PRÉFACE. is de la troupe a la quelle il eft attaché, & non pas les mouvemens des autres troupes qui font quelquefois trés différens. Mais fuppcfant qu'il puiffe obferver quelque difpofition particuliére dans les autres troupes, comment pourra-t il en deviner la caufe, s'il ignore les principes qui peuvent fervir a la dévoiler? II arrivé de la, comme 1'experience le démontre, que bien des Officiers qui ont fervi longtems & qui même fe font trouvés a de grands mouvemens de troupes , ignorent la fcience de ces mouvemens, & qu'ils ne pourroient ni les commander, ni les faire exécuter1'. Un jeune Officier me dira peut-être, pourquoi confumer les beaux jours de ma jeuneffe, dans la pénible carrière des études? Cette fcience Militaire fi vafte eft indifpenfable dans un Général, mais inutile a un enfeigne, a un lieutenant. Ce langage dérogeroit bien aux fentimens qu'infpire 1'ambition. Un jeune Officier doit nourrir 1'efpérance d'être Général, mais il feroit trop tard de vouloir s'en préparer la capacité après un tems confidérable d'oifiveté. La fcience de la guerre ne s'aquiert pas au bout de quatre ou de cinq ans. Le travail eft une affaire d'habkude, & cette habitude ne peut être contra&ée que dans la jeuneffe. L'Officier par* 5 ve'  P R É F A C E. venu au grade de Capitame ou de Major fera peut - être honteux de fe livrer a des études élé* mentaires, qui dans un autre tems n'ont pas befoin d'être excufées. Mais en fuppofant qu'il furmonte cette honte, il trouvera un autre obftacle a ce travail dans fes occupations, & le manque de loifir que lui auroit fourni un age moins avancé. L'homme veut être occupé, foit a des folies, foit a des chofes utiles. Faute de favoir employer le tems, il peut arriver qu'un jeune Officier s'adoane a toutes fortes de paffe-tems, dont la frivohté eft le moindre inconvenient, mais qui ne font pas inciifférens a fa fanté, a fa fortune & a fa réputation. II ira de la parade au caffé, il y entretiendra fa nullité, & fe ren dra ainfi incapable du plus noble des métiers , oii il partage avec les princes& les grands, les dangers & la gloire. 11 eft vrai que les Officiers n'ont pas partout Foccafion d'apprendre 1'art militaire. Cette occafion leur manque furtout dans nötre Republique. Animé de zéle pour la plus noble de toutes les Iciences, j'ofe propofer a nos Miiitaires des moyens de s'inftruire. On peut compter dans notre Republique peut-être dix endroits, ou il y a des perfonnes qui profeffent les Mathematiques. On pourroit les engager d?en«  P R k F A C E. Xt d'enfeigner aux Officiers des garnifcns , les par. ties des Mathematiques qui ont un rapport dire6t a la fcience de la guerre , & enfuite les élémens de 1'art militaire. Comme les Regimens changent de garnifons, environ tous les deux ans, chaque regiment pourra a fon tour profiter de ces inftruétions. Peut-être vaudroit il encore mieux qu'un Capitaine, ou le Major du Regiment, fe chargea de cette befogne, du moinsjen partie, comme cela fe pratique dans plufieurs garnifons de Pruffe. Pour exécuter mon projet, je m'emprefTe d'offrir a Meffieurs les Officiers de notre Garnifon', mes inftru&ions, que je leur donnerai en Hollandois, en Allemand ou en Francois, conformèment au plan, que j'ai expofé après la préface. Je ne demande d'autre recompenfe a nos Militaires, que leur amitié & Papplieation re* quife pour aquerir des connoiiTances utiles aux défenfeurs de la patrie & de fa liberté. Mes confrères les Mathêmaticiens ne manqueront pas de bonne volonté pour feconder mes vues avec zéle & defintereffement. II feroit injufte de caufer aux Officiers fubalternes des dépenfes pour leurs études. Nos Souver lins voudront bien appuyer eet établifTement, en accordant a leur ufage une Bibliothêque dans chacune des vil»  xii P R É F A C E. villes oa 1'art militaire fera enfeigné. Sa deftination la reduit a peu de fraix. L'on fournira d'abord cent ducats, & l'on continuera de donner annuellement cent florins ou cent écus pour augmenter la Colleélion des livres. Au bout de dix ans on pofféderaunaflbrtiment& un choix précieux des principaux écrivains fur la fcience de la guerre. Mais une Bibliotheque convenable a des Of' ficiers ne doit pas feulement renfermer des livres purement militaires. L'Officier doit joindre 1'Hiftoire, la Geographie & les beaux Arts, a la fcience de Ja guerre. 11 pourra aquerir ces différentes connoiffances moyennant des le&ures faites avec méthode & dans un ordre qui lui fera indiqué, Perfonne ne difconvenient de 1'utilité & des agrémens de 1'Hiftoire & de la Geographie. Les beaux arts ornent feipric & introduifent mille élégances dans la converfation. Le Militaire qui apour compagnons, les princes & lesgrands, doit être un homme du monde. II ne fuffit pas qu'il fe prélente bien. Son efpric ne doit pas démentir fa figure. J'entreprens donc une tache qui fera peut-être au deffus de mes forces. C'efl: feulement depuis quelques années, que j'ai donné une attention fuivie a 1'art militaire. Je n'ai pu en aquèrir que les  P R É F A C E. xin les élémens. Mon age & mes occupations journaïiéres ne me permettent pas de me vouer entiérement a cette étude, pour la quelle j'ai pris un attachement particulier. Heureux,fi cette carrière que j'aurai ouverte fans éclat, devient célébre & profitable a Ia Republique. Je défire avec paffion lui être encore utile au declin de mes jours, & par cette perféverance a la fervir,compenfer ce qui a manqué, non pas a ma volonté , ni a mesefforts, mais a mes fuccés dans la charge qui m'êtoic confiée d'enfeigner les Mathematiques. Chofe étonnante, cette fcience n'eft pas recherchée amant qu'elle le merite, dans un pais ou 1'art doit achever tout. La Marine , la Direclion des Forrifications & des affaires Militaires, l'infpeflion des riviéresnedemandent- elles pas d'autres connoisfancesquecelle desPandettes? (Mais n'appuyons pas fur cette reflexion, qui n'eft qu'utie parenthéfe). 11 me refte un mot a dire fur les dilTertations que j'ai principalement publiées dans la vue de faire connoitre au Public, que je me fuis un peu appliqué a 1'art militaire. Je devois m'impofer ce deffein , a 1'efFet de gagner la confiance des militaires difpofés a profiter de mes le. cons. Dans la première differtation , j'ai eu pour objet de faire voir qu'il ne faut pas s'attacher exclufivement a un fyftême de fortification, & y alTujettir la conftru&ion d'un ouvrage; qu'on  L'ORDRE des LEgONS A L'USAGE des OFFICIERS I MATHEMATIQUES. L'ARITHMETIQUE fert d'introduction a toutes les parties des Mathematiques. On traitera des fraótions ordinaires & décima« les, & des proportions. L'Officier qui veut approfondir la fcience de la guerre, ne peut abfolument ignorer les premiers élémens de 1'ALGEBRE; fans cette connoilfance, il ne pourra pas lire la Taclique de M. Muller. L'Algébre n'aura rien d'effrayant pour rOfficier accoutnmé a fupporter les ineommodités de la vie & les fatigues. On n'enfeignera que les équations du premier &. du fecond dégré, Pextraéïion des racines quarrées & cubes, & 1'ufage des logarithmes. Le traité de GEOMETRIE fera fortabregé; il ne fera pas calqué fur la méthode d'Eudide, qui eft trop fpeculative & pourroit laffer 1'attention des auditeurs. L'on fera voir de tems en tems  xvi L'ORDRE Des LECÖNS tems 1'applicarioïi de la Geometrie a la Tac* tique. La TRIGONOMETRIE ne doit pas être tout a fait negligée; c'eft une des parties les plusfaciles & les plus utiles des Mathematiques, elle pourra être achevée en huit lejons. II. FORTIFICATION de CAMPAGNE. 1. ) On traitera du parapet, du folTé, de fort plan & de fes profils , & du tracé fur le terrein, destravailleurs employés a conftruire le parapet. L'on pariera dans cette occafion des difFérentes fortes de Batteries & de 1'efFet de la mousqueterie & des Canons. Ce premier chapitre fera terminé par les difficultés qu'on oppofe a 1'ennemi pour 1'éloigner ou pour rc-tarder fa marche; telles font les puits, les palhlades, les abattis. 2. ) Les redoutes, les redens, les forts feront le fujet du fecond chapitre, ou l'on pourra donner une idéé générale des fortereflës. 3. ) En traitant des têtes de pont, on expliquera la Taclique du paffage des rivieres. 4. ) De mêrhe Ton pariera de 1'attaque, de la defenfe & de la retraite, dansles leconsqui roulerontfurla maniére de retrancher un village» un chateau, un bourg. 5 )  a L'ÜSAGE des OFFICIERS. xvn 5 ) La Caftramêtfltion ne fera pas bornée a 1'arrangement ou a la difpofition des camps; on y traitera des retranchemens & des gardes des Camps. 6. ) Les Inondations, 7. ) Les fougajjisöi les mines mentent d'étre confidérées. L'on fe difpenfera des détails, qui font particuliéreroent réfervés aux Ingenieurs. L'on ne donnera qu'un précis de tout ce que la Fortification de Campagne a de plus intereffant pour les Officiers, aux quels la defenfe ou 1'attaque des poftes eft confiée. L'Officier doué de .ces fortes de connoiffances fera en état de juger des travaux des Ingenieurs. lil. LA TACTIQUE. PREMIÈRE PARTIE. Qui roule fur les manoeuvres les évolutions. L'on ne traitera pas des réglémens militaires & de la difcipline; tout Officier en doit prendre connoiffance dans les ordonnances publiées par le Souverain. Après avoir parlé du pas & de 1'exécution des feux, -on expliquera les principes geométriques des quatre mouvemens primitifs, dont fone * * com*  xviii L'ORDRE des LECONS compofées toutes les évolutions, favoir de la marche en avant, de 1'allignement & de la retraite; de la marche oblique (regts, links marfcheeren); de la marche par Ie flanc & des converfions (Zwenken'). 2.) Les manoeuvres ou les evolutions compofées peuvent fe ranger fous quatre chefs , a. Faire front. h.~) Rompre le bataillon; oü il fera parlé de la formation des Colonnes. ff.) Reformer 1'ordre de bataille, par le deployement, ou par les converfions. rf) Grandes évolutions; p. e., la retraite ou le paffage des bataiilons fur un pont; tourner une aile, refufer une aile les manoeuvres en echellons en échiquier le batail- Ion quarré la Colonne coupée, ainfi de fuite. L'on indiquera les principes geométriques des manoeuvres & des évolutions pour pouvoir apprecierles différentes maniéres, dont Ia même évolution s'exécute ou a été executée chez différentes nations. SECONDE PARTIE. De la Taïïique qui roule fur les operations d'une Campagne. U eft impoffible d'entrer dans le detail des matiéres appartenantes a cette feconde partie de la  A L'USAGE des OFFICIERS. xix Ia Ta&ique. Elle ren ferme tout ce qui fe doit pratiquer en Campagne. L'on fe refteindra donc a la leélure d'un précis des principales parties de cettepartie de la guerre, plutöt pour les indiquer, que dans la vue d'en commencer 1'explication. On mettra par cette voye les Officiers en êtat d'étudier ces parties, en leur defignant les livres oü ils pourronc puifer des connoiffances plus étendues. Voiei les matiéres fur les quelles rouleront nos le£tures. Convois, Fourages. Patrouilles, Marches des Detachemens, leur attaque, defenfe & retraite. Quarties d'Hyver. Marches des Armèes. Dijpofitions des bataiiles. De 1'ufage de Finfanterie, de la Cavalerie & des troupes legéres. L'on pariera des embufcades & des efpions, en différens endroitsde ces lecons, fuivant que 1'occafion s'en préfentera. 11 faut fe rappeller qu'on aura deja traité des Campemens, des paffages des riviéres & de Fattaque & de la defenfe des villages, dans la Fortifkation de Campagne. Au refte l'on éclaircira par des exemples, les régies de Fart militaire. ** 2 L'on  xx L'ORDRE des LECONS &c. L'onfecontentera de donner des renfeignemens fur les livres qui traitent de la formation des magafins & de ce qui eft relatif aux hopitaux & amunitions de guerre. Ce plan d'inftruction eft particulierement deftiné pour les Officiers de 1'Infanterie. Mais comme la Taclique de la Cavalerie eft, en grandepartie, fondée fur celle de 1'Infanterie, felon 1'aveu d'habiles Militaires, ces lecons pourront être auffi utiles aux Officiers de la Cavalerie; ils ne peuvent ignorer la feconde partie de la Ta&ique. TA-  DISSËRTATION sur la FORTIFICATION PERMANENTE* PREMIER PARTIE. Qui route fur lei expesfions aïialytiques de toutes les parties de Yenceinte du rempart leur ufage. Les fyftêmes, dit i'Abbé de toniiïlaè, toni d'une fi grande reffource pour 1'ignorance, li commodes. L'imagination les fait avec tant de plaifir, avec fi peu de peine. C'eftde fon lit qu'on crée, qu'on gouverne 1'univers. Tout cel a ne coute pas plus qu'un rêve, & un Philofophe rêve facilement. Qa) Cette remarque de l'Abbedö Condillac ne regarde pas feulement les Philofophes* elle eft appliquable aux Politiques, aux Militaires, aux Médecins, & a tous ceux, qui cultivent ün are, & furtout une fcience depratique, relative* ment k un fvftême dont ils ne veulent pas s'écarter. Ils confultent peu 1'expérience, ils ne recueillent pas affez de faits bien conftatés, pour démêler les exceptions, aux quelles devroient être as* fujetties leurs propofitions, trop générahfées par rapport aux difFérentes circonftances qui Poür^ («) Traité d*> Stfêmes. A  3 DISSERTATION ent modifier 1'application de leurs Théories. En efFet, rien ne feroit plus facile que de devenir Médecin de cette facon. Un jeune homme fortant de 1'Univerfité, n'auroit qu'a confulter fes cahiers, fuivre la théorie des fiévres, ordonner des recettes felon 1'ordre des Lecons Académiques. II ne tatera le poulx, il ne regardera la langue que pour la forme. La Taflique & la Fortification ont auffi leurs fyftêmes, Comme la dispofition particuliere du malade, fon temperament, le genre de vie, la faifon, &c. doivent déterminer le Médecin a régler la cure; de même, le terrein, 1'espéce d'armes doivent fixer les vues du Capitaine. Lesfept ordres de bataille, qu'on répéte d'après Vegèce, font de peu d'utilité, paree qu'ils font trop généraux & que le terrein n'y entre pas en confidération. A mefure que les armes fe multiplient, changent de forme, augmentent ou diminuent de force, la Taéïique éprouvera des changemens. On combattoit autre fois dans 1'ordre paralléle, la Cavalerie couvroit les flancs. Mais depuis qu'on a multiplié 1'Artillerie, cette dispofition feroit préjudiciable dans les batailles auffi bien que dans les quartiers d'hyver, a peu de cas prés. La Cavallerie aïant été renverfée par la redoutable Artillerie, les flancs feroient découverts & les ailes expofécs a .être tournées D'ailleurs la Cavallerie n'eft plus fi pefante, qu'elle étoit au fiecle paffé. Les troupes légéres ont été multipliées; on les a approchées des troupes régulieres 'fout cela a er.gagé les Militaires a changer de fyftême, & a étudier la Taftique de Feederic; refufer une aile, préfenter le front oblique, attaquer en échelIcns, fe rctirer en échiquier, pofter la Cavallerie en Colonnes derrière les lignes, employer lestrou- pes  fur la Fortification Permanente. 3 pes légéres dans 1'avant garde, & pour protéger les flancs &c. L'esprit de Syflême a influé fur la Fortification permanente, il en a retardé les progrès, furtout en France, oü l'on eft fuperftitieufement attaché aux Maximes de rilluftre Vauban. Cependant les Allemands ont inventé un grand nombre de Syftêmes de Fortification, II ne faudroit, ce me femble, adopter aucun fyftême, mais fe régler fur le terrein, fur les avenues & fur 1'attaque, ou fur telle circonftance qu'éxige la défenfe de la place. M. Virgin (a) faifant attention aux progrès furprenans de 1'attaque , a reflechi plus férieufeinent fur la défenfe intérieure , que Rimpler & principalement Landsberg n'avoient fait avant lui (/;). En eftet le feu de 1'Artillerie étant rendu fi meurtrier , fi furieux de nos jours, la bréche pourra être faite plutöt qu'on ne penfe. Or il n'y a dans les fortereffes aucun ouvrage qui puifle être oppofé a 1'ennemi pénétrant par la bréche dans la Ville. 11 eft mortifiant pour le Commandant de la place, de devoir capituler pour deux baftions ruinés, pendant qu'il refte encore fix a dix baftions, qui n'ont foufferc aucun dommage. II femble donc que tous les autres baftions auroient été conftruits fans aucun fruit. En un mot, la défenfe d'aujourd'hui n'eft qu'extérieure. Voila donc un nouveau champ oü les In- ( a~) La Défenfe des plafes mfe en èquilibre avec les attaques favantcs & furieufes d'aujourd'hvi, par M. Virgin, Général Major Direfbeur des Fortifications au 'ervice du Roi de Suede. a StockhoMn 1781. Nouvelle maniere de forti fier les places, par Lands-. berg, premier Ingénieur Ordinaire au fervica de L, H. Puiïfances. A la Haye 1712. A 2  4 DISSERTATION Ingénieurs pourront éxercer leurs efforts, mais il faudra qu'il renoncent aux fyftêmes de Fortification. L'on a pu facilement remarquer comment les Ingénieurs fe font tourmentés pour réduire la Fortification irréguliére a un feul Syftême de Fortifi. cation réguliére. Or on n'auroit du fe tenir a aucun fyftême, en fortifiant tel cöté ou tel angle feIon des maximes afforties a remplacement, pour donner des forces plus égales a toutes les parties. Par cette feule raifon, on ne devroit jamais s'attacher a un feul Syftême. Aufli trouve t'on dans plufieurs fyftêmes, des Maximes précaires, dont Ton ne fauroit rendre d'autre raifon, fi non qu'elies facilitent la conftruclion des Forterefies fur le papier. Je me fuis donc propofé de faciliter aux Ingénieurs le choix d'une fortification, aflortie aux circonftances du terrein, en leur mettant devant les yeux la dépendance mutuelle des parties de 1'enceinte du rempart , moyennant des formules Analytiques. Dans une autre occafion, je traiterai de la défenfe intérieure & des ouvrages de dehors. Auffi ai- je fait voir, par quelques éxemples, de quelle maniere l'on doit faire la conftruclion du rempart relativement a certaines données; lorsque par éxemple le rapport des faces aux flancs eft donné, ou lorsque 1'étendue du ballion, ou bien la Garnifon font connues. §. i. Comme je ferai fouvent ufage des formules Trigonométriques, j'en expoferai les principales, pofant 1'unité pour le Rayon. 1) tang A = fin A : cof A 2) tang A. cot A = i. 3)  fur la Fortification Permanente. 5 1 3) tang A = cot A 4) fin + B) = fin A cofB + cofA fin B 5) cofA + B} = cofA cofB ~ fin A fin B CA-fB^v x-A—B"N Jcoff J 7) finA— finB=2Coff Jfin( J A-j-B /"A—BN 8) cofA-f-cofB = 2cof coff ) /A+BX SA—BN. 9) cofB —cofA=2finr y } 10) fin 2 A = 2 fin A cof A 11) cof2A = 2cofA2 —1 = 1 — 2finA2 1 12 ) fee A = cofA 13) L'aire d'un triangle eftss ab fin A: 2, A étant 1'angle compris entre les cötés aöcb. L'on trouve les démonffcrations de ces formules dans la plupart des livres de Trigonometrie. § 2. Commencons par dreffer des formules ou des expreffions analytiques pour toutes les parties du rempart. L'on en pourra diftinguer dixhuit. CFiS- «O 1) Le polygone extérieur AB = a 2) Le demi angle du Polygone BAC=ABC=A 3) L'angle diminué BAE = ABE = B A 3 4)  DISSERTATION 4) Le demi angle du baftion CAE==EBC=A—B 5) Les faces AF = B/= F 6) Les flancs FL — fl — f 7) La courtine LI =z c 8) La ligne de défenfe A / = BL = b p) L'angle formé par la ligne de défenfe &leflanc, FLB=//A = D., qui doit être plus grand que l'angle droit ou égal a l'angle droit. a \6) La perpendiculaire PE —p —; — tang. B n) La demi gorge Gh — gl—g, 12) La ligne capitale AG = Bg = /. ?3) Le Polygone intérieur Ggssi, 14) Le rayon extérieur AC= R. 15) Le rayon intérieur GC = r. 16) L'angle de 1'épaule AFL = D-fraB. 17) L'angle formé par le concours des deux lignes de défenfe, ou AEB = jgo' — 2 B, fe nomme l'angle de la tenaille ou l'angle flanquant. J8) L'angle FLI = D + B. §. 3. Le triangle APE fournit la proportion , AB Cof BAE : 1 = AP ou — : AE donc EB == AE a a = . , & FE = AE — AF = F. 2C0fB 2C0fB a Mais LE = LB — BE = b iicofB Or dans le triangle FEL, il y a fin LFE : LE f= fin FLE : FE; Mais LFE =2 1800— D— 2 B , donc, fin LFE sS fin (D-J-2B), d'ou réfulteFE==? LE  fur la Fortification Permanente, 7 LE.finD £finD ofinD fin(D + aBy fin(D+aB) 2 cof B fin (D+2B) En égalant les deux valeurs de la ligne FE, on aura lequation b fin D a fin D a fin(D+2B) 2cofBfin(D+iB) 2cofB d'011 l'on tirera 1'expreflion de la face F = a flfinD £finD 2CofB 2cofBfin(Drj-2B; fin(D-f-2B) Faifant les réduclions , on trouvera «fin(D-f.oB)-j-afinD —2*finDcofB r == 2cofBfin(D+2B) Or par la 6m- formule, il y aura fin (D -j- 2 B) -f- fin D = 2 fin (D -j- B) cof B, partant, aa fin (D + B)cof B — 2 b fin D cofB F = ' , ou bien 2cofBfin(D-|-2B) a fin (D -j- B)—è fin D fin(D + 2B) §. 4. Si les lignes de défenfe font perpendiculaires fur les flancs, en forte que l'angle FLB = D eft 90 degrès; il y aura , fin D = 1 , & fin A 4 (90*  10 DISSERTATION D'oü il paroic que Ie flanc diminue, lorsqu'on augmente la face F, ce qu'on a fouvent dit, mais qu'on' a pas bien démontré. Auffi peut-on déterminer la face F, le flanc étant connu; il y aura F == a fin B— /finD ■ • D'oü réfulte, que la face dimi- fin 2 B nue, en augmentant le flanc. §. 7. Si la ligne de défenfe eft perpendiculaire fur le flanc, il y aura, a caufe de D = 90", par ifinaB —afinB Ja première expreffion , f = . cof 2 B (2Acol'B — d) — • — fin B cof 2 B Moiennant la feconde expreffion du flanc, l'on trouvera auffi ƒ = a fin B — F fin 2 B, d'oü l'on afinB-ƒ tire, F r= . fin2B §. 8. La liaifon entre la face & Ie flanc eft telle , que le flanc fe détermine par la face donnée & réciproquement. Ce qui paroitra encore en éliminant le polygone extérieur a dans les expreffions de Ja Face. Or la premiere équation du §. 4., fournit F cof 2 B = a cof B — b, & Ja feconde équation du §. 6., fournit F fin 2 B = a fin B — ƒ. Multipliant Ia premiere équation par fin B & la feconde par cof B, &  fur la Fortification Permanente. ii & fouQrayant enfuite la première équation réfultante de Ja feconde > on aura F fin 2 B cof B — F cof 2 B fin B = £ fin B — ƒ cof B. Or par la iom- Formule , fin 2 B cof B — cof 2 B fin B = fin (2 B — B) = fin B; partant F fin B = b fin B — ƒ cof B, donc F = b— /cotB, &ƒ==(*-F) tang B Ces deux expreffions de la face & du flanc font fimpies & élégantes. II s'enfuit encore que le flanc ne depénd pas du polygone extérieur, mais de la face, paree que la quantité a n'entrepasdans ces formules. Calculant les flancs dans le fyftême de M. de Vauban, felon la formule du § 6., fuppofant « = 180. t , F= 50., D= So* 47', &B = 18*26', on trouvera la longueur des flancs de 27, 3 toifes pour tous les polygones au defius du pentagone. JLa plupart des auteurs Francois, comme Deidier, le Blond donnent au flanc 24 toifes; mais pofant J'angle de défenfe de 100°, & la face F= 58, 6 Loifes (§. 5.), le flanc fera de 22, 1 toifes. Enfin fi l'angle de défenfe eft droit, le flanc ne fera que de 18, 9 toifes. Les flancs font donc plus longs dans le fyftême deM.de Vauban, peut-être font-ils trop longs; ils rendent le foffé d'une largeur exceflive vis a vis la courtine. Moyennant des bas flancs, qui donnent un feu rafant, on peut fuppléer aux petits flancs. §. 9. Avant que de déduire d'autres réfléxions des formules précédentes , au fujet des flancs & des faces, je me hdterai de propofer les expreffions analytiques pour les autres parties de 1'enceinte du rempart. II fera facile de déterminer la CourrineL/, moiennant le triangle FL/, car fin F/L : Ff^ = fin LF/ : Lh or LF/ = 180' — FL/ — F/L =3 i8o'  is dissertation i8o* —D —B —B= i8o° —D—-2B, partant la /fin (D +a'B) efinB courtine c — — ■ ■ , donc f— finB fin(D-J-2B_) Min2B —sfinB ou bien pofant §. 6", pour/, ily fin(D-f 2B) b fin 2 B — a fin B aura c = =2 b cof B — a, paree- fin B que fin 2 B = 2 fin B cof B. 11 réfulte de ces formules, que les courtines augmentent en raifon des flancs; enfuite, que la longueur de la courtine ne change pas par rapport a l'angle de défenfe, parceque eet angle D n'entre pas dans la feconde formule de la Courtine. /cof2B Au refle la courtine c s'exprimera auffi par , finB quand l'angle de défenfe elf. droit. §. 10. II réfulte des formules pour la Face, le Flanc & la Courtine, que ces trois parties du bastion ne dépendent pas du Polyogne. Le Polygone extérieur, la ligne de défenfe & l'angle diminué reftant les mêmes , ces trois parties du baftion auront Ia même longueur dans tous les Polygones, Mr. de Vauban a adopté cette Maxime pour les polygones qui ont plus de cinq cötés. §, 11. La ligne capitale AG = /, fe déduit du triangle AG/, ou Al = b, eft la ligne de défenfe; l'angle AlG = B , & GA/ = au demi angle du baftion = A — B; mais A fignifie le demi angle du polygone, donc l'angle AG/= 180* — B—A-j-B sb 180» — A. Or fin AG/; A/=fiö A/G:AG, par.  1$ DISSERTATIOM fyftême de M. Blondel font variables, relativement a l'angle du Polygone, excepté le Polygone extérieur a = 170 t. & la iigne de défenfe b = i2o. t. L'angle diminué eft la difFérence entre l'angle de 45° & Je tiers de l'angle au centre du Polygone. Le demi angle du Polygone étant A, l'angle au centre fera = ido° — 2 A, donc l'angle diminué 2 A 2A B = 45' — 60° -{ = 15°; partant 3 3 B fera de 25* dans 1'hexagone, il aura 27' 51 'dans lheptagone & 30" dans 1'octogone. La face eft la moitié de la ligne AE qui-eft la face prolongée jusqu'a la perpendiculaire. Le flanc n'eft pas perpendiculaire fur la ligne de défenfe. AP a La face fera donc= == 2 cof B /2A N 4CO\T-'5V 42,5 42,5 ~— — = 46, 9 = F dans 1'Exagone. cof 25* 0,906 La Courtine c == 240 cof 25° — 170 = 47,4, t. i2ofin25' La hgne Capitale l = = 58,6. t. fin 60° /fin 35' La demi gorge g= 47, 4 = 32, 1.t, fin 25* La table qui fuit, contient les parties de 1'enceinte du rempart dans le fyftême de M. Blonde/. He-  DISSERTATIOK L'angle du baftion furpaffe le demi angle du po» lygone, de quinze degrés, c'eft-a-dire, 2 A — 2 B = A 15% donc l'angle diminué A B = 7-30'. 