Bibl,i°t.h?ek Universiteit van Amsterdam1 UI 2768 0593  ZEEVAART-KUNDE, DOOR PIETER NIEUW LA N D, Leblor der Wis-, Sterre- en Zeevaartkunde , en Lid van de Commisfic het Bepalen der Lengte op Zee, en de Verbetering der Zeekaarten betreffende, te Amjl er dam. eerste stüic. li GRONDEN der REKENKUNDE. II. BEGINSELS der MEETKUNDE. III. RECHTLYNIGE DRIEHOEKSMETING. IV. BEGINSELS der STERRE- en AARD- RYKSKUNDE. Te AMSTERDAM, ByGERARD HULST van KEULEN, Zeekaart- en Boekverkooper, Compas , Sextant , Quadrant , Graadboog- en Matheraatilch- Inttr urnent-maaker, aan de Oostzyde van de Nieuwe Brug. MDCCxciii, Mei Privilegie*  Gy Schippers, die niet lang aan eenen oort kunt rusten, En 't ancker licht, en worpt aan vergelege kusten, En al wat binnen boorts, van fchuim en pekel zoor, Nu ommewegen zoeckt, nu houdt een rechter fpoor Awzelfchapt myne reis en voorgenome bcvaert, Die ick geheiügt heb den dienst der nutte Zeevaert. J, VAN VONDEL, Lof der Zsevaert.  COPY van de PRIVILEGIE. De Staaten van Holland en West vriesland, doen te weeten: AHoo Ons te kennen is gegeeven by GERARD HUI T VAN KEULEN, Boek- en Zeekaartverkooper, Compas-, Oaant- , Graadboog, en Mathematifche Inftrument-Maaker, te Amfterdam. Dat de Suppliant met veele kosten had doen drukken zeeker Boek «imituleerd- ZEEVAARTKUNDE, door Puttr N^uwlana Le'oVder Wis- Sterre- en Zeevaartkunde aan het Athenaum IIluftre te-Amfterd'am, Lid der Commisue tot de Zaaken betreffenée het bepaalen der lengte op Zee, en de verbetering der Zeekaarten, Lid van de HollandCche Maatfthappy der Weetenfchappen, van het Utrecht fche Provinciaale Genootfchap, van het Bataaffche Genoot, fchap der Proefondervindelyke Wysbegeerte en van de Maatfchappy der Nederlandfche Letterkunde. De Suppliant beducht was, dat baatzuchtige Menfchen het gemelde Werk zouden nadrukken, of elders nagedrukt herwaarts invoeren, verhandelen en verkoopen, tot merkelyke fchade van den Suppliant. Weshalven de Suppliant zich keerde tot Ons, ootmoediglyk verzoekende ten naame van den Suppliant en voor zyne Erven of recht, verkrygenden, Ons OSroy, om geduurende den tyd van vyftien eerstkoomenie en agtereenvolgende Jaaren het voorfz. Boek, geintituleerd tls hier vooren ftaat vermeld, met mtuuiting van alle anderen ia deeze Provincie te mogen drukken, doen drukken, uitgeeven en verkoopen, in zodanige taaien, formaat, papier en letter als den Suppliant of zyn rechtverkrygenden zouden te raaden worden, met verbod Tan allen en een iegelyk het zelve geheet of ten deele, ofte ook verkort na te drukken, of elders nagedrukt in deeze Provincie te verkoopen, verhandelen, op wat voorwendzel het zoude mogen weezen, op zodanige Pcene, als Wy gewoon waren tegen de Contraventeurs te ftatueeren; en voort in ordinaria forma. ZOO IS 'T, dat Wy de zaaken ende het voorfz. verzoek over«merkt hebbende, ende genegen weezende ter bede van den Suppliant uit Onze regte Weetenfchap, Souveraine Magt ende Authoriceit, derrèelven Suppliant, zyne Erven of rerhtverkrygende, geconfenteert, eeaccordeert en geoaroyeert hebben, confenteeren, accordeeren en oftroyeeren hem by deezen, dat hy geduurende den tyd van vyftien eerst aetereenvolger.de Jaaren het voorfz. Boek in diervoegen als zulks by den Suppliant is verzogt, en hier vooren uitgedrukt ftaat, binnen den voorfz. Onzen Landen »Heen al mogen drukken, doen drukken uitseeven ende verkoopen, verbiedende daar omme allen ende een iegelyken het zelve Boek in 't geheel ofte ten deelen te drukken, naar te drukken, te doen naardrukken, te verhandelen ofte verkoopen ofte elders naargedrukt binnen denzelven Onzen Lande te breneen, uittegeeven ofte te verhandelen en verkoopen, op verbeurte van alle de naargedrukte , ingebragte, verhandelde ofte verkogte Exem plaaren, ende een boete van Drie Duizend Guldens, daar en boven te verbeuren, te appliceeren een derde part voor den Officier die de Calan^e doen zal, een derde part voor den Armen der plaatfe daar  het Cafus voorvallen zal, ende het rerteerende derde part voor dett Suppliant en e dit telkens zo meenigmaal als dezelve» zu len wórde" agterhaaU; alles in dien verftande, dat Wy den Suppliant meteen Onzer, Oflroje alleen willen gratificeer tot verhoedmg van zyne fchaade door het nadrukken van het voorfz. Boek, daar door m lel wgen deele verftaan den innehouden van dien te authorifeeren ofte te advoueeren ende veel min het zelve onder Onze protectie ende be fchermmge eemg meer.ler Credit, aanzien ofte repwatie te «even ne maar den Suppliant in cas daar irme iets onbehoorlyks zoude in an—n C^er2elVe f T Uste Sehouden weezen e v " amwoorden tot d,en einde wel expresfelyk begeerende, dat by aldien hy deezen Onzen Oaroye voor het zelve Boek zal willen Velen m ken" ^Z^TT"' Sec°<«^eerde 5 mog™" maalcen ne maar gehouden weezen, het zelve Oflroy in 't «heel ende d rheemS1 ÏT* f" voor te drukke". * * dmkken' ende dat hy gehouden zal zyn een Exemplaar van het voorfz Boek op poot Papier gebonden en wel geconditioneert ,e brengen in de L.bliotheecq van Onze Univerfileit te Leiden, binnen den tvd van teven ' \ ^"h" Boek za> hebben teginnen drrIZ r ' P een,boete vaQ Z« Honderd. Guldens, na expiratie en voort^ of Armen van de plaats alwaar de Suppliant woont en voorts op pcene van met "er daad verffeeken te zyn van het effeft B Min W V" Ej!emPlaar Sele™" hebbende aan de voorfz Onze h zelve qH„^ï Z°°, ^ *l Sedu,lrende den '>'d van di 0" oy No„n v. /°UdC W1"en herdruk^n rnet cenige Obfervatien l°n!^r Teelie"ngen' Ve™de™&™, CorreaienSof anders noe' genaamt, of ook in een ander Formaat, gehouden zal zvn wede,™ een ander Exemplaar van het zelve Boek |econd4nna"s vooren te brengen ,n de voorfz. Bibliotheecq binnen denzelrentvTZ « ,' toete en penaliteit als voor/chreeven;1 ,nnen~dcn2elT«n W « °P • (groter) en < (kleiner) Deze tekens,tusfehen twee grootheden geplaatst, betekenen dat de cerfte groter of kleiner is dan de twede. -f- (plus). Dit teken , tusfehen twee grootheden geplaatst, betekent dat zy by elkander moeten geleld Worden. — (minus) Dit teken , tusfehen twee grootheden geplaatst, betekent dat zy van elkander moeten afgetrokken worden. In plaats, by voorbeeld, van in woorden te fchryven. 5 geteld by 3, maakt juist zoveel als 2 afgetrokkenvan 10 ,of, de fom van 5 en 3 is gclykaan het Verfchil van 10 en 2, namclyk 8 •, en 8 is groter dan 5, en 5 is kleiner dan 10, is men gewoon te fchryven: 5 + 3 = 10 — 2 =; 8; 8 > 5', 5 < 10 't welk men dus uitfpreckt: 5 plus 3 gelyk aan 10 minus 2, ofgelyk aan §:8is groter dan5: 5 is kleiner clan 10 x {met) Dit teken , geplaatst tusfehen twee grootheden, betekent dat zy met elkander gemultipliceerd mo:ten worden. — (door) Dit teken „ geplaatst tusfehen twee grootheden, die boven elkander ftaan, betekent dat zy door elkander moeten gedivideerd worden. In  EERSTE BOEK. f ïn plaats, by voorbeeld, van te fchryven 30, geóivideerd door 3, is gelyk aan 2, gemultipliceerd met 5, fchry ft men: '| = 1 x 5. : (tof) Dit teken , tusfehen twee grootheden geplaatst , geeft te kennen, dat men de Reden dier grootheden befchouwt. . • Om, by voorbeeld , te kennen te geven dat de Geometrifche Reden van 5 tot 20,4 is, fchryft.men: 5 : 20 = 4 *t welk men dus uitfpreekt: de Geometrifche Reden van 5 tot 20, is gelyk aan 4. Zo men de Arithmetifche Reden bedoelde, zou men even eens moeten fchry ven: 2 : 20 = 18 Maar, om gene verwarring te veroorzaken , voegt men dan by het teken == nog twee ftlppcn, opdezcwyze: 2 : 20 s 18 § ii Wy hebben gezegd (§ic) dat men de Geometrifche Reden van twee grootheden uitdrukt door het quotiënt dat men bekomt, als men die grootheden door elkander divideert. - Zo die divifie niet opgaat , vergenoegt men zich met ze flcchts door het opgegeven teken (§11) aan te duiden. De Geometrifche Reden, by voorbeeld , van 2 • tot 6, is 3 ; die van 2 tot 5, drukt men dus uit, 2 : 5 of i; de reden van 1: 3 i is 3» diè van 3: 1, is \. Breuken, zo als men ze gewoonlyk noemt, zyn niet anders dan divifiën die niet opgaan, en dus niet A a vol*  8 ZEEVAART-KUNDE, volbragt, maar enkel aangeduid kunnen worden volgens de hier opgegevcne wyze, by voorbeeld, l, \, h &c- Het getal , dat boven het ftrcepje ftaat, wordt teller, het onderfte noemer, geheten. § 13- De-twee grootheden, die met elkander onderling vergeleken, eene Reden uitmaken, dragen den naam van termen van die Reden: en de grootheid die het eerfte genoemdword t,wordt voorgaande term,de andere volgende term genoemd; ook wel enkel voorgaande en volgende , zonder het woord term er by te voegen. Dus, by voorbeeld, wanneer men zegt, 3 : 6, is 3 de voorgaande , 6 de volgende term ; de Reden zelve is 2, (als men nameïyk 6 door 3 divideert); doch wanneer men zegt, 6: 3, is 6 de voorgaande, S de volgende term, en de Reden zelve is § of |. § 14- Gelykheld van Reden wordt Evenredigheid (Proportie) genoemd: dat is, wanneer tusfehen twee grootheden (2 en 4, by voorbeeld,) dezelfde/eden is als tusfehen twee anderen (3 en 6, by voorbeeld,) dan zegt men dat er Evenredigheid, gelykheld van Red?i, plaats heeft , dat die vier grootheden evenredig {proportioneel) zyn; en wel Arithmetisch evenredig, ZO het Arithmetifche Redens ; doch Geometrisch evenredig , zo het Geometrifche Redens zyn: dit laatfte had plaats by de opgegeven getalen 2, 4, 3, 6. Arithmetisch evenredig zyn , by voorbeeld , 2 , 7 , 3 en 8: want 'er is de zelfde Arithmetifche reden tusfehen 2 en 7 als tusfeheu 3 en 8, nameJyk 5- Men  EERSTE BOEK. 9 Men is gewoAi dit dus te fchry ven: 2:4 = 3:6 2:7.== 3 : 8 en men fpreekt her dus uit : 2 flaat tot 4 Geometrisch, gelyk 3 M 6, en 2 ftaat tot 7 Arlthmetlsch, gelyk 3 tot 8. Men moet vooral zorg dragen, van de denkbeelden en benamingen van Reden en Evenredigheid niet te verwarren. Twee Grootheden maken eene Reden, doch Twee Redens eene Evenredigheid x uit. In het gemene leven begaat men dikwerf deze fout. Wanneer men, by voorbeeld, van twee grootheden, die zeer veel verfchillen, fpreekt, zegt men dikwerf, dat 'er geen proportie tusfehen is. Deze uitdrukking betekent eigenlyk niets: tusfehen twee grootheden komt nooit Evenredigheid, maar wel Reden te pas; en men wil eigenlyk dit zeggen: de Reden nrsi'chen die twee grootheden is zeer groot ; zy verfchillen zeer veel; of , wanneer men de grootfte door de kleinfte divideert, is de uitkomst zeer groot. §- '5- Wanneer vier Grootheden evenredig zyn en in orde gefchreven worden, noemt men de eerfte en de laatfte de uiterfte, dc twee andere de middelfle termen. Dus zyn in deze Arithmetifche proportie 2 : 7 sö 3 : 8, 2 en 8 dc uiterfte , 7 en 3 de middelfte termen. In deze Geometrifche 2:4 = 3:6 zyn 2 en 6 de uiterfte, 4 en 3 de middelfle termen. A 5- § 16.  10 ZEEVAART-KUN DE, § 16. # Twee Grootheden maken eene Reden, en twee Redens eene Evenredigheid ; dus worden 'er tot tene Evenredigheid vier Grootheden vcreischt: doch eene derzelven kan tweemaal genomen worden, zu dat er eigenlyk maar drie verfchillendc grootheden gebruikt worden. Dit gebeurt namelyk, wanneer de volgende term van de eene reden, de voorgaande is van de andere, (§ 13) by voorbeeld, 2 : 4 := 4 : 6 2 : 4 i=4 : 8'. Wy zullen over deze foort van Evenredigheid,die gedurige Evenredigheid,(con/inuele propor'ie, genoemd wordt, in het vervolg afzonderlyk (preken. § 17- Wanneer vier grootheden Ariiknetisch Evenredig Zyn, is de fom der beide uherjle termen gelyk aan de fom der beide middelften. Zo, by vooi beeld, 2:7=; 3 : 8, is 2 -f 8 = 7 + 3 — ic; zo 2:4=: 4:6 is 2 -{- 6=4 + 4 = 8. Om dit in het algemeen te bewyzen, laten A, B, C, D, de vier termen eener Arithmetifche Evenredigheid verbeelden, zo dat A : B i C : D dan is B —A = D — C men addere A -f- C = A -f- C menverkrygtB -f- C = A -f D Wanneer de proportie continueel is , 'xsde fom der ui' Unie termen gelyk aan weemaal den middelften 2 : 4 iz 4:6, dus 14/6 = 8 = 2X4 A  EERSTE BOEK. II A : B =3 B : C A — B = B - C B + C = B -f- C A + C = jB. Aanmerking. Het gebruik van letteren, om grootheden in 't algemeen uitte drukken, is voor eerstbeginnenden fomtyds wat mccilyk tebegrypen. Om Wiskunftige waarheden algemeen te bewyzen, kan men zich daarvan echter niet wel onthouden Ik zal door mondelinge ophelderingen die moeilykheid trachten weg te nemen. Het beftek van dit Werk laat niet toe een volledig famenftel van Rekenkunde op te geven,'twelk, zonder mondeling onderricht, in allen dele volmaakt door den Leerling zou kunnen begrepen worden. Ik heb my dus moeten vergenoegen met de Bepalingen en de Voorftellen zelve zo klaar cn breedvoerig als mogelyk was te verklaren: cn die genen, welke met de bewyzen niet wel te recht kunnen komen, cn van mondeling onder wys verftokenzyn, zullen zich by die verklaringen en debygevoegde voorbeelden in getalen kunnen houden, en de bewyzen overflaan. § 18. De Geometrifche Reden tusfehen twee grootheden blyft de zelfde, wanneer men die grootheden elk met het zelfde getai multipliceert , of door het zelfde getal divideert. Dus is de Reden van 5 : 15 de zelfde als die van a x 5 : a x 15 of van 10 : 3c; als die van 3x5: 3 x 15 of van 15 : 45 enz. namelyk, « = II = \\ - 3 ; en  12 ZEEVAART KUNDE, en insgelyks is de Reden van 60 : 18 de zelfde als die van "§:'«, of van 20 : 6 als die van 6| : "f; of van 30 : 9, enz. A A n x A » In het algemeen is — = = —. B « x B B ». Hierop fteunt de zogenaamde Reductie van breuken tot den zelfden noemer , (welke by de additie en fubftractie in het gebroken plaats heeft,) cn de Verkleining van breuken. Om, by voorbeeld, \ en £ tot eenen noemer (35) te brengen, ftelt men in plaats van 33x7 4 4 x 5 — , , en in plaats van —, ■ 55x7 75*7 Men ondcrftelt der halven in die bewerking, 3><7-3 4x5 4 dat = — en - = — is, en dus dat 5x7 5 5x7 7 de waarde van de breuken \ en f niet verandert, zo men den teller cn noemer van de eerfte met het zelfde getal 7, en den teller en noemer van de laatfte met het zelfde getal 5 multipliceert. Wanneer men de breuk £ heeft, verkleint men dezelve , dat is , men divideert teller en noemer door 3 , en men bekomt dus \. Men onderftelt dus in die bewerking, >i dat ^ — = 7 is. ï S 9-  EERSTE BOEK. 13 § 19- Wanneer viej grootheden geometrisch evenredig zyn, is het produel of de uitkomst der'multiplicatie van de wee uiterfte termen gelyk aan dat van de Wee middelften. By voorbeeld, zo 2: 6 = 5:15'isix I5 = 5x 6=30 zo 4:11 = 8: 2a is 4 x 22 = 8 x 11 = 82 In het algemeen zy A : B =3 C : D4 1 A C dan is — = — j B D men multiplicere met B x D = B x D men verkrygt A x D = B x C § 20. Wanneer dus het product van twee grootheden (2 en 15, A en B) gelyk is aan dat van twee andere grootheden (5 en 6, C en D) kan men die grootheden in zodanig eene orde fchryven, dat er eene Geometrifche Evenredigheid wit ontfta: en wel op deze volgende verfchillende wyzen: A : B = C : D a : 6 = 5:15 A : C = B : D 2 : 5 = 6 : 15 D : B = C : A 15 : 6 = 5 : 2 D : C = B : A 15 : 5 = t>: 2 B:A = D:C 6: 2 = 15: 5 B:D = A:C 6: 15= 2: 5 C:A = D:B 5: 2 = 15: 6 C : D = A : B 5 : 15 == 2 : 6 In alle deze gevallen is het produft der uiterfte termen gelyk aan dat der middelften. \ Wan-  14 Z E E V A A. R T - K U N D E3 Wanneer men derhalven de evenredigheid A : B = C : D heeft, mag men die vier grootheden op alle de bovenltaande wyzen verpkuftien, en 'er zal altoos evenredigheid blyven plaats hebben. § 21. Uit deze eigenfchap der Geometrifche Evenredigheid volgt de bewerking , die men verricht om tot drie gegeven grootheden eene vierde Evenredige te vinden. Men multipliceert namelyk de tweede en derde der gegevene grootheden met elkander, en divideert het product door de eerfte. Om by voorbeeld de vierde Evenredige te vinden tot deze drie getalen 2,4, 3,dat is om een getal te vinden , waartoe 3 de zelfde reden hebbe als 2 heeft tot 4 , multipliceert men 4 en 3 met elkander, en divideert de uitkomst (12) door 2., dus bekomt men 6 voor het gezochte getal. In het algemeen ,zoA B « B x C = C : D en dus A x D = B x C zal = D zyn A De zogenaamde Regel van drtën is niets anders dan deze bewerking zelve. Men vraagt, by voorbeeld , 20 2 §B 3 guldens kosten, hoe veel guldens men voor 4 fg zal moeten betalen. Het is klaar, dat men, zo lang de prys vaneenige waar de zelfde blyft, zo veel maal meer zal moeten betalen als men meermaaien waar begeert. Er zal dus de zelfde reden moeten zyn tusfehen de twee hoeveelheden waar, als tusfehen de twee fommen gelds en dus aal mea moeten hebben 2 ;  EERSTE BOEK. 15 eg fg el. a • 4=3: de' gezochte fomme gelds , namelyk 6 gu'd.-ns. Men zou in het gewone gebruik de opgave eenig- ff gl. t8 zins anders Hellen , namelyk dus; 2:3— 4. Eigenlyk is 'er gene vergelyking , dus ook gene reden tusfehen 2 ff en 3 guldens, tusfehen 4 ff en 6 gl, maar wel tusfehen 2 ff en 4 ff, tuslchen 3 gl. en 6 gl. ( 4) Dcch in de bewerking komt dit op het zelfde uit, dcwyl men in beide gevallen 3 en 4 met elkander moet multipliceren, en het er dus niet op aan komt, welke van beiden vooraan komc te Haan. Ik zeg , men multipliceert 3 met 4 , en niet, nun multipliceert 3 gl. met 4 ff. Dit zou een ongerymdheid zyn: men kan 3 gl. met het getal 4 multipliceeren, dan krygt men 12 guldens; men kan 4 ff met het getal 3 multipliceeren, dan krygt men 12 ffi: doch guldens met guldens , of ponden met ponden, of guldens met ponden multipliceren, zyn ongerymde manieren van fpreken, die niets betekenen. De gewone Multiplicatie en Divifie, zo in gehele getalen als in gebrokens , zyn in de daad niet anders dan deze zelfde bewerking. In de gewone Rekenboeken vindt men, dat de multiplicatie eene verkorte additie is, dat, by voorbeeld, 6 met 4 te multipliceren, het zelfde is als 6 viermalen famen op te tellen; en dat de divifie het omgekeerde van de multipicatie is. Deeze bepalingen kunnen Hand houden voor de mu'tiplicatie en divifie in gehele getalen, doch zy zyn onvolkomen cn duifter voor de bewerkingen in gebrokens. Ei-  16 ZEEVAART-K U ND E, Eigenlyk beftaat het multipliceren van twee getalen daarin , dat men een getal zoeke dat tot het èène der gegevenen fla zo ah het andere tot de eenheid. Dus is 2 x 3 = 6 en 6 : 3 == a : i of 6 : 2 = 3 : i Insgelyks 2 4 8 84 2 3 5 15, 15 ' 5 ~ 3 " * En het divideeren van een getal door een ander, beftaat daarin , dat men een getal zoeke , H welk tot de eenheid fla , zo als het getal, waarin men divideert ( of het dividend) tot het getal, waardoor men dhideert (of tot den divifor.) 6 Dus is — = 3 en 6 : 2 = 3 : 1 2 2 4 10 gedivideerddoor — = — 3 5 12 2 4 10 en — : — — - : 1 3 5 12 De gewone bewerking der divifie in het gebroken laat zich zeer gemaklyk afleiden uit de aanmerking (§ 18), dat de waarde eener breuk niet verandert , als men den teller en den noemer met het zelfde getal multipliceert. Laat ons onderliellen, dat men § door \ divideeren wil. Laat ons die divifie aanduiden op de gewone wyze, aldus — . Nu heb ik eene breuk, waarvan | de teller en \ de noemer is. Ik multipliceer onder en boven met 3 ; en verkryg dus  EERSTE BOEK. 17 4x3 M öus voor teller 3 , en voor noemer -— 01 — en 5 5 3 dus voor myne gehele breuk - 4*3 5 Nu multipliceer ik nog onder en boven met £?> 2x5 10 5 en verkryg dus = —■ = — Men vergelyke 4x3 12 6 deze handelwyze met de gewone manier van het voorftel op te losfen, en men zal vinden dat het op het zelfde uitkomt. Immers , wanneer ik het dus opfchryve, fXf, en dan, zo als men 't noemt, over 't kruis multiplicere , bekome ik als voren 2x5 10 5 _ 0f _ 0f 4x3 11 6 § 22- Wanneer men eenen der uiterfte en eenen der mid delfte termen eener Geometrifche Evenredigheid door het zelfde getal multipliceert of divideert •, zal er tusfehen de verkregene getalen Evenredigheidblyven plaats hebben: By voorbeeld 2 : 12 = 5 : 30 met 3 3 6 : 12 == 15 : 30 2 : 12 = 5 : 30 fcet 3 g 6 : 36 = 5 : 3Q  j8 ZEEVAART KUNDE, 2 : 12 = 5 : 30 met 3 3 2 : 36 = 5 : 90 2 : 12 = 5 : go met 3 3 2 : 12 = 15 : 90 Insgelyks 2 : 12 = 5 : 30 door 3 3 2 : 4 = 5 : 10 enz. In 't algemeen zo A : B = C : D, is «xA 1 »xB = C : D, «xA : B = »xC : D A : «xB r= C :«xD, A : B = «xC : »xD dewyl in alle deze gevallen het product der middelfte termen = n x B x C en dat der uker Ren — « x AxD,dus die beiden aan elkander gelyk zyn. A B Insgelyks : —— = C : D, « n -±-:B = -°-:D, A:JL = C:-£.f n n n n C D A : B = : —— dewyl in alle deze ge- n n vallen de producten der middelfte en uiterfte BxC AxD termen en ,dus gelyk aan elkander zyn., n » op  EERSTE BOEK, 19 Op dit voorftel ftcunt de bewerking van den zogenaamden Regel pan drïèn in het gebroken. By voorbeeld, a|B kosten 3! guldens, hoeveel zullen 4| % kosten ? M — 3! - 4? Men multipliceert elk getal met den noemer van zyne breuk: ' n 3! 4/ 4 5 7 11 17 29 Doch om nu de evenredigheid te behouden, moet men met het zelfde getal.4, waarmede menden eerden- term gemultipliceerd heeft, een' der belde anderen , en met de 5 en 7 , waarmede elk van dezen gemultipliceerd is, den eerften term multipliceren, op deze wyze: 11 — 17 < — 29 5 __4_ Is 68 1 L - 385 Nu zyn de eerfte en twede term te gelyk met 5 en met 4, en de eerfte en de derde te gelyk met 7 gemultipliceerd ; dus telkens een der uiterften en een der middelften te gelyk met het zelfde getal; dus kan men nu met de getalen 385, 68, 29, voortwerken, om de gezochte pierde evenredige te bekomen, welke 5$ gl., of 5 g1- 2 ft- 7 P^n. zyn zal. Op dit voorftel fteunt insgelyks de zogenaamde verkorting des Regels Pan drïèn. b 2 ey  iO ZEEVAART-KUNDEj By voorbeeld 6 ffi — 8 guld. — g f8 Hier kan men den eerften en tweden,of den eerften en derden term door het zelfde getal delen, of, zo als men zegt, tegen elkander verkleinen, om dus kleitner getalen te bekomen, met welke men gemakiyker werken kan: 2/6 — 8—9 5/ 3 — 4 — 9 i 4 3- ,dus, antwoord 12 gl Doch men mag geenszins den tweden en derden term (de beide middclfte termen van de Evenredigheid) tegen elkander verkleinen. § 23. Wanneer vier Grootheden Geometrisch Evenredig zyn , ftaat ook de fom of het vcrfchil der beide eerften, tot de fom of het verfchil der beide laatften, zo als de eerfte ftaat tot de derde. By voorbeeld 2:6 = 3:9 2 + 6 of 8 : 3 -f 9 of 12 = 2 : 3. In 't algemeen A : B — C : D dus A x D zz B x C A x C rr A x C add. A x (C-r-D)=Cx(A-fB) en dus (§20) A-j-B:C-f-D=A:C Insgelyks A x C = A x C A x D = B x C fubftr. -— Ax(C_D)=Cx(A—B) en dus (§20) A —B:C —D=A:C §24  '• EERSTE BOEK. ai § 24. Wanneer vier GeometrifchEvenredige Grootheden met vier anderen, die insgelyks evenredig zyn, in orde gemultipliceerd worden (de eerfte met de eerfte, de twede met de twede enz.) of in orde door dezelven gedivideerd worden, zullen de uitkomften in beide gevallen insgelyks evenredig zyn. By voorbeeld, 8 : 12 = 10 : 15 2 : 6 = 5 : 15 multipl. 16 : 72 = 50 : 225 divid. 4:2=2:1 In 't algemeen, . zoA:B = C:DisAxD = BxC zoE:F = G:HisExH = FxG dus multipl. AxDxExH = BxCxFxG en div. AxD BxC ExH FxG • dus(§2o)AxE:BxF = CxG:DxA A B CD Cn ~ " ~F G H Gevolglyk ook, wanneer men elk der termen eener Evenredigheid eens of meermalen met zich zelven multipliceert,zullen de uitkomften evenredig blyven. By voorbeeld, 2 : 5 == 6 : 15 2 : 5 = 6 : 15 " 4 : 25 = 36 : 225 a : 5 = 6 : 15 8 : 125 = 216 : 3375 en zo Voort. B 3 to  21 ZEEVAAR T-KUNDE, In 't algemeen: zo A : B = C : D isAxA:BxB = CxC:DxD AxAxA:BxBxB=CxCxC:Dx,DxD en zo voort. § 25. Twee Grootheden worden gezegd tot elkander te ftaan in de Omgekeerde Reden van twee andere Grootheden, wanneer de eerfte ftaat tot de twede , zo als de vierde tot de derde, en dus wanneer de eerfte kleiner wordt met betrekking tot de twede, jiaarmate de derde groter wordt met betrekking tot de vierde. Dus is 2 tot 4 in de omgekeerde reden' van 6 tot 3 , dewyl 2:4=3:6. Wanneer men derhalven vier zodanige Grootheden in orde van Evenredigheid wil opfchryven, moet men de orde waarin zy opgegeven zyn, veranderen, en de vierde vóór de derde plaatfen, (hier 3 voor 6): of wel, men moet by het teken = het woord omgekeerd fchry ven, op deze wyze; 2 : 4 omgekeerd = 6:3. • Doch 'er is eene andere wyze om de orde der opgegevene Grootheden te bewaren, welke hier op gegrond is , dat de waarde van twee gebrokens, die de éénheid voor teller hebben , in omgekeerde reden der noemers is; dus is \ de helt van |, terwyl 4 het dubbeld van 2 is; \ is het derdedeel van ï, terwyl 6 het dubbeld van 2 is; en dus is \:omgekeerd = 6:3. Wanneer men derhalven de vier getalen 2, 4, 6, 3, in deze orde heeft opgegeven, fchryft men, in plaats van de derde en vierde, twee breuken, die 1 voor teller, en de derde en vierde grootheid voor  Ë E R. S T E B O E 'K. 23 voor noemer hebben; dat is, men fchryft' in plaats van 2 : 4 omgekeerd = 6 : 3 a : 4 = 5 : {• Men zou kunnen vragen, waartoedezCgehele handelwyzc nodig is, dewyl men immers,by dc opgave van vier getalen, dezelven naar willekeur in orde kan fchikken, en'er dus geen reden is, om ze in deze zo het fchynt onnatuurlyke orde 2, 4, 6, 3 op te geven. — Dit zou waar zyn, indien men de getalen altoos in het afgetrokkene bleef befchouwen. — Doch in het dagelykfche gebruik koven dikwerf gevallen voor, wnar in de grootheden zich in eene orde voordoen, die wy niet naar willekeur kunnen veranderen. Men onderftelle, dat twee gebouwen van gelyke grootte, AenB, in vcrfchillendetyden , en door een verfchillend getal van arbeidslieden gebouwd zyn. Stel het gebouw A in 6 maanden, het gebouw B in 3 maanden. Stel dat tot het gebouw A 150 arbeiders gebruikt zyn, en dat men vrage hoe vele arbeiders tot het gebouw B gebruikt waren. Het is klaar, dat 'er meerder arbeiders nodig zyn, naarmate de tyd korter is. Dus ziet men, dat de tyd voor A tot den tyd • voor B is in de omgekeerde reden van het getal arbeiders voor A tot dat voorB; en dat men dus fchry ven moet, 6 : 3 omgek. = 50 tot het gezochte getal, of 6 : 3 = het gezochte getal tot 50, of 6 : 3 = {« tot eene breu'c, die 1 voor teller cn het gezochte getal voor noemer heeft. B 4 Om  «4 ZEEVAART-KUNDE, Om dit gezochte getal te vinden , wanneer men de grootheden in de orde, waar in zy op-, gegeven worden, heeft opgefchreven, moet men de eerfte met de laatfte multipliceren, en door de middelfte divideren: 6 x 50 6 — 3 — 50 = 100. 3 Men kan ook de twee getalen, die tot ééne zaak (hier het gebouw A) behoren, vooraan fchryven, op deze wyze: maand, voor A. arb. voor A. maand, voor B Men multipliceert alsdan de twee voorfte getalen met elkander, en divideert door het laat- fte Het is op deze wyze dat de Regel in de gewone Rekenboeken wordt opgegeven. § 26. , Twee Grootheden worden gezegd in Saamgepdde Reden van anderen te ftaan, wanneer haare reden gelyk is aan het product van twee of meer reden?, By voorbeeld, men vraagt welke reden 'er is tusfehen de wegen welke twee menfehen A en B afgelegd hebben, onderftellende dat zy noch met, dezelfde fnelheid, noch den zelfden tyd gegaan heb-* hen. Het is klaar, indien zy even fnel gegaan hadden, dat dan die geen het meefte wegs zou afgelegd hebben, die den langften tyd gegaan had , en dat alsdan de weg van A tot den weg van B de zelfde reden zou gehad hebben als de tyd van A tot den tyd Van B. Het is insgelyks klaar, dat, indien zy even lang  EERSTE BOEK. 25 lang gegaan hadden, die geen het meefte wegs zou afgelegd hebben, die het fnelst gegaan had, en dat alsdan* de weg van a tot den weg van B de zelfde reden zou gehad hebben als ^ie fnelheid van a tot de fnelheid van B. Nu zyn en de tyden en de fnelheden ongelyk. Dus. zal nu de reden der wegen van A en B faamgefteld zyn uit de redens van de tyden en van de fnelheden, en dus weg van a tyd van a fnclh van a "wTg van B ~ tyd van B fnelh. van B of weg a: weg B = tyd x fnelh. a: tyd * fnelh. B Stel, by voorbeld, dat a in drie uuren icoo roeden gegaan hebbe, dat B weemaal zo fnel gaa als a, en dat B negen uuren en dus driemaal zo lang sIs'a gegaan hebbe. Men begeert te weten, hoe veel wegs B heeft afgelegd. uuren. fnelh.-A. uuren. fnelh. B. weg A. 3 x I : 9x2= icco : weg B 2 : 18 = ioco : weg B en dus de weg van B 6000 roeden, Wanneer men deze bewerking vergelykt met de gewone bewerking van den zogenaamden Regel van Vyven , zal men zien, dat zy op het zelfde uitkomt,en dat het opgeloste vraagftukindedaad niet anders is, dan een voorftel uit dien Regel. Zie hier nog een ander zeer bekend Voorftel van den zelfden aart. — 10 Arbeiders hebben in 6 dagen 100 voeten muurs gemetfeld : hoe veel voeten muurs zullen ao arbeiders in 18 dagen metfelen.— Het is klaar,dat de gemetfeldc muur gtQter zyn zal, naarmate het getal der arbeiders B 5 giO-  26 ZEEVAART-KUNDE, groter, en de tyd, dien zy werken, langer is. Dus,getal Arb. x getal Dag. :get. arb. x get. d, = Muur: muur arb. 10 , j 20 arb. dag. 6 K*" 18 dag. multipl. óo ioo 360 360 60/36CC0/600 voeten muurs. Wanneer men onderfteld had , dat het getal arbeiders tweemaal zo groot, doch de tyd maar half zo groot was by den tweden muur, als byden eerften, zou men gevonden hebben, dat de twede muur juist gelyk aan den eerften zyn zou. arb. 10 k. 20 arb. 60 : ico — 60 ; 100 't geen ook van zelve en zonder berekening blykbaar is. ii.  EERSTE BOEK. 47 1 I. Over de Progresfi'in. § 27. Wy hebben reeds gezegd (§ i6> dat, wanneer in eene het zy Arithmetifche , het zy Geometrifche Evenredigheid, de laatfte of volgende term der eerfte reden voor den eerften ofvoorgaanden term der twede reden genomen wierd , zulk eene Evenredigheid eene gedurige Evenredigheid of continuéle proportie genoemd wordt. Die term, welke tweemaal voorkomt, wordt Middenëvenredige genoemd. Wanneer ik den laatften term van zodanig eene proportie wederom tot eerften term neem van eene volgende reden, gelyk aan de voorgaande redens; en den laatften term van deze reden wederom tot eerften van eene volgende reden en zo voort, verkryg ik eene reeks van gelyke redens, die zodanig gefield zyn , dat de laatfte term van elke reden wederom de eerfte term is der naastvolgende reden. Zodanig eene reeks van redens wordt eene Progresfie genoemd, en wel eene Arithmetifche of Geometrifche Progresfie , naarmate de redens, waaruit zy beftaat, Arithmetisch of Geometrisch zyn. De Grootheden zelve, die de redens uitmaken, worden Termen der Progresfie genoemd. Dus, by voorbeeld, daar 2 : 5 ± 5 : 8 p 8 : II = " : H cnzmaaken de Grootheden 2, 5, 8, 11, 14 enz. eene Arithmetifche Progresfie uit: zy worden urmen van die Progresfie genoemd. ^  2» ZEE VAART-KUNDE, Insgelyks, daar 2 : 6 = ó : 18 = 18 : 54 = 54 : 162 enz. maaken de Grootheden 2, 6, 18, 54, 162, enz. eene Geometrifche Progresfie uit: zy worden termen van die Progresfie genoemd. Wanner de eerfte term eener Progresfie groter is dan de twede , zal 'ook de twede groter dan de derde, de derde groter dan de vierde zyn, enz. Eene Progresfie, wier termen hoe langer hoe groter worden , wordt opgaande of toenemende genoemd. Eene Progresfie, wier termen hoe langer hoe kleiner worden, wordt afnemende genoemd. § 28. Daar de Arithmetifche Reden tusfehen twee Grootheden niet anders is dan het Verfchil tusfehen dezelven (§ 10.) zal het Firfehil van twee naast elkander ftaande termen eener Arithmetifche Progresfie altyd even groot zyn. Dat Verfchil noemt men de gemene Reden. By voorbeeld, in de Progresfie 2, 5, 8, 11, 14 enz. is 5 — 2 = 8—5= 11 —8enz. = 3 de gemene Reden. Men kan dus eene Arithmetifche Progresfie zo ver voortzetten als men wil, zo wel voorwaart als rugwaart, door het Verfchil of de gemeene Reden by te tellen of af te trekken, naarmate de termen vermeerderen of verminderen, . By  EERSTE BOEK, SQ By voorbeeld, de Progresfie 20, 22, 24, 26, waar de gemeene Reden 2 is, kan naar beide kanten voortgezet worden, op deze wyze: enz. 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 enz. zo men verder te rug gaat, komt men eindelyk in dit Voorbeeld op o o, a, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18., 20, 22,enz. Wil men nog verder te rug gaan, zo moet men, daar men van c geen 2 op de gewone wyze aftrekken kan , die 2 fchryven met het teken van aftrekking of minus (- 2) 'er voor: wil men verder vooregaan, moet men 4 plaatfen met dat teken 'er voor, enz. op deze wyze: enz.. _ 8, - 6, - 4, ~ *> °> 2> 4> Ioenz- Eene Arithmetifche Progresfie kan derhalven o tot een' harer termen hcbÜen, met o en zelfs voor o beginnen. S 29- De fom van twee termen eener Arithmetifche Progresfie, naar welgevallen genomen , is altyd gelyk aan de fom van twee andere termen, waarvan de ééne zo ver voor of na eenender eerstgenomene termen geplaatst is, als de andere na of voor den anderen der eerstgenomenen. By voorbeeld , in de Progresfie 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, J8, 20, 22, neem ik de termen 8 en 16, wier fom 24 is: nu is 8 + 16 = 6 -f- 18 =* 4 + 2° = 2 + 21 enz* — 10 + 14 = 12 + 12. Zo de Progresfie met o begint, zal, volgens dit voor-  30 ZEEVAART -KUNDE, voorftel de fom van twee termen, naar welgevallen genomen, gelyk zyn aan de fom van den eerften term (m dit geval o) en vaneen' term, die zo ver van den eenen genomen term afftaat, als de andere van het begin der Progresfie of van o : dat is; die fora zal gelyk zyn aan dien term zeiven. By voorbeeld, in de Progresfie °» 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 is de fom van 15 en 25 gelyk aan de fom van oen van 40, dat is aan 40 zelf; 40 is de derde term die na 25 volgt, even zo als o de derde term is die voor 15 gaat. Om dit op eene algemener wyze aan te tonen, laat ons voor den eerften term der Progresfie A, en voor het Verfckil of de gemene Reden v nemen : dan zal dit de Progresfie zyn. i . 11 111 • IV n f\x*-rv'ü v,via±3V A±4v, A ± 5V, A + 6V, A + 7 V, A +■ 8 V,enz. Nu is, gelyk uit de befchouwing der Progresfie op deze wyze uitgedrukt, tentond blykt : CA + 2tjr)-}r(A4-5V)-(AH-V) +(A + 6V) = (A) +CA+7V)=z(A±3V) + CA + 4V) dat is, Term III -f VI — II -f VIJ = I + VIH enz. - IV 4. V enz. Wanneer de Progresfie met c begint,of A—ois, wordt dezelve 0, V, aV,3 V, 4V, 5V, 6V, 7v' en 2V + 4V = o + 6V = 6V. § 3C Daar de Geometrifche Reden tusfehen twee grootheden uitgedrukt wordt door het Quotiënt, dat rïien ver-  EERSTE BOEK. 51 verkrygt wanneer men de eene door de andere divideert (§ 10), zal het Quotiënt van twee naast elkander (taande termen eener Geometrifche Progresfie altyd even groot zyn. Dat Quotiënt noemt men de gemett* Reden. By voorbeeld, in de Progresfie 3,6, 12, 24 enz. is f =s 'f = & enz. = 2 de gemene Reden. Men kan dus eene Geometrifche Progresfie zo ver voortzetten als men wil, zo wel voorwaart als rugwaart, door met de gemene Reden te multipliceren, of door dezelve te divideren , naarmate de termen vermeerderen of verminderen. By voorbeeld, de zo even voorgettelde Progresfie 3, 6, 12, 24, enz. waar de gemene Reden 2 is, kan naar beide kanten voortgezet worden op deze wyze: enz.t, I, U, 3, 6, 12, 24, 48, 96, enz. Eene Geometrifche Progresfie kan niet met o beginnen ,of o tot een' harer termen hebben: want o, door eenig getal gemultipliceerd of gedivideerd, blyft altoos o. Maar eene Geometrifche Progresfie kan met 1 beginnen, zo als deze by voorbeeld, 1, 3» 9, 27, enz. 1, 2, 4, 8, enz. § 31. Het product van twee termen eener Geometrifche Progresfie, naar welgevallen genomen, is altyd  ZEEVAART-KUNDE, gelyk aan het product van. twee andere termen 4 waarvan de ééne zo ver voor of na ecnen der eerstgenomenc termen geplaatst is, als de andere na of voor den anderen der eerstgenomenen. By voorbeeld, in de Progresfie 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, enz. neem ik de termen 24 en 192, wier product 4608 is: nu is «4 x 192 — 12 x 384 = 6 x 768 enz. = 48 x 96 Zo de Progresfie met 1 begint, zal volgens dit voorftel het product vah twee termen, naar welgevallen genomen , gelyk zyn aan het product van den eerften term (in dit geval 1) en van een' term die zo ver van den eenen genomen term af ftaat, als de andere van het begin der Progresfie of van 1: dat is; dat product zal gelyk zyn aan dien term zeiven. By voorbeeld, in de Progresfie I» S5 9, 27, 81, 243, 729, 2J§79 is het product van 9 x 243 gelyk aan het product van 1 en van 2187, dat is aan 2187 zelf: 2187 is de twede term die na 243 volgt, even zo als 1 de twede term is die toot 9 gaat. Om dit op eene algemener wyze aan te tonen , laat ons voor den eerften term der Progresfie A en voor het quotiënt of de-gemene Reden Q nemen: dan zal dit de Progresfie zyn, A, A x Q, A x Q x Q, A x Q x Q x Q, AxQxQxQxQ, enz. •• Of, kortbeidshalven het getal van letters Q, die men eiken keer fchry ven moet, door eene cyffer boven aan  EERSTE BOEK. tÊ i ii ni ITr\? aanQ, aanduidende: A, A xQ^AxQ', A x ^ , V VI VII VIII IX . A x Q*, A x Q5, A x Qs, A x Q% A x Q»,efiz. Nu is , gelyk uit de befchouwing der Progresfie, op deze wyze uitgedrukt, terftond blykt: (A x#Q') x (A x QJ) = (A x Q5) x (Ax Q») = (A x Q) x (A x Q6) == (A) x (A x QO dat is Term III x YI = IV x V = II x VII — I x VIII enz. Wanneer de Progresfie met i begint, of A== I is, dan wordt dezelve i, Q, Q1, Q*, Q% Q5, 55396. ' Omtrent de Multiplicatie heeft deze regel plaats.' Multipliceer de gegeven getalen met elkander, op de zelfde wyze als of het gehele getalen waren , en plaats in de uitkomst de komma, die de gehelen van de decimale breuk affcheidt , zodanig , dat ''er ter rechterhand van de komma zo vele cyferletters /laan blyven, (of afgefneden worden, zo als men 't noemt,) als 'er in de beide gegevens getalen 'te famen zyn afgefneden. Voorbeeld: 27,384' 1 7,26 - 164304 54768 191688 27384 472,64784 In het ééne gegeven getal waren 3, in het andere 2 cyfers afgefneden ; — in de uitkomst fnyde ik *er 5 af. De reden dezer bewerking is zeer gemaklyk uit de gewone multiplicatie in het gebroken af te leiden. Laat  EERSTE BOEK. 19 Laat ons het gegeven voorbeeld op die wyze behan- 384 a.6 27384 delen. Men moet 27 —- met 17 of —- met icoo ioo 3003 — multipliceeren. Volgens den gewonen regel 100 moet men de tellers 273«4 en 1726 met elkander multipliceren , en de uitkomst (47264^4^ door ioooco (het product der noemers) divideren. ^Wanneer men dit doet , bekomt men 472 of ' iootoo 472,64784 even als voren: immers is het affnydcn. van 5 cyferletters niet anders dan door 1 gevolgd van 5 nullen te divideren, en de uitkomst op de wyze der decimale breuken te fchryven. §• 36. Uit den regel voor de multiplicatie volgt onmiddellyk deze voor de Divifie: Divideer de getalen op éi gewone wyze , en fnyd van de uitkomst zo vele cyferletters af, dat de fom der afgefnedene letteren in den deler en in het quotiënt te famen genomen, gelyk ' zy aan hel getal der afgefnedene letteren in het dividend of deeltal. Immers, daar de deler en het quotiënt met elkander gemultipliceerd,wederom het deeltal moeten opleveren , zal de fom hunner afgefneden letteren gelyk moeten zyn aan het getal der afgefneden letteren in het deeltal (worg. §) C 4 Voor"  4°°°{5»o3 enz. J0O_6o 68000 62496 ~*5°4 c S Van-  4» ZEEVAARTKUNDE, Wanneer, gelyk in deze beide voorbeelden plaats heeft , de divifie niet opgaat , en men dus ergens ophoudt , moet men de laatfte cyfer één groter nemen, indien het laatfte overfchot groter is dan de halve deler. In het eerfte voorbeeld is hst over24 fchot 8 < -— of 12 3 en de aanmerking komt 2 dus by hetzelve niet te pas. In liet twede is ,7812- 5?04 t>' % of 3906,, dus zou de laatfte cyfer 9 in plaats van 8 moeten zyn. ■Somtvds gaat de divifie eindlyk langs dezen weg op, gelyk in dit voorbeeld: III- £4* 65 door 2,344 te delen: 2,344/ i4,6.-5CCo56,25 14CÓ4 4688 11720 11720 o IV. 2,65744 door 781,6 te delen: 781,6 {2>65744 £0,0034 _ 2^448 35264 31264 o Hier is de gehele quotiënt 34, en beftaat dus uit twee cyferletters. Ik moet 'er ondertusfehen pier afinyden, dewyl 'er in het deeltallen in den deler . een  EERSTE BOEK' 43 een afgefneden is. Ik plaats dus n>ee nullen voor 34, om vier cyferletters achter de komma te bekomen, en ik plaats nog een nul voor die komma , om aan te duiden dat 'er geen gehelen zyn. ' ; § 37- Na op deze wyze getoond te hebben , hoe men alle de gewone bewerkingen der Rekenkunde (het worteltrekken alleen uitgezonderd , waarover in het vervolg nader) met decimale breuken verricht,moeten wy nog aantonen, hoe men gewone breuken in decimale breuken veranderen kan , en zich dus in ftaat Hellen, om met dezen alleen te werken. De regel tot dat einde is zeer eenvoudig : hy.is deze: Deel den lelkr van de breuk door den noemer, zo vele nullen achter den teller voegende als nodig is, om de aivifie te doen opgaan, of, zo dit niet gelukt, gelyk ih de mcefte gevallen plaats- -heeft , om ten minften de benodigde naauwkeuvigheid te verkry gen. Zo de teller groter is dan dc noemer, is de breuk eene zogenaamde gemengde of oneigenlyke breuk ; men divideert dan eerst, om de gehelen te bekomen, en men behandelt de overblyvende zuivere of eigenlyke breuk naar den gegeven regel. Zo de noemer nog groter blyft dan de teller, na dat achter dezen eene nul gevoegd is, plaatst men in het quotiënt achter de komma een nul; de-breuk is in dat geval kleiner dan een tiende deel : zo de noemer groter blyft na dat achter den teller twee nullen gevoegd zyn, plaatst men achter den komman nullen-, de breuk is in dat geval kleiner dan een handetdlle deel enz. ^  44 ZEEVAART-KUNDE, Voorbeehlsn. — — °, 75 = 0,0915 enz. 4 14a 4|3ooj75 i3coco?o,C9i5 enz. 28 d ^ia78 1 20 220 20 142 0 780 710 , 70 13 6 = 1 — = 1, 85714285] 1428 enz. 7 7 7|6co£857i428 56 35 50 49 IO 7 30 28 20 M ÓQ 4 enz. Het  EERSTE BOE K< 45 Het bewys van dezen regel is allergemaklykst. Wanneer ik den teller en noemer van eene breuk door het zelfde getal multipliceer of divideer, blyft de waarde van de breuk de zeifde. Laat ons de breuk eerst met ioooo multipliceeren, zobe- 142 130000 . komen wy en vervolgens door 14a divi- 1420000 915 deren, zo bekomen wy of 0,0915. Men ziet 10000 dat dit juist de bewerking is , die wy verricht hebben. § 38. Het omgekeerde van deze bewerking, het reduceren namelyk van eene decimale breuk tot eene gewone breuk van eenen gegevenen noemer, is even gemaklyk ; doch komt minder te pas. Men moet alsdan de decimale breuk met dien gegeven noemer multipliceren , en de • uitkomst divideren door 1, gevolgd van zo vele nullen alsde decimale breuk cyferletters heeft. Voorbeeld : om 0,75 tot vierde delen te brengen: 75 4 3 ióo|3co|3 dus 0,75 = — delen. om 0,0915 tot 142? delen te brengen: 915 142 "1830 3660 9i5 993 iccco 5129930512 of omtrent 13. I t iocc De  4é ZEEVAART'- KUNDE, De reden * dat de uitkomst niet juist 13 is, is 13 deze, dat 0,0915 niet juist = maar alleen ten 142, naaften by daaraan gelyk is. De divifie (poorg.- §) door welke wy 0,0915 gevonden hebben ging niet juist op, maar liet 70 tot rest over.