161 b j overleeden ra t Jaar i683, zynde Bisfchop van Salisbury. Bb 3 de  3?o HISTORIE der de tydenliet aangroeijen. De beroemde Heer Casfini zelf, in een gefchreeven kort begrip der Sterrekunde, dat ik in handen heb Rehad, de elliptifche onderftelling befchryvende , vergenoegt zich met te zeggen , dat nvn , in die onderftelling , van het tweede brandpunt der Ellips het middelpunt der gelyke beweeging rraakt, en om die onderftelling te verbeteren, flaat hy eene nieuwe Ellips voor, waar in de produclen der lynen , uit de brandpunten tot eenig punt getrokken, ftandvastig zyn. Maar laat ons weder tot de eenvoudige elliptifche onderftelling overgaan. Deeze onderftelling heeft veele Sterrekundigen behaagd, en hun misleid door het gemak dat zy aan de hand geeft,'om de waare uit de middelbaare Anomalie af te leiden. Zy is gebruikt door 'dei' Doclor Ward in zyne Aflronomia Geom. in 't Jsar 1656; door den Graafje Pagan, in zyne Theorie der Planeeten en zyne Tafelen, in de Jaaren 1655 en 1658 uitgegeeven ; door Street, in zyne Aflronomia Carolind, die hy in 't Jaar 1661 in 't licht gaf; door John Newton en Vincent Wing, in hunne Aflronomia Brittannica, die zy, de een in 't Jaar 1657, ,en de andere Ir J ar 1669 in 't licht gaven. Maar deeze onderHelling is niet voldoende, dan wanneer de uitmiddelpuntigheid van weinig belang is. Dit hadt Kepler getoond , en de Heer Bulialdus, de befchuldiging van den Doctor Ward met eene tegenbefchuldiging beantwoordende, toonde zulks op nieuw in 't Jaar 1657 (gis om die reden maakte Nicolaas Mercator naderhand eene verbetering in dezelve (h). Hy deelde den afftand-tusfehen de brandpunteader Ellips in de middenfte en uiterfte rede , zodanig dat het fhydpunt, ten aanzien der middelpuntige Planeet, buiten het middelpunt viel, en dit punt nam hy ig) Aftron. PMlol. fundamenta aiverfus Wardi impug. «fferta. {h) ffypolh. nova Aftron. 1664. Lcnd. in-fol. Inftitut. Aftron. Ibid. 1666. in-8°.  WISKUNDE. ll\ Deel. IV. Boek 371 hy voor 't middelpunt der middelbaare bëweeging. Dit viel eenigzins beter uit , dan de eenvoudige elliptifche onderftelling , waarneer de uitmiddeipuntigheid zeer groot is ; maar men moet van daar altoos weder tot de waare onderftelling te rug komen , waar in men de Inhouden rondöm de middelpuntige Planeet in de zelfde rede als de tyden laat aangroeijen. Ik eindige dit Artikel en dit Boek , donr nog gewag te maaken van de Vaders Riccioli {i) en Grimaldi, die verfcheide achtereenvolgende Jaaren gearbeid hebben , om de Stère- en Natuurkunde aan te kweeken. Men heeft den eerften, vh- die geleerde Jefuiten verfcheide merkwaardige Werken te danken, onder anderen zyn Aitntgeflum no.um, waar in hy, naar % voorbeeld van Ptol.omeus , aiie de-gedachten der Sterrekundigen tot in zynen tyd, benevens zyne eigene, verzameld heeft; hetgeen daar van eene wezenlyke fchat van Sterrekundige kennis en geleerdheid maakt. Doch wy meenen de verdienfte van dat Werk ten naaste by daar toe te moeten bepaalen. De Vader Riccioli^ gaf in 't Jaar 1665 zyne Aflronomia re/ormata in 't licht, waar in hy nieuwe onderftellingen voordraagt, welke de Sterrekundigen niet voldaan hebben. Men heeft eindelyk van hem eene Chronologia en eene Geographia reformata , welke ten opzichte van die beide Weetenfchappen zyn., hergeen zyn Almageflum ten aanzien der Sterrekunde is. Wat den V. Grimaldi betreft , wy hebben hem , behalven een gedeelte der Werken van den V- Riccioli , waar aan (i) De V. Riccioli (.Jan Baptist), gebooren teFerrara in 'c Jaar 1598 , tradt in 't Jaar 1614 in de Sociëteit d< v Jefuiten, en na eenen geruimen tyd de Godgeleerdheid onderwezen te hebben , kreeg hy vryheid om zich aan zynen ftuaak voor de Sterrekunde over te geeven, welke hy het overige van zyn leven met eenen brandenden yver bevorderde, f Jy is in 't Jaar 1671 overleeden. Bb 4  372 HISTORIE der WISKUNDE, «re. aan hy deel gehad heeft, eene byzondere befchryVing van de vlekken der Maan , en haare benoemi'ng, die hedendaags onder de Sterrekundigen in gebruik is, te danken. Reeds hadt de Heer Hevelius (k) vóór eenige Jaaren zyne Selemgraphia in t licht gebragt, waar in hy de naamen der bergen en plaatfen van de Aarde aan de vlekken der Maan geeft. Maar de benoeming, door Grimaldi ukgedacht, heeft de overhand behouden , en de Ster. rekundigen hebben met hem raadzaamst geoordeeld, om, in gezelfchap van de voornaamfte Wysgeeren en Wiskundigen der Alöudheid, in die Planeet hun verblyf te neemen. (*) Wy zullen in het volgende Deel II Boek van den Heer Hevelius fpreeken, om dat hy voornasmlyk in de tweede helft der zeventiende eeuwe gebloeid e» geleefd heeft. Einde van het vierde Boek.  HISTORIE DER WISKUNDE- DERDE DEEL. Bevattende de Hiftorie der Wiskunde, geduurende de zeventiende eeuwe. VYFDE BOEK. Vorderingen der Mechanica tot aan het midden deezer eeuwe. KORTE INHOUD. I De Mechanica wordt in verfcheide flukken door SteVin aangekweekt en tot grooter volkomenheid gebragt. Ii. Over de Mechanifche ontdekkingen van GahJfHS. Over zyn grondbeginfel der Weegkunst (Statica). Hy berispt eene grove dwaaling van Ariftoteles en de //loudheid over den val der zwaare lighaamen Hy ontdekt de wet, volgens welke die val verfneld wordt; verklaaring va» die Tèeorie. Hy leert welke de kromme is , die door de lighaamen, op eenefchuinfe wyze voortgeworpen, befchreeven worden; welke betrekkingen van omring de fehommelingen der ongelyke flngers hebben. Hy onder-  374 H l S T O R I E der zoekt op eene Whkunftige wyze den tegenftand der vaste lïgkaamen om gebroken te worden. III. Van de onderfielltng Baliani over de verfnelling der zwaar e lig. • •* 'au Gasfendi «e/ den.V Cafrée w TX^f' 'iff^n Zuigen welke uit die on-' vocrHoctjcn Ptoefneemingen welke die van Galeus\ bewyzen. IV. Leerlingen van Galileus welke «*nkwee*en. iknedicïus Caftelli /k». < ?■» • r,J over de bëweeging der loopende wateten Tornceli! vermeerdert de Theorie van Galileus, over de verfoeide beweeging en die der voortgewprpen lighaamen met eene meentgte nieuwe waarheden. Hy handelt ook ovc" de beweegng der wateren, en bemerkt het gewoon grondbeg^fel over de fnelheid der fpringende wateren. Aanm^hng ever dat grondbeginfel. V. Ontdekking van de zwuarte der lucht, en de oorzaak welke het Kwik %et'T»gj ittizen °m/°% houdt.. IVat deel deneer K£i i r,am leeft' froefneemingen van den Heer rciï lF^'F"!,?'*™' yl Fan-geheide Franfche Werktutgkundrgen, en de nieuwe Theorien die zv ontwerpen. Van den Heer Defcartes in V by zon der. Hy ondetwyst op eene duidelyke wyze de wetten der beweegwge. Hy tracht die van de botftng der lighaamen te bepaalen. Onderzoek deezer laatftel Zyn sZeml over de zwaarte, en onderzoek van hetzelve. I. De eerften der hedendaagfche Wiskundigen, die by het weinige , dat de oude Mechanica inhield iets gevoegd hebben, zyn Guido Ubaldi , en Ste' vm\ 1). Men heefc reeds in het voorgaande deel dee- (i) Simon Stevin van Brugge ftierf in 't jaar De ?yr,.er geboor e is ons onbekend. Men heeft van rfi™ Wskundüe verfcheide Werta , weike in den beginne ver zarseld, en te Le*den A°. i6< 5 i„ Nederduitsch gedrukt verve gens jyn dezelve in 't Latyn vertaald, en in i6o8.gedruke. ivlen heeft daar van eindelyk.eeneFranfcfae, of  WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 375 deezes Werks van den eerften gefproken. Om dè orde der dagtekeningen naauwkeurigte volgen, zou, het daar ook de plaats geweest zyn; om den arbeid van den Vlaamfchen. Werktuigkundige te doen kennen. Maar zyne ontdekkingen fcheenen my eene zo voordeeiige inleiding tot de hedendaagfché Mechanica te zyn, dat ik tot hier toe uitgefteld heb, om daar van verflag te doen, te meer daar hy laat genoeg in de zeventiende eeuwe geleefd heeft, om geacht te worden tot dezelve te behooren. Stevin, Wiskunftenaar van den Prins van Oranje, en Opziener der Dyken van Holland, het wel voornaamlyk zyn vernuft in de Mechanica blyken. Hy ging veel verder dan Ubaldi, in het Werk dat hy in 'tiaar 1585 over dat onderwerp uitgaf; en hy verrykte de Statica en Hydroftatica met een groot getal nieuwe waarheden. Hy fchynt ons aanltonds de eerfte te zyn , die de waare proportie der kracht tot het gewicht in het hellend Vlak gekend heeft; eene proportie, die by de Ouden niet bekend was , ais ook niet by Guido Ubaldi , die hun daar in ilcgts was nagevolgd. Stevin bepaalde deeze proportie zeer wel in alle de onderfcheidene gevallen, en welke ook de richtftreek der kracht moge zyn. Zelfs bepaalt hy zich niet om van de gewrochten der eenvoudige Werktuigen reden te geeven. Hy handelt in dat Werk over eene meenigte andere Mechanifche vraagftükken , als de betrek- kin- ofüever Oud-Franfche Overzetting, die in't Jaar 1624 infol in 't licht kwam» Van alle die Schriften van Ste+in is eiaenlyk geen ander dan zyne Mechanica , waar in nieuwe zaaken te vinden zyn. Zo het oorfpronglyk Ne-^ derduitsch in alles overè'enkomitig is met de Latynfche of Franfche Uitgave , dan i» het voor den tyd een voortref, felyk Werk. Zyae Stemebowm door Sluijen is mede een Werk, dat, myns bedunken», opmerking verdient. Men «igent Stevin de uitvinding van zekere Wagens met Zeilen toe, die fneller voortgingen, dan de best ingefpannene Rytuigen.  S& HISTORIB du kingen der lasten, welke onderichraagd worden door twee krachten , die een gewicht op ongelyke af. ftanden dragen ; welk vermogen een gewicht, aan ▼erfcheide touwen opgehangen, tegen de krachten oeffent, welke het door middel derlelve ophouden! In de oplosfing van deeze en verfcheide andere vraagteken maakt hy veelal gebruik van het bc rucht grondbeginfel dat de grondflag is der nieuwe Mechanica va„ den Heer Varaan. Hy maakt eenen Driehoek wiens dne zyden evenwydig zyn met de drie richt! reeken; naamlyk die varl hetgewïh en der beide krachten , die "het om hoog houTn en hy doet zien, dat die drie lynen wederzyds daï gewicht en die krachten uitdrukken. Stevin toont zich niet minder oorfpronglyk in zyne Hyd-oPatica . die een gedeelte van zyne Me" chamca uitmaakt. Hy onderzoekt daar in onder anderen de drukking der vloeiftoffen oo de opperdat ,vS,|r " dTdre 0Ddel-«e«nen, eri doet zien, dat 7y dltoos a|s het vermeenigvuldigde van den M met de hoogte is: wy onderftejlen hier een? horizontale oppervlakte, als de bodem van een Vaa?; J?Se ,nT,ena, fZe,Üe Vtrticaal of hellende onder.' «elde , zou alsdan de bepaaling moeijelyker zyn. Zy ontglipte nogthans Stevin niet; hy toont op eene zeer verftandige wyze, welke'de hoeveelheid kL ,s m1{!]ïWl Va\heC eve™^ ^ezer «rukkmg is. Deeze beruchte wonderfpreuk , naamlvk dat eene Vloeiftoffe , in eene naar boven fteeds naauwar wordende buis befloten, tegen den bodem de zelfde kracht oeffent, a|s 0f die buis overalfS lykvormig was , was mede eene ontdekking van dien Werktuigkundige. Hy ftaafde dezeïfe oS twee wyzen , zo door pröefneeming als doé? eene redeneenng, op de natuür der vloeiftoffen gegrond! die vernuftig is Het moeit ons, in de Larynfch! en Franfche Edmeq der Mechanica van Stevil ™l tnJZ't We'kf hy, 'n 1 be*in van 'f zesde Boek aanlZllS * .nder ^5 tyte,: over de ««"trekking van t water en het gewicht, of ever de Statica der Icht , met  WISKUNDE. ÏÜ. Deel. V. faeh 37? biet te vinden; wy hebben ons de Nederdüitfchê Uitgave niet kunnen verfchaffeb, om te weeten wat die twee deelen van zyn Werk inhielden. Een vati die opfchriften fchynt te kennen te geeven, dat dié Wiskunftenaar de zwaarté der lucht kende. Ik geloof nogthans , dat veeiligt daar in ovér niets anders gehandeld wordt, als over de werking van die vloei* ftoffe op de Zeilen, de Molenwieken, enz. II. De naam van Galileus is ih de Mechanica niet min* der beroemd, dan in de Sterrekunde. Koe uitjnuntend zelfs de ,ontdekkingen zyn, waar medé hy de laatfte verrykte, zouden zy hem echter geert zo aanzieulyke plaats by.de ftakomelingfchap verzekeren j als die waar van wy hier te fpreeken hebben. Zekerlyk was 'er minder vernuft noodig, orrt ieeneh Telefcoop naar den hemel te wenden, en aldaar de verfchynfelen te bemerkenj waar van men hem de ontdekking verfchuldigd is, als om de wetten der natuur te ontwarren in den val der zwaaré lighaamen, de foort van kromme, die zy, fchuins vallende, befchryven, eindelyk de oplosfing van verfcheide andere Mechanifche vraagftükken, die hy mét veel fcherpzinhigheid behahdelde; Ook merken wy aan, dat de eere van zijne Sterrekundigë Ontdekkingen hem door verfcheide mededingers bes twist is, waar over wy geen te nadeelig oordeel meenen te vellen ,.als wy zeggen , dat zy ten aanzierl der natuurlyke bekwaamheid ver beneden hem waren. Met zyne Mechanifche ontdekkingen is het niet eveneens gelegen. Hy zal, als eenige bezitter van het uitrnunteudfte, dat in dezelve gevon-s den wordt, altoos als dengeènen aangezien worden ^ die dat zo belangwaardig deel ónzer kundige heden voornaamlyk ontwikkeld beeft- De eerfte bezighedeü van Galileus in dat öpzicnl betreffen de Statica en Hydroftaticd. In zyne Verhandeling over de Mechanica, een Werk vaii i C e iaa£  373 HISTORIE DER jaar 1591, fchoon het veel laater in 't licht gegeeven is, brengt hy de Statica 'ot die eenig en algemeen grondbeginfel, waar uit alle de eigenfehappen der Werktuigen, als zo veele gevolgen, voortvloeien. Eene kracht, zegt hy, heeft altoos den zelfden tyd noodig, om een gegeeven gewicht tot eene zekere hoogte op te haaien, hoedanig zy het ook doet,_ het zy dat zy het in eens ophaalt, of, door het in deelen evenredig met de kiacht te verdeelen, in verfcheide tusfehenpoozen doet. In de daad, van welke famenvoeging van werkers wy ook gebruik maaken, kan de natuur, zo wy aldus mogen fpreeken , niets van haare rechten verliezen. Eene bepaalde kracht is flegts tot een bepaald gewrocht bekwaam, en dit gewrocht is dies te grooter, naar maate de masfa, die in eenen zekeren tyd door eene grootere ruimte gevoerd wordt, grooter is, of dat, de ruimte de zelfde zynde, zy in eenen minderen tyd kleiner is. Zal derhalven het gewrocht het zelfde blyven, zo moet dan de tvd wederkeerig evenredig met de masfa zyn Dus beffiat al het voordeel der Werktuigen daar in , dat men door middel derzelven jn eene eenige werking kan verrichten, hetgeen men door de bloote toepasfing der kracht niet als in verfcheide keeren zou hebben kunnen doen. Zo men het voordeel der Werktuigen op eene andere wyze befchouwt, beftaat het daarin, dat vermits wymeer meesters van den tyd, dan van de grootheid der te gebruiken magten zyn, zy ons in ftaat ftellen om in langer tyd en met minder krachten te doen, betgeen grootere of meer vermenigvuldigde magten fpoediger ter uitvoer gebragt zouden hebben. Eindelyk hetgeen men in de bdfpSaririg der magt wint, verliest mer> in den tyd, en wel naauwkeurig in dezelfde betrekking, waar uit men met Galileus moet befluiten, dat de voordeeligfte Werktuigen altoos de eenvoudigfte zijn. Want hoe meer een Werktuig famen^efteld is; hoe meer kracht 'er verloren gaat om de wryvinijen te overwinnen, enz. De H-jdrofiaika hadt Galileus insgelyks veele nieu-- we  WISKUNDE. ÏÜ. Deel Vk Boek. m wè waarheden te danken. In zyn Boek, belle cofè the jianfio fitll e.eqm, onderzoekt hy de natuur der vloeiftoffen beter, dan één dergeenen, welke vóór hem over dat onderwerp gefchreeven hadden', be* hal ven Stevin, Hij betoogt daar in ook de Hydrofta* iifche wonderft^reuk, waar Van wy boven geiprokert hebben, als ook verfcheide andere foortgelyke by» zonderheden. Ma-.r wy zullen dit onderwerp, gelyk mede zyne Bilanceta of Balans, zonder de minlte bedenking overftappeu, om zonder rekening dê vermengingen der metaalen te vinden, door dezelve, zo als men weet in de lucht en in het water te weegen. Wy haasten ons om tot zyne ontdekkingen t* kometi, welke de beweeging betreffen. Men heeft in het laatfte Boek van het voorgaandê Deel gezien, hoe weinig licht men hadt tot op het einde der zestiende eeuwe over de eigenfehappen der beweeging. Dit deel der Natuurkunde hadt eene geheele verbetering noodig : Galileus maakte net hetzelve een aanvang, en wel in dien ouderdom, hetgeen hem dies te meer tot eere ftrekt, waar in fchrandere geesten weinig anders als door de oogett Van hunne meefters zien. In den tyd toen hy te Ft* ja in de Wysbegeerce ftudeerde, was hy reeds zd» weinig voldaan over de toen aangenomen Leere , dat hy altoos Hellingen, ftrydig met die van zyne meefters, beweerde; en hy was niet zo dra tot Hoogleerair aan die Univerfiteit benoemd, of hy verklaar* de zich openlyk tegen byna alle de leerftukken vaö hunne Leete. In de eerfte plaats viel hy dat gewaand Axioma van de wandelende Wysgeeren over den val der zwaare lighaamen aan, naamlyk dat dé fnelheden in de zelfde reden als de zwaartens waren. Door lighaamen van eene ten uiterften ongelykö fcwaarie van het dak eener Kerk te laaten vallen, toonde hy aan, dat in den tyd hunner nederdaalmgen byna gt-en verfchil was , wanneer de ftofteü van d!e lighaamen in dichtheid weinig van elkander verfchilden. by die proefneeming Was een groote famenloop van Volk, die alle de oude HoögleerCo a Sareli  jSo HISTORIE DER Saren tegen Galileus deedt opftaan, zo dat by, orn hunne flegte kunstgreepen te ontgaan , genoodzaakt was Pi/a te verlaaten , en zich naar Padtia te begeeven , waar men hem een Hoogleeraarsampt aanboodt. In laater tyd ftaafde hy deeze waarheid door veele andere proefneemingen (m), nnder anderen door die van twee flingers van gelyke lengte, en welke, fchoon aan dezelve gewichten hangende, waar van het eene zwaarder dan het andere is, niet nalaaten hunne fchommelingen ten naaste by in den zelfden tyd te doen. Zonder twyflll zullen hier veele Leezers zyn, die hetgeen wy zo even gezegd hebben als één der ongelooflykfte wor>derfpreuken zullen aanzien. Het zal hun ten uiterften klaarblyklyk fchynen, dat een lighaam, tienmaal zo zwaar als een ander, tienmaal zo veel fnelheid moet verkrygen. Het zou zekerlyk waar zyn, dat een tienmaal zwaarder lighaam eere tienmaal grootere fnelheid zou hebben, zo het met die tienmaal grootere zwaarte niet tienmaal meer masfa hadt. Maar vermits de zwaarte evenredig is tot de masfa , is het flegts eene tienmaal grootere kracht, welke hefteed wordt, om eene masfa in de zelfde betrekking te beweegen. De fnelheid moet derhalven de zelfde zyn; de dwaaling van Arifloteles en zyne aanhangers komt daar uit voort, dat zy op die omftandigheid geen acht floegen. Nog is 'er eene andere eenvoudiger wyze, om te bewyzen hetgeen dus verre gezegd is, naamlyk door eece redeneering, die ik eertyds deedt, en welke ik naderhand by Galilem gevonden heb. Men laate san de eene zyde een Once Lood vallen, aan de andere zyde tien afzonderlyke Looden, en eenvoudig op elkander gelegd. Zonder tegenfpraak zullen de fnelheden aan beide zyden gelyk 7-yn. Maar deeze tien Oneen Lood flegts elkancer raakende, of eene {tri) Dijc. &dem.intornaduo novefcienze, &c, Dial. 5.  WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 581 eene zelfde masfa uitmaakende, kunnen niet met on. derfcheidene fnelheden vallen. Want men kan niet zeggen, dat de aankleeving van die tien Oneen, ten opzichte van elkander, in eenigerlei wyze iets moet toebrengen, om dezelve te verfnellen, vermits zy uit haare natuur alle met de zelfde fnelheid voortgaan, en dat dienvolgens de bovenlte niet op de ondtrfle drukken , noch door dezelve medegefleept worden. Dus te willen zeggen, dat tien ponden Lood fneller dan één pond vallen, is even het zelfde als nf men wilde zeggen, dat tien mannen, die het zelfde vermogen hebben om te loopen , rasfer gaan als zy te ("amen loopen, dan één van hun alleen zou doen. Voorts, wanneer men zegt, dat alle lighaamen met eene gelyke fnelheid vallen, moet zulks zodanig verftaan worden, dat zy het zonder den tegenftand van de middenltoffe, waar in zy zich beweegen, zouden doen. Want het is klaarblyklyk, dat de lucht de ligte lighaamen veel meer fnelheid beneemt, dan de zwaare lighaamen , om dat de verplaatfte masfa luchts eene grootere overéénkomst heeft met het ligt, dan met die van het zwaarder lighaam. Maar in het ledige zouden alle lighaamen , die in zwaarte het meest verfchillen, als een ftuk gouds en een veêr, in den zelfden tyd nedervallen ; en zulks wordt door de Proefneeming met de Luchtpomp bevestigd. Ik ben eenigzins breedvoerig geweest over de redenen van deeze mechanijche wonderfpreuk, om dat ik verltandige lieden gezien heb, welke zich van de waarheid derzelve bezwaarlyk konden overtuigen. Ik hervat den draad der ontdekkingen van Galileus, door zyne Theorie over de verfnelüng der zwaare lighaamen te leeren kennen. Niemand is 'er die niet waargenomen heeft, dat een vallend lighaam dies te meer fnelheid verkrygt, naar maate het van 't begin zyns vals verder afwykt. Een zo natuurlyk gewrocht, en dat wy zo dikwyls voor oogen hebben, was de overweegingen der VVvsgeeren wel waardig. Ook waren 'er reeds Cc 3 ver-  ?8a HISTORIE DER verfcheide vóór Galileus geweest, welke getracht hadden de wet van die verfnelling te bepaalen; maar vermits zy geen waare denkbeelden van de beweeging hadden, misten zy in hun oogmerk, terwyl zy niets dan belachlyke zaaken voorgedragen hadden. Sommigen onder hun hadden, by voorbeeld, gegist, dat de ruimtens, in gelyke tyden doorgeloopen, als de deelen eener lyn , die in de middenlleen uiterfte reden gedeeld is, aangroeiden, zulks dat de ruimte, in eenen eerften tyd doorgeloopen , als het kleine deel zynde , de ruimte, die met het tweede ovtïëenHemde, als het groote was,en zo vervolgens geduurig. Dit was op niets anders gegrond , als op de ingebeelde volmaaktheid , welke men aan dien voortgang toefcbreef. Het gemeenftegevoelen was, om dat het zich 't eerst opdoet, zonder twyffel, dat oe aangroeijing der fnelheid evenredig met de reeda doorgeloopen ruimte gefchiedde; maar dit gevoelen, fchoon in fchyn verftandig,is niet minderongerymd, ZO als wy wel dra zullen doen zien, : Galileus ftelde in tegendeel vast, dat de aangroeijing der fnelheid naar reden van den tyd gefchiedt » dat is te zeggen, dat, by voorbeeld, na eenen dub. belden tyd de fnelheid dubbeld is, enz. Zonder twyffel werdt by door de volgende redeneering aangezet , om deeze wet van verfnelling te vermoe. den. Als men de zwaarte gelykmaatïg onderftelt, hetgeen in de kleine afftanden , waar in wy zulks kunnen ondervinden , waar is , is zy eene magt of kracht, die geduurig aan het lighaam gehectu is: wat zou nu aan een lighaam gebeuren, dat, na van eenige kracht in 't begin van een eerst tydftip eenen ftoot bekomen te hebben, in het tweede tydftip eenen nieuwen en gelyken bekwam , desgelyks in het derde , en zo vervolgens ? Zodanig zal derhalven de beweeging der "zwaare lighaamen zyn; dus zal de fnelheid evenredig z.yn tot den tyd, die federt het begin van den vaj verlopen is. Dit is echter niet geheel en al de ban. &iwyz.e, \m QtMém^ m ?vne Theorie, vast te ftel-  WISKUNDE. IIL Deel. V. Boek. 383 leti. Hy begint met deeze wet van verfnelling te onderftellen; hy fpoort daar van de eigenfehappen na, en toont door de ondervinding, dat zy met den val der zwaare lighaamen overeenltemmen, waar uit hy befiuit, dat deeze wet die der natuur is. De handeiwyze, die wy-gevolgd hebben, gaat rechtftreeks tot de zaak; die van Galileus is beter gefchikt om te overtuigen, en de hairkioveryen en zwaarigheden te verftrooijen. Galileus, dit denkbeeld der verfnelde bëweeging dus tot eenen grondflag leggende, doet zien,dat het lighaam op het einde van eenigen tyd, welke die ook zy, van het begin van den val te rekenen, door zyne verfnelde beweeging de helft der ruimte doorgeloopen zal hebben, aie het, wanneer het zich geduurende den gantfehen tyd met de op het einde verkreegene fnelheid bewogen hadt , zou hebben doorgeloopen. Hy verbeeldt den tyd, federt het begin van den val verloopen, door de Abfcisfen eens Driehoeks, als AB, Ab, enz. (Fig. 77.), en de fnelheden, op het einde van die tyden verkreegen, door de Ordinaten van dien Driehoek, welke tot dezelven evenredig zyn, waar uit hy befluit, dat de reden of betrekking der doorgeloopene ruimtens uitgedrukt wordt door die der Driehoekige Inhouden , als ABC, Abc, enz., welke met de Abfcisfen, die de tyden aanwyzen, overéénkomen. Nu groeijen deeze Inhouden aan als de vierkanten der overëenkomftige Ab'. de ruimtens, zegt Galileus, groeijen derhalven aan als de vierkanten der tyden, van het begin des vals afgerekend. In tyden, als t. 2. 3. 4. 5, zullen de ruimtens als 1. 4. 9. 16. 25 zyn. Wanneer dienvolgens de doorgeloopen weg in het eerlle tydftip 1 is, dan zal dezelve in het tweede 3, in het derde 5, in het vierde 7, in het vyfde 9, enz. zyn, dat is te zeggen, dat als men den tyd des vals in gelyke tusichenwydtens verdeelt, de ruimtens, welke daar mede overëenfternmen, als de onëvene ge« tallen , met de eenheid beginnende, zullen zyu. C c 4 'Er  $H HISTORIE DER 'Er bleef nog overig te bewyzen, dat deeze ei. genichappen die van den val der zwaare lighaamen zyn. lot dat einde toont Galileus door eeie ver? nuftige proeve , dat een lighaam, 't welk langs een hellend vlak, of eenige kromme, rolt de zelfd? graaden van fnelheid verkreegen heeft, als het de zelfde hoogtens ,n de loodlyn doorgeloopen beeftwaar int gemaklyk te beftuiten is, dat de zelfde betrekking plaats heeft zo tusfehen. de ruimtens, hngs hellende v akken ,n ongelyke tyden, doorgeloopen ais in de loodrechte nederdaalingen. Galileus ftaat de nog deeze waarheid door de betrekking der krachten met welken het zelfde gewicht in de loodlyn , f en lang ftuk houts, en maakte daar in eene zeer gladde en effene groeve. Hy plaatfte het vervolgens in gemaklyke hellingen, ten einde het bewogen lig haam, in die groeve rollende, niet te fnel mogt lot pen, en hy den tyd benevens de doorgeloonene ruimte koude meeten: hy bemerkte fteeds, dThet lighaam ,n eenen dubbelden tyd, eene viervoudige ruimte hadt doorgeloopen; dat die ruimte in eenfn drievoufiigen tyd negenmaal zo groot was, enz!waar uit hy befloot, dat de val der zwaare liSa men in de loodlyn de zelfde wet volgt 8 Dit grondbeginfel eens vastgefteld zynde, leidt Oahleus eene meenigte nuttige en weetenswaardtee waarheden daar uit af. Hy doet zien, datzo mfn Ui eenig punt der verticale of loodrechte lyn oplet hellend vlak een Perpendiculair, als BD f»ft ,« y trekt het lighaam loodrecht vallende, of lanL h« Jellend vlak rollende, in oen zelfden tyd in de pu" D,»2al komen> datin «nen cftkel , welks m.ddellyn AB loodrecht ftaat, een lighaam de S of peezen AB, AE, of FB, GB, in den zelfden tyd zou doorloopen; dat een lighaam, 't welk langs verfeheide opgelyfc hellende lynen, of langs eenife te',ft\altr tcn van deszelfs va" de welfde, fnelheitl heeft, wejke bet yan de zelfde Jood! fech'4  WISKUNDE. III. Deel. V. Beek rechte hoogte verkreegen zcu hebben («) ; dat een lighaam fpoediger langs het Qndrant eens Litkels, dan langs de pees, of twee peezen, welke die ook zvn, fchoon korter dan de boog.zynde, zou roden. Echter befloot hy daar uit ten onrechte , dat van alje de krommen het Quadrant die lyn was, welke het beweegend lighaam van haaren top in den kortten tyd naar beneden zop brengen. Hedendaags weet men, dat deeze kromme een boog van de Cyclois is. Galileus ftelde zich eindelyk eenige zonderlinge vraagftükken voor , by voorbeeld dit, welke zou de helling van een vlak moeten zyn, langs welk een lighaam uit een gegeeven punt tot eqne rechte («) Deeze waarheid is zeer gemaklyk te betoogen, onderftellende, zo als Galileus doet, dat het lighaam van een hellend vlak tot een ander, dat minder helling heefc, overgaande, geen fchok ondergaat, die deszelfs verkreegene fnelheid vermindert. De Heer Varignati heeft deeze onderftelling onderzocht, {Mem. de VAcad. ann. 1704) en heefc bevonden dat dezelve niet doorgaat, ten zy de hoek, welke de achtervolgende vlakken onderling maaken, onëindig ftomp zy. In dit laatfte geval is het verlies van fnelheid, by elke verandering van Vlak. fleg's een oneindig klein deeltje der verkreegene fnelheid. Maar in eene Kromme is een onëindig getal veranderingen van richtftreek: men zou derhalven kunnen zeggen, d*t 'er een onëindig getal onëindig kleine deeltjes der fnelheid is , wel. ke verloren gaan, hetgeen het voorftel van Galileus om vet ftooten zoude. Msn antwoordt hie'öp, dat dit oneindig klein flegts van den tweeden rang is. Dus heeft in eene Kromme, by iedere verandering van oneindig klein vlak, flegts een verlies van fnelheid plaats, dat een oreindig klein van den tweeden rang is; het bewogen lighaam kan derhalven een onëindig getal derge'yke verliezen ondergaan , zonder meer dan een onëindig klein deeltje verloren te hebben van de fnelheid, die het gehad zou hebben , wanneer het langs een erkeld vlak gerold badt. De Heer d' Alembert heeft in zyne Verhandeling over de beweegende krachten {Dynamique) een ander zeer fraai bewys van die zelfde waarheid gegeeven. Cc 5  386 HISTORIE DER "^.