GRONDBEGINSELEN
DER
M M JE TM VWJD JE
TEN DIENSTEN DER
NEDERLANDSCHEJEUGD.
Opgtftelt door een,
F
„, KINDER-VRIEND.
14
iét i 10 Stuivers,






GRONDBEGINSELEN
DER
MEETKÜIBE
TEN DIENSTE DER
NEDERLANDSCHE - JEUGD
Opgefleld door een
| I n D £ R - V R I e n Di met platen.
Te BODEGRAVEN.
B;j M. van L O O P I K,
Drukker cn Boekverkoper MBCCLXXX V,



Geen Exemplaarc zijn Egt, dan die doör den Drukker dezes. Eigenhandig $ete-



AAN DE
X M ,Z JE JR. tf.'
D
eeze eenvoudige grondbeginzelen der Meetkunde heb ik gebruijkt, bij het onderwijs van verfcheide Jongelingen , die een weerzin hadden in de gewoone wijze van in de Meetkunde onderweezen te worden. Na dat zij dit eenvoudig Werkje met mij hadden doorgeloopen hadden zij algemeene denkbeelden verkreegen, en 't is mij nimmer gemist, van daar na met dezelve, na de ftrenge betoog trant van Euclides te kunnen voort-koomen.
Uit het te vooren gezegde ziet men klaar, dat ik 'er verre af ben, van 't te willen houden vooreene Verhandeling, gefchikt omeene volledige kennis in de Meetkunde te verkrijgen, neen, ik geef ze maar op als eenvoudige



dige Grondbeginzelen dienstig om Kinderen fnaak te doen krijgen, in de eerfte beginzelen der beste Wcten'fchappen.
't Is ook niet om het getal der Boeken te vermeerderen, dat het voor 't ligt komt, 't is alleen om het geduurig uitfchrijven te vermijden , en dewijl daar toe moeite en kosten aangewend moesten worden, kon hetzelve met eenige Exemplaaren meerder opteleggen tot a'U gcmcender nut verftrekken. Ik wensch van harten, dat dit Werkje, me: dat nut gebruijkt zal worden, 't welk ik daar aan ondervinde, dan zal ik mij verblijden, de hand geleend te hebben, aan de bevordering van eene Wetcnfchap, bij Jongelingen, die niet alleen van het grootste gewigt, maar ook zo aangenaam, als nuttig wordt, wanneer men eenige vorderingen daarin heeft gemaakt. V/aarde Lezers
Ik ben UED. B. Dienaar J. P. MARCHANT. Bodegraven, Fransch Kost Scüool-
i AugUSt. 1735. houder.



MEETKTJ1YBE
VOOR.
KINDEREN, §• ft
*^\lle lichamelijke dingen hebben eene ^Yezentlijke groote. Dceze groote belTaat wezentlijk of in haare oppervlakte, of .in haare breedte, of dikte. Als ik bij voorbeeld een ftnk muur voer mij hebbe, zo fcan ik de groote van haar oppervlakte die boven is, of de groote van haare hoogte, of de groote van haare dikte en breedte zien. Wanneer mén nu eene van dceze grootens begeert, zo zegt men, ik meer.



c * )
S- L
T. ver- üe Meetkunde, {.Geometrie) is dus eene klaring. Wctenfchap , welke leert de groote der Lichamelijke dingen te zoeken, 't zij met opzigt tot haare oppervlakte, of met opzigt tot haare hoogte, of met opzicht tot haare dikte en breedte. Welke dingen alle te gelijk, of ieder afzonderlijk, kunnen begeert worden, na dut de omftandigheedea zulks vereisfehen.
Aanraer. Hier uit trekt men dit bekende gevolg» kills' dat de Meetkunde 3 deelen in zig bevat, te weeten de Planimetrie, of de weetenfehap om vlakten te meeten: de Altimetrie, of de weetenfehap om hoogtens aftemeeten; en de Stereometrie, of de weetenfehap om de diktens aftemeeten.



C 3 >
§. 4.
Eene linie is een lenate, die ik mij Ver- , , bcelde, zonder eenigzints op haare breedte KUrii>fr agt te geeven, als bij voorbeeld een el daar men laaken &c. mede afmeet en die ieder een kend, daar befchouwt men het fatzoen van de (Tok niet in 't gebruik maar alleen de lengte. Wanneer ik dan een linie trek» ■zo kan dezelve veelmaalen ter regter of ter f.iukerhand afwijken, of dezelve wijkt in 't geheel nog ter regter, nog ter fiinkerhand af. Gefchiedt het op de eerfte wijze zo verkrijg ik een kromme linie, gefchied liet op de tweede wijze zo verkrijg ik eene regte linie.
S- 5-
Eene kromme linie is dus eene'lengte s, Vet. welke wel eens ter flinker; ook wel eens ter kla""8regterhand afwijkt.
A 2 $. 6.



C 4 )
Eene rechte linie, is dan eene'lengte, welke nogter flinker, nog ter regterliand afwijkt.
§• 7-
Wanneer ik eene linie wil trekken, kan dit gefchieden op tweederlei wijzen. Ik kan dezelve met mijne gedagte trekken van den eene plaats tot den anderen, of van het eene puncl tot het andere, of ik kan ze inderdaad trekken. Gefchied het op de cerfte wijze, zo heb ik een Mathematifche linie; gefchied het op de laatfte wijze zo heb ik eene Philicalifche linie.
§• 8.
Eene Mathematifche linie is dus eene lengte , die ik mij in mijne gedagte van de eene plaats tot de andere voorftelle.
a. VerWaaring.
& 9-
5. Ver» khiariug.



t -5 V
Eene Phijficalifche linie, is eene lengte 6. verdie ik inderdaad getrokken of geteekent kl2ailni>heb.
1- io.
Een pundt, is den aanvang of het einde r- vCr-
,. • ,„ ., , Warring.
eener linie. Wanneer ik eene Mathematifche linie (§. 0.) in mijne gedagte heb , kan ik niet anders dan mij de einden daar van alleen verbeelden, en dus verbeel ik mij een punct. Maar eene Phificalifche linie C §• 9- ) word merkelijk en inderdaad befchreeven , dus dewijl de einden weezentiijk beftaan zijn de puncten ook in weezen. Dit is "t geen gemeenlijk een punci gcnaaint word. Het eerfte zoort, fword een Mathematisch, het iaatfte zoort een Phificallsch puncl genaamt.
| ii-
Een Mathematifch puncl, is dus den s.
. klünrirs.
n 3 aan-



( 6 y
aanvang of het einde van eene linie, die ik met mijne gedagte van den eene plaats na den andere trekke.
§. 12.'
9. Ver- Een Phificalisch punci, is den aanyang. of het einde van zulk een lijn, die ik in der daad befchrijven kan.
§•
Als ik een cirkel wil maaken, zo moet. ski. een onbeweeglijk punci' hebben.. 2. Ook moet er eene regte lijn getrokken zijn. 3. Rontfom dat onbeweeglijke punci beweeg ik die regte linie zo dat dezelve lengte altoos onverandert blijve in dezelve afftand van het onbeweeglijke punci y ea zodanig ontüaat een cirkel.
§■ *5»
ihru*Ê.Ver" Een cirkel is dus eene Jiaie, welke orn-
se»



( 7 )
een onbeweeglijk punct met dezelve afffand uit dat punci: befchreeven word.'
§• 15-
De linie die om het onbeweeglijke punci: getrokken is, word den omtrek of Peripherie genaamd. Het pundt, waar om het zig beweegt, word het middelpunct, of centrum genaamt. Wanneer men van den omtrek tot den omtrek, een linie trekt, door 't centrum gaande, word deeze een Diameter genaamt als BC. De helft van deeze lijn, of het ftuk van het centrum tot den omtrek word den Radius van den cirkel genaamd als AB. Maar wanneer ik een lijn trek van Peripherie,. tot Per?pherie zonder het middenpunct te nade^ ren, word deeze lijn, een Chorda genaamt , als EF.
§. i6-
Wanneer ik twee linien heb-, bij voorbeeld AB. en AC, en ik voeg dezelve n.et A 4 twee
II. Vet*
klaaring. Plaat i. Fig. i.
'.'.5' j£



< « >
12. Vet-
laaiing. Plaat i. Fig. 2.
Plaat i. fog 3-
twee einde zodanig dat de einden A. een punci inaaken welke A genoemd word, zo heb ik in A een hoek te zaamengefteld.
§• 17-
Een hoek is dus een ruimte, welke ont* flaat uit de ftooting of zaamenkomst van twee regte lijnen, met twee haarcr einden tot elkander.
Si 18.
Als ik eene linie hebbe bij voorbeeld AB, en ik ftelle eene andere bij voorbeeld CD, zodanig op dezelve, dat die niet meer ter regter of flinker hand afwijkt, en dat de hoeken ter wederzijden even groot zijn zo zegt men de linie CD, fiaat loodregt op de linie AC.
§• i9-
Eene Perpendiculaar linie, is dan zulk
eene



( 9 )
eene, die zodanig op de andere valt, dat dezelve niet meer na de regte als na de flinke band overheid.
§. 20.
Zulte hoeken die door eene Perpendiculaar linie gemaakt worden, worden rechte hoeken genaamd.
§• 21.
Alle andere hoeken zijn kleinder of grooter als eenen rechten hoek. Als dezelve kleinder dan eenen rechten hoek zijn zo noemt men ze fcherpe hoeken.
I Zijnde zelve grooter als eenen rechten faoek, noemt men ze ftompe hoeken.
§• 22.
Alle cirkels worden in 360' deelen, die •men graaden noemt verdeelt. De helft daar A 5 van
14. VeN
klaaring,
'15. Ver»
kaanng.
V\iU 1.
Tig. aj i
Tig. 4i



Plaat i. Eg. 5-
C 10 )
'van of een halve cirkel doet 180 graadeni. En het vierde gedeelte 90 graaden.
S- 23.
Een rechten hoek, maakt het vierde gedeelte vaneen cirkel uit en heeft gevolglijk 90 graaden.
§~ 24-
Een fcherpen hoek is kleinder, als een rechten hoek; Gevolglijk moet dezelve minder als 90 graaden zijn.
f. 25.
Een ftompen hoek is grooter als eene rechte; dus moet die meer dan. 90 graaden hebben.. I §. 26.
Als men een hoek BAC heeft en menvoegt de einden van de lijnen door een rechte lijn te zaamen, verkrijgt men een driehoek, of Triangels
S- n>



( " >
Een Triangel is dtis eene figuur, welke ontftaat wanneer een hoek door eene rechte linie geflooten word.
S« 28.
Als den driehoek eenen rechten hoek heeft, zo is t een rechthoekigen driehoek. Heeft dezelve een fiompenhoek zo word dezelve, een ftomphoekige driehoek genaamt. Maar zijn de hoeken alle] fcherp , zo is het een fcherphoekige driehoek. Zijn de zijden alle aan elkander gelijk, word dezclven gelijk zijdige driehoek genaamt. Zijn de beenen , of opftaande zijden alleen gelijk, word de zelve een gelijkbeenigc driehoek genaamt. Zijn de zijde allen on' gelijk, word dezelve een ongelijk zijdigs driehoek genaamt.
Als eQR Figuur 4 gelijke zijden heeft, en iï. vel^
Mr.aring.
klaaring,
17. Veri klaaring.



