3f58 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. § 444. Om deefen régel door een voorbeeld op te helderen ftellen wij , dat het kleinfte gemeene veelvoud van de getallen 18, 24, 28, 49, 52 ea 91 moet gevonden worden. Berékening 2, 2, 397.13 gemeene deelers. U7f~3 3 S<#, U, t 6 4i 7 7 tï-> M U 42 itt tt 2 84 168 — C3 504 ■ (7 3528 13 ^ 45864 het klemfte gemeens veelvoud. Na tn het eerfte deefer getallen een gemeen veelvoud is van eenige andere getallen P, (?, R, S enz. Zal een gemeen veelvoud yan A en B, ook een gemeen veelvoud van P, R, S enz. en B zijn. Bewijs. Een gemeen veelvoud van A en B is een veelvoud van A en aangezien A een veelvoud van P, Q, R en S is, moet het gemeen veelvoud van A en B een gemeen veelvoud van J?, Q, R, S, en van B zijn. Dat beweefen moest worden. Op het beweefene in deefe twee ftellingen berust nu in de eerfte plaats de Leerwijfe die Euclides in het 36« en 38e Voorftel van zijn VII Boek gevolgd heeft, om het kleinfte gemeene veelvoud van twee of meer getallen  II. Boek. 7. H. XVII. Les. Over heïgem. Veelv. 3 $ Na de deeïing blijven bier over de gerallen 3, 2 en 7 , deefe moeten met elkander en met de deelers 2, 2, 3, 7 en 13 vermenigvuldigd worden , het welk geeft voor het kleinfte gemeene veelvoud het getal 45864, door 18 , 21, 28, 49, 52 en 91 elk deelbaar. Nog eens: Stel dat men het kleinfte gemeene veelvoud begeert te vinden van 27, Ij, 35's 42i 12c, 77 en 55? Berekening 2, 3' , 5, 7, ii gemeene deelers* ~~777 9~ ' 9 ^,5 (4 arff > 36 1 _ (2 f?6, $ó. len ii, 28, 49, 57, 95 125 te vinden? Andw. 1396500. np Een kkh'fte geurt te vinden, dat door 17, 19, 8-j, 171 , 90 j en 145 gedeeld zijnde, w/ett overlaat? Andw. 8430300» 12° kleinfte getal te vinden dat door 75, 12*?, £091 154- 87 en 195 gedeeld zijnde, niets overlaat? Andw. 413663250, II. Eenige bijzonderheden omtrent deefe leerwijfe. § 445. I. Het gebeurt zomtijds, dat onder de opgegeevene getallen het grootfte door eik van de 'andere deelbaar is; in dit geval is het grootfte der getallen zelve het kleinfte gemeene veelvoud. Voorbeelden 24 is het gemeene veelvoud van 2, 3, 4, 6, 8, ï2 en 24. 60 is het kleinfte gemeene veelvoud van 2, 3, 4, 5 > 6 , 12, 15, 20, 30 en 60. 210 is bet kleinfte gemeene veelvoud van 2, 3, 5, 7, 10, 6, 35, 70, 30, 105 en 210. B h * ïfi  372 GRONDBEG. der CiJFFERKUNST. 256 is het kleinfte gemeene veelvoud van 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 en 256. § 446. II, Het gebeurd dikwijls, dat 'er maar twee of drie getallen zijn, die een gemeenen deeler hebben, — en dan doet men best, alle de getallen, die geen deelers gemeen hebben, uit de bewerking weg te laaten — en het onderzoek alleen te doen op die getallen, welke gemeene deelers hebben, en als men dan het kleinfte gemeene veelvoud van die onderling deelbaare getalien gevonden heeft, moet het gevondene nog eens met alle de overige getallen verménigvuldigd worden. Laat gegeeven zijn, 3, 5, 8, 9, 1;, 17, 48: Hier zijn, 5, .11, 17 onderling ondeelbaare getal, len, die met de overigé 3, 8, 9, 48 niets gemeen hebben, en daar om „ zo als uit de onderftaande bewerking te zien is, uit de berékening weggelaaten worden. 2, 2» 2, 3 gemeene iee'ers, ■ $ 3 144 %,4>ii t (2 (s s>»3 6 720 ^,5^,^,0,2 (3 -(ii 18 7920 ■ ' O 1 07 36 134640 Het - (2 klein/ie gemeens 7^ veelwud. (2 (144 - Hier uit is 144 het kleinfte gemeene veelvoud yan 3, 8, 9, 48; dit kleinfte gemeene veelvoud moet  11. Boek.I H.XFII.Les.Overhttgem.Vetlv 373 moer. nu nog met de getallen, 5, 11 en 17 vermenigvuldigd worden,. en dan verkrijgt men 134640 voor het kleinfte gemeene veelvoud der geftelde getallen. § 447. HL Als men ziet, dat alle de gegeevene getallen op een of twee na in het grootfte of in eenig ander der getallen deelbaar is zal het kleinfte gemeene veelvoud gevonden worden , door het kleinfte gemeene veelvoud te zoeken van dat getal, het welk door zommige getallen deelbaar bevonden is, en van de overige, die geen évenmaatige deelen van dat getal zijn. Bij voorbeeld, ftel dat men het kleinfte gemeene veelvoud van de getallen, 2, 3» 4» 6, 8, 9, 12, 15, 16, 27 en 48 vinden wil. Dan merkt men in deefe getallen op , dat 48 door 2 , 3, 4 , 6 , 8 , 12 en 16 deelbaar is , dus is 48 reeds het klemfte gemeene veelvoud van 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16 en 48; 'er blijft dan niets over, dan het kleinfte gemeene veelvoud van het kleinfte gemeene veelvoud van ^8 en de overblijvende ge. tallen 9, 15 en 27 te vinden. Men kan niet be; ter doen, dan de getallen, die niet dienen, in de rij door te haaien en den régel op de overblijvende getallen in het werk te ftellen. Zo als men hier onder ziet. Bb 3 3»  374 GRONDBEG. der CJJFFERKUNST. 3» 3 gemeene deelers. % 4 3 * ■ (3 % 9 i, af Cs ff ' 45 té* 5 ' (3 U 135 ït> i, 3 0°" 3f#, 16 216c het klein/ie gemeene veel. voud, Zijnde het kleinfte gemeene veelvoud 2160 , als men nu naar het algemeene vocrichrift § 443. gewerkt hadt, zuu men door een langwijliger en dus lastiger berékening hetzelfde getal verkreegen hebben. § 448. IV. Men kan van de tafel van de factors der deelbaare getallen, als de éveamaatige deelen der getallen niet ten eerften in bet oog loopen, een uitmuntend gebruik maaken, door van zulke getallen, waar van niet gemaklijk de faclors te vinden zijn, de factors in de tafel op te zoeken en névens of in plaats van hun getal te fchrijven, daar door zal men veel bekwaamer de gemeene deelers der getallen ontdekken kunnen en de bewerking fpoediger doen afloopen. Bij voorbeeld: Het kleinfte gemeene veelvoud Van de getallen 1, 4, 9, 18, 36, 46, 53, 667 en 901 te vinden? 2  II. üoek.I. tl XVII. Les. Over hetgem. Veelv. 375 % 23, 53 gemeene deelers. i 4 9 1272636 L — (I7 21634812 het kleinfte gemeene veelvoud. In de bewerking heefc in plaats van de getallen 607 en 901 de faclors 2?, 29 en 17, 53 uit de tafel der faclors opgetékend en voords na den eisch van den régel gewerkt, § 449. Ten flotte van deefe les ftellen wij nog eenige voorbeelden tot oeffening, in het bijzonder dienende, om den leerling eigen te maaken met de kunstgreepen in de voorgaande §§ opgegeeven. Voorbeelden, i° Het kleinfte gemeene veelvoud van de getallen 7, 17, 19, 24 en 27 te vinden?. Andw. 488376. 2° Het kleinfte gemeene veelvoud van de getal. 3 1 51 8, 11 , 36 en 45 te vinden ? Andw. 3960. 30 Het kleinfte gemeene veelvoud van de getallen 60, 15, 4, 6, 10 , 12, 16 en 84 te vinden? Andw. 1680. B b 4 48  §76 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 40 Het kleinfte gemeene veelvoud van de getallen 21, 63, 6, 42, 14, 126, 4, 8, I2, 24, 60, 78,91, 104 te vinden? Andw, 65520, 50 Het kleinfte gemeene veelvoud van de getallen 493, 667, 5835, 1-0, 256 cn 170 te vinden? Andw. 72569600, 6* Het kleinfte gemeene veelvoud van de getallen 1271, 1891 , 2093, 14?, 77, 36, 99 en 533 ?. Andw. 4259863668. Welke wij den leerling bcveelen tot zijr.er oef- ning en tot nader veiftand van het verhandelde in het kaüte artikel van deefe les, uit re werken. 1L  II Boek Il.H~.XPlIt.Les'Over de Breuken 377 II. HOOFDDEEL Oyer de Natuur en de Bewerkingen der gewoone Breuken. XVIH. Les. Over den aart der Gewoone Breuken ; hoe voor eene breuk oneindig andere kunnen gefield worden, onderling dezelve waarde hebbende, —— en over de geduurige Breuken, en derzelver herleidingen enz. I. Wat breuken zijn. § 450. IjlllREUKEN of GEBROKENS GeTAL- f3 31 len, zijn niefi anders dan eene zé„ kere ménigte van bepaalde éveogelijke deelen van eene grootheid, die men tot maat genomen heeft, om "er eene grootheid van dezelfde foort „ méde af te meeten?' Zo zijn vijf twaalfde deelen , vier zévende deelen, elf zestiende deelen enz. Breuken of gebrokene getallen. B b 5 5 45i  3?8 GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. $ 451 Gm den aart en de afkomst der breuken wel te verftaan, dient men onder het oog te houden, .:het geen méérmaal gezegd is, voord § 8» § fQQ & fia) datdemaat waar méde eene grootheid gemeeten worde, om dezelve in een getal van die maat uit te drukken, willekeurig kan genomen worden — en dat deefe zelfde maat eene bepaalde grootheid zijnde, in twee, drie, vier, of in zo veel gelijke deelen, als men goedvindt, verdeeld kan worden. Zie § 166 en verder. Hier van daan zijn de breuken zo oneindig groot in getal en foort als de heelen — en om dat de één of het geheel tot welk eene breuk behoort, zo verfcheidenlijk gedeeld kan worden, hangt het zuivere begrip, dat wij van de waarde eener grootheid hebben, die door een breuk aangeweezen wordt', van twee dingen af. i ° van de waarde van elk deel waar uit de bieuk beftaat, weike waarde met be trekking tot het geheel uit de benaaming van het deel gekend wordt f want als het geheel in vijf ge • lijke deelen gedeeld is, noemt men elk deel een vijfde deel ) 2° van de ménigte, de hoeveelheid of het getal van deelen , die, met elkander genomen, de breuk uitmaaken. Om dan de waarde van een breuk juist uit te drukken, heeft twee afzonderlijke getallen nodig. 10 Een getal om de ménigte van doelen , waar in het geheel gedeeld is, aan tewijfen, of liever dat de hoegrootheid van het deel des geheels al beelt en de maat de één van het gebroken is. 2° Dan nog een getal om de hoeveelheid der deelen te benoemen, die de breuk moet aanwijfen. II.  il. Boek II. H. XVIII. Les. Over de Bt-enken. 37'9 II, Hoe de breuken gefchreeven worden. § 45$ Deefe twee getallen, die tot het bepaa* len van de breuk dienen moeten, fchrijft men bo« ven eikander, met een ftreepje tusfchen beiden; het eerfte getal benéden en het tweede boven: aldus. I q 2 1 II 1 18 53 17 9 -n_ § 453 Het onderfte getal noemt men Noemer, het bovenfte Teller. _7» -i» —' -i2 12 19 133 ico Noemer. Zo dat in elke breuk de Noemer de waarde, en de Teller de ménigte der deelen bepaalt. § 454 Door deefe gemaakte bepaalingen is men in ftaat gefteld, om te weeten, hoe een gefchreevene breuk verftaan moet w'jrden en m de onder, ftaande voorbeelden, zal men zich naüer daar in kunnen oeftenen. \ is drie vierde deelen, of drie maal een vierde deel; of in andere woorden, drie van die gelij ke deelen, waar van 'er vier in het geheel gaan. A j; 1 ~! 1 1 A C D E Als AB het geheel is en in vier gelijke deelen 6 AC  380 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. AC, CD, DE en BD verdeeld is, zijn AE of AF + CD+OE te zamen drie vierde van AB of AE van AB. I is vijf zesde deelen, of 5 maal een zesde deel. r7, is zéven twaalfde deelen, of 7 maal een twaalfde deel. tl is 47 zestiende deelen, of 47 maal 6; is 6 heelen en nog ,3 maal een vierde of 6+3XÏ. •f?x^ enz. § 455- Als men een gebroken getal dat men hoort opnoemen fchrijven wil, gelijk een half, drie ouart of drie vierde, zéven o&aaf of zéven agtfte enz. — moet een leerling, die 'er nog niet 1 aa.n gewoon is zich zeiven vraagen: „ Wat is de „ waarde der deelenV en „ Wat is het getal „ der deelenV de eerfte komt in het gewoone fpreeken agter en het tweede vooiiian. De boven opgenoemde zyn. ï» I» s» III. Be breuken vergeleken met de deelen en minderdeelen der Maaten en Gewigten, § 456 De gebrokens zijn in den grond het zelfde roet de deelen en minderdeelen der Munten, Maaten en Gewigten, die wij. in de VIII Les verklaard en in de volgende hebben leeren berékenen: het ondetfeheid is alleen maar in de manier van zeggen en fchrijven gelegen, 7 Gl,  21. Boek I. H, XVIII. Les.Over de Breuken 381 7 Gl. ia ftuiv. is her zelfde met 7* Guldens want 1 ftuiv, ^ é g1 1 Stuiv. 8 penn is het zelfde met 2Tl Stuiver: want 1 penners ftnb. 7 Last 11 mudden is het zelfde met 7^ Last, want 1 mudd.^; ~ last- Het gantfche onderfcheid is daar in gelegen, dat 11 ftuiv. een heel getal van ftuivers en li Guld, een gebroken getal van guldens, en een heel getal van twintigfte deelen van guldens is: in plaats van de benaamingvan ftuivers, ftelt men die van twintigfte deelen, en het geheel veranderd in gebroken. IV. De breuken hebben in alles overéénkomst met de heele getallen. § 457 Daar van zalmen zich kunnen overtuigen, als men alles, wat van de geheele getallen en de breuken gezegd is, tégen elkander vergelijkt. Heele getallen zijn een verzamelirigvan grootheden, die gelijkzijn, en welke men heelen noemt ^ De waarde van elk heel getal Wordt gekend j uit de waarde van elk heel en de ménigte hee len die het getal uitmaaken. Als één van een heel getal tot een deel van 1 Breuken zijn een verzameling van gelijke grootheden, die bepaalde deelen van een geheel zijn § 450* De waarde van een breuk Uit de waarde van het deel des geheels en de ménigte deefer deelen. En als men in een breuk gelyk zéveD agfte ftuiver een  382 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. een grooter geta! ge- j een agfte deel van een maakt wordt, wordt j Huiver een geheel ftelt, dit heel ge:al een breuk en een duirnoemt, wordt Zo wordt 17 ftuivers/her gebroken getal van II gulden. ftuivers een heel getal J van duiten. Gebroken en geheele kunnen dos onder één gellagt van dingen gerékend worden en de bepaaling van Euclides Libr. VII def. a is dus naauwkeurig en in alles voldoende, om de natuur van heelen en breuken beide in zich te fluiten. Ook ïs de leer der breuken zoo diep en onverftaanbaar niet, als zommige (door verkeerde begrippenen verwarde denkbeelden in een maalftroom gebragt) elkander wijsmaaken. V. Over de figuurlijke breuken en gemengde getallen. $ 458. Men maakt onderfcheidt tusfchen eigenlijke en on ëlGENLIJKE of gefigureerde Breuken. Eigenlijke zijn, waar van de teller een minder getal dan de ftoemer is, en dus kleiner dan het geheel; gelijk h s> S, &» Sb -Sieaz. Oneigenlijke of gefigureerde Breuken zijn, tweeder'ei: i° Breuken, die gelijk aan het geheel zijn: als h h U h s> rl> Hs 11 enz. eo  II. Boek II. H. XVIII. Les Over de Breuken. 383 en waar van de teller aan de noemer gelijk is, welke breuken dus ook alle onderling aan elkander gelijk zijn. i° Breuken, die grooter dan het geheel zijn en daar aan kenbaar, dat de teller grooter dan den noemer is. —- hoedanige zijn. 17 I19 j371 So«2i 11000 f,n- § 4^9 Een gemengd Getal is, dat gedeeltelijk een heel en gedeeltelijk een gebroken is: gelijk 7*, 117I, ia6£ enz. § 460 Alle figuurlijke breuken kunnen of tot èen heel of tot een gemengd getal, en omgekeerd, elk gemengd getal tot een figuurlijke breuk gebragt worden. Deefe herleidingen zijn voor alle berekeningen der breuken, hoog nood^aaklijk, § 461 Om een figuurlijke breuk tot een heel of tot een gemengd getal te brengen „ divideert men den ,, teller door den noemer, het quotiënt zijn de heelen en de rest de deelen van het gebroken ,, des gemengden getals; — als ,er in de divifie „ geeit rest is, is de figuurlijke breuk &an een geheel getal gelijk. ( a ) Want door deeling bepaalt men, hoe veel heelen, door de noemer in deelen opgegeeven, in den teller, die in getal van die zeifde deelen beftaat, begreepen is. Voorbeelden. -|s3.8|; ^=34; ^-9^; van (<0 Deefe herleiding is dezelfde met de herleiding der minderdeelen tot heelen in Les X $ 248.  384 GRONDBEG. der CIJFFERKDNST. van deefe reductie, zal geduurig gebruik gemaakt worden, § 462 Als men een gemengd getal tot een breuk zal maaken, ,, berékent men door Multiplicatie, „ hoe veel deelen in de heelen zijn, door de heelen „ met de noemer van de bijgevoegde breuk te ver„ ménigvuldigen en bij dat produel den teller te „ voegen. Bij voorbeeld; in 6l zijn in de zes heelen 6 maal 5 dat is 30 vijfde deelen hier bij 2 vijfde dee° len, komt 32 vijfde deelen of3|=3 6^ Meer voorbeelden, 6x44-3^ w I2-^,SX » + 7a.e} 13 «OQ'*~ 309X204-17^ ,,a ^ £0 " 110 k ~ H2üM±iLr« '*>i 144 § 46"3 Nog moet opgemerkt worden, dat alle heele getallen onder de gedaante van een breuk kunnen gebragt worden want voor 3, 5, 11, 17 enz. kan men fchrijven. !j f» "4. 'r enz. want deefe uitdrukkingen zeggen niets anders, als 3 heelen 5 heelen enz. Zelfs kan men een heel getal tot een oneigenlijke of figuurlijke breuk maaken, die een gegeeven noe-  ƒƒ. Boek II H, XVIII Les. Over* de Breuken. 385 noemer heeft: Bij voorbeeld 13 tot een breuk te maaken, welker noemer 4 is, is niets anders als 13 heelen tot 'derde deelen te brengen , en dan moet 13 maar met 4 vermenigvuldigd worden-, en dan is |3_«^-|; ook _iiXio 110 ' _ .... r „<» 1 10 ^ 15 CUZ' CverSe3lïk § 23°> VI. Over de cominueele of geduurige Breuken. % 4ó"4' I>2 teller en noemer van een br-uk zijn altijd bij de Cijffermeefters' heele getdlen; maar het kunnen ook breuken of gemengde getallen zijn. Hoe vreemd dit aan zommigen mijner teefers mag voorkomen, is de zaak éven wel natuurlijk, en in het gewoon gebruik min of meer gegrond: De uitdrukkingen anderhalf quart, derdehalf oiïaaf, anderhalf zestiende, zevend'half zestiende, an» derhalf derdepart, enz. zijn niet anders als geduurige breuken, en worden dus gefchreeven. ili ab »s» 6'y *'» 4 8 16 16 3 Zij betékenen ij van die deelen, waar van 'ér vier in het geheel zijn, 21 van die deelen waar van 'er in het geheel zijn, enz. s De gemengde grootheden, die uit heéïeri, deelen en minderdeelen zamengefteld zijn, zijn niet anders dan geduurige breuken, want men zal 17 Guld, 12 ftuiv. 8 penn. aldus kunnen fchrijven c c yoot  §86* GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Voor 178 Goud-gl. 22 ftuiv. g\ penn. „ . 22+_£+5 Goud-guldens. Voor 17 Mark 6 oneen 17 engels, 29ï aafen zal men kunnen fchrijven ££+! Mark. (5+IZ + 3* § 46?. Alle breuken waar van, of de teller alleen, of de noemer alleen, of teller en noemer beide breuken of gemengde gecallen zijn, zijn geduurige breuken. — gelijk v: * 11- 17r- - 2| q\ 43i 20015' icooj' n0 1 Iï I7H 821 Sf betékent, twee van die deelen, waar van 'er 1 z ii\ in het geheel zijp. j | betékent \ van die deelen, waar van 'er drie t * vierde in het geheel zijn. S 46*6. Cominueele breuken, zijn met meer nadruk  II. Boek. II. H. XVIII Les. Over de Breuken. 387 druk, zulke, die uit verfcheidene termen of léden beftaan. gelijk I gedaante. o _l-f4 enz, 1 +— »3 '3+1 * 1 9 4 II. gedaante.' « + -|, j_ ,enz. en die in de verbévener rékenkunst van meer gebruik zijn, en ons ook in het vervolg te pas zullen komen, zijn van deefe III. gedaante, r 7 enz. § 467. De|breuken £, f, g. §, enz. ("zie III gedaante) zullen wij in het vervolg termen ol léden van de geduurige breuk noemen. VII. Algemeene Hoofd.Eigenschas» van alle breuken. % 468. In de plaats van een gebroken getal, kunnen verfcheidene andere gefteld worden, die C c 2 Hjec  388 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. met het zelve en onderling eene gelijke waarde hebben, — dit is wederom] een eigenfchap, die zij met de geheek getallen gemeen hebben; want gelijk een getal van guldens in een getal van ftuivers, penningen, rijksdaalders, ducaaten enz. kan gefteld worden, kan men voor§, ftellen, s, g, j, £ enz. § 469 De mogelijkheid hier van zal ten eerften in het oog loopen, als men zich herinnert dat elk • deel van een geheel oneindig verfcheidenlijk in andere en andere deelen verdeeld kan worden. Als men de breuk | ftelt, en men een vijfde deel van het geheel in 2, 3, 4, 5,6 enz. in zo veel deelen deelt, als men goedvindt. Zal men in het geheel 2x5= ro, 3x5a 15, 4X5» 20, 5x5= 2*, 6x5= 30 deelen, en in drie vijfde, 2x3=56, 3X3 9, 4x3=312, 5X3= *5» 6x3=18 deelen .hebben, en daar uit vormt men de volgende reeks van breuken h rU ïi ïij 3* Ui enz. die alle onderfcheidene breuk-taïïige uitdrukkingen zijn van een en dezelfde grootheid, die men eerst door I heeft aangeweefen. In het algemeen als men een breuk heeft als ü ea men elk deel van B in N deelen deelt, zullen in 'bet geheel of in B, B maal N en ia A, A maal N deelen zijn en de breuken A. en A maal N B B maal N zijn gelijk. % 4?o  394 GRONDBEG. dbr CIJFFEKRUNST. heeft, volgt men om dezelve tot een gewoone te brengen deelen RéGSL, De noemer of de teller] van een geduuri. „ ge breuk van twee termen,is een gemengd getal* » het welk men volgends § 46a tot deelen brengen „ kan, aangeweefen door de noemer van de bijge„ voegde breuk, maar dan moeten ook de tel„ Ier of noemer van die breuk tot dezelfde deelen „ gebragt worden, om voor de teller en noemer „ van de gewoone breuk deelen van dezelfde foort „ te hebben", (a) II Voor beeld. Gegeeven de geduurige breuk Hier moet 33! tot derde deelen, komt 3x3 +1 (a) Deefe régel berust méde op de algeraeene Hoofdeigenfchap der breuken en rou daarom ook aldus kunnen voorgeteld wordjn. „ Multipliceer teller en noemer van de „ geduurige breuk, door de noemer (of door het kleinfte veel„ voud van de noemers der breuken, die bij den teller en „ noemer beide ftaan) van die breuk die of bij den teller „ of den noemer ftaat ; dan zijn ae produüen de teller en noe. „ mervande gewoone breuk, door welke de watrde aer ge„ duurige breuk uitgedrukt wordt, 2* In-- multipliceert men teller cn noemer met 1, komt *£-*X?+J ~J?_. i. 5 _ »XS ~~10~2 Teller en Noemer van *1 multipl. men met 1 komt. 4?i? -30-1?; 3° door 3 verkleinende aXi6 + r 33"" 11 j3 *°TT--»- multipliceert men teller en noemer het klein«e gemeene veelvoud van 4 en 10 dat is met 20, komt aoXia + aoXj „240+ 5__ HS 19 X 40 + so + 5! ~38o 4-78"" 391  II. Boek. IIH.XVIILLes. Over de Breuken. 395 + 1=5 10, en 5 is-a 5x31* isderdedeelen ; dus Ü» J°s»* (§ 47o.) 5 3X5 3 U f J II Voorbeeld. Gegeeven de geduurige ~ ? Hier maakt ïi| tot derde deelen dusis-?a 11! ;„w aSttttq470) IJX3+2 35 5 Als de teller en noemer van een breuk beide uit gemengde getallen beftaan, moet men denzslf. den régel gebruiken. III. Voorbeeld. De breuk ~ tot een ge- é| mta die, welke boven, uit den aart der geduu-ige breuken afgeleid zijn , cp voldoende gronden de zéKtrbeid van Jen voorgefchreven régel buiten allen twijfel ftellen. Ik heb boven in de test gezegd, dat zo een brsuk, die men in de volgreeks berékend heeft; verkleinbaar is, indien zij tot de berékening der volgende breuken dienen zal, niet verkleint moeten word.-n : ik heb in veels mijner Discipulen hier omtrent een misvatting befpeurd, die de léden is, waarom ik hier zal aantoocc-n, dat als men een verkleinbaare breuk verkleint en dezelve tot de berékening der volger de breuk doet dieaen, de waarde van de volgende breuk noedw :rfdig van de Waare moet af. wijken. Laat om dit verftaanbaar te maaken bij Voor- beeld de breuk ü verkleinbaar zijn enf!ÜL_ £ zim dan S pN ~S is als — verkleind wordt de verkleinde breuk ^. S n ' Als me" nu naar den régel werkt, moet de volgende breuk ï- ~W£+J9Q zjja; maar die zeifde J is = u «Xy+ X? U w+m ^tm m *fte,Iende) dus  II. Boek ILH.XVllI. Les. Over de Breuken. 403 3Q)5^5:_ 3x183+2x18: _i 5 925 3x^894-2x29 4*'&+ * 4^)2889 _ 4x585+3x183 _i s 4567 ~~ 4><925+3X289 4 + -,7_ 2 ^ — * 3+4 50. dus moet.^— T_ __—— , Als nu deefe breuke:i gelijk zijn, moet volgends de leer der propottien. daM+DP: dM4/DP~da Ar + DO: enz> en  II. Boek. II H.XVIII.Les. Over de Breuken. 405 § 480. I. Aanmerking. Als men in het bewerken een breuk verkrijgc, die, gelijk als in 'de derde bewerking, fff, verkleinbaar is, moet men nooit verkleinen , anders zouden de waarden der volgende breuken geheel valsch zijn. Zie bené. den in de noot. ÏI. Voorbeeld. De geduurige breuk 24.- 3 . 6 +i 7 tot een gewoone te brengen? a en in dit geval is de régel. a b c d e f g L2^MJlT|£l enz. I A ams lumr\ In dit geval zijn de breuken— ~ enz. nooit ver- kleinbaar. Want elke on verklei nbaare breuk tot een geduurige gebragt zijnde, is zij van deefe gedaante 1 d + Welke indien zij weder tot een gewoone herleid werdt, een onverkleinbaare breuk oplevert, dewijl nu de breuP R 1 kes — , f - , enz. niets anders zijn, dan de waarde. van zulke geduurige breuken 1 *-** jt ^ a b 4- enz. kunnen zij niet anders dan onverkleinbaar zijn. D d 3  II. Boek. IIH. XVIII. Les. Over de Breuken, ftgrj eindelijk teller en noemer van £ door 4 deeknaa 4 1 komt - S 9 + i. 0/ 4 Zo dat door deefe verfchikking en verdeeling ge/OflJ den is 107 I r 144 ~* t* +1 T ' 9+1 4 . § 485, Volmaakt op dezelfde wijle kmnn alle gewoone breuken in geduutige breuken lerleid worden — en alles is in het voorfchrifc' beat van deefen Algi mpexe RéonL. „ Als de breuk figiurlijfe „ {'de teller grooter aan de noemer) is moet „ zij eerst (zie ^ 4.61. < tot een gemev.g' getal „ gebragt worden, en dan heeft men allee, maat] „ te dom met de breuk , die bij de heem van „ het gemengde getal te ftaan komt: va deefe „ breuk deelt men teller en noemer door "ten tel. ,3 Ier, dan verkrijgt men een geduurigeheuk\ waar van de teller altijd 1 en de noeier een „ gemengd getal is. De breuk van denoerner „ behandelt men éven eens als de voorbande , „ altijd teller en noemer door den tellerdeelèn„ de, en daar méde voordgaande, tot ien voor ,, de noemer een gemengd getal verkrijg, welks bijgevoegde breuk 1 tot teller heeft, en le laat „ fte term der geduurige breuk is. " § 486. Zie deefen algemeenen régel loor de opïosfing van de volgende voorbeelden >pgehelderd. D d 5 ].  *to GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. T. Voorbeeld. De gewoone breuk £s tot ten leduurige breuk te herleiden ? L>n algemeenen régel volgende, is de breuk ~ - »48o .1147 1 + 667" * de breuk 48° - - , lS? . 667 ~* +48^ de breuk — £- ~ . T0,r, 480 ~2 + 187 de breuk ~ ^ . 8l, ' 187 de breuk J£ Ésr+ÏJi r Si de breuk ~5 _ i rt de breuk - trj'+i^. Hier uit be. ^ i 740I 816^ r 761 740^ 9 561 76^ r 201 56 <* 2 lól 20^ 1 ♦ ■1 M*, t° Uit deefe bewerking blijkt dat 2372 ^f 37136 ~I5+f+;[+L r 1 +9+1 1 +1 r 4 III. Voorbeeld. Als de omtrek van een cirkel 3 VflsM™ vm zVn middellijn is. hoe zal men dan denzelven in een geduurige breuk fchrijven? Als men eerst deefe figuurlijke breuk tot een gemengd getal maakt, krijgt men voor den om- trek  4i8 GR ONDBEG. eer CIJFFEKRUNST, hier uic volgt deeie berékening. 7 ,15 * 292 1 1 3 ° I J I _L5 I —— I 4687 I 4703 I 839" 71 "7 j iuö I 113 I 33102 I 33215! 663i7enZW O O tD O & O O QPQ ï*^ ffQ pr CTQ 2ï! o 2 o ST o JT p o p o 5' o =' IK Voorbeeld. Als het zonnejaar lang is 365s||l| dagen, hoe wordt dan de bijgevoegde breuk in een kleiner uitgedrukt? De breuk ——^ in een geduurige is t=s 86400 2 *4 j dat («) De eerfte benadering, waar door den omtrek — 3? van de middelijn is, wordt de proportie van Arêhi. medes genoemd, en is minder dan . 1 of _L_ 7X106 74,2 te veel: de derde benadering, die den omtrek gelijk (lelt aan 3,|| van de middelijn is van Metids, en minder dan of —ï—i te groot, waar uit blijkt, «fS; 33102 3740526 hoe naauwkeurig de derde benadering reeds is. é3A ;  II. Boek. I. II XFIII.Les . Over de Breuken 419 dat geeft deefe berékening. 4 7 1 6 l 2 2 i. I * • I 3J • • 2i° ' 7i7 ' I7S4 fa o- -23 E; hier uit e =g van D ^9 is C=7 maal D+E=7 maal D+| van D — 7 j| van D dus 23 C —16 } D ; hier uit D 1=^ van C 5° is B = 5 maal C + D —5 maal C-+M van C-= 5n| van C dus 169 B —868 C; hier uit C=$B« go Eindelijk is 4 =9'maal B + ^van B; dat is, als A door B g.-meeten wordt, is A eerst = 9 Ben dan blijft 'er uog een ftuk ever, dat = aan 109 maal ti\ deel van B is. \ a) § 495 (0) On algéffleén te mraken, het peen wij hier in bijzondere getal-en rocpasf-i., onderlid ik, dal men twee grootheden A en B heeft — en dat a ia £fctal van B uitgedrukt moet warden, Srel daa, dat A door B gemeeten, A = aR + C 15 door C gemeeten, B ~6C + D C door IJ gsmet-eix, C~cï)+ £ D door E gemeeten, D = dïi+F E door F gem<-£ter., E = eF + G F door G gemeeten, F=/a-}-H^ enz. enz. ü. i, c, d, enz veroeelden heele getallen. Laat ons nu eens ftellen, dat H ;=o is; dan L F=/G; hier uit G s j XF 2' vootdsEs -F+6 - («+ }; X/iÖ^KFdusF = _Z_XE= f XE; e/ + i =? (lellende. «/+! £  II. Boek. II, H. XIX Les, Over de Breuken. 453 § 496. Als men door deefe rékening gevonden heeft, dat het overblijvende ftuk C , door ^fte deel van B moet gemeeten worden, is dit „^fte deej in deefe breuk L, zijn / en p onderling,onmeetbaar^ ? Zie de Noot pag. 355 Vwlvw. Geg. 30 D=: van C. 7+ - . i 2+7>J * 7 eindelijk B^5 C + D+ I x >an 7 en dus Cs(- ! ) van B. 5 + T~ . I ^Hi, x ZodatAt:9 B + Cc=(9+- , 5 + - . 1 2+7+ ^ van B. Deefe geduurige breuk volgends den régel § 481 berékend 5 7 a 1 7 1° I 1 I 7 I ^ 1 — ! — |r I "5 I 36 I 77 I 113 I 868 komt voor haare waarde, dezelfde breuk, die wij boven op eene andere manier gevonden hebben. § 498. Hier uit kan men nu een eenvoudige wer»  II Boek. II. H. XIX. Les. Over de Breuken. 427 werkmanier afleiden, om uic de meeting van twee grootheden § 495. befchreeven , te berekenen im wat breuk van de gefielde maat de gemeetene groot* beid is uit te drukken, Men fielt namelijk een geduurige breuk, waar van de tellers der léden alle 1 en de noemers de getallen of hoeveelheden zijn, die' te kennen geeven , hce veel maal elke nieuwe maat in zijn voorgaande begreepen is. Als men dan deefe breuk opgefteld beeft, herleidt men dezelve tot een gewoone breuk volgends § 481. Bij voorbeeld: (tel nog eens dat A in getal van B moet aangeweefen worden, als men nu door meeting bevindt, dat A door B gemeeten, As 117 B4-C. B door C gemeeten, B tr 8 C+D. C door D gemeeten, C1= 2 D 4- E. D door E gemeeten, D t=: 13 E4-F. E door F gemeeten, E t=r F4- G. F door G gemeeten, F £=: 19 G4-H. G door H gemeeten, 7 H. Dan zal uit deeze meeting gefield worden, deeie. breuk AfO? + 1+J j JvanB. 19+ Deefe geduurige breuk brengt men nu tot een gewoone i  4s8 GRONDBEG. der CIJFFERKU1NST. § 2 13 i 19 7 0 l 3. _27 8 _25 _5jJ 4075 1 8 17 229 1 246 4903 34567 en na deefe herleiding blijkt, dat At= 117 4;" van B is. Hier méde meenen wij dat elk verftaan zal, hoe de geduurige breuken tot zulke berékeningen kunnen gebruikt worden. % 499. Bij de behandeling v.in dit onderwerp komen nog twee dingen in aanmerking, waar van wij nog in het kort iets zullen zeggen. i° Als men een grootheid door eene andereBafmeet en telkens elk overblijvend ftuk, tot een maat neemt, om de maat, waar méde men laatst gemeetea hadt, aftemeeten, kan het gebeuren, dat men op die wijfe van meeting tot meeting voordgaande, altijd nog iets overblijft: in zulk een geval nu zijn de grootheden A en B onderling onmeetbaar, dat is A kan door geen bepaald deel van B volkomen gemeeten worden. 'Er zijn een ménigte van zulke onmeetbaare grootheden: de hoek lijn van een vierkant tégen deszelfs zijde, de omtrek van een cirkel té^en deszelfs middellijn zijn onmeetbaar — en dit zijn waarheden, die wij in onfe Meetkunst betoogen zullen Uit deefe befchrijving der onmeetbaare grootheden volgt nog, dat een grootheid A, die ten opzichte van B onmeetbaar is, in geen heel nog gebrooken getal van B kan yjtgeirukt worden. Zie § ao8. en in de noot pag: 20 Uit het verhandelde blijkt klaar, dat de deelen en minderdeelen der Munten, Maaten en Gewichten , die in de VIIILes opgegeeven zijn, in het ge-  II Boek II H. XIX. Les. Over de Breuken. 4-20 geheel niet gefchikt zijn • om de maat te bepaalen , waar méde een grootheid moet afgemeeten worden; het gemak in de zamenleeving heeft de verdeeling der munten noodzaaklijk gemaakt, maar als het'erop aan komt, om met de uiterfte juistheid een gedeel. te van een geheel in eenige deelen van het geheel volkomen uit te drukken, moet men zijn toevlugt neemen tot de handgreep, die wij boven verklaard hebben en reeds door de ouden [mt de natuar der zaaks voordvloeijende) als de beste voorgefteid is. III Onderfcheid tusfchen gelijkmaatige en ongelijkmaatige en tusfchen gehjknaamige en ongeïijknaamige breuken. § 500. Men verftaat door gelijkmaatige breu. ken, breuken van het zelfde geheel of van dezelfde één ("en dus het zelfde wat men door gelijnmaatige getallen § 203 verftaat.) zodanige zijn bijvoor' beeld. \ Gulden, • Guld3 £ Guld. enz. — Als aan de breuken geen één toegeweefen is, tot welkQ zij behooren, worden dezelve voor ge* lijkmaatig gehouden. § 501 Door ongetijkmaatige, die niet van hec zelfde heel zijn. gelijk | ponden' jaar, enz. $ 50a* Deefe ongelijkmaatige drukken 1) groot' heden van dezelfde foort uit, als de heelen, waar toe zij behooren, geïijkfoortige grootheden zijn: als| voec r| elle, en deelè kunnen altijd herleid en  442 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Schrijvende de tellers der breuken onder elkander, om dezelve gemaklijker op te kunnen tellen. Meer Voorbeelden. 0 ' 45+45 T 45+45 + 45 45 II ófe breuken ongelijke benaaming heiben. § 515. Als de breuken van verfchiïïende benaaming zijn, ,, moeten zij eerst naar den regel § „507 tot deze ij de benaaming gebragt worden, „ en daar na éven eens bewerkt worden als in »»S 513" Voorbeeld. De breuken ^» "1 -£■» T-t ■ 12 24 16 36 ü' H en % te zamen op te tellen? Eerst brengt men de breuken onder gelijke benaaming.  II, Boek. II.H.XX.Les.'Add. der Breuken. 443 10 Berékening van den generaalen noemer. *» 2, 2, 3, 3, 7 2 tl, f-, 2, t 6 14, tt, $ . 3f.» / C7 3, (* 4a 3:0, 2 ■ —C3 ■ É4, li, $, (3 Ii6 St, 0y t4, i « (3 Ut9 lt> i 3?8 1 —Ca 756 . r» ■ (2 3024 gener. noem. 20 Berékening van de tellers der breuken. 12 J 30241 252 24 J 3024 | 126 1260 1386 16 [ 30241 189 | 361 30*4 ^ 84 1323 I I4i8 54] 30241 56 5ó] 30241 54 72S 1242  444 GROKDBEG. der GIjFFERKUNST. 63 3024 {48 1 ti9 912 30 Daar na teït'jnen de Ir enken cp. u I I26o 1 ii | 1386 ïl T323 f£ j 1428 ^3024 de generaale noemer. ïi 728 53 j 1242 Soms r^f— 2?^. 2231 is door 23 en 97 alleen deelbaar, dus de breuk '~ onverkleinbaar- (V) Men fchrijft doorgaans névens de Breuken de tellers der berekende breuken, in dier voegen onder el- (a) Om dat de Noemer van de breuk, die men voor de fom der Breuken verkrijgt, geen andere deelers kan hebben, dan de Noerriers der Breuken die opgeielc worden, kan men beproeven, of de teller van de Breuk voor de Som der Brsuken verkreegen, door een deefer getallen ct liever door de factors 'deefer getallen deelbaar is, oin te zien of dïe breuk voor de fom verkreegso verkieinbaai is.  II. Boek, IIH, XX. Les. Adel. der Breuken. 445 elkander, dac zij gemaklijk kunnen worden opgeteld. § 516. De volgende voorbeelden zijn tot oefening van dit geval. 1 16 t 12 t 15 ~ 2° T*5 4°° 5 3 7 I> 11 i1" 1 u_o 2° ^ + 7 + -9-+^+56 + 63 +27t=:3 IS— flo J4.^4.^4-Ü + ?IÖ 2^ 3 12 T 20" 21 ^ 35 T42 210 j° 15 . i7 , 59 , L§ , ^ . ,12.- o M££ 4 05 "*" 26 ' 65 TjI t I30"1" 150 ^13650 *° J, ^4.-i j. -4. .Ü-lZxUtai 5 43 + l6S"t*2iTii2~l26~lo"**45 *° 1 j.-89j.iS4.^4-4j--5 . , -4-4 u 3+144"*" 2Ü81"4"T i6"ryö 4-72 t 36 T 18+ 9~' T III Als men gemengde getallen moet optellen. § 517. „ Dan telt men eerst naar § 513 of »» 515 de gebrokens op; en als deefe fom der breu„ ken boven een heel loopt, telt men die overbhj„ vende heelen bij de fom der heelen. Voorbeeld. De getallen 33-i , 2-|» 7-~ c« 23-^ I» ééne fom op te tellen ? 120  446 GRONDBEG. der CJJFFERKUNST. i20 gener aak noemer, 33i oo 7~ H De begeerde Som 67 Jfi"ï=t| ^e forn der breuken, dc breuk is oiiv.rkleinbaar. De volgende voorbeelden zijn tor. oeflening. 2») IOoi2+I7^;II755 4°) ^4-8;|4.xr-+-+ l;g« 16020 345t^ 5°) 3^+I7i+^-|+i95| + H + I7ir + ii + 6 7 7 7 7 ix 7 11 -7 „_4 — l% 2 ' Ï6 ï6~ 16 '*6 4* o 0> 31 _ Zj_3i-'3 18 1 3 > 36 36" 36 36 a» en als de noemers ongelijk zijn 4/6 4"~i2 12 12 12 5 > 24 "•* 5 5 X34 '120 "120. s o x 73 5 -<0<73_- I3_X „ 146 y 91 49 Ó37 ' "r'- i? § 519 ^e Schooien is men gewoou bef werk op  448 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. op deefe wijfe in te richten. Zie i° en 6° voor. beeld. A B 637 S" 3| ' iö 7 _5|i3| 65 -4=-het verfchil l/ 10 * f6 het verfchil. II De Subtractie der gemengde getallen. % 520. Als men twee gemengde getallen van elkander moet aftrekken, en de bovenfte breuk grooter dan de onderfte is, trekt men eerst de breuken en daar na de heele getallen van elkander, het geen men in de ondérftaande voorbeelden opgehelderd vindt, I Voorbeeld» Om 9* af te trekken van 21 generaale noemer. het verfchil 3 Meer Voorbeelden. ï0.) 3-i van i8-|=5 i5-| 2')  II. B.II. II.XX.Les. \Subtt.dèr Breuken, 449 4°) '39rt~ ^ 5°) 37 3_ J£7 J ^ °' IOO 85 - O/ I70O § 521 Als het gebeurt, dat de breuk, die';bij hec getal ftaat, daar men van moet aftrekken, kleiner is dan de breuk, die bij het getal ftaat het welk men aftrekt, en dus de breuken niet van' elkander kunnen worden afgetrokken, moet men, na dat de breuken, indien het nodig is, onder een generaalen noemer gebragt zijn, één heel ontkenen en in zulk een getal deelen verdeelen, als de gev neraale noemer aanwijst, voords dat getal deelen. bij de breuk tellen, waar van men moet aftrekken, en dan kan altijd de aftrekking plaats hebben; maar dan moet ook altijd in de aftrekking, het getal, waar op men ontleent heeft één minder worden ge^ nomen. Voorbeeld. Om \7\ van syê aftetrekken* 63 gen. noemer 171 7 14 bij 63 voor een hed 1 n55 5S 00 ...... . .. 55 . , .,; /. . Verklaaring van de bewerking. Na dat me» 5 en | ondereen' generaalen noemer gebragt en $ G & S9  450 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. en'jf verkreegen heeft, kan g niet van 5f afgetrokken worden, daarom ontleent men één heel, dat is 63 drieënzestigfte deelen en telt eerst de 63 bij 6 komt 69, hier af 14 kom: |f. Nu nog 17 van 36 (niet van 37J ko£.t 19; dus het heele vetfehil is 19^. Meer Voorbeelden. 3°) *°or; - i8f=8ig 4°) 87-1 - «igewg 5°) 371 - l8l=s8S 6°; i79-9 - I7|= &3 70)^7^ - rtgUwog' ooa ■ __7 . Ö5_ „107 § 52a Nog ééne omftandigheid ftaat ons bij de befchouwing van de Subtractie te overweegen: als namelijk een gebroken, van een geheel moet afgetrokken worden. —* en dit geval is ia zich zeiven eenvouwig- Als men bij voorbeeld f van 11 zal aftrekken, ontleent men van 11 éé;-e ï, die deelt men in 8 deelen; nu zegt men f van jj is |, en het begeerde verfchil is lof. Want voor 11 kan men fchrijven 10+5. Anderen zeggen trek de teller van den noemer, dit. verlthü is de teller van het verfchil en maakc  II B, II.H. XX. Les, Subtr, der Breuken. 451 maakt de heele 1 minder —— deefe régel is goed en kan met vrucht gebruikt worden. Meer Voor geelde». a° ïoo - f6^99% 3° 18— i3-|= 4-| 4° 17*— ^"a- "SSiif 50 176 —' i-f = 174-5 6° 189 - gga 171J 7° 73—15x1=5721 8° H7~i9|=97| C. over Additie en Subtratlie de? geduurige Breuken. § 523. Als men geduurige Breuken bij elkander moet optellen of van elkander moet aftrekken moe-» ten zij eerst j § 477) tot ge;voone breuken gebragt en dan naar den régel van de Additie en Subtractie der Breuken behandeld worden. I Voorbeeld Voor de Additie. Be fint S& vinden van S 5 9 *\ *a|  452 GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. Als deefe breuken eerst herleid worden is 8 Ttf j is 3* 9 4X9~4' en —,s=-^. En nu bepaalt men de 5 I* *5 5' fom van ff+f+J+s+li en deefe zal men vinden _ 15x15+2x80 + 60 + 2x48 + 2x48 ~> t£2ig „_cj 240 " ~ II Voorbeeld voorde Subtractie. Het verfchil te vinden, tusfchen 13+— en 5+—-.? Dewijl sstf, is i3+-^ t=I3ï; - en-3.- 9 9 4* — zijnde, is 5+ -4 5 Nu is 135 - £§ t± 8* het verfchil. ' '*• ■ XXL Les. Over de Multiplicatie der Breuken, I Nodige opheldering over den zin van het woord Multipliceeren, en verklaaring \' van zommige fpreekwijfen. § 5*4. Eer ik de bewerking van de Multiplicatie der Breuken voordraag, moet ik eerst omtrent den waaien zin van het woord de nodige opheldering gee-  II.B.IIH, XXL L. Ov. de Multiph der Breuken.^ geeven. Het betékent niet vermeerderen, grooter maaken; dat een geheel valsch denkbeeld is; maar het zegt een bepaald en gegee-, ven getal, zo ménigmaal bij elkander te neemen, als door een ander gegeeven getal, dat daarom verménigvuldiger -genoemd wordt ? aangeweefen wordt, (a) I Volgends deefe bepaaling zal 253 met of door 23 (a) Waar aan is het toe te fchrijven, zegden veele —en onder die. menfchen in andere zaaken van een goed oordeel, dat een getal «set een geheel verménigvuldigd, het ge» tal grooter en met een gebroken verménigvuldigd het getal kleiner word? Iemand die de bovenfuande verklaaring leest zal zeggen: „ om dat het in den aart der „ zaakopgeflooten is." Maar de oorzaak van deefe vraag is, om dat zulke menfchen in hunne jeugd geleerd hebben , dat Multipliceeren Verménigvuldigen betékent — eene valfche bepaaling, welke, om dit zij kort is, genoeg voldoet in het oog van zulke Ouderwijfers die zich op het hoogst genomen , vergenoegen, met hunne leerlingen te zeggen: „ zomoet gij multipliceeren, zo divideeren enz. — zonder zich te bemoeijen, om hun te doen verftaan de réden: waarom^ Geen wonder dan, dat zulke valfche bepaaiingen en verkeerde denkbeelden, die'er noodzaaklijk in gegrond zijn, bij veele menfchen aanleiding tot zulk: vraagen geeven ja maar, zegt iemand: „ Multi- ,, pliceeren zegt éveawel in het gemeen gebruik vermé„ nigvnldigen?" Hetis. zo: mair men moet onder het joghouden, dat in geen taal, uit hoofde, dat de denkbeelden zo veel meer zijn, dan de woorden om dezelve uit te drukken, alle woorden volmaakt den aart der zaake te kennen geeven; als het woord RéoEi» dan eens aegt den fchakel der eeuwige en onveranderlijke waarheden, dan eens het menfchelijk vermogen, om te oordeelen , te rédeneeren enz. dan wederom de verhouding van twee grootheden enz. waarom zou dan het woord Multipliceeren, dat naar deszelfs oorfprongkunde vermeerderen betékent, niet met onderfcheidene bepaaling gebruikt mogen worden ? Gg3  454 GRONDEEG. der CIJFFERKUNST. »3 te verménigvuldigen, zo veel zeggen, als te vinden, wat getal het maakt, als 253 drieëntwingtig maal bij elkander genomen wordt (maakende 5810) — Hier is het komende product noodzaakelijk grooter dan het verménigvuldigtal. JI Als men het getal met 1 of (zo als men gewoonlijk zegt, ) met de éénheid verm énig vuidigt, zegt het zulk getal éénmaal te neemen, en in dit geval worde het grooter noca kleiner, maar blijft dezelfde waarde behouden. Zo is 17 maal 1 — 17. III. En als men een getal als 179 met f vermenigvuldigt, zegt het te bepaakn, hoe groot drie vierde deelen van 179, is «—■=* en hier wordt het getal kleiner gemaakt. Zijnde het produel: =3134-, IV. Een getal 138met is.\ te verménigvuldigen, is 12 maal 138 en dan neg | vau 138 zamen te voegen. ■— Zijnde 1707;. § 525> Uit dit altesj vertrouw ik, zal de leefer den waaren zin van het woord verltaan: De on • derwijfêr moet idch toeleggen cm zijne leerlingen geduurig op decielyen oplettend te maaken, waar door hij zal voorkomen dat zij, niet verward door verkeerde denkbeelden, die wel dra eene hebbelijkheid worden, geen inzicht hebben in, en réden wceten te geeven van hunne bewerking. § 526. In de verménigvul .liging der Breuken gebruikt men de volgendefpreekwijlen, die alle het zelfde betékenen. 10 | Verménigvuldigd, met \, a0 f maal f. 30 f van |. 40 f uit \. Buiten deefe zijn *er geene andere. § 527 Zulke uitdrukkingen \ van \\ \ van &% enz.  II.BJI. H. XXL L.Ov. de Multipl.derBreuken,^$ enz. worden bij zommige, zeer natuurlijk, met den naam van Breuks-Breuken Fracli* ones £raclionum benoemd: Men fielt in een Breuks - breuk \ van \; \ als het geheel f van dat geheel is de Breuks-bieuk, welke tot een breuk gebragt wordt door de gewoone multiplicatie, zo als in deefe Les nader blijken zal. ii Befchouwing van de afzonderlijke gevallen van de Multiplicatie der breuken. § 528. Om ons onderwerp in eene gerégelde en veiftaanbaare orde aftehandelen, brengen wij alles tot drie gevallen, i G^yal. § 529. Als men een breuk met een geheel of een geheel met een breuk moet verménigvuldigen. i Voorbeeld Om een breuk meteen geheel te verménigvuldigen. Hoe veel is 11 maal f ? Hier meet | elfmaal genomen worden: gelijk nu 11 maal g'gulden maakt 3x11 of 33 gulden, zo maakt Jï maal 3 vijfde deelen 33 vijfde deelen dat is», een figuurlijke breuk, die men tot een gemengd getal brengende, gelijk bevhid aan 6|. De berékening Itelt men op de lei of op het papier in deefe orde. Schrijvende voor 11 deefe uitdrukking 7, dat zeggen wil 11 heelen. Zie § 463. g g 4 n,  '456 GRONDBEG. der CÏJFFERKÜNST. } II. Voorbeeld. Om een geheel met een breuk te verménigvuldigen. Het produtl van %ï met \ verménigvuldigd te vinden, i 31 mer f te vermenigvuldigen, zegt te bepaalen hoeveel I van 31 of 5 maal een j deel van 31 is 1. en de leefer begrijpt hier uit, dat men eerst bepaalen moet hoe groot een agfte deel van 31 is? een agfte van 31 is l's ("want een agfte van elk heel is 's dus van 31 heelen 3~.) Deefe,'g moe» ten nog met 5 vermenigvuldigd worden, om te vinden hoe veel | van 31 is: 5 maal s4' =3 of o ^ (zie I Foorbeeld) a ioj (De breuk %< tot o een gemengd getal reduceerende.} De berékening itelt men in die orde. Vederons s' voor 31 heelen fchrijvende, deréden waarom zal ftraks blijken. , . Meer Voorbeelden. 1° Hoe veel is 17 maal „5? Andw. 14J. 20 Hoe veel is 19 maal 77s? Andw. 8r'f. 30 Hoe veel is 31 maal /b? Andw. log. 40 Hoe veel is 17 verménigvuldigd met \?. Andw. 13J, 50 Hoe veel is 196 verménigvuldigd met g?' Andw. 143 \\. 6° Hoe veel is 173 verménigvuldigd met \W Andw. 153?. II. Geval. § 530. Een breuk met eèn breuk te verménigvuldigen. \ Voor  II.B. IIH. XXI.L. Ov. de Multipl. derBreuken^? Voorbeeld. Stel dat men begeert te weeten, wat het procMl zal zijn , ah mtn \ met \ vermé* nïgviddigt. \ met \ te verménigvuldigen, zegt, te bepaalen wat: deelen van ' is ? — dat is te bepaalen, hoe veel 3 maal een vierde deel van 2 maal een derde derde deel is. Nu is een vierde van een derde deel 7\ deel (want - deel in drie deelen deelende , zijn in het geheel 4 maal 3 dat is ia deelen, en een derde van een vierde is juist één van die twaalfde dee< len.) Als nu ï van | deel — ~ deel is, zal \ van f ook ?. moeten zijn (éven gelijk van 20 ftuiv. 5 ftuiv» zijnde, i van a maal 20 ftuiv. dat 10 moet zijn.) " Hier uit blijkt 3 maal \ van a maal l zal dus 3 maal || zijn dat is (volgends het I geval) a 5=1 — dat is '. 12 Uit dit betoog blijkt, dat, om het produel: van twee breuken te vinden de tellers met elkander, en de noemers met elkander moeten verménigvuldigd worden en de berékening der bovenftaande fchets fchikt men in deefer voegen. 3 4 3x4 12 a § 531 Wil men de zaak uit een ander oogpunt befchouwd hebben, kan men ter volkomen overtuiging van het volgende betoog gebruik maaken. \ G g 5 Als  458 GRONDBEG. der CIJFFEKRÜNST. Als 2 met drie verménigvuldigd wordt, zal het product. 6 zijn. £n als! me: 3 verménigvuldigd wordt zal het product. §*2 of 6 zijn. * 3 Nu moet niet in ons geval t met 3 heelen maar met l verménigvuldigd worden , dus zal het product 4 maal kleiner zijn, dewijl t een vierde van 3 is: het product (t* ?X3 moet dus ook viermaal kleiner gemaakt worden. Dit wordt her nu in de daad , als men elk derde deel in 4 deelen deelt en voor ê zulke deelen neemt, dat is -6a ~L zo als boven 12 3X4 a Meer Voorbelden. ' 9^16—144. 4 il*33~9 2° -|vï2»i? c° JViy7^.7 I7'V24 51 3 4^ S^i2 -"18 § 532. Ho? veel breuken cok verménigvuldigd worden de régel is altijd: ,, Het produel der „ tellers is de feller, en het produbl der noemers „ is de noemer van het Ijgeerde produtl" Men moet het beksmciie product tot de verkleining ter toetfe brengen. III. Geval § 533 Een gemengd getal met een gemengd getal, met een heel getal, of met een gebroken te verménigvuldigen. I Voorbeeld. Stel dat men het produtl moet vinden van 2! verménigvuldigd met 3; Hier  ILB. II.H. XXIL.Ov. deMukipl. der Breuken, w Hier moet men eerst de gemengde getallen tot figuurlijke breuken brengen e grootheden dus tot de berékening in. „ ftaat gefteld zijnde, verménigvuldigt men alle „ de tellers met elkander en ook alle de noemers „ Het produSl van de tellers is de teller, en het „ product van de noemers de noemer van he* „ producl." - § 535* De toepasfing van deefen algemeenen régel op alle gevalien is in de uitwerking van de volgende voorbeelden te vinden, 3a  ÏLB. II. H. XXI.L»Q)>.dt Mul1tyl.derBreuken.461 3° |x§^«i»^ 4° lix*-3«iX^^^ 50 *~x 7 »|x 51 «1? \ > iii 6° 7ix|^tx|^ = 4jJ IV Verkorte bewerking, <» algemeenen Régel kan plaats hebben. § 536. Hec gebeurt dikwijls dat in het verméni" valdijen der Breuken, de noemer van een breuk met den teller van èeii' ander der vermenigvuldigende breuken een* gemeenen deeler hebben, en dus zo men gemeenlijk zegt, tégen elkander verkleinbaar zijn , wantseer die omilandigheid plaats heelt, -doet men wel die getallen tégen elkander te verkorren , dat is dezelven elk in i:ec bijzonder door hannen gemeenen deeler te deelen, en de quotiënten in plaats der getallen te feilen en in de bemerking ookin de plaats van die getallen te gebruiken en als vermér,:igvuldigers te doen dienen. Als men alles wat men kan verkort hcefc, is men zéker dat de breuk, die men vaar het :produét verkrijgt, niet meer verkort kan worden. Zulke verkor, tingen zijn in de bewerking van de volgende voorbeelden te werk gelteld. 1 1 1°) Jx, l-i het produft. • ■ 2 4 2  46» GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. i i t i i°) -^V-i*—-175 het produól. * J HXi6Xtt é i i ï i i . 1 v &'ó, tsrJt—'-* het producr, 1 3 i 16 9" $ 1 1 In het eerfte voorbeeld is 2 de teller van de eerfte breuk, tégen 4 de noemer van de tweede breuk verkort, en in plaats van deeie 2 en 4 heeft mep i en a als multiplieanten verkreegen: ook is 3 de noemer van de eerfte tégen 3 te teller van de tweede breuk verkort geworden, en in plaats van deefe getallen 3 en 3 heeft men 1 en 1 verkreegen: daarna heeft men i met1, en 1 met 2 verménigvuldigd: en dus „; voor het produér, verkreegen. Dit zal genoeg zijn om de bewerking van de drie overige voorbeelden te verftaan. § 537- De réden hier van ligt allerduidelijkst ia de natuur der zaake opgeftcoten: want, indien men in geval, dat de teller van eene breuk tégen den noemer van eene andere breuk een gemeenen deeler heeft, die getallen door den gemeenen deeler, niet verkleint, zullen noodzaaklijk de teller en  II. B.II. H. XXI. L. Ov.de Multipl. der Breuken^ en noemer van het komende product deefen gemeenen deeler of deelers gemeen hebben, en dus het prodnÊt een verkleinbaare breuk zijn, die verkleint kan worden. Hier uit is nu klaar, dat als men de deelbaare maltiplicanten docr hun gemeene deelers verkleint, en de getallen die men ars dan verkrijgt tot multiplicanten ftelt, hec kortende produel: een breuk zal zijn, die reeds zijn eenyoudjgfte benaaming heeft en niet (als alle verkleiningen die mogelijk zmi plaats gehad hebben) meer tot de verkleining ter toetfe behoeft gebragt te worden. S «8. Deefe omftandigheid naerflig in acht neemende, verzoeken wij denleefer, eer hij verder gaat, zich in de Multiplicatie der bveu ken, co-rde oplosfiDg van de volgende voorbeelden te oeffenen. 1 4A 15 20 3 16 A2i^ 16^32 4° £x£X?«-i -o 'viviüi^ 5 ^ 5 ^ 6 — 9 5 X 7 X 15 27 945 70 9 3° 7-1 x-1x1= ax! .1©°  464 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST, ioö 8^X 3^XJ=*34 11° 3'aX'-JgX'if aJi2 13° 2^X 2-§X 15=8514° '^X-fxi^^g 15° i van 5-f a 47 16° 4-|.X; 5-| = 24 17° ï?Xilx1X-i=3£ »«° s^xfx^xjaj 19° i-IX 100^ « ^ 7^Xï?if a i3rj ~X *" 230 - van - uit -§ ° * . 4 16 12s 240 3 van uit |. 104'? a Hoe veel is r| van j95«j Andw. 103" 3 Hoe veel is % van 1106,;? Andw. 30^ § 542. Anders verménigvuidig t men hec getal met den teller en deelt het product? door den noemer der verménigvuldigende breuk, bet welk in de daad van den algemeenen régel niets dan. in de fchikkmg van de bewerking verfchiic. c. Hoe men een breuk, die een 'geheel moet vermenigvuldigen verdeelen kan in deelen, waar van een kleiner telkens een évenmaatig deel van een grooter v/ordt — en de, Kunstbewerking, die daar uit voor de Multiplicatie der Breuken voord-* vloeit. § 543. Als men, bij voorbeeld 117 met 5 zal verménigvuldigen, kan men dus rékenen. 117 het gegeeven getal, f of 1 van 117 is = 58^ j of ï van 117 is = 29; ss j van f van 117 K \ van 58Ï | van 117 is ~i4f =5 » van 4* van 117 of =3 ï van 29| dit te zamen tellende, komt 1021=5 G-K+O of } van 117 H h a De  46S GRONDBEG. der CIJFFERKüNST. De breuken waar méde men gewerkt heeft, zijn deelen van de breuk |, dusdaanig verdeeld, dat elke kleinere breuk een évenmaatig deel van een' grooteie is, zo is g s=J-hs + j zijnde, \, l van J ea l, | van f. Maar nu vraagt men; hoe wordt zulk een ver* deeling uit de breuk, die gegeeven is gevonden? Het andwoord vindt men in deefen Algemeenen Rógel. i° Als de noemer ,, van de verménigvuldigende breuk een ondeel,, baar getal is, kan de breuk in dier veegen niet „ verdeeld worden"', 2* ,, Maar als die nöemer een deelbaar getal ,, is, bepaalt men eerst de deelers, die zulk een„ noemer hebben kan, en fchrijft ze alle van de „ grootfte tot de kleinfte op. 3* „ Daar na ftelt men den teller op en trekt „ 'er een van de grootfte af — herhaalende die ,, aftrekking zo lang men noodig oordeelt, en tot „ dat men doorgaands een kleiner rest overhoudt ,, dan het getal, dat men afgetrokken heeft, van „ deefe rest trekt men een ander kleiner deel, s, dat, of een évenmaatig deel van het geheel, óf „ een évenmaatig deel van het eerst afgetrok„ kene deel is: men gaat daar mëde voord tot dat „ men ten laatften een getal verkrijgt, dat zelve j, een évenmaatig deel van het geheel of van een „ der deelen is, dis mm heeft afgetrokken. 4° „ Na deejé ontlédiging bepaalt men, wat deel elk afgetrokken getal, of van het geheel of „ van het voorige afgetrokken getal is. *—en hier uit ,i formeert men een rij van breuken, die met „ elkander de gefielde breuk uitmaaken, en waar „ van elke in het bijzonder [een évenmaatig deel'is, „ of van het geheel of van eenig voorgaand deel. L  II.B. II. H. XXIL.Oy.de MultipUerBreuken46$ Voorbeeld. De breuk \\ in afhanglijke deelen te ontlédigen. Noemer Deelers. 60 | 30,20,15,12,10,6,5,4,3,2,1. I. II. III. IV. V. 47 47 47 47 47 30 20 30 20 15 17 27 J7 27 32 15 20 10 15 12 2 7 7 12 2Q 5 5 12 22 8 6 2 In de eerfte ontlédiging is 30» | van 60; 15 =3ï van de ï van 60 en 2 a van 30 a van 60. dus ?J — ï + ; x 1 (of 1) + v van l (of £ van 1) In de tweede is 20 ' van 60; 20 =s § van 60, 5 a | van 20=! i van ^ van 60, 2=3 *; van 20S £ van ; van 60 £=2 3i van 60. das £ s l + 1 + J van 5 (of O + h. van j (of ,SJ In de derde is 30a ; van 60; io^ ; van 30 =5 ' van l van 6o~ < van 60; 5 isa 1 van 10 H h 3 «  470 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. ssTf van 5 van l uit 60; en 2 sa ? van 10= Jvan ï van 60. dus ga J 4- ; van l (of 1} + 1 van l (ofv|) f!- ï van I (_of 3ï.) In de vierde is 2os 1 van 60, 15 s « van 60, Sa sa , van 60. • dus.' £ sa t + J + *, In de laatfte ontlédiging is i^sa t van 60; ia " * van 60; 12— f van 60; r van 12 sa i van ? van 60 sa van 60; en 2 sa * van 6 sa f van' van f van 60. derhalven gal +1 + {+ * van \ (of ,0 i+- f van 1 van } (of ~~) Meer Voorbeelden. ïc ftè \ + i van ï (of i) + j van 5 (of z\j 3° f' sa ; + * van 1 (of i) 4- 1 van *4 (of+ 5 van ; ( of „) + f van ,j (of _)! 3° "h— \ + \ van i (of Q + J van f (of 4° ga J + ! + \. 5° SS $ + t 4/ s van 1 (of:) + j van 1 (of /,.) +j van i (of 6° 5 van | (of O + 1 van \ (of ,ï)+ } van? (of ^0 Als men de verménigvuldigende breuk naar den '.ivoorgefchreven régel ontlédigd heeft, moet men (zo als uit het reeds opgegeeven ftaaltje § 543. te zien is} de deelen van het geheel berékenen, voor elke breuk aangeweelèn, en daarna alle deefè uitkomften te zamen optellen, dan zal die komende fom hec begeerde product zijn. Voor-  II. B. II. H. XXIL L Ov, Divifie der Breuken, &§i III. Voorbeeld Om een breuk als \ door een heel getal ah 4 te deelen, dat is te zeggen te. vinden hoe ménigmaal 4 in ) begreepen is, of tè bepaalen wat gedeelte \ van 4 is , 1édeneert men op deefe wijs 1 geheel is een vierde deel van 4 geheelen a als het heel nu in 7 deelen gedeeld, wordt, zal in 4 heelen 28 deelen zijn, en dus elk zéven de deel van het geheel zal een vierde van een zévende, dat is een agtëntwintigftedeel van vier heelen zijn dus zal f een 5| van 4 zijn; of 4 zal in ?- éénj £ maal begreepen zijn. § 556.'» Men vindt in het algemeen altijd „ hoeveelmaaleen heelin een gebroken bevat is, of „ liever, wat deel een heel van het gebroken is,: als men de noemer van de breuk met het hetl ,, getal verménigvuldigt. Voorbeelden. 4 is op | begreepen -i~ of 5| maal f,X4 | gedeeld door 7 is gelijk aan —■ of ss- 6X7 | gedeeld door 11 is =a —1_ ~ s enz, 3X" 3 IV Voorbeeld. Om te vinden hoe ménig-, waal eenige breuk j, de één tot teller hebbende, in eenige andere breuk | begreepen is, zegt men | is in'het geheel 5 maal, dat is (volgends de multiplicatie der breuken; 45 of 3§ maal begreepen. § $57' »* Men vindt dus hoe ménigmaal een „ breuk, die ééjj tot teller heeft in eene andere I \ » breuk,  48a GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. „ breuk begreepen is, door den teller van die andere „ breuk, met den noemer des eerpen te vermé' nigvuldigen". Voor beelden. I gedeeld door }, komt ^1—^ — ^. 9 r* gedeeld door 5, komt ^==31 enz. V. Om ie bepaalen hoe ménigmaal eenige breuk \ in een andere f bevat is; zegt men:'drie vierde is volgends den tweeden régel in één heel I (of i|) maal begreepen, en dus in \ van het geheel l maal * of * maal. § 558 „ Hoe ménigmaal een breuk in eene ,, andere bevat is, vindt men derhalven, als men ,, den noemer van het deeltal, met den teller van „ den deeler, en den teller van het deeltal met den teller van den deeler verménigvttldigt. Voorbeelden. \ gedeeld door | is = ZK*=r.s=i.i. \ gedeeld dooor § is^'^rz:? =1?- enz. § 559 Als men een gemengd getal \%\ door een gemengd getal 3'f moet deelen, moet men eerst deefe gemengde getallen'tot breuken maaken, en dan heeft men eigenlijk q door '| te deelen; dat geeft tot uitkomst volgends den régel van het vijfde voorbeeld e x = 3g; Voor-  II. B.1I.K XXiI. L. Oy. de Divifie der Breuken^ Voor beeld en. i8j gedeeld door 7? is — aan 2;* 7j gedeeld door 174 is "Zz aan ~?j II. Alle voorgaande gevallen worden tot éénen régel gebragt. r § 560. Met één woord alle voorkomende omflan» digheden behooren tot één der voorgaande vijf ge. vallen, die alle zulk eene overéénkomst met elkan. der hebben, dat zij alle kunnen gebragt worderi tot deefen Algemeenen RéoEL. ,, Keer den deeler om: dat is;fchrijf den tel,, Ier in plaats van den noemer en den noemer „ in plaats van den teller; multipliceer dan het „ deeltal met deefe omgekeerde breuk (volgends ,, de régels der multiplicatie) dan is het komende „ produEt het gevraagde quotiënt? § 561. Omkeer en is, als men in plaats van* fchrijft f; in plaats van f, in plaats van 6 of |, l; in plaats van a? of "i, ^ enz. Zie nu deefen algemeenen régel door voorbeelden opgehelderd, 1? 7 gedeeld door ~ is zoo veel als fx,3=ï 21 vergelijk § 554. 2* 8 + 4a?x4=3 3| =J io| vergelijk § 555. 3» de breuk 1 -f- 3 =a t x \ =s £ vergelijk § 556. 4;ijn. Wij zullen in het vervolg nog wel eens van dat beginlel gebruik maaken. 5 566. Als men gebruik maakt van de geduu* rige breuken, kan men uit dit beginfel werkende, den algemeenen régel uit hetzelve afleiden. Men kan namelijk voor x2 -f- 3 fchrijven " 53 4. 7 voor \ <— ' fchrijven -^-afj s 1$. 3 voor 93+43 fchrijven ^-a'? a 2'. 4 5 voor 8* + 17I fchrijven « ó2r^=s ja. 4 ■ ' J 17' 141 4 A AC "tt en voor # kan men fchrijven f. • fcn op dezelfde wijfe met alle andere  II.B.II.H,XXLL, Ov.deMultipkderBreukenó^y 4 § 567. Als men nu de breuk die tot een foort 25 der geduurige breuken behoort, tot eene gewoone brengt, zal men voor het quotiënt verkrijgen |Xg dat is -met het omgekeerde van^ (zie j§ 477. B pag, 394 en in de noot.) Zijnde wéderom den algemeenen régel boven voorgeichreeven. III § 568. Anderen fchrijven deefen régel voor „ divideer den noemer door den noemer, en den teller door den teller, en de quotiënten, zijn „ de noemer en teller van het gevraagde quo„ tient. Deefe régel, welke het omgekeerde is van den algemeenen régel voor de Multiplicatie der breuken, gaat heel wel aan, als de getallen door elkander deelbaar zijn j Zo is j"4*5 SÉ» |. =4 • 4 n> 27 j> 3 —' 9 —-; " ii s — 4 " 4* § 569, Maar als de getallen door elkander niet deelbaar zijn, leidt deefe régel de uitkomst tot een geduurige breuk, zo als uit deefe voorbeelden blijkt. s • 3 a| 8 j =3 ?L ,s ' s 3 ]i4 en  483 GRONDBEG. der CIJFFEPvKIJNST. a en 7 |n als men in het laatfte voorbeeld de breuk 1 tot een gewoone brengt, verkrijgt men voor deszelfs waarde" xL of a x met het omgekeer- oab <3e van t (wederom den algemeenen régel.) IV' S 57°. Eindelijk fteunt nog op den algemeenen régel van § 560 de volgende, die op°de fchoolen en in de tot hier toe meest gebruikte cijf. ferboekjes geleerd wordt en ook goed is. iQ „ Schrijf (dealer en deeltal indien het no5, digis tot een breuk gebragt zijnde; éven als in de „ divifie der heelen de deeler voor en het deeltal „ agter." 20 „ Verménigvuidig den teller van het deeltal met den noemer van den 'deeler en den noe„ met: van het deeltal met den teller van den „ deeler, de komende quotiënten zijn de teller en noemer van het gevraagde quotiënt? - 30 „ Indien het mogelijk is mag men den noe* s, nier van den deeler tégen den noemer van hét ,, deeltal, en den teller van den deeler tégen „ dsn teller van het deeltal verkorten." bij  II.B,II.KXXII,L. Ov.de Divifie der Breuken.^ bij vocrb*e!d, om f door \ te deelen. s { 5 }• ss — 3s ^et quotiënt. en om | dtor ff te divideeren? 2 i g{i{v- II het quotiënt. *i 3 $ 571. De bewerking van de volgende voorbeelden, zal den leefer in ftaat ftellen, al het bovengezegde verder in praótijk en in het geheugen te brengen. Voorbeelden tor oeffening, 1 8 • 3 iö „o j).«, ij -.. 32 * 28 40 3° 4*f" 44 4° 9i%ï«H^ 5° i+:>*s5 6° *4tf->.* H 7° 5 + t-J« *| 10° jf^4>':*2 Ü5 - *l*  4oo G110NDBEG. der CIJFFERKüNST. 11° -3* 4164a—1 12 ^ 3 - 100Q 12° -2 van 4 - 2 4 !3° van 7~ï- i- maal -== q-i 2 ' 2 4^3 r4° 7-|Xi^7~:van-f maal jfa § ' a « 4^ 2^ io ' 497 17° i 2X xff- ï^Xivan-|X i|^3| *9 3"^X"^Xjö"r-— XiX^ — s»0 315-1-5- 2ts IS7tl «° x769-:Xrf-18Xr^ 44*4-1 sa0 i79-| X H*ji*s«l*i So ^3Q i7yïfx^^Xr7^«4Ig| *4° 8^X 7^-lHfx^ 9?o% B. De ver deeïing der getallen in gebroken of gemengde getallen van het geheel 572. Gelijk 36 in 9 te verdeelen zegt 36 ïr 6  II.B. II, H.\XXII.L,0v.de DivJfeJet ''reuken49 r 9 gelijke deelen te verdeelen fzie § 151) zegt 16 in \ te verdeelen , één van die deelen te vinden, waar van 'er \ in 16 gaan. fj\ in $\ te verdeelen zege te bepaalen , hoe groot een van die deelen is , waar van 'er 3 \ in ij\ gaan? dus worden hier door opgelost detie vraagen: als 16 zo groot is als l hoe veel is dan het geheel. — Het zal genoeg zijn als wij (dezelfde orde volgende als in de V en VI Les) in het kort aantoonen , dat dezelfde algemeene régel §5 60 opgegeeven, om de verhouding van twee gebrokens of van'twee gemengde getallente vinden , ook tévens voor ons tégenwoordig geval voldoet. § 573 • l03 Als 16 in * deelen moet gedeeld worden (a) of als bepaald moet worden, hoe groot het geheel is, als 16 drie vierde van zulk geheel is, dient opgemerkt te; worden, dat 16 in | gedeeld, elk deel zo groot is als elk deel van 4 maal 16 in 4 maal f, dat is in 3 deelen verdeeld; dus zal 16 in \ gedeeld a aan 4x10 of 64 in 3 gedeeld dat is li \, i° ') Als men 17 in t\ moet verdeelen, doet men het zelfde, of liever is elk deel zo groot als 2 maal 17 in 2 maal 2I dat is in 5 deelen ver. deeld , zijnde elk deel ~ 'f == 6 f. 30) 173 in 3J deelen te deelen is elk deel zo groot als viermaal 171 of 4 XI5 in 4 maal 3 5 dat js in i< deelen verdeeld, dat is st^LËXila^^sa J » o '4 30 ^3 Al het beredeneerde (leunt op dit beginfel, dat een («) Deefe en foortgelijke uitdrukkingen moeten niet verward worden met | van 16 te vinden of 16 in 4 dêc> len te deelen.  492 GRONDBKG. der CIJFFERKUNST. een grootheid A in N deelen deelende, elk deel zo groot is, als eenig veelvoud van A in het zelfde veelvoud van N deelen verdeeld. Of in getallen als 24 in 6 gedeeld , elk zesde deel = 4 is, zal in 2 x 24 ( of 48) in 2 maal 6 (of 12) gedeeld, elk twaalfde deel =2 4 zijn. 7 x 24 gedeeld in 7 maal 6, is elk deel ~ 4 enz. § 574. Als men het bovengezegde naauwkeurig befchouwt, zalmen bevinden, dat de bewerking op de getallen volkomen overéénftemmen met het voorfchnft van den algemeenen régel, om namelijk alles in de gedaante van een breuk gefchreeven hebbende, den deeler om te keeren en het deeltal met dien omgekeerden deeler te verménigvuldigen. — aldus. 10 | gedeeld in | = 1 x \ ss 'f sa 1 ■. 2° | gedeeld in f = 2 x \ = % 3 5;. 30 2; in i^a f x: h f a i|. 4° i73 Ü2 3è ~ '| x r| - '| af 4Ï. r ° ! (l£Men kan deefen régel algemeen bewijlen. Stel dat ^•hi- deelen moet gedeeld worden, dan is elk deel zo groot als elk deel, van D maal ^•f^fini', verménig. vuldigd met D deelen verdeeld; of als ia c d„e, len : wederom — maïl D in C maal p deelen, dan h BX^ in CXO deelen verdeeld, dat *d%$ggé* met het omgekeerde van g. Zoo als in den algemeenen régel opgegeeven ii.  ILBJII.H.XXII.L.OvdeDivifte.derBreüken0^ 5° Als l van het geheel 121, hoe groot is daq het geheel? Andw. 17. 6° Als 179? gelijk Haat 19° deelen, hoe groot is dan één deel? Andw. 9$ 70 73 X ii;! maal & in 100i; te deelen? Andw. hlï 8° | x | van ^ uit rl in ~ deelen te deelen? Andw. öïói C. Bijzondere régels voor zommige gevallen van de Divifie der Breuken. § 575. Derégel inde voorgaande%% opgegeeven is algenieen, en voldoet voor alle voorkomende gevallen, évenwei zijn 'er voorkomende gevallen, waar in men anders werken kan en ook anders wer. ken moet: deefe omftagdigheden zullen wij kortelijk ontvouwen. I § 576. Als een gemengd getal 1136J dooreen geheel getal 12 moet gedeeld worden, doet men best eerst de heelen (1136) van het deeltal door den deeler'' 14") te deelen, komt 94 en blijft nog over 81, die door 12 moet gedeeld worden, — en om dit te doen maakt men eerst de #i en de 12 tot vierde deelen en heeft 35 vierde, en 48 vierde, dewijl nu *?5 door 48 gedeeld het quotiënt % is, zal ook BI door 12 gedeeld het quotiënt insgelijks || zijn, en 1136'— 12—94^, en hier uit volgt de geheele volgende uitrekening 12  404. GRONDBEG. der CIJFFERKüNST. i? •{ 1136? -{94^. quotiënt. -4 56 ■ (8j rep. 48 ■ 35 Meer Voorbeelden. i° 175^7 =26^ a° 1967 fi + rga a 14;$. 3° 2073-4-71 a 29^1 4° 7*35«ï-S- 173a41,1a 5° 3767i = -M72 a 219*5 6° 17637 -'4 39 a, 452 II. § 577. Als een'gemengd getal 9172; door een ander gemengd getal if. moet gedeeld worden, verménigvuldigt men eerst den deeler (13',) en ( 9»72i) het deeltal elk met (4) den noemer van den deeler en verkrijgt voor de producten 55 en 36689] welke men door elkander deelt en 667JI voor het quotiënt heeft, en die is de bewerking. deeler deeltal 13! 