^«V lyn zou rollen, orn in den mogelyk kortften tyd tot dezelve te komen; van weU ke hoogte zou een lighaam moeten vallen, opdat wanneer het van daar horizontaal langs eene lvn die in grootheid gegeeven is, met de verkreegenè fnelheid rolt, de tyd van den val, en die welke het zon befteeden om die lyn door'te loópen re famen den kortften tyd uitmaakten, enz. Deeze 2a^ZTUe?t WaarJ1!n de j°n^e Analisten, welke ISJ^^gS^^begreepen hebbe" I Eene der ontdekkingen , welke tot de beroemdheid des naams van Galileus het meest heeft toe. gebragt, is die van de natuur der kromme, welke H« ui ' ,1voort&ew?rpen lighaamen befchryven. Hy bevondt, zo als een ieder weet, door dé £nUheet fer^* het gewrocht van den indruk rechten lt?™ fdeeld' met desze^ loodP«rïZi i h vergelyken , dat die kromme een Parabool is: Het bewys is by de Werktuiakundi ISnenewver^k1nd' ™ ^ ftil te S»V™uï oiJL Lr hPf !Hrt '1 'y0' het, geheel overllaan. t>«/i/e»r liet het daar by met b yven: hv onder. zocht nog verfcheide omftandigheden van die bewee ging. Hy deedt, by voorbeeld, zien, da?de noog te van welke een vallend lighaam de noodde fnet ?^êLZiHU,le^kL5rgeD, Ts door^Wmet die fnelheid zich beginnende te beweegen, een gegee venen Parabool AC (Fig. 79.) te befchryven,ïen derde evenredige ,. tot de hoogte van in C tooi AB, en de halve-uitgeftrektheid BC, dat is te zeggen gelyk aan het vierde- deel des Parameters van dien Parabool; vervolgens toonde hy aJ datde bewegingen der voortgeworpene lighaamen, onder ge yjelyk van 45° verfchillende hoeken door de ben zuïïs JJTekt' gd?ke «'Vftrefcrheden hebben, zutks dat de worp, die den mogelyk verften afftand bereikt, dien is welke cnder denhoek van 4S« gefchiedt , eene waarheid welke reeds door Tartaka, en hun die de Artillery oeffenden, was op- ge-  WISKUNDE. III. Deel, V. Boek. 387 gemerkt, doch waar van zy geen bondige reden kon. den voordragen. Men heeft io 't vervolg getoond, dat de horizontale uitgeftrektheid des wo'ps evenredig is tot den rechten Sinus, en de hoogte tot de Sinus verfus des dubbelden hoeks, welken de worp met den Horizon maakt. Galileus maakte eindelyk Tafelen waar in gevonden w rden de opzichtelyke verheden welke met eiken hoek overëenfternmen, en de hoogheus tot welken het voortgeworpen lighaam komt, in de onderftelling dat de kracht cie zeilde zv : wanneer men dus door proef neeming onderzoekt, op welken afftand eene gegeevene lading eenen kogel van eene gegeevene zwame , onder eenen zekeren hoek, vooitdryft, dar heefteen aanftonds, door eene eenvoudige eveme ngheid , de overeenkomftige verheoen onder andere hoeken van helling. Nademaal Galileus niet verder gegaan was, als om de horizontale uitgeftrekiheid der worpen te bepaalen, gmg naderhand Torncelli nog vereer, en hv bepaalde die uitgeftrektheid, wanneer men dezelve op tot den Horizon hellende lynen neemt. Hy vondt ook over dat onderwerp een ongemeen fraai Voorftel, dat wy zullen mededeelen, als wy van dien beroemden Leerling van Galileus fpree *°' Zie R'a di Galilet, iel Signor  WISKUNDE, III. Deel. V. BoeU S^S van elk derzelven. Om die reden zullen de gat allen van fcnommelingen, welke twee flingers m den zelfden tyd volbrengen, als de vierkants-wortelen uit hunne leng;eïïs,of de vierkanten van die getallen als de lengtens zeiven zyrl. Men heeft eindelyk aan Galileus te danken, daE hy de eerfte gronden van eene nieuwe Thtetie gelegd heeft, naamlyk die van den tegenftand der vaste lighaamen (o). Wy zullen eerst den ftaat van het vraagfluk voordragen; vervolgens 'eenige aanmerkingen over deszelfs nuttigheid maaken, en voorts Galileus volgen in eenige der vernuftige gevolgen, welke hy uit zyne- oplosfing afleidt. Laaten wy ons. een houten Prisma, in een muur vastgemaakt, verbeelden, en dat eene kracht, op deszelfs uitömde drukkende, dien tracht te breeken, welke zal dan de overéénkomst der kracht zyn, die daar toe het vermogen zou hebben, met die welke zulks zou kunneö doen, door haar horizontaal te trekken, als het ge« wicht R'Fig. 80), welke, over de katrol S gaande, dezelve rèchtftreeks poogt uit te rukken? Zodanig is het Voorftel: Zie hier de redeneering, welke Galileus' deedt om het op te losfen. Terwyl de voorgeftelde Prisma in de richtftreek van haaren As getrokken wordt, biedt elk van haare vezeltjes eenen v eetyken tegenftand. Maar wanneer een gewicht de neiging heeft om dezelve fchuins te breeken , wordt de lyn Aa een fleunfel, en ieder vezeltje ge trok. ken en wederftaan door den arm eens hefbooms, die zo veel te korter zal zyn, als hy nader by dat fteanfel is. De tegenftand welke ieder tegen de breeking doet, is dienvolgens als de afftand van dat fteunfel; waar uit volgt, dat haar fom ftaat tot hetgeen dezelve zou zyn, wanneer zy alle gelyk aan de grootfte waren, ais de afftand tusfehen het zwaarheids middelpunt der Figuur ACa en het fteunfel Aa ftaat tot den as van die Figuur. Indien dus bet lighaam een rechthoekige balk is, dan ftaat de fchuine tot den rech- (q) Difc. £ƒ 4im. Math. &c. Dial. 2'  390 HISTORIE DER rechten tegenftand, als i tot 4, Het is desgèlyki gelegen met eenen Cylinder, om dat het zwaarheidsmiddelpunt van zyn grondvlak in het middelpunt of in t midden der hoogte is. Men heeft hief een lig. ha im onderfteld, dat door eenen gelyken arm des hefbooms AP, gelyk aan de hoogte AG, fchuins trekt, en het is dit gewicht, dat wy, om eenen langen omtrek van woorden te vermyden, voor de maat van den fchuinlèn tegenftand genomen hebben. Zo echter de kracht, aan het lighaam gevoegd offi het te breeken, verder af was, zouden de wetten der Mechanica leeren, dat men die in de zelfde reden be» hoorde re verminderen. Gdil.us trekt uit zyne Theorie eenige gevolgen, welke wy niet behooren worby te gaan. Het eerfte is , dat gelykvormige lighaamen geen eveflfedige Krachten tot hunne masfen hebben, om hunne bree* king te wederftaan: Want de masfen groeijen als de cuben der overèenKomftige zyden aan; de tegenftan» den, cateris paribus, doen zulks niet als naar reden der vierkanten van die zyden: Waar uit volgt, dat 'er een eindpaal van grootheid is, buiten welken een lighaam gebroken zou worden by den miniten fchokdie deszelfs eigen gewicht werdt toegevoegd terwyl een ander kleiner en gelykvormig lighaam d'e zyne, en zelfs eene vreemde kracht, zal wederftaan» Daar uit komt het, z?gc Galileus, dat een Werktuig t welk zyne werking in »t klein doet, onvoldoende js wanneer het in 't groot vervaardigd wordt, en ouder zyne eigene masfa dreigt in te ftorten ' De Matuur, voegt hy 'er nog by, kan geen onmaatig groote boomen of dieren maaken, zonder aan een dergelyk toeval blootgefteld te worden, en daaröm leeven de grootfte diereu in een? vloeiftoffe, welke hen een gedeelte van hnune zwaarte beneemt. Wy zouden hier by nog kunnen aanmerken, dat dit ook de reden is , waaröu kleiue bloedelooz- diertjes, ten aanzien van hunne grootte, zonder gevaar van breeking, van eene zo onmaatije hoogte kunnen val. Jen, terwyl groote dieren, als de menscii, dikwyls ge-  WISKUNDE. III. Deel. V. Boek, $91 gekwetst worden , wanneer zy van hunne eigene hoogte vallen. Eene andere zonderlinge waarheid, welke uit deeze Theorie volgt, is dat een helle Cylinder , en in oppervlakte den zelfden Bafis hebbende, meerder tegenftand biedt, dan wanneer hy een vast lighaam was. Het is, myns bedunkens, om deeze reden, en om tevens de ligtheid en vastheid te verëenigen, dat de natuur de beenderen der dieren , de vederen der vogelen, en de {lammen of fteelen van verfcheide planten hol gemaakt heeft, enz. Wie hadt immer kunnen gelooven, dat de Meetkunde op eene foort van Natuurkunde, zo ver van dezelve onderfcheiden. zo veel invloeds zou kunnen hebben ? Sedert den tyd van Galileus heeft men eenige veranderingen in zyne Theorie gemaakt, waarvan wy thans verflag behooren te doen. ASle zyne gevolgtrekkingen zyn rechtmaatig, in de onderftelling dat de tegenftand van ieder ve/eltje evenredig is tot deszelfs afftand van het fteunpunt Dit zou in de daad plaats hebben, wanneer hetzelve ichielyk brak, zonder alvoorens eenige rekking te ondergaan. Maar men heefc reden om te denken, dat dit het waare ftelfel niet is. Het is'waarfchynlyker, zo ais de Heeren Mariotte en Leibnitz aangemerkt hebben, dat de kracht van ieder vezeltje flegts evenredig is tot deszelfs afftand van het fteunpunt; want ieüer vezeltje rekt zich in de zelfde reden als die afftand uit, en het is een aangenomen grondbeginfel in de Mechanica, dat, behalven de uiterfte rekkingen, de wederftand der , veerkrachten ten naaste by evenredig aan derzelver uitrekkingen is. De tegenftand, welke ieder vezeltje aan de breeking doet, zal derhalven als het vierkant des hefbooms , waar mede het werkt , zyn: dus zal men, in plaats van het zwaarheids - middelpunt van den Bafis der breeking, welke in het ftelfel van Galileus dient, om de betrekking van den fchuinfea tot den rechten tegenftand te bepaalen, hier gebruik moeten maaken van het zwaarheids-middelpunt der Cylindri/che Ungula, op deezen Bafis gemaakt door het  39* Historie der het vlak, 't welk door de fteuulyn gaat. Voïgeng het ftelfel van Galileus ftaat de fchuinfe tegenftand eens recfrthoekigen rialks tot zynen lynrechten tegenftand, als i tot i, Volgens da: van den Heer Ma. riotte, is hy flegts deszelfs derde-deel; hetgeen meer met de ondervinding overeenkomt. De Heer Vaiignon heeft, met eene zeer voldoende algemeenheid, over deeze ftofFé gehandeld ia eene Memorie, welke men onder die der Academe van het Jaar 1702 leest. Ik gaa, om kort te zyn, een onëindig getal byzonderheden van deeze Theorie voorby, en verzen de den Leezer naar de fchriften van ver'fcheide Wiskundigen , welke dezelve verhandeld heb* ben (r), iii< Alhoewel de theorie van Galiïtus over dë venfnelhng der zwaare lighaamen even zo wel beweezen ware, als eene INatuur- en Wiskundige waarheid betoogd, kan worden, heeft zy eenter verfcheide te^ pnkantingeri moeten ondergaan. In \ eerst waren er Natuurkundigen die dezelve verwierpen, en eend andere daar voor in plaats Helden; hetgeen geduurende eenige jaaren twist verwekte, en tot verfcheide Schriften aanleiding gaf. Wy hebben noodig geÖordeeld, om, alvoorens verder te gaan, hier van verflag te doen. Wy zuilen Ook eenigermaate fpreeJcen over de proeven, met welken de hedendaagfche Natuurkundigen de waarheid deezer Theorie van Ga. lileus ftaaven. Het ftelfel van Baliani is het voornaamfte van diegeenen, welken men Galileus heeft tegengeworpen. Êa* (r) Alex. Marchetti, de rept. folid. L. II. Mém. dé fAcad. vóór de vernieuwing t. VI. eri ann. 1702, 1705, 1709. Mouv. des Eaux, Part. V* Dis. 2. De coherentia corpnrum, Dif. auth. Petr. vafi Mus'chenbröek, inter ütfi. varias. Deeze laatfte Disjertatie behelst voornaamjyk een groot geul proeven over den tegenftand der lig. haamen. T  WISKUNDE. III. Dtel. V. Boek 393 Haltent was een Genueesch Edelman, eeö Vry fchrander Natuurkundige, die eenigzins deel fchynÉ te hebben gehad in de verdienfte, van zyne tydgenooten wegens de vooröordeelen zyner eeuwe over de bëweeging voor te lichten. Het komt my onbegryplyk voor, hoe hy in een Werk, in 't Jaar 1646 in 't licht gegeeven (V)j een Werk 'dat over *t al» gemeen eene grondige en verftandige leere bevats na zeer goede zaaken over de beweeging gezegd, en zelfs een fcherpzinnig en t'eenemaal verftaanbaar bewys van de wet van verfnelling, door Ga* Bleus ingevoerd, gegeeven te hebben, heefc kunnen daar ftellen , dat het zeer mogelyk was , dat de verfnelling zodanig gefchiedde, dat de verkreegene fnelheden aan de doorgeloopene ruimtens evenredig waren. Sommige Natuurkundigen , dit denkbeeld greetig omhelzende, hebben 'er gebruik van gemaakt, en daar door deszelfs vinder eene ongelukkige vermaardheid toegebragt. Ik zeg ongelukkige vermaardheid', want zynen naam te geevert aan een gevoelen, dat, van nader by befchouwd zynde, üegis eene ongerymdheid is, kan, myns oordeels , tegen geene eerbaare vergeetelheid opweegen. Dteze foort van ftelfel over de verfnelling der zwaare lighaamen was aan Galileus niet onbekend ge» weest. Hy laat zich hetzelve door één der fpreekers van zyne Samenfpraaken voordragen, en bekent zelfs (i), dat het hem in den beginne ais zeer waarfchynlyk was voorgekomen. Maar hy wederlege het aanftonds door eene zeer verftandige» redekaveling , welke aantoont , dat zo men net aannam, de bëweeging in inftanti zou moeten ge- fchie- (0 De tttotu tiaturali gravium fluid. dc fol. Genua* la 40. Men h*;eft nog van Baliani eenige kleine Werkjes, in'"t Jaar 1656 gedrukt, die van weinig belang zyn. (0 DÏfcorfi & dim. Math. intorno a due nuove JcieH* 8«, &c. Dialt 3.  394 HISTORIE der fchieden. In de daad, zegt Galileus, wanneer cfe fneiheden eens lighaams tot de doorgelooprne ruimtens evenredig zyn, dan zyn de tyden, waar in zy doorgeloopen zyn geworden, ge'ykv indien men derhalven onderftelt, dat de fnelheid geduurig als de ruimte aangroeit , zulks dat, na eenen val van vier voeten, de fnelheid her viervoud zy van die, welke na den val van één voet verkreegen was, dan zal het lighaam die vier voeten in den ze'fden tyd als den eerden doorgeloopen hebben. Het zou derhalven drie voeten doorgeloopen hebben , zonder eenigen tyd daar toe te befteeden; eene tas:baare ongerymd.beid, en welke aantoont , dat de verfnelling geenszins volgens die betrekking kan plaats hebben. Te vergeefs zou men zynen toevlucht neemen tot het verfchil, dat tusfehen de verfnelde cn de gelykmaatige beweeging gevonden wordt. Want zo men de geheele ruimte, en haar eerfte vierde-deel, by voorbeeld, in een zelfde getal gelyke deelen verdeelt, en welke zo klein zyn , dat men elk derzelven als met eene gelykmaatige beweeging doorgeloopen zynde kan befchouwen, zal het gemaklyk zyn te toonen, dat die geheele ruimte en het vierde-deel in gelyke tyden doorgeloopen zullen worden. Dus is het bewys van Galileus, fchoon het door den Heer Blondel («), die, naar zyn zeggen, het nooit heeft kunnen bevatten, als eene drogreden befchouwd wordt, alleszins wettig en onloochenbaar. Deeze ongerymdheid, welke GJileus in het ftelfel van den aanwas der fnelheid, naar reden van de ruimte, toonde, hadt hetzelve eenftémmig moeten doen verwerpen. Maar 'er zyn in alle tyden voorbaarige menfehen geweest, welke de bondigfte redeneeringen weeteu te bezwalken. OnSangezien het bewys van den Italiaanfchen Wysgeer, «cdernamen echter fommigen de verdeediging van dat (») Mem. de CJead. Mant 1699. T. VIII.  WISKÜNÖE. ili. Deel. V. Boeit. |$£ tÜafc valfche fleifel. Een zodanig was onder andéren de P> Castte, wiens wederlegging men in dé Werken van Gasfendi (T. IV) leesr; Na veeld ongegronde redeneeringen tegen het ftelfel van_Gaiileus, redeneeringen welke eenen man verraaderjj die van eene grondige Natuurkunde weinig weer., en nog minder kennis van de Wiskunde heeft, poogde hy dat van BaliaHi door de volgende proeve te ftaaven. Hy liet een bolletje ter hoogte van deszelfs middellyn op één der fchaalen van ëené Weegl'chaal vallen , van welke in de andere een gelyk gewicht lag , en befpeurde dat het dat gewicht bpligie. Vervolgens nam hy dat gewicht twee, drie, viermaal zwaarder, en, hatende het bolletje van. eene twee-, drie en viervoudige hoog* te vallen, bemerkte hy dat het gewicht daar door Opgeligt werdt. Hy befloot daar uit, dat de krach-s ten als de hoogtens waren, en dat flie krachten als dë fnelheden zynde, deezen desgelyks als de hoogtens of de doorgeloopene ruimtens waren. Einde, lyk gaf hy voor, dat zo men de in eenen gegeeveÉen tyd doorgeloopene ruimte in gelyke deeleti verdeelde, en alsdan het eerfte iri eenen zekeren tyd werdt doorgeloopen, het tweede id de helft, het derde in het derde-deei van dien tyd, enz. zou doorgeloopen worden. Gasfendi verzuimde niet de zaak der waarheid të Verdeedigen, en beantwoordde de Verhandeling van den V. Castte. Hy deedt zien, dat zyne proeven niets tegen het ftelfel van Galileus beweezen. Iri de daad, hy hadc moeten toonen, niet alleen dat een bolletje, van eene hoogte vallende, die twee, driemaal, enz. deszelfs middellyn was, het dubbeld, drievoud enz. van deszelfs zwaarte opligt, maar ook dat hetzelve klootje, hoe weinig minder ook de hoogte ware, van welke het uiogt vallen* dat gewicht niet zou hebben kunnen verheffen. Nu is het geenszins twyffelachtig , dat hetzelvé zulks insgelyks gedaan zou hebben , alleenlyk mei dit verfehil, dat het gewicht door hetzelve niet zd Dd a rioögj  S9ó HISTORIE de* hoog opgeligt zon worden. Indien men eene Wiskundige Weegfchaal onderftelt, dan leersn ons de bekende Wetten der beweeging, dat 'er geen gewicht is, hoe klein het ook moge zyn, dat van de kleinfte hoogte op één der fchaalen vallende, het grootfte gewicht, dat in de andere zou zyn, niet zou opügten. Gasfendi toonde desgelyks verfcheide ongerymde en tegenftrydige gevolgen, welken uit het ftelfel, waar van wy fpreeken, afgeleid kunnen worden, en aantoonen, dat die goede Vader, van de inlichtingen der Meetkunde ontbloot, geen het minfte denkbeeld hadt van de; wyze, op welke men de tyden, de fnelheden en de ruimtens moet vergelyken. Want die betrekking die hy tusfehen de tyden ftelt, welken het lighaam befteedt , om gelyke ruimtens , in de loodlyn genomen, door te loopen, is op» eene belagchelyke wyze ongerymd, om dat, naar het getal der gelyke deelen, in welken men die ruimte verdeelt, bevonden worde, dezelfde deelen in t'eenemaal verfchillende tyden doorgeloopen te zyn : ook is deeze betrekking der tyden geenszins die, welke uk den aanwas der fnelheid naar reden van de ruimte volgt. Men bevindt integendeel, dat, als men de doorgeloopene ruimte in geduurig evenredige deelen verdeelt, het eerfte van het begin des vals genomen zynde, die deelen in gelyke tyden doorgeloopen worden (»>;. En daar uit is gemaklyk (v) Zie hier het bewys van 'c geen wy hier voordragen. Laten wy onderftellen, dat CB (Fig. 81) de loodlyn zy, in welke de val van het lighaam volbragt wordt, en laat deeze loodlyn, of de gantfciie»doorgeloopene ruimte, in een onëirdig getal gelyke deelen verdeeld worden , op zodanige wyze, dat men ieder deel, als met eene gelykmsatige beweeging doorgeloopen wordende , kunne befchouwen. Laat B6 één van die deelen zyn: caardien, volgens de onderftelling, de foelheid in B als de doorgeloopene ruimte CB is, en dat de tyJsn, in welken gelyke luiia.eus doorgeloopen worden, wederkeerig ai* de foei. he-  WISKUNDE. III. Deel. V. Beek. 597 lyk het gevolg afteleiden , dat dit ftelfel valsch is; want niets is gemaklyker als te toonen, dat 'er een orëindige tyd noodig zcu zyn, om de kleinfie gegeevene ruimte door te loopen. Gasfendi hadt cog cp eene andere wyze kunnen doen 2ien, dat de door den F. Casrée bygebragte proefneeming niets bewees. Want zo de maat der fnelheid, welke het lighaam in zynen val van eene zekere hoogte verkreegen heeft, het gewicht was, welke het in ftaat is om hoog te trekken, en dat die gewichten evenredig tot de hoogtens waren, dan zou daar uit volgen , dat dit lighaam , van eene hoogte vallende, die de helft kleiner is dan die, van waar het een aan zich zelf gelyk gewicht om hoog zou heften, flegts de helft van dit gewicht om hoog zou trekken; en van eene honderdduizendmaal kleinere hoogte vallende, flegts een honderdduizendmaal kleiner gewicht zou opnaaien; eindelyk , dat het van eene hoogte, die nul of onëindig klein is, vallende, hetgeen gelyk ftaat mee het geval van eenvoudig in de heden zyn, zo volgt, dat de tyd, welke beneed wordt om B b door te loopen, wederkeerig als C B is; wanneer dus BD den tyd uitdrukt, zullen het punt D, en alle andere op gelyke wyze bepaalde punten, in eenen Hyperbool tusfehen de Alymptoten C A, - C H zyn, en naardien ieder Ordinaat, of ieder onëindig klein Rechthoekje, als T>b, het tyddeeltje uitdrukt, dat bedeed wordt om B6 door te loopen, zal de geheele Inhoud der Kromme den gantfehen tyd verbeelden, welke befteedt wordt om van C naar B te daalen. Nu weet men, dat in den Hyperbool tusfehen de Afymptoten gelyke Inhouden met geduurig evenredige deelen van den As overëenftemmen; wanneet derhalven de tusfchenwydte CB van B naar C in geduurig evenredige deelen verdeeld wordt, zullen.die deelen in gelyke tyden doorgeloopen worden. Wasr uit gemak'yk te befluiten is, dat het lighsam eenen or.è'indigen tyd noodig zou hebben, om de kleinfte ruimte, van den val te beginnen, door te loopen, dat it to zeggen, dat de beweeging onmogelyk zou zyn. Dd 3  8S>8 HISTORIE dei$ de andere fchaa! geplaatst te zyn, het flagts een, oneindig kiein of niets weegend gewicht zou kunnen opheffen, dat is te zeggen, dat het zonder zwaarte zou zyn , eene nieuwe ongeryuidheid , die do valschheid van het grondbeginfel op eene klaarblyk}yke wyze aantoont, Galileus vondt in den Heer de Fermat eenen anderen verdeediger. Deeze fchrandere Meetkundige bemerkte de bondigheid der redeneering, welke de Italiaanfche Wysgeer tegen het ftelfel der verfnelling, naar reden van de ruimte, gedaan hadt, en ziende dat dezelve betwist wsrdt, ging hy, ten einde »er geene uitvlucht, om dezelve krachteloos te maaken, mogt overblyven, die redeneering nog verder uitbreiden, en traafde dezelve, door van de Leerwyze der oude Meetkundigen gebruik te maaken. Hy openbaarde zyn bewys aan Gasfendi, die zich van hetzelve bediende, om het valfche ftelfel, waar van wy fpreeken, den laatften fiag toe te brengen (u>). ïerwyl Gasfendiover de wet van verfnelling, door Galileus voorgefteld, met den V. Casrée twistte, was de V. Riccioli in Italië werkzaam, om dezelve door proeven, welke met veel zorgvuldigheid fchynen gedaan te zyn, te ftaaven (x). Om den tyd te meeten, en met grooter naauwkeurigheid te verdeelen, maakten deeze Sterrekundige en de V. Grimaldi, zyn amptgenoot, gebruik van eenen flinger, welks fchommelingen flegts hei zesde-deel van eene fecunde duurden. Vervolgens deezen flinger in bëweeging brengende, lieten zy klootjes van potaarde, weegende agt Oneen, van verfcheide hoogtens, die zy gemeeten hadden, vallen, en bevonden verfcheide maaien achterëen, dat die lighaamen, in tyden door 5, IP, 15» 20, 25 fchommelingen uitgedrukt, hoogtens doorliepen , welke opzichtelyk van ip, 4°j 9°a 160, 250 voeten waren, en dat, in de tus- O) Zie Op. Ferm. p, 2Pi. Op, Ga£ T. VI. verf. dn. {*} 4f%\ ffat *ax it* f. if. ' ' ' • • -  WISKUNDE. Hl. Deel. V. Beek. 399 ïUfifcheatydan van 6, 12, 18, 24, 36 fchomrnelingen, die huogtens 15, 60, 135. 