REEKENBÖE&
voor de
NEBERXANBSCHE JEUGEfc
door
H. A E N E A E,
A. L. M. P itlL. DOCT., EN L ID VA N VE R S CHE P> DU NE GELEERDE GENOOTSCHAPPEN.
uitgegeeven door de
MAATSCHAPPIJ: TOT NUT VAN T A LGE MEEN,
tweede deel.
Te L ET D E N, tij D. du MORTIER en ZOON,
en te DEVENTER, bij j. H. de LANGE,
mdccxsïvj






BERICHT.
eftuurderen der Maatfchappije, in deiï jaare 1791. •> het Eerfte DeeJ van dit Ree» kenboek des Heer en aëneae's in V licht gegeeven hebbende, met den wensch, dat het' zelve mogte ftrekken tot dat einde waar toi het zamengefield is; zo verfchijnt dit Tweede , of laatfte Deel, met denzelfden wenschï * 2 ter»



terwijl het in 't werk /lellen van die eenvoudige middelen, welke de jiutheur in zijn Voorbericht aanraadt, zekerlijk veel, tot vervulling van denzelven, zal kunnen '■aanbrengen.
Uit naam der Maatfchappije,



VOOR-BERICHT.
«-
Toen H. H. hef iereren der lofii/ke Maatfehappij, wetke de uitgave van dit werkje , beneevens die van verfchcidene andere nuttige fchoolbutkjes, bezorgd heeft, in het jaar 1786 *«» programma, betreklijk tot het ■vervaardigen van een nieuw reekenboek , het licht deeden zien, kwam mij voor, dat 'er verfcheidene aanmerkingen op dat programma te maaken waren.
Daar ik ondcrtiïsfebtn zelv zedert veele jaaren hartlijk naar een reekenboek verlangd had, waar in de «ronden detzcr zo voortref ijke weetenfehap aangeweczen %>, ontvoud wierden , en waar in deeze weetenfehap zelve, naar eenen welgeregelden lei/draad, klaar, duitllijk,, en oordeelkundig* wierd behandeld, beving mij tenc ogcnbliklijkc luit om , zo fpoedig mij eenigzins mogelijk was, een zodaanig reekenboek te vervaardigen; niet om naar den prijs te dingen , maar om te zorgen , dat 'er een zodaanig werk te voorfchijn kwam, als tk Vtij verbeeldde dat 'er ten meest en nutte vereischt wierd.
Ik nam dan ook op hei óogeublik de pen op , en fchreev in weinige dagen omtrent de 50 eerfte bladzijden van dit werkje. — Dan toen een beletzel invallende, waar door ik geduurende verfcheidene weeken verhinderd wierd om 'er iels -verder aan te doen , bekoelde ook mijne drift; na eene rijpere overweeging, en daar uit [pruilend bezef daar van, dat 'er toch met het Schrijven van een reekenboek, in eenen geheel ongewoonen trcr.it, in ons Land, noch eer, noch voordeel te behaalen zoude zijn.
Het eerfte deeltje van het reekenboek , het welk uit, verfchillende op bovengemeld programma vervaardigde en aangebodene opfeilen verzameld was, in het jaar 1790. in het licht verfcheenen zijnde , werd tk dopr H. II. B. S. deezcr Maatfehappij aangezocht, om mif * 3 met



VI VOOR-BERICHT.
piet de verzameling der volgende deeltjes te belasten. — Pit wees ik volftrekt van de hand, als looptnde ten cctienmaal buiten dc fchets -welke ik mij zeiven in deczen Cntvjorpen had, en waar van ik het beloop aan M. II.
B. bij deeze gelegenheid mede deelde.
H. H. B. B. verzochten mij daar op mijn aanvanglijk opftel te mogen leezen; en daar dit het geluk had van Hun Eds. bij uitneemendbeid te bevallen , overreedden zij mij, weinige dagen daar na, om het begonnen werkje , tegen eene billijke erkentenis , voort tezetten. — Ziet daar , waarde Leezers ! wat ik UI. ten opzichte van de aanleiding tot dit werkje niet onnoodig geoordeeld heb tc berichten.
Wat het werkje zelv belangt; mijne Leezers mogen het icoordeelen. — Dat deeze beoordeelingen ondertusfchen even zeer uit eikanderen zullen loopen , als de verfchillende inzichten , kunde , en neigingen mijner Ltezeren van eikanderen verfchillen , lijdt niet den minsten twijfel. — Daar ik echter voor mij zeiven niet de getingfie eer verwacht, of, naar het meest algemeen denkbeeld over de waarde der weetenfehappen, verwacblen kan , van het opfeilen eener laagere Rcckenkundc , zo betuig ik, dat ik geen ander belang in den uitfag daar omtrent felle , dan 'voor zo verre die voordeelig Xif nadeelig zoude kunnen zijn, ten opzichte van het Hut, het geen hel Algemeen uit mijnen arbeid zal kunnen trekken- 1
Het opfiel, bij zoege van zamenfpraak ingericht, zal misfjjien van v-eelen worden afgekeurd. — Ik heb het hoven anderen verkoozen , om dat het mij het gefchikfic fchijnt voor een onderwijs van deezen aart; eensdeels , om dat bet het naast aan de leevende ftem komt , en anderdeels, wijl deeze handelwijze den fchrijver bij ttitneemendheid infant'fielt, om aandacht te verwekten , bedenkingen aan te voeren, en op te los/en, en icoplettendheid des Leezers daar te bepaalen , waar bij zulks van het meeste belang oordeelt.
Verder voorzie ik wel, dat veeier tegenbedenkingen 4a,etr op zulUn u.i(lcopcn, of dit werkje wel voor fchool-



VOOR-BERICHT. vit
gebruik gefchikt zij, daar dit toch het oogmerk van H. H. B. B. deezer Maatfchappij geweest is; en dus, of bet wel aan het oogmerk voldoe. — Zeker zijn deeze bedenkingen niet ten cenenmaal ongegrond , en ik acht het noodig om 'er bij voorraad op te antwoorden; dan mijn antwoord moet tweeledig zijn.
In de veronderfelling- dat 'er geen ander middel ter onderwijzing voor handen zij dan men, helaas! op de ■meeste onzer Nederlandfche fchoolen werkfelhg maakt, dan antwoord ik , op de vraag: of dit werkje voor fchool-ebruik gefchikt zij, volmondig: weinig beter dan eenig ander der reeds in gebruik zijnde. — Doch ik tart teffens eenen lederen, wie hij ook zij, dat hij, in dat geval, een werkje vervaardige, het welk aan het heilzaam oogmerk deezer maatfchappij beantwoorde.
Eene ondervinding, welke ik, geduurende eene reeks van 16 jaaren, in het dagelijksch bijzonder onderwijs •van de hoogere reeken- meet- en natuurkunde doorge. bragt, verkreegen beb, heeft mij maar al te wel geleerd, hoe weinig de vermogens van jongelingen, over het algemeen gefproken , nog op die jaaren ontwikkeld zijn , waar-op men hen gemeenlijk in deeze weetenfchappen begint te onderwijzen; en geldt deeze mijne ondervinding omtrent jongelingen van gelukkiger geboorte, en op die reeds eenigzins gevorderde jaaren , hoe zeer zal die dan op nog jongere jaaren , en bij minder gelukkig geboorenen , die dus ook mindere geleegenheid ter ontwikkeling hunner verfandlijke vermogens gehad hebben , niet moeten gelden ? - Neen , een menscb denkt niet, voor dat men hem geleerd hebbe te denken , en van daar zo weinig waarlijk denkende weezens.
Ik heb, wel is waar, de alleruiterfe klaarheid be. hartigd; misfchien kan ik, op zommigeplaatzen , aan eenen deskundigen, langwijlig fchijnen; dan hij denke, dat ik niet voor hém gej'chreeven hebbe. — Echter is het 'er ver af, dat ik mij verbeelden zoude , dat men jlechts mijn- werkje aan eenen jongeling behoeve in banden te geeven , om hem te leeren reekenen. — Rekenboeken uil te venten, waar uit men het reekenen, » ^ HOK".



yin VOOR-BERICHT.
zonder behulp van eenigen meester, grondig luren kan, is kwakzalven in reekettkun.de. — Was zulks overhoops pogelijk , ik zoude mij met eenige aanfpraak daar op durven vleijen.
Doch om tot het tweede lid van mijn antwoord, op de vraag: of dit werkje tot fchoolgebruik gefchikt zij, te komen , zal ik vooraf mijne geheele bedoeling met dit gefchrijv o'ntvouden; en mij daar bij vooral tot die geeifen wenden , tusfchen welken en mij in dit geval de grootfie bet rekking1 plaats zal moeten hebben ; ik meen tot allen wier taak het is de jeugd te onderwijzen , doch voornaamlijk tot fchoolmeesters van openbaare fchoolen.
Hoe zal het mogeliik 'zijn welgeoefende Soldaaten te maaken, bij gebrek aan bekwaame Officieren ? — En is het niet even onmogelijk goede Reekenaars te maaken, tij gebrek aan goede Meesters? — Ik heb dan, in de eerfle plaats, voor Meesters gefchreeven. — Het beige u niet, waarde vrienden! dat ik mij dit vermc-c(e. — Ik weet dat 'er veele '.vaardige en zeer kundige mannen onder UI. gevonden worden; dan deezen zullen mij ook allen zeer gaarn toefemmen, dat het getal der minkundigen maar al te groot is.
De kundigfen zullen mij misfehien antwoorden : gij hebt ons niets nieuws geleerd, wij wisten dat alles zeden lang.' — lk geloov het van harten gaarn , mijne vrienden! — Maar hebt Gij ook een zoo geregeld en tordeelknniig opflel van uwe weetenfehap gemaakt , s-m naar te onderwijzen; of eenig ander het welk het mijne kan cveuaareu ? - Zo ja, gij hebt mijn werkje 'niet noodig. - Doch, zo reen, overweegt dan, bid (k , tot nut van 't algemeen , of Gij "er ook met voorzeil gebruik van zoüdt kunnen maaken.
Wat UI. betreft, waarde vrienden.' vjier omfandigieeden minder gunstig geweest zijn dan de mijne , of die van eenen anderen, einden noodigen voorraad van 'kundinhceden op te leggen; hei beige UI. niet, ik herhaal het, dat men u den weg ter verkrijging der nooii<re kennis gcmaklijk trachte te maaken'. —1 Schermt U*iuch nooit uwer snkusdc, ten minsten voor u zeiven; X ■ zij



VOOR-BERICHT. IX
Stj is toch overhoops uwe fchuld niet, maar al meest 'een gevolg van de mindere kunde uwer Leermeesters, en van de jlechle handleiding, welke men overhoops op de fchoolen krijgt. — Neen , het is niet de onkunde zelve , maar de waan van kundig te zijn , die den onkundigen tot fchande ftrekt. — Gebruikt dan dit werkje , of een ander, indien het u beter en meer verfaanbaar voorkomt, in flilte, en tracht 'er uw voordeel mede te
doen. Zo doende zult gij tot nut van het algemeen
werken , en U roemrijk kwijten van uwen post, waar voor Gij verantwoordlijk zijt., het onderwijs van de aan U toevertrouwde jeugd.
Heb ik nu te voèren reeds loegeflemd, dat mijn werkje, op de gewoöne wijze gebruikt , dat is, den leerlingen flechts in handen gegeeven om lommen uit te maaken , gelijk men het noemt, dat is, vraagen te beantwoorden , of voorf ellen op te losfen ; weinig meer zoude uitwerken dan de gewoone opeenfapelingen van losje yraagen met de daar achter gevoegde antwoorden , ik zal nog meer toeüenimcn. — lk zal toefaan dat mijn werkje voor zommige leerlingen , in dat geval, minder truikbaar zal zijn dan de gewoone — In de laatfen is nog meesttijds met een woord gezegd: gij moet het getal, dut daar (laat, niet het getal, dat daar.fhat, vermenigvuldigen , en het product door het getal ,
dat daar ftaat, deflen, enz. Uit wordt bij mij
eerst het bijluit van eene aantengefchakelde en betoogende redekaveling, hetwelk door den ongeOiffenden leerling niet zo gemaklijk ontdekt wntdt.
Doch wat zoude men in het geneeskundige van de ge. volgtrekking gezegd hebben, dat de koortsbast een zeer onvermogend middel tegen de koorts ware, om dat hij ep den pols , of eenig ander deel van het lighaam , ui. terlijk aangewend, de gewenschte uitwerking niet te wege bracht; daar echter, het zij dan de ondervinding, of bet biigehov , aan andere middelen, op deeze wijze aangewend, veel krachts tegen de koorts had doen toefchrijven ï
Gijl, moet dan, veer uwe leerlingen , een geheel an* $ der



x VOOR-BERICHT.
der gebruik van mijn werkje manken, Vrienden! zal hit eenigzins aan mijn oogmerk, en dat van deeze maatfchappij beantwoorden. - Vergunt mij dan, dat ik het UI. voorfchrijve, even gelijk de Geneesheer voorfchriift, hoe hij zijne gegeevene middelen wil gebruikt hebben - De zaak is in de daad gcmaklijk en eenvoudi<r- fchoon ik zeer wel weete, dat den welwillenden veele dingen ligt en gemaklijk zijn , waar in anderen onoverkomelijke zwaarigheeden voorgeeven te ontmoeten — Ziet dan hier bet voorfcbrifl.
Gij voorziet U Ugen eenen der Wanden van het vertrek waar in Gij uwe fchool houdt, van een langwerpig zwart gefchilderd bord, of zamenfel van digt tegen eikanderen geklampte planken , van omtrent 3 voeten breed, en 6, of meer, voeten lai.g, naar het getal uwer onderwijzelingen in de rcckcnkunde, op die hoogte schansen, dat de leerlingen overhoops tot boven aan^ dat bord*kunnen reiken. - Voorts geeft Gij aan teder tiwer leerlingen in het reekenen, of ten minsten aan 1-vee drie, of vier der meest gevorderden , een fuk kW in de hand, en neemt zelv een fuk. - Dan laat Gijeenen uwer leerlingen, die duidlijk en onderscheidenlijk leest, uit dit werkje voorleczen ; of Gij leest , tij gebrek aan eenen zodaanigen , zelv voor; of wel Gij houdt met hem in de daad uwe beurten als Meester
CUGe"uurge'nde deeze oefening leest Gij niet flechts, of laat Gij niet f echts leezen , maar Gij herleest , en doet ierleezen; Gij herha.lt het gezegde met andere woorden; Gij h.ldert het op door voorbeelden ; Gij vraagt uwe leerlingen bij naame , of zij het begrijpen. - Zo A niet antwoordt, gij vraagt B,C, of D. - Jan den tenen die het meent te begrijpen doet Gij ogenb iklijk een voorfel, ten einde hij zulks toone - Tast hij mis, Gij verbetert het; Gij doet eene andere vraag, E. - Doei zo ik verder wilde gaan , waarde Vrienden! zoude ik vreezen aan uwe bekwaamheeden , over bet geheel, te kort te doen. ,
Gijl. wiet, bïo} ik, allen bij 'eigene ondervinding^



VOOR.- BERICHT. XI
Wat het opwekken der eerzucht doet, bij openbaar onderwijs. —— Eene rechtjlandige ftreep getrokken , bij voorbeeld, voor.lederen antwoorder, en één of twee dwarsftreepjes ter rechtehand aangehaald, voor een goed of uitmuntend antwoord; en ter linkehand, voor een ik weet het niet, of voor een al te dommen trek; deeze lijsten met het einde der week opgemaakt; naar den uit/lag plaatzen gegeeven in de fchool, of aan tafel, klcinigheeden ingewilligd; bij zekere geleegenheeden , als nieuwjaar , of kermis , prijsjes uitgedeeld , hoe gering ook ; en wat al meer van dien aart is , kan , wel" bef eed en bejlierd zijnde, zomtijds bijna het ongelooflijke uitvierken.
Eenige minuuten , of ten uiterflen 'een halv uur, dagclijksch aan deeze oefening bef eed, is genoeg. — Men zal op die wijze het'werkje gemaklijk in een jaar doorloopen. — Deeze oefening geëindigd zijnde', laat men, als naar gewoonte, voorf ellen volgens het gegeeven onderwijs oplosfen , welke oplosfingcn men vervolgens naziel , daar het noodig is verbetert, enz.
Hefw.erkje dan , op deeze wijze gebeezigd, moet, za ik mij niet b'edrieg, bij uitneemendheid voor Schoolgebruik gefchikt zijn; en ik wensch, tot nut van het algemeen , niets meer , dan dat 'er, door een genoegzaam aantal kundige en welwillende Meesters, de behoorlijke proeven van genomen worden.
Die hun lust vinden in tegenbedenkingen te maaken, en zwaarighecden op te werpen, zullen hier misfehien wederom ruime ftof meeneit te ontmoeten. — Het is mij onmogelijk die alle te gisfen , of te voorzien. — lk zal, 'er alleen een paar van trachten uit den weg te ruimen, welke ik vermoed wel de eerfte te zullen zijn, niettegenflaande ik alles zoude kunnen afdoen, met alleen aan te merken , dat de voorgcj'chreevene handelwijze , J'ehoon in ons land bijna onbekend, echter niets minder dan nieuw, maar-wel beprcevd, tn van de allergewenschte uitwerking bevonden is.
De eerfte tegenwerping zal vermaedlijk bij veelen gijn; wie zal zulk een zwart gefchilderd bord bekostigen?



VOOR-BERICHT.
fci, _ lk antwoord, zo U de zaak ernst is, en Gij
% zelv niet wilt of kunt doen, gelijk dit bij voelen , vooral ten platten lande , bet geval zal zijn , dan zullen het, hoop ik, de fchoolbezorgers doen - Be kosten zijn waarlijk te gering, dan dat men da niet zou% lurven hoopen. - Zo niet, één, twee , of drte der meest vermogende Ouders uwer leerlingen. _ Zo ook di niet wil gelukken, dan zult Gij, indien bet U ernst is dit herbaal ik, in de plaats van tegen een hangend bord, op een fehooltafel, of op twee of drie tegen ïlkanderen geplaat/le banken laaten fchrijven. - De losten van het krijt, hoop ik niet dat m aanmerking
iUlZek°tweede bedenking kan in den eerfen opflag van meer gewigt febijnen , vooral in fobool en waar één eentg Meesur, veelekindered in bet zelve vertrek in verslende dingen , te onderwijzen heeft; en dn! geval l Lort in het oog gehouden te worden. - Zij is dee™°.0rl watïull/n *de andere kinderen doen geduurende de Meester met de Reekennars beezig is? - Zul2ïft« aoeijen onder elkanders W^.taj
TcJl fnaar de reekenaars laate wenden? Dat men hen
% t en oplettendheid aanbeveele . en de overlreeders
naar Zang van zaaken (Irafe? - Met deeze fchikking
IJlen de Lesten niet alleen zeer wel te vreede zijn,
Ta , ik vleii mij, dat die tijd voor hen met geheel ma>,r ik vlet) mij , rja,}
verloeren ^[^jf^tnen neev, de derde van tenen br-oeder de ander van fpeclmakker
Z ^D^bepZlt ^n"aandacht; en die bepaald j hriift 'er altïid iets hangen , en het veroorzaakt bij te t enIpgiwektheid" - Het is ook daarom %% £elè oefenL 0p een halv uur U daags ten al-
MZ'Zr^l%«jr waarom ik niet verhezen hebbe de antwoorden achter de vraagen "tg* z,l - Mijn voornemen «r* de antwoorden *f**?*
1



VOOR. BERICHT. xin
lijk te laatin drukken , doch in veel minder getal dan het werkje zelv, ten einde de Meesters zich tan ten exemplaar met antwoorden , alleen voor zich , zoudeji kannen voorzien. — Daar ik ondertusfeben zelv geen* tijd, en ook weinig lust had om die antwoorden te vervaardigen , wierd ik op het aangenaamst verrascht dnor het gulhartig aanbod van eenen 'mijner vrienden , een* beroemden en kundigen Kostfchoolhouder in de Stad mijner wooning, welke mij betuigde dit door zijne beste leerlingen , en ondermeesters, gemaklijk te kunnen hewerkftelligen , en beloofde 'er hel meesterlijk oog over te zullen laaten gaan. — lk nam dit aanbod met dankbaarheid aan; dan veelvuldige herinneringen , en even zo vecle knoopen in den zakdoek, hebben mij niet eed eenig antwoord bezorgd. — Deeze te leurflelling fpijt mij; dan zo het werkje eenigen opgang mogt maaken, vleij ik mij, dat wel iemand de vriendelijkheid zal willen hebben van 'er in te voorzien.
Voorts heb ik van de meeste veranderingen , invoegingen , uillaatingen , of andere omftandigheeden , waar in zich dit werkje van meest allen, tol heden uitgekomen , onde'rfcheidt, in het werk zeiven, ter haaret plaatze, reekenfehap gegeeven. — Alleen zoude men mij misfehien kunnen vraagen , of ik het vereischte vatt II. II. JS. J3. in het vierde lid van hun programma, té weeten : alles te verhandelen, hetwelk op onderfcheïdene ambachten, fabricquen, en handwerkeii betrekking heeft, enz. dan zo onnut, of overtollig geoordeeld hebbe, dat ik 'er in het geheel geene melding van maake ? — Ziet dan bier mijn antwoord.
liet is 'er ver af, dat ik het vereischte , op zich zeiven , voor onnut of overtollig zoude houden ,doch ikhei bet hier ter plaatze niet gevoeglijk geoordeeld; en wel em reedenen, welke door II. II. B. B. zeiven reeds ge* voeld zijn, gelijk blijkt uit de volgende woorden van het programma; mén kan geenzins vorderen, dat dc gronden der Meetkunde in dit werk volkomen geleerd worden, enz. — De gronden der Meetkunde moeten dan vooraf gaan. — Dit is ztker. — Waarom dit vak dan
ttiet



xïv
VOOR-BERICHT.
«ut afzonderlijk behandeld? - Eensdeels zoude dll werkje, het geen reeds tot eene grootere dikte uitgedijd is, dan ik wel gewenscht had, veel te omflagtig geworden zijn. — Andèrendeels wordt de lust der leerlin. gen opgewekt, door in een ander boek over te gaan -Eindelijk komt het mij nog zeer bedenklijk voor, of het verkietüfk zoude zijn , dllerleije handwerken enz. voor fchoolgebruik in het zelve werkje te behandelen, daar de fchooltijd voor de leerlingen van dien ftand meestal zeer bepaald is. - Men vergunne mij dan het volgende ontwerp , met betrekking tot dit onderwerp, aan H. H B B. en Leden deezer Maatfchappij voor oogen te (lellen ~ Draagt het geene goedkeuring weg, ik zal -mij daar mede troosten , dat dit lot niet telden aan beter en meer belangrijk ontwerp is te beurt gevallen.
Het is niet mogelijk, het wordt ook niet vtreischt, dat men van alle menfehen geleerden maake. - lk ben 'er zeer tegen , dat men met leerlingen , die den tijd en het vermogen hebben, en vooral dan wanneer zij tot de beoefening van weetenfehappen worden opgeleid, eenen anderen dan den koninglijken weg injlaa, bij het onderwijzen in wiskundige weetenfehappen. - De we door Euclides, en andere oude Grieken gebaand, is de *cni°-(le langs welken men zeker is, om zonder ftruikelen te kunnen voortgaan. - Doch geheel anders is het, „nar miin inzien , met handwerkslieden geleegen.
Ik liil dan voor, dat men eene beoefenende Meetkunde vervaardige, waar in, behalven het trekken de, vierkants- en taarlings - wortel, het meeten van platte en lighaamlijke oppervlakten , en inhouden , op de aller duidlijkfte wijze ontvoud en onderweezen worde; voor z verre die naamlijk onder het bereik der laagere Meetkunde vallen. - Ik kan hier de driehoeksmeeting nut % voegen, dan voor zo verre die door pas/er, meetfchaal, en transporteur, of hoekmeeter kan verricht worden, naardien zij anderzins te veel voorafgaande hefpiegelende meetkundige kennis vereischt.
1 Dif werkje vervaardigd zijnde, wil tk afzonderlijke Utkjit voor afzonderlijke handwerken laaten vervaag



VOOR-BERICHT. XV
digen; bij -voorbeeld, een Timmermans en Schrijnwerkers reekenboekje, een Metzelaars en Steenhouwers reekenboekje , een Molenmaakers reekenboekje, een Uur*werkmaakers reekenboekje , een Koper - en Blikjlaagers reekenboekje , een Zcilenmaakers en Touwjlaagen rcekettboekje , enz. — Deeze boekjes kunnen niet door één mensch vervaardigd worden, maar moeten ieder afzon, derlijk door eenen Geleerden , of ten minflen genoegzaam kundigen fchtijver, en door eenen der bekwaamjle handwerkslieden in dat vak, worden opgefteld. — De handwerksman moet aan den fchrijver de noodige bouwfof.fen lecveren , de kunst - termen opgeeven , en onderrieh • ten waar het den werklieden in zijn vak gemeenlijk hapere. — De zaak uit dit oogpunt befchouwd zijnde, geloov ik dat men wel gevoelen zulle, dat zij zich niet zo gemaklijk, in een deeltje van een ge-woon r&ekeitiockje , door een enkel reekenmecster, laate behandelen.
Deeze boekjes moeten echter niet op zitth zeiven bsjlaan , -maar ieder boekje moet met bovengemeld meetkundig .opftel een geheel maaken; zo dat iemand, bij voorbeeld, een metzelaars rcckcnbockje vraagende , het meetkundig opftel, met het boekje dat de metzelaars be» treft daar achter, onlvange. —— Daarom moet men zich, door alle' deeze afzonderlijke boekjes heen, op de j § van het meetkundig opftel beroepen.
Laat ons het voordeel van deeze fchikking inzien.
Zommige deezer boekjes moeten noodzaaklijk ter minsten door eenige afbeeldingen worden opgehelderd Men
lette dan een oogenblik op den prijs, waar op dit alles■ zomen genomen loopen zal. — Deeze zal misfehien eenige guldens bedraagen; en hier door zoude bet oogmerk der Maatfchappij ten cenenmaal verijdeld worden. ~— Doch wat de Blikftaager met een Timmermans re eken» boekje, of de Timmerman met een Blikjlaagers reckenboekje te doen ? — Verkiest iemand meer van deeze boekjes, hij kan 'er zo veele achter Jkanderen laaten voegen , als hij goedvindt. — Afzonderlijk zullen de boekjes voor eenige fluivers , het één voor wat meer , het mnder voor wat minder, gegeeven kunnen -worden.
Neg



xvt v O O R. - B E R I C H T.
tJog zoude ik 'er zeer voor zijn , om een kort en bon, git opftel van de weeg- of zo genaamde werktuigkunde te doen vervaardigen , ten einde voor het molenmakers en uurwerkmaakers boekje enz., achter het meetkundig opftel te plaatzen , zonder welke deeze boekjes geenerM volkomenheid kunnen erlangen. _ . -
Dan dit in het voorbijgaan. — Dat dit werkje bij voorraad tot nut van het algemeen verftrckke! en het doel der Maatfchappij zal, te gelijk met het mijne, ie» reikt.



voor de
NEDERL ANDSCHE JEUGD.
I. 53, L eerling. Met blijdfehap zie ik de geleegenheid wederom gebooren, Meester! om mijne kundigheeden in het-reekenen , door het genot uwer lesfen, verder te volmaaken. — Gij hebt mij beloofd, de betrekkingen, welke ' de grootheeden op eikanderen hebben, met mij te zullen behandelen, (§. 534.) — Wat verftaat Gij in deezen zin , door bet? ekkingen ?
§. 538. Meester. De woorden betrekking, ree* den, en verhouding, zijn in deezen van de zelve beteekenis, en geeven alleen dat geen te kennen , het welk men waarneemt, als men twee getalen met eikanderen vergelijkt; bij voorbeeld, als ik $ met 7 vergelijk , vind ik dat 5 twee minder dan 7, of dat 7 twee meer dan 5 is. Dus zeg ik dat' de reeden, of verhouding, tusfehen 5 en-7 het getal 2 is. — Nog ééns, als ik 3 met 12 vergelijk, vind ik dat 3 vier maaien in 12 bevat is, of dat 12 het getal 3 vier maaien in zich bevat. Ik zeg dan dat 4 dereeden, of verhouding, zij tusfehen 3 en 12.
§. 519. L. Zo ik het evenwel wel heb. Meester! dan heeft hier een aanmerklijk verlchil in de wijze van vergelijking, en dus in de verhouding plaats, tusfehen uwe heide bijgebragte voorbeelden: want, in het eerfte voorbeeld neemt Gij he£ getal van cénhecden in aanmerking, welke het ééne
II. deel. A getal



g VERHOUDING.
getal meer dan het andere bevat, en in het laatfte bei'chouwt Gij hoe veele maaien het ééne getal zelv in het andere, waar mede het vergeleeken wordt, bevat is.
§. 540. M. Men kan nog andere wegen van vergelijking tusfehen twee getalen infhian, dan het is hier de plaats niet om 'er van te gewaagen. — Gij hebt ondertusfehen te recht aangemerkt, dat de beide verhoudingen, welke ik ten voorbedde aangevoerd heb, van zeer verfchiÜenden aart zijn: want, dat ik, in het eerfte voorbeeld, de éénheid tot gemeene maate voor de beide getalen gebruikt, doch, in het laatfte, het ééne getal tot maat voor het andere gebeezigd hebbe; of dat ik, in het eerlle geval, de beide te vergelijkene getalen, door de éénheid, en in het laatfte door eikanderen gemeeten hebbe. — De vcrfchillende verhoudingen, welke daar uit voortspruiten , draagen dan ook vcrfchillende naamen. — Men noemt de eerfte eene reekenkundige ( arithmetifeke), en de laatfte eene meetkundige (geometri/ene) reeden.
%. 541. L. De eerfte, of reekenkundige reeden , zal ons dan, naar ik vermoede , wel het Hicest in de reckenkunde te ftade komen.
§. 542. M. Zo kan men, in den eerften opflag, door oneigenlijke benaamingen misleid worden. Het tegendeel is juist waar. Het gebruik heeft deeze 'benaamingen ongevoelig ingevoerd, zonder dat zij cenigen grond hebben. De meetkundige verhoudingen komen , niet alleen in alle andere wiskundige weetenfehappen, maar ook in de gewoone reekenkunde misfehien duizendmaale» te pas, tegen dat men éénmaal van de reekenkundige gebruik maakt. — Daa laat 011$ verder gaan.
§- 543



VERHOUDING.
3
§. 543. Overal waar eene vergelijking plaats 8al hebben, moeten op het allerminst twee dingen voor handen zijn, welke met eikanderen vergeleeken zullen worden ; dus in ons geval twee getalen. — Deeze getalen nu, welke met eikanderen vcrgeleeken worden , draagen , met een kunstwoord, den naam van termen eener reeden.
§. 544. Het getal, dat eerst genoemd, of gefehreeven wordt, zal dan de voorgaande term, en dat het welk men laatst noemt, of fchrijft, de vol' gende term eener reeden zijn. — Wanneer men dan zegt, de reekenkundige reeden van 5 tot 7 CS- 538- ) za* 5 ^e voorgaande , en 7 de volgende term zijn; doch zegt men, de reekenkundige ree' den van 7 tot 5, dan zal -7 de voorgaande , en 5 de volgende term zijn. — Zo zullen ook de getalen 3 en 12, het eene de voorgaande, en het andere de volgende term zijn, naar de uitdrukking, van welke men zich bedient: te weeten, 3 Haat, in eene meetkundige reeden, tot 12, of 12 ftaat tot 3 ; of, met andere woorden, 3 heeft reeden tot 12; of, 3 verhoudt zich tot 12, enz. welke alle uitdrukkingen van ééne, èn de zelve beteekenis zijn.
§. 545. L. Men behoort'er dan telkens bij te bepaalien , naar mij voorkomt, als men van eene reeden , of verhouding, fpreekt, of men 'er eene meetkundige , dan wel eene reekenkundige door verftaa.
§. 546. M. Vergeev mij; het is uit hoofde van het menigvuldig gebruik der meetkundige reeden , met opzicht tot dat der reekenkundige (§. 542.) dat men, van eenige reeden, of verhouding, zonder bepaaling, fpreekende, daar door altijd de meetkundige verftaa; zo dat men 'er Hechts, van eene reekenkundige fpreekende, deeze bcpaaling behoeve bij te voegen.
A 2 §. 547*



* VERHOUDING,
§. 547. L. Heeft 'er ook eenige bijzondere fchrijfwijze plaats , Meester! om eene reeden, of verhouding, aan te duiden, of uit te drukken?
§. 548. A/. Gij zult buiten twiiftel opgemerkt hebben, dat de reekenkundige reeden in het verfchil van twee getalen beftaat; doch dat de meetkundige door het hoeveelmaal van de beide getalen, in eikanderen gedeeld wordende, blijkbaar wordt; dus dat de reekenkundige door aftrekking, en de meetkundige door deeling bekend worde. (§. 538.) Niets is dan meer natuurlijk, dan dat men, bij voorbeeld, de reekenkundige reeden van 5 tot 7, of van 7 tot 5, uitdrukke door 5 — 7, of door 7— 5, dat is, 2. — Zo ook, dat men de meetkundige reeden van 3 tot 12, of van ia tot 3, aanduide door of door r\ , dat is, door 4, of door \,
§. 549. Het hedendaagsch gebruik heeft echter o-ewild , dat men eene reeden , het zij dan eene reekenkundiae, of eene meetkundige, aanduide, door twee boven eikanderen geplaatfte flipjes, tusfehen de beide termen der reeden; aldus, 5:7, of 7: 5. Zo ook 3:12, of 12 : 3. —■ Doch daar men, door deeze gelijke fchrijfwijze, de reeken. kundige reeden van 'de meetkundige niet zoude kunnen onderfcheiden, heeft men veeltijds de gewoonte , om voor de reekenkundige dit teeken ~> te plaatzen, zodat men, vindende ~ 5=7? daar door de reekenkundige reeden van 5 tot 7 te verdaan hebbe.
§. 550. Deeze fchrijfwijze , is voor de reekenkundige reeden, fchoon gebruiklijk, echter niet zeer eigen. Dan zij is ten hoogden eigen voor de meetkundige, naardien men eertijds gewoon was eene deeling' op die wijze uit te drukken. —- Zo



EVENREEDIGHEID. 'g
betcckent 3:12, in vroegere wiskundige fchriften, het zelve dat wij uitdrukken door T35; dat is 3 gedeeld door 12, en bij gevolg, ook de reeden van 3 tot 12, dat is 4. — Dan gaan wij over tot de evenrccdigheeden.
§. 551. L. Wat verfhat gij door eene evenfeedigheid ? Meester!
§. 552. M. Het woord zelv geeft het genoeg te 'kennen. — Ik verftaa daar door eene overeenkomst , dat is, eene gelijkheid van reeden , dus eene gelijk - reeêiïgfreïd, oUvenreedigheid, Proportie
§. 553. L. Zo ik het dan wèl vat, dan moet 'er eene reekenkundige ever.reedigheid plaats hebben, bij voorbeeld , tusfehen 5 en 7, en n en 13, of 20 en 22, of 99 en 101 enz. om dat het ver.fchil van die getal - paaren overal het zelve, of 2 is, en daarom de reekenkundige reeden tusfehen twee en twee van dezelven, overal gelijk. — Zo zouden, in eenen meetkundigen zin, 3 en 12 dan ook evenreedig moeten zijn, met 5 en 20, of met 7 en 28 enz. om dat 'er tusfehen deeze geta* len, paar bij paar, altoos eene gelijke meetkundige reeden (§. 548.) plaats grijpt.
§. 554. M. Gij hebt het volmaakt wèl gevat: immers is 7 — 5=13 — 11 = 22—20=101—99 = 2, en zo is ook x% = ;53 = /r = £ C §■ 3^9- )' 01
Y=2/ —V8==4' Ü11Z- Gii ziet dan dat 'er' om eene evenrcedigheid daar te ftcllen, twee verfchillende reederis moeten plaats hebben, welke onderling aan eikanderen gelijk zijn; en dit vereischte naar behooren doorgezien en begreepen hebbende, zult Gij van nu af aan in ftaat zijn op te merken, hoe verkeerdlijk ja hoe dwaas- en belachlijk, het woord evenreedigheid, of proportie, meest ai. niet alleen in dagelijkfche gefprekken, A 3 nmr



6 EVENREEDIGHEID.
maar in veele boeken en gefchriften zelvs, tot ergernis van wiskundigen gebeeaigd worde. .
555. L. lk begrijp dan, daar iedere evenreedigheid , uit twee reedens , ( §. 554. ) en iedere ïeeden wederom uit twee termen (§. 543-) beHaat, dat iedere evenreedigheid vier termen bevatten moete.
§. 556. 'M. Dit is over het geheel genomen waar, doch vereischt zekere bepaaling, waaromtrent ftraks nader. — Voor af merk ik , bij geleegenheid deezer uwe gegronde opmerking, _aan, dat als men eene evenreedigheid heeft, het zij dan eene reekenkundige, of meetkundige, dit doet'er niet toe, bij voorbeeld, men hebbe de meetkundige evenreedigheid
3 tot 12 gelijk 5 tot 20,
dat dan , zeg ik, 3 en 5 de beide voorgaande termen , en 12 en 20 de beide volgende termen ( §. 544. ) genoemd wordende, in tegendeel, 3 en 20 de beide uiterfle, en 12 en 5 de beide middenfte termen heeten.
§. 557. L. Dit blijkt aanftonds uit de plaats welke zij bekleeden, Meester ! maar wat hebt Gij aan te merken omtrent de vier termen, worden die dan niet altijd vereischt?
§. 558. M. 'Er worden, in zeker opzicht, bij iedere evenreedigheid, wel vier termen vereischt, dan niets belet, dat de middenfte termen flechts eene en dezelve term zijn. — Ik kan immers zeer wel zeggen, dat 3 tot 12 gelijk 12 tot 48 ftaat, naardien de verhouding, tusfehen 3 en 12, de.zelve als die tusfehen 12 en 48, naamlijk4, is.
§. 559. L. Nu begrijp ik U, Meester! Het enkele getal 12 fpeclt hier dan eene dubbele rol:
want,



EVENREEDIGHEID. f
*rant, het ftaat voor volgende term van de eerfte reeden , en teffens voor voorgaande van de tweede. \ kIo. M. Zo is het 'ermede geleegen; en men noemt eene zodaanige cvenreediglicid dan eene geduurige evenreedigheid, m\ men die midden-term * in dit geval 12, de midden-evenree. diee tot de beide overigen noemt. .
f Si L. Met recht: want, 1% ftaat juist in het midden tusfehen 3 en 48, naardien 12 de 3 vier maaien in zich bevat, doch zelve ook wederom vier maaien in 48 bevat wordt.
« <62 M. Let ondertusfehen wèl op, dat eené geduurige evenreedigheid bcgreepen worde flechts drie termen te hebben ; alwaarom men de derde term, in dit voorbeeld 48, de derde evenredige, tot de twee overige, 3 en ia, noemt, even gelijk men in eene evenreedigheid van vier verfchillende leden, gelijk in hetvoong voorbeeld, rs <<6.) de laatfte term 20, de vierde evenreedize iot de drie overige, 3. "» «n 5» noemt'.
% 563. L. Hoe fchrijft men eene evenreedigheid. Meester! zonder woorden te gebruikend
C %6a. M. Volgens boven opgegeevene gewoLte, \% 549. en 930- Zo fchrijft men , bi, voorbeeld,
5 : 7 '4t « : 'IJ
en men leest, 5 ftaat tot 7 in eene reekenkundige reeden van n tot 13, of 5 heeft reeden tot 7, reekenkundig, gelijk n tot 13.
Voor de uitdrukking eener meetkundige even xeedigheid, als



8 REEK ZEN.
leest men alleen, 3 ftaat tot, heeft reeden tot, ot verhoudt zich tot 12, gelijk 5 tot 20; en zo in alle andere gevallen.
§. 565.- L. Mij valt daar, met opzicht tot de geduurige evenreédigheeden-, (§. 560.) nog in, dat men al eene zonderlinge aauéénfchakeling van geduurige reekenkundige evenreedigen in de opéénvolging der natuurlijke getalen aantreft: want dat o , 1, 2, 3,4,5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, enz. tot in het oneindige, geduurig reekenkuudig evenreedig blijven; immers heeft men
0:1 4-1:2, en 1:2 v 2: 3, voorts 2:34-3:4 enz.
zonder einde, naardien de gemeene reeden altijd 1 blijft, en dus ieder getal middenevenreedig is tusfehen het voorgaande en volgende.
§. 566. M. Men noemt dergelijke aanéénfehalcehngen van getalen rijen, of reekzen; en wel, wanneer zij in eene reekenkundige reeden voortgaan, reekenkundige reekzen, hoedaanige men 'er tot in het oneindige kan maaken, naardien men de reekenkundige recden , tot in het oneindige, naar believen kan aanneemen. — Zo maaken de pnefFene getalen de reeks van
Ij 3 5 5,7,9 511 ■> i35i5 ■> *7,19 521 > 235 25 enz.
De effeiie getalen geeven de reeks van
a,4,6,8,10,12,14, 16,18,20, 22,24enz.
in welke beide reekzen de beftendige , of gemeene ïeekenkundige reeden 2 is, — VVjl ik met 10 begin*



R E E K Z E N. 9
ginnen, en 2§ voor gemeene reeden aanneemen, dan zal ik de volgende rij verkrijgen,
10, i2-£, 15 , , 20, 22|, 25 enz.
§. 567. L. Op gelijke wijze zoude men, zo ik mij niet bedrieg, eene meetkundige reeks aantreffen in de volgende
1,2,4,8, 16, 32, 64, 128 , 256, 512 enz. 'of in
i, 3» 9» 27» 81 , 243, 729, 2187, 6561 enz.
in welker eerfte de gemeene rceden 2 is, terwijl de getalen in de laatfte in eene drievoudiging opklimmen.
§. 568. M. Gij hebt bet wel recht; ik kan 'er nog bij voegen, daar men eene reeks, het zij dan eene reekenkundige, of eene meetkundige, zo wel van boven naar beneeden, als van benceden naar hoven, kan fchrijven, dat men de rijen, of reekzen nog onderfctièidt, in toeneemeijde of aanwasfende , en afneemende, of neirgaande reekzen. Zo is 11, 13, 15, 17, 19, 21 enz. eene toenecmende, doch 99, 97, 05', 93, 91, 89 enz. eene neergaande reekenkundige reeks.
§. 569. Voorts is 16, 32, 64, 128, 256 enz. eene aan wasfende meetkundige , doch 81, 27 , 9, 3 , 1 eene afneemende reeks.
§. 570. Gij leidt ons echter te ver van het fp )or. — Men fpreekt zelvs in de gewoone reële nboeken zelden of nooit van deeze reekzen ; ik acht de reekenkundige evenwel volftrekt tot ons onderwerp te behooren, fchoon wij de meetkundige reekzen , kortheidshalve genoodzaakt zullen A 5 «in,



IO REEKENKUNDIGE
sijn, als buiten ons bedek loopcnde, aan te merken. Ik oordeel het dan dienstig om U nader bekend te maaken met een paar eigenfchappen der
REEKENKUNDIGE E V E N R E E DI G H E EDEN EN REEKZEN.
G. <7i. L. Welke zijn die ? Meester!
« 572. M. De eerde, of die der evenreecfigheeden, bedaat daar in, dat in iedere reekenkundige evenreedigheid, de fom der beide uiterfte termen , gelijk is aan die der beide muldenjlen (% «6.) — Zo is in 5:7 **i:i3 de fom van V+ U = 7 + 11 = 18. — In 30 = 24 4 18:12 is §0 + 12 = 24 + 18 = 42, en zo in alle andere gevillen
€ <73. L. Ik zie dit in de beide opgegeevene voorbeelden, Meester! maar welk middel is »er om mij zeiven te overtuigen dat dit 111 alle mogelijke gevallen plaats moet hebben, zonder dat het ooit kan misfen ?
S <74 M. Dit allereenvoudigst middel, dat Gif opmerkt, dat, volgens den aart der zaak, t{ <°8 en 540.) iedere volgende term altijd gelijk moet zijn, aan derzelver voorgaande, na bijvoeging, of aftrekking, der gemeene reeden, en dat men dus iedere volgende term ook onder deeze sedaante kan uitdrukken.
Ousidevoarb. C§-57aOwas5: 7'r" :I3 daar voor fchrijf ik, . . . 5:5+2- 11:H"2 nu is de fom der uiterde termen 5+11+2, maar de fom der middenden is 5+2+11, bij ^evolg bedaan die beide fommen uit de zelve getalmerken , en wel uit de beide voorgaande temeu zamengenomen met de gemeene reeden.



EVENREEDIGH. EN REEKZEN. II
Ons tweede voorbeeld was 30: 24^ 18 *■ x% daar voor fchrijf ik . . 30:30—6-418:18—6 De fommen zijn dan wederom volmaakt dezelve , te weeten 30+18—6 en 30 — 6+18. Zij beftaan hier ieder uit de fom der voorgaande termen, min de gemeene reeden. — Gij ziet dus dat, welke de gemeene reeden ook zijn moge, zij in deezen onmogelijk eenige verandering of uitzondering kan te wege brengen.
§. 575. L. Ik ben volkomen voldaan, Meester! maar hoe gaat dit nu in eene geduurige evenreedigheid , waar in flechts drie termen voor handen
Z1J§• 576- M. Daar is de fom der uiterfte. termen gelijk aan het dubbel van de middentten. — Dit blijkt met een opflag van het oog. — Laaten -r 10, 15, en 20 de drie geduurig reekenkuhdig evenrèedige getalen zijn, dan is io + 2o=2X 15=30'.—Ik kan de evenreedigheid immers dus, onder de gedaante van vier termen, fchrijvén 1 o: 15 + •5: 20 » als wanneer men -heeft 10+20= 15+15=2X15—30.
§. 577. L. Het was eene kleine onoplettendheid van mijn' kant. Meester! maar welk nut is 'er uit de kennis deezer eigenfehap te haaien ? _ §. 578. M. Dat nut, dat Gij, zo dra U drie getalen gegeeven zijn, 'er een vierde reekenkundig evenreedig toe kunt vinden. Bij voorbeeld, men gave U 7, 15 en 43, en men vroege U naar een vierde reekenkundig evenreedig getal, tot de drie gegeevene.
§. 579. L. Dan konde ik fchrijvén 7 ftaat tot 15, gelijk 43 tot'een zeker getal, dat ik niet ken, wat zoude ik daar dan voor fchrijvén ?
§. 580. M. Men is gewoon voor een zodaamg onbekend getal, het welk men nog zoeken moet,
bij



12 REEKENKUNDIGE
bij voorraad een zeker teeken te ftellen, en daar toe bedient men zich van eene der laatfte letteren van het ABC, meest al, zo lang'er maar eene onbekende plaats heeft, van (W x. — Men fchrijft dan in dit, en dergelijke gevallen
7 *• 15 -r 43 : *
en men heeft dus 7 + x= 15 + 43 = 58 C§-57*-) daarna 7 = 7 aftrekkende
blijft x =51 want, als
men van gelijke grootheeden gelijke dcelen afneemt, moeten de cverfchotten zekerlijk gelijk blijven; daarom zal x 51 moeten bedraagen, naardien 7 + ^=58 bevonden wierden; en zo ziet Gij hoe men die onbekende vierde evenreedige, tot drie gegeevene getalen , gemaklijk ontwaart.
f. 581. L. De proev zet het zegel van deugdzaamheid op deeze eenvoudige bewerking: immers is 15—7 = 51—43=8, gelijk vereischt wierd. zoude de evenreedigheid tusfehen 7 en 15, met die tusfehen 51 en 43 plaats hebben. ( §. 548. )
§. 582. M. Even gemaklijk zal het dan vallen om eene derde geduurig evenreedige, tot twee gegeevene getalen , of om eene middenevenreedige, tusfehen die beide, te vinden. — Laaten de beide gegeevene getalen, bij voorb. zijn 12 en 20.
§. 583. Om eene derde evenreedige tot die beide getalen te vinden heeft men
ia : 20 '+ 20 : x daarom 12+* = 20+20=40 CS- 57^«) ia = 12 , af
te =28
S- 584.



R E E K Z E N. 1$
§. 584. Om de middenevenreedige tusfcheadie beide getalen te vinden, ftelle men
12 ; x—x : 20 daarom 12 + 20= 2#(§. 576.)
of 32 = 2X bij gevolg 16 = x want, als men gelijke dingen door gelijke deelt, zullen ook de uit* komften gelijk moeten zijn: dat is, wanneer men 2 x= 32*vindt, en men ter wederzijden door at deelt, zal x=i6 moeten zijn.
§. 585. L. Het is ten uiterften klaar, en de> proeven bevestigen de uitkomsten: want
12 : 20 + 20 : 28 (§. 583.) en 12 : ïö + 16 : 20 (§. 584. ^
de gemeene reeden is in de bovenfte eevenreedig* heid 8 , en in de beneedenfte 4.
§. 586. M. Ik gaa dan met U over tot d& tweede bedoelde eigenfehap, (§. 57°-) welke ten opzichte der reekenkundige reekzen plaats heeft, en daar in beftaat, dat de fom der twee uit erft & termen: dat is, de eerfte en laatfte, eener reekenkundige reeks, altijd gelijk is aan de fom van twee andere termen, welke even ver van de twee uit erft ert verwijderd zijn. — Dus is in de reeks ^ 1, 3, 5, 7 , 9, 11, 13, 15, 17, 19 enz« de f°m dec uiterften 1+19=3+17=5+15=7+13 e"z- = 2°'
§. 587. Zo het getal der termen van de reeks, oneifen is, dan is ook deeze zelve fom (§. 586.) gelijk, aan het dubbel van de middenfte term. Bij voorb. van de reeks + 9, 11, 13, 15? x7 is 9 + i7=ii + i5=axi3=a<ï.



/
14 REEKENKUNDIGE
§. 5R8. Dat dit nooit misfen kan zal blijken, zo dra wij te werk gaan als boven bij de enkele evenreedigbeeden ( §. 574.) — Ik fcbrijf dan in plaats van de reeks + 1,3, 5 , 7
de volgende -~ 1, 1+2,1+2+2, 1+2+2+2enz» Door nu de uiterfte termen bij eikanderen te tellen , verkrijgt men i +1 + 2 + 2 + 2: dat is, men verkrijgt de eerite term twee maaien, met zoo veele maaien de gemeene rceden, als de laatfte term van de eerite verwijderd is; en het zelve bekomt men door de twee andere termen, welke naast de uiterften ftaan, op te tellen. — Men ziet dus'dat het 'er niets toe doe, welke ook de gemeene reeden zij.
§. 589. L. De zaak loopt van zelve al in het oog, Meester! want, daar de tweede term, van vooren, de gemeene reeden grooter of kleiner is dan de eerite; en op één ïia de laatfte, daar tegen , de gemeene reeden kleiner of grooter dan de laatfte , zo kunnen deeze fommen niet ongelijk zijn. — Volgt 'er uit de kennis van deeze eigenfehap niet weder eene bijzondere nuttigheid ?
590. M. Geene mindere dan die van ogenbliklijk de fom van, evenveel welke, reekenkundige reeks te kunnen vinden. —■ Want daar de fommen der termen, op boven ( §. 586. ) gezegde wijze twee aan twee genomen , altijd aan de fom der beide uiterften gelijk zijn, zal moeten volgen, dat de geheele reeks de fom der uiterfte termen half zo veele maaien bevat, als 'er termen in de Tecks voor handen zijn ; waar uit dan de volgende regel ontftaat: de fom eener reekenkundige reeks is gelijk aan de fom der beide uiterfte termen , ver-



R E E K Z E Ni l£
menigviddigd met de helft van het getal der terme„t _ Zo is de lom der volgende reeks ~ 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, welke uit 7 termen beftaat, gelijk aan ( 7 + 25 ; x 31= 32 x 31= 112.
§. 591. L. Een heerlijk nut in de daad, Meester! — Zo zoude men de fom van alle natuurlijke getalen, van 1 tot icoo in gefloten, in een ogen» blik kunnen vinden: want
eerfte term ~ 1 laatfte term = 1000
fom der eerfte en laatfte termen = 1004 de helft van het getal der termen = 500
fom der geheele reeks, van 1 tot 1000 = 500500
§. 592. M. Zeer wel, maar vind mij eens de fom der volgende reeks: *
7,12,17, 22,27, 32--tot —502 ingeflooten.
§. 593. L. Dit zoude gemaklijk te doen zijn, Meester! indien ik maar het getal van termen wist; maar hoe vind ik dat, daar Gij de reeks niet vol uit gefchreeven hebt?
§. 594. M. Alleen volgens reeds boven (§• 574-) gemaakte aanmerking. Volgens deeze moet immers de laatfte term beftaan uit de eerfte, met zo veele maaien de gemeene reeden 'er bij gevoegd, als 'er termen na de eerfte volgen, -p Trek dan de eerfte term van de laatfte af, en deel het verfchil door de gemeene recden, welke altijd uit het verfchil der twee eerfte termen beflaat, en in dit geval dus m—■7 =. 5 is; en zo vindt
Gij



tö S.EEKENKUNDIGÉ
Gij liet getal der laatfte term'=502
iermen , welke 11a eerfte term = 7
de eerite volgen ,
voeg daar 1 bij, verfchil = 495 ■
en Gij hebt het gem.recd.=5
getal der termen na de eerite 99 termea
geheel. — Zie hier bij nog 1 term
hier ter zijde.
komt zamen 100 termen.
§• 595- L. Zie dan hier het antwoord uitgewerkt, Meester 1
Eerfte term tn 7 Laatfte = 502
fom der eerfte en laatfte termen . . r= 509 De helft van het getal der termen . =r 50
fom der geheele reeks =25450
§. 596. M. Dit is alles wat ik U met opzicht tot de reekenkundige evenreedigheèden, en reekzen, meen te moeten onderrichten, als tot ons beftek behoorende; langer durf ik 'er niet bij Itil te ftaan.
§. 597. L. lk hoop echter dat Gij mij nog eenige voorbeelden ter o'effening zult opgeeven, eer Gij tot iets anders over gaat, Meester!
§. 598. BI. Zeer gaarn. Zoek mij dan vierde reekenkundige evenreedige getalen, tot ieder dei' volgende opgegeevene drie:
•A. 8 :i5^ 37:* F. 1057: 713 4 973 :x
B. 37 : 9 "f80:x G. 29: 304 + 111 :x
C. 10 : 1 "irgiix H. 0,07: 5,3 40,35 :x P- 3f: 5'^.7-i'x I- ^7>°3: 3,7 49,03 :x L. f : | 4f :x K. 0,36:0,940,57:*
§• 599-



REEKSEN. 17
.§. 599. Zoek voorts tot de volgende getalen geduurige reekenkundige derde evenreedigen.
A. Tot 12 en 59 D. Tot f| en J|
B. iol — 89 li. ' 0,35 — 0,875
C. s7 — § . F. ■ 13,03 — 9,07
§• 600. Vind mij nu nog dc reekenkundige rniddenevenreedïgen, tusfehen het volgend zes paar getalen.
A. Tusfehen 725en 63 D. Tusfehen ijen f
B. 119 — 759 E. 3,25— 8,75
C. § — §| F. 17,08—9,04
§. 601. L. Geef mij ook eenige reekfen op, bid ik, Meester! ik vind daar een bijzonder vermaak in.
§. 6os. 3 L Verricht, of beantwoord, dan, het geen -ik U hier beneeden voor zal ftellen.
A. Ik geef U 3 en 7, voor de twee eerfte leden eener reekenkundige reeks, zet deeze reeks nu verder tot 12 leden, of termen, voorten zeg mij de geheele reeks.
B. Ik geef U vour het eerfte lid eener reekenkundige reeks 5, voor het laatfte 68, en voor gemeene reeden 7, fchrijf mij die geheele reeks op.
C. lk geef U de eerfte term eener reekenkundige reeks 17; de laatfte X04; en het getal deitermen 30, zeg mij de gemeene reeden.
D. Zeg mij de twintigfte term der voorgaande reeks ( onder C.) eens.
E Zeg mij eens hoe veel de natuurlijke rij der oneffene getalen, van 1 af tot 999 ingeflooten, beloope.
II. deel. I) F. Vind
\ *



j8 REEKENKUNDIGE
F. Vind liet beloop van de natuurlijke rij der effene getalen, van i af tot iooo ingeflooten
S 603. L. Deeze beide laatfte riiën, zamen opgeteld, zullen dan juist de rij van alle natuurlijke getalen, van 1 tot 1000 ingeflooten, (§. 591-) moeten evenaaren, Meester!
S. 604. M. Deeze zal U dus ter beproeving uwer oplosfingen kunnen verltrekken. — Los mij nu de volgende vraagen nog op.
A. Bereeken mij eens het getal der ftippen, hitfr ter zijde ge- . •
plaatst, volgens den aart der ree- • • •
kenkundige'reekfen; dat is, door ....
de eerfte en laatfte, zo wel als
het getal der termen in acht te neemen. _
B Hoe veele Hippen zouden 'er ftaan, indien ik vervolgd had met deeze flippen in eene driehoekige gedaante, zo als ik begonnen heb, C onder a! ) voort te zetten, tot zo lang dat er 377 flippen, in de laatfte lijn, op eene rij ftondeiW ' C. Hoe veele dakpannen zouden er vereischt worden, op een volmaakt vier- en gelijkzijdig dak, dat in een punt opliep, zo, dat er boven aan de punt, op iedere zijde maar eene pan lag, daar onder twee pannen naast eikanderen, dan 3 op eene rij, voorts 4, enz., tot dat men , in debeneedenfte rij, 32 pannen naast eikanderen
telD Zo men echter liever verkoos , om bovengemelde dak (onder. C. ) van boven plat te maaken , dat is, om 'er den bovenften top af te neemen, tot zo ver , dat 'er zich reeds 12 pannen in de bovenlle rij bevonden , hoe veele pannen zoude men als dan op het geheele dak noodig hebben? jn_



& E E K S B N. I
È. Indien iemand, den eerften dag van het Jaar, i gulden inkomen had, den tweeden dag, ƒ2-: - :, den derden , f 3 - : - : enz. tot dat hij den laatften dag van het jaar ook ƒ 365 -: - : in kreeg, hoe veel zoude dan het inkomen van dien man in een geheel jaar bedraagen ?
F. Zo nu die man (onder E. ) dagelijks ziju inkomen verteerde, tot ƒ 25 - : - : 's daags toe, en vervolgens, tot het einde van het jaar, voortging met 's daags f 25 - : - :, en niet meer, te verteeren, wat zoude hij dan, ten einde van hef jaar, hebben over gehouden?
G. Indien die zelve min (onderE.) voornam, om van het geen hij geduurende het eerfte halv jaar: dat is ,°tot den laatften junij ingeflooten, in kreeg , het geheele jaar te leeven , en hij dus alles, wat hij in het laatfte halv jaar ontving, op lag, hoe veel geld zoude hij dan ten einde van het jaar over hebben ? — Dan voorbeelden genoeg. Wij gaan over tot de
MEETKUNDIGE E V E N R E E D I G H E E D E N.
§. 605. L. Deeze zullen zekerlijk ook haare eigenfchappen hebben, Meester ! waar in zij beItaan hebben wij reeds boven (§. 553.) gezieiu
§. 606. M. Ik moet U met eenige deezer eigenfchappen bekend maaken. De eerfte is
deeze:
In alle meetkundige evenreedigheeden is het vermenigvuldigde der, heide uiterfte termen gelijk aan dat der beide middenften.
Hebbende, bij voorb. 3:12 = 5:20, hetwelk men uitfpreekt, 3'ftaat tot 12, gelijk 5 Haat tot
E 2 20,



gO MEETKUNDIGE
20, CS. 564.) zo heeft men ook 3x20 = 5 x 12=60.
$. 607. L. Ik zie dat zuiks hier piaats heeft, Meester! Gaarn zag ik ook een algemeen bewijs; zo dat ik mij verzekerd moge houden, dat deeze èigénfchap voor alle meetkundige evenreedigb.eeden noodzaaklijk, en onveranderlijk zij.
§. 608." M. ' Het bewijs is, onder de noodige verandering, welke uit den aart der zaak vloeit, het zelve ' als voor eene overeenkomstige eigenfchap van de reekenkundige everireedigheedén (§. 574.) gegeeven is. — De tweede term beltaat hier uit de eerfte, vermenigvuldigd met de gemeene reeden; de vierde wordt op gelijke wijze uit de derde gevormd. — Schrijf de evenreedigheid onder die gedaante, als hier benecden, en de zaak zal, als van zich zelve, in het oog loopen. o : 12 = 5 : 20
3:4X3=5: 4X5 Nu ziet gij dat het product der uiterften, en dat der middenften uit dezelve faBoren beftaan, naaralijk, uit de getalen 3, 4, en 5: dat is , uit de eerfte term (3), uit de gemeene reeden (4)•.enuit de derde term (5)- — Hoe groot ol klein , of van welken aart dan ook deeze drie grootneeden zijn, zij zullen altijd gelijke produften van wederzijden moeten oplceveren.
S 600 L. Ten blijke dat ik volmaakthjk de kracht van het bewijs gevoel, zal ik hier ter zijde een ander voorbeeld geeven, waar in de tweede term kleiner dan de eerfte is_, _ of waar in de tweede term uit 15'•' 3 — 35 • J de eerfte gedeeld door de ge- 15: V — 35 ï j Kcene reeden beftaat. —Hier 15 x V— 1 * 3£e.