Plaat. : , Fig. 6.
'Fig. 7l Fig. 8.
19. Ver
fclaaring.
x. T'ie-
Orema of Grondltelling.
C 12 )
• 4 rechte hoeken, word dezelve een quadraat genaamt. Zijn alleen twee tegen over elkander, fiaande zijden aan elkander gelijk, en heeft de Figuur 4 regte hoeken. Zo word dezelve een langwerpig vierkant, of een rechthoek of Paralïelogram genaamt. Zijn alle vier de zijden gelijk, maar geene rechte hoeken, word dezelve een ruit genaamt.
§• 3°-
Ais twee Jinien zodanig nevens elkander getrokken worden, dat zij tot het oneindige verlengt zijnde, nimmer te zaamen kunnen koomen, zegt men dat ze paralel zijn, en de linien zelfs worden Paralelle linien genaamt.
* •
Alle Radien van een cirkel, of de linien welke van het middelpunt^, tot aan den omtrek getrokken worden, zijn aan elkander gelijk.



C 13 )
13 E W IJ S,
De oorzaak is deeze, als ik een cirkel trekke zo beweegè ik eene regte linie in eene gelijke afftand, rontfom een onbeweeglijk punci. (§, 14.) Dusmoet de afftand van 't middelpuncl tot aan den omtrek in alle punclen Van dezelve gelijk zijn, en dewijl ik uit het centrum , tot ieder punci van den omtrek Radïen kan trekken, zo zullen.ze allen even lang zijn. D: B;M:W-
§• 32.'
Als ik een hoekhebbe, bij voorbeeld BAC wanneer ik uit deszelfs top A als centrum tusfehen deszelfs beide beenen twee boogen DE en F G trekke, met verfchillcnde lladien. Zullen deeze twee boogen het zelve getal graaden hebben. Of dat het zelve is D E, bevat juist zo veel graaden als FG.
Het bovenftaande, kan op deeze wijze
op-
2. Theorema of Grouüftel-
i'iant ». Fig. 9.:
Vcrklaa» ring.



( 14 )
\
V Theorema of GrondftelBK£.
opgeheldeld worden. Alle cirkels hebben 360 Graaden, 't zij groote of kleine (§. 2a.) In de groote cirkels vallen de Graaden ook groot , en in de kleine cirkelen vallen de graaden ook klein. Den boog DE is een gedeelte van eenen kleinen cirkel, en den boog FG van een weinig grooter cirkel. En dewijl den hoek die dezelve beide bepaald, dezelvenis, en dat de groote van een hoek niet afhangt van de lengte van zijn zijde , is 't klaar dat de beide boogen het zelfde getal Graaden bevatten, maardat ze in groote vevfchillen.
§• 33-
Figuuren, welker Bnien en hoeken overeenkoomen, of op elkander pasfcn moeten gelijk zijn, en van Figuuren welke gelijk zijn, pasfcn de lijnen, en hoeken op elkander. Dit is een Axioma, en daarom pereischt het geen bewijs.



( *5 )
§• Z4-
Op een iegelijke lieue kan men (dezelve verlengt zijnde zo het nodig is) een halven cirkel trekken of befchrijven, en deeze halven cirkel bevat 180 Graaden (§. 22.)
§• 35-
Wanneer ik op eene linie AB een andere linie CD trek maak ik twee hoeken X en Y. op de zelve. Deeze twee hoeken zullen te zaamen genoomen gelijk aan* 180 Graaden zijn.
B E W IJ S.
De waarheid van deeze Propofitie blijkt duidelijk uit de voorgaande § graaf. Want als ik uit het punci der zamenkomst van de twee lijnen, als centrum, een halve cirkel op de lijn AB trek, zullen de twee hoeken X en Y immers de Maat zijn van den halven cirkel en gevolglijk 180 Graaden.
r. Propa fitiePlaac.



a.Propo-< fitie Plaari' Fiü. II.
BE-
Corollaria / dat is gevolg.
Als mij op het veld een hoek voorkomt te meeten die ik niet meeten kan, uit oorzaak van beletzelen. Zo moet ik op de Wijze als in §. 41. zal geleert worden, den nevenftaanden hoek meeten en die gevonden hebbende van 180 Graaden aftrekken, 't geen overblijft zal de groote van den begeerden hoek zijn.
§• 3T'
Als ik eene linie AB voor mij hebbe, en dat dezelve door eene andere rechte linie CD doorfneede word, bekomt men twee over elkander flaande hoeken X en Y. welke aan elkander gelijk zuilen zijn , of dat het zelve is zij zullen een gelijk getal van Graaden bevatten.



C 17 "> B E W IJ S.
Dar beide deze over elkander ftaande hoeken gelijk zijn,word op deeze wijze beweezen. De twee hoeken X en Z bevatten te zamen i3o Graaden. (§• 34.) De beide hoeken Z en Y bevatten insgelijks 180 Graaden §.34. Den hoek Z blijft Z, of zij (hebben evenveel Graaden. Men kan dezelve van X of Y aftrekken. Gevolglijk moeten die twee hoeken X en Y een gelijk geral Graaden hebben, het kan ook op de volgende wijze gefchieden.
X -+- Z s 1800 §. 34. Z -r- Y ^ 1800 §. 34.
Z ta Z. Gevolglijk X a Y.
AANMERKING.
Het teeken is uit de Rekenkonst, KQ wel uit de Aditio genoomea, en beB tee-



*4
X. Probleïnn of werkftuk.
( 15 )
teekent zaffiengeyoegt of opgeteld» De dubbelde trekjes a zijn een teeken van gelijkheid, en beteeker.en even zo veel als een. De kleine Nul of Zero agter het getal i8o°. beteekent Graaden.
S- 33-
Men moet allereerst leeren, een rechte linie aftemeeten, en wel voor eerst op het Papier.
Hier toe gebruikt men een zekere Maat', welke Schaak, ook wel pleinfchaale genoemt werd, en die in alle Kookers met Mathematifche Tnftrumenten te vinden, en overal te koop zijn. Op dezelve vind men in de lengte de Afdceling van Roeden en door de dwarslijnen de voeten, of de Roeden voor voeten neemende, zijn de dwarsIjijnen duimen.
Men meet met een pasfer, de groote, der op het Papier befchreevene linie, zet
ver-



C 19 )
vervolgens deeze geopende pasfèr op den pleinfchaal, en beziet hoe veel deelen dat die befpand, en deeze zullen de Roeden en yoeten die de opgegeeven lijn lang is aantocncn.
2. Het kan ook op het Veld gefchiedeu, cu dan gebruik ïhen eene houte ftok, die net eene Roede lang, en ook in Voeten verdeeld is. Zo dikmaalen men deeze Roede in de Veldlinie kan overleggen, zo lang is dezelve, fchiet er een einde over niet zo lang als de Roede dat kan met de afgetcckende voeten afgemeeten worden.
Als de lengtens zeer lang zijn, zoude liet lastig weezen die met de Roede aftemeeten , daarom heeft men koopeie kettingen uitgedagt met lange .fchalmen ieder van bijna een Voet, en die 5 Roeden gemeenlijk lang zijn.
Alle Oorden of Landftreeken hebben niet hetzelve getal Voeten in haare Roeden, er B 2 zijn
1. Aanmerking-»
2. Aanmerking.



C 20 )
zfjn er die er n andere 12, 14. Sic. in hebben. Over het algemeen in Holland word gébruik gemaakt van Rhijnlandfche Roeden van ia Rhijnlandfche Voeten. Wanneer uien in een Diflricl komt daar met een verfchillende Voet geteekent word; is dezelve met eene ligte rekening gemakkelijk tot de Rhijnlandfche overtebrengen.
Men zal de wijze van reekenen zeer verligten als men de Roede van ieder Landlïreek hoe groot of klein dezelve ook zijn mag, in 10 deelen verdeelt, die dan ook Voeten genaamt worden. Deeze verdeeling heeft aanleiding gegeeven tot het uitvinden der Dicimaal Reekening, welke geheel zonder breuken zijnde, daar door zeer gemakkelijk word. Door een enkelde reegcl van driën kan de Decimale Maat weder tot f de ordinaire Landmaat gebragt worden. Wij zullen er mogelijk hier na iets van •eggen.



t §• 39-
Als ik op eene gegeevene linie AB een gelijkzijdige Driehoek befchrijven wil. Zo zet ik het eene been des pasfers, met de opening AB in A,. en maak met het andere Been een Boog boven de lijn AB. Ver« volgens zet ik een Been van den paszer in B. en maak met dezelve opening boven de linie een .anderen Boog, en uit het punci; "Waar in de beide Boogen elkander mijden, trek ik rechte lijnen tot A en B. waar uk dan een gelijkzijdige Driehoek ontdaan is, dewijl alle de zijden, even lang gemaakt zijn. §.23.
§. 40.
Als men uit twee gegeevene linien AB en CD eene gelijkbeenige Driehoek befchrijven wil. Zo neemt men eene der twee linien bij voorbeeld AB tot de grondlinie. De andere CD meet men met den pasfer, en men zet het eene Been in B, en met het andere Been maakt men een Boog boven de B 3 li-
1. Pr««
'■'erna ot v.-crk(i«tï. Plaat '1. Fig. it.
5. PÏ&-
blema of werfcituk.} Plaat 1. Fig. ij.



