VOORBERICHT.
Jiejiuarderen der Maatjehaf pij hellen om lijzondere redenen, hun hekend, bejlooten, in Jiede van het eerfie deel van het door hun
reeds uitgegeeven Reekenloek te vervolgendit ■
oorfpronglijke en zoo zij vertrouwen , leien .
Reekenloek, het algemeen in handen te gee-
ten.
Dat



ft
Dat let tot zoodanig een einde flrekkc, als waartoe bet faatngefleld is, is de oprechte •wensch dert uitgeeveren.
Uit naam der Maatfchappij,



GEACHTE LEEZER!
"^erfchUt dit Reckenboek in veelerleije opzichten van de gewoone, lees het, gebruik het, zonder vooroordeel; vergelijk het bedaard/ijk met de gewootie, en oordeel rijplij k of er meer of minder uitte leeren zij; of de verfchillende deelen beter of flechter zamenhangen. —
Zijn veelen Uwer minder gemeenzaam met de tientallige breuken bekend, veracht die daarom niet; zij zijn in de Wiskundige weetenfchappen onontbeerlijk; in den Koophandel konden zij van veel dienst zijn. — Ons doel was, dit leerboek voor de Nederlandfche Jeugd, in het algemeen, te fchikken; dm ter aankweeking van Geleerden , zo wel ah van Kooplieden, fchoon voornaamlijk voor de laatflen.
Komt



Jtomt U het één of ander vreemd voor, het zij dan in orde , fckikking , behandeling , of keus, fchort uw oordeel op; wij hoopen, bij de uitgaav van een volgend ett laatjle deeltje, van alles reekenfchap tt geevert.
DE SCHRIJVER.



E.EEKEH - BOEK
NEDERLANDSCHE JEUGD-
$■ r. JML eester. Gij hebt reeds eencn ouderdom van 10 jaaren bereikt, waarde Leerling! Gij leest zeer wel, begint fraaij te fchrijven, en Gij hebt, naar uwe jaaren, goede vorderingen gemaakt in de Franfche taal, Aardrijkskunde, en Vaderlandfche Gefchiedenisfen. — Ik oordeel dat het tijd zij, dat wij onze dagelijkfche oeffeningen met ée'ne vermeerderen; ik meen met die van Cijferen, of Reekenen.
§. 2. Lterling. Ik vreesde 'al, toen Gij begon te fpreeken, Meester! dat het daar op uit zoude komen.
$. 3. M. Vreesde Gij dat? waarom toch?
§. 4._ L. Om dat men mij gezegd heeft dat het zo moeijlijk is; zo zwaar om te begrijpen.
$.5. M. Men heeft U kwaalijk onderricht, Kind! Voor een' jongeling van uwe jaaren, die een goed natuurlijk oordeel bezit, waarvan Gij niet misgedeeld aijt, is het zeer gemaklijk te begrijpen; mids dat Gij alleen maar zorg draagt, Van nooit een enkel getalmerk, dat is, een cijferletter, ter neder te (lellen, bij te doen, af te neemen, te veranderen, of ook evenveel welke bewerking te verrichten , zonder dat Gij volmaaktlijk de reeden weet, waarom Gij zo., en niet anders, doet: Want zo Gij dit verwaarloosde, zoudt Gij het zekerlijk moeijlijk vinden, en de reeden daar van aan U zeivea te wïjl. deel. A ten
voor de



2. INLEIDING.
ten hebben. — Gij moet nooit voortgaan zonder het voorafgaande volkomen begreepen te hebben.
§. 6. L. Gij geeft mij veel moeds, Meester! maar ik zal U dan zo dikwijls moeten vraagen; zal U dat niet lastig vallen ?
§. 7. M. Neen zeker. — Hoe meer Gij mij vraagt, hoe meer ik uwe leerzucht prijzen zal, mids ik maar niet befpeure dat uwe vraagen uit groote onoplettendheid voörtfpruiteri. — Vrees nooit te vraagen, maar zijt ook nooit onoplettend.
§. 8. L. Gij hebt zeer veel goedheid, Meester! maar ik bid U , zeg mij toch eens, is het reekenen zo noodzaaklijk als men zegt?
§. 9. BI. 1 Jet is niet alleen de eerfte en voornaamfte trap tot alle verheevene Weetenfchappen, waar toe Gij wordt voorbereid, maar het komt ook in het dagelijkfchc keven alle ogenblikken te pas.— Het is het eenige middel om uwe eigene bezittingen,, als Gij tot rijpe jaaren zult gekomen zijn, te bellieren, liet is de fpil, waarop de Koophandel draaijt; en de geringde Handwerkman , ja zelvs de Daglooner, kan'er zijn voordeel mededoen. — Metéén woord, de Reekenkunde is voor een' ieder' nuttig, zij is voor den Ambachtsman , voor den Landbouwer, voorden VeéWeidef noodig; voor den Rechtsgeleerden en Geneesheer noodzaaklijk; voor den Koopman onontbeerlijk, en zij is de groote enonafickeidbaare Geleijdsvrouw van den YViskonstcnaar, van den Landmeeter, van den Sterrenkundigen, van den Stuurman , van den Krijgs- en BurgerBouwmeester, van den Natuur-Onderzoeker , en van alle zodanige Weetenfchappen zonder onderfcheid, welke tot de Natuur - of Wiskunde maar de minste betrekking hebben. — Laat ons dan den tijd niet uitftcllcn, maar liever op dit ogenblik
ceaen



WIJZE VAN TELLEN.
3
ecnen aanvang maaken. — Zeg mij eens tot hoe ver zoudt Gij kunnen tellen ?
§. 10. L. Tellen? Hoe meent Gij dat, Meester ! Eén, twee, drie, vier, en zo vervolgens ?
§. ii. M. Juist; niet anders.
§. 12. L. Dan zoude ik al zeer hoog kunnen tellen, denk ik: want ik tel eerst tot honderd; dan begin ik op nieuw, wederom tot honderd; zo krijg ik twee honderd , vervolgens drie honderd, dan vierhonderd, en zo voorts, tot dat ik duizend hebbc, en dan op dezelve wijze al verder, tot twee duizend, drieduizend, vier duizend, en zo verder, zo lang het vereischt wordt.
§. 13. M. Het is zeer wel. — Gij wilt eigenlijk zeggen, om duidlijker te zijn, dat Gij eerst tot tien telt , en dat Gij dan reeds wederom op nieuw begint: want elf beteekent niet anders dan dén en tien, of tien en dén; twaalf niet anders dan twee en tien, of tien en twee; en de woorden dertien , veertien, vijftien, zestien, enz. ge even duidlijk niet anders te kennen dan drie en tien, vier en tien, vijf en tien, zes en tien, enz. — Zo gaat Gij voort tot dat Gij tien en tien zoudt krijgen, dat is, tot dat Gij twee volle tientallen of tienheeden gekreegen hebt, en dan zegt Gij, twintig, zo dat twintig zo veel beteekent als twee maal tien, of twee tienheeden. — Zo dra hebt Gij dan geen twintig, of Gij begint al wederom op nieuw, en Gij zegt twintig en dén, twintigen twee, of éénentwintig , tweeëntwintig enz. tot dat Gij twintig en tien, of tien en twintig zoudt krijgen, dat is, tot dat Gij drie volle tientallen bekomen hebt; dan zegt' Gij dertig. Zo beteekent dertig dan drie volle tientallen;' veertig, om dezelve reeden, vier tientallen; vijftig vijf tientallen, en zo verder. — A 2 Wiï



4
WIJZE VAN TËLLEH.
Dit duurt tot dat Gij tien volle tientallen bekoniMï hebt. Aan deezen geeft Gij dan eenen nieuwen naam; deeze noemt Gij honderd; zo dat honderd y.o veel als tien maal tien, of tien volle tientallen, beteekene. — Dan begint Gij wederom, gelijk Gij zo even ff. 12.) wel zcide, geheel op nieuw, tot dat Gij een tweede honderdtal, dat is, twee honderd, bftwee honderdheeden bekomt; en wanneer Gij eindelijk tien honderdheeden bekomen hebt, zegt Gij duizend, zo dat de tien honderdheeden wederom eene duizendheid uitmaaken, en dat gaat zo, met telkens aan eene vergadering van tien zekere tallen eenen nieuwen naam te geeven, zonder einde voort.
§. 14. Als ik U wel begreepen heb, Meester! gcloov ik dat ik nu gemaklijk verder zoude kunnen
Span. Gij zegt mij dat tien eenheeden eene
tienheid of tiental, dat tien tientallen een honderdtal, cu tien honderdtallen ecu duizendtal, of duizendheid geeven. Zo moeten dan tien duizendheeden eene tienduizendheid, en tien tienduizendheeden eene honderdduizendheid, en tien honderdduizendhecden eene duizendmaalduizendheiduitmaaken.
§. 15. M. Gij hebt mij zeer wel begreepen; maar wijl deeze woorden, verder voortgaande, al te lang,' en te verwarrende zouden worden, zo zegt men zelden duizendmaal duizend, of eene duizendmaalduizendheid, maar men zegt in de plaats daar van, met een woord van het Latijn afkomstig, een Millioen, en zo gaat men dan ook verder , zeggende tien Millioenen, honderd Millioenen, cnz. — Dan wij moeten, voor en aleer wij tot het uitfpreeken van zeer groote getalen overgaan, eerst van de getalmerken of cijferletters, waar door die gvootheeden op het papier, of op de leij uitgedrukt
VVOï-



GETALMERKEN.
5
worden, fpreeken. — Kent Gij de cijferletters of getalmerken, zo fchrijf ze eens'alle, met de beteekenis in woorden daar onder, op.
§. 16. L. Zie daar. Meester!
i- 2. 3. 4- S: 6. 7. 8. 9. Een, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen.
§. 17. M. Zeerwel. — Maar zijn 'er gcenemeer?
§. 18. L. Ik ken 'er geene meer, Meester!
%. 19. M. Zij zijn 'er alle; en echter zijn deeze weinige getalmerken toereikende om alle mog.lijke getalen, hoe groot ook, uit te drukken.
§. 20. L. Dit is waarlijk te verwonderen , Meester! maar, ik bid U, zeg mij eens, wat is toch het grootfte getal ?
%. 21. 31. 'Er is geen grootfte getal mogelijk, Kind! Een getal kan tot in het oneindig, dat is , zonder einde, of zonder ooit op te houden van grooter te worden, aangroeijen. — Niets belet immers om bij een getal, hoe groot het ook zij, nog meer bij tc vocgi n.
§. 22. L. Ik zie mijnen misflag, Meester! Een getal blijft altoos voor vermeerdering, of vergrooting vatbaar. Hoe groot het ook worde, men kan 'er altoos nog meer bijtellen.
§. 23. M. Zo is het. — Ondertusfchen vrees ik dat Gij U eveneens ten opzichte van het kleinltc getal bedriegen zult. — Wat denkt Gij het kleinfte getal te zijn ?
j>. 24. L. Ik denk één, of de éénheid, Meester! . §. 25. M. Gij bedriegt U. — Als men naauwkeurig wil fpreeken, gelijk dat in de Reekenktrnde ten allerfterklten vercischt wordt, dan is één geen getal: want een Getal is eene verzameling af menigte van éénheeden. — Bij gevolg is 2 het kiemde getal.
§. 26, L. Ik begrijp U volmaakt, Meester! Gij A 3 wilt



6 K E T A L E N.
wilt zeggen dat één even weinig een getal genoemd kan worden, als één mensch een gezelfchap: want dat 'er tot een getal meer dan eéne éénheid, zo weials tot een gezelfchap meer dan één mensch vereischt worden.
§. 27. 31. Ik heb daar niets bij te voegen, en gaa dus over om U te onderrichten hoe men alle mogelijke getalen door deeze getalmerken kan fchrijven, en gefchreeven zijnde, uitfpreeken; eene weetenfehap welke men Numeratio noemt, dat is, in 't Nederduitsch
TELLING.
§. 28. Wij hebben reeds te vooren (§. 13 en 14.) gezien dat men onder ééne benaaming nooit hooger dan tot 9 tallen van dien naam gaat, bij voorbeeld, men gaat in tientallen niet hooger dan tot 9 tientallen toe, dat is, negentig: want als het tiende tiental vol is, zegt men niet tientig, maar men geeft eenen nieuwen naam, en zegt honderd. Zo zegt men nog negen honderd, maar nooit tien honderd , neen, de tien honderdheeden maaken wederom de eerfle duizendheid, of duizend, enzovoorts-.— Men ziet derhalven dat een en hetzelve getalmerk, bijvoorbeeld: 5, zo wel 5 duizendheeden, of 5 honderdheeden, als 5tienheedeh, óf 5 éénheeden kan uitdrukken, en dat het 'er derhalven om een getal te fchrijven, of uit te fpreeken, alleen op aan komt om te weeten of een getalmerk, als 5, ter plaatze daar het ftaat, éénheeden, tienhecden, honderdheeden, duizendheeden , of nog hooger, uitdrukt. 29. Dit weet men nu aanltonds uit de plaatzing



TELLING. 7
zing van het getalmerk zelve; om dat men den volgenden regel onveranderlijk in acht neemt: te weeten, dat men de getalmerken in dcnzelvcn rang fchrijft, van de rechte hand beginnende, en naar i c linke voortgaande, waar in zij geboren, of voor; gebragt worden. — Laat mij U dit wat nader O] helderen. Ik kan nooit eene tienheid krijgen, zo lang ik geen tien éénheeden heb Ik krijg nooit eene honderdheid, dan uit eene verzameling van tien tienheederi; en de tien honderdheeden doen eerst eene duizendheid geboren worden, en zo vervolgens. — Stel nu dat ik vijl'en twintig wil fchrijven, 't welk uit i tieuheeden, of twintig, en 5 éénheeden beftaat, dan fchrijf ik aldus, 25. — Gij ziet dat de 5 éénheeden daar het eerst, van dc rechte hand beginnende, en daar naast, naar de Jhike hand, de 2 tienheeden gefchreeven zijn, — Wil ik drie honderd vijf en zeventig fchrijven, welk getal uit 3 honderdheeden, 7 tienheeden, en 5 éénheeden belfctat, ik fchrijf aldus 375. — Zo zal 6832, 6 duizendheeden, 8 honderdheeden,
3 tienheeden, en 2 éénheeden, of zes duizend, acht honderd, twee en dertig uitdrukken. — Indien ik derhalven maar ééne enkele tienheid, of tien wil uitdrukken, zonder dat 'er meer éénheeden bijkomen, fchrijf ik dus, 10. — Eene enkele honderdheid, of het ronde getal van honderd, fchrijft men 100. _ Zo zal de éénheid met drie nullen achter zich, of jooo, duizend; en een 2, een 3, een
4 enz. met één, twee, of drie nullen achter zich, dat is, 20, 200, 2000; of 30, 300, 3000; of 40, 400, 4000 enz. twintig, tweehonderd, twee duizend; dertig, drie honderd, drieduizend; veertig, vierhonderd, vierduizend, enz. alles in ronde getalen uitdrukken.
i\ 4 %. 30.



8 TELLING.
§. 30. L. Ik herinner mij door het fchrijven va» deeze laatfle getalen, Weester! dat ik de nul onder den rang der getalmerken (§. 16.) vergeeten heb: want zonder behulp der o zoude ik niet ia (laat zijn om ronde tienheeden, honderdheeden, duizendheeden, enz. uit te drukken.
3i- M. Niet tegenftaande Gij de nul tot het uitdrukken van zommige getalen noodig hebt,,zo is het 'er echter ver af dat Gij haar onder den rang der getalmerken zoudt vergeeten hebben; Gij hebt haar zeer te recht achtergelaaten. -— De nul heeft immers in geene der bovenllaande uitdrukkingen eenige de minste waarde; in tegendeel toont zij overal, waar zij gevonden wordt, dat daar ter plaats geen getalmerk, en dus geene waarde plaats heeft; of, met andere woorden, dat die plaats,
waar zij zich bevindt, leedig is. Zo toont de
o in het getal 10, dat 'er alleen ééne tienheid, en
geene éénheeden gevonden worden. In 100
toonen de nullen dat de plaatzen der tienheeden en éénheeden leedig ftaan, — In 3000, dat'er alleen 3 duizendheeden gevonden worden, en dat 'er in 't geheel geene honderdheeden, geene tienheeden, en geene éénheeden meer bijkomen.
§. 32. L. Ik erken wederom mijnen misflag, Meester! en zie dat de o onder de getalmerken niet gerangfehikt kan worden. Dan, ik bid U, zeg mij toch hoe ik de nul dan noemen zal; zij is geen getalmerk , en ik heb haar echter noodig om getalen te fchrijven.
§. 33- M. Ik prijs uwe naauwkeurige oplettendheid in het doen van deeze vraag. Ik zal U eerst de vraag zelve beantwoorden, en daar na eene kleine aanmerking maaken opüw laatfte gezegde.— Gij vraagt mij, hoe Gij de nul zult noemen? —
Al»



TELLING. 9
Als men eene zaak zodanig noemt oF befchrijft, dat men haar door deeze belchrijving ten allen tijde, en in alle gevallen van alle andere zaaken onderfcheiden kan, dan noemt men eene zodanige belchrijving eene bepaaling. — Gij vraagt n ij clan de bepaaling van de o, in de gewoone wijze van getalen te fchrijven. — lk antwoord U, dat zij is een teeken van gemis van waarde ter plaatze dac.r zij flaat. Zij toont dan, gelijk ik U reeds zo even ( §. 31.) zeide, dat ter plaats daar zij Maat, geen
getal,ja zelvs geene éénheid gevonden wordt.
Waart Gij meer oplettend geweest op de bepaaling van een getal, die ik U reeds ( §. 25.) gegeeven heb, Gij zoudt aanftonds ontdekt hebben dat de o geen getal uitdrukte , en derhalven ook geen getalmerk koude genoemd worden: immers drukt de nul geene éénheid, veel minder eene menigte van. éénheeden, of getal, uit.
§. 34- L. Ik bedank U, voor deeze duidiijke onderrichting , Meester! Dan, welke is de aanmerking , welke Gij mij beloofde te maaken daar op, dat ik zeide de nul noodig te hebben om zommige getalen te fchrijven ?
§. 35. M. Zij is deeze, dat dit wel bij onderftelling, maar niet volftrekt waar is. —r— ]n de "cwoone wijze van getalen te fchrijven, die zekerlijk de gemaklijkfte, en beste is, heeft men de nul noodig, ofeenig ander teeken in haare plaats. Dan als men wat meer moeite wilde neemen, en de plaats der getalmerken op eene andere wijze wilde bepaalen of beperken, dan zoude men het gemis van een getalmerk kunnen doen zien, zonder daar voor een
bijzonder teeken te beezigen. . Ik zal U dit
door het volgend voorbeeld toonen. Ik haal
hier beneeden, eenige lijnen op en nederwaards;
A 5 dri«



IO TELLING.
drie zullen tot mijn oogmerk voldoen. —— Ik zet daar van boven tusfchen de letters D, H, T, en E, die Duizendheeden, Honderdheeden, Tienheeden, en Éénheeden zullen verbeelden. — Nu fchrijf ik de duizendheeden onder de D, de honderdheeden onder de H, en zo vervolgens; en zo ik in een getal, dat ik fchrijven wil, geene honderdheeden, of geene tienheeden, enz. aantref, dan laat ik de plaats onder de H, of onder de T. enz. maar open; en Je op deeze wijze gefchreevene getalen zullen even gemaklijk te leezen, en even duidlijk en zeker gefchreevcn zijn, als de naast ftaande, die op de gewoone wijze gefchreevcn zijn, en waar mede zij overéén komen.
D. H. T. E.
3 5 3 7 3537
3 6 360
5 4 6 504Ö
7 3 8 73o8
9 900
0 200O
5 5
1 3 1030
1 2 .... . 102
5 . 19 5019
8 6 8006
lkvertrpuw dat Gij dit uit het voorbeeld duidlijk vatten zult, en zal om geene overtollige woorden te gebruiken, overgaan om U te toonen, van welke-hulpmiddelen men zich bedient om zeer groote getalen uit te fpreeken.
§. 36. L. Dit zal mij zeer aangenaam zijn, Meester! wijl ik verzeekerd ben, dat ik in het uit-
fpree-



i8
TIENTALLIGE
flangefchreeven, zijn alle minder dan die éénheid, en bij gevolg breuken , of gebrokens; en Gij noemt haar tientallige breuken , om dat zij in die zelve tientallige rij, waar in de gewoone getalen naar de linke hand klimmen, en naar dé rechte daalen, al daalende, tot beneeden de aangenomene éénheid, bln'ven voortgaan.
§. 59- M. Zeer wel. Zo dat eene tientallige breuk Am in de daad niet anders zij, dan dat gedeeltevan een op de gewoone wijze gefchreeven getal, t welk beneeden de aangenomene éénheid voortgezet *s' — Laat ons hier nu nog bij aanmerken dat de waarde_ der éénheeden van een ieder getalmerk, in de tientallige breuk, zo wel, en eveneens, als in de gehecle getalen zelve , aanftonds door de plaats, waar zij Haan, bekend wordt: want naast de aangenomene éénheeden ftaan ter linke hand de tienheeden, (§. «9.) ter rechte hand de tiende deelen; (§. 57. ) in de tweede plaats naast de aangenomene éénheeden ftaan ter linke hand de honderdheeden, ter rechte hand de honderdfte deelen ; in de derde plaats ftaan ter linke hand de duizendheeden, ter rechte de duizendfte deelen , enz.
§. 60. L. ik vleij mij dit volkomen te begrijpen , Meester! dan, mij blijft nog eene zwaarigheid over omtrent het fchrijven van deeze tientallige breuken: want, daar wij van te vooren gezien hebben dat de laatfte letter,'of getalmerk van een getal, altoos de eerfte of aangenomene éénheeden uitdrukt, hoe kan ik dan achter die laatfte letter, meer andere letters als tiende deelen, honderdfte deelen, enz. aanvoegen, zonder daar door te Verwarren, en die laatst aangevoegde letter voor de cerfte of aangenomene éénheeden te neemen?
$* 6j. M. Dit voorkomt Gij alleenlijk door
ach-



BREUKEN. I<?
achter de geheelen, of aangenomene éérmeèdèfl, een flip, of gewoon fcheidteeken te ftellen; bij voorbeeld, als ik 23 geheelen, en 5 tiende dceien Wil fchrijven, fchrijf ik 23.5 of ook 23,5. Als ik 28 geheelen, 3 tiende deelen, 7 honderdfte deelen, en 5 duizendfte dceien wil fchrijven, fchrijf ik aldus 28,375. Zo dat al wat voor de flip of het fcheidteeken Maat altoos geheelen, en wat 'er achter ftaat, de tientallige breuk uitdrukt, en dat de aangenomene éénheeden de achteffte plaats vóór de affcheiding bewaaren.
§. 62. L. Dit middel is zeer eenvoudig; maar kan deeze fchiïjfwijzc geene verwarring vcroorzaaken met die, welke Gij mij te vooren (§. 41. ) geleerd hebt, te weeten, om van een getal dat boven de duizend gaat, gemakshalven de duizenden met een fcheidteeken at"te fnijden; zo dat deeze 28,375 zo wel acht en twintig duizend drie honderd vijf en zeventig, als 28 geheelen, 3 tiende, 7 honderdfte, en 5 duizendfte deelen zoude kunnen beteekenen.
%. 63. M. Uwe aanmerking is zeer juist, en ik wil 'er de mogelijkheid niet ten ecnemaal van ontkennen; dan het is de pligt van een' fehnjver, om zorg te draagen dat dit nooit twijffelacfitig worde. — Het is echter bijna nooit, ten minsten niet dan zeer zelden , mogelijk, dat de betcekenis hier van onzeker worde , wijl zij door het geval zelv, waar van men fpreekt, al meest zodanig bepaald wordt, dat'er geen twijlfel over blijve.
§.64. L. Hoe moet ik dit verftaan, dat het door het geval zelv, waar van men ('preekt, bepaald wordt ?
§. 65. M. Op deeze wijze. — Het is klaar , dat men een getal met eene tientallige breuk Achter zich •aooit voor geheelen kan aanzien, het zij die breuk Ba juist



2(5 GEWOONE
Als Gif nu één van deeze vakjes voor de éénheid of voor één aanneemt, dan zal telkens het volgend eene tienheid, en het voorgaand een tiende deel uitdrukken.
§. 76. L. Ik begrijp reeds wat Gij zeggen wilt, Meester! laat toe dat ik vervolge.
Als ik A- voor de éénheid, of voor 1 neem, dan verbeeldt B 10, C 100 , D 1000 en E 10000.
Als ik B voor 1 neem, dan is A maar een tiende gedeelte of 0,1; C is dan 10, D 100 en E 1000.
Neem ik C voor 1, dan is A 0,01, B 0,1, D 10, en E 100.
Wil ik D 1 noemen, dan wordt C 0,1, B 0,01 en A maar 0,001, en E wordt 10.
Als ik eindelijk E voor 1 aanneem, dan worden alle de overige tientallige breuken , te wceten, D 0,1, C 0,01, B 0,001 en A 0,0001.
§. 77. M. Gij hebt mijne meening volmaakt gevat; ik zal derhalven van deeze tientallige rijen afftappen, en U onderrichten wegens het fchrijven der
GEWOONE BREUKEN.
§. 78. L. Wat noemt Gij gewoone breuken? Meester!
§. 79. M. Alle zodanige welke niet in deeze tientallige rij uitgedrukt worden, dat is, die geene tiende, honderdfte, duizendfte deelen, enz. van eene aangenomene eenheid, maar, bij voorbeeld, halven, derde deelen, vierde deelen enz. zijn.
§. 80. L. Ik verlang reeds te weeten hoe deeze gefchreeven worden.
§ 81. M. Men fchrijft ze door middel van 2 getalen, welke boven eikanderen gezet, en door een dwarsftreepje van eikanderen geicheiden worden ;



B li. E U K E N.
£7
den ; waar van het beneedende getal, het welk men den noemer noemt, de waarde der deelen aanduidt, terwijl het hovende, dat teller heet, aantoont , hoe 'veele deelen 'er van die waarde aanwcezig zijn. — Zo beteekent 5 een tweede gedeelte, of een halv; f beteekent 2 derde deelen ; a drie vierde deelen, zeventien vijf en twintigde deelen , enz.
§. 82. L. Kan men de tientallige breuken dan ook niet op dezelve wijze uitdrukken, door ze met 2 getalen, of met een teller en noemer te fchrijven?
§. 83. Men kan dit doen als men wil, dan het zoude onnoodige moeite zijn , wijl de noemer van eene tientallige breuk altoos bekend is. — Immers is de waarde van een ieder getalmerk in eene tien* tallige breuk door deszelvs plaats bepaald, ( §. 59.) en bij gevolg de noemer , welke in de gewoone breuken de waarde van de éénheeden in den teller moet aanduiden, (§. 81.) in de tientallige ken* baar. —- Zo kan men voor 0,2 wel en voor 0,25 wel .\'s fchrijven. 0,825 zal ook door -'^kunnen worden uitgedrukt. — Dan zie hier wat ik U bij dcezen onder het oog te brengen heb. — Vooreerst , dat de noemer van eene tientallige breuk altoos uit de éénheid bedaat, gevolgd van zo veele nullen , als 'er getalmerken in de tientallige breuk zijn, gelijk Gij uit deeze voorbeelden zien kunt. — Ten tweeden, dat Gij eene tientallige breuk zo wel in éénen adem door kunt leezen, als dat Gij de getalmerken één voor één uitfpreekt. Ik wil zeggen, dat Gij de breuk 0,825 zo wel 825 duizendfte deelen, als 8 tiende, 2 honderdde, en 5 duizendde deelen kunt leezen: want de ftaan werklijk gelijk met ,Vs°öj de jf j zijn zo veel als T|§3, en zij kunneit <ius met de ITs?i door geleezcn, of op éénmaal
uit-



28 GEWOONE
uïtgefpfoken worden, gelijk teffens uit dit voorbeeld blijken kan.
§. 84. L. Ik zie dit; en begin nu ook de noodzaaklijkheid van een gewoon gebroken door twee getalen uit te drukken , in tegen overtreding van eene tientallige breuk, te begrijpen : want wijl 'etmaar eenerleije fchrijfvvijze van getalen, naamlijk, de tientallige gebruiklijk is, zo kunnen alle die 'gedeeltcns, welke niet in deeze rij invallen, ook niet in deeze rij geplaatst , en daar door haare waarde uit de plaats, welke zij in die rij bekleeden, aangeweezen worden; 'Er moet dus een ander middel worden uitgedacht om de waarde der deelen, welke boven het ftreepje ftaan , cn teller genoemd worden , aan te duiden, en dit doet men door een ander getal, beneeden het ftreepje geplaatst, 't welk men noemer heet, om dat het den naam geeft aan de deelen boven het ftreepje. — Zo zal eene fchelling onder 6 menfchen verdeeld moetende worden, ieder mensch £van eene fchelling, of eene ftuiver moeten hebben. De noemer 6, onder het ftreepje, toont dan dat de fchelling in 6 gelijke deelen, of Huivers, gedeeld moet worden, en de teller 1 , boven het ftreepje, dat ieder mensch 1 van die zesde deelen, of Huivers, hebben moet. — Wat hebt Gij verder omtrent deeze fchrijfwijze van breuken aan te merken ? Meester!
§. 85. M. Dat deeze breuken, wanneer'er geheelen bij komen, onmiddelijk achter de geheelen gefchreeven worden. Zo fchrijft men 12 en \ aldus, i2|. — Verder dat zodanig een getal met een breuk achter zich, een gemengd getal genoemd wordt, om dat het uit geheelen en een gebroken beide beftaat.
§. 86. Ten opzichte van de breuken zelve heb
ik



BREUKEN. 2<)
ik nog aan te merken, dat zij in eigenlijke en oneigenlijke onderfcheiden worden : want wijl een breuk volgens haare bepaaling (§. 47. J eigenlijk altoos eene grootheid uitdrukt, die minder dan de éénheid, of kleiner dan een geheel is, zo worden alle zodanige breuken van welke de teller kleiner is dan de noemer, of die minder dan één zijn, eigenlijke breuken genoemd, dus zijn, | , -|, '|, '|' enz. eigenlijke breuken; maar wanneer de teller gelijk of grooter is dan de noemer, zo dat de breuk een o-eheel, of meer dan een geheel bedraagt, dan noemt men het eene oneigenlijke breuk, gelijk ^, l of J, |, y enz.
§..87. L. Oordeel, Meester! of ik U begreepen heb. — Als ik alle deelen neem, waar in het geheel gedeeld is, dat is, als ik, wanneer het geheel in 4 gelijke deelen gedeeld is, alle die 4 dceien zamen, of % neem, dan neem ik het geheel zelv dus is i gelijk aan een geheel, of aan de éénheid' cn daarom geene eigenlijke breuk; maar als ik van die 4 gelijke deelen maar 3 neem, of \, dan heb ik minder dan een geheel, daarom is \ eene eigenlij. ke breuk; dan als ik 7 zulke vierde dceien van een geheel, of| neem, dan heb ik vooreerst % of een geheel, en dan nog \ daar boven, dus o*ok eene oneigenlijke breuk, (§. 86.) maar waarom zeg ik dan niet liever 1 geheel en \, of fchrijv met een gemengd getal, fj. 85. ) i|?
§. 88. M. Gij hebt dit aan uwe keuze om het onder de gedaante van een gemengd getal te fchrijven, of niet; dan het gebeurt niet zelden dat men de gemengde getalen, in reekenkundige bewerkingen, onder de gedaante van oneigenlijke breuken noodig heeft; ook komen zij in den daffelijkfchen omgang dikwils voor: bij voorbeeld, men is gewoon



30 GEWOONE BREUKEN.
woon om de breedte van lakens, en ftolfen, enz. in vierde deelen van ellen uit te drukken, met die wijze van uitdrukking gaat men voort, fchoon die ftoffen meer dan i, of zelvs meer dan 2 ellen breed worden; zo zegt men zelden, van laken fpreekende, dat het ij ellen, of 2^ ellen breed is, maar men zegt J of f, dat is, 7 quarts, of 9 quarts laken.
§. 89. Leer nu uit het verhandelde nog twee zaaken. — De eene, dat wijl alle gebrokens, waar van de teller gelijk aan den noemer is, juist een geheel uitmaaken , of gelijk aan de éénheid zijn, (§• 87.) dat derhalven ook alle de zodanige breuken aan eikanderen gelijk zijn; dat is, wijl * gelijk aan 1, | gelijk aan 1, | gelijk aan 1, enz. zijn, dat ook f zo veel als }, zo veel als % enz. is. De tweede zaak is, dat men een gemengd getal niet alleen naar welgevallen in eene oneigenlijke breuk, of eene oneigenlijke breuk in een gemengd getal, of zomtijds in geheelen kan veranderen, (§• 87- en 880 maar dat men ook ten allen tijde een geheel of geheelen onder de gedaante van evenveel welke breuk mag brengen ; zo mag ik voor een geheel altoos f, j, \\ enz. fchrijven; voor 2 geheelen f, f, f, ff en zo vervolgens.
§. 90. L. Dit moet alles uit het gezegde voortvloeijen, Meester! hebt Gij nog iets anders omtrent de fchrijfwijze der gebrokens aan te merken?
K. 91. M. Ik heb U omtrent het fchrijven der reekenkundige grootheeden thans alles gezegd wat ik tot mijn oogmerk noodig had , maar moet U met betrekking tot die grootheeden, dat is, tot allerlcije foort van getalen, zo wel geheelen, als gewoone of tientallige breuken, nog de volgende aanmerking maaken. — Een getal is uit hoofde
van



OPTELLING. SI
van zijnen eigenen aart of weezen, als zijnde niet dan eene menigte van éénheeden (§. 25.^ voor geene andere aandoeningen vatbaar, dan voor vermeerdering of vermindering. — Een getal kan niet veranderd worden dan door 'er éénheeden bij te doen, ot af te neemen. — Alle reekenkundige bewerkingen moeten dan, of rechtllrecks, of ingewikkeld in een toevoegen of afueemen bellaar..—» Deeze aanmerking leidt ons tot die bewerkingen, en wij zullen een' aanvang maaken met de toevoegende , of vermeerderende , welke men additio noemt, of, in het nederduitsch
OPTELLING.
§. 92. L. Optellen of addeeren moet dan beftaan in een getal te vergrooten, of éénheeden daar bij te vergaeren; maar wijl ieder getal uit éénheeden bellaar, zo moet het bij één vergaêren van twee of meer getalen bij eikanderen, optellen heeten.
§. 93. M. Zo is het ook, en het geen uit die vergadering of optelling voorkomt, of het vergaderde getal, wordt fom genoemd. Zo zal 5 de fom zijn van de beide getalen 2 en 3 bij eikanderen gevoegd.
Ik zal U, eer ik verder gaa, het teeken leeren kennen, waar door men in de wiskundige weetenfchappen, onder welke de reekenkunde ook behoort, te kennen geeft dat een getal met een ander getal zamengeteld moet worden. — Het teeken is een recht opltaand krui-ie, aldus +, en geeft, tusfchen 2 getalen ftaande, te kennen, dat men die getalen zamen neemen, of in eene fom brengen moet. Zo beteekent 2+3 dat ik 2 en 3 zamen
moet



3» 0 1' TE LLING.
Cioet tellen, of anders is 2+3 zo veel als 5, of gelijk aan 5.
Men heeft dit teeken in de gewoone reeken-boeken te onrecht verwaarloosd, naardien het van veel nut is, zo wel om duidelijk als om kort te zijn; vooral wanneer men zich teffens van een ander teeken bedient, waar dooi- men de gelijkheid tusfehen twee uitdrukkingen, of tusfehen de waardijen van twee fchrijvingen te kennen geeft. — Dit teeken' beftaat in twee boven elkander liggende evenwijdige ftreepjes, aldus =, en geeft, tusfehen twee uitdrukkingen ftaande, te kennen dat zij even groot zijn, of dezelfde waarde hebben.
Het teeken van optelling -f- wordt plus, dat is, meer, uitgefproken, en het teeken van gelijkheid = wordt gelijk, of gelijk aan geleezen. — Zo leest men dan 2+ 3~5 aldus, twee plus drie zijn gelijk vijf, dat is, 2 en 3 zamengenomen, bedraagen zo veel als 5.
§. 94. L. Deeze teekens zijn gemaklijk te onthouden ; maar ik verlang reeds te weeten hoe men verfcheidene getalen in eene fom brengt.
§. 95. M. Men fchrijft de getalen, welke men vergaeren wil, alle onder eikanderen , wel zorg draagende dat de éénheeden onder de éénheeden, de tienheeden onder de tienheeden enz. te ftaan komen, en dan telt men eerst de éénheeden bij eikanderen, daar na de tienheeden, dan de honderdheeden, enz. Bij voorbeeld, als ik wil weeten hoe veel 6327105 + 530493 uitmaaken, of dat ik deeze twee getalen in eene fom wil brengen, dan fchrijv ik ze onder el- 6327105 kanderen, gelijk hier nevens; daar 53°493
na haal ik'er eene ftreep onder, cn
ik zeg 3 éénheeden, en 5 éénheeden, 6857598
of



OPTELLING. 33
of maar alleen 3 en 5 maaken 8, deeze 8 fchrijf ik benecden de ftrecp onder de éénheeden ; zo 'doe ik vervolgens met de tienheeden, dan met de honderdheeden, enz. totdat ik ze alle vergaard heb, en dan ftaat de fom onder de lijn, of ftreep.
§. 96. L. Dit is niet moeijlijk , wijl in dit voorbeeld de lom van iedere rij, van de éénheeden, van de tienheeden, enz. niet boven de 10 loopt' of met een enkel getalmerk kan gefchreeven worden ; maar als deeze opgetelde rijen meer dan 10 bedraagen, hoe doe ik dan ?
97. M. Gij kimt, indien Gij wilt, op dezelve' wijze voortgaan. — In het nevendaande voorbeeld zult Gij vinden dat de rij der 2584 éénheeden, bij optelling, 28, of 2 tien- 796" heeden cn 8 éénheeden 'geeft; fchrijf de 8032 éénheeden onder de éénheeden, en de 5260 tienheeden onder de tienheeden.— De rij 57 der tienheeden geeft 35 tienheeden, of 5 649
tienheeden en 3 honderdheeden; fchrijf .
ieder op hunne plaatzen daar benee- 28 den. — Doe ook zo met de honderdhee- 35 den, en met de duizendheeden. Gij ziet 20 dan dat alle deeze bijzondere fommeu na- 15
tuurlijk fchuins onder eikanderen komen ■
te ftaan , of dat de laager ftaande fom- 17378 men telkens eene plaats naar vooren fpringcn. — Tel deeze fommen dan op nieuw op^ en Gij zult de geheele fom hebben.
§. 98. L. Ik merk hier aan dat het vooruitfpringen van die getalen in de daad voonfprnit uit het aehterlaaten van de nullen , die hier niet noodi-r zijn, om dat de waarde der getalmerken door haare plaatzing , en dus zonder het achter fchrijven der nullen, bepaald wordt: CS- 35-) want eigen1. deel. C jjjfc



34 OPTELLING.
lijk maaken 35 tienheeden 350, 20 honderdheeden 2000, en 15 duizendheeden 15000; zo dat, als deeze getalen vol uit gefchreeven waren, zouden zij van achteren gelijk worden.
§. 99. M. Gij had 'er bij kunnen aanmerken, dat Gij, op deeze wijze handelende, zo wel van vooren, of met de duizendheeden , had kunnen beginnen, als van achteren , of met de éénheeden. — Zie hier beneeden het zelve voorbeeld op 4 verfchillende wijzen.
Van vooren Van vooren Van achteren Van achteren
met nullen, zond. null. met nullen, zond. null.
2584 2584 2584 2584
796 796 79<S 796
8032 8032 8032 8032
5260 5260 5260 5260
57 57 57 57
649 649 649 649
15000 15 28 28
2000 20 350 35
350 35 sooo 20
28 28 15000 15
17378' 17373 17378 17378
§. 100. L. Welke van deeze handelwijzen volgt men-nu in het wcrkdaadig?
§. 101. M. Geene van allen. —> Ik heb U deeze alleen maar gegeeven om de zaak door te zien; dan zij zijn alle van te veel omflag in het gebruik. — Zie hier in het zelve voorbeeld eene die veel korter is. — Tel als te vooren de éénheeden op, die
28



OPTELLING. 35
s8 geeven; (lel de 8 ter neder, en 2584 zeg in uwe gedachten ik houd 2. — 796 Tel deeze 2, die tienheeden zijn, bij 8032 de rij der tienheeden op, zo zult Gij 5260 37 krijgen; zet wederom de 7 onder de 57 tienheeden neder, en zeg, ik houd 3, 649
die honderdheeden zijn. — Tel deeze ■
bij de honderdheeden op, en Gij zult 17378 23 krijgen; zet de 3 neder, en houd de 2, welke duizendheeden zijnde, en bij de rij der duizendheeden opgeteld wordende, 17 uitleevcren, welke Gij er nu geheel onder fchrijft.
§. 102. L. Ik zie wel dat ik in deeze handelwijze nu niet van vooren beginnen kan: immers moet ik eerst de éénheeden optellen, om te zien of daar ook tienheeden uit voortkomen , die ik dan aanftonds bij de tienheeden bij kan voegen; want anderzins zoude ik 'er die op nieuw weder bij moeten tellen, en daar door in de voorige handelwijze vervallen : en zo met de tienheeden a honderdheeden, enz. eveneens.
§. 103. M. Gij hebt dit wel aangemerkt — Men volgt op deeze wijze de eigenaartige gedeldheid der zaak: want daar de tienheeden uit éénheeden, de honderdheeden wederom uit tienheeden, enz. geboren worden, zo bekleeden de éénheeden bij eene telling natuurlijk ook den eerden rang. — Ik zalU nog maar alleenlijk eenige voorbeelden opgeeven, welke Gij in uwe eenzaamheid uit kunt werken. Ik heb de voorbeelden met de letters A,B, C, en D geteékend, ten einde Gij mij uwe antwoorden onder dezelve letters ter hand ftellc, om te zien of Gij wel gewerkt hebt. — Zie hier de voorbeelden:
C 2 A.