EVENREEDIG II EED EN.
21
15 x 35
beftaan beide de producten uit = 105: dat
5
is , hier beftaan zij beide uit het vermenigvuldigde der eerfte en derde term, gedeeld door de gemeene reeden.
§. 610. M. Zeer wel. — Gij zult nu ook gemaklijk begrijpen , dat deeze eigcnfchap ons aanftonds het middel verfchaft, om eene vierde meetkundige evenreedige , tot drie gegeevene, te vinden. — Stel, bij voorbeeld, dat men U drie getalen , als 7, 28, en 9 gegeeven had, en dat men II naar eene vierde evenreedige term tot de drie gegeevene vroeg: dat is, dat men van U wilde wee!en, welk het getal zij , waar tegen 9 in dezelve betrekking, reeden, of verhouding ftaat, als 7 tot 28 ; zoudt Gij deeze vraag niet, door bovengemelde eigenlehap , (§. 606.) kunnen beantwoorden ?
§. 611. L. Met geringe moeite. — Ik zal voor de vierde evenreedige, die gezocht moet worden, en dus tot nog toe onbekend is , wederom x ftel- 7 : 28 = 9 : x len; en de evenreedigheid 7.t = 9x2Ei (§. 606.) zal dan, als hier ter zijde, x—9 x 28 komen te ftaan. —-.— = 36
Als dan zal, volgens ge- 7 melde eigenfehap, (§. 606.)
het vermenigvuldig'de der beide uiterfte termen, of 7x, gelijk aan dat der beide middenfte termen, 9ix 28 =252 zijn. — Als men nu gelijke grootheëden , door dezelve grootheid, of door gelijke grootheeden, deelt, zullen ook de wederzijdfche uitkomftèn aan eikanderen gelijk moeten zijn: dat is, als 7*= 252 is, zal éénmaal x, of B 3 »



£2 REGEL VAN DRIEËN.
x ook gelijk aan een zevende deel van 252, of aan 2l2 = 36 zijn moeten. Dus zal de gezochte vierde evenreedige 36 zijn , of 7 zal reeden tot 28 hebben, gelijk 9 tot 36, of, nog eens met andere woorden, 7 zal even zo veele maaien in 28 bevat zijn, als 9 in 36, naamlijk, 4 maaien, zo dat 4 de gemeene reden in deeze evenreedigheid zijn zal.
§ 612. M. Volmaakt wel. — Gij zijt dan nu in ftaat, om tot drie gegeevene grootheeden, eene vierde meetkundige evenreedige te vinden. — Gij verftaat dan nu den zogenaamden gulden regel, of den
DEGEL VAN DRIECN.
§. 613. L. Beftaat de Regel van drieën dan alleen in het vinden van eene vierde meetkundige evenreedige, tot drie gegeevene getalen, of grootheeden, Meester!
§. 614. M. In niets, anders; en van daar is juist de naam van regel van drieën ontleend: om dat 'er altijd drie getalen gegeeven moeten zijn, waar uit een vierde gezocht moet worden.
§. 615. L. Komt dan het voorfchriftdat in de gewoone reekenboeken voor de bewerking van den regel van drieën opgegeeven wordt, met de handelwijze om eene vierde meetkundige, evenreedige te vinden, overeen?
616. M. Op de allervolmaaktfte wijze, -rHet voorfchrift, 't welk men voor den regel van drieën opgeeft, behelst, dat men de twee laatfte getalen, van de drie gegeevene, met eikanderen moet vermenigvuldigen, en dat product door het vmfte deelen. — De uitkomst geeft dan het gezochte getal. — De beide laatfte gegeevene ge-



REGEL VAN DRIEËN. 2%
talen zijn nu juist de beide middenfte, in de geheele evenreedigheid, met de vierde evenreedige, of onbekende daar bij genomen. — Neem nu de voorige evenreedigheid (§. 6n. ) ten voorbceldc, en fchrijf dezelve in de gedaante van een regel van drieën"in de gewoone reekenboeken, en in de gedaante eener meetkundige evenreedigheid tegen eikanderen over, en gij zult 'er de volmaakfte overeenkomst in gewaar worden.
7 _ 28 — 9 7 : a8 == 9 : *
9
fX =28,X9 = 252
7/ 252 /3<5
21 * = 252
42 7
42
—_ of x =" 36
o
§. 617. L. Ik zie het klaar , Meester! De vierde 'meetkundige evenreedige is gelijk aan het product der middenjle termen , gedeeld door de voorde ; maar die middenfte termen zijn juist de laatfte , als men de onbekende, die gezocht moet worden, niet mede reekent, of daar geen x voor fchrijft, gelijk in de meeste gewoone reekenboeken ; en dus is de regel volmaakt dezelve in het eene geval als in het andere.
§. 618. M. Gij zult nu ook gemaklijk begrijpen , daar de regel van drieën niet anders dan uit meetkundige evenreedigheeden beftaat, .waarom de meetkundige evenreedigheeden , gelijk ik U boven (§. 542.). gezegd heb, zo veel meer dan de reekenkundige te pas komen. f B 4 §• 6l9-



£4. REGEL VAN DRIEG N.'
§. 619. L. Ik begrijp dat voor zo ver nu wel, Meester! maar ik begrijp niet gfcnoeg waarom juist de meetkundige evenreedigheeden zo zeer in den koophandel te pas komen, waar voor de regel van drieën, zo ik mij niet bedrieg, voornaamlijk ingericht is.
§. 620. M. Het is echter volftrekt noodig, dat Gij hier bet rechte denkbeeld van maakt. — De zaak is eenvoudig. — Wat wil een Koopman weeten, bij voorbeeld, die eene partij goederen, of koopwaaren gekocht, of verkocht, ontvangen , of afgefchcept heeft? — Het antwoord is; hij wil weeten hoe veel geld hij voor die partij betaalen, of ontvangen moet. — Op welken grond zal bij dat ontdekken? — Welken weg zal hij inflaan, om het gewaar te worden ? Hij moet dat uitreekenen ; maar hoe zal hij het uitreekenen ? — Hoe zal hij zijne rcekening inrichten? — Dit moet immers vooraf, door de gezonde reeden, uit den aart der zaak afgeleid worden.
§. 621. Zeer zelden gebeurt het dat men eene partij goederen bij de hoop verkoopt; dat is, dat men in eenen, omtrent de prijs van eene zekere" hoeveelheid koopwaaren overeen komt. — Gebeurt dit , zo is 'er geene verdere reekening noodig. — Hebt Gij een fchip turv voor ƒ'300:-:gekoebt , gij moet ƒ300 :-:- betaalen , en 'er valt verder niets te reekenen. — Dan dit is de gewoone wijze van koopen en verkoopen niet. -—» Men koopt of verkoopt, bij het pond, bij het last, bij de ton , bij de el, bij het aam, enz. dat is te zeggen, men bedingt de prijzen niet bij de geheele partij, maar men bedingt de prijzen bij zekere dénheeden van maaten of gewigten, met welke men gewoen is zodaanige koopwaaren te v mee*



REGEL VAN DRIEËN. 25
meeten , ofte weegen. Ook wel bij zekere getalen , van maatên, gewigten , enz. bij voorbeeld, bij de ioo ponden, bij twaalvtallen, or dozijnen, en wat al meer daar omtrent op verichilletide plaatzen, en in verfchillende landen, gebruiKlijk is.
§. 622. Men weet dan, zo dra de koop gefiooten is, vooreerst, de éénheid, ot het getal van ponden, maaten, enz. voor welke de koopprijs bedongen is. — Men weet, ten tweeden, de prijs, welke voor die éénheid: dat is , voor dat pond, of voor die el, of andere maat, ot gewio-t, of voor die 100 ponden, voor dat douzijn, enz. bedongen is. — Men weet, eindelijk, na den ontvangst, of afteevering» ten derden, het getal van maaten, ponden, of welke andere éénheeden, of verzamelingen van éénheeflen het ook zijn mogen , welke in de geheele ontvangene, of afgekeverde partij , bevat zijn. — Nu is de vraag, hoe men uit deeze drie bekende grontbeeden, et getalen, bet vierde zal vinden: dat is, de fom, 'welke voor de geheele partij omvangen, ot betaald moet worden.
§. 623. Hier licht ons nu her gezond verltand voor. _ Hier gevoelen wij aanftonds dat de prijs, welke mén voor een enkel pond, voor .een enkel douzijn, voor een enkele honderd pond, of wat bet zijn mag, bedongen heeft, even zo veele maaien" in den geheelen prijs, voor de ganlché party, bevat moet zijn\ als dat enkele pond, douzijn, of' honderdtal ponden in de ganfebe ontvangene, of afgeleeverde partij — Met andere woorden; (tellende, om korter te zijn, dat de koop, of verkoop , bij het pond gefchied zij. — Men gevoelt dan aanftonds, zeggen wij, dat 'er dezelve reeB. 5' den»



%S REGEL VAN DRlEeN.
den, of verhouding, tusfehen de bedongene prijs voor een enkel pond, en de geldwaarde voor de geheele partij plaats moet hebben, die 'er plaats beeft, tusfehen dat eene pond, waar voor men overeen gekomen is, en het getal van ponden , in de geheele partij begreepen. Bij voorbeeld ; ftel dat men eene partij Coflij kocpe , tegen 15 % het tg , en dat deeze partij aan de waag bevonden worde te weegen 7536 W, dan is het immers klaar, dat, naardien het ée'ne pond, waar voor men de prijs van 15 ^ bedongen heeft, 7536 maaien in de geheele partij bevat is, dat ook de 15 % 7536 maaien in den geheelen koopprijs bevat zullen moeten zijn: dat is , dat men ook 7536 maaien 15 % voor de geheele partij zal moeten betaalen.
§. 624. Hier uit fpruit dan van zelve de volgende meetkundige evenreedigheid; 1 18 ftaat, of heeft reeden, tot 7536 ffi, gelijk 15 ftaan, of reeden hebben, tot het getal van grooten, 't welk men voor de geheele partij betaalen moet; en dit getal grooten, deeze vierde evenreedige, welke gezocht moet worden, drukt men dan bij voorraad, door een x uit, en fchrijft de verhouding aldus
tB n h %
1 : 753°' = *5 : *•
§. 62,5. L. Ik begrijp het nu allerduidlijkst , Meester! en gevoel mijn verftand in deezen ten eenemaal opgeklaard: immers moeten 'er in veele andere gevallen dergelijke betrekkingen in acht genomen worden. — Zó zal men 's jaars meer intrest van ƒ600 : -: - dan flechts van ƒ100 : -: -
moe-



REGEL VAN DRIEËN. 2?
moeten betaalen, en wel in dezelve reeden, als 600 meer dan 100 bedraagt: dat is, zesmaalen zo
VC§.' 626. M. Al wat ik U verder, omtrent het Koopmans reekenen, te onderrichten heb, beftaat alleen in de toepasfing van de thands verklaarde, en eenige andere eigenfchappen van de meetkundige verhoudingen, of, zo gij..liever met dc gewoone reekenaars wilt fpreeken, in de verdpe uitbreiding en werkdaadige toepasfing, van Tien regel van drieën, in bijzondere gevallen, en omftandigheeden.' — Dekennis der meetkundige betrekkingen, waar uit wij boven (§. 614, 616, en 624.) gezien hebben dat de regel van drieën voortfpruit, is dan de fleutcl der geheele rcekenkunde. — De Koopman betaalt meer of minder, naar maate de gekochte partij koopwaaren grooter of kleiner is, of, naar maate hij meer of minder voor de maat, voor het pond, voor de el, enz. betreedt. — De Rentenier ontvangt meer of minder renten, naar maate hij meer of minder geld uitgezet heeft, of, naar maate het langer of korter heeft uitgedaan—* De Scbeeps - reeder betaalt meer in de uitrusting , en ontvangt meer van de gemaakte vrachtpenningen, naar maate hij grooter aandeel, oï portie in het fchip heeft. — De Veeweider betaalt meer aan den Land-eigenaar , naar maate hij meer beesten in de weide gehad heeft, of naar maate die beesten langer in de weide geloopen hebben ; en zo in honderd andere gevallen.
§. 627. £. Waarlijk! men heeft deezen regel te recht met den naam van gulden regel (§. 612.) beftempcld. Vergun mij ondertusfchen eene vraag, Meester! Gij hebt den regel, in het voorgaand Voorbeeld, (§. 624.) dus'opgefteld



REGEL VAN DRIEÈN.
ft ft 3, %
i : 7536 = 15 : x
Is men niet gewoon te zeggen 1 ft kost 15 ^, wat kosten dan 7536 ft , en den regel dan op volgende wijze te ftellen V
ft % ft |
i4 JS = 7536 : *•
$. 628. ilf. Men is het overhoops in de reekenboeken wel zo gewoon. — Men (preekt op die wjjze ook meer, zo men zegt, in den Koopmans-ftijl; dan de eerfte fchrijfwijze is meer natuurlijk, meer wiskundig, meer op den aart der zaak gegrond , naardien men eigenlijk volftrekt geene vergelijking kan maaken , dan tusfehen gelijkfoortige grootheeden, als ponden en ponden, geld en geld; én zij is daarenboven niet daar aan onderheevig dat men er zich in zommige gevallen grovelijk mede vergisfen kan, gelijk ik U ter behoorlijke plaatze hoop te toonen; zij is dus, in zommige opzichten beter, en in zo verre boven de beneedenfte fchrijfwijze te kiezen; fchoon deeze echter in gewoone regels van drieën wel te dulden zij.
§. 629. L. Ik zie dat het in den uitkomst geen verfchil kan maaken, naardien de middenfte termen der evenreedigheid, Hechts verwisfeld zijnde , het zelve product blijven -geeveii;
§. 630. M. Het is zo. — Dan deeze uwe opmerking geeft geleegcnheid tot het aanvoeren eener tweede eigenfehap der meetkundige evenreedigheeden.--- Zij is de volgende:
Je-



REGEL VAN D R I È ë N. 3t>
Iedere meetkundige, evenreedigheid kan op acht verschillende wijzen gefchreeven worden, zonder dat de evenreedigheid daardoor •worde geftoord.
Zie uier ter zijde een 3 : 12 — 5 • 20 voorbeeld. - lk heb daar 3 : 5 = 12 : 20 de meetkundige evenreedig- 5 : 3 — 20 ; heid 3:12 = 5:20 «t acht 5 : 20 _ 3 . 1* maaien toe omgezet. Gij 20 : 5 — 12 • 3 ziet dat 'er de evenreedig- 20 : 12 _ 5 • 3 heid nergens door geitoord 12 : 20 _ 3 . 5 wordt : want, welke der 12 : 3 — 20 : 5 acht {tellingen gij neemt, S zult in iedere het produSt der beide uiterfte fèrmen gelijk aan dateer beide middenfte vinden: immers vindt gij overaljx 20= 5x 12 = 60, of aü vindt 5x12 = 3x20 — 60. _ S 6"i BH de eerfte verandering, of om• „inrit- triï 1 '• 12 = <; : 20 veranderd m r-Tlïa:1^ de uiterfte ter¬
men o en 20 dezelve zijn geblecven, maar dat de twee middenfte termen 12 en 5 verwi jld %™1?Men noemt ook daarom deeze omzetting
eene W™ff^ ^ ftelling ziet Gij, dat de ' tweede 3: 5 =12: 20 veranderd is in 5: 3 = f: 1 ?• Hier zijn dus de beide verhoudingen omgekeerd; dat is?de voorgaande termen zijn tot volgende en de volgende tot voorgaande gemaakt. - Men noemt dit eene omkeering. - Zo is de vierde ftel5 wederom bij verwisfeling uit de derde; de Vijfde bij omkeering uit de vierde, enz. gefproo-
tC% 633. L. Ik zie dit met eenige verwonde-



30 REGEL VAN DRIEËN.
ring, Meester! en begrijp nu klaar, waarom de' omzetting, ( §. 627.) welke mij eerst eenige bedenking veroorzaakte , geduld kan worden. — Het komt mij dus zeer nuttig voor, deeze eigenfchap wel op te merken, en in het geheugen te prenten.
§. 634. M. Gij zult 'er het nuttige en noodzaaklijke echter vrij fterker van gewaar worden, als ik U eene dergelijke omzetting maak , met eene onbekende vierde evenreedige daar onde r, gelijk ik hier ter zijde gedaan heb.
Merk hier nu bij op:
1. Dat ik dezelve evenreedigheid genomen hebbe, als boven, (§. 630.) uitgezonderd , dat ik voor de bekende term 20, eene onbekende x gefteld heb.
a. Dat deeze onbekende, uit hoofde der verzettingen,
door de geheele evenreedigheid heen dwaale; zo dat zij zo wel voorgaande als volgende term worde, en dat zo wel van de eerfte als van de tweede reeden.
3. Dat waar zich ook de onbekende bevinde, zij even gemaklijk bekend geraaken, of gevonden kunne worden: want, welke ftelling gij neemt, gij vindt overal 3Xx:=5Xi2 in de produEïen der uiterfte en middenfte termen; bij gevolg x gelijk
5 x 1 s 60 aan = - = 20, als boven, ( §. 630.)
3 3
§. G35. L. Tot nog toe was ik in de verbeelding gebleeven, dat de onbekende vierde evenreedige juist achteraan: dat is, volgende term van
3 : 12 ±= 5 : x 3 : 5=1»: x 5 : 3 =r x : 12 5 : x = 3 : 12 5 = 12 : 3 x : 12 z= 5 : 3 12 : x = 3 : 5 ia : 3 = x : 5



REGEL VAN DRIEËN.
de laatfte reeden, moest blijven. — Dan welke eene onbepaalde vrijheid! Men kan dan de onbekende plaatzen waar men wil.
§. 636. M. Mids dat dan de andere termen ook'naar behooren geplaatst worden : want, meer dan deeze acht verzettingen zijn 'er niet mogelijk , zonder dat de evenreedigheid verbroken worde. — Men moet, naamlijk, altijd wel zorg draagen dat die beide termen , welke eens de middenften , of uiterften geweest zijn , bij elke verzetting , of middenften , of uiterften , blh> vell^ _ Dit zult gij zien dat boven, (§ 630. en' 634.) beftendig in acht genomen is. Want, zo men het ongeluk had van de eene uiterfte term tot middenfte te maaken, en de andere uiterfte te laaten, zoude 'er geene evenreedigheid meer plaats hebben; bij voorbeeld, zo ik de evenreedigheid „ . I2— 5:20, op volgende wijze wilde omzetten 3:12 = 20: 5, ziet gij dat dit volftrekt onwaar zoude zijn, naardien het 'er zéér ver af is , dat nu het product der uiterften, of 3 x 5, gelijk aan dat der middenften, of 12x20, zoude zijn.
fc. 637. L. Dit loopt met vier bekende termen aanftonds in het oog , Meester ! Doch zo 'er ééne onbekende onder is, zoude ik vreezen mij door onoplettendheid gemaklijk eens te kunnen vergisfen.
K. 638. M. Ik zal U dan nog iets zeggen , het welk U ten allen tijde voor allen misdag zal kunnen beveiligen. — Zo wel als het waar is, dat het product der uiterfte termen in eene meetkundige evenreedigheid altijd aan het produB der middenften gelijk is; en dat dus eene meetkundige evenreedigheid altijd twee gelijke producten kevert, zo wel moét het, anders om, ook waar
zijn,



52 REGEL VAN DRIEËN.
zijn , dat men uit twee gelijke producten altijd eene meetkundige evenreedigheid kan opftellen.
639. L. Buiten twijft'el: want, zo dra uit de evenreedigheid 3 : 12 = 5 : 20 het product 3x20=5x12 gebooren wordt, zo moet, omgekeerd, uit de producten 3x20=5x12 wederom de evenreedigheid voortvloeijen' 3:12=5:20.
§. 640. M. Het is zo; en de twee getalen in het eene product, 3 en 20, worden dan gezegd wederkeerig evenreedig te zijn met de twee getalen in het andere product, 5 en 12.
§.641. L. Waarom juist wederkeerig evenreedig?
§. 642. M. Om dat men , ten einde deeze vergelijking: dat is, deeze twee gelijke producten, in de gedaante eener meetkundige evenreedigheid te Hellen, Hechts ééne der vier gegeevene grootheeden , welke, of uit welk product men wil, voor eerfte term hebbe te neemen; vervolgens de beide termen uit het andere product , voor beide middenften hebbe te gebruiken, zonder dat men behoeve te letten welke van beide men eerst of laatst neeme; en eindelijk weder te keeren tot dat product, waar uit men den eenen factor voor eerfte term genomen heeft, om den anderen , die nu alleen maar overfchiet, voor laatfte term te neemen. — Deeze handelwijze zal U dan ten onfeilbaaren richtfnoer kunnen verftrekken.
§. 643. L. Ik gevoel 'er de waarde van, Meester ! Immers kómen dan de beide termen van het ééne product noodz.aaklijk in het midden, en de beide andere worden uiterfte termen, met welke term men ook beginne, of eindige.
§. 644. M. Gij zult ook daar uit meer volkomen leeren doorzien, waarom 'er juist acht
ver-



REGEL VAN DRIEËN.' 33
verzettingen, en geene eene meer mogelijk zijn. — De proef zal dit aanftonds toonen. — Laat ons de producten van ons voorbeeld 3x20 = 5x1» (§• 639.) behouden.
Ik begin met 3, voor eerfte term; voorts neem ik 5 en 12 voor de beide middenfte , eerst de 5, en dan de 12; en eindelijk keer ik weder tot het eerfte product, en neem de overgebleevene 20 voor laatfte term, en verkrijg de evenreedigheid
3 : 5 = 12 : 20.
Dan begin ik nog eens met 3, en eindig dus wederom met 20; maar ik vervvisfel de middenfte termen, uit het ander product genomen, door eerst de 12 en dan de 5 te fchrijvén, cn verkrijg voor tweede Helling
3 : 12 = 5 : 20.
§. 645. L. Genoeg, Meester! ik bedank Uj ik zie het vervols nu reeds
klaar in. — Zo wel als Gij de 3 nu tweemaalen voor gebragt hebt, kunt Gij de ao, de 5, en de 12, ieder twee maaien voor brengen , door vcrwisfeling der midden termen, en dan is het gedaan : bii gevolg 4 termen.
gedaan ; bij gevolg 4 termen, en ieder terra tweemaaien vóór, geeft acht verzettingen, en niet meer. — Zie de 6 verzettingen, welke U nog t« doen ftonden, hier ter zijde.
§. 646. M. Zeer wel. — Gij hebt dan nu opgemerkt, dat men overal, waar men eene meet* II. deel. Q kwtt-
20 : 5 = 12 : 3 20 : 12 = 5 : 3 5 : 3 = ao : la 5 : 20 = 3 : ia 12 : 3 = 20 : 5 12 : 20 = 3 : 5



34
KEGEL VAN DRIEG N.
kundige evenreedigheid waarneemt, ook eene gelijkheid van produ&cn kan waarneemen, als men wit. — Men kan dus , naar dat de omftandigheeden zich toedraagen, ten einde zich in alle geleecrenheeden voor misflag te behoeden, zijnen aandacht vestigen, of op de gelijkheid van verhouding, welke de aart van het geval aan de hand t-êc, of ook op de gelijkheid der producten, welke uit deeze verhouding moeten fpruiten: dat is op de factoren, welke de bijzondere producten moeten zamenftcllen, om eene gelijkheid, ot aeauatie , daar te ftellen. . ■\ 647. L. Mag ik hier omtrent eenige nadere opheldering verzoeken? Meester!
« 6aS M. Zeer gaarn. — Stel dat men mij de volgende vraag deed. Als 5 «,7 kosten, wat zullen dan 60 « kosten? - Zo ik dan op de gelijkheid van verhouding acht geer, die het geval mede brengt, hebben wij reeds boven (§ 623. en 624.) gezien, dat men de evenreedigheid dus moet opftcllen
« ffi ff ® f f /
■5 : 60 = 7 : * of (§.627.) 5 : 7 = 6°
waar uit dan, in heide gevallen, de volgende vergelijking ( aequatio 3 ontltaat
5 x = 7 x 6o-
Zo ik nu op deeze vergelijking let, zo vind ik dat het getal van ponden, waar bij men gekocht, of prijs gemaakt heeft, vermenigvuldigd met de prijs, welke voor de geheele partij betaald moet worden, gelijk ftaat , aan den prijs, welken men



REGEL VAN D R I E ë N; 35
Voor dat bepaald getal ponden uitgeloofd heeft, vermenigvuldigd met bet getal ponden, hetwelk zich in de geheele partij bevindt. — Deeze laatfte opmerking, zeg ik, kan nu, in zommige gevallen even goed, en niet zelden gemaklijker ten richtfnoer verftrekken, om zich voor dwaaling te wadi* ten, als de eerfte.
§. 649. L. Ik begrijp de zaak zeer klaar , Meester! doch Gij fchijnt daar eenige bijzondere bedoeling mede te hebben. Welke is die?
§. 650. M. Zij is deeze. — Gij merkte boven (§• 635.) reeds aan, dat men de onbekende plaatzen konde (voor, in het midden, of achter aan de evenreedigheid) waar men wilde. — lk wil U nu met de daad toonen, dat dit, voor een kundig reekenaar waar is, om dat hij de heblijkheid verkreegen heeft, van oilze boven ( § 646.) gemaakte aanmerking tot leidsvrouw te gebruiken, naar welke heblijkheid te verkrijgen de leerling ftreeven moet, wil hij ooit de leer der verhoudingen: dat is, den regel van drieën, in den uitgebreidften zin verftaan.
§. 651. Men kan, naamlijk , ééne en de zelve vraag, op verfcheidene wijzen voordellen, zo dat de groothecden, of getalen, welke daar in voorkomen , op de eene wijze van vraagen, in eene geheel andere fchikking komen te ftaan, dan op de andere. Bij voorbeeld , in de plaats Van te vraagen , als 5 (8 7 guldens kosten, wat zullen dan 60 18 kosten? (§. 648.) kan men even goed vraagen, wat zullen de 60 18 moeten kosten, als men 7 guldens voor de 5 18 befteedt ? — Hier ziet Gij dat de getalen 5, 7 , en 60, op dejaai* fte wijze van vraagen, juist in eene tegenltrijdige fcliikking geplaatst ftaan, met opzicht tot de eerite.
Ca §. 653.



«<J REGEL VAN D R I E ë N.
65*. Een beginnend, of niet zeer vatbaar leerling, welke zodaanige vraagen, op de eerfte wijze voorgelteld zijnde, vaardig oplost, vindt zich echter niet zelden verleegen, wanneer hem die zelve vraag, onder de tweede gedaante, wordt voorgefteld: zijnde hij als dan in bet onzekere, w elk getal eerst of laatst te plaatzen. — Een meer gevorderd, of meer vatbaar leerling, weet die gefalen 0111 te keeren, en de vraag zodaamg op te Hellen, dat de getalen in eene behoorlijke fchikking, en de onbekende achter aan, kcmen te ftaan. Doch een kundig reekenaar kan overal, waar het voorlrel het toelaat, die getalen in de zelve rangfchikking , waar in zij gelchreeven Haan, of uitgelproken worden, terneder Hellen, waar door dan de onbekende, zo wel vooraan , of in het midden, als achteraan kan te Haan komen.
653. L. Het zoude mij aangenaam zijn dit doc-r een voorbeeld opgehelderd te zien, Meester!
§. 654. M. lk zal U dan de zelve vraag onder vier verfchillende gedaanten voor Hellen, en de getalen telkens in de zelve richting, waarin zij jn de vraag voorkomen , daar naast in behoorlijke evenreedigheid ter neder zetten.
1. Als'ik voor 5 fg koop*
maak . of prijs uitloof, doch t8 f8 ff eene partij van Co t8 ontvang, 5 : 00 = 7 : x en ik 7 guld. (voor die 5 ffi) ,.' , „N
uitgeloofd heb, wat zal ik dan ( voor die 60 ffi) moeten beiaalen?
2. Als 5 fg 7 guld. kof- f8 f __ f8 . ƒ ten , dan kosten de 60 ffi... 5-7 — 00 '• x hoe veel guldens?
3 Hoe veel zal men voor ƒ f8 ƒ 15
60 fg moeten betaalen, als men x l 60 — 7^5 7 guld. voor de 5 ffi geeft V 4»



REGEL VAN DRIEeN.
3/
4. Stellende dat men 7 guld. ƒ fg ƒ f» voor de 5 fg betaalen moet, 7 : 5 = „v : 60 hoe veel zal men dan moeten befteeden voor 60 fg?
De wel ervaaren rekenaar ziet hier nu in ieder opftel, niet alleen eene juiste gelijkheid van verhouding , maar hij overtuigt zich ook nog daar en boven, en als met een enkelen opflag van het oog , van de deugdzaamheid van ieder opftel, daar door, dat hem ieder opftel eene zodaanige vergelijking geeft, als volgens onze boven gemaakte aanmerking (§. 646, doch vooral §. 648.) vereischt wordt; te weeten
5 x x = 7 x 60
§. 655. L. Gij zoudt de vraag nog meer hebben kunnen omzetten, naar ik vertrouw, Meester!
§. 656. M. De voorftellen zouden dan te gewrongen worden, of buiten het natuurlijke loopen. — Mijn oogmerk is, behalven dat, geenzins, om U als leerling aan te raaden , van de onbekende ergens anders dan achter aan te brengen. — Ik heb Ü de mogelijkheid, van 'er vrijer en meer onbepaald mede om te gaan, alleenlijk willen en moeten voor oogen ftellen , om U deezen gulden regel niet zo bekrompen, als naar gewoonte, maar in eenen meer uitgebreiden zin, en vollere ruimte , te leeren kennen.
§. 657. i. Hoe wilt Gij dan, dat ik in voorkomende gevallen eenen regel van drieën op zal zetten? Meester!
§. 658. M. Gij kunt ééne der volgende wijzen kiezen, naar welgevallen, of naar omftandigheeden; en wel, om bij ons laatfte voorbeeld (§.654.) te blijven,
C 3 f5



«8 REGEL VAN DRIEËN,
ft ft ff
1. Deeze 5 : 60 = 7 : x
Deeze is de meest wiskundige, en voor zo verre de beste. (§. 628.;
ft ƒ ft ƒ
2. Of 5 : 7 =. 60 : x
Deeze is de gewoonde, de meest gebruiklijke.
CS- 6a80
3. Of anders, de bier ter ft 5 j _ I 60 ft zijde {taande, welke ik in klei- fx\ \ 7 f ne rekeningen, waar in maar anders enkele getalen te pas komen, voor de dagelijkfche oeffening ft 5 | _ 1 7 f boven alle andere verkiezen ƒ x \ | 60 ft
zoude , naardien de getalen,
welke met eikanderen verme- 5 x = 7 x 60 mgvüldigd moeten worden, op deeze wijze ogenbliklijk onder eikanderen komen te ftaan, gelijk gij ziet. — Deeze handelwijze is daar en boven zeer gefchikt ter' betooging van nog eenen anderen regel, waar van wij in het toekomende zullen moeten fpreeken , weshalven ikU aanraade, van haar wel in het geheugen te prenten. — Of eindelijk kunt Gij, daar de gevallen het toelaaten, eenvoudig
4. naar Koopmans ftijl werken.
§. 659. L. Wat noemt Gij Koopmans ftijl? Meester!
§. 660. M. Die handelwijze welke men gewoon is op de Koopmans comptoiren te houden. \t weeten, daar men zeer zelden anders koopt^



REGEL) VAN DRIEËN. 3?
of verkoopt dan bij zekere eenheeden, gelijk een pond, een el, enz. of bij zekere getalen, die dan, zamengenomen, evenwel wederom een nieuw foort van'eenheeden daar Hellen, gelijk lasten , douzijnen, enz. of anders, bij 100 ponden , zo zijn de kooplieden niet gewoon, om deeze i, of deeze 100 juist op te Hellen, als zij het beloop van zekere partij goederen willen opmaakeu.
Stel dar een Koopman 7560 f8 koopwaaren verkocht of ontvangen had, tegen 7| Huivers het ffi, en dat 75"° ® hij 'er het beloop van wilde 7\ ««■ weeten. — Dan vermenigvul-
digt hij het getal van pon- 5292°
den flechts met de waarde van \ — 37bo
ieder f8, gelijk hier nevens '
de 7560 fg met 71 Huiver. 5»7o|° HetproduB geeft hem het ge- ƒ 2835 — * — tal van Huivers, welke hij, op bekende wijze, tot guldens maakt.
Stel voorts dat hij 8650 f8 ontvangen, of verkocht had, tegen ƒ 35 — de ioó tg, en dat
hij wil weeten hoe veel geld deeze partij bedraage. — Hij zal zich als dan over die 100 , in den beginne, in het geheel niet bekommeren, maar die 8650 tg met 35 vermenigvuldigd hebbende, zal hij, om door 100 te deelen, naar gewoonte, C§. 278.) 8650 tg flichts de twee laatfte getal- 35 Guld.
merken affnijden, en , gelijk 1 1 Gij hier nevens ziet ,/3o*7,5, 4325° dat is 5/30271 of ƒ3027—10 — 25950 bekomen. — Gij ziet dus dat ■ 1 1
deeze bewerkingen eenen re- 3027^5°
C 4 gel



|0 REGEL VAN DRIEËN.
gel van drieën influiten , of daar op berusten, fchoou zij dien, in de uiterlijke gedaante van opftel, niet vertoonen.
§. 661. L. De zaak is klaar, Meester!—Men kan de vierde evenreedige, welke men zoeken moet, of de x, immers, in gevolge van reeds gemaakte aanmerking, (§. 617.) altijd uitdrukken , door eene breuk, waar van de teller uit twee factoren zamengefteld is. — Dan daar zo wel één, of beide de factoren van den teller, als de noemer, de eenheid zelve kunnen zijn, zo moeten daar uit noodzaaklijk de vier volgende gevallen ontItaan. —Ik zal van ieder een klein voorbeeld geeyen.
1. Als de 3 fg 10 ft. kos- ~ fê ft.' ftten, wat zullen de 25 fg dan — yn . y
te ftaan komen? 6
Hier wordt x terftond uit- 10x25
j , a i°X25 , ... *== fmiv'
gedrukt door -: dat is, 3
door eene breuk, waar van de teller uit twee factoren, 25 en 10, beftaat , wier product door den noemer 3 gedeeld moet worden. — Dit is het algemeen geval.
2. Als 1 fg 10 ft. kost, fg fg ft. ft. wat kosten dan 25 fg? 1 : 25 = 10:*
Hier wordt x door het eenvoudig product van 10 x 25 10x25
uitgedrukt, naardien de noe- x= =10x25
mer van de breuk de een- 1
heid is, ft ft ƒ ƒ
3. Gefteld zijnde dat men . ^ — \ • x ï gulden voor de 3 fg betaa- 4 " 3
ïe, wat zal men dan voor 1 x 25 25
de 25 ft moeten geeven ? x = • ■ = —
3 3
of



REGEL VAN DRIEËN. 4I
Of
Zo de 3 ffi 25 ft. kosten, ft ft _ ft. ft. waar op komt het ft dan 3 : 1 — 25 : * te ftaan?
In beide deeze gevallen 1 x 25 ^25
wordt x aan de enkele x = ■ ——ft» breuk */ gelijk, om dat 3 3
in beide, de eene factor _ van den teller flechts 1, of de eenheid, is.
4. Stel eindelijk dat men
naar de waarde van 1 ft ft ft f
vraage, als men voor de 3 : 1 — 1 : * 3 ft 1 gulden betaalt P
Mier wordt x alleenlijk 1X1 1
door de breuk \ uitge- x = — —guld.
drukt, naardien de beide 3 3
factoren van den teller, ieder aan de eenheid gelijk zijn. Geen wonder dan dat de Kooplieden zo weinig omflag van eenen regel van drieën maaken.
k 66". M. Gij hebt dat zeer wel aangemerkt. — Zie hier eenige weinige vraagen welke gij mij, ter oefening, voorloopig kunt beantwoorden. _' . , ■
A. Als t ft koffijboonen9 ft. kost, wat kosten
dan 7578 ft? , , ,
B. Wat zal men voor 236 ft tabak moeten betaalen, als men het ffi voor 16 ftuivers gekocht heeft ?
C. Hoe veel zal men voor 638 ft thee moeten betaalen, tegen 24 ftuivers bet ft?
D. Als men voor 7 ft 32 ftuivers betaalt, hoe veel zal men dan voor 630 ft moeten geeven i
E. Als men 4 fi voor 5 ft zuiker moet betaalen , wat zullen de 136 ft dan beloopen?



4ï REGEL VAN DRIEËN.
F. Wat zal men moeten betaalen voor 1255 ffi rijst, tegen 19 ftuivers de 10 ffi?
G. Als 100 ffi pruimen 22 J3 kosten, hoe veel zal men dan voor een vat pruimen van 785 ffi moeten geeven?
H. Wat zullen de 7548 ffi koopwaaren kosten, tegen ƒ 9 - « - » de 100 ffi?
I. Als men voor 17 ft. eene elle linnen heeft, hoe veele ellen zal men dan voor ƒ 3Ó-«-« kunnen koopen ?
K. Zo iemand ƒ 70 - » - » aan linnen belteed had, tegen 15 ftuivers de elle, hoe veel ellen zal hij dan gekocht hebben ?
L. Als een ftuk laken, dat 52 ellen lang is, f 312 - * - » kost, op hoe veel komt dan de elle te ftaan?
M. Hoe veel kost een fchepel tarw, tegen 124 goudguldens het last?
§. 663. L. Deeze vraagen zullen niet zwaar te beantwoorden vallen, Meester! naardien Gij •die alle in ronde getalen van ponden, ellen, guldens, enz. hebt opgegeeven. —- Zo 'er bij de. ponden, oneen, of andere kleinere onderdeden, en bij de guldens, ftuivers en penningen bij kwamen , zouden de bewerkingen zekerlijk moeilijker worden.
§. 664. M. Langwijliger wilt Gij zeggen, niet moeilijker. — Langwijliger daarom, dat men dan alles tot oneen, of andere onderdeden van maaten , of gewigten, dient te herleiden ; en zoo ook de guldens en ftuivers tot penningen, de flaamfche ponden tot fchellingen of grooten, enz. dient Te maaken; waar door men dan grootere getalen te vermenigvuldigen en te deden verkrijgt, en de bewerkingen langer worden.
§. 665.



REGEL VAN DRIEËN. 43
5. 665. De reeden, waarom zulks noodzaaklijk is, loopt daadlijk in het oog; naardien men niet dan gelijkfoortige grootheedcn , of eenheeden van de zelve foort, met eikanderen vergelijken kan. — Zo moet men dan guldens met guldens, Huivers met Huivers, penningen met penningen, enz. vergelijken. — Een voorbeeld zal dit best ophelderen. — Men kan met geringe moeite nagaan dat men 5 ft. voor een ffi betaaleude, 12 ffi zal kunnen koopen voor ƒ3 » - =. Het is dan waar, dat 5 ft. tot ƒ 3 - * - * zich verhouden, gelijk l ffi tot 12 ffi , en echter is het blijkbaar onwaar, dat 5 tot 3 zouden ftaan, gelijk 1 tot 12. — De reeden is dat 5 en 3 geenc gelijkfoortige grootheeden zijn, de 5 zijn ftuivers, en de 3 guldens; dan zo dra men deeze grootheeden gclijkfoortig maakt: dat is, dat men voor de 3, welke guldens zijn, 60 ftuivers fchrijft, om dat de 5, met welke zij in vergelijking koomen, ook ftuivers zijn, dan zal de verhouding 5 ; 60 = 1 : 12 waar zijn.
§. 666. Zie hier een voorbeeld met onderdeelen van koopwaaren, zo wel als van geldfpecien volkomen uitgewerkt.
Stellende dat men voor 3 lasten, 7 mudden en a fchepels graanen ƒ312 16-8 bétaalen moete, hoe veel zal men dan moeten befteeden voor 9 lasten, 12 mudden en 2 fchepels? Last. mud. fch. Laft. mud. fch. ƒ ft penn. 3, 7, 2 : 9, 12, 2 =3,2,16,8:*
27 27 20
88 255 6156
4 4 ió
354 fchepels. 1022 fchepels. 100104 pentn



44 REGEL VAN DRIEËN.
Tot dus verre ziet gij dat ik nog niets gedaan heb, dan alles tot fchepels, en penningen te maaken volgens voorige onderrichting. (5.457en458.) Onderfcheid nu deeze vooraf gaande bewerking wel van den regel van drieën, welke tot hier toe, eigenlijk niet re pas gekomen is. — Neen de grootheeden zijn nu flechts alleen voorbereid, om m de gedaante van eenen regel van drieën gefield te kunnen worden. — Zij leveren nu eerst, in eenen eigenlijken zin, de volgende verhouding op.
Schep. Schep. Penn. Penn. 354 = 1022 = 100104 : x 1022
200208 200208 Ï00104
1 Penningen.
354/ 102306288 / aScjoooPf 708
3150....
0 2832
288 43 3186.'.'."
7 3186...
'354 59 ...
288
Na bewerking van deeze meetkundige evenreedigheid, of regel van drieën, ($. 616 en 617.) vindt men de vierde evenreedige, of * = 289000=*« ot 280000*£ penningen. 354
Hier



REGEL VAN DRIEËN. 45
Hier houdt nu Penn. het geen den regel 16 / 289000 / 180612
van drieën betreft, 16.... /yo3 — 2 8-4l
wederom op. — —.... De vraag is beant- 129...
woord, maar in 128...
penningen. ...
Men beeft dan die 100. penningen flechts 96.
wederom tot gul- .
dens en ftuivers te 40 brengen, (§.4910 32 gelijk hier nevens — gedaan is, en men 8 penningen,
bekomt tot eindelijk antwoord eene fom van ƒ903 — % — 8f£.
§. 667. L. Ik zie wel, Meester' dat zulk eene reekening dan eigenlijk uit drie deelen , of leden , beflaat.
1. Uit eene voorbereiding, om de grootheeden welke met eikanderen vergeleekeu moeten worden , tot eenheeden van de zelve foort te maaken, ten einde haar in daadlijke verhouding te kunnen fteilen.
2. In het vinden van het gevraagde getal, of vierde evenreedige: dat is, in het oplosfen der vraag, door eenen regel van drieën; en eindelijk
3. In het herleiden der gevondene onderdeden van munt, maat, gewigt, enz. tot zodaanige eenheeden , waar in men zich gewoon is uit te drukken; of waar bij men de partijen, of prijzen, in gevallen van koop, of verkoop, bepaalt.
Vergun mij nu wederom eene vraag, bid ik, — Gij waarfchuwde mij boven (§. 502-504) om $dd- fj)ecie?i, enz. tot geene kleinere oadtrdeelen
ta



40 REGEL VAN 'DfelEèNi
te brengen, dan noodig was, zoude zulks hier ter? plaatze ook niet in aanmerking komen ? • §■ 668. M. Zeer zeker. Uwe aanmerking is ten hoogden gegrond. — In de opgegeevene vraag (§. 666.) wordt na geene kleinere hoeveelheid, dan die van 2 fchepels: dat is, eene halve mud, gevraagd; en de gegeevene prijs gaat niet laager, dan tot 8 penningen: dat is, eene halve duiver.—» Men kan dus voldaan, met de maaten flechts tot halve mudden, en de prijs tot halve ftuivers te maaken. Zulks zal het werk aanmerklijk bekorten , en behoort in alle gevallen in acht genomen te worden.
Zie dan hier de reekening naar behooren , met de vereischte bekorting, ingericht.
last. mud. fchep. last. mud. fchep. ƒ ft. penn.
3,7,2 : 9, 12» 2 = 312,16,8:* 27 27 20
88 255 6256
2 2 2
177 halve mud. 511 halve mud. 12513 halve ft*
Men



SI G E L VAN DRIEëN. 47
Men krijgt dan dc volgende verhouding
Halve mud. Halve mud. Halve ft. Halve ft. 177 : 511 = 12513 : x 5»!
12513 12513 62565
i7f/ 6394143/36125 h.ft.
-^.*... i8o6|2f ft. 1084... ƒ903-2-Sf! 1062...
221.. 177..
444* 354-
Dat de overfchie- 903 ten de 18 halve ftui- 885 vers met 8 vermenigvuldigd moeten 18 worden, om pen- 8 3
ningen te hebben, f— —
gelijk hiér nevens, 144 48
is niet noodig te • — penning.
zeggen. 177 59
§. 669. L. Geef mij flechts zo veele vraagen «p, als Gij goed vindt, Meester! §. 670. M. Ik zal U eenige opgeeven, onder
be-



4.8 REGEL VAN DRIEëN.
beding dat gij mij ieder der zelve op twee verfchillende wijzen oplost; te weeten
1. Op de gewoone wijze, door vooraf de maaten, gewigteu, enz. geiijk ook de geld* fpecien, tot gelijke deelen, of eenheeden van dezelve foort te herleiden, en dus alles tot eenen regel van drieën voor te bereiden, gelijk wij boven (§. 666 en 668.) gedaan hebben; en
2. Volgens Koopmans gebruik: dat is, door de zo genaamde Pra&ijk, of korte reekening, zo als men die handelwijze in de gewoone reekenboeken veeltijds noemt.
671. L. Waar in beftaat die handelwijze? Meester!
§. 672. M. Ik heb U die reeds boven, bij de vermenigvuldiging van gemengde getalen met elkandercn ((. 380—390. j geleerd. — Men brengt, naamlijk, de onderdeden van geld -fpecien, zo wel als die der maaten, gewigten, enz. in breuken hunner hoofddeelen , en handelt dan, gelijk ik U ter gezegder plaatze onderricht heb, en hier behoort na, geleezen te worden. — Een enkel algemeen voorbeeld zal de zaak als dan in het helderst licht ftellen.
re



REGEL VAN DRIEËN. 49
ffi ffi One. ƒ ft. .penn. 5 : 157, 14 =12,17,15:* 12
St. 10= ƒ!. . 78 « 10
5= fx!='i 39 ° 5 I= rxï 7-i7 i=r fxi 7'-17
Pen. 8== ft. f 4 3 » ,8 . 8
4~ Fx^ = ? • 1 0 J9 - 4 2— 0 xi=:i . « * 19 = io i = i x| ' . . » » 9 = 13 g Onc.8=ffi| . . . 6 - 8 - i5i~4*" 4~ f x'-=? • 3 - 4 - 7| 6 2~ sx? ' _• 1 * 12 - 3ï 7
ƒ2036 . 1 . r4| | '/ = aj
5/-J
Komt ƒ 407 . 4 * 6?r3 = .v.
§• 673> ■£•'■ Is deeze handelwijze zo veel korter, dan de andere, dat men haar met reeht eene korte reekening moge noemen?
§• 674. M. In het hier (§. 672.) bijgebragt geval, zal de bekorting, zo 'er eenige plaats mag hebben, zeer gering zijn. Men doét beter zelvs dat men dergelijke gevallen langs den gewoonen weg behandelt; dairik heb U hier met opzet een der mtgebreidlte voorbeelden ter fchetze willen geeven. — De volgende vraagftükken heb ik 'er integendeel naar ingericht, dat zij gevoeglijk, en met voordeel langs deezen weg bewerkt kunnen worden. — Ook komen de gevallen in den daadJij ken handel zelden, of nooit, zo zamengefteld II. Bi el. D voor,



gO REGEL VAN D R I E e N.
voor, als dat, het welk ik hier ten algemeenen voorbedde (§. 672.) heb willen opgecven.
§. 675. Zie hier een gefchikter voorbeeld voor deeze handelwijze:
El El fi %
1 : 336 = 3 5 4? : x
_ Men lette, dat wel
1008 geoeffende reeke&_ — in . . . 84 naars het voorge-
i = ?x'=V- • 28 llelde tafeltïe' ia i__3,x4_r_ * . j4 dergelijke kleine
8 a 12 , gevallen,niet noo-
11314 fi dig hebben, en bij
Kom. fijEl"**
§. 676. Zie bier bet zelve voorbeeld langs den gewoonen weg opgelost, en de bekorting zal U van zelve in het oog loopen.
El El B %
1 : 336 ===== 3 , 41' *• :* 81 ia
336 4°ï
2688
, 8t
27216
13608
Hf-
11314 X, -4 fi = x'
§. 677.



REGEL VAN B K I E ë N. H
§. 677. L. Ik zie de bekorting in dit evval *eer klaar, Meester! - Dan vergun mij „ogS bedenking. _ I„ beide gegeevene voorbeelden (§• 672. en 675.) loopt deeze handelwijze zeer gemaklijk af, naardien de ftuivers, penningen en grooten, zich zodaanig laaten indeelen, in breuken van guldens en fchellingen, dat iedere breuk elkens wederom | , l, - ot t van de voorgaande Js, doch dit zal zich, naar mij voorkomt, in alle gevallen niet zo gemaklijk fchikken, en echter behooren de breuken , zal de bewerking gemakV --', ,e,"-MI1 geene mii,f]ilge» ondcrheevie zijn altijd kleine noemers te hebben. — Jïjj voorbeeld1 zo men mij vroeg naar het beloop van 7,-6 ffi' regen 3 ft. en § penning het ffi , zoude ik dl 750 ffi met 3 It. moeten vermenigvuldigen, en 'er dan nog 31- deel van moeten neemen, om dat Jpenn, ?'_ ft. is; dan deeze deeling eensklaps* oi; uit het hoofd te doen, wordt lastig, en aan misflagonderheevig; doet men haar ter zijde, dan wordt er het werk aanmerklijk door verlengd.
§- 678. M. Uwe aanmerking is gegrond fdoch men komt wederom door eene kunstgreep aan deeZe zwaarigheid tegemoet; alhoewel 'er de nuttigheid m het daadlijk gebruik klein van zij. — Een kundig rcekenaar moet zich in alle gevallen weeten te redden, en het blijft onmogelijk zo veele regelen op te geeven, als 'er vcrfchillende gevallen mogelijk zijn. _ Een ieder moet hier zijn oordeel gebruiken en die 'er het beste gebruik van maakt, zal de fraaifte cplosfing geeven.
679. Het foort van kunstgreep, waar van Wen zich 111 deezen met vrucht bedienen kan, en in de reekenboeken leert bedienen, beftaat daar in, dat men, als de fprong zo groot wordt, geD 2 lijk



^2 REGEL VAN DRIËëN.
lijk in uw voorgefteld geval, andere grootheeden, naar welgevallen tusfehen beiden aanneemt, om den overgang, of afdaaling, langzaam te maaken: dat is, om dat deel, niet terftond van het geheel te neemen, maar eerst 'er, bij voorb._ \ van te neemen, van die \ wederom \, en eindelijk van die laatfte i n»g eens \, om dat \ x \ x £ — s * js. _ Doch daar die aangenomene grootheeden dan niet daadlijk aanweezig zijn,moeten de grootheeden . of waardijen, welke zij veroorzaaken , ook niet bij die der aanweezige worden opgeteld, maar bij de optelling overgeflagen. Het is om die reeden dat ik dezelve in het volgend , door U zeiven voorgefteld, vraagftuk, met eene kleine letter gefield heb, gelijk ik ook de aangenomene grootheeden , in" het tafeltje, tusfehen haakjes heb geplaatst; men kan 'er op de leij, of op het papier, een ftreep doorhaaleu, als men wil.
§. 680. Zie hier beneeden uw eigen voorltel dan op vier verfchillendc wijzen opgelost. De 756 fg moeten met 3-^ ft- vermenigvuldigd worden; nu is ^ = ^xi = §xfxi = ixi, de twee eerfte oploslhigen gefclnedeu dan ieder door twee aangenomene, of valfche getalen; en de derde door één? Over de vierde zal ikftraks een woord zeggen, fg
756 Hier zijn de 4 !,•) 3 ft. pen. en r pen.
— welketusfchen
2268 haakjes ftaan,
(Fen.4 = ft.O .... 189 aangenomen. (1= £xi = t5) 47,4 Daarom wor.«= \ x js . . ■ 23.10 den de 189 ft.
j ~~ en de 47 ft«
22QU , 10 4 pc„. ook niet
Komt ƒ mi11)1* opgeteld.
2.)



REGEL VAN DRIEËN. 53
20 ffi
75Ö" Hier zijn de 8
3 ft. en de 1 aan-
genomen; dus
/TenR —ftM 2268 worden de 378
^v^Z f*2';—rV) 47,4 47 ft« 4 penn.
»— éxTë • • • 23,10 niet mede op-
-—1 ■ geteld.
22Q| i,io
Komt ƒ n4, ji, I0
30 ffi Hier zijn
756 flechts alleen
3 ft. 2 penn. aan-
genomen;dus
<r>„„„ n. ^ 2268 worden ook
CPenn.a=ft.p 94> 8 alleen de ^
5— ?x? • • • 23»io ft._ 8 penn.
bij dg optel-
_22£|i,io ling over geKomt ƒ 114,11,10 flaagen.
40 3 ftuivers cl penn.
— / 75ö fg
2268 378 23,10 16/-^—
" ■ 23 ft. 10 penp.
_ 22911,10
ƒ114.11,10
In dit vierde geval heb ik 756 halve penninge» genomen, welke ik tot ftuivers gemaakt, en bii de 3 maaien 756 ft. opgeteld heb. — Gij ziet dat D 3 deeze



54 REGEL VAN DRIEËN,
deeze handelwijze, fchoon geheel van dedrie voo rige verfchillende, echter, in dit geval, niet te verwerpen is. .
§. 681. L. Ik bedank U vriendbjk, Meester! en begrijp bet volkomen. — Dan waarom niet aanftonds de ftuivers zelve in breuken van guldens gebragt? aldus
ffi ff? ft. penn. i : 756 = 3 , o\ : x
ft. 2 = ƒ ^ 75 ■> 12
1 = \ X T75 37 , 16
(Pen.4 =: ft. I) 9,9
Komt ƒ 114 , 11 , 10 =: x
§. 682. M. Gij hebt daar in de daad nog den kortften en besten weg van allen ingeflaagen. Ik durf U dus de volgende vraagen, gerustlijk, om volgens onze gemaakte voorwaarde (§. 670.) te beantwoorden, opgeeven.
A. Hoe veel kosten de 568 ffi, tegen 7 ftuiv, en 8 penn. het ffi?
B. Wat zal men moeten bctaalen voor 2346 ellen,' tegen 2 ft. 12 penn. de el?
C. Als men 7 ft. 4 penn. voor een ffi moet geeven, hoe veel zal men dan voor 975 ffi moeten bctaalen ?
D. Hoe veel zullen 1076 ellen bedraagen, de elle gereekend zijnde tegen 13 ft. 14 penn.?
%. Wat zullen de 367 ffi kosten , als men die ingekocht heeft voor 2 fi en 9 % het ffi? F. Hoe veel geld zal men voor 105 ellen linnen



REGEL VAN DRIEËN. 55
Hen moeten bctaalen , als men de elle voor 2 g, 11 $ bedongen heeft?
G. Stellende dat men 1276 ffi wol koope, voor 9 ft. 14 penn. het ffi, hoe veel zal die partij aan geld beloopen ?
H. Als 1 ffi ƒ 3—15—kost, wat kosten dan 12378 ffi?
I. Wat zal het beloop van 365 ellen zijden doffen zijn, de el tegen ƒ2 — 3 — 8 gereekend?
K. Hoeveel zalmen voor 132 ellen laken moeten betaalen , als men de elle voor ƒ 3—17 — gekocht heeft?
L. Op hoe veel komen de 325 ellen te ftaan, tegen 11 fl, 5 % de el ?
M. Als een twaalftal, of douzijn, 1 ©£, 7 fj, 9 \ kost, wat zullen dan de 1000 douzijnen kosten?
N. Als 1 fchip-ffi ƒ45—12 —8 kost, wat kosten dan 24 fchip-ffi, en 15 lijs-ffi?
O. Hoe veel zullen de 16 Lasten en 12 Mudden haver kosten, tegen 36 G-guld. 12 ftuiv. het last ?
P. Als men 9 ft. en 12 penn. voor een ffi koffijhoonen moet geeven , hoe veel zullen dan de 6 ffi en 12 oneen kosten?
Q. Het engelsch tegen 7 fi, 8 % gereekend wordende , wat zal men dan voor 23 oneen en 12 engelfchen moeten betaalen ?
R.. Wat zullen de 12 mark., 5 onc., 15 eng. en 10 aazen goud kosten, als men het mark tegen 53 oC» 5 IJ en 10 ^ reekent?
S. Gefield zijnde dat het last tarwe 125 G-guld. 17 ft. en 12 penn. koste, wat zal men moeren betaalen voor 18 last., 22 mud. en 3 fchepels?
T. Als 5 ffi ƒ 2 — 17 — 8 kosten, wat zal D 4 mem



£tf REGEL VAN DRIEËN.'
men dau moeten betaalen voor 728 ffi cn 13 oneen ?
V. De 100 BrabandTche ellen houden 101 Amft. ellen , ( §. 429. ) hoe veele Amfterdamfche ellen zal men dan kunnen meeten uit 7563 Brab. ellen ?
W. Wat zullen 3784 ffi kosten, als men voor de 10 ffi ƒ 18—0 — 12 betaalt?
X. Als de 100 ffi pruimen 2 <£. en 5 % kosten, wat zullen dan 4 vaten ieder van 300 ffi in gul? dens, ftuivers eri penningen bedraagen?
Y. Indien men met f 100 - » - • in zekere onderneeming f 13 — 7 —12 gewonnen heeft, hoe veel zoude men dan, op den zeiven voet, met eene fom. van ƒ 7538—16—» gewonnen hebben?
Z. Hoe veel zullen de 378500 tichelfteenen kosten, tegen ƒ 7 —12— * het duizend?
g. 683. L. Ik heb in deeze vraagftukken opgemerkt , 'Meester! dat Gij nergens eenige grootheeden met onderdeden , gelijk guldens , ftuiv. en penn. of ponden., fchell., grooten, enz. zodaanig geplaatst hebt, dat men daar door zoude moeten deden. Bij voorbeeld, dat Gij nergens eene vraag van deezen aart hebt opgegeeven. Als inen voor eene zekere fom guldens, ftuivers en penningen, een zeker getal ponden gewigts heeft; hoe veele ponden zal men dan kunnen hebben voor zekere andere fom guldens,ftuivers en penningen?
§. 684. M. De reeden is deeze. —• Ik heb Van U gevorderd (§. 670.) dat Gij deeze vraagftukken alle, zo wel langs den pra&kaalen, als langs den gewocnen weg zoudt oplosfen. •— Daar nu die praclicaate weg voor vraagftukken van dien sart ongefchikt is, en nooit met eenig voordeel kan gebeezigd worden, heb ik U ook geene zo? $aanige willen opgeeven. v
§• 685,



REGEL VAN DRIEËN.
§. 685. i. Gij hebt mij evenwel vraagen opgcgeeven, waar bij men, na gedaane vermenig* vuldiging, door 5, door 10, of'door 100 deelen moet. (§. 682. van T. tot Z.)
§. 686. M. In zulke gevallen kan men zich nog met vrucht van de practicaak handelwijze bedienen , naardien men gemaklijk de hoofddeelen, pn onderdeden, achtervolglijk door een enkel getalmerk deelen kan.
§. 687. Zie hier beneeden een voorbeeld.
ffi ffi onc. ƒ ft. penn. 8 : 375, 12 = 5j I2j 8 . x.
5
1875
St. io=/i . , . . 187*10
2 = jX| - . 37* 10 Penn. 8= ix 2 ft. . 9. 7. 8 "Önc. 8=ffii . . . . . 2=16- 4
4= |x£ . . . 1* 8» 2
2113»11» 14
8/
1 / ƒ 264 20
3i
8/ / 3 fttriv,
7 16
126
8/ / 15 penn.
| = | penn. Komt bij flot ƒ 264.3 -154 ten antwoord.
D S §• 688.



58 REGEL VAN DRIEËN.
§. 688. Zie hier nog een ander voorbeeld , waar in de dceling door 100 moet gefchieden.
fg fg Onc. ƒ ft. penn. 100: 738, 14 =7. 36, 15, 8 : x
36
4428 2214
St.io= ƒ \ . . 369
5= £xï 184*10 Penn. 8 = ft. T'5X5 18- 9 Uac. 8= | • • 18- 7-12 4= 1><3=? 9* 3° H 2= \%\ . . 4*11*15
ƒ271172* 2* 9 • 20
ftuiv. 14:42 I16
penn. 6181
j—penning. 100
§. 689. L. Kan het, wanneer de deeler wat groot mogt zijn, doch zich bij toeval in factoren van enkele getalmerken liet ontbinden, geen voordeel aanbrengen, dat men zich daar van, zo als bij de deeling (§. 284.; geleerd is , bediene?
§. 690. M. Zeer zeker. — Zie hier een voorbeeld. Het getal 84 = 3x4x7 zijnde, kan de deeling ook door deeze drie factoren achtervolglijk verricht worden.
ra



REGEL VAN DRIEËN, 5p
ffi ffi ƒ ft. penn. 8+ : 3"°5 = 58 - 14 - 4 : x 53
29640 18525
St 10= /| 1852» 10
2 = 1xI = t'ü • 37°' J° a— 10 • 370-10
penn. 4 = ft. lx» .... 46' 6« 4
217529*16- 4 3/
72509=18*12
84=; 3x4x7. 4/ 1
18127= 9*U
7/
Antwoord ƒ 2589 = 12*13
§. 691. Deeze ontbinding in facioren kan bij' de vermenigvuldiging, even zeer als bij de deeling , te ftade komen. — Zie hier een voorbeeld.
ffi ffi ƒ ft. penn. 1 : 126 =3-9 - 12 : x
/3
10 - 9 - 4
j6
126 = 3 x6x 7. 62-15-8
17
Komt ƒ 439 - 8 - 8
§. 692. Daar het ondertusfchen gemaklijk gebeuren kan, dat één, of .beide getalen, welke met eikanderen vermenigvuldigd moeten worden,
éénen,



REGEL VAN DRIEËN,
éénen, of meer gelijke deelers, of factoren, bevatten , zo geleidt ons deeze aanmerking, als uit zich zelve, tot eene derde eigenfchap der meetkundige evenreedigheeden.
§. 693. L. Welke is die? Meester!
$. 694. M. Deeze:
Dat men telkens, of de beide voorgaande termen, of de beide volgende termen, of eenen voor gaanden met deszelvs volgenden, naar welgevallen, met de zelve grootheid kan vertnenigvuldigen , of deelen, zonder dat de evenreedigheid daar door gefloord worde.
§. 695. Zie hier een voorbeeld van vermenigvuldiging der beide voorgaande termen, met een ■willekeurig getal, als 7.
3:12= 5: 20. want 3x20 = 5x12= 60. 7 = 7
ci M2 = 35 ".20. want 21x20 = 12x35=420.
Zie hier de beide volgende termen met het zelve getal 7 vermenigvuldigd.
3 : 12 = 5 : 20 7 = 7
3 : 84 = 5 : 140. want 3 x 140=5x84=420.
Zie voorts den voorgaanden en volgenden term der eerfte reeden met het zelve getal 7 vermenigvuldigd, zonder ftooring van evenreedigheid.
3



REGEL VAN DRIEËN. 6l
3 : 12 = 5 : 20
ai : 84 = 5:20. want 21 x 20 = 5X 84=420.
Zie eindelijk de termen der laatfte reeden ieder . met 7 vermenigvuldigd, en echte* de evenreedigheid volmaaktlijk ftand houdende^,
3 :12 = 5 : 20 7 = 7
3 : 12 = 35 : 140. want 3 x 140=12x35=420.,
4
§. 696- Dat het zelve in geval van deeling plaats hebbe, zal uit de volgende voorbeelden, waar in ik, gemakshalven, overal door 2 gedeelé heb, blijken.
3 112 = 5 :2o 2/- 2/-
ii : 12 = 2^:20. want i£x2o = 2ix 12=30. voorts
3 : 12 = 5 :2o 2/- 2/ —
3 : 6=5 :10. want 3 x 10 = 5 x 6 = 30,
verder
3 : 12 = 5 :2° 2/ ■
Js: 6~5 :20. wantijX2o = 5 x 6=30.
eindelijk
3 : " = 5 =20
3 : i2 = 2i;io. want 3 xi©=2§ x 12 = 30.
§.697.



6& REGEL VAN DRIEËN,
§. 697. L. Ik verbeeld mij niet alleen de reeden in de opgegeevene voorbeelden, maar ook de volftrekte algemeenheid,en noodzaaklijkheid, deezer zo fraaijè eigenfchap door te zien, Meester' —■ Want daar het product der uiterfte termen altijd gelijk aan dat der middenften is, (§. 606.) en
■ deeze producten , met het zelve getal vermeenigvuldigd of gedëeld wordende, gelijk moeten blijven , zo zal deeze eigenfchap , door die vermenigvuldigde of gedeelde producten, wederom op nieuw uit eikanderen, of in evenreedigheid te Hellen , volgens boven geleerde handelwijze
*(5» 638—645.) ten duidlijklteu in het oog loopen. Vergun mij mijne gedachten door een voorbeeld nader op te helderen. — Uit de verhouding 3:12 = 5: 20 volgt 3 x 20 = 5 x 12. — Beide deeze producten door een willekeurig getal, als 7 , vermenigvuldigende, krijgt men
3 X 20 X 7 = 5 X 12 x 7.
Als men dan deeze producten op nieuw in evenreedigheid fielt, krijgt men , even als boven, (§• 695.) naar welgevallen
of 3X7 : 12 = 5x7 : 20
dat is 21 : 12 = 35 : 20
of 3 : 7 x 12 = 5 : 7 x 20
dat is 3 : 84 = 5 '• Ha
of 3x7 112x7 = 5: 20
dat is 21 : 84 =5 ' 20 „
of



REGEL VAN DRIEËN. 63
of 3 : 12 = 5X 7 : 20 x 7 dat is 3 : 12 = 35 : 140
Door de producten 3x20=5x12 met eenig getal naar welgevallen, als 2, te deelen, kriiet men ' JS
3 x 20 = 5 x 12
2 2
Stelt men deeze vergelijking nu ook wederom in eene evenreedigheid, dan krijgt men , even als boven, (§. 696.) naar goedvinden
of | : i2 = f : 20, dat is, i-J : 12 = 2-* : 20 of 3 ï v .== 5 « ï° , dat is, 3 : 6 = 5': lo of | : \' = 5 : 20, dat is , i* : 6=5 : 20 of 3 : 12 = f : 33°, dat is, 3 : 12 = 2^ : 10 ~
§. 698. M. Gij hebt niet alleen de zaak gevat, maar 'er een volmaakt bewijs van gegeeven. .
Ook hebt gij buiten twijfel opgemerkt, dat"de geheele zaak alleen daar in beftaa, dat men zorge van altoos twee zodanige termen- te vermenigvuldigen, of te deelen, welke, wanneer men uit de verhouding eene vergelijking wil opftellen, de eene in het één, en de andere in het ander product komen. •— Of met andere woorden, dat men daar op lette dat van de beide termen, welke men vermenigvuldigt, of deelt, de ééne een uiterfte en de andere een middenfte zij: dat is, nog eens, dat men zich wel wachte, van niet bi'' ongeluk of de beide uiterften , of de beide middenften te neemen: om dat als dan het eene product eene
dub-;



tl REGEL VAN D R I E ë N.
*.M*le vermenigvuldiging, of deeling zoude oti* Sm tewijl het andere onveranderd bleev j tï£'door dan Jzo wel de vergelijking, als de verhouding genW zoude worden.^ ^ MeS;Sgr9!dinzDegmijrbidik,welk nut Gij uit ^ofT^^iküde eigenfchap tweeleedig vtrgdteld bW, zo zal ik U ook het nu erft doo? vermenigvuldiging, en daar na
kens, ot 8e™™B „fadie uit hoofde van deeze SS,' SoorTeïmenigvuldiging der termen w e a n twee, met de noemers deezei breuIcln , gemaïïjkuit den weg ruimen. - Zie hier eenige voorbeelden.
A.iO f • .j=5;*
a:ia = 5:* 5xi--_6o_ Daarom * = — — J * a 2
A. a.) of !-4=_5 s*
Daarom * = — •> *
a a
B. 3 : f = 45 : *
I5 : 4 = 45:* 4 X 45 J?°_
Daarom x — • •
15 15 e".



REGBL VAN DRIEËN, gg
C. 5: i3=l : x ~l9 ~/9 45: 13 = 7 : * 7X 13 91
Daarom x~ _— —0 r
45 45
• i>. zO f : | = 5 : *
/3
2 : V = 5 : * /5
ioU2== 5 : * 5 x 12 60
Daarom x=z — = z=zG.
D. 2.} Öf dus 10 f : I = 5 : *
/15
10 :12 — 5 : x
Daarom x=6, als boven.
D. 3O Of dus
f • ï = 5 : * ~/3 -/3 2 : | =15: x
Is
101 41== I 5: x 4 x 15 60
Daarom x= -= —-—o".
10 10
E- f : 2 = J : x
17
5 : 14 = % : x ~/9 -/9
45:14=4:* 4x14 56
Daarom r—;-, . ~ =3.ï|{..
II. DEEL. 45£ 45 4 y



(56 REGEL VAN DRIEëN.
F. i : I = i /6
-/8 -/8
48:5 = 7:* 5X7 _ 35
Daarom x = ■ ■ — ~~
48 48
G. | : ff = * . 16:15= I • *
—Ir -l7 , ,<
112:15= 3 : * 3 x *$ _ 45
Daarom * = —
112 112
* 701. L. Mij dunkt ik zoude de vierde evenrelaisof de *, fchielijker vinden, door de breukeV, volgens dlgewoone regelen met eikanderen te'vermenigvuldigen, en te deelen, zo als
Zij§!ij7nÓ2. M. Zo lang gij inet enkele breuken te doen hebt, lijdt dit geen twijflel; en z gij de eene en andere handelwijze werkftelhg maakt, zult S zien , dat deeze eindelijk en ten laatften op de gwoone uitloopt; dan ik geev U deeze handelwee niet op, als de kortfte, voor het vindei dei onbekende, maar als het middel on U i» eevallenvan breuken te ontdoen, zo er ééne ot meer onder de bekende termen eens regels van drieën gevonden mogten worden. —
De volgende voorbeelden met gemengde getalen zullen ü niet alleen het nut/e^nff' maar de bijna volftrektc noodzaakhjkbeid daar van
doen blijken. A>



REGEL VAN DRIEËN. 6>
A. 13! : 20 = 37 : x /8
in : 160 = 37 : x
>, „ c 37 * ióo 5920 t welk geeft x = — = -,tt
in ui r'
B. 16 : 54 = 55 : ,
112 : 30 — 56 : x 39x56 30
Daarom = —=—- = iqï,
112 2 3'
C 24 . 35 ioff : * —/16 /16
384 = 35 = 175 : * 35*175
Daarom jc =- . — re-as
384 5ïï?'
D. 11j : 17$ = 35 : * -/I2
140 : 207 = 35 : x 35x207 207
i Daarom x = r= .
— —51?» 140 4
E. 1.) if i 64 = 7| :*
~/5 —/2
8 ; 64 ■=■ 15 : * ~/2 —/5 16 : 64 = 75 : ^ 64x75
Daarom *= =4x75=300.
16
£• 2.) Of il:64 = 71:* —/io _/IO 16 : °4 = 75 : x, als boven.
E-a E.



