N. Y P E Y, VESTINGBOUWKUNDIGE VERHANDELINGEN.   VERHANDELINGEN, EEN VESTINGBOUW BETREFFENDE, DOOR n. y p e r, Hoogleeraar in de Wiskunde, aan de Hoogefchoolt te Franeker. MET P L A A T E N. Te uiMSTERD AM by J. B. E L W E, MDCCXCIII.   L Y S T DER VERHANDELINGEN. Oplosfing van een Vraagftuk in de KrygsBouw-kunde, door P. de Lamux. ' Bladz.i. Befchouwing van de Deelen van het Bastion, volgens een daarover opgegeeven voorftel, van den Hoogleeraar N. Tpey ,■ door D. Klinkenberg. . 20. Verhandeling over de Eeginrclcn, op welken het Problema, om een gegeeven Veelhoek met het meeste voordeel te verfterken, is gegrond; door N. Tpey. . — 43. Verhandeling over de Profilen der Vestingen; door Denzelren. . - • ~ 55- Oplosfing van drie Vraagflukken in de Vcs- tingbouwkunde; door DenXehen. . — 79. 'Verhandeling over de Profilen der Muuren; door Denzelren. . - • . — 95* Verhandeling over den onregelmatigen Vestingbouw ; door Denzelven. . . - 121. Verhandeling over de Retranchemcntcn, door Denzelven. . • • ^33' * 3 Ver-  n LYST der VERHANDELINGEN. Verhandeling over de Voor-en Nadeelen, die men door een werk op verfchillende wyz'en te maken, verkrygt ; door Denztl- • • . Bladzij. Verhandeling over de Gewelven; door Denzelven. . . . _l6u Verhandeling over de Natuur der Bastions; door A. Liefünck. . . —199.  OPLOSSING VAN EEN VRAAGSTUK IN DE KR.YGS-BOU W-KUN DE; DOOR P. DE LAVAUX, Majoor in dienst der T^ereenigde Nederlanden. UIT HET FRANSCH VERTAALD DOOR Mr. JOHAN LULOPS, Profesfor aan 's Lands Hoogefchoole le Leyden,   voortgang, dien de Kunften en "VVectenfchappen gemaakt hebben , op welken men de Mcet-kunst en de hooge Stel-kundige Rekenirigc heeft kunnen tocpasfen, (hoedaanige zyn versheide deelen van de Krygs-kunde, het befchouWend gedeelte van de Scheeps-bouw en van het Scheepsbeftuur, de Konst van fteenen Bemantelingen, Gewelven, en Mynen te maaken, als mede de Biisfchietery- kunde) ftraalt ieder een zodaanig in het oog, dat men met redeh verlangt om die zélfde Wiskundige Weetenfchappen te zien toepasfèn op de verfterking der Steden, en op den Vesting-bouw in het algemeen; zonder derzelver behulp, en, indien ik het zo noemen mag, zonder haar gezag moest men zo Veele verfchillende Zamenftelfels van de Krygs-bouw-kunde zien voor den dag komen, als 'er Schryvers zyn over dat Onderwerp; die,echter alle, zo wel haare tegenftreevers, als haare verdedigers gevonden hebben. En waarlyk! toen, na de uitvindinge van het Buskruid en van de hedendaagfche Vuurtuigen, de oplettendheid en de ondervindinge de Vorme der Vestingen zodaanig hadden ontdekt, ais dezelve nu nog ftand grypt, beftaande, naamelyk, uic A 2 ' Voor-  4 VRAAGSTUK inde Voorzyden (facesj, Vleugels (Jancs)^ en Gordynen (courtkies); begon men aanftonds te twisten over de meerder of minder grootte, die men aan ieder deezer deelen moest geeven, en aan de hoeken , die zy onderling bevatten. Twee regels zelfs, wier baarblyklykheid in het algemeen erkend is, naamcJyk, voor eerst, dat ieder beJlreeken deel onder het bereik moet zyn van het deel dat het zelve be/lrykt, om daar door verdedigd te kunnen worden; ten tweeden, dat de verdediging alryd, zo ved m gelyk ;V, regtflretks, of regthoekig moet ge/chieden; decze twee regels, zegge ik, hebben niet kunnen verhinderen, dat over de langte van de Verdedigings-lyn (ligne de de feu ft) en over den lland van den Vleugel langen tyd is getwist. De langte van de Verdedigings-lyn wierd in het vervolg, als door ecne algemeehë overeenftcmminge, bepaald op den dragt van een Shaphaansfchoot, dèWyl zo eene verheid teffens onder het bereik van het grof Gcfchuc is; fchoon men dit niet kan omkeeren, zo dat alles, wat onder het bereik van het grof Gëfchut is, ook door een Snap-haans-fchoot zoude kunnen getroffen worden. Met den Hand der Vleugelen '(fatjes) was het niet op zodanig een wyze gefteld, over welke men het zelfs nog niet eens is: de tweede bovengemelde regel eischt, dat de Vleugel regthoekig ftaa op de Verdedigings-lyn (*); maai; een andere re- (*) De Vleugel, dienende zo wel tot verefcedigiagvau de  KRYGS-BOUW-KUNDE. 5 regel, die niet minder gewigtig is, naamelyk, dat het beftry'kende deel niet zigtbaar moet zyri, dan uit dat deel der Vefting, dat daar door beflreeken wordt, heeft door een verkeerde uitlegginge den ftand van den Vleugel by zommigcn wederom twyffelachtig gemaakt. Die gccncn, welke deezcn Iaatftcn regel alleen hebben willen brengen tot den ftand van den Vleugel,zyn even daar door van dei eerften afgegaan, in betrekkinge tot de verdediging van de Gragt en van de Comr'efcarpe. Andere, begrypende met meer reden, dat uit de ftrenge opvolginge van beide de regels de volmaaktheid van de verdediging zoude gebooren worden, hebben, den eerften regel aanneemende, teffens aan den tweeden voldaan, door den Vleugel te dc Gragt en van de Contr'efcarpe, als van de Voorzyde, moest even daarom, op het allerftrengftc genomen, de boog zyn van een cirkel, wiens middelpunt zoude zyn het ftlp, daar de lyn van de verdediging en dc Con~ tFcfcarpe malkander fnyden, gelyk zeer wel betoogd is door den Heer joh. muller, Treatife, contaïning the Element ary part of Fortificathn, Lond. 1746 p. có.Ondertusfehen, ais men agt geeft, dat het buitenftc beloop van het Oorftuk (prillon*) belet, dat men uit een gedeelte van den Vleugel het fiuk van dc gragt kan zien, het geen 'er regtftreek^; tegen over legt, zo fchynt het, dat een-boek, die een weinig grooter is, hoedaaaig een regte is, dit gebrek zoude vergoeden. A 3  6 VRAAGSTUK in n e te dekken door middel vanbuitenwerken, hoedaanige zyn halve Maanen QDemi-hwes') Centrtgardes , Contn-faces, &c. (f). Maar de een en de anderen heb ben altoos een gedeelte van den Vleugel aan het gezigt der Belegeraars onttrokken, door middel van een Oorftuk (orWon'). Dcwyl de kracht van een Veftingwerk alleen afhangt van de ruimte, die binnen in een Bolwerk is, en van de grootheid van dcszelfs verdediging, zo is het zeker, dat de allervolmaaktfte wyze van een Vesting-werk te maaken, die gcenc zal zyn, die voor een ieder Veelhoek tyoïygme.), aan den beftreeken hoek (mg/e fianqui)\ aan dc halve keel, en aan den Vleugel tcffens, dc aüergrootfte uitgcftrektheid verfchaft. Maar volgens alle de tot nog bekende wyzen van Vesting-werken te maaken, kan de beftreeken hoek niet aangroeijen, ten zy de Vleugel verkleind worde; en, dit gefield zyn-, dc zo volgt uit den aangroei van den Vleugel nood^ zaakelyk het afneemen van de halve keel; gelyk aan dc andere kant uit het aangroeijen van dc halve keel het verminderen van den Vleugel gebooren wordt. Gemeenlyk hebben de Schryvers ieder hunne wyze van Vestingen te maaken toegepast op een zesCO Dcwyl dit niet regtflreeks het onderwerp betreft, waar over ik handelc, zo zende ik den Leezer af tot de uitmuntende Voorrede van de A'ew Principles of Gun- ty BENJAMIN R0BB1NS, Lotld. 17J2. Of tot de HoogduitTche Vertaaling van den Heer euier, te Ber'hi gedrukt in den jaare 1745.  KRYGS-BOUW-KUN DE. 7 zes-hoek: zommigen, om hunne Vleugels zo groot te maaken, als doenlyk was, hebben hunne handel-wyze een weinig veranderd in de Veelhoeken, die meer dan zes zyden hebben. Anderen hebben zig te vreeden gehouden, met dezelfde handel-wyze°onveranderlyk te gebruiken in alle Veelhoeken, die boven den zes-hoek zyn; en onder deezen moet men den Heer de vauban rekenen, die, fteeds, van den zeshoek af, aan zyn regtftandige lyn {perpendiculair dc langte gcevende van een zesde deel van den buitenften Veelhoek (polygone exterieur), zig te vreeden gehouden heeft, met in dc hoogcre veelhoeken den beftreeken hoek en dc halve keel te doen aangroeijen; laatcndc dus den Vleugel vaneene beftendige grootte. Zyneleerlingen, of liever zyne Verwonderaars, om hem tcrechtvaerdigen, dat hy zyn voordcel niet gedaan heeft met eenige zesvoetige roeden (mfesj meer te necmen tot den Vleugel, hebben gezegd, dat decze grootc man zoodanig eene grootte van den Vleugel voldoende gerekend hSSft; op welk vertelfeltje ik niets te zeggen heb; zy voegen 'er by, dat het aan hem geftaan heeft om de Vleugels grooter te maaken, alleen maar de regtftandige'lyn vergrootende: Maar is dit voorgeven wel o-c^rond? Kan men de wyze, op welke de Heer de vauban ayn' Vleugel trekt, wel overeenbrengen met dc onbeftendighcid van de regtftandige lyn? Maakt niet de aangroei van deeze lyn, dat van Veelhoek tot Veelhoek de inwendige ftrykenic hoek Qmgte flanA 4 / iwf»  8 VRAAGSTUK in dk qnam interieur) kleinder, en de Verdedigings-lyn grooter wordt? Lindelyk heeft dc Heer ypey, Hoogleeraar in de Wiskunde te Franeker, in eene Akademifche Redcnvocring over de Vesting-werken, uitgefproken in den jaare 1749, doen zien, dat men te gelyk den bcltrccken hoek, de halve keel, en den vleugel zo groot kan maaken, als mogelyk is. ( ) Dit fchrander-uitgedagte Vraagfïuk, waar van de Heer ypey de oplosfmgc niet gegeven heeft, maakt het onderwerp uit van eene Aantekeninge, die ik hier zal overfchryven, uit het Latyn vertaald: „ Na dat ik verfcheide poogingen omtrent deeze „ regels gedaan had, ben ik eindelyk tot die ge„ dagtcn gekoomen, dat 'er vooral een zekere en „ beftendige evenredigheid moest zyn tusfehen den „ vleugel cn tusfehen de halve keel van ieder veel„ hoek; maar op zodaanig een wyze, dat tellens „ met den vleugel de halve keel grooter worde, „ en dat aan de andere kant met de halve keel tef„ fcns.de vleugel aangrocije; ten anderen, dat als „ men deeze zelfde evenredigheid op een vierhoek „ toepast, de Vesting daardoor een gedaantekry„"ge, die voor geene van alien, die wy tot nog „ toe hebben, behoeve te wyken; eindelyk, dat, „ als zy op een oneindigen veelhoek, of op een „ rechte lyn wordt toegepast, de alderbcste Vorm „ verkregen worde, die daar in beftaat, dat, als „ men onderllclt, dat de Bolwerkshockcn regt  KR Y G S - B O U W-K U N D E. 9 », zyn, de uiteinden van de Verdedigings-lynen „ naar binnen in de Vesting, regthoekig op mal„ kander vallen; in welk geval de Voorzyde, de „ Vleugel en de Gordyn van het halve Bolwerk als „ veranderd worden in de Verdedigings-lyn. De „ handelwyze nu, die aan alle de gemelde Voor„ waarden voldoet, is de volgende: * Men trek„ ke uit den hoek G van den voorgeftelden veel„ hoek de lyn G F, regthoekig ftaande op de „ Verdedigingslyn A D, wiens ftand gegeven is; „ zo zal die lyn G F de Voorzyde A F bcpaalen. „ Als men uit het ftip F. de lyn F G overbrengt „ in F L, zo dat het ftip L valle op de zyde van den binnenftcn Veelhoek (zynde F G = F L) zo „ zo zal FL de Vleugel zyn, en de lyn GL, die „ begrepen is tusfehen den vleugel en tusfehen den „ hoek G, zal de halve keel vertoonen. Deeze „ zelfde handelwyze maakt, dat in alle Veelhoeken „ de Vleugel als van zelfs regthoekig valt op de „ Verdedigings-lyn. „ Deeze evenredigheid eenmaal gefteld zynde, „ zal het overige gcmakkclyk volvoerd worden, „ mits alleen, dat de halve beftreeken hoek, of „ halve Bolwerks-hock, welke ik zo even als be„ kend onderfteld hebbe, als mede de Vleugel, te „ zamen zo groot gevonden worden, als mogelyk is; dewyl, de vleugel aangroeijende, ookdchal„ vc keel grooter wordt. „ Men ftellc nu, dat de lyn van verdediging AD * Fjg. I. A 5  ïó VRAAGSTUK in de gelyk is aan a\ de hoekmaat van den halven „ hoek des veelhoeks, of van den hoek CGQ. „ zy = m ; zyn fchilboogs - hoekmaat = f- de „ ftraal =r r en de hoekmaat van den halven Bol„ werkshoek G A D zy = yj zo vinde ik y = V 3 /a + 4/"'-/y P/' + Sffl» " 6. „ Als dc gegeven Veelhoek een vierkant is, wordt „ m—fi enderhalveny — m\/ 7 — y 17 =4896, 6, „ , „ zynde de hoekmaat van 29 19, en derhalven is „ dc geheele Bolwcrkshoek gelyk aan 58= 38 ." In den jaare 1750 heb ik de Oplosfinge van dit Vraagftuk reeds gegeven Qb) ; ik heb doen zien, dat de lyn G II, die begrepen is tusfehen den hoek G en tusfehen het ftip H, (het welk bepaald wordt door de lyn FH,regthoekig vallende uit F op A G) het gezogte maximum of allcrgrootfte is, dewyl de grootte van deeze lyn wordt uitgedrukt door dc uitkomst, welke gebooren wördt uit de vermenigvuldiging van de hoekmaat van den halven bolwerks-hoek GAF, en van de lyn G F, aan welken de vleugel gelyk gcfteld is: Want, dewyl, in den driehoek AGD, m de hoekmaat is van den hoek AGD, en y de hoekmaat van den hoek GAD, zo zal de hoekmaat rsn den hoek ADG moeten uitgedrukt worden door  KR YG S-B OU W-KUN DE. a door m \f i — y* — fy-, CO onderfteld zynde, dat de ftraal gelyk is aan de eenheid, of r = i. Dewyl nu de zyden der driehoeken tot malkander ftaan, als de hoekmaaten der hoeken, tegen welke die zyden overftaan, zo kan de zyde AG ook uitgedrukt worden door m V i — y' — fy: nademaal het hier alleen maar aankomt op de evenredigheid , of de betrekkinge, die de zyden of lynen op malkander hebben. Om dezelfde reden kan FG uitgediukt worden door my \/ 1 —y2 — fy\ en eindelyk GH door my 'V I — y' — fy3. Derhalven is GH = y x my V i — fy' — fy* gelyk aan de hoekmaat van GAF vermenigvuldigd door G F. Na dat ik de ftuz ie van my * \/ i — y' — fy* gelyk gcftcld had aan ö, heb ik gevonden y = V 3 f* ~ 4 m 1 ~ fV~9f-* + 8 m 6 < Doch men kan den ftand van de Verdedigingslyn , of de halve Bolwerkshoek vinden, zonder zig met deeze gevondene uitdrukkinge te bemoejen: want de uitdrukkinge my' V 1 — y' — fy1 is ook de uitkomst der vermenigvuldiging van m y j — y' ~ fy (zynde de hoekmaat van den hoek DAB, die gelyk is aan den hoek ADG) door y% of het vierkant van de hoekmaat van der hoek G A D. < Het  ï2 VRAAGSTUK in db Het Vraagftuk kan derhal ven op deeze wyze voorgefteld worden: * Een gegeven hoek GAB zodaanig in twee deelen BAC en GAC tefnyden, dat de uitkomst BC x GH- (zynde BC en GH de hoekmaaten van deeze gezogte hoeken) zo groot zy, als mogelyk ist of een maximum zy. Dit Vraagftuk is opgelost door den Heer mact aurin TreatJfe of E/uxions, art. 910., en nog duideiyker door- den Heer simpson Treatfe of Fluxions, pag.502. Dewyl het laatstgemclde Werk uit het Engelsen nog niet vertaald is, zal ik dc Oploslinge, die daar in voorkomt, hier ter plaatfe opgeven. Men ftelle, dat BC verlangd wordt, tot dat zy de ftraal AG, na dat dezelve verlangd is, ontmoet in E; zo zal dezelve den boog BG fnyden in P; men trekke P Q en B K regthoekig op AG; men trekke de lyn AP. AB, of AG zy = r\ BC = x, GH = y. Dewyl x* yi een maximum moet zyn, zo vindt men r 1. q p q — 1. px xxy-hxxqy y — $ En derhalven I- pyx~ — qxy Dewyl nu vervolgens de fluxie van den boog BD r x gelyk is aan ~-p=gT9 en dc faxje van den boog * Fig. II. DG  KRYGS-BOUW-KUNDE. 15 ry DG gelyk is aan ^jT^ZJti zo vindenwe in dit ry r x geval + rrrzzr = o; of X/r'—y1 \' r*~x2 II. y — x \/r2 — y2 \/r2— xa Deeze tweede vergelyking, vermenigvuldigd zynde door de eerfte, geeft -JJ-— _ q_f__ of p xy =1*; VV-y* V?~*a Vr^-y* Maar dewyl AH (- y/^7):GHCrry) = AC (=VV-*0: CE * y\/r% — yr1 — y2 zo vindenwe p x CE (= q r) = 9 x BC: en derhalven CE: CB = 9 : />; bygevolg door zamenftelling en door deeling BE :EP = q + p : q ~ p Nu is wegens de gelyk-vormige driehoeken BE:EP = BK:PQ, en derlialven q -V p : q — p = BK : PQ. Dus vindt men deezen regel: de hoekmaat van den geh'ielen gegeven hoek is tot dé hoekmaat van het verfchil der  VRAAGSTUK in öi 4er hoeken, in welken de geheele hoek moet gedeeld worden, gelyk de fomme pan de vermogen; der hoekmaaten is tot het verfchil van die zelfde vermogens. In die ons tegenwoordig Vraagftuk is p~ i en q — 2; dus 2 + i C=3):a - i (=0 = /7/: m , m . — — is dcrrn!ven de hoekmaat van het verfchil d.r hoeken-GA D en DAB, in welken GAB moet gedeeld werden: a's dan de.ze hoek gev,egd wordt by den halven hoek van den Veelhoek Qlemi angle du Polygone); vindt meh den Bolwerkshock, wiens halffcheid G AD dan ook bekend is. By voorbeeld; als dc Veelhoek een Vierkant is, vertoont m de hoekmaat van 45% en is dus = m 7°7.io, - , = 2357 of de hoëkmaac vdri 13° 38'; en 45° + 13° 38 = 58° 38'. Als dc Veelhoek verandert in een regte lyn, zo dat ejn regte lyn door een Bolwerk moet verfterkt worden, is m de hoekmaat van 90 .of = iqooo, g 3333 , het welk is de hoekmaat van 190 28'; dus 90* 4- 190 2.8' = I09o 2g' (f). Meet- (t);Deeze hoek van icq° 28' is ook gelyk aan dien hoek, welken de Sluisdeuren met malkander moeten maaken, om aan de drukkinge van het Water den allergrootften tegenftand te bieden, die mogelyk is. Zie S Mathematica! Treatife, containing a Svftem ofConicSeEtions, mth the doofrine of fluxions and fluents, iy JOHN MULLER.  KRYGS-BOÜW-KUNDE. 15 Meetkundige Aftekening voor alle foorten van geregelde Veelhoeken. * Men befchryve uit den top A van den hoek GAB met een willekeurige cpeninge van den pasfer, gelyk hier A E, den boog van een cirkel E H : men trekke uit E de lyn EK regthoekig op AH; men trekke door O, (Hellende KO gelyk aan een derde deel van EK,) de lyn OP, evenwydig aan AH; men verdeele den boog EP in twee gelyke deelen in R; men trekke eindelyk de lyn A R, die de gezogte halve Bolwerks-hoek HAR zalbepaalen: want-dewyl PR = RE, zo is P Q de hoekmaat van het verfchil der hoeken R A H en R A E; nu is deeze hoekmaat gelyk gefteld aan een derde gedeelte van EK, zynde de hoekmaat van den gegeven boek H. G.T.DW. ifte GEVOLG. f Als men op het uiteinde van de ftraal A R de lyn LN regthoekig trekt, zo dat LRA een hoek is van 90 graaden, zo zal deeze lyn L N ook evenwydig zyn aan BE. Derhalven is, volgens dit Vraagftuk, L M, of de fomme der raaklynen van de Hoeken BAR en GAR, tot MN of het verfchil der raaklynen, gelyk B E is tot EP, of gelyk BK is tot P Q. Hier uit vloeit de.volgende regel: Di * Fig. r. 1Fig, II.  ï<* VRAAGSTUK in dh 23. hoekmaat der fomme van twee hoeken is tot de hoekmaat van derzelver verfchil, gelyk de fomme der raaklynen van deeze zelfde twee hoeken is tot het verCchil van deeze raaklynen. * Als men dan de lyn GF verlangt tot in T heeft men wederom * m:m- 3 ; j = GF+ pT. Gp Qi 3 Flis derhalven de halffcheid van GF en een der devanGl. 2de GEVOLG. De hoekmaat van den hoek AGD is dezelfdemet die van den hoek GAB, en de hoeken AGF en F GD zy„ de aanvulfels tot het vierde deel van een cirkel, ten opzigt van de hoeken GAF en DAB: het verfchil derhalven tusfehen de twee eerfte hoeken is gelyk aan het verfchil tusfehen de twee laatften; zo dat de hoekmaat van dit verfchil is= »; waar uit dan door het ifte Gevolg blykt, m: ™ ~ 3: I = DF -f- AF: DF —AF. 3 Weshalven wederom de voorzyde AF de half fcheid is van D F, en het derde deel van de Verdedigings-lyn AD. Voor * Fig. I.  KR Y G S-BOU W-KU.NDE, 17 Voor het overige, dewyl de driehoeken A FI en D G F aan malkander gelykvormig zyn, zo is GF: FD == FI: AF En GF: FI = FD: AF Derhalven GF +FI: GF —FI = FD X AF: FD-AF —3:1 t volgens het eerfte Gevolg. II.G.T.B. W. AAN-  18 AANTEKENINGEN. AANTEKENINGEN. (a) In den jaare J737. heeft de Heer ge0rg wolfg. krafft al bedagt geweest, om de hoogere gedeeltens der Stel-kunde op den Vestinglouw toe te pasfen, gelyk men zien kan in Commentariis Academias Petropolitana;, Tom. IX. pag. 77. feqq. Hy vondt door de zogenaamde Methodus de maximis & minimis, wanneer de inhoud van een Bolwerk het alhrgrootjle is ; maar even daar door wierdt de Voorzyde niet genoeg verdedigd door den tegen over/laanden Vleugel van het ttaby gelegen Bolwerk; zelfs wierdt zy in het geheel niet verdedigd in een geregeld vierkant. De Heer krafft heeft3 dit gebrek ziende, een andere wyze uitgedagt3 die zekerlyk aan minder ongemakken onderhevig is; maar hier uit wordt een ander gebrek gebooren, naamelyk, dat de Bolwerks - hoeken veel te fcherp worden, voornaamelyk in de hoogere Veelhoeken ; welk gebrek zo groot is, en zo regtfreeks tegen de eerfte regels van den Veflingbouw aanloopt, dat ik niet nodig oordeele, om den Lezer verder met deeze uitvindinge van den Heer krafft, op te houden; gelyk hy ook zelf erkend heeft, dat desze wyze van verfierken geenfins voldoende is. (b) De oplos fin ge 3 van welke de Heer de lavaux hier [preekt, is niet gedrukt; maar zyn Wel - Ed. heeft  AANTEKENINGEN. 