§6 OPTELLIN».
'Gij zult in dit laatfte voorbeeld iets aantreffen, dat Gij in de voorige voorbeelden nog niet ontmoet hebt; dan ik vertrouw op uwe oplettendheid, dat Gij wel zorg zult draagen van de gelijknaamige getalmerken onder eikanderen te plaatzen, dat is éénheeden onder éénheeden , tienheeden onder tienheeden, enz.
§. 104. L. Hebt Gij nu niets meer omtrent het optellen van geheele getalen aan te merken ? Meester!
§. 105. M. Niet anders'dan dat Gij U door veel optellen eene heblijkheid, of vlugheid moet zoeken te verkrijgen, om groote rijen getalen fpoedig, en zonder misdagen, op te tellen. — Ik zal U ten dien einde ook een middel aan de hand geeven, om uwe optellingen te toetzen, of om 'er, zo men zegt, eene proef op te maaken.
%. 106. L. Waarin beftaat die proef? Meester!
§. 107. M. Eene der beste en gemaklijkfte proeven op eene optelling is dat men eene rij getalen, die men eerstin eens opgeteld heeft, daar na in 2, 3, of meer deelen deele, en ieder deel afzonder-
% lijk
ABC D
76 124 8704 8750919
39 215 108 '670928
4 12 9320 30975
12 607 36 10987
50 9 24 250946
89 25 18 7930950
1 837 9 810931
=7 512 79<5i S0925
93 -700 5007 670903
78 999 864 329098a
43 58 9738 5860968
28 702 3176 320936



40 OPTELLING VAN
nevens; dan haal ik 'er eene lijn, of i [ x ftrcep, langs, en fchrijv alle de tellers * nevens de breuk, waar toe zij behoo- T 3 ren , achter de lijn; deeze tellers ver- i 5 gaêr ik nu als geheele getalen bij elkan- \ 7
deren, en bekom 16; maar zijn deeze T '
16 nu geheele getalen? Neen; zij zijn 1 achtfte deelen: want, ik heb haar uit * — a eene vergaêring van achtfte deelen bekomen; zo moet ik haar dan ook haaren naam laaten: dat is ik moet 'er den noemer 8 wederom onderfchrijven ' dus heb ik dan ^ voor fom gekreegcn. Dan wijl leen geheel maaken, (§. 87.) en dus tweemaal f ,Oi -I2 geheelen,zo heb ik —2 gefchreeven.— Ik heb dan bij optelling gevonden dat i + ^ + f + | — 2 zijn, of dat deeze breuken zamen 2 geheelen uit" maaken.
Ik zal U nu de volgende voorbeelden ter eigene oeiFening opgeeven, waar van Gij mij de antwoorden onder dezelve letters, waar mede de voorbeelden getcekend zijn, zult ter hand ftellen.
A B C D E
1 ■ a • • 3 t
7 7 ït TT ÏT
T I
T % ■ J- 7 ^
* 7 '2 ït JT
* T « ' 9 t t
$. 116. Laat ons nu in de tweede plaats trachten bijéén te vergaderen de drie breuken 1: ieni — Hier kan ik nu de tellers niet onmiddeüjk bij eikanderen voegen, om dat het geene éénheeden van cknzelven aart, of van dezelve waarde zijn; of,
met



BREUKEN. 4-1
met andere woorden, om dat zij niet dezelve betrekking tot de eerfte , of aangenomene dénheid (§. 47. ) hebben. Immers is de teller 1, in \ , een halv, of de helft der aangenomene éénheid; de teller 3, in l, bevat maar vierde deelen van die éénheid ; en de teller 5, in |, maar achtfte deelen.— Ik moet derhalven, wijl ik niet anders dan gelijknaamige grootheeden, of éénheeden van denzelven aart bij eikanderen kan tellen, deeze verfchillende éénheeden eerst tot éénennaam, of tot éénheeden Van dezelve waarde brengen, of, zo men zegt, herleiden : anders ook, onder éénen noemer brengen. — Zie dit hier beneeden op eene tèekenkundige wijze verricht.
. Het vak A, 't welk de éénheid, of een geheel verbeeldt, heb ik in 8 gelijke deelen, of achtfte dceien verdeeld. (J. 87.) Het vak B, dat de helft van het vak A bedraagt, bevat 4 van die achtfte deden. — Het vak C, dat uit drie vierde deelen C 5 van



467 VERMENIGVULDIGING.
zoveelmaal van een getal zoeken; of anders is het de fom vinden van een en hetzelve getal eenige maaien, genomen. — De vermenigvuldiging is dan eene verkorting op de optelling, in die gevallen waar m men niet de fom van verfchillende getalen , maar van een en hetaëlve getal, verfchillende maaien genomen , moet vinden.
§. 126. L. Dit moet veel gemak geeven. — Maar hoe verricht men deeze bewerking?
§. 127. M. Stel eens dat het getal, dat Gij drie maaien neemen, of met 3 vermenigvuldigen wilde, 23132 was. Nu weet Gij immers dat 3 maaien 2 genomen, 6 maaken, en dat 3 maaien 3 vereenigd 9 geeven, enz.
Schrijf dan, gelijk hier nevens, het 2313a getal 23132, en zet 'er een 3 onder, 3
haal daar ondereen ftreep, en zeg 3 maa- — .
len 2 geeven 6; fchrijf die 6 onder de 69396 ftreep. Zeg vervolgens 3 maaien 3 geeven 9; zet die daar naast, enz. tot dat Gij alle de getalmerken in uw getal 3 maaien genomen hebt, . zo zult Gij het drievoud van het geheele getal bekomen , en dus uw werk verricht hebben.
§. 128. L. Dit gaat nu wel, wijlde vermenigvuldiging van ieder getalmerk, in dit getal, maar een enkel getalmerk uitlcevert; maar als ik dat zelve getal eens met 7 wilde vermenigvuldigen, dan zoude ik dubbele getalmerken krijgen, hoe dan?
§. 129. M. Even als bij de optelling. — Telkens de éénheeden ter neder (tellen en de tienheeden houden, om bij de volgende wederom op te tellen.
Hier nevens zeg ik 2 maaien 7 geeven 23132 14. Ik fchrijf de 4 en houd de 1. Dan 7 zeg ik 3 maaien 7 geeven 21, en 1, die ■ ik gehouden heb, maaken 22. — Ik 161924
fchrijf



VERMENIGVULDIGING. 47
fchrijf de achterde d, en houd de voorde. — Dan 1 maal 7 is 7, en 2 die ik gehouden heb, geeven 9, enz.
S. 130. L. Dan moet ik wel van alle getalmerken weeten hoeveel die eenige maaien genomen bedraagen.
€. 131. M. Gij moet dit van alle enkelvoudige getalmerken, terdond, en zonder de minste hapering, weeten, en ten dien einde de volgende tafel volmaaktelijk van buiten leeren. — Doch om het fchrijven te bekorten, zal ikU eerst het reekenkundig teeken voor de vermenigvuldiging geeven. -— Dit is een fchuins kruisje, aldus x gefchreeven, en wordt maaien of maal geleezcn; zo dat 2x2—4 teteekene dat 2 maaien 2 gelijk 4 zijn, enz.
2 1 4 5 25
36 6 3°
4 8 5x 7 = 35
5 _ 10 8 40 £x 6 ~~ 12 9 45
8 16 6\ ; 36 O 18 a~ 7 — 4a
9 6 * 8 - 48
3 T? I 9 54
4 12
5- - ï? 7 49 |
3* 0 - x5 7x 8 = 56
7 . 21 9 63
8 24
4 16 8*[ 91 -| 7a 1
5 20
6 _ 24 ox 9 S 81. 4* 7 — 28
8 32
9 36 $. -3*



48 VERMEflIGVüLDIGlNG,
S: 13a. L. Als ik nu deeze tafel van buiten weet. zal ik aandonds het veelvoud van een getal tot het negenvoud toe kunnen vinden, maar, om tot uw voorbeeld te rug tekeeren, Meester! ik ben dan nog ver af, om er het i786voud van te weeten
§• ^S- M. Gijzijt niet. — Herinner U alleenlijk wat ik U te vooren ( $. 72. ) omtreilt het ach. ter voegen van nullen gezegd hebbe, waar door men een getal ogenbliklijk in het tienvoud, honderdvoud, enz. kan veranderen.
S- 1.34- L. Ik fchaam mij over mijne onoplettendheid - Als ik een getal 6 maaien heb, bij voorbeeld, dan heb ik het, door 'er ééne nul achter te voegen, 60 maaien; door 'er 2 achter te plaatzen, 600 maaien; door 'er 3 achter te zetten 6000 maaien, enz. '
§. 135. M. Laat ons dan 3257 eens met 1786gaan vermenigvuldigen.
Vermenigvuldig dan eerst door 1, of 3257 fchrijf het getal 3257 onder de ftreep^, 1786
want een getal met 1 vermenigvulni'nl* . ,
of i maal genomen, blijft zo het is, 3257000 voeg daar 3 nullen achter, zo hebt Gij 2^79900 het getal 3257 duizend maal, of 260560 3257000. — Vermenigvuldig het dan 19541 met 7; doch draag.wel zorg van een — ■ getalmerk meer achterwaards te begin- 5817002 ncu te fchrijven, op dat de gelijknaamige getalmerken wel onder eikanderen, of de éénheeden onder éénheeden, enz. *te ftaan komenwant wijl Gij dit zevenvoud maar honderd maaien moet hebben, komen hier dus maar 2 nullen achter; zo hebt Gij het getal 3257 nog 700 maaien.— Neem het dan 8 maaien, al wederom een getalmerk meer achterwaards beginnende te fchrijven, en voeg
daar'



VERMENIGVULDIGING, 49
èlaar ééne nul achter, dan hebt Gij het 80 maa* len. — Neem het eindelijk 6 maaien, nog eens een getalmerk meer achterwaards beginnende te fchrijven. — Tel alle deeze beloopen bij eikanderen, en Gij krijgt 3257 x 1786 ~ 5817002.
§. 136. L. Had men niet zo wel met de éénheeden, dat is met de 6, kunnen beginnen te vermenigvuldigen , Meester! als met de duizendheid, dat is de 1 ?
§. 137. M. Ja toch; en het is zelvs meer gebruiklijk. Zie hier het zelve voorbeeld van achteren of met de éénheeden bc- 3257 gonnen. — 1786
Gij ziet ondertusfehen wel dat men ——-• nu, in de plaats van telkens een getal- 19542 merk meer achterwaards te beginnen, 260560 in tegendeel telkens een getalmerk meer 2279900 voorwaards moet beginnen , of ééne 3257000
letter vooruit fpringen, ten einde de één- ) *
heeden onder de éénheeden, enz. te 5817002 plaatzen.
§. 138. L. Ik zie dit, en begin teffens te vermoeden, dat men hier, even als bij de optelling, (§. 98 en 99.) de nullen had kunnen achterlaaten.
§. 139. M. Gij hebt dit zeer wel aangemerkt. — Zie hier een ander voorbeeld op 4 verfchillende wijzen; even gelijk ik U bij de optelling (§• 99.) gegeeven heb. — Het voor- of achteruit fpringert van een getalmerk, in alle zodanige bewerkingen, ontfpruit naamlijk alleen uit het verwaarlozen der nullen, die uit de vermenigvuldiging met 10, 100, 1000 enz. geboren worden; gelijk ten klaarlten uit deeze voorbeelden blijken kan.
I. DEEL. D Vafi



50 VERMENIGVULDIGING. ,
Van vooren Van vooren Van achteren Van achteren met nullen, zond. nullen, met nullen, zond. nullen.
4685 4685 4685 4685
763 763 763 763
3279500 32795 J4055 14055
281100 28110 281100 28110
14055 14055 3279500 32795
3574655 3574655 3574655 3574655
%. 140. L. Bij aldien men dan een getal vermenigvuldigen moet, of met een getal vermenigvuldigen moet, dat eenige nullen achter zich heeft, zo kan men die nullen, denk ik, maar onaangeroerd laaten, en na gedaane vermenigvuldiging van de wezenlijke geialmerken achter aan voegen.
§. 141. M. Het zij het getal dat vermenigvuldigd moet worden , of de vermenigvuldiger, of beide eenige nullen achter zich hebben, zo komen deeze nooit dan na de vermenigvuldiging der wezenlijke getalen in aanmerking. — Met andere woorden. Wijl ik t getalen'met elkander moetende vermenigvuldigen, even veel reden heb om het één als om het ander voor vermenigvuldiger te neemen, naardien het op hetzelve uitkomt of ik 3 maaien 4, of 4 maaien 3 zeg, zo noemt men de beide getalen, die met eikanderen vermenigvuldigd moeten worden, met eenen gemeenen onduitfehen naam fa&oren, en het geen men uit de vermenigvuldiging krijgt, noemt men, met een ander' basterd woord, product, dat voortbrengzel beteekent. ~— Jk zeg dan, dat wanneer één of beide de factoren eenige nullen achter zich hebben, dat die maar los achter het produSl der wezenlijke getal-



VERMENIGVULDIGING. £1
talmerkcn achter gevoegd worden, om het waafs produel te verkrijgen.
Zie hier van ieder geval een Voorbeeld.
36000 36 36000
25 25000 25000
180 180 180
72 72 72
900000 900000 900000000
§. 142. Z. Doen 'er zich geene zwaarighecdefl op, Meester! als men nullen tusfehen de wezenlijke getalmerken in één der factoren ontmoet?
§. 143. M. Van geen belang. — Zie hier twee voorbeelden; één met nullen in den vermenigvuldiger , en een ander met nullen in het getal dat vermenigvuldigd wordt.
Als ik 3568 met 5203 wil verme- 3568 nigvuldigen, fpring ik, na met 3 5203. vermenigvuldigd te hebben, bij het * ■■* •
vermenigvuldigen met de 2, in de 10704 plaats van 1 getalmerk, 2 getalmer- yiyS ken vooruit.-— De reeden is klaar. — 17840 Tienheeden worden 'er in den ver- ————■ menigvuldiger niet gevonden. Ik 18564304 moet dan na met de éénheeden vermenigvuldigd te hebben, terltond met honderdhee* den vermenigvuldigen. Dan honderdheeden, met éénheeden vermenigvuldigd, geeven aanftonds honderdheeden ; ik moet deeze dan ook, niet onder de tienheeden, maar aanftonds onder de honderdheeden ter nederftellen. — Zo moet ik dan overal, waar ik ééne nul ontmoet één getalmerk, waar ik D a twee



72 AFTREKKING.
afgetrokken; maar als Gij het fchrijft 7ruy onder de gedaante van 7 (14) gelijk 3 0
hier, dan zegt Gij, als naar gewoonte, - _
9 van 14 blijft 5, en 3 van 7 hiaten 4 4<r over, en daar mede is uwe aftrekking verricht.
$. 194. L. Oordeel of ik U bc- 80+4 = 84.
greepen hebbe, Meester! als ik 30 + 0 — 00 voor84fchrijf8o+4cnvoor39 ° eveneens 30 + 9, gelijk hier 11e- 70+14 = 84 yens, dan zijn 'er beneeden meer o0 + 0 — 00
éénheeden dan boven, cm dat 9 Z.
meer zijn dan 4. — Om dit nu te 4o + verhelpen, en de aftrekking mogelijk te maaken, gaa ik één van dc 8 tienheeden, dat is 10 van de 80 leenen, zo blijven daar maar 70, cn die tienheid bij de4 éénheeden bijgevoegd zijnde geeven 14, en dan trek ik 30+9 van 70 +14, gelijk ik daar onder gedaan heb, en alle zwaarigheid verdwijnt wt hoofde dat ik dit overal kan doen, om dat ieder getalmerk ter linke hand altoos eene tienheid is met betrekpig van het daar opvolgend ter rechte hand volgens den aart van fchrijven. ( C. a9,57 en elders, j
h 195- M. Zeer wel;' doch hier uit volgt-*ok dat men in het werkdaadige Sa deeze verandering in het fchrijven van ,0 een getal niet noodig heeft, en dat men Wjeejung daarom evenwel kan doen. iT Men fchrijft dan, als naar gewoonte de getalen onder elkanderen, gelijk hier nevens, en zegt 9 van 4 kan niet, dan leent men 1 van de 8, welke eene tienheid is, en zegt 9 van 14 blijft 5. Men moet echter dan niet vergeeten dat de 8, waar van men 1 geleend heeft, nu maar 7 meer bedraagt, en zeggen daarom 3 van 7 blijft 4.



?6 AFTREKKING VAN
getalmerken in de breuk des eerden getals ziin of ik moet mij die nullen ten minsten, J 5
zo ik die niet verkies te fchrijven, «07 oooo verbeelden daar te ftaan. 1 9
Dus: als ik van 207 geheelen , _ _ 136,3078 wilde aftrekken, dan moet 7o 6020 ik achter 207 een fcheidteeken ftel- ' len, en daar vier nullen plaatzen, 207 ofmij die daar achter verbeelden, itf n0?o zie het voorbeeld hier nevens op - 'J tweeërleije wijze. 7o g
Zo ook als ik alleen geheelen, van geheelen met eene breuk achter <6 076^ zich wil trekken, als wanneer de 2V0000Ö
breuk 111 haar geheel over zal blij- —
ven, om dat 'er niets, of niet dan 31 076*2 nullen, afgetrokken moeten wor- ' den; waar van hier nevens ook een voorbeeld.
3' -°6\.J?/: GiJ ,lebt dit zo wel begreepen' dat wij gerustlijk kunnen over Happen tot de
AFTREKKING VAN GEWOONE BREUKEN.
§. 207. Z. Die zal, naar ik mij verbeeld, ook al op de zelve gronden moeten deunen als de 00 telling deezer breuken; men zal de breuken die geene gelijke noemers hebben, in andere, die eeIijke noemers hebben, moeten veranderen , om grootheeden van dezelve foort van eikanderen af te kunnen trekken.
§. 208. M. Dat is de eenigfte zaak waar het op aankomt. Zo lang dus de breuken gelijke noemers hebben behoeft Gij alleen de tellers van elkanderen af te trekken: zo zal {van ? afgetrokken { overaten, f ~ | zal = 1 zijn; * _ 1 -j. hlt ver.
fchil



GEWOONE BREUKEN. 77
ichil tusfehen f en f zal f bedraagen, enz. want, drie of vier voorbeelden zijn hier zo goed als honderd.
§. 209. Ik verbeeld mij zelvs, Meester! dat ik breuken met ongelijke noemers, maar die in eikanderen verwisfeld kunnen worden , van eikanderen zoude kunnen aftrekken, als ik mij uwe afteekeningen te binnen breng, welke Gij mij bij de optelling (§. 116.) gegeeven hebt.
%. 210. M. Neem 'er dc proevvan en trek \ van|.
§. 211. L. Ik zie uit de gemelde afteekeningen dat 1 even zo veel als f maaken, of dat i in f, behoudens de zelve waarde, verwisfeld kunnen worden. —- Dit doende, verkrijg ik breuken die den zeiven noemer hebben, te weeten f en l; en als ik dan de | van de i aftrek, houd ik j over: zo dat £ — l ZZf — £ == 4 zullen zijn: dat is, dat 'er £ verfchil zal zijn tusfehen i en |.
$. 212. M. Zeer wel. — Zoudt Gij nu ook twee breuken met ongelijke noemers , die niet in eikanderen verwisfeld kunnen worden, van elkanderen kunnen aftrekken ?
§. 213. L. Niet anders, Meester! of zij moesten beide gemaklijk in eenen derden noemer verwisfeld kunnen worden, gelijk in dat voorbeeld, 't welk Gij mij ($. 117.) bij de optelling gegeeven , en met eene teekening opgehelderd hebt. — Wij hebben daar f en f zamen opgeteld. Ik zal het werk volmaakt op de zelve wijze verrichten en eerst de | en £ beide tot vijftiende deelen brengen, en dan van % zz 12 den bekomenen nieuwen teller 10 van den anderen trek - zz }f 10 12 aftrekken, in de plaats
van bij te tellen, gelijk .
hier nevens, en als dan kljjft _*
zie ik dat ik Ty overhoude.



78 AFTREKKING VAN
§. 214. Gy hebt U met oordeel van dezelve teeken. ng als bij de optelling (§. bediend, en wij zullen nu wel dra in Haat zijn om te tooien, hoe men allerhande breuken, hoe verfchillende haare noemers ook zijn mogen, zonder eenige dergelijke teekemng, bij eikanderen kan tellen of van eikanderen aftrekken.
§• 215. L. Ik verlang die handelwijze teleeren. Meester! maar ik bid U, hoe trekt men toch breuken van geheelen af?
$. 216. M. Zeer gemaklijk. _ Men moet een geheel leenen, en dat in eene breuk veranderen. Maar Gij weet reeds CS. 87.) dat een geheel door evenveel welke breuk kan worden uitgedrukt, wier teller en noemer gelijk zijn: als door 1,1,1 enz. Stel dan dat men i3| van 36 moest aftrekken; men neemt 1 van de 36 36 = 3^* af, en verandert die in f, om dat ij
men achtfte deelen moet aftrekken,
daar trekt men de breuk af, en van 2"| de overfchietende 35 de geheelen, gelijk hier nevens. — Hetzelve zal plaats hebben zo dra men eene grootere breuk van eene kleinere moet aftrekken. Bij voorbeeld als men 71 van 121 wilde aftrekken, 4 zo moet men niet alleen die { in f i2t I a veranderen , als boven ( §. 211.) 7>* \ «
maar men moet 'er nog een geheel - ° of ƒ bij leenen, en trekken dus 4» de l van % af, en de 7 geheelen van d nog overfchietende u, als hiernevens: want, bij ontwikkeling is iaj = u + i< = 1{1 - „« *-
hier onder 7*
blijft vopr verfchil 41
$. 217.



GEWOONE BREUKEN. fo
§. 217. L. Waarom hebt Gij ter zijde anders gefchreeven dan hier beneeden ? Meester!
§. 218. M. Om dat ik het U ter zijde onder die gedaante heb willen neder ftellen, waar onder het gewoonlijk gedeld wordt: te weeten, men haalt langs de breuken, even als bij de optelling (§. 116. en 117.) eene ftreep op en nederwaards, welke ftreep men zomtijds denflok noemt; boven aan de ftreep plaatst men den algemeenen noemer, waar toe de breuken gebragt moeten worden, als in dit getal 4, welke algemeene noemer dan ook wel ftok* letter genoemd wordt, en achter de ftreep zet men de naar den algemeenen noemer gefchikte tellers, als hier de 2 van % of -*•, en de 3 van J. Zo dra men dan befpeurt dat dc bovenfte teller kleiner is dan de beneedenfte, gelijk hier 2 kleiner is dan 3, dan heeft men flechts den bovenden teller met de ftokletter, of algemeenen noemer, zamen te neemen , en den beneedenden teller van die fom af te trekken, en het overfchot zal de teller der overblijvende breuk zijn; doch dan moet men niet vergeeten , dat men door deeze bewerking één van de g{.heelen geleend heeft.
219. L. Ik denk dat ik de reeden deezer handelwijze begrijp, Meester! Als men een geheel moet leenen, om bij de bovende breuk bij te voegen voor dat de aftrekking gefchieden kan, dan moet men dat geheel, of die geleende éénheid, in eene breuk veranderen, die met de overige breuken gelijknaamig is; (§. 216.) dan wijl dat juist eene breuk geeft, die den algemeenen noemer, of ftokletter, zo wel tot teller als noemer heeft, (§. 87.) zo kan ik de _ dokletter aandonds voor teller van die breuk aanzien, en haar, als zodanig befchouwd, met deu teller der bovende breuk zamen-



35 E E L I N G."
menvoegen, en 'er dan den beneedenften teller aftrekken , maar daar door heb ik dan eene éénheid van de geheelen afgeleend.
§. 220. M. Ik heb daar niets bij te voegen, en zal U alleen flechts de volgende voorbeelden ter oeffening opgeeven.
A. B. C. D.
van 7! van 25^ van 56 van 10736 trek zt trek 17& trek 37] trek 5952*1
E. F. G. H.
van 28 van ~i van 19^ van 8790'! trek 15^ trek 5I trek 8{£ trek 997»»
§. 221. L. Hebt Gij nu niets verder omtrent de aftrekking aan te merken ? Meester!
§. 222. M. Voor het tegenwoordig niets. —■ Alleen wil ik U nog vraagen, hoe Gij U gedraagen zoudt, bij aldien men U vroeg, hoe veel maaien men een zeker getal van een ander getal kan aftrekken: bij voorbeeld 16 van 100?
§. 223. L. Dergelijke vraagen door aftrekking te beantwoorden, zoude in veele gevallen , niet alleen langwijlig, maar volftrekt onmooglijk worden, Meester! even gelijk Gij mij bij de optelling CS- 121.) getoond hebt, en ik merk dus wel dat Gij zoekt over te gaan tot de
D E E L I N G.
§. 224. M. Het is zo: want, de divifto of deeling is niet anders dan eene foort van aftrekking: knmers komen de vraagen hoe veel maaien een getal in een ander getal bevat is,. en/?/ hoe veel maaien
een



DEEL ING. 81
eeft getal van een ander getal kan afgetrokken worden volmaakt met elkanderen overéén: zo is 3 vier maaien in 12 bevat, of 3 kunnen tot vier maaien van 12 afgetrokken worden, eer de 12 verdwecnen zijn; en dus is de deeling hetzelve ten aanzien van dc aftrekking, als de vermenigvuldiging met betrekking tot' de optelling. (§. 125.) De deeling komt naamlijk dan te pas, wanneer een getal niet Hechts éénmaal van een ander getal moet worden afgetrokken, maar wanneer het'er zo dikwijls moet worden afgetrokken , als het 'er afgetrokken kan worden: dat is, zo lang, tot dat het ander getal verdweenen is.
§. 225. Door deeling vindt men dan hoeveel maaien een getal in een ander getal bevat is , en dit wordt de uitkomst, of ook wel, met een onduitsch woord, het quotiënt genoemd; terwijl het getal, dat gedeeld wordt, den naam van deeltal, en dat, waar door men deelt, den naam Van deeler draagt. Dus geeven 12, door 3 gedeeld zijnde, 4 tot uitkomst. Hier is dan 3 de deeler, 12 het deeltal, en 4 het quotiënt, of de uitkomst.
§. 226. Zo men eenvoudig wil te kennen geeven dat 12 door 3 gedeeld moet worden , dan fchrijft men 'T2, of ook wel 3:12; doch de eerfte fchrijfwijze is algemeen, en de laatfte alleen in zeker geval, waar over wij in het toekomende moe-r
ten fpreeken, gebruiklijk De eerde is ondertus-
fchcn dezelve fchrijfwijze waar van men zich bedient , om eene breuk uit te drukken, zo als men weet, waar uit dan wederom blijkt, dat bij voorbeeld, f, l enz. niet anders betcekenen dan dat de éénheid in twee gelijke deelen, en de 3 in 4 gelijke dceien gedeeld moeten worden, en dat men van die gelijke deelen in het eerde geval 1, en in het iaatde 3 moet neemea.
I. D£EU F 5- 227.



8* DEELING."
^•I*-,22^' ■? zie dit' Meester! wijs mij nu,bid ik, de handelwijze om een getal door een an-der getal te deelen.
$. 228. M. Die handelwijze vereischt, om wel begreepen te worden, eenige oplettendheid; ik zat dus van het eenvoudiglle beginnen, en trapswijze met U voortgaan. — Stel ten dien einde dat Gij een enkel getalmerk, als 8, dooreen enkel getalmerk, als 2, moest deelen.
De algemeene wijze van fchrijven is voor allerleije deelingen de volgende.
Men fchrijft , als hier ter zijde , het Deeler. Deeltal. Uitkomst. deeltal (8) ter ne- a / 8 / 4, der , en plaatst 'er 8 een fcheidteeken voor — en achter. —. Men o kan vnor fcheidteeken gebruiken welk teeken men wil, doch eene enkele khuine ftreep is voldoende, en het meest 111 gebruik. Voor het voorfte fcheidteeken plaatst men den deeler Ca) en dan vraagt men, hoe veel maaien gaat de deeler (2) in het deeltal (8)? Het antwoord is hier 4 maaien. — Deeze 4 plaatst men achter het achterfte fcheidteeken. — Daar na, vermenigvuldigt men den uitkomst ("4) met den deeler (2), en men fchrijft het produB (8) onder het deeltal 8. Dit produB trekt men van het deeltal af, en als 'er niets overfchiet, gelijk in dit geval, is de deeling volbragt: dat is, men heeft bevonden dat 8 door 2 gedeeld 4 geeven, of dat de 2 vier maaien in 8 bevat is, of in 8 gaat.
§. 229. L. En zo 'er iets was overgefchoten, vermoed ik dat 'ereene breuk bij gekomen zoude 2ijn. J 0



86 D E E L ï N G,
eerst 300x832400 afgenomen; toen fchooten 'er nog 192 over; daar na heb ik 'er nog 30x83160 afgenomen; toen bleeven 'er nog 32; deeze vel dweenen met 'er 4x8332 af te neemen; dus het Ik er zamen 324x8 afgenomen, die 'frist 2«os uitmaaken, ten teeken dat dc 8 Juist 324 maaien m 2592 bevat is, of'er zo veele maaien kan afgenomen worden.
j. 238. M. Volmaakt wel. Zie dan hier dat zelve voorbeeld op eene weikdaadige wijze behandeld, en merk alleen twee zaaken op.
Vooreerst, dat men, na de £4 afgetrokken te hebben,' het 8 / 2592 / 324 volgende getalmerk 9 achter het 24 ' overfchot 1 laat nederdaalen, gelijk men vervolgens , na de 19 "
16 afgetrokken te hebben, even- 16
eens met de laatfte 2 handelt j . '.
dan dat dit, om alle verwar- %z ring voor te komen, en telkens i& te weeten hoe ver men gevor- -Z derd is, gefchiedt door eene recht nederdaalende rij van (lippen, of kleine ftrcepjes , hetwelk, vooral in groote deehngen, van uitmuntenden dienst is.
len tweeden, dat de getalmerken in den uitkomst, haare eigenlijke waarde nooit verkreeeen hebben , voor dat de deeling ten einde gebragt is, om dat deeze bewerking van vooren begint, en beginnen moet; geheel anders als dit bij de optelling, aftrekking, en vermenigvuldiging, waar men van achteren begint, plaats heeft: want de 3, in den uitkomst, ter neder gefield zijnde, zijn op zich zeiven eerst éénheeden; door 'er de 2 achter WflWWP», worden het tienheeden, en bet wor-
de«



DEELING, 87
den eerst honderdheeden, als 'er de laatfte 4 achter komt: dat is, ten einde der deeling.
5. 239. L. Waar toe dient toch het doorftree|>en der getalmerken , Meester ! dat ik dikwijls «1 de rcekenboeken, bij de deeling, gezien heb?
§. 240. M. Men ftreept de getalmerken dan, zo ver men met de deeling gevorderd is, door, om niet het eene getalmerk voor het andere te neemen, 't welk anderzins zeer gemaklijk gebeuren kan, wijl men telkens de overfchotten onmiddellijk boven of benceden de getalmerken plaatst, van welke de aftrekking gefchied is, waar door eene zeer onregelmaatige, en verwarde ftand der getalmerken veroorzaakt wordt; dan dit is eene zeer Hechte handelwijze, welke nooit behoort gevolgd te worden, en ook in de meer verheevene lleekenkunde niet bekend is.
§. 241. L. Zekerlijk ftaan die rechtftandige of omgekeerde reekenkundige bijen-korven niet fraaij op het papier.
§. 242. M. Het is echter om die reeden niet, dat ik deeze handelwijze afkeur, maar daarom, dat zij het groote gebrek heeft, van het opfpooren van eenen misflag, welken men geduurende de deeling mogt begaan hebben, in deelingen van eenig aanbelang, bijna onmogelijk te maaken; zo dat men in zulke gevallen eenen misflag ontdekkende , of vermoedende , bijna altoos genoodzaakt wordt j om al het werk uit te wisfehen, of door te haaien , en de deeling geheel op nieuw te beginnen.
§. 243. L. Genoeg dus om haar af te keuren, Meester! Zeg mij nu, bid ik, daar wij tot nog toe maar door een enkel getalmerk gedeeld hebben, is de deeling veel moeijlijker, als de deeler uit jneer dan één getalmerk beftaat?
F 4 §• =44-



88 D E E L I N G.
§. 244. M. O neen. Een weinig gezond oordcel ruimt alle fchijnbaaremoeijlijkheiduit den weg. Stel dat Gij 473 door 15 moest deelen. Gij vraagt dan even 15/473/311V als te vooren, hoe veel maaien 45.
gaan 15 in 47 ? Gij vindt 3
maaien, en gaat voort gelijk ik 23 U reeds geleerd heb, en be- 15 komt 3i787 tot uitkomst, ge* — lijk hier ter zijde te zien is. 8
$• 245- L. Hier doet zich zekerlijk nog niets moeijlijks op, wijl men gemaklijk ontdekt dat 15 driemaalen in 47 bevat is; maar indien de deeler uit 3? 4, 5 of meer getalmerken beftond, zoude het meer bezwaarlijk worden, om op eenmaal te beiluiten hoe veele maaien de deeler in eenige getalmerken van het deeltal begreepen wordt.
§. 246. M. Dat is zo, en het is daarom dat men in zulke gevallen leert, dat men Hechts alleen door het eerfte getalmerk van den deeler zal vraagen, in het eerfte, of in de twee eerfte getalmerken van het deeltal; dan dit moet met oordeel gefchieden, en men moet in de meeste gevallen wel degelijk het tweede, en zomtijds wel het derde getalmerk van den deeler, in aanmerking neemen , en dan nog wel eens letten op een volgend getalmerk in het deeltal. — Voorbeelden zullen alles in het helderst licht ftellen.
Als het eerfte getalmerk van den deeler groot: dat is, boven 5, of na aan 10 is, en het tweede daarentegen klein: dat is, onder 5 of na aan nul, dan zal men meesttijds llaagen, door maar alleen met het eerfte getalmerk van den deeler te vraagen ; vooral wanneer de volgende letter in het deeltal groot is; bij voorbeeld 21 gaat in 87 iets
meer



D E E L I N G. 89
meer dan 4 maaien, gelijk men vindt als men flechts met de 2 in de 8 vraagt.
Zo ondertusfchen het volgend getalmerk in het deeltal klein is, dan kan het mislukken : want, si gaat geen 4 maaien in 80, 81, 8a of 83.
§. 247. In tegendeel, als de eerde getalletter van den deeler klein, en de tweede groot is, dan moet men de tweede letter niet verwaarloozen; vooral wanneer het volgend getalmerk in het deeltal klein is; bij voorbeeld als men 91 door 19 wilde deelen, zoude men flechts meer dan 4, en nog geen 5 tot uitkomst krijgen, fchoon de 1 negenmaalen in 9 bevat zij.
Zo echter het volgend getalmerk in het deeltal 5, of daar boven, geweest ware, zoude men 5 tot antwoord bekomen hebben: want, 5x19=195.
§. 248. Nog eens; als men 637 door 128 begeert te deelen, en met de twee eerde getalmerken van den deeler (12) in de twee eerde van het deeltal C63) vraagt, dan vindt men 5, en dat zeer ruim zelvs: want, 5x12 maaken maar 60; en echter gaat de 128 geen 5 maaien in 637: wijl 5x128 = 640 zijn; waar uit men ziet dat men hier tot op de derde getalletter van den deeler had behooren te letten.
§. 249. L. Ik befpeur wel, Meester! dat men in deezen meest door oeffening_ zal moeten trachten eenige vaardigheid te verkrijgen.
§. 250. M. Dat is waar; dan men kan evenwel in de meeste gevallen door eene geringe kunstgreep al vrij zeker gaan.
§. 251. L. Door welke? Meester!
\. 252. M. Door flechts het eerde, of de twee eerde getalmerken des dcelers in zijne gedachten , aiet eene éénheid te verhoogen , wanneer men F 5 ziet



90 2> E E t, j „ Q
ziet dat het tweede, of derde getalmerk zeer hoo*
t» dat virh00^e getalmerk te S
gen. Zo had men , bij voorbeeld in op één na het laatfte geval (§• W.) niet door^x, ma"r doorbeten vraagtn, omdat 19 ver boven IO" of zeer na aan 20 ,s, en als dan zoude men ogen! blkljk 4 tot antwoord bekomen hebben. Eensgelijks had men in het laatfte geval, f« { niet door a maar door 13 moeten v aa^ont dat i28 veel nader aan 130 dan aan 120 is en men zoude aanftonds ontdekt hebben, it de'deeler geen 5 maaien in 637 bevat was.
> 253- Dit hulpmiddel behaagt mii zeer Meester! men is dan ten minsten alto™Jzeker' dat het gegiste getalmerk voor den uitkomst S §^oot is»
z&: M- Pat,,is zo; maar het kan te klein zijn ; bij voorbeeld willende 20574 door 2937
deelen , en vraagende dan
met 3, in de plaats van 2 2<m/2o<74/6
(§. =52.) zo zal men niet 937,^J6
meer dan 6 bekomen, en echr . „
ter bij aftrekking vinden, dat 20*2 het 'er 7 maaien in had kunnen gaan: want/cr fchiet 2952 over, dat meer da„ de deeler 2937 1S, geluk gij ziet. Wat zoudt gii nu in zulken geval doen? bi
~55,\.L.- Datis zeer kJaar, Meester! de vermenigvuldiging met 6 , benevens het overfchot. Uitwisfchen , en dan den deeler op nieuw met 7
trel<TcnSVUldiSen' ™ ^ vermenigvuldiê"de
§. 256 ilf Zo wordt gemeenlijk in de reekenboeken geleerd, doch het is noch dekortfte, noch de gemakkchjkfte weg. - Ni^ts is immers meer



DEELING, 91
gemaklijk en eigenaartig dan 2937/20574/7 dat gij den deeler, dien gij nu 1762a
reeds 6 maaien afgetrokken
hebt , nog éénmaal van bet 295a overfchot aftrekt, gelijk hier 2937
ter zijde; wijl gij ziet dat hij *
zeven maaien had behooren 15 afgetrokken te worden , en dat gij de 6, in den uitkomst, flechts in 7 verandert; als wanneer gij zult vinden dat 'er 15 zullen overfchieten, even zo wel, als dat gij 'er de de 7*2937 op éénmaal liarit afgetrokken.
§. 257. L. Ik beken het, Meester! het is veel eenvoudiger; maar zo men eens het getalmerk voor den uitkomst één te groot gegist had, cn dus den deeler éénmaal te veel genomen, hoe dan?
§. 258, M. Zo dra gij dit befpeurt, moet gij eene tegenftrijdige werking
verrichten, cn den deeler, 476/4276/gegist 9 in dc plaats van nog eens 9 476 is maar 8
af te trekken , (§. 256. ) —— .
eerst eens bij het deeltal, 4284 4752 of overfchot, bijtellen, voor 4284 dat gij de aftrekking doet, ■ en het getalmerk in den uh> 468 komst flechts eene éénheid
verminderen, gelijk hier op zijde gedaan is; of anders kunt gij ook den enkel-
voudigen deeler, zo gij dit 476/4276/gegist9 liever verkiest, van het ver- 9 3808 is maar 8 menigvuldigde des deelers ■ ——. met het gegiste getal af- 4284 468 trekken, en vervolgens dat 476
overfchot van het deeltal
afneemen, hetwelk hier ne- 3S0S
vens



DEELING. IO3
geen men daar uit kan befluiten dati + 7 + 9 + 1 —18 door 3 deelbaar zijn. — Zo zijn eensgelijks alle getalen , waar van zich de fom der getalmerken door 9 laat deelen, door 9 deelbaar. — Voor de getalmerken 6 cn 7 zijn ook zekere vaste regelen ; dan daar het bewijs deezer regelen meer omflag vordert, zal ik U dat thands niet geeven, maar tot nuttiger aanmerkingen over gaan.
§. 291. L. Welke zijn die? Meester!
%. 292. M. Dat men zömtijds eene deeling, meest door vermenigvuldiging, en omgekeerd wederom eene vermenigvuldiging door eene deeling verricht; als bij voorbeeld,
Willende 75396482 door 5 7539648,2
deelen, zo fnijdt men de laat- • / 2
fte getal-letter door een fcheid- 15079296,4 teeken af; als hier ter zijde.— Als dan is het getal door 10 gedeeld; (§. 278.) dat is: door 2x5, bij gevolg is het nu maar de helft van het geen het zijn moest. — Men vermenigvuldigt het dan wederom door 2, en het produ£t zal den begeerden uitkomst geeven, mids men lette dat het afgefnecden getalmerk , 4 , nu -*m, of f zij. •
■ Ziehier nevens het zelve ge- 753964,82
tal door 25 vermenigvuldigd : /4
naamlijk , eerst door 100 ge- 3015859,28 deeld, en vervolgens wederom door 4 vermenigvuldigd om gelijke redenen. —» Zo men in deeze gevallen liever verkoos eerst met 2, of 4, te vermenigvuldigen, en daar na af te fnijden, of het fcheidteeken te plaatzen , zal het op hetzelve uitkomen: want i*x2ZZ1; (§• 172.).
Zo ook hetzelve getal door 125 willende deelen , kan men het met 8 vermenigvuldigen, en G 4 door



I04 DEELING.
door iooo deelen , gelijk hier 75396482
nevens, om dat — x'it is -—_ /g
Een kundig reekenaar zal dee- 603171,856 ze kunstgreepen nog verder kunnen uitbreiden.
§. 293. L. Ik zie wel, Meester 1 dat deeze handelwijze plaats kan hebben, zo dikwijls men met |, i, -}, of eenig ander effen gedeelte van 10, 100, 1000 enz. te deelen heeft; dus zoude zij bij eene deeling door 50, 500, 250, 2500 enz. eensgelijks gebruikt kunnen worden; maar hoe worden toch zommige vermenigvuldigingen door deeling verricht, gelijk Gij zegt dat ook plaats heeft? (§• 292.)
§. 294. M. Bij omkeering. — Stel dat ik 32786 door 5, 25, 125, enz. wilde vermenigvuldigen; dan vermenig- 327860 vuldig ik eerst door 10, door 2 / . 100, door 1000 enz. met 'er 163030 flechts één, twee of drie nullen achter te voegen, (§. 72. 134.) 3278600
en daar na deel ik wederom door 4/ -—
a« door 4, en door 8 , gelijk 819650
hier op zijde te zien is, om dat
5=A»% 25 = i«2 en 125=:—,-* 32786000
is — Gij ziet hier wat ik bij 8/ « .
de vermenigvuldiging (§. 151.) 4098250 met die kunstgreep omtrent het getal 5 bedoelde.
§. 295. L. Deeze kunstgreepen verkorten het werk aanmerklijk, Meester! en geeven mij veel vermaak. — Hèbt Gij iets verder omtrent de deeling aan te merken?
§. 296. M. Tot mijn tegenwoordig oogmerk, omtrent geheele getalen, niets. — Alleen wil ik
U



DEELING VAN TIENTALLIGE BREUKEN. 105
U de volgende voorbeelden ter oefening geeven, waarop ik de antwoorden onder de zelve teekening te rug verwacht.
Deel door Deel door
A. 20202— 3 L. 444420— 45
B. 17504— 4 M. 529500— 300 c- H395— 5 N. 1746612— 406
D. 7404— 6 O. 2295000— 765
E. 22687— 7 p- 38027854— 809
F. 43384— 8 Q. 58007656— 1624
G. 61101— 9 R. 220868765— 3679
H. 96768—42 S. 474751200— 8624 I. 102180 — 30 T. 28246204032 — 76543 K. 157115—67 V. 95371424090 — 23545
Wij gaan over tot de
DEELING VAN TIENTALLIGE BREUKEN.
§. 297. L. Deeze zal zekerlijk ook even als die van geheele getalen verricht worden.
§. 298. M. Volraaaktlijk : want , men deelt even als of deeler en deeltal beide geheele getalen waren , zonder de minste acht te geeven op de fcheidteekens, waar door de geheelen van dc tientallige breuken gefcheiden worden.
§. 299. L. Hoe kent men dan de tientallige breuk van den uitkomst? dat is, hoe weet men dan waar het fcheidteeken te plaatzen in den uitkomst ?
§. 300. 31. Men fnijdt van den uitkomst zo veele getalmerken door het fcheidteeken van achteren, of van de rechte hand naar de linke tellende, af, als 'er getalmerken meer in de tientallige G 5 breuk



Iö6 DEELÏNG VAN
breuk van het deeltal, dan in die van den deeler zijn ; en deeze afgefneedene getalmerken maaken dc tientallige breuk van dei; uitkomst.
Bij voorbeeld: willende 55,46875 door 6,25 deelen , zo deel ik
flechts 5546875 door 6,25 / 55,46875 / 8,875 625, en de uitkomst 5000...
zal 8875 zijn, als '. ...
hiernevens; ziende 5468.. dan dat 'er vijf ge- 5000..
talmerken in de tien- —.—.. tallige breuk van het 4687.
deejtal, en twee in 4375» die van den deeler zijn , en dus in de 3125 eerfte breuk drie meer 3125 dan in de laatfte, zo —— fnijd ik drie getal- o merken van achteren
voor de tientallige breuk van den uitkomst af, die gevolglijk dan 8,875 wordt.
§. 301. L. Waarop fteunt deeze handelwijze?
Meester!
§. 302. M. Op het geen ik U bij, de vermenigvuldiging van tientallige breuken (§. 160 — 166.): geleerd heb. — Immers hebben wij daar getoond, dat men, om de tientallige breuk van -een produé. te hebben, zo veele getalmerken van achteren af moet fnijden, als 'er zich in de tientallige breuken der beide fatïoren bevinden; en Gij zelv hebt boven ($. 277.) te recht aangemerkt, dat, ter proeve eener wel verrichte deeling, de uitkomst, met den deeler vermenigvuldigd, het deeltal wederom daar moet Hellen. — Hier uit blijkt dan klaar, dat de deeler en de uitkomst zamen juistzo
veele



TIENTALLIGE BREUKEN. 107
veele getalmerken in de toebehoorige tientallige breuken moeten bevatten, als het deeltal alleen; en dus ziet gij reeds van achteren de noodzaakliikheid deezer handelwijze; bij de deeling der gewoone breuken zullen wij de reeden van vooren ontdekken. '/ ,
§. "03. L. Vergun mi] te vraagen , Meester! hoe'men deeze handelwijze toepaslijk zal maaken, zo 'er eens geene breuk bij het deeltal gevonden wierd, of zo de breuk van het deeltal uit minder getalmerken belfond dan die van den deeler?
§. 304. M. Gij hebt in beide deeze gevallen maar zo veele nullen achter het deeltal, in de gedaante van een tientallige breuk, of onmiddellijk achter de geheelen, of achter de reeds aauweezige, maar te kleine, tientallige breuk achter te voegen, als gij noodig hebt, of zelv goed vindt: immers kunnen die nullen , welke men van achter het fcheidteeken aanvoegt, dc waarde des ge'tals op geenerleije wijze veranderen: (§. 68.) want eene nul, achter een getal, waarvan de eenheid reeds bepaald is, aangevoegd, kan het even weinig veranderen als eene andere, welke men 'er voor zet. — Bij voorbeeld: willende 475 door 6,25 deelen, zo voeg ik achter de 475 aandonds twee nullen, of ik deel 475,00 door 6,25, en ik verkrijg 76 tot uitkomst, welke nu geheelen zijn: om dat zich evenveel getalmerken in de breuk van den deeler, als aangeduide opene plaatzen voor dezelve, of bijgevoegde nullen, in het deeltal bevinden, zo dat 'erin deii uitkomst niets voor eene breuk valt af te fnijden.
§. 305. L. Gij hebt hier juist een voorbeeld gekozen, Meester! waar in de deeler, na het aanvoegen dier twee nullen , in het deeltal opgaat; maar zo dit eens geen plaats had, hoe dan ?
§• $06.