240, 380 voeten waren. Ik kan echter niet ontveinzen , dat die proefneeming weinig afdoet, en dat wanneer de zaaken eenigermaate op eene ■ andere wyze ingericht waren geweest, dezelve niet zou nagelaaten hebben, om ten naaste by op de zelfde wyze te gelukken. Want het was zeer bezwaarlyk te bepaalen, cf het tydftip der komst van het klootje op den vloer naauwkeurig dat van het einde der fchommeling was, en de fnelheid van den val is zoo groot, dat het lighaam, in een gedeelte van eene zeer kleine fchommeling , eene vry groote ruimte konde doorloopen. Ook zien wy, dat eenige andere waarneemers geenszins eene uitkomst, zoo volmaakt overëenkomftig met die der Theorie, gevonden hebben. De V. Defchales (y) zegt onder anderen, dat hy de doorgeloopene ruimcens, geduurende de fchommelingen eens flingers van eene halve-fecunde , onderzocht, en bevonden heeft, dat fteenen, welke hy in putten van ongelyke hoogte of diepte liet vallen, in 1, 3, 3', 4, 5, 6 fchommelingen ruimtens doorliepen, welke van 4$, i6|, 36, 60, 90, 123 voeten waren; m plaats dat zy, volgens de Theorie, van 4^, 17, S8i, 65, io6£, 153 Voeten hadden moeten zyn. JVlaar deeze Wiskundige merkt zelf aan , dat zulks aan den tegenftand der lucht moet toegefchreeven worden, en het is waarfehynlyk, dat zo hy, in plaats van die proefneemingen met keifteentjes te doen, dezelve met innerlyk zwaarder gewichten, als looden kogels, gedaan hadt, haare uitkomst veel nader by die der Theorie zou zyn geweest. Want de F. Merfenne heelt aangemerkt (z). dat als men looden kogels van eene plaats op het ronde dak der St. Pieters-Ketk te Rome, ter hoogte van 300 Voe- (y) In Mecan. Mand. Math. T. II. O) RefleÜ. Phyf. Math. c. 9- Dd 4  4eo HISTORIE der Voeten, liet vallen, zy die ruimte in ~) Hifi. de fAcad. ann 170a. O) Benedicïus CasteUi , Monnik van Monte - Casfino, was één der eeift.» Leerlingen van Galileus. Zyne Verhaudelinj -kwam in \ Jaar 1639 in 'l Iicht> en is 'D ?t Taar 1664 in 't Fraasch vemmd geworden. Men vindt ■* Dd 5 de-  402 HISTORIE der als zynde eenigermaate de uifyj„dfr van een nieuw deel der VVaterloopkunde (HydrduïtCa), naamlyk de meeting der kopende wateren. De meenfevuXS cneen.gheden, welke in ïtdiié over den Sop d? R, vieren ontftaan , en de noodzaakelykheid , iwene men zich m dac Land bevindt, om tegen haare na deelen lïeeds op zyne hoede te zyn, Sn oo zaak dat de Paus Ukbanüs VlïJ, die hem" K roepen hadt „m aldaar de Wiskunde te oneerwy. fieldt arbejdde om de inzichten van zyne Heiligheid te voldoen, en hy maakte de vrucht zyner imorIchingen en overweegingen bekend in eene Verbandeling tot tytel voerende, delta mifrra del;' aeaue cerrem; een Werkje, dat ten aanzien van deszTfs f ond ^rT1^ beïang' doch uit hoofde der grondige en fcherpzinnige leere, die het bevat, van g oote waarde is. Wy zullen ^er iets meer van zeg gen, als wy van de laatere Schryvers over de beweeging der wateren fpreeken. De andere leerling van Galileus. wien de Werktuig- en VVaterloopkunde bevorderingen verlehuldigd zyn, » de beroemde Torricelli (j). Hy ieerde de dezelve ook in de Itaüaanfche Verzameling der Schrvvers welke over de beweeging der wateien handelen. & & Cd) Torricelli werdt in 't Taar to w„» ■ ren. Hy werdt in den ouderddmva^TTJt^l gezonden, om aldaar de Wiskunde teT leeren' hetUn Z onder Benedicsus Castelli deedt. Na dedood v fL ƒleus mm de Groot. Hertog hem als één van zvne w kund.gen aan Torricelli hfdt met RoTerZ) h?Z £ gh.llen over de Cyclois: men kan in 't eerfte Boek van di Deel de gefchiedenis daar van vinden. Hy ftierf in 't ha 1647: ^ het eene meenigte in '£ ruw ontworpenë ScilF derzeWerTy, fs RIS ft ^» "ebben. acrzeiver lyteis m t Journal van Venetië. T XXX al waar men ook zyne levensbefchryving leesl '  WISKUNDE. Hls Deel. V. Bock. 4°3 de Wiskunde te Rome onder Caftelli, toen de Schriften van Galileus over de bëweeging hem in handen vielen. Van toen af aan maakte hy eene Verhandeling over het zelfde onderwerp, die aan Galileus^ zonden werdt, en welke deezen zo veel achting voor den Schryver derzelve inboezemde, dat hy hem wensen te te kennen, en by zich te hebben. Maar Torricelli hadt llegts eenen zeer korten tyd het genot van dat voordeel, alzo Galileus drie maanden daar na overleedt. Hy vermeerderde naderhand de Verhandeling, waarvan wy fpreeken,en na d« «iy een Deel over de beweeging der vHoeiftoffen er hadt bygevoegd, gaf hy dezelve, nevens zyne■andere Wiskundige Werken, in 't jaar 1644 m t licht, Wv vinden daar in het eerfte denkbeeld van een kunftig en in de Werktuigkunde zeer nuttig grond* besiniel. Het is dit. Wanneer twee gewichten zoda? nizte famen verbonden zyn, dat, zy naar welgevallen geplaatst zynde, hun gemeen zwaarheids - middelpunt n et nst noch daalt, dan zyn zy m alle die ftanden m evenwicht. Het is met behulp van dit grondbeginfel dat Torricelli de betrekking der gewichten betoogt , welke langs hellende vlakken elkander opweegen; en fchoon hy het niet als in dit geval gebiuikt, is het evenwel gemaklyk te zien , dat men het op alle andere gevallen der Weegkunde, die men bedenken kan, gelyk mede op eene meenigte andere: Mechamfche navorfchingen, zou kunnen toepastelyk maaken Torricelli gaat vervolgens over tot het onderzoek der verfnelde beweeging, gelyk mede tot dat der voortgeworpene lighaamen , en voegt by de Theorie van Galileus eene meenigte merkwaardige waarheden. Wy zullen onder eene meenigte andere eene eenige van dezelve uitkiezen. Deeze is eene zonderlinge eigenfehap van 't fpoor aller lighaamen , welke uit een zelfde punt onder verfchillende hoeken , doch met de zelfde kracht , voorgeworpen worden. Torricelli toont aan , dat alle de Parabolen, welke zy befchryven, in eene Kromme befloten zvn. die zelve een Parabool is, en hen raakt. By ■rj » - voor-  404 HISTORIE oer voorbeeld, Iaat A (Fig. F3 ) be< brandpunt eens Pa. tabooh' zyn, waar van C de top is , dan zullen alle de l.ghaamen welke uit het punt A , onder eenige helling welke die ook zy, met eene kracht voort geworpen worden welke vermogend is de7elven loodrecht tot de hoogte AC te verheffen, Parabolen befchryven , welke den eerilen zullen raaken. Torrtcelli befluit zyne Verhandeling met de verbetering van den gewoonen Winkelhaak der Bombardiers • hy geeft daar vooreen nieuwe, die zeer eenvoudig is, welks tamenftelhng op het waare grondbeginfel fteunt. en welks gebruik zeer gemaklyk is. Het tweede Boek der Verhandeling van Torricelli heett tot onderwerp de beweeging der vloeiftaff>n Hy neemt tot een grondflag van zyne gantfche Theo'. t,e, dat het water, 't welk uit eene opening, in een Vat gemaakt, wegloopt, daaruit met eene fnelheid vloeit, ge(yk aan die van een lighaam, dat ter hoogte van het vlak des waters boven die opening gevallen zou zyn Hy tracht dat grondbeginfel te ftaaven door verlcheide redenen, waar van de beste die der proelneeming is, welke aantoont, dat het water byna dat vlak bereikt, zo dat het rè vermoeden is dat het. zonder den tegenftand der lucht, hetzelve naauwkeung zou bereiken. Wv zullen echter reeds ter deezer plaatfe aanmerken, dat zulks met in 't algemeen waar is, en dat de zo ge"f b^yz Schoonbroeders (De Heer Petier, Raadsheer aan 't Hof der Onderftandgelden vnn Clermont,) de beruchte proefneeming van Puy-de-Dóme doen. Derzelver beroemdheid laat niet toe, dat ik over dat onderwerp in eene groote uitgebreidheid treede. Een ieder weet, dat de Correspondent van Pafcal bevondt, dat de hoogte van het kwikzilver ter halver-zyde des bergs eenige Duimen minder dan aan den voet, en nog minder op den top was, zulks dat het klaarblyklyk W3s , dat hec kwikzilver door de zwaarte van den Dampkring opgewogen werdt. De Heer Pafcal vertiam daar door tevens, dat hy te Parys her genoegen kor.de heoben van de daaling des kwikzilvers te zien, naar maate hy zich in den Dampkring verhief. Hy koos één der hoogfte Torens van die Stad, naamlyk die van 5, Jacques de la bouchme, die o ntrent 25 Toifes hoog is, en bevondt in de hoogte van het kwilzilver een verfchil van meer dan twee Lynen. Wy rneenen niet noodig te hebben hier in de byzonderheden der verklaaring van verfcheide verfchynfelen te treeden, welke een gevok van de zwaarte der lucht zyn. Behalven dat zuü dat z0 mcn êeen andere d£U1 dler|e- lyke redenen hadt, dezelve weinig gefchikt zouden zyn om eene volkomene overtuiging te bewerken. De natuur der beweeging , wy kunnen het niet ontveinzen , is alsnog voor ons een raadfel; dus kan ieder bewys, dat op dien grondflag fteunc, niet anders dan zwak zyn. Wy hebben van dezelve geen beter bewys dan dat der ondervinding, die op honderd onderfcheidene wyzen ten voordeele van die wetten getuige Ieder lighaam, vry van eenig beletfel, neemt ilegts eene rechtlynige beweeging aan, en zo lang het geenen merkbaaren tegenftand ontmoet, blyft het met de zelfde fnelheid zich beweegen. Een Slinger van eene zekere zwaarte, welks beweeging zeer vry is, doet fchommelingen geduurende vier en twintig uuren, en het is gemaklyk hier de oorzaak der ftaaking van zyne beweeging aan te wyzen,naamlyk de tegenftand der lucht, die hy te doorklieven heeft: want is deeze tegenftand grooter, gelyk die van het water, dan is de beweesdng veelëer gefmoord; is zy kleinder, even als wanneer de beweeging in de Luchtpomp gefchiedt; dan houdt de beweeging langer aan , dan zy anders gedaan zou hebben. Eindelyk ieder lighaam, dat eene Kromme befchryft, doet zulks niet als door middel van een beletfel, tegen 't welk het eene kracht oelFent, die men niet miskennen kan. Houdt dit beletfel op , dan beweegt zich het lighaam langs de raaklyn: dit wordt in alle kromlynige beweegingeti ondervonden. Dus is geene Matuurkundige waarheid beter beweezen, dan die der wetten welke boven voorgedragen zyn. ^ (w) Traité de Dynamique. Voorreden. Ee 4  4i6 HISTORIE der Wy wenschten gaerne voor de eere van DefcartünJ* W»fike VTL' a,s ,Iandgenoo£, belang moeten ftellen , het zelfde te kunnen zeggen van de regelen, die hy voor de mededeeling der beweeefmr waande vast te ftellen. Maar hier in werdt hy, door zyn te groot vertrouwen in zekere bovennatuurlyke ierDKd^n' en een ^gt beftierd Systhematisch verftand, m eene meenigte te weinig verfchoonlyke dvvaahngen gevoerd. Wy vinden in die regelen waarlyk allerhande gebreken, gewaagde grondftellingen, tegenftrydigheden, gebrek van overëenftemming en verpand; het is, om het met één woord te zeggen, een famenweeflel van dwaalingen, die zonder de beroemdheid van haaren Auteur! niet verdienen zouden onderzocht te worden. Defcartes vestigde zyne wetten van de bolfiog der lighaamen op twee grondftellingen, waar van het eene genoegzaam, het andere te weinig verleidend W, om ons met verwonderd te doen zyn, dat hV door het laatfte heeft kunnen bedrogen worden. De eerfte van die grondftellingen is , dat ia de botfing der lighaamen altoos de zelfde hoeveelheid van beweeging overblyfr. Defcartes grondt zyn voorgeeven op de goddelyke onveranderlykheid. God, zegt hy, de waereld gefchapen hebbende met eene zekere hoeveelheid van bëweeging. die hv ak de veerkracht van alle de werkingen 'der nïtut r heeft vastgefteld, fchynt zyne onveranderlykheid daar in gelegen te zyn, dat hy de zelfde hoeveelheid daar van behoudt. Zou het ten anderen zonder dat niet te vreezen zyn, dat de waereld in eene ioort van logheid viel, die voor alle wezens rampzalig ware? De tweede grondftelling, door DejcL tes gebruikt, is dat het lighaam eene kracht heeft, om m den ftaat waar in het is, het zy van beweeging, het zy van rust, te volharden. Men behoort nog aan te merken, dat, volgens dien Wvs^eer eene beweeg.ng in eene tegengeftelde richtftreek' geenszins eenen tegenövergeftel ?en ftaat is; zodat de eenige reden van deszelfs beweeging niet te kunnen  WISKUNDE. III. Deel. V. Boek, 417 nen voortzetten, eene andere is om in eene tegenaeftelde richting met de zelfde fnelheid te rug gedreeven te worden. Wy zullen alle die voorgeevens onderzoeken, na alvoorens bygebragt te hebban eenige wetten der boffing, welke de Heer Defcartes daar uit afleidt voor de lighaamen , die in den volftrektfien zin hard zyn , als zynde de eenigen welken hy befchouwt. Zie hier dezelve. i° Als twee gelyke lighaamen met gelyke (nelheden tegen elkander aanbotfen, zullen zy, ieder met zyne fnelheid, achterwaarts gedreeven worden. a° Als één van beiden grooter dan het andere is en dat de fnelheden gelyk zyn, zal het kleinfte' alleen te rug gedreeven worden, en zy zuilen beiden, met dè fnelheid die zy vóór de botfing hadden, naar de zelfde zyde gaan. _ o°. Als twee gelyke lighaamen, welke in eene teaenaeftelde richting ongelyke fnelheden hebben, tegen elkander komen aan te botfen , zal het traagfte medegevoerd worden, zo dat hunne gemeene fnelheid gelyk zal zyn aan de helft der fom van die, welke zy vóór de botfing hadden. 4.» Als één der beide lighaamen in rust is , en dat een ander kleiner lighaam tegen hetzelve komt aanftooten, dan zal dit laatfte , zegt de Heer Defcartes, te rug loopen, zonder het eerfte eenige beweeging in te drukken. ; c° Als een lighaam, dat in rust is, door een ander geltooten wordt, zal het door dit laatfte medegevoerd worden, en zv zullen beiden naar den zelfden kant gaan, met eene fnelneid, welke tot die van bet ttootend lighaam zal zyn. als de masfa van dit laatfte tot de fom der masfen van beiden. Wanneer het lighaam, dat in rust is, 1, en het ander a tot masfa heeft, zal hunne gemeene fnelheid na de botfing de | van die des botfenden lighaams zyn. Deeze regel is de eenige , waar in Defcartes de waarheid getroffen heeft. Ik gaa met ftüzwygen voorby de overige gevallen, welke die zvn, waar in een lighaam een ander achterhaalt, 3 E c 5 door  418 HISTORIE der l°0rj!" met eene grotere fnelheid dan het zyne te volgen, om dat hy daar in, even alsin £ voorgaande, mistast. Beter is hetToheonder zoekder grondbeginfelen over te gaan 1 w " hen die bepaalingen gevestigd zyn. 8 ' P Wd" alrnoi3 ^IÜe?r', dat de hoeveelheid der beweegins altoos de zelfde moet blyven, is een voorftel da! wat hJi °"derVlnd,ng beweezeD is valsch te zvn- oP) eenebr:D„gve;a„hdeerly^lyT wtrkr Sff' mede roeftaan dat heï zeer TaarSynykh, Ta? c1eVrhondM nf ^ u™' Ceuige ^eene* wet oncierboudt; maar het is eene zeer vermetele daad u-e gewaande onveranderlykheid in dé hSveelheld otveSSeia00!; ïaS^Ï «f** andere algemenere \olT^ wïte wef tL n ,ƒ daad' men w«t thans, dat niet de hoe veelneid van volftrekte beweeging, maar die van de beweegmg naar een zelfde^ zyde, onver?nIr kraCbStIae°frRHderS °°k' dat' in ^ botfing d Krachtige lighaamen, die onveranderlykheid ren T\Zïn V?n,de fom der Produóïe» van Sere ma,f? met het vierkant haarer fnelheid plaats heeft 1 en tweeden, Defcartes hadt zich een zeer'vakrh twvffe?^T d'b™^8 «emaakt^zSdeï twyirel zou hy anders geredeneerd hebben win «eer hy niet al te toegeeflyk was geweest ten nn* zmhte van het grondbeginfel, daf hy tot zvnePn wegwyzer genomen hadt. Want te «IS twee gelyke beweegingen, doch n teïSefde Sg*ftSSï* *ee» twee tegenlhydigeXÊfvS J^et 1 ghaam zyn , is een voorftel dat zeer he LTSdelv?6'^? .ka"Men begrypt zeer duidelyk, dat 'er iets meer noodig is nm eene bëweeging in eene ftrydige beweeginï tl ve? anderen, dan om dezelve eefvoudj fe verniet!: gen»  WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 419 Een, en het beweegend lighaam tegen te houden: even als 'er, om eene kromte in eene tegeijsettelde kromte tè veranderen, iets meer noodig .s, dan om dezelve tot eene rechte lyn te maaken. Ten derden, Defcartes viel in eene dwaaling, zeer weinig voegende aan eenen Bovennatuurkun. aiein toen hy aan de rust en bëweeging eene krVht toefchreef, om haare verandering van toetanf te^unnen'wederrtaan. Hv-was nog wel verre van dat gevoelen, toen hy Ichreef ken in de lighaamen geen 011 werkzaamheid, ot " n mmlyke langzaamheid, en ik geloof, dat als *' "enig mensch wandelt, hy de ganHche Aarde, " hoe weinig het ook zy, doet beweegen; maar " k ftS echter toe, dat de grootfte lighaamen, ' door een zelfde kracht gedreeven zynde , zich latïïzaamer beweegen; hetgeen misfchien ge" Loee Jou zjn, zonder tot deeze natuurlyke on" o,prk»aamheid . die geenszins beweezen kan wor» ltf wwSt'te nfémen:* wy zullen 'er nog hvvoeaen, dat die natuurlyke onwerkzaamheid JïSSJÏu' ftrydig is -et het denkbeeld dat wy van de ftoffe behooren te hebben. In de daad, wv kunnen dezelve niet aanz,en» dan als eene, en" Id lydende zeifftandigheid, die tut eenige werking nnhekwaam is. Die nu kracht noemt, die noemt o k wSg? dienvolgens vermits de ftotTe voor he laatfte onbekwaam is, zo is zy het desgelyks voor het eerfte. De geheele onwerkzaamheid der Saamen bettaat in niets anders, dan dat er eene kr cht noodig is, om een lighaam eene beweeging in te drukken, naardien het uit zich zeiven geenszins van tóettand kan vei anderen; en dat 'er eene grootere Sacht noodig is, om het eene grootere fnelheid by e zetten. Wat aangaat het bewys, dat de Heer nefcartes van zyn gevoelen meent te geeven, een da hy uit de goddelyke onverjlndertykbeid afleidt, welke eeniglyk (trekt om de dingen in den toeftand te laaten waar 111 zy zyn, wanneer (») Lett. 94- T. II.  42° HISTORIE der niets dezelve daar uit poogt te rukken, hetzelve is yolftrekt zonder eenige kracht; want die onverariderlykheid is zeer beftaanbaar roet het tenengefield gevoelen Het is genoeg, dat 'er eenebotfcng plaats hebbe, op dat 'er oorzaak tot eene veiandering zy. Ma de gemaakte aanmerkingen over de erondflellingen, waar van Defcartes in zyne nafpoorine der wetten van de botfing gebruikt heeft gemaakt, is het gemaklyk daar over te oordeelen. De eerfte , oetrefb-nde twee gelyke en volkomen harde ligbaamen, die met gelyke fnelheden tegen elkander aanbotten, is valsch. Deeze twee lighaamen moeten met te rug fluiten, maar in eensftil blyven ftaan• want de kracht van ieder wordt eeniglyk befteed, om de beweeging van het andere te vernietigen: eu nademaal men dezelve niet veêrkrachtig onderdek is er geene oorzaak bekwaam de vernietigde bewee. ging te herflellen. Daar benevens wanneer die beide lighaamen, elkander te gemoet loopende te rug gedreeven werden, zou de veêrkracht volftrekt nutteloos zyn. De tweede regel is desgelyks valsch , door een gevolg der beide valfche grondftellingen, welke JJeJcartes hadt aangenomen. Door eene nver met de rechtzinnige denkbeelden der beweeging overeenkomflige redenkaveling zou hy bevonden hebben dat de beweeging van het kleine lighaam bv de botfing vernietigd zou zyn geworden , en even zo veel in het groote vernietigd zou hebben, en dat zy , wanneer het overige op de masfa van beiden verdeeld werdt, in de richtftreek van het groo'fte zouden hebben moeten loopen. Ik gaa den derden regel yoorby, om my eenigzins op "te houden bv den vierden, die klaarblyklyk valsch, en één van die is, welke het meest tegen de ondervinding aandrmsfehen. ° In deezen regel wil Defcartes dat , zo een lichaam, 't welk in rust is, door een ander meer of mm kleiner lighaam geftooten wordt, dit laatfle het- zei-  WISKUNDE. III. Deel. V. Bock. 42* zelve niet in beweeging kan brengen, en dat het alsdan genoodzaakt is met zyne geheele fnelheid te: rus te wvken. De eerde Carteftaanen moeten zekerlyk lieden van eene zonderlinge toegeeflykheid geweest zyn , om e»n zodanig voorftel te omhelzen. Ook werden door één der verftandigfte Carteftaanen Cde Heer Clerfeher) zwaarigheden daar tegen ingebragt, en Defcartes waagde het hem daaröp te antwoorden (o); hetgeen hy deedt met eene redeneering, die my zeer weinig verftaanbaar is voorgekomen. Wat 'er ook van zy, bet is hedendaags bekend, dat een zeer groot lighaam , een kanonkogel, by voorbeeld, aan een touw hangende, door de aanbotfing: van een piftoolkoeel in beweeging gebragt zal worden. M> is met onbewust, dat Defcartes van dat gewrocht reden tracht te geeven. Hy zegt, dat een lighaam, m «ene vloeiftoffe gedompeld, met de deelen van d e vioe-ftoffe, die het, fommige aan de eene, ander*, aan de andere zyde ftooten, in een volkomen evenwicht is; zulks dat de ftoot van een ander lighaam, hoe klein het ook zy, die zich daar bjr kwame te voegen, niets anders te wege brengt, dan dat hy iet evenwicht wegneemt (p). Maar, ondanks de hoogachting die wy den Franfchen Wysgeer verfchuldigd zyn, durven wy zegden, dat dit üegts eene armhartige uitvlucht is. Ook wordt in de regelen van Defcartes een gebrek van overëenftemming en verband gevonden , waar van wy hier een voorbeeld zullen bybrengen. Wanh°er twee lighaamen, met eene gelyke fnelheid bewoeen' elkander ontmoeten, worden zy , zegt Defcartes, beiden te rug gedreeven; maar zo men éé'i van beiden iets, hoe weinig ook, vermindert, zal alsdan, volgens hem, het kleinfte met zyne g»he.-le fnelheid te rug loopen, en het grootfte met zvne eeheele fnelheid zynen loop vervagen. Undemisfchen zyn wy door de reden overtuigd, dat eene O) Lett. 117, T. I. (j>) Princip. p. n, art. 56.  422 HISTORIE DER eene zo geringe verandering niet bekwaam is een zo tegengeweld gewrocht ter uitvoer te brengen' want de natuur werkt doorgaans niet op deesewvze' Ue wetten der botfing, hedendaags onder de Werk! tuigkundigen aangenomen , hebben een zodanig gebrek niet; men ziet in dezelve, dat de beweeging altoos m rust , of trapswyze in tegengeftelde beweeging veranderd wordt. In die van Defcartes gelchieat alles fprongswyze, even als of tusfehen dezelve geen het minfte verband , geen de rninlte af hangkelykheid van een zelfde grondbeginfel was. Wy gaan, om kort te zyn, veele andere overweegingen, welke over de gebreken van die regelen, He aan alle kanten misfen, zich aan onzen geest vertoonen met ftilzwygen voorby. Hoe is het mogelylc, dat een zo groot Meetkundige dat voor. blfcnouw7htft!een ffieer Mceckunftig ge^htpunt de dieven van Defcartes blykt, dat hy fom- 7JZ °n d! We,^en der botüng verftandiger geredeneerd heeft. Want in den vierenveertigen Brief des tweeden Deels wyst hy de waare wet aan, in bet geval waar in een lighaam tegen eenig ander, dat in rust is, aanbotst. Hy wil hier. dat de beweeging van het botfend lighaam over de masfa der beide lighaamen verdeeld wordt, vermits de fnelheid m de zelfde reden vermindert, als de masfa vermeerderd wordt; hetgeen met de waarheid overëenkomftig is. Wy twyffelen in geenerlei wyze, or Defcartes zou volkomen geflaagd hebben in de ontknooping der waare wetten van de mededeeüng der beweeging, zo hy niet vooringenomen ware geweest met het denkbeeld om dezelve met zyn algemeen Systema te doen overeenkomen. Men kan niet genoeg daar over klagen, dat hy een zo wyd uitgeilrekt plan omhelsd heeft. Zo hy zich eeniglyk hadt toegelegd, om verfcheide takken der Natuurkunde tot grootere volmaaktheid te brengen, dan wordt onder dezelven geen gevonden, over welken hy niet een helder hcht verfpreid zou hebben j want de eeni-  WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 423 eenige bron zyner dwaalingen is de fysthematifche geest, aan welken hy zich met te veel vertrouwen, en zonder genoegzaam met de ondervinding te raadpleegen, overgaf. Maar wy hebben reeds genoeg over dit onderwerp gezegd; laaten wy dit artikel eindigen met eenigen trek, die het vernuft van Defcartes grooter eere aandoet. Een der verftandigfte denkbeelden van Defcartes is getracht te hebben, om de middelpuntvliedende kracht der luchtftoffe op de verklaaring van dezwaarte der lighaamen toepasfelyk te maaken. Schoon het onderzoek van dat Systhema meer tot de Natuurdan tot de Wiskunde fchyne te behooren, heb ik nogthans gedacht , uit hoofde dat Defcartes Mechanlfche grondbeginfelen daar toe gebruikt , dat dit onderzoek niet onëigenlyk by myn onderwerp zou voegen. Daar benevens-wordt deeze foort van uitweiding door de beroemdheid van het vraagft.uk alleszins gebillykt. . Zo als een ieder weet, laat Defcartes eenen draaikring van hemelfche, dat is te zeggen van ongemeen fyne ftoffe, zich rondom de Aarde en iedere Planeet beweegen. Maar ieder lighaam, voegt hy 'er by , dat eene omloopende beweeging heeft, doet eene pooging, om zich meer en meer te verwyderen van het middelpunt, om welk het loopt; alle de deelen van den aardfchen draaikring hebben derhalven eene geftadige neiging, om zich van de Aarde te verwyderen, en deeze draaikring zou verftrooid worden, als hy in de pooging van het overige der hemelfche ftoffe geen genoegzaamen tegenftand ontmoette. In deeze aangenomene ftelling (fiypothefis) moet nog daar benevens toegedaan worden , dat de aardfche lighaamen minder dan de hemelfche ftoffe tot de beweeging gefchikt zyn, en dat zy dienvolgens flegts eene mindere middelpuntvliedende kracht hebben. Deeze onderftelling aangenomen zynde, bemerkt men ligt, dat zy in die vloeiftofïe zyn hetgeen een lighaam, in een vocht van mindere byzondere zwaarte gedompeld, is, en dat even ais het  4^4 HISTORIE der her door dat vocht gedreeven wordt na den over. itaanden kant van dien, naar welken het door zyne zwaarte helt, desgeiyks de aardfche lighaamen, in t midden des draaikrings, -waar van wy fpreeken geplaatst, naar hec midden, waar van dezelve zich tracht te verwyderen, te rug gedreeven zullen wor- de zwaarte en den val der lighaamen naar het middelpunt der Aarde. Het is met dac denkbeeld ten naaste by even zo gu§et\Va s met dat der draaikringen, welken de ltLV*%t? gebru,ikt.om de hemelfche beweet gingen te verklaaren; hetisin den eerften opflag verleidend , het is verlokkend door het voorkomen van eene zeer verftaanbaare en zeer waarfchynlvke wwchtifg. Maar het is onderhevig aan groote zwaï righeden, en welke zodanig «ynfdat het groS ge.al Natuurkundigen hedendaags bekent, dit men, toevïZ™*,tC verk,aare»> t0£ ^nig ander middel toevmcnt moet neemen. vSZ .Heel Hcuy%heKS ■> alhoewel een leerling van Defcartes, heeft der verklaaring, welke wy nu voorlebralt" fbeo'allf eerst |e'vaarlyke iïagen toefan f o i}° *yn gravitatie merkt hv aan i Dat vermits de middelpuntvliedende kracht der deelen van vloeiftoffe, in de evenwydigen aan den Equator gelegen, in de richting der ftraalen van die evenwydigen geöeffend wordt, de weder werkmg, welke de zwaarte veroorzaakt, ook in die -richting moet gefchieden: dienvolgens zal een lichaam, dat ergens elders buiten den Equator geplaatst is, naar den as van den draaikring, en niet naar het S?l r^-fvP**» ten einde hemel, fche ftoffe de aardfche lighaamen, met de kracht die wy ondervinden, konde voortftooren, haar omloop zeventienmaal zo fnel dan de dagelykfche beweeging der Aarde zou moeten zyn. Maar een draaikring van die fnelheid en van die dicht- of ge- *P2?Ï!ft zoüa 3lie 'ighaafflen met zich voeren, en niet nalaaten de omwenteling van onzen Kloot al-  WISKUNDE. III. Dttl. V. Boek. 435 alleng9kens te verfnellen. 30. Dat uit de onderftelling van Defcartes zou volgen, dat de minst inëengedrongene lighaamen het meest zouden weegen, even als de minst inëengedrongene lighaamen meerder kracht fchynen te oeffenen, om zich boven de oppervlakte der zwaardere vloeiftoffen te verheffen; hetgeen klaar en duidelyk tegen de ondervinding aanloopt. De Heer Huyghens heeft niet gedacht, dat het mogelyk ware op die zwaarigheden te antwoorden , en zich om die reden verplicht gerekend aan de hemelfche ftoffe eene andere beweeging te geeven, die, zo als hy zich voorftelt, in verfcheide bolronde laagen, en in alle bedenkelyke richtingen gefchiedt. Men zou daar door in de daad fommige hinderpaalen van den eenvoudigen draaikring van Defcartes uit den weg ruimen; maar het hulpmiddel is erger dan hec kwaad , en deeze inrichting, door den Heer Huyghens uitgedacht, wordt met reden voor onmogelyk gehouden. Men is derhalven van daar te rug gekomen tot den draaikring, zo als Defcartes dien hadt voorgefteld, en men heeft getracht op de tegenwerpingen van den Heer Huyghens te antwoorden. De Heer Saurin heefc zich verbeeldt, dat hy de eerfte op eene gelukkige wyze hadt opgelost: hy zeide, dat, wanneer eene vloeiftoffe altoos loodrecht werkt op de oppervlakte , die zy drukt , een draaikring, in eene bolronde oppervlakte befloten , haare drukking in de richting van den ftraal zou oeffenen, en dat, vermits de wederwerking van die drukking , welke de zwaarte uitmaakt, in eene tegengeftelde richting gefchiedt, daar uit moest volgen , dat de lighaamen naar het middelpunt zouden neigen (q). Hy redeneerde hier over nog op eene andere wyze, waar van wy, om derzelver wydloopigheid , niet zullen fpreeken; maar het fchynt, dat behalven hun, wier belang medebragt deeze oplosfing goeden voldoende te vinden, niemand anders dan hy dezelve zo gunftig heeft be- oor- (?) Journal des Scavans ann. 1703. Ff  426 HISTORIE der öordeeld. In de daad, men zou door eene dergelyke redeneering kunnen bewyzen, dat een lighaam, t welk men in een Vat vol water, hebbende de gedaante van eenen halven-kloot, zou dompelen, weder loodrecht tot de oppervlakte van dac Vat, en niet tot den Horizon, zou moeten opklimmen. Wat •de tweeder zwaarigheid van den Heer Huyghens betreft, de neer Saurin bekent openhartig , dat hv niets heeft dat voldoende is om daar op te antwoorden (r). Ten aanzien van de derde zwaarigheid zie 'k nergens geen de minfte pooging om dezelve od te losfen. r Men heeft niet verzuimd proefneemingen te doen om op eene zichtbaare wyze te weeten, of de verfchynlelen der zwaarte met de onderftelling van de draaikringen overêeuftemnien. Men leest daar van fommige m de Memorien van de Koninglyke Academie der Weetenfcnappen, van de jaaren 1714, i7Xc en 1716. Maar de Autheur derzelven (de Heer Saulmon) kan niet ontveinzen , dat daar uit geheel het tegenftrydiae voortvloeit , van *t geen noodig zou zyn om deeze onderftelling te bevestigen. Be* balven dac een lighaam door den draaikring wecgelleepr wordt, merkt men aan, dac de meest inge. drongene lighaamen, wel verre van zich in het middelpunt te dompelen, in tegendeel naar den omtrek afwyken. De Heer Bülfinger, de zelfde oogmerken hebbende als de Heer Saulmon, en begeerende door de ondervinding het gefchil te bellegten, of een lighaam, in eenen kiootfchen draaikring gedompeld , m het middelpunt, of naar den as zal vallen, heeft zien eenen zodanigen draaikring verfchaft, door een glazen bol vol water fnellyk rondöm zynen as te doen draaijen 0> Hy heeft opgemerkt, dat luchtbolletjes , welke in dien bol elkander ontmoetten, weldra eenen Cylinder rondöm den as vormden, en niet O) Mem. de fAcad. ann. 1709, (0 De Direct, gravium in vortice Spharsco. Mem. de Petersb. T. I. ann. 1726.  