4. PiOeui*.
t 22 )
ünie AB. vervolgens zet men het eene Been: des pasfers in A , en met dezelve opening maakt men een Boog. Uit het punci: waar in de beide Boogen, elkander doorfnijden, trekt men rechte linien na A en B. en dan verkrijgt men een Triangel met gelijke Bee»en. Dewijl ze dezelve lengte hebben §. 2$,
§• 4*«
Men vind zig dikwils verplicht", \ zij uit vermaak, of uit noodzakelijkheid op het Veld een hoek aftemeeten. Hier toe be« dient men zig het gefchikst van het Astrolabium. Dat Inftrument is eigentlijk een heele of een halven cirkel dat in 't weezen van de zaak onteeven is. Is 't een heele cirkel, iword dezelve in 36CP verdeelt anders in 180. In het middelpunt! is een beweeglijke liniaal [vastgehegt, aan welk er einden Vizieren vastgemaakt zijn, ook zijn er op de vier Quadranten vaste Vizieren geplaatst. Men kan door het werk tuig zelfs te befchouwen zig er een beter
denk-



C 23 )
denkbeeld van maaken als door de befchrijving; waar van wij dus zullen uitflappen om tot ket gebruik overtegaan.
Wanneer mij een hoek te meeten gegeven word, zo ga ik met het Intlrument, aan den top van den hoek ftaan, en Helle het zo dat het middelpunt! van het Astrolabium vlak boven den punci van den hoek valt, 't welk met een loot dat aan het centrum van het Inftrument hangt geprobecrt moet worden als het zelve drie Beenen heeft. Wanneer men een enkelde ftok gebruikt is zulks niet noodig. Dan plaats ik of liever draij het Inftrument zodanig dat twee vaste Vizieren, langs een der linien heen ziet. Dan beweeg ik de beweeglijke liniaal tot dat ik door deszelfs Vizieren langs de andere linie heen zie. Dan zal het getal der Graaden dat tusfchen de lijn welke tusfchen de vaste Vizieren door het centrum loopt, en die welke over 't midden der liniaal heen gaat, het getal der Graaden van den te meetcne hoek uitdrukken.
B 4 S 43-



C 24 )
5- Pro blcma of wcrkftnk Plaat i. Fig. «•
6. Pro-
Wcma of wei'fcftuk. Plaat i. Fig. 13.
5- 42.
Als de Graaden van een hoek gegeeven zijn, en men begeert dat die hoek zal befchreeven worden. Gaat men dus te werk, men trekt een rechte linie AC. vervolgens neemt men het Inftrument , 't welk een halven cirkel is in 180 Graaden verdeelt, en dat men Transporteur noemt, en men legt het middelpuncï op het einde A, en de middellijn zo nauwkeurig langs AC als mogelijk is. Dan telt men van de linie af te beginnen het gegeeven getal Graaden, bij voorbeeld tot B dan tekent;Jnen'met een ftift op het'papier dit punci-, en men . trekt uit A tot B een regte lijn dan zal den hoek van 't gegeeven getal Graaden geteekent zijn.
S. 43-
Heb ik twee gegcevc linien AB en CD. in een hoek bij voorbeeld van 51°. gegeeven, en men begeert dat daar niede een
Tri-



C 25 )
Triangel zal befchreeven worden, is niets» gemakkelijker als men liet voorgaande wel begreepen heeft.
Ik neeme de eene linie AB tot Grondlinie aan, in A maakt ik den gegeeve hoek van 51°. §. 42.Het been van deczen hoek maak ik zo groot als de gegeve linie CD. Nu heb ik den hoek CAB welke ik fluit met een rechte linie, en ik verkrijg den begeerden Triangel. §. 27.
§• 44-
Als de wijdte van twee plaatzen A en B gcmeeten moet worden, tusfchen welke zig : eenige hinderpaalen bevinden» welke mij verhinderen, om van den eene tot den anderen te koomen. Maar nochtans zo ge-; leegen zijn, dat ik van een aangenoomeii flandplaats C tot beiden koomen kan. Zo legt men het op deeze wijze aan. Ik meet van het punci: C tot aan de plaats B. en draaije of meete die van C naar D agter B 5 uiï
7. Pro»
blcma of wcrkftulc Plaat 1. fig- I4<



C 26 )
uit in de verlengde van CB. Daar na meet ik uit C tot de plaats A, en meete deeze lengte wederom agter uit in de verlengde GA tot CE van D tot E trek eene lijn, die ik vervolgens meet, 't welk mij de lengte van A tot 13 zal opleeveren. Want de linie DE is net zo groot als AB.
B E W IJ S.
De waarheid hier van is openbaar uit het volgende.
De beide hoeken X en Y zijn volkomen aan elkander gelijk, dewijl ze over elkander ftaande zijn §. 37. De beide lijnen CD en CE zijn even groot gemaakt, als CA en CB gevolglijk moet ook de derde , die daar uit ontftaat ook zo groot zijn als AB. of ook word het op deeze wijze teweezen.
X s Y. §. 3?. CD ö CB. CE s CA. Gevolglijk DE ~ AB.
5. 4*



'< 2f 3
§• 45-
Waftnêer ik de "wijdte tusfchen twee plaatzen meeten wil, tusfchen welke zig eenige hmderpaklen bevinden, welke mij beletten niet alleen om van de eene plaats bij den andere te koomen, maar ook dat ik bit het aangenoomenc punci C alleen maar bij een van de twee plaatzen koomen kan, handel ik dus. Ik meet van C tot A en meet dezelve lengte terug in de verlengde CA tot D. vervolgens meet men met het Astrolabium den hoek A welken door debeide lijnen AB en AC gemaakt worden a §. 41. en draag dezelve in D over, om dii te doen breng ik twee vaste Vizieren zoda nig dat ik DC door dezelve zien kan. Daa: na beweeg ik de liniaal tot dat dezelve he bepaalde getal Graaden van A bellaat, Xt rekenen van de vaste Vizieren te voorej gebruikt, dit gedaan zijnde laat ik in d rooijing van de beweeglijke Vizieren ee: baake fteeken in E. Nu heb ik twee linie: «n eenen hoek, fefcrjnit kan ik gemakk<
lij
8. PrS-
bli ma of werk Huk Plaat 1. Fig- 15-
t
1 1
ic



C 23 >
lijk een Triangel maaken. §. 43. Ik ga fnamentlijk met het bake E) op de gevondene linie zo lang voort, tot dat ik met de puntten C en B in gelijke linie tra 't welk gefchied als de baakensECB maar een punci voorilellen, en ik geenc derzclve ter regter of ter flinkerhand meer zie maar dat het digfte baakc de twee anderen volkomen bedek of liever dat ik langs de kanten van alle drie als langs een wand heen zie als ik agter E fta, en na B toe zie , dan is de li; nie ED zo groot als AB.
B E W IJ S.
Ik hebbe den A CDE zo groot gemaakt als ABC. §. 43. gevolglijk zijn de overeenftemmende lijnen in dezelven [gelijk S- 33- zijfl nu alle lijnen aan elkander gelijk, zo is ook ED zo groot als AB.
0' Profckma of V'eikftuiji Ulaat 1. Fig. 16.
S- 46.
Als ik eene rechte linie AB hebbe, en
ik



c ^9 y
ik wil op dezelve uit het gegeeven punci C op AB een Perpendiculaar trekken werk ik op de volgende wijze. Met een willekeurige opening des pasfers befchrijf ik uit C in de lijn AB een boogje D. Met dezelve opening wederom uit C aan de andere zijde in de lijn AB, een boogje E. Dan verzet ik de pasfer met het eene been in
D, en met eene willekeurige opening derzelve befchrijf ik boven AB. eenen boog. En met dezelve opening eenen boog uit
E. die de anderen boog fnijd in F. uit dat punci van doorfneedc F. trekt ik een lijn tot C. deeze zal de begeerde Perpendiculaar op AB zijn.
B E W IJ S.
f Het bewijs is als volgt. Eene Perpendiculaar is zulke een linie welker beider hoeken, die zij op de grondlijn maakt aan elkander gelijk zijn. §.19. Nu valt het in onze Figuur dat X en Y gelijk zijn. Gevolglijk moet FC op AB Perpendiculaar zijn. Dat
X.



io. ProWema Plaat l. Fij. i~.
( So )
X eiTY. aan elkander gelijk'zijn word bc weezen als hier onder.
CD ~ CE. DF h EF. FC a FC. Gevolglijk A DFC a A EFC.
Gevolglijk X sa Y.
Men kan dit ook nog op deeze wijze bewijzen.
In de beide Driehoeken DFC en EFC zijn alle de zijden aan elkander gelijk gevolglijk zijn de drie hoeken ook aan elkander gelijk §. 33. En dus zijn haare overeenftemmendc hoeken ook aan elkander gelijk. Daarom zijn ook de beide hoeken X en Y aan elkander gelijk.
S- 47-
Als ik eene linie AR. voor mij heb, en dat mij een punci C boven dezelve gege-



C 31 )
ven word, met beding , om uit dat punci C op de gegeeven lijn AB een Perpendiculaar te laaten vallen. Doe ik als volgt. Ik zet eenen voet des pasiers in C. en met eene willekeurige opening (Edog groot genoeg om de lijn AB. op twee plaatzen te kunnen fnijde) befchrijf ik een boog die AB in twee plaatzen D en E fnijd, vervolgens zet men het eene been des pasfers in D. en met eene willekeurige opening befchrijf ik in een boog boven AB. Dan zet ik die wederom in E en met dezelve opening befchrijf ik wederom een boog mijdende de eerüe in F dan door F en C trek ik een regte lijn tot dat dezelve ftuit of ftoot tegen AB deeze is de begeerde Perpendiculaar.
I. AANMERKING.
Het bewijs is het zelve als in de voof4 gaande Paragraaf.
§• 48.