19 heeft dezelve toen ter tyd aan my en andere Beminnaars der Wiskunde ter hand gefield in gefchrift. Schoon die oplosfinge den aandagt van Wiskundigen ten vollen verdient; echter is degeene, die hier ter plaatfe voorkomt, veel eenvoudiger, en daarom heter. (c) Minder geoefende zullen misfchien in den eerften op/lag de reden niet zien, oni welke de hoekmaat van den hoek ADG moet uitgedrukt worden door rrx^ I — y1 — fy: doch men heeft alleen maar té leU ten, dat AGD het verfchil is, tusfehen de hoeken C G Q (of B A Q) en DA G. Nu is hét uit de Beginfelen der Driehoeks rekeninge bekend, dat de hoekmaat des verfchils van twee hoeken gevonden wordt, als men de hoekmaat van den grootflen hoek vermenigvuldigt door de fchilboogS-hoekmaai van den kleinfien hoek, en de hoekmaat van den kleinfien hoek vermenigvuldigt door de fchilb 00gs-hoekmaat van den grootflen hoek, en eindelyk de laatfte uitkomst van dé eerfie uitkomst aftrekt; wanneer (de flraal gefield zynde aan de eenheid) het overfchot de gezogte hoekmaat van het verfchil der hoeken uitlevert ; nu is hier de hoekmaat van den grootflen hoek == m, deszelfs fchilboogs-hoekmdat — f, de hoekmaat van den klèinfieh hoek = y; deszelfs fchilboogs-hoekmaat — ^ 1 — y2 ; zo dat de hoekmaat van ADG i; = m^i-f — fy< A.V.D. Y.   I» BESCHOUWING V j\. N DE DEELEN van het BASTION, VOLGENS EEN D-AARÖVER. OPGEGEEVEN VOORSTEL, VAN DEN HOOGLEER-AAR. n. ypey; DOOR. » d. klinkenberg, Ordinaris Klerk ter Secretarye van Holland.   lïïet was al in den Jaarc 1749. dat de Hooggeleerde Heer ypey, Profesfor in de Mathefis enz. aan de Hooge Schoole te Franekcr, in eene Latynfche redenvocring over het Fortificeeren, voor .het Bastion en alle deszelfs deelen, een Generale Formule heeft opgegecven, volgens welke Formule, alle de deelen van een Basiion, ieder byzonder hunne allergrootfte afmeeting, die mogelyk is,zouden hebben. Het is bekend, dat in het Fortificeeren, ten opzigte van de Bastions, voorden regel gehouden word, dat de kragt van een Bastion beftaat in de grootte van deszelfs deelen, zo in de lynen als in de hoeken; en dat in de Fortificatiën ten reguardc van de Bastions en derzelver grondmaate, deeze twee hunne bepaaling hebben, namelyk, de Polygons-hoek of de helft van dien hoek, en de langte van de Defens-linie. De overige deelen heeft men altyd getragt ieder op zig zelf zo groot te maaken als mogelyk is, en dezelve onder malkander zodanige proportie te dpfy hebben , als men dagt dat tot dc beste defenfie noodig was; waar by dan altyd in aanmerking gekomen is, dat men met fommigc deelen grooter te maaken, B 4 Ve  24 BESCHOUWING van wederom andere daar door zoude verkleinen, en dus met dc eerfte meerder kragt te geeven, de andere daar én tegen te verzwakken; en dat is voornamelyk de reden, waarom alle de byzondere Autheuren, die over deeze Stofte gefchreeven hebben, in de Grondmaaten van hunne Bolwerken, en in de methode van derzelver afmeetin°-en met malkanderen verfchiilen. De gementioneerde Formule, die de welgemelde Heer cn Ilooglceraar over dit fubjeéfc zonder oplosfing heeft opgegecven, is generaal voor alle Pclygomn, cn ook voor het zogenaamde plat Bolwerk, welks Gorchnen in eene regtc Linie vallen; cn ze is van dien aart, dat volgens dezelve dé grootere Polygons-hockcn (en dienvolgens de grootere Fortresfen) , ook te fterker Bolwerken verkiygen: en daar uit volgt een zeer ligte cn gemaklyke wyze om op dien grond een Fortrcs, zo op het terrein af te fteeken, als op het papier te" tcekenen. Die Hooggeleerde lieer heeft daar'van het volgende, of in dezer voege opgegecven: „AD zy „de beftendige Detemlïnie, * en de hoek AGD „ het yervüjfél van den gegeeven halvcn Palygoris»h;ek; de onbepaalde FG is perpendiculair op „AD, en geeft AF de Face; FL zy gelyk FG, „cn geeft FL de Flanc, DL de Gordjn, GL „üe halre Kc$l} cn dus GA de Capïuale; GAF  het BASTION. «5 „de 'halve Bastions hoek, AFL de Schouder hoek^ „ cn D1,F de groote flryihW&* Verders is CA gelyk' C B de groot.'-, en CG gelyk CQ • de kleine radius, A B de buitenfie, cn GQ de binnenfe Polygon: „ Dan' gcfteld zynde den Sinus van den hoek „ AGD = dc Co-fmus van dien hoek = ƒ, en „ de Sinus van den halvcn Bastiöns-hoek GAF —y: „ dan zullen alle deelen cn hoeken van het Bas„ tiön op het grootllc weczen, wanneer 4'» + 3/±/xV *m+9Ï " »J is = + V 6 ., De zeer wel in Meet- en Stel-kunde ervarene Heer Major r. de lavaux, heeft dit Theorema in het jaar 1750, toen het zelve aan zyn AVel ■ Ed. ter hand gekomen was, na verloop van weinig dagen opgelost, en dezelve Formule gevonden. Toen ik in het jaar 1752. dc Eer had, om met dien Heer in. kennis te geraken, heeft zyn AVel Ed. dit Theorema aan my ter oplosfing meiege- ■ deelt; doch ik hebbe daar in niet zo fpoedig konnen flaagcn; alzo ik dezelve Formule, eerst na verloop van ecnigc Maanden, gevonden hebbe. Eenigen tyd daar na wierd ik in dit voorftel een anderen regel of eigenfehap ontwaar; ik vond» naamclyk, dat dc Face AF van een beftendige grootte, en altyd. het derde deel van de Déferislinic AD moet zyn: hier door openbaarde zig aan- B 5 ïlohds  aö BESCHOUWING- v x. n ftonds een veel korter methode, om alle de Bastions-linien en hoeken in getallen uit te rekenen, en ook om een reguliere fterkte op papier af te tekenen, en op het terrein af te bakenen, dan of men hetzelve volgens de gevondene,Formule zoude hebben móeten verrichten; dit heeft-, na dat ik eenige reguliere Polygonen met hun Bastions, iiaar deeze methode (alleen om hun gedaante te zien) afgetekend hadde, (waar van hier eenige op de bygevoegde Plaat in hun regte proportie zyn afgebeeld) my bewogen, om de hier agtcr volgende Tafelen wegens de. langten van alle de linien en grootten der hoeken, die het Bastion enz. formeeren, uit te rekenen. By aldien het Fortificeeren op deeze wyze t'ccnigcr tyd in practycq mogt komen, zo zouden die Tafelen van gebruik konnen zyn, gelyk vervolgens door eenige voorbeelden zal bfyken. Ik zal nu eerst de vinding van de Formule, cn dan hoe daar uit blykt, dat de Face beftendig het derde deel van de Defens-linie is, voorftellcn. Men trekke ccn Cirkel-boog, die door A, G, en D gaat. Als men de perpendiculair FG, van A naar D doet bewegen, zo is het zeer kennelyk dat AG, AF, GF gelyk FL en de hoek ADG te gelyk aangroejen, en ook de hoek AFL, dewyl GFL altyd het tweevoud van ADG, en AFG, een beftendige regte hoek is; want de hoeken by F, aan beide zyden van de perpendiculair, die uit F op GL valt, zyn ieder gelyk ce  HET BASTION. de hoek ADG, derhalven is GFL gelyk twee ADG; vervolgens is het klaarblykelyk, terwyl FG, FL, en de hoek GFL aangroejen, dat dan ook te gelyk GL aangroejen zal: hier uit volgt dan, dat met de verplaatfinge der perpendiculair FG van A na D, de Capitaale AG, de Face AF, de Flanc FL, de halve keel of Demigorge GL, en de fchouder hoek AFL te gelyk aangroejen, terwyl de hoek AGD volgens Euclid. 3 B. 11 Prop. beftendig van één grootte blyft. Maar de aangroejing houd op, als AF, en DF malkaar gelyk zyn: gevolglyk is GF, op 't midden tusfehen A en D het allergrootst, en dus FL, die aan GF gelyk is: dewyl dan de gelykelyke aangroejing van AG, AF, FL, GL, cn de hoek AFL, als FG in 't midden tusfehen A en D komt, ophoud, (en zelfs zo GF verder na D toe gaat, deeze lyn zal afneemen) zo zoude, indien de hoeken GAF, en GLF niet in confideratie kwamen, het maximum van GF, in 't midden tusfehen A en D zynde, aan de zaak voldoen. De hoek G AF is de allergrootfte, wanneer GF in 't Punt A verdwynt of gelyk nul wordt; de-, zelve neemt af, als GF van A naar D voortgaat, en groeit aan, als het tegendeel gefchied. Dit heeft ook plaats met den hoek DG F gelyk GLF, (Fucl: 1; B: P: 5.) want die hoek is altyd het Complement van GD F, dewelke altyd grooter word, als GD F verkleint, en het tegendeel; dat is, als GF naar A toe voortgaat, dan verkleint de  28 BESCHOUWING U» de hoek GDF, en dienvolgens word dan DGP gelyk GLF grooter en anders om, zoo als ook van den hoek GAD is aangemerkt: als men GF op zyn grootfte, in 't midden tusfehen A en D fteld, en men doet FG van daar na D voortaan zo kan 'er uit de zaamenftelling van GF met den hoek A geen maximum voortkomen, om dat die beide termen op die wyze verminderen, en in D t0t;fet Worden' ™™ «Is men GF van het voorn midden na A doet voortgaan, dan zal wel GF afneemen, maar de hoek A, of deszelfs fi„us GD zal dan fterker aangroejen, als GF zal afneemen, zo als uit de befehouwinge der Lynen openbaar is, en derhalven zal de faamenftelling van die twee termen in dat geval ook aangroejen, doch maar tot een zeker punt, want als F in A komt, zo word GF nul, en dienvolgens de gemelde faamenftelhng ook gelyk nul; men moet derhalven vinden, hoe groot de hoek GAF zal zyn, als de faamenftelling van deszelfs Sinus y met de perpen dtculair GF het allergrootst is. Als men nu, behalven de .voorheen geftelde m ƒ. eny, nog fteld de Sinus van den hoek ADG gelyk zo kunnen de zyden van den Triano-el ADG, aldus, AD = „, GD = ,} en AGr,. worden uitgedrukt: verders den Radius - i genomen,^ is de Co-Jlnus van den hoek DAG = V i ~ y\ Om dan de expresfie voor de perpendiculair GF te vinden, kan men zeggen Rads: (O:AG—üms <.GAD(y);QF f> v) ■*■ ea  HET BASTION. 29 cn deeze vermenigvuldigd met y de Jinus van den hoek G A D, komt wy2, voor de expresfie van de voorgemelde famenftelling, die het Maximum moet zyn. Men zoekt voor v> een andere expresfie, in welke de onbepaalde y gevonden word: DK zy perpend: op AC, zo zyn de finasfen der hoeken, d^e van ADK — y 1 ^-y', en die van GDK r= ƒ; zo kan men zeggen. Rad:Ci).ADC«)-finus) dienvolgens is AG 0')=AK ^-GK = m x yi '^y2 ±-fy als men dit voor w in de plaats zet, zo komt de expresfie wy2 = my1 x y 1 ~ y2 -^-/>3;en dcwyl deeze het Maximum zyn moet, zo zal men voor derzclvcr fluxis vinden. . my' 1 my x y 1 ^-y5 x y -f- —£rzr x y -f- 3 /j1 j. = o: 1/i-r-y' Door verder reductie krygt men 1 m -;- 3 my1 z= fy x y 1 ~ y«. Deze beiden in het Quadraat gebragt, zo komt 9ffl2y4f-i2>«'v4-4 ^gfy >9/V; en vervolgens is pffi> -j_ 9 ƒ* xy I2 ;H o ll 9 x r _. ^_ 4 m2-{-?2 is = i., en dienvolgens is Qm2-\- $f* — g derhalven ö §'~yt 12 m2 -f 9 f2 •< y2 — :-^m\ Deze Equatie, eerst gedeeld door 9, zo komt y* j- * m2 + ƒ» x _y> = 4, en dan deszelfs wortelsy :met óvermenigvuldigd.zo zalkomcny»- 8/«* fóp  3o BESCHOUWING van *y = 4-i6«» dewyl ook i6is = i6/»> + i6/*, zo is - 16 = -f- 16 *• • l6 m> derhalven is ** ^ 8+ x J2= r-16 «4 ^_l6 „^Maanheide de zyden het Quadrt. op de helft van $ m> -f6 ƒ« >er by gedaan, zo zal komen y4-h8^-j-6/2xy3 + 4«= + 3/.-g;Ki/2 + 9/ De wortels uit deze Equatie zyn y* =r 4 «< -f- ^ + y TtVJ^+Jf,, ertomdat dan deze wortels 6 maal grooter zyn, dan de eigentlyke, dewyl die te vooren met 6 vermenigvuldigt waren, om de breuken te ontgaan, zo zyn de eigentlyke wortels y ~ 6 ~ "endienvol¬ gens is 4 m~^+jfi ±fx yY~m~r^rT y = ~ V 6 '— men ziet dat en dienvolgens Ook j, twee differente waarden heeft. De kleinfte is de fmus van den hoek GAF; cn de grootftc is de finus van dén hoek GLF, gelyk DGF, gelyk DAH, (nainelyk AH perpendiculair op de verlangde DG ftaandc) het welk blyken zal, als men het Cirkelftuk DGAin het geheel vol trekt, en deperpend: gf aan de andere zyde verlangt tot die den omtrek fnyd of ftöot; welk punt men een V kan noemen, en van het zelve tot A en tot D linien getrokken, zo zal de fmus van den hoek AVD gelyk de fmus van den hoek AGD ~m weezen; de hoek DAV zal dan gelyk DGV, gelyk GLf' zyn  het BASTION. si zyn QEucl: 3 B: P: *f, en i. B: P: 5.): als men dan den finus van den hoek D A V = y, en van den hoek ADV = w fteld, en men redeneert in de triangel AVD, gelyk in AGD gedaan is, om dat de aangroejingen en afnecmingen van GF en V F, en der hoeken by A en by D op gelyke wyze gefchieden, zo zal men dezelve Equatie vinden, en dezelve waarde voor y, de iinus van den hoek D A V, die dan de grootfte wortel is. Om de reekening te maaken, kan men de gedaante der formule wat veranderen, zonder dat derzelver waarde verandert, om wat ligter op de getallen toepaslelyk te zyn. Om dat m2 + f2 = 1 is, zo is 4 m' + 3 f1 = 4 -f- f1 = 2 + ƒ x 2, ~ ƒ, en om die zelve reeden, zo is 8 m' + 9/I = 9 ^-m2=z 3 -|- m x 3 t-»;j zo dat dan is y = 4?«+ 3ff- fxV^m^9f__ y 6 — 4 — ƒ + ƒ x t/9f b V 6 a+/x2 '~f + V/* 3 + /gxg-H» V 6 Om een voorbeeld uit te reekenen, zal ik een reguliere vyfhoek neemen, in den zeiven is de halve Polygons hoek 54 graden, welks Sinus is 80902 voor  S2 BESCHOUWING van voor en zyn Co-finus ƒ is 58778. de rekeninj Haat dan aldus 3 + m = 3. 80902 de Log. o.- 5808133 3 ~ m = 2. 19098 — o. 3406384 . Log. ƒ is 9- 5384374 o. 4598891 LoS V f" x 3 +'« x 3 — * o- 2299446 is 1. 69803 2 + ƒ = 2. 58778 Log. o. 4129274 2 "T- i; 41222 o. I499023 Logarit 2 -f ƒ* 2 f-/ o. 5628297 is is 3 65451 3.65451 + 1.69803 j_ 1.69803 5-35254 195648 •89209 .gofog Logar. 9. 9504086 Logar. 9.5133242 -Sinus 9.9752043- Sinus 9.7566621 xy2^- i my2 x2m x x -f x2 -f- *»1 = o. Om dat «2 -f y"2 = i is, zo krygt men by reductie y* = 2 m2+f2 xy2 -f a« ^ 29, en 3 B. P. 20 Als men eerst de hoeken GAD en GDA gevonden heeft, dan zyn dc voorheen geftclde Sinusfen, namelyk m, ƒ, y en w, alle bekend, en dan A D gelyk a, en den Radius gelyk 1 Hellende , zo kan men ! ligt vinden , dat de volgende Lynen door de nevenftaande expresfien betekend worden, als AH = aw. AG = -.HG = -fav m m ij yj ~ . FL = -— en G L = —-—. m m m dewelke dan door de Logaritmife getallen ligt te vinden zyn; de overige linicn, als ook de verdere hoeKen, worden dan meest door byvocgen en aftrekken met weinig moeite gevonden, ais volgt. C 2 AM  36 BESCHOUWING van O i A M—80902 Sin. Nat. van 54-0 £ AOMzy nS in.Logar./k = 9907 9Ó 3 — enzynCo fin.Log./=97Ó922 GY — 26967 Sin. Nat. van 15-39CGOY de Bastionshoek < DOG 69-39 = 2hoekenGAD de halve Bastionshoek GAD 34-49T.aynSin.Logar ^=975669 ...AF = BZ 29601 ; • 20295 29 99 roeden 29.67 roeden AU = BW ,i deperp.UL Op. dezelve Wyafc-kan men de langtens van alle de linien be ekenen, doch deeze zyn genoeg om dc Grondlyncn van een fterkte na devoorfz. Theorie af te Roeken: 'de bygevocgde afbeeldingen A, B, enz. vertoonen de eigcntlykc gedaante der Bolwerken enz. zoo als die.in hunne regte proportie, volgens de voorfz. methode, zyn afgetekend. A. zyn twee Bastions, cn de Gordvn van ccn regulieren vierhoek. B. van ccn regulieren vyfhock. C. van een dito zeshoek. D. van een zevenhoek. , JE. van een agthoek. F. van een negenhoek. 'G. van een tienhpêk. . H. van een twaalfhoek. Vj. van ccn vyfticnhoek. K. van een twintighoek. L. van ccn dertighoek., en M. van een plat Bolwerk. ' VER-  .4 *.  I. TAFEL, van de grootten der Hoeken, en langten der Lynen van het Bastion, enz. zynde de Langte der Defens-linten AD gelyk BL, op 60. en de Facen AF gelyk BZ, beftendig op het "derde deel van dien, namelyk 20. Koeden, genomen. De nommers, ageer de Roeden, zyn Decimaal f radtien. Reguliere Folygon Center- j Bastions- Schouder- Groote Kleine Capitale Flancq Gordyn. Binnen Buiten Halve H L Ferpeud; hoeken, hoeken, hoeken.' hoeken. StrykhoekStrykhock AG FL DL Polvgone. 'olyaore. Keel. — AH Polygone. ACB AFLDLFFDL — ir F G G Q AB GL AU — TJ L == = == BQ -ZD — — —WD BZDLDZZLD D Q B W "~ Colom. i. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. | 9. | 10. ii. 12. 13. 74. 15. gr- m, gr. m. gr. m. gr. m.' gï. m gr. m Rj f,;R: £ r^ £ r: f r: f: R; f. r: f, r: f. Vier-hoek. 90-0 90-0 58 - 38 121 - 22105 - 4115 - 41 22 - 94 11 - 23 |j$ - 47 47 _ 62 80 - o6~ (> - 07(22 - 2~ 16 - 22~ 91-0 89 - o 59 - 15 121 - 45 IC5 - 53 k - 53 23-01 11-37 m - 36 47 - 81 «o - 06 6-22 22 - 35 16 - 41 92-O 88 - 01 59 - 52 122 - 8 106 - 4116 - 4 23-08 n - 52 135 - 25 48 - 00 8o - oó 6 - 37 ;22 - 41 16 - óo 93- 0 87 - o 60 - 30 122 - 30106 - 15» - 15 23-15 11 - 66 35^14. 48 - So~ 07 6 -"53I22 - 47 "16 - 79~ 94- 0 86 - o 61 - 7 12a - 53 icó - 27 16 - 27 23 - 22 11 - 81 I35 - 02 48 - 39 80 - 07 6-69 ;22 - 52 16 - go 95-Q 85 - o 61 - 44 123 - ióicó - 38 16 - 38 23 - 30 11 - 95J34 - 90 48 - 59 80 - 07 6 - 84 ;22 - 59 17 - 18 96- 0 84 - o 62 - 20 123 - 4010Ó - 5016 - 50 23 - 38 12 - 10 34 - 7éT 48 - 8o~ 80 - o8~ i~^~oTz2 - 65^17 - 37~ 97- 0 83 - o 62 - 57 124 - 3 107 - 217 - 2 23 - 45 12 - 25 34 - 66 49 - 00 80 - 08 [ - 17 22 - 71 17 . 56 98 - O 82 - o 63 - 34 124 - 26 107 - 13 17 - 13 23 - 53 12 - 39 34 - 54 [49 - 21 80-08 7-34 22 - 77 17 - 76 99-O 8l - O 64 - II 124 - 49107 - 2517 " 25 23 - 6l 12 - 54 34 - 42~49 - 42~£0 - 09 1 - 50~22~-~87 17 - 95 100 - o 80-0 64-48 125 - 12 107 - 36 17 - 36 23 - 69 12 - 69 34 - 20 49-64 80-09 1 - 68 jsa - 90 18 - 15 _^ 101 ~ 0 J79 - O 65 - 24 125 - 36107 - 481; - 48 23 -77^ !2_-_84_ 34 - 16 49-86 80-10 7 - 85 (22 - 97 18-34 102- 0 78 - o 66 - 1 125 - 59108 - 018 - o 23 - 85 12 - 99 g4~, 03 53 - 08 80 - io~ 8 - 03~23 - 04" 18 - 53" 103- 0 77 - o 66 - 37 126 - 23(iioS - iai8 - 12 23 - 93 13 - 14 33 - co 50-31 80-11 8 - 21 23 - 10 18 - 73 104-0 76-0 67 - 14 126 - 46108 - 2318 - 23 24 - 02 13-29 33 - 76 50 - 54 80 - 11 l - 39 23 - 37 18 - 93 105- 0 75 - o 67 - 50 127 - 10 108 - 3518 - 35 24 - 10 15 - 45~ 33 - 6^50 - 77" 8011 f - 57"23 - 124 ïo~T 106- 0 74 - o 68 - 26 127 - 34108 - 47 18 - 47 24-19 13-60 33 - 49 51 - 01 80 - 12 3 - 76 53 - 31 i9 - 32 107-0 73 - 0 69 - 2 127 - 58 108 - 5918 - sg_ 24__-_27 is - 76 33 - 35 51 - 25 80 - 13 l - 95 23 - 39 19 - 51 Vyf-hoek. 108 - o 72 - o 69 - 39 128 - 21109 - 1119 - u 24 - ^Ti^gT 33 - 21 51 - 49 80 - isf 1 - 14 H * 46" ïö' - 71 ! 109 - o 71 - o 70 - 15 128 - 45109 - 23 [9 - 23 24 - 45 14 - 07 33 - 07 5ï - 74 80 -13 f - 34 23 - 53. 19 - 91 110 - o 70-0 70 - 5i 129 - 9109 - 35'9_-_3£ 24 - 54 14 - 23 32 - 92 51 - 99 80 - 14 s> - 53 23 - 61 20 - 10 111 - o 69 - o 71 - 27 129 - 33 109 - 47 19 - 47 24 - 63 14 - 38 '3t-~77—52 - 24"" 80 - 15 i - 73 23'1 $9' feö - 3a 112 - o 68 - o 72 - 3 129 - 57|i09 - 5919 - 59 24 - 73 14 - 54 32 - 62 52 - 5c 80 - 15 9 - Q4 23 - 76 20 - 50 U3 - o 67 - o 72 - 38 130 - 22 110 - 1110 - 11 24 - 82 14 - 70 32 - 47 52 - 70 80 - 16 10 - 14 23 - «4 ao - 70 De Letters in de hoofden der Colommen vind men bewerkt op Fig. I. Bladz, 42. II. TAFEL, de hoeken blyven eeven gelyk als in de I. Tafel, maar de langten der Lynen, zyn m zulke Deelen, en Decimaal f Taftien uitgedrukt, waar van de buiten Polygone AB, beftendig 100. deelen is. Capitale Flancq Gordyn Defèns- TaTe' Binnen HaTve" n L IVrpendA_G F L DL linie. A F Polyeone Keel. — A H ' tTTï ,~^ A D - GQ GL A U — BQ2D =BZ - = UL BL D Q B W I =: ! , Vv D ï6. !?• l8. 19 20. 21. 23. 21. 