2 Appliquons ces Maximes a 1'héxagone; oü A = 6j°, donc B = 30° — 7° 30' = 22° 30' & l'angle du baftion = 1200— 45°= 75° a cof B — b L'équation de la face F = ■ , cof 2 B fe changera, felon la feconde Maxime, a acofB—b en celle-ci — = , (§. 3.) 3 cof2 B b cof2 B d'oü 1'ontire — = cof B qui eft le rapport « 3 entre la ligne de défenfe & le polygone extérieur. Ayant determiné la ligne de défenfe b, on connoi- b tra le polygone extérieur a = ■ 1 ■ ——. cof B — cof 2 B: 3 120 Soit b — 120 toifes, il y aura a = — c,9238—0,2357 a = 174,4 t0^es * & la face F = — = 58. t., 3 par-  fur la Fortification Permanente. 23 partant le flanc ƒ = (b — F) tang B = 62. o, 414 = 25, 6. t. La Courtine c~2 b cof B—«=240.0,9238—174,4 = 47, 3 £• iao fin 220 30' La ligne Capitale , / = = 53. t. fin 6o° La demi gorge = 37. t. I B a F I ƒ j c | l a Hé«g. . 22=30' 174,4 58 f25,6 47,3 53 37 Hep»g. 24°3H' 173,5 57,8 28,5 45 55,5 40, oftog. 2öoi5' 173 57jó 3o)7 42>2 57,5 41,5 SECONDE PARTIE. Sur 1'étendue des Baftions. A PRès ces prélimaires, nous ferons voir i'infuflifance des fyftêmes de Fortification. La plupart des Maximes , n'ont d'autre fondement que les caprices de 1'inventeur. II s'agit d'établir des principes relatifs a la défenfe , & d'en tirer des Maximes. Nous en donnerons quelques éxemples pour faire comprendre nos vues. On convientque les baftions fpacieux font trés néceflaires pour la défenfe, foit pour y faire manocuvrer des troup. pes, foit pour y faire des retranchemens lorsque 1'ennemi a fait bréche au baftion. La capacité B 4 des  24 DISSERTATION des baftions a engagé les Mathématiciens a chercher un Maximum. Cependant les recherches fur le Maximum font fondées fur des fuppofuions précaires. Quelques-uns déterminent la plus grande capacité du baftion, par le Maximum du finus du demi angle du baftion; d'autres par le Maximum du produit du flanc & de la ligne perpendicu. laire abaiffée de l'angle de la Courtine fur la capitale prolongée. Mais ces fuppofuions n'embrasfent pas toutes les parties de la furface du baftion, comme l'on va voir d'abord. On pourra imaginer plufieurs de ces fuppofitions, dont 1'une fera auffi precaire que 1'autre. D'aillenrs il peut arriver que Ie Maximum analytique fourniffe une plus grande étendue, qu'il n'en faut. Or il ne faut pas aggrandir fans néceffité les ouvrages de fortification. Nous nous fervirons d'une méthode trés fimple pour régler les dimenfions des baftions fur leurs capacités; foit que Ja capacité dubaftion foit donnée, ou qu'on veuille déterminer leur capacité, en fuppofant données les dimenfions du baftion. Pour eet effet nous donnerons des formules de 1'étendue du baftion, appliquables a ceux propofés. §. 20. Ménant la diagonale FG, la furface du demi baftion fe partage en deux triangles AFG & GLF. On fait par la Trigonometrie, que Faire AF du triangle AFG = —.AG fin FAG & cel- 2 FL le du triangle G L F = L G fin G L F.(Form. 13) 2 Or F AG = A — B & FLG =5 180° —D — B = 180°— FL/. Donc 1'aire du baftion = F / fin ( A —• B) +ƒ£ fin (D-f-B) = S Si  fur la Fortification Permanente. 83 les conditions du Maximum du Baftion a tous les Polygones. En effet l'angle du baftion étant 2 (TV — B) = A = au demi angle du Polygone, il s'enfuit que ni le quarré, ni le Pentagone ne peuvent être défendus par les ouvrages a tenailles. Car les angles des Baftions deviendroient de 4? & de 54 degrés dans le quarré & dans le Pentagone; or l'angle du baftion ne doit pas être plus petit que óo degrés. L'béxaeonefera donc le premier polygone auquel l'on pourra ajufter les baftions a tenailles. L angle du baftion fera de 60 & l'angle diminué de 30 degrés; 1'aire du baftion fera — tang 30° = 7200.0,5773, = 4156 toifes quarrées, fi la ligne de défenfe b a 120 toifes. . , L'angle de 1'oftogone ctant de 135° > 1 angle du baftion aura 67° 30', donc l'angle diminué aura 4S'; par conféquent 1'aire de ce baftion contiendra 7200. tang 33° 45' = 4»»° toifes quarrées - - K 25. Pour ne laiüer rien a defirer fur cette matiére, nous envifagerons le Maximum de 1'aire du Baftion fous un autre point de vue. Suppofons, le contour du baftion étant donné, qu'il s'agit de déterminer la plus grande aire du baftion. Cette fuppofition n'a rien d'étrange, parceque nous terons voir dans Partiele 51, que le contour du baftion peut être proportioné a la Garnifon qui le b°Mais le contour du baftion égale deux fois la fomme de la Face, du Flanc & de la demigorge. Donc ce contour, ou—, pourra etre expnmé ft Q P«  34 DISSERTATION N par 2 F 4- 2 ƒ 4- 2 g; donc f = F — g. 2 Or 1'équation de Faire du baftion a été trouvée être S = F1 fin CA—B) 4-/g cofB. (§ 2o) je réduirai la furface du baftion a une expresfion différente de celle que je viens de trouver, & qui ne contiendra que les deux variables, fcavoir le flanc & l'angle diminué; enfin je reduiraices deux inconnues a une feule. Peut-être ausfi la formule que j'expoferai, fera t'elle plus facile dans la 1'apphcation. Nous ferons enfuite ufage de Pone & de 1'autre expresfion. Or en fubftituant bün B F= £-/CotB, &/= & fin A fin (A-B) g = b— c(§ 12) = fin A bün (A—B) — ƒ cof 2B r— — (§ p) fin A fin B Jl en réfultera 1'équation bünB fin (A—B) S =(i —/cotB) fin (A-B) 4- ƒ b fin A fin A cof2B cofB— f cof B fin B fin B Ou S = f fin (A-B) — ƒ« cof a Bcot B finA f Or nous venons de voir que  fur la Fortification Permanente. 35 N N /cofaB ƒ = F-g- è-r-/cotB- , 2 2 2 fin B N 2 donc f — ■ ; —— 1 — cot B -|- cof 2 B: 2 finB, Ainfi faifant la fubftitution dans 1'équation de S, l'on aura finBfin(A—B) (N: 2—i)»cof 2B fin B cofB S==3* 4 2 fin A (2 fin B — 2 cof B-f cof 2 B) En cherchant le Maximum de cette équation, on s'embrouilleroit dans une équation du fixième dégré,donton nepourroit tirer aucun avantage,après les difiicultés du calcul. § 26. Abandonnons les recherches fur le Maximum de faire du baftion, par ce qu'il n'en réfulte aucun avantage pour la Fortification. D'ailleurs le Maximum mathématiquement vrai, produirait peut-être des Baltions plus amples que n'éxige leur défenfe, & ce n'eft pas tant par économie qu'on doit réjetter les baftions d'une trop vatte étendue que pour ne pas être dans la nécesfité d'avoir une quantité de bouches dont 1'entrétien devient préjudiciable a la défenfe de la place. Attachons nous a rechercher les dimenfions des baftions par rapport a leur étendue. Cela préfente deux problêmes a réfoudre: 1'un, pour trouver la furface du Baftion, les dimenfions en étant don. C 2 nées» /  30 DISSERTATION nées; 1'autre, pour chercher les dimenfions du Baftion, 1'étendue en étant connue. §. 27. Cherchons d'abord, fans le calcul du Maximum, la plus grande furface duEaftion, pour un Polygone donné Cette facon de confidérer le problême fera plus propre a la pratique. Pour eet effet, nousferons ul'age des deux équations de faire du baftion trouvées dans les §. §. at. & 28. On déduira de la prémière, le cöté Extérieur, ou: Ccof 2 B 2 SX fin(A-B) ] cofB. finA tang2B^/ l'on tirera de 1'Equation du §. 25, qui eft b'ün B S = fin (A—B) —/*cof 2 Bcot B, l'on tirera, fin A dis-je,leflanc,/=^[ fin (A—B)—S ]: \ finA / cof 2 B cot B. L'une & 1'autre Équation font connaitre que la furface du baftion ou S doit être plus petite que b1 fin B fin (A—B) : fin A, pour que les flancs ou les cötés extérieurs ne déviennent pas imaginaires. Jl n'y a donc qu'une inconnuè dans 1'expresfion de la limite de cette aire, favoir, l'angle diminué B. 11 eft facile de voir que 1'aire du baftion augmentera, a mefure que l'angle diminué B dé- A viendra plus grand, jusqu'a ce que l'on ait — = B. 2 C'eft  fur la Fortification Permanente. 37 C'eft le réfultat que donne le Maximum de la quantité fin B fin (A—B) : fin A. Nous avons déduit la même conféquence dts recherches fur le Maximum de 1'aire du baftion^T 26. Or l'angle du baftion 2 (A—B) doit être plus grand que 60 degrés; il doit s'approcher de l'angle droit: il le doit furpaffer dans les Polygones de huit ou neüf cötés. L'angle du baftion dans 1'éxagone ne peut-être plus petit que 80 ou 78 degrés; or A étant 60*, il y aura 2 (A — B) = 8o°; Donc B == 23°, ou B = 21°. L'angle de 1'heptagone ou 2 A étant de 128* 35', l'angle diminué pourra être de 22°: alors l'angle du baftion fera de 84' 35'. Si l'on voulait fixer l'angle du baftion de 1'octogoneaoo", puisque 2 A = i35°> l'angle B fera de 22* 30'. Pofant l'angle du baftion de 94* dans le polygone de neuf cötés, l'angle diminué pourra être de 23 degrés; ainfi de fuite pour les autres polygönes, augmentant l'angle diminué de 30 minutes. Je ne donne pas les valeurs des angles diminués, pour des Maximes dont l'on ne doive pas s'écarter. On les poura un peu diminuer ou augmenter pour diminuer ou agrandir les faces ou d'autres parties de 1'enceinte du rempart. II eft a remarquer que l'angle diminué influe fenfiblement fur toutes les parties du baftion, puisque toutes dépendent de eet angle. Nous croyons avoir fait une fcftime moyenne des angles diminués (voyez le §. 44) §, 29. Conformément a ce que nous venons d'établir, nous donnerons les Caleuls & les Réfultats des Limites des aires du baftion depuis 1'hxagöne, jusqu-au Polygone de neuf cöiés. Pofant C 3 'donc  $8 DISSERTATION donc A — 60°, B = 20°, & b = 120 toifes, il y aura A — B = 40°; donc Log. b2 = 4^583625. Log. fin 20° = 9,5340517. Log. fin 400 =± 9,8080075. 3,5004817. Log. fin 60° = 9,9375306. 3.5Ö295H. Dont le Nombre eft 3655 toifes quarrées. La furface du baftion de 1'éxagone doit être plus petite que 3655 toifes quarrées. L'on trouvera par des calculs femblables que 1'aire du baftion de 1'heptagöne doit contenir moins que 4064 toifes quarrées, pofant A = 64° & B = 22». Pour POólogöne, la furface du baftion doit être plus petite, que 4217 toifes quarrées. Enfin dans le Polygone de neuf cöiés, la Surface du baftion fera renfermée dans une étendue moindre que 4379 toifes quarrées, fi A eft == 70 degrés & B = 230. 11 fuit des réfultats précédents que les furfaces des baftions peuvent être plus étendues dans les Polygones qui ont un plus grand nombre de cötés. §. 29. Après avoir déterminé les limites des furfaces des baftions, nous ferons en état de réfoudre le probléme dont il eft parlé dans le 26e article: la furface du baftion étant donnée, déterminer Venceinte du rempart. Comme j'ignore fi les ingénieurs ontdonnédes régies pour fixer 1'étendue d'un baftion par rapport a la Garnifon qui le borde & par rapport aux retranchements & aux Cavaliers,  fur la Fortification Permanente. 39 iiers, je fuppoferai, en attendant, la furface du baftion égale a la grandeur d'un arpent du Rbeinland (Morgen); il a 600 verges quarrées de Rhein» land, ou S = 2400 toifes quarrées. Etanc donnés le Polygone, ou l'angle du Polygone 2 A, la furface S & l'angle diminué B, felon les fuppofitions que nous avons adoptées dans le 28e article, nous en déduirons fuccesfivement les parties de 1'enceinte du rempart, au moyen de 1'Equation: b* fin B fin (A— B) —■ S finA f=y cof 2 B cot B Nous commencerons donc par les flancs, en expofant le calcul pour 1'héxagone. 2> = 120toifes, B = 20°, A = 6o°&S = 240otoifes quarrées. Jog 4. =4,15836251 W. 1255 = 3,0986437 log. fin g =9,5340517 log. cof2B= 9,8842540 log. fin (A-B)=9,8o8oó75 iog. c0t 6 = 0,4389341 3,5004817^ 0,3231881 Jontlenombr, =3655 log. ƒ"»..= 2,7754556" S =2400 Donc'lo8-/= 1,3877278 1255 J Lelflanc ƒ eft donc = 24,4 toifes. Ayant trouvé le flanc/, on connaitra lafaceF, par le moyen de 1'équation F = b — ƒ cot B (§. 8.) = 53, 5 toifes. Le cöté extérieur afe déduit de 1'équation ƒ = a fin B — F fin 2 B (§. 7.); C 4 donc  fur la Fortification. Permanents. 41 cof B (§• 12). H faut remarquer que la courtine c = 2 b cof B — a ne varie pas dans ce Syftême. Dans 1'exagone, il y a A = 60 Donc A—B == 41* 34'. =2,13033381 iog. 2 i =2,4313638 i«g. fi»( A-B) =9,8218351 iog.c0rB =9,9771253. 1,9521689 2,4084891 log. fin A =9,9375306 donc2 i cofB =256, l a =180 log *fin(A-B) b fin(A—B) =2,0146383 ■ = 103,4 fin A fin A log. F.. =1,6989700^ -i )og. finB =9,4999633 283,4 2 b cof B =256,1 3,2135716 \ dont le nombre g =27-3 eft =1635 log. g =1,4361626 735 lo8-/ ■ =l>4345689 titer iogfi 2 b fin B Le cöté extérieur a = —— = 104 -f- tang A 248 fin 18' ■ — = 104 -f 55)7 = 159)7 = 160 a peu. tang 54'. prés, donc la face F sr Ca cof B — b ) : cof 2 B se 34,4 toifes; & le flanc f—(b — F) tang B, == (124—34»4-) 0,325 = 29 toifes, qui ne furpafle que ;d'une toife le flanc tel qu'il a êté fuppofé. L'on voit que les flancs font trés longs a 1'égard des faces, conformément a la huitinue Maxime. b fin (A 4- B) La demi-gorge eft = a == 14 fin A toifes, qui devroit être de 16 toifes. La courtine ƒ cof 2 B fe trouve - ■— =76, & la ligne Capitafin B je = 47,4. II faut remarquer que la Courtine eft: an peu brifée fous un angle a peu prés de 150 degrés, que les flancs font rétirés, & font perpendiculairs fur la ligne de défenfe, que les flancs font au milieu rentransdu cöté de la face, que les flancs font en partie tirés de l'angle du baftion oppofé; leur courbure doit peu difFérer de la ligne droite; car le Rayon étant de 124 toifes, & la corde de 14 toifès, la courbure de la courtine'repondra a un are de fix degrés. §• 39-  fur la Fortification Permanente. 49 2E cóté entier fera = 2 r fin c = 2 fin c V » fin 2 ff 2 E fin f E tang c — 2 1/ = : 2 « fin c cof c n Pour 1'héxagone l'angle 2 c = 6o', & b = 6; mais 1'étendue donnée E eft de 57630 toifes quarrées , donc le cöté intérieur = 2 V 9600 X 0,5773 es 148,9 toifes. Nous déduirons de ces trois données, d'abord la ligne de défenfe, ou bt au moyen de 1'expresfion du cöté intérieur qui donne 2 b fin B 149 sfc a (§. 13); donci == (216— tang A tang A. 149) , oü A == 60'. 2 finB On trouvera donc b = 149 toifes, qui eft de 150 toifes fur 1'échelle. Deplus, on trouvera la face J? =Qa cof B — b): cof 2 B = 71,8 toifes, elle eft d'environ 73 toifes felon 1'échelle. Le flanc eft. z=z (b — F) tang B ss 32,6 toifes s= ƒ qui eft kpeu prés la même longueur des flancs, y compris ƒ cof 2 B POrillon. La Courtine == — == 58,3 finB toifes: elle eft de 66 toifes felon 1'échelle ; donc 149 — 53,3 la Demi Gorge == * = 45,3 ">"es' 2 D En^  5° DISSERTATIOH Enfin on trouvera Ja ligne Capitale /= b fin B : fin A = 67 toifes. Pour trouver les dimenfions de la Courtine bri< fée , il faut prendre fur les lignes de Défenfe Al, ah, les parties AB&ab= 140toifes, enfuite mettre les lignes bv, BC perpendiculairement fur les Jignes de défenfe: la pointe de la brifure eft au point D ;gw concours des lignes de défenfe (Fig 3 ) La furface du baftion eft = F / fin ( a — B) 4- fg cofB a= 3475 toifes quarrées. L'étenduedu bafiion eft confidérable; elle eft plus grande que dans tous les autres Syftèmes de Fortification (§. 34» 35 )• Cette étendue eft encore augmemée par la retraite de la grande Courtine. 11 n'eft donc pas étonnant qu'il y ait de hauts baftions conftruits fur les bas baftions, on forme de Cavaliers. Les faces de ceux ■ cy fonttirées parallellementaux grandes faces, a la diftance de vingt toifes. §. 41. Je n'ai pas été affez heureux pour déterminer les dimenfions des baftions de rjiptagone Le Polygone extérieur eft de 180 toifes, l'angle diminué eft touc au plus de 20 degrés. Or le cö- ' e" ' ' té intérieur eft = 2 l/ —tang 25' 34' = I2ö t 7 (l'angle au centre 1 c eft de 51° 26') § 40 J'ai donc trouvé parle Calcul de Farticle précédent la hgne de défenfe de 164 toifes, qui n'eft que de 140 toifes. II Paraït donc que la Conftmc tion des baftions de 1'Eptagöne, n'eft pas conforme aux Syftèmes ordinaires: Le cöté intérieur tfe. parait pas entrer en confidération. En pofant même la ligne de défenfe de 140 toiles on trouverait la face de la longuenr de <\% toifes, quz devrait avoir 50 toifes. §• 42. I  fur la Fortification Permanente. 5t §. 42. J'ai commencé par calculer les dimenfions de la Courtine brifée dans I'Oclogöne. Car pour la grande Courtine, elle femble ne pas être allignée fur les faces. Le cöté Extérieur eft de 160 toifes, l'angle diminué de 20* 20', & la ligne de défenfe de 120 toifes. Par ces données, la face devrait avoir 42 toifes: elle a 48 toifes fur le plan. Ainfi je n'ai pas voulu m'arrêter plus longterm a rechercher les autres panies du Rempart. J'ai cru entrevoir par toutes ces Recherches qua Coehoom n'a pas affujetti fon génie aux régies ordin.iires de la fortification pour conftruire le rempart; il s'eft régléfur le terrein, & fur les circonftances du lieu. Ce grand homme a donc donné 1'éxemple aux ingénieurs de nepasfe borner aux leeons de 1'Ecole ; mais de laifler prendre un libre effor a leur génie, en faifant leurs Ouvrages convenablement a 1'attaque & a la défenfe. C'eft dans cette partie que Cozhuorn brille entre les Ingénieurs de tous les Siécles, Auffi parait-il par fes livres, qu'il a envifagé la Conftruclion des Ouvrages du cöté de la défenfe & de 1'attaque. Rien ne peut être plusjufte, plus raifonable que de régier Ia Conftruclion d'un Ouvrage fur 1'Attaque, puisque le premier but de 1'ingénieur eft d'oppofer un obftacle redoutable aux entreprifes de 1'enne- mi. En fuivant plus la nature du lieu que les principes fyftématiques, Coehoom n'en a.pas moins envifagé 1'attaque & Ia défenfe avec le coup d'ocil du Géometre. Mais il laiffa a glaner aux Géoinétres a venir. Nous tacherons de recueillir un jour le peu de fruits qu'il a laillé eparsfurleChamp de Mars. % 43, J'ai donné dans Partiele 28 un appercu Da  5a DISSERTATION de 1'évaluation de l'angle diminué. Comme eet Angle eft un Élément effentiel, parcequil entre dans la détermination de toutes les parties du rem. part, & que d'ailleurs les Ingénieurs ne femblene pas avoir prêté toute 1'attention requife pour fixer eet angle, l'on ne traitera pas de fpéculation les Recherches fuivantes. Je tacherai d'abord de faire voir que 1'Angle dirr.inué ne doit pas être conftant indifférement dans les Polygones, comme il a été fuppofé par Pagan & par Vauban. Cet Angle doit varier & croïtre a mefure que le Polygone a plus de cötés. Je prouveraice que jeviens d'avancer par les demiGorges & les lignes Capitales. La Demi-Gorge étant fin(A4-B) = a — b • -, il eft évident que la Demi¬ fin A Gorge fera la plus petite, lorsque A -f- B = oo\ il faut donc que la fomme des Angles A & B fok plus petite ou plus grande que 90*. L'Angle A eft de 600 dans 1'Exagone, il faut donc que B foit plus petit ou plus grand que 30*, fi l'on pofe, par Exemple, l'angle = 21 ou = 39 degrés, l'on aura,fin 81° = fin 99* =z fin(A-j-B) : mais en pofant B =39-, l'angle du baftion ferait trop aigu, it n'aurait que 42°, & la furface du baftion n'aurait pas beaucoup d'étendue. II ne faut pas faire l'angle diminué trop petit, par ce qu'on diminuerait les Capitales qui diminuent en raifon du finus de l'angle diminué. Ainfi l'angle diminué de 21 degrés paroit être affez bien aflbrti a l'héxagone: les faces & les flancs font d'une bonne löngueur. L'An-  fur la fortification Permanente. 53 L'Angle A écant de 64° 17' dans l'heptagone, l'angle B devra être plus petit que 25° 43'. Si l'on faifoit eet angle de 21 degrés comme dans 1'Héxagone, la ligne Capitale déviendr^it trop petite, parceque elle eft;en raifon directe du finus de B, & en raifon inverfe du finus de A; Or eet angle A augmente avec le nombre des cötés du Polygone. II paraït donc convenable d'augmenter l'angle diminué & de le prendre de 22°; ou de 22* 30'. dans l'heptagone. Le fecond terme négatif de 1'Expreffion de la demi Gorge ne fera pas rendu par la plus Grand, parceque fon divifeur fin A eft plus grand que dans 1'Exagone. L'Angle A étant de 67' 30' dans l'O&ogone, l'angle B devrait être plus petit que 22° 30'. ainfi on augmentera pluöt l'angle diminué, en le faifant de 24° 30'; donc fin ( A-f-B ) = fin 92' =3 fin 88°. Mais fi l'on aimait mieux prendre l'angle du baftion de 90°, l'angle diminué devrait être de 22° 30'. Pour les autres Polygones, on aura des Capitales plus longues, parceque les Demi-Angles des Polygones accroiffant lentement, on n'aura qu'a augmenter fuccelïivement l'angle B de trente minutes; il fera dans le Polygone de neuf cötés, de 23 ou de 25 degrés, donc fin (A-f-B) = fin95* = fin 85° & ainfi de fuite. Je paffe fous filence les réfultats que j'ai déduits des Maximum des faces & des flancs pour évaluer l'angle diminué, l'on n'en pourait tirer aucun profit. §. 44. Ayant a-peu-prés fixé l'angle diminué, l*Ön poura faire des fuppofuions pour les faces. Avant d'entrer en matiére, il ne fera pas inutile de faire connoitre plus particuliérementla ReD 3 la-  £8 DISSERTATION du Polygóne, dans lequel l'on pourait renferrner 1'enceinte du terrein. Pour eet effet, fi l'on prend la ligne de défenfe de 120 toifes, il conviendra de ne pas faire le cöté Extérieur plus long que 1K0 toifes.' Or au moyen de 1'exprelfion du cöté Ex- E tang c térieur 2 V —, (§.40.)l'on poura,en taton- . ;■ " S *fi . . 1 .. 'j. nant,mettre peu-a peu pour c & pour «telles valeurs qui eonviennent a un certain Polygone. En. fuite il faudra déduire des cötes intérieurs, qu'on aura trouvés par cës calculs, les cötés extérieurs, donc il faudra réjetter ceux qui font de 180 toifes, & ceux qui font au deflbus de 168 toifes, ce qui fera connoitre le Polygone qu'on cherche. §. 49. Pour éclaircir ce que nous venons de dire, prennons pour Exemple un terrein de 57600 toifes quarrées, étendue fuppofée par Coehoom (§■ 40 Suivant nos fuppofitions, l'on trouvera le cöté extérieur de 1'Exagone de 198,6; celui de 1'heptagone de 169,3; & celui de 1'Octogone de 144 toifes; car mettant b = 120 toifes, l'angle diminué B = 21 •, & A = 60 *,&le cöté intérieur de PExagone= I49(§« 4i0 l'on trouvera le cöté exté- 2 b finB rieur de 1'Exagöne = 149 -{ — 198,6. tang A Ainfi de fuite. Or fuivant le 48me article, le terrein de 57600 toifes quarrées, paroit le mieux convenir a 1'heptagone., En effet la table contenue dans Partiele 47 ■> fournit a-peu-prés les Dimenfions du rempart de eet heptagone, fans emrer dans aucun calcul. L'on pou-  fur la Fortification Permanente. 59 poura remarquer en paffant 1'ufage des tables telles que nous les avons calculées. S'il y avait plufieurs de ces fortes de tables, les Ingénieurs enpourroient faire le même ufage, que les Aftronomes font de leurs tables. TROISIÊME PARTIE. De la Conftruclion des baftions par rapport a la Garnifon. M onsieur de Vauhan fixe le nombre des Soldats néceffaires dans une place de guerre, en en comptant cinq a fix cent par baftion. Cette Maxime n'eft-elle pas trop générale, parceque fEtendue des baftions augmente avec le nombre des cötés du polygone? Le Polygone de dix cötés éxigeant des baftions plus grands que FExagone , femble auffi éxiger une plus forte Garnifon. J'aimerais donc mieux faire ufage de la Maxime de Montécuculi Ce grand Capitaine évalue la Garnifon par le nombre des foldats qui bordent 1'encein-: te du Baftion. Je fais bien que les Soldats font Ordinairement placés en deux rangs derrière les Retranchemens de Campagne. Mais un rang de Soldats peut fuffire a eftimer la grandeur de la Garnifon dans un JSiége en règle, oü l'on n'attaque pour 1'ordinaire que deux baftions & le Rayelin. Auffi cette Oispofition peut-être fuffifante pour prévenir les fur-      DISSERTATI ONS sur la FORTIFICATION PERMANENTE, l a FORTIFICATION de CAMPAGNE, et la PORTEE des BOMBES, avec un plan Ü'INSTRÜCTION pour les OFFICIERS : PAK M. HENNERT, TAXV\ Profejjeur en Mathémcctiques. & UTRECHT, Chez B. WILD et j. ALTHEER. 