OPDRACHT. ? het Befluit, dat onvruchtbaar Geweft te verlaten , eft een ander Land van meerder Vryheid en Oprechtig'heid daar tegen te zoeken. Deze dan ter rechter tyd ondernome verwiflèling van Landftreek is nu ook niet zonder oogenfchynlyk voordeel voor myn eerlyk behoud achtervolgt geworden, zo dat ik tegenwoordig myne beftandige neiging (van natuur my ganfch eigen zynde) om wiskonftige zaken allengskens meer ende meer mede te helpen uitbreiden, volkomen vergenoegen kan, gelyk dan dit Werkje'eteen blyk van is. Ik heb zulks aan UE. UE. al te zamen 'met een ryp overleg opgedragen, niet als of 'er buiten UE. UE, geene andere ook bequaame perzoonen in de weereld te vinden waaren, welke hun oordeel daar over konden geeven (want met dus te denken zoude ik uwe my meeftendeels overvloedig bekende Nederig- en Zedigheid grootelyks te na doen), maar alleen uit reden , om aan de verbintenis eenigzints te voldoen, die ik aangegaan heb, toen gy wel hebt willen gelieven my. in uw ge-eerd gezelfchap op en aan te neemen , en voor een bequaam Mede-Lid daar van te erkennen. Dienvolgens heb ik, volgens die onder ons heerfchende Wetten uwer aller Naamen,nevens uwe Woonplaatzen,aan 't Hoofd van deze Opdracht geplaatft, maar, om wydloopigheden t'ontgaan, de Bedieningen van elk een en der zeiver verder Beroep niet mede bygevoegt, wordende myn Plaats en Rang kennelyk door den Bynaam , waar door ik in uw gezelfchap van andere Mede - Leden , volgens ons gebruik, onderfcheiden word, 't welk ik hoope., Myne Heer en, de goedkeuring van uw alle ontmoeten zal. In dit Werkje heb ik gelykzaam het Pit en Merg van veele Wis-konftige zaken voorgedragen, welker oplolïïng van eene gegronde kennifTe der Cyffer- Meet- en •Stel- konft afhangt, en met ter tyd in een ander grooter Werk miflchien kan te voorfchyn koomen. Ik heb alles uit de geheime fchatkamer van myn gelukkige geheugenis gehaajt, en haaft niet een eenig Boek dien aangaande  $ OPDRACHT. de om raad gevraagt, zynde noch veel meer tot op een andere tyd daar in opgefloten blyven leggen. Maar mogelyk mogten zommige onder U, Mynh Heeren, zich laten invallen en denken, dat ik nu eene gewenfchte gelegcntheid hadde gehad , om de wederlegging van den Heer Van Clausberg tegens myn in't jaar 1731. uitgegeeven Boekje *( aangaande de Vinding van vyf continué proportionaal of geduurig Geometrie? evenredig zynde Getallen uit hunner 'Lom =a en uit de Zom van hunner vierkanten — b) eenigzins in dit Werkje t'ontzenuwen, aangezien men zulks al lang van my hadde verwacht. 't Is wel waar, Mïnï Heeren, dat ik daar omtrent noch tot nu toe ben in gebreeken gebleeven , doch nadien deze zaak my niet onmiddelyk raakt en ik ze maar alleenlyk voor een ander heb opgevat gehad, die deze hem betoonde vriendfehap met het grootfte ondank van de wecreld aan my vergolden , en dus grootelyks veroorzaakt heeft, van vreemdegeweften te moeten zoeken ; zo en zie ik niet, wat voor een grootën roem of ander onbekend voordeel voor my 'er uit zoude te behaalen ftaan, by aldi'en ik dezen al lang walgachtig geween: zynden Kool, op't nieuw opwarmde, en voor de tweede keer opdifchte , _my voor niets in onnodige koften dieswegen fteekende. Want ik moefte dan veele byzondere omftandigheden mede aannaaien , welke klaarblykelyk zouden te kennen geeven,hoe zomtyds God ongemerkt eene al te groote vermetelheid van zich zonder ver-dienften, gelyk als met geweld , boven anderen te willen verheffen , met eene verdiende blindheid kan ftraffen. Doch dit ftrydig zynde met de Chriftelyke Liefde tegens zynen Evenmaften ; dus kan zulks tot eene genoegzame reden verftrekken, waarom ik 'er voor het tegenwoordig van afzie. Echter kan het gefchieden, dat ter ander tyd , als van deze zaken zelfs te handelen mogte gebeuren , 'er iets in 't algemeen van gewaagde. k hadde my ook wel voorgenomen gehad, om in de Appendix noch eenige Voorftellen by te voegen, aangaande de manier van * ©rön&lK&e Humt toi ffa;ti<}«i 4iS&ecfif$m Problematis wtctec Clausberg.  OPDRACHT. 9 van met waarfchynlyke zekerheid de eerfte Getallen van de t'zamengeftelde (*) te konnen onderfcheiden en beraamen, maar nadien myne ten dien opzichte opgeftelde Regel noch niet op alle voorkomende gevallen volftrekt kan toegepaft worden : zo heb ik ook dit noch tot een bequaa.mer gelegenüeid insgelyks moeten opfchuiven, aangezien ik geene zaken voordragen en in openbaar uitgeeven mag, waarvan ik zelve de oplofiing niet en zoude konnen opmaken en zulke alvoorens by andere eerft bidsgewyze moefte zoeken. Doch dit voorgezegde geeft my aanleiding om een mis-flag of verzien van den Heer Cbriftiaan Wolf Wier ter plaatze aan te toonen, aangaande het Getal 2047 , 't welk hy in het eerfte Deel zynerLatynfcheGrond-Beginfelen van de Wis-konft een eerft Getal of Numerus primus ftelt te zyn, daar het nochtans een Numerus compofitus of t'zamengefteld getal is, zynde des zelfs üeelers 23 en 89 ; by gevolg kan ook het Product, voortkomende uit vermenigvuldiging van dit Getal 2047 met 1024, te weeten, 2096128, geen Numerus perfeclus of volkomen getal zyn ("j"). Ik zeg, Myne Heeren , dat 2096118 geen volkomen getal kan zyn en ook niet en is, gelyk als UE. UE. ook wel van zelve zult konnen vinden. Want een volkomen Getal is , volgens de bepaling zelve van dien Heer altyd gelyk van zom aan des zelfs Deelers t'zamen genomen. De algemeene Deelers nu zyn van het gewaande volkomen Getal 2096128 , de Getallen 1. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 23. en 89, by gevolg de byzondere Deelers of t'artes aliquou daar van de volgende, namelyk: i (*) Methodat verlfimïlis d!fcerne»dt Numerus frlmt a umpofoh. (t) Element. Math. Edit.'Niivisf. Hak Magdeb. imfr. 1741. Cttf, II. 'Analyfttï. Math. f. m. 384. (,+) Loc. cit. f. m, 383. B  OPDRACHT. li 23 deelt, dienvolgens koomen'er noch deze onderftaande Partes aliquotes uit voort, als: 23 91136 356 5888 46 45568 • 368 569& 80 23552 712 2944 92 22784 736 2848 178 11776 1424 1472 184 11392 — 3596 18848 612 206208 i 1 * De Zom dan is 229264 gelyk aan het verfchil, dat 'er tuflchen het gewaande volkomen getal en de zom van des zelfs Fartes aliquotie gevonden word. Mogelyk heeft de Heer Wolff dit getal 2047 niet genoegzaam getoetft,of het ook deelbaar gevonden wierd door eenige andere eerfte getallen, gelyk als men vindt, vandoor 23 en 89, effen opgaande , te konnen gedeelt. worden, zullende dan , als hy'er kennis van krygt, zulks wel in eene andere uitgaave dezer l atynfche Grond-Beginfelen van deWis-konft verbeeteren (gelyk als hy ook al reede met 511 gedaan heeft) en in der zeiver plaats ftellen 8191, 't welk met 4096 vermenigvuldigt, het vyfde volkomen getal, te weeten, 33550336 uitleevert, want de vier eerfte volkome getallen zyn 6, 28, 496 en 8128, hebbende andere al over lang aangemerkt, dat de laatfte Cyffër der volkome ne getallen altyd 6 of 8 by beurt- wiffêling is. Maar een geheel andere mis-ilag van de zelfde natuur vind ik in het Journal des Scavans van de maand December des voorleden Jaars 174? (*) , zeggende d'Opfteller van dit maandelykfch Boekje van een Spaanfch Schryver, nopens des zeiven, algemeene H iftorie van Spanjen, in 't Franfch door Mr. d'Hermïlly vertaalt, het volgende: II ment enfuite dans le Cbapitre I1. h ce qui regarde la Cbronólög'te. 11 remarque les different jent mens , qui partagent les Scavans B 2 M (*) Pag. 44S 0 44?.  IZ OPDRACHT. ' fur Pannce de la Création du Monde, Pembarras oü ils font, pour fixer lesannées ,qui fe font écoulées depuis cetteEpoque jusqu'a laNaijjance de J. C. Jprès avoir, felon Pufage ordinaire ,p art agê tout ce tems en cïnq dges, il rend raifon des moitfs fur lesquels les plus habiles Chronologïftes ontfixê la durêe de ces ages. Au difaut, dir-il, des lumie'res assure'es, que l'Ecriture nous refuse, DlEU, dont les Jugemens profonds sont incompreh- n5ibles, n'aYANT pas V 0 ulu depuis la CRE'ation du monde q_u E l'o n sjut l'AnNE'E f1xe de la venue de son FlLS üniq.ue, OU ne peut mieux faire que de fuivre les Pér es, qui ont vécu dans les tems les plus proches de la Naijfance de J. C. C'eft donc fur leur autorité qWil place cette grande Epoque Pan 750 de la fondatton de Rome, ce qui donne précifement 4.c00 ans avant J. C Ce nombret ajoute-t-il, eft parfait , comme disent les Arithme'ticiens. Il n'y manque rien, il n'a rien de trop et 1L EST DiyiSIBLE j u s QJj'a sa DERNIE'rE u n I t e'. Dat is : Eyndelyk -vervolgt hy in^t tweede Hoofdftuk dat ge ene, wat de Chronologie of rfyd-Reekeriwg aangaat. Hy toont 'er de verfcheidene Gevoelens in aan , welke onder de Geleerden heerfchen notens bet Jaar-Getal van de Schepping der Weereld, niet minder de verwarring of onzekerheid, waar in ze zyn, om het getal der Jaar en te beraamen, welke zedert de Schepping der Weereld tot op de Geloorte van Jesus Christus verhopen zyn Na dat hy nu vol?ensgewoonte, dezegeheele 'Tydin vyf Jaar-honderdenverdeeldheeft, zo geeft hy reden van de Beweeg-Oorzaken, waar op d allerbequaamfte tfyd-Reekenaars hunne gijfingen gegrond hebben aangaande de lengte der tyd, dat deze Jaar-honderden geduurt hebben. By gebrek, zegt hy, van zekere gronden, welke yty in de Heilige Bladeren niet en vinden, hebbende het GOD , welkers gehe.me Oordeelen onïegrypelyk zyn, niet behaagd, dat men naaukeurig weeten zoude het eigentlyke Jaar der kom- STB  OPDRACHT. t% ste van zynen E eni g-g ebo oren ZoON, ZO ki>l)l men tl'ltt heet er doen, als dien aangaande de Kerk-Vaderen te volgen , welke het naa/ie gekeft hebben aan de Tyden der Geboorte vanjzsvs Christus. Der halven , op der zeiver gezag fteunende, fielt hy deze gewigtige Tyd Reekeniug in '/ Jaar 7 50 van de ftichting der Stad Romen, '/ welk dan geheel netjes 4000 Jaar en voor Christus Geboorte uitmaken. Dit Getal, voegt hy 'er by, ts volkomen, zo als de R eeken-mees-ters het noemen. Niets ontbreekt 'er aan, ook heeft het niets te veel, en is deelbaar tot op des zelfs laatste Eenheid of Uniteit. De reden, waarom ik deze plaats zo wydloopig aanhaale, is, dat ik 'er tweederlei by aan te merken vinde, te weeten; 1. & Onzekerheid des Jaar-getals der Geboorte van onzen Zaligmaker. . 2. De gewaande en zo hoog opgehefde volkomenheid van t Getal 4000. Aangaande het eerfte, laate zulks op zyne waardy beruften, nadien d'Opfteller vanhJournaaPer niets in 't byzonder van aanhaalt uit denSpaanfchenSchryver, maar het geeft my nochtans aanleiding, om aan UE. UE. iets, daar mede groote overeenkomft hebbende, voor te dragen en uwe gedachten, echter met uw believen, my daar over uit te bidden, namelyk: „ A onderftelt, dat zo ras als men 1744- op den eerften dag „ dezes Jaars gefchreeven heeft, het zelve Jaar 44 vervult is „ geweeft en men nu by gevolg in 't Jaar 1745 's getreeden. „ B nu van een contrarie gevoelen zynde en by de gemeene ree„ kening willende blyven, zo vraagt men na de reden en gron„ den,welke A moet gebruiken,om zyne veronderftelling goed „ te maken en B met waarfchynlyke overtuigingen tot zyn ge„ voelen over te haaien? Antwoordt. B 3 Maar  14 O P D R A C H T. Maar wat het tweede aangaat, zo vallen de gewaande eigenfchappendes getals 4000 geheel en al in duigen, vermits niet eene van de vieren aan 't zelve toekomt. Want voor 't eerfte en is het geen volkomen getal , zynde des zelfs algemeene Deelers, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5> 5- en gevolgelyk de Partei aUèafftU of byzondere Deelers van 't zelve. 1 16 . . 250 2 . . 2000 20 . . 200 4 . . 1000 • • ï<5o 5 . . 800 32 . . I2J 8 . . JOO 40 -103 10 . • 400 5° • • 80 30 4700 ■ 183 91 $ Aldus . . 58 28 de Zom der byzondere Deelers van. dit getal, waar uit dan bly kt, dat de gewaande volkomenheid 'er geenzins in gevonden word. Aangaande het tweede heeft het maar van de Wille-keur des Schryvers afgehangen, dat aan het juifte getal van 4000 niets en ontbreekt , want als hy 1, 2, 2, 4, 5 enz. minder als 4000 hadde aangenomen gehad , zo was het immers zyne ftelhng geweeft en gebleeven, welke hy had moeten verdedigen. Het derde word door het-eerfte genoegzaam wederlegt, want nadien de gewaande volkomenheid verdwynt , vermits de zom der byzondere Deelers 1828 meer uitleevert, als het getal zelfs groot is, dus word men wel klaarblykelyk gewaar, dat het getal 4000 om 1828 \n de zom der zetver Partes ahquot met der zeiver Complementen overgaf, toonde ik m een' byzonderen byeevoegdenBrief aan,hoe en wat wyze ik rny m denzin had koomenlaten, om eene zodanige moejelyke Uit-reekemng t'onder- neemWeeens gebrek van tyd en haaft der Reize is het dan gefchied daty vermits ik niet alles, volgens myne-gewoonte, dubbeld konde na-cyfferen , dat, zeg ik, een verzien door my in de Bereekening van de Sinus van 45 Minuten en des zelfs Complement van 89 graaden 15 minuten begaan is, 't welk dan SS mS verbeetert worden, of om eigentlyker te fpreeken^  OPDRACHT. x; d'Uit-reekening daar van toont zich in zyn geheel als volgt. Vol gens myne wis-konftige Sinus-Gabelle is de Sinus van 15 minuten gelyk en des zelfs Complement van 89 gr. 15 minut. Y;n+Yin+hYils+2Y:l7+W5+YV&+6Y5l:imï Men trekke nu uit het getal 5 met 40 achter aan gevoegde Nullen, als uit 5 0000000000000000000000000000000000000000 de vierkante Wortel, de zelve is dan V 5 3==sa. 230-06797079158575384 met 6 vermenigvuldigt, heeft men 6 V5=i3- 4l64°78247495I4523°4 addeert 30 'er toe, koomen 3o+6V5 = 43- 41640782474951452304 . hier uit de vierkante Wortel getrokken, is V:y30-4-6 V"5/:=6. 58911282531643363899} 1V5 = 2- 23606797079158575384£ geadd. 7 = 7. . . . 3 ° koomen 15. 82518079610801939283 uit deze zom de vierkante Wortel getrokken, doet 3. 97808758024606836229 met 2 vermenigvuldigt , , . koomen 7. 95617516049213672458 en 8 . . 'er toe geaddeert zoo heeftmen 15. 95617516049213672458 C We-  'tg O P D R A C H T. wederom de vierkante Wortel uitgetrokken is zulke . . 3. 99451813871119387669 met z vermenigvuldigt koomen 7. 98903627743238775338 en 8 . . 'er toe ge-addeert heeft men 15- 98903627742238775338 noch eens de vierkante Wortel uitgetrokken is de zelve 3. 99862929985043 59^7'9 dit in 8 gedeelt heeft men — 49982860248130449590 Als men nu van 50000000000000000000 49982866248130449590 aftrekt blyven i7I3375I86955Q4io hier uit de vierkante Wortel getrokken koomen 1308. 95958. voor Sin. van 4/ min. Ook addeere men tot 50000000000000000000 49982866248130449590 koomen 99982866248130449590 de vierkante Wortel 'er uit getrokken is zulke 99991- 43271 voor de Sinus van 89 graden 15 minuten. Ik  OPDRACHT. 19 Ik hebbe deze wis-konftige Sinus-Gabelle naderhand noch verder uitgebreidt, en de zelve vergroot tot op 240 Sinus en ook zo veel toebehoorige Complementen^ welke dan, in gemeene getallen eens wel uitgereekent zynde,tot een grond konnen verftrekken,om andere Tafelen 'er na te corrigeer en ^ en insgelyks nieuwe te bereekenen tot op Seconden toe. Dit is aldus het geene, 't welk ik aan UE.UE. in deze Opdracht wel heb willen voordragen , niet twyffelende, of het zal uwe achting verdienen en gelegentheid geeven tot eeneweêrzydfche Brief-whTeling onder ons, aangaande nieuwe Konfl: - zaken, welke ter plaatzevan een* iegelyken door dezen of geenen mochten uitgevonden of uitgewerkt geworden zyn. Ik verzoeke daarom wel inftantelyk , om daar door meerder aanmoediging te verkrygen , van bet wydloopig Beftek myner voorgenoomene wis - konftige Uitwerkingen zonder ophouden te vervorderen en dus van tyd tot tyd weezentlyke blyken te geeven van myne geftadige neiging, om zulke Weetenfchappen tot den top der volmaaktheid mede helpen te brengen , waar door de Waarheid meer en meer in de Weereld moet bevordert en Aaande gehouden worden. Tot een Befluit wenfch ik een' iegelyken onder UE. UE, Myne Heeren, al het wenfchelyke goede toe ,'t welk op dezer Aarden van GODS goedertierenheid mag konnen verwagt worden, en het eeuwige navolgende goed, ter tyd dat gy deze bedorvene weereld volgens des Allerhoogften wyze Raads-befluit zult moeten verlaten, blyvende met achting en zonder geveinftheid, MYNE HEEREN, Uwe te dienen altoosBereidwillige Dienaar, Jmflerdam den 2j. January 1744. d'A » T » E U R. C z HET  HET VERMAAKELYK REEKEN-K ONS TIG SPEL. KONST-ERVAREN LEEZER. ALhoewel de ghtadratci Magica of Toover-Vierkanten juift geene groote nuttigheid de Weereld toebrengen, dienende maar alleen voor Curieufiteït of Lief hebbery; zo zullen echter Kenners van deze vermaakelyke Comlineering der Getallen 'er iets in vinden, 't welk hunne oplettendheid wel v/aardig zyn zal. Want nadien zulke weeten, dat diergelyke Vierkanten met getallen opgevult worden , welke Arithmeticè opklimmen, zodat elke zyde daar van (het zy dat men die getallen optelt, welke zydwaards nevens malkander ftaan, of die geenen t'zamen addeert, welke recht-ftandig onder malkander geplaatft zyn , insgelyks de fchuinze van den eenen hoek tot den anderen) een naar believen verkiert getal in zomme moet uit-maken; zo kan hen ook niet d'eigenfchap van zulke Arithmeticè opklimmende getallen onbekent zyn , namelyk, dat twee leden van diergelyke Progreffte weêrzyds even ver van twee andere leden, welke het ook zyn, afltaande een en de zelfde zom uitleeveren, of het dubbel van het middelfte lid zyn, als het getal der leden oneven is. Verkiert men nu tot uitvulling van zulke Vierkanten de natuurlyke getallen, dat is, welke- met ïïUniteit of Eenheid beginnen en daar mede opklimmen ; dan is het ftel-konftige kenteken of de Characlerijiica Al~ gebraica der zomme van ieder zyde i*3+^«, beteekende de letter x het getal der perken, dat elke zyde bevat. De zeven eerfte zommen van elke zyde der Vierkanten van 3 tot p perken  REEKEN - KGNSTIG SPEL zj . . t' zamen i $96 Perken, daar toe voor de middelfte vier Perken, als geen vierkant konnende , . uitmaken . . 4 geaddeert, dus koomen i<5oo Perken in 't géheel, dat een Vierkant van 40 Perken ieder zyde heeft, (namelyk 4c maal 40 doen 1600). Men heeft zyne reden gehad, waarom deze buitenfte omtrekken der Vierkanten niet met de natuurlyktProgreffie van 1 tot 1600 is uitgevult geworden, tendeeleom de groote getallen te myden, ten deele om dat elk Vierkant verfcheidentlyk uit deze Tafel kan opgeftelt worden , want nadien men tfUniteit of het eerfte lid van de Arïtbmetlfche Progreffie, waar mede men het verkiesde Vierkant wil uitvullen, in dit of dat omtrek kan plaatzen ; dus konnen 'er zo veele veranderingen van opftelling plus 1 gefchieden , als 'er diergelyke omtrekken na malkander volgen, behalven het laatfte binnenfte Vierkant van vier perken ieder zyde , welke alle onderling met elkander verfchillen , dat is te zeggen, elk getal van een der voorgaande opftelling en omtrek ftaat in een geheel ander perk der volgende opftelling en omtrek geplaatft. Dienvolgens gedoogt het Vierkant van 40 perken 18 Verand. van 38 perken 17 Verand. -— 36 f id i—— -—34 15 aa_i ?1 . 14 30 13 & 28 12 2<5 11 24 —■— 10 22 ■ 9 20 8 • ■ — 18 7 — 16 6 14 5 ■ . 