WISKUNDE. III. DeeU V. Boek. 427 niet eenen kloot, zo dat hy gemesnd heefc daar uit te mogen belluiten , dat een klootfche draaikring de lighaamen naar den as, en niet naar het middelpunt, zou te rug brengen De Academie der Weetenfchappen voor de Prysvraag des jaars 1728 voorgefteld hebbende, de oorzaak en de inrichting der zwaarte te onderzoeken, droeg de Heer Büifinger eene nieuwe handeiwyze voor, om dat verfchynfel te verklaaren CO- fIv ver" beeldde zich eenen draaikring, die te gelyk rondom twee tot elkander loodrechte asfen draaide, hoopende daar uit den rechtftreekfchen val der zwaare lighaamen naar het middelpunt af ce leiden. Men ziet ook in dat Gefchrift de tekeniner van een Werktuig, dienflig om daar van de proefneeming te doen , door aan eenen knot vol waters die beide beweegingen te geeven. Wy zien niet, dat de Geleerde van wien wv fpreeken die proeve heefc uitgevoerd; wy twvffeten zeer of dezelve eenen goeden uitftag zou gehad hebben, of liever wy houden hec tegendeel als zeker. Want zou een draaikring van die natuur de lighaamen naar het middelpunt te rugftooten, dan moesten alle de punten der vloeiftoffe groote Cirkelen befchryven , en die is her. voorwerp, dat de Heer BfRfiuger zich met die dubbelde beweeging voorftelde. Maar 'er zyn geen andere punten dan die even ver van de Poolen der beide asfen afftaan , welke groene Cirkelen befchryven. Alle andere befchryven flegts Krommen met eene dubbelde kromte, welkers loedlynen niet in het middelpunt des Kloots famenloopen ; hetgeen noodig zi ude zyn, wanneer de lighaamen naar dat middelpunt gedreeven konden worden. Veele andere handelwyzen, om de zwaarte te verklaart, gaan wy ftilzwygende voorby ; naardien dezelve by de "Natuurkundigen geen inaang gevonden hebben, achten wy onnoodig ons daar mede op te houden. Wy bepaalen ons tot eene aanmerking , die (O De eau/a gravit. difi Prix de 1'Acad. T. 111. Ff 2  438 HISTORIE der WISKUNDE, enz. die alle verklaaring van dit verfchynfel, door middel des ftoots van eenige vloeibaare ftoffe , fchynt vruchteloos te maaken. Deeze is, dat zode zwaarte der lighaamen van eene zodanige inrichting af hangkelyk was, zy niet meer evenredig tot de masfa zou zyn. Een lighaam zou, naar maate deszelfs oppervlakte grooter was, zwaarder moeten zyn , door dat alsdan minder deelen voor dien ftoot beveiligd zouden zyn. Dit nu ftrydt tegen de ondervinding. Men kan mede in het Werkje van den Heer Bouguer, tot tytel voerende, Entretiens fur la caufe de Pinclinaifon des orbites des Planetes («), verfcheide andere aanmerkingen zien , welke veel vermogende redenen te-" gen die inrichting opleveren. (») Remarques, p. 62, 82, &c. Einde va» het vyfde Boek. H I-  H I S T O R I E DER WISKUNDE. DERDE DEEL. Bevattende de Hiftorie der Wiskunde, geduurende de zeventiende eeuwe. ZESDE BOEK. Waar in men verflag doet van den aanwas der Meetkunde , en in 't byzonder van de opkomst en vorderingen der nieuwe rekeningen, geduurende de laatfte helft der zeventiende eeuwe. KORTE INHOUD. I. Wallis past de rekening toe op de Meetkunde der ondeelbaar en, en doet door dat middel verfcheide ontdekkingen, Wyze op welke hy de quadratuur des Cirkels befchouwt, en uitdrukking welke hy daar uit afleidt. H. Ontdekkingen tot welken de Leerwyze van Wallis aanleiding geeft. Eerfte rechtmaaking (reétirlcatio) eener kromme Lyn door Neil. Uitdrukking welke MyFf 3 lord  4$o .HISTORIE der lord BrouDcker voor de meeting van den Cirkel geeft. Eerfte reeks voor de quadratuur van den Hyperbool, door den zelfden Meetkundige ontdekt. Mercator geeft daar van ook eene reeks, 'welke hy hadt gevonden vóór dat die van Brouncker het licht gezien hadt.- III. Van den D. Barrow, en in 't byzonder van zyne Leetwyze der raaklynen. IV. Van aen Heer Newton. Korte levensbefchryving van den ieroemden man. Zyne eerfte Meetkundige ontdekkingen. Hy ontdekt de algemeene Theorie der reekfen, de ontleeding der magten, en zyne Fluxie-rekening, op het vaste Land Differentiaal- en Integraal-rekening genaamd. V. Verklaaring van het Meetkundig grondbeginfel der Fluxien, en van de eer. fte gronden haarer rekening en toepasfing. VI. De Meetkundige facobus Greeory verheft zich het eerst tot het grondbeginfel van den Heer Newton , en voegt door dat middel verfcheide ontdekkingen by de zyne. VII. Hiftorie-van 't geen omtrent den jaare 16-76, over die Analytifche ontaekkingen, tusfenen de Heeren Newton en Leibnitz is voorgevallen; verhaal van den twist, die naderhand over de uitvinding van de Differentiaal-reke. ving ortftaan is. VI il. Ver klaar ing van eenige byzondere Theorien, welke haare opkomst aan dien tyd verfchuldigd zyn, als die der kromme Lynen, welke door den famenloop der licht/traalen, van eene andere kromme Lyn te rug gekaatst wordende, ontftaan (CaufricEe) v,w den Heer Tfchirnhaufen , en der Epicycloïïien. IX. Voortgang van de Differentiaal-rekening op het vaste L'-nd, te rekenen van den tyd waar in de Heer Leibnitz dezelve in 't licht gaf. Opkomst van de Inte. graal-rekcning onder de handen van den zelfden Heer Leibnitz en den Heer Jacobus Bernoulli. De Heer Jan Bernoulli treedt in de zelfde loopbaane, en maakt in Favhyk aanhangers van de nieuwe rekening, onder ayayren den Heer de l'Fiópital, die haare grondbeginfelen in zyne Analyfe des Infiniment- Petits openbaart. X. Onweer t.gen de Difth\entaal'-rekening opgekomen. Van den ti.tr r$cHi „-ntyd, Schryver van een Boek fe^en die re te: rng, Twist tusfehen RolJe en den Heer baurin over dat zelfde onderwerp. Andere tegenftree- vers  WISKUNDE. W, Deel. VI. Beek. 43* vers van die vinding, en antwoorden met welken men hen te keer gegaan is. De nieuwe Meetkunde, waar mede wy diegeene bedoelen, welke in haare uafpooringen de Algebraifche rekening gebruikt, kan in twee deelen verdeeld, worden : het eene heeft tot onderwerp de oplosfing der Vergelykingen, en de eigenfehappen der kromme lynen; wy zouden dit deel de eindige ontleeding (analyfis) der kromlynige grootheden kunnen noemen: het andere houdt zich mer de af meeting van die grootheden bezig, en maakt gebruik van de befchouwing haarer oneindig kleine deelen (elementa). Wy hebben ons in het voorgaande tweede Boek van dit Deel onzes Werks voornaamlyk met het eerfte onledig gehouden, en deszelfs vorderingen naauwkeurig voorgedragen. Wy hebben ons voorbehouden , om in dit Boek van de vorderingen des tweeden verflag te doen, en thans zullen wy aan dat oogmerk beantwoorden. Het tydbegin van de Rekenkunst der onëindigen van Wallis (v) is dat, waar toe men den aanvang der merk» (v) Wallis (John) werdt geboren te Ashford, in 't Graaffchap Kent, den 23 November 1616. Na zyne eerfte ftudien leide hy zich beurtelings toe op de Godgeleerdheid , de Zedeleer en de Wiskunde , in welke laatfte hy voornaamlyk blyken van zyn vernuft toonde. Hy werdt in't jaar 1649 benoemd tot den zetel der Meetkunde, door den Ridder Savile aan de üniverfiteit van Oxford gefticht, en bekleedde die plaats tot den jaare 1703 (28 Oétober), welke de dag van zynen dood is. Hy heeft in verfcheide tyden een groot getal Wiskundige Werken in 't licht gegeeven , welke in drie Deelen in foi. zyn verzameld geworden , waar van het laatfte in 't jaar 1699, onder den tytel van J. Wallifii Op. Math., werdt uitgegeeven. Men vindt van hem eene meenigte ftukken in de Tranf. Philof. van de Koninglyke Sociëteit te London, waar van hy één Ff 4 der  43^ HISTORIE des merkwaardige vorderingen van dac deel der heden, daagfcheMeetkunde moet bepaalen. Dit Werk,dat in den jaare 1655 het licht zag, is eene meer byzondere toepasfing van de Rekenkunst op de Leerwyze, welke door Cavalkri de ondeelbaar en, en door fommige Franfche Meetkundigen het oneindige genaamd wordt. Ik zeg eene meer byzondere toepasfing van de Kekenkunst op die Leerwyze; want men'heeft gezien , dat Cavalleri, Fermat, Defcartes en Roberval reeds voorbeelden van die toepasfing gegeeven hadden, door de Parabolen van alle geflachten op eene algemeene wyze te quadrateeren; doch deeze waren flegts ftraalen van een grooter licht, dat WalJtJ 111 het hoven aangehaalde Werk ten toon fpreidde. Met behulp van eene met oordeel beftierde induStie, en van den draad der overéénkomst, waar van hy zich fteeds met een goed gevolg wist te bedienen , maakte hy eene meenigte voorwerpen, welke hem tot in dien tyd onrglipt waren , aan de Meetkunde onderhevig. Het was, by voorbeeld, de overeenkomst die hem tot deeze zo nuttige vinding bragt, om naamlyk de noemers der breuken als magten mee negative Exponenten te befchouwen. In de daad, zo men deeze reeks van magten neemt, ac3, as1, x°, of 1, —, —^ &c. welke in eene geduurige Geometrifche Progresfie zyn, dan zullen de Exponenten ïn.eene Arithmetifche Progresfie ftaan. Wanneer dus die der eerften 3, 3, j, ozyn, moeten der Stichters, en één der eerfte Leden was. Ik zwvse van zyne godgeleerde of zedekundige Werken, welke mede iu groot getal zyn. Wallis bezat een byzonder vernuft om de brieven, in cyfFer gefchreeven, te ontevfteren, hoe famsngefteld ook de fleucel ware, waar van men zich bediend mogt hebben. Men kan in het laatfte Supplement van Bayle, door den Heer de Ckaufepied, een zeer kelangwaardlg en voortrefïelyk Stuk over dien Geleerde ViQu6n«  WISKUNDE. III. Deel, VI. Boek. 433 ten die der volgenden zyn — 1,-2,-3, &c. 1 —1 1 • —m. Dus is- niets anders dan x , en - >s J Deeze gelukkige aanmerking ftelde Wallis in 't bezit der meeting van alle, zo vlakke als lighaamlyke, ruimtens, wier elementa wederkeerig als eenige magt van de Abfcisfe zyn; in den gemeenen Hyperbool, by voorbeeld, is de Ordinaat wederkeerig als de Abfcisfe, en in die der hoogere geflacbten is by wederkeerig als eene magt van die Abfcisfe, dat is te zeggen, dat de Vergelyking van alle die Krommen I —m hy-- of y — x . Nu heeft men gezien, dat^in de Krommen, waar van de Vergely- ■ kingev"* is, de algemeene betrekking van den Inhoud tot het Parallelogram van gelyke Bafis en hoogte 1 : m + 1 is; en zulks is waar, welke ook de grootheid van m zy. Dit zal derhalven mede, volgens de wetten van de Analyfis en de geduurzaamheid, waarheid zyn, zelfs dan wanneer m negatif oï—m zal worden. _ Dus zal de bovenftaande betrekking in dit geval die van 1 : — m + 1, of in 't algemeen van 1 : m -+■ 1 zyn, neemende m met het teken dat haar is toegedaan, in den Hyperbool , waar in de Ordinaten wederkeerig als £e Vierkants-wortelen uit de Abfcisfen zyn, is m ^ \, en dienvolgens — m ~ — \. Dus ftaat de Hyperbolifche ruimte A H (Ftg. 83) tot den Rechthoek CB, als 1 tot — £ -!- 1, of 1 tot Als m _ 1 is, zynde het geval van den gemeenen Hyperbool, is deeze betrekking 1 : - 1 + 1, of 1 : o; hetgeen aantoont, dat de gemeene Hyperbool eene oneindige Afytnptotifche ruimte heeft. - Hier doet zich eene zwaarigheid op, welke Wallis, in weêrwil van zyn fchrander doorzicht, niet konde oplosfen. Wanneer de negative Exponent m een geheel getal, dat de eenheid te boven gaat, bv voorbeeld q , is, dan is de bovenftaande betrekFf 5 king  434 H IS TORIE der Elf rV^Z £ Óf is \e zf#8en, die van de een. held tot een negattf getal. Nu weec men, en zulks s gemaklyk te toonen, dat i : o eene onëiniiee strekking uitdrukt: men kan de?halven S de vraag voorftellen wat zal dan die andere uitdrukking betekenen? hallis verbeeldde zich, dat de "el. ve eene meer dan oneindige ruimte te kennen gaf; gne »»;,«rl,nge wonderfpreuk, waar van me/den Z „,Z'g"°" de °PIosfing verfchuldigd is. Hetgten Wallis voor eene meer dan oneindige ruimte genomen heeft is flegts eene eindige §en bepalfde ruimte, negatif of in eene tegengeftelde richting befchouvvd. In .dit geval beeft We omftand^S ESnVn f Va" ö\ Analyfis meenigvuldige voorbeelden opleevert. Men vindt de grootheid niet van de ruimte CABGHC, welke Se? Kèrde! ÏÏ d» „ r K16t begterde' öec is gemaklyk maat v-„ h . ^S?'^* w^ -I" men de maat vrn dat deel CLBK, door deszelfs Vert?rlv kmg tot den as CL overgebragt zoekt findr men het zelfde als te voorin , & op eene M tive wyze. Wy bemerken by deeze gelegenhefd eene eigenfehap van alle de Hyperbolefvan K gere magten; naamlyk dat zy lan de eene zvde binnen den gemeenen Hyperbool gaan, dat is te «eggen, tusfehen de Kromme en de A/ymptoot, en 11 r,/ i/derC ryt,de d?ar buiten; als ™& dat zy hunne Ajymptotifche ruimte aan de eene zyde oneindig groot, en ter andere zyde aan eene eindde ruimte gelyk hebben. y ne eindIge De Leerwyze van J^//» kan gemaklyk op meer famengeftede gévalled toegepast worden, by voor! bteid op die, waar m de Ordinaat der Figuur door eene veelledige magt wordt uitgedmkt, als aa + fci 77 m' , ""T** • V*-V*> &c. Want het fc WaarblykKk, dat men dien Ordinaat als de fom van verfcheide Or^„ kan b fcJÓuwen, Waï van de eene ftandvaaüglyk de andere + S en de derde + « zou zyn. Dus zal , Volgens den  WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 435 den boven gegeeven regel, de Inhoud uit verfcheide deeïen famengefteld zyn, waar van het eerlle «*, het tweede + axx, en het derde j zal zyn. Wallis onderzoekfdesgelyks de meeting der krom me Lyren, welkers Ordinaten als de driehoekige, ™amidai Fun&ien r» enz. van de » den ?vn. Leeze FunElien zyn mets anders dan talSfelen van magten der Abfcisfe:jerhalven vallen zy onder de boven gegeevene regelen. De enge paaien, binnen welke wy befloten zyn, laaten ons niet'toe hier over breedvoeriger te handelen. Wy verzenden den Leezer naar het Werk zelf, waar van wy hem een denkbeeld trachten te geeven. Wallis trok uit deeze aanmerkingen eene ^zeer kundige handeiwyze om de quadratuur des Cirkels te befchouwen, die, weinig jaaren da ar^.je keen van verfcheide vindingen van Newton vretó. Hy merkte aan, dat men de volftrekte quadratuur hadt van alle de'Figuren, wier Ordinaten uitgedrukt zouden worden door (i — **) \ O ~ **A ' (i - t%y\ (i &c- C*> De O) Wy noemen hier, met de Meetkundigen van onzen tyd, Functie, iedere uitdrukking, die, op eemgerlei wyze? uit ftandva'stige en veranaerlyke grootheden is famengefteld-, dus zyn f (aa + ™ + + m . xx, &c. Functien van *. lx-) Wv hebben, om de eenvoudigheid te betrachten, van de uitdrukking i-xx, in plaats van aa-xx, gebruik gemaakt; onderftellende, dat de waarde van «de eenheid is- Men moet in dit geval, om zich naar de wet'der geiysflagtige grootheden te fchikken, x niet als eene Lyn, maar a's eene waarde in getallen van x befchouwen ten opzichte van de Lyn ,a, die voor de eenheid genomen wordt-, en hetgeen hier gezegd wordt moet ook toepasfelyk gemankt worden op alle andere gevallen, waar in men eer,e uitdrukking heeft, die nu verfcheide msgten van x, door optelling of afcrekmng te iamen verbonden, beftnat.  43« HISTORIE der volgens de regelen van de Rekenkunst der onhïndigen, gelyk aan her omgefchreeven Parallelopram. De tweede is daar van de |; de derde de Ti; de vierde de jg, wanneer x =r i is. Wy hebben derhalven eene reeks van Termen i, §, Tf, _4s &c waar van ieder de betrekking uitdrukt, ïüe de & guur welkers uitdrukking van den Ordinaat in de reeks der grootheden (j —a:*)»; (i — ,x>i &c eenen overëenkomfiigen- rang bekleedt, tot het Paralielogram van gelyke Bafis en hoogte heeft. Maar de Exponenten der Termen van deeze laatfte reeks zyn in Arithmetifche Progresfie, o, i, 2, &c. Indien men derhalven tusfehen ieder van deezen een nieuwen Term wilde brengen, zou die, welke tusfchen C* xx)° , (1 - xxy kwame te vallen, Ci - w)1 *yn, zynde de uitdrukking van den Ordes Cirkels. Men zou dienvolgens tot de quadratuur des Cirkels geraaken, als het even zo ge- r3S* in ,d£ reeks '» f • ïï* *#f* &c den midden -7V»« tusfehen 1 en f te vinden. Deeze wy. ze van redeneeren in de Meetkunde is tusfehenvoeging (interpolatie) genaamd geworden. Dezelve heiraat daar in, dat men in eenen voortgang van grootheden, welke eene zekere wet volgen, één of meer tusfehen - Termen inlascht, welke, zo veel mogelvk is, zich daar na fchikken. Zulks is gemaklyk in de Artthmettfche en Geometrifche Progresfien, en in die van alle figuurlyke getallen; maar het is zo niet gelegen met het geval, dat Wallis zich voorftelt. en de wyze, op welke hy dien Term navorscht, ver' ëischt veel vernuft en fcherpzinnigheid. Wy zullen ons vergenoegen met te zeggen, dathy, de gemelde quadratuur in geen eindige Termen kunnende vinden, dezelve uitdrukt door eenen breuk, wiens teller en noemer onëindig zyn, en gevormd worden uit eene reeks van multiplicanten, welke eenen zeer iier'yken voortgang volgen. Die uitdrukking is deeze 2x4x4x6x6x8x8x&c. 3x3x5x7w^9x&cT' ZUlks dat de dekking van  WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 437 van het vierkant, om den Cirkel befchreeven, die van de eenheid tot de bovenltaande uitdrukking is, of van de eenheid tot g X gf x |§ X !?» &c. of wel tot f X II X Jf X ff, &c 00, hetgeen dies te nader aan de waarheid komt, naar maate men een grooter getal Termen neemt. Eene ruime inzameling van ontdekkingen is doorgaans de belooning der vinding van eene nieuwe Leerwyze. Dit geluk was aan Wallis voorbehouden : zyne Rekenkunst der onè'indigen bevatte veele Meetkunftige nieuwigheden-, dezelve zyn nogthans flegts een zeer klein gedeelte van die, welke hy, door van zyne Leerwyze gebruik te maaken, in laater tyd ontdekte. De beruchte Voorftellen over de Cyclois van den Heer Pafcal leggen daar van een bewys aan den dag. De Heer Wallis gaf van allen, en in korten tyd, de oplosfing, zo als wy by de mededeeling der gefchiedenis van die Kromme gezegd hebben. Kort daar na gaf hy de meeting der oppervlakte van de Cysfoïde en Conchoïde, gelyk mede van de lighaamen, welke door haare omwentelingen gevormd worden; hy betoogde de gelykheid van den Parabool en de Spiraal, en dat hunne rechtmaaking van de quadratuur des Hyperbools afhing; hy bepaalde ook vlakke ruimtens, die gelyk zyn aan de bultige oppervlaktens der Parabolifche, Elliptifche en Hyperbolifche Conoïden. Deeze navorlchingen, en eene meenigte andere, maaken het onderwerp uit van zyne Verhandeling De curvarum reEtificatione & complanationc, dat, benevens zyne Verhandeling over de Cyclois, in den Jaare 1659 het licht zag. In C y) Deeze reeks, in eene andere fchikking gebragt, is deeze: f + tÏ A + 7£ B + ,f C, &c., waar in A, B, C, enz. fteeds de fom van alle de voorgaande Termen verbeelden. De Heer Euler toont in de Memoden van Petersburg (T. IX, ann. 1737.) aan, dat zy gebragt wordt tot de zo bekende reeks voor het vierde - deel des Cirkels t — f + f — f + J, &c.» hetgeen een zicht, baar bewys van de waarheid der uitdrukking van Wallis is.  438 HISTORIE der In het Jaar 1669 gaf hy de Verhandeling De centro gravitatis in 't licht, welke alles fchvnt te bevatten, wat de Meetkunde over dac onderwerp kan zeggen. Alle de Figuren, wier befchouwing den Meetkundigen tot in dien tydt hadt bezig gehouden , en verfcheide andere, worden daar in eer toetfe gebragt. Hunne inhoud, hunne lighaamen van omwenteling, hunne zwaarheids-middelpunten , en die van hunne deelen worden daar in bepaald. Eindelyk ieder hoofdftuk bsvat den inhoud van een gantsch boekdeel» Laat ons nog aanmerken , dat Wallis daar in zeer dikwyls van uitdrukkingen en rekeningen gebruik maakt, die, behalven de fchikking, de zelfde als in de hedendaagfche Leerwyzen zyn. Wy zien ons met cegenzm genoodzaakt ons te bepaalen tot eene zo bekrompene aanwyzing der uicmunrende zaaken, welken die verfchillende Werken bevatten. II. Het ftrekt Wallis tot eenen zeer grooten roem, dat de meeste Analytifihe ontdekkingen, welke omtrent dien tyd gedaan werden , in iummige opzichten flegts ontwikkelingen zyn van de tairyke inzichten, welken hy in zyne Rekenknnst der oneindige» hadt voorgefteld. Dit Werk gaf aanltonds aanleiding tot de eerfte rechtmaaking eener kromme Lyn, welke gevonden is. Wallis hadt de gronden van deeze onsdekking gelegd, door aan te merken, dat zo men het vierkant van ieder verfchil der achtereenvolgende Ordinaten van eene Kromme met die van den gemeenen afltand tusfehen die Ordinaten famenvoegde , en uit het komende den vierkantswortel trok , daar uit eene uitdrukking ten voorfchyu kwam , welke overëenkomftig zou zyn met die van den Ordinaat eener andere Kromme , welkers Inhoud de zelfde betrekking tot den Rechthoek van gelyke Bafis en gelyke hoogte hadt, ais de lengte van de eeifte Kromme tot eene gegeevene reente Lyn.  WISKUNDE. III. Deel. VI. Beek. 439 Lyn. Hy hadt het toen daar by laaten berusten; echter waren die weinige woorden met vruchteloos ter neder gefteld, Een jong Meetkundige , genaamd William Neil, dit Huk dieper doord-nkeüde, ging nog verder: hy merkte aan, dat, ib'eevalle de tweede Kromme, die wy nu befchreevto hebben", volftrekt gcquadrateerd konde worden , de verfchillen der Ordinaten van de eerfte als de Ordinaten van eenen gemeenen Parabool zouden moeten zyn; en dat alsdan de nieuwe i\fommév, welke daar uit voortkwam, een afgekorte Parabool was J waar uit volgde, dat de eerfte Kromme'volftrekt gerectificeerd konde worden. , Deeze ontdekking, aan de fchranderlfe Meetkundigen van Engeland, ah Wren, mouncker, enz. medegedeeld, bragt hen in groote verwonden g, en zy (laafden dezelve als om ftryd door nieuwe betoogingen. Echter hadt geen van hun de ha* tuur van die merkwaardige Kromme befpeurd; Het was billyk dat Wallis, die met de ontdekkin* het eerst zyn hoofd gebroken hadr, zich meer dan anderen ten dien opzichte in 't openbaar verdien* ftelyk maakte. Hy ontdekte dat de bedoelde Kromme één der Cubifche Parabolen was, naamlyk die waar in de teerling van den Ordinaat altoos evenredig is tot het vierkant van de Abfcisfe, Kort daar na ontdekte de Heer Wren de recbtmaaking der Cyclois, doch op eene wyze, onafhangkelyk van die van Wallis, welke daarop niet toepasfelyk gemaakt kan worden. Dus hebben wy dari twee Krommen, de eene Geometrisch, de andere Mechanisch, welke aan eene volftrekte rechtmaaking onderhevig zyn, alhoewel een groot Meetkundige, de beroemde Defcartes, niet hadt du> ven denken, dat men ooic iets diergelyks zou kunnen vinden. Dit was voor eenen Wy&geer een te overhaasten ftap, om de hulpmiddelen van 't menfchelyk verftand hoopeloos te ftellen. Men deedt kort daar na op 't vaste Land de zelfde ontdekking, welke Neil in Engeland gedaan hadt.  44Q HISTORIE der liadt. De Heer Van Heuraet was hier van de eerfte Vinder, en ging zelfs verder dan de Engelfche Meetkundigen; want hy bepaalde verfcheide andeje Parabolen, die volftrekt gerectificeerd kunnen worden. Men kan in het tweede Boek, Art. VIII. van dit Deel. de Leerwyze van Van 'Heuraet zien, benevens de redenen welke ons doen gelooven, dat hy zelfs niet eens onderricht was van 't geen kort te vooren in Engeland was voorgevallen. De wyze op welke Wallis de quadratuur des Cirkels befchouwd hadt , gaf mede aanleiding tot éene merkwaardige ontdekking. Wy hebben gezien, dat, toen hy in eenen zekeren voortgang eecen Term poogde te voegen, welke hem den Inhoud des Cirkels moest opleeveren, hy flegts eene oneindige reeks van Termen gevonden hadt, welke fteeds nader tot de waare waarde zou komen. Over deeze uitkomst weinig voldaan , en geenszins de hoop verliezende om iets beters te vinden, nam hy raad met Mylord Brouncker (V), wien hy verzocht hem met zyne krachten te willen onderfteunen. Deeze Heer, die voortreffelyke talenten voor de Meetkunde bezat, vondt wezenlyk iets, dat in zekere opzichten volkomener was, dan hetgeen Wallis gevonden hadt. Het is eene foort van reeks, die de gedaante van eenen Breuk heeft, en wel van eenen Breuk welks noemer een geheel meer eenen Breuk is, deeze laatfte desgelyks, en zo tot in 't onëindige; hetgeen daar aan den naam van geduurige Breuk heeft doen geeven, Wan- («) William Brouncker , Burggraaf van Cast el-Ly ons in Ierland, kwam in 't Jaar 1620 ter waereld. Hy was Kancelier van 't Hof der Koninginne, haar Zegelbewaarder, en in da laatfte jaaren zyns levens één der Commisfarisfen van den Tower. Toen de Koninglyke Maatfchappy haaren oorfprong nam, werdt hy tot Voorzitter van dezelve aangefteld, en geduurende omtrent «yftien jaaren van jaar tot jaar in dien post gelaaten. Hy is in 't jaar 1684 overleeden.  WISKUNDE. III. Déél. VI. Boek. 441 Wanneer, volgens Mylord Brouncker, het Vierkant 1 is, dan is de Cirkel gelyk aan deeze uitdrukking 1 a + 9 2 + 35 a + 49 2+ &c. . tot in 't onëindige voortgezet. Maar wannéér fflén dezelve afbreekt, zal men beurtelings limieten by overïreffing en by ontbreeking verkrygen. Voort* merkt Mylord Brouncker aan , dat men , om, by het afbreeken der reeks, eene naauwkeuriger benadering te hebben , den noemer des Breuks , waar mede men eindigt, met den Vierkants-wortel uit den teller moet vergrooten; door dat middel vindt men reeds by de zevende en agtfte Termen naauwere limieten, dan die van Archimedes. Wallis, ons deeze vinding mededeelende , heeft ons tevens bekend gemaakt de wyze , op welke Brouncker tot dezelve gekomen is. (d) De Meetkunde is aan Mylord Brouncker eene andere merkwaardige vinding verfchuldigd ; naamlyk de eerfte onëindige reeks, die gegeeven is om den inhoud van den 'Hyperbool uit te drukken. Hy was reeds in 't jaar 1657 in het bezit van dezelve j want Wallis maakte dezelve toen , in de Opdragc van een Gefchrift tegen Meibomius, bekend. Broune. kert door andere bezigheden verhinderd, verwylda met f» De Heer Euler heeft In de Memorieii van Petérsburg (van 't jaar 1737) over deeze foort van Breuken eene voortreffelyke Memorie gegeeven, welke hy op btf< zondere onderwerpen toepast. Gg  44» HISTORIE der met dezelve in *t licht te geeven tot in den Jaare 1608, toen Mercator, die aan zyne zyde eene foortgelyke reeks gevonden hadt, en op het punt ftondt om zyne Logarithmotecfnia in *t licht te brengen , hem zyn geheim ontfutfelde. Hy ontdekte hetzelve in de Philofophifche transëdien n°. 