68 REGEL VAN DRIEËN.
E. 30 Of if : 64 == 71 : *
8 : 320 =.7|': x
_/2 -
16 : 320 = 15 : x
320x15
Daarom *= = 20x 15 = 300» als boven.
16
F. i.) 17 : i2| = 58}:*
68 : 51 = 58}':*
340:51 =292:* 51x292 3x292
Daarom x— — =43*.
340 20
F. 2.) Of 17:121 = 58}:*
20x17:51 =292:*
292x51 292x3
Bij gevolg *= —= =43i5 als boven.
20x17 20
G. i8g : i6| = I4> : * / i3ft = 99 : *
66ü : 84 = 99 : *
84x99 8316
Derh.' x = = = I2f
660 660
§. 705. L. Ik zie liet voortreflük nut deeztr eigenfchap, Meester! naardien men daar door altijd



REGEL VAN D R I E ë N. 69
tijd zeker van zijne Verrichtingen , en dus tegen allen misflag beveiligd is- belialven dat men zich bijna ongevoelig van de gebrokens ontdoet, en de vierde evenreedige met het zelve gemak vindt, als of de gegeevene grootheeden alle uit geheele getalen beftaan hadden. — Ik merk daarenboven nog aan, dat alles, wel befcbouwd zijnde, wederom daar op uit loopt, dat men niet dan gelijkfoortige grootheeden, of éénheêden van de zelve loort met eikanderen kan vergelijken, of door eikanderen afmeeten. — Zo worden in bovenftaande voorbeeld (§. 702. F. 1 en 2. ) vierde deelen met vijfde deelen vermenigvuldigd, waar uit twintigfte deelen ontftaan; de voorde term, of deeler, moet dus ook met 20 vermenigvuldigd worden , om gelijkfoortige eenheeden te bekomen. — In het volgend voorbeeld C§. 702. G.) ontftaan door vermenigvuldiging vijfendertigffe deelen,; de zevende deelen der voorfte term moeten dan nog door 5 vermenigvuldigd worden, om ook den deeler tot gelijke eenheeden niet die van het deeltal te brengen; en zo in alle andere voorbeelden.
§. 704. M. Zeer wel. — Ik gaa dan met U over tot het tweede lid deezer eigenfchap: (§• 694.) te weeten, om U het nut te toonen, het welk men niet zelden daar uit trekt, door de behoorlijke termen tegen eikanderen te verkleinen , of door het zelve getal te deelen. (§• 696.} Dat dit immers eene aaumerklijke bekorting in de reekening veroorzaakt , overal, waar het met vrucht bewerkffelligd kan worden, zal uit een enkel voorbeeld blijken.
E 3 144



fo REGEL VAN DRIEËN.
144 : 28 E= 108 : x
4/
36 : 7 ~ 108 : *
9/- 9/
4 : 7 = 12 : *
4/~ 4/1:7= 3 : x
Daarom j = 3 x 7 = 21,
Ik zie tcrftond (§. 290. 2.) dat de beide termen der eerfte ree'den, 144 en 28., door 4 deelbaar zijn , en krijg daar voor dus 36 en 7; dan loopt het in bet oog ( §. 290. 5. ) dat de twee voorgaande termen, 36 en 108, door 9 zonder overfchot gedeeld kunnen worden, waar door men krijgt 4 : 7 = 12 : x; als wanneer men ogenbliklijk ziet dat de twee voorgaande, 4 en 12, nog eens door 4 verkleind kunnen worden, waar door dan de * zonder eenige moeite bekend wordt.
§. 705. L. Welk een heerlijk nut! Gij hadt U daar van reeds dikwerf in de voorigc voorbeelden, (§. 700 en 702.) zo wel als van het eerfte lid deezer eigenfchap kunnen bedienen, Meester! Vergun mij dat ik 'er U eenige proeven van geeve.
§. 706. M. Ik heb 'er niets tegen; maar ftel uwe verhoudingen dan op, naar de derde wijze welke ik U boven ("§. 658. 3.) aan de hand gegeeven heb. — Deeze zal alsdan de meest gevoeglijke zijn. — Ik zal ö met een enkel voorbeeld voorgaan, en daartoe één onzer voorige ($. 700. D.) verkiezen.
'5



REGEL VAN D R I E e N. /I
• 5-2 -f 1 — I 'J 3-4 2 X I I • 5
Komt x =3x2 = 6.
Zie hier een voorbeeld , waar op Gij uwen aandacht bij uirneemendheid, vestigen moet, teneinde het in den grond, door cn door, tc begrijpen.— Het is, indeezen, het toppunt van vernuft, om de meest mogelijke kortheid in foortgelijke gevallen te betrachten. — Ik gaa U de handelwijze nader ophelderen.
§. 707. Uit de verhouding f : g c= 5 r x vloeijt, de vergelijking f #=r | X 5 ( §, 6 3° 8 - 646.} — De verhouding dan, gelijk hier ter
zijde, in twee colommen opftellende, f I I |
zullen de onder elkandéren (laan- x j | 5 de grootheeden in de eerfte co/óm, met eikanderen vermenigvuldigd , een product geeven, het welk gelijk aan dat der laatfte , met eikanderen vermenigvuldigd , zijn zal. — Ieder colom beftaat dan uit twee factoren, welke in de eene colom de beide uiterfte , cn in de andere de beide middenfte termen eener evenreedigheid zijn. — Men kan dan die colommen of derzelver factoren, ter wederzijden gelijklijk, of door de zelve grootheeden, zo lang vermenigvuldigen, of deelen, als men wil, of de noodzaaklijkheid vereischt, (§. 694.) zonder dat de evenreedigheid jn de verhouding, of de gelijkheid in de wederzijdfche producten daar door eenige verandering ondergaa.
Dit in aanmerking genomen zijnde, begin ik mij van de gebrokens te ontdoen, door vermenigvuldiging.— Ik vermenigvuldig, rtaamlijk, de E 4 voor-



REGEL VAN D R I E ë N.
voorfte colom met 3 ; het 2 . f I | | g
welk ik verricht, door den x\ [5 noemer van de breuk J. weg te laaten, dat is: door 2 geheelen in de plaats van f te fchrijvén, gelijk hier nevens; maar als dan is deeze voorfte colom drie maaien zo groot als de achterfte geworden; ik moet derhalven, om de gelijkheid te behouden , de achterfte colom ook driemaalcn vergrooten. Ten dien einde ftel ik een 3, als derde factor, bij de achterfte colom. —• De geheele verrichting heiraat dan, tot dus ver, in den teller van den breuk te laaten, en den noemer naar den anderen kant over te brengen.— Daar de breuk | nu in twee geheele getalen veranderd is, cn bij gevolg afgedaan heeft, is het noodig dat men die uitwisfche, of doorfchrappc, of anders, dat men 'er een ftip, of eenig ander teken voor zette, gelijk ik hier gedaan heb, ten teeken van in het vervolg niet meer in aanmerking te komen.
De gelijkheid der colommen is dan nu in deeze verwisfeld 2 x =r 3 x * x 5. — Ik gaa dan voort met de breuk | volmaakt
op dezelve wijze uit den 5 2 . f I I • I 3 4
weg te ruimen, als de f, x\ (5
en daar door zal mijne
bewerking in den neven ftaan den ftaat gcraaken; waar door de gelijkheid tusfehen de colommen veranderd zal zijn in 5X2X.Ï = 3x4x5 — Nu ben ik van alle breuken ontilagen; de vermenigvuldiging houdt derhalven op ; cn ik begin om te zien, of er ook eenige factoren, ter wederzijden tegen elkanderen uitgedaan, of verkleind kunnen worden. Daar 'er zich nu ter wederzijden een 5 bevindt,
loopt



REGEL VAN D R I E ë N. 73
ïoopt het in het oog, dat men ook ter wederzij» den door 5 Kan deelen; doch wijl 'er dan ter wederzijden voor de 5 een 1 zoude komen te ltaan , en de 1 de waarde der colommen noch vermeerdert, noch vermindert, zo heeft men deeze 5 Hechts ter wederzijden door te fchrap- .5 2 . f I j 41 3 4
pen , en de bewerking x | | . 5
krijgt nevenftaand aanzien , waar door de vergelijking nu veranderd wordt in 21 = 3x4.
Dan , daar 'er nu van vooren nog een 2 en van achteren een 4*onder üefefrgren gevonden wordt, is het klaar, dat men nog ter wederzijden door 2 deelen kan, waar door dan de 2 van vooren in een 1 zal veranderen, die men niet behoeft te fchrijvén; terwijl de 4 van achteren tot eene 2 overgaat, waar door dan van vooren alle factoren, bij de onbekende verdweencn zijn, en van achteren geene andere
factoren over zijn . 5 .2 . f I I . -J 3 . 4 2
gebleeven, dan de 3 x \ ~ j . 5
en de twee, gelijk ■ : ■
hier nevens te zien x = 3x2=6.
is , zo dat 'er ogen-
bliklijk deeze vergelijking volge « = 3x2 = 6, en dus de onbekende als van zelve ontdekt worde.
§. 708. Gij ziet dat de bewerking even zo kort, en gemaklijk is, als ik langwijlig heb moeten zijn , en veele woorden gebruiken , om U dezelve te befebrijven; en geen wonder, naardien men in deezen, met zeer weinig moeite, zeer veel verricht. — Het zal ondertusfehen altijd moeijlijk zijn, dergelijke bewerkingen, als zij een weinig meer omilagtig worden, na te gaan, wanneer zij E 5 ge-



74 REGEL VAN D R I E C N.
geheel uitgewerkt op het papier (laan , om reden, dat de wederzijdlche gelijke fa&aritt dan reeds alle doorgefehrapt zijn, terwijl zij onder de bewerking de één na den anderen doorgefehrapt moeten worden. Ik raad U derhalven van het nagaan eener dergelijke bewerking nooit te onderneemen, zonder de verhouding, van nieuw op, ter neder te Hellen, en uit te wei ken, als wanneer gij onder de bewerking geleegenheid zult hebben, om de voor U liggende bewerking met uwe eigene te vergelijken. — Echter zal het dan nog gemaklijk kunnen gebeuren, dat gij den waaren uitkomst bekomt, zonder juist de zelve, of" bet zelve getal van factoren, ter zijde te hebben bekomen; om dat deeze handelwijze, fchoon aan algemecne wetten gebonden , gecne bijzondere regelen in haare uitoeffenlng heeft. — Zo had ik, om U hier eene proev van te geeven, dit zelve voorlid nog veel korter , en op eene andere wijze , kunnen oplosfen.
Zie de oplosfmg hier ter zijde. — Ik heb ogenbliklijk de 5, die een deeler was in f, tegen den vermenigvuldiger 5 in de zeizelve colom uitgedaan. — : § I _ 1 !| 2 Voorts heb ik den teller 2, x | | .5 3
van de breuk f, in de eerfte
colom, gedeeld in den teller x = 2x3=6 4 , van de breuk | in de tweede colom, en daar door van achteren 2 bekomen. — Eindelijk heb ik den deeler 3, of^noemer van de breuk f uitgedaan, waar door ik de voorfte colom drie maaien grooter maakte; ik moest dus de achterfte colom ook met 3 Vermenigvuldigen, of 'er eenen factor 3 aan toevoegen. — Zie hier dan de geheele bewerking verricht, met het fchrijvén van twee getalmerken. §. 7°9-



REGEL VAN DRIEËN. 75
§. 709. L. Ik zal beproeven in boe ver ik U wèl begreepen heb, Meester! Ten dien einde neem ik een ander onzer voorgaande voorbeelden (§. 7co. B.)
of 0f
j j' *| '45'T3j* [;45 "9
Derde voorbeeld. (§. 700. C.)
5 I I 13 Wij] bier geené gelijke Weder-
9 x I 1-57 zijdfche fikt/ren zijn, kan 'er
ookgeene verkorting, doordee-
45 .v —13x7 ling, plaats hebben.
— 45 —■
45
Vierde voorbeeld. Q. 702. A.)
3 • in • I3f Ij 20 8
M 1-37 3 X 37 = iii
3 x = 20 x 8 = 160 x = 'f* -
Vijfde voorbeeld. (§. 702. B._)
•7 a . 16 j j . 54 39
* I I •56 . 8
2 * = 39
* == v = ipf.
Zes-



j6 RE GEL VAN DUIECN.
Zesde voorbeeld. (§. 702. D.)
4 -35 I — I -*7k 69 3 x j 1 - 35
ax = 69 x 3 = 207 * =T = 5ih . Zevende voorbeeld. (§. 702. E.)
• 8 . if 1 _ 1 . 64 . 8 4 5 .2 x I — I . ~\ 15
•r =4x5x15 = 20x15 = 300, Acbtftc voorbeeld. ( §. 702. F. )
U .17 I — I « 5i 3
5 * | ~~ I • 5«f • 292 73
5.v = 3x73 = 219 * = »T' = 43|.
Negende voorbeeld. ( §. 702. G. }
5 . 11 . 132 . i8« I _ | . i6| • 84 • 7* 7 .7 x I I - i4i . 99 9
5 x =7x9 = 63
X = 6j3 = I2|.
§. 710. M. Volmaakt wel, — Ik zal 'er nu nog een vierde eigenfchap bijvoegen: te weeten, dnt men ten allen tijde
éénen uiterften, of eenen middenften term, met eene grootheid, of getal, naar welgevallen , kan vermenigvuldigen, of deelen,
zon-



REGEL VAN DRIEËN. 77
zonder de evenreedigheid daar door te flooren, mids dat men omgekeerd, den anderen uiterften, of middenften, met dat zelve getal wederom deele, of vermenigvaldige.
Bij voorbeeld, hebbende
9 : 35 = | : 2i dan is ook 9 : 5 — 4 ; 2I en even zo is 1 : 5 = 4 : 20
Ik heb hier, naamlijk, eerst den eenen middenften term, met 7 vermenigvuldigd, en den anderen, 35, door 7 gedeeld. — Voorts heb ik den uiterften, 2 =, met 9 vermenigvuldigd, en den auderen uiterften door 9 gedeeld; en Gij zult bij onderzoek vinden, dat de vier daar uit ontitaaude termen in alle gevallen evenreedig blijven.
§. 711. L. Deeze eigenfchap komt mij voor wederom Hechts een onmiddelijk gevolg van de eerfte (§. 606.) te zijn, Meester! wantdoor op deeze wijze te bandelen, zal her produel der middenfte en uiterfte termen toch altijd onderlinogelijk blijven; naardien men den eenen term altijd even veel vergroot, als men den anderen verkleint.
3. 712. M. Niets anders. — Een product, uit twee factoren beftaande, zal het zelve blijven hoe men die factoren ook verandere, door den eenen met het zelve getal te vermenigvuldigen , waardoor men den anderen deelt. —• Zo is bij voorb. 3x20=6x10 = 12x5 = 4x15= 2'XJ enz. = 60. J
§. 713. L. Geeven deeze eigenfehappen nu geene aanleiding tot het oplosfen van vraagftukken



78 REGEL VAN DRIEËN.
ken uit den zogenaamdcn Regel van Drieën in het gebroken?
§ 714. /!ƒ. Zij geeven het middel aan de hand um zich gemaklijk van alle gebrokens te ontdoen, welke in eene meetkundige verhouding, of regel van drieën mogten voorkomen, ('§. 700 en 703. j cn in zo ver moet ik uwe vraag met ja beantwoorden; dan ik vertrouw dat gij zeer wel begrijpt, dar'er flechts eenerleij regel van drieën is, welke zo wel voor breuken , als voor geheele getalen dient, en dat eene dergelijke onderfcheiding, als die tusfehen eenen gewonen of platten regel van drieën, en eenen regel van drieën in het gebroken, niet alleen overtollig en verkeerd, maar zelvs fchadefijk is: om dat een leerling daar door in den waan gebragt wordt, dat de laatlle eenen bijzonderen en van den eerflen onderfchciden regel uitmaakt, en dus dingen leert fcheiden, welke niet behooren , of liever, welke niet kunnen gefcheiden worden.
f. 715. L. Verkiest gij mij dan niet eenige voorbeelden ter oelfening, uit den koophandel , of van elders ontleend , op te geeven ? Meester!
§. 716. M. Het is mijn oogmerk; doch al wederom onder die voorwaarde, dat Gij ieder voordel op twee verfchillende wijzen oplost: te weeten, eerst langs den thands aaugeweezenen weg, (van §. 694 tot § 710.) laatende de breuken in haare natuurlijke gedaante; en vervolgens , doot alle voorkomende natuurlijke breuken eerst in tientallige te verwisfelen, en daar mede de verdere bewerking te verrichten.
§. 717. L. Wilt Gij dan ook dat ik Huivers en penningen, fehellingen en grooten, enz. tot
tien-



REGEL VAN DRIECN, 7-9
tiende, honderdfte, en duizendftë deelen van euldens en ponden, enz. zal maaken? b
§. 71,8. M. In Engeland, en 'elders, waar men zich in den koophandel ook dikwijls van tientallige breuken bedient, is men gewoon om van alle dergelijke onderdeden, ais ftuivers en penningen, fchellingen en grooten, oneen, maanden en dagen enz. tafeltjes te vervaardigen, waar uit men dan ogenblikhfk de waarde van eenige dergelijke onderdeden in tientallige breuken kan overbrengen, en waar door zelvs de meest voorkomende fpoedig, zonder eenige moeite in het geheugen worden ingeprent. . $. 719. Ik zal U hier eenige zodaanige tafeltjes opgeeven, cn wel eerst eene verffeliikinetusfehen guldens of ponden flaamseh, en ih i yers of fchellingen, welke beide tvvinriefte deelen der hoofd-munten zijnde, dus ook door de zelve tientallige; breuken zullen moeten worden uitgedrukt. - Zo ook tusfehen ftuivers en oen nmgen , en tusfehen ponden gewigts en oneen naardien deeze wederom beide zestiende en dnl gelijke deelen hunner oorfprongelijke eenheeden
Siuiv.



g0 REGEL VAN DRIEè'N.
Stuiv. Gulden Penn. Stuivers.
of of of of
f? <£• Oneen. ffi-
Maan-
1. 0,05
2. 0,1
3. 0,15
4. 052
5. o,25
6. 0,3
7. 0,35
8. °?4
9. 0,45 .10. = 0,5
11. 0,55
ia- 0,6
13. 0,65 34. 0,7
15. 0,75
16. 0.8
17. 0,85
18. 0,9
19. I 1 °,9S
1. 0,0625
2. 0,125
3. 0,1875
4. 0,25
5. 0,3125
6. 0,375
7. 0,4375
8. = 0,5
9. 0,5625
10. 0,625
11. 0,6875
12. 0,75
13. 0,8125
14. 0,875 15' 0-.9375
Deeze beide tafeltjes behelzen dan niets dan twintigfte deelen en zestiende deelen , in tientallige breuken overgebragt.
k 720. Zie hier voorts een tafeltje van twaalfte deelen, bet welk voor fchellingen en grooten, voov Rhijnlandfche voeten en duimen , voor jaa"en ei)imaanden, enz. gelijklijk zal kunnen dienen*



REGEL VAN D R i E ë N," Si
Maanden, Jaaren, Men bemerkt wel
-ofT' Zrt f°t!d7eem's? °pzet!
T i „ y> ],]kc herinnering, dat
1. °'°|333enz. dergelijke tafeltjes,
2. o,ióó6óenz. met alleen voor " die 1 °'25 getalen zelve, maar
4- 0,33333 enz. even zeer voor de
5- 0,4x666 euz. JfciM, dier getalen °'5 toereikende zijn. _
l' °»5o333enz. Immers is i=_s_" »—r
8. } o,66666 enz. = ? s 32_ö j
°-1 °-75 i=~i~-s_ v_.?f'
10- 0,83333 enz. en zo in 'alle andere
11- I o,9i6oóenz. gevallen.
S- 721. De twee volgende tafeltjes zijn gefchikt om penningen terftond in tientallige deelen van guldens en grooten in tientallige0 deelen van llaamfche ponden over te brengen. Penn. Gulden. fy, ^
1. 0,003135 ï,', 0,004166 enz.
2. 0,00625 2. 0,008333 enz'. 3- 0,009375 3.1 0,012,
*• °'0I2| 4- I | 0,016606 enz.
5- 0,015625 5. | ! 0,020833 enz.
6. o,oi875 6. | = |oo25
fi _ °'02i875 7- 1 I 0,029166 enz.
| h oSL5 98:| ~g.-
f°- 0,03,25 10. f f 0,041666 enz.
°c^75 M"l 1^45833 enz.
Iq ™?7i< Het eerfte deezer tafeltje*
14.' o'oT-2/ "evat dns2o^I6,of3aïï
,c n o.P» J eil'iktatfte2ox i2ofa4ofte
■jT '" t'°-}««75 deelen vau eenheeden,
ii. DEEL. f C 722/



32 REGEL VAN DRIEÜN.
K. 722. Eindelijk bevat de onderftaandetafel «osftc deelen van eenheeden, cn is dus gefchikt om dagen in tientallige deelen van een jaar uit te drukken.
Dagen. Jaar. Dagen Jaar. I ó,oC27 16. 0,0438
2. 0,0055 »7« °>°*66
o. 0,0082 18. 0,0493
4. 0,011 19- °'°5»
%. 00137 20- °'°548
6. 0,0164 «■ °'0f*
7. 0,0192 22- = °'°^°3
8. = 0,0219 *3- 0'0J3
9. 0,0247 24- o»o6j8
10. 00274 2§< °'°685
11. 0,0301 26. 0,0712 ia. 0,0328 27- , °'°74 13 0,0356 2M °'°?67
14. 0^383 »9;l 0,0795
15. J 10,0411 Alles na genoeg.
Meer tafeltjes zal ik U niet geeven, zo gij'er meer verlanat, kunt gij die zelv vervaardigen. tSl Ik heb, zo Gii mij de bedenking wilt'veroorloven, Meester! veel vermoeden, dat deeze handelwijze langwijliger, en minder naauwkeurig zal zijn, dan de reeds te vooren onderweezene ; te wecten, in die gevallen, waar m de onderdeeien niet naauwkeurig. in eene tientallige rij worden uitgedrukt, gelijk 111 eenige derejgegeevcne tafelen (§• 7*° , 721-tweede tatel, en7a».) plaats heeft. ., TT
S 704 11. Op die bedenking moet ik U verfcheiriene aanmerkingen maaken; en wel wat de langwijÜgbeid aanbelangt. ^ Djt



REGEL VAN DRlEëN. 83
J?vSnn cC3? gCVal,en iets Ia»S-
gelijksch keven, £^fnfaïÜÏSï^ dei, voorkomen: naw^n Z i T 1J ren han" t» oefening in fc^U™ opgèértt"
daadlijk gebruik te ",s tmen 00,1 «et
verre „icr heb mede™ eS ' 'k " tM ',us
meer tp ,wr,„ .t>'-l-vt-3 uau wei om U meer en Sa 1 geteuker SSS •'"'F11 °mS^
treft dZzetfï •■VaC de'nauwkeurigheid be1 2 in



8+ REGEL VAN D R I E ë N.
in aanmerking komen.; of ten besten niet verder, daS men al wat onder de 3 penningen is verwaaflooze, en voor al wat 'er boven loopt, de vnluï-nde ftuiver vol neeme- . ,.
£ SlSrik bid U, Meester! welke is die ktLgtóp, waar van Gij (§. 7*4, 3-) ™ldl»S
raa€aUt7e26 /!ƒ. Een voorbeeld zal o,375
U dit best doen begrijpen. — Hier 0,230
nevens heb ik duizendfte deelen
met duizendfte deelen te vermenig- 4»
vuldigen. - Deeze zouden nul- i«
lioenfte deelen in hjcx-produt* gee- 7aQ
ven C €. 160.) — Zo nu het ge- —
v V™ mede ik te doen heb 0,0879
geenc naauwkeurigheid tot in mil- of o,o8.1
lioenile deelen vereischt, maar dat
duizendfte , of uiterlijk ticn4«ize"dlte de? en '?
„e^S'toereikende zijn
flec£s alleen die g^Jf^ng ^gÈSdfl!
vermenigvuldigen, wül^ teVtonvol?ende, welke
ET» ik ^t^^USS ffi',
^«
lede 5 duizendfte deelen, van 0,375»'^ VY^_ oosdfen aanftonds honderdi e ^-^g^u



REGEL VAM DRIEëN.
Het zal hoop ik, onnoodig zijn aan te rr^r
met honderdje deelen vermeiti^vuldiffd ,.,„)' tienduizendde deelen geeven S ö gd' Ceds §• 728. i)/. Neen zeker, _ Honderdlre ife» len geeven met honderdfte deelSiTeSevul" d gd jendmzendfte deelen; maar zij S i et
Se deelen uit d/r f d°°r di **KE
wo'rd^^
proauct bepaalt, geene te verliezen, fi&tt ,het ^ProduSi dier beide verwaari^oVrnJf °, r" Romend met len vó^ens gnn7n k einereda» tienduizendfte deeEwcFvr cT derwijze; en eindelijk dat,
uwe meening. ^fa£toren verwaarloost, naar F 3 o,3r5



86 REGEL VAN DRIEËN.
0,375 0,375 0,37
0,236 0,236 0,2 3
I250 18 ' in 1125 in 74 75b 75° '
, i: , 0,0851
0,088500 0,08-9
o.cooö 0,0034
0,0885 ===== 0,0885
Het blijkt dat 'er naar mijne handelwijze Hechts 6 tiendiuzendlle deelen aan liet waare product ontbreeken, terwijl'er naar uwe meening 34 zulke deelen aan tc knrt zouden komen. V
« 729. L. Ik erken mijne dwaaling, Meester! en zie de bekorting, welke deeze handelwijze in de bewerkingen te'wege moet brengen; dan zij vereischt nog al eenige oplettendheid 111 de vermenigvuldiging, om zich niette verwarren.
§. 730. M. Zo Gij denkt dat Gij minder gevaar zult loópen, om met 0,375 de vermenigvuldiging in de war te 632,0 geraaken, wanneer gij de kunstgreep nog een weinig verder voortzet, ik 750 heb 'er niets tegen. nJ Gij hebt dan Hechts den eenen tb
factor verkeerd onder den anderen te
'Hellen, gelijk bier ter zijde, en dan 0,0879 telkens uwe vermenigvuldiging te beginnen met die getalletter, welke onmiddellijk: boven uwen vermenigvuldiger ftaat,-zo als gij m het voorbeeld zien kunt, en dan kan 'er ten minften geene verwarring plaats hebben.
S' 73**



regel VAN drieën. g7
$. 73i. L- Eene zonderlinge handelwijze in «ie oaad. — Ik verlang haar eens tegen eene andere te toetzen, zo wel ten opzichte der kortheid, ais oer naauwkeurigheid.
§. 732. M. Beantwoord mij dan de volgende vraag langs den gewoonen weg, en ik zal U die eens met tientallige breuken oplosfen.
Wat zullen 538 ffi, 11J- oneen kosten, ais men voor 3 ffi, 7i onc. betaalt ƒ 7 - 15 . 13?
§• 733- L' Zie hier dan de bewerking met gewoone breuken, en onderdeden van ponden en giddens, Meester» zo als Gij mij die opgegeeven
ffi. Onc. ffi Onc. ƒ ft. penn
3 - 7| : 538 * ii|= 7-15 - 13 sx 10 16 20
55| 861pi 155
■ U JÉ .
321 : 34478 —= 2493 penn. : x 2493
103434 31030a 13791a 68956
*2i / 85953654 / 388930 U* Penn. 663. 16/
2430:8 ftuiv.2i|f penn. ^96 , —_l
1JÖ8 ƒ I2I5 „ 8 „ 2-4 = J£
enz.
F* §.734.



g8 REGEL VAN DRIEeN.
§ 734. M. Zit hier nu eerst eene zeer uitvoerige uitwerking tnet tientallige breuken, ten einde ü omtrent "het gebruik der voorige tafeltjes (§. 719 en 7210 volkomen te onderrichten.
« 1 n - f
«3=3 'fg 535=53» / 7=7 onc. 7~3>4375 jonc. 11— 0,687; ft. 0,75 *—0,0156251— i— 0,03125 pen.i;—5,0406
© 3,453125 : ffi538,7i3rs == ƒ 7>79°6 6097,7 :Jr
377103125 377103125 48484683 323226
3,453125 / 4196,942284//I2i5,4°4i
3453 125... 0,4 —8 ft.
7438172 . . 0,0041 om-
6906250.. trent = lipen.
5319228. 3453125.
18661034 17265625
enz,
Gii ziet buiten twijffel duidlijk hoe ik de waardijenvoorde oneen, ftuivers, en penn. uit de tafeltjes genomen hebbe.— Dat ik de waarde van i en \ once verkreegen hebbe, door de waarde van 1 once met 2 en 4 te deelen, zal in het oog loopen.
jPat ik, bij de vermenigvuldiging met 7 geheeld!,



REGEL VAN DR I E è' N. 89
Ien, een getalmerk heb moeten te rug fpringen is ook klaar , naardien 7 geheelen een tienmaal grooter producï dan 7 tiende deelen geeven.
Voorts maaken, in den uitkomst, 4 tiende deelen van guldens 4 dubbeltjes, of 8 ftuivers — Deeze heb ik afgetrokken, en dan fchieten 'er nog 0,0041 deelen vatl guldens over, welke volgens de tafel ( §. tn«fehen de 1 en 2 penningen, of na genoeg ii penning geeven; zo dat Ut ruim een penning minder, ten antwoord kriige, dan gij boven C§. 732.) op de allernaauwkeunglte wijze gevonden hebt, het wdk aan de verwaarloozmg der kkinere üentallige deelen, bii de vermenigvuldiging, te wijten is.
§• 735- L. Uwe oplosfing is hier echter merklijk langwijliger dan de mijne, ( §. 733.; Meester^ en dan nog niet volftrekt naauwkeurig.
§. 736. M. Ik beken het gaarn, en 'herhaal dat ik U dergelijke gevallen alleen ter oefiFenin" met tientallige breuken wil laaten opiosfen; zonder dat ik U wil aanraaden om U iu foortgelijke vooritellen bij voorkeur van de tientallige reekening te bedienen. — Echter zal deeze reekening met een weinig oordeel, aanmerkïijk korter kun! nen worden opgemaakt, zonder daar door zo veel aan de naauWkeurigbeid te kort te doen, da: men het antwoord niet voor genoegzaam naauwkeurig in den daadlijken handel zoude mogen houden* JNaamhjk, ik heb uit de tafelen gevonden
ffi ffi ff
3,453125 : 538,71875 s= 7,7906 ; x (§. 734.)
Verander deeze verhouding door eene oordeelkundige vervvaaiioozing van de laatfte getalmerken 111 de volgende
F 5 fS



gO REGEL VAN DRIEËN.
ffi « ƒ
3,453 5 53^,72 = 7,79 * 7,79
484848 377104 377104
3,453 / 4196,6288 //i2i5,4ten naasten. 3453 • of/1215 - 8 * —
743ö 6906
enz.
Hier bekomt men nu in de daad penn. te
weinig (J. 733.) dat is, ruim een duit, welke zekerlijk op eene fom van ƒ 1215 >u!>- niet in aanmerking komt; en de reekening is nu reeds korter, dan langs den gewoonen weg.
§. 737. L. Ik zie dat, Meester! doch meen 'er telFens op te mogen aanmerken :
1. Dat het naauwlijks van een leerling te vergen is, dat bij de breuken in alle gevallen met genoegzaam oordeel inkorte.
2. Dat alle breuken niet, met zo eene geringe verandering van waarde, zo fterk ingekort kunnen worden, als die, welke zich bij toeval in dit vooritel opdoen.
§. 738. M, Zie hier dan een ander voorftel, het welk zich met meer voordeel door tientallige breuken laat oplosfen, gelijk bij vergelijking met de oplosfmg langs den gewoonen weg blijken zal, en het welk in de daad van dien aart is, van welken zij dagelijks in den handel voorkomen.
Als



REGEL VAN DRIEËN. f)i
Als i ffi ƒo tf 7«; 3 kost,wat kosten dan 36 ffi en 12 onc. Langs den gewonnen weg. Met timtall. breuk, voluit
1 ffi ffi onc ƒ lt p. ffi ffi ƒ f'
1:36, 12 = a,7,8:* 1:36,75=2,375;*
'—77~ 20 ~ 2-37S 4 36| - J$ ££
47 18-,75
147 _/2 25725
J! 951 1 025
735
J--3 87,28125
13965 af 0,25 = 5 ftuW.
4/~a o,o3l25=ÏOpenn.
2/ j Komtvolmaaktlijk,'cn mctmin-
174I5Ê ftlliv. der m°eite dan langs den ge-
——-!■ 8 I woonen weg
ƒ87 *5* 10. I fs7; 5 *, 10.
Zie hier het zelve voorftel nog eens met bovengemelde kunstgreep een weinig minder naauwkeurig opgelost. ( §. 726.)
ffi ffi ff
Hier worden nu 1 : 36,75 = 2,375 : x nog minder getal- 573,2
merken tot de op- < ,
losfing gebeezigd, 7350 en echter verfchilt 11025 de uitkomst flechts 2569
2 penningen, of eene 180
eenige duit van de
w'iare. ƒ87,274
Zo ziet Gi| dan, af 0,25 = 5 ftuivers.
gelijk ik reeds boven
(§. 724.1.) gezegd ' ©,024 = 8 penningen, heb s dat deeze hau- ten naasten bij.
del-



gS REGEL VAN DRIEËN.
delwijze , in zommige gevallen, zelvs korter dan de gewoone kan zijn.
$. 739. Bij de oplosfing van het volgend vraagftuk op beide wijzen , zal het nog klaarer blijken.
Zo men tot onderhoud van een fcbeeps page, in een jaar, noodig beeft ƒ 7563 » 13 » hoe veel zal die equipagie dan kosten in 2 jaaren , 3 maanden, en 19 dagen ?
Langs den gewoonen weg.
Jaar J. M. Dagen ƒ ft. ƒ 1 : 2 =. 3 . 19 = 7563 - 13 : x 12 20
27 i5i273 • 30 829
, 360 : 829 1361457 302546 1210184
360/ 125405317/34834(8 ftuiv.
10S0.. 1
ƒ 17417 = 8 « en eenige
1740. penningen.
1440.
3°°5 »88o
enz.
Met



REGEL VAN D R I E ë Nt 93
Met tientallige breuken, uit de tafeltjes C$.719 en 722.) genomen.
Jaar. Jaaren 2 = 2
Maand. 3=0,25 ƒ 7,-63
Dagen. 19 = 0,0521 St. 13 = 0,65
Jaar 1 : 2,3021 = ƒ 7563,65 : 3;
1512730
Komt ƒ17412 « 5 en 3269095 na genoeg 9 penningen. 15126" 75Ó
ƒ mis-^77
Gij moet U niet verwonderen dat dit antwoord over de ƒ 5 * — van het voorige verfchilt. — De reeden is in geene onnaauwkeurigheid geleegen, maar daar in , dat de dagen, langs den gewoonen weg, tegen 30 in eene maand, en 12. maanden in een jaar gereekend, op 36ofte deelen van een jaar, uitkomen, en dat ik de dagen in het tafeltje, (§. 722.) waar uit ik de 19 dagen genomen heb, op 36511e deelen bereekend heb.
§. 740. lk zal 'er het volgend voorftel nog bij voegen, ten blijke dat men zomtijds, met tienrallige breuken werkende, gebruik kan maaken van her laatfte gedeelte onzer derde eigenfchap, ( §• 694 en 704.) fbhoon zulks langs den gewoonen weg met geen voordeel gefchieden kunne.
Ik vraag dan wat 17* tonnen boter zullen kosten , tegen ƒ 28 » 10. het vierendeel:dat is, 1 ton? .
Men moet hier ondertusfehen wel zorgvuldig op
de



£4. REGEL VAN DRIEËN.
de regelen der tientallige dceling (§. 300.) letten, ten einde geenen groven misdag te begaan.
Op de gewoone wijze.
Ton Tonn. , ƒ ft. ƒ x : I7f .= 28 - 10 : x
1 /8 =77=
a : 141 = 2<sï : x
_/2
4 : 141 = 57
57
9S7 7o5
4/8037/ /2oo9i cf/2oo9 . 5 ilfe^ tientallige breuken.
Ton. Tonn. ƒ ƒ 0,25 : 17,625 = 28,5 : x
0,25/ ■ 7o,5
1 : 70,5
1425
1995
Komt ƒ2009,25 of/20o9«5* —
§. 741. L. Ik dank U zeer voor uwe onderrichting, Meester! — Ik heb het/voordeelige van deeze handelwijze in zommige gevallen, overvloedig gezien. Geev mij zo veele vraagen op, als Gij goed vindt, ik zal die alle, naar uwe gemaakte voorwaarde, (§. 716.) op tweeërlcije wijze trachten te beantwoorden.
S- 742-



REGEL VAN DRIEËN. g$
M\'lk zaI 'er u eenige opgeeven, en zo Gy lust hebt om 'er meer uit te werken zult gij in de gewoone reekenboeken genoegza'amerf voorraad aantreffen. ö nca
fmA', A!s lt el, H ftuiv. 12 penn. kost, wat kos. ten dan 36^ ellen ?
B. Wat zullen 45| ellen kosten, tegen 5f jjde elle ?
C. Hoe veel zal men voor ia' ffi moeten betaalen, als het ffi ƒ 1 * 31. k04sts
D. Wat zal het beloop'van 3 ffi, 61 oneen zijn, tegen 7J guld. het ffi? J »
E. Het last rogge tegen 86 goud-guld. I2 ftuiv. en 8 penn. gereekend zijnde, wat zal men moeten betaalen voor 12 last, Sf, mudden?
F. Hoe veel zullen 22 mudd.ai| fchepel tarwe beloopen, tegen 105 goud-guldens het Last?
G. Als men een last graan voor 27 goud - o-uid 12 ftuivers koopt, op hoe veel komt dan het fchepel te ftaan ?
H. 37I ellen laken op eene verkooping voor ƒ127 ingekocht zijnde, tegen hoe veel betaalt men de elle?
I. Een lap taf voor ƒ 12.8«- ingekocht zijnde en nog 8f ellen lang bevonden wordende, op hoe veel komt dan de elle ? e
K. Een vat koopwaaren voor ƒ 95 . 15 = . o-e. kocht zijnde, en bevonden wordende 659 ffiöte weegen, hoe veel kost dan het ffi?
L. Als men 50 goud-guld. voor een last betaalen moet, wat zal dan het kop kosten?
M. Wat zal, tegen den laatst voorgaanden inkoop, de 7J kop kosten ?
N. Als het pint wijn af ftuiv. moet kosten, hoe veel ankers, floopen,. en pinten zal men dan kunnen koopeu voor ƒioco ?
O. Eet



rjö REGEL VAN DRIEËN.
O Het oxhoofd wijn tegen ƒ55 - 1= * 8 gereekend zijnde , hoe hoog zal het Amfterdamlche mingelen komen te ftaan ?
PT Hoe veel kosten 34 pinten oh] , tegen f josl het aam ? , A
Q Wat kost de Brabandfche el, als de Am.
fterdaroiche f - - 3 - *\ ko:st?rl , , .
11. Wat kost de Amllerdamfche el, legen 17I ftuivers de Brabandfche?
S Zo de Rhijnlandlche duim hout in lengte 3 dOiten kostte, wat' zoude men voor een ftukhout dat 14. voeten 0 duimen lang was, moeten .betaalen *
T Wat zoude de Amfterdamlche duim lengte van'hout moeten kosten, tegen 1 ftuiv. ï£ penn.
, *V? Als het ffi Amfterdamsch ƒ 3 => 12« = kost, wat kost dan het ffi Troijesch?
W. Wat zal het ffi Amfterdamsch kosten, tezen ^4 ftuivers bet ffi Brabandsch?
X. Als een (chip-pond vlas 8 JL en 14 fi kost, hoe veel lijs-ponden en ponden zal ik dan kunnen kopen voor een Rijder?
Y Als een mark goud ƒ 320 .10-- kost, wat zal men dan moeten betaalen voor 3 lood, 7 eng. 00 aazen ?
~ 7 Wat zal iemand 's1 daags moeten winnen ,
onT's jaars ƒ 785 te verteeren, zonder zich
te verarmen?
§. 743. L. Wilt gij mij nog meer vraagen op{reeven V Meester! . , , rn
§. 744. M. Eenige weinige om uw oordeel te toetzen , en op te feherpen.
A. Als men 4 baaien koopwaaren ontvangt, weegende een dier baaien 5" ffi, eene andere 375 ffi, eene derde 406 ffi, en de vierde 23718,



REGEL VAN D R I E è' N. 07
wat zal men voor die partij moeten betaalen, tegen 6£ ftuiv. het fg? » B. Wat zal men voor 3 Hukken linnen moe-
d%een84Hü^|Ts?nder 571 dlcn'cn hec
. § 745- Het is klaar dat men, in zodaanige gevallen, vooraf de ponden, of ellen zal
£neopftelkm t6llen' " dM r6gd TOn d"eöa
behandelenf ' 006 Z°Udt Gij de V°,gende vraaSen
A Als een ftuk laken van 50 ellen , wit 17 s 7 S, 8 $ kost, en men i7| ft. van de el, om te verwen , moet geeven, hóe duur zal dan d« el in hol'andsch geld te ftaan komen, als men het geyerwd zijnde , 46| ellen lang'bevindt?
H. Zo men van liet voorig ftuk laken flechts 15? van verwen, voor ieder el, had behoeven te bctaalen, en dat het niet meer dan ii dien in de verw gekrompen ware, op hoe veel4zoude de ei ais dan komen te ftaan ?
§• 747- L. Ik zoude eerst moeten uitreekenen hoe veel het geheele ftuk , in ieder geval, van verwen kostte, en deeze kosten zoude ik bi? den inkoops prijs bij voegen, en daar na uit de behoudene lengte, na het verwen, de prijs voor eene enkele el zoeken. - Deeze vraagen vereilchen dus ieder twee regels van drieën.
f. 748. M. Zeer wel. — Wat dunkt U van de volgende ?
Praag. Gefield zijnde dat een burger te Amiterdam zijn eigen huis bewoone , en dat hem dat mus / 12675 gekost hebbe; dat het hem nog s wars aan onderhoud, het eene jaar min het anDEEL- G dere



REGEL VAN DRIEËN.
dere meer, ƒ 125 koste; dat hij nog jaarlijks aan lasten en allerleije onkosten ƒ 87 - 12 - 8 betaalen moete. — Dat hij vervolgens reekene dat hij 12 ten honderd: dat is, met iedere ƒ ioo---» in het jaar ƒ12 -.-« winnen kan, in zijn bednjt; doch dat hij de kelder, die 'er onder is, voor ƒ 135 in het jaar verhuure ; dat hij daarenboven twee bovenkamers verhuure voor ƒ275 in het jaar; en dat hem zijne zolders ƒ i8| in de maand aan pakhuis-huur belpaaren; hoeveel zal die man kunnen reekenen dat hij weeklijks verwoont i
<S 749. L. Mij dunkt dat de vraag , wegens den omflag, veel moeijlijker fchijnt , dan zij in de daad is: want, ik heb flechts uit te reekenen, hoe veel hem de koopprijs , tegen 12 ten honderd , 's jaarlijks zoude kunnen opbrengen; daar bii moet ik voegen de kosten van onderhoud, en lasten. Voorts moet ik uitreekenen hoe veel hij 's jaars aan pakhuis-huur uitwint, en daar bij voegen de huur van de kamers, en de kelder. Deeze laatfte fom dan van de eerfte afgetrokken ziinde, en het overfchot door 52, het getal van weeken in een jaar, gedeeld, zal mij het antwoord
S£?e75o. M. Volmaakt wel. — Hoe zoudt Gij de zaak aanvatten , zo men U vraagen van den volgenden aart voorflelde?
A. Een Haiïngkooper ontvangt 8 lasten liaring, waar onder 33 tonnen wrak bevonden worden. Als hij dan 3 wrakke, of befchaadigde, voor, a goede betaalt; en het gezonde last hem ƒ 76 -10 kosten moet, wat zal hij dan voor deeze bezending moeten betaalen? fi ,
B. Gefield zijnde dat 'er onder deeze 8 lasten (§. 750. A.) verfchillende trappen va£^



REGEL VAN DRIEëN. Cjg
fchaadiging gevonden wierden, zo dat 'er 20 ton nen onder waren, welken de kooprrntafn^ Z~ ger wilde ontvangen, dan de 5 van deeze ton.Z tegen 4 goeden; 16 anderen, welke Êffi ger konde aanneemen dan 1 tegen r* en „n° ° meer befchaadigden, van wedken'nijVechts \ Ste! gen 2 betaalen wilde; wat zoude ai dan be? bel loop^n die 8 lasten zijn, tegen den pj? t
C. indien de afzender van den haring evenwel me deeze fchlkkihg ( J. 750. B.) niet te vSèdfe was paar niet den ontvanger overeen kwam dat hij alles voor goed zoude houden, maar «L' lo ten honderd op de betaaling kórten hol
veel zoude de koopman als dan moeten betia!
len, an hoe veel zoude dit verfchillen met het voo-
nae.
sJ*' 75l'„L- Ik zaI U °P de tweede vnaoC§- 75o. B.) als de ingewikkelde, eerst Sn? woorden , Meester! Hieris het klaar, datik eeïs ' ?o tonnen van de 8 lasten moet aftrekken, en die m reeden van 5 tot 4 verminderen; van het overfchotmoe ik nog ,6 tonnen aftrekken; welken k m reeden van 4 tot 3 verminderen moet • en van het dan overblijven! nog 3 tonnen, welken g reeden van 3 tor « verminderd moeten worden _ Deeze verminderde tonnen dan alle met de noe oyergebleevene onbefchaadigde tonnen opgete geeven mij dat getal tonnen, welken^tegen T °' 75o. A ) het last bereekend Voor 0m de vraa^ tü beantwoorden
nis 1, de,I"de/™gCC.) moet alles vooraf als goed bereekend worden, en het beloop 10
worSe-T hndei'd' .°feen t;ende deel, vermS de d woiden. Deeze uitkomst dan met dien van de
G. 2 twee-



IOO REGEL, VAN D R ï E ë N»
tweede vraag CB. ) vergeleeken , of deeze twee uitkomften van eikanderen afgetrokken zijnde, zullen het tweede deel deezer vraag beantwoorden.
«. 752. M. Hc heb 'er niets bij te voegen. — Gij begrijpt, hoop ik, door deeze laatfte vraagen zeer wel, dat men honderden van dien aart op kan geeven, die allen meer of min ingewikkeld zijn, zonder dat men evenwel alle mogelijke gevallen zoude uitgeput hebben. — Een Reekenaar moet dan allereerst trachten de voorgeftelde vraag wèl te begrijpen , zonder dat is het onmogelijk dat hij die naar behooreu beantwoorde, en dan zijn oordeel gebruiken, gelijk Gij doet, naardien het iu deezen alleen op het oordeel aankomt, daar toch alle reekenkundige bewerkingen de zelve blijven , en flechts in vermeerdering of vermindering beftaan, ( §. 91.) het zij dan dat die vermeerdering of vermindering volftrekthjk , dan wel in zekere verhouding plaats hebbe. — De aart en eigenfchappen der getalen dan onderweezen, de regelen volgens welke zij vermeerderd of verminderd" kunnen worden daar uit afgeleid, en de betrekkingen welke zij op eikanderen hebben duidlrjk ontvouwd, benevens de daar wederom uit voortvloeijende regelen voorgedraagen zijnde, kan een Reekenmeester niet meer doen, dan zijnen leerling het geleerde op eenige verzonnene gevallen , doch die werklijk in het.gemeene leeven kunnen plaats hebben, te laaten toepasfen, ten einde 'er hem daar door het nuttig gebruik van te toonen, en zijn oordeel, waar aan vervolgens alles overgelaaten moet worden, te oeftenen en op te fcherpen.
§. 753. L. Maar men vindt in de gewoone reekenboefcen nog- zo veele regelen, na den regel ran drieën, Meester! S' 754-



REGEL VAN DRIE è' N, Ï0I
toepasfing van den regel van drieën, op deeze of geene bijzondere gevallen , in het gemeene leeven Joch wel voornaamlijk in den koophandel S hlks voorkomende; of zij beftaan in zekere wifzigingen, of ook ,n zekere zamenftetüng, of ffi. hng van deezen zeiven regel van drieën, - Z% met U over tót eene ö
NADERE TOEPASSING VAN DEN REGEL VAN DlUEb'.
S- 755- L. Deeze zal dan , naar ik mij voorkei, nog al eenige van die vcrfchillende reekeningen, me de gewoone reekenboeken, moeten bevatten. ' "ul-'-'-u uc
S- 756. M. Het getal derzelven is onbepaald. JJe eene fchnjver maakt meer, de andere minder bijzondere reekenmgen. - Men kan hier toe ondertusfehen de volgende, welke men bij deezen en geenen aantreft, brengen, als
1. Reekening van Interest.
2* " Interest op Interest.
3- ' de Agio.
4- - ■ prompte betaaling.
5- ' Provifie.
6- ~ Tarra.
7« ' ■ Rabat.
8- winst en verlies.
9' ~ ■ gezelfchap.
10- 1 • FaSlorie.
Il* r > Mangeling.
12. -—————.-Menging.
G 3 §. 757.



102 NADERE TOEPASSING VAN DEN
§. 757. L. Ik verfta de helft der benaamingen niet, Meester!
% 758 M. Verfcheidene deezer benaamingen zjjn ook'van vreemden, en wel meest van Italiaanfchen oorl'prong. — Interest, Intrest, of Intres, in liet Italiaansch Inttresfe, beteekent nut- gemn.
Niets is natuurlijker dan dat iemand, die geld heeft, daar gewin mede doe; of dat hij, van zijn "•eld aan eenen anderen opfchietende, daar voor zeker voordeel geniete , of gewin trekke: dat is, dat de geld-opneemer aan den geWlclneter zeiteren interest daar voor betaale. — Deeze interest wordt nu gemeenlijk gereekend van de 100 guldens in een jaar tijds'i dat is, men betaalt van ieder honderd guldens, alle jaaren, voor het gebruik 3,3^,4, 4i,5 guldens enz. meer ot minder naar omftandighceden, of naar dat men met den geldfchieter overeenkomt; en dat noemt men dan geld op te neemen , of geld te fchieten, tegen 3, «4 , 4 enz. ten honderd. _
\. 759. Alle vraagen welke men dan in deezen doen kan, komen, zo langde tijd, of de opgenomene fom, de zelve blijven, op eene van de twee volgende uit. 1. Als ƒ 100 zekeren interest iu een jaar geeven , hoe veel geeven dan zo veele honderden, of duizenden, als iemand aan eenen anderen opgefcbooten heeft? 2. Als ƒ 100 iu eén jaar zekeren interest geeven, hoe veel geeven die zelve ƒ 100 dan in eenige jaaren, maanden, weeken, enz.? , .
§. 760. Doch als hoofdfom: dat is, opgenomen of gefchooten geld, en tijd, beide veranderen, dau komen de vraagen dus voor. Als ƒ 100 in een jaar zekeren interest opbrengen, wat moet 'er dan van zekere andere bepaalde hoofellom,



REGEL VAN D R I E ë N. I03
in eenige jaaren, maanden, enz. betaald worden? Deeze vraagen worden gemeenlijk eenvoudig dus voorgefteld; wat beloopt de interest van zekere hoofdfom, in zekeren tijd, tegen zo veel ten honderd ? De kooplieden drukken het ten honderd gemeenlijk uit door een verbasterd latijnper cent: dat is, per centtim.
§. 761. L. In de beide eerfte gevallen (§. 759.) begrijp ik dat de oplosfing door eenen enkelen regel van drieën verricht kan worden: want, als de tijd van een jaar de zelve blijft, dan is het klaar, dat ƒ 100 zich verhoudt, tegen de geheele opgenomcne fom, gelijk de interest van f 100 zich verhoudt tot den interest van de opgenomene fom, welke men zoekt. — Of, als de ƒ 100 de zelve blijven , dan verhouden zich de interesten van die ƒ 100 tot eikanderen? gelijk de tijden, geduurendc welken die ƒ100 uitgeftaan hebben. — In het laatfte geval echter (§. 760.3 zouden twee regels van drieën noodig zijn.
§. 762. M. Wij zullen juist daarom, hier ter plaatze, van het laatfte geval niet fpreeken, maar dat tot eene andere gelecgenheid fpaaren.
Zeg mij eens (om ons nu bij de eerfte gevallen te bepaalen) boe veel de interest van ƒ 757a in een jaar bedraagen zal, tegen f 1.1 ten honderd? s j. 763. L. Zie hier de oplosfing, Meester!
G4



104 NADERE TOEPASSING VAN DEN fff f'»" f
lbo : 7572 == 3ï : * 7572 31 , 31
2271Ó of 22716
i 3786 3786
26502 ƒ 26510a
100/ 20
f26s,02^ZX ' '
16 , (20
penn. 6)40
Antw. ƒ 265 - - - 6f 100
« 764. M. Wat beloopt.de interest van ƒ100, in 2 jaaren; 5 maanden, en 7 dagen, tegen 3 ten honderd in een jaar?
§. 765.' L. De volgende oplosfing zal, denk jk, de kortfte zijn.
Jaar Jaar. Maand. Dag. ƒ ƒ 1:2 - 5 - 7 = 3 : x
2
t
6
4 maand == §• jaar . . . . 1 1 maand = J van 4 maand —5 7 dagen = J maand . . . . —r—4
Antw. ƒ7 — 6—4
§. 766. Af. Zie hier dan de volgende vraagen ter nadere oeffening. Hoe



REGEL VAN D R I E ë N. 105
Hoe veel beloopt de jaarJifkfc.be intérest van de volgende fommen gelds, tegen de daar bij opgegeevene ten honderden ?
A. Van ƒ 728 - t2 - * tegen 2§ ten honderd.
B. ƒ 1287 - 16 - 8 3 ,
d '—fA%51 f;l; ZZ 31
F ~—f \952 " ^ ' 8 ^ "
G. ƒ0435- 5 - 8 —- 51 . .
H. ƒ8342— 15 - , . 6 —
§. 767. Hoeveel brengt ieder ƒ 100 aan interest op, in de hier na genoemde tijden, tegen zo veel 's jaars, als 'er bij uitgedrukt ftaat?
A. Tegen 2 ^ ten honderd, in 3 jaar. 4maand. 12 dag.
g; ~ l*1 T—J~ l—'
§. 768. Wanneer de interest van zekere geldfom dan verfcheenen zijnde , niet betaald wordt, maar bij de hoofdfom wordt gereekend, zo dat de geld-opneemer, het volgend jaar, niet alleen voor de opgenomene fom, maar teffens voor den interest daar van, dien hij fchuldig gebleeven is, op nieuw interest betaalt, en zo vervolgens van jaar tot jaar, dan noemt men zulks interest op interest.
G 5 §. 769,



IOÓ NADERE TOEPASSING VAN DEN
§. 769. L. Om het geval gemaklijk voor te ftellen, begrijp ik dat ik op de volgende wijze zoude moeten te werk gaan, Meester ! — Onderftellende dat iemand flechts f 100, tegen ƒ 4 interest m een jaar, bad opgenomen, dan zoude hij, na verloop van een jaar, ƒ 4 aan den opfchieter voor interest moeten betaalen; of hij zoude, indien pij zijne fchuld wilde afdoen, voor de ƒ ico, die hij opgenomen had, ƒ104 moeten te rug geeven. Doch zo hij die ƒ 4 interest niet betaalde , dan zoude hij, na,verloop van a jaaren, niet alleen andermaal ƒ4 interest fchuldig zijn, en bi] gevolg, om zijne fchuld af te doen, niet alleen ƒ 108 moeten betaalen, maar nog zo veel daar boven als de interest van ƒ 4, tegen ƒ4 ten honderd in een jaar beloopt. _
De reekening zoude dan , naar mijne gedachten, aldus moeten komen te ftaan
f f f f 100 : 104 = 100 : x =; ƒ 104 ... na 1 jaar.
ff ff 100 : 104 ==104 : x 104
416 104
10816 100/ — --
ƒ 108,16 = ƒ 10S - 3 - 3f n!ua laareH*
ƒ



REGEL VAN DRIEËN. 107
fff
100 : 104 = 108,16 : x 104
43264 108 16
11248,64
100/
ƒ 112,4864=/; 12 • 9 -11 JJf na 3 jaaren.
fff f joo : 104 = 112,4864 : „v 104
449945<S 1154864
11698.5856
100/
ƒ 1*6,985856=/116-19- iif na 4 jaaren , ten naasten bij.
fff f loo : 104 = 116,985856 ; x 104
467943424 116985856
12166.52 ,024
100/ ~
ƒ I2i,66529024=/i2i -13-5 na5jaaren, na genoeg.
Op



JOS NADERE TOEPASSING VAN BEN
Op deeze wijze- voortgaande zoude men zekerlijk tot zo veele jaaren kunnen opklimmen als men wilde; dan ik belpeur onder de bewerking,dat deeze reekening zeer langwijlig zoude worden, indien men het beloop van hoofdfom en interest na een groot aantal jaaren vroeg, en teffens op eene groote naauwkeuiigheid gefield bleef.
§. 770. M. Zo langwijlig zelvs, dat het gemaklijk valle eene vraag van deezen aart op te geeven, die eens menfchen leeftijd ter oplosung zoude vorderen , langs deezen weg. — Merk derhalven hier op aan, .
1 Dat deeze rcekeningen niet dan zeldzaam voorkomen, uit hoofde dat het in weinige gevallen, of geöorlofd, of gebruikhjk zij, om interest op interest te bereekenen.
2. Dat door de gewoone reekenkunde, de uiterfte naauwkeurigheid niet kan in acht genomen worden, wanneer het getal van jaaren zeer groot wordt, wegens de ftceds, van jaar tot jaar, aangrocijcnde langwijligheid, zo als uit uw voorbeeld (§. 769.) genoegzaam blijkt. — Dat men derhalven , in zódaanige gevallen, wel genoodzaakt is iets toe te geeven. — Doch dat men dan de voorzichtigheid moet hebben van evenwel zeer weinig toe te geeven in de eerfte jaaren: om dat bet geen men in de eerfte jaaren, en wel hoe vroeger daar in , toegeeft, van den meesten invloed op het vervolg is, gelijk uit den, aart der zaak gemaklijk bezeft wordt. — Dat men, bij voorbeeld, in de eerfte jaaren flechts alleen de breuken van penningen, doch , in laatere jaaren, al wat onder de halve ltuivcr is verwaarlooze, en voor wat daar hoven is, eene geheele Huiver neeme. — Gij zult dan de hier na op te geevene
voor-



REGEL VAN D R I E ë N. I09
voorbeelden op dien voet behandelen , dat Gij tot de helft van het opgegeeven getal jaaren het eerfte, en vervolgens het tweede zult in acht neemen.
3. Dat 'er in de hoogere reekenkunde een middel voor handen is , om dergelijke vraagen, hoe moeijlijk , en voor hoe' veele jaaren, al waren bet ook duizenden, opgegeeven, in een oogenblik tijds , en met vrij groote naauwkeurigheid, op te losfen; weshalven men zich in de gewoone laage reekenkunde hier niet verder mede te moeijen hebbe.
§. 771- L. Wilt gij mij nog niet eene vraag opgeeven, Meester! om terftond naar uw voorfchrift ( §. 770. 2. ) uit te werken ?
§. 772. M. Reeken mij dan naar die wijze, en koopmans gebruik , uit, wat eene fom van ƒ 3758 ■> tegen 3 ten honderd, interest op interest, in 6 jaaren waardig zal worden.
§. 773. Z. De reekening zal dus te ftaan komen.
/3753 ■ -
103
11274 3758 _
ƒ 387o574 | 20
ftuivers 14,80 16
Penn. 12,80
Komt, na verloop van 1 jaar, na genoeg,
ƒ3870



1I0 NADERE TOEPASSING VAN DEN ƒ0870 * 14 * * 13
n686 125 39
3870 14 13
ƒ3986,86 _I5=,5 j6/^39
20 ƒ76.5 ft- 830"
ftuiv. 17,25 16
penn. 4,11
Komt, na verloop van 2 Jaaren, na genoeg,
ƒ3986 „ ' 17 " - 4 103 103 103
"12046 76 4i*
3986 17 16 L—"
, 1 ft. 25 * 12
4106,46 177.6
20 ' 1
ƒ88 -16
ftuiv. 9,36 16
penn. 5,88
Komt, na verloop van 3 Jaaren, na genoeg,
ƒ4106



REGEL VAN DRIEËN, m
f4106 * 9
I03 103
12364 92I7 4106 _J
ƒ4229,64 20
ftuiv. 12,87 16
penn. 13,92 Komt., na verloop van 4 jaaren, na genoeg,
ƒ 4229' - 13 i°3 103
12.53 39 4229 13
ƒ4356,53 13319
v20 I
. ƒ 66 * 19
ftuiv. 10,79 16
penn. 12,04 Komt, na verloop van 5 jaaren, na genoeg 9
435*



112 NADERE TOEPASSING VAN DEN
Hf* '
13124 33 4356^ ü_
f4487,24 _iüS3 Jl ƒ56-3
ftuiv. 4,93 16
penn. 14,88
Komt, na verloop van 6 ■ JW>, » genoeg, ƒ4487- 5 -antwoord.
, ,tu,rrheh dat de reekening, dus Ik merk ondertuslcjen cu ^ langef
te werk gaande , met van r entallige breuwordt, gelijk ^f^weVkt. - Dan men ken, als boven (§• 7&?'■ J vceiVan de ftrengzouae op den ^^SÏÏeezen weg, verliezen, fte naauwkeungheid tan s deez & ^ ^
§. 774. ikf. Z" netnbC", bet verfchil in naauwgroot wordt opgegeeven . zal fietve^ ^ ^ ^
keurigheid geniig! z'Ui. T d de béwerking deeze handelwijze kortei zijj_ tegendeel, zo met tientallige beuken. wofdt op.
het getal jaaren> niet poot* JJ^^ het nog gegeeven, zal ^ tientaWge • v0iftrekTfte vvinnen in kortheid,, te, wijl er _____ „aauwkeurigheid M behouden » _en der
Dan daar er, als men alln£ tcn tientallige breuken wilde bcvwm eeneraaal overtollige en» den u j . ^



REGEL VAN D R I E è' N. 113
onnutte nauwkeurigheid zoude in acht genomen worden, kan men zich Hechts bij aanhoudend5,1™ vier of uiterlijk van zes, tientallige getalmetken bedienen, als wanneer de bewerkins korter, en naauvvkeuriger zal uitkomen, dan langs deezen weg. ( §. 773.)
§* 775- L. Vergun mij het één en ander te toetsen , Meester!
/3758 C§. 772.) 103
11274 3758
3870,74 na 1 jaar. 103
1161222 587074
3986,8622 na 2 jaaren. 103
119605866 39868622
4106,468066 na 3 jaaren. T03
12319404198 4106468066
4229,66210798 na 4 jaaren. .103
tt 4356*5519712194 na 5 jastfen,
H. DEEL. H J



114 NADERE TOEPASSING VAN BEK
4356,55i97i2W ™ 5 jaaren. 103
i3o696559I3<558a 435655i97i*i94
Komt/4487,24853035598a na 6 jaaren, 20
ftuiv. 4,970607119640 ïo
Penn. i5,5*97i39I4*4o e Nu zal ik dezelve reekening nog eens
de overige verwaarloozen , gelijk rnen aai g is te doen. (§. 31*., aan het einde.)
ƒ3758 (§• 77*-) 103
11274
3758 _
3870,74 na 1 jaar. 103
1161222 387074
3986,8622 na ft jaaren. 103
4106,468166 na 3 jaaren.



ft E G E L VAN DRIE è' N. jj*.
4106,4681 . . na 3 jaaren. 103
12.3194043 41064681
4229,6621 .... na 4 Jaaren. 103
126889863 42296621
4356,5520 na 5 jaaren.
103
130696560 43565520
Komt/"4487,2486 na 6 jaaren.
20
ftuiv. 4,9720
r™"- 15,5520
§• 777...Deeze bewerkingen (S. 775., 77/s \ Hebben mij geleerd ' 3 ' 77 J
1. Dat de gewoone bewerking (§. 770. 1 ze. teriijk naauwkeurig genoeg, in dit geval, is : naardien zij flechts 65 honderdfte deelen van eene penning van het volftrekt naauwkeurig antwoord VS- 775.) verfchilt.
2. Dat echter de uitwerking (§. 775,) met behoud van alle tientallige getalmerken , in dit ge-
H i. val.



ÏIG* NADERE TOEPASSING VAN DEN
val, nog korter, en zeer veel gemaklijker is, dan de gewoone. (§. 773-) .. , . -
O Dat de laatfte handelwijze (§. 776.) aanmetkliik korter, zeer veel gemaklijker, en even! 1 veel naauwkeuriger is dan de gewoone: f77?. ) naardien de uitkomst flechts 2 hondfrdfle Velen van eene penning van den « uitkomst (§■ 775-) verfchilt. - Uit dit alles oe
^ Dat de tientallige reekening, in dergelijke, gevallen, die met onderdeelen en gewoone breuken zeer ver overtreft ; en wel zo ver, dat zij bij voorkeur boven de gewoone wijze van reekenen behoort gebruikt te worden.
5 7-8. M. Zeg mij dan, op deez*n voet vooit-aande, wat de volgende hoofdfommen, over len daar bi .gevoegd getal jaaren, en tegen zo veel ten honderd, als 'er bij uitgedrukt ftaat tnterest afinteresi gereekend ,waard zullen worden?
f St.penn. f jaaren' A> 3564— 8—i2tegenaf tenhond.'sjaars, in 5
B. 932—10— 3 — _ ,
C. 12705- f ' ' 3? — _ l*
D. 5712-18—8 4.
E. 10375— 6- t*~~Z~ U
F. 817—12-12 5 _ 7
G 7564 Sj ,. *
H. 3—J5— 8 ö iü?
s -7-0 £. Daar Gij wilt dat ik alles met tientallige'breuken zal bereekenen, en Gij hier in zommige vraagen ftuivers en penningen, beneeyirggedeeiten van jaaren, ^bt opgegeeven Meester! verzoek ik nog één voorftel onder uw opzicht te mogen uitwerken.



REGEL VAN DRIEËN. n;
[ §• 780. M. Bereeken mij dan wat iemand zal moeten betaalen, welke zedert 4| jaaren, fg«-8-ia fchuldig geweest is , tegen 6 ten honderd in een jaar, interest op interest gereekend?
§. 781. L. Om eerst te vinden wat ƒ 100 ia | jaar winnen , zeg ik
1 jaar: f jaar = ƒ 6 - x. Komt x = 4J — 4,5
Voorts neem ik ƒ Os"
de waarde der flui. ft. 8= o~,4 <X 719.) vers en penningen penn. 12= o,os7<(X7'1 }
111 tientallige breu- .
ken van guldens ƒ 902,437*:
uit de tafeltjes; f 95 »4__J
(§•719- en 721.) __
en vermenigvuldig 1009,58375 na 1 jaar.
dan , zo lang de io<5
geheelejaarenduu-
ren met 106 en 1070jI587 na2jaaren.
deel door 100. I05
Eindelijk verme- ..
nigvuldigik,Voor . 1134,3683 aa3 jaaren,
de |. jaar, nog met 106
104 , 5 deelende .
door 100 en zulks 1202,4304 na4 jaaren.
geeft mij het ant- ioa.c
woord. _
Ik heb geene 60121520
vaste wet gehou- 48097216
den in het ver- 12024304
waarloozen der — __,
achterfte getal- Komt ƒ 1256,539768 na 4» jaaren. merken, maar mij of, na genoeg, in deeze naar om- ƒ 1256 . 10 * 13 ftandigheeden gelagen. H 3 §. 7g2.