IOo DEELING VAN
S- 306. M. Dan voegt men 'er meer nullen achter, om dat men ziet dat 'er meer vereischt worden geluk * reeds ($. 304. ) gezegd heb; en als dan bekomt men wederom eene breuk achter den uitkomst. - Gij ziet immers wel, dat men na het aanvoegen der twee nullen, fa, het bovenwande voorbeeld CS- 3°40 de fcheidteekcns, als men
TJ'Jttlï°7ef kalen' en be^oüwen deeler en deeltal beide als geheele getalen: want 6 « bettekenen even zo veel als 625 honderdfte deelen wijl 6 geheelen, tot honderdfte deelen gemaakt' 600 honderdfte deelen uitleeveren; zo heb ik door het bijvoegen van twee nullen achtera' deeze ook in 47500 honderdfte deelen veranderd' ofik heb beide deeze getalen honderdmaalen vergroot. (§. 71 72.) Bij gevolg beftaan deeze getalen nu uit éénheeden van dezelve ibort, en ziin dus, met betrekking tot eikanderen, geheelen al waarom ik dan, 47500 doof 625 deelende, ook 76 geheelen tot antwoord bekom.
$. 307- L. Dit begrijp ik zeer klaar, Meester! Zo dikwerf men dan evenveel getalmerken in de breuken van deeler en deeltal heeft, of, niet hebbende , door bijvoegen van nullen , in dezelve maakt , kan men de fcheidteekens verwaarlozen , en beide de getalen als geheelen aanzien. Doch zo de deeler dan niet juist eenige maaien in bet deeltal bevat is, maar dat 'er een overfchot blijft, zo maakt men dit overfchot op nieuw tot tiende, honderdfte, duizendfte, of nog kleinere deelen, naar het geval vereischt, en daardoor bekomt men dan wederom eene breuk achter den uitkomst.
S- 308. M. Het is zo. — Stel dat het deeltal, 111 ons voorbeeld, ( %. 304.) in de plaats van 475,
eens



TIENTALLIGE BREUKEN. 10?
eens 475,75 geweest wa- 625/47575/76512 re ; dan had ik , gelijk 4375 •
hier nevens, Hechts 47575 .
door 625 behoeven te dee- 3825 len, het welk mij 76 ge' 375° heelen leevert , maar dan —— fchiet 'er 75 over. Deeze 75° maak ik, door 'er eene nul 625 achter te voegen, tot tien- —— de dceien, en deel die 750 1250 op nieuw door den deeler 1250
625, het welk mij 1 tiende 1 ■
deel geeft , dat ik in den o uitkomst achter de 76 zet,
na alvoorens een fcheidteeken achter de geheelen geplaatst te hebben. De 125 tiende deelen, die 'er dan op nieuw overfchieten , tot honderdfte deelen gemaakt, en door den deeler 625 gedeeld zijnde, "geeven nog 2 honderdfte deelen, en hier mede is de deeling volbragt.
g. 309. L. Ik zie ook, Meester! dat deeze handelwijze volmaakt met
den algemeenen regel 6,25/475,7500/ 76,12 (§• 3°°') di'ookt: 4375... want als ik de fcheid- ■ • • •
teekens behoud , ge- 38a5 • •
lijk hier ter zijde, en 375°
achter het deeltal ter- •.
ftond nog een paar 75° •
nullen aanvoeg, en G25.
dan de deeling naar .
den algemeenen regel 1250 verricht, zo verkrijg 1250
ik 7612 tot uitkomst; •
maar wijl ik nu twee o
plaat-



II§
DEELING VAN
$• 328. M. Ik zal U de reeden hier van op meer dan eene wijze trachten aan het verhand te brengen. — Vooreerst zijn de vermenigvuldiging en deeling, gelijk Gij weet, volftrekt tegenfrrijdige bewerkingen, waar van de eene afbreekt, wat de andere opbouwt. — Daar nu eene breuk uit teller en noemer, en dus , als men wil, uit eenen vermenigvuldiger en uit eenen deeler teffens befcaat , zo is het vrij natuurlijk , dat men teller en noemer , of vermenigvuldiger en deeler, omkecrende, en dan eene tegenftrijdige werking verrichtende , hetzelve antwoord zal bekomen , als of .men de breuk niet omgekeerd , en recht gewerkt had. — Ik zal U dit nader ophelderen. —
$. 329. Zo wefals eene grootheid altijd met de éénheid, of met 1, kan worden begreepen vermenigvuldigd te zijn, (§. 159.) kan zij daar door bok in alle gevallen worden begreepen gedeeld te zijn, zonder daar door de minste verandering te ondergaan : want, 6 door 1 gedeeld blijft zo wel 6 als 6 met 1 vermenigvuldigd ; dit ligt in den aart der getallen. (§. 25, 16.) Ik kan dus ieder getal onder de gedaante van eene breuk fchrijven, door 'er de éénheid, of 1, tot noemer onder te fchrijven.
§. 330. Nu kan men gemaklijk doorzien dat het op tiet zelve uitkomt, of men met een halv vermenigvuldigt dan of men door 2 deelt: want een halv maal 100 is jo, cn 100 door 2 gedeeld is ook 50. — Bij omkeering, het is het zelve of men met 2 vermenigvuldigt, of door een halv deelt: want, 2 x 50 — 100, en een halv gaat in 50 ook 100 malen.
ZIs



IETS NADER OVER DE BREUKEN. 123
$. 342. Het zal mij aangenaam ziin, indien gij, bij bet beantwoorden der opgegeevene voorbeelden, (§. 341.) een weinig op den aart van het voorbeeld'let, en dat gij ieder voorbeeld op de voordeeligfte wijze oplost; dat is , dat gij de eene of andere handelwijze volgt, (§. 320, §. 325 en 336, §. 338.) naar dat zij U de gefchikfte toefchijnt. — Nog liever heb ik dat gij ieder voorbeeld op verfchillende wijzen , die toch alle in den grond dezelve zijn, en meest alleen maar in de wijze van fchrijven verfchilten , beantwoord; alleen om U daar door eene heblijkheid in het behandelen van gebrokens te verwerven, waar aan het zo veclen onder leerlingen, en gewoone Reekenaars hapert.
Voorts wil ik met U overgaan tot
IETS NADER OVER DE BREUKEN.
§. 343. L. Gij zult mij zekerlijk nu willen onderwijzen, Meester! in die dingen, waar toe Gij, voor mij de faling geleerd te hebben, geene genoegzaame gronden gelegd had.
k. 344. M. Dat is mijn oogmerk. Ik zal derhalven van daar beginnen, waar wij de eerltemaat gefluit zijn. (§• UQ-) Wij zagen daar, en de aart der zaak brengt het van zeiven mede, dat men geene breuken van verfchillende noemers bij eikanderen kan tellen, zonder' dezelve vooraf tot den zeiven noemer, of tot de zelve benaaming; dat is , tot éénheeden van dezelve ibort gebragt te hebben. De vraag is nu, hoe dit te doen? Ik antwoord; dc algemeene regel is deeze. Vermenigvuldig alle de bijzondere noemers met eikanderen , en het product geeft den algemeenen noemer. — Deel dan den algemeenen noemer, door
den



12+ ^ IETS NADER OVER.
den noemer van Iedere breuk afzonderlijk, vermemgvuldig den uitkomst met den teller,' en het produrtgeeft den teller des nieuwen breuk", die nu gelijk alle de andere, den algemeenen memel tot noemer heeft. »^mai
In het nevensftaande voor- ICK ' beeld heb ik de noemers 3,
5, en 7 met elkauderen ver- 2 70
menigvuldigd , en het pro- 3
du£t 105 boven aan, of 0p * 84
den ftok , gezet. — Voorts
heb ik die 105 door 3 , den g Q0
noemer der bovenfte breuk
gedeeld, en den uitkomst 35 244 met den teller 2 vermenigvul- —2_,*
digd, het welk 70 geeft; ÏOc eveneens heb ik met de twee andere breuken gehandeld, en 84 en 90 voor de nieuwe tellers der twee andere breuken bekomenzo dat de breuken wel alle van naam veranderd zijn , maar echter dezelve waarde behouden hebben ; zij hebben nu alle 105 tot noemer, of
3 T ,oT' y7~ v-f ■ 7 ~~ Tï5r'
> 345- £. Dit is uit vergelijking met hetgeen Gij mij reeds te vooren geleerd, en C« 110 ^ met eene teekenhig opgehelderd hebt, zeer klaar Meester immers zijn teller en noemer der owcgeevene breuk , telkens met het zelve getal ver memgvuldigd , om 'er de nieuwe breuk van te maaken: zo is de noemer 3, om tot 105 te bren-
f,H;J5 nmIeVCrg,I,0Ot' .of müt 35 Vermenigvuldigd , maar de teller 2 is eeusgelijks met « vermenigvuldigd, cn dus tot 70 gemaakt, en zo eveneens met de twee andere breuken — Door <keze behandeling kan de waarde der breuken
niet



DE BREUKEN. 13!
niet langer laaten deelen, flechts ongedeeld over.— Voorts neemt men wederom den kleinften gemeenen deeler, die nu in ons geval, 3 is; daar na alweder den nog overfchietenden gemeenen deeler, 5, en deelt door denzelven als te vooren, tot zo lang dat 'er niet dan eerfte getalen meer overfchieten. — Dit gedaan hebbende vermenigvuldigt men alle deeze, thands vooraan ftaande, gemeene deelers met eikanderen, en met de nog van beneeden overblijvende eerfte getalen , cn het produEt geeft het gezocht algemeen deeltal.
§. 361. L. Ilier uit blijkt nu van zelveu dat men den gemeenen deeler 2, in dit geval , tot viermaalen toe neemen moet : want, hij komt driemaalen vooraan, en blijft nog eens als eerfte getal, van bcneeden over. — Indien 'er zich ondertusfchen van het begin af eerfte getalen onder de opgegeevene bevonden, en die teffens geene gemeene deelers van de overige waren, vermoed ik dat men die wel onaangeroerd kan laaten ftaan, Meester!
§. 362. M. O ja. — Stel dat de volgende getalen gegeeven waren,
^ 3, 4, 6, 9, 12, 5, 7
3, 2, 3, 9, 6 2/
3, 3, 9, 3 3/
* 5 ' ) 3, 1
Als dan kunt gij de 5 en 7 geheel onaangeroerd laaten; en het gezocht deeltal zal 2x2x3x3x5x7 m 1260 zijn.
I 2 $• 3<53-



132 IETS NADER. O V IK
§. 363. L. Nog eene bedenking, Meester! — Men (lelie dat 'er onder de opgegeevene getalen , zodanige gevonden wierden, wier deelers niet zo gemaklijk in het oog liepen, als bij voorbeeld 26, 34 en 221, welk laatfte getal het produel van 13x17 is, en dus met 26 = 2x13 en 34=2x17 gemeene deelers heeft: of nog liever, dat men 221 = 13x17 en 323 = 19x17 had; hoe ontdekt men dan fpoedig genoeg dat 17 een gemeene deeler van deeze beide laatfte getalen is? — Hoe komt men op het denkbeeld om de deeling juist door 17 te toctzen?
§. 364. M. Ik beken dat dit zonder hulpmiddelen, als tafelen der eerfte getalen, en andere, die voor handen zijn, eenige moeijlijkheid zoude kunnen veroorzaaken. Dan gefteld zijnde dat deeze getalen noemers van breuken waren, die opgeteld, of van eikanderen afgetrokken moesten worden, in een geval waar in het 'er zeer naauwkeurig op aan komt, zo herinner U wat ik Ü hier omtrent boven (§. 348, n° 2.) gezegd hebbe. — Doch zo het 'er niet zo naauwkeurig op aankomt; zo het, gelijk veeltijds in den koophandel, flechts dceien van penningen , of andere kleine muntfpecien zijn, dan is 'er geene recden hoe genaamd, waarom men zijn hoofd zoude breeken, met die deelers te ontdekken. — Laaten de breuken de nevenftaande zijn. Zo 113 men die al, wegens de menigte die aai men 'er misfehien van bij eikanderen _ op te tellen heeft, niet geheel wil vcrwaarloozen, zo kan men echter zeer veilig de volgende kunstgreep gebruiken : te weeten. Men werpt van teller en uoemer één of meer getalmerken van achteren
weg,



DE BREUKEN. 133
weg, mids van beide evenveel, en beboudt alleen de voorfte, of de twee voorde, naar dat het geval zich toedraagt. Dus verandert men
— m - of in ~, en— in - of ra -
cn zo gij lust hebt om te onderzoeken hoe groot de misllag is, dien gij hier door begaat, zo voldoe dezelve door eene naauwkeurige optelling, van de opgegeevene, en veranderde breuken ieder afzonderlijk.
§. 365. L. Ik begrijp dat de misflag altijd gering zal zijn, om dat men de honderdheeden, duizendheeden, enz. behoudt, en flechts alleen de laagere getalmerken verwaarloost; daarenboven moet men langs deezen weg dan eens iets te veel, en dan iets te weinig neemen, het welk op eene menigte breuken, die men op te tellen mogt hebben, door eikanderen geflaagen, weinig of ni&ts bedraagen kan. — Hebt Gij mij nog meer omtrent de optelling'te onderrichten? Meester!
§. 366. M. Niets. —- lk geef U alleen de volgende voorbeelden ter eigene oeffening.
A. i B. i C. » D. 2-5 E. „4
3 » 5 °4 '5
4 4 S ° 9 3
5 9 5 I53'J 12®
6 16 9 12 75
I 3 F.



J34
IETS NADER OVER
F. , G. jL
3 *
5 *4
* 97-
9 '5
12 21
7 gi?
i5 28
11 -2J
18 35
17 ga IS
24. fio
23 83
3S 3io5
J£ 29i
45 84
§. 367. Z. Na deeze meer uitvoerige onderrichting omtrent de optelling, zult Gij mij, naar ik vertrouw, wegens de aftrekking, waar in wij ook eens gefluit zijn, (§. 214.) weinig meer te zeggen hebben, Meester!
§. 368. M. Daar de breuken, om haar van elkanderen te trekken, zo wel tot gelijke deelen , of tot éénheeden van dezelve foort gebragt moeten worden, als om haar zamen op te tellen, (§. 207— 214.) en daar men bij eene aftrekking nooit meer dan twee grootheeden, en bij eene optelling met zeer veele kan te doen hebben, zo zoude ik in de daad_zeer geringe gedachten van uwe bekwaamheid en oplettendheid moeten hebben, indien ik een ogenblik tijd wilde verfpillen met U daar over te onderhouden. — Neen. - Gij zult mij alleen
door



DE BREUKEN. I35
door de volgende proeven de duidelijkfte blijken geeven, dat gij bi deezen alles volmaakt begreepen hebt.
Eer wij verder gaan moet ik U nog een woord zeggen met betrekking tot de Verkleining der breuken , of zo genaamde Abbreviatie.
%. 369. Z. Wat noemt Gij abbrevieeren , of verkleinen van breuken ? Meester! -—- Is het iets anders dan die verkorting in uitdrukking , waar van wij reeds boven verfcheidene maaien gebruik gemaakt hebben? dat is, die uitdrukking van eene cn de zelve waarde onder eene kleinere benaaming, door teller en noemer beide door hunnen grootften gemeenen deeler te deelen: waar door wij dan, bij voorbeeld, verkrijgen »
*_i 2 — 1. L— L l? — - enz.
8* — 1,6—3, 12 ~"4, 16 4
« 370. M. Niets anders. — Ik heb ook geen voorneemen om U deeze handelwijze breedvoerig te bewijzen, naardien zij, vooreerst, op den aart der zaak zeiven gegrond is, (§. 116.) e", teü I 4
A. van | B. van \\ C. van i36f
trek | trek ^ trek 78A
D. van I? E. van \i F. van 52-ff
trek & trek Ty? trek 28/T



Ï3G" IETS NADER OVER
anderen, om dat zij juist het omgekeerde is\van die handelwijze, M'dke gij zelv boven (§. 34 c ) getoond hebt volkomen door te zien en te besrijT-n : immers, behouden breuken haare eigene waarde, als men teller en noemer met het zelve getal vermenigvuldigt, zo moeten zij die, bij omkeering, ook behouden, als men teller en noemer door het zelve getal deelt; het eerfte kan geen plaats hebben zonder het laatltc. — Mijn oogmerk is alleen om U te toonen hoe men in alle gevallen ontdekken kan , of teller en noemer wel eenen gemeenen deeler hebben; en zo ja, welke me zij; of, zo 'er meer zijn, welke daar onder de grootfte is. . $• 37i- L. Ik zie de noodzaaklijkheid i6t
bier van in, Meester! want, ik weet,
bij zamenitclling, dat 23 een gemeene 200 deeler van de nevenftaande breuk is; doch als ik het niet wist, zoude ik ook niet weeten, hoe het te ontdekken, als misfehien na eene menigte vruchtlooze proeven.
S- 372. M. Men ontdekt deezen deeler echter langs den volgenden weg onmiddellijk, en met zekerheid, zonder de minfte vruchtlooze pooging.— Men deelt den noemer door den teller; ik veronderftel dat 'er een overfchot blijve, het welk ik het eerfte overfchot zal noemen. Dan deelt men den teller door dit overfchot; ik veronderftel dat er een tweede overfchot blijve. Dan deelt men het eerfte overfchot door dit tweede overfchot. hï blijve een derde; dan deelt men het tweede door het derde, en zo vervolgens, tot dat de laatfte deeler in het deeltal zonder overfchot opgaat; en als dan is deeze laatfte deeler ook teffens gemeene deeler van de breuk. Zie hier ter
zijde



DE BREUKEN. I39
C "79. L. Hebt Gij ook iets nader met betrekking tot de vermenigvuldiging van breuken aan te merken? Meester! ......
§ 380. il/. Herinner U flechts wat ik U bij de vermenigvuldiging van gemengde getalen (§. 183. ) gezegd hebbe. — Wij zullen dan ten voorbeeld neemen, dat men A\ met aj te vermenigvuldigen had. — Men vermenigvuldigt dan eerst 4 met 2, die 8 geeven. — Dan de 4 moesten niet alleen met 2 vermenigvuldigd worden, maar^J; bij gevolg moet dat halv ook nog twee maaien genomen worden, het welk 1 geeft. —Daar echter de 41 niet alleen met 2, maar met a| moesten worden vermenigvuldigd, zo is het blijkbaar, dat men nu de 4i nog met \ moet vermenigvuldigen: dat is, dat men nog i maal 4, en dan nog i x » moet neemen, en dat alles bij eikanderen tellen; waar door men dan eindelijk bij flot verkrijgen zal
4$ x ai = * x 4.'+-* * f* 4 + i'x ! waar uit men ziet dat men de geheelen en de breuken van beide de faEtoren over en weder door eikanderen moet vermenigvuldigen, en alle de daar uit voort komende produElen zamen optellen.
§. 381. L. Zo ik U wel begreepen heb, Meester! moet de reekening aldus komen te ftaan,
41
2x4=8 4 + J
axi-=:i of aldus 2 + j
Jx7=i 8 + itj_i
\o\ 8 + 2+1 = ic4
S- 382.



E40 IETS NADER OVER
s- 332. .^/. Dit kunt gij volltrekt fchrijven, zo als Gij verkiest. — De eerfte handelwijze met dat kleine tafeltje van vooren, is meer gebruikhjk in de reekenboeken. — De laatfte is meer in gebruik in de Wiskunde. • §• 383- L. Vergeef mij, bid ik, Meester! Gijhebt gezegd cs- 183.; dat men kortheids halven dus te werk ging- ik zie niet dat deeze handelwijze korter is dan die naar den algemeenen regel. (§. 182. j 8
§• 384- M. Zij wint zekerlijk in dergelijke kleine vermenigvuldigingen, als het gegeeven voorbeeld c§. 381.) niets uit; maar zij is van een veel uitgeftrekter gebruik , en bekort het werk zomtijds aanmerklijk.—
Stel eens dat men de ne- g.gg
vensftaande vermenig- q6<" vuldiging te doen had. - ó 3>t
Als dan verdeelt men 42430 eene zodanige breuk 50916 in verfcheidene andere 25458
breuken, gelijk wij ter ftrrx 4243
zijde gedaan hebben, ft—*vanJg...nmi waar van de eerfte een ft = $■ van ft... 1060J zeker deel van een ge- t'ï = } van V-.- 530*
heel, of van de één- '. .
heid is, terwijl alle vol- 3105345* gende zekere deelen van hunne voorgaande zijn. Dus krijgen wij in dit geval,
H = ft + ft + ft + ft waar van de eerfte breuk de helft van de éénheid rs, de tweede de helft van de eerfte, de derde dt helft van de tweede, enz. — Men heeft dan
flechts



DE BREUKEN. 14*
flechts eerst de 8486 met 365 te vermenigvuldigen dan nog de helft van 8486 te neemen, daar na nog eens de helft van die helft, enz. „
e ?8, L. Ik bemerk dat deeze handelwijze meer voordeel aanbrengt, naar maate de geheele setalen, waar achter de breuken gevoegd zijn, irooter worden, om dat men hier door minder groote getalen met elkanderen behoeft te vermenigvuldigen , dan men naar den algemeenen regel f$. 182.) genoodzaakt zoude zijn te doen. — Doch ik befpeur telfens dat men de gegeevene breuken altijd in zodaanige andere moet trachten te ontbinden, waar van de teller 1 is; anderzins zoude het minder uitwinnen. Nietwaar? Meester!
« 386. M. Zeer zeker. — Het hangt alleen van het gezond oordeel van den Reckenaar at, om iedere breuk op de
gefchikfte, en meest ge- 108 \ .
paste wijze te verdeclen. — Daarom moet
men dan eens dus, en 54°
dan eens wederom zo te ft=i 30.
werk gaan. — Zomtijds ft:=T 36
is het dienstig dat men ft=i van ft.. 12 eene en dezelve breuk »? zz \ van ft • • 4 één of meermaalen her- ft = t van ft.. 4 haale. De nevensftaan- ' —"
de vermenigvuldiging °32 kan daar van ten voorbeeld (trekken; ook is zulks niet onvoegzaam, wijl men bij iedere herhaaling van dezelve breuk, flechts het reeds gevonden getal nog eens behoelt te fchrijven , zonder eenige nieuwe deeling. — Voor alle bijzondere gevallen regelen te geeven zoude in deezen zeer laugwijlig worden, enwci" nig nut hebben. §• 387-



142 IETS NADER OVER DE BREÜKEff,
$. 387. L. De uitkomst zal ook de zelve moeten zijn hoe men de breuken verdeele , of in welke kleinere deelen men die ontbinde • midmen maar zorg draage, dat alle die kleinere breus ken aan de geheele gegeevene breuk gelijk zijndat is, dat zij zamen genomen niet meer of minder dan de ontbondene breuk uitmaaken.
$. 388. M. Het is zo. — Dan 'er kunnen echter reedenen en omftandigheeden zijn, waarom de eene ontbinding den voorrang boven de andere verdient. — Een voorbeeld zal dit best doen zien.
f i = ï +> +1. Ook is $. zz f -f- i -f- £.
Het is derhalven, van vooren befchouwd, volmaakt onverfchillig of ik deeze breuk op de eene of op ae andere wijze ontbind. — Dan laat ons nu de volgende vermenigvuldiging, met de eene, en andere ontbinding, werkffellig maaken.
96 g6 16 * = * lof
z — T van $ 5J. i = £van f 5i
122< laaf
Gij ziet _ dat ik hier het zelve produtï verkrijg, maar Gij ziet te gelijk dat de eerde indeeling hier den voorrang verdient boven de laatfte; om dat er kleinere breuken, en minder in getal, door ontltaan; naardien men, door aanvanglijk de helft
van



HERLEIDING DER BREUKEN. 143
van 32 te neemen, het ronde getal 16 bekomt, daar men, door 'er een derde van te neemen, aanftonds in de breuk van ioT vervalt.
S 080. L. Dit is zeer overtuigend, Meestermaar kan men wel alle breuken in andere en kleinere ontbinden? n.
S wo. M. Alle, behalven die welke een cerlte getal ( %. 352.) ten noemer hebben dat te groot is om gevoeglijk alle deelen van den teller, vooral zo die ook wat groot is, één voor één te neemen; en met de zulke komt deeze handelwijze in de "-emeene reekeukunde niet te pas; men moet daar mede den algemeenen regel volgen oi ten minden, zo men de vermenigvuldiging al lukswiize wil verrichten, om de moeite, van alle de geheelen tot breuken te maaken, uit te winnen, de bijzondere grootheeden op éénmaal met de breukenvermenigvuldigen.-Zielnereenvoorbeeld
want 407x56 = 22791
%6ft 4°7*f\ = 296 verin. f*»»— 7?
2Q12844
J 77 23I28T7
In de hoogere reekenkunde worden dergelijke breuken al meest in tientallige veranderd , en het is hier bij dat ik mij mijne belofte (§. 348.; herinner omtrent de
HERLEIDING, OF VERWISSELING VAN GEWOONE BREUKEN IN TIENTALLIGE, EN VAN TIENTALLIGE 1N GEWOONE.
c 091 L. Daar men door eene gewoone breuk niets anders te kennen geeft, Meester! dan dat het
eene



144 HERLEIDING DER BREUKEN.
eene getal, dat wij teller noemen, door een ander, t welk wij noemer heeten, eigenlijk behoorde gedeeld te worden, en deeze deeling in geheelen met vallen kan, maar wel in eene tientallig breuk kan worden voortgezet, zo denk ik, dat Gij met die verwisieling niets anders dan deeze voortgezette deeling bedoelt.
§. 39a. M. Niets anders.— ü=z0i7c Zie een voorbeeld hier ter want zijde. 15 moet hier door 16 167150/0,937* gedeeld worden; dan dit {W 3
kan in geheelen niet gefchie- den, of het antwoord in ge- go heelen is o. Deeze zet ik 4s ter neder, met een fcheid- . ,
teeken 'er achter, en ik voeg I20 eene o achter de 15: dat is, 1I2
ik maak 15 geheelen tot 150
tiende deelen. (§. 71.) Dan gQ deel ik die 150 door 16, en 80
bekom 9 tiende deelen ten „
antwoord. Het overfchot 6 0 maak ik tot honderdfte deelen, deel 60 wederom door 16, en zo vervolgens §• 393- L. Maar als de deeling niet ten einde* loopt, Meester! wat dan?
$. 394. M. Herinner U flechts wat ik U dnr omtrent te vooren (S. 310-312.) rceds 'g
h£n ~a ^enrZet in c!e naauwkeurigfe ge¬
vallen de deeling zelden verder dan tot het zevende getalmerk voort, en zomtijds gebeurt het wel dat men met het tweede of derde getalmerk de deeling kan fiaaken zonder de minfte verwaailoozing , met tegenflaande de deeling nooit ten einde zoude loopen. - Breng flechts eenige breuken



Herleiding der breuken. 14*5
ken die de éénheid ten teller, en dc rij der natuurlijke getalen ten noemer hebben in tientallige breuken , en dat zal ons aanleiding geeven tot verfchillende aanmerkingen.
§. 395. L. Zie hier de volgende «breuken in tientallige verwisfeld, Meester!
}=o'33333 enz. Tv = 0,09090909 .enz. i = o,25 15=0,0833.33 enz.
x=0,a ^=0,07692307692 enz.
i=o,i6666 enz. ^=0,07142857142 enz. 4 = 0,142857142 enz. 7t = o,o666ó enz. i =0,125 tV = 0,0625
iZZ0,111111111 enz. ij = 0,058823529411764705
en z5.
§. 396. M. De aanmerkingen, welke reeds uit deeze weinige voorbeelden voortvloeijen, zijn de volgende:
1- Dat alle die gewoone breuken, welker noemers ooit ten eenigen tijde in 10, of in 100, of in 1000, of in 10000 enz. tot in het oneindige met dc vermenigvuldiging door 10 voortgaande, zonder overfchot gedeeld kunnen worden, ook in ronde tientallige breuken kunnen worden uitgedrukt. — Zodaanige zijn alle die welke geene andere fciBoren hebben dan 2 en 5: bij gevolg ,2,4, 8, 16, 32, 64 enz. voorts 5, 25, 125, 625 enz. en eindelijk 10, 20, 40, 80 enz. zonder einde; want, wijl een half en een vijfde op zich zeiven in eene ronde tientallige breuk kunnen worden uitgedrukt, en iedere ronde tientallige breuk met ééne, of meer andere dergelijke vermenigvuldigd, wederom andere ronde moeten voortbrengen , zo loopt de noodzaaklijkheid van het gezegde in het oog.
1. deel. ^ K S- 397*



I46' HERLEIDING DER BREUKEN,
§. 397. 2. Dat, naardien een derde zich, door eene eindelooze herhaaling van het getalmerk 3, in eene tientallige breuk laat uitdrukken; en een negende, of,een derde maal een derde, door eene oneindige,rij van éénheeden voorgefteH wordt, CS- 395-) ^t, zeg ik, ook alle breuken, welker noemers behalven 2, of 5, of 2 en 5, (§. 396.) ook nog 3, of 9 = 3>«3» ten faclor hebben, in eene oneindige rij, of herhaaling van het zelve getalmerk zullen uitloopeu. —- Alle breuken, wier noemers dan 3x3x2x2x2 (tot in het oneindig) *5*5x5 (tot in het oneindig) lot faEtoren hebben zijn van deezen aart. — Ten voorbedde kunnen reeds (§. 395.) ftrekken,
% zz 0,1666 enz. ft=0,08333 enz- ft = 0,0666 enz.
§. 398. De reeden deezer eigenfchap zal door eene enkele vertooning aan het oog, beter dan ft=0,0625
door eenen grooten om- $ =0,3333336112.
flag van woorden be- .
greepen worden. 1875
Slaa dan uw oog op 1875 de nimmer eindigende 1875 vermenigvuldiging hier 1875 ter zijde. ^75
Gij ziet daar zeer 1875 duidlijk dat in deeze de getalmerken 1, 8, ^=0,0208333125 7,5^1 lpoedig rechtsreeks onder eikanderen komen te ftaan, en wel juist in dien zclven rang waar in zij naast eikanderen ftaan. — Gij begrijpt ook ligtlijk dat dit, bij eene voortgezette vermenigvuldiging, in alle
mo-



HERLEIDING DER BREUKEN. I40
het zeventiende wederom bij de verwisfeling van een zeventiende in eene tientallige breuk, en zo met alle: immers
is f = 0,142857142857142857 enz. en7y= 0,05882352941176470588235 enz.
§. 403. L. Ik flaa in verwondering opgetoogen, Meester! wegens de fraaije en allezins opmerklijke eigenfehappen, welke Gij mij in deeze tientallige reekien doet ontwaaren. — Dan welke is tocli de reeden, bid ik , van de onmogelijkheid dat deeze herhaaling van dezelve getalmerken langer achterwege blijve, dan Gij gezegd hebt? ( §. 402.)
§. 404. M. Zij is zeer eenvoudig. — Een enkel voorbeeld zal dit wederom in het helderst licht (lellen. — Ter
zijde heb ik 1 door 7 7/10/0,1428571 enz.
gedeeld, of een zevende 7
jn eene tientallige reeks >—
verwisfeld. — Gij ziet 30
dat 'er bij de eerde 28
aftrekking 3 overfchoot; —
bij de volgende 2; daar 20
na 6 ; toen 4 4 voorts 14
5 ; en eindelijk 1. — ——
Daar nu alle getalmer- 60
ken , van 1 tot 6 inge- 56
floten , - overgefchooten —
zijn , en 'er bij eene 40
deeling' door 7 niet meer 35
dan 6 kan overfchieten, —■
zo is het klaar dat 'er, 5°
als men met deelen voort- 49
gaat, bij de volgende —
aftrekking een getalmerk 10
K 3 moet



HERLEIDING DER BREUKEN. I51
de deeling eerst begon; en dat er bebalven de tusfchenkomende nul flechts eene afwisfeling van vijf" getalmerken plaats hebbe; daar dit echter bij de deeling van 1 door 17 niet dan na de zestiende aftrekking gebeurt, (§. 3950 en dus wederom zo laat mogelijk is.
§. 406. M. Merk nu nog op dat men zomtijds, ééne breuk in eene tientallige rij bekend hebbende, meer andere daar uit met gemak kan afleiden. — Zo is, bij voorbeeld, een zesde, niet anders dan de helft van een derde, en twee derden met anders dan het dubbel van één derde, enz. — Dus zal men hebben
i = o,33333 enz. 4 = 0,333333 enz.
2/ . h
i=o,i6666 enz. \— 0,666666 enz.
S 407. L. Dus doende zoude ik echter al een zonderling verfchijnzel erlangen, Meester! want, als ik dan , gelijk hier
ter zijde, een derde drie £=0,333333 enz.
maaien nam , zoude ik 1 • - / 3
geen geheel krijgen, zo i = o,999999 enz.
als men echter noodzaak- >
lijk krijgen moet, maar eene tientallige breuk,
welke uit eene oneindige rij van her getalmerk 9
beftaat. .. ,
§. 408. M. Hier uit leert gij dat o,9999 enz. in de daad gelijk de éénheid, of 1 is. — Dat dit noodzaaklijk zo zijn moet, blijkt uit de volgende overweeging. — De rij is, zo dra men haar afbreekt, in de daad iets kleiner dan 1; doch hoe verder men haar voortzet, hoé minder .©f 'er aan ontbreekt. — Breekt men haar met K 4 eeii



IJ2 HERLEIDING DER II R E U K E ff.
één getalmerk af, 'er zal 0,1, of een o o tiende, aan oiubrecken. Breekt men 01 haar met twee, getalmerken af, 'er _1_ zal 0,01 , of een honderdfte, aan io ontbreeken. Zet men haar tot het ' ' tierde getalmerk voort, 'er zal flechts 0,99 0,001 , of een duizendfte, te kort o 01
komen , gelijk uit ncvenftaande optel-
hngen blijkt. — Dan de rij is uit 1,00 haaren aait oneindig. Zij wordt uit haaren aart nooit afgebroken; en als 0,099 Wij haar ergens afbrceken , gefchied o ooi
zulks om dat wij haar niet oneindig ,
kunnen voortfehrijvcn. _ Hier uit 1,000 volgt dan, vooreerst: dat men geen deeltje zo klein kan fchrijven , noemen of uitdenken, hetwelk 'er bij gevoegd zijnde, haar
niet aan de eenheid gelijk kan maaken.
1 en anderen: dat het denkbeeld van 'er een deeltje bij te voegen , hoe oneindig klein ook toch altoos nog het denkbeeld van afbrceken in-' Huk, het welk tegen den aart der oneindigheid van de reeks aanloopt; m aar uit dan eindelijk ten derden volgt: dat de reeks niet omtrent met teii naasten bij, maar voHlrekt, en in den ftrengften wiskundigen zin aan de éénheid gelijk is. 5
§. 409. L. Ik gevoel deeze waarheid, Meester i en zal er, bij nadere en herhaalde overdenking, even_zeer van overtuigd worden als Gif.— Dan zeg mij, bid ik, kan men, eene tientallige breuk ontmoetende, ook ten allen tijde wederom ontdekken uit welke eene gewoone breuk die geiprootenof aan welke eene gewoone die gelijk W - Lij voorbeeld: kan men de volgende ge-,
woone



HERLEIDING DER BREUKEN. 1 SS
woone breuk wederom uit de tientallige rij, waar aan zij gelijk is ontdekken?
7V zz 0,07692307692307 enz.
§. 410. M. Gij vergt mij in de daad meer dan mijn tegenwoordig beftek toelaat. — Dan daar uwe vraag zo billijk en natuurlijk is, zal ik Ü dezelve ook zo ver beantwoorden, als voor uw en alle zodaanige voorbeelden, waar in de rij tot de berhaaling van dezelve getalmerken voortgezet is, vereischt wordt. — De kunstgreep is dan zeer eenvoudig. Men vermenigvuldigt de rij, door dc achteruitzetting van het fcheidteeken, (§. 71.) met de éénheid gevolgd van zo veele nullen als 'er getalmerken in de rij, voor dat de zelve getalmerken te rug komen, gevonden worden, — Van dat veelvoud der reeks trekt men dc enkele reeks af, waar door men de waarde van dat veelvoud reekfen, min ééne reeks, altijd in geheele getalen uitgedrukt krijgt , en hier uit is het dan gcmaklijk de enkele reeks te bepaalen, — Voorbeelden zullen dit best ophelderen. Ik zal van een gemaklijker beginnen, en tot het uwe opklimmen.
Reeks =: 0,33333 enz. 10 x Reeks = 3,33333 enz.
9 x Reeks zz 3
9/
Reeks = i zz f (§. 369, 370.)
K 5 An-



t£4 HERLEIDING DER BREUKEN.
Ander voorbeeld.
Reeks = 0,090909 enz. 100 x Reeks zz 9,090909 enz.
99 x Reeks = 9
99/ ■
Reeks = ft = Tï Uw voorbeeld. (§. 4oo.)
Reeks= 0,07692307 enz. iooooooxReeks=76923,07692307 enz.
999999 x Reeks=76923 "
999999 f- 1 „
Reeks srffffjrrft §. 411. Z. Ik dank TJ zeer voor het mededeelen deezer vernuftige handelwijze, Meester! Vergun nuj mi nog te vraagen, hoe men eene tientallige breuk wederom m eene gewoone, van eenen bepaalden naam, kan verwisfelen. - Bijvoorbeeld. Hoe zoude ik eenige deelen van duivers, die in eene tientallige n uitgedrukt waren, tot zestiende deelen van duivers, of penningen herleiden?
4J2. M. Even als of Gij met geheele getalen, of met gewoone breuken te doen hadt: dat is, gij hebt
flechts in acht 3 duiv. = 3x 16=48pen.
te neemen hoe , veel de dee- 20 ook
len, waar toe 3 „ . 3x16
gij uwe breuk * tuiV- ^ ~~7—— 3 * 4 = 12 pen. brengen wilt,
kleiner zijn, even eens
dandiedeelen 0,75 duiv.=o,75x i6=i2pen. wclkedoorde want:0,75x 16=12,00 (§. 162.)
ge-