21. Pj f D: qUi f]D: f D. f Dj f. D: f:D: f; D: f: 28 - 65 14 - 03 44- 31 74 - 95 24 - 98 59 - 48~ ~7 - 59 27 - 8^ *o~26 28 - 74 14 - 21 44 - 17 74 - 94 24 - 98 59 - 71 7 - 77 27 - 91 20 - 50 28 - 83 14 - 39_ 44 - 03 74 - 94 M - 98 59 - 95 7 - 96 27 - 99 20 - 74 28 - 92 14 - 57 43 - 88 74 - 94 24 - 98~óo - 19 8 - 15 28 - c6 20 - 98" 29 - 01 14- 75 43 - 74 74 - 94 24 - 98 60-44 8 - 35 28 - 13 21 - 21 |E£jLi°_I4j^^4jj_59_7Jj^9^ i° 8 ~ 55 28 - 21 21 - 45 I29 - 19 15- li 43 - 44 74 - 93 24 -98 60 - 94 8-75" 28 - ~28~ 2l~^~6g~ 29 - 29 15 - 29 43 - 29 74 - 93 24 - 98 61 - 19 8 - 95 28 - 36 21 - 93 29 - 38 15- 48 43 "_J3_ 74 - 92_24j^_97 61 - 45 9 - 16 28 - 44 22 - 17 29 - 4? *5 - 66 42 - 97 74 - 92 24 - 97 61 - 71 9 - 37~ 28 - 5122 - 4i~ 29 - 57 '-5 ~ 85 42 - 81 74 - 92 24 - 97 61 - 98 9-58 28 - 59 22 - 65 29 - 6716 - 03 42 - 65 74 - 91 24 - 97 62 - 25 9 - go 28 - 67 22 - 90 29 - 77 16- 22 42 - 48 74 - 9i 24 * 97 62 - 53 io - 02 28 - 7ó~23 - 14 29 - 88 16 - 41 42 - 32 74 - 90 24 - 97 62 - 8c 10 - 24 28 - 84 23 - 38 19 - 98 16 - 60 42 - 15 74 - 90 24 - 97 6? - 09 10 - 47 28 - 93 23 - 02 30 - 08 16 - 79 41 - 98 74 - 89 24 - 96 03 - 37 10 - 70 29-01 23 - 87~ 30 - 19 16 - 98 41 - 80 74 - 89 24 - 96 63 - 66 10 - 93 29 - 10 24 - 11 go - 30 17 - 17 41 - 63 74 - 88 24^-^96 63j-_97^ 11 - 17 29 - 18 24 - 35 30 - 40 17 - 36 41 - 4S 74 ~ g8 24 - 96 64 - 26 ii - '41 29 - 28 24 - 60 30 - 51 17 - 55 41 - 26 74 - 88 24 - 6 64 - 56 n - 65 29 - 37 24-84 30 - 62 17 - 75 41 - 08 74 - 87 24 - 96 64 - 87 II - 90 29 - 46 25 - 09 30 - 74 17 - 95 40 - 89 74 - 86 24 - 95 55 - 18 12 - 15 129 - 55 25 - 33 30 - 85 18 - 14 40 - 70 74 - 86 24 - 95 05 - 50 12 - 40 29 - 65 25 - 58 30 - 97 18 - 34 40 - 51 74 - 85 24 - 95 65 - 82 12 - 65 !i9 - 75 25 - 82  Vervolg van TAFEL I. Vervolg van TAFEL II. Rc3uhoe Polygone Center Baft.ons Schouder- Groote l Kleine Capitale Flancq Gordyn | Binnen Buiten i ~e H L ! Ptrpend: hoeken, hoeken, hoeken, hoeken. Strykhoek Sttvkhoek A G — FL DL Polyeone Poly-one ! Keel — ah — Polygone. ACB AFLDLFD'LBBQ - [fcj ï B q L A~U ! U L F G = —DQ — ! = WD 2 D B W I iColomI- 2 3- 4- 5- 6. 7. 8. 9. to. II. 12. 13 I 14. I 15. . gf: mgr. mgr m gr. m gr. m R: f: R: fR: f: R: f R: f R: f: R: f;R: f: KJ " " ° 73 ~ 14 130 - 4Ó;110 : 2s;2o - 23 24 - 92 I4T86 ga ,- 32 53 - 8o^Y'^^s':^ï^t.^^ 1 d - 005 - o 73 - 50 131 - .10110 - 35,20 - 35 25 - o: 15 - 02 32 - 16 53 • 29 80 - 17 10 - 56 24 - co 21 - 10 |."6 - _°|64 -_°_74 --25 *3 ^5^0^4820 - 48 25 - " 15 - 19 3? -01 |53 -"57 fo - 18 io_- 78 24-09 21^30 UI" SS " n ?j " J l!o~ " 021" 0 25 ~21 15 -35 31 -84 i53 -84 80 -1911 -oo :h~7ri2T^c7 o " n'rtr ' o ^ " 5 3 " 2tni " 1221 " 12 25 " 31 * " 51 31 " 68 54 - 12 80 - 20 ii - 22 24 - 26 21 - 70 -ü9 -_?j6ij_° 76 "_12 J32_: 4» in - 2421 - 24 25^41 15 - 68 U ■, 52_?j4i 80 - 20 it - 44 24 - 34 21 - 90 | Zeshoek. 120 - 60 - o 76 - 47 133 - 13111 - 3721 - 37~ 25 - 52 15 - 85 31 - 35 I54 - 69 B - 21 11 - 67 24 - 43~w~io~| lïl ' 3fg " 77 ' 22 133 " 38 111 - 4921 - 49 25 - 62 16 - 01 31 - 18 !54 - 99 80 - 22 11 - 90 2J - 52 22 - 30 ir^^j_i_o_77^j7_iB4jlJU2 - 222- I 25^73 16 : i8_ 31^01 fejJjT 80^23 12-I4 24 - 61 22 - 50 ï23 " 35J " ° 78 ~ 32 134 " 28 112 - '422 - 14 25 -'83 16 -;S5 30 - 84 55 - 59 80 - 24 12 - 37I24 - 70 22 - 7o~ 24 - °nf- °79" 7 134 - 53112-2722-27 25-94 3 30-66 55- 89 80 -25 12 -61 .'4 -79 22 -90 . -l5 ' °55J 79__l42_ 135 -_i8,ii2 - 3922 - 39 26 - 05 i6_JS9 30 - 49 k6 - 20 8o_-j2Ó 12 - 86 !24 - 89 23 - 11 lfn ' °B4 ~ ° 0° " *6 I3£ - 44 112 - 5222 - 52" 26 - 16 16 - 87 30 - 30" 56 - 51 80 - 27*3~^%7 28 " nll ' I3J " 9"3 ~ *23 - 5 2Ö - 27 I? - 04 30 - 12 56 - 83 80 - 28 13 - 35 25 - 08 23 - |i £^ o0^o 8i_26_ 136^34 "3_^i7 23^17 26^39 i7 - 21 I? - 94 57 - 15 §5 - 29 13 - 6l 25 - 18 23 - ?a Zevenhoek. 128 - 3451 - 26 81 -46 136 - 49 113 - 24 23 - 24 26 - 45 17 - 31 29 - 83 57 - 34 80 - 29" 13 - 76 25^3" *3~H !o I So " o 82 " i £ " fEU3 ~ 3023 - 30 ^ • 50 17 - 39 29 - ™ v - 4 80 - 30 13 - 87 25 - a? 23 - 92 _ 130- °50_1_o_!82JL35_ 137^25113^4323^43 26 - 62 17 - 57 29 - 56 57-81 80 - 31 14 - i3 25 - 37 2f - 13 \ll t oS " n il ~ 2 1*1 ' ^ 113 ■ 5Ï™ 20 - 74 17 - 74" 29 - 37 58 - 15 80 - 32 14 - 39" 25^4^24 - 33~ lïl 0I7 ' o s! - 4A lil ' l6U4 ~ 824 ~ 8 26 - 86 17 - 92 29 - 17 fe8 - 49 80 - 33 14 - 66 25 - 58 24 - 5^ 133 - 047 - 0 84 138^42114_^2i24JL2r_ 26 - 98 18 - 10 28 - 98 58^83 80 - 35 !ij - 93 25 - 68 .aj - 74 a , 1 lli ' ^ft ' ° !o4 " 52 lIS9 " 8*114 ~ 3424 - 34 27 - 10 18 - 28 28 - 78 59 - 18 80 - *6$S■oo" 25~-~79. 24 - .94" Agthoek. 35 - 045 - o ,85 - 26 [139 - 34114 - 47 24 - 47 27 - 22 18 - 47 28 - 58 59 54 80 - 37 5 - 48 af - 9° 5$ - 15 { 13Ó - 044 - o ,86 - o 140 - 01IJ5 - 025 - o 27 - 35 18 - 65 28 - 37 59 - 90 80 - 39 15 - 76 26 - 01 \4 - 36 ! i II I I I I 1 I I Capitale Flancq Gordyn Defens Face Binnen Halve i H L Perpend: AG F L DL Linie A F Polys: Keel ~ AH ± =r DZ AD r — GQ GL— AU—UL BQ B L BZ D Q ~ =WD A BW 16. 17. l8. 19. | öo. j 21. I 22. 23. 24. D: f:D: fD: f; D; f,D: f;Dj f Dj fD: f;P}:Cl;vfi 31 - 08 18 - 54^40 -31 74-84" 24~-~9"^,66 - 14 12 - 91 29 - 84 26 - 07 31 - 20 18 - 74 40 - 12 74 - 84 24 - 95 66 - 47 13 - 18 29 - 94 26 - 31 31-32 18 - 94 39 - 92 74 - 83 24 - 94 66 - 81 13 - 45 30 - Q4_26 ' 56_ 31 - 44 '9 - 14 39 - 71 74 - 83" 24r 94 Ö7 - 14 13 - 72 30 - 14 26 - 81 31 - 56 19 - 34 39 - 51 74 " 8a 24 - 94 ó7 - 49 J3 - 99 30 - 25 27 - 06 31 - 69 19 - 55 39 - P 74:- 81 2j*j^4_ 67j^4_j£4_2_a^ 3£_2_35_ 27_-Jo_ U - &r 19 - 75 39 - 09 74 - 80 24 - 93~68 - 19 14 - 55 30 - 46 27 - 55 31 - 94 19 - 96 38 - 87 74 - 79 24 - 93 68 - 55 14 - 84 30 - 56 27 - 80 32 - có 20 - 17 38 - 65 74 - 78 24 - 93 68 - 91 15 - 13 30 - 07 28-05 32"- 20 20 - 38 38 - 43 .74 - 78 *4 - 93 69 - 28 15 - 42 30 - 78 28 - 29 32 - 33 20 - 59 ;8 - 22 74 - 77 24 - 92 69 - 65 15 - 72 30 - 89 28 - 54 32 - 46 20 - 80 17 - 99 74 - 76 '4 - 92 7q - 03 16 - 02 31 - 01 a8 - 79 32 - 6o~ n - o? 37 - 75 74 - 75 4 - 92 70 - 41 16 - 33 31 - 13 29 - 04 32 - 73 n - 22 <7 - 52 74 " 74 4 - 91 7° "79 16 ' °4 31 - 24 J9 - 29 32 - 87 21 - 44 ;7 - 29 !4 - 73 4 - 91 7^ - 19 16 ~ 95 3 r - 36 29-54 32 - 94 tl - 56 37 - lï ?4 " 72 M - 9' '! " 41 17 " 13 ^ " 42 29 - 68 33 - 00 21 - 66 <7 - 05 74 - 72 4 - 91 n ~ 58 17 - 27 31 - 4» 29 - 79 33 - 14 21 - 87 36 - 81 74 - 71 4 - 90 ?i - 98 17 - 59 31 - 60 30 - 04 3? - 29" 22 - 09" Ï5 - 56 74 - 70 -4 - 90 ?2 - 39 '7 - 9* 31 - 7* 30 - 29 33 - 43 22 - 31 36 - 32 74 - 69 '4 - 90 :2 - 81 18 - 25 3' - «4 30 - 54 33-57 22 - 53 3Ó- 07 74 - 68 24 - 89 73-22 j8_-_gg_ H - 97 3Q - 79 I'^lTw - 75 35 - ^ 74 - 07" 14 - 89 73 - 65 18 - 92 32 - 09 I31 - 04 <3 - 87 12 - 98 <5 - 55 74 " 65 24 - 88 74 - 08 19 - 26 32 - 22 31 - 29 54 - 02 23 - ao 35 - 29 74 - 64 124 - 88 74 " 51 »9 " 61 *2 1 35 81 - 54 il  Vervolg van TAFEL I. Vervolg van TAFEL IL Reguliere Polygone Center Baftions Schouder-1 Groote Kleine Capitale Flancq Gordyn Binnen Buiten Halve H L Perpend: hoeken, hoeken, hoeken, hoeken. StrykhoekStiykhock AG F L DL 'oiygone Polygone Keel — AH Polygone. ACB AFLDLFDLB = — F G GQ AB GL AU rüL ! BQ -2D ' ~ — -WD D Q BW Colom I. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. II. 12. 13. 14. 15. _ gr. rn^gr. rn.gr. rn_gr. m gr. m gr. m R: f;R: fR: £R: f; R; f R: fiiR; fR: f; XVIIÏhoekióo - 020 - o 99 - 10 150 - 50*120 - 2530 - 25 30 - 85 23 - 49 22-60 70 - 17 80 - 8Ö~,2j - 7S 29"r~ï4~!30 - 38 j 161 - 019 - o 99 - 42 151 - 18,120 - 3C30 - 39 31 - 02 23 - 71 ;22 - 32 70 - 67 80 - 91 .24 - 17 29 - 29 I30 - 59 XX. hoek. ió2_-_ oi8 - o 100j-Jt3 i5*^47_j*jOj^54Q_- 54 3_*_j-_ *9 23 - 93 |22 - 04 hl - 18 ,80 - 94 ,24 - 57 29 - 45 |3o - 80 163 - 017 - o 100 - 45,152 - 15121 - fy* - 8 31 - 36 24 - 15 21" - 76 71 - 70 80 - 97 |I - 97 29 - 61H31 - 02~ 164 - 016 - o 101 - 1615a - 44121 - 2,31 - 22 31 - 53 24 - 38 21 - 47 72 - 22 81 - 00 |2J - 38 29 - 77 31 - 23 XXIV. h. 165 - 015 - o 101 - 48 153 - 12 *21 - 3(31 - 36 31 - 71 24 - 61 '21 - 17 72 - 75 |8l - 03 « - 79 29 - 93 131 - 44 166 - 014 - o 102 - 19 153 - 41*21 - 5-31 - 5* 3* - 89 24 - 84 20 - 88^73 - 29 81 - 07 !2(f-~2T 30 - 09"3Ï-T 65 167 - 013 - o 102 - 50154 - 10122 - .;32 - 5 32 - 07 25 - 07 ,20 - 58 73 - 84 81 - 10 s$ - 63 30 - 26 31 - 87 XXX. h. 168 - 012 - o 103 - 22154 - 38122 - i<32 - 19 32 - 26 25 - 31 10 - 27 74 - 39 (8i - 14 '27 - 06 30 - 43 [32 - 08 169 - on - o 103 - 53!*55 - 7*22 - 3.32 - 34 32 - 44 25 - 54 IT9 - 96 '74 - 95 81 - 17 127 - 49 30 - 6b I32 - 29" XXXVI. h. 170 - oio - o 104 - 24155 - 36122 - 4:32 - 48 32 - 63 25 - 78 (19 - 65 75 - 52 81 - 21 (27 - 93 30 - 78 32 - - 29 31 - 32 33 - 15 LX. hoek. 174 - oj 6 - o 106 - 27 157 - 33.123 - 4:33 - 47 33 - 40 26 - 76 18 - 37 '77 - 87 ,81 - 37 - 75 \%i - 50 33- - 36 LXXII. h. 175 - o' 5 - o 106 - 57 158 - 3*24 - 534 - 2 33 - 60 27-00 18-04 '78 - 48 81 - 41 '30 - 22 I31 - 6g~ 33-57 XC. hoek. 1176 - o 4 - o 107 - 28158 - 32124 - 1(34 - 16 33 - 81 27 - 26 17 - 71 79 - 10 81 - 46 30 - 70 131 - 88 33 - 79 CXX. h. 177 - o' 3 - o 10758 159 ~ 2|i24 - 3$4_-j1 34 - 0* 27 - 51 17 - 37 ;79 - 72 .81 5* 3* - *8 !g2 - 07 34 - 00 CLXXX.h. 178 - dj - o 108 - 28159 - 32124 - 4634 - 46 34 - 22 27 - 77 17 - 03 .80 - 36 181 - 55 3* - 67I32 - 26" 3-4 - Q.T CCCLX. h. 179 - 01- o 108 - 58 160 - 2125 - JJ5 - 1 34 - 43 28 - 02 16 - 68 ;8i - 00 |8i - 60 32 - 16 32 - 46 34 - 43 Pl'Bolw. ,180 - oj o - o 109 - 28 160 - 32125 - 1^35 - 16 34 - 64 28 - 28 16 - 33 81 - 65 81 - 65 32-66 32 - 66 34 - 64 Schouder-1 Groote | Kleine ICapitaleFlancq Gordyn D:;fens Face Binnen Ealve I H L Perpend: AG F L DL Linie A F Polyg: Keel — AH — — AD — GQ G L AU = B Q DZ —BZ — — UL B L D Q BW — 1 W D Il6. 17. 18. 19. 20- 1 21. 22. 23. 24. D: f:D: fD: f; D: fD: fD: f. D: f. D: f;D: f S38 - 14 29 - 04 27 - 95 74 - 18 I24 - 73 j 86 - 7529 - 4c 36 - 03 37 - 56 ;|38 - 33 29 - 30 27 - 59 74 - 16 24 - 72 87 - 3529 - 88 36 - 20 37 - 81 |38 - 53 29 - 56 27 - 23 74 ~ *3 24 " 7* 87 - 9430 - 36 36 - 38 38 - có^ |38 - 73 29 - 83 26 - 87 74 - 10 24 - 70 88 - 5530 - 84 30 - 57 38 - 31 Ï38 - 93 30 - 10 26 - 50 74 - 08 24 - 69 89 - 16 31 - 33 36 - 75 38 - 55 139 - *4 30 - 37 26 - 13, 74 - 05 24 - 68 89 - 78 3* - 83 36 - 93_ & ~ 80 139 - 34 3o - 64 25 - 75 74 - 01 24 - 67 90 - 4* 32 - 33 37 - 12 39 - 05 39 - 55 30 - 92 25 - 37 73 - 98 24 - 66 9* - 0532 - 84 37 - 3* 39 - 29 39 - 75 3* - 19 24 - 99 73 - 95 24 - 65 9* - 69 33 - 35 37 - 5*_ 39 - 54 39 - 69 31 - 47 24 - 60 73 - 92 H - 64 92 - 34 33 - 87 37 - 70 39 - 78 40 - 18 3* - 75 24 - 20 73 - 88 24 - 63 93 - co 34 - 40 37 - 90 40 - 03 40 - 39 32 - 03 23 - 80 73 - 85 94 - 62 93 - 66 34 - 93 38 - io 40 - 27 40 - 61 32 -""31 23-40 73 - 81 24 - 60 94 - 33 35 - 47 38 - 30 4° - 5* 40 - 83 32 - 59 22 - 99 73 - 77 24 - 59 95 - 01 36 - 01 38 - 5° 40 - 75 41 - 05 32 - 88 22 - 58 73 - 73 24 - 58 95 - 70 30 - 56 38 - 71 4* - 00 41 - 28 33 - 17 22 - 16 73 - 70 24 - 57 96 - 40 37 - J2 38 - 92 4* - 24 4* ~ 50 33 - 46 2* - 74 73 - 66 24 - 55 9? - i°37 - 68 39 - 13 4* " 4« |4l - 73 33 - 75 21 - 31 73 - 62 24 - 54 97 - 81 38 - 25 89 - 34 4* - 72 541 - 97 34 - 03 20 - 88 73 - 57 24 - 52 98 - 54 3* - 83 39 - 56 41 - 96 I42 - 19 34 - 34 20 - 44 73 - 53 24 - 51 99 - 2639 - 4* 39 - 78 42 - 19 542 - 43 34 - 64 20 - co 73 - 49 24 - 50 100 - co 40 - co 40-00 42 - 43  Vervolg van TAFEL I. Keguheie Foiygen Center- Bastions- Schutiüer- Gioote Kleme j Capitale Flancq Gordyn. Binnen j Buiten Halve H L Perpend: S hoeken, hotken. hoeken. | hoeken. Strykhoek Strykhoek A G~ F L DL Polvgone. Polygone. Keel. ~ A Hzi 1 Polygone. ACB AFL DL F F DL BQ F~ GQ AB GL AU UI. BZD ~ d = G rr rrDQ — =WD LDZZLD jzrZD B W Colom. I. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13 T4. 15. f gr. m_ gr. rn_ gr. m_ gr. m gr. m. gr. m Rj f Rj Ij R: £jR: f; R: f Rj flR; f: Rj^ f:| '37 - o 43 - o 86 - 35 140 - 25 115 - 13 25 - 13 27 - 47 18 - 83! 28 - 17 60 - a<5 80 - 40 16 - 05 e6 - 11 75 - 56Ï 138 - o 42 - 0 87 - c (40 - 5? 115 - 26 25 - 26 27 - 60 19 - oa! 27 - 95 60 - 63 80 - 41 16 - 34 26 - 23 25 - 771 139 - o 41 - o j7 - 4; ''4' - ifr * '5 - 39 25 - 39 27 - 73 J9 - aij 27 -74 6r - ói _8o - 45 ió - 6< 26 - 35 J*5_-_98i Negenhoek. 140 - c 40 - c 88 - 15 141 - 45 115 - 53 25 - $3' 27 - 86 19 - 40! 27 - 5^ 61 - 39 80 - 45 16 - 93 26 - 46 06 - 18I 141 - o 39 _ 0 88 - 49 142 - u 116 - 6 26 - ( ï8 - co 19 - 59 27-31 61 - 77! 80 - 46 17 - 2*3 16 - 58 26 - 39I 142 - o 38 - o 89 - 2Q Ï42 - 38 nó - 19 26 - 19 ï8 - 13 19 - 78 27 - 08 62 - i6j 80 - 48 17 - 54J 26 - 70 QÓ - 6oi 143 - 0 87 - o 89 - 56 143 - 4 116 - 32 26 - 32 28 - 27 19 - 98 16 - 86 62 - 561 80 - 50 17 - 26 - 82 26-81 Tienhoek. 144 - o 36 - o 90 - 25 143 - 31 116 - 46 26 - 46 28 - 4c 20 - 17 26 - 64 62 - 96 80 - 51 18 - i6[ 26 - 94 27 - 01 145 - 34 35 - 0 91 - g 143 - 5^ "6 - 59 26 - 59 28 - 54 20 - 37 _2ó_-_4i 63 - 37 80 - 53 18 - 48j 27_-_có 27 - 22 146 - o 34 - o 91 - 35 144 - 25 117 - 13 27 - ij 28 - 68 20 - 56 26 - 17 63 - 78 80 - 55 18 - 80. 27 - 19 27 - 43 147 - o 33 - o 92 - 8 144 - 52 [17 - 26 27 - 26 28 - 8? 20 - 76 25 - 94 64 - 19 80 - 57 19 - 13! 27 - 32 27 - 61 Elfhoek. 147 - 16 32, - 44 92 - 17 144 - 59 "7 - 30 37 - 3C '-8 - 87 20 - 81 25 - 87 64 - 31 80 - 58 19 - 22U7 - 35 27 ' 7° 148 - o 32 - o 92 - 41 545 - 19 117 - 4c 27 - 4c 28 - 97 ao - 96 25 - 70 64 - 62 80 - 59 10 - 46 27 - 45 27 - 85 149 - c 31 - o 93 - 14 [45 - 46 r 17 - 53 27 - 53 29 - 12 21 - 16 25 - 46 65 - 04 80 - 6j 19 - 79 27 - 57 28-06 Twaalfh. 150 - 0 30 - o 93 - 4? 146 - 13 n8 - 7 28 - 7 -29 - 27 21 - 37 25 - 22 65 - 48 80 - 6J 20 - 13 27 - 71 28 - 171 151 - o 29 - c 94 - 2c 146 - 4c 118 - 20 28 - 2c 29 - 40 21 - 57 24 - 97 65 - 92 80 - 65 ao - 48 27 - 84 28 - 481 152 - o 28 - o 94 - 52 147 - 8 118 - 34 28 - 34 29 - 57 21 - 78 24 - 72 66 - 37 80 - 68 20 - 83 27 - 98 28 - 69Ï 153 - o 27 - o 95 ~ 25 147 - 35118 - 48 28 - 48 29 - 72 21 - 99 24 - 47 66 - 82 80 - 7c 21 - 18 28 - 12 28 - 90j 154 - o 26 - o 95 - 57 148 - 3)119 - 2 29 - a 29 - 88 22 - 19 24 - 21 67 - 28 80 - 72 21 - 54 28 - 26 29 - 111 155 - o 25 - o 96 - 3O148 - 30jII9 - 15 29 - 15 30 - 22 - 40 23 - 9=; 67 - 74 80 - 74 21 - 9c 28 - 40 29 - S2| XV. hoek. 156 - o 24 - o 97 - 2 148 - 58 £19 - 25 29 - ao 30 - 19 22 - 62' 23 - 69 68 - 23 80 - 77 22 - ic 28 - 54 29 - 53g '57 - o 23 - o 97 - 34149 - 26 119 - 43 29 - 43 3a - 35 22 - 83I 23 - 42 68 - 69 Üo - 80 22 - 64 28 - 69 29 - 74» 158 - o 22 - o 98 - 6149 - 54 119 - 57 29 - 57 30 - 49 23 - 0-1! 23 - 15 69 - 18 80 - 82 23 - oi 2$ - 83 29 - 951 159 - o 21 - o 98 - 38150 - 22 120 - 11 30 - 11 30 - 68 23 - 27 22 - 88: 69 - 67 80 - 85 23 - 39 28 - 99I go - 17i I I 1 ! i Vervolg van TAFEL II. Blad%, 42. 1 Capitale Flancq Gord>o Defens- Face Binnen f Halve H L Perpend: 1 A G F L DL linie. A F Polygone Keel. — AH 1 — — ZD AD= = GQ GL= AU ~ ÜL • BQ B L BZ D Q b==^ =WD f 16. 17. 18. 19 20. 21 «> 23. 24, !f D: f: D: f: D: f: D: f 0: f Dj Ü R: ? 5l Ü Ël ? |~S4^~Ï7l"aS - 43 35 - tf 74 - °3 ^4 ~ 88 74 - 96 19 - 90 52 - 48 $ - 79 I 34 -'32 23 - ö6 34 - ?ó 74 - 61 24 - 87 75 - 4° 20 - 32 32 - 62 32 - 04 f 34 - i8 23 - 88 34 - 19j 74 - 60 24 - 87 J/5_-_85 _^°_^_68 Jj2 " ?6 32 " 3Q l~$7^~H7~*i 34 - ail'74 - 5^ 24 - 86 76 -31 21 - 05 32 - 89 32 - 55 34 - 79 *4 - 35 33 - 941 74 - 57 24 - 86 76 - 77 2* - 4* 33 - 03 32 - 80 f 34 - 95 JM - 58 33 - 85) 74 - 55 24 - 85 77 - 24 21 - 79 Mj^*ï JLi^. I 35 - 12 24 - 82 33 - ~36 7 4 - 54 24 - 85 77 - 7* 22 - 17 33 - 3J 33 - 30 I 35 - 28 25 - 05 33 - 08 74 - 52 24 - 84 78 - 2° 22 - 56 33 - 46 33 - 55 1 35 - 44 25- 29 3a - 79 74 - 5» _4-_g4 78 - 68 22-95 33 - 60 33 - 80 1 nS _ 25 - 32 - 49 74 - 49 24 - 8s 79 - 18 23 - 34 33 - 75 34 - 06 i q? - 78 25 - 77 32 - 19 74 - 47 24 - 82 79 - 68 23 - 74 33 - 90 34 - 3* 35 - 82 25 - 83 32 -J 74 - 46 24 - 8. 79 - 8* 23 - «5 33 - 94 34 - 38 irTgT 26 - oj 31 - tg 74 - 45 "24 - 82 80 - 8i 24 - j5 34 - °6 34 - 56 36 -17 26 - 2* 31 - 58 74 - 4; 24 - 81 80 - 69 24 - 56 34 - 21 34 - 81 36 " "c 26 - 5f- 31 - n 74 ~ 4' 24 - 8c 81 - 2 24 - 97 34 - g6 J5_-_c6 l6"-~77 "26^75 30 - 96 74 " 39 24 " 8c 81 - 74 25 - §9 34 - 53 35 - jk 36 - 65 26 - 99 30 - <4 74 " 37 24 - 79 82 - 27 25 - 81 34 - 68 35 - 56 j 36 - 8? 27 - 24 ^o - 32 74 - 3', 24- 78 82 - 8c 26 - 2, 34 - 84.35 -ti IT^oi IT^K 29 - <)9 74 " 33 24 - 78 83 - 35 ^ "68 35 - 00 36 - 06 I 37 - ao 27 - 75 29 - 66 74 - 8 ' 24 - 77 83 - 9° 27 - ff " *? f6 " 3) 37 - £ 28 - cc 29 - 33 74- 28 24- 76 84_-_46 27 - 56 JS^ Jój^S^ irT7^ 28 - 26 28 - 99 74 - 26 24 - 75 85 - 02 28 - 02 35 - .51 36 - 81 I 57 - 7? 28 - « 28 - Ó5 74 - 24 24 - 75 85 - 59 *8 " 47 35 - 65 37 - c6 I 37 - 94. 23 - 78 28 - | 74 " 24 " 74 86 - 17 28 -jj 35 - 85 37 - 31  VERHANDELING OVER DE BEGINSELEN, OP WELKE HET PROBLEMA, OM EEN GEGEEVEN VEELHOEK MET HET MEESTE VOORDEEL TB VERSTERKEN, IS GEGROND; DOOI N. YPEY.   D e zeer eenvoudige, en konstige Oplosfing van het Probtema, om ieder gegeeven Veelhoek mee de grootfte voordeelen te verfterken, welke de Heer Major p. de uvaux heeft uitgegeeven, en de ongemeene arbeid, dien de fchrandere Heer klinkenberg heeft aangewend, om deezen algemeenen Regel tot kennis van de minst geoeffende te brengen, hebben my doen befluiten, de gronden, op welke dezelve is gebouwd, aan de Beminnaars der Vesting-bouwkunde meede te deelen. II. Het Probkma is gegrond op deeze Hellingen, dat de Flancq regthoekig op de Linie van Defenfie moet ftaan,en dat de grootfte Flancquen, halve Keelen, en Bolwerkshoeken, ieder in het byzonder genomen, de beste zyn; welke leden, beneffens de Linie van Defenfie, die als gegeeven word gehouden, alle de overige deelen van een gegeeven Veelhoek bepaalen, en buiten welke geen andere zyn, waar van de fterkte der Vesting af- han-  46 VERHANDELING over hankelyk is. By gevolg zoude ieder Veelhoek op het volmaaktfte zyn verfterkt, als deeze voorwaarden 'er alle te.,gelyk, zo veel mogelyk-is , in wierden gevonden. III. De Verdediging moet onophoudelyk zyn , als -dezelve het oogmerk van eene Vesting zal bereiken, en dit is de. reden, waarom dc Defenslinie naar het vermogen der Snaphaanen, de ecnigfte werktuigen, met welke men tot nog toe een geduurig vuur kan maaken, moet worden genomen; en dewyl de Soldaaten natuurlyk zig regthoeki■ tegen de Wallen plaatfen, agter welke zy tot .verdediging zyn gefield, en alzo van zig fchie.ten, zo volgt dan noodwendig, om op alle oogenbhkken ccn geduurig vuur langs de Gragten nevens de Faces te maaken, dat de Flancq regthoekig op dc Linie van Defenfie moet worden vetrokken. ö IV. De Faces, dc zwakfte deelen van een Capitaale Vesting, .op welke daarom de attacque gefchied kunnen niet als uit de tegenöverftaande Flancquen worden verdedigd; by gevolg, hoe grooter 'deeze zyn, het overige gelyk blyvendc, hoe beter de verdediging zal gefchieden; het tegendeel, hóe ko:-  een GEGEEVEN VEELHOEK. 4?. konftig ook bewimpeld, zoude ons, buiten tegenfpraak, tot de. grootfte ongerymdheid brengen. V. Hoe grooter het Bolwerk is, hoe minder het gevaar van het bovcn-vuur der Bomben, enz. te agten is;' behalven dat het denkbeeld van het gevaar, ook naar de uitgeftrekthcid der Werken, vermindert; daarenboven is- het ten vollen zeker, dat dc grooter Bolwerken met meer voordeel ia a'le opzigten zyn te verdedigen; en het is teffens bekend, hoe grooter de halve Keel genomen word, het overige gelyk gcfteld zynde, hoe grooter Bolwerk men zal verkrygen ; derhalven zullen de grootfte halve Keelcn de beste zyn. VI. Deeze twee laatfte beginfelen, als Wiskonstig aangenomen zynde, kan men van agteren het cerfte bctoogen, namentlyk, dat de Flancq regthoekig op de Defenslinie moet worden getrokken. Want in den gegeeven Veelhoek, Fig. I., de Linie van Defenlie AE, de halve Bolwerkshoek AED, én halve Keel B D gegeeven zynde, ■ zal het halve Bolwerk EGBD 'vergrooten in reden dat de Driehoek BÜG verkleint, cn by gevolg, zal alles op het beste zyn gefchikt, wanneer de A C'BG op.zyn klcinftj, .en de. Flancq- BG teffens-ep 1 ) zyn m  48 VERHANDELING over zyn grootfte is genomen, ofte wanneer de Driehoek CBG, gedeeld door BG, een r»Mmum is Laat nu BH regthoekig op AE = c, CH - a en HG ergo BG = V~^~x>, de A CBG = a -f x x s cn dc A CBG - 7~+~x~x t BG" | x c' + _A> * welke grootheid een moet zyn; derhalven ofte c x c^~+~^ _ acx _cxl=.0 ofte fl — c, ergo * = £ het welk te kennen geeft, dat a onder deeze bepalingen de < CBG ren moet weezen, volgens dc 8. Prop. 6 Boek Euciid. VII. Tot bevestiging der gronden, op welke de algemeene Formula is gebouwd, zal dan niets overig weezen, dan om te bewyzen, dat de grootfte Bolwerkshoeken de beste zyn, het welk men daar uit genoegfaam zoude kunnen befluiten, om dat het tegendeel een ongerymd gevolg noodzakelyk m zig bevat; het fchynt echter niet onnuttig, deeze ftelling uit andere beginfelen af te leiden. Ten welken einde men de Bolwerkshoeken van twee kanten moet befchouwen; i. met betrekking tot  een GEGEEVEN VEELHOEK. 