Xl8 NADERE TOEPASSING VAN DEN
« 782. Af. Gij hebt zeer wel gedaan van U in het verwaarloozen der achterfte tientallige getalmerken aan geenen vasten regel te binden; het is het kenmerk van een goed Reekenaar, dat hi] jn deezen niet flaafsch te werk gaa. — Gi] hadt hier, na de 3 jaaren, eene zeer bekwaame geleegenheid, om vier getalmerken te gelijk te verwaarloozen , en Gij hebt 'er ö met vrucht van bediend. . , ,
5. 783. Tbands moet ik O onderrichten hoe deeze reekening, van interest op interest, ook zomtiids rugwaards kan , en moet, werken.
Stel dat iemand over eenige jaaren, als over 4 jaaren, bij voorb, zékere fom gelds, laat_het ƒ1000 zijn, ontvangen moest; doch dat hij op dit ogenblik, om geld verleegen zijnde, U die ƒ 1000 aanbood , om die over 4 jaaren voor hem te ontvangen , mids dat gij hem aanftonds de waarde van die ƒ 1000 op dit ogenblik epfchoot, dan is de vraag hoe veel gij hem daar voor geeven zoudt moeten; niet alleen zonder er fchade bij te hebben , maar zo, dat gij bereekenen kondet, met uw uitgefchooten geld eene behoorlijke winst te doen, bij voorb, van 4 ten honderd 's jaars. , ,
§. 7S4. Gij voelt wel dat Gij hem daar geen ƒ 1000 voor betaalen kunt, zonder uwe eigene fchade; want, als dan zoudt gij 4 jaaren tijds van die ƒ 1000. beroofd zijnde, den interest, welken gij 'er anders mede hadt kunnen winnen, moeten derven. — Doch dit is het niet alleen: gij had daarenboven nog winst kunnen doen met den jaarlijkfchen interest van die ƒ 1000; cn wel, met den interest van het eerfte jaar, geduurende 3 jaar ren, met dien van het tweede, geduurende a,
en



REGEL VAN'DRlEëN. np
en me; dien van het derde jaar, geduurende één .njar tijds. — Gij zult 'er dan merkïijk minder dan ƒ iooo yoor moeten betaalen, zo Gij uw eigen voordcel op eene billijke wijze wilt behartigen met een weinig nadenkens zult gij beeriN pen dat gij 'er juist eene zodaanige lom voor zult kunnen en behooren te geeven, als groot genoeg is, om, in die 4 jaaren, welke 'erberoepen moeten eer gij die ƒ 1000 ontvangen kunt, tegen eenen behoorlijken interest op interest, gelijk die van 4 ten honderd 's jaars, gereekèncl / 1000 waardig te worden. '
§• 785. Het komt 'er dan op aan om eene onbekende fom 4e vinden, welke, tegen 4 ten honderd s jaars, interest op interest gèreckend iin 4 jaaren tijds, ƒ 1000 waardig kan worden. — fecnoon deeze reekening, in het algemeen, en voor een onbepaald aantal jaaren genomen , eigenlijk het onderwerp van de hoogere reekenkunde worde, zo kan men haar echter, indien de vraag «echts voor weinige jaaren wordt opgegeeven even als de voorige (van §. 768. tot 782O door de laagere reekenkunde behandelen; en wel oo volgende wijze. v
k ?i8<?,"- Daar' volge"S de hier gemaakte veronuerlteUing, (§. 783.) de/104 flechts ƒ 100 waaidigzijn, om over een jaar te ontvangen, zo ftclt men de volgende verhouding, — ƒ IO, om over een jaar te ontvangen, ftaan tot ƒ 100 gereed, of op het ogenblik te fchieten, gelijk ƒ 1000, om over een jaar te ontvangen, tot eene te vindene fom gereed; en zo vervolgens van jaar tot jaar, aldus
H 4 Cver



1ZO NADERE TOEPASSING VAN DEN
• Over Over I jaar. gereed, i jaar. gereed. 104 : 100 = 1000 : x 1000
«04 / ioaooo/ o6i,53846i53 enz- om / I?09 976.. over 1 Jaar
. .. te ontvangen,
640, 624.
160 104
560 520
enz.
Voorts . ,
Over 1 jaar. gereed. over 1 jaar. gereed. jo4 : 100 = 961,53846153 : * 961 53846153
J04/ 96153,846153/9*4,556213
956.. ,. om ƒ961,53846153 / .... over 1 jaar: dat is, 255... om ƒ 1000 over a jaa208... ren te ontvangen.
473 •• 416..
"T78". 520,
"zs*. Ver-



REGEL VAN D R I E ë N, tSI
Verder, al wederom
Over ijaar. gereed. over ijaar. gereed. 104 : IOO == 924,556213 : x 924,556113
J04/ 92455,6213/ 888,9964
832 om ƒ924,556213 over
.... 1 jaar: dat is, om
925. .. ƒ 961,53846.53 over 2
832. .. jaaren, of, óm ƒ1000
1 . .. over 3 jaaren te ont-
935 • • vangen. 832 ..
1036. 936.
1002 enz.
Eindelijk
Over ijaar. gereed, over 1 jaar. gereed. 104 : 100 s_ 888,9964 : x 888,9904.
104/ 88899,64/ 854,8 na genoeg, om 832.. ƒ 888,9964 over 1 jaar. r~-- ƒ92455562I3over2jaaren, 569. #61,538461 53 over 3 520. jaaren.
T— ƒ1000 over 4 jaaren te 499 ontvangen, enz,
H 5 J. 787.



122 NADERE TOEPASSING VAN DEN
« 787. L. Ik vleij mij dit alles wel begreepen te hebben, Meester! — Dan welke langwijhge deelingen ontftaan hier niet, wanneer ïnen de waarde van zekere fom over wat meer jaaren wilde weeten! — Immers'merk ik-uit het geheele beloop der reekening, dat men de deeling , in het bpein, wel zo lang behoore voort te zetten, tot men twcemaalen zo veele tientallige getalmerken bekomen hebbe, als *er nog jaaren te bereekenen vallen: om dat 'er, door de vermenigvuldiging met 100, bij ieder jaar, twee van verlooren gaan.
5 788 M. Men moet de deeling, om naauwkeurig te werk te gaan, zekerlijk in het begin ver voortzetten, waar door dit foort van reekenin*en , als de vraag voor een groot getal jaaren wordt opgegeeven, langwijlig en verdrietig wordt; gelukkig dus dat men deeze en dergelijke vraaten fchoon zij ook voor duizenden van jaaren wierden opgegeeven , door eene hoogere reekenkunde , in een ogenblik kan oplosfen; gelijk men no* veele andere en belangrijke voordellen , op dit°ondenverp betreklijk, met gemak, langs dien weg, kan beantwoorden, oflchoon zij door de gewoone reekenkunde onoplosbaar zijn : onoplosbaar, naamlijk, door die regelen, welke eigendomliik tot de laagere of gewoone reekenkunde behooren. — Wat echter de langwijhge deeling aangaat, waar over gij U" zo zeer beklaagt, f 6^787. ) deeze kunt gij ontgaan; doch ik kan 'erU weini°- winst bij belooveti , uit hoofde dat gij bij de vermenigvuldiging verliezen zult, wat sü bij de deeling wint.
« 780 L Daar het echter overhoops gemaklijker is te vermenigvuldigen, dan te deelen, Meester! zo bid ik, mij ook dit te leeren.
§• 79e»



REGEL VAN D R I E ë N. I23
$. 790. M. De zaak is eenvoudig. — Gii hebt flechts uwe voorgaande reeden , in dit geval,-(§. 78Ó.-; 104 tot 100, in eene andere te veranderen, van welke de voorgaande term, in de plaats van 104, 100 wordt; aldus
104 : 100 = 100 : x 100
104/ 10000/ 06,153846 enz. as x 936.
640 624
16 enz.
§. 791. L. Ik had dit reeds uit mij zei ven be-
hooren te begrijpen , Meester! . Nu gaa ik de
reekening dan op deeze wijze herhaalen; dan ik zal mij, wegens de langwijligheid der hu te ontteane vermenigvuldigingen, van uwe boven 73°0 geleerde kunstgreep bedienen.
ïoo : 96,153846 enz. = 1000 : 'x 1000
96153,846 100 / ,
961,53846 om over i jaar te ontvangen.Om



124 NADERE TOEPASSING VAN DEN
Om over i jaar te ontvangen vond ik
961,53846 648351 + 96
576923076 865384614 96153846 48076920 2884614 769224 38460 5766
92455,620990
100/
924,55621 om over 2 jaaren te ontvangen. 648351 + 96
554733726 832100589 92455621 46227810 2773668 739640 36980 5544
88899,635423
100 / ■ '
888,9964 om over 3 jaaren te ontvangen.
Om



REGEL VAN D R I E ë N. 12$
Om over 3 jaaren te ontvangen vond ik reeds
888,9964 648351 + 96
53339784 80009676 8889964 4444980 266697 71112 3552 528
85480,42273
100/
854,8 of/854 «= 16 - *» om / 1000 over 4 jaaren te ontvangen, even als boven. (§.786.)
$. 792. M. Ik twijfFel niet, of gij zult door ondervinding overtuigd geworden zijn, dat ik U met reeden (§. 788.) geene bekorting bij deeze handelwijze beloofd hebbe.
§• 793- L- Ik moet het bekennen, MeesterI Dan zeg mij, bid ik, is deeze reekening niet gemaklijk te beproeven?
i- 794- M. Zeer gemaklijk. — Gij hebt alleen te bereekenen wat / 854,8 ( §. 786. en 791. ) over 4 jaaren, tegen 4 ten honderd 's jaars, interest op interest, waardig zullen worden , en als gi] dan / jooo bekomt, zal zulks een blijk zijn, dat uwe oplosfing de waare is. (§. 784.)
%■ 795-



I4Ö NADERE TOEPASSING VAN DE» §, 795. L. Ik heb lust om het te beproeven*
100 i 104 s= 854,8 ï * 104
34!92 8548
Komt over i jaar 888,992
104
3555968 88899a
Over 2 jaaren. ..... 9^55l6^
J v I04
36982067a
92455168
Over 3 jaaren 961,533747a
0 104
38461349888 96i5337472
Over 4 jaaren. . . . ƒ 999>995097°88 ' 2©
ftuivers 19,900 16
Penningen 14,4 §. 796. M. Gij ziet bij den uitkomst da^^



REGEL VAN DRIEËN. 12?
pene duit, mam- flechts ruim eene penning aan hapert. - Oeffen U dan op de volgc de gVo0r 'tel e„ verder, en zeg mij wat men, in ZteU geld, zoude mogen belteeden voor de volS lommen; te ontvangen over zo veele iaarén 'er b,j gemeld ftaan: wannaer men meent "o
?tegn scid™' -ses
E-/3705- * 3 -4i~^^~~
F-ƒ_ 95» -15 4 5
G. ƒx082- af . 51
ƒ2953' 5 4 6' , ,
§• 797- L. Tbands verlang ik reeds te we? ten wat toch de Agio zij. Ce
J. 798. Ik kan 'er U flechts een onpervlakkig denkbeeld van geeven, fchoon volledig genoeg tot ons oogmerk. - Gij zoudt Koopman moeten zijn, om 'er een meer volledig denkbeeld van te erlangen. - Agio is eigenlek een Itahaansch woord, en beteekent in die taal L
naf\™J »1 in •■ee2-en in den koophandel te lil ï? n' ZUllJen W1J niet onderzoeken, - Ik kLu- C£n ' dat men te Amflerdam, onder het Stadhuis eene openbaare fchatkamer vindt welke men de• Wisfdbank, of eenvoudig dl'Bank noemt. Dat deeze Bank tot gemak gder Koopheden of van den handel, is opgericht. ~ D« Sa^,^ f/daa/Jene' fom geW
ter nadere belchikkmg. kan inbrengen. Dat
het



J23 NADERE TOEPASSING VAN DEN
het geld der Kooplieden, het welk daar berustende is, dan den naam draagt van Bankgeld, m tceenoverftelling van het gewoone dagelnksch omloopende geld, het welk men Kasgeld noemt.— Dat 'er zommige betaalingen zijn , welke volgens wetten, of zedert lang aangenomene gebruiken , lu bankgeld moeten gefchieden; dat andere; bi] verkiezing, of gemakshalve, daar in gedaan wot-
A% 799. L. Hoe kan men toch betaalen? Meester 1 met geld, dat men niet in handen heelt.
I Too M. Dit gefchiedt bij affckrijnng: dat isf'veronderfteld zijnde dat gij,/Koopman «ijnllL ƒ50000 in de Bank hadt, cn dat gij aan eenen "anderen Koopman, die ƒ 3000c,n.deBank had, ƒ6000 fchuldig waart; dan geeft gi] last «an de Bank dat men ƒ6000, van uw geld, aan uwen Sdeifcher affchrijve: dat is, van uwe leckëning op de zijne overfchrijve; waar door dan reekening ƒ6000 zal verminderd worden of flechts ƒ44000 zal bliiven, en de zijne ƒ6000 zal aangroeijen, of/jf»oo^5 ook 7 K 801. L. Dat begri p ik; en ik gevoel ook S- ÖU1 ~\ , in «réleeeen is, dat men elÏSfif' op de^" wflïfi» /en Ogenbhk SI bctaalen k'an zonder.eene> enkele duk geld te handelen. - Dan, zo iemand_eens eene betaalir-g, volgens wet of gebruik in bankgfwdoSiinoeV, en hij had geen geld m de
Baf «,o°eM U Dan is hij genoodzaakt Bankgeld tempen en van daar oat het Bankgeld een
El^SSÏ- Het Bankgeld rijden



REGEL VAN D R I E ë N. lap
felS S?f dage!iJ'ksch in vaarde. - Meest altijn is tiet echter meer waardis dau kasgeld zo Hor nieii overhoops voor / roo%^TdfL}°^
w nn °4 S£ld befaal?»nioete.-Deeze meerdere waarde van het bankgeld boven het kasgeld, wordt nu de agio genoemd. _ Zo zegt men da
bj'lkf ld /.I03i kasgeld betaalen moet. éeti W n u ag\° 1S da" eeu lborc van opdoet- v .n , wC bankge,d boven h« kasgeld doet, even gelijk de tntcrest een opgeld is ,'twelk s jaarlijks boven ieder/ieo, voor Lt gebm k daar van, betaald wordt. - Ik begrijp ausS, 2onder eenige verdere onderrichting, klaar, dat me,,, dooreenen enkelen regel van drieën, de waarde van zekere lom bankgeld in kasgeld,' of van zeke e fom kasgeld in bankgeld kra vinden. - Bij Zdfc HeD? d,at ie,ma"d^3576 - - - bankgeld noodig had, en dat de agio op dien tijd 3' ten honderd ware, en dat men mij vroeg hoe*veel kasgeld hij daar voor zoude moeten tellen, ik zoude mijne reekening dus maaken. '
Bankg. Kasgeld. Bankg. Kasgeld. ƒ100 : f10^ = /3^só . %
I°3?
rr„ . 10728
Komt, na genoeg , 3576
ƒ3092 -4 -.8 * ' ' ?'9t
/ 3692,22
' 20
Tr ftuiv. 4,40
II. DEEL. r tr
1 Vroeg



l30 NADERE TOEPASSING VAN DE»
Vroeg men mij , anders om, hoe veel iemand in de liï zoude moeten affclinjven, voor fJï* a8kasgeld, de agio zijnde 3* ten honger?;at'boïï8,ik'zoude^dus te werk gaan.
Naauwkeuriger /S^," (zie boven.)
100
I03J / 36920» 4
'413 /1476888//3576 1239...
2378..
Deeze, ter proeve 2065.. i op de bovenftaande, ■ •• toont de deugdlijk- Scheid der reekening in «91. beide gevaUen. ^ 2478
o
« Soa M. Gij zult zeerwel in ftaat zijn om mij de daar bij- bepaalde agio* ^



REGEL VAN D R I E C N. I31
A. Bankgeld ƒ 5360 - 10 - zijnde de agio 2§
B. — 752S - . f- 2|
C. , 2095 - 5 a|
D. 10350 3
E. 6238 - 15 31
b. — . 9855 - . 3*
G. Kasgeld 38Ö7 - 10 3»
H. 5?02 . . 3|
h 12325 - 5 3|
K. 1828 - » 3*
L. ■ 24208 - 15 -
M. 8596- f'
§. 805. L. Wat wil men zeggen met prompte bctaaling? Meester!
§. 806. M. Niets anders dan dat men met gereed geki: dat is, zo dra men gekocht heeft, betaalt; daar men anderzins, volgens het gebruik} in den handel, niet dan over 6 weeken, over 3 maanden, over 6 maanden, enz. had behoeven te betaalen; voor welke gereede betaaling men dan iets ten honderd kort, of laat korten: dat is, minder betaalt, dan men anders zoude hebben moeten betaalen.
5. 807. L. Ik merk wel dat de reekening wederom op eenen enkelen regel van drieën zal uitloopen: want, Hellende dat ik zekere fom gelds, als bij voorb. ƒ 4560, over 6 weeken fchuldig ware, doch dat ik die aanftonds betaalende/ f ten honderd konde korten, dan zoude de reekening wederom dus komen te ftaan



1§2 NADERE TOEPASSING VAN DEN
Op den tijd. gereed. op tijd. gereed. 100 : 99ï = 456° '* * 991
41040 41040 i . . 2280
Komt x = ƒ 4537»20 = A537 - 4 - *
Dat is, ik zoude.als dan flechts de hier gevondene fom, in de plaats van de volle ƒ 45<5°» moeten betaalen. .
§. 808. M. Volmaakt wel; doch de Kooplieden zijn meest gewoon de korting, zo wel als de agio, en andere opgelden, of kortingen , eerst afzonderlijk te bereekenen, en vervolgens van de hocfdfom af te trekken, of bij de zelve bij te voegen. , . ,
5 809. L. Ik had de reekening dan ook dus kunnen aanvangen.
op ƒ 100 kort men ƒ | wat dan op ƒ 4560
Dat is, 100 : \ = ƒ 45°o : x
II 456o - -
Korting ƒ 22,80 ===== ƒ 22 -16—
Blijft gereed te betaalen ƒ 4537 - 4 —
Of, volgens de ƒ4560-»- /4j6o-»-
meest gewoone 2/ 22.-1
handelwijze, ( §. ƒ 22|8o at —-
660.) gelijk hier 20 ƒ 4537 " 4
nevens. „ ~"
St. 16,00
§. 810.



REGEL VAN D R I E è'N. J33
§. 810. M. Gij zult dus niets gemaklijker vinden , dan de volgende vraagen van deezen aart te beantwoorden. — Hoe veel zal de korting bedraagen van de volgende geldfommen, tegen' zo veel ten honderd, als 'er bij uitgedrukt Haat; en hoe veel zal men in de plaats van de volle fom, in ieder geval, gereed moeten betaalen ?
A. Van ƒ4968 - 15 - tegen ƒ J ten 100 korting. B 785- 1 -
C. 2506 - 10 - 1 .
D. 1075 - = - 1 — ,
K- 35°ö- 5 " H ■
F. 936- 11 ,
G. 1208-15- i|
H. 8795 " • ' 2
§. 8ti. L. Gij maakte vervolgens gewag van Provifie- reekening, (§. 756.) Meester! Wat beteekent toch Provifie in den koophandel ?
§. 812. M. Provifie beteekent in den koophandel , in het algemeen, alles wat voor genomene moeite, of voor verfchootene penningen , genooten wordt. — Zo bereekent een Makelaar aan den kooper, of aan den verkooper, of aan beiden, provifie, of courtage, in het Hollandsch makelaarij, of ook wel makelaardij , voor gekochte, of verkochte goederen: hetzij dan bij het vat, bij het ftuk, bij de 100 ffi, enz. of bij het beloop aan waarde, tegen zo veel ten honderd,' als het gebruik wil, of de wet voorfchrijft. — Zo bereekent ook een Factoor, of Cominisfionaris: dat is, iemand die eens anders zaaken waarneemt, zo veel als gebruiklijk , of bedongen is, ten honderd , voor zijne genoomene moeite van koop of I 3 ver-



134 NADERE TOEPASSING VAN DEN
verkoop, of voor zijne, ten dienste van den geenen die hem in commisfie gefield heeft, verfchootene penningen of gelden,
§.813 L, Dus zullen alle dergelijke vraagen al wederom door eenen enkelen regel van drieën moeten worden beantwoord; want, gefield zijnde , een Makelaar had 60 vaatjes koopmanfehappen verkocht, voor ƒ 735-10- en hij genoot sf ftuiv. van ieder vaatje provifie. zo wel van den kooper als van den verkooper, zo zoude men hebben , gelijk ter zijde blijkt, f 1 - 10 * * voor 60 vaatjes.
courtage, ofprovifie, van 21
dén makelaar; welke fom
de kooper gevolglijk bo- 120 Ven den koopprijs zal 1... 30
moeten betaalen, en de ■
verkooper minder ont- 1510 vangen: zo dat men, —' om te vinden wat de ƒ 7 - 10 • * kooper betaalt, of wat
de verkooper ontvangt, deeze ƒ 7 - 10 - . bij den koopprijs moet bij, tellen, of 'er van af trekken , gelijk hier beneeden.
ƒ 735-10- ƒ735- 1°-
7 - 10 - 7-10-
Kooper betaalt ƒ 743 - ' Verk« ontv. ƒ 728 - -
Doch had een makelaar voor ƒ 7538 - 12 - aan koopmanschappen voor iemand gekocht, en bereekende hij 1 ten honderd provifie, zo zoude hij
van
■



REGEL VAN DRIEËN, 135
van tien kooper, voor ƒ75,38 -12-
makelaarij, ontvangen 20
ƒ 75 - 7 - 12 na ge- —
noeg , gelijk uit ter ft. 7,72
zijde gedaane bereeke- 16
ning blijkt.
penn. 11,52
§. 814. M. Ik heb "er niets bij te voegen. Beantwoord flechts de volgende vraagen, om van alles wat te doen.
Hoe veel zal de makelaars provifie bedraagen van de volgende koopmanfchappen, als
A. van 735 fluks, tegen 3 duiten het ftuk?
B. Van 7568 ffi tegen 3 ^ de 100 ffi ?
•C. Van eene partij koopmanfchappen, ter waarde van ƒ 2735 - 12 - • tegen i| ten honderd?
D. Van eene partij koopmanfchappen, ter waarde van ƒ 7658 - 15 - j> tegen 2| ten honderd?
E. Hoe veel provifie zal een Factoor, die voor zekeren tijd ƒ 3658 in verfchot geweest is, bereekenen tegen 2| ten honderd?
F. Wat zal een Commisfionaris voor provifie reekenen, indien hij ƒ2736 - 15 - # voor weinige dagen, tegen \. ten honderd, heeft verfchooten gehad ?
§. 815. L. Nu zult Gij mij, hoop ik, zeggen, Meester! wat het woord Tarra beteekene.
§. 816. 'M. Dan zal ik U telfens nog drie andere Italiaanfche woorden, welke in deezen in den handel gebruiklijk zijn, moeten verklaaren: te weeten, de woorden Fust, Bruto en Netto.
Fust beteekent het vat, vaatwerk, kisten, enz. waar in de koopmanfchappen overgezonden, of ontvangen worden. '«-- Men zegt ook wel Fustage.
I 4 Bruto



136 NADERE TOEPASSING VAN DEN
Bruto beteekent ruw, onrein. — Van daar dat het gpwigt van een vat met koopwaaren , liet welk, zo als het is, met liet vat, en andere onzuiverheeden, gewogen wordt, het bruto gewigt genoemd wordt.
Netto beteekent rein, zuiver. — Als men dan, na een vat, of kist bruto gewoogen te hebben, 'er vervolgens het sewigt van bet hout, waar van het vat, of kist gemaakt was, of dat van eenige andere onzuiverheeden aftrekt, wordt het overblijvende gewist bet netto gewigt genoemd. — Den omflag vaiflimie", matten,'enz. welke het bruto gewigt helpen uitmaaken, noemt men veeltijds, met een fransch woord , emballage.
Tarra beteekent eindelijk gebrek, of bet geen aan iets ontbreekt. — Daar een kooper nu eigenlijk niet meer'koopwaaren ontvangt', ó.Tmhtx. netto gewigt daar van bedraagt, en de koopmanfchappen echter meesttijds bruto gewogen worden, zo heeft 'er volgens ieder bruto gewigt eene zekere tarra, of gebrek plaats; dat is , 'er ontbreekt altijd iets aan, dat de kooper niet zo veel ontvangt, als het bruto gewigt aanduidt. — Voor dit ontbreekendc moet de kooper nu iets minder, dan het bruto gewigt bedraagt, betaalen; of, met andere woorden, van ieder bruto gewigt wordt zeker getal ponden voor tarra afgetrokken, of afgereekend ; en hier uit zult Gij duidlijk begrijpen wat men door de tarra-reekening verftaa.
§. 817. Daar het nu niet alleen lastig a maar ook aan veele zwaarigheeden onderheevig zoude zijn, de goederen tweemaalen te weegen; en daalde ondervinding reeds overvloedig geleerd had, hoe veel zekere bepaalde en bekende fustage, aan gewigt houdt, zo hebben wet, of gebruik, wep ° derom,



REGEL VAN DRIEËN. 137
derom voor zekere bepaalde koopwaren, zekere vaste en beftendige tarra vastgëfteld: dat is, men is in den handel met eikanderen, overeen gekomen , om op zekere waaren, zekere bepaalde hoeveelheid ponden over te weegeh, of toe te geeven, ter vergoeding van de tarra, of voor tarra.
§. 818. Deeze overwigt,' of vermindering in betaaling, het welk op het zelve uitkomt, gefchiedt echter op verfchillende wijze, voor verfchiilende koopwaaren. — Bij zommige koopmanfchappen ontvangt men eenige ponden ten honderd over: bij voorb. 6 of 8 ponden, meer of minder, naar zulks bij die waaren gebruiklijk is; zo dat men voor de 106, of 108 ponden, Hechts 100 ponden betaalt. — Bij andere waaren is dat overwigt reeds in de 100 ponden begreepen: zo dat men voor de 100 ponden,bruto gewigt, flechts 94 of 92 ponden betaale. — Het is dus de zaak van een'koopman, of makelaar, om te weeten, of zich te laaten onderrichten, welke van deeze beide omflandigheedenbij zekere koopwaaren plaats hebbe.
§. 819- L. Geen wonder, naardien het een weezcnlijk verfchil moet maaken: want, in het eerite geval, geeft men die 6 of 8 ponden werklijk op de 100 'ffi toe, daar men die, in het laatfte geval, in de daad op de 94 of 92 ffi toegeeft. — Gefield zijnde dat men 1250 ponden koopmanfchappen ontvangen had, waar van de toegift, voor de tarra, op 6 ffi bepaald was, dan zoude men in het eerfte geval moeten zeggen, • Voor 106 18 betaalt men 100 ffi , wat voor 1250 m
15 Of



I38 NADERE TOEPASSING VAN DEN
Of 106 ffi : 100 ffi == 1250 ffi : x ffi 100
106/ 125000/ U79jl ffi Uit nevensftaande ic6... bewerking blijkt, dat «•—■ • • • men in dit geval 190.. H79i|,ofnagenoeg 106..
1179 j ffi zoude moe- ■ ■••
ten betaalen. . 840,
742.
98© 954
26 j 13
106 I 53
ïn het tweede geval zoude men de ftelling on«brtusfcheri dus moeten maaken.
Voor 100 ffi betaalt men 94 ffi, wat voor t250ffi? of 100 ffi : 94 ffi = 1250 ffi i * ffi 94
Komt 1175,00 = 1175 ffi welke laatfte uitkomst na genoeg 41 ffi van den eerften verfcbilt.
§. 820. M. Gij bebt dat zeer wel opgemerkt; endaar bet noodig is deeze twee handelwijzen ook in de uitdrukking te onderfcheiden, hebben verfchiliende Reekenmeesters andere en andere vcrfchillende uitdrukkingen in het één en ander geval gebeezigd, — Zommige fpreeken iu het eerfte geval van tarra buiten het honderd, en in het laatfte van tarra binnen het honderd. — Anderen zeggen



REGEL VAN DRIEËN. 139
gen in het eerfte geval tarra ten honderd, en ia liet laatfte tarra van of in het honderd. Wederom anderen onderfchtiden het, door in het eerite geval te zeggen tarra ten honderd netto, en in het laatfte tarra ten honderd bruto. — De kooplieden richten zich naar het gebruik, bij ieder foort van waaren plaats hebbende. — Wij zullen het, daar het te pas mogt komen, onderfcheiden, door in het eerfte geval, tarra boven het honderd, en in het laatfte , tarra in het honderd te zeggen.
§. 821. L. Deeze bepaaling 'er bij gevoegd zijnde, Meester! zal het niet moeijlijk vallen allerleije vraagen van deezen aart op te losfen,
§. 822. M. Zeg mij dan wat de tarra bedraagen zal van 4786 ffi, tegen 8 ffi boven het honderd gereekend, en hoe veele ponden de kooper dus zal moeten betaalen?
§. 823. L. Indien ik vooraf de tarra afzonderlijk wilde weeten, zoude ik moeten zeggen; ieder 108 ffi bruto gewigt bevatten 8 ffi voor 'tarra, hoe veel tarra bevatten dan 4786 ffi bruto? of 108 : 8 == 4786 ; x 8
108/ 38288/ 3541^ z=zx tarra 324..
588 .' 54° •
1 . Voorts 4786 ffi bruto
488 354| £ ffi tarra.
432 af
— (4 443iïr $ netto
56 14 welke de kooper betaalen
• — moet.
108 27 Doch



140 NADERE TOEPASSING VAN DEN
Doch zo Gij mij wilt vergunnen dat ik het laatfte gedeelte der vraag (§-'822. ) eerst beantwoorde, dan zeg ik; van ieder 108 fg worden flechts 100 ffi betaald, hoe veele ponden zullen 'er dan betaald moeten worden van 4786 ponden? — Als ik dan het gevondene: dat is, het netto gewigt, van het brute gewigt aftrek, zal mij de tarra pverfchieten; aldus
108 ffi : 100 fg = 4786 f3 bruto : x ffi netto 100
108 / 478600/ 4431^ = * 432...
466.
Bruto 4786 ffi 432 ■ •
Netto 443i;7 ® !
af 340.
Tarra 3545? ® 324-
160 108
(4
52 13
108 27
«. 824. M. Zeer wel. — Zeg mij nu eens wat de 'tarra, en het netto gewigt van dezelve 4786 ffi (§. 822.) zouden beloopen, indien de tarra 111 het honderd gereekend wierd?
K. 825. L. Ik zal het, even als boven (§. 823.) op twee verfchillende wijzen oplosfen. Meester 1
ffi



REGEL VAN DRIEËN. 14,^
ffi bruto, ffi tarra, ffi bruto, ffi tarra, x. 100 : 8 — 47S6 : #
8 4786 ffi £r«/a
382,88 ffi tarn»
Komt tarra 382,88 ffi
4403,12 ffi netto.
ffi bruto, ffi »<?//0. ffi bruto, ffi »e//«. 2. 100 : 92 = 4786 : x 92
" 4786 ffi bruto
9572 4403,12 ffi «eWo
43074
382,88 m tarra
4403,12
§. 826. M. Hoe veel bedraagt de tarra en het ?7i?tt0 gewigt van de volgende hoeveelheeden ponden ?
A. Van 2358 ffi bruto, tegen 5 boven het 100 tarra. E. 5428 6
§. 827. Daar de tarra zomtijds ook, niet ten honderd , maar op eens van het vat, baal, enz.
ge-



J42 NADERE TOEPASSING VAN DEN
gereekend wordt ,' zo beantwoord mij ook de volgende vraagen.
A Wat bedraagt de tarra en bet netto gewigt van 4 vaten koopmanfchappen , weegende
No i. bruto 356 ffi, tarra voor het vat 22 ffi.
a. 288 — 18
3 . 4ia *°
4. 324 17
B. Hoe veel zal de tarra , en het netto gewigt, bedraagen van 5 baaien koopwaaren, weegende
N*. ï. bruto 238ffi,tamjvoordeemballage nfffi.
2. 179 '— 9\
3- *°5 '°
4. 187 b?
5. • 223 105
C. Zeg mij het netto gewigt van 37 baaien koopwaaren, weegende zamen 8985 ffi bruto, Hellende dat men voor de emballage van iedere baal 51 ffi tarra afreekene?
D. Hoe veel zal bet netto gewigt zijn van 12738 ® bruto gewigt in fust, als men eerst voor de fustage 227 ffi afreekent, en dan nog 6 ffi voor /«rr« boven ieder 100 ffi, ter vergoeding van onzuiverheeden, ontvangt? .
K. 828. Nu zal ik U ter meerdere oeffening nog eenige vraagen voorftellen, waar in deeze reekening tnervoorige reekeningen, als van prijs, korting, enz. verbonden is. — Ik vraag U dan _
A. Hóe veel een koopman fcbubiig zal zijn te betaalen , wanneer hij eenige vaten Rijst gekocht heeft, welke zamen weegen 9435 ® bruto, mids
dat



REGEL VAN DRIEËN. 143
Oat hij ai ffi boven het honderd tarra geniete 5 dat *iij voor 100 © netto gewigt ƒ 19 - 12 - geeve, en dan Ij ten honderd korte voor gereede betaaling?
B. Wat zal men moeten betaalen voor 1236 tg koffijboonen, bruto gewigt, als men het ffi netto koopt voor 181 %, 31 ffi tarra boven het honderd geniet, en ii ten honderd voor gereede betaaling kort? a
C. Zo iemand door een' makelaar 2500 ffi tabak, bruto gewigt, laat koopen, daarvan ii ten honderd courtage betaalt, 8 fS boven het honderd voor tarra geniet, en, met gereed geld betaalende, i| ten honderd kort, wat zullen hem die kosten ?
D. Hoe veel zal iemand , met eene korting van ïi ten honderd, voor 267S ffi wol, bruto gewigt , moeten betaalen, met de courtage van den makelaar , tegen ii ten honderd van het beloop mede gereekend; mids dat hem vooreerst 32 ffi over het geheel, voor de emballage, en dan daarenboven nog 6 ffi boven het honderd tarra, voor onzuiverheid, toegeftaan worde , hidien hij het pond netto tegen 8| ft. ingekocht heeft?
§. 829. L. Vergun mij deeze laatfte vraag in uw bijzijn te beantwoorden, Meester! dan zal 'er in de overige niets moeijlijks zijn.
2678 ffi
32 ffi af voor de emballage:
bruto. netto.
106 ffi : 100 ffi =3 2646 ffi bruto : x ffi netto. 100
264600
ici



144 NADERE TOEPASSING VAN DEN
106 / 264600/ . . . 2496J f3 netto.
212 .. . u*
Voor de korting 520-. 106| ƒ 1092 #2 424.. i . . 1248
i .. 546 - 1 •• 624
— 1020. » © . . 2 — 3
ƒ16,38 .3 954- -
20 —2184(2 — 3
ft. 7,63 636 ƒ 1092=. 2—3 16 kort. 16- 7 *l° ^
pen. 10,08 4 ƒ 1075-14 * 9
Voor de courtage, court. 13-13
ƒ 1092 - 2 ■ — "
ï . . 273 - --8 ƒ1089- 7 - 8
ƒ 13,65 -2-8 20
ft. 13,02 . .
Komt, met vervvaarloozing van eenige kleinigheeden, ƒ 1089 -7-8 ten antwoord.
% 830. M. Zeer wel; en na genoeg volgens Koopmans ftijl. — Zie hier nog eenige vraagen, welker beantwoording ik alleen aan uw oordeel zal over laaten.
A. Indien iemand 120c ffi koopwaaren ontvangt, en daar voor betaalt ƒ 376 - 7 , tegen 6| ftuiver het ffi netto gereekend, dan vraag ik hoe veel tarra men voor de fust heeft geftelri?
B, Een Koopman betaalt voor 2150 ffi bruto gewigt ƒ 568 - 13 * 8 , tegen 5? ft- het ffi netto ;
de



REGEL VAN DRlEëN: 145
devmg is hoe veel men de tarra in het hou derd heeft gereekend? Il0n
C. Men betaalt ƒ276 voor zekere d
ÏZZTSV ?gen V h« & S
men het ffi foife even duur moeten betaalen men
fenUdniUwordr" ^ T' hebben
W gewlglt g£VniaSd Haar de ta™> ™
D. Iemand betaalt ƒ 1976. 5 . voor zekere dom den koopmanfchappen; zo hij tegen nemtlZr reekent, komt hem het ffi op ViStóSS doch zoh.j regen bruto gewigt reekent, LstZi hem flechts 11 ft. en 5 duiten. Men vraagt
het netto gewigt, naar het bruto gewigt, en naar
de tarra, m het honderd gereekend?
, S- 83.i . Ik begrijp zeer wel, Meester! dat de moeilijkheid deezer voordellen zo 'er eente
a is , niet hgt ,„ de oplosfing zelve, maar al een inde: wijze op welke de zaak aan te vangen _ ïk zal ondemisfchen mijne beste poogingen daar toe aanwenden. _ Thands waren I jdan ge' vorderd tot de reekening van Rabat. I Wat bi teekent toch dit onduitsch woord ?
832. M. Rabat, een fransch woord, beteekent in den koophandel niets anders dan af/7ag • dat is vermindering van bmvh„, , .■ ^ Du> als men bedin/r ,>,, z v, ; ,: . .. ....
honderd te zuben ,,•...,,„,.,,,„
jp y 750 - . - behoeft men 1* u :
Op ƒ :c- ra!.:'! n ■" , _ v
of 100 : 3 jsg --, . v „ Als wanneer komt *■ = f



J$6 NADERE TOEPASSING VAN BEN
zelve is, als korten, waarom maakt men 'er eene bijzondere reekening van? Meester! — Gij hebt mij immers (van §. 805. tot f. 810. ) reeds omtrent de korting voor gereede bctaahng genoegzaam onderricht. . .
S 834 M. Alle deeze reekemSgen loopen in de daad op bet zelve uit, gelijk gij ziet; en geen wonder, naardien zij alle in eene enkele evenTeedigheids reekening, of regel van dneen, beftaant zo lang, naamlijk, als er geen tijd mede in reekening komt. — Het rabat nu kan op den zelfden voet bereekend worden, as de interest, alwaarom bet ook van zommigen als een nadeeljse of verkeerd werkende interest voor den lchulcleifcher, wordt aangemerkt: dat is, zommige goederen worden verkocht op zekere maanden rabat, inids dat men rabatteere tegen zeker bepaald ten honderd in een jaar. — In dit geval zouden er nu twee regels van drieën te pas komen, gelijk gij zelv boven (§ 761.) omtrent den interest, Sp tijd gereekend, zeer te recht hebt aangemerkt — Wij willen de reekening van rabat dan ook als eene 'interest -reekening befchouwen, en daarom tot eene meer gefchikte geleegenheid, niet deeze laaide ( §. 762.) uit Hellen, en tot het bexeekenen van winst en verlies overgaan.
S 8L Deeze woorden zijn goed HollandschYen zeer veritaanbaar. — De reekenmgea zullen , naar ik vermoed, niet moeijhjk op te maaken zijn. ...
K sV M' In de meeste gevallen zekerlijk niet, alhoewel 'er zich andere kunnen opdoen, welke nog al cenig nadenken vorderen. — 13eproeV ondertusfehen wat gii doen kunt , en zeg mij, wat'er gewonnen wordt op 284© koopwaaren ,



REGEL VAM DRIEËN. 147
welke voor f 181 - 1 - . ingekocht zijn, en te-en
I3,V Pe?n- hct m Wordei> uitverkocht ? b " §• 837. Z. Niets is
gemaklijker te beant- 2o, ffi
woorden dan dat: want te-en i-' il
als ik de 284 ffi met i3| 8 %
ft. vermenigvuldig, vind 8-a ik wat 'er bij verkoop 28a voor gemaakt, of voor f ... 142
ontvangen is, van welk
beloop de inkoopsprijs 38-14 moet worden afgetrok- - J' 1
ken, om de winst te vin- Verkoop ƒ191 - I4 _ den, gelijk ik hier ter Inkoop 181. jj _
zijde gedaan heb.
gewonnen Ao * 13
§• 838. df. Zeer wel. — Beantwoord mij dan de volgende vraagen.
A. Wat wordt 'er gewonnen op 4 Hukken Lin-
len ieder lang 56 ellen, tegen ƒ 7o het
Itak ingekocht, zo zij voor 28 11. de el wederom uitgemeeten worden ?
B. Hoe veel bedraagt de winst opeen last Koren dat voor 83 goud - gl.tn 15 ft. ingekocht is, en voor
h li lcllePel' wederom wordt uitverkocht?
U Als men een anker Brandewijn voi r ƒ17-10had en het pint voor 8 ftuiv. verkocht, war zoude men daar op winnen?
D Een zak Gruttersvvaaren vonr f 8 -15- ingekocht zijnde, *n voor a| ftuiv. het kop wederom Uitverkocht wordende, zeg mij wat de winst bedraagt.
> «39. Als men bij klein gewigt uitweegt, of Oij de ei uitverkoopt, kan men uit zeker gewigt, ot ellemaat, uit hoofde van het overwigt,' of den eoorllag, van ruime, meeting , enz. nooit zo veel K a uit-



143 NADERE TOEPASSING VAN DEN
uitweegen, of uitmeeten, als 'er geweest is. — Men noemt dat inweegen, inmeeten, ondermaat hebben, enz. zommige waaren zijn ook aan indroogen, of aan vervliegen ondcrheevig, en worden daar' door werklijk minder in "gewigt of maat. — t)us vraag ik U
A. Wat zal men op een ftuk Linnen Winnen, van 63 ellen lang, voor ƒ 42 - 5 - = ingekocht , waar van men bij de elle voor i6| verkoopt, en | el op het ftuk inmeet ?
B Gefteld zijnde men kocht eene baal Koffijboonen van 2151 ffi, tegen 111 ft. het ffi in, entegen iafft. het ffi Uit, en men bevond sf ffi op de baal ingewoogën te hebben, wat zoude de winst beloopen ?
C Indien men een baaltje Koffijboonen van £07 ffi tegen 8 i ft bet ffi inkocht, en deeze boonen een derde gedeelte van hun gewigt inbrandden, en men voorts het ffi gebrande boonen voor 13! ftuiv. verkocht, vindende op de laatfte ii ffi iugewoogen te hebben, zeg mij de winst op het baaltje?
D. Iemand koopt een last Koren voorjó goud - gl. en 12 ft- ; hij verkoopt het fchepel tegen 23 ft. 12 penn. en hü vindt f fchepel ondermaat, wat wint hij? «. 840. Verder vraag ik U nog
A. Wat moet iemand voor het ffi neemen, om ƒ28'-»- op de partij te winnen, als hij 836 ffi voor ƒ 216 12 - gekocht heeft?
B. Voor boe veel zal men eene elle Linnen moeten verknopen, om 'er een' ftooter op te winnen, als men ƒ 43 - 12 - - voor eene webbe betaalt, die 60 ellen lang is?
C Zo iemand eene pint fterken drank voor 5^ ft. verkoopt, en hij 'er i| ft.' op wint, wat heeft hem dan het anker bij inkoop gekost?
D. Hoe veel moet iemand voor het last betaald
heb*



REGEL VAN DRIEËN. 149
hebben, die bet fchepel voor ƒ 1 - 16 - 8 verkoopt, cn 'er ft. aan wi it ?
§. 841. L. Even gelijk men de winst uit vergelijking van inkoops- en verkoops-prijs vindt. (§ 837.) zo moet ook de verkoops - prijs uit den inkoop en winst, en de inkoops-prijs uit den verkoop en winst kenbaar worden ; ik vleij mij dus van deeze vraagen zeer wel te zullen kunnen beantwoorden.
§ 842. M. Dan wil ik U andere dergelijke vraagen voorlieden , niet dit onderfcheid, dat wij de winst niet op het f8, op de cl, of op de partij, maar ten honderd bepaalen. — Het honderd is naamlijk in deezen de algeraeene maatfchaal der Kooplieden, en met recht; om dat men daar door terftond verfchillende winsten met en onder eikanderen vergelijken kan.
Zeg mij dan wat men ten honderd wint, als men 378 f8 voor ƒ 135 - 10 - inkoopt, 3§ ffi inweegt, en het pond tegen 83 ft. uitflaat ?
§. 843. L. Ik'zal dan 378 ffi eerst de ingewoogenepon- 3| ffiingewoogen,
den van het geheele ge- —
wigt aftrekken, en het 374 i ffi overfchot met 8i moeten 8| ft.
vermenigvuldigen, zo vind ■ ik wat 'er bij verkoop voor 2992 de 378 ffi gemaakt is. — 187 Van het gevondene trek ik 4J
den inkoops-prijs af; en
vind daar door wat 'er op 31813J
het geheel gewonnen zij: '
dat is, hoe veel voordeel f ■ 3? - verk.prijs, men met den inkoops • prijs ƒ135 - 10 - ink. prijs.
gedaan hebbe ; gelijk ter
zjjde gefchied is. •. ƒ 23 - 135 winst.
K. 3 Voorts



150 NADERE TOEPASSING VAN DEN
Voorts zeg ik ƒ135 - 10 - - winnen ƒ 23- 13J, wat winnen fioo? of/135- 10--: /23-i3? " -=/ioo:* / 100
2366-5
271 / 4732 -io//i7-9-4"»m-
tk vind dan dat 'er ƒ 17 - 9 - 4: dat is, na genoeg t 7 5 ten honderd gewonnen is.
$ «44- M. Zeer wel. — Gij zult dan ook de volgende vraagen gemaklijk oplosfen.
A. Wat wint men'ten honderd, als men het pond voor 1 J ft. inkoopt, en voor 14I 11. wede-om verkoopt?
B Hoe veel zal men ten honderd verliezen , als men 7 ƒ} en 4 % voor een f8 betaalt, en genoodzaakt wordt deeze koopwaaren wederom tegen 39! lt. het ffi uit te verkoopen?
C. Als men het ffi zuiker voor 15 ^ inkoopt, tot welken prijs zal men het dan moeten uitflaan, om 12 ten honderd te winnen?
D. Men zegt dat zeker Kruidenier 14 ten honderd op'eene baal Koflijboonen verlooren heeft, die hij tegen 134 ^ het ffi had ingekocht; zo die boonen dan 7* looden op een ffi zijn ingebrand , tegen welken prijs moet hij dan de gebrande boonen verkocht hebben?
E. Iemand koopt voor ƒ 355 - 19 - * aan waaren ; hij verkoopt die tegen een festehalv het ffi, met een oortje winst, de vraag is wat wint hij op de geheele partij ?
§. 845. L. Deeze laatfte vraag is wederom van eenen anderen aart, Meester! als de voortgen. — Dan ik begrijp dat ik bet getal van ponden zal moeten opTpooren, waar uit de geheele
par-



REGEL VAN » R I E ë N. I5E
■A.
partij beftaan heeft, en dat zal zich door deeling met de verkoops - prijs, na aftrekking van de winst , laaten vinden.
§. 846. M. Gaa uwen gang flechts op die wijze. — Ik zal U meer andere vraagen doen, welke uw nadenken zullen opwakkeren, en uw oordeel op den toets ftellen.
A. Ik vind dat ik ii\ ten honderd win, indien ik het ffi van zekere koopmanfchappen voor 12? ft. verkoop; doch indien ik het ffi voor Q§ ft. verkocht, zoude ik juist evenveel ten honderd verliezen; de vraag is wat ik voor die partij waaren, bedraagende 768 ffi, bij inkoop betaald hebbe ?
li. Iemand verkoopt Thee tot 36 ft. het ffi, en reekent na , dat hij 8gi ffi moet verkoopen, om den inkoops-prijs voor ieder 100 ffi vergoed te hebben ; de vraag is wat hij voor 1275 ffi bij inkoop betaald heeft?
C. Stel dat iemand eene partij goederen tegen 15'f ft. de ei had ingekocht, en dat hij zich voorfte! Ie even veel ten honderd te willen winnen, als hem de el ftuivers gekost had, dan vraag ik tegen welken prijs hij de el zal moeten uitmeetcn ?
1) Indien hij ondertusfehen vond dat gemelde partij (C. 3 befchaadigd was, en hij die voor ƒ 70 - - - - de 100 ellen wederom moest over doen , dan vraag ik wat hij ten honderd verliezen zoude?
E. Een Lakcnkooper verkoopt verfcheidene (lukken Laken tegen 61 guldens de el uit, en bevindt dat hij I7f ten honderd wint; doch zo hij niets ingemeeten had, zoude hij volkomen 18 ten honderd gewonnen hebben, de vraag is hoe veel hij dan op de 100 ellen heeft ineemeeten?
E. 4 F. Hoe



\$% NADERE TOEPASSING VAN DEN
F. Hoe veel heeft hem, in het laaide geval, (li. ) de el hij inkoop gekost?
847. L. Gij vergt te veel van mijne geringe vermogens, Meester: doch ik zal mijn best doen.
§. 848. M. Tracht de vraagen flechts wel te begrijpen, en houd dan in het oog, dat men in z' 11 gevalle, de zelve betrekking, of verhouding, tuïfchen de maaten, gewigten, enz. als tusfehen de prijzen , kan en mag laaten gelden , en gij zult de vraagen veel gemaklijkei te beai twoorden vinden , dan zü U in 'ien eerflen opflag voorkomen.
§. 849. L Wilt Gij met deeze aanmerking niette kennen geeven, Meester! dat, als men, bij voorb 10 ten honderd wint: dat is, wanneer men f 110 bij verkoop ontvangt, waar men flechts / 100 bij inkoop hefteed had, dat men dan ook voor ico ponden, of ellen, enz. bij ver-koop, den inkoops -prjs van 110 ponden, of ellen , enz. moet ontvangen?
$. 850. M. Niets anders. — Zie hier nog vraagen van eenen anderen aart.
A. Een Koopman koopt 6560 f8 wol, tegen ici ft. het fg; daar van verkoopt hij 2500 fg tot 'ïii het fg; 16V0 fg tot ft. het fg; 1260 f8 tot 11 li. het fg; en het nog ov rfchietende tot p| ft. het fg ; de vraag is wat hij op de partij winnc?
B Ik vraag wat hij onder de zelve voorwaarden (A ) ten honderd wiune ?
C Tegen hoe veel, het fg, zoude hij het laatfte o\erlchot, in dit geval (A) hebben moeten verk> open , om juist 5 ten honderd te winnen?
D. Men verkoopt een last Graanen voor 92 Goud guld en wint 48 ten honderd; hoe veel mp^tde markt nog rijzen: dat is, tot hoe veel moet
men;



REGEL, VAN D R I E ë N. 153
men het last vcrkoopen, om een capitaal te winnen ?
E Eene partij kodpmanfchappen , van 2560©, wordt verkocht tegen i(\ 11. liet ffi, met eene winst van 8| ten honderd, men vraagt wat de partij bij inkoop gekost hebbe?
F. Voor 28 Hokken Linnen, zamen }ang 1S76 Brabandfche ellen, wordt betaald 195 wat zal 'er ten honderd op gewonnen worden , als 'men die wederom verkoopt tegen 134 ft. de Amfterdamfehë elle?
G. Men verkoopt'een ton Boter voorƒ84-12en wint 173 ten honderd; wat zoude men gewonnen ot" verloeren hebben , indien men verpligt geweest ware, die ton tegen ƒ 72 - » - . af te zetten ?
H. Een Kruidenier wint op zekere baal zijner koopwaaren, welke hij tegen ƒ 4 - 12 - de honderd ffi had ingekocht, ruim ƒ 24 - 4 - 14, fchoou geene penning meer; men vraagt hoe zwaar die baal gewoogen hebbe, in geheele ponden, mids zij tegen ii lt. het ffi uitverkocht zij ?
I. Als een anker Genever , Amlterdamfche proev, te Schiedam ƒ30-*-» kost, en tegen 5 ft. het pint wordt uitgetapt, met eene winst van 75 ten honderd; hoe veel ondermaat heeft 'er dan plaats gehad, of hoe veel is 'er door lekking, als anderzins, verloorcn gegaan?
K. Wat is 'er op een ftuk Linnen, van 80 ellen , ingemeeten , als men het voor ƒ 68 - »- • in? gekocht, tegen 22 ft., de cl, uitgemeeten, en 'er 29 ten honderd op gewonnen heeft?
§. 851. L. Gij ftelt mijne krachten te fterk op den toets , Meester I
§. 852. M. Beproef dezelve eerst, en houdt flechts moed. — Wij willen dan tot iets gemakK5 h>
è



jjj-J. nadere toepassing van den
Iiikers overgaan: ik meen, tot de zo genaamde Gezelfchaps- reekening.
§. 853. L. Wat verftaat men daar onder? Ivlj ester!
K 8 -4. M. Eene reekenkundige bepaaling van «ens ieders aandeel in ("cnaade of baat, uitgaaf of ontvangst, iu allerlei]' gemeenfehapiijke onderneemingen, handelingen, voordeelige of nadeehgc gebeurtenisfèd, enz.
5. 855. L. Mag tk het een of ander voorbeeld verzoeken, Meester! .
€ 856 M lk zoude 'er U bijna zonder emete kunnen opnoemen. — Eenige weinige zullen echter genoeg zijni — Denk flechts dat twee of meer Kooplieden eenen gemeeufchapli.iken handel drijven. _ Dat zij genieenlchaplijkeen lclnp bevrachten, pakhüken huuren, goederen op liaan, wederom aflaaden, verzenden, enz. — Dat zij zamen een visffcherij openen, of eenige andere onderneeming doen. — Uat verfchcidene Asfuradeurs een fchip , of goederen, verzekeren. — Voorts dat verfcheidene Landeigenaars of gebruikers zajnen eenen weg , dijk of vaart moeten onderhouden; polder- of molengelden moeten betaalen,
£"s' 8*7. L. Genoeg, Meester! genoeg. — lk zie wel dat deeze reekening in het dagebjksch leven overal te pas zal komen ; en wel van de algemeene belastingen van een geheel Land, ot Rijk , af, tot de verteering van een gezellchap m eenen herberg toe. ..
€ 8*8. M. Gij zult dan ook gemaklijk begrijpen, dat, zo alle Deelneemers in eenige onderneemine een gelijk aandeel daar in hebben, zij ook de winsten, welke uit zodaanige ondeniee-
%



REGEL VAN DRIEËN. 15$
ming mogten voortkomen, gclijklijk onder zich behooren te verdoelen; of, zo 'er ongelukkig fcliaade op deeze ouderneeming mogt loopen, dat zij die ook gelijklijk zullen moeten draagen.
§. 859. L. Dat niet alleen, Meester! maar ik begrijp tefFens' klaar, dat ieder deelncemer inde winst of verlies zal moeten deelen, naar reeden, of vérhouding, van zijn aandeel: dat is, dat het deel, 't welk hij van de winst geniet, of in de fchaade draagt, altijd gèëvénreedigd moet zijn, aan zijn aandeel in de gèmeenfchaplijke onderneeming of last; bijvoorbeeld, aan zijnen inleg van penningen in- eenen gemeenfchapiijken handel, aan de hoeveelheid van goederen, welke hij in een lchip gelaaden heeft, zo ook aan de meerdere of mindere hoeveelheid van Landerijen, welke hij aan eenen weg, dijk, of vaart, of anderzins in eene Polder, of droogmaakerij heeft liggen»
§. 860. M. Gij ziet dan dat deeze reekening wederom flechts iu eene toegepaste evenreedigheids reekening, of regel van drieën, belhan zal.
§. 861. Het volgend geval ltrekke ten voorbedde. — Vier kooplieden A, B , C, en D leggen zamen ƒ 150000 geld bij elkanderèn , doen 'er eene ouderneeming mede, en winnen bij die onderneeming ƒ 23750, Nu is de vraag wat ieder deelhebber van die winst, voor zijn aandeel, zal genieten , als A ƒ60000 toegelegd heeft, B ƒ40000 , C f 30000, en D f 20000 ?
§. 862. Hier zal de volgende evenreedigheid een' ieder', die maar eenigzins nadenkt, voor den geest moeten komen. — Gelijk de geheele inleg zich verhoudt tot de geheele winst, alzo zal zich ook ieders bijzonder aandeel aan den inleg verhouden tot ieders bijzonder aandeel aan de winst. De



l$6 NADERE TOEPASSING VAN DEN
De reekening zal dan dus te ftaan komen.
A=6oooo A
Geh. inleg. Geh.winst.\ , B=ioooo instB
/i5oooo&:/2375o=> £& C=3eooo C
■> ° £ D=aoooo U
k 863. L. Na deeze grootheeden dan, zo veel mogelijk is , tegen eikanderen gedeeld te hebben, (§'. 694.) Meester! zal men krijgen
A—6 A=f95°°i S : 475o =Sïnleg van winst vang^;3^'
£ D=a D=/3i66f
Geheele winst = ƒ23750
« 864. M. Gij ziet bij de proev, zo dit nog iets'tot uwe meerdere verzekering mogt kunnen toebrengen , dat de dus gevondene naar inleg evemeedige aandeden aan de winst, zamen de
ireheele winst wederom uitmaaken.
geneeie w ^ ^ ^ ^ Meester!
dat ik mij vleije allerleij vraagen van deezen aart
gemaklijk te zullen kunnen "beantwoorden.
8 « 866 M. Beantwoord mij dan de volgende:
A Drie Kooplieden, A, B, en C leggen int, A ƒ7560, B ƒ 2?Jo, en C ƒ3820; winnen daar mede ƒ 4804 - 10 - Hoe veel zal ieders aandeel in de winst zijn? « ~ '«
B. Zo deeze Kooplieden (A. ) ƒ 1853 - 10 bii deeze onderneeming verboren hadden, hoe veel zal dan ieder van deezen , na genoeg, in het verlies draagen? c



REGEL, VAN D R I E è' N. 157
C. indien men na deezen ongelukkigen uitflag (B.) alle verdere gemceufchaplijke onderneeming fraakre, en ieder het overfchot van zijn in- . gelegde penningen te rug nam, wat zouden zij dan hoofd voor hoofd ontvangen?
D. Verfcheidene Recders rusten een fchip uit, dat iu zee gebragt zijnde, ƒ 71040 - * - * gekost heeft. A heeft'er 1 gedeelte {portie} in, B f , C T'5, D ,V, E f, F G TV, en H 1. De vraag is, wat ieder der Reeders in deeze fom betaalen zal ?
E. Indien dit fchip (D ) nu zo veel vracht maakte, dat 'er, na aftrek van alle onkosten , ƒ 18400 - - ■ * uit te deelen bleef, wat zoude dan ieder Reeder voor zijne uitdeeling ontvangen?
F. Zo deeze onderneeming (expeditie) ( D. enE.) nu juist iu een jaar was afgeloopen, hoe veei zouden de Reeders dan met hun geld, in dat jaar, ten honderd gewonnen hebben?
G. Doch zo de gemelde onderneeming (D, E. en F.) ongelukkig uitgevallen ware, zo dat 'etom het verlies van deeze reis te vergoeden, eene toelaage van ƒ 5150 - 8 - «= vereischt wierd, en dat 'er dan nog ƒ 7814 - 8 - * noodig waren om het Schip op nieuw ia zee te brengen; wat zouden de Reeders dan, hoofd (voor hoofd, moeten toeleggen, om een tweede onderneeming te waagen?
li. Drie Kooplieden, A, B, en C , hebben ƒ 75000 zamen gelegd, en daar mede gewonnen ƒ I25ÓO-S-*, waar van A. geniet ƒ 6280 - B. ƒ 3768 -> . en C. ƒ 2512 * - *. Men vraagt naar ieders bijzonderen inleg?
1. Indien A. in voorige wiust (II.) voor f gedeeld had, B. voor 5V, en C. voor J, wat zoude



I58 NADERE TOEPASSING VAN DEN
de als dan de inleg voor ieder in het bijzonder bedraagen hebben V
K. Vier Korenkoopers A, B, C, en D, bevrachten een fchip met 120 lasten koren. — A. laadt 'er 30 lasten in, B 24, C 13 lasten en 9 mudden, D maakt de laading vol. — De fchipper heeft ƒ 891 - * - * vracht bedongen; de vraag is hoe veel een ieder, voor zijn hoofd, aan de vrachtpenningen betaalen zal?
L. Zo de vrachtpenningen van genoemde laading (K.) ƒ 1055 - * • * bedroegen , en A voor £ in de laading deelde, B voor J., C voor t, en ï) voor het overige, hoe veel zouden zij dan, hoofd voor hoofd, moeten betaalen ?
M. Zo nu de fchipper, door ftorm beloopen zijnde , 9 lasten van deeze laading (K.) over boord had moeten werpen, hoe veele lasten, mudden, enz. zoude dit voor ieders aandeel zijn?
N. Stel dat zeker land uit 8 kleinere landfchappen A, B, C, IJ, E, F, G, en H beftond; en dat 'er de volgende fchikkingen, met opzicht tot de algcmeene belastingen, plaats hadden: te weeten , dat A 23 ten honderd betaalde, of in ieder ƒ 100 - * - * belasting ƒ 23 - «= - * droeg, B 19 , C 17, 1) 15, E 11, F 7, G 5, en H 3, dan is de vraag wat ieder landfehap zal moeten draagen in eene fom van ƒ 1,586,377 - 10 - * ?
O. Zekere dijk, lang 1050 roeden, wordt opgehoogd en herlteld. — A moet, uit hoofde zijner aangrenzende binderijen , 37* roeden van dien dijk onderhouden, B 215, C 187, D 128, E 83, cn F 62. — Zo de gedaane onkosten aan dien dijk dan f 931 - 17 - 8 bedraagen, vraagt men, wat elk der belaughebberen, voor zijn hoofd, in deeze kosten betaalen zal ?