1 7 9 5-  m  P R È F A C fi §i ia grandeur d'ame nous fait furmonter les difficulcés qu'oppofe 1'execution des entreprh fes pénibles, fi eile fe montre avec d'autant plus d'éclat, qu'cüe doit lutter contre des obftacles redoutables & des dangers menagans, la place qu'elle occupe avec le plus d'avantage paroit être principalement le champ de Mars. Forces du corps, energie des fentimens, précipitent le guerrier vers la gloire. Plaifirs, douceurs de lavie, repos delicieux, toutes ces jouisiances qui font 1'appanage de la paix , il les quitte brusquement, quand 1'heure de défendre Ja patrie eft arrivée. Pour lors il brave les faifons, il affronte la mort, nonobftant les plus tendres & les plus chéres liaifons qui Pattachent a la vie. Le guerrier n'eft point déconcerté par les malheurs qui 1'environnent & qui fuivent fes pas. Des bataillons renverfés, le champ jonché de morts, n'ébranlent pas fon courage , ne troublent pas fon attention, ne detournent pas fon coup d'oeil toujours fixé fur la valeur de * 2> fes  w P R K F A CE. fes troupes & les mouvemens de 1'ennemi. Quelle préfence d'efprk! qu'elle vigueur d'application! Un moment peut decider la Viétoire. Pour fentir a quelle élevation fe trouve 1'homme deguerre, qu'on fe transporte du cabinet des hommes d'êtat, de celui des gens de lettres, de 1'attelier des artiftes, au Champ de bataille. Je me fens comme interdit par ce changement de fcéne, toutes les fois que j'exerce ainfi ma penfée. Entre quatre murs bordes de pefans volumes, bien chauffé, bien nourri, bien vêtu, je lis, je reflechis, je compofe; ce que je ne trouve pas aujourd'hui, je le chercherai demain. Ah! je le trouverai dans mes cahiers, ou dans 1'une ou 1'autre Bibliothéque. L'homme d'êtat placé au timon des affaires & qui partage avec le Souverain le fardeau du Gouvernement, doit avoir 1'ame ferme pour ne pas fuccomber aux cabales & aux brigues preparées contre lui. Sa fermécé égale 1'intrepidité du guerrier. La disgrace, 1'exil ne le détournent pas de fes deffeins généreux, mais 1'execution, quand ils ont recu 1'approbation du Souverain ou du confeil d'êtat, ne lui caófe pas autant de peines, qu'au guerrier 1'exécution d'im plan d'operations approuvé par le confeil de guerre. L'exécution elt Ia partie la plus épineu- fe  PRÉFACE. v fe-du métier de Ia guerre. Elle eft fouvent Paffaire du moment Elle peut être contrariée par ) les difpofitions de 1'ennemi qui feront échouer les entreprifes le plus fagement concertées. 11 faut donc y remedier fu^le champ, en oppofant des difpofitions qui rendent fans effet celles de 1'ennemi. L'homme d'êtat exécute fes deffeins par 1'autorité & la force des loix. Dans tout autre êtat qu'a la guerre, il y a plus de grandeur a favoir foutenir la profperité qu'a fe mettre au deffus de 1'adverfité. Dans le metier des armes, c'eft dans 1'adverfité que paroit le grand homme, lorsque dans les revers il conferve le fang froid, & qu'il ne perd rien de la vicacité de fon génie. La probité eft la qualité la plus effentielle du juge ; elle doit être a 1'épreuve de toutes follicitations & recommandations de la part des perfonnes puiffantes. Mais la probité ne doit - elle pas amTi être le partage de l'homme d'êtat? L'homme de guerre ne doit - il pas être un hom. me de bien? Le juge doit avoir 1'efprit jufte pour faire 1'application des loix, dont il doitposféder une profonde connoiflance, Cependant il a le tems de refLchir & de confulter II n'eft pas feul chargé de l'adminiftration de Ia juftice. La pluralité des voix decide le procés. La fen* 3 ten«?  VI P R É F A G E» tence prouoncée doit être refpecTée; & il refte 1'inviolabité a ceux dont elle émane. La plus grande partie des gens de lettres porte un jugement défavorable au metier du Militaire, croyant qu'ii ne demande point d'êtudes. Sans douteil n'txigepas précifement celles qu'on fait aux univerfués, pour fe remplir de Grec & de Latin. Mais n'y a t'il pas d'autres connoisfances dont 1'aquifition requiert de la fagacité &. de 1'affiduité a les cultiver. Quelle multitude de différens objets ne renferme pas la fcience de la guerre , indeptndamment de la connoiffance des manoeuvres & de la difcipline Militaire. La connoiffance du terrain, reconnaiflemens , Convois, Fourages, Marche des Detachemens & des Afrhëèi, Campemens, Cantonnement, Quartier d'hyver, Magafins, Vivres, Ammunitions de guerre, Hopitaux, ne peuvent être ignorées du Général. II faut qu'il puifle juger des rapports qu'on lui fait fur toutes ces parties de la guerre, quoiqu'il ne foit pas obligé d'entrer dans le détail dont d'autres officiers font chargés, Ajoirez y les difpofitions de 1'armée & les mouvemens des troupes qui,lorsqu'i!s font executés avec prudence,peuvent vaioir autant &plus que les viéloires Mais pour abréger & en me bornant au fimple dénombrement des principales Par"  P R E F A C B. vu parties du métier de la guerre, quelle foule d'objets fe prefente! que de details embraffe laFortification de Campagne, qui s'occupe de la Cafirametation, des moyens de faire retrancher un chateau, un village, un bourg, d'affurer le paffage des rivieresd'établir des quartiers d'hyver. L'Officier doit connoitre 1'ufage de 1'Infanterie, de la Cavalerie & des troupes légéres, pour les employer dans les occafions afforties a leurs armes. Peut- il entierement ignorer 1'ufage des bouches a feu? Rien de plus brillant que la profeffion des armes, confiderée dans toute fon étendue. Aufli fait-elle la principale occupation des Princes & des Grands. Y-a t'il un autre art qui puiffe égaler un particulier a fon Souverain? Rien de plus refpectable qu'un guerrier blanchi fous les armes. Rien de plus méprifable qu'un militaire qui avilit fon métier par la pareffe & par 1'ignorance, qui exerce le métier de la guerre mecaniquement comme un ouvrier; & n'apprend que les petits details de 1'exercice & du fervice particulier , qui ne peut être ignoré pas même des bas Officiers, parcequ'on eft chargé de le faire exécuter journellement. Comme 1'étude de la guerre demande du travail & de l'application, il fe trouve bien des * 4 gens>  vin P R É F A C E. gens,, qui pour en éluder les difficultés prétendent que cette étude n'eft point neceffaire, & que Ia pratique peut feule apprendre 1'art de la guerre. Ofent ils éluder 1'autorité d'Uluftres Capitaines, tels le Prince Maurice de Nqffau FuiJJegur, Folard, le Marechal de Saxe\, Turpin de CriJJé, IVarneri, Tempelhof &tant d'autres qui recommandent aux Militaires Ia fcience de la guerre? (V) Mais ce qui reunit tous les fuffrages en faveur de 1'étude de la guerre; c'effc Pinftruélion aux Généraux & le Reglément que FREDER1C a donné aux Infpeéleurs de Plnfanterie Q>). Si 1'on ne cultivoic pas 1'étude de la guerre pendant la paix, les Officiers oublieroient ce qu'ils ont appris dans la guerre. L'Officier, dit M. de Folard (V), lorsqu'il eft employé a la guerre, ne voit que la manoeuvre particuliere de 0*) La theorie eft le pied droit, & 1'experience Ie pied gauche, il faut avoir les deux pieds pour marcher. Gefchkhte des Sieben jahrigen Kiieges von Tempelhof. Tome premier page 203. (£) M. Scbarnborst, favant Militaire au fervice d'Harmovre, vientde publier une nouvelle édition augmentée. Unter. richt des Kïnigs von Pruifen an die Generale feiner Armeen, Hanover, 1794. Ouvrage intereiïant, s'il yen eutjamais. O) Préface du cinquiéme Volume du commentaire fur Polybe.  xiv P R K F A C Ë. qu'on doit au contraire fortifier une place, felorl les circonftances du lieu ou felon une qualité es^ fentielle de la Defenfe. L'exemple de 1'Illuftre Coehoom m'a principalement fervi de preuve pour appuyer mon alTertion. J'ai hazardé dans la troifiéme differtation, une inaniére d'aprecier la deféhfe d'un retranchement, différente des méthodes recues; L'on fe contente de tirer les iignes de défenfe fur les faces & les flancs pour déterminer le feu croifé, dont 1'étendue doit faire juger de la fórce de la defenfe. J'ai eftimé 1'efFet du feu des défendans i par fon obliquité & par les diftances aux quelles portent les coups. J'ai befoin de 1'indulgence du Ledleur principalement dans cette partiei Je n'ai pu Tapprofondir , parceque je ne connois pas affés d'experiences faites fur 1'efFet des coups de fufil a difFérentes diftances. Les Militaires qui me communiqueroient leurs obfervations & leurs remarques, m'engageroient a retoucher ce que j'ai dit fur la Defenfe, & a travailler ce fujet avec plus d'étendue. II auroit été inutile de faire les ealculs avec l'exaftitude qu'exige 1'Aflronomie. J'ai fouvent pofé 4 pour 4,1 toifes & 5 pour 4,8 toifes. Utrecht le lome d'Oftobre 1704. L'OE*  TABLE SOMMAIRE. P R E F A C E Plan des legotis pour les Officiers. Pag. xiv. PREMIÈRE DISSERTATION Sur la Fortification Permanente PREMIÈRE PARTIE. Qui reule fur les exprejjions analytiques de toutes les parties de l'enceinte du rempart & leur u/dge. Formules trigonometriques, Article i Formules des faces des baflions. 2,—5 Formules des Flancs. 7 Autres exprejjions des Faces & des flancs 8 Formules de la Courtine 9 Formules de la ligne Capitale. 11 Formules de la demigorge. 12 Formules du Cóté du polygone interieur. 13 Formules du petit raïon. 14 Applications des formules précédentes aux fyftemes de Fortification du Comte de Pagan §. 15. de M. Blonde!, §. 16. de M. Mallet, §. 17., de M. Faesch. §. 18 •* 3 SE-  xxii TABLE SOMMAIRE. SECONDE PARTIE Sur 1'étendue des Baftions. Exprejjions analytiques de 1'étendue des baftions. §• 20—21 LeMzfimumdes furfaces des baftions. §. 22—25 Autre methode de déterminer le Maximum des baftions fans le calcul dijfèrentiel, trouver la furface du Bajlion; §. 26—28. les dimenfions en ètant données. §. 29—30, déterminer l'enceinte du rempart, la Jurface du b aft ion ètant donnée. §. 31 Recherches fur les étendues des bajlions dans les fyftémes de Fortification du Comte de Pagan §. 32. de M. Blondel. 33, de M. Mallet 34. de M. Faesch. 35 Recherches fur la Fortification de Coe- hoorn. §• 36_4^ Evaluation de Vangle diminué. 43 Rapport entre les faces & les flancs. 44 Déterminer les parties du rempart, la face étant la moitie de la Ugne de dèfenfe ou de 60 toifes. 45—46 Sur le fyftéme de Fortification de M. Glafer. §. 47 Choifir un polygone pour fortifier un terrein donné. 48 TROIS1EME PARTIE. De la conftruclion des Baftions par rapport d la Garnifon. la conftruclion du Baftion ètant donnée, detemmer la Garnifon. 49 Dé-  TABLE SOMMAIRE. xxm Déterminer la conftruclion du baftion par le nombre des folduts. 52 TROISIEME PARTIE. De la conftruclion des Baftions par rapport d la longueur de la Courtine. §. 53 Seconde Diflertation. Sur la Fortification Irreguliére. Formules des Faces, flancs des baflions Irreguliers. 53-55 Application de ces formules a un exemple. ^6 Déterminer les furfaces des baftions. 57 Refultats. 58—59 Troifiéme Diflertation. Sur la Fortification de Campagne. Ce que la bonne conftruclion des retranchement exige. §. 60—61 Sur les retranchemens d perpendiculaires égales 6a. en général 63. lorsque Fangle de defenfe eft droit. 64 Apprecier la defenfe du retranchementprécédent, 65 Trois principes fur les quels l'on établit la defenfe des retranchemens. 66t—67 Application des trois principes a la defenfe du retranchement précédent quand le contour eft le plus grand 68—69 & le plus petit 7c La feconde efpéce des retranchemens a perpendiculaires égales, dont le contour eft le plus grand. §. 71—72., & le plus petit, 73 De  xxiv TABLE SOMMAIRE. De la con/lruclion des tracés propofés par M. Clairac page ri2, 113. De la conftru&ion & de la defenfe du fecond genre des retranchemens d perpendiculaires inégalest, §. 74—75 De retranchement Suedois. 76—77 QÜATRIEME DISSERTATION Sur la Portée des Bombes. Principes du mouvement des corps Spheriques dansun milieu refiftant, 112—114 Application de ces principes au mouvement rec- tiligne. 124—125 Dêtermination de la branche afcendante de la courbe decrite dans un milieu refiflant. §. 4—6 De la vitejfe au fommet de cette courbe. 7 Première méthode pour déterminer la portée des Bombes. §. 9—16 De la branche defcendante. §. 17—18 Seconde methode pour déterminer la portée des Bombes. §. 19—20 Dito* min er la vitefje de preje&ion. §. 21 De la longueur des fufées des Bombes. %. 22—23 Reflexiotis fur la portée des boulets. §. 27—29 Table fübfidiaire. DIS»  3 blSSERTATIoN (93' -J- B) =t cof B ; de même fin (D -f- 3 B)=3 acofB — b. cof 2 B, donc la Face F deviendra= - - cof 2 B §. 5. Fauban, Mallet n'ont pas placé dans leurs fyftêmes, les flancs perpendiculairement fur les lignes de Défenfe. Dans le fyftême duMaréchal de Vauban, les faces font de 50 toifes, le polygone extérieur AB étant de 180 toifes, la perpendicu1 Jaire PE eft — de AB = 30 toifes, donc la tangen. 6 te de l'angle diminué BAE = PE : AP = 30 : 90 = °j 3333 » donc B == 18° 2.6'. Par confëquent AE = V (AP'+ P£^ — 94j g toires ? & FE — AE ~ AF = 44, 8. t. Partant AE : AB =ss FE : F/, donc F ƒ = 85 t. MaisMr.de^baA«»fuppofe F/ = fL pour déterminer les flancs FL; d'oiiréfulte'la ligne de défenfe BL = B/ -f- fL s= 135. t. La longueur de la ligne de défenfe étant trouvée,il fera facile de déterminer l'angle FLB= D; car 1'angle F/L = ABL = 18-26', dans le triangle ifoscele F/L l'angle FLB fera de 80• 47'. II femble que eet angle de défenfe, paree qu'il eft plus petit que l'angle droit, eft incompatible avec la défenfe du foiïé , a la quelle les flancs font principalement deftinés. Je fais bien que M. de Vauban rend concave une partie du flanc, & qu'il couvre cette partie d'un orillon ou d'une partie arrondïe. Mais Ja partie concave du flanc, ayant pour cordele flanc droit, la défenfe n'en fera pas meilleure. D'ailleurs il ne paroit pas, pourquoi la diftance d'une épaule a 1'autre doit égaler le prolongement de la face, ou bien pourquoi F ƒ doit égaler la ligne ƒ L; fi ce n]eft pour la facilité de tracer le rempart fur le papje?-," Qr une {elle raifon ne parpit pas-être bien dé:-  fur la Fortification Permancnee. 9 décifive. Voila un échantillon de 1'esprit de fyftême qui a pu fafciner 1'illuftre Vauban. Pofant l'angle D = 100% la ligne de défenfeb = 120. t., a = 180. t. & B = 18* 26'. L'on trouvera la face F = 58, 6 toifes, donc plus longue que celle de M. de Vauban. Mais pour l'angle D = 90% lorsque les flancs font perpendiculaires fur la ligne de défenfe la face F fera felon §. 4., de 63, 4 toifes. §. 6. L'on déduira du triangle FEL, le flanc FL par la proportion fuivante, fin FLE : FE = fin b fin D FEL : FL , on a trouvé FE as —< fin(D + aB) afinD ■ ■ §. 3 , donc le flanc FL == ƒ= 2CofBfin(D-f 2B) b fin 2 B a fin 2 B fin (D + 2 B) 2 cof B fin (D + 2 B) b fin 2 B — a fin B • —, paree que fin 2 B = 2 fin B cof B fin(D + 2B) par la iom- formule. a Ou bien fubflituant pour FE 1'autre valeur > 2COfB a fin 2 B — F, le flanc ƒ fera exprimé par — 2 cof B fin D Ffin2B afinB —Ffin2B finD 1 finD A $ D'oü  fur la Fortifieation Permanente. 13 büaB partant AG = / = . finA La ligne capitale eft donc en raifon inverfe du finus du demi angle du Polygone. Elle décroït dans les Polygones d'un plus grand nombre de cotés; de plus elle ne depend pas du cöté du Polygone extérieur. §. 12. La demi gorge GL=G/—L/=G/—c. Le triangle A/G, que nous venons de confidérer, fournit la proportion , fin AlG : AG = fin GAl: l fin (A-B) Gl, donc G/ = , par conféquent finB /fin(A—B) Gh=g= c. finB bünB Mais / r= . §. n., donc finA b fin CA—B) finA II s'enfuit qu'en aggrandiffant les courtines ou les flancs (§. 9.), les gorges doivent décroitre. Parceque c — 2 b cof B — a ($. 9.), il y aura Afin (A-B) g = 2 b cof B4- 0, ou finA Mn(A—B)—2b cofB fin A g = a -j • . ,donc(Form.4) finA A(fin Acof B—cof A fin B)—2b cof B finA g—aj- • —— —— ,ou finA  14 DlSSERTAtloN * cofA fin B+£ cof B finA g — a ,par Ia ^formule finA £fin(A-f*B) il y aura, g = a —• • ■ ■ finA Paree que le fecond terme de rexpreflion précédente eft négatif, & qu'il va en diminuantdans les Polygones d'un plus grand nombre de cötés, les demi gorges iront en augmentant dans ces fortes de Polygones. bünB l De ce que / = (§. n.) il fuit, que ■ finA finB b = , donc par la fubfiitution, on aura, g sa finA /fin(A + B) finB Cette expreffion de la demi gorge faitconnoitre la relation entre la ligne capitale & la demi gorge, fcavoir, que les grandes capitales produifent de petites gorges. §. 13. Le cöté du Polygone intérieur ou Gg == GL4/L/-{- lg = 2 GL4/-L / = 2g-[*c=s2a — 2ifin(A+B) L 2 b cof B — a (§. 11. 12.) = finA 2b aJ\ (cof B fin A — fin (A -f- B) ) = .finA 2b * -i (cofB fin A — cofB fin A — fin B cofA) as finA a  fur la Furtïfication Permanente. 15 2 b fin B a — . tangA AD a %. 14. Le grand Rayon AC = R = —— = . cofA 2cofA Gg 2 GL-J-L/ Le petit rayon, GC ou r — = . 2 cofA 2 cofA 2g-\-c a ifin(A-j-B) £cofB a 2 cofA cofA finA cofA cof A cofA a /cofBfinA —finCA + B)N - +*/ ) 2 cofA \ finA cofA y a AfinB 2 cofA fin A 11_ efi: a remarquer que la grandeur de h ligne Capitale, de la demi gorge, du Polygone intérieur, & des rayons ne depend pas de l'angle de défenfe; mais ces parties font en relation avec le Polygone extérieur & avec l'angle du'Polygone. §. 15. Quoique je me range volontiers du cöié des Ingénieurs, qui font peu de cas des fyfiêmes de Fortification, & que je penfe avec eux, que la connoiffance de ces fyftêmes ne fait que la partie fcholaftique de eet art admirable; je ne faurois me difpenfer de faire voir 1'application des formules trouvées a quelques uns de ces fyftêmes. Quand j'aurai démontré , qu'il ne faut fe tenir a aucun fyftême, mais qu'on doit régler la fortification fur des principes tirés du fond de la chofe même, ou de la fituation du terrein, l'on fera mieux en état d'apprécier les fyfiêmes de Fortification. D'ailleurs comme je me fuis propofé=de traiter de Pér  16 dissertation 1'étendue des baftions, je déduirai principalement, de ces fyftêmes, les gorges & les lignes Capitales, J'entre en matiere, en développant le fyftême du Comte de Pagan. En voici les Maximes relatives a 1'enceinte du rempart. Les flancs font perpendiculaires fur les lignes de défenfe, donc D = 90*. Le Polygone extérieur, ou a, eft de 180 toifes dans la Fortification moyenne. Les faces font de 55 toifes = F La perpendiculaire a 30 toifes, donc l'angle di* xninué, ouB — 18° 26'. Je déduirai de ces données la ligne de défenfe* acofB — b au moyen de la formule, F = . (§. 4.), cof2B ce qui fotirnit b—a cof B — F cof 2 B. Or a cofB=r8o.cofi8 "26'=. 180.0,948=170,6 F cof 2B = 55.cof36°52/= 55.0,805= 44,2 b =i26,4toif. Le flanc fe détermine par la formule/= (b—F) tang B = 7i,4. o, 333 = 23,8 (§. 8 ) La Courtine,ou e = 2ècofB — « = 252,8.0,948 — 180= 239,6 — 180 = 59,6. t. Q\ 10.) Je chercherai les demi gorges, les lignes Capitales pourl'héxagone,le heptagone&l'oétogone, parceque le quarré & le pentagone regardent plus les forts que les fortereffes Héxagone. Heptagone. 06togone. Ligne Capi • — tnle. 46,1 44.3 43j3 Demi gorge. f 37,2 40,9 43,7 Pour  fur la Fortification Permanente. 17 Pour trouver la ligne capitale par 1'équation bïinB . , , / ^- s l'on fe fervira des Loganthmes. finA II faut fe fouvenir, que l'angle A eft de 60 degrés dans Thexagorte, qu'il eft de 6\' 17', & de 67° 30' dans 1'heptagone & dans l'oclogone log b = log 126,4 =2,1017471 log finB=log fin 18 •26=9,4999633 11,6017104 log fin A = log fin 60 • =9-93753°6 log./ =r}664i798,donc/=4ö,i.c. /fin(A—B) La formule, g = (§. 12.) finB eft la plus expeditive pour déterminer les demi gorges, parceque les logarithmes de l & de fin B, ont déja été employés dans le calcul précédent log fin fA—B) = log fin 41* 34' = 9,8218351 log./ = 1.0641798 11,4860149 log. finB = 9»4999632 dont le nombre = 96,8 1,9860517 c = 59,6 g = 37,2 toifes. «. 16. Toutes les parties de 1'enceinte, dans le ,1 B fy  fur Ia Fortification Permanente. 19 )F ƒ D c l g | B Héxagone 47 23,5 93-18'47,4 58,6 32,1 25' Heptag. 48 24,4 91-28'42 62,237,1,27-51' Oétog. j49 25 92°3Q/375865 4i,a|30* §. 17. M. Mallet fortifie extérieurement, c'efta-dire en déhors, prennant pour échelle, le cöté intérieur C g: Le cö.é intérieur eft de 120 toifes. La Courtine eft au cöté intérieur = 3:5; donc la Courtine eft de 72 toifes. Donc la demi gorge eft au cöté intérieur = 1 elle aura 24 toifes. La ligne Capitale eft au cöté intérieur =1:3: et elle fera longue de 40 toifes. L'angle que fait la ligne de défenfe avec la courtine eft de 98 dégrés. Dans ce fyftême tout change avec l'angle du Polygone, excepté la Courtine, la demi gorge & la la ligne Capitale. Pour déterminer les Faces, les flancs, la ligne de défenfe, &c., je commencerai par chercher l'angle diminué B. Le cöté du Polygone intérieur ex.primé dans le §. 13., fournit 1'équation , 2* finB a — ■ = 120 tang A Puis la courtine étant au cöté intérieur sa 2 b cof B — a : 120 = 3 :5, on aura la feconde équation, 2 AcofB — 0=72. Ajoutant ces deux > finB-v équations,ilenréfultera2i( cofB ^=192. \ tangAy Enfin la troifième Maxime fournit 1'équation de B 2 la  tO DISSERTATIOS ifinB la ligne Capitale, ou > = 40 (g. ii.), finA 40 fin A donc b = . Subftituant la valeur dei dans finB 1 équation précédente, on trouvera 80 fin As~ finB-x i f cofB 1=192 fin B V, tangAy ou, 5 fin A cot B — 5 cof A = 12 , 2,4 -f-cof A donc cot B = . finA ou bien, fi l'on peut fe fervir des tables de fécantes, il y aura, cot B = 2, 4. cofec A + cot A L'angle A étant de 60 dégrés dans 1'hexagone, ïl y aura cotB = 2,4.i,r547+°35? 77 = 353 5 44=cot73-24' donc B = 16° 36'. Ayant trouvé l'angle diminué B, l'on connoitra la ligne de défenfe b par 1'équation, 40 fin A b = — = 120,6 t. finB En introduifant la valeur de b dans 1'équation, 2#finB a — •' ■ ■ = 120, tang A l'on  fur la Fortification Permanente. 21 l'on aura, a — 80 cofA = 120 , donc le cöté extérieur a = 120 -f- 80 cofA = 160 t, . L'angle du flanc avec la Courtine ou DB étant de 98°, il y aura D = 98* — 16' 58' = 8i' 2', et D 4- 2 B = 114-0 58'. On trouvera le flanc, par 1'équation cflnB 72 finB fin(D-{-2B) fin 65V ~~ ^ \ Enfin la face a finB— /finD F = = 42, 6 finaB Parceque toutes les parties de 1'enceinte du rempart, fur tout les capitales & les gorges, font trop petites, je ne pourfuivrai pas ces recherches fur les polygones qui ont plus de fix cötés. §. 18. Quelques Ingenieurs, comme M Glafer, ont établi un certain rapport entre les faces & les flancs. Je parlerai plus particuliérement de cette fuppofition a rarticle-5-*r y Y/, D'autres Ingenieurs , comme M. Faefcb, n'ont pas fixé Ie cöté du polygone extérieur comme les Ingenieurs Francois. Le polygone extérieur varie fuivant l'angle diminué. Ce'fyftême ne fixe que le rapport entre le polygone extérieur & la ligne de défenfe, Celle-ci étant déterminée, l'on connoitra le polygone extérieur. M. Faefcb fuppofe la Fait ce égale au tiers du cöté extérieur, c'eft-a dire F=— T B 3 Les flancs font perpendiculaires fur la ligne de défenfe. B 3 L'an.  fur la Fortification Permanente. 25 Si le flanc eft perpendiculaire fur la ligne de défenfe, faire du baftion ou S fera = F/ fin (A-B) + fg cof B. II eft facile devoir que la capacité du baftion dépend de toutes les parties du baftion, de la face F , du flanc ƒ, de la ligne capitale /, de la demi gorge g, de l'angle du polygone A, & de l'angle diminué B. §. at. L'on peut réduire les quantités,F,/,g,/,B, a deux quantités,fcavoir au cöté extérieure &a l'angle diminué, en fubftituant les formules des §. 2-10, pour /, ƒ, g, l'on aura Yb fin B fin(A — B ) -f- ( & — F) tang B fin A (fin (A-f B)~N a—1 ) cof B = S, donc finA y SfinA finA , = Yb fin (A — B)+ (b — F) finB cofB f fin(A + B)-v ( a—b JcofB V. fin A y , s (parceque tang B = fin B : cof B) donc SfinA =3 Yb fin (A—B) -{- b a fin A—b' fin (A-fB) fin B — a F fin A +■ F b fin (A -f- B) d'oü l'on tire B 5 F =  S6 DISSERTATION S fin A ■ ba fin A 4- b1 fin (A4-B) fin B F = 1 b fin (A—B) — aüaA + b fin (A 4- B) Or, b (fin (A—B) -j- fin (A 4- B) ) = a b fin A cof B S fin A ab fin A 4- è'fin (A+B) finB donc F = ■ ■ , & b fin A cof B — a fin A Mais il eft démontré dans 1'article 4. «cofB —'b que F = • , d'oii réfulte 1'équation cof 2 B a cof B — b S fin A: fin B—a b fin A+A2 fin (A+B) cof2B 2^finAcofB — afinA donc en multipliant par les dénominateurs & par fin B, l'on aura 2 a b fin A fin B cof BJ — a* fin A fin B cof B — 2 fin A fin B cof B 4- ab fin A fin B = S fin A cof 2 B — ab fin A fin B cof 2 B 4- b1 cof 2 B fin B fin (A 4- B) Or mettant dans le fecond tenue du fecond membre de 1'équation, 2 cof B2 — 1 pour cof 2 B (Form. 11.) l'on trouvera 4 a b fin A fin B cof B2 — a» fin A fin B cof B — 2 £2 fin A fin B cof B = S fin A cof 2 B 4- b1 cof 2 B fin B fin (A 4- B) Po-  fur la Fortification Permanente, %f finaB p0fant pour fin B cof B (Form. 10.) & 2 divifant par fin A cof 2 B, & parceque fin 2 B : cof 2 B = tang 2 B, Fon aura 4 ab cof B tang 2 B -r- az tang 2 B — 2 b1 tang2B finB = 2 S 4- 2 b* fin (A + B). finA finB Or le dernier terme fe reduit a (fin A cof B finA cofA fin B* 4- cof A fin B) = fin B cof B -| ■ ' finA finaB cofA finB2 fin2B 2 finA 2 cofA fin B2 cof B fin 2 B fin B fin 2 B j ■ = ■ -f" finA cof B 2 2 cot A cof B fin2B /" tangB-v fin2Bcof2B 2 V. COtA*/ 2C0f2B Ctang B "\ tang 2 B 14 ) = cof 2 B tang A>/ 2 ✓ tangBN [ i-| J. Donc enfin V tang A/ A  38 DISSERTATION 2 S = (4 ab cofB — a2 —■ 2 b2 — b2 cof 2 B (tangBN i-j HtangaB. tangA/ §. 