49 tót het geene, dat tot dc verdediging behoort, en ten 2. wat door de attacque tegen dezelve kan worden gedaan. Ten opzigte van het eerlte is als een algemeene regel aan te merkeri, dat de grootheid der Defenfie van de Leden eener Vestinge, in de infpringchde hóeken gemaakt, dooide Perpendiculaire liniè'n uit de einden van derzelver birinenfte zyden van de Walsgang getrokken j word afgetekend. Derhalven RK de birinenzyde van de Walsgang vertoonchde, welke, voortgetrokken, de Borstweer ontmoet in I, zo zal de fegthoekigc Linie I P verbeelden, tot Iioe verre een geduurige Defenfie uit de eene Face GE zal kunnen gefchicden; en nadien de Defenfie langs de Face ES van dcrzclver tegenöverftaande Flancq in het verlengde van die Face zig bepaalt, zal noodzakelyk moeten volgen, dat tusfehen de linié'n M P,. en MQ geen dc minfte regthoekige Defenfie uit de Capitaale Werken zal kunnen gefchieden, en by gevolg, dat die tusfchenruimte zeer onvolmaakt zal worden verdedigd. En om de grootheid van dit gebrekkelyk verdedigde deel Op een gegeeven afftand F P te berekenen , laat PF, na binnen verlengd zynde, de Face ontmoeten in M, getrokken zyn IL, regthoekig op ES, en PQ evenwydig gehaald aan G E, dan IL - a, IF = b3 FP = c, Secans < FEL = s, deszelfs Tangens = en de Rad. = r gefteld hebbende, %4 IM = tfj, LM = a/, en-MP =3 as -f b -f r., r r r D daar-  5o VERHANDELING over daarom PQ = as 4- £ + c x r. Indien ma -r s Roeden, * = 4, e = 18, en dc < GES = 60°, dan is PQ = 15. het welk zekerlyk geen kleine lengte is op een plaats, alwaar de Belegeraars moeten komen, om dc Bres in de Face te voltooijen, en dewyl P Q = gs 4. b + ~cl< /•, zo volgt, t dat, hoe grooter de Bolwerkshoeken zyn , hoe kleinder het gebrekkig verdedigde deel P Q zal worden; ergo, in deezen opzigte zyn dan buiten tegenfpraak de grootfte Bolwerkshoeken de beste. VIII. Edoch, nu moest teflens worden getoond, wat werkingen door de Belegeraars op de Bolwerkshoeken kunnen worden gedaan, en dan uit deeze beide oorzaaken eindelyk opgemaakt, dat de grootfte Bolwerkshoeken wezendlyk de beste zyn; tot dien einde ftel ik, tl dat de grondliniën van de binnenftc zyde des Borstwcers famen komen in Z, en dat door dit punct regthoekig op TZ is getrokken VW, als mede uit het zelve regthoekig op de Face is gehaald ZY; ten 2. neem ik aan als een waarheid, door reden en ondervinding beweezen, dat-het ligchamelyke Bolwerkspunft, op den Driehoek T V W gebouwd, om verre geIchoten zynde, de Faces buiten verdediging zullen zyn gebragt, en dat men derhalven, in de be-  een GEGEEVEN VEELHOEK. 51 befchouwinge van verfchillende Bolwerkshoeken, op deeze Inhouden alleenlyk zal behoeven te letten; want uit de beginfelen der Meetkunde is ligt te betoogeo , dat, de Profilen .gelyk blyvende, de Inhouden van verfchillende Bolwerkshoeken, zo verre genomen, evenredig zyn aan de Driehoeken TV¥. Verders is het zeker, dat deeze hoeken met het meeste voordeel, volgens leidingen, die evcnwydig zyn aan de linie V W, kunnen worden befchoten, en daarom kan de opzigtelyke tegenftand van dezelve gevoeglyk door ZW, ofte de helft van VW worden uitgedrukt; en eindelyk is het'baarblykclyk, dat het gebrekkig verdedigde deel de Reden van TY zal volgen ; by gevolg zal het Bolwerkspuncl op de beste wyze zyn gemaakt, als TZ x Z W op zyn grootfte, en TY te gelyk op zyn klcinfle is genomen; dat is, wanneer TY een minimum word. TZ x ZW* Laat nu ZY = a, TZ = x, dan is TY 55 V - ai en TY, TZ : : ZY, ZW 8 Prop. 6. B. Euclidi ofte \/ x2 — d1, x : : a, ax V — a\ ergo TY ~ \/~xT~2 = x2 — a2 — 2 a2 x1 a' x1 TZxZW # *2 — a1 D 2 «fte  52 VERHANDELING otU 3 \ ofte T Y c± x' ~ g? x x — 3- het welk ecïï 2 *3 TZxZW minimum moet zyn, ergo | O3 -_f0~g — 3 , fnu4 < ABE = r tir*  eet? GEGEEVEN VEELHOEK. 53 q jr* — y2) py, enAEro (y7r^_^ *■ "in r — *, ergo EB ad y ^« CV -va—ƒ>) - ? 1/ r2 — y2 — />ƒ. Derhalven als y =- 0, word de Flancq EB ook = 0, en daarom, hoe grooter y, of hoe kleinder &q < ACD word genomen, hoe grooter EB zal worden; en ten 2. hoe grooter b of de halve Keel genomen is, hoe kleinder EB ofte de Flancq zal weezen, en bygevolg zullen langs deezen weg de halve Bolwerkshoek, Keel, en Flancq te gelyk op het allergrootfte niet zyn te vinden. Om welke redenen ik, voor alle andere dingen, om een vaste evenredigheid tusfehen de Flancq, en de halve Keel hebbe moeten zoeken, zodanig, dat de eene vergrootende, de andere teffens vermeerderde, wanneer 'er niets overig was, als alleen om de maximum van den halven Hoek, en Flancq te vinden. Ondertusfchcn is het door de Wiskonstenaars te beoordeelen, of 'er ooit beter Formula, als de ge* gevcne, in de Vestingbouw is te verwagten, X. Indien men dan met evenveel grond de volmaaktfte Buitenwerken, en Profilen wist te bepa£> 3 len,  5? VERH. over een VEELHOEK. len, zo zoude de Vestingbouw tot eenen grooten trap van volmaaktheid zyn gekomen; en ik heb reden van te denken, dat in onderftellinge, dat de laagfte Werken dc beste zyn, deeze Wetenfchap, die voor een vry Volk van de allernoodzaakelykfte aangelegenheid is, tot een byna volkomene zekerheid zal worden gebragt. VER-    VERHANDELING OVER DE PROFILEN DER VESTINGEN; DOOR N. YPEY.   I. Dc Grondlinien van een Capitaale Vesting, na de volmaaktfte regulen getrokken zynde, zal 'er tot opbouwinge van dezelve dan voornamentlyk zorge moeten worden gedragen, om de Profilen met de meeste voordeelen te bepalen, het welk derhalven voor een der gewigtigile deelen in de Krygsbouwkunde is te houden, en waar omtrent een naauwkeuriger onderzoek zoo veel te noodzakclyker wordt, als men tot nog toe weiniger voldoende redenen by de Schryvers over den Vestingbouw opgegeven vindt, na welke dezelve op een gegeven terrein, volgens wiskonftige gronden, zouden moeten worden gebouwd. ü. Onder de menigvuldige Schryvers over deezr Wetenfchap is zekerlyk voor een der vcornaamfte te rekenen, de Marquis de S^ Julien, welke in zyn Ars Militaris zegt, uit een dertigjarige ondervindinge te hebben geleert, dat de hooge Capitaale wallen zeer veel nadeden aan de Verdediginge van de Vestingen hadden toegebragt, zynde £ 5 hct  5& Over de PROFILEN het dikwils gebeurd, dat, in de twee eerfte dagen der Belegeringe, de Parapets, zelfs van de Flancquen, waren wcggcfchotcn, en dat men daarom de werken zoo laag moet maken, dat dezelve naauwelyks van buiten kunnen worden gezien, voor en aleer dat de Vyand op de Contrefcherp gekomen is, wanneer hy de waarc kragt der Vesting, nog ongefchonden zynde, eerst moeste ondervinden ; om welke redenen hy denkt, dat de walsgang van de Capitaale wal niet hooger, als twaalf voeten boven den Horizont behoorde te zyn; niet tegenftaande dezelve van alle andere, na het voorbeeld van den zeer Vermaarden Marcchal de vauban, tot op agttien voeten hoogte was gemaakt. 3- Andere beroemde Krygskundigen zyn meede voor dc laage Vestingen geweest; want volgens het oordeel van den Onfterfclykcn Generaal van koehoorn moeten dc laagfte Flancquen voor de beste worden gehouden, het welk ook als een vaste regel van den beroemden Ingenieur landsbergen is aangenomen, die 'er zig pag. 6 cn 7 aldus over laat hooren: „ Het is onnodig, dat men van dc Capitaale wal over alle de voorleggende werken in het veld kan fchieten; als alleen in den bedekten weg, en tot verdediging van de groote gragt, en dat zoo veel te mejr, nadien de kragt van  DER. VESTINGEN. 59 van een Vesting niet beftaat in de hoogte van de wal, maar daar in, dat het eene werk het ander bedekt, en dat zy malkanderen verdedigen, en wy wecten door de ondervindingc, dat de Horizontale Batteryen der belegerden dikwils de belegeraars hebben genoodzaakt, om bun attacque te veranderen"; ondertusfehen heb ik in de Redenvoering over de Vestingbouw ook getragt te bewyzen, dat de laagfte wallen de beste zyn, cn men kan dit gevoelen in de uitmuntende Mcmoriën van den Hertog van Saxen bevestigd vinden. 4- Het fchynt dan zeker, dat het denkbeeld van de noodzakelykheid der hoogc wallen, na de uitvindingc van het Buskruid, tot nadeel van de hedendaagfche Vestingen te veel is overgebleven; want behalven alle andere redenen, die voor de laagfte wallen pleiten, is 'cr ccn uit dc geduurige ondervinding af te leiden , welke deeze Helling buiten tegenfpraak fielt; namentlyk, dat genoegzaam alle latere belegeringen hebben aangetoond, dat, de glacis en bedekte weg ingenomen zynde, dc overige Vestingwerken na evenredigheid geen tegenftand hebben gebooden; het welke alleen veroorzaakt is, om dat dc borstweeringen van dezelve door dc Belegeraars op een verren afftand, eer zy dc glacis en bedekten weg hadden vermeesterd, reeds buiten ftaat van tegenweer waren ge-  Co Over de PROFILEN gebragt, daar echter de Capitaale werken dan eerst dienden uit te werken, dat het oprechten der vyandelyke contrebatteryen op de glacis, en het vullen der gragten kragtdadig xvierde belet. 5- En dewyl het blykt, dat men zig in de laagfte werken, dat is, in de bedekte wegen, zelfs tegtns dc verfchrikkelyke Ricochetfchooten geweldig kan verdedigen, zoo zal uit derzelver werkingen geen bewys tegens de laage Capitaale wallen kunnen worden bygebragt. Het zoude echter van een ongemeen voordeel in de Krygsbouwkunde .weezen, indien men van meerder vaste beginzelen, om de Profilen wiskonftig te bepalen, was voorzien; het zy, dat dezelve uit de beftendige ondervinding met zekerheid waren opgemaakt, het zy, dat ze duidelyk uit onfeilbaare redenen kouden worden betoogd. 6, In onderftellinge nogthans, dat de laagfte werken de beste zyn, zal ik ditmaal tragten te bepalen, hoe de Profilen voor een natten en droogen Horizont op een effen Terrein in een oneindigen veelhoek, ofte regte linie (die hier toe de gemakkelykfte is), welkers linien van defenfie met regte bolwerkshoeken regthoekig op eikanderen ftaSi, en  »ÏR VESTINGEN. 61 cn waar voor geen buitenwerken, behalven de bedekte weg en glacis zyn gelegt, moeten gemaakt worden; zodanig als dezelve door de Figuur I. word vertoond; en als dit met genoegzame zekerheid kan gefchieden, zal het insgelyks Volgens gelyke beginzelen in alle andere Figuuren kunnen worden volbragt. 7- Inmiddels zal ik onderftcllen, dat de Profilen van de glacis, en bedekten weg gegeven zyn, nadien het genoegzaam doenlyk fchynt, dezelve op een gegeven grond volgens vaste regelen te bepalen, zonder echter in deezen op het afgraven van den bedekten weg na het Zomerwater, als de vesting op een natten Horizont zoude worden ge-' bouwd, acht te nemen; derhalven zal alleen moeten worden onderzogt, op wat wyze het Profil van de Capitaale wal MCDFGH, Fig. 2, mec de minfte kosten, en teffens zoo laag als mogelyk, zoude kunnen worden gemaakt. 8. Dewyl het dan noodzakelyk is, om de eerfte voorwaarde te bekomen, dat de werken uit den daar voorleggenden grond worden opgebouwd, zoo zal van zeiven volgen, dat het Profil van de gragt de Profilen van de. Capitaale wal en glacis te zats • men  62 Over de PROFILEN men genomen, zoo veel zal moeten overtreffen, als het verminderen des gronds door het uitgraven zal bedragen; welke verminderinge ik na het voorbeeld van andere op een vyfde deel van den inhoud des uitgegraven gronds hebbe genomen. " ; 9. Indien men verders het Profil op een bepaalden natten Horizont wil bepalen, zal de hoogte van het Maaiveld boven het Zomerwater zyn gegeven , en deeze gelyk aan vier voeten hebbende gefield, zal men de diepte der gragt beneden den Horizont niet meerder als dertien voeten behoeven te neemen, wanneer dezelve buiten het gevaar van doorwadden overvloedig zal weezen gebragt; en grooter diepte is nadeelig, want dan zoude men de breedte verminderen: maar de overmaat is voordeeliger voor de breedte, als aan de diepte; want een natte gragt van een oneindige breedte, alichoon zy weinig diepte hadde, zoude een Vesting onverwinnelyk maken: doch een oneindige diepe gragt, van zeer weinig breedte , zoude dezelve weinig fterkte geven. 10. Uit het verhandelde-volgt, dat NO gegeven is; daar en boven zyn de linien DF, LK, en FG als gegeven aan te merken; immers DF dc hoogte van  DES. VESTINGEN. 63 van de borstweer, die gelyk aan BR is, word uit de lengte der verdedigers gevonden; de dikte LK moet na de werkingen van het Canon in den grond, uit welken men 'de Vesting zal bouwen, worden genomen, en de breedte van de walsgang zodanig zyn, dat het gefchut met al het gecne, dat tot een dappere verdediging behoort, op dezelve kan worden geplaatst; voor het overige is, om de oplosfinge gemakkelyker te maken, MN, = NO, LM = LC, en IH = 2 IG genomen, gelyk ook, om deeze reden, op de Bancquetten geen acht gegeven is. 11. Deeze dingen vooraf hebbende bepaald , meen ik, dat het punór. D niet lager als in de verlengde AB kan worden genomen, want anders zoude de geheele Glacis uit de Capitaale wal, op een gedekte wyze, geen verdediging kunnen ontvangen : daarenboven als het in dit geval lager konde zyn, dan zoude men voor geen algemeenen regel kunnen houden, dat een aaneen oplopende hoogte voor derzelver verdedigers voordeelig is, het welke echter tot nog toe by geen kundige Krygslieden in twyffel is getrokken. . Ten 2Jen meen ik, dat SD, de hellingc van de borstweer na buiten , door de regte linie D Q moet worden bepaald, want dan kan de geheele bedekte weg over dwars tot aan de gragt uit de Fa-  64 Over. de PROFILEN Faces worden verdedigd ; het welke verders na binnen onnodig is, om dat de natte gragt, als onbegangkelyk genomen, voornamentlyk met het Canon uit de Flancquen, om derzelver vullinge te beletten, moet worden verdedigd; behalven dat SD meerder hellende, de borstweer merkelyk verzwakt , het welke niet als in de uiterfte noodzakelykheid moet gefchieden ; want de kruin van dezelve by D maar eer weinigje afgefchoten zynde, zal het gevaar in de verdediging merkelyk zyn vermeerderd. Ten laatften zoude, volgens het geene §. 8. reeds is gezegt, deeze overeenkomst in de Profilen moeten zyn, dat MSDFGFI -f- A ABR gelyk aan vier vyfde gedeelte van MOPQ wierde; maar om een equatie van vier afmetingen, aan welke geen Ieeden ontbreken, te vermyden, zal ik in 'de oplosfinge MCDK voor MSDK nemen, en dus de A CDS te veel verkrygen, welke om derzelver kleinheid in zaken van deeze natuur geen aanmerkclyk verfchil zal geven. tï. Om eindelyk uit het gefielde de hoogte van de walsgang te bepalen, laat AR = c,BR=DF = *, RQ = « genomen hebbende, krygt men voor de Som van beide deeze Profilen \x2 -j- nx -\- gx -\- pn + bm^ 2 2 en QN =t cx — x — d — a — p ~ f9 T ofte = cx — x d — « — -ff T Derhalven i ƒ = q gefteld zynde, zal \ van dé gragt M O P Q zyn = cjjx —• qx — dq — nq — fq9 en daarom b I x' -f «j: -f 4-£» 4 = gy-y' — qx — dq—hq~fy 2 2 b ofte lx*~cj]x-~ gx — tix~qx~dq — tiq —fq —pn—bm t '2 2' E maar  65 Over. de PROFILEN maar d -f- « +/~ en — ? —« —g = t ge- nomen zynde, zal f x2 — tx — qr — pn — dni 0 7 T ofte 3 x2 es — 2rj — />« — Z>w ergo ,arJ = f^x — 2^ — pn — hm 3 cn x =: t + 1/ ^ — 6/• ^ — %np — Jih», 3 Edoch, nadien de laagfte walsgang word gezogt, zoo is = * — v' ^ — 6V^ -— 3«/> — 3&« Laat vervolgens c — 12 Roeden zyn, * = fr, d — 3, « = f, f = 2, en ƒ = ^ dan is p — m, « = w*, m — »m , ^ = m , 7» 71 J IJ * = r7°i, enr = w, bygevolg ?éo 72 X — 510I — V 32501401 - 4165200 - 351075 - 2656800 1080 oftex=570i—l/25328326=.'57oi-5032=223 = 7 voe- 1080 1080 360 ten en vyf duimen. Voorts Q_N =z cx — x — r = 8j| roeden, J en de breedte van de gragt QM = q|3 Derhalven na genoeg gelyk aan 9 roeden, entwee voeten; wyders QK=i7_*,KD4o?j daarom • ij }6o MT  eer. VESTINGEN. 67 MT — ST = y genomen zynde, is QK CiL»), KD ff*»} ::QT(«5+;), TS (>■) if 560 20 ofte 4272, 403 : : 183 -4> 20y. : Zou ergo (4272-403) 20y = 403 * 183 ofte y = 73749 = 11 voeten, en vyf duimen 77180 waar uit volgt, dat DV = 2 voeten, TL = 10duimen, ergo TK = 20 voeten, 10 duimen; ■ :■'1 ••Ü.'LS Alhoewel de voorgeftelde'regte linie, op welke ons onderzoek is toegepast, merkelyk van de Veelhoek (Fig. 5.) verfchil t, en dat de gedaante der Profilen , behalven de hoogte, moet zyn, gelyk men die in de voornaamfte Vesting van den Staat bevindt, zoo zyn nogtans de gevolgen van dit Problema zoo verfchillende van de Franfche Profilen, in welke de walsgang op 18 voeten word gefteld, daar die na deeze rekening maar 7 voeten, en 5 duimen zoude zyn, dat 'er volgens dezelve beginzelen in de andere Veelhoeken zulk een verfchil zal worden bevonden, het 'welke de befchouwing der Krygsbouwkonftenaars öyervloedig waardig zal weezen. 14- De Profilen van een natte Horizont afgeharidelt hebbende, gaa ik over tot zulke, welke voor" E 2 eeri  68 Ovex. de' PROFILEN een drooge Horizont zyn gefchikt, en die ik meene, dat met de voorgaande nergens in moeten verfchillcn, als alleen dat derzelver bedekte weg, en drooge gragt onder een afloope, volgens RO, Fig. 3, moet worden gebragt; zoo om daar door de Enfilades in den bedekten weg te verminderen, als ook om Cavallery in dezelve tot een uitval, waar toe deeze voornamentlyk van dienst in een belegerde Vesting kan zyn, te kunnen plaatzen, en eindelyk om, de retraite veilig gemaakt zynde , de Glacis cn bedekten weg zoo dapper te verdedigen, als moogelyk is; het fchynt ten minften, dat de groote Meester der Krygskunde om zulke, en diergelykc redenen het' een en ander zodanig in een der gewigtigfte Vestingen van de vereenigde Provinticn heeft gemaakt. Maar de bedekte weg, en drooge gragt aldus onder één beloop hebbende gefteld, zal de vraag zyn, in wat reden RM tot NO moet worden genomen,, op dat de Krygsbedryvcn, welke tot verdediging plaats behooren te hebben, met de vcreischte vaardig- en veiligheid zouden kunnen gefchieden; derhalven zal men deeze reden voor een gedeelte uit de ondervinding moeten zoeken; ondertusfehen ftaat aan te merken, dat het nadeelig is aan RO minder hcllinge te geeven, als voor de genoegzaame verdediging noodzakelyk is; want  DER. VESTINGEN. 69 want daar door zoude RM vermeerderen, en bygevolg de Capitaale wal buiten eenig voordeel door de Glacis minder worden gedekt, en teffens dezelve meerder aan het beklimmen onderworpen zyn; en eindelyk het gevaar in de voorgeftelde afloop vergrooten. 16. Echter om tot een bepaling van FK te hoornen , laten wy ftellen , dat R M tot N O kan worden genomen als 8 tot 1; voorts zy AR=c, BR = DF = 6, NO - NM,ML — LC,LKrr a, KI — g, IH ~ 2 GI, en KF — x. Eindelyk RM, f NO : : /, i maar AR, BR : : RK, KF, 4 Prop. 6 boek, bygevolg RK z«, enEDz«5 T" T ergo EF tz b — al, dan deeze gelyk p hebbende gefteld, is CL c; -f* *, en de A M^L — x -j- px + p% 2 2 Trapezium LD ~ ast 4- a^ + aP 1 1 KG — x1 ■+ gc de A ABR bj C 2 Derhalven a 4- P — n-> a 4* c ~ m gefteld zynde, zal de Som der Profilen van de Capitaale wal, E s en  Over. de PROFILEN en Glacis zyn | x> + nx -f- gx 4- pn + è»;, en de linie RM — cx — x — n ofte c — x ~ h genomen hebbende RM ~ bx —n; b ■ bygevolg moeste * RM x NO ofte f RMyk NO. gelyk aan de Som van de voornoemde Profilen worden gefield. Dat is hx — i7 — | x1 + nx + gx + pn-\~ bm ofte a-rx'- ihnxl+ 2«'-tfx»-f 2/jr 4 O4fe,)/ pftc a^x*- s ^2 r &#x + C'+.O a.'jr-f (>*+•*») /- 2.7' Vervolgens fi — 3 / - r, zhn'f Q> rfg^ l ~ r genomen wordende dan is x2 — 2 rx + Q>g-+ *»7) / - 2 «> % ; ■ / pftc jk — rjf l/r^jj^C/f~'f "f /- 2V) j Daarom c r= 12, b r: |, a ~:'\, ^ — 2, dan is p ~ |i, « — 1=1, ,» * ~ 23» / — 20, * — 998, r — '»4i en jt- 12846 4- V 16501,97 i6TCto2lco-4r6^"no8 71856 ' ofte x —- 13846 4. y" 920004720"" 71856  der VESTINGEN. 