HERLEIDING DER BREUKEN, 155
se<reevene breuk worden uitgedrukt, en dan, gelijk hier boven gedaan is, of de geheelen, ot de gewoone breuk, of de tientallige breuk me| dat hoeveelmaal te vermenigvuldigen. — pe reeaeu leert! dit bij het geringde nadenken. Len duivel heeft 16 penningen. Hoe veele ftuivers of ik nu hebbe; of welk deel van een duiver ik hebbe; of hoe veele van die deelen ik hebbe; 0 onder welke eene gedaante die ftuivers, of deelen van ftuivers uitgedrukt zijn, ik zal altijd 16 maaien zo veele penningen hebben; en zo 111 alle andere gevallen. ^ ^ ^ ^ wel ais zich de tientallige breuk juist in eene gewoone laat verwisielen, gelijk in dit geval (§. 412.) plaats bad, al- . waar 0,75 juist gelijk aan 12 zestiende deelen zijn; dan dit kan met alle breuken zo juist met uitkomen. .... .
S 414. 31. Zeker met: want, even gelijk met dan bepaalde gewoone breuken, tot zodaamge andere als men zoude willen begeeren, herleid kunnen worden, even zo toevallig is het, dat eene tientallige breuk juist naauwkeurig 111 eene gewoone naar welgevallen kan verwisfeld worden. — Dan dit is te klaar om 'er langer bij ftil te ftaan. ■— Herinner U flechts wat wij te vooren (§.312, 313O over het niet naauwkeurig uitkomen , van eene waarde in zekere bepaalde deelen, gezegd en aangemerkt hebben. — Men neemt dan yoor waar, het seen 'er naast aan komt. Echter moet men wel letten dat dergelijke handelwijze nooit gebruikt wordt, of mag gebruikt worden, dan in die gevallen waar de grootheeden zelve van weinig aanbelang zijn met betrekking tot andere , met welke men te doen heeft; gelijk penningen van
wei-



*5Ö HERLEIDIN C DER BREUKEN.
weinig belang zijn in groote geld. f Zo is, bij voorbeeld , ' "*
«ï = 0^3630-3 enz. = f, fchoon ft iets grooter is. want
• T =====0,63636363 enz.
1 g
*? = 5 + achtfte 5509090904=1 -j_ • maar
ft-0,727272 enz. szff, lchoon ft iets kleiner is. want
'V ===== 0,72727272 enz.
Tf = 6— achtfte 5>8i8i8i76=£—§
S; 455- f • Wat beduiden die teekens -f- cn — welke Gij boven (§. 414.) zo ]os achtcr die „£_ talen 5 en 6 enz. geplaatst hebt? Meester' ' 416. M. Men plaatst deeze teekensin zommige gevallen wel eens op die wijze, om te toonen , dat eene grootheid niet juist aan eene andere 'geli|k is, maar iets grooter of kleiner. - Zo beteekent dan 5+ achtfte deden, dat 7 elfde deelen 5 achtfte deelen bedraagen, en nog iets daar boven : want cigentlijk is
ft=Sxft achtfte declen=f f=5_v acht(ïc deeIenj ^
§■ 417- L. Ik bedank U, Meester! wat hebt Gij verder aan te merken? §. 418. M. Tot mijn tegenwoordig oogmerk ets^U ^urcnt de gronden der ReekenkS mets verder te onderrichten; cn zal dus met U «vergaan tot hergebruik-: dat is, tot de
TOE-



OVERGANG TOT HET GEBRUIK. T$7
TOEPASSING VAN HET VOORGAANDE OP WEZENLIJKE GROOTHEEDEN, ALS MUNTEN, MAA-
TEN, ELLEN, GE WIG TEN, enz.
419. L. Ik herinner mij al wederom, Meester! dat Gij mij (§. 91-) gezegd hebt, dat alle reekenkundige bewerkingen, ol rechtltreeks , of ingewikkeld, in toevoegen of afneemen beftaan.— Gij hebt mij thauds het één en het ander geleerd , en echter durv ik mij zeker als nog op lang na niet te vleijen dar ik het reekenen verftaa!
§. 420. M. Gij bevindt U thands, om mij van eene vergelijking te bedienen , in het geval eens jongelings, aan wien men, om hem tot het timmeren op te brengen, het gebruik van zaag, bijl, boor, beitel, fchaav, enz. op eenige tot niets daadlijks beftemde, balken, deelen, planken, latten enz. zeer zorgvuldig geleerd had; en die, in ■gevolge van dat onderwijs, gemaklijk en naauwkeurig, zo wel langs eene kromme als rechte lijn, zaagde; die recht en juist boorde; vlug en glad hakte; die de beitel met eene vaste hand beflierde, en met zo veele juistheid en behendigheid wist te gebruiken, dat hij allernaauwkeurigst in verdek werkte, en pen en gat op de volmaakfte wijze vervaardigde, en zuigende in eikanderen deed gaan, en fluiten; die twee lange deelen tegen clkanderen ftreek , zonder dat zij ergens daglicht doorlieten; die onverbeterlijk rijde , en eindelijk het timmeren, voor zo ver alleen het handen-werk ( betreft, volmaakt, en in den grond verflond; dan die misleiden nooit had hoorcu fpreeken van fchagt of capitecl, van water - of van kroonlijst, van plint of architraav; die niet wist hoe een deur of vengfter in elkander gewerkt wordt, veel minder waf
'er



153 TAFELEN VAN
er tot het vervaardigen en zamenftellen van atiefleij wenteltrappen, kapwerken van gebouwen enz. vereischt wordt , en in acht te neemen zij; die met één woord alles zoude kunnen maaken, niids hem nu vervolgens maar gezegd, en geleerd wierd, wat hij te maaken had.
§. 421. L. Ik zal mij zeer verblijden, Meester! wanneer Gij eerlang eene zo goede getuigenis van mij als Bouwmeester, gelijk thands als Handwerksman, in het reekenkundige zult kunnen afleggen.
§. 42a. M. Ik moet U dan vooraf van nader bij met de onderwerpen deezer weetenfchap bekend maaken. — De onderwerpen der Reekenkunde zijn , in den uitgebreidften zin , grootheeden van allerleijen aart, in getalen uitgedrukt. — Allerleije afmeetingen van lengte, breedte, hoogte, of diepte, van zwaarte, van vermogen, van duuring, en wat meer van dien aart is, zullen 'er ons dan in kunnen voorkomen. — Dan in eenen naauweren zin bepaalt zich de Koopmans - reekenkunde, waar toe wij ons onderwijs voor het tegenwoordig hoofdzaaklijk beperken, al meest tot uiten inlandfche munten, maaten, ellen, gewigtenvoorts tot jaaren, maanden, dagen enz. '
§. 423. L. Met deeze moet men dan, voor zo verre haare betreklijke waarde, en bijzondere indeeling betreft, bekend zijn.
§. 424. M. Zeer zeker. — Ik zal U derhalven eerst een tafeltje geeven van eenige gewoone teekcnsen verkortingen, waar van men zich gemeenlijk bedient in het fchrijven, om zekere munten, of ook wel geldfommen, waar in de Kooplieden hunne boeken houden, fchoon niet zodaanig in één ftuk gemunt, uit te drukken; of om zekere gewigten, maaten enz. aan te duiden.
Dus



MUNT E Bi t$y
Dus fchrijft men
ƒ voor Florin, of Gulden. St. —— Stuivers.
Penn. Penningen.
L. Livre, of Pond. C geld -fom.)
£. Sch. of Schelling.
fi. . Gr. of Groot.
fg. Libra, Livre, of Pond. ( gewigt.)
S. (?g. Schip-pond.
L.&. ■ Lijs-pond.
Andere verkortingen laaten zich genoeg uit den aavt der gevallen, waar in zij mogten voorkomen , leezen en verdaan.
Voorts zal ik U kleine tafeltjes geeven, voor de betreklijke waardijen van eenige deezer bijzondere reekenkundige onderwerpen, in hunne deelen en onderdeden , voor zo ver ons Land betreft. — Zie dan hier een
TAFEL T fE VAN EENIGE INLANDSCHE MUNTEN EN GELDSOMMEN.
5.425. De Gulden, welke in 20 ff uivers ingedeeld wordt, waar van ieder wederom 16 penningen houdt, is in de Vereenigde Nederlanden de ftandert, of gemeene maatfchaal, naar welke alle andere munten worden afgemeeten, en waar in de geldfommen worden uitgedrukt. — Zo is dan
Ko«



l66 TAFELEN VAN GEWIGTEN.
§. 433. De Muntmeesters en Metaal-proevers (Esfaüeurs,) rekenen, voor het Goud, bij Marken , Oneen, Caraaten, Greinen, enz. Voor het Zilver bij Marken, Oneen, Penningen, Greinen, enz. — 'leder grein wordt dan wederom ingedeeld in 24 Aazen, van de eerfte foort, of Printen; ieder Prime in 24 Seconden; iedere Seconde in 24 Tertzen, als men wil.
TAFELTJE VAN MUNT- EN ASSAIJ- OF PR. OE V-GE WIG T.
Mark. Onc. Penn. Caraat. Grein. Aazen.
1 1 I 8 12 I 24 288 I 6912 |
I 1 li I 3 3ö I 864
1 I 2 24 576 |
1 1 12 | 288 j 1 | 24 j
§. 434. De Geneesheeren en Kruidmengers reekenen Hechts 12 Oneen Troijesch op een tê, en deelen het 8> vervolgens in Oneen, Drachma's, Scrupels en Greinen. — Zie hier een
TAFELTJE VAN MEDICINAAL GEWIGT.
f8. Onc. Drachm. Scrup. Greinen. I 1 I 12 96 288 I 5760 | I 1 8 24 I 480 I
1 3 60
| 1 I 20 I
§• 435- De Tijd wordt gedeeld in Eeuwen , jaaren, Maanden, Wecken^Dagen, Uuren, Mitiuuteii) Seconden enz.
Een



TAFEL VA N TIJDVAKKEN. 167
Een Eeuw is een tijdvak van 100 jaaren.
Een Jaar heeft 12 maanden.
Een Maand heeft van 28 tot 31 dagen; doch wordt door eikanderen gemeenlijk op 30 dagen gereekend.
De Jaaren worden ondcrfcheiden in gemeene en •in fchrfkkeljaaren , welke laatfte om het vierde jaar, van het begin van iedere eeuw, invallen.
Een gemeen Jaar houdt dan 365 dagen.
Een Schrikkeljaar houdt 366 dagen.
Een gemeen Jaar heeft 52 weeken, en -1 dag.
Een Schrikkeljaar heeft 52 weeken, en 2 dagen.
Door eikanderen wordt een Jaar op 52 weeken in een rond getal gereekend, en eene Maand op 4 weeken. _
Eene Week houdt 7 dagen en nachten , ot .etmaalen. v— Een Etmaal bevat dag en nacht, of 24 uuren.
§. 436. Zie hier voorts een
TAFELTJE VAN KLEINERE TIJDVAKKEN.
Week. Etmaal. Uuren. Minuut. Seconden. 1 1 I 7 168 f 10080 604800 | '* 1 24 144.0 86400 I
1 | 60 3600 J I 1 60 I
Men verdeelt zomtijds de feconde wederom in 60 tertzen; de tertz in 60 quarten, enz.
§. 437. L. Hoe hebt Gij deeze tafelen vervaardigd? Meester!
\ 438. M. Alleen door -vermenigvuldiging. —• Slaa Hechts uw oog op het tafeltje van Goud-en Zilverfmids gewigt, (§. 43*0 om één voorbeeld L 4 U Lt



16% TOEGEPASTE OPTELLINO.
uit allen te neemen. — i e§ houdt 2 Marken i maar een Mark houdt 8 Oneen, dus houdt een eg 2x8, of ió Oneen; doch de Once houdt wederom a Looden, dus houdt dan de Mark 2x8 = 16 Looden en het ÊÊ 2x2x8 of 32 Looden, en zo vervolgens met alle kleinere'indcelingen. — Dezelve handelwijze heeft voor alle de andere tafelen plaats.
§• 439' L. Moet ik deeze tafelen nu ook, even als die voor.,de vermenigvuldiging (%. 131.) van buiten leeren?
§. 440. M. Dit zoude in de daad een lastig en min noodzaaklijk werk zijn. — Neen; ik heb deeze tafelen alleen zo uitvoerig gemaakt, om dat liet een groot gemak geeft, terftond, zo wel met een opflag van een oog, te kunnen zien dat een Once, bij voorbeeld, 480 greinen medicinaal^. wigt houdt ($. 4340 als dat zjj 8 Scrupels bevat; en zo in alle andere gevallen. — Plet is echter noodig dat men de waarde van iedere éénheid, met betrekking tot de naast voorgaande of naast volgende indeeling van buiten weete: dat is, dat men, bij voorbeeld, van buiten weete dat 1 Last 27 Mudden , en 1 Mud 4 Schepels (§. 427.) dat 1 Vat 4 Ankers, 1 Anker wederom 32 Amfterdamfche Mingelen, of 64 Pinten, (§. 428.) enz. houde. — Dan dit leert men door het één- en andermaal in de tafelen op te liaan, geduurende het gebruik al fpoedig. — Wij willen derhalven zonder vertoev overgaan tof de
TOEGEPASTE OPTELLINO.
§. 441. Z. Verdaat Gij door ttegepaste optelling tuet hetzelve, Meester! wat in andere Reekenbocken 4<iditie 'in gelden genoemd wordt?
$• 442-



TOEGEPASTE OPTELLING. l6$
%. 442. M. Volmaakt. — Dan ik bedien mij bij voorkeur van cleezen naam, om dat 'er allerleije grootheeden, als drooge en natte maaten, ellens, gewigten, tijdperken, enz. even zo zeer als geldlömmen, het onderwerp van uitmaaken. -=Laat ons echter $ als naar gewoonte ^ met geldfommen eenen aanvang maaken. Tel dau ner vensftaande viet geldibmmen bij eikanderen. — Het zijn ƒ315—I2-~ 8 guldens, ftuivers en pcnnin- 37—18 — 14 gen, gelijk uit de voor ge- 9—7—6 plaatde ƒ (§. 424.) blijkt.— 758 — 10 — 12
Zij worden naamlijk op deeze —— r*
wijze gcfchreeven , ten zij ƒ1121— 9— 8 men, gelijk op de Koopmans comptoireti, gelijnd papier gebruikë, als wanneer de guld. ftuiv. en pcnn. afzonderlijk tusfehen lijnen geplaatst worden.
§. 443. L. Gelijk ik hier I ƒ315 I 12 1 8 ter zijde gedaan heb, Mees- j 37 j 18 | 14 ter l — Laat mij toe de op- 9 7 j 6
telling te beproeven. Eerst j 758 ) 10 | 12
vergaör ik de penningen, en -jj- —.
verkrijg 40. — Dan naar- ƒx121— 9— 8 dien iedere fom van 16 penningen eene duiver maakt, onderzoek ik hoe vijek zestien-tallen in deeze 40 bevat zijn: dat is, ik deel deeze 40 penningen door 16, om te zien
hoe veele duivers die reeds uitmaaken. Ik
vind 2 duivers, welke ik vervolgens bij de overige ftuivers optel, en 'er fchieten 8 penningen overr welke ik onder de penningen ter neder zet. — Voorts vind ik dat de 2 uit de penningen verkreegene duivers, bij de overige duivers opgeteld, 49 maaken; deeze deel ik door 20, volL 5 gends



TOEGEPASTE OPTELLING. 17*
A. ƒ816 12 4 B. |/3725 1 13 -.
79 8 10 258 17 4
3240 17 » I05 * *
523 8 14 5643 8 6
9 * 12 64 7 12
53 18 0 5 * 14
246 14 8 947 l ';; 10
C. ƒ5348 15 ' D. ƒ4750 * *
960 8 12 12306 16 12
16208 12 10 5008 2 4
3260 9 ' 916 9 8
608 17 14 105°° 18 "
23 3 8 19 * 14.
2045 18 * 348 16 10
326 7 12 . 8*8
7 e IO 12709 10 4
816 10 4 805 3 6
§. 447. Vergaêr voorts de volgende fommen Goud- guldens, ftuivers en penningen.
Goud-gl.St. P. Goud-gl.St. P.
A. 518 22 4 B. 7058 3 14
35 8 12 305 26 *
3407 3 ' 89ói " "
546 10 8 28 19 lo
7004 26 14 12760 8 s>
726 * 10 422 23 4
2059 20 12 2086 18 8
S. 448.



1J2 TOEGEPASTE OPTELLING.
§. 448. Tel de volgende lommen in Flaamscli geld uitgedrukt bij elkandercn.
6. %. pC. C. g.
A. 3706 10 8 B. 2705 3 7
5l8 3 10 293 10 8
59 16 4 " 82 « 10
1076 18 e 4705 11 7
207 9 l 10 112 2 8
] 354 f * I 6 34 10 9
1 251 7 I 11 2009 17 4/
oC. 6. g. oc. {?. §.
3570 10 8 D. 17086 18 11
236 87 237"| 6 7
28 9 11 315 „ 10
53°6 17 5 1 200 17 0
19 * 3 98 5 8
357 12 2 3507 - 6
512 II 6 8 2 | *
1 69 151 5 255 iofio
$. 449. Tel nu de volgende hoeveelheeden graanen zamen. Tlollandfche Maat.
Lalt. Mud. bch. Laft. Mud.Sch.
A. I 312 I 25 I 3 B. 107 \ 18 2
72 17 1 55 3 1
l 9 12 I 2 '200-23 2
j 108 I 26 j 2 64 3 3
f 44 I 14 I 3 105 21 1
I 16 I 22 { 1 87 19 3
Frie-



TOEGEPASTE OPTELLING.
Friefche Maat.
Groninger Maat.
Lop. Maat.Kop. Lop. Maat.Kop.
C. I 208 | 18 2 D. I 512 I 28 1 1
j 67 1 5 1 1 35 I 3i I 2
I 112 29 a 1 16 I 12 I 1
\ 80| 17 1 I 8 1 9 j 2
12 j * 2 59 I 20 I 1
} 203 j 20 2 1 3°° I 25 I 2
Oxh. Ank.Sto. Pint. Aam.St6k.Ming.
is.i43i"i. i"i p
5. 450. Vergaêr nu de volgende Wijnmaaten.
Laft. Mud. Sp. Laft. Mud. Sp.
E. 212 27 14 F. 108 28 9
77 9 8 17. 5 6
153 29 15 28 *9 "
64 32 * 45 * l-
93 21 ifc !8 7 x4
164 20 11 3 * 15
36 30 10 64 25 7
S< 451-



TOEGEPASTE VERMENIGVULDIGING. 179
A. Maak ƒ 3 65—12—* tot dubbeltjes, en Huivers.
B. Maakƒ731— 7 —8 tot oortjes, en duiten.
C. Maak/ 57—14 —13 tot penningen.
D. Maakƒ3763—19—12 tot penningen.
E. Maak ƒ634 G - guld., 18 ftuivers tot dubbeltjes.
F. Maak dezelve geldfom tot oortjes, duiten en penningen.
§. 464. Breng de volgende geldfommen nog tot de bepaalde onderdeden.
A. 537 o^, 16, 8 § tot grooten, en penningen.
B. 1325 , 16, 5 § tot grooten, en penningen.
C. 156 Holl. Rijksdaalers, 15 ft. 8 penn. tot grooten.
D. 425 Holl. Rijksd. 12 ft. 4 penn. tot oortjes.
E. 327 Halve Zeeuwfcbe Rijksd. tot grooten.
F. Even zo veele Achtfte Zeeuwfche Rijksd. tot duiten.
§. 465. Beantwoord mij nu nog de volgende vraagen in worpen en zakken gedaan. (§. 426.)
A. Hoe veel maaken 23 worpen Zestehalven, van 4 in de worp?
B. Hoe veel 87 worpen, van 5 in de worp?
C. Hoe veele Guldens maaken 150 worpen Schellingen?
D. Hoe veelgeld maaken 5zakken Zestehalven?
E. Hoe veel geld maaken 9 zakken Schellingen?
F. Hoe veel geld maaken 7 zakken Goudguldens?
G. Als iemand ontvangt 3 zakken Dubbeltjes, ieder van ƒ 200--«=--*, 5 zakken Zestehalven, 3 zakken Schellingen, cn 7 zakken Guldens, hoe veel geld zal dat zamen maaken?
H. Wat bedraagen 7 zakken Zestehalven, 4 zakken Guldens, 2 zakken Goud-guldens , en nog 17 worpen Zestehalven in eene fom?
M 2 §• 466'.



1§0 TOEGEPASTE VERMENIGVULDIGING.
§. 466. Breng de volgende drooge Maaten tot haare onderdeden. (§. 427.)
A. 57 Last, 16 Mud, 3 Schepels, Holl. maat, tot Schepels.
B. 5Last, 7 Mud, 1 Schepel, Holl. maat, tot Koppen.
C. 108 Loopens, 27 Maaten, Friefche maat, tot Maaten.
D. 36 Last, 31 Mud, 13 Spint, Groningey maat, tot Spinten.
E. 28 Mud, 15 Spinten, Groninger maat, tot Spinten.
E. 325 Tonnen-lasten tot Tonnen.
§. 467. Zeg mij de mindere Maaten welke in de volgende Hoofd - maaten wijn vervat zijn. (§• 4280
A. Hoe veele Pinten in 5 Oxh. en 2 Ankers?
B. Hoe veele Mingelen in 7 en een halve Aamen?
C. Hoe veele Rhijnl. cubique Duimen inhoud heeft een Oxhoofd?
D. Hoe veele zulke Duimen houdt een Stoop? §. 468. Maak nu de volgende Voet- en Elle-
maaten eens tot duimen. ( %. 429.)
A. 37 Voeten, 5 Duim Rhijnl. maat, tot duimen.
B. 59 Voeten, 10 duim Amft. maat, tot duimen.
C. 83 Ellen Brabandsch tot Rhijnl. duimen.
D. Het zelve getal Brab. Ellen , tot Amft. duimen.
E. 97 Amft. Ellen tot Rhijnl. voeten en duimen. §. 469. Zeg mij voorts hoe veele enkele ponden,
oneen, of looden 'er in het volgend grof gewigt bevat zijn? (§. 431.)
A. Hoe veele fg in 13 Schip Ê8, 18 Lijs-êfi,9ʧ?
B. Hoe veele in 57 Schip-gg en 12 t�
C. Hoe veele É8 in 33 Qiiintalen^
D. Hoe veele Oneen in 125 B en 24 oneen?
E.



TOEGEPASTE AFTREKKING. l$l
E. Hoe veele Looden in 27 f§ en 15 oneen?
§. 470. Breng nu nog de volgende fijnere en medicinaale Gewigten tot Aazen en Greinen. (5- 432—434-)
A. 2 Mark en 5 Oneen tot Aazen.
B. 17 Looden, 5 Eng. en 24 Aazen tot Aazen.
C. 10 Oneen, 1 Caraat en 7 Greinen tot Greinen. E. 2 Oneen, 7 Drachm. 2 Scrup. tot Greinen. §. 471. Beantwoord mij nu nog de volgende
vraagen, omtrent Tijdvakken. (§. 435, 436.)
A. Hoe veele Dagen zijn 'er van het begin der achttiende eeuw, naar de Christelijke tijdreekening, verloopen tot op heeden, terwijl gij de vraag oplost?
B. Hoe veele Minuuten zult Gij morgen middag te 12 uuren oud zijn, gefield zijnde dat Gij den vierden Maij 1780 's morgens ten 5 uuren en 36 minuuten geboren zijt?
C. Hoe veele Seconden zijn 'er van gisteren middag ten 12 uuren verloopen tot heden morgen ten 5 uuren 17 minuuten en .35 feconden?
§. 472. Na eene behoorlijke oplosfing der opgegeevene vraagen, zal het onnoodig zijn, dat wij ons lang beezig houden met de
TOEGEPASTE AFTREKKING.
§. 473. L. Daar deeze, even gelijk de Optelling en Vermenigvuldiging, op de kennis der indeeling van iedere munt, of geld-fom, van iedere maat, gewigt, enz. in derzelver onderdeden, berusten moet, Meester! ftel ik 'er mij ten minsten niets moeijlijks in voor.
§• 474- M. Trek dan ƒ253 — 17 — 8 van ƒ 528 19 — 12.
M 3 S- 475.



lBz TOECEFASTE AFTREKKING
§. 475. L. Zie het "hier ƒ528 —19 —12 ter zijde volbragt, Meester! 253 —17— 8
'Er telneten ƒ275 — 2 — 4 ■ ——
over. — Deeze vraag is al ƒ275— 2— 4 te gemaklijk , wijl boven juist meer. ftuivers en penningen gevonden woi** den dan beneeden. Geef mij maar eene andere, bid ik, waar in ik zal moeten leenen.
§. 47<5. M. Trek dan ƒ 136^- 17 — 14 van ƒ 216— io — 8.
§. 477. L. Wijl hier bo ƒ216—10— 8 ven minder penningen zijn 136—17 — 14
dan beneeden, leen ik 1 Hui- -■
ver van de 10 ftuiv. daar ƒ 79 —12—10 dan maar 9 over blijven. — ■ Deeze geleende Huiver, tot ƒ216—10—» 8 penningen gebragt, maakt met de 8 penningen, die boven gevonden worden, 24 penningen. — Van deeze trek ik de 14 penn. benecden, en 'er blijven 10 over. — Voorts leen ik bij de 'ovcrgebleevene ftuivers eene gulden , welke daar dan 29 ftuivers mede maakt. — Van deeze trek ik de 17 Huivers beneeden, en 'er fchieten 12 over. Van de nu nog over zijnde ƒ215 trek . ik de onderflaande ƒ136 en ik vind dat 'er ƒ 79 blijven. — Dat ik wel gedaan heb, blijkt uit de gemaakte proev, daar onder: want, als ik ƒ79— 12—10 wederom bij ƒ136—17 —14 optel, verkrijg ik, als boven, ƒ 216 - 10--8 (§• 443-)
§. 478. M. Als 'er nu eens in 't geheel geene ftuivers of penningen boven geweest waren, hoe dan ?
§• 479- L. Zo veel te gemaklijker. Ik
Igen eene geheele gulden, waar door dan het getal



TOEGEPASTE AFTREKKING. 183
tal van guldens eene gulden vermindert; voorts deel ik die geleende gulden in mijne gedachten in 19 ftuiv. en 16 penningen. — Bij voorbeeld. Hier ter zijde zoek ik het verfchil tusfehen ƒ 360--*-* en ƒ360- <• /•187-15—ia.—-Omdatte 187—15—12 doen verbeeld ik mij dat 'er, 1 in de plaats van ƒ 360 - f -- * ftaat ƒ 17 2 4—4
f 359--i9--i°~- *~ lk kan de , * 11 onderftaande fom als dan met gemak aftrekken, en ben dus alle zwaarigheid te boven.
«. 480. M. Gij begrijpt de zaak zo wel, dat ik mij verzekerd houde, dat Gij even gemaklnk zult flaagen in alle andere munten, maaten, gewigten , ellens, of wat het zijn mogen.
f. 481. L. Ik durv 'er mij mede^ vleijen, Meester ! Ik kan immers voor een oC Flaamsch, 19 f5 en 12 g; voor een Last, 26 Mudden en 4 Schepels; voor een Schip 8, 19 Lijs eb en 15 $& fchrijven, enz.
§. 482. M. Zoek dan flechts het verfchil tusfehen de volgende geld-fommen.
A. Tusfehenƒ759 - 7- 4 B. Tusfehenƒ507 - 8 en 397-12-10» en 239-12-12
C. Tusf. ƒ3752- 4- * D. Tusf. ƒ2001- 0-4 en 2095-16-14 cn 953-18-»
E. Tusfch. 907-0-8 F. Tusfch. 700- 7- D en 593-17-11 en 391-13-1°
M 4 G"GL



*84- TOEGEPASTE APTREKKINS.
G-Gl.St.P. G-Gl.St.Pf G. Tusf. 321- 8-14 H. Tusf. 201- 4- 6 en 37-23- 8 en 29718-12
§• 483- Stel voorts dat men de volgende bovenfte Maaten gekocht en ontvangen had, doch dat men 'er de beneedenfte wederom van verkocht en afgeleeverd had, en zeg mij wat men over houdt. '
Hollandiche Maat.
Groninger Maat.
§■ 484. Trek nu de volgende Gewigten van elfcauderen, en zeg mij wat 'er overfchiet.
.Last. Mud. ijpint. Last. Mud. Spint. C. 20 — 25 — 10 D. 50 — * — 7 13 — 3° — 12 19 _ 28 — 13
Oxh. Ank. Stoop. Pint. Aam. Steêk.Ming. E. 12 — 2 — 8 —- 2 F. 15 3 — 7 7 — 5 — 12 — 3 8 — 7 — 12
S-«.L.-ffl.«. s..Ê6. L É8. m.
a. van 260-- 3 -11 b. van 300- 7- 3 trek 109 - 15.- 13 trek I25 „ I2 _ IO
Last. Mud. bchep. Last. Mud. Schep, A. 32 - 18 - 2 b. 57 — „ — a
19 — 24 — 3 28 — 20 — 3
Mark.



£86
TOEGEPASTE DEELING.
ten, gewigten , enz. tot kleinere onderdeden bragt , zo zal men door de deeling een aantal zodaanige onderdeelen wederom tot hoofddeelen moeten brengen, om de uitdrukkingen te verkorten, en ons daar door fpoediger een denkbeeld van de waarde of hoegrootheid te geeven.
§. 488. M. Het is zo: want men heeft zelden een behoorlijk denkbeeld van eene grootheid, zo lang men die niet herbragt, of herldd, heeft tot den gewoonen ftandert van dat foort van grootheeden ; dat is, tot dat foort van éénheeden waar in men gewoon is te fpreeken, als, bij ons, voor geldfommen in guldens, voor gewigten in ponden, , enz. ,— Bij voorb. Stel eens dat Gij iemand om ƒ 50 — 0 — o geld verzocht, en dat hij U vroeg of Gij 16000 penningen wildet hebben, wat zoudt Gij antwoorden?
§. 489. L. Ik zoude in den eerften opflag niet weeten, Meester! of het meer of minder was , dan de fom waarom ik verzocht had, en dus genoodzaakt zijn om , gelijk hier ter zijde, die 16000 16] 16000 penn.
penningen eerst door 16 te
deelen, om 'er ftuivers van 100|o ftuiv.
te maaken, en daar na die
ftuivers op de gewoone wij- ƒ 50-<=-*
ze (§. 282.) 4por 20 te
deelen, ten einde dat aantal penningen in guldens te bekomen.
§. 490. M. Gij begrijpt de zaak volkomen; maar zo de beide bovenftaande dcelingen eens niet zo juist waren uitgekomen , wat dan?
§. 491. L. Dan waren 'er boven de gevondene guldens nog ftuivers en penningen overgebleeven, Meester! Bij voorbeeld, als ik 11420 penn. tot
gul-



194 alge m eene behandeling
guldens te hebben. — De 3578 worpen zestehalven , van 4 in eene worp, maaken ƒ 3935,8 of ƒ 3935 —16 —=.
§. 516. M. Ik heb niets op uwe befchouwing tegen, zij is recht, en met oordeel; maar merkt Gij wel dat dit in de daad dezelve bewerking is , als of Gij de worpen, door eene vermenigvuldiging met 11, tot dubbeltjes maakt , en deeze, door bet affnijden van de laatfte getalletter, tot guldens ? •
§. 517. L. Ik had het niet 3578 worpen gemerkt, Meester ! dan het is 3578
natuurlijk, en blijkt uit neven-
ftaan de behandeling. Echter ƒ3935,8 vertrouw ik dat mijne eerfte befchouwing meer vruchtbaar in de gevolgen is, wijl ik haar in andere gevallen met voordeel meen te kunnen toepasfen.
§. 518. M.,ln welke gevallen?
§. 519. L. In alle zodaanige gevallen, waarbij de munten een zeker opgeld, van een gelijk getal ftuivers boven de guldens plaats heeft, als bij de Ducaton en de Ducaat. — Immers behoeft men die munten flechts aan te zien als of zij uit een rond getal van 3 of 5 guldens beftonden, en 'er daar na een twintigfte deel op te leggen.
Up die wijze heb ik hier ter zijde bevonden dat 375 ducatonnen ƒ 1181 — 5— en dat 756 ducaaten juist eene fom van ƒ3969 uitmaaken.
Ducatonnen. Ducaaten.
375 75
3 5
1125 3780
56-5-* 189
/ii8i-5-* ƒ3969-"-''
520.



VAN MUNTEN EN GELDEN. IOJ
§. 520. 31. Ik ben ten uiterften voldaan over het doorzicht dat Gij toont in deeze bewerkingen. Men moet altijd op de kortfte middelen bedacht zijn, Zestehalven. wil men het werk met de min- 71536 fte moeite verrichten ; doch 2$
men moet zich teftens met oor-
deel van dergelijke kunstgree- 143072 pen bedienen. 35768
Zie 'er hier nevens een ftaal- 17884
tje van. Ik heb eerst 71536 • ■
zestehalven tot guldens ge- ƒ 19672,4 maakt, door eene vermenigvuldiging met i\ tot dubbel- Zestehalven. tjes, en eene daar op volgen- 71536 de affnijding van het laatfte 4/ • getalmerk. (§. 70.) Doch 17884 ziende dat het getal 71536 ' 17884
zonder overfchot door 4 deel- • ■ —
baar was, (§. 290.) heb ik ƒ19672,4 laager deeze deeling verricht, en daar door de enkele zestehalven in worpen van 4 veranderd, en voorts deeze worpen in guldens. CS- 5{5—5170 — Gij ziet dat de laatfte handelwijze in dit geval korter is dan de eerfte; echter is zij nooit verkiesbaar dan in dergelijke gevallen, waar in de deeling door 4 zonder overfchot gefchieden kan, naardien zij in alle andere gevallen moeijlijker en langwijliger zal worden dan dc eerfte; gelijk Gij zelv, door 'er de proev van te neemen, ondervinden zult.
§. 521. L. Gecv mij flechts eenige fommen zestehalven op, Meester! ik zal die alle op dc gemaklijk fte en voordeeügfte wijze trachten tot guldens, ftuivers en penningen te maaken; zommige N 2 door



I06 AL GEMEENE BEHANDELING
door cenc vermenigvuldiging met 5! tot ftuivers; andere door eene vermenigvuldiging met 2J tot dubbeltjes, andere door eene deeling met 4 tot worpen, en wat 'er dan in de bijzondere gevallen verder vereischt worde; naar dat mij de eene of andere handelwijze gefchikter voor zal komen.
§. 522. 31. Toon dan uwe oplettendheid aan de volgende fommen.
A. 3751. B. 7830. C. 549. D. 23716. E. 1973- F- 3=57- G. 756". H. 50723. I. 834. k. 5365. L. 802. M. 9184.
% 523' l. Verkiest Gij mij geene andere geldfommen ter herleiding, tot guldens, ftuivers en penningen, of tot c* , f>, §, of eenige andere benaammgen op tc geeven? Meester!
§. 524 31. Zeer gaarn, — Maak dan
a. 37085296 duiten tot guld. ftuiv. en penn.
B. Het zelve getal duiten toto?, f5, en S.
C. Het zelve getal duiten tot Ducaatcn.
D. Het zelve getal duiten tot Ducatonnen.
E. Het zelve getal duiten tot Zeeuwfche Rijksd.
§. 525. Zeg mij vervolgens het beloop van
A. 370185 dubbeltjes in qC, f5, en §.
h. 97402 fchellingen in rijders, guldens, en*
G. 542610 blanken in ponden Flaamsch enz.
I>. 237504 oortjes in goud-guldens.
E. 26045 braspenningen in ducaaten.
E. 854568 ftooters in rijders.
G. 971519 reaalen in guldens, enz.
li. 54102 achtttuivers-ftukken in guld., enz.
I.



VAN MUNTEN EN GELDEN. IQ?
ï. 25794 grooten in Holl. rijksd. en ftuiv. K. 807016 ducatonnen in zakken zestehalven. L. 623152 Zceuwfche rijksd. in guldens, enz. M. 54278 c£. Flaamsch in zakken guldens. N. 85297 zakken goud-guld. in guld., enz. O. 107126 goud-guldens in zakken fchellingen. P. 129275 achtfte Zeeuwf. rijksd. in guld., enz,
§. 526. Als ik voorts de navolgende fommen te betaalen heb, en ik verkies die te betaalen met zodaanige volle zakken geld als ik U op zal geeven, zo zeg mij vooreerst, hoe veele zakken ik tellen zal. Dan daar dit zelden of nooit met volle zakken zal uitkomen, zo zal ik U ook opgeeven, in welke munt ik het te kort komende wil aanvullen ; zeg mij dan ook hoe veele ftukken, worpen , enz. ik 'er van die fpecie bij zal leggen. Doch daar dit misfehien nog in geene ronde fora zal uitkomen, zo vraag ik eindelijk naar het klein geld, dat ik bij zal moeten tellen, om alles tot de laatfte duit toe af te doen.
§. 527. L. Laat mij vooraf zien of ik uwe meening gevat heb, Meester! — Ik ftel dan dat Gij te betaalen had ƒ 3765—12—8, en dat Gij die wildet betaalen,
zo ver mogelijk, ƒ3765 — 12 — 8
met volle zak- 6zak.guld.ZZf3600— *—o ken guld. Als . — . -
dan antwoord ƒ 165—12—8
ik dat Gij 6 zak- 150 worpen ƒ 165— = —
ken zoudt moe- ■„
ten tellen, en ƒ #_I2_8
dan zouden 'er
nog f 165 —12 — 8 te kort komen, gelijk ter zijde $e zien is. Deeze del ik dat Gij met worpen N 3 zes-



ALGE M EENE BEHANDELING
zestehalven, van 4 in de worp verkiest te betaar len; Gij zoudt dan nog 150 worpen zestehalven moeten tellen, en 'er voorts nog 12 ft. en 8penn. aan klein geld moeten bijvoegen, en dus zoude ik U ten antwoord geeven
6 zakken, 150 worpen, 12 ft. en 8 penn. is dit uwe meening? Meester!
_ §. 528. M. Volmaakt. Beantwoord mij dan op dien voet de volgende vraagen.
A. ƒ 2578 —3 —12 met zakken zestehalven en guldens.
B. ƒ 3705 — 8 — «« met zakken guld. en G. guld.
C. ƒ1513 —9— 8 met zakken G. guld. en guld.
D. ƒ 987— 10 met zakken fchell. en ducaton.
E. ƒ 7520—18—12 met zakken Holl. rijksd. en guldens.
F. 3180S 9C 5 § met zakken G. guld. en guld.
G. 2030^ 12 6 8§ met zakken zestehalven en daalers.
H. 5i6o£iof$4§ met rijders enG.guldens.
I. 8i5c^2fi6§met ducaaten en fchellingen. K. 709c£ 7'G ió § met zakken guld. en ducaat.
§. 529. L. Geev mij nu nog eenige vraagen, "bid ik, Meester! die betreklijk zijn tot eene vereffening van zekere fchulden, tegen andere betaalingen of verfchotten, of wat meer van dien aart mag zijn: wijl Gij te vooren (§. 498.) gezegd, hebt, en ik ook klaar begrijp, dat vraagen van dien aart ook hier te pas komen.
§. 530. M. Zeg mij dan wat ik zal over houden, of te kort komen, als ik fchuldig ben 186 G.-guldens, 15 ducatonnen, 2 zakken zestehalven, en nog 86 o€, 15 ê en 7 §; en dat ik daas
te-



VAN MUNTEN EN GELDEN. 2ÓI
E. Laat een Brabander aan een Hollander fchuldig zijn de volgende fommen ƒ350 — * — ƒ2718-12-8. ƒ 1307-9-12. ƒ137-10-8. ƒ1409-*-12. ƒ612 —2-10. ƒ89 — # — 4.
en de Hollander in tegendeel aan den Brabander 786 12 £ 6 %. 125 c£ 10 £5 5 g. 812 c4 10 fs 7 §. 78 oC 4 fi. en nog 1308 o£ 10 6 4 §. en zeg mij wie van beiden nog fchuldig blijft, en hoe veel?
F. Hoe veel zal iemand nog fchuldig blijven die op ƒ 3960—1 2—* reeds 693 ducaaten in betaaling heeft gegeeven?
G. Hoe veele ducaaten zal iemand ontvangen voor ƒ2113—5—0 als de ducaaten een dubbeltje boven het gewoone opgeld doen: dat is, als de ducaat tegen ƒ 5 - 7 -"betaald moet worden?
H. Hoe veel zal iemand gewonnen of verloren hebben, die voor ƒ 936 - 7 - 12 aan goederen gekocht heeft, als hij die zelve goederen wederom verkoopt voor 165 o€ 10 fj S §'?
.. I. Maar zo iemand voor 328 o£ 9 6 en 10 § aan goederen koopt, cn hij moet die wederom verkoopen voor ƒ 1875-12-8, hoe zal het dan bij dot van reekening met winst of verlies geleegen zijn?
K. Wie zal eerder een fommetje geld over gaeren , iemand die ƒ12000 - * - jaarlijks inkomen heeft en ƒ 25 's daags verteert , of iemand die Hechts ƒ8560 — * - inkomen heeft, doch ook niet meer dan ƒ 14 -- 12 — op een dag verteert; de eerde, of de laatfte?
L. Wat zal dan de eerfte der even gemelde Perfooneri 's jaarlijks over houden; en wat de iaat de?
M. Hoe veel zal iemand in 3 jaaren fchuldig N 5 moe-



S.02 ALGE AL BEHANDEL. VAN MUNTEN ENZ.
moeten geraaken, die den eenen dag meer, den anderen min, ƒ 10 - * - 's daags verteert, en niet meer dan ƒ2650 - „ - in een jaar kan winnen?
N. Wat mag iemand overhoops 's daags veiv teeren, die op een jaarlijks inkomen van ƒ7500 ftaat kan maaken?
O. Als iemand met eene waarde van ƒ12560-10-0 aan geld, of papier, van Amfterdam vertrekt, en eene reis door Frankrijk doet, en ƒ 5-70,1—\2—a op die reis verteert, én dan, naar Engeland willende overfteeken , voor het nog overgehouden geld, Engelfche Guinea's inkoopt, die hij tegen ƒ11 - 16 - het ftuk betaalen moet, dan vraag ik hoe veele hij op zal kunnen wisfelen, en hoe veel hij dan nog aan Hollandsch klein geld zal over houden?
P. Eindelijk vraag ik nog wat die zelve man, bij zijne te rug komst, op de hem nog overgebleevene Guinea's verliezen zal, als hij genoodzaakt is die te Rotterdam wederom tegen ƒ n -11 — te verkoopen, na dat hij 'er juist, tot Rotterdamtoe, 400 van verteerd heeft; en hoe veel geld hij wederom te Amfterdam zal t'huis brengen, als hem de reis van Rotterdam naar Amfterdam nog 6 ducaaten, tegen ƒ 5 - 5 - en daar boven nog ƒ 3--7-8 kost?
§. 533. L. Ik zal mijn best doen om U alle deeze vraagen naar behooren te beantwoorden, Meester! en dan hoop.ik zullen wij overgaan tot den Regel van drieën, naar welke ik zeer verlangende ben.
§. 534. M. Niet onmiddellijk. — Ik moet U vooraf onderhouden over de betrekkingen, welke de grootheeden op eikanderen hebben.
§. 535. L. W;at wilt Gij daar mede zeagen? Meester! £ ^6*






WisWnbig txcnoof&dia»:
Een onvermoeide arbeid komt alles te hoven.
waai de f 3 : _



REEKENBOEK
VOOR. DE
NEDERJLANDSCHE JEUGI?.