22. L'exprefïïon de 1'aire du Baftion que nous venons de trouver, contient deux variables, par rapport au Polygone donné; fcavoir le cöté extérieur, & l'angle diminué B. Pour trouver \e Maximum il faut différentier cette équation, en prenant d'abord a pour variable, enfin différentier une feconde fois, fuppofant B variable. Pofant donc a variable, l'on trouvera 9, d S =z o = 4. bda cof B — 2 ada, d'oü réfulte , a — 2 b cof B, Subftituant 2 b cof B pour a dans 1'équation de 1'aire du Baftion, il y aura b2 S = (4 b2 cof B2 — b2 — 2 b1 cof B2 cof 2B 2 (tangBN j) tang a b. tang Ay b2 ou S = (b* (2 cof B2 — 1) cof 2 B 2 S tangBN ( i+ . _ j) tang 2 B; \ tangA/ ou a caufe que 2 cof B2 — 1 = cof 2 B (Form. 11.), cof2B/^" tangBN il y aura b2 (cof 2 B— f 1 -J J) 2 V tangAy tang 2 B = S, ou  fur la Fortification Permanente. 39 b2 /" 1 tang B \ ou bien, S — — fin 2 B f — J — b2 / finB cofA *v — fin 2 B ( i ) = 2 V cofBlinAy fin B cofB b2 (cof B fin A — fin B cofA); donc cof B finA finB S = fin (A—B). (Forrn. 2.) finA DifFérentiant cette équation, en fuppofant B variable , il y aura b2d B cofB 0= fin. ( A — B) fin A b2 fin B dB cof (A —B); finA donc l'on tirera, tang (A — B) = tang B, % , , A d ou A — B = B; parconfequant B = —, 2 Parconféquent l'angle diminué devroit égaler le quart de l'angle du baftion, & a = 2 b cof B, pour que 1'aire du Baftion devint un Maximum. Mais fob-  30 DISSERTATION A fubftituant — pour B, dans 1'équation 2 £*finB S = fin (A — B), 1'expreffion de la plus finA grande aire du baftion fera A AA b2 fin — b2 fin — fin — 2 A 2 2 S = fin—= • finA 2 AA 2 fin — cof — 2 2 b2 A — — tang —. 2 2 Cette aire eft un Maximum, car la feconde différence de S eft négative. En effet différentiant, 1'équation b* cof B b2 = fin (A—B) fin B cof (A—B) finA finA = b2 fin (A — 2 B), (a) l'on aura finA 2 b2 d d B — cof (A — 2 B); or A = 2 B, donc finA cof (A — 2 B) = i ;& la feconde difïerentielle fera, ( tres pour évaluer la conftruclion du grand rempart dans 1'héxagone, 1'heptagone, & 1'oclogone. Mr. Deidicr s'elt donné beaucoup de peine pour déveloper dans fon Ingénieur Franpois les Méthodes de Coehoom. 11 faut bien remarquer que Coehoom fait peu de cas du rempart Capital, & qu'il tire toute fa défenfe des ouvrages de dehors. II n'eft donc pas étonnant qu'il n'ait pas éxaótement indiqué les dimenfions des grands baftions. Auffi les baftions font-ils conftruits, d'une facon différente des autres Syftêmes de fortification. Les Etrangers parient de trois methodes de Coehoom; l'on pourait attribuer a Coehoom autant de methodes qu'il y a de polygones , felon la prémière Maxime. Pour expliquer fa maniére de fortifier, il a donné trois éxemples, pour 1'héxagone , 1'heptagone, & 1'oclogone; & ce qu'il faut bien remarquer, il fuppofe la même étendue de 57600 toifes quarrées. L'on n'a qu'a jetter les yeux fur les planches qui contiennent les desfins de ces trois Methodes, pour apercevoir la diférente dispofition de conftruclion des ouvrages de dehors, & c'eftprincipalement a ces arrangemens qu'il faut réconaitre Pefprit du Syftême de Coehoom. En effet comme 1'fngénieur Hollandois fortifie la meme étendue de trois differentes manières, favoir par 1'héxagone, par 1'heptagone,& par _ 1'oclogone, il eft évident que 1'héxagone peut avoir des baftions plus étendus que les autres Polygones. Auffi y a-t il de bas & de hauts baftions dans 1'héxagone, & il n'y en a pas dans les autres Polygones De plus il y a une tenaille ou Courtine brifée devant Ja grande Courtine. Visa-vis des Brifures des baffes Courtines il fe trouve de hauts & de bas Ravelins en forme de Cavaliers;  fur la Fortification Permanente. 47 liers; les faces bafTes font défendues par des couvre- faces. L'heptagone a des baftions fimples; mais il regne paralellement aux faces, tout autour du Rempart, un ouvrage de couvre-faces, qui a une Coupure aux Angles rentrans, qui fert de paffage a une petite demi-lune. Devanc la Grande Courtine, il y a une ténaille fansBrifure. La courtine & la tenaille font alignées avec les faces des baftions. Tout autour de cette enveloppe regnent deux contre efcarpes. 11 y a des Courtines brifées devant les grandes Courtines dans l'O&ogone. Vis-a-vis des Brifures on voit des Ravelins bas & hauts; les faces des bas Ravelins font couvertes par des Couvrefaces. Vis-a-vis des Angles des baftions, il y a des Ravelins bas & hauts fans Couvre-faces. Dans tous ces ouvrages on trouve des bas & des hauts flancs: ceux la font couverts par des Oreillons. Les Courtines font un peu retirées aux deux bouts dans 1'exagöne & l'heptagone. Les flancs font pofés fur les retraites des courtines. §, 40. Je 1'ai deja remarqué, que Coehoom n'a pas conftruit les Baftions fuivant les Syftèmes Ordinaires, oü il fe trouve une telle liaifon entre les parties du Grand Rempart, que trois de ces parties étant connues, l'on en déduira les autres parties. Les formules Analytiques que nous avons expofées, étant fondées fur ces fortes de Syftèmes de fortification, il fera facile de voir au moyen de ces formules que Coehoom n'a pas donné aux parties du rempart cette liaifon Syftématique. Pour 1'héxagone je crois avoir affez bien réaflj; j'ai mefuré éxaótément fur une échelle divifée en mille parties, le cóté extérieur & la perpendiculaire.  48 DISSÏRTATION te. Enfuite, j'ai réduit ces mefures a 1'échelle des toifes, qui fe trouve fur les planches. Le cöté Extérieur contient 850 parties, & la perpendiculaire en contient 180. Ce rapport, entre le coté extérieur & la perpendiculaire, s'accorde afftz bien avec celui que Mr. Struenfèe a donné dans un bon ouvrage Allemand fur les fortifications, lequel rapport eft de 120: 25 («); Or 156 parties de mon échelle fe raportent a 40 toifes; l'on conoitra donc l'angle diminué dont la tanp;ente = 180 : 425 == 0,4235 = tang 22*56'. Outre le cöté extérieur a =± 216 toifes & l'angle diminué B = 22* 56', on connoitra auffi le cöté intérieur par 1'étendue du terrein. Car foit r = le rayon du polygone & l'angle au centre = 2c. 1'aire dü triangle dont la pointe eft au centre du Polygóne T* eft — fin 2 c. (For. 13.) Or fi l'on marqué par 2 n le nombre des cötés du Polygone, 1'aire du Poft r* fin 2 \c lygöne s'exprimera par = E qui eft 2 2 E 1'étendue donnée; donc r = V —■ . Mais le n fin 2 c demi cöté dü Polygóne eft = r fin c, donc le cö- (a) Mr. Struenfèe a donné les Dimenfions des Baftions p!u« êxaetement que les Commeniateurs Francois, par exemple Mr. Dcidier dans le parfait Ingénieur Francais. Cépendant Mr. Struenfèe n'a déterminé que les faces, la perpendiculaire, la ligne de deTunfe & Ie c&ié Extérieur.  54 BtSSESfATION ktion entre les faces & lés flancs. En différen* tiant 1'équation des flancs ƒ=(£—F) tang B,& en pofant b & B coriflans, ou tiouvera d f ~ — ~df d F tang B, & dF= . tang B D'oü il fuit qtfen regardant ces différentièles des flancs & des faces comme leurs Variations, les flancs diminuent lorsque les faces font agrandies, & réciproquement; que la Variation des faces n'influe pas beaucoup fur la longueur des flancs; mais qu'u, petit changement dans la longueur des flancs apporte un grand changement a celle des faces. Si l'on augmentait les faces de 4 toifes = d¥t pofant B = 22% le flanc diminueroit de 1,6 toifes = — d F tang B=_4x 0,4. Mais fi l'on agrandifiait les flancs de 4 toifes, la face devrait être accourcie de 10 toifes =3 — d ƒ: tan? B =3 — 4:0,4. § 45 f parait par la plupart des Syftèmes de Fortification que les faces ne font ni au deffus de 60 toifes, ni audeifous de 40 toifes. Faifons donc deux fuppofitions. iVous mettrons dans l'uneF= b : 2 = 60 toifes^ dans 1'autre nous prendrons un milieu-entre les deuxgrandeurs mentionnées des faces, & nous poferons. F = f 1 j: 2 = — 50 toifes. v» 3y 12 ,. t i S ■ . f: -.2b *r.rt s^q tr*' La première fuppofition fournira donc F = —  fur la Fortification Permanente. 55 a cof B—b b (cof 2 E 4.2) = , d'oü l'on lirera a = cof 2 B 2 cof B (r-J-2CofB') b = b = — (fee. B 4- 2 cof B) 2 cof B 2 enfuite l'on trouvera le flanc ƒ= (Z> —F) tang B b sa — tang B;éYla courtine c=ƒ cof 2 B : fin B = 2 ■■ b cof2BtangB b s 2 cofB1—1 \ . 2 finB 2 \ cofB J b = — (2 cofB - fee. B) 2 Pofant de plus, comme il vient d'être dit dans le 44e article, l'angle diminué de 21* dans 1'ésagöne, de 22* dans l'heptagone, &de22* 30' dans l'oclogone: Suivant toutes ces fuppofuions ï'on peut calculer d'après la table qui fuit: Héxagone Heptagone Oétogone B.. 2i° .... 22' 22° 30' . . . a.. i76,2toifes 176 I75>8 .... ƒ.. £3 24 24,8 .... c. 47,7 .... 46,5 45»S .... /. . 49,6 .... 49»8. • 49,9 .... g.. 39,4 .... 43 45,5 .... S.. 271 It.quurées 22Ó7 t. qiunées , 3*59 c' tla"rée'- D 4 § 46.  56 DISSERTATION §. 46. Continuons les mêmes recherches pour la feconde fuppofition, lorsque les faces font de 50C0f2B+l20 50 toifes. L on aura donc a = . cofB == 100 cofB 70 fee B. Enfuite ƒ = 70 x tang B & c = 70 C 2 cof B—fee. B ). Ainfi de fuite. Héxagone Heptagone Octogone B.. 21° . . . . 22'' 22° 30' . . . a.. 168,3 t. . 168,2 t. . . . 168,1t. . , . ƒ• • 26,8 . . . 28,2 29 f- - 55,7 • • . 54.3 53,5 i • • 49,° • • • 49>8 49,9 .... f- 3i,5 . . . 35,8 37,8 O.. 2348 toifes q. 2554 qmrrées 277O t. q. §. 47. Finifions ces Recherches par une fuppofition qui eft particuliére au Syftême de Fortifi. cation de Mr. Glafer, oü l'on érablit un certain rapport entre les faces & les flancs. Faifons doncF=« f; Or f= ( b — F) tang B: on aura par lai;fubftitution b tang B f— (J>-nf) tang B, d'oü l'on déduira/= . i-{-«tangB — , & F = nf-y Or F=(a cof B-b): cof 2B, cot B-J-n Fcof2B-j-£ donc a — —. cof B Pofonsparéxemple queles faces foient deux fois plus longues que les flancs: cette fuppofition donne-  fur la Fortification Permanente. 57 nera n — 2, ainfi dans 1'Exagone, l'on trouvera leflanc/= 120: ( 2,6054-2) = 26, & la face F = 52,1 toifes; enfuite le cöté extérieura= 170 toifes. Sur ces fondemens & par les formules des articles 9 —- 14, l'on poura conftruire la table qui fuit. Héxagone Heptagone Octogone B .. 21° . . . . 22° 22° 30' . . . a. . 1701. . . 171 '71 F. . 52,1 . . . 53,6 54,4 ƒ .. 26 26,8 27,2 .... c • • 53,5 • • • • 5i 5°,5 / .. 49,6 .... 49,8 49,9 g • • 35,3 • • • • 38,4 40,7 S. . 2483 t. q. 2750 t. q. . 2942 t. q. . §. 48. En comparant les réfultats des trois articles précédens a ceux des articles 34 & 36, par rapport aux furfaces des baftions, l'on verra facilement que les plus longues faces produifent des baftions plus étendus; que le cöte Extérieur n'excéde pas la longueur de 176 toifes. Au refte il eft aifé de voir par la formule du co- 2 b fin B té intérieur a (§. 13.) qu'on poura tang A conftruire le baftion, le cöté intérieur étant connu, parceque les angles A & B, & la ligne de défenfe étant auffi donnés, l'on en déduira le cöté Extérieur a, enfuite les faces & les flancs Mais 1'étendue d'un terrein étant propofée pour ètre fortifiée, 1'onpourrait être embaraffé duChoix D 5 du  ÓO DISSERTATION förprifes, en rabattant les Emplacemens occupés par F Artillerie fur les faces & fur les flancs. §. 51. Suivant la Maxime de Montécuculi, le nombre des Soldats qui bordent le Baftion occupera le front dont la longueur égale deux fois la face, plus deux fois le flanc & la Courtine. Donc pofant Arpour le Nombre des Soldats, l'on aura L'iiquation générale N = 2 F -f- i ƒ +■ c. Deux problêmes fe préfentent a réfoudre; fcavoir, la conjtruclion du baftion étant connue, déterminer la Garni/on; & réciproquement la Garnif n étant donnée, trouver la Conftruclion du baftion. Le prémier problême fe refout facilement par 1'équatidn que nous venons d'expofer. II 'eft a remarquer que le contour du baftion ne change pas fenfiblement dans les Polygones, en adoptant les trois fuppofitions fakes dans les Articles 45—47. Si donc la face eft la moitié de la ligne de défenfe, on trouvera dans le §. 45, que la Somma des deux faces, des deux flancs & de la courtine aura a-peu.près 214 toifes dans tous les Polygones. En eflet N étant = 2F4/2/ + fj mettant b F = — &ƒ == (b — F) tang B 2 b ƒ cof 2 B b tang B cof 2 B = — tangB, & c.= = ■ 2 fin B 2 fin B b cof2 B b = _ =3cofB fecB^§.o/),ilyaura 2 cof B 2 S fee B"\ N = b ( i| tang B -j- cof B J. Mais non feulement l'angle diminué ne varie pas beau  fur la Fortification Permanente. 6t beaucoup dans les Polygones; Mais auffi a mefura que tang B croïtra, coj B ira en décroilTant. Ainfi il y aura compenfation de pare & d'autre , de maniére a conferver a peu prés 1'Egalité. Mr. d Jrabeau dit dans la Taétique Pruffienne (a) qu'un homme occupe vingt un pouces en rang dans 1'ordre de bataille. Piufieurs Ingénieurs Allemands prétendent qu'un fantaffin doit occuper un pas en rang, comptant cinq pas fur deux toifes, ou fur une verge. Donc le front d'un fantaffin anrait 2,4 pas, pour lui procurer plus d'aifance a tirer. Prennons un milieu & fixons le front du Soldat a deuxpieds; en forte que trois fantaffins occupent une toife de front. II faudra donc multiplier par trois le contour du baftion, pour avoir le nombre des Soldats. Donc N = 3 (2F+ 2 ƒ -f- c): donc N = 3 x 214. = 642, hommes; Ou bien fi l'homme remplit 2,4 pies en rang, le nombre des Soldats qui bordent le baftion fera exprimé par N = 2,4 (iF + a/+ f) = 5H- Suppofant la face de 50 toifes, 1'enceinte du baftion, fera apeu-près de 210 toifes (§. 47); il faudra donc 3 x 210 = 630 hommes pour chaque baftion. Enfin fi les flancs font la moitié des faces, le contour du Baftion contiendra a peu prés 212 toifes. II faudra donc garnir chaque baftion de 636 hommes. II réfulte donc de tout cela que le nombre des Soldats eft fenfiblement le même pour tous les Polygones dans toutes les fuppofuions que nous avons adoptées. Or comme l'on peut rapprocher la plüpart des Syftèmes de Fortification des trois fuppofuions qui ont été établies dans les arti- cl es, O) P»fr *>57.  62 DIS SER.TATION cles, 45 — 47, on poura avancer cette Maxime: qu'il faut cmnpter un peu plus de Jix cent Soldats pour chaque Baftion. Voila donc un accord peu attendu entre ies maniéres d'évaluer la Garnifon d'une place, propofées par Moutecuculi & Vauhan. J. 52. Pour le fecond problême, ou l'on fe propofe de déterminer la conttruétion des baftions par le nombre des Soldats, l'on fera ufage de ï'Equation. N = 3 (2 F-j- 2 /+0>en fubftituant b —ƒ cot B pour F & ƒ cof 2 B: lin B pour c (§. 4,), il y aura. C/cofaBX 2b— 2 ƒ cot B 4- 2 ƒ -| Ld'oul'on fin B J N : 6—b tirera laValeur du flanc ƒ= 1—cotB4-cof2B: 2finB En mettant pour l'angle diminué 210 dans 1'éxagone, 22° dans l'heptagone, & 22°3o' dans l'oétogone, on trouvera par conféquent que le flanc eft 120 — N: 6 exprimé par ƒ= = 211 —0,2933 N 0,5682 dans 1'héxagone; & par ƒ = 233 — 0,3237 Ndans l'heptagone ; & enfin par ƒ = 238 — 0,34 Ndans FOétogone. 11 réfulte de tout cela que Ie nombre de Soldats devra être plus petit que 720 pour chaque baftion; car 120 ou'b doit être plus grand que i\: 6, ou bien 720 > N, pour que 1'expreffion du flanc ne devienne pas Négative. Si  fur la Fortification Permanente, 63 Si l'on voulait déterminer la conftruclion du baftion pour 500 hommes, l'on trouverait les flancs plus longs que 60 toifes & des faces trop courtes. Si au contraire l'on propofait 650 hommes pour vin Baftion, les flancs déviendraient trop courts,l& les faces excefïivement longues. Au refte après avoir déterminé le flanc, l'on trouvera la face au moyen de PEquation b — ƒ cot B; & le cöté Extérieur = (F cof 2 B + b) : cofB; ainfi du refte. 11 ferait a fouhaiterque les Ingénieurs nousfourniffent des régies pour proportionner la Garnifon & 1'étendue des retranchemens a la grandeur des Baftions. lis nous mettraient par la en état de réfoudre les deux problêmes dont nous venons de parler, avec plus de fuccès. Cependant il pourait fe faire qu'il y eüt de ces régies données par des Ingenieurs: j'avoue que je les ignore. QUATRIÊME PARTIE. De la conflrulion des Baftions par rapport h la longueur de la Courtine. a courtine me fournira encore un éxemple pour prouver que la conftruclion du Baftion doit fe régler fur une qualité éflentiéle de la dé£enfe ou de 1'attaque. Quelques Ingénieurs penfent que la courtine doit être aflez longue pour découvrir de chacun des flancs, la moitjé du foffé de-  64 DISSERTATION devant la courtine. Pour fimplifier cette recherche, je fuppoferai les deux profils des deux flancs oppofés 1'un a 1'autre, comme fi les flancs étaient perpendiculaires fur la courtine. Conlidérons d'abord les foffés fecs. (Fig. 4.) Prolongeant la plongée du Parapet Ac, jusqu'au milieu du foffé L, la ligne NL, ou plus éxaclément la ligne OL répréfentera la demi longueur de la courtine. Soit la différence entre la hauteur extérieure & intérieure du parapet AD = AB — CF =p, la hauteur intérieure du parapet au defliis du rempart, ou du terreplein AB = a, la hauteur du rempart BM = h, & la profondeur du foffé MN = q, enfin 1'Epaiffeur du parapet CD = tv Les triangles femblables ADC, ANL fournifieni 1'analogie, AD.-DC = AN:NL, ou bien p : e = ah -\- q : NL ; donc NL 5= e ( a -f- /; q ) : p; en Retranchant de NL, 1'épaisfeur du Parapet, fon talus & la berme, le refte donnera la demi courtine. Si le foffé eft plein, le point L du prolongement de la plongée du Parapet fera terminé a la furface de Feau, enforte qu'on pourra mertre la profondeur du foffé , ou q — o; donc la courtine du foffé plein s'exprimera par L Ca -f - b) e : p. Pofons la hauteur du Parapet ou a — 1 toife, fa plongée p_ = o, 5 t., la hauteur du rempart h = 3t. 1'épaiffeur du Parapet, e = 3 , & la profondeur du foffé ? = 3 toifes, la courtine fera = 2.3.7:0,5 == 84 toifes, ou plus éxaftément 78 toifes, en retranchant deux fois 1'épaifieur du parapet ou 6 toifes. Mais fi le foffé eft plein, la Courtine fera == 2 3.4:0,5 = 48 & retranchant 6, = 42 toifes. Jl réfulte de tout cela i° Que la Maxime que nous venons de suivre, n'eft  fur la Fortification Permanente. 65 n'eft appliquable qu'aux foffés pleins, parceque les courtines feraient trop longues & par conféquent les faces trop petites. 2' Que la courtine devient plus longue en raifon de 1'épaiffeur du Parapet. 3* Qu'elle décroït a mefure que la plongée du Parapet augmente. Après avoir déterminé la longueur de la courtine, il fera facile de trouver les autres parties du rempart. On cherchera d'abord le flanc ƒ = c fin B : cof 2 B (§. 9.); enfuite la face F = b —ƒ cot B . & ainfi du refte. Au refte l'on pourra fe pafler de fixer la longueur de la courtine, pour découvrir des deux flancs le milieu de la courtine, fi l'on veut conftruire des bas flancs, d'oü l'on pourra facilement découvrir toute 1'étendue du foffé. Les bas flancs donnent un feu rafant, qui défend vigoureufement le foffé & le pied du Baftion. E SE-  66 SECONDE DISSERT AT ION SUR LA FORTIFICATION IRREGULIERE. ' §• 53* J e conviens volontiers avec les Ingénieurs qu'il fauc rapeller les places Jrréguliéres aux principes de la Régularité autant qu'on le peut, parceque leur force en devient plus égale par tour. Maisjenefaurais fouscrireaufentimentde ceux qui font laréduclion de la fortification irréguliere fuivanc 1'un ou 1'autre fiftême de la Fortification réguliere. Ayant fait voir qu'il ne faut fe tenir exclufivement attaché a aucun fyftême, mais qu'il faut fortifier une place felon les circonffances particulieres du lieu quiregardent le terrein même & fes avenues, J'efpéreprouver qu'il ne faut pas puifer la fortification irréguliere dans les principes mêmes de la Fortification Réguliere. Pour rapprocher 1'une fortification de 1'autre, il fuffit que les parties foient bien flanquées, que Ie cöté Extérieur foit parallelle au có'é intérieur, enfin que les angles diminués foient a-peu-prés tels que nous les avons déterminés dans Partiele 44. §• 54- 11 eft plus nature] de commencer la Fortification Irréguliere par le cöté intérieur, que par le cöté extérieur, parceque 1'enceinte d'une pla- ce  DissERt. fur la Fortificat. Irréguliere. 6? ce eft terminée par les cötés du Polygone intérieur (Fig. 5.)- Qae Gg, gn, GN repréfentenc les cötés de 1'enceinte de la place qui font connus, les angles H Gg & Gg H, ne font pas les moitiés des angles du Polygone NGg & Ggn, com« me l'on fuppofe ordinairement, parceque l'on coupe, comme dans la Fortification réguliere, les angles en deux parties également, par les lignes capitales. On peut partager en deux parties inégales les Angles du Polygone felon les circonftances, hé pourquoi les partager également? eft-ce pour conftruire un baftion a deux faces égales & aux deux flancs égaux ? Mais l'on attaque ordinairement les faces AB & ab des deux baftions oppofés. 11 ferait donc plus convenable de donner la même force aux deux faces oppofées AB & abt en les faifant d'égale longueur, ou du moins de ne les pas rendre trop inégales, fi on peut le faire fans inconvénienc. Soit l'angle HGg == GAa — A, & l'angle GgH = HaA==«, l'angle diminué, a A ƒ = B, cVl'angle AaF = 0; de plus A ƒ 'sa F a — b ssa la ligne de Défenfe; les flancs BF & bf font perpendiculairs fes les lignes de Défenfe. Le triangle GA/, fournit 1'analogie, fin AGf: £ fin ( A — B ) Af = fin GA/: G/ donc Gf sa , & fin A b fin 0-/3) paf le triangle Fga, il y auragF sa . Donc fin a (fin (A —B) finC« — &y\ + )-i>üi fin A fin a _y dénote le coié intérieur qui eft connu. Ê s Aprés  6"8 DISSERTATION Après avoir troavé la courtine F ƒ = c, il fera facile de trouver les flancs, parceque A/G = fAa = B, & BFf= go" -f /3; donc/BF = oo° — B-/3; Or fin FB/: /F=fin BƒB: BF; cfinB donc le flanc BF = . L'on trouvera cof(B+/3) f fin /3 de même le flanc oppofé b f = « . . cof (B 4-/3)' L'on déterrninera les faces au moyen de la proportion, fin F B ƒ-. F ƒ== fin B F/: B ƒ; donc c cof/3 B ƒ" = •, par conféquent la face cof (B +/3) c cof/3 A B = Af— B ƒ= b * , & la fa- cof(B4-/3) - ■ ~ . fin* finA §. 55. En cas que les deux faces oppofées doivent être éga!es,Jl faut que A B foit = ab, ou b — ecofB b— c cof |3 bien que = ■ ■ par cof(B-}-£) cof(B + j9) conféquent B == /3; donc les deux angles diminués doivent être éganx de même que les deux flancs oppofés. Alors la courtine deviendra /'fin CA— B) fin(«—B)X — '' ( + ï } -—/,1a face V fin A fin et y c cof B c fin B ~b , & le flanc = &c. cof 2 B cof 2 B §. 56. Pour faire entendre 1'application des formules précédentes, je prendrai 1'éxemple propofé par Mr. Sidérius habile Ingénieur Hollandois. O) La O) Gronden der Vesting-bouwkunde Amtterdam 1784. E 3  7<5 DïSSERTATlON La figure eft un Exagone irrégulier. Le cöté Gg eft = 131,4 toifes; gn = 136, nD = 132,4. DE = 130,NE = i46;4;NG= I22,6.1es angles NGg = 940,G^k= 137°, gnD =124° 35'nDÈ=: 104-20', DEN = 122° 35', ENG = 1370 40'. II conviendra de commencer par le plus petit an« gle NGgqui eft de 94°. Or il faut néceffairemenc partager également ce petit angle, qui ne furpaffe pas de beaucoup l'angle droit; donc l'angle HG£ = NGH == 47° = A. Mais l'on ne pourra faire l'angle diminué a A /=B plus grand que 17 degrés, autrement l'angle du Baftion deviendrait plus petit que 60 degrés. Si l'on voulait couper l'angle adjacent Ggn auffi en deux parties égales, comme eet angle appartient a-peu-près a un Polygone de neuf cötés, il faudrait prendre l'angle diminué A a F = /3 de 23 degrés, mais alors la différence entre les deux angles diminués qui eft trop grande, produiroit des faces trop inégales. Pour éviter eet inconvénient, je prendrai l'angle 8=21 degrés & l'angle GgH = » = 69 degrés; donc A ■— B = 30 degrés & » — |3 = 48'. logé =2,0791812 log b = . .=2,07918 ia IogfinCA-B)=9,69897oo logfin(A-0)=9,87io735 1,7781512 i>9502547 I log fin A =9,8641275 log fin a =9,9701517 1,9140237/ 1,9801030 donc  fur la Fortification Irréguliere. 71 Cn(A-B) fin (*-j8) donc* —62 * ' —95>6 fin A fin m 95,6" G^ = i =131,4 B + 0 =38; F/ = c =4.6,2 loge =1,6646420 log fin 0 =9,5543292 log c =1,6646420 ■ log finB =9,4659353 1,2189712 i,i3°5773 9,896532i cof(B-|-|S)=9,896532i log b ƒ =1,3224391 — bf =21 logBF =1,2340453 bf cot 0 =54.6 BF =17,2 £ . . =120 BF x cotB =56,2 1 b =120 face ab =65,3 faceAB =63,7 \g f =131,4— 82=49,4. fin (A — B) la demi Gorge GF = c — b —-— fin A = 131,4 — 95,6 = 35,8 laligne Capicale GA = 48,9 & 1'autre ga = 46,1 11 faut bien remarquer que la ligne Capitale ag appartient aux demi-baftions f b a g & a h M g. Or l'angle Hgn = 137* — GgH = 68" = A; donc l'angleLae= B fera déterminé par 1'équation ag = / = b fin B : fin A. Donc fin B = / fin A s b = 20* 50'; & A — B = 47 ° io' =s gam Pour acbever les baftions fur le co,tégn=. 