- Wanneer ik die 70 by 12993c tel, bekome ik 130000, die,door locoo gedeeld, juist 13 geven. Het bewys van dezen regel volgt onmiddellyk uit het voorgaande. IV. O per de Magten en Wortelen der Getalen. § 39' Wanneer een getal eens of meermalen met zich zelve gemultipliceerd wordt, worden de getalen, welke uit die multiplicatie ontftaan, Magten vm dat getal genoemd: Dus zyn 4, 8, 16 enz. magten van 2; want 2x2=4,2x2x2 = 8, enz. 9i 27, 81 enz. zyn magten van 3; want 3x3 = 9, 3x 3x3 = 27 enz. Die magten worden onderfcheiden door de namen van wede magt, derde magt, enz., naarmate het' getal ééns, weemalen enz. met zich zelve gemultipliceerd is. Dus is 4 de wede, 8 de derde, 16 de pierde magt van 2 enz. De twede magt wordt gemeenlyk het quadraat, de derde magt de cubus genoemd. Het getal zelve wordt, fomtyds als eene magt befchouwd en de eerjle magt genoemd. Dus is 2 de eerfte , 4 de twede, 8 de derde magt enz. van 2. S 39-  EERSTE BOEK. 47 § 4C Het getal, 't welk eens of meermalen niet zich zeiven gemultipliceerd zynde een ander getal voortbrengt , wordt üelVortel van dat andere getal genoemd: Dus is 2 de wortel van 4, van 8, van 16, enz. 3 is de wortel van 9, van 27, van 81, enz. De wortels worden onderfcheiden door de namen van twede wortel, (ook wel quadraatworief) derde wortel (ook wel cubikwortel) vierde wortel enz. , naar mate dezelve eens, tweemaal, driemaal enz., met zich zeiven gemultipliceerd moet worden, om het getal of de magt, waarvan hy de wortel is, voort te brengen. Dus is 2 de quadraatwortel van 4 de cubikwortel van 8 de vierde wortel van 16 enz. 3 is de quadraatwortel van 9 de cubikwortel van 27 enz. § 41 Uit deze befchouwing worden tweederlei Rekenkundige bewerkingen afgeleid, de zogenaamde Verheffing tot magten, en de iVorteltrekking. De eerfte wordt verricht door gewone multiplicatie: om de twede, derde , vierde enz., magten van eenig; getal (6 by voorbeeld) te vcrkrygen, heeft men dat getal Hechts eens, tweemaal, driemaal enz., met zich zelve te multipliceeren. Zie hier een Tafeltje der twede, derde, vierde en vyfde magten der Getalen , van 1 af tot 10 toe. I  4» ZEEVAART-KUN DB, i i l 1 i 248 16 3a 3 9 27 81 243 4 16 64 256 1024 5 25 125 625 3125 6 36 216 1296 7776 7 49 343 2401 16807 8 64 512 4096 32768 9 81 729 6561 59049 10 100 1000 icooo 100000 enz, enz. $ 42. De Worteltrekking is het omgekeerde van de Terheffing tot magten. Zy beftaat daarin, dat men van een gegeven getal den Weden, derden, vierden enz. wortel zoeke , dat is , dat men een getal zoeke, 't welk eens, tweemaal, driemaal eilz., met zich zelve gemultipliceerd zynde , het gegeven getal voortbrenge, Wanneer men, by voorbeeld, den weden of quadraatwortel uit 64 vraagt, zal men door de worteltrekking het getal 8 bekomen , 't welk met zich zelve gemultipliceerd (8x8) 64 oplevert. Wanneer men den cubik-wortel uit dat zelfde getal 64 vraagt, zal het antwoord 4 zyn, dewyl 4 x 4 x 4 = 64 is. Voor zulke kleine getalen , als wy in dit voorbeeld gebruikt hebben , is een Tafeltje, gelyk het bovenftaande genocgfaam. Doch voor groter getalen, wier wortels uit meer dan ééne letter beltaan, wordt eene omilagtige en eenigzins moeilyke bewerking vereischt, die wy hier kortheidshalven niet ontvouwen zullen, dewyl wy toch niet in ftaat zyn om de  EERSTE BOEK. 49 de gronden, waar op dezelve fi.eu.nt, met genoegzame duidelyktieid hier voor te dragen; dewyl zy bovendien in verfcheidene Nederduitfche boeken (Grondbeginfelen der Meetkunde van den Heer van swinden pag. 476, van den Heer steenstra pag.18a, Stuurmans kunst van den Heer steenstra pag. 14,)uitvoerig geleerd wordt; en voornamelyk, dewyl zy, gelyk in hetvervolgby de verklaring der Logarithmen blyken zal , indedaad van zeer weinig gebruik is. Wy zullen ons dus vergenoegen met te zeggen, dat 'er zodanig eene bewerking bekend is, waar door men van ieder getal, H welk senen wortel heeft, dien wortel vinden kan : waardoor men,by voorbeeld, het getal 69169 gegeven, en de quadraatwortel daar van gevraagd zynde, dien wortel, namelyk het getal 2.63 , dat met zich zelve gemultipliceerd 69169 voortbrengt, vinden kan: waardoor men", den cubikwortel van 4657463 begerende, het getal 167, dat wemaal met zich zelve gemultipliceerd 4657463 voortbrengt, vinden kan. § 43- Wy hebben gezegd van ieder getal V welk eenen wortel heeft. Immers, wanneer wy het bovenftaande Tafeltje nagaan, zien wy , dat 'er tusfehen het getal 4, by voorbeeld , waarvan de wortel 1, en het getal 9, waarvan de wortel 3 is, verfcheiden getalen invallen (5, 6, 7, 8,) wier wortel dus tusfehen 1 en 3 zou moeten vallen, en gevolglyk a met eene breuk^zyn. Doch eene breuk, die niet opgaat , zal, met zich zelve gemultipliceerd zynde, altoos wederom breuken opleveren, die niet opgaan:  50 ZEEVAART-RUNDE, en dus nooit door multiplicatie met zich zelve een geheel getal , zo als 5, 6, 7 of 8, kunnen voortbrengen, Wanneer [men derhalven den quadraatwortel begeert uit het getal 7, is die vraag niet met volmaakte naauwkeurigheid te beantwoorden: men kan geen getai vinden, dat, met zich zelve vermenigvuldigd , juist 7 voortbrenge; maar men kan door middel der worteltrekking Cof ook door herhaalde proberingen) een getal vinden , dat zo na aan het begeerde kome als men wil; dat, wel is waar, altoos iets te groot of te klein is, maar niet meer te groot of te klein dan men begeert. Wil ik, by voorbeeld, voor den wortel van 7 een getal heb1 ben, dat minder dan — van de waarheid afwykt, 10 zo neem ik 2,6 of 2,7 : het eerfte is te klein, (want 2,6x2,6 is = 0,76); het twede te groot, (want 1 2,7x2, 7 is r= 7,29). Wil ik minder dan icooo afwyking hebben, zo neem ik 2,6457 dat iets te klein, of 2,6458 dat iets te groot is. Op deze wyze voortgaande , kan ik de vraag, wel is waar, nooit volmaakt naauwkeurig oplosfen , maar echter zo naby aan de volmaakte naauwkeurigheid als ik zelve begeer. Met den Cubikwortel en de volgende hogere wortelen, heeft het zeilde plaats: 2 by voorbeeld is de cubikwortel van 8 ; 3 die van 27 ; die van het getal 20, dat tusfehen 8 en 27 invalt, zal nooit volmaakt naauwkeurig kuttnen opgegeven worden: doch begeert men een getal dat by voorbeeld minder  EERSTE BOEK. 5* der'dan — van de waarheid afwyke, zo heeft 10000 men flechts 2,7144 te nemen dat te klein,of2,714* dat te is, (zynde de derde magt of Cubus van 2,7144 gelyk aan io,999Ö enz., dus <2o; en die van 2,7145 gelyk aan 2o,coi3 enz., dus > oo) • En begeert men eene nog grotere naauwkeurigheid, men heeft flechts de bewerking verder voort te zetten j en dit kan men doen zo verre men wil. Dergelyke getalen, waar van men den wortel met naauwkeurig bepalen kan \ worden irrationele gelalen genoemd Dus zyn 2 , 3 , 5 , 6, 7, 8> 10 enzirrationele getalen, met betrekking tot den quadraatwortel ; 2,3,4,5,6,7,9, i° enz., zyn irrationeel, met betrekking tot den cubikwortel, enz. Wanneer het woord wortel alleen , zonder byvoegzel van weden of derden wortel, gebruikt wordt, verftaat men 'er ftilzwygende den tweden of quadraatwortel door. In plaats van 'het woord wortel gebruikt men gewoonlykdit tekenV, dus, in plaats van te fchryven, de wortel uit 36 is gelyk 6, fchryft men V36 = 6: in plaats van te fchryven dat de wortel uit 7 groter dan 2,6457 is, fchryft men Vl > 2,6457.' Om den cubikwortel en de verdere wortelen aan te duiden, fchryft men het zelfde teken met een cyferletter bovenaan, die aantoont de hoeveelfte wortel men meent: Dus fchryft men 3 5 (/8 =2,1/ locooo = io,enz. D 2 $■44-  5« ZEEVAART-KUNDE, § 44- Wy hebben tot hier toe, om by voorbeeld aan te duiden, dat 2 driemaal met zich zelve gemultipliceerd, of tot de vierde magt verheven = 16is, die 2 viermaal naast elkander gefchreven , met het teken (x) van multiplicatie tusfehen beiden: 2x2x2 x 2 = l6 Dit is- ondertusfehen voor de hogere magten zeer lastig, en men is dus gewoon onThet getal reizen, die 2 naast elkander zou moeten gefchreven worden, door eene kleine cyferletter, boven aan geplaatst, aan te duiden , op deze wyze: 24 = 16. Men fchryft dus ook 3» = 27, 6* = 36 enz. Die cyferletter Wordt Exponent of aatmyzer genoemd. Wanneer twee magten van het zelfde getal met elkander gemultipliceerd worden, zal de exponent van het product gelyk zyn aan de fom der exponenten van de beide magten; by voorbeeld: 31 x 34 — 9 x 81 = 729 = 36 = 3ï + 4 5* x 5? = 25 x 625 = 3125'= 5s = 52 + ; Het bewys van dit voorftel loöpt van zelve in het oog. Wanneer ik 5 weemaal genomen, dat is eens met zich zeiven gemultipliceerd heb, en insgelyks 5 driemaal genomen, dat is, weemaal vasx. zich zelve gemultipliceerd heb, en ik die twee uitkomften met elkander multipliceer, zal ik het zelfde bekomen als of ik 5 onmiddellyk achter een 2 -f- 3 maal, dat is vyfmaal neem, en dus viermaal met zich zelve multipliceer; (5x5) x (5x5x5) = 5 x 5x5x5x5 Wanneer twee magten van het zelfde getal de eene door de andere gedivideerd worden, zal de exponent van het quotiënt gelyk zyn aan het verfchil der exponenten dier beide magten: . du»  EERSTE BOEK. 53 1296 6* •••• ■ dus is — = = 6< - * = 6* = 36 36 6* 6561 9* J— — = 9* - ? = 9' = 9 729 9* Dit voorftel is het omgekeerde van het voorgaande, en volgt daaruit zonder nader bewys nodig te hebben. Om derhalven twee magten tean het zelfde getal met elkander te multipliceren of te divideren, behoeft men flechts de exponenten te adderen of te fubtraheren. § 45- ' "Wanneer ik de eerfte magt van een getal, dat is het getal zelve, door dat zelfde getal divideer, komt 'er altoos 1 voor quotiënt, welk dat getal / 1 2 3 \ ook zyn moge I _=—- = — enz. — 1 l \ 1 2 3 ' Wanneer ik die divifie wil verrichten en fchryven volgens dezen regel, moetik voor exponent o fchry- 21 31 0 ven •, want •— = 21 — 1 — 20, — — 3'— — 3 21 3' Dus zal een getal, welk het ook zyn moge, met den exponent o boven aan geplaatst, altoos = 1 zyn: 2° = 1, 3° = 1, 40 = 1 > enz- Wanneer wy de magt o van een getal , welke wy vinden dat altoos gelyk aan 1 is, door eenige magt van dat getal willen divideren, moeten wy den exponent van die magt, volgens den regel, van o aftrekken. Dit kan niet werklyk gefchieden: dus kunnen wy die aftrekking alleenlyk door het D 3 te  54 ZEEVAART-KUNDE, teken — (minui) aanduiden; dus is 2° I 2° I 2' 2 * 2.' 4 Men noemt deze magten Van een getal negathe magten: zy zyn breuken, die de eenheid tot teller en eene pofnive of gewone magt van het getal tot i noemer hebben. Op eene algemene wyze is—=za~9 a» De magten van een getal a in 't algemeen, kunnen derhalven op deze wyze worden uitgedrukt I I I a enz., , ,—, —, a^ axa3 axaxaenz. axaxa a*a a a *~% , «~"2J«-,,aeofl,fl5, a'9 a*t I 112 Voorb. ~, 2, 4, 8 8 422 2""% 2_I, 2°, 2', 2», 2» De regels aan het einde der voorgaande §, is zo wel op de negative als op de pofitive magten i X toepaslyk. Dus is 21 x a~l = 8 x - r= — — 4 4 . _ . li fl - a?-f"C~*} ~ 2» 9 2-?5 x 2~* = - x _ = 8 4 - = i- = i(Vl+(^*i) - 2-f 32 2S Aanmerking. Ons bellek laat niet toe, den aart der negative getalen, en de bewerkingen met dezelven,breedvoerig teontvouwen. Wy moeten ons dus vergenoegen met te zeggen, dat een  EERSTE BOEK. 55 mgatif getal te adderen , zoveel is als het zelfde getal pofitif genomen af te trekken, en een negatif getal af te trekken, is zo veel als het zelfde gecal pojttif genomen te aaderen. Dus is 3 + (- 2) = 3 — 1=1,6 — (-O = ö + a=8, enz. Ik zal by de mondelinge verklaring door een groter aantal van voorbeelden de zaak trachten op te helderen. §46. Wanneer eene magt van een groot getal zelve wederom "eens of meermalen met zich zelve gemultipliceerd wordt i zal de exponent van het product, weemaal, driemaal enz., groter zyn, naarmate men de gegeven vaagt eens, weemaal, enz. met zich zelve gemultipliceerd heeft. ' By voorbeeld : t* x 2» of ( a5) == 8 x 8 = 64 = 26 = a* * S 5' x 5* * 5l of C 5l) = 25 * 25 X25 = 15625 = 53 = 5" x 5 •• ?n het algemeen n m X n ) = a Om derhalven eene grootheid, met een exponent "aan het hoofd, wederom met zich zelve eenige malen te multipliceren of tot eenige hogere magt te verheffen, behoeft men flechts den exponent van de grootheid, met het getal van de magt, waartoe men dezelve verheffen wil, te multipliceeren. Om, by voorbeeld, 7' of 343 in het quadraat of tot de twede magt te verheffen , behoeft men flechts 3 , den exponent van 7, met 2, het getal van de magt: te multipliceren-, dus bekomt men 7* D 4 °'  5<5 ZEEVAAR T-K U N D E, of 117649, 't welk indedaad het quadraat van 243 is. Omgekeerd, wanneer ik uit enige magt van een getal, (7«by voorbeeld), enigen wortel, (den weden of quadraatwortel by voorbeeld) trekken wil, behoef ik flechts den exponent der gegeven magt (6) hier door het getal van den wortel (hier 2) te divideren. Dus zal Vl6 C=i/ 117649) és. f= 7' = 343 zyn. Wilde men uit dit zelfde getal f' den derden of Cubikwortel trekken, zo moest men den exponent 6 door 3 divideren: dus vcrkrygt men v' 7* (=1/ 117649) = f ==,7* == 49. In het algemeen is y" a — a" § 47- Wy hebben gezien (§41^43) datmenalle getalen verheffen kan tot welke magt men wil , doah dat men geenszins uit alle getalen kan trekken welken wortel men wil. Dit fteunt ook juist overeen met de hier aangewezèn bewerking. Men kan namelyk niet altoos den exponent van de gegeven magt door het getal van den wortel, dien men 'er uit trekken, wil, werkelyk divideren. In ons voorbeeld kon dit gefchicden; 6, de exponent, was werklyk deelbaar door 2 en door 3 ; en men kan ook werklyk uit 117649 of 70 den quadraatwortel (343) en den cubikwortel (49) trekken. Doch zo men, by voorbeeld , uit 6S of 7776 den quadraatwortel wilde trekken, zou men krygen Vbs = 6'; en men zou de aangewezen divifie ^—^ niet kunnen ten uitvoer  EERSTE BOEK. 57 foer brengen (§n)- Voor den cubikwortel zou de exponent t en dus in het zelfde geval zyn. En in de daad, men kan uit het getal 77?6 noch den quadraatwortel , noch den cubikwortel trekken- het zelve is Irrationeel (§43) met betrekking tot beide die wortels. Het kan echter gebeuren, fchoon de deling by den exponent niet werklyk verricht kan worden, dat niet te min het getal met irrationeel zy. Dus heeft men, by voorbeeld: 8! = \/P = V64 = 4- Doch, wanneer het getal irrationeel is, zal de deling by den exponent nimmer werklyk verricht , maar alleen aangewezen kunnen worden. • Wy hebben gezegd (§ 43) dat men gewoon is de worteltrekking , wanneer dezelve niet naauwkeurig gefchieden kan, door een teeken (vO aan te duiden Wy zien'thans, dat die aanduiding insgelyks gefchieden kan door middel van eenen zogenaamden gebroken exponent. Men kan, namelyk, ieder getal als de eerfte magt van zich zelve aanmerken (§39) en 1 als exponent boven aanfehryven , f. by voorbeeld. Om nu den quadraat of cubikwortel uit 7 aan te duiden, moet ik dien exponent 1 door 2 of 3 (het getal van den wortel) delen : dus fchryve ik in plaats van V U y 7 enz., f i f enz. De regel aan het einde van § 44 gegeven, gaat ook voor gebrokene exponenten door.^ Om by ^oorbeeld V*A of 64* (dat is 4) en V 64 of 643 (dat is 8) met elkander te multipliceren, addeer ik de D 5 ex"  5» ZEEVAART-KUNDE exponenten — en — Dus bekome ik - +— of — K a' 3 2 6: Dus moet 64* = 4 * 8 = gs zyn. En dit is in de daad zo, want V 64* of |/ 1073741824 = ga. Aanmerking. Ik heb het nodig geoordeeld, my eenigszins verder in de ontvouwing van den aart en het gebruik der Exponenten in te laten , dan gewoonlyk by den voordragt van de gronden der Rekenkunde^ gefchiedt, dewyl zulks' zeer veel zal toebrengen tot duidlyker begrip van den aart en het gebruik der Logarithmen , tot welker befchouvving wy thans overgaan. V. Ofer de Logarithmen. § 48. Het is zeer moeilyk, eene zodanige bepaling van dë Logarithmen te geven, welke aan die genen, die geheel met derzclver aart en gebruik onbekend zyn, een juist en klaar denkbeeld daarvan geven kan: vooral wanneer men zich houden moet aan zodanige bepalingen, tot welker bevatting geene hogere Algebraifche kundigheden vereischt worden, en die onmiddelbaar op de gewone en gebruiklyke Logarithmus-Tafelen toepaslyk zyn. De meefte Schryvers geven bepalingen, welke hier op uitkomen, „dat de Logarithmen getalen zyn, die eene Arithmetifche reeks of Progresfie uitmaken , en overeenkomen met andere getalen, die in eene Geometrifche Progresfie ftaan" Deze bepaling is op de Logarithmen, zo als zy voor hei gebruik inde Tafelen ge-  EERSTE BOE K. 59 gtfchikt zvn, niet toepaslyk: en het woord overeenkomen is duiftcr en onbepaald. - Anderen zeggen, dat de Lo.aruhmen kunstgc talen zyn, doormiddel van wclicen men de multiplicatiën en divifiën der gewone getalen bekorten , en dezelven alleen door additie en fubftraftie verrichten kan.» Dit is waar In zich zelve, doch het leert den aart, oorfprong, en wyze van gebruik der Logarithmen in genen dele kennen. — Laat ons dan liever een' anderen weg inflaan, en nagaan, op wat wyze men op het denkbeeld der Logarithmen natuurlyker wyze, heeft kunnen komen, en waarfchynlyk by derzelver eerfte uitvinding gekomen is. Wy zullen daaruit de verfchillende bepalingen , welke men van de Logarithmen gegeven heeft, gemaklyk afleiden en ophelderen. § 49- Ik fchryf eene Geometrifche Progresfie met 1 beginnende , en voor gemene reden nemende welk getal ik wil, 3 by voorbeeld; dan zal de Progresfie zyni I, 3, 9, *7i enz. Alle de getalen van deze Progresfie zyn magten van het getal 3; 9 is = 3% *7 = 3'cnz (§39)> 3 zelve is de eerfte magt van 3 of 30 (§ 39) '■> eindlyk 1 kan ik aanmerken als — of 3% ( § 45 ): en dus, wanneer ik de 3 achtervolgende vermenigvuldigingen van 3 met zictt zelve niet werklyk verrichten 3 maar dezelven alleen- lyk  6o ZEE VA ART-KÜNDE, lyk door middel van exponenten aanduiden wil, zal ik de Progresfie op deze'wyze kunnen fchryven: 3°, 3', 3S 3', 3% 3S enz. De exponenten o, i, a, 3, 4, 5, enz., maken eene Arithmetifche Progresfie, die met o begint. 5 50. Ik fchryf nu deze beide Progresfien nevens eikan* der, namtlyk naast eiken term van de Geometrifche Progresfie dien term van de Arithmetifche, welke als exponent by dien van de Geometrifche .behoort. 30 = 1 — o 3' = 3 — 1 S* — 9 — 2 3' = 27 — 3 s*= 81 - 4 3S = 243—5 3S = 729 — 6 37 = 2187 — 7 S' = 6561 — 8 39 = 19683 - 9 enz. enz. Men kan dit Tafeltje zo ver voortzetten als men wil. S 51. Wy hebben gezien (§31) dat in alle Geometrifche Progresfien , die met 1 beginnen; het produS van twee termen , naar welgevallen genomen, gelyk is aanecnen term van de zelfde Progresfie, die zo ver van den éénen genomen term afftaat , als de andere van het begin der Progresfie: en(§ 29) dat malle^i- me-  EERSTE BOEK. 61 metifche Progresfen , die met o beginnen , de fom van twee termen, naar welgevallen genomen, gelyk is aan eenen term van de zelfde Progresfie, die zo ver van den éénen genomen term afftaat als de andere van het begin der Progresfie. In de bovenftaande Geometrifche Progresfie zal derhalven het produtl van den lilden en den Vden term (9 x ïi) gelyk zyn aan den Vilden (729): en in de nevensftaands Arithmetifche zal de fom van den ffld» en den Vden term (2 + 4) gelyk zyn aan den VIIde« (6) In de getalen van het bovenftaande Tafeltje zal gevolglyk deze wet plaats hebben , dat wanneer men twee termen naar welgevallen in de Geome•trifche Progresfie genomen, (by voorbeeld 9 en 8i) met elkander multipliceert, en de nevenstaande termen in de Arithmetifche Progresfie (a cn 4) by elkander addeert, het produü (729) van de eerften en de fom 6 van de laatften wederom nevens elkander zullen ftaan , namelyk het produSt in de Geometrifche, en ie fom in de Arithmetifche Progresfie, §• 52. Het is klaar, dat wy in plaats van het getal 3, >t welk wy, om zo te fpreken, ten grotidftag van ons Tafeltje aangenomen hebben, ieder ander getal hadden kunnen nemen, by voorbeeld 5, of 10. 1 o I 9 10 l 5 1 ico 2 25 2 1000 3 125 3 1CC0° t 625 4 ioooco 5 3J.25 5 1000000 6 enz enz. 10000000 7 enz. enz. 'tGeen  62 ZEEVAART-KUNDE, 't Geen wy van het eerfte Tafeltje gezegd hebben , is insgelyk op deze , en op alle dergelyke toepaslyk. Ieder zodanig een Tafeltje nu is, in het algemeen gefproken, een Logarithmus-Tafel, en kan tot hec gebruik, 't welk men van de gewone LogarithmusTafelen maakt,dienen. Elk getal in de Arithmetifche Progresfie wordt de Logarïthmus genoemd van het nevensftaande getal in de Geometrifche Progresfie. Wanneer ik twee getalen, die in het Tafeltje voorkomen, met elkander moet multipliceren, behoef ik Hechts die getalen in de Geometrifche Progresfie op te zoeken, te zien welke getalen naast dezelven in de Arithmetifche Progresfie gevonden worden , die te adderen , de fom in de zelfde Arithmetifche Progresfie op te zoeken, en te zien welk getal naast die fom in de Geometrifche Progresfie gevonden wrordt. Dat getal is het gezochte prod act. Om , by voorbeeld, door middel van het laatfte Tafeltje ico en icdoo met elkander te multipliceren , zoek ik die getalen in het Tafeltje op Ik vind naast ico, 2, en naast iccco, 4. Ik addcer 2 en 4: en ik zoek de uitkomst 6 in het Tafeltje: daar naast vind ik icooooo: 't welk het gezochte produit is. § 53- Indien my derhalven in myne berekeningen nimmer andere getalen voorkwamen, dan zulke, welke' in dit Tafeltje, voortgezet zo ver men wil, te vinden zyn, zou ik met behulp van het zelve alle mul» tiplicatiën kunnen vermyden ; en insgelyks alle divifiën en worteltrekkingen , gelyk terftond blyken zal. Dit  EERSTE BOEK. 63 Dit zou ondertusfctien weinig baten kunnen, indien men niet in ftaat was om eene dergelyke Tafel te berekenen, waarin alk getalen, van 1 af tot zo ver men wil toe, voorkomen. Dit laatfte nu is indedaad gefchied, en de gewone Logarith* mus Tafel is niets anders dan ons Tafeltje 1 — o 10 — 1 100 — 2 enz. ingevuld en uitgebreid , op die wyze welke wy nu gaan verklaren: • § 54- Ik onderftel, dat men, in plaats van het gehele . Tafeltje te fchryven, telkens eenen term tusfehen beiden had weggelaten, en het zelve op deze wyze gefchreven: 1 o ICO 2 IOCCO 4 icooco 6 enz. Nu kan ik de uitgelaten termen vinden, door telkens tusfehen twee elkander volgende termen, zo wel der Geometrifche als der Aritmetifche Progresfie, eene midden-evenredige (§ 27) te zoeken, dat is, door twee zodanige termen der Geometrifche Progresfie met elkander te multipliceren, en uit het product den quadraatwortel te trekken ; en door twee der Arithmetifche te adderen, en de helft van de fom te nemen. Want daar het product der twee uiterfte termen eener Geometrifche Evenredigheid gelyk  &f ZEEVAART.KUNDE, gelyk is aan dat der middelft'en (§ 19) zal in ecne Gedurige Evenredigheid (§27) het produft der uiterften gelyk zyn aan het quadraat van den midden evenredigen term ;en die term zal derhalven gevonden worden, door den wortel tc trekken uit het product der beide termen 3 tusfchen welken hy vallen moet. En daar de ibm der twee uiterfte termen cencr Arithmcti'fche Evenredigheid gelyk is aan die der middelftcn (§17), zal in cene gedurige Evenredigheid de fom der uiterften geiyk zyn aan tweemaal den midden-evenredigen term; en die term zal derhalven gevonden worden , doo/ de helft te nemen van de fom der beide termen , tusfchen welken hy vallen moet. Op deze wyze zal ik in het Iaatstgefchreven Tafeltje, tusfchen 1 en 100den term ic, tusfchen ioo en icoco den term 1000 enz., tusfchen oen 1 den term i3 tusfchen 2 en 4 den term 3 enz. bekomen; want 1 : 10 = 10 : ico 100 : 1000 = ioco : icoco enz. 0 : i1■• s: 1 : 2 , enz. Dan deze zelfde bewerking kan ik doen op het Tafeltje, zo als het oorfpronglyk is: 1 o 10 1 ICO 2 enz. enz. met dit onderfcheid, dat ik als dan de tusfchentermen voor de Geometrifche Progresfie niet volmaakt naauwkeurig , maar alleenlyk ten naaflen byt doch zo naby men begeert (§43) vinden kan. Om dus  EERSTE BOEK. 65 dus in de Gcometrifche Progresfie den term tusfchen 1 en 10 te vinden, multipliceer ik 1 met 10, dit blyft 10 •, van 10 is de quadraatwortel ten naafien by 3, 1622777: om dien tusfchen 10 en 100 te vinden, multipliceer ik 10. met 100; dus bekome ik jcoo; hiervan is de wortel ten naaften by 31,6227770 enz. — Om de tusfehentermen voor de Arithmetifche Progresfie te vinden, addeer ik o en 1, dit blyft 1; de helft is 0,5: om dien tusfchen 1 en 2 te vinden , addeer ik 1 en 2 , dus bekome ik 3; hiervan is de helft 1, 5 enz. Dus verkrygt ons Tafeltje deze gedaante: 3, 1622777 o, g 31, 6227770 1, 5 enz. enz. Ik kan nu wederom tusfchen elk' der termen van dit laatfte Tafeltje eenen nieuwen tusfehenterm zoeken , en hetzelve op die wyze invullen zo ver ik wil. Ziet hier nu, hoe men te werk gaat, om door dit middel den Logarithmus te bekomen van welk getal men wil, van het getal 3 by voorbeeld. Hec is hier mede gelegen even als met het trekken van wortels uit irrationele getalen (§43): men kan nimmer den Logarithmus van 3 naauvpkeurïg bekomen; maar men kan den Logarithmus vinden van een getal, dat zo weinig van 3 verfchilt als men begeert, en dat men dus in alle berekeningen voor 3 mag aannemen, zonder gevaar te lopen van eene feil van cenigen aanmerkelyken invloed te begaan. E Ora  66 ZEEVAART-KUN DE, Om derhalven dien Logarithmus te vinden, vul ik myn Tafeltje zo lang in, tot ik in de Gcometrifche Progresfie een' term bekome, die zo nuby aan 3 komt als ik my voorgefteld heb nodig te zyn voor de naauwkeurigheid der bereekening: de nevensftaande term der arithmetifche Progresfie is de Logarithmus van dien term, en mag dus voor Logarithmus van 3 genomen worden. Indien ik in de termen van het Tafeltje den geregelden voortgang wilde houden , die 'er oorfpronglyk plaats in heeft , zou ik zorg moeten dragen van telkens tusfchen elke twee termen éénen in te vullen. Wanneer ik, by voorbeeld, tusfchen 1 en 10 den term 3, 1622777 zoek, moet ik 'er insgelyks eenen zoeken tusfchen 10 en joo, tusfchen ico en ioco enz. Wanneer ik 'er wederom eenen invulle tusfchen 1 en 3, 1622777, moet ik 'er ook wederom eenen tusfchen 3,1622777 en 10 invullen enz. Doch wanneer ik het Tafeltje alleenlyk voor myn gebruik wil inrichten, is het niet nodig deze orde te bewaren. Al fchreef ik, by voorbeeld, het oorfpronglyke Tafeltje geheel zonder orde, op deze wyze: 10 1 ico 3 1 o IOOOO 4 loco 3 enz. enz. zal zulks alleenlyk het opzoeken moeilyk maken, doch de regel dat de fom (4 by voorbeeld) van twee termen en 2) in & éénc kolom ftaat naast het pro-  EERSTE BOEK. «7 product Ciooco) van de twee corresponderende termen (10 en icco) in de andere ,blyft ftand houden. § 55- Om dan nu den Logarithmus van 3 te vinden, in de onderftelling dat een getal, 't welk- minder dan JL deel van 3 verfchilt, voor 3 mag geno- 100 , men worden , ga ik dus te werk: Ik zoek eerst den term tusfchen 1 en 10, die, tot twee decimalen genomen, 3, 16 is. Daar het getal % tusfchen 1 en 3,16 invalt , zoek ik weder eenen term tusfchen deze beiden, en vind daar voor 1,78', vervolgens tusfchen 1 , 78, en 3, 16, en vind daar voor a, 37 : ik zoek telkens voor elk dier termen den corresponderenden term der Arithmetifche Progresfie , en ik ga op deze wyze zo lang voort, tot ik voor term in de Gcometrifche Progresfie 3,00 en dus een getal bekome, welks verfchit van 3 minder dan 4- is. De corresponderende ico term van de Arithmetifche Progresfie is de Logarithmus van dat getalen dus in myne gemaakte onderftelling de gezochte Logarithmus van 3. De bewerking zelve beftaat enkel in gedurige worteltrekking, eenebewerking, diewy kortheidshalven niet uitgelegd hebben, doch waarvan wy genoegfaam getoond hebben waarin dezelve beftaat Cl4a,40- Ziet hier, in welke orde de berekende getalen'zouden komen te ftaan. Ik teken dezelven met A, B, C, enz., naarmate men ze achterYolsens bekome: ^ ^  68 ZEEVAART-KÜNDE, A i , co 0,0 I F 2 , 74 c , 4^7 C 3 , 16 0,5 | G 2 , 94 o , 469 A 1 , co 0 , co I G 2 , 94 o , 469" E> 1 ,* 7§ o , 25 | H 3 , 05 o , 484 C 3 > 16 o , 50 1 C 3 , 16 o , 5co D 1 , 78 o , 250 G a , 94 o , 469" E 2 9 37 o , 375 j I 3 , 00 o , 477 c 3 9 16 o » 5co | H 3 , 05 o , 4>;4 E 2 , 37 o , 375 1 f 2 , 74 c , 437 | c 3 j 16 o » 500 { $ 5«. Indien ik niet te vreden geweest ware met een 1 getal dat Hechts van 3 verfchilt, maar dat ik, 100 by voorbeeld , een getal begeerd had, dat minder 1 dan van 3 verfchilt, zou ik de rekening; icoccooo * hebben moeten beginnen met 7 decimalen , en myn getal C zou dan, in plaats van 3,16, geweest zyn 3, 1622777, en myn getal I zou geweest zyn Q ,9961428. Ik zou dus de rekening nog verder hebben moeten voortzetten, en dus zou ik eindelyfc bekomen hebben 3,0000000,waarvan de corresponderende term in de Arithmetifche reeks 0,4771213 is, 't welk ook de Logarithmus is dien men in de ' Tafelen naast het getal 3 geplaatst vindt. S 57.  • EERSTE BOEK. 69 § 57- Wanneer wy de getalen A, B, C, D, enz. onder elkander fchryven, niet in de orde waar'ïn wy ze gevonden hebben , maar in die, waarin zy nasuurlyk volgen, op deze wyze: 1 , 00 o , 000 1 , 78 o 3 250 a , 37 o , 375 2 , 74 o , 437 2 , 94 o , 469 3 , co o , 477 3 , cs o , 484 3 , 16 c 3 500 • 10 , O I , oco bemerken wy daarin genen geregelden voortgang: zy ftaan in gene Progresfie. Doch men ziet , dat de reden hiervan deze is, dat wy telkens alleenljk die termen ingevuld .hebben, die tot ons oogmerk nodig waren. Wy hebben, by voorbeeld, na dat wy den term 3, 16 tusfchen 1 en 10 gevonden hadden , eenen nieuwen term gezocht tusfchen 1 en 3,16, om dat het getal 3 tusfchen deze beiden inviel, doch wy hebben 'er geen' gezocht tusfchen 3,16 en 10. Zo wy den Logarithmus van 5 begeerd hadden, zouden wy dit laatfte gedaan hebben. De orde van Progresfie kon dus geen plaats blyven houden. § 58. Om den Logarithmus van 3 te vinden hebben wy een groot aantal anderen, namclyk dien van 1, E 3 78»  70 ZEEVAART-K UNDE, • 78; 2,37 enz. moeten zoeken. Om dien van eenig ander getal , van 5 by voorbeeld, op deze wyze te vinden , zou men insgelyks wederom een groot aantal anderen bekomen. Doch, daar men voor het gebruik Tafelen nodig heeft, waarin de Logarithmen der getalen in hunne natuurlyke orde voorkomen , laat men alle die tusfchen beiden vallende gebrokene getalen weg, en men plaatst achtervolgens de Logarithmen van 1,2, 3,4 enz. op deze of eenige andere wyze gevonden. Dus üaan m de "gewone Tafelen, toevalliger wyze, de getalen in eene Arithmetifche Progresfie, en by de Logarithmen kan men gene in 't oog lopende orde van voortgang waarnemen; en dus ziet men, dat de bepaling der Logarithmen, waarby zy gezegd worden leden eener Arithmetifche Progresfie te zyn, corresponderende met leden eener Geometrifche Progresfie, wel waar is, doch dat men ze niet zonder eenige opheldering kan tocpasfen op de Logarithmen, zo als dezelven in de gewone Tafelen gefchikt zyn , met welke fchikking die bepaling in den eerften opflag fchynt te ftryden. Wy hebben reeds aangetoond, dat die fchikking niets doet tot het gebruik der Logarithmen, wanneer flechts elke Logarithmus naast het getal, waartoe hy behoort, geplaatst wordt. Aanmerking. Ik heb de leer en berekening der Logarithmen afgeleid uit dc befchouwing van twee corresponderende Gcometrifche en Arithmetifche Progresfién, van welke de eerfte met 1, de laatfte met 0 begint. Ik heb zulks gedaan, om de zaak op deze wyze ook voor die genen be-  EERSTE BOEK. 7* begrypelyk te maken, welken de leer der Exponenten , en voord der gebrokene Exponenten (in §47 voorgedragen),te moeilyk mogt voorkomen , om met derzelver toepasfmg te recht te komen. AnJers is de kortfte en algemeenfte wyze, om de Logarithmen te behandelen, zekerlyk die , welke onmiddellyk uit de leer der Exponenten wordt afgeleid. De algemene en eigenaartige bepaling van eenen Logarithmus , is de volgende : De Logarithmus van een gaal is de Exponent pan de Magt , waartoe zeker naar willekeur genomen getal verheven moet worden, om dat gegeven getal voort ts brengen. Dus is a (Logar. van ico) de Exponent van de magt, waartoe een aangenomen getal (10) verheven moet worden om 100 te maken (ic*— loc). In het algemeen, zo zal gelyk zyn aan tweemaal den Logarithmus van 8, (qtndraatwortel van 64); aan driemaal den Logarithmus van 4, (cubikwortel van 64); aan zesmaal den Logarithmus van 2, (zesden wortel van 64O In 't algemeen derhalven, om een' begeerden wortel uit een gegeven getal te trekken, moet men den Logarithmus van dat getal door den exponent delen, (namelyk door 2, zo men den quadraatwortcl begeert-, door 3 ,zo men den cubikwortel begeert,enz.) De uitkomst is de Logarithmus van den gezochten wortel. • Voorbeeld: Log. 49 =1»59°1961 0,8450980 = Log. V 49 <^ = LoS- 7 Log. 125 = 2,0969100 0,6989700 = Log. V' 125 = Log. 5 Aanmerking. Uit de hoofdëigenfchap der Logarithmen, waaruit wy alle deze regels hebben afgeleid, volgt nog dit, het welk een aanmerk . iyk voordeel by de berekening der Logarithmen op-  7» ZEEVAART-KTJNDE, oplevert; dat men gene Logarithmen behoeft te' berekenen voor zulke getalen, welke ontftaan uit multiplicatie van anderen, maar alleen voor zodanige , welke door gene multiplicatie kunnen voortgebragt wordenden om die reden doorgaans eerfte getalen genoemd worden. Dus behoeft men den Logarithmus van 6 , by voorbeeld, niet te zoeken; want als men die van i en g berekend heeft, behoeft men die beiden Hechts by elkander te tellen, om dien van 6 te bekomen , dewyl 6 = 2 x S is. Voor de getalen, tusfchen i en 20, behoeft men gene anderen te berekenen, dan die voor 2, 3> 5 ? 7 > 1*3 ïS» 17 en 19: die van 6 (= 2 x s) is gelyk aan Log. 2 -j- Log. 3 ; die van 8 ( = cl') is = 3 Log. 2; die van 9 (=33) is = 2 Log. 3, die van ic(=2xs) is =Log. 2 -f- Log. 5; die van 12 ( = 2 x 6) is = Log. 2 -fLog. 6; die van 14 ( = 2 x 7) is = Log. 2 -f- Log. 7; die van 15 ( = 3X 5) is = Log 3 -f Log. 5 enz. §• 63. Daar o de Logarithmus is van 1 , 1 de Logarithmus van 10,2 die van 100,3 die van icoo enz., zul len alle getalen , welke tusfchen 1 en 10 vallen, en dus, zo het gehele getalen zyn, xntéène cyferlettcr beftaan, voor Logarithmus hebben, een getal, dat £> o en <* 1 is, dus o, gevolgd van eene decimale breuk: alle getalen , welke tusfchen ic en 100 vallen , en dus , zo het gehele getalen zyn, uit m cyferletters beftaan, zullen voer Logarithmus hebben een getal, dat J> 1 en -< 2 is, dus 1 4- eene decimale bieuk; alle getalen 5 welke tusfchen ïccen ioco val-  EERSTE BOEK. 79 vallen, en dus, zo het gehele getalen zyn, uit drie cyferletters beftaan, zullen voar Logarithmus hebben een getal , dat > 2en < 3 is, dus 2 + eene decimale breuk , en zo voort. In het algemeen derhalven, zullen de Logarithmen van alle getalen, die.groter dan 1 en niet juist 10, 100, 1000, enz.; behalve» 10, 100, 1000 enz., beftaan uit een geheel getal,welk o is voor de getalen tusfchen 1 en ic) en uit eene breuk. Het gehele getal wordt ook het Character genoemd. Dit character is altoos één minder dan het, getal van cyferletters in het getal, waartoe de Logarithmus behoort, wanneer dit een geheel getal, en één minder dan het getal cyferletters voor de komma van affcheiding, wanneer het een getal met eene decimale breuk is. Dus heeft , by voorbeeld , het getal 145? 't welk u:.t drie letters beftaat, tot Logarithmus 2,1613680. Van het getal 32 , 45, 't welk voor de komma twee •cyferletters heeft, is de Logarithmus 1,5112147 enz. § 64. Hieruit volgt, dat men, een getal hebbende, waar van men den Logarithmus begeert te kennen, reeds voor dat men dien opzoekt, weten kan, welk het character zyn zal, namelyk één minder dan het getal cyferletters, die in het getal voor de komma ftaan Dus kon men terftond weten, dat 1 het character van den Logarithmus van 32, 45 zou zyn; dat 2 het charader van den Logarithmus van 145 zou zyn, enz. En omgekeerd , wanneer men eenen Logarithmus heeft, waarvan men het getal begeert «e kennen, kan men terftond weten , uit hoe vele cy-  ?o ZEE VAART-KUNDE, cyferletters dat getal beftaan zal ; of, zo het een getal met eene breuk is, hoe vele cyferletters voor de komma zullen üaan ; namelyk, altoos één meer dan het character van den gegeven Lcgarithmus bedraagt. Wanneer ik , by voorbeeld, den Logarithmus 3,7090079 heb , weet ik reeds dat het getal cyferletters 4 zal bedragen : en indedaad is het de Logarithmus van 5S75. Het is om deze reden, dat men in de beste Logarithmus-Tafelen het character voor de Logarithmen heeft weggelaten; dewy 1 ieder, die dezelven gebruikt, door middel van de hier gemaakte aanmerking hetzelve ligtelyk vinden kan. Deze fchikking heeft voor het gebruik aanmerkeiyke voordelen, gelyk terftond blyken zal. § 65. Daar de Logarithmen van 10 , ico, ioco enz. gehele getalen zonder decimale breuken zyn , zullen zy, by den Logarithmus van eenig ander getal geteld of daarvan afgetrokken wordende , gene veraadering aan de decimale breuk van dien Logarithmus toebrengen , maar alleenlyk het diameter vermeerderen of verminderen. Hieruit vo'gt , dat, wanneer men een getal met 10, ico, icco enz., multipliceert of divideerr , door middel der Logarithmen, zulks gene verandering aan de decimale breuk van den Logarithmus van dat getal zal toebrengen: de Logarithmus van 3, by voorbeeld, is o, 4771213, die van 30 is 1,4771213, dievan3co is 2, 47712 t 3 enz. Wanneer derhalven het character voor de Loga- rith-  EERSTE BOEK. 81 rithmen in de Tafelen is weggelaten, en alleenlyk de decimale breuk geplaatst wordt, 't welk zonder nadeel voor het gebruik gcfchieden kan, zal in die Tafelen de Logarithmus van welk getal het ook zyn moge de zelfde zyn als die voor tienmaal, honderdmaal, enz. dat getal, en voor het tiende, het honderdfte enz. gedeelte van dat getal. Immers beftaat het onderfcheid tusfchen die Logarithmen alleen in het charafter, zynde de decimale breuk voor allen de zelfde. Dus zal men in zodanige Tafelen de zelfde decimale breuk (namelyk 7708520) vinden ftaan naast 590; 5900; 59x0-, enz. 59; 5,9; enz, § 66. Dit heeft aanleiding gegeven tot eene wyze van fchikking der Logarithmen in de Tafelen, die eene aanmerkelyke verkorting te weeg brengt. OnderHellende, dat men die Tafels wil uitftrekken tot 100000, en dus dat het laatfte en grootfte getal, dat 'er in voorkomt (99999),uit j>y/letterenbeftaat, begint men met het eerfte getal dat uit vyf letteren beftaat, namelyk iocoo, en men laat alle de vorige getalen van 1 tot 9999 weg, dewy 1 men derzelver Logarithmus altoos onder die der ■getalen van vyf letteren vinden kan,wanneer men Hechts achter het getal, waarvan men den Logarithmus zoekt, zo vele nullen plaatst, tot men vyf letters heeft. Om, by voorbeeld , den Logarithmus van 37 te vinden, zoek ik dien van 37000, cn ik plaats voor de decimale breuk, die ik nevens dat getal in de Tafelen vind (5682017), en die zo wel voor 37 , 370 , S^oo als voor 37000 dient, dat character, 't welk F voor  82 ZEEVAART-KUN DE, voor eert getal van twee Ietteren vereisckt wordt, namelyk i(§63); en dus heb ik den begeerden Logarithmus van 37 gelyk aan i, 56*2017: had ik dien voor 370 begeerd , ik zou voor de zelfde breuk 2 geplaatst hebben •, voor 3700, zou ik 3 geplaatst hebben enz. i 67. Om deze zelfde reden kunnen de Logarithmus Tafels, op de gemelde wyze ingericht , eveneens dienen voor getalen met decimale breuken als voor gehele getalen; indien namelyk het getal met de breuk, waarvan men den Logarithmus begeert, uic niet meer dan vyf cyferletteren beftaat. Om , by voorbeeld, den Logarithmus van 45, 137 te vinden, zoek ik dien voor 45137 in de Tafelen, ik vind 6545327, voor welke breuk ik, volgens den regel (§ 63 )., het character 1 plaatfe: ware myn getal 451,37 geweest, ik zou het character 2 'er voor geplaatst hebben, enz. Aanmerking' I. Wy hebben tot hier toe geen gewag gemaakt van Logarithmen van breuken, die kleiner dan 1 zyn, of zogenaamde eigenlyka breuken. Wy zullen dezelven terftond afzonderlyk befchouwen. . Aanmerking II. Wy hebben (§ 58), de handelwyze opgevende , die men volgt, om den Logarithmus van cenig getal (3 by voorbeeld) te berekenen, gezien, dat men onder 'die bewerking een aantal andere Logarithmen bekomt , die tot getalen met breuken behoren, en dus van geen gebruik' fchynen. Dus vindt men in het opgegeven voorbeeld de Logarithmen van 39  EERSTE BOEK. 8S ,,i6; van ij78, enz. Maar daar de Logarithmen van 3,6 en van 178 de zelfden zyn als die vTn3,io eni,783oP het charafter na, ('t welk o is voor die van 3, ^6 en 1,78, ena voor die van 316 en 178) zo ziet men, dat men, den Logarithmus van 3 berekenende, in het voorbygaan als't ware die van 316, van 178 , en op de zelfde wyze van verfcheidene andere getalen gevonden heeft, en dezelven dus niet afzonderlyk behoeft te berekenen. Deze aanmerking verkort zeer veel den arbeid van de berekening ccner volledige Logarithmus -Tafel. Wanneer men de Logarithmen der Getalen van IOoooaftot 99999 toe, in orde gerangfchikt zynde nagaat, ziet men, dat de eerfte letters der decimale breuk voor enige achtereenvolgende getalen de zelfde biyven. By voorbeeld , de decimale breuk van den Logarithmus van 23660 is 3740147: en van alle de volgende getalen tot 23713 ingefloten, (dus voor 54 getalen achtereen) zyn de eerfte letters 3741 zynde die van den Logarithmus van 23713,3749865Deze aanmerking heeft aanleiding gegeven tot eene byzondere wyze van fchikking der Logarithmen w de beste Tafelen. Om dezelve duidlyker en korter te kunnen uit- kgcre» is achter deze bladzyde een gedeelte dier Tafciett geplaatst , waarop wy de verklaring toepas fen , en waarlik wy de voorbeelden m het vervolg ontlenen zullen. E 2.  §4 EE VAART-KUN DE, ^ — 1_±±\±±±^_\9 V. Prop. 2350 3710679 0863 1048 1233 1418 1603 178? 1972 'ÏTT? 'fea 5> . 2526 2711 ,2896 3080 3265 3450 3635 3819 4004 4Ï8o l85 52 , 4373 4558 4742 4927 5112 5296 5481 5666 5850 6035 '-18 53 6219 6W6588 6773 «957 7>42 7327 75" 7696 7880 2~37 _54 8065 8_249 843.4 86i_8 8802 8987 9*7} 9356 9540 9725 3~55 55 9909[0094 0278 6462 0647 0831 1015 1200 1384 Tïöo ï-lt 56 3721753 1937 2122 23o6 2490 2674 2859 3043 3227 3412 6-i\r 57 3596 378o 3964 4149 4333 4517 470I 4885 5070 «54 Vlll 58 5438 5622 5806 599I 6175 6359 6543 6727 6911 7095 8-u8 _59 7279 7JM 7_648 7832 8016 Sjoo 8384 8566 8752 8936 ,84 1-166 2360 9120 9304 9488 9672 9856 0040 0224 0408 0592 ^776 61 3730960 1144 2328 I5I2 .1696 . 1879 2063 2247 2431 2ÖI5 l84 62 2799 2983 3167I3350 3534 3718 3902 4086 4270 44„ 1-18 P i6i7 f/l l?°5 5l82 3372 5556 574° 5924 6107 Ó201 2~37 _64 , 6475 6658 6842 7026 .7210 7393 7577 7761 7944 812S 3—55 65 8311 8495 8679 8862 9046 9230 9413 9597 9780 5£64 tZll 66 3740147 0331 0515 0698 0882 io65fi249 1432 1616 179I 6-11I 67 1983216623502533271629003083326734503634, 7.„o 68 3817 4000 4184 4367 455' 4734 4917 5101 5284 546V £.47 Jï 5651 5jS34 6017 6201 6384 6567 6750 6934 7217 7300 I-166 237° 7483 7667 78.50 8033 8216 84OO 8583 8766 8949 QÏ32 71 9316 9499 9682 9865 0048 0231 0414 0598 0781 or,64 l83 72.375H47 i33o 1513 1696 !879 2062 2245 2428 afin 4aï i8„ 1-18 73 2977 3i6o 3343 3526 3709 3852 4075 '42^8 444' f4624 3 2-37 74 4807 4990 5173 5356 5539c 5722 5905 6088 6270 6453 3~55 7l ff tVl Z2°Vl85 7368 '7550 7733 7916 8099 82*82 5-9? 76 8464 8647 8830 9013 9195 9378 956, 9744 9926 0109 Ifi-no 77 3760292 0475 0657 0840 1023 1205 1388 1571 .I753 1936 7-128 78 2II9Ï230I 2484 2666 2549 3032 3214 3397 3579 3762 ' 8-146 Jl 3944 4127 4J5IO. 4492 4675 4857 5040 5222 5405 5587 [9-165 2380 5770 5952 6135 6317 6499 6682 6864 7047 7229 7412 r*" 81 7594 7776 7-959 8141 8323 8506 8688 8871 9053 9235 182 82 9418 9600 9782 9965 0147 0329 0511 0694 0876 1058 1-18 83 3771240 1423 1605 1787 1969 2152 2334 2516 2698 2880 2—3° _84 30*3 3245 3427 36"o9 3791 3973 4155 4338 4520 4702 3~55 fH, ïf£ 52fo 5430 5612 5794 5976 6Ï58 Ó340 6522 „ . 5_9i 86 6704 6886 7068 7250 7432 7614 7796 7978 8160 8342 182 6-109 87' 8524 -8706888890709252 9434 9616 9798 9979 0161 7-127 00 3780343 0525I0707 088911071 1252I1434 1616 1798 1980 8-146 _8p 2161 2343 2525 2707 '2889 3070 3252 343_4 5616 3797 9.l64 2390 3979 4161 4342 4524 4706 4887 5069 5251 5432 5614 „ 91 5796 5977 6159 6341I.6522 6704 6885 7067 7249 7430 l8I 92 7612 7793 7975f8156 8338', 8519 37oi 8882 9064 9245 '~18 93 9427 96o8 9790 9971 0153 0334 0516 0C97 0879 1060 2—36 94 379'241 1423 1604 1786 1967 2148 233c 2511 2692 2874 3—54 ■ 95- 3055 32.(7 3418 3599 378o 3*962 4143 4324 4506 468*7 5-90 9 K4-9 523I 541= 5593 5.-74 5956 6137 6318 6499 6-109 9l o ^562 7043 722 1 74°5 758* 7767 7948 8130 8311 7-127 98 8492 8673 8854 9035 9216 9397 95-a y75y 9940 0I2I g ' ,_99 3800302 0484 0665 0846 «027 1208 i^3_9 1570 1750 1931 ,8i 9-163 r~- 0 1 2 3 4 5 6 7 I 8 9 vT|De7  EERSTE BOEK. 8* /11e de getalen beftaan, gelyk wy .(§ 66) aangemerkt hebben, uit ^/letteren. Van deze vyf letteren ftaan de vier eerfte in de voorfte kolom ter linkerhand, en de laatfte ftaat boven en onder aan de bladzyde. Dus ftaan van het getal 23528 de vier eerfte letters (2352) vooraan : de laatfte (8) ftaat "boven en onder de tiende kolom naar de rechtehand geteld. In de tweede en volgende kolommen ftaan de Logarithmen , die tot de getalen behoren, of eigenlyk derzelver decimale breuken , zynde het character weggelaten (§ 66 ), en wel zodanig gefchikt, dat de drie eerfte lettersder decimale breuk: maar eens geplaatst worden, namelyk in de eerfte kolom, by den eerften Logarithmus in die kolom by welken zy voorkomen. Men moet dus die drie eerfie letters aanmerken als behorende niet alleen by de vier letters, daar zy onmiddelyk voor ftaan , maar ook by alle de volgenden die op den zelfden en op de volgende Tegels ftaan 3 tot dat de vier laatfte eyfers, die achtervolgens hoe langer hoe groter worden, in eens afnemen, en in plaats van met 9 wederom met o beginnen. Van daar af begint men 'er de drie volgende eerfte letters voor te plaatfen. By voorbeeld 3 de Logarithmus van 23660 is 374. 0147. De drie eerfie letters (374) moeten aangemerkt worden als geplaatst voor 0331,0515,enz. tot .9865 joe-, naast 9865 op den zelfden regel ftaat 0048; voor die CO48 plaatst men de naastvolgende drie terfie letters (375) , zynde 3750048 de decimale breuk van den Logarithmus van 23714. F $ § 69-  S6 ZïEVAART-KÜNDE, § 69. Daar de Logarithmus van i3o, die van 10, 1, die van icc,2,die van ioco, 3 , enz. is, eh 'daar dus het verfchil tusfchen de Logarithmen Van 1 cn 10 zo veel bedraagt als dat tusfchen de Logarithmen van 10 en 100., van ico cn icco, terwyl 'er tusfchen* 1 en 10 flechts 8, tusfchen 10 en 100,98, tusfchen 100 en 1000, 998 getalen invallen, zal het verfchil tusfchen twee naastvolgende Logarithmen hoe langer hoe kleiner worden, naar mate de getalen groter zyn. By voorbeeld , do Logarithmen van 2360 cn 2370 (getalen, welke 10 verfchillen) van elkander aftrekkende, bekomt men voor verfchil 18363: Log. 23Ó0 s, 3729120 Log. 2370 3, 3747483 18363 en die van 23600 en 23610 (getalen, welke insgelyks 10 verfchillen, doch uit één cyferlettcr meer beftaan) van elkander aftrekkende , bekomt men voor verfchil flechts 1840. Log. 23600 4,3729120 Log. 23610 4ï3?3C96"o 1840 toöch hoewel de Logarithmen , gelyk uit dit voorbeeld b'ykt , in eene kleinere reden toenemen dan 'de getalen, tot welke zy behoren, mag men échter öhderftcüen, dat zy voor grote getalen, die dicht cp e kander "volgen, in dc zelfde reden toenemen als de getalen. By  EERSTE BOEK. 87 By voorbeeld , de Logarithmus van 23500 is 4,3^10679, die van C35CO + 10, dat is van 25510, is 4,3712526; het verfchil is 1847: die van 23510 4. 10, dat is van 23520, is 4,3714373; het verfchil is wederom 184^: die van 23530 is4,3716210, bet verfchil 1846, en dus flechts één minder. Men mag dus veilig onderftellen, dat voor alle de getalen tusfchen 23510 en 23520, tusfchen 23520 en 23530, de verfchillen na genoeg de zelfde zyn: en indedaad is het verfchil van twee naastvolgehde Logarithmen voor die getalen beftendig 185, wanneer de Logarithmen 20 als gewoonlyk tot 7 decimalen berekend zyn. § 7i- Deze aanmerking ftek ons in ftaat, om met behulp van Tafelen,'die Hechts voor getalen van 5 .letteren berekend zyn, de Logarithmen van getalen van 6, ja zelfs van 7 letteren te vinden, en omgekeerd , het begeerde getal voor eenen Logarithmus tot 6, ja tot 7 le»ers toe, te vinden. Men weet namelyk, dat de decimale breuk van den Logarithmus van een getal, niet verandert, wanneer men dat getal met 10 multipliceert, wordende in dat «geval alleenlyk het character met 1 vermeerderd. De Loo-arithmen derhalven van 23500 en 23501 zyn, wat de decimale breuk betreft, (het enige dat men 'er in de Tafelen van vindt,) de zelfden met «fc van 235000 en ^Van 235010. Indien de Tafels ■derhalven, in plaats van voor getalen van 5 lette,ien, nog verder en voor getalen van 6 letteren hereekend waren , zouden 'er tusfchen 235000 en *moio nog 9 setAkfn te -ftaan komen, (235C01, f 4 235001  83 ZEEVAART.KUNDE, 235002 enz.) en dus ook 9 Logarithmen tusfchen de Lo-arithmen van 235000 en 235010, die in de Tafelen, zo als zy nu zyn, op elkander volgen, en 185 verfchillen. Die 185 moet dus gelyklyk verdeeld worden tusfchen die Logarithmen. en het verfchil van twee naast volgend en zal 18 of 19 wezen' Om ze derhalven te berekenen, heb ik niet anders te doen dan dezen regel van driën te maken; 10 verfchil in de getalen geeft 185 verfchil in de Logarithmen ; welk verfchil in de Logarithmen zal men verkrygen voor 1, 2, 3... 9, verfchil in de getalen. r™ hy v°orbeeId den Logarithmus van 235007 te bekomen, zeg ik 10 geeft 185,wat7Pen ik kryg tot uitkomst omtrent 129, die ik by 5,3710679 Loga- « mhmus van 235000) tellc; en dus vind ik voorden Lohanthmus van 235007, 5,3710808. .Men zict dus dat ik met behulp van Tafelen , die enkel voor getalen van 5 letteren berekend' zyn, door een' enkelen regel van driën den Logarithmus van een getal , uit 6 letteren beftaande, vinden kan. * §• 72. ■ Om dit nog gemaklyker te maken , heeft me* m de laatfte kolom van elke bladzyde der Logarithmus-Tafelen, kleine Tafeltjes geplaatst, die ■den gebruiker ontheffen van de moeite, om telkens de berekening van dien regel van driën te doen. Dus vindt men, by voorbeeld, op de bladzyde, die wy ten voorbedde gebruiken, in de kolom die op een na de laatfte is bovenaan, het getal 185 geplaatst, lager vindt men 184, nog lager 183 enz. ; \ Als  EERSTE BOEK. 85. Als men, van boven af beginnende], de naast elkander ftaande Logarithmen van elkander aftrekt , zal men voor verfchillen bekomen eerst 185, dan 184, dan 183 enz. , de gemelde getalen zyn dus die verfchillen. In de laatfte kolom vindt men voor . elk dezer verfchillen een Tafeltje, behelzende de uitkomften der bovengemelde regels van driën voor alle de getalen van 1 tot 9. In plaats derhalven van in het zo even bygebragte voorbeeld den regel van driën, 10 geeft 185, wat 7? uit te werken, zou ik in het Tafeltje van de laatfte kolom flechts het getal 7 opgezocht hebben ; ik vind naast hetzelve 129, de uitkomst der berekening, waarmede ik te werk ga zo als boven gezegd is. Uit het geen in het voorgaande omtrent de chaxacters en decimale breuken der Logarithmen gezegd is, blykt het, dat wanneer hier van grote getalen gefproken wordt , zulks niet betreklyk is op ■ derzelver eigenlyke waarde, maar op het getal van cyferletters , waarüit zy beftaan , cn uit de hogere waarde van elke cyferletter. Doch of die cyferletters gehele getalen of decimale breuken aanduiden, doet niet ter zake: in ons geval is, by voorbeeld , 9 > 8793 groter getal dan 98, 79 , dcwyl 'er één cyferletter meer in is, het is insgelyks groter dan 88793 , dewyl de eerfte letter 8 < 9 is s cn dus vroeger in de Tafelen voorkomt. Wanneer wy fpreken van getal cyferletters, moet men onder dezelven geenszins tellen de nullen, die achteraan gevonden worden ; dewyl dezelven alleen invloed hebben op het character en niet op de decimale breuk van den Logarithmus. Dus beftaat het F 5 ' getal  95 ZEE VA A RT-KU N D E, getal Ó3470CCO in den zin, dien wy hier bedoelen, flechts uit 4 cyferletters; want 63470C00 = 6347 x iocco; dus Log. 634700CO =c Log. ïocco-fLog. 6347 , dus = 4 4. Log. 6347. dus is het character flechtS'groter ,doch de decimale breuk blyft de zelfde. Wanneer men zelfs den Logarithmus van een getal Van 7 letters begeerde , is men met behulp van het gemelde Tafeltje in ftaat om dien te vinden. Men neemt het verthïl tusfchen de twee getalen, die in het Tafeltje ftaan naast de zesde letter van het getal en de volgende : men zegt; 10 geeft een zodanig verfchil , wat geeft de zevende letter ? men voegt de uitkomst by het naastvoorgaande getal van het Tafeltje , cn men voegt eindelyk de fom by den naastvoorgaanden Logarithmus, even als voren. Ofwel, daar het verfchil tusfchen twee' naastvolgcnde verfchillen in het Tafeltje altoos na genoeg het tiende gedeelte is van het geOiclc verfchil Voor het Tafeltje, kan men dat Tafeltje -zo wel voor de 7d.e als voor de 6d.e letter gebruiken, ■mits voor de 7d.