34. - Zie hier deeze reeks: C (Fig. 84.) het middelpunt zynde van eenen gelykzydigen Hyperbool, en CA het ingefchreeven Vierkant tusfehen zyne Afymptoten ~ 1 , laat BDrCB zynj dan toont Mylord Brouncker r dat de ruimte ABDEGA gelyk is aan deeze onëindige reeks 1 1 1 1 van afneemende Breuken, 5- — + 1 f~ 1.2 3.4 5.6 7,8 * 11 ——, &c.; dat de ruimte AGEF zz j (• SMO 2.3 4.5 1 1 —, &c., en eindelyk het Segment AGEA — 6.7 1 1 2.3.4, °\ 1 , &c. is. De wyze op welke 4.5.6 6.7.8 Brouncker dit betoogt , is te eenvoudig , om mee ftilzwygen voorbygegaan te worden. Hy neemt eerst den gtootflen Rechthoek BE , in de Hyperbolifche ruimte befchreeven; vervolgens deelt hy den Bafis BD in tweeën gelyk, en berekent de waarde van den Rechthoek 2. Hy gaat voort om desgelyks ieder der beide helften BH, HD in tweeën gelyk te deelen9 gelyk mede de deelen BI, IK, enz,, waar door hy de Rechthoeken 3,4,5,6,7, 8,enz. bekomt. Nu 1 1 vindt men gemaklyk, dat de Rechthoek I is--—y 2 1.2 li I dat de Rechthoek a is —x—, of —— j dat de 1.2 1.6 3,4 1 1 twee volgenden 3, 4 refpeöivelyk zyn —, —| 5.6 7.8  WISKUNDE. III. Deel VI. Boek. 443 dat de Vier Rechthoeken 5, 6, 7, 8, die hier na vol1 1 1 1 gett * éyn -—* ^——> » ~'' enz» 9,10 11.12 13-14 i5- iö Derhalven zal deëze reeks van Breuken, tot in t onëindige voortgezet, alle de Rechthoeken, zodanig ingefchreeven, als wy nu hebben doen zien, influiten en by gevolg de Inhoud der Hyperbolifche ruimte AEG DB zyn. Door op de zelfde wyze de rechthoeken , welke in de ruimte AFEG geduurig ingefchreeven wórden, of de Driehoeken, in het Segment AEG befchreeven, te berekenen, vindt hy de beide laatfte reekfen. Men kan, met behulp yan elk. derzélven, de waarde van den Hyperbolifchen Inhoud tusfehen de Afympmen in verfcheide tiende-deelea berekenen : Brouncker geeft daar van voorbeelden, en vindt, door deeze Leerwyze, de Hyptrboltjchi Logarithmen van 2 eo 10. Eindelyk zyn wy, in zékere opzichten , aan de Rekenkunst der onëindigen van Wallis de voortreftelyke ontdekking verfchuldigd , met welke de Meetkundige Nicolaas Mercator (« zich eenige jaaren daar öa beroemd maakte. Want terwyl hy zich onledig hielde (b) Nicotaas Mercator (in't Hóogduitsch Kauffmanti) was afkomstig uit het Hertogdom Holftein. Hy kwam zich omtrent het jaar 1660 in Engeland nederzetten: woonde aldaar geduurende het overige van zynen leeftyd, en was één der eerfte Leden van de Koninglyke Maatfchappy.' De juiste tyd van zyne geboorte en van zynen dood is ons onbekend. Men heeft van hem verfcheide Werken j waar van de volgende de voornaamften zyn. IJymh. Aftron. nova. Lond. 1664. Van deeze onderftelling (Hypothefts) is op het einde van het IV. Boek deezes Deels gefproken. Lozarithmotechnia, &c. Ibid. 16Ó8 * in 4°- Biftit. Aftron. Ibid. 1678, in 8°. Het moeit ons , voor de eere van dien bekwaamenWiskunftenaar, dat men na zynen dood, onder zyne papieren, eene Verhandeling over de SterrenWichelaary gevonden hebbe. Zie le Supplément * Bayl:*;, zal men onderftellende, dat x wordt x + e, en de Ordinaat in den zelfden tyd y-\-a,deeze andere Vergelyking hebben W + aay + aa-px+pe. Wanneer wy nu hiervan tt-px aftrekken-, zal 'er overblyven aay-'raa-pe, of, om dat aa onëindig klein is, 2ay=:pe. Derhalven a-e..p-2yp:2\/px. Maar a ftaat tot e, als de Ordinaat tot de'Onderraaklyn ; derhalven a : e, of p : 2 V 1» * l::P[/px:2px-]::{/px:2x; by gevolg is de gezochte Onderraaklyn gelyk aan 2 x. Gg 5  453 HISTORIE der noemd. Gok is 'er eene groote overeenkomst tusfcheD de handeiwyze, op welke men den Differeit' giaal, of de Fluxie, van eene Grootheid neemt, en die welke Barrow gebruikt, om de betrekking der letteren e, a te vinden. Het was hem zelfs niet onmogelyk zyne Leerwyze op de irrationaal uitdrukkingen toepasfelyk te maaken, zo dat hy byna tot de vinding der Differentiaal-Rekening gekomen was, en het dus niet noodig is tot iets anders, dan tot zyne \Verken , toevlucht te neemen , om 'er den oorfprong van deeze Rekening ia te vinden. IV. Zodanig was de ftaat van de Meetkunde en Analyfis, toen de Heer Newton ten voorfchyn tradt. Deese, in zo veele opzichten , onfterflyke man werdt den s5 December 1642 (oude ftyl) te fFoolftrop, in het Landfchap Lincoln, gebooren uit een edel Gedacht, dat federt twee eeuwen de Heerlykheid van dien naam bezat, en van New-Town, eene ftad van het Landfchap Lancafier, afkomstig was. Hy nam zyne eerfte ftudien waar in het Collegie van Grantkam , waarheen hy in den ouderdom van twaalf jaaren gezonden werdt. Toen deeze volbragt waren , rekende zyne Moeder het haar tot eenen plicht hem in het huis zyns Vaders te rug te roe. pen, ten .einde een begin te maaken om voor zyne zaaken te zorgen; doch Newton bragt van de Hooge Schoole niets anders terug , dan een verftand dat van die foort van bezigheden zo verre vervreemd was , en tot de Studie eene zodanige geneigdheid toonde, dat men hem naar dezelve te rug moest zenden, om in ftaat gefteld te worden zynen fmaak te volgen. Alstoen begon hy zich op de Hudie der Wiskunde toe te leggen. Een zo verheven vernuft hadt niet. noodig den gewoonen weg te volgen; Newton deedt, zegt men, niets anders dan de Beginfelen van Euclides met een vluchtig @og te doorloopen | op ftaande voet ging hy tot Boe*  WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 451 Boeken van de Hooge Meetkunde over, als de Meetkunde van Defcartes, en de Rekenkunst der on. 'eindigen yan Wallis. Toen hy deeze Werken las, bepaalde hy zich niet flegts tot het oogmerk orn dezelven te verftaan ; maar, daar hy zyne inzichten verre buiten die des Schryvers uitbreidde , deedt hv, als by gelegenheid, eenen ruimen oogst van ontdekkingen. Aldus kwamen hem zyne eerfte 4naUtifche vindingen voor den geest, zo als men zien zal uit het verhaal, 't welk wy daar van zullen doen. : ■' ..■ Het leedt niet lang of de verdienste van den Heer Newton werdt aiömme bekend. De D. Barrow , een zo goed kenner van zodanige ftoffen, leerde hem kennen , bewonderde hem , en hielp hem in zynen Post van Hoogleeraar te Cambridge, na alvoorens zelf afftand daarvan gedaan te hebben. Hy hadt toen nog flegts zeven-en-twintig jaaren be. reikt; maar hy was reeds in 't bezit, en zelfs federt eenige jaaren , van twee zyner fchoonfte ontdekkingen , naamlyk zyne Theorie van het licht, en zyne F/ax/e-Rekening. Hy begon toen de eerfte te verklaaren in zyne Gezichtkundige Lesfen ^ een verheven Werk, zo door de navorfchingen der Gezicht- en gemengde Meetkunde , welke daar in verfpreid zyn, als door die nieuwe Theorie, welke het hoofdönderwerp daar van is. In den zelfden tyd bragt hy zyne Verhandeling, getyteld Leerwyze der Fluxien, in orde, met voorneemen om dezelve, te geiyk met de voorgaande, ten eerften in 't licht te geeven. Maar de voorbaarige tegenwerpingen, welke van verfcheide zyden tegen zyne Gezichtkundige ontdekkingen ingebragt werden, zo dra hy den korten inhoud derzelven in de Tranfa&ien aangekondigd hadt, deeden hem van zyn voorneemen afzien. Meer bevalligheids vindende in rust dan in eere en roem , hieldt hy ze beiden verborgen* Ontelbaare ontdekkingen, en verfcheide Gefchriften zyn het werk van dien tyd, toen hy te Cambridge de Wiskunde leeraarde, onder anderen zyne WH* #«39  45» HISTORIE der kundige Grondbeginfelen der Natuurlyke Wyslegeerte, dat onfterflyk Boek, 't welk altoos de verwondering van alle de verlichte eeuwen zal zyn. Wy zullen op eene andere plaats een zo uitgebreid verflag daar van doen, dat wy hier, om in geene noodelooze herhaalingen te treeden, ons bepaalen zullen tot deeze loffpraak , eene nog te flaauwe uitdrukking van de achting, welke men aan dat verheven voortbrengfel des menschlyken verftands verfchul. digd is. Eene verdienfte als die van den Heer Newton, was een ander tooneel waardig dan dat, waarop wy hem tot hiertoe gezien hebben. Men toonde zulks in den Jaare 1696. Mylord Montague. Graaf van Hallifax, hielp hem aan den Post van Opziener der Munthuizen te London. Newton bekleedde denzelven als een man van vernuft, en deedt, in zekere moeilyke omftandigheden , zodanige verrichtingen, welke even zo geleerd als nuttig waren. In den Jaare 1705 werdt hy door de Koninginne Anna tot Ridder verkooren. Deeze Vorftin bepaalde zich niet flegts tot deeze gunst: zy deedt zelfs hem dikwyls de eere van met hem over de geleerdfte ftofTen te fpreeken , en men hoorde haar meer dan eens zich zelve gelukkig achten , van eenen zo grooten man tot haaren tydgecoot en onderdaan gehad te hebben. De Heer Newton leefde tot in den ouderdom van byna 80 jaaren in eene voorfpoedige gezondheid. Alstoen begon dezelve af te neemen, en in 't begin des Jaars 1727 werdt hy van den fteen aangetast. In die omftandigheid toonde hy even zo veel ftandvastigheid, als hy, geduurende den Joop zyns levens, fchranderheid getoond hadt. In 't midden der fmartelyke toevallen, welke aan zyne dagen een einde maakten, hoorde men hem nimmer eenige klagte uitboezemen , en zo de zweetdruppelen, welke langs zyn voorhoofd afbiggelden, geen tekenen waren geweest van de hevige fmarte, welke hy inwendig gevoelde, zou men gedacht hebben» dat hy zich  WISKUNDE. III. Deel. VI. Bock. 453 zich in eenen bedaarden toeftand bevondt. Eindelyk ftieif hy den 20 Maart 1727 Coude ftylj, in den ouderdom van 84 jaaren en drie maandenGroot-Brittan je dacht te moeten toonen , dat bet gevoelig was over de eere van een zo bovenge» meen man voortgebragt te hebben. Zyn lyk werdt naar de Abtdy van fflestminfier gebragt, en aldaar op een praalbed ten toon gefteld. Van daar werdt het naar de plaats, ter zyner begravinge gefchikt, met een tahyk gevolg der grootfte Heeren gevoerd. De Groot-Kancelier van Engeland , de Hertogen van Montrofe en Roxbury, de Graaven van Pembroek , Sus/ex en Maclcsfield rekenden het zich tot eene eere, dat zy het rouwkleed droegen. Naderhand lieten zyne naastbellaanden hem een gedenkteken oprichten, waarop men dit Graffchrift leest: H. S. E. Isaacüs Newtokus, eques auratus, qui animi ri propè divind, planetarum moius , figuras , cometarum Jèmitas, Oceanique ajlus, ft;d Mathefi lucem preferente, primus demonflravit. Radiorum lucis disfitnilitudines , colorumque indé nafcentium proprietates, quas nemo antè fuspicatus erat, perveftigant. Naturce, ytntiquitatis, S. Sctip'^ fedulus, fagax, fidus, inttr» pres , Dei O. M. Majeftatem Philofophid aperuit, Evangelii fimpdcitaiem tnoribus expres fit. Sibi gratu. lentur mortales tak tantumque extitisfe humani generis dccus» Natus XXV, Decemb. A. D. MDCXLH; obiit Martii XX. MDCCXXVI (g). De Werken van den Heer Newton zyn meenigvuldig in getal : zie hier dezelve kottelyk byëen verzameld , naar den tyd waar in zy gedrukt zyn* Wy gaan eenigzins ftilzwygende voorby de aante- ke- (g) Dat is te zeggen 1727 , om dat in Engeland het Jaar eerst met Paafchen begint (*) (*; Of dit voormaals heeft plaats gehad , is onze narpooring ontglipt. Zeker is het, dat in Engeland reeds federt veele Jaaren den nieuwen of Gregoriaanfchen flyl gevolgd wordt. Vertaaler.  454 HISTORiE der keringen , waar mede hy de Editie der Jaïdryfa. kunde van Vatenius , in den Jaare 1672 in 't licht gegeeven, verrykte, om ons by zyne Grondbégin* felen der Natuurlyke fpysbegeerte op te houden. Dat verheven Boek kwam in 't Jaar 1687 in 't licht (h), en is naderhand verfcheide maaien herdrukt. De Vaders Jacquier en le Sueur, van de Order der Minderbroeders, en fchrandere Meetkundigen, heb. ben hetzelve van geleerde uitleggingen en ophelderingen voorzien (i) « en 'er zal binnen kolt (A) eene Franfche overzetting van hetzelve, benevens eene opheldering der gewichtigfte plaatfen, in 't licht verfchynen; een Werk van Madame de Markgraavin du Chdtelet, waaröver de Heer Clairaut , die, te gelyk met veele andere beroemde Meeikun.. digen de bouwttoffen daar toe gekeverd heeft, het opzicht heeft gehad. Inden Jaare 1704 gaf de Heer Newton in 't licht zyne Gezichtkunde O), benevens de beide Latynfche Verhandelingen, De Quadraturd curvarum, (f Enumeratio curvarum tertii ordinis, na* derhand, en wel in den Jaare 1711, met twee andere Latynfche Schriften van den Heer Newton, naamlyk zyne Analyfis per cequat. numero terminorum infinitas, en zyne Methodus differentialh, herdrukt. De twee eerfte van deeze Verhandelingen zyn met ophelderende aantekeningen voorzien, naamlyk de eer* (fi) Cantabrig. in-40. 1687. Ibid, 1713, & Amfiel. 1714* Lond. 1726. Van dit Werk is eene Engeifche Overzetting, door den Heer Machin met aantekeningen verrykt, welke 3n den Jaare 1739 in 2 Deelen in-8°. het licht zag. C») Vhil. Nat. principid Math. perpetuis Comm. illufirata. Geneve 174a. 3 vol. in.40. (k) Deeze Franfche Overzetting: is , onder den tytel tan Principes MatMmatiques de la Philofopkie naturelle, twee Deelen in 40., in 't Jaar 1759 in druk gegeeven. Vertaaler. (/) In 't Engelsen Lond. in.40. Ibid. 1717 en 1721, irï 8?. Latinè Lond. 1706, 1719, in-40. Ia 't Fransen, Amfitri. 1720, en Parys 1722, ia-S0*  WISKUNDE. II!. Deel VI. Boek. 455 eerfte door den Heer Steward, de andere door den beroemden Meetkundige den Heer Stirling 0»), Wy komen voor eenige oogenbükken tot het voorige terug, ten einde niet te vergeeten de Arithmeiica univerfalis, die in den jaare 1707 het licht zag j wy hebben reeds op eene andere plaats eene gepaste befchryving van dat Werk gedaan, waar na wy den Leezer verzenden. Na het overlyden van den Heef Newton zyn nog verfcheide Werken van hem uitgekomen , welke hy, zo by gebrek aan tyd, als door onachtzaamheid, niet in 't licht gegeeven hadt: zódanige zyn zyne Gezichikundige Lesfen, een Werk meerendeels verfchiilende van zyne Gezichtkunde? in 1718; zyn Boek de Sy/iemate Mundi, in 3731; zyne Leerwyze der Fluxiïn en oneindige reekfen , in 1736 in 't Engelsen uitgegeeven,, en waarvan wy eene Franfche Overzetting hebben, welke de Heer de Buffert in 't Jaar 1740 in 't licht gebragt heeft» Wy moeten niet verzuimen te fpreeken van zyne Verbeterde Tyd» rekenkunde der oude Koningryken, een Werk dat insgelyks na zynen dood, naamlyk in "l Jaar 1738, hes Hcht zag, en waar van reeds heimelyk in 't jaar 1725 het kort begrip te Parys was uitgegeeven. Zo het tydrekenkundig ftelfel, 't welk de Heer Newton in hetzelve tracht in te voeren , al geen waarheid zy, h het ten minsten aanlokkelyk, en bewyst de groote geleerdheid, welke deszelfs Autheur by zyne Wiskundige weetenfehappen voegde. Wy zuller* flegts in 't voojbygaan aan flippen zyne Aanmerkingen betreffende de voorzeggingen van Daniël en de Apocalypjis, of de Gpenbaaringe Joannis. In andere plaatfen dan Geneve en London zou men het, voor de eere van den HeeriVeiWö», van 't grootfte belang gerekend hebben, dat die Aanmerkingen nimmer het licht gezien hadden. Alle die Schriften eindelyk „ behalven de Grondbeginfelen der Natuurlyke Wysbegeerte, de Arithmetica univerfalis, en de Gezichtkunde , zyn 0») Illuftrath traU. D. Newtoni, de emmeratiene cwc turn tertii ordinis. Oxon, 1717»  456 HISTORIE der zyn onder den tytel van Opuscula verzameld, en te Gerieve in drie Deelen in 40. uitgegeeven. Men vindt daar in ook eene meenigte frakken, uit de Transactiën, het Commerciam Epiftolicum, en andere Werken getrokken. De optelling van alle die Hukken zou te wydloopig zyn ; wy verkiezen liever tot den voordragt der Analytifche ontdekkingen van den Heer Newton overtegaan. De denkbeelden van Wallis over de tusfchenvoegingen (interpolationes) waren de aanleiding tot de eerfte ontdekkingen van Newton. Toen hy zich de eerfte maal in de loopbaane der Wiskunde begaf, hetgeen op *t einde van 't Jaar 16Ó3 gebeurde, was één der eerfte Boeken, welke hy las, de Rekenkunst der onëindigen, waar van wy zo dikwerf gefproken hebben. Men herinnere zien, dat Wallis daar in de handeiwyze toonde , om alle kromme Lynen te qua' drateeren, waar van f> de Abfcisfe zyndej) de Ordinaat, zo lang m een geheel, pofitif getal of nul was, uitgedrukt werdt door 1 — xx\m • en dat, wanneer men m achtervolgens gelyk aan o, i, 3, 3. enz. onderftelde, de Inhouden , welke tnet de Abfcisfe x overeenkwamen,tefpetlivelyk zouden zyn x, *— ij3, *-!*a-H*5, »'r*'*j»5Tf*'ygfo Dus, zeide hy, even als de Exponent van 1—xx\*, welke de uitdrukking van den Ordinaat des Cirkels is, de midden-Zm» tusfehen oen 1 is, zo is ook in de reeks x,x—ja;3, &c. de waarde van den Cirkel» boog, die met de Abfcisfe x overëenftemt, de midden -Term tusfehen de twee eerften ar, x — fa;3. Doch in het vinden van dien Term kon Wallis zyn. oogmerk niet bereiken; deeze ontdekking was voor eene der eerfte poogingen van den Heer Newton be>fpaard, Wy zullen, in navolging van hem zei ven, den Leezer de gefchiedenis zyner overdenkingen van dat onderwerp mededeelen (»> Om C») Comm. Epijl. de Analyfi promotA, p. 67. Newtoni Opw fcula. T. 1. P. 328. *  WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 45? Om hetgeen wy hier te zeggen hebben klaar Voor oogen te ftellen, moeten wy de reeks der uitdrukkingen , tusfehen de twee eerften van welken eene andere gevoegd moet worden , op eene duidelyker wyze voordragen. Tot dat einde zullen Wy dezelve overbrengen tot eéne foort van Tafel , welke de vier of vyf eerften zal bevatten. Deeze zyn: x. x — fat3. ac— !*3-H *5. x—*x3-}-3xs — $x7. * —jX3 + ZX5 — $X7 -<-| Indien wy nu deeze Tafel met aandacht gade liaan, zullen wy befjjeuren, i°. Dat alle de eerfte Termen x zyn, a°. Dat de tekens beurtelings pofitif én negatif zyn. 30. Dat in dezelve de magten van * by onëvene trappen aangroeijen. Deeze moeten derhalven voorwaarden zyn , welke de gezochte uitdrukking , benevens de voorgaanden gemeen hebben; en naardien het gemaklyk is zich daar na te richten, blyft 'er niets meer overig dan de Coëfficiënten, welke nog eenige zwaarigheid kunnen opleveren. Tot dat einde zullen wy nogmaals met den Heer Newton aanmerken, dat de noemer van eiken Breuk , welke de Coëfficiënt van eiken Term uitmaakt, de Exponent zelf der magt van x in dien Term is. Ten opzichte der tellers in de tweede kolom befpeurt men , dat dezelve met gelyke verfchillen aangroeijen; in de derde kolom zyn ze da driehoekige getallen 1,3,6, enz. In de vierde de piramidaale getallen 1, 4, 10, enz. Deeze befchouwing bragt den Heer Newton ongetwyifeld tot de ontdekking, dat, m de Exponent van 1 — xx zynde , de reeks van die tellers in 't algemeen zou zyn 1, m, jfcfÖ , , £rV. 1. 2 1. 2. 3 Indedaad, wanneer m eenig geheel getal uitdrukt, Hh éaéri  45» HISTORIE der dan is de algemeene uitdrukking van de reeks der driehoekige getallen ; m* m~~ 1*m a 1. 2. 3 is die der piramidaale getallen. Het is gemaklyk met bekende Termen de proef daar van te neemen; nademaa'. derhalven deeze uitdrukkingen ten opzichte van m waarheid zyn, zo lang m een geheel getal is, zullen zy het desgelyks zyn , als m een gebroken getal, by voorbeeld i in het tegenwoordig geval, is. Dus zyn de gezochte tellers voor den midden-Term, tusfehen den eerften en tweeden van de bovenftaan- 1 —i i —5 de reeks, i, —, —,—,—, welke refpeStivelyk 2 8 16 128 vermeenigvuldigende de Termen, die, zo als wy ge. zien hebben , moeten zyn x, , , , + 3 5 7 • , &c, voor de gezochte reeks voortbrengen 9 i i i ac—-£*3 xs x7—• —— x9 ÉrV. Deeze 8.5 16.7 118.9 is de Waarde des Inhouds van het Segment eens Cirkels, dat met de Abfcisfe x, van het middelpunt te beginnen genomen, overëenftemr.. De Heer Newton befpeurJe niet lang daarna, dat 'er eene eenvoudiger handeiwyze was, om de zelfde reeks te vinden; naamlyk, om, door de gewoone Leerwyze, uit 1 — xx den Vierkants-Wortel te trekken, en de bewerking 20 lang voort te zetten, tot dat men een genotgzaam groot getal Termen hebbe , om de wet van den voortgang te befpeuren. Langs dtezen weg _ xx x* x6 bevindt men, dat xx is 1 — — 5 2 8 16 Tas *8, &c. hetgeen naar de regelen van de Rekenkunst der onëindigen behandeld zynde , de zelfde reeks als boven voortbrengt» I>ee-  WISKUNDE. III. Deel. VI. Beek. 45$ Deeze ontdekking ftelde Newton in 't bezit van eene andere, die niet minder belangwaardig was, en natuurlyk die, waar van wy nu gehandeld heb* ben, hadt behooren voor te gaan, indien het vindend vernuft altoos den gemaklykften weg volgde. Dee» 2e is de ontbinding der magt I.—xx\m (m eenig getal zynde) in eene rationaale uitdrukking. Hy merkte aan, dat men in de voorgaande Formule flegts de noemers 3,5,7 weSte laaten, en elke magt eene éénheid te verlaagen hadt, enz. Dus is i + ^a?[ff' niets anders, dan 1 -f « **+ — * xl—h — I.S ! ™'J"~l-fïfZ3x6 &c. hetgeen ook de algemeene 1. 2. 3 _ uitdrukking van a + b\m voortbrengt; want«+l]** ~am x(i1r^)'W" Maar (W)M is 1 ~^.mX -h^"EL - + men heeft i, 1 a' i. 2. 3 a fit • derhalven, door dat alles met a te vermeenigvuU digen , men heeft, zeg ik , ^a-*rb ^mZZamftzmi am"lb + am~ V, &c. Dit klein ge- 1. 2 tal Termen is genoegzaam, om de wet van den voort» gang aan te wyzen. Dezelve zal geheel afloopen^ als m een geheel en pofitif getal is; want alsdan zal het gebeuren, dat m min een getal van den natuurly* ken voortgang nul wordt, hetgeen dien Term, als mede ieder der volgenden , nul zal maaken. Als m negatif, of een gebroken getal is, zal deeze reeks een onëindig getal Termen hebben. Deeze is de beroemde Regel, die gemeenlyk het Binomium van Hh a New*  4<5o HISTORIE der Newton genoemd wordt, een Regel van een onëin» dig gebruik in de gewoone Analyfis, ten aanzien van de benaderde en vaardige uittrekking der wortelen, gelyk mede in de /«/ff^rvw/ Rekening. De Heer Newton was reeds tot deeze en verfcbei» de andere ontdekkingen opgeklommen, veele Jaaren vóór dat Mercator zyne Logarithmotechnia in 't licht gaf, een Werk dat flegts een byzonder geval van de bovengemelde Theorie bevat. Doch door eene onmaatige ingetogenheid , gevoegd by zyne onverfnhilligheid ten aanzien van die vruchten zyns vernufts, haastte hy zich niet om zich bekend te doen worden, door dezelve in 't licht te geeven. Middelerwyl kwam het Werk van Mercator voor den dag: dit zou voor iemand anders eene krachtige aanprikkeling geweest zyn, om met allen fpoed deel te neemen aan den roem , welke met die voortreffelyke ontdekkingen verbonden was; doch geheel in tegendeel diende zulks tot niets anders, als om New» ton ïn zyn befluit te verlierken. Hy dacht dat Mercator, die, zo als gezegd is, de reeks voor den Hyperbool gevonden hadt , ook eerlang zyne Leerwyze tot den Cirkel en andere kromme Lynen zou uitbreiden, of dat, ingevalle Mercator zulks niet deedt, deeze vinding anderen niet zou onglippen. Het is in de daad verwonderenswaardig, dat Mercator , die, door de gewoone deeling, de uitdrukking i:i+* 10 eeDe onëindige reeks hadt opgelost , niet op het denkbeeld is gevallen , om ten aanzien der uitdrukkinge i/i + xx de worteltrekking te beproeven. De Heer Newton eindelyk verbeeldde zich, dat hy nog geen genoegzaam rypen ouderdom bereikt hadt, om iets in openbaaren druk te durven uitgeeven (o), een zeldzaam voorbeeld van ingetogenheid , en dat wel waardig is vergeleeken te worden met het vertrouwen van die Schry- vers, («) Newt. Epift. poft, comm, Epifl.  WISKUNDE, III. Deel, VI. Boek. 461 vers welken wy zo dikwyls over doffen zien fchryven, vóór dac zy zich in dezelven geöeffend hebben. . , De Heer Newton geraakte alstoen m kennis met den D. Barrow. Deeze geleerde Meetkundige bemerkte aanltonds de groote verdiende van dien voortreffelyken man ; hy vermaande hem om toch niet langer zo veel fchatten in de aarde te begra» ven, en verwierf van hem de vergunning, om een gefchrift, *t welk den korten inhoud van fommige dier ontdekkingen bevatte, aan één zyner vrienden te London te zenden. Dit Gefchrift is net zelfde dat naderhand is uitgekomen, onder den tytel van Analyfis per eequationes numero ter minor urn infinitas. Behalven de vinding der wortelen uit alle Vergelykingen , en de Leerwyze om de gebrokene of irratitmaale uitdrukkingen in onëindige reekfen te herleiden, bevat hetzelve de toepasfing van alle die vindingen op de quadratuur en de reftificeering der kromme Lynen, benevens verfcheide reekfen voor den Cirkel en Hyperbool. Men vindt daar in ook de Leerwyze van de wederkeering der reekfen, dat is te zeggen , de handeiwyze om de onbepaalde, welke in alle de Termen eener reeks komt, te ontwikkelen, en derzelver waarde door eene andere te vinden , die flegts bekende grootheden bevat, of wel de handeiwyze om weder tot de Abfcisfe of tot den Ordinaat te komen, als men eene reeks heeft , welke den Inhoud of den Boog door die Abfcisfe , of dien Ordinaat, uitdrukt. Newton bepaalt zich daar in niet flegts tot de Meetkundige kromme Lynen, maar hy geeft ook eenige voorbedden van quadraturen van Mechanifche Krommen. Hy fpreekt in dat gefchrift ook van eene Leerwyze der raaklynen, in welkers bezit hy was; eene Leerwyze die door geene irrationaale grootheden belemmerd werdt, en even zo wel op Mechanifche als op Meetkunstige Krommen toepasfelyk gemaakt konde worden. Men ziet daar in eindelyk het grondbeginfel der Fluxien en Fluenten op eene vry duidelyke wyHh 3 ze  462 HISTORIE deb ze verklaard en betoogd, zo dat het onbetwistbaar is, dat Newton van toen af aan in 't bezit van die verwonderenswaardige rekening was» Want de uitgeevers van dat gefchrift getuigen , in het Comm. Epiftolicum , dat het getrouwelyk is uitgegeeven naar de Copy, welke Collins, naar het handfchrift door Barrow gezonden , daar uit getrokken hadt. Kort daar na verledigde zich de Heer Newton, door Barrow daar toe aangezocht, om 't geen in dat gefchrift flegts kört en met eene ongemeene keurigheid voorgedragen wordt, verder uit te breiden; hetgeen aanleiding gaf tot het Werk , getyteld : Methodus Flttxionum , £f Serierum inpZnitarum. In den Jaare 1671 kwam hy tot het befluit, om het, als een vervolg op de Algebra van eenen zekeren Kinckhuyfen , welke hy met zyne aantekeningen verrykt hadt, te laaten drukken. Dit ontwerp hadt geen plaats, uit hoofde van eenen brand, die een gedeelte van zyne papieren verteerde , en onder anderen ook deeze Verhandeling, achter welke hy de zyne wilde voegen. Vervolgens ttondt hy op" het punt om dezelve met zyne Gezichtkundige Lesfen in 't licht te geeven; doch in aanfchouw neemende de vitteryen, welke hy, by gelegenheid van zyne ontdekkingen over het licht, reeds moest verkroppen, nam hy het befluit om die beide Verhandelingen niet uit te geeven: deeze zyn de oorzaaken waaröai die uitmuntende Verhandeling, door den Autheur, tot groot nadeel der Meetkunde, eenen zo geruimen tyd in ;c ftof der vergeetelheid is begraven geworden, V, Wy mogen niet langer uitftellen om den Leezer een duidelyk denkbeeld te geeven van het grondbeginfel, op *t welk de Leerwyze, waar van wy fpreeken, gevestigd is. Want fchoon zy ten aanzien van het gewrocht de zelfde zy als die der Differentiaal. Rekening, is nogthans de wyze op welke Newton de zyne befchouwt in alle opzichten veel verfïaan- baa-  WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 463 baarer. Wat meer is, deeze handeiwyze hseft het voordeel van alle de zwaarigheden te voorkomen , welke men tegen de Rekening van Leibnitz heeft opgeworpen , ten minften in 't geen de tweede verfchillen betreft. Deeze zwaarigheden zyn, wel is waar, flegts hairklooveryen; maar het is altoos eene verdienfte de zaaken onder een zo helder gezichtpunt voor te dragen , dat de vittery niets vinden kunne, om zich aan te hechten. De Newtoniaanfche Leerwyze der Fluxiett en Fittenten is op de duidelyke denkbeelden der beweeginge gegrond. Wanneer een lighaam zich gelykmaatig beweegt, is de fnelheid, die het in elk oogenblik heeft, dezelfde; maar het is anders gelegen met een lighaam, dat zich met eene verfnelde beweeging beweegt , dat , by voorbeeld, uit kracht van zyne zwaarte valt. Dit lighaam heeft in elk oogenblik eene verfchillende fnelheid, en deeze fnelheid is die met welke het zich zou blyven beweegen, indien de zwaarte of kracht , die het verfnelt, ophieldt haare werking op hetzelve te oeffenen. Het is even zo gelegen met de vertraagde beweeging; de fnelheid in ieder punt der , met eene gelyke beweeging, doorgeloopene ruimte, is die met welke het lighaam volharden zou zich te beweegen, indien de vertraagende oorzaak haare werking ftaakte. De fnelheid eens lighaams , met eene , 't zy verfnelde of vertraagde, beweeging bewogen, zou gemeeten kunnen worden door de ruimte , welke dat lighaam in een zekeren gegeeven tyd zou doorloopen , indien zyne beweeging ophieldt veranderd te worden door de werking der oorzaake, waar van boven gefproken is. Dit nu wordt met eene lichtfpreidende klaarheid op de Theorie der Fluxien toegepast. Iedere kromme lyn kan begreepen worden met twee beweegingen befchreeven te zyn ; de eene is die van den Ordinaat, evenwydig met zich zeiven langs de Abfcisfe verplaatst, de andere die van een punt dat den Ordinaat doorloopt, terwyl het zich fteeds van Hh 4 den  464 HISTORIE der den As, of het uiterfte van dien Ordinaat, verwy dert. Om de denkbeelden eenvoudiger te maaken onderdek men, dat de eerfte gelykmaatig is; maar de tweede is veranderlyk, anders zou de Kromme in eene rechte Lyn veranderen, zo als gemaklyk te zien is. Zo dezelve verfnellende is, zal die Kromme naar haaren As uitgebogen zyn , en het tegendeel zal plaats hebben als de beweeging vertraagende is. Doch in ieder punt, waar toe de beweegende oorzaak C (Fig. 87) gekomen is, zal de fnelheid, met welke dezelve vloeit,of zich langs BC beweegt, het geen de Heer Newton de Fluxie van den Ordinaat noemt, uitgedrukt worden, niet door de ruimte Ee, die dezelve doorloopen zal in den tyd, geduurende welken de Ordinaat Bb zal doorloopen, maar door de ruimte Ee, welke dezelve met de in het punt C verkreegene fnelheid , zonder vermeerdering noch vermindering behouden , zoude doorloopen. Want dit befchryvend punt komt niet in e, als uit kracht der verfnelling of vertraaging, welke het ondergaat geduurende den tyd, dien de Ordinaat befteedt om Bb te doorloopen, nademaal, indien het niet verfneld of vertraagd was, de ruimte, die het doorgeloopen hadt, geweest zou zyn de Lyn Ee, tusfehen de evenwydige CE en de raaklyn in het punt C befloten. Hetgeen wy zo even gezegd hebben toont reeds het grondbeginfel van den Regel der raaklynen in deeze Rekening. Zonder eenige harde onderftelling te doen, als deeze, dat de onëindig kleine deelen eener Kromme rechte Lynen, en de raaklynen haare verlengfelen zyn, kan men de wydte tusfehen twee Ordinaten, naar welgevallen genomen, BC, bc, zo groot neemen als men begeert; en zo F Ce eene raaklyn in het punt C, en CE evenwydig aan den As is, zal CE de Fluxie van de Abfcisfe, en Ee de overëenkomftige Fluxie van den Ordinaat zyn, zulks dat het klaarblyklyk is, dat de Fluxie van den Or. dinaat ftaat tot die van de Abfcisfe, als de Ordinaat $gt de Subtqngens of Onderraaklyn. Vervolgens zal meq  WIS RUN DE. III. Deel. VI. Boek. 46J men zien, hoe men, door de Analytifche uitdrnkking der Kromme, de betrekking van die beide Fluxien vindt. Desgelyks is de Lyn Ce de Fluxie der kromme Lyn AC; dus ziet men nog daar benevens, dac het vierkant van de Fluxie der Kromme gelyk is aan de fom van die der Fluxien van de CcOrdinaten, hetgeen het grondbeginfel der reciificeeringen (reetificationes') is. Het is niet veel moeijelyker, met behulp der bo» ven voorgedragene grondbeginfelen , te bepaalen welke de Fluxie van eenen kromlynigen Inhoud is. Dezelve is geenszins de ruimte CBbc(Fig. 88), met welke die Inhoud wezenlyk aangroeit , maar den Rechthoek BE, gevormd van den Ordinaat door de Fluxie van de Abfcisfe Want, om bet eenvoudiglte voorbeeld te neeroen, in den Driehoek, waar inde Abfcisfe gelykmaatig vloeit, groeit of vloeit de Inhoud met eene verfnelde beweeging , naardien in gelyke tyden de aangroeijingen hoe langer hoe grooter zyn. Nu is het klaarblyklyk, dat hec Driehoekje CEe datgeen is, 'c welk uit kracht van die verfnelling wordt voortgebragt. Derhalven moet men hetzelve verwerpen; en de waare fnelheid van den aangroeijenden Inhoud ABC, wanneer dezelve tot die grootte gekomen is, is de Kechthoek CB bc. Hetgeen wy nu van den Driehoek gezegd hebben, wordt gemaklyk op andere kromme Lynen toegepast. Dus is de Fluxie van eenigen Inhoud het vermeenigvuldigde van den Ordinaat met de Fluxie van de Abfcisfe. De Fluxie van een Lighaam is het vermeenigvuldigde van de Fluxie der Abfcisfe met de teelende oppervlakte, die, by voorbeeld, den Cirkel, met den ftraal BC befchreeven, zal zyn, als dat Lighaam den Kegel (Conus') of de Conoïde is, welke door de omwenteling der Figuur ABC rondöm AB worde voorege- Deeze wyze, om den aanwas der Figuuren tebefchouwen, geleidt ons natuurlyk tot.de Fluxien der Fluxien, en tot de Fluxien van alle rangen, zonder dat men daar tegen eenige der zwaarigheden kan inHh ^ bren,.  