136 totF 4 fes,  72 DISSERT1TI0N fes, il faut faire attention a l'angle gnü = 129* "35', & au fuivant «DE, qui n'eft que de 104° 20'. L'on peut donc prendre gnp== 68' — Hgn; reftera l'angle pnD = 124° 35' — 68° = 50* 35', qui fe pourra facilement combiner avec l'angle DEN. Cela étant pofé les deux demi-Baftions galm & ml en feront parfaitement les mêmes, parceque B = g = 20* 50' & « — 0 == 47' io'. Or dans ce cas, la courtine c == Mm, s'exprkne2 b fin CA —B) ra par i = 189,9-136=53,9. fin A L'on trouvera le flanc = c fin 0 : cof 2 0 = 25,6 = ML = ml. La face =120 — 67 = 53 = ah = el. La demi gorge = z' — 94,9 = 41 =gM = mn: La ligne Capitale =46,1 = ne (§. 56 ). Or cette ligne Capitale ne, iervira comme au paravant a déterminer l'angle diminué du demi baftion eqrn. Mais l'angle A = pnD = 56° 35', l'on trouvera fin B= 46,1 fin A : b ; donc B = iti' 42'; donc A — B = 37* 53' = ncq. L'angle «DE, n'étant qne de 104' 20' l'on n'en pourra prendre tout au plus que la moitié, ou 52* 20' = * = «DO = oDE pour le combiner ave l'angle A. Prennant de même l'angle diminué 0 = 18 • 42' donc rüo= a, — 0 =33° 38' & i = 132,4 =/;D. II en réfultera deux faces égales & deux flancs égaux: ainfi l'on trouvera felon .§. 55. La courtine c = 40 t. = rt. les flancs =c fin B:cof 2 B= 16,1 =rq = ts. les faces z= b— i6,icotB = 72,5 = e2 = «j. la demi gorge = 48,3 = nr. & la demi gorge = 44,1 = tD. la ligne Capitale = b fin 0 : fin « =x 48,6 = Du. Or  fur Ia Fortification Irréguliere. 73 Or comme l'angle du Polygone »DE a été coupé en deux parties égales, l'angle diminué qui était de 18-42' pourra ètre apphqué a 1 angle Tol = A =V- L'angle DfcN = J.V- 35 peut être partagé dans les deux angles Dfco — 5*5 oHN == ?c° 35', enforte qu'il en refulteiait deux demi baftions égaux, D.« & PE yi donc A - B = « - 0 = 33° 1-8'- le cöte Dï etant = 1301. Ion trouvera en fe fervant du calcul précédent. la courtine c = 37>2 — XJ les flancs = 15,4 = ** = 3£. les faces = 74,5 = — la demi gorge = 46,4 = EJ — xU la ligne Capitale = 48,6 s= EP. Au moyen de cette.ligne Capitale, Ion trouvera l'angle diminué ouB= 22° 30' pour l'angle du demi Polygone A = 7°° 35' = »EN. Le dernier angle ENG étant de 1370 4= & dfvant être combiné avec le petit angle NGg de 04.% par lequel nous avons commencé le calcul, l'on donnera 63° a l'angle ANE, comme nous avons donné a-peu prés autant al angle ANG, ainli l'angle E NA pourra être de 137°40 -6$°—Jf*° & pofant B = 0 = 22° 30', il y aura EPK == A — B = 48° 5' & NKI = « - 0 = 52° 10 & l'on obtiendra deux faces égales & deux flancs égaux; le cöté EN eft = i4<5,4la courtine eft = 46>6" — £1 chaque flanc = 25,21.= Cl = KK_ les faces = 59>3 = PC = io" = NR. , enfin le dernier cöté NG = 122,6, tient a 1 angle GNA=A = 63° & a l'angle HGg = 47° = » > 1u1 E 5 3  74 DISSERTATION a été déterminé dès le commencement de ce calcul. La ligne capitale RN étant de 47,6 toifes, l'angle diminué B dok être de 200 42'; donc A — B = 420 18' = NRh. Or l'angle diminué 0 a éré trouvé 17 degrés, en conféquence de ces données l'on trouvera la courtine aT = 52,5 toifes. Je flanc Sï s-s 25,4 }e flanc ux ra 19,4 la face RS 3= 52,8 la face Ax = 56,5 la demi gorge NT = 40,6 & Ga = 33 la capitale RN = 47,6 & AG= 48,9. §. 57. Avant que d'apprécier la conftruclion des remparts que nous venons de donner, pour fortifier 1'éxagone propofé, il faut déterminer les furfaces des baftions. La plupart des baftions étant compofés de deux demi-baftions inégaux, il faudra calculer féparément les furfa- F / ces des demi-baftions, par la formule fin ■2 fg (A —B)-J cofB(§. 20.) Nous commence- 2 BAAG rons par la furface du Baftion mxABF = . BFxGF AxxAG fin GAB -j cofB -{ fin xAG 2 2 Gu x xu AG -i ' cofB = (AB-f- Ax) fin (A—B) -f 2 a cof B (BF x GF -J- Gaxia) . . a U  fur la Fortification Irréguliere. 7$ II faut fe fouvenir des calculs précédens, que AG = 48,9; BA = 63,7; Axz= 56,5; BF == 17,2; GF 35,8; Gu = 32, ux = 19,4; A-B m 30* & B 17'. L'on trouvera donc la furface du baftion =3 2060 toifes quarrées. La furface du baftion ƒbahM ag bfxfg c- — (ab fin 48° 4- aLfin 47* + —' 2 2 cof 2i* 4 x M L cof 22' 40' m 2988,7 toi- 2 fes quarrées. La furface du baftion mleqr'= 3072 t. 72,3 quarrées. Lafurface du baftion tsuzx = X48,6 2 15,4 48,0 fin 33" 38' 4 X 46,4 x cof 18° 42' + 2 3 44,1 74,5 fin 33° 8' 4 . 16,1 cof18° 42' = 2639,8 2 toifes quarrées. 74»S La furface du baftion yz'PCI = 4^»6 fin 2 46,4 59,3 33» 18' -J- . 15,4 cof 18» 42' 4 . 48,6" 2 2 25,2 fin 48° 5'4 : 48,1 cof 22° 30' = 2962 toi- 2 fes quarrées. Enfin la furface du baftion £KRST contient 2784 toifes quarrées. §• 58-  76 DISSERTATION §. 58. Les deux articles précédens fourniffent lés réfultats fuivans. 1° les .Baftions font luffifa ment fpacieux excepté le baftion «xAEF. Pour rémédier a ce défaut, l'on pourra garnir les faces d'uné couvre-face, 11 faut remarquer en général que les ouvrages de dehors doivent être réglés fur la grandeur & la pofuion des parties du grand rempart, en forte qu'on renforcera les cötés faibles d'une place par des ouvrages de dehors conItruits avec difcernement & relativement a leur défenfe mutuelle. 2° Les flancs étant presque tous petits, on renforcera leur défenfe au moyen des bas flancs. 3» Les faces font presque toutes beaucoup plus longues que nous ne les avons déduites des fyftêmes de la fortification réguliere. Mais je Fai deja remarqué, la fortification Irréguliére ne doit pas être entierement affujettie aux préceptes de la fortification réguliere. Les longues faces font préférables aux petites , par ce qu'elles produifent des baftions fpacieux, & qu'elles fervent de fortes batteries contre celles de 1'ennemi. Les faces ne font pas, comme penfent quelques Ingénieurs, des ouvrages Morts.. De longues faces bien difpofées'peuvent produire un feu croifé contre les ouviages de 1'ennemi. Au refte il y a des moyens de diminuer les faces, ou en augmentant les angles diminués, ou en diminuant la courtine, en aggrandiffant les angles A. §. 59. On trouve fouventdans les livres de.fortification des éxemples pour fortifier les places Irréguliéres, qui font plus propres a exercer les Eléves, qu'a fervir de Modéles. II eft a préfumer qu'il y a trés peu de places fi ingrates, que le terrein ne permette pas de diminuer, ou de prolonger un cöté , ou un angle du contour pour en rendre la fortification plus aifée. 5'il y a des an-  fur la Fortification Irrègulièra TI angles rentrans, il vaudroit mieux les combler, parceque'ils préfentent a 1'ennemi un cöté bien foible. Si les cötés intérieurs font plus longs que 170 toifes, on brifera un tel cöté, ne feroit-ceque fous un angle de 150 degrés. Alors chacune des lignes du cöté brifé auroit environ 88 toifes. —— Or ce cötê intérieur de 88 toifes ne peut fupporter deux baftions, les flancs déviendroient excesfivement longs, & les faces feroient par conféquent trop courtes. Dans ces cas l'on conftruira un baftion fur le cöté intérieur, & l'on mettra un Ravelin ou une demi lune, au devant de l'angle qui refte découvert. Le fameux Mr. Rimpler & d'autres Ingénieurs ont foutenu que les baftions, élevés fur le milieu des cötés des Polygones intérieurs, produiroient un meilleur eftet que ceux qu'on conftruit a 1'ordinaire fur les angles des Polygones. Pour difcuter cette queftion, il faudrait avoir recours a la défenfe que donneroient les ouvrages de dehors aux baftions placés fur les cötés du Polygone. M'étant propofé de traiter dans une autre occafion de la défenfe des places, je dois terminer ici cette Diflertation TROL  78 TROISIEME DISSERT ATION sur LA FORTIFICATION de CAMPAGNE, §. 60. ]L/ a Fortification de Campagne eft devenue une nouvelle branche de 1'art militaire par les travaux de Mr. Clairac. Réduite aux redoutes aux Forts a Etoile, elle étaic confondue avec la Fortification permanente; cependant 1'une & 1'autre Fortification font fondées fur des principes djfférens. Pour les avoir déduits des mêmes principes, l'on a donné dans des erreurs dangéreufes; de la les lignes & les retranchemens continus, qui imitent en quelque facon les ouvrages qui environnent les places fortifiées. Les Militaires de nos jours font peu de cas de ces retranchemeus continus. Une armée doit combattre eti pleine Campagne: elle ne doit pas être gênée dans fes mouvemens. L'armée en ordre de bataille, n'eft pas dans la Situation d'une armée renfermée dans une ville fortifiée. La Fortification de Campagne eft intimement liée avec la Tacïique. II eft permis a un Officier d'ignorer la grande fortification; mais il ne peut ignorer la Fortification de Campagne, s'il veut bien défen- dre  dissert. fur la Fot tificatton dè Campagne. ?9 dre le pofte confié. Auffi la Fortification de Campagne eft elle afTujettie aux changemens analogues a ceux de Ja tactique. Les Allemands ont perfeétionné cette partie & lui ont donné la forme d'une fcience. Mr. Tieike Capitair.e au Service de Saxe, eft le prémier qui a traité cette fcience, dans toute fon étendue, ayant éxadtement ïndiqué pour ainfi dire,les nuances entre les deux fortifications. II a donné les maximes & les principes propres a la Fortification de Campagne; en un mot eet habile Capitaine a envifagé eet art fous le vrai point de vue. Si je m'étois propofé d'ecrire 1'hiftoire des progrès que l'on a fait dans cette partie du génie, je ne paiferois pas fous filenceles Marquard, Gaudi, de Zach, Scharnhorst, Muller, & autres Militaires qui ont joint la théorie a 1'expérience: mais je me bornerai aótuellement a trailer Géométriquement les retranchemens connus fous le nom d'Ouvrages h tenaille ou de Rédens. Je ferai des recherches fur la conftruclion la plus avantageufe de ces fortes d'Ouvrages. §. 6,1. 11 me femble que la bonne conftruclion des rédens ou ouvrages a tenaille dépend de deux principes. Elle éxige prémiérement, le moindre contour par rapport a un front donné qui doit ê_tre retranché, afin qu'elle ne demande pas beaucoup|de monde & de canons pour être défenduci En fecond lieu, la conftruclion de ces ouvrages fera préférable, quand elle fournira une plus ferte défenfe, eft égard a la deftination des retranchemens de Campagne qui ne peuvent faire a beaucoup prés une fi longue réfiftance que les places fortifiées. Pour procéder méthodiquement, je rangerai les Ouvrages en queftion fous deux Genres dont 1'un fe rapporte aux retranchemens, oü les perpendiculaires abbaiffées des angles fur le front font  80 DISSERTATIOK font égales; 1'autre genre fe rapporte a des Ouvrages aux perpendiculaires inégales. Chacun de ces deux genres comprend encore deux efpèces, les angles de défenfe font droits, ou ils font plus grands que les angles droits. §. 62. Je commencerai par les retranchemens, oü les cfig.7-)PerPendiculaires AD, CF font égales. La ligne DH =s 2 a repréfente le front qui doit être retranclié. La diftance d'une perpendiculaire a 1'autre, ou DF, eft Ja moitié du front = a. L'angle de la flècheaAB étant donné, l'angle ABD fera connu. Je poferai ABD = «; & l'angle CBF = 0 que fait la courtine brifée BCE avec le front, Or le triangle reftangle ADB fournit la proportion 1 : tang « = DB : AD; donc AD = DB tang ». On trouvera de même la perpendiculaire CF = BF tang 0; Mais les perpendiculaires font égales dans le prémier genre des retranchemens, donc AD = CF ou DB tang a = BF tang 0; D B tang 0 DB tang 0 partant = & J- 1 = _j_ j B F tang« B F tang a a tang 0 -f- tang * ou bien —— = • ■ —. B F tang « a tang « Donc BF =s —; par conféquent. tang cc -j- tang 0 a tang 0 BD = a ~ BF = _; tang « -j- tang 0 09  fur la Fortification de Campagné, 81 Or le demi - contour eft A B + B C; Mais cof a : i = D B : A B; donc A B = D B : cof *. De même l'on aura B C = B F : cof/3. Ainfi le contour entier fera = 2 (AB + BC) 2 a tang 0 2 « tang a (tang * + tang 0) cof* (tang a + tang f3)cof (3 2 a x-tang /3 • • tang «\ tang *+ tang/3 V c°f* cof $ ' fin (3 Or l'on fait par la trigonométrie que tang /3=—, cof/3 le rayon étant fuppofé égal a 1'unité; de même il fera tang « = fin *: cof et. Donc faifant les Subftitutions, le contour deviendra 2 a S fin /3 fin« V fin * fin /3 v*. cof /3 cof * cof et cof/3./ cof« cof/3 2 acof * cof 3 /" fin /3 + fin « X "~ fin et cof 0 -f- fin/3 cof * V cof/3 cof « / fin /3 ■+■ fin «1 — 2a > car il eft connu que fin (*+0) _ finoicof/3+fin0cof«=fin(« + f3)(form3O if ' F eft  82 DISSERTATION eft auffi démontré par la formule 6, quefin«-}-finj3 « +/3 (*-/3) = 2 lin cof , & que fin («-f- 0) 2 2 (*-f-/3) (*+/3) = 2 lin cof ; ( Form. io. ) 2 2 donc faifant la fubftitution, le contour s'exprimera 2 a cof « — /3 - 2 par . cof ( « -f- j@ ) 2 Pour la conftruclion de ce prémier genre de Retranchement, il faut connoitre les perpendiculaires . _ o tang S x tang « AD = CF = DB tang«= L. tang «e -f- tang /3 = a fin 8. fin » (fin « fin V ) cof /3 cof * cof* cof/3./ fl fin /3. fin * AD == ' : de plus A B = finO-J-0) fln «  fur ïa Fortification de Campagne. 83 afin0 CF afin* CS , , & BC — = , & fm(*40) fi" 3 fin(« + /3) a fin 0 cof * fl fin <* cof/3 DB = , & BF = . fin («4 0) fin («40) §. 64. Comme il y a deux efpèces de ce prémier genre des retranchemens, commencons par Ia prémière efpèce , oü l'angle de défenfe ABC = 90» donc «40=90° & 0 = 90°— «; donc * — 0 et — 0 tas « — 90° & = « — 45*; donc le 2 cof(« —450) contour fera exprimé par 2 a == 2 a cof 45° (cof « 4 fin «) (form. 5-) Le contour ne peut devenir un Minimum, mais il fera un Maximum, lorsque « — 450 = o, ou et = 450: dans ce cas le 2 a contour fera == = 1,414.2S,&0=45°=«. cof 45 a (fin 45° > a De plus AD = DB = BF = = — fin 900 2 a a Et les faces A B = B C = = = 0,7a. 2fin45° V % Ce retranchement eft donc régulier dans toutes fes parties. La défenfe fera par tout la même. F 2 Mats  84 DISSERTATION Mais il aura le plus grand contour. En effet le contour diminué a mefure que l'angle «augmente. §. 65. Refte a apprécier la défenfe que ce retranchement régulier oppofe a 1'ennemi, Je fuppofe que 1'attaque fe fait parallellement a la ligne frontale DH, fur l'angle C. Tirant les lignes de défenfe AQ,BO,ES,GP, perpendiculairement fur les faces AB & EG, il y aura un feu croifé dans 1'efpace R C. II n'y aura point d'angle Mort. Mais pour juger de la violence du feu fur les attaquans, ne faudroit-il pas déterminer léparément 1'effet que le feu fera fur les ailes, de celui auquel le centre du Bataillon de 1'ennemi fera expofé? Pofons PG = AQ = 60 verges ou 120 toifes, qui eft la portée du fufil. Donc les ailes du bataillon attaquant P Q commenceront a être incommodées par le feu, avant que le centre foit entré dans Je feu croifé enR en forte que les ailes fouffriront plus quele centre. Nous fuppoferons toujours le front de 1'attaque de foixante toifes. a Parceque DB= BF= — = A D = C F = 2 30 toifes, il y aura AB = 1/2 DB* = DBl/2 7 DB = 1,41 DB = = 42 t. = BC = Aa; 5 donc AR = RG = 2CB = 84 t. Or A Q = PG = 120 t , partant RQ = PR = 120 — 84 = 36 t., donc les ailes du bataillon commenseront a éprouver le feu de la mousqueterie aux points  fur la Fortification de Campagne. 85 points Q & P. Les triangles femblables PRQ, ARG feront connoitre J'étendue du front PQ, dont les ailes feront entamées par la moufqueterie. Or AR : AGou DH = R Q : P Q, ou bien 84: xao = 36 : 51,4 toifes ss PQ. Or nous avons fuppofé le front du bataillon attaquant de 60 toifes, l'on voit donc que les ailes feront deja expofées au feu, aux points P & Q favoir a la diftance C'P, qui eft s= TR -f- RC = 5 ( RQ -f- R A): V2 = AQ : V 2 — 120 — — 7 85,7 toifes ou de 214,25 pas. Nous fuppoferons dans la fuite, que les Soldats êtant venus a la portée du fufil, en Q& P, avanceront toujours fans tirer, en faifant 100 pas dans une minute. Nous fuppoferons auffi que les affiégés ne font que quatre décharges par minute, afin qu'ils aient le tems de bien tirer. Tout cela étant pofé, il s'en» fuit que les ailes des attaquans feront pen- 214,25 dant ss 2'8"a-peu-présdans lefeu, par 100 confequent, ellés efiuyeront9décharges, avantque d'arriver au foffé. Mais plufieurs caufes fe réuniffent pour rendre ce feu moins meurtrier, nous en allons indiquer les caufes principales, fans entrer dans un détail minutieux. Pour eet eftet nous établirons trois principes. §. 66. Les ailes, de même que tout le front de 1'ennemi P Q, effuyent un feuoblique, qui part des faces AB & EG fous l'angle GPQ de 45 degrés. Or il eft certain que le feu qui part du F 3 front  «6 BISSER XATION front BC, contre le front oblique AE, ne frappe pas tout le front oblique, mais feulement une partie AD qui égale le front droit BC (Fig. 6.) II faut donc diminuer le rilque d'être bleffé ou tué, en raifon de BC : AE ou bien comme i : cof de Fobliquité comme, V 2 : i , = 7:5, dans le cas préfent; on pourra par cette raifon reduire les neuf décharges a — = 6 ■— char- 7 a ges a-peu prés. De plus, le feu ne produit pas le même effet dans toutes les diftances. Pour ellimer 1'effet des décharges, nous ferons ufage desexpériencesque M. Schamhorst a.rapportées(a). On a fait charger des pelotons a differentes diftances contre des planches afles longues de la hauteur de neuf pieds, ce qui eft a peu-près la hauteur d'un cavalier monté a cheval. 11 réfulte de ces expériences, que de icoo coups tirés, a la diftance de 120 toifes, 149 ont frappé la planche, & 183 a la diftance de 80 toifes, &. 403 a la diftan« ce de 40 toifes. Le célébre Scbarnhorst rapporte dans un autre endroit du même ouvrage que nous venons de citer (b~) que le nombre des coups qui frappérent une planche de fix pieds de hauteur, ce qui eft la hauteur d'un fantaffin, eft a celui des coups contre une planche de neuf pieds de hau- 3 5 teur, ou de la hauteur d'un Cavalier, comme —: — a 4 6 la (a) Voye? le troifieme Tome. Handbucb, Pag. 373.  fur la Fottification de Campagne. 37 3 1 i , la diftance de 120 toifes; comme — : —, a la 8 2 1 3 diftance de 80 toifes, & comme — : — a la 3 8 diftance de 120 toifes. Reduifant felon ces rapports, les nombres des coups contre les escadrons, au nombre des coups qui peuvent frapper un bataillon, l'on trouvera 133 coups portans a 3 1 la diftance de 120 toifes; car — : — = 149:133. 8 3 De même l'on trouvera 138 coups portans a la diftance de 80 toifes & 362 coups a celle de 40 toifes. §. 67. II feroit inutile de déterminer pour une diftance donnée le nombre des coups portans, au moyen des méthodes d'interpolation, que fournit le calcul differentiel. Les nombres des coups portans entre 80 & 120 toifes de diftance differant trés peu entre eux, l'on pourra trouver les coups intermédiaires par une fimple proportion. Car depuis 80 jusqu'a 120 toifes, ou dans 1'intervalle de 40 toifes, le nombre des coups portans ne diminue que de 5 coups, donc fur 8 toifes, il faut rabatre un coup. Ainfi de mille coups tirés il y en aura 135 de portans a la diftance de 104 toifes. ^ Mais pour les coups qui portent depuis 40 jusqu'a 80 toif., on les déterminera par une raifon inverfe des 362 ! diftances: en pofant — = ( — ) , ou bien 138 \%oj F 4 -  83 DISSERTATION 362 /8o*v -— = ( — ) = 2", l'on trouvera 1'expo. 138 \4oy fant » == 1,39 = i,4 = — a-peu-prés, au 5 362 moyen des logarithmes, parceque n = log : 138 log 2 = 7 ' 5' Nommant * la diftance a laquelle tous les mille coups feroient portans, on trouvera par 1'équation x\ ■=. 0,362 (40)7, la diftance x =x (0,362)7 40 = 10 toifes a peu- prés; cette diftance ne paroit pas être trop grande pour qu'un fantaffin ne manque pas fon coup. Pour ne pas abufer de la patience de mes lecteurs par de longs calculs, & par ce que d'ailleurs les experiences faites fur cette matiere ne font pas afles décifives pour en tirer une théorie complette, je me contenterai d'une methode plus facile pour le calcul. Parceque depuis 80 jusqu'a40 toifes, ou la probabilité des coups portans augmente depuis 0,138 jusqu'a 0,362, dans 1'intervalle de 40 toifes, l'on peut augmenter le nombre 0,138 de 0,0056 = (0,362.0,138) : 40 pour chaque toife au deflbus de 80 jusqu'a 40 toifes. De plus, par^ ceque Ja probabilité des coups portans depuis 40 jusqu'a 10 toifes, feroit de 0,362 jusqu'a 1,000, on peut augmenter le nombre 0,362 de 0,021 = ( 1,000 — o, 362) : 30, pour chaque toife depuis ^o Jusqu'4 10 toifes. Nous ferons ufage de cet- W  fur la Fortification de Campagne. 89 te fuppofition, voulant déterminer la défenfe relative, & non pas la défenfe abfolue des retranchemens. Ainfi les fuppofuions que nous venons d'adopter, ne nous ferviront que de termes de Comparaifon, , ... Avant d'entrer en matiere, nous établirons un troifieme principe , pour déterminer la diftance moyenne, a laquelle Ion devra rapporter la force du feu que fait le bataillon contre un front oblique donné. Soit BC le bataillon, & AE le front oblique, que A B foit la plus petite diftance entre AE & BC, oc la plus grande diftance, donc la diftance moyenne fera OM= (EC + AB) s 2 = (a AB + AE . ' ED) : 2 = AB -J fin EAD ou bien ega- % le alapluscourte diftance augmentée du demi front, multiplié pas le finus de fon obliquité. Nous ferons ufage de cette formule, lorsque les lignes du feu feront au deffous de «o toifes; parceque au de la, les effets des décharges ne varient pas fenfiblement a differentes diftances. Si la plus grande diftance EC etoit connue; l'on en déduiroit la diftance moyenne, exprimée par AE E C fin EAD. 2 §. 68 Nous venons de voir § 65. que le bataillon a la portée du fufil AQ = GP ne prefente que les deux ailes: de óo — 5i»4ss 8,6 toifes, = Qb + P a au feu, & que comp3 F 5 tanc  90 OISSERTATION tant 3 hornmées en front fur une toife; il n'y aura que 26 hommes expofés, fur les deux ailes, dont il n'en faudra prendre que 26.0,133 pour avoir le nombre des coups portans, qui ne montera probablement qua trois hommes, qu'il faudra 5 encore reduite a — pour avoir 1'effet du feu obli7 que. Mais nous ferons cette derniere reduólion a la fin de eet article. Le bataillon aura avancé 25 pas =: roo r 4 = 10 toifes aprés la feconde décharge , il fera donc vcnu de ab en cd, pofant eT ss 10 toifes. Or RT : eR ss PQ : pq, donc RT : eT = PQ ; , PQ PQ — pq> donc VQ — pq = eT x = a la RT P Q difFerence des fronts qui font dansle feu. Or RT = 2 : donc PQ — pq ss 2. eT ss 20, donc pq ss PQ — 20 = 51,4 — 20 = 31,4 t , donc 60 — 31,4 == 28,6 toifes = 8,6 -f- 20 égale la longueur des ailes, cp -f- qd, donc 28,6.3 = 85 hommes font expofés au feu, a la diftance Aq. Or R Q RT : eT ss RQ ; Rq, partant Q3 = eT. RT 7 — — f'P = 14, donc Aq =AQ — Qq ss 120 — 5 14  juf la Fortification de Campagne. 91 14 — 106 t. Mais a la diftance de ic6 toifes, il y aura 135 coups portans des milles, il y aura donc 85. 0,135 = 12 coups portans. Le bataillon fera avancé a la troiüeme decharge, de 2 eT = 20 toifes = Tf en gb, donc PQ _ ik — 2 20 = 40, donc ik = 51,4 — 40 — 11,4, la longueur des deux ailes fera = 60 t- 11,4 = 48,6, occupées par 146 hommes, a la diftance, *A = 120 — 14-2 = 92 toifes. Or a cette diftance la probabilité des coups portans eft 0,136, donc il y aura 146". 0,136" == 25 coups portans. Mais a la diftance de 3. eT= 30 toifes = Tu le bataillon fera entré dans le feu croile: parcequ'il aura depaffé la ligne TR , qui eft de 25,7 toifes. Ainfi tout le front du bataillon fera dans le feu, &ilyrefterajusqu'aufoffé. Au refte le feu croifé ou doublé n'augmente pas le nombre des coups. En le confidérant géometriquement, chaque Soldat ennemi peut s attendre a deux coups a la fois dans le feu croifé, enforte que les bleffures y pourront devenir plus dangereufes, mais le nombre des coups n'y fera pas doublé. Cela étant pofé, le bataillon après avoir avancé de 3.10 = 30 toifes fera venu en u. Pour déterminer la diftance du feu n G, l'on inférera RG R C : Cu — RG : n G, donc «G = — Ca =. — Cu. Or RC = CG = 60 t., & Ru = 5 30 - 25,7 == 4,3 donc aC m 55,7 partant  9* DISSERTATION 7 nG= — 55,7 = 78 toifes. On doit fai5 re ufage du troifieme principe du (§. 67.), pour déterminer la diftance moyenne du feu. La partie du front mn ss mu -f un ss 30 -f Ra = 34,3 toifes eft a la plus petite diftance du feu G« sz 78 toifes, donc il fera a la moyenne diftance = 34,3 5 ?H . — = 90 toifes, ou la probabilité 2 7 des coups portans s'exprime par 0,137, donc il y aura 34,3-3. o,i37 = 14 coups portans. Pour la partie du front raoqui eft= 60 —34,3 = 25,71., & qui comprend 77 hommes, elle fera expofée a la diftance moyenne «G ^ x — = 84,21, * 7 donc il y aura 77.0,138 = n coups portans, en tout 25 coups portans. Le bataillon aura avancé a la cinquéme décharge, de TJ ss 40 toifes; donc R/= 40 — 25,7 = 14,3 =fj~» & JCs= 60 — 14,3 = 45,7 & tG 7 — 45,7 — = 64 t. Or le front sr t ss 30 4.14,3 5 = 44,3 étant expofé au feu, a la diftance moyen. ne = Ö44- 15,8 = 80 toifes, il y aura 44,3.3.0,138 = 18 coups portans. - Le  fur la Fortification ds Campagne. 93 Le refte du front tx = 30 — 14,3 = 15,7 fe trouve a la diftance moyenne = 64 4- 6 = 70 toifes; donc la probabilité des coups portans doit être exprimée par 0,138 4- 0,0056. 