12 —— 4 • - 10 3 —— plus een en die Wel 4 maal genoomen. Maar alle de Veranderingen , die deze Vierkanten konnen gedoogen , zonder juift te letten, of een en het zelfde getal ook meer als een keer in een en het zelfde perk te ftaan komt , maken een zo byfter groot D ge-  20" HET VERMAAKELYK getal uit, dat een menfch alleen , ja wel veele menfchen tezamen onvermogend zouden zyn , om de zelve op te ftellen, aP was 't ook dat men alle dagen 'er tien van vervaardigde, en vyftig jaaren 'er mede continueerde. Die geenen , welke de konft van dingen met malkander- te verkfnochten , of de Ars Combinatoria. verftaan, zullen dit voorgeeven niet te buitenfpoorig achten, maar met my dat toe-ftemmen. Het gebruik van deze Tafel is heel ligt, om te begrypen, maar al voorens ik het zelve door Voorbeelden aantoone, moet het volgende in 't algemeen aangemerkt worden. In de buitenfte omtrekken der Vierkanten van 2 maal een oneven getal Perken ieder zyde, als % maal 19, 17, 1?, 13 , n , 9> 7 en ? of die van 38, 34, 30, 2(5, 22, 18, 14 en 10 Perken ieder zyde ftaan in 't midden der zeiver, zo wel boven, als beneden, en ook weer-zyds tulfchen twee lyntjes vier getallen, waar van de twee middelfte met een kruisje getéekent zyn, om dier oorzaken, dat men op het getal dezer omtrekken letten moet, of het zelve even ofte oneven zy, by aldien men door deze Tafel" Vierkanten wil opftellen, welkers zyden minder Perken als 40 hebben. Is der zeiver getal even, dan is by d'opftelling niets verder gade te Haan , als het geene van 't gebruik dezer Tafel hier naaft zal gezegd worden. Maar is het getal der gewaagde omtrekken oneven, dan moeten maar twee getallen in een der buitenfte omtrekken der Vierkanten van 4 maal een oneven getal Perken, als: 4 maal 9, 7, 5, of 2* dat is , der Vierkanten van 3&, 28, 20 ,.12 perken, zo wel boven of beneden, als aan eene der zyden verplaatft, te weeten, het eene getal in de plaats van het andere geftelt worden, zynde ten, overvloed , om deze getallen voor andere kennelyk te maken, tuflchen de zelve een ftarretje gezet. Daarenboven moetby d'opftelling van een Vierkant, van 10. per-  REEKEN-KONSTIG SPEL. %y perken ieder zyde dit in 't byzonder waargenomen worden, dewyl in de volgende buitenfte omtrek des Vierkants van 8 perken ieder zyde , de nodige verplaatfing der twee middelfte getallen, zynde met twee Starretjes geteekent, wel boven of beneden, maar niét zyd-waarts gefchiedenkan; dus moet de zelve in den buitenften omtrek des vierkants van 10 perken ieder zyde aan weer-zyden voorgenomen worden, dat is, men verplaatft van d'eene zyde naar d'andere die daar ter zyden met twee Starretjes geteekent zynde getallen, of de met hen overeenkomende leden van deze of geene, ter uitvulling van 't Vierkant, verkiesde Arithnetifche Progreffie. Als dit voor gezegde wel gade geflagen word, kan het gebruik dezer Tafel niet meer moejelyk vallen, gelyk nu klaar zal blyken, en door twee voorbeelden aangetoont worden, te weeten, om een Vierkant van 16 en een ander Vierkant van 12 perken ieder zyde uit deze Tafel, tot meerder opheldering van de zelve, op te ftellen. Tot een Vierkant van 16 perken ieder zyde heeft men , om het zelve uit te vullen, 256 getallen van noden , met een zeker getal arithmeticè opklimmende. Als men nu 'er de natuurlyke Progreffie van 1 tot 256 toe verkieft, dan is de zom van het eerfte en laatfte Lid dezer Progreffie, te weeten, de zom der twee uiterfte leden gelyk aan die van de twee middelfte leden of aan andere twee even ver van de twee uiterfte of de twee middelfte weer - zyds afftaande , namelyk 257, dit met het halve getal der perken, dat elke zyde bevat, vermenigvuldigt , is het Produel de zom , zo veel alle getallen van elke zyde in 't byzonder moeten uitmaken , zynde in dit geval 2056, welk getal men ook verkrygt , als men het pag.20 aangehaalde ftel-konftige ken-teken met 16 oploft of refoheert. De'256 getallen deelen zich dan van zelve in twee gelyk, namelyk in 128, zvnde de laatften 128 getallen van 129 tot 256 toe de weer-zydfe Complementen of vervullingen der 128 eerfte getallen van 1 tot 128, om de zom van 257 uit te maken, gelyk als uit de werking verder blyken zal. De buitenfte omtrek van dit op te (tellende Vierkant heeft, gelyk pag. 24 te zien is, en uit de Tafel ook zelfs blykt, 60 perken, tot welkers ' D 2 wt-  r e eke n vk'on shmg ts-pb l. 29 Wanneer men believen beeft, óm het eerfte IHienz. in: het derde Omtrek te plaatfen 3 dan openbaaren zich de., volgende getallen, als:. - in. v e r ;A"n .d;ie:r;i n-g. voor het 3 Omtrek, 1 k 22 CompL 235 a, 256 : t» 4 23 k 40 ——- 217 a 234 — _ 5 —— 41 a 54 —— 203 k 216 _ _ 6 55 a 64 ; —— "193 a 202 _ 7 65 k 721 - " -■ 185 a 192 _ 1 73 k 102 ! 155 » T84 _ — 2 103 k 128 129 k 154. Maar wil men gaarne het eerfte lid enz. in het vierde Omtrek geplaatft zien; dan koomen de volgende getallen te voorfchyn3 namelyk: _ £ „ . ^ iv. v e r a n d e ring. roor het 4 Omtrek 1 a 18 CompL 239 k 256 _ — 5 . 1 19 k 32 - 225 kf 238 _ _ <5 33 a 42 215 a 224 _ _ 7 43 a 50 207 k 214 _ _ i 51 k 80 ——177 a 300 — — 2 — 81 k 106 151 a 176 — — 3 —- 107 k 128 ^ 129 a 150, Doch als men hebben wil, dat het eerfte lid enz. in het vyfde Omtrek zal koomen te ftaan • dan moeten de volgende getallen verkooren worden, namelyk om te plaatfen . v. v e r a n d 'er ing. in het 5 Omtrek 1 k 14 CompL 243 k 256 _ _ 6 • 15 a 24 233 k 242 _. _ 7 ; 25 a 32 225 k ü 232 — —■ 1 -—■ 33 k 62 —;— 195 k 224 _ _ 2 63 k 88 —— 169 a 194 • — -3 89 a 110 147 ? l6§ % „i mt , .129 a 14*. ds 0ra'  30 HET VER M-A A K E L Y K Om het eerfte lid en wat het zelve volgt in het zesde Omtrek te 115 k 128 . 129 a 142. wtyn °m h? eerïe Hd 'm het laatfte of binnenfte Vierkant van 4 perken ieder zyde te brengen, moeten de volgende getallen verkoozen worden, als: B uc VII. VERANDERING. voor het 7 Omtrek I k 8 Compl 249 k 2?<5 ~ —\ 9 a 38 219 k 248 -2 Jm 64 lp3 k u8 * o5 a 86 'T» a 192 — —4 87 a 104 , 153 k 170 — — 5 105 a 118 ' 139 a 152 ~ - 0 — 119 a 128 129 k 138. Van deze zeven Hoofd- of prmcipaale Veranderingen (ziet ms iO nu een , welke men wil, tot opftelling van het Vierkant verkoozen als by voorbeeld, de vierde; zo plaatft men in het eerfte buitenfte Omtrek voor die daar ftaande 1 , 2, 2 a 20 de getallen van y i a 80 , en vorders der zeiver Complementen' als 177 a 206 m plaats der volgende getallen van 21 a 60 , dan is dit genoemde Omtrek na behooren uitgevult, en die daar ftaande getallen zullen dan zo wel boven als beneden , en ook ter zyden  REEKE-NrKONSTIG SPEL. 31 zyden altoos 205:6 in zpm; uitmaken, - te weeten in de bovenfte Rye ftaan dan de getallen 51. 205. 204. 54. fjfip lét. 200. 58. 59. 197. 196. 62. 63. 193. 192. - 66. in de benedenfte Rye zyn geplaatft. i 191. 52. 53. 203. 202. $6. 57. 199. 198. 60. 61. 19J. 194. 64. 65. 206. . . ter flinker hand zydwaarts zal men vinden 51. 80. 79. 179. 77. 181. 182. 74. 73. 185. 18& 70. 69. 189. 190. 191. en zydwaarts ter rechter hand 66. 177. 178- 78. 180. 76. 7J. 183. 184. 72. 71. 187. 188. 68. 67. 206. Als men op zodanige wyze met de andere Omtrekken tewerk gaat, za*l men het begeerde Vierkant met de getallen in de vierde Verandering gevonden, geheel zeker en zonder faute of mis-flag in weinig tyds opgeftelt verkrygen.. Het Vierkant van 12 Perken ieder zyde op te {lellen , moeten 144 getallen, met een zeker getal arithmeticè opklimmende, genomen worden;. Verkieft men nu wederom de natuurlyke Progreffie daar toe; dan is de zom van het eerfte en laatfte lid of der twee uiterfte leden gelyk aan die van. de twee middelfte of' van andere twee even ver van de twee uiterfte of middelfte weerzyds afftaande, te weeten 145, zulks met het halve getal der perken, dat elke zyde bevat, (zynde in dit geval 6) , gemulti* f liceert, koomen 870 voor de zom-, welke elke zyde moet uitmaken. Willende men nu het eerfte lid en wat het zelve volgt m het eerfte Vierkant plaatfen; zo verkrygt men, volgens d'onderrechtingop Pag. 27. geftelt, de volgende getallen,, als:: Z.  • ji H i T: V m R M OU* Ü3BS LI K £ V E R AND É R d M G. ntilatnn''«vf mi- f ft voor het i Omtrek J a .22 123 a 144 — — 2 r. 23 t I05 k 122' — — 3 41 a 54 —■— 91 k 104 — —4 55 IlJflfqsg-trfs 3»« Maften: — ~ 5 65 k 72 : 73 a 80. Maar zal het eerfte ïïdenzVin 'het 'tweede Omtrek koomen te ftaan ; dan moet men de volgende getallen verkiezen , te weeten : . /: - .Oj >r„ ? _ f. _j II. V E R A K D E R I N G. hiunl taidayi .jj OtwwbvS na voorhet 2Omtrek 1 a .18 &>«/>/. 127 a 144 — — 3 19 k 32 ir3 k 106 — 4 —£i 32 a A2 —I 103 a 112 Om het eerfte lid'en WÜthét: é'élyecvtofgt ,<"-ln te« idërd».-Qmtrek te plaatfen, koomen de volgende getallen te voorfchyri, namelyk: «'-• B9ramt»<)o«Mt«M4ui&kiay -13*93: nsi. :.üa cnu!.. . ; ■ III. V E R A N D E R I N G. ia: tas Jan ncv nlqs ab ei ibq .• voorhet 3 OmXrek ï '14 C«*/. 131 a 144 — -4 15 k'24 _— 121 k 130 — — 5 >U 25 a 32 ïij k 120 ^ _ I 33 k 54 - ;;■ rj Ql k I$2 ; 2 — 55 « 7* 73 * 9°- .narij .: 'Doch zal het eerftéiy deVverk'iesde Ariïhmtïfob^rogrtffie en wat het zelve volgt in het vierde Omtrek geplaatft worden; dan zyn de volgende getallen te verkiezen, te weeten: IV.  HEEKEN - KONSTIG SPEL, ; 3$ IV. VERANDERING. voorliet 4Omtrek i k Io Compl. 135 k 144 — — 5 11 a 18 127 a 134 _ _ 1 _ ip a 40 ïoj a 126 ~ — 2 41 a 58 87 a 104 — - 3 59 a 72 ■ 73 a 86. Als men eindelyk het eerfte lid enz. in het vyfde Omtrek of laatfte binnenfte Vierkant wil geplaatft zien; dan zyn de daartoe verkiezende getallen, als volgt: V. VERANDERING. voorhet 5 Omtrek I k 8 Compl. 137 k 144 — — 1 9 k 30 nj k 136 T — 2 31 k 48 97 k 114 •— — 3 . 49 a 62 83 k 96 — — 4 63 k 72 73 3, 82. Verkiezende nu een van deze vyf Hoofd-Veranderingen,welke men wil, tot de opftelling van 't Vierkant van 12 perken ieder zyde , by voorbeeld, de derde en de getallen daar van dus in d'Omtrekken plaatzende, als op pag. 30. by het Vierkant van. 16 Perken ieder zyde is aangeweezen geworden; dan koomen in de bovenfte Rye des Omtreks de volgende getallen te ftaan, te weeten: tot. 34. 35. 109. 108. 38. * 39. 105. 104. 42. 43. 112. in de benederifte Rye vindt men geplaatft: 33. in. 110. 36. 37. 107. * 106. 40. ,41. 103. 102. 44; ter llinkerhand zydwaards zal men vinden 101. 100. 99. 47. 48. gó. * 95. 51. 93. 53. 54. 33. en zydwaarts ter rechter hand E 112,  $8 HET VERMAAKELYK Als men nu de getallen der zes Veranderingen van 't op te Hellende Vierkant van 8 Perken ieder zyde 5 volgens de wyze, die deze twee voorgebeelde Schetzen aantoonen , verdeelt; dan koomen de volgende zes Vierkanten te voorfchyn, als: I. Vierkant. III. Vierkant. II. Vierkant. IV. Vierkant. V.  REEKEN - KONSTIG SPEL. 3S V. Vierkant. VI. Vierkant. In deze zes Vierkanten ftaan nu de getallen altyd in een byzonder Perk verdeelt, 't welk voor een Liefhebber dier zaken zeer vermaakelyk moet weezen, dat men de getallen dusdanig gelyk als fpeelende , en bykans naar zyn eigen believen veranderen kan. Deze volgende Tafel toont dit voorgeeven klaarblykelyk aan. TAFEL  4* , HET VERMAAKELYK TAFEL Der 6 voorgaande Vierkanten van 8 Perken ieder zvde waar van de getallen altyd in een byzonder ' perk geplaatft ftaan. Getallen der Progressie. • f .M I ^ f j£ o ö s t | .3 ö | Persen. £ | > > > £ s | S 5 >* £ 1 57 39 j 49 32 14 24 2 2 20 IO 34 j*2 42 3 3 *i " 35 53 43 4 01 43 l 53 29 11 21 5 do 42 52 28 10 20 . 0 ö 24 14 38 56" 4Ö 7 7 25 15 39 57 47 8 64 46 56 2; 7 17 9 56 38 48 19 1 11 10 15 1 23 48 34 5. s> > > m H ^ £3 ï> ^ 31 22 8 30 52 38 60 ■ 32 54 3* 46 21 3 13 33 53 35 45 22 4 14 34 20 6 2» 54 40 02 35 36 50 6° 1 15 25 36 31 17 7 62 48 38 37 30 16 6 63 49 39 38 33 47 57 4 18 28 39 45 59 37 n 25 3 40 12 30 20 43 6i 51 41 13 31 21 42 60 50 42 24 10 32 53 39 61 43 25 11 1 60 46 36 44 38 52 62 7 21 31 45 39 53 63 6 20 30 46 28 14 4 57 43 33 47 41 55 33 12 26 4 48 52 34 44 23 5 *5 49 14 32 22 41 59 49 50 49 63 41 18 32 10 51 19 5 *7 5i 37 59 52 17 3 25 49 35 57 53 42 56 34 10 24 z 54 18 4 26 50 36 58 55 50 64 42 17 31 9 5Ö 51 33 43 24 6 16 57 i 19 9 40 58 48 58 63 45 *5 31 13 23 59 62 44 54 30 12 2a 60 4 22 12 36 54 44 61 5 23 !3 37 55 45 62 59 41 51 27 9 19 63 58 40 50 26 8 18 «4 8 26 16 33 51 41 F Nu  46* HET VERMAAKE L Y & EERSTE TAFEL der Verdeeling aller i5 Getallen van een Vierkant van 4 Perken ieder zyde door alle Perken. > * 1 /' I •! 1 ■ ! ! ' ' 1 1 1 ' i Getallen der Progressie van het 1 o A •« ■ -J* "S J< j ^ "S «lö Ö -H -3 Ö Ö £ Ö Ö Ö | £ "5 .§ 2 £ > > > j« > > * > £ £ > > > £ > £ ■' n4 a > •—* a 3 * • -*' a 3 k > > 1 1 14 12 7 415(9 6 16 3 5 io 13 2 8 it 2 T4 1 7 12 9 6 4 ij 3 16 10 ƒ 8 11 13 2 3 4 6 9 5 10 16 3 2 13 11 8 12 l 7 1 I4 4 4 15 9 6 16 3 5 10 13 2 8 11 1 14 12 7 5 12 7 1 H 15 469 5- 10 16 3 2 13 11 8 6 7 12 14 1 6 9 15 4 10 5 3 16 h 8 2 12 7 6 9 '5 4 10 5 3 16 11 8 2 13 7 I2 I4 | 0 9 6. 4 15 3 16 iö" 5 1 11 13 2 14 1 7 12 9 8 11 13 2 14 1 7 I2 9 6 4 15 3 16 IO r 10 11 8 l 2 13 7 12 14 1 6 915 4 io 5 3 I(5 11 10 5 3 16 " 8 2 13 7 12 14 1 6 9 15 4 12 5 10 16 3 2 13 11 8 12 7 1 14 15 46 9 l3 2 8 11 1 14 12 7 4 15 9 6 16 3 5 io 14 2 *3 11 8 12 7 1 14 15 4 6 9 5 10 16 3 15 3 16 10 5 8 11 .13 2 14 1 7 12 964 fc !<5 16 3 5 10 13 l 2 l 8 11 1 14 12 7 4 15 9 6 Men kan de Tafel ook dusdanig opftellen, dat de voorfte Getallen die der Progreffie aantoonenen die onder de Vierkanten ftaande, de Perken van de zelve, te weeten: TWEE-  REEK.EN-KONSTIG SPEL. 47' TWEEDE TAFEL wyzende aan , hoe de Getallen der Progreffie in de Perken van elk Vierkant verdeelt ftaan. P e e. k e n van het «„• a -S -5 m -tS u -a m 8 .a s r .k > ib §>>>>> ^ ^ >> ^ ^ ó > ^ g 3* 1 i 2 5 6 i2 g 14 10 16 15 12 11 4 8 3 7 2 14 13 10 9 12 i<5 11 15 3 4 7 8 5 1 6 2 2 15 16 11 12 8 4 7 3 2 1 6 5 9 13 10 14 443 87 I 5 2 6 13 14 9 J° 16 12 J5 11 I 12 n i« 15 3 7 4 1 8 5 6 1 2 14 10 13 9 6 7 8 3 4 6 2 5 I 1 10 9 14 13 h 15 12 16 7 6 j 2 , 1 10 | 14 9 13 11 12 15 16 7 3 8 4 8 9 10 13 14 15 11 16 12 8 7 4 3 2 6 1 5 0 8 7 4 3 2 6 1 5 9 10 13 14 15 11 16 12 10 n 12 15 16 7 3 8 4 6 5 2 1 10 14 9 13 11 10 9 14 13 11 15 12 16 7 8 3 4 6 2 5 1 12 5 6 1 2,. 14 10 13 9 12 11 16 15 3 7 4 8 13 13 14 9 10 16 12 ij 11 4 3 8 7 1 5 2 6 14 2 1 6 5 9 13 10 14 15 16 11 12 81 4 7 3 15 3 4 7 8 5 1 6 2 14 13 10 9 12 16 11 15 16 16 15 12 11 4] 81 3 7 112 5 6 13 9 14 10 Deze tweede Tafel heeft dit noch in 't byzonder voor d'eerfte voor uit, dat de getallen loot-recht of perpendiculair onder deRo- meinfche Cyffers ftaande andere 16 Vierkanten uitleeveren, met de voorgaande 16, aangaande d'orderder getallen verfchillende, behalven het eerfte en negende, welke een en de zelfde met de voorgaande zyn. fa J Men  48 HET VERMAAKELYK Men hadde het Vierkant in 't begin ook aldus konnen opftellen, te weeten: •en daar uit de andere if, volgens aanwyzing op pag. 42 en 43 gegeeven, afleiden; doch men zal deze en noch meer andere Veranderingen, als ook de vier algemeene wyzen , om Vierkanten van gelyke perken ieder zyde doorgaans met weinig moeite op te ftellen , (waar van ik op pag. 23 gewag heb gemaakt) niet minder die in haare werking zeer vermaakeiyk en konftig zynde methoden voor Vierkanten van 3,4, 5 enz. een zeker getal perken ieder zyde voor een veel grooter Werk voorbehouden, by aldien men gewaar word, dat dit kleine Werkje by de Liefhebbers juift niet veracht, maar wel met eene curieufe geneegentheid vereert is geworden. Maar voor af zal ik laten gaan eene verklaaring over het zesde Boek Eu c li dis, alleen met drie Figuuren betoogt en uit het Spaanfch vertaalt, waar in onder andere zaken ook van de Tri sectio Angüli (*) en van de Duplicatio Cubi (f) geandelt word. _ i v-\ . Behalven het vermaak, 't welk een Liefhebber dier zaken uit de menigvuldige opftelling van diergelyke Vierkanten kan fcheppen , vloejen 'er voor zich noch veele andere nuttigheden uit voort, doch myn tegenwoordig oogmerk niet zynde, om die alle in 't byzonder aan te haaien ; zo zal ik my maar alleen ver- (*) Om een hoek_ mskonjlig in drie deelen te -verdeelen. (f) Om eenTeerling wiskonfiig te -verdublelen, zodanig dMhy de gedttinte vitn een Teerling behoudt, of tufféen me Ijnen twee middel evenredige te vinden.  REEKEN - KONSTIG SPEL: 4$ vergenoegen , om in 't algemeen van de Reeken-kortft iets te gewaagen. Wis- en Reeken-konftenaars moeten my toeftaan, dat alle zaken, welke op aarden zyn, door getallen beteekent worden , doch deze maar op tweederlei wyze te veranderen ftaan, te weeten, men kan ze of vermeerderen of verminderen, 't welk echter twee-voudig gefchieden kan. Want men bootft: 'er of enkel maar de Natuurin na', of men gebruikt 'er konft toe. Eene natuurlyke Vermeerdering en Vermindering noemt men in de Reeken-Konft Additie en Substr actie; daarentegen verkrygen de konftige Vermeerdering en Vermindering de Naamens van Mültiplicatie en Divisie. De Combineering of Verknochting van deze twee laatfte maken de zo genaamde Regel van Drien uit, welke om haare groote en onuitfpreekelyke Nuttigheid ook van zommige de Goude Regel of Regula A u r e a is bygenaamt geworden. De verfcheidene Omftandigheden, welke by de zaken konnen voorkoomen, na dat de zelve volgens de menigvuldige wyzen van Doen of Handelingen onder de Menfchen in dit of dat Geval bepaalt worden, hebben d'Ouden aanleiding gegeeven tot Uitvinding van veele byzondere Regelen of Uitwerkingen der Kegel van Drien. Dienvolgens heeft men behalven de gemeene Regel van Drien noch verzonnen eene verkeerde Kegel van Drien, eene Kegel van Vyven, en eene verkeerde Regel van Vyven; als ook eene Ketting-Regel of de Regel Conjoincl. Daarenboven heeft men ook van de zaken, welke men verlangt te weeten, verfcheide Naamens ontleent, hebbende daar van daan haaren Oorfprong gekreegen de Gard:- Reekening , Intreft, Rabat- en Tyd-Reekening; vorders Goud-Zilver- en MuntReekening; Winft en Verlies-Reekening; Compagnie ,Scheeps-Farten r Commiffie, Avarey-Reekening, en wat diergelyke Reekeningen meer zyn, welke nochtans niets anders en zyn als byzondere Herhaalingen of Uitwerkingen der gemeene Regel van Drien. Nadien men nu den Grond der Uitwerking alleen in de Regel van Proportie of Evenredigheid moet zoeken; zo zoude men de Verzinning van zo veele byzondere Regelen of Reekeningen G voor  5a HET VERMAAKELYK voor eene buitenfpoorige Dwaasheid konden achten, by aldiert men d'Ouden niet en wilde verontfchuldigen, met te zeggen , als dat ze miflchien daar door mochten be-oogt hebben, om de wilpeltuurige Jeugd door Voorlegging van verfcheidene Voorwerpen, in den eerften opflag van Oogen geene overeenkomfl; onderling met malkander hebbende, in eene leerbegeerige aandacht altyd t'onderhouden. Doch hoe het ook daar mede zy, men weet nochtans, dat ze meeftendeels door omwegen gezocht hebben, het geene ze op eene veel kortere wyze hadden konnen verkrygen; Ja ook zomtyds, om hunne konft verborgener te houden, aan zich klaare zaken met zodanige onnodige omftandigheden bewimpelt, niet minder hunne Denkbeelden van deze of geene Zaak met zulke onverftaanbaare Woordèn uitgedrukt hebben; dat een ongelet-r terde Cyfter-Meefter al veele Tyd zoude moeten verfpillen, om eene duidelyke bevatting van deze onnodige omftandigheden en onverftaanbaare woorden te verkrygen, al voorens hy zich een recht volkomen en klaar begrip der eigenfchappen van de zaak konde voorftellen. Dewyl nu, gelyk als te vooren gezegd is, deRegel van Pro* ïortie of Evenredigheid ons den grond moet aantoonen, waarom men aangaande deRegel van Drien dus (*) en niet anders moet te werk gaan, en ons daar en boven eene algemeene wyze van Handeling, om uit drie bekende getallen een vierde onbekende te vinden, bybrengt; dus volgt van zelfs, dat d'uitwerking van deze en alle andere menigvuldige Regelen ons niet meer moejelyk kan vallen, by aldien men den grond van geene wel verftaat, begrypt en te binnen brengt, wordende daar door irs een helder licht geftelt, het geene voor iemand,die maar in een ïegelyk geval eene byzondere Regel gade te flaan, hadde geleert, donker zoude blyven. Eene Proportie of Evenredigheid noemt men die geene vergelyking , welke men of mediale of immediatè, aanftelt tuffchen twee getallen tegens twee andere getallen, dat is te zeggen, indien de betrekking, welke twee getallen onderling met mal- (*) Namtly!^ bet vermeuigvnldige van 't tweede er: derde lid te deden door iet eerfle^.  