REGEL, VAN D R. I E ë N, I59
P. Op zekere Polder, groot 7658 morgen, vallen, zo wegens molengelden als andere bezwaaren , ƒ5073 8-8 onkosten. — De minste landeigenaar A heeft 'er 50 morgens land in liggen, B heeft 'er 25 morgens meer, of 75 morgens in , C nog 25 meer, dus 100 morgens, D 125, en zo vervolgens, bij 25 morgens op, uitgenomen één , die 'er 183 morgens iu heeft. — Men vraagt 1. hoe veele Landeigenaars, of ingelanden, 'er zijn? 2. hoe veel ieder voor zijn aandeel in de gemaakte kosten draagen moete? 3. boe veel dit voor ieder morgen komt te (taan ? en 4. hoe veele morgens'er de grootltc ingeland wel in hebbe?
Q. Zeker gezelfchap van 8 mentenen vindt goed eenen maaltijd op het land te houden, waar bij ieder een', of meer gasten, zal kunnen mede neemen, naar welgevallen, mids betaalende zijn aandeel in de verteering, in reeden van het getal der monden, dat 'er van zijnent wege fpijst, doch zo , dat men twee kinderen voer eenvolwasièn menschzal reekenen. — Nubrengt A een' gast mede, B 2 gasten, C komt alleen, D brengt 3 kinderen met zich, E een' gast, en een kind, F 3 gasten, G 2 gasten en 2 kinderen , en H 1 gast en 4 kinderen. — De waard geeft eene reekening van ƒ 174 - 16 - 12. — De vraag is wat ieder voor zijn aandeel betaalen zal?
R. Zeker man dervende, vindt men, na alle uitltaande A. ƒ25725 • * —. fchulden ingevorderd re heb- B. 16842 - jo—. ben , dat 'er ƒ75850 - * - * in C. 9368 - i^ — kas is — Deeze fom wordt D. 17605 - * — echter niet toereikende bevon- E. 5912 -16 — den om 'er alle fchulden me- F. 1212H - 4 — de te betaalen, naardien'er G, 89.16- * — de volgende, hier tér zijde op- ge-



!ÓO NADERE T.OEPASSING VAN DEN
geteekende, reekeUingen zijn ingekomen. - Nu
is de vraag i. Hoe veel men ten honderd zal
kunnen bemalen? en hoe veel ieder der bo-
venftaande fchuldenaars zal ontvangen i venuaanae ^ ^ ^ zo genaamde
gellfcha'ps. reekening zich tot. eene: bijna ontófaare menigte van gevallen mtftrekt, Mee*tetl fchoon zij de eenvoudige evenreedighads rceKe niug of regel van drieën, ten beftendigen grondSJfiefbe. - Wilt Gij mij nog andere voorbedden op°"ceven ?
K 868 M. Voor het tegenwoordig met. — Dan, daarverfchillende Kooplieden eenen gemeenfchaplijken handel kinnen drijven, niet tegenftaai de de één 'er langei deel in gehad hebbe , dan de ander, zo zal ook de duurzaamheid van tódeefgenootfchap, ip dergelijke gevallen, m overweeging komen- - Men zal dan even jeluk bii de reekening van interest, va n rabat, en dij die van winst en verhes , zo ook bij deeze, zomti ds den tijd in aanmerking moeten neemen waar uit dan een tweede betrekking zal. voordSten — Dergelijke gevallen zullen wn, met dï voor ge , totgeene nadere geleegenheid verfchuiven, en overgaan tot de zogenaamde FaBo-
rl\'K69>WL.' Al wederom een vreemd woord, dat ik niet verftaa, Meester!
c 87o. M Het woord F,Boor, van het la-
,tün afkomstig, beteekent iu den koophandel iemand , die met eens anders geld voor den geldfchieter handel driift. Bu voorbeeld . A heeft leid maar is niet in de gele. genheid om handel te drijven, of heeft 'er misfehien f ene kennis van; B is den handel kundig, en heeft er ge-



REGEL VAN DRIEËN. l6l
leegenheid toe, doch heeft gebrek aan geld, of wil zich ten minften , onder zekere voorwaarden , wel laaten gebruiken om eenig geld van A in den handel om te zetten. Zo dit gebeurt, wordt B de Factoor van A, cn deeze handel draagt, met betrekking tot A en B, den naam van FacloPf.' ~~ B geniet dan zeker gedeelte , van het geen hij met het geld van A gewonnen heeft, voor zijne moeite, als i, j , 3. enz. naar omftandigheeden ; of hij geniet een zeker ten honderd van de winst; of zomtijds legt hij zekere fom bij het geld van A bij, en doet dus eene gcmeenfchapiijke onderneeming met A, mids hij een grooter aandeel in de winst geniete, dan hem in reeden zijner bijgebragte penningen zoude toekomen, naardien hij de moeite der onderneeming alleen op zich neemt. — Gij voelt dan wel dat deeze reekening wederom eene toepasfing zal zijn van den regel van drieën, naardien zij alleen beflaat in eene reekenkundige bepaaling van bet aandeel dat de Factoor, naar omftandigheeden, en volgens gemaakte voorwaarden: dat is, in zodaanige reeden, als hij met den geldfchieter overeen gekomen is, van eene bepaalde winst genieten zal.
§ 871. L. Het komt mij voor, Meester! dat deeze reekening dezelve moet ziin, of met eene prövifie-reekening, (§. 811.) of met eene gezelfchaps- reekening , welke wij zo afgehandeld hebben, naar gelang van omftandigheeden.
§. 872. M. Zeer te recht, — Zij is in de daad, of met de eene , of met de andere overeenkomftig; en verfchilt, wanneer zij onder de gedaante eener gezelfchaps reekening voorkomt, alleen van deeze in eene uiterlijke omftandigheid, welke op de reekenkundige bewerking geenen invloed II. deel. L heeft :



ï6a NADERE TOEPASSING VAN DEN
tP wppren daar in, dat iu de gezel*C,e c rllïSnl alleverhoudingen in den aart toSffSHÉ v nden zijn, terwijl zij hier in oP een gemakt verdrag, of overeenkomst, be-
Ondertusfchen is deeze laatfte handel•§" 7 Kii mis weeten, iir Holland genoegzaam gXel'nK meVrgebkik, *fg»*fö Ej. diensten en vejto^toj art, bt, wege van W^^»"? g
^SJStf ^SSVbW*5i ter oeffening
MlOP8g7e4eVs!êl dan dat zeker FaBoor f 12000 - S* ;!7mand Ontvangen had om handel mede te S n ouder 3g van na atgeloopene onder. feSs i in de winst te zullen gemeten, en j t ' r*VV-fo - * - * bij gewonnen wierd, en zeg % ^ffiunde^fev» ciengeldlchieter, Knde* ^ «teeze winst zal zijn?
§. 875.
hier nevens de ree- f-nfa-»-*
kening, Meester! g7, .
, zij is allereertvou- ƒ„. - .. .„ Voor den faBoor. digst. Men heeft J ö™ de winst flechts in ,
8 gelijke deelen te f24I5,,.Voordengeldfchieter. deelen, waarvan de faBoor 1, en
<ii> o-eklichieter 7 deelen ontvangt.
§ 876. M. Zeg mij nu wat.de faBoor■ ten zoude hebben, indien hij in dit geval 1. |. 874 ■) j5 ten honderd van de winst had bedongen.*



REGEL VAN DRIECN. 163
$• 877. Z. Dit geeft eene gewoone trêvuL reekening, als hier onder. i>w,/*e-
5/^l_LI£ = 2760 : x
20 : 3 = 27u0 . x
20/— 00/ ,
1 3 = 138 : x
t ) \
Komt , = ƒ414-—voor deny&öwr.
reï' 8l!iV5" -Z'e hier "0g eeni«e weinige vraagen , welke eenigzms. meer ingewikkeld zijn doch uwe krachten niet te boven /uilen pan! ' '
A Twee menfchen, A en B, geeven zamen aan aan hunnen gemeemn factoor, A ƒ 78 50-.-1 hrfn^W" om.daar niede handel te drijven beloov^de hen, ï m de winst, voor zijne EB «1*^ de/«c/wr nu 111 zekeren tijd ƒ2644-,.met deeze penningen wint, vraag ife wat A wat . B en wat devan deeze whist gSten zal?
om tr ƒ 2380 ,= - * van zijn deen celd bil te 1,^
' foude™ds-dat hij *van di ^W*£3
yan inleg, in het overfcbot deelen, en men dir aanbod aannam: dan vraag ik, wat iedér va" dewinst voor zich zal neemen0, indien 'e ƒ,276-.t met de geheele fom gewonnen word// 3 7
C. Zeker rijk man geeft ƒ 5ooco - - • « i,n eenen anderen om in den handel té belteeden met bcdmg, dat de handelaar, of facS alles wat hij boven de 15 ten honderd,. bf ÏÏe'réoncfcrneeming, mogt winnen, voor'züne moeite zk
L 2 ge- .



164. NADERE TOEPASSING VAN DEN
genieten ; doch als hij onder de 15 , tot ia ten honderd , wint, zal hij een | in de winst hebben; wint hij flechts onder de 12, tot 9 ten honderd , dan zal hij alleen /s in de winst genieten; wint bij nog minder, en flechts tot 6 ten honderd , dan zal bij maar voor ,rT in de winst deelen; wint hij eindelijk onder de 6 ten honderd, dan zal hij zijne moeite voor niet gedaan hebben ; de factoor bewilligt in deeze voorwaarde; nu is de vraag hoe veel de factoor voor zich zal hebben,
1. Als hijmet die ƒ50000-»-- wint ƒ 875a-»-»?
c. Als hij 'er f 7125 - - - * mede wint ?
3 Als hij 'er ƒ 5375 •*.-» voordeel mede doet?
4. Als hij flechts ƒ 3625 - » -» daar van maakt?
5. Als hij'er niet meer dan ƒ2250-»--mede wint? Genoeg van deezen aart; zien wij wat men in
de reekenboeken gewoon zij op te geeven onder den naam van Reekening van Mangeling.
§ 879. L. De klank fchijnt hollandsch, Meester? echter verftaa ik de beteekenis van het woord mangeling niet.
S, 8K0. M. Het is ook m de daad geen hollandsch ,' of nederduitsch , maar verbasterd hoogduitsth woord, het welk gebrek beteekent; fchoon het in den zin, waar in het in de reekenboeken voorkomt, van gelijke beteekenis zij, met het woord ruiling. — In vroegere tilden, naamlijk, toen het geld'minder algemeen in gebruik was, en de koophandel dus, meer dan inden tegenwoordigen tijd, door ruiling, of verwisfeling van waaren tegen waaren gedreeven vvierd, kwam deeze reekening meer dan heedendaagsch te ftade. — E en koopman gaf aan eenen anderen koopman , welke zodaanige koopwaaren, als hem ont-
bra-



REGEL VAN DRlEëN. x6S
braken, over bad , zijn gebrek te begeerte om dat £,i£,^Kl^e^ls^n derens voorraad te vervullen, mids d e aJdJS hem ook van zijnen overvloed, in eenen an eren
o nhTen a,ldC IV°°r-een ^cdee,te ^onde en li de ontlasten. Hier llIt ontftond dan eene ruilino
welke men in de reekenboeken met den naam vfn mangeling èeftempelt. am van
§: 8Si. L Het zal 'er dan, naar mii top fchunt overhoops op aan komen, m hoe veelhe.d van goederen te bepnalen, 'welke de eene koodman aan den anderen in ruiling za geeven of van hem ontvangen, om in waarde met ande e'
gea, .ot aan hem gekeverd mogt hebben rp evenaaren. ö "cuuciij te
S- 882. ij/. Zulks is zekerlijk de hoofdzaakliil-p bedoeling van deeze reekening. - 'Er rnoe eene gelijkheid van waarde tusfehen de v?m sillde koopmanfchappen plaats hebben; of zo deezegeen plaats heeft, moet het te kort komende vanden eenen of anderen kant in geld, of op een™ an" dere wijze, vergoed worden. L Hiel-uit kunnen
welke JanpVei'?li,lende VrMgen ™*bï S welke alle wederom, op eene gelijkheid berusten-
£ti,2?S ee.ne/venreediSheids - reekening, welke natuurl k uit deeze gelijkheid voortfpruit opóe! lost. zullen moeten worden. - Een voorbeeld zaï dit m het helderst licht {tellen voo™eeid zal Jan-66 3-,,^mand begeert s ftukken linnen, ieder
aïegn vanVJ^^T ,5Ueel™rdiS v™ ïdnen, yan ƒ 4i de el, in te ruilen- men1 vmw
No'em'hS16",1"'; dT V00r leeveren zal? ^ is miCt ^°nb?C6nde §etal ellen ^ken x; dan tt het zeker dat dit, met ƒ 4| vermenigvuldigd"
L 3 ge-



lC6 NADERE TOEPASSING VAN DEN
gelijk zal moeten zijn in waarde, aan 2 maaien 66 ellen, uïet 15 ft. vermenigvuldigd. — De reekening zal dan dus komen te ftaan
2 Hukken linnen 66 ellen ieder.
132 ellen. 4l x ~ f 99
15 ft. de el. /«
— of 9 x =z 198
198,0 ft. 91-—-— ,;
, I of x = 22 ellen.
ƒ99 . . - . Of anders , door
uit de gevondene vergelijking ai x — 90 eene evenreedigheid f el ƒ '~y op te ftellen. (§. 6^8—648. ) 4| : 1 =99 :* ellen, waar,uit komt 99-198
x = — = = 22 als boven.
'43 9 ■
§. 884. Deeze laatfte verhouding ligt nu duidlijk in den aart der zaak: want, als men eerst de waarde van het linnen gelijk aan ƒ 99 - = - - gevonden heeft, zegt men, als naar gewoonte , voor ƒ 45 kan ik 1 el laken hebben, hoe veel dan voor ƒ 99 -»- *?
%. 885. L. De eerfte oplosfing uit enkele vergelijking, zonder zelvs eenige evenreedigheid op te fte/len, behaagt mij bij uitneemendheid, Meester!
§. 886. M. Deeze oplosfing zoude echter veel fraaijer geweest zijn, indien ik op eenmaal alles in vergelifking gefield had , zonder vooraf de prijs van het linnen in guldens te bereekenen.
Zie



REOEL VAN DRIEËN. 167
Zie het hier nevens op die wijze verricht. 2 x 66 x | =r 41 x
Ik heb hier ƒ | voor 15 . j ,
ftuivers genomen, om a x f>6 x 3 — 18 x
dat de prijs van het la- 3/ '.
ken in guldens bepaald '2x66 , — 6 x
is, zo het noodig 6/ „
mogt zijn U zulks on- 2 x 11 x der 't oog te bren- u .. .n. .u gen, tot beter begrip of 22 =: x
van bet opftel
§. 887. L. Ik beken dat deeze oplosfing nog fchooner is, Meester! en mij dunkt, dat men den regel van drieën in dergelijke gevallen niet noodig heeft.
§. 888. M. Herinner U toch dat men iedere vergelijking in eene evenreedigheid, en omgekeerd iedere evenreedigheid in eene vergelijking kan. veranderen, (§. 646 ) dus dat eene vergelijking, en eene evenreedigheid flechts in gedaante van opftel van clkauderen verfchillen.
Neem deproev met bovenftaande vergelijking, 41 : | = 2 x 66 1 x (§. 886.). als hier ne- . vens; en dit is ten uiter- of4^ : f = 132 : x
ften leerzaam : w,ant, nu — / 4
vindt Gij aanftonds,dat 18:3= 132 : x
de prijs van een el la- '3/
ken, (f41) ftaat tot de 6:1= 132 :x
prijs van eene el linnen, 6/— 6/
C/|) gelijk het getal 1:1= 22 : * van ellen linnen ,(132) dat is
tot het gezochte getal x = 22
van ellen laken; (x)
®f, met andere woorden, dat het getal van efL 4 ieiï



X6% NADÈRE TOEPASSING VAN DEN
len dat tegen eikanderen verruild moet worden , met de prijs van iedere el, wederkeerig evenreedig zullen moeten zijn. (§. 639 en 640.) — Of nog anders, dat het getal van ellen, ponden enz. dat tegen een ander getal verruild wordt, grooter zal moeten zijn, naar maate de waarde van ieder el geringer is, en zo anders om; eene waarheid, welke uit den aart der zaak volgt, en aan ieder gezond verftand in het oog moet loopen.
§. 889. L. Het is zeer klaar, Meester! Dan welke handelwijze volgt men het meest in het Stukkeu linnen 2 dagelijksch gebruik ? ellen 66
f. 890. M. Geene
van deeze — Zie de ge- 132
woone werkdaadige han- ■
delwijze, hier ter zij- ft . . . 66
de. — Ik toonde U bo- /i = lxi. . 33
Ven, (S- 883 - 888.)
dat deeze handelwijze, 4\ I f 99"-*
fchoon 'er geene open- —: / 2
lijke regel van drieën 9 / 198
in te vinden zij, echter 1-
op eene evenreedigheids- Komt 22 ellen,
reekening gegrond is-
§. 891. L. Gij zult mij, hoop ik, eenige vraagen ter oeffening geeven, Meester!
5. 892, M. Zie hier de volgende.
A. Hoe veel Hukken linnen van 78 ellen lang ieder, en van 10 ft. de el, zal men in ruiling geeven voor een ftuk laken van 52 ellen lang , en tegen ƒ 4| de el bereekend?
B. Indien de Lakenhandelaar ondertusfehen geld noodig had gehad, en daarom \ in gereed geld pad bedongen, hoe veel geld, en ftukken linnen,
als



REGEL VAN DRIEËN, löp
als boven, ( A ) zoude de Linnenkooper dan hebben moeten tellen en keveren ?
C. Hoe veele ellen baaij zoude een ander Lakenkooper voor dit ftuk laken ( A.) moeten geeven, mids hij het niet hooger dan tot ƒ 3 - 18 -* de el wilde ontvangen, en 16 ft. voor de el baaij begeerde? . ■
ü. Zo de eerite Lakenkooper het ftuk laken CA.) echter volflxekt niet onder de ƒ 4 - 4 - * wilde afftaan, en de tweede geene Hechtere ruiling wilde doen, dan hij zich (C.) voorgefteld had, zal de vraag zijn, op hoe veel de laatfte de el baaij zal moeten ftelkn, om met hetzelve voordcel te ruilen? .
§. 893. L. Zo ik de laatfte vraag wel beo-rijp, Meester! is zij deeze. — Indien de eerfte Lakenkooper de ƒ 3 - 18 - - op ƒ 4 - 4 - - brengt, op hoe veel zal de laatfte de 16 ft. dan moeten brengen , in die zelve reeden ?
§. 894. M. Zeer zeker; de vraag is naar eene evenreedige verhooging van prijs, ten einde de ruiling met een gelijk voordeel, of met eene gelijke winst ten honderd gefchiede. De volgende vraagen zijn van den zeiven aart.
A. Zeker Theekooper heeft thee, welke hem ï8 ft. het ffi gekost heeft, hij wil daar eenige kisten van ruilen tegen koffijboonen, welke 15 % het ffi bij inkoop gekost hebben; zo bij de koffijboonen nu niet onder de 10 ft. het ffi krijgen kan, hoe hoog zal hij het ffi thee dan ftelkn,om over en weder met gelijk voordeel te ruilen?
B. Men verruilt een fti ik laken van 64 ellen, tegen ƒ 3i de el, voor twee foorten van linnen, het eene 1'oort tegen ia, en het ander , tegen 15 ftuivers de el; indien men nu even veel in waarde
L 5 van



I70 NADtRE TOEPASSING VAN DEN
van ieder foort wil hébben , vraag ik hoe veele ellen men van ieder foort ontvangen zal ?
C. Zo men nu iu het voorgaand geval, (B.) niet evenveel aan waarde, maar evenveel ellen van ieder foort verkoozen had, dan vraag ik naar het getal van ellen van ieder foort?
D. Gefield ziinde dat A. 350 ffi peper , tegen i6| üuiv. het ffi, in betaaling gave aan B, voor 572 ffi zuiker , welke op ia| ft. het ffi gefchat wierd ; boe veel zou hij* dan nog aan B. in geld fchuldig blijven?
E Iemand heeft thee van 13 ft. het ffi, waar van hij 600 ffi aan eenen anderen overdoet tegen 18 ft. het ffi, ten einde daar voor een Hechter foort van dien anderen in te ruilen; hoe veele ponden zal de laatfte daar voor, met een gelijk wederzijds voordeel leeveren , indien hem die Hechtere op 8| ft. komt te ftaan ? — Het antwoord in het naast rond getal ponden.
F. Hoe veele ponden zoude hij hem in het zelVê geval, (E. ; in het naast bij komend rond getal, hebben moeten leeveren, indien hem die Hechte thee evenwel nog of ft. bij inkoop gekost had ?
G. Gefteld zijnde dat A. kaas had, welke hem f8| de i co ffi koste, en B. boter, waar van bij de ton tegen/82| betaald had, en dat zij goedvonden eenige 100 ponden kaas, tegen eenige tonnen boter te verruilen; voorts dat A. zijn kaas op ƒ 10 de ico ffi m ruiling (telde; hoe hoog, vraag ik, zal B. zijn boter dan moeten (tellen , om met gelijk voorde*! te ruilen ?
H Indien zich B. ondertusfehen in het hoofd gezet had, van op de boter (G.) 5 ten honderd, boven gelijke ruiling, te willen winnen, dan fc 1 vraag



KEGEL VAN DRIEËN. 171
vraag ik wederom op hoe veel hij die ruiling ftel» len zal?
I. Zeker koopman heeft 620 ellen linnen, tegen 12 ft. de el ; deeze wil hij in ruiling (lellen, voor, Ëngelsch laken, tegen 15 ft. de el, mids f van het beloop in gereed geld te ontvangen. — lk vraag 1. Hoe hoog men dit laken, op die v waarde, in ruiling ftellen zal, als het/ 51 aan den eigenaar kost? 2. Hoe veel men in geld betaalen , en 3. hoe veel ellen men aan laken leveren zal?
§. 895 L. Deeze voorwaarde moet het geval aanmerkiijk veranderen, Meester.} want, voor zo ver de laatfte. in gereed geld betaalt, geeft bi! aan den eerften zijne gevraagde winst, zonder dat hij in ftaat is, daar tegen eene gelijkftaande wederwinst, door het verhoogen van de prijs der waaren, welke hij in ruiling geeft, te bereeken'en.
§. 896.. M. Het fpreekt van zeiven, dat de laatfte zijn laken, daar naar, op eenen hoogeren prijs moet ftellen. — Dus zal het 'er alleen op aan komen, om de verhouding te ontdekken, volgens welke de noodige verhooging gefchieden moete, om met eene gelijke winst te ruüen.
§. 897. Deeze verhouding ontdekt zich, aïsi men acht geeft op de verandering, welke 'er, door het ontvangen van een gedeelte gereed geld • in de betrekking ontftaat, die 'er tusfehen de waarlijk afgeftaaue, en wederom te untvangene waarde plaats heeft. — Indien de eerde geen gereed geld bedongen had, zoude de betrekking, tusfciien de waarlijk afgèftaane en re ontvangerie waarde, gedaan hebben gelijk 12 tot 15, of gelijk 4 tot 5. Doch na dat hij een derde der fe ontvangene waarde: dat is, \ van 15 d. of 5 ft.



l?% NADERE TOEPASSING VAN DEN
op iedere el in gereed geld ontvangen heeft, blijven 'er flechts 12 — 5 = 7 ftuiv. wezenlijke waarde uit ftaan, waar voor hij dan nog 15—5 = 10 ft. in laken ontvangen moet. — De betrekking of verhouding tusfehen de waarlijk afgeftaane waarde , en de nog te ontvangene , verandert dus, door het ontvangen van J in gereed geld, van 4 tot 5 in die van 7, tot 10; en naar deeze laatfte. verhouding moet de prijs van het laken verhoogd worden.
§. 898. De reekening, 12 : 15 ter beantwoording van het 5= 5= f x ij
eerfte gedeelte der vraag,
zal zich dan onder nevens- 7 : 10=: ƒ 5£ : * ftaande gedaante vertoo- 4
nen, of ten minsten op —
deeze of dergelijke wijze 28 : 10 = 21 : x moeten worden opge- 7/— 7/ —
maakt. 4 : 10 =r 3 : x
Het tweede gedeelte der a/
vraag zal als dan gemak- 2 : 5 = 3 : x lijk opgelost worden; Komt r55 = ƒ75 want, men bereekene eerst het geheele beloop van de 620 ellen.
620 ellen, ( §. S94 , 1. ) .
tegen 15 ft. oi'f guld, de ƒ 1 . . . 310 el, en neeme daar 1 van, ? • • • "55
zo vindt men wat 'er in
gereed geld betaald moet ƒ465
worden; vervolgens dee- 3/
le men de overige f van in geld ƒ 155
het geheele beloop door /2
de büvengevondene ƒ71, in lakenƒ 310 en de uitkomst zal het geheele getal ellen geeven.



REGEL VAN D R ï E ë N. 17$
ven , dat er van het la- ——— /z ken nog gekeverd moet 15 / 620
worden. 5 /
3 / 124 / m tli
§. 899. L- Maar zo de eerfte ($. 894. L ) nu
eens f deelen in gereed geld bedongen had,
Meester! dan was het
getal ia geheel weg ge- 12 : 15
raakt, gelijk ter zijde 12 = 12 = * x 15
te zien is; en men zou- ——— —— -,•
de als dan een o voor o : 3 zz: f 51 : x de eerfte term der evenreedigheid gekreegen hebben. Hoe daar verder mede te werken ? want, indien de eerfte term ï 3*5*
was, zoude x = ——. = 3 x 5^ — 15» Wori
3 x 5~j
den, doch de eerfte term o zijnde, wordt x ss .
o
3X5;~
daar nu o niet gelijk aan 1 is, kan ook — «iet
o
3 x 5$
gelijk aan zijn. — Hoe veel is dan
1
3x5? toch ?
' o
§. 900. M. Uwe aanmerking is zeer gegrond ; dan gij voert 'er ons door buiten ons bellek: dat is, buiten het bellek der gewoone Reekenkunde. — Ijc moet U echter antwoorden ,



[74 NADERE TOEPASSING VAN DEN
den, en ten dien einde dient dat de- uitdruk-
3X5?
king eene oneindig groote grootheid te
o
kennen geeft; naardien het eene waarheid is, Wtlke wij echter hier niet zullen bewijzen, dat alk grootheid, welke door o gedeeld moet worden , oneindig groot is.
§. 901. L. Hoe oneindig groot? Meester.' dat begrijp ik niet. — Zoude de laatfte (§. 894, I.) dan een miilioen guldens voor een ei laken kunnen vraagen?
§. 902. M. Niet alleen een miilioen. maar een miilioen maaien een miilioen, en als hij die gevraagd heeft, 'v hij nog juist even, als of hij geen duit gevraagd had.
§. 903. L. Dit zijn wonderfpreuken , Meester! ik begrijp U niet.
§. 904.. M. Het is hier, waar zich eigenlijk het meer verheeven fchoon der Reekenkunde begint te laaten zien , het welk men echter eerst in derzelver hoogere deelen gewoon is verder te ontwikkelen, en ten toon te fpreiden. — Deeze
3X5;- . . •
Uitdrukking , gelijk aan eene oneindige groot-
o
heid, geeft te kennen dat de eigenaar van het laken, in ruiling, geen duit, en dus ook geen' draad laken , aan den eigenaar van het linnen meer fchuldig is, na dat hij hem | der gevraagde waarde betaald heeft. — Zie hier nu het fchoon, dat 'er in deeze uitkomst ligt opgellooten. — Zo lang 'er nog eene eindige: dat is, bepaalbaare, prijs uit kwam, zoude het een teeken zijn, dat de Lakenhandelaar nog eenig laken, al was het dan
flechts



REGEL VAN DRIEËN. 175
Hechts een millioenfte van eene elle, aan den Linnenkooper fohuldig was. — JJan, nu komt 'er eene oneindig groote : dat is, voldrekt niet te bepaalene prijs uit. Tegen dien prijs zoude nu het minste draadje reeds, zo wel als eene\geiiede elle, eene onnoemlijke waarde hebben. Dus fchiet 'er niets over, dan dat de Lakenhandelaar volftrekt geen laken meer aan den Linnenkooper fchuldig zij; om dat alleen niets met het oneindig vermenigvuldigd, nul, of niets kan voortbrengen.
j5- 905, L. Ik bedank u zeer voor de gegeevene opheldering, Meester! — lk begin het fchoon van deeze,,voor mij nog zo vreemde" eigenfchap der Reekenkunde te gevoelen; dan mijne denkbeelden zijn nog niet volkomen onn-ehelderd. — Hue komt het toch dat de LakenkoW" per , met f van den bedongen prijs , den Linnenkqoper volkomen zoude kunnen betaalen?
§. 906. .M. Om dat 'er van ruiling, en niet van koop gefpropken wordt. — Iugevalle van koop, moet de kooper aan den verkooper niet alleen de waarde der goederen, welke zij aan den verkooper gekost hebbeu, maar nog daarenboven des verkoopers winst betaalen.' In
gevalle van ruiling wordt verondcrfteld, dat men de wedeiv.ijdfcbe goederen 'tegen inkoops-prijs aan eikanderen over doet. — Gij voelt dus wel, dat de verhóoging der prijzen, welke wij, naar gewoonte, in onze vraagen ( §. £9$..) voorgelteld hebben, voor zo ver maar denkbeeldig is,,.dat zij in de antwoorden van de hoeveelheid koopwaaren, welke tegen andere hoeveelheeden gekeverd moeten worden, geen verfchil kunnen maaken, naardien de prijzen als dan wederzijds
in



I^Ó* NADERE TOEPASSING VAN DEN
in gelijke reeden verhoogd worden; zo dat de antwoorden in dit opzicht eveneens moeten uit* komen of de goederen voor inkoops -prijs, dan voor verhoogde prijzen geruild worden.
§. 907. L. Deeze aanmerking zet aanmerklijk ft. veel ligt bij: want, f van 15 gevraagde prijs, de gevraagde prijs 15 ft. 4 maakt juist de inkoops- — prijs 12 ft. uit. — De La- 60 kenkooper ruilt dan in dit 5/ — geval eigenlijk waaren te- 12 inkoops-prijs, gen geld: dat is, hij betaalt het tinnen tegen inkoops - prijs; het is dus eene waare ruiling, en eigenlijk geen koop 3 want, als dan zoude hij hem de volle fom, tegen 15 ft. de el, hebben moeten betaalen.
§. 9°8- M. Dit zal door nevensftaande 620 ellen, reekening volkomen 3 ft. winst op de eJ« opgehelderd worden.
Eerst heb ik beree- 1Ü6.0
kend wat 'er, tegen !
3 ft. de el, in het ge- ƒ93 * * - « geheele winst, heel op het linnen ge- /• . _ wonnen zoude wor- t 55 !n g, > ffi. 808. ^ den, en vind/i>3-.-. />IG 9 J
Voorts heb ik op- f 93 winst' gefchreeven wat 'er rin geld, en wat in /2"7 naar inkoop, laken betaald moet ƒ ji / 217
worden uit het voo- ƒ4
rige , C§. 898.) 21 / 868
Eindelijk heb ik de 7/
ƒ93 winst van de 3 / 124 /411 ellen.



REGEL VAN DRIEêN. 177
ƒ310, welke in laken betaald zoude moeten worden, afgetrokken; en het overfchot ƒ 217 door ƒ5x, met de verhoogde, maar waare prijs van het laken gedeeld; waar door ik, even als bou' VI 98, ^ 41 r el,en bekomen heb. — Deeze handelwijze kan ter proeve op de voorige verltrekken , en toont meer eene waare ruiling aan.
5. Qco. L ik moet nog eene vraag doen, Meester! in hoop echter, dat ik geen misbruik maake van uwe goedheid. — Zij is deeze.
Indien de Linnenkooper eens f| in gereed geld ge- 12 : 15 vraagd had, zoude ik, ge- 14 = 14=314x1*
lijk hier nevens, 14 van 12 *?
hebben moeten aftrekken, Wat?:i volgens voorig onderwijs, (§. 898.) Dan 12 is reeds 2 minder dan 14. — Wat Ichiet daar dan toch over, daar 'er reeds te kort komt?
910. M. Ik zoude uwe vraag, wat? met — 2, of, min 2 , moeten beantwoorden; dan dit zoude ons tot de leer der negative, of ontkennende waardijen, en dus Jiog verder buiten ons beitek voeren. — liet zij genoeg te zeggen, dat dit een teeken, of kenmerk, daar van is, dat de Lakenkooper (§. 894., I. ) geen \i van de gevraagde prijs aan den Linnenkooper 111 gereed geld kan geeven, zonder dat hij hem reeds, in geval van ruiling, vee! teveel betaald zoude hebben, gelijk teffens overvloedig blijkt uit bet voorige ( S. 904.; waar wij gezien hebben, dat hij hem in _ gereed geld niet meer dan f der gevraagde pms, ui ruiling, fchuldig was. — Een zodaam'g verlcnijnzel in Reekenkunde toont dan ahijd aan, dat het geval reeds omgekeerd is: zo dat, hier U. deel. M ter



178 NADERE TOEPASSING VAN DEN
ter plaatze, de Linnenkooper reeds laken , of waarde van dien, aan den Lakenkooper, in plaats van de Lakenkooper aan den Linnenkooper zoude fchuldig zijn.
§. 911. L. Gij laat mij nieuwe fchoonheeden in een verfchiet zien , Meester ! Dan ik zal geduld hebben. — Is 'er nog meer omtrent de ruiling ?
K. 91a. M. Zij wordt gemeenlijk ook voorgedragen als op tijd te gefchieden, waar van wij misfchien bij volgende geleegenheid nog een enkel voorbeeld zullen bij brengen. — Wij willen nu iets zeggen van de zo genaamde Goud- en Zilverreekening, of Reekening van menging.
«. 913. L. Gij zult de vriendlijkheid hebben, hoop ik , Meester! van mij het oogmerk deezer Reekening, waar van ik tot nog toe niets, dan alleen de bloote naamen, verftaa, nader te doen kennen. . , .;., ,.
K. 914. M. Ten dien einde zal het noodig zijn, dat ik U vooraf met eenige kunst - termen, dat is, met eenige woorden, of uitdrukkingen, welke in deezen gebruiklijk zijn, bekend maake.
1, Goud en zilver zijn de twee voortreflijkfte metaalen, zo wegens hunne weezenlijke als ingebeelde waarde, die onder het menschdom algemeen bekend zijn. — Zelden worden zij echter volmaakt zuiver: dat is, zonder eenige inmenging van eenig ander metaal , als koper onder het zilver, zilver of koper onder het goud, enz. gevonden, of verwerkt. — Zij kunnen echter gezuiverd, of van alle inmenging van vreemde metaalen bevrijd worden, en in dat geval noemt men die metaalen fijn. — Roven (§. 433 ) hebben wij gezien dat 'een mark 8 oneen, ot i2pen-
nin-



RÉGEL VAN B R 1 E ê' N. tfij
hingen, of 24 caraaten houdt, en dat het goud bij caraaten, doch het zilver bij penningen bepaald_ wordt. — Het goud zal derhalven dan eerst firn zijn, wanneer de 24 caraaten van een mark alle uit zuiver goud beftaan, zonder eenig irimengzel van vreemd metaal. Men noemt het dait ook goud var1 24 caraaten; zo dat goud van 24 Caraaten, ot fijn, woorden van de zelve beieekenis zijn. — Zo beteekent fijn, betrekiiikf.t zilver ook even zo veel als zilver van 12 penningen.'
2. Allieren, alloyëren, oï alloiëren, zijn franfche, naar het nederduitsch gebogene woorden, welke het mengen van verfchillende metaalen on! der eikanderen te kennen geeven. — Zo b -teekenen dus de woorden alliage, alloy, of alloi eigen ijlt met anders dan een mengzel van veiïchillende metaalen. — Hoe meer goud, of zilver er nu 111 een mengzel bevat is , hoe rijker of beter, het mengzel zal zijn; waar uit men klaar begrijpt wat de woorden van een goed, of flecht beter of flechter alloi te kennen geeven. _ Zom! tijds wordt het woord alloi ook in eenen enio-zhis anderen zin gebeezigd, en wel voor de verVouding der hoeveelheeden van de verfchillende metaalen onder het mengzel; zo vraagt men bil" voorbeeld, naar het alloi van zekere baar' of' ltaay goud, of zilver, naar het alloi eener muntfpecte, enz. — Eindelijk wordt het woord alloi wel eens, fchoon meer oneigen, voor het Hechtere metaal, onder het mengzel, zeiven gebruikt!
R iitrVm h0°rt i"6" wel eens ze?gei1 dat de Rijder geen zo goed goud is als de ducaat: want,
tn n^Z t1 /}en Cerften ""«"gevonden wordt;
dan nt\P a er Ter a-m °nder de zestchalvei oan onder de guldens is, enz.
M 2 3. §it



l8o NADERE TOEPASSING VAN DEN
3. Gehalte , eigenlijk een hoogduitsch woord, beteekent de verhouding tusfehen de verfchillende hoeveelheeden der metaalen, in eenen zamengeftelden klomp; en komt dus volmaakt in beteekenis overeen met het woord alloi, in op één' na den laatften zin, boveu(n<\ 2.) verklaard. De yraag naar het alloi, is dan die naar de gehalte: dat is, naar de onderlinge verhouding der zamen» gefielde metaalen, in hoeveelheid , of gewigt, tot eikanderen.
4. Esfayeren , wederom een verbasterd fransch woord, beteekent gehalte van een gemengd metaal onderzoeken. ~ Een Esfayeur is dus iemand, welke dit onderzoek doet, een metaal-proever. — Esfai oi' esfay duidt dit onderzoek, of de verrichting daar van zelve aan. — De bepaaling van de gehalte gefchiedt door alleenlijk de hoeveelheid van het fijn metaal, in ieder mark gewigts van het mengzel, op te geeven. Stellende dan dat 'er zich 19 caraaten zuiver goud , en 5 caraaten koper, of andere vermenging, in het mark van zeker gemengd metaal, bij es/ai, bevonden; zo dat zich de hoeveelheid gouds, tot die van het ondergemengd metaal, verhield, gelijk 19 tot 5, dan noemt men dit geheele mengzel wel goud, maar men zegt het te zijn goud van flechts 19 caraaten; waar door men te kennen geeft, dat dit metaal, of eigenlijk dit metaalachtig mengzel, het welk men alleen goud noemt, wegens de hoeveelheid goud, welke het bevat, geen zuiver, of fijn goud is, maar van die gehalte dat het onder het mark, of onder de 24 caraaten 19 deelen, of caraaten fijn goud bevat.
§ 915. L. Uit bet gezegde vermoed ik reeds, Meester J dat het nut en oogmerk deeze* reeke~ • ning



REGEL VAN DRIEËN. l8t
ning zal beftaan in het ontdekken der middelbaare gehalte, welke 'er noodzaaklijk ontftaan moet, wanneer men metaalen van verfchillende gehalten onder eikanderen mengt.
§• 916. M. Allerlei!vermengings-reekeningen, zo wel van vloeijfloifen , als van vaste lighaameu, maaken 'er het onderwerp van uit. — Daar 'er nu door vermenging van goud, of zilver, met koper ; van wijn, of bier, met water , enz. zo wel als door vermenging van goud of zilver, van verfchillend alloi; of van wijnen of bieren van verfchillende aeugd en (reikte, altoos mengzels moeten voortgebragt worden , welke minder in waarde, deugd, of alloi zijn, dan het beste der gemengde, en beter dan 'het flechtfte der gemengde fioffen, zo dat door de vermenging altijd eene middelbaare gehalte ontftaa, gelijk gij zeer wel zegt (§. 915.) zo zal het oogmerk deezer reekening hoofdzaaklijk moeten zijn , om uit de bekende gehalten van de vermengde doffen, de gehalte van het mengzel op te >fpooren, en te bepaalen.'
§. 917. Men lette ondertusfchen dat koper met betrekking tot zilver of goud, doch vooral tot het laatfte, even weinig als water met betrekking tot wijn, of bier, in gevalle van vermenging, voor van eenige waarde gehouden worde.
S- ?i8. Zie hier een voorbeeld. — Men hebbe 2.0 mingelen wijn van 6 d. het mingelen , en 4 mingelen van 3 d. het mingelen; deeze menge men onder eikanderen, en vraage naar de orijs van ieder mingelen in het mengzel.
Om dit te beantwoorden, is het klaar, dat de £o mingelen van 6 d. 120 ft. of ƒ 6---. aan waarde bedraagen, en de 4 mingelen van 3 ft. nog 12 ft. daar boven; dus dat de geheele waarM 3 de



Jg2 NADERE TOEPASSING VAN DEN
de van het mengzel 120+12, of 132 ft. bedraa? gen zal. Ondenuslchen beftaat het mengzel uit 20+4, of uit 24 mingelen; deeze gedeeld in 13a ft. geeven jf ft. voor de gevraagde prijs van ieder mingelen in het mengzel.
Had men echter, in de plaats van 4 mingelen wijn, van 3 ft. het mingelen , 4 mingelen water bij de 20 mingelen wijn, van 6 ft. het mingelen, bij gedaan, zo zoude het mengzel, even als te vooren , uit 24 mingelen beftaan hebben, doch de waarde zoude door het bijdoen van water niets vermeerderd zijn, en dus zoude men de 120 ft. of waarde der 20 mingelen, aanftonds door 24 moeten deelen, en daar door 5 ft. ten antwoord bekomen.
§. 919. L. Dit is zeer klaar, Meester! Dan onder welke gedaante ftelt men eene dergelijke reekening op ?
§. 920. M. Men kan die gevoeglijk onder vol» geude gedaante ftellen.
Mivg. St. St. Beste wijn 20 x 6 = 120 prijs der beste wijn. flechtfte wijn 4x3= 12 , flechte —-
24 mihg. / 132 / 5|| I 1 ft.hetming, Indien 'er nu onder de beste wijn 4 mingelen water, in de plaats van flechtere wijn , gemengd wierd, zoude men de reekening uitvoerig dus kunnen ftellen.
Mi'ig. St. St. Wijn 20 x 6 = 120 prijs der wijn. Water 4x0= o prijs des waters.
24 ming. / 120 f § ft. het mingelen.
Men.



REGEL VAN D R I E ë N. l8j
Men ziet ondertusfcben dat de geheele bewerking in het laatfte geval beftaat, in flechts de prijs der wijn, of 120 ft. door het getal van mingelen in het mengzel, of 24 te deelen, gelijk de aart der zaak uit zich zeiven medebrengt.
§. 921. L. Gelijk het water geene meerdere waarde aan het mengzel bijzet, dan die der wijn waar onder het gemengd wordt, zo zal dan ook het koper, onder goud gemengd zijnde, naar ik begrijp, de waarde van het mengzel niet, boven de waaide van het oorfpronglijk goud, begreepen worden te verheffen.
§. 922. M. Uit hoofde, naamlijk, van de geringe waarde, welke het koper heeft in vergelijking van die van het goud, zo wel, als uit hooide van de geringe hoeveelheid koper , welke 'er onder eenen klomp gemengd mag zijn, zo lang hij den edelen naam van goud zal blijven draagen: want, zo dra 'er, bij voorbeeld de helft, of twee derde deelen, koper in een mengzel voor handen ware, zoude dit mengzel niet meer den naam van goud, maar dien van een mengzel, dat naar goud gelijkt, als Jimikr of eenige anderen van dien aart bekomen, en men zoude de waarde van het koper als dan ook in aanmerking behooren te neemen.
Zie hier een voorbeeld omtrent de goudmenging, van dergelijken aart als boven (§. 920.) omtrent de vermenging van wijn.
Men hebbe een mark fijn goud, of goud van 24 caraaten. Cf. 914., iO Daar onder menge men eene once, of { mark , goud van 16 caraaten , en vraage hoe veele caraaten het vermengde goud zal houden?
M 4 Ca-



184 NADERE TOEPASSfNG VAN DEN
Caraat. Caraat, Mark i x 24 =3 24 Mark J x 16 =3 2
Mark if houden 26 caraaten goud.
■ / 8
9 • • • • / 208/ 23£ caraaten.
Nu neeme men f mark koper , in de plaats van goud van 16 caraaten, en fmelte deeze onder het mark firn goud, en vraage wederom naar de gehalte van het mengzel?
Caraat Caraat.
M«rk i~ U 11 !cn 24 caraaten goud.
/ 8
V ■ • • . / 192 / 2if caraaten.
%. 923. Ik met Ij «Jïe^n op, Meester! dat «et/ i „ .ui »tnreekening (§ 920.)
in au icric vc:*èfrs **atr «iet! de waarde van de v- 111 ' ' vermengd wordt, en
.het ~ ^d, onder het mark,
in caraaten Uitgedrukt.
924 M. Voelt gij dan niet, dat dit in de daad op één uitkomt? Voelt gij niet dat de waarde van het goud evenreedig is aan de hoeveelheid
van caraaten fijn onder het mark? De be-
ïr*k jj,ke ^aa/cle van het goud wordt dan oogenblikhik uit de caraaten fijn gekend, rf is 'er de Zelve mede ; naardien de waarde van het onzuiver inmengzel in geene aanmtrking komt.
f • S25-



REGEL VAN DRIEËN, iftg
S- 9-5- I" Ik had bijna eene andere aanmerking gemaakt, Meester! welke uwe beftraffiug met geen minder recht verdiend zoude hebben. Ik zag niet, dat de regel van drieën in deeze reekening de hoofdrol fpeelde>; dan bij nader inzien blijkt dat bovenftaande Hellingen , als bij voorb.
Miag. St. St. Beste wijn 20 x 6 == 120 prijs der beste wijn, CS- 920. ) niet dan ingewikkelde regels van drieën zijn, welke uitvoeriger deeze gedaante zouden hebben.
Ming. Ming. St,, St.
1 : 20 = 6 : a?=r 120 ftuivers.
Ik vleij mij dus de zaak wederom begreepen te hebben, zo als ik door het oplosfen van eenige vraagen, welke Gij mij zekerlijk zult opgeeven, hoop .te toonen.
§. 926. M. Zie dan hier de volgende.
A. Als men 24 mingelen wijn van 6 ft. het mingelen, en 32 mingelen van 4 ft. het ming. bij elkauderen doet, welke zal dan de waarde van ieder mingelen in het mengzel zijn ?
G. Zo men bij bovenftaande mengzel (A.) nog 8 ming. van 5 ft. het ming. bij goot, op hoe veel zoude dan ieder ming. van het mengzel komen te ftaan ?
C Indien men nu bij boven gemeld mengzel, (A,J) in de plaats van wijn van 5 ft. het ming. ( B ) 8 ming. water had bij gedaan , welke zoude als dan de prijs van ieder ming. des mengzels geworden zijn ?
D. Als men 16 tonnen bier, van ƒ 8 de ton, vermengt met 12 tonnen bier, van ƒ6 de ton, M 5 op



186 NADERE TOEPASSING VAN DEN
op hoe veel komt dan de ton van het vermengde bier te (laan ? ö
E. Zo men bovengemelde 16 tonnen bier fD.") met 4 tonnen water verdund had, welke zoude dan de waarde van ieder ton geweest zijn?
F. Gefield zijnde dat men die 16 tonnen (D ) onder aó tonnen bier, van ƒ 4 de ton, gemengd had; boe duur zoude dan het gemengde bier bij de ron , te ftaan komen ?
§. 927. Men bebbe 4 mark. en 2 oneen zuiver goud, en menge daar 17 oneen koper onder; de vraag is naar de gehalte van het gemengde metaal : dat is, men vraagt, hoe veele caraaten fijn goud ieder mark van het mengzel houden zal ?
Zie hier de oplosfing op twee verfchillende wijzen, en wel eerst gelijk boven. (§. 922.)
Mark. Onc. Mark. Car. Fijn goud. 4 - 2 = ±\ x 24 = 10a Koper. 17 = 2i x o = o
6| 102
; /8
51 ... . / 816 /16 caraat.
Op eene andere wijze.
Mark. Onc. Goud 4 - a Koper 17
— Mark. Onc. Mengzel6 - 3 houdt 4 - a fijn goud, wat houdt dan het mark ?
Mark.



REGEL VAN DRIEëN. igpr
Mark. Onc. Mark. Onc. Mark. Caraaten. • 6- 3:4-2=1 : x
8 8 .8
51 Onc. : 34 Onc. = 8 Onc. : x
17/
3 : 2 =8 ; *
2x8 16
Komt x = = — Onc. = 16 caraaten.
3 3
§. 928. Zeg mij voorts
A. Welke de gehalte zijn zal, als men bij 3 mark. 4 onc. goud, van 23 caraaten, 7 oneen; koper fmelt ?
B. Hoe veele caraaten fijn goud het mark zal houden van eene gemengde klomp, beftaande uit a mark. 6 oneen goud, van 22 caraaten, en 4 oneen koper, onder eikanderen gefmolten ?
C. Welke zal de gehalte van eene Itaav goud zijn, welke uit 3 mark. a onc. en 8 greinen goud, van 21 caraaten, en 1 mark, 7onc. 4greinen goud van 19 caraaten , zamen gefmolten is?
D. Welke gehalte geeven 3 marken en 5 oneen zuiver goud, als 'er ii mark. goud van 20 caraaten onder vermengd worden?
E. Zo men 12 oneen koper onder 6 mark. fijn zilver fmolt. hoe veele penningen fijn, of wezenlijk zilver, zouden 'er zich onder het mark van het mengzel bevinden?
F. Van welke gehalte zoude zilver zijn, dat uit 11 oneen fijn , en 1 once koper zamen gefmolten was ?
G. Van welk een alloi zal een baar , of ftaav, Zilver zijn, welke ontftaan is uit de zamenfmeltjijg van 4 mark, $ oneen zilver van 11 pennin-



l88 NADERE TOEPASSING VAN DEN
gen het mark, en 3 oneen van 10 penn. het mark?
H. Zo men had 4 mark. 3 onc. zilver van 11 penn. het mark; 3 mark. 7 onc. van ioi penn. het mark; 5 mark. 4 onc. van 10 penn. het mark; en 2 mark. 6 onc. van 9 penn. het mark , en men deeze alle onder eikanderen fmolt, welke gehalte zoude het mengzel hebben?
§, 929. Beantwoord mij ook de volgende vraagen.
A. Zo men een ftaav ruw goud had, weegende 5 mark. 4 onc. en io engelfchen, waar van de gehalte door esfai bekend geworden was te zijn van 20 caraaten, vraag ik naar de hoeveelheid fijn goud in deeze ftaav ?
B. Hoe veel fijn goud zal 'er in eene andere ftaav huisvesten, waar van het alloi bekend is te zijn van 19 caraat. en 6 greinen, en die aan gewigt houdt 4 mark. 3 onc. en 8 engelfchen ?
C. Indien een Zilverfmid een ftaav zilver van12 mark. 4 oneen, en welke o\ penn. fijn op het mark hield, volmaaktlijk wilde zuiveren van alle onreinigheeden, hoe veel wezenlijk zilver zoude hij in gewigt overhouden ?
'D. Hoe veel gewigt zal een Zilverfmid aan fijn zilver bekomen, als hij een klomp zilver, weegende 7 mark. 12 lood. en 8 eng. en houdende 7 penn. fijn op het mark, zo veel mogelijk is van alle ongelijkflagtige deelen zuivert?
§. 930. Zie hier wederom eene vraag ten voorbedde opgelost.
Een Goudfmid zuivert een ftuk goud van 2 mark., 6 onc. op 2 mark, en vindt het alsdan, bij esfai, goud te zijn van 22 caraaten, de vraag is, hoe veel het voor de zuivering gehouden hebbe?
Mark



REGEL VAN D R I E ë N. 1 89
Mark. Car. Caraat. Ten deele gezuiverd goud a x 22 r= 44 . Uitgewerkte onzuiverh. | x o r= o
Voor de zuivering .... 2|. . . / 44
/4
li . . . / 176
Het mark hield voor de zuivering . . 16 car.
§. 931. . Zeg mij nu
A. Hoe veele caraaten fijn het mark van een klomp goud, die 5 mark. 4 oneen gewigt had, voor de reiniging gehouden hebbe; wanneer men dien, na de reiniging, aoj caraaten op het mark bevindt te houden, terwijl hij 12 oneen in gewigt verboren heeft?
B. Hoe veele penningen fijn hield het mark zilver , in een' klomp van 22f mark. welke tot op een gewigt van 18 mark. gezuiverd zijnde, bevonden wierd zilver van 10 penningen te zijn?
§. 932. Keer nu de voorige vraag (§. 930.) eens om, en del haar dus voor
Men hebbe een ftuk goud, weegende 2 'mark en 6 oneen, houdende 16 caraaten fijn op het mark; dan wordt 'er gevraagd tot op welk gewigt, dit ftuk gereinigd moet worden, om goud van 22 caraaten te bekomen ?
Men kan deeze vraag op nevensftaande wijze Mark. Car. Caraat, oplosfen: want, naar- a| x 16 = 44 dien 'er 44 caraaten fijn caraaten 22/ — in den geheelen klomp Komt . . 2 mark.
gevonden worden, en
men begeert goud, van a2 caraaten fijn op het
mark,



I90 NADERE TOEPASSING VAN DEN
mark, te hebben, zo is het klaar, dat deeze 44 caraaten door 2 mark verfpreid moeten zijn; dan deeze en foortgelijke vraagen behooren eigenlijk tot die meer algemeene, en meer verheevene reekenkunde, welke men de Stelkunde noemt.
§. 933. Ik wil U dan liever nog het volgend vraagftuk ten voorbedde voor andere vraagen oplosfen.
' Men ftelle in eene brouwerij 28 tonnen bier , van ƒ 12 de ton, in eene kuip te ftaan, en dat men 'er 7 tonnen aftappe, en daar na de kuip op nieuw tot 28 tonnen met water aanvulle ; dat men 'er dan andermaal 7 tonnen aftappe, en de kuip wederom met water, op gelijke wijze, aanvulle; dat men eindelijk deeze aftapping en aanvulling , van 7 tonnen, voor eene derde maal herhaale , als vooren ; en de vraag is, hoe veel de ton bier, na iedere aftapping en weder-aanvulling, waardig geweest zij?
De oplosfing laat zich op volgende wijze gevoeglijk verrichten.
Tonnen, f f 28 x 12 =r 336 af 7 x 12 = 84
21 x 12 == 252 Water bij 7 x o = o
28 . . . . / 252 / 9 guldens bief. af 7 x 9 = 63
ai x 9 = 189 Water bij 7 * 0 = °
a8 ... . / 189 / 6| guldens bier.
2S



REGEL VAN D R I E ë N. I91
28 ... . / 189 / 6£ guldens bier. af 7 x 6| = 47?
2.1 x 6| =-i4i| Water bij 7 x o = o,
28 ... • / 141?
/4C7
112 ... . / 567/ 5tts I tV guld. bier.
560
7
Men bekomt dan, na de eerfte aftapping en aanvulling , bier van 9 guldens de ton , na de tweede , bier van ƒ 6| de ton, en eindelijk na de derde, bier van ƒ 5,-V de ton» door eene bewerking, welke volmaaktlijk op voorige handelwijze (§.920.) berust, en daarom geene verdere verklaaring noodig fchijnt te hebben.
§. 934. Reeken nu uit
A. Wat ieder ton bier , onder de zelfde omftandigheeden als boven, (g. 933.) na iedere aftapping en weder-aanvulling, waardig geweest zoude zijn, indien men met bier van ƒ3 de ton, in plaats van water, aangevuld had ?
B. Wat ieder ton bier, nog eens onder de zelfde omftandigheeden als boven (§. 933.) na iedere aftapping en wederaanvulling , waardig geweest zoude zijn, indien men, in de plaats van 7 tonnen , t'elkens flechts 4 tonnen afgetapt, en weder met water aangevuld had ?
C. Men ftelle eenen klomp goud van 8 marken zwaar, en houdende 23 caraaten fijn op het mark; van deezen klomp hakke men een vierde
deel



102 ZAMENGESTELDÊ
deel in gewigt af, en fmelte bet overige zamen met goud van 20 caraaten tot eene ttaav van 10 marken; van deeze Haaf hakke men \ deelen af, en bruige het overige door bijvoegh g van goud Van 18 caraat. wederom tot tenen klomp van 8 marken ; dan vraagt men naar de gehalte van het goud in deeze twee achtervulglijk gemaakte Itaaven?
%. 935. L. Mij dunkt, deeze regel levert nog al verlcheidenheid van voorbeelden op, Meester !
§. 936. M. Zeer veel, en meer zelvs dan ik U bij deeze geleegenheid meen re moeten leeren kennen. — Immers kan deeze reekening nog een aantal aangenaame, en niet min nuttige, voorbeelden opleeveren , waar van men zelvs zommige'n wel eens in andere reekenboeken aantreft, dan die ik cpzetlhk daar laat, naardien zij, gelijk ik reeds boven ( §. 9]-2.) aai gemerkt heb, veel beter naar de regilen der Stelkunde worden behandeld. — Het is daar. naamlijk, dat de oplosfmgen van zodaauige vraagltukken , als ik tbands bedoel, eene overtuiging wekkende blijkbaarheid erlangen. welke de gewoone reekenkunde, ten zij men baare paa'en overlchreede, daar niet aan geeven kan. — Dit zij dan genoeg over de enkelvoudige verhoudingen en evenreedigheeden. — Wij gaan over tot de
ZAMENGESTELDE VERHOUDINGEN.
J. 937. L. Wat verflaat Gij door eene zainengefïelde verhouding? Meester!
§. 938. M. In her afgetrokken niets anders, dan bet vermenigvuldigde van twee enkelvoudige verhoudingen. Bij voorbeeld,
Als



VÉR HÖUDINGËN. Jtj|
Als ik de enke'v- verhouding 2 tot 3, of 2: 3 met de ënkelv. verhouding4tot 5,of4: 5vermenigvuldig, krijg ik de zameng. verhoud. 8:15
De getalen 8 en 15 worden dan gezegd, in de zamengefielde reeden te zijn van 2 en 4 , en van % en 5, of *
8: 15 = 2x4:3x5
§• 939- L. Dit is dus op zich zeiven zeer klaar en verlraanbaar , Meester ! dan ik bezef her oogmerk nog niet waar toe men deeze kunst-term uitgedacht hebbe. . $• 94o- M. Om aan'te toonen, dat de betrekking, welke twee grootheeden tot eikanderen hebben , van meer dan van eenen kant komen ; of dat 'er meer dan eene oorzaak tot die betrekking zamen werken. — Doch één voorbeeld zal hier wederom meer afdoen, dan honderd woorden. —: Denkt gij dat bet zeker doorgaat, dat, als gij 80 marmeren (teenen noodig hadtom eene kamer,van 15 voeten lang, mede te bevloeren , gij dan met 2 x 80, of iöo van die zelve marmeren fteenen eene kamer, van a x 15, of 30 voeten lang. zoudt kunnen bevloeren ?
§• 941- L. Mids de kamers even breed waren, ja, Meester!
§• 942. M* Zo' dat dan de grootte eener kamer niet alleen van de lengte, maar ook teffens van de breedte afhange: dus dat 'er meer daiï eene zaak in aanmerking te neemen zij, om over de grootte van eene kamer te oordeelen; of, dat. er meer dan eene zaak zamenwerke, om eene kamer groot te maaken.
AL PE £ L, j\f



194
ZAMENGESTEL-DS
«. 943. L. Zo zal dan, naar ik vertrouw, de eróotte van eene kamer, tot die van eene andere kamer zijn, in eene^amengefielde «eden van de lengte en breedte der eerde kamer, tot d e der aatl e. - Bij voorbeeld, indien de eerfte kamer fV 040.) 15 voeten lang en 10 voeten breed was, en de laatfte 30 voeten lang, en 22 breed, zo zoude men hebben , „„«
Grootte van de eerfte kamer, tot de grootte van de laatfte kamer, gelijk 10 x 15 tot** x 30, ot gelijk 150 : 660; dat is, gelijk 15 : 66, ot 5 . 22. g l 944. M. Het is mij zeer aangenaam dat gij dit zo9wel gevat hebt. - Het is zo; enhet gezönd verftand, gepaard met de dagebjkfch: ondervinding, leeren ons, dat men om de oppervlakkige uitgebreidheid van een kamer, land, ftad, tneir , of alles wat maar lengte en breedte heef , gelijk een ftuk laken, linnen, tapijt, behangsel, enz. te vinden, de lengte met de breedte vermenigvuldigen moete, fchoon dit anderzins een onderwerp van wiskundige nafpooring zij, en eerst in de Meetkunde geleerd kan
Wïd94V. L. Ik begrijp, Meester! dat de hoogte van de kamers in dit geval niet te pas komt, om dat Gij van bevloeren geiproken hebt, (§. 94°-) doch anders zoude evenwel de hoogte van de kamer ook nog tot haare -vergrooting mede werken.
« 046. M. Zeer zeker. - Zo dra men fpreekt van de lighaamlijke uitgebreidheid, of van den lighaamlijken inhoud, welke van drie zaaken, lengte, breedte, en hoogte, naamlnk, afhangt. ~ ■ Gefteld zijnde dus dat de eerfte kamer (§. 940O 9 voeten, en de laatfte ia yoe ten hoogt e gehad nadde, zo zoude de lighaamlijke inhoud, ot uit-



VERMOÜD 1NGEN.
195
gebreidheid , der eerfte kamer, tot die der tweede geftaan hebben, gelijk 8
3/I5XI0X9 tot 3° x 22 x is. zie boven (§. 943J
gelijk 5x10x3 :N 10x22x4
10/- L_ .
gelijk 5x3: 22X4 = 15:8^
§• .947- Hier is de zamenflelling der betrekking of reeden van lighaamlijke inhouden dan al drievoudig , Meester! en men kan zeggèrf ' dat lighaamlijke inhouden zijn in eene zamengeftelde verhouding van lengte, breedte, en hoogte. — Is het niet zo ? , ö §' 948- M. Het is zb; en dit te weetên is noodzaakhjk, om dat het ter vergelijking van allerle.je lighaamlijke uitgebreidheeden, ais kamérs reegenbakken, pak-kasfeii, kisten, baaien, balKen , opgeworpene wallen , uitgegraavene gfaften kommen, vijvers, en al wat lengte, breedte, en hoogte 0f otepte, heeft, onfeilbaar gewee ten en wel begreepen moet worden. * S- 949' L. Komen deeze zamen gefielde verhoudingen wel veel in de gewoone reekenkunde te pas? Meester!
§• 950. M. Zeer veel. — Zij komen overal te pas, waar maar een zeker uitwerkzel van meerdan eene oorzaak afhangt. — Zo hangt de waarde van eene partij koopwaaren niet alleen af van oe hoegrootheid dier partij , maar ook van de innerlijke deugd der waaren zelve. — Om dit wederom met een voorbeeld op te helderen, zeg ik dat het met algemeen waar is , dat 20 fg koffiifeoonen /<5 zullen kosten, als de io fg ƒ3 kosN 3 ten, —



I96 2AMENGESTELDE
ten. _ Dit is maar alleen waar, zo lang men van de zelve foort van boonen fpreekt, gelijk.wij tot nu toe altiid en overal gedaan hebben; doch indien de 10 ffi koffijboonen ƒ 3 kosten, moeten het boonen zijn van 6 ft. het ffi, en zo lang men van die foort van boonen fpreekt, zullen de ao W ook f 6 kosten; zo dra zijn echter de 20 ffi boonen niet van eene meerdere of mindere innerlijke waarde, of deugd, bij voorb. van 8 ft. het ffi, ot de 20 ffi zullen geen ƒ 6 maar ƒ 8 moeten kosten.
S a«. L. Zo zoude men dan ook kunnen zeggen, naar mij voorkomt, dat verfchillende partijen koopwaaren tot eikanderen, wat de prijzen betreft, in eene zamengeftelde reeden van aualiteit en quantiteit ftaan : of, dat de prijzen van verfchillende partijen koopwaaren zich tot eikanderen verhouden, in reeden der hoegrootheeden en innerlijke waardens deezer partijen.
§. 952. M. Deeze uwe aanmerking geleid ons, als van zich zelve, tot den
ZAMENGESTELDEN REGEL VAN D RIE ë N.
S o<% L. Welken men ook wel Regel van Vijven nóemt, zo ik mij niet bedrieg, Meester!
k. 9<A. M. Ja, doch zeer te onrecht, gelijk nader blijken zal. — Dan om bij uwe aanmerking ( 951.) en mijn voorftel ( §. 95°- ) te blijven. — btel eens dat de vraag dus opgegeeven wierd:
Als 10 ffi koffijboonen van 6 ft. het ffi ƒ 3 kosten , wat zullen dan 20 ffi van 8 ft. het ffi kosten ?
Hoe zoudt Gij het aanvangen om deeze vraag op te ftellen, en te bewerken? .
§• 955- L' Volgens uwe onderrichting ( van $. 938. tot §. 946.) zal niets gemaklijker zijn,. Meester 1 — Zie hier de oplosfing



REGEL VAN D R I E è' N. 197
ffi ft. ƒ ffi ft, ƒ iox6 : 3 — 20 x 8 : x
bo : 3 =r xóo : x
20 : i = 160 : x 160 16
komt x= —— ss —ƒ§
20 2
S. 95<5. M. Zeer wel. — Reeken nu ook eens volgens vooriggelprek (§. 945. en 946.) uit, hoè veel thee er 111 eene kist van 36 duimen lang «o dunn wijd, en 16 duim hoog gepakt zoude kunnen worden, als men bij ondervinding weet dat er 81 ffi in een kistje gaat, dat 24 duim lang, 18 duim wijd , en 12 duim hoog is? §• 957' L. Zie het hier beantwoord, Meester! '
Lang. wijd. hoog. ffi Lang. wijd. hoog. ffi
24 x 18 x 12 : 81 = 36 x 20 x 16 : *
I2/ 12/
2 x 18 x 12 : 81 = 3 x 20 x 16 : x
3/ 3/
2 x 6 x 12 : 81 = 20 x 16 : x
4/—; 4/
2 x 6 x 3 : 81 = 5 x 16 : x
2/ 2/ ,
6x3: 81 = 5*8:*
2/ 2/
y, , 3 x 3:81 = < x 4 : x
* ! 9 ^£ 20 • x
Komt eindelijk x 2= 9 x 20 = 180 ffi.
S. 958. M. Ziet gij nu wel hoe verkeerdliik men den naam van Regel van vijven aan deeze N3 he*



198 SAMENGESTELDE •
bewerking geeve ? — Boven (§. 955.) hadt gij viji bekende dingen, waar uit de onbekende moest gevonden worden; hier Q$. 957. ) hebt gij 'er zeven. Zo men het dan boven zegt eenen regel van vijven te zijn, zoude men het hier "eenen regel van zevenen, moeten noemen; en dusdoende zoude'men regels van negenen, van elven enz. bekomen kunnen.
§'. 959. L. Het is zeer klaar, Meester! Dit zoude volgens de rij der onevene getalen opklimmen , naar maate de eerfte en derde term uit meer grootheeden, of bijzondere leden, beftonden.
§. 960, iVL Gij'fpreekt hier zeer onnaauwkeurig: immers is het vooreerst niet noodig, dat het getal der bekende zaaken juist oneffen zijn moete; en ten anderen bepaalt zich de zamenftelling der termen geenzins tot de eerfte en derde.
§. 961. L. Omtrent het laatfte zie ik reeds mijnen misdag, Meester! naardien men de termen verwislelen kan, dan . . .
§. 962. M. Dit is het niet alleen. — Alle termen kunnen zamengelteld zijn, zelvs de onbekende niet.uitaezonderd. — Dus kan 'er ook een onbepaald getal bekende dingen plaats hebben , het welk dan ook zo wel even, als oneven, zijn kan. — Ik zal U van het laatfte eerst een voorbeeld geeven.
Stel eens dat men een land, met aardappelen beplant, ter opdelving deezer bollen aanbelteedde; dat dit land, eene langwerpig .vierkante gedaante hebbende , 600 voeten lang, en 150 voeten breed ware ; en dat men, uit vree3 van misfchien door de delvers benadeeld te kunnen worden , vooraf éénen zak in eigene tegenwoordigheid had doen opdelven, en bevonden dat die
was



REGEL VAN DRIEËN» J 99
was opgedolven uit eene platte uitgebreidheid grondS', ter grootte van 120 vierkante voeten, cn dat men daar uit wilde bepaalen , hoe veele zakken de delvers, na genoeg, moesten leeveren, in de onderftelüng dat het land overal even vruchtbaar in dit gewas ware. — Als dan zoude de reekening immers dus te liaan komen
Vierk. voet. Zak. voet. lang. voet. breed, zakken. 120 : 1 600 x 150 : x
Hier zijn nu vier bekende zaaken, dus een effen getal; naardien de eerfte term terltond vierkante voeten behelst, zonder dat de lengte en breedte van het ftuk gronds, waar uit deeze 120 vierkante voeten gefprooten zijn, worde opgegeeven: dit kan dus 60 voeten lang, en 2 breed geweest zijn; ook 30 voeten lang, en 4 breed; ook 20 lang, en 6 breed; 15 lang, en 8 breed,
enz. Dan dit raakt ons niet; wij weeten dat
het 120 vierkante voeten geweest zijn, en dat uit de vermenigvuldiging van 6co voeten lang, en 150 voeten breed, 90000 vierkante voeten voortkomen; £§. 944.) dus dat men hier zoude 90000 9000
vinden x =S = >—— = 750 zakken.
120 12
§. 963. Zie hier eene vraag, waar in alle termen, uitgenomen de laatfte, of onbekende, zijn zamengefteld.'
Als de Aardappelen, uit een ftuk gronds , dat 15 voeten lang, en 8 voeten breed is, opgedolven, eenen bak van 26 duim lang, iö wijd, en li hoog, vullen, hoe veele lighaamlijke duimen inhouds zullen dan gevuld kunnen worden door N 4 de



èOO ZAMENGESTELDE
~de aardappelen, welke, onder gelijke vruchtbaarheid, moeten worden opgedolven uit een ftuk lands,dat 600 voeten lang , en 150 voeten breed is?
Voeten Duimen Voeten Lighaaml.
lang .breed. lang. wijd boog lang.breed, duimen.
15x8 : 26x i6x n = 6oox 150 : x
8/
15 : 26 x 2x11=600x150 : x
15/— 15/
1 : 26 x 2Xii=6cox 10 : x
Komt x = 26 x 2 x 11 x 600 x 10 = 3432000 lighaamlijke duimen. — Dan wijl een lighaamlijke voet, Rhijnlandfche maat: dat is, een taarling, of dobuelfteenformig lighaam, dat een voet, of Is. duimen lang , en even zo breed, en ook even zo hoog js , uit 12 x 12x12 = 1728 lighaamlijke duimen beftaat, (§. 946.) zo kan men dit gevonden getal, 343200a lighaamlijke duimen, door 1728 deelen, om den lighaamlijken inhoud in lighaamlijke Rhijnl voeten uit te drukken, als waaneer men io86i lighaamlijke Rhijnlandfche voeten zal bekomen.
§. 964. In het volgend voorbeeld is zelvs de onbekende term zamengefteld.
Indien een ftuk land, van 600 voeten lengte, en 150 breedte, zo veele aardappelen opleevert, dat 'er eene ruimte van i986i lighaamlijke Rhijnl. voeten mede gevuld kunnen worden (§. 963.) hoe lang zoude dan een ftuk land, dat 540 voeten breed is , moeten zijn, om met gelijke vruchtbaarheid zo veele aardappelen voort te brengen, dat men 'er eene ruimte van 14300 lighaamlijke Rhijnl. voeten mede zoude kunnen vullen ?