9172^ ■ — (4 55 —— 36689 j {667 rs| het quotiënt. __3 368 165 389 . 4 j rep der deeling. Meer Voorbeelden. i°) 1447*1 -r 25| a j6| iO 12288\ & 4° I a 300^ 3^  ILB.ILH.XXILL.Ov. dcDivifie. der Breuken.^ 3°) 1956483 £ * «€3 « 7614S 4°3 2385061,4 4- 1763/5 » I384rr 5°) 2779Ï T 37! = 67Hr 6°) 491212^ f 5—— -==& 4 20 2 X 20 ~ s= dus is - x—-»~ x ^ j=r. hetprod. 40 8' 4 20 8 8 64 12 II Voorbeeld voor de Divifie. Om —■ 3 5 20 • te divideeren door—J? T\ 1 , J2 2 X 12 24 q| De breuk—a -li. en - -r 20^ 2x204-1 41' 14 £2±i« * * i: derhalven-i2 *-U- A i 2 X 14 2Ü 4 20 ; 14 41*4 24 4j6M , . 4t 1 4^ Bij-  496 GRONDBEG. der CIJFFEKRUNST. Bijvoegfel tet de Divifie der Breuken. § 579. In de vijftiende Les is gefproken ever de deeling en de verdeeling der grootheden, die uit heelen, deelen en minderdeelen zijn zameEgcfteld. Hier moeten wij nogaantoonen, hoe men te werk gaat, als in die loon van bewerkingen ge. broken voorkomen. De oplosfing van één of twee voorbeelden zal tot dat oogmerk genoeg voldoen, en éénige uitgezogte voorbeelden tot oeffening zul. len wij 'er bijvoegen. I Voorbeeld. Te vinden hoe veelmaal 13 Guld. 11 ftuiv: 9I penn. op 63 Guld. 12 ftuiy. 1 ~ penn. begreepen is ? Berékening. deeler deeltal 13 Gl. 1 2fl 9 6' p: {63 Gl. 1 aft; 1 rip: {4 ? 't quot. 20 20 272 ftuiv: 1172 ftuiv: 16 16 43611 penn. 20353 rl penn. (8 (8 34891 penn. 162824* penn. ■{ 4 — ■ (3 (232601 rest 104673 1 of3489iX3 69782 34891 x 2. Verklaaring. Eerst maakt men (den régel § 327 volgende} den deeler en het deeltal, elk tot de* zelfde benaaming van penningen, en dan komt de gefielde vraag op deefe néder, om te vinden hoe mé-  IL B 1I.H. XXII. L. Oy. de Dtyifte der Breuken^ ménigmaal 4361' penn. op 20353^ penn. begreepen is? om welke te beandwoorden deeler en deel-* tal elk met 8 de noemer van de breuk des. deelers verménigvuldigd worden. (Zie § 577 -j en dan moer, 34891 penn. op 162824! penn gedeeld worden, komt 4 maal,en blijft over 23260? penn. die=_ f, van 34891 penn. zijn, zo als door gemelde régel § 577 gevonden wordt. Meer Voorbeelden. i° Hoe veel maal is 17 G-gl. 12? penn bp 221 Ggl. 10 ftuiy begreepen? Andw, 13 maal^ 2° Hoeveel maal is 13 pond. io| once op 105 pond 15t| once begreepen 'i Andw ) \ maal. 3° 402 Last 17 mud. 3.1 fchep. f Atrifteld.; door 17 last 1 ' fchep. te deelen? Andw: 23} maal. 40 Hoe ménigmaal is 39 voet 9,? duim óp 1583 voet lip duim begreepen? Andw. 117- maal. II. Voorbeeld. Om Q72 Goud-gl. 12 ftuiy. penn in 3J te verdeelen"1. dat is als 3* maal een .geheel 372 ■ Goud-gl. 12 ftuiv. 9\ penn. is hoe veel is dan het geheel? Berékening, deeler r deeltal . 3' 7372 ggJ- 12 ^ 91 p.i — (4 4 — (4 * 15{1489 ggl- 22 ft. 6 p{99g-gl- 8 ft. 151 p 139 het quotiënt, (4 goud gl. 28 134 {8 ftuiv. (14 ftuiv. 230 penn. {15Ï penn. Cs K k fV,  498 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Verklaaring. Men heeft eerst deeler en deeltal met den noemer der breuk, die bij den deeler ftaat, te verménigvuldigen, om een heel getal (15) tot deeler te verkrijgen, na welke bewerking het nieuwe deeltal 1489 Goud gl, 22 ft, en 6 penn. in 15 moet verdeeld worden, volgends den régel S 33<* Meer Voorbeelden. i° Men moet 472 Gl. 18 ftuiv. ï2 penn. in 2f deelen? Andw. 202 gl. 13 ft. . 5 6° 817 Ptf»i 17 fchell. 9* gratf (Vaamsch) /« | te deelenï komt 2181 pond 9} groot. Dergelijke berékeningen zullen ons van veel 'nut zijn in den régel van Drien, tot welken in deefe en de voorgaande les, en in het tweede hoofddeel van het eerfte Boek alle nodige voorbereidièlen gemaakt zijn. XXIIL  II.B.II. H,XXIILL, Ov.deHerl.totand.Noem.499 XXIII. Les. Over de Herleiding der Breuken tot andere noemers. : a) I. Wat door deefe Herleiding verftaan wordfè § 5S0. TP\oor de Herleiding, welke wij in deefe Les JL/ verklaaren moeten, verftaan wij „ eenig „ gefteld gebroken f in vijfde, zesde, 'zévende „ enz. of in andere bepaalde deelen van fce$ „ geheel uit te drukken? II. Algemeen voorfckrift, v § 581. Niets is klaarer te begrijpen, dan dat wanneer « bij vootbeeld in r6"de deelen van het geheel uitgedrukt moet worden, berékend moet worden, hoe veel * van 16 zestiende deelen maakt, het welk volgends den algemeenen régel van de» Multiplicatie der Breuken aldus berekend wordt, ^-van 16* zestiende s i^SLaij- ?} zestiende y 9 9 dedeii 7l Weshalven *» " of 7? zestiende deelen is. Meer (a) Deefe Herleiding is op de Schooien het metst be« ksaa onder den naam van Verandering van gedeeltens. K k $  Soo GROND BEG. der CIJFFERKTJNST. Meer Voorbeelden. t°)ï tot 20fte deelen te maaken? komt — 20 a°)r| tot \6de deelen te maaken? komt ~ *}f) I tot 1 gde deelen te maaken? komt —2- 4°yx tot 2%fte deelen te maaken? komt ^jp- 5*0 A fö? 10de deelen te maaken? komt -^JL 5 10 ?öf icafe, 100fte, }ooofte deelen te maaken komt 6] tiende, 66f honderfte en 666) duizendfte deelen. III, gebt nik van deefe Herleiding. § 582.OP deeie leerwijfe fteunt, in de eerflé plaats de zo nodige en geduurig voorkomende régel, om eenig gebroken getal van Gelden, Maaten en Gewigten, in deelen en minderdeelen van dezelve te berékenen. Bij voorbeeld Ik begeer te vinden hoe veel ftuivers en penningen |§ van een Gulden is ? Oplossing. |-f van een Guld. is ff van 20 5 ftuiv., dat is ï^X^a 7£«i8i ftuiv. n 7 * wederom | van een ftuivers a ? van 16 penn. fja penn. derhalven \\ Guld. b 18 ftuiv. 12 penn. De  II.BJII.H.XXIV.L.OvJeDecimaaleBreuken.zog Voords dewiil -^ „-f - ", -' + -Z+- VUUlus ucwiji I0O--« IO I00 I000 IO IOO~ IOOO IOOOO """lO IOO IOOO loooo 5 ^iooo JT _i4._54._3; J7n + ^j. -7 + ï 10 100 1000 « Jiooooo1-1 « J 10 100 1000 j. 5j s. 2 „__>-; 224._4-_+ _3_• " IOOOO iooooo' 3 1000 0 10 100 IOOO "7 —-0 74--+ —+ —- + ~- is> worden dee- * 1000 ' * 10 100 1000 10000 7 fe breuken aldus gefchreeven 0,35; 0,173; 0,3796 i 5» 153 '■> 173*37123; 32» 203; 7,0017- x § 593. De leefer kan het beloop van het ftelfei der decimaale breuken in dit tafeltje zien. B" " D< S* O. "> C O* £2. S* Eï. Oo"coo£5~ 22225 &. o, S o, n> n cu cu cl, cu cr §e § 2 3 0 2 E. 2 2 fjgo ?srs2cui^ c 3 3 2- o- 5. 2 S 3 o 2 S. cu Eu S § 594, Uit dit alles kan het volgende worden opgemaakt. 1 0 Dat het gedeelte van een Decimaal getal, dat voor of ter linkerhand van het decimaal - punt ftaat altijd een geheel is, maar dat de cijffers die agter het geheel ftaan, te weeten de cijffers in de eerfte plaats tiende deelen, in de tweede en derde plaatfen, honderfte en duizeedfte deelen enz. zijn. 20 Dar. het decimaal - punt in de decimaal getallen van het uiterfte aanbelang is; want door het zelve  5io GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. zelve wordt niet alleen de plaats der éénen bepaald; maar ook aan elke cijffer van het decimaal getal zijn eigene plaats en innerlijke waarde toegeweefen; men dient dus in de bewerking der decimaalen op de plaatling van dat punt zorgvuldig acht te Haan. 3° In de heele getallen wordt de waarde van eene cijffer voor elke plaats, die zij voor uit komt trenmaal grooter en omgekeerd voor elke plaats, die dezelve agter uit komt, tienmaal kleiner. Die zelfde eigenfchap heeft ook in de decimaal breuken plaats, zo dat in den overgang van de heelen tot de tiendeeligen de wet naar welke de waarde der cijffers afneemen niet verbroken wordt. Zo dan in een decimaal-getal als dit 378,213, waar in de 3 duizendfte deelen zijn, een duizendftedeel tot één geheel in de rékening gefteld wordt, zullen de honderfte deelen tienen, de tiende deelen honderden, de heelen duizenden, de tienën, tienduizenden worden enz. 4 0 Men kan derhalven alleen door het verplaatfen van het decimaal-punt, een decimaal getal of breuk vermenigvuldigen of deelen door één van de tientallen 10, 100, 1000, 10000 enz. Want voor de verménigvuldiging moet men het decimaal naar agter en voor de deeling vooruit brengen, en wel in beide gevallen zoo veel plaatfen als 'er 000 zijn in het tienvoudig getal waar méde men vermenigvuldigt of deelt, gelijk in volgende Voorbeelden te zien is. 375x100=337500 41735x100=5473,5 87.35x1000=: 87350 378,9762x10=3 3789,762 8756  iLB.IJLILXXlFL.Ov.de Decimaale Breuken.sit 8765-4-10=! 875,6 5>?93-Ho;=-0.:;793 1378,124-500=313,7812 enz. 50 Dewijl in een decimaal getal het decimaalpunt de betrekkelijke waarde van elke cijffer vas* ftelt, zal de waarde van een decimaal breuk niet veranderen, al fchrijft men agter de laatfte cijffer der decimaal deelen zoo veel nullen als men goedvindt. Zo hebben 0,57 en 0,570000 en 37,89! en 37,891000 dezelfde waarde. Het is dus in dat opzicht met de decimaal - tallen geheel anders -gefteld als met de heelen, welk door elke nul, die 'er agter gefchreeven wordt, geduurig tienmaal grooter worden. De réden van dit onderfcheidt is, dat in heelen getallen de laatfte cijffer altijd in de plaats der éénen ftaat, en dus elke nul, die 'er agter komt elke cijffer en dus ook het geheel tien. maal grooter maakt, terwijl itv de decimaal - tallen het decimaal - punt eens vooraf bepaald zijnde, het voor of agter aanvoegen der nullen geen verandering in de plaats der cijffers te weeg brengt, en dus de innerlijke waarde der cijffers ook niet kan veranderen. § 596. Dit zal genoeg zijn om de natuur der decimaal-tallen te verftaan, wij kunnen dus over. gaan om te leeren hoe de decimaal tallen zamengevoegd, van elkander gefcheiden, mer elkander verménigvuldigd en door elkander gedeeld moeten worden. De zelfde régels, die voor de heek getallen dienen, dienen ook voor de decimaal- tallen, alleen komen 'er nog bijzondere régels bij, om het decimaal. punt in de uitkomst op die plaats te zet-  gil GRONDBEG. Mr CIJFFERKUNST. zetten daar het behoort, al het welk in de volgen' de voorfchriften te vinden zal zijn. IV*. Additte der ticcimaal- getallen. % 597. Om decimaal - getallen optetellen moet men dezelve als heelen getallen onder elkander fchrijven (Zie § 33 } zo dat in de heelen éénen onder éénen, tienen onder tienen enz. en in de decimaalen, tiende deelen onder tiende deelen, honderfte deelen onder honderfte deelen ftaan enz. — dan begint men van agter af elke 37,89 colom op te tellen, in welke op- 127,3 telling denzelfden régel moet ge- 7,793 volgd worden, als in het optellen 0,2753 der heelen. (Zie % 38 ,) 13,71 18(5,9683 fom. Verklaaring. Eerst heeft men de tienduizend fte deelen opgeteld, dan de duizendfte deelen, de fom der honderfte deelen maakt 26 dat is 6 honderite en 2 tiende deelen, de 2 tiende deelen telt men bij de tiende deelen, en heeft voor de fom der tiende deelen 29 tiende deelen, dat is 9tiende, en 2 heelen: deefe twee heelen telt men bij de fom der heelen, en verkrijgt voor de heelen 186, en voor de gantfche fom 186,9683. Het decimaal punt moet men niet verzuimen op zijn behoorlijke plaats te fchrijven. Meer  IL.IIl.tJ .X XIF.L.OvJeDecimaaleBreuken:$i% Meer Voorbeelden. A B k c 7,3, T792.87 179,126 0,073 T3'8735 12.1a 3i»7r ?>I26 9.37 29 «,82 0,83 i,7358 7.146" 7,1263 0,83257 9ï,37 91^263 70.65 *35 f°m T9ï 552055 fom 299.6^6 fom V. Subtractie der Decimaal'getallen. § 598 De Subtradhe moet ook éven, als bij de heelen getallen behandeld worden: het welk metij in de volgende voorbeelden zal zien. A B C 78'3739 376>ia T79S,378967 13.4197 3M9679 12,7101 64,9592 • 337»92321 1783,668867 verfchil, In voorbeeld B moét men de lédigftaandè plaat« fen in de gedagten met 000 aanvullen, waar door (Zie § 594.) de waarde van 376,12 niet verandert en het werk in deefer voegen ftaat, 376,12000 38,19679 337,92321 verfchil Waar na men volgends de Subtractie der heelen, de decimaalen van elkander moet aftrekken. Het zelfde heeft men ook ten opzichte van het onderfte decimaal .getal in C in aanmerking te neemen, L 1 VL  yi4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. VI. Multiplicatie der Decimaal- getallen. § 590. Men multipliceert de Decimaal - tallen , éven als de heel tallen, alles naar de régels der multiplicatie in de IV Les. Zo als uit de volgen' de voorbeelden blijkt. J A B 3'7S 0,3 85 °3,9 91,2 r 3375 385 II25 770 2250 3o,5 ~ , 3465. 23P,o25 produEl. — c D °»3795 c,o379r °>437 0,00537 26565 ""26537" "385 11373 0,1658415 product. 0,0002035767 />ra&& . § 6o°' ,Hec komt 'er in de multiplicatie der Decimaalen alleen op aan, dat men weete, waar het decimaal-punt in het produel; moet geplaatst worden Deefe plaats kan men altijd vinden', als men op de waardijen van de laatfte cijffers der getallen let, die verménigvuldigd worden: In het eerfte voorbeeld is de 5 de agterfte letter van het vermenigvuldig.tal honderfte deelen en 9 de  ÏI.BJIUI.XXIF.L Ov.deDetimaakBreükcn.$ï5 de agterfte letter van den verménigvuldiger tiende deelen, dewijl nu honderdfte met tiende doelen verménigvuldigd, het produel; duizendfte deelen zijn, is de agterfte cijffer van het produel; duizendfie deelen; de volgende 2 honderfte; de 6 die volgt tiende deelen; de volgende 9 heelen, zo dat de drie agter fte cijffers van het product in de decimaalen, de drie voorfte in de heelen, en het decimaal-punt tusfchen de derde en vierde cijffer (Van agter af tQ rékenen,_) moet geplaatst worden. § 601, Men kan bij foortgelijke gevolgtrekkingen, in elke multiplicatie der decimaalen, befiisfen waar het decimaal - punt in het prsduót moet geplaatst worden; doch aangezien dit tc lastig zou zijn, gebruikt men, om de plaats van het decimaa» punt te vinden deefen Ré gel. „ Men moet zien hoe veel cijffers in de „ decimaale breuk van het verménigvuldigtal en „ de yerniéuigvuldiger gevonden v/orden, en éven „ zoo veele letters als nu in het verménigdigtal en „ den yerménigvulaiger beide gevonden worden, „ éven zo veele letters moeten ook in de decimaa„ len van het produiï gebragt worden." Dus in het eerfte voorbeeld, zijn twee cijffers ia het verménigvuldigtal, en één in den verménigvuldiger ; dat maakt dus 2 +1 dat is 3 cijffers voor de breuk in het prodacl. Jn het tweede zijn drie letters in het verménigvuidig - tal, en twee in den verménigvuldiger, dat maakt vijf cijffers voor de cijffer in het product. § 602. Als het gebeurt, dat de cijffers m het product niet toereikende zijn, om het decimaal punt te bepaalen, gelijk in het voorbeeld D, moeten L 1 % 'er  $i 6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. er zo veel ooo aangevuld worden, als nodig zijn, om het decimaal - punt op zijn behoorlijke plaats te ftellen. Voorbeelden tot oeffening, i° 5,76x73^ 420,48. 20 0,576x608 = 350,208. 3° 52,348x34*65=1813,8582. 4° 6785,32;xo,6784=i 4603,1617664.1, 5° 45,0876x34,008= 1533,3391008. 6° 84,653x0,027:=; 2,285631. 7° o,o7863X.,386=0,18761118. 8° 0,00274x0,013=0,00003562. 9° 0,005r36xo,ao28—0,0010415808. io0 o3OO0036X0,o00023=-0,0O0000O0O328. Vil. Divisie der Decimaal-getallen. § 603. De Divifie is aan de meeste gevallen onderhévig : deefe alle zullen wij, zo veel mogelijk is, in het helderfte licht ftellen. Men divideert in alle gevallen de decimaal breuken , als of het heelen zijn , zonder op de plaats der decimaal punten te letten, en dan komt het 'er na de deeling cp aan, dat men weete, waar het decimaal - punt gefteld moet worden. Twee omftandigheden hebben natuurlijker wijs bij de deeling plaats, te weeten: 1? de deeling der decimaalen kan volkomen opgaan: bij voorbeeld als 3,75 door 2,5 gedeeld wordt; en 20 als de dee. üng tot de laatfte cijffer voordgezet zijnde, eene rest  II.B.HLH.XXIV.L. Ov de DecimaaleBrsnken$ij rest over blijft Wij zullen voor eerst zulke voorbeelden opgeeven, waar in de deeling volkQ' men opgaat, § 604 Ten opzichte van de plaatfing van het decimaal-punt kunnen drie afzonderlijke gevallen plaats hebben. L Als in den deeler en het deeltal éven veel decimaal ciiffers zijn : bij voorbeeld als 745,01 door 2,05 gedeeld moet worden. deeler rdeeltal r Bewerking. 3,03 < 745,01 < 367 quotiënt. I1360 l 1421 (o rest. Als 74501 door203 gedeeld wordt, is het quotiënt 367 ; nu moet ^ van 74501, dat is 745,01 door'r55 van 203 dar, is 2,03 gedeeld, het zelfde quotiënt geeven - Hier uit volgt dan, dat in^ den deeler en in het deeltal éven veel decimaal cijffers zijnde, het quotiënt altoos heelen zijn. Meer Voorbeelden. 13994,96+37,5*^ 373 8698,48+0,98=8876 4,41732+0,00281= '572 0,014016+0,00002 4^584 II § 605. Als in het deeltal meer decimaal plaatfen zijn dan in den deeler, moet men zo veel . decimaal plaatfen in het quotiënt brengen, als . '«r meer decimaal plaatfen in het deeltal dan 3' L 1 3 » *»  BiS GROND DE G. der CijFFERKUNST. i, inden deeler zijn" Stel da: 234,70525 door 64,25 iroet gedeeld worden. f deeler r deeltal e °4j25 i 234^0525 < 3,653 quotiënt L 41955 1 34052 *9275 (o rest In het deeltal zijn vijf en in den deeler twee decimaale cijffers, dus moeten 'er in het quotiënt 5 min 2 dat is 3 decimaal plaatfen zijn. De réden van deefen régel volgt uit het algemeene voorfchrift van de Multiplicatie. Meer Voorbeelden. 1°> 1836,88305 +. 23,15 = 79,347 20; 150*0576 + 46,2 3= 3,248 3°) 3*932,67352+45067 es 0,70856 40) 0,520773512 -5-0,8204 a.0,63478 5°) 0,0008250704 + 0,03256 =3 0,02534 III. § 606, Eindelijk als in den deeler meer decimaal plaatfen dan in het deeltal üijn, moet men agter de decimaalen van het deeltal zo veel 000 zetten, tot dat in deeler en deeltal een gelijk getal van decimaal plaatfen gevonden wórden, dan divi. deert men tot de laatfte o — en alles wat men krijgt zijn tot de laatfte cijffer toe heelen. Bij voorbeeld als men 160,-5 door, 0,375 moet divideeren werkt men aldus. o.375  1I.B. III. H.XXIF.L.0vdeDecimaaUBrcukcn.$l9. deeler deeltal °>375 i 160,500 | 428 quotiënt 1050 Sooo o rest. Meer Voorbeelden. i°) 472<5 * i>25 = 378 t°j 4651,2 -T- 1,216 =; 3825 3°_) 1263,75 * 0,1348 =3 9375 40) 1694,616 -r o, 17248 a 9825 § 607. Tot hier toeis onderfteld, dat de deelingen bij de laatfte letter juist opgaan,' 'er ftaat ons dus nog kort te overweegen , wat men te doen hebbe , indien 'er bij de laatfte deeïing nog iets over blijft. Deefe omftandigheid zullen wij wederom in alle mogelijke gevallen voordraagen. i° Als een heel getal 3725 door een heel getal 17 moet gedeeld worden. deeler deeltal l7 { 3725 {2*9»TI7647 enz. quotiënt. 155 reft 20 hier houden de heelen op 130 ito 80 120 enz. Als men de deeling tot de laatfte letter heeft voordgezet, blijft'er drie over; dus zou men naar de gewoone werkmanier zeggen, het quotiënt is = 2194. Maar in het zamenftellen der decimaal breuken, gaat men 'er anders méde te werk: Men ftelt agter het overfchot 3 een o; deeie o L 1 4 maakc  £è GRONDBEG. der CIJFFEUKUNST. maakt de overblijvende 3 tot tiende deelen, die door of in \7' gedeeld worden, komt ï tiende deel, en blijft 13 over, met welk 13 éven eens als te vooren gewerkt wordt, zo als uit de boven, ftarnde bewerking nader te zien is. Zeer zeid. zaam gaan de deelingen op, daarom vergenoegt frien zich, de decimaale breuk toe zo veele letters voord te zetten , als men goedvindt ,endenaauwkeurigheid der zaak vordert. Meer Voorbeelden. 3° 1 $8524+173= 800,716763 enz. 2° 583075+1371=!425 291757 enz. 3° I793I2*rT09.?3=; 16,341201 enz. 2* Als de de decimaal plaatfen in den deeler Zo veel zijn als in het deeltal, werkt men zo als in het tweede geval is opgegeeven; als men nu tot de laatfte deeling gekomen is, en 'er nog iets over fchiet, moet men met dat overfchot als in het vóórgaande voorbeeld te werk gaan. Stel dat men 176,82 door 3,19 moet deelen. deeler e deeltal r 3,19 < 176,82 <55.4294 quotiënt, l 1732 t i37o 940 3020 ' 1490 enz. Me« Voorbeelden. *°) al3v"-S-i:57= '36,121019 * > 308,037+0,315 =977,87302 3 J 17982,3125+0,0123:=: 1461970,62601 enz. 3°  II.B. 111. H. XXIV. L.0v.deDecimaakBreuken$2 \ 3° Als in het deeltal meer decimaal plaatfen zijn dan in den deeler, moet men tot de laatfte deeling gekomen zijnde, naar den régel in die geval yoorgefchreeven, het decimaal punt in het quorient bepaalen, en daar na met de rest der deeling als in het voorgaande te werk gaan. Zie hier een voor. beeld: als men 17,382 door 9,23 moet deelen. deeler r deeltal r 9,2^17,382 {1,8834 enz. quotiënt C. 8152 t 7680 1910 Verklaaring. Als men tot de laatfte letter gekomen is. moet van het verkreegene quotiënt 18 ééne cijffer, de 8 namelijk, in de decimaale breuk ge, bragt worden, en daar na heeft men voordgewerkt. Meer Voorbeelden. i° i73'325-M79,-= 0,567215 enz. 20 0,0352—-0,21^0,167619 enz. 30 0,0352794-3,212=0,010983 enz. 40 0,000514-11,23=0,0000045414 enz. § 608 Afs het gebuert, dat men tot de laatfte letter gedeeld heeft, en de cijffers die men verkreegen heeft niet toereikend genoeg zijn, om de deci maale breuk vol te maaken, tot welk geval, de vier opgegeevene voorbeelden rvoorbedagtelijk opgegeeven zijn, moeten de lédigftaande plaatfen vooraan met nullen ingevuld worden, om daar door de plaats van het decimaal-punt te vinden, en daar L 1 5 door  52S GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. door aan elke cijffer in het quotiënt zijn' eigene waarde te geeven: - om dit béter te verftaan, zullen ï&hwÏÏT g van heï derde voorbeeld *er ter deeler r deeltal f 3,212^0,035:79 jo,oto L 3 T590 'Hier is de deeling tot de 26820 laatfte Jetter ten 1 r 240 einde gebragt, ,. 16040 enz. het quotiënt is 10, hier van moeten 6 min 3; dat is 3 letters in de decimaal breuk komen, maar aangezien 'er Hechts twee letters in het gevonden? quotiënt zijn, moeten er voor de 10 nog een o, voor de o het decimaal punt en voor het decimaal een o voor de plaats der heelen gefteld worden. 4 0 Als het gebeurt, dat 'er in deeler meer plaatfen, dan in het deeltal zijn, moet men naar den regel, voor dat geval dienende, werken en daabJj dezelfde voorfchriften onder het oog houden die zo éven voor de voorgaande gevallen opfre-eeven zijn. rb ö L Voorbeeld. 19,75 doorai739 tedeelert fierwerkmg. deeler r deeltal tquotient 2,739 h 9,75o {7,21066 enz. £ 5770 l 2920 18100 16660 ena. prklaanng Men zet volgends den régel § 606 agter het deeltal een 0, om in deeler en deeltal éven véél  II.B\III.H.XXlV.L.Ov'JeDecimaale Breuken.^ veel plaatfen te hebben, en naardien na de eerfte deelings- bewerking alle de cijffers van het deeltal gediend hebben , zet men agter de 7 het deci< maal • punt è'n werkt, door telkens agter elke nieuwverkreegene rest der deeling een o te.zetteu, als naar gewoonte, zo als Cit de nadeie befchouwing van het volgende voorbeeld blijkt. I[ Voorbeeld. Men -ml 0,37 door 3,237 deelen. Bewerking, deeler t deeltal c quotiënt 3,237 7717777 en*> 2°) % H0,7333333 enz. ■ 3°) m ~°»5i95i95i enz. 4°J ü =0,079545454 enz. 5°) r? =0,0583235 enz. 6°) 7h ^ 7,02439024 enz. § 611 De meeste der gewoone breuken kunnen niet volkomen in een decimaale worden uitgedrukt, gelijk de zes bovenftaande voorbeelden daar toe voorbedagtelijk zijn opgegeeven; als de noemers der gegeevene breuken, zulke getallen zijn, die in geen veelvoud van 10, rco, 100 enz- volkomen kunnen gedeeld worden, kan nooit zulk eene breuk volkomen in een decimaale worden uirgedrukr. De gerallen, welke de noemers van een breuk moeten zijn , om zulk eene breuk volkomen in eene decimaale uitte drukken zijn, a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 10^4 enz. 5, 15, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125, 390625 enz. c) of eenig getal, dat uit de tnultipïicatien van te zeften, kan men het werk veel bekorten, door op devolgende wijs te werken. Bij voorbeefd ,i tot een de cimaale brenk zullende brengen, krijgt men "door deeïing 4 = 0,034484-4- Nu vermenigvuldigt men 0,03408 J met 8, komt 0,034484 Xs = 0,275864. Hier uit beflait men dat 4= 0,0344827586 4; dit verder willende voordzetten verménigvuldigt men de bekomene breuk 3.03448275864 met 6, ïomt o, 2068965$ I7,';j derhalven 4=0,0344827586206830551731 enz.  n.B.III.H.XXFL.Qv.deHerl. der Dec.Breuk.s2T eenig getal uit de eerfte reeks met eenig getal uit de andere reeks ontftaat, gelijk 20, 40, 50, 200, 160, 320 enz. — of ook eenig 10, ïoo, ioco, 10000 voud van eenig getal, uit een van beide reekfen. § 612 Het is gemaklijk na te gaan; dat de breuken", welker noemer niet tot één der getallen yan de bovenftaande reekfen behooren, nooit volkomen in een decimaale breuk kunnen uitgedrukt worden; (a~) want flel eens dat men de breuk r| heeft, dan kunnen in de divifie geene andere resten zijn, daa de getallen 1, 2, 3, 4 en tot 12 ingeflooten, agter deefe)resten moet een o gefchreeven zijn, als het dan mogelijk is, dat de gefielde breuk volkomèn in een decimaale kan worden uitgedrukt, zal de deeling ergens moeten opgaan, en één der getallen 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, £10, 100, 110, 120 door 13 volkomen moeten deel. baa ■ (a) Men moet niet'denken, dat zulke breuken daarom onmeetbaarzijn. -- Ken grootheid is onmeetbaar met betrekkingtot eene andere als zij noch door die grootheid, noch dooreenig uepaald deel van dezelve hoedanig ook genoomen, gemeetemkan worden, zo dat eene onmeetbaare groothaid al. leen maar onmeetbaar is met die grootheid, waardoor dezelve moet gemeeten worden. In de decimaale breuken is de zaak geheel anders gefteld, de breuk ,| moet door ^ gemeeten worden, als nu het overfchot door eenig bepaald deel van ji deel mogt gemeeten worden , zou j| niet anders dan door s| deel en eenig deel van ^- deel meetbaar zijn: doch men mag hier zulk deel "van niet ncemen, als met den aart van de grootheid overéénkomt^ om dat men het overblijvende door -\ deel van ,i de«t/ en altijd elk overblijvend deel, door een tiende deel van de voorgaande maat meeten moet, zo dat het alleen aan den aart der getallen; maarniet aan de volftrekte onmeetbaarheid moet toegefchreeven worden, dat de meeste gewoone breuken niet volmaakt in decimaale breuken kun. aea overgobragt worden,  528 GRQNDBEG. der CIJFFERKUNST. baar zijn, het welk, niet mogelijk zijnde, klaar genoeg bewijst dat de breuk /< , niet volkomen in een decimaale kan uitgedrukt worden, (a) en zo is het met alle andere foorgelijke gelegen. ^ § 6-.% In die gevallen, waar in het niet mogelijk is, de gewoone breuk volmaakt m een decimaal te fchrijven, vergenoegt men zich met twee drie of meer letters van de breuk te neemen , naar dat de zaak een min of meer naauwkeurigheid vereischt, en het geen men daar door verwaarloost, is in vergelijking van het geheel van zo weinig be. lang,_ dat het in alle gevallen, en vooral ia de praftijk, waar in men altoos onvolkomenheden heeft, mag verwaarloost worden. B. Hoe minderdeelen van Munten, Maaten en Gewigten, tot decimaale Breuken gebragt-worden, (b) § 614 Als men een gewoone breuk tot een de- ci- (a) Als ik zeg de breuk t* kan niet volkomen in een decimaale uitgedrukt worden, zegt het, dat 'er geene decimaal tan gefteld worden of het is grooter of kleiner dan de geftelde gewoone breuk; als men door Divifie vindt, dat ,? = 0,692407692407 enz. is 2 grooter dan 0,692 en kleiner dan 0,693; grooter dan '0,6924 kleiner dan 0,6925; grooter dan 0.69240 en kleiner dan 0,69*41 enz. Zo dat elke letter, die men door divifie voor Öe decimale breuk verkrijgt telkens nader bepaalt, tus. fchen welke decimaalen de eigenlijke waarde van de gefielde breuk invalt. b (6) Deefe herleiding is zeer nodig te kennen, als men de  II. B lIIJIXXV.L.Oy. de Herl. det'Dec. Bfeuk$ii cïmaale breuk kan brengen, zil het niet moeiielijfc vallen, de deelen en minderdeelen van Munten, Maaten en Gewigten tot een decimaale breuk te herleiden. I. Voorbeeld. Om 17 ftuiv. 8! penn. tal een decimaale breuk van Guldens te herleiden ? ' Bewerking. \ penn. =1 0,5 penn. 8 £ penn. = 8,5 penn. dit door 16 deelende is 8 i penn. a 0,53125 ftuiv. en 17 ftuiv. 8; penn. « 17,53125 üuiv. dit door 20 deelende is 17 ftuiv. 8l penn, =0,8765625 guldens, II Voorbeeld. 36» 49' u» 2pw inHiendè deelen van graaden uit te drukken? NB. 36°* betekent 36 graaden; 49% 49 minuuten: 1 1" 11 fecunden en 29"', 29 tertien. de decimaal-rekening op alle voorkomende gevallen der Negotie wil toepasfen, en begeert'te sveeten, hoe de tafels der decimaale breuken voor de deden en minderdeelen der Munten, Maaten en Gewigten bïrékend worden, welke bij Koijek in zijn Arithmetick in att lts Parts pag. 280 8a en inzonderheid bjj Martin in zijn New complett and Univerjal System w Body. of Decimals Jrithmetick te vinden zijn. Hei gee:j wij in dit Artikel voordraagen, zal genoes zïjri', om zelve der. gelijke tafels te leeren opflellen en (ot ziin gèKflü* toe te pasfen. Wij wsren eerst voomeemens geween cm pr.-ef van dergelijke tafels te geeven; maar de ?iauuc, tof welke dit werk reeds uitloopt, doet ons voor Jiet tegenwoordige van dit voornoemen afzien. M m  lIB.mH.XXFI.L.0v.dewUerhD!c.3rmk.i%y zo *«>w8)«gBg§*«><«) § 626. Nu kan men natuurlijk vraagen, welke gewoone breuken zijn het, die tot decimaale herleid zijnde. wéderkeerige breuken worden ? Deefe vraag zullen wij in alle derzelver deelen trachten op te losfen, —en dan moet vooreerst opgemerkt worden, dat zulke breuken, welker noemers een getai van één deeler volgende reekfen is 2-4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 51», 1024 enz. 5» 25, 125, 625, 3125, 13525, 78l2ï 390625 enz. geen wéderkeerige decimaale breuken kunnen worden, om dat de deeling in het geval, zoo als § 615 gezien is, eindelijk geheel zullen opgaan. Wij moeten ons derhalven alleen bepaalen tot zul. ke breuken, welker noemers geen raagt van 2, 5 of 10 zijn, hoedanige altoos een volkomen decimaale breuk kunnen worden. Om de zaak in order af te handelen, zullen wij eerst fpreeken van dat geval, waar in de noemers der breuken die herleid moeten worden, buiten de veelvouden van 5, onévene getallen zijn: gelijk n, 33, 87, 109 en bewijfen, dat zulke breuken tot een decimaale breuk gebragt zijnde, de verkreegene decimaale breuk noodzaaklijk wéderkeerig wordt, 1g Als men deelt door de onévene getallen welker agterfte cijffers 1, 3, 7ofo zijn, is het mogelijk, dat bij eenige deeling 3 overklijft, het welk alleen plaats kan hebben, als bij de voorgaande M m 5 dee.  £38 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST, deeling de deeler het getal iotf+i éénmaal, ïoo. w^i, "évenmaal, 10^+7, driemaal en ica+g négenmaal op het voorgaande deeltal begreepen is. % ° Als nu de gewoone breuk één deeler getallen io^-t-i, 10,24-3, i°*+y » 100+9 tot noemer heeft, kunnen 'er in de werkelijke deeling geen andere o vei Wijffels zijn, dan de getallen 1, 2, 3, 4 enz. tot één minder dan het getal, waar méde men deelt. 3 0 Dewijl agter elke rest een o gevoegd wordt, om het volgende deeltal te verkrijgen, kan men geer natuurlijk nagaan, datzoiV het getal is, waar door men deelt, na 'N— 1 deelingen, eenig over* fchot, dat men eens gehad heeft, moet wéderkee* ren. 40 Dus zal ook de 1, of in het algemeen het getal dat men heeft begonnen te deelen, na zo veel deelingen als 'er éénheden in den deeler zijn, moeten wéderkomen, weshalven de decimaale bieuk, die men bij de herleiding verkrijgt wéderkeerig zal moeten zijn En wel zuiver wéderkeerig. Voords als het geval plaats heëit, waar in men door 2, 4, 8, 16, 32 enz. vouden van een oneven getal, als 10^4-1, 1004-3, 1004*7 en iccUe-tj moet deelen, zullen'er bij elke deeling, geene andere resten dan 2, 4, 8, 16 enz. vouden lunnen plaaEs hebben, waar door na zo veel deeiingenalsi I, TU '3 enz. van den deeler bedraagt, een overfchot reeds zal moeten wédergekeerd zijn 1 dus za 1 ook in dit geval de breuk die men Verkrijgt wéderkeerig weefen; maar gemengd wé' dxrkeerig, om dat (in onderlleling dat de geftelde gewoone breuk onverkleinbaar is) het getal waar \n4de men begint te deelen niet zal wéderkomen. %\ is dan geenoogenblik meer te twijffelen, of alle  ÏLB.IH.H.XXFI.L.Ov, de wéderk.Dec. fireuk-sfö alle gewoone breuken, die niet volkomen tot een decimaale breuk-gebragt kunnen worden, zullen door herleiding altoos in zuivere of gemengde wéderkeerige decimaale breuken veranderen. Veele vraagen kan men zich over den aart van deefe breuken vooritellen, die alle in het duister bedolven liggen, ook is de verfcheidenheid, die men bij elke nieuwe breuk ontmoet, verwonderlijk, en opent een ruim veld voor den doorzoekenden geest des Wiskunflenaars. De plaats laat ons niet toe, dit verder uit te breiden, wij hebben voor deefe beginfelen, over den aart der wéderkeerige breuken reeds genoeg gezegd. III. Hoe wéderkeerige Breuken tot gewoone herleid worden. § 627 Dit is klaar genoeg uit het reeds bewee* fene; want wij hebben beweefen § 623, dat men elke wéderkeerige breuk gelijk kan ftellen aan eene breuk, die zo veel négens tot noemers heeft, als 'er léden zijn in het repetendum, en welks teller het repetendum zelve is. Zo zal 0,(6) a |= |, 0,(55) s=S g a t. 0,(148) — £; Voords is (3,6)= 10 xo, (3 6) » ïoxgaiax:,4a;??.T3 U (§ 594)j (79,2)=! ïoo X 0,(79 O - 100 X m s=S x rJf =3 100x88 -rl 11 3 aan ~ 79 u\. Zo dra men een zuivere wéderkeerige decimaal breuk tot een gewoone kan brengen, is het niet moeijhik, om insgelijks dezelfde bewerking op de gemengde wéderkeerige breuken in praclijk te brengen  540 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST, gen, waar toe de volgende voorbeelden dienen moe. ten. i>) o,7K75)™ xao xga ïg+ |xioo=: 330p § 6281 Deefe herleiding moet dienen, om de menigvuldige régels, die voor de onderfcheidene geva/.len der multiplicatie en divifie der wéderkeerige decimaale breuken worden opgegeeven te betoogen. Wij zouden deefe alle (zo als ik ook in mijne lesfen gewoon ben) breedvoerig behandeld hebben, indien de ruimte van ftof ons zulks niet belette, ook is de zaak meer een voorwerp van liefhebberij en befchouwing, als wel van eenig gebruik in de ptactijk der rékening De néderduicfehe leefer zal intusfchen zijne nieuwsgierigheid kunnen voldoen in het derde deel der Aruhmetka van den Heer Strabbe, die de régels voor elk bijzonder geval heeft opgegeeven; maar dewijl dezelve aldaar niet betoogd zijn, moecen wij den leefer berichten, dat alle die betoogingen op de herleidingen § 627 opgegeeven, gegrond zijn en dat hij alle de betoogen zal vinden, indien hij de breuken tot gewoone herleid en als gewoone breuken behandeld. Wij breeken dan hier ons onderwerp af, in vertrouwen, dat de leefer zelve de decimaale breuken op voorkomende gevallen zal lee« ïen toepasfen, wij hebben alles gezegd, dat een leerling nodig heeft, om alle decimaal rekeningen, &e. men in wiskundige werken aantreft te verftaan.. XXVII.  ILBJIIH.XXVÏI.L Ov. deMagten der GètaU.5\f XXVII. Les. Bijvoegfel toe het tweede Boek. Algemeen denkbeeld van de Magten der getallen — en over het trekken der quadraat en cubik-wortelen. I. Wat Magten zijn. % Ö2S>. Als een getal (4) met zich zeiven, dat is met 4 gemultipliceerd wordt , noemt men het product 16 de tweede magt van 4. Het produét 16 nog eens met 4 vermenigvuldigd zijnde, noemt men het product 64 de derde magt van 4. De derde magt van 4, de 64 namelijk, nog eens met 4 verménigvuldigd zijnde, noemt men het komende producl 256 de vierde magt van 4. § 630. Her getal (4) dat men met zich zelveri vermenigvuldigt en waar méde men elke voorgaande magt multipliceert, om de volgende te verkrijgen, wordt de Ra01 x of Wortel der mag* ten genoemd. Dus is, 4 is de tweede magts wortel van 16% de derde magts-wortel van 64; de vierde, magts wortel van £56 enz. § 631. Elk zal nu verftaan, dat de vijfde, asesde,  542 GRONDBEG- der CIJFFERKTJNST, zesde, zévende magt van een getal altoos ontftaat als men zulk getal zo ménigmaal met zich zeiven verménigvuldigt, als door de benaaming van de magt wordt aangeweefen. II. Wat exponenten der magten zijn. § 632. Exponent of aanwijfer van de magt is een getal, dat dient, om den naam van de magt uit te drukken, of liever, het geeft te kennen, hoe ménigmaal de wortel in zich zeiven moet gemultipliceerd worden, om die magt te verkrijgen. § 633. De exponenten fchrijft men met een kleiner cijffer ter regtehand, boven aan het hoofd der getallen: dus zal betékenen de tweede magt van 2 of 2X2; 9! zal betékenen de derde magt van 9 of 9x9x9=1729 enz —- Algemeen als a eenig getal is, zal a of a1 zijn de eerfte magt van a; a1 de tweede magt van a of axa; al de derde magt van a of a x a x a; «4 de vierde magt van a of axaxaxa; a9 de négende magtvan^, of het geen er komt als «négenmaal met zich zei ven gemultipliceerd wordt, eindelijk an zal betékenen de nde magt van a (n een heel getal zijnde) dat is het geen 'er komt als a{n) maaien in zich zei ven ge. jnultipliceerd wordt. III. Wat Quadraat-getallen zijn. % 634, De tweede magt van een getal noemt men ook quadraat of vierkant getal, (een benaaming m. de Meetkunst ontleent, waar in geleerd wordt dat  17. B III. H.XXVII. L. Ov, deCubik-Getaïkn. 55? Meer Voobeelden tot offening, ï°. V 2 a 1,4142135624» 20. 1/ n a 3,3*66247904; 3°. V 477 a 21,8403296. 4°. v/ 111,9875 s= 10,71147. 59. V 0,073521 a 0,271147, 6Q. 1/ 4967,0962 a 70,4776 7°. 1/ 0,0313 a 0,036:3555 ; 8°. V rl a o,645497, 9- ^ I é 0,471404; io°. »/ 6J a 2,5298. g 648. Aanmerking. Veele Schrijvers over de Wiskunst, noemen veelal de wortels uit de wortelioofe getallen furdifche, onmeetbaare ot ré' denloofe getallen; als men het woord groothë. den gebruikte, sou de fpreekwijs goed zijn, maar onmeetbaare getallen te noemen, is iets te noe. men, dat niet beftaat, en eene volfti-ekte onmo. gelijkheid is, aangezien alle getallen meetbaar zijn. ^a) X. Wat Cubik. getallen zijn. § 649. De derde magt van een getal noemt men de cubik van dat getal, eene benaaming wé-> derom uit de Meetkunde ontleent, (waarin cubüs i3 (») 'Er is een zeer gemeene vraag onder de Ri.5kenaar§ namelijk; wat getal is grooter dan één en kleiner dan twee, en geen gebroken? — en dan andwoojd men doorgaands de wortel uit 2 of de wortel uit 3, en die dit tae.dig weet te beandwoorden, wordt vo*or eea Phcenix %n di Kunst gehouden 5 al ware hij dan ook niet in ftaat, om in eens af zonder misflag te begaan, twee getallen met elkander t<» multipliceeren. Deefe en meer dergelijke zotte, chémerique vraagen, komen uit het verkeerde deskbeei.' voord, dat men zich van de wortels der wortelleofe-getalien vormt.  558 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. is elk lichaam binnen zes gelijke vierkanten ingeflooten,) om dat de lichaamlijken inhoud van een cubik, die gelijke lengte, breedte en hoogte moet hebben, gevonden wordt, als men lengte, b.eedteen hoogte met( elkander vermenigvuldigt, De inhoud van een cubus, waar van elke zijde 12 voeren is, is dus gelijk aan xaxx 7» 19» 37» 6r» 91 af 6", 12, 18, 24, 50, 36 tweedeverfch. 6, 12, 18, 24, 30 af 6, 6, (5, 6, 6 derde verfchil. Waar uit volgt, dat de derde verfchillen der cuben gelijk zijn; ook zullen hier door zeer gemaklijk de cuben der natuurlijke getallen berékend en in een tafel kunnen gefteld worden. Op deefe wijfé. r  £1. B.III.H. XXVIIL. Överde Cubik Getaüw.$S9 6 a 6 6+ i- 7 6 + 6 =3 12 12 + 7 - 19 12 + 6 = 18 18 + 19 = 37 18 + 6 = 24 | 24 + 37 =3 61 24 + 6 = 30 30 4- 61 ~ 91 30 4- 6 - 36 1 36 4- 91 - 127 36 + 6 =3 42 42 4-127 =271 42 4- 6 =a 48 j 48 + -69 = 169 48 + 6 = 54 , 5* + 217- 217 54 4- 6 - 60 I 60 4- 271 = 331 60 + 6 = 65 i 66 + 331 - 397 enz. enz. 74- t =3 8 cubik van 2 194- 8 = 17 van 3 37 + 27 a 64 van 4 61 + 64 =3 125 van 5 9T + I25 =: 216 van 6 1274- 216= 343 van 7 169+ 343- 512 van 8 2174- 512= 729 van 9 271 + 7*9 è 1000 van 10 331 roco- 1331 van 11 397 + 1331 ~ 1728 van {2 enz. enz. bet welk zeer gemaklijk is, als men de tafels dejf cuben wil berékenen. XIL. Hoe de Cuben der getallen gevonden worden. § 651. A's men het vierkant a+b, namelijk aa+ xab + bb nier de wortel a^-b verménivul. digt ral de cubit'k van a + b bevonden worden te zijn#?4- 2a b+ 2,ab"-: b\ Wstn.a' + ^ab+b'met &-f b verménigvuldigd zijnde, is het produft SL £t  56o GRONDBEG. der CIJFFERKUINIST. aab + b') Xa+ iab+b') Xb~&+iaab + abb + a'b + iabb b% ~ a> + j&b ±%ab'+bl lndian men dan een getal ln twee deelen ver. deelt, zal de cubik van het geheele getal gelijk zijn aan de cuben der deelen, en aan driemaal het vierkant van elk deel met het andere dèêl verménig vuldigd. Als men dan buiten de gewoone multiplicatie de cubus van een twee lédig getal hebben wil, bij voorbeeld van 37 en 75 werkt men dus A B fa • 343--- — 343 125 3*:*a: 189.. 73S«. 3ah,~ 441- ; 525- (a+by~ 50653a 37= 421875a 75*. $ 652 Als het getal uit veel léden beftaat, ftel dat N = a+b+c+d+e+em. zij, zal N' = & -{-^aab-^'iabb+P +$(a+by Xc+^a+b^Xd+c* +Z(a+b+c)-Xd+y a+b+c)Xdd+d +3(a+b+c+dy Xe+$ra+b+c+d)Xe-+e* enz. enz. * Dit is gemaklijk te betoogen, [want laat ons ftellen dat =3 a+b+c+d. N'« (a+b+cy +$(a+b+cj Xd+^a+b+c) x dd-rd' (a+b+cy^(a+by+3(a+b;Xc+3(a+b,Xc+c! (a+by^d* b+?#b +b* Uit deefe ontlédiging komt door verfchikking der termen  I1.B.IIIL HJÏXFILL, 0verdèCubik~Get8lkn.%6i N'^at+3aab+3abb+b' +3(a+b) Xc+3fa.+b)Xci+v + s(a+b+)i Xd+zCa+b+cïXa■ +$(a+b+c+dy e^Ca+b+c+d:Xe+e^ Deefe ontlédiging oi formule dient, om de'cübe$ van groote getallen buiten de gewoone multiplicatie te vinden, het welk Wij door een voorbeeld zulkn o pheldern, welks bewerking tévens dienen zal, om de bewerking, die voor het trekken des cubik* wortels dienen moet, béter te verftaan. Voorbeeld. De Cubik te vindenvan 3768I Hier is a— 3coo, b —700, c=6o, d — $ 27 i 34312 ï 6j 512=5 mtffcgfï I8j9 ~ %aah 4!4i I =5 %abb 21464,2 sa 2(a-tb'Y-Xc 35190" -3'a+b)xr 339 3°2 * ^s(a+b+cyxd I I72X 92 =3 2(a+b+c)xd: 53 497 4°° 832a de cubik van 3786. XIII Eigenfehappen der cubik - getallen. § 653. De voornaamfte eigenfehappen der cu> bik getallen zijn de volgende i° De agterfte cijffers van een cubik-getal kunnen 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 of o zijn, het geen men zien zal, als men de tien eerfte getallen tot cuben maakt. 20 Het product- of quotiënt van twee cubik-* tallen is altijd een cubik-getal. A!xB' is a A B* =3 (AB\ en A~- B « (A*S-B), enz. — ' 30 De cubik van een getal min zijn wortel is ahijd door 6 évenmaatig deelbaar, —- 9 o XXII  *5«a GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. XIV Hoe de Cubik-wortel uit een Cubik -getal getrokken wordt. 5 654 Wij ftellen tot een voorbeeld, de cubik wortel uic 53497400832 te moeten trekken. Het eerfte, dat men doen moet, ishet gefielde ge» tal van agter af, van drie tot drie af te deelen; want dewijl de cubik van tienen, duizenden, van honderden, duizendmaal duizenden, van duizenden, duizend maal duizend maal duizenden, enz. zijn, zal men daar door weeten, uit hoe veele léden het wortel-getal beftaan zal. De wortel van 53,497,400,832 zal daarom uit vier léden beftaan, om dat 'er vier afdeelingen zijn. Nu moet men, om de wijfe van rékenen wel te verftaan, in alle deelen der beréke. ning op de waarde der cijffers letten. Na deefe verdeeling begint \ men de grootfte cu» bus van het eerfte lid af te trekken; deefe is 27 decubusvan 3, welke van 53 afgetrokken, overblijft 26 — nu ftaat het werk dus. 53549M0o832i3 27 4°°>832 h? 37= a ^afe 26497 2o653=! z^b+ïab+tf 2844400 Om de volgende cijffer te vinden, werkt men aldus. Men brengt het verkreegene lid 37 in bet vierkant, daar na verménigvuldigt men (37)1 of 1369 en 37 elk met 3, komt 4107 en m: Nu vraagt men: hoe veel 4107 op 28444? komt men verménigv. 4107 met 6, en 111 met 36= c', en telt deefe produ&en met 216 ("mids op de waarde der cijffers lettende,; bij elkander, en trekt de fom van 2844400 af. O o 2 (a  S7o GRONDBEG. per C1JFFERKUNST. renomene gnal te verménigvuldigen. wanneer de verhouding der producten dezelfde zal zijn, als de verhouding der gefielde getallen. II. Wat Meetkunftige Proportien zijn. (a) § 659. Indien men nu vier getallen heeft, waar in deefe overéénkomst gevonden wordt, dat het eerfte door het tweede gedivideerd, als ook het derde door het vierde ■> de quotiënten in beide deelfagen gelijk zijn, worden deefe vier getallen ^2^;^ Meetkunstige proportie of évENRÓDi qheid uit te maaken. De getallen 12, 4, 27 en 9 zullen dus zulk eene proportie maaken, wanï 12 gedeeld door 4 geeft zo veel als 27 gedeeld door 9. Dewijl door de deeling de verhouding gevonden wordt (§ 119.) volgt, dat de Meetkunftige proportie kan befchreeven worden , te zijn; die overéénkomst van vier getallen, waar door de verhouding van het tweede op hei eerfte zo groot is als de verhouding van het vierde op het derde: of ook deefe, wanneer het tweede zulk deel van het eerfte is, ais het vierde ven het derde. De meest gebruikelijke orde is, dat van de vier getallen het eerfte door het tweede, en het derde door het vierde moet gedeeld worden. Wij zullen ons derhalven aan deefe gewoonte houden. Anders kan men ook, als het tweede getal door het eerfte en het vierde door het derde gedeeld zijn- (a ) Wij fpreeken bier alleen van de proportien der getallen en geenziots van die der grootheden in het geRieén; evenwel al wat van deproportien der getallen waar is is ook waar van de proportien van alle grootbeden.  I/IJi. I. H. XXVIII. L.Ov. de Meetk. Proport. 571 zijnde, de quotiënten in beide gevallen gelijk zijn, ftellen, dat de vier getallen évenrédig zijn, ' Want elk begrijpt ligtelijk dat als van 12, 4, 27 en 9 12 4 = 27 -i- 9 —' 3 ook te gelijk 4 «f- 12 — 9 ri- 27 == t~ § 660. De *afel van gelijknaamige veelvouden en deelen pag 569. geeven, indien wij dezelve met de verklaarde natuur der proportien vergelijken, de volgende proportien te weeten: a) 720, 240, 1440, 48a b) 720, 240, 240 3 b'o c) 720, 240 , 36 , 12 d) 71, 2j, 1645, 548*. Want alle deefe hebben, zo als aangetoond is, dezelfde verhouding twee aan twee genomen. § 661. Een proportie kan uit drie getallen 12, 6 en 3 beftaan, als het eerfte getal gedeeld door het tweede, gelijk is aan het tweede gedeeld door het derde, en dan noemt men zulk eene proportie eene geduurige proportie. De ge-„ tallen b, § 658, zijn ook in zulk eene geduurige. proportie. § 662. I. Aanmerking. Wij hebben hec woord verhouding tot hier toe gebruikt, zijnde een vertaaling van het Hoogduitsche ( wr^flUttifj ) om dat wij het reeds veel gebruikc hebben , en., het dus door mijne leeferen volkomen zal verftaan» woiden. Ik, voor mij, geloof dat het hier ongemeen te pas komt; 'er zijn nog twee andere woorden bij onfe Néderduitiche Wiskunftenaars in gebruik, namelijk Meetkunstige RéDEN. (ra'  572 GRONDBEG. der CIJFFERKüNST. (ratio geometrica,~) van waar het woord éven' rédigheid voor de Latijnfche naam proportio: en dan nog Meetkunstige betrekking , dat de Franrchen noemen rapport géometrique. Wij znllen om het gebruik te eerbiedigen , daar toch de woorden niecs tot de zaak doen , in het verVolg het eerfte deefer twee uitdrukkingen het meest gebruiken. Verhouding, Meetkunftige réden, en Meetkundige betrekking van twee getallen, zijn drie zegwijfen, die in het vervolg overal dezelfde «aak betékenen. § 663. T!. Aanmerking. In de toepasfing der getallen op de grootheden, moeten in eene proportie akijd dc twee eerfte als ook de twee laatfte termen gelijkmaatige getallen zijn, terwijl de gelijkmaatigheid der eerfte en derde en dus ook der tweede en vierde getallen onnoodzaaklijk is. —— De volgende kunnen dus proportien maaken. 12 Gl,, 6 Gl. 14 pond, 7 pond. 36 Gl,, 18 Gl. 100 Gl. 50 Gl. Maar de twee volgende (alhoewel de bloote getallen proportionaal zijn,) knnnen als grootheden nooit een proportie maaken ao El, 10 Guld, 14 Jaar 7 pond. (a) III. Hoe een proportie in tékens gefchreeven wordt. $ 66*4. Men fchrijft tusfchen de twee eerfte als ook tusfchen de twee laatfte getallen dit téken (:) (het geen bij veele kundige Wiskunfte- naars («) Bit is iets, dat een leerling wel in acht moet nee* metu  llh B.l. H. 1XVI11. L. Ov. de Meet, Proport. $7$ naars en vooral onder de doitfehers voor het téken van divifie gebruikt word. (Zie § 164.; en dan ftelt men tusfchen het tweede en derde het teken O ) of dit teken (: O waar van wij alleen hec eerfte gebruiken zuilen, en dan zal de eerftevan de bovenftaande proportien in tekens gefehreeven tldus ftaan 720 1 240 : : 1440 4cO of 720 : 240 a 1440 : 480 Een geduurige proportie wordt dus gefchreeven f4 4- 8, 16 j-4 720, 240; 8o. welke uitdrukkingen gelijkwaardig zijn met deefe 4:8 a 8 : 16 en 720 : 240 a 140 : 80. IV. Verfchiïïende wijfen van zeggen , om een proportie, in tékens gefchreeven, uit te fpreeken. % 665. Een leerling moet zich vooraf de ver* fchiüende wijfen, om eene in tékens gelchreevene proportie behoorlijk uit te fpreeken, eigen amken üeefe onderfcheidene fpreekwijfen verklaaren'elkander, zijn in het reeds gezegde gegrond, en ftellen ons de natuur der proportie telkens voor °0Den'uitdrukkmg 7 : 14 = 8 ; 16 wordt op de volgende wijfe uitgefprooken. j°. 7 is tot 14 in réden van 18 tot 10. 2°'. 7 ffcat tot 14 gelijk 8 tot 16. : 3°. 7 heeft tot !4 dezelfde (meetkunftige) lé, den als 8 tot 10. 4°, de réden van 7 tot 14 k de zelfde aIs die van 8 tot x6. 0 4 ï 1  574 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 5°. 7 heeft tot ia dezelfde meetkunftige betrek. king en overéénkomst als 8 tot 16. «5°. 7 is in vergelijking van 14 het zelfde dat S in vergelijking van i<5 is. 7°. de verhouding 7 op 14 of van 14 op 7 is zo groot als de verhouding van 8 op 16 of van 16 op 8. 9°. Of eindelijk 7 is zo ménigmaal op 14 (of 14 op 7) begreepen 8 op 16 (of 16 op g j begreepen is. V Verklaaring van de bewoordingen in de leef der proportien gebruiklijk. § 666. Tot verftand van het volgende, als ook i om zich m ftaat te ftellen, andere Schrijvers met vrucht te leefen, moet men de verklaaring van de volgende benaamingen vast in het gebeuren pren ten, * Als men een proportie 7: 14 =5 8: 16 heeft noemt men w ' rJ9' de Setalle« 7» »4, 8, 16, de termen of leden van proportie. 2°. Elke proportie beftaat uit twee rédens of verhoudingen, te weeten 7 tot *4; en 8 tot 16". De getallen 7 tot 14 heeten d? termen van de eerfte en 8 tot 16, de termen van de tweede réden. 3?. Elke réden van een proportie beftaat uit twee termen; gelijk 7 tot 14 en 8 tot 16: de eerfte 7 en 8 heeten de voorgaande, de agterfte 14 en 16 de volgende termen. 4°« Zo dat in een proportie 7 tot 14—8 tot 16 , de eerfte en derde getallen 7 en 8 de 5°.  ffi.BIH. XXVÏÜ.L. Over 'de Mèetk. Propon. jjft voorgaande en de tweede en vierde getallen t\ en ió de volgende termen genoemd worden. 5°. Gelijk/landige termen zijn, of de termen van de eerite réden 7 en 14, of termen van de tweede 8 en i5, of de beide voorgaande 7 en 8 of de beide volgende 14 en 16. 6°.. Uiterfte termen zijn de eerfte eil vierde 9 en 16; middel/ie termen de tweede en derde 14 en 8. Men noemt ze ook ongelijkflandige. 70. De Exponent :of Aanwijfer van de réden ss het getal, dat uitkomt, als van de termen eener réden de eerfte door de tweede gedeeld wordt t — | is de aanwijfer van 7 tot 14, fa 8 is de aanwijfer van 32 tot 4. VI. Op wat wijfe ptoportien in getallen kunnetl gemaakt worden. § 667. Op twee verfchiïïende wijlen kan men een proportie in getallen maaken i°. Men ftelt twee getallen 7 en 5 bij voor. beeld, die men willekeurig neemt, deefe vermé. nigvuldigt men, elk afzonderlijk met een ander getal als 3, komt fti en 15. Dan zegt men het eerfte getal ftaat tot het tweede, als het eerfte produdt tot het tweede product. of 7 : 5 a 21 : 15, a°. Of na de twee gefielde getallen 7 en 5 met een derde getal 4 verménigvuldigd te hebben, ftelt men het eerfte getal tot het eerfte pro» duét gelijk het tweede gejal tot hec tweede pro« duit, dat is 7 : 28 a 5 : 20. § 6q"8 De twee getallen die men eerst neemt wo;  576 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. worden willekeurig genomen, hec kunnen heelen, gehrokenc, gemengde en decimaal - getallen zijn, daarom zullen wij die twee getallen A en B noemen. Het getal, waar méde men deefe twee gefielde ge. tallen moet multipliceeren, kan ook willekeurig genomen worden, en een heel, gebroken, gemengd of decimaal getal zijn, wij ?ul!en het m noemen, — en nu hebben wij deefe twee onderscheidene uitdrukkingen , voor de natuur der proportien. 1 ° A: B =j mxA: mxB 2° A: mxA es B: mxB. (d) welke alle proportien, die in getallen kunnen ge. geeven worden, infiuiten ; en ons dienen moeten om alle de eigenfehappen der proportien te betoogen, VII Hos de léden van een proportie kunnen verfchikt worden. 5 669 De léden of termen van een proportie kunnen op de volgende wijfe verfchikt worden zij A:Ba mxA: mxü de gefielde proportie I Als men de termen van de tweede réden voor, en de termen van de eerfte réden agter aan plaast. komt »;XA:»XBs A. B. dit noemt men verplaatfing der rédens. 2° fa) Uit deefe laatfte [uitdrukking ziet men vooral dat het volgende aan alle proportien bijzonder eigen moet Zijn, te weeten: zo veel maal de eerfte term van eens proportie grooter of kleiner is dan den tweeden, éven zo veel maal moet de derde term gmter of kleiner dan den ïttrden zijn.  lil. B LH.XXVULL.Ov.deMeetk.Proport, 583 § 674. Over de derde - évenrédige.") De derde term ( 12 ; van eene ge^uuiige-évenrédig* heid (3, 6, 12 ^ wordt de derde-éveniédige toe de twee voorgaande (3 en 6) genoemd. Tot twee getallen een derde-évenrédige te vin. den, zegt een derde getal te vinden, zo dat het eerfte tot het tweede ftaat, gelijk het tweede tot het derde; zo dus gegeeven zijn de getallen 7, 2r en men tot deefe een derde-évenrédige x vinden wil, is de (telling 7 ; ai sJi:« derhalven y X x ^ 21X 21 volgends 671) waar uit x 0 —X_£i - 03 de derde évenrédige tot 7 en 21. Algemeen gegeeven zijnde a en b en de derde évenrédige x Hellende, is a : b =5 b : x derhalven aXx sa bXb (Zie $ 071.) b X b en hier uit x s —O— a Deefe oplosfing geeft ons een algemeen voor. fchrift, het welk ons leert dat de derde-évenré. dige zal gevonden worden, „ als men het vier„ kant van den tweeden term, door den eer/ie „ deelt. " § 675. c) Midden-évenrédige.) Een getal, midden-évenrédig tusfchen twee getallen is , als hec eerfte getal tot het midden-évenrédige ftaat, gelijk het midden-évenrédige tot het tweede, of liever; het is de tweede term (al) van eene geduurige proponie f4 7, 21, 63. Als men nu tusfchen twee getallen 7 en 63 een P p 4 mid  $%f' GRONDBEG. der CIJFFERKUtfST. midden - évenrédige moet vinden, (lelt men deefe midden -évnerédige x, — en dan is de Helling 7 : x s x : ^3 hier uit is x X x =3 7 X 63 f Zie § 671) of #2 - 7x63 hier uit de vierkants, wortel ( a ) * = 1/ 7x63 =3 j/44i - 21, Algemeen als « en * de twee grootheden zijn Sn men de midden évenré iige gelijk x ftelt Zal a : x x: b derhalven xx& axb (Zie oe te fchrijven, en dikwijls ook veroorzaakt wordt Zee^ Td f * ™* ™ to ^ leengoed Leermeefter onttrekt, behoeft men n et )ang tev van ^ ^ T cUeJeeedleweetenfhapzo onbedreeven zijn, en and"e die eene loflijke leerlust hebben, door eene gewaande mo^lijkeidafgefehrikt worden, om dat zij ^. li, r feH' dk alken t0t d° *W< g heimen deefer weetenfchap kunnen inleiden. S Ten  VOORREDEN S Ten opzichte van het fchoolonderwijs is de gewoonte ten hoogften aftekeuren, waar bij zommige hunne leerlingen die tot deefe weetenfchap eene bijzondere geneigdheid hebben het eene Cijferboekje voor en het andere na laaien uitrékenen, en hun dus den kostelijk ken tijd aan eene leeröefening laaten verkwisten, die hen niet wijfer. maakt dan te voren en dikwijls niet verder brengt, dan dat zij de Additie, Subtractie, MuJtiplieatie en Divife met meer vaerdigheid en minder misfagen bewerken kunnen. Leermeester die dus uit vrees, dat zij door de oprechte bekentenis van niet meerte weeten, zich mogten benadeelen, hunne gewaande eer ten kosten van den onwaardeerbaaren tijd des Leerlings, poogen te handhaaven! Twee dingen behoor en tot de weefenlijke kennis der Cijferkunst: eerst eene behoorlijke vaerdigheid in het bewerken der grondregelen, welke iemand alleen door eene aanhoudende oefening kan verkrijgen, zonder dat de Onderwijfer daar zelden veel aan kan toebrengen: ten anderen eene grondige kennis van den aart, de eigenfchapben en de onderlinge betrekkingen der getallen, — He vraag/lukken, die voorkomen te kunnen oplosfen, is de toepasfing te kunnen maaken van de aangeleerde kundigheden, en is meer een werk van ver nuf als bewijs van kunde: Tot de oplosfing wordt vereischt de vraag te verjtaan en de geleerde kundig' heden op den aart van zulke vraag te kunnen toepas* jen Hier in ".met een Qnderwiffer zijn* L.eerling § 3 vooral  6 VOORREDEN. vooral behulpzaam zijn door hem die gronden, die hij] te voeren geleerd heeft, geduurig te herinneren. Zulk een weg moet elk infaan, die een goed rèke* naar wil worden, en is vooral de noodzaaklijke taak van elk, die anderen wil onderwijfen. Deefen weg meen ik voor elk, die reeds eenigeverderingen gemaakt het ft gebaand te hebben, en dus zal dit werk alleen moeten dienen om ditgewigtig oogmerk té bereiken. Men zal in het zelve alles vinden, dat dienen kan om iemand tot een goed en kundig Rékenaar te vormen. 'Wisfel rékeningen en Koipmans. rekeningen vindt men 'er niet in. De Heer Krabbe heeft in zijn Vernieuwde licht des Koophandels, nu voor de twee. demaal herdrukt en in zijne Schatkamer der Koopmans Rékenkunst dit onderwerp meesterlijk behandeld Beide werken■ prijfen ziek zeiven aan om hunne duidelijkheid en grooten voorraad van uitgezochte voorftellen. Die dus mijn werk leefen wil om bijzondere kunstgreepen voor deefe rekeningen 'er in te vinden, moet ik vooraf zeggen, dat hij zalbcdroogën zijn. ' Het geheele werk is in drie boekeu verdeeld. Plet eerfte handelt over'de heelegetallen: reële kunstgreepen voor de MuJtiplieatie en Divifie voor bijzondere gevallen kunnen 'er in gevonden worden. /„ het tweede Hoofddeel van dat Boek wordt den aart der grootheden verklaard en geleerd, hoe alle-grootheid door getal kan aangeweefen worden. Het tweede Boek handel* 0¥erde Sewoone, de gefoürige, en decimaaie breu- ken  VOORREDEN. ken en het trekken der quadraat en cubik - wortelen. In de eerfte Les van dit Boek is uitvoerig gefprooken over dl eigenfchappen der getallen over den groot ft en gemeenen deeler en bet kleinjle gememe veelvoud. Ook zijn in dit Boek de tafelen der eerfte getallen en die van de de der s der deelbaare getallen ingelast, benèvens een verklaaring van de manier op welke ik dezelve herijkend, heb. Zij dienen tot een proef van die zelfde tafel, die ik, tot twee millioenén voordgezet,mijne landgenooten bij intèkening zal aanbieden , waar van de voorwaarden binnen kort zullen bekend gemaakt wordenï In het derde Boek heb ik over de évenrédigheïd der getallen, over de Meet- en Rékenkunftigè 'reekfen gehandeld, als ook over de Natuur der Logarithmen. De rechte, verkeerde en zamengeftelde régel van Driert benévens de ketting-régel, waar méde tk mijne verhandeling fluit, zijn zo ik meen, in het helderfte daglicht gefield. De leefer moet dit werk befchouwen als een deel van eene geheele verhandeling, die ik over de Wiskunst voorneemens ben uittegeeven, zonder dat hij door het aankoopen van dit deel in verplichting is om de volgende te neemen, waarom ook op de tijtel geen eerfte deel Jlaat. De uitgezogte voorbeelden zijn met alle mogelijke naauwkeurigheid berékend — zinftoorende drukfeilen zullen 'er , zo veel ik weet, niet in gevonden worden. Zijn hier of daar «enige onnaauwkeurigheden in taa cnfpeUing, zat de leefer die begrijpt, wat arieid aan  8 VOORREDEN éi Correilie va» zodanige werken vast is, wel willen verfehoonen. Strekt dit Werk tot nut, kan het dienen om kennis « weetenfchap onder mijne Landgenooten te verfpreidenendefmaak voor de Wiskunde onder hun aan te wakkeren, zal ik mijne [moeite rijklijk beloond vit}. JACOB de GELDERJ 33 Januarij. * 7 9 3. IN-  INHOUD van dit werk. I. BOE K. Over de heek getallen. L HOOFDDEEL. Qver het talftelfel en de vier grondrêgels. I. Les, Voorafgaande bepaalingen , Getallen, wijfe van tellen en bet Talitelfel. Bladz. i II. Les. Over de Additie of Zamen, telling . . . . 22 III. Les. Van de Subtractie of Aftrek king. . . . L 08 IV. Les. Over de Multiplicatie of Verraéoigvuldiging. . —-—— 41 V. Les. Vervolg van de Multiplicatie — nadere Aanmerkingen — opga« ve van eenige verkorte Werkmanieren. . . ^ VI. Les. Over de Divifie of Deeling 86 VII. Les. Vervolg van de Divifie, 118 II. Hoofddeel. Over de Grootheden in het gemeen , hoe\de grootheden op verfchillende wiifen in getal uitgedrukt worden, en d& régelen der herleidingen. VUT. Les. Nadere befchouwing der grootheden — 'er zijn veele foorten van grootheden, en die alle kunnenin getal uitgedrukt worden —— jj.8 IX.  INHOUD. IX. Les. Om geheelen van Maaten, Gswigten en Muntfpetien toe gedeeltens te reduceeren. - - 1(5g X Les. Herleiding van minderdeelen van Maaten, Gewigten en Muntfpetien tot geheelen. . jQj XL Les. Over de Herleiding der Grootheden in gejal van een maatdeefer grootheid uitgedrukt tot een getal van eene andere maat deefer grootheid, de overéénkomst deefer maaien in getal gegeeven zijnde.» «r- , iqs Hl. Hoofddeel. %}& toepasfng van de vier Hoofdrégels op de, Grootheden, die in getal uitgediukt zijn. Xiï. Les. Over de Additie of zarecnvoe- Ïing der Grootheden. . 2ri.es. Oyer de Subtractie of fchei- " ding der Grootheden. . ,2V JtlV. Les. Over de Multipiicarie der zamengeftelde Grootheden. — 2,r Les. Over de deeling derGroott' heden, die uk heëlen, deelen en TOinderdeelen zijn zamengefteld. , 245  INHOUD. «* H. BOE K. Over de Gebrokens. I. Hoofddeel. De eigenschappen van de ^aa^fJel^h len worden tot een grondflag van de hewer kingen der gebrokens gelegd. XVI Les. Over de deelbaare en ondeel'baare getallen, zommige kenmerken der deelbaarheid - tafels van de deelbaare en ondeelbaare getallen > 271 XVII. Les. Over de oplosfing van drie gewigtige Problemas aangaande de getallen. • II Hoofddeel. Over de Natuur en de Bewerkingen der gewoone Breuken. XVIIf. Les. Over den aart der Gewoone Breuken; hoe voor #ene breuk oneindig andere kunnen gefield worden , onderling dezelfde 'waarde hebbende, — en over de geduuri- ge Breuken en derzelver herlei- dingen • • 377 XIX.  1V; INHOUD.' XIX. Les. Hx de breuken ontdaan uit de daadehjke rekening en meeting — en hoe breuken van verfchillende benaaming onder éénen noemer gebragt worden . Q XX. Les. Over de Additie en Subtrac- tie der Breuken XXI Les. Over de Multiplicatie der 44 Breuken. . XXII LES. Over de Divifie der Breuken .t% XXIII. LES. Over de Herleiding der Breuken tot andere noemers. , 49J? III Hoofddeel. Over de Decimaale Breuken. XXIV Les. Over den aart en de natuur der Decimaal Breuken en derzelver berekeningen. c XXV Les Herleiding van gewoone~ ^ Breuken tot Decimaale en omge- keert van Decimaale tot gewoonte „4 XXVI. Les Over de wederkeerde De- cimaale Breuken. XXVII LES Bijvoeg fel tot het tweede 533 Boek, over het trekken van de Oua. draat en Cubik-worcelen " 54i ui.  INHOUD. III. BOEK. Over de Proportien der Getallen I Hoofddeel. Over de Meetkunflige Proportien — Réken en Meeikunftige Reekfen — en de Logarithmen. XXVIII. Les. Over. de Meetkunftige pro» portien. . . ——. 567 XXIX. Les. Over de Meet enRékenkunftige Reekfen, derzelver overéénkomst met elkander, en over de Logarithmen uit deefe overéénkomst ontltaande. . , • ■ 60 & II Hoofddeel. Over de proportie Rekening in opzicht tot alle voorkomende omftandigheden, XXX. Les. Over de oplosfing van de vierde evenredige, gewoonlijk den Régel van Lries. . 640 XXXI,  vi INHOUD* XXXI. Les. Over den omgekeerden, zamengellelden en aanééngefchakelden Régel van Drien. —.——. 696  GRONDBEGINSELEN der CIJFFERKUNST, t BOEK Over de heele getallen. I. HOOFDDEEL Over het talftelfêl en de vier grondrègets. t. Le s. Voorafgaande bepaalingen, Getallen^ wijfe van tellen en het Talflelfel. I. Denkbeeld van het getal. % I. „ ï~~> e Weetenfchap , om op eene verkorte JLJ^ n e£i kunstige wijfe te tellen , noemt „ men Telkunst , ook veel al RéKEN„ fc ü N s t , en ook wel, om de tékens in die „ kunst gebruikelijk, Cijfferkunst." §. 2. » Tellen is het aar tal, dat is de ménigte of „ hoeveelheid van éénige geiij ifoortige dingen ,j bepaalen," Zoo wordt een hoop gulders geteld, als men van èé eerfte tot de laatfte voordgaande , nagaat, hoe Veel 'er in dien hoop zijn." 5 3. „ Zulk een ménigte, hoeveelheid of aan. i, tal van dingen heeft men de gewoonte eeri j, getal van dingen te noemen." A GéJ  a GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Getal, menigte en hoeveelheid zijn derhalven drie woorden van gelijke betékenis, waar van het eene het andere verslaaft. II. Hoe een grootheid door getal wordt aangeweefen. §"4. Zulk een getal van dingen kan men zich al»- één geheel voortellen ; maar als een geheel , dat vüt zijn natuur deelbaar" is , en werkelijk in gelijke of évengrootc deelen verdeeld is; en om die rjden zeg^efi zorhmtgeh: ,, dat het getal een grootheid is in gelijke deelen verdeeld, (a-j § 5 Evenwel moet men het d nkbeeld Van getal of n-énigte van dingen wet verwarren , met het denkbeeld van de grootheid , door een aantal van -dingen -aangeduid. § 6. Men fpreekt daarorg duidelijker en meer overéénkotultig den aart der zaake , door te zeggen alle grootheid kan door getal aangeweefed Worden , als men bepaak, hoe menigmaal een • , , ■ , 1 ..." zéker (o) Grootheid is het onderwerp van' aügr- Wiïkünittge takken: en wij ■viritaan'er door, aHe .■dingen, die vergroot of Teikleini en in deelen verdeeld kunnen worden-; dewijl 1111 alles wat in de Natuur- en Kunst-Waereld gevonden wordt, voor vermeerdering en vermindering vatbaar is,, en door desling van eender kan. gefcheiden worden, ltrekt zich de Wiskunst, die ons «te natuur, eigenfehappen 'en afmeètjngen der grootheid: leert kennen , tot dit alles uit, cn om"die réden noernt «fèfi de Wiskunde, waaï van de Cijffe'rkuBst een aan^«snlijk deei is, het toppunt en de gre^aai- van alla ffienfshelijke weer'enfchappeH.  I.êoek. I. Hoofd. I. Les. Over het Talfteijèi. $ zéker deel van die grootheid , die rnen rot één heid of maat ftelt en willekeurig genomen kan worden, in het geheel begreepsn is. § 7. Stel om dit op te helderen , dat m?n de lengte van een ftuk Imrieri bépaalen wil; dan neemt men een league . die e< genoemd wordt, als men nu door meeteo bevinür. , dat deeiè el vijftigmaal in de lengte jter? het ftu't gaat , zegt men : dit ftuk is vijftig el' Irmg : dat is met andere woorden , de lergtc *ar. het ftuk is zoo groot als vijftig lengtensy die rrfëri ;1 noemt : en dat is de lengte van het ftuk hn ien in een getal van ellen uit te drukken. § 8 Omtrent deeze wijfe om een grootheid iri getal uit te drukken, moet men de volgende dingen opmerken, die men tévens als algemeene grondstellingen overal moet aanneemen. ie De éénheid, de maat of het deel, dat meri fieemt om een grootheid in een menigte van die éénheden uit.te drukken, kan willekeurig, dat is te' zeggen , zo groot of zoo klein, als men verkiest, genomen, worden. 