2. Aanmerking.
T>r pofitic Plaat l. Fig. 18.
§. 48.
Als men op het einde van een linie eea Perpendiculaar wiloprigten, heb ik dezelve maar te verlengen, en te werken, alp in §. 46. geleerd is.
§• 49-
In alle Driehoeken bij voorbeeld ABC maaken de Driehoeken te zaamen 180. Graaden, 't welk op volgende wijzen beweezen word.'
Men maakt met AB een Paralel linie DE door den tophoek van den Driehoek onder de linie zullen dan driehoeken ontdaan , namentlijk , X3. en Y deeze drie hoeken, maaken te zaamen 180 Graaden. DeWijl ze gezamentlijk de maat eenes halven cirkels uitmaaken. §. 35. Maar X is zo groot als 1 en Y zo groot als X., dewijl dezelve tusfchen twee linien, die evenwijdig aap elkander looien §. 30. doo r eene
an-



( 33 )
andere regte lijn welke dezelve ïhijd, gemaakt worden. En den hoek 3 behoud het getal zijner Graaden, 't zij men dezelve vergelijkt met X en Y of met 1 en 2 , gevolgelijk hebben ook 1, 2, 3, 180 ' 't zelve word ook fo beweezen.
X ■+■ 3 Y a i8o0 §. 35.
X a 1 §. 30.
Y a 2 §. 30. Gevolglijk 1 ■+- 2 -«- 3 a l8o0.
1 G E V O L G.
Als ik eenen hoek in eenen driehoek afigemeeten heb , en bij voorbeeld dezelve i 6o» gevonden. Als ik nu deeze 600 van 1180° aftrekke, zo blijft 'er 1200 over voor
Ide fomme der beijde overige hoeken. 2 G E V O L G.
Dewijl 'erin een driehoek, niet meer dan eenen flompen hoek wcezen kan, dewijl C die



4. PropoitiePlaat. i lij. 19'
( 34 )
die ineer dan po0 bevat, §. 25. Als nu een Triangel zulk eenen hoek heeft, zal de fom der beijde overige, hoeken fcherp» dat is minder, als 900 zijn. .
3 G E V O L G.
Op dezelve wijze kan in eenen driehoek, niet meer dan eenen regten hoek zijn. En wanneer dit plaats heeft, is de fom, der beijde overigen gelijk aan 90°.
j §. 50.
Als men van een driehoek ABC de eene zijde AC verlengd, dan zal den uitwendigen hoek 4., welke ontftaat, uit het verlengen van die eene zijde, zo groot zijn, of zo veel Graaden bevatten, als de beijde tegenoVerftaande hoeken 1 en 2.
B E W IJ S.
De driehoeken 1, 3 en 2, hebben te faa-
men



( 35 >
men genoomen iGo° dewijl een iegelijke i driehoek zo veel bevat (§. 49) de twee hoeken 3 en 4 bevatten ook 1800 dewijl zij de maat van een halven Cirkel uitmaaken. (§. 35) den hoek 3 blijft 3 of dat hetzelve is, die behoud hetzelve getal Graaden of is gemeen aan beijde, 't zij dezelve geteld word bij x en 2 of bij 4 de fommen zullen gelijk ; ij i. Men kan dit ook op de volgende wijze bewijzen.
1 -f- 2 -+- 3 a 180° §. 49. 3 + 4S 1800 §. 35.
3 ~ 3Gevolglijk 4 a 1 -f- a.
s. 51.
1 Als men een linie of Cirkel Boog in twee n P«S gelijke deelen wil vcrdeelen gefchied dit op werkftufc volgende wijze , of door probeeren , of op f ^"20. het oog of door eene Confrruclïe.
Door probeeren, neemt men de Pasferen C 2 opent



Plaat i. Fig. ai.
C 36 )
opent die zo verre dat men op het oog denkt de helft te hebben, en zet dit op de lijn AB die men in twee gelijke wil deelen van A tot C vervolgens zonder de opening des Pasfers in 't minsten te veranderen ook van B tot D,nu ziet men dat men de helft niet getroffen had, maar men heeftnogtans het werk zeer verligt want men behoeft nu maar DC in twee gelijke deelen te deelen dat zeer ligt te doen is dus zal E het begeerde midden van AB zijn, op het oog vereijscht het eene zeer groote oeffening, nochtans is het noodzaakelijk dat men zig daar aan gewenne, als men vorderingen in de gevvoone Teekenkunde wil maaken.
Door eene Conftruclie gefchied het op de volgende wijze, opent de Pasfer zo verre dat dezelve meer dan de helft van de lijn AB bedraagt maakt dan uit B boven de lijn den boog 1, 2. en onmiddelijk zonder de Pasfer uit het punci: B te ligte» onder de lijn AB den boog 3, 4. zet vervolgens de Pasfer zonder 'er iets aan te veranderen
met



met het eene been in A en befchrijf me het andere been boven de lijn AB den booj 5, 6. die i, 2. fnijd in C befchrijf ooi zonder de Pasfer te ligten onder de lijn AI den boog 7,8, die 3,4 fnijd in D trek CD, die zal AB in twee gelijke deelen mij den in E.
AANMERKING.
Men gaat op dezelve wijze te werk mei een Cirkel boog als met de regte lijn.
s- 52.
Als men een hoek in twee gelijke deelen wil deelen als bij voorbeeld ABC doet men als volgt. Men zet het eene been des Pasfers in den top van den hoek en met het andere been maakt men een boogje in D in de zijde BA met dezelve opening , maakt men een boogje in de zijdeBC in het punci: E vervolgens zet ik het eene been des Pasfers in D en ik maak eenen toog binnen C 3 den
t
11 Pro. blema or' Werkftuk Plaat 1. Fig. 22.



c 33 )
den hoek ergens na believe, daarna zet ik ook het eene been des Pasfers in E' en met het andere been befchrijfik binnen denhoek een boogje dat het eerste fnijd in F door dit punci; en den top des hoeks trek ik een regte lijn, deeze zal den hoek midden doordeden.
B E W IJ S.
Dewijl die beijde driehoeken BEF en BDFj even groot zijn is den hoek in twee gelijken gedeelt. Dat de driehoeken even groot zijn; blijkt om dat de linien, waar uit dezelve famengefteld zijn , even groot zijn §• 33- 't welk ook zo beweezen word.
BE « BD. EF a DF. FB a FB. Gevolglijk A BEF a A BDF.
1 53'



C 39 )
§. 53-
Een quadraat op eene gegeeve linie AB word op de volgende wijze befchreeven, men fielt aan het einde van de lijn B een Perpendiculaar §. 48. Deeze Pcrpcndiculaai maakt men zo groot als AB en gaat dus tot C, uit C befchrijf ik een boog, mei eene opening des Pasfers zo groot als AB, datzelvc doe ik uit A en uit de doorfnedc der beijde boogen ontftaathet pnnct D hiel uit trek ik na A en C regte lijnen, en hei quadraat is voltrokken.
B E W IJ S.
Deeze Figuur heeft vier gelijke zijdei cn vier regte hoeken, ergo zo is een qua draad §. 29.
AANMERKING.
De overige Figuur in §. 29. worden c dezelve wijze geconftrueert.
C 4 S> 5
13 Pro blema of Wcrkftui Plaat 1. Fig. 23'
I
P 4-



( 40 >
5 Propo fitieplaat i Fig. 26.
Aanmerking.
§• 54-
■ Als men een langwerpig vierkant, of een ander foort van Parailogramhaeft, als ABCD en dat men van den eenen hoek tot deszelfs overftaande een regte lijn trekt, zal deeze regte lijn, die men Diagonaal noemt den Parallelogram, in twee gelijke deelen verdeden.
B E W IJ S.
De tweeTriangelen, welke ontftaan door het trekken der Diagonaal hebben de overeenftemmende hoeken en zijden dezelve maat, dat is AD is zo groot als DC, fen DC zo groot als AB. Hebben nu de zijden dezelve maat zijn ze onderling aan elkander gelijk , en gevolglijk heeft den Diagonaal den Paralellogram, in twee gelijke deelen verdeelt.
Dit Bewijs is met dat in § 53. volkoomen het zelve. Aldaar wierd deu hoek tot
eene



( 41 >
eene ruit gemaakt, en de Lijn BF was de Diagonaal die deefe Ruit in twee gelijke deelen verdeelden.
S- 55-
Als men begeerde te weeten de Som der Graaden van «die de hoeken te faam en eens regelmatiger! veelhoek. Kan fuik feer ligt zonder Inftrument gefchieden. Men vermenigvuldigt de zijden van den gegeeven veelhoek met iSOj en van dit Produel: trekt men 36CP, 't verfchil is de fom van alle de hoe. ken te faamen. Bij voorbeeld. Een veelzijdige figuur of Poligon van 8 Zijden is gegeeven. Defe vermenigvuldige ik met i8o3 komt 14400 Hier af trek ik 36CP en 'er blijft overig ioGcp voor de fom van alle de hoeken van den gegeeven Poligon.
Als men weeten wil hoe groot ieder hoek van den Poligon is behoeft men maar de fom der graaden van alle de hoeken door 't getal der zijden te deelen. Als in ons C 5 tee-
14. Pr*.'
blema of ■ Werkftuk.
i Aanroer* king.



( 42 )
t. Aanmerking.
teegenwoordig voorbeeld, deelende ioGO door 8 komt 1350 voor ieder Poligons hoek.
h
Als men een onregelmatigcn veelhoek had foude door de handelwijs van dit werk Huk de fom der hoeken wel kunnen gevonden worden, maar geènfints de groote van ieder hoek. Daar toe moet de driehoeks, meeting gebeefigt worden.
B E W IJ S.
Om de waarheid van het bovengaande te betoogen, (lellen wij eerstelijk eenen regelmaatigen veelhoek. In denfelve trek ik uit het Centrum tot ieder hoek regte lijnen, en dus fal de figuur, in zo veele triangelen verdeelt zijn als dcfelve zijden heeft. Maar in een triangel zijn de driehoeken te faamen, IoOj § 49. dus de 8 driehoeken 14400 maar de hoeken in het Centrum beflaan de Maat van een gantfchen Cirkel dat is 36CP. Men begrijpt ligt, dat deeze tot de hoeken van de figuur niet be*
hoo-



C 43 >
hooren dus moetJ men van 1440,5 de 36a, aftrekken, en de blijvende io3o., fullen de fom der hoeken van de figuur uitmaaken D: B: M: W.
Als de figuur onregelmaatig is dat is dat de zijden en hoeken ongelijk zijn, kan men immers uit een willekeurig gefield punci; binnen de figuur dezelve met lijnen uit dit punci tot de hoeken te trekken verdeelen in zo zeel triangelen als de figuur zijden heeft, en dus gaat het bewijs wat de algemeene fom der hoeken betreft, ook jn dit geval door.
§• 56-
Het volgende werkftuk is dikwils zeei nuttig. Naamentlijk om op een gegeevi Lijn, AB een regelinaatigen veelhoek t< befchrijven.
Men zoekt eerstelijk na de voorgaande S de Graaden van alle de hoeken te zaa
men
Aanmer* king.
' 15. Pn> blerna of
; Werkdruk Plaat 1. Fig. 14'.