« letter een tiende gedeelte van 'het verfchil nemende, dat 'er in her Tafeltje naast ftaat. ■Vborbeild. Om den Logarithmus van 2350078 te Vinden. Het verfchil voorde zesde letter (7) is 129; ■dat voor 8 is 148: het verfchil dier verfchillen is 19; ugevolglyk zeg ik, 10 geeft 19, wat 8 ? de uitkomst is omtrent 15; ofwel, ik zoek naast 8 -in 'het Ta'-'•félt'jev en vind 148 , waarvan het ic ofwel T men  Z E E VA A RT-K V N D E, men plaatst achter de 6^ een «»/, en trekt 'cr de uitkomst af. De gronden dezer bewerkingen volgen duidelyk genoeg uit het reeds verklaarde, om gene nadere verklaring nodig te hebben. Vbarltelden. T. Het getal te vinden voor den Logarithmus 35 37r4I49- ïk zoek de 3 eerfte letters vooraan, en vervolgens in de overige kolommen der bladzyde, die genen welke naast aan de 4 laatften komen. Ik vind dezelven (4189) Ln de kolom, die op den regel van het getal 2351 ftaat, en 9 boven aan heeft. Dus zal myn getal 235,19 zyn, ten naaften by. Ben ik met deze naauwkeurigheid niet te vreden, zo ga ik vervolgens dus te werk om de en 7de letter te vinden. Ik trek 4149 van 4189 af, het verfchil is 40: in het Tafeltje vind ik naast het verfchil 37 het getal 2: nu is myn gegeven Logarithmus kleiner dan de naastkomende: ik trek dus 2 van 235190 af 3 en ik bekom dus voor getal 235,188. Om nog eene 7 maar  EERSTE BOEK. 95 maar dat dcrzelver charadters verfchillen zullen, zynde o het character voor dien van 2 , 3634 (een getal dat > i en .< 10 is). Wanneer ik voortga met door 10 te divideren , wordt myn getal 0,23634 O - en < 1). Van het characïer moet ik 1 aftrekken-, dit kan ik niet werklyk doen: ik moet dus die Subtractie door het gewone teken aanduiden , en fchryven - t voor charafter. Ga ik nog verder voort met door 10 te divideren, zo bekome ik o,.023634 — en < -) en myn character wordt -2: ik bekome 10 • vervolgens, op de zelfde wyze voortgaande, voor breuken 0,0023634,0,00023634 enz., en voor charafters -3, -4,enz. In 't algemeen zal - 1 het character zyn van alle breuken die <* 1 en > - 1 1 zyn, -2 dat van alle breuken die < — en > — 1 zyn, —3 dat van alle breuken die 1 • zyn, enz. 1000 a , § 76- Dit zelfde blykt nog onmiddelyker uit de befchouwing der oorfpronglyke Geometrifche en Arithmetifche Progresfiën , die wy tot. grondflag onzer Ta-  p6 ZEEVAART-KüNDE, Tafelen genomen hebben (§ 52) 10 1 100 2 enz. Ik kan deze beide Progresfièn van onder op voortzetten, met in de Geometrilche telkens door 10 te divideren, en in de Arithmetifche 1 af te trekken Ö§3o,2S;. Wy bekomen als dan het volgende Tafeltje. enz- enz. 1 ; — 3 1000 1 ico •ï — — 1 10 1 O 10 I IOO 2 enz. enz. Daar nu ode Logarithmus van 1 is, en—1 die van -i- 10 zal die van eene breuk die > — en < 1 is 10 > — I en - *. ico cn < — is3 zai j> 2 en j zyn cn dus _ 10 a -f- eene decimale breuk enz. Dit  EERSTE BOEK: 97 Dit komt insgelyks overéén met de befchouwing der Logarithmen (§58,^mw.) als exponenten van de magt, waartoe 10 verheven moet worden om gelyk te zyn aan het getal van den Logarithmus. 1 1 immers is (§ 45 ) — = 10 ~ » = 10 enz" ïo i°o § Ü; Men zoude de Logarithmen der breuken , op deze wyze gefchreven , in alle bewerkingen kunnen gebruiken , mits den regel § 45 > -damn. voor de additie en fubftractie der negative getalen gegeven , altoos in ; het oog houdende. Om , by voorbeeld , door middel der Logarithmen 500 met — te multipliceren , zou men — i by ïo het character van den Logarithmus van 500 (dié == 2,6989700 is) moeten adderen, dat is, men zou 'er 1 moeten aftrekken, cn dus zou men 1,6989700 bekomen, 't welk indedaad de Logarithmus is van 1 1 1 50 ( = 500 x —). Om 500 door — te divideren 10 10 zou men — 1 van 2,69897c3 moeten aftrekken, dat is, men zou 'er 1 by moeten adderen, en dus zou men 3,6989700 bekomen, 't welk in de daad de Logarithmus van 5000 ( = T ) is. Men ziet dus,dat de Logarithmus van een getal kleinerwordt, wanneer men 'er den Logarithmus van eene eigenlyke breuk byteït, cn groter, wanneer men 'er dien tftrskt: en dit moet plaats hebben, dewyl men, een G getal  9% ZEEVAART-KÜNDE, getal met eene eigenlyke breuk multipliceren.?*, een product bekomt dat kleiner is dan het getal zelve, en door eene eigenlyke breuk dhiderende, esn quotiënt dat groter is dan het getal zelve. § 78- Daar ondertusfchen deze wyze van werken aan eenige moeilykheden onderhevig is , inzonderheid voor die genen welke met het gebruik van het teken ( —) niet gemeenzaam zyn, en daar men gevaar loopt van zich ligtelyk te vergisfen in de twee tegenftrydige bewerkingen , die men verrichten moet, het fitbjlraheren der charadters, en het adderen der decimale breuken; heeft men een ander middel uitgedacht, yt welk de zaak gemaklyker en eenvoudiger maakt , en daarom in het gebruik algemeen is aangenomen. Daar men altoos de getalen , met welke men werkt, na genoeg kent, om te weten of zy zeer groot dan of zy zeer klein zyn, zo dat men ten dien opzichte zich nimmer iccoo millioemn vergisfen kan; onderftelt men, dat het charadter der Logarithmen van getalen , die kleiner dan de eenheid zyn, 10 groter is dan het volgens den regel zou moeten 1 wezen: de Logarithmus van — of o , 1 is volgens JO den regel — ij indien ik nu onderftel, dat het character met 10 vermeerderd wordt, dan kan ik de aftrekking , door het teken -r- aangeduid, indedaad verrichten, en dus bekome ik voor character 9 ( = 10 — 1). Alle  EERSTE B Ö E :K, 99 Alle getalen , die > o, i en < i zyn , zullen derhalven voor character hunner Logarithmen9 hebben. Het is wel waar , dat alle getalen die > locoooccoo en <5 iccoocoocoo zyn , insgelyks 9 voor character hebben (§63 ); cn dat m deze onderftelling 9 , 37IOÓ79 ™ wel tot het getal 0,235 als tot 2350000000 behoort: doch de rekenaar zal altoos ten minften in zo verre den aart zyner getalen kunnen nagaan , dat hy weten zal welk dezer beiden hy nemen moet. ■ Op de zelfde wyze fchryf ik het character 8 in plaats van - a, 7 ö» Plaats van ~ 3 enz' DuS zullen {voorg. f alle breuken die > o ,01 en 0,001 en <0,01 zyn, (en dus twee nullen achter de komma hebben), zu]len 7 ( = 9 _ 2 ) voor character hebben enz.: of, in het algemeen, om het character van den Logarithmus -eener decimale breuk te hebben, moet meti het getal nullen achter de komma van 9 aftrekken; de rest is het gezochte charatler: en omgekeerd, om het getal te vinden voor eenen Logarithmus, die een zodanig character voor zich heeft, moet men hetzelve naaf gewoonte opzoeken; zo het character 9 is, moet men het gevonden getal onmiddelyk achter de komma plaatfen; zo het character minder dan 9 is, moet men eerst za vele nullen achter de komma plaatfen, als het character minder dan 9 is, één nul zo het 8 is, twee, zo het 7 is, enz. Aanmerking. Op de hier voorgefchrevene wyze voortgaande, zal men eindelykvoor breuken, die G 2 ws-  ICO . ZEEVAART-KUNDE, tusfchen o,coocooooi en o,occocoocoi vallen, o tot character van den Logarithmus hebben, en voor nog kleinere breuken zou men zich wederom in verlegenheid bevinden. Doch zulke breuken komen zo zelden voor, dat wy. niet nodig oordelen, ons omtrent de middelen, waar van men zich in dat geval bedient , breder in te laten. § 70- Laat ons nu nagaan , welken invloed deze wyze van de characters der Logarithmen te fchryven op derzelver gebruik heeft. Het blykt uit het reeds gezegde, dat men indedaad by elk zodanig een character ïo te veel neemt. "Wanneer men derhalven twee of meer zodanige Logarithmen by elkander telt, zal het character van de fom zo veelmaal ïo te groot zyn, als 'er zodanige Logarithmen gebruikt zyn, en men zou dus zo veel maal ïo van dat character moeten aftrekken. Doch wanneer men gehele getalen met breuken multipliceert, (dat is, derzelver Logarithmen addeert), kan het gebeuren dat de uitkomst zelve eene eigenlyke breuk zy : en wanneer men eigenlyke breuken met elkander multipliceert , zal dit altoos plaats hebben. Dus moet het character van den Logarithmus der uitkomst, om niet negatif te worden, één dier tienen behouden; en moet 'er dus zoo veel maal ïo aftrekken als 'er Logarithmen gebruikt zyn min éénmaal ïo. De algemene regel derhalven zal deze zyn: Wanneer men enige Logarithmen , waaronder Logarithmen va/i^decimale breuken zyn , by elkander geteld heeft, ƒ * meet  EERSTE BOEK. IOI moet men van het character der fom zo veel maal tien aftrekken, als 'er Logarithmen van eigenlyke breuken onder de byeengetelde Logarithmen geweest, indien zulks mogelyh is: zo ja; dan is de uitkomst een getal dat > i is: doch zo het niet mogelyk is, moet men iène tien minder aftrekken, en dan is de uitkomst eene eigenlyke decimale breuk: om dezelve te vinden, volgt men den regel aan het einde der voorgaande § gegeven. Voorbeelden. I. Met elkander te multipliceeren 2400; 6250; o,8', 0,097-, en 0,26 Log. 2400 ■= 3 r, 3802112 Log. 6250 = 3 , 7958800 Log. o , 3 = 9 , 47712131 drie Logarithmen Log. 0,097 =8 , 9867717 £ van breuken die Log. o,26=j^J24J)Ziii."^ 1 zyn' 35 > 0549575 30 5 t 0549575 = Log- II3490II. Met elkander te multipliceren 19 ; 31 ; 0,028 ; en 0 , 037 Log. 19 — ij 2787536 Log. 31 = 1,4913617 Log. 0,028 = 8,4471580) twee Logarithmen van Log. 0,037 — 8,5682017* breuken < 1, 19,7854750 Ik kan geen 2 x 10 van het character aftrekken *, dus trek ik 'er flechts 10 af. Het overfchot 9, 7854750 is de Logarithmus van de decimale breuk 0,610204 f3 j § 80  102 ZEE YAART-KUNDE, § «o. Om eene decimale breuk tot enige begeerde magt te verheffen, moet ik den Logarithmus met het getal van de magt multipliceren (§ 61 ). paar het character van dien Logarithmus ïo te groot is , zal het character van de uitkomst zo veel maal ïo te groot zyn , ah het getal van de magt bedraagt. Doch, daar de magt van eene breuk altoos zelve eene breuk is , zal het character, om niet negatif te worden , ééns ïo te groot moeten blyven, en ik zal 'er dus flechts zo veel maal ïo moeten aftrekken als het getal van de magt minus i bedraagt. Voorbeelden. I. o , 37 tot de wede magt te verheffen : Log. o, 37 9j5682017 2 19,1364034 10 9,1364034 s= Log. o, 1369. JI. 0,023 tot de derde magt te verheffen: Leg. 0,023 =3 8,3617278 3__ 25,0851834 10 5,0851834 = Log. o, 000012167 Aanmerking. Ik onderftel, dat in alle deze bewerkingen nooit andere breuken voorkomen dan die > o,coccooccoi zyn. Zo men de aftrekkingen, in het laatfte dezer beide §§e.nvooFgefchreven, niet werklyk verrichten kon, zou dit een  EERSTE BOEK. wj een teken zyn dat de uitkomst < 0,0000000001 was. § 81. By de divifie kunnen verfcheiden gevallen plaats hTEen getal dat >iU, door eene eigenlyke breuk te divideren. ' . -MMm Daar het character van den Logarithmus, dm men aftrekken moet, 10 te groot is, moet men by het character van den Logarithmus , waarvan men aftrekken moet, insgelyks 10 by tellen; die beide tienen gaan dan by de aftrekking tegen elkander op , en de rest is altoos de Logarithmus van een getal dat > 1 en zelfs groter is dan het getal, *mt<» men divideert. Voorbeeld. 1*3 door o,75 te divideren: Log. 123 = 2*0899051 Log- o, 75=J2i7^Il— 2.2148438 == Log- l64- H. Eene eigenlyke breuk door een getal dat> I is te divideren: Hier is het character van den Logarithmus, waarin men aftrekt, 10 te groot: het character van het overfchot zal dus 10 te groot blyven; en de uitkomst der diviüe zal eene eigenlyke breuk zyn, die kleiner zal zyn dan de breuk waarin men dmdeert. G 4 roar'  Ï04 ZEE VA ART-KÜNDE, Voorbeeld. 0,0825 door 55 te divideren: Log. 0,0825 = 8,9164539 Log. 55 = 1,7403627 7^1760912 = Log. 0,0015 Aanmerking. Zo de Logarithmus , dien men aftrekken moet, in dit geval groter was dan de andere, zou dit een teken zyn dat de uitkomst <5 o,cooocooooi was. III. Eene eigenlyke breuk door eene andere eigenlyke breuk te divideren. Zo de deler kleiner dan het deeltal is, trekt men de Logarithmen af,naar gewoonte:de tienen, die by elk character te veel zyn, gaan tegen elkander op, en de rest is de Logarithmus van een getal , dat > 1 is. Zo de deler groter dan het deeltal is, gaat men te werk even als in het eerfte geval, dat is, men addeert nog 10 by het character van den Logarithmus van het deeltal ; de rest is de Logarithmus van eene decimale breuk , die groter is dan het deeltal. By dit laatfte geval geldt ook de laatstgemaakte aanmerking. Voorbeelden. X. o, 1073 dopr 0,029 te divideren: Log. 0,1073 = 950305997 Log. 0, 02*9 == 8,4623980 0,56^2017 =. Log. 3,7. 8,  eerste boek. 10$ H. 0,2537 door o,4S te divider n: Log. o,2537 == 9 3 4P43205 Log. 0,43 = 9?6334685 9,7708520 sz Log. 0,59. § 82. Daar de worteltrekking het omgekeerde is van de verheffing tot magten, is het gemaklyk,uit den regel voor de laatfte bewerking 'gegeven, dien voor de pcrfte af te leiden. Men befchouwt den Logarithmus van een g2tal, waarüit de wortel gevraagd wordt, als ontftaan zynde door de multiplicatie van den Logarithmus des wortels met het getal van den wortel, of den zogenaamden Exponent ( § 80). Wy hebben gezegd, dat men by die multiplicatie zo veel maal tien van het character van den Logarithmus aftrekt , als het getal der magt minus 1 bedraagt. Om dus, by omkering, uit den Logarithmus van de magt door divifie dien van den wortel te vinden, moet men 'er eerst wederom bytellen, het geen men 'er had afgetrokken, e'n dan door het getal van den wortel divideren. Hier uit vloeit deze regel voort. Tel by het character van den Logarithmus der breuk, waaruit men eenen wortel wil trekken , zo veel maal 10 als het getal der wortel minus 1 bedraagt, (dusio voor den quadraat wortel, 20 voor den cubikwortel enz ) en divideer dan door het getal *W» den wortel. G S frocr~>  ïcö Z E E V A A RT - K U N D E, Voorbeelden. I. Den quadraatwortel uit o, 3249 te trekken: Log. 0,3249 = 9*5"7497 10 19,5117497 9»7558748 = Log. 0,57 ÏI. Den cubikwortel uit 0,029791 te trekken : Log. 0,029791 sas 8,4740851 2x10 = 20 28,4740851 * 3/ f 9,4913617 = Log. o, 31 'Aanmerking. Daar het worteltrekken , gelyk uit deze § en uit § 62 blykt, allergemaklykst door middel der Logarithmen gefchiedt, heb ik te minder nodig geoordeeld, de wyze van worteltrekking, zonder behulp der Logarithmen, op te geven en uitteleggen (zie § 42 ). Ik heb de voorbeelden van divifie en worteltrekking hier altoos zodanig gekozen, dat dezelve juist opgaan en dus de Logarithmen juist in de,Tafelen gevonden worden. Wanneer , gelyk meestal gebeurt , dit laatfte geen plaats heeft, tracht men zo na mogelyk aan de naauwkeurigheid te komen, door het getal van den Logarithmus tot zo vele cyferletters toe op te zoeken , als met behulp der Tafelen, welke men gebruikt, ge. fchicden kan, (zie § 36, 43.) §83  EERSTE BOEK. 101 § 83. Wy hebben tot hier toe gene andere dan decimale breuken in aanmerking genomen, dewyl men zich daarvan in alle berekeningen zo veel mogelyk bedient: en wy zullen flechts nog een enkel woord zeggen, omtrent de Logarithmen van gewone breuken. Eene breuk is niet anders dan eene divifie, welke flechts aangeduid is , dewyl men ze niet werkelyk verrichten kan ( § 12 ). Om derhalven den Logarithmus van eene breuk te vinden, moet men eveneens te werk gaan als by de divifie van twee getalen ; dat is , men moet den Logarithmus des tellers van dien des noemers aftrekken. Doch by eene eigenlyke breuk is de teller altoos kleiner dan de noemer -, dus kan men de fubftractie dier Logarithmen in dat geval niet werkelyk verrichten. Men zou dan den Logarithmus van den teller van dien des noemers kunnen aftrekken, en voor de uitkomst het teken minus C —) plaatfen, om aan te duiden, dat 'er aan den Logarithmus des tellers zo veel te kort fchiet, om 'er dien des noemers te kunnen aftrekken: by voorbeeld, Log. 3 = 0,4771213 Log. 4 33 O,Ó02o6O0 — 0,1249387 Doch wanneer men deze handelwyze volgt, en zogenaamde negatm Logarithmen gebruikt, vervalt men niet alleen in de zwarigheden, waaraan het gebruik der negative grootheden in de gewone Rekenkunde in 't algemeen onderhevig is, maar men-  Io8 ZEEVAART-KUNDE, men kan ook het getal voor dien Logarithmus in de gewone Tafelen niet onmiddelyk vinden , dewyl de Logarithmen in dezelven altoos onderfteld worden pofltif te zyn. Men gebruikt, om dit voor te komen, hier het zelfde middel, waarvan men zich bedient om de negathe characters te vermyden (§78): men neemt namelyk het character van den Logarithmus des tellers 10 groter, en verricht vervolgens de aftrekking: het overfchot kan ik befchouwen en 'er mede werken als met den Logarithmus van eene decimale breuk, namelyk, van die zelfde decimale breuk die ik vinden zou, wanneer ik de breuk op de gewone wyze (§37) tot eene decimale breuk reduceerde. Voorbeeld, (het zelfde als voren). Log. 3 (het character met 10 vermeerderd) 10,4771213 Log. 4 — 0,6020600 9,8750613 = Log. 0,75 en indedaad is 0,75 juist gelyk aan $ § 84. Dit geeft ons een zeer gemaklyk middel aan de hand , om gewone breuken tot decimale breuken te reduceren. Men behoeft flechts 10 by het character van den Logarithmus des tellers te voegen , 'er dien des noemers af te trekken, en het overfchot ot\der de Logarithmen op te zoeken. Voorbeeld, (het zelfde als in § 37). 13 tot eene decimale breuk te reduceren: 142 Log.  EERSTE BOEK. 10$ Log. 13 (+10) =ii,ii39434 L0gtI42 . • Ö 2, 15-12883 _ 8,9616551 =Log.o,09i549ea2. § 85- Laat ons nu dezen regel toepasfen op zodanige breuken die de eenheid voor teller hebben. De Logarithmus van 1 is o-, 10 by o geteld, blyft 10; ik moet derhalven in dat geval den Logarithmus des noemers aftrekken van 10: het overfchot zal de Logarithmus van de breuk zyn, en wanneer ik dien in de Tafelen opzoek , zal ik eene decimale breuk vinden , die aan de gegevene breuk juist of Mt naalien hy gelyk is. Voorbeeld. 10,0000000 Log. 4=0,6020600 9,3979400 = Log. k ~ Log. 0,45 Indien wy deze aftrekking nader befchouwen,' zien wy dat dezelve daarin beftaat, dat men de laatfte cyfer van het getal (de nullen aan het einde niet mede gerekend) van 10, en alle de overigen van 9 aftrekt; 6 van 10 geeft14; o van 9 geeft 9; 2 van 9 geeft 7 enz. Wanneer men eenigszins gewoon is met cyferletters om te gaan, kan men deze aftrekking gemaklyk uit het hoofd verrichten, en, den Logarithmus van 4 in de Tafelen opgezocht hebbende, in plaats van den Logarithmus zeiven , het getal 9,39794°o opfchryven. Zodanig een getal (het verfchil tusfchen den Logarithmus van eenig getal en 1 gevolgd van nul-  jiio ZEE VAAR T-K U N D E, nullen) wordt het arithmetifche Complement van dim Logarithmus of de Complement- Logarithmus van dat getal genoemd. § 86. . Wanneer wy het voorbeeld, in § 83 op tweederleie wyze berekend, nagaan, zullen wy vinden dat de uitkomst in het ééne geyal juist is het Complement van die in het andere ; o , 1249387 + 9, 8750613 = 10. En dat dit zo zyn moet, is zeer ligt aan te tonen : immers, wanneer wy den Logarithmus van den teller A , en dien van den noemer B noemen, hebben wy in het eerfte geval B — A, en in het twede 10 + A — B de fom — 10 -f A — A -f. B — B = 10 Gevolglykzal, uit het geen in de Iaatstvoorgaande § bewezen is, wanneer 9,8750613 de Logarithmus van 0,75 is, het complement 0,1249387 de Logarithmus zyn van eene breuk , die 1 voor teller en ,0,75 tot noemer heeft. Wanneer men 0,75 werklyk in 1 divideert (§ 36) bekomt men 1,333 enz., en dit is indedaad het getal dat men in de Tafelen vindt naast den Logarithmus o, 1249387. Wanneer ik derhalven door middel van den negativen Logarithmus — 0,1249387 de gezochte uitkomst (0,75) had Willen bekomen , zou ik dien Logarithmus hebben moeten opzoeken; het getal (i,3?3) tot noemer ,jiemen van eene breuk, die 1 voor teller moet heb•1 ben, en die breuk tot eene decimale breuk i5333 bren-  EERSTE BOEK. m brengen, en dan eerst zou ik o,75 ten mallen by bekomen hebben. Men ziet dus dat wy met reden het gebruik van zodanige Logarithmen verworpen hebben. § 87. Daar het nu, gelyk uit de eerfte beginfelen der gewone Rekenkunde bekend is, op het zelfde uitkomt of men door eenig getal, 4 by voorbeeld, divideert, dan of men met eene breuk die I voor teller en het getal tot noemer heeft (hier 40 multipliceert: en omgekeerd, of men door zodanig eene breuk divideert, dan of men met het getal multipliceert, zal het ook in beide gevallen op het zelfde uitkomen of men den Logarithmus addeert, dan of men het Complement fubflraheert, den Logarithmus fubfirahéent of het Complement addeert. Deze aanmerking geeft ons een middel aan de hand, om de fubftradtie der Logarithmen geheel te vermyden, en de divifie' der getalen zo wel als de multiplicatie enkel door additie te verrichten. Men fchryft namelyk in plaats van de Logarithmen, die men zou moeten aftrekken', derzelver Complementen , en addeert dan alles by elkander. Doch, daar ieder Complement van den Logarithmus van een getal dat > 1 is zelve de Logarithmus is van eene eigenlyke breuk, moet men voor elk zodanig Complement 10 van het charadter der fom aftrekken : en daar ieder Complement van den Logarithmus eener eigenlyke breuk zelve de Logarithmus van een getal > 1 is, moet men voor elk zodanig Complement geen 10 van dat character aftrekken. De regel van § 79 krygt derhalven deze ge-  Jia ZEEVAART-KTJNDE, gedaante: trek van het character der uitkomst zo vele tientalen af als 'er Logarithmen van eigenlyke breuken en Complement - Logarithmen van getalen i gebruikt zyn. Voorbeeld. De volgende bewerking door Logarithmen te verrichten ; 23,15 x 6841 x 0,057357 463 x 0,19119 op de gewone wyze: Log. 23,15 = 1,3645510 Log. 6841 = 3*8351196 Log. 0,057357 = 8,7585864 Log. 463 = 2,6655810 «,9582570 Log. o, 19119 = 9,2814625 *i,9470462 ^1,9470462 2,0112108 = Log. 102,615' Met Complement-Logartthmen: Log. 23,15 = 1,3645510 Log. 6841 = 3 , 8351196 Log. 0,057357 — 8,75858647 voor eïk van dezen Coropl.L. 463 = 7»3344i9cSiovanheteharacter. Compl.L.0,1911.9 -= 0,7185348 Z2,0II2I08 Aan-  ÉÈksTE BOEK. 113 Aanmerking. Wanneer wy het gebruik der Logarithmen in de berekeningen der platte eh klootfche Driehoeksmeting zullen verklaren, zal het nog nader blykcn , hóe veel gemaks het gebruik der Complement-Logarithmen aan den rekenaar verfchaft. Dat gebruik bepaalt zich niet enkel by de Logarithmen, maar men kan het in 't algemeen op alle SubftraÉtièn toepasién. Het zftl altoos overeen uitkomen' of men een getal aftrekt, dan of men zyn Complement (dat is het verfchil tusfchen dat getal en i gevolgd van zo vele nullen als het getal cyferletters heeft,) bytelt; mits men Van het overfchot die i gevolgd van ZO vele nullen wederom aftrekt. •Het complement van 516 is 464 10893 — 536 == 10893 + 464 — 1000 ic.893 10893 536 464 fubftr. add. 10357 II357 IOCO 10357 Doch in het dagelykfche gebruik is'er gene reden om die bewerking te verkiezen. § 88. Algemene Aanmerking. Kortheidshalven zal ik de regels , die men by het opzoeken en gebruiken der Logarithmen volgen moet, eh die in de Voorgaande verklaring verfpre'id gevonden worden, niet wederom herhalen , maar alleenlyk de S$e.n aanwyzen, daar men dezelven vinden kan. H Het  114 ZEE VAART-KUN DE, EER S TE BOEK. Het zoeken van eenen Logarithmus, beftaat in het zoeken van de decimale breuk en van het character dat 'er by behoort. Tas wegens het eer/Ie, voor getalen die minder dan 5 cyferletters hebben § 66, voor getalen van 5 letteren § 68, voor nog grotere getalen § 71, 72. Wegens het twede voor getalen die j> 1 zynj^ 64, veor decimale breuken § 78 Men verricht door middel der Logarithmen de volgende bewerkingen: multiplicatie . . . zie § 59 multiplicatie in het gebroken . § 79 divifie . . . § 60 divifie in het gebroken . . § 81 divifie door middel der Complement- Logarithmen . . § 87 verheffing tot magten . . § 61 de zelfde in het gebroken . § 80 Worteltrekking . . . § 62 de zelfde in het gebroken . § 82 zie eindelyk omtrent het vinden van het getal dat tot eenen Logarithmus behoort . . . § 73 en omtrent de plaatfingvandefow«»#§64en §78 ZEE-  ZEEVAART-RUNDE. TWEDE BOEK, BEGINSELS der. MEETKUNDE. S U Wy hebben reeds in den aanvang van het voorgaande Boek aangemerkt, dat Grootheid in 't algemeen het onderwerp is, zo wel ter Meetkunde, als der Rekenkunde (I, i); doch dat men in de Meetkunde gewoon is de Grootheden, welke men befchouwt,door Lynen uit te drukken, terwyl zulks in de Rekenkunde door Getalen gefchiedt (1,6 en 7). Getalen en Lynen zyn derhalven flechts tekens^ waarvan men zich bedient, om Grootheden gemaklykcr te kunnen befchouwen en behandelen; en men heeft een zeer onnaauwkeurig en onvolledig denkbeeld van Reken- en Meetkunde, wanneer men de eerfte als de wetenfehap der Getalen op zich zehe, en de laatfte als die der Lynen en Figuren op zich zehe befchouwt. Doch, eveneens als men by het onderwyzen der Rekenkunde genoodzaakt is eerst de eigenfehappen der Getalen, (dat is der" Grootheden door getalen uitgedrukt), in het algemeen te befchouwen , eer men daarvan byzondcre toepasfingen maken en het onmiddelbaar gebrnik H 2 aan/  116 ZEEVAART-KUNDE, aantonen kan , zo is het ook in de Meetkunde onvermydelyk, dat men eerst de Lvnen en Figuren, waardoor de Grootheden uitgedrukt worden, en die in zo verre gezegd kunnen worden het onderwerp der Meetkunde te zyn, afzonderlyk en in het afgetrokkene befchouwe , eer men in ftaat is om dezelven te gebruiken cn toe te pasfen. Ten dezen opzichte heeft de Meetkunde voor deri aanvanger eenige meerdere moeilykheid dan de Rekenkunde , dewyl men éénsdeels in het dagelykfche Jeven veel meer gewoon is grootheden door getalen dan door lynen en figuren uit te drukken, en uit dien hoofde iedereen gemeenzamer bekend is met de eerften dan met de laatften: en dewyl ten anderen de toepasfing cn het gebruik by de Rekenkunde fpoediger cn onmiddellyker in het oog lopen dan by de Meetkunde , in welker voordragt men genoodzaakt is langer by de afgetrokkene befchouwing ftil te ftaan. — 'Er is nogthans gene andere weg open dan deze; en het is hier mede gelegen als met het alphabeth eener vreemde taal, 't welk men volftrekt de moeite moet nemen van te leren, eer men de boeken, die in die taal gefchrevenzyn, lezen en verftaan kan. §2. Het is dus in de eerfte plaats nodig, dat wy vooraf die tekens verklaren , door welke wy in het vervolg de Grootheden zullen uitdrukken, en dus, dat 'wy een klaar en naauwkeurig denkbeeld geven van het geen wy onder de benamingen van Lyn, Figuur, Driehoek, Cirkel, enz. verftaan. Dit gefchiedt door • . mid-  TWEDE BOEK. "7 middel van Bepalingen. Men geeft eene bepalingen eene zaalc, wanneer men van dezelve eene zodanige eigenfchap opgeeftdie zy altoos bezit, cn die baar van alle andere zaken onderfcheidt. De bepaling, by voorbeeld, van eenen driehoek moet zodanig ingericht zyn, dat zy op gene andere figuren dan op driehoeken alleen toepaslyk,, en op alle driehoeken volkomen toepaslyk zy. Indien ik, by voorbeeld, van eenen driehoek deze bepaling gaf, dat het eene rechtlynige figuur is , zou dit wel waar in zich zelve, doch als bepaling niet voldoende zyn, dewyl 'er, gelyk in het vervolg blyken zal, zeer vele rechtlynige figuren zyn, die gene driehoeken zyn. Indien ik daarvan deze bepaling gaf, dat het eene figuur is binnen drie gelyke rechte lynen befloten, zou dezelve insgelyks niet deugen, dewyl 'er zeer vele driehoeken zyn, waarvan de lynen of zyden ongelyk zyn. Het fpreekt van zelve, dat men onder de verfchillende eigenfehappen van de zelfde zaak die eigenfchap kiest, om voor bepaling te dienen, welke de eenvoudigfte is , het meest in bet oog loopt, en waarüit de overigen op de kortfte en gemaklykfte wyze kunnen afgeleid worden, i BEPALINGEN. . § 3- I Eene lyn is eene lengte zonder breedte. Aanmerking. Zodanig eene grootheid beftaat nergens in den eigenlyken zin. 'Er is niets dat lengte heeft, of het heeft ook breedte. -- Doch H 3 het  ïlS ZEEVAART-KUNDE, het gebeurt dikwfis dat wy de Lengte alleen • befchouwen zonder de Breedte in aanmerking te nemen : wanneer wy, by voorbeeld, vragen. hoe lang de weg van de Stad A tot de Stad H is? welke weg langer is, die van A tot H, of van H tot L? enz. Zodanig eene lengte nu op zich zelve befchouwd wordt, in de Meetkunde, door eene ]yn verbeeld of uitgedrukt. §4- ïï. Lynen worden onderfchciden in Recht eenKrotn me lynen (Fig. i, AB, CDE, FGH). Aafjtnerking.Uet denkbeeld van eene rechte lyn, en van het onderfcheid tusfchen recht en krom, is zo natuurlyk en eenvoudig, dat het bezwaarJyk door eene bepaling klarer en duidelylcer gemaakt kan worden. Alle de bepalingen, die men 'er van heeft trachten te geven,zyn of onnaauwkeurig,of tenminften duifterer dan de zaak zelve. • Wy zullenons dus daarby niet ophouden. § 5- III. Een Punt of Stip is iets dat noch lengte, noch breedte, noch dikte heeft, dat is, waarby niets van dat alles in aanmerking komt. Een-punt wordt enkel befchouwd ten opzichte van deszelfs plaats met betrekking tot andere grootheden. Dus zyn de uiteinden (Fig. 2. AenB) van eene lyn (AB) , de plaats (E) daar twee lynen (AB en CD) elkander fnyden, punten. — Wanneer men fpreekt van het midden van iets, van eene ftad by voorbeeld, verftaat men daardoor niet eenige uitgebreidheid, een markt of plein  T W E D E BOEK. "9 plein in de ftad, maar een punt, dat zo veel mogelyk overal even ver van den ftadsmuur zï geplaatst moet zyn. IV Een Vlak is eene uitgebreidheid, die Lengte ^Breedte, doch gene dikte beeft-, dat is even als by de vorige Bepalingen, waarby men alleenlyk de lengte en breedte in aanmerking neemt. Wanneer men, by voorbeeld, nagaat, hoe vele platte ftenen 'er nodig zouden zyn om eene kamer te bevloeren, neemt men alleen delengte en breedte van de kamer en van de ftenen in, aanmerking, zonder dat de hoogte van verdieping of de dikte der ftenen daarby in aanmerking komt. § 7- V Een Ligchaam heeft Lengte, Breedte en Dikte; dat is, by een ligchaam wordt dit alles in aanmerking genomen. Om, by voorbeeld, te weten hoe vele ftenen 'er nodig zouden zyn om zekeren muur te bouwen, moet ik niet alleen de lengte en dikte maar ook de hoogte van de muur kennen. Aanmerking. De benamingen van Lengte, Breedte, en Dikte of Hoogte, zyn willekeurig. In 't algemeen heeft een ligchaam drie afmetingen, maar welke derzelven men Lengte, of Breedte, of Dikte wil noemen, blyft onbepaald. §8. VI. Vakken worden onderfcheiden in Platte en met platte of Rondachtige vlakken. Een plat *lak is een zodanig vlak, waarop eene rechte lyn in alle H 4 nch"  jao ZE E VAART-KUN DE, richtingen volmaakt past of fluit, zo als, by voorbeeld, een lineaal op eene platte tafel. Aanmerking. In het gemene leven wordt vlak dikwerf voor plat genomen. Doch in de Meetkunde verftaat men door vlak in het algemeen alle foorten van oppervlakte, zo wel rondaentige als platte. Men zou de vlakken, welke niet plat zyn, nog kunnen onderfcheiden in zodanige, Waarop men eene rechte lyn in cénc richting toepasfen kan, doch niet in allen: en in zodanige, waarop eene rechte lyn in gene richting, boe genaamd, kan toegepast worden. §9- VII. Eene Figuur is eene uitgebreidheid, (het zy vlak , het zy ligchaam,) binnen zekere eindpalen befloten. — De eindpalen van vlakke figuren zyn Jynen, het zy rechte , het zy kromme: dc eindpalen van ligchaamlyke figuren zyn vlakken , het zy platte, het zy andere. In Fig. 3 "zyn A B CD E cn P platte figuren, Q en R ligchaamlyke. Aanmerking. 'Er is gene uitgebreidheid, het zy vlakke, het zy ligchaamlyke , welke niet binnen zekere eindpalen befloten is , en dus zekere bepaalde figuur heeft. — Doch wy nemen die figuur niet altoos in aanmerking. — Wanneer wy onderzoeken of eene tafel waterpas ftaat, kan ons de figuur niet fc'nclen, wy móeten alleenlyk weten of de tafel een plat vlak is of niet. — Doch wanneer wy vragen, of het zelfde getal perfonen zich beter ftffikt aan eene ronde of aan eene vierkante tafel, nemen wy by-  T • W E D E BOEK. 121 byzondcrlyk dc figuur in aanmerking. — Het is om deze reden , dat men eerst bepalingen geeft van vlak en ligchaam in 't algemeen, en dan van vlakke en ligchaamlyke Figuur. tb ieh i § ïo. VIII. Eene Figuur, die binnen rechte lynen befloten is, wordt Rechtlynige Figuur genoemd. ABCDE in Fig. 3- \ § li. IX. De helling van twee rechte lynen (Fig. 4AB, BC) tot elkander, wordt een Hoek, en wel een platte of vlakke Hoek genoemd. - Het punt B, alwaar de lynen te famen komen, wordt Top van den Hoek, en de lynen zelve, Benen van den Hoek genoemd. " De lengte van die benen maakt gene verandering in derzelver helling en doet gevolglyk niets tot de grootte van den hoek. Aanmerking. Men is gewoon een' hoek aan te duiden door drie letteren, waar van de middelfte aan den top, en de anderen ergens aan de benen geplaatst zyn. Dus noemt men den hoek in Fig. 4. ABC § 12. X. Wanneer eene lyn (Fig.5. A B) op eene andere lyn (CD) ftainde, niet meer naar den eenen kant helt dan naar den anderen, en dus aan beide zyden gelyke hoeken (CBA, DBA) maakt,worden die hoeken Rechte hoeken genoemd. h 5 S *a<  122 ZEE VA ART-KÜNDE, § 13- XI. Een hoek (Fig. 6. EFG) die groter dan recht is, wordt Stomp; een hoek (EFH) die kleiner dan recht is, wordt Scherp genoemd. Aanmerking. Wanneer men onderftelt dat de lyn FI rechte hoeken met GH maakt, ziet men dat de kleinere of fcherpe huek EFH gemaakt wordt aan dien kant van EF, naar welken EF de meeste helling heeft. § M> XII. Eene lyn (Fig .5, AB; Fig. 6, IF) die rechte hoeken met eene andere maakt, wordt perpendiculair of Loodlyn genoemd. § 15- XIII. Lynen (Fig. 7, AB, CD), die met eene derde lyn (EF) gelyke heeken CE G B, EHD) aan den zelfden kant maken, worden parallele of JEvenwydige lynen. genoemd. Aanmerking. Deze eigenfehap komt ons voor de gefchikfte te zyn om 'er de andere eigenfchappen der evenwydigc lynen uit af te leiden, en wy hebben daarom dezelve gekozen om voor bepaling tc dienen. By andere Schryvers vindt men andere bepalingen, waaruit de onze vervolgens wordt afgeleid. § 16. XIV. Eene Figuur (Fig.'8, ABC), die binnen drie rechte.lynen befloten is, wordt Driehoek genoemd. Aan-  TWEDE BOEK. 12$ Aanmerking. Twee rechte lynen kunnen geen vlak influiten. Het kleinfte getal zyden derhal ven, 't welk eene figuur, binnen rechte lynen befloten, hebben kan, is Drie. I § 17- XV. Die zyden kunnen, gelyk in het vervolg blyken zal, of allen onderling gelyk zyn, of twee daarvan aan elkander gelyk, of eindelyk allen ongelyk. In het eerfte geval wordt de driehoek (Fig. 9. *AB C) gelykzydig, in het twede (DEF) gelykbenig genoemd. Van den gelykbenigen driehoek (D E F), worden de gelyke zyden (DE en EF) de Benen, de derde zyde f DF) ba/Is' oïGrondlyn, en de hoek (DEF) over die zyde, de Tophoek genoemd. Aanmerking. In de bepaling wordt gezegd, gelyk in het vervolg blyken zal. In het algemeen Wordt by alle Meetkunftige bepalingen ftilzwygende onderfteld, dat de zaak, waarvan de bepaling gegeven wordt, in het vervolg mogelyk zal bevonden worden; zo dit niet gebeurde, zou de bepaling van zelve vervallen. § 18. • XVI. Wanneer een Driehoek (Fig. 10.) êêneti rechten hoek (B AC) heeft, wordt hy Rechthoekig; wanneer hy èènen /lompen hoek (F'DE') hcek,Stomphoekig genoemd : wanneer alle de hoeken fcherp zyn (GHI), wordt hy Scherphoekig genoemd. De zyde (B C) van eenen rechthoekigen driehoek (BAC) die  124 ZEEVAART-KUNDE, die over den rechten hoek ( A) ftaat, wordt Hypotenufa, de beide andere zyden (AB en AC) Reckthoekzyden genoemd. Aanmerking. In het vervolg (Voorftel V. Gevolg 2.) zal blyken dat een driehoek maar éèneu rechten of flompen hoek hebben kan , en dat 'er dus in alle driehoeken noodwendig twee fcherpe hoeken moeten zyn. Het is dus van den derden hoek, of die namelyk recht, Jlomp, of fcherp is, dat de naam van den driehoek, rechthoekig, ftomphoekig, of fcherphoekïg, afhangt. \ Wanneer wy derhalven hier bepalingen wilden geven of byzondcre namen toeëigenen aan driehoeken, die by voorbeeld twee of drie rechte s twee of drie (lompe hoeken zouden hebben, zou het naderhand blyken dat die driehoeken onmogelyk waren , en die bepalingen en benamingen zouden van zelve vervallen. Dit kan dienen tot opheldering van de laatstvoorgaande Aanmerking. § iq- XVII. Eene Figuur, die binnen vier rechte lynen befloten is, wordt een Vierhoek of Trapezium genoemd. (Fig. ii.) § 20, XVIII. Wanneer de overftaande zyden ( A B cn CD, AD en BC) van eenen Vierhoek (ABCD) even wydig zyn, wordt dezelve een Parallelpgram genoemd. Aan-  T W E D E BOEK. li£ Aanmerking. In het vervolg zal blyken, dat alsdan die overftaande zyden ook tevens gelyk zyn (AB=CD, AD = BC);en dat insgelyks de overftaande hoeken gelyk zyn (LA = Z,Cy ZB = 1D. 'Er zyn Schryvers die de volgende bepaling van een paralielogram geven: „ dat het eene „ vierzydige figuur is, waarïn de overftaande „ zyden gelyk zyn". Dit komt op het zelfde uit. Volgens onze bepaling bewyst men de gelykheid der overftaande zyden uit derzelver evenwydigheid, volgens de andere hare evenwydigheid uit de gelykheid. § 21. XIX. Wanneer in zodanig een paralielogram alle de hoeken recht zyn, wordt hetzelve een Rechthoek genoemd (EFGH). Aanmerking. In het vervolg zal blyken, dat, wanneer èène hoek van een paralielogram recht is, alle de overige insgelyks recht moeten zyn (Gev. Voorft. XIII.) § 22. XX. Wanneer in zodanig eenen Rechthoek tevens alle de zyden gelyk aan elkander zyn, wordt dezelve een Quadraat of Vierkant genoemd (1KLM) Aanmerking. Vierkant en Vierhoek zyn eigenlyk woorden van de zelfde betekenis: het is by willekeur dat men het eerfte tot benaming voor eens byzondere foort van Vierhoek heeft aangenomen. ^ 2J<  136 ZEEVAART-KÜNDE, § 23- XXI. Wanneer in een niet rechthoekig paralielogram alle de zyden gelyk zyn , wordt het zelve eene Ruit genoemd (NOPQ) § 24' Wanneer in eenen Vierhoek gene der voornoemde byzondere eigenfchappen plaats hebben, noemt men dien in 't algemeen Vierhoek of Trapezium (R,S) Aanmerking. In het vervolg zal blyken, dat alle deze opgegevene foorten van vierhoeken (Paralielogram, Rechthoek enz.) mogelyk zyn : en dat 'er gene andere foortcn van regelmatige vierhoeken mogelyk zyn; dat 'er by voorbeeld geen vierhoek zyn kan , waarvan alle de zyden gelyk, en tevens alle de hoeken ongelyk zouden zyn; en dat het dus niet te pas komt, daarvoor bepalingen of namen op te geven (Voorft.XII en XIII.) § 25. XXII. Eene lyn in eenen Vierhoek uit een' def hoeken naar den overftaanden hoek getrokken, wordtDiagonaal genoemd (AC, BD; EG, FH;enz.) § 26. XXin. Figuren, binnen meer dan vier rechte lynen befloten, worden in 't algemeen Veelhoeken genoemd. Wanneer derzelver zyden en hoeken gelyk zyn, worden zy'regelmatigeVeelhoeken genoemd. De gelykzydige driehoek en het quadraat zelve behoren tot de regelmatige veelhoeken. § 27.  T W E D E BOEK. § 27. XXIV. Een Cirkel (Fig. 12.) is eene platte figuur, befloten binnen eene kromme lyn die in zich zelve wederkeert, en waarvan alle de punten even ver af ftaan van een punt (C) binnen den cirkel, om die reden het Middelpunt of Centrum genoemd. Aanmerking. Wy hebben gezegd ( § 16.) dat 'er ten minflen drie rechte lynen nodig waren, om eene figuur in te fluiten. By kromme lynen wordt dit niet vereifcht. Eène lyn, mits in zich zelve wederkerende, kan eene figuur influiten. § 28. XXV. De kromme lyn zelve, die de figuur influit, word Omtrek des Cirkels genoemd (ABED) Lynen, uit het middelpunt (C) tot den omtrek getrokken, worden Radiiyi of Stralen des Cirkels genoemd (CA, CB, CE, CD). Uit de bepaling volgt, dat alle die lynen gelyk zyn. Eene lyn (AE), uit een punt Avan den omtrek door het middelpunt C tot aan den omtrek in E getrokken, wordt Middellyn van denCirkelgenoemd. Dezelve is gelyk aan tweemaal den Radius (AE = AC + CE). § 29. Alles, wat omtrent de eigenfchappen der Lynen, Hoeken, Figuren enz. waarvan hier de bepalingen zyn opgegeven, in het vervolg geleerd wordt, moet uit deze bepalingen worden afgeleid. Alle  ZËEVAART-KÜNDÉ, Alle de eigenfchappen van den Cirkel, by voorbeeld , moeten volgen uit de gelykheid van deszelfs Radïèn, eene eigenfchap, die wy, als de eenvoudigfte en meest in het oog lopende, ter bepaling gebruikt hebben. Op de volmaakte klaarheid en duidelykheid der bepalingen, gevoegd by de wyze, waarop uit die bepalingen al het overige wordt afgeleid, fteunt de zekerheid der Wiskunde. Om uit ^e aangcnomene eigenfchap eene andere af te leiden, gebruikt zy Bewyzen. Een Wiskunftig Bewys moet zodanig ingericht zyn, dat voor iedereen, die hetzelve wel begrepen heeft, de waarheid der bewezene zaak even klaar en ontwyfelbaar is, als het by voorbeeld ontwyfelbaar is, dat een geheel groter is dan elk der delen, Waarin het verdeeld kan worden. Het fpreckt van zelve dat men in zodanig een Bewys gebruik mag maken van zodanige Hellingen, dia zo klaar en zeker zyn, dat men 'er gene nadere opheldering van geven kan, (dat by voorbeeld twee dingen, die aan het zelfde derde gelyk zyn, aan elkander gelyk zyn; dat gelyke grootheden by gelyke geteld, of daarvan afgetrokken, gelyke fommen en resten geven, enz.) Zodanige Hellingen noemt men Algemens Kundigheden. § 30- 'Er zyn enige ftellingen van dien aart, welke byzonderlyk op de Meetkunftige Figuren toepas^' lyk zyn. Wy zullen dezelven hier kortlyk opgeven. Rccli-  TWEDE BOEK. 129 Rechte lynen, waarvan twee punten overeen komen, vallen geheel langs elkander. Men kan, by voorbeeld, gene twee punten van een rechten lineaal met twee punten van een' anderen overeen brengen, zöndör de gehele linealen langs elkander te leggen. Derhalven kan door twee gegeven punten flechts iène rechte lyn getrokken worden. Twee verfchillende rechte lynen kunnen dus flechts één punt gemeen hebben, elkander flechts in één punt fnyden. Rechte lynen , wier uiteinden overeenkomen wanneer de lynen op elkander gelegd worden, pasten geheel op elkander, en zyn gelyk. Zo de toppen van twee gelyke hoeken op elkander gelegd worden, en een been van den éénen hoek langs een been van den anderen, zal ook het twede been vari den eerften hoek met het twede van denanderen overeenkomen: eh omgekeerdwanneer dit laatfte plaats heeft, zullen de hoeken gelyk zyn. Figuren, waarvan alle de delen (hoeken, zyden, omtrek) overéénkomen, (dat is, wanneer de figuren op elkander gelegd wörden, volmaakt Op elkander pasfen,) zyn gelyk. Aanmerking. Hieruit, vergeleken met 5 27» blykt dat de middcllyn van een' cirkel den cirkel en deszelfs omtrek in twee gelyke delen deelt. Eene lyn, die ééne van tWee evenwydige lynen fnydt, zal, verlengd zynde, ook de andere fnyden.', Zo uit de beide uiteinden (Fig. 13 9 Aen B)eenéf t rech--  130 ZEE VAART-K U N D Ë, rechte lyn (AB), als middelpunten,meteen'radius (A.C = BC) die = of > AB is, cirkels befchreven zyn, zulle.i die cirkels elkander ergens (in C) fnyden. Hieruit blykt, dat het mogelyk is eenea gelykbenigen of gelykzydigen driehoek te befchryven. In het vervolg (§ 51.) zal blyken, dat de radius < AB kan genomen worden, doch dat hy altoos > 1 A6 zyn moet. § 3i. Men onderfcheidt de Meetkunftige Voorftellen in twee foorten j eigenlyk gezegde Voorftellen, en Werkftukken. In de eerfte wordt eene Eigenfchap van eene figuur , welke men reeds befchreven onderftelt, uit de bepaling van de figuur afgeleid en bewezen: in de twede wordt geleerd, hoe men op eene Wiskundige wyze eene lyn, hoek, figuur enz. zodanig befchryven kan, dat dezelve aan zekere opgegevene voorwaarde voldoet; (eene lyn by voorbeeld te trekken rechthoekig op, of evenwydig aan eene gegevene lyn; een' driehoek te maken wiens zyden aan drie gegevene lynen gelyk zyn enz). DeO/>losjing van zodanig eene opgave is derhalven tweeledig: men moet eerst opgeven, op welke wyze men te werk moet gaan; en vervolgens aantonen dat men op die wyze indedaad aan de vereifchten der opgave voldaan heeft. Het eerfte dezer beide gedeelten wordt Bewerking of ConfiruSlie genoemd. § 32.  T W E D Ë BOER, Ijt f 32- Even als.meii by het opmaken van een Wiskunftig Bewys eenige waarheden als vak zelve blykbaar aanneemt (§29, 3c) moet men ook tot het öPlpsfen van een Werkftuk, eenige bewerkingen als uitvoerlyk aannemen: zy zyn de volgende: Men kan door twee gegeven punten eene rechte lyn trekken. Men kan uit een bepaald punt. met een' gegeven radius een cirkel trekken. Uit deze bewerking vloeien de twee volgende onmiddeliyk voort. Men kan eene rechte lyn verlengen tot zy aart eene andere gegevene lyn gelyk worde. Men kan vart eene rechte lyn een ftuk affnyden dat aan eene gegevene lyn gelyk is-. Alle werkftukken, welke door middel der hier aangewezene bewerkingen, (dat is, in de praktyk met pasCerm lineaal), opgelost kunnen worden, worden' gezegd voor eene wiskunftige oplosfing vatbaar te. zyn. 'Er zyn anderen, wier op.losfing in zich zelve niets onmogelyks bevat, doch welke men echter niet wiskunftig, dat is, met behulp van üneaal en pasfer, verrichten kan; (een' hoek by,-voorbeeld in drie gelyke delen te delen). Dit belet niet, dat men in de Bewyzen van eigenly.k gezegde Voorftellen, waarin men onderftelt dat de figuur befchrevtn U\ daarvan gebruik mag maken. Wy zullen dus ook gene zwarigheid maken, om terftond in onze Bewyzen te onderftellen, dat eene lyn rechthoekig op , of evenwydig aan eene andere 1 % S*-  132 ZEE YAART-KÜNDÉ, getrokken worde, dat een hoek in twee gelyke delen verdeeld worde, enz.; fchoon wy nog niet getoond hebben, hoe zulks wiskunflig gefchiedt. § Sa- Eindelyk, daar een wiskunftig Voorftel eenmaal behoorlyk bewezen zynde, de zelfde zekerheid èn blykbaarheid heeft als eenig ander, dat onmiddellyk begrepen wordt en geen bewys nodig heeft, zullen wy van de eenmaal bewezene waarheden in het vervolg ten bewyze van anderen het zelfde gebruik mogen maken als van de zogenaamde Algemene Kundigheden (§ 28), § 34- "Wanneer 'uit eene bewezene waarheid eene andere onmiddellyk voortvloeit, wordt de laatfte een Gevolg der eerfte genoemd. § 35- Kortheidshalven zullen wy in het vervolg eenige 'tekens gebruiken, wier betekenis van zelve in het oog loopt; namelyk l voor hoek, i_ voorrechten hoek, -L voor perpendiculair of loodrecht, / / voor evenwyaig, A voor driehoek, Q voor rechthoek, □ voor quadraat enz. 5 3ö.  