2° Om over de waarde van een grootheid , in getal uitgedrukt, tè oordeelen en de rechte ,waarde van die grootheid té kennen, móet mén voor eerst van de grootheid der eenheid of maat een klaar denkbeeld en daar na de ménigte deezer éénheden , ' waar uit de grootheid beftaatbekend hebben. Zonder deefe twee vereischtens bij elkander te neemen, is de gropt" heid onbekend', of het denkbeeld daar vaV; te» A a mins^  4 GRONDBEG. der CÏJFFERKUNST. minsten onvolmaakt: Als ik u zeg; ik heb een zeker getal gulden* , zult gij natuurlijk vraagen hoe veel? efi mij het getal twintig piasters hoorende noemen, zult gij mij insgelijks vraagen, wat is een piaster? Deefe grondftelling leidt ons natuurlijk tot het óndeilcheid per bekende en onbekende grootheden; over welk onderscheid wij rader moeten fpreeken, aangezien in de geheeif Rékenkunst de onbekende grootheden bekend moeten worden, uit de bekende of gegeevene overéénkomst, die tusfeben eenige bekende en onbekende grootheden gevonden wordt, III. Over de wijfe waar op men gewoon is te tellen. % 9 Öm denkbeelden van de getallen uitte* drukken, was het ;nodig dezelve door woorderj te benoemen : maar hier rees naruurlijk eene zwaarigheid . deefe'namelijk: de gerallen neemen en bepaald toe , dat is men kan geen getal zo gro it hellen, of 'er *ijn nog oneindig meer andere, die hetzelve te boven gaan; als men na voor elk afzonderlijk getal een naam moest uitdenken, om het daar mede te benoemen , zouden de naanien^ dér gerallen tot in het oneindige verménigvuldigen, tn het (chrarderfte vernuft zou niet tti (laat zijn, die alle te onderfcheiden; ook zouden die naamgeevingen der getallen , ons in hec Rékenen vólftrekt niets helpen. § to Men was dan op een ander en meer gafchikt middel bedagt, waar door men alle getal-  I Soek. I. Hoofd. I. Les. Over het Taljielfel. 5 tallen, hoe groot ook, in woorden gemaklijV kost benoemen. Zie bier hoe men zich uit deele zwaarigheid wist te redden. Men telde van één afgaande aldus: e.n , „ twee, drie, vier, vijf, zes, zéven, agt, négen „ en tien. „ Een getal van twee zulke tienen , noemde men twintig een getal van drie zulke tienen te zsmen dertig; van vier tienen veertigj „ van vijf tienen vijftig; van zes tienen . zestig; „ van zéven tienen zéventig; van agt tienen tag- „ tig; van négen tienen négentig; en dit noem. de men tien tallen ' „ Het getal, dat komt als men tien tienen by elkander voegt, noemde men honderd —< en " hier uit ontib>ndt een derde foort van getallen, " de honderdtallen genoemd , die men van één , af tot négen telde en dan aan het tienvoudige '* van honderd den naam van duizend gaf. „ Zo dat duizend een getal is, dat met? ver- „ knjgr, door tien honderd tallen bij elkander 10 „ voegen. „ De duizendtallen neemen dérhalven op de. , zelfde wijle hunnen oorfprong uir de honderd „ tallen, als ne oor prong der honderdtallen in „ de tientallen gelegen is „ De duizenden tut négen geteld zijnde, kntgt „ men tienmaal dmzend en dit heet tien dut„ zend, zijnde de vijfde loort van getallen- „ De tienduizenden tot négen geteld hebbende, , kreeg men de tieren van de 'ienduizenden , " en deefe noemde men honderdduizenden " Tien zuike honderdduizenden noemde men „ een mUUoen , zijnde zo veel ah dukend maal „ duizend, _  € GRONDBEG. der CIJFFERKCNST. S ir. „ Men is dus langs deelen weg oveij » een gekomen, om eerst toe tien te" tellen, tien „ zulke tienen honderden , tien zulke honderden „ -duizenden, tien van die .duizenden tien duizenM den, tien tienduizenden honderdduizenden en s, tien honderdduizenden millioenen enz. te noe„ men. „ Hier uic omfprooten de éenvoudigen , tien „ vouJigen , henderdvoudigen , duizendvouden ,, enz. — als zoo veele Hoofdsoorten van „ getallen, DIK elk tot tien geteld 5, zijnde, tot een één van de volgende j, s oort overging. § 12. Deefe ftelrégel, om de getallen in fooren of rangen te verdeelen en bij tienen te tel. Jen, wordt genoemd het Talstelsel der ïrol ,ULUN' in onderfcheiding van andere talftelfels; ai om dat het bij elk in de dagelijkfche piadijx gebruikt wordt, eenvouwig Tal- ?t el s el, ï a) IV. De («) Er is niets in dje r.nluur der eefaüen te vinden T% , 6 erfclu-1 Ultdenke» afc men goedvindt, geliK È*nt ^< i?;jh3Se °i dlt Werk .duidel::k zal open leggen As de na. uur der getallen ons eeri^e aanle- twaalttalug .tt-ft-l .in.ve.clci ei opztehteri gemalliikS iitti en to de béWing der beweSgen Söfi geeven; maar dan zcudea ook tfWSSJKfi veranderd en Btor den aart van dat iieliel nSetaSS Ken Ife5^ 2:;i* d:e ¥ overSud tn al  J.Boeh I, Hoofd. I. Les. Over hei TalfïelfeU :7 IV. De aangenamene ftelling voldoet om alles te tellen. § 13. Met weinig woorden zal ik nu mijnen leeieren aan het verïtand brengen, dat het aangenomene taïftelfel voldoet, om aï'e dingen te tellen en dus ook om alle getallen met wourden te benoemen. Laat ons tot dat einde (tellen , dat men een hoop guldejes heeft , die men wal tellen : dan gaat men daar aldus mede te werk , men' telt de zelve met tien in ééne hoop af; zo dan de geheele hoop in tienen verdeeld i«, en 'er eindelijk een getal guldens, minder dan tien, bij voorbeeld zéven overblijven,'.tékent men dit getal van zéven aan; als nu het aantal der hoopen van tienen boven de tien gaat, brengt men wederom tien van die hoopen in écnen hoop , tot zo lang, dat 'er een getal van hoopen minder dan tien overblijft, welk getal van'- tieren men aamékent Langs deefen weg is de geheele hoop verdeeld in hoopen van honderden, in hoopen van tienen, en in een hoop van éénen , De hoopen van honderden boven de tien gaande, moeten tien van dezelve in éénen hoop gevoegd worden, waar door men hoepen van duizerden verkrijgt- Deefe hoopen moeten wéder aan tienen bij elkander gevoegd worden, dan heeft men koopen van tienduizenden enz. Op deeze wijfe ▼cordgaande, zal men eindelijk komen tot zulk 'een aantal van hoopen van een hooger foort van getal dat minder ' dan tien bedraagende niet meer bij tien in een hoop gevoegd , en dus tot geen hooger foort van getal kan gebiagt worden - , A 4 % H  8 GRONDBEG. der CÏJFFERKUNST. § 14. Elk ziet nu, meen ik . uit het bovenftaande betoog zeer duidelijk, dat elk getal, van dingen op deez; wijfe, bij éénen, tienen, honderden , duizenden, tien duizenden enz. kan worden afgedeeld, en dat het aangcmmen tientallig fteliel, voldoende is, om alle geuilen te verdeelea, en naar deefe bedeeimg te benoemen Ook zal bet den leefer niet ontlhapt zijn , 'dat de fë (en, tiénen , honderden , enz. waar door een getal benoemd en flukswijfe verdeeld " wordt nooit boven de négen gaat , want daar boven gaande . wordt het een getal, dat tot den volgen, den rang behoort , en om die réden daar in ook moet geplaatst worden , welke overweeging ons verder den weg baant, om alle getallen, met behulp van zeer weinige tékens, die gemakkelijk ' te onthouden zijn, te fchrijven. V. Be getallen kunnen op eene verkorte wij., fe door Cijfers uitgedrukt worden. % 15. toen het menfchelijk verfland het eens zo verre gebragf hadt, om alle hoeveelheden naar het tientallig freifel te verdeden en te benoemen, viel het met moeijeli;k, om eenige CaraBers of lékens uit te denken , waar door alle getallen köüen uitgebeeld worden. Elke rang van telling gaat volgends § 14 nooit hooger dan tot négen , zo men dan voor de négen eerfte getallen één, twee, driet vier, vijf, zes, zéven, agt, négen «aeeze tékens. " ' 2» 3> 4> 5> <$, 7, 8 en 9, geit, zu'Jen dezelve dienen om elke rang of ioort  ƒ. Boek. I. Hoofd. L Les. Over het Tal/tel/el. 9 foort van getal, die in eene Hoeveelheid gevonden wordt aftebeelden. Zoo ik nu bij voorbeeld bevonden had, dat in eene hoeveelheid, behoorlijk volgends § 13. verdeeld zijnde, twee tienduizenden négen duizenden zéven honderden, vijf tienen en agt, kan ik deefe bovenfte tékens gebruikerde bij verkorting dit getal aldus fchrijven. „ 2 Tienduizenden 9 duizenden 7 honderden „ 5 tienen en 8.'' S 16. Door zulk eene fchrije men bij elk téken voegen moet, maaken het werk nog lastig genoeg ; daarom bedagt men, em voor de tien , de honderd, de duizend enz. een afzonderlijk of wel een zamengelreld téken te gebruiken ;'maar daar door wierdt, het aantal van téKens groocer wordende, het fchrijven der getallen meer omilagtig, en derzei ver gebruik in de rékening rnoeije* lijker. (a) § 17. Men bragt eindelijk de zaak tot de uiter* (a) De Latijnen hadden in hunne getallen iets dergelijks: yoor de tien febreeyen zij X; v-w de vijf, de heltt van tien, V; voor hor/derd f< hu even zij C; voor vijftig L ; voor duizend M of CIO ; voor vijfhonderd D of J3: Hoe veel omflagtiger deefe fchrijfWiife is zal blijken, wanneer wij een getal op hunne «n op oni*e w'ijfe fchrijven : het tegenwoordig jaartal 1792 daar wij vier letters of cijflers toe nodig hebben , fchrijven zij met agt letters aldus MDCCXCI1 —. e» A ,5 men.  GRONDBEO, dek GIJFFERKUNST. ttfe eenvoudigheid, en ik durf zeggen tot de hoogfte volkomenheid, door op de navolgende wijfe te werk te gaan. — En nu verzoek ik miinen leefer en leerling alle zijne kragten in te fpan. nea; aan mijne zijde zal ik duidelijs en vertoonbaar poogen te fpreeken. Het geen ik zal voordragen is de grondflag. van alie cijfferkunstige regelen , die ik in het vervolg van dit Werk zal onderwijlen. § 18. „ Men zou alle de éénenr-, tienen, homft (erden » duizenden enz. die in. eene hoeveel. „ held te vinden waren en door welke de «e„ heele hoeveelheid, ftukswijfe, bij deelen ui?*e„ drukt was\ in de bovenfiaande tékens, die*ik j, voortaan cijffers of getalmerken noe„ men za t, zonder éénig bijgevoegd téken of woord :> tn deefervoegen alle névens elkanaer fch,ijvtn „ nat van agtefen naar veoren voordgaandel „ eerst het getal éénen, dan het getal tienen, „ dan- het getal van henderden , d.m het ?? 3 < — S . . S jBfg ff. o" 3 i | g CL O. * 2 r» • • 3 . V O ^ . • 2. 2 CU . • 3 5 n 35^9073x249957 g 9 7 5 3 ^5? 9 8 7 5 4 3 8* 8'3.S ës^His? iJS I 5 3 g-aS-a^ti ^e sr iL a 2 2 3 & •  Ï.Boek. L Hoofd. I. Les. Over hetTaljielfel. \\ «22 De tienvoudigen van honderdduizend worienMiliioenen genoemd : dceze Miliioenen worden éven eelnk de éénen bij tienen, honderden, dufc zenden, tienduizenden en honderdduizenden geteld. Tien honderdduizendvoudigen van een millioen, Mx k een millioen een millioen maaien bij elkander genomen, noemt men een millioen van den Zeefenrr-"^ en Maat in de dertiende plaats. Deefe miliioenen van den tweeden rang, worden bij tienen , honderden , duizenden, tienduizenden en honderdduizenden éven als de milhoe- nen geteld. . .„< Een millioen van den tweeden rang een millioen maaien genomen , noemt men een mihoen ym den derden rang, en floot m de négentien ^èrmillioen van den derden rang een millioen maaien genomen , geeft een getal. da«. miltten van den vierden rang genoemd wordt, en ih de vijf en twmtigite plaats komt. Een millioen van den vierden rang een muhoen maaien bij elkander genomen geeft een getal, dar, millioen van den vijfden rang genoemd w^rdt, en in de één-en dêrtigfte plaats komt te ftaan. Op gelijke wijfe worden de miliioenen van den zesden zévenden, agiten , enz. rang uit de bovenltaande gevormd; en e^ke millioen van waï rang het zij, wordt bij tienen honderden , dmzenden tienduizenden en honderdmzenden geteld, maakende altijd tien honderdduizenden van zulk een millioen te zamen genomen éen millioen uit van den volgenden rang {a) eert C«1 Ik heb met voordagt deefe benaamingen vari * ' aiH-  H GRONDBEG der CJJFFERKUJVST. 'VT. Hoe mén. te werk moet gaan als in een ■ getal -eenigen feng ontbreekt. % 23. Het bn zeer dikwijls gebeuren dat in' een getal., het welk in éénen, tLen, nonderd « enz, verdeeld is, één, of meer range, ontbS„* bij voorbeeld in vijfhonderd en ^es oSSee^" de tienen j in zéven en dertig duizend en atr de tienen en honderden. agc' ■§ 24; Óm nu 'ztfke geta'Ien , naar den régelmaat. inajffers uit te drukken, heeft men blfde négen boven/bande djflèrjetters nog dit téken o gelegd,, het. wek nul, niets oï\éro genoemd wordt, en dat zeggen wil geen grootheid,ge*n Zuk een nul nu wordt in de lédigfaande rangen van een getal gefield ; bij voorbeeld z?' jen honderd agt wijlende fchrijven, moet in den rang der tienen een o komen: aldus 708 Als men zéven en dertig duizend en négen fchrijven wü, moer men in de lédfjf ftaande piaatlen oer tienen en honderden een o ftel'en op deeze wyfe. > 37009. Naar ^SSf***"' *" *™ "«"««ten  /. Boek L Hoofd. LLes; Over het Talftelfel 15 Naar deefen fte'régei worden de veelvouden van tien, naame yk twintig, dertig enz. aldus gefchreeven : 10 , 20 , 30 , 4° •> 5° ■> 60 , 70, go en 90, door in de plaats der ^«e» een o te ftellen, , i_ , , De stallen of veelvoudigen van honderden aldus:'ico, ?oo, 36b, 4.00, 500, 600, 700, Beo, 900. de plaats der éénen en tienen met een o aan wij lende. De getallen van duizenden aldus; icoo, 2000, "003, 'O .o, 5000'. 6000,' 7000, 8000, 9000: door -de pkats der éénen tienen en honderden mét een o aan te wijfen. ; De ge allen v?n tienduizenden honderdduizenden •nriiüo.net). enz- woi.!c6 insgelijks gefchreeven , door alle de tédigftalindè plaatfen met een & aan te wijfem , 1 , ^ 25. Uit dit alles blijkt nu zeer klaar: 1* dat de rul of zéro, op zich zeiven befchouwd, geen waarde heelt , en daarom in het rékenen voor niets moet gehouden worden; 20 maar dat zij' alleen dient , om in de getallen daar ledig ftaande piaatfen gevonden worcen te manken, dat de rangen der getallen op die plaats komen, Waar in zij, volgends den aangenomen ftelregcl § 18. ftaan moeten. VII. Hoofdeigenfchappen van het verklaarde talftelfél. ■ § 26. 1 Door behulp der* négen cijffers 1 », 3> 4. 5, 6, 7, 8 en 9 en daar bij gevoegde o, en dus in het geheel met tien tékens ku.i- nea  ïè GRONDBEG. der CIJFFERKUNSf; hen alle getallen gefchreeven worden. Want volgends § 13 kunnen alle getallen of hoeveelheden in éénen, oenen, honderden, duizenden enz. verdeeld worden, welke éénen tienen enz. altijd door een der négen cijffers t uitgedrukt kunnen worden § 15 , welke op de behoorlijke plaats Hellende en de lédige rangen met een o aanwijfende , duidelijk blijkt, dat alie gerallen met deefe tien tékens alleen gefchreeven kunnen worden. $ 2-7. Iï Alle getallen van één tot négen kun. nen met écne cijffer gefchreeven worden , heft kaeinfle getal van twee cijffers is j o en het grootfte 99, zijnde in het geheel <;o getallen die mee twee cijffers gefchreeven worden , 900 mee drie cijffers, 9000 met vier cijffers, enz. § 28. III Een geral dat met cijffers gefchree. ven is, (lelt het getal ihikswijfe bij deelen uitgediukt voor oogen : het getal 3-46 gefchreeven ziende, kan ik met éénen opflag van het oog overzien, dat het zelve uit 6 éénen , 4 tienen , 7 honderden en 3 duizenden is te zamengefteld , welke bij elkander genomen , de waarde van het getal, ftukswijfe voorgefteld, uitmaaken. § tg. IV Eindelijk kunnen wij als een natuurlijk gevolg van de gefielde regelmaat deefe merkwaardige eigctifchap van ons talllelfel ter néder ftellen: % De waarde van een cijfer wordt Voor „ elke plaats, die zij voorw aards komt, tien» „ maal greoter; en in tégendeel voor elke „ plaats , die zij agterwaards komt, tienmaal „ kleiner. Zo bij voorb«eld een 4 in de tweede plaats ftaai  I. Boek. L Hoofd. 1. Les. Over het Talfielfel. if ftaat, betékent zij vier tienen, een getal dat tien. maal grooter is, dan vier éénen; dezelfde vier in de derde plaats ftaande, betékent vier honderden, een getal dat tienmaal grooter is dan vier tienen: voords die zelfde vier in de vierde plaats ftaande , betékent vier duizenden , een getal dat tienmaal grooter is idan vier honderden enz. Vergelijk § 10. il en is, met elkander. VIII. JVordt geleerd de waarde der cijfers van een getal op te noemen — een gefchreeven getal uit te fpreeken en een uitgefproken getal te fchrijven. $ 30. Wij hebben nu, zo duidelijk ons mogélijk was, den aart en de natuur van ons talfteifel, benévens de wijfe van tellen uitgelegd, eri wij vertrouwen, dat eik één ons zal verftaan hebben ; zo évenwei iemand ons gefchrijf niet volkomen mogt begreepen hebben, zal hij wel doeia het nog eens te leefen, of aan een des kundig nadere inlichting te vraagen ; want wij vérzékeren elk, dat het wel verftaan van alle régelen der cijfferkunst alleen afhangt van eene grondige kennis van en gemeenzaamheid met het bovenverklaarde ftelfel, .aangezien alles wat in het vervolg geleerd zal worden, op hetzelve als op den noodzaakelijken en algerneenen grendfiag gebouwd is, en uit dien hoofde alleen op het zelve berust. , . • . Het is alleen njet genoeg verdaan te.hebben het geen geleerd is, maar men moet ook met B hes  i8 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. liet zelve gemeenzaam worden , dat is zich in eens alle de uitgelegde gronden te binnen kunnen brengen. En om hier wel in te flaagen , moet men de eerfte oefening van de Cijfferkuns» tioe Oeffeningen opflaan, alwaar een ménigte van getallen door elkander zijn opgegeeven, om van dezelve de waarde der plaatfen en cijffers op te noemen, en na deefe opnoeming, het gefchreeven getal uit te fpreeken. Zie m een voorbeeld, hoe men daar méde te werk gaat. Voorbeeld. Het getal 374085 bij deelen op te noemen en uit te fpreeken. Dit wordt aldus gedaan. de vijf zijn vijf éénen. de agt zijn agt tienen of tagtig. de o heeft geen waarde, dat is er zijn geen enkele honderd tallen. de 4 zijn duizenden, dat is vier duizenden. de 7 zijn tienduizenden, dat is zéven maal tien duizenden, en dat noemt men zéventig duizend, de 3 zijn honderd duizenden , dat is driemaal honderd duizend of drie honderd duizend. en het getal wordt nu in woorden aldus uitgefproken: „ drie honderd vier en zéventig dui« „ zend en vijf en tagtig." § 31. Tot meer gemak in het uitïpreeken van getallen , kan men het volgende tot een régel ftellen. 19 Als het getal zes plaatfen heeft, zijn de dïie hoogfte altijd éénen , tienen en honderden van  I. Boek. I. Hoofd. I. Les. Over hetTalJlelfel, 19 van duizenden ; daarom fpreekt men die als een getal van drie letters uit en voegt 'er de benaaming van duizenden agter. Men zou zelfs nog tot meer gemak de duizenden door een téken kunnen affcheiden: aldus 27i 512 „ zéven en dertig duizend vijf honderd en twaalf." 305,042 „ drie honderd en vijf duizend en twee en veertig." 20 Zo dra men alle getallen van zes plaatfen kaneuitfpreeken , kan men ook alle getallen hoe groot ook, al waren 'er duizend en meer plaatfen éven gemaklijk uitfpreeken : en om hier in wel te llaagen, moet men van agter af, van zes tot zes afdeelen. Bij voorbeeld in dit getal. 3» 7°5943> 500082,695796,000123,408502 Hier ftaan nu in de eerfte verdeeling „ vief honderd en agt duizend vijf honderd en twee." In de tweede verdeeling honderd drie en twintig ., deefe zijn miliioenen. § 22. In de derde „ zes honderd vijf en r.égentig duizend zéven honderd en zes en négentig,' dit zijn miliioenen van den tweeden rang. § ai. In de vierde ftaat „ vijf honderd duizend en twee en tagtig," dit zijn miliioenen van den derden rang. § 22. In de vijfde verdeeling ftaat „ zéven honderd vijf duizend négen honderd drie en veertig," dit zijn miliioenen van den vierden rang, § 22. In de zesde verdeeling ftaat „ drie dit zijn miliioenen van den vijfden rang. § 23. B 2 Dit  ao GRONDBEG. der CIJFFERKUNSÏ. Dit getal wordt dan aldus uitgefproken: drie miliioenen van den vijfden rang , zéven honderd vijf duizend négen honderd drie en veertigmiliioenen van den vierden rang, vijfhonderd duizend en twee en tagüg miliioenen van den derden rang, zes honderd vijf en négentig duizend zéven honderd zes en négentig miliioenen van den tweeden rang, honderd drie en twintig miliioenen vier honderd agt duizend vijfhonderd en twee." § 3a, 'Er blijft nog alleen over, dat wij aantoonen, hoe een uitgefproken getal moet gefchreeven worden. • Dit is in het geheel niet moeijelijk; want aangezien de benaaming der getallen, naar den aart van ons talftelfel ingericht is, zullen deejê benoemde of uïtgefprokene getallen, van zelve aanwijfen, tot wat rangen de cijffers beboeren, het welk men maar alleen volgen most, om het getal te fchrijven. Meer oplettenheid zal 'er vereischt worden , wanneer 'er in het getal eenige lédig ftaande rafï-gen zijn , maar dan zal men best doen, om de getalien gefchreeven zijnde, van cijffer tot cijffer nategaan en met heE iritgefprokene getal te vergelijken. Het is van het uiterfte belang , om eefl getal, dat in woorden gefchreeven is, of dat men hoort uïtfpreeken , zonder eenige moeijelijkheid in cijffer te kunnen néderftellen , want daaruit kan alleen blijken, of een leerling de voorgedragene gronden van het talftelfel , wel verflaag: — en om die rédenen zijn in de tweede óeffening een ménigte van uitgefprokene getallen opgegeeven, door welke voorbeelden de leefer zieh zeiven oeffe. nea moet, IX. Be-  I Boek. I. Hoofd. I. Les. Over het Talflelfel. 11 IX. Be fluit van deefe Les. § 33. Nu is in deefe les alles verhandeld, dat tot veiftand, en opheldering van het talftelfel, en van dc manier om de getallen met cijffers te fchriiven, kan dienen: in het volgende zullen altijd de getallen, die men in het rékenen gebruikt in cijffers gefchreeven worden, en om dat wij in deefe les de kragt, waardij en betékenis van dezelve hebben leeren kennen , zal ons dit alles tot een leidsraad in al hei volgende moeten dienen, § 34. Vier vraagen kan men aangaande de ge-, tallen doen. i« Kan men zich voorftellen , te willen wee» ten , wat getal "er uit zal komen als men eenige getallen 13, 29, 17 en 38 bij elkander doet. 20 Kan men vraagen, wat 'er overblijft als een kleiner getal 17 van een grooter 39 afgetrokken wordt. 30 Kan de vraag vallen , wat getal er zal uitkomen, als men eeuig getal 37, twee, drie, vier, vijf of meermaalen te zamen neemt, 4" Kan het nodig zijn te bepaalen ; hoe ménigmaal een kleiner getal 3 in een grooter 1* begreepen is. Hier kan men nog bij voegen 5", Te bepaalen, wat getal 'er komt als men van eenig getal 60 de helft, de derde de vierde part enz. neemt. § 35. De oplosiing deefer vier hoofdvraagen is het geen men noemt Additie, Subftracrje, Multiplicade* en Divifie , welke, om dat alle rékenkung. tige bewerkingen tot één of meer van deefe hoofdvraagenbehooren, de vier hoofd- of gronb6 3  ft2 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. RéGELEN DER ClJFFERKUNRT genoemd WON den, met welker verklaaring, oplosfing en betooging, wij in de volgende lesfen een aanvang zullen maaken. IT, Les. Over de Additie of Zamentelling, t I. Wat de Additie is. 5 36. m A dditie of optellen Ook Wel zamen. il „ tellen , /V te bepaalen, wat getal „ eenige opgegeevene getallen 3, 5, 7, a, 4, „ 6 en 8 te zamen gevoegd, in eene som z«//«ï „ uitmaaken" (a) II. //öf men zulks vindt. § 37. Als de getallen klein zijn, gelijk hier, telt men 3 en 5 maakt 8; 8 en 7 "maakt 15; 15 en 2 maakt 17; 17 en 4 maakt 21 ; 21 en 6 maakt 27; 27 en 8 maakt 35. — Om dus getallen benéden de négen op te tellen, wordt alleen vereischt, dat men in het tellen of opnoemen der getallen agter elkander eenige vaerdigheid verkregen hebbe, om ten eersten te zien , wat twee kleine getallen te zamen gevoegd, met elkander uitmaaken. § 38. ( e ) Dit woord fom wordt verkeerd rebruikt, als men regt een fom opzetten, een lom maaken, een fom uitwerken , en het dus bézigt van een vraagfmk of (telling; bij alle Wiskundigen en verftandtge CijrTermeesters wordt het gebruikt van een getal, dat komt*als men eenige ge, allen te zamen telt.  I. Boek. I. Hoofd. II. Les. Over de Additie. *3 § 38 Als de getallen , die op ,te tellen zijn, boven de 9 loopen, en dus uit twee of meer cijffers beftaan, gelijk, 2?, 126, 307, 497» 3+ en 56: fchrijt men eerst de getallen in dier voegen onder elkander, dat de éénen , tienen , en honderden enz. elk in eene afzonderlijke_ rij, onder elkander ftaan , waar in men nooit mis en kan , als men de getallen van agteren gehjklijk onder elkander ftelt. — eindelijk ftelt men onder der de getallen een »3 33 r°m der eeaen" ftreep — gelijk hier 126 2^ fom der tienen, te zien is. 3°7 IO pom der honden. Nu tel ik eerst al 497 de enkelden in de ag- 34 deaterfte colom te za-, 56 men,— en krijg 3$; ■ . . deefe 23 beibat uit 1043 geheele lom drie enkelden en 3 tienen: de drie enkelden icnrijl ik onder de ftreep , in de plaats der enkelder1, en laat de 3 tienen ftaan , om naderhand ,bij cle fom der tienen op te tellen. Nu tel ik voords alle de tienen, in de tweede colom te zamen, en vind dat deefe te zamen 2 1 uitmaaken; maar naardien uit de fom der enkelden q tienen zijn overgebleeven, die ik niet gerekend heb , voeg ik deefe 3 tienen bij de gevondene 21 tienen en verkrijg 24 tienen. ^ Deefe 24 tienen worden natuurlijk verdeeld in 4 tienen en 20 tienen; dat is, in 4 "enen en 2 honderden, (want 10 tienen maaken ééne honderd,) daarom zet ik de 4 tienen in de tweede plaats, onder de ftreep naast de 3 éénen; en houd de twee honderden over, om dezelve bij de fom der honderden te tellen. De honderden in de derde colom ftaande, tel B 4 *  H GRONDBEG. der CIJFFERKUNSX ik bij elkander en vind 8 voor de fom, bier bij voegende de 2 honderden, die ik van de fom der tienen had over gehouden, komt 10 honderden , die ik, om dat 'er geen hoogere colommen meer zijn, in de plaats van de honderden, onder de ftreep volkomen uitfchrijf. En nu is de fom van alle de geftelde getallen te zamen geno-men 1043. III. Wiskundige zékerheid van deefe bewerking. § 39. Als het gevonden getal 1043 d» waare fom van de getallen 23, 126, 307, 497, 34 en 156 is, kan deefe fom aangemerkt worden, als één geheel, waar van de gegeevene getallen bijzondere deelen zijn; maar elk van deefe getallen, beftaan, uit de natuur van het talftelfel, wederom uit andere deelen, die enkelden , tienen, honderden enz. zijn : als ik nu alle deefe enkelden, tienen , honderden enz. in deefe gegeevene getallen te (amen neem , gelijk ik werkelijk gedaan heb, zijn alle de deelen, in de gegeevene getallen voorkomende, in de fom 1043 bij ^kander genomen , dewijl nu alle de deelen van een geheel, bij elkander genoomen , dit geheel uitmaaken, is Ï043 noodzakelijk de waare fom van de gegeevene getallen. IV. De bovenfiaande manier van werken is algemeen. § 40. Men volgt in andere voorbeelden altijd dezelfde trant van werken, tellende agtervolgends de enkelden , tienen, honderden enz. te zamen. Als deefe fom minder dan tien is, wordt zij op hcJ,  I. Boek. L Hoofd. II Les. Over de Additie, as haar plaats, onder de ftreep gefchreeven; maar deefe fora boven de 9 loopende, en dus uit twee pf meer cijffers beftaande , fchrijft men de agterfte letter onder de ftreep, waar zij ftaan moet,— en het geen 'er overblijft zijn tienen, die bij de fom der volgende colom geteld moeten worden. Want als de fom der enkelden 13 , 46 , I2Ö is, jbeftaat deefe fom uit 3 éénen en 2 tienen ; uk ó éénen en 4 tienen en uit 6 éénen en 12 Als de fom |der tienen een deefer getallen 36; 47: 136 is, beftaan deefe fommen uit 6 tienen ën 3 honderden ; uit 7 tienen en 4 honden; uit 6 tienen en 13 honderden. Als de fom der honderden is 39. 43. 127, beftaat deefe fom uit 9 honderden en 3 duizenden; uit 3 honderden en 4 duizenden; uit 7 honderden en ia duizenden ; men fchrijft de honderden in de colom , en tek de duizenden bij de duizenden • enz, § 41. Bij deefe gevondene fom moet de leerling telkens aan zich zeiven vraagen: Wat is deefe lom? zijn het enkeiden , tienen of honderden enz.? — en av Wat zijn de deelen waar uit deefe fom beftaat? dewijl hij, langs deefen weg alleen zal verftaan , wat hij doet , het beloop zijner bewerking kunnen overzien , en dus eene wiskundige zékerheid hebben van de uitkomst zijner bewerking. § 42. Het geen wij nu gezegd hebben, komt over één, met het gewoone zeggen, bij het op; tellen , in gebruik; de fom gevonden hebbende , en deefe fom 34, 59* 87. 88. 91, 123 zijnde, B 5 zeS  s6 GRONDBEG. djsr CIJFFERKUNST. zeg ik 4 ik hou 3; 9 ik hou 5; 7 ik hou g enz. zettende de agterlte letter op zijn plaats, en tellende het getal , dat men gehouden heeft bij de volgende colom. V. Aanmerkingen op deefen régel. § 43' I- De régel, die wij aan de hand gegeeven hebben, is in zich zeiven eenvoudig, klaar en volkomen zéker; éven wel komt hier alles aan om wel te tellen en te kunnen onthouden wat men geteld heeft. Het getal, dat in een colom telkens tot de voorgaande fom geteld wordt, is nooit hooger dan 9, en de kunst beltaat hierin, om bij een grooter getal één deefer getallen o, *> 2» 3' 4-» 5» 6, 7, 8, of 9. te tellen. Hier toe zijn verfcheiden beproefde kunstgreepen, waar van ik in het vervolg mogelijk wel iets zeggen zal. Ik raad den leerling, vooral in 't eerst, zich in het tellen niet te overhaasten, en zich geduurig in de telling te oeffenen, hier door zal hij wel dra eene hebbelijkheid verkrijgen , om twee drie of meer letters te gelijk te tellen. § 44- Het is de gewoonte, om van onder, naar boven te tellen; doch men kan ook van boven naar benéden tellen, dit moet het zelfde zijn— en kan éénigermaace tot een proef verflrekken. § 45. III. Men begint gewoonlijk bij de enkelden te tellen, en gaat van daar tot de tienen, honderden enz over; doch zulks is niet noodzaakelijk, zie hier van in de oeffeningen eenige uiige» werkte voorbeelden. § 46,  I. Boek. L Hoofd. II. Les. Over de AdMe. ï? § 46. IV. Als men veele getallen m 'et op len, en dus het tellen zeer moeijelijk wo.dt men best deefe getalien te verdeden u> verdeeling de fom te zoeken, en eindelijk alle deefe fommen bij elkander te tellen , dan heeft men de fom van het geheel. « 47 V. Dit is alles wat men bij de Additie in acht moet neemen , maar men moet ook deefe waarheid niet uit het oog verhelen. 1 AUe zet allen kunnen als getallen opgeteld worden-, " 2° maar ah de getallen eene benaammg heb. " ben en het dus grootheden zijn, kunnen zij !! niet worden opgeteld, of deefe benaammg moet seliik zijn: dat is, men kan guldens bij gul" dens, ponden by ponden , voeten bij voeten, iaaren bij jaar en tellen — maar nooit jaaJren bijvoeten of eenig getal bij een ander „ dat met het zelve geen gemeenen naam heejt. « a8. VI. Eindelijk gebruiken de Wiskunstenaars dit téken + , dat zij plus of meer noemen, en dit téken - dat gelijk , éven groot hee, «* men fchrijft 3+4=7".."» lee^ 3 4» gelijk 7; en wil zeggen dat 3 en 4 te z^men Spgeteld, 7 uitmaaken; zo dat het téken + alleen daar toe dient, om aan te wijlen, ,da. de getallen, aan weerskanten van het zelve ftaande , moeten opgeteld worden. _ NB. De leefer werke nu de derde en vierde oeffening uit. III. Les.  2$ GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. III. Les. Van de Subtratlie of Aftrekking, I. Wat de Subtratlie is. § 49- *> T"Vör Subtractie of Aftrekking J 9 v> verftaat men te vinden, wat 'er zal „ overblijven , als men een kleiner getal 3 van „ een grooter getal 7 afneemt:' Het getal 4 dat overblijft, noemt men Verfchil-~ en om die réien zegt men, dat de fubtracïie beftaat, in het vinden van het verfchil dat 'er tusfchen twee ongelijke getallen is. II. Hoe men te werk moet gaan, om het verfchil tusfchen twee getallen te vinden. § 50. A!s de getallen zeer klein zijn, is niets gemakkelijker dan het verfchil te vinden : men kan zeer ligt nagaan , dat 3 van 7 afgenomen 4 overblijft —. Op dezelfde wiife 5 van 12 afgenomen blijft 7; en 9 van 15 afneemende, houdt men nog 6 over; zo dat, met andere woorden, 4 het verfchil tusfchen 7 en 3; 7 het verfchil tusfchen 12 en 5; en 6 het verfchil tusfchen 15 en 9 is. Men heeft alleen maar nodig om het verfchil van kleine getallen te kunnen vinden, om in ftaat te 2ijn, een grooter ge:al van een kleiner aftetrekken. — Zie de tafel in het begin van de vijfde oefening. S Si. Als men twee grooce getallen van eU kan*  I. Hoofddeel ÏÏL Les. Over de Subtratlie. 20 kander moet aftrekken, bij voorbeeld, als men begeert te weeten, wat 'er zal overblijven, als men 2341 van 7^94 afnee!m' moet men de twee ge* tallen onder elkander fchrijven, en daar bij in acht neemen dat het grootfte boven en het klemfte benéden flaat ; ook dat van de getallen de éénen tienen honderden enz, onder elkander m de zelfde col'om ftaan, éven als in de Additie geleerd en hier te zien is. 7894 het grootfte getal. 2341 het klemfte getal. 5553 het verfchil, zijnde dat getal, dat overblijft, als het onderfte van het bovenfte wordt afgenomen. Dit gedaan zijnde , trek ik alle de deelen van het onderfte getal af van de overéénkomstige deelen van het bovenfte ; namelijk , de éénen vatt de éénen, de tienen van de tienen enz.; zeggende, 1 van 4 blijft 3 éénen, 4 tienen van 9 tienen blijft 5 tienen; 3 honderden van 8 honderden blijft 5 honderden; 1 duizenden van 7 duizenden blijft 5 duizenden; zettende telkens het overblijvende getal, onder de ftreep, op die plaats, „Iwaar die cijffer overéénkomstig haare waardrj ftaan moet. . Het verfchil der gefielde getallen is nu bij deelen genomen; alle deefe deelen van het verfchil te zamen genomen zijn 5553; — en dat is het geheele verfchil, het getal dat overblijft als 2341 van 7894 wordt afgenomen. 5 5e. Men ziet hier uit, hoe eenvoudig deefe werking is ; évenwei zijn 'er twee omftandighe. 0 den,  3o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. den, die nadere toelichting vereisfchen, en die men eens wel moet begreepen hebben , om die gevallen éven gemakhk als het voorgaande te bewerken. § 53. De eerfte befiaat hier in:„ het kan zeer dikwijls geheuren, dat de onderfte cijffer van de bovenfte overéénkomstige cijffer, om dat zij kleiner is, niet kan afgenomen worden,- gelijk in dit voorbeeld om 37893 van 65797a af te trekken. De getallen ftel ik volgends § 51. onder elkander. 657972 het grootfte getal. 37893 het kleinfte getal. 620079 het verfchil der getallen. Ik werk nu op deefe wijfe : zeggende 3 van 2 kan niet afgenomen worden , daarom doe ik eerst 10 bij de 2 en zeg 3 van 12 blijft o éénen. Hier door is nu het bovenfte getal 10 te groot geworden, om dit te vereffenen, neem ik de volgende cijffer 7, die tienen zijn één minder en itel in plaats van deefe 7 een 6 of 6 tienen, en zeg nu (niet 9 tienen van 7 tienen,) maar 9 tienen van 6 tienen, dit kan niet, daarom doe ik bij die 6 tienen ééne honderd, dat is 10 tienen en heb dan 16 tienen, en nu zeg ik 9 tienen van 16 tienen blijft 7 tienen. Nu is wederom door deefe bewerking het bo. yenfte getal 100 te groot geworden, daarom doe ik van de volgende 9, die honderden zi;n , één af, dan is alles vereffend , en zeg 8 honderden van 8 honderden blijft niets of o; 7 duizenden van 7 blijft niets, dat is, o; 3 tien duizenden van 5 tien-  /. Hoofddeel. III. Les. Over de Subtraffie. 31 5 tienduizenden a tienduizenden , en o of niets van 6 honderdduizenden blijft 6 honderdduizend, verkrijgende dus voor het geheele verfchil 620079. § 54. Om dit berédeneerde nog eenige nadere toelichting te geeven, moet ik doen opmerken , dat hoedanig de deelen van een getal verfchikt worden, évenwei het geheel daar door geen de minste verandering in zijne waarde ondergaat. Het ge. tal 73 . bij voorbeeld, beftaat uit twee deelen 70 en 3; nu kan ik bij het laatfte deel 3 een 10 voegen en van het eerfte een tien afneemen ; dan zijn de deelen 60 en 13 die te zamen genomen zo veel zijn als 70 en 3 of 73. dat is 73 ZZ 70 + 3 = 60+13. zoortgelijke verandering kunnen alle andere deelen van een getal ondergaan, évenveel in wat rang of plaats deefe deelen of cijffers ftaan. In het gegetal 657973 kan ik, indien zulks nodig is, voor 73, die éénen zijn, fchrijven 60 +13; voor 97 dié tienen of eigenlijk 970 zijn , fchrijven 800 ■+■ 170, dat is 8 honderden en 17 tienen; voor 79 die hondeiden of 7900 zijn fchrijven 6000 + 1900, dat is, zes duizenden en 19 honderden; vooi 57 die duizenden of 57000 zijn , fchrijven 4©ooo + 17000 dat is 4 tienduizenden en 17 duizend, enz. met alle andere deelen, waar uit dus de gegrondheid van de bovenftaande bewerking ten duideliikften blijkt. § 55. Heeft men nu dit alles wel begreepen kan men voor altijd deefen algemeenbn Ré. gel vast ftellen;,, zo in de aftrekking, de on. „ derfte cijfer grooter dan de bovenfte is, moet „ men de bovenfte atijd mei 10 yerhoogen en „ daar  22 GRONDBËG. der CIJFFERKUNST. „ daar na de onderfte van die fom aftrekken „ om dan het bovenfte getal te vereffenen, moet „ men de volgende cijfer in het zelve één mhu „ der neemen. Deefe régei is in de fchoolen bekend onder den naam van ontleenen en wEêRGEVEN. Ook moet men ontrent den. zei ven aanmerken ; dat hij in alle gevallen voldoende is; want om dat het onderfte getal nooit hooger dan 9 gaan kan , kan het zelve van het bovenfte en tien te famen, altijd afgetrokken won* den. Ook kan het overblijvende getal op hee grootfte 9 zijn , dat dan alleen plaats heeft, als het boven fte getal één minder dan het onderIe is. §. 56. Nog eene omftandigheid kan 'er voorkomen , en dan is alle zwaarigheid uit den weg geruimd : Als men een ciiffer van het bovenfte getal met ro heeft moeten verhoogen, en om die réden de volgende cijffer met één moet verminderen , en die volgende cijffer een o zijnde , niet verminderd kan worden, hce moet men dan in dit geval te werk gaan? Laat ons eerst een voorbeeld ftellen. Men vraagt hoe veel 'er overblijft als 112185 van 790003 wordt afgetrokken. 790003 212185 577818 het verfchil Ik begin 5 van 3 kan niet, 5 van 13 blijft 8. —- Nu moet de volgende cijffer één mindér genomen worden , maar hier een o zijnde, kan dit niet gefchieden, ik verander daarom de drie 000 in 999 en verminder de volgende cijffer 9 met  j.Boek. I. Hoofd. III. Les. Over de Subtratlie, 33 met één, daar voor 8 krijgende, en zeg nu; 8 van 9 is 1; 1 van 9 is 8; 2 van 9 is 7; en 1 van 8 is 7, en 1 van 7 is 5. § 57. Zie hier de voldoende réden van deefe bewerking^ De 9000 zijn eigenlijk tienen, —deefe tienen moeten met één verminderd worden, om dat de 3 éénen met 10 verhoogd zijn; deefe 5000 wordt nu één minder, als men fchrijft 8999; de 000 in 999 en de 9 in 8 veranderen, de; want 8999 + 1 — 9000* III. Jlgemeene. Régel voor alle gevallen. § 58. Alles wat wij van de Subtractie gezegd hebben, komt hier op néder. „ Schrijf de ge. „ tallen, die men moet aftrekken onder elkan. „ der, het grootfte boven het kleinfte onder — „ éénen onder éénen, tienen onder tienen, hon„ derden onder honderden. Begin van agteren „ af, de onderfte van de bovenfte letters af te. „ trekken , en fchrijf de yerfchillen onder de „ ftreep, elk op zijn behoorlijke plaats; Gebeurt „ 'het nu, dat de onderfte letter grooter dan de „ bovenfte is , moet die bovenfte letter met 10 verhoogd worden , maar daar en tégen de ',' volgende letter in het bovenfte getal met één \ verminderd worden, en zoo 'er eindelijk eenige " 000 in het bovenfte volgen, verandert men die " alle in de gedagten, in 999 en maakt de vol" vends cijfer één minder, trekkende yoords het \ %nderfte van het bovenfte als naar gewoonte:* 9 Op dat de leelèr al het geen van de Subtractie gezegd is tévens met een overzigt van het bewijs voor oogen moge hebben , zullen wij nog twee G ai*  U GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Uitgewerkte voorbeelden, volgends de ondergaande fchikking voordraagen, namelijk; i° om 2172929 van 6708*45 aftetrekken en het andere ora *9ra87i van £000650 aftetrekken. I VoOREEELD. 15 30 de deelen 1200 van het 7000 grootfte 100000 getal. 600000 6ooooco 2 Voorbeeld. 10 40 de deelen 1600 van het 9000 grootfte 90000 getal. 930000 7000000 6708245 grootfte getal 8000653 grootfte getal ïo de deelen 900 van het 2000 kleinfte 70000 10000 5 2000000 70 de deelen 800 van het 2000 kleinfte 10000 900000 2ooo0oo 217*929 kleinfte geral 2912871 kleinfte getal 4535316 Verfchil 5°%7779 Verfchil. Men heeft in deefe voorbeelden , de getallen zodanig in éénen, tienen, honderden enz. verdeeld, dat altijd elk deel van het onderfte getal, van het bovenfte kan worden afgenomen — en deefe gemaakte fchetfen zijn overéénkomende met het geen in § § 55 en 57 gezegd is. IV.  I. Boek. I. Hoofd. III. Les. Over de Subtratlie. 35 IV. De Wiskundige zékerhèid van dcefen régel. § sa, Als in het aftrekken, de deelen van het Onderfte getal van die van het bovenfte worden afgenomen, doet men in de daad hetzelfde, als of men alle de deelen van het onderfte getal, van het eerfte tot het laatfte ingefloten , van het bovenfte afnam, indiervoege, dat men na het eer* fte deel te hebben afgenomen, van het overblijffel het tweede, van deefe nieuwe rest het derde afnam, enz, tot het laatfte toe; door welke herhaalde bewerking , men éven za veel zal gedaan hebben, als of men in ééns het onderfte getal vart het bovenfte hadt afgenomen. Men kan dit betoog in de onderfte fchets voor oogen zién; Om 3787 van 58*0 aftetrekken, Van bet grootfte 5820 neem af i° 7 blijft 5813 eerfte rest neem af 20 80 blijft 5733 tweede rest neem af 39 700 blijft 5033 derde rest neem af 40 3000 blijft eindelijk 2033 , vierde en laatfte rest, zijnde het getal dat over zal blijven, als men 7 + 80 + 700 + 5000, = 5787 van 5820 af„ trekt, G 2 ?4  3f GRONDBEG. der CJJFFERKUNST. V. Aanmerkingen op deefen régeL § 60. I. De aftrekking Haat tégen over de optelling ; want in het optellen , worden twee of rneer^getallen bij elkander gevoegd, en in de aftrekking', twee getallen van elkander afgefcïieiden. § t>r. II. De twee verhandelde grondrégels bebelfen in zich den grondflag van de twee volgende, welke fléchts eene verkorte bewerking zijn, van het geen men anders door behulp deefer régelen zou kunnen uitvoeren. 1 62. III. Om aan te duiden, dat twee getallen van elkander moeten afgetrokken worden , gebruikt men dit teken (—) Minus of Min genoemd, het welk tusfchen fwee getallen geplaatst zijnde. te k'.nnen geef .;, dat het tweede van het eerfte moet afgetrokken worden.- Dus 8—5 — 3, leest men; 8 min 5 is gelijk 3, ea wil zeggen , dat 5 \nu 8 afgetrokken. 3 zal overblijven. 5 63. IV. Eindelijk verdient opgemerkt te worden, dat in elke Subtractie het verfchil bij het kleinfte getal opgeteld zijnde, het grootfte der twee getallen voortkomt, zo dat als 16-9 = 7 is, 7 + 9 izr: 16 zal zijn. en 5820 — 3 87 ~z 2033 zijnde, zal 2033 + 37S7 — 582b zijn. ook is 790003 — 212185= 577818 bo. ven gevouden § 56. daarom 577818 + 212185 = 790C03. Ook is het duidelijk te zien , dat indien men het  I. Boek. L Hoofd. III. Les. Over de Subtratlie. 37 hét verfchil van het grootfte getal aftrekt, het Kleinfte moet overblijven. dat is ais 17—8 = 9 is; zal ook 17 — 9 =r g zijn: en 216 - 117 = 99 zijnde, is ook 216 — 99 ==2 1 ï7« VI. Nadere befehouwing van de overéénkomst der Additie en Subtratlie met elkander en van de proef kundige zékerheid y die wij daar uit voor de bewerking van beide régels trekken. § 64. Dit betoog legt nu den grond , tot de proef van de Subtractie.',, Door proef verft aat „ men eene omgekeerde bewerking , waar uit „ blijkt, dat men wel gewerkt, dat is te zeg' „ gen , in den loop der bewerking geen fouten „ gemaakt heeft f Daarom moet men zich nooit verbeelden , dat dc proef een bewijs van de gegrondheid der bewerking is , zo als bij zommi* gen verkeerdelijk begreepen wordt, (a) § 65, (a) Dèwijl elke proef eefletégengeftelde bewerking is, waar do.)--uit het geiofte en du gevondene getal, wederom één van de ge$eeve:e getallen te «dbcjfchijn komt, moet volgen , dat indien men op eenen verkeerden Stond of uit eene valfche onderfteüing gewerkt heeft , de weiRHig als werking wel goed kan zijn en proet houden; maar dat évenwei her gevondene getal, dat niet is , het geen het uit den aart der zaak zou moe-ten zijn. Aangezien het in dit geval niet meer is , als eene Helling op eene valfche vooriinderftelling r.ebouwd, welke volgends de régelen van eene gezonde F.édenkunst, noodzaakeiijk onwaar moet zijn. Mogelijk zal 'er naderhand gelégenlieid zijn , osn de waarheid hier van hij proeven aan te toonen.  38 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. § 65. Dewijl nu in de SubftradHe, het verfchil bij het kleinfte getal opgeteld zijnde, het grootfte voortbrengt, zal het daar uit blijken, of men wel gewérkt heeft , indien men het verfchil bij het kleinfte getal tellende, de fom met het grootfte overéénkomt; dit zal best verftaan worden, door een voorbeeld, dat wel en verkeerd gewerkt is in beide bewerkingen op de proef te brengen. * Verkeerd gewerkt. Wel gewerkt, van 37856072 van 37856072 grootfte trek 19037419 trek 19037419 kleinfte rest 17809573 rest 18818653 verfchil. proef. 36847092 proef 3785C072 komt niet over- komt overéén, derhal- één, derhalven ren wél gewerkt, verkeerd gewerkt. Ook kan de Subtraaie beproeft worden als men het gevondene verfchil van het bovenfte getal aftrekt; want als men wel gewerkt heeft, moet 'er als dan het kleinfte overblijven. § 63. De leefer zie dit in het onderftaande voorbeeld. Verkeerd gewerkt. Wel gewerkt. 3782762 3782762 i£992i? 1299219 *384t53 2483543 Verfchil. 1398609 1299219 Komt niet over- Komt overéén met het één met het kleinftegetal, endaar. kleinfte getal, en om wél gewerkt, daarom ve rkeerd gewerkt. § ^  I.Boek. I. Hoofd. I. Les. Ovcïdc SubtraBie. 39 % 66. Even zo als de proef van de Subtractie door de Additie wordt opgemaakt, wordt de bewerking van de Additie, omgekeerd, door de Subtractie ter toetfe gebregt. Eehalven de uitwerping van de négens, waarvan wij in het II Boek zullen fpreeken, is op de fchoolen de volgende proef zeer in gebruik. 375S 3907 34«5 7956 iyio6 de fom van alle vier de getallen. 15348 de fom der drie laatilen. 3758 verfchil van deefe fommen. De bovenftsande vier getallen opgeteld en voor de fom 19:06 gevonden hebbende, laat men het bovenfte (of ook wel een ander) getal weg, en telt de drie overigen te zamen op , deefe fom bevindt men 15348 te zijn, indien sren dan deefe laatfte fom van de gevondene fem aftrekt, en voor het verfchil het weggelaatene getal 3758 vindt, men zéker, wel gewerkt te hebben. Men zou ook elk der getallen, het één na het ander, van de gevondene fom kunnen aftrekken , en dan zou 'er eindelijk niets meer moeten overblijven. § 67. Doch zo men eene proef begeert, die eene volftrekt tégengeftelde bewerking ge^ït, hoedanig eigenlijk eene proef moet ingericht zijn, C 4 CS 64)  4P GR0NDBE3. der CIJFFERKUNST. C§ 6» gaat men , (de bovengaande bewerkte fom tot een voorbeeld neemende,) aldus te werk. Men neemt de 79 duizenden uit de fom en trekt 'er alle de duizenden in de opgetelde getallen te vinden , één voor één van af: aldus; 7 van 19 is 12 ; 3 van 12 is 9 ; 3 van 9 is 6; en 3 van 6 is 3 duizenden, die overblijven. Hier de volgende i honderd in de fom ftaande bijgevoegd, komt qr honderden; hier van neem ik alle de honderden der opgetelde getallen af, op deefe wijfe 9 van 31 is 22,- 4 van 22 is 18 j 9 van 18 is 9 ,• en 7 van 9 is 2 honderden, hier bij de volgende o bJijfc 20-- tienen. Nu wederom 5 van 20 is 15 ; 8 van 15 is 7; 5 van 7 is 2 tienen, waar bij de laatfle 6 voegende komt 26; nu eindelijk 6 van 2.6 is 20 ; 5 van 20 is 15; 7 van 15 is 8; en 8 van 8 is niets. Du bewijst nu dat 'er in de optelling geen misdagen zijn. j IV. Les. O) De proeven van de Additie en Subtractie, die Wij opgegeeven hebben, kunnen ook dienen, om de abuifen, die in hét rekenen begaan mogten zijn, te herirelien , het geen ce leefer uit de befchouwing van het bover.itr.ande, zal kannen nagaan. Wij moeten, om «et té iaty te zijn , dit alles ftilzwijoend voorbij-  I.BoehL Hoofd. IV. Les. Over de Mithiplicaüe. 41 JV. Les. Over ■ de Multiplicatie. of Verin énigviildiging. J. JVat de Multiplicatie is. § 68. f) TT^OOr Ml'I-TIPLICATIE of VïRMéWJGVtiLBIi _|__/ „ ging ver/laat men , te bepaalen, wat „ getal 'er komt, als men eenig getal 23, twee ,, vier, zes of in het algemeen eenige maaien „ bij elkander neemt; en een getal 17 met 4 „ te verménigvuldigen, zegt te vinden, wat ge „ tal het .maaken zal, indien 17 viermaal bij. „ elkander genomen wordt?' § 69. Be Additie en Mul'iplicatie komen hier in overéén, dat door de eerfte de fom van eenige ongelijke getallen 3, 7, 9 en 17; en door de laatfte, die van eenige gelijke getallen 17 + 17 + 17 + 17 ^gevonden wordt. § 70. Als men dus het getal 23 met 17 moet verménigvuldigen, zal men de uitkomst verkrijgen, door 23 zéventienmaal, onder elkander te zetten, en deefe zéventien gelijke getallen op te tellen: dewijl nu foorrgelijke bewerKingen, door den régel van Multiplicatie veel korter en fpoediger uit. gevoerd worden, zegt men; De Multiplicatie is 'eene verkorte en behendige Additie van gelijke getallen. § 71 Bij elke Multiplicatie komen twee getalC s len  42 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Ien voor, die men gegeevens noemt ; namelijk, 1° het getal dat verm énig vul digd wordt en daar. Om VERMéNIGVUEDIGTAL of MuLTIPLI- candum genoemd wordt; a° het getal waar door of waar méde .men verménigvuldigt, aanwijfende hoe mémgmaal het verménigvuldigtal tot zich zelve moet geteld worden; dit noemt men vermónig- VULDIGER Of MuLTIPLICATOR , ook ZOU men het gevoeglijk aan wijs er der multiplicatie kunnen noemen. («) De uitkomst van eene multiplicatie heet altijd Product of Beloop. Als 36 met 3 verménigvuldigd wordt, komt er 108 ; nu is 36 het verménigvuldigtal, 3 de verménigvuldiger of de aanwïjfer van de multiplicatie, en 108 het produel of beloop. II. De (a) De verménigvuldiger is nooit een getal, dat in aen zin van verménigvuldigen , eenige grootheid aanwijst, gelijk het vermenigvuldigtal zodanig een zijn kan, maar het moet altoos aangemerkt worden als een aanwïjfer , een getal namelijk, dat te kennen geeft, hoe menigmaal het voorgeftelde verménigvuldigtal bi» eikander Tnoet genomen woiden. Men moet zich derhalven nooit gewennen te zeggen : puldens met guldens , ponden met ellen te 'multipliceeren; want zulks i« eene zeer verkeerde uitdrukking, ftrijdig met den aart van de multiplicatie; en z« men die uitdrukking bij wijfe van verkorting al mogt gebruiken, moet men den waaren zin van het woord multipliceeren daar bij niet uit -het oog verliefen. Den zin der kunstwoorden niet te verftaan., verkeerde uitdrukkingen te gebruiken, is eene" der grootfte oorzaaken , waarom veele de réden van hunne bewerkingen niet doorzien, en de régels naar de voorkomende omftandighedea niet weeten toe t© pa&ferj.  LBoekJ.Hoofd.IV.Les. OverdeMultiplicatie. 43 II. De toegang tot de bewerking der Multiplicatie. § 72. De Multiplicatie moet éven gelijk alle andere bewerkingen , ftukswijze volbragt worden; het is daarom nodig, dar men de producten weet te vinden , uit c.e verménigvuldiging |van twee getallen, benéden de 10 zijnde, ontffaande ; daar toe dient nu een tafel gemaakt te worden , waar in alle deefe produclen voorkomen , en zodanig als hier vol^c. Tafel van oe vermcnigvuldiging der getallen. 2X 2= X 2X 3= 6 2X 4= 8 £X 5=IO 2X 6^12 2X 7—H 2X 8-16 2X 9--r3 5X 2=:ïO 5>< 3=^5 <;X 4—20 5X 5=25 5X 6— "yO 5X 7=h 5X 8=4° 5X 9=45 5X10-50 3X 2— 6 3X 3= 9 qX 4=12 ?X 5 -15 ?X ö=i8 3X 7=21 ?X 8=24 3X 9-27 3X10=30 6X 2r 12 6X 3-18 6X 4=24 6X 5=30 6X 6=36 6X 7=42 6X 8-48 cX 9=54 6X Io^éo ^X 2= 8 4X 3=12 4X 4=16 4X 5=0.0 4X 6-24 4X 7=28 4X 8=32 4X 9-36 4X10 = 40 7X 2ri4 7X 3"= 41 7X 4=28 7X 5=35 7X 6=42 7X 7-49 7X 8=56 7X 9=63 7X10 = 70 8X 2=16  44 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 8X 2-x6 8X 3=24 8X 4=22 SX 5.-40 8X 6=48 8X 7-56 8X 8 = 64 8X 91:72 8X10-80 9X 2=18 9X 3 = 27 QX 4=36 9x 5=45 9X 0=54 9x 7=63 9X 8=72 9X 9-81 9X10=90 jox 2= 20 i°x 3= 3° iox 4= 40 iox 5= 5° icx 6= 60 *°X 7- 7o ïox 8= 80 iox 9= 90 icx?o= 100 § 73. Omtrent deefe tafel is op te merken; i° Dat 2x2=: 4 geleefèn wordt 2 maal 2 is 4; dat is 2 gemultipliceerd met 2 maakt 4 enz. 2* Dat alle de producten der cijffers , hoe zij ook voorkomen , in de zelve te vinden zijn 30 Dat 1 met een getal als 5, of 1 door een getal 5 gemultipliceerd , dat zelfde getal c tot product heeft, 42 Dat o niets, geene waarde betékenende, ook in de verménigvuldiging, voor niets gwékend wordt; zo dat o met eehig om aan te wij fen dat twee getallen, tusfchen welke dit téken ftaat, met elkander vermenigvuldigd moeten worden; dus betékent 15 x 6 ~ 90; dat 15 met 6 verménigvuldigd zijnde, 90 voordbrengt,  /. Boek. 1. Hoofd. W. Les. Over de Multiplicatie. 59. brengt. In § 84. is gevonden dat 4308 X 3°74 3 13242792 is. Zomtijds zijn drie of meer getallen door het téken van multiplicatie aan elkander verbonden: gelijk 3X4X5- 60; 7X 2X3X5= en dat wil dan zeggen , dat 3 met 4, en dat komende product nog met 5 moet gemultipliceerd worden; dat 7 met 2, het product met 3, djlt komende nog eens met 5 vermenigvuldigd, eindelijk 210 voordbrengt. V. Les. Vervolg van de Multiplicatie — nadere aanmerkingen — en opgaave van eenige verkorte werkmanieren. § 9>- Alles wat in de voorgaande les voorgedraagen is, is voldoende om alle gerallen- met elkander te verménigvuldigen, deefe les behelst al. leen eene nadere befchouwing van de zaak , benévens eenige verkortende kunstgreepen, die men in veele voorkomende, gevallen met vrugt gebruiken kan. t a\ l. Ver- (a) De leefer, die nooit voor dat hij dit Werk in handen kreeg, iets van het cijfleren geleerd hadt, kan bij de eerfte' leefing van dit Hoofddeel deefe Les oyer. flaan en tot de herhaalde leefing uitftellen.  6o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. I. 'Verménigvuldiger en verménigvuldigtal kunnen met elkander verwisfeld ■worden- § 92. Als twee getallen met elkander verménigvuldigd zijnde , een product geeven , zal dit product het zelfde zijn , welk van de twee ver. ménigvuldigende getallen , tot verménigvuldiger aangenomen is. Bij voorbeeld 327 verménigvuldigd met 513, zal het zelfde product geeven, als of men 513 met 327 verménigvuldigd hadt. Uit de onderftaande bewerking zal dit nog duidelijker blijken, A 3*7 B 513 C 327 5*3 327 513 981 359» 359i 327 1026 1026 1635 1539 1539 167751 167751 16775» Zo dat 327 X 513 = 513 X 327 - 167751 Doch men moet hier bij onder het oog houden» dat deefe Helling alleen waar is voor de getallen» als getallen op zich zelve befchouwd zijnde; maar nooit voor getallen als zij grootheden uitdrukken , — gelijk op zijn plaats nader zal aangeweefen worden, § 93. Ook blijkt nog uit het gezegde dat deefe onderftaande uitdrukkingen , gelijkwaardig zijn. 2X3 ■  I. Boek.I.Hoofd. V. Les. Vervolg van deMultipl. 61 2X3X4X5-1*0 2X4X3X5 - I2 2X5X3X4 = i2o «, V4X-X5 — 120 en nog onder veel rr.eer veranderingen die men in de fchikking der factors brengen kan. fi 91. Nog volgt uit deefen ftelrégel,' zie bo. ven bet voorbeeld, letter C dat men m het multipliceeren, de getallen onder elkander geKeven hebbende, het bovenfte getal tot verménigvuldiger kan doen dienen. Dit is iets , waar in de^leerling zich met vrucht kan oefiêoed. Ook kan door zulk eene omgekeerde wijfe van werken, de multiplicatie ^mge^i» wt een proef van de multiplicatie verftrekken door namelijk eerst het eene en dan, het andere van de twee gegeevene getallen tot verménigvuldiger» te ftelenf egn de multiplicatie in beide die ftelhngen uittewerken, gelijk boven m J« den A en b te zien is. Iets deigelijks öceic voor de Additie plaats- Zie § 44«; II. Het komt op het zelfde uit met welk lid van den verménigvuldiger eerst gewerkt wordt' S os In een multiplicatie moet het verménigvuldigtal door elke letter van den vermenigvuldiger lemu tipiiceerd worden § 8i. en wij zijn Sier ia van de éénen tot de tienen , van de tie. „en tot de honderden, van de honderden tot duizenden overgegaan; doch zulks is met volrtrekt  6*2 GRONDBEG. der CIJFFERKüNST. noodzaakelijk: maar aleen toe gemak der eersteeginners aldus opgegeeven: men kan met zulk een Jid van den verménigvvldiger beginnen te werken als men goedvindt, mits in het verménigvuldi^n ónder het oog houdende, het geen in het vierde hd van den algemeenen régel § 84. gezegd is — en door de onderftaande lchets verder op°ehel. derd wordt, (a) A (a) Deefe befchouwing geldt ook ten aanzien van de Additie — dit zeiden wij reeds in de II Les « 45 • maar wij hebben het aldaar door geen voorbeelden op! gehelderd , om dat wij het voor deefe noot wilden bewaaren,, om den leerling te doen opmerken, hoe hier in de additie en de multiplicatie met elkander overéénItemmen. De fchets in de onderltaande voorbeelden i« genoeg tot verftand van het aldaar gezegde A B C D 3725 372S 3725 3725 53B2 538a 5384 5382 7096 7090 7eS5 7096 3456 3456 3456* 3456" j>J92 2392 2392 2391 21 2COO0 1700 3J0 33o 17CO 20000 20CO0 1700 330 21 1700 20000 21 330 21 22051 22051 22051 12051 In de bewerking A , zijn als naar gewoonte, eerst de eenen, toen de tientn, honderden en duizenden opgeteld, en deefe fommen te zamen gevoegd. In de bewerking B, eerst de duizenden, toen de honderden , tienen en enkelden. Inde bewerking C, de honderden, de duizenden, oe eenen en tienen in order. Eindelijk in de bewerking D, de tfenen , duizenden «onderden en eenen in order. ïn  Ï.Boeh. t.Hoofd. V. Les. Vervolg van deMültipl. 6*3 A B C D 327 3^7 3^7 513 513 5i3 _£i3 Sa7 327 3a7 i539 327 1635 9Si 359i c,8r 981 1635 io;!6 167751 lé?75i 167751 167751 In de bewerking A heeft men eerst met de 5 honderden, toen met eene tien en dan met 3 éénen gemultipliceerd. _ In de bewrking B eerst met de tienen , toen met de honderden en eindelijk met de éénen. In de bewerking C eerst met de tienen toen met de éénen en daar na met de honderden. In de bewerking O, heeft men eerst met honderden, daarna met de éénen en eindelijk met de tienen gewerkt. , , . . , 1. Wij beveelen den leerling, dat hij zich hier in oeffene; want het kan hem van veel nut zijn , gelijk in het volgende van deefe les blijken zal. (a) gL In elke bewerking 2ijn de {ommen der éénen , tienen honderden en duizenden, in eene fom bij e kan der genomen, het welk de geheele fom der getallen geeven moet  /. Boek. Ti Hoofd. V. Les. Vervolg van de Multipl. 69 IV. Verkortingen , die plaats kunnen heb' ben , als z mmige léden van den verménigvuldiger, veelvouden van een ander lid zijn. § 100. Nog eene tweede kunstgreep kan tot verkorting der multiplicatie in veele gevallen dienen , als namelijk een zeker deel van den vermenigvuldiger , uit de vermenigvuldiging van eenig ander deel van het zelve , met een ander getal ontftaat, het welk zich béter door de daadeiijke oplosiing van eenige voorbeelden, dan door veele woorden zal laaten ophelderen. I Voopjseeld. Wij ftellen dan in de eerfte plaats dat 376 met 518 inoet vermenigvuldigd worden. — Hier laat zich de verménigvuldiger in twee deelen 560 of 56 tienen en 8 ontleed?n; het eerfte deel 50 ontftaat uit de verménigvuidiging van het tweede deel 8 met een ander getal 7, daarom werkt men bij verkotting aldus. ' 736 , 5888 ~ 7^6 X 8 41216 —'736 X 8 X 7 = 73ö X 56 418048 product. Men verménigvuldigt namelijk eerst met de 8 éénen en krijgt tot product 5«88 ; nu moet nog mét de 56 tienen ' j/emultij liceerd worden ; maai aangezien 56 zz 7 X 8 en 5888 ~ 736 X 8i verménigvuldigd men 5888 met 7 en verkrijgt E 3 412:6»  70 GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. 41216, dat nu volgends ftelrégel II. § 80. het product is van 736 met 56 verménigvuldigd, welk produót om dat de 56 tienen zijn , in de plaats der tienen ftaan moet: als men nu de twee gevondene producten optelt, heeft men het geheele product 418048 zz 736 X 8 + 736 X 8 X 70. II. Voorbeeld. Als men 37023 met 789113 moet verménigvuldigen . kan men, om dat 91 ' ZZ 7 X 1$ en 78 ZZ 6 X 13 is, de bewerking in deefer voegen inrichten. 37°23 7891/3 481299 =37023X13 3369093- =37023Xr3X7 =481299X 7. t88?79» =37°23X 13X6 = 481209X 6. 2?z1S3icS99 produel;, In welke bewerking eerst met 13 is verménig. vuldigd geworden, en bevonden 37023 X 13 = 481299 ? nu dit product eerst met 7 en daar na met 6 vermenigvuldigd , heeft men 37023 X 13 X 7 ~ 4'- 299 X 7 ™ 37023 X 91 ZZ 336909 , die honderden zijn, 6n 3;023 X r3 Xo 1-481299 X 6=37013X91 =2887794, d en 497 ~ 490 + 7. In het tweede eerst met 8 , komt A ; de A eerst met 9 en dan met 12, komt 6 en C; want 96728 zz 8 + 720 + 9600c, en 72 =8X9 en 96 zz 8 X 12. In het derde eerst met 7, komt A; de A eerst met 6 en daar na met 13, komt B en C; want 91427 =74- 420 + 91000 ; en 42 ZZ 6 X 7 en 91 ZZ 7 X 13- In het vierde vermenigvuldigt men eerst met 2, komt A ; deefe A met 8 komt B ; eindelijk deefe B eerst met 9 en dan met 5, komt C en D: want 80144162 ZZ a + 160 + 144000 + 8000000;.; en 16 ='2 X 8; 144 ~ 16 X 9 en 80 zz 16 X 5- Ook zou men om dit laatfte te verkrijgen A met 4 hebben kuuien vermenigvuldigen. In het vijfde multipliceert men eerst met 3 , komt A; deeie A met 4, komt B , deefe ö eindelijk met 8. Want 312096 zz 3 X iooooq + 12 X 1000 + 96 en 12 zz 3 X 4 en 96 ZZ 12 X 8. In het zesde met 7 komt A ; deefe A eerst met ? j en daar na. met 8 komt B en C; wani E 4 $6749  7s GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 56749 ~ 56 X 1000 + 7 X ICO 4- 49 ; ook is 7 X 7 - 49 en 7 X 8 zi56. In het zévende eerst met 7, komt A, dan met 12 komt B. — daar na de A met 8 komt C, de B met 2 komt 24; want 7125624 ~ 7 X ioqocoo + 12 X 10000 + 56 X 100 + a4> en 56 :r 7 X 8 en 24 z; 1 _ x 2. Dit gegeeven onderricht kan den leerling helpen — en hij heeft in de bewerking alleen maar voorzichtig te zijn , de komende producten zo onder elkander te plaatfen , als in $ 88. betoogd is. V. Verkortingen die plaats kunnén heb. ben , door zamenvoeging en fcheiding van de léden des verménigvuldigers. § 102. Het zou onmoogelijk zijn , alle de kunstgreepen op te tellen , die in voorkomende gevallen kunnen gebruikt worden ; het geen wij nu nog zullen voordraagen, oordeelen wij voor deefè beginfelen genoeg te zijn. § 103. Als in den verménigvuldiger een 1 voorkomt , zal men de werking verkorten , als men den verménigvuldiger niet onder het verménigvul. digtal maar névens het zelve fchrijft, het welk in de meeste gevallen , veel gemak zal geeven , waarom wij deefe werkmanier onfer leeferen kunnen aanra.aden. Wij hebben hier van de twee onderftaande voorbeelden bijgevoegd.  /. Boek, I. Hoofd. V. Les. Vervolg van de Multipl. 73 Np. 1. 301a met 317 NV». 4793 met 143 21084 1^l72 9036 H.79 954804 product. 685399 prod. In bet eerite deefer voorbeelden , beeft men eerst met 7 en toen met 3 gewerkt, het eerde product heeft men onder het vermenigvuldigtal in diervoegen gelcbreven , dat de ecrlle letter eene plaats agter uit komt en de eerde letter van het tweede product eene plaats vooruit, door welke fchikking in de bewerking de 3012 in den rang der tienen komt. in het tweede heeft men eerst met 4 en daar na met de drie gewerkt en elk product eene plaats agter uit gefteld, waar door de 4793 in ^e optelling de waardij van honder. den verkrijgt , welke waarde het ook hebben moet, volgends § 88. § 104. Ook kan men dikwijls de bewerking verkorten, door de léden des verménigvuldigers zamen te voegen, gelijk in de vier volgende voor. beelden tc zien is. • N°. 1.) 38257 met 578 306 :,6 2I42392 221 lij jó product. N° 2.) 46297 met 36 3 4 C673 1666692 167348843 product. E 5' Nf. 3.  74 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 30 J8273 met «3167 4079H 932368 1340279 1350c 10591 product. Np. 4.) 903203 met 173453 30709072 46063608 1566632-4016 produel:. In het eerfte van de bovenftaande voorbeelden, heeft men eerst met 8 verménigvuldigd — en dit product ééne letter agter uit gezet, verder heeft men dit komende product 30605 met 7 verménigvuldigd en het product daar uit voord'komende, was 28257X 56 =28257 X 8 X 7; dit product is met het bovenfte getal 38257 ih de plaats der tienen gefteld; als nu deefe bovenfte producten met het bovenfte getal opgeteld worden is de fom "560 X 38257 + 10 X 38257 + 8 X 38257 = (560 + Jo + 8; X 38257- ~ 38257 X 578. In het tweede voorbeeld heeft men eerst met 9 verménigvuldigd en het product aldus onder het verménigvuldigtal gefchreeven, dat de eerfte letter daar van in de plaats der tienen komt , voords heeft men het komende product met 4 verménigvuldigd en het zelve onder het voorgaande in de plaats der honderden gezet. — en daarna alles opgeteld , welke fom gelijk is aan 46297 X 10 + 46297 X 9 + 46197 X 9 X 400 = 46297 X 3619. Een andere kunstgreep heeft men in het derde voor-  I. Boek I. Hoofd. V* Les. Vervolg van de Multipl. 7 J voorbeejd gebruikt, in het zelve heeft men eerst met 7 toen met 16 verménigvuldigd, en de producten op hun behoorlijke plaats gefield. — en om met 23 te' verménigvuldigen , heeft men de voorgaande producten opgeteld, (niet zo als zij onder elkander gefchreeven ftaan, maar zo als zij onder elkander gefchreeven zouden worden, als men het 7 en 16 voud moest optellen,) waar door men 16 maal + 7 maal dat is 23 maal 58273 verkreegen heeft, het welk in:de plaats der duizenden gefteld , om dat de 23 duizenden zijn, en bij de voorgaande producten opgeteld , het geheele product zullen geeven. In het laatfte beeft men het ..verménigvuldigtal in de plaats der éénen laaten ftaan , vooras met de 17 tienduizenden verménigvuldigd , en het product in de plaats der tienduizenden gefield, het gevondene product eerst met 2 toen met 3 verménigvuldigd, waar voor men 30709072 en 46063608 verkreegen heeft, waar van men het eerfte in de plaats der honderden en het tweede in de plaats der enkelden gefteld, en deefe pro. ducten met de voorgaande opgeteld hebbende , de fom = is aan 903208 X 1 -f- 903208 X 170000 4- 903208 X 17 X 2co + 903208 X 51 =903208 X 173452. Men hadt in het laatfte voorbeeld ook dus kunnen werken, namelijk , na het eerfte produet 9032c8 X 17 met 2 gemultipliceerd te hebben, dit nog met drie multipliceeren ; het verménigvuldigtal bij tellen op deefe wijfe 3 X 6 is 18; 18 en 8 is 26, 6 ik houd 2 : 3 X 3 is 9; 9 en 2 is 11; 11 en o is 11, 1 ik houd 1:3X5 is 15; 15 en 1 en 2 is 18 enz. waar door men .vindt het beloop van 903208 met 52 ver. mé-  76 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. ménigvuldigd, aangemerkt 3 X 17 4. 