REEKENBOEK
voor dx
NEBEMXANBSCHE JEUGB.
d o o m
H- A E N E A E,
/l.L,M.PtIIL.DOCT.,EN LID VAN VERSCHEI'. DE NE GELEERDE GENOOTSCHAPPEN.
uitgegeeven door de
MAATSCHAPPIJ: TOT NUT VAN 'T ALGEMEEN,
eerste deel.
TV L E T D E N, hij D. du MORTIER, en ZOON,
en te 3EVE NT ER, bij j. H. de LAN O E.
m d c c x c i.



TELLING. II
fpreeken van een zeer groot getal nog zwaarigheid zoude vinden.
§. 37. M. Ik zeide U reeds te vooren (§. 15.) dat meii duizendmaalduizend een millioen noemt.— Gij zult vinden dat de millioenen dan, als de achterfte letter éénheeden , de tweede van achteren tienheeden, de derde honderdheeden, enz. (§.29.) uitdrukken, dat de millioenen dan'op de zevende letter van achteren vallen , zeg ik , of dat 'er zes getalmerken verloopen eer men tot enkele millioenen , of éénheeden van millioenen komt. — Ik kan mij derhalven voordellen dat ik met de zevende letter geheel op nieuw begin te tellen, dat is, dat de zevende letter wederom éénheeden zijn, van millioenen naamlijk , de achtfte tienheeden, de negende honderdheeden, enz. alle van millioenen.— Doch als dan zal andermaal de zevende letter van de millioenen, dat is, de dertiende letter geheel van achteren , de millioen maal millioenen uitdrukten. Deeze benaaming wordt wederom te
lang; en wijl men de millioen maal millioenen als een tweeden rang van millioenen kan befchouwen, noemt men die, ook volgens eene latijnfche woordpaaring, bimillioenen, of bij verbastering ook wel billioenen. — Deeze bimillioeneu befchouwt men wederom als éénheeden, en zo gaat men voort,tot dat men na verloop van drie zestallen letters, dat is, met de negentiende letter eenen derden rang van millioenen bekomt, dien men trim'illi oenen, of trillioenen noemt. ■ Na verloop van een'vierde zestal, of van 24 getalmerken, geheel van achter af gereekend, zal de 25de letter, eenen vierden rang van millioenen, quadrtmillioenen, of quadrillioenen geeven, enz.
§. 38. L lk zie dus dat ieder zestal letters eenen
niei.-



1- TELLING.
nieuwen rang van millioenen opleevert, die telkens volgens eene latijnfche buiging eenen nieuwen naam erlangt; dat men derhalven, hoe groot een getal ook worde, nooit meer dan 6 getalmerken te gelijk behoeft uit te fpreeken, het geen de zaak zekerlijk zeer gemaklijk maakt, mids dat men het latijn verftaa, of dat men de benaamingen der op eikanderen vólgende rangen van millioenen wel onthoude, t welk in overgroote getalen eenige moeijlijkheid zoude kunnen veroórzaaken.
§. 39. M. Gij hebt zeer wel aangemerkt dat men ieder zestal getalmerken afzonderlijk uitfprcekt: want dat het achterfte zestal alles uitdrukt wat beneeden een millioen is; het tweede zestal de millioenen van den eerften rang, het derde die van den tweeden rang; het vierde die van den derden rang, enz. — Dan wat uwe zwaarigheid wegens de benaamingen der bijzondere rangen van millioenen belangt, deeze is van geene de minste waarde: want, vooreerst komen 'er maar zelden getalen die tot den derden rang van millioenen, of trimillioenengaan, voor, en dus nog minder hoogere; en in de tweede plaats zijn deeze naamen in 't geheel niet noodig; het uitdrukken van den rang der .millioenen is alleen genoeg; als Gij zegt 375 millioenen van den derden rang, fpreekt Gij even vcrftaanbaar als dat Gij 375 trimillioenen zeide.
§. 40. L,. Nu zoude ik mij wel haast verbeelden dat ik alle mogelijke getalen, van evenveel hoe veele getalmerken, zoude kunnen uitfpreeken, als het mij maar geoorloovd was, om van achteren af, van 6 getalmerken tot 6 getalmerken, wezenlijke affnijdihgen te maaken,
§. 41. M. Deeze affnijdingen van 6 tot 6 getalmerken zijn niet alleen geoorloovd, maar zij zijn
noo-



telling: 13
p.oodig; en men maakt zelvs tot meerder gemak kleinere affnijdingen van 3 tot 3 getalmerken tus~ fcherj beide. — Dit doet men veeltijds reeds in kleinere getalen die maar boven de 1000 gaan: men vijf en dertig duizend, drie derd cn acht en zeventig wil fchryven, fnijdt men veeltijds de duizenden reeds door een fcheidKéken af, fchrijft aldus 35,378. — Om dan grootcre getalen uit te fpreeken, maakt men tweeërJeije alluijditigcn, grootere van 6 tot 6, en kleinere van 3 tot 3 getalmerken; cn men fchrijft boven bel tweede zestal van achteren eene m, om milliocrKit te betcckenen; boven het derde zestal w», c Enen van den tweeden rang, ofbi-
inillioenen aan te duiden; boven het vierde zestal mi, om trimillioencn te kennen te geeven, enz. — Ik zal door het volgend voorbeeld toetzen of Gij mij volkomen begreepen hebt. — Hoe zoudt Gij de onderftaande reij getalmerken uitfpreeken ?
158,421 |o76,'48o[95i,7ool685;47o{9So,i24l3t8,976
§. 42. Ik kan niet dwaalen, Meester! het zijn honderd acht en vijftig duizend vier honderd en één en twintig millioenen van den vijfden rang, of quinquilioenen, zes en zeventig duizend vier honderd en tachtig quadrilioenen , negen honderd één en vijftig duizend en zeven honderd rrimillioenen , zes honderd vijf en tachtig duizend vier honderd en zeventig bimillioenen, negen honderd tachtig duizend honderd en vier en twintig millioenen, drie honderd en achttien duizend negen honderd en zes en zeventig.
$• 43-



IJ-
TIENTALLIGE
$. 43. M. Ziet gij nu wel dat men op deeze wijze zonder eenige moeite tot in het oneindig voort kan gaan?
§i 44. L. Ik zie dit zeer klaar, Meester! Dan juist om dat ik zie dat men van de enkele éénheeden af, tot in het oneindige naar de linke hand kan voortgaan, zo valt mij deeze bedenking in; naamlijk, of men, van de éénheeden af, ook niet verder naar de rechte hand zoude kunnen voortwerken.
§. 45. M. Dit is zeer mogelijk ; dan de befchouwing daar van zal ons een geheel nieuw veld openen, te wceten, dat der zo genaamde decimaak, of
TIENTALLIGE BREUKEN.
§. 46. L. Wat noemt Gij breuken, Meester'.
§. 47. M. Een breuk noemt men één of meer zekere deelen van eene aangenomene éénheid.
§. 48. L. Wat v^'ftaat Gij door aangenomene éénheid?
§. 49. M. Ik zal U dit ophelderen. — De éénheid is nooit, zo dra zij op wezenlijke dingen toepaslijk gemaakt wordt, uit zich zelve bepaald; maar zij wordt bepaald door den fchrijver of fpreeker, die over zekere groothceden of getalen handelt. — Zij is dus nooit, in de toepasfing op beftaande zaaken, volftrekt, maar altoos betreklijk één, of eene éénheid.
§. 50. L. Verfchoon mijn traag begrip, bid ik, Meester.' en heb de goedheid van het mij, als 't mogelijk is, door een voorbeeld op te klaaren; ik begrijp U niet volkomen.
%. 51. M. Zie hier een voorbeeld. — Als ik
van



BREUKEN. tH
van een getal guldens fprcek, dan is immers iedere enkele gulden eene éénheid. ■— 5 guldens is een getal, beHaande uit 5 éénheeden, waar van iedere éénheid ééne gulden is. ($. 25.) Indien ik U 011dertusfchen van een getal Huivers, of dubbeltjes fprak, dan zoude in die getalen eveneens eene ftuiver, of een dubbeltje de éénheid zijn , uit welke éénheeden dat getal was zamengefteld. —< Maar indien ik U eens van guldens fprak, en daar echter ook eenige dubbeltjes of Huivers bij te pas kwamen, zouden deeze dan ook éénheden ..zijn?
§. 52. L. Als Gij van guldens fprak, en dus de guldens voor éénheeden nam, niet, Meester! immers zouden dan de dubbeltjes maar tiende deelen, en de Huivers maar twintig He deelen van éénheden , of van guldens, zijn.
§. 53. M. Zo ziet Gij wat ik met aangenomene éénheeden wil zeggen, en Gij ziet teffens wat men door een breuk of gebroken verftaat: want een dubbeltje, fchoon op zich zelve befchouwd eene éénheid zijnde, is met betrekking tot eene gulden, maar een deel der éénheid, of een gebroken. — 7 dubbeltjes zijn maar 7 zekere deelen, tiende deelen , naamlijk, van eene gulden, die ik voor éénheid aangenomen heb.
§. 54. L. Nu begrijp ik U volkomen. — Een gulden, hoe zeer eene éénheid op zich zelve, zal dan met betrekking tot een drieguldens-Huk, maar een gebroken, te weeten, een derde gedeelte, en. met betrekking tot een' rijder, maar een veertiende'gedeelte zijn. — Maar zijn alle gebrokens dan maar betreklijk?
§. 55. M. Niet anders. — In alle beHaande zaaken is eene iedere grootheid, volgens de verschillende betrekking waar in men die befchouwt,
of



i6
TIENTALLIGE
of een gebroken, of een geheel of een veelvuldig.-* Zo is een ftuiver met betrekking tot een gulden, een gebroken; op zich zelve befchouwd een stneel; en met betrekking tot een duit, veelvuldig; als beftaande uit veele, dat is, uit 8 duiten. — liene duit is wederom, met betrekking tot eene Itiiiver een gebroken; op zich zelve een geheel; en met betrekking tot een deel daar van, bij voorbeeld, met betrekking tot een derde van een duit, een veelvuldig. — Zo dat 'er dan even weinig een volttrekt geheel, als een volltrekt gebroken in de natuur aanweezig is. — Merk in het voorbij gaan aan , fchoon het niet onmiddelijk tot onze lesi,en behoort, dat het zo met alle zaaken geleegen is , zo dra men haar in betrekking tot andere belchouwt. — Een mensch is , met betrekking tot de maatfchappij , een deel; op zich zeiven een geheel; en met betrekking tot de zamenftellende deelen, als vleesch, bloed, beenderen, enz. een veelvuldig.
§. 56. L. Vergun mij nu te vraagen, Meester! wat Gij door tientallige 'breuken veritaat?
§. 57- M. Het zal mij thans niet moeijlijk vallen om U dit te verklaaren. — Wij hebben reeds ( §. 28 en 29.) gezien hoe iedere éénheid van een getalmerk m een getal het veelvuldig, en wel het tienvuldig of tienvoudig van iedere éénheid in het daar naast ftaande getalmerk ter rechtehand is, en teffens het tiende gedeelte van iedere éénheid in het daar aan volgend ter linke hand. Bij voorbeeld, in 3785 zijn drie duizendheeden, rhouderdheeden, 8 tienheeden, en 5 éénheeden. Nu is immers iedere van die 8 tienheeden het tienvoudig van ieder der 5 éénheeden, ter rechte hand daar naast; en zij is teffens het tiende gedeelte



breuken. 17
deelte van iedere der 7 honderdheeden, die 'er aan de linke hand naast ftaan. — Zo is ook iedere der 7 honderdheeden het tienvoudig van iedere der 8 tienheeden en het tiende gedeelte van iedere der 3 duizendheeden, welke 'er van de eene en van de andere zijde naast ftaan, enz. — In het algemeen, in een ieder getal van de rechte hand naar de linke, of in eene opgaande rij voortgaande, befpeurt men dat de éénheeden der achteréén volgende getalmerken telkens het tienvoudig van de éénheeden van het voorgaande getalmerk zijn; doch van de linke naar de rechte hand voortgaande, dat is, in eene nederdaalende rij, zullen de éénheeden der volgende altoos tiende deelen van de éénheeden der voorgaande getalmerken zijn. — Hier uit volgt dan, dat, als ik achter de aangenomene éénheeden naaide rechte hand andere getalmerken wil bijvoegen, dat het eerde getalmerk achter de aangenomene éénheeden , of geheelen, gelijk men de aangenomene éénheeden meest al noemt, uit éénheeden zal bedaan, welke maar tiende gedeelten der aangenomene éénheeden, of geheelen, zijn; dat het tweede getalmerk daar achter éénheeden zal bevatten, welke wederom maar tiende gedeelten van die van het voorig getalmerk, en dus maar tiende gedeelten van tiende gedeelten zijnde, niet meer dan honderdde gedeelten der aangenomene éénheeden, of geheelen bedraagen zullen; dus dat de éénheeden van het derde getalmerk maar dnizendde gedeelten , en die van het vierde maar tienduizendde deelen, enz. der aangenomene éénheid zullen uitdrukken of waardig zijn.
§. 58. L. Ik begrijp reeds wat Gij zeggen wilt, Meester! Alle die getalmerken , welke achter de aangenomene éénheid naar de rechte hand worden
I, deel. b ran-



20 TIENTALLIGE
juist tot duizendfte deelen loope, of uit 3 getalmerken achter de fcheiding beftaa; om dat 'er bij het affnijden der duizenden, in geheele getalen, altijd 3 getalmerken achter het fcheidteeken blijven. — Even klaar is het dat men geen geheel getal voor een ander kleiner geheel met eene tientallige breuk kan aanzien, zonder het aan te zien voor een getal dat duizendmaal kleiner is dan het anders zijn zoude. — Nu loopen deeze twee waardijen te veel uit elkander, dan dat men de eene ooit gevoeglijk voor de andere zoude kunnen neemen. Bij voorbeeld. Wanneer men U fchrijft dat een groot en fchoon huis, met een fraaije tuin 'er achter, voor 28,375 guldens verkocht is, dan zult Gij dit getal zekerlijk .in de eerfte beteekenis neemen, en nooit in de laatfte, vooreerst, wijl deeze prijs in 't geheel niet met de waarde van zodanig een huis overéénkomstig zoude zijn, en ten anderen wijl men nooit een huis bij duizendfte deelen van guldens verkoopt. Doch wanneer Gij ergens las dat een flinger in een uurwerk 28,375 duimen lang was, dan zoudt Gij dat zelve getal zekerlijk in de laatfte, en nooit in de eerfte beteekenis opvatten. Vooreerst, wijl de lengte van eenen flinger nooit met dit getal, in de eerfte beteekenis genomen, zoude kunnen ftrooken; en ten anderen wijl het nuttig zijn kan een flinger van een uurwerk in duizendfte deelen van duimen te meeten.
§. 66. L. Ik zie wel dat men in deezen weinig te vreezen heeft; maar kan men ook eene losfe tientallige breuk fchrijven, zonder dat'er geheelen voorgaan ?
§. 67. M. Even gemaklijk; men toont maar door eene o voor het Icheidteekcn te ftellen dat 'er geene geheelen bij zijn; ook laat men zelvs die o
wei



B B. E U K. E. N* 21
Wel achter, en fchrijft de breuk maar onmiddelijk achter een fcheidteeken. Als ik 5 tiende deelen alleen wil fchrijven, fchrijf ik 0,5 of ,5. Om 2 tiende en 5 honderdfte uit te drukken, zonder dat 'er geheelen voor af gaan, fchrijf ik onverfchillig, of 0,25 of ,25. Echter houd ik meer raadzaam dat men 'er de nul voorzette, teneinde het fcheidteeken , onder het leezen , nooit met een fcheidteeken , dat zins-halven geplaatst wordt , te verwarren.
§. 68. De nullen zijn in de tientallige breuken ook van deHzelvcu dienst als in de geheele getalen: want even gelijk in geheele getalen het niet aanweezig zijn van tienheeden, honderdheeden, enz. door eene nul in die plaats te fchrijven, wordt te kennen gegecven, (§. 33. en 35.) zo gefchiedt dit eveneens in de tientallige breuken, omtrent de tiende deelen, honderdlte deelen, enz. — Stel dat ik geene tiende deelen had, maar 5 honderdfte deelen, deeze fchrijf ik aldus, 0,05. Zo zal 0,005 dan 5 duizendfte deelen beteekenen, en 0,0005 zal 5 tienduizendfte deelen uitdrukken. Nog eens, 0,0508 zal 5 honderdfte, en 8 tienduizendlte deelen geleezen worden, enz. zijnde overal de plaat zen, waar geene deelen gevonden wierden door nullen aangevuld, ten einde de waarde der aanweezige gedeeltens uit haare plaatzing té kennen.
§. 69. L. Dit is een natuurlijk gevolg van de fchrijfwijze, of van de voortduuring der tientallige rij, (§. 58 en 59.) en heeft dus niets vreemds of moeijlijks; maar vergun mij dat ik de volgende bedenking maake, naamlijk , of men niet zomtijds het eene foort van grootheeden in een ander, dat tienmaalen grootcr of kleiner is, ogenbliklijk zoude kunnen veranderen, alleenlijk, door verandering B 3 van



*S5 TIENTALLIGE
van aangenomene éénheeden , en dus door het fcheidteeken Hechts een getalmerk voor of achterwaards te plaacfen. Bij voorbeeld, indien ik 32,5 guldens had, het welk even zo veel als 32 guideu en 5 dubbeltjes is , wijl ieder tiende deel van een gulden een dubbeltje bedraagt, of ik dan niet, door die tiende deelen in aangenomene éénheeden te veranderen, of tot eerde éénheeden te maaken, dat is, door het fcheidteeken in de plaats van voor, achter te dellen, aldus 325, of liever maar geheel weg te hiaten , wijl het nu, geheel achter flaande, toch niets meer beteekent . en derhalven door maar alleen 325 te fchrijven, of ik daar door, Yraag ik, die 32 en 5 tiende guldens niet ogenblikkig in 325 dubbeltjes zoude veranderd hebben?
§. 70. M. Zeer zeker; en bij omkeering zoudt Gij 325 dubbeltjes wederom aandonds in 32 en 5 tiende gedeelten van guldens, of 32 guldens en 5 dubbeltjes veranderen, door een fcheidteeken voor de 5 te dellen, en op nieuw 32,5 guldens te fchrijven; dan
§. 71, De nuttigheid van een fcheidteeken weg te neemen, te verplaatzen, of zo 'er geen is, aan te voeren, drekt zich veel verder uit. — Men kan daar door een getal aandonds tien, honderd, duizendmaalcn, enz. grooter of kleiner maaken naar welgevallen. — Bij voorbeeld, om U een algemeen en zeer gemaklijk geval te geeven, fchrijv 1,0000, dit is en blijft, zo als het hier gefchreeven daat 1 of de éénheid: want 'er daan niet dan nullen achter het fcheidteeken. Wil ik'er nu tien van maaken, ik zet het fcheidteeken maar één nul te rug, aldus 10,000. Wil ik die 1 honderdmaal vergrooten, of tot 100 maaken, ikfehuiv het fcheidteeken nog een nul voort, aldus 100,00. Als ik het fcheidteeken
nog



BREUKEN. 23
üog een nul te rug zet, en 1000,0 fchrijf, zul ik de 1 duizendmaal vergroot hebben; cn als ik het eindelijk geheel achter aan zet, 10000, zal de 1 in tienduizend veranderd zijn. Insgelijks zal ik door het fcheidteeken voorwaards op te fchuiven 10000 wederom in 1000,0 , 1000,0 in 100,00 enz. veranderen.
72. Hier uit volgt dan dat men een ieder getal terftond 10, 100 of 1000 maaien, enz. grooter kan maaken, alleenlijk door 'er maar 1,2,3 cl,z> "uilen achter te voegen: want daar door wordt het fcheidteeken, dat men zich altoos achter het laatfte getalmerk van een geheel getal verbeelden kan, fchoon het niet uitgedrukt ftaa, in de gedachten achteruit gefchoven. Bij voorbeeld, ais ik 365 tien maal wil vergrooten , fchrijv ik 3650: want daar ik mij eerst het fcheidteeken, dat men achter de geheelen plaatst, achter de 5 moest verbeelden, moet ik het mij nu achter de bijgevoegde nul voordellen, en dus zal het één getalmerk in de gedachten achter uit gefchoven zijn; hier door is nu de o in de plaats der éénheeden gekomen, de 5, die te vooren éénheeden waren, zijn in tienheeden veranderd, de 6, die tienheeden waren, zijn honderdheeden geworden , de 3, die honderdheeden waren, zijn in duizendheeden veranderd; dus is ieder getalmerk het tienvoudig geworden van het geen het te vooren was, bij gevolg ook het geheele getal tienmaalen vergroot. — Zet ik 2 nullen achter de 365, dan worden de 5 éénheeden aandonds 5 honderdheeden, en de 3 honderdheeden gaan tot 3 tienduizendhecden over, dus wordt ieder getalmerk het honderdvoudig van het geen het voorheen was, en bij gevolg ook de gcheeie waarde honderdmaal vermeerderd, of liet verandert van 365 in 36500, B 4 dat



24
TIENTALL I G E
dat is,van 365 éénheeden in 365 honderdheeden.— Voeg ik eindelijk 3 nullen achter 365, zo dat het 365000, of 365 duizend worde, dan gaan de éénheeden terftond tot duizendheeden, de tienheeden tot tienduizendheedcn, enz. over, en het getal wordt om dezelve reeden duizendmaal vergroot.
§. 73. Als men in tegendeel een fcheidteeken voor de 5 (lelt, dan worden de 5 éénheeden in 5 tiende deelen veranderd, de 6, die tiende deelen waren, worden nu éénheeden, en de 3 honderdheeden veranderen in 3 tienheeden. Ieder getalmerk wordt dus het tiende gedeelte van het geen het te vooren was, en derhalven het ganfche getal tienmaal kleiner. Het wordt dan 36,5, dar is 36 en 5 tiende deelen. — Als men het fcheidteeken nog een getalmerk voorwaards, of voor de 6 plaatst, aldus 3,65, dan worden de éénheeden honderdfte deelen, de tienheeden tiende deelen, en de honderdheeden veranderen in éénheeden; het getal wordt dan honderdmaal kleiner. — Ten laatften zal 0,365 maar een duizendfte gedeelte van 365 bedraagen.
§. 74. L. Ik vind dit in de daad zeer fraaij; Meester! hebt Gij nog meer omtrent deeze tientallige rijen aan te merken ?
§• 75. M. Voor het tegenwoordig niets bijzonders , dan alleen dat ik U aanraade van U het verhandelde volkomen eigen te maaken, wijl het den cenigen grondllag van de behandeling der getalen of van alle reekenkundige bewerkingen uitmaakt. — Een leerling kan zich nooit te veel moeite geeven om dit, niet alleen te begrijpen, maar ook om zich eene vaardigheid te verwerven, om 'er in het werkdaadige mede om te gaan. — Ik hoop dat het U niet verdrieten zal, dat ik U hetzelve vnog eens door geringe afbeeldingen tracht voor oogen te
ito-



breuken: '45
ftellen. —- Ik heb hier 5 vakjes geteekend, welke ik met A, B, C, D, en E gemerkt heb, zodanig dat het volgend telkens het tienvoud van het voorgaand, of het voorgaand het tiende deel van het volgend zij.
B 5 Als-



OPTELLING. 37
lijk optelle, vervolgens deeze bekomene fommen op nieuw vergaare; zo dan deeze laatfte fom aan de eerfte gelijk wordt, kan men zich bijna zeker houden dat de optelling richtig is, naardien bet zeer toevallig zijn zoude, dat men denzelven misllag, in de eene en andere handelwijze begaan had.
Ik zal het U door een klein voorbeeld ophelderen, 't welk Gij zonder nadere verklaaring uit het gezegde zeer wei begrijpen zult.
2378 2378
97Ö5 9765
3 209 8209
5290 ■
7856 5290
8432 7856
2478 8432
2478
44408
20352 — fom van het bovenfte deel. 24056 — fom van het beneedenfte deel.
44408 — geheele fom.
§. 108. L. Volgends den aart der tientallige breuken, reeds te vooren (van §. 56. tot $. 76. ) verhandeld , begrijp ik dat die juist gelijk geheele getalen zullen moeten worden opgeteld. — Is het niet zo ? Meester I
§. 109. M. Het is zo. —- Zij moeten, volgends haarc bepaaling (§. 59.) volmaaktlijk als geheele getalen behandeld worden. — Zie derhalven hier oea enkel voorbeeld Hechts van eene
C 3 o?-



3o OPTELLING VAN
OPTELLING VAN TIENTALLIGE BREUKEN.
Wijl het in die optellingen buiten tegenfpraak noodzaaklijk is , dat de éénheeden van dezelve waarde, of de gelijknaamige getalmerken onder elkanderen geplaatst worden, zo zal het in deezen eene beftendige wet moeten zijn dat men de fcheidteekens, wcike voor de breuken ftaan , of waar door de geheelen van de breuken gcfcheiden worden,onder eikanderen 453,5768 fchrijve, gelijk in het nevenftaande 7,35 voorbeeld gefchied is. 25,8
De optelling gaat dan uit den aart 0,75 der zaak onafgebroken van de breu- 2,005 ken tot de geheelen over: want zo 0,025 wel als 10 éénheeden eene tienheid, 12,1705
10 tienheeden eene honderdheid , . .
enz.maaken, zowelmaaken 10 tien- 501,6773 duizendfte deelen 1 duizendfte deel, 10 duizendfte deelen 1 honderdfte deel4 10 honderfte deelen 1 tiende deel, en 10 tiende deelen 1 geheel, zo dat 'er eene regelmaatig voortduurende overgang, van het eene deel tot het ander niet alleen, maar ook tot de geheelen plaats hebbe.
Ik gaa over tot U te onderhouden over de
OPTELLING VAN GEWOONE BREUKEN.
§. 110. L. Ik voorzie wel, Meester! dat het met het optellen der gewoone breuken niet zo gemaklijk gaan zal.
§. in. M. Het is zeker dat zij veeltijds eene meer langwijlige bewerking vorderen; dan de bewerking, die zij vorderen, is daarom niet moeijlijker te begrijpen.
Ik



BREUKEN. 39
Ik wil niet dat Gij U doer dien naam van breuken zult laaten affchrikken. — Ik verzeker U dat de breuken, in haaren aart wel begreepen zijnde, fchoon langwijliger te behandelen , echter niets moeijlijker zijn dan geheele getalen. — Vergeet alleenlijk maar nooit met welke deelen van een geheel Gij te d»en hebt, of welke betrekking die breuk, of die gebrokene deelen tot een geheel hebben; en als Gij verfchcidene breuken wilt zamenvoegen, van eikanderen fclieiden, of met eikanderen vergelijken, onderzoek dan eerst wel of die breuken dezelve, of verfchillende noemers hebben; dat is, of zij gelijke, dan of zij verfchillende deelen van de éénheid, of van een geheel zijn.
$. 112. L. Ik bid U,_ gaa voort, Meester! Ik zal uwer les indachtig zijn.
§. 113. M. 'Er zijn niet meer dan 3 verfchillende gevallen mogelijk. — Men moet of gelijknaamige breuken optellen; dat is, zulke die dezelve noemers hebben, bij voorbeeld, balven en halven, derde deelen en derde deelen enz.; of zodanige , welke wel ongelijknaamig zijn, maar waar van de noemer der eene in die der andere kan verwisfeld worden, gelijk halven en vierde deelen, vierde deelen en achtltc deelen, derde deelen en zesde deelen, enz.; of eindelijk zodanige, welke ongelijknaamig zijn, en waar van de noemer der eene niet in die der andere kan verwisleld worden, gelijk derde dceien en vijfde deelen, vijlde deelen en zevende deelen, enz.
§. 114. L. Laat ons ieder geval afzonderlijk behandelen, Meester! als Gij het goedvindt.
§. 115. M. Stel dan eerst dat men de gehjknaamige breuken \, i, | en \ moest optellen. — Ik fchrijf die alle onder clkandcren, gelijk hier C 4 ne-



4& OPTELLING VAN
van A beftaat, bevat 6 van die achtfte deelen. ~* Eindelijk bevat het vak D 5 van die achtfte deelen.
Ik zie derhalven dat i zo veel als f bedraagt, of in J kan venvisfcld worden ; dat i zo veel als | is, en daarom in { kan veranderd worden; en dat ik ze bij gevolg, daar in veranderd zijnde , met de overige i, als daar mede dcnzelven naam draagende, kan vergelijken, cn dus ook daar mede optellen.
Schrijf dan gelijk hier ne- i — ♦ i 4
vens; en tel de tellers zamen, , A ',
gelijk reeds ( §. 115.) geleerd + ~ T is, zo bekomt Gij V; dan t=t{5
wijl { een geheel maaken, - ■ ■ —
(§. 87.) en V = i + i is, .» = li
zo kunt Gij voor deeze y ook j+l, of ii fchrijven.
Zie hier ecnigc voorbeelden ter eigene oefening, onder beding als vooren. Q. 103 en 115.)
A B C D E
| 2 i j 1
ï 74 T
» 2 75
§. 117. Thans gaa ik lot het derde geval over, en ftel mij voor dat ik f en ± bij eikanderen moet tellen. Hier bevind ik mij niet alleen in hetzelve geval als zo even f §. 116.) dat mijne breuken denzelven naam niet hebben, maar ik zie nog daarenboven dat de noemer der eene breuk niet in dien der andere kan venvisfcld worden: want, dat ik geene derde deelen in vijfde deelen, of vijfde deelen



BREUKEN. 43
Jen in derde deelen kan veranderen, gelijk ik halven en vierde deelen in achtfte deelen konde verwisfelen. — Wijl het echter volftrekt vereischt wordt, dat men de breuken eerst tot denzelven naam brenge, eer men ze vergaêren kan , zo zal ik mij Hl de noodzaaklijkheid bevinden van de naamen, of noemers der beide breuken te veranderen, door hen te brengen tot eenen derden naam, of noemer waar in ieder afzonderlijk verwisfeld kan worden. Zie hier hoe ik dit teekenkundig verrichten kan.
Ik heb het vak A, dat een geheel verbeeldt, op en nederwaards door 2, lijnen in 3 gelijke deelen verdeeld, zo dat ieder recht opftaande ftrook een derde van een geheel, of $ vooritelt; ik heb hetzelve vak teffens, door dwarslijnen, in 5 gelijke deelen gedeeld; zo dat ieder dwars liggende, ftrook -} van het geheel aanduidt. — Het geheele
vak



■44 OPTELLING VAN BREUKEN."
vak is ondertusfchen daar door in 15 gelijke "'deekn gedeeld geworden.
Nu beftaat het vak B uit twee van die opflaande itrooken, of derde deelen, en drukt derhalven de breuk f uit, dan het bevat 10 van die vijftiende deelen m zich; dus kan | in \f verwisfeld worden. o -LV , 9 beIbat uit 4 dwars liggende ftrooken of vijfde deelen van 't geheel, en drukt daarom de breuk f uit; dan het bevat 12 van die vijftiende deelen in zich , dus kan | in verwisfeld worden. Zie hier dan deeze verfchillende deelen, derde en vijfde deelen naamlijk, tot eene en dezelve benaammg van vijftiende deelen gebragt, waar door zij dan ook als breuken van dezelve noemers (§• ."50 behandeld kunnen worden.
Hier beneeden de behandeling en twee voorbeelden ter oeffening daar naast.
TT — ITT
A B
1 z
T T
* f
§. 118. L. Ik begrijp dit zeer klaar, Meester'
maar moet men dan telkens, als men zulke breuken wil optellen, dergelijke afteckeningen maaken ?
§. 119. M. Neen; dit is onnoodig. — Ik heb Act alleenlijk maar op deeze wijze willen vooritelJenom U de zaak in den grond te doen begrijpen. Lr is eene andere handelwijze om zo veele gebrokens als men wil, en van allerleije verfchillende noemers, op te tellen, en 'er zijn kunstgreepen, om dit op de kortfle wijze te doen, alles zonder eemge teekening; dan wij hebben tot nog toe
gecne



VERMENIGVULDIGING. ^
geene genoegzaame gronden gelegd, om U deeze te verklaaren, alvvaarom wij dit tot nadere geleegenheid uitüxllen.
Ik zal U nu met betrekking tot de optelling nog deeze vraag doen. ■— Hoe zoudt Gij toch te werk gaan, bij aldien Gij driemaalcn hetzelve getal moest bij eikanderen vergaeren?
§. 120. L. Ik zoude dat getal '3 maaien onder eikanderen fchrijven, en dan vergaeren , gelijk wij geleerd hebben.
§. 121. M. Gij zoudt hier door de fom bekomen van driemaalen dat zelve getal; dat is, Gij zoudt hier door vinden hoe veel 3 maaien dat ge* tal bedroeg ; dan ik twijffel niet of Gij voelt wel de zwaarigheid , die 'er zijn zoude , indien Gij dit getal eens 1786 maaien moest neemen, om het dan 1786 maaien onder eikanderen te fchrijven; en Gij befpeurt dus Wel dat als men een getal eens eenige millioenen maaien moest neemen, en dus eenige millioenen maaien moest fchrijven, en daar na optellen, dat daar eens menfehen leevtijd , of nog meer mede gemoeijd zoude zijn, cn dat het dus ondoenlijk zoude worden.
§. 122. L. Ik voel deeze zwaarigheid, Meester ! dan hoe hier in te voorzien ?
§. 123. M. Door eene nieuwe bewerking, welke men multipliceeren, of vermenigvuldigen noemt. — Dus brengt ons deeze overwceging tot de midtipli' eatio, in 't nederduitsch
VERMENIGVULDIGING.
§. 124. L. Wat noemt Gij vermenigvuldigen? Meester!
125. M. Vermenigvuldigen is het veelvoud of
Z9-



5*
VERMENIGVULDIGING.'
twee naast eikanderen vindt, 2 getalmerken, enz* meer dan naar gewoonte vooruit fpringen.
Veele Meesters leeren dat men die ledige plaats, in dit geval onder de tienheeden, met eene nul zal aanvullen; dan fchoon dit op zich zeiven onverfchillig is, keur ik het af, om reden dat men als dan verpKgt is om, hoe veele getalmerken of 'er ook in den vermenigvuldiger gevonden worden, die nul telkens, bij iedere vermenigvuldiging met het volgend getalmerk, op nieuw achter aan te voegen, zo als in hetzelve, hier nevens ftaande, voorbeeld, op die wijze behan- 3568 deld, te zien is. 5203
Dit kan men nu in het vermenig- •
vuldigen van groote getalen gemak- 10704 lijk eens vergeeten; te meer wijl 'er 71360 akoos door het vermenigvuldigen 178400
van de 5 met een even getal, of van
een even getal met eene 5, natuur- 18564304 lijk eene nul geboren wordt, zo als zelvs in dit ons voorbeeld, bij de vermenigvuldiging met de laatfte 5 kan blijken; zo dat dan eene nul, achter aan de laatfte regel, geen kenmerk oplcevert dat men bij de voorige regel eene letter meer is binnen gefprongen.
Zie hier een ander voorbeeld waar in de tienheeden , honderdheeden, en duizendheeden in het bovenfte getal ontbreeken.
Dit heeft geene de minfte moeijlijk- 60008 heid. —1 Immers is al wat met nul 4 vermenigvuldigd wordt nul, en hoe ■ veel maaien men de nul ook nceme, 24003* men behoudt nul. —■ Men zegt dan 4 maaien 8 is 32; men fchrijft de 2 en houdt de 3. Vervolgens eene nul vindende, zegt men 4 maaien
&



VERMENIGVULDIGIN O. 53
c is o, en men fchrijft 'er de gehoudene 3 voor in de plaats der tienheeden. Verder zegt men wederom 4 maaien o blijft o, en fchrijft die onder de honderdheeden; nog eens hetzelve onder de duizendheeden , en eindelijk 4 maaien 6 maaken 24.
§. 144. L. Kunt Gij mij ook eenig middel aan de hand geeven, Meester! om in het vermenigvuldigen van groote getalen geene misdagen te begaan ?
§. 145. M. Een zeer eenvoudig; cn waar van ik U in groote getalen veeltijds aanraad gebruik te maaken. — Stel dat men een groot getal, bij voorbeeld, 83526091758 met een ander groot geI;d 793542i6 moest vermenigvuldigen. — Maak dan het volgend tafeltje, het welk alle veelvouden van édn' uwer fa&oren, onverfchilligwelk.cn, doch gevoeglijkst den grootften, van het enkel-tot het tienvoud toe, bevat.
Dit tafeltje wordt alleen door optelling vervaardigd: immers zal men het tweevoud, het zij dan door het getal bij zich zeiven op te tellen, of wcrklijk niet 1 — 83526091758 twee te vermenigvuldigen, be- 2 — 167052183516 komen hebbende, het drie- 3 — 250578275274 voud aanftonds bekomen door 4 -— 334104367032 eene vergaaring van het édn- 5 — 417630458790 en tweevoud; het viervoud, 6 —1 501156550548 door het dén - en drievoud op 7 —- 584682642306 te tellen; en zo voortgaande 8 — 668208734064 met telkens het beneedenfte 9 — 75173482582a getal, of laatst bekomen veel- 10 — 835260917580 voud, met het bovenfte of éénvoud, zamen te tellen, tot dat men het tienvoud bekomen hebbe, zal het tafeltje vervaardigd zijn.
Indien men dan bevindt dat het tienvoud juist D 3 met



54 VERMENIGVULDIGING.
met het enkelvoud, of getal zelve , uitgenomen dat 'cr van achteren een nul is bij gekomen (§.72.) overéén ftemme, dan kan men zich ten fterkften verzeekerd houden van de onmogelijkheid dat 'er in cenig der bovenltaande getalen een misllag zoude kunnen plaats hebben. Bevindt zich het bekomen tienvoud daar en tegen niet alzo, dan is het even zeker dat 'er ergens een misflag begaan zij, die men op moet fpooren, en verbeteren.
Dit tafeltje vervaardigd zijnde, behoeft men 'er alleenlijk de noodige getalen, naar vereisch der getalmerken in den anderen fa&or uit te neemen, en deeze in behoorlijke orde (§. 137.) onder elkandereu te fchrijven, en daar na op te tellen, gelijk Gij hier beneeden gedaan ziet.
83526091758 79354216
501156550548 83526091758 167052183516 334104367032 417630458790 250578275274 751734825822 584682642306
6628147527000151728
$. 146. L. Deeze handelwijze bevalt mij bij uitneemendheid, Meester! Eensdeels wijl ik zie dat mm, na het tafeltje, waar in men geen misllag kan begaan, zonder dat zich die op het einde van zeiven ontdekke, vervaardigd te hebben, alleenlijk
zorg



VERMENIGVULDIGING. 55
zorg te draagen hcbbc dat men getrouw aflchnjve, en daar na voorzichtig optelle,. om zich van de deugdzaamheid eener groote vermenigvuldiging volkomen te verzekeren. Anderdeels wijl ik hier door ontdek dat men zelvs de zwaarfte vermenigvuldiging, enkel cn alleen door optelling, zonder behulp der tafel (§• 131.) verrichten kan.
§. 147. M. Ik zoude bijna wenfehen dat Gij deeze laatfte aanmerking niet gemaakt had, uit vrees dat zij U nalaatig maake in het wel van buiten leeren der gewoone tafel. — Gij zoudt echter eene Hechte vertooning onder dc Reekenaars maaken , indien Gij niet alleen de gewoone tafel niet kende, maar zelvs indien Gij de veelvouden van de getalen 11 en 16, van het éénvoud tot het negenvoud ingellooten, u™t in uw hoofd had; om reeden dat zij in het behandelen den Brabandfche en Hollandfchc munten, voetmaatcn, ellcumaaten en dcrzelver onderdeden zo veelmaalen te pas komen. — Dan ik heb U daar tegen eene andere aanmerking te maaken omtrent deeze handelwijze, die uwe wel te vreedenheid daar over mogelijk eenigzins maarteen zal. — Zij is dat Gij dezelve nooit dan in groote vermenigvuldigingen gebruiken moet, en dan nog maar onder zekere bepaaling: te weeten , als zich bijna alle dc enkele getalmerken, van 1 tot 9, in den vermenigvuldiger bevinden , gelijk zulks in het gegeeven voorbeeld plaats heeft.
§. 148. L. Ik vat de reeden, dunkt mij, Meester! want als de zelve getalmerken in den vermenigvuldiger dikwijls herhaald worden, zq_ dat 'er in 't geheel maar twee of drie verfchillende in voorkomen, zoude men, door wat meer oplettcnheid op de vermenigvuldiging met het eerfte der bijzondere getalmerken te vestigen, ook vrij zeker van D 4 eene



$6 VERMENIGVULDIGING.
eene goede bewerking zijn, wijl men als dan dc overige maar getrouw behoeft na te fchrijven, cn de gedachten dus niet zo geduurig ingefpannen tc houden. —- Men befpaart dan de moeite om volgens de gegcevene handelwijze (§. 145. ) alles ten minsten dubbel te fchrijven, en wint diensvolgens tijd , en plaats op het papier, of de leij.
§. 149. M. Het is zo, doch het is niet alles wat hier omtrent valt aan te merken. — Schoon men met alle getalen in zeker opzicht even gemaklijk vermenigvuldige, zo fchijnt ons echter de verdubbeling, of vermenigvuldiging met 2 de minfte ingefpannenheid van gedachten te kosten. — De reeden hier van is eensdeels daar in ffeleegcn dat de vermenigvuldiging der enkele getalmerken met 2, nooit boven de 20 loopt, en dat wij in het dageiijksch leeven, als van ogenblik tot ogenblik, met kleine getalen onder de 20 te doen hebben; anderdeels daar in, dat dc aangenomene maate onzer geldwaarde, de gulden uaamlijk, in 20 duivers ingedeeld wordt. — Zo zal een Zeeuw overhoops met de veelvouden, en onderdeden van het getal 52, waar in zij hunnen Rijksdaaler indeelen, seinaklijker, of gerecder, omgaan dan eenig ander inwooner der Nederlanden. — Wanneer zich dan het geval zo toedraagt dat de getalmerken in den vermenigvuldiger van tijd tot tijd het dubbel van een voorgaand getalmerk zijn, wordt de moeite der 'vermenigvuldiging hier door aanmerklijk verminderd. Bij voorbeeld, ars men 279358 met 6384a moest vermenigvuldigen, zo zal men met 2 vermenigvuldigd hebbende, het bekomen pro-duel alleen te verdubbelen, of andermaal met 2 te vermenigvuldigen hebben, om het produel van 4 te bekoIWcn \ en in de plaats yan mgt de volgende 8 te verme-



VERMENIGVULDIGING.
57
meftigvuldigen, zal men alleenlijk- wederom het produel van 4 behoeven te verdubbelen. Zo zal men daar na met 3 vermenigvuldigd hebbende, het produel van 6 door de verdubbeling van het voorig drievoud erlangen. — Eene nieuwe kunstgreep dus, welke, als dc gevallen het toelaaten, in de plaats der voorige mag gebruikt worden. ,
§. 150. L. Men loopt zekerlijk minder 'gevaar van misflagen te begaan, naar maate dc bewerking gemaklijker is: zo zoude men met 3 vermenigvuldigd hebbende, indien 'er een 9 volgde, het bekomen drievoud andermaal met 3 kunnen vermenigvuldigen. — Deeze kunstgreep fchijnt dan voor alle enkele getalmerken, uitgenomen de 3, 5 en 7 te pas te kunnen komen.
§. 151. M. 'Er is echter ook eene bijzondere kunstgreep voor de vermenigvuldiging met 5, waar over ik U bij eene nadere geleegenhcid hoop tc onderhouden. — Dan de zo even gemelde kunstgreep (§. 149.) kan nog van veel uitgebreider nut worden. — Stel eens dat men zeker getal, als 78056194 met een ander 3216S42 moest vermenigvuldigen. — Dit kan geheel en alleen door verdubbeling gefchieden: want als Gij met de 2, 4, en 8 even als boven te werk gegaan zijt, cn oplet dat 'er op de 8 een 6, en na de 6 een 1 volgt: dat is, dat'er op de 8, 16 volgt, en op die 16, 32; dat 16 het dubbel van 8, en 32 wederom het tweevoud van 16 maakt, dan kunt Gij voortgaan met verdubbelen : want het verdubbelde achtvoud zal TJ het zestienvoud, en het verdubbeld zesfienvoud het tweeëndertigvoud geeven. Alleen moet Gij zorgen , van zo dra Gij met 16, dat is, met 2 letters op éénmaal vermenigvuldigd hebt, gelijk Gij doet door het dubbel achtvoud te neemen, van dan, D 5 zeg



58 VERMENIGVULDIGING.
zeg ik, bij de vermenigvuldiging met de volgende letter, of letters , twee getalmerken of letters binnen te fpringen, ten einde de getalmerken op hunne behoorlijke plaats in de tientallige rij komen te ftaan. — Ik hoop gij dit begrijpt. Gij zult het anderzins terftont ontwaaren zo dra Gij maar éénmaal eene vermenigvuldiging op deeze wijze en, eene andere van dezelve getalen op de gewoone wijze met eikanderen vergelijkt.
78056194 321684a
Zie hier nevens het 156112388 voorbeeld met deeze 312224776 kunstgreep behandeld. 624449552
1248S99104 2497798208
251094443219348
§. 152. L. Deeze handelwijze heeft dan, daar de omftandighaedcn het toelaaten, niet alleen het voordeel van gemak aan te brengen, maar teffens van het werk te bekorten.
§. 153. M. Ja, en zomtijds zeer aanmerklijk, als zich de Reekenaar maar van de geleegenheid weet te bedienen. Trouwens een kundig en oplettend Rcekenaar is altoos op kunstgreepen ter verkorting bedacht, en gebruikt andere en andere, naar het geval zich toedraagt; zo dat het onmogelijk zij die alle op te geeven. — Om echter nog een {taaltje van deezen aart bij te brengen. Stel eens dat ik zeker groot getal met eeri getal als J44723618 moest vermenigvuldigen, waar in het tweede paar getalmerken van achteren het dubbel
' van



VERMENIGVULDIGING. £0
van het eerfte paar, en het derde paar weder het dubbel van het tweede paar, cn de drie overige, of voorfte, het dubbel van het derde paar maaken, immers is 36 = 2 x 18, 72 = 2 x 36 en 144 = 2 x 72. Ik zoude dan zo dra ik met dc twee eerfte getalmerken vermenigvuldigd had, deeze 2 regels aanftonds optellen om hetproduct van 18 te hebben, en daar na door verdubbeling voleinden.
Zie hier, om fchrijven uit te winnen, en 'er gemaklijk de proev op te maaken een voorbeeld met het kleinst mogelijk (§. 25.; in de plaats van een groot getal.
a Proev, door den anderen
144723618' factor voor vermenigvuldi-
, , ger te gebruiken. (§.141.)
16
a I44723618
n<5 ■
72 28CJ447236
144
288
289447236
5. 154. X. Ik bidU, Meester! geef mij eenige voorbeelden ter oeffening, en daar onder ook zodanige, waar op ik deeze verhandelde kunstgrecpen kan toepasfen.
§. 155. M. Zie'er hier verfcheidene. —Ik heb ia factoren maar onder de verfchillende letters boven eikanderen gefchreeven, ten einde JU zelvea de keuze te laaten, welke van beiden Gij voor vermenigvuldiger gebruiken wilt»
A.