10 = 0,194, par confequent il y aura 9 coups portans, ainfi en tout, 27 coups portans. Ala fixiéme décharge, le bataillon étant venu en y, & s'êtant approché ala diftance yC= 60 — 24,3 = 35,7 éprouvera la decharge a la diftance Kz 5 moyenne zG -\ . — = 5° + l9>5 — 69>5 £• s 2 7 donc il y aura probablement, 163 x 0,194 = 32 coups portans. Mais la partie de 1'aile z I = 60 — 54,7 = 5,3 toifes & quicomprend 16 hommes, eft expofée au feu a la diftance RA= 84 t , donc il n'y aura que 16 x 0,138 = 2 coups portans, par confequent la fixieme décharge produira 34 coups portans. Pour la feptieme décharge, ou xC =s 25,7 == xi, la partie du front S i = 30 4- 25,7 = 55,7 eft expofée au feu, a la plus grande diftance Bi = BC 4- Ci = 42 4* 36 = 76 toifes, donc a la 55,7 5 moyenne diftance =76 . — =56 toif. 2 7 Donc il y aura 167.0,272 = 44 coups portans; & 1'aile zL = 4,3 t., éprouvera a la diftance iC = 25,7 t., les coups portans 9. 0,66 = 6, donc il y aura 50 coups portans. La huitieme décharge fe fera a la diftance du fos-  94 DISSERTATION foffé Cz = 15,7 = zo} donc parceque Co =s 15,7. —* 5 = 2 2, Ia partie du front «or: 45,7 fera expofée a Ia plus grande diftance Bo = 424-22 =a 64, donc a la diftance moyenne = 64 — —— at 14 48 toifes, il y aura 137. 0,317 =43 coups portans. L'autre partie du front o'jS ss 14,3 éprouve la décharge a fa plus petite diftance Co = 22, donc a la diftance moyenne de 27 toifes, il y aura 43-°>635 =27 coups portans, donc en tout 70 coups portans. Si l'on vouloit tenir compte de la neuvieme décharge, quand le bataillon ne feroit qu'a une diftance de 5,7 toifes de l'angle faillant, l'on trouveroit que le flanc droit du bataillon de 35,7 toifes; contenant 107 hommes entreroit au feu a la diftance moyenne de 38,5 toifes, donc il y auroit 107.0,383 = 4r coups portans. Mais le flanc gauche de 24,3 toifes, occupé par 73 hommes effuiera a la diftance moyenne de 17 toifes, 73. 0,85' = 62 coups portans, donc en tout 103 coups portans. La fomme des coups portans après les neuf dé¬ charges, fait 349, qui fe réduifent 3349. — =3 7 450, acaufe de leur obliquité. Si l'on ne vouloit  fur la Fortification de Campagne. 95 loit pas tenir corapte de la neuvieme décharge, il n'y auroit que 176 coups portans. §. 69. Les Militaires trouveront peut être a redire a 1'évaluation des coups portans, elle leur paroitra trop grande. Mais je les prie de confidérer, que je n'ai pas voulu déterminer la mefure abfolue des coups portans; je n'ai voulu fixer qu'un terme de comparaifon pourapprecier la defenfe dont un retranchement eft capable, par rapport a un autre; cependant je ne crois pas avoir fait des fuppofitions trop fortes pour déterminer 1'efFet du feu des fufils. Si l'on formoit des Soldats particulierement deftinés adéfendre les retranchemens, a tirer avec plus d'exactitude que ne font les combattans en rafecampagne, pent-êtrene trouveroit-on pas le peril des attaquans trop grand. Mais dans 1'état adtuel de la difcipline militaire, il fe peut que la défenfe des retranchemens n'eft pas auffi nuifible aux attaquans, que je 1'ai determinée. Les défendans tirant fur un objet continuellement mobile, devroient être bien drefTés a pointer les fufils fur les diftances ou fe trouvent les attaquans a chaque pas qu'ils font. Au refte les militaires font partagés fur la défenfe des retranchemens; les uns prétendent qu'un retranchement d'un bon profil &bien defendu, feroit presque imprenable. D'autres aimeroient mieux attaquer que défendre les retranchemens. II eft certain que le plus grand nombre des retranchemens a été forcé. Au refte il y a des exemples qui prouvent 1'effet meurtrier du feu des fufils a Ia diftance de 30 toifes ou de 75 pas. Le General Warnery rapporte dans le 3me Tome de fes Commentaires fur Turpin, que deux tiers d'un corps Pruffien a été mis hors de combat, a la Bataille de Breslau, par le feu de  00 DISSERTATIOH de 1'Infanterie Autrichienne, a la diftance de 75 pas. §. 70. Non obftant 1'évaluation de 1'efFet du feu des fufils, peur.-être trop forte, je continuerai d'eftimer la force des retranchemens felon les trois principes, que je viens d'établir. Le retranchement que je viens d'éxaminer a le plus grand contour, voyons quelle eft la défenfe du retranchement d'un plus petit contour. L'on a pu voirtfdans Partiele 64, que la première efpéce des retranchemens, dontil a été queftion, ne contient pas, Mathematiquement parlant, un Minimum du contour, cependant il y a une efpéce de Minimum, que fournit la conftruclion de ces fortes de retranchemens. C'eft que l'angle du Redan aAB ne peut être plus petit que 60 degrés (Fig. 8.) Suppofant l'angle aAB de 60 degrés, l'angle DAB = CBE = CEB fera de 30 degrés, & l'angle ABD de 60 degrés, donc l'angle BCE =120 degrés. Pofant comme auparavant, DH = 120 & DF = to toifes = a; a caufe des perpendiculaires a fin « cof & égalesDA& FC,il yaura BD = = fin 0-f-/3) (fin «>, parceque a = 300, & /3 =60, donc BD = 15 & BF = 60 — 15 = 45 toifes (§. 63.). De plus AB = DB : fin 300 = 30 toifes, & AD = = CF = 26 toifes, & BC = CE = 82 toifes. Tirant les lignes de défenfe = 120 toifes, ou les perpendiculaires fur les faces, AB , BC , CE & EG, l'angle ICi, aura 60 degrés, donc l'angle NCI fera de 30 degrés, parceque BCE= 1200 & IAC = 30 degrés ; partant Ci = 2 IC =2 AB =60 toi-  fur la Ferlification de Campagne. 97 toifes & /I =s 52 toifes = BC = GE = Al; ce qui eft auffi évident par 1'égalué des tnangies AlC & I/C donc Al ==104 toifes. Mais a cette diftance, les lignes Cl; Ci, li font égales = 60 toifes, dans le triangle éqmlateral iCL 11 s'enfuit que le front du bataillon attaquant, qué nous fuppofons de 60 toifes, ne commencera a entrer dans le feu qu'a la diftance Cl qui eft de 104 toifes. Nous allons déterminer le chemin INC que le bataillon doit faire avant que d'approcher lWle de la tenaille C. 11 eft evident que NC ss Cl fin 6o° = 60.0,866ss $2 toifes. Orle bataillon marchera par cette diftance pendant68fecondes, ou il éorouveraa-peu-près,cinqdécharges; fuppofons qu'on commencera a tirer, lorsque le batullon aura avancé de 5 toifes. Soit donc N» = 5 toi* fes menant bb parallélement aL, il eft clair que gr indique la partie du front du bataillon qui eft hors du feu des fufils. Mais OC =IC : cof 30' = 34,6 toifes, il y aura NO = NC — OC ss 17,4, par confequent nO — I7J4-5— I2,4> li Or, ON t li = «O : gr, donc gr ss -~ nO — ^1. «O = 3,45. nO = 42>7» donc les 27,4 flancs expofés au feu, n'occupant qu'une Iongueur de 60 — 42,7 = i7»3 tolfes = *b + §»' Mais une partie de chaque flanc.commeraeit expoiee ala ligne de feu Ar, tandisque 1'autre partie ab eft expofée ala ligne de feu aC. Ces deux parties ra & ab fe déterminent au moyen des tnangies rectangles rbl & abl. L'angle lab étant de 60 de6 G grés»  9$ dissertation grés, l'angle a\b fera de 30 degrés, donc al =r Ib ou Nn : cof 30* = 5,7. De plus, l'angle lrb == rAC = 300, il eft évident que ra = al , ou bien ab = bl ou Nb. tang 3c0 = 0,577. Nb, == 2,88, donc ra = tb — 0,577 Nb = al, & rl = 2 lb = 2 Nb = 10. Mais rb = 17,3 • 2 = 8,65, & N?2 = 5donc ab == 8,65 — 2,88 ss ^77 toifes. Enfuite il faudra déterminer la diftance du feu rA = AI — rl = 104 — 10 = 94, donc le nombre des coups portans, fur les deux parties ra des deux flancs fe trouve = 3.-17. 0,136 = 4. Mais ces coups partent fous l'angle oblique qui eft le complement de ba ou de 60 degrés, il faudra donc diminuer le nombre de ces coups par le cof 60°, ainfi il n'y aura que deux coups portans fur les deux parties ra, La ligne Cl étant = 60 & al = ra = 5,77, le flanc ab = 2,88 fera frappé a la diftance moyenne de 56,14 toifes, = «C, ainfi il y aura 2.8,64.0,152 == 2,6 coups portans, qui fe réduifent, a caufe de 1'obliquité de 30 degrés, a deux coups, donc il y aura en tout quatre coups portans, a la première décharge. Nous fuppoferons, comme auparavant, que le bataillon avancera de dix toifes, entre deux décharges. Que le bataillon foit venu en ffkU feconde décharge, ayant marché en avant par m=i5 toifes donciO= 17,4 — 15— 2,4; donc de = 2.43,45 = 8,2; ainfi les deux flancs, af -j- ef = 60 — 8,2 = 51,8 feront expofés au feu, fayofr la partie fh — 15.0,577 = 8,65 donc eb = ef — hf = 25,9 — 8.65 = 7,25 "a Ia diftance eA a= 104 — el = 104 — 30 = 74. ainfi a la diftance moyenne de 74 4. 8,62. 0,866 == 81,6 (§. 67.) donc il y aura probablement 2.51,7.0,138 s= 14 coups portans furies deux parties  fur la Fortification de Campagne. 99 kies bf des flancs; ces coups fe réduiront a 7, a caufe de 1'obliquité de feu iöus l'angle de 60 degrés Mais les deux autres parties bf des flancs font a la plus petite ligne du feu, bC = 60 — 17,25 = 42,75 & a la ligne moyenne du feu — 4^)75 -t*4j32 °!>5 — 45 > *1 7 aura donc probablement 2.26,25.0,339 = 17,7 coups portans; qui fe réduifent a 15 coups; par confequent il y aura 22 coups portans a la feconde décharge. A la troifiéme décharge le bataillon ayant dépaffé jusqu'en K, l'angle mort en O, il fera entierement en. tré dans le feu Or NK = 25 t., donc OK ra 25 — 17,4= 7,6, &Op= 15,2, &/>K = Op. fin 60° = 13,1, donc le centre plss 26,2 fe trouvera a la plus courte ligne de feu Ap — Al — OI — Op= 104 — 34.8— 15,2 = 54, donc ala ligne moyennedefeu ss 544-13,1 . fin 60' ss 65,7 t., ainfi il y aura probablement, 78,6.0,222 = 18 Coups portans fur pl qui fe réduifent a 9 coups, a caufe de 1'obliquité du feu fous l'angle de 60 degrés. Les deux flancs op 4- M ss 60 — 26,2 ss 33,8, font a la plus petite diftance JC ss 30 toifes ; donc a la diftance moyenne 34,2, il y aura probablement 101,4 . 0,488 = 51 coups portans qui fe réduifent a 51.0,866 ss 44 coups; donc il y aura en tout 53 coups portans. A la quatrieme décharge en rt lorsque OS = 17,6/il y aura SC = OC — OS = 34,6 — 17,6 = 17 , l'on aura uCssCqss aq ss 17 :o,866 si 19,6, partant le centre uq s= 19,6 fera expofé qu a la diftance moyenne = BC 4* — ^n 2 == $2 + 8,5 = 60,5 :|donc il y aura probableG 2 men$  100 DISSERTATION ment58,8.0,25= 14, coups portans qui fe réduifent a 7 coups. Mais les flancs qt -J- ur étant a la qt 20,2 a'iffcn ce moyenneCq -} fin 30* = 17 -| 2 2 fin 30" =22 toifes, il yaura 2.3.20,2.0,748 = 90 qui fe- réduifent a 90 . o,86ó = 78 , donc en tout «5 coups. Enfin a la cinquiéme décharge le feu pourra devenir meurtrier. Le bataillon fera en «z, lorsque (Be = 7 toifes & xC = yx = 7: 0,866 = 8, donc le centre yx de 8 toifes ou de 24 hommes eft a la plus grande diftance de 52 — 8 — .9866 = 49 toifes, donc il y aura probablement 2 24.0,312 = 8 coups portans fur Ie centre, qui fe réduifent, a 4 coups par rapport a Pobliquitê du feu. Mais les deux flancs ay & xz qui contiennent 156 hommes fur la longueur de 52 t. font ala plus petite diftance du feuCs=8 toifes, donc a la diftance moy- I enne= 8-f- 26. — = 14,5 toifes, donc il yauroit 2 156.0,945 = Ï42 coups portans, qui fe rédtfi. fent a 142.0,866 = 123 coups , donc en tout 127 coups. II y auroit en tout 29r coups portans, ou bien il y en auroit 164 fi l'on ne votiloit pas tenir compte de la derniere décharge. §. 70, II fera facile d'apprécier, la force de Ia défenfe des deux retranchemens; le premier pro»  fur la Fortification de Campagne. tor produit 250, & 1'autre 291 coups portans. Qui auroit pu préfumer que le premier retranchement produin >it une plus foible défenfe que le fecond , fi même l'on nevouloit pas donner attention aux dernieres décharges? L'on voit donc que cinq décharges peuvent l'emporter fur neuf. 11 ne taut donc pas préfumer la défenfe par le nombre des décharges, mais par leur énérgie, qui depend de la grandeur des lignes de feu, & du leur d'obliquité. Or comme le contour du fecond retranchement eft plus petit que celui du premier, celui-la mérite d'être préféré. Le contour du premier retranchement eft = 4. AB — 4.42 = 168 toifes, fur un front de 120. II demandedonc 504 hommes, poftés dans un rang. Le contour du fecond retranchement eft = 2 AB + 2 BC = 60 -f- 104 = 164, donc il éxige 492 hommes. Les concours & les garnifons différent trop peu dans ces deux retranchemens pour ne pas donner la préférence au fecond retranchement. 11 eft pourtant vrai, que le premier retranchement peut produire une plus longue défenfe en Penvironnant de puits, parceque 1'ennemi doit esfuyer un plus grand nombre de décharges avant qu'il arrivé au foffé. Or les décharges feront auffi multipliées, par les obftacles, qu'on oppofera a 1'ennemi au devant du foffé, car ce n'eft que la derniere décharge qui eft meurtriere dans le fecond retranchement; fi ellene produifoit donc pas tout fon eftet, le premier retranchement pourroit avoir quelque avantage fur le fecond. §. 71. Paflbns aux retranchemens de la feconde efpéce , oü les angles de défenfe font plus grandsqu'un droit (Fig 9.). L'on verra par la fuite qu'il ne convient pas d'admettre l'angle ABC plus grand que 100 degrés. Ainfi G 3 fup'  Ï02 DISSERTATION fuppofant ABC = 100 degrés, il y aura ABD -f CBE ou « j3 = 8o°. Or le contour de ce reretranchement fe détermine par la formule ot — /3 2 a cof 2 \ > §. 62. qui feroit le plus grand, f « + 0 2 oi — /3 fi cof êtoit = 1 ou égal au rayon, alors 2 « — /3 feroit == o, donc « = /3 = 40* par conféquent l'angle de la fléche aAB = 100° = BCE. Voila donc un retranchement régulier, donc DB = BF = 30 toifesj, & les perpendiculaires AD = CF = 30 tang 40* 5= 25,1 & la face AB = BC = 39,16 Tirant les lignes de défenfe ou les perpendiculaires AQ = GP = 120 toifes, & puis Bz, & Er perpendiculairement fur AB & EG , il eft clair quel'angles;BC = CE N= 10 degrés. Menant PQ qui eft parallelle a AG, l'angle PQA = QAG = 50% & PRQ = 80' = ARG; parconféquent ARC = 40 °. Or AC = DF étant de 60 toifes, l'on trouvera CR = 60, tang 50° = 71,4 toifes, & AR = Q3,4 = RG; donc RQ = AQ — AR = 26,6; partant RT = R Q. fin 50' = 20,3 ; ce qui donne CT= CR -f-RT = 01,7. Enfin TQ; = RQ. cof 50* = 17 t., & PQ = 34,1; d'ou il paroit que la partie du centre du bataillon, PQ, occupé par 102, hommes  fur la Fortification de Campagne. 103 mes fera hors du feu, & que les deux flancs Qb Pa = 25,9 toifes éprouveront la première décharge, a la'diftance de 120 t., donc il y aura probablement 78.0,133 = 10 C0UPS portans» 7 _ avant que d'approcher l'angle faillant C en 40 2' 17", pendant ce tems il fera expofé a neuf décharges , donc en tout, a dix décharges. Suppofons, comme auparavant, que le bataillon, êtant venu par le chemin Te, de 10 toifes, en cd, éprouve la feconde décharge. Or eR = 'PR — eT = 10,3, il y aura pq = 17,3 Ce# la partie du bataillon qui n'eft pas expofée au feu , mais les deux ailes cp + qd =. entreront dans ie feu a la diftance qA ou pG = 93,4 -f *3»4 — 106,8, donc il y aura 18 coups portans qui fe reduifent a 14 coups, par rapport a 1'obliquité du feu. Parceque le bataillon a fait a la troifleme charge, un chemin de 20 toifes, qui differe peu de TR = 20,3, nous fuppoferons qu'il eft; arrivé en gkb, en forteque tout fon front fera dans le feu, aux diftances AR =RG= 93,4» done il y aura probablement 180.0,134 = 24 coups portans qui fe réduifent a 24, cof 400 = 18 coups. Ala quatrieme decharge le bataillon fera en ma, après avoir fait le chemin Ru = 10 toifes, donc Rn= 10: cof40* = i3t.&an= 13 fitH0"—-f8»3' Partant la partie du front mn = 30 4- 8,3 = 38,3, eft a la plus petite ligne de feu nG = RG — R« = 93,4 — 13 = 8°>4 toifes5 elle fera donc 4 G 4 di"  104 DISSERTATION diftance moyenne = 80,4 -j fin 40° = 92,61.", 2 ou il y aura 115.0,134 = r5 coups portans qui fe réduifent a n coups. Enfin le flanc na = 2t,7t. étant a la diftance du feu na =A® ou nG -{-. ®n fin 40' = 91 toifes, donc il y aura 65,0,134=9 coups portans, qui fe réduifent a 7 coups doac;en tout il y aura 17 coups portans. Le bataillon fe trouvera a la cinquieme décharge en rx, fi B/ = 20 toifes, donc Rt = 26 & st = 16,69; par confequent rt ae 46,69, cette partie du front du bataillon fera a la plus petite ligne du feu tG = 67,4, & a la ligne moyenne du feu 67,4 4-14,9 = 82,3 , a la quelle repondront probablement 140.0,138 = 19 coups portans; ou plutot 14 coups eu égard a 1'obliquité du feu. Enfin 1'aile tx = 13,3 toifes, occupée par 40 hommes, eft a la plus petite ligne de feu f/3 qui égale *G+ 2 st. fin 40^ = 67,4 -f- 21,4 = 88,81 , il y aura donc probablement 40.0,137 = 5,2, ou réduclion faite, 4 coups portans, partant en tout 18 coups. Le bataillon eft en KI, a la fixiéme décharge, lorsque Ry = 30 toifes êcyC = 41,4. Or l'angle NBC étant de dix degrés, l'angle NBF fera de 50 degrés, donc NF = BF. tang 50* = 35,7, mais CF = 25,1, partant NC = io,6 & yN = 41,4 — 10,6 = 30,8 toifes. Enfuite yz = yN . tang 40- = 25,8, donc Kz = 55,8 & zl = 4,2. Mais Kz eft a la plus longue ligne de feu Bz = zN 4- BN = yz : fin 40' -f BF : fin 40* =x (yz -f BF) : fin 40' = 86,9, donc a la diftance moyenne sa 86,9 — % r,3 = 65,6 ainfi la partie dn  fur la Fortification de Campagne. 105 du front du bataillon Kz pourra efiuyer 167,4.0,222 5= 37 coups portans , qui fe réduifent a 28 coups. Enfin la petite partie de 1'aile zl, occupée par 13 hommes, eft a la figne de feu a*peu-près egale a NE =46,7 il y aura donc 13.0,236 — 3 coups, donc en tout 3x coups portans, La poütion du bataillon fera en OL a la feptiéme décharge. OrRx = 4o toifes, donc Na; = 71,4 _ io,6 — 40= 20,8 & N/'= 25,8 & ar/= 16,5. Parconfequent Of = 46,5 » Ö2» tang a -f- tang 0 & DB = 60 — 49,62 = 10,37 toifes (§. O De plus AB = DB : fin 30° = 20,74, & AD — CF = AB. fin 60° = 18, & BC = BF : fin 70' = CE = 51,77- „ , . . Tirant les lignes de feu CQ, CP, ainfi de fuite, perpendiculairement fur les faces, l'angle PCQ fera de 40, donc l'angle TCQ de 20 degrés. Pofant, comme auparavant, la ligne CQ — 120 toifes, on trouvera CT = 112,6 = 120 cof 20' & TQ = = 120 fin 20' = 41, donc PQ= 82 , qui étant plus grand que Ie front fuppofé du bataillon, de 60 toifes, le bataillon fera hors du feu, & il n'entrera a peine dans le feu , qu'après avoir avancé de 30 toifes, oü il n'y aura que 6 hommes expofés au feu, a la diftance de 87 toifes, ce qui n'occafionne aucun danger. Ce ne fera qu'après avoir avancé de 40 toifes, que les décharges commenceront a faire quelqu' eflret. Suppöfant donc /C= 112,6 —■ 40 = 72,6, l'on trouveva/f = 26,45» donc  I08 SISSER TATlOti donc at = 52,1 &tC = 77,4 t., en fone que les ailes tx 4- ar == 7,2, occupées par 22 hommes, neprouveront que deux coups portans a cette première décharge. Pour déterminer 1'efFet des décharges fuivantes, il faut calculer la ligne ab, comprife entre les lignes de feu Cf, & Ab, qui partent des faces EC & AB Or 0-7 étant de 10 toifes, il y aura yC = 62,68. Mais RC= AC tang RAC = 60 tang 30° = 34,6 & AR = 69,2, donc yR = yC — RC == 28. Or l'angle ARG = 1RZ» 5= 120°, donc yRb= 6c°, = yR. tang 6o° = 48,4 étant plus long que la moitiédu front du bataillon, le feu des flancs AB & EG fera encore fans effet. A caufe deyC = 62,68, on aura yz = 22,5, parconféquent zl = 7,5 qui eft une des ailes placée ala plus petite ligne de feu ;sC = 66,3 ,donca la diftancemoyenne=66,3-j fin 20°= 67,6, 2 parceque l'angle yzC eft de 70 degrés. 11 yaura donc 45.0,205 = 9 coups portans fur les deux ailes, qui fe réduifent a caufe de 1'obliquité du feu fous l'angle de 20 degrés, a 9. cof 200 = 8 coups. Le bataillon eft venu en cp, lorsque fK = 20 toifes & CK= 52,68, & KR = 52,6 — 34,6 = ib', parconféquent Rf = 36, & Af = 69,2 -f36 = 105,2. De plus Kf = RK. tang 60 = 18 1,73 = 31,13 & xg= Cx . tang 2c° = 52,680,363 = 19, donc chaque aile de n toifes ou de 33 hommes fera a la plus petite ligne de feu C5 = CK:cof 200 = 55,8 &a la diftance moyenne 57,7 t., il y aura donc 66.0,269 = 16coups por-  fur la Fortification de Campagne. 109 portans a la troifieme décharge qui fe réduifent a 15 coups. A la quatrieme décharge, le bataillon fe trouvera en ial, quand Ca = 42,68 & ah = 15,5 & hC = 45,1 t. Deplus en trouvera aR = 42,68 — 34,6 = 8 t. & parconféquent ad = al< tangöo" = 13,8,&Ra'=i6,donc 1'ailerfL==ez'= 16,2 ,occupée chacune par 48,6 hommes, fera a la plus petite ligne de feu Ae = 69,2 -f- 16 = 85,2. Mais comme les lignes ad & ah différent peu, l'on peut fuppofer que dl repréfente une aile, a la ligne de feu C/jpar conféquent ala diftance moyenne = 45?I 4. 8,110,364 5=5 48 toifes, il y aura donc 96.0,329 = 32 coups portans, qui fe réduifent a 29 coups. Le bataillon fe trouve en ON, a la cinquieme décharge, alors CI = 32,68, & IM = 11,7 & MC = 34,6. Les ailes MN = OL = 18,3, éprouveront le fi.u des faces CE, CB a la plus petite ligne de feu MC, & a la diftance moyenne = 34,6 -f 3,14 = 37,74, ce qui produit 110.0,402 = 44 coups portans, qui fe réduifent a 41 coup's- Enfin le centre LM = 23,4 t. eft a la plus petite ligne de feu M» = CB 4- CM. fin 5c0 = 51,77 4. 5,09 = 57,76, & a la diftance moyenne = 62,77, d'ou réfultent 70.0,238 == 16,6 coups portans, qui fe réduifent a 15 coups, donc il y aura en tout, 56 coups portans. En répétant les mêmes calculs, l'on trouvera les réfultats fuivans, pour la fixieme décharge, quand le bataillon fera venu en Xu a la diftance CS = 22,68 de l'angle faillant C, chaque aile un = 21,83 éprouvera 65.0,614= 40 coupsportans qui fe réduifent a 37 coups, donc les ailes feront  ÏIÖ DISSERTATIOK ront expofées a 74 coups a Ia diftance moyenne de 28 toifes. Mais le centre = 16,2 r. éprouvera 11 coups portans, donc en tout 85 coups. A Ia feptiéme décharge, le bataillon ne fera qu'a une diftance de 12,68 toifes de l'angle failjant C, chaque aile de 25,43 fe trouvant a la óh ftance moyenne de 17,66 toifes, eft expofée a 59 coups portans, réduction faite parrapportal'obliquite du feu, donc il y auraprobablement 118 coups qui porteront fur les deux ailes,aux quels il faudra ajouter 8 coups, pour le centre du bataillon, il y aura- 126 coups portans. Comme le bataillon devroit s'approcher de l'angle faillant C, a la diftance de 2,68 toifes, en forte qu'il fera prêt a defcendre dans Ie foffé, nous fuppoferons comme auparavant, que la derniere décharge fe faffe a la diftance de 5 toifes. Alors le centre du bataillon fe trouvera dans 1'éfpace NC, hors du feu. Mais cette partie du centre n'eft que de 3,6 toifes, ainfi il y aura 56,4 toifes ou 169 hommes expofés a la derniere décharge, fcavoir a la diftance moyenne de 10,4 t. Mais a cette diftance tous les 169 coups, ou plus éxaótement 165 coups font portans qui fe réduifent a 158 coups a caufe de 1'obliquité du feu. §. 73. La fomme de tous les coups portans fait 480. Le contour de ce retranchement étant de 2.72,51 = 145 toifes , qui eft le plus petit des contours des quatre retranchemens dont nous avons apprécié la défenfe. D'ailleurs il produit auffi la plus forte défenfe. On pourra donc établir pour Maxime, que les retranchemens oules redans qui approchent de ce dernier, font les plus parfaits. On peut remarquer que la grande force de la dé-  fur la Fortification de Campagne. . 11 i défenfe de ce retranchement provient en partie 3 de la moindre obliquité du feu des décharges. II n'y a qu'une difficulté qu'on pourra taire fur 1'ulage de ce retranchement; elle regarde la longueur des faces de la tenaille BC &CË qui ont 51,7 toifes. Elles feront peut-être trop fujetes a 1'enfilade. Certainement ellts auroient eet inconvenient, fi les parapets n'avoient que fix pieds de hauteur. Mais la hauteur des parapets de 8 a 9 pieds, garnisde traverfes, rendrontles ricochets & les enfilades moins pernicieux, 11 femble auffi que les ricochets, ne font plus li redoutables, felon quelques Militaires, qu'ils le parurent au fiécle paffé, lorsqu'ils furent mis en ufage. Ne peut on pas tirer de ces recherches, quelques inftructions pour 1'Ofiicier, a qui eft confié le commendement des redans? Ne devroit-il pas conduire la défenfe fur la conftruclion même de 1'ouvrage? Si POfficier avoit le commandementdu retranchement de la derniere efpéce, il ne devroit pas commander de tirer, quand 1'ennemi eft a la portée du fufil. La poudre feroit perdue. II ne devroit faire tirer qu'a la diftance de 52 toifes, ou 15 coups feront portans. De plus la décharge générale d'une face fera inutile, parcequ'il n'y a qu'une partie des faces oppofée au front du bataillon , & plus ou moins grande felon 1 'éloignement de 1'ennemi. Le feu quelque violent qu'il foit, loin d'intimider 1'ennemi, le rendra plus hardi, s'il en éprouve peu d'.effet. La guerre de fept ans fournit fur ce fujet une anecdote trés remarquable. L'on crut intimider les Ruffes a la bataille de Jaegemdorf, parcequ'ils êtoient de nouvelle lévée, en faifant tirer a de grandes diftances. Mais les Ruffes n'éprouvant aucun effet de ces décharges, femblérent méprifer, felon Mr. War*  112 DISSERTATIÖH Warneri, Ca) le feu des Prulliens, s'enhardirent, en* & fe précipitanc fur leur ennemi, contribuerent par la a la perte de Ia bataille. §. 