1 — 52 is. § 105. Indien men zich eenmaal gewend heeft, om onder het multipliceeren, bij het komende product een getal te tellen, zal men een groote vaerdigheid in het multipliceeren kunnen verkrijgen; men zal bij voorbeeld in eens af met 21, 31, 41, 51, 61, 71, 8i, 91, 101. 111. 112. 121. 131 enz. kunnen multipliceeren, als ook met de getallen 102. 103. 104. 105. 106. 107 enz. gelijk hier door eenige voorbeelden getoond wordt. N0. i.) 3208 met 51 163608 N?. 2.9 30725 met 112 344*200 No. 3.) 5828 met 121 705188 5 106. Niet alleen kan men dit voordeel door deefe bewerking verkrijgen ; maar nog ontelbaare andere Ipruiten hier uit voord. Bij voorbeeld als ik met 2316 moet verménigvuldigen , multi* pliceert ik eerst met 16 , dit product noem ik A, voords trek ik 16 van 23 blijft 7: met deeie 7 verménigvuidig ik het verménigvuldigtal, en tel onder het multipliceeren het product A bij het komende, en dan is het klaar 7 maal ■+> 16 maal  I Boek.I.Hoofd. V.Lts. VcryolgvandsMultipl 77 maal, dat is 23 maal het verménigvuldigtal zal hebben , het welk, om dat het honderden zijn , in de plaats der honderden gezet wordt. Laat nop- eens gefteld worden, dat men eenig getal 670X1252 met 95837» 12 moet verménigvuldieen • dan multipliceert men eerst met 12 , dit product noemt men A ; het product A met 6, komt zo veel als met 72 te verménigvuldigen: dit product noemt men B. Nu zegt men 71 van 83 is 11; daarom multipliceert men met 11, en telt onder het mulnpliceeren het product B daar bij , dit komende noemt men C ; eindelijk, om dat 83 + 12 = 95 is telt men de produc ten A en C te zamen, dan is daar door de multiplicatie met 95 volbragt. Men zal dit alles met de bewerking der onderftaande voorbeelden vergelijkende, volkomen verftaan. N?- lO 53*8 2316 8524S 1*2544 12339648 No. 2.) 67081*5* 95837212 804975024 4829850144 55677439*6 6372718940 6428880169149424 product. § 107.  78 GRONDBEG. dek CIJFFERKUNST. § 107. Men kan ook zeer dikwijls de mulei, plicatie verkorten, door de léden des verménigvuldigcrs te fcheiden of zodanig te verdeden dat deszelfs eene deel een veelvoud worde van het andere. Dit zullen wij hier nog met weinig woorden uitleggen. Indien men een getal met 976 moet verménigvuldigen, zou men eerst met 16 éénen en dan met 96 tienen kunnen multipliceeren : want 976 = 960 + 16. Als men met 6587 verménigvuldigen moet, kan men, om dat 6587 zz 7 4- 280 + 63=0, eerst met 7, dit komende product eerst met 4 en daar na met 9 verménigvuldigen. De leefer zal dit alles wederom in de onderftaande bewerkingen opgehelderd vinden. N?. r.) 57I2 No. 2.) 925S N°. 3.) 80253 _ 97^ 6587 97216 91392 64806 1284048 548352 259224 953036 ' 583254 7704288 5574912 — — 60982446 7801875648 De volgende voorbeelden zijn hier tot oeffehing bijgevoegd l° 3217 x 4968 ZZ 15982056 20 45038 x 14648 ~ 659716624. 3° 308^21 x 1767198 ZZ 545217694158 4° 170021 x J7279 =-3093303859 VI. Bij-  I. Boek. I. Hoofd. f. Les. Vervolg van de Multipl. 79 VI. Bijzondere kunstgreep omtrent het muU tipliceeren van getallen, die weinig minder dan 10. 100. 1000. iooco. enz- zijn. c 108. Eindelijk zal ik hier nog bijvoegen , hoe men mee 9 en de getallen , die weinig minder dan ïoo, jooo, 100:0 enz. verfchillen, gelijk de getallen van 80 tot 99 van 980 tot 999, van 9980 tot 9999 enz, verménigvuldigen kan. I. Dewijl 9 ZZ 10— 1 is, zal men een getal als 37824 met 9 verménigvuldigen, door 'er een o agter te fchrijven, waar door het tienmaal grooter wordt (I ftelrégel § 78) — en van dit tienvoud het getal zelve aftetrekken, zo als hier te zien is. 378240 zz 37824 * i° (§ 78.) hier af 37824 ZZ 37824 x 1 (,§ 730 blijft 340416 ZZ S7 824 X 9 het product. Deefen régel weetende, trekt men in het ver. ménigvuldigtal de agterfte letter van o of 10, en dan van agter naar vooren voordgaande elke voorgaande van zijn volgende cijffer : op deefe wijfe, 4 van 10 is 6; 2 van 3 is 1: 8 van 12 is 4: 7 van 7 is o: enz. door welke werking te volgen, agter het getal geen o behoeft gezet te worden en men de uitkomst van letter tot letter kan affchrijven. II. Voords , om dat de 99 zz 100 - I; 9999 zz 10000 —• 1 is, kan men door eene eenvouwige aftrekking, het product vinden van een getal, met een van deefe getallen verménigvuldigd,  go GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. digd, gelijk wederom uit de drie onderftaande voorbeelden kan gezien worden. i° Om 3785 met 99 te verménigvuldigen. : 78500 ZZ 3785 x 100 af 3785.p 3785 x 1 komt 374715 ~ 3785 x 99. 40 Om 5837 met 999 te verménigvuldigen. 5837000 zz 5*37 x 1000. af 5837 ZZ 5837 x 1 komt 5831163 ZZ 5837 x 999. 30 Om 38^53 met 9999 te verménigvuldigen. 3825^0000 rr 38^53 X 10000 af 38253 2 3<ó253 X 1 komt 38 491747 ZZ 38253 x 9999- II f. En als de getallen, waar méde men ver* ménigvuldigt van 1 tot 20 van 100, 1000, 10000 enz. verlchillen , is het ook niet mueijuijk , om door ééne multiplicatie en ééne fubtractie het product te vinden, zo als uit de hier bijgevoegde voorbeelden met derzelver verklaaring, duidelijk te zien is. 10, Om 385 met 97 te verménigvuldigen. Hier is 97 zz 100—3; daarom zal 385 x 97 zz 385 X 100 ~ 285 X 3 zijn38500 zz 385 x ^oo Sf "55 zz 385 X 3 hhjft 37345 ~ 385 X 97- 22  I. Boek. I. Hoofd. V. Les. Vervolg van de Multipl. 8 r 2° Men begeert 3752 met 993 te verménigvuldigen. In dit voorbeeid is 993 53 1000—7; daarom 375a X 993 =375* X " 3752 X 73752000 s 3752 X icoo af 26264 « 3752 X_7 komt 3725736 = 3752 X 99 3 30 Laat gefield, worden, 37856 met 9984 te •erménigvuldigen. Hier is 9984 ZZ 10000—16; iaarom 37856 X 99^4 ~ 37856 X 100000— 7856 X 16. 378560000 zz 37856 X ioooco af 605696 ZZ 37856 X 16 blijft 377954304 ZZ 37856 X 9984. Men zal deefe bewerkingen veel kunnen verorten, als men agter het verménigvuldigtal zo eele 000 zet als 'er cijffers [zijn , in het getal vaar mede men verménigvuldigt , daar na het iroduct zoekt van het verménigvuldigtal met het sanvulfel tot 100, 1000 enz. — en dit product van het eerfte aftrekt. — Vooral zal dit werk nog fpoediger kunnen uit. gevoerd worden, wanneer men onder het verménigvuldigen te gelijk kan aftrekken , waar over wij in de Vil Les omflandig zullen fpreeken, en daarom deefe omftandigheid tot die plaats bewaaren. IV. Deefe kunstgreep kan ook van veel nut zijn, als men groote getallen moet verménigvuldigen — en eenige léden des verménigvuldigers weinig minder dan 100, 1000, 10000 zijn. enz. ; Want dan zal men met deefe léden ia F eene  Ï2 GRONDBEG. na*. CIJFFERKUNST. eens af kunnen multipliceeren, en daar door het werk zeer bekorten.. Wij hebben hier van twee voorbeclien, i? om 37032 met 98713 te ver. ménigvuldiien en het 2° om het product te vinden van 320726 met 9829512 verménigvuldigd. 3708a. 320726 98713 9^295T2 482066 3848712 36599934 30468970 — Zc 3'495 293 2 3660475466 31525S0065712 VII. Aanmerking op deefe Les. § 109. Wij hebben in de voorgaande befchon* wingen, de voornaamile kunstgreepen voorgedraa* gen, waar van men zich in het multipliceeren bedienen kan - om de bewerkingen te verkorten of ten minsten cierlijker uit te voeren : veele andere ömltandigheden, die van minder gewigt zijn, en boven dien uit . het reeds gezegde gemaklijk opgemaakt kunnen worden , zijn wij ililzwijgende voorbijgegaan, (a) Niemand verbeelde zich nu, dat de beöeffening van deefe kunstgree. greepen te moeijelijk zij ; in tegendeel vorderen zij flechts een weinig oplettenheid , om dezelve éven gemakkelijk als den gewoonen régel van mul. (») Nog" veele andere kunstgreepen kan men in het vermenigvuldigen der getallen gebruiken — wij zullen *èr bier nog eenige van opnoemen, i? In-  1. Èoek: I. Hoofd. V. Les. Vervolg van de Multipl. 83 multiplicatie te verlraan en uit te voeren : wij kunnen onfen leeferen verzéker«n, dat het leefen dee- 10 Indien men met 5 moet multipliceeren, kan me» aeter het getal een o voegen , waar door het met 10 vermenigvuldigd Is — en dan de helft ven het tienvou* dice deeles getals neemen. i, Om 35892 en 17351 elk met 5 te multipliceeren/' N I) 35801° N i) '735.0 ^ « 179160 86755 Met 25 kan men multipliceeren, indien men vat! her honderdvoudige des getals, dat te verménigvuldigen is, een vieide deel neemt. Zoo vermenigvuldigt med de getallen 3789 en 1728 op deefe wijs met 25. N 1) 3789x0' 'N i) 1728.0 j * 94725 43*00. De réden is om dat 25 een vierde deel is van ioo, Of 4 X 25 " >°° ÏS- , .,. u 30 Indien men met 75 wil vevménirvuldigen , telt men. om dat 75 = SO + »5 isttej^ en een vieide van het honderdvoudige des getals bij e.kan^er. — gelijk hief, 38»7I mat 75 ««etende multipliceeren. 38271.00 het honderdvoud. I 1913550 het 50 voud. » 956775 het 25 voud. _ fom is 2870325 het 75 voud. ■ 40 Dewijl !2S p en 375* Ö =5° * «S 1000 . IOOO, 4 JS2., 625 2 500 + »5 2 — + en eindelijk 875 2 i X ^ + * X 1000 + i  8* GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. deefer berchouwingen , zeer vee' zal toebrengen, om de gronden, waar op da multiplicatie berust, béter 1930 is, zalmen met i2>, 375, 625 en 875 op de volgende wijfe kannen multilpliceeren Gelijk in deefe Voorbeelden kan gezien worden. In N t. wordt 75302 met 125; in N 2, 32794 mtj 375; in N 3, 91247 tmet 625; in N 4, 308279 met 875 verménigvuldigd. 1 N 1) 125 N 2) 375 Vermenigvuldigers. 8) 75302.000 32794.0^0 Vermenigvuldigt. produel:. 9412750 4 8198500 8 4099-50 12297750 product, N 3) 625 N 4) S75 Vermenigvuldigers. 91247000 3082-9 000 Verménigvul. ■ " digral. 2) 45623503 2 154130500 8) 11405870 4 77069759 J 8 38J3487S product. 57°29375 2697441 *5 product. Deefe noot — elk begrijpt dit ligtlijk , is hier niet voor eerstbeginnende bijgevopgd , maar dient voor den meergevorderden leefer — of voor da Leerlingen, ombij de tweede leefing yan dit werk gelecfen èn beoeffend te worden. Om het geen tot herdelf ie onderwerp be. hoort bij elkandar te hebben (het welk voor hit *rheugen wel het beste is) is men, vooral in Wiskundig» werken, meêVumlen genoodzaaktvaih de uirerfte ttrecgheid afcewuken —— en daarom ltalia ik da bovenstaande befchau .vingen, in eene afzJnderljjKe noot.  J. Soek. L Hoofd. F. les. Vervolg van JeMultipl. 85 béter in hun geheel te overzien en vaster in het, geheugen te prenten, (a) rai Zommige geeven nog aan de barid, om in het multipliceeren een tafel van de veelvouden nes. verme-. ïïvuWata van i tot 9 te maaken , en dan m het multipliceeren de gevondene producten op zijd plaats te fieUen . en op te tellen : Bij voorbeeld als men 0705064 met 3859467 moet vermenigvuldigen , maakt men eerst een tafel van de veelvouden vaa 37°59S4- «■705954 1 3705964 f41,928 i 3859467 ■' in 17892 q „ :t 14823856 4 »594t748 i'ï 22235784 6 14823856 J5941748 7 333S3°76 29647712 J 18529820 J. 33353676 9 29647712 14303045761:88 Doch dit voorfchrift , kan. ik mijnen leeferen niefc aanraaden: Want in minder dan den tijd, °£verwacht wordt om de tafel te maaken, kan men de getallen zelfs multipliceeren. Deefe handelwijs kan men alleen dan, met vrucht gebruiken, als in eene bewerking een, getal door veele andere getallen moest gemultipliceerd worden.  86" GRONDBEG. der CJJFFERKUNST. VI. Les. Over de Divifie of Deeling. I. De Divifie in het gemeen. § riï. i9 "I ~\e Divisie is de vierde en laatfte régel der Cijferkunst, — en dient „ in dezelve tot twee oogmerken: vooreerst om „ te bepaalen, wat deel een kleiner getal van „ een grooter is — of ook wel om de vet houding „ van twee getallen te vinden ; en ten ande„ ren om te vinden hoe groot een zéker bepaald „ deel van eenig getal is." § 112. Om die wel te begrijpen, zal het no dig zijn eenig nader denkbeeld van geheel en deelen te geeven. A r H r r B E F F C 4—h Ü Deel is een ftuk van een geheel: bij voorbeeld. Als men de lijn A B een geheel Helt, zijn A E, É F, F G, A F, A G deelen van dat geheel; als 3 + 5 4- 7 + 9 ZZ 24 is, zijn 3, 5. 7 sn 9, deelen van het getal 124. § 113. Ten opzichte der geheelen moet men weeten dat elk geheel onbepaald in een getal van deelen — dat is, in zo veel deelen veraeeld k.qn worden als men goedyindi: en tep opzichte van  L Boek. 1. Hoofd. VI. Les. Over de Divifie. 87 van de deelen, dat zij alle te zamen het geheel weder uimaaken. Dit zijn twee algemeene grondftellingen, waar op een groot gedeelte van die waarheden berust, die wij in het vervolg zullen voordraagen. t a) % 114 De deelen van een geheel worden on- deiibeicèn in ongelijke en gelijke deelen. «,,'5 Ongelijke deelen zijn zulke deelen, die niet éven groot zijn : zodarige zijn van de lijn A B de hukken AE en BE, van het getal 15 zijn, zijn 3, 5 en 7 ; om dat 15 3 3 + 5 + 7 is. K 116. Gelijke integendeel zijn zulke deelen , die alle éven groot, dat is aan elkander gelijk zijn, zo zijn A E, E F , F G, G B gelijke deelen van AB: als namelijk deefe lijnen alle even lang zijn van het getal 15 zijn 5, 5 en 5 de drie gelijke deelen, om dat 5 + 5 + 5 - 15 *s' K 117. Men kan ook (zie § 103.) onderftellen dat elke grootheid en elk getal in zo veele deelen verdeeld kan worden als men goedvindt, dewijl zulks altijd mogelijk is: - en nu behoort opgemerkt te worden , dat indien een grootheid of een getal in zeker getal gelijke deelen ver- fa! Een algemeene Grondftelling , bil de Grieken JS» "«««O gehemd , behelst zulk eene waarheid, die zoo klaar is, dat zij, maar eens verftaan zijnde, zonder eenig nader bewijs van elk erkend en aangenomen wordt. * 4  88 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. deeld wordt, elk deefer gelijke deelen zijne be. naaming ontleent van de menigte der gelijke deelen , die in dat getal of in die grootheid begreepen is: zo is, A E zz' E F ~ F G - B Gj zijnde, A E een vierde van A B, een derde van A G, de helft van A H. —— en om dat 3 + 3 £3 6 is; noemt men 3 een twee. de deel of de helft van 6. om dat 4 + 4 4- 4 ZZ 12 is; noemt men 4 een derde deel — een derde part of eenvoudig een derde van 12. om dat 5 + 5 + 5 4- 5 ZZ 20 is, noemt men 5 een vierde deel — een vierde part of een vierde van 20. om dat 3 4- 3 + 3 + 3 + 3 — 15 is, noemt men 3 een vijfde deel — een vijfde part of een vijfde van 15. [ En men moet deefe benaamingen half, derde, vierde deel nooit gebruiken, dan wanneer de deelen van het geheel éven groot zijn. § 118. Men kan zich omtrent deefe heelen en deelen twee vraagen voorilellen. i° Kan men begeeren te weeten wat deel, een half een derde enz. een kleinere grootheid C D van eene grootere A B is, of in getallen wat deel 3 bij voorbeeld van 12 is : ten anderen kan men begeeren te weeten, hoe groot een deel van een geheel zijn zal, als zulk geheel gefteld wordt in 2* 3» 4» 5 of meer gelijke deelen gedeeld te zijn, gelijk het getal 12 in vier deelen gedeeld zijnde, zal elk deel van die vierde deelen bevonden worden 3 te zijn. De Meetkunst leert ons deefe vraagen van alle foorten van grootheid in gemeen vinden; de Cijferkunst leert ons dit ten op-  I.Boek. I. Hoofd. VI Les. Over de Divifie. 89 opzichte van de getallen, in den régel, die wij zo terftond zullen voordraagen. II. A. De Divifie der getallen toegepast op de vraag hoe ménigmaal een klei' ner getal in een grooter begreepen is. S 119. Door de Divifie zeiden wij (§ 111.) wordt gevonden hoe veel maal een kleiner getal 7 in een grooter 35 bevat is. § 120. Elk ziet uit deefe bepaaling zeer duidelijk dat zulk eene vraag kan beandwoord worden , door telkens 7 van 35 afteneemen en dit | | 1135 12 3 4 5 7 zolang te herhaalen tot 'er niets meer overblijft, want zo ménigmaal als men 7 van 35 zal afgenomen hebben , zo ménigmaal zal 7 in 35 j>esreepen zijn, dat men langs deefen weg bevinden den zal, vijfmaal te zijn, zie de bovenftaande fchets. S 121. Als de opgegeevene getallen zeer groot waren, zou het werk op deefe wijfe, niet alleen lastig; maar ook niet uit te voeren zijn: de di. vifie leert ons dat op een korter en gefchikter wijfe vinden, waarom veele zeggen, dat de Du vifie eene bekorting is van een herhaald af. trekken. F 5 § 122.  90 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. § 122. Als men door zulk een divifie bepaalt hoe ménigmaal een kleiner getal in een grooter begreepen is, doet men in den grond niets anders, dan bepaalen , wat deel het kleinfte getal van het grootfte is; dat is met andere woorden, het grootfte als één geheel neemende, en het kleinfte als een deel van het zelve, bepaalen hoe veel van zulke deelen bij elkander moeten genomen worden, om het geheel uitcemaaken' Als men dan gevonden heelt dat 7 in 35 begreepen is, zal men daardoor tévens weeten , dat 7 een vijfde deel van 35 is — en dat 5 deelen van 7 bij eikander genomen het geheel getal 35 weêr uitmaaken. § 123. Zeer na'uurlijk zegt men ook, dat door zulk een divifie de verhouding van twee getallen bepaald wordt, welke verhouaingvoor de getallen 7 en 35 , door het getal 5 wordt aangeweefen , en éven daarom, kan men deefe divifie belchouwen, als eene daadeiijke meeting van het grootfte getal door het kleinfte \ want gelijk de lengte van een kamer docr de lengte van een voet gemeeten wordt, en bij voorbeeld gezegd wordt 12 voeten lang te zijn, éven zo wordt door de divifie, in ons tégen woordig voorbeeld, de gTooie van 35 door 7 gemeeten zijnde, gezegd 5 zé« vens groot te zijn. g 124. De fpreekwijfen: Te bepaalen hoe ménig* maal een kleber getal op een grooter begreepen is. Twee getallen gegeeven zijnde te vinden wat deel het kleinfte van het grootfte is. De verhouding van twee getallen' te vinden, zijn ééni. germaate van gelijke betékenis en worden alle door de divifie beeldwoord. $  L Boek. I. Hoofd. VI. Les. Over de Divifie. 91 § Bij de divifie komen twee getallen als eegeevens voor, welke deeltal en deeler gei noemd worden. He: Deeltal of Dividenohm is dat getal, waar van gevraagd wordt hoe ménigmaal het kleinfte 'er in begreepen is, en dat in de divifie der heeltallen altijd het grootfte is. De Deeler of Divisor is her getal waaromtrent men vraagt hoe ménigmaal het in het andere verhouden is. — De uitkomst van een Divifie noemt men Uitkomst, Quotiënt en ook dikwijls het Hoe vee lm aal. In net bovenftaande voorbeeld is 35 het deeltal 7 de deeler; het gevondene getal 5 het quotiënt 01 het Hoeveelmaal. § 126. Daar nu in een Divifie het quotiënt aanwij-t i hoe ménigmaal de deeler in het deeltal begreepen is, zal, indien men den deeler zo menigmaal bij elkander neemt, als 'er éénen in hec quotiënt zijn , het deeltal daar uit weder te voorfchijn komen. — dat is met andere wooiden: In elke deeling zal de deeler verménigvul. „ digd met het quotiënt , het komende p'oaubt „ aan het deeltal gelijk zijn. § 127. Als dan in eene Divifie de deeler met het quotiënt verménigvuldigd, wederom het deeltal voordbrengt, is zulks een bewijs, dat het quotiënt het waare is; maar zo dit product grooter of klei • ner dan het deeltal bevonden wordt, zal daar uit blijken, dat het quotiënt ook te groot of te klein is en aldus is deefe grondrteiiing de toetsflcen, waar aan élke deeling der getallen beproefd moet worden: geiijk wij hier in de onderftaande voorbeelden zullen doen zien. 3 13  92 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST, 3 is in 12 , 4 maal begreepen, of 12 ged, door 3 is 4; want 4 x 3 zz 12. 4 is in 28, 7 maal begreepen , want 7 X 4 ZZ 28. 3 is in 27, 9 maal begreepen, want 9 X 3 - 27. 5 is in 40, 8 maal begreepen , want 8 X 5 - 4°- 56 gediv. door 7 geeft 8 , want 8 X 7 ZZ 56. 72 gediv. door 9 geeft 8 , want 8 X 9 ^ 72. en op dezelfde wijfe met alle anderen. § 128. Ook blijkt nog uit § 122. dat het quotiënt van ene divifie zal aanwijfen, wat deel de deeler is, van het deeltal, als één geheel befchouwd: zo is 3 een vierde van 12; om dat 3 in 12 viermaal begreepen is; 7 is een négende deel van 63 ; om dat 63 gedeeld door 7, 9 geeft: zo dat men door te bepaalen, hoe ménigmaal 5 in 20 bevat is, ook te gelijk vindt wat deel 5 van 20 is. Vergelijk § 117. III. Hoe de getallen door elkander gedivi. deerd worden. § 129. In het divideeren kan het volgende plaats hebben i° dat de deeler op het deeltal volkomen opgaat. 2° dat 'er na de divifie nog een getal overblijft. Wij blijven voor eerst bij het geval, waar in geen getal overblijft, en daarom een volkomen opgaande divifie genoemd wordt, en zullen ten dien  I. Boek. I. Hoofd. VL Les. Over de Divifie. 93 dien einde ook vooreerst geen andere als volkomene opgaande voorbeelden opgeeven. § 130. Om kleine gerallen door elkander te divideeren, heeft men alleen de tafel van multiplicatie § 72. gegeeven na te gaan , waar uit men de quotiënten kan opmaaken zo als boven $ 127 gezien is. § 131. Om groote getallen door elkander te deelen, volgt men deefen Algemeenen r.égel der Divisie. 1? Men fchrijft den deeler vooraan, daar agter het deeltal, en agter het deeltal een af (cheiding om het quotiënt te fchrijven. 20 Dit gedaan zijnde , beziet men uit hoe veel. cijffers de deeler beftaat , en dan neemt men in het deeltal vooraan, {bij de hoogfle plaats te beginnen,) éven zo veel cijffers; doek als het getal, daar door afgezonderd, kleiner dan den deeler is, neemt men bij dat getal nog de volgende cijffer uit het deeltal. 30 Dan vraagt men hoe ménigmaal is de deeler op dat afgezonderde getal begreepen'* (en dit is altijd minder dan tienmaal,) dit gevonden hebbende, fchrijfik het hoeveelmaal in de plaats, voor het quotiënt afgezonderd. Hier en in het volgende moet men opmerken, dut in het divideeren van groote getallen, zeer zelden de deeler volkomen in het deeltal begreepen is: bij voorbeeld, 7 op 46 is meer dan 6 en minder dan 7 maal begreepen; om dat 7X6 ZZ\ 42 en 7 x 7 "49 «, en 46 tusfchen 42 en 49 in valtj daarom neemt men 6 het naast kleine*  94 GRONDBKG. der ClJFFERKüNST. nere en 7 het naast grootere quotiënt; — nu fieemt men altoos in het divideeren het naast kleinere. Men dient ook nog op te merken dat als de getallen die men diyideerd groot zijn , het als dan genoeg is, op de voor fte of hoog fte cijffers der getallen te letten , die te divideeren , om daar door liet quotiënt der groote getallen ten naasten bij te begrooten. 4.0 Men verménigvul digt den deeler door het gefielde quotiënt en fchrijft het komende produel, onder dat gedeelte des deeltak , dat meri hadt afgezonderd, om daar op te divideeren. Als het nu gebeurde , dat het komende produel dit deeltal te boven ging, zou daar uit blijken, dat het quotiënt te. groot gefteld was . en dan moet men voor het quotiënt een minder getal ftellen, en dèh' wederom op nieuw den deeler door de uitkomst verménigvuldigen , dit zo lang herhaaiende, tot dat ''er voor het produel een getal komt. minder dan het deeltal. Of anders het produel te .groot bevonden hebbende, kan men het laaten ftaan en \ef den deeler één of meêrmaalen van aftrekken , tot men een getal, minder dan hst deeltal, verkrijgt maar dan moet ook het eerst gevonden qw.'t'wnt zo veel verminderd woraen als men keer en de deeler van het eerfte produet heeft afgenomen. f Het gevondene produtl moet van het deeltal, word>- e eerstbeginnende, moet op deefe omftandigheid der Divifie vooral ooletteïid zijn, men kan 'er ligt een misdag in begaan, ook heeft .de ondervinding mij geleerd , dat meêrgevorden hierin niet altijd van overïilinè vrij te kennen zijn. ik heb daarom de voorzorggebruikt , om in de opgegeevene voorbeelden & 134, deefe omfiandigheid telkens in te voeren.  96 GRONDBEG, der CIJFFERKUNST. 8° O/i deefe wijfe moet men met het deelen voordgaan, tot dat men aan de laatfte cijfer van deeltal gekomen is , fchrijvende elk gevonden deel van het quotiënt agter het voorgaande. § 132. Eene berédeneerde uitwerking van een voorbeeld zal deefen régel nader ophelderen. I. Voorbeeld. Stel dat men begeert te weeten, hoe ménigmaal het getal235 op 1576715 begreepen is. Ik fchrijf den deeler vooraan', daar agter het deeltal , volgends het eerfte lid van den algemecnen régel, aldus: 235 [i57Öri5 king ftaat' hier benéden. (V) 235 { 1576,*** { 6709 Quotiënt 1410 l 1666 1645 2115 2115 o « iii. Op dat de leefer in ftaat gefteld worde deefen régel zelve te beöeffenen, hebben, wij hier de volgende uitgewerkte voorbeelden bijgevoeed, die hij met het voorgaande en den alge© » * mee- fa) Deefe manier van Divideeren ii'volmaakt, vvatjd. reëels er de gronden betreft, dezelfde als die . welke wf Ltrt-iH w» Llntz en anderen geleerd en tot nog Kde meeste fchoolen gevolgd wordt, fduete orde.fcheid befoat in eene andere/«J1^^ J^tf. kinB en neen ciiffer wordt 'er meer ot minder gebruiKt. dè féWnwIrping, dat deefe wijfe van werken langer tf, fJT7Xjens, welke mij meer daneens, ^  ïóo GRONDBEG. der CIJFFERKUNSf. meenen régel kan vergelijken ; maar de quotien. een ftaan nier op de gewoone plaats. I Voorbeeld. II Voorbeeld. Quotiënt 37082 Quotiënt 500796 | 1122 |^ óy | 10195 2648 16230 2618 J4273 3066 19574 2992 18351 748 12234 748 12234 o o § 134. De volgende voorbeelden zijn hier tot oefening van den leefer nog bijgevoegd. ï. Hoe veelmaal is 59 in 43424 begreepen ? Andwoord 736 maal. 2. Wat zal 'er uitkomen indien 23 op het ge*, tal 862684 verdeeld wordt? Andw. 37508. 3- wij onfen leefer, dezelve met de oude en gewoone werkmanier fe vergelijken , en dan twijffelen wij geen oogenblik, of hij zal, met zijn eigen gezond veritand raadpleegende , moeten erkennen, dat onfe werkmanier bet gantfche beloop der bewerking béter voor oogen i'eelt, minder aanleiding tot rnisflagen geeft, voor den eerstbeginnenden gernaklijker is en door hem béter zal begreepen worden.  J. Boek. I. Hoofd. VI. Les. Over de Divifie. ïoi 3. Wat deel is 95 van 4832840 ? Andw. 50872 deelen elk van 95 maaien het geitelde getal. 4. Hoe groot is de verhouding van 436 op 4066c052? Andw. 93457. 5. Als men 326 tot een maat fielt om 17309296 te meeten, in wat getal van die maat, kan het gefielde getal gefchreeven worden ? Andvv. in 53396 éénen van 326. 6. Divideer 20632^4842 door 406? Andw. 5082007. 7. Divideer 37 82 op 1166773474? Andw. 308507. 8. Divideer 374488053 door 3709 ? Andw. 10096a. 9. Divideer 3972 op 17082884844? Andw. 4300827. 10. Divideer 285594855156 door 53082? Andw. 5380258. 11. Divideer 37836 ot> 343203810372? Andw. 7309802. ia. Divideer 5187218244250 door 709625? Andw. 7309802. § 135. De leefer zal nu uit de bewetking der bovenftaarde vraagen gezien hebben, dat tot het vinden van elk lid van het quotiënt eener divifie, drie bewerkingen vereischt worden, die wij hier in het kort zuilen opnoemei. 1° Moet men vraa* gen, hoe ménigmaal is de deeler op het deeltal begreepen ? daar ftelt men een quotiënt voor. s° Men moet den deeler met het gefielde quotiënt verménigvuldigen. 30 En het komende product van het deeltal aftrekken. G 3 I $ JS6.  ioa GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. § 136. Wij raaden den leerling, zich den Ah gemeenen Régel door de uitwerking van de bovenltaande voorbeelden eigen te maaken, en daar na den Wiskuudigen grond van die bewerking nategaan. IV. De Wiskundige zékerheid van den Algemeenen Régel wordt betoogd. $ 137. Wij zullen hier het eerde uitgewerkte voorbeeld onder eene andere gedaante voorflellen en den algemeenen régel uit een ander oogpunt befchouwen, en dan twijffelen wij geen oogenblik, of den grond waar op alles, in den régel voorgedraagen, berust, zal zoo klaar in het oog loopen, dat aan weinigen mijner leeferen eenige duistheid meer zal overblijven. § 138. Maar vooraf moet opgemerkt en als eene alcbmeene grondstelling aangenomen worden, dat in een divifie het quotiënt éven zo veelmaal grooter of kleiner wordt, als het deeltal maaien grooter of kleiner geworden is. De volgende verkiaaring zal dit doen veritaaH. Als 3 op 12, 4 maal begreepen is, zal 3 op het dubbeld van 12, dat is op 24, ook het dubbeld van 4 maal, dat is 8 maal begreepen zijn: 3 zal op het drievoud van 12, dat is op 36, ook het diievoud van 4 maal , dat is 12 maal bevat zijn Ook zal 3 op de helft van 12 , dat is op 6, de helft van 4 maal, dat is a maal begreepen zyn. Voords 3 gaat op 10 maal 12 of 12 tienen , jo maal 4 niaai , dat is 4 tienen maal; 3 gaat op  ƒ. Boek. I. Hoofd. VI. Les. Over de Divifie. 103 op ico maal 12 of 12 honderden , 100 maal 4 maal, dat is 4 honderd maal; de 3 gaat op 1000 maal 12 of 12 duizend, 1000 maal 4 maal.» dat is 4000 maal - enz — en dit meen ik w genoeg , om de grondftelling te doen begnj. pen. § 139. Hervatten wij nu het uitgewerkre voorbeeld § 132. en wij zullen hetzelve in een ander licht plaatfen. " , . ., Men zondert bij het begin der deeling, m het deeltal bij den hoogden rang te beginnen, zo veele letters af als *er cijffers in den deeler zijnen dit afgezonderde getal kleiner dan den deeler zijnde, doet men'er nog ééne letter uit het deeltal bij.— daar door hebben wij in ons voorbeeld ic76 verkreegen, en zijn zéker dat de deeler op zulk een afgezonderd getal altijd minder dan tienmaal gaat. Wij hebben gevraagd hoe ménigmaal 235 gaat op 1576 en wij bevonden meer dan 6 en minder dan 7 maal Aangezien nu de 1576 uit het deel. tal genomen duizenden zijn , hebben wij door deefe bezrooting eigenlijk gevonden , hoe menigmaal *m op 1576 duizenden of 1576000 begreepen is en wij weeten nu, dat het meer dan 6000 en minder dan 7000 maaien daar op bevat is , CZie § 138.) want 235 x 6000 3 1410000 kleiner dan het deeltal , en 235 X ?gqo is ~ 164500e grooter dan het deeltal, zie § 127. en nu is door deefe eerfte werking bepaald tusfchen welke duizendtallen het gevraagde quotiënt invalt. Men heeft de deeler 235 met 6 dat is eigenlijk met 6000 verménigvuldigd , en daar door J D 4 H10»  ïo4 GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. 1410, dat is 1410 duizenden gevonden, welke van 1576 duizenden zijn afgenomen, en 166 dui. zenden overgebleeven. Dat is met andere woorden: na 235 maal 6000 pf 1410000 van het deeltal 1576615 te hebben afgenomen , is 'er van het geheele deeltal nog 166615 overgebleeven, waar van de 166 duizenden zrn: het fpreekt nu van zeiven, dat nog bepaald moet worden, hoe veelmaal de deeler in dat getal begreepen kan zyn. Wij hebben agter de rest 166 de volgende letter 6 gevoegd, en daar door alle de honderden, die m de rest nog overbleeven, namelijk 1666 honderden bij elkander —- en dewijl nu 235 op 1666 minder dan 8 en meer dan 7 maal begreepen is, befluit ik daar uit, dat 235 op het geheele overblijvende getal minder dan 800 en meer dan 700 maal begreepen is § 138, ook is 235 x 800 „ 188000 grooter dan 166615 en 235 x 700, S 164500 kleinder dan 166615 (§ 13-?.) De deeler 235 is daarom met 7 vermenigvuldigd en het komende product 1645, die honderden zijn van 1666 afgetrokken, waarna 'er in het geheel nog 2115 overblijft. INa dat dan 235 eerst zes duizendmaal en dan nog eens zévenhondetd maal van het deeltal is afgenomen, blijft er in het geheel nog 2215 over. Van dat overfchot zijn de til, die tienen zijn afgenomen en dewijl de deeler hiei nog minder dan eenmaal opgaat, bewijst het, d?t boven de 6000 en de 700 de deeler minder dan tienmaal op het deeltal begreepen is, waarom wij de volgende •pillier naast de 211 fchi ijvende, 2115 éénen verkreegen. en bepaald hebben hoe ménigmaal de Ö?e!er 235 daarop begreepen was — en bevonden  J. Boek. I. Hoofd. V. Les. Over de Divifie 105 den daar 9 maal op te gaan, en daar na niets meer over te laaten, § 140. Door deefe bewerking ii het deeltal !576651 verdeeld geworden in drie deelen, namelijk in 1410000, 164500 en 2 r 15; zoo dat 1756615 - 1410000 4- 1645004- 2115; de deeler is op het eerfte van die deelen 6-00 maal, pp het tweede 700 maal en op het derde 9 maal be. greepen; dat is derhalven op het geheel 6000 •+• 700 4- 9 dat is 6709 maal; en 235 x 6000 + *35 x 7°° + x 9 ^ H10000 + 164500 + 2115 ~ I5?66ï5- § 129. Wij hebben om den Leefer te hulp te komen, de lchets van het berédeneerde hier ter néder gefteld. deeler f deeltal f quotiënt^ 235 1576615 ^ 6000 + 7oo + 9 — 6709 af 1410000 ~ 6000 maal 235 blijft 166615 af 164500 ~ 7(->o maal 23J blijft aii5 af 2115 3 9 maal 235 blijft niets over. Nu is 235 X 6000 zz 1410000 235 x 700 ZZ 1645CO en 235 X 9 — 2115 dit zamentellende is 235 X 6709 zz 1576615, waar uit blijkt dat 6709 bet waaic quotiënt is. Zie § 1*7. Wij hebben de voorbeelden § 133. hier ook G 5 on-  joó GRONDBEG. der CIJFFERKüNST. onder eene andere gedaante gefteld, op dat de leefer uit de vergelijking van die fchets, met de oplosfing aldaar voorgefteld, gelégenheid zou hebben, om de kragt van ons betoog bérer te gevoelen, en in elke divifie tévens den voldoenden grond, waar op de bewerking berust voor oogen te hebben. deeler I deeltal f quotent N i#0 374 1 13868668 S3000 + 7oco +80+2 1 C- 27085» af 1122C000 374 X 30000 blijft 2648668 af 2618000 =3 374 X 7000 blift 30668 af 29920 55 374 X 80 blijft 748 743 =s 374 * * o of niets over. Nu is 374 x 30000 =3 11220000 374 X 7000 =3 2618200 374 x 80 ;=a 25900 eh 374 X 2 s 748 dit bij elkander tellende komt 374 X 37083 ss 13868668, waar uit volgends $ 127 blijkt dat 37082 het waare quotiënt is.  J. Boek. I. Hoofd. V. Les, Over de'fDivife. ic? deeler I deeltal f buotiemv N 2.) 2036 I I0«ia3044|5coooo + 7^+|£+° af 1019500000 aa 2039 X 500*000 blijft 1623044 af 14^300 - 2°3^ x 7°° blijft 195744 v n_ af 183510 H3 2039 x 9° 12234 af 12234 3 2039 X 6 blijft niets over In deeze bewerking hebben wy gevonden, dat 2039 X 500000 =3 1019500000 aog X 700 « 14*7300 2019 X 90 - 183510 2039 X 6 = 12234 het welk zamentehende komt 2039 X 300796 sa 101123044» tó1 een bewijs dat 520796 het waare quotiënt is & 127- « 14T. Wij meenen, dat uit al het gezegde duidelijk genoeg belpeurd is, dat als men door den algemeenen régel te volgen, van het deehal zo veel letters heeft afgezonderd, als er cijffers in den deeler zijn, en indien het noodzaakbjk ïseen meer, en men daa vraagt hoeveelmaal den deeler m dat afgezonderde getal vervat is; men daar door vinden zal, tusfchen welke tien, honderd, duizend, tienduizendtallen enz. het quotiënt invalt: ook dat de waarde van de komende cijffer altijd uit de waarde van het afgezonderde getal gekend wordt; wam zoo de waardijen van het afgezonderde getal bii voorbeeld, duizenden, tienduizenden, honderdduizenden eaz. zijn, heeft het gevondene quotiënt  io8 GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. ook deefe waardijen van duizenden, tienduizenden en honderdduizenden enz. aangezien nubij elk nieuw overfchot der deeling op dezelfde wijfe gerédeneerd wordt, worden door zulk eene eenvormige bewerking, alle de léden, waar uit het quo> tient beftaat, van de hoogde tot de laagfte ingeflooten gevonden, en om die reden moet, zo als in den algemeenen régel geleerd is, elke nieuw bekomene cijffer van het quotiënt agter de laatst gevondene gedeld worden, op dat daar door elke cijffer op zijne natuurlijke plaats kome te ftaan. § 14a. Wij beveelen den leerling, bij elke bewerking van eene Divifie op de waarde te letteo van het getal dat hij werkelijk deelt, door aam zich zeiven te vraagen: wat waarde heeft mijn deel. ital'1 — zijn het tienen, honderden, duizenden? Want zonder deefe voorzorg zal hij wel de bewerking naar het gegeevene voorfchrift van den algemeenen régel § 13ii kunnen leeren uitvoeren, maar nooit den grond van het zelve leeren verftaan. — iets waar voor men zich met de grootfte zorgvuldigheid wachten moet. § 143. Nu meenen wij het betoog van den algemeenen régel in die order voorgedraagen te hebben, dat de leefer door het zelve in ftaat gefteld zal zijn, niet alleen het hoe; maar te gelijk ook het waarom? van de bewerking der Divifie te verftaan. Wij kunnen dan nu veilig tot eene andere omftandigheid van ons onderwerp overgaan; te weeten tot het geval, in het welk bij de laatfte deeling nog een overfchot is.  I. Boek. I. Hoofd. V. Les. Over de Divifie. 109 V. Befchouwing van het geval der Divifie, waarin op het einde van de bewerking nog een getal overblijft. c T.. x)e voorbeelden tot oeftening der divifie tot bier toe opgegeeven, zijn zodanig ingericht dat de deeling ten einde gebragt zijnde, van het deeltal niets overblijft, in welk geval men gewoon is te zeggen: De deeling gaat juist op; je deeler is in het deeltal volkomen zonder " overfchot begreepen, of ook ,wel het deel- tal is door den deeler volkomen deelbaar. Deefe omftandigheid heeft évenwei niet altoos plaats; in ver de meeste gevallen blijft op het einde van de deeling nog een getal over, dat kleiner dan den deeler is: bij voorbeeld. j5 gedeeld door 4 komt 3 en laat in de deeling 3 over. 47 gedeeld door 5 komt 5 en laat in de deeling 2 over. 97 gedeeld door 13 komt 7 en laat in de deeling 6 over. 117 gedeeld door 16 komt 7 en laat in de deeling 5 over. § 145. In het eerfte voordeeld is 4 op 15 meer dan 3 en minder dan 4 maal begreepen: in het tweede is 5 op 27 meer dan 5 en minder dan 6 maal, in heiderde 13 op 97 meer dan 7 en minder dan 8 maal bevat enz. § 146. In het eerfte voorbeeld is 3 het overfchot: want nadat 15 door 4 gedeeld is blijkt het  no GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST het dat 4. van 15 driemaal kan worden afgenomen, waarna van het deeltal nog drie overblijft. Nu kan in deefe Divifie den deeler aangemerkt wor. den als één geheel, en het quotiënt wijst aan hoe veel van die geheelen moeten genomen worden om met het deeltal eene gelijke waardij te hebben —— De deeler is als een geheel, dat in deelen verdeeld is, hier in 4 deelen, elke één van de rest is'dus één vierde deel van dien deeler, en diensvolgends de overblijvende 3 drie vierde deelen; daarom zegt men 4 is op 15 'driemaal begreepen en dan blijven van het deeltal nog drie, dat is 3 vierde deelen van den deeler ®ver, het welk men aldus fchrijft: 3!. jn het tweede voorbeeld is elke één van het overblijffel een viifde van den deeler: daarom 27 gedeeld door 5, komt 5$. In het derde is eke één van het overfchot een dertiende deel van den deeler: daarom 97 gedeeld door 13 komt 7 f,. In het vierde is elke één van het overfchot een zestiende deel van den deeler: daarom 117 gedeeld door 16 is het quotiënt Lees § 127 ïiier over na. § 147, Zo dat elke één van het overfchot een deel van den deeler wordt, dat zijn naam ont. leent van de ménigte éénen, waar uit de deeler beftaat. § 148. Daarom volgt men deefen régel. Als ''er in de Divifie eindelijk nog een overfchot is, fchijft men het overfchot bwtn en den deeler onder met een ftreep tusfchen beiden, en dit ftelt men ag* ter de heelen van het quotiënt. § 149.  I.Bosi.L Hoofd. V. Les. Over de Divifie. Ui § 149 Zulke uitdrukkingen als |, l5, T^ en t\ noemt men Breuken, waar over in het tweede Boek opzettelijk zal gefprooken v*\>rden. § 150 De velgende voorbeelden zijn hier tot oeffening bijgevoegd. 1 Divideer ii650317 door 308 komt 378251;!. 2 Divideer 27947495 door 438 komt 63807 »'T|. 3 Divideer 123216003 door 4096 komt 30082 3^5. 4 Divideer 532403094 door 2375 komt 97853 !fr'. 5 Divideer 2927545967 4289 komt 682570!'!'. 6 Divideer 3028158105 door 97834 komt 30952 ^HJ. VI. B. De Divifte toegepast op de rraagomeen ge geeven getal in een zéker aantal van gelijke deelen te ver deelen. § 151. De tweede vraag* die wij § nr zei* den, door de Divifte beandwoord te worden, is EEN GEGEEVEN GETAL IN 2 , 3 , 4 OF MEER G2LIJJtE DEELEN TE VERDEELEDL Bij voorbeeld als, drie perfoonen met elkander 18 guldens hebben, en die fom onder hun drie gelijkelijk moet verdeeld worden, zo dat elk évenveel heeft, vindt men door divifie dat elk 6 guldens hebben moet. I en  11 e GRONDBEG, der CIJFFERKUNST. en dat blijkt, want de 6 gulden driemaal genomen , maaken wederom te zamen de verdeelde 18 gulden uit. , § T52. Dewijl de naam van het gedeelte, Uit de menigte der gelijke deelen in dat geheel begreepen ontleend wordt § 117, doet men tdoor een getal in 2, 3, 4, 5 enz deelen te verdeelenhet zelfde als of men bepaalde hoe groot een half, een derde, een vierde, een vijfde van zulk een getal is. (a) § 153. In deefe divifie zo wel als in de voor. gaande , wil het gebruik, dat de zelfde benaamingen voor de getallen blijven : in het gegeevene voorbeeld, zijn 18 gulden het deeltal, drie de deeler en 6 het quotiënt; évenwei hebben zij eene andere betékenis; want in de voorgaande deeling is de deeler de maat waarméde of waar door het deeltal gemeeten wordt, in deefe dient hij tot aanwijfèr, waar door te kennen gegeeven wordt (ai) Het woord divideeren dat men door deelen of verdeelen vertaaien kan,-fchijnt alleen toegepast te kunnen worden, op de vraag, om een getal in gelijke deelen te verdeelen. Doch zulks maar alleen in fchijn. Als uien door de Divifie bepaalt, hoe ménigmaal een getal 7 op een ander 42 begreepen is—doetmen eigenlijk niets anders als het getal verdeelen in deelen, die elk zoo groot zijn als 7 en als men een getal 42 in 7 verdeelt , bepaalt men hoe groot elk zévende deel van 42 is» In het eerfte is de grootheid van elk deel gegeeven, en 'er wordt naar het aantal zulke deelen gevraagd, die in het geheel kunnen begreepen zi jn ; in het tweede geval is de menigte van deelen gegeeven, waar in het getal gedeeld moet worden, en men vraagt hoe groot elk deel iSt  ï. Boek. I. Hoofd. VI. Les. Over de Divifie. i j 3 wordt, in hoe veele deelen het deeltal moet verdeeld worden : in de voorgaande deeling is hec deeltal een getal dat door den deeler afgemeeten wordt; in deefè is het een getal dat \n gelijke deelen moet verdeeld worden : eindelijk wiist in de voorbaande deeling het quorient de verhouding der o-egeevene gcallen aan. of is het deeltal in é é N ii N van den deeler uitgedrukt , en in deefe hoe groot elk der deelen isy waar in men hec deeltal verdeeld heeft. § 154. De kleine getallen worden nu gemak* lijk verdeeld ; want 12 in 3 verdeeld, komt 4 voor elk derde deel ; om dat 3X4 wederom ia uitmudtt : 20 in 5 deelen verdeeld , komt 4 voor eik vijfde drel ; want 5 maal 4 maakt 20: 42 in 6 deelen verdeeld, komt 7 voor elk zesde deel ; want 6 maai 7 maakt 42: nog eens 56 in 7 verdeeld, komt 8 voor elk zevende deel; want 7 X 8 is 56. $ 155. Mier uit blijkt dan, dat als men ook in deeie deeling, het bekomene quotiënt met den deeler verménigvuldigd , het komende produtï het verdeelde getal weêr voordbrengen moet, ook zal het gevondene quotiënt te groot of te klein zijn , naar dat het bekomene produel grooter of kleiner dan het verdeelde getal is. Vergelijk hier méde § 117. § 156. Om groote getallen in een zeer groo* aantal van deelen te verdeelen, moet men den voor. gefchreeven regel § 131 volgen. Laat ons nog eens het voorbeeld in getallen iji neemen en ftellen, dat het getal 1576615 M w  n4 GRONDBEG. drr CIJFPERKÜNST. in 235 gelijke deelen verdeeld moet worden , wanneer men begeert te weeien, hoe groot elk deefer deeien zal zijn. Zie de bewerking van dit voorbeeld ter nédergeileld — hec kon: in de getallen volmaakt overéén, met het geen § 132. geireld is. deeler f deeltal f 235 J 15760*5^ 67:9 Het quotiënt, i 1410 *- zijnde hier de groot- te van elk deel als 1666 157661 in 235 gelijke 1645 deelen verdeeld wordt. 2155 s.115 o § 157. Als ik hier vraag, hoe veelmaal is 235 op 1576 begreepen , is de meening : hoe groot een 23511e deel van 1576 is — en dan is 6 nabij de uitkomst, de waarde van elk deel ; maar aangezien de 15-6 duizenden zijn ;s de gevonde ne 6 ook een duizendtal — en nu weet ik, dat elk deel tusfchen de 600 i en oop invalt. Na gemultipliceerd en afgetrokken te hebben , deel ik de 16Ó6 honderdtallen in 235 deelen en krijg tusfchen de 7 en 8 honderd voor e'k deel, — eindelijk na andermaal verménigvuldigd en afgetrokken te hebben, blijft nog 21 j 5 éénen over, die in 2 35 deelen verdeeld zijnde, 9 voor elk deel geeft — en het getal in 235 verdeeld, geeft 6709 voor elk deeL S 158.  I. Boek. I. Hoofd. VI. Les. Over de Divifie. n$ § 158. Als in de deeling een getal overblijft, moet men éven eens handelen als in het voorgaande § 148. gezegd en in deefe voorbeelden te zien is. 16 gedeeld in 3, komt 51 voor een derde deel van 16. 29 gedeeld in 9, komt 3? voor een négende deel van 29. 97 gedeeld in 12, komt 8voor een twaalfde deel van 97. 379 gedeeld in 15, komt 25 T| voor een vijftiendedeel van 3^9» § 159. Dit laat zich gemaklijk verftaan ; wam 16 in 3 gedeeld zijnde komt eerst 5 heelen, en 3 maal 5 £ 15 zijnde, blijft van het verdeelde getal nog 1 over, dat ook in 3 verdeeld moet worden: nu is het zeer klaar dat een derde deel van 1, of 1 in drie verdeeld , elk deel \ is, daarom is een derde deel van 16 eigenlijk 5*. Het getal 29 in 9 gedeeld, komt eerst 3 deelen voor elk deel: — maar het overblijvende getal 2 moet nog in 9 verdeeld worden; nu is een négende van i,y en een négende van 2 heeten j dus een négende van 29 is 2^ § 130 Men losfe nu nog de volgende vraagen op. I* Verdeel 220908 in 123; komt 1796. a» ter deel 1097704 iu 172; komt 6382. 30 Verdeel 41358095 in 3785- kmt 10927. 40 Verdeel 21893635 in 3087; komt 7092 T&. 50 Verdeel 34767820 «'«3829; komt 9080'A. Ha 6S Ver.  li6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 6° Verdeel 2227299936 in 31245; —— komt 71285 »*uï. VII. Befluit omtrent het geen in de voorgaande artikels van deefe les verhandeld is. § 161. Uit alks wat tot hier toe behandeld is, heeft men kunnen zien , hoe door den alge. meenen régel § 124. voorgedraagen , de twee hoofdvraagen der CijfFerkunst § 1 \ 1. kunnen be andwoord worden. De régel als régel is, met opzicht tot de 'bewerking , ééneriei , welke van die twee vraagen door dezelve beandwoord wordt: alleen moet men in het vervolg als de divifie zal toegepast worden, vooraf bepaalen, in wat zin zij te gebruiken is — Om nu den leefer in de liaauwkeurigheid van de uitdrukkingen behulpzaam te zijn, en hera telkens duidelijke denkbeelden van zaaken te geeven, zullen wij voordaan deefe on. derfcheidende fpreekwijièn gebruiken § 162. „ Een getal 15 door een getal 3 te w deelen, of een getal 3 eer- getal 15 te 'dee», len, zal zeggen te vinden hoe veel maal 3 in „ 15 begreepen is, of anders het getal 15 door ,, het getal 3 te meet en. En een getal 15 in „ 3 te deelen, zal zeggen te vinden , hoe veel „ een derde part van 15 bedraagt , of anders hoe groot elk deel zal zijn , als 15 in drie gelijke deelen gedeeld wordt" Ora dat men doorgaands op dit onderfcheid te weinig let, kan men van de réden van het divideeren in de zamengeftelde bewerkingen, niet anders dan een duister denkbeeld hebben. J 163  I. Boek. I. Hoofd. VI. Les. Over de Divifie. \\7 § 163. Alles wat wij nu in het volgende aangaande de Divifie zullen voordraagen, zullen wij blootelijk op de wijfe van divideeren toepasfelijk maaken, zonder daar bij in aanmerking te neemen , wat door divideeren in het cijferen te weege gebragt kan worden, daarom zullen wij in de volgende les van het onderlcheid der divitiën niet meer fpreeken. § 164. Men gebruikt drie tékens om aan te toonen, dat twee getallen door elkander moeten gedivideerd worden; Het eerfte en gemeenfte is, dat men het deeltal en den deeler onder elkander fchrijft. te weeten het deeltal altijd boven en den deeler beneden, en dan een dwarsftreep tusfchen beide, op deefe wijfe , 54 ZZ 6 welk al- 9 dus geleefen wordt 54. door of in 9 gedeeld zijn. de, is de uitkomst gelijk 6. Ook gebruikt men voor de divifie veel dit teken (-j-) het welk tusfchen twee grootheden ftaande , zeggen wil, dat de eerfte door de laatfte moet gedeeld worden, het bovenfte wordt dan gefchreeven 544- 9 ZZ 6: eindelijk nog die teken ( : ; dat even als" het laatfte dezelfde betékenis heeft, en op dezelfde wijfe gebruikt wordt 54 -.936. — Wij zullen in dit Werk alleen de *wee eerfte tékens gebruiken» H 3 VII. Les.  jl8 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. VII. Les. Vervolg van de Divifie. I, Een bijzondere korte manier van divideeren, wordt voor ge field. § 165. TJ et wordt tijd, dat wy eene manier van di\~J videeren voordraagen , die alhoewel lang bekend geweest zynde, évenwei weinig in gebruik is, en v'an de meeste verwaarloosd wordt, welke maner van divideeren, daar in beftaat , dat men de verménigvuldiging en aftrekking te gelijk in eens afdoet, waar door men dan niet in de noodzaakiijkheid is het verkreegene product onder het deeltal te fchrijven, om het daar van aftetrekken. § 166. Laat ons deefe manier in de bewerking van een voorbeeld van ftuk tot ftuk voordraaien — en daar na een woord of twee tot opheldering zeggen. Wij ftellen tot een voorbeeld „ Om 42^2357926 daor 6743 te divideeren ? " deeler deeltal r quotiënt 6/43 I VtetfMf \ 63508* I 23655 ^ 3 -; 267 (q blijft niets over. Ver-  /. Boek. I Hoofd. 'VII. Les. Very. van de Divifie. 119 Verklaaring. De deeler en her deeltal naar behooren Ichreeven zijnde flid des alg. rég. §131; yiaag ik eers', hce veel maal 674.; op 420X-— die begroot ik op 6 maai: INu zeg ik 6 maal 3 is 18, van 2?, 5 ik houd 2; 6 maal 4 is 24, en 2 die bij het hovende geteld is, is 2Ö; 26 van 32 is 6, ik houd 3; 6 maal 7 is 4^; 42 en 3 is 45 ; 45 van 48 is 3, ik houd 4; 6 maal 6 is 36 , 36 en 4 is 40 ; 40 van 42 is 2, ik houd 4; Nu is voor de rest doefer deeüng 2365 gevonden, hier naast aan fehrijf ik nu de volgende 5 - en heb daar door voor het nieuwe deeltal 23655. Ik vraag , hoe veel maal 6743 op 23655 " — en dit begroot ik op 3 maal — en werk wederom aldus. 3 maal 3 is 9; 9 van 15 is 6- ik houd r. 3 maal 4 is 12 ; i2 en 1 is 13; 13 van 15 is 2 ik houd 1 3 maal 7 is 21 > 21 en 1 is 22 ; 22 van 26 is 4, ik houd 2. 3 maal 6 is 18; 18 en 2 is 20; 20 van 23 is 3. De rest der tweede deeling is 3426, waarnevens de volgende cijffer gevoegd , Komt 34267 voor het derde deeltal. Ik vraag hoe veel maal 6743 op 34367? — begroot het quotiënt op 5 maal. — en zeg; 5 maal 3 is 15; 15 van 17 is 2, ik houd 1. 5 maal 4 is 20$ 20 en 1 is 2x ; at van 26 is 5, ik houd 2. H 4 5 maal  xao GRONDBEG der CIJFFERKÜNST. 5 maal 7 is 35; 35 en 2 is 37; 37 van 42 js 5 ik houd 4. 5 maal 6 is 30; 30 en 4 is 34, 34 van 34 is o De rest van de derde deeling is dan 552, hier nevens de volgende cijffer 9 gefchreeven , komc 5529, hier de deeler 6743 minder dan eenmaal opgaande, zet een o in het quotiënt, fehrijf nogmaals de volgende 2 naast aan en komt 5529a voor het nieuwe deeltal; ik vraag nu hoe veel maal 674^ op 55292 gaat? en begroot dit pp 8 maal, werkende aldus: 8 maal 3 is 24; 24 van 32 is 8 ik houd 3. 8 maal 4 is 32 ; 32 en 3 is 35 ; 35 van 39 is 4; ik houd 3. 3 maal 7 is 56; 56 en 3 is 59; 59 van 6a is 3; ik houd 6. 8 maai 6 is 48 ; 48 en 6 is 54 ; 54 van 55 is !• De rest deefer deeling is dan 1348, waar névens de volgende en laatfte cijffer van het deeltal ichrijvende, komt 13486. Ik vraag uu eindelijk, hoe veel maal 6743 op 13406 ? begroot bet op 2 maal. 2 maal 3 is 6, 6 van 6 is o. a maal 4 is 8, 8 van 8 is o. 2 maal 7 is 14; 14 van 14 is ©, ik houd 1. 2 maal 6 is 12; 12 en 1 is 13; 13 van 13 is o. 'Zo dat van de laatfte deeling niets overblijft en voor het quotiënt gevonden is 635082. § 167, Tot oefïening voor den Leefer zijn de twee onderftaande uitgewerkte voorbeelden op deefe  /. Boek. I. Hoofd. VIL Les. Verv. van de Divifie. 121 deefe wijfe van divideeren hier ter nédergefteld. deeler f deeltal f quotiënt. 59746 < 79100, 1 ;52393 Hw5 L 193541 i43°3° 235382 56i449 ^37355 rest. 58117 deeler 7 deeltal f quotiënt 5846793 \ 49267358^^^ | 84»$39mnsï 24930340 L 15429686 37361008 22802507 52621287 rest. 150 $ 168. De leefer heeft uic de bewerkingen van de bovenftaande voorbeelden en de daar bij gevoegde verklaaring, duidelijk kunnen bemerken, dat zo dra een lid van den deeler met het begrootte quotiënt verménigvuldigd ïs, het daar uic voordkomende produét van de overéénkomstige cijffer des deeltals is afgetrokken geworden: maar «m dat het product doorgaands boven de tien loopt, moet men die cijffer des deeltals met zulk een tiental verhoogen, dat het product 'er van afH 5 Se"  122 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. getrokken kan worden, en tévens zo verhoogen, dal voor de rest altijd minder dan io komt: Nu ziet elk, dat, door deefe verhooging , het deeltal, waar van men af rekt, zo veel te groot is geworden , daarom telt men om dat te herftellen (a) bij het volgende product der multiplicatie, dat tiental , het welk men in de voorgaande aftrekking bij het deel ral geteld heeft, wijl het op het zelfde uitkomt of men een cijffer in het getal daar van afgetrokken wordt met een tiental verhjogd hebbende , de volgende cijffer in dat getal zo veel minder neemt, dan of men de volgende cijffer in het getal dat afgetrokken worde daar méde verhoogt. § 169. Men verbeelde zich niet, dat deefe manier van divideeren te moeilijk zij: — zij is zéker voor iemand, die zich nooit daar in geöeffend heeft, op verre na zo gemaklijk .niet als de gewoone manier bij elk in gebruik: indien de lee- (0) Hier op berust die werkmanier in de fubtra&ie,bij veelen in gebruik en éven zo goed ais de gewoone, waar door men ! zie § 55 nas. 31) de omerfte cijffer grooter elan de bnvenfie zijnde. de bovevfte met 10 verhoogd hebbende, in plaats van de volgende cijffer van het b»\enftz getal één te verminderen, de onderfte ci jfer die in het bet,édenfte getal volgt met één verhoogt — en voor het overige *ls naar gewoonte werkt. We;ke manier van werken met de gewoone manier op den zelfden prond fteunende, éven zéker is en de sve'king tot de zelfde uitkomst brengen moet Zelfs is deefe manier vau werken eenjgzinfs eenvoudiger ; want als men dezelve volgt. is 'er geen zwaarigheid, wanneer bij de ontleening de volgende cijffers van het bovenfte getal coo zijn, waar voor anders eene bijzondere régel nodig is. Zie § 56. en den Algemeenen régti der SultraSie.  /. Boek, I. Hoofd. VU. Les. Verv. van de Divifie. 123 leefer alleen de moeite gelieft te neemen, om de voorbeelden, die wij § 134- tot oeffening voor. gegeeven hebben, door deefe manier uit te werken, twijffelen wij geen oogenblik , of bij zal deefe manier van divideeren zo vaerdig als eene gewoone fubtractïe en multiplicatie leeren uitvoeren: want de getaden, die telkens afgetrokken worden , verlchilien nooit boven de 9 van elkander — en om die réden is die aftrekking niet moeijelij. ker dan de gewoone: het eenigfte dat vreemd is, en waar op een leerling het meest letten moet, is re onthouden met hoe veel tienen de cijffer, waar van afgetrokken worde, verhoogd is, om dat getal van tienen bij het volgende product te tellen, (a) § 170. Deefe manier van divideeren kan men ook, als men door kleine getallen divideerd, met vrucht gebruiken, en zelfs kan men , mids men maar (a) Dezelfde manier van werken kan A 57°2it> men volgen, als de fom van eenige ge- tallen B, C, D, E, en F, van een ge- B 37856 tal A moet worden afgetrokken: men C 87098 bepaalt namelijk de fom en het verfchil D 57942 te gelijk. E 8287 <; In het névenftaande ziet men de fchets F 79^*9 der bewerking- ——— . De fom der éénen is 30 : ik zeg 30 G 224626 van 36 is C, ik houd 3. De fom der tienen is 26; a6 en 3 is 29 ; 29 van 31 is 2, ik houd 3. De fom der bonderden is 33; 33 en 3 is 36; 36 van 42 is 6 ik houd 4. De fom der duizenden is 32; 32 en 4 is 36; 36 van 40 is 4, ik houd 4. Eindelijk de fora der tienduizenden is 31; 31 en 4 is 35 en 35 van 57 biijft i%. Zo dat de fom der getallen B, C, D, E en I van het  124 GRONDBEG, de* CIJFFERKUNST. maar aandagtig is , zulk eene divifie uitvoeren , zonder eene letter op het papier of de lei te zetten, waar van wij hier eenige voorbeelden geeven. Ni. N 2. 378563 17°35Ó deeltal deeler 8) 9) 47320J 18rpa8| quotiënt, N 3. het getal A afgetrokken zijnde, het getal G of 224626 vootdkomt. Nog moeten wij om aan onfe belofte, pag. 81 gedaan, te voldoen in korte woorden zeggen, hoe men op nog korter werkmanier eerig getal kan verménigvuldigen met getallen, die weinig van 100, iooo, 10000 veri'chillen: namelijk door te gelijk te multipliceeren en aftetrekken. Laat ons tot dat einde het voorbeeld neemen, pag. 81 uitgewerkt, om 37856 m»t 0984 te vermenigvuldigen, het welk men naar de verkorte werkmanier aldus uitwerkt. 37856 .... met 9984 377954304 het product Om dat 9004'-^ 10000 — 16 is, ftel ik agter het getal in de gedagten , vier 0000 of punten en zeg, 37*56 «et 36 multipliceerende. 16 maal 6 is 06; 96 van roo is 4, ik houd 19. 16 maal 5 is 80; 80 + jo is 00; 90 van 90 is o, ik houd 9. 16 maal 8 is 128; 128 + 9 is 137; 137 van *4ois 3, ik houd 14. 16 maal 7 is 112; 112 + M is ™<5; 126 van 130 is 4, ik houd 13. 16 maal 3 is 48; 48 + 13 is 61; 61 van 66 is 5 ik houd 6. nu 6 van 15 is 9 ik houd 1; en 1 van 8 i* 7. o van 7 it 7, en eindelijk o van 3 is 3.  I Boek I. Hoofd. VII. Les. Verv. van de Divifie. 11$ N 3. N 4. 1562456 38462163 deeltal deeler 11) I2) 142041H 32051801- quot. N 5. N 6. 804624 '2 1789046 deeltal deeler 13) ' ' l6> ' . 618941617 Uï8i5Ïj quot. Het is voor een rékenaar van het uuerfte belang om vaerdighjk een groot getal door zulke kleine getallen te kunnen divideeren , doe veel oefening moet hij daar in een hebbelijkheid verkrijgen, die ligrelijk zoo ver komen kan, dat hij de letters van het quotiënt met geringe moeite agter elkander aüchrijft. II. Wordt geleerd hoe men werken kan als de deelers uit de verménigvuldiging van fa&ors ontftaan zijn. ff ï*j. Als de deeler van eene Divifie uit twee öf meer factors met elkander verménigvuldigd , ontftaat, zal het quotiënt der deeiing gevonden worden , door het deeltal door de eerfte factor , het quotiënt door den tweeden factor, het komende quotiënt door den derden enz. tot den laatften factor te divideeren, wanneer bij de laatfte deeling, het komende quotiënt, het zelfde zal zijn, als of men het gegeevene deeltal in eens af door den gegeevenen deeler gedeeld hadt. § 172. Bij voorbeeld als men 37944 door 72 moet  126 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. moet divideeren • kan men om dat 72 ZZ 8 x 9; 72 ZZ 2 x 4 x 3 x 3 is en 72 ^2 X 2 x 2X3X 3 is, op de ondergaande manieren werken. A B 37944 37944 8;- 2) 4743 18972. 9) 4) 527 quot. 4743 3) 1581 3) ' 527 quot. C 37944 D O f 18972 72.1 $7944 < 527 2) 194 L 94.86 504 *> ■ (° 4743 3; — 1581 3) 527 quot. § 173, De réden van deefe bewerking kan bij omkeering afgeleid worden, uit het geen § 80. II ftelrégel gezegd is; maar wil men den grond van deden régel uit den aart der Divifie zelve nc. raan, kan men in deefervoepen rédeneeren. M< gevraagd wordt, hoe veel maal 72 op 37944 verhouden is? is zulks in den grond hetzelfde, als cf men vraagt ^ hoe veel maal négen agten, dat 9 maal  ƒ. Boek, I. Hoofd, VIL Les, Ver», van de Divifie. i 27 9 maal 8 op 37944 éénen bevat is? — deefe 3 944 éénen worden tot agten gebragt. als men bepaalt boe menigmaal 8 éénen op 37944 éénen gaan? \79^\ éénen zijn dus gelijk met 474-', agten. Als men nu door deeling bepaalt, hoe ménigmaal 9 agten op 474 3 agten bevat zijn zal men daar door oc k te gelijk weeten hoe vet i maal ji éénen op 37944 éénen begreepen zijn — en wij hebben daar vo. r 517 maal gevonden. Indien de vraag was om 37944 in 71 deelen te verdeelen, zal men in 8 deeknde het getal 37944 in 8 gelijke deelen verdeeld hebben , en eik agtfie deel van een geheel in 9 deelen vërdeèlende, zal het geheel in 72 gelijke deelen verdeeld zijn , indien dus de 4743 , die een agtfte van 37944 is, in 9 verdeeld wordt, zal ^27 het négende deel daarvan een twee en zéventigfte deel zijn van 37944- In de bewerkingen B en C heeft men de 37944 tot tweeën de tweeën, tot vieren in C, en de vieren tot agten; in B tot agten, de agten door 3 tot vierë ntwictigen. en die tot tweeënréventigen gemaakt, Of anders de 37944 éénen in C in hal» ven gedeeld,- de helft i 8972 in twee , is 9486 een vierde, de vierde 9486 in 2, is 4763 een agfte; de agfte'4763 in 3 , is 1581 een vieröntwintiglte; het vierëntwintigfte 1581 in 3 dan is 527 het tweeënzéventigi'e deel van 37944- —— En dit meenen wij genoeg te zijn tot betoog van hec gefielde in § 170. § 174. Men dient te letten op eene omftandigheid, die veelal bij de Divifie door faclóres plaats heeft: namelijk als 'er bij de eerfte tweede en volgende deelingen, in de deeling een getal overblijft. Hoe dat men als dan werken moet, zal weder  ia8 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. weder het best door een voorbeeld in getallen kunnen opgehelderd worden. Stel dat men 3715 door 12 moet divideeren. 3715 3) I238J 4) 30911 het quotiënt. Ik deel eerst door 3 en het quotiënt is 1238^ dit zijn getallen van drie; deefe moeten, om dat «5x4 ~ 12 is? n°g door 4 gedivideerd worden: 1238-' door 4 deelende, komt 309 en dan blijft van het deeltal nog 21 over, die door 4 gedeeld moeten worden. Aangezien elk geheel drie derde deelen is zal 21 ~ 2 x 3 4- 1 — 7 derdedeelen , die in 4 moeten gedeeld worden, één derde deel in vier gedeeld is een twaalfde deel , daarom 7 derde deelen in 4 gedeeld zijn ■ de, is het quotiënt f.; en derhalven zal 5715 door 12 deelende , het quotiënt ZZ 309 ti zijn:Zo 'er dan bij eene voorgaande divifie een „ getal is overgebleeven, moet men bij de volgen, de deeling de rest van die deeling met den „ deeler van de voorgaande divifie verménigvul„ digen en daar bij het overfchot van de voor- ,. gaande deeling optellen , en dan komt „ 'er die rest der divifie , die men verkreegen „ zou hebben, indien men door het produel der „ deelers in eens af gedivideerd hadt.*' § 175. Hier zijn tot oeffening in deefen régel nog eenige voorbeelden f waar van 'er :wee zijn uitgewerkt. I Voor-  /. Boek* I. Hoofd. VIL Les. very. van de Divifie, 129 I Voorbeeld. II Voorbeeld. 27 deeler 182 deeler 38257 deeltal 40967 deeltal • 3) _ s)„_, 12752Ï 20483\ 3)- 7) 42502 2926^ *) 13) ' 53 r|/ quotiënt. 225^ quotiënt Meer voorbeelden 1° 31046835 -v- 56 ~ 554467.ll 2? 7014596 ~ 72 SS 97424;-!! 3° 5130652 -5- 132 = 38868 & 4? 830165;'2 -ï- ^40 ZZ 345902 % § 176. Anderen ftellen denzelfden régel onder eene andere gedaante voor, en zeggen: „ Multi„ pikeer het overfchot der laatfie deeling door den „ deeler der voorgaande divifie, tel bij het product „ de rest van de voorgaande divifie ; deefe fom moet wederom met den deeler van de naast voor. gaande divifie gemultipliceerd worden — en j, dan indien het nodig is , dat is indien Vr „ meer deelingen en resten geweest zijn , moet de rest van de voorgaande deeling bij het laatst gevondene produSt geteld Worden, en de fom „ op nieuw door den voor gaanden deeler gemultipli. „ ceerd, en dus voordgegaan worden, tot men aan „ de eerfte deeling gekomen is, waar een overfchot 5, plaats hadt, dan is het komende getal, dat }i getal, dat overgebleeven zou zijn door in ïi ééns af met den geheelen deeler te divi* b deeren." ï yoojt-  t3o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Voorbeeld. Laat 64865 met 144 mosten gedivideerd worden, f54865 1 het laatfte overfchot g) met 4 de voorgaande deeler 7207 — 2 4 product. 2801 — 3 doe bij 3 het tweede overfchot ^ 450 — 1 7 de fom met 9 de voorgaande deeler Quotiënt 450 $ 63 produft tel by a 65 het overfchot der geheele Divifie. Ik heb hier deefen tweeden régel bijgevoegd, voor hun , die meer aan den gewoonen fchooltrant van werken gewoon, denzelven in den eerften opflag mogelijk gemaklijker zullen vinden, dan den voorgaanden. Hl. Wordt geleerd, hoe men een getal door of in 10, 100, 1000, iooco enz. kan divideeren. § 177. Als men een getal door of in één van deefe getallen 10, 100, 1000, ioooo enz> moet divideeren, zalmen het quotiënt verkrijgen,,, door „ van agter en ééne letter als men met 10 s twee ,, letters als men door 100, drie letters ah men „ door 1000, vier letters als men door 10000 „ enz, divideert. aftefnijden. Door deefe affnij- „ ding  L Boek.I. Hoofd. VILLes.Verv. van de\Divifte. 131 „ ding is het deeltal in twee deelen verdeeld y „ die men elk op zich zeiven als één getal aan* „ merken kan , waar van het voor fte het quo. „ tient en het agterfte de rest der deeling ts." ■ § 178. Deefen régel zullen wij eerst door de uitwerking van de volgende voorbeelden ophelderen. t° .Als men J7S23 door 10 moet divideeren, mijdt men de agterfte letter 3 door een ftreepje af, — dan ftaat het in deefervcegen: 3782 | 3 hier is nu het voorfte 3782 het quotiënt en 3 het overfchot der Divifie; zo dat 37823 4- 10 ~ 3?82,z. 2° Als men 178=95 door 100 moet divideeren, fhijdc men de 'twee agterfte letters af— en dari heeft men dit 1782(95 waar van het voorfte getal 1782 het quotiënt, en het agterfte getal- 95 de rest der deeling is; waar uit dus blijkt, dat 178295 door of in ico gedeeld zijnde, het quotiënt 1782 is, en 95 overblijft. 3* Nog eens 3824962 door 1000 deelende, moeten *er van het deeltal drie letters van agteren afgefneeden worden,, waar door men heeft 3824 [962 waar in 3824 wederom het quotiënt en 962 de rest der deeling is, zo dat 3824962 -f- 1000 ^3824 is. Men moet altoos maar onder het oog hou. den, zo veele cijf ers agter aan het deeltal afte* 1 * jhij.  t3* GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST fnïjden, ah 'er ooo agter de één (laan, van het getal Waar méde gedivideerd wordt. § 179 Om dat het bewijs van deefen régel, in algemeene bewooidingen voorgefteld, om de langwijligheid niet al te ligt begreepen zou worden,"zullen wij nog een woord of twee over de boven uitgewerkte voorbeelden aanmerken, en deefe aanmerkingen in plaats van een bewijs doen dienen. Als men door i ó deelende, de agterfte letter (zie 1? voorbeeld) van 37823 affhijdt ; is het deeltal in twee deeleri gedeeld; namelijk 37823 Zz\ 37820 + 3 ^ 378a x ro + 3: als men nu 3782 x 10 door 10 divideerd, zal het quotiënt 3782 zijn, en het eerfte deel van het deeltal is fedeeld, het tweede is kleiner dan den deeler, en an om die réden niet gedeeld worden, het blijft daarom de rest der divifie. Om dat in het tweede voorbeeld 178295 ZZ 17.;20o + 95 zz 1782 x 100 + 95 is, zal 178295 door 1000 deelende , het quotiënt zijn 9^ h 1782 » . jco 100 ioo Eindelijk in het derde 3824962 ZZ 3824 x 1000 + 962 zijnde , is 3824962 4- 1000 ZZ 3824 x 1000 962 962 ,. 0 -7 4. ---- ZZ 3824 —. — en dit 1000 iooo 1000 zal genoeg zijn tot betoog van den régel, j IV. Hot  I. Boek, I. Hoofd. VII. Les. Verv. van de Divifie. 