466 HISTORIE der brengen, welke men tegen de tweede, derde verfchillen, enz, van de Differentiaal- Rekening heeft opgeworpen. Want laaten wy ons op denzelfdea rts AB (Fig- %9) eene Kromme DdD verbeelden, waar vaa elke Ordinaat BD als de Fluxie zy van BC, of de fnelheid, die het befchryvend punt C op BC heeft. Is die fnelheid gelykmaatig, dan zal de Lyn DdD flegts eene evenwydige aan den As zyn, en by gevolg zal BD geene Fluxie hebben; ook zal 'er geene tweede Fluxie voor den Ordinaat BC zyn. Maar is de fnelheid van het punt C geduurig verhield of vertraagd, dan zal de Ordinaat BC aangroeijen of afneemen. Deeze Ordinaat zal by gevolg eene Fluxie hebben, welke klaarblyklyk de tweede van den Ordinaat BC, of deszelfs Fluxie van Fluxie zal zyn. Die voorbeeld kan ons desgelyks dienen, om aan te toonen wat de Fluxien van verdere rangen zyn. Want zo de Kromme Dd geen eenvoudige rechte Lyn, tot den As overhellende, is, zal de Ordinaat BD zelf eene tweede Fluxie hebben, die by gevolg de derde van den Ordinaat BC zal zyn. Men kan desgelyks de Fluxien der vierde, vyfde rangen enz. betoogen en tastbaar maaken. In 'c algemeen kan eene Kromme van eenen trap m geen Fluxien van een hoogeren rang hebben , dan van dien welke met m benoemd is ; maar eene Mechanifche Krom. me kan dezelve van alle trappen tot in 't onëindige hebben. Zulks heeft plaats in de Logarithmifche Lyn, om dat de Kromme op den zelfden As, welke de betrekking der eerfie Fluxien aanwyst, zelve eene Logarithmifche Lyn is; waar uit kiaariyk blykt, dat de Kromme, welke de betrekking der Fluxien van deeze zou aanwyzen, desgelyks eene Logarithmifche Lyn zou zyn, en zo tot in 't onëindige. Ma den Leezer bekend gemaakt te hebben waar in de Leerwyze der Fluxien beiraat, moeten wy thans tot eene korte verklaaring van derzelver rekening overgaan, Want het zou ons weinig baaten in 't bezit ie zyn van de grondbeginfelen , welke wy zoeven hebben voorgedragen, als ons het middel  WISKUNDE. KI. Deel. VI. Boek. 467 del ontbrak om de betrekking der Fluxien van de verfchillende foorten van grootheden , in de verfcheide gevallen , en volgens de onderfcheidene Vergelykingen der kromme Lynen, te vinden. In den beginne moet men de Fluxie van eene eenvoudige grootheid, als*, door eenig teken aanvvyzen. De Heer Newton doet zulks dan eens door ar, dan wederom door ox, fomtyds door X, of door eenige andere letter, als p. Doch het eerfte teken is dat 't welk in Engeland voor het gemeen gebruik is aangenomen , terwyl de meeste Meetkundigen van 't vaste Land zich van het teken dx bedienen. Wanneer men derhalven eene eenvoudige en veranderlyke grootheid heeft, als ar, zal het gemaklyk zyn haare Fluxie te vinden , en in tegendeel, wanneer men eene Fluxie als x heeft, zal men aanftonds zien , dat haare Fluent , of de grootheid waar van zy de Fluxie is, a: is. Desgelyks is de Fluxie van mx, 0« eene ftandvastige of onveranderlyke grootheid zyn« de) mx. Na dit geval, het eenvoudiglte en eerfte van allen, volgt dat waar in men het vermeenigvuldigde van twee grootheden heeft, als ary. Om haare Fluxie te verkrygen, verbeelde men zich een Rechthoek, als AC (Fig. 90), waar van x en 3) de zyden zyn. Even als men getoond heelt, dat de Fluxie van den Inhoud eens Driehoeks, als ABC, eenvoudig BE, en niet den geheelen Inhoud BCc£, is , is het ook gemaklyk te bewyzen, dat de Fluxie van den Rechthoek AC flegts de fom^ is van de Fluxien BE, DF, dat is te zeggen y 'x + x'y , en vice verfd , als men eene Fluxie van die gedaante heeft, zal men kunnen zeggen, dat de grootheid, waar uit zy voortkomt, xy is. Hier uit is, door de Analyfis alleen , en zonder eenige onmiddslyke befchouwing van het grondbeginfel der Fluxien, gemaklyk af te leiden de betrekking der Fluxien van alle andere foorten van grootheden , welke haare gedaante en famenftellipg ook zy. In de volgende p noot  463 HISTORIE der vont (/>") worden hier van eenige voorbeelden by« gebragt. Het (p) In de daad , naardien de Fluxie van xy is y x + xy, kan men gemaklyk bewyzen, dat die van xyz zal zyn yzx -4-xzy + Want nellende xy gelyk aan w, zal men hebben xyz~ uz, waar van de Fluxie zal zyn uz + zu, en men heeft u~y x + xy. Stellende dus in plaats van u en u haare waarden, zal men de bovenftaande uitdrukkinge hebben; waar uit gemaklyk den algemeenen Regel voor alle foortgelyke gevallen af te leiden is. Hier door wordt desgelyks getoond , dat de Fluxie van een Vierkant xx is %xx. Want, dewyl alsdan y~x is, heeft men yx + xyZZxx + x'xZZ2%x. Desgelyks zalde Fluxie van x' zyn 3r2*, en eindelyk die van xm, mxm x. En vice verfd zal de Fluent van ix'x zyn xx, en by gevolg die van xx, —. die van x'x' zal zyn —, * 3 en eindelyk die van xnx, xn+1x; dat is te zeggen, w + i dat men den Exponent met de eenheid moet vergrooten , het Fluxie-teken wegneemen, en door dien aldus vergrooten Exponent deelen. Uit den zelfden algeraeenen Regel kunnen ook de Fluxien der radicale grootheden afgeleid worden; want 1/3 is niets anders dan z>. Derhalven zal haare Fluxie zyn f»**"""1*, 0f lz~*z, of 'z:2yz. In* dien men aan dit gevolg eenigzins mogt twyffelen, zullen wy het op deeze wyze betoogen. Laat y z~y zyn: óanisz~yy, dz~2ydy, endz.ïy, of dz: 2[/z~ dy~ n de Fluxie van |/a. Desgelyks is van \/z de Fluxie »—i 2:»———. Alles wat wy zo even gezegd hebben is desn  WISKUNDE. Hl. Deel. VI. Boek. 469 Het geen wy nu over de natuur der Fluxien gezegd hebben is de korte inhoud van het uitmuntend Werk van den Heer Maclaurin, die wel byzonder zorg gedragen heeft om het denkbeeld van Newton op te helderen en te verklaaren ; en alle zwaarigheden , welke men deswegens zou kunnen opwerpen, uit den weg te ruimen. De Heer Newton maakt zich nog op eene andere wyze een denkbeeld van zyne Fluxien, naamlyk als de uiterfte redens der gelyktydige aangroeijingen van twee grootheden, die van el« gelyks waarachtig van de veelletterige grootheden, als (aaxx)". Haare Ftuxie is 2nx*X (aaxx)" Ein- y delyk als men eene grootheid heeft, gelyk deeze — , zal haare Fluxie zyn —hetgeen betoogd wordt, zo door — als yz~~ 1 aan te zien, of door —Ca te ftel- z 2 Jen; hetgeen voortbrengt y~zu, en yz za-f-wz, waar uit, door de gemeene regelen der Algebra, de Fluxie van —, gelyk aan de bovenftaande uitdrukking, wordt afgez leid- De rekening der Fluxien van den tweeden rang is volftrekt eveneens. De Fluxie van x is x , die van y is y, die van yy is 2 y y, en, yice ver/A, de Fluent van 231 y is jy. In de Vergelykingen van kromme Lynen, welke in y en x gegeeven zyn, onderftelt men doorgaans één van beiden, meesttyds de Fluxie van de ^Abfcisfe of x, ftandvastig en onveranderlyk, zulks dat x geen Fluxie heeft; dus is de Fluxie van xx flegts i». Eindelyk alle de Re. gelen, om de Fluxien der gewoone grootheden te vinden ,s zyn de zelfde om de Fluxien van Fluxien te vinden.  4?° HISTORIE der elkander afhangen. Wy zullen ons thans verledigen om dit op te helderen: men verbeelde zich eene Kromme als h Cc (Fig. 91), en iwce Ordinaten op eenen onbepaalden afltand B b, benevens de evenwydige CD. De zyden CD, Dc verbeelden de reJpecïive en, gelyktydige aangroeijingen van de AbJasje AB , en den Ordinaat BC. Laat cb tot BC raderen, en de Snylyn (Secans) Cc om het punt C draaijen, zulks dat dezelve geduurig nader by de Rasklyn komt; dan is het openbaar, dat het Driehoekje CDc meer en meer zal naderen tot de gelykvormigheid met den Driehoek ; welke door de Raaklyn CF, en de Lynen l?B, BC gevormd wordt. Derhalven is de reden der zyden FB, BC de limiet, naar welke die der zyden CD, Dc geduurig nadert, en die zy bereikt in het oogenblik waar in dezelve vernietigd worden. Om dus deeze reden te vinden, zo laat ons de Abfcisfe gelyk aan *, en den Ordinaat, ah door eene funSlie van x, of ar", ver. beeld wordende, onderftellen. Laat de aangroeijing van x uitgedrukt worden door x ; terwyl dan ar wordt ar-bar, zal xn worden (x+x)n, of, volgens de bekende Formule, xn-hnxn~l x-t-ü.'Jl~l 2 ar2, ÉfV. De refpeühe aangroeijingen zullen derhalven zyn als i, en nx1""1 x-i-"' n—'xn~2'a^ ^ of als 1, en k*""1 ^tsS3ê n~*X, Derhal. 1.2 ven zal in het oogenblik, waar in 'x nul wordt, deeze reden zyn , die van 1 tot w/*"1, 0f eindelyk die van 'x tot «f"*.,"jr, welke de zelfde is. Dus zal de Fluxie of de verdwynende aangroeijing vaa  WIS K U N D E. III. Deel. VI. Boek. 471 van *2 zyn 2*#; die van *3, 3a;*, enz., zo als in de voorgaande noot gevonden is. Men ziet daar uit nog, op eene andere wyze als hier boven, wat de Fluxien van Fluxien, of de aan* groeijingen van aangrueijingen zyn ; want volgens de verfchillende punten der Kromme AC c is de reden der zyden van den Raaklyns-Driehoek FBG vtr^nderlyk ; by gevolg, naardien deeze reden de zelfde is als die der laatfte aangroeijingen van de Abfcisfe en den Ordinaat, is ook deeze reden veranderlyk: men kan derhalven deeze reden uitdrukken door den Ordinaat eecer Kromme , die zelve aan aangrreijtng of vermindering onderhevig is. De Fluxien van die Ordinaten zullen de tweede fluxien, bfj voigens Leibnitz , de tweede verfchillen zyn. Het zou overbodig zyn meer te zeggen van de natuur der Fluxien, welke wy, onzes bedunkens, genoegzaam opgehelderd hebben. Thans zullen wy overgaan , om van haare toepasling den Leezer een denkbeeld te geeven» De eerfte toepasfing van de Theorie der Fluxien betreft de handeiwyze, om de raaklynen der Krommen te vinden. Uit al hetgeen 'nier boven gezegd is kan men gemaklyk zien, dat in iedere Kromme met evenwydige Ordinaten de Fluxie y van den Ordinaat ftaat tot die van de Abfcisfe *, als de Ordi. naat y tot de Onderraaklyn, zulks dat deeze gelyk is aan —.—. Indien men derhalven, door de Ver- 'y gelyking der Kromme, de waarde van y zoekt,het geen altoos gemaklyk is , zal daar uit eene Vergelyking vooukomen , die , in plaats van y gefteld zynde, een roemer en teller, geheel met 'x aangedaan , zal voortbrengen. Wanneer men dus beide door * deelt, zal 'er eene uitdrukking in gewoone Termen overblyven, en welke dienvolgens aan eene Confirutïie onderhevig is. Deeze zal de betrekking van de Onderraaklyn en de Abfcisfe zyn. De  473 HISTORIE dek De Leerwyze der Fluxien wordt zeer gemaklyk Op de nafpooriDg der grootfte en kleinfte Ordinaten van kromme Lynen toegepast. Wanneer de Ordinaat van eene Kromme , na aangroeiende te zyn geweest» afneemende wordt, of in tegendeel, keert het befchryvend punt, dat op den Ordinaat overgebragt wordt, eenigermaate te rug; deszelfs fnelheid , of de Fluxie van den Ordinaat , wordt derhalven, van pofitif, negatif, of in tegendeel. Dus moet dezelve, in het oogenblik van den overgang, nul zyn; want eene grootheid kan van pofitif geenszins negatif worden, of in tegendeel, ten zy dezelve den ftand van nul doorgaa. Om derhalven de maxima en minima te vinden, moet men de Fluxie neemen van de grootheid, waar van men het maximum of minimum zoekt, en dezelve met nul vcrgelyken. Deeze onderftelling zal altoos toelaaten , dat men het Fluxie-teken i of y , waar mede alle de Termen aangedaan zyn, wegneeme, zulks dat 'er niets anders zal overblyven dan eene Vergelyking in eindige Termen, die de waarde van de Abfcisfe, met welke de grootfte Ordinaat overeenftemt, zal voortbrengen. Daar door zal men de punten, als M, m, hebben, waarin de Raaklyn evenwydig aan den As is. In tegendeel zullen de Sunten , waar in de Raaklyn loodrecht op den As :aar, gevonden worden, als men de Fluxie van de Abfcisfe gelyk aan nul fielt, of, dat op het zelfde uitkomt , als men alle de Termen , welke met de Fluxie van den Ordinaat, of y, aangedaan zyn, met nul vergelykt. Alle die dingen zyn zeer gemaklyk, zodra men de grondbeginfelen van deeze Rekening wel begreepen heeft. Wy zullen hier over flegts eene gewichtige aanmerking maaken , na alvoorens over de buigpunten gefproken te hebben. Wy hebben de natuur der buigpunten , in het tweede Boek van dit Deel, reeds genoegzaam verklaard. Hetgeen dezelven natuurlyk aanduidt is, dat de Kromme daar in te gelyk door eene rechte Lyn  WISKUNDE. III. Déél. VI. Boek. nfi Lyn geraakt en gëfneeden wordt; en dat die Lytt den mogelyk grootften of kleinften hoek met den As maakt. Door van het grondbeginfel der Fluxien gebruik te hiaakeh , wordt hier uit beiloten , dat, in een punt van die natuur, de tweede Fluxie van den Ordinaat, of y, gelyk aan nul is. In de daad, riademaal alsdan de betrekking van den Ordinaat töt de Onderraaklyn een maximum of een minimum, én die betrekking de zelfde als die van y tot x is, zo volgt daar uit, dat — een maximum of een mi* X mmum is. By gevolg is °y' gelyk aan nul, wanneer men x onveranderlyk fielt. Zulks wordt nog anders op deeze wyze betoogd. Wanneer eene Kromme j die naar eene zekere zyde uitgebogen is, holrond wordt j dan verliest zy meer en iheer haare kromte; en 2y is in den overgang der uitgebogeuheid tot het holronde eene rechte Lyn, die, in eene onëindig kleine ruimte, met de raaklyn famenloopt. Zy heeft derhalven in die plaats iets van de natuur der rechte Lyn. Nu zyn in eene rechte Lyn, naar eenen As overhellende, de tweede Fluxien nul.. Dus moet zulké in 't buigpunt gebeuren. Men zal derhalven van de waarde dés Ordinaals^ de tweede Fluxie moeten neemen: wanneer men X ftandvastig fielt, zal daaruit eene uitdrukking voortvloeiden* die geheel met 'x- is aangedaan, en welke men aan nul gelyk moet fielten. De *« züïlen, ais gerrieene vermeenigvuldiger,' wegvallen, ed 'er zal flegts eene uitdrukking in eindige Termen overblyven. Üe aanmerking, welke wy hier boven beloofd hebbeni is deeze: om een maximum of een minimum te hebben is het niet genoeg, dat de ëerite Fluxie y vari den Ordinaat nul zy; maar de tweede Fluxie moet in dat punt geenszins nul zyn. Want zo dit: gebeurde, zou dat punt, wel is waar, zyne raaklyn evenwydig aah den As hebben, madrhetzou tevens li een  4?4 HISTORIE der een buigpunt zyn, en de Kromme zou zich by aanhoudendheid van dien As vervvyderen, of toe denzelven naderen. Wy zouden hier desgelyks de handeiwyze kunnen verklaarenf, volgens welke de i^wtó-Rekening op de Theorie der ontwondene Krommen wordt toe-» gepast : doch alzo wy zulks niet kunnen doen , zonder in byzonderheden te treeden, welke by de natuur van dit Werk te weinig zouden voegen, verkiezen wy liever tot het onderwerp over te gaan, om den Leezer een denkbeeld te verfchaffen van het gebruik deezer Rekening voor de meeting der Inhouden van kromme Lynen , voor haare rechtmaaking , en de afmeeting der kromlynige Lighaamen. Door de natuur der Fluxien te onderzoeken , hebben wy de gronden gelegd van 't geen wy hier te zeggen hebben. Want wy hebben getoond, dat de Fluxie van eenen Inhoud het vermeenigvuldigde is van den Ordinaat met de Fluxie van de Abfcisfe, dat is te zeggen, dat zy yx is. Nu geeft de Vergelyking van de Kromme altoos de waarde van y in xv Men zal derhalven eene Fluxie geheel in x en x hebben : indien men derhalven tot haaren Fluent te rug komt, eene handeiwyze waar van wy in de Noot van pag. 468 eenige voorbeelden gegeeven hebben, zal men den Inhoud der Kromme bekomen. In den Parabool, by voorbeeld, h yzz (axy. Dus zal yx zyn a- x* x, waarvan de Fluent , door hetgeen boven pag, 468 gezegd is, ge. 13 lyk is aan fa2*2, of f y s* Maar dewyl in den Cirkel y~y"aa—xx is, zal men hebben y'xzz's r (aa—-xx)-. Nademaal men den Fluent van deeze uitdrukking niet in eindige Termen kan vinden , trekt men den vierkants-wortel uit aa—xx, door dfa  WISKUNDE. III. Deel. VI. Beek. 475 dezelve te herleiden in eene reeks, welke is 0 — , - , Ê?c. Vérmeenigvüldigende Sta 8a3 16a5 dus ieder van die Termen met x, en vervolgens den fluent van eiken Term neemende, heeft men voor de waarde van den Inhoud, die met de Abfcisfe x tfverëenftemt, men heefc, zeg ik, de reeks ax-~ &e. welke, naar maate men 6a 40a3 uaa5 ... een grooter getal Termen neemt, dies te nader by de waarheid komt. . r a.-c Het grondbeginfel der rechtmaakmgen freatfica» tiones) is desgelyks vervat in 't geen wy boven gezegd hebben. De Fluxie van den boog Cc is den Vierkants-wortel uit de fom van de vierkanten der Fluxien van de Abfcisfe 'x, en van den Ordinaat §. Deeze zal derhalven zyn y (x*-'r'y*); maar de Vergelyking der Kromme geeft de waarde van y in js en xy zulks.dat, deeze waarde in plaats van y sefteld zynde, bet teken x uit het wortel-teken verdwynt; en men heeft alsdan eene uitdrukking, welkers Fluent, zo men denzelven in eindige Termen kan vinden, de grootheid van den boog is. Zo men eene oppervlakte van omwenteling zoekt, dan is de Fluxie van die oppervlakte de kleine riem, welke door de Fluxie van den boog , rondöm den As draaijende, gevormd^ wordt; deeze Fluxie zal derhalven zyn ffi-bf'f vermeenigvuldigd metdert omtrek, wiens ftraal is y. Wanneer dus r en e de Staal en den omtrek aanduiden, zal de Fluxie van öie oppervlakte zyn -jfV +js>*» of fteIlende k r ... ., , > plaats van y en y haare waarden in xenx, Za! men eene uitdrukking geheel ia * eu * bekomen, li i wel;  476 HISTORIE De« welkers Fluent de gezochte oppervlakte zal zyni Het is niet minder gemaklyk te zien , dat zo men den Cirkel j welken een Ordinaat befchryft , met de Fluxie van de Abfcisfe vermeenigvuldigt, het produel de Fluxie zjil zyn van het Lighaam, dat door de omwenteling der Kromme wordt voortge- cy^x bragt. Dus zal deeze Fluxie zyn ——— , en ftellen- 2r de in deeze uitdrukking, in plaats van 312, haare waarde in x, zal de Fluent van het komende de grootheid van het Lighaam zyn. Maar wy moeten ons hier tot deeze geringe fchets van het gebruik der Fluxien in de Meetkunde bepaalen. Wy verzenden de Leezers , welke daar in grondiger onderricht wenfchen te worden, naar de Boeken welke over die Rekening handelen. Thans zullen wy den draad onzer Gefchiedenis hervatten. VI, De eerfte der Meetkundigen, die fiy de vindingen . van den Heer Newton iets voegde , was Jacöbus Gregory, van wien wy reeds op een andere plaats (q) met lof gefproken hebben. Hy was zonder tegenfpraak éénder beste vernuften, welke Engeland toen bezat , eên man bekwaam om Newton te hulp te komen, zo hy niet bykans in den bloei zyner jaaren door den dood was weggerukt. Hy was hem, in de daad, reèds voorgekomen in de uitvinding van den Spiegel-Telefcoop: wy zullen hem zyne voetftappen van naby zien betreeden, en zelfs hem forhtyds vooruitloopen in de nieuwe loópbaane, die hy het eerst geöpend hadt. In den tyd toen Newton gereed ftondt om zich aan het dringend aanzoek van Batrow over te geeven ¥' bragt Jacobus Gregory, zyne Exercitationes in 't licht, ia (j) I. Boek van dit Deel, pog. 98.  WISKUNDE. KL Deel. VI. $m*.- 4?t In welken hy over verfcheide onderwerpen der hooge Meetkunde handelde» Hy betoogde daar in, op eene nieuwe wyze, de Quadratuur van den Hyper* èooL door Mercator meaegedeeld ; hy bragt m dezelve de gedaante der fnylynen, van welke de waare aangroeijing der deelen van den Meridiaan in de Kaarten met wasfende Graaden afhangt, tot die Quadratuur over, Hy gaf daar in eindelyk eene reeks om den omtrek eens Cirkels uit te drukken, welke wy, als te moeijelyk voor 't gebruik zynde, verxneenen niet te moeten voordragen. ' Toen de ontdekkingen van Newton aan CoUtns waren medegedeeld, maakte deeze dezelven bekend aan verfcheide Meetkundigen, onder welken ook Gtegory was. Hy zondt hem ééne der reeklen, welke Newton voor den Cirkel gevonden hadt. Dezelve weidt, wel is waar, in 'teerst door Gregory verdacht gehouden, die, met de zyne vooringenomen , van gedachten was, dat dezelve behoorden overëentekomen , en de eene uit de _ andere zou kunnen afgeleid worden. O) Maar piet lang daar na deedt hy Newton het recht, dat hy verdiende^ eu door deeze ftoffe grondig te overweegen , gelukte het hem den oorfprong der uitdrukkinge , die hem was medegedeeld , te ontdekken. Behalven de aanmerking, ■ welke daar van in het Comtner» £iut,t Epiftolicum gemaakt wordt (O. heeft men er bewyzen van, welke niet toelaaten daar aan te twyffelen. Want by zyn antwoord aan CoUms wraakt hy het kwaad vermoeden, dat hy hem over de reeks van Newton hadt doen blyken , en zendt ie ta van dezelve het vervolg, benevens die welke den' boog door de Sinus uitdrukt, die hy uit zich, zeiven gevonden hadt. Toen Collins, kort daar na , hem eenige andere reekfen gezonden hadt, zondt Crezort hem, in antwoord , verfcheide reekien te - 5 ■ rugj (r) Comm. Epiji, p 22, 23 Ed. in-40. '- i>) Ibid.p. 29,48,71. li 3 - .  0 HISTORIE der rug, waar aan Neivton niet gedacht hadt (i). On» der dezelven is vooreerst die , welke den boog door de raaklyn bepaalt. Wanneer de ftraal r, eü de raaklyn t is, dan is de boog, zegt Gregoryt t3 t5 t —, gfcê tot in 'c onëindige; zulks dat, Hellende de ftraal ~ i, en de raaklyn gelyk aan de ftraal, de boog, die alsdan van 450, of § van den omtrek, is, zal zyn 1 — f-hf—*4-*» &c De Heer Gregory geeft in den zelfden Brief de raaken fnylyn door den boog, waar uit blykt, dat hy zich reeds in 5t bezit der Leerwyze van de wederkeering der reekfen gefteld hadt. Wat meer iss hy geeft desgelyks twee reekfen, om, de boog gegeeven zynde, onmiddelyk de Logatithmus van da raak* ea fpylyn te vinden ,* of in tegendeel , ea eene derde voor de re£tificeermg van de Ellips, waar by hy zeer wel aanmerkt, dat 'er flegts eeni. ge tekens te veranderen zyn, om die te verkrygen, welke op den Hyperbool toepasfelyk is. Hy hadc eene Verhandeling over die Leerwyze gefchreeven : doch alzo N&wton in dien tyd voorneemens was zelf zyne ontdekkingen in't licht te geeven, wilde hy., uit hoogachting voor zyn perfoon, hem nier. voorkomen. Naderhand liet Newton zyn ontwerp vaaren, zo dat het Werk van Gregory een hands» fchrift gebleeven is. VIL Men moet bekennen , en het is eene zaak waar. Van het Comm. Epifi, de bewyzen oplevert, dat alle die loistefryke nieuwigheden van Analyfis en Meetkunde in Engeland haaren oorfprong namen: 't was niet dan eenige jaaren daar na, toen het vaste Land -aan dezelven begon deel te neemen. Wy komen hier tot het onderzoek van den beruchten twist over hei CO Comn. Epifi. p. 25^  WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 479 het aandeel, dat Leibnitz aan de uitvinding van «zyne Differentiaal-Rekemag gehad heeft. Wy zullen nu een omftandig vetflag daar van doen , en de wederzyds bygebragte Hukken zorgvuldig onderzoeken. In 't begin des Jaars 1673 was de Heer Leibnitz te London, in 't gevolg van eenen Afgezant. Het fchynt, en hy zelf ontkent zulks niet, dat hyzich toen nog niet veel op de Meetkunde hadt toegelegd, en zich eeniglyk met de Rekenkunde onledig hieldt: men kan zelfs niet ontkennen, dat de beide uitvindingen, welke hy in eenen Brief, uit London aanOZ^?