TWEDE BOEK. 135 § 36. I. Onr de Eigenfchtfppen der rechte Lynen, Boeken, Driehoeken en Parallelogrammen. voorstel I. (Fig. 6.) Eene lyn (EF) op eene andere lyn (GH) val» lende, maakt twee hoeken, die of recht, of te farcen genomen ( L G F E + i H F E ) gelyk aan twee rechte hoeken'zyn. bereiding. Onderftel FIJ-GH bewïs. IGFI-f-IHFI=aL £HFI=1EFI+j.HFE derh.IGFl + lEFl + ^HFE:=?L ZGFI+LEFI =LGFE derh. L G F fT+ L H F E = a L dat te bewyzen was. gevolO. Alle de hoeken , die door lynen,welke elkander in enig punt fnyden, rondom dat punt maakt word en, zyn te famen genomen gelyk aan 4 \_. (Fig.a.£AED+IDEB + lBEC+iCEA=40 § 3 7.- voorstel II. (Fig. 2.) Twee" lynen (AB en CD) die elkander fnyden (in E), maken tegen elkander overftaande hoeken (AEC en BED, AED en BEC), die gelyk aan elkander ayn. bewys. 1AED + £AEC = 20 fft j . L A E D + ZJD1E B=2 \=S2 derh. lAED'-t-iAECrr l AE D + LDEB iAED =Z,AED fubftr. IAEC = ZDEB d. h b, w. I 3 5 38.  ?34 ZEEVAART-RUNDE, § 38. VOORSTEL III. (Fig. 7.) Wanneer twee evenwydige lynen (AB en CD) door eene derde lyn (EF) gefneden worden, zullen de daaruit ontftaande Overhandfche hoeken (AGH en GHD) gelyk zyn; en de beide binnenhoeken naar den zelfden kant (BGHenGHD) zullen te famen genomen gelyk aan twee rechte hoeken zyn: en omgekeerd, als een dezer beide dingen plaats heeft, zullen de lynen evenwydigzyn. BEWYS voor het eeïiste: 1EGB —IGHD(Bep. XIII.) 1EGB = £AGH (Voorft.II.) derh. LGHD = iAGH voor het omgekeerde. ZGHD=£AGH Z.EGB =LA G H_( Voorft. II.) derh.lEGB —IGHD en dus AB // CD (Bep. XIII.) ' gEWYS voor het TWEDE.* Z,EGB + iBGH = 2L( Voorft. I;.) 2.EGB = L GHD (Bep.XïIL) derh. LGHD^BlfH=~2£, voor het omgekeerde: ZGHD-f IBGH = 2L. ZEGB -f-ZBGH=2f (Voorft.I.) derh. iGHlD+TB^H^IFGB-f lBGH £BGH atr iBGH fubftr. ZGHDrriEGBenAB/'/CD (Bep. XIII.) «r*. i. I. 1». § 39.  TWEDE BOEK. 135 § 39- voorstel IV. (Fig. 140 Wanneer eene der zyden (AC) van eenen drieSoek (ABC) verlengd wordt, zal de daaruit ontftaande buitenfte hoek (BCD) gelyk zyn aan de fom der twee overftaande inwendige hoeken (IBAC + LABC). bereiding. Onderftel dat ce evenwydig zy aan AB. Bewys. iECD = IBAC (Bep.XIII.) £ECB=£ABC (Voorft-IIIO ^•SdT^^bcdT-^Tbac-v-labC) d. t.. b. w. gevolg. De buitenfte hoek is groter dan elk der overftaande inwendigen. §40. voorstel V- (Fig- 140 De drie hoeken van eenen driehoek te famen genomen zyn' gelyk aan twee rechte hoeken. bewys. iBCD=IBAC + lAffC(Voorft.IV.) iBCA = IBCA RiBC^^bti=7BAC + £ABC4-iBCA iBCD-j-2.BCA=:aL (Voorft-1) tohT Ïb"aT-KAB c + 1B c A = 2L d. 1, b. w. I4 GE*  |36 ZEEVAART-KUN DE, gevolg. I. Als twee hoeken van eenen driehoek gelyk aan twee hoeken van een' anderen zyn, zaï ook de derde hoek van den eenen gelyk aan den derden hoek van den anderen zyn. gevolg II. Een driehoek kan niet meer dan i'enen rechten of éénen ftompen hoek hebben. (Zie § 18. Aanmerking} gevolg III. In eenen rechthoekigen driehoek is de fom der beide fcherpc hoeken gelyk aan éénen rechten hoek. § 4ï- voorstel VI. (Fig. Twee driehoeken (ABC en DE F), waarin twee, zyden elk aan eene andere gelyk zyn (AB = DE, BC = EF), en tevens de hoeken, welke tysfeheq. die twee zyden in eiken driehoek bevat zyn, gelyk zyn (£ABC = Z,DEF), zyn in allen opzichte gelyk;(namelyk AC = DF, 1 A= LD, £C-Z,F en de gehele AABC:= den gehelen AD ET) bewys. Onderftel dat de driehoek DEF opgeligt en op den driehoek ABC zodanig geplaatst v/orde, dat het punt E op B en de lyn DE langs de lyn AB valle, dan zal, dewyl AB-=DE is, ook het punt D op A vallen. Vervolgens, dewyl £ABC=£DEF, zal BC langs EF, cn dewyl BC = EF is, het punt F op Cvallen. Duspasfende beide driehoeken volmaakt op elkander, en zyn derhaiven in allen opzichte gelyk. d. t. h. ». 5 42.  TWEDE BOEK. 153 §42- voorstel VII. (Fig. 16.) Twee driehoeken (ABC en D E F ), waarïn twee hoeken elk aan een' anderen gelyk zyn, en tevens eene zyde aan eene zyde gelyk is, zyn in allen opzichte gelyk. bewys. Wanneer twee hoeken van een' driehoek aan twee hoeken van een' anderen gelyk zyn, zyn ook de overige hoeken aan elkander gelyk ( Voorft. V. Gev. I.) •, en dus zullen alle de hoeken in de beide driehoeken gelyk zyn. Onderftel nu dat de driehoek DE F opgeligt, en op den driehoek ABC zodanig geplaatst worde, dat D op A,DF langs AC en dus ook (dewyl DF= AC) F op C kome te vallen. Dan zullen, dewyl 2,Ar=£D is, ook DE langs AB, en dewyl LC— IF is, ook E F langs B C vallen. Derhalven zullen ook de punten B en E op elkander vallen. Dus pasfen de driehoeken volmaakt op elkander, en zyn dus in allen opzichte gelyk. d. t. b. w. § 43- > ■ voorstel VIII. (Fig. 17.) Van eenen gelykbenigen driehoek (ABC) zyn de hoeken op de bafis gelyk (Z.CAB — 1GB A;: en omgekeerd ,= wanneer de hoeken op eene der zyden van eenen driehoek gelyk zyn, is de driehoek ge^ykbeni^;. 15 Be-  ï38 ZEEVAAR T-K UNDK, bereiding. Onderftel dat de lyn CD den tophoek ACB in twee gelyke delen verdele. bewys. £ACD=ZBCD AC— BC CD= CE» Serh. ACAD=ACBD (Voorft. VI.) en dus ZCAB=: Z.CBA voor het omgekeerde L ACD = ZBCD ICAD = ZCBD CD= CD derh. ACAD=ACBD (Voorft. VII.) en dus AC = BC, d, t. b. w. gevolg I. Dewyl ACADzzACBD is ook ZCDA —iCDB cn dus de hoeken CDA en CDBn L, (Bep.X.y ook is AD —BD. Dus zal de lyn, die den tophoek van eenen gelykbenigen driehoek in twee gelyke delen verdeelt, loodrecht op de bafis ftaan , en ook de bafis in twee gelyke delen verdelen. gevolg II. Van een' gelykzydigen driehoek (Fig. 9. ABC) zyn alle de hoeken gelyk; en omgekeerd, wanneer a'iie de ho'eken van eenen driehoek gelyk zyrt,'zyn üokxilte deszelfs zyden gelyk. § 4*  TWEDE BQEK. ï$9 § 44- VOORSTEL IX. (Fig. 18.) Twee driehoeken (A D G en D E F), waarin alle de zyden elk aan eene andere gelyk zyn (AB~ DE, BC—EF,AC—DF),zynin allen opzichte gelyk. bewys. Onderftel dat de driehoek DEF opgeligt,en zodanig tegen ABC aan geplaatst worde, dat de uiteinden ( A en D, C en F ) der gelyke lynen AC en DF aan elkander komen, en dus de gehele lyn DF langs en op AC valle. Trek BE. Nu is add. ZABC=ZDEF AB —DE B C = E F derh. AABC=ADEF) Z BAC = l EDF>(Voorft. VI.) ZBCA= ZEFDJ d. 1. b. w. Aanmerking. Wanneer wy dit Voorftel met het Vr en VI? vergelyken, vinden wy, dac wanneer in twee Driehoeken, ie drie zyden, a' twee zyden, en een hoek tusfchen beiden, 3- eétie zyde met twee hoeken, gelyk zyn, de driehoeken in allen opzichte gelyk zyn. Wanneer 'er twee zyden met een' hoek, die niet tusiéhen de twee zyden begrepen is, gelyk zyn, is de zaak twyfelachtig. Want, wanneer men (Fig.  ï4$ zeeyaart-kunde; ( Fig. 19.) met de zyde B C AC, IABD>ZABC en 1ADB ZBDA( Gev. Voorft. IV.) Z B C A > Z B AC d. t. b. ar. Voor  f tV E t> E BOE K. 34X voor. HET OMGEKEERDE. Nu WOrdt ZBCA IBAC gefteld, en men moet bewyzen dat AB >BCis. Daar IBDC^riBAC en dus 1BDG<* IBCA is, zal BD buiten den driehoek moeten vallen, door het Gevolg van Voorftel IV. Derhalven zal de cirkel AED de verlengde AC fnyden, het punt.C zal binnen den cirkel vallen, en dus BC . gevolg. In een' rechthoekigen driehoek zal de hypotenufa altoos groter zyn dan elke rechthoekzyde (Bep. XVI. en Gev. III. Voorftel V.) Aanmerking. Wanneer ik derhalven uit eenig punt A (Fig. 11.) verfcheidene lynen (AD, AE, AF enz.) trek tot eene onbepaalde lyn BC, zal de loodlyn AF de kortfte van alle die 1 ynen zyn. Immers zal, in A A D F, A D > A F, in.A AE F, A E > A F enz. zyn. 'Er zal dus maar èène loodlyn AF uit een punt A tot eene lyn BC kunnen getrokken worden, en die loodlyn zal een bepaalde lengte hebben. Het is om die reden dat men die loodlyn aanneemt als maat vzw den affland van het punt A tot de lyn BC. De Afpand derhalven van een punt tot eene lyn wordt uitgedrukt door de loodlyn, uit dat punt tot die lyn getrokken. En wanneer men uit een'hoek (A) van een'driehoek (ADE of ADG) eene loodlyn (AF) op de grondlyn of derzelver verlengde trekt, wordt dezelve Hoogte van den driehoek genoemd. § 46".  X4i Z E È VA A RT-K UNB E,' §46. VOORSTEL XI. (Fig. 22.) Twee zyden van eenen driehoek te famen ge■homen zyn altoos groter dan de derde, (AB-{BC ,> AC). bereiding. Verleng eene der twee zyden (AB); en maak het verlengde fuik BD gelyk aarï de andere zyde BC. Trek DC; bewys. L BDC —l BCD (Voorft.VIII.) L ACD> L BCD derh. L ACD> L BDC derh. AD> AC (Voorft.X.) AD=AB -f B D —AB-f-BC derh. AlTfBC>AC" d. t. b. w. Aanmerking. Hier uit blykt dat eene rechte lyn de kortfte is, welke men tusfchen twee punten trekken kan. * § 47- voorstel XII. (Fig. 23.) Zo twee gelyke cn evenwydige lynen (ABenCD) door twee andere lynen (AC en BD) vereenigd Worden , zyn ook deze laatfte gelyk en evenwydig.- Bereiding. TrekBC BEWYS. ZABC = £BCD (Voorft. III.) AB = CD BC = BC derh. AABC — ABCD (Voorft.VL) dus AC r BD l ACB —Z.CBD, en dus AC // BD (Ycorft. Ili) d. 1. b. »: GE-  TWEDE BOEK. I43 gevolg. Evenwydige Jynen hebben overal den Zelfden afftand van elkander. Stel AE en BF 4. op; CD dan is in A ACE en A BDF AC —BD (uit dit Voorftel) Z ACE —ZBDE (uit dit Voorft.en Bep,XIIL) ZAEC—ZBFD —L derh. AE - BF (Voorft.VII.) Die afftand wordt de Hoogte van het paralielogram genoemd. Zie tevens de Aanmerking op § 45. Aanmerking. Hierüit blykt dat een paralielogram eene mogelyke Figuur is. (Zie de Aanmerking op § 24.) §4S. voorstel illt (Fig. 23.) De overftaande hoeken en zyden van een paralielogram zyn gelyk, en de diagonaal deelt hetzelve in twee gelyke driehoeken : cn omgekeerd, wanneer de overftaande zyden eener vierzydige figuur gelyk zyn, zyn zy ook evenwydig, en dus is die figuur een paralielogram. bewys. iACBr:ZCBm IL) ZBCD-ZABCSV add. —■. ZACD = ZABD Voorts BC —BC derh. AABC —ABCD (Voorft.Vit) dus AB — CD en AC — BD voor  *44 ZEEVAAR T-K U N D §i voor het omgekeerde. AB —CD AC —BD BC —BC derh. AABC-ABCd( Voorft. IX.) dus L ABC=ZBCDen AB.//CD) „ - ■ en ZACB~ZCBDen AC//BDr "° d. t. h. w. gevolg. Zo een der hoeken (FEH by v'oofb. in Fig. ii.) recht is, is L EFG ook recht, dewyl ZFEH-f-ZEFG — ar, CVoorft.III.) Voorts zyn dan uit dit Voorftel ook de hoeken FGHenEHG recht. Dus, wanneer ééne hoek in een paralielogram' recht is, zyn alle de hoeken recht. Aanmerking. Zis de Aanmerking op § 91. van dit Boek. § 49- voorstel XIV. (Fig.24.) Parallelogrammen (ABCDenAEFD) die tusfchen de zelfde evenwydige lynen en op de zelfdé grondlyn (AD) ftaan, zyn gelyk van inhoud. bewys. Z,BEA~Z.CFD) . ZABE = iDCF>CBCp-XIIL> AB rr CD (Voor'ft.XIII.) derh. AABErrADCF Voorft.VII.) ACEG — ACEG fubftr. ituk A B C G gelyk van inhoud aan ftuk D G E F A AGD rr AAGD add. Parall. ABCD gelyk van inhoud aan Parall. A E F 0. o e-  TWEDE BOEK. 145 gevolg I. (Fig.a?0 Het Voorftel is insgelyks waar van parallelogfammen CARCD,EFGH) die tusfchen de zelfde evenwydige lynen en op gelyke grondlynen (AD en EH) ftaan. Want, zo men de lynen AF en DG trekt, is AF GD een paralielogram (Voorftel XII.) dus par.AFGDCuitditVoorftOgelykvaninhoudpar.ABCD par. AFGD gelyk van inhoud par.EFGH derhTpaV. ABGD gelyk van inhoud par.EFGH Gevolg. Het Voorftel is insgelyks waar van Driehoeken (ABD en EGH). Want zö mén DC//ABenEF//HG trekt, is par. ABCD gelyk van inhoud aan par. EFGH. Doch A A B D=\ par. ABCD en A E G H — \ par. EFGH. (Voorftel XIII.) Derhalven ook A ABD gelyk van inhoud aan A EGH Aanmerking. I. Men moet de volkomene gelykheid van figuren , waarvan by voorbeeld in Voorftel VI, VII, en IX gefproken wordt, niet verwarren met de gelykheid van inhoud, waarvan hier en op andere plaatfen in het vervolg gefproken wordt. De meefte Schryvers gebruiken het teken ±. zonder onderfcheid voor beide de gevailen: en men moet dan uit den aart van het Voorftel zien , welke gelykheid daarmede bedoeld wordt. Aanmerking II. In plaats van te zeggen' „Pajj rallelogrammen of Driehoeken die tusfchen de „ zelfde evenwydige lynch ftaan», kan men ook zeggen „ Parallélogrammén of .Driehóeken „ die gelyke hoogte hebben" (Aahm. op § 45-en Gev. Voorftel XII.) K § 5°<  I4Ö ZEE VA ART-KüNDE, § 50. voorstel XV. (Fig. 26.) "Wanneer van twee lynen (AB en CD) de eene (AB) in zo vele delen (AE, EF, FB enz.) als men wil, verdeeld wordt, zal de rechthoek (ABHG), gemaakt uit de beide lynen (AB en CD = A~G), gelyk zyn aan de fom der rechthoeken (AEIG, EFKI, FBHK), gemaakt uit elk der delen (AE, EF, FB) der gedeelde lyn, en uit de ongedeelde lyn (CD —AG-EI-FK —BH)." bewys. Het volgt onmiddellyk uit de befchouWing der figuur. § 51- "Wy zullen nu enige "Werkftukken opgeven, die tot dit eerfte gedeelte behoren, en waarvan wy reeds verfcheidene malen gebruik gemaakt hebben, in de onderftelling dat zy uitvoerlyk of ten minden in zich zelve riiet onmogelyk waren (§ 31, 32.) werkstuk I. (Fig. 13.) Een' gelykbenigen driehoek te befchryven. oplossing. Stel dat men de lyn AB voor grondlyn van den driehoek neme: trek dan uit A en B met den zelfden radius, die t> \ AB zyn moet, twee cirkelbogen, die elkander in C fnyden zullen (§ 30). Trek AC en BC, dan is A C = BC en dus A ABC gelykbenig. Zo men den driehoek gelykzydig begeert, behoeft men flechts de lyn AB zelve voor radius te nemen, dan is AB = AC = BC. Aan-  T W E D E B O E P4Ï Aanmerking. Dewyl twee zyden van. een' driehoek altoos groter dan de derde zyn (Voorft. XI.) zal AC+BC of 2 AC J> A.B en dus AC > | AB moeten zyn. Dit is de 'reden, waatöm wy in de oplosfing die bepaling 'er by voegen. § 52. werkstuk ft (Fig.270 Een' gegeven hoek BAC in twee gelyke delen te verdelen. oplossing. Maak AB = AC\ trekBC;befchryf op BC den gelykbenigen driehoek BDC (door Werkft. L); trek AD; dan zal L'BAD = Z.CAD zyn. bewys. ABrrAC BD = CD AD = AD derh. AA BD=^ AA CD (Voorft. IX.) dus 1BAD = 1CAD d. {. b. W. § 53- werkstuk III. (Fig. 28.) Eene gegevene rechte lyn AB in twee getyke delen te verdelen. oplossing. Befchfyf boven de lyrt den gelykbenigen driehoek ACB (door Werkft. I.). Verdeer l ACB in twee gelyke delen (door K a Werk-  I48 ZEEVAART-KUNDE, "Werkft. II.) Het ftip E, daar de lyn CD de lyn A B fnydt, zal het midden van A B zyn. bewys- AC-BC CE =CE L ACE=£BCE derh. AACE = ABCE (Voorftel VI.) dus AE = EB, d. t. b. w. §54- werkstuk IV. (Fig. ig. ) Uit een gegeven punt A in eene rechte lyn B C eene loodlyn op te richten. oplossing. Maak AB = AC; befchryf op B C een'gelykbenigen driehoek BDG (door Werkft. I.); trek AD; ZDAB zal =IDAC en dus := i zyn (Bep. X.) bewys. ABrAC BD= CD AD=AD derh. ABAD = ACAD (Voorft.IX.) dus L DAB = ZDAC —i, d. f. b. w. Aanmerking. Zo het gegeven punt A op het ■uiteinde van de lyn valt, behoeft men fleehts de lyn te verlengen, en dan op de zelfde wyze te werk te gaan, S'55.  TWEDE BOEK. 149 § 55- werkstuk V. (Fig. 27.) Uit een gegeven punt A boven eene rechte lyn BC eene loodlyn op dezelve neder te laten. oplossing. Befcbryf uit A, met een' radius van , genoegzame grootte , een' cirkel, die de rechte lyn in twee punten B en C lhydt: trek AB en AC; en deel 1BAC in twc.ën gelyk: de lyn AD zal in E rechte hoeken met BC maken. • bewys.1B AE = 1CAE £ EB A = Z,E C A (Voorft.VUL) £erhTÏB~ËA ==£ C E~ A=l, (Gev. I-Voorft. V. . , en Bep. X.) d. U b. W. * § 56. werkstuk VI. (Fig. 30.) Uit drie gegevene lynen AB, CD, EF, (waarvan twee, te famen genomen, altoos groter dan de derde zyn) een' driehoek te maken. oplossing. Neem eene der lynen (AB) voor grondlyn. Befchryf uit A en B, met radiën gelyk aan de overige lynen (AG = CD en BG -=EF), twee cirkels, die elkander in G fnyden zullen. Trek AG en B G. AGB is de begeerde driehoek. Aanmerking. Waarom twee lynen, te famen genomen , altoos groter dan de derde moeten zyn, blykt uit Voorftel XI. k 3 $ 57.  156 ZEEVAAR T-K U N D'fe, § 57- werkstuk VIL (Fig. 31.)' Uit een gegeven punt A in eene rechte lyn AB eene lyn A C te trekken., die met A 8 eenen hoek CAB make, gelyk aan eenen gegeven hoek D. oplossing. Trek eene lyn EF naar we'gevallen , die de beide berien van den heek in E en F fnydt. Neem ABr=DF, en befchryi' op AB den driehoek ACB±ADEF (door Werkft. VI.) dan is ZCAB ~LD. §58. vv e r k s t u- k VIII. (Fig. 3"2.) Door een gegeven punt A eene lyn AE te trekken, die evenwydig zy aan eene gegevene lyn BC. oplossing. Trek uit A eene lyn AD naar welgevallen, die de gegevene lyn ontmoet in D. Trek uit A de lyn AE zodanig dat iEADrlADB is (door Werkft. VIL ): dan is AE // BC (Voorft. III.) § 59- werkstuk IX. (Fig. 33.) Op eene gegevene lyn AB een quadraat te befchryven. oplossing. Trek uit A en B de loodlynen AC cn BD. Maak ACzrBDmAB. Trek CD. ABCD is het begeerde quadraat. bewys. AC-BD—ABrrCD (Voorft.XII. ) l A— LKz-LC—LD~h CGev. Voorft. XIII.) d, t, b, jp. § 6C.  twede boek. iSf § 60. II. Over de Eigenfchappen van den Cirkel BEPALINGEN. (Zie § 28. ) XXVI. Eene lyn (Fig. 34- A.B) uit een punt (A) in den omtrek des cirkels tot een ander punt (B) in den omtrek getrokken, wordt Choorde genoemd. Aanmerking. De middellynen zelve (§ ü7-> zyn choorden. § 61. XXVII. De ftukken des cirkels ( ADEB, AFB), bevat tusfchen eene choorde (AB) en den boog (ADEB, AFB) dien de choordebefpant, worden Segmenten genoemd. § 62. XXVIII. Een fuik van den cirkel, (CDE) bevat tusfchen een' boog (DE) en uvee radien (CD en CE) wordt Seclor genoemd. § 63. XXIX. Eene lyn (GH), die aan den omtrek van den cirkel komt (in H) doch verlengd zynde (naar I) den cirkel niet fnydt, wordt gezegd den cirkel te taken, en Raaklyn aan het punt H van den cirkel genoemd. K 4 § 64.  152 ZEEVAAR T-K UNDE, §64. XXX. Een hoek wordt gezegd op een' boog te ftaan , als zyne beide benen door de uiteinden van den boog gaan; in het middelpunt te ftaan, als zyn top in het tniddelpunt; en in den omtrek 3&\s zyn top in den omtrek komt. (Zie fig. 39.) § 65. XXXI. Eene rechtlynige Figuur wordt gezegd in den cirkel befckreven te zyn, als alle hare hoeken aan den omtrek des cirkels komen: en om den cirkel befchreven te zyn, als aile hare zyden den omtrek des cirkels raken (Fig. 35.) § 66. voorstel XVI. (Fig. 36. ) Als een hoek (ACB) in het middelpunt van een' cirkel gelyk is aan een' hoek in het middelpunt van den zelfden of van een? gelyken cirkel (BCD of EGF), zullen de bogen (AB cn BD, AB en EF,) waarop die hoeken ftaan, gelyk zyn. bewys. Onderftel dat de fectoren ACB en BCD, ACB en EGF op elkander gelegd worden. Dan zal, uit hoofde van de gelykheid der radiën (Bep. XXV.), de gehele boog AB op den gehelen boog BD of EF pasfen, en dus zullen die bogen gelyk zyn. d. t. b. se» §67.  TWEDE BOEK. i$i § 67. voorstel XVII. (Fig. 370 Eene loodlyn (AD") uit het middelpunt (A) des cirkels op eene choorde (BC) getrokken,deelt die choorde in twee gelyke delen (DB = DC) bereiding. Trek AB en AC bewys. AB = AC Bep.XXV.) L A B D = L A C D ( Voorft. VIII.) L ADB-=1ADC = L derh."AABD = AACD (Voorft.VII.) en dus DB~DC. d. t. b. w. gevolg I. Ook IBAD—iCAD; en dus boog B E — boog E C (Voorft. XVI.") gevolg II. Ook omgekeerd, wanneer uit het midden van eene choorde eene loodlyn wordt opgericht, zal dezelve door het middelpunt gaan. Zo dit geen plaats had, zou men uit het middelpunt tot dat zelfde punt eene loodlyn kunnen nederlaten (door dit Voorftel.) Op het zelfde punt van de choorde zouden dus twee verfchillende loodlynen ftaan, 't geen onmogelyk is. § 68. voorstel XVIII. (Fig. 38O De middellyn (AB) is langer dan eenige andere choorde (CD) in den cirkel getrokken. bereiding. Trek EC en ED ïewys. CE-|-ED> CD (Voorft.XI.) CE + E D-=AE4-EB=AB (Bep.XXV.) ~ derh. AB > CD d. U b. v. K 5 § 69-  354 ZEEVAART-KUN-DE, §69. VOORSTEL XIX. (Fig.gO.) De hoek (ACB") in het' middelpunt des cirkels is gelyk aan het dubbelde van den hoek in den omtrek ;'ADB), die op den zelfden boog . 'i l ■ l A G Z'  TWEDE BOEK. 155 gevolg. Alle hoeken (Fig.4?,. AEC, ADC) die in het zelfde fegment ftaan, (dat is, wier toppen in den omtrek ftaan, en wier benen door de uiteinden der choorde van het fegment gaan), zyn even groot. § 70. voorstel XX. (Fig-40.) De hoek (ABD), die in eenen hal ven cirkel ftaat, is recht. bereiding. Trek BCE door het middelpunt. bewys. LACEsalABC") cVoorft.XIX.) lECD = aZ.CBDS ^ derh. I ACE4TÊCD=:a (1 ABC-fLCBD)==a I ABD IACE+-£ECD__ = at, (Voorft. I) dlrhTaTA~BD=:2L> en 1 ABD = l d. t. b. v. voorstel XXÏ. (Fig. 41. 42.) Eene lyn AB (Fig-4iO» die loodrecht ftaat op het.uiteinde A van den radius CA, raakt den cirkel in A: elke andere lyn AE (Fig.4*-)» ^ A getrokken , zal den cirkel fnyden. bereiding v o 0*r het eerste. (Fig. 41.) Trek uit het middelpunt C eene lyn CD naar een punt D van de lyn A B naar welgevallen. bewys. L CAD = l derh. 1GDA derh.L CDA W. S74-  *58 ZEEVAART-KUNDE, § 74- Wy zulien op deze Voorftellen., die den cirkel betreffen, wederom eenige Werkftukken, wier oplosfing op die Voorftellen gegrond is, laten volgen. werkstuk X. (Fig. 45.) Het middelpunt van een' gegeven cirkel (ABG HFDCA) of cirkelboog (FDCABG) te vinden. oplossing. Trek twee •choorden A B en CD naar welgevallen. Maak AK —KB en Cl —ID (door Werkft.III.) Trek KE-J-AB en IE-J-CD. (door Werkft. V.) Het punt E, daar KE en IE elkander fnyden, zal het gezochte middelpunt zyn. Bewys. KE en IE moeten beiden door het middelpunt gaan (Gev. II. Voorft. XVII.) Zy hebben geen ander punt gemeen dan E: dus moet E het miHdelpunt zyn. d. t. b. w. § 75- werkstuk XX (Fig. 41.) Uit een punt (A) in den omtrek des cirkels eene lyn (AB) te trekken, die den cirkel in dat punt raakt. oplossing. Trek den radius CA. Trek, uit A, AB-LCA (door Werkft.V.). ■bewy-s. Uit Voorftel XXI. § 76.  TWEDE BOEK. Ï59 § 76. werkstuk XII. (Fig.4ÖO Uit een punt (A), buiten een' gegeven cirkel, eene raaklyn (AD) aan dien cirkel te trekken. oplossing. Trek AC naar het middelpunt C. Verdeel AC in tweën gelyk in B (Werkft.III.) en befchryf dus op AC den balven cirkel CDEA die den gegevenen fnydt in D. Trek AD", die zal de gezochte raaklyn zyn. bereiding. Trek CD. bewys. LADC = L (Voorft.XX.) derh. AD raaklyn. (Voorft.XXI.) § 77- werkstuk XIII. (Fig. 44-) In een gegeven cirkel een' regelmatigen Zeshoek te befchryven. oplossing. Befchryf, met den radius van den cirkel door opening des pasiers, uit een punt A in den omtrek naar welgevallen den boog BGF, voorts uit B met den zelfden radius den boog CGA, uit C den boog DG B enz. Trek AB, BC, CD, DE, EF, FA. Alle die lynen zullen onderling gelyk, cn gelyk aan den radius zyn; derhalven zal ABCDEF de begeerde zeshoek zyn (Voorft. XXIII.)  16c ZEEVAART-K UNDE,- § 73. III. Over ds Evenredigheid van Lynen en Figuren $ en enige Eigenfchappen derzelven, welke daaruit afgeleid worden. voorstel XXIV. Parallelogrammen en Driehoeken, die de zelfde hoogte doch verfchillende grondlynen hebben, ftaan tot elkander in de zelfde reden als die grondlynen: — die de zelfde grondlyn, doch verfchillende hoogten hebben, ftaan tot elkander, als die hoogten : — en die verfchillende hoogten en verfchillende grondlynen hebben, ftaan tot elkander in de faamgeftelde reden van die grondlynen en hoogten. bewys. I. Onderftel (Fig. 47.*) dat de zyden AD en B C van het paralielogram ABCD verlengd worden, en dat men DE = EG enz. = CF~FHènz. — AD make, én vervolgens EF, GH enz. trekke: dan zullen alle de parallelogrammen DECF, EGFH enz. gelyk aan ABCD zyn (Voorft. XII ). Het paralielogram A B F E, dat op de dubbelde grondlyn AE ftaat, is het dubbeld van ABCD; ABHG, dat op de grondlyn A G = 3 A D ftaat, is = 3 par. ABCD; enz. Dus zal in het algemeen elk dier parallelogrammen , zo als ABHG, zo veel maal het par. ABCD bevatten, als de grondlyn AG de grondlyn AD bevat. II. Onderftel dat de zyden 1L en KM van het paralielogram ILKM verlengd worden, dat men MO = OQ enz. — LNrNPenz -KM make, en vervolgens ON, QP enz. trekke. Richt  TWEDE BOEK. ïó*l Richt uit I en K de onbepaalde loodlynen IV cn KW op, en verleng ML, ON, QP naai* R,T,V.. Dan is D 1RK.S = par. ILKM,D RT» S = LN"M enz. dus ook IRKS - RTU S - T V W U enz. en dus RT = TV enz.—IR (Voorft. XIV.) Nu is IR de hoogte van ILKM, IT die van IN0K3 IV die van IPQK enz. INOK — 5 ILKM en IT-2IR-, IPQK^ 3 ILKM cn IV: 3 IR enz. dus zal in het algemeen elk dier parallelogrammen, zo als IPQK, zo veelmaal het paralielogram ILKM bevatten, als de hoogte I V de hoogte Hl bevat. m. Onderftel nu dat de parallelogrammen XV/f en Ybhi op verfchillende grondlynen XY en Yb ftaan. Plaats d zeiven zodanig naast elkander, dat XYéeene rechte lyn zy, verleng ig en hi en trek de loodlynen XZ*, Yad, bc, dan zu len de rechthoeken XZYaen Ykrf gelyk zyn aan XY/ff en Yb bi (Voorft. XIV.) Verleng ed en xz tot in e. Dan is DXYZa : oXYrfe-XZ : Xeof bc ») OXYde : pYV^ -XY ; Yb (N°.l): ^ *a XZYa : nYkrfrXZxXY : bcxYb (I. Bo k $24-) IV. Om het zelfde te bewyzen omtrent de driehoeken ABC en DEF, (Fig.4*0 ™ trckke men AH // BC en CH -/AB, insgelyks FG / DEen EG/'DF; dan zal, uit het tot hier toe Lewezene, Parall. ABCH : parall. DFGE - Ho x Grondl. ABCH : hoxgrondl.DFGE zyn: en dus ook L h  I<53 ZEEVA ART-KUNDE, Jpar. ABCH of AABC: $ par. DFGE of ADEF — Ho x Grondl. ABC : ho x grondl. D E F (Voorft. XIII.) d. t. b. w. Aanmerking. Dit bewys, zo als het hier voorgefteld is, hoewel op ware gronden fteunende, is niet volkomen algemeen. Doch om het zelve algemeen te maken, zouden wy de leer der Evenredigheden breedvoeriger hebben moeten behandelen dan ons beftek heeft toegelaten. (Zie de Meetkunde van den Heer van swinden , p. 148.) gevolg. I. Wy hebben in het I. Boek § 4. gezegd , dat men gene vlakke uitgebreidheid met lengte vergelyken kan, dewyl het ongelykfoortige grootheden zyn. Wy hebben insgelyks (§ 21.) gezegd dat men eene grootheid, welke dezelve ook zyn mag, eene fom guldens, een getal roeden enz. met een getal kan multipliceren, maar dat het ongerymd was te fpreken van multiplicatie van guldens met guldens, rceden met roeden enz. Echter gebruikt men dagelyks deze wyze van fpreken: „ een paralielogram is gelyk aan de hoogte vermenigvuldigd met de grondlyn, een vierkant is gelyk aan de grondlyn vermenigvuldigd met zich zelve,enz". Wy moeten tonen hoe deze fpreekwyzen behoorlyk uitgelegd kunnen worden. Men neemt tot maat van vlakke uitgebreidheid (van een paralielogram by voorbeeld ) een vierkant aan, waarvan de zyde die zelfde eenheid is, die tot maat van de lengte der grondlyn en hoogte (by een' rechthoek gevoeglyk lengte en breedte genoemd) gebruikt  TWEDE BOEK. 163 briükt wordt: wanneer men by voorbeeld de lengte en breedte van een rechthoekig ftuk lar.ds in roeden uitgedrukt heeft, begeert men deszelfs inhoud in vierkante roeden te kennen. De grondlyn en ha.gte van dat vierkant, 't welk men tot maat neemt, zyn dus beiden èéne Roede. Nu is (uit dit Voorftel) Eéne vierkante roede tot Inhoud ftuk lands in vierkante roeden uitgedrukt — i x i of i tot getal roeden lengte * getal roeden breedte. En dus, om te vinden hoe vele vierkante roeden in dat ftuk lands begrepen zyn, moet ik nagaan hocveelmaal de eenheid in het laatstgemelde produil begrepen is: dat is , ik moet eenvoudig dat product zoeken. En in dien zin kan men zeggen dat de inhoud van een ftuk lands, by voorbeeld ,dat 40 roeden breed en 60 lang is, zz 4° * 60 uf a4co vierkante roeden is. (Zie de Meetk. van den Heer VAN SWINDEN, p. Ï53 — J58- ) gevolg II. Zo twee Parallelogrammen van verfchillende Hoogten en Grondlynen g«lyken inhoud hebben, zullen de Hoogten en de Grondlynen in de omgekeerde reden van elkander ftaan (Boek I. §25.) Want, zo men de parallelogrammen P en Q noemt, H en He hoogten, G en g de grondlynen» is P:Q-GxH:p4 r-Q . derh. G x H — g * h enG:gzzh;Hzz^:j- (Boekl. § «oen 25.) La GE"  164 ZEEVAART-KUNDE, gevolg IH. Daar men altoos een paralielogram kan maken, dat het dubbeld is van eenen gegeven driehoek (Voorft. XIII.); en daar dat paralielogram, (volgens de zo evengemelde wyze van uitdrukking) gelyk zal zyn aan de grondlyn, met de hoogte vermenigvuldigd ; zal de driehoek in den zelfden zin gezegd kunnen worden gelyk te zyn aan de helft van dat produft, of aan de grondlyn met de halve hoogte vermenigvuldigd. § 79- voorstel XXV. (Fig.49.) Wanneer vier lynen (AB, BC, CE, AF,} geometrifch evenredig zyn, is de rechthoek, faanigefteld uit de beide middelften, gelyk van inhoud aan den rechthoek, faamgefteld uit de beide uitenten (DBC, CE - QAB, AF). bewys. Uit Boek I. § 19. is het product der getalen, waardoor de lengte dier lynen in de zelfde eenheden wordt uitgedrukt, voor de middelften en uiterften gelyk. Doch die produdten drukken (volgens het I. Gevolg van het laatfte Voorftel) de inhouden der rechthoeken uit in vierkante eenheden van de zelfde benaming. Dus zyn die inhouden gelyk. d. t. h. y?. § 80. voorstel XXVI. (Fig.50.) Wanneer in eenen driehoek (ABC) eene lyn (DE) evenwydig aan eene der zyden (AC) getrok-  TWEDE BOEK. l65 trokken wordt, zal die lyn de andere zyden in evenredige delen verdelen (DB:AD~EB: CE) bereiding. Trek AE en CD mwis. ADBE:AADEnDB:AD)(Voorft. ADBE: ACED = EB:CEC XXV.) A ADE ~ A CED (Gev.ll.Voorft.XlV ) derhrDTrAD^ËBTCE. gevolg. Ook DB + ADofAB:EB + CEofCB - DB : EB = AD; CE (BoekI.§ »3-) § 81. bepaling XXXII. GelykvormigeDriehoeken worden genoemd zodanige, welke gelyke hoeken hebben , en welker zyden, die over gelyke hoeken ftaan, onderling evenredig zyn. Dus zyn Fig. 51. ABC en DEF gelykvormige driehoeken, wanneer LAnZ,D,LBtrlE,LCzzZ,F, en AB: DE-BC:EFl^AC:DF is. Aanmerking I. Wanneer wy het denkbeeld, dat wy ons in het gemene leven van gelykvormigheid of gelykheid van gedaante maken, naauwkeurig ontwikkelen , zullen wy vinden dat dezelve in het algemeen beftaat in de gelykheid van reden of evenredigheid tusfchen de corresponderende delen. Twee kamers, by voorbeeld, van verfchillende grootte, wier hoeken recht zyn, worden gezegd gelyk van gedaante, even lang' werpig te zyn , wanneer de eene tweemaal zo lang en tevens tweemaal zo breed als de andere is. In twee gelykvormige driehoeken zullen derhalven vooreerst de hoeken evenredig moeten zyn (£A:ID-IB:iE-iC:IF) Doch dit kan L 3 £eea  166 ZEEVAART-KUN DE, geen plaats hebben, ten zy de hoeken gelyk zyn ; immers zo l A > l D was, zou ook ZB>Z.E, £ C [> £ F moeten zyn, en dus ZA + iB + iC>ZD-flE-fZF, 't welk niet» zyn kan , dewyl £A-f-£B-L-£C en D + £ E + l F beiden — 2 f zyn (Voorft. V.) Dus moeten de hoeken gelyk zyn. En dan moeten vervolgens de corresponderende zyden, naamlyk die, welke over gelyke hoeken ftaan, evenredig zyn. Aanmerking II. Deze bepaling en de redenering, waaruit wy dezelve afgeleid hebben, gelden niet alleen voor driehoeken, maar voor alle rechtlynige figuren, die uit een gelyk getal zyden beftaan. Doch het zal zo aanftonds blyken , dat wanneer in twee driehoeken het ééne vercifchte der gelykvormighcid, de gelykheid der hoeken , plaats heeft, het andere, de evenredigheid namelyk der corresponderende zyden, noodzakelyk moet plaats hebben. Wanneer het laatfte plaats heeft, zal ook, omgekeerd, het ecrile plaats hebben; doch daar dit Voorftel minder te pas komt dan het eerfte, zullen wy ons met deszelfs bewys niet ophouden, § 82. VOOSTEL XXVII. (Fig. 52.) Wanneer de hoeken van eenen driehoek (A B C) gelyk zyn elk aan een' der hoeken van eenen an. deren driehoek (CDE), zyn die driehoeken gejykvórmig, BB-  .TWEDE BOEK. 167 bereiding. Plaats de beide driehoeken zodanig naast elkander, dat twee zyden (AC en CE) die over gdyke hoeken ftaan, ééne rechte lyn uitma.ken. Verleng AB en ED tot zy elkander fnyden in F. ■ bewys. LBCAzz lDEC, en dus EDF // BC? Bep. LBACniDCEendus ABF//CD ™ derhalven BFDC een paralielogram. (Bep.XVIII.) en BF-CD en BCziFD (Voorft. XIII.) Nu is AB : BF zz AC : CE (Voorft.XXVI ) dus AB : CD _Z AC : CE ook is FD : DE zz AC : CE (Voorft.XXVI.) dus BC : DE Z AC : CE en dus ook AB : CD zz BC : DE d. t. b. Jf. gevolg. Om derhalven in het vervolg te bewyzen dat twee driehoeken gelykvormig zyn, zal h-t -enoeg zyn te tonen, dat hunne hoeken ge'yk zyn "en, daar alto s , wanneer twee hoeken gelyk zvn' de derde noodzaaklyk gelyk moet zyn Gev. I. ■Voorft. V.), zal het genoeg zyn zulks van twee •hoeken te tonen. Aanmerking. Thans blykt, het geenwy reeds in de Aanmerking op het IX. Voorftel gezegd ■hebben, dat de gelykheid der boeken, in twee drkhocken., gene gelykheid in allen opziOte, maar alleen gelykheid van gedaante qï gelyktormigkeU maakt. L 4 § 83'  i68 ZEEVA A.RT-KUNDE, S »3- voor s ie i XXVIII. (Fig. 53.) Eene loodlyn (BD), uit den rechten hoek (ABC) van een' rechthoekigen driehoek (ABC) op de hy poten u fa (AC) nedergelaten, deelt den driehoek in twee driehoeken (ADB, CDB) die en onderling en aan den gehelen driehoek gel) kvorraig zyn. bbwys. IADB-IABC-t, £DAB~£DAB derh. A ADB gelykv. A ABC] ZCDB— ZABC — l, 1 (Gev. Voorft. ZDCB—£DCB | XXV1I« derh. ACDB gelykvT^AB'C J dus ook A ADB gelykv. ACDB. (f. t. b. w. § 84. VOORSTEL XXIX. (Fig. 53.) Het vierkant, befchreven op de hypotenufa (AC) van eenen rechthoekigen driehoek (ABC), is gelyk aan de fom der vierkanten, befchreven op de beide rechthoekzyden (AB en BC). bereiding. Trek de loodlyn BD Bewys, A ADB gelykv. A ABC (Voorft. XXVIII.) derh. AD : AB —AB : AC (Bep.XXXII.) derh. OAD,AC-DAB (Voorft. XXV-) ACDB gelykv. A. ABC (Voorft.XXVHI.) derh,  TWEDE BOEK. 169 derh. CD:BC:BC:AC (Bep. XXXII.) derh. DCD, AC-GBC (Voorft. XXV.) □ AD, AC r= □ AB add'r^D7AC + DAD,AC = nAB-f-OBC; en O CD, AC -f. O AD, AC = C (CD + ADï AC=r □ AC (Voorft. XV.) dêrh. □ AC = □ AB BC d. t. b. tv. Aanmerking. Dit voorftel is een der beroemdfte en gewigtigfte uit de gehele Meetkunde. Het komt in de meeste Leerboeken veel vroeger voor, doch verëifcht dan een omflagtiger bewys. Het is de 477? BC BI-j-IG>BG enz. zal de omtrek van den veelhoek groter zyn naar mate de veelhoek meer zyden heeft: en dezelve zal hoe langer hoe nader komen aan den omtrek des cirkels. En daar men altoos heeft, wanneer de veelhoeken in P en Q evenveel zyden hebben. A B : omtr. veelh. in P = D E : omtr. veelh. in Q zonder dat het getal der zyden eenige verandering in die evenredigheid maakt, mag men ook befluiten dat AB : omtr. cirkel P —DE : omtr. cirkel Q. • d. t. b. w. Aanmerking I. Zo als dit bewys hier voorgefteld is, is het zelve niet volkomen naauwkeurig, doch het fteunt op de ware gronden. Dezelven breder te ontvouwen en daardoor het bewys volledig te maken, laat ons beftek niet toe. Het is in den zin, die hier aangewezen wordt, dat men de uitdrukking- verftaan moet, welke by fommige Schryvers voorkomt, dat de cirkel een veelhoek van een oneindig getal zyden is; eene uitdrukking die in zich zelve duifter en onnaauwkeurig is. Aan-  TWEDE BOEK. 173 Aanmerking II. Het blykt derhalven, dat de reden van den Radius tot den Omtrek in alle cirkels de zelfde, en dus eene beftendige grootheid is. Wy kunnen ons hier niet inlaten in de verklaring van de wyze om dezelve te berekenen-, wy moeten ons vergenoegen met een oppervlakkig denkbeeld daarvan te geven. In A ABC(Fig 57.) is AB=BC (Voorft XXIII). Men neme nu voor den radius AB een willekeurig getal, by voorbeeld iocooo; dan is de omtrek van den Zeshoek r= 6CB — óoocoo Voorts is BL (=4BC uit Voorft. XVII.)=50000 Voorts is □ AL=D AB —nBL(Gev. Voorft. XXIX.) = iococo x 100000 — 50000 x 50000 = 7500OCOC0O en AL = V 7500000000 = 86602 na genoeg. Voorts LG zz AG — AL — iccoco — 86602 — 13398 , □ BG z O BL + DLG, en de omtrek van den Twaalfhoek — 12 BG; Insgelyks BMz-jBG,D AM —DAB —DBM, MI—AI— AM, □BlnnBM + DMl en de omtrek van den Viorentwintighoek=24 BL Op die wyze voortgaar.de, komt men hoe langer hoe nader en zo naby men wil aan de lengte des omtreks van den cirkel, uitgedrukt in zodanige delen als de radius 'er ioococ bevat. Die reden is > 628318 en < 628319 en dus zo men den radius =: 50CQO, en gevolglyk de middellyn = iooqco ftelt, zal de middellyn tot den omtrek ftaan in eene reden, die > 314159 en 900 js. Uit het gezegde, met de figuur vergeleken, blyft, dat in een? cirkel van eenen bepaalden radius, voor eiken hoek BAC of boog BC (immers mogen wy, naar 't geen in § 88. gezegd is, den eenen voor de maat van den anderen gebruiken) een bepaalde $inus, Tangens, Secans enz.plaats heeft. Wanneer wy uit het zelfde middelpunt A met een' groter? radius Ac een' cirkel befchryven, den radius AB tot in ',b verlengen, en in dien cirkel den Sinus, tb f) Tangens (eg} enz. voor dien zelfden hoek trekken, zal de Sinus, Tangens enz. in den kleinen cirkel de zelfde reden hebben tot dien in den groten, als de radius van den cerften tot dien van den laatften. Want in de gelykvormige driehoeken ABF en Abf, is AB : Kb == BF : £ƒ= AF : A/ In de gelykvormige driehoeken AGC en Agc is AC : Ac = CG : cg r= AG : A^\ In de gelykvormige driehoeken AEH en* Ach is.AE : Ae = EH : eh = AH : Ah. 9 (Voprft. XXVII. cn Bèp.. XXXIL ) Wan-  TWEDE BOEK. Wanneer men derhalven den radius van eenen cirkel, hy moge groot of klein zyn, altoos in het zelfde getal delen (loccooco by voorbeeld) verdeelt, zal de Sinus, Tangens enz. van eiken bepaalden hoek een bepaald getal van die delen bevatten , zonder dat de grootte van den cirkel, waarin die lyncn getrokken zyn, iets tot het getal van die delen doen zal. § 102. Het is van zeer veel belang, voor eiken verfchillenden hoek de lengte dier lynen, Sinus, Tangens , enz. in delen van den radius uitgedrukt, te kennen. Men heeft daarvan Tafels berekend; in dezelven vindt men, den hoek van 33° by voorbeeld opzoekende, dat de Sinus 544^390, de Tangens 6494076, enz. is: dat is, wanneer in figuur 61 de boog BC 3.30 of — delen van denpmtrekbevatte, en wanneer de radius AC in ioococoo deeltjens verdeeld was, zou de lyn BF 544Ó390, de lyu CG 6494076 zulke deeltjens bevatten, enz. $ 103. Wy zullen derhalven moeten aantonen, hoe die Tafels berekend zyn. Die berekening kan niet gefchieden Cten minften niet op zulk eene wyze du? wy hier verklaren kunnen) voor eiken hoek, dien men begeert, onafhanglyk van aUe overigen; maar men moet eerst by voorbeeld den Sinus voor 45°, dien voor 30» enz. berekenen, en dan eerst kan men daaruit de overigen afleiden, en dus de Tafel volledig maken. ^ f tf*  ï?4 ZEEVAART-KUN DE, § IC4. Eindelyk blykt het, wanneer men de Sinusfen ? Tangenten enz. van verfchillende bogen CH, CE, CB in den zelfden cirkel (Fig.62.) met elkander vergelykt, dat " 1°. De Sinus (Hl, EF, BD, KA, LR, MQ) groter wordt, en dus nader aan den radius komt, naar mate de boog nader aan 90°, of de hoek aari L, komt; dat de finus van 900 gelyk aan den radius is; en dat men voor bogen die > 900 zyn, wederom de zelfde finusfen bekomt; (zie Bepaling XXXVI,Gevolg) Hoe nader, de boog aan o of aan 180° komt, hoe nader de finus aan o komt. Aanmerking. Ik zeg naar mate de boog groter wordt. Dit naar mats betekent niet in de ze/fdt reden. De bogen nemen t.oe \n groter reden dan de finusfen. a°. Dat de Cofinus (AI, AF, AD, AR) kleiner wordt. naar mate de boog nader aan 90° komt; voor 90°. is de eofinus nul; vcor bogen J> 900groeit hy wederom aan, doch naar den anderen kant (van A naar N ) dan van te voren. Dezelve wordt dan gezegd negaiif te zyn. Hoe nader de boog aan o of aan 1800 komt, hoe nader dc cofinus aan den radius komt. 30. Dat de Tangens en Secans groter worden, naar mate de boog nader aan 900 komt; dat zy voor 00° oneindig zyn; en dan wederom afnemen, doch dat de Tangens dan naar den anderen kant (van C naar onderen) geteld, en dus negatif wordt.' Hoe kleiner in tegendeel de boog is, hoe'nader dc tangens 3an «a/, en de fecans aan den radius koomt.  TWEDE BOEK, 1S5 \Aanmnking. Dar de tangens en fecans oneindig zyn, is flechts eene verkorte wyze van 'uitdrukken, om te zeggen dat alsdan dc radius AK de raaklyn CG nimmer ontmoeten kan, dewyl zy daaraan evenwydig is, en dus, dat men nooit eene lyn zo lang kan trekken, dat dezelve tangens of fecans van 900 zyn zou. 40. Wat omtrent den .Cotangens en Cpfecans plaats heeft, is gemaklyk hieruit af te leiden, door de befchouwing dat zy de tangens en fecans van het complement zyn, en dat het Complement kleiner. wordt, naarmate de Boog groter wordt. § 105. Werkpukken, dienende ter berekening der Simnfmr Tangenten en Secanten. ■ Wy hebben gezegd (§ IC2.) dat die berekening peftaat in te vinden hoe vele delen van den Radius cp den Sinus, Tangens, enz. van eenen bepaalden hoek gaan: men kan den radius zeiven verdelen in zo vele delen als men wil, in 1000 by voorbeeld, in icoooo, in icocccoo, enz. En daar het plyken zal dat men zich in die berekening moet vergenoegen met eene uitkomst, die ten naasten by aan de waarheid komt, zal die uitkomst naauwkeuriger zyn, naar mate de radius in een groter getal delen verdeeld wordt. In de gewone Tafelen ftelt men het getal delen of icooco of icoccooo. Doch, 'om de verwarring te vermyden , welke uit het "ebruik van verfchillende verdelingen ontftaan zou, M 5 in"  x86 UEEYAART-KUNDE, inzonderheid wanneer men de Logarithmen van die getalen gebruiken wil, flaat men nog een' anderen weg in. Men ftelt .namelyk den Radius — i : dus worden alle de Sinusfen decimale breuken, en de Tangenten en Secanten decimale breuken of gemengde gjgtalen, by welke men de naauwkeurighcid zo ver brengen kan als men wil, zonder dat het charafter Van den Logarithmus dier getalen 'er door verandert. Dit alles zal uit de berekening der volgende voorbeelden nader opgehelderd worden. Aanmerking. Daar wy in § 7.8. verklaard hebben, in welken zin men zeggen kan, dat de inhoud van een quadraat gelyk is aan het product dat men verkrygt, als men eene lyn (dat is het getal dat de lengte eener lyn uitdrukt) met z'.ch zelve multipliceert, zullen wy in het vervolg in plaats van DAB, by voorbeeld, fchryven AB x AB of (Boek I, §44.) AB'. Wy zullen op de zelfde wyze, in plaats van DAB, CD, fchryven AB x CD. § 106. I. Den Sinus, Tangens en Secans van den boog .van 45° te vinden. qplossïng. Stel (Fig.63.) L DAB — 450, •dan is in A ADB de hoek ADB ~ 90% l D AB zr 450, dus,ook 1ABD — 450 = LDAB derh. AD — DB ( Voorft. VIII.) en AB' — AD' + DB' ( Vüorft. XXIX.) derh. ABS — 2 BD',en — BD'. /it- 2 . maar  T W E D E BOEK. 187 maar ABrri, dus AB'-ixin en BD' - $ — o, 5 BD - V o» 5 Log. o 5 5 — 9. 6989700 2/ (I.S82.) 9. 849485® ~ Log. B D — Log. Sin. 450 dus Sin. 45» n 0, 7071068. of, zo men den radius — 100000 ftelt, Sin. 450 — 70711 ; zo men dien rz ioocoooo ftelt, Sin. 450 zz 7071068 Voorts, in A ACG, l CAG = l CG A~45»; dus CG - AC,(Voorft.VIII.^ en Tang. 45° - Rad ~ i. Ook is AG3 - AC'-f-CG' (Voorft. XXIX. — i CG» of, dcwyl CGzi, AG1 rznxixi — 2 AG — V 2 Log. 2 ~ o, 3010300 2/_ (L§62.) o, i5C5«50 23 Log. AG ZZ Log. Sec. 45» dus Sec. 450 ~ 1, 4142136. gevolg. Daar het Complement van 45° ook juist 45° is, zal de Cofinus 450 — Sin. 45% Cotang.459 - Tang. 450 en Cofec 45° — Sec. 45°zyn. . § 107. II. Den Sinus van den boog van 300 te vinden. oplossing. Stel (Fig.64.) i BAK zz 6o°3 dan is, in A BAK, L ABK — l AKB (Vporft. VIII.); voorts  18* ZEE VAAR.T-KUNDE, voorts l ABK + l AKB — 2 l ABK = 2 l AKB ZZ 1800 — 6o° ZZ 1200 (Voorft. V.) dus L ABK — L AKB — 6c» — l BAK CHBK3AB z: AK (Gev. II. Voorft. VIII.) ~ Radius zz 1. Deel i BAK in tweën gelyk; dan is l BAC — 30% £ BDA *lz L» en BD~ 4 BK (Gev.I, Voorft. VIII.). Maar BD — Sin. I BAD (Bep. XXXVI.). derh. Sia. I BAD zz i BK = £ — o, 5. f 108. III. Den Sinus van eenen boog kennende, den Cofinus van dien boog te vinden. oplossing. (Fig. 6r.) AF2 = AB2 — BF^ Gev. Voorft. XXIX.) dat is, Cofin. r= Rad. 1— Sin. ' dus Cofin. = v^Rad* — Sin.*) voorbeeld. Wy hebben geyonden dat de Sinus van 3c» — o, 5 is. Rad.' = 1, co Sin." = (o, 5)"= o, 25 Cof.s(= R»a* — Sin.5) = o, 75 Log. daarvan = 9. 875061} Log. Cof. 30°^ = Log. Sin. 60° ) = 9.9375306 Cof. 30 (= Sin. 600) = 0,8660254 of, zo men den Radius = ioococoo ftelt Cof. 3Q° = Sin. 6o° 5= ^660254. $ 109.  T W EDE BOEK. ity § icq. IV. Den Sinus van eenen boog kennende, dien van den halven boog te vinden. oplossing. (Fig.65.) Stel dat BC de boog, BF dcszelfs Sinus, èn AF deszelfs Cofinus zy, (dien wy door het voorgaande altoos vinden kunnen, en dus bekend mogen onderftellen. )• . - > Deel L BAC of boog BC in tweën gelyk doof de lyn ADE : dan is £ ADB — £ enBD — DC (Gev. I. Voord. VM.) voorts BC2 = BF* -j- FC* (Voorft.XXIX.) BC* = BF2 -f- (AC —AF)* dat is: (2 Sin. \ boog)5 = sln7+ (R.7^ Cof. )* Sin \ boog = V^.3-f(R.-Cot)3) 2 Voorbeeld. Log. Sin. 3c6. — 9,698970c 2 Log.lfin. 3o° = 1m9794c0 (Sin. 300)' = °j25 Rad. = i.ccococo Cof. 300= 0,8660254 R. —Cof. 30°=: o, 13 397 46 daarvan Log.9.1270225 2 Log.(R.-Cof.30°): =8,2540450 (R. — Cof. 30°)*=0,0179492 ^ 0,2679492 (Sin.  •gd ZEËVAART-KU NDÈ, (Sin. 300y + ( R. —Cof 300)'» = o, 2679492 daarvan Log. — 9.4280525 9.7140262 daarvan getal c. 5176381 dus V (SmTiö0*-}- R. — Cof. 3C°> m c, 5176381 en Sin. 151 0f Sin. 150= c^17^1 - 0,2588190 Of j zo men R, = iocooooo ftelt rüa 2588190. Aanmerking. Men kan nu wederom door § 107. den Cof. 150 = Sin. 750 vindenvoorts, door 15° 75° ■ deze §-, den Sin. of 7° 30', van — Of 37° 2 2 30' enz. Men is dus nü reeds in ftaat om een aantal Sinusfen voor verfchillende bogen te berekenen. § 110. V. De Sinusfen en Cofinusfen van twee bogen kennende, de Sinusfen en Cofinusfen van de Som en van het Verfchil dier bogen té vinden. oplossing. (Fig.66.) Stel dat BC en BD de bogen zyn, en dat BD de kleinfte is. Trek AB, en uit D door AB de loodlyn DEG. Trek uk D, B, en G de loodlynen DJ, BF en GE dan is boog BG - boog BD ( Gev. I. Voorft. XVII.) BF = Sin.BC; AF r= Cof.BC DE = Sin.BD; AÈ = Cof.BD D9,  TWEDE BOEK. I$I DC — BC + BD — Som der Bogen; eii Dl — Sin. DC; AI — Cof.DCi GC zz BC — BG — BC — BD zz Verfchil der Bogen; en GH = Sin. GC; AH zz Cof. GC. Trek voorts EM -L. AC, EK en GL -L Dl. Nu zyn de A Aen ABF, AEM, ANI, DEN, DEK alle gclykvormig (Voorft.XXVI, H, enXXVIII.) derh. AB : BF ~ AE : EM (Bep.XXXII.) AB x EM— BF x AE (Voorft.XXV.) BF x AE en dus EM (— KI) — — . insgeljks AB : AF ZZ DE : DK AB xDK — DE x AF DE x AF en dus DK — AB BF x AE -4- DE x AF derhalven Dl (zz KI + DK) ZZ -— —- en, daar DE : EG — DK : KL is (Voorft. XXVI.) en Dl zz EG, z^.1 DK — KL zyn. derhalven ook BFxAE-DExAF GH=LI=KI-KL=KI-DK=r — Men vindt derhalven, den hoog BC a en BD £ noemende, en AB of Radius ZZ i ftellende. Sin. (a + b) ZZ Sin. a x Cof. b + Sm.b x Cof.a Sin. ( A B en daar DE : EG —EK: GO is (Bep XXXII") en DE zz EG is'j zal EK — GO nMHzyn. derhalven oek, AFxAE-f-BF^DE AH — AM + MH —AM + EK ZZ ~ Men vindt derhalven, alles als voren noemende ; Cof. (* + £) — Cof a x Cof. b — Sin. a x Sin. b Cof («—£) ;_Cof.a x Cof.£-f- S'm.a x Sin.& ÏÖÖIÏEIIR Log. Sin. 2c° ~ 9,5340517 Log. Cof. 200 — 9.9729858 Log. Cof. 15° —9,9849438 Log. Sin. 150—9.4129962 9j5ï89955 9,3859820 Getal 0,3303660 Gci'nl 0*2432104 o. 2432103 fom 0,5735763—Sin. (2c+15)0—Sin.35° verfchil 0,0871557 zz Sin. (20—15)0 ZZ. Sin. 50 Log.  TWEDE BOEK. Jgi Log. Cof. 200 — 9.9729858 Log. Sin. 200—9.534O517 Log. Cof. 150—9.9849438 Log. Sin. 15» 9.4119^62 9.957929Ó 8.9470479 getal 0,90767.34 getal 0,08852.18 o. 08852.13 fom 0,99619.47 - Cof. (200—i5°)rrCof. 