133 IV. Hoe men de Divifie kan verkorten als de agterfte cijffers van den deeler 000 zijn, gelijk 70, 3700, 39000 enz. § 180. Het geen wij in de twee voorgaande At eikeis van deefe Les voorgedraagen hebben , legt den, grondflag tot de bewerking der divifie, in°het geval, als de agterfte cijffers van den deeIer000zijn; gelijk als men bij voorbeeld38205731 door 2300 moet divideeren. § 181 De deeler is in deefe gevallen altijd een veelvoud van 10, 100, loco, enz.,- in ons voorbeeld een veelvoud van 100 ; want 2300 ZZ 100 x 23 zo dat 23 en 100 de factors van den deeler zijnde, de divifie ten einde gebragt wordt, door het deeltal eerst met ico en het komende quotiënt met 23 te divideeren; nu wordt volgends § 177 het deeltal 38205731 met 100 gedeeld door de agterfte letters af te fnijden —■ en het quotiënt is 382057 de rest der deeling 31: Nu moet het bekomene quotiënt 382057 door 23 gedivideerd worden — en dan heeft men ?66ri tot quotiënt, en de rest deeler laatfte deeling is 4, welke volgends § 174 met joo verménigvuldigd en de 31 de rest der voorgaande deeling bijgeteld 431 voor de geheele rest geeft. Men fchikt de bewerking gewoonlijk in deef* orde, I 3 23 \ 00  i34 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. deeler deeltal quotiënt 23 ] 00 2 3 100. Men kan het ook multiplicant der bewerking noemen, aangezien het eigenlijk dat getal is, dat in de geheele bewerking als muiti- pikant dienen moet en de 100, 1000 enz. zal ik het hoofdgetal der bewerking noémen. Verklaaring van ie bewerking) Men fnijdt omdat roo het nootdtalis, vanhet deeltal de twee agterfte letters af; dan is het voorftedeel 37824,iet geen'er komtalshet deeltal door roo  LBoek.lHoofd.VII.Les Verv.vcmdeDiviGe. 137 § 184. II. Met 25 te divideeren.') Aangezien 25 een vierde van 100 is, zal men her getal dat met 25 moet gedivideerd worden, met 4 vermé* nigvuldigen en het komende product door ioo divideeren, het welk gefchied door de twee agterfte letters afteihijden § f77- Bij voorbeeld 378972 door a$ moetende divideeren, werkt men aldus: , deel- 100 gedivideerd wordt, en het agterfte deel, 96 namelijk, is de rest der deeling, het getal dat overblijft. Men maakt een rechtgaande dwarsftreep , om net ouotiert van de rest der divifie te onderfcheiden, en de volgende, die 'er onder gefchreeven moeten worcten, met meer gemak op te tellen. Bef gevondene quotiënt is met het fufplement des deelcrs verménigvuldigd geworden, de twee agterfte letters 40, van het komende 75648 afgefneeden , dit komende noem ik kortshalven A : en heb het onder het voorgaande zodanig gefchreeven, dat het voorfte deel, 756 onder het voorfte deel van het eerfte of bovenfte getal ftaat en het agterfte deel onder het agterfte. Verder is het voorfte deel van A, namelijk 75Ö mei. het fupplement des deelers verménigvuldigd geworden, van het product de twee agterfte letters afgefneeden, dit eetal is B genoemd, het voorfte deel 15 ftaat onder het Voorfte deel 75Ó van A, het agterfte deel 12 onder het agterfte 48 van A, ■ , . , 1 . 1 Eindelijk is het eerfte lid 15 van het komende getal B met het fupplement der divifie vermenigvuldigd —en naardien 'er nu een getal van twee letters komt , is het komende product 30 het getal C in de tweede Colom eefchreeven. . , Ik "noem de eerfte colom . de colom der quotiënten de tweede de colom der overfchotten. Elke colom wordt nu afzonderlijk opgeteld ! men vindt voor de fom der overfchotten 186, men vraagt hoeveel maal de deeler 98 daar in begieepen is. — dit vindt men éénmaal en 'er blijft 88 over: deefe 88 is de rest IS der  ï38 GRONDBEG. der CIJFFERKÜi\ST, deeltal 378972 — - (4 quotiënt 15158:88 4 |— 22 rest der deeling. De 88 het overfchot der divifie, moet door 4 gedeeld worden, om het overfchot te verkrijgen, dat tot 25 als deeler behoort; want het viervoud van der divifie, te weeten dat getal, dat zal overblijven als het gegeevene deeltal door 98 gedivideerd wordt. Eindelijk de fom der quotiënten optellende , en de 1 die overgebleeven is 'er bij tellende , komt voor het quotiënt 38596- De leefer zal door de Divifie langs den gewoonen weg ait te werken, zich zeiven kunnen overtuigen, dat het gevondene quotiënt het waare is. Men volgt altijd denzelfden régel. Men ftUfdt van het ieekal agter aan door een dwarsftreep zoo veel cijffers als 'er 000 zijn in het honderd, duizend, tienduizendtal enz. dat iet naast bij het gegeevene deeltal komt- dan is de colom voor de quotiënten en de ctlem voor de overfchotten verdeeld; nu vermenigvuldigt men telkens hit voorfte lid met êe multipllcmt of het fupplement van den deeier, [chrijvende elk produtt indiervoege onder het voorgaande, dat de cijffers van agter aan gelijk ftaan : als men deefe bewerking iu zo verre herhaald heeft , dat bij de iaatfie multiplicatie geen getal voor de voorfte colom meer komt telt men eerst de agterfte celom of de colim der everfchotten te famtn »p . gis die fom hooger dan het deeltal is, deelt men die fom door den deeler, de rest der divifie fchrijft men 'er onder en het quotiënt telt men bij de eerfte of voorfte colom j ■ en ieeje fom is het gevraagde quotiënt. Wij zullen deefen régel nog door eenige voorbeelden in getallen ophelderen. I. Voorbeeld. Om 37852976 door 999 te divideeren. Hier moet men in de*agterfte colom drie cijffers plaatfen en 1 is de multipücant der divifie; want P99 + 1 =3 iooo.  /. Beek. I. Hoofd. VII. Les. Verv. van de Divifie. 139 van een getal door 100 deelende, komt op het zelfde uic, als door 25 te divideeren. § 185. III Met 75 te divideeren') Men rédeneert aldus: 75x4 53 3°°i daarom een getal A met 7K moetende divideeren, zal men het quo- tiem 3785' 976 37 851 37 quotiënt 37890865 -f 1 C* L 5?9^ 866 rest der divifie , het getal dat overblijft, indien men naar den gewoonen régel 37852976 door 999 divideert. II Voorbeeld. Men wil 7092157732 doer 996^- videeren. In dit voorbeeld moet men, aangezien 996 4. 4 !=J ioco is , drie cijffers in de agterfte colom hebben en 4 is het hoofdtal der bewerking. 7092157 732 28368 628 113 472 452 quotiënt 7120640284 i 2 (* L joö)—- ' ■— 292 rest der Ideeling , het getal dat zal overblijven, indien men 7092157732 door 996 divideert. III Voorbeeld- Eindelijk neg 37008241S9 door 9997 te divideeren. Hier moeten vier letters in de agterfte colom ftaan en 3 is  ï4o GRONDBEG. der CIJFPERKUNST. tien: door deefe werking vinden ~ ft x * Z. — Bij voorbeeld 378923 door 75 divideeren, mui- 3 is de multipHcant der bewerking; om dat 9397 + 3 5510000 is. 37008I412* 11I1024 1 33 quotiënt 370:91518a rest der deeling. dus is 37019 het quotiënt en 5186 de rest dar deeling. Deefe voorbeelden meenen wij voldoende te zijn bm den régel optehelderen en te doen veritaan. Laat ons nu nog met een woord of twee iets zeggen tot nader betoog van den voorgedraagenen régel , en tot dat einde rog eens het voorbeeld neernen om 378.496 door 98 re divideeren. Door het aflnijden van de twee agterfte letters is het deeltal door 10c gedeeld geworden, maar daar men niet door ioc maar eigenlijk, door 98 moest divideeren is het quotiënt te klein, daarom moet men zo menigmaal als ïoo in het quotiënt bevat is nog het getal 2 'er bijgevoegd worden; daarom heeft men het quotiënt met * en het product met 100 gedivideerd, en 736 verkreegen dat nog bij 37824 moet geteld worden, 'maar zo veel maal ais 100 in 756 bevat is moet het getni 2 nog bij geteld worden; daarom heeft men het getal A met 2 gemultipliceerd en door 100 gedeeld , en door deefe bewerking 15 verkreegen en dit allei te zamen tellende komt noodzaaKelijk het begeerde product. Het geen wij hier tot opheldering gezegd hebben , is ver af van een paauwkeurig wiskunstig betoog" te zijn, waarom Wij voor meergevorderden eerifteiRunstig zullen bijvoegen. Laat A het getal zijn , dat gedivideerd moet worden en .dewijl de deeler altijd een getal dat weinig van 100, 1000, 10000 enz. verfchilt, en 100, 1000,'iooco kan woiden uitgedrukt door Tcj2, »o|.$j 7?J+ ï»jf enz. kan men r het_fupplement van den deeler noemende , den deeler door i0|ii- mitdiukken. —- n is hier aki ,d een heel en fteliig getal. Laat  /. Boek. I. Hoofd. VII. Les. Verv. van de Divifie. I4t multipliceer met 4 en divideer het produft door 300: aldus deeltal 3 7 8923 : (4 3100 J 151569* f 5052 quotiënt, I 1 (4 — L 23 rest der deeling. § 186. IV Om met 125 te divideeren) Hier is IS>5 — j van 1000; want 125 x 8 =5 icoo; daar- Laat nu verder- A gëdividéerd door ïöja, 'B geeven en b in de desiing ovf-rlaaten. Voords r B door ïS|* gedivideerd C geeven en c overblijven. •■: r C gedivideerd door iojn, D geeven en a over. r D gedivideerd door Tö\a, E geeven en e overlaaten tot men eindelijk komt aan een quotiënt, N, dat door r gemultipliceerd en door ïö|n gedeeld o geeft en n overlaat. Dit gefteld zijnde zeg ik, dat A- (ÏE\n _ r) 4- = B + C + D + E + &c. , b+ c_+ d + e ~h &c 4- n Om deefe ftelling te bewijfen jjermeuigvuldigt men beide léden dsv vergelijking met io|n —— r, en dan is A=.\ -BXr -CXr ^ÜX'- &c — rXN ^ L +6-J- c + a- x e + » In deefe vergelijking hebben de volgende vergelijkingen plaats. _ IQ C x i°ln rtBXr 4. #so 2? D X ïSjtt - Cxf + ^- o &c. &c. &c. 3S E x -Dx' + e = 0 »n laatsdijk - NXr + «30 Dat  i4a GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. daarom multipliceert men het deeltal met 8, en divideert het product met iooo, door de drie agterfte letters afcefnijden. Bij voorbeeld. Stel 3805449 door 1*5 te divideeren, is dit de bewerking 3805429 . 1—(8 quotiënt 30443'43av CS| 54 de rest der deeling. § 187. V Om met 375 te divideeren.} In dit geval is 375 s | van 1000; want 375 X 8 q ss 1000; daarom vermenigvuldigt men het deel* tal met 8 en divideert het quotiënt door 3000 , volgends § 180. Wij neemen tot een voorbeeld 93*278 door 375 te divideeren', dan is dit dé ichets der bewerking. deel- . Datd.e,e.fe vergelijkingen noodzaaklijk plaats hebben, is gemakhjk na te gaan: want B r door deelende komt C en1 laat c over; daarom C X To\n 4. c a B r of C X ïöfa B r + c =, 0 enz. met »1 de overige. '•Er blijft dan_ niets over dan dat A ~ B X FJIn 4. bwant A door IO|a deelende komt B en laat l over, zo als ook boven bepaald is en uit dit betoog blijkt nu ten .klaarften. 10 Waarom volgends den régel elk voorgaand quotiënt-door Aetfupplement r van den deeler vermenigvuldigd wordt. ^ Waarom volgends den regel de fom van de quotiënten i + ' + 4 + « + & + ndoor den deelzin — r gedeeldwordt, 3* En ook °e j^den waarom de fom der quotiënten B + C + A t &c' hêt ^eerdè quotiënt is. - En 4? dat ït w^eï.elnei -,TrgefcihreeJene régel zéker is en op de klaarbhjkehjkfte wisktinftige gronden berust.  I. Boek. I. Hoofd. VIL Les. Verv. van de Divifie. 143 deeltal 935*78 (8f 3|oco 4 7482 224 -s 2494 quotiënt L 224 L 8) 28 rest der divifie. § 188. VI Om met 625 te divideeren) moet men om dat 625 \ van 1000 is, het deeltal met 8 multipliceeren en het komende producl door 5000 divideeren: fel dat 921759 met 625 moet gedivideerd worden. 921759 (8 cooo 73741072 r 3 14 1474 quotiënt 8) ^- 509 de rest der deeling 5 189. VII Om met 875 te divideeren.) heeft men alleen als in het voorige met 8 te verménigvuldigen en het komende product door 70C-0 te divideeren; want 875 sa. \ van 1000. Laat ons ftellen 1739821 door 875 te divideeren \ dan werkt men zo als hier benéden te zien is. deeltal 1739821 (8 7J000 f 139181568 f 1988 quotiënt L 61 L 2568 3) ■ 321 de rest der deeling: § 19c»  -44 GRONDBEG. der CJJFFERKUNST. § 190. Nog meer andere kunstgreepen kan men met eenen goeden uitflag te werk ftellen. Het is onmoogelijk alle bijzonderheden optetellen ■— dit wemige zal alleen genoeg zijn. Als men met 35 divideert, zal men het quotiënt vinden, door met 2 te multipliceeren en het pro. duet door 70 te deelen; want 3 x 35 s 70 of 1B% 35. Indien men met 15, 45, 55, 65, 85, 05, moet divideeren. kan men de begeerde quotiënten vinden , door de deeltallen met 2 te verménigvuldigen en de komende producten door 30, 90, 110, 130, 170 en 190 te divideeren. Dit ailes zal de leerling , het bovenftaande wel begreepen hebbende, gemaklyk begrijpen en tot zijn eigene oeffening kunnen uitwerken. V. Nadere befekouwing omtrent de overéénkomst der multiplicatie en divifie benévens eenige aanmerkingen < tot befluit van dit Hoofddeel' § T91. Alles wat in de voorgaande, èn tot bier toe in deefe les is voorgedraagen, is voldoende om de Divifie, die zéker de moeijelijkfte der vier hoofdrég ls is, grondig te verdaan en vaardig uit te werken: gelijk nu, zo als in de III Les § 64. en verder geleerd is , de Additie en Subtractie eene overéénkomst met elkander hebben, éven zo is 'er eene gelijke overéénkomst tusfchen de mul. tiplicatie en divifie, die den grondflag legt tot de onderlinge beproeving van beide bewerkingen. Deefe overéénkomst heeft men éénigermaate kunnen  ƒ, Boek I. Hoofd. VII. I es. Verv. van de Divifie. 145 nen opmaaken, uit het geen VI Les § 126. et feq. en § 155. gezegd is,;— en wij hebben 'er hier alleen maar tot nader opheldering bij te voegen, dat de multiplicatie door de divilie en de divifie door de multiplicatie beproefd wordt. Indien men twee getallen 17 en 6 met elkander vermenigvuldigd hebbende, 102 voor het producT; verkiijgc , zal men deefe bewerking beproeven , door het produ6t 132 met een der factors 6 of 17 te deelen , wanneer 'er den anderen factor moet uitkomen: en twee getallen 171 en 9 door elkander gedeeld hebbende, zal men, zo als § 126". geleerd is, weeten dat 19 het waare quoiient is, door den deeler 9 en hec verkreegen quotiënt met elkander te verménigvuldigen. Dit alles is zö klaar, dat het niet nodig is meêr voorbeelden toe opheldering hier bij te voegen, f» ($ 192. Alles wat wij in dit hoofddeel behandeld hebben , ftrekt zich uit tot de kennis der getallen, de wijfe van tellen, en de beoeffening der viei grondregels: wij hebben geleerd hoe alle getallen zamengelteld, van elkander afgefcheiden, vermeerderd, in deelen gedeeld en door elkander gete) 'Ei zijn die nog het volgende tot een proef van de Divüie opgegceven: narneii'tk als men de divifie uitgewerkt heefc 'in die orde, zo als g 13»- geleerd is, telt men alle de producten te zamen , welke dan het deeltal wederom moeten voordbrengen : deefe proef is zeer i^oed, als men eerst een tafel 'van de veelvouden des deelers gemaakt heeft, zo als wij in de noot pag. 85 voor de vermenigvuldigers hebben leeren zamenftellen. anders kan elk ligt begrijpen, dat zo men in het multipliceeren een fout begaan hadt, deefe misllag uit znlk eene proef niet zou kunnen blijken. K  i46* GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. gemeeten kunnen worden en hier in beftaan alle Cijferkunstige bewerkingen, Een leerling, die nu alles wat in deefe leslen voorgedragen is, grondig vertlaat, heeft om zo te fpreeken , het gebruik der werktuigen geleerd, waar méde hij werken moet, de deelen en gelédingen van het gebouw leeren vervaardigen, die in elkander ge< voegd, een goed geheel uitmaaken. — en in de daad alles wat wij in het vervolg van dit Werk zullen voordraagen, is niet meer dan flechts eene toepasfing van het geen reeds geleerd en uit de gelegde grondsn van het talftelfel betoogd is. Alles Iteunt op één begin/el op ééne aangenomene grondflelüng, die in de eerfte Les § 18. et feq. opgegeeven en verklaard is, en waar uit alle régelen voor de bewerkingen der vier hoofdrégelen zijn afgeleid. Ook zal de leerling in de voorgaande lesfèn hebben kunnen nagaan , hoe eenvouwig en min omflagtig de bewerking van elke régel uitgevoerd wordt, en op welk eene verkorte wijfe, uit de eenvoudige beginfelen van het aangenomene talftelfel, zulke vraagen beandwoord worden, die men door de gewoone telling, zoo niet ooit, ten minsten met de uiterfte vermoeijing zou vinden. Hebben wij dan niet met het volkomenfte recht, de Cijfferkunst eene verkorte en kunstige wijfe van tellen genoemd ? en ziec men nu niet ten duidelijkften, het geen men in het vervolg nog verder zien zal, dac het Cijfferen Chet zijn de woorden van Wijlen den Heer Blassie3re (a) ) niet beftaat in kunstjes met de getallen O) Zie de Voorreden van zijne Grondbeginfelen der Rékenkunst pag. 2.  /. Boek. I. Hoofd. VII. Les. Verv. van de Divifie. 147 kn te doen, maar eigenlijk een voornaam deel van eene verkorte en welgegronde redeneerkunst is. § T03« Wij hebben alles (behalven eene en andere'ingevlochte aanmerking) van de getallen als getallen gezegd : Maar nu gaan wij de getallen gebruiken om 'er grootheden méde uittedrukken. Wij moeten nu de overéénkomst cn hoedanigheden, betrekkingen en eigenfchappen leeren kennen van grootheden, welker waardijen in getal uitgedrukt, door getal vergeleken en gemeeten kunnen worden — en dit alles zal in de twee volgende Koofddeelen van dit Boek afgehandeld worden. K 2 II, HOOFD-  148 GRONDBEG. der CiJFFERKUNTT. II. HOOFDDEEL Over de Grootheden in het gemeen , hoe de grootheden op verfchillende wij fen in getal kunnen uitgedrukt worden en de régelen der herleidingen. VIII. Les. Nadere hefchouwing der 'grootheden ■— 'er zijn veele foorten van grootheden , en die alle kunnen in getal worden uitgedrukt. I. Wat Grootheid is. § '94- „ I^rooTheid is alles wat vermeerderd en \jj$ „ verminderd kan worden , waar men „ deelen bij doen en >afneemen kan , dat deelbaar is en grenspaalen heeft f Zo zijn de ruimte, deszelfs afmeetingen' van lengte . breedte en diepte, de Hof, de tijd, de vermogens en werkkrachten der Natuur; de beweeging , de fnelheid, de zwaarte en aantrekkingskragt der lichaamen ; met één woord (want alles is niet op te noe-» men, > alles wat wij in de Natuur vinden , alles wat uit zijn aart grooter en kleiner kan worden, dat alles is grootheid.  LB. lLHoofd.VlIl.Les, OverdeGrooth. enz. 149 hier te lande is de ellemaat lang 2,1917 rhijnlandfche duimen. § 212. De vlaktens, werden in ylaktens be« rékend, die men vierkante roeden , vierkante yoe- 00 Men kan de vergelijking van de elle maaten der onderfcheidene landen zien in den Koophandel van Am- fteh  / Boek. II.Hoofd VIII Les.overdegrooth.enz. i$7 voeten, vierkante duimen noemt. (£) — Een vierkante roede bevat 144 vierkante voeten, een vierkante voet 144 vierkante dunnen, enz. — Een morgen lands is 600 vierkante roeden. § 213« De lichaametijke ruimte , dat is de inhoud der üchaamen wordt in cubik roeden, cubik voetenen cubik duimen berékend: ^c) een cubik roede is 1728 cubik voeten, — en een cubik voet 1728 cubik duimen enz. § 214. De tijd wordt m eeuwen , jaar en , maanden, weeken, dagen, uur en minuten enz. berekend. Een eeuw is een tijdvak van ico jaar. Een jaar is de tijd, die de zon bcileed , om haaren weg aan den hémel door te loopen, welke tijd volgends de berekeningen van de la Lande en anderen is 365 dagen 5 uuren 48 minuten 45,: fecunden. Zie de la Lands Aftron: ^885. Dit is de lengte van het middelbaare fterrekun- digé Jteldam pag. 434 et Jeq , ook bij Strabde in zijn Schatkamer der Koopmans Rékenkunst 11 Deel, in de tafelen de lfl tafel pag. 129, alwaar de lengte van ieder el in linien, naar den Koninglijken Franfchen voet betékend is. (6) Men .verftaat door een vierkante roede eene rechthoekige vlakte, die ééne roede lang en ééne roede breed is en zo moet men dit ook van de vierkante voeten en de vierkante duimen verftaan. O) Een cubik roede is een lichaam dat de gedaante van een dobbelfteen heeft, ééne voet lang , ééne voet breed , en ééne voet hoog is — en hier uit verftaaê men gemaklijk een cubik voet een cubikduim enz. zij.  i58 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. dige jaar ■ en naar dit jaar zijn de burgerlijke jaaren ingericht, die men in gewoone jaaren en in fchrikkeljaaren verdeelt: een gemeen jaar is van 365 dagen — en een fchrikkeljaar van 3 66 dagen: — deefe komen van vier tot vier jaar, en zijn daar aan kenbaar, dat de jaartallen der fchrikkeljaaren door vier zonder overfchot gedeeld kunnen worden: het tégenwoordige jaar 1792 is om die ré« den een fchrikkeljaar de volgende 1793 , 1794, 1795 zijn gemeene jaaren, maar 1796 zal wederom een fchrikkel jaar zijn. (d) § 215. Het jaar verdeelt men in 12 maanden, die 30 of 31 dagen hebben, de maanden Janua» rij, Maart, Mei, Julij , Augustus, Gétobar en December zijn van 31 dagen, de overige van 30, behalven de maand Februarij, die in een gewoon jaar 28 en in een fchrikkeljaar 29 dagen heeft. Meest- (d) Jut/ius Caesar was de eerfte die door zijne wiskundigen het jaar bepaalde op 365 dagen en 6 uuren ; als nu het jaar op 365 dagen berékend wordt, houdt men elk jaar 6 uuren over, die in 4 jaar 24 uuren of éénen dag maaken, hierom telde men drie jaaren van 365 dagen en het vierde van 366 dagen, na verloop van welke jaaren alles weder heifteld is en het burgerlijke jaar met het zonne jaar overftemt. Op het einde van de zestiende eeuw ten tijde van Paus Gregorius, bevondt men het jaar minder dan 365 dagen en 6 uuren; men voerde daarom eenen nieuwen ftijl in , bij welke de jaaren 1600 een fchrikkeljaar , maar de jaaren 1700, 1800 en 1900, die volgends den Jüliaanfchen Almanach fchrikkeljaaren zijn, voor gemeene jaaien moeten gehouden worden. De inftelling van Grigoeius woidt Nieuwen Stiji-in die van Julius Caesar Ouden Stijl genoemd. Onder alle Christenen behalven bij de Rusfen wordt den Nieuwen Stijl algemeen gebruikt.  I. B. JL Hoofd. VHL Les. Over de Grooth enz. 159 Meestal rékent men in ronde getallen een maand op 30 dagen. §216. Een week is 7 dagen — derhalven een maand 4 weeken en 2 of 3 dagen — doorgaands rékend men vier weeken; —- een gewoon jaar 52 weeken en 1 dag — een fchrikkeljaar 52 weeken 2 dagen. § 217. Een dag of etmaal is 24 uuren , het is de tijd die de aarde hefteed om eens om baa» ren as omtewentelen: een uur wordt in 60 mi- noten een minuut in 60 fecunden, een fe- cunde in 60 tertiën, een tertie in 60 quarten enz. verdeeld. § 218. 'Er zijn nog veele andere tijdsverdcelingen : de voornaamften zijn. I. de M a a n-C 1 r k e l, door M e t o n vanAthenen430jaar voorChristus geboorte, 3.21 jaar na de grondlegging van Romen, uitgevonden, deefe is een tijdsverloop van 19 jaaren, na verloop van welken tijd, de dagen der volle en nieuwe maanen met de datums van he: jaar overéénftemmen: Het jaartal van dien cirkel noemt men het Guldengetal: dit was in 1785 vol, en in het tégenwoordige jaar 1792 zijn wij in 7 jaar van den légenwoordigen maan-cirkel dat is 7 is het gulden getal, (a) II. De Zonne.Cirkel, die een tijdkring van Ca) Om de ZoHBe-Girkel voor een gegeeven jaar te vinden , telt men 9 bij het jaartal en deel de fom door 28 het quotiënt- is den cirkel fen het overfchot is het jaartal des volgenden cirkels; dit tegenwoordig jaar •> 0 1792:  Uö GRONDBEG. der CIJFFER KUNST. van 28 jaaren is, na verloop van welken de da. gen der week mee de datums der maand het geheele jaar door overéénkomen. Deefe cirkel is 9 jaar voor de geboorte van Christus vol geweest; was in 1783 weder vol en thans zijn wij in het 9 jaar van den tégenwoordigen. (b) III. De Cirkel van Indictie, die deeen aanjulius Caesar, de ander aan Augustus toekent,* maar meest waarfchijnelijk is ConstaNtinus de Groote de eerfte infteller geweest in het jaar 312 van onfe tijdrékening. Het is een tijdverloop van 15 jaaren, en eene willekeurige telling aan den loop van zon noch maan verbonden, maar Waar van zich in de gerichtzéteis bediende. rc) IV. Als de Zon» en Maan cirkel gecombineerd worden, verkrijgt men een tijdverloop van 532 jaar, in welken tijd de volle en nieuwe maanen, de dagen der week en de datums der maand, het ge« heele jaar door, overéén Hemmen. Dyonisus de kleine heeft dien cirkel in 1527 gevonden; daarom wordt zij de Dyonisiaan. sc he 1792 is zéderd 9 jaar voor onfe jaartelling, in den 65 Zonne cirkel, het 9 jaar. (&) Om de Maan cirkel of het gulden getal te vinden, trekt men 1500 van 1792 af om dat namelijk de Maan cirkel in 1500 vol was; het overblijffel 292 deelt men door 19; komt 15 en blijft 7 over. Dus zijn wij thands in den 16 cirkel zsderd 1500 en in het 7 jaar van dien cirkel. (e) Om het jaar der Indictie te vinden, moet men 3 bij het Jaartal optellen en de fom door 15 deelen, het overfchot is het jaar der Indictie. Vayez IV'orery Le Grand Dtöienriaire Uiftorique, a l'article ItidiSim  ƒ B. H. Hoofd. FlI2.Les.0ver de Grooth. enz. i6t sciie Periode genaamd, ook wel de Victoria a n s c h e of de groote P a a s c h- c i r k e e, {d om dat het Paasch en andere beweegbaare feesten dan weder in dezelfde orde komen. V. Eindelijk hééft men de JuiIaansche Periode, die het verménigvuidige is van Zon., Maan en Indictie cirkel en dus.een tijdverloop van 7980 jaaren is. Scaliger geboortig van Agen in Guienne , en naderhand Hoogleer aar te Leiden, is de uitvinder van deefen cirkel, .die naderhand in de tijdrekenkunde algemeen aangenomen is. (s. Voords heeft men nog fiooters van 5 grooten of 2; ftuiver, 8 zulke itooters maaken dus een gulden. Braspenningen van 10 duiten , 20 penningen of 5 ftuivers, 16 zulker braspenningen , maaken ééne gulden. Nog Blanken van 6 duiten of 12 penningen. § 234. Veele Munt fpetien worden bij worpen getelt Dubbeltjes telt men bij 10 is een worp. Zestalven bij 4 of 5 in een worp. Schellingen bij 5 in een worp. Goud, guldens en Zeeuwen bij 5, 10 of 20. enz. § 235. Ook worden de fpetien veel bij zakk«n afgepasL. In  I. B. II. Hoofd. VIII. Les. Over de Grooth. enz. 11 f In een Zakje Zestalven telt men 200 worp van 5, dit is ^75 guldens waarde. In een Zakje Schellingen aco wojp van 5 dit maar 300 guldens waarde Een Zakje goud-guldens is 300 ftuk, waardig 420 guidens. Een Zak e drie- guldens, bevat 200 ftuks; 400 daalders of 600 guldens. Eindelljd in een Zakje Ducaatons zijn 200 ftuks afgepast en de waarde is 630 guldens. § 236 In deefe les bebben wij den grondflag gelegd tot het geen in de volgende ïcsfen van dit boek moet geleerd worden. Wij moeten nu tot de reduftien der grootheden overgaan, welke wij tot drie gevallen brengen: l° om geheelen tot minder deelen te brengen , 2° minderdeelen tot geheelen, en eindelijk 3° om een grootheid tct een getal van eene andere maat te brengenv—*• in dat alles zal iets als hekend gegeeven zijn, en iets als niet hekend gevraagd worden: hier zullen de eerfte beginfelen van de kunst van oplosfen en vergelijken in het verftand van den leefer zich moeten ontwikkelen, en de waarheid gevoeld worden, van de meer ingewikkelde bepaaling, die wij inde I Les § 8 pag. 4 van de Rékenkunst gegeeven hebben. L 4 IX Les.  168 GRONDBEG. der C1jTFE° KUIV'T. IX Les. Om geheelen van Maaten; Gt wigten en Muntfpetien tot ge deelt em te reduceer en. {d\ I Wat door reduceeren verftaan moet worden% 1 "\oor reduceer en of herleiden ver- • \_JJ faan wij hier en V&oi daan in het 5, vervolg, < zonder ooit aan dit woord eenen an* „ deren zin te geeven.) een gegeevene grootheid, „ die in getal uitgedrukt is, in een getal van ,-, eene andere cé.v uit te arukken " Zo zal bij voorbeeld eene lengte van 6 rcfedeh door 72 voeten en 864 duimen uitgedrukt kunnen worden, voor 5 Zeeuwfehe" Rijksdaalders zal men 13 gulden kunnen ftellen, enz In alle gevallen zal een gegeeven en een gevraagd getal'bij elke reduclïe voorkomen; welk gegeeven en gevraagde eene gelyke waarde moeten hekhen, of twee onderfcheidene uitdrukkingen moeten zijn van ééne en dezelfde grootheid. : 1 § 2-5,8. ïn deefe les moeten wij fpreeken van de reduclie der heelen tot deelen en minderdeelen, en hier wordt alles tot dit ééne beginfel gebragt, „ om gefeld zijnde . dat éénige één of ï? maat, in getal van welke een grootheid uit' v ge- (d) Deefe régel is op de Schralen bekend onder den naam van Muiiiplicaiit'in Gilden.  I. B. II. Hoofd.XI. L. Herl. van Heel. tot Blind, j 69 „ gedrukt is. in een zéker bepaald aantal van „ deelen gedeeld is. dat getal, in een getal van „ een deefer bepaalde deelen uit te arukken of anders: de ééN of maat van een getal in een ,, zéker getal deelen gedeeld zijnde . te vinden, „ hoe veel zulke deelen in twee , drie of meer zul. „ ke éénen, het getaluitmaakende, te vinden zijn." ■ ■ Als men eeue lengte van 6 voeten heeft en elke voet in 6 deelen verdeeld wordt, en men vraagt, hoe veel zesde deelen van voeten in die zes voeten gaan? is het klaar, dat. in 1 voet 6 deelen zijnde. in 2 voet, 6 + 6 deelen, dat is 2 maal 6 of 12 deelen. in 3 voet ,6 + 6+6 deelen , dat is 3 maal 6 of 18 deelen in 4 voet 6+6+6+6 deelen , dat is 4 maal 6 is 24 deelen , zullen zijn , dus ook in 6 voet, 6 maal 6 zesde deden, dat is 36 zesde deelen. § 239. Zo dat ., men het getal deelen waar „ in het geheel gedeeld is , zo veel maal moet „ neemen als 'er éénen in het gegeevene getal „ zyn, " En dit is de eenige régel waar toe alle de reduólien van geheelen tot minderdeelèn gebragt worden. Voorbeeld en. Als elke één van 6 in 7 deelen verdeeld wordt, zijn 'er in het geheel 6 maal 7 zévende deèlen, dat is 42 zévende deelen. Elke één van \7 in 12 deelen deelende, zijn 'er in 17, 17 maal ia, dat is 204 twaalfde deelen. Elke één van 365 in 64 deelen verdeeld hebbende , zijn 'er in 365, 365 maal 64 dat is 23360 vier en zestigfle deelen. L 5 Dit  i7o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Dit zal genoeg zijn, om den algemeenen régel te doen verftaan. II Deefe algemeene régel wordt op de redablie van bijzondere grootheden toegepast, § 240. Als men nu vraagt om ?/6 Guldes tot Stuivers en Penningen te maaken , rédeneert men, den bovenrtaanden régel volgende, op deefe wijfe: 376 GL — 376 maal 20 Stuivers — 7520 Stuivers. ■ 7520 Stuiv. = 75 'o niaal 16 ftuivers — 120320 penn. of zestiende deelen van een ftuiver. Nog eens 328 goud guldens tot ftuivers en dub ten willende maaken, redeneert men als volgt. 328 Goud-gl. = 328 maal 28 ftuiv. = 9184 ftuivers of agtentwintigfte deelen van een goudgulden. 9184 Stuivers — 9184 maal 8 duiten = 7347* duiten of agfte deelen van een ftuiver; zo dat 328 goud-gl. =^9,84 ftuiv. = 73472 duiten is. § 241- De oplosfingen van de bpvenftaande voorbeelden volgen uit den algemeenen régel § 238 : Maar tot meer gemak der bewerking, fchikt men het werk in deefe orde. N°. 1.) 376 SuId- met 26 tot ftuiv. 7520 ftuiv. met 16 -tot penn. 1:0320 penn. de waarde van 7520 ftuiv. de waarde van 376 gl. N». 2.)  L E. II. Hoofd. IX. L. Herl. van Heel. tot Mind. 171 N°. 2.) 328 goud-gl, met 28 tot ftuiv. 2624 656 9184 ftuiv. — met 8 tot duiten. 73472 duiten, de waarde van 9184 ftuiv. de waarde van 328 goud - guldens. De réden hier van is, dat, (zo als wij in V Les § 95 pag 61. gezegd hebben ,) een multiplicatie het zelfde product moet geeven, welk van de twee verménigvuldigende getallen, tot verménigvuldiger wordt aangenomen. Deefe bewerking is naar de fchikking, op de Schooien in gebruik, ingericht, welke ichikking wij voordaan volgen zullen , als voor het gebruik de bekwaamfte zijnde. § 242. Het is verre van af, dat de volgende rédeneering op de Schooien in gebruik, den grond der bewerking , met een volkomen overrédende zékerheid aan het verftand van den leerling zou brengen. „ Multipliceer de guldens met 20 om dat een gulden 20 ftuivers heeft.: en de ftui. 5, vers met 16 om dat een ftuiver 16 penningen „ heeft " Want door een getal guldens met 20 te verménigvuldigen , vindt men wel een getal, dat als getal aanwijs?, hoe veel ftuivers in d:e guldens begreepen zijn; maar het wijst,op den zin der uitdrukking lettende, naar den aart der multiplicatie, eigenlijk aan , wat getal guldens men zal ver-  i7s GRONDBEQ, der CIJFFERKUNST. verkrijgen , als die guldens 20 maal genomen worden. — Ook is hec 'er ver van daan, dat in het eeifte voorbeeld, naar onfenrégel, de 20 ftuiv. met 376 guldens zijn verménigvuldigd geworden, maar wel met 276 als aanwijfer, welke aanwijfer door het gegeeven getal guldens bepaald is, en waar méde uit den aart der vraag verménigvuldigd moest worden. § 2.43. Meer Voorbeelden. iP- 387 fluivers tot grooten, oortjes, duiten en penningen ? Andw. 774 grooten; 1548 oortjes; 30 6 duiten 619a penn. 2785 flooters tot braspenningen , grooten, duitenen penningen? Andw. 7570 brasp. 18925 grooten, 75700 duiten, en j51400 penn. 30. 1793 Guldens tot ftooters en braspenningen? Andw. 14344 flooters en 28688 braspenn. 4° "3879 grooten tot duiten en penningen? Andw. 55516 duiten en 111032 penningen, 59 3°752 guldens tot ftuivers, duiten en penn. Andw. 615040ftuiv.4926320duit9840640pen. 6° Men wil 17962 Zesihalven tot ftuivers, grooten, oortjens duiten en penningen maaken. Andw, 9v79i ftuivers , 197582 halve ftuiv. 790328 duiten, 1580656 penningen. 70. Men moet tot ftuivers duiten en penningen brengen de volgende fpetien : 1382 Goud-gl. 30826 Daalders 11759 Zeeuwen: 1179 Ducatons en 11790 Ducaaten ï Andw. de Goud gl. 38696 ft. 309568 duit. en 619136 penn. de Daald. 924780 ftuiv 7398240 duit. en 14796480 penn. de Zeeuwen 61X4.6H ftuiv. 4891744 duit ^9783488 penn. de  /. Ê. II. Hoofd. IX. L. Herl.'van Heel. tot Mind. 173 de Ducatons 74277 ftuiv. 594216' duit. en 1188432 penn. dè Ducaaten 1237950 ftuiv. 9903600 duit. en 19807200 penn. 8Q Hoe veel zestiende deelen van een duim zullen 'er in een lengte van 12 roeden begreepen zijn? Andw. 27648 zestiende deelen. p° De omtrek van de Aarde wordt in 360 graaden verdeeld; dis nu een graad is 15 duit. j'che mijlen, hoe veel duitfche mijlen gaan ''er dan in dien zelfden omtrek? Andw. 5400. 10° Hoe veel quart vellen gaan in 25 baalpa~ pier? de baal gerekend op 10 riem, de riem op so boek, hec boek op 25 vel. Andw. 500000 quarc vellen. Ii° Van een hoop fteenen in "t vierkant opgeftapeld, liggen 86 laagen in de hoogte ; in elke laag liggen 43 rijen \ in elke rij C3 fteenen, hoe veel fteenen zijn 'er dan in den geheelen hoop'? Andw. 82044 fteenen. Oplosfing 53 fteenen in elke rij. 43 riJ'en- -59 212 2279 fteenen in elke laag. 36 laagen. 13674 | 6837_ 82044 fteenen in den geheelen hoop. (a) 12° («) Eerst is berékend hoe veel fteenen in elke laag lig-  i74 GRONDBKG. der CIJFFERKUNST. isp Als een cubifche voet rivier water weegt 64 ponden hot veel ponden zulk water zullen 'er dan in een regenbak gaan , die 16 voethoog, 24 voet lang en 18 voet breed is? Andw. 442368 ponden, (b) III. De algemeene régel wotdt toegepast op de herleiding van de zamengejlelde grootheden. § 244. De bovenfhande' voorbeelden raeenen wij genoegzaam te zijn om den leerling tot de behandeling van deefe reduóiie in ftaat te ftellen: — ééne omftandigheid blijft 'er alleen nog over, die wij met weinig woorden moeten ontvouwen. Het gebeurt meest al, dat grootheden , die tot minderdeelen moeten herleid worden , zamengefteld zijn uit heelen, deeien en minderdeelen van deefe, zodanige zijn 372 Guld. 4- 15 ftuiv. 4- 9 pen. liggen. In elke rij liggen 53 fteenen; elke laag beftaat. u)t 43 zulke rijen ; dus in elke laag zijn 43 maal 53 fteenen; dat is 2279 fteenen. In den gantfchen hoop zyn eindelijk 36 laagen; dus 36 maal 2279 fteenen, dat is 82044 fteenen. (6) Men moet eerst door een gelijke werking als in het voorgaande voorbeeld berekenen hoe veele cubifche voeten 'er in den geheelen bak gaan. — Men kan zich de zaak dus voorftelien : Om dat de bak 16 voet hoog is, zijn 'er 16 laagen cubik voeten; en dewijl 18 de breedte is, zijn 'er 18 rijen elk van 24 cubik voeten; hier uit Wordt het aantal cubik voeten, in den bak begreepen, gevonden. Elke cnbik voet 64 ponden weegende , zijn 'er zo ménigmaal 64 ponden waters, als 'er cubik voe> ten in den bak begreepen zijn, namelijk 442368 ponden.  I. B. II. Hoofd. IX L, Herl. van Heel. tot Mind. i75 penn. 107 Goud-gl. + 22 ftuiv. -f 12 pen. —omtrent welke grootheden dient opgemerkt te worden, dat zij op veelerlei manieren verfchikt kunnen worden; maar dat de gewoone en natuurlijke fchikking die is, waar in de minderdeelen, die boven het geheel loopen, tot een geheel of tot minderdeelen van de nras voloende hoogere foort gehragt worden. waar over in het vervolg nader. § 245. Laat ons nu terftond een voorbeeld neemen en ftellen, dat 372 guldens 15 ftuivers en 9 penningen tot penningen moeten gereduceerd worden; dan begint men aldus te werken. Men brengt de guldens tot ftuivers, dan verkrijgt voor 372 guldens, 7440 ftuivers: Zie § 239. Bij deefe 7440 ftuiv. de 15 ftuivers 'tellende, vindt men voor 37a Gl. + 15 ftuiv. 7455 ftuiv. Deefe 7455 ftuivers , maakt men ("volgends § 239) tot penningen, en vindt men voor7455 ftuiv. 7455 maal 16 penningen dat^ is 119280 penningen. ' Eindelijk telt men bij deefe laatst verkreegene 119280 penningen de 9 penningen, die boven de 372 guld. + 15 ftuiv. in de gegeevene grootheid gevonden worden — en dan is het klaar, dat 37a Gl. + 15 ft. + 9 pen. ~ 119289 penningen is. Dit  170- GRONDBÉG. der CIJFFERKUNST. Dit is de fchikkitig der bewerking, te herl. 372 Guldens, met 20 tot ftuiv. 7440 ftuiv, = 372 Gl; (§ 239.) tel bij 15 ftuiv. = 15 ftuiv. komt7455 ftuiv. == 372 Gl. + 15 ftuiv. met ió tot penn. r§239.) 1;9280 pen. = 7455ft. 372 Gl.4-.5ft.. tel bij 9 pen. = 9 penn. 119289 pen.:=372 Gl. + 15 ft. + 9 penn. § 246. De fchikking der bewerking op de fchoolen in gebruik, en die wij vóordaan zullen volgen, beftaat hier iri: „ Dat men. bij elke redu&ie van eene hoogere foort tot eene mindere, telkens de minder deelen, in de grootheid gegeeven en tot die „ mindere foort behoorende, onder het multipli„ ceeren bijtelle , i-n acht neemende, dat men „ ciijfi-rs van dezelfde wadrde bij elkander „ telt" Zie § 104. De fchikking deefer verkorte bewerking is hier onder te zien. 372 Gl 15 ft- 9 Penv met 23 om de Gl. tot ftuivers. 7455 ftuiv. met 16 om de ftülv. tot pen. te brengen. 119289 penningen. S 247.  /. B. IL Hoofd: IX. L. Hert. van Heel. tot Mind. i77 § ft4.7. Wij voegen hier nog bij, de uitwerking van twee voorbeelden, tot nadere infpect'e voör den leefer. ltf Om 379 Lasten 17 mudden en 3 fchepels tot fchepels. en 20 Om 9762 G guld. 22 ft. 11 penningen tot penningen te maaken? N?. O 379 Last 17 mud, 3 fchep. met 27 tot mudden, 2660 . 759" komt 10250 mudden. met 4 tot fchepels. komt 41003 fchepels. jföï. ij 7962 G. gl. 22 ftuiv. ij venn. c . met 28 tot ftuiv. 63698 15926 komt 222958 ftuivers. met 16 tot penningen. komt 3567339 penningen. De volgende voorbeelden zijn tot oe'ffèning van den leefer hier bij gevoegd. 1 ° Men begeert tot penningen te mdakèn, de volgende fpetien? a; 372 Gl. 19 ft. ï+pen? Andw. Ii9258penn* b) 307 Goud gl. 17 ftuiv? Andw. 137808/te». c) 123 Daald. 14 penn? Andw. 5^054penn. M d)  ,j7g GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. d) 307 Zeeuwen 34 ftuiv. 8 penningen? Andw. 2 559- 6 penn. e'. 3792 Ducatons 54 /?. 11 penningen? Andw. 3823211 penn. f) 1739 Ducaaten 84 7 penningen! Andvy. 2922871 penn. zl Men begeert tot grooten te reduceer en^ a_) 307 pond. VI. 17 fchell. 10 groot? Andw. 73894 grooten. b) Dito 2.179 fchell. 7 groot? Andw. 261 ss grooten. c) Dito 3796: 17: 9? Andw.—911253. gmtf. 3? De volgende moeten tot minderdeelen gereduceerd worden. a) 3789 Schippond 11 pond tot ponden? Andw. 1136711 pond. b) 1796 Schipp.17 Lijsp. ix pond, tot ponden? Andw. 539066 pond. 4" Voor de redutlie tot de minderdeelen van de Koorn- en Graan-maaten. a) 63 Last 17 mudd. Amfteld tot fchep.? Andw. 6872 fchepels. b) 107 Last 2 fchep. tot fchepels. 11558 fchep. c) 53 Last 29 ;o fpint? Groninger maat tot fpint en. Andw. 284.58 fpinten. d) Z?;Vo 1139 Last sfp? Andw. 6013 97/pinten. 5? /W 307 ir penn, 17" gm» fcf grein? Andw. 88697? gra'/z. g) Goud gewigc) 84Mark 17 caraaten 11 grein, tot grein, Andw. 24407 grein. h) 97 iJf<5v£ 7 grein tot grein? Andw. 27943 grein. i) 1067 Mark 23 Caraat tot grein? Andw. 307572 grein. k) Apothecars gewigt) 17 Oneen 6 drachmen 2 fcrupels 12 gra». tot greinen? Andw. 857 a gw'«. 1) 17 j5ö«ö? 8 oneen 1 fcrupel 18 grein* tot greinen? Andw. 101798 grein?  ito GRONDBEG. der CÏJFFERKUNST. 8° Men moet 30796 Roeden 11 voet 10 duim 9i linien tot linien maaken. Andw 532172011 linien, 90 iVflg' 127 cubik voet 321 cubik-duimen 1531 cubik-linientotcubik'iinien. Andw. 379776x87 cubik-linien, jo? Iemand 13 zijnde, begeert te wee. ten, hoe veel minuuten hij oud is; gefield dat in deefe 13 jaaren 3 fchrikkeljaaren ingevallen zijn, Andw, 6837120 minuuten. Oplosfing. 13 Jaar. met 365 tot dagen. 4745 dagen voor gemeene jaaren. 3 dagen voor de fchrikkeljaaren» s '1 4748 dagen in de 13 jaar. met 24 tot uuren, 18992 9496 113952 uuren. met 60 tot minuuten. Andw. 6837120 minuuten. De meeste ftellen, in dergelijke vraagen, een jaar op 52 weeken; een week op 7 dagen enz.; maar door zulk eene rekening wordt op elk ge. meen jaar éénen dag, en op elk fchrikkeljaar 2 dagen te weinig gerékend: nog buitenlpooriger is de  LB II. Hoofd IX L. Herl van Heel. tot Mind. 181 de rékening, als men het jaar op 12 maanden, en de maand op 30 dagen rékent ; want daar door verwaarloost men in elk gewoon jair 5 dagen en in elk fchrikkel jaar 6 dagen, — en évenwel wordt deefe onnaauwkeurige handel wijfe nog veel gebruikt. ii° Iemand is geboren den ïr Öclober's nademid* dags ten 3 uuren 15 minuuten A0 f77x; deefe begeert te weeten hoe veele minuuten hij den 7 Junij 1792 'snademiddags ten 4 uuren en 45 minuuten oud is. Andw 10804800 minuuten. Oplosfmg. Van den 11 Oétober Ao. 1791 'snademiddags ten 3 uuren 15 minuuten tot den ïr Oclober 1791 'snademiddags ten 3 uuren 15 minuuten, zijn verloopen 20 burgerlijke jaaren, waar onder 772, 76, 8o, 84 en 88 fchrikkeljaaren geweest zijn, dat is in het geheel 5 fchrikkeljaaren, • Van den 11 Oaober 179! 'snamiddags ten 3 uuren 15 minuuten tot den 7 Junij 1792 'sna. middags ten 3 uuren 15 minuuten, zijn verloopen 240 dagen , dat men vindc , door de dagen der maanden te tellen: 20 + 30 + 31 4- 31 4- 29 + 31 + 30 + 31 4. 7 — »4o dagen. Eindelijk van 3 uuren 15 minuuten tot 4 uuren 45 minuuten, zijn verloopen 1 uur 30 minuuten. Zo dat de waare ouderdom is: 20 Jaaren 240 dagen 1 uur en 30 minuuten , en onder deefe jaaren 5 fchrikkeljaaren. Nu rékent men aldus: 20 Jaa-  i8* GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 20 Jaaren 240 dagen 1 uur 30 ruin. niet 365 toe dagen. 7540 dagen in 20 gem. Jaar. 240 dag. bij 3 dagen voor de Schrikkeljaaren. 7545 dagen, mee 24 coc uuren, 30181 15090 181081 uuren 60 toe minuuten. 10864890 minuuten de gefielde ouderdom. 12Z Als het Sterrekundig jaar, doer waarneemingen bevonden wordt 365 dagen 5 uuren 48 minuuten 56 jecunden te duwen, hce yeelfecunden zijn 'er dan in 19 zulke jaaren? Andw. 31556936 fecundea in een jaar, en 59 ;5 81784 in 19 jaaren. Wanneer de leefer deefe voorbeelden voor zich zeiven heeft uitgewerkt, zal hij genoeg bekwaam zijn, om hier van te kunnen afftappen en tot de oeffening van de volgende reductie over te gaan. X Les.  ƒ. B. II. Hoofd X. L. Herl van Mind. tot Heel 18 3 X Les. Herleiding van minderdeelen van Maaten , Gewigten en Muntjpetien tot geheelen. I Wat deefe reduclie eigenlijk is. § 248. In deefe herleiding, die hec omgekeerde van de voorgaande is, zijn eenige minderdee. len gegeeven , die tot geheelen moeten gebragt worden; hec gevraagde is, om uic die gegeevene minderdeelen , te bepaalen hoe veel heelen voor die minderdeelen kunnen gefteld worden. Alles wordt in deefe reductie tot dit ééne beginfèl gebragc , „ zo veel maal als het getal deelen in één „ geheel begreepen , in het gegeevene1 getal van „ die deelen, die tot geheelen gebragt moeten „ worden, begreepen is, zo veel heelen moeten „ voor die gegeevene deelen gefteld worden. " Voorbeelden. Als 108 twaalfde deelen van een geheel gegeeven zijn, zal men bevinden, dat deefe 108 twaalfde deelen 9 heelen waard zijn; want 12 twaalfde deelen , één geheel uitmaakende, zijn in ïo8 twaalfde deelen 9 maal begreepen. 3079 agfte deelen zijn waardig 384 heelen en dan blijven 'ei nog 7 agfte over. Want 384 maal 8 agfte deelen + agfle deelen , zijn 3079 aglle deelen. 3*7059 (3) Deefe werkmanier wordt op de Schooien Divijie in Gelden genoemd. Zij ftaat tégen over de herleiding in de voorgaande les geleerd, waarom deze werkmanier tot een proef van de voorgaande kan verftrekken. M 4  i84 GRONDEEG. der CIJFFERKUNST. 317059 tiende deelen tot heelen reduceerende, vindt men, aangezien 10 tiende deeien in 317059,, 3 7^5 maal begreepen zijn, en dan nog 9 overblijven, voor 317059 tiende deeien, 31705 heelen en nog 9 tiende. II. Jlgemeene régel en toepasfmg op voorbeelden. § 149. Dewijl nu door de Divifie alrijdjacrdt gevonden, hoe ménigmaal een Kleiner getal op een grooter bereepen is, „ zal men het begeerde vin„ den met het gegeeven getal minderdeelen te „ divideeren, door dat aantal minderdeelen, dat „ in' het geheel begreepen is, dan wijst het quo„ tient aan, hoeveel heelen de gegeevene minder„ deelen waard zijn, en zo 'er in de divifie eene rest is. geeft deefe rest te kennen, hoe veele „ minderdeelen boven de heelen in het gegeeven „ getal minderdeelen begreepen zijn. " § 2^0. De voorbeelden, die wij tot opheldering van den a'gemeenen régel geeven zullen, brengen wij tot twee gevallen: namelijk iu Als het gegeevene g^tal minderdeelen regtftreeks tot heelen moet gebragt worden. 20 Als het gegeevene getal minderdeelen van een laagere loon, eerst tot minderdeelen van een hoogere foort moeten gebragt worden en deefe verder tot hulen. % 251. Het geen, waar men in beide deefe gevallen opletten moet, is „ vooraf n'aauwkeurig te „ letten, hoe veele minderdeelen van de gegeevene „ foort, of op het geheel, of op één minderdeel van 5, de  I. B. II. Hoofd. X. L. Herl. van Mind. tot Heel. 185 de hoogere foort begreepen zijn. " waar na men cjen voorgeichreeven régel § 249 volgen moet. Voorbeeld op het eerfte geval. Hoe veel fluivers zijn 309845 penningen waardig ? Andw. 19365 ftuivers en 5 penningen. Dewijl 16 penningen ééne ftuiver maaken, moeten 309845 penn. door 16 penn. gedivideerd worden, zo als hier onder uitgewerkt is penn, penn« 16 f309845 f19365 Zo veel maal zijn ^6 J.149 1 P^n- in 309845 penn, be58 greepen, en zo veel ftuivers 104 kan men derhal ven voor 85 305845 penningen hebben, blijven over (05 penn. En om dat 'er in de deeling 5 penningen overblijven» zullen3o9845penn. = 19365 ftuiv. + 5 penn zijn. Nog eens. Men begeert te weeten hoe veel guU dens men hebben kan., voor 3709685 ftuivers? Andw. 185484 Guldens 5 ftuivers. 'Er gaan ao ftuivers in een gulden, daarom moeten de 3709685 ftuivers door 20 ftuivers gedivideerd worden. «— Zo als hier te zien is. M 5  ï86 GRONDBEG, der CIJFFERKUNST sjo ftuiv: p>7°9^\5 ftuiv. f 185484 Zo veel j \i 1 finaal is 20ftuiv. op 10 3709685 ftuivers 9 begreepen, zo veel 16 guldens zal men 8 derhalven voor ftuiv. die overblijven (05 3709685 ftuivers tellen, endewijl'er 5 ftuivers in de deeling overblijven, is 3 09685 ftuiv. = 185484 Guldens en 5 Stuivers. Dewijl men in dergelijke bewerkingen veel door het getal 20 moet divideeren, heeft men aan die divifie door 20 den naam van II al vee ren op dé Schooien gegeeven, en deefe divifie op de volgende wijfe uitgewerkt. 370968J5 ftuiv. Gh 185484:5 ftuiv. Snijdende namelijk de agterfte Ietter af en halveerende het voorfte, zeggende: helft van 3 , 1, blijft ri helft van 17, 8, blijft 1 , helft van 10 is 5; helft van 9, 4, blijft 1 enz. Alhoewel nu deefe werkmanier het begeerde getal moet voord, brengen, is évenwei de trant van rédeneeren niet 2eer gefchikt, om de zaak in zijnen eigen aart voor oogen te ftellen, om dat men niet in 2 maar door 2 moet divideeren : men kost évengemaklijk zeggen 2 op 3 is 1, blijft 1; 2 op 17 , 8 blift 1. enz. — en dan zou men fpreeken, zo als het behoort.  I. B.II. Hoofd. X. L. Hefh van, Mind. tot Heel i 87 hoort. Ook doet men béter om in plaats van halveeren te zeggen door 20 divideeren. Als men echter de zin van dit van dit woord verftaat, kan men het woord, zulks yerkiefende , blijven behouden. Wij zullen hier nog tot oeffening de vo'gende voorbeelden bijvoegen. i« Men begeert 308562 ftuivers tot Goud-guldens, Daalders en Ducaaten te brengen? Auiw. 11020 Goud-gl. a ftuiv, 10285 Daalders 12 ftuiv. en 2938 'Ducaaten 72 ftuivers 20 Hoe veel Schellingen, Zesthalven, Guldens en Agtentwintigen kan men hebben voor 30709632 grooten? Andw. 2559136 Schellingen: 2791784 Zesthalven % groot: 7677$oGuld. 32 groot: 548386 Goud-guld. 16 groot. 3 0 Hoe veel ducatons en ducaaten kan men heb. ben voor 30963072 oortjes? Andw. 122860 Ducatons 84 oortjes, en 73721 Ducaaten 252 oortjes. 40 Iemand heeft 136878 flooters en begeeft te weeten hoe veel Guldens, Rijksdaalders a 50 ftuiv. en drie ■ gulden (lukken dezelve waard zijn ? Andw. 17109 Gl. 6 ftoot. 6843 Rijksd^ 18 ftoot. en 5703 Drieguld. 6 flooters. 50 Hos veel guldens , zesthalven en agt ftuivers ft ukken kan men hebben door 30840896 duiten? Andw. 192755 gl. 96 duiten: 700929 zesthalven 20 duiten, en 481889 agt ftuivers ftukken. 6° Iemand heeft 301964 fteenen: en wil die leggen in laagen, waar van 'er 120 in de lengte en 72 in de breedte gaan: men vraagt, hoe veel laagen hij uit dat getal fteenen kan opftapelen ? Andw. 34 laagen 68 rijen en 44 fteenen. Eerst berekent men hoe veel fteenen in eene laag liggen, door de voorgaande reductie. 120  288 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 120 fteenen in de lenge in de breedte 72', dus zo veel rijen 8640 fteenen in elke laag. Nu kan men berékenen hoe veel laagen uit de 307964 fteenen kunnen opgeftapeld worden. 8640 fteenen ("301964 fteenen ("34 laagen , die uit \ 4 beginnenden befpeurd heb; te weeten. men ftaat veileegcn , als men in den loop der bewerking van minderdeelen van een laagere foort tot die van een hoogere moet overgaan , en van die tot de geheelen : men weet niet met wat getal men eerst moet divideeren, en dat komt daar uit voord, dat men den aart der werkmanier, die men behandelt niet verftaande, uit dien hoofde, niet oordeelkundig te werk kan gaan: — en dit is évenwel bij gebrék van voldoende bepaalingen, de réden van de meeste misvattingen; waarom wij den onderwijfer en den leerling ten llerkften aanbe. veelen, om toch bij elke bewerking, zo veel mogelijk is, voor oogen te hebben, wat men doei en waarom men dus werkt. § 25 6. Men zal tot oeffening de volgende voor» beelden uitwerken. ï° Breng £084568 penningen tot ftuivers en guldens? Andw. 130285 ftuiv. 8 penn. of 6514 guldens 5 ftuiv 8 penn. z°Penn. 709856137 tot ftuivers, Goudguldens, JJaaldej-s, Zeeuwen enz Andw, 1584500goudguldens^ ft. 9 penn. 1478866 Daald. 28 ft. 9 penn. en 853192 Zeeuwfehe Rijksdaalders 24 ftuiv. 9 penn. 30 Dito 8099496 tot ponden Vlaams? Andw. 4218 pond. 19 jchell, 9 groot. 4° Diio 7908456 tot Ducaaten en Goude Rijders? Andw 4707 Ducat. 43 ftuiv. 8 pen. en 1765 Rijders 3 guld. 18 ftuiv. 8 penn: 50 Schepels Amfteld. 3094563 tot Lasten? Andw. 28653 Last 9 mud. 3 fchep. 6°  i92 GRONDBEG. der CIJFERKUNST. 6° Spinten, Groninger maat 179456 tot Lasten f Andw. 539 last 29 mud. 70 De volgende moeten tot Zeeuwen en Rijders gereaucjerd worden,. &j 3784686 oortjens? AA Jl8l95 Zeeuwen 31 fluiv. 2 oortj. I 3379 Rijd- 2gl.11/l.2 oortj. b) 70438567 duiten? Andw i l69323 ^ twee voorgaande in zich bevat , komt „ eene grootheid, in getal van een maat deefer „ grootheid, als gegeeven voor, en dan is 'er ,, nog eene andere maat van die grootheid ge,, geeven, benévens de overéénkomst van beide „ deefe maaten in getal ; nu moet uit het ge„ geevené getal van de eerfte maat, door deefe „ redublie bepaald worden , wat getal van de N 2 „ twee.  j96 GRONDBEG. der CJJFFERKÜNST. tweede maat genomen moet worden, om daar ,, méde dezelfde grootheid uittedrukken, die ook „ door het gegeevene getal uitgedrukt is " Bij voorbeeld als gegeeven is een geldfom van 306 Ducaaten van 105 ftuiv. kan men door het geen in deefe les geleerd zal worden, opmaaken, hoe veele goud guldens van 28 ftuivers 'er nodig zijn om die zelfde gsldiom uic te drukken, (a) § 259. De overéénkomst der éénen van het gegeevene en het gevraagde getal, moet in getal gegeeven zijn, daarom behdien deefe getallen in zich de overéénkomst van de maaten van het gegeevene en gevrcagde: en deefe overéénkomst der maaten kan op twee wijfèn gegeeven zijn. 1 p Als de maat van het gegeevene getal in eenige deelen gedeeld zijnde , gegeeven is, hoe veel van die deelen in de maat van het gevraagde getal bevat zijn : dit zal ik overéénkomst der deelen noemen? Zulke eene overéénkomst is 'er tusfchen een Ducaat en een Gulden; de eerfte bevat 105 deelen of ftuivers , de laatfte 20 van die deelen dat is 20 ftuivers. 20 Ook kan de overéénkomst gegeeven zijn , door de gelijkftelling van een zéker aantal van de maat van het gegeevene met een zéker aantal van de maat van het gevraagde getal —• en dit noem ik overéénkomst der hoeveelheid. Zulk eene overéénkomst in hoeveelheid, heeft plaats als men ftelt 785 pond te Amfteldam ftaan gelijk in zwaarte mei 792 pond te Parijs. II. a. (o) Deefe bewerking der Cijfiërkunst is op de fchoolen het best bekend, onder den naam van Reduttie if Casjti Rikening.  / B. II. Hoofd.XI. L OverdeHerl. der GetaZl. 197 II. a. De Herleiding in het geval als de overéénkomst der deelen gegeeven is. (% 200 Laar. ons ter;>ond een voorbeeld ftellenMen begeert te weeten hoe vee! goud guldens men hebben kan voor 30:. Ducaaten? In deeie vraag is eene geldwaarde van 306 Ducaaten gegeeven en de vraag is om die zelfde geldwaarde in een getal van Goud-guldens te ftel. ïen, dat aan het gegeevene getal Ducaaten gelijk ist dat getal goud-guldens is dan het gevraagde. Om nu deefë vraag opteloslèn redeneert men op de volgende wijs: Een Pucaat is 105 ftuivers en een Goud-gulden 28 ftuivers waardig ne § 230. dit weetende beréken ik eerst hoe veel ftuivers de 306 Ducaaten waardig zijn, volgends § 239: aldus 3 -.6 Ducaaten met joj tot ftuivers, 1530 306 32130 ftuivers, de waarde van 306 Ducaaten en vindt 32130 ftuivers.— Dit getal van ftuivers kan tot Goud-guldens gebragt worden , door volgends § 249- de, 3213a ftuivers door 28 ftuivers te divideeren, 28 ftuiv. ^32130 ftuiv. |ii4? Agt-ën-twintigea 133 aio 14 ftuivers, die na de' divifie overblijven. N 3 Hi«r  i$8 GRONDBEG. dsr CIJFFERKUNST. Hier door vindt men 1147 Agt-en-vwhtigen en daarenboven nog 14 ftuivers, voor de waarde van 32130 ftuivers en dus ook voor de waarde van 306 Ducaaten. § 261. Uit dit beredeneerde, kan men ten opzichte van dit geval, den volgenden Algemeenen RéGEL vastftellen. iQ „ Onderzoek in de vraag wat gegeeven „ is, en het geen , waar naar ah onbekend .,, gevraagd wordt. 2° „ Dit gevonden hebbende, onderzoek naar „ de betrekking, die 'er tusfchen de één van het „ gegeevene en tusfchen die van het gevraagde „ plaats heeft. Deefe overéénkomst is in dit ge* ,, val in de gelijkmaatige deelen der maaten op' „ geflooten." 30 „ Reduceer de gegeevene grootheid volgends „ § 230. tot die deelen in welke de overéénkomst „ opgefloot en isf 40 „ Deefe gevondene deelen, herleidt men ,, ten laatften tot dat getal van éénen waar „ naar gevraagd wordt, volgends § 249. en „ waar in het gegeevene getal moest herleid „ worden" § üfjs. In het hier opgeloste voorbeeld, heeft men de ducaaten tot ftuivers de komende ftuivers tot goud-guldens herleid; maar men kan hier, en dat gebeurt veelal, uit de gegeevene overéé»komst eene andere afleiden, die in kleiner getallen gegeeven is, en daarom gemaklijker in de berékening uitkomt. Zulk eene andere overéénkomst, die in de daad van ce gegeevene niets, dan alleen in de getallen verfchilt, wordt uit de gegeevene opgemaakt. Bij  /. B. II. Hoofd. XL L, Over de Herl. der Getaïï. 199 Bij voorbeeld één Ducaat is 105 ftuivers en een Goud-gulden 28 ftuivers: nu zie ik dat 7 ftui* vers in 105 ftuivers 15 maal en in 28 ftuivers 1 maal begreepen is, en daar uit befluit ik dat voor de waarde van een ducnat 15 ftukken van 7 ftuivers en voor die van een Goud-gl. 4 ftukken van 7 ftuivers kunnen gefteld worden. In plaats van nu de Ducaaten tot ftuivers te maaken zo als boven gedaan is, reduceer ik dezelve tot ftukken van 7 ftuivers: aldus 306 Ducaaten met 15 tot ftukken van 7 ftuivers 4590 ftukken van 7 ftuivers, de waarde van 306 Ducaaten. Deefe ftukken van 7 ftuivers, breng ik verder tot Goud-guldens. 4 f 459° 'f "47 agren-twintigen ' (2 'blijven over de twee die overblijven zijn ftuüken van 7 ftuivers, dat is eigenlijk 14 ftuivers, die ook boven overbleeven. § 263. Men ziet, dat door deefe overéénkomst in kleiner getallen te bepaalen, de bewerking , om dat 'er kleiner getallen gebruikt worden, verkort en ligter geworden is; daarom moet men altoos in de gegeevene overéénkomst nagaan, of in plaats van de getallen , die de overéénkomst in deelen uitdrukken, geen kleinere getallen van grooter deelen kunnen gefteld worden. dit hangt nu alleen maar af van de deelbaarheid en eigenfchappen der getallen , waar in de overéénkomst N 4 ge-  4a? GRONDBEG. der C1JFFERKUNST- gegeeven is; men moet namelijk een getal kunnen vinden, waar door de beide getallen, waar in de overéénkomst gegeeven is, zonder overfchot kunnen gedeeld werden — en dit moet men, aangezien zulks niet altoos aangaat, door beproeving onderzoeken, (a) Als men nu op deefe wijs de getallen der overéénkomst deelt, geeft het getal, waar door men deelt, de waarde van de deelen te kennen, waar jn de nieuwe overéénkomst is uitgedrukt, en de quotiënten zijn de hoeveelheden der deelen, aan de éénen of maaten der ge. geevene en gevraagde getallen gelijk: In het bovenftaande voorbeeld was j.05 ftuivers en 28 ftuivers de gegeevene overéénkomst , deefe. getallen zijn elk door 7 ftuivers gedeeld geworden en men heeft daar door voor de nieuwe overéénkomst gevonden 15 zévenftuiverftukken en 4 zévenftuiverftuk« ken: overéénkomst in kleiner getallen uitgedrukt en in de. berékening ligter. (b) % 264. Wij zullen het gezegde nog door de. >'■ 'i ' . op- (a) Dit alles' zal door den leefar nog béter verftaan Worden, als wij in het tweede boek omftandig over de deelers der getallen zullen fpreeken — en de régels aan de hand geeven, om de deelers der getallen te vinden. (i) Het eerfte en voornaamfte gebruik van deefe herleiding in.de Negotie en het gemeene léven is de rsductie van de ïn- en Uitlandfche fpetien tot Guldens en minderdeelen van die , welke in de geldwaardijen de algeméene Maatftfak is , waar mede men alles afmeet. Om die réden zullen wij in deefe noot eenige verkortende kunstgreepon. opgeeyen, door welke alle onfe fpetien tot guldens gereduceerd worden. «) Om  I. B. II. Hoofd. XI. L, Over de Herl. der Gttall. ao i oplosfing van de drie volgende voorbeelden opfieidereh, I Voor- a) Om worpen Zesthalven van vier in een werp bij voorbeeld 3782 tot guldens te brengen. Qplosfing. Een worp Zesthalven is 1 Gulden en 1 dubbeltjedus moet ik eerst zoo veel guldens als worpen én dan nog éven zoo veel dubbeltjens hebben, en deefe dubbeltjens worden tot guldens gemaakt door met 10 te divideeren. eerst 8782 Guldens nog 3782 dubb. dat is 378 Guld. 4 ftuivers. dit zamentellende komt 4160 Gl. 4 ftuiv. b) Ons worpen Zesthalven van vijf in een worp Ut Guldens te reduceeren. Bij voorbeeld 3789 worpen. Qplosfing. Een worp Zesthalven van 5 in het worp maaken 27 ftuivers en 8 penningen; — die kunnen in 1 Gulden s ftuivers en 2 \ ftuiver verdeeld worden : no is s ftuivers een vierde van een galden en 2 l ftuivers een agfte van een gulden, dat is de helft van een vier^0 gulden. Om die réden ftelt men 3789 Gulden eerst 3789 Guldens, dan 947 Gulden 5 ftuiv. nog 3789 vierde guldens , 473 Guld. 12 ftuiv. 8 penn. die maakt men tot heelen ■—'-— als men door 4 divideert. 5209 Guld. 17 ftuiv. 8 penn. Ku heeft men nog 3789 agfte guldens — deefe worden tot heelen gemaakt, als rr:en door 8 divideert ; maar dat zelfde zal men verkrijgen , en veel gemaklijker, door de van reeds gevondene 947 Guld. 5 ftuiv. de helft te neemen. Als men nu de heelen, quarten en agfte Guldens optelt, verkrijgt men de fom 5209 GL 17 "ft. 8 penn. zo veel zijn de 3789 ■worp waardig. c) Worpen fchellingen van 5 in het worp tf Daalders tot Gnldens bij -/oorbeeld 3725 zulke worpen. Oplosfing- Een worp fchellingen van vijf in een worp maakt 1 Gulden ro ftuivers of 1 Gulden 4. een halve gulden , daarom moet men eerst zo veel N 5 gul-  soe GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. I Voorbeeld. Men begeert 3785 daalders tst guldens te reduceeren? Qplosfing. Een daalder is 30 ftuivers. en een gulden is 20 ftuivers. elk deefer getallen is door 10 ftuivers volkomen deelbaar, dus een daalder is 3 ftukken van 10 ftuivers; en een gulden is 2 ftukken van 10 ftuivers. Zie guldens Hellen als 'er worpen gegeeven zijn en dan rog eens éven zo veel halve guldens , die men tot heele guldens maakt > door met 2 te divideeren. . 37*5 Gl. 1862 Gl. 10 ftuiv. komt 5587 Gl. 10 ft. zo veel zijn 3725 worp fchellini gen waardig. d) Holltndfche Rijksdaalders tot Guldens ? Bij vtorbeeld 4078 Rijksd. Opiosfmg. Een Rijksdaalder is 2 gulden 10 ftuivers ; daarom moet men eerst z maal zo veel guldens ftellen als 'er rijksdaalders gegeeven zijn, en dan nog even zo veel halve guldens gelijk hier te zien is. 4078 Guldens 4078 gl. \ 2039 gb komt 10195 gl. e) Zeeuwen tot Guldens te reduceeren ? Bij voorbeeld 3789 Zeeuwen. Qplosfing. Een Zeeuwfche Rijksdaalder is •>, Guld. + 10 ftuiv. + 2 ftuivers: dat is 2 Gl. + ' Guld. 4- 1 dubbeltje. daarom fteit men eerst zoo veel guldens als 'er Zeeuwen gegeeven zijn, dan nog eens zo veel guldens, dan nog zo veel halve guldens, en dan ein-  /. B. II. Hoofd. XI. L. Over de Herl. der Geta 7. %o% Zie nu de twee onderftaande bewerkingen, naaf de twee verfchiïïende overéénkomften. A. 3785 Daalders met * 30 tot ftuiv. 11355 j° fluiv56:7 Gl. 10 ftuiv, B. 3785 Daalders met 3 tot halve Guldens. 2) H355 {5677 Guld. blijft over (1 dit is een ftuk van 10 ftuiv. II VoORi eindelijk nog éven 7.0 veel dubbeltjes, dat alles in deefe bewerking in acht genomen. 3789 Gl. 3789 gl| 1894. gl. 10 ft. £ 378 gl. 18 ft- sSsi gl. 8 ftuivers. f) Ducatons tot Guldens te reduceeren ? bij voorbeeld 4505 van dezelze. . . . üplosfmg. Een Ducaton is 3 Gulden 3 ftuivers; dus moeten 'er éven zo veel 3 gulden en 3 ftuivers ftukken gefteld worden als het gegeevene getal ducatons bedraagt : daarom multipliceert men de ducatons met 3  èo4 GRONDBEG. der CIJFFERKüNST. II Voorbeeld. Men begeert te weeten, hoe veel ducaaten men hebben kan voor 13709$ Ducatons? Qplosfing. Een ducaton is 63 ftuivers of 3 maal 21 ftuivers. Een Ducaat is 105 ftuiv. of 5 maal ai ftuivers. Zo dat eene Ducaton is 3 ftukken van 21 en telt bij het product: nog \s van het zelve , de fom te dan het begeerde 45C9 3 13527 Gl. h 67Ó GI. 7H:. 14203 Gl. 7 ft- g> Ducaitin tot Guldens te reduceeren^ bij voorbeeld 7382 Ducêaten. Opiosfing. Een Ducaat is 5 Guldens 5 ftuivers; daar©m moet men zo veel maal 5 guldens, en nog zo veel maal 5 ftuivers hebben, als 'er'ducaaten gegeeven zijn: om die réden vermenigvuldigt men de Ducaaten met 5 •n bij het produéc telt men ?- van het zelve: aldus 7382 (5 36910 Gl. 1845 G1- 10 ft- 38755 Gl. to ft. Dit weinige zal bij rvoorra?.d voor den leefer tot oefening genoeg zijn: wanneer wij de verkortende kunstgreepen voor den régel van Drien zullen voorgedraagen nebben, kan de leefer deefe noot op nieuw nateelen en beoeffenen, en dan twijftelen wij geen oogenblik of hij zal alles wat wij voorgedraagen hebben , grondig verftaan, en ook nog meer dergelijke kufistgreepen uit de bovenftaande kunnen afleiden.  t B. II Hoofd, XL L. Over de Herï. der Getall. tog 21 ftuivers, en ëenë Ducaat is 5 ftukken van 21 ftuivers. Waar uit de twee onderftaande uitwerkingen volgen. A. I37C96 met 63 tot ftuiv. 411288 822576 105 ft. i" 8637048 ft. {82257 1 ~'S7 t. Ducaaten 270 604 798 63 ftuivers die overblijven. 137096* Ducatons met 3 tot ftukken van 2i 411288 ftukken van 21 ft. 5) 82257 Ducaaten hier blijven in de deeling 3 ftukken van 21 ftuiver; over, welke maaken , drie maal 21 ftuiv,, dat is 63 ftuivers, zoals boven. 111 Voorbeeld. Om 75963 Goud-Guldens m Guldens te herleiden? Oplosfing. Een Goud-gulden is 28 ftuivers. en een gulden is 20 ftuivers. dewijl nu beide deefe getallen door 4  206- GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. en 2 deelbaar zijn, baaien wij daaruit deefe twee nieuwe overéénkomften: te weeten 14 dubbeltjes en ïo dubbeltjes; en 7 ftukk.van 4 ftuiv. en 5 ftukk. van 4 ftuiv. waar uit de twee volgen, de bewerkingen. ?5963 Goud gul !ens. met 14 tot dubbe;cjes. 1063482 dubb. 10) komt 106348 Guld. 2 dubb. of 4 ftuivers. B 75963 Goud-Gl. met 7 tot ftukken van 4 ft. 531741 ftukken van 4 ft. 5) _L 106348 Gulden en blijft i over , dat is derhalven een ftuk van 4 ftuiv. komende dus met de voorgaande be. werking volmaakt overéén. § 265 Door deefe voorbeelden zal de leefer nu genoeg onfe meening verftaan hebben en in ftaat zijn, om de volgende voorbeelden te kunnen oplosfen. Voorbeelden tot Oeffening. lO Men begeert tot Guldens te reduceeren de volgende geldfpetien. a 37958 Zesthalven? Andw. 10438 Guldens 4 Stuivers b) 109453 Schellingen? Andw. 32835 Guldens 18 Stuivers. c)  ƒ. B. IL Hoofd. XI. L. Over de Herl. der GetaU. zo?, c) 37893 Zévendhalven? Andw. 12315 Guldens 41 Stuivers d) 10968 Agt ftuiver ftukken? Andw. 4387 Guldens 4 Stuivers. e) 137095 Derthiend"halven? Andw. 85684 fj 387952 Goud-gl? Andw. 543132 Guldens 16 ftuivers. g) 37°9°~4 Daalders? Andw. 556446 Guldens. h) 179359 Ryksdaalders? Andw. 44839? Guldens 10 ftuivers. O 17938 Zeeuwen? Andw. 46638 Guldens 16 ftuivers. k) 170954 Ducatons? Andw. 5385°5 Guldens 2 ftuivers. I) 3420985 Ducaaten? Andw. 17960171 G«/Jêbs 5 ftuivers. 2? Zb* Goud-guldens te reduceeren de volgende geldfpetien. a) 37096 Guldens ? Andw. 26497 Goud gl. 4 ftuivers. b) 38459 Daalders? Andw. 41206 Goud gl. 2 ftuivers. c) 17963 Ducaten? Andw. 67361 Goud-gl. 7 ftuivers. d) 30794 Zeeuwen? Andw. 57188 Goud gl. 24 ftuivers. 3° De volgende geldfpetien tot Zeeuwen te her* leiden. a) 40846 Guldens? Andw. 15710 Zeeuwfetic Rijksdaalders,  iog GRONDBEG. öer C1JFFÊRKUNST, F ' b). 3378a Daalders? Andw. 19489 Zeeuw, Rijksd. 1 Guld, 12 ftuiv. c) 40697 - Ducatons ? Andw. 49305 . Zeeuw. Rijksd. 2 Gl. 11 ftuiv. . d) 30846 Ducaaten? Andw. 62285 Zeeuw. Rijksd. en 10 ftuiv. 4* ducaaten te maaken de volgende. a) 3785 goude Rijders ? Andw. 10093 Ducaaten. 1 G/. 15 ftuivers. b) 4387 Zeeuwen? Andw. 2172 Ducaaten 3 G/, 4 /?»n (a) Behalven den Algemeenen régel, die voldoende is om deefe en de volgende vraag optelosfen, heeft men ■om ponden-vlaams tot guldens en guldens tot ponden Vlaams te reduceeren , nog deefe kunstgreep. . a) Voor ponden tot guldens') men multipliceert de gegeevene ponden en fchellingen met 6 ——— dan komen |er  I. B. II. Hoofd. XI. L. Over de Herh der Getatt. 209 70 En omgekeerd: 37805 guldens 17 ftuiv. 9 penn, tot ponden Vlaams? Andw. 6300 pond. 19 fchell. 7 groot. 