Voorbeeld.
( 44 )
men. Daarna volgens de i. Aanmerking van de zelve § hoe veel graaden ijder hoek bevat, het getal dat men daar voor vind halveert men, en men maakt in Aeen hoek van zo veel graaden als die helft bedraagt, 't Zelve doet men in B beijde door § 42. En men zal op AB een gelijk beenige Driehoek befchreeven hebben. Maar eene eijgenfchap van gelijk beenige Driehoeken is deeze, dat daar de beencn van zulk een driehoek elkander doorfnijden als hier in C is het Centrum van een Cirkel waar van ieder been een Radius is. Zet dan het eene been van den Pasfer in C en met CA of CB als radius, befchrijft een Cirkel, befpand vervolgens de Lijn AB tusfchen de puntten van uw Pasfer, en zet dezelve voort rontzom den geheelen omtrek en den veelhoek is afgeperkt, trekt de punten door regte Lijnen te zaamen, en den veelhoek is volbragr.
Genoomen dat men een zeshoekige veel hoek begeerde te befchrijyen zoekt men volgens § 55 de Graaden van alle de hoeken



C 4-5 ) y
ken en men vind voor dezelve ^20 Men deelt ze door 6; en men verkrijgt 1200 voor eenen hoek des zeshoeks. Dit gehalveert zijnde bekomt men 600 en inen maakt in A en ook in B § 42 een hoek van Con en daar de beencn des driehoeks zig doorfnijden in C, met CA of CB als Radius en uit C als Centrum befehrijft men een Cirkel en men draagt AB die reets in den Cirkel is nog 5 maal in den Cirkel rond dan is den begeerden 6 hoek befchreeven.
Wij hebben met opzet tot een voorbeeld genoomen den zeshoek maar in deeze Poligon behoeft men zo veel werks niet te doen want ieder zijde van een zeshoek is gelijk aan de Radius dus behoeft men maar een Cirkel te trekken met een Radius gelijk AB en dezelve in den omtrek rond te zetten, om den begeerden zeshoek te bekoomen Maar dit heeft alleen plaats voor den zeshoek. Den twaalff hoek heeft zijn zijde gelijk aan de halve radius. Maar de andere veelzijdige figuuren die tusfchen
beij-
I. Aan-
tucrking.



f iG. Pro-
blema of
ï. Aanmerking,
Men
( 46 )
beijde koomen moeten als in 't werkftuk geleerd is behandeld worden.
§• 5?-
Als men in een gegeven cirkel, een regulieren , of regelmatigen veelhoek wil bei'chrijven. Wij zullen wederom tot een voorbeeld den zeshoek neemen. Deelt 3C00 door het getal derzijden dat hier 6is, zal het Qustient 6o° zijn met deze 6o° maak ik in 't middel Pimct C een hoek § 42 de beijde beenen van • deezen hoek ontmoeten den omtrek in A en B. Ik trek AB, welke ik meet, en draag de zelve 6 maal in den omtrek voort. Dan heb ik in den gegeeven Cirkel een zeshoek befchreeven.
Als ik een achthoek maaken wil, del ik 3600 door 8 en het Quotiënt is 450. Ik handel hier mede als met het gegeeve voorbeeld van den zeshoek, en zoo ook met alle andere Poligonnen.



C 4? )
Men kan ook een algemeeme weg inflnan om regehnaatige veelhoeken, van zo veel zijden als men wil te befchrijven.
Befchrijft een cirkel, trekt in dezelve den Diameter AB, verdeelt AB in zo veel gelijke deelen als men zijden aan den Poligon geeven wil, bij voorbeeld 5 befchrijft op AB met de lengte van den geheelen Diameter eene gelijbenige driehoek uit het punci' C door de tweede verdeeling trekt een rechte lijn , tot dat dezelve den cirkel ontmoet in D dan is AD de zijde van den begeerden 5 hoek welke in den omtrek des cirkels voortgezet zijnde , den vijfhoek befchreeven zal zijn.
Men is zeer dikwils in 't geval van oppervlaktens te [moeten meeten. Bij voorbeeld Tuynen of Weijden, Buvteplaatzen , of Landerijen, om dit te verrichten gebruijkt men een maat, die niet anders dan eene Oppervlakte kan zijn. De bekwaamde oppervlakte tot dat eynde, is een Quadraat.
Daar-
1. Aanmerking.Plaat 1. Fig. *7.
2. Aanmerking.



i7- Pro
fclema of Werkftuk.
C 48 )
Daarom heeft men Quadraat Roeden, Quadraat Voeten, en Quadraat Duymen uitgedagt. Een Quadraat Roede is een Quadraat welke een Roede lang en een Roede breed is. Een quadraat Voet is een voet lang en breed Een quadraat Duijm, is een Duijm lang en breed.
S- 58.
Niets is gemakkelijker als een Quadraat te meeten. Want men meet alleenlijk eene zijde van den quadraat, de bekoomene lengte vermenigvuldigt men met zig zelve, en het produel: is den begeerden inhoud. Bij voorbeeld de eene zijde des Quadraats word bevonden 15 Roeden lang te zijn. Dan vermenigvuldig ik 15 met zig zelve.



( 49 )
15I5-
7515-
225.
Deeze 225 Roeden zijn den inhoud dea Quadraats.
Als reen de oppervlakte van een Reetangolum of regthoek wil afmeeten , zo meet men eerst de lengte, en daar na ook de breedte, welke men met elkander vermenigvuldigt, 't product is den inhoud. Bij voorbeeld de breedte 60 en de lengte 14 gevonden hebbende, Multipliceert men 6 met 14, en men verkrijgt 840. Dit is den inhoud van de Figuur.
De nul boven het getal die bij de Maai der hoeken Graaden beteekent, duijd in d'« lengte Maaien Roeden aan, zulk een fchrap-
d h
18 Prȕ
blenw of Werkftuk.



19 Pro-
blema of Werkltuk Plaat i. Fig. 25.
( 50 )
je I agter de Cijfers voet :n twee II duimen. Maar het is best R voor Roeden D voor Dimmen te gebruijken dan word D R voor Quadraat Roede □ D voor Quadraat Duimen genoomen etc.
§. 6c.
Als men een Parallelogram, of Rhomboïde wil afmeten. §. 29. zo neemt men de eene zijde AB voor grondlijn aan, en men meet die, op deeze laat men uit C eene Perpendiculaar vallen §. 47. welke men ook meet. Vervolgens vermenigvuldigt men de Perpendiculaar en Grondlijn tefaamen. 't Product is den begeerden inhoud bij voorbeeld de Grondlijn AB is gemeeten 20 R. lang de Perpendiculaar CE 8 R.
AB a 20 R.
CE a 8 R.
Kom.tParall.ABCD a 160 Q R.
B E«



( 5i )
B E W IJ S.
Met maakt door 't trekken van de Perpendiculair den Khomboïde, rot een langwerpig vieikant, of rechthoek waarvan de Perpendiculaar de breedte verbeeld, daarom word den inhoud ook op dezelve wijze berekend als §. 59.
§. 61.
Als ik eenen driehoek hebbe als ABC. 20 kan ik die nog eens tot dezelve zetten, zo dat die dan dubbeld zal ftaan. Als ik naa mentlijk AB van C in D en CB van A in D over draage. Dan zal 'er immers een vierhoek uit ontdaan, en den Triangel ABC moet noodwendig" de helft van den vierhoek ABCD zijn.
B E W IJ S.
De Lyn AC is de Diagonaal van den Vier hoek ABCD, maar die deelt de figuur it D 2 twe<
6. Propofitie Piaar 1. Fig. a.5.



*o. Problejua of werkftuk.
C 52 )
twee gelijke deelen 54- of dat het zelve is zij halveert den Vierhoek. Dus is den Driehoek ABC 'er de helft van. Dit blijkt ook uit den aart van de zaak want daar den Vierhoek ontdaan is , door het bijvoegen van den Driehoek ABC tot zig zelfs, zo dat die nog eens onder de benaaming ADC ontftaat. Deeze dubbelde Driehoek maakt den inhoud van den Vierhoek uit. Dus moet een van dezelve noodwendig 5 er de hel ft van zijn.
Dit Problema is van zeer veel nut. Namentlijk om een rechtlijnige figuur bij voor • beeld een veld, of een bos te meeten.
Wij zullen hier over om deszelfs nuttigheid wat breedvoeriger zijn. 'Er koomen ons hier twee gevallen voor. Ais 1 de figuur of het te meeten ftuk is rontsom en-inwendig begaanbaar, of 3 men kan uit oorzaake ran hioderpaalen zulks niet doen. In 't eerde



t 53 >
fte geval. kan het werk zeer gemakkelijk ■door de Meetketen of roede verricht worden. §. 38. No. 2. of men kan ook zig van 't Aftrolabium bedienen.
In 't tweede geval , als de figuur van binnen , in 't geheel onbegankbaar is, maai alleen van buijten , moet men noodzakelijk van 't Aftrolabium gebruijk maaken.
ï. Als men in de te metene figuur koomen kan.
A alleen met de roede, men fteekt op alle hoeken der figuur regte frakken die men baakens noemt. En men ziet daarna hoe veel Triangelen, parallelogrammen , of tropeziums in de figuur zijn. Daarna meet men met de roede de 3 zijden van den eerften Driehoek §. 38. en vervolgens alle op dezelve wijze. Dit alles gedaan zijnde zo maak ik een fchets van de figuur, en ik fchrijf bij ieder linie zijn gevondene maat. Wij zullen dit met een voorbeeld opheldeD 3 ren
Plaat 2. Fig- ...



J5g." 15.
( 54 )
ren. Als men de figuur ABCDE met de roede afineeten wilde. Na dat men als vooren gezegt is de baakens behoorlijk geftooken heeft, bevind men dat 'er zijn drie Triangels, namentljjk ABC, ACD en ADE. Daarna meet ik eerst die beijde uiterfte zijden AB en BC, en daarna ook de Diagonaal lijn CA, en fchreijve dat gevondene bij de overeenftemmende lijnen in de fchets. Daarna meet ik, in den anderen Triangel, waar van ik de linie CA alleen hebbe, CD en DA. En bij den derden waar van ik DA alleen hebbe AE en DE.
B Daarna als men den inhoud wil bereekenen, moet men zig bedienen , van het Aftrolabium. Men gaat daar mede ftaan in de langfte zijden van den Driehoek, en men draaijt twee vaste vifieren zodanig dat als men door den eenen ziet dat men dan ook teffens door den anderen, een van de Bakens ziet, en zo insgelijks met het andere baaken, dan draijt men de losfen vifieren op gp°, en mea zjet (joor die geen
«fel-



( 55 )
Welke men voor zig heeft wanneer mert dan door dezelve het Barken ziet dat aan den top van den Driehoek geplaast is. Zo dit zo niet uitviel moet men het Inftrument zo lang verplaatzen in de langfte zijde van den Driehoek; tot dat men het begeerde volbragt heeft. Maar deeze- manier is zeer lastig, en vereischt eene zeer groote oeffening. Daarom zullen wij een andere weg aantoon en r die zeekerder is en waar door het fpoediger verrigt word.
Genoomen den Driehoek ABC in welke ik den Perpendiculaar CD trekken wil. Om 'er zig dan een duijdelijk denkbeeld van te maaken, befchrijft men vooraf zulk een Driehoek op 't papier, en men trekt de lijn CD die de Perpendiculaar verbeeld. Anders in de afgeteekende figuur trekt men in ieder Driehoek een lijn die de Perpendiculaar verbeeld. Dat gedaan zijnde redeneer ik aldus, Dewijl volgens §. 49. de drie hoeken te zaamen twee rechthoeken uitmaaken, en dat den hoek D reeht is D 4
Pbat i. Fis. j».