50 verfchil 0,81915.21 —Cof. (20°-4-i5°)i:Cof 35° Aanmerking I. De figuur is befchreven in de onderftelling dat B C -f BD < 90° zyn. Zo BC BD >9o» waren, -zou EK > AIVI zyn, en men zou, om Cof. (a-f-&) te bekomen, Cof a x Cof. b van Sin. a x Sin. b moeten aftrekken. Die Cofinus wordt in dat geval negatief. Aanmerking II. De hier opgegevene uitdrukkingen, voor den Sinus en Cofinus van de Som en het Verfchil van twee bogen, zyn van zeer veel gebruik, en verdienen,wel in het geheugen geprent te worden. gevolo. Hieruit kan men zeer gemaklyk den Sinus en Cofinus voor het dubbelde eens boogs vinden. Want zo a == b is, heeft men Sin. O + — Sin. 2 a\ Sin. a x Cof. b zz Sin. a x Cof.a; en Sin. b Cof. a ook = Sin. a x Cof. a. derh. Sin. 2 a = 2 Sin. a Cof. a\ en Cof. 2« = Cof. at — Sin.a,. § ni. Wy zyn nu, door middel der tot hier toe oploste werkftukken, in ftaat gefteld om de Sinusfen voor N eea  194 ZE E VA ART-KÜN DE, een zeer groot aantal bogen te berekenen: doch wy kunnen zulks nog niet doen voor iederenboog naar welgevallen, van i° af tot qo° toe. Om hiertoe te komen , dient het volgende voorftel. De Sinusfen van zeer kleine bogen zyn ten naasten by evenredig aan de Bogen zelve. Stel (fig. 67.) dat BD en CD zodanige bogen zyn. Indien BCD geen boog, maar eene rechte lyn was, zouden BFD en CED gelykvormige driehoeken wezen, en dus BD : CD = BF : CE. Hoe kleiner nu de boog BCD is, hoe nader dezelve aan eene rechte lyn komen zal, en dus hoe nader de reden der bogen (BD : CD) aan die der finusfen (BF : CE) zal komen. En daar de finus* fen, door worteltrekking gevonden wordende,Hechts ten naasten by kunnen uitgedrukt worden, (I.§43.) zal de boog BCD zo klein kunnen genomen worden , dat de onnaauwkeurigheid, welke men begaat met dezelve als eene rechte lyn aan te merken, kleiner is dan die, welke by alle finusfen, in decimalen uitgedrukt, plaats heeft. Deze aanmerking ftelt ons in ftaat om den Sinus van i' met de zelfde naauwkeurigheid als alle de overigen, dat is, zo naauwkeurig als voor het gebruik nodig is en als men zelf begeert, te bepalen. Wanneer ik den Sinus van eenen boog ken, heb ik geleerd (§ 109.) dien van den halven boogte vinden. Ik kan dus, den Sinus van 30° kennende, dien van 150, van 7° 30', van 30 45', van 1° 5a' 30", van 56 15", van a8' fó\ van 14' 3$", van 7' ij", van  T W E D E BOEK. log van 3' 30^ of na genoeg $ 31" vinden. Stel dat BD een boog van 3' 31" is: dan zal BF, deszelfs Sinus, zz 102 zyn, wanneer men den Radius ZZ ioccco ftelt. Om te weten, hoe veel deeltjens van den Radius de boog BD en deszelfs Sinus BF verfchillen, merk ik aan dat t% 87) de 360 graden van den omtrek 628318 deeltjens van den Radius uitmaken. Ik maak dus deze evenredigheid; 3ÓC0 Of I296CC0":628318 - 3'. ft* Of 211" tot een' vierden term, waarvoor ik 102 bekome. Dus, daar ik en voor BF en voor BD 102 bekome, zal het verichil tusfehen dien boog en deszelfs finus kleiner zyn dan — van den radius. En iocooo daar ik, dtft radius in icooco verdelende, fny gene grotere naauwkeurigheid by de berekening van alle de finusfen heb voorgeftcld, kan ik veilig onderItellen, dat voor aUe bogen, die kleiner dan BD zvn, de finus en de boog minder dan —-1— van J ' iccooo den radius verfchillen, en dus althans evenredig aan elkander zullen zyn. Ik zeg derhalven 3'. 31" of 211"heeft voor finus 102, wat heeft 1' of60" ? en ik vind daar voor 29; of, zo men den radius = 1 ftelt, o, 00029. Nu kan ik, door het Gevolg van § no, den finus van 2', en dan door § 110 dien van 2' -f- lr of 3' vinden; en, dus voortgaande, eene volledige Tafel voor alle de bogen, van 1' tot 900 toe, berekenen. Na % in.  196 ZEEVAART-RUNDE, 5 112- Wanneer de Sinus van een' boog bekend i$, hebben wy reeds getoond (§ ic8.) hoe men den Cofinus vinden kan. Deze beiden bekend zynde, is niets gemaklyker dan den Tangens, Cotangens, Secans en Cofecans voor dien zelfden boog te vinden. Hiertoe dienen de volgende regels, (fig.oi.) Om den Tangens te vinden. In de AAen ABF en AGC is AF: FB =A C: CG (§ 81.) dat is; Cof.: Sin. = Rad.: Tang. dusTang. x Cof. =R. xSin. ,enTang = — —(§79) Cof. * n o . Sinus. Zo R. = 1, is Tang. = • 5 Cofin. en dus Log. Tang. = Log. Sin— Log. Cofin. (I. § 81.) Om den Cotangens te vinden. IndeAAenAGCen AEHisCG: AC = AE : EH dat is; Tang.; Rad. = Rad.: Cotang. dus Tang. x Cot. = Rad*, en Cot. ss Tang. Zo R.= 1, is Cot.rr —— Tang. en dus Log. Cot. = Complem. Log. Tang. (I. §85.) Om den Secans te vinden. In de AAeB ABF en AGC is AF : AB = AC : AG dat is; Cof.: Rad. = Rad.:Sec. dus  TWEDE BOEK. 197 1 Rad.» dus Cof. x Sec. = Rad. 3 en Sec. zz g^r- i Zo R. zz i, is Sec. — en dus Log. Secans ZZ Compl. Log. Cofinus. Om den Cofecans te vinden Inde AAenABFenAEHisF3 : AB = AE : AH dat is-, Sin. :Rad.~RacLjCofec. 1 Rad. dus Sin. x Cofec. zz Rad. 3 en Cofec. ZZ -g^—, i Zo R. zz i, is Cofec. zz — en dus Log. Cofecans — Compl. Log. Sinus. i 1 • gevolg. Daar Sec. = -—enCofec— —1% zal het het zelfde zyn, of men met den fecans van een' boog multipliceert, of door den cofinus van dien boog divideert, door den fecans divideert of met den "cofinus multipliceert; met den cofecans multipliceert of divideert, of door den finus divideert of multipliceert. In 't algemeen kan men voor Log. Secans, den Complem,Log.Cofinus, voor Log. Cofec. den Complemv Log. Sinus gebruiken. Het is om die reden dat in de beste Franfche en Engelfche Tafelen gene Secanten ©f Cofecanten | gevonden worden. N % VOOR.-  198 ZEEVA ART-KUNDE, voorbeeld. Log. Sinus 150 " 9.4129962 Log. Cofinus 150 — 9.9849438 9.4280524 — Log. Tang. 55" daarvan Compl. 0.5719476 zz Log. Cot. 15° Compl. Log. Cofin. "0,0150562 zz Log. Sec. 150 Compl. Log.Sinus "0,5870038 " Log. Cofec. 150 § i?3j Wy hebben dus getoond, op welke wyze de Tafels der Sinusfen,Tangenten,enz. berekend kunnen worden. Wy zullen daarop nog enige aanmerkingen, omtrent de fchikking en het gebruik der Tafelen, laten volgen. Men onderftelt gewoonlyk in de beste Tafelen, dat de radius in iocccooo delen verdeeld is: doch om dezclvcn ook te kunnen gebruiken in de onderftelling dat de radius in iocooo delen verdeeld is, zyn de twee laatfte letters van eiken finus, tangens, enz. door een ftip (.) van dc overige afgefcheiden. Wanneer men ïoocco voor den radius ftelt, laat men die cyfers by het gebruik weg.Men vindt by voorbeeld voor finus van 150 het getal 25881.90. Zo men R. zz icococ ftelt, neemt men 25X81,of nog liever 25882 dewyl de naastvolgende letter q J> 5 is. Daar men, in alle berekeningen van enigen omflag, zich van Logarithmen bedient, doet men zulks ook by het gebruik der Sinusfen, Tangenten,, enz. Öm den rekenaar de moeite te befparen va»  T W E D E BOEK. I9£ van eerst het getal voor een' Sinus by voorbeeldin de Sinus-Tafel, en dan den Logarithmus van dat getal in de Logarithmus - Tafel op te zoeken, heeft men de Logarithmen der Sinusfen, Tangenten enz. in afzonderlyke Tafelen geplaatst, in welke men naast den boog van ts°, by voorbeeld, niet vindt het getal 2588190, maar den Logarithmus van dat getal, als zynde het in de meeste gevallen 'eigenlyk die Logarithmus, en niet het getal, welken de rekenaar nodig heeft. Het is eigenlyk voor die Tafelen (welke van veel mtgeftrekter en veelvuldiger gebruik zyn,dan de. gewone Tafels der Sinusfen enz. in naumrlyko getalen,} dat men den radius rr 1 Helt. De Logarithmen der Sinusfen en Cofinusfen zyn dan altemaal Logarithmen van eigenlyke breuken, die 9, 8,7, enz. voor charafter hebben (I. § 78.): die der Tangenten zyn Logarithmen van breuken tot 45° tos: voor 450 is Tang. = Rad. ($igó)=i, en dus Log.Tang.45° = 0; vervolgens zyn het Logarithmen van getalen > 1; de Logarithmen der Secanten zyn altoos Logarithmen van getalen > ï. Daar het charaftcr der Logarithmen van eigenlyke breuken indedaad 10 te groot is, heeft men in fommige Tafelen (onder anderen m de beste Ncderduitfche van douw es) ook het chara&er dezer Logarithmen van getalen , die > 1 zyn, met 10 vermeerderd, en, by voorbeeld, in plaats van voor Logarithmus Tang. 45°, o, oocoooo te fchryven, daarvoor 10, coooooo gefchreven , en voor de charafters der overige Logar. Tangenten en der N 4 L°S'  aoo ZEEVAART-KUNDE, Log. Secanten niet achtervolgens o, i, a, enz., maar 10, u, 12, enz. genomen. Men kan by deze laatfte inrichting ook onderftellen dat de Radius = 10.000.000.000 is: dan zullen alle de characTiers vare onvermserderde cha* raSers zyn. § "4. Wanneer men de Sinusfen, Cofinusfen, Tangenfen, Cotangenten, enz. voor alle de bogen van 1' af tot 450 toe berekend heeft, behoeft men gene verdere moeite van berekening te doen. Immers zyn de Sinusfen, Tangenten en Secanten vooralle de bogen, die > 45° zyn, onder de reeds berekende Cofinusfen, Cotangenten en Cofecanten te vinden; en de Cofinusfen, Cotangenten en Cofecanten van bogen., die i> 450 zyn, zyn onder de reeds berekende Sinusren, Tangenten en Secanten te vinden. De Sinus by voorbeeld van 700 is de Cofinus van 20°, de Cofinus van 700 is de Sinus van 200, enz. Deze aanmerking heeft ookaanleidinggegeven tot de gewone fchikking der Sinusfen, enz. in de Tafelen. Op elke bladzyde ftaan drie kolommen, ééne der Sinusfen, ééne der Tangenten en ééne der Secanten. Elke dezer kolommen is verdeeld in twee kolommen. Aan eiken kant van de bladzyde ftaan de bogen in graden en minuten uitgedrukt; de graden en minuten, ter linkerhand, tellen van voren naar achteren, en van boven naar onderen; die ter rechterhand, van achteren naar voren, en van onderen naar boven. Een getal, in de linkfcht kolon der  T W E D E BOEK. 201 der Sinusfen geplaatst, is de Sinus van den boog ter linker-, en de Cofinus van dien ter rechterhand. Een getal in de rechtfcke kolom is de Sinus van den boog ter rechter, en de Cofinus van dien ter linkerhand. Het zelfde heeft plaats voor de kolommen der Tangenten en Secanten. Men zoekt derhalven in die Tafelen de Sinusfen, Tangenten en Secanten der bogen van 1' tot 450 toe, aan de linkerhand, en de Cofinusfen, Cotangenten en Cofecanten aan de rechterhand; van voren naar achteren en van boven naar onderen voortgaande. Voor bogen van 450 tot 9c0 zoekt men de Sinusfen, Tangenten en Secanten aan de rechterhand, en de Cofinusfen, Cotangenten en Cofecanten aan de linkerhand; van achteren naar voren en van onderen naar boven voortgaande. S "5- Wy hebben gezien (Bep. XLII. § ico.) dat de Sinus verfus van een' boog gelyk is aan het verfchil of aan de fom van den Radius en van den Cofinus des boogs, naar mate de boog [90° is. Om derhalven den Sinus verfus van een' boog te vinden, behoeft men flechts deszelfs cofinus in natuurlyke getalen op te zoeken, en dien van den radius af te trekken of daarby te tellen, naar mate de boog of > 900 is. En om den boog, tot een' gegeven Sinus verfus behorende, te vinden, moet men het verfchil tusfehen denzelven en den radius nemen, hetzelve onder de Cofinusfen opzoeken, en den boog, of zyn füpN 5 plc  soi ZEEVA ART-KUNDE, plement nemen, naar mate de gegeven Sinus verfus <3 of > dan de Radius is. Daar de Sinus verfus, vooral in de Zeevaartkunde, van zeer veel gebruik is, vindt men in fommige Tafelen, onder anderen in de beste Nedcrduitfche van do uw es, afzonderlyke Tafels, zo wel van de Sinus verfus in natuurlyke getalen, als van derzeiver Logarithmen. Doch die Tafels gaan niet verder dan tot qo°; en daar hier geenszins, gelyk by de Sinusfen enz.,de Sinus verfus van den boog en van zyn fupplement de zelfde is, kan men zich van die Tafelen niet onmiddellyk voor bogen, die >• 900 zyn, bedienen. Men moet dan of eene byzondere berekening doen, welke in de verklaring van het gebruik dier Tafelen wordt opgegeven, of men moet in dat geval te werk gaan als of men gene Tafels had, en de zo even opgegevene handelwyze volgen. § n6. De gewone Tafels'der Sinusfen, Tangenten, enz., zo wel in natuurlyke getalen als in Logarithmen, zyn berekend van minuut tot minuut. Men kan derhalven in die Tafelen niet onmiddellyk den Sinus, Tangens enz. vinden voor bogen, waarby niet alleen graden en minuten, maar ook feconden voorkomen. Doch men behoeft Hechts een' gemaklyken regel van driën op te losfen, om zich in dat geval te helpen: de handelwyze, welke men daarin volgt, ftcunt op het volgende Voorftel: Voor hogen, die weinig van elkander verfchillen, zyn de veranderingen ten naasten by evenredig aan de veranderingen in derzeiver Sinusfen, Cofinusfen, enz. Stel  TWEDE BOEK. 203 Stel (Fig.67.) dat DG, DL, DH drie bogen zyn, die weinig van elkander verfchillen-, en GI, LM, HK derzelver Sinusfen. Trek LN en GO -i- HK; dan is HN = HK — LM, HO = HK — GI en N O = LM — GI. Zo HLG eene rechte lyn was, zou HO : HG = HN : HL == NO : L G zyn (Voorft. XXVI ) Hoe kleiner nu de boog HLG is, hoe nader dezelve aan eene rechte lyn komen zal; en wanneer HLG zeer klein is, zal men van deze evenredigheid gebruik mogen maken, zonder gevaar van onnauwkeurigheid in de praktyk (Vergelyk § 111.) VOORBEELD. Stel dat DL een boog zy van 310. n'. 23". Van dien boog kan ik den Sinus in de Tafelen niet onmiddellyk vinden , maar ik kan vinden die van 31°. 11, en 31°. 12, tusfehen welke de gegeven boog invalt. Stel DGr 31°. 11,DH — 310.12, dan is GI zz 51777-82 en HK — 51802.70. Nu maak ik deze evenredigheid: HG (Verfchil der bogen, hier 1' of 60") tot HO (Verfchil der Sinusfen) ~LG (hier 23') tot N O. Sinus van 310 12' = 51802.70 Sinus van 310 11 = 51777.82 fubft. 60 geeft 2488 wat 23? dc uitkomst is 954 = NO, 5177782 =a OK = GI. "5178736 = NK =zLMjzSin. 31° tfii" Daar  204 ZEEVAAR T-K U N D E, Daar (I. §70,7:.) de Verfchillen der Logarithmen van getaien, die weinig verfchillen, evenredig zyn aan de Verfchillen der getalen zelve , kan ik deze zelfde bewerking met de Logarithmus-Sinusfen enz. verrichten. Wy zullen het zelfde voorbeeld gebruiken Log.Sin.310 12' — 9.7143524 Log.Sin. 31° iV = 9.7141437 fubftr. 60 geeft 2087 wat 23? de uitkomst is 8co 9-7I4I437 9.7142237 = Log.Sin.310 n' 23» Indien het getal feconden boven de 30" is, trekt men den gezochten boog van den grootften boog af: en men trekt de uitkomst des regels van driè'n van den finus des grootften boogs af, in plaats van ze by dien des kleinften te tellen. By omkering kan men op deze zelfde wyze voor een' Sinus, Tangens, enz., dieniet juist in de Tafelen te vinden is, den boog in graden, minuien en feconden uitgedrukt bekomen. Stel dat ik den boog begeerde voor denSinus 71897.45. De Sinusvan 45% 58' is 71893. 55; die van 450. 59' is 71913. 77. Dc gezochte boog zal dus > 450 58' en <; 450 59' zyn. Ik doe de volgende bewerking 7I9I3-77 7I897-45 7I893-55 | 7I893-55 2022 geeft 60", wat 390? de uitkomst is omtrent 12", dus de gezochte boog 450 58' en 12». Met  T W E D E BOEK. 205 Met Logarithmus-Sinusfen gaat men op de zelfde wyze te werk. Indien de gegeven Sinus nader komt aan den grootften der beiden, tusfehen welke hy valt» dan aan den kleinften, trekt men hem van dien • grootften finus af, en men trekt de uitkomst van den grootften boog af, in plaats van ze by den kleinften te tellen. Zie hier een voorbeeld metLo» garithmus - Sinusfen. Voor den Log. Sinus 9.6137388 den boog te vinden. Log. Sin. 240 16' = 9.6138250 9.6138250 Log.Sin.240 15' = 9-6I35446 9.6137388 2804 — 60 — 862 de uitkomst 18" van 24° 16' afgetrokken, geeft 240 15' 42". In fommïge Tafelen ftaan de Verfchillen der naatstvolgende Sinusfen enz. 'er nevens gedrukt. Men behoeft dan de ééne der beide aftrekkingen niet te doen. Wanneer men Tafels gebruikt, die van 10 tot 10 feconden berekend zyn, (zo als de Franfche van cal let), is de zaak nog gemaklyker. Men moet dan, in plaats van met 60 te divideren of te multipliceren 3 zulks met 10 doen: dat is: men.heeft dan flechts eene letter af te fnyden, of eene nul achteraan te voegen (*). Yoor (*) In Engeland wórden thans Tafels uitgegeven van LogarithmusSinusfen en Tangenten, die van feimde toi feemde berekend zyn, «0 den rekenaar van alle deze moeite ontheffen,  2CÖ ZEEVAART- KUNDE, Voor Tangenten en Secanten van bogen, die aanmerklyk groot zyn, is deze handelwyze niet volkomen naauwkeurig; voor zeer grote bogen moet men ze in het geheel niet gebruiken. Om te . weten tot hoe verre men zulks doen kan, behoeft men flechts te zien of de Verfchillen voor de naastvolgende Tangenten en Secanten na genoeg de zelfde blyven of niet. Het verfchil by voorbeeld tusfehen de Log. - Tangenten van 88° 10' en 88° n' is 39689; en dat tusfehen die van 880 n' en 880 12' is 40054. Voor bogen van die grootte is derhalven de bewerking niet meer genoegfaam naauwkeurig. Aanmerking. Men kan de zaak voor de Cofinusfen , Tangenten enz. op eene dergelyke wyze aantonen als wy zulks voor de Sinusfen gedaan hebben. Kortheids halven hebben wy alleen de Sinusfen ten voorbeeld genomen. ZEE*  ZEEVAART-KU NDE. DERDE BOEK, RECHTLYNIGE DRIEHOEKSMETING. § h Wy hebben in het voorgaande Boek gezien, dat wanneer in twee driehoeken drie zyden, of twee zyden en de ingefloten hoek, of èène zyde en twee hoeken gelyk zyn, alle de overige hoeken en zyden noodzakelyk gelyk zyn (II. § 44 Aanmerking.1} Wanneer derhalven in eenen driehoek de grootte van de drie zyden, of van twee zyden en den ingefloten hoek, of van ééne zyde en de hoeken bepaald is, zullen ook alle de overige hoeken en zyden op de zelfde wyze bepaald zyn. Zo de eerften by voorbeeld in getalen uitgedrukt zyn, zullen ook de laatften in bepaalde getalen kunnen gevonden worden. — Het is de Driehoeksmeting, welke daartoe de voorfchriften aan de hand geeft. Aanmerking. Wanneer twee zyden met een» hoek over eene dier zyden gegeven (dat is in den zin, welken wy in dit Boek bedoelen, ia getalen uitgedrukt} zyn, is 'er fomtyds meer dan ééne driehoek mogelyk waarin twee zyden en een hoek die bepaalde grootte zouden hebben: en  £08 ZEEVAAR T-K U N DE, en men kan dus voor de overige zyde en hoeken in dit geval fimtyds meer dan ééne, en wel tweederleïé waarde opgeven, gelyk reeds uit II. 44. Aanm. kan afgeleid worden, en hier nog nader blyken zal. Wanneer de drie hoeken gegeven zyn, is wel, gelyk blyken zal, de reden der zyden tot elkander, doch niet derzelver eigenlyke grootte bepaald (II. § 82 Aanm.}— Met uitzondering dezer twee gevallen, kan men in 't algemeen zeggen dat de Driehoeksme' iing leert, uit drie bekende dingen (of termens gelyk men 't noemt) van eenen driehoek de overige te vinden. — Men noemt die bewerking de OplosJIng van een' driehoek. § «• Het is om tot die oplosfing te komen, dat wy, in het Iaatfte gedeelte van het voorgaande boek, de leer der Sinusfen, Tangenten enz. voorgedragen en de wyze van dezelven te berekenen opgegeven hebben. Eer wy tot de opgave van de Regelen der Driehoeksmeting zelve overgaan, zal het niet ondienftig zyn, een oppervlakkig denkbeeld te geven van haar gebruik, en van de wyze van bewerking, die men daarin volgt. Onderftel (Fig. 68.) dat AB een toren zy, waarvan men de hoogte begeert te kennen, zonder dat men in ftaat is, om dezelve werkelyk te meten; doch dat men den afftand CB tusfehen de plaats C en den voet des torens B door meting kenne, en dat men tevens door enig daartoe gefchikt werktuig (waarvan wy in het vervolg verilag zul-  DERDE 6 E K, aco zullen doen,) den boek BCA gemeten en in graden uitgedrukt hebbe. Men ftelle by voorbeeld CB =: 500 voeten, en Z.ACB = 41°. Wanneer ik in de figuur, uit C als middelpunt, met CB als radius, eenen cirkel befchryf, zal AB rechthoekig op BC ftaande, den cirkel raken .in B (II. § 71.); en AB zal volgens de gegevene bepaling (II. § 96.) Tangens van den hoek ACB zyn. Indien myn afftand B C juist icocco voeten was, behoefde ik, om te weten hoe vele voeten de hoogte des torens bedraagt , in de berekende Tafel der Tangenten flechts l ACB of 410 op te zoeken; alwaar ik vinden zou dat, wanneer CB 100000delen bevat, A B, of Tangens 410, 86929 zodanige delen bevat: en dus zou de toren in dat geval 86929 voeten hoog zyn. Doch nu bevat CB flechts 500 voeten: dus zal ook het getal voeten van A B zo veelmaal kleiner dan 86929 zyn, als 500 kleiner dan ioooco is; en dus behoef ik flechts dezen regel van drién te maken : icoooo : 500 = 86929 tot de begeerde hoogte van den toren, in voeten uitgedrukt; welke ik dus omtrent 435 voeten vinde. §3. Uit dit voorbeeld kan men zich reeds enig denkbeeld vormen, zo van de wyze, waarop de afgetrokkene befchouwing en berekening der driehoeken in de praktyk te pas kan komen, als van het gebruik 't welk men in die bewerking maakt van die lynen, CSinusfen, Tangenten, enz.) die wy in het voorgaande boek hebben leren berekenen. O Wy  SI© ZEEVAART-KUNDE, Wy gaan nu over tot de oplosfing der driehoeken, in het algemeen en in het afgetrokkenc befchou. d: wy zullen vervolgens de gegevene regels op voorbeelden, uit Landmeet- en Zeevaart - kunde ontleend, toepasfen, en op die wyze derzelver gebruik tonen. Aanmerking. Men kan alle rechtlynige figuren, door middel van rechte lynen, uit eenen hoek naar de anderen getrokken, in driehoeken verdelen. De meting van alle rechtlynige figuren wordt op die wyze tot de Driehoeksmeting gebragt. Haar gebruik ftrekt zich dus veel verder uit dan men in den eerften opflag zou denken. §4- I. Oplosfing der Rechthoekige. Driehoeken. Een Driehoek is of rechthoekig, of Jlomphoekig, of fcherphoekig. De beide laatfte foorten worden onder den algemenen naam van fcheefhoekige driehoeken begrepen. Wy zullen eerst de Rechthoekige Driehoeken afzonderlyk befchouwen , en regels voor derzelver oplosfing geven. Ten dien einde merk ik aan, dat wanneer men in eenen rechthockigen driehoek ABC (fig. 69.) uit een' der fcherpe hoeken (A) als middelpunt, met de rechthoekzyde( AB) naast dien hoek als radius, een' cirkel befchryft,de lyn BC Tangens van dien L A zal zyn (Boek II. § 96.5, dat is, BC zal zo vele iooocofte delen van AB bevatten, als in de Ta-  DERDE BOEK. Bïl Tafel der Tangenten, naast het getal graden, minuten en feconden van £A, aangetekend ftaan. Neemt men C voor middelpunt cn BC voor radius, dan is AB Tangens van L C. Wanneer men uit A met een radius, gelyk aan de hypotenufa AB, een' cirkel befchryft, zal B C, de rechthockzyde over dien hoek, deszelfs Si mis 3 en AC, rechthoekzyde naast dien hoek, deszelfs Cofinus zyn (II. § 95. ) Men bekomt dus deze twee Regels ter oplosfing der Rechthoekige driehoeken, ï. De 'Radius is lot den Tangens van eetf der fckerpe hoeken, zo als de rechthoekzyde naast dien hoek tot de rechthoekzyde over dien hoek. Rad. : Tang. I A = AB : BC Rad. : Tang. I C = BC : AB II. De Radius is tot den Sinus van een1 der fcherpe hoeken, zo als de hypotenufa tot de zyde over dien hoek: en tot den Cofinus van dien hoek, zo als de hypotenufa tot de zyde naast dien hoek. Rad.: Sin. L A = AC : BC Rad.: Cofin. LA — AC : A B Aanmerking I. Daar de beide fch rpc- hoeken te famen altoos = 900 zyn (Boek 11. Voorft. V. Gev. II.) zal Sin. VA — Cof. L C, en Sin. IC = Cof. L A zyn: cn insgelyks Tang. IA =Cc tang. IC, Tang. i Cr. Cotang. I A. Aanmerking II. Wanneer men A B voor radius neemt, is AC Secans van I A. Men kan derhalven den tweden regel ook dus opgeven O 2 Sec.  «2 ZEEVAARTKUNDE, Sec. L A : Rad. = AC : AB Cofec. L A of Sec. L C : Rad. = A C : B C. Dit zelfde kan afgeleid worden uit II. § ir2. alwaar wy gezien hebben dat R.: Cofin. = Sec. • R* en R.: Sin. = Cofec.: R. Door middel van deze twee Regelen is men in ftaat om alle mogelyke gevallen van een' rechthoekigen driehoek volkomen op te losfen. §5- 'Er kunnen in een' rechthoekigen driehoek, buiten den rechten hoek, die altoos bekend is, bekend zyn Vooreerst, Twee zyden, en wel I. TWEE RECHTHOEKZYDEN (A B en BC). Om dan den l A te vinden, maak ik deze evenredigheid AB : BC — Rad. : Tang. L A (Regel I.) Den l A kennende, en dien van 900 aftrekkende, bekome ik L C: ik zoek vervolgens A C door deze evenredigheid, Sin. I A : Rad. — BC : AC (Regel II.) VOORBEELD. Stel AB - 1753, BC - 2461. ■-753 : 24Ó1 — Rad.: T Z, A Wan-  DERDE BOEK. 213 Wanneer (Boek II. § 133-) de Radius — I gefteld wordt, is deszelfs Logarithmus = o, en men behoeft dien gevolglyk niet optefchryven. Log.BCof246i 1:3,3911116 Log. ABofi753 -3,24378l9 o, 1473297 = Log. Tang.540. dus Ui 540. 32'. 14" Z C zz 90o - L A ~ 9oQ - 54- 3*'- ï*f ~ 35°- »7>Sin. L A : Rad- — 2.61 : AC Log-B Cof 2461 =3,3911116 Log.Sin.LA of 54°-3^- H"~ 9> 9i°8871 fubft. 3,4802245—Log. 3021,51; dus AC — 3C2i,5l Aanmerking. Men kan A C vinden zonder den l A eerst te zoeken, door het XXIX^ Voorftel van het IId.e Boek. AC5is=rAB5 + BC». Wanneer men derhalven, AB en BC in getalen gegeven hebbende, die in het quadraat brengt, de quadraten addeert, en uit de fom den wortel trekt, kent men A B. In het algemeen kan men altoos uit de drie gegevene dingen yan een' driehoek elk der overigen, onafhanglyk van de twee anderen, vinden. Doch dan heeft men meerdere en moeilyker regelen nodig. Wy zullen dus kortheidshalven dezelven niet altoos opgeven, enonderftellen dat menby dc oplosfing van eenen driehoek alle 'de onbekende dingen zoekt te kennen ; dat het derhalven onverfchillig is, welk derzelven men het eerst zoeke; O 3 en  «14 ZEEVAART -KUNDE, en dat men dus het reeds gevondene gebruiken ' mag om het overige te vinden. Deze handelwyze is ook in de praktyk in de meeste gevallen gemaklyker dan het gebruik der zo even genoemde moeilyker regelen. § 6. II- DE HYPOTENUSA (AC) EN EEN* RECHTHOEKZYDE (AB) Om L A te vinden AC : AB - Rad. : Cof. L A (Reg.II.) L C - qoo _ L A ° J Om BC te vinden Rad.: Tang. IA — AB : BC (Reg.I.) VOORBEELD. Stel AC rr 894, AB = 423 Log. A B of 423 — 2,6263404 Log. AC of 894 —2,9513375 9. 6750029—Log. Cof. 61 °. 45'. 39, dus £A:z6i°.45<.39",en Z.BZ190—6i°.45'. 39* ZZ 28". 14'. 21" Log. A B of 423 =2,6263404 Log.Tang.i Aof 6io.45-.39" =0,2699645 2,89Ó3049=Log.787,6o dus B C = 787,60 Aammrking Men kan ook de rechthoekzyde BC onmiddellyk vinden door deze uitdrukking n r ( -4B> * ^AC + AB) die uit het Gevolg van Voorftel XXIX. Boek II. afgeleid. of ook op zich zelve uit Fig. 46. bewezen kan worden. In dezelve is (door 11. Voorft. XXXI. Aanm.\ tnl~AG x AF = (AC_CG) x (AC-fxCF^tAC-CD^CAC+CD). + § 7.  DERDE BOEK. ai5 §7- 'Er kunnen ten meden gegeven zyn een /cherps koek en eene zyde, en wel III. EEN HOEK EN EENE RECHTHOEKZYDE. Daar men, den éénen fcherpen hoek kennende, ook terftond den anderen kent, door den gegevenen van 9c0 af te trekken, doet het niets ter zake, of de gegevene zyde over of naast den gegeven' hoek zy. . Stel derhalven L A (en dus ook L C) en AB gegeven. Om BC te vinden R.:T.U = AB:BC (Reg.I.) Om AC te vinden Cof.I A : Rad. th AB : AG (Reg.II.) VOORBEELD. Stel L A = 36° 23', AB — 1197* dan is i C = 90 - 36° 23' = 53° 37' Log. A B of 1197 — 3,o78o94i Log. Tang. L A of 36 : 23 — 9- 8673583 add. ^9454525 — Log. 881,97 dus BC = 881,97 Log. A B of 1197 - 3-0780942 Log. Cof- LA rf*6>. ij' zz 9' 9t5^L fubftr. ^.^^-Log. 1486,83 dus AC ZZ 1486,83 O4 § 8*  Slö ZEEVAAR T-K ÜNDE, IV. EEN HOEK (A) EN DE HYPOTENUSA AC l C == 90 — L A Om AB te vinden R--- Cof'AofSin.ZC—AC: AB (Reg.II.) Om B C te vinden Sin.Z A = AC : BC (Reg.II.) VOORBEELD, Stel L A = 510 11' en AC = 238 ZC = 90 — 51° 11, = s8o 49, Log. AC of 238 = 2,3765770 Log. Cof. L Aof 51". 11' = 9.797i5or 2^1737271 =Log.i49,19 dus AB = 149,19 Log. AC of 23g =2,3765770 Log. Sin. ZA of 51°. 11'= 9,8916242 add. ———, 2,2682012=Log. 185,44 dus BC = 185,44 §9. Oplosfing der Scheefhoekige Driehoeken. In eenen Scheefhoekigen Driehoek kunnen bekend zyn Ik  DERDE BOEK. „ 2i7 I. Eéne zyde en twee hoeken. II. Twee zyden, en een hoek tegen over eene dier zyden. III. Twee zyden, en de hoek tusfehen die twee zyden. IV. Drie zyden. Ter oplosfing van alle deze gevallen, zullen wy Drie Regels opgeven, bewyzen, en op elk onderfcheiden geval toepasfen. § io. - Wanneer men uit de beide uiteinden CA en B) van eene der zyden (AB) eens driehoeks, als middelpunten, met eene der andere zyden (BC = AD) als radius, cirkels befchryfe, en dan uit de punten (C en D) alwaar die cirkels de zyden (BC en AC) fnyden, loodlynen (CE en DF) op de eerstgenomene zyde (AB) nederlaat, dan zal, BC = AD voor radius genomen zynde, CE r=Sin. ZB enDF=Sin. IAzyn(II. § 94.) Voorts zyn de driehoeken ACE en ADF gelykvormig (II. Voorft. XXVII. Gev.) en dus (II § 81.) AC : AD = CE : DF; dat is, dewyl BCrrAD, AC : BC = Sin. ZB : Sin. ZA. Op de zelfde wyze kan men aantonen dar AC : AB =3 Sin. ZB : Sin. Z C; 0 5 cn  ai8 ZEEVAAR T-K U N D Ë, en dus is, in het algemeen, AC :BC:AB = Sin. ZB : Sin. ZA : Sin.ZC. 't welk, in woorden uitgedrukt, dezen Eerfien Regel opievert. I. De zyden van eenen driehoek zyn m elkander, zo al: de Sinusfen der overftadnde hoeken. \ Aanmerking I. Om dit bewys Op den ftomphoekigen driehoek (fig.70.) toe te pasfcn, moet men zich,uit Boek II. Bep. XXXVI. GeVolg, herinneren dat CE zo wel Sinus van den Rompen hoek ABC, als van den fcherpen hoek EBC is. Aanmerking II. Hier blykt wederom hoé de gehkheid der hoeken in verfchillende driehoeken met de evenredigheid der zyden of Gelykvormigheid famenhangt (Zie Boek 11. Voorft". IX. Aanm. en Voorft. XXVII. Aanm.). Aanmerking III. De twede Regel voor de oplosfing der Rechthoekige driehoeken , is flechts een . byzonder geval van deze. Want (BoekII. §104. V°. 1.) de Sinus van den rechten hoek B (fig. 69.) is zz Rad. Dus wordt de hier gevonden evenredigheid Sin. ZB : Sin. L A — AC : BC Voor den reehthoekigen driehoek deze Rad.: Sin. ZA zz AC ; BC 't welk de gemelde twede regel U Men  DERDE BOEK. 2;$ Men kan ook den Eerften Regel voor de Rechthoekige driehoeken hier uit afleiden. Immers is Sin. I C : Sin. i A z AB : BC maar, wanneer I B zz l hy is Sin. IC zz Cof. IA dus Cof. I A : Sin. I A~'AB : BC en, door Cofinus I A dividerende (I.§22.), Sin. IA , „ '• " ' 1 : „-z--—- ~ AB : BC Cof. I A Sin. I A maar, zo 1 zz Rad., is m zz. Tang. I A Cof. IA Of- § 112): derhalven Rad.: Tang. I A zz AB : BC 't welk de gemelde" Eerfie Regel is. Met behulp van dezen Regel zyn wy in ftaat om de twee eerfie gevallen, in § 9- opgegeven, optelosfen I. EENE ZYDE EN TWEE HOEKEN BEKEND. Stel (fig. 16.) in A ABC de zyde AC en de hoeken A en C bekend. LBzz 180°— (IA + IC)CH.§ 88.^»«.ffl.) Voorts om AB te vinden Sin. I B : Sin. I C zz AC : AB en om B C te vinden Sin. I B : Sin. Uz AC : BC rooi-  220 ZE Ë VAART-KUN DE, VOORBEELD. Stel AC = 7513, ZA = 3io, Z C = 38» dan isZB = i8o« —(310 + 38») —I80o_69o = JII« Om den Sinus van L B in de Tafelen te vinden, moet men het Supplement van B of 690 opzoeken. (TL § 94. Gev.) Log. AC of 7513 = 3-8758134 Log. Sin. ZCof 38°= 9.7893420 ComplJL Sin.ZBofmo= 0.0298443 fom 3.6950037 «Log. 4954,54. dus AB — 4954.54 Log. A C of 7513 =3,8758134 Log. Sin. ZAof 310 = 9,7118393 Compl.Log.Sin.ZB of 11 j°= o, 0298483 fom 3,6i75oioz:Log.4144,78 dus BC — 4144,78 Aanmerking. In plaats van Log. Sin. L B te fubftr afteren , addeerikComfilement- Logar. Sin. LB; volgens den regel in § 87 van Boek I. gegeven.' § 12. II. TWEE ZYDEN, EN EEN HOEK OVER EENE DIER ZYDEN BEKEND. Stel (fig. 19.) in den driehoek ABC de zyden AB en BC, en den hoek A over de zyde BC bekend Om  DERDE BOEK. 231 Om den Z ACB te vinden BC : AB zz Sin. Z A : Sin. Z ACB Z ABC ~ 180° — (Z A + Z ACB) Om AC te vinden Sin. I A : BC zz Sin. Z ABCa: AC. '-- Door de uitwerking van het eerfte dezer Voorfchriften bekomt men den Sinus van den Z ACB. Om den hoek te vinden, moet men dien Sinus in de Tafelen opzoeken. Doch die Sinus behoort tot twee hoeken, een' fcherpen, dien men in de Tafelen vindt, en een ftompen, die het fupplement van den fcherpen is. Dus is men onzeker, welken dezer beide hoeken men nemen moet. Dc grootte van den hoek ABC blyft derhalven insgelyks twyfelachtig, en gevolglyk ook die van de zyde AC. En dit komt juist overeen met het geen wy in de Aanmerking op het IX. Voorftel van het 11. Bock § 44. gezegd hebben; dat 'er twee driehoeken mogelyk zyn, waarin de gegevene zyden en hoek plaats hebben: die driehoeken zyn in fig. 19. ABC en ABD. In dezelvcn is AB gemeen, Z A gemeen, en de zyde over ZA (BC in den eenen en BD in den anderen) gelyk. Neemt men voor den hoek over AB den ftompen hoek, dan is L ABC de derde hoek, en AC de derde zyde. Neemt men den fcherpen hoek (BCDzz ZBDC) dan is Z ABD de derde hoek, en AD de derde zyde. Het is dus geen gebrek in de wyze van berekening , dat zy ons in onzekerheid laat, tusfehen twee  222 ZEEVAARTKUNDE, twee verfchillende waarden, voor elk der dingen die wy zoeken ; maar die onzekerheid volgt uit den aart van het Voorftel zelve. Die onzekerheid wordt weggenomen wanneer de gegeven hoek over de grootfte der gegevene zyden ftaët, en niet, zo als in fig. 19., over de kleinfte. Men moet dan altoos voor den eersfgezochten hoek het getal graden nemen, dat men in de Tafelen naast den Sinus vindt. Immers, zo de gegeven hoek ftomp is, zal de gevondene zeker fcherp moeten zyn (II. Voorft. V. Gev. II.): en zo de gegeven hoek fcherp is, doch over eene zyde ftaat, welke groter is dan die over welke de gezochte hoek ftaat, zal deze laatfte kleiner dan de gegevene, en dus ook in dat geval zeker fcherp moeten zyn (Boek II. Voorft. X.) V O O R B E E/L D. Stel AB - 9517, BC - 6328, l A - 390.31» Log. Sin. IA of 39". 31' - 9j 8036637 Log. A B of 9517 = 3,9785001 Compl. Log. BC of 6328 =16,1987335 9.9808973 zz Log. Sin. van 73°.7'.5c« of 106°. 52,. 10» dus ZACB- j73°' 7'5C" (1060.52'. 10" ZABC~\18o°~~(39°-31'+ 73°. 7'.50O_(67o.2i'.io" l i8o°—(390.31'+1060.52'. 10") ~~ ( 3 3 °.36'.50" Om  PERDE BOEK. 22$ Om nu AC te vinden Log. Sin. Z, ABC of 67°. 21'. io"=9. 9651514 Log. BC of 6328 =3.8012665 CompJ. Log. Sin. Z A of 39°.31' = 0.1963363 3. 9627542 = Log. 9178,13 of Log. Sin. I ABC of 330. 36'. 50»—9. 743I9C9 Log.BC of 6328 =3.8012665 Compl. Log. Sin. Z A of 39°. 31' =0.1963363 ?-74°7937 — Log.5505s4ö duSAC=j91^ § 13- Elk der twee overige gevallen verëischt eenen byzonderen regel. III. TWEE ZYDEN, EN DE HOEK TUSSCHEN DIE TWEE ZYDEN BEKEND. Stel (Fig.71.) in den driehoek ABC den hoek A, en de zyden AB en AC welke dien hoek bevatten, bekend. Befchryf uit A als middelpunt met de kortfte A B der twee zyden een' cirkel die de langde zyde in D fnyd. Verleng A C tot aan den omtrek des cirkels in E. Trek EB en BD : en DF evenwydig aan EB. Nu  «4 ZEEVAART-KUNDE, Nu is CE=AC + AE = AC + AB CD = AC - AD = AC — AB Z EAB = ZABC-f-£ACB (II.Voorft.IV.) ZEAB=ZABD + ZADB = 2ZADB (II, Voorft. IV en VIII.) derh.2 Z ADB m Z ABC -f Z ACB 2 Z ABD + ZDBC= ZABC ZABD ( = ZADB) = ZDBC-f-zacb(IL IV en VIII.) 2 ZDBC-f- Z ACB= ZA~BC f_ ZACB = ZACB 2 Z DBC = £ ABC^TacÊT zDBc = M^£rif£5 2 Dc £ ebd is r l (11. Voorft.xx.> derhalven, dewyl DF/ / EB is, ook Z B DF 6= L (H. Voorft. III.) Wanneer men dan uit D als middelpunt, met BD als radius, .een' cirkel befchryft, is EB = Tang. Z ADB = Tang. (!l±™±L\£*) en wanneer men met den zelfden radius uit E als middelpunt een' cirkel befchryft, is DF = Tang. ZDBC  DERDE BOEK. 225 /ZABC — ZACB.A ZDBC = Tang. ( J Eindelyk is in de gelykvormige driehoeken CEB en CD F CE:CD = EB : DF (II.Boek, XXVIII.) dat is, uit het voorgaande, ^iABC-f ACB\ AC + AB : AC — ABrrTang. ( J: Tang. QL±hlzL^±illiyt 't welk, in woorden uitgedrukt, dezen Tweden Regel oplevert. II. De Som der gegeven zyden ftaat tot derzelver Verfchil, zo als de Tangens van de halve Som der twee onbekende hoeken tot den Tangens van derzelver halve Verfchil. Om door middel van dezen regel de onbekende hoeken te vinden, merk ik aan dat men, om de fom dier hoeken te vinden, flechts den gegeven hoek van 1800 behoeft a? te trekken. Immers is IA + LB + LC:=i8oo, dus IB + lC=i8o0— IA. Ik kan dus die fom door 1 delen en den tangens van die helft opzoeken ; ik ken gevolglyk de drie cerftc termen van de gevondene evenredigheid, cn ik kan dus den vierden zoeken. Dien vierden term (den tangens van het halve verfchil der hoeken) gevonden hebbende, zoek ik dien in de Tafelen op: ik bekoom dus het halve V:r~ fchil; 't welk by de halve fom geteld, den grootften, en van de halve fom afgetrokken, den kleinften der beide hoeken geeft. P In.  S2Ö ZEEVAART-KUNDE, In het algemeen, zo men de halve fom en het halve verfchil van twee grootheden a en b by clkander telt, verkrygt men de grootfte a, en zomen het halve verlchil van de halve fom aftrekt, de kleinfte b der beide grootheden: want (a + b\ (a — b\ /*-f-*\ fa — b\ \~) — \—) = ï* + ib-la±£b = b. De hoeken kennende, vindt men de zyde BC door den Eerften Regel, Sin. IC : Sin. IA = AB : BC OfSin.IB : Sin. IA — AC : BC voorbeeld. Stel ZA = 53o i3', AC = 4827, AB == 175a 1800 lA - 53° 13' fubftr. l B -f I C = 126». 47' IB-flC '—j = 630. 23'. 30* daarvan Log. Tang. = 0,3002103 AL — A B = 4827 ~ 1752 = 3075 * p , , t, 0 daarvan Log. = 3,487845I AC+ AB-4827 + 1752= 6579 daarvan Compl. Log.= 6,1818401 fom 9*0698955 5t welk  DERDE BOEK. sa? »£ welk Log. Tang. van 43°. o'. 57" is dus z±rJ£. = 43o. 0-.5r, 2 ' fom 106 24'.22" = ZB verfchil 20°.22'.33" = ZC Voorts Log. AB of 1752 = 3,2435'4ï Log. Sin. I A of 53». 13' =9,9035813 Compl.Log. Sin. ZC of 20°.22'. 33"=o,4582003 3,6053157 = Log.4030,1 dus BC = 4030,1 § 14- IV. DB.IE ZYDEN BEKEND. Stel (Fig.72.) in den driehoek ABC de zyden AB, BC, AC allen bekend. Befchryf uit den hoek (B) over de langde zyde CAC) als middelpunt, met de kortfte zyde (AB) als radius, een' cirkel die de beide andere zyden in D en E fnydt. Verleng C B tot aan den omtrek des cirkels in F; en tiek BGXAC. Nu is CF = BC + BF = BC + AB CE = BC — BE = BC — AB AG = GD (II Boek, XVII.) derh. CD — CG — GD = CG — AG P 2 Voorts  228 ZaE|E;V AART-KUNDE, Voorts AC : CF - CE : CD (zie het bewy* van Voorftcl XXXI. Boek II.), dat is, uit het voorgaande, AC:BCTABzBC-AB:CG-AG 't wHk, in woorden uitgedrukt, den DerdenRegel oplevert UI DeLangfte zyde ftaat tot de Som der heide an. deren, zo ah het Verfchil dezer 'beiden tot het verfchil der flikken , waar in de langfte zyde Verdeeld wordt door de loodhn uit den overPaanden hoek op dezelve getrokken. De drie eerfte termen dezer evenredigheid zyn bekend: den vierden, het verfchil van GCen AG gevonden hebbende, cn de helft daarvan by de halve fom dier Hukken, (dat is by de halve lyn AC zz CG + AG), tellende, bekome ik het grootfte ftuk (CG), en aftrekkende, het kleinfte (AG). Ik ken dan in den rechthoekigen driehoek AGB de hypotenufa AB cn de rechthoekzyde AG: en ik vind IA door den tweden regel voor de recht;, hoekige driehoeken (§6.) AB : AG zz Rad. : Cofin. I A. Ik ken insgelyks in den rechthoekigen driehoek CGB de hypotenufa BC en de rechthoekzyde CG; en ik vind I C door dien zelfden regel BC : CG zz R. : Cofin. IC Eindelyk Z ABC zz l8o°— (IA-f-ZC) V O 0. fc.  foER.DE BOEK. 829 VOORBEELD. Stel AB = 1752; BC = 4030, i;AC ZZ 4827* dus BC 4- AB zz 4030,1 -f 1752 =15782,1 en B C — A B = 403c, 1 — 1752 zz 2278, x Log.CBC-AB) of 2278,1 — 3)3575728 Log.(BC4AB) of 5782,1= 3,7620856 Corap. Log. A C of 4827 =6,3163227 ' ~M3598i 1 = Log. 272^86 dus CG — A G = 2728j86 CG — AG — ZZ I364o43 2 AC^ CG4-AGA —- ( = i J zz. 24^,50 Som 8777*93 = CG Verfchil 1049,07 = AG Log.AG of 1049,07 = ^0208046 Log. A Bof 1752 -3,2435341 fubft. 9,7772705 zz Log. Cofin. 53°. i^. M dus L A = 530.13'. 2" Log.C G 0/3777,93 = 3,577W Log.BCof4C30, 1=3,6053157 fubftr. —■ 9-, 9719383 zz Log.Cofin-20°. 22'. 3 3" dus l C = 20<\22. 33" dus l ABC = 1 ?o°— (L A 4- L C) = 18o= - (53°-13'-a" + 209.22. 33») ZZ 1800—73°. 3 j'. 35" ZZ ic6°. 24'. 25". P 3 § 14-  230 ZEEVAAR T-K ü N D E, § 15- *Er is nog eene andere wyze om dit Iaatfte geval op te losfen., welke wy hier opgeven zullen, doch zonder bewys, dewyl hetzelve niet kort en duidelyk genoeg uit het voorgaande kan afgeleid worden, om het hier te plaatfen. (Zie over hetzelve Grondbeg. der Meetkunde van den Heer van swinden, pag. 351 en 352.) — Onderftel dat men den LAbegere te vinden; dan zyn AB en AC de zyden,welke dien hoek bevatten, en BC is de zyde over dien hoekt en men heeft dezen regel //AB+AC-f-BC\ /AB4-AC4-BC "*\ Cof.i L A= / ( ~ ) >< \—~ BCj ^ AB-x AC ' of dezen anderen ^ A BTXC ' Beiden kunnen korter gefchreven en ligter in het geheugen geprent worden, wanneer men voor AB + A C -f B C ' "2 ■ (dat 'ls-> de halve fom der drie zyden) de letter S ftelt, dan heeft men Cof.CI gezochten hoek) zzV^^^^^^l Produel: der zyden om dien hoek of Sin. (J gezochtcn hoek) -~_£z.ii=lz,yd™n]dicn hock3*x(^"and.zyd.o. d. h.) Produit der zyden om dien hoek ' De-  DERDE BOEK. «ft Deze regels zyn in de bewerking iets gemaklyker dan de opgegevene handelwyze. voorbïeld. (Het zelfde als voren.) AB zz 1752 AC ZZ 4827 B C zz 4"30» 1 IQÓCQ, I 5304,55 Log. ±Z 3,7446436 BC zz 40^0,10 fubftr. 1274,45 Log. zz 3*1053229 Comp tog.AB of 1752 zz 6,7564659 Comp. Log. A C of 4827 = 6,3 '63227 _ 9,9027601 ^ 9i95I58co zz Log* Cof. 26". 36'. 31" dus IA zz 2 x (26°. 36'. 31") — 53°-13'- 2" als voren AB-fAC-r-BC of aldus, ■ = 53C4»55 2 A B zz 1752,00 fubftr 3552,s5Log.33>55054oa 5304,55 AC ZZ 4827,00 fubltr. 477,55 Log-r: 2,6790188 Comp.Log. AB of 175*2- =6,7564659 Comp. Log. AC of 4827_= E R D E BOEK. 239 Xog. Cof. L B A C of 330.451 = 9.9198464 Log.AB of 47'= 1.6720979 1.5919443 =Log.39,c8 dus AC = 39»08 log.Sin, ZB AC of 330. 451 =9. 7447390 Log.AB of 47 =1.6720979 1.4168369 =Log. 26,11 dus BC = 26,11 5 25. II. Een Schip3 zich op eene plaat: A bevindende, moet naar eene plaats B zeilen, die 34 mylen Noordlyker en 23 mylen Oostehktr dan A gelegen is. Men vraagt, welken koers het houden moet en hoe veel wegs het zal moeten afleggen. Nu is AC = 34 en BC = 23 Men zoekt 1 BAC (den koers) door Reg I. (§ 5.) AC : BC = R.: Tang.I BAC Log. BC of 23 = 1. 3617278 Log. AC of 34 = 1.53H789 fubftr 9 83C2489=Log. Tang. 34°.4'. 38" dus Z BAC = 34».4'. 38" voorts AB (de verheid) door Reg.II.(§ 7.) Sin.L BAC : R. = BC : AB Log.BC of 23 =1.3617278 Log.Shï. I BACof24°. 4'- 9- 7484282 fubftr. 1.6132995 =Log. 41,05 dus AB 2= 41,05 § 25.  240 ZEEVAART-KUNDE § 26. III. Een Schip heeft, uit A, N. ten O. gezeild, en bevindt zich, in B gekomen zynde, 53 mylen recht Noordelyk gevorderd. Men vraagt hoe veel wegs hetzelve heeft afgelegd. Nu is l BAC — n°. 15' (Zie fig.73.) en A C zz 53. Men zoekt AB door Reg. II. (§ 7.) Cof. i BAC : R.3 AC : AB Log. AC of 5s — 1. 7242759 Log. Cof. L BAC of 15'-9. 9915739 fubftr. -— 1.7327020= Log. 54,04 dus AB z 54,04 Aanmerking. Wy zouden ook nog de gevallen kunnen befchomven, waarin AC en AB, BC en AB, BC en ZBAC bekend zouden zyn. Doch de oplosfing derzelven volgt zo gemaklyk uit de gegevene regelen, dat wy 'er ons niet . langer by behoeven op te houden. De hier opgeloste werkftukken worden thans alleen als voorbeelden van het gebruik der driehoeksmeting opgegeven. Wy zullen dezelven in het XI^Boek op nieuw en uitvoeriger behandelen, als zynde van een beftendig en onmiddellyk gebruik in de Zeevaart.  DERDE BOEK. G41 § 27. 11. Andere Werk/lukken uit de Zeevaart 9 tot welker oplosfing de kennis der fcheef hoekige driehoeks meting ver'êifcht wordt. IV. Twee fchepen, A en B (fig. 75.), zeilen elk pan een eiland, welke eilanden N. O. en Z. W. pan elkander liggen op 76 mylen afftand. A zeilt Z. ten O., B zeilt O. ten Z.: beide fchepen ontmoeten elkander (in C). — Men vraagt naar ieders afgelegden weg. De voorname moeilykheid , welke by dit en andere werkftukken van den zelfden aart plaats heeft, beftaat in het maken van de figuur, die tot de oplosfing nodig is, en het opfeilen, zo als men 't noemt, van de vraag De vaardigheid om zulks te doen kan niet dan door oefening en nadenken verkregen worden. Zo dra de vraag opgefleld is, volgt de oplosfing van zelve, door middel der gegevene regelen. — Ik befchryf dan tot dat einde een' cirkel, en trek door deszelfs middelpunt de kompasftreken die in de vraag voorkomen. De beide eilanden liggen N. O. en Z. W. van elkander. Ik plaats A en B in die ftreek: dan is de lyn ABn76. Het fchip A heeft Z. ten O. gezeild; dus langs de lyn A C. Door B trek ik de lyn B C evenwydig aan de ftreek van het O. ten Z.: het fchip B heeft dus langs de lyn BC gezeild; en het punt C,daar AC en BC elkander fnyden, is het punt yan ontmoeting. Q Nu  54* ZEEVAARTKUNDE, Nu kent men, in den driehoek ABC, de lyn AB zz 76 mylen. ZACB — ZDAEzzZDAO + ZOAEzzgftreken = 5ó°. 15' (§20.) lBAC = ZBAZ+ZZACr:5ftrekenr:56«>. 15'. dus is de A BAC gelykbenig, ZBC A — 18c0-- 2 x 560. 15'zz 1800 — 1120 30» — 67n- 30' Men vindt dan A C ( - BC) door deze evenredigheid. Sin. Z BCA : Sin. Z BACofABCzzAB:ACofBC (§ Log. AB of 76 zz h 8808136 Log. Sin. Z BAC of 560.15^9.9198464 Comp.Log.Sin. ZBCA of 670.30' zz o. 0343847 1-8350447 = Log. 68,4 dus A C zz B C - 68,4 mylen. § 28. V. Een fchip (fig. 76.) bevindt zich (in yf,) ft het gezicht pan twee kapen (E en C,) wier flrekking recht Z. en N. is: het hee't de eene kaap (C) recht O., de andere (B)N.O- ten O. 9an zich. Bet zeilt 5 mylen recht O. (tot in D\ en heeft nu de Noordlykjle kaap (B) N.0. ten N. i ftreek'OostIjk. Men begeert den afftand dier kapen van het fchip op de tyden der waarnemingen, en pan elkander, te kernen. Men  DERDE BOEK. 443 Men kent de lyn AD = 5 myien Z ABD ZZ ZABC — ZDBC — 5 ftr. - 3l — 5ó°. 15' — 39°. 22'. 3©" ZZZ 16°. 52'- Eo" Z BAD zz: Z ABW — 3 ftr. = 33°- 45' Z BDA S 1800 —'Ci6°.5a'. 30" + 33°- 45') = 180° - 50°- 37'- 3°" ES 12 90. 22'. 30" men moet AB, BD, AC, DC, en BC vinden. In den A A B D is Sin. Z ABD : AD zz. Sin. Z BDA : AB (§ 11.) Log. Sin. 1 BDA of 1290. 22'. 30"= 9 8881854 Log. AD of 5 =0.6989700 Compl. Log. Sin. IA B D of 160.52'. 30" = o. 5371759^ i- I2433I3 e= Log. 13,31 dus AB = 13,31 Sin. I ABD : AD = Sin. Z B AD : BD Log. Sin. Z BAD of 330.45'= 9- 74*739° Log.AD of 5 =0.6989700 Compl. Log.Sin. 1 ABD of 160. fr". 5371759 o. 9808849 = Log. 9,57 dus BD = 9,57 In den A ABC is R. : Cofin. Z BAC. = AB : AC (§ 8.) Log AB =1.1243313 Log.Cofin. Z BAC of 33°- 45' =9- 9198464 add. 1.0441777 = Log 11,37 dus AC - 11,07 Q 2 DC  244 ZEEVAARTKUNDE, DC = AC-AD=n, 07-5 = 6,07 R. : Sin. L BAC — AB : BC Log.AB zzï. 124?!?!» Log.Sin,iBACof33o.45'-9.744739o - add. — o.' 8690703 zz Log. 7,40 dus BC zz 7,40 S 29. VI. Een fchip, ten anker liggende (In A), heeft in het gezicht een toren (B), een molen (C), en een vuurbaak (D), die in eene rechte lyn O. en JV. liggen. De affland (BC) des torens van den molen is & myl. De toren is W.Z.W. van het fchip, de molen Z. TT. ten Z. \ freek fTestlyk, de vuurbaak Z. ten fV. 4 ff. Men vraagt elks affland van de ankerplaats, en den afpand (CD) tusfehen den molm en de vuurbaak. L ABD E i BAW zz 2 ftr. zz 22°. 30' L A C D zz L C A W zz 41 ftr. - 50°. 37'. 30" l ADo zz L DAWzz óiftr.zz 73". 7»;go. B c — 5,5 mylen. men moet AB, AC, AD, en CD vinden In den A BAC is L ACB - l8oo ~ L A CD zz 1800- 50 .37'. 1290. 22'. 30" vv derh. (in de Aen ace en bdf) z acg =TadH (H.§44.) Voorts (in de A«» cbe en dbf) z bcg = z bdh bc-bd zc11g = zdbh(ii.