7i ergo x n 12846 + 30332 — 43178 — 7 voe- 71856"" 71856 ten, en 3 duimen, RM — 11 R 8 v. 8 d. en NO -_z 1 roede 5 voeten, 7 duimen. Wyders MT ~ ST — y genomen zynde, zo is 210599, 17964 y : : 478583, 39553 en bygevolg y — 8329822247 — 11 voeten, en 85972.65012 7 duimen, ML -7 12 v. 5 d. T L ~ 10 d. en T K - 20 v. 10 d. 17- Wy hebben in het cerftc voorbeeld gevonden § x2 — cqx — qx — nx — gx — dq — nq — fq —pn — hm 'f' 2 bygevolg als h — 0, dan is ook x = dan is E Q ^ ^ V—b nooit oneindig groot kan worden, ten zy y ~ b. daarom het Snaphaan gemcenlyk op een hoone van 4| voeten wordende afgefchooten, en b niet grooter zynde gemaakt, zullen de belegeraars, na een weinig pp de glacis voortgegaan te zyn, een ge-  der VESTINGEN. 73 gedeelte der belegerden in de bedekte weg kunnen treffen. Maar ten 3^% ED kleinder als y ofte af genomen zynde, cn a E ~ z gefield, dan is EG ~bz>t y-b bygevolg, indien z niet merkelyk c overtrof, dan moeste het gebeuren, dat de Belegeraars, op de vlakke grond ftaande, een gedeelte der belegerden in de bedekte weg in dén regel zouden kunnen ontdekken; het welke de eerflc grondbeginzels der Vestingbouw verbieden. Waar uit wy meenen te mogen befluiten, dat ED ofte b niet minder als 4I voeten mag worden genomen, cn dat het bcetcr is 6 voeten aan dezelve te geven, ten einde de belegeraars, reeds eenigzints van A tot D genadert zynde, echter •nog niemand in de bedekte weg zouden ontdekken. 19. Alhoewel het niet te beletten is, dat de belegeraars, als zy tot op 2 a 3 roeden aan de kruin der borstweer van de bedekte weg genadert zyn, de belegerden voor een gedeelte in dezelve ontdekken , zoo kan nogtans die ontdekking, door het afgraven der bedekte wegen tot op het Zomcrwater, overdwars volgens AH (Fig. 1.) zeer veel worden vermindert; doch dit zelve zal de groote en gevaarlyke Enfiladc in het lang, vo!E 5 gens  74 Over de PROFILEN gens EG, weinig verkleinen, ten zy men de uitfpringende hoeken in ronden verandert, gelyk zulks met de letter B is aangewezen, wanneer de beftormers genoodzaakt zullen zyn zig na deeze gedaante te fcharen,en bygevolg zullen hun fchoten dwars over de bedekte weg moeten lopen, het welke de voorzeide Enfilade noodzakelyk voor het grootfte gedeelte weg zal nemen; behalven dat door deeze ronden, het Canon a barbctte in dezelve zynde gefteld, een geweldige werking tegens de aannaderingen der belegeraars kan worden gedaan. Daar en boven, dc bedekte weg ingenomen zynde, zal deeze gedaante merkelyke zwarigheden veroorzaken, om op dc kruin van derzelver borstweer een genoegzame Contre-battery tegens de Flancq op te regtcn; al het welke duidelyk fchynt te bewyzen, dat de uitfpringende hoeken der glacis , en bedekte weg, op deeze wyze moeten worden gemaakt; want anderzints zyn dezelve van alle defenfie ontbloot. 20. Ondertusfchen, tot de verdediging der laage wallen wederkcerende, kan ik niet voorby, gewag te maken van het gecne dc Heer le blond, 1. D, Pag. 112, heeft gezegt, dat op een belegerde plaats geen Ricochetfchotcn worden gedaan, als na dat de battcryen a Barbette, die dc belegerde op de beftreeken hoeken hebben geplaatst, zyn verbroo- ken;  der, VESTINGEN. 75 ken; om dat het Canon met de gewoone lading veel meer effect op die batteryen doet, welke om derzelver hoogte gemakkelyk worden vernietigd, als de Ricochet-fchoten zouden hebben gedaan; waar uit dan middagklaar moet volgen, hoe noodzakelyk het is, de wallen zoo laag te maken, als met mogelykhcid kan gefchieden: want deeze eerlle batteryen der belegeraars, met welke zy tragten de dcfcnficn der belegerden te verbreken, rigten zy doorgaans op ter diftantie van 125 roeden van de Capitaale wal; uit welken afftand men dezelve, na de hedendaagfche manier van bouwen, volgens de regels der Gezigtkunde, omtrent vier voeten boven de borstweer van den bedekten weg zal zien verheven, daar men zodanige, als wy hier voorcn hebben befchreven, op denzelven ftand, maar als een hoogte van n voeten zoude befchouwen, welke derhalven van die plaats niet als met de lüterfte moeite zullen zyn te verbreken. 21. Ten laatften overwegende, dat zulke laage wallen de kosten van het aardwerk niet alleen, maar inzonderheid van de fteencn, welke men tot het maken van een Vesting moet gebruiken, zeer veel zullen verminderen, zal elk een ligtelyk begrypen van wat gewigt het is, dit ftuk met de grootfte naauwkeurigheid te behandelen. B Y-  76 Over de PROFILEN BYVOEGZE L. Indien R u de bedekte weg (Fig. 2.) tot aan het Zomerwater afgegraven, verbeeld, de fom van de A A B R — ARQU-f-de beide Bancquetten -f- CDFW gelyk B word gefteld, de fom der Linien RQ + NM + YK = a, YK -f KI = d f van NO = », en KF ~ x, dan is de A MWY = de A GIH = en GY = dx, 2 voorts RK = cx, ergo QN = cx — x — d\ ~b~ T bygevolg c — b — tn genomen zynde, b is | x2 -f. dx -f- B — mnx — an ofte x2 = 2 Qnax — dx) — 2 « « — 2 B 3 ergo x — mn — d— y Qn~n — d)2^6an~-^6~B 3 Derhalven de wortel uit het onmeetbare getrokken hebbende, krygt men , x = a n + B , (an 4- W)2 nm — d (inn — d)2 Edoch, de verdere lecden kunnen wegens derzelver kleinheid weggelaten worden. En dewyl op een gegeven Terrein genoegzaam alle linien, welke x bepalen, behalven AR, zyn gegeven, en deeze teffens de grootheid m bepaalt, zal  DEH VESTINGEN. 77 zal men klaar bemerken, dat het noodzakelyk in de Vestingbouw is, om te zoeken, of men derzelver lengte volgens vaste beginzelen kan vinden: want, ingevolge het geene wy §. n, hebben gefteld, zal de hoogte der walsgang daar mede van afhankelyk zyn.      OPLOSSING VAN DRIE VRAAGSTUKKEN IN DE VESTINGBOUWKUNDE; DOOR N. YPEY.   gedaante van een Vesting (Fig- O gegeven zynde, vonr welke geen Buitenwerken, behalven de Glacis, Bedekte weg, en een Borstwecring, nevens de Linie GD, zullen worden gelegt, als meede het Profil (Fig.II.), van welke alle Leden, buiten de hoogte van de walsgang ML, meede zyn bepaald, en dat het Profil van de Glacis en Face onder een verlengde Linie zullen leggen, gelyk omtrent de regte Linie is vastgefteld , om beide de hoogten van de Wal, en breedte van de Gragt zodanig te bepalen, dat uit deeze laatfte de Aarde tot opbouwing der Vesting kan worden gevonden. , OPLOSSING. §. i. Laat getrokken zyn (Fig. I.) QA cn GS, beide regthoekig op QG, en QL, PN evenwydig gehaalt aan IU, en ook op deeze regthoekig ne» dergelaten T V; voorts de Glacis door de vlakten KW, WP regthoekig op de Horizont, in vier F Dce-  82 Over. drie VRAAGSTUKKEN Deelen zyn doorgefneden; en eindelyk KZ, regthoekig op UW, en KY op gelyke wyze tot de verlengde PX zyn getrokken, noemende dan P het Profil van de Gragt, volgens de fneede.GH, en/, de fneede volgens GS, dan heeft men, dat de inhoud van het gedeelte der Gragt HTQG = Px TV, en de inhoud van SCQG-=SC ofte HT xp door de XL Prop. XI boek MaarP, p :: GH, GS :: HT, T V 5 oef. 5 boek, en 4 Prop. ö boes. ergo P, p : ; HT, TV XI Prop. 5 boek. en daarom P x T V =z p x HT. Bygevolg het ftuk der Gragt HTQG = SCQG. 5. II En nadien, volgens de gedaane Hellingen, QA de evenwydige Linien HR, IX enz. regthoekiz heeft gefneden, Zoo is Rad. Tang. < CQR : : CQ, CR en Rad. Tang. < CQT : : QC, CT ergo CR = Tang. < CQR x QC R. ~~ en CT - Tang. < CQT x QC " R~ daaromTR=^J^oT-I7an7) biq— gmnx — agn-j- em2 x2 — aemx — empx 4- aep F 3 ofte  86 Over drie VRAAGSTUKKEN ofte (U — >» D) r + A ergo x = — mD -j- y (hd— mr3)*~4~~&l Het welke te vinden was: EXEMPEL. Laat (Fig.il.) AD = 12Roeden BC = 3,DQ_ ==}», .■IMssf, MN = 2;, LK = |, dan is c=12 j 'q = ?*\ a I p = 4 » = -ïi I B ss o. 868 quadraet Roeden, Maar het Exempel op een zeshoek (de Linie van Defenfie (Fig. I.) 70 Roeden, en IX gelyk aan 8 Roeden nemende) toegepast wordende, krygt men de < CQR = 51. 36, 30 de < CQT == 21. 36. 30, bygevolg T = 12620, / == 3961, r — iocoo, en s ss 8659. Voorts IE _ 18. 3, ED = 18. 5, DQ = 23.3, DG — 27, KX — 12.5, UW — 19. 5 NO — 10. 4. En  w de V ESTINGBOUWKUNDE. 87 En daarom h — 60. 1 I bi — 2. 6. ƒ — 24- 25, D = 36. 79, * =f..5- 2 I /B = 75- 6, £772' = I98. 37. = I46. i, ( '+;) e — 4. 2. j.*. %== 25. 74, g« = 43. 59, j ö^» = 269. 41, £ = 50- 3 j aep — ii. 8, / = 87. 1 A = 505. 05, e = o. 375, mT> = 846. 17 k == 138. 27, I A = a gefteld wordende, heeft men k x2 z=. Qit -\-1> d — m T>~) x-\-A enx=ht-\-vd— rnJj-^V (ht-\-vd—mJyj2 + ^Ak — EXEMPEL. Het Vraagftuk wederom op een zeshoek wordende toegepast, krygt men h — 18. t — 28. 5, v = 31. 9, u =17.8, £ = 180. 57, 3>* » 3 4 4 Q zz ab — P zz bx, ergo het vermogen 2 2 2 van 't Trapefmm ACLD = 2 / a ~ x\b-\~ J V 2_ ) /dax— 3 x2\ b— /a2 — 2 ax4-x2^- Aax- 3 x2\ b (-«-) (—- — >-) ZZ /8 a2 — 164- 8 ;r3 -f- 12ax — gx-\ b V 24 ) zz /8a* — 4«x - jr»\ en als I het gemee- V 24 ) ne punt der zwaarte van den Driehoek ACB, en den Regthoek BL verbeeld, zal men hebben AI _ /8 a3 — 4ax — x2 \ b ZZ 8 a2 — 4ax — x* \ 24 x ab J 12.a 2 waar uit volgt, om dat de Inhoud van beide deeze vlakten gelyk is aan ab, dat deeze dier 2 Figuuren het meeste vermogen zal bezitten, welker gemeene punt van zwaarte het verfte van "t . fteunpunt A gelegen is, en daarom ftaat te onderG 2 zoe-  ioo Over de PROFILEN zoeken, welke van beiden 2a; ofteS,?5 — 4-7^— x* 3 12 <» dc grootfie is. Doch uit de befchouwing van de laatftc grootheid bemerkt men terftond, dat AI dan van de grootfte langte zal zyn, als x zz, 0, cn bygevolg AI — 8 j1 zz 2a, derhalven, zoo 12a 3 lang BF grooter blyft, als nul, zal dc Driehoek AEF, eenen gelyken inhoud met het Trapezium AC LD behoudende, grooter vermogen, dan dit laatftc bezitten, cn om die redenen zoude de Driehoek het yoprdeeligfte Profil zyn, welk men tot het maken van Muurcn kondc gebruiken. §■ 3- Maar tot het bouwen van Muuren geen Profil, dat een Driehoek is, kunnende gebruiken, nadien dan door ccn werktuig van eenige zwaarte, dat boven op den Muur wierd gebragt, dezelve noodzakelyk zoude inftorten, zal men moeten onderzoeken, in Avelke reden de lynen AB, cn BD tot eikanderen behooren te worden genomen, om onder eenen gelyken inhoud het grootfte vermogen te behouden. De Marchal de vauban heeft voor een ftokregel aangenomen, dat A B altoos een vyfde gedeelte van de hoogte EF moet zyn, en na deeze zelve ftelling heeft dc Brigadier belidor zyne Profilen, in la Science des Ingenieurs, uitgerekend,  der M U U R E N. ioi kend, alhoewel hy anderzints inderdaad van gedagten is, dat men AB merkelyk minder behoorde te maken, gelyk hy dezelve, in het tweede Deel zyner Arch'mSure hydrautitjue, pag. 214, maar op een agtfte gedeelte van de voorzeide hoogte heeft genomen. §• 4- Ondertusfchen is het nodig,om uit vaste begin-' fclen de reden van deeze lynen te zoeken, indien men ooit wiskonfüge algemeene Regdcn zal vinden, waar na voor een ieder gegeyene hoogte dc Muurwerken kunnen worden bepaald; tot dit einde onderftcl ik, dat, den inhoud van het Profil A CL B* (Fig. IL) gegeven zynde, beide de lynen AI, cn C L te gelyk, zoo groot moeten zyn, als mogelyk is, ofte dat AI x CL een maximum behoort te weezen; welke fteiling ik daarom heb aangenomen, om dat hoe grooter C L word, hoe meerder zwaarte niet alleen boven op den Muur kan worden gcbragt, zonder denz;lven te doen inftorten, maar ook hoe hy magtiger zal zyn om dc kragt van het Canon te verdragen, en ten tweeden, om dat hoe grooter AI word, het overige gelyk blyvende, hoe meerder vermogen het Trapezium A C L D zal bezitten, even eens als §. 2. is aangetoond. Stellende nu gelyk in het cerfte geval AD -f CL — fl,BD = x, dan is Al ~ 8»z — 4a_f — *' 2 12 a G 3 en  102 Over. de PROFILEN cn bygevolg AI x CL = % tex^^a X' - x*, 24 a welkers Dittcrenticis8flV.r-8a.ar $x2dxzzo. tP ofte $x2 zz — Sax -f- fa*. ergo x zz — 4a-f. 1/ ió g»"-P~2'4~7y2 3^1/2 fchen is het vlak van dit vermogen, als het aan 't punt D werkende word begreepen, gelyk aan c> , , "T'2- *7 öVa 2 »2 V a 3 /TTtTo" Maar indien de uitgebreidheden van Steen, en Aarde, die ccn gelyk gewigt bezitten, tot malkander liaan als 2 tot 3, dan zal het vlak van »t ver HK)gcn des Driehoeks DFM in Steen verandert zvn ' gvjyK aan * cj MP  DER MUUREN. 105 2 , 3 C' — a_(«_+_i) f + a Q + 1) j>;. 9^/ 2 6 «* V a 9 c «3 V 2. Laat vervolgens de Inhoud van den Driehoek AEC = Q, van den regthoekE D~P,API — §AE = 2 y^EG — v, ergo AG — y + y — Q + 2)7 - 2 «FT» 2« en het vermogen van den Driehoek A C E — 2 c y2 6 »2 RcgthockED ZZ («-f-a)cy2 2« ergo het vermogen van 't Profil ACDB _ (3 ««-f 6 «-f2) ry» Derhalven zal men, om het ftcencn Profil ACDB in evenwigt met dc drukkingc van den grond des Driehoeks D F M te vinden , deeze vergelykingj moeten maken. 3 22 332 2 c — 2 c(«+P y + 2 («+'Qj> — (3 « + 6« + 2) gj, 91/ zlón'X/'2 9«3V2 6/;2 3 S*- 2223 - ofte 2 O -f 1) 1/ 2y — c (« + O V/ , 2(»+l)l/2 2(*-fl) Uit welke asquatie men tcrftond begrypt, dat 7 nooit gelyk kan worden aan c want dan zoude 'er eene negative grootheid overblyven , ook word y — o, als c gelyk aan nul word geftelt; welke beide gevolgen noodzakelyk in eene algemecne Regel voor deeze zaak moesten zyn beflootcn. §• 6. Dewyle men §. 4. gevonden heeft » ten naasten by gelyk aan 1. 719, zoo is 2 3 » = o. 9483., 3 » (3 « + 6>« + 2) = 2O + 1) 3 2 2 (« -f- O V a 1. 9217, en « = o. 1263 r 3 2(fl-f-l) Derhalven word de Algemecne asquatie 323 y — 2. 87 c y -f- o. 1263 c ~ o, Indien dan c gegeeven is, zal men ƒ uit dezelve kunnen vinden. I. VOOR-  der. M U U R E N. 107 I. VOORBEELD. 3 2 Laat c zz 10, ergo y — 28. 7 y + 12G. — o. en daarom y veel nader aan 2 als aan 3 , om welke redenen ik ftelle y = a-\-x,ena = 2 332 23 ergo y — a-\-zax~\-%ax-\-x 22 2 — 28. 7 y — — 28. 7 a — 57- 4 « x — 28. 7 x -f 126. 3 — Jió. 3 Vervolgens #3 om derzelver kleinheid weggelaten hebbende, en 2 in plaats van a gefteld, zal men hebben. 2 c % -\- il x -\- 6 x <=o. 2 7 — 114. 8 — 114. 8 x — 28. 7 x {+ 126. 3. ofte 19. 5 — 101. 8 x — 22. 7 r2 = o ofte 52. 7 xJ = — 102. 8 x + 19. 5 ergo x1 =: —- 102. 8 jf -f- 19. 5 22. 7- en .r = — 51. 4 -f- V 2641. 96 + 442- 65 22. 7. = — 51- 4 + V 3084- 61. 22. 7. bb — 51 • 4 + 55- 543 = 4jJ43 = o. 18254 22. 7 22. 7  108 over de PROFILEN bygevolg y - * + x zz 2. 18254, maar y nog nader willende bepalen, zoude nu a Zl 2. 18 en dan de voorige werking herhaald, moeten worden gefteld, doch deeze naauwkeurigheid fchynt in dit en diergelyke gevallen onnodig te zyn; houdende' derhalven y - 2. 18254, heeft men y — i. 2643, n ofte DC — 2 voeten, 2 duimen en AB r 3 voeten, en 5 duimen. H. VOORBEELD. 3 2 Als c — 30, dan is y — 86. 1 y -f 3410. 1 = D. Stellende nu y = a + x en a — 6,danhecftmen 3 3 2 ' 2 2 J = C - 7 voet. 2 duim. AB zz 11 voet. 5 duim. en AE = 4 voet. 3 duim. Maar indien het als eene wezentlyke eigenfchap van de Muuren noodzakelyk is, gelyk de groote Krygskundige belidor, in zyne Science des J„gemeur s 6? Archiutlure Hydraulique, beweert, dat AE. altoos een agtfte gedeelte van de hoogte DB behoort te zyn, dan is het zckerlyk zeldzaam, dat deeze Profilen van zeiven, zonder dat in het maken van dien 'er eenige de allerminfte acht op gegeeven is, byna eene gelyke overeenkomst in zig bevatten. §• 7- Om vervolgens na dezelve beginfelen den Muur ABDC (Fig. IV.) te bepalen, wanneer boven op denzelven eene borstwêering is gebouwd, zullen wy, om het onderzoek door kleinigheden niet moeijelyker te maken, alleen de drukking van den grond  der M U U R E N. nl grond CGHV, beneffcns die van den Driehoek: F DM, befchouwen, zonder op den kleinen Driehoek GHY, de linie GH evenwydig aan CK getrokken zynde, nogte het banket te letten; Laat tot dat einde CG en DX evenwydig zyn getrokken aan AM, DX gedeelt in twee gelyke deelen in O, OU evenwydig aan CK, insgelyks gedeelt in L, als Hl van te vooren evenwydig was gemaakt aan AM, daar na werden getrokken VU, dan UW genomen, gelyk aan UV, ert 3 eindelyk L S, W N evenwydig aan A M begreepen; deeze dingen hebbende gefteld, is het centrum der zwaarte van het Parallclogram DH in L, van den Driehoek HIV in W, en daarom kan het eerfte worden begrecpen te werken aan den hefboom BD in het punt S, en het laatfte aan den zclven in N, doch de werking van het Parallelogrrm CX zal men moeten begrypen aan het punt D te gefchieden. Noemende nu gelyk in het voorgaande geval BD = c, CR = RG = b, RV = a, AB == BF = O + i) y, CD = y, dan is het vlak CGXD « = by, regthoekig werkende aan BD zz by en ver* andert in Meen = b V 2 y, ergo het vermogen -3 3 van CX = bc y a v, maar RV = GH = Cl, i~ ergo  U2 Over. de PROF-ILEN ergo Dl - a —y, bygevolg DT — « — y — DS, en-BS - c - - ,; ftellende 2 2 wyders 2 ff _ « = p, zoo is Bs = doch 2' DH - ab — by, regthoekig werkende aan het punt S _ a£ — by, en verandert in fteen — 1/2 Q& — by) \/ 2, derhalven het vermogen 'ér 3 0>p — py + ay — r;) f y i, 6 De Driehoek IHVp V, werkende regthoekig 2 tegens het punt N 9^ en verandert in fteen 2^2 fc_V'*t ondertusfchen is DZ = DN = a — v 6 + b_=ia~sy+b ergaBN=3c_3,^è+3^ 3 - - maar 3 c — 3 = * hebbende gemaakt, krygt 3 men BN = $ 4- en bygevolg het vermogen van den Driehoek IH V = p y a x rq-^ _ 6 C^£+_£jO b Va, daarom het vermogen van 6 CII  der. M U U R E N. 113 CH = bc V_iy -f (ap — py + ay—y1) b V 2 — 6 4. Qq + bv) b V 1= Cf_— £_+ « 4- ^) £ V » 6 3 • 6 — ft y 2 y2 + (ap + & V a. Indien ein- delyk c—p4-a+b=h, en ap -f = R J 6 '~~ 6 worden gefteld, zal het vermogen van CH zyn = hb V ay — b 1/J2 y2 + Rb V ~ > en alls deeze groothecden met 18 n% hebbende ver3 2 («4-1)1/2 menigvuldigt, gelyk §. 5- is gefchied, zal men, om y te vinden, de volgende equatie hebben, y _ 3 X i + 3 «' + Ö » + 2 X CV' 3 2(^4-0 2 («4 0 Va 3 3 3 3 + 9 « h b y + 9 n R & + « 6- = o • ~' 3 3 3 («40 O+O («4 0 3 2 — 3 * y 3 a040 1 ofte « = 1. 719 genomen zynde 32 3 y — 2.87 cy + 2.2734% + 2.2734R£ + o. laég.crso. 2 -r o. 3789 by H VOO R-  214 Over de PROFILEN VOORBEELD. Als c ~ 3o, a = 18, b=z4,daniS2c-a=j,-42 f f = %^_k= 6 6 67., R - i34-8888,en63=27ooo. 3 Daaromy- 87. 616 y 4 60. 624y + 46*). 515=0. Laat om y te vinden dezelve zyn gelyk aan a + * 3 3 2 23 ergo ƒ== a + 3«*-f-3a,r + j 2 O V §7-&kSSii 87- 616 * -175. 232 ax - 87.616. o 4 60. 6;4 y - + öo. 6 4 4 + 60. 6j4 * ? + 4620. 515 — 4fco. 515. Dan j, = 8 zynde gefteld, en J weggelaten, zal men hebben 2 512 4- 192 * 4- 24 x - 5607. 4j4 - 1401. 855 x - 87. 615 x5=o + 484- 992 + 67o. 624 x 2 4 46-0.515 L ' Bygevolg io.oS~r^^~6~^6^x'> " ofte x2 - r 1149. s3_2, £ 4. '10\ oSj 63. 616. ~~ en x = —J^._6ió +_^30824^987584. 63. 616. ~ ofte * = -^4_6i6 + 575^ 5. o. 551 = a co8 ó3-öló 63.616. drar-  der. M U U R E N. 115 daarom y — 8. 008 = 8 voeten ten naaften en y = 4. 653 — 4 voet. en 8 duim. « II VOORBEELD. Als c = 41, dan is 2 c — a = p = 8 > — 18 =64, #=41 —18-1 = 23 -f —23 - i.3333 =2i.666ó, b=zaa + b = 6. 6666, R = 64 x 18 4-x 21.6666 - - g- ■ r= 206. 444. Daarom _y! — 119. i86y46o. 6243; + 10582.041 =0. Uit welke ajquatie men vindt y — 10. 13 , en y — 5. 895 voeten, ergo ; H-jr 16. 207 voeten. « « §•8. Maar als het punt M (Fig. V.) verder na binnen , dan het punt V mogte vallen , zal deeze Regel een kleine verandering onderworpen zyn, en om dit door een voorbeeld te toonen, laat de verlengde AF de lyn GH fnyden in I, dan is DM = c — («4-0 .y.=DF, het Parallelogram 0 Dl = (c — («4I)>0 b regthoekig werkende = n (c — (« 4) b, verandert in fteen § £c — (« 4" O )0 n 1/2 * £ l(/)c-(» + i) r) £ V 2» Va 3» H 2 en  il6 Over. de PROFILEN en B F -f- FD = n c — Q + 1) y + f> 4 l)yzz 2 2« »g + O + i) y, ergo het vermogen van in 2 D 1 — tF-Cè/yq. A.fy-frij by 2 ƒ>, doch het 6 .> vermogen van CX — bc_ V ay, daarom de geheele 3 werking van Cl—^1/ 2y4-«2 c'b V 2- C* 4- O* V 2y V 3 6«* welke met i3 «3 vermenigvuldigd zynde , zal 3 2(«4- I) 1/2 men deeze nieuwe aequatie, om y te vinden, ver- krygen ƒ - 3 sc / ^ +?_*L+6*+2V* W«4Ó ' 3-3^ / 2(«+0 V 2 4-3»1 5 c ƒ + 3 »4 c' 4- cJ «J Z o 3 3 («-f-i> 2(«+i) — 3 n by* 2 (« 4- ï) oftey3—2.87 cjr»4-o.758ècy-f 0.3.789 kJ-f 0.1263^=0. — o. 9483 by1- VOORBEELEW Als c ~ 22. b — 4, dan heeft men y3 4* 66. 933y» -f 66. 686y 4- 2078. 393 — o uit welke gevonden word  DER MUUREN. 117 word y — 6. 442, y rr 3- 747- Dacrom is de In- houd van die freonen Profil (AB CD) BD" 16. 631 x 22 r 182. 941. Doch het Profil van 't eerfte voorbeeld § 7- is gclyk 1311 ^ u. óó'i 4- 8. 