KEGEL VAN DRIEËN. 2QI
ligh. \u. ligh. v.v". lang. v». br. v". br. v. lang. ig86i: 14300 = 600 x 150 : 540 x x
/g
17875 : 128700
25/—
715 : 5148 = 600 x 150 : 540 xx
601 —
10 x 150 : 9 x x
3/
^715 : 5148 t=z , 10 x 50 : $ xx
143 : 171Ó = 10 x 10 : x i7\6x iox 10 17160a
Komt x = : — == 1200
143 *43
Welke oplosfing, met verwisfeling der middenfte termen, gemaklijker dus zoude afgeloopen zijn:
ligh. vaet. voet. br. lang. ligh. voet. voet. br. lang, 1986^ : 150 x 600=14300 : 540 x *
/9
17875: 9X 150 x 600
25/ :
715:9x 150 x 24
5/
143:9x 30 x 24 = 14300 : 540 x x
t: 9 x 30 x 24 = 100 : 540 x x
9x30=270/———: 270/ :—
1: 24 = 100 : 2 x x
*/,-
1: 12 = 100 : x
Komt wederom x = 1200, als boven-
' Nj Nog



302 ZAMENGESTELDE
Nog beter zoude .bet geweest zijn deeze bewerking in colommen (§. 658. 3O op te ftellen: aldus:
Ligh. voeten 1986J I T4300 ligh. voeten. Voeten lang x =: 6co voeten lang. voeten breed 540 j 150 voeten breed.
Men vermenigvuldige dan 1986! door 9, en deele 'er 540, aan de zelve zijde, door; zo bekomt men 17875 en 60.
De bekomene 60 deele men in 600, aan de andere zijde; geeft 10.
Dan deele men de verkreegene 17875 tegen de 150, aan de andere zijde, beide door 25, zo krijgt men 715, en 6.
Daar na deele men de bekoniene 715 van de eene, en de 10 van de andere zijde, beide door 5; en men krijgt 143, en 2.
Eindelijk gaat de verkreegene 143, in de 14300, van de andere zijde, 100 maaien; en men heeft de x van den eenen kant geheel alleen.
Zie het hier aldus bewerkftelligd.
. 17875 . i986t I . 14300 100 . 715 x = I . 600 . 10 2
. 143 . 60 . 54a* I . 150 6
Komt x = 2 x 6 x ioc= 1200.
§. 965. L. Ik zie wel, Mééster! dat deeze Reekening niets anders dan de gewoone evenree. digheids • reekening , of regel van drieën, zelv is, welken men alleen zamengefteld noemt, om dat één of meer van deszelvs termen zamengefteld
zijn;



RE-GEL VAN D R I E ë N. 203
zijn; naardien zij hunnen oorfprong uit de "vermenigvuldiging van twee , of meer andere, neemen; gelijk, bij voorbeeld eene oppervlakkige uitgebreidheid uit lengte en breedte; eene lighaamlijke uitgebreidheid uit lengte , breedte eu hoogte, of, uit lengte, wijdte, en diepte; zoo ook de prijzen van koopmanfchappen, als zij met andere van eene betere, of Hechtere hoedaanigheid (quaïneit) vergeleeken moeten worden, uit hoeveelheid eu innerlijke waarde enz.
§. 966. M. Gij vat de zaak naar behooren: want, zo dra men de moeite wil neemen, van de zamenftellende grootheeden eener term eerst met eikanderen te vermenigvuldigen, bij voorb. lengte en breedte tot oppervlakte, lengte, breedte en hoogte tot hghaara, enz. dan fpruit 'er eene enkele en eenvoudige regel van drieën uit. — Ten voorbedde veritrekke eene voorige oplosfing- (§• 963.)
duim. lang 26 lighaaml.
Voet. lang 15 wijd 16 voet. lang 600 duimen.
-breed 8 hoog 11 breediso x
120 : 4576 = 90000 : *
Zie hier eenen gewoonen regel van drieën, waar van de eerite term 120 vierkante voeten oppervlakte , of platte uitgebreidheid bevat; de tweede 4576 duimen lighaamlijken inhoud, of lighaamlijke uitgebreidheid; de derde bevat gelijkfoortige grootheeden met de eerfte, en de vierde met de tweede, als naar behooren. — De uitwerking voldingt de zaak.
Vier-



Q04 ZAMENGESTELDE
Vierkante Duimen Vierkante Duimen
voeten lighaamlijke voeten lighaamlijke oppervlakte. inhoud. oppervlakte. inhoud.
120 : 4576 — 90000 : x
30/ 30/
4 : 4576 = 3000 : x
4/
1 : 1144 = 3000 : x 3000
x = 3432000 gelijk boven. (J. 963.)
§. 967. L. Vergun mij' nog twee vraagen, bid ik, Meester! — De eerite is deeze:
Daar de beloopen van bepaalde partijen koopwaaren tot eikanderen ftaan , in eene zamengeftelde verhouding haarer hoegrootheeden en innerlijke waardijen, (§. 951.} en dit wel in acht genomen moet worden, zo dra de innerlijke waardijen, der bijzondere partijen van eikanderen verschillen, (§. 954. en 965.} waarom verliest men dit dan volkomen uit het oog, in den gewoonen regel van drieën , zo lang de innerlijke waardijen de zelve, of gelijk gefteld worden?
§. 968. M. Juist daarom dat zij voor de zelve, of aan eikanderen gelijk , gehouden worden; en derhalven de zamengeftelde termen beftendig eenen eenzelvigen factor zouden hebben, welke eenzelvige factoren toch altijd tegen eikanderen zouden uitgaan. — Men eisfche, voor een ogenblik, dat men ten ftrengften aan deeze wet voldoe , en de volgende vraag beantwoorde:
Als 6 t§ koffiiboonen, van 10 ft. bet IS, ƒ 3 kosten , wat zullen dan 18 tg, van 10 ft. het É beloopen ?
Men



REGEL VAN DRIEËN. ZOg
Men (lelie dan, in den eerden opflag, aldus
ffi ft. ffi ft. f. f.
6 x 10 : ïS x 10 = 3 : *■ cn men krijgt
10/
6 : 18 , = 3 : x zo dra men de eenzelvige factoren tegen eikanderen weg neemt, even gelijk men de vraag in den gewoonen regel van drieën (lelt.
§. 969. L. Daar ik het niets beduidende mijner eerfte vraag (§. 967.) niet zonder bloozen befpeur , Meester! fchroom ik de tweede voor te draagen; dan ik zal het waagen, misfchien is zij meer gegrond.
Zij is deeze : — Waar toe deeze zamengeftelde regel van drieën? — Waar toe 'er gewag van gemaakt? Daar hij, volgens het geen wij 'boven ($• 9Ó5- en 9*56. ) zagen , toch op eenen eenvoudigen regel van drieën uitloopt, zo dra men de factoren , waar uit de bijzondere termen beftaan , met eikanderen vermenigvuldigd heeft; als, bij voorbeeld, lengte eu breedte tot vierkante duimen , voeten , enz. lengte , breedte, en hoogte, of diepte, tot lighaamlijke duimen, voeten , enz. (§• 966.)
§. 970. M. Om dat niet alle producten, welke uit verfchillende factoren gefprooten zijn, wederom eenen eigenen naam hebben: gelijk, bij voorbeeld, het product uit lengte en breedte , platte oppervlakte, of oppervlakkige uitgebreidheid heet, en door vierkante duimen, vierkante voeten , enz. uitgedrukt wordt; terwijl het product uit lengte, breedte, en hoogte den naam van lighaam, of van lighaamlijken inhoud draagt, endoor taarlingfche: dat is, dobbelfteenformige duimen.



io6 Z A MENGËSTELDE
men," voeten, enz. wordt aangeduid. (§. 943— 948.) — Dan welken eigenen, of eenvoudigen naam zal men aan een produtï geeven, het welk uit geld en tijd, of uit manfchap en tijd, gefprooten is ? — r\4en heeft het, om dit met een voorbeeld nader op te helderen, in de keus, om in het voorgaand voorbeeld (jj. 966.) te zeggen, dat 4576 lighaamlijke duimen inhoud, tot x duimen-, lighaamlijken inhoud, ftaan, in eene zamengefielde reeden, van 15 voeten lengte met 8 voeten breedte, tot 600 voeten lengte met 150 voeten breedte, of ook om te zeggen, gelijk 120 vierkante voeten oppervlakte , tot 90000 vierkante voeten oppervlakte. Doch als ik weet, dat 3 metzelaars 36 vierkante voeten muur in 8 uuren kunnen opmetzelcn, en daaruit wil vinden, hoe veele vierkante voeten muur 9 metzelaars in a uuren tijds zullen kunnen ophaalen, dan zal men moeten zeggen , dat 36 vierkante voeten muur ftaan tot de te zoekene, of tot * vierkante voeten muur, in eene zamengeftelde reeden van 3 metzelaars en 8 uuren tijds, tot 9 metzelaars en 2 uuren tijds; en deeze laatfte producten kan men in geene eenvoudige uitdrukking brengen, gelijk de voorige, die uit lengte en breedte beftonden, en door den enkelen naam van vierkante voeten oppervlakte heftempeld konden worden. — Zo zijn de interesten van verfchillende hoofdfommen, welke verfchillende tijden uitgedaan hebben, in eene zamengeftelde reeden. van hoofdfommen en tijden. — Zo is de voorraad, waarvan zich een fchipper behoort te voorzien, in eene zamengeftelde reeden van bet getal koppen, dat hij aan boord heeft, en het getal van dagen, weeken, of maanden, welke tot het doen eener voorgenomen e



REGEL VAN D R I E è' N. 207
mene reize gemeenlijk, op het langst, vereischt worden. — Eindelijk zo zijn 'er eene menigte van andere gevallen, waar in eene grootheid als het gewrocht van twee of meer andere grootheeden , als oorzaaken, moet befchouwd worden waar uit dan zamengeftelde reedens voortfpruiten!
§. 971. L. Ik bedank ö hartlijk voor deeze onderrichting,Meester! en vlcij mij de zaak thands volkomen begrëepen te hebben. '— Wilt gij 'er de proef van neemen, door mij eenige vraagen op te geeven ?
§. 972. M. Maak een begin met de vraag omtrent de Metzelaars (%. 970. ) te beantwoorden.
§• 973- L- Zie de oplosfing hier, Meester!
Metz. uuren. Metz. uuren. vlerk voet. vlerk. voet.
3x8:9x2 = 36 : x 3/ 1 8:3x2
2/ :
4:3 = 36 : x
4/— 4/
1:3 9 : x
Komt , na behoorlijke verkorting,£ = 3x9 = 27.
Of anders, Metz. .3 f . 9 Metz. 3
zo U dit beter .4 uur. .8 = .2 uur.
behaagenmogt, vierk. voetx 36 vierk. vN?
opnevensftaan- —— ,
de wijze. Krmt x === 27
§• 974- M De laatfte handelwijze is zekerlijk de kortfte. Men vindt de oplosfing in de gewoone reekenboeken ook veeltijds aldus.
Metz.



2o3 ZAMEN GESTELD»
24 : 36 ■ 1 18 : * vierk. voet.
12/
2 : 3 . : 18 : x
2/- 2/-
1 : 3 : : 9 '• x
Koriit wederom x = 3 x 9 = 27.
§. 975. Verder kunt gij de volgende vraagftukken oplosfen.
A. Als 'er 5 oneen koren op eenen vierkanten voet lands groeijen, hoe veele zakken zullen 'er dan kunnen groeijen op een akker die 700 voeten lang en 50 voeten breed is ? — De zak koren op 125 tS gewigt gereekend zijnde.
B. Als een tuin, die 140 voeten lang en 80 voeten breed is ƒ140 aan moes, of vruchten, in een jaar opbrengt, wat zoude dan een veld van 350 voeten lang, en 210 voeten breed, onder rroU.'ba ^mUkinrlin-tiPPripn . hphooren ot> te brenaen?
C- Als men 100 oaaien catoen nan piaai^eu op eenen zolder, die 36 voeten lane en 20 voeten breed is, hoe veele zulke baaien zal men dan kunnen plaatzen op eenen anderen zolder , lang 54 en breed 25 voeten?
D. Als 15 graavers, in 24 dagen, werkende 4 fchoften 's daags , eene graft graaven ter lengte van 28 roeden, tot welk eene lengte zouden dan 27 graavers, die 5 fchoften 's daags werkten, zoodaanig eene graft, in 36 dagen, kunnen ukgraaven ?
E. Indien eene fchutting , van 27 voeten lang. en 6 voeten hoog, ƒ 18 aan fchilderen gekost
bad j



REGEL VAN DRIEëtf. -09
had, wat zoude dan eene andere fehuttine nn
ten foï„ÜteaU?gheeden' r fSe™ hoog is f' 60 V0£te" h"S> e" 9 voeten
< *,i 3 kl5ermaakers , ieder met 7 knechts 16 dagen 56 menfchen kunnen kielden ioè veele menfchen zullen 'er dan 's daags gekleed kunnen worden door IO kleermakers "dit ieder met 18 knechts werken? _ De baazèn worden gereekend in perfoon niet mede te werken. " Alseenfcheepsvolk, van 100 konpen, zich
leevens- middelen voorziet, hoe veel zal dan ander fcheepsbevelhebber 'aan Socht möete,? opdoen om zich in gelijke reeden te voorz ei1 indien hij met 25o koppen eene reis wü 0,1 £r' ne men welke naar gisfing „ weeken duuren zal* ° Ff? S weeïctiiks 30 ftuivers bezoldinfi
van eTn W3t ZaI da» het
vnnol e#er Van 75°00 mannen in een jaar!
voor bezolding aan de gemeene foldaaten, bX
waaren"?!,meH 0m 1000 * ^wigt aan koopwaaren 6 uuren gaans te vervoeren f20 betaalt wat ^za men naar die verhouding, onder Sa omftandigheeden van weg, waare? enz befaa£ vieren? ™ 375° «» & uuren Saa»*> te ver"
ftaa,;de,1ek"rPen1br00,d]Van Zeker be<üaa!d ftuiv kost ^ "Daade PriJs van het koren, ö ff.dbeL V£d Zal da" eeu brood moctei1



alO ZAMENGBSTELDE
i-n.tpn het welk een derde zwaarer is : dat is, weï k^w gt w dat van het voorig brood ftaat, gelijk ffmfï , indien het koren teffens een aeht-
HTwaTzoude het laatstgemelde brood f vraag L.) hebben moeten kosten, indien het C in de plaats van i in prijs te rijzen, in too-pnrWl l in nriis gedaald was i Tp «• ^ooniknnt gij nu ook nog eenige vraaoftukken van /»«r«* - reekening oplosten ,
ten voorbedde. x v . •
W/w*. Wat beloopt de ftfftipg van/3^0 m JSSaS, tegen 4 ten honderd 's jaars?
Deeze oplos- maand. 12 £ 4 £ 21 maanct. fing moet van ot f , 6< _„
zelve in het 2 .10. ƒ100 ./365°.3&5 73 oog loopen: .3.maand. 12 = .21 maand. 7
immers zullen ƒ x |__ * ■
de interesfin • 1
in eene za- 73 x 7 _f
mengeftelde Komt * — • 7-55
reeden moe- 2
hlgrootheidder hoofdfommen, en der tijden, ïeduSe welke die hoofdfommen hebben uit1 S! - Dus zullen deeze en M»«ft lukken tot den zamengeftelden regel van dneen
beS?°;e77. L. Ik zie dus, Meester! dat deeze



REGEL VAN D R I E ë N.' $Tt
'«^^driee? verS ft?» Zam-Sefrelden
£ / / f •
ieo : 3650 = 4 • * 50/ . ,
*i~ 7ir~x
Komt x:=Vx iP-^iïk
Maand. Maand. " f f
4 : 7 = 146 : x
*/ — 2/ • .
2 : 7 = 73 : *■
Daarom x = H — f ' Trt , .
— / ^55*io-- als boven.
2
r,SUde dan deB "aam va» zamensclielden
ziirirz^r"van daar k«
als ïn J ™er <ian ««en regel van drieën
« rJ veAb;il(lt' of samenkoppelt?
Some'n • 5,?, ;f 1°™?- 2,j zal °P h« zelve 0 * Een



aia ZAMENGESTELDE.
Een Koopman 3650-'--'
zoude ondertus- 4 ten hond.
i'chen deeze vraag iamaand. 146,00
eenvoudig, ge- 6 73
lijk hier ter zij- 3 36-10 —
de, hebben bc-
antwoord. In 21 maand, ƒ255- 10 —
«. 979. L. Deeze handelwijze is zeer kort, en gemaklijk, en bevalt mij dus bij uitneemend- ' heid, Meester! Zij zal echter niet zo gemaklijk afloopen als 'er ftuivers en penningen bij de hootdfom gegeeven wierden , en weeken of dagen bij den tijd. — Zouden men in zodaanige gevallen ook geen gebruik kunnen maaken van tientallige breuken?
§. 980. M. Met zeer veel vrucht, indien men mét' de ftrengfte naauwkeurigheid wilde te werk gaan; dan dit wordt op de comptoiren niet vereischt , gelijk billijk is; en men moet zich in zulke gevallen naar het gebruik der Kooplieden fchikken. .
lk wil U echter gaarn het nut der tientallige reekening ook in dergelijke gevallen doen zien. — Men ftelle dan dat 'er gevraagd wierde na het beloop van den interest van ƒ4672 - 15 - 12. "m 3 jaaren, 31 weeken, en 4 dagen , tegen 4 ten honderd in het jaar. ..
5. 981. Boven (van §. 719. tot 722.)-heb ïfe U reeds tafeltjes opgemaakt, om ogenblikhjk duivers en penningen tot tientallige breuken van guldens , als ook om dagen tot tientallige deelen van jaaren te herleiden. — Zie gemakshalven hier nog een tafeltje om weeken tot tientallige breuken van jaaren te maaken, fchoon dit anderzins



r egel van d ri e ëN< 2r
?SSy^\ f?a,,dijk Uit het tafeltJe van dagen U- 722.; had kunnen gefchieden. 8
Weeken. Jaar. JVeeken. Jaar.
1. s= 0,01923 8. ss 0,1538
2. = 0,0385 9. — o5l?3I
3- = 0,0577 10. — 0,1923
4- =s 0.0769 20. = 0,3846
5- ss 0,0961 30. = 0,5769 = °5"54 40. =s 0,7692
7« = 0,1346 50. = 0,9615
(€ct\°rm na-d£ °PIosfinS van hetvraagfluk (.§• 980.; te verrichten, zeg 5
Jaaren 3
Week. 30 = 0,5769?
Week 1 = 0,0192j" (§' 9Si.>
Dagen 4 = 0,011 (§. 722.)
Jaaren 3,6071 „ /4Ö72 I5lt. = 0,75 (§.7i9.) Japen, ss 0,0375C5- 721Q
ƒ4672,7875
4 ten hond.
voor ijaar/x86,9115
^706,+ 3 Naar de kunstgreep (J
56o73~ 728-730O 11214690 130837 1869
Komt ƒ 674,20846, of ƒ 674 -4 - na genoeg.
0 3 §. 983.



314 ZAMENGESTELDS
§. 983. Zie de reekening hier beneeden naar koopmans gebruik, behalven dat men 'er het tafeltje niet zo uitvoerig voori'chrijve.
Kooplieden reekenen zelden bij weeken, maar bij maanden en dagen, de maand op 30 dagen gefield; als wanneer het jaar op 12x30 of 360, in de plaats van 365 dagen uitkomt. Men zoude als dan voor 31 weken en 4 dagen, 7 maanden en 11 dagen moeten neemen: want, 7X 30+ 11 maaken 221 dagen, en 31x7+4 maaken ook 221 dagen.
De reekening zoude dan aldus komen te liaan. ƒ4672-15-12
/ 4 ten honderd.
186,91 - 3 20
18,23
Komt voor 1 jaar ƒ186.18 -
voor 3 jaaren ƒ 560 -14 -
Maanden 6 ==(§ jaar.;. 93- 9
1 = i van 6 15- 11 - 8
Dagen 10 = f maand. ... 5 - 3 13 . . 1 ,= r'5 van 10... «-ip- 6
Komt ƒ675- 9-
§. 984. Als gij nu de voorige uitkomst ƒ674- 4(§. 982.) van de laatst gevondene ƒ 675-9-aftrekt , vindt gij een verfchil van ƒ 1 - 5 - het welk van daar ontftaat, dat het jaar op deeze wijze maar tegen 360 dagen gereekend wordt CS- 983-) en dus ieder dag iets te groot. —• Nader zoude men aan de waarheid. komen, als
men



REGEL VAN DRIE è' N. 21$
men de maanden, door eikanderen, op 4} week reekende: want, 12 x 4» = 52. — Als dan zoude men voor 31 weeken en 4 dagen 7 maanden en 9 dagen moeten neemen: want 7*3?,, of 7jt x 4|- maakt, na genoeg, 31 weeken eu 4 dagen ; en men zoude de volgende bewerking erlangen.
ƒ 4672-15-12
. / 4 ten hond.
186,91- 3
20
18,23
Komt voor 1 jaar ƒ186 - 18 -
/3
voor 3 jaaren ƒ560 - 14 Maand. p = |jaai 93 - 9 -
i = |van6 15 - 11 - 8
Dagen 6 = |- maand . . 3 - 2-5 3 — 5 van 6 . . 1 - 11 - 2
Komt ƒ 674 - 8
Welke uitkomst flechts 4 ftuivers van de te vooren (§• 982.) gevondene verfchilt.
§. 985. L. Ik zie wel, Meester! dat de tientallige bewerking (§. 982.) de gewoone, niet alleen in naauwkeurigheid overtreft, maar zelvs , naar mijn inzien, gemaklijker is, naardien alles door vermenigvuldiging wordt afgedaan, en waarlijk weinig, of niet langwijliger; dan de gewoonte ftelt de wet.
§. 986. M. Gij kunt dan de volgende vraagen*, zo gij 'er lust toe hebt, nog beantwoorden.
Wat beloopt de interest
O 4 A.



&l6 ZAMEN GESTELDE
ten honderd
. ,„ rn Jaar. Maand. Dag.mhtCyzax.
A. Van/7825 i2- 8 in 5 - 7 - 12 tegen ai
B. — 987-16- «in3 - 5 - «
C. 2075- 8-12 in2 - 3 - 15 ot
D 3857-15- «1117 - 10 - . a*
E. 809-12- 8 in 1 - 9 - 20 41
l7. 4392-i8- - in4. - 0 - 12 5*
G. —-—8926-10- « jji* -11 . 8
H. 7932"7-8in= -10 - 13 6*
§. 987. L. Als ik mij te binnen breng, Meester' wat gij mij boven (§. 834. ) omtrent het rabatteeren gezegd hebt, vertrouw ik dat deeze reekeningen zich volmaaktlijk op de zelve wijze zullen laaten verrichten.
§. 988. M. Zulks zoude kunnen plaats hebben indien het gebruik het zo gewild had. — Zie hier derhalven een voorbeeld, op dien voet behandeld.
Stel dat iemand voor ƒ 3250 - . - aan koopmanfchappen gekocht had , met een rabat, of afflag, yan 18 maanden , tegen ƒ 4 ten honderd in een jaar , wat zal hij moeten betaalen ?
Men zegge dan , ƒ 100 verliezen in 12 maanden ƒ4, hoe veel zullen ƒ 3250 in 18 maanden verliezen ? en trekke, het gevonden verlies van de hoofdfom af, zo zal het overfchot het antwoord moeten geeven; aldus,
. 2 ./tooi I f ./4 » 3 maanden . 12 | |
, "~|./325° 65 t x I I .18 maand.. 6 3
Komt x = 3 x 65 =ƒ 195 - - -
Van



REGEL VAN DRIEeN. 2.1?
Van ƒ 3250 - » trek 195 - • -
Blijft ƒ3055 - =■ - ten antwoord.
§. 989. De Kooplieden bereekenen het rabat echter niet op deeze wijze, maar zijn gewoon bet rabat boven het honderd te neemen, even gelijk wij boven (van §. 818-820.) gezien hebben, dat ook veeltijds omtrent de tarra plaats heeft.
Men moet hier dan , naar den ftijl des koophandels , door twee afzonderlijke regels van drieën Werken , en wel op volgende wijze.
1. iïMaand. geevenf4.rabat, hoeveel 18 maanden?
Het ahtwoord zal ƒ6 zijn.
2. Voor/~io6betaaltmen/ioo,hoeveelvoor/~325o?
3250x. 100 325000
Antw. = = ƒ3066/3.
106 106
§. 990. Als men nu het eerst gevonden antwoord ƒ3055 (§. 988.) van het laatst gevonden ƒ 3066/3. aftrekt , vindt men het aanmerklijk verfchil van ƒ Ii/j bet welk veel te groot is, dan dat men de eene of andere handelwijze naar welgevallen zoude kunnen volgen.
§. 991. L. Geen wonder, Meester! Gij hadt ook, onder verbetering, boven (§. 988.) naar pijn inzien, moeten zeggen, ƒ 104. verliezen ƒ 4 in 12 maanden, in de plaats van ƒ100 verliezen ƒ4 enz. en dan zoudt gij waarfchijnlijk de zelve uitkomst gekreegen hebben als beneeden. (f- 9890
O 5 §. 992.



2l8 ZAME NGES TELDE
§. 992. M. Wij zullen 'er de proef van ne*. inen. Zie haar hier.
52. ƒ 104 f./4 . 3 maand. . 12 ~ ƒ 3250
x j . 18 maand. . 6 3
32.5° * 3 975o . . Komt x = z= = f i87i
Van f3250 - » - s trek af ƒ 187 - 10 - *
Blijft 3062 - 10 - » ten antwoord, hetwelk •met het laatst gevondene ƒ 3066/j (§. 989O een verfchil maakt van ƒ 3//^.
§• 993* L. Ik ben zeer verwonderd over d.eeze uitkomst, Meester! ik had die niet verwacht.
§. 994. M. De reedeu is daar in geleegen, dat het verlies ten honderd, volgens de wijze van reekenen, welke de Kooplieden volgen, (%. 989.; niet naauwkeurig in reeden van de tijden aangroeijt; en dit gaa ik u thands betoogen.
Ten dien einde bereeken ik eerst, wat 'eir ten honderd in een jaar verlooren wordt, als men voor ƒ 104 flechts ƒ 100 betaalt: aldus
ƒ104 verliezen ƒ4, wat ƒ 100? 0^04:4= iw :x 100 x 4 400 50
Komt x — — — ƒ t
104 104 13
Dit is het verlies ten honderd ia 12 maarden; om nu te vinden hoe veel het in iS maanden, of anderhalv jaar , bedraagen moete, behoef ik die
ƒ



regel van drieön.
2ïQ
50 3
ƒ — flechts met i| of met — te vermenigvuldi-
l3 3. gen , en ik krijg
— x — — — 3 — 75 *3 2. 13 ï i3
Laat ons nu onderzoeken of men evenveel ten honderd, in 18 maanden verlieze , als men voor de ƒ 106 flechts ƒ 100 betaalt, gelijk de kooplieden reekenen, (§ o8g0 0p de volgende wijze.
ƒ 106 verliezen ƒ6, wat ƒ100? ofio6:6=IOO:j5 ^ 100x6 600 300
106 106 53
Om nu te onderzoeken, of de gevondene
75 53
evenveel bedraagen als de eerst gevondene — , of
13
zo niet, in welke reeden zij zich dan tegen elkanderen verhouden, doe men de volgende bewerking.
75 300 _ 75 x 53 13x300
7" : —- : ' =75x53:13x300
*3 53 13x53 13X53
of, als men beide termen door 75 deelt 75 3°o
— : = 53 : 13 x 4 = 53 ' 52.
*3 53
Hier uit ziet gij dat het verlies ten honderd volgens koopmans handelwijze, afneemt in rccden
van



220 ZAMENGESTELDE
van tot 52, of, het geen het zelve is, in reeden van 106 tot 104; dus ciat het verlies ten honderd de reeden van den tijd: dat is, van 12 tot i3 maanden, niet naauwkeurig volge.
§. 995. L. Ik ben ö zeer verpligt voor deeze onderrichting, Meester! is 'er geene proef op te maaken ? •
§. 996. M. Zeer gemaklijk. — Gij behoeft flechts de boven gevondene ƒ 187^ (§. 992.) m reeden van 53 tot 52 te verminderen: dat is, met f| te vermenigvuldigen, en de uitkomst van ƒ3250 af te trekken; zo zal het antwoord met dat van der kooplieden handelwijze volmaaktlijk overeen komen.
Zie het hier verricht.
52 52 375 26x375 975° 51 — xi87| = —x — = = = 183 —
53 53 2 53 53 53 Van ƒ 3250
trek i83f|
Blijft ƒ 3066/5- als boven ( §. 989. )
§. 997. L. De proef beflischt het volkomen , Meester 1 lk zie dan wel dat men zich in deezen, om den koopftijl te vólgen, bij twee afzonderlijke regels van drieën moet houden. — Wilt Gij mij ook nog eeuige vraagen opgeeven?
§. 998. M. Om onze gewoonte te volgen, zal ik U eenige weinige voorftellen.
A. Wat is een Koopman fchuldig die voor ƒ 3700 waaren gekocht heeft, met een rabat van '15 maanden , tegen 8 ten honderd in het jaar?
B. Hoe veel zal iemand moeten betaalen, die
"voor



REGEL VAN D R I I C M. 2.ZÏI
voor ƒ 4750 goederen gekocht heeft , met een rabat van 10 maanden, tegen 6 ten honderd'sjaars?
C. Hoe veel zal men op ieder ƒ 1000 rabatteeren in 16 maanden, tegen 5 ten honderd 's jaars?
D. Wat zal men ontvangen, als men vcor ƒ5730, aan koopwaaren , op 21 maanden rabat, tegen 3 ten honderd 's jaars, verkocht heeft?
E. Hoe veel zal het rabat bedraagen van ƒ2560 in 10 maanden, tegen 7 ten honderd 's jaars ?
F. Wat is het rabat voor ƒ 3875, op 8 maanden gekocht, tegen 4 ten honderd 's jaars?
§. 999. L. Komt de tijd ook niet zomtijds in aanmerking bij het bereekenen van winst en verlies9 Meester!
$. 1000. M. Meest altijd. — Zelden zal immers eene onderneeming juist bepaaldlijk in den tijd van een jaar afloopen. — Zo dra men derhalven de genootene winst, of geleedene fchaade, bij zekeren koop, verkoop, of andere onderneeming, welke binnen het jaar afgeloopen is, of over het jaar geduurd heeft, tegen eene jaarlijkfche winst of verlies wil afineeten of bepaalen, zal de tijd noodzaaklijk in aanmerking moeten komen.
Stel, bijvoorbeeld, dat iemand eene waarde van / 300 - - - . , op het ogenblik dat hij die zelv ingekocht had , voor ƒ312-.-» wederom verkocht, mids over 3 maanden betaaling te zullen erlangen; dan is het klaar, dat hij met/3oo-»«. eene fom van ƒ12-»-. winnende, met ieder
ƒ 100 - . • . juist ƒ4 . winne, en dat wel in
den tijd van 3 maanden; dus zal hij kunnen reekenen ƒ 16 -.- . ten honderd in een jaar g wonnen te hebben. — De reekening zoude aldus komen te ftaan.
•3



122 ZAMENGESTELDE
. 3 ƒ . 300 . ƒ ia 4 maand. . 3 = . ƒ 100
f x .12 maand. 4
Komt * =x 4 x 4 = ƒ 16.
§. 1001. L. Dit is zo klaar, Meester! dat ik mij durv vieijen allerleije voorftellen van dien aart te zullen kunnen oplosfen.
Jj. 1002. M. Zeg mij dan wat iemand ten honderd in een jaar wint, die 1000 fg koopwaaren tegen 8 ft. het f8 inkoopt, en ogenbliklijk wederom tegen 10 ft. het fS verkoopt, mids over 4 maanden zijne betaaling te zullen ontvangen, daar hij ondertusfchen zelv voor gereed geld had ingekocht ?
§. 1003. Zeg mij wat iemand ten honderd in een jaar gewonnen heeft, die voor ƒ 4000 - » - » een achtfte portie of aandeel in een fchip koopt, en na verloop van 15 maanden ƒ 1200 - » - » uitdeeling voor zijn aandeel ontvangt ? — Men veronderftelle hier dat zijn aandeel nog dezelve waarde van ƒ 4000 behouden hebbe.
§. 1004. Stel dat iemand voor ƒ 1600 - * - * koopmanfchappen , voor gereed geld, inkoope , en dat hij die , na verloop van 8 maanden, wederom voor ƒ 1750 - » - * verkoope, op 6 maanden credit, gelijk de Kooplieden fpreeken : dat is, met beding om over 6 maanden betaald te zullen worden; wat wint hij dan ten honderd in het jaar ?
§. 1005. L. De laatfte (f. 1004. ) is zijn geld dus 14 maanden uit de handen kwijt geweest; 8 maanden voor den verkoop, en nog 6 maanden daar na.
, J. 1006.



REGEL VAN DRIEËN. 22$
§. 1006. M. Buiten twijfFel. — Zo kan men ook vraagen naar het meeste voordeel, indien men de keus heeft, om voor gereed geld, of op eenige weeken , of maanden, credit te koopen.— Doch als dan moet men bepaaling maaken, omtrent het geen men met zijn geld kan, of wil ' winnen, en het daar omtrent bepaalde ten groudflag leggen.
Bij voorbeeld. — Wat is voordeeliger de 100 fg koopwaaren tegen ƒ i7§ voor gereed geld te ontvangen, of die tegen ƒ iS, op 6 maanden te koopen, gefteld dat men iu de geleegenheid geplaatst zij om 10 ten honderd van zijn geld te maaken ?
§. 1007. L, Het verfchil tusfehen f 171 en ƒ 18 bedraagtƒ£, Meester! men zal dus moeten onderzoeken, of men, met die ƒ 17} , meer of minder dan f |, in 6 maanden, tegen 10 ten honderd in het jaar, kunnen winnen. — Zo meer, dan zal het voordeeliger zijn over 6 maanden te betaalen. — Zo minder , dan zal de gereede betaaling voordeeliger uitkomen.
Ik ftel dan aldus;
a . 10 . ƒ 100 J 1 f17!
2 maand. . 12 I J . ƒ 10 oZ
* |~ • f »7i -35 7
ƒ x I j .6 maand. ƒ i8f
. 18
Komt 8 * = 7 —— of x = ƒ | voordeel ƒ of
Hier vind ik ƒ £, welke in 6 maanden gewonnen kunnen worden. — Deeze bij ƒ i7| bij gevoegd, geeven ƒ i8|, het welk / f meer is dan



a24 zamengestelde
ƒ18; bij gevolg is het in dit geval ƒ f voordedl. ger om op tijd, dan gereed te betaalen. — Was de keus ondertusfchen gegeeven geweest tusichen fi7L gereed, en ƒ i8i over 6 maauden, dan zowie men ƒ j uitgewonnen hebben met gereed te betaalen.
S 100?. M. Ik zal hier niets bijvoegen, maar U nog alleenlijk eenige vraagen ter oplosfing voor-
ftcllen. _
A. Wat zal voordeeliger zijn ƒ 100 - * - - gereed te betaalen, of ƒ 107 over 9 maanden- en hoeveel bedraagt het verfchil, als men 10 ten honderd met zijn geld kan winnen?
B Doch zo men flechts kans zag, om 8 ten honderd met zijn geld te winnen, wat zoude dan het antwoord op ae voorige vraag (A.) «jn*
C Indien men nu niet meer dan 5 teu honderd met 'zijn geld wist te winnen, zo loopt het aanftonds in het oog, dat men in boven gemeld geval CA.) gereed zoude moeten betaalen. — Doch hoe veel zoude men zich als dan ten honderd m een iaar, door de gereede betaaling ,bevoordee en?
D Hoe veel zal het den verkonper voordeeliger ofnadeeliger zijn, mids bij 10 ten honderd met zim geld kunne winnen, dat hij de el linnen voor ï6 ftuivers gereed geld verkoopt, dan dat hij 18 ft. bedinge op 9 maanden?
Ik zoude TJ nog zeer veele, en waarlijk nuttige voordellen van deezen aart kunnen doen ; dan het is tijd dat wij ons fpoeden. — Ik gaa U derhalven ook met een woord zeggen, hoe de tijd bij de gezelfchaps-reekening zomtijds 111 aanmerking moet genomen worden, welke reekening men dan, in zommige boeken, gewoon is Gezelfchaps - reekening met tijd te noemen.



REGEL VAN DRIEè'N. 22f
§■ iooo L. Men kan zulks gemaklijk gisfen • Meester! immers zal de tijd mede in reef® gebragt moeten worden , zo dra de één eenen lanf^" °f korteren tijd, in eenen gemeeulchaplijken handel deel gehad heeft, dan een ander.
1010. M. Zeer zeker. — Ieders winsten ' verlies moet zich noodzaaklijk verhouden in "eene zamengeftelde reeden van zijnen inleg, en den ' tijd , geduurende welke dièinfeg, in den gemeenichaphjken handel , is gebruikt geweest. — Bil voorbeeld. 1 '
Txvee menfchen hebben ieder / ioooo bii eikanderen gebragt, óm daar mede gemëerifchap' lijk te handelen. - Na verloop van 6 komt'er een derde bij, die eene gelijke Sm aanbrengt ,'en deelgenoot wordt indeezen handel. — men dan na verloop van een jaar, van het begin des haadels af gereekend, bevindt dat '5 ƒ 3000- . - . met dien handel, gewonnen fs, zal het van zich zeiven blijkbaar zijn, dat de twee eerften ieder 2 vijfde deelen van' de winst zullen moeten genieten , terwijl de derde, of laatst in' gekomeue flechts 1 vijfde deel zal kunnen trekken; naardien men de geheele winst kan befchouwen, als veroorzaakt , te zijn door eene fom van ƒ 10000 welke vijf halve jaaren gewerkt
heeft: te weeten, die der twee eerften ieder" halve jaaren, of een geheel jaar, en'die der laatite 1 nalv jaar.
Dus als men ƒ 3000 - * - « door 5 deelt, krijgt ™/óoc - V ' het welk het aandeel des laatst ingekomenen in de winst is. — De twee eerTte deelneemers zullen dus ieder ƒ1200-»- / zich genieten.
§. 1011. Wil men naar eenen algemeenen re-
AI. D££t. F gsj



SSÖ Z A M Ê N G E S T E V D E
cel werken, men vermenigvuldige ieders inleg met den tijd van deszelfs werkzaamheid, waar door men producten erlangt, welke de zamengeftelde reeden deezer beide werkende oorzaaken volgen ; en daarom gefchikt zijn , om ieders aandeel in de winst uit te drukken, als men de fom deezer producten met de geheele winst vergelijkt: immers zal de geheele winst, zich. tot ieders aandeel in dezelve, op gelijke wijze moeten verhouden , als de fom deezer produ&en tot ieder afzonderlijk product: want, heide zijn zij gewrochten van zamengeftelde oorzaaken, welke bij eikanderen genomen , een gelijkfoortig geheel uitmaaken, De reekening zal dan dus te ftaan komen.
ƒ ioooo x 12 maand.' = 120000 ƒ 10000 X 12 maand. = 120000 ƒ icooo x 6 maand. = 60000}
Som der producten = 300000
tooooo : ƒ 3000 = I2°°00 : x _ ' .
Komt x = ƒ1200 voor den eerften en tweeden.
-jooooo : ƒ 3000 = 60000 : x
Komt * = ƒ 600 voor den derden.
§. 1012. Ik durv U gerust de volgende vraagen ter'beantwoording toevertrouwen.
A. Zeker Koopman legt op nieuwjaar eene lom van ƒ 6000 - * - * in zekeren handel; met het begin van April vöegt 'er zich een tweede bij die ƒ 8oco - * • « inlegt; met het begin van Juhj komt 'er een derde bij, die ƒ 12000 - » - » aanbrengt j en eindelijk vereenigt zich nog een vierde



REGEL VAN D R I E ë Ni $.%f
met de voorigen op den eerften (tttober, die ƒ24000-..» fchiet. - De vraag is welk deel een ieder deezer, bij het volgend nieuwjaarft! winst of verlies zal hebben? '
B. Iemand begint met den aanvang des jaars te handelen met ƒ 1000- = .,, twee maanden laater \eieemgt zich een tweede met den eerden. Na* twee maanden laater komt 'er een derde bii • eS zo vervolgens, van twee maanden tot twee maanden; zo dat 'er zich de laatfte met den eerOu November bij voege. - Nu is de vraag wat ieder ingelegd moet hebben , om ten einde des loopenden jaars gehjklijk in de wum te kunnen deelen 2 S. 1013. L. Gij voedt in de daad te hooge evdachten omtrent mijne bekwaamheid, Meester!
zal ftniete " 1 V°°r * ^ °pI°SÜi,g te kort
S' 1Qlk'.¥'. Geef flechts daar acht op . dat nep- gebjkhjk in de winst wil deelen; doch zo dit op goede gronden geleideden zal, dat men dan ook evenveel moet hebben toegebragt, om dip winst teveroorzaaken, - Hoe Lter nn ieder In de maatfenappij getreeden is, hoe korter zijn ingebragt geld gewerkt heeft; dus, hoe grooter de lom geweest moet zijn; op dat hij door de grootere losn van inleg den korteren tijd van werkine. of winning , vergoede. - De firoduEien van ieders inleg met den tijd van werking, zullen dan onder ' elkaudereu gelijk moeten zijn. Daar nu het product van des eerftens inleg
■fJn°°Vr-." * met den did van eea l'aarof 1* maanden, gelijk aan 12000, bekend is, en alle pro* dufren van den inleg met den tijd onder eikanderen genjk moeten zijn, zo heeft men flechts ieders in-'eg achtervolglijk onbekend,'of gelijk x, te ftelP » len,



E28 zamengestelde
len, en met den tijd, die voor ieder' bekend geseeven is, te vermenigvuldigen, als wanneer liet noduSt telkens aan 12000 gelijk zal moeten zijn, waar door dan de x allergemaklijkst zal worden gevonden. Zie dan hier de oplosfing
Voor den eerften. ƒioco x 12 maand. = 12000 Voor den tweeden. fx x 10 maand. = 12000
I2COO
Komt x — = ƒ1200 - ■> -
10
Voor den derden. fx x 8 maand. = 12000 12000
Komt x = = ƒ1500 —
8
Voor den vierden. fx x 6 maand. = 12000 12000
Komt x = • ■ =ƒ"2000---
6
Voor den vijfden. fx x 4 maand. = 12000 12000
Komt x = = ƒ3000 - - -
4
Voor den zesden. ƒx x 2 maand. = 12000
12000
Komt x = -j = ƒ6000 -«-
K 1015. L. Zo hebben wij dan ieders aandeel, in winst of verlies, uit den gegeevenen inleg, en tijd van werking gevonden, (§.1010.) Meester! Voorts ieders inleg uit de bekende aandeelen in de winst , en uit den tijd van werking C<5. 1014.) ; wij zullen dan het geval nog eens,
v •» r> < ' ' naai'



REGEL VAN DRIE 8 N. 22p
r.aar mijn inzien, kunnen omkeeren, en den tijd van werking opfpooren, als ons de aandeelcn iu de winst, of verlies, beneevens den inleg, gegeeven zijn.
§. ioi6.il/. Volmaakt op den zeiven grond; men heeft dan flechts den tijd, in de plaats van den inleg, (§. 1014.) onbekend te ftellen, en de bewerking zal voorts in alle opzichten de zelve zijn. —
De inleg des eerften was ƒ1000- = -<§. 1012.B.) die der volgenden vonden wij (§. 1014.) te zijn ƒ 1200 -> - « ƒ 1500-#-» ƒ2000 - » - » ƒ3000-»-en ƒ 6000 - » - ». Deeze gevondene fommen ftelle men nu bekend , en vraage naar den tijd, geduurende welke ieders inleg werkzaam moet geweest zijn, om de bijzondere leden der maatfchappij tot gelijke aandeden aan de winst recht te geeven.
De reekening zal als dan dus te ftaan komen
Voor den eerften. ƒ 1000 x 12 maand. = taoco Voor den tweeden, ƒ 12Q0 x x maand. = 12000 12000
' Komt x = - = 10 maanden.
1200 ■. y Voor den derden, ƒ 1500 x * maand. = iaooo 12000
Komt x = = 8 maanden.
1500
Voor den vierden, ƒ 2000 x x maand. = 12000
12000
Komt x = = 6 maanden.
2000
Voor den vijfden, ƒ 3000 x x maand = 12000 12000
Komt ar = -■ = 4 maanden.
3000
, P3 , . Voor



t$0 ZAMEN GES [TELDE
Voor den zesden, ƒ 6000 x x maand. =: 12000
12000
Komt x = = 2 maanden.
6000
§. 1017. Men kan dezelve handelwijze ook nog op veele andere gevallen toepasten , en wel op allen, waar eene gemeenfchaplijke verrichting, of genot plaats heeft. — Daar dan zomtijds eenige boeren, of veehoeders, gemeenfchaplijk eene weide in huur hebben, heeft dit aanleiding gegeeven tot eene zo genaamde Reekening van Feewei' derij, welke men in zommige reekenboeken aantreft.
Het loopt ondertusfchen als van zich zeiven in het oog , dat het aandeel, het welk ieder boer , veehoeder, of vetweider in de huurpenningen eener gemeenfchaplijke weide moet draagen , de zamengeftelde reeden zal volgen van het aantal beesten dat hij geweid heeft, en den tijd, geduurende welke die beesten in die weide geloopen hebben. — Het is dus eene gewoone gezelfchapsreekening, en niets anders.
Daar ondertusfchen een volwasfen os, of koe, meer eet dan een éénjaarig beest: op zommige plaatzen een pink, op anderen een hokling, op anderen wederom met eenen anderen naam genoemd ; en deeze wederom meer eeten dan een kalv, zo reekent men gemeenlijk vier kalveren op twee pinken, en deeze~op één volwasfen beest.
§. 1018. Na deeze onderrichting zult gij mij de volgende vraagen beantwoorden. ^ A. Vier vetweiders hebben zamen eene weide 311 huur. — Een van hun laat 'er 3 osfcn geduulende 6 maanden in loopen; een ander 5 osfen
ge-



REGEL VAM DRIEeN." 231
geduurende 3 maanden; een derde4 voor 5 maanden ; en de vierde 6 osfen voor 4 maanden. —■ De vraag is wat ieder betaalen zal, als men de weide voor ƒ 231 -.» - » in eenen zomer gehuurd had?
B. Vijf Boeren, A, B , C, D en E , hebben zamen eene weide gehuurd voor ƒ 178 -» .-. A iaat 'er 7 koeijen 2 maanden lang in weiden, B jaagt 'er 3 koeijen 5 maanden lang in , C laat 'er 2 koeijen cn 3 pinken 6 maanden in loopen , D houdt 'er 5 koeijen en 2 pinken 3 maanden in , en E beweidt het land met 4 koeijen, 1 pink, en 3 kalveren, 4 maanden lang. — Hoe veel zal ieder in de huur betaalen ?
§. 1019. L. Deeze reekeningen hebben zekerlijk niets moeijlijks, Meester! — Komt de tijd zomtijds ook wel niet in aanmerking bij de zogenaamde mangeling, of ruiling; mij dunkt, ik heb in zommige reekenboeken ook gezien mangeling met tijd.
%. ro20. M. In hoe ver de tijd bij eene waare ruiling, in den daadlijken handel, in aanmerking kqme, daar de ruiling zelve weinig plaats meer hebbe (§. 880. ) zullen wij niet onderzoeken. — Het is genoeg dat men nog gewoon is zodaanige gevallen in de reekenboeken te verdichten. — Zie 'er hier een van dien.aart. ,
Iemand ftelt zekere koopwaaren, die 20 ftuiv. het tg waardig zijn, in ruiling op 25 ft. het tg, op •6 maanden; een ander"ftelt daar zekere ftot, die ƒ 3 - 15 - * de el kost, tegen , op ƒ 5 -- Je el. Nu vraagt men hoe veele maanden credit deeze laatfte zal geeven, om even voordeelige ruiling te doen ?
«. 1021. L. Men moge dit eene ruiling'noeP 4 men ,



532 ZAMEN.GESTELDE
men, als men liet goed vindt, Meester' — Ik zoude het voor twee waare koopen, over en we der neemen; en het vooritcl befchouwen, als tot de interest -reekening te behooren, of, het geenop het zelve ui-komt, tot de reekening van winst en verhes op tijd. — immers kan men de vraasr even goed dus voorftcben. & - Iemand wint met 20 ft.' in 6 maanden < ft W hoe veele maanden, zal een ander metfk - i< of 75 ftuivers, 25 ft. winnen, om even veel voordeel met zijn geld te doen? De reekening zal dan aldus te ftaan komen.
4 ft- • 20 . 5 ft. . 2 maand. . 6 = . 75 ft. . 15 . 3 . 5 ft. . 25 x maanden.
Komt 8 maanden = x
§. 1022. M. Gij hebt de zaak in haaren waaren aart befchouwd. — Zo had men (% 1020 ) eveneens kunnen vraagen naar de prijs, waar op de laatfte zijne ftof moest ftellen , om 8 maanden uitltel van betaaling te geeven, tegen dat de eerfte maar 6 maanden gaf, met gelijk voordeel; en de reekening zoude als dan de volgende geweest zijn,
- 4 ft- . 20 I . 5 ft.
. 3 maand. .6 = . 75 ft. ,5 ft- x ,1.8 maand. . 2
Komt x =z 15 ftuivers.
Welke 15 ft. bij 75 ftuiv. of ƒ 3 - gevoegd



REGEL VAN DRIEËN» 233
§. 1023. Uwe geheele aanmerking van daar even (§. I02i._) geeft mij een bijzonder genoegen. — Gij ziet dan hoe verfchcidene koopmans reekeningen, fchoon in de reekenboeken onder verfchillende naamen voorgedraagen, in de daad op ééne en de zelve uitloopen. — Gij hebt ook buiten twijffel opgemerkt, dat zij alle, het zij op eene eenvoudige , het zij op eene zamengeftelde evenreedigheids - reekening, of regel van drieën, berusten.— Dit algemeene, dit gelijuformige, op te merken, en grondig door te zien, is eerst een waar begrip van reekenen te erlangen. — Een goed reekenaar, kent, om zo te fpreeken , niet meer dan twee regels. —• Zij zijn die van gelijkheid, en die van onderlinge betrekking, of verhouding. — Voorts beftaan alle mogelijke, reekeningen in het toepasfen van deeze regels-op bijzondere gevallen.
j. 1024. Van welk nut ondertusfchen de wijze van'opftellen en bewerken , zo wel van zamengeftelde als eenvoudige regels van drieën is, welke wij, zedert haare eerfte voordragt ( g, 658, 3.) gemeenlijk gevolgd hebben, zal U, vertrouw ik, ten klaarften gebleeken zijn. — Zij zal U echter (en dit is voornaamlijk de reeden waarom ik CJ haar boven (§. 706—708 ) zo fterk heb aangepreczen) nog klaarer blijken bij het behandelen eu ontvouden van den zelden, of nooit, in reekenboeken naar behooren behandelden, en ontwikkelden, zo genaamden
KETTING-REGEL.
§. 1025. L- Wat verftaat men toch door deezen zo. zonderling genaamden regel? Meester! 5. 1026. M. Niets anders dan eene zekere wijP 5 zc



234
KETTING-REGEL.
ze van opflellen, welke op eene aaneenfchakeling van verfchcidcne regels van drieën berust, en waar door de verfchillende voordellen, als het ware , even als een keten, of ketting, aan eikanderen gefchakeld, of gekoppeld, worden.
§. 1027. L. Wanneer kan eene zodaanige koppeling, of aaneenfchakeling plaats hebben? Meester!
§. 1028. M. Telkens wanneer men verfcheidene regels van drieën op' te losfen heeft, welke, uit hoofde van den aart van het voorftel, dit bijzonder hebben, dat bettendig de onbekende term van den eenen regel van drieën, ééne der bekende termen van eenen andereu, of volgenden, moet worden.
§. 1029. L. Gij zult mij dit, hoop ik, door een voorbeeldig voordel ophelderen, Meester!
§. 1030. M. Zeer gaarn. — Veronderltel dan dat een vreemdeling van hier willende vertrekken , 180 goudguldens had, welke hij verlangde in Hollaudfche ducaaten te vervvisfelen; en dat hij wist dat een goudgulden 28 fl. waardig was, en dat 20 li een gulden maaken ; dat hem vervolgens inviel dat ƒ 21 juist 4 ducaaten bedraagen, en dat hij daar uit moest vinden hoe veele ducaaten hij voor gemelde 180 goudguldens ontvangen moest.
§. 1031. Z. Als men dit langs geenen korteren weg kan, wil, of mag zoeken, Meester! zal de vraag drie onderfcheidene regels van drieën ter oplosfing vorderen: want 'er hebben als dan drie verfchillende overgangen plaats. ■
§. 1032. M. Zeer wel. — Los mij deezen allen afzonderlijk op; maar gebruik, om reedenen welke laager van zich zeiven in het oog zullen
loo-x



KETTIN6 - REGEL,
loopen, voor iederen regel eene andere letter, om de onbekende term aan te duiden; bij voorbeeld, voor de eerite ar, voor de tweede y, en voor de derde z. §. 1033. L. Zie hier de oplosfiugen, Meester!
1. Goudgulden 1 I j 28 ft-
ft. x I — I 180 Goudguldens.
Komt x = 5040 Ituivers. 2. fl. . 20 J I ƒ 1
ƒ y 1 ~ I • 5040 ft. *5*
Komt y = f 252
3. . ƒ 21 J j 4 Ducaaten.
Ducaaten z | | . ƒ252 12
Komt z = 48 Ducaaten.
§. 1034. M. Gij ziet dan dat dit geval van
dien aart is, dat de onbekende term van den eerften regel bekende in "den tweeden wordt, en de onbekende van den tweeden, gevonden zijnde, wederom bekende in den derden; dus dat dit geval voor oplosfing door eenen ketting-regel vatbaar is. (§. 1028.)
Plaats nu deeze drie oplosfingen, op twee verfchillende wijzen, onmiddellijk onder eikanderen: te weeten; eerst, met de gevondene waardijen, der onbekenden in de plaats der onbekenden te ftellen; en andermaal, met behoud der onbekenden , zonder dat zij alvoorens door oplosfing gevonden zijn.
$• 1035.



t>%6 ketting - regel.
§. 1035. L. Als ik U wel begrijp. Meester! eïscht Gij de volgende opftellén van mij.v
G-gl. x | I 2 3 11. G-gl. ï|__J 28
ft. 5040 I — | 180G-gl. ft. x I — I 180
ft. 2o[_|/i ft. ao II/i
ƒ252! — I 5040 ft. fy\-~\xtt.
ƒ '21 I —- I 4 Duc. ƒ21! I 4 Duc.
Duc. 48 J I/252 Duc. z\ \fy
Ion6. 31. Deeze öpftellen begeerde ik, ten einde U daar in op nieuw te doen opmerken, dat wij hier nu de volgende vergelijkingen onder elkanderen zien ftaan.
1. iX5o4o=28x ï8o. of ixx=28xi8o
2. 20 X 252= 1x5040. of 20x31= IX X
3. 21 x 48 = 4X 252. of 21 x z= 4X y
Daar nu deeze producten onder eikanderen wederzijds gelijk zijn, kunnen wij die ook wederzijds met elkauderen vermenigvuldigen, en de daar uit fprui rende producten zullen ook wederzijds aan eikanderen gelijk moeten zijn.
5. 1037. L. Zeer zeker, Meester! want als men gelijke produBen , of grootheeden in het algemeen , met gelijke grootheeden vermenigvuldigt , zullen de komende produBen ook gelijk zijn.
§. 1038. M. Dus kan men deeze drie verfchillende regels van drieën dan koppelen, of aan één fcbakelen, het geen men doen zal, door de lijnen flechts in éénen trek door te haaien: aldus:
G-gl.



KETTING - REGEL. 23/
Q-gl, I 28 ft. G-gl. I / 28 ft.
ft."5040 180 G-gl. ft. x i8oG-gl.
ft*. 20 _ ƒ 1 ft 20 fl
ƒ252 5040 ft- fy x fl.
f 11 4 Duc. ƒ21 4 Duc.
Duc. 48 ƒ252 Duc. 2 fy
§.1039. Z. Nu zie ik reeds, Meester! waar dit heeti wil. — De gelijke termen gaan ter wederzijden tegen eikanderen uit. — 5040 ft. vallen tegen de zelve grootheid aan de andere zijde weg;
zo ook f 25a tegen ƒ 252. Of indien ik het
ander opftel neem , zal de reekening dus te ftaan komen
Goud - gulden 1 28 ft.
ft. . x 180 Goud-guldens,
ft. 20 _ fi
f . y I — . * ft. ƒ 21 4 Ducaaten.
Ducaat. 2 f-y
Na de x en y dan ter wederzijden tegen eikanderen uitgedaan te hebben , kan men de overige grootheeden nog ter wederzijden tegen eikanderen verkleinen, en zo de oplosfing verder voltooijeu.
§. 1040. M. Het is zo; maar gij hebt 'er niet alle gevolgen uit getrokken, die 'er uit te trekken zijn. — Immers hadt gij 'er uit behooren te befiuiten, dat de twee eerfte oplosfingen, waardoor gij 5040 ft. en ƒ 252 verkreegen hebt, CS- I0330 volftrekt onnoodig, en dus overtollig zijn, naardien deeze grootheeden toch tegen elkanderen uitgaan, eu dat zij daarom zo wel onder



238 KETTING - REGEL.
der de onbekende gedaante van x en y, als onder de bekende van 5040 en 252 , kuiinen doorgeftreept worden. —
Dan bier blijft het nog ntet bij. — Daar deeze grootheeden, het zij onder eene bekende, het zij onder eene onbekende gedaante, toch tegen elkandereu uitgaan, kan men de moeite fpaarcn van haar te fchrijvén; en het opftel zal 'er als dan dus uitzien.
Goud-guld. 1 I 08 ft.
f 180 Goud-guld.
ft. 20 | = /i
ƒ 21 I 4 Ducaat. Ducaat. z |
§. T041. L. Ik zie dit zeer klaar, Meester!
maar ik verlies 'er den draad van het opftel door.
Ik zie nu tegen over de 180 Goud-guld. eene gaaping, of leedige plaats, en de onbekende z daar tegen geheel beneeden op zich zelve.
§. 1042. M. Zet dan flechts deeze onbekende as in de leedige plaats, tegen over 180 Goud-guldens , welke plaats in de daad voor haar beftemd is , en het opftel zal deeze gedaante verkrijgen.
Goud-guld. 1 [ J «8 ft.
Ducaat. 2 | __ | 180 Goud-guld. ft- '0 I ~ I ƒ! ƒ 21 I I 4 Ducaaten.
Het opftel beftaat als dan uit deezen regel van drieën. 1 Goud-guld. houdt 28 ft. hoe veele Ducaaten zijn 'er dan bevat in 180 goud-guldens? en uit nog twee losfe vergelijkingen daar
bo-



KETTING - REGEL. 239
boven, te weeten, ao ft. = ƒ 1 en ƒ ai = 4 Ducaaten.
$. 1043. L. Vergeevmij, Meester! dat ik bier eenen openbaaren misdag meen te ontdekken. — Het antwoord op den eerften regel van drieën vak niet in Ducaaten, maar in ftuivers, gelijk wij boven (§. 1033. 1.) gezien hebben, en de aart der zaak mede brengt.
§. 1044. M, Gij hebt in bet afgetrokken gelijk, en uwe aanmerking behaagt mij. — Het antwoord valt. daar niet onmiddellijk in Ducaaten , maar in ftuivers. — Dan deeze fchijnbaare misflag wordt verbeterd door de twee volgende vergelijkingen, welke ten dien einde volftrekt noodig zijn.
Om dit te toonen , zet ik die beide vergelijkingen onder eikanderen, en verklein die eerst, zo 5 ft. . 2o=/i veel mogelijk is, tegen ƒ 21 = .4Duc.
eikanderen , en vermenig- ■
vuldig haar dan met elkan- ft. 105 = 1 Duc. deren , gelijk hier ter zijde.
Gij ziet dan dat deeze twee laatfte vergelijkingen juist die uitwerking hebben, welke noodig is, om ftuivers in Ducaaten te veranderen, of, om van de zijde des onbekenden eene deeling door 105 te wege te brengen. — Deeze twee vergelijkingen veroorzaaken dan, dat het opftel, als het ware, in het volgend veranderd wordt.
Goud-gulden 1 | 28 ft.
ftuiv. I 180 Goud-guld.
105 I
Da»



KETTING - REGEL»
Dan ftuivers door 105 gedeeld, geeven jui>J ducaaten , gelijk vereischt wierd.
§. 1045- L. Hoe zeer Gij mijne bedenking door overtuigende reedenen uit den weg geruimd hebt, Meester! en hoe zeer ik bet fraaij van deezen regel meer en meer bewonder, kan ik echter niet ontveinzen , dat mij de wijze, van een voorftel naar deezen regel op te ftellen, tot nog toe eenigzins duister blijft.
§. 1046. M. Van den eenen kant moet men bekennen , dat deeze regel met omzichtigheid gebruikt moet worden, cn ten minsten een tamelijk ervaaren Reekenaar vereischt, vooral wanneer de vraagen wat ingewikkeld worden voorgedraagen: want, dat hij "in de handen eens min ervaarenen, even als een mes in de hand eens kinds, gevaarlijk kan zijn/— Van den anderen kant moet ik D echter, ter gerustftelling, onderrichten , dat ik U tot hier toe alleenlijk den grond heb aangetoond,'waar op deeze handelwijze van reekenen berust, het welk de reeden is waarom ik de daadlijke en gebruiklijke wijze van opftellen , wanneer men eene vraag onmiddellijk langs deezen weg wil oplosfen , niet gevolgd heb..
De gebruiklijke wijze van opftellen is gemaklijker; men volgt den leijdraad, welke door de vergelijkingen zelve wordt aan'de band gegeeven, en, het geheele opftel beftaat als dan uit enkele losfe vergelijkingen. — Zo zegt men in dit geval. (§. 1030.) Eén Goud - gulden houdt 28 ft. — 20 ft. maaken ƒ1. — ƒ ai houden 4 Ducaaten. — 2 Ducaaten bedraagen 180 Goud-guldens.
• Zie Mer het voorftel, als naar gewoonte, opsefteld, en uitgewerkt.
•• ,»'-• , , Goud-



ketting - regel» s^l
Goudguld. i | | . a8 ftuiv. 4 Stuiv. . 20 J _ I f 1
• 3 • f21 I 4 Ducaaten. Ducaaten z J j . 180. Goudg, .9 3
Komt 2 = 4x4x3 = 48 Ducaaten.
§. 1047. L. Dit geeft aanmerklijk veel licht, Meester! — Ik zie dat Gij telkens.de volgende vergelijking met eene gelijkfoortige grootheid begint, als die, waarmede Gij de voorige geëindigd hebt. — Zo ftelt Gij goudguldens aan ftuivers voorts ftuivers aan guldens, dan guldens aan du' caaten, en eindelijk ducaaten wederom aan goudguldens gelijk. — Dus doende worden dan de allereerfte en allerlaatfte term wederom gelijkfoortio-.
§. 1048. M. Volg flechts altijd deezen Ieudraad. Hij loopt langs den zekerden weg. ~. De hoofdzaak is deeze, dat men zorge dat 'er zich altijd evenveel gelijkfoortige grootheeden ter wederzijden bevinden. De vrijheid, welke een kundig Reekenaar anderzins in het opftellen heeft, kent bijna geene paaien. — Zie hier, tot een enkel ftaaltje daar van , het opftel in allerlcij opzichten omgekeerd, en het antwoord echter vol" maakt goed, en als boven.
Ducaat. 4 j ! . ƒ ai . 3
ƒ 1 I . I .20 ftuivers.
4 ftuiv. . 28 I — I 1 goudgulden. 3 . 9 goudg. . 1S0 I f z ducaaten.
Komt 3 x 4 x 4 = 48 Ducaaten voor 2.
I049- L. Het moet natuurlijk om het even zijn, Meester! welke vergelijking vroeger of laaII. deel. q ter



E42 KETTING - REGEL.
ter opgefchreeven worde; als ook welke der twee termen men voor of achter plaatze, mids dezelve termen Hechts aan de zelve zijde naar behooren geplaatst worden.
Dan vergun mij nog eene vraag, bid ik, met betrekking tot het voorllel zelve. — Waarom toch in dit voorftel alle die verfchillende overgangen , als, bij voorb. eerst van ftuivers op guldens, en daar na van guldens op ducaaten? Waarom niet terftond van ftuivers op ducaaten?
§. 1050. M. Gij moet veronderllellen , dat de Vreemdeling ( §. 1030.) niet weete, of dat hem niet terftond invalle, dat een Hollandfche ducaat juist 105 Hollandfche ftuivers boude. — Dit is juist het voornaame nut en oogmerk van deezen regel. — In alle gevallen waar ik twee grootheeden met eikanderen te vergelijken heb, wier onderlinge verhouding mij bekend is, zal een enkele regel van drieën voldoende zijn ,• maar deeze Ketting - regel komt dan, en ook alleen dan, te pas, wanneer ik, bij voorbeeld, twee grootheeden A en D met eikanderen vergelijken moet, wier onderlinge betrekking ik niet weet, doch tusfehen welke beide mij tusfehen • betrekkingen bekend zijn, zo dat ik wèl kenne de betrekking van A tot B, ook wederom die van B tot C, en dan eindelijk die van C tot D; als dan ben ik in ftaat, om uit alle deeze tusfehen - betrekkingen, de onmiddellijke betrekking tusfehen A en D te ontdekken, en dit doe ik, langs den kortften weg, door eenen ketting-regel.
Zo kan, om dit door een voorbeeld nog meer op te helderen , bij flor, uit het eerfte voorftel van den ketting-regel^ bij Bartjens, opgemaakt worden, dat de Antwerpfche el tegen de Frankfort-



KETTING - REGEL. 243
fortfche el ftaat, gelijk 5 tegen 4. — Nu vraagt' hij, hoe veele Antwerpfche ellen 87^ Frankfortfeil e ellen maaken ? — Had men deeze verhouding gekend, men had flechts den volgenden eenvoudigeu regel van drieën te maaken gehad.
Frankf. ellen. 5 I I . 4 Antw. ellen 2 . 2 Antw. ellen x | j .87;Frank. el. .175 35
Komt x = 2 x 35 = 70 Antw. ellen
Doch men kent deeze verhouding niet, maar weet dat 10 ellen te Frankfort zo lang zijn als 7 ellen te Weenen, en dat 35 Weener ellen zo veel bedraagen als 24 ellen te Lion, en dan weet men eindelijk, dat 3 ellen te Lion gelijk liaan met 5 ellen te Antwerpen. — Uit deeze bekende tusfehen-verhoudingen wordt dan het antwoord op volgende wijze gevonden.
. 2 Frankf. . to I .7 Ween.
. 5 Ween. . 35 | . 24 Lion. .8.4. 2
Lion. . 3 j ' . 5 Antw.
. 2 Antw. x I j . 87! Frankf. 175 35
Komt x ~ 2X35 = 70ell.Antw.
$, 1051. L. fk zeg U hartlijken dank voor deeze opheldering, Meester! en zo Gij mij eenige vraagen verkiest op te geeven, wil ik mijne krachten beproeven.
§. 1052. M. Tracht dan de volgenden op te losfen.
A. Welke zal de verhouding zijn tusfehen A en F, als men de volgende tusfehen-verhoudin- . gen bekend geeft? te weeten
Q 2 A.