Fig. 3«.'
( 56 )
zullen de twee anderen DA€ en DCA re zaamen gelijk aan eene rechten zijn , en gevolglijk zal een van die twee hoeken, het complement tot eenen rechten hoek zijn van den anderen. Dan meet ik den hoek CAD 60" en die trek ik van cpo en 'er blijft den hoek ACD over van 300 dewijl ik nu den hoek ACD bekend heb, zo maak ik in C §. 42. een hoek ACD, van 300. en het eene been CD zal noodwendig de Perpendiculaar zijn, Welke dan maar zo lang moet verlengt worden, tot dat het baaken D komt in de rooijing der baakens A en B.
iï. Wanneer men in de te'meetene figuur niet koomen kan. Dit gefchied wederom het best met het Aftrolabium. Na alvoorens op alle de hoeken baakens geftelt hebbende. Alsmeede de gedaante der figuur zo nauwkeurig mogelijk opgeteekent ftelt men het Aftrolabium in B, zodanig dat het middelpunct van hetzelve over B komt. Dan draijd men het inftrument tot dat twee vaste vifieren na A zien. Hier zet men hetzelve
vast,



c 57 y
vast, en men draijd de losfe vifiefen tot dat dezelve na C zien. En men ziet hoe veel graaden dat den hoek befpand, §£ 41. vervolgens meet men de beijde beenen van den hoek AB enBC §. 38. En men fchrijft de gevondene graade en roeden, in de afgeteekende figuur op haar regte plaats. Daarna ga ik ook met het inftrument, in den hoek C ftaan, en meet die op dezelve wijze als den hoek B, en meet de lijn CD welke beide ik wederom in de afgeteekende figuur op haaren plaats aanteekene. De overige hoeken D,E en A vind ik van zelfs op het Papier. Men moet voor eerst volgens §. 38 en 42. de reets opgeteekende deelen in de fchets volgens de maat op het Papier brengen, zo zullen de puncten A en D daarop bepaalt zijn. Meet vervolgens op het land de zijden AE en ED, neem deeze lengtens op uw fchaal en uit A met de lengte AE een boogje insgelijks uit D een ander fnijdende het eerfte in E trekt AE en ED dan zal het begeerde volbragt zijn.
D 5 S-63»



( 5» )
ai. Pro-
blema of werkftuk. Plaat !• 31.
S. ö3.
Als men het gemectene, op het Papier, of in Kaart wil brengen. 't zij om er een teekening van te maaken, of den inhoud te bereekenen, word dit op de volgende wijze verricht.
I.) Als de meeting bloot met de Roede alleen, gefchied is. §.62. No. 1. Litt.A.) neem met de Pasfer, of befpan met dezelve op de fchaal, het getal der Roede gevonden voor CA. en men ftelt de Pasfer zonder iets aan deszelfs opening te veranderen op 't Papier, dan trekt men de Pimclen te faamen. Op defelve wijze meet ik op de fchaal de lengte AB. En zet het eene been in A en zonder dezelve te verfchrikken, maak ik boven AC. Daarna meet ik ook BC, en zet het eene been in C befchryvende een boog boven CA. Daar zig deezs beide boogen doorfnijden, bekomt men het punci: B. Uit dit punci trek ik na A en C trek ik de Lijnen BA en BC. En men
zal



C 59 >
Zal den eerften triangel afgefchetst hebben. Den naastvolgende Driehoek zet ik er tegen aan. De Lijn CA heb ik rcets, zo dat ik alleen de Lijn AD op de fchaal afmeet, de eene punci des Pasfers in A zet, en befchrijve over de andere zijde boven AC een boog. Ik neem ook de Lijn CD en maake daar mede een Boogje. Daar de heide boogcnzig doorfnijden, bekomt men het punci D. Waar uit ik dan Lijnen na A en C trek en den tweede Triangel is afgefchetst. Ik ga op dezelve wijze voort met AE. en DE, en de gantfche Figuur is volbragt in evenredigheid na de groote vau de fchaal.
B E W IJ S.
Dat deezen Driehoek volkomen dezelve is met die op het veld, word door § 33. aangetoond. Maar het zijn Figuuren, die met gelijke maaten gemeeten zijn. Alleen met dit onderfcheid, dat de maat op het veld grooter is, en dat op 't Papier, eene kleine raaatftqk gebruikt is.



C co y
tl. Als de meeting gefchied met het Astrolabium , word de Bafis AC allereerst op de voorgaande wijze gemeeten, en op het papier nedergezet. Men zet het Inftrument in het punci B en meet den hoek ABC §. 42. en de beide beenen BA én BC maak Ik op de fchaal van dezelve groote als ze op het veld bevonden waaren. Op dezelve wijze handeld men met den hoek C en de overige Lijnen tot dat de Figuur geflooten is.
B E W IJ S.
De Hoeken der figuur, op het Papier, hebben even zo veel Graaden als die op het veld. -De Lijnen der figuur op het Papier, hebben het zelve getal Roeden als die op het veld, 't eenige onderfcheid is dat er tot de eerfte een grooter maat dan tot de kleinen genoomen is. §. 35. Gevolglijk is de figuur op het Papier, overeenftemmend, met die op het veld.
• $.64.



C <5i ) §. 64.
Als men den inhoud van zulk een figuur, als die van de voorgaande § begeert te vinden, moet den inhoud van ieder Driehoek afzonderlijk gevonden worden , 't welk op de volgende wijze gefchied. Men neemt de langde zijde van den Driehoek voor Bafis of Grondlijn aan. Als in den nevensgaande Driehoek ABC , de zijde AB. vervolgens laat men uit C op die Bafis de Perpendiculaar CD vallen, volgen! §. 47. Daarna word zo wel die Perpendiculaar als de grondlinie AB gemeeten, ei op de fchaal gezien hoe veel Roeden &c. de zelve bedraagen. De gevondene lengten! worden met elkander vermenigvuldigt, er het product gehalveert of door 2 gedeelt Het quotiënt, is den inhoud van den Driehoek. Bij voorbeeld de Linie AB was 30; 5' en de Perpendiculaar CD 2°: 8/ dit mei elkander vermenigvuldigt zijnde.
AB
si. Problema of werktak. Plaat a. Fig. 32.



C 62 )
A3 a 3 : 5'
CD a 2^: 8'
AB + CD s 9" 8o' ^ABCh AB ■+• CD~a~rgo'
B E W IJ S.
Men vind den inhoud van een Paralellogram , als men zijne hoogte met de lengte vermenigvuldigt (§ 58, 59 en 60.) Wanneer ik nu in onzen Driehoek, de lengte AB met zijn Perpendiculaar, of de hoogte vermenigvuldig, bekom ik den inhoud van een Paralellogranj, welkers zijden AB en CD zijn. Maar onze Triangel is er de helft van (§ 61.) dus moest ik ook het gevonden getal 980. als den dubbelden inhoud door 2 deelen.
Men kan op een veel ligter wijze als op mei-king. §. 47. geleerd is, een Perpendiculaar in een Triangel trekken. Men behoeft alleen het
eene



< 63 )
eene l een d:s pasfers in C te zetten en j met het rndero been een boogje te trekken [langs de balis heen, zo lang tot men het
treft dat de boog die aanraakt, dat is het
jniiicl van de Perpendiculaar.
Men kan een figuur zo als die van de | voorgaande § nog anders dan in driehoeken j alleen verdeelen. Naamentlijk, met er een j of meer Trapeziums in te laaten vallen. ( Eer wij dit aantoonen zullen wij leeren hoe i men den inhoud van een Trapezium vind.
Trapefiums zijn tweederlei, i of er zijn Bcwee zijden paralel als fig. i. waar van AB ren C ) paralel zijn, maar AC en BD geenlains. 2. of dezelve is geheel onregelmatig Jzo met opzigt tot de zijden als hoeken, figelijk fig. 2.
Om den Inhoud van fig. i. te vinden, ilaat men uit B op CD een Perpendiculaar 1BE vallen. Vervolgens teld men de lengte van AB en CD te zaamen , dit deelt men
doof
2. Aanmerking.
Plaat *.
Plaat ' Fig. S4«



( 64 )
Üoor 2 en het quotiënt multipliceert men met de Perpendiculaar BE het product is den inhoud van het trapezium, bij voorbeeld genoomen.
AB ts ioo 5' (D ü u° 3'.
AB -f- CD sa 24° 8' '
AB -t- CD sa 120 4'
~BE sa 60 trapz. ABDC sa AB CD -H BE sa 740 4'
Om den inhoud van de tweede figuur te vinden, zo laat ik uit B en A de Perpendiculaaren BE en AF op DC vallen. Dan is de figuur verdeelt in twee Driehoeken ADF en BEC. en eene Trapezium ABEF. Den inhoud van de Driehoeken vind men volgens §. 64. en die van het Trapez. ABEF. als den bovenftaande, namentlijk IE en
AF



( 65 j
AF tc zaamen geteld, door 2 gedeelt en door FE vermenigvuldigt.
Als men nu een fig. heeft als in §. 62 en 63 trekt men in de zelve AC , maar in plaats van ook AD te trekken, waar door dezelve in Driehoeken zoude verdeelt worden, zo laat men uit E en D, de Perpendiculaaren EF en DH op AC vallen, en BG op AC dan is de figuur verdeelt in drie Driehoeken en een trapez. waar van den inhoud volgens §. 64. en 2 Aanmerking gevonden word en alle te zaamen gefield geeven den gantfchen inhoud.
Men kan fomtijds met zeer veel voordeel twee Perpendiculaaren op een en dezelve Bafis laaten vallen, waar door men altsos minder te meeten heeft, als in de nevenftaande figuur BD en AD getrokken hebbende , zo laat ik uit A op BD de Perp. AF vallen, en uit C op BD insgelijks de Perp. CG, dan behoef ik alleen AF en CG de beide Perp. te zaamen te tellen, de fom E d»t>r
Plaat *. F'8- 35-
3. •Aanmevkii'g.Pisat 2. Fig. 19.