008 ^ x 30 = s-?q. 035, en daarom de Inhouden tot malkander omtrent als 183, tot 310; in welke Reden ook de kosten zullen zyn, waar voor deeze Müuren kunnen worden gemaakt ; bygevolg zal dit groot verfchil, fchcön de overige voordeden wierden gelyk gcftcld, ieder ccn moeten overtuigen, dat men verpligt is, om de Vestingen zoo laag te maken, als immers mogelyk is. i 9. Behalvcn dc Profilen der Hoofdwallen ccner Vesting, van welke wy hebben gehandeld, is 'er nog eene foort, die byzondere opmerking verdient; wanneer een Onderwal CES (Fig. Vï.) voor de Hoofdwal SGNO word gelegt, en daar door gemaakt dat de grond, welke van den Hoofdwal losgelchootcn word, op denzelven valt', en dus de verbrookene borstweering in de helling EN verandert, in diervoegen, dat, zoo lang de Muur AC niet verbrooken is, het welke bezwaarlyk is H 3 te  Ii8 over de PROFILEN tc doen, byna geen Bres kan worden gefchooten Maar om zodanig Steenen • Profil AB DC te vinden, dat met de grootfte drukking van dcezen Wal m evenwigt is, zullen wy Hellen, dat dc hellingen CE, SG, onder hoeken van 450 zyn gemaakt; welke bygevolg evenwydig aan de lynen BI en AX zullen zyn. Laat wyders ER regthoekig op den Horizont CK gelyk zyn aan *, gelyk aan CR, GL regthoekig op e L = e, E s = a; ergo QS _ a -j, QP = c _ ^qy derhalven PS - , — C ft 4- 1) y - a ±y 1 n n ftellende dan c - a =p, zoo is P S - np -y ~ T F , het Parallelogram sx = njej^/'regthoekig werkende fpn-y) e, en verandert in fteen «J/2 = C/> « — r) e V 2, voorts B F 4. FT 3» ~2~" ~ + ff. - v - 2 «yj- 2^ 4. «j, * 2» 2« * — 2j^j4^:f-_*/ -2^4_C2^_4- o >, 2« " ergo het vermogen van sx — wel-  DIE. M U U R E N. 119 welke grootheeden met 18 «3 vermenigvuldigt 3 2 (#40 V2 zynde, zal men bekomen 3 p2 ri3 e 4- 3 »'/> g 7 — ' 3 3 2(0 4-1) («4-0 (6 b! + 3 ») « ƒ, derhalven, om y te vinden, 3- 2 («4-0 heeft men deeze aiquatie y3 — 2. 87 c y', 4- o. 7578 + p e) y 4 °- S789 (p2 e 4 £c2) + O. 1163 c3 ZZ o. —. O. 948 by2 — O. 569 e vJ VOORBEELD. Als c ZZ 16, b zze — l8I> a — ll-> danis^> == 5, bc zz 96, />e — 92. 5, ècJ—, I53<5,^J « = 462 5, en daarom y2 — 62. 134 va 4 142. 845 y 4-1274.556no waar uit men vindt y zz 6. 1627 ~ CD _y~ 3- 5855 ergo AB ± 9. 7477. « Die geene, welke weeten waar na dit voorbeeld is genomen, zullen misfchien met my beiluiten, dat men deeze Regelen veilig kan gebruiken zonder bekommert te zyn, dat de drukking der grond, welke wy altoos op het grootfte hebben gefteld, inderdaad al te veel van haare waare drukking H 4' ver-  120 Over de PROFILEN vtk MUUREN. verfchilt, om dezelve aan een Muur tot overmaat van 't evenwigt toe te voegen. Ondertusfen ziet men dat dit Profil bevat (6 1627 -f 9. 7477) ,x 16 = 127. 283: .quadraat voeten, en een Profil van eene gelyke hoogte, ofte 36 voeten Muurs, na de gewoone manier gemaakt, gelyk uit §. 7. is te vinden, zoude bevatten, 9. 156 4- 14- 484) 36 = 23. 638) 18 f= (4 5. 484) quadraat voeten; derhalven meer, als driemaal grooter, dan het voorgaande zyn,en bygevolg even zoo veel te meerder moeten kosten. Indien zulke voorbeelden den Geest van den Grooten Koehoorn niet kunnen doen herleven, is het zeer te vreezen, of hy wel ooit herleven zal. VER-  ia, o.   VERHANDELING OVER. Dl ONREGELMATIGE VESTINGBOUW; DOOR. N. YPEY.   §. I. IVlen noemt eene vlakte onregelmatig, als de Grondlinien, welke dezelve bepaalen, 'met ongelyke hoeken aan malkanderen fluiten, ofte van eene ongelyke lengte zyn; zodanig, dat men geencn Cirkel kan trekken , in welkers omtrek de toppunten van deeze hoeken leggen, terwyl de. zyden van eene gelyke lengte zynde, ook gelyke hoeken bevatten. Sterkten, die nevens zulke grondlinien worden gebouwd, hebben van daar den naam van onregelmatige Vestingen ontvangen. §• II. Nadien de algemecne Regel van regelmatige Vestingen te maken, alle voordeden in zig bevat, die men aan een zaak van deezen aart fchynt te kunnen-geeven, zal men de onregelmatige naden-, zeiven Regel, voor zoo veel als zy daar toe kunnen worden gebragt, moeten tragten te verfterken. Daarom zal by afleiding de algemeene Regel, die voor de onregelmatige Vestingbouw word uit-. ge-  124 VERHANDELING over de gedagt, deeze vcornaame cigenfchap behooren te hebben, dat hy, de leeden regelmatig wordende gefteld, van zclven zulke bepalingen weder geeft, als in de regelmatige Vestingbouw worden gevonden. §• III. In de nafpeuring van deezen Regel zullen wy Hellen^ dat de lengtens der binnenzyden, en alle de hoeken van deeze Veelhoek, die men wil verfterken, zyn gegeeven op zodanig eene wyze, dat daar uit bekwaame Vestingen, volgens de algemecne Regelen der Vestingbouw, gemaakt kunnen werden. Laat ten dien einde Fig. I. de beide hoeken DBF, TIC, beneffens de zyde BI, zyn gegeeven. Indien men nu in deezen den algemcenen Regel der Vestingbouw, zoo veel mogelyk, in agt wil neemen, zal FA = CH ook gegeeven zyn, daarenboven beide dc hoeken DCH, DFG, regt moeten worden gefteld,. en Voorts de halve Bolwerkshoeken BAF, CHI haare bepaaling ontvangen uit de hoeken OBF, FIC, even eens gelyk in de regelmatige Vestingbouw is geleerd. Men ftelle dan Sinus < L BI zz m, Sin. < BAF t= », Sin. < BFA = ;>, Sin. < BIP = /, Sin. < CHI = g, Sin. * kan befluiten, dat de zyde BI met geen twee halve Baftions kan worden verfterkt, indien zy minder dan de laats tgemelde grootheid mogte zyn. §• VIL  ONREGELMATIGE VESTINGBOUW, ng §• VII. Indien de gegeevene zyde Ü I van zodanig eene lengte was , dat tusfen de beide halve Baftions i QM, en a OZ een plat Bastion moeste worden gelegt, en men tenens begeerde, dat de lynen van Defenfie i T, MU, UZ, aX van eene gelyke lengte bleeven, gelyk daar van zonder noodzakclykhcit niet word afgegaan, zal hunne waarde in eene meerder zamengeftelde Formula zyn uitgedrukt, want Hellende Sin. < PIK = m, Sin. < 11T = « van den < i TI = van den < MO,S = Sin. < MKU — n Sin. < MUK— g, Sin. <^ UMK = q, Sin. r en by gevolg a — Q q + A Q / 4- (4 ? a4- «■ r) i 4P q + Ihr 4 q/'-j- 2 jj> r §.VIIL  13© VERHANDELING over d* §. vin. Om de uitwerking van den voorgaanden Regel te zien, laat dezelve worden toegepast op den onregelmatigen Veelhoek, die in de 73. Fig. der Krygsbouwkunde van F rit ach is afgetekent, en vervolgens worden gefteld Fig. 11. BI — 65. Roeden de < PBI = 126' so- IK = 66- < BIK = 110 2' KM = 62.'4' < KM l6- 1Q, MN = 65. 6' < KMN - 94. So NO = 6&- < MNO = 144. 45, OP - 56. < NOP = n7. 2g( PB = 64. 5' < OPB = ,4I. 35- uit welke gegeevene men vind de < BAF = 40*17', < AFB = 22^ 58', < CHI — 35a 26'? en de < HCI = 190 35', en zoo vervolgens;, ondertusfchen is de < EGI = 90^ — 42% 33' =470 27', en d — 65. log. m = 9. 9508412 i log. / = 0. 9134530 « = 9- 8106141 ! g - p. ?Ö32447 p = 9. 5912823 , q ~ 9. 525a?49 lóg. «5 = 9. 8672833. w » log, — = 9. 85977:9 ergo - = o. 7241. m m 8 g — = 9. 8496917. — = o. 7076. en j = i. 4317, de log. r o. 1558517. log.  ONREGELMATIGE VESTINGBOUW. 131 log. 4 p q — 9. 7186172. 4 p q = o. 5231. h r — 9. 8672835. Ar =0. 7367. ergo 4 pq + hr z= 1. 2598. 4 pq -f 2 Ar ZZ I. 996$. log. -|-2Af z o. 3002693. d — I. 8129,33. log- C4 p q + 2 £ O 1 hr s ZZ O. 2561534. ergo log. a ZZ 1. 8. 70292, ofte ~ 71. 95"- n h r = 9. 8672833 log. — = 9. 8597719 m de log. j ZZ o. 1558617 a — 1. 8570:9a »z te zaraen = 1. 8801642 ofte BF = 52. 1' \og.4pq-\-ihr— o. 3002693 maar CF zz 38- oi* log. x zz 1. 5798949 ergo BC — 14. 09' ofte CF = 38. 01" enFIziIB-FF=i2.9r log. p zz 9. 5912823 log. 7 zz 9. 5252749 EF zz 1. 5798949 * = 1 5.98949 fom = 11.1711772 fom = 11.1051698 log. h zz 9. 867 833 log. h — 9.8672833 fjr , qx log. — zz 1.3038939 log. - = 1.2378865 /; h bygevolg DC ZZ 20. 13" ofte FG zz 17- 3' I 2 en  132 ONREGELMATIGE VESTINGBOUW. en op dezelve wyzfc worden de voorgaande leeden van de overige halve Bastions gevonden , maar wanneer de lynen van defenfie onder eikanderen verfchillen, zal men genoodzaakt zyn, om hun gemeen fnydpunt a voor het toppunt des Bastions te houden, het geene ook omtrent de andere waargenomen is. Ondertusfchcn zal uit de befchouwinge van de geheele Figuur het voordeel van den Regel genoegzaam geblyken. VER-   ü  VERHANDELING OVER DE R ET RAN CHEMENTE N. DOOR N. YPEY.   §. I. Dat de Linien, naar het voorfchrift van den Maréchal de Vauban gemaakt, aan een Leger, het geene zich agter dezelve getracht heeft te beveiligen, weinig voordeel hebben toegebragt, kan uit de gefchiedenisfen van den Oorlog, over de opvolginge tot den Spaanfchen Troon, duidelyk worden afgenoomen; nadien hunne Verdeedigers meerendeels genoodzaakt zyn geweest, om dezelve niet verlies te verlaaten: het welk des te minder ons moet verwonderen, als men naauwkeurig haaren aart befchouwt; want daar uit zal noodzaaklyk volgen, dat de Vyand, eenmaal aan eene der Faces CD (Fig, I.) van een ReJans gekoomen zynde , genoegzaam geen vuur uit den Snaphaan van ter zyden, noch van de Ceurune BC, noch van het naastgelegene Redans ABC, wegens de fchuinsheid de; verdediginge, heeft te vreezen, en bygevolg alleen aan het Canon, dat men in dezelve mogte hebben gehad, blyft blootgefteld, en waar van men met recht een kleinder vermoogen moet verwagten, als men overweegt, dat de rigting van het zelve in Redans geftadig moet veranderen, indien het de Befpringers een gewigtig nadeel zal I 4 doen.  136* VERHANDELING over db doen. Daarenboven zyn dc tusfehentyden der werkingen van het Canon veel te groot, om alleen het beklimmen der Linien te beletten. §• 2. Deeze geringe befcherming der Linien heeft de Marquh de Feuquiere, in zyne Grondregelen van Oorlog, doen befluiten,dat zy byna geheel van gcene nuttigheid zyn, zonder op de gebreken van haare gedaante te letten, veel min te onderzoeken, of men, door. dezelve te veranderen, met zekerheid meerder voordeel daar van kondc verwanen Doch dit laatftc heeft de Ingenieur de la Campagne', de Ckevalier de Clairac, in zyn voortreffelyk Werk bedoeld, wanneer hy dc groote gebreken der Franfche Linien heeft aangetoond, en middagklaar de noodzaaklykhcid der regthoekige verdediging beweezen; want dit is de beste cn eenige veilige verweering, dat, als dc foldaaten, volgens de natuürlykfte wyze, en zonder byzondcre fchikkingen, en bevelen der Officieren, fchieten zy op zulke plaatzen de Kogels brengen, alwaar dc Vyandcn in den aanval zich moeten bevinden, en het langst vertoeven, het welk nimmer kan worden volbragt, ten zy te flancq regthoekig op de lyn van defenfie word gemaakt, van welk voordeel niet alleen de Franfche Linien, maar ook hunne Vestingen zyn beroofd.  RETRANCHEMENTEN. 137 §• 3. De Marquh de Santa Crüz, eender grootfte Krygskundigen van zynen tyd, heeft insgelyks de zwakheid van de voornoemde Linien bcgreepcn, en wil daarom, in plaats van dezelve, platte Bastions vervaardigen, en buiten dien Rapelins in het midden der Courtines leggen; denkende, dat deeze arbeid en voorzorge, den Soldaaten, door het nadeel , dat zy den Vyand zullen toebrengen, rykelyk zal worden vergolden, gelyk hy dit in het derde Deel zyncr Werken, pag. 172. heeft befchrceven. In dit zelve gevoelen is de Marquis d'Asfeld, die by uitneementhcid in de Vestingbouw was bedreven, mede geweest, toen hy in dc bclcgcringe van Phiiipsburg het Franfche Leger in een Retranchement befloot, aat uit Bastions en Comtines was te famcngcfteld, het geene zich, wegens zyne kleine uitgeftrektheid, en overgroote fterkte, zoo ontzaggelyk in de oogen van den grootflen Krygsheld, den Prins eugenius van Saxoyem, heeft vertoond ,- dat hy, hoe eigen het hem ook was geweest , zyne Vyandcn uit hunne Verfterkingen te verdryven, niet durfde befluitcn, om het zelve met een Leger van Zeventig duizend Mannen aan tc tasten. Althans, indien dc gedaante van het Retranchement dc aantasting heeft belet, moet de oorzaak daar van aan dc Bastions, en niet aan de Putten, welke voor dezelve waren gemaakt, worden tocI 5 ge-  138 VERHANDELING over de gefchrecven, overmits deeze Veldheer niet onkundig was van den weinigen tegenftand, die zulke Kuilen in de Belegering van Arras hebben gedaan, toen de Murèchal van turenne den Prins van coNDé heeft genoodzaakt om het beleg van die Stad op te broeken. § 4- De noodzaaklykheid der Bastions aan een Reiranchement heeft het fcherpzinnig verftand van den vermaarden Ingenieur Landsbergen, boven anderen, bemerkt, die., buiten dat, de verwarring hebbende begreepen, welke in de flanken ontftaat, die te gelyk tot verdediging met Canons- en Snaphaanen worden gebruikt, een Plan, G genaamt, heeft uitgedagt, welkers uitfpringende hoeken, door twee verfchillende flanken, uit de eene met het Canon, en uit de andere met den Snaphaan, zouden worden verdedigd; maar dewyl deeze Vestingbouwer, de regelen, volgens welke dat Plan is gemaakt, heeft verzweegen, en het zelve teffens van eene zeer zamengeftelde gedaante word, indien men wil, dat de verdediging regthoekig uit de beide flanken zal gefchieden, heb ik getragt eene andere eenvoudiger zoort van een diergelyk Retrancheriient uit te vinden, welkers gefteltheid ik nu befchryven zal. $•5-  RETRANCHEMENTEN. 139 Dit Retranchcment, fig. XL beftaat uit zoo veel Bastions, als de uitgeftrektheid der grond vereischt, om te maaken, dat de beide Vleugels door Rivieren, Bosfchen, Hoogtens, Moerasfen, ofte anderfints ongenaakbaar zyn, in welke onderftellinge is getrokken de regte Lyn XY, die zoodanig is verfterkt, dat de Face FK van een der meest uitfpringende Bastions met den Snaphaan uit den flank der meest infpringende Bastions CD, die regthoekig ftaat op de Lyn van defenfie D K y kan worden verdedigt, en dat de Face WB verlengd zynde, naar den eenen kant ontmoet het toppunt I van den fchouderhoek KF E, en naar den anderen kant het punt H, ofte het einde van den flank LH, regthoekig op de Lyn HF, waar door het Canon, regthoekig agter denzelven gefteld zynde, voor een gedeelte kan fchieten in de Face F K, gelyk ook met het ander gedeelte, door het een weinig te verfchuiven, dezelve werking kan worden gedaan, en daarom fchynt het byna eene ondoenlykc zaak te zyn, eene Face FKte beklimmen, die van voren uit het Bastion, van ter zyden uit den flank CD, beide met den Snaphaan , en van agteren uit den flank LH, met het Canon kan worden verdedigt. Daarenboven kan de aannadering van den Vyand, indien men overvloedig van Canon voorzien is, uit de Faces, enCounines zeer bezwaarlyk worden gemaakt. § 0.  x40 TERHANDELING over eb 5- 6 Om alle deeze eigenfchappen te verkrygcn, laat getrokken zyn (fig. III.) eene regte lyn XY, en boven dezelve befchreeven zyn een hoek DIP van eenen gegeevenen Veelhoek, welke door eene lyn S K regthoekig op X Y in twee gelyke deelen word gedeeld: zoekt daarna uit deezen hoek DIP, volgens den algemeenen regel der Vestingbouw, dc Bolwcrks- en Strykhoeken DKT, KDI, dan de lyn van defenfie DK gegeeven zynde, befchryft de beide halve Bastions KFE, BCD, met de Conrtine DE; voorts haalt uit B eene lyn, evenwydig aan KS, die de verlengde ID ontmoet in A; en eindelyk, laat op dezelve wyze de overige Bastions en Courtin es worden befchreeven. Doch indien men dit heeft gedaan, zal moeten Worden •onderzogt, of HB verlengd zynde, loopt door het punt F, het welke van den < AIQ zal afhangen; want de < ABN = < BAH -f < BHA 3: Pr. i b. ofte de < ABN = < BAE -f < BEA conftr. maar de < ABE = i8o°-< BAE- < BEA32Pr. ib. ergo dc < EBN = 2 < BAE + 2 < BEA -- -180°^. 3. oftedc ea Radius, Tangens < EBN ::BE, EN, by- ax . , . ,. , gevolg EN = —; waar uit volgt, indien het punt N zal vallen op F, dat men zal hebben dee- ax ia\ „ 2T ze vergelyking = — ofte x — — waar uit men ziet, om de voorgeftelde eigenfchap te verkrygcn, dat de Polygoons < AIQ zoodanig moet worden genoomen, dat Tangens van (2 S — C) = f Tangens van S. Volgens den algemeenen regel der Vestingbouw, vindt men de voorfchreeven hoeken als volgt: Polygoons hoeken C S O O O j IX. 140 40 25.53 O O O , X. 144 36 26.46 - I . . . .! Daar- VOORBEELD. §. 7-  142 VERHANDELING'over db Daarom in een negenhoek O I 2 S — C _ 11.46, de Tangens 2083. En in een tienhoek 2 S — C = 17. 32, de Tangens 3159. Maar de Tangens van 0 ' O 25- 53 = 4852, f van dien = 3235. En de Tangens van ° I 26. 46 =5044, | van dien se 3363. Waar uit blykt, dat in een negenhoek 2 S — C te klein is 1152 deelen, en in een tienhoek 204, maakende een verfchil van 948 deelen; zegt dan, 948 worden gewonnen, door den Pohgoons hoek, met vier graaden te vermeerderen, hoe veel moet dezelve daarenboven nog vermeerderd worden, om te winnen 204, en men zal vinden ten naasten by 52 minuten, by gevolg moet de < AIQ gelyk zyn aan 144. 52, en C = 35° 8'. Dan, de Lyn van defenfie DK (fig. II.) gelyk zestig Roeden neemende, zullen alle de lynen en hoeken van dit Retranchemtnt gemakkelyk zyn te bereekenen; want Logar. Sinus van den g;och, indien men oordeelde, dat de Lyn LR moest worden se^eever, Wo„ ~l * , y geöeeven, dan zoude de lengte van HB, ofte a daar uit gemakkelyk zyn te vinden Immers LR met den naam van * hebbende^ noemd, heeft men en , = — t" —■ VER-  Mz.i46:   VERHANDELING OVER DE FOOR- en NADEELEN, DIE MEN DOOR EEN W E R K op verschillende wtzen te maken, verkrygt; DOOR N. YPEY.   §. I. I~Iet word by veclen voordeelig gehouden foramige Werken zodanig te mtiken, dat 'er of nimmer, of ten minften niet dan na verloop van eene groote menigte van jaaren, eenig onderhoud aan behoeft: te'geichieden. Dit bcfluit is nogtans van'deeze vier oorzaaken afhankelyk: van de kosten, welke 'er worden vercischt,om een Werk op die wyze te vervaardigen; van de kosten, waar voor het'op eène andere wyze, die binnen eenen bepaalden tyd vernieuwing nodig heeft, tot den zeiven dienst, met eene gelyke veiligheid, gemaakt kan worden; van den tyd, op welken de vernieuwing moet gefchieden; en eindelyk van de renten, welke, volgens den gemeenen loop, van het geld te bekomen zyn. • §; ii. ■ Om dit met eenige voorbeelden op te helderen, eer ik tot de algemeene bepaaiinge overga, ftelle ik, dat een zeker Werk' voor drie hondert guldens kan worden gemaakt, zonder genoegzaam iierftellinge nodig te hebben, en dat het tot een K 3 g«~  150 OVER D2 VOORDEELIGSTE WYZE gelyk gebruik en veiligheid was tc maaken voor honderd guldens, mits dat het op deeze wyze gemaakt zynde, m verloop van dertig jaaren geheel moeite worden vernieuwd, en dat dc waarde van het geld jaarlyks drie van 't honderd was. Indien nu geen renten van renten worden gerekent, ziet men terftond, dat alleen wegens de grooter uitgave van twee honderd guldens, naar de cerfte wyze werkende, jaarlyks zes guldens aan renten worden.verlooren, en by gevolg in dertig jaaren .eene ichade van ccn honderd en tagtig guldens word geleeden; en dewyl men, om het Werkte vernieuwen, naar de laatftc wyze, maar honderd guldens behoeft te befteeden, zo blykt, dat dc cerfte wyze van werken ieder dertig jaaren een nadeel van tagtig guldens zoude hebben toegebragt. § III. Edog deeze gevolgen zullen veel aanmerkelyker zyn, indien ook renten van renten worden gerekent, gelyk geichieden moet. Om dit klaarder te doen zien, zal ik ftellen , dat de vernieuwing volgens de tweede manier, in drie en twintig ren nodig is, en de waarde van het geld zodani^ pieder h^derd, na verloop van dien zeiven tyd' 5r-nten van renten rekenende, twee honderd waar&$ was. Derhalven zal volgen, de. uitgave naar de terfte wyze driehonderd, en naar de'tweede een tónderd guldens zynde, dat men op het ci-nde van de  OM EEN WERK TE MAAKEN. 