«£«r£gefchreeven, opgeeft, niet reeds vóór hem bekend waren. Maar men behoort tevens aan te merken, dat de Heer Leibnitz veel verder was geweest dan zy, die hem voorgegaan waren; want hy zegt in dien Brief, dat hy de fom kan bepaalen van alle de onëindige reekfen van breuken, waar van de tellers de eenheid zynde, de noemers de driehoekige, of pyramidale, of driehoeks-driehoekige getallen zvn; zo als deeze zouden zyn: i-hf + i-*Th + r}+-i}» Bc. of i-f-|-f-T§ + 3§, &c In de daad, de eerfte, tot in 't onëindige voortgezet, is gelyk aan i§, de tweede aan 2, enz. Dee. ze vernuftige vinding zuivert den Heer LcibnitzsiXi de verdenking van geleerde diefftal, waar mede de Uitgeever van het Comm. Epiftolicum hem betigt. De Heer Leibnitz keerde, na eenige maanden verblyfs te London, naar Parys terug, 't Was eerst in dien tyd , dat hy zich aan de hooge Meetkunde begon over te geeven. De verkeering met den Heer Huyghens, wien hy dikwyls bezocht, deedt den finaak voor dezelve in hem gebooren worden ; en naardien hy de Logarithmotechnia van Mercator uit Engeland hadt medegebragt, begon hy dat Werk te leezen, als mede dat van Gregorius d S. Vincentio, st welk de Heer Huyghens hem hadt aangepreezen. Eensklaps, zegt hy, werden zyne oogen geopend: nieuwe denkbeelden deeden zich voor hem op, en |iy vondt s op het einde des Jaars 1673, zyne Quali 4 dra-  HISTORIE d e. a dratuur van den Cirkel, door eene rationaale reeks : welke hy den Heer Huyghens mededeelde, die dezelve ten hoogften goedkeurde. Zyne Leerwyze beftondt, zo als men uit één van zyne brieven, in den Jaare 1676 gefchreeven, ziet, in eene vervorm sning door welke hy den Cirkel veraoder.de in eene" andere gelyke Figuur, waar van de Ordinaat eea rationaale Breuk was, zulks dat hy op dezelve in 'è Werk ftelde hetgeen Mercator op den Ordinaat des Hyperbools deedt. Deeze opvolging van denkbeelden is geheel waarfcliyniyk, en het Boek van Mercator, verwekte natuurlyk deeze onderwinding. De Leerwyze van den Heer Leibnitz is ons door fommige Schryvers nagelaaten, naamlyk door den Abt de Catelan, die hem dezelve uitdrukJyk toeeigent Cu) o en door Ozanam (v)s die niet zegt van wien hy dezelve.heeft, doch zekerlyk"qr den uitvinder niet van was. Nademaal dezelve kunftig is* en dienen kan om fommige aantygingen der tegenpartyen van Leibnitz, in een helder daglicht te ftellen,, zuilen wy dezelve hier voordragen. Eene Krommei welke die ook zy , voorgefteld zynde , by voorbeeld, een Cirkel AHB (JTig. oa>; zo men alsdan op den Ordinaat PH eene Lyn neemt gelyk aan de Raaklyn AI, gefneeden wordende door de Lyn , welke dien Cirkel in H raakt, en dat men die Confiru&ie in alle andere punten verricht, zal men eene nieuwe Kromme bekomen, welkers Inhoud APG, door den Ordinaat PG afgefneeden , het dubbele! van het Segment, ALHA zal zyn. Door dat middel vindt hy eene Vergelykinge tusfehen de Co-Ordinaten AI, IG, zulks dat de Ordinaat IG door eenen rationaaien Breuk wordt uitgedrukt. Hy herleidt denzelven , door deeling, iq eene reeks; vervolgens deeze reeks, naar de regelen van de Rekenkunde der emtnaigen, behandelende, vindt by de waarde van (V> Logiji. uniy. £f Méthode pour les tansentes. Parij 4692 in p. 68 §c 112. ' 9 ■ Cv) Geom, Prat. ""•v- s ■ • »*»;• *" '.■> — ..-s  WISKUNDE. III. JDeeL VI. Boéki ttft den Inhoud AG), welke van den Rechthoek GA afgetrokken, en het overige door i gedeeld zynde, het Segment ALHA voortbrengt. Men voegt hier by den Driehoek HPA , en alsdan is het Segment APK door eene Reeks uitgedrukt. Zo men nu onderftelt, dat Al gelyk wordt aan AF, of aan den ftraal, en deezen ftraal =l neemt, vindt men voor het vierde deel des Cirkels de reeks i—f-J-f —7» éfc. Zo men in tegendeel by het Segment ALD, in » gegeeven, den Driehoek ACH optelt, en alles door a deelt, zal men den Seftor ACL , die met de Raaklyn AI overëenftemt, bekomen; en zo men deezen Se&er door i deelt , zal men de waarde van den boog AL sjelyk aan deeze reeks hebben x—|a;3-l- | »s-.««?, 'fgc. Dat alles wordt even gemaklyk op den Hyperbool toegepast, en men bevindt alsdan den Hyperbolifchen Se&er> wiens Raaklyn x is, aelyk aart de helft van deeze reeks x + \ x3-!j-i*5, £?c. Leibnitz deelde , zegt hy , den Meetkundigen van Parys zyne ontdekking mede, in 't begin des Jaars 1Ó74, en eenige maanden daarna maakte hy dezelve met twee Brieven aan Oldemburg bekend; in de tweede fpreekt hy met veel ophefs van zyne reeks, dezelve befchouwende als de eerfte, welke voorden Cirkel gegeeven is. Hy voegde 'er nog by, dat hy door de zelfde Leerwyze den boog konde bepaalen , de Sinus gegeeven zynde: eindelyk merkt hy aan, dat zyne quadratuur eene zeer merkwaardige overeenkomst tusfehen den Cirkel en den Hyperbool oplevert. . Oldemburg beantwoordde deezen Brief op eene wyze, welke ten voordeele van Leibnitz veel afdoet. Iiy geeft hem alleenlyk kennis van de vorderingen van Newton en Gregory in dat gedeelte der Meetkunde. Leibnitz verzoekt, dat hem dezelve medegedeeld mogen worden. Collini en Oldemburg beiden zenden hem de verfcheide reekfen, door de beide Engeifche Meetkundigen gevonden, en onder anderen die welke den boog door de raaklyn uirv dïukt. Maar zo Leibnitz die reeks van Oldemburg of Li « C<^~  4B3 HISTORIE der. Collins ontfangea hadc, zou dan wel één van beiden nagelaaten hebben hem zulks indachtig te maaken'? Mag men Leibnitz van eene zo groote vrymoedigheid verdacht houden, om op eene ontdekking te roemen by hun, die hem dezelve medegedeeld zouden hebben? Deeze briefwisfeling tusfehen Leibnitz en Oklem* bmg duurde tot in 't midden des Jaars 1676, toen Newton, op beider aanzoek, zyne Leerwyze voor de qmdraturen der Kromme Lynen in twee langdraadige Brieven befchreef. In de eerfte verklaart hy zyne Formule voor de Worteltrekking, en pasc dezelve op verfcheide voorbeelden toe. Hy geeft tevens verfcheide reekfen voor den Cirkel, voor den Hyperbool, voor de reöificeering van de Ellips, de quadratuur van de Quadratriz , enz. Eindelyk befluit hy zynen Brief inet zekere Leerwyzen, ooa gemaklyke benaderingen uit de onëindige reekfen af te leiden. Ltibniiz beantwoordt deezen eerilen Brief van Newton , met hem de Leerwyze mede te deelen , door welke hy eene Kromme met irrationaale Ordinaaten in eene andere verMndert, waar in zy ratioj naai zyn, hetgeen hem in ftaat ftelt om de deeling volgens de handeiwyze van Mercator, daar op toe te pasfen , ten einde dezelve in eene onëindige reeks te veranderen: voorts is deeze Leerwyze, fchoon kunftig, verre beneden die van Newton, en zelfs kan zy, in zekere gevallen, onöverkotnelyke zwaarigheden opleveren, zulks dat men dezelve geenszins ais algemeen, noch als voldoende, kan befqhouwen. In deezen Brief merkt de Heer Leibnitz in 't byzonder aan, de overeenkomst van den Seclor des Cirkels met den Hyperbolifchen Seclor, hier in beftaande, dat t de raaklyn in den top, en 1 den t* t5 hoXvQWDiameter zynde , de eerfte is t r——a . *7 t3 ts jN , &c. in plaats dat de laatfte is \ 7 3 5  -WISKUNDE. III. Deel. VI. Soek. 4^3 + JL-, £fV, tot in 't onëindige. Waarfchynlyk hadt hv deeze3laatfte reeks in 't oog, toen hy Oldemburg de merkwaardige eigenfehap bekend maakte, welke hy tusfehen den Cirkel en den Hyperbool ontdekt hadc. Het overige van den tfriet wordt gebruikt om eenige nieuwe belchouwingen over de oplosfing der Vergelykingen voor te dra- Newton beantwoordde dien Brief door een anderen , welke eene meenigte merkwaardige zaaken bevat; zodanige zyn de wyze op welke hy in t eerst tot de Leerwyze der reekfen geraakte , de toepasfing die hy van dezelve , reeds m t Jaar 1665, op de quadratuur van den Hyperbool, en op de famenftelling der Logarithmen maakte; verfcheide algemeene Theoremata voor de quadraturen, welke dezelve voortbrengen in eindige Termen, wanneer zy mogeiyk zyn, of in oneindige reekfen, alleen door vergelyking der Termen van de Vergelykinge; de reef ificeering der Cysfoïde , tot de quadratuur van den Hyperbool overgebragt. Hy maakt daar in zyne Leerwyze bekend , om den Inhoud eener Kromme door benadering te vinden, wanneer de reekfen , die denzelven uitdrukken , te omflagtig, of te weinig convergeerende zyn. 't Is deeze vin(lirjg , welke hy in zyne Verhandeling , ten tytel voerende Different%aale Leerwyze, verklaard heeft. Men ziet daar in ook Formulen van uitdrukkingen van Ordinaten der Kromme Lynen, wier Inhouden tot de quadratuur der Kegelfneeden herleid worden; verfcheide reekfen voor den Cirkel, en haar gebruik om benaderingen in een groot getal cyfferletteren te vinden ; het gebruik van zyn Parallelogram voor de oploslmg der Vergelykingen ; twee Leerwyzen voor de wederkeering der reekfen, benevens eenige algemeene Theoremata daar toe ftrekkende. Hv eindigt met te zeggen, dat hy in t bezit is van 't omgekeerd Problema der Kaaklynen, » en  HISTORIE der en andere noz moeijelyker Voo?fte!len; dat hy daar roe gebruik maakt van twee Leerwyzen, welke hy niet wil openbaaren: weshalyen hy dezelve verborgen houdt onder verplaatfte letteren , waarvan naderhand , in het Commercium Epifiolicum, de verklaaring is medegedeeld. In gevolge de uittrekfels, welke wy dus verre van die Brieven hebben voorgedragen , behoort men wel in aanmerking te neemei}, dat in dezelven byna eeniglyk gefproken wordt van de Leerwyze der reekfen en de quadratuur der kromme Lynen \ zo dat Leibnitz eenigermaate reden hadt zich daar óver te beklagen, dat,;terwyl over de DifferentiaalRekening gehandeld vyerdt, zyne tegenftreevers öcöphoudelyk van battery veranderden , en ziel» bepaalden tot de Séries of Reekfen, waarin hy niet ontkende dat Newton hem was voorgegaan» In de daad, de zaak daar 't op aankomt is zeer verfchillende. Een Meetkundige zou in 't bezit hebben kunnen zyn van de Leerwyze der reekfen, en zich van dezelve kunnen bedienen , om alle kromme Lynen te quadratecren, zonder in 't bezit van de Rekening der Fluxien en F/uenten te zyn. Want de uitdruk, king van den Ordinaat eener Kromme in eene Séries herleid zynde, indien het geval zulks veröischt, de Leerwyzen van Wallis, Mercator, wat zeg ik, van Cavalleri en Fermat, zyn toereikende genoeg ora den Inhoud te vinden. Wat aangaat het grondbeginfel der Fluxien, alleenlyk drie plaatfen van het Commercium Epijlolicum hebben, op eene vry duidelyke wyze, daar toe eenige betrekking, om te be« wyzen , dat de Heer Newton het vóór Leibnitz ge. vonden hadt, doch op eene te duistere wyze, om den laailten van de verdienste der ontdekkinge te berooven; de eene is een Brief van den HeeriVéwton aan Oldemburg, die hem bekend hadt gemaakt, dat Slufius en Gregory onlangs eene ongemeen eenvoudige Leerwyze der rapklynen gevonden hadden: JS'ewtsn antwoordt hem , dat hy wel vermoedt wat Jiet is, en geeft daar van een voorbeeld, dat we- óan.  WISKUNDE. III. Deel. Vh Boek -zenlyk het zelfde is als hetgeen die beide Meetkun» digen gevonden hadden. Hy voegt 'er nog by, da£ zulks flegts een'byzonder geval is, of liever een gevolg van eene veel algemeenere Leerwyze? die zich zo verre uitftrekt, om, zonder eene moeijelyke be* rekening, de raaklynen van alle foorten, zo Meetkunftige als Mechanifche, kromme Lynen te vinden," en zonder verplicht te zyn om de Vergelykinge van de mationaale uitdrukkingen te ontheffen. In zyneri tweeden Brief , waarvan wy boven gefproken hebben, herhaalt hy het zelfde, zonder zich nader te, verklaaren , en verbergt het grondbeginfel ondet verplaatfte letteren. Het eenig gefchrift, waar in de Heer Newton iets van zyne Leerwyze heeft aaa den "dag gebragt, is zyne Analyfis per ieguationes numero term. infinitas. Hy ontdekt daar in op eene zeer beknopte en vry duistere wyze zyn grondbeginfel der Fluxien ;hy noemt daarin momentum de oogenbliklyke aangroeijing van den Inhoud , welke hy evenredig tot den Ordinaat maakt, terwyl dat van de Abfcisfe door eene ftandvastige Lyn, gelyk aan de eenheid, verbeeld wordt. Voorts maakt hy die grondbeginfel toepasfelyk , om de uitdrukking vart het momentum eens Cirkelboogs , welke hy door 1 , ——uitdrukt, te vinden, waar uit hy, door y/ax — xx eene reeks, de waarde van den Boog zeiven afleidt. Wat verder noemt hy, de Abfcisfe x , haar momentum o, en dat van den Boog oy, en betoogt door eene handeiwyze , overeenkomstig met die welke Fermat in zyneö Regel der raaklynen gebruikte, dat, zo de Inhoud z uitgedrukt wordt door 3 deeze Vergelykinge f x a, de Ordinaat y gelyi? moet. 1 zyn aan**. Waar uit hy vice-verfa befluit, dat zd ï. 3 yrat'is, de inhoud 3x- zal zyn. Men kan, bui. jen allen twyffel > niet ontkennen , dat het grond- be*  486 HISTORIE der beginfel en de leerwyze der Fluxien in die plaats van het gefchrift, waarvan wy fpreeken, voorgedragen worden ; maar men heeft geene zekerheid, dat Leibnitz het gezien hebbe. Nimmer is het hem door Brieven medegedeeld geworden; zelfs hebben zyne tegenftreevers zulks niet te berde gebragt, en zich vergenoegd met Leibnitz onder de verdenking te brengen, dat hy in de famenkomst, welke hy, volgens zyne bekentenis, ten tyde van zyne tweede reize naar London, met Collins hadt, van dat gefchrift kennis hadt gehad. Hier toe alleen bepaalt zich de twist. Om de waarheid te zeggen, deeze argwaan zal genoegzaam de waarfchynlykheid tot grondflag kunnen hebben, te meer daar Leibnitz mede toeftaat, dat hy by die gelegenheid een gedeelte der briefwisfeling (Commercium Epifiolicumy van Collins zag. Ik geloof nogthans dat het eene onbezonnen daad zou zyn daar over eenig oordeel te vellen; men veroordeelt geenszins op bloote verdenkingen, als fchuldig aan eene haatlyke misdaad ïn de Republiek der Letteren, een man als Leibnitz» die zulke doorllaande blyken van vernuft getoond heeft. Wy achten ons verplicht hier eenige aanmerkingen te maaken over de Voorreden van de Verhandeling der Fluxien, door den Heer de Buffon [in 't Fransch] vertaald, om dat het ons hèeft toegefcheenen, dat die geleerde Academist zich eenigermaate te veel gehouden heeft aan de bedrieglyke «aantygingen van Keil. Zo alles wat men daar leest naauwkeurig was, zou Leibnitz even zo belagchelyk zyn als de meerkol in de Fabel. In de daad, men leest in het Voorbericht j waar van wy fpreeken, dat door het Commercium Epifiolicum, en door de Brieven van Leibnitz beweezeu wordt, dat hy van de Leerwyze der reekfen kennis heeft gehad, alvoorens de zyne voor den Cirkel te geeven, en dat zelfs deeze hem door Oldemburg was toegezonden; dat Leibnitz 'er geen bewys van hadt, dewyl hy 'er naderhand om verzocht? dat hy in den' ja-a'.  Wiskunde, ui. Deel. vi. Boek. 437 jaare 1677 eene Leerwyze der raaklynen in 't licht gaf, die, behalven de aantooning der tekenen (notatio), in niets van die van Barrow onderfcheiden, en waar van de rekening de zelfde is als die, welke Newton reeds in 't Jaar 1669 aan Collins hadt medegedeeld. Vier of vyf bladzyden verder leesc men desgelyks, dat de rekening der tweede, derde verfchillen, enz. in het eerlle Voorftel van de Verhandeling ovet de Qjtadraturen , reeds in 't Jaar 1675 aan Leibnitz medegedeeld, is voorgedragen." Dit is het hoofdzaakelyke der aanmerkingen van Keil in het Commercium Epiflolicum ; maar dezelve zyn alle Valsch, of ten minften bedrieglyk , zo als de volgende beichouwingen zullen toonen. i°. Welke oplettendheid ik ook hefteed hebbe om bet Comm. Epifi. te lcezen, heb ik daar in nergens gezien, dat de Theorie der reekfen aan Leibnitz ontdekt zy geworden, noch dat hy eenige reeks voor den Cirkel ontfangen hebbe, vóór dat hy de zyne aan Oldem~ burg hadt bekend gemaakt, benevens de byzondere overëenkomst, welke dezelve hem tusfehen den Cirkel en den Hyperbool deedt ontdekken. Met wat fchyn zou Leibnitz zich beroemd hebben op eene ontdekkinge, die hy niet gedaan hadt ? Wy denken niet dat iemand onzer Leezeren dien beroemden man van eene zo onzinnige handeiwyze verdacht zal houden. De reeks, waarvan ny Oldemburg om het bewys verzoekt, is deeze, x+h*3 +3l*?, &c. , welke den boog door de Sinus x aanduidt; maar deeze reeks is geenszins die, welke naar de Leerwyze van Leibnitz, hier boven Voorgedragen , gevonden wordt. Dus Haat Keil den bal geheel en al mis in de aanmerking, welke hy tegen hem maakt, naamlyk, dat hy hadt voorgegeeven, dac hy den Boog door de Sinus kon vinden , en nogthans , na de mededeeling van eene zodanige reeks," om het bewys derzelve verzocht hadt. 30. De Leerwyze der raaklynen, door Leibnitz in den Jaare 1677 gegeeven, is zeer zeker de Dij/eremiaal-Kzke« jiing, en geenszins de Leerwyze van Barrow; Keil hadt  4S8 HISTORIE dik • badt waarfchynlyk vergeeten,dat Barrow zyne Leêf-' ■jwyze nimmer tot de kromme Lynen met irrationaal Vergelykingen uitbreidde ; Leibnitz in tegendeel , om de voordeden der zyne beter te toonen, past dezelve toe op eene uitdrukking, dis alleszins met irrationaale grootheden vermengd is 4 zo dat wy niet weeten waar Keil aan dacht, toen hy eene zodanige daadzaak opperde. Daar benevens is het eene belagcnelyke tegenftrydigheid te zeggen, dat de Rekening van Leibnitz , in den Brief, waar van wy fpreeken^ befchreeven, niets anders is dan de Rekening van Barrow, en de zelfde als die, Welke Newton reeds in den Jaare 1669 hadt medegedeeld, en welke, zo men voorgeeft, in de daad zyne FluxieRekening zóu zyn. 40. Men zal nergens zien, dat het Voorftel van de Verhandeling der Quadraturen* dat, zo men zegt, het grondbeginfePder Fluxien van de verfchillende rangen bevat, aan Leibnitz medegedeeld zy geworden. Die is eene aantyging van Keil, welke dies te minder grond heeft, om dat daar uit juist geheel het tegendeel van 't geen hy voorgeeft volgt; want die zo genaamde Leerwyze voor de Fluxien van alle rangen is gebreklyk, ert geeft ze allen valsch, behalven de eerfte (w). Dit is (w) Newton zegt in zyne Verhandeling de Quad. curvdfum, dat, om de Fluxien van verfcheide rangen der grootheid xm te bekomen, 'er niets anders te doen is,«als om x + x tot de magt m te verheffen* Hetgeen voortbrengt % + m.x x + x x', £fc, en dat de I. 2 tweede, derde, vierde Temen refpeftivelyk de eerlle, tweede, derde Fluxien, enz. van *w zullen zyn. Dit is alleen waar van den tweeden Term, om dat de noemer de eenheid is. De overige drukken de Fluxien der hoogere rangen niet uit, als door de noemers weg té MHftfj  WISKUNDE. III. Des!. VI. Boek. 489 is eene zaak die Keil niet krachteloos kan maaken i en al te wel beweezen is: men heeft flegts de 00. • gen te flaan op de Editien van de Verhandeling de Quadratmd curvarum, der Jaaren 1704 en 1711, om daar van overtuigd te worden. Ik gaa ter loops voorby eenige andere aanmerkingen van Keil} aanmerkingen welke klaarblyklyk het werk der drift zyn. Eene zodanige is deeze: Toen , zegt hy , Newton zeide, dat de Kromme , welkers Ordinaat 1 3 was zu , haaren Inhoud gelyk hadt aan fa3 , is zulks het zelfde als of hy gezegd hadt , dat de Differentiaal van %ï*,%*dz zynde, haare Integraal is f z ^; waar uit de Heer Leibnitz , voegt hy 'er by, heeft kunnen befluiten, dat dè Differentiaal van «z* is z* Jz. Het gevolg is eenigermaate vergezocht. Wist de Heer Keil dan niet, dat, zonder eene andere rekening ais die van Wallis, van Fef' mat zelfs, en van Cavalkri, dit Theorema voor bewys vatbaar was? Daar benevens is 'er geene ontdekking, waar van men niet, door eene bedrieglyke vooritelling der trapswyze opklimmingen , welke tot dezelve hebben kunnen opleiden , de verdienste verzwakt, en zelfs vernietigd heeft. Na deeze aanmerkingen hervat ik den draad van myn verhaal. Leibnitz, na zich eenige dagen te London; opgehouden te hebben, vertrok naar Hanover. Te Am* fterdam aangekomen zynde , fchreef hy aan Oldemburg. Men ziet uit zynen Brief, dat hy nog niet in 't bezit was van zyne Leerwyze voor de raaklynen, uit de /^«««W-Rekening afgeleid; want hy Relde voor, om naar die van Slufius eenen zekeren arbeid te doen. Eindelyk maakte hy, door eenen Brief van den ai Juny 1677, zyne ontdekking aan Collins bekend. „ Ik ben j zegt hy, het met den Heer Newton eens , dat de Regel van „ Slufius niet volkomen is , en ik heb reeds voor- lang het Problema der raaklynen op eene alge» Kk meev  490 HISTORIE der „ meenere wyze behandeld." Onmiddelyk daar na verklaart hy de regelen van zyne nieuwe Rekening, en maakt dezelve toepasfelyk , om de raaklynen van Krommen met irrationaale Vergelykingen te vinden, gelyk mede op verfcheide andere bepaa. lingen , welke ik, om kort te zyn, voorby gaa. De dood van Oldemburg , welke kort daar na voorviel, maakte een einde aan deeze briefwisfeliug. De Aclen van Leipzig kwamen in 't Jaar 1683 in 't licht, en Leibnitz gaf in dezelven zyne Rekenkundige Quadratuur van den Cirkel en den Hyperbool. Dezelve werdt ook in de Philofophifche TranfaSt. van dat Jaar ingelascht, zonder dat iemand op de rechten van Engeland aanfpraak maakte , zelfs niet David Gregory, een neef van Jaco* bus, die in 'c bezit van alle de papieren van zynen Oom was geweest, en in een gefchrift, in 't Jaar 1684 in 't licht gegeeven (x), deeze reeks aan Leibnitz toeëigent. Dit fchynt my groote twyffelingen te verfpreiden over die ruchtbaarheid der Analytifche Ontdekkingen van Newton en Gregory, waarvan de tegenftreevers van Leibnitz zich met zo veel voordeel tegen hem bedienen. Het is verwon* derens waardig, dat zelfs niemand in de Koninglyke Maatfchappy van London onderricht was van het recht, dat Gregory hadt op de uitvinding waar van wy fpteeken. Eindelyk gaf Leibnitz, in den Jaare 1684 , in de Aften van Leipzig eene proeve van zyne Differentiaal' Rekening, dezelve toepasfende op fommige voorftellen van zodanige natuur, dat ze door andere Leerwyzen niet opgelost konden worden. Niemand was in Engeland nog daar over gebelgd. Newton zelf, die het grootfte belang daar by hadt, en het best wist tot hoe ver zyne Brieven Leibnitz op den weg hadden kunnen brengen, gaf van hem in zyne Grondbeginfelen der natuurlyke Wysbegeerte .y) een allerloflykst getuigenis. Toen ik vóór (x) De dim. fig. Edimb. (j) Lm. II. Lsmm. IX.  WISKUNDE, lil. Deel. VI. Boek. 4dr 'v'iór tien jaaren, zegt hy, brief wisfeling hield met den Heer Leibnitz, en hem bericht gegeeven had, dat ik in 't bezit was van eene Leerwyze om de raaklynen te bepaalen, en voor de vraagftükken van maximis en minimis , eene Leerwyze die door geene irrationaale grootheden belemmerd werdt, en welke ik onder verplaatflè ietteren had verborgen gehouden, gaf hy my tot antwoord, dat hy eene der gelyke Leerwyze gevonden hadt, en deelde my die Leerwyze mede, welke van de myne in niets anders verfchilde als in de Termen en tekens, gelyk mede in het denkbeeld van de teeling der grootheden. Dit wordt nog in de Editien der Jaaren 1713 en 1714 geleezen, maar men heaft het in die van 1726 weggelaaten, misfehien zonder de toeftemming van Newton, die weinige maanden daarna ftierf. Dé verdeedigers van Leibnitz zullen zich altoos kunnen beroepen op dat getuigenis des geweetens van Newton , wien de tweede reize van Leibnitz naar London, en zyne famenkomst met Collins, de bewaarder van zyne papieren, niet onbekend was; Want Collins hadt hem daarvan kennis gegeeven , zo als men uit eenen Brief van het Commercium Epiftolisum ziet. Het is waarfchynlyk , dat dë Heer Leibnitz dé vreedzaame bezitter van een gedeelte der eere , wegens de ontdekking van zyne nieuwe Rekening, gebleeven zou zyn , indien hy ten aanzien van Newton meer billykheids getoond hadt. Wy kunnen hier niet ontveinzen, dat hy in eenen hoogen graad ongelyk hadt, en dit haalde hem zyne foort van ongunst op den hals. Reeds hadden eenige Brieven, in Engeland gefchreeven, en waar in hy, met te veel uitfluiting, zich die vinding toeeigende , hem onaangenaame aanmerkingen , over het recht dat Newton vóór hem op die ontdekking hadt, toegebragt. De Heer Fatio hadt zelfs in 't Openbaar gezegd , dat de Heer Leibnitz zich niét moest verbeelden, dat hy hem 't geen hy van die Rekening wist verfchuldigd was ', dat hy verplicht Was Newton voor den eerften virtder der FiutiéKk 2 Re-  493 HISTORIE' obr Rekening te erkennen, en dat, wat aangaat het deel 't welk Leibnitz daar aan hadt, hy deswegens de beöordeeling overliet aan hun, welke hunne wederzydfche Brieven, en verfcheide papieren, by de Koningiyke Maatfchappy bewaard wordende, konden leezen. Leibnitz, zonder reden gehoond, antwoordde met nadruk, en beklaagde zich by de Koningiyke Maatfchappy ; doch de zaak hadt toen geen ander gevolg, 't Was eerst eenige jaaren daarna toen de twist ruchtbaar wierdt. Toen de Verhandeling van Newton over de Quadratuur der kromme Lynen, en zyne Optelling der Lynen van den derden rang in 't licht waren gegeeven, maakten de Tydfchryvers van Leipzig geen te voordeelig uittrekfel van die Verhandelingen. Na eene weinig belangwaardige voordragt van de natuur der Fluxien wordt in dat Tydfchrift onder anderen gezegd, dat Newton zich, in plaars van de Leibnitziaanfche verfchillen, van de Fluxien bediende, en altoos bediend hadt , even als de V. Fabri, in zyne Synopfis Geometria, voor de ondeelbaaren van Cavalleri de bëweeging in plaats hadt gefield. Zo het fchynt, was dit niet anders dan te zeggen , dat Newton niets anders gedaan hadt , dan de Fluxien voor de verfchillen in plaats te ftellen, fchoon deeze woorden, en zich altoos bediend heeft, voorbedachtelyk fchynen ingelascht te zyn, om dien zin te voorkomen. Welk ook het voorwerp geweest zy van die Tydfchryvers , welke zich duidelyker hadden kunnen uitdrukken, en Newton zonder dubbelzinnigheid het recht doen , dat hy verdiende, dit artikel ergerde zyne landgenooren. Keil plaatfte in den Jaare 1708 een gefchrift in de Philofophifche Tranfactiën, waar in hy uitdruklyk zeide, dat Newton de eerfte uitvinder van de Fluxie-Rekening was . en dat de Heer Leibnitz, toen hy dezelve in de Aften van Leipzig gemeen maakte, niets anders gedaan hadt, dan van dezelve den naam en de bevatting te veranderen. Leibnitz hieldt deeze weerden voor eene befchuldiging van letterdievery, waar mede zy in de daad veel  WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 493 veel overeenkomst hebben, en eischte door eenen Brief, gefchreeven aan den Heer Hans Sloane, Secretaris van de Koninglyke Maatfchappy, dat Keil zyn woord zoude terug trekken. Keil, in plaats van zulks te doen , antwoordde den Heer Hans Sloane door eenen langwyligen Brief, waar in hy alle redenen, zo veel hy kan, byëenbrengt, om te toonen , dat Newton niet alleen Leibnitz is voor gegaan, maar ook dat hy hem zo veele blyken van zyne Rekening gegeeven heeft, dat dezelve een man, zelfs van een middelmaatig verftand, geenszins konde ontglippen. De Brief werdt aan Leibnitz gezonden, die aan de Koninglyke Maatfchappy verzocht, dit gefchreeuw van de zyde eens mans, die te weinig ervaren was , om te kunnen weeten wat tusfehen Newton en hem was voorgevallen, te doen ophouden. De Koninglyke Maatfchappy oordeelde , dat men met de oorfpronglyke ftukken te raade moest gaan, en benoemde Commisfarisfen om dezelve uit te kiezen en te onderzoeken. Zy verzamelden die, welke men in het Commercium Epiftolicum leest, en deeden hun verflag op deeze wyze: Dat uit die ftukken bleek, dat de Heer Collins den geleerde lieden zeer gulhartig de fchriften mededeelde, welke onder zyne berusting waren ; dat de Heer Leibnitz van zyne Rekening geen kennis fchynt gehad te hebben vóór de maand Juny 1677 , een jaar na de mededeeling eens Briefs , waar in de Leerwyze der Fluxien voor elk kundig perfoon genoegzaam befchreeven was. Wy merken hier aan, dat wy, na dien Brief geleezen en herleezen te hebbendaar in die Leerwyze flegts befchreeven vinden ten aanzien van haare gewrochten en voordeden, doch geenszins ten aanzien van haare grondbeginfelen; hetgeen van veel aangelegenheid is om in aanmerking te neemen, ten einde dat woord niet op te vatten in eenen zin , dien het niet moet hebben, en volgens welken iemand, die de ftukken niet in handen hadt, zonder te aarfelen, den Heer Leibnitz zoude veröordeelen. Maar Kk 3 laat  494 HISTORIE der laat ons weder tot het verflag der Commisfarisfen van de Koninglyke Maatfchappy overgaan. Zy voegen 'er by, dat uit Brieven van Newton, van *t Jaar 4609 tot in 't Jaar 1677, blykt, dat hy in 't bezit van de Leerwyze der Fluxien was ; dat de Differentiaal? Leerwyze van Leibnitz^ op de Termen en tekens na, de zelfde was als die der Fluxien; zy zeggen eindelyk, dat zy den Heer Newton als den eerften vinder van die Leerwyze aanzien, en van gedachten zyn, dat de Heer Keil% door zulks te zeggen, den Heer Leibnitz geenszins veiöngelykt heeft. Voor het overige vellen zy in 't geheel geen uitfpraak over de blyken, welke de briefwisfeling , die Leibnitz met Newton gehouden hadt , hem heeft kunnen verfchaffen. Zy laaten de uiifpraak hier van aan de Leezers over, en om hen in ftaat te ftellen van te kunnen oordeelen, beval de Koninglyke Maatfchappy, dat de ftukken, waar over dat verflag gedasn was, gedrukt zouden worden. Dezelve kwamen in 't Jaar i?i2in 'tlicht, onder den tytel van Commercium Epiftolicum de Analyft promotd, in-40. De twist, aangaande de uitvinding van de Fluxieof Z)t^r< wt hcrispirg kunnen vinden , <)ar de Heer de fHépttal met pj nceuzam te kitm'n geeft, wélke ve > p iÉhtincten hy heeft aan den Heer Bermulli, vai wiens vinding nkt alleen JV1 m de  52ï HISTORIE BS8 de meeste Leerwyzen zyn , welke in dat Boek gevonden worden, maar ook htt fcherpzinniïitfe, 't welk het in dat Vük van Analyfis bevat ;/e Heer Btmoulti was deswegens eenigermaate misnoegd, toen het Werk van den Heer de l'hópital in 't licht kwam, en het waren eeriglyk jeiei en van achting en erkentenis voor de wyze , op 'velke hy deswegens te Parys onthaald was geworden, welke zyne klagten fmoorden, en welke hy zich vergenoegde den Heere Leibnitz te doen f/>). Het waie tè wenfchen geweest, dat de Integraal Rekening vart dien tyd af door de zelfde, of eene even zo bekwaame hand , vernai deld ware geworden : doch alzo de Heer Leibni/Z federt lang vo irrteetriéns was geweest een Werk, getyteld: de Seientiê irfintti, waar van deeze Rekening het voornaairdte gedeelte moest uitmaaken, in *t licht te brengen, wederhieldt zulks de pen van den Heer de PHópital, Aan de verwachting van 't pubiiek werdt eetsl in 't Jaar 1707 voldaan, toen de Heer Gabrkl Marfredi in 't licht bragt zye Verhandeling, De conftruttione cqua» tionum differentialium pr'tmi gradüs, een W erk waar in men met veel oordeel verzameld vindt, alles wat tot in dien tyd over de Integraal Rekening gedaan was. Het zou hier de plaats zyn om verflag te doen van de eerfte vorderingen deezer Rekening; doch a'zo dezelve haare merkwaardiglte uitbreidingen in neeze eeuwe bekomen heeft, zullen wy, ten einde alles wat dezelve betreft onder een zelfde gezichtpunt v.