( 66 )
door 2 re deelen, het quotiënt door BD te vermenigvuldigen , om den inhoud van het Propez. ABCD te bekoomen. Vervolgens den inhoud van den overigen Driehoek AED volgens §. 64. te zoeken en alles zamen te tellen, om den inhoud van de figuur te hebben.
B E W IJ &
Den inhoud van Driehoek ABD vind men door AE met BD te vermenigvuldigt, en het produel* door e te deelen.
Den inhoud van Driehoek BCD vind men door CG te vermenigvuldigen, met BD en het product door 2 te deelen, maar men kan ook den inhoud van een Driehoek vinden door de halve Perpendiculaar met de geheele Bafis te vermenigvuldigen gevolg §. 64. en de beide Driehoeken hebben hier den zelvcn Bafis BD gevolglijk AE -+- CG
+ BDs twee driehoeken ABD en BCD gelijk trapz. ABCD. D: B: M; W.



S- 05.
Nn is het ligt den inhoud van een gar.tfche figuur te vinden. Als men eerst dezelve na voorgaande §. op 't Papier gebragt heeft, en vervolgens in Driehoeken op de voorgaande of in trapeziums als plaat 2, .fig. 36. verdeelt heeft, daar na reekent men. ieder triangel of tropezia bijzonder, en men telt ze vervolgens te zaamen om den gantfchen inhoud te bekcomen.
Men behoeft juist niet de figuur op 't Papier te brengen , om er den inhoud van te vinden, als men de Balisfen en Perpendiculaaren der Triangilen pp den grond bepaalt heeft, kunnen dezelve daar ter plaatzen gemeeten , aaugeteckent en den inhoud bereekend zoude dezelve op 't Papier te brengeju
i CG.
Een Cirkel, is gelijk aan een triangel, E 2 -wei-
as. Pro-
blema et wcvkituk Plaat x. fig. 29.
7V-PW-
pofilic.



Verklaring, j
a. ProWtrkftuk
! G*8 J
welkers Bafis zo groot is, als deszelfs Periferie, en de Perpendiculaar gelijk aan de Radius van den Cirkel.
ik een Cirkel in een oneindig getal triangeien verdeel, zo worden derzelver Bafisfen, kleine deelen der Periferie, die zeer weinig verfchiHcn van rechte lijnen, zodanig dat men in de Prachjk, dezelve daar voor houden kan, ijder been is zo na lootlijnig op de Bafis, en het verfchil is zo gering , dat men die gerust als de loodlijn kan aanneemen. Gevolglijk kan men in de Practijk, zonder vreeze van te dwaalen, een van clie Beenen of de Radius, dat het zelve is voor den Perpendiculaar aanneemen. De fomu.cn van alle deeze kleine Driehoeken, geéven dus eene grooten Driehoek, die den Cirkel zelfs is.
S- o>.
Den Inhoud van een Cirkel te vinden, als de Periferie 5 en den Diameter gegeeven
zijn.



C 69 3
zijn. Men neemt den halven Diameter, vermenigvuldig dezelve met de Periferie, tn het uitkoomende halreert men.
BE W IJ S.
Het geftelde is hier opgegrond, een Cir* iel is gelijk aan een triangel, welkers Perpendiculaar zo groot is , als de Radius des* Cirkels , §. 66. Nu maakt den Radius des Cirkels den halven Diameter uit, §. 15. en hier boven 64. is geleert, hoedanig men den Inhoud van een Triangel bereekenea moet.
'Er heeft eene proportie of verhouding tusfchen den Diameter en de periferie van den Cirkel plaats. Dezelve is niet volleedig nauwkeurig, maar evenwel na genoeg voor de Practijk, de alles nauwkeurigfte van allen is die van Ludolph van Keulen, en is deze , als den Diameter van den Cirkel icc dee en heeft zal den omtrek 'er 314 vande> Zdve deelen lubben.
E 3 Wan
»o. Verklaring.



a* ïi'O'
bïenaa of
Werlcftuk
( ro )
, Wanneer nu van een Cirkel den omtrek gegeven is, en men begeert den Diameter te vinden, gefchied zulks door den regel van Drien. Is de gegeeve omtrek des Cirkels bij voorbeeld 620, zo zegt inen. als den omtrek 314 is, dan is den Diameter ico. §. 68.) wat zal nu den Diameter zijna als den omtrek gegeeven is 620. hier onder volgt de bewerking.
314 t ico ~ 620 : X.
Of 314 X 3 Ó£OCO
314 . Jee]-;
142
komt X 3 197 — den Diameter 314
S- 70.
Als den Diameter des Cirkels gegeeven is, en de Periferie begeert word, gefchied zulks ock door de Regel van Drien. Laat den gegeeven Diameter bij voorbeeld 204 zijn, zo zegt men. Als den Diameter ïoo is, zo is de Periferie 314. wat zal de Peri-
fe-



C 71 )
•ferie zijn als den 'gegeeven Diameter 204 4S? De bereekening is als volgt.
ico : 314 0 2°4 : xof ico X s 3*4 ■+" 2°4-
of 100 X a 64056.
56
pf X . «r 640 — 100
s. 71.
Als den Diameter des Cirkels, of den -omtrek gegeeven is en 'er word begeert den inhoud te vinden, zoekt men in 't eerfte geval de Periferie (§. 70.) En in 't andere geval den Diameter §. 69. vervolgens, zoekt men den inhoud des Cirkels na §. 67.
§. 72.
Als ik een Driehoek AEC hebbe en in dezelve eene linie DE met den Bafis BC paralel getrokken. Zo bekomt men eene verhouding of proportie tusfchen die linien, E 4 m
37- Pro-
blcma ot' Werk^
8. Propo(itiePlaat i.



( 72 )
s8 Pro-
blema of Werkftuk Plaat 2. Fig. »8.
namentlijk AB verhoud zig tot AC, als AD tot AE, en AD verhoud zig tot DE als AB tot BC.
B E W IJ S.
De waarheid van het bovengaande is gegrond op het volgende. Dewijl de linie DE op gelijke affiand van de Grondlijn of Bafis na de zijden van den Driehoek getrokken is. Dat is op de eene zijde is dezelve niet hooger geftelt dan op de andere ook niet laager, dus heeft zij de zijden van dek Driehoek evenreedig gedeelt.
S- 73»
Zo als men in de Rekenkonst, en wel in de Regel van Drien, tot 3 gegeven termen, een vierden evenreedigen vind, kan zulks ook in de Meetkunde gefchieden. Men kan tot drie gegeevene linien, een vierde evenreedige zoeken. Als bij voorbeeld de linien ABP CD en EF gegeeven zijn. Maakt men
VOOP-



( 73 )
voor eerst eene willekeurigen hoek FAG daarna meet men de linie AB, en men zet dezelve in een van de zijde van den gemaalsten hoek van A tot B, en uit A in D de lijn CD, en uit B in F de lijn EF. Dan trekt men uit B in D eene regte lijn BD, die tusfchen de beijde zijden van den hoek in komt. En als men dan uit F een andere lijn parabel met deeze trekt, zo is de daaruit ontftaane lijn FG de gezogte vierde Proportionaal.
Het bewijs is 't zelve met dat van §. f2, §• 74-
Tot nu toe hebben wij de voornaamite leerftukken der Planimetrie opgegeeven. Nu zullen wij eenige werkftukken betreffende het meeten van hoogtens geevcn.
. De Hoogte van een plaats AB tot welke men koomen kan, uit een aangenoomen ftand plaats D te meeten.
£5 W*
,p ProJ
bletna of werkituky
Plaat t. Fig. 39.



( 74 )
Wil uien het met het Aftrolabium doen. Zo gaat men met hetzelve in D ftaan. En men fielt den Aftrol. lootlijnig met deszelfs centrum boven het punci D, en in een vcrticaalen ftand, twee vaste vifteren paralel aan den grond na de te meetene hoogte gerigt hebbende, zet men het vast, en men draid de vaste villeren zo lang dat men door dezelven den top kan zien. Dan is den hoek ECÖ afgemeeten (§. 41.) Men meet ook met de Roede de ftandlinie DA na (§. 38.) en men draagt ze over op het Papier, men trekt uit A een Perpendiculaar en men zet daarop de hoogte van 't Inftrument na beneden a!s AE en men trekt AD 3 AE , en paralel aan elkander. In C maakt den "gevonden hoek ECB na (§. 42.) en trekt CB, tot dat die de verlengde Perpendiculaar fnijt in B. De Perpendiculaar AB meet ik op de fchaal, en dit is de maat van de te meetene hoogte.
Ij )um



C 75 )
B E W IJ S.
De Lijn EC, op het Papier, en de beide hoeken BEC en ECB zijn even dezelve , die op her veld waaren, gevolglijk is ook de lijn EB dezelve, als op het veld. Nu word de derde Lijn van zelfs gevonden, als twee Lijnen en eenen hoek gegeeven zijn, (§. 43 en 44.; Dus maaken de •verkleijnde linie BE en de verkleijnde hoogte des Inttruments, de gantfche verkleinde hoogte BA uit.
§• 75-
De hoogte van een plaats AB temeetdn«> tot welke men niet naderen kan.
Men neemt twee ftandplaatzen C en D aan, in de ftandplaats D meet men den hoek EFB,en in de Itandplaats C den hoek EGB. (§. 41.) Daarna meet men ook met de Roede deftand Lijn CD C§. 38O Daarna draag ik door uüidel. van de Fleinfchaal deftand-
ttnic
50. TvO'
blctna ofwerkfhils.Plaat a. Fig. 40.