REEKEN - KONSTIG SPEL. ,jt ■malkander hebben, en men gewoon is, met den Naam van Re~ den of Ratio te doopen, tuflchen twee andere getallen gevonden word, dan zegd men, de getallen evenredig te zyn, of in een en de zelve Proportie tegens malkander te ftaan, 't welk irt de Regel van Drien voornamelyk 'be-oogt word. Als deze vergelyking nu mediatè, vervolgt word, te weeten als de tuflchen het eerfte en tweede zynde betrekking de zelve is met die tuflchen het tweede en derde, derde en vierde getal enz:, dan zegd men, dat deze getallen een en de zelfde Reden met malkander hebben , en dus op- of afklimmende in eene Progressie ftaan, dienvolgens zyn de zelve met malkander geduurig evenredig of continue proportionales. Maar word deze vergelyking immediatè aangeftelt, namentlyk, dat de betrekking, v/elke het eerfte getal tegens het tweede heeft, ook wel tuflchen het derde en vierde getal, maar niet tuflchen het tweede en derde gevonden word; dan zegd men, deze getallen difcontinuè proportionales of niet geduurig evenredig tegens malkander te zyn , gelyk in de Regel van Drien en in alle andere byzondere Regelen der Reeken-Konft gefchied. Maar deze reden, welke onder twee getallen heerfcht, of debetrekking, welke twee getallen tegens malkander hebben, word of door de Substractie of door deDivisiE gevonden, en dan geeft men in 't eerfte geval de Progressie den naam van Arithmetische of telkonftige Progressie; daar en tegen in 't tweede geval zegd men, de Progressie van zulke getallen eene Geometrische of meet-konftige Progressie te zyn. D'eerfte of telkonftige openbaart haare eigenfchappen in alle natuurlyke zaken , want de natuur maar eenvoudig en niet konftig te werk gaat, en kan wel tot in 't oneindige toe op-, maar niet verder als tot een zeker bepaalt beftek af- klimmen , alhoewel nu en dan in dit of dat geval de zaken meerder of minder met andere , natuurlyker wyze verknocht, te voor» fchyn koomen. De zo genaamde Regula A llig ationis, welke de Zilver en Goud-Smeden, als ook de Munf-Meefters met groot G 2 voor-'  5z HET VERMAAKELYK. voordeel weeten te gebruiken, niet minder de Regui.a Cecis ofViRGiNUM, noodzaakelyk zynde voor d'Uit-Cyfferaars van Looteryen , als in meer andere gevallen , (gelyk eenige Voorftellen in't Aanhangfel of 't Appendix te kennen geeven) en d'A rithmetica Figurata of figuurlyke Ree? ken-Konft (*) toonen der zeiver groote nuttigheden overvloedig aan. De tweede of Meet-konftige, anders de Geometrische Progressie bygenaamt, komt in alle zaken te pas, welke door de konft vervaardigt worden. Deze Progressie kan tot in 't oneindig toe of op-of afklimmen, en d'A r ithmetica Infinitorum ons der zeiver verwonderlyke eigenfchappen leeren, gelyk zulks in't Appendix door eenige voorbeelden aangetoont word. Uit verknochting van deze twee Progressien ontftaat eene derde, te weeten de H arm onische Progressie, konnende in 't oneindige toe maar af- en niet op-klimmende voortgezet worden. Behalven dat de zelve in de Mufyk voornamelyk te ipas komt, willen ook eenige Starre-kundige ftaande houden, dat de Dwaal-Starren en andere Hemelfche Verfchynfelen in hunne beweegingen zich na der zeiver wetten gedraagen , 't welk ik op zyne waardy laate beruften, nadien ik noch nooit eene Reize naar de Maan of andere Hemelfche Lichamen heb gedaan, om daar van met zekerheid iets te konnen zeggen. Wie deze drie Progressien, met de Regel van Propofirn e of Evenredigheid'wel leert verftaan, en daar en boven kennïflè heeft van de d'uittrekking der Quadraat- en Cubicq-Wortel, die zal wel in ftaat zyn, om alles te konnen oploflên, wat in de gemeene Reeken-Konft zoude voorkoomen, by aldien hy 'er maar teffens een gezond oordeel by gebruikt, om de verfcheidene omftandigheden, waar mede de zaken zomtyds meerder (*) WMr -vit» «fOPuseoLA Mathematica Francisci Maoro1yci »» 4. en H ei n r ic h M e 1 s n 1 r s ©teïtl tUI&Sflftl bet Algebra in 8. breedvoerige Onderrechting geeven, we%> beide zinrykf Werken, -wegens hunne zjlldit/t/tmbeist wel vitxrdig w,tareit, om in '1 Neder-D»ifs vvergekraibt te vorden.  REEKEN - KONSTIG SPEL, 53 der of minder verwart voorgedragen worden, wel van malkander t'onderfcheiden, en de natuur of eigenfchap van eene ïegelvke ter dege gade te flaan. De Voorftellen, in het aanhangfel bygevoegt, zyn niet ten dien einde opgeftelt, om dezen of geenen daar door de toetlen. Want men weet zeer wel, dat een perzoon voor zich alleen niet alles kan weeten, maar d'een in deze of geene zoort van Weetenfchap voor andere wel bedreeven is, en een ander wederom in eene andere zoort. Maar nadien twee Perzoonen zomtyds een en dezelfde zaak op verfcheidene wyzen konnen begrypen en ter uitvoer brengen, zo dat ze nochtans op 't laatfte eenerlei oogmerk bereiken; dus be-ooge ik 'er alleen door , van te zien , hoe de Aolulie of óplofnng van dit of dat Voorftel van de Liefhebbers dier zaken zoude mogen voortgebracht en ten toon geftelt worden, om aldus met vereenigde krachten de Reeken- en Wis-konft allengskens tot een top der volmaaktheid te brengen , welken de zelve op verre na noch niet bereikt hebben. Dierhalven laate dit kleine Werkje aan 't oordeel van verftandige over en zal my in 't minfte niet bekommeren , wat zulke Meeftersinde Cyffer-konft 'er zullen over oordeelen, welke niet eens die by d'Ouden in gebruik geweeft zynde Proef door Negen op d'Additie weeten te maken, want zulke laatdunkende menfchen of laage zielen dat geene , wat zy met en verftaan, nochte begrypen, doch volgens hunne gewoonte eerder kaken, als pryzen.' . Voor 't overige verzoeke de noch buiten verwachting voorkomende druk-feilen na believen te willen corrigeeren en het Werkje daarom niet te minder t' eftimeeren, want NEMO MORIALIÜM OMNIBUS HORIS 5APIT. G 5 AP-  j4 APPENDIX. APPENDIX, bevattende verfcheidene Voorftellen, welke of door de Cyffer-% of Meet- of Stel - kpnfi moeten opgeloft worden. t VOORSTEL. EEn Toover - Vierkant van 4 maal 4, dat is, van 16 perken ieder zyde op te ftellen , zo dat de getallen van elke zyde t'elkens het Jaar-getal 1744 in zom uitmaken. II. VOORSTEL. Een diergelyk Vierkant van 4 maal $ , dat is van 20 perken ieder zyde op te ftellen, zo dat de getallen van elke zyde t'elkens het Jaar-getal 1745 in zom uitleeveren. III. VOORSTEL. Een ander Vierkant van 4 maal <5, dat is, van 24 perken ieder zyde op te ftellen, voor het Jaar-getal 1746. IV. VOORSTEL. Wederom een ander Vierkant voor het Jaar-getal 1747 °P te ftellen van 4 maal 7, dat is, van 28 perken ieder zyde.  APPENDIX. 55 V. VOORSTEL. ïnsgelyks voor het Jaar-getal 1748 een diergelyk Vierkant op te ftellen, van 4 maal 8, dat is, 32 perken ieder zyde. VI. VOORSTEL. "Niet minder een diergelyk Vierkant op te ftellen van 4 maal % dat is, 36" perken ieder zyde voor het Jaar-getal 1749. VIL VOORSTEL. Noch een diergelyk Vierkant voor het Jaar-getal 1750 op te «ellen van 4 maal 10, dat is, van 40 perken ieder zyde. L AANMERKING. Wie nopens deze 7 Voorftellen maar 4 van ieder zoort te voerfibytt brengt, zo dat elk getal der daar toe verkies de Arithmetische Progressie altyd in een ander verfcbeide Perk der vier vierkanten verdeelt ftaat, gelyk als de Tafel van die op bet Jaar-getal 1742 van 4 maal 3 dat ts} iz perken ieder zyde, uitgecyfferde zes vierkanten aanwyft; die zal daar door zyne bequaamheid genoegzaam te kennen geeven, van meerdere te konnen opftellen. Onder de gemelde zes vierkanten van 12 Perken ieder zyde heb ten overvloed de fokd a m e n t e e l e Progressie ge fielt, waar uit de byzondere opftelling van een ieder vierkant voor zich zynen oorfprong genomen heeft, of mogelyk zulks iemand konde aanleiding geeven tot uitvinding van myne gebruikte Met bode of andere wyzen van opftelling mét de myne verJchülende. Maar men verlangt wel, dat zulks niet en moge gefcheaen uit de groote Tafel van 40 en mindere gelyke Perken ieder zyde, want dan zoude het geene uitvinding, maar wel eerder eene na bootjmgof na-volging van mynen voor afgebaanden weg konnen genaamt worden. 6  $$ APPENDIX IIX. VOORSTEL. Indien een Heer met een Bouw-Meefter of Metfelaar zulk een accoord maakte, van eene muur op te haaien in de hoogte van 50 voeten, onder voorwaarde van aan hem te geeven, voor den eerden voet, by voorbeeld : 24 ftuiv,, voor den tweeden 40, voor den derden 56, voor den vierden voet 72 en zo voort, altyd voor den volgenden voet 16 ftuiv. meer, als voor den laatft voorgaanden; zo en is de vraag hier niet, hoe veel in 't geheel voor d'ophaaling van deze muur zoude moeten betaalt worden, want die zom is door dien , welken d'eigenfchappen van eene Aritbmetïfcbe Frogreffie bekent is , zeer gemakkelyk te vinden maar men wil wel voornamelyk weeten, als het geval gebeurde, dat door het een of ander beletzel de muur niet verder als tot i0{ voeten was opgehaalt geworden , hoe veel de BouwMeefter of Metfelaar daar voor rechtmatig konde eifchen , ook hoe veel voor ieder i voet meer tot 245 voeten toe zoude moeten betaalt worden ? IX. VOORSTEL. ' Of indien men een Put van 22 voeten diep gedolven aan een Metfelaar hefteed hadde , om van de grond op met fteenen uit te metfelen , zodanig dat de welle beneden op de grond maar eene plaats van 3 voeten in 't vierkant befloeg , doch van voet tot voet 2 duim wyder zoude worden, en men hem voor d eerfte vierkante voet op te metfelen wilde geeven 16 duiten , voor de tweede 27 duiten, voor de derde 38 duiten, en zo voor elke vierkante voet verder t'elkens 11 duiten meer; zo is de vraag alhier wederom niet, hoe veel aan den Metfelaar m t geheel moefte betaalt worden, by aldien hy de Put tot 22^voeten hoog opgemetfelt hadde, waar wel word de vraag aangeftelt, hoeveel hy met recht konde eifchen, als het werk by de twaalf voeten en 6 duim (de voet op 11 duimen reekenende) geftaakt wierde?  A i> P E N D I X. S7 X. VOORSTEL. Een Harponier , naar Groenland vaarende , maakt met de* Reedcrs van 't fchip een dusdanig accoord , dat zy hem voorden ■ eerften Vis , die 'er zou gevangen worden, geeven zouden 16 duiten, voorden tweeden <5o, voor den derden 240 duiten, en zo voort altyd voor eiken Vis meerder 4 maal zo veel als voor !97> l79> IJ7, i?i> "3> 97. 43 29. . om te worden vermenigvuldigt in order met negen andere, de kleinfte in geheele Getallen, die mogelyk zyn , ( willen-le men zulke noemen A. B. C. D. E. F. G. H en i,) in diervoegen, dat gelyk worden 223 A +131 £ 4* 29 laan 197 B + 179 C + 157D + 11}. F -H 97 G + 43 H; dan vraagt men naar die wyze , hoe de Reekening moet aangeftelt worden, om de zelve met zekerheid te konnen vinden? IV. AANMERKING. Deze vyf laatft voorgaande Voorftellen zyn van meerder nuttigheid, als men wel niet denken zoude, hyzonderlyk in de zo genaamde Reguh Alligationis en Regula Cecis , of ook in meer andere Gevallen, waar men eene vermenging wil her eekenen van Waaren, wel eenerlei zoorte zynde, maar verfcheidentlyk in prys kaftende, ah by Wyn-bandelaars in gebruik is, ook by Munt-meefters ten opzichte der Fynheid of 't alhy van Goud en Zilver. By Voorbeeld: Een Koopman in Wynen hadde driederlei zoorten van Franfche Wynen, waar van hem bet mengel van d'eerfte zoorte koftede 8|, van de tweede zoorte -j{ en van de derde zoorte ^ ftuiv , maar de zelve tot die pryzen onverkoopelyk zynde, wilde daar van een mengzel maken , zo dat hem het mengel maar 6\ ftuivers kwame te gelden. Als hy nu van d''eerfte zoorte het minfte en van de tweede het mee ft e hadde, zo was de vraag, hoe veel van ieder zoorte moefte genoomen worden, om 1000 mengelen,a 6> ftuiv. te konnen verkrygen? XXII. VOORSTEL. Daar zyn twee Arithmetifche Progreffien , waar van d'eerfte begint met 107 en klimt op met 3, de tweede is beginnende met" 9>  <6*4 APPENDIX. 9 en klimmende op met ? , men vraagt, wanneer deze twee ProgreJJien een gelyk getal uitleeveren? XXIII. VOORSTEL. Als eene Aritbmetifche Progreffie met 997 begint en met 7 afklimt, eene andere daarentegen met 17 beginnende en met 13 opklimmende ; dan vraagt men als vooren i XXIV. VOORSTEL. Wederom als eene Arïthmetifcbe Progreffie met 1003 begint en met 3 opklimt , het begin van eene tweede 19 is, klimmende met 7 op; dan is insgelyks de vraag, wanneer de zelve eenerlei getal uitleeveren ? XXV. VOORSTEL. Als men ftelde het begin van eene Aritbmetifche Progreffie te zyn 987(55, klimmende met 19 af, en men eene twee ie wilde beraamen, welke met 116 zoude beginnen , en met een zeker getal opklimmende voortgaan, zodanig , dat 'er een gelyk getal uit voort kwame, als deze twee Progreffien $zj maal wierden ge continueert; dan is de vraag naar het opklimmende onderfcheid der tweede Progreffie ? XXVI. VOORSTEL. By aldien men het begin van eene met 5 opklimmende Aritbmetifche Progreffie wilde beraamen op 981 en eene andere afklimmende met 13979 laten beginnen; dan vraagt men naar d'Aritbmetifcbe Proportie dezer tweede Progreffie, als men vaft ftelt, dat het 999 Lid dezer beide Progreffien eenerlei getal uitleevert? XXVII,  APPENDIX. «o is, en door deze vernietiging van den laatften oneindig kleinen Breuk (Annihilatie» ultimi termini) vind men dan de Zom te zyn van deze oneindig kleinder moordende breuken , i i i i i i ~ -\ ' ~{ ' -{ h ' b — enz. = 2 1 4.4 8 16 32 l 1 1 1 1 1 1 f- 1 J f. } -enz. = 1—■ 1 3 9 27 81 243 a 1 1 1 1 1 1 1 \ \- 1- enz, = ï — 2 4 16 64 256 3 2 2 2 2 2 I -—— 4 -f- — *f- — enz. = 1 —» 3 6 12 24 48 3 11 11, 11 11 11 j — -I '+ — + + -i enz. = 3— 5 " l5 45 *3S 4°5 10 Mzar in d'Oploffing van de laaft voorgaande zeven Voorftellen vindt geene Annihilatie» ultimi termini plaats, al word de laatfte in 't oneindig toe Geometricè afneemende breuk ook noch zo klein, dienvolgens men een'geheel anderen weg moet kiezen, om de Zom van de daar in opgegeevene Breuken te vinden. Want men hoeft maar met eene zekere hoe-grootheid ( Quantitat), uit de gefchapenheid of eigen' fchap der Progreffie zelfs kennelyk wordende, de opgegeevene Breuken tot zo lang of dus menigmaal te vermenigvuldigen, tot dat eindelyk dyoneindigheid zelve bepaalt word of in 't geheel ophoudt. Deze op dusdanige wyze verkreegene bepaalde Breuken worden dan gemakkelyk door de deeling tot hun voorig weezen gebragt, namelyk men vindt een bepaalt getal gelyk zynde aan de opgegeevene oneindige Breuken. Wie zoude wel konnen denken, dat het \ der Zom der oneindige Breuken, in 't 30 Voorftel opgegeeven. een getal uitleevert, dat met de op verre na noek niet naaukeurig bereekent zynde evenredigheid der Middel-lyn van een' Cirkel tegens des zeiven omtrek bykans eenige gelykvormigbeid 1 3 be&>  70 APPENDIX. beeft, m mogelyk zoude iemand komen neggen, «uur «f M«ufe wj langer wtwyffel wilde trekken de mogelykheid der Quadratura 'Cirl culi,nadien geene zwaarigheid meer voorbanden was, om de Zom van dusdanige m t oneindige toe afneemende Breuken op eene Metbodtque wyze te vinden, zonder dat bet verkeerde gebruik van de Annihilatio ultimi termini in der zeiver Bereekening plaats vindt ^"r^ uit d« Natuur en „ Eigenfchap des Cirkels zoude mogen konnen beraamen , zulks „ is eene Vraag, die al veel op zich heeft, en niet zo licht van je„ mand zal konnen be-andtwoordt worden, al is hy ook noch zo „ bedreeven m de zeer donkere en gebrekkelyke Differentiaal en „ Integraal-Regelen. Die door de Heer van Le ibnitz (*)uitge. vondene oneind.ge Rye i ^ f + • + •{2 fc 9nz> en ;die &n „ den Heer Newton insgelyks uitgebrachte i — • — ■ — . ■ Vvlll XXIK *X*M xxxïi. xl&VxVxiv „ Voorftellen opgegeevene Ryen van oneindige Breuken, want „ haare Tellers klimmen niet m eene tel-konftige Evenredigheid „ op noch minder haare Noemers in eene meet-konftiee dien , volgens kan der zeiver Zom door een eindig getal ook niet be a paalt worden, blyvende derhalven noch onbepaalt. . XXXV. VOORSTEL. Voor het Getal 101 de Logarithmus in 10 Cyher-Letteren te beraamen, zonderUit-trekking vaneen eenige vierkante Wortel, alleenlyk door de zo genaamde gemeene vier Species der Cyffer-konft. Men vraagt, hoe het begeerde zal in't werk geltelt worden ? ®2 ^të^mfcfö "* *****Tom-1- XXXVI.  A P P Ë N t) f X. 75 XXXVL VOORSTEL. In$gelyks voor het Getal 1003 de Logarithmus te beftemrnen, in 30 Cyfter-Letteren, zonder dat de vierkante Wortel uitgetrokken word. Men vraagt als vooren ? XXXVII. VOORSTEL. Gegeeven zynde dit Getal 58706119, deszelfs Logarithmus tè vinden zonder de minfte al bereekende Tafelen te gebruiken, en dat wel in 30 Cyffer-Letters, doch zodanig, dat 'er geene vierkante Wortel uit het een of ander Getal getrokken word j zo vraagt men naar de Vertoning van dezen Logarithmus-ï XXXVIII. VOORSTEL. Öf men hadde dit Getal verkoozen, te weeten: 142714818389 om 'er de Logarithmus onder de voorige Voorwaarde van te we«» ten 5 dan vraagt men na den zeiven ? XXXIX. VOORSTEL. By aldien men ki d'eene of andere Uit-reekening dezea Lo* gtritèmuf, als: 8. 7543109 hadde gekreegen, en men des zelfs behoorig Getal wilde Weêten, zodanig dat men voor vaft kan verzekert zyn, geen ander op den zeiven te konnen toe-gepaft worden; zo vraagt men^, hoe zulks uit de gemeene Tafelen moet berekent worden? XL,  7s APPENDIX. XL. VOORSTEL. Vorders vraagt men, of het mogelyk is, voor dezen Logarithmus uit de gemeene Tafelen (welkers Logarithmi maar uit 7 CyfFerLetters, behalven der zeiver Charaileri/iicat beltaan) zyn behoorig Getal te konnen beftemmen, en op wat wyze zulks wel op het beknopfte konne gefchieden? XLI. VOORSTEL. Men ftelle den onderftaanden Logarithmus, namelyk: 19. izj4y6'789oc98765432i in eene zekere Uit-reekening verkreegen te hebben, van welke men het gemeene of des zei ven abfolut getal gra ig wilde weeten ; zo is de vraag op wat wyze men dat Getal zal te voorfchyn doen koomen? VIL AANMERKING. Van welke groote Nuttigheid de Logarithmi zyn, weeten die geene het befte, welke dagelyks met groote Getallen omgaan, want wat men in gemeene Getallen door eene moeielyke Vermenigvuldiging en Deeling zomtyds moet in 'r werk ftellen, dat gefchied door de Logarithmi en' kelyk met te Addeeren en te Subftraheeien, en de bezwaarlyke Uittrekking der Wortelen in gemeene Getallen word by de zelve in eene eenvoudige Deeling verandert; gelyk dan ook de Ver heffing van dit of dat Getal, als Wortel aangenomen, tot eene zekere Digniteit maar eene gemakkelyke Vermenigvuldiging vereifcht. Dit alles is overvloedig genoeg aan de Wis konftenaars hekent, niet minder dat men deze heerlyke Uitvinding heeft te danken aan den vermaarden Johan N eppe8., welke met toe-doen van Hendrik Brigge en andere  APPENDIX. dere eene dus gewigtige zaak uitgewerkt en aan de geleerde Weereld bekent gemaakt hebben. Maar hunne wyze van de zelve te bereekekenen door uittrekking van de vierkante Wortel, is dus moejelyk en verdrietig, dat men wel durft ftellen , geen menfch mogelyk zich ooit heeft in de gedachten laten koomen , om de in druk zynde Tafelen over de Logarithmi na de zelve te toetfen of na te cyfferen. By aldien zich nu buiten hen geene fchrandere Geejiengevonden hadden, diebeneerfügt waaren geweeji, om andere gemakkelykere methoden uit te vinden, van de zelve naauwkeurig te bereekenen; dan zouden wy ons noch niet konnen roemen , van dien aangaande accurate Tafelen te hebben. Abraham de Graaf geeft wel ten dien opzichte eene zeer gemak- . kelyke Regel in zyne geheele Wis-konji , doch die Logarithmi, welke door des zeiven Regel uitgevonden worden, houden maar de toets tot d? elfde Cyff'er- letter toe, gelyk hy zelf bekent in zyne vlakke driehoeks-meeting. Daar en tegen heeft Heinrich Meisner (*) in zyn leeven Stichter en Mede lid van de Reeken-konftenaars-Societeit (f) te Hamburg in zyne Verklaar ing over de if Boeken Euc lides (40 eene Regel gegeeven , welke aanwyji om de Logarithmi in zo veel Cyffer-letteren te vinden , als men verlangt. Het geheele Werk komt aan op de vinding van een Hoofd-getal (Numerus fundamentalis), 't welk dan dienftig is, om alle Logarithmi door' het zelve zo naauwkeurig te bepaalen, als men wil. Dit Hoofd-getal word nu Logarithmicè^oiitf uit het gemeene getal Tien, op de volgende . wyze : „ Men addeert een tot 10, en trekt 'er ook een van af, dan „ verkrygt men dezen Breuk £ , welkers Vierkant is 7|4 , dan „ ftelt men i en zo veel nullen 'er achter, als de Tafel der Logo- (*) Geftorven Anno 1716. (t) Onder Rooms-Keizjrljkg Oclroy opgerecht Anno 1690. (+) Van dezje Verkjtaring over de 15 boeken Euclides zyn maar het eerfte en ' .tweede boek, te Hamburg gedrukt, het Manufcript der 1 j overige boeken heeft de Sociëteit van d'Erj'genaamen aan zjch gekocht, bewaarende zjtlkj tot een byzonder gei bruik. van haare in Hamburg zynde Mede.Leden , als een taartn Schat van uitnemende Konf.zjiken. _  74 APPENDI. X. „ garitbmi in CyfFer-Letters zal groot weezen , en men neemt „ daar uit den eerften breuk T2, maar den tweeden breuk uit 't „ geene, wat door deeling van den eerften isgekoomen, en al„ tyd verder uit de koomende Quotiënten de tweede breuk genoo„ men , tot dat de getallen allenskens zo klein worden, dat y, zulks niet meer gefchieden kan; alle deze Quotiënten, welke „ men door eene dusdanige achtervolgende deeling des tweeden „ breuks verkrygt , worden met den eerften Quotiënten, uit „ Deeling des eerften breuks voortgekoomen zynde , in order „ gedeelt door de getallen van eene Aritbmetifche Progreffie, van „ i beginnende en met 2 opklimmende , dat is te zeggen, door „ de natuurlyke onevene getallen, de zom dezer tweede Qua„ tienten, of der getallen uit de tweede Deeling voortgekomen, „ is het begeerde Hoofd-getal, 't welk volgens de Regel noch moet verdubbeld worden, zynde echter overvloedig en onnodig. Dit Hoofd-getal aldus verkreegen zynde, dient het zelve, om voor alle andere getallen buiten 10, 100, 1000, 10000 enz (als welker Logarithmi van zelve bekent zyn) hunne toebehorende Logarithmi te beraamen; namelyk, men gaat met alle andere getallen dusdanig te •werk, als hier onder met dit Hoofd-getal, uit bet gemeene Getal 10 voortgekomen , aangeweezen word , mits dat de zom der tweede Quotiënten (alvoorens 'er zo veel Nullen achter aan geftelt hebbende, als de Logarithmi in de Tafel aan Cyff er letters zullen groot ■iveezen) dubbelt genoomen door het verkreege dubbeld Hoofd-getal gedeelt word, de Quotiënt, die 'er te voorfchyn komt, geeft Logarithmus voor de begeerde Getallen. JVy zullen door uit-cyffering des Hoofd-getals in 20 Cyffer-letters, om het zelve zeer naauwkeurig te hebben, een Schets voorftellen v.m de Uit-reekening der overige getallen , welke door dit Hoofdgetal moeten gedeelt worden, om der zeiver Logarithmi te bekoomen , zo als boven verklaard is. Uit 100000000000000000000 de breuk 7f genoomen en des zelfs Vierkant j|{ uit de Quotiënt 81818x818181818x8182 enz.  