1 penn. 8° Hoe veel Zakjes Zesthalven kan men hebben yoor de volgende ? • . '., a) Foor 37962 guldens? AndvV. 138 Zakken 10 worp a 4 ï» een worp en 20 ftuivers. b: /^?or 43 Zakken Zeeuwen? Andw. 81 iStfi*. 77 worp. 6 ftuivers. 1NB. Een Zak Zeeuwen is 200 ftuks. c) guMens en ftuivers: de grooten die nog daar en boven gageeven zijn, maakt men tot ftuivers, door met 2 te divideeren. 3796 pond 17 fchel. 9 groot 22781 gl. 2 ftuivtel bij 4; ftuiv. zijn 9 groot. komt . 2 2781 gl 6 ftuiv. 8 penn. Aldus heeft men gemultipliceerd: de 17 fchell. met 6 komt 102 ftuiv- dat is 5 Gl. 2 ft- de 37o6 pond tnet 6 komt 22776 Gl. hier bij de 5 Gl. komt 22781 til. b) Voor guldens tot penden) hier divideert men de guldens en ftuivers door 6, het geen 'er eindelijk overblijft zijn ftuivers, die men tot grooten maakt; aldus 37805 Gl. ï7 ft- 9 Penn' 6) 6320 pond 19 fchell. blijft 3 ftuiv. of 6 gr. 9 penn. is 1 gr. 1 penn. dus 63CO pond 19 fch. 7 gr- en 1 penn. 'Na het divideeren van de guldens bleeven 5 gulden over, die men, tot ftuivers gemaakt hebbende, door $ gedeeld heeft, om tot fcheilingen te maaken. O  èïo GRONDBEG. der CÏJFFERKUNST. c) Voor 392 Zakken Ducatons? Andw. Sy8 Zakk. 9 worp. 2 ftuiv. d) En voor T7968 ponden vlaamsch? Andw. 392 Ze grootheden in het gemeen kunnen éven als de getallen zamengevoed, gefcheiden, vermeerderd en verdeeld worden : dit is het algemeen het carSlerifeerend eigen der grootheid. De zamenvoeging, fchuding, vermeerderingen verdeeling der getallen, die wij in het eerfte Hoofddeel geleerd hebben, ftrekt nergens anders toe, dan om deere bewerkingen op alle grootheden , ten opzichte van de getallen, waar in zij uitgedrukt zijn, toe te pasfen: Om nu in alles, wat wij in dit hoofddeeld voor te dmgen hebben, wel te fiaagen, moet de leesfer zich herinneren, of nog eens nalee.. fen, het geen wij in de Vil! Les over den aart der grootheden, benévens de wijfe waar op zij in getal uicgediukt worden, gezegd hebben. § 273. (a) Deefe régel heet gewoonlijk Additie in Celden. O 4  si6 GRONDBEG, der CIJFFERKUNST, § 273. A!!e grootbeden kunnen zamengevoegd en van elkander gefcheiden worden; maar de grootheden , omtrent welke dit plaats kan hebben, moe • ten ten minlten gelijkfoortigzijn: lengte en lengte, tijd en tijd; kragt en kragt enz, kunnen alleen bij ééngevoegd en van den anderen afgenomen worden: Maar als men nu dit in getallen zal bewer. ken, moeten de getallen, zie § 205, gelijkmaatig zijn, of ongelijkmaat'g zijnde, moeien de maaten deefer getailen, nooclzaaklijk grootheden yan dezelfde foort zijn, welker overéénkomst in getal len moet gegeeven worden, om de grootheden door die betrekking, zo als in de vooigaande les geleerd is, tot dezelfde maat te brengen. II. Wat in deefe Les behandeld wordt. § 274 In deefe les is ons oogmerk, te ontvouwen, hoe grootheden, in getal uitgedrukt, bij el. kander gevoegd kunnen worden — de zaak is niet moeilijk; want de grondflag tot dit alles is reeds ip de voorgaande lesfen gelegd. § 275. Wij zullen alles in twee gevallen verdeelen : i° zullen wij fpreeken van de zamenvoegingvan grootheden, die uit heelen deelen en minder deelen van die zijn zamengeileld. . s° Zulke grootheden zamen te voegen, die ongelijkmaatig zijnde, évenwei, door de betrekking, welke tusfchen dezelve plaats heeft, door de telling in eene fom kunnen gebragt worden, § 276* In grootheden, ïamengefteld uit heelen, deelen en minderdeelen, worden de heelen onderfcheiden van de deelen, en deefe van de minderdeelen: deefe  L B. IIL Hoofd. XII. L. Ov. de Add, der Qrooth. & 17 , deefe alle worden léden of termen van de grootheid genoemd. en men moet opmerken* dat de léden van zulk eene grootheid altijd in die orde gefchikt worden, dat de heelen voor aan komen en de deelen volgen: alsook, dat in de deelen de hoogere waardijen de mindere meeten voo;v tot men komt aan de minderdeelen van de langfte foort, en eindelijk nog, dat een lid hooger zijnde-, dan een één van de volgende hoogere ioort, de éénen van die hoogere (oort, in dat lid begrepen , hij het voorgaande moeten gevoegd worden; die al • les zal, in de behandeling der volgende be wei kingen, geduurig onder het oog moeten gehouden worden. III a Régel van de zamenjlelling van groot, heden, die uit geheelen, deelen en min ■ derdeelen van die zijn zamengejleld. § 277. De verklaaring van een voorbeeld zal de zaak ophelderen, en den régel, die wij zullen op* geeven, duidelijk doen verftaan. Voorkeeld. Op te tellen 277 guld- 17 ft' 11 penn: 4721 guld 15 ftuiv. 8 penn: 1796" g/ 1.8 ftuiv. 4 penn : 35 guld. 9 ftuiv. 10 penn en 4j guld. 13 ftuiv. en 6 penn. Men begint met de grootheden onder eikander te fchrijven, voor de heelen, deelen en minderdeelen elk eene afzonderlijke colom maakende, zoo da: guldens onder guldens; ftuivers onder ftuivers, en penn. onder penn ftaan, enz. «— Zoo als hier te zien is. O 5  siS gröndbeg. der CIJFFERKüNST. 377 Guld, r7 ftuiv. 12 penn. 472 s. Guid: 15 ftuiv. 8 penn. 1796 Guld. 18 ftuiv. 4 penn. 35 Guld. 9 ftuiv. 10 penn. 41 Guld. 13 ftuiv. 6 penn. °5>73 Gu}ó. 14 ftuiv. 8 penn. De fom der penn, = 40 penn.; dat is 2 ft. 8 pn. De fom der ftuiv. = 74 ftuiv., dat is 3 gl. 14 ft. Dit onder elkander gefteld zijnde , telt men eerst de penningen bij elkander, de fom van dezelve bedraagt 40, welke meer dan 16 penn. of een ftuiv. zijnde, onderzogt moet worden, hoe veel ftuivers dezel ve waardig zijn: en men vindt 2 ftuivers en 8 penningen. De 8 penningen zet men onder de co. lom penningen, en de twee ftuivers, die overgebleven waren, telt men bij de fom ftuivers, die 72 raaakende, in het geheel 74 zijn: dit bekomene aantal ftuivers boven"de 20 of een gulden zijnde, bepaalt men door divifie,hoe veel deefe waajd zijn en men vindt 3 guldens 14 ftuivers, de 14 ftuivers ftelt men onder de colom ftuivers; eindlijk de 3 overblijvende guldens bij de fom der guldens tellende, komt 6973 guldens; en nu is de geheele fom der grootheden is, 6973 guld. 4-14 ftuiv. + 8 penn. 278, De zelfde trant van bewerken, moet in alle dergelijke voorbeelden gevolgd worden — en alles komt uit op deefen Algemeenen Ré gel. ï0 „ Men moet voor heelen, deelen en minder„ deelen elk eene afzonderlijke colom maaken, „ en deefe in die orde laaten volgen, dat eerst de „ hee-  I3. III. Hoofd XII. L. Ov. de Add. derGrooth. 219 „ heelen vooraan, dan de 'deelen en voords de min„ der deelen van een hoogere joort, gepeld worden, „ altijd van een hoogere foort tot een naastvolgen,, de laagere overgaande,'''' 2° „ Daar na moet men de getallen (volgends ■)■> % 7) optellen — en beginnen op te tellen de min„ 'derdeelen van de laag/Ie waarde, dat is de ag„ ter/Ie colom, en van deefe tot de volgende in het „ optellen één voor één overgaan, tot dat men „ aan de colom der heelen gekomen is."'' 30 „ Als men alle de minderdeelen van een „ colom opgeteld heeft, en de fom meer bedraagt, „ dan één van de minderdeelen van de naastvoh „ gende foort, moet volgends § 219 deefe fom, door „ divifie, tot minderdeelen van die volgende foort „ gebragt worden: het geen men bekomt, moet „ bij de volgende colom geteld, en-de rest der „ deeling, zoo die plaats heeft, onder de opgetel„ colom gefield worden. § 279. Het inzien van de volgende uitgewerkte Voorbeelden, zal den voorgefchreevenen régel nader in zijn kragt en meening doen verftaan. N° 1) 37 pond vU 17 fchell. 8 gr. 219 : 19 : II 307 : 11 : 4 21x9 : 3 : 10 1095 : 15 : 11 3*9% : l? 1 S 708 : 12 : 7 fom 7677 : 18 : 8 N? 2  Sao GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. N° 2) Z. Rijksd: ftuiv. pena. 372 : 23 : 11 908 : 46 : 10 407 : 11 •* 8 3705 : 9 : 12 4096 : 36 : 12 4087 : 48 : 14 fora 13578 : 21 : 3 Amfteldamfche. maat. No 3) Last Mud Schep. 379 s 11 : 2 507 : 19 : 1 309 : 17 : 3 117 : 14 : 2 307 : 0:1 Andw. 1621 : 9:1" Groninger - maat. No 4) Last Mud. Spint. 4076 : 29 : 12 6096 : 17 : 15 7C92 : 32 : 8 8096" : 22 : 10 3°7 * 11 : 14 Andw. 25670 : 15 : n N* 5)  /. B. III. Hoofd. XIIL Ov. ds Add. der Grooth. 22 S Goud ■ gewigt. N° 5) Mark. car. grein. 317 : 12 : 10 aC9 : II : 11 607 : 17 : 6 307 : 18 : 4 '64 : 19 : 11 fom 1707 : 8 : 6 Zilver- gewigt, 6) Mark penn. grein. 409 : 10 : 23 639 : 8 : 16 709 : u : 18 572 : 4 : 10 397 : 8 • 12_ fom 2729 : 8 : 7 § 280. De wiskunftigen grond van deefe bewerking is eenig in dit beginfel, dat het geheel aan alle zijne deelen gelijk is, geleegen; — want in deefe bewerking worden de bijzondere deelen der grootheden bij bij elkander gebragt, en deelen van'dezelfde foort bij elkander gevoegd, —— en zulks maakt noodzaaklijk het volkomen geheel. Zie ook nog § 39. § o . + 119 worp Zesthalven d 5 «'« ee;2 icw'^ + 113 Daalders + 1.30 ^/z/ye Ducatons in ftuivers , fchellingen , guldens enZeeuwen uit te diukken? Andw, 48573 ' y?«/v. 8095 fchellingen 3; ftuiv., 2428 guld, 13; ftuiv., 934 zeeuwen 5' ^#/V. 4° Iemand heeft ontvangen 113 Zevend''halfjes-, 43: /z5 Zeeuwen, 117 Ducatons, 307 Z)» Koopman heeft ontvangen van A. 3096 Guldens., vanïi. 6079 G#A£ 17 /?«;> 8/>. van C. C097 Gz-'/J. 15 y?«/V. /zee// »og /» C^/2z /wee zakken Zeeuwen, 4 zakjes Zesthalven, 231 enkelde Ducatons, 114 Rijders en 3 21 Ducaaten 4 »« w// /;/ƒ verwisfelen in Driegulden ftukken, Vraage hoe veel /lukken hij voor al die partijen kan opwisfelen? Andw. 5807 Drieguld. 1 g«/^. 10 i ftuiv. 6° Maar als van de voorzeide fam de helft yerwisfeld wordt in Zeeuwen, de vierde i» Goud' guldens. e« //e ra/ *'» Ducaaten, vraagt men, hoe veel van elke foort daar voor geteld kan worden? Andw. 3350 Zeeuwen 25? ftuiv-, 3111 Goud-gl. 4tl ftuiv., 829 Ducaat. 67'ï /*V«*. y° Tien Koopman heeft drie Wis fels in> te vorderen: te weeten 342 Pond-Scerl. # 35 Schell. is groot: een Franfche Wis fel van 378 Ecus 4 55' greof — ee« Spaanfche o^w 2934 Oucados d 9.6 gm? Vraage hoe veel Guldens Hollands Banco, deefe drie Wisfels met elkander bedraagen ? Andw. H25ï gl. 2\ ftuiv. XIII  /. B, III. Ui XIII. L. Ov. de Subt. der Groqth. «25 XIII. Les Over de Subtratlie of fcheiding der grootheden, (a~) § itSê Twee gevallen ftaan ons in deefe les te overï weegen: namelijk 1° het verfchil van twee grootheden te vinden, die uit geheelen, deelen e;n minderdeelen zijn zamengefteld. 20 Het verfchil van twee ongelijkmaatige, maar echter geïijkfoortige grootheden té bepaalen. ï Het onderfcheid van twee grootheden te vinden , welke uit geheelen, deelen en minder» deelen zijn zamengevotgd. §. 286'. Bij voorbeeld men begeert te weeten, wat 'er zal overblijven, indien men 376 Zeeuw. 24 ftuiv. en 10 penn. aftrekt van 7324 Zeeuw. j 1 fluiv. en 8 penn. ? Om dit en andere foort- gelijke op te losfen l bedient men zich van deefen Algemeenen rccel, ' § 287. iQ Men fchrijft het grootfte loven en het kleinfte onder, in die orde, zo als in het eerfte lid. van den Algemeenen Régel § 27 8. gezegd is , minderdeelen van dezelfde foort onder min» (a) Deefe Régel is bekend onder den naam van Saïtraff'i in gelden, P '  i26 GRONDBKG. der CIJFFERKUNST. minderdeelen van dezelfde foort fchrijvende; aldus 7324. Zeeuwen 11 ftuiv. % penn. 376 Zeeuwen 24 ftuiv. 10 penn. 6947 Zeeuwen 38 fluiv. 14 penn. 4° „ Dan begint men eerst de minderdeelen, „ van de laag fte tot de volgende hoogere foor ten „ overgaande, en daarna de heelen van elkander „ af te trekken, en men fchrijft de verfchillen ., onder de colommen op hun plaats -" 30- „ En als het gebeurt dat in eenige fub„ trahie het onderfte getal van het bovenftaande ,, niet kan afgetrokken worden , moet men een „ één van de volgende hoogere minderdeelen nee. „ men, en die één in minderdeelen van de foort, „ die men bewerkt, veranderen, en bij het boven. „ fte getal tellen. en dan mist het nooit, of hst „ onderfte getal kan altijd van de komende fom afgenomen worden. " 4* „ En als het gebeurt, dat men van de ,, volgende hoogere foort van minderdeelen geen „ afneemen kan, moet men op een hooger foort ont„ leenen. — en altijd onder het oog houden , dat „ die grootheid waar op ontleend is, één min. „ der moet genomen worden," vergelijk III Les § 55 en 58 pag. 31-31. Men zegt 10 penn. van 8 penn kan niet, nu ontleen ik 1 ftuiv. dat is 16 penn. 16 penn. + 8 penn. tl &4 penn. 10 penn. van 24 penn. is 14 penn. — Voords 24 ftuiv. van 10 ftuiv., kan niet, nu ont. leen ik 1 Zeeuw, dat is 52ftuiv.52 ftuiv. + toftuiv. — 62 ft. 24 ftuiv. van 62 ftuiv. is 38 ftuivers. — ein-  /■ B. III. H. XIII. L. Ov. de Subt. der Grooth. » ;7 eindelijk 376 Zeeuwen van £3,23 Zeeuwen, maakt 6947. — en het geheele verfchil tis 6947 ^eeu* wen 38 ftuiv. 14 penn. '1 § 2 83. De volgende voorbeelden, die tot oef. fening voor den leefer hier bijgevoegd zijn , zullen tot nader opheldering van den régel dienen. N?. 1.) Guld: ftuiv. penn. 3896 : o : o ; 3107 : 17 ; i2 Verfchil 788 2 : 4 N°. 2.) Pond. VI. Schell: gr. 380Ó : o : o l%7? : 12 : 9 Verfchil 1922 : 7 : 3 K9. 3.) Last mudd. fchep. 3782 : 17 : 3 189Ö : 23 : 1 Verfchil 1885 : ai : 2 N°. 4.) Last mudd: fpint. 372 : 24 : 2 119 : 31 : 12 Verfchil 252 : 25 : 6 N?. 5.) Schippond: Lijsp. pond. 3789 : P • 12 912 : 17 : 14 rest 2876 : 2 : 13 '  sas GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. N°. 6. Mark. Onc. Eng. Aas. 378 : 7 ■ 13 : 21 139 : 7 : 19 : 27 rest 238 : 7 : 13 : 26 In het eerfte voorbeeld heeft men aldus gewerkt: ia penn. van o penn. kan niet; — op de ftuivers kan men ook niet ontkenen , waarom men op de guldens 1 gulden ontleent, deefe is 20 ftuiv., van die 20 ftuivers, neem ik 1 ftuiver, dat is 16 penn. — en zeg 12 penn. van 16 penn. is 4 penn. nu 17 ftuiv. van 19 ftuiv. 2 ftuiv. —i en eindelijk 31072!: van 3895 g!:is 788 guldens. 7° Iemand heeft ontvangen van A 3796 GL 10 ft. van B 4709 Gl. 17 ftuiv. 12 penn. van C, 1209 Gl: 11 ft: 8 penn. van D 1709 Gl: 15 ftuiv. 10 ^>s»«. üfor betaalt hij aan E 3129 G/. 12 ftuiv. 4 F 3709 4 8 penn. aan G. 133 G/; n ft. 12 penn. en aan // 3712 Gl: 2 7?. 10 ^»». Vraage hoe veel hij nog van de ingekreegene fom overhoudt? Andw. 741 Gl: 3 /?««•. 12 penn. Men moet in dit vootftel eerst berekenen hoe veel in het geheel ontvangen , dan hoe veel in het geheel uit gegeeven is, en eindelijk de uitgaaf van de ontvangst aftrekken — dan heeft men het begeerde, (a ) & II b. (o) Men leefe hier ter plaatfe nog eens na, wat in de 111 "Les VI Lid % 64 6f /«J. van 'de proeven gezegd is: dat alles Kan in den vollten zin op de bewerkingen der eerlte gevallen van deefe en de voorgaande les toegepast worden. Wij zeggen niets meer en laaten alles tot de beichonwing van den leefer over.  I. B.III. H. XIII. L, Ov.de&ubt. derGrooth. 229 II b. Om h$t verfchil te vinden van ongelijkmaatige geïijkfoortige grootheden. § 289. Die het tweede geval van de voorgaande les wel begreepen heeft, zal ook tot de oplosfing van dit volkomen in Haat zijn: — men volgt altijd deefen Algemeenen régel. „ Herleid heide grootheden volgends § 261/0? „ dezelfde henaamïng en trek dan de grootfte „ van de kleinfle af. — dan is het begeerde gevonden. " § 290. Bij voorbeeld. Men begeert te weeten hoe veel Guldens 'er overblijven als men 372 Zeeuwen aftrekt van 2:7 Ducaaten? Men brengt de Zeeuwen en de Ducaaten eerst tot Guldens volgends § 261. en vindt voor 372 Zeeuven 967 Guld: 4 ftuiv insgelijks voor 227 Ducaaten, vindt men 1191 Gl. 15 ft; nu trekt men het eerfle van het laatfte af, ea vindt, 224 Gl: 11 ftuivers, zo als men hier onder zien kan. 227 Ducaaten — 1191 Gl: 15 ftuiv. af 372 Zeeuwen = 967 Gl: 4 ftuiv. 327DUC: — 372Zeeuw.— 224 Gl: 11 ftuiv. § 291. Men ziet hier uit, dat deeie bewerking geheel eenvouwig is, waarom het onnodig zou zijn, iets meer totverkïaaring te zeggen, de leefer zal voor zich de volgende vraagen, niet alleen tot oeffening van deefen, maar ook van den voorgaanden régel, oplosfen, hem aanbeveelende behoorlijk op den zin der uitdrukkingen te letten. P 3 Voor-  23o GRONDBEG. der CJJFFERKUNST. Voorbeelden, i 0 Hoe veel Zeeuwen houdt men over, indien men van 520 Daalders 470 Gulden betaalt ? Andw. 134 Zeeuwen 32 duivers. 20 Een Koopman heeft aan Geld 3 oco Gul' dens bij. kas, en betaalt daar van drie ftapels Zeeuwen (a 20 in de ftapél) nog 37^ Goud-gul» den en nog 17 Ducaaten . hos veel G 'dens houdt hij dan nog over? Andw. Guld. 19 ftuivi 30 Een ander ontvangt van A , > 7 G/: 12 /?«wV , W# i? 8072 Gl: 10 ftuiv. 8 van C 7954 G7: 17 ftuiv. 8 ƒ»^« Z) 3789 Gl: ij jw» E 7921 Gató: 10 /?««/. — On* der de ontvangen fpetien zijn 4 Zakken Zeeuwen 5 Zakken Agtentwintigen 139 enkelde Ducaaten 130 Rijders; nu wil hij de rest opgewisfeld hebben in Zesthalven en Ducatons, van elks de helft: Vraage hoe veel Zakjes van elke fpetie hij dus opwisjelen moet? Andw. 56 Zakjes Zesth: 239 worp 5 ftuiv. en 24 Zakk. Duc. 172 ftuk 27 ftuiv. 40 Het beloop van een partij Tarw is 3712 Goud-gulden, dit word betaald eerst half zo veel Guldens als de fchnld Goud Guldens beloopt, dan ■nog half zo veel worp Zeithalven van 4 als de geheele fchuld Goud.guldens bedraagt, nu moet de rest betaald worden met Zeeuwen , die men in waarde rekent 53! ftuivers; men vraagt hoe veel ftukken men tellen moet ? Andw. 485 Zeeuw. 36; ftuiv. 50 Als ik Schuldig ben u.72 Goud-gl. 39 Rijders, ic7 Ducaaten. 3^9 Pond-Vl: 17 Schellingen 8 grooten, (f,75723 Zeeuwen: en in kas heb 5 Zakken Ducatons, 10 Zak Zesthalven-en 156 Ducaaten, begeer ik te weeten, hoe veel Guldens te  I. B. III. H. XIII. L. Ov. de Subt. der Grsoth. 231 te kort komen ook zo ik de helft in Daalders en de helft in Zeeuwen wil betaalen , hoe veel ik van elks nog zal moeten tellen? Andw. Komt nog te kort 11684 Gl: 13/?: die betaald worden in 3882 Daald: 26, ftuiv. en 2240 Zeeu. wen ér ftuiv. 6° Bet zuiver Capitaal van een Koopman bedraagt 20000 Guldens , contante fpetien. Nu koopt hij voor 12800 Koopmanfchappen ; neemt nog vier Obligatien ; van 600 Gulden Capitaal elk: verwisfeit de rest: de helft in Zeeuwen en de helft in Goud-guldens: men vraagt hoe veel fluks hij van elke fpetie telt? Andw. 923 Zeeuwen 4 ftuiv. en 1714 Goud-guld. % ftuiv. XiV Les. Over de Multiplicatie der zamengeftelde grootheden. I Wat dpor deefe bewerking te verftaan is. § 292. Wat door Multipliceeren verftaan moet worden is de IV Les § 68 gezegd; — en ook hier moet dit woord hetzelfde betékenen. In deefe les zullen wij grootheden, die uit heelen, deelen en minderdeelen zamengefteld zijn, door eenig getal verménigvuldigen, dat is eenige maaien bij elkander neemen. Den régel die wij tot deefe bewerking zullen voordraagen , zal uit den aart der Multiplicatie, en uit derzelver Régelen in de IV Les voorgefchreeven, terftond verftaan worden. P 4 11 Ver.  s32 GRONDBEG. der C1JFFERKÜNST. II Vcrklaaring en opgaave van den WerkrégeL § 293. Toe een vourbee'd ftellen wij: 372 Guldens 12 ftuivers , 10 penn. met 37 te verménigvuldigen. —— dat is te zeggen: te vinden wat fom het maaken zal, indien 371 GA 12 ft, 10 penn. 37 maal bij elkander genomen worden? Het gefielde müjtiplicandum beftaat hier uit drie léden; namelijk 372 Gl ; 12 ftuiv; en nog 10 penn. — aangezien nu naar den aart van de Multiplicatie, het geheele product verkreegen wordt, door de afzonderlijke deelen van het zelve, uit de producten van de deelen of léden van het verménigvuldigtal met den verménigvuldiger, gemaakt, te zamen op te rellen, neemt men in de oplosflng deefer vraag deefe fchikking in acht. Bewerking 372 Gl. 12 ftuiv. 10 penn. " ' _ 37 13787 Gl. 7 ftuiv. 2 penn. dit is het product van de 372 Guldens 12 ftuiv. 10 p^nn. ' met 37 verménigvuldigd. Merêkening 370 penn. het pre duet van de penn. —■ door 16} —^— komt 23 ftuiv. en 2 penn. tel bij 444 ftuiv. het product van ' ' de ftuivers. komt 467 ftuivers. door 20) ■ komt 23 Guld: 7 ftuiv. tel bij 13764 Guld. het product van de Guldens, komt 13787 Guldens. Men  I. B. III. H. XIV. L. Ov. de Muit. der Grooth. 233 Men vermenigvuldigt eerst 10 penningen mee 37 — en het product is 370 penn. welke men met 16 deelt om tot ftuivers te maaken, dan komt 2 3 ftuivers 2 penn, de 2 penningen ftelt men in de plaats van de penningen, en de 33 ftuivers ftelt men ter zijden, — daarna vermenigvuldigt men de 12 ftuiv. met 37 komt 444 ftmvers, hier bij telt men de overgebleevene 23 ftuivers, komt 467 ftuivers , welke volgends § 249. tot ftuivers gemaakt , geeven 23 Guldens 7 ftuivers, — de ftuivers ftelt men in de plaats van de ftuivers — en, de 23 Guldens ftelt men ter zijden — eindelijk vermenigvuldigt men de 372 Guldens met 37 en het produft 13764 Guld. bij de overgeblee. vene 22 Guldens tellende is de fom 13787 Guldens, -1 en het geheele product is J3783 Guld: 7 ftuiv. 2 penn. § 294. Deefe bewerking is, gelijk elk ziet, die het gezegde aandagtig naargefpeurd heeft, gelijkvormig aan de gewoone verménigvuldiging (vergelijk § 75, 76 & feq.) en alles komt uit op deefen, Algemeenen RéGEL. 1° „ Na dat men de gegeevene grootheid, „ het multiplicandum, in die order gejehikt heeft, „ die § 278. eerfte lid van den régel geleerd is, „ begint men agter aan, te werken, en elk lid „ van de grootheid te verménigvuldigen van de „ meerderdeelen der kleinfte waardijen van agter^ „ naar voor, tot de geheelen toe, overgaande. 2° „ Bij elk verkreegen pro duel moet men let„ ten op de waarde van de uitkomst: nu gebeurt „ het meest altijd, dat de verkreegene uitkomst „ een aantal minderdeelen is, meer dan het getal P 5 »  234 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. „ minderdeelen, dat op een minder deel van de vol. „ gen de hoogere1 foort bevat is , daarom moet „ men volgends % 249 door deeling bepaalen, hoe ,, veel van de volgends hoogere foort op die min„ der deelen begreepen zijn. — het geen ''er over„ blijft, ftelt men in de plaats, voor die foort van „ minderdeelen beft cm d — en de uitkomst 'moet „ men bij het volgendeptoducl tellen.''' § 295. Tot oefening van deefen régel zal de leerling deefe volgende voorbeelden cplosfen. 1° Vermenigvuldig 37 gl. it ft. 12 penn. met9? komt 338 guld. 5 ftuiv 12 penn. a* Verménigvuidig 376 guld. 17 ftuiv. %penn. met 23 ? komt 8668 g«/W. 2 /?»«>. 8 3 9 Verménigvuidig 179 Pond-VI. 17 Schelt. 'i, groot met ^6^ komt 64.75pond. 1 fchell. 49 Verménigvuidig 379 pond-vl. i 8 9 gr. »zc/ 11^? komt 45212 pond-vl. 11 fchelll 3 groctf. 5P Ti? verménigvuldigen met 317 de volgende'. a) 376 Daald: 28 /?««>. 9penn? komt 119493 daald. 24 y?»*j>. 5 penn. b) 109 Goud-gl. 1$ ftuiv. 11 penn? komt 3482ï goud-gl. 4y?«zV 15 pe«/?. c) 3128 Zeeuwen 44 10 _^?»«. komt 991848 zeemv. 2 ft. 2 penn. d) 1796 Ducaaten 4. guld. ij ftuiv. 8 /wz». komt << 69626 ducaat. j gl. 17 //z«V. 8 6° M?# wi/ «zef 372 verménigvuldigen de vol. gende. a_) 17 £e»»' b) 309 G«/W. 12 penn? komt 20705 gató. i o y?aiv. 4 />e««. cj 31 Ga/i. 12! ^c»».? komt 2079 guld. 12 /?««>. 5! penn, d) 15 JÉ^r* 4 toe. 12 tf**/*»* kmt io38 Mark 5 o»c. 5 eng. 4 aafen. # I2g begeert 37 roe^: 11 we/ 7 *h* kan ontlédigen, zal men met deefe fadors , in plaats van met het geheele getal werkenae, door Leer werk het zelfde verkrijgen. Stel dat men 3.5 Gulden 15 ftuiv. en 9 penn. met 105 moet vermeSdigfn; dan zal men, deefeleerwijfe volgende, S 3S, 5 en 7 ontlédigen - en de gefielde grootbeid ee3rs: met 3, het produft met 5 - *n fct laatfte produft met 7 verménigvuldigen : gelijk men verder in de onderftaande bewerking ziet. 35 Gl: 15 ft: 9 P* eerst met 3 komt " 107 Gb $fi; » Podnemaal de gegee. nu met 5 (vene grootheid. komt 526 Gl: I3~"V 7"P- *5 maal de f gf 53 eindelijtmetT 0™e grootheid., " -/= m. t . ft- t p., io1? maal de geK°mt 3gL6venegrIo4otheid: zijndedlprodua, let welk men verkrijgen zou, door 35 GL 1 c ft* 0 penn. in ééns af met 105 volgends den régtl § 29 *w vermenigvuldigen  23$ GRONDBEG. de CIJFFERKUNST. § 297 Door de verménigvuldigers is factors te ontlédigen, zal men van de voorbeelden §295 opeegeeven , in het eerfte met 3 en 3; in het derde met 3 j 3 en 4; in het vierde met 7 en 17; in het zesde met 12 en 31; in het agtfte met 7 en 5, in twee of drie multiplicatien het produft kunnen vinden, zo ais de leefer, door zulks in het werk te ftellen , zien zal terwijl wij om hem te hulp te komen, nog de vol' gende voorbeelden toe oeffening zullen voorftellen. l° Om 17 'Stuivers 12 penn. met 21 te verménigvuldigen? Hier is «1 -3 3x7. Andw. 18 guld. 12 ft. 12 penn. 2° Om 3 guld. 11 penn. met 28 te verménigvul. digen? 28 is -4x7. Andw. 85 guld 1 ftuiv. 3° Verménigvuidig 17 goud-gl. 18 ftuiv. met 42 » Hier 42=5 6x7 Andw. 741 goud- gl. 42 37 Last 19 mudden 3 fchepels met 96 te yermémvuldigenï Hier96 =s 8x 12 ~ 6 x 10 ~ 4x4x6 enz .Andw. 3622 Last 6 mudden. 5 Om 32 5 n aafen met u verménigvuldigen? Hier is 143 - IIXI, Andw. 4665 5 ö»e. 9 . 8 5° £«» Z^f* kost 56 Guldens 10 y?azV. 12 j5e«». /20e y#?/ 48 Last? Andw. 2713 Gl: 16 ftuiv. 60 Een pond kost 17 ftuiv. 8 penn. hoe veel 9 Schippond 11 Lijspond 11 pond? Andw. 2516 Cl: 10 y?«/j>. 70 Als 1 Schepel kost 19 ftuiv. 12 ^e/?». /*o. 4penn? Andw. 3309 G/: 11 ftuiy. 4 Ih dit laatfte en het 6, 7 en 9 voorbeeld moet men eerst de gegeevene grootheid ,waar van de geldwaarde moet berékend worden, tot minderdeelen brengen. XV Les.  /. B. III. ff. XV. L. Over de Divifie der Grooth. 245 XV Les/ Over de deeling der grootheden, die uit heelen, deelen en minderdeelen zijn zamengefteld. I Wat in deefe les geleerd wordt. § 3°9- T~\e deeling der getallen dieet, zo als wij § 1 n _U zeiden en inde Vi en VIH Lesfen omftandig verklaard hebben, tot twee oogmerken : eerst om de verhouding van t .vee getallen te vinden , en dan nog, om te bepaaïen wat getal een bepaald deel van een gegeeven getal is: — deefe twee hoofdvraagen der Cijferkunst moeten in deefe les ten opzichte van alle foorten van groothéden, in getal aangeweefen, behandeld worden. II A. Over de verhouding van twee groothéden. § 310, Gelijk alle groothéden, die zamengevoegd en gefcheiden worden, gelijkfoonig moeten zijn, kan ook de verhouding van twee groothéden alleen maar van geïijkfoortige bepaald worden: aangezien nu twee" geïijkfoortige grootheden in getal uitgedrukt, deefe getallen geiijkmaatig of ongelijkmaatig kunnen zijn, komen wij natuurlijk tot deefe twee gevallen. r° Als de grootheden in gelijkmaatige en 2^ als zij in ongelijkmatige getallen zijn uitgedrukt. J 6 Q 3 a) Als  24<5 GRONDBEG. der. CIJFFERKUNST. a) Als de groothéden in geüjkmaatige getallen zijn uitgedrukt. § 311 Als men op deléden acht geeft, waaruit de deeler en het deeltal zijn zamengefteld, kan men, om alles in het behoorlijke licht te plaatfen, de volgende omftandigheden afzonderlijk oyerweegen, overal onder het oog houdende, dat als de divifie in getallen dient om de verh< uding te bepaalen, vereischt wordt, dat beidegetallen gelijkmaatig zijn cn zo niet, gelijkmaatig moeten gemaakt worden. § 31a To Als de deeler éénledig is. en a) ge. lijkmaatig met het hoogfte lid van het deeltal-. bij voorbeeld als men 735 guld. 12 ftuiv 8 pen. moet divideeren door 19 gulden: dat is bepaalen hoeveel maal 19 gulden in 735 guld. 12 ftuiv. en 8 penn. begreepen is. _ Men fchrijft zoo als in VI Les § 131 het eerfte lid van den algemeenen régel geleerd is; eerst den deeler en daar na het deeltal voor den deeler, Hellende het werk in deefe orde: 19 Guld. «{735 guld: 12 ftuiv: 8 penn {38 blijven O 3 guld: 12 ftuiv: 8 penn. Na deefe werkelijke deeling blijkt het ,'dat 19 gl: in 735 guld. 12 ftuiv. 8 penn. 38 maal bevat is — en dat 'er dan van het deeltal nog 13 gulden 12 ftuiv. 8 penn, overblijven. § 313. Maar nu is de vraag: wat moet met deefe overblijvende 13 gl: 12 ft. en 8 penn. gedaan worden? —- en wij antwoorden eenvouvvig: 'er  L B, UI, H. XV. L. Over de Divi/ie der Grooth, 247 'er moet bepaald worden: wat deel deefe overblijvende 13 gul ' Iftri . - penn van de 19 guld. is. Die is nu eigenlijk de vraag die in alle haa- re ömftandighéden en geVaüen in het tweede boek breeder zai bèhand ld wor ten évenwei '/ijn wij nu in de noodzaakiijklrid om 'er iets van te zeggen, en wel zo veel als uit de gronden, tot hier toe gelegd, door elk zal verftaan worden. Vergelijk V Les § 144 & feq. Om nu op een gefchikte wijfe te bepaalen, wat deel de rest der deeling van den deeler .zij, is "er geen natuurlijker weg, dan beide, te weeten de rest der deeling en den deeler tot dezelfde deelen te herleiden; want hier door vindt men, hoe veel deelen en welke foort van deelen in den deeler zijn, en hoe veel van die deden in de rest der deeling begreepen zijn. Zo is in ons tégen woordig voorbeeldde werkmanier, die het eerfte in het oog loopt, den deeler en de rest der deeling tot penn. te herleiden; en dan zal men, de rekening (volgends § 239 en 246) oprnaakende, voor 19 guld. vinden 380 ftuivers of 0080 penn. en voor 13 guld. ia ftuiv. 8 penn. vinden 4360 penn.; en hier uit is dan klaar dat 13 guld: 12 ft: 8 pen: 4360 deelen zijn, waar van 'er 6080 in 19 guld: bevat zijn, en men kan ftellen dat 19 guld: in 735 guld: 12 ftuiv: 8 penn. 38 maaien begreepen zijn. Maar nu hadt men alles langs een eenvouwiger weg kunnen opmaaken, want aangezien 8 penn: een halve ftuiver is, kan men beide den deeler en de rest der deeling tot halve ftuivers brengen, en dan krijgt men voor den deeler 760 balve ftuivers, en voor de rest der deeling 545 halve ftuivers — en daar uit befluit men, dat in de rest der deeling 545 van die deelen zijn, waar van Q 4 'er  248 CRONDBEG. der CIJFFERICUNST. 'er 760 in het geheel gaan — en 19 guld: is in 735 gnld: 12 ftuiy: 8 penn: 38'4; reaal begreepen. Men kan zelfs nog verder gaan: 760 en 545 kunnen elk nog door 5 zonder overfchot ge-, deeld worden, deefe deeling uitwerkende, vindt men voor de quotiënten 152 eu 509: en dat wil zeggen dat in 19 guld: 152 vijfgrooten en in 13 guld: 12 ftuiv: 8 penn: 109 vijfgrooten begreepen zijn, en daar door hebben wij dus deefe nieu?, we uitdrukking voor het quotiënt 31 Alles wat wij nu gezegd hebben, is in deefe fchets der bewerking bij één gebragt. deeler r deeltal reuoiient 19 guld: < 75Ê gl: 12 ft: 8 p; < 38 I?! zo veel 20 ti 65 (maal is 19 gl: — 13 gk in 735 gk 12 ft: 380 ft: ——-(20 8p:begreepen, ——ti 6" 272 ft: dat is 38 maal 6080 p: ——— (16 en dan blijft'er 8) * 4360 penn: nog 13 gl: 12 ft 760 gr: 83—— 8 p: over, dat —„ 54j grooten icq maal een i5av.-gr.-59*"-* • honderd twee- 109 vijfgrooten. ënvijftigfteceel van 19 gl: is. § 314 Uit het zo éven berédeneerde kan men afleiden (en het is de eerfte maal dat het ons voorkomt) dat de waarde van een gebrooken op verfcheideue wijfen uitgedrukt kan worden. Dit is iets waarover wij ons in het volgende boek eene geheele Les moeten bézig houden. Alleen moeten wij zo veel als ons in déefe Les te pas komt, opmerken. i° dat om de waarde van een breuk te bepaalen, die  I. B. ÜL H. XV. L. Over de Divifie der Grooth. 249 dis in de uitkomst bij de heelen moet gevoegd worden, om deÉ uitkomst: volkomen te maaken, den deeler en de rest der deeling beide tot minderdeelen moeten herleid worden, —en(hier hij meet men onder het oog houden, dat men die groothéden tot geen laager minderdeefet» moet herleiden dan in de grootheden zelve gegeevecn zijn. »o jat als de herleiding verricht] is, beproefd moet worden, of niet beide getallen gelijkhjK door het zelfde ge • tal zonder overfchot kunnen gedeeld worden, cm daar door de breuk, bij her geheel ie voegen, in kleiner getallen te hebben. Zie § 2S3. § 315 De volgende voorbeelden zijn tot oeffaning in deefe bijzonderheid van het eerfte geval opgegeeven. i° Om iSgguld. 7 ftuiv- en 8 penn. door 15 gl. te deelen? komt i%\ maal. 2° Om 434 zeeuwen 2 ftuiv. te divideeren door 37 zeeuwen ? komt 15 |J maal. 30 Hoe veel maal is 17 Last op 1734 Last 13 mud: en 2 fchep. begreepen? Andw. 102 2 maal. 40 Hoe ménigmaal is 14 pond op 537 pond en 24 loood begreepen? Andw. 38 *1 maal. § 316. b) Als de deeler eeniédig is en gelijkmaatig met een laager lid v&n het deeltal: i ij voorbeeld als men bepaalen r.--oet, hoe veelmaal 16 ftuiv. op 37 guld. 8 ftuiv. en 12 penn. begreepen is? Men fchrijft den deeler en het deeltal a's naar gewoonte en begint in het deeltal, de Guldens tot ftuivers te herleiden volgends den régel § £39 en Q 5 246  25o GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. 546 en daar na te werken als in § 312 en 313 geleerd is, deeler r deeltal c quotiënt. 16 ftuiv. < 37 Gl: 8 ft: 12 p:<46sj maal, dat 4 l 20 lis 16 ftuiv: is in — ■ ■ 37 gl: 8 ft: 12 p: 64 vierde ft. 748 ftuivers eerst 46 maal be- 108 greepen — en dan blijft over (12 ftuiv: j$ penn: blijft nog 12 ft: 4 3 12 penn: over, > die gelijk zijn aan 51 vierde deelea 51 maal een viervan ftuivers. enzestigfte deel van 16 ftuivers. De 37 gulden 8 ftuiv. heeft men tot ftuiv. gemaak r en gevonden 748 ftuivers, nu is bepaald; hoe ménigmaal 16 ftuiv. op 748 ftuiv. begreepen is, en dat is het zelfde als of men bepaalde hoe veelmaal 16 ftuiv. op 37 guld. 8 ftuiv. begreepen is: de overblijvende 12 ftuiv. en 12 penn. heeft men tot vierde ftuivers gereduceerd , als ook de 16 ftuiv, waar door men deelt, en daar uit is gebleeken dat 12 ftuiv. 12 penn. 51 vierenzestigftc deellen van 16 ftuivers zijn. § 317. Men werke nu de volgende voorbeelden uit. i« Hoe veel maal is ï$ fchell. op 17 pond 15 fchell in 6 groot begreepen? Andw. 23 r: maal. 2° Hoe ménigmaal zal 17 lood opjiT, pond 11 looi begreepen zijn? Andw. 43 16 'maal. %  I.B.IlLH.XV.L.GverdeDlvifie derGroth. 251 • 30 Hoe veel maal zal 12 penn. in 173 guld. 10 a-jy % penn. begreepen zijn? Andw. 4°*r! 40 Hoe ménigmaal zal 18 e7zg?/.y op 13 w^r& 17 s«gff/i 28 aafen begreepen zijn? Andw. il6H:; 218 II ^ ^ deeler twee o/ drie iédig n") /zoog/?* tfi gelijkmaatig met hoog van het deeltal. Bij voorbeeld thmm 3% c guld. 8 ftuiv. en T2 penn. moet dividcertn door 13 goud-gl, 12 ftuivers. Men moet in dit geval alleen maar op] ••- < zijn, om eerst den deeler volgends den régel § 2; tot zijne laagfte minderdeelen te brengen dit gedaan zijnde , moet men op de wanrde van die minderdeelen letten en in het deeltal van de hoogfte af tot de laagere beginnen te reduceeren , tot dat men tot die minderdeelen gekomen is, waar toe den deeler gebragt is <— en dan voerds weken zoo als in het voorgaande geval geleerd, en uit de fchets der onderftaande bewerking verder te zien is. deeler r deeltal .quotiënt. 13 G-gl 12 ft.-}374 G-gl. 8 ft. 12 p.-{v<^ 28 *■ 28 Imaal is , , ■ i3Ggki2 576 ftuiv. 104^0 ft. 12 p. ft op 374 n 4 2960 G-gh s ft. »,..., ... 328 ft. M penn. 12 penn. 1504 oortjes jf0 4 3 begreepen. 1315 oortjes. % S19 De volgende voorbeelden dienen tot oeffening van deefe bijzonderheid.  c5a GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 1° Hoe veel maal gaat 17 pond VI, 11 fchell. op 198 pond 18 fchell.? Andw. 11 ' maal. ' 2° Hoe veel maal is 3 Last 11 mud. op 58 Z deeltal 13 ftuiv. ia p. < 80 guld. 19 ftuiv. 1 penn. 16 l 20 22jo penn. 1619 ftuiv. (44 16 4 c £590)5 penn. B. III. H.XF. L. Over de Divifie der Grooth. 257 Hoe ménigmaal ds guld. 11 ftuiv* 8 op 678 Daalders en 4begreepen? Andw. 16 «fca^/. 4° ffoe ménigmaal is ■ 16 Goud-gl. 11 _/?««>. 4 op 203 Zeeuwen 6 /fw/y. 12 />e/z«. begreepen? Andw. 23- 5° Hoe ménigmaal is 17 ti groot op 381 gwW. 12. ftuiv., 8 penn. begreepen ? . Andw, 71 maal. . - 6? i/ö verdeelen 41877 ga/i, 8 /?#/y. 10 ^sra. in 43? komt 973 Ga/*/. 77 //aiy. 14 5Q Divideer 45918 pond-vl. 12 fchell. 2 grooi /'« 47 ? komt. 976 />o»f/ 19 /£»£//. 10 groef. 6? Te verdeelen 196848 Goud-gl 20 ftuiv. 6 ' penn. in 83? komt 2371 Goud-gl, 1$ ftuiv, 14 ^«». jq 2> verdeelen 991848 zeeuv. 2 /?a/y. 2 penn. in 317 V 3128 zérÊOTV. 44 ftuiv. 10 penn. 8* 58 Gl: 16 ft: 11 penn. in 67 te verdeelen ? komt 17 ftuiv. 9 _pe«». 90 Om 1472 mark 1 owc? 15 e/zgé/f 4 39 re verdeelen? komt 37 ?»«r£ 5 once 19 • 8 8° Deelt 10420 Goud-gl. 6 ftuiv. 8 penn: met 36? komt 289 Goud-gl: 12 10 penn. VI. C i&f gebruik van verhouding en verdeeling de Grootheden. § 331. Deefe werkrégel heeft twee gebruiken, die wij ten Hotte van deeiè les kortlijk zullen ontvouwen. A Eerst, door de verhouding van twee groothéden te bepaalen,vindt men, hoe veel ponden ellen, lasten enz. van zékere waar men voor eene bepaalde fom hebben kan, indien bekend is, hoe hoog één pond, el, last enz. van die waar in geld te ftaan komt. Bij Voorbeeld. Iemand heeft een ftuk Linnen gekoft voor 58 Guld: 11 ftuiv: 12 penn: nu heeft hij voor de el hefteed 15 ftuiv: 12 penn: men begeert hier uit te bepaalen, hoe veel ellen dat ftuk lang geweest is ? Oplosfing. Naardien elke el 15 ftuiv. 12 penn. waard is, volgt, dat zo ménigmaal die 15 ftuiv. en 12 penn. in de 38 Gl: n ft: 10 penn. begreepen zyn, het ftuk ook zoveel ellen lang geweest is, aangezien , dat deefe fom de geldwaarde van het geheele ftuk is. Nu, te bepaalen hoe ménigmaal 15 ftuiv. 12 penn. in 38 Gl: 11 ft. 12 penn. begreepen zijn, is de verhouding deefer grootheden te r 4 vin-  16*4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST, vinden § 124., hoe deeie verhouding gevonden wordt is § 3 27 geleerd, en dit is de geheele bewerking, deeler deeltal 15 ftuiv. fi penn. J 38 Gkiift. ^pen. 3 I met 20 to: ftuiv. 3 öiet^ tot penn. ■ 4 771 ftuiv. ■ ■ — met 1$ tot penn. 4 63 3o87 f komt 49 maal, 567 \zo veel elien'moec (o nu het (luk lahg geweest zijn. § 33 a. RéGEL. „ Men divideert dan in foortgelij' „ ke vraagen altijd de gegeevene geldfom door de geldfom, de geldwaarde van één elle , pond. 93 enz. aanwijfende. " De volgende voorbeelden aullen ftof genoeg opleveren, om zich in dit gebruik te peffenen. ïe Iemand heeft Laken gekoft, cn hefteed 364 Gulden, de el komt hem op 5 guld. \i ftuiv. te- ftaan i, hoe veel el kan hij dan voor die 364 gulden gekoft hebben? Andw. 65 Ellen. 2 9 Ah t fond Thee voor 2 guld. 2 ftuiv. gekoft wordt, hoe veel pond kan men dan hebben voor 262 guld. 11 ftuiv.? Andw. 125 { ponden 39 Als men 8 ftuiy'. en 6 penn. voor j pond Suiker betaalen moet, hoe veel pond kan men dan hebben voor-100 guld.? Andw. 23857 ponden. .--4°. Als een last kost■73 Goud-gl. 23 ftuiv. n • , ■ ■■■ - - ■'■ . - penn.,  I B III. H XV. L' Over de Divifie der Grooth. 20*5 tem hse veel Lasten zal men dan kunnen heb- ben voor 1964 guld. 6 ftuiv. 1 penn.? Andw. tQ Lasten. , , Als 1 fchepel kost. 18 ftuiv. 4 h" veel last kan men dan voor 539 5 ia Denn ? Andw. 5 w^ 3 , *6Ó 'jis i once kost 9 guld. 16 ftuiv., hoe veet pond zal men dan hebben voor 1852 guld. 4/f.f Andw. II pond 13 o«w». % ^ iiw* #0g£«w.? Andw, 9 IfliM7 m 7 ^g Een pond kost r ftuiv 6 penn* hoe veel lijspond kan men dan hebben om 32 guld. x ftuiv. ïopenn* Andw. 12 lijspond 11 pond, 0° Hoe veel vat of quarteelen Traan kan men koopen om 927 guld. 14 S *»* mengel kost 5 6 Penn- Andw. 17 v*f u fteêkan 11 mengelen. In deefe vijf laatfte voorftellen, dient men te letten, dat men na de deeling, bij voorbeeld m het vijfde, zal vinden hoeveel fchepels voor de roo Suld. 5 ftuiv. 12 penn. kunnen gekoft worden, welke fchepels dan naderhand tot lasten moeten gereduceerd worden, volgends § £49' io° Indien het Sterrekmdig jaar op 365 dagen 5 uuren 48 minuuten 45 fecunden, door waarneemingen bevonden is, en volgends den Ju. liaanlchen Almanach , door 9an vier tot vier jaar, een jaar van 366 dagen te noemen, het burgerlijk jaar op 365 dagen 6 uuren en dus te lang gerékend wordt, vraagt men m hoeveel jaabb R 5/ ren  266 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. ren dit verfchil liet verfchil van eenen da* uitmaaken ü *** Men moet eerst berekenen, hoe veel Juliaanfche jaar langer is dan het middelbaare Sterrekundiojaar: aLus *> het Juliaanfche 365 dag: 6 het Sterrekund: 365 dag: 5 uur: 48 min: 45 fec. verfchil der jaareu " min: 15 fec, Mli moet betékend worden, in hoe veel iaapen dir jaarlijks verlchil éénen dag of 24 uuren zal maaKen. deeler ^deeltal 21 min: 15 fec-A 1 dag 60 L 24 <$75 fcconden 24 uuren 60 1440 minuuten 60 86400 fec. ji28 Jaaren, die 'er 1890 i verloopen moeten, ,540o eer het verfchil van blijft ©ver (Q het jL!iiaarJche en Sterrekund:ge jaar éénen dag maakt, (a) Dat gevonden moest worden. II O) Uit deefe berekening blijkt, dat in 128 jaaren, de dagen van het jaar volgens de Juliaanfche tijdrekening ofdenonder1 ftr,f, écnen dag verfchillen en re Iaat komen, dit gebrek badt men, zédevd Jtjlius-Caeïah den AU  /. B. III.IUXV. L. Over de Divifie der Grooth.267 B § 333 De verdeeling der grootheden, kan ook dienen om als voor eenige ponden, ellen enz. van zéüere waar eene fom bedeed heeft, te be* paaien, op wat geld waarde één pond één elle van die zelfde waar komt te daan. Bij Voorbeeld. Als men voor 13 Last rnove 03 2 guldens 15 ftuiv. hefteed heeft, hoe yedis dan \ last gerékend? Andw. 71 Gl. 15 ft. «304 Het is klaar, dat men, om aan de vraag te voldoen, eenvoudig te bepaalen heeft, wat een dertiende deel van 923 guld: 15 ftuiv. is, en dat men diens volgends de 932 guld: 15 ftuiv: in 13 gelijke deelen moet verdeelen; want elk dertiende deel van 923 guld: 15 ftuiv: zal de waarde zijn van een dertiende deel van 13 last, dat is van 1 last. Hoe nu zulk een dertiende deel van 13 last geven- den Almanacb verbeterd hadt, van tijd tot tijd befpeurd. Op het einde van de XVI Eeuw was het verfchil al tot 10 dagen geklommen; den 2* Febrnarij 1581, kwam het Brevet van Paus Geegokiüs te voorfchyn, bij welkc bi jtAèo werdt. i° dat men na den 4 Oftober iclz. 10 daccn van de maand zou over overilaan, en den « Oaofcer . %0 is znu noemen. o° dat in het vervolg 2e eeuw isareti 1700, i8co, 1900 waarvan de de honderd -tallen Diet door vier deelbaar zijn, voor gemeene , cd de : rj Td tallen 1600, soco, 2400, 2800 t-nz. door 4 dcclbwr zijnde, voor fchrikkeljaaren moes■ ,. bnudrti worden, waat door in de 400 jaaren drie . •, iv. :!:-r teréti. r.d worden, dan naar de Juliunlcus ■'. I.i,,.. au ;•: ' 1:8 jaar éénen dag verfchil, dat is in ven 3 di^en: alhoewel nu deefe rekening met ten v; f- . kev.r ,; is, cm dat in 3200 jaar nog eenen daa verfchil zal plaats hebben, kan men echter zeggen dat doo: de Grigtrimnfche inftelling, den Almanacb. tot dien trap van volkomenheid gebragt is, die men naar den aart der zaake bij mogelijkheid wenfehen kan.  *68 GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. den wordt, is § 330 geleerd en is nader te zicu uit de volgende bewerking, deeler r deeltal j- 13 193? Gl: 15 ft: J71 guld: I5 fiuiV. blijft 9 guld. met 20 tot ftuiv: 13) 195 V5 ftuiv? 65 1 blijft (o over Zo dat 1 last kost 71 gl. 15 ft. dat gevonden moest worden, het welk men daar en boven be. proeven kan, door de 71 gl: 15 ftuiv: met 13 te vermenigvuldigen, zullende als dan bet producb de 932 gl: 15 ftuiv. de waarde van 13 last geeven. | 335 RéGEL „ In de oplos fing van foortgellj. „ ke vraagen, moet menderhalven letten op de hoe„ veelheid van ponden, ellen, lasten, en de „ geldwaarde m zoo veel deelen verdeelen als „ het getal van ellen, ponden enz. aanwijst-" welk de leerling in de oplosling van de volgende voorbeelden nader zal zien. l° Als 170 pond kost 44 guld. 12 ftuiv, 8 penn, hoe veel kost 1 pond? Andw. 5 ftuiv. 4 p. 2° Als 17 Ellen kost 55 guld: 5 ftuiy. hoe veel kost dan 1 Elle? Andw: 3 guld: 5 ftuiv: 3° 7680 pond Suiker kost 3024 guld: hoe veel kost dan 1 pond? Anwd: 7 ftuiv: 14 penn: 4« 35 Lasten kosten 1596 guld: hoe veel kost dan 1 last? Andw: 45 gnïd: 11 ftuiv. 5<*  IB. ÏIL H. XV. L. Over de Divifie der Grêbth.zfy ?o jis 65 fchippond heloopen 5078 guld'. 2/Ï1 8 penn: op hoe veel komt dan 1 fchippond i Andw; 78 guld: 1 ftuiv: 8 penn: 6° Alsi Last kost 45 guld: 7 fl** 8 p-tr. op hoe veel komt dan de ton? Andw: 3 guld'. 15 ftuiv'- penn: „o jfa yeel kost een fchepel Tartv als de 17 last 2 4909 guld: 13 /*«zi>: Andw: 2 guld: 13 /««v: 4 ^«»« In dit voorbeeld moet men eerst de 17 Last 2 mudden tot Schepels maaken volgends § »39. dan verkrijgt men 1844 Schepels- en de vraag komt dan ha op neder? als 1844 Schepels kosten 4909 Gl" 13 ftuiv. wat kost 1 Schepel? — dat men even als de zes voorgaande oplost. Op dezelfde wijfe moet men met de volgende te werk gaan. 8° Als 10 Lasten kosten 759 Gulden hoe veel kosten dan t Spint Groninger-maat ? Andw. 2 ^"o« lAlsPl% * Schippond ia Lijspond kosten1356 Guld: 1 ftuiv: vat kosten dan 1 Lijspond? Andw. 2 Gl: 16 10 penn, ,~ 10° ^ A** Last Rogge te Amfteldam verkoft wordt voor 165 Gl: 12 # hoe veel komt dan de Zak? - het Last is op 36 Zak gere. kend? Andw. 4 Gl: 12 S a*6. Het gebruik van de verhouding en verdeeline der grootheden, in het laatfte artikel van deefe Les aangetoond, behelst in zich wederom cwee omftaadigheden van den régel van dnen, waar over  27o GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. over wij in het III Boek omftandig zullen ibree. ken. Wij flappen thans met deefe Les van het onderwerp van het eerfte Boek af, om dat wij meenen den grond gelegd te hebben tot alles, wat in het vervolg van dit werk geleerd zal worden. Einde van het eerfte Boek, II BOEK  GRONDBEGINSELEN DER, CIJFFER KUNST. n. BOE K. Over de Gebrokens, % HOOFDDEEL De eigenfcharpen van de deelbaarheid dergetallen worden tot een grond/lag van de bewerkingen der gebrokens gelegd. XVI Les. Over de deelbaare en ondeelbaars getallen, zommige kenmerken der deelbaarheid — tafels van de deelbaare en ondeel. baare getallen. § 337. In het voorgaande bock hebben wij ons alleen met de hoofdbewerkingen der getallen bezig gehouden en alles wat wij behandeld hebben fteunt op ééne aangenomene Helling, om in woorden en coracters de getallen bij éénen, tienen, honderden enz. uit te drukken; maar in dit boek, waar in wij niet minder uitvoerig over de gebrokens moeten fpreeken, zal het eerfte hoofddeel dienen, om de  ftf» GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. de getallen ten opzichte van derzelver deelbaar en ondeelbaarheid nader te leeren kennen, aangezien die alles den grondflag zal uitmaaken, van veele verkortingen en kunstbewerkingen, die wij in het vervolg van dit werk telkens zullen aanwenden. I, Onderfcheid tusfchen deelbaare en ondeel' baare getallen. § 338 Men onderfcheid de getallen in deelbaare en ondeelbaare getallen. § 339 Een getal is deelbaar wanneer het door een kleiner zonder overfchot kan gedeeld worden. Bij voorbeeld 12 is deelbaar door 2, 3, 4 en 6: 21 door 3 en 7: 91 door 7 en 13, enz. § 340 Ondeelbaare getallen zijn, die door geen kleiner getal, zonder iets over te laaten, kunnen gedeeld worden: gelijk a, 3, 5, 7, li, 13 enz. Deefë getallen worden veelal eerfte getallen ( numeri primi 9 ook wel zamenfteliende getallen genoemd , om dat de deelbaare getallen uit de verménigvuldiging der eerfte getallen met elkander ontftaan, $ 341 Alle getallen, die inde natuurlijke rei der getallen tusfchen de ondeelbaare getallen invallen, zijn deelbaare getallen: zo dat, als men in de natuurlijke reeks der getallen, alle de ondeelbaare getallen doorhaalt, de overblijvende deelbaare getallen zijn. Zo als hier te zien is. $i %y 4» &*, ty 8, 9» io» tt* 12» Ut 14,15, 16, u, 18, 30, aï, 2a, n» *4»  II. Bi I. H. XVLLes.Ligenfch. der Getallen 273 2*1 =5» eö» 27> 28, 30, jff, 52, 33» 34» 35» 36, 3tf, 38» 39» 4o» 4ty 42» 44, 45, 4Ó, 2oen 30 21012,3,5,6,7,10,15,30,35,70 enz. 6 344. Onévemnaatig deel (pars aliquanta) is * iVt I zulk  274 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. zulk deel van een getal, dat in het getal zelve zon. der overfchot niet kan gedeeld worden. § 345. Een grooter getal 91 door een kleiner getal 7 deelbaar zijade , wordt dat grooter getal 91 een veelvoud (multiplex) van dat kleinere 7 genoemd: «~» anders, een veelvoud vaneen getal is het geen 'er komt als dat getal met eenig ander heel getal verménigdvuldigd worde. getallen J veelvouden 9) *S, *7» 36% 45> 54 enz. 7} 49» 7°, 91» 90% 140 enz. 23 f 9r» 104» 145, 260 enz. § 346. Als twee of meer getallen 15, 20, 35, 65 enz. elk door het zelfde getal 5 deelbaar zijn, wordt dien deeler 5 de gemeenen deeler ( divifor communis) of de gemeene maat (menfura communis) deefer getailen 15, 20, 35 en 65 genoemd, getallen j gemeene deelers. 35, 42, 561 7 78, 91, 104 13 39» 48, 5r» 63 ! 3 Bij deefe gelégenheid dient opgemerkt te worden, dat alle getallen, deelbaare of ondeelbaare de één of de éénheid to: gemeenen deeler of maat hebbben, en dus alle onderling meetbaar zijn. $ 347 Gemeen veelvoud (multiplex communis) van eenige getallen is een getal, dat door alle die getallen elk in het bijzonder deelbaar is. Zo is 48 een gemeen veelvoud, van 2, 3, 6, 8, 12, 16 in 24; III  17. B. I. H. XVI. Les. Eigenfch, derGetalln 275 III, Algemeene grondwaarheden, waar op het bewijs van de volgende flellingen berust. § 348 I. Als een deelbaar getal door eenige ondeelbaare getallen kar. gedeeld worden, is het ook deelbaar door het product van twee of meer deefer deelers met elkander vermenigvuldigd. Bij voorbeeld 30 is deelbaar door 2,3 en 5, zijnde ondeelbaare getallen,* dus ook door 2x3 ZZ 6; fx5 zz 10; 3x5 ZZ 15. Het getal 210 is deelbaar door 2, 3, 5 en 7 : dus ook door 2X3 zZ 6; 2x5 ZZ 10; 2x7 ZZ 14; 3x7 ZZ 21; 5x7 ZZ 3°v 2x3x7 ZZ 4*5 2x5x7 ZZ ?o; 3x5x7— 105 enz. : § 349 II. Als eenig getal 612 door een deelhaar getal 12 deelbaar is, is het ook deelbaar door de deelers 2, 3 , 4 en 6 van den deeler 12. § 350 III. Ook als eenig deelbaar of zamengefield getal 15 een gemeenen deeler is van eenige andere getallen 60, 75, 120 en 300, dan zijn ook de faftors of deelers 3 en 5 van dien gemee. nen deeler 15, ook gemeene deelers der gemelde getalien 60, 75, 120 en 300, §351 IV. Als eenig getal 7 een gemeene deeler van eenige andere getallen 21, 35, 56, 70 en 91 is, is dat getal ook een deeler van de ibm 21+35+56+704-91 ZZ 273. § 352 V. Maar als bij dit getal nu nog een getal 20 gevoegd wordt, dat niet door den gemeenen deeler 7 deelbaar is, zal de fom door den gemeenen deeler 7 niet kunnen gedeeld worden, en 'er zal,indien de fom gedeeld wordt,zo veel overblijS 2 yen,  &-J6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. ven, als 'er overblijft, indien men hec bii>evoe°dé getal gedeeld hadc, Jb ö § 353- vï- Als eenig getal 13 een deeler van 91 en 39 is, is dat getal 13 ook een deeler van 91 — 39 ZZ 52, van het verfchil deefer getallen. § 354- VIL Maar het getal 13 wel een deeler' van het eene getal 52 maar niet van andere 36 zijnde, zal dat getal r3 ook geen deeler kunnen zijn van 52 — 36 - 46, van hec verfchil deefer getallen, , § 355. VIÏI. Als eenig getal 5 een deeler van een ander getal 15 13, zal deefe deeler ook een deeler van ds veelvouden van 15 als van 30, 45, 6°> ?5> 9°> 105, 120, 135 enz, zijn. § 356. IX. Als eenig getal 7 een deeler vaü 140 isT — en dat getal 140 door een ander ge, tal 5 geen veelvoud van het eerfte 7 zijnde, deelbaar is, zal, indien 140 door dat getal 5 getal gedeeld wordt, hec quotiënt 28 door het eerstgemelde getal 7 deelbaar blijven. § 3*57. X» Als men twee of meer getallen 17, 20", 25 enz. mét elkander verménigvuldigt en eenig ander getal als 39 met geen der gemelde getallen een deeler gemeen heeft, zat het produft deefer getallen ook met 39 geen gemeenen dee. Ier hebben. Deefe grondftellingen zijn in zich zeiven, klaar en verftaanbaar, hebben geen bewijs nodig, be- hoo-  II B. LH. XVI. Les. Eigenfch. der Getallen. *77 hooren om derzelver waarheid te gevoelen , flechs wel begreepen te worden, en zijn van de tutterfte aangelegenheid. IV. Kenmerken van de deelbaarheid der getallen, op den aart van het talftelfel berustende. s «8 I Alle getallen, die door 2 deelbaar zijn, noemtmen évene getallen, en zijn aan de agterfte cijffers, die o, 2, 4, 6, en 8 zijn, kenbaar. 'De getallen welker laatfte cijffers I , 3» 5;. 7 en o zijn, zullen door twee gedeeld zijnde, altijd j overlaaten , en worden om die reden onèvene cetallen - genoemd de évene en onevene getallen volgen eikanderen beurtelings op: abii, i*, ^L^llntietMln zijn ten minjlen door a „ deelbaar. " Dat is als de agterfte letters o, s , 4 , 6 of 8 zijn, zal men het getal, hoe groot of klein anders, altijd door ft kunnen deelen. Deefe ftelliug is gemaklijk te betoogen - want een getal als 3456 kan in twee deelen ontledigd worden namelijk 34.56 =3= 3450 + 6. het eerfte lid is een tien voud want voor 34J0 kan men ftellen 345*ÏO derhalven zal 3450 ?*IJu £ ïo altijd door 2 deelbaar, dus ook 345X1© fyolo-ends § 355.) ook is 6 door 2 deelbaar — derhalven li 345x10 + 6 dat is 3456 door 2 deelbaar zijn. (Zie § 35*0 „ . t Uit het berédeneerde blijkt duidelijk genoeg, dat de deelbaarheid door 2 van de agterfte cijffers athangt, die altijd door 2 deelbaar moeten zijn. De évene getallen is men gewoon door deefe S 3  278 GRONDBEG. rSR CIJFFERKUNST. formule % a, en de cnéyene door 2 a + 1, uit te drukken. § 359. II. Als van een getal de laatfte letter of cijffer een o of 5 is, kan zulk getal altijd door 5 gedeeld worden. — Maar de laatfte cijffer r. , 25 3>4°f6,7,8,9 zijnde, zal in de deeling 1, 2, 3 of 4, overblijven. Men kan de waarheid daar van gemaklijk nagaan ; want elk getal 37896 kan in tienen en éénen verdeeld worden: want 37896 = 37890 + 6 Noem nu het eerfte deel A, het tweede B; dan wordt het getal door deefe formule A xio + B uitgedrukt. Nu is 10 door 5 deelbaar; dus ook A. xio (volgends § 3, 5.) — als nu van het gefielde getal A x 10 4- B het agterfte lid B door 5 deelbaar is, zal het getal Axio + B door 5 deelbaar zijn, en dus alle getallen welker agterfte cijffer o of 5 is; moet noodzaakelijk door 5 deelbaar zijn. Maar de cijffers 1, 2, 3 of A; en 6, 7, 8 of 9 zijnde, zullen dewijl, deefe getallen door 5 deelende, 1, 2, 3 of 4 overblijven, de getallen zei. ve door 5 gedeeld zijnde , de deeling niet opgaan, maar 'er zullen 1, 2, 3 of 4 overblijven. § 360. III. Als men van een getal de twee agterfte letters affnijdt, en deefe agterfte cijffers als één getal genomen, door 4 deelbaar zijn, zal zulk een getal ook door 4 kunnen gedeeld worden. Deefe eigenfchap heeft plaats in deefe getallen: 3724 » 8396, 7484, 129604, 10008,3500, 187592 enz. — de agterfte cijffers zijn één van deefe getallen, 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, . . 28,  ÏL B. l.H.XVL Les, Eigenfefi. der Getallen. 27? 28 «>», 3.6, 40, 44» 48» 5* » 56, do, 64, 68, 72, 76*, «o, 84, 88, 4» en 96. Deefe Helling wordt op dezelfde wijfe als de voormande betoogd: Want door dc twee agterfte letters afteihijden wordt het getal In twee deelen verdeeld, waar van het eerfte deel honderden zijn ~ en men kan door deefe formule zuil; een getal uitdrukken A x 100 4- li Nu is 100 altijd door 4 deelbaar; want 4X25 = 100; dus zal ook 100X A of A x ïoo door 4 deelbaar zijn (§ H55-) — zo dikwijls dus als B, die de twee agterfte cijffers van het getal verbeeld door 4 kan gedeeld worden, zal het geheele getal Ax ïoo + B. een veelvoud van 4 zija. (Zie§ 351.) § 361. IV. Dewijl 1000 door 8, 10000 dóór 16; ioocoo door 32 enz. deelbaar is, zal ook een getal door 8, 16, 32, deelbaar zijn,indien de drie, vier, vijf agterfte cijffers afgefneden, en het g-etal daar door in twee deelen verdeeld zijnde , het agterfte lid door 8, 16, 32 enz. kan gedeeld worden. « 362 V. Als men de twee agterfte cijffers van een getal affnijdt, en hec afgefneden deel van dit getal 00, 25, 5^ of 75 is, zal dat getal door 25 zonder overfchot kunnen gedeeld worden. Want als men de twee agterfte cijffers van het getal affnijdt, zal het in twee léden verdeeld zijn, die men als getallen, op zich zeiven ranmerkende, door A en B kan uitdrukken, het getal zelve is A x 100 + B: Nu is 100 door 25 deelbaar dus ook 100 x A (volg: § 355.) als nuB, od, 25, S 4 5»  •*> GRONDBEG. der CIJFFERKUNST, 50 of 75 is, zal het geheele getal A X 100 + B; door 25 deelbaar zijn. (Zie § 351.) § 363. Men is ook nog veel gewoon, om het kenmerk der deelbaarheid door 25 op eene andere manier op te geeven: te weeten als men een getal met 4 verménigvuldigende, de twee agterfte cijffers van het product 00 zijn, is het getal door 25 deelbaar. Want als de twee agterfte cijffers van een getal 00 zijn , is zulk getal door 100 deelbaar, — als nu een getal door 100 deelbaar is moet een vierde van zulk getal, doer een vierde van 100 , dat is door 25 deelbaar zijn. 5 364. Op gelijke wijfe kan men betoogen, dat indien men een getal met 8, 16, 32 enz vermenigvuldigende , de drie, vier , vijf enz. agterfte «ijffers van het producb nullen zijn , zulk ee» getal door 125, 625, 3125 enz. kan gedeeld worden. § 3é5« VI. Een getal zal door 3 of door o deelbaar rijn, als.men al de cijffers van dat getal te zamen optellende, de fom deefer cijffers zelve door 3 of door 9 kan gedeeld worden ; -— en de fom der cijffers door 9 gedeeld hebbende, zal het overfchot der deeling ook te gelijk het overfchot der deeling zijn, als men het'getal zelve dóór 3 of door 9 deelt. In 37593 » 3 + 7 + 5 + 3-= 27 = 3x9: her uit befluit ik, dat 37593 en veelvoud van 9 en dus ook van drie is: In 42639 , 4 + 2 + 6 + 3 + 9 ~ 24 C: 3x8 zijnde, is hier uit te .zien dat pok 42639 een veelvoud van 3 is. Einin 3751» 3 + 7 + 5 + '1 ~ 16 zijnde, cn  II. E. I. H. XVI Les. Eigenfch. der Getallen, * 81 en 16 door 3 gedeeld zijnde 1 en door-9 gedeeld zijnde 7 zal overlaaten. Wij zullen deefe ftelling uit de natuur ven talfteïfel betoogen en om aan het zelve aüe moge. lijke algemeenheid te geeven, zullen wij dn g< abc de ftellen, waar in e éénen; d ti en | honderden; b, duizenden; a, tienduizenden zïh zo dat de waarde van dit getal ftejkunftig kan uitgedrukt worden. 10000 a + icoo b + 100 c 4- 10 cl + e, de letters a, b, c, d, e enz. betékenen één van de cijffers 1, 2, 3, 4» 5» 6", 7, 8S 9 0! o: Nu fchiijf ik in plaats van 10 ZZ 9—1: in pie>a~s van 100 ZZ 99 — 1 : »i plaats van 1000 ~ 999 — 1: in plaacs loooo tZ «,999 — 1 eRZ- hier door wordt 10000 a zz 9999 # + &l # r 999 b + b; 100 c ZZ 99^-\- c; \o d zz 9 d + d,—' en eindelijk iocoo a + ioco & + 100 f + 10 d + e wordt 9999 4- 999 99 c + 9 d + a + c + d + e. - Als meh nu in aanmerking neemt dat 9,99» 999 » 9999 enz- — door 9 en 3 gedeeld kan worden zal 9999 a + 999 b + 99 c + = 9 A x B + A X B + Bx« + "Jau is«6het pro. duel vaa de resten, die na de uitwerping van de négens zijn overgebleeven, derhalven blijkt hier uit de waarheid van het gezegde. IV. Stelling. Uit de voorgaande volgt, dat, als men twee petalien door elkander gedeeld heeft, de né. gens uit den deeler en het quotiënt weggeworpen en da overblijffels met elkander verménigvuldigd en zo 'er In de deeïing een rest geweest — erj men werpt de négens ook uit deefe rest weg en telt het overblijvende getal bij het product, zat blijken, wat getal overblijft als uic het deeltal ook de négens worden uitgeworpen. deeltal 46706 5 deeler 238 4 quotiënt 196 7 rest der deeling 58 4 No is 4 x 7 =5 «8 | H . . • 1 + 4-5- Het geen wij nu in deefe vier (tellingen bcweefen hebhen, is indien de genoemde conditiën en voorönderftel. lingen plaats hebben, volkomen waarachtig; maar het is 'er vurre van af, dat het omgekeerde deefer Hellingen volftreKt zou doorgaan , te weeten men begaat een grooten misüag.metfe ftellen, dat de uitwerping der négens, die wij verklaard hebben, een zéker en onfeilbaar bewijs zou uitleveren voor de juistheid eener bewerking. Het Just ons niet alleomftandigheden op te noemen, in welke deefe proef der négens kan doorgaan en nochthans in ds bewerking fout zijn; om évenwei den leefer niet te doen denken, dat wij maar zo wat zeggen zonder bewijs te geeven/, ftellen wij dat iemand optellende 65 voor de fom gekreegen heeft in plaats van te zeggen 5 ik houd 6; 6 ik houd 5, zal hij zich op die waarde 9 verregend  i8ö GRONDBEG. der CIJFFERKüNST. men zéker, dat dit getal door n kan gedeeld worden. Maar men moet opletten: j ° zo de aftrek, king geen plaats kan hebben, als dan moet men 11 bij het getal, waar men van aftrekt, bijtellen: 2Q als men eindelijk een verfchil verkreegen heeft —• en dat verfchil geen n of veelvond van 11 is, zal dit verfchil van 11 afgetrokken zijnde, de rest hec getal zyn, dat zal overblijven, als men het getal zelve door n divideert. Om dus te weeten of het getal 4267582 door 11 kan gedeeld worden, zegt men , van agteren te beginnen: 2 van 8 is 6, 6 van 5 kan niet daarom telt ik eerst n bij de 5 komt 16; nu 6 van 16 is 10: wederom 10 van 7 kan niet, 11 bij de 7 gedaan komt 18; 10 van 18 is 8; voords 8 van 6 kan niet, 6 4- 11 is 17; 8 van 17 is 9: 9 van 2 kan niet 24- ïr is 13, 9 van 13 is 4; eindelijk 4 van 4 is o. Dewijl "cr nu eindelijk niets overblijft, faefluic men, da: 4267582. door 11 deelbaar is , hec geen in de daad plaats heefc aangezien 4267582 = 11X387962. Laa: ons rékend hebben — en de bewerking door het wegwerpen der négens beproevesde, zal éven zo goed doorgaan, als of msn wel gewerke hadt. Wij willen érenwel de nuttigheid van de proef door de uitwerping der négens, daardoor niet geheel verwerpen : die genoeg ervaren in zijne bewerkingen is — en bij geval zich een weinig vergist, zou deefe proef, om dat zij kovt is, vooral in de multiplicatie en divifie kunnen gebruiken: maar wij raaden évenwei niemand 'er te veel op te vertrouwen. De beroemde Wallis is, zover ik weet, de eerfte geweest, die in A» 1657 de eigenfehap van het getal 9 en de proef van de uitwerping der négens aan het licht gebragt heeft.  ILB.LH.XVLLes.Eeigenfch der Getallen, 287 ons nog het getal 73585a ftellen , om nategaan of het door ijt deelbaar is, en zo het niet deelbaar is, wat getal in de deeling zal overblijven. Men zegt 2 van 5 is 3; 3 van 8 is 5; 5 van 5 is °ï o van 3 is 3; en 3 van 7 is 4: Aangezien 'er nu 4 overblijft, befluit men dat 735852 niet door 11 deelbaar is; en de overblijvende 4 van 11 aftrekkende blijft 7 over, deefe 7 is de rest der deeling als 735852 door 11 gedeeld wordt, zijnde 735852 == 66895x11 + 7. § 368. Een getal zal ook door 11 deelbaar zijn, indien men de eerfte , derde, vijfde enz, cijffers optellende, deefe fom zo groot is, als de fom der tweede , vierde, zesde enz. cijffers, of als deefe fommen of 11 of een veelvoud van 11 verfchillen. Ook zo het verfchil geen 11 is, zal het verfchil van 11 afgetrokken , het verfchil de rest zijn, indien het getal door 1 t gedeeld wordt. Het getal 1397 is door 11 deelbaar, om dat 34-9 —10 en 3 4-7 — 10 is. Ook is476379541 door 11 deelbaar; want 4 + 6 + 7+ 5 + 1 ZZ 23 en 7 + + 9 + 4 = 23. § 368. Het getal 39031 zal blijken niet door 11 deelbaar te zijn, want 3+0+1 = 4 en 9+3 — 12 welke fommen niet overéénkomende, te kennen geeven dat 3901 niet door 11 deelbaar is, nu is 12 min 4 — 8, en 8 van 11 is 3 , en deefe 3 is het getal dat over zal blijven als 39031 door 11 gedeeld wordt. — en dat dit waar is blijkt j want 39031 — 3548x11+3. § 369. Men kan voor hun, dien het wat te moei. ïdijk valt, de deelbaarheid door 11 naar deefe gegeevene voorfchriften te onderzoeken — de volgende  aS8 GRONDBEG; der. GIJFFERKUNST. gencle bijzonderheden van den gegeevenen régel tot behulp aan de hand geeven, I, Alle tweelédige getallen, die eenerlei cijffer hebben, zijn door xi deelbaar —- gelijk 22, 33, 44 enz. II. Als in een drielédig getal de niiddelfio cijffer een o is en de fom der twee andere 11, is het ge • tal door 11 deelbaar. Öf de eerfte en laatfte te zamen zo veel als de middelfte cijffer bedraagende, of de middelile van de fora der eerfte èn derde afgetrokken, het verfchil 11 zijnde, is het getal door 11 deelbaar, gelijk 143? 704, 726, 979, enz. IÜ. Van alle getallen van vier cijffers zijn door 11 deelbaar i° deefe 1001, 3003, waarvan de eerfte en laatfte cijffers gelijk zijn en de tweede, en derde nullen, 2» deefe 3443, 6776 enz, als de eerfte en laatfte cijffer en de tweede en derde éven groot zijn, 3° ook als de fom van de eerfte en derde cijffer zo veel maakt als de fom van de tweede en. vierde , of met dezelve 11 verfchilt, gelijk 5896 en 7238. § 360. Deefe merkwaardige eigenfehap van de deelbaarheid door 11, berust op de gemeene Multiplicatie, cn kan daarom uit dezelve betoogd worden. Laat ons 37853 met iï multipliceeren. 3?853 11 13 Tp 5 3 3 1 7 8 1 5 3 VU  LKB: LU. XFI.Les. Eïgenfclu der Getallen, iSa Die werk hebben wij om ons oogmerk béter te bereiken dus ;gefchikt, dat in het optellen de sommen boven de 10 loopende vol uit gefchreeven zijn, —- en tot onderfcheiding 2ijn 'er tus-; fchen elke waarde dwarsftreepjes gefteld; in het vakje, a zijn éénen in b tienen enz. Uit ckeiê multiplicatie Wijkt nu iu dat de vakjes a,c, e, enz. telkens één overflaande opgeteld, het zelfde zal geeven, als of men de cijffers van het trerménigvuldigtal 37853 te zamen optelt; ook zal öè fom van de vakjes b, d en ƒ dezelfde fom geeven; 30 als men in het vakjei bij voorbeeld van de 13 de 10 in het volgende vakje brengt, wordt het getal in dat volgende vakje 1 meer en het getal in het vakje, waar uit de tien geno. men is, lièn minder; — en dzn is het gemaklijk nategaan, dat de getallen der vakjes om het andere opgetelc zijnde ; de twee komende fommen jl zullen moeten verfchilien ; als dan de multiplicatie als naar gewoonte uitgevoerd is , zal de fom der eerfte, derde, vijfde enz. cijffers, of aan de fom der tweede, vierde, zesde gelijk zijn» of met dezelve 11 of een veelvoud van 1 r moeten verfchilien. r Ook ali indien hec verfchil der fommen min of meer dan n bedraagt , dat getal, het welk bij de- kleinfte moet gevoegd worden , om de grootfte uittemaaken, van n moeten worden afgetrokken, om te vinden, wat getal 'er in de deeling overblijft, indien men werkelijk door 11 di. videert. - Uit deefe multiplicatie blijkt nog, dat als men het getal in a van b, de rest van c, deefe rest van d enz. aftrekt, eindelijk bij de laatfte aftrekking niets moet overblijven, —- Zo nu de multiplicsuie T na«  apo GRÖNDBEG. mi CIJFFERKUNST. naar den gewoonen régelmaat wordt uitgewerkt, gebeurt hec dikwijls, dat de voorgaande rest var» de volgende cijffer aftrekkende, de aftrekking niet kan gefchieden, om dan évenwei met de beproeving door te gaan, telt men i r bij de volgende cijffer; en dat geral i telt men daarom bij, op dat éven wel het a;etal, dac beproeft worde ten opzichte van de deelbaarheid door i ï, alhoewel nis grooter geworden , dezelfde eigenfehap blijft behouden. § 371. Er zijn nog veele andere eigenfehappen en kenmerken der deelbaarheid, waar van de Schrijvers over de Rékenkunst geen gewag maaken, om dat dezelve naar hun voorgeeven van die uitgeftrekte nuttigheid niet zijn als de voorgaande; maar als ervaren te zijn in een weetenfchap zegt, hst onderwerp van die weetenfchap grondig te kennen, mag in de Cijfferkunst voor een Leerling niets verborgen worden, het geen hem de natuur en eigenfchappen der getallen nader kan leeren kennen. IV. Verdere eigenfehappen der deelbaarheid. § 370. In de volgende ftellingen, zal als van een getal 378(9 de agterfte letter wordt afgefneden, het voorftel 378 het voorfte en het agterfte 9 hec agterfte lid genoemd worden. § 373. Als men van een getal dat door 7 deelbaar is, de agterfte letter afsnijdt, za! indien tweemasl het agterfte lid van het voorfte afgenomen wordt, ook het geen 'er overblijt door 7 deelbaar zijn. Zie de opheldering ia deefe fchets. Laar  IL B.L H. XVL Les Eigcnfch. der Getallen, 20ï Laat gefield worden het getal 27125 271 a|5 door 7 deelbaar af 10 — 5X2 komt 270^2 door 7 deelbaar af 4 = 2x2 komt 2Ó;6 door 7 deelbaar af 12 — 6x2 komt 14 door 7 deelbaar enz, j § 374. Als een getal door 7 deelbaar is, zal Indien men de agterfte cijffer affnijdt, het drievoud van het vooifte lid bij het agterfte opgeteld, ook de fom door 7 deelbaar zijn.. (a) 27I2I5 (a) Wij kunnen zonder dit werk al te ver t« doen Uitloopcn, elk deefer Hellingen «iet afzonderlijk b«too< gen. Het zal den onderzoéklïevende leefer genoeg zijn, indien wij hem op den weg helpen om deefe en meer andere eigenfehappen van de getallen te betoogen. Deefe betoogen kunnen kuiten de Helkunst niet wel plaats hebben, wij zullen 'er daarom onfen toeviugt toe moeten neemen ; en zoo duidelijk, als ons mogelijk is trachten té fpreeken. Maar vooraf zal het noodig zijn optemerke», dat zoo van een getal de agterfte letter afgefneden is, en men befebouwt elk deel als een afzonderlijk op zich zeiven ftaande getal, gelijk 3756(4, het geheele verdeelde getal gelijk is aan 10 maal het voorfte lid 3756 plus het agterfte lid: dat is 37564 a 37j6 X 10+ 4. Zoo dan het voorfte deel word a genoemd, het agterfte B, zal het getal zelve doar A X10 + B woraen uitge. drukt. Wij gaan , na dit tot opheldering gezegi te hebben, tot de bewijfen der Hellingen over. i. T 2  f92 GRONDBEG. der CIJFERKUNST. 