74, Aprés les recherches que nous venons de faire fur la défenfe des redans ou des ouvrages a tenaille, il fera facile d'apprécier les tracés imaginés par les Ingénieurs. M. de tlairac a propofé plufieurs tracés dansle fixieme& le feptiéme Chapitre de ï'Ingenieur de Campagne. Le premier re* tranchement ell celui de Vauban, ce n'eft qu'une ligne flanquée par des redans. La défenfe en eft fi mauvaife, qu'elle a eié généralement réjettée. M. de Clairac a taché deperfeótioner les lignes de Vauban, en brifanc les courtines par le milieu, de maniére que l'angle faillant qu'elle formera, foit fur 1'alignement des pointes des redans, ou bien que les perpendiculaires AD , CF foient égales. 11 donne comme Vauban 15 toifes a la demi-gorge DB & 22 toifes a la perpendiculaire ou a la Capitale AD. Parconféquent tang ABD = AD : DB rr 1,4666, d'ou refultent l'angle ABD = 55* 43' & l'angle DAB = 34° 17', donc l'angle du redan aAB fera de 68° 34'. Or DF êtant de 60 toifes, BF aura 45 toifes, partant, tang CBF = 22:45 = 0,488, donc l'angle CBF = 26* 3', d'ou réfulte l'angle de défenfe ABC = 1800 — 8i/°46/ = q8° 14' & la face de la tenaille BC = CE : cof 26° 3' = 50 toifes. Or la face du redan AB = DB : cof 55° 43' = 15 : 0,563 = 26,6 toifes, donc le contour de ce retranchement aura 2 (50 4» 26,6) = 153,2 toifes. Fig. 9. II eft facile de voir, que ce retranchement différe peu de celui, que nous avons examiné en der- 0») Voyez Ie troifiéme Tome des oeuvres de M. Warmri fur les Commentaires de Turpin de Crisfé, pag. 30.  fur la Fortification de Campagne, 113 dernier lieu, & qui nous a paru être préférable aux autres. rt " ■ S 73 M de Clairac a propofe deux retranchemens a' tenailles égales, dont les gorges font de 120 & de 100 toifes. L'auteur n'approuve pas lui même ces tracés. En effet fi toutes les gorges ou tous les fronts aB , BE ont 100 toifes, & fi la perpendiculaire FC eft la troifiéme partie du front, la tang CBF = CF : BF = 2 CF : BE — — = 0,6666, a:nri CBF = 33' 4^ = ABa, 3 donc l'angle de defenfe ABC = 180' — 67* 24' = 112' 36', qui femble être trop obtus. Puisque l'angle ABC, = BCE, les faces oppofées Afi & CE feront paralléles. Mais les faces BC, qui ont 60 toifes, font trop longues, pour ponvoir être bien defendues par les faces AB. D aalleun* parceque l'angle NBC = 112" 36' -~ 90* = 22" 36', la ligne de feu BN, qui eft la plus courte , fera de 70 toifes. Or a cette diftance le feu de la moufqueterie n'agit pas avec beau-, coup de force. . § 74. Ayant traité du premier genre des redens ou des retranchemens a tenaille, je dois pafier au fecond genre,qui regarde les retranchemens a perpendiculaires inégales. Mais les pnncipes fur les quels j'ai établi mes recherches fur les redens a perpendiculaires égales, me oii'penfent de faire prefentement une longue difcuthon. L'avantage que le premier genre des retranchemens a fur le fecond, doit fauter aux yeux. Cependant pour n'y laifferrien adefirer, je prendrai pour exemple le tracé qu'a propofé M. de  114 DISIERTATION Zach dans un ouvrage Allemand, bien raifonné fur la Foruficanon de Campagne (a) (Fig. ,, ? Le front CD a 240 toifes. L'on érige fur le milieu du front Ja perpendiculaire LK = 34 t Au deffou^du front l'on conftruit les angles DCG& nnr ,r7r ? " t3"8 CG'CA>ED'DFde* reden, ont 30 toifes. Les angles en G & E font droits. 7a,rtenaiS SS? fK' \K'1* C°Urtine br'^™ ia tenaille GLE fera achevée. Parceoue les an- tCO°-? 3)* ^ÏT^ gr^s71^ trouvl r ^ 52 t0lfes- °e plus le trianele OLK fournit OK = KB = 68 toifes^ donc Z^cescf ru-I20„ t01fes, qm font certainement tron longues pour etre battues par les faces CG & DE facV. Cr\Qnfd ,même ]'°n VOUdroit rendre !«» laces CG & DE plus courtes, les faces GK & KB deviendro.ent trop longues pour être defen. dues par la mousqueterie des faces CG & DE D ailleurs les contours de ces fortes de retran^ chemens font trop longues. §■ 75- Quelques ingenieurs femblent avoir vouu remedier a 1 inconvenient occafionné par les longues faces, en brifant les faces par des crochets en forme de Cremaillére. Ces fortes d ou. vrages peuvent être reduites a deux efpéces Les pointes dts redens paffent au defFus ou au deiTous des crochets. D'autres appellent ces crochets des ouvrages a fcie AL ïïdanac a expcfé un tracé qui rtpond a la première efpéce des retranchemtns e„ crochets Voki fa conftruction. 1? . 2.) L on d.vife tout le front en parties de 60 torii. comme AB , BC. L'on abaiile de cha- cun mfi[^!ef"r'£en Ül(r die ^W'&M WIen 1783.  fur la Fortification de Campagne. 11$ cun de ces points une perpendiculaire AG , BH d'un quart de AB, c'eft a dire, de 15 totfes. Du fommet B d'une de ces perpendiculaires au pié de 1'aütre G, l'on tire la branche BG. A 1'égard du crochet, l'on avance le pié de 5 toifes =s 1G fur la branche qu'il doit flanqüer. 1 Or AG = — AB, la tang ABG fera st 0,25, 4 par conféquent l'angle GBA s- 14* 2' & l'angle AGB s= 750 58'. De plus dans le triangle A1G, font donnés, les cotés AG = 15 & iG = 5 toifes, donc l'angle A1G 84* 39', & l'angle de defenfe AIB 950 21'. Parconféquent l'angle du cro« chet 1BL, r= 19° 23' -f 75° 58' = 95' ZT' — AIB; les branches AI, BL font donc paralléles. Entre deux & deux branches fe trouve une te« nailleentiereLCO dont uneface eft la branche LC, & 1'autre face CO Ces faces fe déterminent par le crochet en M, qui appartient a Ia perpendiculaire NP; prennant comme auparavant PM ss 5 toifes. Or la ligne BG = 60: cof l^i'rs 60:0,971 =6r,7, donc les branches, Bf, CL, DM = 56,7 toifes, ss dB —• GI. Enfin la ligne du crochet Al ou BI eft t= 14,6. Les extrémi* tés de tout eet ouvrage font terminées par les baftions. Je fuppofe que 1'attaque fe doive faire, contre le reden LCO. Pour ne pas abufer de la patience de mes leéteurs par la repetition des cal« culs precedens; d'ailleurs comme je me flatte de les avoir mis en êtat de les faire, je n'en donne* rai que les refultats. Je remarque d'abord que les crochets eloigaés comme AI importent pett H % »  IIÖ DISSIEÏ ATlOd a Ia defenfe a caufe de leur éloignement qui eft prés de 120 toifes. Ce ne lont que les crochets DO, BL voifins de la tenaille OCL qui la flanqueront. Mais parceque ces crochets font trop courts, l'on en pourra faire a peine deux décharges fur le bataillon qui fait 1'attaque. D'ailleurs le feu qui part de la tenaille OCL eft presque frontal, parceque l'angle de la tenaille LCO eft de 152 degrés. Je ne parle pas de la longueur des faces qui pourront être facilemenc enfilées. Au refte la defenfe de ce retranchement eft a peu prés la même que celle du precedent. Lorsque le bataillon fe trouvera a la diftance de 96 toifes il y aura 5 coups portans a la diftance de b6 toifes 7 coups portans. ■ 76 11 ■ 66 16 " 56 24 ' 46 33 36 4? 26 — 76 ■ ■ 16 95 6 - 167 II y 3480 coups portans. Ce n'eft qua la diftance de 8<5 toifes que les crochets peuvent produire 6 coups portans. Les dernieres décharges font plus meurtrieres dans le retranchement précédent que dans celui-ei. Ainfi 1'avanc derniere decharge produit 120 , & celle qui la precéde, 85 coups portans. Or fi le refanchement ne produifoit pas tout fon effet dans la derniere. decharge, les décharges precedentes feront moins efficaces que celles du retranchement au quel nous avons donné la preférence. En-  fur la Fortification de Campagne. 117 Enfin, quoique le feu croifé n'augmente pas les coups portans felon notre fuppofition (§. 63.), il rend pourtant les coups piusdangereux, & fait approcher la probabilité des coups portans de la certitude. Mais dans le retranchement a crochets le feu croifé fe red uit a peu de chofes. §. 76. Le retranchement, que quelques Ingenieurs Allemands appellent le retranchement Suedois, eft du fecond genre ; les crochets paffent au deflus des pointes des redens, Mr. EhremwerdSuedois 1'a inventé & decrit dans le cinquiéme tome des memoires de 1'Academie des fciences de Suede («). L'auteur n'ayant pas decrit le detail du contour de fon retranchement, je tacherai d'en expofer le tracé, approchant des idéés de 1'Ingénieur Suedois. (Fig. 13.). Le front DE peut être plus grand ou plus petit que 120 toifes. L'on abaiffe du milieu du front F la perpendiculaire FC, égale a la quatriéme partie du front. La moitié,. de la perpendiculaire FC ou AC eft la ligne capitale du reden GAB. L'angle CEF, dont la tangente egale 0,50 eft de 26° 34', donc l'angle FCE = 63° 26'. Les crochets ABH, HTL, LME font a angles droits. On pourra donc faire 1'an* gle du reden GAB auffi droit, demême que l'angle ABH. En faifant eet angle GAB plus grand, qu'un droit, l'angle HBA == HTL deviendra auffi plus grand, parconféquent les lignes rentrantes, M'F, LM, dont la fomme égale BO. feroient plus longues, fi on les veut avoir longues. L'an^ gle GAB étant droit ou, l'angle CAB étant de 45 degn (a) Abhandkmgen der Schwedifiben Akademie c'$r Wi|-, fenfchü'tQu, funt'.er band, 1743. h 3,  tl 5 DISSERTATION degrés, l'angle HBEfera de i8026' = ABE — 90* =r BEO. L'on prolongera la face AB & l'on abaiffera de la pointe E la perpendiculaire EO fur Je prolóngement de AB, alors HT-f-LM = BO, fi l'on ne veut conftruire que deux crochets. Pour déterminer les crochets, il faut connoitre, moyennant le triangle ACB, la ligne CB , en inférant,fin ABC: AC ou tg t. da fin CAB : CB. L'nn irouvera ( B = sï,i & AB = 14,1. Mais CR = 67,1, donc BE = 56 toifes, partant OB m BE. fin i8' 26'= 17,7 & OE = 53 t. Parconféquent les lignesHT,LM auront—— = 8,85 t., & elles pourront être bordées de 27 hommes, en front. L'auteur pretend que les lignes HT, LM doivent être affez longues pour être defendues par une divifion de 60 hommes, qui occuperoient de front 20 toifes. Or cette longueur paroit êrre trop grande. Mais comme les ibldats font placés en deux rangs derrière les retranchements, il n'y auroit alors que 30 hommes de front dans chaque rang, ce qui approche de notre fuppofition. Enfin les lignes BH, TL, ME, qui font le tiers de la ligne OE, auront 17,7 toifes. La conftruclion dece retranchement eft facile. Après avoir determiné le reden GAB, l'on n'aura qu'a prolonger la face AB, & y abaisfer la perpendiculaire OE, divifer la perpendiculaire OE en trois parties égales en M, P, O & Ia ligne B O en deux parties égales BN = NO fi l'on veut faire deux crochets; enfuite tirer les perpendiculaires NL fur BO & HP, LM furOE, le  fur la Fortification de Campa gne. 119 le concours de ces perpendiculaires déterminera les crochets BHT, TLM & la face ME du reden MER. §. 77. Le retranchement Suedois produit la plus foible defenfe, a 1'égard des autres retran. mens. 11 ne produit que 295 coups portans; dont il y en a 140 a la derniére decharge. Cela ne doit pas paroitre fupprennant, fi Ton confidere, que la plus grande partie de la defenfe provient des lignes AB, HT, LM, dont toute la longneur n'a que 26 toifes. La face AB ne donne qu'une foible defenfe a caufe de fon éloignement, & elle devient même inutile après la cinquieme decharge. La ligne rentrante LM ne produit fon effet qu'a la troifiéme decharge, & la ligne rentrante AB, qu'a la quatrieme decharge; celle a fait un bon effet parcequ'elle eft la moins reculée. Enfin il n'y a que la feule face ML de tous les crochets qui puiffe faire quelque effet, & encore ce n'ell qu'a prés la cinquieme decharge. II y a en tout fept décharges ij dont les deux premières ne portent que 16 coups. Au refte je ne veux pas rejetter pour cela le retranchement Suedois, il peut être trés bon h d'autres égards, comme par rapport aux traverfes & épaulemens que 1'auteur a placés en derrière, dans la vue de tracer une ligne continue. Peut-être ce retranchement eft il plus propre a faire defenfe par le feu de 1'artillerie. Comme je ne me fuis propofé d'apprecier la defenfe que par rapport au feu de la mousqueterie, ma critique ne pourra être prejudiciable a 1'auteur Je prie le ledteur de vouloir confiderer toutes mes recherches du même point de vue, elles ne roulent que fur la défenfe des retranchemens produite par le feu de la mousqueterie. H4 £  120 DISSERTATION §. 77. Peut-être s'eft-on attendu a des recherches fur les retranchemens a baftions. Je n'ai ofé entreprendre cette tache, avant que d'avöir appris, fi ma manière d'envifager Ja defenfe a pu merker les fuffrages des gens du metier. Cependant les lecteurs un peu inftruits peuvent aifement faire eux mêmes de femblables recherches. Ils trouveront que les baftions procurent une defenfe peu proportionnée a leur contour & a la difficulté de les conftruire. 11 femble que les baftions ne devroient être employés que pour garnir les coins, ou des angles faillans trés avancés. On 1 s employera avec plus d'avantages en conftruifant entre deux baftions une courtine brifée. Comme les retranchemens de Campagne font d'ordinaire pourvus de peu de canons, PArtillerie ne fera pas un effet confidérable fi elle n'eft pas chargée a cartouches. Mais 1'efTet des cartouches ne commence a fe faire' fentir qu'a une diftance de 240 toifes, qui eft la doublé portée des fufils. L'on pourra faire de femblables recherches fur les retranchemens eu egard au feu d'Artillerie. II fauira alors confidérerque les balles fe difperfent a de plus grandes diftances, que leur feu eft plus effïcace a de moindres diftances, a peu prés en raifon inverfe des quarrés des diftances Quoiqu'on tire, la plus part du tems, en barbette, ,tout retranchement ne fera pas également convenable au feu des cartouches. II feroit peutêtre deplacé dans les ouvrages a cremaillère ou a fcie, a moins qu'on ne mette les Canons aux angles faillans, qui devroient être applatis, pour pouvoir tirer de tous les cöté?. QUA-  QUATRIÉME DISSE RTATION sur la PORTÉE des BOMBES. X)epuis Newton & Euler, les Geométres n'ont pas perdu de vue le probiéme Balliftique , pour déterminer le mouvement des corps lancés dans les milieux refiftans. Les iravaux de Meffieurs de Borda & Bezout font connus. Mais les derniers eftorts que le celébre Colonel de Tempelhof a faits pour refoudre ce probiéme, ne laifïentrien a glaner fur ce champ qu'il a entierement moisfonné. Le Capitaine joint la plus fublime theorie, de 1'art militaire a la plus profonde connoiffance des Mathematiques & a une experience confommée. La folution du probiéme eft nouvelle; elle ne tient a aucune de celles, qui ont été publiées. Le genie y brille, & la diflertation, quï roule furjle probiéme en queftion, merite bien le titre de Bombardier Prujjien. Frederic reconnut le merite de fon Officier & le recompenfa (». Ne (d) Mirabcau, Taftiquo Pruffienne, pag. 163. H 5 .  122 DIS SERTA TION Ne m'accuferoit-on pas d'être compilateur, fi j'o■fois reprendre une matière difcutée pas les plus célebres Mathematiciens. Quelques brillantes que foient les recherches des grands Géométres, que je viens de nominer, & que je revére elles ne laiffent pas d'être penibles dans la Pratique D'ailleurs elles ne s'accordent pas toutes avec les experiences. Après avoir longtems medité fur ce fujet, je desefperois de trouver une iolution qui fut a Fufage des Artilleurs. Je hafarde deux folutions affez abrégées, qui nfont paru etre fuffifamment exaétes pour le jèt des bombes. Quant au mouvement des boulets de Canon, ie n'ai reuffi que pour les élevations qui ne font pas au dellus de vingt degrés. Cependant il eft plus utile de connoitre exaétement le mouvement des Bombes, que celui des boulets. II eft rare qu'on -pointe les Canons au deffus de trente degrés. Auffi les portées au dela de cette élevation ne' peuvent être exaétement obfervées. §. i. Pour ne pas renvoyer les leóteurs aux ouvrages élementaires, je repeterai les principes du mouvement des corps dans un milieu refiftant tel que Fair. L'on fait, que la refiftance qu'éprouve la fphére ou le boulet dans un fluide eft moitié de celle qu'éprouveroit fon grand cercle lorsque la refiftance du fluide eft propordonnelle au quarré de la vitefie. Soit S le diamétre du globe, i : TT marqué le rapport du diamétre rt la circonference, Faire du grand cercle de la fphére fera = —. Si v eft la viteffe du boulet & g la hau4" teur que tout corps grave parcourt pendant la pre-  fur Ja Pertée des Bombes. 123 première feconde de fa chute, la hauteur due ala viteffe v ou la hauteur dont un corps péfant devroit tomber pour aquerir la vitefle v, fera reprefentée par v': qg. Si l'on nomine alt poids d'un pied cube ou pouce cube d'air, la refiftance TtSS CtV* qu'oppofe fair au boulet, s'exprimera par— . —- 4 2-4S = , parceque la refiftance directe qu'é. prouve une furface plane, égale le poids d'un cylindre, qui a pour bafe, la furface & pour hauteur, celle qui eft due a la viteffe de la furface. §. 2. Tout mouvement varié pouvant êcre regardé comme uniformement acceléré ou retardé, pendant un inftant', les variations de la vitefle ou les dv font proportionelles a dt ou aux inftans; enforte que la quantité du mouvement, engendrée dans un inftant, fera proportionelle, a la force qui produit Ie mouvement, multipliée par 1'initant. Si M fignifie la Maffe & F la force, il y aura un rapport entre Mdo ScYdl. Pour reduire ce rapport a une équation, introduifons -y le coëfficiënt indeterminé m, l'on aura Mdu_= mYdt. Or pour déterminer Je coëfficiënt m , il fuffit de: le deduire d'une force uniformément acceleratrice, telle eft la gravité prés la furface de la terre. Si donc F reprefente la péfanteur, les mafles feront proportionelles a la pefanteur donc F: M=r, partant, dv = mdt. La vitefle qu'un corps grave aquiert par la chute, egale deux fois 1'efpace qu'il a parcouru. Si donc le corps grave a par£öuru la hauteur g pendant une feconde, il aura la  T24 DISSERTATION la vitefle 2g, c'eft a dire qui peut decrire unir formement J'efpace 2gpendant une feconde. Or les viteffes font en radon des tems, parconféquent 2g : i" = dv : dt, partant dv = 2gdt t d'ou l'on tire le coëfficiënt m = Qg ainfi 1'equation fondamentale fe changera en celle - ci. F Mdv == 2gFdt, ou bien dv =s 2g — dt. M On appelle force acceleratrice ou retardatrice, la force motrice divifée par la Maffe. On peut tirer de cette équation plufieurs équations, qui renferment autant de principes elementaires du mouvement. Parceque la viteffe ne varie pas d'un inffant è 1'autre que d'une quantité infiniment pecite, la vitefle peut être cenfée uniforme, pour un efpace infiniment petit dx; donc , par la nature du mouvement uniforme, on aura v = dx : dt, & dt = dx : v. Mettons cette valeur de dt dans 1'equation précêdente, Mdv — + 2gF<£, & nous aurons, Mvdv r= -j- 2g¥dx. L'équation u = dx : dt, donne dv = ddx:dt, en regardant l'inftant dt comme conftant. Subftir tuons cette valeur de dv dans l'équation, Mdn sc + agFifc,_ & nous aurons Mddx ss 4- 2gFdi*. §. 3. Appliquons la derniere équation"du mouvement aux corps lancés dans les milieux refifians Commencons par les mobiles lancés verticaPment dans Pair. Le mobile aura la vitesfe v quand il fera parvenu a la hauteur x. Etant ibnrnis a la fois, a la pefanteur & a la refiftance de Pair, ces deux forces s'uniflent pour diminuer  fur la Portie des Bombes. 125 nuer fon mouvement. La pefanteur eft: proportionelle a la Mafte, elle pourraêtre exprimée par M. naS'u' La refiftance de 1'air a été trouvée = donc 1'equation Mddx=+2gFdt*fe changera en celle.cï, M 4> ■ J zgdt', ou 3»g y 1 -j- jdi\ Le volume 32gM J de la fphére M egale , fa maffe fera 6 nbS* = ——, fi b fignifie le poids d'un pied ou d'un 6 pouce cube de la matièredu globe. L'on aura donc I -{ ) dt\ i6bg$ J Pofant = B. 16b gS 1'equation qui regarde lajpontée du corps grave, fera ddx = — 2g (1 + BV) dt\ L'on  J2Ó bissek.tatiok L'on trouvera par un calcul femblable 1'équation de la defcente, ddx = 2g ( i —B ü») dt", parceque la pefanteur pouffe le corps du haut en bas, & accelére fon mouvement, tandis que la refiftance de Fair retarde le mouvement. §. 4, Voyons préfentement, comment l'on peut deduire des équations du mouvement rectüigne, les équations de la courbe, decrice par un globe lancé dans 1'air fous une inclinaifon connue. (Fig. 14.) Que le globe foit lancé avec la vitesfe c fous l'angle d'inchnaifon TAB = 0. Si le corps arrivé en M a la viteffe u, il decrirok uniformement, dans 1'inftant fuivantüfa, 1'elément de la courbe Mm~ dz, en éprouvant la refiftance de Fair s= Bi1, felon la direcliop de la tangente Mi. Mais comme le mouvement fe fait dans une courbe, parceque la petanteur retire a chaque inftant le corps, de la direétion de la tangente» il faut decompofer la refiftance felon Mm, en deux fens, 1'un vertical felon mp & 1'autre hori. fontal felon A£. Ménant mp infiniment proche de MP = y, & abaiffant de M Ia perpendiculaire Mn, & nommant x 1'abfciffe AP, on aura, mn — dy & Mn = dm parconféquent Mm ; Ma ou dz : dx = la refiftance felon la tangente Me ou Bi* : a la refiftance dans le fens horifontal, ia Bvdx quelle fera = . La péfanteur n'agit pas dz dans le fens horifontal, elle n'affectera pas la re- Bsdx F Cftance , oartant la quantité — ou la force dz M re-  fur la Portée des Bombes. 127 retardatrice qui nait feulement de la refiftance dans le fens horifontal, fera expriuiée par Btfdx - —■, ce qui fournira 1'equation I dz zgBv'dxdt' ddx =3 (§. 3.) dz §. 5. Subftituant dx1 : t)1 pour dt% dans"i'équa^ tion I, on trouvera ddx = — agBdxdz , & ddx -— = — 2gBdz. Cette équation êtant integrée dx par les logarithmes Hyperboliques, on aura, Jog. dx = log. Cdt — 2gtiz. L'on ajoute la conItante Cdt, parceque dt a été fuppofé conftant. Cdt II y aura donc 2gBz= log. . Nommant e la ba- dx fe des logarithmes Hyperboliques, l'équation pré- 2gBz cédente fe transformera en celle - ci « Cdt Cdz = = , Si l'angle Mm» = = c cof ©, qui contient la relation entre 1'arc de la courbe z & la viteffe. §. 6. L'on trouvera la refiftance dans le fens vertical (par ce qu'il a été dit dans le %. 4») = Bi'-dy :' dz. Mais la péfanteur fe joint a la refi. ltance,dans le fens vertical pour diminuer le mouvement du corps, la force retardatrice doit donc Bi'dy être reprefentée par i -J (§. 3.) d'ou re- dz , v*dy fultera l'équation III. ddy— — 2g(i-J-B—~)dt\ dz En mulcipliant cette équation par dx & l'équation I par dy, puis retranchant 1'une de 1'autre pour chaffer les termes ou fe trouve v', on aura 1'equation ddydx — ddxdy =s — 2gdxdlz. Divifant cette équation par dx2, on rendra le premier membre intégrable. ddydx — ddxdy 2gdl2 .. ss — —-, donc en intégrant. dx% dx dy dt' on aura — = C — 2gf—. dx dx Or  fur la Portée des- Bombes. 129 dy dt* Or — = tang ') — /— Mais as ■ . Soitp*4-p<=u. la differentiation donne pdp -f 2/^ sa — donc/- —. sa ƒ ƒ Ll pdp dp 2l/(p*+p<) 2V(l+p') I = — log. (p -f- V (i + p'), ainfi 1'integrale 2 de l'équation differentielle fera, Pr e ^i/Ci4^0+-log.Qö+i/Cf4-^))=C— . * 2 2Bc1C0fl« Pour  fur la Portée des Bombesi 131 Pour déterminer laconftante C, il faut remarquer, qaep = cof d), deviendra = cofö, lorsque 2= 0, partant tangfl 1 1 C=——fecd-f— log.(tangfl-f-fec.'6)-f-— ■ 2 2 2Bc* cof 8* P 1 Mettons P=—✓(i+jpM—log V(i +>■))= tang d> 1 = ■ fee 4>;+ — log. (tang

s'evanouit, donc P = 0; l'on en tirera, la longueur de la branche afcendante I » AD  I32 BÏSSÉR^TATI O U log fi 4- 2 AB c* cof fi') AD = : — 2gB 04-8 AB£ cof fi<) log. Hyp. . . 4?B g. 7. Au moyen de 1'arc de la courbe, l'on fe. raenêtat de déterminer la viteffe du projeótile en tous les points de la courbe. L'équation II. du §. 5, êtoit 2gBz e v cof I 3 Mais  334 ÖISSERTATION 2 (£■—.*;) dy Mais =*= — =/>= tang 2$ ' donc — = tang ö. II eft connu parj la theo. a rie de la Parabole, que la demie - amplitude c* fin 2 0 ^ == == b fin 2 0; donc le parametre 4g « • ■ '-' ft-■ -1 ' c» cof fi' c = = 4& cof fl1, donc en faifant les fub- g ftitutïons neceflaires, on en deduira 1'arcParabolique h fin 2 fl AM = fee 0 -f- h cof fi1 log. ('tang 9 +■ fee fl) 2 h cof fl' !*» 1 tang fee 45—^cof I» log (tang <$>+■ fee S) == h cof fl' (tang ö fee 04-log. (tang fl 4 fee fl)) — h cof fl1 (tang