APPENDIX. 71 » uitIOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO «t i-_ «181818181818.818182 i« Utvideert, komen 81818181818181818182 O Tït "74770848985725018783 — 3 - 182S6949Ó61908339594 ? -3Óóó47832o532oo5289ó- - 5 - - 7322956641064010779 * "I4^4l937i595bo>20o8 - 7 - ÏS&fel^*W*S ï "304^6^603^- 9 - i82jöoii8S484483*5l * "98^952216432154 ~ » - 999897*683833^014 O "362879885 3680^0 - 13 - 56637537579754037* ? "^288700059075*0754 - J5 ~ 32859I333727IÓ8050 3 _ -—3T9949i49i55-9,-7'"S — *7 - - I94°87734797525i*4 S _ -"r2To87^5026I3i57«" - J9 - - 116250026453324095 9 f _"I4^87o4l2o384945i - « ~ ~ 70408811771611878 6 989796601847205004 - 23 - 4303463486292195Ó 7 ; 662591113033252937 — *y — 265036-44545330117 5 443552728961103206 - 27 - 16427878850411229 8 ""296923727651647001 - 29 - 10238749*29367158 6' "79^1^69284758 - 31 - 6411842692557572 8 "7058983479438557 - 33 - 403*090408467835 '°' "~8"9~o7**542659789447 - 35 ~ VWW^l^ 5 59627074011925167 - 37 ~ 161154*540862842 4 1. _ 39915644586495360 - 39 - ~ 1023478066320393 8 Op de vohende Zyde ie dragen II5I27442036549659662 7  7ST AP P E N Dl X. De Zmvem ét voorgaande Zyde i15129254649597468529 9 •jlVa/7 4357M9366 '« lf9 divid.kom. 35775204 3 2849894^4 — *21 — 23552844 7 ! 1907780418 — 123 I551°405l 9 1277109205 — llf —— 10216873 6 8549M344 — "7 —— 6731687 8 . 57 23 047 2Ó — 129 443ö47° 8 383113081 — 131 ■ 2S24527 3 256464129 — 133 -— 1928301 7 171682599 — 135 l 1271722 9 ■ 114928021 — 137 z— 838890 7 76935287 — 139 ! 553491 3 51502134 — 141 —— 365263 4 34476635 — 143 241095 4 23079400 — 145 ■ 159168 3 15449846 — 147 — — 105101 o 10342460 — 149 — — — 69412 5 . ■ ■„ .. 6923465 — 151 — — 45^5° 8 4634716 — 153 — — 30292 3 ' 3102578 — 155 — ~ ~ 20010 6 Op de volgende Zyde te dragen 115129254649702245155 | 7 De  APPENDIX. 79 De Zom van de voorgaande Zyde II5129254649702245155 ï 7 _Ji uit 2076932 in 157 divid. k.OM. Ï3228 9 i39o343 — 159 — f-*. 8744 3 930725 ■— Iöl — — m 5780 9 623047 — 163 — — 3822 4 417081 — 165 — — 2527 8 . 279203 — 167 — — — 1671 9 186904 169 — — — IÏ05 9 125118 — 171 — — 731 7 83757 — J73 — — — 484 1 ■ 56069 — 175 — — 320 4 " 57534 — W — — — 212 1 25126 — 179 — — 140 3 . 16820 — 181 — — pf 92 9 . 11260 — 183 —»• — 5 75 8 — 185 — — ~ 40 8 5046 — 187 — — 27 o - 3 78 — 189 - 17 9 2261 — 191 — — '—> n 9 1514 — 193 — — 79 Cf de volgende Zyde te draden 115129254649702284186 3. De  80 -AP P E N D I X, Dt Zom van de voorgaande zyde 115129254640702284180' J uit I013 in IOJ divid. kom. 5 1 _ 678 —*197 - ~ 3 4 -—- 454^— m - ^j- Ls 304 —"201 — — • 1 5 — 204 —* 203 '— —■ 1 O L 1^7 — 105 - - - _ 7 • _—L, 9r-— 207 — — -— 5 1— ó2 —""209 —■ U- — 3 , _ -J—, " De geheele Zom' 115129254649702284201 |z . jD/r Hoofd-Getal aldus gevonden zynde, verkrygt men de Logarithmi der gemeene Getallen op de wyze, als wy hier na voor het getal 2 zullen aantooneiu Deze wyze van de Logarithmi te vinden, zal wel den een of den anderen moejelyk voorkoomen, maar dat is alleen^ ten opzichte der meenigte van Cyffer-letteren, waar in men de Logarithmi begeert Pen toon te-ftellen en verdwynt allenskens, als men met minder als 20 Cyffer-letteren de Reekening voor de Logarithmi aan[telt. Ook zal een ieder , van deze zaken kenniffe hebbende ^ van zelve konnen begrypen , dat hoe grooter de Noemer des breuh ten aanzien van des zeiven Teller is, hoe eerder de getallen, welke door het Vierkant des breuks achtervolgende moeten gedeelt worden, zich verliezen en de Deeling te niet gaat of ophoudt. En om die Reden heeft Paul Halke (*') (een ander zeer vermaard en beroemd Mede-Lid der Reeken-konftenaar.s Sociëteit te Hamburg) een veelgemakkelykeren weg uitgevonden en in zyn heerlyk Werkje , Wiskonstig Z i nnen-Banq_uet (t) genaamd , op meer als eene wyze bekent ge'viaakt. Wy zullen 'er ook eene Schets van geeven , door beraaming van den Logarithmus voor 'f Getal z- Na de Methode van ,Me isner komt voor de breuk van dit Getal zynde des zeiven ''Vierkant dan vooits j uit 100000000000000000000 en 4 uit de volgende Quotiënten genoomen , heeft men deze onderftaande uitreekening, te weeten : i u,t (_*) Anno 173 1. eerft overheden. (•) Anno i71 v. te Hamburg g'd:»kj.  APPENDIX. 81 ï Uft iooooooooocoooooooooo i~ 33333333333333333333 3 »» Uiv.kamtn 33333333333333333333 33. —— 37037037037°37°37°3 7 *— 3 1234567901234567901 24 411522633744855967 1— 5 82304526748971193 4* 45724737082761774 1 — 7 - 6532105297537396 30 , 5080526342529086 0—9 —i — 564502926947676 22 _____ 564502926947676 2 —11 — —» , 51318447904334 20 _ _. ______ 6272254743863O 7—13 — w 48248II34I433 13 _____ 6969171937625 6 —15 — 464611462508 38 7743524375i3 9—17 _* — 45-550143383 18 _ 86039159723 8—19 — L 4528376827 57 ——• 9559906636 o — 21 R £4 455233649 33 _____ 1062211848 5 —23 — __ 46183123 85 118023538 7—25 — — 4720941 55 13113726 5 —27 _____ 485<5p3 fg 1457080 7—29 ~ — _, 50244 16 ..... . 161897 9 —31 _ _ 5222 51 17988 7 —33 — - 545 11 1998 7 —35— — — — 57 10 222 I —37 — — 6 00 24 7 —39 — — — 63 *- 2 t 7 -41 - - - 7 Zyndt de Zom daar van 346573 59027997265470 86 JL Achter  82 APPENDIX. Achter dit zo even gevonde getal 20 Nullen gezet, verkrygt men 1^5115'9027'997*85470. S600000000000000000000, als nu dit door het voor gevonde Hoofdgetal gedeeld word, te weten: 11512025-4649702284201.20 Dan komt voor de Logarithmus van het Getal 2 als volgt: o. 30102999566398119521. 29 Maar dit Hoofdgetal en alle andere daar uit voortkomende Logarithmi kan men veel korter en beknopter na de wyze van Patji. Halken verkrygen en uitvinden, namelyk: men deele 10 door de Cubus van 2 , voor welk getal dan op pag. 81 de Hyperbolifche Logarithmus is gevonden, te zyn 34ö'57359o279972o'5'47o- 86 Dan heeft meni%, daar van ^'Uniteit of 1 afgetrokken en ook 'er toe ge-addeert, verkrygt men 1 in 2£ gedeelt of '± ■ welker Vierkant aan is ,1, voorts daar mede gewerkt, als volgt: 1 9  appendix. ?3 ■ 1 uit icooooocoooooooooocoo | oo ,i— jimmnmniiiii n i» i<#v/V.* I div, 4941903526436638. 99 — 3 — — 7310508175202. 13 — 5 — . 10814561205.92 — 7 — IS997575- 75 — 9 — —- 2^665. 05 — 11 — 35. 01 — 13 — Dienvolgens zyn de Quotiënten 3340726783871167905. 00 1647301175478879. 66 1462101635040. 43 1544908743. 70 1777508. 42 2151. 37 2. 69 Log. = o. 03342375548694970231. 27 i .„rMraUtrl 27 Log. _ 1. 4313637641589873 u88. 53 f ieJ»Wr«heerl I 25 Log. = 1. 39794000867203760957. 26 by gevolg 5 Log. 33 o. 69897000433601880478. 63 Dit kan aldus ixel voldoende zyn, om te doen hlyken de beknoptheid der Regel, aangaande de beraaming der I ogariti mi , door den genoemden Paul Halke uitgevonden, zullende het beuys daar van tot eene andere gelegentheid uitgeftelt zyn laten, M 2 Ziet  $2, APPENDIX. Ziet hier nu in eene Tafel voor de getallen van i tot 100 de Logarithmi in zi Cyjfer-Lettersbereekent, waarvan de laatfte Cyjfer, dan om iets te groot, dan om iets te klein is, naar dat het volgende getal (hy aldien de Logarithmi in meerder Cyfferen hereekent wierden ) of boven 5 of onder j is. TAFEL Der Logarithmi voor de natuurlyke Getallen van 1 tot 100. LOGARITHMI. N. [ N. 1 0.00000000000000000000.0 21 1.32221929473391926800.8 2 O.30I02999566398H9S2I.4 22 1,34242268082220623 596.4 3 0.47712125471966243729.5 23 1.36172783601759287886.8 4 0.60205999132796239042.8 24 1.38021124171160602293.7 5 0.698970004336018804786 25 1.39794000867203760957.2 6 0.77815125038364363250.9 26 1-41497334797081796442.0'' 7 0.84509804001425683071.3 27 1.43136376415898731188.5 8 0.90308998699194358564.2 28 1-44715803134221922114.1 9 0.95424250943932487459.0 29 1.46239799789895608733.3 10 i.oooooooooooooocooooo.o 30 1.47712125471966243729.5 31 I.04139268515822504075.O 31 I.49136169383427267966.7 32 I.079l8l246047'6248277'2.3 32 1.5051499783 I990597606.9 33 1.11394335230683676920.6 33 1.51851393987788747804.5 34 1.14612803567823802592.7 34 1.53147891704225512375.4 35 1.17609125905568124208-1 35 1.54406804435027563549.9 36 1.20411998265592478085.5 36 1.55630250076728726501.8 17 1.230448921378273928540 37 1.56820172406699499680.8 18 1.25527250510330606980.4 38 1.57978359661681015675.0 19 | 1.27875360095282896153.6 39 1.59106460702649920650.1 20 I 1.30102999566398119521.4 40 1.60205999132796239042.8 LO-  A p P E N L> I X. 91 LOGARITHMI. Ja ^2324929039790046322.2 E 863I2286012045 59^-4 43 I.63346845557958652640.4 73 Ii§d»317I-730376i9202.i ^i^^^n • 47 1.6720978579357174644M 77 CgJoyo]8o4oi7i-5 ^8 ^8ia4i*|737»87»8is- 7« ,^4»», 57^7^W93636583.5"1 fi ffig»$gpWSS 52 ^600334363479915963-4 8 | 007809237607390383-* 53 17242758696007890456H f I427928606I88Ï65843-Ó g J^g^^W ^^^^1429273332. ÏTÏTtÏxIs^^ 86 }|3W84SXJJg^;| 7 1.75587485567^9139883.1 |7 ^48?672I5oi6862^9.2 58 1.76342799356293728254.7 11 04939000664491278472-4 62 1.79239168949825387488.1 9 .^§48294855393511696.2 63 I-79934054945358170530.3 g ;^«K7ig gg865962.8 6^ili75W54I86867325.94 g ^JlïSgS^ 67 i-826o748o27oo826434i4-9 97 ■ ^^0^5^3.9 68 1.83250891270623631896.8 9» *L6, „9459754991 534.0 69 1.83884909073725531616.3 » 2.ooooooooooS 70 1.84509804001425683071JJ .1 —•* M3 VIIL  H A P P E N Dl X. VIII. AANMERKING. Men vindt in de Latynfche Ada Eruditorum van V Jaar 1721 0/1732 de Logarithmi voor de getallen 1 tot 100 ingelafcht te zyn m 200/32 Cyffer-letteren uit-gereekent door den Heer van Clausberg (*). Dereden, waarom deze fchrandere Reeken- konftenaar toen zulke moejelyke arbeid ondernomen heeft, is een de zelfde met die geene , welke my thans aan-dryft, om ze door my zeiven uit °ereekent mditJVerkje by te voegen, namelyk het verfchil van een zeker Voorftel t welk wy onderling met malkander noch geenzints op een befliffende wyze al uit-gemaakt hebben. Hoewel niemand moet a'V°"P'U K^ofifwïsOpfrltes fiis-, nem.e -*id,t ffSJSt bet mfd. D,M;fü ^Demo^tipif^teMnITÏ& tmxefu- Uafm* nmc tempor e, {nifi Anima, me failh) vitam maZL cum eS} matrone degens fob ahs Regts Dam* afmemtifunis\ fed ^antcs profral in tmtmjfÜL Suentns Mat hernat tas, non fans miht p.uct. "^rrs-jectt c- '"Zelaflk 'm dc PemonftratiiHj^e 2vccï;en-^wnft/ welk, jsce^ Sü&fc niet  A P P E N P I X. py de in 't byzonder aftrekt, de drie overfchotten met de halve zom door malkander vermenigvuldigt en de vierkante Wortel uit het Produel trekt, 'twelk deStelkonftenaars, ftellende voor de drie zyden A, B en C, aldus yt^A^fA'B^A'C'^B^B'C'-^C*) te kennen geeven. Men vraagt naar het bewysvan deze laatfte Regel ? XLIII. VOORSTEL. Om den inhoud van een trapezium Cyclicum (dat is , een ongelykzydige Vierhoek in een Cirkel-rond befchreeven zynde) te vinden, moet een der beide Diagonalen of Dwers-lynen bekent zyn, maar zonder dezelve bekent te hebben, kan meii den zeiven aldus uitvinden:, „ Men addeert t'elkens drie en drie zyden t'zamen , van de „ vier zommen, die men dan verkrygt, de vierde niet mede opge„ teld zynde zyde afgetrokken, en de vier overfchotten, gehal„ veert zynde, door malkander vermenigvuldigt, dan geeft de „ vierkante Wortel uit het Produel den inhoud te kennen, 't „ welk de Algebraifien of Stel-konftenaars, voorde vier zyden „ van het trapezium, gelyk aan A, B, C enD ftellende, door de „ volgende Formul uit-fpreeken, als: Y (-f ï\ A*.+ i A*B A1 C'-f i A1D *_+§ A BC D 4rfB*_^B*CV+ iB•D 'H-^C^ iC1 D1 D *) (Fig. I.) By voorbeeld: Laat de vier zyden van een ongelykzydige vierhoek A B C D , in een rond befchreeven , zyn, als volgt; A B = 120. B C = 66 C D = 50 en A D == 32, dan zyn de Diagonalen of Dwers-lynen, te weeten: A C = 78. en B D = 104. Dien-  APPENDIX. 97 welkers vierkante Wortelen dan zyn 1536 en 1320 , doende ia zom 2856 voor den inhoud als boven. Maar volgens deze nieuwe Regel worden 120. 66. 50. 32.O 66. 50. 32. 120 > ge addeert 50. 32. 120. 66-j. 226. 148. 202. 218. 32. 120. 66. 50. afgetrokken zyn de Overfchotten 204. 28. 136" en i(58. die ge-halveert, heeft men 102. 14. 68 en 84 , het Produel, ontftaande uit der zeiver Vermenigvuldiging door malkander, is dan 8156736 en de vierkante Wortel daar uit 2856 voor den inhoud van het trapezium Cyclicum. Men vraagt insgelyks naar het bewys van deze Regel ? IX. AANMERKING. Daar is tot nu toe zo weinig van een Trapezium Cyclicum of ongelykzydig Vier boek in een Cirkel befebreeven van de Wis konfienaars aangetoont, (zo veel my bekent is); dat het te verwonderen is , onder zo een groot getal, die tot heden toe geweeft zyn, niet meerder zich gevonden hebben, welke des zelfs eigenfehappen iets naau keuriger hebben gade ge/lagen. Het fchiet my wel te binnen in de Memoires de 1'Academie Royale des Sciences (*) eertyds iets dien aangaande geleezen te hebben, maar bet heeft volgens myn onthoud maar betrekking gehad op Trapezia na willekeur buiten een Cirkel befebreeven; doch (*) Mak ie ne me fouviens pas ie quel an.  $8 APPENDIX. dochby aldien de zelve ook al ah Trapezia Cydica zyn voorgeftelt geworden; zo is echter dat geene, waarvan ik in V voorgaande 42 Voorftel het bewys eifche , thans onbetoogt gelleeven. j- u cm de s (univerfale Mathematicorum OracuJum) geeft in d?XXU. Propofitie zyns derden hoeks niets anders te kennen , als dat de Hoeken (Fig. II.) H en K-of [ en L (zyndé tegen malkander over geftelt) aan twee rechte hoeken gelyk zyn. De Heer Christiaan.Wolf brengt, behalven dit (1) 'er noch' van by,, dat de Recht-boek der beide Diagonalen HKi/«LI gelyk'zy aan de twee Recht-hoeken der tegens malkander over gefielde zyden , 't. welk als een grond-les van zelfs vloeit uit des zeiven Voorftel: van een zodanig ongeJykzydig opgegeeven Vierhoek de tweede Diagonaal-Iyn te vinden als d'eerfte met de vier zyden bekent zyn (2). Maar Heinr'ich JV1 e is n e r (3) heeft al over lang in zyne Verklaaring van den zeheelen Eu lides over die Propofitie uit bekent-maaking der vier zyden alleen, zonder een van de Diagonalen 'ër by te weeten betoogt: , 5 „ Reétangulum ex duobus Diagonalibus I K in H K omni „ cum jure squandum efle fummae duorum Reólangulorum Hl „inLK&IKinHL five Produétorum ex lateribus on„ pofitis. ^" &Detlev Cluver ƒ4) voor meer als veertig jaaren het bewys der Regel, inH voorgaande 43 Voorftel opgegeeven, van de Wiskonftenaars wel verlangt, doch echter zelf het zelve niet aangetoont Of nu van die tyd af aan bet gevraagde Bewys van iemand is ter uitvoer gebracht, is my tot heden toe onbekent, zynde immers wel onmo' gelyk, van alle Boeken te konnen leezen. Dierhalven als iemand het begeerde mogelyk mogte uitgewerkt hebben; zo is wel myn byzonder verzoek Ci> Ehmnt. Mathff. Univerfa Tom. ïi Qeom. §. 3 50. (2) Element. Mathef. Univ. Tom. I. Anat. §. J24. (3) Ziet hier voor p. 73. (4) li*-*?* f f«ren 1700. en 1701. verfcheideae Hoeken /^hamburg i*** licht gegeeven, in quibus Varia% tam Philofopbica. quam Mathematica, perlultrantur.  A P P E N D; l i X, j£ zoek aan die geenen, die van eewe ul uitgewerkte betooging ten opzichte der gegeevene Regel kennijfe hebben , ter- plaat'ze, waar dit Werkje gedrukt is , zulks naar believen aan te toonen, om te zien, of de myne , die ik w tt Vervolg tfiynér nois kfinftige qrbeiddien aangaande zal bybrengen, daar mede overeenkomt of niet. XLIV. VOORSTEL (Fig. IT.) Laat van een trapezium Cyclicum gegeeven zyn de zyden, als volgt: H I = Y 5676*. IK =t V 4920I. HL = Y ea LK = Y 26io|. Men vraagt, in wat reden de Middel-lyn M N (door het onderlinge Sny-punt der Diagonalen O getrokken zynde) het trapezium deelt : als ook de lynen Hl en LK , niet minder zich zeiven , dat is , de reden van Hd tot dl, van Le, tot eK, van dM tot dN , van eN tot eM, van oM tot óN: ook hoe veel o P doet. XLV. VOORSTEL.) Men zal de vierkante Wortel vinden uit dit onderftaande Septï nomium 17+1/4°+ Y 48+-/ 56+K60 + y 84+1/140 men vraagt naar de zelve ? XLVI. VOORSTEL. '■ Of men begeert de Teerlings* of Cubicq - Wortel uit dit on* derftaande Multi-nomium 12+1/964- /Z40+Y116+Y 48°+Y 61* +Y2&° + Yl362 + Y 3 780 + Y 5043 + Y 84°5 + Y 9 3°3te vinden;, N * Dao'..  ioo A P P E N D I X. Dan is de vraag, op wat Wyze dé zelve zonder veele Wydloo-' pigheid te gebruiken, moet gezocht worden? XLVIl. VOORSTEL. Men verlangt de telkonftige Wortels te weeten uit deze onderftaande JEquaüë of vergelyking, te weeten i,ys-Tio,yf + 49'y+-f 140 v 5+250 v1— 264-2;+ 144=0 Zo vraagt men, hoe zulke zonder Tafting op eene wis-konftige wyze moeten ten voorfchyn gebragt worden? XLVIII. VOORSTEL. Of men hadde deze yEquatie of vergelyking gekreegen , te weeten: 1 x '°~-z8 x»-f 341 a?2368 #'-+10322 x s~ 29272 -+ 54082 x63264* j-+43818 x l-f 15648 x -4- 2022 = o Dan is de vraag, gelyk als in 't voorgaande Voorftel, naar de wyze Tan deze Wortelen te voorfchyn te doen koomen? XL IX. VOORSTEL. By aldien men deze Vergelyking 1 y+^-16 y 236^ %-^S86y-ï 1155= o wilde doen veranderen in eene andere Mquatie , zodanig dat de Wortels der dan te voorfchyn koomende Vergelyking waaren 1 Z aqudle ly 3^ 3^4. Dan is de vraag, op wat voor een methodique wyze deze verandering moet gefchieden? L  A P P È N lD '1 X, ioi L VOORSTEL Om eene vergelyking van de vierde Digniteit, te weeten: i^^i88^ J-f 13002 />1-^39i204/'H-4309589 = o in tween te fplitfen, gebruikt men deze Regel, namelyk: men fteIt ^p^g^p + q aquale o te zyn, de zelve ge-quadreert, verkrygt mén de volgende Vergelyking, te weeten: l/,4_ui88/M-4r2g/>1 + 8836i>2-^i88?/> + ?t s= o daar van de gegeevene Mquatie af-getrokken, blyven over 2 qp'~4i66px + 391204/»-^ 188 ^ + 2,-^-4309589=° welke van een guadratifcb vermogen moeten zyn, dieswegen ' vermenigvuldigt . 5^4309589 met 2 qpl-ïVteP het koomende Froduft is gelyk aan het Vierkant van half 391204 p—i%Hqp dat is- - - 195602 p-L. 94 qp met zich zelfs gemuliipliceert, dan worden 2an«-4I'5,^?•/',-86I9I78?ƒ'l + I795'3747774/,l Êe" lyk aan 8 8 3 6 q >p ^ 3°773»7° 2f * + 38 i6°14*4°4 * * Dienvolgens heeft men deze Cubifcke Mquatie , te weeten 2q i^-i 3002 qx + 28153998 2^20306394630 = o in 2 gedeeJt, dan verkrygt men ioJ^65oi?, + i4076"999?^IOI53I975^ == o in * - - 3 - - 9 - - 27 gedeeit dan is 1 ?J-i.2i67 jl+ 15641112-^ 376044347 = 0  fiö* APPENDIX. van de noch onbekende Wortelen trekke men 700 af, dat is men fielt ' i q = t + 700 dus I q1— ƒ»+ ,400 t + 490OOO en 1 gi = t >+ 2100 t + 1470000 f + 343000000 Dienvolgens /J + 2100 f« + 1470000 r + 343000000 -f2167 ' "-f3033800 f-f 1061830000 + 1504111 t+ 1004877700 _ 37604434? dus/i-f 67;»+ llIt+ 3355 = o Hier uit de Wortelen gezocht op de volgende wyze, door verhooging van de zelve, ftellende gelyk 11 aan 4.1 -^2 — 3 —4 — 5 — 6 n1 is dan 1 4 0 ",5 a- • 5 CnÜL__ll_ "f8 +*7 ^64 -fizy ^216 t l -f8 ~ 27 _~64 ^ I25 .TTTö —67? = -f 67 -f268 --603 -f1072 —1675 -^2412 + 311/— -f311 -f622 -f933 -ft244 -f1555- -f1866 -f 379 -f 898-f 1563-f 2380 -f 33SS-~44Q4. + 335? 4- 335? + 3355+ 3355 + 3355 +1355+ 3355 +3355 + 2976 + 2457 +1792 + 975~+ o -f- 1139 De  APPENDIX. 103 • De Deelers van deeze Getallen zyn dan als volgt: 1 1 1 1 1* *o *i 5* 2 3* 2 * 3 +-17 11 3 7 4 5 -*+*7 55 4* 9 7 n •►e 61 euz. ö +-r3 8 +-IJ n 8 21 +-14 2S +-12 27 16 39 16 39 28 4J 24 4+63 enz. 32 -h-5J 31 56 75 enz. 3 2 ++-64 enz. 48 • - • -h-62 enz. By gevolg zyn de Wortels die geene Deelers, welke boven met *, -f en -h- geteekent zyn, te weeten: 11 is dan -f 5 of + 11 of + <5i daar toe 700 ge-addeert, verkrygt men \q-6c)') of 711 of 761 met 3 vermenigvuldigt Dan zyn de waare Wortels uit de Vergelyking iy*_f 6501? " + 140769992-7 10153197315 = o 2085. 2133 en 2283 Dan een van deze in de plaats van q in de Mquatie ip% -f 94 p + q—o geftelt, heeft men 1.) 