£44 KETTING-REGEL.
A: B = 5: 3 Men lette , dat uit deeze opgegeei
B : C = 7:12 vene evenreedigheeden, de volgen-
C:D=9:io de vergelijkingen ontftaan. D:E = 6; 7 sA = 5Bl fA 3 j 5 B
E:F = 8:u iaB = 7C }.of-{ B12 = 7C
eindelijk 10 C = 9 Dj (,Cio I9D F : A = 1: x en zo vervolgens.
B. Hoe zal zich A tot G verhouden ? De volgende verhoudingen gegeeven zijnde.
A:B = 7: 9 D : E = 22 : 39 B : C = 13 : 11 E : F = 36 : 49 C:D= 3: 5 F : G = 20 : 27
C. Hoe veele ponden zullen de 100 Amfterdamfche ponden te Marfeille uitleeveren, als 20 18 te Amfterdam gelijk ftaan met 21 ffi te Antwerpen, en 105 ffi te Antwerpen met 102 18 te Hamburg, cn 34 ffi te Hamburg met 41 ffi te Marfeille?
D. Hoe veele ponden zullen 100 ffi Lisfabons gewigt te Archangel maaken, als 53 ffi te Lisfabon 58 ffi te Lion doen , en 29 ffi te Lion 25 ffi te Amfterdam, en 20 ffi te Amfterdam 21 ffi te Lubec , en 105 ffi te Lubec 123 ffi te Archangel?
E. Bekend zijnde dat 3 Yards te Londen gelijk ftaan in lengte met 4 Éllen te Amfterdam, en 5 ellen te Amfterdam met 6 ellen te Hamburg, en 2 ellen te Hamburg met 1 el te Geneve, en 20 ellen te Geneve met 11 ellen te Romen, hoe veele ellen zullen dan 100 Engelfche Yards te Romen kunnen uitleeveren ?
F. Hoe veele Lcipziger ellen zullen de 100 Smyrnafcbe Pieken uitleeveren, als 103 Pieken te gmyrna ico Amfterdamfche ellen houden , en
4



OMGEKEERDE VERHOUDINGEN. 245
4 Amfterdamfche ellen 3 Eng. Yards, en 25 Yards 41 ellen te Frankfort, en 123 ellen te Frankfort 120 ellen te Leipzig?
Zo Gij meer voorbeelden van deezen aart mogt willen oplosfen, zal ik U tot andere reekenboeken moeten verwijzen. —. Ik fpoed mij om U iets te zeggen omtrent de
OMGEKEERDE VERHOUDINGEN.
§. 1053. L. Wat verftaat Gij door eene omgekeerde verhouding ? Meester!
§. 1054. M. Op deeze vraag zal ik U eens met eene andere vraag antwoorden. — Staat 3 niet tot 6, gelijk 4 tot 8? — Of is niet 3: 6 = 4:8 ?
§. 1055. L. Zeer zeker, Meester!
§. 1056. M. Kan ik dan ook niet zeggen dat 6 tot 3 omgekeerd flaat gelijk 4 tot 8 ? Of kan ik niet zeggen dat 3 tot 6 omgekeerd ftaat. gelijk 8 tot 4 ? Dat is: kan ik mij niet dus uitdrukken:
6 : 3 omgekeerd = 4:8 of 3 : 6 omgekeerd = 8 .'4?
§. 1057. L. Buiten twijffel, Meester! want, in het eerite geval keert gij de eerfte reeden om, terwijl Gij de laatfte onveranderd laat, cn in het laatfte geval zet Gij de termen der laatfte reeden om, terwij! Gij de eerfte onaangeroerd laat.
§. 1058. M. Zo ziet Gij dan dat twee grootheeden gezegd worden in eene omgekeerde reeden van twee andere grootheeden te zijn, als van de beide eerfte grootheeden, de eerfte tot de tweede ftaat, als van de beide laatfte de tweede tot de eerfte. — Zo is 6 tot 3 in de omgekeerde rcedert Q 3 van



246 OMGEKEERDE VERHOUDINGEN.
van 4 tot 8 ; om dat, in eene rechte reeden, 3 tot 6 ftaat gelijk 4 tot 8.
5. 1059. L. Ik zie telfens, Meester! dat in dit geval nu niet het product der uiterfte termen gelijk aan dat der middenften is (§• 606.3 maar dat het product der eerfte en derde term gelijk dat der tweede en vierde zijn zal: want, boven (§. 1056.) is 6x4=3x8 = 24.
§.• 1060. M. Dit is een allernatuurlijkst gevolg der omkeering: want, hier door is de eerfte term in de plaats der tweede , en de tweede in de plaats der eerfte te ftaan gekomen; of, zo Gij wilt, de vierde in de plaats der derde, en de derde in de plaats der vierde , het welk volmaakt op het zelve uitkomt.
§. 1061. L. De vierde evenreedige zal dan, in eene omgekeerde evenreedigheid, gelijk zijn aan het product der eerfte en derde, gedeeld door.de tweede term der evenreedigheid: want,
6x4 24 3x8 24
8 = = —, en 4 = = — (§. 1056.)
3 3 6 6
§. 1062. M. Het is zo. Uwe aanmerkingen zijn juist. — Dan daar men, door het menigvuldig gebruik, temfterkften aan de gedaante eener rechte evenreedigheid gewend wordt, hebben de kundigfte reckenaars het gemaklijker gevonden de omgekeerde verhoudingen echter onder eene rechte gedaante voor te ftellen. — Dit nu gefchiedt allergemaklijkst door de grootheeden, welke met, of met welke twee andere in eene omgekeerde betrekking moeten (taan, tot deelers der eenheid te maaken. — Bij voorbeeld , als men te kennen



VERKEERDE REGEL VAN DRIEËN. 247
wil geeven dat 6 en 3, in eene omgekeerde reeden met 4 en 8 ftaan, dan drukt men zich, in de plaats van te zeggen
6 : 3 omgekeerd = 4 : 8 (J. 1056.) door eene rechte evenreedigheid dus uit: 6 : 3 = i : i want | x 6 = | x 3 ±= £.
§. 1063. Z. Dit is alles klaar, en in de daad fraaij en gemaklijk, Meester! maar ik moet rondborstig bekennen dat ik tot nog toe bet nut van deeze omgekeerde verhoudingen niet begrijp. — Waar toe toch ooit eene verhouding omgekeerd tegen eene andere voor te ftellen ? — Waarom zegt men toch. ooit dat 6 zich omgekeerd tot 3 verhoudt, gelijk 4 tot 8 ? Komt dit ooit in de natuur te pa's, of is het eene enkele hersfen vrucht?
§. 1064. M. De zaaken doen zich dikwijls het eerst onder deeze gedaante aan den geest op. Deeze befchouwing is dus geene enkele hefsfenvrucht, maar zij is wel degelijk uit het geen men iu de natuur waarneemt, afgeleid, en verdient daarom onzen aandacht, niet minder dan de gewoone rechtftreekrche verhoudingen — Dan dit zal ons geleiden tot eenen anderen, in de meeste reekenboeken voorkomenden regel. — Hij wordt genoemd
VERKEERDE REGEL VAN DRIEËN.
§. 1065. L. Zekerlijk om dat bij op de kennis der verkeerde, of omgekeerde verhoudingen berust. . . .
§. 1066. BI. En deeze, zeg ik, liggen ra den aart der zaak zelve. — De volgende vraagen zulQ 4 - len



5.$ VERKEERDE
Jen 'er U het leevendigst bezef van geeven. — Stel dat iemand een land had laaten omfpitten door 12 fpitters, en dat hij daar voor betaald had ƒ120-.-,, wat zoude hij hebben moeten betaalen, indien het land driemaalen, zo groot geweest ware? &
§. 1067. L. Zeer zeker 3 x 120 of ƒ 360.-. Meester! ' 0
§.1068. M. Zo dat dan het werkloon aangroeije in eene rechte reeden van de uitgebreidheid van het land, of van de hoegrootheid van het werk. — Zeg mij nu, hoe veel tijd die daglooners meer zouden hebben moeten befteeden om een land, dat driemaalen zo groot was om te fpitten ? '
§. 1069. Z. Driemaalen zo veel tijd, Meester ! Het antwoord is zeer eenvoudig. ■ §. 1070. M. Zo dat dan de tijd ook aangroeije iri eene rechte reeden van de hoegrootheid van het werk, mids het getal der werkende handen of werklieden, bet zelve blijve. — Zeg mij verder hoe veele werklieden, of fpitters, men in het werk had moeten ftellen om.het eerfte land (§. 1066. ) in de helft van den tijd gefpit te krijgen?
§.1071. Z. Half zo veel Neen, wat zeg
ik! 1 weemaal zo veel fpitters, Meester» — Nu erken ik mijne traagheid van begrip. — Ja. — Hier heeft eene omgekeerde reeden plaats.' — Naar maate de tijd, waar iu een werk verricht zal worden, afneemt, moet het getal der werklieden aangroeijen; en zo omgekeerd, het getal der werklieden aangroeiiende, zal de tijd, om het zelve werk te verrichten, afneemen, of het getal dêr werklieden afneemende, zal de tijd aangroeien,



REGEL VAN DRIES N. 249
§. 1072. M. Gij ziet dan, dat, om een bepaald werk te verrichten , tijd en getal van werklieden met eikanderen in eene omgekeerde verhouding ftaan, en dat dit geene gezochte, maar zeer natuurlijke gefteldheid van zaaken is, welke zich bij nadenken , dus allereenvoudigst aan het verftand voordoet.
§. 1073.- L. Ik begin de zaak hoe langer hoe meer door te zien, Meester! —■ Men kan het omfpitten van dit land (%. 1066.) wederom als een gewrocht aanmerken, het welk van twee oorzaaken, het getal der fpitters naamlijk, en den tijd , dien zij daar toe befteeden, afhangt. — Moe grooter dan de eene deezer oorzaaken wordt, boe kleiner de andere kan zijn, en anders om.
§. 1074. 31. Voeg hier nog een ander, en niet min treffend voorbeeld bij. — Stel dat gij om een groot vertrek re behangen 100 ellen behangzel noodig bad van dén el breed, zoudt gij dan meer of minder ellen in lengte noodig hebben,indien gij behangzelvan i| ellen breed naamt?
§. 1075. X. Minder, Meester ! en wel in reeden van de meerdere breedte: want, in dit geval moet het, in eenen eigenlijken zin (veroorloov mij, bid ik , het afgedeetene van het fpreekwoordj uit de lengte, of uit de breedte komen; wat men dus meer in breedte heeft, kan men minder in lengte hebben.
§. 1076. 31. Laat ons dan nu zien hoe men eene vierde evenreedige vinde, welke zich met de derde in eene omgekeerde reeden verhoude , van de tweede met de eerfte term. — Ten dien einde willen wij ons voorig voorftel (3. 1066O hervatten , en ftellen dat die 12 fpitters het land in 16 dagen omgefpit hebben, en vraagen naar het geQ 5 tal



tt£0 VERKEERDE
tal van fpitters , om het in 8 dagen te doen ? (§• 1070.)
Men kan dit op verfchillende wijzen bewerkftelligen. 1. Volgens uwe bovengemaakte aanmerking, (§. 1061.) aldus
Dag. Dag. Spitters. Spitters.
16 : 8 omgek. ss 12 : x
8/ v _
a : 1 omgek. = 12 : x
2x12
Komt x ss ==2 x 12 = 24
1
Doch in dit geval ftaat aan te merken, dat men niet , gelijk bij eenen rechten regel van drieën, en gelijk in koopmans ftijl meesttijds gefchiedt (§. 660.) de beide middenfte termen met elkander mag verwisfelen , en zeggen
Dag. Spitters. Dag. Spitters.
16 : 12 omgek. ss 8 : x
Immers zoude men hier de beide termen van de eerfte reeden met eikanderen moeten vermenigvuldigen , en door de derde term deelen. Dit zoude ondertusfchen geleegenheid tot dwaaling kunnen geeven.
.2. Daar het uit den aart der zaak klaar is , dat men, eene omgekeerde verhouding omkeerende, wederom eene rechte verhouding bekomt, kan men aanftonds de termen der eerfte reeden omkeeren, en zeggen
Dag. dag. Spitters. Spitters. 8 : 16 = 12 : x
Door



REGEL VAN D R I E ë N. £>gï
D ior deeze omkeering heeft men nu eene rechte evenreedigheid bekomen, zo dat men de middende termen wederom moge omzettèu. "' 3. Veeltijds loopt die beichouwing , welke gij boven (§. 1073.) maakte, zodaanig in het oog, dat de zaak zich het eerst in dat licht aan den geest opdoe ; en in dat geval kan men het opftel ogenbliklijk in de gedaante eener vergelijking brengen; aldus
12 x 16 = 8 *• 12 x 16
Komt x ss =12x2 = 24
8
Deeze handelwijze is uitmuntend, en zeer veilig, naardien zij op het Waare begrip der zaak berust. — Dan men zoude hier uit zeer te onrecht met zommigen belluiten, dat de befchouwing der omgekeerde verhoudingen, cn dus de verkeerde regel van drieën ten ecnemaal nutloos waren; eensdeels, naardien zich de zaaken iu de meeste gevallen, vooral in natuurkundige weerenfchappen , veel eer ondèr de gedaante eener verhouding, dan onder die eener Vergelijking aan het verftaud opdoen ; ten anderen, om dat zodaanige gevallen, waar in de zaak gemaklijk onder de gedaante eener vergelijking in het oog loopt, echter ook onder dc gedaante eener verhouding behooren gekend te worden: immers, wat zal men antwoorden, indien 'er een zeker werk ontwerpen was, en men vroeg naar het getal van werklieden dat men moest aanneemen, andc-s, dan dat het cetal der werklieden moet zijn in e ne omgekeerde reeden van den tijd,/ Waar ,in men het werk begeert voltooijd te bebberi ? Een on-
ree-



2g2, VERKEERDE
reekenkundig timmerman, of metzelaar, geeft dit antwoord ingewikkeld, als hij zegt, het is'al naar dat Mijn Heer haast met het werk maakt. Ten derden, om dat men, dus doende, te veel, en daarom niet met al zoude bewijzen: want, wij hebben hooger bij eene menigte van voorkomende geleegenheeden getoond, dat allerleije evenreedigheeden tot vergelijkingen , en zo, anders om, allerlei} vergelijkingen tot evenreedigheeden gebragt kunnen worden; waar uit dan vóórt zoude vloeijen, dat de beichouwing van den rechten regel van drieën even nutloos ware, als die van den verkeerden, of liever dat 'er geene evenreedigheeden behoeven overwogen te worden , om dat men die in vergelijkingen kan veranderen.
4. De meest gevorderde Reekenaars dellen, gelijk ik boven (§. 1062.J reeds gezegd heb, de omgekeerde verhoudingen, met gebrokene termen , onder eene rechte gedaante voor.
Volgens deeze handelwijze fchrijft men aldus :
Dag. Dag. Spitters. Spitters.
1 : 1 16 : 8 = — — 12 x 16 8 Men heeft dan — = —
jc 12 \
/ 12 X
12 x 16 = 8 x X 8/
12 x 2. ~ X — ZA.
5. Als men ondertusfchen de termen der laatfte reeden, van het onmiddellijk voorgaand opftel,



REGEL VAN DRIE ë». 253
(lel, aanftonds met 12 x vermenigvuldigt, komt 'er een ander opftel uit voort, dat in den aart met één onzer Voorige opftellen (N°. 2.) overeenkomt ; want, hier wordt dan de omgekeerde evenreedigheid in eene rechte veranderd, door het omkeeren van de laatfte termen, gelijk daar door het omkeeren der eerfte. — Zie het hier bewerkftelligd.
Dag. Dag. Spitters. Spitters.
.1 1 16 : 8 = — : _ 12 x
16 : 8 = x : 12 ^ 12 X 12 x 16
Dus8#=i2X 16, of x~ = 12x2 = 24.
8
Gij ziet uit het gezegde duidlijk, hoop ik, dat men de evenreedigheid aanftonds onder de laatfte gedaante kan opftellen, zonder dat men de eerfte noodig hebbe, en als dan ben ik zeer geneigd , om deeze laatfte handelwijze boven alle andere , vooral aan mingeoefienden , aan te prijzen.
§. 1077. L. Vergun mij, Meester! dat ik op twee verfchillende wijzen ( volgens N°. 3. en N°. 5. §. 1076.) bepaale hoe veel ellen behangzel men volgens uw voorftel, (§. 1074.; noodig hebbe. (§. 1076, N0.3.) IXI0O=Ii#
_/2
2CO = U
3/ i__
ellen 66f = x (§. 1076, N°5%) 1 : ii = x : 100
Komt if x =s= 100 als boven.
Ik



254
VERKEERDE
Ik zie dus dat deeze handelwijzen in de daad op het zelve uiiloopen, en alleen daar in verfchillen, dat men in het eerde geval terftond de vergelijking opftelt, welke men in het laatfte geval uit de voorafgaande evenreedigheid afleidt.
§. 1078. -M. Zie hier eenige vraagen ter meerdere oeffening.
A. Men plant een bosch van 624 boomeh in de lengte , en 456 in. de breedte , hoe veele boomen zoude dit bosch breed geworden zijn, met het zelve aantal van boomen, indien men het 741 boomen lang gemaakt had?
B. Iemand heeft eenen vierkanten vijver van 96 voeten langen breed; een ander wil eenen vijver van gelijke oppervlakte maaken, doch hij kan wegens de (trekking, van den grond flechts 64 voeten breed worden ; de vraag is boe lang hij zal moeten zijn?
C. Een Schipper met 9 mannen zullende vaaren, heeft zich, behalven den voorraad- voor zich zeiven , voor 14 weeken van leeftocht voorzien; doch bij het uitzeilen uit de haven, vallen hem ongelukkig 2 mannen over boord, die verongelukken; de vraag is hoe lang hem zijn voorraad voor het fcheepsvolk nu zal kunnen (trekken V — Het is klaar, dat men bij deeze en dergelijke vraagen veronderftclt, dat alle menfchen evenveel eeten.
D. De zelve Schipper ( C.") bevindt dat hij te weinig volks heeft, en neemt, na verloop van '5 weeken, eene andere haven aandoende, nog 3 mannen aan; de vraag is, hoe lang hem nu zijn voorraad zal kunnen ftrekken, van den dag, waar op hij uitgezeild is, af gereekend ?
E. Een leger van 24000 Soldaaten behaalt eene
over-



REGEL VAN DRIE ë N. 255
overwinning , waar bij echter 4000 (heuvelen ; zij maaken voor zich een' buit van ƒ 3 - = . « ieder, de vraag is wat ieder ibldaat, bij gelijke deeling, voor zijn aandeel gehad zoude hebben, zo 'er niemand gefueuveld ware, en hoe veel de geheele buit bedraagen hebbe?
F. Als men een brood van 8 ffi gewigt voor zekeren prijsgeeft, als de rogge ƒ 3 - 12 - de mudde kost, hoe zwaar zoude men dat brood dan voor de zelve prijs kunnen maaken, als de rogge 8 ft. op iedere mudde afllaat, mids meiï de verminderde prijs van het koorn, buiten belasting, enz. a'leen in aanmerking neeme?
§. 1079. De vraag welke ik U hooger reeds bij den rechten zamengeftelden regel van drieën ( \. ioia. B. ) gedaan heb , kan zo wel hier als daar behandeld worden, en behoort mbfchien zelvs met meer recht hier te huis,- naardien, de winst eenpaarig , of voor iederen inlegger dezelve blijvende, volgens onderftelling, de hoofdfommen in eene omgekeerde reeden der tijden moeten zijn. /
Zie haar hier door eenen verkeerden regel van drieën beantwoord.
Maand, Maand. f f
1. 12 : 10 ~ x l 1000 of 12 : 1 = x : 100
Komt x = ƒ1200
2. 12 : 8 = x : 1000
4/
of 3 : 2 — x : 1000 3000
Komt x = =zfi$oo
2.
en zo verder voor allen. §. 1080.



fl^Ó" ZAMENGESTELDE VERKEERDE
§. 1080. Daar er in andere reekenboeken genoegzaame voorbeelden voor handen zijn, indien gij lust hebt om een grooter aantal op te losfen, wil ik mij haasten, om U nog ter loops te toonen, hoe deeze regel ook onder eene meer zamengeftelde gedaante zomtijds voorkome. — Hij moge dan heeten
VERKEERDE ZAMENGESTELDE, of ZAMENGESTELDE VERKEERDE REGEL VAN DRIEëN.
§. 1081. L. Gij bedoelt zekerlijk dien regel, welke iu de gewoone reekenboeken den naam draagt van verkeerden regel van vijven, Meester 1 doch waar aan Gij dien naam weigert, om reedenen bij den rechten zamengeftelden regel van drieën (§. 958, en volg.) reeds opgegeeven.
§. 1082. M. Den zeiven. — Ik zal 'er echter zeer kort over zijn , naardien ik den zamengeftelden regel van drieën, zo wel als den verkeerden , breedvoerig ontvoud heb; en deeze dus als ftukswijze reeds ontvoud moet aangemerkt worden.
Zomtijds doen zich twee grootheeden in eene omgekeerde zamengeftelde verhouding van twee, of meer andere, aan den geest op. — Bij voorb. Men weete dat eene zekere fom gelds toereikende is, om eene bepaalde krijgsbende, tegen een bepaald dag-geld, voor eenen bepaalden^tijd te onderhouden; en men vraage naar den tijd, geduurende welken deeze zelve fom zoude kunnen ftrekken, tot onderhoud van eene andere bende , welke uit meer of minder manfchap beftaat, die hoofd voor hoofd een grooter of kleiner dag-geld genieten.
Hier



REGEL VAM D R I E ë Ni 257
Hier zullen de tijden in eene omgekeerde zamengeftelde reeden der manfchappen en dag-gelden zijn: immers, hoe meer manfchappen, en hoe hooger dag-gelden, hoe korter de tijd zal zijn, waar in eene bepaalde fom gelds verfpild wordt, en omgekeerd.
Zie hier dan een voorftel van dien aart opgelost. — Men heeft geld in kas om eene bende krijgsvolk, van 1500 mannen, 15 weeken lang te onderhouden, tegen 5 ft. de man 's daags; nu vraagt men hoe lang men 1200 mannen, tegen 8 ft. de man 's daags , van die zelve fom gelds zal kunnen betaalen ?
Man. St. Man. St. Week. Week. 1500x5: 1200x8 = x : 15
100/
15 x 5 : 12x8
3/
5x5= 4x8 = x : 15
Komt 32 x =5x5x15 = 375
• of x = =nf| weeken.
3^
§. IC183. Meermaalen doen zich echter die gevallen op, waar in twee grootheeden zich in eene rechte reeden met twee andere bevinden, doch in eene omgekeerde met eene derde en vierde. Die grootheeden worden dan gezegd in eene zamengeftelde rechte reeden der twee eerfte, en omgekeerde der twee laatfte, te zijn. — Zo zijn twee geldfommen, welke in bepaalde tijden , bepaalde /»teresfen zullen opbrengen, tot eikanderen in eene
II. DEEL. & ZB-



»5S ZAMENGESTELDE VERKEERDE
zamengeftelde rechte reeden der begeerde interesten , en omgekeerde der tijden.
§. 1084. Een voorbeeld zal dit ophelderen. — Hoe veel geld zal men moeten uitzetten om in 5 maanden ƒ 15 te winnen, als men met ƒ100 in ia maanden fa wint ?
Zie hier de vraag opgelost, zo als men die kan oplosfent
ƒ Maand, f f Maand, f 100 x ia : 9 = x x 5 : 15
3/ • 5/
100 x 4 : 3 = x : 3
3/- 3/-
100 x 4 : 1 rr x : 1
Komt x — ƒ400 - • -
De waare aart van opftel, volgens voorige everweeging (§. 1083.) is echter deeze
f f 9 winst. 15 winst.
io* : x =r ' — : .
12 maand. 5 maand. /5XI2
100 11 = 5x9 : 12 x 15
5x3/
3 : 4 x 3
3/ =
100 : x = 1:4 Komt x z=z ƒ 400 - • - .
§. 1085. Zo zijn de tijden, welke tot het voltooijen van gelijkaartige werken vereischt worden, in eene zamengeftelde rechte reeden van de aitgeflrektheid dier werken, en omgekeerde van
het



RÉGEL VA N BRIE ê' N. Qt$$
het getal der werklieden, Welke daar aan gebruikt worden.
Bij voorbeeld. — Ik vraag nanr den tijd, weliken 42-graavers zullen noodig hebben, om een graft te graaven van 1200 voeten lang , en 80 breed , als ik weet dat 36 graavers, eene graft van 1000 voeten lang, en 64 breed, in 12 weeken , in dergelijken grond, gegraaven hebben ?
Week. Week. 1000x64 1200x80
%6graav. 42 graav.
/ 36x43
of i2 : x =42x 1000x 64: 36x 1200 x 80
6 x iöox 16/ s—■ ' ■
ofi2 : jc = 7x10x4: 6x12x5
5x4/ ■ •
of 12 : x = 7X 2j<t : 6x 3x1
a/
of12 : x = 7 : 3 x 3
Komt 7* = 3x3*12 = 9x12= iöï 108
en x = =t: 15^ weeken.
7
§. to86. Gij ziet uit dit alles duidelijk , dat het op de kundigheid, en vooral op bet gezond oordeel van den reekenaar aan zal komen, om irt allerleij voorkomende gevallen te beoordeelen $ in welkè reeden zich twee grootheeden tegen eikanderen verhouden; en of zij in eene enkelvoudige , dan wel in eene zamengeftelde reeden van twee , of meer andere grootheeden tegen elkanderen ftaan; en of zij misfchien niet de rechte reeden van zommige, doch de omgekeerde R 2 van



q6o ZAMENGESTELDE VERKEERDE
van andere, waar mede zij in betrekking ftaan, volgen.
§. 1087. L. Ik zie dat zeer klaar, Meester! Het is niet mogelijk om zo veele voorbeelden bij te brengen, dat 'er zich geene vraagen, waar van men geen voorbeeld in een reekenboek aantrof, zouden kunnen voordoen; en het behoort als dan zekerlijk niet tot de minfte bekwaamheeden eens reekenaars, om eene zodaanige vraag in het waare licht te befchöuwen, en te beoordeelen in welke betrekking de daar in opgegeevene , en te zoekene grootheeden , met eikanderen ftaan. — Dan vergun mij te vraagen, bid ik, of men dergelijke vraagen als de laatst voorgaande, (§. 1084. en 1085.) niet door enkele, en rechte regels van drieën, zoude kunnenoplosfen?
§. 1088. M. Zeer wel, en gij vindt 'er voorbeelden genoeg van in de gewoone reekenboeken. Zelvs is deeze weg voor min geoelienden veiliger te betreeden; dan het was mijn oogmerk hier, om U den waaren aart der omgekeerde verhoudingen, zo wel op zich zelve, als in zamenftelling te leeren kennen. ' >
§. 1089. L. Indien Gij mij eenige voorbeelden ter oeffening wilt opgeeven, Meester! hoop ik van uwe lesfen in deezen gebruik te maaken; doch ik zal telkens, om mij zeiven van de richtigheid mijner befchouwing te verzekeren, de vraagen in enkele en rechte regels van drieën, bij wege van proef trachten te ontbinden, en eene andere oplosfing langs dien weg bewerkftelligen.
Bij voorbeeld. — Uw voorftel, waar in Gij na een fom gelds vraagt, ($. 1084.j zal ik ook op volgende wijze beantwoorden.
Maand.



REGEL VAN DRIE è' N. 2ÖI
Maand, f Maand. 12 : 9 = 5 * x
4:3= 5 *• *
3X5 *5 Komt x = = — = 3|
4 4 '
Winst, f Winst. f Voorts 3| : 100 =15 ' x 4 = 4
15 : 100 = 4X 15 : x of 1 : 100 = 4 : x
Komt * = ƒ 400 - * -
§. 1090. M. Gij zult zeer wel doen. — Zie dan hier de volgende vraagen.
A. Als een Scheepsbevelhebber voorraad heeft voor 36 mannen, geduurende 100 dagen, tegen 3 deelen voedzel 's daags de man; hoe lang zal deeze voorraad dan kunnen ftrekken voor eenen anderen, die met 45 mannen vaart, en s daags 5 deelen voedzel aan eiken fcheepling uitdeelt?
B. Als men in eene beleegerde ftad, waar in 1200 mannen bezetting lag, leevensmiddelen had voor 56 dagen, kunnende ieder foldaat als dan 8 deelen leeftocht 's daags ontvangen, hoe Veele deelen zoude men als dan dagelijksch aan ieder man kunnen uitdeelen, wanneer 'er bij een aanval, na verloop van 40 dagen, 60 mannen gefneuveld waren, en men het beleg echter ten minsten nog 30 dagen wilde doorftaan ?
C. Als ƒ ïco -  - o in 9 maanden ƒ 6 - 0 - * winnen , hoe lang zullen dan ƒ 500 - * - * te
R 3 Sea



ZAMENG. VERK. RftOEL VAN DRlE§N,
gen eenen gelijken interest moeten uitlhan, om f 72 - * - * te winnen ?
D. Hoe veel geld zoude men moeten uitzet- . ten, om tegen den zeiven interest, als boven, ( G..) ƒ 3°° " * ■ p in een jaar te winnen ?
E. Als men voor ƒ 100 - * - * een gewigt van 1500 të 60 mijlen wegs vervoert, hoe veel gewigt zal meu dan in die reeden , voor ƒ 225 - * - <• moeten vervoeren, tot op 156 mijlen aflkuid?
, F. Tot op hoe verren afltand zoude men, naar die zelve reeden, als boven, (E.) een gewigt van 12000 fg voor ƒ 350 - * - * moeten vervoeren?
G. Als 2o_ werklieden een werk in 64 dagen voltooijen, in hoe veele dagen zal dan een gelijkaartig werk voltooijd moeten worden , dat 6 maaien zo uitgebreid is, doch waar aan men 48 werklieden laat werken?
H. Hoe veele werklieden zal men in het laatfte geval van de voorige vraag (G.) aan het werk moeten zetten om het werk in 100 dagen voltooijd te hebben? — Men lette, en de aart der zaak leert het uit zich zeiven, dat men, zo het antwoord in deeze, of foortgelijke vraagen in eene breuk mogt vallen, daar voor een geheel te neemen hebbe.
Dit zij genoeg. — Zo gij meer voorbeelden verlangt, gij zult die wel elders aantreffen; en hier mede houd ik onze taak voor afgéweeven. — Immers durv ik U, zo Gij ü in ftaat gevoelt om het geleerde naar behooren toe te pasfen , en met genoegzaatne vaardigheid in het gebruik werkftellig te maaken, volkomen geluk wenfehen met de vervulling van uwe voormaals (§. 421.) geuite begeerte, en U thands als Bouwmeester,
ge-



ONDERRICHTINGEN." 2t>£
gelijk toen als Handwerksman in het reekenkundige begroeten. ... , ...
$. 1091. L. Hoe, Meester! Gij verbaast mij. — Zult Gij mij dan den regel van egalifatie, ot. evengelijkmaaking , de oplosfing der zinrijke vraagen, en ik weet niet welke reekeningen men nog al meer bij Mr. bartjens, en in andere reekenboeken aantreft, niet onderwijzen?
« 1092. M. Geene deezer reekeningen behooren in de gewoone, of laagere reekenkunde te huis. — Zij zijn alle onderwerpen eener meer algemeene reekenkunde, welke daarom ook als meer verheeven befchouwd wordt, fchoon op de zelve gronden, welke eeuwig eu onveranderlijk inden aart der zaaken liggen, met de gewoone reekenkunde berustende. — Men bettempelt deeze algemeenere reekenkunde met den naam van Stelkunde; of zij is bekend onder den naam van Al Gébra , of Algebra.
S 1093. L. De voorlieden worden echter , in die reekenboeken, door de gewoone reekenkunde , naar ik mij verbeeld, opgelost, Meester!
I 1094. M. Het heeft 'er den fchijn van , doch men is genoodzaakt aan de meeste deezer oplosflngen eene ftelkundige weiiüuig te geeven; het geen veroorzaakt dat een leerlu.g, hier omtrent niet vooraf onderricht zijnde, deeze oplosflngen voor zeer moeijlijk aan moet zien , en zelvs ' nooit naar behooren vatten kan. — pit gaat zo ver, dat de allergemaklijkfte en niets beduidende oplosfingen, op Helkundige.gronden dan^ wanneer men de ftelkundige gedaante wil ontween, als zeer moeijlijk en ingewikkeld voorkomen.. De geest der leerlingen wordt du? doende nutloos, en voor niet gepijnigd; wij vinden o,is



ft6> ONDERRICHTINGEN.
derhalven in de noodzaaklijkheid om deeze handelwijze ten fterkften af te keuren, als alleen ftrekkende om den waaren weetgierigen leerling af te fchrikken, en mismoedig te maakén.
§. 1095. Tot de bedoelde reekeningen betrek ik den reeds ($. 1091.) door U opgenoemden , zo genaamden regel van egalifatie, of evengelijkmaaking , en de zo genaamde zinrijke vraagen; voorts de falfche pofitien; de zo genaamde reguJa coeci, of regula virgularum: dat is, regel des blinden, pï ftreepjes-regel, om dat men 'er als in het blinde door werkt,. en de vraag met zekere ftreepjes gewoon is op te ftellen, en meer andere regelen van dien aart. — Ten opzichte des laatften regels ftaat nog aan te merken dat de benaaming van regula coecis , of regula virginum, waar onder hij in de gewoone reekenboeken niet zelden voorkomt, eene fchandelijke verbastering zij; als beteekenende de eerfte benaaming niets, terwijl de laatfte in volftrekten onzin, maagden-regel zoude beteekenen.
f. 1096. Nog is men in veele reekenboeken gewoon het quadraat, of vierkants, en cubicq, of taarlings - wortel trekken te leeren. — lk beken gaarn, dat men 'er de werkdaadige handelwijze van leeren kunne, dan daar de reedenen waarom men zo, en niet anders te werk moet gaan, alleen op meetkundige gronden berusten , ontken ik even zo zeer, dat de leerling, door deeze werkdaadige handelwijze, eenig denkbeeld erlange van de gronden, waar op zijne bewerking fteune. — Het gevolg daar van is, dat de leerling deeze handelwijze niet zo ras geleerd hebbe, of hij is haarer vergeeten, om dat hem de gronden, waar op zij fteunt, vreemd zijn. —



AANHANGZ. OVER DE WISSEL-REEK. 0,6$
Dit is dan geen zuiver reekenkundig, maar reeken-meetkundig onderwerp, het welk derhalven niet dan na voorafgaand onderwijs in de meetkunde behoort geleerd te worden.
§, 1097. L. Zult Gij mij dan ook niet in de Meet - en Stelkunde onderwijzen ? Meester!
§. 1098. M. Mijne omftandigheeden laaten mij zulks tot heden niet toe. — Daar en boven zijn de werken van den Heer steenstra, en va n s win den, vooral dat van den laatften, meer dan overvloedig toereikend, om U in de Meetkunde te oeffenen , terwijl eene vertaaling van de werken van clairauï, doch vooral van den beroemden eulek, U tot vertrouwde leidslieden in het ftelkundige zullen kunnen verftrekken.
Het eenige, dat ik, om het gebruik te volgen, nog doen wil, is, dat ik U geeve een klein
AANHANGZEL
over de
WISSEL - REEKENING.
§. 1099. L. Wat verftaat Gij door Wisfelreekening? Meester i
§. 1100. M. In het algemeen niet anders, dan de wèeterifchap, om de waarde van de eene munt -fpecie in die van de andere over te brengen ; doch meer bijzonder, de kennis om de waarde van vreemde munt-fpecien in die der onze, of die der onze in de waarde van vreemde fpecien, op de kortfte en gemaklijkfte wijze, te veranderen.
§. 1101. Men geeft zich in veele reekenboeken moeite, om den leerling eenig denkbeeld van R 5 den



S<55 AANHANGZEL OVER. Dl
den Wisfel-handel te geeven. —. Deeze moeite komt mij ten eenemaal kwaalijk geplaatst voor • eensdeels, om dat dit geen onmiddellijk onderwerp der reekenkunde, maar des koophandels, of ten besten genomen, van het zo genaamd Italiaamch boekhouden is; anderdeels , en wel voornaamlijk, om dat het bijna onmogelijk is, dat men iemand, door loutere befpiegeling, zonder eenige daadlijke, en alleen op Koopmans comptoiren te verkrijgene , ondervinding , eenig waar en grondig denkbeeld van den wisfelhandel geeve.
§. 1102. Ik zal mij dan alleen met het reekenkundige beezig houden. — De Wisfel-reekening kan, volgens gegeevene bepaaling C§. 1100.) tot onderwerp hebben
li Eene eenvoudige verwisfeling van de eene inlandfche munt-fpecie in de andere, welke beide beltendige en onveranderlijke waardijen met betrekking tot eikanderen hebben; bij Voorb. eene verwisfeling van festehalven in guldens, van guldens in achtentwintigen , in daalers, in rijders, enz. — Hoe dit in verfcheidene gevallen op het gevoeglijkst gefchieden kan , hebben wij reeds boven geleerd, onder het opfchrift van algemeens behandeling en vereffening van allerlei]e munten en gelden. (§. 499. en volgende.)
a. Eene verwisfeling met opgeld, zo dat men niet alleen de gewoone waarde van het geld, dat men inwisfelt, bctaale, maar nog een zeker opgeld daar boven: bij voorb. 1, 2 of 3 ft. op een ducaat, naar maate dat geld, wegens de eene of andere omflandigheid meer fchaars is. — Dan daar dit in de zaak zelve geene verandering maakt, en wij daarenboven hooger reeds over
op-



WISSEL - REEKENING. 267
opgeld, of agio (§. 797.) gehandeld hebben, is het niet noodig nier bij ftil te ftaan.
3. Eene wisfeling met provifie voor den Wisfelaar. Dan daar wij hooger over de provifie - reekening gehandeld hebben (§. 811. en volg.) zullen wij ook dit met ftilzwijgen voorbij gaan.
4. Eene eigenlijk in den koophandel zo genaamde wisfel, wanneer men, naamlijk, geld in een vreemd land te ontvangen, of te betaalen heeft. — Ieder land heeft zijne eigene bepaalde munt-fpecien, welke wederom in bepaalde onderdeelen, die alle beftendig de zelve betrekking tot hunne hoofd - fpecien behouden , gedeeld worden; of de Kooplieden houden hunne boeken, en de handel wordt gedreeven, in, en met zekere geldfommen, fchoon die niet weezenhjk in één ftuk gemunt voor handen zijn , ( §. 424» ) welke geldfommen dan in hunne onderdeden verdeeld, veeltijds werklijk in gemunte fpecien beftaan. — Zo is het, bij voorb. geleegen met het Engelsch X fterling, het welk in Engeland ten ftandert, of algemeene roaatfchaal, van gelden dient, fchoon het niet in één ftuk gemunt voor handen zij; daar echter bet twintigfte gedeelte daar van: dat is, de fhiïüng, of engelfche fchelling , werklijk gemunt, en in de wandeling is. Eveneens is bet geleegen met het
Flaamsch, en de Flaamfclie, of Hollandfche fchelling, enz.
'Deeze geldfommen van verfchillsnde landen, behouden echter niet altijd dezelve: betrcklijke waarde, ten opzichte van eikanderen,, maar hunne onderlinge of betreklijke waarde is, uit hoofde van ftaat - en handelkundige belangen, aan verandering onderheevig. Zo ki het Engelsch



0,6$ AANHANGZEL OVER. DE
oC. Sterling in Holland, dan eens onder, dan eens over, de 36 flaamfche, of Hollandfche fchellingen waard. — Deeze betreklijke waardij nu wordt de cours van den wisfél, of de wisfel-coz/r* genoemd; en hier uit zal men gemaklijk leeren verdaan, wat de uitdrukkingen van eenen hoogen, of hagen wisfd, van eenen hoogen cours, enz. beteekenen.
De eigenlijk zo genaamde wisfel-reekening beftaat dan in het overbrengen van de waarde eener bepaalde geldfom van bet eene land, in die van een ander, in gevolge van den opdien tijd plaats hebbenden wisfel - cours. — Te onderwijzen hoe dit op de kortfle, en gemaklijkfte wijze gefchiedcn kunne, behoorde het eenig doel eens Reekenmeesters te kunnen zijn; dan daar de gewoonte, gelijk overal, zo ook op de comptoiren der Kooplieden, de wet geeft , zo dient de Reekenmeester zich ook wel daar naar te fchikken , en de op de cmiptoiren meest gebruiklijke handelwijze aan zijne leerlingen voor te draagen , en te ontvouden , fchoon deeze juist niet altijd, en overal de beste zij.
§. 1103. L. Ik hoop dat Gij mij echter zo. wel omtrent het één, als ander, onderrichten zult, Meester!
§. 1104. M. Het allerkortfte, zekerde, en gemakiijklte middel, om dit werk te verrichten , zijn tafelenwaar in de muntfpeeien van zeker land, het zij dan in de daad betraande» of denkbeeldige , zo wel de geheele, van 1 af tot 100 ot meer toe, als derzelver onderdeden , naar alle verfchillende courfen, van den laagften tot den hoogften, welke gemeenlijk plaats hebben , in de waarde van die van een ander land zijn overga-



WISSEL - REEKENING. 269
gebragt. — Doch daar" men als dan het begeerde door enkel onder clkanderen fchrijvén , en niet door reekenen vindt, behoeven wij daar niet van te fpreeken.
§. 1105. De beste wijze, om bet door reekenen te verrichten, is buiten twijffel, naar mijn inzien, dat men de hoofdfom, zo wel als de cours, in tientallige breuken brenge, en op die wijze met eikanderen vermeenigvuldige; mids men zich de bekwaamheid verworven hebbe, om daar het te pas komt, een getalmerk meer ot minder te gebruiken. — De reekening kan ondertusfchen dan nog op verfchillende wijzen bewerkftelligd worden. — Ik zal U van het één en ander een enkel voorbeeld geeven, in de bereekening van den
WISSEL TUSSCHEN LONDEN EN AMSTERDAM.
§. 1106. Stel dat men eene fom van 152 Ponden fterling, ïffhillings cn 5 pen ces, of X ft. 152 - 17 fl - 5 % in Hollandsch bankgeld moest overbrengen, tegen 36 fl, a\ %, Holl. banco het L. fterl.
Men kan dan zo wel het Engelsch geld, als het Hollandsch in tientallige deelen overbrengen, door middel van de hooger gegeevene. tafeltjes (5. 719. en volg.) naardien het Engelsch geld, even als bet Brabandsch ingedeeld wordt: te weeten, het fterl. in 20 fl , en de fl in 12 pences, of ftuivers. — Zie het hier achter verricht.
Hoofd-



a,fO aanhanozil over de
Hoofdfom. cC fterl. 152
fl 17 = 0,85 CS. 719-) $ S = 0,0208 (§. 721.)
„C^r/. 152-17-5 = 152,8708
Cours.
3
109 dubbelt. T|5of/10,9ï $ = 4 penn. = o,oi25 (§. 721.)
36 fl, 4| % = ƒ10,9125
Ondertusfchen zal een kundig Reekenaar Mer aanftonds X fterl. 152,871 in de plaats van. 152,8708 fchrijvén, naardien hij, dusdoende, nog geene 2 tienduizendfte deelen van een cCfterl. te veel fchrijft , om dat de 5 % eigenlijk aan 0,02083333 enz. ($. 721.) deelen van een X\ gelijk zijn , en één tienduizendfte deel van een nog op lang na geene halve penning bedraagt.
De verdere uitreekening zal dan, gelijk hief beneeden , onder N°. 1, of zo men gebruik van onze kunstgreep ($. 730. en volg.) wil maaken, gelijk onder No. a. te ftaan komen.
1.



WISSEL - REEKENING. 2,71
i. X-fterl. 152,871 2. X'fierl. 152,871
aurs f 10,9125 cawry 5219 + 10/
7"4355 1375839
305742 15287
15^71 . 3°5<5
1375839 760
152871 1528710
/1668,2047875 / 1668,2042
Komt dus tot antwoord ƒ 1668 - 4 -« Holl. ba-nar*
§. 1107. Ik kan niet voorbij hier aan te merken wat een kundig Reekenaar, die niet meer aan regelen gebonden is, maar, zo men zegt, op zijn eigen compas zeilt, in zommige voorkomende omftandigheeden, gelijk deeze is, doen kan ; fchoon men dergelijke dingen niet als regelen ter navolging in leerboeken kan voorfchrijr ven, maar aan ieders kunde moet overlaaten.
Een geoeffend Reekenaar merkt overal, waar hij het getalmerk 5 in een getal aantreft, bijna ongevoelig op, dat deeze 5 de helft van eene voorgaande éénheid , ter linke hand , is: om dat t% = 5 is. — Zo loopt hem ook aanftonds in het oog, dat het getal 25 altijd een vierde gedeelte van eene voorgaande éénheid is: om dat TVS = $ is. — Zo leest hij, bij voorbeeld, in zijne gedachten , voor 75, als tegen zijnen dank, 1\ tienheeden; voor 325 leest hij 3J honderdheeden. — Zo komt hem dan ook aanftonds voor den geest, dat 125 het kenteeken van een achtfte zijn, met betrekking tot eene naast voorgaande éénheid: om dat Ty35s es j. is, en hij leest voor 9125 aanftonds q\ duizendheeden. —
Hij



i.7% AAN HANGZEL OVER DE
Hij zal dan ook voor 0,9125, ol tiende deel leezen.
Dit was nu hier (§. 1106.) ons geval. — Wij moesten 152,871 met 10,9125 vermenigvuldigen : dat is, wij moesten 152,871 met 10 en 9f tiende deelen vermenigvuldigen. — Dit is ook van eenen anderen kant klaar: want, 36 fi - 4 % maaken ƒ 10 - 18 - of ƒ 10 + 9 dubbeltjes, of ƒ10,9; en dan blijft 'er nog £ % over, om dat de cours 36 - 4f % gefield was; deeze 1 % is | dubbeltje , of \ van een tiendedeel van een gulden; dus 36 Q - 4\ % = f 10,9^.
Een kundig Reekenaar zal dan aanftonds hier zijn voordeel mede doen , en de vermenigvuldiging volbrengen , gelijk hier beneeden.
X- fterl. 152,871 Cours, f io,9£
voor 9 tiende deelen . . 1375839 voor 1 van 1 tiende deel. 19109 152871
Komt ƒ 1668,2048 • of/ 1668 -4 —
§. 110S. Thands hebben wij gezien, dat men om Engelsch geld in Hollandsch te veranderen, de hoofdfom flechts met/ 10,9125 (§. 1106.) of met ƒ io,9£ (§. 1107. ) hebbe" te vermenigvuldigen , wanneer de cours fi 36 - 4\ \ is. — De cours hooger of laager zijnde, zal ook de vermenigvuldiger rijzen of daalen. — Wanneer men dan flechts een tafeltje had van deeze vermenigvuldigers voor alle verfchillende cour fin, ziet
men



Dissel - reekewIngi
ftlen dat de geheele bewerking, in alle gevallen $ door eene enkele vermenigvuldiging Verricht karj worden. — Men behoorde dan echter ook een dergelijk tafeltje te hebben om Hollandsch geld Wederom in Engelsch over te brengen, met het zelve gemak, — Ik wil U dan toqnéii
1. Hoe men uit den vermenigvuldiger, welke dient om Engelsch geld iu Hollandsch te véranderen , aanftonds den omgekeerdenj waar doof men Hollandsch geld in Engelsch verandert, vüh den kan.
2. Wil ik U een fchets van zodaanig een dubbel tafeltje, voor eenige verfchillende courfed bereekend, opgeeven.
§. 1109. Voor den cours van 36 jj - ai § ftaat
Guld. £. fterl. 1 : 1 = i : 10,9125 C§. 1106.)
/ 10000
of i j 1 — 10000 : 109125
109125/ ■. *
ot 1 : 1 =3 0,09164 s 1
^Men heeft dan guldens, tegen eenen cours vart 3*5 IJ - 4| Hechts met 0,09164 te vermenigvuldigen om X ftérling te hebben..— Zie hief aan het eerfte deel mijner belofte ( §. nsS, i. \ voldaan.
§. 1110. Regeert Gij 'er de proev van te nèê-» men, vermenigvuldig de boven (%. 1106, 1107.) gevondene
II. deel.
$ f tfffe



fl74 AANHANGZEL OVER DE
ƒ 1668 -4 - - of ƒ i668,ft
met .... 0,09164
66728 100092 16682 150138
Komt X flerling 152,873848
S 17 = 0,85 (§. 719O
0,023848 ^5 = 0,-0208 (|. 7*?0. Het antwoord is dan , gelijk vereischt wierd, (§. no5.) öC- 152 -17-5.
§. 11 ü. Om aan het tweede gedeelte mijner belofte te voldoen , ziet gij hier beneeden een tafeltje in drie colommen. — De middenfte colom bevat de vermenigvuldigers om Engelsch geld in Hollandsch over te brengen. — De achterfte die om Hollandsch geld in Engelsch te veranderen ; beide tegen de daar voor in de voorfte colom aangeteekende wï&Mcourfen.
Engelsch Hollandsch in in Wisfelcom. Hollandsch. Engelsch. fl. fy. Flaamsch. f f 35 ' 8 10.7 0.09346
- 8| 10.7125 o. 35
» 9 10.725 o. 24
- 9k IO-7375 o. 13
* 10 10.75 o. 02
0 io| 10.7625 0.09291
En-



Engelsch , Hollandsch >n in Wisklcours. Hollandsch. Engelsch. 0. \.Flaamsch. f f
35-n 10-775 ..... o. 81
- ui 10.7875 o. 70
36 * — 10.8 o. 59
* oi 10.8125 o. 49
- 1 10.825 o. 38
- if IO-8375 o. 27
» 2 10.85 o. 17
» 2i 10.8625 o. 06
o 3 10.875 0.09196
*> 3s 10.8875 o. 85
* 4 10.9 o. 74
* 4| 10.9125 otf 04.
* 5 10.925 óiH 53
* 5f 10.9375 o. .43
* 6 10.95 ..... 0.09132
* 6{ 10.9625 o. 2a
* 7 IO-975 o. ia
» 7\ 10.9875 o. 01
* 8 11. 0.09091
* 8| 11.0125 o. 81
o 9 j . . . . 11.025 o. 70
* 91 11-0375 ..... o. 60
0 10 11.05 o. 50
» iof 11.0625 o. 39
* 11 11.075 o. 29
- "I 11.0875- o. 19
37* — 11.i o. 09
WISSEL - REEKENING, 275
§. iii2. Twee dingen, veronderliel ik, dat gij in bovenftaande tafel (§. nu.) zonder nadere onderrichting begrijpen zult: te weeten
Sa 1. Dat



Ü76 AANHANG2EL OVER DB
i. Dat de drie eerfte tientallige getalmerken ,093 in de achterfte colom, aan het begin der tafel, begreepen moeten worden voor alle de volgende twee achterfte getalmerken , als 35,24 enz. in de tweede en derde lijn , te ftaan , tot dat men de drie getalmerken ,092 aantreft, die dan wederom gelden tot ,091 enz. Dat men de herhaaling deezer drie getalmerken dus maar alleen achterlaat, om mindere verwarring, in het affchrijven deezer getalen, aan het oog te geeven.
a. Dat de reeden waarom de getalen in de laatfte colom tot honderdduizendfte deelen bereekend zijn , daar die iu de middenfte flechts tot tienduizendfte deelen gaan , deeze zeer natuurlijke is , dat een honderdduizendfte deel van een X fterl. nog meer bedraagt dau een tienduizendfte van een gulden.
§. 1113. L. Ten blijke dat ik alles wel begreepen hebbe, Meester! wil ik eens 237 X fterl. 13 Q. en 8 fy, naar deeze tafel in Hollandsch geld overbrengen.
Ik (tel den cours X ft. 8. fy.
te zijn 36 8, 9\ \- 237 - 13 - 8
Na dan vooraf fj 13 = 0,65 CS'7I9-) de jj en fy. in tien- fy 8= 0,0333 (§.721.)
tallige deelen van
X. fterl. overge- ft- 237,6833
bragt te hebben, 573o,+n(§.73o)
gelijk ter zijde ge- >— '
fchied is , zie ik ƒ 2623,42935
dat in de midden- of f 2623,43 na genoeg,
fte colom der ta- St. 8=4
fel (§. nu. )
ƒ 11,0375 nevens Pen. 10=0,03 de cours van 36 8
91



WISSEL - REEKENING. 377
91 fy ftaat. Met dit getal vermenigvuldig ik de gevondene 237,6833 X fterl. en bekom, na genoeg , ƒ 2623,43 of / 2623 - 8 - 10.
Om de proev op dit antwoord te maaken , ƒ 2623,43
vermenigvuldig ik de "0,0906
gevondene ƒ 2623,43 . _
met 0,09060 , of met 1574058 0,0906, zijnde het ge- 2361087
tal, dat in de achter- —
fte colom (§. 1111.) X/?. 237,682758 achter den cours van fl 13 = 65
36 ö 9\ fy ftaat, mids .
ik_ de hooger (taande fy 8 = 0,032758 drie getalmerken ,090
voor de 60 fchrijve , welke ik onmiddellijk achter deezen cours vind, en ik krijg wederom ?37 Xy?, 13 fl, 8 fy ten antwoord. — Ik heb in het laatfte geval van den kunstgreep (§.730.) geen gebruik gemaakt, naardien hij mij geen voordeel van eenig belang konde toebrengen.
§.1114. M. Zeer wel. — Gij zult nu gemaklijk begrijpen, dat men op dezelve wijze te werk kan gaan omtrent de wisfel op alle andere plaatzen , waar in de wereld geleegen , mids men 'er de noodige tafelen voor voor handen hebbe, of zich de moeite geeve van die te vervaardigen. — Dan daar deeze handelwijze op 'onze Hollandfche combtoiren in geen gebruik is, zij dit voor een daalde genoeg. .— Daar nu deeze reekeningen , flechts in eene herleiding van vreemde munten en gelden in Hollandsch geld, of omgekeerd, van Hollandsch geld in uitlandfche gelden, of munt - fpecien beftaan, zo moet het in het oog loopen , dat de geheele wisfeireekeS 3 ning



È/8 AANHANGZEL OVER DE
ring in de daad gebragt kan worden onder een voorig opfchrift fj. 499. en volg, ) van Algemene behandeling en vereffening van allerleije munten en gelden, waar uit genoegzaam blijken kan, hoe deeze reekeningen op veele verfchillende wijzen verricht kunnen worden.
§. 1115. Zomraigen''brengen dan, voor de Engelfche wisfelreekening, eerst den cours tot grooten, en werken daar na volgens de zo genaamde praêtijk of korte Reekening ( §. 670. en volg.) mids de eebrokene grooten niet zo naauwkeurig nederliellende, als zij wel volgens de geftr'engfle reekening gevonden worden; maar neemende met oordeel, bij voorbeeld, voor -%, of |i, Hechts i fy; voor ||, of i, of | fy, naar dat men te vooren iets te veel of iets te weinig genomen hebbe, en zo vervolgens met alle andere breuken, richtende de bewerking op die wijze zodanig in , dat men nooit kleinere dan vierde deelen , of ten hoogften achtfte deelen van grooten, ter neder Helle.
Anderen bedienen zich, het welk in de daad gemaklijker cn beter is, van tientallige breuken; vergenoegende zich dan met honderdfte deelen ■van grooten, en neemende een honderdfte deel meer of minder, naar gelang der omftandigheeden.
Wij willen ons eerite voorbeeld (§. 1106. ) op de eene en andere wijze behandelen, en brengen dus ijiXM. -7 fl, 5 fy teiren eenen tours van 36 fl, ai Flaamschin Hollandsch geld ©ver.
Ccurs 36 fl, 41 fy. 12
43ÓJ fy.
Met



WISSEL - REEKENING. 279 '
Met gewoone Mei tientallige
breuken. breuken.
4365 fy- 436ï
152 x fterl. 1^-JL.fterl.
872 87a 2180 2180 436 436 £ fy 76 7<5 •
fi io = | . . ai8i 218,25
5 = | x 10, 109I 109,12
a= f x 10 - 43| 43;65
fy 4 = i x 2fi..7i 7,27 .
l = £x 4...i| 1,82
66728 fy 66728,11 fy.
2/ 2/ ,
333614 ftuiv. 3336(4 ftuiv.
ƒ1668 ■ 4 - ƒ 1668 - 4-
Gij zult opgemerkt hebben, dat ik bi] de optelling der gewoone breuken | fy verwaarloosd hebbe, en dat ik eveneens de n honderdfte grooten, bij de tientallige breuken, niet verder in aanmerking hebbe genomen, naardien men dergelijke kleinigheeden in den daadlijken handel noch bereekent, noch bereekenen kan.
§. 1116. Andere befchmwen het geval wederom op eene geheel andere wijze, en brengen, daar de Flaamfche fchellingen eu grooten teffens Hollandsch geld zijn, de ponden flerling eerst tot <£. Flaamsch, en vermenigvuldigen die met 6, om guldens te hebben. — Zij redekaS 4 ve-



$83 AANHANGZEL OVER DE
velen dan op volgende wijze. 4* Zo de counflechts ao Fïaamfche fchellingen was, zoude het X-fttrüng het zelve zijn met het X Flaamsch, of het Engelsch geld zoude met het Flaamsch overeen komen. «- Was de cours 30 fl, het Engelsch X zoude anderhalv - maai zo veel waardig zijn als het Flaamsch. — Was de cours 35 f}, het zoude t£ maal zo veel waardig zijn, enz. — Op deezen voet voortgaande bereekenen zij dan ons voorig opftel (§. 1106. en 1115.) pp volgende wijze.
15a <£.fierl. 17 Ö ,5fy, tegen 368,41 % Flaamsch. Cours. X Flaamsch. fl. fy.
Voor fl 20 15a - 17 - 5
Voor 10 = \ van 20. bij. . . 76 - 8 - 8f Is-*- 5 = ± van ia bij. . . 38 - 4 - 41
i 1 — | van 5. bij. . . 7 - ia - io|
«— fy 3 = i fl. bij. . . 1 - 18 - af e—- 11 = i van 3. bij. . . * - 19 i|
X Flaamsch 278 - » - 8 6
ƒ 1668 - 4 T
§. 1117. Om Hollandsch geld tot Engelsch te maaken is, in de meeste gevallen, de beste en gemaklijkfte weg, als men niet geheel en al met tientallige breuken , volgens ons tafeltje ff. 1111.) wil werken, dat menden cours tot grooten, of deelen van grooten , breuge, en pet Hollandsch geld daar door deele. — Bij voorb.
Om onze (§. 1115. en 1116.) gevondene fom Van ƒ 16,68 -4 - wederom, tegen eenen cours van



WISSEL * REEKENING. 2$l
& fl» 4f fy tot ponden fierling te brengen, doe pien als volgt,
Cours 36 fl, 4} fy. f1668 -412 40
43Ó£ fy- 66728 fy.
873 halve fy.. .ƒ133456
4615. 4365-
2506 1746
760 20
873/ 15200/ 17 fl.
873
6470 6in
359 12
4308/ 5 fy. 4365
eigenlijk iets minder, doch na genoeg om 'er het rond getal voor te neemen.
S 5 §• ins.