151 dc eerfte drie en twintig jaaren,) indien deeze (ommen niet waren verarbeid,) zouden hebben befpaard in het eerfte geval zes honderd, en in het laatfte twee honderd guldens, maar by deeze moet nog de vernieuwing worden gevoegd, en daarom zal dit bedraagen driehonderd; en alzo blykt, dat de eerfte wyze van werken in de eerfte drift en twintig jaaren eene fchade van drie honderd guldens heeft toegebvagt. Voorts is het verlies door beiden gelecdcn, geduurende de tyden der vernieuwingen, geiyk het in de .volgende Tafel word verbeeld. P'erïies door het voornoemde Werk veroorzaakt. | Volgens dc | Volgens dc tweede ! Jaaren eerfte wyze. I wyze, met de ver- I Verfchil. l I nicuwingen. I § IV. o. 300. 100 200. 23. 600. 1 200 -f i©o. 300. 46. 1 00. 600 -f 100. 500. 69. 2400. 1400 4- ico. 900. 92. 4800. 3000 4- 10°' 1700. Maar Rellende, dat men op de eerfte wyze alleen een honderd en negentig guldens, cn op de tweede een honderd guldens moest befteeden, en dat de K 4 ver-  15? OVER DE VOORPEELIGSTE WYZE. vernieuwing ieder vyftien jaaren nodig was, en de waarde van het geld zoo veel te meerder, dar, geduurende denzelven tyd, honderd guldens dooide jaarlykfche renten, en renten van renten rekenende, twee honderd waardig worden, zo zoude de overe.nkomst geheel anders zyn. Verlies naar deeze delliu^e. I Volgens de {Volgens dc tweede i Jaaren. (eerftewyze,] wyze, met de ver- (Verfchil. I I nicuwingc. I °- J9°- ico ~9Ö~ l?- 3gO- 200 -f- 00. 80 S°- 76o. 600 -f- 100. 60. 45- ' 1520. 1400 -f- ico. 20 6o- 3040. Scoo 4- ico. 60. 75- I 6080. 1 6200 X ico.. | 220. 90. j I2I60. j. I2ÓCO -f ICO. j 540. j I v. Indien men ftelle 1 tot c, als 100 tot honderd, met de vermeerderinge der renten in een jaar, dan is eene fom a waardig na verloop van een jaar ac9 en ac op het einde van het tweedejaar ac'. Derhalven op dien voet voortgerekend zyndé, is de waarde van a, over » jaaren, gelyk aan ac, en ■ daarom op dien tyd, als a door haare winst;,, ren-  QM EEN WERK TE MAAKEN. 153 renten van renten gerekend zynde, dubbeld is geworden., heeft men a ca — 2 a \ oftcc" == i: ergo n losr. c = log. 7. = o. 3010300 • o. 3010300 en log. e — = o 0130883. 23 10306 Bygevolg 6 — ■— , en a = 100 nemende ac JOO o = 103. of-, en alzo de waarde van het geld, ofte de renten van honderd guldens in een jaar drie guldens, een ftuiver, en drie penningen. Maar volgens de tweede ftcllinge heeft men • • ■ ; log- 2 . 3tn Eltó'1 ' > 1 log. .c =z en ac ~ 104. 73. '; i> '' ' Daarom is de waarde van het geld in dit geval geweest vier guldens, veertien ftuivers, en tien penningen. I \ §. VI. . Uit decz.c voorbeelden ziet men niet alleen, dat de voor- en nadeden, welke uit deeze verfchillende manieren van werken voortvloeijen , van de opgegeeven oorzaaken ten eenemaal afhangen, maar ook van zulk een groot belang zyn, dat daar op in alle zaaken, waar in men dc fpaarzaamheid, als de eerfte en voornaamfte wet, verpligt is te betragten, nimmer genoeg agt kan worden gegeeven. Want in het eerfte geval zoude men eene ongemeene fchaK 5 de  154 OVER DE VOORDEEf.IGSTE WYZE de hebben geleeden, als men, verleid door het vleijend denkbeeld, van naderhand aan geene herftelling onderworpen te zyn , het werk op dien voet hadde gemaakt. Gelyk, volgens het tweede geval, eene onnoemelyke fchade zoude zyn geleeden , indien men, uit vreeze voor de eerfte uitgave, tot het maken van dit werk, met de noodzakelyke vernicuwinge, hadde beflooten. S vu. Ik zal, geen agt nemende op het meerder vertrouwen, dat in der daad op een werk moet worden gefteld, waar aan men onderfteld geen Onderhoud van nooden te zyn, nogte op het verlies dat hier uit voor de Werklieden en andere bedryven in de toekomende tyden noodzakelyk zoude worden gebooren, nu tragteh deeze zaak tot eene volkomene bepaalinge te brengen; en ftcllen de uitgave, om een Werk eens voor al zonder noodzakelyke herftellingc te maken, gelyk aan a: de uitgave, waar voor het tot een gelyk gebruik, maar met vernieuwinge, kan worden gemaakt, gelyk aan h: de jaaren, 'in welke de vernicuwinge moet geichieden, 11, voorts i tot c als honderd tot honderd , met de vermeerderinge der renten in een jaar, en eindelyk m het getal, hoe veelmaal de vernieuwinge meet gefchieden, op dat, tot dien tyd toe, in beide gevallen, ten gelyk verlies zoude zvn geleeden. '' ' " ■ • os . ■ . $. VIII.  OM EEN WERK TE MAAKEN. 15$ §. VIII. Volgens deeze bcpaalingen is de waarde van a na verloop van » jaaren ac, van b gelyk bc, maar na het verloop van « jaaren, wanneer de vernieuwing moet geichieden, was deeze fom bc» -f- b, en by de tweede vernieuwing word de eerstgemelde fom ac*», en de laatstgemelde bc*» -fb c -f- b» zo dat deeze fommen volgens de volgende wetten loopen: rem wvzc j Volgens de tweede wyze. 0 I a I b tl \ ac" | i " -f- b In I dc2" fe*o -4- -1- i g« ' aC)n j 4- fc2"-]- bcn -f ^ «/; . b I mn (m-i\n (m-i)n m-i)n \ I I u +^ +c +tf +) Ondertusfchen blykt uit de befchouwing der afmeetingen, tot welke c in de aan malkander volgende leeden , die met h zyn vermenigvuldigt, moet worden gebragt, dat deeze in eene Geomtirifche progrtsfte zyn, en daarom de fom van allen f imn (»;-i>A b f imn-mn+n \ ofte/==* - _L ) / « « -j- « \ ofte 74= 2 j g - ï j By  156 OVER DE VOORDEELIGSTE WYZE By gevolg op dien tyd, als deeze waarden gelyk: zullen zyn, moet men ftcllen ■ mn -f- n dfinii — ^ — b cn — i Daarom mn ™" + n uaarom ac — ac — bc — b m„-^„ rnn-f-n mn Cn hc - ac + ac = b 0ftC ( , r " \ mn \ a -f Q~a) c ) c - b h ergo cmn —- a -f(b~a) cn ofte mn log. c. = Log. ( * \ \a -f (b-d) cnJ ofte m- -/-—x Log. (—2 \ »bg> c. \a + (jj-*)c*J En daarom m een oneindig getal, als»\ (b-ay «• = o,- in welk geval de voorgaande waarden nnnmer gelyk aan-malkander kunnen worden, en by gevolg het verfchil tusfehen de eerfte en tweede manier van werken, op alle tyden van vernieuwing, gelyk aan a - b. . .$. IX. y Indien nu b, n, en dc rceden van i tot c gegeeven zyn, vind men gcmakkelyk, 'hoe groot dat a moet *yn, op dat m oneindig worde. Want dan is , grooter als «, kan men uit het verhandelde insgelyks vinden, hoe veel vernieuwingen, in ieder geval, hebben moeten gefchieden, op dat de fommen der eerfte uitgaaven, gemis van renten, en uitgaaven van vernieuwingen te zamen genomen, gelyk aan malkanderen zullen worden. Tot dien einde ftelle ik, dat het werk voor de fom a gemaakt, q maal moet worden ver- meuwt, derhalven is de geheele fomaV c — 1 ' ,en c p— 1 ( P9+P \ ( f»*-f* V bygevolg heeft men a \c — 1) = b \c — 1/ . cP — j c« — 1 Edoch, dewyl dit op eenen bepaalden tyd, na dat deeze twee gelyke werken, op de verfchillende wyzen, waren gemaakt, worden begreepen te gefchieden, zo volgt, dat pq — mn, en daarom is f mn+p \ ( mn + ti \ 0\c — 11 z= b \c — 1} c? — I cn — 1. +* *nn-\-p n mn^nJf-p mn-\-n p OÏteac ac— ac~\-bz=zbc — bc — bc ~\-b mn-\-p-\-n mn-\-n-\-p mn-\-n mn-^p n p ofteac — hc -\- hc — ac — b — a + ac-hc Ofte/ p+n n+p n p\ mtt n p \fic — bc -f hc — ac ) c cs b—a+ac~hc. mn n p en c rs l — a + ac —- bc p + n n p (* — fyc -f- ha — ac  i6o VOORD. WYZE OM EEN WERKTE MAKEN. k — a. -f ac„ — Z-cp ofte mnlog.c — Log. p -\- n n p (.a—F) c -f- bc — ac 1 ' ^ — « + #cn — Z^p n log. c b p + n n p (a—b) c + bc — ac. By gevolg als m een eind'g getal zal zyn, moet (a — b) cp -±-'n -f- bc» — ac? grooter zyn als o, en waar uit dan gelyk te vooren, als b, p, «en c gegeeven zyn, de grootheid a kan worden gevonden, om te beiluiten, welke van deeze beide wyzen, in het maken van een gelyk werk, de voordeeligile is. §. XII. ■ 'Men heeft zo aanftonds gezien, dat f mn + t \ i rnn^- n \ a V ~_ lJ - * YJL 1 '> rp — I -n — I maar nu Hellende,; dat p oneindig groot is, of dat 'er op deeze wyze geen vernieuwing aan behoeft te gefchieden, dan krygt men mn+p l mn+n \ mn ( mn-j-n \ ic == * \c — i ; ofte ac — b \ c — i L ft . cn — i ~cn —' r. cn derhalven denzelven regel, dien men voor zuik een geval .§. 8. heeft gevonden. VER-  VERHANDELING OVER DE GEWELVEN; DOOR N. YPEY.   PROBLEMA l. (jregeeven zynde de beide SeüoresQfig. t'S ADE, ABL, uit het centrum A met de radii AD, AB befchreeven, om in de lyn AH, welke dezelve deelt in twee gelyke deelen, het centrum der zwaarte van D B L E te vinden. S O L U T I O. Laat tot dien einde zyn AD = a, dc boog DE =c, de chorda DE '_: AB = #, en de lyn BI = x, en met dc radius AI zyn befchreeven de boog IF, aan welken oneindig naby word bcgreepen dc boog #ƒ. Dan is AI- — « -f x9 li = ax, en de (IF = c ffllö IF=b^+f) a * a 9 en \'. ? •- t ) BL = — - volgens de 4deProp. 6boek, eucxidis; voots de differentie van 't gewigt BIFL = c (n-fx~) . dx. Maar zo G is het centrum der zwaar- a ' . AI -4- I F te van den boog I F, dan is AG = -— 1 —. & (IF ac (« -f- a-) c a By O) Carré, pag;, 74, L s  *64 VER H A N D E L I N G By gevolg de differentie der bewecging van BIFL pm het punt A gelyk aan Cf +f0x hdx _ b ;i' d ■¥ + a h » x d x 4-bx' dx, Daarom het fn/egraa/ h n' x -f- bnx1 -f bx' — b (3 n'x -f- S»*' -f -rJ). ? 3" 3 *'' Öndcrtusléhcn is de fom der gewigten van B1FL 4- -o 1 — cn' ±= 2 cnx -\- c j\ 2 a '2a door men vindt, dat' héöceètruiè der zwaarte van B1FI, afftaat van A in de lyn AH, eene lengte, die gelyk is aan b ' (3."'-f -■- 3«*a + xs) 5=5 2Z' (3«' + 3 -VJ-4-.V £ ga C2C«j-4- r.r°) ... 3 c ( 0 4-T) y. '4. » ~ftjra gj fj.q % tao*1 ■•>- By gevolg, als x — a — 0 word gefteld, dan krygt men AC s a b' + %an — 3«\4- a* — 4- «O 3 c (2» 4- a — «) ; , ~ , (n£ 6x «-{-» %x + pr.h L a 4/ « Derhalven —h- a-—^L kr" q hebbende scheld | a -j- « Kj Pit. x heeft men CG - —• , %* Ondertusfcheü is CA, A : : C G > 8fJ? 2 q fits. x' tT ««■2:0 B G = — » Daarenboven & %ax CBy \ BG.7 - CG? 4^..Prop. 1 boek, É'vchiÖifc L 3 «At.  ï66 VERHANDELING $a2x2 9x' Bygevolg 9 a2 n' x2 -f 4 q*fin; cof. b ^ _ (c — bj. («jSf{ F). (I — cof. b) (b-j-(c —bjfin.b) cof b~ %nx-.yJ^n- (° ]zSl ^nf"u ty-Èhi~ é*ï^ + 'J (è+ (c — b)fm.b)cof..b. of-  over DE GEWELVEN. i?i ofte x ~ (74>fin.k+^o&^>fattfin.b cof.b '(b +~(c — fe) fin. V) cof. b (c— bjfm.n.b + nbcof.b. . Bygevo]g x =— Maar volgens de eigenfchap, in dit voorftel bevat, 1 a fin. b \%b — 9 Derhalven x = (c-V) nfin.b-\* 3 2 7fin. b. coj. b=% n* {c — b )+ 2 » ? go/ * 3 (3»(c*)+M)ffl/J' (lqfin.b + (c-b)fin. b)cof.b 3« 3 «' (c — i) + 2 » ? ofte x s= co/Ti. 3 « (c-~~b) + 2 ? Indien » = l word gefteld, zo is i = o, erf 3 c + 2 q cof.b — i , ergo x — =3 x = A C het welke te kennen geeft, dat eene onbuigzaam® lyn, die een halfrond, gelyk AHP, bevat, rechthoekig op den horizont kan ftaan. Ten 2den. Indien men ftelt c = b, ofte c — b =. o, dan is cof.b — o, en bygevolg 3 «' ( C — O = 2 » g= » 3 3 « (c — b) + 2 ? ten gevolg, dat overeenkoomt met het geene, da: uit het tweede Probkma is getrokken, waar uit  i?2 VERHANDELING men fchynt te moeten befluiten, dat de werking Van het ftuk DMNI, zo als die hier vooren is bcgreepen, gevolgen voortbrengt, die de waarheid van dezelve bevestigen. Ondcrtusfchen zal men in alle andere gevallen al'ï toos het punt a tusfehen A en B vinden. Want by voorbeeld C B = o. 8 — «, en A C — ï hebbende genocmen, dan is (AD 'zz 48. 25.' 57!' ofte b zz o. 8447:46, gelyk uit het voorgeftelde Exempium te vinden is, voorts c — b — o. 72Ó0747. Jog. c — b — 9. 8609795 — fin, b — 9. 8737788 • *- « rr 9. 9030900 - (l-cof.F) — 9. 5264204 /<^. der fom — 9. 164:687 c — b. fin. b zz 9. 73475S3 ergo c — Z>. fin. b ;_ o. 542948 cn b + (c. />>ƒ//;. £ ~ i..3876726 de log. zz o. 1422870 log. cof. {». zz 9. 8221260 log. der fom — 9.9644139. Ergo log. y — 9. 1998548. en daarom y ~ Ba =2 o. 1584364- en A iT ~ 0.0415633. Derhalven zal de tegenftand van ADIB de drukking vaii DHLI overtreffen, cn in een wczentlyk gewelf zeer veel te bovgn gaan, overmits dan DMNI niet de overige Hukken in Dl, cn NM, en deeze in AB en Q P met de fundamenten zyn verbonden. PRO-  over. de GEWELVEN. i?3 P R O B L E M A 3 Gegeeven zynde een gewelf kW ab LB (Fig. 4?) en BM de hoogte van den muur F MBO, om te Vinden FM de dikte van denzelven, zodanig, dat de drukking van het ftuk DHLI aan.den handboom FG, welke regthoekig is getrokken op de lyn IE, in evenwigt zy met den muur FMBO, en het ftuk ADIB. ;| 0 L U T I O. Stelt het gewigt van ADIB = V, het welke werkt in de lyn NM, en volgens de voorgaande ftelling door zyne' eigene zwaarte ftaat, deelt FM jn twee gelyke doelen in R, en hangt aan dit punt een gewigt Q = FMBO, bygevolg loopt QR door het middelpunt der zwaarte van denzelven. Daarom word in het evenwigt vereischt, dat DJIL W^ CAD^FG = x FR x FM x Y. cof. (AD Dan de overige lynen, gelyk te vooren hebbende gefteld, laat zyn de hoogte van den muur MB _L n — /z. FM = BO = v. Derhalven is CP = - — "~" ' J COj. D n — n cof.b n (l ~ cof.'bj p p i — 1 cof.b cof.b Maar PB, BN CK, DK : ; fin. b, cof\ er-  174 VERHANDELING _.T n (i — cof. F). ergo BN - yjzrj~ bygevolg MN - h n (i — cof. bj. + fin~b V°0rtS iS NM» ME : •• DK, KC ; ; cof. b, fin., 6, daarom ME = h fin. b 4- « (I — cof. b) * ~fb ,erg0EF = h fin, b -f- cof. b. y. cof. b Eindelyk EF, FG : ; CD, DK:: i, cof.b, derhalven FG - /, fi„, b + n (i ~ cof. bj cof.b.y. Waar uit men krygt deeze vergelyking% + by=iLZ & f - b- dh 2 2 ' a ^77"" .p #r, & 4- n (i - w/: /;) _ tog% y)t nee jgoed jr-j ,51 nf risfóofj :.. • •.. »t Stel-  over de GEWELVEN. 173 cn . „ a *» 0 l * 5* *? ^a 11 «-> 2 || || 11 < S. " " I JU o 1 I ' * « <~. J**' 'rf T o 0 a. • 13 + ^ g- o • O -f- 1 a o 1 ,| V, r- ^5 » ,5* S r al, 3 + ï Q ° t \ I J Hl W. > M vi^ I v_/ w -o EXEM-  176 VERHANDELING E X E M P L U M. Laat gelyk in het voorgaande geval zyn, AC — i, CB - o. 8 zz\ 0, en h h. i, ° I 11 ergo (AD = b ~ 48. 23. 57, en m — 1 ~~ a 64 _ °- 36 D lg 2 2 ~ -f (c — £) fin. b ZZ O. 1422870 -9-!552725 /^-. (b+ Qr-b) fin.!) m zz 9. 3975595 ergo(.4- (c-b)Jhi.l) m = o. 249781 2 fyf. (b -f- (c — £) ƒ>/. i) ;hj = 8. 7951190 2 en (i + (c ~ £>) fn. b)tu2 = o. 0623906 li.1ang.bZZl. 1256903. fec.b—l — o. 5057228 n(fec.b — 1=0. 4C457824 ergo tawr. Z> + « i/èc.b— 1) ~ 1. 53026854 de r= o. 1847674 h . (c - i) $ = 9. 7347583 log. ipib ZZ 9. 55Ö3025 9. 2910608 - - 9. C910608 By gcvolg: de log. im'h (c — £) //ii (,;7. Mff^- b 4- » (ƒ«• £ — 1) ) ~ 9.4758282 waar van het getal is 3= o. c991081 2 en (b-\-(c-l?)fin.b)m* — o. 0623906 Derhalven de fom o. 3614987 te leg. 9.5581068 De  óver. de GEWELVEN. 177 De V l°g- = 9- 7790534waar van het getal is o. 6012476. ergo y = — o. 249781 4- o. 6012476 =0.3514666. Maar zo men in plaats van AC — 1 r BM, en CB — o. 8 heeft gefteld AC~ 15 z -5, cn CB = 12, dan moet y met 15 worden vermenigvuldigd, wanneer men vindt y = 5 voeten, 3 duimen en 1 lyn, voor welk gelyk geval de beroemde belidor, in de Science- des Ingenieurs, pag. 14. livr. 2. heeft gevonden 6 voeten, 6 duimen en 7 lynen. Maar indien AC — 15, BC = 12, en h niet ge'yk aan 15, by voorbeeld aan 10 gelyk word gefteld,.en men echter van de voorgaande uitdrukkingen gebruik wil maaken, dan moeten b, c f~ b, m en « 15 maal worden vermeerderd, en voor h zyne waarde gefteld. M log.  178 VERHANDELING *S °? O (3 ^ I 3 O k3 f 0r= Vj) W X-, /-">, I ' • 51 ^ K *« s i : _l I a-to^-> i ^> s^~r" «'t + r i is i ? *) llllll s„ w. w ö ! - Vm i * II ' ll'lpl iï f ! Inii ^ I ÖhO I i < g- I • ÖÈ I § g'r? o» V ~ rM l ■ s § I 'Si | ö*. I o 5-2 f t Ko|^ fc- I f t I . O t *v, I J?* ' ! ** ** I SS • » la a I « §11(11119 *Q CO | C\ 13 I 1 ! 1 O OO 4». t*:> 1 I 1 r-f l-i oo oo I l I OOV I w , O 5 hsiï ^ g j li li 11 II II li i-i i >-i c° -^J I W M C\ O j W e*a I a OO^J F1 Ul U| C M -O O O i 4 00,00 O -J I io —J O I vo O O I UINU h H I oo oo | os Vi 4^ By  over. de GEWELVEN. 179 By gevolg de fom van het Radicaal 10778. 097, welker wortel is 103. 8177. Daaromy — - 56.20074 -f 103-817? — 4-761696 10 = 4 vo.:ten, 9 duimen. PROBLEMA 4. Indien FDB (Fig 5. «°. 1.) een gelykbeenige regthoekige driehoek, AUB een Quadran:, en A O eene onbepaalde regte lyn is, die regthoekig ftaat op den horizont BF, om te vinden AFEH,' zoodanig, dat het middelpunt van haare zwaarte valt in AO, by voorbeeld in R, en het zelve aldus door haar eigen gewigt kan ftaan. S O L U T I O. GE Laat zyn FG r GB (fig. 5.) GM ~ — FE HA het begeerde ftuk, (AN zz (NH en daarom B N regthoekig door A H getrokken, B T 2 AH x BN , a~ — by aievolg het middelpunt der ~ 3(AH ' 3 ö ö zwaarte van den Se3>r AHB in T, cn van den driehoek FEB in M, en door dit punt uit T eene regte lyn hebbende gehaald, welke AO fnyd by voorbeeld in R, zo zal dit zyn het middelpunt der zwaarte van A H E F, indien men heeft gemaakt RM x AHEF zz MT x S&Qr AHB. M 2 Voor cs  180 VERHANDELING Voorts ML, TS, IE en HP evenwydig aan AO getrokken zynde, Helle men FG = GB = *, AB = a, (AH = x, BE ~ z. Maar Rad. z (in. x z. cof x fin. ?. x. cof. x — fin. i x. Deeze overeenkomst dan gezogt zynde, zal x zyn gevonden, en alzo het ftuk A HE F bepaald, het welke men begeerde te vinden. EXEMPLUM. Laat zyn AB = i, b — o. 92, cn ftelt x — o 73 = 262S00 iecunden, ergo 2 x = 146, derhalven, om dat 2 x grooter word als 90, moet men neemen in de voorgaande formula t -t- cof. 2 x, en fin. 2 x = fin. 34-». cof. 2 x = ƒ«. Bygevolg 1 4- cof. 1 x ~\~ fin. 2 xssz 2-3882305; 1 4- co/: 2 x-f 2 /?».2j =2.9480234. van 262802 — 5- 4J9ó:54 ^.6^ = 0.7057268. jog. conft. — 5- 3144251 /«ff. 4^=0.4934234. ergo /o»-. x in den maat van den Radius o. 1052003. Ergo' x — I. 27409; 3 x — 2 /?//. x sr 1. 9096604; 1 4- fin. 2 x = 1 5591929. Maar i + a/iu 4- /7«. 2 x = o. 3780762. % 6 b2 — o. 7057268. van het = £ 0838030. Jog.  over. de GEWELVEN. 183 log. 1 f cof. 2 x + 1 fin. 2 x — o. 4695275» log. 4 ¥ =0. 4934234' o.9629509. De getallen 12. 12838. en 9 18236. het verfchil 2. 94602. log- 3 - 2 fin. x — o. 2809561. i£ 1 +ƒ>'«• 2 x = c. 1929002 -j /ö^. van het praduSl = o. 4738563- waarvan het getal is 2. 977531- het welk-e de fom der grootheden aan de linkerhand overtreft o. 031511: en te kennen geeft, dat men x grooter moet Hellen. Laat dezelve dan gelyk 74 graden zyn. Doch naar deeze ftellinge worden de grootheden aan de regterhand overtroffen, waar door men teffens vind, dat x = 73- 29; zonder verfchil dat in aanmerkinge komt, kan.worden gefteld. PROBLEMA 5, Indien ACS (Tig. 5. No. 2.) een gelykbeenige regthoekige driehoek is, en met C B als radius uit het centrum C een halfrond word befchreeven, waar door het dak A S O B haar gedaante krygt, om de dikte van den muur IM te vinden, zodanig, dat dezelve in evenwigt zy met de drukkinge van het voornoemde dak. M 4 SO-  l84; VERHANDELING S O L U T I O. Laat het middelpunt,..der zwaarte van AH DB = m1 zyn in de lyn B V, het verlengde der hoogte van den muur MB = é, de breedte IM = ?, gc_ deelt in 2 gelyke deelen IT, TM, en de inhoud IMBG = Q. Voorts IR evenwydig aan CD, waar op DR regthoekig is getrokken, IF en DE evenwydig aan MV, en DF, en HN evenwydig aan AC =a. Eindelyk zy B C = d H S O — »», cn («D — b. Indien nu hier wederom 'dc werkinge van HS OD tegens AH DB, en den muur IMBG, als die van eene wiggeCFIN, kan worden begrecpen, zo zou ., , n- + CN dezelve moeten worden -verbééld door — osbïo 1 ifmtf-stf&i ■ . :,HN p\ DE maar CN, NFI ::DE, EC, ergo — ' HN EC by gevolg de werkinge van H S O D = b2 fin. b f. Derhalven zal men moeten zoeken cof.b n'. fin. b IM x m2 + IT x Q = x IR. cof.b Maar Rad. fin. < D C E :: D C, D E = d fin. b, cn op dïergeryke wyze vindt men CE 5= d cof. b, ergo BE ~ d — d cof. b, GE té FD  over de GEWELVEN. 185 I! » Q 3 p ^ o - ïs |v » % » | ■f ^ vj • ^ I ö _j_ /: j ^ er=} 4- 4- ^ ^It5 o Uj :: S + * ^ - g ik 5 'i 1 1-3 2 10 <5» ^ 5» >S '"S fa ' ^ <*« ^ ? ^ ere * "tf Q + 4- tl^^S, o ï 1 *■ ? - 11 * + .2 £> *• 1 4- . ^ 5 • I l 1 I i * * ,2 I 5 4 h l T W '5- 0» M 5 EXEM-  186 VERHANDELING EXEMPLUM. Indien B M = h — 8, B C = 12.5', de (B D — 73". 29' is, dan heeft men AB = 10.5', ergo AC = 23; AHDB = tn' = 103. 8087, HSOD — n1 — 37. 9728. ö 5 2 3 2^-1 SC- t • t! <. -** j> > 1» I li 11 ii" | . w» IIüïv-u, || <3 H II II S S I H> ^ £> HhO^' H lui» P . o wouyH I 15 w ;sJ '-i ooso 4* p> »^ 1 I 1-1 4w . 03 0>tu Os I r-f* ^ I + a « 11 IIIM hl! £ 4, | vpv» 1 ."--L 1111111 £3 tu üi | *■ n o o oo hoo uj 'OIO BMw o> 4. | u h O i <3^-U . Q W (O B -.J , Q CS »j li-ioo Oi-ifStj oohjo I I t/I 1 OOI ofte  over de GEWELVEN. 