1 />l_i-94/>+2o8y = o Dkquudreert, komt 1 p*~ 188/» + 13006/* -391980$ +■4347225 = 6 De  to4 APPENDIX. De gegeevene ^Equatie daar van af getrokken, bly ven over 4/*' -r77° P + 17^16 = o Hier uit de vierkante Wortel getrokken, is zulke 2/>-fi94 = o of -f- 2p +194 = o Daar toe 1 p * -f-94 /> + 2085 = o gt-addeert, verkrygt men voor de twee vierkante vergelykingen 1 p x~r 92 ƒ> + 1891 = o en 1 p x-~g6p + 2279 == o Waar uit de gegeevene vergelyking is t'zamen geftelt. Of als men 2.) ftelde 2133 in de plaats voor q, dan is het Vierkant van 1 /> * -f94/> + 213 3 = o i/»*-r i88/> + i3io2/,-f4oioo4/' + 45'496'89 = o daar van af getrokken jp*-r i88/> >+ 13002/1 *-f 391204/»+ 4309589 = o Blyven dan over xoop* -7-9800/» + 240100 = o De vierkante Wortel 'er uit getrokken, is zulke io/»-f49o of = io/> + 490 Daartoe 1/' — 94/» + 2133 es o geaddeert, zyn de twee vierkante Aiquatien dan ijPl-f 84/»+1643 = 0 en ï/> *-f io4/> + 2Ö23 == o Waar in de gegeevene JEquatie kan gefplift worden. Of als men 3.) Voor q ftelde 2283 ■> dan blyven 'er over, als men de geiieevenejEquatieaftrekt van't Vierkant op ip *-f 94^+2283=0 te weeten van lp*  APPENDIX. ïof ip* — i88/>J + i3402 +429204/» + 5212080 = o de volgende Quanüteiten, als, 400/» * — 38000/1 + 902500 sb o de vierkante Wortel hier uit doet 2o/>-rp5o = of -f 2o/>+95o = o daar toei/»*+P4/> + 2283 =o ge-addeert, koomen deze twee vierkante' Mquatien ten voorfchyn, namelyk ip* +74?+«333 = 0 en i/»*-4-114^+3233 » 0 waar uit de gegeevene vergelyking insgelyks is t'zamen geftelt. Een ieder ,kennuTe van deze zaken hebbende, word lichtelyk gewaar, dat de gegeevene Regel, om eene Vergelyking van ae 'vierde Digniteit in twee vierkante Aequatien te fpliflen, volltrekt goed en voldoenend is , maar nadien de zelve nochtans moetelvk is, door de Wortelen te vinden uit Cuhfche Aequatien ook vergeeffche moeite verooorzaakt by vergelykmgen van de vierde Digniteit, welke niet in twee vierkante Aequatien konnen gefplift worden; dus vraagt men, of men met eenen gemakkelykeren weg kan uitvinden , om diergelyke vergelykmgen met minder moeite te toetfen? X. AANMERKING. Stelkonftenaars weeten, dat uit alle telkonftige Aequatien1, ze mogen zo hoog van Digniteit opklimmen ,als ze willen, het tweede lid kan weggenomen worden , hy aldien men nu uit de gegeevene vergelyking i/>« + i88/>* +13002 /»* +391204/»+ 4309589 — o het tweede lid, ie weeten + 188/» * doen verdwynen, dan moet men ftellen O iP  ïcö A P P E N D l X. ip =7 +47, hy gevolg is i/>'=/1 +94/ +2209 i/"=/J+i4i/* + 6627/ +103823 en i/> + = /+ + i88/>+13254/1+4.15292/ +-48796FÏ ~i8ipi= +188/>+2ÓfÓ8-/l+r 245876/= 19518724 + 13002/ 1 = +I3£02/l+l222l88/+2872I4l8 = 391204/* = = 391204/+18386588 + 4309589 = •+ 4309589 voorts is /* + 252/* + 400 /+ 5376 = ode veranderde Ae~ quatie , waar in het tweede lid ontbreekt en welkers Wortelen dan 47 minder zyn , als de wortelen der gegeevene Vergelyking. Als men nu fielt l* gelyk aan 252 /1 — 400/— 5376 en ïB + k* tot beide zyden, addeert, dan heeft men 1 l* + zkll+kl gelyk aan + 2&* + 25-^ -f 400/ + ^1 ~ 5-3-5 de eerfte Quahtïtèiten zyn al een Vierkant, maar tweede niet welke dan daar toe moeten gemaakt worden door 1 k * -f 5376 te multipliceeren ; ■ ' meïf . tö*cn-i8-f;y . to\v.J}i,'{j)ot> 2& +252, koomende Produel 2^} + 252^'+io752^+i354752 is dan gelyk aan het Vierkant van half maal + 400 , «a/2 40000, dienvokem beeft men • . ■ 2£» + 252£* + io752£+ 1394752 = o ' » » . *ƒ i I&J+I26&* + 5376^+697376 = 0 in 1 - 2 H 4 - 8 verkleint, dan komtiki +63**. + 134^ +87172 = o Hier  APPENDIX 107 Hier uit de Wortelen gezocht, door de -zelve te verhoogen met de ProgrefT. — 1, — 2, -f3, — 4, enz. verkrygt men de volgende gemeene getallen, te weeten: -f 87172. — 8 5766. -r 84240 -f 82600. -f 808 52. -r 79002. Hier uit openbaar en zich voor de Wortels de volgende Deelers der bo« ven/taande gemeene Getallen, namelyk: 1 1 x 1 r 1 3 - - 2 2 - 4 x9 3 4 4 5 '9 [37] 4 5 17 6 ,3* (38) 5 7 -9 7 37) "f" ö é [343 9 [30J 74 8 lo (41) 11 .62. 123 enz. 9 14 -58- 14 74 10 20 68 18 76 12 28 82 enz. 19 148 enz, 15 (40) 22 16 56 27 18 -59- T333 20 70 enz. - 38 24 (42) 26 54 27 -57- 30 62 eni, (39) 40 45 48 554 -60- enz. Dienvolgens hemen voor de Wortels te voorfchyn die geene Deelers, welke wet ( )} geteekent zyn, te weeten: 0 * +37  tof APPENÖÏX. 4. yj - 438 f» ~r* + j 14/1 + 3233 — o en i/>' -^74^ + 1 333 F o of lpy~r io4/>+262$ = o enip1 -7-84+1643 — o l« , , .of ■ ■ ■ ; u ipx~96p-\-i>z79 = 0 i/>*+;>2/> + 1891 = o  APPENDIX. iop Maar hier ontmoet men de zelfde zwaarigheid, gelyk als in 'f L Voorftel zelfs, van de Wortelen uit eene tel-konjtige Cubifche Equatie te moeten vinden, daarom het by de voorige vraage blyft, en men daar en boven noch vraagt, of het mogelyk is , cm telkonftige vergelykmgen van hoogere Digniteiten als 4, in twéé iEquatien op eene methodique wyze te konnen fpliffen, te weeten: Eene vergelyking van de vyf de Digniteit in eene vierkante en Cubifche ^Equatie, of Eene vergelyking van de zesde Digniteit in twee Cubifche of in drie vierkante iEquatien enz ? LI. VOORSTEL. Men verlangt het Jaar-getal 1744 zodanig in zes Deelen te verdeelen,. dat de vyf eerfte Deelen tegens malkander in reden zyn, als: 2, 3 , 5, 7 en 11; als men nu twee en twee deezer Deelen t'zamen vermenigvuldigt , dat dan de koomende 1 y Produclen in zom het mogelyk grootfte getal uitleeveren , men vraagt dan na de Deelen zelve en op wat wyze de zelve moeten uitgewerkt worden ? LIL VOORSTEL. Of als men wilde het Jaar getal 1745 als voorenin tien Deelen fpliflèn, waar van de negen eerfte Deelen in reden tegens malkander waaren, als: 2. 3. 5- 7- Ï3- »7 J9 en Zodanig dat de jguadraten of Vierkanten dezer 10 Deelen in zom het mogelyk kleinfte getal uit-leeverden; dan vraagt men als boven naar de Deelen desGetals 1745 en na de wyze van de zelve te voorfchyn te doen koomen ? o 3 Lirr.  •ld A P P E N D I X, LI II. VOORSTEL. Het mogelyk grootftegetal te vinden, zodanig, als men het zelve m zes Deelen deelt, waar van de eerfte vyf in reden zyn als 3. 5. 7. 11 en 13, dat dan de 20 Produften , voortkoomende uit vermenigvuldiging van drie en drie dezer Deelen, in zom brengen het Jaar-getal 1744; men vraagt dan, wat dit vooreen getal kan zyn ? LIV. VOORSTEL. Noch een ander getal te vinden , het mogelyk grootfte, dat 'er kan zyn , als men het zelve insgelyks in zes Deelen deelt , waar van de eerfte vyf tegens malkander in reden zyn, als 5, 7 11, 13 en 17, dat dan de 15 Produften, uit vermenigvuldiging van vier en vier dezer Deelen voort-koomende, het Jaar-getal 1745 in zom brengen. Men vraagt wederom , hoe dit getal moet beraamt worden ? LV. VOORSTEL. Indien men zes getallen hadde verkoozen, waar van de zom was . t hunner Vierkanten of Quadraten 377 ——- ■ Teerlingen of Cubïcquen ^0^i — - Vierkants-vierkanten of B'iquadraten 46325 —— - Surdefolid- getallen of die van 't vyfde vermogen 5$2-5$l —— ' "■' ZenfiCubicq-getzMeti , dat is de Teerlings hunner Vierkanten of de Vierkanten hunner Teerlingen 6732437 Dan vraagt men juift niet alleen naar de getallen zelve, maar wel ook voornamelyk naar de methode , van de zelve uit te vinden ? XI.  APPENDIX. ïrr XI. A A N M E R K I N G. Die geenen , welke in de Stel-konft geene Leerlingen meer zyn, weten, dat het tweede Lid van eene /Equatie, de zelve mag of telof meet-konfiig en zo hoog van digniteit zyn, als zy wil, altyd de zom van al der zeiver Wortelen is , en het laatfte lid daar van het Produel der zeiver j vorders is het derde lid de zom der Producten van twee en twee Wortelen teffens fzamen vermenigvuldigt , het vierde lid de zom der Produólen van drie Wortels f eiken s door malkander gemultipliceert, enz. dienvolgens moet eene vergelyking van 't zesde vermogen , dewyl 'er zes getallen genomen zyn , tot oploffing van '? voorgaande Voorftel gevonden worden , nadien nu het tweede lid van eene Vergelyking de zom der zeiver Wortelen is, dus blyft, dit bekent gegeeven zynde, maar over te beraamen het derde, vierde, vyf de, zesde en zevende lid van die daar toe vereifcht wordende ^Equatie der zesde digniteit, die wy dan aan een Liefhebber over laaten om uit te vinden. LVI. VOORSTEL. Men befchryve een Driehoek AB C, (Fig. III.) waar van twee hoeken C en A tegens malkander zyn als i tot 5 , en de zyden AB en BC,tegens de zelve overftaande,gelyk als 1 tot y'24-1. Op de zyden van dit Drie-hoek zyn drie gelyk-zydige Vierkanten gemaakt, welkers inhoud t'zamen doet 48 +y 1152. Men vraagt naar den afftand G H der twee middel-punten G en H van twee Ronden , welke in en om den Drie-hoek DEF, (Fig VUL )konnen befchreeven worden, die'er ontftaat,alsmen de Middel-punten D, E en F der drie Vierkanten met rechte lynen aan malkander voegt ? LVII.  na APPENDIX. LVII. VOORSTEL. Van een Trapezium Cyclicum (Fig. IV.) doen de vier zyden in zom 134, De zom hunner Vierkanten 5 570 ■ ■ Teerlingen 271658 «■ ' Vierkants-Vierkanten 14602082 Als men de lynen AB enC D verlengt, dan koomen de zelve in het punt E t'zamen, en de lynen A D en B C verlengt zynde in het punt F, deze twee punten E en F door eene rechte lyn t'zamen gevoegt wordende, ontftaat 'erd'ongelyk-zydige Drie-hoek BEF door {Fig. IX.); men vraagt naar den afftand I H der twee Middel-punten I en H van de twee Ronden, welke in en om dezen Drie-hoek BEF konnen befchreeven worden? LVUI. VOORSTEL. Men heeft drie Ronden of Cirkels A, B en C getrokken, (Fig. V.) welke onderling zich malkander raaken, de middelpunten dezer drie Ronden door rechte lynen t'zamen gevoegt zynde, ontftaat 'er de Drie-hoek A B C uit, welkers zyden zyn, te weeten A B — 136, BC = 130 en A C — 114 : Men vraagt naar den afftand D E der twee middel-punten D en E van twee Ronden , welke om of binnenwaarts van deze drie Ronden, mits de zelve raakende, konnen befchreeven worden , als ook naar den inhoud des Driehoeks H F G ? LI X. VOORSTEL. In een Driehoek ABC (Fig. VI.), welkers zyden zyn, namelyk AB = 175- , AC = 233 en BC = 348 , is het grootfte Vierkant HKIG gemaakt, dat mogelyk is, en in elke kleine Driehoek , die 'er door dit Vierkant van den voorgaanden Driehoek afgefneeden word, is een Rond befchreeven;  APPENDIX m ven • als men nu de Middel-punten dezer drie Ronden F , D en È door rechte lynen t'zamen voegt, dan ontftaat er een ander Drie-hoek F D E door (Fig. VII.) , men vraagt naar des zelfs zyden , als ook naar den afftand L M der twee MiddelpuntenL en M van twee Ronden, welke in en om dezen Driehoek konnen befchreeven worden ? LX. VOORSTEL. By aldien men onderftelde, dat de zeven Dwaal-ftarren in 't begin der Schepping op een en de zelfde plaats aan den Hemel waaren by malkander geweeft, by voorbeeld; m 't begin van den eerften graad des Rams; dan vraagt men naar de tyd van jaaren ( 2<5ï dagen op een jaar gereekent), wanneer de zelve volgens haaren middelbaaren loop om den Hemel m het zelfde punt wederom hebben verfchynen konnen? XII. AANMERKING. ■ Wie de konft om zaaien verfcheidentlyk met malkander te verknechten, o/ArsCombinatoria ver ftaat, die zal vinden , dat van 7 verfcheidene zaaken mee entwee - - - maal drie en drie - - 35 vier en vier ' - "35 vyf en vyf - 21 zes en zes - 7 en zeven t'zamen maar 1 Dienvolgens 120 maal onderling met elkander verfchillende konnen verknocht of gecombineert worden. Maar de wyze van de zelve alle en wel voornamelyk het gevraagde van 't Voorftel te bereekenen, laaten wy voor deze keer over aan de Lief hebbers pullende maar hier ter plaatfe'ereen kleine chets van geeven door d'uitreekening der Conjunótien of By-een komften m  ii4 APPENDIX. een en let zelfde punt aan den Hemel van de drie hoogte Dwaal ftarren te weeten Saturnus Jupiter en Mars, volgens der zeiver middelbaar e loop om den Hemel. i.) Van Saturnus en Jupiter. Kepler (*) fielt voor de loop van den-eerften om den ge kelen Hemel 29 jaaren 174 dagen 4 uur en 58. 25. 30 en voor de loop van den tweeden 11 jaaren 317 dagen 14 uuren 49. al 56, by gevolg is de dagelykfche middel-loop ^ 6 5 J 'zwa Saturnus - 2 a,. £L Xg W Jupiter - 4-59 - 7. 35.' fl/^j- 2 58 yk. 40. ij /// iv 2 mor. 58/^. 40. 17 geeft 1.veel geeven dan i,6ograd. dat is: men deelt 36c graden of 4665600000 jrarto *W 643217 <7»*-/ dan verkrygt men tot Quotiënt +j 7 ? > 7253 12 uuren 57 4 feconden. Dat zyn dan by gevolg i9 jaaren 318 <%« I2 t£ot^k^ VmWelh Dienvolgens heft in dien tyd Jupiter doorgelopen 602 £r. 42. 5. 7 en Saturnus 242 - 42. 5. 7 Qhmm Wt>lf 9tó;ittinf0m mr de Aihoilm^p.  APPENDIX. ïij 2. ) Van Saturnus en Mars. Des laatften zyn loop fielt K e f l e r (*) te gefch'ieden in i jaar 321 '////// . dazen zx uuren 31. 56. 49. by gevolg is des zeiven dagelykfche ö ' .///// iv middelloop 31 26". 30. 59. Saturnus zy«e is - • - 2 --— 27. 18. aWaj 29 w/k. 26. 3. 41. for onderfcheid hunner dagelykfche middel-loop, vervolgens fielt men, «ftf mderfcheid til rv 29 26" 3- 4.1. geeft 1 veel geeven dan 360graden? dat is: door óz^y^zx quart:gedeelt 36b graden , <ƒ 4<5ojó'ooooo jzwr?. fo>»tf Quotiënt 733 ^« 20 mr' 4 l8* y^f' By gevolg ftaan Saturnus en Mars felkens na verloop van 2 jaaren 3 20 uuren 4 18* we? malkander wederominCon- jun&ie. - Want Mars loopt in dien tyd aan den Hemel door 11 lil 384 gr. 33 min. 14. 15. f« Saturnus 24 gr. 33 min. 14. 15-. 3. ) Fa» Jupiter en Mars. •Z)e dagelykfche middel-loop van 11 lil tv Mars /V 31 w/«. 26. 30. 59. Jupiter 4 59. 7. 35". dus z6 min. 27. 23. 24. P 2 &f (*) Loc. cih  nd APPENDIX. let onderfcheid hunner dagelykfche middel-loop, vervolgens zegt men dit onder fcheid y II III ■ iv 26 min, 27. 23. 24. geeft 1 dag, hoe veel geeven dan 360 graden? .81 .VS -<— -• s - • \\ 'iw.'v i/unxfiitP sw (t-___ ^ ara/ 1/: rfw 5714604 quart. gedeelt 360 4<5ó'5ó'ooooo j^rf. Quotiënt 816 dagen 10 a»ra* 25 min. 43 y^v. Dienvolgens ftaan Jupiter e« Mars: ;m ^/öo/^« 2 80* f!° -2* 43 feeonden, t'elkens wederom met mal¬ kander tn Conjunctie , hopende in dien tyd Mars aan den Hemel door 4i7 £r. co min li % en Jupiter - « - ^7 t. >Q j£ 7- _ Starre-Konftenaars weeten, zonder myn zeggen , wel, dat deze intreekening geenzints overeenkomt met den waaren loop dezer Dwaalfiarren welke de zelve aan den Hemel houden , maar volgens haarenmiddel-loop zo als Kepler dien ftelt, is het -naaukeurig venoe? uitgecyffert daarom ik het dan ook daar ly zal laaten heruften en van de Liefhebbers kun onzydig oordeel'er over blyven afwachten , mande dan eindelyk over tot de beloofde N I E U V7-  N IE U W-J AARS GIFTE enz. 117 NIEUW-JAARS GIFTE Voor onkundige C Y F F ER -MEESTERS. NAdien ik my voorftel , dat dit kleine Werkje zo wel van dier zaken kundige , als onkundige zal gezocht worden, en wel voornamelyk van de laatfte uit eene genegentheid, om voor verftandig by hunnes gelyken te willen doorgaan, van eene zaake te konnen mis pryzen, die ze nochtans niet en verftaan; zo achte niet ondienftig te zyn, van 'er noch iets by te voegen , het geene d'oplettentheid van verftandige CyffêrMeefters wel zal verdienen en de dwaasheid der Onverftandigen of zich alleen wys dunkenden klaarblykelyk te kennen geeven. Verftandige weeten zonder myn zeggen wel, dat alle menfchen geene gelyke bequaamheid hebben , om iets te begrypen, t'onderzoeken en aan andere wederom voor te draagen, dienvolgens zy in 't minfte niet verachten , het geene andere meer weeten, als zy, maar worden door eene edelmoedige drift aangezet , om dat, wat hen in deze of geene weetenfchap noch ontbreekt, van andere of mondeling of by gefchrift te leeren. En dit is de beweeg-reden geweeft , welke Keizeren, Koningen en Vorften , ja ook byzondere, maar in burgerlyken ftaat levende menfchen, heeft bewoogen, om zekere By-eeakomften van geleerde Mannen te beraamen, met dit oogmerk, van deze of geene Weetenfchap en Konft met neerftigheid daar in t'onderzoeken en dat geene uit te vinden, wat tot der zeiver volmaaktheid, om den hoogften trap te bereiken, noch ontbrc- P 3 ken  u8 NIEU W-J AARS GIFTE ken zoude , zullende my tot getuigenis van myn voorgeeven maar alleen verftrekken d'overgroote heerlyke Prue fe eftraha fiempre fobre mucbas co/as, que novalen nada\ T'por èazer fus nombres de d'ias endïas mas y mas reputados, Esmenejier, que no tienen algunos mas de faver a fus lados.) Cyffe r-Meesters niet eens en weeten de Proef op de Additie , in Bartjens Cyffer-Boek by alle Exempelen by gevoegt, te maken. Is dat niet fchande, ja immers ten hoogften te mis-pryzen. Deze voorgenoemde Proef word maar alleen door negen gemaakt : by de Subftraclie en ftaat geene Proef, maar wel by de Multiplicatie , die door 9 de proef houdt; edoch die by de Divifw op pag. 17 ftaande twee Proeven zyn zeer valfch, hebbende dienvolgens naar de belofte van den Drukker voor myne uit-reekening en moeite 4 fchell. of 24 ftuiv. verdient. Maar om nu ook klaarblykelyk te toonen, hoe deze Proeven door negen moeten gemaakt worden , niet minder dat men de Proeven op de Additie, Subftraclie , Multiplicatie en Divifie door allerlei getallen kan aanftellen , en niet juift noodzakelyk is, van maar alleen het getal negen te gebruiken , ook dat de in Willem Bartjens Cyffer-Boek by de Additie enz. geftdde Proefgetallen geenzins Wisje-wasjes of Beuzelingen zyn, gelyk als een zeker Cyffer-meefter met die eigenfte woorden de Jeugd heeft willen wys maaken, zo zal ik beginnen met de ADDITIE. Ik en wil niet twyffelen, of ieder een, die maar een weinig tyds in 't cyfferen zich heeft ge-oeffent, zal weeten , dat d''Additie eigentlyk maar eene Optelling is van twee , drie of meerder getallen , en dat d'uitkomft der optelling de zom genaamt word, dienvolgens tot eene Proef konde dienen , wanneer men va»  .120 N I E U W-J AARS GIFTE van de 2om elk getal in 't byzonder wederom aftrok tot op een na, als'er getallen geweeft zyn, dan moefte dit getal, dat niet en waare mede afgetrokken geworden, juift de reft of hetoverblyfzel van de gefchiede Subftraclie zyn. Maar hoe moejelyk, ja byfter verveelend zoude eene zodanige Proef niet vallen, by aldien meer als hondert getallen om op te tellen , wierden voorgegeeven ? Dit hebben nu d'oude Reeken-Konftenaars al over lang ingezien en'er op gepeinft, hoe zulke moejelyke Proeven door de Dtvifie mochten konnen verkort worden. Dienvolgens hebben zy het getal negen verkoozen, als hebbende het zelve geacht het allcrbequaamfte en minder moeielykfte te zyn, waar mede men onderzoeken konde, of de zom Jat is, de gefchiede optelling van zo of zo veel getallen rechtmatig waare of niet. 6 De van hen dieswegen opgegeevene Regel is zeer eenvoudig en beftaat maar m eene deeling door 9, of in eene weg-werping van zo veel maal 9 , als elk getal van die geenen die 'er zyn^opgetelt geworden, in zich bevat,behoudende d'ovèrfchotten 'er van , die dan weerom opgetelt wordende en zo veel maal 9 'er van weg werpende , als mogelyk zyn kan, zal eindelyk een getal over blyven minder als 9 of o. By aldien nu het zelve uit de zomme ook overfchiet, dan kan men zeker bef] uiten dat d'optelling wel gefchied en de daar uit voort gebrachte zom recht is. De Heer Wol f f draagd deze Proef in zyne Grond- be" in Celen van de Anthneüca (*) ook voor, echter met andere bewoordingen, welke nochtans een en 't zelfde doelwit beoogen maar hy en maakt ze niet toe-paffehk, nochte op de Subftraclie nochte op de Multiplicatie, nochte op deDivifie. Echter brengt hy in zyne Latynfche Grond-beginfelen over de Wiskonft eene an- * Grond-Beginzelen van alle de Mathematifche WeetenUhappen. Eer/Je Deel pag. i9 & 20. §. 46 6? 47. wwi ^Arithmetica.  VOOR ONKUNDIGE CYFFER-MEESTERS, xzt andere Proef (t) op Additie door 7by, zeggende 'er teffens by ft), dat men in plaats van 7 ook andere Getallen ten dien opzichte kan en mag verkiezen. Om nu deze Proef in een helder licht te ftellen, zal ik de zelve met eenige Voorbeelden of Exempelen verklaaren, te weeten • men addeere of telle op de volgende Getallen, als: 367 4281 5231 67$ 737 856 LI %6 379 f9 3f 54 IS 377 4 ttl £ ™ V36 %] 6 I 543 473 636 280 753 47 4l5 259 432 78? 256 359 135 79i 357 2Ö4 486 680 jtoV J97_ 3988 I 4082 I 3864 1 4*371. 4467 Om nu hier op de Proef door 9 te maken , zo werpe men, volgens de gegeevene Regel, van elk der getallen , die er zyn opgetelt geworden, zo veel maal «^«weg, als doenlyk is,zullende dan de overfchotten de volgende zyn 715 1 o 8 I 6 6 1 1 ° 3 2 3 6 o 6 7 3 8 3 6 3 1 2 5 8 3 1 6 2 6 o 1 7 5 248086 3 o 27I 371 32} "1 341 3o Q Als t Element* Mathef. Univerf* Pars I. Cap. II. EUmnt. Arithmeticè Probl. 