— 643* B» (ar. Parab. > 3 La branche afcendante parcourue dans 1'air efl; plus courte que celle de la Paraboie. §. 9. La dependance mutuelle de la Paraboie & de'la courbe dans le milieu refiftant, m'a fait naitre 1'idée de la methode d'approximation , que je vais expofer. Parceque le coëfficiënt B efl: trés petit dans le jet des Bombes & la vitefle initielle n'eft pas confiderable comme l'on vera, 1'arc Parabolique ne differera pas de la branche afcendante de la courbe en queftion, l'on pourra regarder la branche afcendante, comme Parabolique. Si AD reprefente la branche afcendante de la Paraboie, & AN, celle de la courbe dans le milieu refiftant, il eft évide: t que la plus grande hauteur DC dans le vide fe reduira a la hauteur NO & la demi-portée AC a celle' AO dans le milieu refiftant. L'arc ND, I 4 9,ui  I3<5 DI.SSERTATION qui efl la différence entre les branches afcendan-' tes AU ctE AEM, peut être pris pour une ligne droite, ou pour Ia cordeND, fi l'angle DNR = a li y aura DR = ND fin & NR = ND cof a ' partant la plus grande hauteur NO = DC — DR Or il eft connu par la theorie de la Paraboie que DC = h fin 6» & que Ja demi portée AC=: , r f Ö' £?£c, ,a Plus S^nde hauteur NO == fi lm 1* —ND fin > 2r^NDc0f> Relte donc 4 cher. cher lang DNR, qui ne differera pas beaucoup de 1 angle, formé par la tangente avec 1'horifon. * Comme un are quelconque de Ia Paraboie s expnme par 2 h cof 6» (A-P) = AM l'on en tirera P= A — AM : 2/6 cof 6- or la table fubfidiaire qui eft a la fin de cette diflertation contient les valeurs des P relativement aux angles , ainfi ces angles feront connus. Nous demontrérons dans la fuite, que la branche defcendante NF n'eft pas femblable a la branche afcendante de Ia courbe decrite dans Fair Pour trouver la feconde partie OF de la portée' jai confideré cette oranche comme 1'arc d une paraboie que Ia bombe auroit decrité, étant honiontalement Jancée avec Ia vitefle, qui lui relta au fommet, a la plus grande hauteur NO que nous venons.de déterminer. Pour eet erret il faut faire ufage de I'expreffion de H, ou de la hauteur due a Ia vitefle au fommet de la courbe. CS- 70 Cela êtant pofé on trouvera par tón' l°r^pde la Parabo,e, cette équation 4 H. ™ pour de£erminer la feconde partie OF de Ia portee AF; ainfi ia portée entiere fera = b fin 2 9 — MD cof 4 o v H NO Enfin on aura l'angle de la chute en F, d'ifTe- ren-  fur la Portée des Bombes. 137 remiant l'équation 4 H : PM = PF1, d'on.refuite 2 H. d. PM = PF . d. PF, donc d. PM PF ; = — = tangentende l'angle de la chute. d. FP 2H §. 10. Nous foumetterons cette methode d'ap* proximation aux experiences faites a Ia Fére en 1771., telles que M. Bezout les a rapportées dans lequatriéme Tome de fon cours de Mathematiques. Avant toutes chofes il convient de déterminer le coëfficiënt B qui eft = 3 a : lóbgS (§. 3.). Le diamétre des Bombes êtoit de 11 ,pouces io lignes = 0,986111 piés = 3. 7° 7 Un pied cube d'air ptfi = — livres = a 850 85 La bombe péfoit 142 livres, = nbP 852 (§• 3>)> donc b = • 6 ^ Nous pofons g = 15,1 piés = 2,516" toifes. 1. «y =9^9939258 1. =9.98r7774 log. 7, =0,8450980 1. rt =0,4971491 log. 85 =1,9294189 • 1. itP =0,4789255 log. a =^9156791 1. 852 =2,930439(5' log. 3 =0,4771213 log. b =2,4515131. ï 5 log.  13^ BISSEKIiTIOü log. 3« =9,3928004 I log. 16=1,2041200 1. lébgS =3,2721177 \ \. g =0,4007106 —11. è =9.2939740ent, log. B =6,12068-27 JLL donc B =0,00013202 j 1.16^=3,2721177 coëfficiënt 5 eft donc une petite fraétion. Je fuppoferai la grandeur h = 370 toifes, telle que M. Btzout a trouvé la hauteur due a la viteffe defprojeétion, j'expoferai enfuite Ja manière de trouver cette quantiié h. §. 11. Faifons les calculs fur Ja feconde expe* rience, qui a été faite fous l'angle d'inclinaifon de 20 degrés = fi. Cherchons d'abord la branche afcendante de la Paraboie; qui eft reprefeniée par %b A cof 6*. Les tables fubfidiaires, donnent pour l'angle de 20 degres, A =0,3718537 donc log.A =9,5703713 1. 4 g =1,0027706 1. 2^=2,8692317 1. B =6,1206827 l.cofSa=9,94597i6j n _ 14gB =7.1234533 1. are. Parab. =2,3855746doaci'.rcPm.^rft. 1- 4SB =7.1234533 1. 4gB Ar. Par. - =9,5090279 donc 4,gB Are. Par. =0,32287 donc i-f-4gBArc.Par.=i,32287. §, 12 Pour trouver la branche afcendante d& la courbe AM, ii faudra employer les logaridirtves Hyperboliques ou les feries, afin de calculer la (1 4- 4gB are. Par.) gnsndeur, log. Hyp. „  fur la Portie des Bombes. 139 On cherchera log. Hyp. 1,32287. Quand on a les tables des logarithmes jHyperboliques, qui fe trouvent dans le Recueit- des talles des logaiithmes publiées a Berlin en 1778, par M. Schultze, l'on fera le calcul de la maniére qui fuit. L'on fe propofe de trouver le log. Hyp. (ö4-£) qui efl: =s log. a ^1 -j ^ = log! a 4 C*^ b b* 1 + — ) = los- a + —* a y a sta* l* b* 4. &c. Conformement ü cette 3a1 4a* ferie), l'on aura log. 1,32287 = log. 1,322 0,00087 / 0,00087^ 2 4- ( ) + &c. 1,322 2\ 1,322 J On trouvera dans les tables mentionéesj log. Hyp. 1322 =7,186901 0,00087 b log. ioeo =6,907755 = 0,000657 = - log. 1,322 =0,279146 b les termes fuivans font — —0,000657 alfez petits pour être a omis, log. Hyp. 1,31287=0,279803 donc  I40 DISSERTATION dont le log. ordinaire =9,4468523 1- 4gB =7^234533 log. Are. AN =2)3233990 donc la branche afcendante AN =210,5 donc la différence entre les deux branches afcendantes ou DN = DA — AN = 32,4 t. Pour déterminer les AP, &PM, il faut connoitre l'angle regardant 1'arc AM, comme Pa. rabolique. Or tout are Parabolique, ou AN =s AN 2 h cof fi' (A —P), donc P = A (§. 8.) 2 /->COf fi' log. AN = 2,3233990 log. 2b cof fl' = 2,8152033 9.5081957 |. donc le nombre = 0,322248 A = 0,371853 P = 0,049605 A cette quantité P repond l'angle d> = 2' 50' donc DR. = 32,4 fin 2* 50' = 1,5 & NR = 32,4 cof 2' 50' = 29,2 La plus grande hauteur DC de la paraboie eft * fin fi2 = 43,3, donc la plus grande NO = 43)3 ~ i)2 = 4r,8. Enfuite la demi-portée dans la paraboie eft = b fin 20 = 237,8 = AC donc la partie de la portée AO = 237,8 — 29,2 = 208,6 toifes. Pour déterminer la feconde partie de la portée, dans la branche defcendante, il faut auparavant calculer la hauteur H due a la vitefie au fommet: Or on a trouvé H  fnr la Portée des Bombes, 14.1 hcofb* h cof 6* 1 +- 8 ABgb cof 6* 1,+ 4 BgArc.Par. Ce calcul fe faitfacilement parlescalculs précedens log. h cof ¥ = 2,5141733 1. (1 -f- 4Bg Ar. Par.) = 0,1215172 log. H = 2,3926561 mais OF = 2^H, NO, donc 2 log. H = 2,3926561 log. NO bbc 1,6211763 4,0138324 L rAl. NO = 2,0069162 dont le nombre = 101,55 » donc OF = 2.101,55 = 203,1, parconféquent la portée corrigée AF fera de 208,6 -f- 194=402,6 toifes. Prennant un milieu entre les quatre portées obfervées, la portée moyenne étoit de 414 toifes, qui ne furpaffe que de 11,3 la portée deduite de notre theorie. II faut remarquer que les experiences ne font pas fans erreur. La plus grande portée êtoit de 440 & la plus petite des quatre obfervées étoit 394, donc il y a une incertitude de 46 toifes fur la portée. M. Bezoui la trouve de 396 felon fa methode. OF Enfin la tangentede l'angle de la chute eft= —— 2II = 22' 22'. § 13. Pai dit qu'on pouvoit faire le calcul de la branche afcendante fans les tables des logarithmes hyperboliques, par le moyen des feries. La ferie qui exprimé cette branche AN, a été trou- vée,  14* DISSERTATION vée, (mettant D ,'pour la branche Parabolique,) i6g* = D—sgB.Ds4" B'D'—ó^g' B'D* + & 3 4gBD* (4gBD)* = D -f D —(4gBD)'D4-& * 3 C45BD (4gBD)« S. 1 T" + —3 C«BD)'+J: Voyonscombien de termes (il faudra employer, Ie calcul en eft tres aifé a^ faire 4gBD log.4gBD =9,5090279 — =0,161435 2 2 log.4gBD =9,0180558 3 I =1 log.4gBD =8,5270837 ■ donc 4gBD (4gBD)' 1. =0,838565 =+0,034730 * 3 001072 -(4gBD)3=—0,033658 ferie =0,839637 -{-0,00107a donc 1'arc afcendant = 0^^=0,839637.242,9 = 503,9, qui a été trouvé = 210,5 Par le calcul des logarithmes. II s'enfuit que le calcul par les logarithmes eft plus exaft que paria ferie; que les termes de la  fur la Portée des Bombes. 143 Ia ferie après le fecond terme pourront être^omis fans erreur fenfible. §. 14. Nous ajouterons le devis 'du calcul, pour la portée fous l'angle d'inclinaifon de 40 degrès == fl. L'on trouvera dans les tables, pour l'angle de 40 degres, la quantité A = 0,929138 & log. A = 9,9680800 log, A =9,9680800 Arc.Par. ou D =433,4 1. 2b =2,8692317 Are. z =323 1. cof 6* =9,7685080 ~* Are. DN. =80,4 1. D =2,6058197 1, 80,4 =1,9052560 I. 4gB =7,1234533 1 finio*3o'=9,26sd33o ■ l.cofio*3o'=9,99266or 9.729273° dont le nombre 1. DR =1,1658850 ou, 4gB0=0,536133 1. NR =(,8979221 1 -f 4£tfD = rj53(5i33 doncDR=i4,6&MR=79 l.Hyp.1536=7,336936 1. h =2,5682017 log. 1000 =6,907755 1. fin 2 0 =6,9933515 1,Hyp-1,536=0,429181 1. AC =2,5615532 0. 000133 donc AC =364,3 =93 NR = 79 1,536 .. —,• AO =285,3 1-Hyp-,)53*'3!=o,429274 1. h =2,5682017 dont le log. =9,6327345 1- fin fl* =9,6161350 h 4gB =7,1234533 . — 1. DC =2,1843367 1. z =2, cof 61 Or fi x = 0, il y aura 2=0, donc B = g 1 c1 cof 0* 4A cof fl1 DifFerentiant derechef, il y aura 4gBs 8g*B e «te « = 6C -f- 24DA. c* cof 6 Or dz = ö'x (1 -j- i>*)» donc 4gBa 2gB e — ,— s ^(i+^)=6C + 24D^ + & £ cof Ê3 K 3 met«  150 DISSERTATION mettant x = o, il y aura z =2 ==tang donc 1/ (1 + j>*) = 1 : cof 8, partant, C = — ■ . %h cof fi! DifFerentiant encore on aura — 8g*B* e dzV(i + p*) h cof 6* ö'x 4gBx 2gB e pdp \ • = 24 D £ cof fia(l-J-/>\)i 4gBs mais = dx V (1 -f- & — =-— dx c1 cof 6* 4gBz e s= —- —— , donc 2 £ cof 6* 4gBx 8^» B» e (1 -f- pa) £ COf fl? 8gB* gB e p — • — = 24 £> h* cof fi4 (1 piy 8 donc s = 0, & P = tang 0, ü y aura  fur la Portée de! Bombes, 151 gB f tang 6 cof fi1 gB -v D-= f + ) £coffla\. *b cof 6* 3cofS4 y gB f fin fl gB N ouD= f ) 3 h cof ¥ V 8 ^ cof 8' 2cofö/ Le coëfficiënt D doit être petit parcequ'il contient deux parties pofitives alfez petites , d'ailleurs la grandeur gB eft petite. Enforte que nous nous contenterons des trois premiers termes de' la ferie, & nous aurons x" gBx8 y —x tang fl— —. 4 h cof fl1 3 b cof fl* En cherchant le Maximum de y, l'on trouvera la plus grande abfcifle AO, partant il y aura dy x gBx* dx ^ 2 b cof fl2 b cof fl1 x cof 8 d'ou l'on tirera b fin 8 cof fl» — ■ — gBx* =9 2 Mais pour éviter la refolution de l'équation quar- / cofö N réejnousmettonsófinflcofê'srtff \~gBx 1 K 4. donc  I52 DISSEKTATION I —• h fin 2 ö cof f 2 donc x — — . cof 0 g^x 2 h fin 2 0 ou a = . . La theorie de ]a Para- i+ 2gBx : cof 9 bole fournit x = 2 b fin s cof 0 = AjC donc £ fin 2 0 1 -f- 4/6gB fin 0 Aprés avoir determiné a peu prés la valeur de* ou deAO,on la pourra mettre pour x dans 1'équation, b fin 2 0 x = , pour obtenir une valeur 1 + 2gBx : cof 9 plus approchée. Si les deux valeurs de x, difteroient trop entr'elles, fon en pourroit employer la valeur moyenne , pour avoir une quandté plus correcle, qu'on fubftituera dans 1'equation Cx gBx' "N tang Ö .— ), pour 4#cof0' zhcoffcy déterminer la plus grande hauteur ONV Fcr?  fur la Portée ies Bombes. *J53 Formons auffi une ferie , qui repréfente J'équation de la branche defcendante- Pofons y = A x -f- Bx' -f Cx3 -j- Dx4 -f- &c, en difierentiant, l'on aura dy — = p = zBx -J- §Cx' $Dxk dx Or x étant o, il y aura p = o donc A == o. Différentiant encore, il nous vient dp t~ = 2B -f- 6C:r -f- mDx'. dx ^ e L'article i8me fournit — = . dx 2 H Mais fi x evanouit, 1'arc z evanoiura auffi, 1 1 partant, 2B = — ou B = , En con- 2H 4 H ' dp tinuant la difFerentiation, l'on aura d . — dx 4-gBz dx 2gB e dz = —— — = 6C -f- 24Da. Mais Hdx *r 4gB* 2gB e §Z~dxV(s+p%-^ V(i+/>')=6.C+24D*. H K 5 L'on  154 DISSERTATIOK L'on connoitra 1'indeterminée C , parceque gB x = o, il y aurap & z = o; partant C= —, 3H X1 gljX* d'on Pon tirera la ferie, y = -f- 4H SH Mettant pour y la plus grande hauteur ON, on trouveroit OF ou la feconde partie de la portée, par la folution de l'équation du troifième degré. Mais pour éviter les difficultés du calcul, l'on fe contentera d'une approximation. Pour eet efFet l'on tirera de 1'equation précédente, 4Hy —c . Or dans le vide lorsque B=o, 4g i -j- —Bx 3 x% il y aura y = , & x = 2 V Hy. En fubfii- 4H tuant cette valeur de * dans 1'equation pre- 4Hy cedente, il en refultera x% = ■ 8 x ^ gB V Hy 5= 4Hy — — gB V Hy^ , aprês avoir mis  fur la Portée des Bombes. 155 omis dans la divifion les termes qui renferment les puiflances de B. Enfin extrayant de même la racine quarrée & on trouvera x = OF s= ^1 gB V Hy^ 2 V H y, ce qui efl: la feconde partie de la portée. L'on déterminera facilement l'angle de la chute, moyennant l'équation, p ==• tang 9 x g B x% x = — -f- . = — (0,5 4» gBx), mettant 2H H H pour x la valeur de OF que nous venons de trouver. §. 19. Ayant calculé felon la methode, qui vient d'être expofée, les portées des Bombus, rapportées ci-deflus §. 16., j'ai obtenu des refultats trés peu différens de ceux de la première methode. Comme je me fins propofé de fournir aux Artilleurs des pratiques aifées, & que la methode que je viens d'expliquer, ne paroitra pas être affez fimple, je donnerai enfin une maniere trés facile de calculer les portées. L'on commencera par calculer la première partie de la portée par 1'equation h fin 2 ö x a= ww =- AO. On fait par la 1 +■ 4^gB fin 4 theorie de la Paraboie, que CF» =3 4H. CD = x\ fi  l$6 DISSER.TATION fi H fignifie Ja hauteur due k la vitefle horifontale felon DF , donc x = 2 V H , C D. II effc aulli connu que AC oui =2 i fin fl cof 9 = b fin 2 9, & que CD = Z? fin 61, donc DC fin fi» x — — , & DC = — tang ö. Faifant x 2 fin S cof 9 2 la fubftitution pour D C , dans l'équation x = 2 V H . CD, l'on aura la feconde partie de la portée ou OF = X = V 2 H x tang fi. Voila donc une methode fort abrégée pour déterminer les portées des Bombes. 11 ne s'agitque d'employer les trois formules fuivantes h fin 2 fi 1 -f- 4^gB fin 6 b cof fi» H = §.7. 1 + Mg BA cof 6= OF=Z= VzxR tang ö, donc la portée AF==a;-|-X. §. 19. Refte a prouver que la methode précedente s'accorde avec les experiences. Nous prendrons pour exemple 1'experience faite fous l'angle d'inclinaifon de 40* = fl. Par les calculs précédens Fon connoit la grandeur 4g/>B, qui eft conftante. L'on cherchera dans la table, qui eft a la fin de cette diflertation, la grandeur A = 0,9291380, & fon logarithme log.  fur la Portee des Bombes. i57 log. h =2,568.017 ' log. 4%B =9,6916550 1. fin ö- =9,9933515 log. finJ =9,8080675 1. fin fl =2,5615532 9,4997225 1. 1,31602 =0,1192643 , ~~T~ dont le combre=o5316026 Jog. x =2,4422889 docc,4.4^^=^3,6026 °S fl =2,S fxi07 dMC * =276>8 1 cofö1 =9,7685080 ' I MtfiT=ÏS«wÏ7 l0S« A =9,96^802 1- I,530I3-5^J42«7 h coffi. _97o85o8o Jog. H =2,1502810 _ Jog. a; =2,4422889 i;g^BAcof_.r553(5I33 1. H 4,8174134! donc 1. 1/ 2 H .v tang fl = 2,4087067 = 1. X donc X= 256,1, donc la portée= 276,8-f 265,1 = 542 toifes qui étoit obfervée de 568 toifes §. 20. La table qüifuit, contient les refultats de cette methode cotnpaiés a ceux de notre première méthode §. 15. Angle ] Portées | Refult j Erreurs Refult | Erreurs de Pro I moyen- J de la I. | de la H. I jeftion. I nes- I methode 1 methode j degrés toifes 20 414 402,6 -f-gb B fin 9 1 + 8g/;BAcof fl' donc  fur la Portée des Bombes. 159 donc faifant les fubfütutions, l'on aura h fin a9 h fin 2 9 R= + 1 -f 4gbB fin9 |/(i+-8^BAcofölXi+4^BfiD8; donc CRCi + 4^Bfin9) — h fin 20)* = h*fin26' ( 1 ■+■ 4g£B fin 6) ■ ' **- . Or le multiplicateur i -f- 8 ghB A cof fi* 1 ■+■ 4 gAB fin 9 — ■ ne diffère pas beaucoup 1 + 8 ghBA coffl* r de 1'unité, il eft zero dans le vide, parceque B eft zero. Partant R (1 -f. 4ghB fin ê) = 2b fin 2 9 R don ^ = . 2 fin 2 fl— 4gBRfinê Pour approcher par cette formule autant qu'il eft poffible, de la valeur de la hauteur b, due a la vitefle de projection, il conviendrad'employerles portées fous des petits angles de projection, tel' eft l'angle de 10 degrés dans les experiences mentionnées, la portée moyenne deduite des quatre obfervations êtoit 239 toifes = R log R =2,3783979! 1.4gB =7,1234533 I. fin 9 =9,2396702! 2 fin 2 9 =0,682040 =8,7414214 le nombre =0,055139 a fin 9 —. 4gBR fin 9 =0,626905 donc  lÓO DISSERTATIOH 239 donc h — —— =381 toifes. La valeur de h furpaffe, de ir toifes celle que j'ai fup^ pofée felon M. Bezout. La portée obfervée de 228 toifes fournit 363 toifes pour la hauteur h, en forte que ia hauteur de37oparoit être affez exacte. Au refte j'avoue que toutes les methodes propofées pour déterminer la viteffe de projection par les portées obfervées, ne peuvent être bien exa6t.es, parcequ'on lesdeduit des équations de la Courbe dans le milieu refiftant qui ne font qu'approchées. . §. 22. II eft connu, qu'on enfonce la fufée ou un cone tronqué rempli d'une compofition de poudre, par la lumiére de la Bombe, dans fa concavité; cette fufée, lorsqu'on y met le feu, le communiqué a la poudre, dont la Bombe eft chargée, & la fait créver. Si la fufée étoit trop courte, la Bombe creveroit en 1'air avant qu'elle eut touché le lieu fur le quel elle eft chaffée. II faut donc que la fufée dure au moins le tems que la Bombe peut employer pour aller dans Tendroit ou elle puiffe tomber. L'on peut donc fuppofer que les longueurs des fufées font proportionelles aux tems pendant lesquels la Bombe eft chaffée dans 1'air. 11 n'eft donc pas inutile de faire des recherches fur le tems que la Bombe refte en 1'air. Pour eet eftet, nous rappellerons l'équation , 2gdtx dp — (§. 6.) donc dp dx = — 2gdt% dx Com«  fur ld'Portée des Bombes. s6i Combinons cette équation avec l'équation, y = Si* gïïx* x tang 0 : (§• 18.). 4b cof fi» $b cof fi3 dy En différentiant, l'on aura — = p — tang fi — x gBx* ; . DifFerentiant une fecon- 2 h cof 4' b cof fi' dx de fois, l'on trouvera dp = — — 2 £ cof 6" 2gBjcrfa; — Subftituant cett e valeur de dp dans b cof fi' l'équation dp dx = — 2grt'/*, l'on obtiendra Ja* ^ zgBxdx* l'équation — •{ = agdt', d'ou 2.h coffi* b cof fi3 ,i - 4gB*-v- 1 on tirera aft 1/ ( 1 4 ■ 1 = 2 cof0i/t/g&. V cof ay Par 1'intégration de cette équation l'on trou- C4gBi-Ns coffl 1 4. -— ) = acof«.*|/gè + C cof «y 6&B cof 4 Si * = e?, il y aura x — 0, donc C =s — . ógB L Ain-  16% DISSERTATION i -}- )•— i cof ay —— qui eft le tems de la montée de Ia Bombe. L'on trouvera de Ia même maniere, le tems de la defcente de la Bombe, par le moyen des x* équations dp dx s= ngdt*, & (g. rf,) y — n 4H gB*« *F* TT (5* I9)« 1,3 differentielle de cette equa3H 1 ^ s gBs* tion donne — = p = — 4, . Diffe. dx 2H H , , , , zgBxdx rentiant deréchef, onaura<#>=. { 2H H öft* 2gB.*fi&;* Parconféquent -~- + r = donc O, 21.) L 2 11  ÏÖf DISSERTATION (2fin2 8 — 4 g BR finA") II en refultera T* = R« i 4 cof L* g R / . êBR ( v. . { i-j (i-f-eoföj ] Or cedernierfaóteur \ 4coffl J gBR — i -\ (i -f- cof 9) omettant le terme ou 2 cof 9 /tang 9 BR fin 0X fe trouve B', donc Ta = R( ) \ g cof 9^ J CgBR gBR*»v Rtangö BR'finfl acoffl 2 y | cof 6« BRa fin 9 BR1 tang 6 Rtang9 BRafinfl 3 cof 6' a g 2cof£< BRs tang 9 •J- —— donc 2 ✓ BR BR N T' = R tang 9 f 0^396- 4, ) 0lI ^ 2 cof 0 2 ' /BR \ bten=Rtangfl^o,39Ó 4- (1 — fee D)J, %. 24. Voila donc, 1'txpreflion du tems qui ne ren*  fur la Portée des Bombes. 16$ renferme que l'angle d'inclinaifon & la poftée ou la diftance R a la quelle on veut faire aller la Bombe. St l'on connoiffoit donc par experience, la longueur de la fufée, qui auroit communiqué le feu a la Bombe precifément dans 1'inftant qu'elle fut torobée a terre, l'on en pouroit deduire les Iöngüeurs des fufées pour une inclinaifon & une portée quelconque. J'ai trouvé une teHe experience dans un ouvrage Allemahd trés intereffant, ptïblié par M. Vc'ga (a). Une fufée de 9 pouces a êté adaptée k une Bombe , chasfée foüs l'angle de 45 degrés a la diftance de 1000 toifes. Comme cette experience donne R — 1000, &: Q — 450. On trouvera T*== toco (0,396—0,027) = 369", donc T — 19". 11 faut fe rappeller que log. B :== 6,1206826. (§, 10.) La grandeur B produit dans le calcul, quelque incertitude qui eft pnurtant peu confiderable parcequ*elle depend du diamétre & du poids de la Bombe. M. Vega n'a pas marqué le diamétre de la Bombe dans 1'experience en queftion." Cela étanc fuppofé, l'on trouvera la longueur de la fufée pour une inclinaifon & pour une portée donnée, par cette proportion 19 : 9 pouces = T : —• qui eft la longueur de la fufée , exprimée en pouces, & qui repond au tems T; donc i'ex1'expreflioil de la longueur de la fufée, fe, ra fa) Prsftifche Amveifung Zum Bambenwerftn, Wien» 1787, pag. 16. L3  l6ö DISSERTATION 9T 9 BR ra — =—i/Rtangif 0,396-} (1—fecfl) ] 19 19 V 2 J après avoir extrait Ia racine quarrée. M Vega calcule les longueurs des fufées par la Paraboie, en forte que la longueur de la fufée fera 9T 1 R tang 8 = = — V . D'ou réfulte ce 19,8 2,1 g théorerae , que le quarré de la longueur de la fufée eft en raifon compofée de la portée & de la tangente de l'angle de Projeclion. Cependant il eft certain que la refiftance dimioue ce tems de la chute, parconféquent la longueur des fufées, car le tems feroitide 19,8", dans 1'hypothéfe Parabolique & la longueur de la 9T iT 19,8 2,1 §. 26. La table, qui fuit, a êté drelTée fur la 9 / BR N formule —i/R tang 9 f 0,396-] (1 — fee 8) ) 19 V ' 2 / Qu'on cherche p. e. la longueur de la fufée pour la portée de 350 toifes = R fous l'angle de 70* = 8. 1.  fur Ia Portée des Bombes. 167 ]. B =6,1205964 fee 70* =2,9238044 1. R =2,7403627 1=1 8,8609591 i-fec7o*=—1,9238044 1. 2 =0,3010300 BR 1.—- =8,5599291 2 0,2841599 =1. (i*-fec7o* — 8,8440890, donc le nombre = — 0,0698 t. 4. 0,396 +■ 0,326 log. 0,326 = 9,5132176 log. R, = ^,7403627 log. tang « = 0,4389341 2,6925144 l.delaracine= 1,3462572, or 9 1. — = 9,6754889 19 — ■ 9,0217461 dont le nombre = 10,52 pouces — la longueur de la fufée. M. Vega a trouvé la longueur de la fufée de dix pouces. en^°oifesS Angles de projeélion en degrés 75 1 7o | 60 | 4T en 1 pouces | 250 8,54 j 7,49 1 6,13 4,68 350 9,96 j 8,77 j 7,15 / 5,51 450 10,82 | 9,69 j 8,óo I 6,23 55° 1 ">59 I i©>5* 1 8,78 I 6'8* L 4 he$  IÖ8 PISSERTATION Les fufées font toutes plus longues que celles de la table calculée par M. Fe ga. Elles diffé- 3 rent fouvent de — de pouces. II auroit-êté inu4 tile de continuer la table de Ja longueur des fufées , parceque les batteries de la première parallel ne doivent êfe eloignées de la fortereffe que de iooö pas ou de 500 toifes tout au plus f». §. 27. Nous avons avancé enplufieurs endroits de cette differtation, que les methodes d'approximation font plus propres a déterminer la portée des Bombes que celle des boulets. C'eft que la viteffe de projection des boulets étant plus grande que celles des bombes produit une refiftance plus forte qui parconféquent doit écarter le mouvement de la route Parabolique. Nous Ie prouverons par les experiences que M Bezout a rapportées dans le quatriéme Tome de fon cours des Mathematiques. Un boulet de 24 livres a été cnaffé avec une charge de poudre de 8| üvres fous differens angles. Lc-diamétre du boulet ou «f eft de 5,5 pouces = 0,4^83" piés. Parles calculs du iome Article, le pied cube d'air pé- 7 fe — livres = a. Le poids du boulet eft de 85 24 (O II fe trouve dans l'Hifroire de li Rtierre de fept ans. puoliée par IYT. de Tempelhof, des reflexions trés intereiïames fur l'ufage des Canons & des mortiers & fur la pofi'.ion des paralléles & des batteries dsns les fiéges. Le mau.ais fuccés du fiege d'Olmutz a fourni ces reflexions i, ce fcavant Capitaine. Voyez le fecond tome pag, 62-82.  fur la Portie des Bombes, 169 144 34 livres, donc b = & log. £=2,6777637; 7TV(i4-p*)(§ 3.) ces deux tables font tirées du memoire de M» Euler fur la veritable courbe que decriventles corps jettcs. dans 1'air, & qui fe trouve dans les Memoires de 1'Academie des Sciences de Berlirl de 1'année 1753. J'y ai ajöuté la troifiéme colonne des logarithmes des valeurs de P. TA-  TABLE SUBSIDIAIRE Angle p=z tang

367*75i 14 [ 0,2493280 0,2518877 9,40x2240 15 0,2679492 0,2711218 9,433IÓ44 16 0,2867454 0,2906277 9>4633340 17 0,3057307 0,3104288 1 9,4919621- 18 0,3249197 0,3305495 9>5t92365 19 0,3443276 0,3510153 9'5453^o *o °,36397°3 0,3718537 9,5703721  174 TABLE SUBSIDIAIRE. 21 0,3838640 0,3930932 9.5944955 52 0,4040262 0,4147637 9,6/78007 23 0,3244748 0,4368974 l 9.6403794 24 0,4452287 0,4.595290 9,6623129 25 0,4663077 0,4826944 9,6836723 20 0,4877316 0,5064324 9,7045215 »7 °»5C95254 0,5307845 9,7249182 »j 28 0,5417094 0,5557952 9,7449344 29 0,554309f 0,5815120 9,7645587 3° 0,5773503 0,6079863 ' 9,783^939 31 0,6068606 0,6352732 9,8029598 32 0,6248694 0,6034325 9,8217967 - 33 0,6494076 0,6925287 9^8404378 ( 34 0,6745085 0,7226311 9,8589166 : 35 0,7002075 0,7538161 9,8772654 36 0,7265425 0,7861656 9,8955139 37 0,7535541 0,8187699 9,9136919 . 38 0,7812856 0,8547266 9,9318273 39 0,8097840 0,8911439 9v9499479 40 0,8390996 0,9291380 9,9680802 41 0,8692867 0,9688398 9,9862519 j 42 0,9004040 1,0103900 0,0044893 43 0,93*5131 1,0539469 0,0228149 44 0,9656888 1,0996840 0,0402381 , 45 1,0000000 1,1477934 0,0598636 46 1,0355303 1,1984896 0,0786376 47 1,0723687 1,2520116 0,0976081 48 1,1106125 1,3086253 0,1168152 49 1,1503684 1,3686303 0,1362861 50 I,i9i7556 i,4323ÖI4 0,1560525  TABLE SUBSIDIAIRE. 175 51 1,2348972 1,5001970 0,1761454 52 1,2799416 [ 1,5725659 0,19^87 53 1,3270448 1,6499^,9 0,21/4712 54 1,3763319 1,7329-89 0,2387762 55 1,4*8x480 1,8220670 0,2605644 56 1,4815610 1,9811512 0,2969175 57 i,5398ó5Q 2,0219938 0,3057798 58 1,6003345 2,1345596 0,32630*3 59 1,6642795 2,25 9691 0,3535257 60 1,7320508 2,^903290 0,3784577 61 1,8040478 2,356776 0,4042848 62 1,8807265 2,6975(8 0,4309627 63 1,9626105 2,874901. 0,4586233 64 2,0503038 3,071501 0,48 35^6 65 2,1445069 3,29.396 0,5172481 65 2,2460368 3»53532o 0,5484288 °7 2,3558524 3*810834 0,5820200 68 2,4750869 4,122549 0,6 [51702 69 2,6050891 4,477441 0,6510300 70 2,7474774 4,884250 0,6387978 71 2,9042109 5,354075 0,7286845 72 3,0776833 5,90x161 0,7789379 73 3,2708526 7,544048 0,8x58465 74 3,4874144 7,307220 0,863752a 75 3.73205o8 [ 8,223570 0,9150604 76 4,0107809 9,338073 0,9702563 80 \ 5,67128x8 17,54793 1,2442276 F I N.