187 ofte y ~ ff. 4422. zz 11 voeten, en 5 duimen zeer naby, bygevolg veel meerder, als men voor ccn dicrgelyk geval, volgens de bepaalingen van den Heer belidor, zou vinden. PRO B L E M A 6. Gegeeven zynde een ligchaam AECBMPVS ( Fig 6 ), welkers ba/is A E C B in twee gelyke regthoekige trapezia AFDB, FD CE door de lyn F D is gedeeld, om tc vinden in de ba/is A B C E een punt zodaanig, dat een lyn, welke regthoekig op dezelve word getrokken, loopt door het middelpunt der zwaarte van het gegeeven ligchaam. S O L U T I O. Overmits FD de beide lynen BC, AE in twee gelyke deelen deelt in F cn D, en daarenboven regthoekig fnyd, volgt, dat een vlak, het welke door F D, maar regthoekig op de lynen B C en AE word gehaald, het voornoemde ligchaam in twee gelyke deelen zal deelen; en by gevolg, dat het gezogte punt moet zyn in dc lyn FD. Laat vervolgens, om dat te vinden, het gegeeven ligchaam worden gemeeden door een vlak HRTK, evenwydig aan een der vlakken BCPM, AEVS, BL — CQ 1: AS gemaakt; en getrokken SL, LQ, QV, GX, en gehaald SN regthoekig op QL,  188 VER H A N D E L I N G QL, cn gefteld. A,E = u, BCri/), FD zzr, AS - q, LM — — ?>., Derhalven OG zz e^-if , GR = 15, en HR = !£±£T OG 4- AF - IK - cnGX r = * —ü f? — HK. r De inhoud van de fnydinge HRTK = HK x RH — + ex\ (2yy -f 2/x - ayjr) r r — l{_r2qp-\-pqrx-—qrpx-\-erpx-\~epx2 — epx2) r2 en de differentie van het vcrmoogcn van 'AHRS VTXE, aan de lyn FI, om het punt F, gelyk aan 2(r2qpxd.\ \pgrx2dx-qrpx2dx\ervx2(lx fepx3dx-epx3dx) r2 en het Integraal — —- ■»—. 4- —~1— r2 Sr2 zqrpx* ^ lerpx3 epx* e.px*. • gy-a 2/-3 2r2 Maar dc Inhoud van SGRTXV is gelyk aan de ■beide Piramiden V GR T X en VS GR: dc bafis van de eerfte is GRTX, de hoogte SO: de bafis , van de laatfte de A. VGS, en de hoogte GR. By gevolg de .inhoud van VGRTX = 2 (pr .+ p x — p x) est2, 3 f l es  over de GEWELVEN. 189 $ v x2 en van VS GR = , doch de inhoud van de Prisma AEVSGXKH — Qp r -\- p x — p x -\- p r) r 2qr2px-\-pqrx2 — q r p x~ Uit al het welke men vind de lengte, die hetmiddelpünt der zwaarte van ASRHTKEV afgeleegen is van het punt F gelyk aan 6r2 qpx2 -f-/[pqrx3 — 4jrpx3 -\-4erpx2 4/- %zpx4— %evx* 6 Qiqrtpx~\'pqrx2-qrpx'l')'\4evrx2-\-4epx34epx3-\-'2perx% Indien derhalven Z het punt is, dat gczogt word, en x — r word gefteld, zal men vinden 6r4qp + 4pqr4— 4<[r*p -\-^er4p 4- S^pr* — %er4p 6 Qr"'p 4-p qr''~) + 4 er3p4" typr3^er3p -\-2 erp 2 qrp-\-4pqr-\-èrp~\-%epr ofte FZ = — 6 (q p -\-pqj + 2ep-]~4ep. Maar de inhoud van de Prisma ASLBCQVE is = O 4- p) r q, en van VSLMPQ, dat uit iper-{-pre twee Pyramiden beftaat, gelyk , 3 ergo het geheele ligchaam = 6 'f Cp q 4" v q~) "f" (4 e p 2 p e~) r. 6\ ' By gevolg het vermoogen van het geheele Ligchaam, om het punt F, dat men zich voorgefteld hadde te vinden, -s (2 q p 4- 4/» q + e p 4- 3 e ƒ>) r2>  ipo VERHANDELING PROBLEMA 7. Gegeeven zynde de grondtekeninge van een Gebouw AB CD (Fig. 7.), de bafis van vyf Contreforten, gelyk EFGH, de buiten-hoogte van ieder BG (Fig. 9 ) het dak, of de helft van het zelve, ASOB, (Fig. 8.), benevens de hoogte van den muur B M, om te vinden de dikte van den zeiven MI, en de binnen - hoogte der Contreforten IK = CD (Fig. g.j, zodanig, dat de geheele muur, en de Contreforten, aan wederzyden met de drukkinge van het dak in evenwigt zyn. S O L U T I O. Laat (Fig. 8.) zyn de regthoekige fneede van het dak, muur, en Contrefort, nevens de lynFN (Fig- 70 j welke door 't midden van twee tegen elkander over ftaande Contreforten is getrokken: AHDB (Fig, 8.) een gedeelte van het dak, welkers Middelpunt van zwaarte loopt door de lyn B M, en by gevolg regthoekig op den muur gezet, van zeiven Haat; en met den muur en Contreforten vereenigd ter lengte van FL (Fig. 7.) als één fteen word begreepen, terwyl het ander gedeelte van het dak H S O D , ( Fig. 8 ) , op eene gelyke lengte voor eenen anderen fteen word gehouden, dat volgens de eigenfehap der wigge, zonder wryvinge langs de fneede HD, in de lyn DR regthoekig op CD  over de GEWELVEN. :qi C D werkt, om de Contreforten en muur op de fteunpunten T en I te doen beweegen. Voorts zy Q het middelpunt der zwaarte van een der Contreforten: E het midden der breedte van den muur, en TR, IP., beide regthoekig op de lyn DR (Fig. 8 ). Derhalven word tot de gezogte evenwigtigheid vereist, dat Fig. 8 en 7. 5 (de inhoud van het Contrefort xTQ-f-IGBMxVSx TE -f- AH D B x VS x TM) + 4(IGBMx SR x IE-t-AHDBxSRxIM) = 5 (hsodxvsx/7» by gevolg het vermogen aan den cof. b handboom TR 2 p n2 fin. b O fin, b -f- d — dcof. b — r cof. bcof.by)—lƒ>«' cof. b fin. b (h fin. b -\- d — d — r — y), ofte h fin. b -\- d — d ~ r c cof.b hebbende gefteld, zo is het vermogen Cc — .y) 2. p n' fin. b. De Inhoud van het gedeelte des Daks HSOD buiten de Contreforten, ter breedte van GK — 2/, 2 ƒ «J ƒ»;. £ is 2 ƒ«', de drukkinge , - , en het ver- b 2 ƒ «* ƒ>'«. b mogen aan den handboom IP — ~ — cof.b Qfin- b + d— d cof b -~ cof. by) ~ifn2fin.b ( hfin. b + d-d—y) = 2 ƒ n2fin. b Qc-j-r—y). cof. b Het  over. de GEWELVEN. iog1 ^ i » 4- ^ g g _1_ !3* c " O 3 +: ü ++ ++ ^JL5©>3 i ^ O» I + +1 1 g. 83 | «. 1 ^ Uiïl- ^ II 3 & "i> 3 14- ^ S " - a ji «J- Q t .1 - g,g 1*73" •3 . ! 4~ 1 a ^ p w 11 m vj ^ 4- ^ <• ^ ?all 3 i. "* I ^ 4-^ ^ -o II ^ _l w I *>. w % _i_ ~ » 4- 4- "»^s o. II4- 4" 4- H 3 ^ V ? ^ ^ • { * *ts&*£^ w J3- I ? a 0<*<'J'^ o. — ^ *1 I Ss * 3 .. N Dan  j04 verhandeling Dan Cf p 4- a/) n'fin £ -f s (/,,. 4. ^ 4. a fm>- - -3§ O + ra '= 2 a, cn (i c/> + 2 <-ƒ 4- Ier) n' fin. i — £-fi£ _ ;£ (I j*, + 4^ f + ^4 3^)'" = B hebbende gefteld, zo is |££> 4" /A) js = — 2 Ay 4. B ergo :y> — — 2 Aj> 4 B 4 En jj = - a 4- y1~a 4- /s'^T+T^Tb" - ■■ * 4 Shp 44 E X E M P L ü M. Indien AC = 12 voeten, BC = 12. 5 zyn genoomen, dan is < ACH = b = 73° 29, m> — 103. 8087, HSOD =s «» = 37.9728. Verders zy A = -8, ? = 7, r = 6, p =s 2, ƒ ss 5, 3» = f. ergo.f^ 4- 2/= 15. /og. = i. 1760913 Jog. fin. b n* =s 1.56x1721 2.7372634. het getal 546. 089 ss Cip 4- 2/;  over de GEWELVEN, 195 " '» _. • 0 . &- • «zlsfaj ^ + 4. " IlI^HsI ■ ^ *- H II II II « 11 ^ O. ! « » " «* 1^ '13 | 00 p V2 p _f , ^ £ vp 4>. 00 M % K> B O 'i-J ^ T* m oi 00 to os,_ tJ 4^ SPl gL "Vt I W Q " 11 S"* g, M * B S • g ft- \S ^> ^ " g> *<» «s> \i . . • , oq II II II II || H 11^ OS Cs M Ui 1. •'• l.'" S'* ,1-11 v 9> cs £ j ^ ^ ' • ■ 1 v H. o - . H ^ N • ' K .. M CO OO g j k> ' 3 O O S • • • fs» ag> -j-j ft- 1 " »U« 11 11 mi 4* «Vi VO SO v» cx) CS <•» 0041. Cs >i ^ . _ '-f Ui 00 Q °° 1 "^-^ «*> . - ^ sq i-> o P> p3^? >o » ^ O Cs 1 " o-tw v3 Hs5 oc-jj N % acf  196 VERHANDELING I* a «I li ^ », +^ i * I X ^ " rt « O ^ I I o, ^ £?: + a 3 -s * oo ^ 3 * -L. 5 « £ a. ^ . I ii I |-IS i« - t r i. ii ? I h- : : a * h H ii s | c> • » i M « . I | X I U GO t£ U, i 1 -> _ Ol cn -^1 VO c\ ft" W ü( O ob | * -j w «Ji cn I . "* | ~r* % oo ?f * ~ j fl <*» Ü - - - 11 oo I 4^4^ x _ I * * cn 1 W « t*» l cn cn ei cn o I i I  over de GEWELVEN. 19? Ondcrtusfchen blykende, dat het Contrefort TZKI loopt onder bet dak, zo volgt van zeiven, dat dc tegenftand van het muurwerk te groot gerekend is, en wel zodanig, dat de Prisma buiten het Cóntrefort, waar van de bafis is de A AGK, de hoogte 2 f en werkende aan den arm I/' = aG — AG, en binnen het Contrefort een Prisma, welkers bafis is de A AGK, de hoogte 2/, en werkende aan den arm TI te groot genomen is. Ondcrtusfchen zyn deeze Vermogens 3 AG xJjK x 2 ƒ x AG - (AG) ƒ, 2 3 3 2 5 en AG xGKx2;(r-AG= ( AG)/>r-( A G) p. 2 3 3 2 3 cn zo te zamen genomen (A G) pr -f- (ƒ-/>) (AG). 3 Maar AG — a — 4 - y = jo. 5' — y- 3 3 3 ergo(A G) = 1157- Ó25 — 33°- 75jr-f3i-5'y-j' 3 ' 2 S en ( A G)_. (J-p) ZZ 1157- 6a5 - 3 75 y + ï «• 5 ƒ - ƒ • 3 2 z (AG) />;• = 1323. - 252- y + »* * 2 3 met eikanderen-2480.625 5?2-75y+ 43- 5>"yPoch in de voorgaande JEquatio heeft men 6b yJ 4- ?a86. 9695 y = 26486. 764. van wcike de bo- N 3 ven-  108 over. de GEWELVEN. vcnftaande moet worden- getrokken, om y oü htc naaufceurigftc te vinden, en dus krygt men >y« 4. 16. 5 y> 4. 28ó9. 7195 y m 28967. 389 = O. Overmits nu y in deeze sEqinuio nader aan 9 als aan 10 is, zo fteïle men y = t 4- r Z2 z + 9. en f ~ 729 4- 2432 + 23 om haare kleinheid weggelaaten zynde, ió. 5 ƒ> I33ó. 5 + 297. z 4 16. 5 * — c. 2869. 7195 v — 25s27. 4755 4. 2869. v95 2 _ 28^67. 389 = 28967. 389. oito o = — 1074. 4i35 + 3409-'7i95 z + 43. 5 z' — — 78.. 384 z 4- 24. 699. z = — 39- i£2 4- 1/ J536.~öi2864 +^699. 2 ~ — 39- 192 4- 39- 5058 = o. 3130 ergo i+f=JI=9, 3i38. VER-    VERHANDELING OVER DE N A T U U R DER BASTION S; DOOR , A. L I E F T I N C K.   §. I. De Auteurs zyn doorgaans van gevoelen, dat de Bastions of Bolwerken noodzaaklyk uit haar eigen aart van twee Facen en twee Flanqutn zyn ingeiloten; daarom bepaalenze dezelve dikwils door zulke Vestingwerken 3 die uit twee Facen en twee Flanqtten beftaan. Dat die definitie niet accuraat is, en dat de Bastions ook wel twee Facen, twee Gordynen, twee Strykflanquen, en twee Bresfianquen kunnen hebben, is voornamentlyk het oogmerk van deeze myne Verhandeling. J. II. Andere Ingenieurs willen die eigenfchap van de Bastions uit hunne bepaalingen afleiden, noemende alle zulke Werken Bastions, die buiten het overige deel van een Vesting veldwaarts uitfteeken. Doch dat uit gemelde definitie niet kan worden beweezen , dat een Bastion uit twee Facen en twee Flancquen moet beftaan, zal ik vervolgens aantoonen.  202 OVER DE NATUUR §• UI. Tot onderwerp van deeze myne Verhandeling heb ik verkoozen een regelmaatigen Agthoek, alzoo de Polygonen van mindere zyden, ter oorzaak van de fcherpere hoeken, volgens het algemeen gevoelen, zoo bekwaam niet zyn, om verfterkt te .worden. . . : 4 ' IV. • Zullende dan de conflruSlie van zulk een agthoekige Vesting opgceven, wiens Bastions uit twee Facen, vier Flanquen, en twee Gordynen beftaan;* zoo : trek ik uit het middelpunt O een Qrcul, verdeelende deszelfs omtrek inagt gelyke deelen. Als men nu uit de gemelde naast aan malkanderen leggende Verdeelingspunten regte linien trekt, dan heeft men een reguliere Agthoek. §. V. In deeze regelmaatige figuur befchryf ik myn Fortres op de volgende wyze: ik deel de Po/vgoa AB door het punt C in twee gelyke deelen, en regt daar op den Perpendiculair CD. Hier zal ik my niet ophouden, om te onderzoeken, welke lengte mtn aan dezelve behoort te geeven; op dat de Bastions - hoeken niet te fcherp, * Fig. t  derBASTIONS. 203. fcherp, de Flanquen niet te veel verkort, nog ook de ruimte binnen de Stad al te klein worde; alzoo zulks het oogmerk niet is van myne Verhandeling. Ik verkies dan, om aan den Perpendiculair CD een vierde deel van A B tot lengte te geeven; oordeelende, dat die proportie voor de Fortres de voordeeligile is; verder trek ik door het punt D de defenfif-Mien BDN en ADP. .§. VI. Nu deel ik AB in 80 gelyke deelen, neemende ieder derzelve aan voor een Rhynlandfche Roede, en ik maak AE = BQ\ — 30 roeden. Als men nu door E en Q de lyn MH trekt, zo kan men do- Gordynen GE en QR = 15 roeden bepaalcn. De Facen A F en S B zyn 12 roeden lang, waar door de Bresjianquen FG en SR bepaald zyn. Om den voet Van de Battery RTU te determineer en, trek ik RT evenwydig met MU, enTÜ met RM. De Strykflanq EL is uit E parallel getrokken met AO- KI is evenwydig aan EL in de wydte van 7 roeden. §. VII.  204 evEK. de NATUUR §• VII. Het OH I/oh Ka is = f KI. Door a heb ik de lyn WS getrokken, welke de lengte van de agterfte Flanq WN bepaalt, die ik in den afftand van zeven roeden parallel trek met KI. Het Orillon Ec bepaal ik dus: uit E trek ik de lyn Eb perpendiculair op AE; als dan trek ik uit het middelpunt b de circulaire boog Ec, welke de voet van het Orillon afbeeld. §. VIII. Dc lynen, die de Gragt determineer en, trek ik parallei met D en BD in den afftand van 12 roeden, als het terrain een middelmaatige hoogte heeft: doch, indien het gemcene Water niets diep is, maak ik de Gragt veel wyder, alzoo men dan zulke diepe Gragten niet noodig heeft; maar als de Horizon zeer veel boven het Water verheven is, dan ben ik van gevoelen, dat men de Gragt zoo diep moet uitgraaven, dat 'er, behalven de buretten, ten minften een voet Zomerwater in ftaat, waar door ze. als, dan veel fmalder word, §• IX. Op dat de buitenfte Flanquen heter in ftaat mogen zyn, om de tegenover leggende Facen te verde-  DEE.BASTIONS. 205 dedigen, graaf ik de infprinsende hoeken van de Gragt uit, zynde dfi zz f e zz 6 roeden. Voor de Baflions - hoeken maak ik de Gragt rond, trekkende uit B een Circul-boog, die de lynen kg én g ƒ raakt. Dus is de omtrek van de reguliere agthoekige Vesting gedetermineerd. Wat de Profilen en Souterrains betreft, zal ik hier onaangeroerd laaten; alleenlyk iets zeggende van de breedte en hoogte der Wallen. § X. Om den grond van de Borstweering voor de Facen AF en SB, als ook de Bresflanken F G en R S af te beelden, heb ik in den afftand van twee roeden een parallelle lyn getrokken, * agter welke de Walsgang een breedte heeft van 12voeten, zynde de grond agter dezelve tot op het Water, of een weinig onder het zelve uitgegraaven, ten einde daar door de fchaade, die de Vyandlyke Bomben en granaadcn anders zouden kunnen veroorzaaken, zoo niet geheel, ten minften voor H grootfte gedeelte, te ontgaan; als ook, om beter te kunnen contramineeren. §. XI. De hoogte van deeze Facen moet zich fchikken na die van het Terrahi doch ze moeten niet hoo- ger * Pg. II.  SOÖ O V E' R D E NATUUR ger zyn, dan dat men uit de Botter^ R T ü * gevoeglyk daar over heen kan fchieten. • De Brssfanquen, welke met gemelde Face de 'buitenftc ■ fchouderhoeken uitmaaken, leg ik na de voorkomende omftandigheden , eenige . voeten laager, ten einde daar door de Vyandlyke Enf,lades en Boogfchöoten te ontgaan, en ook om uit tie Flanq a f beter in de Bres van de Face b te kunnen vuur gecven. §. XII. De Bresflanq c legt omtrent 62 roeden van de .Bres af in de Face b; daarom kan men van dezelve uit Musketten dc Bres in de Face b verdedigen ' Men kan op deszelfs Walsgang ook wel CanoV nen planten, als men ze voor het deinzen van de Stukken maar een weinig verlengt met Binten en Planken. _ Gemelde Flaneuen zyn van de agterleggende 'Gordynen gefchciden, door de openingen m van vier voeten, welke met fterke Deuren voorzien wordende, zeer dienftig zyn om uitvallen te doen op de Vyandcn in de Gragt. Men kan ook door gemelde openingen heen fchieten in de Bres van de tegenoverleggcnde Facen, uit de Stukken, die in 0 bedektelyk kunnen 'geplant worden. w * Fig. L f Fig. 11. g. XIII.  jd £ b. 'B A S T I O N S. fe? §. XIII. De ftreep m « m vertoont een SteeneMuur van % fteenen dikte, en van dezelve hoogte, als de Walsgangen van de Bresflanqen f welke Muur hier en daar met fchietgatcn gemetfeld wordende, niet alleen een goede affnyding is, maar ook zeer veel dienst doen kan, wanneer de Vyanden de Bres in de Face b beklimmen. §. XIV. Het Werk Ik RTU mn, * beftaande uit twee Orjllons, twee Gordynen, en twee gtretrmcheerd» Facen, legt geheel in de hoogte, dewelke ik Ichik naar de hoogte van het Terrain,eii naar andereomftandigheden. De aanleg van deszelfs Borstweering is twee roeden en zes voeten. Dr sterfte Flanq o P heeft een Borstweering, welker aanleg of grondvlakte 24 voeten breed is, leggende drie of vier voeten laager, dan die van 'de Batiery ïk RTU mn; en om deszelfs Walsgang tegen de Boogfchooten noch meer 'te verzekeren, kan men ze hier en daar noch met Traver [en voorzien, dewelke ook tevens goed zyn tegen'het geweld van de Bomben. % XV. De Flanq lp legt zoo laag, dat men 'er uit de Flanq 0 P bekwaamlyk overheen kan fchieten: des- *-Fig. I.  ao8 over de NATUUR deszelfs Borstweering is in zyn aanleg 3© voeten breed, agter welke dc grondvlakte van dc Walsgang insgelyks 30 voeten breedte heeft, welke door een Gragt van twee roeden breedte gefcheiden is van de agterfte Flanq 0 P, zynde door het Orillon k l genoegzaam gedekt tegen het Enfileeren cn de Boogfchooten. Deeze Flanq gebruik ik tot een Battery, en, de Stukken reddeloos gefchooten zynde, kan dezelve als dan noch met Musketticrs bezet worden. § XVI. De Flanq zq heeft een Borstweering, welker afdak zich in den afftand van vier roeden in de vlakte van het Water verliest: deszelfs Walsgang is met het Banquetje 12 Voeten breed, en, als het Terrain niet al te hoog is, tot op de diepte van het Zomcrwater ultgegraavcn. Agter dezelve legt een Gragt van twee roeden breedte, kunnende dienen tot een Haven, of, in geval van een zeer hoog Terrain, tot een Wapenplaats. De gemeenfehap van deeze Gragt met de Capitale, kan men verkrygen door middel van een SortiePoortje by k. Ee Wal Q k is met het Orillon Q z een weinig hooger, dan de Fianq lp: dus dekt zeniet alleen de voorfte Flanq zq voor Boogfchooten en Enfilad*s, maar ook de Canonnen van de Flanq lp voor ichiiin-  „ e * b a S T i O N S. ,09 feKuinvan.er.yden^ndeVy^clyReCa.on- fchooten. §. XVII lcan men, om denzervtu ^ van de drooge Gragt de FW^« gen. v §. XVIII- \* Auteur* leggen doorgaans 4»*^ Flmuen c l en , , t een Gordyn: doch m deszclf plaats verkies ik liever de twee Facen N B cn D , Hor 7e niet alleen bckwaamer zyn tot tegen om dat ze niet a tc bc_ en om de W dc Stad fchaadigen; maar ook meei gCCemélde F**« hebben met de > p en wTdezelve hoogte, zoo dat deszelfs Canonncn . WdeX///««K-« fehninvan ter zy- komende fchooten genoegzaam gedekt zyn. §. XIX. Ziet daar een Fortre's met ^ ke niet van twee F«*« en twee f^^g * Fig. II. t Fig. I. Q  410 OVER DE NATUUR. twee Facen, twee Gordynen, twee Strykfianquen cn twee Bretfianquen zyn ingeflootën. Nu zal ik noch in het kort aantoonen de voordeden van deeze nieuwe methode van fortificeeren , boven die van fofflmige Meurt: beftaande voornaamelyk in de volgende Hukken *. §. XX. Ten errfien X Dc onderfte frrykfiano heeft oen Borstweering, welker af Jak in de dikte van vier roeden met de vlakte van het Water te niet loopt, pn ccn Walsgang van niet meer dan 12 voeten breed, leggende op de kant van een Watergragt; waar door de Vyanden buiten ftaat zyn, om dezelve door hunne lianen-en t-e rfifoeèrén, of het vuur daar van te ontgaan door het werpen van Bomben of Granaaden. Wen weeden: Als de Vyanden de Canonnen van de twee agterfte Strykfianquen willen reddeloos fchieten, en ten dien einde de Bwtttry q opwerpen; kunnen myne FJmpm in het canonnecren tegen" deeze Battery gesondeerd worden van dc drie tér gen-Batteryen /, i en/. § XXI. Ten derden: In myne aangewcezene Methode {egt de Vyandelyke Baherj z, tegen de Face b op- * fig-, II-.  der BASTIONS. 211 gefegt, in 't gezigt van de tegen -Batteryen g, p, k en h. Ten vierden: In andere Methoden van fortificeeren is de Brcsflmiq c niet te vinden, welke, myns bedunkens, gecne kleine fterkte te weeg brengt; als leggende de Bres in b voor deszelfs gezigt zoodanig bloot, dat de hoek z niet 11 maar aa graaden heeft, 't welk, volgens het gevoelen van den beroemden Heer Coehoorn, geen klein voordeel is. Het is waar, dat de Canonncn van de Flanq c door geen Orillon gedekt zyn; doch, om dat de gemelde Brssflanq niet hoog is, zal de Leezer gemakkelyk begrypen, dat men dit gebrek wel haast kan verbeteren door Buitenwerken. %. XXII. T n pyfden: By de meeste Jtu&eurs vind men Facen van 24 tot 30 roeden lengte: maar die van myn Plan zyn niet langer dan 12 roeden, waar uit noodzaakelyk moet volgen, dat de Vyanden dezelve , niet verre van de buitenfte Schouderhoek, en dus meer in het gezigt van de Batteryen k9j> eng moeten aangrypen. §. XXIII. Ten zesden: Om dat de Face b niet lang, en van O 2 een  flJ2 OVER. DE BASTIONS. een middelmaatige hoogte is, kan men ze, zonder vee! onkoften, met eene dikke Muur bekleedcn, en, door buitenwerken , zoodanig bedekken, dat de Vyanden veel werk zullen vinden, om dezelve te ruïmsrtn.