6.p. 41. §• i°7' $ Iw. «ï. 43* §• Iol>-  122 N I E U W-J AARS GIFTE Als dit door 9, het aangenomen Proef-getal gedeelt word,dari zyn de Overfchotten 1 °' f.j 51 31 71 31 En zo veel moet ook overblyven , wanneer men de zommert van de opgetelde getallen door 9 deelt, zynde de zommen nu 3MO | 3988 | 4082 [ 3864 | 4237} ^671 Zo fchiet door Deeling van negen over, als voor heen: l\ 51 31 71 31 Dit aldus recht zynde , zal ik nochtans.de Proef door twee andere getallen, namelyk door 17 en 31 maken, om meer als te klaarblykelyk aan te toonen , dat men juift niet alleen aan negen gehouden is, om Proeven op de Additie te maken, maar allerlei getallen na believen kan neemen , welke men wil, al wa» ren ze ook noch zo groot, by aldien ze maar kleinder zyn al» die getallen, welke 'er zullen door getoetft worden. Dienvolgens door 17 de voor heen gefielde getallen om op te tellen, gedeelt, zyn d'Overfchotten, als volgt: 10 3 f 13 | 12 6 1 6 4 14 5 ! o 5 16 4 1 5 1 2 10 11 1 3 11 1 o 13 8 15 7 9 16 2 7 J5 5 81 7 4 7 3 1 j 3 i<5 9 o 9 10 o 3 6 q - 1 _4 , _j_ ( *M 441 53 1 Jöj jy j ^4  VOOR ONKUNDIGE CYFFER - MEESTERS, i z 3 Dit dart door 17,zynde het aangenomen Proef-getal, doorgaans gedeelt, zyn d'Overfchotten, die'er over blyven, als volgt: 101 101 2] ?! 4l *3l moetende ook zo veel overblyven , als men de zommen der opgetelde getallen, te weeten: 3240. 3988. 4082. 3864. 4237- 4467» door 17 insgelyks deelt, blyvende dan 10. 10. 2. 5- 4- 13- gelyk als boven over, dienvolgens alles wederom recht. Doch de Proef door 31 willende aanftellen, zyn c?Overfchotten der opgetelde getallen , 16 25 V ' 24| 24 '9 20 22 7 10 24 16 \ 21 9 28 10 n 21 e 19 16 22 26 io 2 18 16 13 16 !7 O 18 12 II 2p 10 8 18 11 16 16 16 [ 21 29J 27^ 25 2g. I40I "ï^3l 1451 M41 J45 x58 Dit dan door 31 , zynde het aangenomen Proef getal, doorgaans gedeelt, blyven over de Reften 16] 20} 21 | 201 21 j 3 1' Als men nu de zommen van de opgetelde getallen, namelyk: Q_2 324°l  124 NIEU W-J AARS GIFTE 3M°! 3988 | 4082 [ 38<54f 4237| 445?r cËffffi V6rkieSde Pr°Cf-geta,> deelt' * 16 I 20 f 2ij 20] 21 j 3j als boven. Hebbende nu genoegzaam getoont, dat de Proef op d>Additie met alleen door negen, maar ook door'veele andere getallen kan aangeftelt worden , welke altyd twee gelyke geSHen moe? voortbrengen, zo wel uit de zom der Overfchotten , als uk de zom zelve van de opgetelde getallen, dus ga ik over tot dé SUBSTRACTIE. By de zelve koomen maar eigentlyk twee getallen in aanmerking om der zelyer Overfchot of Reft te wihen weeten En offchoon het ook al gebeurde, dat 'er veele getallen w er den opgegeeven , welke van eenander veel grooter getal zouden afgetrokken worden , dan kan men maar al voofens de af te tiekkende getallen t'zamen optellen, en hunne zom met eens aftrekken, om het verlangde overfchot te hebben. Dienvolgens word >n de Subfirafite maar het onderfcheid tuflchen twee getal, len gezocht wordende het zelve de Refi genaamd; doende den reft toe tot het getal, 't welk men van een ander getal heefufgetrokken, dan moet het bovenfte of grootfte getal wederom uitkomen zynde dit eigentlyk de Proef in Willem Bmjem Cyffer-boek by-gevoegt, voerende ook de Heer Wol ff zo Ver m zyne Dmtfche als Latynfche Grond-Beginfelen van de Vis konft geene andere Proef dien aangaande aan. Nochtans kan men de zelve door ne°en en meer annVrP m. tallen, gelyk als by Additie, aanftellen, zo aTs nu zal aïnS" toont worden. By voorbeeld, Men trekke g van  VOOR ONKUNDIGE CYFFER-MEESTERS. 125 van 3789. 48576. 579312 en 7954687 af 1397. 23897. 480976 — 3659379 blyven over 2392. 24679. 98336 en 4295308 Van deze getallen werpe men nu zo veel maal 9 weg, als doenlyk is, dan blyven de volgende Overfchotten over r te weeten: Van het I. 1,1» UI. en IV. Exempel o. 3. o- h 2. 2. 7. 6. 7. 1. 2. 4. In het tweede Exempel 2 van 3 af-trekkende, blyft 1 over, gelyk 'er onder ftaat. Maar nadien in de drie andere Voorftellen de benedenfte getallen van de bovenfte niet en konnen afgetrokken worden, dus moet men het Proef-getal, zynde negen in 't tegenwoordig geval, tot het bovenfte toe addeeren, om het benedenfte daar van te konnen aftrekken, dan moet de Reft als boven voort-koomen. Maar om nu ook te toonen, dat de Proef door veel andere getallen , als alleen door negen kan aangeftelt worden 3 dus zal ik 'er de getallen van 19 en 37 toe verkiezen. Dienvolgens werpende van de getallen der vier boven by gebrachte Voorftellen 1.) zo veel maal 19 weg, als gefchieden kan, dan houdt men de volgende Overfchotten over, namelyk : Van het I. II- III. en IV. Voorftel 8. 12. 2. 14. 10. 14. 10. 17. r 17. 17. ii- J6. Q_ 3 Hier  uS N I E U W-J AARS GIFTE Hier word men nu gewaar , dat de bovenfte getallen kleinder zyn, als de benedenfte, die 'er zullen van afgetrokken worden dieswegen moet men tot de bovenfte het Proef-getal, zynde 19 in dit geval, toe addeeren, en dan'er de benedenfte getallen van aftrekken, zo zullen d'overfchietende Reften zyn, gelyk als boven. ' D ' Stellende dan 2.) de Proef door 37 aan, verkrygt men tot Overfchotten, als volgt : In het I. II. III. en IV. Voorftel iS' 3z- 3. 20 28. 32. 13. $ Z4- o. 27. 15 De Reften in het II. en IV. Voorftel worden door de Subftraftie van zelve openbaar; maar om die van het I. en III. Voorftel te verkrygen , moet het Proef-getal, zynde 37 in dit geval tot de bovenfte getallen eerft toe geaddeert en dan de benedenfte van de zomme afgetrokken worden om 24 en 27 te konnen overfchieten, gelyk zynde aan de bovenftaande Reften, als; I. en III. 37- - - 37 Proef-getal 52 40 af 28 en 13 blyven 24 en 27 over na behoorea, dus alles wel gemaakt is. ' Waar uit dan nu ten vollen blykt, dat de Proef op de Sub ftrattit ook door allerlei getallen kan aangeftelt worden , zynde nu niets meer overig, om 'er noch by te konnen voegen, zo neeme ik dan voor de MUL-  VOOR ONKUNDIGE CYFFER-MEESTES. 127 MULTIPLICATIE. De zelve en is niets anders, als eene konftige Additie, in 't korte aangeftelt om op eene keer de zom, van eenige maaien een opgegeeven getal tot zich zeiven Vaddeeren, te konnen uitvinden. Doch myn oogmerk niet zynde , om hier ter plaatle te toonen, hoe men in H multipliceeren op eene korte en beknopte wyze moet te werk gaan , maar alleen hoe de proef door negen en andere getallen op die reeds uitgewerkte Exempelen moet gemaakt worden; dus laate ik het eerfte achter, en blyve by dit laatrte. Dienvolgens laat vermenigvuldigt zyn 234? 4567 56780 en 07531 met 241 345 4567 9753 dan zyn de Produtlen 565145 1575615 M93553ö3 en 95I2I9«43 Nu werpe men zo wel van de beide getallen, welke t'zamen vermenigvuldigt zyn , als ook van het daar uit voortkomende Froducl zo menigwerf 9 weg , als doenlyk is; dan zyn d Overfchotten van het _ I. II. III. en IV. Exempel W W \V w En de getallen die boven tuffchen de fchuinze kruisjes ftaan, d'Overfchotten der getallen, die met andeie zyn vermenigvuldigt geworden; maar die onderftaande d'Overfchotten der getallen, waar mede men vermenigvuldigt heeft , zynde d'Overfchotten der Produtlen ter Hinder zyde geplaatft. Om nu te weeten, of d'Over-  «8 NIEUW - JAARS GIFTE d'Overfchotten der Produtlen , ter flinker zydeftaande, recht zyn , of niet, zo moeten d'Overfchotten tuflchen de fchuinze kruisjes boven en beneden ftaande met malkander vermenigvuldigt worden , van het koomende Produel het verkooze Proefgetal, zynde nu 9, zo menigmaal afgetrokken, als gefchieden kan; dan moeten de Reften gelyk zyn aan de getallen ter flinker zyde van de kruisjes zich vertoonende , als men vermenigvuldigt van de voorgaande gevondene Overfchotten in het I. II. \\\. en iy. Voorftel f48 7 met 7 g 4 - 6 35 12 22 42 af 27 9 27 36" blyven 8 3 $ 6 0Ver, welke men dan ter rechter zyde plaatft, dus de Proeven der vier Voorftellen zich vertoonen, als volgt: V/ w w w 8X* 3X3 vv 6X* /7N / 3\ /4\ / ó\ en dienvolgens is alles wel gewerkt. Als men nu tot Proef-getal verkieft 41, dan zyn d'Overfchotten der vier opgegeevene Voorftellen Id  VOOR ONKUNDIGE CYFFER-MEESTERS. 129 In het I. II. HL en IV. Voorftel w \V W X!/ 1 X 1 26 X 26 23 X' 23 4° X 4° ^oX /17X /16^ '36^ En volgens bovenftaande onderrechting vermenigvuldigt 8 16 4 33 met 26 17 10 30 288 272 / 14^ Nu vermenigvuldige men 58 39 en 38 met 22 15 14 1276 585 532 toe 11 25 3 1287 610 535af 1281 öio 488 blyven 6 o en 47 over, gelyk zynde met de getallen ter flinker zyde (taande. Maar als men de Proef door 107 aanftelt, dan zyn de Toetsproeven, als volgt: Van het IV. V. en VI. Exempel. \88/ w W Het bovenfte getal met het benedenfte vermenigvuldigt en dat ter rechter zyde {taande 'er by in getrokken , van de zom het R 3 Proef- ■1  134 N I E U W-J AARS GIFTE Proef-getal , zo dik wils als het gefchieden kan , 'gefulfirabeert t dan moeten de Reften gelyk zyn aan de getallen ter flinker zyde ftaande, als blykt uit het volgende. 88 54 en 99 met 6 105 5 gemuit. 528 5670 495 toe ij 19 55 539 5689 550 af 53f 5671 535 Wyven 4 18 en 15 naar behooren over. Nu is noch van de Divifie overig het ft. GEVAL. Als 'er in de Deeling niets overfchiet. Laat ten dien opzichte gegeeven zyn de drie volgende Voorftellen , te weeten: 2854269 9645408 en 3779299230 om gedeelt te worden door 78?3 5634 en Ö7035 dan zyn d'Uitkomften 363 1712 en 55378 fchietende 'er dan in 't geheel niets over. Als men nu deze Voorftellen door 9 wil toetlën , of ze wel uitgewerkt zyn, dan zyn 'er de Toets-proeven van, als volgt: Van  VOOR ONKUNDIGE CYFFER-MEESTES. ixf Van het I. II. en III. Voorftel /X A\ /S Maar de zelve door 73 toetfende, koomen de volgende ToetsProeven te voorfchyn, als: \77 \V W i< %< x< En 127 tot Proef-getal verkiezende, dan heeft men d'onderftaandeToets-proeven, te weeten: Van het I. II. en III. Voorftel. w \v \y Nu vermenigvuldige men volgens gegeevene onderrechting 109 61 en 117 met 116 46 106 12644 z8o6 12402 af 12573 2794 en i*3*9 blyven 71 12 en 83 over, zynde deze Reften gelyk aan de getallen boven ter flinker zyde ftaande. 2,0  136* N I E U W-J AARS GIFTE Zo ook met de getallen der Toets-proeven , door het ProefgetalI 73 voortgekoomen, gewerkt, namelyk van te vermenigvuldigen 71 33 en 22 met 5-2 13. 21 3692 429 462 af 3650 26 f en 438 blyven 42 64 en 24 over, zo als *t behoort, zynde onnodig om die van 't Proef-getal 9 hier verder aan te haaien , vermits de zelve aanftonds in de oogen vallen. Nadien ik nu door alle de zo genaamde vier Species , dat is, Additie, Subftraclie, Multiplicatie en Divifie, getoont hebbe, hoe niet alleen de Proef door negen, maar ook door veel andere getallen, welke men 'er ook toe verkiert, kan gemaakt en aangeftelt worden ; zo word wel een ieder gewaar , dat de in Willem Bartjens Cyffer boek (*) by d''Exempelen van d''Additie op pag. 9 en 10, van de Multiplicatie op pag. 14 , en van de Divifie op pag. 17 (alhoewel die van de laatfte onrecht zyn , echter maar ten opzichte van dat getal, 't welk aan de rechter zyde van de Lyn ftaat en vandenReft moet voortkomen, dienvólgens 1 en 4 en niet 4 en 5 zyn) juift geene wicje-wasjes en beuzelingen, maar wel met groot bedacht daar geftelt zyn , dierhalven dan ook die geenen, welke zulks voorgeeven, hunne onweetenheid 'erdoor verraden, enden naam van ervare Cyffer meefters zouden behouden hebben, by aldien zy maar hadden ftil gezweegen. Nu zal ik noch voor 't laatfte aantoonen, uit wat reden d'Ouden juift het getal negen verkoozen hebben, om door het zelve de Proef te maken, zynde een geheim , 't welk mogelyk niet aan alle Cyffer-meefters bekent is. De (*) J> Jokannes Kanneivet in 't jaar 1743. f>'er ter plaatze gedrukt.  VOOR ONKUNDIGE CYFFER-MEESTERS. 137 De Getallen hebben veele wonderbaare eigenfchappen aan zich,welke door lang duurige Frailyk moeten uitgevonden worden, blyvende 'er echter noch altyd veel on-uitgeyonden te rug waar in andere hunne fcherpzinmgheid konnen laten blyken'; maar myn voornemen niet zynde , om my nu voor t tegenwoordige in verdere wydloopigheid in te wikkelen , zo zal ik my maar alleen vergenoegen met die Eigenfchappen aan te haaien, welke tot myn voorgezegd oogmerk dienftig zyn. 1. ) Getallen, welker laatfte Cyffer-letter (te verftaan van de flinker naar de rechter hand toe) 2 , 4, <5, 8 of o is, konnen altyd, effen opgaande, door 2 gedeelt worden. 2. ) Getallen, welker Cyffer-letters zom, zonder hunne order, waar ze ftaan, gade te flaan,door drie deelbaar is, konnen ook altyd door 3 , zonder dat 'er iets overfchiet, gedeelt worden. 2.) Getallen, welker laatfte Cyffer-letter «) is 2 of 6 , en de voor de zelve ftaande Cyffer on-e. /3)V4," 8 of o is en de voor de zelve geplaatft zynde Cyffer even, -, konnen in beide gevallen altyd door 4 , zonder overfchot, gedeelt worden. 4.) Getallen, welker laatfte Cyffer-letter ? of o is, konnen door 5, effen opgaande, altyd gedeelt worden; maar ftaat er voor de y of 2 of 7, dan zyn zulke getallen deelbaar door $ maal 5 , dat is, door 25 : gelyk dan ook die getallen door 25'konnen gedeelt worden, welker twee laatfte Cyffer-letters Nullen • zyn.,;', ia . ),j 'io njsob v»ii '5) Getallen, welker laatfte Cyffer-letter een even getal en de zom van alle Cyffer letters t'zamen door 3 deelbaar is , konnen door 6 , zonder dat 'er iets overfchiet , altyd gedeelt worden. <$".) Getallen, welker Cyffer-letters zom zonder op hunne order , waar ze ftaan, te letten , door o deelbaar is, konnen 1 S ook  158 N I E U W-J ii R S GIFTE ook altyd door 9 gedeelt worden, zonder dat 'er in de Deeling iets overfchiet. Nu -is het wel onftrydig veel gemakkeiyker, de CyfFer-letters van een gegeeven getal op te tellen, als te deelen. Dewyl nu het getal negen voor alle d'andere 8, de bovengemelde Eigenfchap heeft , dat een opgegeeven getal , hoe groot het zelve ook zy, daar door, effen opgaande kan gedeelt worden, als de zom der Cyffer-letters van 't gegeeven getal door 9 deelbaar bevonden word; dus is zulks wel voornamelyk de reden geweeft, waarom d'Üuden het zelve tot de Proef «p d''Additie, Sub/trapje,, Multiplicatie en Divifie te maken veikoozen hebben (*). ' Maar, al vooren.s ik dit Werkie befluite, moet ik noch een woord of twee met U, myn Vriend, fpreeken , die gy'er de voornaamfte oorzaak van zvt, dat ik zo veel moeite nopens deze JNieuw-Jaars Gifte voor 'U en andere onkundige Cyffer-Meefters beftemt,. befteedt hebbe. Voor 't eerfte zo gelieft gy, onweetendeHeeren, met.qualyk te neemen , dat deze Gifte niet met den beginne van *t jaar verfcheenen is, gelyk men wel gewoon is, van met giften in gereede Penningen te doen ; 't zal , zo als ik my verbeelde noch tyds genoeg zyn , dat de naaktheid uwer kenniflè in de Cyffer- konft openbaar word en gy van veele voordeden verfteeken wanneer andere menlchen op meerder becjuaamheid van die geenen zullen letten,aan wienzy hunne kinderen, om in de Cyffer-konft met grond ondeirecht te worden, willen toebetrouwen. Doch deze zorg my niet middelyk raakende, laate ik dié aan andere over. Maar voor 't tweede moet ik uw, myn Antagonift, vragen, wat heeft uw toch immers bewoogen , ©m van my dezen of geenen te hebben willen diets maken, als of ik <(*) Moewl de Heer ChRISTIAAN Wor.rr deze Proef door neggen ïn&kt Duitfche Grond Beginzelen van alle dt Mat'bematifche Wetenschappenniet verder toe-faffelyk maakt, ah maar alleen op ^'Additie, zo gefcbied zulks eehter in zynf Latynfcbe Element. Mathef. Univcrf. Tom. I. war by §. i22. gp -I24. Aiithm. de zelve .breedvoerig ver band'dt nopen j de Multiplicatie en Divifie" .zeggende §.10^. Anthm. ten opzichte der Subftraclie maar alleen, dat 'er de froef ook -wel door negen kan op gemaakt xvctdtn , zonder (vin wel dit Foorgeeven door ttn Exempel te ver klaar en. -t  VOOR ONKUNDIGE CYFFER-MEESTERS. 139 Biet in-ftaat en waare, ook maar eene opftelling van de Regel van Drien nabehooren uit tecyffêren en dienvolgens by üw eerft inde fchool gaan en onderrechting zoeken moefte? By aldien gy dat uit myn aangezicht hebt konnen leezen , zo zyt gy zekerlyk een zeer flecht Fhyfiognomïft geweeft, en dit Werkje kan *er uw- heï tegendeel vaas overtuigen. Ik heb immers nooitr nochte uw<„ nochte uwe wetenfehap veracht, waar door gy had*-, det aanleiding konnen neemen , om my met gelyke munte te betaalen. Wautrwy menfehen en konnen niet alle even geleerd, noch even ervaren zyn- in deze of geene konft of weetenfchap,,, maar d'eene munt voor den anderen altyd in iets uit. Ja voor 't derde moeftet gy uw wel, grotelyks fchaamen, van. eene zo< groote vreezet te hebben laten blyken, „ dat ook myne, fchim in de. Nabuurheid uw al verveelde en ik. dienvolgens op. uwe heimelyke aanftookinge onverwacht op. d'eene plaats uwe* Cyffer-konftigen Hemels moefte verdwynen, om op eene an^ dere fteê tegens uw dank en wil wederom te konnen verfchynen. Hebt gy my nu voor een dwaalendeStaart-ftar uwer onweetende Mede broederen aangezien,welker gangpf loop gy nieten kondet naspeuren,, nochte uit-cyfferen, door wat voor een byzonderen Dier-Riem myneraangegaane verbinteniffen ik nujuift uit het Zuiden naar het Noorden mynen weg hadde genomen; zo hebt gy met uwe ongewapende oogen. zeer quaalyk gezien, en dus hoop ik , dat de voor dier zaken verftandige opgegeevene 60 Voorftellen, als een, met veel vlyt vervaardigde Verre-kyker, uw en uwe onweetende Mede-broederen zal konnen dienen, om 'er d'uitgeftrektheid mynes reeken-konftigen Hemels door te befchouwen, en noch dertig andere heldere reeken-konftige Eichaarnen, meerder glans en fchyn hebbende als ik, behalven my, daar aan gewaar te worden , waar van noch niet een volgens myne laatfte aangeftelde waarneming weezentlyk verdweap nen is. Of gy my nu onder hen voor een Dwaal- of ook voor een Staart-ftar, die omtrent alle 23 jaaren in deze Lucht-ftreek zich vertoont, wilt houden , zulks zal my onverfchillig zyn. Want al heb ik van uw en andere ondervonden fttdhm tammpu-dem effe mendacium, quod teftc careat ;  i4o N I E U W-J A A R S 'GIFTE zo zal ik 'er echter my niet meer aan kreunen, maar uw alleeri aanpryzen: Viri boni eji, ne mentiatur', prudentis, ne mendacium dicat; Ik zal daarenboven den my voorgeftelden loop onbelemmert voort-zetten, en zoeken met "myn klein licht, hoewel zwak, andere, zo veel mogelyk, te verlichten. Maar mogelyk is 'er wel van al dit niet d'oorzaak , dat ik uwe ongerechte en notoir valfch opgemaakte Reekening, waar van het bev/ys tot uwe fchande noch onder my beruft, niet en heb willen noch konnen goed keuren? Want dat zoude met het kenteken van een eerlyk man, 't welk een Cyffer meefter noodzakelyk in al zyn doen en laaten van zich moet laten blyken, ftrydig zyn. Doch het zy daar mede geftelt, zo als het wil, ik zal wel na het antwoord op myne vraag lang genoeg vergeefs moeten wachten, daarom my 'er niet mede zal ophouden, maar alleen uw, en uw verder gedrag tegens my , aan 't oordeel van verftandige bloot geftelt zyn laten. Ondertuffchen, myn Vrund, dewyl my uit d'ondervinding bekent is, dat Simiam reprtfentare in pelle Leonis aan verftandige, als dringende altyd op dat by de Wis-konfte* naars gewoonlyk zynde verfchrikkelyk woord van Bewys, geen de minfte genoegen geeft ; zo kan niet na-laten van aan uw te verzoeken een ftaaltje van uwe zo hoog opgehefte Weetenfchappen ook aan s'weerelds licht koomen te laten , ja (ik moet het zeggen en kan het niet langer verzwygen) eene geheel buitenfpoorige Weetens-gierigheid zet my gelyk als met geweld aan, om uw 'er ootmoediglyk om te fmeeken. Doch , terwyl ik dit voorgezegde ter neder geftelt heb, fchiet my juift te binnen, dat gy van de Wis-konft (*) in 't geheel (*) Be gemeene Cyffer-konft uitgenomen, zo als ze ly uw in de Schoole ponder wijkjmfligt Ondervinding uit Bartjens Cyffer-botk, onderweeën word*  VOOR ONKUNDIGE CYFFER-MEESTERS. 