2712(5 door 7 deelbaar (3 814)1 door 7 deelbaar , (3 244I3 door 7 deelbaar C3 73)5 door 7 deelbaar (2 * ru 22I4 door 7 deelbaar 1 13 7b door 7 deelbaar -(3 2(1 door 7 deelbaar 7 door 7 deelbaar $ 375 1. S tblliwö. Als dit getal AX io«J* B door 7 denbaar is. Zal ook A —« 2 B dooi 7 deelbaar zijn. B kwijs. A is deelbaar door 7 of niet deelbaar door 7: ili A door 7 deelbaar is, is ook 10 A door 7 deelbaar, en uit do ocderftelling AX10 + B door 7 deelbaar ziinde, m»et B door 7 deelbaar zijn, en kan dus nietacder» dan 7 zelve zijn, en men kan als dan ligtelijk nagaan dat A ——- 2 B door 7 kan gedeeld worden. Maar wij mcefen om algemeen te zijn, de Helling io den voiiïen zin betoogen. Stel dat A door 7 gedeeld zijnde, p tot uitkomstheeft en !i in de deeïing overlaat. dan is A — lp +"> als men deefe vergelijking met ie rerménigvuldigt is 10 X A 70 p + 10 n. cn B aan beide zijden bijteliende. is io A + B — 70 p + ion 4- B , Dewijl nu uit de onderftelïing 10 A + B door 7 deelbaar is, is ook 70 p + 10 n + B ceeibaar; m*ar 70 p is een veelvoud vaa 7, dus moet ook 10 n + B een veelvoud van 7 zijn. Stel  II, B. LH. XVI.Les Eigenfch. der Getallen,^ § 375- Als men van een getal, dat door »3 deelbaar is, deagïerile letter affnijdt, her voorfte lid met 3 verménigvuldigt, van het produét het agterfte lid aftrekt, zal de rest ook duor 13 deelbaar zijn. 487J5 Stel 10 n + B — 7 r; dan is B 7 r — 10 n , en ! B n 14 f - io «, su eindelijk A —-2B^r 7p + »— j4r + 2ön — r 1 (7/1 + 21 n—14 r ©f A__aB — ? (p + 3« —2f) door 7 deolbaar Dat bewcefen mout verden. II. Stillis*. Ah AX10+ B door 7 deelbaar is, zal 3 A + B ook door 7 deelbaar zijn. B 2 w ijs. Stel A = 7 /> + n; deefo vefgeijjking met 10 verménigfuidigd, is $0 Az=7op + 10 h, dus 10 A + B _ 7 c . (* 3 n + 7 r — 10 „ pi | A + B = *ip + 7r—-rn— 7 (3p + r~_ Da; bewcejtr. moest wordtn. III St^llihg. AIsioA -f- B door 13 deelbaar is zai i° 3 A — B door 13 deelbaar -zijn. en 2* zal A + 4 B ook een veelvoud vaa 13 rijn. Bewijs. Stel A — 13 p + n- viiriBénigvuldig deefe vergelijking met 10, komt o Arrrjop + ion: es dus 10 A + B —p + 10 n + B Nu is jo A + B eea veelvoud van 13. daar- T3  ,*p4 GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. 487(5 is door 13 deelbaar 3 I45[6 door 13 deelbaar 3 42 J9 door 13 deelbaar 3 11J7 door 13 deelbaar 3 26 door 13 deelbaar § 376. Anders, als men bij viermaal het agterfte |id het voorfte telt, is de fom door 13 deelbaar. 5°377,'6 iaarota za! 130 p + 10 n + I door 13 deelbaar zijn en 130 p een veelvoud van 13 zijnde, zal ook ion 4" B door 13 deelbaar zijn. Stel daarom 10» + B — 13»": dus B =r 13 r — 10 u , Nu is 3 A — B = 3 (13? + 71) — 13 r + 100 = 3, (13 P + 3 n ~l3 f + 10. en 3 A — B — 3» 13*— + i3n =ï'j (3? 4-"—O door 13 deelbaar. 0ok is A 4" 4 B = 13 p 4- n + 4 (p + »- —10 71) efl (— 13 p + 4, 13 r - 39» A 4* 4B = 13 ("p 4" 4?-— 3 72) door 13 deelbaar. Dat te betoogen was. Door deefe-ftaaltjes is de leefer genoeg op weg geholpen , op zelve de bewijfen, van de Hellingen , van J 373 tot 5 ^*^.opgegeeven, op te fpeuren.  fLB.I.H. XVI. Les Eigenfch, der Getallen. 295 5°377l6 door 13 deelbaa bij 24 fc 4x0 5040)1 door 13 deelbaar bij 4 = 4x1 504(4 door 13 deelbaar bij 16 z 4x4 52I0 door 13 deelbaar bij o — 0x4 5|2 door 13 deelbaar bij 8 — 2x4 komt 13 door 13 deelbaar § 377. Als een getal door 17 deelbaar is, zal het verfchil van zévenmaal het eerfte en het agterfte lid door 17 deelbaar zijn. § 378. Of vijfmaal het agterfte lid van het voorfte afgetrokken, of het voorfte van vijfmaal het agterfte, zal de rest altijd door 17 deelbaar zijn. $ 379. In elk getal dat door 19 deelbaar Is, zal het agterfte lid van negenmaal het voorfte of het voorfte van négen maal het agterfte afgenomen, het verfchil altijd door 19 deelbaar zijn. § 380. Of het voorfte lid bij het dubbeld van het agterfte optellende, zal de fom daar van door 19 deelbaar zijn. § 381. Als een getal door 23 deelbaar is , zal T 4 zé-  aoó GRONDBEG. der CiJFFERKUNSX zevenmaal het agterfte lid, met het vcorfte te za* iaën genomen, door 23 deelbaar zijn. § 382. Als een getal, dooi 29 deelbaar is, za! het voorfte lid met driemaal het agterfte te zamert genomen, ook door 29 deelbaar zijn. § 383. Van een getal, dat door 31 deelbaar ïs, zal het verfchil tusfchen het voorfte en driemaal het agterfte lid , ook door 31 kunnen gedeeldworden. § 384. Als een getal door 37 deelbaar is, zal indien vier maal het agterfte lid met drie maal het voorfte wordt opgeteld, de fom door 37 deelbaar zijn of het voorfte lid min elfmaal het agterae zal door 37 deelbaar zijn.' § 385. Als een getal door 41 deelbaar ïs, ra? het verfchil tusfchen het voorfte en viermaal hec agterfte lid insgelijks door 41 deelbaar zijn. § 386. Als een getal door 43 deelbaar is, zal hef verfchil tusfchen 3 maal het voorfte en 4 maal het agterfte lid eu de fom van het voorfte en dertienmaal hec agterfte een veelvoud van 43 zijn. § 387. Of het voorfte lid met 13 maal het agterfte in ééne fora te zamen genomen, zal dooi: ^3 deelbaar zijn. ;4 § 388. In elk getal dat door 47 deelbaar is, xal driemaal het voorfte lid met 5 maal het kleinCe in ééne fom bij elkander genomen, ook door 47 deelbaar zijn. § 3S9. Als pen getal door. 53 deelbaar is, zal hec  II. &. I. H.XVI. Les, Eigenfch. der Getallen, Z97 het eerfte lid met het ió* voud van het tweede zamengeteld, ook. door 53 deelbaar zijn. g 390. Van elk getal, dat door ï, ïii enz. «—' dus kan deefe alge-meene eig 'nïchap , niet tot een onderfcheidend kenmeik van de ondeelbaare getallen dienen. § 406. Nog veele andere eigenfehappen , der ondeelbaare getallen, zouden wij kunnen opgeaven, maar deefe zijn eensdeels voor deefe begin, felen te hoog, en anderdeels zullen wij van deefe kundigheden in het vervolg van dit geen werk gebruikmaaken. VI, Over de Tafels der ondeelbaare getallen, beneyens de deelers der deelbaare getallen. % 407. Dewijl niemand tot nog toe behalven de ondeelbaarheid zelve,eene eigenfchap ondekcheeft, die  71. B. L H. XVIL. Tafel der ondeelb. Getallen. 30*= cot een kenmerk dienen kan, om de deelbaare vaa de ondeelbaare getallen op het eerfte aanzien te «n» derfcheiden, en de kennis van de ondeelbaare en deelbaare getallen, benévens derzelver deelers van hec uiterfte belang is — en wij ook van dezelve geduurig gébruik zullen maaken, zuljen ,wi| de Tafels deefer getallen hier laaten volgen» TAFEL VAN DE ONDEELBAARE GETALLEN VAN 1 TOT aoooo a «13 27? 449 631 823 I019 lïtT 3 127 a3l 457 641 827 1021 1223 S 131 283 461 643 829 1031 1--? 7 IS7 293 4% 647 839 1033 123- ii 139 467 «53 «53 l°3S> «37 13 149 307 479 659 «57 io49 iaf? 17 151 311 487 661 859 1051 i*5i> ï9 157 313 491 6/3 £63 ioói 1277 23 163 3i7 499 ö?7 877 i°3 29 167 331 683 881 1069 1283 31 173 337 5°3 9l 883 1087 12»^ 37 179 347 5*9 887 109* Jf9* 41 181 349 521 701 I-9/ 43 191 353 5*3 7°9 9°7 I097 47 193 359 541 719 9» „na 53 «97 367 547 727 9*9 "°3 *303 59 199 373 557 733 9*9 »°9 J3°7; 379 563 739 937 «17 131» 67 211 383 569 743 941 »23 J32« 71 223 389 571 751 947 I«9 73 227 397 577 757 9§3 »5i J3»* 79 229 587 761 9«7 "53 *36r 83 233 401 593 769 971 "63 '3731 89 239 4°9 599 773 977 "7i '38* 57 241 419 787 983 "8, 1399 251 421 601 797 991 "87 lol 257 431 <5°7 997 "93 HOO «03 263 433 613 809 1423 I07 269 439 617 811 1009 1201 1427 J09 271 443 619 8*1 loij 12,13 »429 *43J  3oa GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. 1433 I7«9 4203 1609 2999 3407 3803 4229) 1439 2207 £617 3413 3021 4231 ï447 1801 2213 2621 3001 3433 3823 4241 ,1451 1811 2221 2^33 3OIÏ 3449 3833 4243 ' »453 1823 2237 2647 3019 3457 3347 4253 j 1459 1831 2239 2057 3023 3461 3851 4259 | 1471 1847 2243 2659 3037 34<Ï3 3853 4261 I48I l8öl 2251 26Ó3 304I 34ö" 3363 4271 I483 Ï867 2267 267i 3049 3469 3877 4273 I487 I87I S2Ó9 2Ó77 3°61 3491 38ÏI 4283 1489 1873 2273 2Ó83 3067 3499 3889 4289 1493 1877 2281 2687 3079 4297 Ï499 1879 2237 2689 3083 3511 3907 1889 2293 2603 3089 351? 3911 4327 X511 2297 2699 3527 3917 4337 1523 1901 3109 3529 3919 43391 I531 1907 2309 2707 3119 3533 3923 4349 1543 I913 2311 2711 3121 3539 3929 4357 1549 1931 2333 2713 3137 3541 3931 4363 1553 1933 2339 2719 3163 3547 3943 4373 1559 1949 2341 2729 3167 3557 3947 4391 I5°~7 1951 2347 2731 3:69 3559 3967 4397 i571 1973 2351 2741 4181 3571 3989 1579 1979 2357 2749 3187 3581 4409 I5°3 1987 2371 2753 3391 5533 4001 4421 1597 I993 2377 2767 3593 4003 4423 >9'97 2381 2777 3203 4007 4441 ï6oi 1999 2383 2789 3209 3607 4013 4447 1607 2389 2791 3217 3613 4019 4451 1609 2003 2393 2797 3221 3617 4021 4457 1613 2011 2399 3229 3623 4027 4463 1619 3017 2801 325T 3631 4049 4481 atol 2037 =411 2803 3253 3637 4051 4433 ,627 2029 2417 2819 3257 3043 4057 4493 ,657 2039 2423 2833 3259 359 4073 1657 2053 2437 2837 S27i 3671 4079 4507 3663 2063 2441 2843 3299 3673 4091 4513 3.667 2069 2447 2851 3677 4093 4517 1669 ooSr 2459 2857 3301 3691 4099 4519 1693 2083 24Ó7 28öl 3307 3097 4523 1697 2087 2473 2879 3313 4111 4547 2609 2089 2477 2887 3319 37oi 4117 4549. 2099 2897 3323 37o9 4129 4561' ï709 2503 3329 3719 4133 4567- i?2i siu 2521 2903 3331 3727 4139 4581 1723 2113 2531 2909 3343 3733 4Ï53- 4591 ï733 2129 2539 2917 3347 3739 4*57 459? 1741 2131 2543 2927 3359 3701 4159 1747 2137 2549 2939 336i 37Ö7 4177 4603 1753 2141 2551 2953 3371 3709 4621 2759 2143 2557 2957 3373 3779 4201 4037 1777 2153 2579 2963 3389 3793 4211 439 1783 2161 2591 2969 3391 3797 4217 4643 Ï787 2173 2593 297; 42*9 4049 465I  1LB.L H.XVI.L.Tafelderondeelb Getallen. 30^ d65i 508! 5519 59=7 63a? 7253 77°3 A6Z7 5087 5521 5939 6367 6829 7283 7717 4663 5°99 5527 5953 6373 6833 7297 7723 2*73 5531 5981 6379 68+1 7727 4679 5101 5557 5987 6389 6857 7307 774E 4601 5107 55Ö3. 6397 68Ó3 7309 7753 5113 5569 6007 6869 7321 7757 4703 5H9 5573 6011 6421 6871 7331 7759 4721 5147 5581 6029 6427 6883 7333 7789 4723 5153 5591 6037 6449 6899 7349 7793 472q %ih 6

9497 9941 10427 10891 irs&s 8663 9091 9949 10429 H393 S209 8669 9511 9967 10433 10903 1.1399) 8219 8677 9103 9521 9973 10453 10909 S221 8681 9109 9533 10457 I0937 114H 8231 8689 9127 9539 '0007 10459 10939 11423 8233 8693 9135 9547 '0009 10463 10949 1143? S237 8699 9137 9551 loov 10477 10957 11443. 3243 9151 9587 «0039 10487 10973 11447 3263 8707 9157 I0061 10499 10979 U467 S2Ö9 8713 9161 9601 I0067 10987 11471 "8273 8719 9173 9613 ioo$9 10501 10993 11483 8287 8731 9181 9619 10079 10513 H4S9> S29I 8737 9187 9623 I0091 10529 11003 H49E S293 8741 9199 9Ö29 10093 10531 H027 H497 8297 8747 9631 10099 io559 iio47 8753 9203 9643 10507 n°57 1*503- 8311 8761 9209 9049 10103 10589 11059 115191 S317 8779 9221 9661 10111 10597 11009 11527 S329 8783 9227 9677 10133 11071 11549 S353 9239 9Ö79 10139 10601 11083 11551 8363 8803 9241 9689 10141 10607 11087 H57' 8369 8807 9257 9697 10151 I0613 iio93 115'"7 8377 8819 9277 10159 icö27 H593 8337 8821 9281 9719 10163 10631 «113 11597 8389 8831 9283 9721 101Ó9 10Ó39 III!7 8837 9293 9733 10177 10651 HH9 "6'7 8419 8839 9739 10181 10657 n'31 "621 8423 8849 9311 9743 10193 10663 11149 11633 8429 8861 9319 9749 10667 tn.59 "<557 8431 8863 9323 9767 10211 10687 11161 11677 8443 8867 9337 9769 10223 10691 11171 11681 S447 8887 9341 9781 10243 III73 11689 8461 8893 9343 9787 10247 10709 H177 H699 S467 9349 9791 10253 107" "197 8923 9371 10259 10723 11701 S501 8929 9377 9803 10267 10729 11213 I17I7 «513 8933 9301 9811 10271 10733 11239 ÏI7I9 S521 8941 9397 98i7 10273 10739 11243 I173I S527 8951 9829 10289 10753 11251 "743 S537 8963 9403 9833 10771 II257 H777 S539 8969 9413 9839 10301 10781 11261 H779 S543 8971 9419 9851 10303 10789 11273 H783 ■8563 8999 9421 9857 10313 10799 II2~9 H789- 8573 9431 9859 10321 11287 «581 9001 9433 9871 10331 10831 11299 11801 «597 9007 9437 9883 10333 10837 11807 «529 9011 9439 9887 10337 10847 "SU H813 9013 9461 10343 10853 11317 Hf»1 «609 9029 9463 9901 10357 10859 11321 "f2? 8623 9041 9467 9907 10369 10861 11329 11831 8627 9043 9473 9923 10391 10867 11351 "^33 8629 9049 9479 9929 10399 10883 H353 Il"39 «64* 9°59 9421 9931 .9S?9 «3Ö9 11.863 iiivi.  IIB. L H. XVI. L. Tafel der ondeelb. Getallen. •11887 12323 i2?43 13187 13691 I4i59 Hcz<) 15101 -11897 12329 12757 13693 14173 14653 15107 12343 12763 13217 13Ö97 14177 14657 15121 11903 12347 12781 1321a t4Ip7 i46rt£) 1513t 11909 12373 12791 13229 3799 I468j 11923 12377 12799 13241 A 14543 147,3 15161 11939 12821 13267 ££9 I424J) i47I7 j 11941 12401 12823 13291 i425l 14.733 ! gT "953 12409 12829 13297 I42g, i473r "959 I24I3 I9$tl ,^|9 j4,93 ^ 11969 12421 12853 13309 )\7JÏ* 14,41 j* "971 12433 I2889 13313 14303 H747 1521? "981 12437 12893 13327 14321 14753 1522'"- J1937 72451 12809 i.s331 l°799 14323 14759 15233: 12457 13337 13807 14327 14767 15241 12007 12473 I2907 J3339 13829 14341 I477I 152^0 12011 12479 129" '3367 13831 14347 *4779 15263 J2037 12487 12917 13381 13841 143Ö9 1478? 1^69 12041 12491 12919 13397 13859 H387 14797 i52?i 12043 12497 !2923 13399 13873 14389 f5277 12049 12941 13877 14313 15287- ijö7i 12503 12953 j34ii 13879 14401 14821 15289 12073 12511 12959 13417 13883 14407 H327 15290 12097 12517 12967 13421 14411 14831 12527 12973 I344I 13901 14419 14843 15307 12101 12539 12979 I345I 13903 14423 14851 15313 12107 12541 12983 13457 13907 I443I 14367 15319 12109 12547 13463 13913 14437 H3Ö9 i532o 12113 12553 13001 13469 13921 14447 h379 1^331 12119 12569 13003 is477 13931 14449 '4387 i534g 12143 12577 !3007 13487 13933 I446l 14891 15353 72149 I25J3 J30C9 i3499 I3y6j 14479 14897 1536? 12157 12539 13033 13967 14489 15373 12101 13037 I3513 1399.7 14923 i3377- '-163 12601 13043 J3523 12/999 *45°3 I4929 15381 12197 12611 13049 13537 14519 '4939 15391 12613 1J063 13553 14009 14533 I4947 12203 12619 13093 Ï.I567 1401z 14537 14951 15401 12211 12637 !3q99 13577 14029 14543 14957 15413 è2227 12641 I3591 14033 14549 I4969 35427- 12239 I2647 13103 13597 14051 H551 14983 15439 12241 12653 13109 14057 14557 - ' 15443 12251 1,2659 '3i2i J36i3 1407» I456i 15013- 15451 12253 12671 13127 13619 14081 14563 15017 15461: 12263 12689 I3I47 13627 14083 14591 15031- 1546a 12269 12697 13151 13633 14087 14593 15053 15473 12277 13159 13649 15061 15493 12181 12703 13163 13669 14107 14621 15073 iw,7 12289 12713 13171 13679 14143 14627 15077: f 12721 13177 13681- 14149 14629 15083 !«,, $2301 12739 13183 13687 H153 14633 15527 » I554»)r  366 GR0ND8EG. der CIJFFERKUNST. 15551 16001 16493 16993 17467 17929 18371 18913 15559 16007 17471 17939 18379 l891/ 15569 16033 16519 17011 17477 17957 t8397 18919 15581 16057 16529 17021 17483 17959 18947 15583 16061 16547 17027 17489 179-1 t840i 18959 16063 16553 17029 17491 17977 18413 18973 15601 16067 16561 17033 17497 17981 18427 18979 15607 16069 16567 17041 17987 18433 15619 160-3 16573 17047 17509 17989 18439 19001 15629 160S7 17053 17519 18443 19009 15Ó41 10091 .16603 17077 17539 18013 18451 19013 15643 16097 16607 17093 17551 18041 18457 19031 15647, ■ 16619 17099 17569 18043 18461 19037 15649 16103 16631 17573 18047 18481 19051 15661 16111 16633 17107 17579 18049 18493 19069 I5667 16127 16649 17117 17581 18059 ( 19073 15671 16139 16651 17123 17597 18061 18503 19079 15679 16:41 16657 I7!37 17599 18077 18517 19081 I5683 16183 16661 17159 18089 18521 19087 16187 16673 17167 17609 18097 18523 I5727 -16189 16691 17183 17623 18539 19121 15731 16193 16693 17139 17627 18119 18541 19139 15733 16699 17191 17657 18121 18553 19141 . 15737 16217 17659 18127 18583 19*5? 15739 16223 16703 17203 17669 18131 18587 19163 .5749 16229 16729 17207 17681 18133 18593 19181 15761 16231 16741 17209 17683 18143 19183 Ï5767 16249 16747. 17231 18149 18617 15773 16253 16759 17239 17707 18169 18637 19207 I5787 16267 16763 17257 17713 18181 18661 19211 15791 16273 16787 17291 17729 18191 13671 19213 15797 . *7293 17737 18199 18679 J9219 . 16301 16811 17299 17747 isóyi 19231 15803 16319 16823 17749 18211 19237 15809 16333 16829 17317 17761 18217 i8rol 19249 15817 16339 16831 17321 17783 18223 18713 19259 15823 16349 !6843 17327 17789 18229 18719 19267 15859 16361 16871 17333 I7791 18233 18731 19273 15877 16363 16879 17341 18251 18743 19289 15881 16369 16883 17351 17807 18253 18749 15887 16381 16339 17359 17827 18257 X8757 19301 15839 17377 17337 18269 18773 19309 164" 16901 17383 17839 18287 18787 19319 15901 16417 16903 17387 17851 18289 18793 19333 15907 16421 16921 17389 17863 18797 19373 35yi3 16427 16927 17393 17881 18301 19379 35919 16433 16931 17891 18307 18803 19381 •5923 16447 16937 I740I 133H 18839 19387 15937 16451 16943 I74I7 17903 18313 18859 19391 15959 16453 16963 17419 17909 18329 18869 15971 i6477 ^979 17431 17911 i834i 18899 !9403 15973 i64ai 16981 17443 17921 18353 19417 15991 l<548? 16987 17449. 17923 18367 18911 19421 . 19425  ÏL8. Lff.Xri.L. TaféfcrmMkGetaïknwf- 1942.7 19477 19429 19433 «9433 194Ö9 I9441 19447 '9501 19457 !95°7 19463' 19531 19469 19541 '9471 19543 I95S3 19661 19559 19681 19571 «96s7 19577 19697 • 19583 19699 19597 19709 19603 19;17 19609 19727 19/39 19813 I975I 19019 19753 19841 19759 19843 19763 19853 19777 10861 19793 i;;867 19889 19801 19891 19913 1999I' 19919 19993 19927 19997 19937 19949 20011 19961 20021 I9963 20023 19973 20029 19979 20047 TAFEL VAN DE ONÉVENE DEELBAARE GETALLEN EN DERZELVER FACTORS VAN 1 TOT 200C0 § 408. In deefe Tafel zijn de deelers der getallen, die door ï, 3 en 5 deelbaar zijn, weggelaaten; want de getallen die door 2 deelbaar zijn, zijn évene en aan de agterile cijffers, dieo, 2, 4 6 of 8 zijn, kenbaar ^ die door 3 deebaar zijn» kunnen van alle anderen daar door onderfcheiden worden, dat de fom der cijffers in dat getal; een veelvoud van 3 is, ten laatlten zijn de veelvouden van 5 aan de agterfte cijffer, die o of 5 ii, te onderfcheiden. Wij hebben, o-.i deefe tafel verder voord te kunnen zetten, en dus nuttiger te maaken , en dezelve évenwei in dit werk nL> te veel plaats te laaten beflaau, de deelers der twee, drie en vijfvoudige getallen agterwége gelaaten. indien 'er nu zulk een getal voorkomt, waar van snen met behulp van deefe Tafel de deelers zoe. ien wil, moet men het getal eerst door de 2. 3 of 5 10 ménigmaal deelen, als de deeïing plaats fcan hebben, en dan mist het nooit, of her getal dat men in het laatst tot quotiënt verkregen heefr,  3o8 GRONDBEG. der. CIJFERKUNST. Z&\ in de tafel, met de deelers daar toe behooreade, gëv»nden worden. Bij voorbeeld het getal 16:0 hebbende, deelt men hetzelve door 2 komt 805, dit door 5 deelende, (komt 161 i dit getal in de tafel opzoekende , vindt men névens hetzelve 7 en 23 tot deelers — en hieruit blijkt, dat 2, 5> 7 en 23 de deelers van 1610 zijn. 49=7.7 473=" 43 793t=i3.6i 77=7.11 43i=i3-S7 799=l7-47 91 =7-13 493-17S9 B - 497=7.71 803—11.7S 119-7.17 817=19.43 121—ii.n 5ii=7-73 833=7.717/ 133 ~7-i9 5*7 =rl 47 841 =29.29 143=11.13 527=17>3i 847=7.11.11 161 =7.23 529 =23 23 851 =23 37 169=13-13 533 =1341 869=11.79 187=11.17 539=7-7-11 871=13.67 551=1929 889=7.12/7 203 —7-~9 553 =7-79 Bj8 =ï9-47 209—11.19 r>59— 1343 899=29.31 217=7-3' 581=783 »2I =13.17 583=11.53 901 =17.53 •=47=13.19 589=I9:.X 913=1183 ^-53 =11 23 917=71:,! ^59=7-37 611=13.47 923— :3 7l •=87=7.41 623=7:89 931=7.7.19 £89—17.17 6;-9 =17.37 943 =23.41' 299=13-23 637=7.7.13 949:=i3-r3 • «• 649=11.59 959-r-i.r 301 =7.43 667 =23 29 9G1 =31 31 319=11.29 671.=u.61 073=7.139 ■ -323=17.19 679 = 7.97 979 =0.89 :,29=7-47 Ö89 =13.53 y^y =23 43 341=11.31 . 697 =17>4i. 343=7.7.7 1001—7.11.li 361=19.19 703—19«?7 «003=17.59 371—7.53. 707.^7.101 1007=19.53 ■377=13.29 713=23.31 1027=13-79 391=17.33 721=7.103 1037=1761 731 =17-43 »043 =7.149 403=i3-3i 737=H'67 ÏÖ57ES7.I5I 407—11.37 749=7.107 1067=11.97 ■4i3=7-<59 763=7.109 3073=29-37 *»7=£7.» r67=i3-59 1079=13.83 437=19*23 779=19 41 108l=23-47 451=11-41 781=11.71 2099=7.157: <6g=7,67 79l=7.us tilt  II,B. I. H. XFL L. Taf. der onév. deelb. Getall. 30 j im =11.101 1121 =19.59 1127= 7.7.23 Ï133 =11.103 1139 =17.67 1141 =7.163 1147 =31 37 H57=I3'89 "59 =i9-ói 1169 =7.I(>7 J177 =11.107 1183 =7.13.13 1109=29.41 ■ 1199 =11.109 1207=17.71 1211 =7-t73 1219=23.53 1241 =17.73 1243 =n.H3 ! 1247=2943' 1253 =7.179 1261 =13.97 1267 =7.181 .1271 =51.41 1273 =19.67 i3°9 =7-ii.i? 1313 =13-101 1331 =11.11.11 1333 =31-43 1537 =7-191 1339 =13-103 1343 =17.79 1349 =19.71 i35i =7-i93 1357=23.59 3 303 =29.47 1369=37.37 1379 =7>I97 1387 =I9'73 1391 =13.107 !393 =7-r99 1397 —11.127 1403 =23.61 1411 =17.^.; ' 1417 =ï3-lo9 142I =7.7.29 1441 =11.131 1457 =31.47 1463 —7.II-I9 I469 =13-113 M77=7.»n 1501 -19.79 I5°7"=i 1.137 151S =17 89 1517=37-41 1519 —7-7-3I 1529=11.139 1537-29.53 1541 =23.67 I547:=r7.i3.i7 1561 =7.223 1573 =n H.I3 I577=i9>33 1589 =7.227 1591 =37.43 1603 =7.229 1631 =7-233 1633 =23.71 1639 =11-149 1643 -31-53 1649—17.97 1651 =13.127 1661 =11.151 1673 =7-239 1079 =23.73 1681 =41.41 1687 =7.241 1691 =19.89 1703 =13.131 1711 =29.39 1717 =17.101 1727=11.157 1729 =7.13 19 *739 =37'47 1751 =17.103 1757 =7-251 1763 =41-43 1769 =29.61 Ï771 =7.11.23 1781 =13.137 1793 =11.163 1799 =7-25? 1807—13-139 1813 —7.7.37 1817 =23.79 1819 =17.107 1829=31.59" 1837=11.167 1841 =7-263 ï 843 =19-97 1849 =43-43 1853=If.l09 1859 =11.13.13 1883 =7.269 1891 —31.61 1897 =7.271 1903 =11.173 1909 =23.83 1919 —19.101 1921 =17.113 l927 =4l-47 1937 =13.149 1939 =7-277 1943 =29 67 1957 =19.103 1961 =37-53 1963 =13-151 1967 =7,281 1969 =11,179 1981 =7.283 1991 =n.ï3r £009 =7.7.41 2021 =43.47 2023 =7.17.17 S033 =i9ao7- , 2041 =13.157 2047 —23.89 2051 =7.293 2057 =11.11.17 2059 =29.71 2071 2:19.109 2077 =31.67 2093 =7-13-23 2101 =11.191 • 2107=7.7.43 2117=29.73 2119 =13.163 2123 =11.193 2147=19.113 2149 =7-307 2159 =17.127 2167=11.197 2171 =13.167 2173 =4i-53 2177 =7.3ii 2183 =37-59 2189 =n.i99 2191=7-313 2197=13.13.13 2201 =31.71 2209 =47.47 aai9 *~74i7 SM?  gxa GRONDING, dei. CIJFFEIvSUNST; 2227-17-131 2231 -r23 97 2233 —7-11 29 2249 --I3-I73 2257 -37-<5i 2261 —7,17.19 2263 =31 73 2279 =43-53 2291 -"29.79 2299 =11 11.19 2303 -.7.7 47 2317 -7.331 2321 .--11.211 2023 =23.101 2327 _.i3-I791 2329 —17-137 2353 I3.I8I 2359 =7-337 2363 --17-139 2369 _23.lo3 2387 =7.11.31 2401 =:7-7-7'7 2407 "29.83 2413 =19 127 2419=41.59 S429 =7-347 2431 =11-13.17 S443 =7-349 2449 =31.79 2453 =11.223 2461 =23.107 2471 =7-353 2479 =37.67 2483 =13.191 £489=19 131 2491 =47-53 2497 =11.227 0501 =41.61 2507 =23.109 2509=13193 £5^ =7 359 8519 =11.229 2527 =7.19,19 S533=J7-I49 2537 =43-59 2561 =13-197 2563=11.233 a5_Ï7 =17.151 a5Ó9 =7-3 67 2573 =31 83 I 2581=29.89 2587=13.199 2597 =7-7-53 2599=23-ii3 2603 =19,137 2611 =7.373 2623 =43.61 2627 -.37.71 2629 =11.239 2639 __7.13.29 2641 =19.139 2651 -11.241 2653 =7.379 2669 „17.157 2681 =7.383 2701 =37.73 2717=11 I3.19 2723 =7.389 2737 7-17-23 2743 =13-211 2747 =41.67 2759 =31-89 2761 —11.251 2771 =17.163 2773 -47-59 2779 -7-397 2783 =11.11,23 2807 --7,401 2809 53 53 2813 =29.97 2821 =7.13.31 2827 —11,257 2831 =i9.i49 2839=17.167 2849 =7.ii.37 2863 —7 409 2867 —47 61 2869^19,151 2873 =13.13.17 2881 =43.67 2891 =7.7.59 2893 =11.263 2899 =13.223 2911 =41.71 2921 =23.127 2923 =37-79 2929 =39.101 2933 =7 419 2941 =17-173 2947 =7-421 2951 =13-22? 2959 =11.269 2977 - -13 229 2981 =11.271 2983 r. 19 157 2987 _ 29.103 2989 - 7 7 61 2993 -41-73 3007-31.97 3013 -.23.131 3017 -7-4.U 3029 =13 233 3031 =7 433 3043 =i7-!79 3047=11 277 3053 =43-71 3059 =7 19.23! 3071 —37 83 3073 -7 439 3077 —17,181 3091 —11.281 3097=19 163 3101 7-443 3103 =29.107 3107=13239 3113 =11.283 3127-53-59 3!3i =31 101 3133=13-241 3139 =43-73 3143 ~7 449 3H9 =47.67 3151 =23.137 3157 =7.11.41 3161 =29.109 3173=19 167 3179 —11.17.17 3190 "31.103 3197 ^23.139 3199 =7-45? 3211 =13 I3'i_> 3223 _jii.293 3227 =7.461 3233 =53-6l' 3239 -41-79 3241 __7-463 3247 =17-191 3263 =13.251 3269 =7 467 S277 =29.113 32S1 =17,19$  UB. l&Xrl kTaf JertmévJeelhGetnU.%n •3287 •.. iSt'i7."i 3289=11 1323 3293 r37-89 3311 — 7.11 43 3317=31.107 3337 -47-71 3341 -13-257 3349 =ï7-ï97 3353 =7 479 3367 r.7^3-37 3377-11.307 3379 - 3li09 3383 _;i7-i99 3397 =-43-79 3401 =19-179 3403 —41 83 3409 =7.487 3419 ^.13-263 2421 =11,311 3427 =23.149 3431 =47-73 3437 =7-49! 3439=19 181 3443=11.313 3451 -7.17.29 3473 =23.151 3479 =7-7-71 348i -59-59 3487=11.317 3493 -7*499 3497 ~I3-2Ó9 3503 E-3».«3 3509=11.11.29 3521 =7-503 3523 =13-271 355i =53-67 3553 =11.323 3563 =7.509 3569 =43.33 3577 =7-7-73 3587-17.211 3589 =37-97 3599 =59-61 3601 =13-277 3611 =23 157 3619 =11.329 .$629 -: 19.191 3Ö41 -ii 331 3647 -=7-52i 3649 =41-89 S>6ïi =i3.aSi S56i =7.523 3667 =19 193 S6/9~I3 283 3683 =29.127 3689 -7-I7.3I 3703 =23.161 3707 =11-337 3713 =47-79 3721 =61.61 3731 =7-13-4-1 3737 =37-ioi 3743=i9'i97 3749 =23-163 3751 trii.n 31 3757 --13-17.17 3763 =53-71 3773=7-7.7-11 3781 -19.199 3787 =7.541 3791 =17.223 3799 =29.131 3809=13.293 3811 =37-103 3817=11.34? 3827 =43-89 3829 =7.547 3839=11.349 3841 —23.167 3857 =7-19-29 3859 =17-227 3369 =53-73 3871 ■=7-7'79 3883=11.353 3887=13.13.23 3893 =17.229 3899 =7-557 3901 =47 83 3913 =7.13.43 3937 =31.127 3941 —7.563 3949-11-359 3953 - 59 67 3959~37-io7 3961 =17-233 3971 =11.19.19 3973 =29.137 3977 ^.41-97 3979 =23.173 3983 -7.569 3991 =13.307 8997 i=7.57t 4009 —19.211 4031 =29.139) 4033 =37-»oc» 4037=n-36j» 4039 =7-577 4043 -13.31» 4061 =31.13» 4063 =17.239 4067 =7.7.83 4069 =13 31 j 4081 =7.11 5s 4087 =61.67 4097 =17.241 4103=11.373 4109=7 537 4117=23.179 » 4121 =13.317 4123 =7.19.31 4141 -41.101 4147=11.-3.29 4151 =7.593 4163 =23.181 4169 =i 1-379 4i7i=43-97 4181 =37-ii3 4183 =47.89 4187 =53-79 4189=59.71 4193 -7-599 4i99=i3.i7.i-» 4207 =7.601 4213=11.383 4223 =41-103 4237 =19.223 4247 =3i.i37 4249 =7.607 4267 =17.251 4277 =7.13-47 4279=11.389 4291 =7.613 4301 j-ii. 17.23 4303=13.331 4307 =59-73 4309 -31-139» 4313 =19-227 4319=7.617 4321 =29.149 4331 =61.71 4333 =7.619 4343 =43.ioi -.351 =_iq.22Q  gis GRONDBEG. ft-ft CIJTFERKUNST; 43<5l —7-7-%9 4367=11.397 4369 =17.257 4379=29.151 4381 =13.337 4387 =4i.i°7 4393 =23.191 4399 =53.83 4403 =7-17-37 4411 =11.401 4417=7.631 4427 —19.233 4429 =43.103 4433 11.13.31 4439 =23-ï93 4453=61.73 4459=7-7.7.i3 4469 —41.109 4471 =17-263 4477 -li-n.37 4487 z.7 64' 4489 —67.67 4499 =H'4°9 45oi -7 643 45ii =13-347 4529 =7-647 4531 =23.197 4537=13-349 4541 =19.239 4543 =7-".59 4553 =29.157 4559 =47-97 4-571 =7-653 4573 =17-269 4577 =23.I99 4579=19-41 4589 =!3-353 4601 =43.107 4607 =17.271 4609 =11.419 4613=7-659 4615=31.149 4627 =7.661 4631 =11.421 4633 =4I-113 4661 =59.79 4667=13.359 4669 =7.23 29 4681 =31.151 4687 =43-109 4693 =i3.ï9-ja 4697 =7.11.61 4699 =37.127 4709=17-277 4711 =7.673 4717=53.89 4737 =29.165 4739 =7-677 4741 =11.431 4747 =47-ioi 4753 =7-7-97 4757 =67.71 4763 =n.433 4769 =19.251 4771 =13.367 4777=i7.-2Sl 4781 -7.683 4807=11.19.23 4811 =17.283 4819 =61.79 4823 =7.13.53 4829 =11.439 4837 =7-691 . 4841 =47.103 4843 —29.167 4847=37-131 4849=13.373 4853 =23.211 4859 =43 "3 4867=31-157 4873 =11-443 ■ 4879=7,17.41 4883 =19.257 4S91 =67 73 4897 =59.8i 4901 =13.13.119 4907 =7.107 4913 —I7-17.17 4921 =7.19.37 4927=13.379 4939 =11-449 4949 =7.7-ioi 4961 =11.11.41 4963 —7-709 4979=13-383 4981 =17.293 4991 =7.23.31 4997 =19-263 5017 —29.173 5027—11.457 5029-47.107 5033 =7.719 5041 =71.71 ■ 5047 ■ 7.7-103. 5053 =31-163 5057 =13.389 5063 —61.83 5069 =37137 5071 _ii-46r 5083 13-17.23 5089 =7-727 5093._11.463 5111 =19.269 5ii7=7.i7-43 5123=47-109 5129=23.223 5131 =7-733 5137=11.467 5141 =53-97. 5H3 =37-139 5149=19.2715150=7.11.675T61 -13-397 5173=7.739 5177-31 167 5183 =71.73 5191 =29.179 520.3 =11.11.45 5207=41.127 5213 =13.401 5219-17.307 5221 —23 227 5239 = 13.13.31 5243 =7 7.107 5149=29-181 5251 =59.89 5257=7.751 5263=19.277 5267 =23,229 5269=11 479 5287 =17.311 5291 =11.13.37 5293 =67.79 5299 =7.75? 5311 =47-113 5317=13409 5321 =17.313 5327=7.761 5329 -73.73 5339 —19281 =7.7iI-K_ .  11B, I. H. XVL L.Taf.der onév.deslb. GetaU.%t$ 5353 =.53 ioi 5357 -rH-w 5359 333 ?363 =.31-173 5369 =7-13-59 5371 =41-131 5-.7.-=19 =83 •53Ö3 =7-769 5389=I7-3'i7 5401 -11.491 54i 1 r 7-773 5423 =11.17-29 5429 =61 89 5447 =13419 5453 =7-19 41 5459-53-1°3 5461 =43-127 5467 =7.11.7! 54-3 =13421 5489=11.499 5491 =17.17-19 5497 =23 239 5509 =7-787 5513 =-37-149 5533 =11.503 5539 =29-191 5543 =23-241 5549 =31-179 5 - -1 =7.13.6.1 5561 =67.83 5567=19.293 5579 =7-797 5587 ZT37-I5! ..595 --7-I7 47 55y7 =29-193 . 5599 = n;5;9 5603 —13-43» 4609 =71.79 5611 =31-181 5617 =41.137 5621 =7.11 73 5627 =i7-33i 5629 =13 433 5633 =43-i3i 5663 =7.809 5671 =53.107 5677 =7.811 5681 =13.19.23 5687 =11.11.47 5699 =41,129 5707=1343'$ 5713 =29.197 5719=7.19.43 5723 -59-97 5729r-I7-337 573! — 11.521 5747 -7-821 5753 =11-523 5759 — !3 443 5761 —7.823 5767 =73 79 577! =29-199 5773 =23.251 5777=53.109 5789 =7-327 5797=11 !7-3l 5803 =7.829 5809=37.157 5819=11.23.23 5831 =7.7.7.17 5833 =i9-307 3837=13.449 5863 =11.13.41 5873 =7-339 5887 =7.29.29 5891 =43iJ7 5893=71 83 5899=17.347 5909 = 19.311 59I1 —23.257 59!7=6i-97 5921 =31.191 5929 =7.7.11.11 5933 =17 349 5941 =13457 5947 =i9-3i3 5951 =11-541 5957 =7-23 3? 5959 =59-ioi 5963 =67.89 5969 =47-127 5971 =7.853 5977=43-139 5983 "31.193 5989=53.113 5993 =13461 5999 =7-357 6001 =17.353 6013 =7.859 6017 =11.547 6019—13 46* —. T5023 =19.317 C031 =37.163 6041 =7.863 6049 —23.263 ' 6059=73-83' 6061 —1 i.rg.2«> 6071 = 13 467 6077 =59-10.3 6083 =7.11.-0 6097=7.13.67 6103 =17-359 6107 __3i.i97 6109 =41.149 6119 =29,211 6127=11.557 6137 =17-19-19 6i39=7.S/7 4; 6149 =11.13. 6i57=47.i3i 6161 =61.101 6167 =7.881 6169 =31.199 6179 =37.167 6181 =7.883 6187 =33.269 6191 =41.151 6193 ~tl 563 6209 =7.387 6223 =7.7.127 6227 =13.479 6233 =23.271 6239 =17.367 6241 =79.79 6251 =7.19.47 6253 =13-13.37 6259=11.569 6281 ^.11.571 6283 =61.103 6289 =19.331 6293 =7.29.31 6307=7.17-58 6jl3=59-it'7 6319 =71-89 6331 =13487 6341 "17-37J 6347=11.577 6349=7-907 6371 =23.277 6377 =7-911 6383 =13.491 6391= 7.11.8 g f401 =|7.I7| 640S  3I4 GRONDBEG, der CTJFFERKUNST* 6403 =19.337 6407. =43.149 6409 =13.17.29 6413 =n n-53 6419=7 7.131 6431 =59-i°9 6433 =7-9x9 6437 =4i 157 6439 =47-137 6443=i7-375 6457 =11.587 6461 =7-13 71 6463 =23 281 6467 =29.223 6479 =11.19 31 6487 =13-499 6493 =43-151 6497 z:73-89 6499 —67-97 6503 =7 929 6509 —23.283 «511-17.383 1 65I7-7-7-7-I9 6523 -11-593 6527=61.107 6533 =47 139 6539 —13-503 6541 =31-211 6557 =79-83 6559 =7-937 «5583 =29.217 6587 =7-9+! 6589=11.599 É593 =19-347 6601 =7.23.41 6611 =11.601 6613 =17 389 6617=13-509 6623 =37-179 6629 =7-947 6631 =19.349 15641 "-"29.229 -3643 -"7-13.73 6647 =17 17-23 <5649 =61.109 6667=59.113 6671 =7-953 6677 —11,607 6683 —41.163 6697 =37-181 6707 =19.351 6713 =7.7-i37 6721 =11.13.47 6727 =7.31.31 6731 =53-127 6739 =23.293 6743 =11.613 6749=i7.397 6751 =43-157 6757 =29.233 6767 =67.101 6769-7-967 6773 --I3-521 6787 =11.617 6797 =7-971 6799=13.523 6809 =11.619 6811 =7.7 139 6817 =17.401 6821 -19.3*9 683. ~7 977 6847 =41.167 6851 =13 17.31 6353 -7 "-89 '6859 -19.10 19 6877 -13.23.23 6881 =7.983 6887=71.97 6889 -83.83 6893 =61.113 6901 =67.103 6913 =31-223 6919 _-i1.17.37 6923 _-7.23.43 6929 =13.13.41 6931 =29-239 6937 =7-99i 6941 =11 631 6943 =53-. 131 6953 =i7-409 6973 =19 367 6979 —7 997 69% =29.241 7003 =47.149 7007 =7.7.11.13 7009 =43.163 7021 =7.17.59 7031 =79.89 7033 =13-541 7037 —31 227 7049=7.19.53 7051 =11,64. 7061 =23-307 7063 =7 1009 7067 =37-191 7073 =11.64» 7081 =73.97 7087 —19.373 7091 -7.1013 7093 -41,173 7097 =47.i5l 7099 =31.229 71 li =13.547 7117 =11.647 7123 =17.419 7133 =7.1019 7139 =ii.ii-59 7141 =37-193 7147 =7.1021 7153=23.313 7157=17-421 7163 =13.19.29 7169 =67.107 7171 =71.101 7181 =43.167 7183 —11 653 7!' 9 =7.13-79 7l99 =23.313 7201 =19 379 7217 =7.1031 7223=31.233 . 7251 =7.1033 7241 =13-557 7249 =11.659 7259 =7-l7.6i 7261 =53 137 7267 =13.13.44 7271 =11 66i 7273 =7-1039 7277=19 383 7279 =29-251 7289 =37-197 7291 =23 317 7301 =7-7.149 7303 =67.109 7313 =71-103 7319 —13-563 7327—17-431 7337 =n 23.29 7339-41-179 7343 =7-io49 7357=7-I05i 7361 =17-433 7363 =37-l99 _ „ 736.  II. B. IH. XVI. L. Taf, der onév. deelb. Qetaïl 315 73Ö7 =53-139 7373 =-73-101 7379=47 157 7381 =11.11.0 1 7387=83.89 7391 = 19 389 7397 r_i3 5Ö9 7399=7-7 i5i 7403 =i1.673 74°9 =2* -39 7421 —41 i"i 7423 =i3-57i 7427 =7 1061 7429=17.19.23 7439 =43 173 7441 =7-IC(J3 7 .47 =ii-677 7453 =29-257' 7463 =17 439 7469 =7-".97 7471 =31.241 7483 =7.1069 7493 =59-127 7501 =13.577 7511 =7.29.37 7513 =11.683 75I9 7J/3-I03 7531 ~-17-443 7543 -19-397 7553 =7 13-83 7557=7-23.47 7571 _67.ii3 7579 =11.13.53 7597=7i.io7 7601 =11 691 7609 =7.1087 7613 =23.33I 7619 =19 401 7627=29.263 7631 =13.587 7653 -17-449 7637 =7.1091 7551 =7.1093 7557 =13-19 31 7661 =47.163 7663 =79 97 ■7667 =11.17.41 "679 =7.1097 7693 =7.7.157 76X7 =43-179 8021 =13.617 8023 =71 113 8027 =23.349 8029=7.31.37 8033 =29.277 8041 =11.17:41 8047 =13.619 8051 =83.97 8-57 =7 1151 8063 =11.733 8071 =7.1153 8077 =41.197 80"3 =59-137 8099=7.13.89 8107 =11.11,67 8113 =7.19.61 8119 =23 353 8129 =11 739 8131 =47-173 8137 —79 103 8141 =7.1163 8143 =17.479 8149=29.281 8153 =31-263 8159 =41.199 8173 =u.743 8177 =13.17.3? 81 "3 =7.7.167 8189 =19.431 8197 =7.U'7I 8201 =59-139 8203 =13.631 8207 =29.283 8213 =43.191 8227 =19.433 8-39 =7.11.107 8249=73.113 8251 =37.223 8257 —23.359 8261 =11.751: 8267 =7.1181 Ü279 =17.487 8281 =7.7.13.1% 8299=43.193 8303 =19 19.23 8309 =7.1187 8321 =53-157 8323 =7.19.41 8327 =,11.757 8333 =13.641 7709 =15.593 7711 -.11-701 7/-ü =7.1103 -7729=59.131 7733 =11 19.37 7739=71.109 7747=61.127 7751 =23.337 7763 „7.1109 7769 =17 457 7/71 =19.409 7777 2-7 li-101 7781 =31 251 7783 =43.181 7787 =13099 7799 =11709 7801 =29.269 7807^37.211 7811 =73.107 7813 =13 601 7819 -7.1117 7831 =41.191 7837=17.461 7843 =11,23.31 7847=7.i9 59 7849 =47-167 7359 =29.271 78Ó1 =7.1123 7871 =17.463 7889 =7.7.7-23 7891 =13.607 7897=53.i49 7903 =7.1129 7909 =11.719 7913 =41.193 7921 =89.89 7931 ~7-II-I03 7939-17-467 7943-13-13.47 7957 -73-109 7961 —19 419 7967=31-257 7969 =13-613 7973 =7-17.67 7979 =79-ioi 7981 =23.347 7987 =7-7.163 7991 =61.131 7997=11.727 7999 =19-421 8*03 =53.151 X — 8341  5i(5 GRONDBEG. dbr CIJFFERKUNST. S341 -=19.439 0347—17-491-351 —7.1193 3357-61.137 3359 —13-643 0371 =11.761 G381 =17.17.29 8383 =83.101 8393 =7.11-109 8399=37.227 • 8401 =31271 8407 =7.1201 3411 =13.647 8413 =47-179 8417=19.443 8437=11.13.59 8441 —23.367 3449 =7.17-71 8453 =79-io7 8459=11.769 8471 =43.197 8473 =37-229 3477 -7-7-I73 8479 =61.139' 3483=17-499 8489 =13-653 8491 =7.1213 8497 =29.293 8503 =11.773 8507 =47.i8i 8509 =67.127 8519=7.1217 8531 =19-449 8533 =7-23.53 3549 =83-103 :;55i =17.503 8557=43-199 8561 =7.1223 8567=13.659 8569 —.11.19.41 8579=23-373 8587=31.277 8591 =11.11.71 8593 =13.661 8603 =7.1229 8611 =79.109 8617 —7.1231 0621 =37.233 8633 =89.97 3639 =53.i<3 8651 =41.211 3653 =17.509 8657=11.787 8659 =7 1237 8671 =13.23 29 8683 =19.457 8G87 =7.17.73 8701 =7.11 113 8711 =31.281 8717=23-379 8723 =11-13.61 8729-7.29.43 8743 =7-1249 8749=13-673 8759 =19.461 8767=11.797 8771 =7-7-179 8773 =31.283 8777 =67.131 8789 =11.17.47 8791 =59-J49 8797=19.463 33oi =13.677 8809=23.383 8813 =7.1259 8827 =7.i3.97 8833 =11.11.-3 8843 =37-239 8851 =53 167 8857=17-521 8869 —7.7.181 8373 =19.467 8879 =13-683 3881 =83.107 8891 =17.523 8897 =7-3I.4l 8899 =i 1.809 8903 =29 307 8909=59.151 8911 =7.19.67 S917 =37 241 8921 =11.811 8927 =79-113 8939 =7.1277 8947 =23.389 6953 =7-1279 8957 =I3.13.53 8959=17-17.31 8977 =47-191 8981 =7 1283 8983 =13.691 8987=11.1943 3989=89-101 8993 =17-23.23 9017=71 127 9019 =29 311 9023 =7.1289 9031 =it 831 9=37 =7-!29i 9047 =83 109 9053 =11.823 9061 =13.17.41 9071 =47.i93 9073 =43-211 9077=29.315 9°79 -7.1297 9003 =31-293 9089 =61.149 9097 =11.827 9101 =19.479 9107 —7.1301 9115 =15.701 9119=11.829 9121 =7.1303 9131 =23.397 9i39=i3.io.37 9143 =41-223 9149=7-1307 9163 =7.7.11.17 9167 =89.103 91Ö9 =53.173 yi79 =67.137 9191 =7.13 101 9193 =29.317 9197=17.541 9211 =61.151 9217=13.709 9223 -23.401 9229-u 839 9233 -7.1319 9247 -7.1321 9251 =11.2929 9253 =19.487 9259 =47-197 9263=59157 9269 =13 23.31 9271 =73.127 9287=37.251 9289=7.1327 9299 -17.547 9301 =71.131 9307 =41.227 9313=67.139 9517 =7.11.11.11 9239  ƒƒ. B. I. H. XVI. L. Taf. der onév. deelb. Getall. $ 17 9329 -19.491 9331 ±7.3l-43 9347 =13-719 9353 -47-iyy 9359 =7-7-191 9361 =11.23-37 93Ö7 =17 19 .29 9373 =7-i3'i°3 «;379 =83-"3 93Ö3 =ii-353 9389 =41-2*9 9401 =7-17-79 9407 =23.409 9409 =97-97 9427 =11.857 9443 =7 -1 °-7i 9449 =n-859 .9451 =i3-727 9457 =7-7 193 9469 —17-557 9481 =19.499 9487 ="53-179 9493 =11.863 9499 =7-*3-59 9503 =13 17-43 95°9 =37-257 95i7=3i.307 9523 =39-I07 9527 =7-i3ói 9529 =13-7*3 9541 =7.29.47 9553 =41.233 9557 =i9-503 9559=11.11-79 9563 =73-131 9569 =7-i367 9571 =i7-563 9577=6i-i57 9531 =11.13.6 958.3 =7-37'-37 9589 =43-223 9593 =53-i8i 9599 =29.331 9607=13-739 9611 =7-1373 9617 =59.163 9637 =23-419 9641 =31-311 9647 =ii-877 9653 =7-7-197 9659 =13-743 9667 =7.1 381 p^i =19.509 9673 =17-569 9683 =23421 9691 =11.881 9701 —89.109 9703 =3 t -31.3 9707 =17.571 9709 =7.19 73 9713 =11-883 9727 =7;.137 9731 =37.263 9737 =7-l3-l07 9751 =7.7.199 9757 =11.887 9761 =43.227 9763=13-751 9773 =29.337 9779-7-n -127 9793 =7-1399 9797 =97-101 9799 =4i-*39 9809=17.577 9821 =7 23.61 9823 =11.19.47 9827 =31.317 9841 =13-757 9847=43.229 9853 -59 167 9863 =7 1409 9869=71.139 9877 =7-17.83 9881 =41.241 9889 =11.29 31 9893=13-761 9899 =19021 9911 =n I7-5J 9913 =23.431 9917 -47.211 9919 =7.13.109 9937=19.523 9943 =61.163 9947 =7-7-7-*9 9953 =37-269 9959 =23.433 9961 =7.1423 9971 =13.13.59 9977 =11.907 9979—17.587 9983 —67.149 9989 =7-1427 9991=97.103 X s 9997=13 769 10001 =73 137 10003 =7.1429 10013 =17.19 31 10019 =43.233 10021 =11911 10027 =37.271 10031 =7.143,. 10033 ~79:l^7 10043 =11.11.83 10049 =13.773 10051 =19.23.3» 10057 =89.113 10063 =29.347 10073 =7.1439 10081 =17-59.. 10087 =7.11.131 10097 =23.439 10109 =11919 10117 =67.151 ioisu =29.349 10123 =53.19! 10127 =13.19.41 10129 =7.1447 10147=73.139 10153 =ii.I3.7* 10157=7.1451 10171 =7.1453 10183 =17-599 10187 =61.167 10189=23.443 10199 =7.31-47 10201 —101.1011 10207 __59 173 10213=7.1459 10217 =17.601 10219 =11.929 10229 —53-193 10231 —13-787 10337 -29 353 10241=7.7.11-1^ 10249 =37-277 10261 =31 33! 10277 =43.239 10279 =I9-54I 10283 =7-I3.i!7. 10291 =41.251 10297 =7.1471 10307=11.937 10309 =13.13.61  £iS GRONDBEG. dei CIjFFERKUNST- 10319 —17.607 10327 =.23.449 10339 —7-7 2U 10349 -79.131 10351 =11.941 10361 —13«797 10363 -43-241 10367 =7.1481 30373 -11-23-41 10379 =97.107 10381 = 7.1483 10387 =13.17.47 10393 =19-547 10397 =37-28i 10403 =101 103 10409 =7-1437 1&411 - 29.359 10417 =11.947 10421 =17.613 10423=7-1489 1.-439 =11-13-73 10441 =53-197 10447 =31.337 104^1 =7-I493' 10469 -19.19.29 10471 =37-283 10481 =47.223 10483 =11-953 10489 =17.617 10493 =7-I499 10507 -7.19.79 10511 =23 457 10517 =13.809 10519 =67.157 10523 =17.619 10537=41257 10541 =83.127 10543 =13.811 10547 =53-199 10549 =7.!i-i37 10553 =<5i.i73 10561 =59.179 10571 =11-31.31 10573 =97-109 10577 =7-I5n 10579 —71-149 10583 =19.557 10591 =7.17.89 10603 =23.461 _-.'6o9 =103.103 ri_37 10933 =13.29-29 30943 -31-353 10951 =47-235 10961 =97.113 10963 =19 577 10967 =11.997 10969 =-7.1567 10981 =79.139 10991 =29 379 10997=7-1571 10999 =17.647 11009 =101.109 i loi 1 =7.11.11.13 11017 =23 479 11021 =103.107 11023 =73.151 11029 =41-269 H033 =11.17.59 11039 —7.19.83 11041 =61.181 11051 =43 257 11053 =7-1579 11063 -13.23.37 n°77 =11-19.55 .1081 -7.1583 11089 =13.853 11099 =11.1009 moi =17.653 11107-19 383 ii in =41.271 11123 =7-7.227 11129 =31.359 11137 =7-.;7-43 11141 =13-857 m43 =11 1013 i"47 =7Li57 "153 =19-587 11167 =13 859 11179=7.1597 11183 =53 211 11189=67.167 11191 —19.19.3: 11201 =23.487 11203 =17059 11207 =7.1601 11209 =11.1019 11219 =13.863 11221=7.7.229 11227 —103.109 11231 =11.1021 io6ii =13.19-43 10633 =7.7.7.31 10637 = 11.967 IO643 T-29.367 IO649 =23.463 10661 =7.1523 IC669 =47.227 10Ó73 =13.821 10679 =59 181 10681 =11 971 10693 —17.17.37 10697—19.563 10699 =13.823 10703 __7.11.139 10717=7-1531 10721 -__7i.i5i 10727 =17.631 10741 =23.467 10747=11.977 10751 =13.827 10757 =31-347 10759 = 7.29.53 10763 =47 229 10769 — 11.11.89 10777 =13.829 10783 =41-263 10787 __7=3ö7 10.-93 =43.251 10801 =7.1543 10807 =101.107 10811 ..19.569 10813 =11.983 10Ï17 =29.373 10819 =31.349 10823 =79-137 10829 =7-7'13*17 10841 —37-293 10843 =7-1.549 10849 —19-ï<71 1o8?i =7-1553 10873 =83.131 10877 =73-149 10879 =11.23.43 10897 =17-641 10901 =11.991 10907 =13.839 10913 =7.1559 10919 =61-179 10921 =67.163 10927=7.7.223  n.B.LH.Xri:L..Taf.deronèy.decli. Getall. 319 II237 ~17-66l 1 II249 —7-1607 1 11263 -7.1609 1 112.67-19 593 1 112.69 =5919I 1 11281-29389 1 11291 =71613 1 11293 __.2i.491 1 11297 =u. 13-79 11303-89127 1 11309=43-263 1 11323-213-1367 1 11327—.47-541 1 ii333 =7 1619 ' H339 =I7-23-29 11341=11.1031 11347=7-1621 H357 =41-277 H359 -37 3°7 11363 -=11.1033 11371 =83-137 11.577 -3I-367 11381 :r 19-599 n?,87 =59 «93 11389 =7-1627 11401 ___I3-S77 11407 —11-17 61 11413 = 101.113 11417 =7-7 233 1141 o =19 601 11429 =11.1039 11431 -7.23.71 11441 —17-673 11449 —107.107 H453 =13-881 11459 =7.1637 11461 =73 157 H473 =7 II-I49 H477 =23.499 11479 =13 883 11501 =7 31 53 11507 =37.3" 11509 =17-677 11513 =29 397 11521 =41 281 11531 =13.887 H533 =19 607 11537=33 139 H539 =Il-IO+9 H543 =7-17-97 *i557 =7-i3-i27 I.I87 :i86i -29.409 11869 —11.13.83 1873 .-31.383 11879 =7-l697 ii 881 —109.109 [1891 —11.23.47 11893 =7 1699 11899 =73-i63 11911 =43.277 11917 -=17.701 11921 =7.i5-I3ï 11929 =79,I5I H947=i.3 9I9 • 11951 =17.19.37 11957 __ii.-io87 11963 =7.1709 11977 =7.29.59 11983 =23 521 11989 -.19 631 11993 =67 179 11999 =i3-I3-7I 12001 —11.1091 12013 =41-293 12017 =61.197 12019 =7-17.101 12023 =11.1093 12029 =23-523 12031 =53 227 12047 =7-I72i 12053 =17-709 12059=31.389 12061 =7.1723 15.067 =11.1097 12077 =13.929 12079 =47.257 12083 =43 281 12089 =7.11.157 12091 —107.113 I 12103 =7.7.13.19 12121 =17.23 31 12127 =67.181 12131 =7.1733 12133 =11.110» 12137=53-2^9 12139=61.199 12151 =29419 12167 =23.23-23 12169 =43.283 12173 =7 37-47 12179 =19.641 I2l»i =13-937 IE>l8-7 I56I =11.1051 1563 =31.373 1567 =43269 1569=23.503 1573 =71-163 1581 =37 313 I591 =67.173 1599 -7.I657 1603 =41.283 1609 =13.19.47 1611 =17.683 1623=59.197 1627 =7.11.151 1629 =29.401 1639 =103.113 1641 =7.1663 .1647 =19 613 :i65i =61.191 [i653 =4S 271 [1659 =89.131 11663 =107.109 [1669 —7 1667 [1671 =11.1061 11683 =7.16,69 11687 =13-29:31 11693 =11.1063 11707 =23 509 11711 =7.7.239 11713 =13 17-53 11723=19.617 ' 11729 -T37-3I7 11737 =ii.ii.97 11741 =59.199 II747 =17.69! XI749 =31-379 11753 =7 23 73 H759 =111009 11761 =19.619 11767 =7.41.41 11771 =79.149 11773 =61.193 H791 ---13 9°7 11797 -47-251 11803 =11 29 37 11809 =7 7 241 11819 =53-22.3 11837 =7.19.89 11843 =13-911 11849 =17 17 41 11851 =7.1695 11857 =71.167  jao GRONDBEG. dêr C1JFFERKUNST. 1-1-7 =7-1/41 l-ipi =73-167 1*193 =89.137 1*199 =11.1109 12317=19.643 1-4*1 =11 ii 10 "223 =17 719 1**29 -7-1747 3S333 .-13-941 1*247=37 331 12257 =7-<7 103 1*159 =13-23-41 12271 =7.1753 1*983 j_7r. 173 12287 = 11 1117 1*293 = 19.647 12299 =7.7-251 12307-31 379 1*311 -=.13.947 12313=7 '759 1*3.7-109113 1*319-97.127 12331 =11.19.59 1*337 =13 13-73 12341 =7.41-43 1*349 —53-233 1*353 =1 ii 123 12359 ='7-727 1*361 -47-263 12367 —8-3*149 12371 =89.139 12383 =7.29.61. 1*389=13-953 12397 =r-7-n-23 1*403 =7!.-'57 12407-19655 12419 = iii 129 12427=17-17.43 1343' =.3L40i 12439 =7-1777 .2443 =23.541 12449=59 2" 12461 =.17733 1*463 =11.11.105 12467 _7.13.137 1*469 r37 837 1*481 =7.1783 1*493 =13.31-31 1*499=29 43t 13189 12851 =71.181 12857=13.23.43 12859=7.11.167 7 12865=19677 12869=17757 3 12871=61.211 11877=79.163 12881 =11.1171 I283j =13.991 . . 12837=7.7.263 1:901 =7.19.9' | l29i3' = 37-349' 12929 =7.18!.- ■ 1:945-7-43.43 _ 12947 ~rj.li.ios 12949-23-56.; 12961 -13.997 12971 =7.17.109 12977 =19.(->;-! 12989 =31419 1:991 =1 r.M'Sf 12997 -4L317 i 3013 =7.11.1.5 13 15019 =47.277 13021 =29.449 130:7 =7.i;;ói 13051 =83.157 13939=13.17.59 13051 =31 4:1 13057=11-1187 13061 =37-35; 13067 =73.179 13069 -7.1867 13073 =17-769 15079 =11.29.41 13081 =103.1:7 13087=23.569 . 13091 =13.19.55 13097 =7.1871 13 m =7.1873 13 H7 =13.1009 13123 =11.119» I3IÏ9 = I9-69i 15133 =23.571 13139 =7.1877 1514: =17-77* I3153=7..i879 13157=59.225 13169 =13.1013 13181=77.2,69 12509=7,1787 12521 =19.659 12523-7-1789 12529 =ir 17 6 12533 =85.151 12551 =7.11.16 12557=29 433 1 12559—19 661 12563 =17 739 12571 =13 967 12581 =23.547 12587 -41-307 12595=7 7-257 12599 =43 -293 12607 =7. rSor 12617=11 31.3; 12625 =15-9.-1 12629=73.173 12631 =17743 1:643 ~47 269 12649 =7.13-135 12661 =1 r.ïigi 12667 =53.239 12673 ='19.25 29 12677=7.1811 12679=31.409 120W3 =T,-i 155 12691 -7.7.7.37 12701 —13 977 12707=97.131 1:709 _-.71.179 12719 -7-23-79 12727 =11 -13-89 1:731 —29.439 12733 =7.17.107 '2737 =47-271 12749=11.19.61 1:7-1 -41.311 12761 =7.1823 '2767 =17.751 12769 =113.113 12773 =53 241 12779 -13.983 12787=19.675 12793 =11 1163 12797 =67.191 12803 =7.3159 12811 =23.557 12817 =7.1831 12827 =101.127 12833 =41313 12839=37.347 1-8*7 =20.4_a  II. B. I. H, XVL L. Taf. der enév. deelK GetaHi 32 i 13189 —ii.n.io 13199-67.197 1.3201 .,43,307 1320.7 — 47.281 j IJ2II = 11.1201 -32-3 = 7).l8l 13223 ,=7-ï 889. 1523. ~ioi 131 13237 =7-3i.ói 13243 = 17.19.4-1 13247 = 13.1019 13253 =29.457 13261 —89 149 13271 =23.577 13273 =-13 1021 13277 =11.17 71 13279 =7 7 271 13283 =37-359 13289 =97.137 13301 =47.283 13303 =53 251 13307 =7.1901 13319 =19 7°l 13321 —7.11 173 133 J3 =67 199 1.3543 ~ll 1213 15349 -7 1907 15351=13 13-79 15357 = 19.19.37 I336I =31 431 13303 =7-23.83 155Ó9 —29.461 15573 =43 SU 133^9-I7-787. 13387 =11.1217 13391 ~7 1913 13393 -S9--27 1.H03 =13-1031 15409 =11.23.53 13423 =31-433 13427-29.463 134..9 -13.1033 13433 -7 19.101 13439 -89151 15447 =7.17-113 13453 =11.1223 13459 =43-313 13471 =19.709 13481 =13 17.61 13483 —97-139 14113 13811 —7.1973 13813 =19.727 13817 =41 537 13819 —13.1063 13823 =23.601 1.3837 =101.137 13843 —109.127 13847 =61.227 13849—11.1259 13853 ~7-i979 13861 =«3.167 .13867 =7.7.283 13871 =11.13.97 13889 =17 19.43 13891 =29.479 13897=13.1069 13909 =7 1987 i39i9-:oi.449 13927 =19-733 13937 =7 n.i&i 13939 =53 263 1.3943 ~73 191 13949 -13-29.37 I395I -7-1993 13957=17.821 13961 =23 607 13969 =61-229 13973 =89.157 13979=7.1997 13981 =11.31. 13987=71 197 13991 =17.823 13993 -7.1999 14003 = I1 i,j,67 14017 =107.131 14021 =7.2003 14023 =37.379 14027 =I3.i3 83 1*039=101.139 14041 =I9 -39 14047=I1.I277 14053 =13.23.47 14059 =17 827 14063 =7.7.7.41 I4069 =11.1279 14077 =7.2011 I4089 —73.193 14093 —17.829 I4099-23.6I3 14101.—59 239 HUI =103.137 > 15489=741.47 13493 =103.131 1.5501 =23 587 i.S.507 =I3.I039 135 ii =59-229 13517 =7-I93I ' 13519 —1 1 1229 13529 =83.163 i353i =7 '933 13541 =11 1231 13543 =29.467 13547 = 19 23 31 13549 =17 797 1.3559 =7 i.ï. 149 13561 =71.191 I357I =41.331 13573 =7.7-277 13579 -37 367 13583 =i?.i7-47 1:589 =107.127 i.-,6ot =7.29 67 i_<5og =61.223 13607 =11.1237 13.^09 —31.439 13621 =53.257 13631 =43-317 13637 =13.1049 13639 =23 593 I3t>43 =7 1949 13651 =11.17.73 15557 =7.1951 J :3^<5i =19.7.19 15663 --.13.1051 '.3*7=79,173 IJ673 =11 ii.113 15C99 =.7.19103 13703=71.193 13717 =11.29.43 i3727=7.37.53 157.33 = 3 1 443 13739=11-1249 !374i =7 13-151 13747 =59 233 13753=17-809 13769 =7.7.281 I377I =47-293 ' 13777 =23.599 i37»3 =7 11-179 13787 =17 811 13793 =13.1061 1,801—37,373  s2_ GRONDBEG. der CïJFFERKUNST. ' 14113 —11.1283 i4»7 -19743 14119 r-7.2017 14123 —29 487 14129 = 71199 14131 -.13.1087 14137 ~67.111 14141 -79.179 1414» -7.43 47 14161 —7 7.i7'I7 14167=31.457 14171 =37 383 I4179 TII.1289 I4183 =13.1091 14189 =7.2027 I4I9I =23.617 I42OI —.11.1291 14203 =7 2029 14209 =13 1093 14213 =61 233 142K. =59.24! 14227 =41 347 I42JI =7-19-107 14233 =43-331 14237 =23 619 14239 =29.491 14257-53-269 14261 =13 1097 14263 =17.839 14267 =11.1297 14269 —19 751 14273 =7-2039 14279 =109.131 14287=7.13 157 14291 —31 461 14297 =17,20.-9 14299 =79.181 14309=4! 349 14311 =11.1301 14317 =103-139 14329 =7.23.89 14333 =11-1303 14339 =-"131103 14351 =113.127 14353 =31 463 14357 =7-7 293 14359 = 33-i73 14363=53.271 I437I "7-2053 14377 =11.1307 14381 —73.197 24383 — IQ.757 15041 I47II =47-313 14719 2-41-359 14729 =11.13.103 14743 =23.641 U749 =7.7.7.43 14761 =29 509 14773 ~ H-17-79 I4777=7.2iii 14789 =23 643 I479I =7 2113 14801 =19,19.41 14803 =113131 14807 =13 17 67 14809 - 59 251 14819 —7.29.73 14833 =7-»3 163 14837 =37 401 14839 =11.19 71 14849 - 31.479 14857 : 83 179 14861 7 11.193 14863 =89.167 14873 --107.139 1.^881 —53.647 14893 =53.28r 14899 =47 317 14903 =7 2129 14909 =17.877 14911 =13.3114917 =7-21-31 14921 =43-347 14927 =11.-3-59 14933 =109 137' 14941 =67.223 14953 =19787 14959 =7.2137 14963 —13-1151 14971 —11 1361 14977 =17.881 14981 =71.211 14987 =7.2141 14989 —13.1153 14993 -11.29.47 14999 -53.283 15001 =7._14S 15007 =43 349 15011 -17 883 15019 =23.653 15023 =83 181 15029 =7.19 113 15037 =11.1367 14393 =37-389 I4399._.7.II.II.17 14413 =7 29.71 14417=13-1109 14429 =47.307 14441 =7.2063 14443 —ii 13 ioi 14453 = 97 H9 14459 =19.761 14467=17 23-37 14471 =29.499 14473 - 41 353 14477 =31 467 14483 —7 2069 14491 -43.337 14497 7 19-109 14501 =17.853 14507=89.163 14509 =11.1319 I45I3 =23.631 I452I -13 1117 14527 =73 199 14531 -11.1321 14539 _7-3i.67 14567 =7-2081 i45''9 = 17 857 14573 = 13 19-59 14579 —61.239 14581 —7.2083 14587 -29.503 14597 —ii 1327 14599 =13.1123 14603 =17.859 14609 =7.2087 14611 =19 769 14617 -47-311 14623 =7.2089 14641 =11.11.11.11 14647 =97.151 14651 =7.7.13.23 14659 -107 137 14663 =11.31 43 14671 =17.863 14677 =13.1129 14681 -53.277 14687 =19.773 14689 =37-397 14693 =7.2099 14701 =61 241 14707 =7,11.191  II. B. I. H. XVI. L. Taf. dor oniv. detlb. Getalk 323 15041 =.13-13.89 15043 =7-7-307 Ï5047 =4!-3Ö7 15049 ~ 101.149 15059 =H -37-37 15067 —13.19.61 15071 E7-2I53 15079 -17-887 15089-79.191 I5097—3I-487 15103 —11.1373 15109 —29.521 I5"3 -7-17-I27 15119 =13.1163 15127 —7.2161 15*33 =37-409 15143 =i9-7'J7 15151 =109.139 15157 =23.659 15163 =59-257 15167=29.523 151Ö9 =7-ii-i97 i5i79=43-353 15181 —17,19 47 15191 —11.1381 I5I97 =7-i3-16'.7 15203 =23 661' 15209 =67.227 15211 =7.41.53 15221 =31.491 15225 =13.1171 15229=97.157 15239 =7-7-3ii 15247 =79.193 15251 =101.151 15253 =7-2179 15257 =11 19 73 15281 =7-37-59 15283 =17.29.31 15293 =41-575 I530I =11.13.107 153" =61.251 I53I7=17-I7.53 15323 =7.11.199 15337 =7-7-313 15341 =23.23.29 15343 =67.229 15347 =103.149 15353 =13-1181 15367 =11.11.127 I537I =I9'3°9 15379 =7-i5-ï3.i3 15389 =11.1399 I5397 =89-I73 15403 =73 211 15407 =7.31.71 15409 =19.811 15419=17-907 15421 =7.2203 15431 =13.1187 15433 =11.23.61 I5I37 =43-359 15449 =7-2207 1545'" =13-29.41 i5463=7.47-47 I5469=3i.499 15479=25.673 15481 =115.137 I54:'7=i7-9H I5491 =7-2 213 15499 =11.1409 15503 =37-419 15509 =i3-ii93 15517 =59-263 15521 =11,17.83 15523 =19 19 43 15529 =53.295 15533 =77-317 15539 =41 379 15547 =7.2221 15553 =103.151 15557=47 33i 15563 ~79-I97 15571 =23.677 15577 =37.421 15587 =11-13.109 15589 =7.17-131 15593 =31.503 15599-19-821 15611 =67.233 15613 =13.1201 15617=7-23 97 13623 =17.919 15631 =7.7.11.29 15637=19 823 15653=11.1423 15659=7-2237 15673 =7.2239 15677=61.257 15689 =29.541 15691 -13.17.71 15697=11.1427 15701 =7.2343 15703 =41-585 157°7 =113.139 15709 =23.683 15713 =19 827 ■ 157I9=ilM29 15721 =79-I99 15743 =7-13-173 15751 =19-829 15757=72251 i 15763 =11.1433 15769 =13.1213 15779 =31-509 15781 =43-367 15793 =.17-929 15799=7-37-61 15811 =97.163 15821 =13.1217 15827 =7-7-i7-i9 15S29 =11.1439 15833 =71-223 15839 =47.337 15841 =7-31-73 15847=13.23.53 15851 =11.11.131 15853 =83.191 15857 =101.157 15863 =29.547 15869 =7.2267 15871 =59-269 15883 =7.2269 15893 =23 691 15899 —13.1223 15911 =7.2273 15917 =11.1447 15929 =17.937 15931 —89.179 15941 =19.839 15943 =107.149 15947—37-431 15949 =41.389 15953 =7.43.53 15961 =11.1451 15967 =7.2281 15977 =13.1229 15979 =19-29.29 15983 =11.1453 15989 =59-271 i5997=i7-94i 16003 =13-1231 16009 =7.2287  324 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST- 10013 =6.7.239 16019 =83.193 16021 =37-433 16027 =11.31.47 16031 =17.23 41 16037 =7.20.79 16039 =43-373 16043 =61.263 16049 =11-1459 16051 =7.-293 16079 =7.2297 16081 =13.1237 16093 =7.11.11.19 16099 —17«947 16109 —89.181 16117 =71-227 16121 =7.7 7.47 16123 —23.701 16129 —127.127 16153 _t13.17.73 16147 —67.241 16151 "31 521 16153-29.557 16157 =107.151 16159 =11.13.113 16163 =7 2309 16169 - 19.23.37 16171 =103 157 16177 =7 23II 16:81 =11 1471 16199 =97 167 16201 =17 953 16207 =19 Ba» 16211 -_13.29 43 16213 -31523 16219 =7-7-3:H 16237 —13.1149 16241 =109.149 16243 =37 439 16247 = 7.11.211 16259 -71.229 16261 =7.23 101 16271 =53-3o7 16277 =41397 16279 =73-223 16283 =19.857 16289=7.13-179 16291 =11.1481 16297 =43-379 16303 -7-I7-I37 18307 =23.709 16309 =47-347 16313 =11-1483 16321 =19.859 16327 =29.563 16331 =7.2333 16337 =17-31-31 16343 —59-277 16351 —83.197 16357=11-1487 16367=13.1259 16373 =7-2339 16379 =11-1489 16387 —7.2341 16391 =37-443 IÈ393 =i3.i3-97 16397 =19-863 16399 =23-23.31 16403 =47-349 16409 =61.269 16423 =11.1493 16429 =7 2347 16459 —17 967 16441 =41.401 16457=7 2351. 16459 =109.151 16463 =101.163 16469 =43.383 16471 =7.13.181 16483 =53-3ii 16489 =11.1499 16499 =7 -*357 16.501 =29.569 16507 =17.971 16511 =11.19.79 l65i3 -7-7-337 16517 =83.199 16523 =13.31.41 l655i =61 271 16537 =23 719 10541 =7.17.139 16543 =71 233 16549 =13.19-67 16559 =29-571 10571 =73.227 1Ó577 =11.11.137 J6579 £59 281 16383 —7.23.103 16589 553-313 !659i -47-353 ï6ó97 -7-2371 16601 =13.1277 16609 =17.977 16613=37 449 16621 =11.1511 16627 —13.1279 16637 —.127.131 16639 -7-2377 16643 —11.17.89 16663 —19.877 16667 =7.2381 16669 =79.211 16679 =13-1283 16681 =7.2383 16687 =11 37.41 16697 =59283 16709 =7 7.11 $1 f6711 =17983 16717 =73 229 16721 -23.727 16723 -7 2389 16727 =43.389 16733 =29.577 16739 =19.881 16751 =7-239* 16753 =11.1523 16757 =13 1289 16769 =41.409 16771 =3i.54i 16777 =19 003 16781 =97.173 16783 =13.1291 167E9 =103.163 16793 =7-2399 ■ 16799=107.157 IöuOI =53.317 16807 =7.7.7.7.7 168 13 =-7.2343 16817 =67.251 160I9 =11.11. I39 16837 =113.149 1684I =11.1531 16847=17.991 16849 =7.29.83 16«53 =19.887 16859 =23-733 l686l =15.1297 I6867 =101.167 16873 =47-559 16877 =7-2411 1689I —7.19.127 16897 =6l.277 16907 =11.29.53 169C9 =37-457 16919  II, B. I. H. XVL L. Taf. der onév. deelb. Qetall. 325 1C910 =7.2417 169.33 _M- 59 16939 =131303 16949 = 17.997 16951 =11.23.67 J6957 =31.547 16961 =7.2423 16967 =19 19.47 16960 =7! 239 16973 =11.1543 16991 =13 1307 16997 =23 739 16999 =89.191 17003 =7.7.347 17009 =73.233 17017 -7.11.13.17 17023 =29.587 17039 ~n.i549 17051 =17.17-59 17057=37.461 17059 =7 2437 17063 =113.151 17009 =13.13.101 17071 =43.397 17081 =19 29.31 17083 =11.1553 17087 —7.2441 17089 =23 743 17101 =7.7.349 17 ui =71.241 I7H3 =109157 17"9 =1719 53 17129 =7.2447 17131 =37-463 17141 =61.281 17143 =7 31-79 17147 =13-1319 1.-149 =11-1559 17153 =17-1009 17161 =131-131 17171 =7.11-223 I7I73 =13-1321 I7J77 =89.193 I7!79=4i4i9 17197 =29.593 17201 =103.167 17213 =7-2459 17219=67.257 17221 =17.1013 17227=7.23-107 17233 -19.907 17557 =P7-i8i 17561 =17-1033 17563 =7.13.193 17567=11.1597 17587 -43.409 17591 _7.7.359 17593 -73 241 17603 =29.607 17611 =-ii.i6oi I7617 -_-v.223 17621 =67.263 17629 —17 i~.6i 176.3.3 =7.11.229 17639' = 31-569 17641 =13 23 59 17647 =7.2521 17651 =19 929 1/653 =127.139 17C63 =17.1039 1.-671 =4i.43i 17677 =11.1607 17687 =23.769 17C89 =7.7.19.19 17693 =i.3-i <6i 17699 =11.1609 i77oi =31 571 17711 =89.199 17717 =7-2531 17719 =13-29.47 1772.3 =37 479 17731 =7 17-149 i774i =H3 157 17743 =11-1613 17753 =4i-433 17759 =7-43-59 1-767 =109.163 17771 =13.1367 17773 =7-2539 17777=29.613 .. 17779 =23.773 l7797=l3-37.37 17801 =7.2543 17803=19.937 17809 =11.1619 17813 =47-379 ^ 17319 =103.173 17821 =71-251 17831 =11.1621 17833 =17-1049 17S43 =72549 17849=13.1373 17857 I7237=li-I567 17243 =43 401 !7249 ~A7-367 17251 =13 1327 17261 =41.421 17263 =61 283 17267 =31.557 17269=7.2467 17273 =23.751 17279 =37-467 17281 =11 1571 17287 =59.293 17297 =7-7.353 17503 =11.11.11.13 17309 =19.911 I73i 1 =7-2473 17323 =17.1019 17329=I3.31.43 17339=7.2477 17347 =11.19-83 17353 =7.37.67 17357 =17.1021 17363 =97 179 1-369 =111579 17371 =29-599 17381 =7-13 191 17399 =127-137 174C7 =13-13-1^3 17411=23.757 17413 =11-1583 17423 =7-i9-I3i 17429 =29 601 17437 =7-47.5.3 17441 =107.163 17447=73-239 17453 =31-563 17459 =13-17-79 17461 =19-919 17473 =101 173 i7479 =7.ll-227 17501 =11.37.43 17503 =23-761 17507 =7.41.61 17513=83.211 I752I =7.2503 17527-I7-I03I 17531 =47.373 17533 =89.197 I7537—I3.19-71 17543 =53-331 17549 =7-23-109 ¥ 3  &t GRONDflEG. der CIJFFSRKUNST. i?3ö7 -7 255i 17861 =53 337 17867 -17.1051 17869 —107.167 17873 =61.293 17879 =19.941 17887-31.577 17893 =29.617 17897 —11.1627 17899 =7.2557 1-7917 =19.23.41 17927 =7.i3-i97 17933 =79-227 17941 =7.11 233 17947=131-137 17951 =29.619 17953 =13-1381 17963 =11.23.7! 17969 =7-i7'I5T17983 =7.7.367 17993 =19-947 17999 =4i.439 18001 =47-383 18007 =11.1637 18011 =7.31.83 18017=43.419 18019 —37 487 18023 =67.269 18029 —ii.ii.149, 18031 =13-19-73 18037 =17.1061 18053 =7—579 18067 —7-29.89 18071 =17.1063 18073 =11 31.53 18079 =101.179 18083 =I3-i».io7 1.091 =79.229 18101 =23-787 18103 =43-421 18107 =19.953 18109 =7.13 199 18113 =59 307 18137=7-2591 18139 =n.i7.97 18151 =;7.2593 18157=67-271 18161 =11.13.127 18163=41-443 18167 =37-49.1 I8I73 —17-1069 18179 =7.7-7-53 18187 =13 1399 18193=7-23-113 18197=31 587 18203 =109.167 18209 =131.139 18221 =7.19.137 18227 =11.1657 18239 =13 23.61 18241 =i7.29-37 18247=71-257 18259=19.31 31 18263 =7.2609 18271 =11.11.151 18281 =101.181 18283 =47.339 18293 =11.1663 18299 =29.631 18317 =13.1409 18319 =7.2617 18323 =73-251 18331 =23 797 18337 —11-1667 18343 =13-17.83 18547=7-2621 58549 =59-311 18359 =11-1669 18361 =7.43 61 18373 =i9-967 1S377 =17.23.47 18383 =31-593 I8389 =7.37 71 18391 =53-347 18403 =7.11.239 18407=79 233 18409 =41.449 18419 =113.163 18421 =13.13.lor 18431 =7.2633 18437 =103.179 18449 =19 971 18463 =37-499 18467 =59.313 18469 =11.23.73 18473 -7-7 13.29 18479=17.1087 18487=7.19.139 18491 =11.41.41 iS497=53.349 1S499 =13.1423 18509 =83.223 18511 =107.173 1S527 =97-19! 18529 =7.2647 18533 =43.43! 18547=17-1091 18551 =13-1427 13.557 =7.11-241 18559 =67.277; 18563 —19 977 18569 -31-599 18571 —7-7.379 I3577=i3.i429 13581 =17.1093 18589 =29.641 18599 =7.2657 18601 =11.19.89 18607=23.809 18611 =37.503 18613 =7-^659 18619 =43-433 18623 =11.1693 18629 =13 1433 18631 =31.601 18641 =7.2663 18643 = 103.181 18647 =29.643 18649 =17 i°97 18653 =23811 18659 =47-397 18Ó67 =11.1697 18673 =7-I.at>| 18677 =19 983 18683 =7-17.157 18689 =11 1699 18697 =7.2671 18703 =59-317 18707—13-1489 18709 —53.353 18721 --97.193 ïijif =61.307 18-33 -11.13.131 18-37=41457 18759 =7-2677 18751 =17-1103 18761 =73-257 18763 =29.647 18767 =7 7.383 18769 =137137 18779 =89.211 18781 =7-2683 18791  I.B. II. H. XVL L.Tafi der onév. deelk Gctatt. 327 18701 = 19-23.43 18799 =11.1709 18009 =7.2687 18811 =13 1447 18817 —31.607 18821 _ 11.29 59 18823 "7.2689 18827 =67-281 18829 =19.991 18833 --37 509 18841 =83. fe7 18847 =47-401 18851 =7.2693 18853 =17 1109 18857 —109.173 18863 —13 I451 18871 =113 167 18877 =43.439 18881 =79 239 18883 =25.821 18887 = 11.17.10I 18889 —13-1453 18893 =7 2699 18901 =41.461 18907 =7.37-73 18923 =127.149 18929 =23.823 18931 -=11.1721 18937 =29.653 18941 =13-31 • 4 18943 =i9.997 18949 =7.2707 ' 18953 -II.173.3 18961 =67 283 18967 -13.1459 18971 =61.311 18977 =7-2711 18983 =41.463 1.989 —17.1117 18991 =7.2713 18997 —11.ii.i57 19003 =31.613 19007 =83.229 19019 —7.11.13-19 19031 =23.827 39027 —53-359 15033 —7-2719 19039 =79-241 19043 —137.139 19049—43.443 I9057=i7.i9-S9 19061 =7 7-389 19063 =ii-i733 19067 =23.829 19091 =17.1123 19093 =61.313 19097 =13.1.5 113 19099 _7i 269 19103 =7.2729 19109 -97 197 19111 =29 659 19117 -7.2731 19123 —13.1471 19127 —31.617 19129 =11.37.47 19133 =19.19.53 19147 =4i'467 19151 =11.1741 19153 =io7ri79 i9r59 =7.7.i7-23 19169 _-.29.661 19171 --19.1009 19177 _-.127.15i 19187 =7.2741 19189 —31.619 i9'93 ZI7-H29 I9!99 =73-263 19201 =7.13.211 19217 =n 1747 19223 =47-409 19229 =7.41 67 19241 =71.271 19243 =7 2749 19247 =19.1013 19253 =13-1481 19261 =11.17.103 19271 =7 2753 19277 =37.521 I9279 =I3-H83 19283 —II.1753 19291 —101.191 I9297 =23 839 19303 =97-199 19307 =43.449I93I3 =7-3l-39 19321 =139 139 19327 =7.11.251 19331 —13.1487 19337 _6l-3i7 19339 —83 233 19343 -23.29 29 19349 =n.i759 X 4 I935I =37-523 19357 =13-1489 19361 =19.1019 19363 =17.17.67 193(17 —107.181 19369 =7.2767 19393 =ii.4i.43 19397 '-7-I7-163 19399 =19.1021 19409 =13.1493 19411 -7-47.59 19439 -7-777 19451 —53 367 19453 _7-7-397 19459 - ii.29.61 19481 =7.11.11.2 19487 =13.1499 19493 =101.193 19499= !7-3i 37 195H =109-179 19513 =13-19 79 19517-29.673 19519 =i3i-i49 19523 =7.*789 19529 =59-331 19537 =7-2791 19547 =11.1777 19549 =i'-3.!73 19561 =31.631 I95Ó7=I7.II5I 19573 =23-23 37 19579 =7-797 19589 =i9-i°3I 19591 =n.i3.i.7 J9601 =17.1153 19607 =7.2801 19613 =11.1783 19619=23.853 19621 =7.2803 . 19627 =19.1033 19631 =67.293 19633 =29.677 19637 —73.269 19639 -41-479 19643 —13-1511 19649 -7-7 40I 19651 —43 -457 19657 -11.17S7 19663 -7-53-53 19667 =71.277 19669  S$3 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST, 1966a —13.17.89 19673 -103.191 19679 —11.1789 19691 —7.29.97 !9693 -47-4I9 19703 —17.19.61 19711 -23-857 19721-13 37 4Ï 19723 —11.11.163 19729 -109.181 19733 =7-2819 19741 -19.1039 19747 =7-7-13-3? 19757 f.23.859 19769 -53-373 ?977i -17.1163 19781 -131 151 19733 -73.271 19787-47.421 J9789 -7- n-257 19799=13.1523 19807 —29 683 19811 —11.1801 19817 =7 19.149 19323 -43.461 19829 =79-251 19831 -7 2833 19837-83239 19847 =89.223 19849 =23 863 19859 -7 2857 19871 =31.641 19873 =7-17167 19877=11.13.159 19879 —103.193 I9883 -.59.537 19897 =101.197 19901 —7 2843 19903 —13.1531 19907 —17.1171 19909 =43.463 19921 —11.1811 19931 —19.1049 19933 -31-643 '. 19939 =127.157 19943 —7-7.ll 37 19951 =71 281 ■ 19957=7.2851 19967 =41.487 19969 —19.1051 19981=13.29.53 19987=11.23.79 19999 =7.2857 20003 —.83.241 20009 =11.17.107 20017 =37-541 20027 =7.2861 20033 =13.23.67 20039 =29.691 20041 -7.7,409 20053 =11.1823 20057 =31.647 20059 =13.1543 20069 =7 47 61 20077 =17.1181 20081 =43 467 20083 =7-19 151 20087 =53-379 20093 =71 283 20099 —101.199 20111 =7.13.13.17 20119 =11.31.59 20131 =41.491 20137 =13.1549 20141 =11.1831 20153 =7.2879 20159 —19.1061 20167 =7.43.67 20171 =23.877 20179 =17.1187 20189 =13.1553 20191 =61.331 20197 =19.1063 20203 — 89.227 20207 -11.11.167 20209 =7.2887 20213 =17.29 41 20221 =73.277 20227 =113.179 20237 =7.7.7 59 E0239 =37.547 20243 =31.653 20251 =7.11 263 20257 =47-431 20263 =23.881 20267=13.1559 20273 =11.19 97 20279=7.2897 20281 =17.1193 20291 =103.197 20293 =7.13.223 20299 -53.383 £0303 =79-257 20309 =23883 20311 =19.1069 20317 =11-1847 20321 =7.2903 20329 =29.701 20339 =11.43 43 20351 =47-433 20363 =7.2909 20371 =13-1567 20377 =7.4i-7i 20381 --89 229 20333 =11.17.109 20387=19.29.37 20401 =23.887 20413 =137.149 20417 =17.1201 £0419 =7.2917 20423 -13,1571 20429 = 3i 659 20437 =107.191 20447 =7.23.127 2-449 ~11.11.13.13 20453 —113.1ÜI £0459 =41-499 £0461 - 7.37.79 204Ó7 =97.£1 1 2047: —H.186I 20473 r.59'347 20489 -7.2937 20491 _ 31.661 20497 —103.199 2C501 =13.19 83 — 5°3 =7.29.101 2C5I3 =73-281 20519 =17-17-71 2C527=I3.I579 • 20531 =7.7.419 20537 -.11.1867 20539 =19 23-47 20557=61.337 20561 =29.709 20567=131.157 20569 =67.307 20573 =7-2939 20579=13.1583 20581 =11 1871 20587 =7.17.173 20591 =59 349 20597 =43-479 20603 =11.1873 2c6o  II B.LH,XVI.L.Taf.deronêv.deelb. Gttall 329 20609 =37 557 00617 ~53-3«9 20621 r_.1r.1213 20-23 =41.503 Ï.