6o VERMENIGVULDIGING VAN
A. B. C. D,
86374 287600 50007 9060301 97 963 28147 756840
E. F. G.
64321684a 27965834 4802401a 7005381 812793 975373
H. I.
730007300073 754300006128 68590000 560280014007
Oeflen U op deeze voorbeelden in uwe eenzaambeid , en laar mij de antwoorden zien, met de zelve letters geteekcnd. — Ik zal ondertusfchen thans met U overgaan tot de
VERMENIGVULDIGING VAN TIENTALLIGE BREUKEN.
5. 156. L. Deeze zullen zekerlijk ook in de vermenigvuldiging even als geheele getalen behandeld moeten worden, wijl zij 'er in haaren aart in geenerleij opzicht van verfchillen. C 5. 56. tot §.76.)
§. 157. ;!ƒ. Zij worden even als geheelen met eikanderen vermenigvuldigd. — Dan het zal 'er op aan komen om de waarde van het product na de vermenigvuldiging te bepaalen; dat is, de plaats te beftemmen, waar het fcheidteeken in hetproduè moet worden tusfehen gevoegd.
g. 158. Het zal ten dien einde noodig zijn dat ik U voorbehoede voor eene dwaaling waar in men gcmaklijk vervalt. — Als men twee geheele getalen met clkandcrcn vermenigvuldigt, zal het produ ft altijd grooter zijn dan één dm factoren.— Men
ge-



TIENTALLIGE BREUKEN. 61
geraakt hiér door gemaklijk iii een denkbeeld dat vermenigvuldigen cn vermeerderen woorden van dezelve beteekenis zijn; gelijk zij in den dagelijkfchen omgang ook altoos daar voor genomen worden. — Dan in de Reekenkunde beteekent vermenigvuldigen niet altijd vermeerderen. Het beteekent eene grootheid, of getal, eenige maaien, éénmaal, of een gedeelte van een maal, als ik mij van deeze vreemde uitdrukking bedienen mag, dat is, een halv maal, een derde maal, enz. te neemen.
§. 159. Zo dra ik nu een getal éénmaal neem, of met de éénheid vermenigvuldig, blijft het gelijk het is: want éénmaal 6 blijft 6; dus houdt hier aanftonds reeds het denkbeeld van vermeerderen op; en hoe veel fterker zal dit niet vervallen, zo dra ik dat zelve getal maar eens een halv, of een derde maal neem: want dan krijg ik 3 of 2, en dus wordt het getal verminderd in de plaats van vermeerderd ; "cn men ziet klaar dat dit bij de vermenigvuldiging van een getal door eene breuk telkens plaats zal hebben. — Onze verfchillende denkbeelden zijn oneindig meer in getal, dan wij verfchillende woorden hebben om dezelve uit te drukken. Dit geeft dikwijls aanleiding tot dwaaling en misverftand, het welk men, zo veel doenlijk is, door goede bepaalingen, en ophelderingen van woorden moet trachten te voorkomen.
§. 160. L. Zo zullen dan tiende deelen maar een tiende maal genomen; dat is, tiende deelen met tiende deelen vermenigvuldigd, flechts honderdfte deelen voortbrengen , en honderdfte deelen met tiende deelen Hechts duizendfte deelen, terwijl honderdfte met honderdfte maar tienduizendfte deelen zullen uitleeveren, enz.
§. 161. M. Het is zo. Zo zullen 0,5 met
0,5



52 VERMENIGVULDIGING VAN
0,5 vermenigvuldigd flechts 0,25 geeven. — Men ontdekt ook aanftonds, zo dra men deeze tientallige breuken in gewoone verwisfeit, dat dit recht is: want 0,5 zijn een halv. — Wijl nu de helft van een halv, maar een vierde is, en 0,25, of 25 hondcrdfte deelen, ook maar een vierde bedraagen, zo ziet men dat een halv maal een halv gelijk een vierde , en 0,5 x 0,5 zz 0,25 uitdrukkingen van volmaakt de zelve beteekenis zijn, de eene in tientallige , en de andere in gewoone breuken uitgedrukt.
§. 162. Deeze bedenking verfchaft ons nu terftond een zeker middel om te weeten hoe veele getalmerken wij, na gedaane vermenigvuldiging met tientallige breuken, door het fcheidteeken van achteren moeten affnijden, om de tientallige breuk van het produel te bepaalen. Naamlijk, men moet altoos zo veele getalmerken, door het fcheidteeken, als eene tientallige breuk , van het produel affnijden , als 'er getalmerken in de tientallige breuken der beide fa&oren zamengenomen zijn.
§. 163. L. Ik zie, Meester! dat het een onmiddellijk gevolg uit onze zo evenCJ. 160 en 161.) gemaakte bedenking is: want, tiende deelen van honderdfte deelen zijn maar duizendfte deelen; of tiende met honderdfte vermenigvuldigd geeven duizendfte : nu heeft 'er bij tiende deelen maar één getalmerk achter het fcheidteeken plaats , en bij honderdfte twee, daar nu duizendfte door drie getalmerken achter het fcheidteeken worden uitga* drukt, zo komen hier juist zoveel getalmerken in de tientallige breuk van het produel, als 'er in die der beide fatloren zamen zijn; en zo in alk andere gevallen.
§. 164. M. Gij hebt dit zeer wel begreepen. — Zie hier onder drie voorbeelden ter opheldering.
0,305



TIENTALLIGE BREUKEN." C3
o»305 0 > 75o8 28,075
0,85 0,605 12
1525 " 37540 56150
2440 45048 28075
0,25925 0,4542340 336,900
In het laatfte voorbeeld is bij den eenen fatlor geen breuk, derhalven heeft de breuk van het produel ook geen meer getalmerken, dan 'er in den anderen fatlor zijn. —- Het is klaar dat wanneer men door vermenigvuldiging eene nul, of nullen achter aan het product krijgt, dat men deeze, zeg ik, na dat de plaats van het fcheidteeken bepaald is, achter kan laaten: want dat 336,900 niets meer beteekene dan 336,9.
§. 165. Indien het ondertusfehen gebeurt dat men, na gedaane vermenigvuldiging, niet zo veele getalmerken in he,t produel bekomen heeft, als 'er in de breuken der beide facloren zamengenomen geteld worden, zo is men verpligt het bekomen produel zo lang met nullen naar vooren, of naar de linke hand, aan te vullen , tot dat men het vcreischte getal getalmerken bekomen hebbe, voor dat men het fcheidteeken plaatze.
o»257S
Zie een voorbeeld hier 0,008
nevens. —
0,0020624
§. 166. L. Dit is een onmiddellijk gevolg van het verhand eide , en heeft dus niets moeijlijks, Meester! — Ik verlang reeds naar de
ver-



Ó"4 VERMENIGVULDIGING VAN
VERMENIGVULDI ,GING VAN GEWOONE BREUKEN.
$. 167. M. Ik gaa op het ogenblik aan uw verlangen voldoen. — Zeg mij eens, als Gij 6 met 2 vermenigvuldigt, wat krijgt gij dan?
5. 168. L. Twaalv, Meester!
%. 169. M. Maar als die 2, in de plaats van geheelen , nu maar eens derde deelen geweest waren, zo dat Gij 6 met f vermenigvuldigd had, wat zoudt Gij dan gekreegen hebben ?
§. 170. L. Dan had ik ook niet meer dan maar een derde deel van dat produel bekomen, bij gevolg, maar 12 derde deelen, of maar 4 geheelen, zo dat mijn product dan drie maaien kleiner wierd.
§. 171. M. Zo leert Gij dan hier uit aanftonds, dat als Gij een getal met een gebroken, of breuk, vermenigTuldigen moet, dat Gij het dan alleen met den teller der breuk te vermenigvuldigen hebt, en dat Gij daar door deelen bekomt, die den zeiven naam of noemer hebben, met den gebroken verme. nigvuldiger.
%. 172. L. Zekerlijk: want als ik 6 met f vermenigvuldigen wil, bekom ik 12 deelen, die derde deelen zijn, even als de a waar mede ik vermenigvuldigd heb. — Zo dat ik, om met een gebroken te vermenigvuldigen, met den teller der breuk vermenigvuldigen moet, en (tellen den noemer onder het product daar van, om het waare produel te erlangen ;
2 , 2x6 12 immers is —< x 6 r= ~
3 - 3 3
§. 173. 31. Gaa nu verder, en (tel dat die 6, in plaats van geheelen, maar eens halven geweest waren; wat zoudt Gij dan gekreegen hebben ?
§• 174.



GEWOONE BREUKEN.'
65
$• 174. L. Buiten tegenfpraak niet meer dan halv Jzo veel, of de helft van of anders gezegd maar 12 zesde deelen, die maar 2 geheelen uitmaaken.
§. 175. M. Gij ziet dan dat uw product zes maaien kleiner is geworden, door halven met derde deelen, of derde deelen met halven te vermenigvuldigen, dan het geworden zoude zijn, indien de 2 en 6 beide geheelen geweest waren. — Hier uit blijkt derhalven dat men breuken met eikanderen willende vermenigvuldigen, vooraf de tellers met eikanderen vermenigvuldigen moet, waar door men zekere deelen zal bekomen, wier naam of waarde uit het vermenigvuldigde der-noemers met eikanderen zal bekend worden. — Dus, zeg ik, zullen 6 halven, met 2 derde deelen vermenigvuldigd wordende, zekerlijk 12 geeven: want het produel van 6 met 2 is onfeilbaar 12; dan deeze 12 zijn geene geheelen, om reden dat de factoren 6 en 2 zelve geene geheelen waren. Neen dcfaBoren waren maar halven en derde deelen; zij kunnen daarom ook niet meer dan halve derde deelen, dat is zesde deden,voortbrengen,en zo zal dan hetproduBder beide noemers 2 en 3, dat 6 is, de waardij der dénheeden in het eerfte produB 12 bepaalen, of toonen dat die 12 maar 12 zesde deelen, of ^ zijn.
§. 176. L. Ik begrijp dit volkomen. — Eene breuk met eene breuk vermenigvuldigd, geeft eene nieuwe breuk, wier teller uit het produB der tellers, en wier noemer uit het produB der noemers van de gebrokene faBoren beftaat.—Dus geeft f met J vermenigvuldigd of | x
§. 177- M. Het is zo. — Doch om U dit door eene afbeelding nog meer op te helderen, en even zichtbaar voor het oog, als bevatlijk voor den geest te maaken, zo ftel dat men \ met \ te vermenigvul-
I. deel. E digen



66 VERMENIGVULDIGING VAN
digen had: of dat men, met andere woorden, drie vierde deelen van vijf negende deelen moest nee¬
men; en dat het ter zijde geteekende vierkant A een geheel uitdrukte, hetwelk eerst door aanéénhangende lijnen in 9 gelijke deelen verdeeld was, en waar van men vervolgens ieder negende deel, door geflipte lijnen , wederom in 4 gelijke deelen , dat is dus, het geheel in 36 gelijke deelen ingedeeld had, om dat men vierde deelen van negende deelen te neemen heeft; dan
§. 178. L. Ik bid U, Meester! laat mij voortgaan. —- Dan zoude ik eerst eens 5 van die negende deelen , dat is dus 20 van die zesendertigfte deelen van het geheel, ter zijde ftellen , gelijk hier nevens onder
B; en wijl ik van ieder van die 5 negende deelen, drie vierde deelen moet hebben, zoude ik in ieder negende deel 3 van die vierde dceien teekenen, gelijk ik hier met een flip, of zwart vlekje, gedaan heb; en dan deeze geteekende vierde deelen
va»



GEWOONE BREUKEN. 6?
van negende deelen, of zesendertigde deelen van een geheel, na tellende, vind ik dat 'er 15 zijn: dat is, JJ; even gelijk ik door vermenigvuldiging van teller met teller, en noemer met noemer, zoude bekomen hebben. — Hier blijft mij dus de geringde zwaarigheid niet meer over, maar hoe nu te handelen met gemengde getalen? Meester!
§. 179- M. Men behoeft die Hechts in oneigenlijke breuken (§. 89.) te veranderen, cn dan als gewoone breuken te behandelen; het zij dan dat men die met geheelen, met breuken, of met andere gemengde getalen te vermenigvuldigen hebbe. — Zie hier een voorbeeld van een gemengd getal met geheelen vermenigvuldigd.
3 3 3 3 ' *
$• 180. Om een gemengd getal met eene breuk te vermenigvuldigen, heeft men, bijvoorbeeld,
»K=ï"ï=g«- «*?
§. 181. Als men een gemengd getal met een gemengd getal te vermenigvuldigen heeft, brengt meü die beide tot oneigenlijke breuken: aldus,
2I x 5! = Z x 1} — 7 * 23 = 3 4 34 3x4 ia
§. 182. L. Dit moet echter, als de geheele gefalen , die voor de breuk daan, wat groot zijn, de bewerking aanmerklijk doen uitdijgen, naardisn zij, E 2 eerst



68 AFTREKKING.
eerst beide met den noemer der bij hebbende breuken vermenigvuldigd moeten worden, en daar na deeze zo vermeerderde faStoren met eikanderen.
§. 183. M. Het is ook om die reeden dat men, om het werk te bekorten, in zodaanige gevallen dikwijls eenen geheel anderen weg in flaat; te weeten, men vermenigvuldigt de geheelen en gebrokens der beide fa&oren over en weder afzonderlijk met eikanderen, en bekomt door optelling der bijzondere produhen het algemeen en begeerd produel; dan daar wij tot hier toe de noodige gronden niet gelegd hebben om U dit naar behooren te ontvouden, zullen wij het tot nadere gelegenheid verfchuiven, en U vooraf moeten toonen op welke wijze getalen verkleind of verminderd worden.
§. 184. L. Ik herinner mij, Meester! dat Gij mij gezegd hebt (_§. 91.) dat een getal, uit deszelvs aart, voor niets dan voor vermeerdering en vermindering vatbaar was. — Daar wij nu gezien hebben hoe een getal, door 'er de éénheid, of een ander getal, bij te voegen , of door het getal zelv eenige maaien te neemen; dat is, door optelling, of vermenigvuldiging , vergroot of vermeerderd wierd, zo zult Gij mij nu willen leeren welke de kunstoeffeningen zijn om een getal van een getal af te trekken, of op eenige andere wijze te verminderen , of kleiner te maaken.
§. 185. M. Niets anders; wij gaan dus over tot de fubtractio, in het nederduitsch
AFTREKKING.
§. 186. L. Mij dunkt daar Gij mij den aart der getalen geleerd hebt, Meester! en deeze zekerlijk voor allerleije bewerkingen dezelve moet blijven,
dat



AFTREKKING, 69
dat deeze verrichting, om een getal van een ander getal af te trekken, niet moeijlijk zijn kan.
$. 187. M. Toets uwe krachten, en trek 53024 van 376598, en zeg mij wat 'er over blijft.
§. 188. L. Vooreerst zal ik het getal 376598 opfchrijven, en daar het getal 53024, dat ik van het eerfte af moet trekken, recht onder, wel zorg draagende ondertusfehen dat de éénheeden onder de éénheeden, de tienheeden onder de tienheeden, enz. komen te ftaan, gelijk hier nevens. Daar na zal ik 'er eene ftreep 376598 onder haaien, en trekken de éénhee- 53024
den van de éénheeden, de tienheeden ■ .
van de tienheeden, en zo vervolgens, 323574 fchrijvende telkens het overfchot daar onder, beneeden de ftreep, tot dat ik ten einde ben: aldus
Ik zeg, als ik 4 van 8 aftrek, fchieten 'er 4 over, of 4 van 8 blijft 4; deeze 4 fchrijv ik beneeden de ftreep, onder de éénheeden. — Voorts 2 van 9 blijft 7, welke tienheeden zijn; ik fchrijf die daarom onder de tienheeden. Doch de 5 daar op volgende honderdheeden, in het bovenfte getal, blijven geheel over, om dat ik daar nul, dat is, niets moest aftrekken, ik fchrijv 'er die daarom ook geheel onder. — Zo zie ik eveneens dat 'ervan de duizendheeden 3, en van de tienduizendheeden 2 overfchieten, doch dat de honderdduizendheeden wederom geheel over blijven; om dat 'er in het bcneedenfte getal geene zijn, die daar moeten worden afgetrokken. — Bij gevolg zullen de 323574, welke ik beneeden de ftreep bekomen heb, het cverblijfzel, overfchot, of rest geeven.
§. 189. M. Zeer wel: alleen zoudt Gij dat cverblijfzel nog beter verfchil genoemd hebben;
li 3 wijl



?0 AFTREKKING.
wijl de aftrekking eigenlijk bedaar in het verfchil te vinden tusfehen twee getalen: dat is, in te vinden hoe veel een zeker getal grooter, of kleiner, is dan een ander getal. Bij voorbeeld, als men vraagt naar het verfchil tusfehen 8 en 5, zo zal dit gevonden worden door 8 van 5, of 5 van 8 , af te trekken, als wanneer men zal zien dat 'er in het eerde geval 3 te kort komen, of dat 'er in het laatde 3 overfchicten; 't welk toont dat het verfchil tusfehen deeze beide getalen 3 is, of dat 8 en 5, met elkanderen yergclecken zijnde, 3 van eikanderen verfchillen.
§. 190; L. Hier moet dan uit volgen, Meester! dat men door het verfchil bij het kleinlle getal te tellen, altoos wederom het grootde bekomen zal. '
§. 191. 31. Buiten twijlfel; en wijl men gewoon is het verfchil tusfehen twee grootheeden uit te drukken door een liggend dreepje, dat men tusfehen de beide grootheeden in plaatst, en door minus, of min uitfpreekt: aldus, 8 —3=5: dat is, 8 min 3 zijn gelijk aan 5, zo volgt uit het gezegde, en uit uwe gemaakte aanmerking, dat als dau_5 + 3 — 8 zullen moeten zijn; en juist dit verichaft ons terdond eene proef op de aftrekkin°-: want, indien men geenen misllag inde aftrekking begaan heeft, dan zal het 376598 vcrlchii bij het afgetrokken getal we- 57024
derom opgeteld zijnde, het getal, J: .
waar van de aftrekking gefchied is, 323574 moeten uitleevercn, zo als hier nevens' , uit het reeds gegeeven voorbeeld q76ro8 (§. 188.) blijken kan, en uit den aart der zaak van zeiven voortvloeijt: immers zijn optelling en aftrekking twee tegen eikanderen over ftaande bewerkingen, waar van de eer.e noodzaak-
lijk



AFTREKKING. /I
lijk altoos die verandering herftelt, welke door de andere aan eenig getal te wege gebragt is: want, zo zoude de aftrekking eveneens ten toetze der optelling kunnen verftrekken, indien de bewerking niet, zo dra 'er meer dan twee getalen zamengeteld waren, te langwijlig wierd.
§. 192. L. Dit is allerduidelijkst,Meester! maar ik bemerk dat Gij mij juist een voorbeeld gegeevcn hebt (§. 188. ) van dien aart, dat telkens, van de getalmerken die boven eikanderen komen te ftaan , het bovenfte het grootfte was. — Zo dit eens anders om plaats had, zo dat ik eengrootergetalmerk van een kleiner moest aftrekken, of dat 'er in het bovenfte getalmerk nullen gevonden wierden : bij voorbeeld, zo ik eens 738969 van 5690732 moest aftrekken, hoe dan?
§. 193. M. De zwaarigheid is zeer gering. -»«Het eenigst, dat mij min of meer belemmert om U dit klaar te maaken, is dat men geene enkele getalmerken heeft, om getalen boven 10 uit te drukken ; doch ik zal daar in voorzien door twee getalmerken tusfehen twee haakjes in te fluiten, die dan maar voor één getalmerk zullen door gaan; en ten dien einde zal ik een klein getal ten voorbedde neemen. — Gij weet dat 84 =: 80 + 4 is; maar 84=704-14: want, 70 + 14 = 80+4? zo ik dus een getalmerk had dat in eens 14 uitdrukte, zo zoude ik door dat achter de 7 te Itellen, het getal van 84 ook kunnen aanduiden; dit nu niet hebbende, zal ik 84 aldus fchrijven 7 (14): dat is, 7 tienheeden en 14 éénheeden, die te zamen 84 uitmaaken. — Stel nu eens dat Gij 39 van 84 moest aftrekken. Als Gij dat dan op de 84 gewoone wijze fchreev , gelijk hier ne- 39 vens dan kan de 9 van de 4 niet worden -— Ë 4 &



AFTREKKING. 73
$. 196. L. Maar zo de naaste letter ter linke hand nu eens eene nul ware, of dat 'er verfcheidene nullen op eikanderen volgden, van waar zoude ik dan leenen?
§. 197. BI. Van het eerstvolgende getalmerk op de nul of nullen, het welk daar door wederom eene éénheid van zijn foort verminderen zal. Doch dan veranderen alle nullen, waar over heen men geleend heeft in negens ; zie hier de reeden om welke. — Stel dat Gij 56.8 van 7000 wildet aftrekken ; deel dan die 7000 als hier nevens in 6990 + 10 7000 = 6990 + 10 cn de 568 in 560 + 8, zoek 568= 560+ 8
dan het verfchil, of doe de •
aftrekking, die dan mogelijk 6432=6430+ 2 is geworden , en Gij zult
bekomen 6430 + 2 = 6432, en teffens de reeden zien waarom dc overgeflagene nullen in negens zijn veranderd.
§.198. L. Ut zie het zeer klaar, Meester! want wijl ik maar 10 noodig had om te leenen, en 'er geene tienheeden, ook geene honderdheeden, voor handen waren, en ik dus genoodzaakt wierd om die 10 van eene duizendheid te leenen, zo moest ik wel, om niets te verliezen, 990 als tusfehen beiden ftaan laatcn, en van daar ontflaat die verandering van nullen in negens. — Ik zal naar uw voorbeeld (§. 193.) 7000 — 699C10) de 7000 nog eens hier nevens 568= 56 8
veranderen in 699(10), en dan • -
loopt het ten fterkften in het oog. 6432 —64-2
§• 199. BI. Gij kunt dan nu het verfchil tusfehen alle mogelijke geheele getalen vinden, of alle mogelijke geheele getalen van elkanderen aftrekken.
E 5 Neem



74
A F T R E K K IN© VAN
Neem eens uw opgegeeven voor- 569073 a beeld (§• 192O onder handen. 738969
Hier zegt Gij, 9 van ia blijft 3;
6 van ia blijft 6; 9 van 16 blijft 7; 4951763 8 van 9 blijft 1; 3 van 8 blijft 5; 1 van 16 blijft 9 , en eindelijk 4 blijft 4, en zo in alle andere.
§. 200. Ziehier nog eenige voorbeelden ter oeffening, en geef mij de verfchillen onder dezelve letters.
Wat is het verfchil Of anders
A. tusfehen 25786 G. van 1000200100
en 6849 trek 276854357
B. tusfehen 70001 H. van 7000010000
en 29746 trek 290670900
C. tusfehen 84057 I, van 5974002100
en 209 trek 7989721
D. tusfehen 97600 K. van 3212312101
en 20078 trek 709020975
E. tusfehen 16102 L. van 2100070810
en 9375 trek 900017078
F. tusfehen 99999 M. van 1207865016
en 87654 trek 590758709
§. 201. L- Gaan wij dan over, Meester! als het U zo goed dunkt tot de
AFTREKKING VAN TIENTALLIGE BREUKEN.
§. 202. M. Wij kunnen'er een woord van zeggen, dan naardien zij, uit den aart der tientallige breuken,



TIENTALLIGE BREUKEN. ?S
ken, van die der geheele getalen niet verfchillen kan' zoude het nutloos zijn hier bij ftil te ftaan.
Zie een voorbeeld hier nevens. Gij begrijpt ligtlijk dat de fcheid- 231,5734 teekens, zo wel van het verfchil, 97,8079
als van de getalen, welke men van ■ >
eikanderen aftrekt, rechtftreeks on- 133,7653 der elkandcren moeten blijven, als ook dat men over het fcheidteeken heen kan leenen , even als of het een geheel getal was, wijl eene éénheid wederom 10 tiende deelen, 100 honderdfte deelen enz. in zich bevat.
§. 203. L. Wijl de getalen, zamengenomen met eene tientallige breuk, of eene tientallige breuk alleen, in de daad geheelen zijn , zo dra men maar het laatfte getalmerk der tientallige breuk voor één-. heeden aanneemt, in de plaats van de werklijk aangenomene éénheeden, zo blijkt ook dat 'er, in gevalle van optelling of aftrekking, geen verfchil tusfehen geheelen of tientallige breuken plaats kan hebben.
§. 204. M. Dat is zo ; maar als Gij dan met twee, of meer getalen te doen hebt , zouden de nieuwe éénheeden van verfchillenden aart kunnen zijn: bij voorbeeld, de eene tiende, en de andere duizendfte deelen van de te vooren aangenomene éénheid.
§. 205. L. Daarom moeten juist de fcheidteekens onder eikanderen blijven , of men moet alle tientallige breuken evenveel getalmerken geeven, door die, welke minder hebben dan de meeste, met nullen aan te vullen: bij voorbeeld, als ik een getal, met eene tientallige breuk achter zich, van een getal zonder breuk wilde aftrekken, dan moet ik achter het laatfte zo veele nullen voegen, als 'er



DEELING. 83
. §. a30> M. Dat is zo: want men kan de breuken altoos als overblijfzels van deelingert befchou-' wen , alwaarom zij ook onder die gedaante gefchree ven worden. (§.226.) Dus, willende 8 door 3 deelen, zoude de 3/ 8/ 2f uitkomst beloopen , om dat 'er 6 na de aftrekking van 2x3 = 6 van ■*— de 8, nog 2 overfchieten, als hier 2 nevens; welke 2, zo wel als de overige 6 , door 3 behooren gedeeld te zijn , dan niet anders dan door de breuk f kunnen worden uitgedrukt , om dat de 3 niet volkomen éénmaal meer, of geheel, in de 2 vervat zijn.
§; 231. L. Dit loopt van zelv in het oog* Meester! mag ik maar een Voorbeeld mét meer dan één getalmerk verzoeken?
§. 232. M. Ik zal U meer dan één getalmerk in het deeltal geeven, maar tot nog toe een enkel getalmerk in den deeler behouden.
Deel dan 6396 door 3. ~ Gij ziet \vel dat Gij meer dan één getalmerk in den uitkcjnist zult beko^ men, en dat Gij dus die getalmerken, niet allen te gelijk, maar het één na het artder zult Verkrijgen. — Deel dan eerst de 6 duizendheeden door 3, en gij zult 2 vinden, of eigenlijk 2000, om' dat gij duizendheeden gedeeld hebt. Gaa dan, telkens na behoorlijke aftrekking, eveneens met de honderdheeden, tienheeden, en éénheeden te werk, en gij zult 2000-f-100+ 30+ 2:02132 erlangen, welke gij of onder, of naast elkandereri kunt plaatzen naar welgevallen. — Zie hier achter het voorbeeld op de eene cn andere wijze. — De eerfte handelwijze fchijnt echter, zo men 'er eenige keus omtrent wil doen, wegens de optelling, de gevoeglijkfte.
F * %l



64 DEELING,
3/6396/2000 3/6396/2000+I00+30 + 2
6000 6000 of
—- —- 2132
396 100 396 300 300
96 30 96 90 90
62 6
6 — 6
— 2132 —
o 1 O
§• a33- Het fchijnt mij zeer eigenaartig, Meester! dat als 'er duizendheeden, honderdheeden, enz. in het deeltal zijn, en de deeler alleen uit éénheeden , of uit een enkel getalmerk, beftaat, gelijk in dit geval, dat 'er dan ook duizendheeden, honderdheeden, enz. in den uitkomst moeten komen.
§. 234. M. Dit gaat echter niet altoos door, en heeft fleehts alleen dan plaats , wanneer de deeler in het eerfte getalmerk van het deeltal bevat is, gelijk in het voorgaand voorbeeld: want, dit zo niet zijnde, moet men aanftonds twee getalmerken van het deeltal-zamen neemen, of vraagen hoe veel maaien de deeler in de twee eerfte getalmerken van het deeltal gaat, en als dan vervalt ook uwe aanmerking : bij voorbeeld. Stel dat men 2592 door 8 wilde deelen, dan gaat de deeler 8 niet in het eerfte getalmerk 2 van het deeltal ; dat is, in de duizendheeden; dus komen 'er ook geene duizendheeden in den uitkomst; maar men moet de duizendheedeo. en honderdheeden
za-



D E E L I N G. 85
zamen neemen ; dat is, men 8/2592/300 ^rnoet vraagen hoe veel maaien 2400 é
de 8 in dc 25 honderdheeden —— & ian, en het antwoord is 300 192 20
maaien. Als dan fchieten 'er, 160 na behoorlijke vcrmenigvuldi- «—— ging en aftrekking , nog 192 32 4
over. De deeler 8 gaat dan an- 32 dermaal niet in de 1, of in de —- -— honderdheid, (trouwens dit is o 324
onmogelijk, ten zij men dc eerfte maal eene honderdheid te weinig genomen hadde) en daarom moet men vraagen hoe veel maaien de 8 in 19; dat is, in 19 tienheeden gaan, en men vindt 2 maaien, dat tienheeden zijn, dus «o. — De 8x20 = 160 dan afgetrokken zijnde, blijven 'er nog 32. Hier moet men dan wederom terftond in 32 éénheeden vraagen, en het antwoord zal 4 éénheeden zijn.
§. 235, L. Ik erken mijne dwaaling, Meester! maar kan men alle die nullen hier niet, zo wel als bij de optelling (§. 98, 99.) en bij de vermenigvuldiging (§. 138, 139.) achterwege laaten?
§. 236. M. O ja. Ik heb die alleen tot hier toe flechts behouden, om U een juist denkbeeld te geeven van 't geen 'er eigenlijk bij eene deeling verricht wordt.
§. 237. L. Dat vleij ik mij thands zeer wel begreepen te hebben, Meester' Oordeel Gij of ik mij bedrieg. In het laatst voorgaand voorbeeld moest ik zoeken hoe veel maaien het getal 8 in het getal 2592 vervat was; of anders , tot h^e yeel maaien men 8 van 2592 kan afneemen, eer dat 2592 op is, zo men zegt; dat is, uitgeput, ©Jf verdweeucn. — Ten dien einde heb ik 'er F 3 eerst



9* b e e i, i n o.
vens gedaan is, en op hetzelve uitkomt: en het dén zo wel als het ander zal altoos korter ten minsten gemaklijker zijn, dan eene nieuwe vermenigvuldiging te onderneemen.
§• 259. L. Gij onderdek ondenusfchen in beide deeze gevallen, (§. 256, en 258.) Meester! dat ik het getalmerk in den uitkomst flechts ééne éénheid te klein, of te groot gegist heb, maar
§. 260. M. Niet verder. — Indien gij eene behoorlijke oplettendheid gebruikt, en het gezegde (§. 246, 247, 248, en 252.) wel in acht neemt, dan is het onmogelijk dat gij meer zoudt mistasten. Ik houd dit dus voor afgedaan; maar deel eens 392697118 door 7853.
§. 261. L. Ik befpeur al fpoedig, onder de bewerking, Meester! waarom Gij mij dit voorbeeld opgegceven hebt; want, na dat ik'er het vijfvoud van den deeler, die ervoor het eerst 5 maaien in bevat was , afgetrokken heb, fchieten 'er 7853/392697118/50006 Hechts 4 over, en dan 39265....
de 7 nedergelaaten heb- - ....
bende , verkrijg ik 47118 flechts 47, waar in
de deeler 7853 niet bevat wordt, hoe nu?
§. 262. 71/. Nul in den uitkomst zetten, en nog één getalmerk meer laaten afdaalen, en dan vraagen naar het hocveclmaal.
§. 263. L. Dan zoude ik andermaal nul bekomen: want 7853 is in 471 nog niet bevat.
§. 264. M. Schrijf deeze ook andermaal in den uitkomst en laat nog een getalmerk afdaalen; vraag op nieuw, en gaa zo voort tot dat 'er de deeler weder in gaat.
§. 265. L. Dgn volgt'er nog eens »j//,cn eindelijk 6\s zo dat dc uitkomst 50006 worde. §. 266.



D E E L I N G. 93
§. 266. M. Zeerwel. — Deel nu eens 3600012 door 12.
§. 267. L. Hier fchiet na de eerfte aftrekking niets over, dan de achterfte 12. — Als ik dus van plaats tot plaats voortgaa, en de eene nul na de andere laat afdaalen (Want waare getalmerken worden hier niet gevonden (§. 30—33.),) zoude ik vier nullen achter elkanderen in den uitkomst 12/ 3600012/ 300001 krijgen: want , na de 36 afdaaling van de 1, gaat • 'er de deeler 12 nog ter- '00012 ftond niet in, en de ge- 12 hcele uitkomst zoude —— dus 300001 worden.
§. 268. M. Dat hebt gij zeer wel opgemerkt: immers kan men in alle dergelijke gevallen aanftonds veilig zo veele nullen in den uitkomst plaatzen, als 'er nullen achter eikanderen fn het deeltal gevonden worden; doch dan moet men opletten, en wel zorg draagen van 'er nog zo veele nullen daar boven achter te voegen, als men plaatzen moet voortgaan, voor en, aleer 'er de deeler in gaat.
De reeden loopt aanftonds in het oog, zo dra men maar eens een geval naar den oorfpronglijken regel (§. 232.) behandelt.
Zo gaat hier nevens 365 in 365 mil- 365/365,000365/1,000000 lioenen en 365 tast- 365,000000
baar eerst een mil- ■ .
lioen maal, en dan 365 -f-1
nog éénmaal: dat is, 365 1000000+i"maalen. Bij gevolg is 'er in ' 1,000001
den



94- ö 6 E I, I n G.
den uitkomst niet alleen gebrek aan hondercWuiiendheeden , tienduizendheeden, en duizendheeden , maar ook aan honderdheeden en tienheeden ■ zo dat 'er in den uitkomst niet flecht drie maar vijf nullen achter eikanderen komen;
§. 269. L. Ik heb dit klaar begreepen, Meester! wat wilt Gij verder dat ik doe?
§. 270. M. Dat Gij 47064806452263882 door €9378378 deelt.
§. 271. L. Welke getalen, Meester! Ik vrees dat ik deeze deeling niet zonder misflag ten einde brenge.
§. 272. M. Ik zal U een hulpmiddel aan de hand geeven , waar door Gij niet alleen deeze, maar veel grootere deelingcn , fchoon zij zelden of nooit zo groot te pas komen, met volkomene bewustheid van niet gedwaald te hebben, Verrichten kunt.
§. 273. Maak U een tafeltje van de Veelvouden van den deeler, tot het negenvoud toe; eVen gelijk ikü bij de vermenigvuldiging ( §. 145.) geleerd heb van éénen der factoren te doen, en op dezelve wijze. Plaats dit tafeltje ter zijde uwer deeling; als dan kunt Gij U ten minsten nooit iri het hoeveelmaal Vergisfen, en derhalven nooit vruchtloos werk doen; behalven dat Gij Van alle uwe vermenigvuldigingen volkomen zeker zijt, en bij gevolg flechts naauwkeurig af te fchrijven, en met oplettendheid af te trekken hebt, om van allen misflag bevrijd te blijven; vooral wanneer Gij, onder de bewerking, Van aftrekking tot aftrekking de proev (§. 191.) maakt, zonder dat gij die echter behoeft neder te fchrijven. — Zie de volkomene uitwerking hier beneeden. De uitkomst (laat onder het tafeltje, wegens de kleinheid van het papier. §. 2?Ai



» E ê t,i nr 9*5
§. 274,
1. — 69^78378/^7004*0645116388*
2. — 138756756 416270268
3. — 208135134
4. — 277513512 S43777965
5. — 346891S90 485648646
6. — 416270268 —-- .
7- — 485648646 S8139319: •
8. -555027024 S55O27024
9. — 62440540a 1 z <
2 6 a. 6 6 1 6 8 3 • . • • « 308135134
tfotor. 48564864.6
^8378593 —^
* 3/ Jïtftxsxs 59«168403...
555027024 • • •
41*4I3 79 8 • • 34689l8pO. •
453 19088 524405402 •
008135134 1728
Komt wederom • 11 »— ■ . -
bij proev 47064806452x63882
§. 275. L. Zeg mij nu eerst, bid ik, Meesterï hoe ik- eene volkomene bewustheid erlang, gelijk
Gij



96 » b e i. i k «:
Gij U zo even (§. 272.) uitdrukte, dat ik nergens eenen misflag begaan heb, al was het dan maar in liet overfchrijven der veelvouden van den deeler; en dan waarom Gij het deeltal zelv, en alle de overfchotten, op het laatfte na, met eene andere letter gefchrceven hebt dan de veelvouden des deelers, en het laatfte overfchot, ten einde der deeling?
§. 276. 31. Het eerfte gefchiedt door het maaken eener algemeene proev, en het laatfte heb ik gedaan om die proev gemaklijk te kunnen werkstellig maaken: want, als gij het laatfte overfchot met alle de gebruikte veelvouden des deelers, zo als zij in de bewerking onder eikanderen ftaan, wederom zamen optelt, en op nieuw het deeltal verkrijgt, gelijk hier gedaan, en verkreegen is, dan is het volftrekt onmogelijk (ten zij gij toevallig den eenen misflag door eenen juist ter zelve plaats gemaakten, en recht tegenftrijdigen misflag over het hoofd gezien had, voor welk zonderling en zeer zeldzaam geval men in alle proeven bloot ftaat) dat gij eenen misflag kunt begaan hebben.-— Deeze optelling wordt nu op deeze wijze gemaklijk zonder verwarring volbragt , echter is het juist niet noodig dat men eene verfchillende grootte aan dc getalmerken geeve. Men kan, na gedaane deeling, doorliet deeltal, en alle de overfchotten, hehalven het laatfte, indien 'er een overblijft, de pen haaien; of zo men op eene leij werkt, kan men die uitwisfehen; dan dit laatfte raad ik af, om dat men dan, in gevallen van misflag, niet ogenbliklijk de aftrekking op nieuw zoude kunnen nagaan, maar de deeling zoude moeten herhaaien , van het begin af aan.
»?7. L. Ik zie de reeden deezer proev reeds
door»



ï> E E L I N Gé 97
door, Meester! Immers moet de deeler met den uitkomst vermenigvuldigd, als de deeling wel gedaan is, het deeltal wederom daar ftellen: want, het zoude nooit waar zijn dat 3 vier maaien in 12 vervat was, als 3 maaien 4 geen 12 uitmaakten. — Nu maaken alle deeze veelvouden van den deeler juist het vermenigvuldigde van den deeler met den uitkomst uit, wijl ieder het vermenigvuldigde van den deeler met een bijzonder getalmerk van den uitkomst is, zijnde de vermenigvuldiging hier van vooren begonnen, gelijk in het tweede voorbeeld, onder het opfchrift van vooren zonder nullen , 't welk Gij mij bij het onderwijs in de vermenigvuldiging C §. 139.) gegeeven hebt. — Dat het overfchot 'er vervolgens bij gevoegd moet worden, zo de deeling niet juist opgaat, baart geene bedenking.
De proev is dan onmiddellijk in de uitwerking zelve geleegen, en alles, zo wel deeling als vermenigvuldiging, wordt hier alleen door eenvoudige optelling en aftrekking volbragt. — Hoe voortreflijk is deeze handelwijze, in groote deelingen , dan niet boven de gewoone! en hoe waar is niet uw gezegde ($. 91.) dat een getal, uit zijnen aart, flechts alleen voor meer of min vatbaar is, daar wij overal ontwaaren, dat alle reekenkundige bewerkingen in den grond op bijdoen cn afneemen uitloopen! Wat hebt Gij verder omtrent de deeling aan te merken? Meester! ,
§. 278. M. Niets verder, dan alleen dat ik U nog omtrent zekere kunstgreepen, waar van men zich zomtijds bedienen kan, en ook werklijk bedient , wil onderrichten ; als bij voorbeeld dat men door 10, door 100, door 1000 enz. willende deelen, flechts de laatfte getalmerken affnijdt. I. deel. G §. 279,..