§37.) dus  VIERDE BOEK. 252 dus (in de Aen CBG en DBH) CG = DH LACG = LADH AC — AD dus (in de Aen ACGen ADH) AG = AH (in de AenCBG en DBH) 8G = BH AB = AB dus eindelyk (in de Aen ABG en ABH) l GBA = L HBA = t, (II. $ 44 en 12.) d. t. b. w. Aanmerking. Gelyk (H. § 45.) de loodlyn, uit een punt <:p eene lyn nedergelaten, de afftand van dat punt tot die lyn genoemd wordt, wordt ook de loodlyn, uit een punt op een vlak nedergelaten, de a /land van dat punt tot dat vlak genoemd. § 8. Twee vlakken worden gezegd evonwydig te zyn wanneer eene lyn, dié loodrecht op het eene ftaat, ook loodrecht op het andere ftcat. §9- De loodlyn (ACB fig. 79.) die door het middelpunt (C) van den groten cirkel (DKUVG) gaat, wordt deszelfs As genoemt. — De uiteinden (A en B) van dien as worden Polen des cirkels genoemd. — Daar de cirkel DKUVG door het punt D by de omwenteling des halven cirkels ADB om den as AB befchreven is, zullen alle de bogen (zo als AK), uit een' der polen tot den omtrek van  254 2EEVA ART-KüNDE, van dien cirkel getrokken = go», dewyl ADrBD — 90° is. — In dien zin wordt gezegd, dat elk punt van den omtrek eens groten cirkels 90° van elk' zyner polen afftaat. $ 10. Men kan zich voor eiken groten cirkel (zo als DKUVG fig. 79.) een onbepaald getal van kleine cirkels (zo als E F Y) voordellen, allen evenwydig aan elkander en aan diengroten cirkel. — De pool (A) van dezen cirkel is tevens pool van elk dier kleine cirkels, en ftaat even ver van alle de punten van deszelfs omtrek (boog AE rz boog AY). Aanmerking. Hieruit blykt, hoe men met een paster op de oppervlakte van eene fpheer eenen cirkel befchryven kan. Het punt, daar het ééne been van den pasfer geplaatst wordt, is de pool van den cirkel, dien het andere been befchryft. § n. De radiën van alle die kleine cirkels zyn kleiner, dan de radius van den groten-, en wel zodanig, dat voor eiken cirkel (zo als E F Y) CDofCE:EFzR,; Sin. I EC A - R. : Cofin. ZECD (III. § 4.) en dus, zo R. rr 1, EF - CD x Sin. I ECA — CD x Cofin. L ECD. dat is: de radius van een' kleinen cirkel is gelyk aan dien van de fpheer, vermenigvuldigd met den Sinus van den aftand' (in fig. 79.den boog EA) van dien  VIERDE BOEK. 255 di:n cirkel tot deszelfs pool, of met den Cofinus van deszelfs affland (ED) tot den groten cirkel, die den zelfden pool heeft. gevolg Twee kleine cirkels, die even verre van eenen evenwydigen groten cirkel afftaan (dat is, uit § 7. Aanm. en § 8, die even ver van het middelpunt der fpheer afftaan), zyn even groot. In fig 79., zo boog ED — boog IDis, is Radius FE ~ Radius HL) 1 § 12. Alle doorfneden van de fpheer, ook die, welke niet door het middelpunt gaan, zyn cirkels: want men kan zich altoos een vlak voordellen, everWydig aan die doorfneden, dat door het middelpunt gaat. § 13- Door tw^e punten op de oppervlakte van eene fpheer, kan men een oneindig getal cirkels laten gnan, doch maar éénen groten cirkel (§ 6.) De radiën van alle de overige cirkels zyn kleiner dan de radius van den groten (§11.) Daar nu een boog, boven de zelfde choorde befchreven, langer is, naar mate zyn radius kleiner is (zie fig.81); zal de loog des groten cirkels, tusfehen twee zodanige punten begrepen, kleiner, zyn dan alle de anders bogen, tusfehen die zelfde punten begrepen: en dus is die boog de konfte affland op dj oppervlakte van de fpheer tusfehen wee punten. —* Derhalven kan die boog, eene bejlendige en éénige grootheid zyn-  256 ZEEVAART-KUNDE, zynde, y0or eene maat van dien affland aangenomen en gebruikt worden. Wy zullen dus in het vervolg onder den enkelen naam van bogen altoos verftaan hogen van grote cirkels. § 14- De helling van twee vlakken (AKB CF, ADB CF fig- 79-) wordt gemeten door den hoek (DCK), dien de loodlyneti (CD, CK), uit het zelfde punt (C) harer gemene doorfnede (AB) op die doorfnede opgericht, met elkander maken. § 15- Door den hoek van twee bogen (DA, KA), die elkander in enig punt (A) fnyden, verftaat men den hoek, dien de richtingen van die bogen in dat punt met elkander makén. Die richtingen worden aangewezen door de raaklynen aan dat punt. Dus zullen de raaklyn MA in het vlak BDMAN aan A getogen, en de raaklyn OA in het vlak BKOAP aan A getogen, eenen rechtlynigen hoek MA O maken, gelyk aan den zo genaamden klootfclun hoek DAK. § 16. Die hoek is gelyk aan den boog (DK) van een' groten cirkel, bevat tusfehen de punten D en K, welke op AD en AK op 50° afftand van A genomen zyn. BE-  VIERDE BOEK. 257 kwïs. In fig. 79- is £ DCA rr i_ dewyl boog DA ~ 900, £ KCA ZZ L dewyl boogKA —900; dus £ DCK (zz boog DK) gelyk aan de helling der vlakken BDA en BKA (§ 14): tevens is £MAC r= L en £ OAC zz L (H- & 71.)» dus £MAO insgelyks gelyk aan de helling dier vlakken: derhalven £ MAO zz £ DCK ZZ boog DK. gevolg I. De hoek, dien twee bogeh niet elkander maken ^ is gelyk aan den hoek van de helling hunner vlakken. gevolg II. £ MAO zz £ NAP (II. § 37-); dus klootfche £ DAK zz kl. £ GAL: dat is; de överftaande hoeken, doof twee bogen gemaakt, zyn gelyk aan elkander. gevolg III. Kl. £ DAK ZZ boog DK insgelyks kl. £ DBK ZZ böog DK derh. kl. £ DAK zz: kl. £ DBK. dat is; de hoeken, door twee grote cirkels aan hunne beide punten van fnyding gemaakt , zyn gelyk aah elkander. gevolg IV. Een klootfche hoek is altoos kleiner dan 1800. gevolg V. Een boog, op een' anderen boog ballende, maakt altoos twee hoeken, die ofr^cht, Of te famen gelyk aan wee rechten zyn. Gevolg VI. De hoeken, door verfchillendc bogen, die zich in ccn punt fnyden , rondom dac punt gemaakt, zyn te famen gelyk aan vier recht* hcekw. R § 17»  258 ZEEVAARTKUNDE, § W» Alle de bogen, uit den pool van eenen groten cirkei op dien cirkel getrokken, zyn loodrecht op den zeiven: — en omgekeerd, alle bogen, rechthoekig op een' groten cirkel getrokken, fnyden elkander in deszelfs pool. bewys. Laat P (fig.82.) de pool zyn van den cirkel BDCA, en PC een boog uit P op BDCA getrokken. Maak CB — 900, en trek PB; dan is PC —CB rz 90°, en dus PB de maat van l PCB (% 16). Doch PB rr 90°, dus ook l PCB — 90°. d. t. b. op. Het omgekeerde blykt uit de ongerymdheid, waarin men vervalt met het tegendeel te ftellen. * gevolg. Wanneer men uit een punt E op een» cirkel BDCA eene loodlyn trekken wil, moet men door dat punt E en den pool des cirkels P eenen boog PEC trekken: die boog is de gezochte loodlyn. § 18. De hoek dien twee bogen met elkander maken, en dus de helling der vlakken van twee cirkels, (§ 16. Gev.I.) is gelyk aan den afitand tusfehen de- polen van die cirkels. bewys. (fig. 79.) Laten BMA en BKA de ' beide cirkels zyn, en laat A de pool van den cirkel DKG zyn. Maak D U - K V zz 90°, dan is U de pool Van BDA, V de pool van BKA; en DK - DU - KU - KV - KU - UV d. t. b. vi. II. O vet  VIERDE BOEK. 259 ïi. O pér hef Toppunt, de Kim of Horizont,-de Hoogte der hemelfche Ügchamen boren de kim, en de Kimduïking. % 19- Wy zullen, in de vooidragt van dat geen, 'c welk wy in gevolge van ons beftek omtrent den ftand, beweging, enz. der Hemelfche ligchamen, Sterren, Zon, en Maan, ontvouwen moeten, eene zodanige orde volgen-, dat wy de verfchynfels achtervolgens opgeven en verklaren , zo als zy zich achtervolgens zouden opdoen voor de ogen van den waarnemer, die, op enig ftip des aardbols geplaatst, door eigene befchouwing den Sterrenhemel en 't geen aan denzelven opmerkelyk is -wilde leren kennen. § 20. De enige onderftelling, die wy in de eerfte plaats maken moeten om de verfchynfels, die wy zullen waarnemen, behoorlyk te verklaren, is deze, dat de Aardbol na genoeg rond van gedaante is. — Dit is eene waarheid , waarvan wy ons niet dcor eene ogenbliklyke waarneming overtuigen kunnen; dewyl de aardbol zo groot is, dat zyne ronde gedaante voor een klein gedeelte der oppervlakte niet merkbaar is. Duch de zaak zelve is zeker, m door een aantal redenen, waarover ons beftek niet toelaat uit te weiden, buiten allen rwyfël geR a fteld. —  afo ZEEVAAiT-KUND E, fteld. _ Men heeft daarvan eene- in 't oog lopende blyk by de Ecüpfen der Maan, wanneer de Aarde» eene ronde fchaduw op de- fchyf der Maan werpt Ook de reistochten rondom den Aardbol zyn een algemeen bekend en onlochenbaar bewys Volmaakt klootrond is die gedaante niet, maar eenigszins platachtig. Hoe men dit ontdekt heeft kunnen wy hier niet uitleggen. Doch de af* Wyking van de ronde gedaante is zo gering, dat zy by zeer weinige gevallen in de Zeevaart in aanmerking komt § 21, In de onderftelling derhalven, dat de waarnemer, op enig flip van dien Aardbol geplaatst, den Hemel rondom zich befchouwt, zal dezelve hem voorkomen als een rond gewelf, of holle kloot, waarvan hy zich in het middelpunt bevindt. gevolg. Daar de waarnemer zich in het middelpunt van de fpheer bevindt, zullen alle de cirkels, die men zich aan de holle oppervlakte van de fpheer getrokken verbeeldt, en in wier middelpunt de waarnemer ondcrfteld wordt zich te bevinden, grote cirkels van de fpheer zyfl (§3.) Aanmerking. Eigenlyk heeft de fchynbare gedaante des Hemels iets langwerpigs, fchynende de affland, rondom langs de aarde gezien,verder dan die recht boven ons hoofd. Doch dit is Hechts een bedrog van ons gezicht. Wy hebben van gene dier afflanden enige bepaalde maat of denk-  VIERDE BOEK.' 261 denkbeeld: wy hebben dus gene reden om den .eenen groter te ftellen dan den anderen •, en zy zyn dus met betrekking tot ons gelyke radiën ■van eene fpheer, waarvan wy in het middelpunt zyn. 5 22. Het punt des hemels (T) (fig. 83.) 5 dat recht boven het hoofd des waarnemers, en dus in eene rechte lyn met zyn (landpunt (B) en met het middelpunt (A) des aardbols is, wordt Top, Toppunt, of Zenith genoemd. Het tcgenöverftaande punt des hemels (N) heet Nadir. § 23. Een cirkel, die rondom 9c0 van het toppunt afftaat, wordt Horizont, Kim, of Gezichteinder genoemd. AD (fig. 83.) is de radius van dien cirkel. § «4- Daar de waarnemer zich niet in het middelpunt (A) des aardbols, maar (in B) op de oppervlakte bevindt, zal hy, wanneer wy onderftellen dat zyn oog juist in B op die oppervlakte geplaatst is, zich niet eigenlyk in het middelpunt van dien cirkel bevinden; maar in tiet middelpunt van een'cirkel, wiens radius B C is, zynde B C evenwydig aan AD. Die cirkel wordt fchynbare Horizon of Kim genoemd: dezelve verdeelt de gehele fpheer in twee delen, waarvan het eene het zichtbare halfrond, het andere het onzichtbare halfrond genoemd wordt. Eigenlyk is het zichtbare halfrond iets kleiner dan R 3 tet  252 ZEETA ART-KUNDE, het onzichtbare. Doch het boogje CD bedraagt zulk een klein gedeelte van den omtrek, (uit hoofde van den verren afftand der hemelfche ligchamen, en dus van de lengte van de radiën BC en AD in vergelyking van den radius des aardbols AB) dat het door gene waarnemingen bemerkbaar is , en dus nimmer in aanmerking komt : men kan derhalven BC en AD als eene lyn aanmerken : en wy zullen, wanneer wy van zulke verre afgelegene hemelfche voorwerpen fpreken, geen ondcrfcheid maken tusfehen den waren en den fcfynbaren horizont. § 25. Bv de waarneming van een' voorwerp, dat niet öp zulk een'' onmeetlyk verren afftand is, maakt het zeer veel onderfcheid, dat de waarnemer in B cn niet in A geplaatst is. Stel M zodanig een voorwerp, de Maan by voorbeeld. De waarnemer in B zal dat voorwerp langs dc lyn BMC en dus juist in de kim in C zien. De waarnemer m X zal het langs de lyn AMH en dus reeds boven de kim C of D zien. Dit onderfcheid maakt het zogenaamde verfchilzicht uit, waarover wy in het vervolg breder zullen handelen. § 26. f Wanneer het oog des waarnemers zich niet in B, Jtfist op de oppervlakte, maar hoger boven dezelve, in E by voorbeeld, bevindt, gelyk altoos plaats fceeft, dan ziet hy rondom langs die oppervlakte; Cl)  VIERDE BOEK. 203 en wanneer men uit E eene raaklyn EF tot die oppervlakte trekt en uit B als pool met de opening B F des pasfers (S 10.) een' cirkel befchryft, zal de waarnemer, door gene voorwerpen belemmerd zynde, juist dat gedeelte des aardbols, 't welk binnen dien cirkel bevat- is, overzien, en de cirkel uit B met de opening BF befchreven, wordt de aardfche Horizont of kim genoemd. Aanmerking. Wy hebben dus hier een duidelyk bewys van de ronde gedaante des aardbols. Wanneer'wy ons .op eene onbepaalde vlakte, zo als die der zee, bevinden, is de uiterfte rand, die ons gezicht rondom bepaalt, duidelyk zichtbaar, en de voorwerpen, buiten denzelven, zyn niet daarom onzichtbaar, om dat zy te flaauw zyn om gezien te worden, maar om dat wy, langs de oppervlakte der aarde ziende , 'er, om zo te fpreken, overheen zien. Iemand (fig.84.) zich bevindende in den mast van een fchip, dat in B is, zal, langs E F en EK ziende, van het- fchip N of van den toren P niets gewaar worden. Wanneer het fchip N tot in L voortgezeild is, zal men uit E den top van den mast Q, doch niet het gehele fchip kunnen zien. Van den toren O zal te tóp alleen zichtbaar zyn. Het is om deze reden dat men, land ziende, eerst de toppen der bergen en der torens in het gezicht krygt. Iets dergelyks kon geen plaats hebben, zo de aarde een plat vlak Mm R 4 S *7«'  264 ZEEVAART-KUNDE § 27. Wanneer wy'in fig. 83. de raaklynen EF cri EK tot aan den cirkel TSHCD, die hët'fdhynbare gewelf .'des hemels verbeeldt, naar G en R verlengen, zal voor den waarnemer, wiens ooff m E is, het ftuk RUTSHCDG van de fpheer zichtbaar zyn, 't welk groter is dan de helft UTSHCD, waarin de fpheer door den waien horizont (§ 23, 24) verdeeld wordt. § 28. Een cirkelboog, uit het toppunt loodrecht op den horizont nedergelaten, wordt een Fertikaalcirkeloï Hoogtecirkel genoemd (TSD, TU, in fig. 83.) § 20, Wanneer zodanig een vertikaal (TSD) door een hemelfch voorwerp, Zon of Ster (S)by voorbeeld, getrokken wordt, wordt het gedeelte(SD) van dien cirkel, dat tusfehen het Voorwerp en den horizont bevat is, (met andere woorden de loodrechte afftand boven den horizont),deHoo-tevan dat voorwerp genogmd: TS, het complement van die hoogte, wordt deszelfs Afpand van het Toppunt genoemd. § 3'o. Een waarnemer, wiens, oog in B geplaatst is zal de fter op die hoogte SC of SD waarnemen' want wy hebben gezien (§ 24) dat voor zeer verre i. af.  VIERDE BOEK. «165 afgelegene voorwerpen, het verfchil tusfehen die pogen niet rn aanmerking komt. Wat omtrent anderen plaats heeft, uit hoofde van het-verfchilzicht, zal ftraks blyken (§ 47 - 5°0- § 3i- Doch een waarnemer, wiens oog in E geplaatst is, ziet de kim niet in O of D, maar in G, dus zo veel lager als de boog CG of DG bedraagt. De hoogte van de fter boven die kim is dus zo veel groter. Die boog C G of DG wordt de Klmduiking genoemd. S 3t? Om derhalven de ware hoogte (SC of SD) van eene ,fter te kennen, dat is, die hoogte, welke zy voor ons hebben zou, indien ons oog in B geplaatst was, moet die kimduiking van de waargenomen hoogte S G afgetrokken worden. Aanmerking. Wy drukken ons hier uit, even als of men, met het blote oog naar de fier ziende, die hoogte behoorlyk in graden enz. op het gezicht bepalen kon. Doch dit is niet mogelyk; wy zullen in het vervolg zien, welke werktuigen daartoe nodig zyn, cn hoe men die gebruiken moet. Het zal dan blyken, dat, wegens de inrichting dier werktuigen, de kimduiking fomtyds bygetjeld in plaats van afge« trokken moet worden. 5 §33-  265 ZEEVAART-KUNDE § 33- Het maakt gene verandering in de grootheid der kimduiking, of de Srer zelve hoger of lager ftaatmaar de kimduiking is groter, naarmate het oog des waarnemers hoger boven de oppervlakte des aardbols verheven is. Zo het in e is, hoger dan in E9 zal ook de kimduiking Cg > CG zyn. § 34- Uit hoofde van dc grote lengte van den radius AD, zullen CV en VG niet merkelyk van dien radius verfchillen, cn dus mag men den boog CG gelyk ftellen aan ZCVG. Wanneer men dan F W -t- AB trekt, zullen, daar L ABC en ZAFB recht zyn (II. § 71.) de driehoeken EVB, E F W,E AF allen gelykvormig zyn (II. § 83.). Dus is de kimduiking — boog CGziCYG-iEAF. § 35- Men kan derhalven voor elke hoogte BE van het oog des waarnemers dien hoek, en dus de kimduiking, met weinig moeite berekenen, wanneer de radius des aardbols AF (- A B) bekend is Dezelve bedraagt omtrent 1693836 Rhynlandfche, roeden, of 20326032 voeten. Nu heeft men in den rechthoekigen driehoek A F E de rechthoekzyde AF gelyk aan dien radius, en de hypotenufa AE _ AB -f BE, dat is, gelyk aan de fom van den radius des aardbols en van de hoogte van het oog  VIÉRDÉBO'EK. 267 oog des waarnemers. Men zou dus den ZEAF kunnen vinden door dezen regel AE : AF — R.: Cofin. ZE AF (III. § 6.) Doch daar de Z EAF altoos zeer klein is, en de Cofinusfen voor zeer kleine hoeken weinig "verfchillen, zou men op die wyze gene genoegfaam naauwkeurige uitkomst verkrygen. Het is dus beter, eerst de lyn E F te zoeken door het voorfchrift van Boek III. § 6. Aanm.; en dan Z EAF door dezen regel; AF: EF — R. : Tang. Z EAF (III. §5-) VOORBEELD. Stel de hoogte van het oog EB ~ 36 voeten dan is AF = 20326032 AE(—AB + EB) = 20316068 fom = 40652100 Log. = 7,6090830 verfchil = 36 Log. = 1,5563025 9- 1653855 Log. E F = 4.5826928 Log. AF = 7. 3080526 7.2746402 =Log. Tang. 6'. 28» Het is ten naasten by op deze wyze, dat de Tafel voor de Kimduiking berekend is, die men in de Verzamelingen voor het gebruik der Zeevaart gefchikt, onder anderen in die, welke gevoegd is by de Verhandeling over het vinden der Lengte öp Zee, te Amflerdam by G. Hulst van Keulen 1787. aantreft. Het getal echter, 't welk wy voor de kim-  S«8 ZEEVAART- KUNDE, kimduiking voor 36 voet gevonden hebben, is groter *an het getal in de Tafel, dat 6' »• is: wat de reden van dat verfehil is, zai i„ het ver.voIg (S 450 blyken. & § 86. Tot hier toe hebben wy onderfteld, dat 'er gene voorwerpen waren, die den waarnemer beletten de k,m F te zien en den hoek S EF (fig. 83 en 85) te meten. Doch 'er kunnen op zee gevalle; voor komen, waarin zulks*geen plaats heeft, 't zy uit hoofde van nevel, die de kim bezet, of van nabyheid van land. Onderftcl, by voorbeeld, dat de waarnemer, in E geplaatst zynde, in 1 het land zie; - en daardoor belet worde, den hoek SEF te meten: doch dat hy in ftaat zy om de grootheid van den hoek SE, te kennen. Dan zafhy,om de hoogte van S (dat is, EZ -L op AE trek tende, den hoek SEZ) te bekomen , niet den hoek ,, ~ ZEF' maar den hek ZEI moeten aftrekken. Wanneer men den afftand BI, by -isfinof op énige andere wyze kent, kan men die'n hoek hgtelyk berekenen. Want dan zyn ih den driehoek EAI de zyden EA en AI bekend, cn, daar men veet dat 15 -mylen éénen graad des aardbols uitmaken zal men, BI in mylen uitgedrukt hebbende, den £ BA I in minuten of feconden kennen. Men gevolglyk den hoek AEI, en.dus ook den hoek ZEI (— 900 —£ AEI)die in dat geval de kimduiking », vinden. Het is op die wyze dat de Tafel van ^ duihng der kim op verfckiHe.de afftanden van den tammer ( VerZl van Tafelen, Ta/el II.) berekend III. O-  VIERDE BOEK. 269 til. Oxer de RefraSie, Dampheffing3 of Straalbuiging. § 37' ■ Wanneer eene lichtftraal uit eene ylere ftofie in eene dichtere Cuit lucht by voorbeeld in water), of uit eene dichtere ftofie in eene ylere overgaat (uit water by voorbeeld in lucht), en de hoek, waarmede die ftraal op de oppervlakte valt, welke de beide ftoffen van elkander fcheidt (in ons voorbeeld op de oppervlakte des waters), niet recht is, zal die lichtftraal eene buiging of breking ondergaan. •§ 38. Wanneer men op die oppervlakte, door het punt daar de lichtftraal valt, eene loodlyn trekt, zal de ftraal, uit eene ylere ftofie in eene dichtere overgaande, naar die loodlyn toe, en uit dc dichtere ftofie in de ylere overgaande, van die loodlyn af gebogen worden. § 39- Zo de ftraal zelve loodrecht op de oppervlakte valt, zal 'er gene buiging plaats hebben. Figuur 86. dient ter verklaring dezer drie voorftellen. Laat BIO U de oppervlakte van het water verbeelden: de lichtftraal AB, onder een'fchuinfehen hoek AB invallende, zal in B eene buiging of breking ondergaan, en, in plaats van langsBF voort te gaan, lan^s BC voortgaan. Daar de lichtftraal hier in eene  2?o ZEEVAARTKUNDE, eene dichtere ftofFe overgaat, wordt hy naar dè loodlyn DBE, op BIgetrokken, gebogen, dat is, Z ABI is > L CBE. 5 De lichtftraal GI, komende van een voorwerp G, dat onder water is, en by I i„ de lucht over. gaande, wordt gebroken, en, daar hy in eene ylere itoffë overgaat, van de loodlyn KI verwyderd • in Plaats van Jangs IA voort te gaan, gaat hy langS IH voort. Een oog, in H geplaatst, zou dus het voorwerp G, niet in G daar het waarlyk is.maar ergens in g in de richting H lg zien. Wy zien de voorwerpen onder water altoos hoger dan zy waarlyk zyn. Dit is eene der redenen, waarom men, mikkende om iets onder water te ra ken, altoos lager, zo als nien 't noemt, aanlegen moet, dan men anders doen zou. Men meent het voorwerp in g te zien; het is ondertusfchen in G Men moet dus te werk gaan als of men onder r door wdde werpen, zal men het punt G treffen" Een ilok MN, fchuinfch in het water geftoken zal zich niet recht, maar als gebroken in O, en dus m dc richting MOP vertonen. Stel dat XYZ de rand van een bak of kom met water zy: laat Q een voorwerp op den bodem verbeelden, een ftuk geld by voorbeeld, eene bloem of iets dergelyks. Zo lang de kom leég is, kan het oog, in R geplaatst, niets van dat voorwerp zien , dewyl de ftraal QZS,die langs den rand gaat, voorby het oog valt: doch wanneer men water in de kom giet, zal de ftraal QU, die te voren langs QUT  VIERDE BOEK. ft?E QUT voortging en buiten het oog viel, nu in ü gebroken worden, en in de richting U R in het oog vallen,.'t welk gevolglyk het voorwerp ergens in V in de richting QUV zien zal. Eindelyk, wanneer eene lichtftraal KI of DB loodrecht door de oppervlakte gaat, heeft 'er gene breking plaats. Naarmate de fchuinsheid, waarmede de ftraal invalt, groter is, is de hoeveelheid van breking groter. De ftraal BD (fig.87.) valt fchuinfcher dan AB: de hoek, waarmede DB van de rechte lyn afwykt, is e BE: die voor AB is cB C: de hoek e BE zal groter dan de hoek cBC zyn. Door waarneming kent men dc wet, welke hieromtrent plaats heeft: zy is deze, dat voor de zelfde vloeiftoften altoos eene beftendige reden plaats heeft tusfehen den Sinus'van den hoek ABF of D B F, die hoek van inval, en dien van den hoek EBI of CBI, die hoek van breking genoemd wordt. Indien by voorbeeld GH de oppervlakte van water . is, zo dat de ftralen AB, DB, uit lucht inwater overgaan, is altoos ten naasten by Sin. I ABF : Sin. I CBI = Sin. 2, DBF : Sin. 1EBI = 4:5-. Zo de ftralen uit lucht in glas overgaan, is Sin.i ABF : Sin. I CBI enz.= 17 : 11. Aanmerking. Ik heb geoordeeld de leer der RefraCtie wat breder te moeten uitleggen dan gewoonlyk gefchiedt, dewyl derzelver kennis niet  s73 ZEEVAART-KUNDE. met alleen hier, maar ook by de verklarin* van de famenftelling en het gebruik van fextant en oétant, van kykers, enz. en in. witheiden* andere gevallen onontbeerlyk is. §41. I • De aardbol is omringd met ceneh dampkring door welken de ftralen, die van de hemelfche voorwerpen komen, heen moeten gaan om in ons oog te vallen. Die dampkring, dien wy gewoon zyn lucht te noemen, wordt hoe langer hoe yler naar mate de afftand van de aarde groter is. zó* die dampkring (fig. 88. ) uit dunne w„ a« CD enz. beftond, dieeik van gelyke dichtheid waren' doch zo, dat BC yler dan AB, CD yler danBc' was, enz. zou de lichtftraal SF, uit eene fter S komende, by F gebroken worden en langs FE voortgaan, by E wederom gebroken worden eri iangs ED voortgaan enz. De ftraal zou dus den veelhoekigen weg FEDCBA afleggen, en in de richting A B in het oog des waarnemers in A. vallen, die de fter gevolglyk in de richting AB; ergens in s zou waarnemen. Hoe dunner de lagen A B ' enz- zvn> hoe kleiner de lyntjes AB^C enz' Worden, en hoe nader de veelhoekige lyn FEDCBA aan eene kromme lyn komt: en daar de dichtheid van den dampkring geregeld afneemt, zal de weg van eenen lichtftraal ZL door denzelven indedaad eene kromme lyn LKIHGA wezen; en het oog zal uit A de fter Z zien in de laatfte richting van ' d«e lyn, dat is, langs de raaklyn AM arn die lyn  VIERDE B Ö É K. 272 iyn in het punt A getogen. Het uitwerkfel der Refraftie is dus het zelfde ilsöf de ftraal by M ingevallen, daar gebroken, eri langs de réchte lyn M°A voortgegaan was; gelyk gefchied zou zyn, indien dé dichtheid van den dampkring niet lang/ famerhand afnam, maar overal de zelfde was. i 42. Wy zien gevolglyk de hemelfche voorwerpen niet op hunne ware hoogte, maar hoger dan wy doen zouden, indien de ftralen, van dezelveh tot ons komende, niet door den dampkring gingen. Het voorwerp N, Ster, Zon, of Maan, wordt reeds aan de kim in « gezien, terwyl het indédaad nog onder dc kim in N is. De fter Z, welker ware hoogte O Z is, wordt waargenomen op de hoogte Öz. Óm derhalven de ware koogie OZ te kennen, moet men dat boogje Z z, hét uitwerkfel der Refractie, voör elke verfchillende hoogte Ozkenrien. Het is diÉ boogje, dat men in de Tafelen der Refraaie ( Verzameling van Tafelen, taf. III.) vindt. Hoe die Tafels berekend zyn, is niet mogelyk hier te verklaren. § 43- By het inzien van die Tafelen zal men vinden, en. het blykt uit den aart der zaak zelve, dat de Refractie aan de kim het grootfte is. De lichtftraal N Q moet d^r een' langer' weg Q A. door den dampkring afleggen om in A te komen; en valt fchuinfeher (§ 40.) , dan in F of L by voor. S beeld,.  274 ZEEVA ART-KüNDE, beeld Vandekimaf tot aan het toppunt toe wordt de refractie hoe langer hoe kleiner: en in het toppunt zelve is de refractie nul, dewyl de ftraal TP vaftcTsp Ï P °P ^ C?PerVlakte des dampkring. § 44- De dichtheid van de lucht is niet overal altoos de zelfde, gelyk uit het verfchil in de hoogte van den Barometer blykt. Ook de verfchillende graad van warmte en koude, die door den Thermometer wordt aangewezen , heeft daarop invloed. By de berekening van de Tafel der Refractie heeft men een' gemiddelden graad van dichtheid, en dus een' gemiddelden ftand van Barometer cn Thermometer moeten aannemen. Dit is ook de reden, dat men naast de gewone Tafel van Refraétie nog eene andere vindt, om in de verzengde luchtftrcek, naby den Evenaar, te gebruiken, alwaar de hitte doorgaands zeer groot is. § 45- De Refractie veroorzaakt enige verandering in ie grootheid der kimduiking, en brengt te wege dat de-wyze om de kimduiking te berekenen, die wy § 35- opgegeven hebben, niet genoegfaam naauwkeurig is. Die berekening namelyk fteunt op de onderftelling dat EF (fig. 83 en 85.) eene rechte iyn is; aIsdan is L ZEp (fig ^ de ^ duiking. Doch de lichtftraal, uit F naar E gaande, Wordt in den dampkring gebogen, en neemt (fig. 89.) de  VIERDE BOEK. *75 ié gedaante der kromme lyn E WF aan. Hy vale dus in het oog des waarnemers volgens de richting van die lyn in fej dat is, volgens de richting van de raaklyn E ƒ in E aan dezelve getogen. De duiking der kim is derhalven ÜkVttfi en dus minder dan zy wezen zou, indien 'er gene refraftie plaa.s had; want IZE/GD is, blykt het dat het verfchilzicht groter is naarmate de afftand van het middelpunt des aardbols groter is. Het is niet moeilyk, wanneer men den afftand AE van het voorwerp en den radius AB des aardbols kent, dien boog FD of FP(die = Z FAP = Z.ACB is, II § 38) te berekenen. Want men heeft in den yechthoekigen driehoek ABC(IH§6) S 3 AC:  2?8 ZEEVAAR. T-KUNDE, AG : AB = Rad. : Sin. 2ACB cn dus Sin. £ACB = M_X-M AC Die faoek ACB WOrdt Horizontaal Ferfihilzkkt genoemd. Aanmerking I. Wy onderftelien hier altoos, dat de radius van den buitenften cirkel TLM KDP in fig. oo, zo groot is, dat de punten D en P als het zelfde punt mogen aangezien worden. Aanmerking II. Wy kunnen hier niet uitleggen hoe men den afftand AC voor de zon maan , of andere hemelfche ligchamen vinden kan.- Wy zullen in h;t vervolg dat geen, ?t welk hier in 't algemeen voorgedragen is, „&g m het byzonder op het horizontale verfchilzicht der Maan toepasfen. Wy zullen dan tevens zien welke verandering de niet volkomene rondheid des aardbols (§ *,), cn dus deonge!-vke le van den radius AB op onderfcheidene' plaatfcn daaraan toebrengt. ' § 50. De twede oorzaak, waarvan de grootheid var het verfchilzicht afhangt, is de hoogte van het hemelfche voorwerp boven de kim. Wanneer wy M fig. 90. onderftelien dat het voorwerp E, ter wyl het tot de ware hoogte PM ryst, den zelfden afihind AE = AI blyft behouden, zal het verfchilzicht in I (de hoek AIB) kleiner zyn dan het ho-  VIERDE BOEK. 279 horizontale verfchilzicht (de hoek AEB). Wanneer men het horizontale verfchilzicht kent, is het niet moeilyk den hoek AIB, die het Verfchilzicht in Hoogte genoemd wordt,te berekenen. Immers is in den A AEB AE : AB = R- : Sin. L AEB en in den A A 1B AI : AB = Sin. I ABI ! Sin. I AIB Maar AI = AE, derhalven ! R, : Sin. I AEB = Sin. 1 AB I : Sm. L AIB de hoek AEB is het horizontale verfchilzicht;' Sin lABl-Sin.ITBK(II.§94Gev.)-Cof.iKBD ' (ii. § 95) = Cof- fchynbare ho°gtg' dus wordt de gemelde evenredigheid deze R. : Sin. hor, verfchilz. zz Cof. fchynb. hoogte : Sin. verfchilz. in hoogte en dus Sin. verfchilz. in hoogte = Sin. hor. verfch. * Cof fchynb. hoogte doch het verfchilzicht is altoos een klein boogje, dat onmerkbaar weinig van zyn' finus verfchüt (II %n\) Men mag dus de boogjes zelve m plaats van'de finusfen gebruiken-, en dus bekomt men Verfchilz. in Hoogte ZZ Hor. verfchilz. x Coi. fchynb. ho. Daar de cofinus van een' boog kleiner wordt, „aar mate de boog groter wordt,(IL % 104)blykt het uit dit voorfchrift, zo wel als uit de figuur, dat het verfchilzicht in hoogte kleiner wordt, naar mate de hoogte groter wordt, en dat in het toppunt geen verfchilzicht plaats heeft, 'dewyl dan de hoogte % 9oo, dus Cof. hoogte zz o (Tl. § 104) en horiz. verfch. x o^o is. g ^  fOp ZEEVAART-KUNDE, Het is volgens dit voorfchrift, dat de Tafels va* het verfchilzicht in hoogte voor Zon en Maan (de IV' en VII* in de Verzameling Tan Tafelen, by van Keulen) berekend zyn. voorbeeld. De afftand der Zon van den aardbol is altoos na genoeg de zelfde: het horizontale verfchilzicht bedraagt 9". Men begeert het verfchilzicht voor 63° hoogte te kennen * ■ • Log. Cof. 63°- 9.6570468 Eog. 9 — o. 9542425 0.6112893 - Log. 4,1 dus het verfchilzicht voor 63° hoogte _ 4« De afftand der Maan van den aardbol verandert telkens; en men moet gevolglyk, om voor eene bepaalde hoogte, 5I. bj V00ïh{ic[^ het verfchi,_ zieht te berekenen, voorafweten, hoe groot voor dat ogenblik het horizontale verfchilzicht is, dat is hoe veel'het verfchilzicht bedraagt voor een'waar' UT ^ m3an 3an Z^ne kim ™ op het zelfde tydftip dat wy haar op 51° hoogte zien Dat horizontale- verfchilzicht vindt men in d<-n Zeemans-Almanack, die jaarlyks (in onze taal by va w keulen) wordt uitgegeven, Qp bJadzyde lil. van eike maand. Indien men dan by voorbeeld, in dienAlmamnch zoekende, het horizontale verfchilzicht voor het ge-  VIERDE BOEK. a8ï gegeven tydftip ~ 57' vindt, berekent men het verfchilzicht in hoogte voor 51° als voren Log. Cof. 51°= 9.7988718 Log. 57 — i- 755»749_ _ 1T5547467 — Log. 36' ten naastenby; dus het verfchilzicht in hoogte voor 510 - %6' Het is op deze wyze dat de "VU6 Tafel, in de Verzameling van Tafelen by van keulen- berekend is. Men zoekt in dezelve bovenaan het horizontale verfchilzicht, in den Almanach gevonden hier 57') en ter zyde de hoogte (hier 51O) ;en men vindt, op de plaats, daar de kolommen elkander kruisfen, het getal 36- § 51- Vanneer wy alles, wat tot hiertoe, van § 28. af, omtrent de hoogte der hemelfche ligchamen, 'en' de oorzaken, welke enige verandering in de waarneming van die hoogte te wege brengen, voorgedragen is, met elkander vergelyken, zullen wy vinden I. Dat de Kimduiking altoos in aanmerking komt, wanneer wy, met het oog boven de oppervlakte des aardbols verheven zynde, de hoogte van een hemelfch voorwerp boven de kim waarnemen: dat die kimduiking voor elke hoogte van het oog eene beftendige grootheid is, die niet afhangt van den meerderen of minderen afftand van het voorwerp van den aardbol, of van deszelfs meerdere of mindere hoogte boven de kim: en dat dezelve hygeield  28s ZEE VA ART-K LT N D ja of afgetrokken moet worden (§ 32), naarmate der inrichting van het werktuig, waarmede men die hoone waarneemt; gelyk in het vervolg (Boek V) blyken zal. II. Dat de Refradle of Bampheffing van de meer dere of mindere hoogte van het voorwerp boven de kim afhangt, en dat dezelve altoos nmet afgetrokken worden (§ 43,42). III. Dat het Verfchilzicht afhangt, vooreerst van den meerderen of minderen afftand van het voor werp van den aardbol (§ 49), en ten anderen van deszelfs meerdere of mindere hoogte boven dekmX§5ov en dat hetzelve altoos moet bygeteld worden (§48^ Noemende derhalven K de kimduiking, D de dampheffing, V het verfchilzicht, zó zal altoos Ware ho. - Schynb. ho. + K - D + V zyn Wanneer men de hoogte van het uitwerkfel der kimduiking gezuiverd heeft, zal V-D of D-V te correctie zyn die men 'er vervolgens aan toe moet brengen, om de ware hoogte te bekomen, /.o V < D, zal men 'er iets moeten aftrekken; zo V > D, iets bytellen. Het eerfte heeft plaats voor de Zon, het laatfte voor dc Maan: wy zien de Zon altoos te hoog, en de Maan altoos te laag Om derhalven in 't algemeen de correftie te vinden, moet men D in Tafel III. (z}e § } en y voor de Zon in Taf. IV. en voor de Maan in Taf VII opzoeken: het grootfte der gevondene getalen van het kleinfte aftrekken, en het verfchil aftrekken van de fchynbare hoogte der Zon, en bytellen by de fenynbare hoogte der Maan. § 52-  y ï E ït D E BOEK. als § 5«- Voor de Maan' heeft men, tot groter gemak van den rekenaar, eene afzonderlyke Tafel bere. kend, waarin men, voor elke gegevene hoogte en voor elk gegeven horizontale verfchilzicht, de correctie (V-P) onmiddellyk vindt. Zodanig eene Tafel is zeer gemaklyk te berekenen: ftel by voorbeeld het horizontale verfchilzicht 57'en de hoogte 37°: dan is C§ 5-) Log. Cof. 370 = 9.90234^6 Log. 57*. of 3420" = 3- 534°a61 3-4363747 =L°ë-^31*3 dus verfchilzicht in hoogte = 273i,3" = 45'3i'S3 damph. Tuit Taf. III.) voor 370 hoogte = 1' I5",7 r fubftr. dus dc correctie = 44' 15V> of 44' ró" 't welk juist het getal is, dat men in die Tafel (de VlIPe in de Verzameling by vankeulen) voor 57''horizontaal verfchilzicht en 37° hoogte aantreft. Wy zullen het gebruik dier Tafelen in de praktyk nog naauwkeuriger aanwyzen, als wy over het gebruik der waargenomene hoogten van hemelfche ligehamen in de Zeevaart handelen zullen. V. O-  »*4 ZEEVAAR T-K U N D E, V. Over de Dagelykfche Beweging des hemel:, de Men, den Evenaar, den Opgang, Ondergang, Uurhoek, Azimuth enz. der hemelfche lichamen in het algemeen. $53- Wanneer wy den hemel,vooral by nacht,enigen tyd achter elkander befchouwen, bemerken wy dat de hemcirche ligchamen, Zon, Maan, Sterren^ rnet betrekkmg tot. ons van plaats veranderen dat zy allen van de rechter naar de linkerhand voortgaan, en tevens ryzen of dalen, het ééne meerder, en het andere minder. § 54- Wanneer wy alle deze bewegingen met elkander S n n',bCmerken d3C ^ ^ -k,aard lZ7r^T ? ^ °nderfte,li"S ^t het gehele gewelf des hemels, in welks middelpunt wy ons bevmdenrS^^als een bol op zyn' as of fpilf^ gedraaid wordt. F ' a Aanmerking I. Eigenlyk is het de aardbol die, om zyn> as drMijende> de geme]de ^ fehynfcs te wege brcng£; doch ^ ^ verklaring komt het op het zelfde uit, Welke onderfteliing men daaromtrent aanneme • en het zou zelfs niet wel mogelyk zyn, in het dagelykfche gebruik, anders te fpreken, dan in ^ onderfteliing dat het de hemel is, die rond- Aar,-  VIERDE BOEK. 285 Aanmerking II. De hemelfche ligchamen, welke eene eigene beweging hebben (Zon, Maan, Planeten, Kometen,) dat is, welke hunnen Hand veranderen met betrekking tot elkander en tot anderen, bewegen zich echter, even als alle de overigen, met den gehelen hemel, en maken dus ten dezen opzichte gene uitzondering. Over derzelver eigene bewegingen zullen wy in het vervolg handelen. § 55- Die fchynbare omwenteling van het gewelf des hemels, en de daaruit ontftaande beweging der hemelfche ligchamen, wordt derzelver Dagelykfche. Beweging genoemd. § 56- By ieder' bol, die om een' as of fpil bewogen wordt, zyn twee punten, die in rust zyn; de uiteinden namelyk van dien as, de punten, waarin de bol als 't ware opgehangen is Dit zelfde heeft dus ook plaats by de fchynbare omwenteling van het gewelf des hemels, of zogenaamde dagelykfche beweging. § 57- De beide punten des hemels, welke in rust zyn, terwyl alle de overige rondgevoerd worden, dragen den naam van Polen (Vergelyk § 5 en 9> §58.  286 ZÊEVA ART-KÜNülj § 58- teder waarnemer heeft een' dier polen boven f en den anderen onder zynen horizont, of beiden in den horizont. De hoogte van den pool boven den horizont, wordt Poelshoogte genoemd. Elk ftip des aardbols heeft gevolglyk eene bepaalde Poolshoogte ; Amfterdam, by voorbeeld, die van 520.2i-.5Ó".— Laat in fig. 91. T het toppunt,HGN denhorizortt, P en Q de polen verbeelden, dan is PN de poolshoogte voor den waarnemer, die T voor toppunt heeft. _ De afftand (TP) van den pool tot het toppunt is het complement van de poolshoogte (P N) ( § 29) De onzichtbare pool is juist zo laag onder den horizon, als de zichtbare 'er boven verheven is CHQ = PN). Aanmerking. Hoe men dat punt aan den hemel, en deszelfs hoogte voor elke plaats, vinden en bepalen kan, zal in het vervolg (Boek V! en VIII.) blyken. Ten naasten by kan men het op het oog vinden, door middel der fter, of fterren, die 'er zeer naby ftaan, en dus, in vergelyking met de overigen, weinig of niet van plaats veranderen. § 59* De pool (P), welke in onze gewesten -boven den horizont is, wordt Noordpool, tn de tegenover, ftaande (Q) Zuidpool genoemd. § 60.  VIERDE BOEK. 287 §60. Een grote cirkel (PTHQZN) i door het toppunt van eenig ftip op den aardbol en de beide polen getrokken, wordt Meridiaan of Middaglyn van dat ftip genoemd. De reden dier benaming zal § 66. nader blyken. Aanmerking. Het is die lyn, welke, op den aardbol overgebragt, gelyk wy § 77? 78»nader verklaren zullen 3 de richting van het N. en Z. naauwkeurig aanwysf, welke richting wy in het III. Boek § 19. reeds op eene andere wyze hebben leren vinden. §61. De cirkel (EF/R), die overal 90° van elk'der polen afftaat, en die dus een grote cirkel van de fpheer is (§ 9.), wordt Erenaar, Equator, Even- ^ nachtslyn of Linie genoemd. § 62. De loodrechte afftand (SF) van eenig punt of voorwerp (S) des hemels tot den Evenaar , wordt Declinatie van dat voorwerp genoemd : en daar de pool overal 900 van den Evenaar af is, is de afftand (S P) van dat voorwerp tot den pool = 900 — Deel. — Compl. Declin. § 61. Ieder punt des hemels (A,E,D,), behaiven de polen, befchryft door de dagelykfche beweging een' cirkel. — Die cirkels zyn groter, naarmate de  288 ZEEVAART-KUNDE, de afftand van het punt tot den naasten pooi nader aan 9c komt. - De Evenaar is dus de grootHe van die cirkels (§ 50 - Zy worden allen in den zelfden tyd befchreven; enDagcirkels genoemd. Daar zy allen evenwydig aan elkander en aan den Evenaar zyn (§ I0.) worden zy ook Parallelcirkel; geheten. § 64. _ Wanneer een hemelfch ligchaam door die beweging aan onze kim komt, en vervolgens boven dézelve ryst, wordt het gezegd voor ons op te gaan: Wanneer het aan de kirh komt, en vervolgens beneden dezelve daalt, wordt het gezegd onder te gaan. § 65. . De ^fraaie brengt te wege, dat de hemelfche ligchamen vroeger opkomen en later ondergaan; dan ( zy doen zouden indien 'er gene refractie plaats had Laat (fig. 92) A SjB zZde dagcirkel zyn, dien de fter S befchryft, T zy het toppunt, enHS WNVZ de kim. De ftef S zal opgaan als zy aan de kim in i gekomen is, doch de refractie is oorzaak datzy, reeds eer zy in S is, terwyl zy by'voorbeeld zich nog m s bevindt, zich aan de kim vertoont in VV* wanneer men s W loodrecht op HSN trekt: de' fter gaat onder als zy wederom in Z gekomen'is, doch de refractie is oorzaak dat zy zich nog aan de kim vertoont (in v) wanneer zy 'er reeds 5nder is en zich in z bevindt. Zy is dus in 'c geheel langer boven de kim dan zy zyn zou indien 'tr'ge.ie refractie plaats had. § 66  Vierde boek. as$> § 66. Elk hemelsch ligchaam gaat telkens tusfehen zynen opgang én ondergang, en dus in 24uten tweemaal , door den meridiaan: de doorgang,welke bovenden horizont plaats heeft,wordt gemeenlyk enkel Doorgang door den meridiaan genoemd. Het heeft dan zyne grootfte hoogte boven den horizont. Aanmerking. Wanneer men § 60 en § 66 met § 19 van het III Boek vergelykt, zal men zien, dat het middel, aldaar opgegeven om de richting van het N en Z te vinden , met de bepaling en aanmerking van § 60 overeenkomt* § 67; Hemelfche ligchamen „ (zo als S fig. 93) -> wier afftand SP van den pool P gelyk is aan of kleiner dan de poolshoogte PN voor den waarnemer, blyven altoos boven zyneh horizont, en gaan dus hooit voor hem onder, § 68. Hemelfche ligchamen , (zo ais H), wier afftand Q_H van den overftaanden pool Q gelyk is aan of kleiner dan de poolshoogte PN, (en dus, wier afftand PH van den pool P gelyk is aan of groter dan het fupplement van de poolshoogte PN of HQ),blyven altoos onder zynen horizont, én gaan dus nooit voor hem op. T § 69.  «90 ZEEVAART-KUNDE, S 69. Hemelfche lichamen, wier afftand (PA , PE , PD) van den pool P groter dan de poolshoogte PN, en kleiner dan het fupplement PH van die poolshoogte is , gaan by elke omwenteling des hemels op, en onder. — Zo die afftand < 90» is, zyn zy langer boven dan onder den horizont; (Ain fig- 93, AY •> YB): — zo die afftand = 900 is , zyn zy 'er juist zo lang boven als onder; (Éin fig. 93., EX = XR) : — zo die afftand > 90» is, zyn zy 'er langer onder dan boven; (D in fig. 93,DW en wel Aümuth buiten het Z, of buiten het N , naarmate menden hoek HT S of STP daarvoor neemt. § 72. Wy hebben reeds gezien, dat de punten van den horizont , die 90° van het N en Z verwyderd zyn, den naam van O en W dragen (111 § 10 ) De loodlvn,uit het toppunt op het punt O nedergelaten , wordt Eerfie Vertikaal genoemd: en een voorwerp, door het welk die loodlyn gaat, vvordt gezegd in den Eer/ien Vertikaal te zyn. Aanmerking. Hoe men in ftaat is, met behulp der zogenaamde Klootfche driehoeksmeting, alle deze hier opgegevene dingen voor een bepaald tydftip te berekenen,zal in het vervolg, wanneer wy daartoe de gronden gelegd zullen hebben , breder verklaard worden. Men kun nu reeds nagaan wat de XIV Tafel in de Verzameling by van keulen 0e van dm Uurhoek fetiir Ster als zy zich in den eerjten Vertikaal of T a Tot  293 ZEEVAART-KUNDE, < Topboog of in het ware O of W bevindt) bete.kent. § 73- Wanneer het voorwerp zich (in s) aan den hPnzont bevindt, en dus op- of ondergaat, wordt de aiftand (Ox) van het punt t tot het oosten (O) by den opgang, 0f (W;) tot het westen (W)byden ondergang, de Amplitude van het voorwerp genoemd Voor de Zon wordt die boog de Zont ware, (namelyk Zons ware opgang of ondergang) genoemd. S 74- Het Azimuth duidt in het algemeen aan, hoeveel ach een hemelscfa voorwerp ieder ogenblik buiten het N of Z bevindt (§ By deszelfs opgan* 0£ ondergang in , is l Hï; of boog Hs hetazimuth. HO = HW is = 9o°. Dus is de Amplitude (^ vs ot Ws,Som of Verfchil van H O of H Wen Hjï gelyk aan de Som of het Verfchil van het azimuth op dat ogenblik en van 90°. § 75- De Refractie maakt gene verandering in het fthynbare azimuth der hemelfche ligchamen, maar wel m derzelver Amplitude, m fig. 02. zou de fchynbare Amplitude van het voorwerp S = 0S TïJ^-'Z gene reMe P'aats door de refrac e * dezelve = OW (vergelyk § 05.) ] 'Wy 21111611 de noodzakdykheid van hierop acht te  V ï E R D E BOEK. 293 te geven,en de wyze om zulks te doelpin het X« Boek nader leren kennen. Aanmerking. Het fpreekt van zelve dat het Verfchilzicht, 't welk de fchynbare hoogte der hemelfche ligchamen vermindert even zo •als de refractie dezelve vermeerdert, ook invloed op den tyd van hunnen op- en ondergang (§65.), en op de amplitude C§ 75-) zal hebben. Doch in de Zeevaart maakt men geen gebruik van dien tyd of van die amplitude dan voor de Zon, by welke het verfchilzicht aan de kim flechts 9" bedraagt, en dus .te gering is,omdaarby ki aanmerking te komen. IV. Over de Polen en den Evenaar des Aardbols, en de Bepaling der Plaatfen op denzelven door Geographifche Breedte en Lengte. % 7öV Wy hebben gezien, dat het punt des Hemels, 't welk recht boven het hoofd is van enig' waarnemer, dat is, 't welk in eene rechte lyn is met het middelpunt des aardbols en het ftandpunt des waarnemers op deszelfs oppervlakte , het Toppunt van dien waarnemer genoemd wordt (§ 22.) — Ieder punt des aardbols (* fig. 94.) heeft dus enig punt des hemels (T), recht boven zich, voor toppunt , en ieder punt des hemels komt op die wyze overéén met enig punt des aardbols , waarvan 't het toppunt is. — Die twee punten des aardbols (p en q\ die recht onder de polen des hemels (PenQ) gelegen zyn, en dus elk een' dier polen voor toppunt T 3 heb"  m zeevaart-kunde, hebben, worden AardPche Polen of Polen des Aardbols genoemd , en wel Noordpool of Zuidpool, naarmate zy met den Noordpool of Zuidpool des heffels overeenkomen. § 77- Een cirkel f», op de oppervlakte des aardbols befchreven die 90° van elk'der polenafis, (duseen grote cirkel des aardbols, § 5.) en waarvan gevolglyk ieder punt altoos enig punt van den Evenaar (ER; des hemels voor toppunt heeft,wordt insgeiyks Evenaar , ook Equinoctiaalcirkel, Evennachlsvffj üi Linie geheten. Aanmerking. Waaröm die cirkel den naam van Evennachtslyn draagt, zal in het vervolg (§ 115. N*.5.) blyken. S 78. De grote cirkel (pteq) die door het ftandpuntdes waarnemers en de beide polen gaat , (en die dus recht onder den hemelfchcn meridiaan is), wordt de Aardfche Meridiaan van dien waarnemer of van dai punt genoemd. § 79- De afftand ET, dien het toppunt T eener plaats * des aardbols van den evenaar heeft (cn dus de boog et op den aardbol,die evenveel graden bevat als ET is gelyk aan de poohhoogte PN van die plaats. Want ET ssa EP — PT=r90*-PT = TN PT = PN. Djc afftand et 0? den aardfctfl wordt Geographifche Breedte der plaats t genoemd »  V I E R D E B O E K. *9S a Pn wel Noordslyke of Zuidelyke Breedte , «oemd , ™™\™\Jordm of hm«den den evenaarmate het punw *^or ^ lig gebruik maken. § 80. de Anrdlche Polen, Evenaar, en » ed" hebben, vergeet m» het seen «> * ™Cpool, ttent de polen en den evenaar des hemels, del J> veroorzaakten opgang en onder0a»t ligchamen gezegd hebben,zal het niet moeilyk zyn, Tlf^dTU Polen des aardbols deci, kels°' e de hemelfche ligchamen door de dagelyk^beweging befchryven, f»**g&^ horizont zyn ; dat de evenaar zelve de horizont s dat dus geen der hemelfche ligchamen ooit opof'onïerÏat zyndealtoos het ééne in de hemel door den ^enaar gedeeld word , bo ven den horizont en dus zichtbaar, het andere der den horizont en dus onzichtbaar ^950 a*. dat alle plaatfen, die onder den evenaar ge {egen zyn,de polen in den nonz^t^datdc cirkels,die dehemclfcbe ligchamen befchryven alen gefneden worden-, en dat dus auc chamen juist geduurende de£ ft unn g» omwenteling zichtbaar zyn. Het is oma dat zy gezegd worden recht op te Om» C«* 9g T 4  *9« ZEEVAAR T-KUNDE, 3°. dat voor alle andere plaatfen des aardbols de beweging der hemelfche ligchamen in eenefchuinfche richting met den horizont gefchiedt (fig. 94.y _ dat die genen, wier afftand van den pool < of = Breedte' is, altoos boven den horizont blyven- dat die genen wier afftand van den overftaanden pool <; 0f = Breedte is, altoos onder den horizont blyven: - dat die genen, wier afftand van den zichtbaren pool > Breedte en < Supplement Breedte is, enigen tyd boven cn enigen tyd onder den horizont zynjen wel langer boven danonder, zo die afftand . 