141 heel niet met al verftaat; dieswegen zo zal ik uw maar driederlei tot oploffing voorftellig maken en van uw fcherp inzicht in menigerlei andere zaken, met deWis-konft geene onderlinge overeenkomft hebbende, de befliffing of uit-reekening door de vier gemeene Species alleen daar van met ter tyd blyven afwachten. Het eerfte voorgeftelde. De Reeken-konftenaars hebben aan de getallen, welke deze ofgeene Eigenfchap of eene zekere betrekking met andere getallen hebben, veele byzondere naamen gegeeven of toe-geeigent, en ten dien opzichte de zelve bygenaamt, of NuME&I PRIMI - COMfOSITI. _ Pronici. figurati, quifubdividuntur _ in Polygonales diverforum generum _ — c0lumnak.es —— ——■* - _ ... PïRiMIDALES . — Pyrgoidales — altero latere binario, termrio Qfc. major es *uet minores Qfc. als ook, — — Perfecti, , amicabiles. Deze laatfte, te weeten de Numeri amicabiles of Vriendfchapsgetallen zyn het, die ik nu be-ooge, en waar van ik graag het derde paar wilde weeten. Zy hebben deze eigenlchap, dat de Partes aliquot* of Deelers van het eene getal weêrzyds m zom zo veel uitmaken, als het tweede getal. S 1 He$  *4* NIEÜ W-f AARS GIFTE Het eerfte paar daar van is ! | z2o en 284 1 z z ïio z 141 4 5* 4 71 10 2£ 7 213 11 acr *; - ■ y ■ -» 33 1 „ r 284 Het tweede paar heeft Halken- uitgevonden en al lang bekent gemaakt (*). Als.gy, myn Vriend, my nu het derde paar kont uitvinden, zo zal ik uw daar tegen een geheim leeren dat uw by uwe moejelyke onderwyzinge wel zal te pas koomen'namelyk, aan 50 en meer Discipelen eene Helling van een Regel van Drien op te geeven , dat verfcheiden is aan geld, en gewicht of maaten, en echter altyd eenerlei facit voortbrengt. B Y V O E G S E L. Het tweede paar der Vriendfchaps-getallen, door Paul Halken in zyn Zinnen-Banquet bekent gemaakt, zyn 17296 en 18416; by gevolg der zeiver Phrtes aliquou of byzondere Deelers als volgt: ' (*) ij»!* in jcii Mathematifeh ©irniÉl-Confefl  VOOR. ONKUNDIGE CYFFER - MEESTERS. 14$ 1 1 2 8648 * 9208 4 4324 4 46j4 8 2162 8 2302 i<5 1081 16 1151 23 752 "— 7 4J 376 ?' '7*gj f2 f88 94 184 333 l8o83 .—1 18416 Maar, myn Antagonift ,, nu kont gy eenigzins met recht my een mis-flag voorwerpen , dat ik het derde paar dezer Getallen van uw zo in't openbaar verlange bekent gemaakt te hebben, nadien 'Franciscus van Schooien, geweeze Hoog-leeraar in de Wis-konft te Leiden het zelve al over lang heeft uitgevonden mogelyk in zyne Exercitatioues Mathematica te L eiden Anno 1657 in Quarto op te zoeken. En nadien hy ftelt dezewederzydfche Vriendfchap te fchuilen in de getallen van 9363584 en 9437056; dus moet ik myn aan uw gedaan verzoek veranderen en in plaats der zeiver het vierde verzoeken, om opentlyk ten toon te ftellen: het geheim, dat ik .uw daar voor wederom leeren wil, zal dan ook dubbeld op zyn, te weeten 100. Doch , myn onzydige Leezer , kan zich niet laten vreemd dunken, dat my dit derde paar zo lang is verborgen gebleeven, want immers wel niet mogelyk is, van alle Boeken doorgaans te konnen leezen. De eerfte ftap ter uitvindinge van de Vriendfchaps getallen heeft wel M'uhïél Stifelias gedaan , en wie weet wat voor een licht  144 NIEUW- JAARS GIFTE licht hy door zyne Arithmeticaintegra (welk Boek ik nooit gezien heb) by andere perzoonen, als Kepkrus (f), Neperus, Briggius en andere ontftooken heeft? (#) Maar, om niet al te verre buiten myn voorgefteld Bedekte raaken, zo zal ik dit en meer andere zaken tot eene nadere gelegentheid uit-ftellen, om grondig t'onderzoeken. Gy kont,myn Vriend, alleen aan myne begeerte voldoen, door het vierde paar der Vriendfchaps-getallen in 't openbaar bekent temaken, en als gy daar beneffens ook alle andere mis-flagen noch wilt uitpluizen, die mogelyk in dit klein Werkje buiten myn weeten en willen hier en daar mochten ingefloopen zyn , zal ik 'er uw dank voor weeten te betoonen. Het tweede Voorgefielde. Eene ruimte moet ten minden van drie lynen beflooten worden, en daarin kan geene Diagonaal of Dwars-lyn van eene hoek tot een derde getrokken worden, maar wel van den hoek in 't top tot op de Bafis of Grond-lyn eene rechtftandige , die men de Ferpendiculair-lyn noemt, waar mede men in dit geval niets te doen heeft. • Maar in eene figuur van vier zyden konnen twee Diagonaal-lymn getrokken worden, welke zich maar in een punt fnyden. By gevolg konnen in eene figuur van vyf zyden getrokken worden vyf Diagonalen, zich onderling in vyf punten fnydende, als d'eerfte Diagonaal van de 1 tot de 3 hoek de tweede . . 2.-4 de derde . . 3 . 5 de vierde . . 4.1 de vyfde . . y . 2 Uit het voor gezegde is nu zeer gemakkelyk af te leiden de reden, welke de veelhoekige figuuren van meerder zyden on- der- (t) Ziet Wdffens kort Onderricht van de voornaamfte Mathematifche Schriften §. 53. (*) Vid. tVolfii Elem. Math. Univerf Tom.V, de fcriptis Mathem. brevit Commentatie Cap, V. §. 14.  VOOR ONKUNDIGE CYFFER - MEESTÉRS. i4? derlingtegen malkander houden,zo wel ten opzichte der dwars-, lynen, die daarin konnen getrokken worden, als ook der mogelyke punten, waar in deze zich malkander lnyden. Dierhalven werpe de vraag op, hoe veel Diagonaal-lyntn dat er in een Veel hoek van 65536 en 100000 zyden konnen getrokken worden en naar het getal der mogelyke punten, waar inde zelve zich onderling malkander fnyden? Het derde Voorgefielde. Te Genua, eene Republyk in Italien, zyn omtrent 120 Adelyke Gedachten, waar uit jaarlyks vyf Heeren door het Lot tot Gubematores of Raads-Heeren verkooren worden. Tot dien einde is 'er eene Lootery opgeregt , waar m elk een kan deel neemen op dusdanige wyze, dat men eene zekere zomme gelds ftelt op een , twee , drie , vier of vyf naamen uit zo veel Geflachten, om in de naaft koomende Verkiezing door het Lot tot Raadsheeren te zullen verkooren worden, by aldien het nu gebeurt, dat de Verkiezing op zodanige Naamen valt, waarop deze of geene zyne penningen ingelegt heeft, dan verkrygen zy een met hun inleg naar eene zekere Proportie gereguleerde winft of prys, zynde grooter geftelt op 5 ? als op 4 , 3 , 2 en 1, enz Nu is de vraag, als iemand op meerder als een te weeten- twee, drie, vier of vyf naamen uit zo veel Genachten een Lot'hadde ingelegt, in wat reden dan de kans van zyn te hoopende winft tegen het verlies is? Ziet daar, myn Vriend, den Inhoud van de drie opgeftelde Voorwerpen, waar over ik uwe oplofüng verlangend ben om te zien, en daarom wel inftantelyk verzoeke , nademaal de zelve maar geheel en als alleen door eene eenvoudige, echter konftige Additie en Subftraclie, dat is, Multiplicatie en Divifie kan voortgebracht worden. By aldien gy nu ook niet daar in onbedreeven zyt, zo zult gy immers my met weinig moeite konnen voldoen. . Ondertuflchen hoope ik, zult gy my nochtans dank weeten,  U6 NIEU W-J AARS GIFTE dat ik zo bedektelyk fchryve en geene dusdanige ken-tekenert geeve, waar uit andere konden aanleiding neemen, eelvk Ih met vingeren op uw te wyzen en te zeggen: Fabula de te narratur: want al ben ik een vyand van valfche zaken , zo ben ik nochtans een Vriend derPerzoonen, my voor 't overige vleiende gy m t toekomende tegens my zult blyken geeven van een bel ter en roemwaardiger gedrag. Dit mag nu ge-letter- of Re-cyfferkaauwlweezen, (Bewoordingen uw maar eigen zynde) het ftaat e venwel al ter neder geftelt. Doch , ziet hier voor 't laatfte noch een klein verhaal, om iiwe zinnen een weinigje wederom te verheugen of tot bedaaren te brengen , als de zelve mogelyk door dit Werkje, eeenzins fer Magiamptternaturalem voortgebracht, mochten bedwelmt geworden zyn. 1 Een zeker oud Arabifch Wysgeer (*) lange jaaren op het geleme jan Granada gewoont hebbende en by geval m de vermakelyke Lands* douwen van Andalufien koomende afdaalen, kwam my, toen ik daar ft.) aan mynen belemmerden geeft eene vrye uit-fpanmng wilde geeven bezoeken, teerende my zeer wonderlyke geheimen, onder anderen hol men den waaren Steen der Wyzen (Lapis Philofophorum) uit de Getallen konde trekken. ' Voorts vertelde hy my van twee Hoog-Leeraars in de Wis-konft (±\ gehoortte hebben , als of de zelve de al van ouds gebruikelyk zeweU zynde Bewoording van a J ■ Continué Proportionalis web verder gezocht hadden uit te breiden, door dien zy van gedachten waaren dat men, om zich verftaanbaar uit te drukken, 'er noodzakehk moefte by zetten five fit in Arithmetica, Geometrica , Haraordca, live Contra-Harmonica ProgreiTione. ffi SJr^rl*' ^ mimcmr/'a m m e"Z«™> Fra Verati fedro. ^ (t) 4 hs Capuams de St. Lucar. ' (f) En Akmaitia,  VOOR„ONKUNDIGE CYFFER-MEESTERS. 147 Zeggende 'er by, als gy in V Noorden wederom, koomende , zulks aldu.f vindt ,zoverzoekikeene zodanigeNieuwigleid fonderzoeken, het welk ik hem belooft heb van te zullen doen met eene Verklaarinz des Vvfden Boeks van Euclides uit de Spaanfche in deze of geene Taaie over te zetten. Daar op zeide hy vorders tot my , als gy een rechte tel konftige Wysgeer wildet worden, dan moet gy met den verkeerden weg li Leibnitz (*), noch van Weigel (t) navolgen , maar blyven alleen by de leiding van de Natuur, die onze Voor-ouders geleert heeft van altyd tot op tien te tellen. . Hoe belachelyk is het met, vervolgde hy, dat d'eerfte, die in t Noorden woonende, in zyn le even heeft willen diets maken, als of uit niets op eene telkonftige wyze konde iets koomen, en iets wederom tot niets worden Weigel leerde wel iets, dat beftaanlyker was , maar wilde nochtans de Natuur , gelyk als verminken, door zyne telling tot op WMen konde wel zomtyds in dit of dat geval van den gemeenen weg iets af-wyken, maar men moefte echter altyd zulk een zeker By-pad verkiezen, 't welk ons niet te verre afleidde en in de Reden of Aonjt gegrond waare, als by voorbeeld: Om twee Getallen op te tellen door d'aftrekking, leerde hy my dus te werk te gaan: „ Twee gegeevene getallen trekke men natuurlyker wyze af van de Deelen eens naar believen genomen getals, dat groot " genoeg is en men in tweën gefplitft heeft, de verfchillen dan , wederom fucceffive afgetrokken van dit naar willekeur aange„ nomen getal; zo moet eindelykde begeerde zom verfchynen. Doch voegde hy 'er by, wilt gy konftig te werk gaan, dan Ta d moet (*) JShwad inventionem ipfms de Aritbmttka himria, Cf) Ratione Arithmtic* Tetrafyc*,  I4§ NIEÜ W-J AARS GIFTE m moet gy maar de Vierkanten der getallen, die t'zamen zullen „ opgetelt worden , van malkander aftrekken en het verfchil „ deelen door het onderfcheid der getallen , zo zult gy de zom 0 op eene konftige wyze verkrygen. Maar vervolgde hy, wilt gy twee getallen fzamen vermenigvuldigen door d'Aftrekking en Deeling 6 » Dan trekt het Vierkant van de zom der getallen af van het » Vierkant hunnes onderfcheids, en deelt het verfchil door het » Vierkant op twee, gy zult het Produd hebben. Van de Aftrekking en Deeling , hoe men die door het optellen en •vermenigvuldigen moefte in V werk ftellen , en wilde hy my niet met al openbaar en, zeggende, dat moet d ondervinding uw zelf heren Ik, zeer verhlyd zynde door deze wyze onder recht'mg wilde 'h moor zyne ongeveinsde me de-deeling dezer en meer anderer zeheZ?» een gefchenk geeven van duizenden, maar hy was volkomen van T ten weigerachtig, luifterende my daarentegen in V oor toe; „ Maakt van dit, wat ik uw tegenwoordig in 't geheim se n „ penbaardhebbe, een dusdanig gebruik, dat het vervol van „ uw tel-konfhg gedrag my door myne overal uitgezondene i » beimeRaaden door den tyd te kennen geeft, dat gy zulks niet „ qualyk hebt weeten te gebruiken. fa et Echter gedoogt myne natuurlyke openhartigheid wel, dat ik V ü*L min uw onweetende Heeren, hier door van mede-deeh , verzoe kende daarentegen my een" weg fopenbaaren, dien ik naar zo lee'l zoekens noch nieten hebbe konnen vinden, om het altoos om Ar aar Je Rad van V wifpeltuurig Fortuin door uw hulp geheel valt te fpvklZi dat rs, te zeggen, om uit eene Staart-Star, die voor 2 «K? «en loop van hm- verder naar st Noorden toe genoomen betf t(J% jaaren vertoeven! her ter plaatfe zeer donker aan den Cyfferion tZn dochwiffelvalhgen Koopmans-Hemel gefcheenen te hebben), met ter tyd  VOOR ONKUNDIGE CYFFER-MEESTERS. 149 tyd in een Vafte Star aan den wiskonftigen Gezicht - einder hier in deze vrye Land-ftreek te konnen vaanderen. Door dezen weg aan my fopenbaaren, verltaa ik dat geene, wat volst, te weeten: ■ - . , Twee Vantentes (*) gegeeven zynde, te vinden hunner toebehoorigeW, niet door eerte natuurlyke t'zamen voeging * en afzondering, maar wel kondig, dat is, door te vermenig" vuldigen en tl deelen, zo als men op eene gemeene wyze by " uw in de Schooien leert (f)- " Want ah ik mogelyk eens eene Ryze naar den Hemel met gewapendeoosen mochte willen doen, dat é zonder een Ar.adnes draad'erby ie gebruiken, konde terecht raaken, en in zulk een geval diende ik dan ook wel te weeten, op wat wyze men de zom U van eene Harmomfche Progreffie (|) moet vinden, waar op ik, om 'er u toe aan tt moedigen eene Premieom . Uit de zom van zes continue proportionaal of geduurig even-redise getallen = c en de zom hunner guadraten = d de ge" tallen zelve, univerfali methodo, te vinden, zonder den Heer ! van Clausberg (*) dien aangaande om raad te vraagen, gevenl de uw 'er een geheel jaar bedenk tyd toe. Doch als ik van zulke aan uwe ongewapende oogen miffcbien toefchnende beuzelinge-n meerder zoude ophaalen, konde het mogelyk weezen dat ik'er geen einde van wifte ; dieswegen zal ik op t laatjte aw, onweetende Heeren, tot een weergalm maar nog toe-roepen: Davus, Davus fum, vos Oedipi. Noch- <*\ Sinus Totus is middel-evenredig tuffchen Tangens en Tangens Compl. if\ Hic latei Xodus Gordius vid. ABa Eruditor. A.1715. p- m-2S7; (Smifii Elem. Math. Univerf* Tom. V. Cap. IV. de Studio Alge- fa* §. 138. (V) Ziet hier voor p. $2. (±) Zullende hem in dit Voorftel niet konnen te pas koomen de Vond geiruikt hy d'Ophfting van 't vermaarde Lubeeckfche P KO ELE M A hier voor ,9 d'Opdracht pag. 8. aangehaalt. T 3  Ij-o NIEüW.J AA R.S GIFTE • Nochtans meent eenigzinsmet 'myne beloofde Nieuw-Jaars Gifte uw voldaan te hebben -, dierhahen voor deze keer de geheime Schat-kamervan myne. gelukkige geheugems op een tyd lang wil toe-fluiten met aan myne verftandige Leezers tot een befluit te zeggen: Optatam contigi metam, si Platonica simplicitas H0'c in OpUSCULO TEMPER ata SIT cum VEHEKENTIA DeMOSTHENICA, EINDE    algëmeene tafel Om de Toover-Vierkanten van gelyke Petken ieder zyde, te weeten van 4, 6", 8, 10 enz. tot 40 Perken toe, met volkoome zekerheid in weinig Tyds te konnen opftellen. 1  HET EERSTE VIERKANT. Ai 6i 8^ xoi ui m lói i8i HET DERDE VIERKANT. 2t 34* 66\ iOqi 22<5-i 25?i HET VYFDE VIERKANT. 2} 4-v ^ H i6± 28^ 3°i 3M 504 52; 744 7<^ ^ HET TWEEDE VIERKANT. 2t 4i <5i ïC\ ïii 30* 50} SH 54* HET VIERDE VIERKANT. H 2°i 3^ 5 t > n 35 134 26 101 137 io4 i4(5. 140 [ 18 59 Hó 25 01 4t 12 in 140 9 116 125 148T 117 4 89 24 15 66 f, « 121 I37 4? "8, 113 15oT I27; ^ 9? 4 4 " ,7 10 71 35 l 101 140 152T 115 104 50 16 28 « S 21 41 ^7 51 45 138 «Hl "3 8Ï 122 68 77 7 3ó 58 65 iq J| 115 156T 141 9i 20 120 67 8a itl 24 J«7 2 57 36 127 I29 57 17 72 1 66 63 Jg 34 84 98 $ 9 102 xöoï 139 43 »3» 112 80 80 !87 11 94 7i y 8y 139 id2] 116 68 27 20 129 I0g *{ o8 26 101 ij, 64 „4 ld"4T 65 137 14? 126 4 129 *2| 75 3 104 47 76 126 166T 42 na 138 34 118 117 24T 85 13 62 87 49 103 168: 52 124 36 74 132 144 2CT 73 I09 134 39 103 101 170J 40 28 108 26 4 14I 28I 86 32 91 "6 128 172? 53 17 66 78 38 1/9 |°t 99 135 29 Ï4J 114 Hó 174T 66 6 69 130 30 131 |2| 87 46 H3 95 139 137 1 176T 1 54 79 99 82 1 106 *K 97 59 3 135 n 12 i7bT 64 92 72 122 56 143 12 74 72 "7 13 34 33 180T 41 105 102 3o 90 ng 38t 62 82 II4 I38 22 2! I82T IÜI 67 105 I27 9, 10 4oT 39 95 12 p 47 48 78 ^ 6> / > 427 49 108 84 86 51 46 l86T 88 45 13? 7 ,08 0 j47 37 1 42 38 74 23 188T 76 112 33 27 142 132 4*7 50 14 45 90 62 35 l90* 89 125 30 70 143 120 48y 63 27 75 M2 87 10 i92| 90 138 144 131 105 4? J2t 61 I33 78 I34 I27 22 J967 i0o 30 129 125 72 81 \f, 38 ho 8l 42 115 34 J9tf 77 J6 126 £ $ , 56t 143 60 39 104 138 11 2oo| 32 93 24 113 57 06 5«t 120 70 in 12 10 9 202T 9 103 96 21 133 L êr? i3s 4z 9 jz 35 36 204T 19 80 54 61 ui 62, n8 96 6 4 23 24 2oóT 7 44 57 I3 124 §j 6jj 131 106 120 56 46 45 2o8| 20 69 87 65 97 58 66* 144 83 I3 108 50 52 210I 33 55 60 117 41 nc 687 *32 i5 127 60 7j 73 212T 21 i2ó 90 f 69 20 70 7CT I42 25 I24 IOO 63 6l 214^ 31 136 93 ion ,2 £2 72f 119 2 22 8 86 88 216? 8 113 51 17 5 %Q 74* 137 32 94 128 140 86 218* 26 143 123 137 59 „ 76T 114 9 52 36 113 63 22ox 3 120 21 45 82 84 £t 124 ^ 55 76 125 75 222| 13 130 18 85 70 72 112 90 85 28 104 50 224* 1 62 132 37 95 L 82-i 125 76 58 80 48 87 226-i 14 39 25 89 99 lob |4f 138 101 88 132 21 62 228-1 ^ % 139 141 Z Ui 86^ i26 54 91 84 33 74 230.^ 15 98 136 93 JJo iop 8öy 136 40 49 124 i2 51 232^ 25 75 34 lg5 j.g 90-i 113 65 121 32 88 49 23^ 2 85 106 41 7 14 92, 68 129 19 114 61 76 23^ 107 35 64 103 30 in 94^ 45 115 16 22 73 64 238; 84 12 67 u 18 123 9p 55 140 130 62 52 85 2404 94 22 97 5I 43 9§ r98T 43 7 1 14 4° 4 242i 81 118 70 3 58 11? ioot 56 20 115 66 2 25 244^ 95 131 100 55 83 10 \J5 69 t33 112 118 3 , ^ 246^ 108 J44 io3 107 71 122 104, 57 100 10 70 37 ï 4° M 24^ij 961 37] 61 ƒ 59/ 94/ ^ I WoBi 44 \ 78] 40) 18 54 1 15) 252, 83 63 31 7 1% £ °T x°4 f4 43 "5 55 27 254^ 71 73 28 102 ui „} "f 81 53 73 23 89 2 256-i 48 86 142 10 134 \\\ "4i 91 42 46 63 144 39 258^ 58 99 2 50 6 8 iitfi 79 139 76 15 106 i4 26ci 46 10 nó 2 31 ^0 H8i 92 128 79 67 107 26 262^ 59 23 113 54 Ifl 7n 120J 105 117 37 119 141 3 264. 72 36 11 106 42 2 l22~ï 93 2i 109 71 13 1 266- 60 132 83 58 96 il II24T 3i 7 »| 27 28 268| 70 142 41 ^8 69 i S 80 8 4 19 2„ 16 270T 4, ïJp 54 96 8? 3 128, 29 77 118 125 16 37 272A i34 51 ( 74 Mo 6o \ IJOi 6 102 14 33 65 56 274^ "i 61 47 48 136 43 132^ 16 88 128 73 79 7 7 276i 121 38 77 ?8 109 \\ I3 door ADOLPH F1EBEMK MARCÏ* LID FAN DE SOCIËTEIT DER HAMBURGSCfïE ~"^N. KUNST-RE EKEN AARS. ^ZtyFe AMSTERDAM, Ry J A N WILLEM S M I T, m d c c . x C. i. *   OPDRACHT AAN De Gezamentlyke Leden van de.Socie~ teit of % Gezelfchap der Konlï-Reekenaars te Hamburg* Welke den 25. Juny A°' 1742 noch in't leeven geweeft zym DE H E E ■ R. E N v Josefh Schottel, te Weenen. PlETER TlEDEMAN, tQ.Lubeck. Christiaan Partite, te Lubeck. Gottfried Faber, te Brejlau. Johan Herman Westerkamp, te Ofnabrugge. Nicolaas Rohlfs, te Bucbftehoede. Johan Andressen, te Horft in 't Holfteinfche. Roedolth Karstens, te Hamburg. Berend Andries Wodarch, te Hamburg, Johan Nicolas Lampe, te Lubeck. Nicolaas Magens, te Londen. Gerlof Hiddinga, te Hamburg. Jochim Franck , te Hamburg. Herman Wahn, te Hamburg. A Z S«&r  OPDRACHT. SirtBU Hupsen, te Lubech Johan Ca« Paricius, te Kegensburg. Johan HendUK Stuvb, te Hamburg. Christiaan Stephan Remer, te Brunswyh Pieter Lorentzen, te fundern. Johan Daniël Bóhlken, te forga in't Sticht ITatt«rk* Johan Elias Gresner, te Hamburg. Johan Bernhard Held, te Zalt^-Uffden. Herman Reimer, te Br men. Albert Ahrent, te Ritsbuttel Johan Nicolas Steding , te StadtUgen , in het Ryks- Graaflchap Schaumburg. 2)CÏMERiTi«nU, t'#*. Autheur van dit Werkje. Johan Georg Ressing te Hamburg. Tohan Daniël Intelman, te Kevel. Christiaan Kroese, te in Oofi-Vnejland. Poussette te Luneburg. aü6ust Ernst Bro.br, te Marne in Z^r-I)*#». WEL-  WEL-EDELE; KONST-ERVAARENE H E E R E N, WAARDE MEDE-LEDEN. TOen ik voor omtrent vyf jaaren van de Heeren JaarBeftierdersaffcheidnam, om eene Reize naar vreemde Geweiten te doen, overleeverde ik aan dezelve 60 Viskonftig uitgecyfferde Sinus met der zeiver toebehoor\gc Complementen: Zy hebben'er ook een rechtmatig gebruik vfn gemaakt, en in hunnen Jaar-Brief van 175?. 