9$ DEELING.^.
§. 279. L. Dat volgt uit liet geen wij omtrent <■ de tientallige breuken gezien hebben: (§.69—730 want, men plaatst hier een fcheidteeken, en maakt eene tientallige breuk; dus is 7Jt2/' —7586,3. zo ook '{§?5 =758,63, en 7#f?=75,863 enz.
§. 2-jo. M. Dan ook dat men, in de plaats van met 2 te deelen , flechts de helft van een getal neemt, liet welk van zommigen , met een zeer flecht cn gebrooken woord, halveer en genoemd wordt. Bij voorbeeld willende 62846 door 2 deelen , zo zegt men, altoos van vooren beginnende , de helft van 6 is 3, de helft van 2 is 1, de helft van 8 is 4, enz. waar door men 31423 verkrijgt.
Hier heb ik ondertusfehen niet dan evene getalmerken genomen: dat is , zodanige , welke zich door 2 zonder overfchot laaten deelen. — _ Indien 'er onevene onder zijn: dat is, die zich niet zonder overfchot door 2 laaten deelen, moet men bij het oneven getalmerk*! overlaaten, of één houden, die dan, met betrekking tot het volgend getalmerk, wederom eene tienheid wordt, (§. 29, 57 enz.) dus zegt men, de helft van 47618 willende neemen, de helft van 4 ft 2, de helft van 7 is 3:, de helft van 16 is 8, de helft van 1 is o, en de helft van 18 is 9. — Zo vindt men de helft van 7359 gelijk aan 36791' ™ 3679,5.
§.281. Als men nu de voorigchan- 27586,4
delwijze' (5$. 278, 279.) met deeze "*
paart, volgt dat men, door 20, 2tx>, i3793j2 2coo- enz. willende deelen , eveneens 2758,64
te werk kan gaan , gelijk hier 11e- —
vens, daar ik 275864 eerst door i379?32 20, daar na door 200, en einde- 275,864
lijk door 2000 gedeeld heb , en . '
de uitkomften flechts met tientallige 137,932 breuken heb laaten ftaan. §. 281.



DEELING.
99
%. 2S2. Moet men ondertusfchcn, in het bovenfte geval, geene tiende deelen, maar twintigfte deelen hebben, gelijk dat bij het maaken van ftuivers tot guldens te pas komt, wanneer men het overfchietend ge- 630745,3
tal, boven het uitkomend rond ge-
tal van guldens, in ftuivers, of 315372'! twintigfte deelen van guldens moet * over houden, dan moet men het afgefneeden getalmerk geheel laaten, en ?er de overgeblevene tienheid, zo 'er eene is, los voor zetten, om het getal van ftuivers te hebben , dat 'er overfchiet: want, in het voorig geval, (§. 281.) gefteld zijnde dat 275864 ftuivers waren , be-
£°Ttuim?" 137$>JA: dat k. 13793 guldens, en 2 dubbeltjes, of tiende deelen van guldens, of anders 4_ ftuivers. — In het hier gegeeven voorbeeld krijgt men 31537c guldens, en dan fchieten .er nog 13 over, die ji van een gulden, of 13 ftuivers blijven.
§. 283. L. Dit laat zich alles gemaklijk begrijpen, Meester! wat hebt Gij verder?
§• a84- M. Dat men zomtijds in tijd kan winnen, offchoon men ook eens een getalmerk meer moest fchrijven, door den deeler in twee factoren te ontbinden, en dan door den eenen fatlor voor, en den anderen na te deelen. Bij voorbeeld, willende een getal door 8 deelen, zo kan men 'er de helft van nee- 7^76324
men, van die helft nog eens dc — -
helft , waar door men ,'er « van 37986162
bekomt, en eindelijk van die vier- .—
de nog eens de helft, om 'er \ van 189940S1
te hebben, gelijk ik hier op zijde
met het getal 75976^4- gedaan 94970401 G 2 heb,



ÏOO DEELING.
heb, om dat 832x2x2 is. Dan in dit geval zoude het weinig gemak geeven , en langwijliger zijn , dan dat men terflond door 8 deelde , ©in dat men veel meer getalmerken moet fchrijven.— Indien men echter de hcblijkheid verkreegen heeft, om door een enkel getalmerk te deelen, zonder dat men de overfchotten behoeft op te fchrijven, dan kan men 'er niet zelden van alle kanten door winnen: dat is, in gemak, tijd, en plaats; wijl men als dan fpoediger en gemaklijker door twee enkele getalmerken, dan door twee getalmerken te gelijk deelt.
Men is als dan gewoon eene ftreep te haaien onder het deeltal, en den eenen fatlor des deelers daar voor te plaatzen, en 'er den uitkomst onmiddellijk onder te fchrijven; voorts haalt mert onder dien uitkomst wederom eene ftreep, fchrijft daar den anderen fatlor voor, en plaatst 'er den tweeden, of gezochten uitkomst onder: aldus
Stel dat men het getal 83726496 door 56 wilde deelen; dan weet 83726496
men dat 56^:7x8 is, dus heb ik 8/
eerst door 8 gedeeld, en daar na 1046581a door 7; of anders ik heb eerst 7/ — een achtfte deel van dat getal ge- 14951x6 nomen, en daar na een zevende deel van dat achtfte deel, dat is, deel.
§. 285. L. Gij had dan even goed eerst door 7 , en daar na door 8 kunnen deelen, Meester!
§. 286. M. Het blijkt bij den uitkomst dat het in dit geval onverfchillig geweest zoude zijn : wijl de deeler 56 juist in het deeltal opgaat, en 'er dus geene breuk kan overfchieten, door welken faüor men ook de deeling beginne; zie
hier



D E E L I N G. IOr
hier nevens de deeling met 7 83726496
begonnen. —- Dat het ech- 7/
ter niet altoos onverfchillig zij 11960928
met welken faclor men voor, 8/ —
of na deele, wat het gemak 1495116 aanbelangt, fchoon het, wat den uitkomst aangaat, volmaakt om het even zijn zal, kan uit het nevenftaand voorbeeld blijken. — Gij ziet hier dat 3792
men, eerst door 8 deelende, geen 8/
overfchot behoudt, wijl de 8 in de 474
3792 juist opgaat, en dat men daar 7/
na door 7 deelende, 5 over houdt, 6i\ of de breuk -f verkrijgt; doch dat men, de deeling door 7 beginnen- 3792 de, aanftonds dc breuk f bij de 7/ —— eerfte deeling krijgt, en dat men 541-^
dus bij de tweede deeling, door 8, 8/
een gemengd getal te deelen heeft, 6-f 't welk gij tot nog toe niet geleerd hebt te doen ; bchalven dat eene zodanige deeling, van hoe weinig belang ook, eene grootere ingespannenheid van gedachten vordert, als wel wanneer 'er geene breuk achter gevonden wordt.
§. 287. L. Ik zie dit, Meester! maar hoe weet men, zonder het getoetst te hebben, of 'er édn der factoren zonder overfchot in op zal gaan, of welke van beiden ? Of zijn 'er vaste regelen, waar uit inen dit van vooren kan beoordeelcn?
§. 288. M. Men heeft hier zekerlijk regelen op, dan eene verkreegene heblijkheid en vaardigheid van den reekenaar doet hier het meest. — Ook vereischt het werkftellig maaken van zommige deezer regelen weinig minder moeite, dan de onmiddellijke toets, uitgenomen in zeer groote getalen.
G 3 $. 289.



102 DEELING.
§. 289. L. Gij zult echter zo goed zijn van mij ook deeze regelen te leeren, hoop ik, Meester!
§. 290. M. Ik zal U die voor zommige getalmerken geeven, doch niet voor alle, wijl ons dit tc ver zoude afleiden.
1. Alle getalen, waar van het laatfte getalmerk even is, zijn door 2 deelbaar; om dat eene tienheid, of 10, door 2 deelbaar is. — Dus het zij 'er dan bij het voorgaand getal eene tienheid overfchiete, of niet, de tienheid is door 2 deelbaar, en het laatfte getalmerk is, volgens de onderftelling, door 2 deelbaar; derhalven is ook de tienhcid + het laatfte getalmerk door 2 deelbaar.
2. Zo zijn alle getalen, waarvan de twee laatfte getalmerken door 4 deelbaar zijn, geheel door 4 deelbaar, wijl ieder honderdheid, of 100, en daarom ook 200, en 300 door 4 deelbaar zijn: want, voorts is het bewijs als boven omtrent de tienheid.
3. Alle getalen , van welke de drie laatfte getalmerken door 8 deelbaar zijn, zijn geheel door 8 deelbaar om gelijke redenen, als boven omtrent de tienheeden en honderdheeden getoond is: want, iedere duizendbeid is door 8 deelbaar, bij gevolg ook één, of meer duizendheeden + de drie laatfte getalmerken.
4. Alle getalen welke met o, of met 5 eindigen, zijn door 5 deelbaar; om dat het alle juiste veelvouden van 5 zijn, gelijk uit den oploop deezer veelvouden 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 enz. duidlijk blijkt.
5. Alle getalen , van welke de fom der getalmerken door 3 deelbaar is, zijn ook zelve door 3 deelbaar; dus is 1791 door. 3 deelbaar , het
geen



HO DIELING VAN
plaatzen in de breuk van het deeltal meer heb dan in die van den deeler, zo moet ik ook twee oetaï me ken vo eene tawik, van den uitkomst afini den, waar door ik dan, even als boven («. t08 \ 76,12 tot antwoord krijg. u 3°S-J
t Verder begrijp ik gemaklijk dat men, als 'er nu nog een overfchot gebjeeven was, de deeling tot duizendfte, tienduizendfte deelen,' enz; had kun nen voortzetten maar kan, en moet mén in zul ke gaa ien de deeling altijd zo lang voortzetten tot dat 'er mets meer over fchiete? uul^eiten> 310. M. Men zoude dit, om de uiterfh» naauwkeurigheid te betrachten, wel moeten do dan het is m veele ofwel dc meeste gevallen onmogelijk. ^ Zie .h er dc reeden. De laatfte letter Van het deeltal is in deeze gevallen altijd eene mil. Zo dikwijls dan de laatfte letter van den deeler een oneffen getalmerk is, de 5 alleen uitgezonderd zo dikwijls is 'er ook eene volftrelue Onmogelijkheid dat de deeling, zonder eenig overfchot te laaten eindige: om dat de oneffene ge-, talmerken, behalven de 5, nooit eene nul tot laatfte getalmerk m het produB geeven, met evenveel welk ander getalmerk men die ook vermenigvuldige; het zijn alleen de effeue getalmerken met < of 5 met een dei- effene getalmerken vermenigvul' digd, welke deeze eigenfehap bezitten. - Dus ziet men dat, zal een deeler ooit opgaan in een deeltal, dat met eene nul eindigt, dat het laatfte getalmerk des deelers als dan noodzaaklijk eene 2, 4, 5, 6 of 8 moet zijn, en dan zoude men de deeling, 111 zommige gevallen, nog oneindig lang voort moeten zetten, eer men dezelve ten einde bragt.
311. L. Wat doet men dan in zulke gevallen ,



TIENTALLIGE BREUKEN. IÏI
ten, Meester! waar de deeling volftrekt nopit, of niet dan na eene zeer lange voortzetting eindigt?
§. 312. M. Men ftaakt dezelve, zo dra men oordeelt ver genoeg gevorderd te ziin: dat is, men zet de deeling flechts tot tiende, honderdfte, duizendfte, of nog verdere deelen voort, naar dat het geval zulks vereischt , en men verwaarloost de kleinere deelen , als niet verder , wegens haare kleinheid, in aanmerking komende, of van eenig belang meer zijnde. ~ Zo zal men , bij voorbeeld , met duiten te doen hebbende, alleen bij geheelen berusten, en zelvs geene tiende deelen bereekenen , wijl men die toch niet betaaleu kan; ten zij men eene menigte uitkomsten te bcreekenen had, welke naderhand in eene fom vergaêrd moesten worden; als dan zoude men tot tiende, of uiterlijk tot honderdfte deelen kunnen gaan , doch zeker niet verder: want wat beteekenen toch eenige duizendfte van eene duit? Echter gebruikt men in alle gevallen die voorzichtigheid van daar, waar men de deeling eindigt (het zij dan dat men die met de geheelen ftaake, of dat men die tot evenveel welk getalmerk in de breuk voortzette) te onderzoeken of het volgend getalmerk , zo men verder wilde voortgaan , beneeden de 5 , - dan wel 5 , of grooter dan 5 zoude worden. In het eerfte geval laat men het laatst bekomen getalmerk , zo als men het gevonden heek , in het laatfte verhoogt men het met de dénheid, 0111 daar door nader aan de eigenlijke waarde te geraaken. .
§. 313. L. Op die wijze kan men nooit meer dan de helft van eene der laatst bekomene éénheeden verwaarloo'zen; en of het volgend getalmerk boven of beneeden 5 zoude vallen, ontdekt zich aanftonds



U2. DEELING VAN
ftonds uit het laatst behouden overfchot: want zo dat meer dan de helft des deelers bedraagt za heivolgend getalmerk , als men de deeling wilde voortzetten, grooter dan 5, doch zo het minder bedraagt kleiner dan 5 moeten uitkomen. Bijvoorbeeld: als ik 66 door 7 wil deelen , gelijk hier nevens, 7 / 66 / 9,42 en ik mij flechts tot tiende 63 deelen in den uitkomst wilde bepaalen, zo zal ik 9,4 ten oQ antwoord verkrijgen, en als 2g dan wordt 'er geen halve tien- —« de, of geen 5 honderdfte dee- ZQ len verwaarloosd; immers ziet 14 men, door verder met deelen _I voort te gaan , dat 'er maar <j 2 honderdfte deelen bij komen , of men ziet aanftonds uit het overfchot 2 't welk minder dan de helft van den deeler 7 is dat 'er geen 5 honderdfte deelen kunnen bij komen. — Doch zo ik mij bepaald had om de deeling tot hon-i derdfte deelen voort te zetten, dan krijg ik, wel is waar, maar 2 honderdfte deelen, dan ik houd 6 over, die veel meer dan de helft van den dee, Ier 7 bedraagen, en die mij, voor het volgend getalmerk, 8 duizendfte deelen, dat is, meer dan de helft van een honderdfte deel , ten antwoord zouden geeven, en dus verander ik de laatst gevondene 2 in 3 en zeg dat de uitkomst 9,43 is.
§. 314. M. Gij hebt dit volmaakt wel begreepen, en gevoelt buiten twijffel ook wel dat het yerwaarloozen der kleinere deelen, als men met tientallige breuken werkt, voor geen gebrek, onvolmaaktheid, of onnaauwkeurigbeid te houden zij, om dat men in alle gevallen, niet alleen zo
na



TIENTALLIGE BREUKEN. I13
r.a noodig is, maar zo na men wil aan de waarheid, of allervolmaakfte naauwkeurigheid kan naderen. — Stel eens dat men een millioen voor éénheid aangenomen had, of dat men eens poogde te onderzoeken hoe veele millioenen guldens de jaarlijkfche inkomsten, uitgaaven, of zo men wil, alle bezittingen zamen genomen van geheel Europa beliepen, en dat men een zeker aantal geheele millioenen, met eene tientallige breuk ten antwoord bekwam: zo men deeze breuk dan tot het zesde getalmerk voortgezet had, indien de oplosfing van de vraag zich misfehien door eene deeling liet eindigen , dan was men reeds tot eene enkele gulden gekomen; hield men dit nu voor naauwkeurig genoeg, men konde daar eindigen; zo men echter tot het zevende getalmerk voortging, was men tot een dubbeltje gekomen, met het achtfte tot een tiende van een dubbeltje
§. 315. L. Houd op, Meester! ik bid U. — Een tiende deel van een dubbeltje op alle bezittingen van Europa , is als een zandkorrel aan den aardkloot, of een droppel in zee; waar toe zoudt Gij verder gaan ? — Zeg mij liever of het nooit gebeuren kan dat men, bij eene deeling van tientallige breuken door eikanderen, minder getalmerken in het antwoord krijge, dan men volgens den ragel ( §. 300. ) moet afinijden, en zo ja, wat men dan te doen hebbe?
§ 316. M. Deregel is 1,5/0,000375 |.25 en blijft zonder uitzon- 30 dering;men moet derhal- -— ven de plaatzen der te 75 kort zijnde getalmerken 7 5
met nullen aanvullen. —
Zie in 't nevensftaan- o
I. DEEL. PI de



114 DEELING VAN
de voorbeeld flechts twee getalmerken in het antwoord, terwijl 'er naar den regel vijf moeten worden afgefneeden. Men moet dan voor de drie te kort komende getalmerken , welke ik reeds met flippen aangeweezen heb, drie nullen plaatzen , zo dat de uitkomst 0,00025 bevonden zal worden.
§. 317. L De proev toont wederom van achteren de richtigheid deezer handelwijze: want, volgens den regel van vermenigvuldiging (§. 165.) van tientalligs breuken is 0,00025 * l->5 = °?000375'
§. 318. M. Oeffen U eerst'op de volgende voorbeelden.
Deel door Deel door
A. 365,25.. 48,7 F. 496,67427.-5,703
B. 89,75.-25*- G. 0,3885 ..0,37
C. 4732,08.-0,004 H. 21505,61402.. 3,07
D. 1000 ..17 I. 0,00035.-0,007 E- 630,63.-0,9 K. 0,00414.-1,035
Na dat Gij deeze wel zult hebben beantwoord, zullen wij geleegenheid vinden om de wettigheid deezer handelwijze, zo als ik reeds boven ( §. 302.) zeide, van vooren in te zien bij de
DEELING VAN GEWOONE BREUKEN.
%. 319. L. Het zal mij lief zijn te keren hoe men deeze verricht, Meester!
§. 320. M. De regel is allereenvoudigst. — Men deelt den teller in den teller, en den noemer in den noemer, en de uitkomsten, in de gedaante van eene breuk onder eikanderen gefchreevcn, geeven rechtftreeks het antwoord.



GEWOONE BREUKEN. 115
Zie hier nevens een voorbeeld,'twelk gce- _i. / JL / -1. ne nadere opheldering 8 ' sa ' 4 noodig heeft.
§. 321. Z. Als ik 'er de proev door vermenigvuldiging op maak (§. 277 en 176. ) zie ik dat het zo zijn moet, Meester! om dat de uitkomst met den deeler vermenigvuldigd, het deeltal wederom uitleevert; maar, ik bid U, laat mij de reeden deezer behandeling, als het mogelijk is, meer in den grond doorzien.
^. 322. M. Stel dan eerst dat de tellers 3 en 9 beide geheele getalen waren; dan was immers het antwoord, zonder twijffel, 3 geheelen. ~ Gaa nu verder , en ftel dat de 9 geene geheelen , maar twee-en-dertigfte deelen zijn, gelijk zij werklijk zijn, dan is het klaar dat uw antwoord, 3, ook niet meer dan 3 twee - en - dertigfle deelen, of T3a-kan worden: want een derde gedeelte van 9 twee - endertigfte deelen, moet zo wef 3 twee-en-dertigfte deelen, als een derde gedeelte van 3 geheelen, 3 geheelen geeven- ' Gij moest hier echter niet door 3 geheelen, maar flechts door 3 achtfte deelen deelen ; wijl 3 achtfte deelen nu 8 maaien kleiner dan 3 geheelen zijn, zo hebt Gij uw deeltal 8 maaien zo fterk gedeeld, als het behoorde gedeeld te worden : dat is, uw uitkomst is nu 8 maaien te klein. Gij moet dien derhalven, om het waare antwoord te bekomen, wederom 8 maaien vergrooten , of met 8 vermenigvuldigen; en dat doet Gij door den noemer 32 met* 8 , die de noemer des deelers is, te deelen: want, hoe meer gij den noemer van eene breuk verkleint, hoe grooter haare waarde wordt.
§. 323. L. Dat kan niet misfen: want, wijl een vierde deel 8 maaien zo groot is als een twee - enH 2 der-



116* D E E L I N <3 VAN
dertigfte deel, of 8 twee-en-dertigfte deelen in zich bevat, (§. 116.) zo zijn ook 3 vierde deelen 8 maaien zo groot als 3 twee-en-dertigfte deelen; en ik begrijp dus de reeden deezer bewerking volkomen.
$. 324. M. Dan begrijpt Gij nu ook teffens den grond waar op de deeling van tientallige breuken, van vooren mgezien,berust. (§-3°2,3i7.)Gi, hebt de tientallige breuken flechts onder de gedaante van gewoone breuken voor te ftellen, en de deeling even als die der gewoone breuken te onderneemen, en alles zal klaar worden. — Stel dan dat Gij 8,375 door 2,5 te deelen had, en
fchrijf gelijk hier 837S __ s5
terzijde; volbreng M75— ICOO en 2?5 — — de deeling naar
den gegeeven re- a5 78375 / 335_ 35 _ gel (§. 320.) en I0 / iqoc / — 3,"^—3?35 ftel het antwoord,
dat gij nu in eene gewoone breuk bekomen hebt, wederom onder de gedaante van eene tientallige voor, en gij ziet niet alleen dat het antwoord herzelve is, dat gij volgens den regel der tientallige deeling ( %. 300.) zoudt verkreegen hebben,, maar Gij ziet ook waarom het zo zijn moet: te wecten , omdat duizendfte dceien, door tiende deelen gedeeld Wordende, honderdfte dceien geeven, wijl 1000, door 10 gedeeld, 100 maaken.
Zo kunnen , in het voorbeeld dat ik TJ boven CS- 3l60 gaf, de tientallige breuken 1,5 en 0,000375 in de onderftaande gewoone.breuken veranderd, en daar na door elkandercn gedeeld worden: aldus
JÜ / 375 / 25
S« 325.



GEWOONE BREUKEN. 117
;§. 325. L. Ik zeg U dank voor dit bewijs,Meester! en vraag verichooning wegens eene nieuwe zwaarigheid, die mij invalt. — Zij is deeze, in het voorbeeld dat Gij mij eerst gegeeven hebt, (§. 320.; lieten zich teller en noemer van het deeltal , beide zonder overfchot door den teller en noemer van den deeler deelen; dan dit kan niet altijd gebeuren, en als dit niet gebeurt, gelijk _3 / 7 / 2 \ in het nevensftaande 4 ' «s f 77. voorbeeld, dan heb ik * na gedaane deeling nog niets gewonnen; in tegendeel ik heb het erger gemaakt: want, nu heb ik niet alleen eene breuk, die door eene andere breuk gedeeld moet worden, maar een gemengd getal, dat door een ander gemengd getal gedeeld moet worden, verkreegen.
§. 326. 31. Uwe aanmerking is zeer juist, en het is ook om deeze reeden dat men in dc daadlijke oeffening eenen anderen weg inflaat, waar door men deeze zwaarigheid niet alleen ontwijkt, maar ook het werk gemaklijker maakt; fchoon ik U in het vervolg hoop te toonen «dat de zwaarigheid evenwel zeer gering is.
Men keert dan alleenlijk den deeler om: dat is, men maakt den noemer tot teller, en den teller tot noemer, J*. * JL -s
gelijk ik hier terzijde gedaan 3 13 39 heb, en dan vermenigvuldigt men het deeltal door deeze omgekeerde breuk, in de plaats van het doQr de eigenlijke breuk te deelen, en men krijgt terftond liet antwoord.
§. 327. L. Dit is zekerlijk eene gemaklijke, maar te gelijk zonderlinge kunstg -eep , Meester! waar van ik de reeden nog niet begrijp.
H 3 §. 328.



GEWOONE BREUKEN. IIO
Zie die bewerkingen 1 x 100 — <o hier ter zijde, waarin a i 2 3 ik de geheelen beltenaig a onder de gedaante van — / y~ / 7 — 5° breuken ($. 329O voor-
gelteld heb. — Gelijk 2 sa—^oo^ dit nu met deeze breu- "f x 1 1 "~100 ken doorgaat, zo moet
het met alle doorgaan, JL / / = I0O fchoon de noemer meer * ' 1 * \ dan 1, of een getal zij.
§. 331. Men kan dan, door teller en noemer te verwisi'elen, zo wel eene vermenigvuldiging door eene deeling, als eene deeling door eene vermenigvul- _» x — — — ~ diging verrichten , gelijk » 8 24 4
vereischt wordt, zal deeze; 3 / 3 / '
waarheid algemeen zijn. — ~ / "3 / — 4 Zie 'er ter zijde een voor-j* ; beeld van, waar in het zelvs voordeel 111 de bewerking geeft, wijl zij daar door aanmerkhjk bekort wordt. , , ,
§. 332. Nu willen wij echter dezelve zaak nog uit een ander oogpunt befchouwen. — Ik zal mij ten dien einde nog eens van het zelve voorbeeld bedienen, als boven. (§. 325, 326.) — Hier iS de 7 reeds door 13 gedeeld; maar zij moet daar en boven nog door 3 gedeeld worden, welke vierde deelen zijn. Deeze 3 dienen dan om den noemer 13 te verfterken: dat is, om de 7, die reeds dertiende deelen waren, driemaalen kleiner, ot tot negenen -dertigfte deelen te maaken; dus moet de noemer 13 van het deeltal met den teller 3 des deeler» vermenigvuldigd worden, het geen op hetzelve uitkomt als dat men 'er den teller 7 des deeltals door H 4 deel-



DEELING VAN
deelde. Dan wijl deeze 3 geene geheelen flechts vierde deelen waren", zo is dllili T JJ vier maaien te klein; dc'toAier tt b"ftj uitkomst moet dan wederom vier maaien groote? gemaakt worden: dat is, ik moet die7 d'n te er des dee tals, met 4, den noemer des dalers vermenigvuldigen, en hieruit ziet gij duidS de reed£n deezer omkeering, en daar op vo ide tegenitrijdige bewerking. v voibenoe
§• 333- L. Ik zie het klaar, Meester' ii« mf,n eene breuk door eene breuk d^h'Snvt^ dert of helpt, de teller des deelérs den noemer van het deeltal en den noemer des deelers hit of vergroot, den teller des deeltals: zo dat als ik twee breuken, in de gedaante ' van eene nieuwe breuk, onder s eikanderen fchrijf, gelijk hier ne- T 5n yens, dan zullen het onderst en — = — het bovenst getal, met elkande- 31 ren vermenigvuldigd, den teller 4 van het antwoord geeven, en de vermenigvuldiging der twee middelfle getalen geeft" den noemer van het antwoord. g
„A33!4" ¥' Het,is 20' en ik keur deeze wijze van de breuken onder eikanderen te fchrijven 2nzmsaf: immers moet men, dit niet doende wel onderfchciden tusfehen deeler en deeltal en'zier voorachtig zijn om niet uit misverfland, of overhaasting, het deeltal in de plaats van den dec cr om te keeren, waar door men deeler in deel al zoude veranderen, en .en verkeerd antwoord bc-
§• 335' L. Zo het niet te veel gevergd is
eerst vukreegen antwoord, van het voorig voor.
beeld.



GEWOONE BREUKEN. 121
beeld, (§. 325.) van dezelve waarde is met het laatst vcrkreegen. (§. 326.) Ik meen dat
|. 336. M. Dan behoeft gij die gemengde getalen Hechts tot oneigenlijke breuken, en die breuken wederom tot denzelven naam , of tot dénheden van dezelve foort te brengen, gelijk Gij reeds bij de optelling ( §. 117.) geleerd hebt, en gij zult het als dan van zeiven vinden. — Vermenigvuldig dan teller en noemer beide met 12, om dat de noemers uwer breuken 3 en 4 zijn, welke beide in 12 opgaan, en gij krijgt
7
2; x 12 rr — x 12— 28
3£xi2 = -^x12 = 39 4
§. 337. L. Dit veroorzaakt mij wederom 'eene nieuwe bedenking, Meester! — Had ik dan die breuken zelve niet aanftonds tot gelijke benaaming kunnen brengen , en voorts als geheelen door eikanderen deelen?
§. 338. M. O ja. Waaromniet? maar het verlangt de bewerking; anderzins hebt gij, wij! de noemers der breuken 4 en 13 zijn, de bijzondere breuken flechts met 4 x 13 te vermenigvuldigen. (§. 117.) aldus:
_7
X3x4xi3 7X4 28
s 3 x 13 30
— X4X13 J ■? oy
H 5 §. 339-



722 KEELING VAN GEWOONE BREUKEN»
§. 339. L. Ik vind dit uitmuntend fraiii m»=c ter! wat hebt Gij verder tf^tTSbiftS breuken door geheelen, of van gehee&doo? breuken, enz. aan te merken? 0r
S; 3>o. af. Niets.van belang, naardien ik TT reeds omtrent alles onderricht heb. - Men dek zowel geheelen (§ 329 aIs gemengde getalen (§• 87-89.) onder de gedaante van breuken voor en werkt volgens den regel. («, o26.) De vol*
fiie rïï™■*■ ^ •* *>• S
3 gedeeld door —n ü-x JL —II — - 3 8 1 7 7 — ój
gedeeld door 15 i= — x -JL —. J_ — 1
? 0 7 15 7x15—7x3 —^
16 gedeeld door3-| ~~ x JLz-ilï,8-. ü8~ ,4 8*- gedeeld door ia = 8i x -=:-x ~ _£l— 5
? 7 lï 7 12 7x12—JT
24- ged. door io2=^x '»»»»— ^ ' «
5 10 s 77 77 ' ??~-o~?
83- gedeeld door 2^—!ÜIX m_ni
5 "« 3 V — 37-
S- 34i. Zie hier nog eenige ter eigene oeffening. Deel ^ door Beel ^
H F- 365 . . 753844 5' ïï G. 8/- . . 1 .
£• -*s • • • ,7ï h. g . . -I
b:^:.^5 £i&::Ü
S- 342.



DE BREUKEN. 32$
niet veranderen, fchoon haare benaamingen, om baar alle tot den zeiven naam te brengen, alle veranderd zijn; want, om een eenvoudig voorbeeld bij te brengen, als ik eene fchelling in 6 gelijke deelen deel, verkrijg ik zesde deelen van fchellingen , of ftuivers ; doch als ik die zelve fchelling in 48 deelen, of duiten deel, dan krijg ik 8 maal zo veele deelen in het geheel , wijl 48 = 6x8 is, maar ik krijg ook 8 maal zo veele deelen in ieder zesde deel, of ftuiver , naamlijk 8 duiten; 1 zesde deel is dus gelijk aan 8 achten-vecrtigfte deelen; in het algemeen, naar maate het geheel in meer deelen gedeeld wordt, bevat ieder hoofddeel ook een grooter aantal onderdeelen. — De breuken dan veranderd zijnde, en alle 105 tot noemer hebbende, behoeft men de tellers 70, 84 en 90 Hechts bij eikanderen te tellen, op de fom dier drie breuken te erlangen , gelijk in het voorbeeld (§. 3440 gedaan is.
§. 346. M. Het is zo. — Ik zal 'er nu alleen nog bijvoegen dat men, om de nieuwe tellers te vinden, 3x5x7 = 105
kortheids halven flechts den —
teller van iedere breuk met f 2x5x7= 70 de noemers van alle de £ 4x3x7= 84 overige breuken behoeft te f 6x3x5= 90
vermenigvuldigen, gelijk
ik ter zijde gedaan heb, —— 244
wijl dit volmaakt met den |—r*r + f = *
algemeenen regel ( §. 344.) 105 flrookt, gelijk gij uit vergelijking van dit voorbeeld met het voorgaand (§. 344.) klaar ontdekken zult.
§. 347. L. Dat loopt genoeg in het oog, Metster! en men wint 'er de deelingen van den
al-



126 IETS NADER OVER
algemeenen noemer door alle de bijzondere noemers mede uit. — Dan al wederom eene bedenking. - lot welke hoogte moet zulk eene akemeene noemer niet loopen, als men eens een groot aantal breuken te vergaeren heeft, en hoe langwijhg moet daar door het werk niet worden?
§. 348. M. Op deeze zo gegronde bedenking moet ik U ondcrfcheidenlijk antwoorden.
1. Men vervalt nooit in die zwaarigheid, ten zij de noemers der breuken , die men vergaeren moet, of alle, of veele derzelven , van eikande* ren verfchillen, en niet geheel, of gedeeltelijk, in eikanderen verwisfeld kunnen worden. ( §. 116.) — Dit heeft ondertusfehen in het dagelijkfche leeven, en in den koophandel zelden of nooit plaats.
2. In Natuur- en Sterrenkunde, of andere verheevene weetenfchappen , zouden de optellingen dikwerf, wegens deeze zwaarigheid, volftrekt ondoenlijk worden; doch daq; (laat men eenen anderen weg_in. Men werkt met tientallige breuken, welke uit haaren aart aan deeze zwaarigheid niet onderheevig zijn; en ten dien einde is het noodig dat men allerleije gewoone breuken, daar het te pas komt, in tientallige weete te veranderen, waar omtrent ik U binnen kort hoop te onderrichten.
§. 349. L. Ik begrijp wel dat men den algemeenen regel 344.) niet behoeft te volgen, of alle noemers met eikanderen te vermenigvuldigen, zo dra men eenige noemers onmiddellijk in eikanderen kan veranderen, gelijk boven (§. 116.) halven , en vierde deelen, "in achtfte deelen, enz. —. Heeft het evenwel in zulke gevallen , vooral als men eene menigte breuken op te tellen heeft, geene zwaarigheid om als dan den kleinften algemeenen
' noc-



DE BREUKEN.
12?
noemer te bepaalen, die voldoende is ? want, de kleinfte is zekerlijk de bes'e, wijl men daar door de breuken niet meer vergroot dan noodig is, en dus bet werk niet uitgebreider maakt, dan volftrekt vereischt wordt.
§. 350. M. Die moeite is in ver weg de meeste gevallen in de daad gering. — Dan om U den weg te wijzen welken men in deezen te bewandelen heeft, moet ik U vooraf nog het onderfcheid leeren kennen, dat men tusfehen eerfte en zamengefteïde getalen maakt.
§. 351. L. Wat noemt Gij eerfte, of wat za« mengel telde getalen ? Meester!
§. 352. M. Eerfte getalen noemt men de zodanige welke flechts alleen door de éénheid , en door zich zeiven zonder overfchot deelbaar zijn; gelijk a, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 enz. want, welke van deeze getalen gij ook ter toetze wilt brengen, als bij voorbeeld 13, gij zult bevinden dat 13 flechts door 1 gedeeld kan worden, zo dat het getal blijve, gelijk het is (§. 329.) of door 13, wanneer Gij 1 ten antwoord krijgt. (§. 159.) Dit foort van getalen is dus uit geene fa&oren zamengefteld, en kan 'er daarom ook niet weder in ontbonden worden , gelijk alle andere getalen, welke men ook daarom zamengeftelde noemt. — Dus zijn vooreerst alle evene getalen, uitgenomen 2 , zamengeftelde getalen, naardien zij alle 2 tot eenen hunner factoren hebben : zo 184 = 2x2, 6 = 2x3, 8=2x4, of °°k 8 = 2x2x2,10 = 2x5 'enz. — Voorts zijn 15=3x5, 21 = 3x7, (,3 = 7x9, 105=3x5x7 enz. alle zamengeftelde getalen.
§. 353. L. Ik vermoed dan dat men alle de noemers der bijzondere breuken in hunne factoren
zsl



128
IETS NADER OVER
zal moeten ontbinden, en dat uit de vermenigvuldiging dier faEtoren met eikanderen, de algemeene noemer zal geboren worden.
§. 354. M. Gij hebt het juist getroffen; en de reeden is klaar: want, ftel eens dat 6 en 15 de noemers van twee breuken waren, die ik op moest tellen. Volgens den algemeenen regel (§. 344.) zouden 6 x 15 = 90 mijnen algemeenen noemer moeten maaken; dan als ik beide deeze noemers in hunne faEtoren ontbind, zeggende 6=3x2, en 15=3x5, dan is het klaar dat de eens fatlor van 6, te weeten 3, reeds in het getal van 15, of 3x5, gevonden wordt, zo dat ik 15 flechts nog alleen met 2, den anderen fatlor van 6, te vermenigvuldigen hebbe, als wanneer zich de beide faEtoren van 6, en bij gevolg ook 6 zelv, in 30 = 2x15 zullen bevinden.
§. 355. L. Men ontbindt dan alle de noemers, tot hunne kleinst mogelijke faEtoren, die dan noodzaaklijk alle eerfte getalen zijn, en deeze vermenigvuldigt men met eikanderen, om een' getal te er- 4=2x2 langen, waar in alle deeze 6=2x3 bijzondere getalen zonder 8 = 2x2x2 overfchot gedeeld kunnen 12=2x2x3 worden. — Vergun mij dat 16=2x2x2x2 ik beproeve, Meester! of 20=2x2x5 ik geen getal kan vinden 24=2x2x2x3 waar in alle de bijzondere 30 = 2x3x5 getalen 4, 6, 8, 12, 16,
20, 24 en 30 zonder overfchot op gaan, en dat dus tot den kleinst mogelijken algemeenen noemer zoude kunnen verflrekken , voor breuken welke deeze getalen tot noemers hadden. — Ik vind ter zijde dat de bijzondere faEtoren deezer getalen
zijn



DE BREUKEN,
129
Kijn-, 2, 3, cn 5; deeze me: eikanderen vermenigvuldigd geeven 30. — Maar hoe! — 30 is niet toereikende: want, 30 kan Hechts alleen door 6, cn door zich zeiven , van alle deeze getalen gedeeld worden.
§. 356. 31. Gij ziet dan dat het niet genoeg is, dat gij iedere!? factor Hechts éénmaal neemt.— Neen, Gij moet icderen factor zo veele maaien neemen, als hij op het hoogst in één der getalen voorkomt. Zulks heeft hier'plaats in het getal 16, alwaar de factor 2 tot vier maaien in voorkomt. Dus zal het gezochte getal ziin 2x2x2x2x3x5 = 240, het welk zich door alle deeze bijzondere getalen zonder overfchot zal laaten deelen.
§. 357. L. Ik zie mijnen misflag, Meester! want, fchoon 2 in 30 opgaat, zo gaat 'er daarom geen 2x2 — 4, veel minder 2x2x2 — 8, en nog minder 2x2x2x2 — 16 in op : immers volgt het niet dat als men éénmaal de helft van een getal kan neemen, dat men het dan ook voor een tweede , of derdemaal, enz. doen kan , zonder in eene breuk te vervallen. — Zo kan men van 30 Hechts éénmaal de helft neemen , zonder eene breuk te krijgen ; en om een getal door 16 te kunnen deelen, wordt vereischt dat men 'er toe vier maaien toe de helft van kunne neemen zonder overfchot.
§. 358 31. Dat hebt gij zeer wel aangemerkt; en kunt daar tellens uit befluiten, dat men langs deezen weg het kleinst mogelijk gezochte getal bekomt: want: gij kunt in dit voorbeeld, wegens de 6, de 24, en de 30, de faStoren 3 en 5 niet ontbeeren, en wegens dc 16, zijt gij verpligt den factor 2 tot vier maaien toe te neemen: immers 'kan men flechts tot vier maaien toe de helft van I. deel. I de



13°
IETS NADER OVER
de gevondene 240 neemen , zonder in eene breuk te vervallen, en niet meer; gelijk men hier ter zijde zien kan , en Gij met recht aanmerkte , dat in allen gevalle tot eene deeling door 16, zonder overfchot, vereischt wordt.
§• 359- L. I-s dan de handelwijze, die ik gehouden heb, de gewoone , waar van men zich bedient? Meester!
%. 360. M. Zij is het in de daad, doch men verandert die gemeenlijk eenigzins in gedaante.—Men fchrijft aldus,
240 2/
120 2/—fc
60 2/
30 2/
15
4, 6, 8, 12, 16, 20, 24, 30 a/ .
2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15 2/ —
1» 3* 2> 3, 4, 5» 6, 15 0/
^ ij 3? i5 3, ,*s 5, 3, 15
1, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 5 5/ . ,
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1
Men deelt naamlijk alle deeze getalen door den kleinften gemcenen deeler, die hier 2 is, en dit herhaalt men zo lang als 'er nog twee evene getalen , of twee getalen welken zich door den kleinften gemecnen deeler deelen laaten, over zijn, het welk in dit geval tot de derde deeling voort duurt; fchrijvende die geene, welke zich
niet



DE BREUKEN.
137
zijde de bewerking; zij 161/299/1 beftaatin eenerij, ofaan- 161
eenfchakeling van deelin- ■ ■
gen, waar in ieder dee- 138/161/1 Ier, bij de volgende dee- 138 ling , in deeltal veran- —— dert. — De laatfte dee- 23/13S/6 Ier 23 welke in het deel- 138
tal 138 op gaat, is dan
ook gemeene deeler van o de breuk , of deelt tel- -*> Ier en noemer beide zonder overfchot.
§. 373. L. Maar zo de breuk eens geenen gemeenen deeler had, Meester!
§. 374. ilf.Danzou- 17 de de deeling ook niet — ten einde loopen voor 23 en aleer gij de één- 17/23/1 heid, of 1 ten deeler 17 gekreegen had; een — teeken dat de breuk 6/17/2 niet korter uitgedrukt, 12 of verkleind kan wor- — den, wijl een getal, 5/6/1 door 1 gedeeld, blijft zo 5 als het was. (§. 329.) — —■• Zie een voorbeeld x/5/5 van eene zodanige 5 breuk, met de bewer- — king, hier ter zijde. o
§. 375. L. Ik zie dit, Meester! — Ik zie teffens dat men met de uitkomflen, welke bij de verfchillende deelingen uitkome.i, niets te doen heeft. — Dan ik begrijp niets van de reeden deezer zo zonderlinge bewerking.
1 5 §• 37ö.