900 is. Aanmerking. De Zon,de Maan,en enige andere hemelfche ligchamen, die eene eigene beweging hebben, zyn nu eens nader by den pool' dan wederom verder daarvan vcrwyderd. Plet geen derhalven hier gezegd wordt kan niet op die lichamen in het algemeen toegepast worden maar het geldt van ieder punt des hemels daar zy zich op enig bepaald ogenblik bevinden Eene vaste fter by voorbeeld , die 90» van den pool af en dus in den evenaar is, zal a/^, even lang boven den horizont als daar onder zyn; by de zon zal dit flechts tweemaal 's•laars plaatshebben, wanneer zy zich in den evenaar bevindt Dit alles zal in het vervolg, als wy de eigene beweging der zon befchouwen zullen, nader en duidelyker blyken. § 81.  VIER- DE BOEK. *97 § 81Om de ligging van eene plaats op den aardbol, met betrekking tot andere plaatfen, te kunnen bepalen, is het niet genoeg alleen derzelver Breedte te kennen. Indien men by voorbeeld van enig punt A (fig- 96-) alleenlyk weet, dat hetzelve op 520 ai' 56" Noorderbreedte ligt , dan weer. men wel dat het zich ergens in den cirkel sn bevinden zal, indien de boog es = ra ~ 5*°- 56" is , maar het punt A zelve op dien cirkelblyft onbepaald. Om dit te bepalen is het nodig enig vast punt aan te nemen, -van waar men in eene andere richting tot aan het punt A tellen kan, even als men van het punt Yop den evenaar, loodrecht onder A geplaatst, tot aan A de Breedte telt. Men neemt derhalven op den evenaar enig punt V naar welgevallen aan , welks afftand op den evenaar tot aan A, (of eigenlyk tot aan Y alwaar de loodlyn uit den pool door A getogen aan den evenaar komt), de Lengte van A noemt. Wanneer ik dan dat punt V als bekend aanneem , en ik ken de zogenaamde Lengte en Breedte van enig ander punt,G by voorbeeld , dan is dat punt G volkomen bepaald, dat is, ik heb een klaar denkbeeld van de ligging van G met betrekking tot V,eii ik kan dat punt G op een' bol of Globe , die den aardbol verbeeldt, volgens die opgegeven Lengte en Breedte plaatfen. Zo de Lengte °van G (dat is de afftand V X) by voorbeeld ±t i6°4i', en de breedte (dat is de boog XG) = 5*°28' 40" was , dan zou ik op den evenaar eV r den .boog VX - I61 41' maken, uit P tot X een'boog T 5 tre3c*  SQ8 zeevaart-kunde, trekken, en op dien boog X G = 51». 28' 40" maken. G zal dan het gezochte punt zyn. gevolg. Wanneer men door V een' meridiaan _pVy laat gaan,zal dezelve den breedte-cirkel sA.it ergens in t fnyden, en de boog tA zal evenveel graden bevatten als VY. Men kan dus onderftelien dat de Lengte ook op den cirkel sAn gemeten, en van dat punt t af geteld worde. § 82. Het is willekeurig, waar men het punt V nemen wil; doch het fpreekt van zelve dat zulks by overëenftemming van allen , die elkanders bepalingen van plaatfen door Lengte en Breedte onderling vcrftaan en gebruiken willen, gefchieden moet. Vcrichillende natiën hebben onderfcheidene punten voor het begin van telling genomen: de Nederlanders nemen voor hunnen Eerften Meridiaan pV q dien, welke door den hogen berg (P/c^van het eiland Teneriffa gaat; de Engelfchen dien, welke door hetKoninglykObfervatoriumvan Greenwich gaat; de Franfchen dien van het Obfervatorium te Parys enz. Doch wanneer men de afftanden dier meridianen zelve kent, is het gemaklyk, de bepaalde Lengte voor den éénen tot den anderen over te brengen. 5tel dat pT Vq de meridiaan van Teneriffa, pGq die van Greenwich , A Amfterdam zy. Indien ik nu ééns voor afweet, dat het verfchil in Lengte van Greenwich en Teneriffa (dat is de boog VX) 16°. 41' bedraagt, en ik vind in enijr,Engelsch werk de Lengte van Amfterdam, van Greenwich af geteld, (dat  • VIERDE BOEK. *99 l(dat is de boog XY) = 4°- 35'- SOS dan behoef ik 'flechts XY by XV te tellen, om de Lengte van Ara1 fterdam, van Teneriffa geteld, = 11". iff. 30" te bekoI men. Zo het punt A tusfehen de meridiaanen pT iV? en pGq gelegen was, zou men XY van VX 1 hebben moeten aftrekken. Men kan, van V beginnende, den gehelen cirkel rond tellen tot 360° toe of wel, men kan van V naar beide kanten tellen tot 1800 toe. In het laatfte geval onderfcheid men de Lengte in Oofielyke, die van V naar de rechterhand, en in IVestelyke, die van V naar de linkerhand geteld wordt. Wy zullen in het vervolg breder over deze Lengte , de wyze om dezelve in Tyd, zo als men 't noemt , uittedrukken , het gebruik van die wyze van uitdrukking , en de middelen eindelyk om de Lengte door waarneming te bepalen, uitvoerig handelen. "VIL Of er de Eigene Beweging der Zon. § 83. Wy hebben tot hier toe alleenlyk gefprokenvan die verfchynfels aan den Hemel , die uit deszelfs dagelykfche omwenteling ontftaan. Die omwenteling maakt gene verandering in den ftand der hemelfche ligchamen met betrekking tot elkander-en die genen , welke gene andere fchynbare beweging hebben, en dus altoos onderling den zelfden afftand behouden , worden Vaste Sterren genoemd. Doch wanneer wy den hemel gedurende enigen tyd met aandacht gadcflaan, vinden wy dat enige hemelfche ligchamen onderling van plaats vcrande9 ren,  303 Z E E V A A R T-K ü N D e, • re", en dus nog eene andere, van de dagelykfche omwenteling onderfcheidcne, beweging hebben, welke derzelver eigene beweging genoemd wordt. Die beweging belet niet,dat zy, even als alle de anderen, dagelyks met den gehelen hemel rondgevoerd worden (§ 54 Aanm, n.). Wanneer ik een' bol of globe, waarop enige fterren getekend zyn, ronddraaien, zullen die fterren of flippen, op den bQl, den zelfden onderlingen afftand behouden. Indien ik dan een of ander diertje op den bol plaats, zal dat diertje vryelyk over dien bol zich kunnen bewegen, en zyn' afftand van enig vast punt op dien bol veranderen ; doch het zal niettemin tevens moeten delen in de beweging van den bol, wanneer ik voortga met den.zelven rond te draaien. .§ 84. Wy zullen in het vervolg tonen , hoe men in ftaat is de vaste fterren aan den hemel zelve te leren kennen, hoe men gewoon is den Sterrenhemel of Globes, Kaarten enz. af te beelden; en wat des meer is. Het zal hier genoegfaam zyn, het algemene onderfcheid tusfehen vaste en bewegende he-' melfche lichamen te hebben aangewezen. _ De laatstgenoemde zyn de Zon , onze Maan, de zogenaamde Planeten, benevens derzelver Satellieten°of Manen,en de Kometen. - Wy zullen in de eerfie plaats de eigene beweging der Zon befchouwen. Aanmerking. Even, gelyk wy by §54.aangemerkt hebben, dat de fchynbare dagelykfche • omwenteling des hemels indedaad veroorzaakt wordt  VIERDE BOEK» 301 wordt door eene ware omwenteling des aardbols om zyn' as ■, zo wordt ook de fchynbare eigene beweging der Zon indedaad veroorzaakt 1 door eene ware beweging des Aardbols om de Zon. Doch het is hier de plaats niet om daarin te treden : wy moeten de verfchynfels befchouwen en uitleggen zo als zy zich aan het oog des waarnemers voordoen. § 85. Daar de heldere glans der zon te wege brengt dat wy, gedurende den tyd dat zy boven de kim is, gene andere hemelfche ligchamen, de maan alleen uitgezonderd , zien cn met haar vergelyken kunnen, zo kunnen wy hare verandering van plaats niet door onmiddellyke vergelyking met de vaste fterren waarnemen. Doch wanneer wy, den eenen of anderen avond , by het ondergaan der zon acht geven , hoe veel tyds na haar' ondergang 'er omtrent verloopt, eer enige kenbare Ster, die beoosten de Zon is , opklimt of zichtbaar wordt , en wy dit zelfde enige avonden achtervolgens doen , zullen wy bemerken, dat de Ster en de Zon elkander meer en meer naderen, dat de fter hoe langer hoe vroeger en dus korter na de Zon opkomt, eneindelyk zich in de ftralen der Zon als 't ware verliest : indien wy deze befchouwing verder voortzetten , en ook des morgens acht geven op de Sterren , die westlyk van de Zon af zyn, zullen wy zien dat de Zon zich van die Sterren meer en meer verwydert, dat Sterren, die te voren door hare nabyheid aan de Zon onzichtbaar waren, eindelyk zicht-  302 ZEEVAART-KUNDE, zichtbaar worden , en hoe langer hoe vroeger inden morgenftond vóór het opkomen der Zon by hun. nen ondergang zichtbaar zyn. Wy zullen dan die zelfde Ster, die wy eerst beoosten de Zon hadden waargenomen en die zich in hare ftralen voor ons gezicht verloren had, wederom bewesten de Zon ontdekken ; Zy zal zich meer cn meer ten westen van de Zon verwyderen , dus naar het oosten gerekend de Zon naderen, tot zy, eerst des nachts en vervolgens des avonds, wederöm in het oosten zichtbaar is,en in het oosten opkomt als de Zon in het westen ondergaat. § 86. Daar deze verfchynfels by alle vaste Sterren als men ze met de Zon vergelykt, worden waarnomen, blykt het, dat de Zon indedaad de Sterren nadert, en dat men die beweging aan de Zon moet toefchryven. § 87. Daar de Zon daselyks iets naar het oosten vordert, en dus hare eigene beweging in eenen tegengcftelden zin met de dagelykfche beweging gefchiedt, zal de tyd, die verloopt tusfehen twee harer door! gangen door den meridiaan, iets langer zyn dan die welke tusfehen twee doorgangen van de zelfde fter verloopt: die tyd, voor de Zon, wordt een Dag genoemd. Wy zullen over de lengte en verdeling van diert dag in het Vervólg nader handelen. § 88.  VIERDE BOEK. $01 § 88. - Daar wy nu de eigene beweging der zon hebben leren kennen, moeten wy nagaan, hoe men in ftaat is om het fpoor van die beweging , den ZonsMg, aan den hemel te bepalen en als 't ware af te teltenen-, en hoe men voor elk ogenblik naar believen de plaats der zon aan den hemel vinden en opge- ' ven kan. Daar wy niet in ftaat Zyn enige andere Ster te gelyk met de Zon te zien, kan de bepaling van den Zonsweg niet door onmiddellyke waarneming aan de Zon gefchieden. Ons beftek laat niet toe naauwkeurig te verklaren, welke middelen men daartoe heeft uitgedacht-, doch wy kunnen een oppervlakkig denkbeeld geven van de mogelykheid van de zaak. Stel (fig. 97.) dat de Zon in S zich in den meridiaan bevinde, en door de dagelykfche beweging den dagcirkcl S s befchryve: laat de Ster r op dien zelfden cirkel recht over de Zon geplaatst zyn; dan zal die Ster, na dat 'er eene halve omwenteling des hemels volbragt en dus 11 uren verlopen zyn,in S en dus in den meridiaan gekomen zyn, en zich gevolglyk des nachts om ia uren nagenoeg in de zelfde ftreek (Z. of N.) en op de zelfde hoogte bevinden, daar de Zon 's middags was. Wanneer ik dan 's middags de hoogte der Zon in het zuiden by voorbeeld mete, en 's nachts daaraan, om 12 uren, naga welke Ster of welk ftip des hemels op diezelfde hoogte in het zuiden is, daar de Zón 's middags Was, zal ik, op een Globe of bol, daar  m ZEEVAART - EU N D Ë, daar de vaste fterren op getekend zyn, dat punt s; en dus ook het punt S, 't welk op den zelfden afftand van den evenaar, doch 180° van s verwy3 derd is, vinden en aanftippen kunnen. — Wan, neer ik deze bewerking dagelyks herhale, zal ik den weg der zon aan den hemel ten ruwften op myn Globe kunnen aftekenen, en dus ook aan den • hemel nagaan. §8q. Het is op eene dergelyke, doch naauwkeuriger wyze, dat men gevonden heeft, dat de Zon door hare eigene beweging aan den hemel een' groten cirkel (ASB fig 98.) befchryft, die een' hoek (E V A) van 23°. 27'. 5o" ? niet den evenaar maakt. •Die cirkel word Ecliptica of Zonsweg,en de hoek,' dien de Ecliptica met den evenaar maakt, Schuinsch- ■ heid der Ecliptica genoemd. § 90. De punten (v1, =£>=), daar die cirkel den evenaar fnydt, worden Erennachtspunten genoemd; de punten , die 900 van dezen verwyderd zyn , Zonneftandspunten. De reden djer benamingen zal in het vervolg blyken. § 91. De Zonsweg wordt-verdeeld in twaalf delen, die gevolglyk elk —° of 30° bevatten, en Tekens se12 noemd worden. Wy zullen in het vervolg zien,, dat men de vaste Sterren, om ze gemaklykcr te kun-  VIERDE BOEK. 305 kunnen nagaan, in zekere verzamelingen of Figuren verdeetó heeft , welke Sterrebeelden genoemd worden. De delen van den zonsweg dragen byzondere namen, naar de fterrebeelden, die 'er na by ftonden toen die verdeling gemaakt is: want de zonsweg, dien wy thans,op die wyze by voorbeeld welke wy in § 89. opgegeven hebben, aan den hemel en op de globe aftekenen, verfchilt met dien, welken men voor enige duizende jaren heeft, waargenomen , en fnydt den evenaar westelykef' dan hy in oude tyden deed. Toen viel het eene Evennacht-punt in het Sterrenbeeld van den Ram; thans is het beeld van den Ram omtrent 3c0 beoosten dat punt enz. Doch de benamingen dier punten zyn daarom niet veranderd: en men Is gewoon ze door characters kortheidshalven aan te duiden. Zy zyn de volgende zo in het Latyn als in het Nederduitsch. V Ram (Artes) Balans (Librd) & Stier (Taurus) 1t? Scorpioen(5cor/w) X[ Tweelingen (Gemihf) -H> Schutter (SagimriuS) &$ Kreeft (Carter) of, Steenbok (Capricornus) SI Leeuw (Led) Watemian(^»tf/7«0 tip Maagd Q?irgd) X Visfchen (Pifces) Aanmerking. De verandering van plaats of zogenaamde Teruggang der Even»achtspanten , is zo langfaam dat zy niet dan vcor een' langen tyd in aanmerking komt. Globes, Tafels , enz. voor den tegen woordigen tyd gemaakt, kunnen dus verfcheidene jaren lang met genoegfanw naauw keurigheid gebruikt worden-, en daar zulks y niet  306 ZEE VA ART-KU N DE, niet genocgfaam is , heeft men middelen, om die verandering in acht te nemen. Ook de fchuinschheid der Ecliptica (§ 89.) is aan eene dergelyke kleine verandering onderhevig, en wordt daarom ieder jaar vooraan in den Zeemans Almanach opgegeven. . § 92. Om voor ieder bepaald ogenblik te weten, waar de zon zich aan den hemel bevindt, is het genoeg te weten,hoe vele graden men op den zonsweg,van enig vast bepaald punt af tot aan de plaats S der zon (fig. 98.) roe , te tellen heeft. Voor dat begin van telling gebruikt men het punt y (Artes of Ram) , daar de zonsweg den evenaar fnydt. De boog VS wordt Zons Lengte genoemd. Doch men heeft het in het gebruik gemaklyker en nuttiger gevonden, de plaats der zon tot den evenaar zo als men 't noemt over te brengen : dat is wanneer men uit den pool P door de zon S eene loodlyn P S H op den evenaar laat vallen , bepaalt men de plaats der zon door de beide bogen SH en YH, waarvan de eerfte Declinatie (% 62.) en de andere Rechte Opklimming genoemd wordt. Men telt de Rechte opklimming altoos oostwaart van af tot 360° toe. Wanneer ik by voorbeeld weet, dat de zon den i3d«> Jan. 1793 2950. 49'. 3o" rechte opklimming en 210. 20". 27» zuidelyke declinatie heeft , meet ik van oostwaar op den evenaar 2950. 49'. 30" tot in H, en ,maak op de loodlyn PHS den boogHS = 21°. 20'. 27"; dan zal S de plaats der zon voor dat tydftip zyn. § 93>  VIERDE BOEK. 307 § 93- De declinatie der zon is nul, wanneer de zon zich in den evenaar in V bevindt: zy wordt groter tot in N , alwaar de zon 900 rechte opklimming heeft, en is dun gelyk aan den hoek dien de zonsweg met den evenaar maakt, (§ 16.) of aan de fchuinschheid der Ecliptica (§ 89.) i ZY is dus 23°' 27' 5o":zy vermindert vervolgens tot m ^,isdaar wederom nul; neemt weder toe ter andere zyde van den evenaar, (ten zuiden, zo P de Noordpool is), is in M, daar de rechte opklimming 270° *, weder ot> haar grootst, dus = 230. 27'. 50"; cn neemt weder af tot de zon in Men is gewoon den evenaar niet alleen in 360 maar ook in 24 delen, of uren, (elk I5o bevattende), elk uur weder in 60' enz. te verdelen. Wy zullen in het vervolg (§ i2I.) de gronden verklaren , waarop die verdeling fteunt. Bogen, 0p den evenaar gemeten, worden gevolglyk niet alleen in graden, minuten en feconden, maar ook zoals men 't noemt in tyd , dat is in uren , minuten en feconden uitgedrukt. Het is op die wyze dat men meest gewoon is de R. O. der zon uit te drukken. Aanmerking. Het voordeel van deze wyze van uitdrukking der R.O.zal in het VIII Boek, en het gebruik dezer verdeling des evenaars in uren, by de bepaling der Geographifche Lengten, zal in het IX Boek ten klaarften blyken. § 95- _ Op de eerfte bladzyde van den Zeemans Almanach vindt men, voor eiken dag des jaars op den middag, (dat is wanneer het middag is onder den eerften meridiaan, die door Teneriffa gaat (§82.) en voor welken de Almanach berekend is), de zons Rechteopklimming, in tyd uitgedrukt, en hare Declinatie. Ik vind by voorbeeld dat den 17 January 1793 de zons R. O. 20". 0'. 26,8" en hare declinatie 200. 34'. 48" is. Naast daaraan vindt men de verfchillen van twee naastvolgende getalen; dat is, hoeveel de zons R. O. gedurende eenen dag of 24 uren toeneemt, en hoe veel de declinatie toe- of afneemt. Daar men die verfchillen, fchoon niet altoos even groot,echter  VIERDE BOEK. 309 ter voor een' korten tyd als gelykmatig voortgaande onderftelien mag, is men in ftaat om, met behulp dier verfchillen, de R. O. en declinatie der zon voor elk ogenblik naauwkeurig te vinden ; rrelyk blyken zal, wanneer wy zulks ter oplosfing van voorftellen uit de praktyk der zeevaart zullen nodig hebben. Aanmerking. Wy zullen m het VII' Boek tonen, hoe men in ftaat is, de lengte der zon voor enig bepaald tydftip en de fchuinschheid der Ecliptica kennende, daarüit de R.O.en declinatie der zon voor dat tydftip te berekenen. § 96. De tyd, die tusfehen twee doorgangen der zon, door den zelfden meridiaan, verloopt, wordt een Dag (§ 87 )• en de tyd, dien de zon befteedt om haar' gehelen weg eenmaal af te leggen, dat is, om van het punt V oostwaart vorderende, wederom tot dat zelfde punt te komen, wordt een Jaar genoemd. § 97- Een dag wordt verdeeld in 24 gelyke delen, die Uren genoemd worden , elk uur in 60 minuten , elke minuut in 60 feconden enz. In de Sterrekunde is men gewoon, het begin van den dag te Rellen op den middag,en voört te tellen tot 24uren, of den volgenden middag , toe. In het gemene leven begint de dag 's nachts om 12 uren (dus 12 uren vroeger), en men telt de uren flechts tot ia toe. De uren van den i*« January by voorbeeld , volgens de fterrekundige en gewone rekening, nevens elkander geplaatst, zullen op de volgende wyze te ftaan komen. jJS  310 ZEEVAART-KUNDE, Sterrekundjge rekening. I Gewone rekening. uren. I uren January i. i | Jan. T % middags 11 j II 's middags enz. enz. XI XI 's avonds xn XII 's nachts XHI jan. 2. I 'S morgens XIV" II 's morgens enz. enz. XXI11 i XI 's morgens Jan- 2- o XII 's middags 1 I I 's middags enz. I cnz. Van 's middags tot 's nachts daaraan komen de beide wyzen van telling overeen ; van 's nachts tot den volgenden middag is het getal van den dag èên minder in de fterrekundige rekening, doch het getal van het uur twaalf groter. In den Zeemans-Almanach wordt altoos de fterrekundige wyze van telling gevolgd- § 98. Wy hebben gezien (§85) dat de zon door hare eigene beweging dagelyks iets naar het oosten voortgaat , nemende hare rechte opklimming van dag tot dag toe,en wei, door elkander gerekend , omtrent 3'. 55" tyds of 58'. 45" boogs van den evenaar. De tyd , welke verloopt tusfehen twee doorgangen der zon door den meridiaan, is gcvolglyk omtrent 3'- 55" langer dan die, waarin de gehele omwenteling  VIERDE BOEK. |gi ling des hemels srefclnedt(§ 87O Een horlogie derhalven dar. volmaakt met den hemel gelyk ging, dat is 't welk , éénmaal twaalf uuren wyzende als eene bepaalde fter in den meridiaan is, altoos twaalf uuren zou wyzen als die fter wederom in den meridiaan komt , zodanig een horlogie, zeg ik, zou voorgaan in vergelyfing met de zon, en in et jaar tyds juist ééne» dag met de zon verfchillen. § 99. Daar het ondertusfehen de zon is, naar welke men gewoon is den tyd te rekenen en de horlogien te regelen, zal een horlogie, dat met de zon gelyk •gaat, in vergelyking met de fterren achter gaan: en de fterren zullen van dag tot dag vroeger aan den meridiaan komen , en wel juist zo veel vroeger als de zons vordering ten oosten in tyd bedraagt , namclyk door elkander gerekend £, 55"Dit wordt de VerfitMng der fter genoemd. § ICO. Indien de vermeerdering der zons rechte opklimming iederen dag juist evenveel bedroeg , by voorbeeld juist 3'. 55", zouden alle dedagen, naar de zon gerekend, dat is, alle de tusfehenty den tusfehen twee zons doorgangen door den zelfden meridiaan , volmaakt even lang zyn , namelyk allen gelyk aan den tyd van eene omwenteling des hemels plus 3. ««, - Doch dit is geenszins het geval : de .vor- der-ine W de zon °? den cm* * ^ l in den zelfden tyd even groot;gelyk «teen opflag van bet oog in de tafel der verfchillen van  312 ZEEVAAR T-K U N D E, zons R. o (Alm. bl. I.) zien kan. Dezelve is fom. tyds 3'. 38", fomtyds 4'. 91". § 101. De reden van die ongelykheid is tweevoudig • vooreerst gaat de zon in haar'eigenen weg niet altoos even fnel voort, het fnêlfte in December, het traagfte injuny: ten tweden geeft de zelfde boog, 0p den zonsweg gemeten, niet altoos een' gelyken boog op den evenaar, wanneer hy tot dien cirkel wordt overgebragt. Omtrent dc eerfte dezer oorzaken kunnen wy hier gene nadere opheldering geven: —met betrekking tot de twede, laat ons in fig. 99. onderfteNlen dat SyZ de zonsweg, E«y1 R de evenaar, en P de pool zy. Men neme in den zonsweg twee gelyke boogjes, , en BC omtrent op 900 afftand vanV; en men trekkede loodlynen PAD, PB E, PC F. De zon, in haar' weg het boogje y>A afleggende, zal op den evenaar het boogje VD vorderen; in vervolg van tyd het boogje HC afleggende, zal zy op den evenaar het boogje EF vorderen. Die boogjes zyn zo klein, dat men ze als rechte lyntjes befchouwen kan. Daar nu in het driehoekje yAD, <1 yA, en in het rechthoekje BCEF, BC omtrent = EF is, terwyl uit de onderftelling yA = BC is , zo zal yD <* EF zyn. Al was derhalven de beweging der zon in haar' eigen' weg volkomen gelykmatig, zou nogthans haar overgebragte weg op den evenaar, of hare vermeerdering van R. O., ongclyk zyn. Voor gelyke bogen van den zonsweg ïs de overge- brag-  VIERDE BOEK. 313 bragte boog op den evenaar het kleinfte in Maart en September, het grootfte in December en Juny. Deze beide oorzaken werken fomtyds in den zelfden, en fomtyds in eenen tegenftrydigen zin. Uit derzelver gepaarde werking ontftaat de ongelykheid, welke indedaad plaats heeft, en welke men, de verfchillen der zons R. O. van dag tot dag nagaande, in dczelven bemerkt. § 102. Innien men dan een horlogie had, hetwelk,ééns met de zon gelyk gefteld zynde , den middelbaren gang der zon , (dat is dien gang, welken de zon hebben zou , indien zy haar' gehelen jaarlykfehen omloop altoos met de zelfde fnelheid en op den evenaar zeiven verrichtte), volmaakt volgde, en dus na verloop van een jaar weder met dc zon gelyk ftond,zoudat horlogie in dien tusfehentyd met altoos gelvk met de zon gaan, maar dan eens «r, dan eens ten achteren gaan , nu eens voorütt , dan eens ten achteren zyn. Aanmerking. Men moet altoos , daar van horlogiën, tya enz. gefproken wordt, dit onderfcheid van voor gaan, en van vooruit zyn, van ten achteren gaan en ten achteren zyn , wel in het oog houden. § 103. Stel, by voorbeeld,dat men het horlogie met de zon gelyk gefteld had den I5den April 1791 , kort voor den middag, op welken tyd de fnelheid der x 5 zon  314 ZEE VA ART-K.UNDE, zon in haar' eigenen weg omtrent middelbaar is, dan zal dat horlogie by de zon ten achteren gaan \ en den ió"« 's middags , (dat |« als het aan de' zon middag is),eerst ii°-59'-4a",wyzen; hetblyft ten achteren gaan , en is dus ook van dag tot dag meer ten achteren, en wel op den jviei 4 minuten, wyzende op den middag 11°. 56'. — Tot nu toe ging hit ten achteren by de zon ; nu begint het op de zon voor te gaan, doch het is nog ten achteren ; het wint echter dagelyks op de zon en geraakt eindelyk den i5den j„ny met de zon gelyk. Het is den i6«ien >s middags reeds im voor, wyzende dan 1°. o'. 11» ; het gaat insgelyks voor\ en raakt dus dagelyks meer en meer voorüit , zynde den 26*™ July 6'. 3" voor de zon. Nu raakt het weder aan het ten achteren gaan op de zon, doch het blyft nog voorüit tot 31 Augustus toe, enz, § 104. De tyd, dien de zon werklyk aanwyst, wordt Ware tyd genoemd •, de tyd, dien zy aanwyzen zou indien zy haar' jaarlykfehen omloop in den zelfden tyd volbragt, doch gelykmatig in rechte opklimming vorderde , (dus de tyd, dien zodanig een horlogie, als wy hier befchouwen, zal aanwyzen), wordt Middelbare tyd genoemd. Het verfchil tusfehen die tyden, 't geen men by den waren tyd voegen of daarvan aftrekken moet om den middelbaren te bekomen, (dus het getal minuten en feconden, »t welk zodanig een horlogie eiken middag in vergelyking met de zon voorüit of ten achteren is), Wordt Tydvereffëning genoemd. Die tydveréfFening vindt  VIERDE BOEK. 315 vindt men op bladz. I van den Zeemans - Almanach voor eiken dag opgegeven , 'met aanwyzing of dezelve by den waren tyd gevoegd of daarvan afgetrokken moet worden. Naast dezelve vindt men van dag tot dag het verfchil dier tydvereffening, waaruit men zien kan,hoe veel het horlogie op de zon, in elke 240. voor of ten achteren gaat. Wanneer de tydvereffening moet bygevoegd worden, en tevens zélve van dag tot dag toeneemt; of afgetrekken moet worden , en tevens van dag tot dag afneemt, gaat het horlogie voor: wanneer de tydvereffening bygevoegd wordt en afneemt, of afgetrokken wordt en toeneemt, gaat het horlogie ten achteren. Aanmerking I. De Zeeman heeft met de tydvereffening in het dagelykfche gebruik niets te doen , dewyl hy , het uur door waarneming van zon of fter volgens den Tegel zoekende, altoos waren tyd bekomt-, en de Almanach altoos voor den waren tyd berekend is. Maar men kan dezelve niet ontberen , wanneer men wïl nagaan of een horlogie geregeld gaat, en wanneer men de Lengte op zee door zodanig een horlogie begeert te vinden. Hierover nader in het LXde Boek. Aanmerking II. De 360 graden van den evenaar werden in 24 uren verdeeld (§ 94. > Daar in 24 zonneüren iets meer dan góo° door den meridiaan gaan, fchynt dit enige zwarigheid te maken. Doch men zal zien dat overiil daar zulks in de praktyk .te pas komt , die zwarigheid t wTordt  Si6 ZEE VAART-KUNDE, wordt weggenomen,door de zons vermeerdering in R. O. of de verfnelling der fterren (§ 99.) in aanmerking te nemen. § 105.' Het punt van de Ecliptica of zonsweg , dat op enig bepaald tydftip aan den meridiaan is , WOrdt het Midden des hemels genoemd. De graad des evenaars, van y af geteld,die op dat zelfde ogenblik aan den meridiaan is, wyst de Rechte opklimming aan van dat punt, dat is deszelfs afftand van y op den evenaar overgebragt. § 106. De fchynbare Halve Middellyn der zon, (dat is het boogje 't welk die halve middellyn aan den hemel beflaat), is niet altoos even groot, dewyl de zon zich niet altoos op den zelfden afftand van dc aarde bevindt. Die middellyn is het grootste in December, en het kleinfte in Juny. Men vindt dezelve van week tot week op bladz. 1. van den Almanach opgegeven. § 107. Die halve middellyn befteedt niet altoos evenveel tyds om door den meridiaan te gaan, dat is, wanneer de rand der zon aan den meridiaan is, zal het nu eens korter , dan eens langer duren, eer het middelpunt aan den meridiaan is. Die ongelykheid hangt af van de ongelyke grootte der middellyn zelve (§ 106.), van de ongelyke fnelheid der zon in haar'eigenenweg(§ioi.),van de meer of min fchuinfche richting van dien weg met den evenaar (§. ioj), en  VIERDE BOEK. 317 cn eindelyk van den meerderen of minderen afftand der zon tot den evenaar, dat is van hare declina. tie. Men vindt dien tyd van week tot week op bladz. I van den Almanach opgegeven. § 108. De ongelyke fnelheid der zons eigene beweging, en de verfchillende fchuinschheid dier beweging , brengen ook te wege dat het boogje, dat zy in haar'°eigenen weg gedurende den zelfden tyd, (van één uur by voorbeeld), aflegt, niet altoos even groot is. Men vindt dat boogje van week tot week op bladz. I van den Almanach , onder den naam van Zons uurbeweging, opgegeven. § 109. Wy hebben reeds gezegd , dat de tyd, dien de zon befteedt om, van het punt y> af oostwaart voortgaande, tot dat punt te rug te keren,een jaar genoemd wordt. Dat jaar bevat 365 (middelbare volgens de zon gerekende) dagen , 5 uren , 48' en 45i"- Aanmerking. Daar het punt V zelve eene langfame beweging ten westen heeft, en dus ■ de zon als 'c ware te gemoet gaat, zal de tyd dien de zon befteedt om tot de zelfde fter te rug te keren , iets langer zyn , namclyk 365*». 6U. 9'. 11". § no. Wanneer derhalven het begin van enig jaar, van 1793  318 ZEEVAART-KUNDE, 1793 by voorbeeld, gefteld wordt op den iften T> jiuary 's middags, zal het begin van het volgende jaar (i794> vallen op 48'. 45i" na den middag, dat van 1795 op nu. 37'. ^ m den middagï en"z Dit zou ondertusfchen in het dagelykfche gebruik verwarring en moeilykheid veroorzaken. Men heeft daar:>m goedgevonden, de Lengte van het jaar m het gemene leven op 365 dagen te ftellen , en het begin altoos des middags te nemen, Qerrekundig namelyk, want naar de gemene telling begint het 's nachts, en dus 12uren vroeger, §97). Doch dan is hetzelve te kort. Om dit te vergoeden wordt telkens het vierde jaar, of zogenaamde fchrikkeijaar, (1788,1792, i7Q4j enz.) eenen dag langer, en dus van 366 dagen, genomen. Dcch dan neemt men wederüm iets te veel: want 4 x (5u. 48'. 454") roafct flechts agu 15'. 2", cn dus geen' volkomen' dag van 24 uuren. Men laat, om dit te vergoeden, om de honderd jaren een fchrikkeljaar voorbygaan • dus zal het eeuwjaar i8oc,dat, als een fchrikkeljaar zynde, 366 dagen moest hebben, flechts 365 dagen hebben: en dewyl men nu weder te weinig neemt, is om de vier eeuwen het eeuwjaar wederöm een fchrikkeljaar. VIII. Over de verfchillende Lengte der Dagen, het verfchil der Jaargetyden, enz. op onderfcheidene plaatfen des aardbols. § Hl. Wy hebben gezien (§ 69.) dat het gedeelte van den dagcirkel eener fter, 't welk bsven den horizont  VIERDE BOEK. 319 ;zont van enig' waarnemer valt, (en dus de tyd, -welken die fter boven zyn' horizont zichtbaar is), 1 langer is, naarmate de afftand der fter van den 2 zichtbaren pool nader komt aan de hoogte van dien I pool voor de plaats daar de waarnemer zich be< vindt. Daar de declinatie der zon, (en dus haar afftand van de pool , welke het complement dier declinatie is,) telkens verandert (§93-)j zal ook de tyd, dien zy boven den horizont is voor de zelfde plaats des aardbols, langer of korter zyn,naarmate zy nader of verder van den zichtbaren pool van die plaats is (§80.),en dus,naarmate zy groter of kleiner noordelyke declinatie heeft, zo die pool de noordpool is, en "groter of kleiner zuidelyke declinatie, zo die pool de zuidpool is. § 112. Schoon die declinatie van ogenblik tot ogenblik verandert, is echter die verandering gedurende een' niet zeer langen tusfehentyd gering genoeg , om by de oppervlakkige en algemene befchouwing van het verfchil der Lengte van de dagen,in onderfcheidene faifoencn en voor onderfcheidene plaatfen, de declinatie der zon voor cénen dag beftendig te mogen onderftelien, en dus aan te nemen dat de zon eiken dag, even als de fterren, een' dagcirkel befchryve, die aan den'evenaar evenwydig is. § 113. De kleinfte dagcirkels der zon, dienamelyk, welke zy befchryft, wanneer zy hare grootfte declinatie van 230.21'. 50" heeft, worden Keerkringen genoemd, om  S2o ZEEVAART-KUNDE, om dat de declinatie der zon, welke tot daar roe was aangegroeid,van daar af wederom afneemt, en de zon dus als 't ware te rug keert. —- De zon bevindt zich dan, wanneer zy benoorden den evenaar is, in het teken van den Kreeft; en wanneer zy bezuiden den evenaar is, in het teken van den Steenbok. Om die reden noemt men den Noordelyken Keerkring dien van den Kreeft, en den Zuideiyken dien van den Steenbok. % 114. Twee cirkels, op den aardbol evenwydig aan den evenaar op 230.27'. 5c" afftands ter wederzyde van denzelven getogen, die gevolglyk altoos een punt van den overéénkomenden keerkring aan den hémel in top hebben , worden Aardfche Keerkringen genoemd. Stel dat in fig. 94., waar in E R de evenaar is, de boog ES — EH =z 23°.27'.50" zy , dan zullen SN en Hl de Keerkringen zyn : er is de Aardfche evenaar, en wanneer men de middellynen Sïiï, HbnN trekt, zyn sn en hi de Aardfche Keerkringen. § 115. Uit het geen wy § 80. gezegd hebben, valt gemaklyk het volgende af te leiden. 1. Onder de polen is de zon zes maanden boven den horizont, en zes maanden onder denzelven. 2. Onder den evenaar is de zon altoos 12 uuren bo-  VIERDE BOEK. 321 boven den horizont, en 12 uren onder denzelven, en gevolglyk zyn de dagen en nachten daar altoos even lang. 3. Op alle andere plaatfen des aardbols worden de dagcirkels der zon in ongelyke delen gedeeld: wanneer de zichtbare pool en de declinatie der zon den zelfden naam dragen,(dat is beiden Noordelyk of beidenZuidelykzyn),is de zon langer boven dan onder den horizont, en dus de dag langer dan de nacht; maar wanneer die pool en de declinatie van naam verfchillen , (dat is, wanneer de eene Noordelyk en de andere Zuidelyk is), is de zon langer onder dan boven den horizont, en dus de dag langer dan de nacht. 4. Voor die plaatfen , wier pools-hoogte groter is dan de zons kleinfte afftand van dien pool, (dat is groter dan het complement van zons grootfte declinatie, en dus groter dan 66°. 32'- 10"), befchryft de zon, wanneer hare declinatie en de pool gelyknamig zyn, gedurende enigen tyd haar' gehelen dagcirkel boven , en, wanneer die ongelyknamig zyn , onder den horizont; en dus gaat de zon aldaar des zomers, gedurende enige dagen, niet onder, en des winters, gedurende enige dagen, niet op. Wanneer men uit elkea pool, met een' boog van 23°. 27'- 50" ipf, qk fig. 40, k*eine cirlcels °P de oppervlakte des aardbols befchryft, (fg, kl), zullen de landen alwaar zulks plaatsheeft,binnen die cirkels bevat zyn. Die cirkels worden Poolctrkels genoemd. 5. De evenaar en de horizont fnyden elkander in twecn gelyk. Wanneer derhalven de zon in den X cve*  322 ZEEVAARTKUNDE, evenaar is, is voor alle plaatfen des aardbols de dag aan den nacht gelyk. Van hier de namen van Equator, Evenaar, Evennachtslyn,Evennachts-punten enz. (§ 6r, .90.) 6. De afftand P T des pools van het toppunt (fig-1 co.) is = Compl. der pools hoogte PN, en de afftand P S der zon van den zichtbaren pool, wanneer hare declinatie met dien pool gelyknamig is , is = Compl. der declinatie ES. Gevolglyk, wanneer © deel. ES> poolshoogte P N, en dus Compl. deel. PS < Compl. poolshoogte PT is, zal de zon, in den meridiaan zynde, tusfehen het toppunt en den pool, en dus aan den zelfden kant daar de pool is, doorgaan. Dit kan dus alleen gebeuren op die plaatfen des aardbols, alwaar de poolshoogte niet meer dan 230.27'. 50" bedraagt, dat is,tusfehen de keerkringen. Voor alle andere plaatfen gaat de zon 's middags altoos door den meridiaan aan de andere zyde van het toppunt dan daar de pool is; in onze gewesten by voorbeeld, bezuiden het toppunt. 7. Wanneer de declinatie der zon en de pool gelyknamig zyn , gaat de zon aan dien kant van het oosten op , en aan dien kant van het westen onder, daar de pool is; wanneer die ongelyknamig zyn, aan den anderen kant : by ons des zomers benoorden en des winters bezuiden het O. en W. 8. De Schemering, (dat is, de tyd gedurende Welken men het licht der zon bemerkt, terwyl zy zelve onder den horizont is), begint of eindigt alsde zon i8° onder den horizont is. Die fchemering zal dus langer duren, naarmate" de zon fchuïnfcher en langfamer ryst. Hieruit kan men afleiden,dat, al  V I È R D E B O E K. 8*2 al het overige gelyk ftaande, de fchemering langer duren zal naarmate de pools hoogte groter », en dat voor de zelfde plaats de fchemering het langfte zal duren , als de zon de grootfte gely^^ge declinatie met den pool heeft. De zal voor verfchillende Breedten op verfchiUende tyden plaats hebben, doch altoos terwyl de declinatie der zon ongelyknamig is met den zichtbaren pool. § nö. Door de vier kleine cirkels, waarvan wy § n* en § 115. N°. 4- gefproken hebben, wordt de aarde in vyf delen of ftreken (zonen) verdeeld , waarvan die, welke tusfehen de keerkringen ligt (snh* ng. 94) , de verzengde ftreek; de twee naastliggende (stgm, **/i),die tusfehen een' keerkring en een poolcirkel bevat zyn, de gematigde ftreken; en eindelyk die, welke rondom elk' der polen liggen en binnen de poolcirkelen bevat zyn (kl, /O , de leprozen ftreken of poollanden genoemd worden.' § w Van de verfchillende lengte der dagen haflgt het verfchil der Saifoenen, of Jaargetyden, af. Ondei den evenaar zyn de dagen altoos gelyk aan de nachten en dus even lang. Onder de polen heeft, in dien zin, maar ééne dag en ééne nacht plaats. (§ 115) Voor alle andere plaatfen des aardbols is de dag •gelyk aan den nacht, wanneer de zon in den evenaar is, dat is, door hare dagelykfche beweging dert X 2 ^'  3^4 ZEEVAAR T-KUNDE, evenaar befchryft, 't welk plaats heeft omtrent den ooft™ Maart. Alsdan begint de Lente. Naarmate zy den zichtbaren pool meer nadert, worden de dagen langer , tot dat zy ha^ grootfte declinatie naar dien kant bekomen heeft, 't welk voor den Noordpool plaats heeft omtrent den ao^n juny. Dan begint de Zomer. Vervolgens neemt die declinatie wederöm af tot de zon aan den evenaar komt (20 September). Dan begint de Herfst. Zy bekomt vervolgens zuidelyke declinatie , die den ao^n December op haar grootfte is. Dan begint de Winter. § 118. De warmte,die de zon aan enige plaat» des aardbols doet gevoelen, hangt voornamelyk af van hare hoogte op den middag. Die warmte zal dus, wanneer men deze oorzaak alleen in aanmerking neemt, ïn 't algemeen,omtrent het begin van den Zomer het grootfte^en omtrent het begin van den Winter het kleinfte wezen. Tusfehen de keerkringen, daar de zon tweemaal 's jaars door het toppunt gaat, en daar het gehele verfchil harer hoogte voor verfchillende tyden des jaars met zeer groot is, is het verfchil van warmte in de onderfcheidene faifoenen anders geregeld en zeer gering. § HO- Uit § 115 en 117 is by vergelyking ligtelyk af te leiden ; dat twee plaatfen op den aardbol, die i8c° in Lengte verfchillen, en op gelyke tegenövergeftelde Breedten liggen,namelyk de ééne op zo veel Zuiderbreedte als de andere op Noorderbreedte, (zo dat de  VIERDE BOEK. 3*5 lvn, door die plaatfen getogen, door het middelpunt des aardbols gaan, de getyden des jaars en degetyden des daags beiden tegenövergefteld hebben: dat het op de ééntWinter is, als het bp de andere Zomer is. op de ééne Middag, als het op de andere Middernacht is enz. - : dat twee plaatfen,die i8o<• W Lengte verfchillen, doch op de zelfde Breedte liggen, (beiden Noordelyk, of beiden Zuidelyk), de zelfde jaargetyden , doch tegenövergeftelde getyden des daags hebben: - dat eindelyk twee plaatfen, die op de zelfde Lengte, doch op gelyke ongelyknamige Breedte liggen, tegenövergeftelde jaargetyden doch de zelfde getyden des daags hebben- IX. Onr de wyze, om de Geographifche Lengte, in tyd uit te drukken, § 120. Wy hebben in § 81. verklaard, wat men door Geographifche Lengte eener plaats des aardbols ver' ftaat en wy hebben tot hier toe die Lengte altoos in graden uitgedrukt. Een punt des aardbols, op eene bepaalde Lengte gelegen, % welk nu by voorbeeld de zon in den meridiaan heeft, zal door de dagelykfche omwenteling in 24 uren 360° befchryven, (of wel, naar de gewone wyze van uitdrukking, de zon zal door hare dagelykfche beweging in 24 uren die 3600 afleggen), en dan zal dat zelfde punt wederom de zon in den meridiaan hebben. Men is gewoon die 360 graden ook m 04 uren te verdelen, en de Lengte, (welke op zodanig een' cirkel geteld wordt, § 81 Gev.), metaVX 3 #  &6 ZEE VA ART-KUNDE, leen fa graden, maar ook in tyd uit te drukken, 15 graden voor één uur • 15' boogs voor ï tyds, enz. rekenende. In plaats by voorbeeld van te zeg..gen, dat de plaats A 15° graden bewesten B ligt, zegt men dat dezelve 1 uur bewesten ligt; en het is zeer gemaklyk Tafels te berekenen, waarin men voor elk getal graden,minuten en feconden boogs, het overëenkomftige getal uren , minuten em feconden tyds vindt; en omgekeerd, voor elk getal uren, minuten en feconden tyds, het overëenkomftige getal graden , minuten en feconden boogs. Zodanige Tafels zyn de IX* en X«= in de Verzameling by VAN KEULEN. . § 121, Deze wyze van de Lengte uit te drukken is veel gebruiklyker en gemaklyker , dan de uitdrukking ïn graden: want wy zullen in het IXde Boek zien, dat de middelen om de Lengte eener plaats te vinden van dien aart zyn , dat men de Lengte bekomt in Tyd uitgedrukt: en dat men , omgekeerd , in de meeste gevallen, wanneer men van eene bekende Lengte gebruik wil maken , dezelve in tyd uitgedrukt nodig heeft. De reden daarvan is deze , dat het verfchil tusfehen het getal uren , dat men op het zelfde ogenblik op twee verfchillende plaatfen tel t, juist haar verfchil van Lengte, in tyd uitgedrukt, bedraagt. Immers, zo de zon by voorbeeld te Amftcrdam in den meridiaan is, en men gevolglyk déar ter plaatfe middag heeft,zal de zon reeds door den meridiaan gegaan zyn van die plaatfen, welke oostelyk van Amfterdam liggen. Het zal dus op die plaatfen reeds na den middag zyn, en wel op elke plaats * Q  y I E R D E B O E K. 5*7 zo veel na den middag , als de zon tyd beneed heeft om van den meridiaan dier plaats tot dien vail Amfterdam te komen. Duar de zon nu 360° in a4 uren aflegt, zal men dien tyd kunnen vinden door middel van deze evenredigheid: 360° zyn tot 24 uren, zo als de Lengte van die plaats in graden uitgedrukt tot dien gezochten tyd. Die tyd is dus juist gelyk aan de Lengte van die plaats van Amfterdam af gerekend, wanneer men dezelve volgens § iaa in tyd brengt. Wy zullen dit alles in hetIXde Boek breder verklaren. Hier ter plaatfe is het genoeg , een oppervlakkig denkbeeld van de zaak gegeven te hebben. X. Over de eigent beweging der Maan. § iaé. Wy hebben in § 92.gezien,op welke wyze men gewoon is de plaats der zon voor elk bepaald tydftip, door middel van declinatie en rechte opklimming,(of afftand van het punt V op denevenaar), aan te duiden. De bepaling van dat punt V & t ons in ftaat, om op gelyke wyze de plaats van alle andere hemelfche voorwerpen aan te duiden . met dit onderfcheid, dat die bepaling voor zodanige voorwerpen als de vaste fterren zyn, die hunnen ouderlingen afftand,en dus ook hunnen afftand van enig vast'bepaald punt des hemels, niet merkbaar veranderen, beftendig is,of ten minften voor een zeer langen tyd dezelfde blyff, terwyl de plaats der bewegende hemelfche ligchamen elk ogenblik verandert , en dus ook de bepaling van die plaats door X 4 ae'  328 ZEEVAART-KUN DE, declinatie en rechte opklimming niet ééns Voor al, zo als voor de vaste fterren , maar flechts voor enig bepaald tydftip , even als voor de zon, kan opgegeven worden. Tot de laatfte foort behoort de maan, wier beweging wy nu befchouwen zullen. § 123. De Sterrekundigen zyn gewoon zich niet alleen van den evenaar, maar ook va* de Ecliptica of zonsweg ter aanduiding van de plaats der hemelfche ligchamen te bedienen. Laat W in fig. 98. of eene vaste fter, of de plaats van een bewegend hemelsch ligchaam voor een bepaald tydftip,'verbeelden. Wanneer men uit den pool P door W den loodrechten boog PWX op den evenaar trekt, zal WX de declinatie en yX de rechte opklimming van dat voorwerp zyn. Laat p de pool van de Ecliptica AyBiA zyn , (welks afftand pP van den pool des evenaars gelyk aan den hoek ByR CS 18.), = 230. 27'. 