Bi Verklaaring plaat i Ik- 41-
ti Verklaring Plaat 2. Fig- 4*.
C 76 )
linie DC ta FG op het Papier, en aan de beide einden befchrijf ik de gevondene lioe« ken, op haare plaatzen. (§. 42.) Dan verkrijgt men een Driehoek BFG. Men verlengt deszelfs grondlijn FG, en op dezelve laat men uit B een Perpendiculaar vallen , die dezelve in E ontmoet. Waar uit dan de Lijn ontftaat. Deeze word op de fchaal gemeeten, de verkleinde hoogte van 't Inftrument daar bij -zetelt zijnde geeft de Terkleinde hoogte van de plaats.
§. 76.
Eene Spheer of Kogel, ontftaat, als een halven Cirkel om zijn Diameter rond wenteld, tot dat dezelve wederom tot zijn eerfte ftandplaats wedergekcert is.
S- 77.
Een Prisma ontftaat, wanneer eene recht lijnige figuur als bij voorbeeld ABC, bewoogen word langs een regte lijn bij voorbeeld



{ 77 >
beeld CD met eene beweeging altoos paralel aan zig zeiven.
Als de figuur welke bewoogen word een driehoek, vierhoek, vijfhoek &c. is verkrijgt de Prisma den naam van Driehoekige vier of vijfhoekige Prisma.
§• 78-
Een Cijlinder ontftaat op tweederleij wijzen. Als zig een Cirkel A langs eene regte lijn zodanig, na beneeden of na boven beweegt, dat dezelve altoos paralel aan zig zeiven blijft. Of wanneer eene rechthoekige Paralellogram, om eene zijner zijden, tot in deszelfs eerfte ftelling wenteld.
§• 79-
Een Paralellepipidum ontftaat, als zig een rechthoekig vierkant, bij voorbeeld ABCD langs eene rechte lijn AE onder eenen regten hoek na beneden beweegt.
$. 8o.
Aanmsji ing»
23 VerklaaringPlaai^,Fig- 43.
rintPlaat 2. Fig. 44'



( :C' >
& 5 Verklaa ringPJaaf i
ris. +6.
26 VerklaariugPlaat 2. Ï>S- 47-
Aanl^ttóng.
ayVerklnariiifiPIaat a. ïig« 45-
§. 8c,
. Een Cubus , of Dobbelueen ontftaat, ■ wanneer zig een quadraat ABGD regthoekig langs een regte lijn AE Cdie geli k is aaneen der zijden van het quadraa© na beneden beweegt.
§• Cl.
Een Piramide ontftaat, als boven een vlak een regte lijn AE in A vast gehegt is, enzig met het andere einde E rontsom den omtrek van eene regtlijnige figuur beweegt.
De regtlijnige figuur om het welke het punót A van de rechte lijn AE beweegt, kan een Driehoek, een Vierhoek, Vijfhoek &c. zijn, en dan word de Piramide, Driehoekig , Vierhoekig , of Vijfhoekig genaamt.
§• G2.
Een Kegel of Conus, ontfiaat, als een
regte



C 79 )
regte lijn AB met het einde A boven een vlak ergens vast is, en met bet ander einde B zig langs den omtrek van een Cirkel beweegt , tot dat die weder op zijn voorigc plaats te rug keert.
§. 83.
Om den Lichaamelijken inhoud van iets te bereekenen, heeft men een maat noodig. Wij hebben gezien dat om lengtens te meeten men een Roede lengte gebruikte, om oppervlakten te meeten, gebruikt men quadraat Roeden, en om Lichaamcn te meeten zal men Cubie Roeden moeten gebruiken. Dat is een Cubus die een Roede lang, breed en hoog of diep is. Deeze word wederom verdeelt in Cubie voeten, Cubie Duijmen&c. dat zijn wederom kleinen Cubusfen, die een voet lang, breed, hoog of diep, of een duim lang, breed, of diep zijn.
S- 34*
Aanmerking)



C 80 )
51. Pro-
b'enia of werkfluk. Plaat i.
§■ 84-
Het valt zeer ligt, den Korporeele, off Lichaamelijken Inhoud van een Cubus of ' Dobbelfteen te vinden. Men meet de eene zijde onverfchillig welke , en vermenigvuldigt ze (§. 58.) met zig zelve, dan zal I men den vierkanten inhoud van het grondvlak gevonden hebben. Deeze gevondene i grondvlakte, vermenigvuldigt men weder j met de zijde van de Cubus, die dan de hoogte deszelfs verbeeld, en men zal den' Lichaamelijken Inhoud bekoomen hebben, bij voorbeeld.
genoomen de zijde gevonden is 15* 15
— muit.
75
'5-
Voor de Grondvlakte 225 zijde 15
1125
225 j
3375' Lich. IInhoud van den Cubus.
13 Ei



( 81 ) B E W IJ S.
Men moet zig voordellen, als of een zijde van de grondvlakte des Cubus in eet zeker getal gelijke deelen gedeelt was, al: men nu uit alle deeze deelen Lijnen treki paralel aan de nevenftaande zijden, ver volgens de nevensleggende zijde in het zei ve getal gelijke deelen deele als de eerfte zijde, en hier uit wederom paralellen aan de nevensleggende Lijnen getrokken hebbende , bekomt men. zo veel vierkanten op de grondvlakte, als 't getal van eene zijde met zig zelfs vermenigvuldigt bedraagt, genoomen dat de zijde in 4 en 3 gelijke deelen verdeelt, is dan zullen wij 12 gelijke deelen voor de grondvlakte verkrijgen, als men nu de hoogte van een deel boven die grondvlakte op ieder verdeeling opzet, zal men zo veel Cubusfen verkrijgen als men te
■vooren quadraaten op de grondvlakte gevonden heeft, als men boven dit eene deel
jhoogte , nog een ander deel voor iedere verdeeling ftelt, zal men eens zo veel Cr> F bus--
I
plaat 2.' lig. 4«.



' l
c t
I
<
I
32. Prot
bhma of Wurklt-uk.
■§. 8(5;
C 82 )
usfen dat is 24 bckoomeii. Nog een aner deel boven het tweede geilek hebbende, zal men smaal zo veel Cubusfen verzijgen dat is 36. Eindelijk nog een deel *p dit Hellende, zal men 4maal zo veel Lmbusfen dat is 48 verkrijgen. Dus om den Lrichaamelijken Inhoud van een Lichaam :e verkrijgen, moet men deszelfs lengte met leszelfs breedte vermenigvuldigen, en deeze gevondene Oppervlakte met deszelfs hoogte of diepte, 't koomende is denLich. inhoud D: 13; M: W.
§• 85-
Om de gantfche oppervlakte van een Cubus of Dobbelfteen te vinden. Zoekt men eerst deszelfs Grondvlak 58.) Dewijl nu een Cubus 6 gelijke vlakken heeft, vermenigvuldigt men den inhoud der Grondvlakte door 6, en het koomende is de fom der oppervlakte van alle de zes zijden.



C 83 )
§. 86»
Den Lichaamelijken inhoud van een Paralclepipedum tc vinden. Men vermenigvuldigt de lengte CD, met deszelfs breedte DA. 't Koomende is de grondvlakte , (§. 59.) deeze word door de hoogte AL vermenigvuldigt, het product, is den Lichaamlijken inhoud. Voorbeeld.
De lengte is 17' De breedte is 8'
13Ö' Grondvlakte Dc hoogte is ia(
1032'Cor^oreeleninlioud. Het bewijs is hetzelve met dat van §.34.
De gantfche oppervlakte van een Paralelepipidum te vinden. Men zoekt eerst P 2 djn
3;. Pto-
blema 01 werkituk.
14- Prs-
bleiaa of Wevkltuk.



35 Pro-
Hi'ina of
Werkftok
( 84 ■)
den inhoud van de hovende oppervlakte. Daar na de langde zij vlakte, vervolgens de klein!b-f vlakte- Alles na (§. 59.) alles wat bij die drie bewerkingen gevonden is, telt men te zaamen- De zom vermenigvuldigt men met 2, om dat een yder zijde tweemaal, bij 't Paralelepipidum gevonden word.
§. 88.
Den inhoud van een Prisma te vinden. Men zoekt de oppervlakte des Grondvlak, volgens (§. 64 en 65.) 't koomende multipliceert men door de hoogte van den Prisma, en men heeft den Lichaamelijken in* houd van den Prisma: Onteeven van welke gedaante deszelfs grondvlakte is. Voorbeeld
De Grondvlakte is 234' De hoogte is 628'
1872 468 1404
146952' Lichaamelykcn Inhoud.
B E-



185 y
B E W IJ s.
Als men de gantfche grondvlakte van eei Paralelepipiduin met deszelfs hoogte ve: menigvuldigt, bekomt men deszelfs inhou S- 86. Nu is eene driehoekige Prisma d helft eener ParaleJepipidi. Die met dezelv eenerleij hoogte, maar eene dubbelde grond vlakte heeft, (§. 61.) Als nu de halve grond vlakte des Paralelepipidums de gantfch grondvlakte van den Prisma is, en met di hoogte vermenigvuldigt word, moet de hal ve Paralelepipidum, of den gantfchen in houd des Prisma; uit deze bewerking voort koomen. Dezelve redeneering heeft plaat! van wat foort dé Prisma ook zijn mag.
§• 89.
Om de fom der oppervlakte van alle de vlakken van een Prisma te vinden.
Men meet den omtrek van de gantfche oppervlakte, deeze vermenigvuldigt men F 3 met
i
3(5 Pro.' hierna uf werkftufc



37 Pro-
blema of wcrliftuk
( 86 ^
met de hoogte, dan bekomt men de oppervlakte van alle de zijden. Hier bij addcert de twee grondvlaktens en de fom is de gantfche inhoud der oppervlakte van den geheelcn Prisma.
"§• 90.
Tot flot zullen wij hier dit volgende werkftuk nog bijvoegen om den inhoud van een regulier Lichaam te vinden. .
Om zulks te verrichten. Onderzoekt men eerst, of men hetzelve door het in verfcheijdene deelen tc verdeden , niet kan brengen, tot zulke Lich-aamen, waar van men , naar de voorgaande Problemas , den inhoud kan bereekenen. Dit zo kunnende doen, zoekt men van ijder deel in het bijzonder den Lichaamelijken inhoud, en neemt alle de deelen te zamen , wanneer men den inhoud van het gantfche'Lichaam zal bekoomen.
Zo men een Iregulier Lichaam , dat niet
zeer



C 87 )
zeer groot is, niet wel kan verdeden, in' reguliere Lichaaraen , dan Haat men eenen anderen weg in , men fielt zoodanig een Lichaam 3 in een regulieren Bak waar van men den inhoud zoekt , dan vult men de ledige ruijmte met water, of droog zand aan: voorts neemt men het Lichaam uit den Bak, en ziet hoe veel water of zand 'er in blijft: Deeze hoeveelheid, getrokken van den geheelen inhoud van den Bak , zal men overhouden, de groote of Lichaamelijken inhoud van het Irréguliere Lichaam.
EINDE.





















Om veele Brief en Vragtkosten voor te komen Adverteert de» Drukker, dat deze Werkjes tot gemak der Boekhan-, delaars, en Schoolhouders in getallen i te bekomen zijn: Te Amft. bij M. de Bruijn, Verlein, en Weppelman, Alkmaar bij de Wed. Maag en Zoon,: ■■y Bosch J. Palier, Delft de Groot,' Dordrecht van Braam, Gouda, Verblaauw, Groningen Doekema, Haar- \ lem Walre en Comp. 's Hage Plaat, 3 Leeuwaarden Cahais, Leydent Mortier, Middelburg GÜKsfen en Zoon,^ Rotterdam D. Vis, Utrecht de Waal j en Stubbe, Zwolle, Clement. En worden verder niet in Commisfic verzonden, maar moeten voor Rekening ont- | boden worden. 3