138 IETS NADER OVER
5. 376. M. Zij fteunt op de twee volgende eenvoudige grondwaarheeden. 1. Dat ieder getal altijd deeler is van zich zeiven: zo is o, buiten twijffel deeler van 23, of 23 is éénmaal in zich zeiven bevat. 2. Dat een getal, 't welk deeler van een ander getal is, ook deeler zijn zal van alle mogelijke veelvouden (§. 55.) van dat ander getal; bij voorbeeld, 3 deeler van 12 zijnde, is ook deeler van 2x12=24, van 3x12 = 36 enz. tot in het oneindig. — Nu hebt gij boven' (§• 372-) bij de laatfte deeling, gezien dat 23 een deeler was van 138, maar zij is ook een deeler van zich zclven, volgens onze eerfte ter nedergeftelde grondwaarheid; dus is 23 deeler van 138 + 23, of van 161, gelijk bij de middelde deeling bleek ; maar is 23 deeler- van 138 , en teffens van 161 ,dan is23 ookdeelervan 138 + 161" maar bij dc eerfte deeling bleek dat 138+ 161=299' waren, bij gevolg is 23 ook deeler van 299, en zo in alle andere gevallen. — Gij ziet dan hier een volledig bewijs van deeze handelwijze.
§• 377- L. Niet tegenftaande Gij van uwe tweede ter nedergeltelde grondwaarheid (§. 376.) niet eens gebruik gemaakt hebt. Meester!
§. 378. M. Ik had die in dit geval niet noodig , om dat de uitkomften bij de twee eerfte deelingen juist beide 1 geweest waren. — lk betrouw op uw oordcel, om U die ten nutte te maaken in het bewijzen van de juistheid deezer handelwijze, welke Gij zult moeten volgen, in het verkorten van de volgende breuken, welke ik U ter oeffening opgeef.
A- B. C. D. E.
437 583 _££y 91 171 703 ' S7y ' iyöi ' 1391 ' T%9'
S- 379.



HERLEIDING DER BREUKEN. «4/
mogelijke sevallen vroeg of laat zal moeten gebeuren. — Zo dra dit nu ondertusfchen plaats heeft, dan is dc fom dier opwaards gaande rijen beftendig dezelve, het overfchot, dat 'er van de Voorigc rij bij komt, wordt ook beftendig; dus moet men, zo lang dit duurt, van beneeden ook hetzelve getalmerk in de geheele fom erlangen; dan dit duurt zonder einde, uit hoofde van de nimmer eindigende rij 0,3333 enz. blJ SevolS krijgt men ^=0,020833333333333333 enz.
st oog. Gij ziet wel dat die laatfte getalmerken , welke achter de oneindige rij van gelijke getalmerken volgen, (in ons geval (§• 393.) 125) nooit in aanmerking kunnen komen, naardien de rii van selijke getalmerken eindeloos voortloopt, en deeze dus tot in het oneindig achteruit gefchoven worden.
Zie een ander voor- -#=0,0625
beeld hier ter zijde; en i =o,iiiinii enz;
dat zal genoeg zijn om 1 "~"—
U te overtuigen dat het °6i25 produB van evenveel °625
welk eindig getal, met 0625
eene oneindige reeks 0625
van gelijke getalmerken 0625
vermenigvuldigd, ook 0625
in eene oneindige reeks 0625
Van gelijke getalmer- 0625
ken zal eindigen. —-—-
0,Oo6944444375 — TTT
§. 400. 3. Dat als het getalrrierk 3 boven de tweemaalen als fatlor in een zamengefteld getal Voorkomt, dat ten noemer voor eene breuk verftrekt, dat als dan, zeg ik, deeze breuk, m ^™



I4& HERLEIDING DER BREUKEN*.
tientallige verwisfeld wordende, geene aanhoudende herhaaling van één en hetzelve getalmerk in de tientallige reeks zal geeven, doch dat 'er echter fpoedige herhaalingen, van twee, drie, vier , of meer getalmerken zullen moeten plaats hebben. — Dan daar mijn bedek niet gedoogt hier langer bij dil te daan , of in de reeden, waarom dit gebeuren moet uit te weiden, zal ik het aan uwe eigene nafpooring, die uit vergelijking met het voorige (§. 398.; niet moeijlijk zijn zal, overlaaten, en 'er flechts de twee volgende voorbeelden van geeven.
ft = 0,037037037037037037 zonder einde. t', — °5°i234567S"oi2345Ó79 zonder einde.
§. 401. 4. Dat alle overige breuken, welke een ander eerde getal dan 2, 3, of 5 onder de faEtoren van haaren noemer tellen, vroegere of laatere herhalingen, of weder-omkeeringenvan getalmerken , in eene tientallige rij verwisfeld zijnde, uitleeveren , zonder eenigen tot nog toe volmaakt bekenden regel.--Ten voorbedde kunnen drekken
tt = 0,0909090909090909 zonder einde, en j'3 _ 0,076923076923076923 zonder einde.
§. 402. 5. Dat eindelijk deeze herhaaling of te rug keering van dezelve getalmerken («. 401. ) in de tientallige rij, nooit langer achter weeë kan blnycn, dan tot het zo veelde getalmerk, als 'er éénheeden in den noemer of deeler gevonden worden. — Zo keeren dezelve getalmerken met het zevende getalmerk te rug, in de tientallige breuk welke een zevende uitdrukt. — Zij keeren mes
het



J5P HERLEIDING DER BREUKEN.
moet overfchieten, dat reeds te vooren overge? fehooten is. — Zo dra dit nu gebeurt, zal men niet alleen voor dat maal ook hetzelve getalmerk ten antwoord bekomen dat men te vooren gehad heeft , maar alle volgende getalmerken in het antwoord zullen ook juist als te vooren achter eikanderen moeten afloopen , en dc reeks zal na dien afloop al wederom keeren als te vooren, zonder einde; en zo met alle andere breuken zonder onderfcheid.
§. 405. L. Thands begrijp ik uw gezegde (§• 402.) ten klaarden, Meester! ~ De te rug keering van dezelve getalmerken heeft plaats, zo ^dra 'er een zelve overfchot blijft, als men reeds te vooren gehad heeft. — Dit kan nu niet langer ■weg blijven, dan tot zo lang alle mogelijke getallen reeds overgefchoten zijn, (§. 404.) doch het kan wel fpoediger
gebeuren. — Zo weet 13 /100/ 0,0769230 enz. men niet.als men, ge- 01
lijk hier ter zijde, 1
door 13 begint te dee- 90 len, of het zelve over- 78 fchot wel voor het . dertiende getalmerk 120 in den uitkomst plaats n7
zal hebben; doch de .
ondervinding leert dat 30 'er reeds bij de vijfde 26
aftrekking 1 over- ,
1'chiet, zo dat men 40 zich dan op nieuw in 39
het zelve geval be- ...
vindt, daar men zich 10 m bevond, toen men
de



Ió"3 TAFELEN VAN
Koper, i Duit. ... — __ fi Dubbeltje. . . .
i Zestehalv. . . — * _ o
i Schelling. . . \ \ ~ p ~ 6- „
t Acht ftuivers ftuk. \ ' = , _ , g_ *
i Goud-gulden. . . = i_ g_ „
i"aa,er = i-io- *
i Kroon — 2
Zilver. < 1 Rij'ks'Daaler- V ' ' = * - io- „
i •'finHolland.zz i — 5— «
iRijks-Daaler.^ 2 —13Z \
f- [mM«J= 1- 6- 3
f . ! — '-13- 4
t -j — *— 6—10
i One guldens ftuk. . . zz *
liDucaton. . . .' . — 3__ o_ ,,
fiDucaat, gemeenlijk. . = 5— 5-, „
Goud. 1 Rijder =14— *-. +
U = 7— *— *
Alle deeze zijn , beneevens nog de halve en vierde Gulden, gemunt, en werklijk gangbaar.-
De volgende zijn, of niet gemunt, of reeds"in onbruik , of zij zijn geen eigenlijk Hollandsen, geld, fchoon 'er echter, wegens de juiste overéénkomst met dezelve, zomtijds in gehandeld worde. —- Zij zijn dan thands meest flechts enkele benaamingen van zekere waardijen, bij koopen of verkoopen gebruiklijk.
Zo



MUNTEN. l6i
Zo is dan
Ë'en Oortje —*—- 4
Een Blank . . = *> — *—12.
Een Braspenning zz ?—i — 4
Een Stooter zz »—'2— 8
Een Reaal. ...... . • • = * — 3~™ &
Een of, of Pond. (Flaamsch.) = 6—=— * Een fi = de Holl. Schelling. .= »—6~ *
Een§, of Groot — *—*— 8
Een gouden Ducaton.- 4 , . — 15—*— *
of daar omtrent.'
§. 426. Vervolgens reekent men ook bij worpen , en bij zakken: om dat het geld veeltijds bij worpen geteld, of gefchoten wordt, en dat men dan to veele worpen bij elkandercn 'in eenen zak doet, als wegens de ronde fom, of handelbaarheid van de zakken het gevoeglijkst is.
Zo maaken 5 Dubbeltjes een worp. zzf* —10— *
4 Zestehalven. . . .■ ZZ 1— 2—<s ook 5 Zestehalven. .■ . . = 1— 7—8
5 Schellingen. . . =: 1-10—o
2 ooworpen Dubbeltjes maaken iZak. zzfioo — * — * ^w veeltijds ook 200—*—*>
ioo worp van 5? Zestenaiven, 1 Zak. zz 275 - *- *
2 50 worp van 4 i
200 worp Schellingen, 1 Zak. . zz 300 — *—*
"Voorts maaken 200 Drieguldens -ftukken, of 400 Daalers, of
600 Guldens, een Zak Guldens. r:/6oo—* — *=
Eindelijk maaken
'200 Rijksdaalers een Zak. . . =/5o° — *—*
3'co Goud-guldens een Zak. . ZZ 420—# — <*
1. DEEL. h TA-



l62 TAFELEN VAN DROOGE EN NATTE MAATEN.
TAFELTJE VAN EENIGE INLANDS C HE DROOGE MAATEN.
§. 427. Drooge waaren , als graanen, meel, enz. worden meest al in de Nederlanden verkocht bij Lasten, Mudden, Zakken ofLoopens, Schepels , Vierdels of Spinten, en voorts bij Maaten, als Friefche en Stede - maaten, en eindelijk bij Koppen, en onderdeden van deeze.
Een Kop heeft 47,4668 Rhijnlandfche cubicque duimen lighaamlijken inhoud. — De overige Maaten verhouden zich tot den Kop als hier beneeden.
Loopen
of Fiiefclie StedeLast. Mud. Zak. Schep. Maaten. Maaten. Koppen. I 27 36 108 1152 2304 3456 Ó I If 4 42t 85i 128 t<M i 1 3 32 64 96 ! Tsil i i 1 iö* aif 32 Ttrt ni tl tï 1 2 3 2t0+ ifi si si i 1 li Tïi ji I -| f 1
In Groningen houdt een Last 33 Mudden; en iedere Mud 16 Spinten. Een Tonnen-last houdt 12 tonnen.
TAFELTJE V.A N EENIGE INLANDSCHE NATTE, OF WIJNMAATEN.
§. 428^ Natte waaren, of vloeijftoffen, als Wijn, Bier, Olij, enz. worden gemeenlijk verkocht bij het Vat, hetOxhoofd, het Aam ot:Tiertz; voorts bij het Anker, de Steê-kan, de Stoop, het Mingelen, de Pint, en kleinere deelen van deeze. —
Dodi



TAFELTJE VAN VOET- EN ELLEMAATEN. 163
Doch deeze maaten zijn niet alle volmaakt dezelve in de verfchillénde Steden der vereenigde Nederlanden; daarenboven verfchillende maaten, waar mede de Wijneif-, gebrande Wijnen, Bieren, enz. gemeeten worden, meer of min van eikanderen.
Zie dan hier beneeden een tafeltje van de Amfterdamfche Wijnmaaten.
Een Amfterdamsch Wijn -mingelen heeft 66,5648 KhlüiLcuèicque duimen inhoud; of de Pint 33,2824 zodaanige duimen. — De verhouding der overige maaten is de volgende.
L s Brak.
Tiertz
of Amft.
Vat. Oxh. Aam. Anker. Steé-k. Stoop. Ming. Pint.
I 4 6 24 148 384 J768 15 j6
i 1 ii 6 12 96 j 192 384
i ft 4 J 8 64 128 256
ii i ? 1 2 16 32 64
ïi ti i \ 1 8 16 32
T'i si si i fi i I 2 4
TTft Tï+i jfil ïil Ti i i 1
TAFELTJE VAN TWEE VERSCHILLENDS VOET- EN ELLEMAATEN.
§. 429. In Holland zijn vooral twee Voetmaaten, en in Amtterdam twee Ellcmaaten in gebruik. De Voetmaaten zijn de Rhijrilahdiche , en de Amflerdamfche, of zo genaamde Hout-voet. De Ellemaaten de AmfterdamVche en de Brabaudfche. — Hunne bètreklijke lengten zijn de volgende, zo na mogelijk in tientallige breuken uitgedrukt.



Ï64
TAFELEN VAN
Brab. Amfl. Rhijnl. Amft. Rbijrl. Amft. . Gelijks El. El. Voet. Voet. Duim. Duim. Deelen. I 1,0095 2,2125 M545 26,55 27 22125 I 2,1917 2,4314 26,3 26,746 21917
I I5I936 12 12,203 ioooo
i 10,82 II * 9014 iocioit 1 1,017 833f
99 ioolIU gen°eg' 10,983 1 819
Gij ziet dat de Rhijnl. voet in 12 gelijke deeïen en de Amfterdamfche in 11 gelijke deelen, welke men duimen noemt, gedeeld wordt. —• Voorts ziet Gij dat ik den Rhijnl. voet in 10000 gelijke deelen verdeeld heb, om de overige lengten zo veel naauwkeuriger met den Rhijnl. voet, als Standert, te vergelijken.
TAFELTJE VAN VERGELIJKING TUSSCHHN HET AMSTERDAMSCH, TROIJESCH-EN E R^A BANDSCH GEWIGT.
§. 430. Men gebruikt in Amlterdam drieërlei] gevvigt, als het Amfterdamsch, het Troijesch, en het Brabandsch, welke in onderftaande tafeltje met eikanderen vergeleeken zijn in Aazen, tegen 30240 op een (ë Troijesch.
Amft. fgTroij. |g Brab. Aazen. 1 1 3fl I 1,0526 I 10280 1 I 1,0485- 1 10240 I 1 9766 256 257 naauwkeurig 1
4°° I 42i ? nagenoeg.
2000 1 2097.J 0 0



.6 e w i g t e n.
l6g
<S 431. Het Amfterdamsch Gewigt wordt, 111 den Koophandel, in alle, of ten minden de meeste Steden van Holland, algemeen gebruikt; uitgezonderd voor eenige weinige Koopwaarcn, te Amfterdam uitdruklijk bij Keuren bepaald, -e- Van het grove gewigt houdt dan
1 Cent ener of Quintal 100 fê. 1 Schip tê 20 Lijs ÜÊ of 300 ʧ.
ï Lijs tS 15 ÉB A . T ,
1 C8 16 Oneen, of 32 Looden. 1 Once 2 Looden.
S. 432. Het Troijesch gewigt, waar -uit het Amfterdamsch zijnen oorfprong genomen heeft, en het welk dus als ftandert aangemerkt mag worden , wordt op verfchillende wijzen in kleiner deelen ingedeeld, naar dat het van Gouden Zilver-fmeden, of van Munt - meesters , en Esfaijeurs, of Metaal-proevers, of wel van Geaeesheeren en Kruidmengers gebeezigd wordt.
De Goud- en Zilver - fmeden reekenen bij Ponden , of liever Marken , Oneen, of liever Looden, Engelfchen, cn Aazen. — Zie hier een
tafeltje van goud- en zilversmid s gewigt.
L 3 §• 433-
$§. Mark. Oneen. Looden.Engelfc. Aazen. 1 1 I 2 I 16 I 32 32° I I024° 1 1 1 I 8 16 160 I 5120 | 1 | 2 20 640 j
1 ïo I 320 ;J
. 1 I 3* I



£70 TOEGE-PASTE OT TEELING.
.gends zekeren te vooren (§. 281 en 282.) geleerden kunstgreep, om dat eene gulden 20 ftuivers bevat, en krijg 2 guldens, terwijl 'er nog 9 ftuivers over fchieten, die ik onder de ftuivers plaats ; eindelijk de 2 uit de ftuivers bekomene guldens, bij de overige guldens optellende, komen 'er 1121 guldens.
§. 444. M. Ik heb 'er niets bij te voegen, en daar ik in deezen uwe bekwaamheid befpeur, zal ik U omtrent de optelling van andere foorten van gelden, of van maaten, ellens, gewigten, tijden, .enz. niets verder te onderrichten hebben: immers hebt gij tafelen (§. 425—436.) voor U, waar uit Gij zien kunt, in hoe veele kleinere onderdeden iedere munt, of geld-fom, iedere maat, lengte, gewigt, en tijd ingedeeld wordt. — Daar uit zal blijken dat men Grooten door 12 moet deelen, om 'er de Schellingen uit te krijgen, en Schellingen wederom door 20 om of, of Ponden (Flaamsch) te hebben. — Dat Schepels door 4 gedeeld moeten worden om Mudden, en Mudden door 27, om Lasten te hebben; dat men Ponden gewigts door 15zal moeten deelen, om Lijs-ponden, en Lijs-ponden door 20 om Schip-ponden te krijgen, enz.
§. 445. L. Dit foort van optellingen zal mij niet moeijlijk vallen, Meester! geef mij flechts eenige voorbeelden.
%. 446. M. Vergaêr dan de volgende geldfommen, en geef mij de bcloopen, of zamentellingen onder dezelve letters, waar mede ik die geteekend heb.



174 TOEGEPASTE OPTELLING.
vL^ÈLSLr de fommen der volgende
eer?; &. Breng de V°lgende ?ewigten'in Koopmans Gewigt.
A. ,Sd,iS Li{f • * B. W ».
76 "3 6. # I0 12
* 12 IO wo 18 7
8 7 5 12 „ \
1 10 8 4 19 7 io
Goud- en Zilverfmids Gewigt.
M. L. E. A. M T F A
I i r I = 12 5 20
Rhijnl. Maat. Amfterd. Maat.
A ?,Tï 7et-?LlimV E!len' Ellen.
57 io 13. i 25 10 C. I 87 D. «.
18 ii 17 c ', 5f.
I J I 5 9 3 20i f U
i 1 2' a -f
i181 3 10 7 j



TOECEPASTE OPTELLING. 175
§. 454. Voorbeelden van optelling genoeg, wif gaan over tot de
W. D. U. M. D. U. M. S.
A. \ 36 5 22 35 D. 6 101 5 45
20 3 14 10 * o 12 6
9 l 4 7 50 4 ' 36
13 * 16 * 3 23 <* 20
* 6 18 40 * 2 55 *
l 40 I 2 9 25 l 5 12 20 I 36
§. 453. Tel eindelijk nog de volgende Tijdvakken' bij eikanderen op.
Medicinaal Gewigt.
/ft/a/V-ffcwist voor Goud. ^/«//-gewigt voor Zilv.
fg. Onc. Dracli. uracn. acr. kjx.
G. 36 11 7 B. 7 2 i3
10 5 5 * .1' 1»
7*3 3 * - 7
ia 10 • # 61»
„86 * 2 9
10 6 | 4 1 3 I 1 *2
M. C. G. A. M. P. G. A.
E. 1 23 i 11 20 F. 3 11 20 18
* 16 5 12 * 5 6 8 1 3 10 j> 19*4
# 19 1 7 18 2 10 4 0 (12 * 10 0 7 18 16
I | 5 9 16 I s IO 12



I/tf TOEGEPASTE VERMENIGVULDIGING. TOEGEPASTE VERMENIGVULDIGING.
$■ 455- Deeze zal, naar ik mij voorftel hoofdzaaklijk beftaan in grootere Munten, Gewigten, enz. tót kleinere deelen te maaken of in onderdeelert te ontbinden.
$. 456. M. In niets anders. — Zo vermenigvuldigt men Guldens met 20, om die tot ftuivers te brengen, Stuivers met 16 om penningen te krijgen; Schellingen met 12 om grooten te erlangen; Lijs-ponden met 15 om ponden te hebben; Ponden met 16 om oneen, of met 32 om looden te maaken, enz.
§. 457- L. Niets ge- /3__I3-_I2 ' maklijker , Meester ! Ik 20 gaa maar eens ƒ3—-13—12 - -
tot penningen maaken. — 60 Ten dien einde vermenig- 13 vuldig ik eerst de ƒ 3 met , 20, en ik krijg 60 ftuivers, 73 ftuivers.
gelijk hier nevens. Daar 16 tel ik de 13 ftuivers bij -i—» op, dan heb ik 73 ftui- 438 vers. Deeze vermenigvul- 73
dig ik met 16, en bekom ■
1168 penningen; daar tel n68 ik die 12 penningen nog \% bij, en verkrijg dus 1180 — penningen. n8a penningen.-
458. M. Gij hebt volmaakt uw oogmerk bereikt, en zeer wel gedaan; alleen heb ik 'er op aan te merken, dat men het gewoon is korter te doen. —- Vooreerst rrekt men de bij de guldens gegeevene ftuivers en penningen onder het vermenigvuldigen in; éénheeden bij éénhee-
' den



TOEGEPASTE VERMENIGVULDIGING. Ijf
den, en tienheeden bij tienheeden: aldus, terwijl men de ƒ 3 met 20 vermenigvuldigt j zegt men , nul is nul, en men zet 'er de 3 van 13 duivers Vóór in de plaats; voorts 2 maaien 3 is 6, en i, dat is, de tieuheid van de 13 duivers, maakt 7. — Ten anderen is men gewoon met de getalen 12 en 16 op éénmaal te vermenigvuldigen , wijl zij zo veehnaalen als vermenigvuldigers in munten en gewigten voorkomen. (§. 147.) Men zegt dan bij de vermenigvuldiging van 73 met 16 aandonds 3 maaien 16 maaken 48, en 2 van dé 12 penningen geeven 50, voorts 7 maaien 16 geeven 112, en 5, die ik gehouden heb, en nog 1, de tienheid van 12 penningen, maaken 118, en zo doet men in alle andere gevallen.
Zie hier ondertusfchen tafeltjes voor de getalen 12 en 16, die Gij van buiten moet ïeeren.
1x12=12 6x12= 7211x16=16 6x16 = 96
2x12 — 24 7x12= 84 2x16=32 7x16=112
3x12 = 36 8x12= 96 3x16=48 8xi6=i2ii
4x12=48 9x12 = 108 4x16=64 9x16 = 144
5 x i2 = 6o 10 x 12= i20 '5 x l6 = 8o 10 x l6=l6o
§. 459. L. Ik bedank U zeer voor uwe onderrichting, Meester! dan vergun l , eene vraag. Moet men Ie Opgegceve m er 1 den altijd langzaamerhand tot tl au kteuifl derdeelen brengen , of moet men ar ha
mógelijk is, liever eenskbns doen? — Rij VOOibeeld, eene gulden heeft sta (htiycrs, en eene ftu'* ver 16 penningen, dus houdt eene guldcii 20x16 = 320 penningen. — Wat is nu betel om eens ƒ 36 tot penningen te maaken , eerst
I. DIEL. Al BMC



178 TOEGEPASTE, VERMENIGVULDIGING.
met 20 en dan met 16 vermenigvuldig, of dat ik die 36 eensklaps met 320 vermenigvuldig?
§. 460. M. In dit geval komt het na genoeg op hetzelve uit; doch in het algemeen is de kortfte en gemaklijkfte weg met één woord de beste. — Stel eens dat Gij 358 ftooters tot duiten moest maaken; dan 358 358 zal het merklijk in de moeite 2^ 20 verfchillen of Gij de ftooters —— —— eerst met a{ tot ftuivers wildet 716 7160 maaken ("§. 425.) en daar na 179 de ftuivers met 8 tot duiten, ~—— dan of Gij zegt, 2 ftuivers, en 895 8 .penningen, of liever 2 ftui- 8
vers cn 4 duiten maaken
2x8+4 zz 16 + 4 =20 duiten, 7160 en dat Gij dan het gegeeven getal ftooters aanftonds met 20, vermenigvuldigt— Gij ziet het hier ter zijde op de eene, en andere wijze behandeld , en zult niet meer twijffelen, welke handelwijze in dit geval de beste is. —— Een gezond oordeel, en vereischte oplettendheid moeten U in deezen bellieren-,
§. 461. L. Geev mij dan maar vraagen op, bid ik, Meester!
§. 462. BI. Zie hier zo veele ik noodig oordeel. CS- 425O
A. Hoe veele penningen maaken 360 oortjes?
B. Hoe veele oortjes maaken 75 blanken?
C. Hoe veele oortjes zijn 'er in 123 braspenningen?
D. Hoe veele grooten in 728 ftooters?
E. Hoe veele duiten zijn 'erbevat in 375 reaalen?
F. Hoe veele penningen in 3748 grooten?
§• 463- Maak de volgende geldfommeH tot kleinere deelen en onderdeden. A,



TOEGEPASTE DEELING. l85
Mark. Onc. Eng. Lood. Eng. Aazf
C. van 3 — a — j6 D. van 12 — 5 — 12 trek 1 — 7 — 12 trék 3-^8 — 20
Onc. Car. Grein. Mark. Penn. Gr. Aaz. E. van 7 — 1 — 5 F. van 5 1— '3 — 10 — 8 trek 3 — 2 — 8 trek 3 — 10 — 16 — 20
§. 485. Beantwoord mij nu nog de volgende vraagen in tijden opgegeeven.
A^ Hoe veele dagen: dat is, etmaalen, uuren, minuuten en feconden is eene eeuw langer dan 99 jaaren, 321 dagen, 15 uuren, 37 minuuten, en 45 feconden? (J. 435, 436.)
B. Hoe veele jaaren, maanden, weeken, dagen, uuren en minuuten is een man die, op het ogenblik, als Gij deeze vraag beantwoord hebt, 57 jaaren, 5 maanden, 1 week, 3 dagen, 18 uuren en 20 minuuten oud is, ouder dan Gij, uwe ge? boorte gefield zijnde als boven? (§. 471, B.)
C. Hoe veele jaaren, maanden, enz. zijt Gij, onder die zelve onderftelling (§.471, B._) ouder, dan een Kind dat den 10 September 1790, 'savonds 2.0 minuuten na 7 uuren geboren is?
§. 486. Zie hier reeds voorbeelden ter oeffening in overvloed. Laat ons nu zien wat men te wege brengt met eene
TOEGEPASTE DEELING.
§. 487. L. Men zal daar door zekerlijk het tegengeftelde van de vermenigvuldiging doen, en , gelijk men door de laatfte grootcre mun.ten, maaM 5 ten,



TOEGEPASTE DEELING. l$?
guldens maak, krijg 16/11420
ik eerst 713 ftuiv. en
'er fchieten, bij de 71 [3 ft. en 12 penn.
deeling door 16 nog -
12 penn. over, die ƒ 35 - *3 " 12
penningen blijven.
Voorts vind ik dat de 713 ftuivers, 35 guldens en 13 ftuiv. geeven, zo dat de 11420 penn. ƒ 35 — 13--12 uitmaaken.
§. 492. M. Gij zult dan even gemaklijk § tot fi en c£ fchepels tot mudden en lasten, enz. maaken.
K. '493. L. Even gemaklijk , Meester ! Men heeft Hechts te letten, of in de tafelen (§.425-436.) na te zien, hoe veele van de gegeevene onderdeden een volgend grooter deel uitmaaken, en door dat getal te deelen, en deeze bewerking te herhaalen tot dat men die hoofddeelen bekomen hebbe", waar in men het antwoord wil geeven, of waar in het gevraagd wordt. Zo deelt men feconden door 60, om minuuten te hebben ; de minuuten andermaal door 60 om uuren te krijgen; de uuren deelt men door 24, om de etmaaleu te weeten; de etmaalen door 7 gedeeld geeven weeken; de weeken door 52 gedeeld geeven jaaren; en zo in alle andere gevallen.'
§. 494. M. Toon uwe bekwaamheid in de beantwoording der volgende vraagen.
A. 51763 oortjes, hoe veele guld. ftuiv. en penn. zijn het?
B. 10854 blanken, hoe veele fchellingen?
C. 9432 braspenningen, hoe veele guldens?
D. 12025 ftooters, hoe veele daalers?
E. 25320 reiialen, hoe veele goud-guldens? y. 3752 duiten, hoe veele zestehalven? G. 80325 oortjes, hoe veele rijders?



IS8 TOEGEPASTE DEELINC.
II. 9828 ftuiv., hoe veele Zecuwfehe Rijksd,? I. 30716 dubbeltjes, hoe veele Holl. Rijksd.? K. 8016 zestehalven, hoe veele worpen van 4? L. 50700 zestehalven, hoe veele zakken en worpen?
M. 18912 guldens, hoe veele zakken?
§. 495. Zeg mij voorts hoe veele zakken zestehalven men tellen zal voor de volgende geldfommen, en wat 'er dan nog, bij iedere fom, aan guldens, ftuivers en penningen te kort komt.
A- voor 1765824 penningen?
B. voor 207928 duiten?
C. voor 100705 ftuivers en 12 penn.?
D. voor 2354296 fi, en 7 %?
§. 496. Breng nu nog de volgende kleine maaten, gewigten, enz. tot zodaanige grootere, ais waar in men gewoon is te fpreeken en te handelen.
A- 10512 koppen, tot lasten, mudd. en fchep.
B. 6358 fchepels, tot lasten, enz.
C. 8026 Friefche maaten, tot loopens.
D. 5708 Groninger ipintcn, tot lasten.
E. 12394 pinten, tot vaten, oxh. en ankers.
F. 826 ftoopen, tot aamen.
G. 20428 Amfterd. duimCn, tot Amft. voeten.
H. 16705 Amft. duimen, tot Rhijnl. voeten. L 35032 Amft- duimen, tot Brab. ellen.
K. 9175 Amft. duimen, tot Amft. ellen.
L. 10000 Rhijnl. duimen, tot Rhijnl. voeten.
M. 8756 Rhijnl. duimen, tot Amft. voeten.
N. 15387 Rhijnl. duimen, tot Brab. ellen.
O. 23006 Rhijnl. duimen, tot Amft. ellen.
P. 34720 8, tot Schip-fö en Lijs-Ég.
Q. 50718 oneen tot quhitakn.
R. 84026 aazen, tot marken, oneen, enz.
S. 9316 aazen, tot caraaten.



ALGEMEENE BEHANDELING ENZ. ï8<)
T. 10728 greinen, tot mark,'oneen, en penn.
V. 16560 greinen, tot ʧ, onc. drachm. en fcrup.
W. 80900 feconden, tot etmaalen.
§. 497. L. Vereifchen die zo genaamde Reductio of casfa-reekening , en oefening der Jpecien bij bartjens en anderen, ook nog eenige bijzondere handelwijze? Meester!
§. 498. BI. Niet de minste. — Zij beftaan alleen in eene herleiding van de ééne foort van munt, of geld-fpecie in de andere, en voorts in eene optelling van geldfommen van verfchillenden aart, of in eerie aftrekking van eenige fchulden of betaalingen , van eenige andere geldfommen gedaan , ter vereffening of opmaaking van de kas. — Dit alles wordt, naar vereisch van zaaken, of door vermenigvuldiging , of door deeling, of door optelling en aftrekking, of zomtijds door twee, drie, of alle deeze kunst-bewerkingen zamen, met veel gemak volbragt. — Het hangt alleen van het oordeel van den Reekenaar af, om te weeten welke eene bewerking hij hebbe te verrichten. — De opgenoemde regelen behelzen dan niets dan eene
algemeene behandeling en vereffening van alleuleije munten en gelden.
§. 499. L. Heb de goedheid, bid ik, Meester! van mij eenige vraagen van dien aart te doen.
§. 500. M. Hoe zoiïdt Gij dan 7528 reüalen tot guldens maaken?
§. 501. L. Naardien'er geen rond getal reaalen in eene gulden bevat is, kan ik dit door geene enkele deeling beantwoorden. — Ik zal dan verpligt zijn om eerst, door vermenigvuldiging, de
re a alen



IPO ALGE M EENE BEHANDELING
reaalen tot onderdeden, als duiten of penningen , te maaken, en deeze voorts door 8, of 16, en daar na door 20 te deelen.
§. 502. M. Gij zoudt uw oogmerk bereiken en de vraag naar waarheid beantwoorden, doch geenzins langs den kortften weg. — Waarom de reaalen tot zulke kleine onderdeelen als duiten, of penningen te maaken? ,
§. 503. L. Ik konde die dan flechts door eene vermenigvuldiging met 7 tot halve ftuivers maaken, en daar na door 40 deelen om guldens te hebben.
§. 504. M. Laat u dit dan ten algemeenen regel verftrekken, dat Gij in alle gevallen, waar eene kleinere munt, of gt\A-fpecie, in eene grootere veranderd moet worden , terftond omziet naar den grootften gemeenen deeler dier beide fpecien, welke in dit geval de %, of halve ftuiver is, om dat die juist 7 maaien, zonder overfchot, in de reaal, en 40 maaien in de gulden bevat is.
§. 505. L. Men behoudt dus kleinere getalen, en het werk wordt 'er derhalven door verkort, Mees ter! Maar ik konde de reaalen dan ook wel, door eene vermenigvuldiging met 3 en een halv, tot ftuivers maaken, en dan tot guldens.
§. 506. M. O ja. — Dat zoude nog korter zijn; en als Gij bedenkt dat dubbeltjes het allergemaklijkst tot guldens gemaakt worden, (§.70.) cn dat een reiial dén en drie vierde deelen van een dubbeltje bevat, zal dat nog gemaklijker zijn.
§. 507. L. Als men de opgegeevene 7528 reaalen (§. 499.) op deeze drie verfchillende wijzen tot guldens brengt, gelijk hier beneeden, loopt het ten fterkften in het oog, Meester.'



VAN MUNTEN EN GELDEN. 107
7528 7528
7 3$
40/ 52696/ƒ1317 22584
40 3764
126 2634I8
— ƒ131708 69 40
■ 7528
296 \ zz 3764
280 ^ = 1882
i6§=8ft. ƒ 1317,4
§. 508. M. Hoe zoudt Gij guldens tot goudguldens, of goud-guldens tot guldens maaken?
§. 509. L. Als - ik bedenk dat 4 ftuivers de grootfte gemeene maat van deeze verfchillende munten is: want, dat eene gulden 5 maaien 4, en eene goud-gulden 7 maaien 4 ftuivers bevat, dan zoude ik naar vereisch van zaaken met 5 vermenigvuldigen , en daar na door 7 deelen, of met 7 vermenigvuldigen, en door 5 deelen.
Zie hier beneeden eerst ƒ 26271 — 0 — 0 tot goud-guldens gemaakt, en den uitkomst daar na wederom herleid tot guldens.
ƒ26271



ip2 ALGEMEENEBEHANDELING
ƒ 26271 — * — * 18765 G- guldens.
5 _2
7/13I355 / 1.8765 5/i3i355//26171 ,
7.... G-guld. 10....
61... 31...
56..* zo...
. 53-- I 13-•
49.. 10. *
45- 1 35'
42' 35-
35 5
5. 510. M. Gij hebt den algemeenen regel (§. 504.) gevolgd, en dus wel gehandeld; echter zoudt Gij nog beter gedaan hebben met 'er hier eene uitzondering op te maaken, en ten minsten de goud-guldens liever tot dubbeltjes te maaken, uit hoofde van de gemaklijke vermenigvuldiging met 14, wijl Gij het gegeevene getal goud-guldens flechts met 4 te vermenigvuldigen hebt, en het produB een getalmerk achterwaards te fchrijven, (§. 139. voorb. 2.) en dan bij het gegeevene op te tellen: uit hoofde van dit gemak, zeg ik, en de daar op volgende deeling 18765 door 10, of affnijding van 75°6o
de laatfte getalletter. — Zie »
het hier ter zijdeop die wij- ƒ26271,0—* ze verricht, en Gij zult van het voortreffelijke deezer handelwijze overtuigd worden. §. 51**



VAN M U NT EN EN GELDEN. Itjj
> §. 5"- Z. Ik zie wel, Meester! dat men zich in deezen niet zoo zeer aan vaste regelen binden moet, als wel dat men oordeel moet gebruiken, en op kunstgreepen bedacht zijn, om het werk op het fpoedigst te verrichten.
§• 512- M. Welke kunstgreep zoudt Gij dan gebruiken om worpen van 5 zestehalven tot guldens te maaken?
§■ 51$. L. Ik denk het best zal zijn dc worpen flechts met 11 te vern&nigvuldigen, endoor 8 te deelen; om dat 5
zestehalven juist 11 zo- 754 worpen van 3
danige deelen bevatten 754
als de gulden 8, ftooters ■ 1
naamlijk; en om dat de 8294
vermenigvuldiging met 8/ .
11 door eene optelling ƒ1036 —• 15
van het getal nog eens
met een getalmerk voor- of achtcjwaards onder zich^zelven gefchreeven, verricht wordt, wijl 11 _ 10 + 1 is. — Zo ziet men hier dat 7^4. worpen ƒ 1036—15— uitmaaken.
§• 514. M. Zeer wel. — Hoe zoudt Gij nu worpen zestehalven, van 4 in eene worp, tot euldens brengen?
§• 515. L. Niets gemaklijker dan dat : want, naardien eene worp van 4 zestehalven juist ééne gulden en een dubbeltje: dat is, één en een tiende deel, of i,i van eene gulden bevat, zo heeft men aanftonds zoo veele guldens als worpen, en
A/rn°gL ecn tiendc deel van dar Setal daar boven. . Men heeft dan, gelijk hier 3578 worpen, ter zijde, flechts een tiende 357.8
deel van het gegeeven getal .
worpen 'er bij te tellen ^ 0111 ƒ3935,8
I. DEEL» N gul.



VAN MUNTEN EN GELDEN. I99
tegen in kas heb 16 rijders, 38 ducaaten, 1 zak fchellingen, en nog 975 guldens?
§. 531. L. Ik gaa de reekening opmaaken, Meester!
Ducatonnen. G. guldens.
15 186 (§.510.)
3 v744 f I
CS-5I9-) ■
ƒ45 ƒ260,4 . . — ƒ260 8
/ 2-5-
/47~5— = 47 5 -
o£. (5. §. 2zakzcstehalv. rr: 550 o — 86-15-7
20 =r
ii dubbeltje.
1735 3
ƒ520,64 =1 520 I 13 I 8
zamen fchuluig/' | 1378 j 6 | S Dupaaten. Rijders.
38 16 I
5 14 f
190 ƒ224 . . = ƒ224
9—10 |
ƒ 199—10 r: 199 10 J —
1 zak fchellingen. z= 300 * I
ƒ975 = 9-5 g | —
zamen in kas ƒ \ 169sTTö^l — N 4 Ik



200 ALGE M EENE BEHANDELING
Hc vind dan dat de fchulden zamen bcdraagen ƒ 1378-6—8, doch dat 'er nog ƒ 1698 - 10 -- in kas zijn. Dus dat 'er na
behoorlijke aftrekking, In kas/i6o8~io» als ter zijde, nog/32o-3-8 Schuld. 1378- 6-8
in kas overblijven, waar —
mede ik mij vleije deeze Blijft ƒ 320 - 3-8 vraag naar behooren te hebben beantwoord.
5. 532. M. Zodaanig, dat ik U de volgende vraagen gerustlijk, in verwagting van een antwoord naar waarheid, durv opgeeven.
A. Stel iemand fchuldig te zijn 318 9 iï 4 § cn nog ƒ 758-12-10 aan den zeiven man; doch Iaat hem bij verfchillende geleegcnheeden voor dien man verfchoten hebben ƒ 187-7 - nog een zak zestehalven, nog 82 goud-guldens cn eindelijk nog 75 ducaaten. Wat blijft hij dien man nog fchuldig?
B. Als iemand ƒ 6725- 18- 12 in kas heeft, en hij betaak de volgende reekfningen:
ƒ 125 7 10 ƒ 17 9 10 1 ƒ 13 7 4
, 38 I 5 I * 8 I 15"! 4 106 I 12 | „
87 I 10 1 4 107I 2 J 87 3 I 8
129 j 12 | 8 50 I 10 I 8 j 352 I 8 | 4
wat zal hij in kas over houden?
C. Hoe veel zal iemand in een gewoon jaar overhouden, of te kort komen, als hij door eikanderen f6- 10- 's daags verteert, cn ƒ2000 's jaarlijks inkomen heeft?
D. Maar zo hij nu ƒ4000-*- inkomen had, hoe veel zoude hij dan dagelijks kunnen verteeren om juist, zo men zegt, inct zijn inkomen rond tc fchieten? E.



SLOT. 203
$. 536. M. Gaarn zoude ik U dit op het ogenblik ontvouden, was het niet dat ik door eene uitgebreide en aanzienlijke Maatfchappij verzocht ware, om deeze onze oefFeningen, ook ten dienste van anderen, door den druk gemeen te maaken.— Daar nu het tot hier toe verhandelde een boekdeeltje van genoegzaame dikte voor een Reekenboek zal uitleeveren, wil ik hier het eerfte deeltje fluiten, in de hoop dat deeze onze moeite eene genoegzaame goedkeuring zal weg draagen, om 'er binnen kort, van het geen ons verder te verhandelen ftaat, een tweede deeltje bij te voegen.
EINDE VAN HET EERSTE DEEL.