50"(§ 89.),zyn zal). De boog, Uit p door W getogen, zal loodrecht op de Ecliptica vallen in Y. De plaats van W kan dus insgelyks bepaald worden door de bogen W Y (afftand van de Ecliptica) en VY (afftand op de Ecliptica van 'f  SP ZEEVAAR T-KUNDE, fchyf der maan die der zon voor een gedeelte bedekken , en eene Partiale Zoneclips veroorzaken. Zo de conjunctie plaats heeft in enig punt H of O van de Ecliptica , alwaar de afftand HG of OK groter is dan die fom, zullen zon en maan eikander vryelyk pasferen ; en indien men de maan alsdan zien kon, zou men haar onder de zon in G of boven de zon in K zien doorgaan. Alsdan heeft 'er gene Zoneclips plaats. Zo de zons en maans middelpunten zich by de oppofitie elk in eenen der knopen of zeer naby denzelven bevinden, zal de fchaduw des aardbols de gehele fchyf der maan verduifteren , en dus eene Totale Maan'e'clips veroorzaken. Zo de zons en maans middelpunten by de op politie zich na genoeg elk by eenen der knopen Cm L en N by voorbeeld) bevinden , op dat de maan in N ten dele door de fchaduw M des aardbols moete gaan , zal die fchaduw een gedeelte van de fchyf der maan verduifteren, en dus een! Partiale Maanéclips veroorzaken. i Zo de oppofitie plaats heeft, wanneer de maan m A of B by voorbeeld zich bevindende, genoeg fame breedte (AQ, BR) heeft , om onder of boven de fchaduw (Q of R) door te gaan , zonder dat enig deel daarvan op hare fchyf valle, zal 'er gene Maanëclips plaats hebben. § i|4- Indien de punten C en D (fig. 101 en 103) alWaar de Maansweg de Ecliptica fnvdt , of zogenaamde knopen, beftendig op de zelfde plaats aan den  VIERDE BOEK. 34» den hemel bleven, zouden de Eclipfen nergens anders aan den hemel kunnen voorvallen, dan naby die plaatfen. Doch daar wyC§ 125) gezien hebben> dat die punten eene te rug gaande beweging hebben, en in omtrent 19 jaren de Ecliptica rondlopen , zullen de Eclipfen rondom aan den hemel langs de Ecliptica plaats kunnen hebben. Aanmerking. De naam van Ecliptica is aan den zonsweg gegeven , om dat men had waargenomen dat de Eclipfen altoos in of naby dien cirkel voorvallen. u § 135. De voornaamfte verfchynfels van eene Maanëclips, de grootte namclyk der verduiftering , derzelver duur , het ogenblik waarop zy begint of eindigt, zyn voor alle plaatfen des aardbols,alwaar de maan boven den horizont cn dus zichtbaar is , de zelfden ■ dewyl de maan by eene eclips indedaad van haar-riCrTt--roor^tusfchenkomst des aardbols beroofd wordt. By eene Zoneclips is het de aarde die van haar licht geheel of ten dele beroofd wordt door de tusfehenkomst der maan ; en dit zal niet voor alle plaatfen in den zelfden graad en op het zelfde ogenblik gebeuren. Stel dat in fig. 104. BAC de aarde, F EG de fchyf der maan,KSL die der zon verbeelde: terwyl de waarnemer in A de middelpunten CE) der maan en (S) der zon op elkander ziet, cn dus eene centrale eclips waarneemt, zal de waarnemer in B langs den rand F ziende, de gehele fchyf der zonne ter linkerhand Y«m F Y 3 ver-  34* ZEEVAART-KUNDE, verlicht zien, en dus gene eclips waarnemen. Voor waarnemers tusfehen B en A geplaatst zal de Eclips partiaal kunnen zyn. Indien wy onderftelien dat HFGI een gedeelte van de loopbaan der maan zy, zal de waarnemer in F de eclips reeds gehad hebben , terwyl op dat zelfde ogenblik een waarnemer in C, langs G ziende , nog de gehele verlichte zonnefchyf ter rechterhand zien zou, en dus de eclips nog te wachten hebben. Daar niet alleen de maan van H naar I voortgaat, maar ook de aarde intusfehen om haren as draait, zullen beide deze bewegingen te famen op de grootheid,dnqr-,eq tyd. der verfchynfelen voor elk ftip des aardbols invloed hebben. § 136. Men is in ftaat alle de omftandigheden eener eclips met eene aanmerklyke naauwkeurigheid voorüit te herekenen; die der maan vry gemaklyk, die der zon met meer moeite. Men vindt dezelvcn vooraan in den Zeemans-Almanach van ieder jaar opgegeven. § 137. Wy hebben in § 49 getoond, dat men, den afftand van enig hemelsch ligchaam van den aardbol en den radius des aardbols kennende, in ftaat is het horizontale verfchilzicht, en daaruit (§ 50^ vervolgens het verfchilzicht in hoogte, te berekenen. Daar die afftand voor de Maan den ééjien tyd merkelyk groter dan den anderen is, is ook haar horizontale verfchilzicht van onderfcheidene grootte. Het is om die  VIERDE BOEK. die reden, dat men het voor eiken dag, 'smiddags en 's middernachts-, op bladz. III. van den ZeemansAlmanach vindt opgegeven. Aanmerking. Men kan,door middel van verfcheiden gelyktydige waarnemingen van de hoogte der maan in verfchillende plaatfen gedaan, het verfchilzicht onmiddellyk bepalen, en daaruit en uit den bekenden radius des aardbols, den'afftand der maan van de aarde berekenen. Het is op deze wyze dat men dien afftand voor een bepaald tydftip gevonden heeft. Alsdan geeft de Sterrekunde middelen aan de hand, om dien afftand voor ieder ander gegeven tydftip te kennen, en daaruit volgens den gegeven regel het verfchilzicht te berekenen. § 133. Wy hebben reeds in § 49 Aanm. II gezegd,dat de niet volkomene rondheid des aardbols enigen invloed heeft op de grootte van het verfchilzicht. Men heeft' namelyk door waarnemingen en metingen ontdekt , dat dc gedaante des aardbols enigszins naar eene platte fchyf zweemt, zynde platter onder de polen dan onder den evenaar. De radius des aardbols is dus korter onder de polen dan onder den evenaar-, ftaande de eerfte tot den laatften = 233 • 234 ten naasten by. Stel dat in fig. 105. A het middelpunt des aardbols zy , B een der polen , b een punt des evenaars: laat AC = Ac ae afftand der maan van de aarde zyn-, dan zal zy m C zynde voor den waarnemer in B aan den bon\ 4  S44 ZEEVAART-KUNDE, zont zyn , en de Sinus van het verfchilzicht CL ACB^ . AB " — AC ^m $ 6) ; zy zal in 0 z^nde voor den waarnemer in b aan den horizont zyn, en de Sinus van het verfchilzicht (iAc*) voor dien waarnemer is = AT* Daar nu AC = Ac en A* > AB is , zal het verfchilzicht in b groter dan dat in B zyn. Voor den zelfden afftand der maan van het middelpunt des aardbols, zal het horizontale verfchilzicht het kleinfte zyn onder de polen, het grootfte onder den evenaar jen voor elk ander punt G, alwaar de radius AG > AB en < A* is, zal het groter zyn dan in het eerfte, en kleiner dan in het twede geval. Indien men derhalven eene middelbare grootte voor den radius des aardbols aanneemt , die by voorbeeld , welke voor de Breedte van Londen plaats heeft , en in die ondcrftellinhet horizontale verfchilzicht berekent, gelyk inden Almanach gefchied is, zal het berekende verfchilzicht te groot zyn voor plaatfen die op hogere breedten of nader by den pool , en te klein voor plaatfen die op kleinere breedten of nader aan den evenaar liggen. Om deze onnaauwkeurjgbeid te verholpen, dient de Vide Tafel in de Verzameling h van kéülen , alwaar men voor ieder horizontale verfchilzicht dat men in den Almanach opzoekt, en voor iedere breedte welke groter of kleiner dan 50° (die van Londen) is, het getal feconden vindt, dat men van m gevondene horizontale verfchilzicht moet aftrek-  VIERDE BOEK. 345 trekken in het eerfte geval , of daarby tellen in het twede. § 139- De fchynbare middellyn der maan zal groter of kleiner zyn, naarmate haar afftand van het middelpunt des aardbols kleiner of groter is. Wy hebben zulks reeds in § 106 voor de middellyn der zon aangemerkt. Doch de verandering in den afftand der maan is veel aanmerklyker en fpoediger dan m dien van de zon. Men vindt om die reden de halve middellyn der maan voor eiken dag, 's middags en 's middernachts, op bladz. III. van den Zeemans-Almanach opgegeven. § 140. De middellyn der maan is, op den zelfden afftand Van het middelpunt des aardbols, iets groter naarmate men haar dichter aan het toppunt en dus op meerdere hoogte waarneemt. Immers, daar in fig. 00 A het middelpunt des aardbols, en AN _ AC is, zal de afftand der maan van het middelpunt des aardbols de zelfde zyn, wanneer zy in C aan d,en horizont en in,N in top is. Doch voor den waarnemer in B is haar afftand van zyn ftandpunt B groter als zy in C dan als zy in N is, want AN L iB + BN = AC; en AC < AB-f-BC(II. «46); dus AB + BN < AB + BC enBN< BC; BH zal > BN en <5 BC zyn: de fchynbare middellyn der maan, de omgekeerde reden der aftanden volgende, zal zich dus het kleinfte vertonen in C, groter in H, en het grootfte in N. Y 5 in  346 ZEEVAARTKUNDE, ïn de Vde Tafel der Verzameling by vL KE,. W» vindt men,onder den naam van Vermeerdering der halve maans-middellyn op verfchillende hooien voor elke hoogte der maan het getal feconden , dat men by de horizontale halve middellyn, op bladz, III des Almanachs opgezocht, tellen moet om de ware grootte der middellyn op die hoogte te bekomen. Aanmerking. Het komt vreemd voor, dat de fchynbare grootte, der maan het klcinfte is aan den horizont, daar wy ons vei beelden haar dan op haar grootfte te zien. Doch dit is eengevolvan de wyze waarop wy de grootheid der~voor! werpen beoordelen. Wy oordelen een voorwerp groter te zyn , naarmate het vooreerst zich indedaad groter vertoont, en ten tweden naarmate wy weten of denken dat het verder van ons af is. Nu komt ons de afftand der maan aan de kim veel groter voor , wanneer zy naby den horizont is, daar wy eene reeks van voorwerpen tusfehen haar en ons ontdekken en haar' afi ftand daarby als 't ware afmeten, dan wanneer zyop grotere hoogte is, alwaar wy geen voorwerp ter vergelyking tusfehen beiden hebben. Daar wy haar dan, naby den horizont zynde veel verder af oordelen,^ haar flechts iets kleiner zien, moeten wyhaar noodwendig groter fchatten. XI. Over de Planeten. § 141. Eehalven de zon en de maan, ontdekken wy by ee-  VIERDE BOEK. 347 e€ne opmerkzame befchouwing des hemels nog eniTe andere fterren , die hare plaats met betrekking tot de overigen veranderen,en dus eene eigene »t zv ware't zy fchynbare, beweging hebben-, en die bovendien zieh van dezelven onderfcheiden door de zachtheid en ftilheid van haar licht, gelyk aan dat der maan, terwyl de zogenaamde vaste fterren met een tintelend licht even als de zon fchitteren. De voornaamfte enkenbaarfte dezer voorwerpen zyn de Planeten. Ons beftek laat niet toe hier de zelfde orde te houden, die wy in het voorgaande gevolgd hebben, van eerst de verfchynfels op te geven zo als dezelven zich voordoen , en daaruit vervolgens derzelver verklaring af te leiden. Wy zullen derhalven in de eerfte plaats kortelyk opgeven w?t men door langdurige waarnemingen en navo'rfchingen omtrent de Planeten heeft leren kennen in zo verre zulks tot ons oogmerk nodig is; en vervolgens tonen hoe de verfchynfels,die wyby de Planeten waarnemen, daarmede ovcrëcnftemmen. § I4«- ï De Planeten zyn ligchamen, die even als onze aardbol, (welke zelf een planeet is), cn als de maan, uit zich zelve geen licht bezitten,maar hun licht van de zon ontvangen, cn door dat te rug gekaatfte licht voor ons zichtbaar zyn. § 143- 2 Zy bewegen zich, even als onze aardbol, rondPm de zon van het westen naar het oosten , in q jpbancn welke enigszins langwerpig van gedaan-  348 ZEEVAARTKUNDE, te zyn , (fig. I0Ö)j De ZQn bevindJ. ^ het eene uiteinde 959 Aarde O ' « °' »' « **» Mars $ Utt} 18 ^ °'6? jupiter % f,201 II.} f- 8- 5» **2*>oc° II,ï6i Saturnus h 9^9 wU}- "I ^00 4'foo j-, _~ fi« r-»rt 00,000 4iïOO Maan g 0'00^ ^<=§ IJ7) van de J | >S Aarde' , . 1158070,0001111,480 Zon ~ ~~"~~Z1 —> ' § I46. Vier dezer planeten hebben zogenaamde Satellieten of Manen , die om hen rondlopen. De Aarde heeft 'er Eenen, Jupiter Vier,Saturnus Zeven, en Herfchel Twee. § 147. Daar de planeten zich van het westen naar het oosten rondom de zon bewegen , in loopbanen die ee-  S50 ZEEVAART -KUNDE eenen hoek met de Ecliptica maken gullen zy vooreenen waarnemer, die zich in de zon bevinden zon op de zelfde wyze van plaats veranderen als dc zon en de maan uit de aarde gezien : en men zal bepalen. Die Lengte en Breedte wordt HeUocemn. (dat is , tth de zm ah mimpuif »e) Lengte en Breedte genoemd. § 148. A De fchynbarc beweging der planeten uit de aaröe gezien, en dus hunne plaats aan den hemel voor dieCI'wIlblik' m0Ct "°0dwe"dig ^rfchillen van die, welke men uit de zon zou waarnemen Die beweging zal zelfs, uit de aarde gezien,,eheel onregelmatig fchynen: men zal de planeten"»fct, gelyk de zon en de maan ,altoos van het westen naaf het oosten zien voortgaan ; maar zy zullen zich nu voorwaart, dan rugwaarc , nu trager dan me!** fchynen te bewegen , en zelfs fomtyds voor een' korten tyd fchynen ftil te ftaan. Laat ons ter opheldering van dit alles fig. 108 ert ic9 befchouvven, waarvan de eerfte dient voor planeten d,e nadcr byde zonzyn d?n ^ P de twede voor planeten die verder van de zon af zyn dan de aarde. De buitenfte cirkel verbeeldt der Sterrenhemel, tot welken wy gewoon zyn de Plaats der planeten te brengen, en welken men ^ ch, even ais m fig. 83, 88 , 00, op een' onmeetba ar verren afftand moet voorftellen, z0 dat in verg ykms met denzelven het gehele zonneftelfel als muidelpunt befchouwd mag worden, dat die  VIERDE BOEK. 351 cirkel de Ecliptica zelve zy, op welken de Lengte van V af geteld wordt j eft laat ons gemakshalven ftellen dat de loopbanen van de aarde en van den planeet in het zelfde vlak liggen. Wanneer de aarde zich in A en de planeet in E bevindt, zal deze zich uit de zon gezien in U, en uit de aarde gezien in I vertonen : hy zal dus de heliocentrifche Lengte fü, en de Geocentrifcht (dat is , uit het middelpunt des aardbols waargenome«ƒ) Lengte yl hebben. Wanneer de zon en de planeet uit de aarde gezien de zelfde lengte hebben, (dat is in fig. 108. wanneer de Aarde in C en de planeet in N of O is , en in fig. ico. wanneer de aarde in C en de planeet in O is,) worden zy gezegd in Conjunctie te zyn : voor het woord conjunctie gebruikt men het teken 6- Wanneer de planeet zich tusfehen de zon cn de aarde bevindt (in N,fig. 108), heeft de zogenaamde 'Medeipe\walteer de zon zich tusfchen den planeet (in O fig. 108) en de aarde bevindt, heeft de bovenfie Conjunctie plaats. Wanneer de zon en dc, planeet recht over elkander ftaan, of i8o« in lengte verfchillen (de planeet in N zynde fig. 109) , zyn zy in Oppofitie; voor oppofnie gebruikt men het teken 8- § 149. Wanneer de aarde, van A naar D voortgaande, zich achtervolgens in A, B, C, D bevindt, terwyl de planeet, van E naar H voortgaande, zich achter volgens in E, F, G, H bevindt, en zich in I, K, L, M aan den hemel vertoont; dan ziet men, .dat  35* ZEEVAART-K0NDE, dat hy eerst zal fchynen van I naar L voort te gaan , maar dat hy vervolgens zal fchynen te rug te gaan om in M te komen. 'Er zal dus een tydftip zyn, terwyl de planeet zich ergens tusfehen G en H bevindt, op het welk zyne fchynbare beweging, die voortgaande was, teruggaande zal worden ; en waar hy dus zal fchynen ftil te ftaan. Dit laatfte zal in fig. ic8. omtrent plaats hebben wanneer de aarde zich in C en de planeet in G bevindt, zo dat de lyn CG de loopbaan van den planeet in G raakt. Immers zal dan de planeet naby het punt C zich omtrent in de richting van die raaklyn C G bewegen , en dus in het punt L fchynen ftil te ftaan. Het zelfde zal plaats hebben in fig. 109. wanneer de aarde van A naar B, en de planeet van E naar F gaande , de lynen A EI, BFM omtrent evenwydig zyn. Immers zullen dan (zie § 24) de punten I en K in elkander vallen, en de planeet zal daar ter plaatfe aan den hemel fchynen ftil te ftaan. Uit dit alles blykt genoegfaam dat dc Geocentrifche Lengte niet regelmatig vermeerderen, maar nu eens vermeerderen, dan eens verminderen, en fomtyds gedurende enigen tyd nagenoeg de zelfde blyven zal. § 150. Uit fig. 108 blykt, dat een planeet, die zich nader by de zon bevindt dan de aarde, zich, uit de aarde gezien, nooit verder van de zon verwydert, dus nooit meer in lengte van dezelve verfchilt, dan de boog pl bedraagt: hy bevindt zich dan in dc raak-  VIERDE BOEK. 353 raaklyn uit de aarde aan zyne loopbaan getogen. Die boog PL wordt zyne grootfte Elongatte of vsrwyderittg genoemd. § 150. Een planeet, die verder dan de aarde van de zon af is , wordt gezegd in Quadratuur te zyn , wanneer hy 900 ié Lengte met de zon verfchilt: (wanneer, (fig. 109), de aarde in C en de planeet in Q zynde, dc hoek QCS = 90° is): voor quadratuur gebruikt men het teken n. § 151. De fchynbare grootte der planeten is verfchillende , naarmate zy zich op verfchillende afftanden van de aarde bevinden : dezelve is het grootfte naby de benedenfte conjunctie in fig. 108., eri by de oppofitie in fig. 109 : het kleinfte naby de bovenfte conjunctie in fig. ic8., of by de conjunctie m fig. 109. § 152. De planeten, die nader dan de aarde by de zon zyn , •zullen verfchillende lichtgeftalten vertonen , even als de maan (§ uS. fig. p*% Zy 4]ïea ook b^ hunne conjunctie, even als de maan by eene zoneclips (§ 133), voorby de zonnefchyf kunnen doorgaan. § 153- Men kan dc plaats der planeten voor ieder ogenblik ook door rechte opklimming en declinatie bepalen (§ iaa>: en, de rechte opklimming der zon Z be-  354 ZEEVAART-KUN DE, benevens die van den planeet kennende, is men in ftaat, even als voor de maan 131), den tyd van hunnen doorgang door den meridiaan te berekenen. § 154- In den Zeemans Almanach vindt men, op bladz. VIII van iedere maand, voor de vier aanmerkelykfte en best zichtbare planeten (Venus, Mars, Jupiter en Saturnus), de declinatie , den tyd van doorgang door den meridiaan, en de geocentrifchc lengte van week tot week opgegeven. De beide eerfte dienen, om, door waargenomen hoogten van planeten in den meridiaan, de Geographifche Breedte te vinden. Men moet dan ten naasten by het uur van hunn' doorgang kennen, om zich tot de waarneming gereed te maken; en men moet de declinatie kennen, om uit de waargenomene hoogte de breedte te kunnen afleiden. Wy zullen daarover in het VI& Boek uitvoerig handelen. Om de planeten te leren kennen cn van andere fterren te onderfcheidcn , behoeft men flechts op het aangewezene uur in het zuiden te zoeken. Met behulp der geocentrifche lengte kan men ook nagaan by welke vaste fterren zy zich omtrent bevinden moeten. Hunne fchynbare grootte en bun zachte en ftille glans maken hen genoegfaam kenbaar. xn.  VIERDE BOEK. 355 XII. Over de Eclipfen der Satellieten van Jupiter. § 155. Wy hebben gezegd (§ 146) dat Jupiter door vier Satellieten of Manen omgeven is, welke zich om hem heen bewegen in vlakken, die eene meerdere of mindere helling op het vlak zyner loopbaan en dus op de Ecliptica hebben. Dezelve zyn niet voor het blote oog, maar door goede verrekykers zichtbaar. "Daar Jupiter, even als alle in zich zelf duiftere ligchamen, die door een verlicht ligchaam befchenen worden, eene fchaduw achter zich laat, zullen die Satellieten, wanneer zy by hunnen omloop door die fchaduw heengaan, door dezelve verduifterd en dus onzichtbaar worden. De waarneming dier verduifteringen kan , gelyk in het IX> Boek blyken zal, met zeer veel vrucht ter bepaling der Lengte van plaatfen op den aardbol worden aangewend. § 156. Laat in fig. 110. S de zon, A de aardbol, B de planeet Jupiter zyn: B CD is de kegelvormige fchaduw achter Jupiter. Een Satelliet, zich in de loopbaan EFGD bewegende, zal, wanneer de helling zyner baan tusfehen C en D niet groot genoeg is om onder of boven de fchaduw heen te kunnen gaan, door de fchaduw zelve moeten gaan, en in C intreden cn in D uitgaan. Indien dc Satelliet zich nader by Jupiter bevindt, en zich in 1GKH by voorbeeld beweegt, zal het kunnen gebeuren dat men uit de aarde (in A) alZ 1 leen-  / 35<5 ZEEVAARTKUNDE, * leenlykyden uitgang uit dc fchaduw (in H), of (zo de aarde in a was) alleenlyk de intrede (in G) kan waarnemen , dewyl in het eerfte geval de intrede, en in het twede de uitgang achter de fchyf van Jupiter zelve gefchicdt. § 157- By de conjunctie is Jupiter te gelyk met de zon in het zuiden. Van de conjunctie af tot de oppofitie toe gaat Jupiter voor den middag door den meridiaan, dus terwyl de zon aan den oostkant is •, de fchaduw, altoos recht tegen over de zon zynde, zal gevolglyk bewesten Jupiter vallen. Na de oppofitie is Jupiter voor middernacht in den meridiaan, terwyl de zon aan den westkant is; de fchaduw zal dus beoosten Jupiter vallen. Wanneer men by eene Eclips flechts ééne van beiden, de intrede of den uitgang, kan waarnemen , gelyk altoos het geval is by den eerften Satelliet, en meesttyds by den tweden , zal men voor de oppofitie alleenlyk de intrede, en na de oppofitie alleenlyk den uitgang kunnen waarneemen, dewyl de Satellieten, zich van het westen naar het oosten bewegende, altoos aan de westzydc van de fchaduw intreden , en aan de oostzyde uitgaan. De helling der baan van den vierden Satelliet is zo aanmerklyk, dat by zyne conjunctie niet altoos eene Eclips plaats heeft (Vergelykt § 135.)  VIERDE BOEK. 357 § 158. Op bladzyde VIIIvan iedere maand in den ZeemansAlmanach, vindt men den tyd der Eclipfen der Satellieten (en de conjunótiën van den vierden Satelliet, wanneer 'er gene Eclips plaats heeft) voor den meridiaan van Teneriffa opgegeven. Om te weten flbe laat zy op enige andere plaats zullen voorvallen, welker verfchil in lengte met Teneriffa bekend is, behoeft men flechts die lengte, in tyd uitgedrukt, by den gevonden tyd in den Almanach te tellen, zo de plaats oostelyk, of daar van af te trekken, zo de p.aats wcstelyk van Teneriffa ligt- De Eclipfen, welke boven den horizont van het koninglyke Obfervatorium te Greenwich voorvallen, en dus daar ter plaatfe zullen kunnen waargenomen worden, zyn met een fterretje * getekend. § ï59- Aan het einde van den Almanach vindt men voor eiken dag van elke maand de Configuratien ■der Satellieten van Jupiter, dat is, den onderlmgen ftand , waarin zy zich op enig bepaald uur vertonen. Men vindt by voorbeeld voor de zeven eerfte dagen van January 1793, B» f voor 5 uren des morgens, deze figuur 1 -> j. Q T •' 7 "> © i: ? Tó~ _© L 4 T®~ _J___®_1—- '— I r ~— 6_ _j ■ »Q . . \ .7 *Q © 1—1 ■ - Z 3 Ju-  J58 ZEEVAART-KUN DE, Jupiter wordt door het teken 0, en elke Satelliet door een ftip (•) met eene cyffer aangewezen. Zo dat ftip tusfehen de cyfer daar het by behoort en Jupiter geplaatst is, verwydert zich de Satelliet van Jupiter (zo als de twede en derde Satelliet op den jften january): zo de cyfer tusfehen het ftip en Jupiter geplaatst is, nadert hy denzelven (zo als de eerfte en vierde Satelliet op den jflen january). Wanneer de Satelliet op het aangewezen uur of in de fchaduw geëclipfeerd, of achter de fchyf van Jupiter verborgen is, wordt zulks door eene zwarte vlek (•) aangewezen; dit heeft den 4^n january voor den eerften Satelliet plaats. Het teken , dat men op den 3^ january by den vierden Satelliet aantreft, toont dat dezelve omtrent op dien tyd in conjunctie is. Wanneer eene Satelliet zich juist voor de fchyf van Jupiter bevindt, wordt zulks door dit teken (O) aangewezen: dit heeft den i^a january voor den derden Satelliet plaats. Daar men by de waarneming dezer Eclipfen gewoon is zogenaamde Aftronomifche kykers te gebruiken, die de voorwerpea omkeren, zyn de configuratien gefteld, zo als zy zich door zodanige kykers vertonen zouden, het zuiden boven, het noorden onder , het oosten ter rechter-, en het westen ter linkerhand (*). Wan- (*) Wanneet men by voorbeeld Jupiter met het blote oog, of met een' rechten kyker, in den meridiaan u'aartieemt, en dus naar 't zuiden gekeerd is, ,i» de bovenr.ind van Jupiter naar den noordpopi gekeerd, en dus neordelyke rand; de onderrand is zuidelyke tifid: eene Sareilier, die zich beoosten Jupiter bevindt, zal zich ter lu:kerh.2i.d, eene die zich bewesten hein bevin.it, ter rechterhand  VIERDE BOEK. 359 Wanneer de Satelliet zich aan de westzyde van Jupiter bevindt en hem nadert, of aan de oostzydc van Jupiter en zich van hem verwydert, bevindt de Satelliet zich in het bovenfte gedeelte zyner loopbaan (dat het welk het verst van de aarde af is) : hy bevindt zich in het benedenfte gedeelte dier baan, als hy aan dc oostzydenadert, of aan de westzyde zich verwydert. Het is niet moeilyk, de configuratiën der Satellieten voor twee naastvolgende dagen op het zelfde uur kennende, ten naasten by die configuratièn voor enig uur tusfehen beiden op te maken. Over de vaste Sterren. § 160. Wy hebben § 83 gezegd, dat die Sterren, by welke men gene merkelyke verandering van plaats met betrekking tot elkander waarneemt, en die dus gene andere merkbare beweging hebben dan die welke wy onder den naam van dagelykfche beweging hebben leren kennen (§ 55)» ^aste Ster~ ren genoemd worden. Wy hebben dezelven tot nog toe flechts in het algemeen en in vergelyking met de bewegende hemelfche ligchamen befchouwd: laat ons nu nog kortelyk iets zeggen omtrent de bepaling van derzelver plaats, derzelver verdeling in Beelden, de wyze om ze op Globes, Kaarten enz. hand vertonen. Wanneer men een' omkerenden kyker Sebruikr, xfet mer den n0ürielyken rand onder, den widdyken bovtn, den w'te^kcn fatcUkt iet «echter-, den westelyKen eet Imkcihaod. Z 4  3öo ZEEVAART-KUNDE, enz.- te plaatfen, en de middelen om ze aan den Hemel te leren kennen en van elkander te onderfcheidcn. § 161. Daar men de plaats van ieder ftip des hemels door „udde van rechte opklimming en declinatie Zn T e" W* C§ I230, aandui¬ den kan, zal men ook op deze wyZe de plaats eener vaste Ster kunnen aanduiden. Om de rechte opkhmming van enige begeerde Ster te kennen, behoeft men fleehts na te gaan hoe veel tyds voor mini ^ ^ den meridiaan **• Die tyd, veranderd of vermeerderd in reden van de verfnelling der Ster, naarmate de Ster voor of na de zon door den meridiaan gaat (§ 99, Ioc.}) en zo men m graden overgebragt, zal den afftand der Ster van de Zon op den evenaar, dat is, het verfchil der rechte opklimmingen van de Zon en van die Ster aanwyzen. Daar men nu de rechte opklimming der Zon voor ieder ogenblik kent, zal men gemaklyk daaruit die van de Ster kunnen afleiden. § 162 Om de Declinatie eener Ster te bepalen, behoeft men flechts hare hoogte te meten, als zy hare grootlte hoogte,in den meridiaan,bereikt heeft - en het verfchil van die hoogte en van het Complement der Breedte van de plaats te nemen. Dat verfchil de Dec,matie van de Ster, en dezelve is gelyknamig 0f ongelyknamig met de Breedte van de Plaats,, naarmate de Ster's hoogte groter of kleiner aan tiet Complement der Breedte is. § 162.  VIERDE BOEK. $6i Zo A (fig. 930 de Ster is, dan is AE of *s deel. = AH —EH = *s grootfte ho. — compl. Br.: zo D de Ster is, is DE of deel. == EH— DH - compl. Br. _ *s gr. ho. § 163. Men kan ook de plaats eener Ster door Lengte en Breedte (§ 123.) bepalen. Doch de bepaling door r. 0. en declinatie, is voor het gebruik in de zeevaart gefchikter. § 164. _ De plaats der Sterren , welke op deze wyze door rechte opklimming en declinatie of lengte en breedte bepaald wordt, is aan enige verandering onderhevig, voornamelyk uit de verplaatfing van het punt 'V niet betrekking tot de Sterren (5 91.) en gedeeltelyk ook uit andere oorzaken ontftaande, in wier verklaring wy hier niet treden kunnen; doch wier werking zo gering is, dat dezelve by het gebruik in de Zeevaart niet behoeft in acht genomen te worden. Het is om die reden dat men in de Tafelen, Catatogusfen enz. waar men de r. 0. en deel. of lengte en breedte der vaste Sterren vindt opgegeven, (zo als deXVde Tafel in de Verzameling van van Keulen), daarby vindt aangetekend voor welken tyd die berekend zyn, en tevens 'er bygevoegd, hoe veel men 'er, wanneer men ze in vervolg van tyd gebruikt, voor elk jaar, federt dat tydftip verlopen, moet bytellen of aftrekken. Op die wyze te werk gaande kan men 'er zich vcrfcheiden jaren achtereen met genocgfame naauwkeurigheid van bedienen. Z 5 § 1Ö5.  Sö2 ZEEVA ART-KÜNDE, § J65. De fchynbare grootte of liever het fchynbare licht der Sterren is zeer verfchillende. Men heeft ze om die reden in Clasfen verdeeld, en Sterren van de Eerfte Grootte, Twede Grootte enz., tot de Negende Grootte toe, genoemd. Het fpreekt jan zelve dat die verdeling enigermate willekeurig is, doch het is genoeg, dat de Scerrekundigen omtrent elke Ster overeengekomen zyn tot welke clasfe dezelve te rekenen: en men vindt in de beste Stcrrelysten, 0p Globes, Hemel-kaarten enz. by elke Ster hare grootte door tekens of cyffers aangewezen. § 166. Om de vaste Sterren aan den Hemel gemaklyker te kunnen onderfcheiden, aanduiden, en op Globes of Kaarten afbeelden, heeft men reeds in zeer oude tyden dezelven in Groepen of Verzamelingen van by elkander (taande Sterren verdeeld, die Sterrebeelden of Gejlemten genoemd worden. Men heeft, om het geheugen te gemoet te komen of om andere ons onbekende redenen, elk dier groepen met eene %uur van mensch, dier of enig ander ding betekend , cn het is hieruit dat dc benaming van Sterrenbeelden in het algemeen,en denaamvanelkSterrebceld in het byzonder, gefproten is. § 167. Het is hier de plaats niet om in een nader onderzoek te treden omtrent de oudheid, den oor- fprong ,  VIERDE BOEK. s3 fprong, de namen, gedaanten, enz. der Sterrebeelden. Wy zullen alleenlyk derzelver namen opgeven, en 'er eene lyst der voornaamfte Sterren van de eerfte, twede en derde grootte byvoegen, waarin men de Sterren van ieder beeld door namen of letters, en derzelver plaats door rechte opklimming en declinatie, beiden in graden uitgedrukt, voor het jaar 1792. vindt aangewezen-, terwyl men tevens by elke Ster de jaarlykfche Verandering vindt aangetekend, die uit hoofde van den voortgang der Evenachtspunten (§ 164) in hare r. 0. en declinatie plaats heeft. Voor de r. o. moet die verandering meest altoos bygevoegd worden. (*) § 168. De voornaamfte Sterren van ieder Sterrebeeld worden in de Sterrelysten en op fommige Globes en Kaarten met de letteren van het Griekfche of Latynfchc Alphabeth aangedui.1. Sommige Sterren hebben byzondere eigene namen. Aanmerking. Zie hier, tot gemaklyker gebruik van zodanige Lysten en Kaarten, het Griekfche Alphabeth en de uitfpraak van elke letter: a alpha, (3 bèta, 7 gamma, S delta, e epfilon, l zêta, n êta, 6 theta, 1 iöta, * kappa, x lambda, p my, v ny, £ xy, 0 emicron, n pi, p rho, a figma, t tau, v ypji 'lon,

« omega. § 169. (*) Deze lyst is uit dien van den Heet DE LAMBRE {Conmisf. tl,, Tfmpt 1792.) getrokken; zy is vollediger en naauwkeuriger dl» die welke men in de Vir\. h van K<«1<» (Taf: XV.) aantreft.  364 ZEEVAART-K UNDE, S iopi Ten Noorden van de Ecliptica heeft men de vol gende Sterrebeelden; de kleine Beer de vote Beer; de Noordfche Draak; Cepheu's; Bo ^lVTTh ^ N°0rdeI^C Kroon; Hercules met Cerberus en den Tak; de Lier- de Zwaan; Casfiopeja; Perfeus; Androm da ; ^ '0^ cn.kleine Driehoek; de Voerman of Wa?ennien„ei meC hec beitje; Pegafus, hit %Zen of Paardje; de Dolfyn; de Pyi; de Arend; de si n gendrager Wiuc^ en de Slang; AntiioÏf et Hoofdhair van Berenice; de Kameelpardel • de Ta, ■ - Ckara); de Vri met e ^ de keine Leeuw; de Linx; het fchild van Sobie 1' de Stier van Poniatowski; het Rendier; de Egdisf ' de Maajer; en Fredriks Eereteken. ' § 170. d^Ss zr:door tMa,f f , wciüe wy ^ 9i op gegeven hebben Men moet deze Beelden met de Tekens zelve öf dewvl T 3r?P * ECliptk^ "ict —/erf, dewyl deze, feboon de zelfde namen dragende met de fterrebeelden, naar welke ze genoemd y ' met meer overéénkomen. De charadters óei» -j-ei -*ö «vö w o0o-*«oo ó coin m « « « m «Htiaa»h " " vo ö •* *» » 2, g^g. ^-5-* m>n *o n- »n « « « « « *r ^" ^ " • . — 0 elV5 '»N-£"R21 SS1"* «« ï?« - S>"? «^«Som^ — • ^ ^ tV. * vnvo °° »n^o cö ci O oó vö \ö in O\—O +-H ff TT ++++Jg ++ I +-H--H--1- mi" ^ Ij. co «ml"fl -t' h 5 lO1 «Cl .1 ■ • ,om M cl — H rtfl'tNN ° O h^*-* * \n\o O - ■* « «J °° °} " „ c - " « - „ « , A rS JC -* • • • i£ ei co « r>o o " *• fiKSSfeS S m « « 5 « 10 >T) «l lO urm" ipmninin cirkel ««ci« na g>ts. 2°2oCnV2 Ï^'S 2 « 1? M 01 M MCIclcl rtdrtd ____________ ron eo««co m„b n «co nn «m a tfi mcocf3co«<^ c,' « ei el * « « «tij. ) kan men haren afftand van welke fter men wil berekenen. Wy zullen in het vervolg zien, (Boek IX,; dat de waarneming en berekening van Aa 5 zo-  378 ZEEVAART KUNDE, VIERDE BOEK, zodanige afftanden het beste middel oplevert om de zogenaamde Lengte op Zee, dat is, de lengte van de plaats op zee daar een fchip zich bevindt, tc kennen. De fterren, welke tot dat einde meest gebruikt worden , zyn op de planifpheren aangewezen: zy zyn de volgenden; « van den Arend of Athair, a van Pegafus, a van den Ram, cc vaé den Stier of Aldebaran, @ van de Tweelingen of Pollux, « van den Leeuw of Regulus, a van de Maagd of de Koornair, a van den Scorpioen of Antares, en a van den Zuidelyken Visch of Fomalhaut. Daar alle hemelfche ligchamen zich door de refractie cn het verfchilzicht hoger vertonen ,* (de maan alleen uitgezonderd die zich lager vertoont) dan zy in de daad zyn (§51), en wy ze dus geen van allen op hunne ware plaats waarnemen, zal ook derzelver waargenomen afftand verfchillen van den waren afftand welke men (voorg. §.) door berekening vindt. Van welken invloed dit verfchil tusfehen den waren en fchynbaren of waargenomen afftand is, by de oplosfing van het voorftel om de lengte op Zee te vinden, zal in het IX Boek uitvoerig verklaard worden.  BYVOEGSELS en VERBETERINGEN. pag. 8. aan het einde van % ia , voeg by: Als de teller groter dan de noemer , en dus de waardy van de breuk groter dan i is, wordt zy eene onetgenlyke breuk, doch als de teller kleiner dan de noemer is, eene eigenlyke breuk genoemd. p. 10. na reg. 10, voeg byi Die grootheid, welke tweemaal voorkomt, wordt de middelfle term genoemd. p. 13. aan het einde van § 19» "oeg by: Wanneer de proportie continueel is, is het produCt der uiterfte termen gelyk aan den middelften term met zich zeiven gemultipliceerd; a : 6 = 6 : 18, dus a x 18 3 36 = 6 x 6j zo A : B = B : C . A B 18 B = C B x C= B x C A x C — B x B p. 21 reg. 11 van ond. hes D xH Yn plaats van D x A p 22 reg. 7 en 6 van ond. lees: § is de helft van f, terwyl 6 het dubbeld van 3 is. p. 23 reg. ia van ond. lees 50 in plaats van 150 p. 30 reg. 10 van ond. lees (A + a V) in plaats van P- 35 reg. 7, lees 578 in plaats van 598 p. 39 aan het einde van § 35, voeg by: Wanneer de uitkomst uit minder cyferletters beftaat, dan men naar den regel zou moeten alfnyden, plaatst men'er £0 vele nullen voor, als 'er te kort ko-  BY VOEGSELS en komen $ men plaatst vervolgens de komma, en vóór de komma nog een nul, om aan te duiden ' dat 'er gene gehelen zyn. Voorbeeld; 23,841 0,0017 I66887~ 23841 0,0405297 Tk moest 7 letters aflhyden; 'er waren maar 6; dus plaats ik 'er een nul voor, en vervolgens de komma: 'er zyn dus 7 letters achter de komma, cn 'er is aan den regel voldaan. p. 52 reg. 14 van ond. lees 125 in plaats van 625 P- 55 reg. 10, lees: een getal: in plaats van: een groot getal. p. 59 reg. 4 van ond. lees: van 3-of 3". in plaats van: van 3 of 30 p.'Ó3 reg-. ia van ond. lees: icooooo 6: in plaats van icocoo 6, p. 64 boven aan, lees: gelyk is aan den middelften term met zich zeiven gemultipliceerd, dat is, gelyk aan het quadraat van dien term(§ 19.,^ 39), zo zal die term gevonden worden, door den wortel te trekken uit het product der beide termen, tusfehen welken hy vallen moet. En daar de fom der twee üiteïfte termen ener gedurige Arithmetifche Evenredigheid, gelyk is aan tweemaal den middelften (§ 17), zo zal die term gevonden worden door de helft te nemen van de fom der beide termen, tusfehen welken hy valkn moet. P 76  VERBETERINGEN. p. 75 reg. 3, lees: is: in plaats pan: in. p. 78 reg. 13, lees: voor a, 3 > 7 , ï» •> 13 > Ö»19: die van 5 (= 2r \fc gelyk aan Log. 10-Log. a; die van enz\ 2' p. 93 reg. 3, /«« a3954 «* Plaats mn 239Ö4 reg. 9 < /e" tweemaal 18 ?« 8 re sarmate men Tafels gebruikt, die van minuut tot minuut, of van 10" tot io« gaan,) geven zo veel verfchil als men gevonden heeft: wat geeft het getal Seconden, dat de gegeven Boog groter is dan de klcinfte der Bogen, daar hy tusfehen valt? 3 Tel de uitkomst by den Logarithmus van dien kleinften Boog, zo het een Logarithmus-Sinus, Tangens of Secans is; doch trek ze af zo het een Logarithmus-Cofinus, Cotangens of Cofeca«s is- De uitkomst is de begeerde Logarithmus. Aanmerk^. Als dc Boog, daar ™* Voor zoekt, nader komt aan den grootften der twee Bogen, daar hy tusfehen valt, dan aan den kleinften, kan men ook in N°. u den Boog, daar men voor werkt, van dien grootften Boog aftrekken; en in N". 2. zeggen. Wat geeft het getal Seconden dat de gegeven Boog kleiner is dan de grootfte der Bogen, daar by nisfehen valt? Men moet dan de uitkomst in N'. 3- van den Logarithmus van dien grootften Boog aftrekken, zo het een ^Logarithmus-Sinus, Tangens of Secans is; en bytellen zo het een Logarithmus-Cofinus, Cotamis of Cofecans is. II. Als de Logarithmus gegeven is. ' f. Trek de Logarithmen-Sinus, Cofinus, tusfehen welke dc gegeven Logarithmus valt, van elkander af, of neem het verfchil uit de Tafelen. Trek ook den kleinften der Logarithmen van den gegevenen af. | 2. Zeg dan: Het eerfte gevonden verfchil geeft 60" (of 10"): wat geeft het laatfte verfchil? J Tel dc uitkomst by den Boog, die tot den kleinften der twee Logarithmen behoort, zo de gegeven Logarithmus een Log. Sinus, Tangens of Secans is, 1 ' cn trek ze af, zo het een Log. Cofinus, Cotangens of Cofecans is. Aanmerking. Als.de gegeven Logarithmus.na^èr komt aan den grootften der twee Logarithmen, daar hy tusfehen valt, kan men hem ook van dien ^°^^S aftrekken. Men moet dan in N°. 3. ^ uitkomst aftrekken zo de gegeven Logarithmus een Log. Sinus, Tangens, of Secans is; en bytellen zo et een og. M Cotangens, of Cofecans is. I Algemene Aanmerking. Deze Regels zyn ock toepaslyk, als men met Tafelen van natuurlyke Sinusfen, Cofinusfen, enz. werkt.  TAFEL II. Regels ter Oplosfing der Rechtlynige Rechthoekige Driehoeken. i Als (behalen den rechten hoek) de mm rechthoehzyden bekend, zyn: (Boek II. § 5-)1» Om tender fcherp, hoeken, welken taen ™l > u *ind™> Trek den Logarithmus der rechthoekzyde naast dien hoek af van d'en Logarithmus der rechthoekzyde over dien hoek. De rest is de Logarithmus -Tangens van dien gezochten hoek. Als men den éénen fcherpen hoek kent, behoeft men hem flechts van 90» af te.trekken om den anderen te vinden. 2. Om de hypotenufa of zyde: over den richten koek te pinde». Zoek eerst een' der fcherpe boeken. _ Trek den Logarithmus-Sinus van dien hoek af van den Logarithmus der rechthoekzyde over dien hoek. De rest ïs de° Logarithmus ^an de hypotenufa. II. Ais de hypotenufa en eene rechthoekzyde bekend zyn: (Boek II. § 6.). I. Om den fcherpen hoek naast die rechthoekzyde te vinden. Trek den Logarithmus der hypotenufa van den Logarithmus der rechthoekzyde af. De rest'is de Logarithmus-Cofinus van den gezochten hoek. Trek dien hoek van 90' af. pe rest is de andere hoek. 3, Om de andere rechthoekzyde te pin**- F ff Oohsfing' Zoek eerst den fcherpen hoek naast de bekende rechthoekzyde. Tel1 den Logarithmus -Tangens van dien hoek en den Logarithmus der bekende rechthoekzyde by elkander. De fom is de Logarithmus der gezochte rechthoekzyde. Tmeée Oplosfing. Tel de byp©te«a en de bekende rechthoekzyde by elkander. Trek ze ook van elkander af. Tel den Logarithmus van die fom en den Logarithmus van dat verfchil by elkander. Halveer dc fom: die halve fom « de Logarithmus van de gezochte rechthoekzyde, (| 6. Aanm ) III. Als eene der fcherpe hoeken en eene der f^kzyden bekend zyn: (Boek II. § 70- 1. Trek den bekenden hoek van 9°' af' »e rest is de andere fcherpe hoek. a Om de and*" rechthoek*?** t* pinden. Tel den Logarithmus-Tangens van den hoek over die rechthoekzyde en den Logarithmus der bekende rechthoekzyde by elkander. De fom is de Logarithmus der geënte rCchthoekzyde. Om de hypotenufa te pinden. Trek den Logarithmus-Cofinus van den fcherpen hoek naast de bekende rechthoekzyde van den Logarithmus dier rechthoekzyde sf, De rest is de Logarithmus der Hypotenufa. IV. Als een der fcherpe hoeken en de hypotenufa bekend zyn: (Boek II. § 8.), ï. Trek den bekenden hoek van 903 af. De rest ïs dc andere fcherpe hoek, a. om eene der rechthoehzyden, mlke mm »H » '* vinden. Tel den Logarithmus van de hypotenufa en den Logarithmus-Sinus van den hoek over dc gezochte rechthoekzyde by elkander. De fom is de Logarithmus der gezochte rechthoekzyde.  TAFEL III. Regels ter Oplosfing der Rechtlynige Scheefhoekige' Driehoeken, I. Wanneer èène zyde en twee hoeken bekend zyn: (Boek III. § ii.). I. Om den derden hoek te vinden. Tel de twee bekende hoeken by elkander. Trek de fom van i8o* af- De rest is de gezochte derde hoek. fl. Om eene der zyden, mlke men *H* » Tel den Logarithmus van de bekende zyde en den Logarithmus-Sinus van den hoek over de gezochte zyde by elkander. Trek van die fom den Loganthnuis- Sinus van den hoek over de bekende zyde af. De rest is de Logarithmus van de gezochte zyde. II Wanneer twee zyden en een hoek over eene dier Zyden bekend zyn: (Boek Hl. § ia.). 3. Om den hoek over de andere bekWde 9* te vinden. Tel den Logarithmus - Sinus van den bekenden hoek en den Logarithmus van de zyde over den gezochten hoek by eikander. Trek van die fom den Logarithrnus van de zyde over den bekenden hoek af. De rest is de Logarithmus -Sinus van den gezochten hoek. Als de zvde over den bekenden hoek grooter is dan de zyde over den gezochten hoek, is de gezochte hoek fcherp, en men moet daarvoor nemen het cetat graden, minuten» enz. ^ 5n de yoor deQ Logarithmus.Sinus gevonden wordt. Doch zo de laatstgemeld e zyde groter » dan de eerst- gemeWe kan de gejocfi» hoek Zo wel flomp als fcherp zyn, en het is en blyft dus onzeker of men voor den gezochten hoek het getal graden enz. tut de Wel, of wel het fi**»* (tot l8o°) van dat getal- nemen moet. 'Er hebben in dat geval twee oplosfingen van den gegeven driehoek plaats. : a. Om den hoek over de onbekende tj* * »indm. Zoek eerst den hoek over de bekende zyde (door N°. i.); tel dien hoek en den gegeven bekenden hoek by elkander, j Trek die fom van i.8on af- , De rest is de gezochte hoe*. J Ais men voor den hoe* b N". x. m**^ bekomt, cenc ftoinpc en eene fcherpe, zal men ook voor elk. dier beide waardyen eene verfchil- I lende waardy voor dezen hoek in N°. 2. bekomen. È s. Om de derde zyde te vinden. M Zoek eerst den hoek over de zyde: (door N°. 1 en 2). , . ' Tel den Logarithmus-Sinus van dien hoek en den Logarithmus der bekende zyde over den bekenden hoek by elkander. Trek van die fom den Logarithmus-Sinus van den bekenden hoek af. De rest is de Logarithmus van de gezochte derde zyde. w> j- u ■ i„ OTnomftmn pf-ne verfchillende waardv voor deze zycfe' Als men voor den hoek ia N°. 2. tweederlei waardy bekomt, zal men ook voor elke dier beide waardyen» e.nc verienmen bekomen.  Vervolg var* Tafel IIÏ.. III Wanneer twte zyden en de hek tusfehen beidtn htktnd zyn: (Boek EL f' 13.)j Qm de onbekende h-.eken ie vinden. Tel de twee bekende zyden by elkander. Trek ze ook van elkander af. Trek den bekenden hoek van i8o° ar> en halveer de rest. Tel den Logarithmus-Tangens van deze halve rest en den Logarithmus van het verfchil der bekende zyden by elkr.ndcr. Trek van de fom dier Logarithmen den Logarithmus van de lom der zyden af. De rest is de Logarithmus - Tangens van eenv hoek, dien men. in de Tafelen opzoekt. Tel dien gevonden hoek en de bovengemelde Mm mt by elkander. De fom is de grootfte onbekende hoek. Trek den gevonden hoek van de halve rest af. De rest is de, kleinfte onbekende hoek. ■2, Om de derde zyde te vinden* Zoek eerst de onbekende hoeken (%0r N»_ 1.) Tel den Logarithmus-Sinus van deft bekendcrv hoe* Cn den Logarithmus van eene-der bekende zyden by elkander.- . Trek van. die fom den Logarithmus.Sim]S van dcn hoek over die bekende zyde af. De rest is de Logarithmus van de gezochte derde zyde.. IV. Wanneer drie zyden bekend zyn; (Boek Hl $15.), Qm eenen der hoeken, welke» men vil, te »Vft># Addeer de drie zyden by elkander, Halveer de-fom. . Trek van-die halve Tom de zyde over den gezochten hoek af. 'Tel den Logarithmus van die rest erv den Logarithmus van de halve fom der zyden'by elkander,. . Tel ook de■'Logarithmen der beide vyJcn, tu»rchc.i welke de'gezochte hoek bevat is, l y elkander. Trek de fom der twee laatstgemeide Logarithmen van.de fom der twee eerstgemelden af.. Halveer de rest. Die halve rest is de Logarithmus - Cofinus van den halvtn gezoebtes keek» Aanmerking, Ik geef hier voor dit laatfïe geval die oplosfing, welke in de praktyk mj de gemaklykfte voorkomt, Algemene Aanmerking. Men kan overal, in plaats van eenen Logarithmus af te trekken, deszelfs complement bytellen. Het is «P & wyze, dat ik ia de voorbeelden van i 11 tot § 15 te werk gegaan ben. Zie daarover Beek 1'. 1 «5-«7-   'MYKVAA Aif'.KWDT* 11  J^plktii a:i t K'irrr de j^l    II J A N Ü A R Y I793- 1 )a, Zons regte I Zons Zons Zons jTydvec- |TydsJSw opklimmuig'R.Opkl.'DecliDatie Deel. effening. jVereff. o Zons hslve in tyd. Verfchil. Ver- | Vet- £ Middellyn. U'S ! | Zuidlyk. fchil. byvoegen |fchil 3 fL" ?r3 U. M. S. M. S. | G. M. S. ~M~- S. M. S. |_S. M. 5. * Di. 18.5054,0 22.5tf.50 4.23,3 l27,8 1 »2 22.16.31 8.17 7. 4,6 3' zonnefchyf 8 Di. 19.21.37,0 22. 8.14 8.42 7-29,8 £8 door den 9 Wo. 19.25.58,4 7 1 21.59-32 o. 8 7-54,6 *> Meridiaan. 10 Do. 19.30.19,3 21.5024 8.18,8 -4'2 M' S' ■ 11 Vr. 19.34.3iM * 21.40.50 8.42,4 i i-ió.9 12 Za. i9.33-5y,o 4-l9>6 21.30.51 y-59, 9. 5,3 22,9 7 1.10,6 13 Zo. 19.43.18:0 4-1^° 21.20.27 9.27,7 22'4 '3 1.10,1 14 Ma. 19.47.36,3 4-,a'2 21. 9-37 \°'5° 9-49,4 21,7 »9 »■ 9,5 ,5 Di. !9.5i.53,9 4-'7>7 20.58.24 U-13 10.10,4 2I'C 25 i. 8,8 1 4.16,9 ii-36 20,3 '• 16 Wo. 19.56.10,8 , 20.46.48 Q 10.30,7 17 Do. 20.0-26,8 7 ' 20.34.48 ,2 2, 10.50,3 ,87 7ons Uur- 18 Vr. 20. 4-42,2 2\i? 20.22.24 j ' ^ 11. 8,9 l8o beweeging. 19 Za. 20. 8.56,9 4- 4,/ ,20- 9.39 « 11.26,9 I7% 20 Zo. 20.13.10,7 4-i3, 19-56.28 li 11.44,2 ',ó _ ^ i(, ^ M. S. 21 Ma. 2017.23,7 .i23 i9-42-56 , 12.0,6 , 1 2.32,9 22 Di. 20.21.36,0 19-29-3 12.16,2 7 2.32,8 23 Wo. 20.25.47,3 lw'7 I9-I4-4» 12.31,» 13 2.32,8 24 do. 20.29 58,0 ■ ' 19.0.12 ] c6 12-45,0 :Tz 10 2.32,6 25 Vr. 20.34. 7,7 * v" 18.45.16 l4,i,u 12.58,3 *3'3 25 2.32,3 26 Za. 20.38.16,7 I 4. 8)1 i8.29.59 ,r.37 I3-Io,6 nJ 27 Zo. 20.42.24,8 . 7)2 is-14-22 f i'6 13.22,1 1Q 7 28 Ma. 20.46.32,0 4, 6j.s 17.5ri.26 tg 13-32,8 y,8 29 Oi- 20.50.38,5 ,. 5)8 17.42.10 6 13-42,6 Q 2 30 Wo. 20-54-44,3 I7-25.35 13-51,8 4- 4,9 16.53 8,4 31 J Do. 20.58.49,2 I 4> 4jI 17. 8.42 14- 0,2 ^  JANUARY 1703. HU ! lo. 'd' Dccli- I. Vei-II. Ver-I o. d'Decli- I. Ver- Il.Ver- S o j natie. fchil. fchil. , 8 ö natie. fchil. fchil. Phafes Sj van de » 3 I 2 3 Maan. P- | li- M. G. M. M. O. M. Q. M. M~~ + m X0.49N-_.„- . ra o Laatfte In 9-12 _,^+5 l?n 3-48 4X5- S Quartier. *• ÏS j>« Hf t$z> * «*ÏI*tJ «« tllf-» »-59 + ,.f +1 » 14-14 4P,.,2-10 Maan. 5™ 3-58 , 'oP1 Urm 15.26 Tt , —11 ° 5-5Ö +I'58 21■ 16.27 +*' 1 _I2 D. U. M. 5 "" 3 +0.49 n.19-52. 1 " —12 6™ 7,5' +1-51 ~ 4 22m 17,16 +0.37 " 9-42 +U5A7 - 4 22 „ I7.53 -t-o-,7 _13 £êrfte 8- »s ï.v:Em ■* as —j:; 9n ;>° +0.49 -15 25^ 17>52- -0.36 -t-'2 1749 "4.0.3.-18 °" »7-10 -0.48+'* 10™ 18.20 . 3-,2 —19 a,6mn 16-28 _ . +10 Volle Mami. 0 - +19 " , g^° D.U-M. ° ' , *■ 8 -f- n 26.14. 27- 1Tm 18.25 +20 _m 14-22 -1,, Ta™ I7'11 _i. 6+19 „Om 11.40 -it* y " 13 n \f4" -1.38 +l6 ao» 8-2° -1.45 t 7 Ij- 5 -1.50 -Ha y 6-44 -1.48 T-s ^ ïs z^:79 30'" -6 ï^ï: r- - 4-  III JANUARY J793- T5 ^Ovcrg.l |(ï»Rechte ([«Rechte «. hilve V naive gnomon- vei- * V. !g.„ovet denVet-'opkhm- Opklim- Middel- Middel- taal Vet- fchil. taal Ver-fchil O Ia V Meridiaan fchil', ming. ming. lyn. lyn. fchilzicht. fchilzicht. «3-39 189-33 15-to 15-16 SS- 37 j"2' 5=- 5» +*\ 5 24 18.29 4 195-34 201.40 15-22 15-29 56. al +25 5«- 46 +2. 6 üfi 19.17 „ 207.55 214.19 15-36 15-43 57- 13 j-28 57- 41 [Hj 7 26 20. io £ï 220.55 227.42 15-51 15-59 58- 10 -t-29 5- 39 rf»! 8 27 tU 6 234-42 241.56 16. 7 16.15 59. 8 +28 59- 36 1j-a( 9 "3 22. 5 2? 249.21 256.57 ïfi-22 16.29 60. 2 -+-25 60. 27 M-M 10 29 23. 6 264.44 272.37 16-34 iö-39 60. 49 +18 6u 7 rrli 11 1 cS 280.36 288.36 16.43 !3èo £.00 l n«l «" wvo I «■*«-. ' cl ■» |Ló « ~i M1 1 is s si *s' Sf^a1 5*t'51 ibl • £1 è^i **»w*i >Lg ™iz6 i^si s4^ö? «f'&i» %ft o'sï ti si iéis ^it «4i i*£ , akó « 4< is-ss 1*6 1 si°$ 1 fs i4? *is « S" 51 I 8ï« I £&L' - I »* 12?, S | . Isa, "Sè l~?2 l*& '4**3; 1 • ll " " , .1 u W O 10 * ' « TT 1 « 1 i/l « Cl I ip d I 1 « M M - " ^ «A 1 ócJiö 1 - * i»ó - » I 2^ I "'S S w f £-ó> 1 in «^.eó 1 ér. 1 ó m 4vc I M | £• ■* > P « U o « I \o t^oo I u-. I « t.vo I m I l ao C Al 1 f . 1— ■« C . . I ö? ^ 1*1 8 !l il ifi i f iDagen. I "2 ?8 S S t«} «SU?1» M  JANUARY 1793. VII! Venus. I Mars. Tupiter saturnus. I 1 y □i4d.i6r§U. S ~ >• ?aat ! 1 Saat Saat gaat- tg Deel!- door Decli- door Decli- door Decli- 1 Soor p natie. den natie. den natie. den natie. den Mend.1 Merid. Metid. Merid. g. m. | u.m. G. m. u.M. g-m. u.M. g. M. UTm. [ Il7.i3.zJ 2.33-iS.io.Z. 2.10. 17.57-Z.20.35. 7.27.N. <5.4tS. 714.44- 2.35-16.45. 2.3.18.12. 20.13. 7.3o. 6.20. 13 12. 2. 2.36.15.13. 1.56. 18.26. 19.51. 7.35. s.«. 19 9. 9. 2.38.13.36. 1.48. 18.38. 19.29.7-4l I-Ie. 25] 6. 8. 2.39^11.55. 1.41. 18.49. 19- 8. 7.50. 5. 6. EclipfenderSatcllietenvanJupiter. | Eerfte Satelliet. Tweede Satelliet. Geocentrifche Intreden. Intreden. 1 Lengte der t Dagen. U. m. S. Dagen.^ TJ. m. S. Planeeten. I 20. 58. II. 4 0.22.20. & LltlNNON 3 15.25.42. 7 J3.38.13. c r)""??. 5 9- 53-H- II 2.54.7- 3 7 4- 20. 48. *I4 iö.IO. 7. % • tcccc. 8 22.48.23. 18 5.26.1.3. " |h | S-ï-ï-c-c*io 17. 15. 59. 21 18.42.26. ;—j—~~~ 12 n. 43. 39. 25 7-58.45- ( d S 14 6.11.17. 28 21.15.10. a I.U^tó 16 o. 38. 59. o. ü c. cl Cl O Cl 17 19. 6.43. & \c \ ëëëéë 19 13. 34- 31. | m | 21 »• 2.19. I .|o«n«« 23 2.30.12. . s «-«•■*« 24 20.58. 6. Derde Satelliet, s ««s.£xö ~ *2Ö I5. 26. 2. S I ] " 28 9.54. 2. 2 I23.22. 2.Imr. L; i'iüjXX 30 4- 22. 5. 3 1. 7.n.Uitg. 1 _ 31 22- 50. IQ. IO 3.I6.23.I. I ,J ( ~ CO IS.NO Vierde SatellietT Ï2 Z\\'5%Y' s \* T..?T „ . «... 17 7.II.6.I. 5 lt; Kmti»>o Con)unctien. ,£ 8.57. 2. U. S 1U ~ « *2 17.44. Bened. 24 11. 6.28.I. ** h i^yrf 11 2.41. Bovenfte 24 12.52.51.U. 19 13-15- Eened. *3l i5. 2.3o.I. 5 LKm„. 27 21.53. Bovenfte *3i 16.49.21.U. SP