S82 AANHANG2BL OVER DE
$. 1118. Nu zoude ik U eene uitgebreide tafel moeten geeven van de betreklijke waarde eens geheel aantals uitlandfcbe munten en gelden , volgens den wisfelhande), tot Hollandsch geld, indien mijn oogmerk was uitvoerig over dit onderwerp te handelen ; dan daar ik mijne denkwijze daar omtrent reeds boven (§• 1101.) opgegeeven hebbe, zal ik U, termeerdere oeffening, flechts nog eenige weinige (taaltjes van wisfel op zommige der voornaamfte landen, en fteden van Europa voordraagen, en bij ieder de noodige onderrichting in deeztn bijvoegen.
$. 1119. L. Gij zult mij eenige vraagen ter oeffening in den Engelfchen wisfel opgeeven, hoop ik, Meester!
§. 1120. M. Breng dan de volgende Engelfche geldfommen, volgens de daar achter (taande cour/en, in Hollandsch geld over, en doe dit, zo Gij ö op het best oeffenen wilt, op verfchillende boven (§. 1106, 1115. en 1116.) aangevveezene wijzen.
Cours.
JL. fterl. jj. fy. fl. fy.
A. 536 - 16 - 8 ... . 35 - 9k
B. 1725 - — - 6 .... 3Ó - 7
C. 954 - 7 .... 36 - 4i
D. 683 - 15 - 7 .... 35 - 8
E. 347 - 4-10 . . . . 36 - iof
F. 872 - 13 36 - 2i
G. 89 - 3 - 9 .... 37
H. 2538 - 14 . . . . 36 - 71
I. 476 8 .... 35 - 10
K. 733 - 12 - 5 . . . . 36 - 6£
L. 158 9 • • • • 35 " 11
M. 875 - 10 - — . . . .36 - Si
Zo



WISSEL - REEKENING. 283
Zo gij lust hebt om ook Hollandsch geld tot Engelsch te maaken , hebt gij flechts op ieder bekomen antwoord eene proev te vervaardigen, en dit zal ü een gelijk getal van omgekeerde vraagftukken opleeveren. — Ik gaa ondertusfchen over tot den
WISSEL TTJSSCHEN PARIJS EN AMSTERDAM.
§. 1121. Men reekent te Parijs, en bijna door geheel Frankrijk, tot heden, April 1794, toe, bij Livres, Sols, en Deniers; houdende iedere livre 20 fols , en ieder fol 12 deniers. — De Nationaale Conventie heeft beflooten met de maand Julij deezes jaars, andere maaten en gewigten niet alleen , maar ook, ten minften in het vervolg, andere, en meer geregelde, munt/We« in te voeren. — In den wisfelhandel reekent men echter, tot heden toe, meesttijds bij Ecus, of Kroonen, houdende ieder Ecu 3 livres of 60 fols.
%. 1122. Niets zal derhalven gemaklijker zijn dan Fransch geld tot Hollandsch te brengen, zo dra de cours, welke in gewoone tijden «omtrent de 52 of 53 \ Flaamsch, wat onder of over, plagt te loopen, gegeeven is.
$• 1123. L. Ik vertrouw dat ik 'er mij ten vollen toe in ftaat bevinde , Meester! — Ik zal derhalven eens een fom van 1562 Franfche kroonen , of ecus , 49 fols en 3 deniers, volgens de boven (§ 1115.) opgegeevene tweede handelwijze in Hollandsch geld trachten over te brengen tegen eenen cours van 525 \ Flaamsch ieder ecu, of kroon.
Krot-



S84 AANHANGZEL OVER DE
Kroonen. Sols. Deniers. 1562 - 49 - 3 Cours. . . 52 \
3124 7810
\ \ — \ 78i
f 3= \ X \ .... 390,5
\ = \ * g x \ • • 195^5
Sb/r 30 = i ec« 26,44
15 == | van 30 . . . 13,22
3 ■= i van 15 : . . 2,64
1=1 van 3 . . . ,88
Den. 3 = \ fol. ,22
82634,15 fy.
, 2/
413117 ftuivers.
ƒ 2065 - 17 - * Holl. geld.
%. 1124. M. Zo Gij lust in deeze bereekenin» gen vindt, kunt gij de volgende vraagen nog beantwoorden.
Hoe veel bedraagen de onderftaande fommen Fransch geld, tegen de daar achter uitgedrukte courfen in Hollandsch geld ?
Cours.
Ecus. Sols. Deniers. fy.
A. 2516 - f2 - 8 .... 471
B. 937 - 18 - 10 ... . 51
C. JC43 9 • • • . 4H



WISSEL - REEKENING. 285
D. 865 - 38 - — . . . . 39| K. 1928 - 45 - 4 .... 53 F. 756 - 23 - 6 ... . 52|
De proeven op de antwoorden geeven de vraagftukken omgekeerd.
WISSEL TUSSCHEN CADIX EN AMSTERDAM.
§. 1125. De Koopmans boeken worden in Spanje op verfchillende plaatzen in verfchillende geldwaarden, dus ook in verfchillende benaamingen van munten, of %t\c\-fpecien gehouden. — Van daar ook dat 'er ouder verfchillende benaamingen op gewitfeld worde.
Wij bepaalen ons alleen tot den wisfel op Cadix. — Deeze wisfelhandel wordt gedreeven in Ducaaten van 91 fy bankgeld, meer of min, naar den cours. — De Spaanfche Ducaat, eene ingebeelde munt wederom, houdt in wisfel 375 Spaanfche marevadifen, en wordt ingedeeld in 20 fchellingen, of gouden ftuivers, en ieder fchelling, of gouden ftuiver, in 12 fy, of gouden deniers.
%. 1126. Het zal derhalven onnoodig zijn, een enkel woord over de bereekening te zeggen. Zie hier een voorbeeld.
Cours,



fi35 AANHANGZEL OVER. DE
Cours.
Ducaaten. fi. fy. fy. 1236 - 3 - 1 tot 92J
9*f
2472 11124
fy I = f 618
f = I x 1 • • 309 I = | X -| X | 154,5
Ik heb de ,82 fy °f r%% fy voor een geheel genomen, gelijk men in den handel gewend is.
Ij 2 == T*s Ducaat. 9,29 1 =: i van 2 . . . 4,64 fy 1 = r\ S ,39
114807,82 2/
574°|4
ƒ 2870 - 4 - - Holl. bankgeld.
$. 1127. Breng de volgende Spaanfche geldfommen in Hollandsch bank-geld over, en beproev de uitkomsten door eene omgekeerde bewerking, indien het U lust.
Cours.
Ducaaten. JJ. fy. fy.
A. 2738 - 12 - 8 92
B. 956 - 7-5 93?
C. 1487 - —■ - 10 92!
D. 3216 - 15 90»
E. , 875 - 9-6 92f
F. 4024 - 17 - 4 93|
wis-



WISSEL - REEKENING. 287
WISSEL TUSSCHEN LISSABON EN AMSTERDAM.
§ 1128. De boeken worden te Lisfabon , gelijk door geheel Portugal, gehouden in Rees; welke wegens de kleinheid deezer ingebeelde munt, als ftaande ten naasten bij met onze ingeheelde penning gelijk, bij duizenden worden afgedeeld,# zo dat men reekene bij mille rees: dat is, bij 1000 rees. — Van deeze rees maaken 400 eene crufade, die de waarde van omtrent 50 fy Flaamsch bank - geld, wat meer of minder, heeft, naar maate van den cours.
** , , n Cours.
Men behoeft Crufades. fy.
dan de crufades 2536 tot 48$
wederom flechts 48|
met den cours 1
te vermenigvul- 20288
digen, om het 10144
beloop in fy te fyf . 1268
hebben, gelijk \ . 634
uit het voor- ■
beeld ter zijde 123630 fy = 6181I5
blijkt. I
ƒ3090 - 15
%. 1129. L. Indien de Portugeefche geldfom in rees uitgedrukt was, begrijp ik dat men de rees vooraf door 400 moete deelen, om crufades te bekomen.
§. 1130. M. Dit is allergemaklijkst. — Men lnndt de twee laatlte getalletters van de rees Hechts af, om door 100 te deelen, en daardoor
ver-



388 AANHANGZEL OVER BÊ
verkrijgt men vierde dee- Rees
len van crufades. Deeze 784325,64
deelt men door 4, en 4/ ■
krijgt crufades, en hon- 196081,4!
derdfte deelen van crufa- of
des ten antwoord. — Zie 196081/35
een voorbeeld ter zijde. crufades.
5. 1131. Ter oeffening vraag ik U hoe veel de volgende Portugeefche fommen in Hollandsch
T,anlr(rplrl Viprlrancrpn ?
Cours.
Crufades. §•
A. 3068 • 49?
P>. 12317 5°f
C. 956 52f
Rees.
D. 287565 ....... .
E. 43óa78 53*
F. 543206 5»|
WISSEL TUSSCHEN WEENEN EN AMSTERDAM.
J. 1132. TeWeenen houdt men boekin Weever'guldens, Grofchen, en Kreutzers; houdende een Weener gulden 20 grofchen, of 60 kreut* zers, dus ieder grofchen 3 kreutzers. — Men wisfelt echter in Reichfthalers van 90 kreutzers, die de waarde van 36 duivers, meer of min, Hollandsch bankgeld hebben. — Hier uit volgt dat de Reichfthaler if Weener gulden bedraa. ge; of dat men hebbe
Weener gulden: Reichfi, = 6o:por=i:ii = 2:3*
Zo



WISSEL. REEKENING. 289
Zo dat men de Weener guldens flechts met 2 te vermenigvuldigen, en de uitkomst door 3 te
deelen hebbe, om reichfthalers te krijgen; deeze
dan met den cours vermenigvuldigd, geeven Hollandsch bankgeld.
Bij voorbeeld ; Weener guldens*
willende 1000 Wee- I00o
ner guldens, tot 2 den cours van 351
üuiver de reich/ïha- 2C00
ler,'m Hollandsch 3/
bankgeld overbren-' 666'
gen, menvolgede 35| couru
hier nevens ftaan- 4
de bewerking, wel- 333o
ke ons ƒ1175-, , 1998
Hollandsch bank- ft. ï ... 166 5
geld ten antwoord .
geeft. gmd. f . „,?5
Zo er kreutzers i . 11 7<
bij de fom zijn, 3 "3-
maaken 45 2350I0 ftuivers.
zers | ü. thaler* I
30 maaken f, enz. ƒ 1175 - • - • dit kan de reekening niet moeijlijk maaken.
§. 1133. Zie hier de volgende voorflellen ter
oeffemng; Couru
Weener guldens. Kreutz. Stuivers,
ë' 3745 - 56 35|
B. 928 - 30 36
C. 11604 - 72 36i
1). 4052 - — 25
£ . 8*5 - 25 36|
F. 5763 - 5o 35|
H. DEEL. T wit.



ft9Q AAN HANGZEL OVER DE
WISSEL TUSSCHEN HAMBURG EN AMSTERDAM.
§. ii34. Te Hamburg worden de Koopmans boeken gehouden in marken, fchellingen, en grooten luis. — 1 Mark houdt 16 fl lubs , 'en I fl lubs houdt la fy lubs.
Men rcekent echter ook bij rijksdaalers, en bij daalers; houdende de rijksdaaler 3 marken of 48 fl lubs, en de daaler a marken, of 32 fl lubs.
De laatfte, of daaler, fchoon wederom een ingebeeld , of ongemunt geld, ftrekt tot ftanderd in den wisfel , wordende voor de 32^ 0 lubs te Amfterdam gegeeven van 32 tot 35 ftuivers Hollandsch bank - geld, meer of minder, naar maate de cours hooger of laager is.
§. 1135. De mark ftaat derhalven tegen den daaler gelijk 1 tot 2 , en de rijksdaaler ftaat 'er tegen, gelijk 3 tot 2 , of gelijk if tot 1.
Men heeft dan de marken flechts door 2 te dee- Marken. len , om daalers te heb- 8208
ben; en bij de rijksdaa- 2/
Iers nog eens dé helft 4104 daalers.
der gegeevene fom bij te
voegen , om die in daa- Rijksdaalers.
Iers te veranderen. — 2736
Zie van ieder geval een 2 / 1368
ftaaltje hier ter zijde,
Indien 'er fchellingen 4104 daalers.
bij de rijksdaalers zijn, kan men die tot een getal van 31 toe, onaangeroerd laaten, doch zo het getal boven de 32 gaat, behoeft men flechts voor de 32 éénen daaler meer te neemen , en
het



WISSEL- REEKENING. «0r
!l5h0t achter de daa'ers te fchrij^; bij
Stel dat men had 782 R. daalers 41 fj men doe aldus 2/ 391 4 ü uüt*
. ,ii73 daalers.
ij 41 maaken 1 - 9
1174 daalers, 9 jj /«fo.
§.1136. Gij kunt de volgende fommen, indien het U lust, in Hollandsch geld overbrengen.
Marken, fl lubs. St. A. 26872 - 12 tegen 3a{ de daaler.
b. 9086 - 4 — 33 ;
C. 12457 - 15 — 33* —
Daalers.
?* J7538 - 24 34 ,
F. 6576 - 30 35
R. daalers.
G. 8702 -. 47 32| _
H. 986 - 36 34x
i. 2028 - 30 35-
WISSEL TUSSCHEN DANTZIG EN . AMSTERDAM.
§. 1137. De Poolfche gulden houdt 30 PoolrWeAr<£ch,e,"? ei? Am(terd'am geeft 1 X flaamsch, ot ƒ 6 Holl. bankgeld , voor de 360 tot 400 poolicfte grofchen , meer of min naar den cours.
T 2 S- "38.



3^2 AAN'HANGZEL OVES. DB
§. 1138. Men heeft dus de Poolfche guldens flechts tot grofchen te maaken , door met 30 te vermenigvuldigen; dit vermenigvuldigde door den cours gedeeld, geeft het antwootd in ponden, flaamsch , welke wederom door 6 gedeeld wordende, het beloop in Hollandsch bankgeld opleeveren.
Hier nevens heb Poolfche guldens.
ik 8756 Poolfche 8756
guldens tot Hol- 30
landsch bankgeld —— <£• n.1 •
gemaakt, tegen ee- 375/ 262680 / 700
nen cours van 375 2625 o
Poolfche grofcheri, —— —
op één X flaamsch. 180/4200
ik heb 700 t/h. fl. 6
of ƒ 420° -*- * ge- ~ . „
vonden, en uit het 375/ 1080/ ƒ a
ovetfchot ( 180 ) 75° ;
nog ƒ2, dus za- - ƒ4202
men ƒ 4202, en 330
daar na nog 17 ft. 20
en na genoeg 10
penn. 375/ 6600/ *7 "»
Nevenftaande uit- 375
werking verftrekt ——
echter tot een alge- 2850
meen voorbeeld , 2625
naardien zij na be- ——-
hoorlijke verkor- 225
ting, in dit geval, 16
veel minder omflag —--~
gevorderd zoude 375/ 3co/ iopenrt.
hebben , wijl 375 ,ia SenocS-
als deeler, en 30



WISSEL - REEKENING. 20J
t's vermenigvuldiger zich aanmerklijk tegen elkanderen laaten verkleinen.
$• 1139- L. Het laatfte loopt fterk in het oog, Meester! en zal altijd plaats hebben, zo dikwijls het getal grofchen van den cours, eenen gemeenen deeler met het getal 30 heeft. — Indien het getal der grofchen van den cours echter door 6 deelbaar was, en verder niet, dan zoude men, naar mijn inzien, beter doen van alleen dit getal door 6 te deelen, en de 30 onaangeroerd te laaten , wijl men daar door aanftonds Hollandfche guldens ten antwoord zoude krijgen. — Ik zal uw voorftel (%. 1138.) eerst eens met verkorting bewerken, en dan mijne meening omtrent het laatfte met een voorbeeld ophelderen.
Cours, grofchen. Poolfche guldens.
*• .375 : 3° 8756
5/ 2
' 75 : 6 r-
3/ 175*12,
25 5 2 , a -/4CS.29*.)
eG fl. 700,48 De bekomene 6 700 X. nu met ■
ó. tot guldens ge? , ƒ 2j88 maakt zijnde, a
heb ik het zei. -
ve antwoord, als ft. 17,60 boven C$. 1138.) 16
penn. 9,60 = 10 na genoeg.
T 3 fl. Nui



ft04 AANHANGZEL OVER DE
a. Nu gaa ik het zelve getal Poolfche guldens eens, tegen eenen cours van 366 Poolfche gr»-
fchen op een flaams, in Hollandsch geld overbrengen.
Ik heb , daar Cours. Ptolfche guldens.
de cours (366) 8756
door 6 gedeeld 6/ 366 3°
zijnde, een eer- —
fte getal (61) 61 / 262680/ ƒ4306
uitleevert, den 244...
vermeenigvuldi- —- • • •
ger 30, welken 186..
ik ook door 6 183..
hadkunnen dee- — • •
len, ongedeeld 380
gelaaten,enhet 366
antwoord daar 1
door terftond in 14
guldens beko- 20
men: immers
zoude eene dee- 61/ 280/ it. 4»
ling, en daar 244
weder op vol- -
gendevermeuig- 3^
vuldiging door *6
6, de bewerking •
in dit geval lang- > 61/576/pen, 10
wijliger gemaakt genoeg,
hebben. , , ,
§. 1140. M. Gij hebt zeer wel gedaan , en kunt nog de volgende voordellen, indien het ü
lust, oplosfen. _ . .
Hoe veel maaken de volgende fommen Poolscn
geld, naar de daar achter ftaande cour/en, in Hollandsen, bankgeld?



WISSEL - REEKENING. 295
Cours.
A. ƒ Poolsch 3765 grofchen 25 tegen 360
B. ■ 12508 16 366
C. 957 8 ' 372
D. 83*6" 28 ■ 375
E. 5084 15 382
F. 6921 • 12 393
WISSEL TUSSCHEN VENETIEN EN AMSTERDAM.
§. 1141. Amfterdam geeft 90 fy flaamsch, meer of min, naar den cours, voor een Ducaat bankgeld te Venetië. — Men reekent de Venetiaanfche wisfel-ducaat op 24 foldi, welke wederom in 12 onderdeden , of deniers ingedeeld worden.
Men heeft dan het Venetiaansch geld flechts wederom met den cours te vermenigvuldigen, om Hollandsch te verkrijgen.
Cours.
Ducaat. Soldi. Den. fy. 500 - 16 - 8 tot 9i|
500 458i3>54 fy
4500 2/
fyi . . . . . 250 229017
foldi 12 = i duc. 45,75 ' '
4 = ixi2 15,25 ƒ1145-7-*
den. 8 = |v.4foldi 2,54
45813554
Bovenflaande voorbeeld zal tot een ftaaltje genoeg zijn. De T%% fy zijn , naar Koopmans ftijl, voor een geheel genomen.
T 4 S. "42»



S9<5 AANHANGZEL OVER. DE
1142. Wilt Gij meer voorbeelden, zo Zeg mi] boe veel de volgende fommen Venetiaansch geld, tegen de daar achter ftaande courfen, in Hollandsch geld beloopen.
Cours.
Ducaat. Soldi. Den. - fy.
A. . . . 2738 - 12 - 4 tegen 881
B. . . . 956 - 8 - — 89
C. . . . 1487 - — - 6 89!
D. . . . 3216 - 4-8 90
E. . . . 875-16-9 9i|
F. . . • 4024 - 20 - 4 92
§. 1143. Het verhandelde zal voor ons oogmerk genoeg zijn. — Ik'heb U hier ter'plaatze geene zamengeftelde Koopmans reekeningen willen opgeeven, om dat ik alles afzonderlijk heb willen behandelen, en wij te vooren reeds gezien hebben, hoe men het beloop eener partij koopwaaren bereekent; ook hoe men het bankgeld in kasgeld, en omgekeerd bet kasgeld in bankgeld, volgens de als dan plaats hebbende agio, verandert. — Dat'deeze verfchillende bereekeningen ondertusfchen in den koophandel meest altijd zamenloopen, leert de aart deizaak: want, waarom moet men wisfelen ? waarom moet men van elders geld ontvangen , of waarom heeft men het elders te betaalen? — Zekerlijk, in de meeste gevallen, om dat men koopwaaren naar elders verzonden, of van elders ontvangen heeft. — Van deeze koopwaaren moet men dus eerst het beloop bereekenen, eer men weete wat men te ontvangen, of.te n-.. •■ ■( •> * v 1.. > v ' be-



WISSEL - REEKENING, 2t>/
betaalen hebbe; maar dit beloop is kasgeld, en moet dus in bank- of vvisfelgeld veranderd worden. — Dit alles is ter zijner plaatze onderweezen.
■ §. 1144. Even gelijk uit het voorige blijkt, dat Amfterdam altijd eene onbeftendige waarde, naar maate van den wisïtkours, voor een beftemd wisfelgeld, het zij dan werklijk gemunt, of alleen ingebeeld, geeft, of neemt: dat is, dat Amfterdam altijd een zeker getal ponden, fchellingen, ftuivers , of grooten, meer of min , naar den cours, geeft, of neemt, voor een X fterling, voor eene Franfche kroon, voor eene Spaanfche ducaat, enz. Zo moet 'er tusfehen iedere twee plaatzen , welke met eikanderen wisfelen, evenveel welke, noodwendig altijd een dergelijke ftandert plaats hebben; of eene dier plaatzén moet altijd eene zekere eenheid, van eenen bepaalden naam ten grondflag hebben , waar voor de andere plaats meer of minder geeft, of neemt, naar maate de cours hooger of laager is.
§. H45' L. Daar 'er tot alle vergelijking eene zekere eenheid als maatftaf vereischt wordt, Meester! zie ik 'cr duidlijk de noodzaaklijkljeid van. — Dan Gij wilt deeze aanmerking waarfchijnlijk toepasten.
§. 1146. M. Zo Gij wilt, om een enkel voorbeeld te geeven , op den
WISSEL TUSSCHEN LONDEN EN P A lt Y S.
§• "47' Het X fterl. ftrekte tot eenheid of ftandert in den wisfel tusfehen Londen en AmT 5 fter-



2p3 AANHANGZEL OVER DE
fterdam, (§. 1106. en volg.) — Het doet het niet in den wisfel tusfehen Londen en Parijs; maar even gelijk de Franfche kroon tot ftandert verftrekte in den wisfel tusfehen Parijs en Amfterdam ( §. 1121. en volg.) zo doet zij het ook in dien tusfehen Parijs en Londen.
Londen geeft of neemt voor de Franfche kroon , in gewoone tijden , omtrent 30 pence fterling, meer of min naar den cours. — Om derhalven Fransch geld tot Engelsch te maaken, heeft men wederom flechts met den cours te vermenigvuldigen 07» pence fterling te verkrijgen, die vervolgens tot ponden, en fchellingen gebragt moeten worden.
Een enkel voorbeeld zal genoeg zijn. — Stel dat men 1562 kroonen, 48 fols tot Engelsch geld wilde maaken, tot eenen cours van 28 pence.
Kroonen. Sols. 1562 - 48 cours ... 28 pence,
12496 3i24
Sols 30 = | kr. . . 14 i5 = | v. 30... 7 3 = 1 v. 15.. . 1,4
43758,4 pence.
12/ n
3^410,53 fi.
182 oC. fterl. 6 8 , 6 fy.
De uitwerking hier boven, geeft mij 43758,4
pence,



WISSEL - REEKEN ING, 299
pence, welke door 12 gedeeld, 3646,53 Q opleeveren, of 182 «£. fterl. 6 Q, 6\ pence. Doeh deeze \ pennij in den handel verwaarloosd wordende, zal dit, bij de proev, eene enkele fol, in Fransch geld minder geeven, gelijk door volgende omgekeerde bewerking blijkt.
JL\. fterl. JJ. \. 182 -6-6 20 •
3646 12
Cours. ———
28/ 43758/ 1562 Fr. kroonen. 28...
157.140..
175. 168.
78 56
» 22 60
28/ 1320/ 47 fels. 112
200 196
4 Had



gOO AANH. OVER DE WISSEL-REEKENINO;
Had ik hier'nu \ penny meer genomen, z<* had ik , bij de eerite deeling, een overfchot van , in de plaats van 22 gehad, welke 2a{ met 60 vermenigvuldigd, 1340 gegeeven zouden hebben. Deeze dan door 28 gedeeld zijnde, zouden na genoeg 48 fok hebben voortgebragt.
§. 1148. Zie hier', waarde Leerling! wat ik voor U, en voor alle fchoolgebruik, in deezen genoeg oordeel, en waar mede wij teffens de laagere , of gewoone reekenkunde, vaar wel zeggen. — Zo Gij ooit geleegenheid aantreft, om 11 in Meet- en Stelkunde te oeffenen, zult Gij daar door den kring der toepasfing deezer eenvoudige, fchoon in haaren aart voortrefiijke, en allernuttigfte weetenfchap, op eene treffende wijze zien uitdijgen, en vergroot worden.
IN-



INHOUD.
§. i.tot 9. Gefprek over het reekenen.
10. — 15. Hoe men telle.
15. — 19, Over de getalmerken.
21. Er is geen grootfte getal mogelijk.
25. De éénheid is geen getal — Wat een getal,zij.
26. Opheldering van hetgezegde door een voorbeeld.
TELLING.
§. 28. Getalmerken gaan niet hooger dan tot 9. —
£én en het zelve getalmerk drukt dan zo wel tienheeden, honderdheeden, (duizendheeden, enz. als eenheeden uit.
29. De waprde van een getalmerk wordt gekend
uit de plaats. — Nadere verklaaring van tienheeden, honderdheeden, enz. en hoe men 10, 100, 1000, enz. fchrijve.
30. tot 32. Over de nul.
33. De nul is ceu-tecken van gebrek aan waarde,
ter plaatze daar zij ftaat.
35, Hoe men zonder nullen zoude kunnen fchrij¬
vén.
„ 37. Wat millioenen , bimillioenen, trimillioenen,
enz. zijn.
38. — 39. Hoe men zich ten opzichte van hoogere rangen in deezen, te gedraagen hebbe.
40. — 42. Hue men een zeer groot getal door middel van afihijdingen kan uitf'precken.
44, Of men van de eenheeden af, ook naar de
rechte hand kan voortfehrijven.
TIENTALLIGE BREUKEN.
§. 46. tot 47. Wat eene breuk in de reekenkunde zij.
48. — 49. Wat men door eene aangenomene eenheid te
verftaan hebbe. 50. — 54. Nadere opheldering, en voorbeelden , omtrent
aangenomene eenheeden. 55. Alle breuken, of gebrokens, zijn flechts alleen
betrek lijk.
57. Tientallige breuken afgeleid uit de wijze van
fchrijvén der tienvouden ter linke, en tiende deelen ter rechte hand.
58. — 59. Verdere opheldering, en bepaaling, van eeae
tientallige, breuk.
§. 60.



INHOUD.
$. 60. tot 61. Ten einde de eenheeden niet met de tienheeden, of tiende deelen, enz. te verwar» ren, fcheidt men de breuk door een ftreepje, of ftip van de geheelen af.
<2- Of deeze affcheiding geene verwarring kan
veroorzaaken met boven (§. 41.) gemelde affnijdingen van duizenden, millioenen, enz. ?
63. — °"5. Bovenftaande vraag ( §. 62.) beantwoQrd.
66. — 67. Hoe men eene tientallige breuk zonder geheelen fchrijft.
6S. Nullen doen den zeiven dienst in tientallige
breuken, als in geheele getalen.
9' — 73- Wat 'er al ogenbliklijk verricht kan worden door dit fcheidteeken voor- of achterwaards te verplaatzen.
75- — 77. De fchrijfwijze bij eenheeden, tienheeden, honderdheeden, enz. door afbeeldingen op. gehelderd en verklaard.
GEWOONE BREUKEN.
$. 79- Wat gewoone breuken zijn.
80. tot 8r. Hoe die gefchreeven worden. 82. — 83. Eene tientallige breuk kan op de zelve wijze gefchreeven worden, doch heeft geenen noemer noodig. — Waar uit de noemer eener tiendeelige breuk beftaat.
84. Waarora de gewoone breuken noemers noodig
hebben—Dit opgehelderd met een voorbeeld.
85. Wat een gemengd getal zij; en hoe gefchree¬
ven worde.
86. Wat eigenlijke en oneigenlijke breuken zijn.
87. — 88. Dit nader opgehelderd ; en reeden waarom
men zomtijds oneigenlijke breuken fchrijft. — Voorbeeld.
89. Alle breuken, wier tellers gelijk de noemers
zijn, zijn onder eikanderen gelijk, en gelijk aan de eenheid. — Geheele getalen, en gemengde getalen, kunnen in oneigenlijke breuken veranderd worden, en omgekeerd.
pi. Een getal is uit den aart voor geene andere
verandering vatbaar, dan die van vermeerdering of vermindering.
OPTELLING.
§. 92. tot 93. Wat optellen, en wat een fom zij. — Verklaaring van de teeksnen -j- en — m
§■ 95»



INHOUD.
§. 95. Hoe men optclle, za lang de opgetelde rij nie»
meer dan 10 bedraagt. 96. tot 97. Hoe, wanneer de opgetelde rij boven 10 loopt, en men iedere rij afzonderlik optelt.
98. Het v,ooruitfpringen der getalen wordt in dee
zen veroorzaakt, door het aehteriaaten denullen.
99. Vier verfcliillcnde wijzen van optellen, van voo ,x/e?i en,-VM acl«cren; met, en zonder nullen
101. Werkdaadige handelwijze.
102. Volgens deeze kan men niet van vooren be¬
ginnen te tellen.
103. Voorftellen ter oefening.
IOS, — 107. Door veel op te tellen, moet men zich eene ^hebhjkheid verwerven. — Hoe men de optelling kan beproeven.
§,109. OPTELLING VAN TIENTALLIGE» URE UKEN.
OPTELLING VAN GEWOONE BREUKEN.
§. lil. Wél op te letten of de breuken gelijke, dm
wel ongelijke noemers hebben. 113. Drie gevallen zijn mogelijk; de noemers ziin
of de zelve, of zij kunnen in clkanderen ver' wisfeld worden, of zij zijn ohvarwisfelbaar
115. Optelling van breuken met de zelve, of eeliibi
noemers. 0 J
116. Optelling van breuken met verfchillende, doch
in eikanderen vervvisfelbaare noemers
117. Optelling van breuken, wier noemers'niet in
eikanderen verwisfehi kunnen worden 119. Gemaakte tekeningen (§. „6, 117.) worden
niet vereischt. — Nadere verklaaring uitgelei. Onmogelijkheid om een getal eenige millioenen . maaien op te tellen.
§. 123. VERMENIGVULDIGING.
124, tot 125. Wat vermenigvuldigen zij. 126. — 127. Vermenigvuldiging waar in het vermenigvuldigde beneeden 10 blijft. 128. — 109. Waar het vermenigvuldigde boven 10 loopt
131. Tafel van vermenigvuldiging.
132. — 134. De veelvouden tot 9 toe kunnende vinden vindt
nuiièn3"2 9?t*° a°°r achtervoe!Sing van $• 'SS.



INHOUD.
S. ISS. Voorbeeld van vermenigvuldiging van vooren
af, met nullen. 136. tot 138. Voorbeeld van vermenigvuldiging van achteren
af, met nullen. 130. Voorbeelden van vermenigvuldiging van voo-
ren en van achteren af, met en zonder nullen. ,40> — ,41, Hoe men met een getal vermenigvuldige, dat
in nullen eindigt. — Wat faSloren, en
produSlen zijn.
I42, — 143. Hoe te handelen indien 'er in een' der faaoren één of meer nullen tusfehen de wezenlijke getalmerken gevonden worden.
144. — 145. Vermenigvuldiging van zeer groote getalen, • door middel van tafeltjes.
j.g. De zwaarfte vermenigvuldiging kan door en¬
kele optelling verricht worden.
147. Men behoort behalven degewoone tafel (§. 131O
ook de tafels van 12 en .16 te kennen, enz.
J48. Als 'er gelijke getalen in den vermenigvuldi¬
ger zijn, behoeft men flechts na te fchrijvén.
149. Vermenigvuldiging door verdubbeling , met
enkele getalmerken.
150. Of deeze kunstgreep vöor alle getalmerken kan
dienen.
I5I> *Er is ook een kunstgreep omtrent het getal¬
merk 5 , waar omtrent in het vervolg ( §. 294.) nader. — Verdubbeling bij meer dan één getalmerk teffens.
j52i — 153. Hoe zeer deeze kunstgreepen het werk zomtijds bekorten. . 155. Voorbeelden ter oerfening.
^ VERMENIGVULDIGING VAN TIENTALLIGE BREUKEN.
s 156. tot 157. Deeze worden even als geheele getalen met s' eikanderen vermenigvuldigd.
J5g, Vermenigvuldigen beteekent niet altijd ver¬
meerderen.
j,„ . Eene grootheid met 1 vermenigvuldigd, blijft
gcliik zij is. — Met l of eenige andere breuk vermenigvuldigd moet verminderen.
ï6o_ _ 161. Tiende deelen met tiende deelen vermenigvuldigd, moet verminderen.
jg2 163. Hoe veele getalmerken men affnijden moete,
om de tientallige breuk van een produft te hebben.
jg. Voorbeelden. — Indien 'er nullen achter aan
komen, kan men die weg laaten.
. §• i6s.



1 N H O U D.
S. 165. Hoe te doen» als men, na gedaane vermen»*
vuldigmg, zo veele getalmerken niet heeft als men af moet fnijden. *
S- 166. V«RWtGVTODI0IMG VAN GEWOONE BREUKEN»
177._I78 0jS*lW^ri^ ~ 178. Opheldermg van het voorgaande door aftee-
Z' • <"* te ve,
AFTREKKING.
S' $ Wt I88- t^SjSfr dekking, en „„.
proev cl°or weder-ontellin» ' en
20°- Voorbeelden ter oefféning.
J. 201. AFTREKKING VAN TIENTALLIGE BREUKEN.
S- 202. Tientallige breuken worden even ah <rPl,^i„
ST » - SS1W5ÏE=:
AFTREKKING VAN GEWOONE BREUKEN.
S- -O?, tot 208. Aftrekking van breuken, die gelijke hoe.
» „ .ML»*», van elÊanderen. "°C
"f- .li. Aftrekking van breuken, wier noemers in el.
kunderea verwisfeld klWenwoTdèn.
V §• 212.



INHOUD.
E «li tot 214. Aftrekking van breuken, wier noemers niet 5. ai2. "» * ,n elkandercn vcrwhfeld kunnen worden. OTS _ * 16. Om breuken van geheelen af'te trekken. Vil' — 218. Gewoone wijze van al'uekken. — Wat mea
7' den Jiok, en de /lok-letter noeme.
SIQ Nadere opheldering van het voorgaande,
ono Voorbeelden ter oeffenmg.
2i"°" - 2«. Wordt gehandeld over de vraag, hoe vee* maaier, men een zeker getal van een ander zoude kunnen aftrekken?
II E E L I N G.
«. 224. Deeling is niet dan een zeker foort van af-
trclikinff
.»< Wat men den deeler, het deeltal, bet quo-
. tient, of de uitkomst noeme. oofi De decHng van zeker getal door een ander,
2ï6' kan men onder de gedaante eener breuk
voorflellen. . , . ,
H27. tot 228. Hoe men een enkel getalmerk door een enkel
getalmerk deele. • 220. - 23ci Indien 'er bij eene deehng iets overfchict, 9 geeft het eene breuk. — Alle breuken kun¬
nen als overblijfzels van deehngen worden
aangemerkt.
„»l — 032.- Deeling van verfcheidene getalmerken door
een enkel, met nullen. S33. - 234. Of men , in dit geval, altijd e venvee getalfnerken in de uitkomst, als in het deeltal knjge. 935. — 236. De nullen kunnen bij de deeling weg gelaaten worden.* . r . ,
De decling duidlijkerinhaarenaartbefchouwd. Werkdaadige handelwijze, en aanmerkingen. "39. — 243. Het doo.ltreepen der getalmerken afgekeurd, en reeden waarom. . _ n ,s. Decling door eenen dqeler, welke uit meet dan een getalmerk beftaat.tAÓ — "49. In welke gevallen men met één, twee , ot
meer getalmerken moete vraagen. _ ato — 254. Over eene kunstgreep in het vraagen, of gis-
fen vart het hoeveelmaal. SS*. - 260. Wat te doen, in gevalle men te veel, of te
weinig, gegist hebbe. 2C1 — 263 Voorbeeld van decling, waar bij men nulier»
in de uitkomst verkrijgt. «Mtf — "ÓS Verdere leerwijze omtrent tuvfchenkomende " nullan i* deeltal, of uitkomst.



INHOUD,
§. S<Jo. tot 277. Over het deelen van een groot getal door eeri.
groot getal, met volkomene bewustheid van niet gedwaald te hebben, door middel van een tafeltje; en proef op de deeling. 278. — 279. Kunstgreep omtrent de deeling door io,
100, 1000, enz. 280. Hmlveerep. — Bepaaling van evene en ona-
vene getalen.
2S1. Kunstgreep om door 20, 200, 2000, enz. te
deelen.
282, Om Huivers tot guldens te maaken.
284. Deeling,door den deeler \\\fs6torcn te ontbinden.
285» Men kan zo wel door den eenen fa&or, als
door den anderen, eerst, of laatst deelen. 2P6. Dit is niet altijd onverfchillig; en waarom niet.
287. — 289. Of'er vaste regelen zijn, om te weeten door
welken faltor men eerst deelen moete. 290. Regelen, om te zien of een getal door zeker
getalmerk deelbaar zij. 29^ ' Hoe zommige deelingen door vermenigvuldi¬
ging, en zommige vermenigvuldigingen door deeling verricht kunnen worden. 203< In welke gevallen men door vermenigvuldi¬
ging kan deelen. 29J- — 295. In welke gevallen men door deeling kan vet>
mcnigvuldigen. i0-6« Voorltellen ter oefttning.
DEELING VAN TIENTALLIGE BREUKEN.
§. 297, tot 298. Tientallige 'breuken worden even als geheelen,
gedeeld.
299. — 300. Waar het fcheidteeken te plaatzen in de uitkomst.
301. — 302. Waar voorgemelde handelwijze op fteune. ï°3. — 304. Hoe te doen, indien de breuk van het deeltal
uit minder getalmerken beftaat dan die van
den deeler.
305. — 309. Hóe te handelen, indiende deeler als dan nies
juist in liet deeltal opgaat. 310- Het is in veele gevallen onmogelijk dat de
deeling eene bepaalde uitkomst gecve ; en
in welke.
SII. — 313. Waar men in zulke gevallen de deeling afbreekc, en wat daar omtrent aan te merken zij.
S14. — 315. Dat 'er uit het afbreeken der deeling echter geene onnauwkeurigheid van aanbelang fpiuite.
V 2 §. 31Ö.



INHOUD.
f. 315- tot 317. Wat te doen indien men minder getalmerken in liet antwoord bekomt, dan men naar den regel voor tientallige breuk moet affnijden. 318. Voorftellen teï oeHcning.
DEELINC VAN GEWOONE BREUKEN.
§. 319. tot 320. Men deelt den teller in den teller, en den noemer in den noemer. 321. —• 323. Waar op deeze handelwijze fteune.
324. Op deezen zeiven grond fteunt ook de han¬
delwijze bij het deelen van tientallige breuken.
325. Bedenking, indien deeze deelingen wederom
nieuwe breuken overlaaten.
326. — 327. Men gebruikt in het werkdaadig eene kunst¬
greep; men keert den deeler om, door den teller in noemer, en den noemer in teller te veranderen, enz. 328. — 330. Gronden verklaard, waar op deeze kunstgreep ruste, enz.
331. Men kan door het zelve middel eene verme¬
nigvuldiging door eene deeling verrichten.
332. — 334. Het zelve onderwerp uit een ander oogpunt
befchouwd.
335. — 338. Nadere bedenkingen en ophelderingen van bijzondere omftandigheeden.
339. — 340. Men ftelt zo wel geheele als gemengde getalen onder de gedaante eener breuk voor.
S41. — 342. Voorltellen ter oenening; en hoe die te behandelen.
IETS NADER OVER DE BREUKEN.
S43. — 347. Hoe men breuken van vcrfchillende noemers ,
welke niet in elkandercn verwisfeld kunnen
worden, optelle. 348. Beantwoording van de bedenking wegens de
ongemeenc hoogte , tot welke een alge-
meenc noemer kan loopen. S49' — 35°- Of het veel moeite zij den kleinften algemee-
nen noemer te vinden? $50. — 352. Wat men door eerfte, en zamengeftelde gi*
talen verftaa.
S5J, — 358. Over het ontbinden der bijzondere noemeri , in hunne falloren, ten einde daar door hec klcinfte algemeene deeltal te vinden.
3S9« — 360. Werkdaadige handelwijze in deezen.
§•



ï N H O u V.
J. 361. tot 362. Wat te doen indien 'er eerfte getalen onder da noemers gevonden worden. Só-3. — 365. Wat te doen, als men de deelen', of /<uW» met gemaklijk ontdekken kan; en kmvf ,x greep 111 het werkdaadige.
36ö. Voorffellen ter oeflening
&IL - °Jei'd,c;ll»:ckki"Svanbreuken; en voorltellen.
li* Wat**r'*!"/«''öfverkleinenvanbreu«enzij: lli' ~ ö7S' 0vcr,hi:t vmden van den gemeenen deeler. 070. — 37». Gronden waar op de handelwijze omtrent het vmden Van den gemeenen deeler berustecn voorftellen.
379. — 338. Over de vermenigvuldiging van gebrokens met groote geheele getalen, enz. door middel van de breuken in andere en kleinere breu- > ken te ombinden.
339. — 390. Wat in het laatfte geval te doen, indien de breuken zich 111 geene kleinere laaten ontbinden.
HERLEIDING, OF VERWISSELING VAN GEWOONE BREUKEN IN TIENTALLIGE, EN VAN TIENTALLIGE IN GEWOONE,
■ 391- tot 392. Eene gewoone breuk in een tientallige veranderd.
393- — 394- Wat te doen indien de deeling niet ten einde loopt.
395. Verfcheidene breuken in tientallige verwisfeld.
390. — 397. Aanmerkingen welke uit de gegeevene voorbeelden voortvloeijcn. 398. — 402. Verdere aanmerkingen over de oneindige herhaaling van één of meer getalmerken in eene tientallige breuk; over de daar uit voortspruitende rijen, enz. 403. — 405. Hoe lang deeze hcrhaaling van de zelve getal-
merken uiterlijk achterwege kan blijven. 4°G- Hoe men uit ééne tientallige breuk zonriMs
verfcheidene andere met gemak kan afleiden. 4°7- — 408. Eene tientallige breuk, welke uit eene oneindige rij van negens beftaat, duidt de eenheid aan. 409- — 410- Hoe men de juiste waarde eener bepaalde tientallige breuk .wederom in eene gewoone bepaalen kunne. 411. .— 414. Om eene tientallige breuk wederom in eene gcwooiie van eenen bepaalden naam te verwisfelen.
415. — 416. Wat de- teekens -4- en — los achter een geta! geplaatst beteekenen.
V 3 TOE,



t N ft • V ».
TOIPASSTNC VAN HET VOORGAANDE OP WEZENLIJKE OROOTHEB-DEN, ALS MUNTEN, MAATEN, ELLEN , CEWIGTïN , énZ. I -
§. 419. tot 421. Over de vordering tot dus verre in het reekenkundige gemaakt. 422. — 42J. Over de onderwerpen der reekenkunde. 424. Verklaaring der gewoone verkortingen in het
fchrijvén.
. 425. — 426. Tafeltje 'van eenige inlandfche munten en geldfommen.
427. Tafeltje van eenige inlandfche drooge maa-
• ten. •< - .. '
428. Tafeltje van eenige inlandfche natte, ot wijn-
maaten. , t-ci,.;,. .,«« ,rö.r^v.ni..«^p vner- en el-
4üy. jaiciijc 'tui "".i;
lemaaten.
430. — 431. Tafeltje van vergelijking tusfehen het Amfterdamsch , Troijesch cn Brabandsch gewigt. 4.32. Tafeltje van goud- en zilverfmids gewigt.
433. Tafeltje van munt - en as/ai/ - of proevge-
wigt.
434. Tafeltje van medicinaal gewigt. , 435. Hoe men den tijd verdeelt.
436. Tafeltje van kleinere tijdvakken. _
437- -*■ 433. Hoe deeze tafelen vervaardigd zijn.
439. — 440. Welk gebruik van deeze tafelen te maaken.
TOEGEPASTE OPTELLING.
J. 441. tot 442. Waarom geene Additie in gelden genaamd. * Eenige fommen opgeteld.
443. De voorige fommen tusfehen lijnen gefchree¬
ven, en opgeteld.
444. Hoe men zich in andere optellingen te ge-
draagen hebbe. 446. — 4SS. Voorltellen ter ocffening.
TOE GEPASTE VERMENIGVULDIGING.
J. 455. tot 457. Waar in deeze reekening beftaa; en voorbeeld. " 458. E Nadere onderrichting; en tafeltje van de veel¬
vouden der getalen 12 en 16. 4Ï9. — 460. Of het voordeeliger zij de grootere munten op eens, of bij trappen tot de kleinfte onderdeden te brengen. 461. — 471. Vooifteilen van allerhande» aart ter oeffenmg.
TO««



INHOUD.
TOEGEPASTE AFTREKKING.
§. 473. tot 475. Steunt op dezelve gronden ais de optelling en vermenigvuldiging; en vooibeeld.
476. — 477. Hoe men van naastvolgende grootere onderdeden leene.
.78. 4S1. Hoe'men van de hoofddéelen leene, als 'er
geene naastvolgende onderdeelen zijn.
482. — 486. Voorltellen ter oeffening van allerhanden aart.
TOEGEPASTE D E E L I N G.
$. 487. tot 489. Is het tegengcflelde van de vermenigvuldiging; opheldering en voorbeeld. 490. — 491. Hoe te' handelen indien de decling cpn over» fchot laat.
492. — 493. Toepasfing op meer andere grootheeden. 494. — 496. Voordellen ter oeffening. 497. — 493. Wat 'ervan de zo genaamde casfa-reckeaint, en oeffening der fpecien zij.
ALGEMEENS BEHANDELING EN VEREFFENING VAN ALLERLEIJE MUNTEN EN GËLDfcN.
J. 500. tot 507. Over den gemaklijkften weg om reïalen tot
guldens te maaken.
5o8. 510. Om goudguldens tot guldens te maaken.
SU. — 517. Kunstgreepen om worpen van 5 cn 4 zeste-
halven tot guldens te maaken. 519. Om dueatonnen en ducaaten tot guldens te
maaken.
52c Deeze kunstgreepen moeten met oordeel m
:' het werk gefield wórden ; voorbeeld op zestehalvcii.
s*i _ m- Voordellen om vcrfchillende fommen zeste» halven op verfchillende wijzen te behandelen. ' '
S23. — 525. Voordellen ter oeffening op veclerleijc niuno ten en gelden.
526. — S27. Over het betaalen met volle zakken gelds, •en voorbeeld. .
So8 Voordellen mét zakken ter verdere oeffening.
S19' _ rjL Over het vereffenen vanuitgaav en ontvangst,' of van fchulden tegen betaalingen, verteering tegen inkomen, enz.
S3.2. Allerhande voordellen van deezen aart ter
oeffening.
Sïï. - 5ïö. Slot van het eerde deel. TWEE»



INHOUD.
TWEEDE DEEL.
5. 537- Wt 538. Over de betrekking, reeden, of verbinding
der grootheeden tot eikanderen. 539. — 540. Welke eene reekenkundige , en welke eene
meetkundige verbonding zij. 541. — 542. Meetkundige verhoudingen komen veel meer
dan reekenkundige te pas. 543. — 544- Iedere verhouding heeft twee termen, eene
voorgaande cn eene volgende. 545. — 546. Reeden, zonder bepaaling welke, beteekent
altijd eene meetkundige reeden. 547. — 548. Hoe men eene reekenkundige , en hoe men
eene meetkundige rceden natuurlijk zoude
kunnen uitdrukken. 549- Hoe men de reekenkundige recden gewoon
is te fchrijvén.
550. Hoe men eene meetkundige reeden fchrijve.
551. "— 552. Wat eene evenreedigheid zij.
553. Keekenknndige en meetkundige evenreedig¬
heid.
554. Het woord evenreedigheid wordt dikwijls
zeer verkeerdlijk gebruikt.
555. Hoe veele reedens en termen tot eene even¬
reedigheid vereischt worden.
55<S. Wat men door uiterfle en middenfte termen
eener evenreedigheid verftaa.
557- — 559. Dat de tweede en de derde term eener evenreedigheid ééne en dc zelve zijn kan.
5<5o. — 561. Wat men door eene geduurige evenreedigheid, en eene midden" evenreedige verftaa.
562. Welke termen men de derde en de vierde
evenreedige» noeme.
563. — 564. Hoe men eene reekenkundige , en hoe men
eene meetkundige evenreedigheid gewoon is te fchnjven.
565. Aanéénfchakcling van getalen
566. Wat men rijen, of reekzen noeme. — Voorts
wat cene reekenkundige reeks zij.
567. Wat eene meetkundige reeks zij.
568. Welke men aanwasfende of teeneemende, en
welke men, verminderende, afneemende, of neergaande reckzen noeme ; en voorbeelden daar van.
569. Voorbeeld van 'eene aanwasfende . en van
eene ncérgaande meetkundige reeks.
570. Overgang tot de eigenfehappen der
KBB-



INHOUD.
8.ERKENKUNDIGE EVENREEDIGHEEDEN EN REEKZEIf.
§. 571. tot 572. Eerfte eigenfchap der reekenkundige evenreedigheeden.
573. — 574- Algemeen bewijs deezer eigenfchap.
575. — 576. Wat 'er, omtrent deeze eigenfchap, bij de geduurige evenreedigheeden plaats hebbe.
577- — 578. Nut deezer eigenfchap.
579- — 58o. Hoe men eene onbekende grootheid aanduide. — Voorts hoe men eene onbekende vierde evenreedige vinde.
581. — 583. Hoe men eene onbekende derde evenreedige vinde.
S84. — 585. Hoe men eene onbekende midden - evenreedige vinde.-
586. — 587. Tweede eigenfchap,'bctrcklijktot de reekzen.
588. — 539. Bewijs deezer tweede eigenfchap.
590. Nut deezer eigenfchap, of regel voor het vin¬
den van de fom eener reekenkundige reeks.
S91- De fom der natuurlijke reeks van getalen van
1 tot 1000 ingeflooten, gevonden.
592« — 595- Om de fom der termen te vinden , indien flechts twee, of meer van de eerften, met de laatfte gegeeven zijn.
598. Voorftellen ter oeffening, om vierde reeken¬
kundige evenreedigen te vinden.
599- Om derde evenreedigen te vinden.
600. Om midden - evenreedigen te vinden.
601. — 602. Voorftellen voor het vinden der fommen van
reekenkundige reekzen. 604. Andere voorftellen, ter nadere toepasfing.
MEETKUNDIGE EVENREEDIGHEEDEN.
§. 606. Eerfte eigenfchap der meetkundige evenree¬
digheeden. 607. tot 609. Bewijs deezer eigenfchap. 610. — 611. Hoe men door deeze eene vierde meetkundige evenreedige vinde.
REGEL VAN DRIEèN.
§. 613. tot 614. Regel van drieën beftaat in het vinden van eene vierde evenreedige, en wordt daarom zo genaamd.
615. — 6-16. Voorfchrift voor de bewerking van den regel van drieën is het zelve, als voor het vinden eener vierde evenreedige.
V 5 S. Ó17.



J N H O U D.
5. 617. Waar de vierde meetkundige evenreedige, oC
■ onbekende in den regel van drieën, gelijk *
aan zij.
tSi3. tot 624. Waarom de meetkundige evenreedigheeden in den koophandel zo zeer te pas komen.
fac, 626. De geheele reekenkunde beftaat verder bijna
alleen in het toepasfen der evenreedigheeden.
^47> _ 62S. Opftel van den regel van drieën , hier ter plaatze verfchilt van het gewoone opftel, en waarom.
€20. Verfchillende wijzen van opftellen geeven
toch de zelve uitkomst.
63c*. Tweede eigenfchap der meetkundige even¬
reedigheeden.
gjK Wat men eene verwisfeling van termen
noeme.
«32. Wat men eene omkeering noeme.
Eene evenreedigheid op alle mogelijke wijzen omgezet.
635. De onbekende term behoeft niet altijd de
laatfte te zijn.
636. Eene evenreedigheid kan niet meer dan acht
maaien omgezet worden.
«538. — 630. Men kan uit twee gelijke produBen altijd eene meetkundige evenreedigheid opftellen.
$,0h _ <i3. Wat men wederkeerig evenreedig noeme.
6J. — 645. Reeden, waarom niet meer dan acht verzetv tingen voor eene evenreedigheid plaats kunnen hebben.
_^ 648. Den aandacht op de producten te vestigen is niet minder nuttig, dan op de verhoudingen te letten welke uit den aart der zaak voortvloeijen.
,5,0 — 650. Oogmerk deezer laatfte aanmerking.
651. Men kan een voorftel op verfchillende wij¬
zen voordraagen.
652 Beginnende leerlingen vinden zich bij eenen
min gewoonen vonrdragt dikwijls verleegen. — Een kundig Reekenaar kan de onbekende" plaatzen waar hij wil.
6,~ _ 6-4. Voorbeeld van verfchillende voordragten.
6,0 Het oogmerk is niet om den leerling zulk»
te doen volgen, maar om hem den regel in deszelvs "ruimte te leeren kennen.
658. Verfchillende wijzen om eenen regel vaa
drieën op te ftellen.
«59. — 660. Opftel naar koopmans ftijl.



1 W H Q V J>.
6(l. Vierde evenreedige kan altijd, worden voor¬
gefteld door eene breuk, wier teller Üit twee factoren beftaat.
662. Vraagen ter oplosfing voorgclteld.
663. tot 665. Verfchillende onderdeden bij maaten, mun¬
ten, gewigtcn, enz. moeten tot eenheeden van de zelve foort gebragt worden.
666. Voorbeeld daar van.
667. Eene zodanige reekening beftaat dan eigen¬
lijk uit drie deelen. 663. De grootheeden behooren tot geene kleinere
'' onderdeden gebragt te worden dan nood'g is.
670. Vraagftukken, welke teffens naar de zoge¬
naamde fractijk motten worden opgelost.
671. — 672. Waar deeze handelwijze in beftaa; en voor¬
beeld.
673. —r 676. In hoe verre deeze handelwijze korter zij dan de gewoone; en voorbeeld van vergelijking.
677. Zwaarigheid , indien de indecling der breu¬
ken niet langzaam afloopt.
678. — 679. Kunstgreep , waar van men zich in zulke
gevallen bedient. »53o. Deeze kunstgreep toegepast op een voorbeeld,
in vier verfchillende oplosfingen.
681. Vijfde, en nog eene andere oplosfing door
de zelve kunstgreep.
682. Vraagftukken, ter beantwoording opgegeeven.
4583. — 634. Voorftellen, waar in een aanmer, ii:ke deeler van vooren komt, kunnen langs deezen weg met geen voordeel behandeld worden.
683. — 688. Zo lang men door 10, 100, of een enkel
getalmerk, te deelen heeft, kan men van deeze handelwijze gebruik maaken. 689. — 690. Indien een groote deeler zich in factoren laat ontbinden, kan men 'er zich nog van bedienen.
691. Deeze ontbinding in factoren kan ook bij de
vermenigvuldiging te ftade komen.
692. — 694. Derde eigenfchap der meetkundige evenree¬
digheeden , omtrent de vermenigvuldiging en deeling van gelijk (taande termen tegen eikanderen.
695. Voorbeeld van vermenigvuldiging.
696. Voorbeeld van deeling.
697. — 698. Nadere opheldering, cn bewijs deezer eigen¬
fchap.



INHOUD,
J. 699. tot 700. Over het nut deezer eigenfchap, en vooi^l heelden door vermenigvuldiging. 701. — 702. Dit nut is niet zo groot omtrent enkele breuken , als wel omtrent gemengde grootheeden.
703. Verdere aanmerking aangaande deeze eigen¬
fchap.
704. — 706. Over het nut deezer eigenfchap in geval van
deeling.
707. — 709. Het laatfte geval uitvoeriger befchouwd, behandeld, cn met voorbeelden opgehelderd.
710. — 712. Vierde eigenfchap der meetkundige evenreedigheeden , omtrent de vermenigvuldiging en dceling der middenfte termen tegen elkanderen, befchouwd en overwogen.
713. — 714. Over den zo genaamden Regel van drieën in bet gebroken.
715. — 718, Tweetirleijc behandeling der vraagftukken van deezen aart: te wecten, met gewoone, of met tientallige breuken.
719. — 722. Tafeltjes om gewoone breuken van muntfpecien, enz. in tientallige breuken te veranderen.
723. — 724. Of men in deezen met tientallige breuken even fpocdig cn naauwkeurig werke.
725. — 728. Welke kunstgreepen men in deezen te werk kan ftellen, cn aanmerkingen over dezelve.
729. — 730. Verdere voortzetting der reeds gemelde kunstgreepen.
731. — 734. Vergelijkende voorbeelden van deeze handel, wijze met de gewoone.
735. — 737- Hoe men het werk aanmerklijk kan bekorten', en aanmerkingen Over deeze bekorting.
738. — 740. Nadere ophelderende voorbeelden, en overweeging van deeze handelwijze.
741. — 742. Voorftellen ter oplosfing.
743. — 752. Andere en meer ingewikkelde voorftellen overwoogen , en aanmerkingen daar omtrent.
753. — 754. Andere regelen in Reekenknnde beftaan allen, en alleen, in eene
NADERE TOEPASSING VAN DEN REGEL VAN DRIEÖN.
$• 755. tot 756. Eenige deezer regelen uit de gewoone reekenboeken opgeteld. 757. — 760. Over interest, en aart van dcnzelven.
§• 76ï.



I .N H O U D,
§. 761. tot 762. De interest - reekening vordert éénen , of meer regels van drieën. — Bepaaling bij het eerfte geval. 763. — 767- Beantwoorde vraagen, en verdere voorftellen ter oplosfing.
768. — 769. Over interest op interest, en hoe dien te bereekenen.
770. Verfcheidene aanmerkingen over de langwij-
ligheid van deeze reekeningen, enz. Dat deeze echter door de hoogere Reekenkunde wordt weggenomen. 771- — 773- Oplosfing eener vraag naar de gewoone wijze» 774. — 776. De gewoone handelwijze is niet korter, en minder naauwkeurig, dan die met tientallige breuken; voorbeeld tot bewijs.
777. Befluit uit voorgaande bewerkingen.
778. Vraagen ter beantwoording voorgefteld.
779- — 782. Nog een voorbeeld met tientallige breuken, en aanmerkingen daar over.
783. ~ 736. Over de te rug werkende interest op interest;
aanmerkingen daar over, en voorbeeld.
787- — 792- Over de langwijhge deelingen, welke hier ontftaan, en hoe men die in vermenigvuldigingen kan veranderen,
793. — 795. Proev op voorgaande reekening.
796. Aanmerking op deeze proev, en voorftellen
ter oeffening.
797- — 802. Over de Agio, Wisfelbank, kasgeld, bankgeld, affchrijven, enz.
803. Uitgewerkt voorbeeld om bankgeld in kasgeld,
en kasgeld in bankgeld te veranderen.
804. Voorftellen ter verdere oeffening.
805. — 809. Over prompte, of gereede betaaling, en voor¬
beeld.
810. Vraagen om te beantwoorden.
811. — 813. Over Provifie, courtage, makelarij, enz.
814. Vraagen ter beantwoording opgegeeven.
815. — 817. Wat de woorden tarra, fust, emballage
bruto, netto, enz. beteekenen. 818. — 819. Tarra, wordt op verfchillende wijzen bereekend.
820. — 825, Wordt onderfcheiden in tarra beven bet bon.
Aerd, en tarra in bet honderd; en voorbeelden ter opheldering.
8:6. Voorftellen ter beantwoording.
tS7. Tarra wordt zomtijds ook bereekend van
een vat, baal, enz. eu voorftellen van dien aart.
5- 828,



INHOUD.
§. 828. tot 830. Eenige meer zamengeftelde vraagen ter vei» dere oeffening. ggi. — 833. Wat rabat en rabatteeren zij.
834. Aanmerkingen daar over, en behandeling daar
van tot nadere geleegenheid uitgefteld. — Overgang tot het bereekenen van winst en verlies.'
835. — 838. Winst bereekend, en vraagen ter beantwoording. gn0. Over het inweegen, inmeeten, enz. en voorftellen daar toe betreklijk.1
g.0. — 851. Verfcheidene aanmerkingen, oplosfingen, en
voorftellen tot dit onderwerp behoorende. 852. —- 857- Van.de Gezelfchaps reekening, haaren aart,
en onderwerpen. j58. — 867. Nadere aanmerkingen, voorbeelden, en vraag»
ftukken daar omtrent. 8Ö8. 878. Over de FaBorie- reekening, derzelver aart
en behandeling; en vraagftukken daar toe
betreklijk.
879. 882. Van mangeling, of ruiling, en aanmerkingen
daar over.
883, — 885. Een voorftel opgelost, en overwogen. 886. !— 887. Andere oplosfing, cn bedenking op dezelve. 888! Voorgaande bedenking beantwoord.
889! — 890. Gewoone werkdaadige wijze van reekenen in deezen.
goi. 898. Voorftellen en vraagftukken van verfchtllenden
aart, omtrent dit onderwerp, en aanmerkingen op dezelve.
jog 904. Andere aanmerkingen van eenen meer afge-
trokkenen aart, uit de hoogerc reekenkunde.
005. 008. Nog andere bedenkingen omtrent dit onderwerp
overwogen en; opgehelderd.
009. 911. Nog eene andere bedenking beantwoord. _
0:I. Geud- en zilver - reekening, of reekening
van menging.
913. —914. Kunst-termen van fijn , alhi, esfai, enz. verklaard.
pI5. 918. Nutenoogmerkdeezerreekening;envoorbeeld.
019'. 920. Hoe men deeze reekeningen opftelle.
021. 922. Over het mengen van water onder wijn, of
koper onder goud.'
003. 925. Verdere aanmerkingen over dit onderwerp.
026. _ 934. Verfcheidene opgeloste vraagen, cn voorltellen ter oplosfing van verfchillenden aart.
«35. — 936. Aanmerking over deeze verfcheidenheid van voeritcllcn, en overgang tot de
ZA-



INHOUD.
ZAMENGESTELDE VERHOUDINGSlf.
§. 937. tot 938. Wat rrlen door eene zamengeftelde verhondins verftaa.
939- — 942- Oogmerk deezer benaaming, en voorbeeld.
943. — 944- Oppervlakken ftaan tot elkandercn in eene zamengeftelde reeden van lengte en breedte.
945- — 948- Lighaamlijke uitgebreidheeden ftaan tot eikanderen in eene zamengeftelde reeden van lengte, breedte en hoogte.
949. — 952. De zamengeftelde verhoudingen komen in «Je gewoone reekenkunde, en in den koophandel ook te pas; en overgang tot tien
Z AMENGESTELDEN REGEL VAN DRIEËN.
§. 953. tot 957. Deeze regel wordt ook regel vau vijven -genaamd, doch te onrecht. — Vraagftukkeo, tot deezen regel betreklijk, opgelost.
958. Redenen waarom deeze regel met het z-a-lve
recht regel van zevenen, regel van negenen, enz. als regel van vijven genoemd zoude kunnen worden.
959- — 961. Of deeze benaamingen bij de oneffene getalen zouden opklimmen, en of zich dit bij de zamcnltelling der eerfte en derde term bcpaale.
962. — 963. Dat alle termen zamengefteld kunnen zijn zelvs de onbekende niet uitgezonderd, 'ea voorbeeld.
964. Ander voorbeeld, met eene zamengeftelde
onbekende.
965. — 966. Hoe deeze regel in de daad op eene enkele
evenreedigheids - reekening uitloope^ .£n voorbeeld ter opheldering. 967. — 970. Twee bedenkingen voorgedraagen , en beantwoord.
971. — 974. Eene voorgeftelde vraag op verfchillende wijzen opgelost.
975. Verdere voorftellen ter beantwoording opce-
geeven. rfa
976. — 977. Deeze regel toegepast op interest-reekenin¬
gen , waar in hoofdfommen en tijden beideongelijk zijn.
978. — 979. Eene vraag beantwoord. — Een voorftel naar Koopmans gebruik opgelost. — Overgane tot de behandeling met tientallige breuken.
£. 9.80»



INHOUD.
C 080. tot 981. Aanmerking daar omtrent; en [tafeltje om 9* >°u y weeken in tientallige breuken van jaaren te ftellen.
982. Oplosfing van een vraagftuk door tientallige
breuken.
983. Het- zelve vraagftuk naar koopmans gebruill
opgelost.
o8a — Q85 Aanmerking over het verfchil m de uitkomst
v ^ langs deeze vcrfchillende wegen.
.„rt Vraagen ter beantwoording opgegeeven.
H7' _ QS8. Of men op voorgemelde wijze ook geen
9 7' rabat bereekcnen kunne? Aanmerkin¬
gen daar omtrent; en voorbeeld op dien voet. , ,
«Rn Hoe de Kooplieden het rabat bereekenen.
Ho _ 093. Verfchil tusfehen de uitkomsten, en nadere
V ' overweeging van dit onderwerp.
00< Waar de reeden van dit verfchil der uit-
m' komften in geleegen zij, en welke reeden
het volge. .
00c _ 097. Proef op het voorgaande, en beuuit.
ons Voorftellen ter oefening.
«QO - 1000. Deeze regel op wlmt en verbet toegepast.
,001 — 1004. Voorftellen ter oplosfing.
1005. — 1007. Andere vraagen overwogen.
1008 Nog andere vraagen ter beantwoording; en
1 overgang tot de Gezelfchaps-reekening
met tijd.
tt,oo — ioio. De aart deezer gevallen overwogen.
Jou' Hoe men dezelve naar eenen algemeenen.
regel kan behandelen.
,OT„ Vraagftukken.
1013.' — 1014. De laatfte vraag ter onderrichting uitgewerkt.
iois — 1016. De zelve vraag omgekeerd, en opgelost.
1017.' Deeze regel op de reekening van Feewside-
rij toegepast.
1018. Vraagftukken van deezen aart ter beant¬
woording opgegeeven.
1019. — 1020. Of deeze regel ook toepaslijk zij op de
mangeling, of ruiling? _ 1022. Overweeging van dit onderwerp. . ie.;,' — 1024. Aanmerkingen over het op één uitloopen van verfcheidene reekeningen, welke onder verfchillende naamen worden voorgedraagen, enz.
KIT-



INHOUD»
KETTING-REGE L.
{. 1025. tot 1026. Deeze regel beftaat in eene koppeling van regels van drieën.
1027, — 1028. Wanneer eene zodaanige koppeling plaats kunne hebben.
1029. — 1030. Een geval ten voorbedde opgegeeven.
1031. — 1033. Dit geval door losfe regels van drieën opgelost.
1034. — 1035. De voorgaande oplosfingcn op twee vcrfchillende wijzen onder «lkanderen ge, fchreeven.
1036. — 1037. Gelijke grootheeden met gelijke grootheeden vermenigvuldigd geeven gelijke produBen.
1038. — 1039. Te vooren gevondene vergelijkingen, of produBen, gekoppeld, en aanmerking daar over.
ió4o. Deeze aanmerking verder voortgezet.
J041. — 1041. Eene bedenking voorgefteld, en beantwoord.
1243» — 1044. Eene andere bedenking opgeworpen, eu de zwaarigheid opgelost.
1045. — ic.46. Andere zwaarigheid voorgedraagen, overwogen , en gedeeltelijk weg genomen. — Voorts de vraag op de gewoone wijze opgcfteld, en uitgewerkt.
1047. — 1048. Wat ten leij draad kan verflrekkcn in liet opftellen ; en vrijheid van een kundig reekenaar.
1049. — 1050. Aanmerking; en verdere vraag, wegens de verfchillende overgangen , uit de tusfehen - betrekkingcu opgelost.
J051. — 1052. Vraagftukken ter beantwoording opgegeeven.
OMGEKEERDE V E R H O ü D ! N O F. Hj
. 1053. tot 1058. Wat eene omgekeerde verhouding zij'; cn wanneer die plaats hebbe. 1059. — ioóo. Dat in deeze het product der eerfte en derde term gelijk dat der tweede cn vierde is.
1061. Dat de vierde evenreedige gelijk het pro-
duB der eerfte en derde, gedeeld door de vierde zijn zal.
i°5a. Hoe men de omgekeerde verhoudingen on¬
der eene rechte gedaante voor kunne ftellen.



INHOUD.
t, lefïj. tot 1064. Nut en oogmerk der omgekeerde verhoudingen.
VERKEERDE ÏECEL VAN DRIEëN.
$. 1056. tot 1067. Waarom zo genaamd. — Deeze omgekeerdde verhoudingen liggen in den aart der zaaken.
1068. — 1072. Dit onderwerp nader ontvoud , opgehelderd, en met reedenen geftaafd.
1073. — 1075. Het zelve onderwerp nog op eene andere wijze befchouwd, en met een voorbeeld opgehelderd.
1076. Verfchillende wijzen om eene vierde even' reedige te vinden, welke met de derde
in eene omgekeerde recden ftaat, van de tweede met de eerfte term.
1077. Twee deezer opgegeevene handelwijzen
toegepast. j
1078. Voorftellen ter oeffening.
1079. Eene te vooren, bij den'rechten zamen-
geftclden regel van drieën , behandelde vraag, door den verkeerden regel van drieën opgelost.
ZAMENGESTELDE VERKEERDE REGEL VAN DRIEëN.
J, 1081. Waarom geen verkeerde regel van vijven,
genaamd.
1081. In welke gevallen deeze regel te pas
koffle.
I08g. Zomtijds zijn twee grootheeden in eene
zamengeftelde rechte reeden van twee andere, doch in eene omgekeerde van eene derde en vierde grootheid.
1084. tot 10S7. Nadere overvvecging van dit onderwerp.
1087. — 1089. Dergelijke vraagen kunnen ook door enkele rechte regels van drieën worden opgelost.
1090. Voorftellen '.er oeffening.
io'91. — 1095. Waarom verfcheidene'regelen, die men in
gewoone reekenboeken aantreft, hier niet
gevonden worden. 1055. — 1098. Het trekken van vierkants, en 'taarlings
wortelen behoort tot de Meetkunde,
enz.



- I N M O Ü 0.
aaniiangzel over de wis sel'reikeni n <5ï
«. 1099. tot 1100. Wat men in het algemeen door Wisfel-rce«
kening te verdaan hebbe. hoi. Reekenboeken zijn niet gefchikt om 'er den
Wisfelhandel in te leeren. :io2. Verfchiliende wijzen van wisfelen.
H04. Hoe nlcn z:ch in de wisfelreekcningen het
allcrgemaklijkst van tafelen zoude kunnen
bedienen.
jIOs. Eeste wijze van reekenen door tientallige
breuken.
wissel tusschen londen en amsterdam.
g. iicö. Voorbeeld van Engelfchen Wisfel door tien¬
tallige breuken.
H07. Hoe men zomtijds een gedeelte, eener tien-
tanige breuk wederom met voordeel in eene gewoone kan veranderen.
1108. tot 1114. Over het vervaardigen van tafelen voor de ' wisfel - reekening.
Hij. Andere handelwijze door de zo genaamde
praihji, cn dan met tientallige breuken van achteren.
In5. Nog eene andere bewerking, door het En¬
gelsch geld eerst in Flaamsch te veranderen.
I, t7. Om Hollandsch geld tot, Engelsch te maaken.
m!)] 1110 Voordellen ter'oeffening.
il31i n24, Wisfel tusfehen Parijs en Amjlerdam.
1125. — 1127. " ƒ" ƒ J ~~'
1141- — l42- ' Venetië . .
J143. Waarom geene zamengeftelde reekeningen
van deezen aart zijn opgegeeven.
U4. Als 'er tusfehen twee plaatzen gewisfeld
wordt, moet eene dier plaatzcn een onveranderlijk wisfelgeld houden.
JI45. — 1147. Dit laatde toegepast op den wisfel tusfehen Londen en Parijs.
1148. Slet. •