-.or te dragen, dit verhaal tot het volgende deel van onze gelchiedenis verfchuiven. X. Terwyl de meeste Meetkundigen roet vlyt ar« Beidden, cm zich in de nieuwe Rekening bekwaam te maaken, waren 'er anderen die haar den oorlog "verklaarden, en alle poogingeo in 't werk ftelden, Cp) Cmm. Epifi. Leibn. Bern. T, I. p. 35*  W1S K ü N D E. in. Deel. VI. Èeeh $1% offi hsr.r in *t niet te doen Wegzinken. Misfchlen zal het voor fommige lieden eene oorzaak van verwondering zyn, onöenigheden te zien ontdaan in den fchoot eener weetenfchap, welkers natuur haar daar van gantschlyk zou moeten bevryden. Maar diegeenen welke de gefchiedenis van 't menschlyk ver* iland kennen, weeten dat 'er weinig voortreffelyke vindingen zyn, welke geene tegendrjbbïlingen ondergaan hebben, en dat dikwerf de nayver, door een weinig vooringenomenheid geholpen, zeer achtingswaardige mannen tegen zeer nuttige nieuwig. heden heeft doen opftaan. Daar benevens durven wy zeggen, <|at, ais wy van dien twist verflag gedaan zullen hebben, dezelve alleen voor lieden, welke onbekwaam zyn om de tegenwerpingen en beant» woordingen op prys te dellen, eene oorzaak van er» gemis, en eene reden om de zekerheid der Meetkun* de verdacht te houden , zyn kunne. In 't eerst waren 'er Meetkundigen, welke, zon* der de nieuwe Leerwyze rechtdreeks aan te tasten, haare voortreffeiykheid poogden te verdonkeren. Een zodanige was onder anderen de Abt de Catelan, een yverig Cartefiaan tot de aanbidding toe, en die zich reeds berucht hadt gemaakt door eene ongegronde twist , welke hy met den Heer Huyghens gezocht hadt, by gelegenheid zyner Theorie van het flingerpunt, Centrum Oscillationis genaamd. Deeze Abt gaf in den Jaare 169a een Boek in 't licht, getyteld i Logiflique unieer felle, en Methode pour les tangentes, enz. Hy zeide in een kort bericht voor hetzelve, dat die proeve diendig was om te toonen, dat het beter was zich toe te leggen om de grondbeginfelen van den Heer Defcartes over de Meetkunde verder voort te zetten, dan nieuwe Leerwyzen te zoeken. Maar men kan zich bezwaarlyk van eene foort van verontwaardiging onthouden, als men ziet dat die geheele Verhandeling niets anders is dan de Differentiaal-Rekening, op eene ongefthikte wyze , onder eene minder gemaklyke en minder voordeelige bepaaling, vermomd. Gok doet die Schryvef Mm 2 geefl  J*4 HISTORIE de* geen andere (tappen, als in 't midden van ontelba*re hind-rt,'aalen. en hetgeen, vólgens de Leerwyzö der Öjj^*«ttw«/4iekemng verhandeld, duidelyk is, er, fkjtt* eei ige regelen verëh' hl, is volgens de zy. ne duister en veiward, en bellaar geheele bladzyden. Daar b<-neveiw is het Hoek niet zonder gebreken- en dc Heer Ma?quis de THópitql wreekte de Differentiaal Rekening, door dejKlyé aan te wyzei, j hetgeen etnen twist vrrwokte, waar var» le Journal des Scavat.s van 1695 herhaalde' reizen wtê g.dmde. Onder de l ellryders de- LHferentiaal Rekening zyn de Heeren Relle en Nienwetêiyt die geenen ., welke het meest uitgemunt henhen. üe laatltc tradt het eerst in 't ftry 'perk , en gal' in 't Ja ir IS94 èen Boek in 't Jic^t, waai in hy die Rekening te k< er ging (q). Hy beweerde dat zy valsch was, om dat men in dezelve als gelyk bcfcliouwt zodanige grootheden, die, wel is waar, flegts een onëindig klein verfchil heb. ben, doch dat niettemin wezenlyk is. Naar zyne meening moesten die verfchillen volftrekt nul zyn, en naardien alsdan tusfehen dezelve geene betrekking meer kan zyn, verwierp hy t'eeneniaal de tweede verfchillen , en die der hoogere rangen. Kort daar na gaf hy een ander Werk in 't licht, waar m hy zich liet voorftaan de Rekening van Lctbnitz ie ftaaven. Hy gebruikte daartoe een nieuw bovennatuurkundig grondbeginfel, waar uit by zeer zonderlinge gevolgen afleidde, welke hem aanfpoorden om de verborgenheid der bcneppinge te verklaaren. Leibnitz beantwoordde Nituwentyt (r). Men moet bekennen, d :t zyn antwoord niet aanftonds eene volkomene oplosfing der zwaarigheid daarftelt. Want door zyne verfchillen, of oneindig kleinen, als >~q^ Cmilï'hrn'kras circa Analyfeos cd quantitaies infinitè piT-var ajpihaice pnveipia Amtit>. icp4- in Kv. Analyfis infinimum feu Cwvil. Pnprietatts tx Polyg. n&iura aeduüe, Ibid. irtQ5. O; Ait. Lipf. 1604.  WISKUNDE. III. Deel VI Boek. 525 als onvergelykelyk te befchouweD , zo als een zandkorreltje met de Spheer der vaste Sterren vergeleeken zou zyn , kreukte hy de zekerheid zyner Rekening. Maar het byvoegfel , 't wélk hy eerlang op'dat antwoord liet volgen, is meer voldoende. Hy toont daar in aan, dat hetgeen hy de op. zichtelyke verfchillen van de Abfcisfe en den Ordi. tiaat noemt , in niets anders beltaat als in betrek, kinken tusfehen eindige grootheden, betrekkingen welke door de Ordinaten eener Kromme verbeeld kunnen worden; en naardien deezen, (als deeze nieuwe Kromme niet in eene aan den As evenwydige Lyn verëndert) haare verfchillen zouden hebben, zullen die verfchil'en de tweede Ordinaten van de eerlle Kromme zyn, en zo ook met de derde en vierde, enz. als dezelve door de natuur van deeze eerfte Kromme plaats hebben. Ondertus. fchen nam Nieuaentyt hier in geen genoegen. Hy antwoordde door een nieuw gefchrift s), dat, even als de voorige gefchriften , niets anders dan een famenweeffel van ongerymdheden is. Dezelve werden gegispt door de Heeren Bernoulli en Herman, welke aantoonden, dat die beftryder van de Differentiaal-RtVinmg niet wist wat hy zeide. 'De Heer Rolle (t) zou voor de Differentiaal. Rekening een geduchter vyand geweest zyn , als de gevolgen van zyne onderneeming aan zyne drift beantwoord hadden. Hy was, om zyne afbeelding mee weiuig woorden te fchetfen, een bekwaam (7) Confid fecunda circa calculi diff. ufum. Amftel, 1696. i" 8°- , „, . (c) Rolle (Michel) gebooren ivAmben in Neder Au vergne in i6"2, is in 1719 overleden. JVien heeft van hem eene Verhandeling over de Algebra (i6c-a in-40.). eene Leerwyze voor de oplosfing der onbepaalde Voorftellen (1609 1114".), Memorien over het omgekeerde der raaklynen (1701), en eenige andere gefchriften, welkers duisterheid dezelve in de vergetelheid heeft doen vallen. Zie zyne levensbefchryving in PHift* de CA:ad Roy. des Sciences, ann. 17*9Mm 3  520 HISTORIE der Algebraïst, en één der onverfchrokkenfte Reke. naars, maar tevens een haastig man, en, naar men fiisien kan, eenigermaate nayveng over eens anders vindingen. Hy hadt eenige gefchriften uitgegeeven, in welke men, midden door de duisterheid, die hem fteeds vergezelde, vry fcherpzinniee Leerwyzen ontwaarde. Behalven dat bragt hy zyn leven door met Defcartes en de DifferentiaalRekening te hekelen, ln den Jaare 1701 begon hy zich tegen deeze laatfte te verzetten. ,Hy tastte dezelve niet flegts aan de zyde der ftrikte zekerheid van haare grondbeginfelen aan, maar hy waande nog daar benevens door verfcheide voorbeelden te toonen , dat zy ons tot dwaaling deedt vervallen , en ftrydig was met de bekende en aangenomene Leerwyzen, als die van Defcartes, van Fermat , enz, Deeze voorwendfelen waren met het grootfte vertrouwen fraaaklyk gemaakt, en met eene croote toerusting van rekening ten toon gefpreid, zo dat zy ten vollen gefchikt waren om die geepen te misleiden , welke flegts het oppervlakkige van dien twist in aanmerking namen, zonder zicli verder over iets te bekommeren. Maar de Differemiaal-Ktkeniag vondt in den heer Vatignon een zoo yveiig en verrtandig verdeediger, als Rolle driftig en oploopend was. De Heer Farienon beantwoordde op ftaande voet, met veel nadruk, de tegenwerpingen welke de grondbegmlelen der nieuwe Rekening betreffen. Hy gaf het waare denkbeeld van de Diffentitiaalen , en toonde aan , dat zy «ocb volftiekte nullen, noch onvergelykelyke grootheden waren, maar wel de uiterfte redens der opzichtelyke elementa van de Abfcisfe en den Ordinaat , wanneer deeze , geduurig afneemende, eindelyk vernietigd worden. Wat de dooiingen aangaat wslke Rolle aan de nieuwe Rekening toefchreef, hier in zegepraalde wel voornaamlyk de Heer Vatignon. Hy deedt zien, dat alle zyne aantygingen niets anders dan de vruchten van zyne verhaasting eu onbedachtzaamheid waren» Wy zullen ocs  WISKUNDE. Ilï. Detl. VI. Boek. 527 ons bepaalen tot eenige voorbeelden , getrokken uit een gelchreeven antwoord van den Heer Farignon, dat wy in handen gehad hebben. Rolle nam eene Kromme welkers Vergelykinge was y — b~ (xx — üax + aa — bbf> -a=. Hy zocht daar van de grootfte en kleinfte Ordinaten, door dy—o te Hellen, en bevondt dat het gezochte Maximum met de Abfcisfe gelyk aan a ovtrëenftemde. cndertusfcnen , zeide hy, is het zeker, dat deeze Kromme drie Ordinaten heeft, welke Maxima en Minimalen, id de diad, de Regel van den Heer Hudde geeft dr'e zodanige Ordinaten, welke met Abfcisfen gelyk aan a — b, a, en a + b ovciëenftemmen Een ander voorbeeld , dat Rolle aanleiding gaf om zich openlyk de overwinning 10e te fcruyven, was dit. De Vergelykinge zy y — 2 + \/ 4 * -J- I/4+2*. Als men dy ~o ftelt, vindt men x~ — 4, eene waarde met welke flegts een u.^ebeelae Ordinaat overSenftemt, zo dat m deeze Krom >.e geen grootfte of kleinfte Ordinaat is. Doch als men de Worteltekens doet verawyntn , wordt de Vergelyking tot deeze herleid: y4 — By3+ öyy— -zyyx-'r^ yx—6»a,"+4**ri>: zo m< n nu den Regel van den Heer Hudde üaa.öp toepast , zal men . zeide hy, een Maximum vinden, dat met de Abfcisfe gelyk aan a overëenfteóit. Hy voedde 'er nog r>y, dat de nieuwe Rekening met haar zely fttydig was: want. Vervolgde hy, deeze Kek^nmü , >p de bovenftaande irrationaale Vergelykinge to.gepast, geeft geenszins dat Maximum, en toegepast zynde op de rationaale- Vergelykinge, die flegts in de gedaante daarvan verfilmt, geeft zy hetzelve Ot'denuslchen zyn , noch de Dijferef tiaal-Htkening, noch de Regel vau den Heer Hulde gebreklyk ; 't is de He r Rolle die op verfcheide wyzen mistast. Zyne eerfte dwaaüng beibat daarin , dat hy den Kegel van de Z)/^re»/M*/-Rekening uier in zy;i geheel neemt; want men moet riet alleen dy, maar ook dx ~0 ftellen. Doch zo hy zulks geaaan Mm 4 hadt,  5*8 HISTORIE dek hadt, zou hy in het eerfte voorbeeld de drie Maxima Minima, welke de Regel van den Heer Hudde geeft, gevorden hebben. Ten tweeden vergiste zich Rok le, door aan de Kromme, waar van wy fpreeken, de gedaante te geeven , welke in Fig, 96, n°. % gezien wordt, daar zy in tegendeel die van n°. a is, waar in de punten "S en V hunne raaklynen niet evenwydig, maar ■perpendiculair tot den As hebben. Om die reden gaf rie onderftelling van dy~o niets anders dan het Maximum, dat met de Abfcisfe AQ overëenftemt; want deeze onderftelling ls van zodanige natuur , daf zy alleen de punten van raaklynen , welke evenwydig met den As zyn, oplevert. Ten derden toonde Rolle, dat hy geen grondige kennis hadt van de natuur en het grondbeginfel des Regels van den Heer Hudde: want dat punt, 't welk hy jn het tweede voorbeeld vooreen punt van Maximum hieldt, is 'tr geen. Dc gedaante der Kromme van dit voorbeeld is, wanneer de Vergelyking van de irrationaale uitdrukkingen ontheven is , die welke men in Fig 97 ziet, en het punt D , *t welk öe Regel van den Heer Hudde bepaalt , is flegts een fnypunt van twee takken, anders een knoop der Kromme De Heer Rolle zou deeze tegenwerping niet te berde gebragt hebben , als by in acnt geromen hadt, dat de Regel, waar van wy fpreeken, niet alleen de Max'ma CD Minima voortbrengt a maar ook de fbypunten van de takken der kromme Lynen, om dat deszelfs natuur is alle de punten der Kromme, waar in twee gelyke worden yyn, te bepaalen, en dat zules zo wel in de fnypunten gis in die van Maxima of Minima gebeurt, Ten vierden was de Heer Rolle op een o waalweg, toen hy waande dat ae Vergelyking yz: 2 -t 1/4 x-f, IS4 + 2X de zelfde Kromme aanduidde, als de Vergelyking y* — Hy* gftr., tot weike zy herleid wordt, als men "ce raaicaale grootheden doet verdwynen* Ónder de eerfte gedaante drukt zy flegts één der rak-! ken van de Kromme, als LS, uit; want dit is al.  WISKUNDE. III. Deel. VI. Boeh~ 529 ■ les wat man uit dezelve kan trekken, als men verfchillende bepaalde Waarden voor * onderftelt. Maar wanneer de radicaale tekens verdreeven zyn , alsdan heeft y vier waarden, naamlyk 24-1/4*■+■ 1/4-1-2*; 2 + 1/4*—1/4 + 2*5 2 —1/4*+" I/4 + 2*; 2 —1/4*—1/4-1-2*; en de rationaale Vergelyking, uit de vier wortelen famengefteld, betekent de Kromme met vier takken van Fig 97, waar van twee elkander in D fnyden. De Differentiaal-Reik enmg is derhalven niet ftrydig met haar zelve: zy geeft in de eerfte gedaante van Verg< lyking het punt D niet, om dat het daar in niet aanwezig is, en zy geeft het in de tweede. Voorts is het in de Differentiaal- Rekening gemaklyk de natuur van dac punt te leeren kennen; want nademaal , om zich van alle de Muxima en Minima te verzekeren, de Regel van die Rekening eischt, dat men achtervolgens dyCLo, en dx'Zto ftelle; wanneer dan uit die beide onderftellingen eene zelfde waarde der Abfcisfe voortkomt, moet men daar uit befluiten, dat het punt 't welk met dezelve overeenftemt, flegts een fnypunt van eenige takken der Kromme, en geenszins een wezenlyk Maximum of Minimum is, en zulks gebeurt in het voo:beeld dat wy thans overweegen. Dit middel om de waare Maxima en Minima van de fnypunten te onderfcheiden, is, myns bedunkens, het eerst door den Heer Guinée opgegeeven («,}. Het is daarop gegrond, ctat, in de pan en van deeze laatfte foort, dx en dy eene eindige betrekking hebben, naardien de raaklynen tot die puntea noch perpendiculair op den As ftaan, noch "evenwydig met denzelven zyn: dy kan derhalven niec gelyk aan nul gefteld worden , ten zy dx het desgelyks zy. De overige tegenwerpingen van den Heer Rolle waren van den zelfden ftempel: misvattingen op misvattingen, fom- iyds 00 Mém. de FAcad. 1706» Mm 5  5So HISTORIE der tyds dwaalingen in de rekening, en eene zeer groote vrymoeJiglieid; dit was alles wat zyne Memorien opleverden» Zy zyn niet alle gedrukt geworden : men vindt 'er 11 gts éé .e onder die van de Academie des Jaars 1703. iNatuurtyker wyze zou men op het denkbeeld moeten vallen, van daar in , de fchynbaarfte tegenwerpingen ie zullen ontmoeten, welke teg^n de Differentiaal Kekenjng ingebragt kunnen worden. iNiets achter van dat. Men ziet den Heer Rolle de tegenwerping , welke wy zo even onderzocht hebben, daar in weder ophaalen, en fterke poogingen doen om te bewyzen , dat ■ eene Vergelyking onder haare irrationaale gedaante volftrekt de zelfde is , en de zelfde Kromme aan- ■ duidt, dan wanneer zy van de radicaale tekens ontheven is. Maar zyne redenen zyn erbarmelyk, en flegts op eene dubbelzinnigheid gegrond. Het eenvoudigfte voorbeeld zou genoegzaam zyn om hem den mond te ftoppen. In de daad, hoe verblind hy, door zyne drift tegen de Differentiaal^Rekening , ook ware , zou hy wel hebben durven zeggen, dat yy.-axt en y~\/ax volkomen de zelfde Kromme aanduiden? zonder twyffel, neen. De middelmaatigrte Analist ziet met den eerften opflag van 't oog , dat de eerfte een geheelen Parabool aanduidt, en de tweede flegts ééu der takken uitdrukt. Hier in wordt niets gevonden, waar over wy ons hebben te verwonderen ; deeze tweede Vergelyking bevat flegts één der.wortelen van de eerfte, weike zyn y~\/ax, yZL\/ax. Hoe zeer Rolle ongelyk hadt , liet deeze twist echter niet na , dat zy der Academie geduurende een aanmerkelyk gedeelte des Jaars 1701 bezig hieldt, Zy beftondt toen voor het grootfte gedeelte uit bejaarde Meetkundigen, die reeds lang aan andere Leerwyzen gewend waren , en om die reden der nieuwe Leerwyze weinig achting toedroegen Dus zagen fommigen dien tweefpalt wegens eene vinding, welke hun niet behaagde, met genoegen aan, en haasteden zich niet om dien te ftil- len.  WISKUNDE. HL Des!. VI. Boek. 531 len. Anderen, op welken de driften en vforöordeeien meer vermogen hadden , verkla rdeu zich tegen de nieuwe Rekening: in deeze omftandigheid dacht men den twist een vryen loop te moeten laaten , en, om zo te fpreeken, geene tegenwerping te fmooren. De Academie was derhalven een geruimen tyd het flagveld. Rolle ftapelde tegenwer. pingen op tegenwerpingen , en fchoon 'er byna geen aanval gedaan werdt, welke de Heer Varignon niet weder op hem deedt nederkomcn , vleioae hy zich nogthans fteeds met de overwinning. Toen eindelyk , door de fcheldwoorden van Rolle , de twist in een wezenlyk krakkeel veranderde , benoemde de Heer Bignan Commisfarisfen om daarover te oordeelen. Deèze waren de V. Gouys, en de Heeren Caspm en de la Hire. Zy deeden geen uitfpraak, en misfchien zou hun gewysde voor Rolle gunftig geweest zyn; want onder die Rechteis waren 'er twee, naamlyk de V. Gouye en de Heer de ia Hire, welken de aanhangers der DifferentiaalRekening zouden hebben kunnen verwerpen. Maar het Publiek, of ten minften de Meetkundigen hebben uitfpraak gedaan, door den Heere Varïgnon al bat voordeel, en zynen tegenftreever al het onrecht toe te wyzen. Deeze eerfte twist fcheen , in afwachting van een vonnis, geëindigd, of ten minften bygel.gd te zyn. Maar de tegen ftree vers van de nieuwe Rekening konden niet befluiten om haar die foort van vreede lang te zien genieten. Rolle, hun kampvechter, vemienwde kort daar na de vyandelykheden , en bragt over den Regel der raaklynen eene nieuwe zwaarigheid ten voorfchyn. Hy gfcf in het 'Journal des Sgavans van 't Jaar 170a daar van ( p zyne wyze een Kegel, en paste denzelven toe op zekere byzondere gevallen, welke by, by wyze van uitdaging, den aanhangeren der nieuwe Leerwyze voorftelde. Voorts waren die gevallen op eene listige wyze uitgekozen. De vraag was, om tot punten , waar in takken eener kromme Lyn elkander fny  53» HISTORIE nit fnyden, de raaklynen te trekken. Nn gebeurt hier iets dat zonderling eu moeijelyk is: men vindt, als naar gewoonte , gemaklyk de onbepaalde uit» drukking van de onderraaklyn, die alsdan eene gebroken uitdrukking is ; maar wanneer men in deeze uitdrukking aan de Abfcisfe , of aan dtn Ordi* mat, de behoorlyke waarde in dit byzonder fnypunt toeëigeut, worden de teller en noemer des breuks op eenmaal gelyk aan nul. Zu'ks gebeurt» by voorbeeld, in den breuk (ax—x\/ax)'. x—a. o Als men daar in %~a fielt> wordt dezelve —. o Wat raad in dergelyke omliandigheid ? Men is de aanmerking van deeze zwaarghdd verfchuldigd aan den Heer Jan Bernoulli, die d.iarvan rok het eerst de oplosfing vondt, en dezelve den Meetkundigen van Parys mededeelde, onder anderen den Heer de l'Hdpitai, die ze in zyne Analyfe des infiniment petits, Arr. 163, heeft ingelascht (v). Het was de Heer Sautin die hier de zaak der Differentiaal Rekening verdeedigde. Hy beantwoordde Rolle met aan zyne uitdaging te voldoen , en toonde aan, dat de zwaarigheid in gefchil naauwkeurig voorzien en opgelost was in het Boek, waar tegen hy zich met zo veel drifts aankantte (w). Hy deedt desgelyks zien, dat de ft egel van Rolle zelve niets anders was, dan de Regel der raaklynen van (v) Zie f. Bernoulli , perfeSio regulte fa(e, pro determu nando valere fraHmis , cujus numerator ac denomin&or certa eafu evanefcunt Aél. Lipf. ann. 1704 Bernouui Up. T. I. p. 401. (w) De Heer Saurin heeft dit byzonder geval der raaklynen naderhand breedvoeriger verhandeld in ee e Memorie, ocder die der Academie van de Jaaren 17:6 en 1723 ingelascht. Men vindt 'er ook eene onder die van 't jaar 1725, welke de vraagftükken van Maximis en Minim's betreft, en eer.e zegepraaleude wederlegging vas die van Rolle des jssrs 1703 ia.  WISKUNDE. III. Deel. VI. Boik. 533 van de Differentiaal-Rekening, en die van Are. i6\ der Analyfe des infiniment peiits , met behulp van een verward en omflagtig mengelmoes van rekening vermomd. Rolle antwoordde door een langdraadig gefchrift, in het Journal des Spavant van .703 ingelascht, een gefchrift vol hoonende uitdrukkingen. De Heer Saurin verzuimde daaröp te antwoorden, doch bemerkende dat zyn tegenftreever dat ftilzwygen aan eene volkomene nederlaag coefchreef, vondt hy in den Jaare 1705 raadzaam dat uitermaa» ten groot vertrouwen te verminderen , door zyne hoonende uitdrukkingen af te weeren, en hem met nadruk tot den grond van 't vraagiluk te wyzen. Rolle antwoordde op nieuw wet een famenweeffel van fchelavvoorden, van gewaagde Hellingen, welke door de ftukken ten vollen gelogenftraft werden, en febreef fteeds zich'zeiven de overwinninge toe op een toon en met een vertrouwen , welke veröniwaardiging verwekken. De Heer Saurin ging hem van zyn kant te keer met een gefchrift , dac veeleer een fattum, dan een Wiskunftig onderzoek was. Eindelyk beriep hy zich op de uitfpraak van de Academie. De Heer Bignon wilde zelf kennis van de zaak neemen , en benoemde zich tot By. zitters {.Asfèifores) de Heeren Ga/ois en de la Hire, twee Rechters welke de zaak van den Heer Saurin niet zeer toegedaan waren. Nogtbans dorsten zy geen uitfpraak doen, of, om beter te zeggen, zonder zich over den grond te verklaaren, konden zy zich nier onthouden om den Heer Rolle in *t ongelyk te ftellen. Door de wyze van vonnis, dat zy op het einde des Jaars I705 velden , werdt hem aanbevolen zich bmer naar de keuren der Academie te fchikken, door de dingen met meer omzichtigheids ie zeggen , en de H er Saurin werdt naar Zyn goed hart verzonden, dat is te zeggen,aangevuurd om hem /yne flegte gedragingen te vergeeven y). Zodanig was het einde van dien twist, in welken, OU (y) Nouv. de la Republ, des Lettres, Janv. 1706.  534 HISTORIE béu om onze uitdrukkingen te verzagren , wy alleen zullen zeggen, dat Holle zich by verilandige Meetkundigen weinig eere verworven heefc. Het is waar dat hy, in zekere opzichten, zyne vergiffenis by 't nageilacht verdiend heeft. Men leest (z), dat hy zich kort daarna bekeerde, en dat , toen hy zyne geloofsbelydenis in handen van de Heeren de Fontenelle, Vatignon en Malebranche gedaan hadt, hy hun beleedt, dat hy niet ondernomen hadt om aldus de Differentiaal-li.ekenhig aan te tasten, als op de aandryvurg van fornmige perfoonen. De eene is bekend genoeg t men weet dat hec de Abt Galais was; de andere was waarfchynlyk de V. Gouye, die, in één der Dagregisters van Trévoux, de tegenwerpingen van Rolle ten fterkiten onderfteund hadt. Na deeze afzondering van Rolle, die, zich niet kunnende onthouden om met iemand te twisten} zich ophieldt met de Analyfis van Defcartes te berispen, bleef de Abt Galois alleen de openbaare tegenftree. ver van de Differentiaal'Rekening. Doch ontbloot van de hulpmiddelen van zynen kampvechter, en misfchien eindelyk door de zegepraalende antwoorden van de Heeren Farigmn en Samin aan 't wankelen gebragt, begon hy den moed op te geeven, toen hy door den dood werdt weggerukt. Men kan zyne eigenzinnige opvatting van dat onderwerp op geen verftan tiger wyze bewimpelen, dan de Heer de Fontenelle zulks in zyne hiiïorifche Loffpraak doet. „ De fmaak der Alöïdheid , zegt hy, die fmaak „ welke zo bezwaarlyk binnen de behoorlyke paa„ len te houden is, was oorzaak dat hy der Meet» „ kunde van 't onëindige weinig achting toedroeg, -j, Zelfs kan men het niet ontveinzen, nnderaaal onze „ Hiftoriefchryvers zulks gezegd hebben, dat hy ,, dezelve openlyk aantastte : in 't algemeen was „ hy üeen beminnaar van het nieuwe, en verhief „ zich door een foort van ballingfchap tegen alles „ wat Ca) Comm, Epifi. Leibnitü ac Bernoulli, T. II. p. 170.  WISKUNDE. II!. Deel. VI. Boek. 535 „ wat in eenen vryen Staat, als in dien der Let„ teren, te fchitterend was. De Meetkunde van ' het finëi'. dige hadi die beide gebreken, en voor,| naamlyk het laatfte " Deeze verftandige trek is den beroemden Secretaris der Academie waardig , maar hy ve;öütH.huldi^t geenszins den Abt Gaiois. Men is nimmer verf'choonK k, als nen in de Meetkunde onrecht heeft, en zkh door diift en afgunst verzet tegen ontdekkingen, welke dienftig zyn om de bevordering der WeVt-rfchappen te verhaasten. De dood van den A )t Gaiois maakte ten vollen een einde aan den twi.^t. De Rekening van Leibniizis 'm 't algemeen aangenomen, en het is nu [A°i758] reeds meer dan eene halve eeuw, da' de Meetkundigen dezelve tot alle foorten van navorfcbingen gebruiken,z nder dat ooit in eenig ftuk haare zekerheid ltryd;g bevonden is. Wel verre van daar, 'er is byna geen ontdekking, met behulp van dezelve gedaan, die niet op duizend verfchillende wyzen is geftaafd geworden. Dus kunnen voortaan geen andere daa onweeterden, of eigenzinnige lieden , gewoon om over alle z kere Weetenfchappen duisterheid te verfprei.len , bekwaam zyn om de gegrondheid van deeze Leerwyze verdrcht te houden, bovendien, zo de grondbeginfelen van de Rekening, onëindig kleinen genaamd, van zodanige natuur zyn, dat zy voor eenige zwaarigheden bloot liaan, kan het hedendaags niemand onbewust zyn, dat deeze Rekening in den grond dezelfde is als die, welke Ncwlon .F/ia/tf-Kekening genoemd heeft. Nu wordt in de laatfte niets gevonden , dat niet met de ftrenglte grondbegn felen der Meetkunde overëenftemt, zo als wy reeds breedvoerig genoeg getoond hebben. Derhalven moeten beiuen den zelfden trap van zekerheid genieten. Einde van het VI. Boek% en van het DfiR^E Deel,    III. 2Xeel . JAsécrrü. der yyidzmde*. ■ 2*1 J J  XII. Deel f//istor-Ley d&r 'WisKUTi-d^. ^PZ. III.  I„ ;■)<