30^™ met 200 veel Complementen tot onzer aller kenniffe laten koo- "Maar wie zou te dier tyd hebben konnen voorzien , dat myne Reize, van welke zommigen zo veel ophefs maakten, en my het grootfte geluk daar omtrent wilden voorfpellen , van zo korte duur zoude geweeft zyn ? Echter hebbe ik wel aanftonds m »t begin 'er eene Voor-kennis van gehad, toen ik my maareerlt een volkoomen Denkbeeld van dat Geweft , waar na toe ik gezonden wierd, maken konde, en eenige byzondere eigenlchappen van 't zelve in iets grondig onderzocht hadde. Want nadien my van jongs af aan, gelyk als eigen was, eene Onbepaalde U itg estrecktheid van denken,en eene GEMATIGDE VrYHEID VAN zïne GEDACHTEN TE MOGEN uiten met eene ongeveinsde Oprec h t ighe id verknocht : ook my daarenboven de Grond-Régelen en Wetten der Wiskonftenaars, waar na zy in hunne Sluit-Redenen te werk A 3 gaan>  £ OPDRACHT. gaan, volkomen bekent waaren 5 dus en konde ik geenzins op myn gemoed verkrygen, van met opzet tegens deze myne ZetRegelen aan te gaan. Dienvolgens als ik gewaar wierd, dat men mynen Geelt zekere Eind-palen wilde ftellen, waar in de zelve zich, gelyk als ingeflooten, zoude houden, en de vryheid beneemen, van myne gedachten op eene gematigde-wyze te mogen openbaaren, ook eene tegens myn gemoed ftrydende geveinftheid inboezemen , zo dat ik op eene telkonftige wyze niet meer zoude hebben konnen ftaande houden, dat 3 en 4 maar 7, of meet-konftig niet minder, noch meer, als 5 waaren; zo was het op t laatfte eene geheel onmogelyke zaak voor my , om op myne oude dagen zulk eene valfche Wysgeerte te leeren, en myne noch overio-e tyd des Leevens daar mede onnut en met verlies vaneen' eerlyken naam te flyten, by gevolg al weetens en willens te handelen tegens de Plichten , waar mede ik aan Oob, aan my zeiven, enaan mynen Even-Naaften verbonden was, en aldus een zuiver en oprecht Geweeten tegens verderflyke weereldlyke goederen te verwiüelen. Ja wanneer ik op myne geheime wiskonftige Bilance of Weeg-fchaal die, voor myne oogen des Geefts zich opdoende , menigerlei vreemde ftoften van dat Geweft naar myn byzonder daar toe uitgevondene Zilver- en Goud-gewichten wilde toetfen en onderzoeken 3 dan konden wel zommige daar van tegen de mindere Goud- en iets grooter zynde Zilver-gewichten het Evenwicht ophaalen , maar tegen het grootfte van Goud waaren ze al tezamen niet vermogend de Bilance te houden , by gevolg waaren myne Weetenfchappen op verre na noch niet toereikende, om dien aangaande eene bepaalde vergelykmg op te maken en dat geene , wat ik zochte , en volgens myne verbintenis zoeken moefte., in mogelyke bepaalde zaken of weezentlvke dingen te beraamen, maar alle myne Voorftellen bleeven altyd onbepaalt en onoploflelyk. Ziende dan m't vervolg, hoe vruchteloos myne onderzoekingen waaren, en hoe alle myne poogingen, om andere ontdekkingen te doen, altyd ter leur geftelt wierden : ook een ontydige Religie-yver z.ch met huysfelyke zaken daarenboven wilde vermengen j dus nam eindelyk  10 OPDRACHT. i 128 . 16376 3 1048064 . . 178 . . 11770 4 52403a . . 184 . . 11392 8 262016 . . 256 . . 8188 16 131008 • • 356 . . 5888 23 gj136 . . 368 . . 5696 32 65504 . . 512 . . 4094 46 45568 . . 712 . . 2944 64 32752 . . 736 . . 2848 89 23552 . .1024 . . 2047 92 22784 . • 1424 . . 1472 377 2246416 5878 72721 Dus de Zom 2325392 , 't welk dan meer uitleevert, namelyk 229264, als het Getal zelfs, dat voor een volkomen getal is opgegeeven geworden, by gevolg heeft het die eigenfchappen niet, welke volkome getallen töekoomen. By aldien 2047 in der daad een Numerus primus of eerft getal was, dan konden de byzondere Deelers of Fartes aliquotte van 't opgegeeven volkomen getal geene andere, als volgende zyn, te weeten 1 . . . . 2 1048064 64 32752 4 524032 128 16376 8 262016 256 8188 16 131008 512 4094 32 65504 1024 2047 63 2030624 1984 63457 De Zom 2096128 dan met het opgegeeven getal gelyk zynde ; dus zoude men konnen zeggen , dat het een Volkomen getal moefte zyn. Maar deze gewaande volkomenheid verdwynt daar door , de-wyl 2047 geen Numerus primus, maar wel een Numerus compcfitus is, verkrygende men 89 tot Quotiënt, als men het zelve door 23  REEKEN - KONSTIG SPEL. 21 •kén ieder zyde , te weeten 15, 34, 65, 111, 175, 160 en 3Ö9 eigenen de Alcbymifien aan de zeven Dwaal-Starren toe t mogelyk in deze order, ï, £, C, O, c?, 4, 1?, hen eene groote kracht toefchryvende , welke nochtans voor my verborgen is. Wat nu aangaat de wyze, om zulke Vierkanten op te ftellen, zo is voor die van ongelyke Perken al voor lang eene Regel Uitgevonden , welke voor alle tot in 't oneindige toe maar een' aleemeenen weg of manier aanwyft , konnende nochtans zulks op meer als eene wyze gefchïeden. Maar geheel anders is het met die van gelyke Perken geftelt, zynde al meer naauwkêurigheid en moeite van noden, om de zelve op te ftellen , byzonderlyk als hunne zyden een grooter getal Perken vervat, als 4, 6, 8, of 10. Men vind wel by zommige Schry vers'er eenige aanleiding toe , doch die zich van de zelve wil bedienen, moet in 't byzonder wel letten op hunnen duifter voorgefchreeven weg of leids-pad enter dege gade Liaan die van hen naar hunne meening zeer ftipteïyk aangetoonde voet-ftappen , om niet in eenen Doolhof van verwarde zinnen, ofdwaalende reekening te geraaken, waar uit te koomen wel geheel en al onmogelyk zoude zyn, by aldien men zyne toevlucht niet en wilde neemen tot een' wiskonftïgen Aria'dnes-drwt. Verftandige zullen zonder twyffel myne meening wel begrypen , en niet waanen, als of ik myne Leezers wilde heen wyzen na die al lang verrot zynde Ariadne of mifichien ook na het Oraculum te Deïphos, als hebbende deze beide Perzonen of Verdichtzelen wel nooit hier op gepeinft, maar wel naar de Werken van beroemde Mannen, welke onder veel andere heerlyke zaken ook van de Stel-konft of Algebra gefchreeven hebben , en by aldien zy noch zouden leeven, zo geloove ik en ben in myn gemoed voor vaft verzekert , dat zy dit opftel geenzins zouden mis-pryzen. Die op het Atheneum Illustre alhier zynde heerlyke wis-konftige Boeken konnen ieder een het gemakkelykfte overtuigen , hoe ryk aan uitvindingen de Stel-konft is, al is 'tdat die Autheuxs juift niet van deze ftoffe, welke ik nu verhandde, C 3, ge-  tz HET VERMAAKELYK. gefchreeven hebben, maar eenige daar onder alleen bemoeit geweeft zyn , om door ftelkonftige reekening uit te vinden, wat het mogelyk grootfte of ook wel het mogelyk kleinfte wezen in dit of dat zoort van tel- en meet- konttige zaken konne zyn. Doch om niet zelf in eenen dool-hof van averrechtfche Redeneering te geraaken ; zo hervatte ik mynen draad , welken ik uit achting voor die by my bekende vermaarde Mannen zo onvoorziens heb uit de hand laten vallen , om verder te zeggen, dat wel, om dusdanige Vierkanten van een gelyk getal Perken ieder zyde op te ftellen, van Liefhebbers dier zaken eene zeer moejelyke Regel is uitgevonden geworden, doch gaat die naauwelyks verder als voor Vierkanten van 4 tot 20 Perken toe ieder zyde, zo veel my tot nu toe bekent is. Te Neurenberg zyn 'er wel Konftenaars geweeft, welke diergelyke Vierkanten van geheele vellen papier vol hebben konnen opftellen, maar of de zelve van ongelykeof gelyke Perken ieder zyde geweeft zyn , is juift niet duidelyk 'er by verhaalt, want zo gemakkelyk het eerfte kan gefchieden ,zo moeijelyk valt het tweede , ja word bykans imprafticable voor Vierkanten van over de 20 Perken ieder zyde. Van gelyken heeft Frenicles in Vrankryk een Tractaat van de Toover-Vierkanten in de voorige Eeuw gefchreeven, 't welk is waardig geacht geworden , onder meer andere Werken van het Koninglyke Genootfchap der Weetenfchappen tot Farys in 't Jaar 1693 op 'sKonings koften mede gedrukt te worden. Niet minder heeft tot Breemen voor omtrent vyf jaaren de Heer Herman Reimer, een beroemd Mede-lid der Sociëteit te Hamburg, dien aangaande iets in 't licht gegeeven(#), om met zekerheid diergelyke Vierkanten te konnen opftellen. Gelyk als ook eenige jaaren te vooren een ander Mede-lid van de zelve Soiieteit te Hamburg (f) aldaar heeft gedaan , doch nadien ik deze Werken niet heb gezien ; zo en kan ik ook niet oor- (*) ArtthmetieA Curiofa bygenaamt. (f) Dt Heer JohanGeorg Ressing in fèiiier pijlen-Serroecfyfeltltiqgs hifi ofcï Skmrtma toï gcïabcu tmi> trnfletaten fo geiwnnten %atibtï'ZaMl 9 a 22 43 k 56 _. _ 2 23 k 32 33 a 42. Daarentegen volgens de tweede wyze, als men het begin maakt met een der middelfte leden en dus afklimmende voortgaat, moeten de volgende getallen geplaatft worden, te weeten: e 2 iv.  3 ft. , van E 19 ft. en van F 13 ftuiv. indien men nu 3000 ponden t'zamen wilde hebben,.en 'er 3500 guldens toe afgetelt hadde; dan vraagt men als boven? H 2 Hf.  60 APPENDIX. Ut. AANMERKING. Deze vier laatfte Voorftellen zyn zeer vermaakelyk en konftig in hunne uitwerkingen en toonen. de. groote. kracht en de verwonderlyke eigenfchappcn der Arithmetifche Progreffien aan, mits dat men een volftrekte goede of naauwkeurige order in d*oplofting van zulke Voorftellen verheft , of tot een grond ftelt. In V algemeen trekt men dé: laagfte prys van alle d,overigen af, zynde dan d,overfchotten Deelers van een zeeker getal, dat 'er over blyft, als men het Produel, ontftaanr de uit het getal der Vonden of Ellen enz. met de laagfte prys vermenigvuldigt, van de geheele- zomme aftrekt, welke zal hefteed worden. Dan neemt men het groot ft e overfchot zóveel maal uit ditoverhlyvende getal, als doenlyk ii , mits dat 'er voor d''overige Deelers zo veel blyft overfchieten, dat de zelve felkens zonder overfchot daar uit konnen genomen worden Dus werkende , verkrygt men wel een zeeker Facit, maar der zeiver getal, hóe veel dien-aangaande konnen uitgevonden worden, is uit de onderlinge Proportie of Evenredigheid' der Pryzen te bepaalen, gelyk blykt uit dit. onder/taande Exempel n Iemand wildriedérlei zoorten van Waaren koopen en in't „ geheel 400 guldens daar toe befteeden , zo dat hy t'zamen j, 600 ponden verkrygt. Als men nu (lelt, dat het pond van A „ zal koften 1.8 ftuiv., het pond van B en het pond van C „ 11 ftuivers; da,n;is de vraag, hoe veel Fdcitten in geheele ge3, tallen hier op konnen uitgevonden worden? UITWERKING. I 7} Deelers 600 # 11 400 Guldemi met 11 ft. multipl. ., , - , . of 8000 ftuiv. 6600 ftuiv. ' afgetrokken 65oo l09V0d ilt ! '■ . : : nüb ,j - [ jj f ... blyft over 1400 ftuiv. welk  APPENDIX. 6* wik getal door de Deelers 7 en 4, effen opgaande, moet gedeelt worden, men verkrygt dan voor het eerfte Facit van A 196 # c* 18 y?«i voorbeeld-. 6yy 43,37 en 19, vier andere daar tegen te vinden , die men A , B, C en D zal noemen , welke met deze vermenigvuldigt zynde , te wege brengen, dat H-3 67  APPENDIX. 6$ XXVII. VOORSTEL. Twee Aritbmetifche Progreffien , d*eene met 13r op-, en de tweede met 171 af-klimmende, zullende d'eerfte beginnen met 127, zodanig, als men deze beide Progreffien continueert tot op het 2056 Lid , dat 'er dan eenerlei getal in beide voortkoome. Men vraagt nu naar het begin der tweede Progreffie ? V. AANMERKING. Deze zes laatfte Voorftellen zyn in veele gevallen van eene zeer groote nuttigheid, konnende men hykans dingen daar door te wege brengen , welke voor onkundige menfchen ongelooflyk fchynen. Het zoude buiten myn beftek zyn , indien ik der zeiver nuttigheid in alle gevallen wilde aantoonen, en dit Werkje te wydloopig worden, daarom ik my maar vergenoegen wil van hei volgende tot een fchets voor te ftellen: » Twee Krygs-Heiren zyn door een Rivier van malkander af„ gezondert, het eene aan deze zyde van de Rivier (taande, is „ fterk 60000 man, marcheert naar beneden in dier voegen, dat „ op elke uur 500 man blyven ftaan, het tweede beftaat maar uit „ een Corps van 5:000 man, maar elke uür, dat het zelve aan „ geene zyde van de Rivier met het eerfte gelykvormig marcheert, n voegen 'er zich t'elkens 600 man toe , men vraagt dan, na „ hoe veel uuren van dusdanig eene marcheering deze twee » Krygs-heiren'uit even veel manfchap beftaan? XXIIX. VOORSTEL. Men heeft deze Progreffie van Breuken, als 14 9 16 25 36 49 64 —I ! 1 I 1 1 1 enz. 1 2 4 8 16 32 64 128 tot in *t oneindig toe verkoozen , waar van de tellers de op malkander ordentelyk volgende guadraat-getiüen zyn, maar de I Noe-  Cti A P P E N D I X. Noemers Geometrie^ met z opklimmen , men vraagt naar de? zei ver zom? XXIX. VOORSTEL. . Ofalsde Tellers de op malkander volgende Qtbkq-getzlïen zyn en de Noemers met 3 Geometricè opklimmen, te weeten : 1 8 27 64 125 216 343 1 1 -f- 1- 1 H enz. 1 3 9 27 81 243 729 Dan vraagt men insgelyks na de zeiver zom? XXX. VOORSTEL. Als men de ordentelyk op malkander volgende Trigonaal getallen vermenigvuldigt met de ghiadraat-getülen , eh de Produclen aanneemt voor Tellers in d'onderftaande oneindelyke Progreffie van Breuken, waar van de Noemers met 4 Geometricè opklimmen, als: 1 12 54 160 37 5 75<5 1372 l j j_ } jL , j { enz» 1 4 16 64 256 1024 4096 Dan vraagt men als vooren na der zeiver zom? XXXI. VOORSTEL. Maar de ghiadxaat-get allen met de Cubicq-getallen , te weeten d'ordentelyk op malkander volgende , vermenigvuldigt zynde voor Tellers in d'onderftaande Progreffie van Breuken tot in 't oneindige toe aangenoomen en de Noemers daar van met 5 geometruè latende opklimmen, als: 1 32 243 1024 3125 7776 16807 1 1 { — -f- f- J- enz. 1 5 25 "5 625 3125 15625. Dan vraagt men wederom nader zeiver zom? XXXIL  APPENDIX- ®i XXXII. VOORSTEL. Als men de Trigonaal getallen tot de Tetragonaal- getallen addeert% insgelyks de Pentagonaal- met de Hexagonaal-getallen in zom brengt, te weeten die ordentelyk van i of tfUniteit af op malkander volgen, en beide zommen met malkander vermenigvuldigt, de Frodufien dan aan-neemt als Tellers in eene oneindige Pro* greffie van Breuken, welker Noemers geometricè opklimmen met 6, dat is: i z 7 i y 25 40 5-7 enz. Trig. + Tetrag. Z 11 27 jo 80 117 enz. Pentag. + Hexag. 4 77 405 1300 3200 6669 enz. Producten. Dienvolgens dToneindige Progreffie van Breuken, als Vólgt s 4 77 405* 1300 3200 666$ 1 — ^ \—.—, -|—.— 4^ —— + ~~—j enz« 1 6 36 216 1296 7776" Men vraagt na der zeiver zom? XXXIIÏ. VOORSTEL, Vorders de Trigonaal-, TetrcLgonaal en Pentagonaal-getzïïen in zom gebracht, zyn gemuit ipliceert geworden met de zom der Hexagonaal-, Hegtagonaal- en Oftogonaal getallen. Als men nu de Produclen aan-neemt als Tellers in eene oneindige Progreffie van Breuken, welker Noemersmet 7 in eene meet-kon 'ige Lvenredigheid of'geometricè opklimmen, dat is, dezeonderftaande oneindige Breuken, te weeten: 3 12 27 48 7J 108 enz. Trig.+ Tetrag. + Pentag. 3 21 54 102 165" 243 enz. Hexag. + Heptag. + Oftog. T z t*zai  6S APPENDIX. t'zamen vermenigvuldigt en onder de Produclen devereifchteNoe* mers geftelt, dan verkrygt men voor de begeerde Progreffie 9 252 1458 4896 I2375T 26244 j- {- i h + t- enz» 1 7 49 343 2401 16807 Men vraagt insgelyks na der zei ver zom ? XXXIV. VOORSTEL. Als men de Produclen , voort-koomende uit Vermenigvuldiging der Columnaar-g&xaWzn ex Pentagonalibus met de ■ PyramidaaU getallen ex Heptagonalibus, aanneemt voor Tellers in eene oneindige Progreffie van Breuken en voor der zeiver Noemers de met 8 opklimmende Geometrifche Progreffie, namelyk : 1 10 36 88 175 306 enz. Columnares ex Pentagonalibus. 1 8 26 60 ny 196 enz. Pyramidales ex Heptagonalibus* t'zamen vermenigvuldigt en onder de Produclen de vereifcht*. Noemers geftelt, dan zyn de verlangde oneindige Breuken 1 80 936 5280 20I251 — 4. 1 -[ f- { enz. 1 8 64 512 4006 32768 Nu is weerom de vraag, hoe veel die in zom uitmaken? VI. AANMERKING. Men [telt in V algemeen (*), om de 7j>m te vinden van zulke Progreffien in Breuken tot in t oneindige toe, waar de gemeene Teller of cPUniteit, of aan een ander gegeeven getal gelyk is, en de Noemers met een zeker getal Geometricè opklimmen, Jat de laatfte breuk van eene dusdanige oneindige Progreffie ten aanzien van den eerften niets is, ( * ) Ziet Chrift. Wolffens Crmd.btgmzjelen v,tn Me de M.itbem. Weetenfch. L Deel, II. StnKt $.M*< '51 0 MS-  7<5 APPENDIX. De Zom van de voorgaande Zyde 1151274420365496596(52 ! 7 uit 26720390177736563 in 41 divid. kom. 651716833603330 8 ' I78872Q3342I2II7Q — 43 —- 415981473072585 4 11974078270345577 — 45 266090628229901 7 8015705288413155 — 47 170546921030067 1 ' ■ 5365885358359219 — 49 __ 109507864456310 6 * ■ 3592038958901626 — 51 , 70432136449051 5 2404588063396956 — 53 45369586101829 4 1609682918472342 — 55 29266962154042 5 1077556333853386 — 57 18904497085147 1 ~ 72i339363984498 — S9 12226090914991 5 482880070105325 — 61 __ 7916066723038 1 • 323250294863895 — 63 5130957061331 1 ' 216390693255995 — 65 3329087588553 8 ~ I44856579782939 — 67 2I6203 85042 23 Q — 96970107127422 — 69 1405363871411 g 64913873366291 — 71 914279906567 j ~ " 4345474^74955 — 73 595270433903 5 29089537815466 — 75 —— 387860504206 2 ' 19473 I6I678I22 ~ 77 252898203612 Q ' 13035752858908 — 79 —— 165009529859 6 Opdevalgend; Zyde te dragen 11512925433837508^627 j De  APPENDIX. 77 Be Zom van de voorgaande Zyde 115129254338375083627 7 T_«I uit 8726413070839 in 81 divid.kom. ^7733494701 7 5841648419322 — 83 . 70381306256 9 3910524974918 — 85 46006176175 5 , 2617789446019 — 87 — 30089533862 3 1752404505186 — 89 I9689938260 5 . , 1173097230744 — 91 12891178359 s —:— 785296493308 — 93 8444048315- 2 525694346760 — 95 5533624702' 7 351911091033 — 97 . —_ 3627949398 3 235576846465 — 99 ___ _ 23795-64105 7 157700203006 — 101 1561388148 6 105567904491 •— 103 1024931111 6 70669425668 — 105 673042130 4 47307630720 — 107 —— 442127389 9 31668744532 — 109 290538940 7 . 21199738075 — ui f -— 190988631 3 14191560200 — 113 .— 7 125589028 3 —'■— 950013534° — n5. -— —82609872 5 6359594732 — "2 jj 54355JIO 5 Op de volgende 7yde te dragen 11512925,4649597468529 { 9' K 5 De  appendix. 85 „ dus verkrygt men tot Quotiënt 868588962806505(55530- °o voor het begeerde Hoofd- of Grond-getal, waar uit dan alle Logarithmi m 20 Cyner-letters " konnen beftemt worden , gelyk wy dan voor de getallen 2, ? l en 5 zullen aantoonen, om der zeiver Logarithmi op tweederiet wvze te bereekenen. , . " Men deele 16 ( het Vierkant des Vierkants op het Getal 2) " door 10, is de Quotiënt if daar van 1 afgetrokken en'er ook toe " S addeert, heeft men \ in 2} gedeelt of dezen breuk rf, welkers " Vierkant is vervolgens heeft men dan ten dien opzichte de* ze onderftaande uitreekening, te weeten : -i«fV8685889638o65o3öj$3o joo .2^4160703227007430" 00« Uiv.hm.20044360703227007430 00 1L 'io674Sii6i7io3I4oo5'"]s- 3 — 3558i7o539o3438ooi 7» "l6847^3T^'! 75- 5 11369302114074350 35 37273~27oT854°5°7 49- 7 43^5574°77*i5 l6 _ i6i2i87o5i*9376""^4- 9 17913189458819 57 _ 858561x515765 59-" 78o5ioi37796 h 45722i9i5o4o"_77-i3 35'8091W 60 24349096067" 26-15 1623273071 15 1296697423 J°-*7 76276319 04 ^o^ 3634468 02 ~ 3677479 48-2! — I75"8 °7 195842 10-23 8514 87 10429 46 — 25 * 4*7 18 ~— 39158-29 — 1 03 — "Tfiï-ji — * Dus d, Zom 20411998265592478085 j 44 l ^ Addeere  APPENDIX. 87 i7» = 0.19382002601011282871 f 70 ? c 100=2.00000000000000000000 00 \ 64=1.80617997398388717128 30 dus 8=0.90308998699194358564 15 en 2=0.30102999566398119521 37 „ Om nu voor het getal 3 de Logarithmus uit dien van 2 te be„ raamen , zo deelt 3 door 2, is de Quotiënt 1}, daar van 1 af„ getrokken en ook 1 'er toe ge-addeert, heeft men -J in 2i ge„ deelt of dezen breuk 1, welkers Vierkant dan is , daar mede r> voorts gewerkt, als volgt: ^«^86858896280650365530 00 "jf - I737I779276130073106 00/» I«"/V.few. 17371779276130073106 00 — 694^71171045202924 24-, 3 231623723681734308 08 — 27794846841808116 97—5 5558969368361623 39 — m 1793873672324 68— 7 158827696238903 53 ~ ^471754946892 99— 9 4941306105210 3J — 1778870197875 72 —« 161715472534 16 — 71154807915 03 — 13—Om 5473446762 70 —- 2846192316 60 — 15 *- 189746154 44 — 113847692 66 — 17 6696923 10 — 4553907 7i~i9 239679 35 — 182156 31— 2\ _ 8<574 u — 7286 25 — 23 2I<5 79 — 291 45 —25 11 66 11 66—27 — 43 — I 47—29 — — 2 Dus de Zom 17609125905568124208 'j 47  88 APPENDIX. U Log. = o. 17609125905568124208 J 09? dd 2 Log. = o- 3oio29995^398n9^_J_7,^ 3 Log. = o. 47712125471966243729 [ 46 Nu zullen wy de Logarithmus voor het getal 3 noch vinden uit " die van 10: dus deele men 10 door het Vierkant op 3 , dat is " door 9, is de Quotiënt ifr, daar van 1 af getrokken en ook 1 'er l toe gedaan , verkrygt men ; in 2} gedeelt of dezen breuk Tj, „ welker Vierkant dan is lrr, dienvolgens komt'er d'onderftaande » Bereekening uit voort, te weeten: rf«868|5S89*38cl5o3o5530 1 00 4571520862139492922 63»» i^.Aam.4571520862139492922 63 12663492692907182 61— 3 4221164239969060 87 3lo78927i27i66W17— 5 7ai5785425433 34 97i7i543288:~55- 7 ' 13881649041 22 269173250 il— 9 29908138 90 .. 745632 27—11 ! 67784 75 . 2065 46—13 • Ij8 88 7 72—15 —■ — 38 — * — ■ h— i|Log. = o. 04575749056067512540 97lSuig 10 Log. = I- 00000000000000000000 oo(u""J'' 9 Log. = 0.95424250943932487459 03 By gevolg 3 Log. =0.47712125471966243729 51 „ Ein-  06- APPENDIX. Dienvolgens zyn van de twee Drie-hoeken ACB en AC D de drie zyden bekent, want AB = 120 AC = 78 B C = 66 en A D = 22 AC - 78 D C = 50 2)264 2)160 132 80 en volgens de Regel in 't XLII. Voorftel gegeeven worden 132. 66. 54. en 12 ook 80. 30. 48. en 2 door malkander vermenigvuldigt, uit de twee Produclen, te weeten: 5645376 en 230400 de vierkante Wortel getrokken, zyn de zelve.z376 en 480, welkeis zom 2850" dan de begeerde inhoud is. Of men bereekent den inhoud der Drie-hoeken ABD en BDC, als volgt: A B = 120 BC = 66 B D = 104 en C D = 50 DA = 32 DB = 104 2)256 2) 220 128 110 by gevolg worden 128. 96. 24 en 8 ook 110. 60. 44 en 6 door malkander vermenigvuldigt, verkrygt men tot Produclen 2359296 en 1742400 welkers