-629 ~7.7.421 20633 =47-439 S064? —»-l8?7 20651 —107.193 20653 -i9-10l!7 2ort57 _=7-i3-227 00659=73-283 20669 —li.1879 20671 —7 2953 20677 -23-29-3I 20683 _I3.37.4S 20687 zzm.151 20689 =17.1217 20699 =7 2957 20701 =127.163 20711 =139-149 20713 =7.11.269 20723 =17.23.53 10729 =19.1091 20737 =89.233 20741 =7.2963 20761 =is.i597 20767 =19.1093 20777 =79.263 20779 =11.1889 20783 =7.2969 20791 =17.1223 20797 —7-2971 20801 =11.31.61 20803 =71-293 20813 =13.1601 20819 =109.191 20821 =47.443 20827 -59-353 20831 =37 563 20833 -83.251 20837 =67-311 20839 —7.13-229 20843 =I9-1097 20851 =29.719 20861 —23 907 20863 —31.673 20867 —7.11 271 20869 —41-509 20381 —7.19.157 20891 —13.1607 30393 =17 1229 21229 =13-23 71 21233 =17-1249 21239 =67 317 21241 =11.1931 i 21251 =79-269 21253 =53.401 21257 =29.733 21259 =7 3037 21263 =ii-I933 1 21271 =89.239 21281 =13.1637 21287 =7.3^41 21289 =61 349 21293 =107.199 21299 =19 19.59 21301 =717 179 31307 =11.13.149 21311 ='101.211 21329 =7-11277 21331 =83 257 21337 =19.1123 21343 =7-3°49 21549 =37-577 21353 -113.209 21359 -13-31 53 21561 =41.521 21367 =23 929 2i37l,=7-43-7l 21373 =1129.67 21389 =73.293 21403 =I7.!259 21409 =79.271 21413 =7-7-I9-23 21421 =31.691 21427 =7.3061 12431 =29.739 21437 =13.17 97 21439 =11.1949 21443 -41-52$ 21449 =89 241 21451 =19.1129 21457 =43-499 21461 =H.195I 21463 =13.1651 21469 =7.3067 21473 =109.197 21479 =47-457 21497 =7.37-83 21509=137.157 21511 -7.7.439 21527 =11.19.103 21553 —61.353 VU 20909 =7.29.103 20911 =11.1901 20917 =13.1609 20923 =7 7-7-6i 20927 =17.1231 20933 ~ii.ii.i73 20941 —43.487 20951 —7.41-73 00953 —23 911 20957 =i9.n°3 20969 =15 1613 20971 =67-313 20977 =ii.i907 20987 =31.677 20989 =159-151 20993 =7-2599 20999 =11.23.83 21007 =7.3001 21029 =17 1237 21037 =109.193 -.1041 =53-397 21043 =11-1913 21047 =I3'IÖI9 ' 21049 =7-31-97 21053 =37.569 21071 =19.1109 21073 =I3IÖ2I 2;«77 =70011 21079 =107.197 21083 =29.727 21091 =7.23.1 31 21097 =17 17.73 21103 =47-449 21109 =11-19.101 21113 =43 491 21119 =7.7.431 21127 =37-57i 21131 =11.17.113 2H33 =7-30i9 21137=23-919 21151 —13-1627 21161 =7.3023 21167 —61 347 21173 =31.683 211Ï1 —59.359 21197 —11.41.47 21199 =17.29.43 21203 =7.13 233 21209 =127.167 21217 =7-7.433 21223 =i9-ui7 v -  330 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. VII Hoe deefe Tafels berékend zijn. § 409. In deefe Tafels der fa&ors van de deelbaare getallen, zijn alle twee, drie en vijfvouden weggelaaten, en daar door zal elk deelbaar getal in deefe tafel voorkomende, door 6 gedeeld zijnde, 1 tot 5 in de deeling overlaaten. Die kunnen wij den leefer gemaklijk doen begrijpen: want elk tweevoudig of éven getal, zal door6 gedeeld zijnde, o, _ of 4 in de deeïing overlaaten; elk drievoudig getal o of 3; elk vijfvoudig getal j, 3 of 5- Met een weinig overweeging van de natuur der twee, drie en vijfvoudige getallen zal men zich van deefe waarheid nader kunnen overtuigen en naardien alle getallen ten opzichte van de deelbaarheid door 6 tot een van deefe zes uitdrukkingen 6a, 6a + i, 6a+n, 6^+3, 6-24-4, 6^ + 5, behooren, is men volkomen zéker, dat alle deelbaare getallen in de tafel voorkomende door 6 gedeeld zijnde 1 of 5 in de deeling overlaaten. § 410 Uit dit gezegde is nu duidelijk genoeg te zien. dat de deelbaare getallen in de Tafel met alle de ondeelbaare getallen dezelfde eigenfchap gemeen hebben, zo dat 'er buiten de ondeelbaare en deelbaare getallen, in de Tafels, geene andere van die natuur te vinden zijn, § 411 Als men dan alle de getallen, in de natuurlijke reeks der getallen voorkomende, die door 6 gedeeld zijnde 1 of 5 overlaaten, in order opfielt, heeft men, zonder één te misfen, alle de getallen in  27. Boek. I. Hoofd. XVI. Les. BeréL der Tafels. 331 in beide Tafels vervat, ondeelbaare en deelbaare door elkander. § 412 De eerfte flap die men dus toe de beré» kening der ondeelbaare en deelbaare getallen doen moet, is de reeks van alle getallen te berékenen, die door 6 gedeeld zijnde 1 of 5 in de deeling overlaaten. Alle deefe getallen zijn in dc formule 6A + 1 of—I, opgefloten, en men zal ze alle vinden door aan A, ia de iörmule 6 A+ 1 of- 1, bij vervolg de waarde van 1, 2, 3,4 enz. te geeven en in elke ftellingde grootheid van 6 A-t-i of — r,die naar het dubbelde téken twee waarden heeft, te berékenen ; doch aangezien dit werk te langwijlig zou u-orden, flaat men eenen anderen weg in: namelijk , men befpeurt uit den voordgang, dat de ge tallen der reeks beurtelings met _ en 4 opklimmen, als men dit nu onder het oog houdt, zal raen door de geduurige beurtelmgfe bijteliing deefer getallen met weinig veiiaoeijing de volgende termen der reeks vinden. Gelijk men hier vinden kan. 5,7,11,13*17» i9.23>25,-9,3i>35>37'enz' _. 4242424-4-4 7, n,i3.i7> i9>23'25.29> 31.35. 37>4l*enZ' In welke reeks nog vijfvouden gevonden worden , die men alle moet doorhaalen , om alleen die getallen in de reeks over te houden, die ter toetie gebragt moeten wotden. Als men de vijfvouden in het opfeilen van de reeks vermijden wil, moet men beunliogs ia order de getallen 2. 4. 2. 4- 6- 4- 6,''zijnde agt in getal, bij d« voorige termen optellen, en ais men bij  332 GRONDBEG. der. CIJFFERKÜNST. bij het laatile gekomen is, met het voorfte op nieuw beginnen. § 413. Maar het geen aan het berekenen van deefe reeks een bijzonder gemak aanbrengt, is, dat men dezelve alleen maar tot 300 behoeft voord te zetten, om zonder eenige bijtelling of andere berékening, de termen der reeks zo verre uit te fchrijven, als men verkiest: te weeten, de honder. den der getallen aan een zijde gelleld, keeren voor elke drie honderd getallen, in de twee agterfte cijffers de zelfde rang van getallen te rug. (a) Men kan dit in de colomraen A. en B. op de uitge. werkte fchets zien, tégen over pag. 334. waar in de colommen A en B, bij herhaaling de zelfde getallen alleen met verandering van de honderden hebben. Ook keert in de agterfte plaats voor elke agt termen deefe order van cijffers geduurig te rug .1,7, (a) De Heer Marci fpreekt in zijn voorbericht pag. \Q cn 17 , zeer duister, en in de daad modo pro Ignoth enigmatic», over de vinding der eti-fte getallen, hij heeft dezelfde leenvijfe gebruikt, die ik. boven verklaar; maar zijne verklaring is zo ingewikkeld , dat men hem , niets van de zaak wectende, op het eerfte leefen niet moeite verftaat en een min gevorderde hem in het geheel niet begrijpt. Daarom heb ik van deefe gelegenheid gebruik gemaakt, om zijne leerwijfe, zo niet te verbéteren, ten minften op tc helderen ; en nog meer b.n ik daar toe gangefpoord geworden, dewijl deefe leerwijfe in de daad z,eer jjefchikt en tot nog toe de beste is, die bij mogelijk, heid kan aitgedagt worden, om de factors der deelbaare ge. tallen te bepaalen , al waare het ook, dat men immer éénen régel vonde , oinde ondeelbaare getallen opeens gefchikte vyijs teberékenen. Ook vertrouw ik dat de leefer uit verlijking van mijne leerwijfe, met die, welke in de Vsrhan. deling over ae wijfe van vinding der eerfte of frim getal* len voor da tafelet! van Maici geplaatst, zal moeten erkennen', dat mijne berékening , fchoon op het zelfde beginfd berustende, min onoflagtig is, en dus veele vergeeffche berekeningen van getallin uitwint.  ÏL BoekI. Hoofd. XVL Les. Berèk. derTafels 333 'ei-te i, 3» 7i 9» 3» 9* 0ok woiden *er ins gedriehonderd , tagtig termen der bewuste reek vonden. § 414. Deefe reeks, die men gevoeglijk 'de hoofd-reeks der berekening noemen kan, eens berékend, en tot de hoeveelheid, tot welke men de tafels der ondeelbaare getallen uitftrekken wil. voordgezet zijnde , heeft men alle de deelbaare en ondeelbaare getallen bij één , en de groote vraag komt hier op uit: Koe zullen nu de deelbaare en ondeelbaare getallen van elkander gefcheiden worden? Men begrijpt ligtelijk als men door eene gerégelde berékening, alle de deelbaare getallen der hoofd-reeks vinden kan, de ondeelbaare door uitfluiting bekend zullen worden. Men kan de deelbaare getallen benévens derzelver deelers op deefe wijfe vinden. Stel dat de deelbaare en ondeelbaare getallen van 1 tot 1200 berékend worden : dan fchrijft men eerst alle de termen der hoofdreeks van 1 tot 1200 in order op -~ deefe zijn, voor el He driehonderd, tagtig getallen, en dus vier maal tagtig, of driehonderd en twintig getal, len, die in de fchets der berékening in de colommen A. en B. gevonden worden. Nu deelt men de 1100 door 7 komt 171 , daar na moet men de termen der hcufd-reeks van 7 tot 171 [ingeflooten met 7 verménigvuldigen , het eerfte deefer producten is 49, hier uit weet men dus, dat alle de termen der reeks van 1 toe 49 ondeelbaare getallen zijn \ Ali men nu verder de vierkantswortel uit l_oo trekt heeft men 35 ; dit getal dient als een terminus ad quem, waar uit blijkt hoe men de tafels C, in het tweede gedeelte van de fchets te vinden, berékenen moet. Ingevolge van  334 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. van deefe bepaaling, moet men 1200, door de ondeelbaare getallen n, 13, 17, 19, 23, 29, gi deelen, en zoo veele tafels C opfeilen, met ellc deefer ondeelbaare getallen beginnende, en eindigende met de overéénkomftige quotiënten, door deefe declingen gevonden; als men dan alle de termen deefer opgefelde reekfen met het getal waarméde die reeks begint, verménigvuldigt, zullen de komende producten deelbaare getallen zijn, die, gelijk flraks betoogd zal worden, in de colommen A. en B. te vinden zijn. Alle deefe multiplicatien deugdelijk uitgewerkt hebbende, moe. ten de producten in de colommen A en B opgezogt en nevens elk getal de factors, die uit de multiplicatie van zeiven blijken, aangetëkend worden: — dit gedaan hebbende, zonder eenig product over te flaan, zijn alle dc- overblijvende getallen in de eolommen A en B, door uitflühmg der deelbaare bepaald, alle de ondeelbaare getallen die van i tot 1200 gevonden worden. VIII. Betoog van deefe Leerwijfe § 415 Om vooreen meergevorderde den grond van onfe Leerwijfe te ontvouwen, moeten wij be. toogen, dat alle de producten in de colommen C. te vinden, ook in de colom A. en B. gevonden worden. Want aangezien elke term in de Hoofdreeks door 6* gedeeld zijnde 1 of 5 in de deeling overlaat, hebben in de producten alleen deefe vorm van getallen plaats. i° (6 A + O x (6 A + i) 20 (6 A 4- i) x (6 A + 5) 3° (JS A + 5) X (<5 A -}- S) wel-  Tégen over pag. 334 schets van de berékening der ondeelbaare getallen benévens de deelers der deelbaare getallen, die geen veelvoud van 2a 3 of 5 zijn van 1 tot 1200. a t> r C C. C. C. C. C. C. G . |f-M3 if sr**1 'g— -f-j Tfs "^"q.ii « ■* a r5 S ïr7"23 S | / 1 »,7 I »Tr *yj7* *=5i »p% ihil ^Ri ij ^3 S Ir13-13 sirss :U% te ^ M : 1™ * 11 ^fe ^pS t1 lil9, !**[§: 3 ?* t^r JS_ s • ' - : ^ ^r~% ^5 ^ ^ 1t ^ 5 4 f? | Sr11-1' |.l-s; !'£; ^ 8fr". r ^ IS 13 "-I'S ^ jP 13' j - ^ J rZP 53 203.-.7^9 35» 5°3 u,5 hop 959=7-137 \ ^ »^ ^ S3 mS|«*3 45* r '. «" 59 7\ ' 6s3 c3.-.-7.7.17 933 ^-^J i ^Tt1, -- *—r';;ï 7^ .127 ■■ - 023 40 833 ^hm 3i 901 83 *33 I 3|| j 0t 689,. i3 53 ,^ ,. ^:-^i:.3 • 1CM'J7 4 ~- 'J \ U «| 33 6 i£6 89 3?S ' 'rrr^ '— cm— !8«,-.•-• 29*29 . ps,ï 'KC« 1—''^ «-^i;^ r^-Ti TT'^i T.^ T^ 'Y-o ^ "901 1T59 "37 "*7 1 |:::: praM? isi^ ï ^ f ^ 25 3% 3i31 n sfe i ï=- fc« ir,ws s=S3,, s.„.j^ :i:--'Y t ïfi * i;^ ":s i.ï 2b 51? 5 5 57 "w *— S-: s~ s#^s;:.w, sfë rifs S- "i- ij 'ü3 3«|s ito 17.17 439 fof 9 743 ir.3'5'-19.47 :i0«-7-149 \»?3 \ jX% 6\j* 4'_44 ^1*4 ^Li» ^7 , ^ll-i6 ^ Jjfi 4Ltl.I3 «S»3 I599 i749=:7.W? '89» 4-3* :io« \»99^u.l09 li ^Ï-J ^- ,37 77*347 37 481 17^89 *31 437 43989 n .. j tu.,hl+llraeari waar méde de csNüen dsr Hoofd-reeks, aan de linkefeand ftaande, verménigvuldigd . ,w die met een fterretie (*) getékend zijn, en boven aan de Colommen ftaan ^f^^f^^*^ aangezien % getallen der Hoofd-reeks met 2,4,*,4. 6. 4 en 6 (Zie J4i»)   II. Boek I. Hoofd. XVI. Les. Berêk. der Tafels. 335 welke uitdrukkingen ontwikkeld zijnde . geeven i« 3f5 AA + 6 A+ 6 A + 1 a9 36 AA -f- 6 A + 30 A + 5 3° 36 AA + 30 A + 30 A + 25 de eerfte en derde van deeie producten zijn een veelvoud van 6 plus 1, en het tweede een veelvoud van 6 plus 5, welke producten derhalven, tot de vorm 6 A+ 1 of — 1 behoorende, in de hoofd-reeks, die alle moogelijke getallen van die natuur bevat, moeten te vinden zijn. Buiten deefe producten zijn er geene andere , die te gelijk termen eer hoofd-reeks zijn ; want a'.le getallen , die bij mogelijkheid uit te denken zijn, behooren tot één van deefe Helkundige uitdrukkingen. 6A,6A + i,6A+2, 6A+3, 6A + 4,6A + 5. en de mogelijke produclen die uit de zamenvoeging van deefe getallen ontftaan kunnen, zijn I 6AxC6A+i),6Axrr5A+a),6A'6A+-^), 6A(6 A + 4), 6AfóA + 5 ) II (6A + i)x f 6 A-fa), 6A+DX 6A + 3) C6A+Ox(6A + 45 (6A+1 )x , 6A-M) III(6A + a)x(6A + 3),f 6A + a)x '6A+4) (6A+2) x (6A+5) IV(6A + 3)xf6A + 4).C6'A+3>x (6A+5) V (6A+4JX (6A + 5) Waar van die , welke in de eerfte rij ftaan, door 6 deelbaar zijn; die in de tweede rij ftaan door 6 gedeeld, %, 3, 4 en 5 , over laaten \ die in  j36 GRONDBEG."dïr CIJFFERKUNST. in de derde o, 2 en 4, die in de vierde o en 3 en in de laatfte 2 overlaaten zo dat hier uit genoeg de waarheid blijkt, van het geen wij boven gefteld hebben. Uit de fchikking der getallen van de reeks, boven opgegeeven, loopt daar en boven duidelijk in het oog, dat men zonder te misfen,alle de produclen uit de zamenvoeging der termen vinden moet, zo dat men alle deeie gevondene producten in de colommen A en B opgezogt en nevens dezelve met het téken gelijk, de factors opgotékerd hebbende, alle de deelbaare getallen zal getroffen hebben , en dus bij uicfluitirg alle de ondeelbaare getallen te voorfchijn zullen komen, waar in niemand tot hier toe eenige gerégelde order heeft kunnen befpeuren , door welke men d diretlo de reeks deefer in de daad wonderbaare gerallen naar welgevallen kan voordzetten. XVII Lej. Over de oplosflng van drie gewig. tige Problema's aangaande de Getallen. 5 410-. In de voorgaande Les, is breedvoerig genoe» over de eigenfehappen der getallen met opzicht tot de deelbaarheid, gefproken, om nu te kunnen overgaan tot de verklaaring en oplosfiny van die gewigtige Problema's, die men weinig en nog minder geheel vollédig bij de fchriivers behandeld vindt, doch die évenwei van zulk een  11.BI. H. XVIL Les, Over het vind. dér Deelers. 337* een uirgeftrekt gebruik in de gemeene en verhevener rékenkunde zijn , dac men derzelver voiléiige befchoawing den leerling niet mag onthouden, zon^ der hem in den loop zijner ftüdien aan verdrietelijke moeijelijkheden, bloot te ftellen.- Deefe Problema's dja. l 0 AHe de deelers van een deelbaar getal door eene ge'égelc'e werking zonder rr.istas. ting te vinden. s° Um de gemeene deelers der getallen te onderzoeken en 30 Om de gemeene veelvouden van eenige gegeevene getallen te oepaalen. A Hoe de Deelers van de deelbaare getallen gevonden werden» § 4'7. Men onderfcheidt de deelers van eeri deelbaar getal in eenvoudige en zamengeflelde. Eenvoudige of ondeelbaare deelers zijn ondeelbaare getallen; zo zijn 3, 5 en 7 eenvoudige deelers van 105. Zamengeflelde of deelbaare deelers zijn, die uit de onderlinge verménigvuldiging van twee of meer eenvoudige deelers gebooren wordenj zo zijn 155:5x3, 35=7x5, 21 ZzzX7 de zamengeftelde deelers van 105, § 418. De deelers van een deelbaar getal te vinden beftaat, in h-?t naarfpeuren van alle de deelers, beide eenvoudige en zamengeftelele ; men moet derhalven twee zaakenin deefe bewerking onder het oog houden. i° Moet men de eenvoudige of ondeelbaare deelers weeten te bepaalen, Dit noemt men: het getal in zijn eenvoudige deelers te ontlédigen. 20 En deefe gevonden zijnde, moet men een' zékeren en onfeilbaaren régel vastftellen, om alle Z de  338 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. de zamengeflelde deelers, uit de verménigvuldiging der eenvoudige deelers met elkander ontfhande, door gefchikte werking te vinden. I. Hoe een getal in deszelfs eenvoudige deelers ontlédigd wordt. % 419. Om aan det eerfte gedeelte der vraag te voldoen , moet men door beproeving nagaan.. welke de eenvoudige deelers van een gegeeven getal kunnen zijn; en om in dit onderzoek wel te flaagen, moet men een tafël der ondeelbaare getallen voor zich hebben, om met behulp van dezelve na te gaan, door welke ondeelbaare getallen het gegeevene geul kan gedeeld worden. Men vo'gt altijd deefen Ré gel. ,„ Men beproeft, {den rang „ der ondeelbaare getallen 2,3,5,7, i 1, 13, n 1-7. Iü enz. volgende.) door welk ondeelbaar ., getal het gegeevene getal kan gedeeld ■worc.en^ „ ah men dan zulk een getal gevonden heejt, „ moet men het quotiënt nog eens door het zelfde „ getal beproeven (want het gebeurt dikwijls dat „ een deelbaar getal meer dan ééns door eenondeel„ baar gedeeld kan worden; en altijd zo lang „ met het zelfde getal deelen, tot ''er een quotiënt komt, dat door dien deeler niet meer deelbaar „ is, daarna beproeft men met het ondeelbaar „ getal, dat in de rij der ondeelbaare getallen, „ op den voor gaanden deeler onmiddelijk volgt, „ en gaat met de herhaalde beproeving zo lang 3, voord, tot men voer het quotiënt Zelve een on~ „ deelbaar getal verkrijgt. Dan zijn alk de }, desiers en het laast verkreegen quotiënt de „ eenvoudige deelers yan het gefielde deelbaar „ getal.  //. B UI, XVIL Lts Over hst vind. der Deelers-i^ g „ getal- Welke alle , van de eerfte tot de lt „ ingeftooten. met elkander verménigvuldigd zij-t „ de, het gefielde deelbaar getal wee: tevoorjchijn ,, moeten brengen". De Leefer zal die alles in de volgende voorbeelden nader opgehelderd zien. Voor beelden. § 420. De eenvoudige deelers te vinden van 300.0, 1800, 116620, 50688 en 1097712? L II. ÏÏI. 30030 1S00 116620 2) • 2) ■ 2) 15°I5 poo 58310 3) - »> 2) 5005 45o 29155 £ 2) S) ' 1001 225 5831 7) 3y ■ 7)- • 143 75 §33 »)—' 3) ?)—; J3 , 25 119 5;— 7) 5 *7 2* 1V«  34o GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. IV. ' V. so688 1097712 O £)-~— 25344 548856 2) 2) 12672 274428 2)— «0 " 356 I37ai4 2) 2;- 3168 6S607 2) , 3; ■ 1584 22869 ij- ■ 3> 792 7623 2) 3)— 396 2541 2) — 3) 198 847 fl) 7) — 99 «" 3) — 'O—. 33 11 3)— 11 Nn is gevonden, de eenvoudige deelers van 30030—2.3.5.7.11 van 1800—2.2.2.3.3.5.5 van 116620—2.2.5.7.7.7.17 van 50688 — 2.2.2.2.2.2.2. 2.2. 3.3. 11 van 1097712—2.2,2.2.3.3.3 7.11.ii De leefer berékene nog tot verdere oefening de eenvoudige deelers van de volgende deelbaare getallen. _ van  II. B.1.H.XVU. L.Over het vind. der Deelers.^x van "40 komt ~2.2.2.3.5.7 van 1*96 komt "2. 2,2,137 van 67016 komt "2.2.2. 8 ,77 Van 121000 komt — o..2.2. 5.5. n. n van 96192 komt —2 2.2.2.2.2.3.3.167 Van284739632* komt—3.3 3.3.7.7.7,7.ii.rr. Cu. 11 § 421, Alsmenin'de cntlédiging der eenvoudige deelers gebruik maakt van de Tafel pag 308 opgegeeven. zal men veel werk oitwinneO: want ais het geftelcie setal door c, 3 en 5 niet deelbaar is, zal het in de tafel g"vond?n worden ; of door s, 3 of 5 deelbaar zijnde. moet men het zo lang deelen, dat het door geerj deefer getallen meer gedeeld kauworden, en men zal het kast verkregene quotiënt, indien het niet boven de 21500 loopt, in de tafel met de daar toe behoorer.de deelers nevens het zelve vinden aangetékend, of zo dit quotiënt ia de (d) Tafel ondes de deelbaare getallen niet te vinden is, is het een ondeelbaar getal, dat men in de tafel der ondeelbaare getallen zal vinden aangetekend. Als het gebeurt, dat men geen tafel der ondeelbaare getallen bij de hand heeft, (laat 'er tot de ontlédiging geen anderen weg, dan die der geduurige beproeving open; en wanneer het gebeurt <3at men na ménigvuldige en lastige beproeving geen éven ' ( a) Als het gebeurt, dat men van een getal boven de aipco de deelers moet zoeken . zal het best zijn, eerst te beproeven door welk ondeelbaar getal, men zal hunnen deelen en dan zai rren doorgaands bet komende quotiënt in de tafel met de r'aftors van dit quotiënt vinden. Bij voorbeeld de ondselbaare deelers van 143869 zullende zoeken , deelt men door 11, komt 13079 die getal in de tafel opzoekende, vindt men nétens het zelve 11, 29 en. 41. En hier uit befluit men 143869-11X11X29X41. Z3  342 GRONDBEG. der CIJFERKUNST. éven op gaande deeïing gevonden heeft en het komende quotiënt minder h dan het deelende getal., mag men ,geen deelingen overgeflagen en met de uiter^ fte omzichtigheid gewerkt hebbende) feilen, dat het beproefde getal een ondeelbaar getal is, (a) II. Hoe uit de ondeelbaare deelers de zamen» gefielde te vinden zijn. % 422. Het eerfte ftuk van ons problema is nu genoeg verklaard daarom Ipoeden wij ons tflt de hihabdeling van het'tweede; te weeten de beand» Woording van deeie vraag; hoe wo:den uit de eenvoudige deelers van een deelbaar getal de zamenseftelde of deelbaare deelers gevonden? Deefe vraag vloeit natuurlijk voord uit het algei~eene beginfei dat wij $ 48 pag* 275 in de voorgaande Les gefteld heoben, te weeten, dat een getal door twee oi meer ondeelbaare getallen deelbaar zijnde, ook fa) Dit kan niet anders zijn; want gefteld, dat het door een hooger getal kost gedeeld worden, zou hst ouotient een geta! mo?ten ziji:, waar méde men reeds vruchteloos gedeeld.'heeft. Men heeft dus in oeefen weg van beproevingen' zékeren, maarte gelijk lasteen, en als de getallen zeïr groot zijn, onuitvoerlijken régel 01)de deelbaar of ordeelbaarheid van een getal mtegaan. Ook dient hier nog aangemerkt te worden, dat als men door dien wee een getal beproeven moet, alle de ondeelbaare getallen bekend moeten zijn, van 1 af tot het -uaste ondeelbaare gefal, dat op de vierkants-wortel van het geta!, dat beproefd wordt volgt. Om een deekbeeld van het bijna oiHuitvserlijke deefer leerwijfe in groote getallen te geeven, neetue men alleen in ovenveegins, dac men na 304 vergeeffche deelingen vinden zal, dat ha: getal 58S6S17 doei 2003 en 2939 deelbaai is.  17, B I K XVII. L Over het vind. der Deelers. 343 ook deelbaar moet zijn door alle mogelijke producten uic de vermenigvuldiging deefer eerfte getallen ontftaande. De meeste fchrijvers geeven tot oplosüng van deefe vraag éénen régel, die kort en pierlijkis, maar in de berékening, voor hun, die in de leer der Combinatiën niet ervaaren zijn, moeijelijk, om uit te voeren is. Zij zeggen: men moet de eenvoudige deelers twee aan twee, drie en drie, vier aan vier , op alle mogelijke wijfen verménigvuldigen. Wij zullen eenen régel ftellen, die gemaklijk uit te voeren is, en zonder mistasting alle de deelers van een deelbaar getal moet voordbren» £en- I. Voorbeeld. Laat gefteld worden, alle de deelers van het getal 30030 te vinden ? Volgends § 420 blijktlbet, dat de ondeelbaare deelers van 30030 zijn 2, 3, 5, 7, n en 13, zijnde in het geheel (indien men de éénheid méde telt) zéven ondeelbaare deelers. Algemeene RéGEL. Berékening der deel„ Nu fchrijft men de één baare deelers. „ met de 2, de eerfte der A. i. 2 ,, deelers, in een horizon- —■ > • • -• (3 „ taaie rij A, en vermé B. 3. 6 ,, nigvuldigt deefe elk met (5 „ den volgenden deeler 3, q J 5. 10 ,, dan krijgt men twee pro- '\ 15. 30 dutlen 3 en 6 die men - (j „ in een horizontaale rij f 7. 14 „ B,onder de eerfte ftelt'. D.j 2r. 42 s, nu heeft men twee hort- ) 35. 70 ,3 zon taaie rijen, A en B j. 1©$. «10 Z 4 „ wel-  $U GRQNDBEG. der CIJFFERKUNST. „ welker getallen men elk — """O* „ met den volgende, deeler f ij. £2 „ ^vermenigvuldigt, en 1 33. 66 „ twee andere horizont'aa- 55. 110 „ le rijen C, 5 en 10; ^ 1 165. 3Sc* „ en 15, 30 tot product" \ 77. 154 „ verkrijgt. Nu zijn "er j 231. 46a „ vier rijen getallen, die 1 385. 770 multipliceert men elk (.1155 2310 „ met den volgenden dee~ (13 „ Ier 7 en heeft nu vier f 13. .26 j, nieuwe rijenD, te zamen \ 30. 78 „ horizontaale rijen 1 J 6*:. J30 „ deefe most men elk op J 195. 390 nieuw met den volgen- I 91, 182 den deeler i> mult'%- \ 273. 546 „ pliceeren en men krijgt 455. 910 ,s tfgf nienwe rijen EFJ 13^5. 273° „ in het geheel zestien. 142. 286 „ Z>^/55> 6S, ö6, 70, 77»73»9*» l°5>*lo, 130 143 m n p ci I Als a b c d een getal verbeeld, waar in a, b, c, de ondeelbaare faftors en m, n, p, q heele en ftellige getallen zijn, die te kenner, geeven hqe ménigmaal a, b. c en d in de zaraenftelling van het getal vermenigvuldigd worden, (op hoedr.nige wijfe men voor igco —2. 2. 2, 3. 3. 5. 5 fchrijft ï8oo=23. 3'. 5'. en voor 109771*2: a. a. 2. 2. 3. 3. 3. 3. 7. ii. 11 ~ 24. 3* Ji1 zijnde hier «=2. b~"3. 0=7. ö—ii. m—4. p=i en q=2.) dan zal het. getal deelers in am bn cv dl gelijk zijn deefe uitdrukking (m + O Xfn+i)X(p+ i)X(qti), Want am b" cP dl^am X bn X c? X dq. In ara zijn 1. a. a*. a! enz. tot am deelers, dus in het geheel m+ 1 deelers. De deeler van am moeten met die van bn, die (n4-1) in getal zijn vermenigvuldigd worden komt (p + 'JX (n + 1) deelers, in am bn. Deefe moeten wederom mst de deelers van c (die p+r) in getal zijn, verménigvuldigd worden, komt (m + 1) (n + i) CP + O deelers in am b11 cP. Deefe moeten eindelijk nog met de deelers van dP verrsénigTuldigd worden, en deefe q + r in getal zijnde komt voor het getal der deelers in am b" c3 bevat, deefe uitdrukking (m + i) (n + i) (p + i) Cq+O- m n Als nu mr=n=p—q—1 is, wordt de uitdrukking a b cpdqin deefe veranderd, abcd en deefe heeft nu (1+ i' X (1 +1) X (1 + O x (1 4-ü—2- 2- 2 2=24~ii5 deelers. Dewijl 30030=2.3.5. 7.11/is zal het getal deelers zijn 2.2.2, 2. 2=^fè zijn enz. ' II Als meh zich voorftelde te bepaalen, hoe uit de ondeelbaare deelers van een deelbaar getal de fom van alle de deelers te vinden is — kan men alles in deefe ftelling vinden. In a™ bn cp dq enz. is de fom der deelers gelijk aan de fommen der deelers van am b" cp dq enz. met elkander verménigvuldigd. Want de fom der deelers van a is — 1 + a Z s dïe  Jy46 GRONDBEG. der CIJFFERKüNST. 143, 154,165,182,195,210,231, 17%, 286, 33°» 3*>5» 39°' 429' 455* 462,546,715,770, 858,910, 1001 , 1155» l'ó^5-> *43°» 2002, 2145, 2310, 2730 3003, 4290, 5005, 6eo5, iooio, 15015, 30030. § 423 die Fan ab~i 4-a+b+ab ^(1 + a) x(l + t>)=: defom der deelers van a met die der deelers van b vermenigvuldigd. die van abc= (1 •"- ai X Cl +b) X (i + c) — de fom der deelers van a met die der deelers vaa b, met die der deelers van c vermenigvuldigd. — enz. a'-i De fom der deelers van a* — 14- a + al — ■ ■ a — 1 van a'= 1 + a + a* *f a3 enz. —, a_ 1 n+1 a — 1 van an— 1 + a + a* 4. &c. s -■» * — 1 De fom der deelers a*b is — 1 + a 4-a' 4-b + ab -J- a'b— fom der deelers van a1 vermenigvuleliftd met d'e van b. De fom de» deeiers van a'b'— x + a 4-3,-{-b 4-b,+ab -f a'b +abl + a'b1 — fom van a* X met de fom van tr Indien men deefe berékeningen vertier voordzet, zal het bhiken, dat het altijd in alle omstandigheden doorgaat dat defom van am iin cp dq ejj fom van am X fom b" X fom c?' X fom d* m + i n-J-r p + i q + i a —1 b -1 c —r d — r a—i b — 1 c — 1 d — 1 Stel dat men nu de fom der deelers van 109771a s a4 X 3« X 7 X n1 wil berékene» dan a= 2. b^ 3. c— 7. d=: 11, m= 4. n~ 4. p— 1. q— 2. 2X2X2X2X2-1 3X3X3X3X3-1 7  II. B. I. H. XFII. L. Over het vind. der Deelers.347 § 423. Deefe régel is algemeen voor alle gevallen, moetnoodzaaklijkgevolgd worden, als de on» deelbaare deelers maar éénmaal in de zamenitelling van het deelbaar getal voorkomen, en kan verkort worden als één of meer deelers tweemaal of meermaal in de zamenftelling zijn. Zo als wij hier nog door éénige voorbeelden zullen ophelderen. f!. Voorbeeld. Alle de deelers van het getal 19 00 te vinden. Wij hebben § 420 gevonden, dat 1800 2. 2. (2-3« 3-5* 5 Ee~ 7X7-1 nxnXii-i 32-1 243-1 __L_ x -— -x x — x 7 _ 1 tl -1 1 2 49- 1 1331- 1 X e 31 X 121 X 8 X 133= 3991064. 6 io Deefe fommen der deelers bezitten merkwaardige eigenfehappen en hebben daarom aan de Wiskunstenaars gelégenheid gegeeven tot fraaije befpiegelingen. IfcEen Volmaakt Getal (Numerus perfettus, is, dat gelijk is aan de fom alle deszelfs deelers. Deefe 7,ijn zoo verre mij bekend is , en ik door rekening heb kunnen verkrijgen 6, 28, 49Ö. 8128, 33550336, 8589869056, 1374386913-8, 2305843008139952128, 2417851639228158837784576» 9903520314282971830448816128. Zijnde tien in getal , dus maar zeer weinige. In mijne Algebra zal ik de werkmanier opgeeven, waar door ik deefe getallen heb kunnen berékenen. 6—3 + * + i~*8 = 14 +7+4 4-2-1-1 enz "Men heeft nog' Friendfchaps Getallen (Nuineri Amica. biles) dat zijn zulke getallen, welker évenmatige deelers bij elkander geteld , de getallen wederkeerig voordbrengen, zodanige zijn 284 én 220 ; 17296 en 18416 ; 9363584 en 9437°5^- enz. Waar over men van Schootim Hal cr ek, enanderen kan nazien.  348 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Berekening A i. 2. 4. S B 3. 6. 12. 24 . (3 C 9. 18. 36. 72 • ~r5 r 5. TO. 20. 40 D< 15. 30. 60. 120 *> 45. 90. 180. 360 f *5« 5°- ?0°- 200 M 75- I5°- S°°- 6co I225. 450. 900. 1800 Hier heeft men in de horizontaale rij A de getallen 1 , 2, ;, - 8 zijnde de getallen, die uit de vermenigvuldiging van de deelers 2, 2 en 2 met elkander ontdaan, te weeten '7, 2 t=2Xi, 4 =2X sxi cn 8 £=UX2X2Xi: de getallen van deefe rij A heeft men met 3 verménigvuldigd, dan komen de geta'Ien van de iij B. Nu is de volgende eenvoudige deeler 3 j met deefen zouden de' getallen van beide rijen A en 3 moeren verm énig vufdigd worden volgends den régel § 422, maar daar door zgu men de getallen van de rij B nog eens verkrijgen, cm die réden verménigvuldigt men alleen de getallen van de rij B met 3, komt de rij C. Voords de rijen A, 3 en C worden met 5 , elk verménigvuldigd; deefe drie komende rijen noemt men D. Eindelijk; alles nog eens met den laatften deeler 5, maar om de dezelfde getallen, die men reeds heeft, te ontgaan, multipliceert men alleen de getallen der drie rijen met D getékend, en krijgt drie andere rijen Ë en men heeft nu alle de deelers van het getal 1800gevonden, te weeten 2,3,4, 5, 6, 8» 9, 10,  II.B.Lfl.XFII.L.Overhetvind. der Deelers, 349 10, 12, xu l8> 20' 24> 25> saJ 36» 40, 45) 50, 60, 72, 75, 90., 10®5 120, f50, 180,200,225, ;oo, ';6o, 450 600. 900 en 1800. III Voorbeeld. Om de deelers van 1*97712 te vinden ? Men heefc pag. 343 V voorbeeld gezien, dat 1097712 in de faétors 2, 2,2,2, 3» 3» 3» 3».?»" ea 11 ontlédigd is, en dit is de berékening der zamengertelde deelers. 1. 2. 4, 8 16 3. 6. 12. 24. 48 , (3 9. ï8. 36. 72. 144 27. 54. 108. 216. 432 8r, mS*. 324- 648. 1296 7. 14, 'Ao. 56. 112 21. 42, 84. 168. 336 63. 126. 254. 504. 1008 189. 378. 756. 1512. 3024 567. 1134. 2268. 453^. 907a 11. 22. ^4. 88. 176 33. 66. 132. 264. 528 (,9. m8» 396. 792. 1584 297. 59 u 1188. 2376. 4752 891. 1782. 3564. 7*28. J4256 77« 154- 308. 616. -Ï232 23T. 462. 924. 1848. 3696 693; ) 86. 2772. 5544. 11088 ' 20-9- 4158. 8316* 1^632. 33264 6237. 12474. 249^8. 49896. 99792 1 121  35o GRONDBÊG. der CJJFFERKUNST. . Ci. 121. 242. 484. 968. I936 363. 726. 1452. 2904. 5808 1089. 2178. 4356. 8712. 17424 3267. 6534. I3OÖ8. 26I36. 52272 980I. I9602. 3V204. 784C8, ]5fi8l6 847. 1694. 33^8. 6776. 13552 2541. 5082. 10164. 50328. 40656 7623. 15246. 30492. 60984. 121968 52869. 45738- 9I47Ó. 18.952- 365904 68607. 1371414. £74428. 548856. 1097712 § 424. Ik geloof dat deefe voorgebragte voorbeelden voor den leefer voldoende zullen zijn, om deefen régel verder te beöefienen: wij zouden nog een en ander tot fbaving kunnen bijbrengen: maar dewijl de zaak in zich zelve eenvoudig is en het bewijs door de daadelijke oeflening gevat moet worden, zeggen wij r.iers meer, vreefende door veel woorden de klaarheid der zaak te zullen bederven. B. Over het vinden van den grootste^ GEMEENEN DEELER van twee of meer getallen. § 4»5 De gemeene deeler van twee of meer getallen is een getal, dat van elk deefer getallen een évenmaatïg deel is; zo is 4 een gsmeenen deeler van 104, 172 en 200. Eer wij nu over het vinden van den gemeenen deeler der getallen iets zeggen, zullen wij vooraf de volgende beginfelen ter néderftelTecï S42*  II. B. I.Hoofd. XVII. Les.'Over dengem.Deeler.35t % 426. IStelrógel Dat men in het Cijfferen door gemeenen deeler altijd een eigenlijk getal (een verzameling van éénen) verftaat, nooit de één zelve (die volgends § 3 geen getal is) want alle getallen van wat natuur hebben de één tot gemeenen deeler. § 427 II Stelregel. Alsdan de één uit de gemeene deelers ukgeflooten wordt, is het klaar, dat niet alle getallen eenen gemeenen deeler heb • ben. Die nu geen gemeenen deeler hebben, zijn 1° alle ondeelbaare getallen gelijk 37, 101, 162 enz 20 zulke deelbaare getallen, die wel elk bij. zondere deelers hebben, maar geene die aan alle gemeen zijn: gelijk 24, 91, 121 enz zulke getallen noemt men daarom; onderling ondeelbaare getallen. § 428 Ifl Stel* é gel. De getallen, die een gemeenen deeler hebben, hebben flechts éénen ondeelbaaren deeler, of verfcheide ondeelbaare dee« Iers gemeen: de eerfte hebben niet meer dan deefen éénen ondeelbaaren gemeenen deeler, de andere hebben nog tot gemeene deelers alle de getallen , die uit de onderlinge verménigvuldiging der ondeelbaare gemeene deelers op alle mogelijke wijfe ontftaan. § 429 Zo dat alle getallen, die men ftellen kan , of geenen deeler, of alleen éénen of verfcheidene deelers gemeen hebben, uit aanmerking waar van de vraag plaats heeft: „ 'Ie onderzoeken of twee a, of meer gefielde getallen eenen deeler gemeen „ hebben ? ~— Zo ja, den grootflen gemeenen „ deeler deefer getallen te yindenV Dit  352 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST* Dit is de vraag, die ons thans te befchouwen ftaat, en die wij eerst door den trewoonen.weg, en daarna met behulp van de ontlédiging der deelers zul. len oplosïen en eindelijk nog een en andere kunstgreepen omtrent deefe leerwijfe zullen voordraagen. 1, Over het vinden van den groot ft en gemeenen deeler van twee getallen door de gewoone werkmanier. § 430. In de gewoone werkmamér moet men twee gevallen onderfcheiden 10 als den gemeenen deeler van twee getallen moet onderzocht worden, cn a° als 'er meer dan twee getallen geveeven zijn' welker gemeenen deeler men vinden moet § 43 *. Als den gemeenen deeler van twee ge. tallen moet onderzocht worden, volgt men dee* fen Algemeenen RóGel, „ Divideert van 'de twee getallen het grootfte „ door het kleinste, (in deefe en de volgecde dèe., lingen heeft men met de komende quotiënten „ niets te doen >. Het overfchot der deding in „ den voorgaanden deeler; telkens eiken voorgaan„ den deeler door de rest der voorgaande divifie „ deelende, en dit zo lang voordzettende, tot dat „ meneene divifie verkrijgt, die éven opgaat,wan* ., neer de deeler der laatfte divifie dg grootfte ge„ meene deeler is, der twee voor gefielde getallen"'. Voorbeeld. 'Stel dat men den grootfien 9, gemeenen deeler van de getallen 20795 en » 6113 moet onderzoeken1'. Dan  II. Boek I. H. XVIL Les. Over den gem. Deeler. 353 Dan werkt men in deefer voe^n. ö A B <53i?h9?95{4 a JLSli2 a c +543JÓ3I3 f 1 b C li 1003I1770 d ■003 £ F 767I1003 Ji e 1 763 f U ^361767 {3 / H S9jï36 /4 £ blijft niets over. Verklaaring der bewerking. In die bovenftaande bewerking heeft men 1 0 B door A gedeeld, komt 4, rest C. a 0 A door C gedeeld, komt 1, rest D. 3 0 C doorD gedeeld, komt 2, rest E-. 4 0 D door E gedeeld, komt 1, rest F. 5 0 E door F gedeeld, komt 1, rest G. 6° F door G gedeeld, komt 3, rest II. 70 G doorHgedeeld, komt4, resto. 1 Hier uit befluit men nu» dat Q de gemeene deeler van A en B is. En d/ar van kan men de zékerheid bij de volgende vergelijkingen, uit de voorgaande deelingen afgeleid, nagaan, A a Want  354 GRONDBEG. der CIJFFERKüNST. Want i° G ^4H 2°F ^3G+H^i2h"+ H zz 13H. 3°E~ F4-G-I3H+ 4H zz 17H. 4°D ZZ E+ F13H - 3oH. 50 C "2 D+ E zz6oli+ 17H ZZ 77II. 6° A zz C + D ZZ77R+30U ZZ 107 H. en 70 B ^4 A + C ^428^1+77 H ZZ 505 H. Waar uit dus blijkt, dat H ZZ 59 een gemeene, e» grootfte gemeene deeler van 6313, en 29795 is. (<0 Als (« ) De Schrijvers betvijfen wel, dat het get3l, cp die wijle gevonden, een' gemeenen deeler der geftelde gefielde getalles is; maar hier bij blijft het. Nergens heb ik (behalven bij Euclides Lib, Vil prop 2.) het bewijs gezien, dat de gemeene deeler, op die wijle gevonden, noodzaaklijk de grootfte gemeene deeler zijn moet. Ik meen den weetgierigen Leefer geen onJienst te zullen doe», om van den algemeenen werkrégel een nieuw iïelkandig bewijs te geeven , dat aan be:de deefe vereisentens van her voüéöije bewijs voldoet. Stel A en B de twee getallen. Laat A door B gedeeld, a het quotiënt en C de rest zijn. B door C gedeeld, b het quotiënt en D de rest. C door D gedeeld, t het qnatient en E de rest. D door E gedeeld, d het quotiënt en F de rest. Edoor F gedeeld, e het quotiënt en o de rest zijn. Nu moeten twee (tellingen bsweefen worden. •i° F is een gemeene deeler van A en B. a* F is de grootfte gemeene deeler van A en B. Bewijs van » e eirste stellino. Men heeft uit de agteréénvolgende deelingen deefe vergelijkingen i° E - e F i°D = ^E4F={i«+i)X F;fteUe + 1 sf. 30 C = c D + E =(cp + ») X F;ftelcp + e =rq, 40 B = iC+ D = (bq + P) X F; Heli? + p = r. en5° A = « B + C = (ar+ 2) x F» [].  II.BoekI.H.XFlI.Les.Överdengem, Deeler. 355 Als de leerling de tranier van divideeren, die wij in de VII Les § 165. <£? féq, uitgelegd hebben, magrig is, zal hij in hec naaripeuren van den ge- mee- Üit welke vergelijkingen blijkt, dat A en B elk afzonderlijk veelvouden van F zijn: daarom is F een gemeene deeler van A en B, dat te bcwijfen was. Bewijs van pe tweede stellihg. i .Nu moeten wij nog betoogen , dat F de mogelijk grootfte gemeene deeler is van A en B. Als F de grootfte geinecne deelrr van A en B zal zijn, moet fceweefen worden, dat c r + q en r onderling ■ ondeelbaare getallen zijn. Hier van kan men zich overtuigen , als men de vergc» lijkingen , uit de deelingen geformeerd , nagaat. Want e en i e -f 1 zijn onderling ondeelbaar. p en c p jj. e onderling ondeelbaar. q en b q -f- p onderling ondeelbaar, rensr -j- 1 onderling ondeelbaar. VooRBEWijs, Dit zal volkomen zéker zijn als aien betoogt, dat va» twee onderling ondeelbaare getallen A en B , een veelvoud van het eerfte plus het tweede, tégen het eerfte ondeelbaar blijft, dat is als A en B onderling ondeelbaar zijn, zal « A' + B tégen A ondeelbaar zijn. Als A geen deelers heeft valt de waarheid van de ftelling ten eerften in het oog , naardien men mA + B en A door geen andere grootheid dan door A deelen kan: nu kan van de grootheid m A + B wel het eerfte lid m A door A gedeeld werden; maar niet het tweede, om dat A en B onderling ondeelbaar zijn. Eindelijk als A deelers heeft en a d b e i ii , zullen de uitdrukkingen )»A + BenAinro«Z/ed + Ben abcd veranderen en als deefe uitdrukkingen Onderling deelbaar waren, zouden zij door een der faftors a,b, t of d deelbaar moeten zijn, maar zulks kan'geen plaats heb. ben, Ai 2  356 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. meenen deeler veel bekorten, door zijn werk in deefe order te fchikken. o 40 G WW E 4é4t G Quotiënten. •tfiM A [ 4, i, 2, i, i, 3, 4B a, b, c, d, e, ƒ, g. ttt* D m F (59 H de grootfte gemeene deeler. ben, aangezien A en B onderling ondeelbaar zijnde, geen der deelers a, b, e of d van A een deeler van B wordf, dat plaats zou moeten hebben, indien»?. A 4- BeaA ouderling deelbaar waren , dat betoogd moest worden. Hier uit volgt ook, dat altijd A X B + i tégen A ondeelbaar is tA en B heele getallen zijnde ) Als men nu de factors der vergelijkingen boven opgegeeven nagaat, bevindt men e is ondeelbaar tégen d e + I, datis, tégen p, daarom e p-r e tégen pondeelbaar, en op die wijs voordgaande , volgt, dat in de 4e en s- vergelijking b q 4- p tégen ar 4 ! ondeelbaar is — en om die réden moet F de grootfte gemeene deeler van A en B zijn. „ , Men zegge nu niet, dat zulks alleen voor dit bijzonder geval betoogd is, want als men op de vergelijkingen let, die uit de aanééngefchakelde deelingen zijn afgeleid, zal men wel dra de wet befpeuren volgends welke de multiplicators van den gemeenen deeler F uit de voorgaande afgeleid worden : namelijk men zal de coëfficiënt van F voor de waarde van B (bij voorbeeld) raden, als men ie coëfficiënt van F voor de waarde van C met het quotiënt in de aangefcfeakelde deeling, tot B als deeler behoorende, verménigvuidigt en bij het produft de coëfficiënt van F tot de waarde van D behoorende , bij telt. Op deefe wijfe worden uit den aart der aanéengelchakelde deelingen , welke tot het bepaalen des grootften gemeenen dseiers dienen moeten , alle de agteréénvolb gen.  II. Boek L H< XVII. Les. Over den gem. Deeler. 357 De leefer heeft Hechts de inrichting van deefe bewerking met de voorgaande van ftuk tot ftuk, nategaan, en dan zal hij dezelve wel begrijpen. Het is ons onmoogelijk alles éven uitvoerig te verklaaren. § 432. Omtrent deefen algemeenen régel moet opgemerkt worden, i° Als men in de aanééngefchakelde decling tot een deeling komt, die 1 overlaat, bewijst zulks, dat de twre voorgeftelde getallen geea dee. deeler gemeen hebben. 20 Als men tot een deeling komt, waar van de rest een ondeelbaar getal is en deefe rest geen évenmaatig deel is, van den deeler, tot die divifie behoorende, kan men ook daaruit befluiten, dat de geitel de getallen geen gemeenen deeler heb. ben. Voorbeeld. Stel „ dat men den groetflen ge* „ meenen deeler van de getallen 8507 en 1235 „ incete onderzoeken"? Be- jende waarden van de ffiultiplicators van F bepaald , inaar dan is het ook noodzaakelijk , dat twee op elkan. der volgende multiplicators van F onderling ondeeibaare getallen zijn. Het zij dan , dat het getal der aanééngefchakelde deelingen groot, het zij dat getal klein is , kan het niet anders zijn, of de deeler bij eene éven opgaande deeling moet de mogelijk grootfte gemeene deeler der getallen zijn. En zo het gebeur* dat bij de deeling 1 overblijft zal in de volgende deeling F s= 1 zijn; en dus B s= * q X •* "i A = 0 r + j onderling ondeelbaare getallen. A a 3  558 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST, Berékening $ L. t I. Ut G. §>4 E. %ut c. tMti Al,2,4,1,3,1, i2,i,t,fl Ba,£, ff,^, ƒ» g» «»'*• W D. F, V H. £ K. (i M. Dewijl in deefe berékening eindelijk een i over-, blijft, is men hier door zéker, dat de gefielde getallen A en B geen gemeener deeler hebben, hec \veik men nog daar en boven weeten kan , om dat hec getal F. een ondeelbaar getal en geen évenmatig deel Van E is, om welke réden hec niet nodig geweest was de deeïing verder voord te zetten. 3° Eindelijk dient nog opgemerkt te worden, dat als van twee getallen, welker gemeenen deeler men opfpeurt, het grootfte een ondeelbaar, of het kleinfte een ondeelbaar getal en geen évenmaatig deel van het grootfte is, in beide gevallen de gegeevene getallen geen deeler gemeen hebben. § 4c> 3* Dit zal de leefer in de oplosfing van de volgende voorbeelden verder in praclijk kunnen breugcn. 1° Den groot ft sn gemeenen deeler van 6i% en 540 te vinden? Andw. 36. 2° Den grootften gent. deel. van 918 en 1998 te vinden'? Andw, 54. 30 Den grootften cemeenen deeler van 12209 en  II. Boek I. H XVIL Les. Over den gem Deeler. 3 59 en 8383 te vindenï Ardw, deeje getallen hebben geen gemeene deeler. 4° De grootfte gemeene deeler van 2.697% en 359:';.i Andw. K991. 5° De grootfte gemeene deeler te vinden van 33559 en 47952' Andw, 3/. 6° De grootfte gemeene deeler van 114569 en 108^63 is 91 70 De grootfte gemeene deeler van s 3 59 ,79 en 259-881 is 407. Z° De grootfte gemeene deeler van 321425 en 462852 is 1285-. 90 De grootfte gemeene deeler van 140608 en 3846917 is 2197. 100 De getallen 11929 en S25721 hebben geen gemeenen deeler-, § 404. De werkrégel, om den grootften gemeenen deeler van twee getallen te vinden, dient ook, om die van drie of meer getallen te vinden. Want als de getallen 62124, 88306 en 107996 gegeeven zijn , die ik kortheids hal ven A, B en C zal noemen, zoekt men eerst den grootften gemeenen deeler van A en B, die vindt men D ZZ 2556; als men nu den gemeenen deeler van D en C zoekt verkrijgt men F. ZZ 196: Deefe is de grootfte gemeenen deeler van alle de drie getallen A, B en C; want E of 196 een évenmatig deel van D of 2156 zijnde , is ook D een gemeene deeler van A en B en ook van C. § 435- In het algemeen als gegeeven zijn A, B, C, D, E, zoekt men den gemeenen deeler van A en B die noemt men P; dan den gemeenen deeler van P en C, die noemt men Q; dan A a 4 den  3f5o GRONDBEG. der CÏJFFERKUNST. den gemeenen dëeler van Q en D ; deefe noemt men R; eindelijk den gemeenen deeler van R en E deefe noemt men S. Deefe S is dan de grootfte gemeene deeler van A, B,C, D en E, Als men altijd deefe fchikking ia de bewerking in acht neemt,zal men gemaklijk de volgende voorbeelden kunnen uitwerken. 10 Den grootften gemeenen deeler van de getallen 575536, 183•: 8 en 683136 te vinden'1. komt 144. 2° De grootfte gemeene deeler van 1725647, 3333^5 i 5064521 en ^474051 is ., 803. 3Q De groot [Ie gemeene deeler van 4403971 , 457499: . 5ï3^4'7> 6984263, 8051329 en ie45-299 is E8i9- 11 Over het vinden van den grootften gemeenen deeler der getallen door het ontlédigen der ondeelbaare factors. § 436. Zeer zelden vindt men bij de fchrijvers heronderzoek van den grootften gemeenen deeler der getallen, door de ontlédiging der ondeelbaare factors verklaard, het geen te verwonderen is; want als men die leerwijlè vol^t, werkt men niet alleen door een eenvouwigér régel, maar ook langs een veel gemaklijker weg, vooral wanneer men zich bedient van de tafel der faftors van de deelbaare getallen. Wij zullen om dit volkomen te verklaaren eenige voorbeelden geheel uitwerken. I Voorbeeld. Den grootften gemeenen deeler van de getallen 784 en &16 te onder zoeken ? Als  II. Boek. I H. XVII. Les. Over dengem. Deeler»361 Als men de gegeevene getallen in derzelver ondeelbaare factors ontlédigt, heeft men Getallen ondeelb. dselers. 784 f f. 4. t' t- t. 816 f jf. 4. 4. 51. Uit deefe onclédiging blijkt, dat de getallen 784 en 8ió de deelers 2. ». 2. 2 ZZ 16 gemeen hebben; — dus 16 is de grootfte gemeene deeler van 784 en 816. 20 Voorbeeld. Den grootften gemeenen deeler van de getallen 20956, 10322 en 85072 te onderzoekend Getallen ondeelb. deelers. 20956 | 4- 2. tg. 13. 31. 1032a 4. tg, 397. 85072 14. 2- 2' 2. tg. 409. de deelers, die hieraan de getallen gemeen zijn, zijn 2 en 13; dus is 1 x 13 zz 26 de grootfte gemeene deeler der getallen. 30 Voorbeeld. Den grootften gemeenen deeler van de getallen 1232, 1904, 4624, en 19^6 te vinden ? Getallen ondeelb. deelers. 1232 I 4. 4, 4. 4. 7. 11. 3904 | pf. jr. jf. 7< 17. 4624 I 4. 4. 4. 4. \7, ,7. I93Ó I 4. *i II. II. Aa 5 de  S62 GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST» de deelers die in die geval aan alle de gerallen, gemeen zijn, zijn 2, 2, 2. 1; dus 2x2x2x2 ~ 16 de grootfte gemeene deeler. 40 Voorbeeld, Den groot pen gemeenen deeler van de getallen 1331, 2119, caoi en 4247 te onderzoeken? Getallen ondeelb. deelers. i 1331 j 11. 11. 11. 2139 I 13. 163, 2201 I 31. 71. 4247 I 31- -37? Dewijl hier de getallen geen deeler gemeen hebben, befluit men hier uit, dat de voorgeftelöe getallen geen gemeenen deeler hebben. 50 Voorbeeld, Den grootften gemeenen deeler van de getallen 66462, 70278 , 72822 , 159000 en ^8546 te vinden? Getallen, ondeelb. deeler. 66462 4. i. 11. 19. éi 70278 4> %. I3> I7« ü 72842 4-. af. éi. 229 . 359000 4: 2. 2. af. 5. 5. 5. a 78546 4. i' 13- 19 asWaar uit blijkt, dat 2, 3 en 53 gemeene deelers der geftelde getallen zijnde , 2x3x53^ 318 de grootfte gemeene deeler is. De leerling kan nu nog tot zijner oeffening de voorbeelden § 433 en 435 opgegeeven naar deefe werkmanier oplos fen. III  II. Boek.I.H. XVIILes. Over.dengem.Deeler. 363 III Verkortingen, die men in deefe leerwijfe kan invoeren. § 437. Men zou zich mogelijk verbeelden, dat het nodig is, om van eik getal afzonderlijk, indien men geen tafel der faftors voorhanden heeft, de ondeeibaare deelers tc bcrékenen: maar zulks is niet nodig en moet ook niet gedaan worden. Om op de eenvouwigfte en kortfte manier den gemeenen deeler op te zoeken , moet men van een der getallen de ondeelbaare factors berekenen, als nu dc getallen een gemeenen deeler hebben, moeten de overige getallen door één deefèr facïors alleen of door de zamenftelling van meer faétors deelbaar zijn: om dan te vinden welke deefe factors kunnen zijn, moeten de overige der gegeevene ieder in het bijzonder door elk deefer factors gedeeld worden, en dacr uit blijkt dan, welke deelers de gefielde getallen al of niet gemeen hebben. §4^8. Stel dat gegeeven waren de getallen 8729, 9961 en 13013: dan berékent men eerst de factors van 8729 ("of van één der twee andere getallen,} deeiè zijn 7, 29 en 43. Nu deelt men 9961 door 7, 29 en 43 elk afzonderlijk, en bevindt, dat het door de 7 alleen kan gedeeld worden: zo dat de twee eerfte getallen 87*9 en 9961 alleen 7 tot gemeenen deeler hebben: dus moet het derde getal 15013 alleen door 7 gedeeld kunnen worden en aangezien deefe deeling opgaat, kan men befluiten. dat 7 de grootfte gemeene deeler der gefielde getallen is. De leefer zal zich in deefe handgreep fterk kunnen maaken , door dezelve op de oplosfing der voorbeelden van de voorgaande § § toe te pasfen. C  3Ó4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. C. Over het vinden van het kleinfte gemeene veelvoud van twee of meer getallen, (aj § 439. Het is eene cntégenzeglijke waarheid, die onder 3en rang der grondftellingen behoort geplaatst te worden, dat als men eenige getallen 3 , 6 en 9 met elkander vermenigvuldigt, het product 432 een gemeen veelvoud van 8, 6 en 9 is ; als 'ook dat een veelvoud van een gemeen veelvoud van eenige getallen , een gemeen veelvoud blijft van die /.elfde getallen; zo zijn 2 x 432 ;S 864; 3x432 ZZ I296J4.X432 ZZ f728 c-nz. gemeene veel/ouden van de getallen 8 . 6 en 9. Eenige naar believen genomene getallen, heb. ben dus een onbepaald getal gemeene veelvouden, en onder alle deefe veelvouden is één het mogelijk kleinfte gemeene veelvoud. f- § 4AO. Uit het geen nu gezegd is blijkt, dac men eenvouwig de gegeevene getallen moet verménigvuldigen om een gemeen veelvoud te vinden ; Maar hier dient opgemerkt te worden, dat een gemeen veelvoud op deeie wijfe gevonden , niet altijd het klemfte gemeene veelvoud is; want 8x12 ZZ 96 is een gemeen veelvoud van 8 en 12 terwijl 24 het kleinfte gemeene veelvoud van die zelfde getallen 8 en ia. is; Dit geeft der- hal- r*a) Het vinden van het kleinfte gemeene veelvoud van eenige gegeevene getallen , is het zelfde met het vinden van het mogelijk kleinfte getal, dat door eenige gegeevene getallen, eik in hc-t bijzonder deelbiar is, of waar van eenije gegeevene getallen , elk afzonderlijk , een éventaaatig deel zijn. Vergelijk $ 347-  II. Boek.I. H. XVII. Les. Over hetgem. Veelv. 365 halven aanleiding tot deefe vraag: Hoe zal men langs éénen zékeren weg van eenige gefielde getallen het kleinfte gemeene veelvoud vinden? I. Hoe het kleinfte gemeene veelvoud gevonden wordt. § 441. I. Stelrógel. „ Als men eenige „ ondeelbaare getallen heeft, is het kleinfte ge„ meene veelvoud het produtt uit de verménig„ yuldiging deefer getallen ontftaande. " Van de getallen 7 en 11 is 7 x 11 ZZ 77 het kleinfte gemeene veelvoud van 3, 7, 5 en 11 is 3x7x5x11= H55het kleinfte gemeene veel* voud enz. Als de getallen 3, 7, 5 en n een kleiner gemeen veelvond dan 1155 hadden, zou het een evenmatig deel van 1155 moet zijn (§ 439) en dus een getal dat uit de verménigvuldiging van twee of drie der getallen 3, 7, 5 en 11 ontftaat bij voorbeeld uit 3 x 7 X 5 ZZ 135 dat wel een veelvoud van 3, 7 en 5 is maar niet van n té. gen de onderftelling. § 442. II. SïELRéGEL. ,, Maar als onder de „ getallen waar van het kleinfte gemeene veel. ,, voud bepaald moet worden,, maar twee getal„ len zijn , die een gemeenen deeler hebben, is „ het kleinfte gemeene veelvoud dier getallen al. „ tijd kleiner, dan het produel uit de ver ménig,, yuldiging deefer getallen voordkomende. " Bij voorbeeld de getallen 9 en 15 hebben 3 tot gemeenen deeler; als men nu 9 en 35 elk door 3  356 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 3 deelt, komt 3 en 5; deefe quotiënten met elkander en met den gemeenen deeler verménig. vuldigd is 3x5x3 ZZ 45 het kleinfte gemeene veelvoud der getallen 9 en 15 , kleiner dan het gemeene veelvoud 9X 15 ZZ 135 uit de vermé. nigvuldiging ontftaande. , jNaar évenrédigheid nu, dat 'er meer gemeene deelers onder de getal'en gevonden worden , zal het gemeene veelvoud deefer getallen kleiner zijn. § 443. Men moet derhalven onderfcheid maaken of de getallen , die gegeeven zijn onderling deelbaar of onderling ondeelbaare getallen zijn ; het eerfte en voornaamfte gedeelte deefer leerwijfe beftaat dan hier in, dat de getallen, die gegeeven 2ijn, ten opzichte van derzei ver deelbaarheid ter toetfe gebragt worden, -— en daar toe snoet men te werk ftellen deefen Algemeenen Werk, -régel. i° ,, Men fchrijft alle de gegeevene getallen ,, onder elkander en beproeft door deeïing, welke ,, getallen door 2,3,5, 7,11, *3 en?- den ,, rang der ondeelbaare volgende, kunnen gedeeld „ worden . de deelers, waar mede men deelen ,, kan , fchrijft men névens elkander boven aan ,, en de getallen . die men gedeeld heeft haalt „ men door, en fchrijft névens dezelve de beko. „ mene quotiënten, " „ Ten opzichte van deefe kunstbewerking ,, moet opmerken a) dat men nooit deelen moet „ of ten minflen twee getallen moeten door zulk „ een getal deelbaar zijn, b) als men reeds door een getal gedeeld heeft, moeten de getal„ len, met dien zelfden deeler mg eens beproefd wor.  II. Boek. I, H. XVII. Les. Over het gein. Veelv. 36/ „ worden, en men moet met die beproeving al„ tijd zo lang aanhouden, als 'er onder de open* „ ftaande getallen nog maar twee gevonden wor„ den, die door dien deeler kunnen gedeeld Wor,, den. " 3 0 „ Men moet met deelen voordgaan, tot zo lang „ 'er geen getallen meer open jiaan die onder„ ling deelbaar zijn — en dan heeft men boven „ aan alle de gemeene deelers (indien 'er gevon„ den worden ,; en om nu het klemfte gemeene „ veelvoud te vinden , moet men alle de open 35 gebleevene getallen met elkander en met de gemeene deelers, waar door men gedeeld heeft verménigvuldigen , en het komende produël is ,, het kleinfte gemeene veelvoud. " ( a) § 444- (3) Wij zullen wederom voor meergevorderden de zaak air. een ander oogpant befchouwen en tot dat einde alles Helkundig behandelen. I. S t e l r. 1 v r„ Als ApenB p twee getallen zijn, van V/elke p ae grooijie gemeene deeler is, (zijnde A en B onderling ondeelbaare) zal, indien men elk een deefer getallen door den grootften gemeenen deeler deelt, dekomende quttienten mtt elkander en het produft met den grootften gemeenen deeler vermenigvuldigt, het komende produSl A B p het kleinfte gemeene veelvoud ran de getallen A p en B p zijn. Bewijs, a) A B p is een gemeen veelvoud van Ap en B p, aangezien het door elk deefer grootheden kan gedeeld worden, b) Het is daarenboven het kleinfte gemeene veelvoud: — Want zo 'er een kleiner veelvoud mogelijk was, zou het (§439.) «en évenmaatig deel van AB p moeten zijn. Nu heeft A B p geene andere évenmaatige deelen dan A, B, en de deelers die p hebben kan. Stel nu dat A B p door een van deefe évenmaatige deelen gedeeld wordt , dan kan men wel een getal verktijgen, dat van een der getallen A p en B p een veelvoud wordt, maar niet van beide te gelijk, iets dat évenwei tot ds na'uur van een gemeen veelvoud moet bchooren. II. Stellis*. Als men heeft twee getallen A en B en  37o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Wij geeven tot oeffening van deefen gcwigtigen régel, die door den leerling niet te veel kan beceffend worden, de volgende Voorbeelden. 10 Het kleinfte gemeene Veelvoud van 2, 3} 5 en 10 te vinden? Andw. 30. 2.9 Het kleinfte gemeene veelvoud van 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 16, 24, 27 te vinden? Antw 2160. 30 Het kleinfte gemeene veelvoud te vinden van 3, 7, ii„ 17 en 19? >indw 74613. 4Q Het kleinfte getal te vinden, dat door 3,7, 28, 42, 56 en 91 gedeeld zijnde, «/ew over laat? Andw 2184. 5? Het kleinfte gemeene veelvoud van 28, 32, 3Ö-. 63, 77, 9T en 104 ft? vinden? Andw. 288288. 6° Zfef kleinfte gemeene veelvoud van 24, 34, 51, 60, 68, 90 4a7 gemeen, deeler. *> n887degem. deel. ^^SfHr onverkleinbaar. De  IJ Boek. II. H. XVII. Les. Over de Breuken. 393 De onderwijfer moet in de uitwerking van deefe voorbeelden zijn leerling, zo veel mogelijk is, in alle de imnsgreepen bij herhaaling onderrichten, en hem van dezelve, bij alle voorkomende gelégenheden gebruik leeren maaken. Een leerling moer zich daar en boven altijd gewennen, de voorkomende breuken tot baare eenvoudig fte benaaming te brengen . want zulks in acht neemende, wint men in de meefle gevallen, veele lastige bewerkingen uit. Het is altoos de vaste régel van de prac- tijk, om de grootheden, die men bewerkt, zoeenvouwig als mogelijk is uit te drukken, en langs de eenvoudigfte weg tot zijn doelwit te geraaken. b. Om geduurige breuken tot (a) gewoone te brengen. % 476. een geduurige breuk kan tot gewoone herleid worden: bij voorbeeld y- hebbende , zal men elk agfte in twee deelen deelende, 16 deelen in het geheel, en volgends % 462, voorst agfte deelen 3 x 2+1 — 7 halve agfte of zestiende deelen heb. ben, dus zal |- t^zijn. C 477. Als nu een geduurige breuk twee termen * heeft (a) Wij noemen voordaan'cew«okEbreuken,in onderfeneiding van de s e d u u r i g e , zulke, welker teller en noemer een heel getal is, Ij zijn gewoone breuken. Cc 5  396 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Men hegint altijd bij de agterfte termen , en maakt dus eerst ~ * tot een gewoone breuk. Volgends den régel § 474, js 1+ 1 «3X7+2 0. En 9 3x9 ' nu is de geduurige breuk veranderd in deefe: 1 +g J + r • De geduurige breuk J + ^brengt men 4 2 wederom tot een gewoone 27+2J- — Hierdoorveranderddegeduurigebreuk in ^ •» en deefe moet nog tot een gewoo gebragt worden l+-f_3iJ/cToX4+:,Xr 7+J 0 _o 1 I a a ■ a ~ Ö 'x + x' v zijn de 5 ^ laatfte * r -cx"+ cx* c termen £ s jf van 5" r _*x-i+£ xp ! 0 t u x +-' x^> f sr u v Vj%T+jx* ! e v w tXJ+£X* j ë* f /x^+'x^ir f Als iemand van deefe wet niet volkomen mogt over» tuigd zijn, gelieve hij de moeite te neemen, om de rékening, die wij boven begonnen hebben verder voord te zetten, en al berékent hij tot duizend termen, zal hem ftandvastig dezelfde wet bliiken ftand te houden, waar door elke volgende bieuk uit de twee voorgaande be« lékent wordt. Als men nu den régel, boven voorgefchreeven, in hej p r T we'tk ftelt, om de waarden van q . j > -q en?. ■■ '. « to p d  4c6 GRONDEEG. der CIJFFERKUNST, | « I £ I c I // I e I ƒ I g I s 1 3 I 4 ' 5 ! 6 1 7 1 o_ t__ 3_ 15 &j _5£7 _470i I_ 1 2 8 38 222 IS2J2 11986 2 I 3 I 4 1 -5 | 6~\ \ 3_ ^ 3X1+2X0. 4X3+3X7. o * 3X2+2XÏ' 38^4X8+3X2' J*Z - 5X15±4X1 . _597_ 1X_87+; X15 2122-5X^84-4X8 ' 15226X222+5X38 47Q» ^7X 597+6X87_ 11986 "7X1522+6X222" §481. II. Aanmerking. Hec gebeurt veeli'1 Cen dit is het geval, dat in het gebruik der geduurige breuken het meest te pas komt ,9 dat de tellers der léden van de breuk alle één zijn. • IIL Voorbeeld. Stel dat de geduurige breuk L i 3 tr+5 5 +1 x tet een gewocnê moet gebragt worden? Als dan komen in de onderfte rij der Multi. plicanten 1, 1, 1, enz. die derhalven niet verménigvuldigen en het 5e en 6- gedeelte van den régel § 4^9. veranderd in deefer voegen., „ Mul,, tipliceer teller en noemer van elke breuk door het getal boven dezelve ftaande en telt bij de pre*  II.Boek. II.H. XVIII.Les'.Over de Breuken, 407 ,, produblen, de teller en noemer van de voor„ gaande breuk, deefe [ommen zij'i de teller en „ noemer van de volgende breuk. " Geen der komende breuken zijn verklembaar. Berékenins. I «/ I l |2 I 7 30I iy: 972 j 6061 I ,6660 I I II 13 I IO 43 i 225 198-? I 9y7ó 1 8120I_ dit is de bewerking. 2 _ 2X1+0 7 _ sXafr, 3" ~ 2X1+1' 10 T 3X3+1' 30 4X 7+2 — " ~w - enz, 43 4X10+3 De leefer zal zich zeiven voorbeelden genoeg kunnen opgeeven, om deefen régel verder te beoeffenen. C. Om een gewoone breuk m eene geduurige te brengen. §. 482. Elke gewoone breuk kan tot een "gecuarige herleid worden, en wel op onderfcheidene wijfen. Voorbeelden. Als men teller en noemer van 7 "1 de breuk T75 door 2 deelt, komt ~ ~^(§47i.) Teller en noemer van de breuk door 3 dee- « 2-7 •nde , komt « 3 A Teller en noemer van 5 15 Dd4 r|,  10 GB-ONDBEG. der CIJFFERKUNST. door 3 deelende is, 2- ~ J?. enz, 4» 13 S 483» Wen kan door veelerJei verfchikklnsèö elke gewoone breuk in een geduurige breuk van zo veel termen verdeelen als men goed vindt Dan wij gaan dit hier ïlüzwygend voorhij, en verkiaarcn alleen , hoe een gewoone breuk in een geduu. nge breuk van de derde gedaante ( zie « 4.66 ) kan veranderd wprden. Wij verkiefen dit geval a een te befchouwen om dat wij 'er naderhand •alleen gebruik van zullen maaken en alle overiee gevallen uit de yerklaaiing van dat eene teval zallen verltasn worden. fc § 484. Laat ons tot een voorbeeld ftellen de breuk als men teller en noemer door ic7 deelt, wordt X^T^ «47^ Van de breuk $ teller en noemer door 37 dee- lende, wordt de breuk — ~ „-• t:' 107 T 2 + 3_J? 107 1 . 37 en dus j~ 3 J +L . Teller en Noemer. Van ff door 33 deelende, komt ?i — - „_ •— I 4. 144 1 +2-fi ; ' 37 ein*  412 GRONDBEG. der CIJFFERKTJNST. «ek 3 ££§££££ zo dat de bewerking nu alleen op de bijgevoegde breuk moet ingericht worden. Na de gefielde breuk ontlédigd te hebben, welke bewerking wij om plaats te winnen aan den leefer overlaaten, vindt men 314159^535 ~ 10000000000 -~ 3 + L 7 +1 15+i 8 voor den omtrek des cirkels in een geduurige breuk uitgedrukt. D. Hoe groote breuken , die tot de verkleining ter toetfe gebragt, niet ver kit'inbaar tevon. den worden, in breuken van kleiner ge. tallen, zo na mogelijk is kunnen uitgedrukt worden. Qa) S 488. Als men een gewoone breuk tot een geduurige ontledigt, en op de termen let, waar uit fd) Metius is de eerfte geweest, die deefe ftof behandeld heeft in zijne Qpera Mat htm. pag 50 en 51, maar- op eene onzékexe en langdraadigs manier. Wal<  IL Boek \1L H XVUL Les. Over ie [Breuken. 413 uic de geduurige breuk beftaat , zal men 'er het volgende in befpeuren; (maar om duidelijker te fpreeken, zullen wij deefe breuk 144 *+T « +> +x ftellen ) Als men alleen de eerfte term \ van de geduurige breuk tégen de geheele breuk )% verge lijkr, zal zij altoos grooter dan dezelve zijn ,• want bij de noemer 1 moet nog de waarde van —< enz» 2 4-1 1 + gefteld worden , die de noemer grooter en dus de breuk kleiner maakt. Vooids als men de waarde van twee termen ^- x E | tégen de waarde^van I 4- — 2 de geheele breuk % vergelijkt, zal \ kleiner dan \°\ zijn; want door "de noemer van de eerfte term 144 te ftellen, maakt men dezelve te groot aangezien l grooter is ..dan de waarde van ~ enzi lis in zijne Algéb. C. 10 & n foi 36—55- »P een meer zékere, maar niet min lastige wijs. S t r u i k in ziine Uitrekening der Kansfen Amjteld. 1716 en de Heer Ott o R eitz in het I Deel van de HolUndfiheMaatfckappij der tVetenfckappen hebben dit (lak tot de uiterfte t olkoinenheid gebragt, Maar de Gr 00 te E om heelt in zijne lutrtd. ad Analystn Infimt. r.1 Lip AViil tas. 319—20 de geduurige breuken het eerst tot deefe benadering dienstbaar gemaakt, en deefen grooten man heb ik in dit ftuk nagevolgd.  414 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. enz. blijkens het voorgezegde — en als men op die wijfe voordgaat, met de termen van de geduurige breuk te vergelijken, zal men bevinden. dat grooter is dan ^3Z- JZ te veel 1 144 144 ■r 1 ~ kleiner dan — - , -—- te. 2 +- 3 144 144 weinig 2 ï 3 107 I T- . 1 — ^ grooter dan —- , ■— te » + - ,1 4 & 144 144 veel 2 4-j. en — 3 — kleiner dan -2Z ï 4-1 39 144 9 ^ Ï872 t£ Wein,'S° § 489. Uit het gezegde blijkt duidelijk genoeg, dat als men een gewoone breuk eerst in een" geduurige ontlédigt, en daar na wederom volgends § 4S1. bij benadering tot een gewoone overbrengt, vcor eerst elke breuk die men verkrijgt , nader san de waarde der geftelde breuk komt, en ten anderen, dat de breuken , die men in rang ver. krijgt, beurtelings grooter en kleiner zijn, dan de eigenlijke waarde der voorgemelde breuk, § 490. Deefe eigenfchap der gedanrige breuken ftelt ens nu in ftaat, om op een zeer handige manier een breuk die niet verkleinbaar is, zo naauw- keu-  II. Boek I. H XVIII. Les. Over'de Breuken 415 keurig als men goed vindt, in een break ven kleiner getallen te fchrijveir ï, Voorbeeld. De breuk ^ die niet yerkleinbaar is, zo na mogelijk in een breuk van kleiner getallen uittedrukkenï Eerst moet men de breuk iffj volgends den regel § 48a. tot een geduurige breuk "brengen — dan vindt men: 8507 12356 —1 1 —1 — . 1 i +- j_t 2 t — , i 1 + "" + Lxi 1 -j- 1 2 +L 2 De geduurige breuk , die wij bier gevonden heb» ben, brengt men de termen van voor af berékcnende (Zie § 479) tot een gewoone breuk. 19 4 t 3 i J2 i i 2 ~ o I 1 "1-2 ~ 1 9 I 1 r I 42 I 53 I 678 I J2I f '-12?. enz 1 I I J 1 13 I ^ I öi I ?7 I &S5 I ïoó2 I 2°*7 ï s s s iï ï f» 01 ° = g < 3 < ^ < 3 < ^ 2 ' I' a, I- 3 |. a* a g- S. irë" tra' r5' o5'

24 hec kleinfte gemeene veelvoud van 3, 4, 6 en 8 Als men het kleinfte gemeene veelvoud 24. gevonden heeft, onderfteld men, dat het geheel in 24 deelen1 gedeeld is. 10 JNu vraagt men in de breuk f; wat is \ van 24 vierëntwintigfte deelen? komt 8 vierëntwintigfte deelen. — dus \ — 2 maal 8; dat is 16 vierëntwintigfte deelen; dus \ -±§f. 2® Wat is i van 24 vierëntwintigfte? komt 6 vierëntwintigfte, dus f is =-3 maal 6, dat is 18 vierëntwintigfte: dus | =|*, 30 Wat is l van vierëntwintigfte? komt 4 vierëntwintigfte, en l is—5 maal 4 of 20 vierëntwintigfte dat is; £=f|, 6 40 Wat is i van 24 vierëntwintigfte ? komt 9 vierëntwintigfte; dus \ = 7 maal 3; dat is 2j vierëntwintigfte , en dus | =?4J. Door deefe rékenig hebben wij in plaats van de geftelde breuken f, |, | en J verkreegen, deefe die aan den eisch der vraag voldoen. § 507. Als men dus eenige breuken gelijknaamig zal maaken, moet men volgen deefen  ILBoefa II. H.XIX. Les, Over de Breuken. 433 Algemeenen RécEi,. i« Moet men het „ kleinfte gemeene veelvoud van alle de noemers ,, der gegeevene breuken bepaalen. Zie § 443. 20 Dan deelt men het geheel in zo veel dee„ len als het getal van het kleinfte gsmecne veel. ,, voud bedraagt" (dit is degeneraale noemer, tri ,, v/elke alle de gegeevene breuken moeten uitgedrukt ,, worden*). 30 ,, Nu berékent men voor elke breuk, de „ waarde van zulk deel, als door den noemer van die „ breuk 'wordt aangéweefèn, in deelen door het „ gemeene veelvoud bepaald, — en dis verkrijgt men altijd als men de generaale noemer door de noemer van de breuk deelt." 40 De waarde van dit deel in deelen van den „ generaalen noemer berékend zijnde« moet het „ nog met den teller verménigvuldigd worden, „ om te vinden het getal deelen van den generaalen noemer, die gelijk zijn met de waarde der ge-, j, geevene breuk" 5" „ Elk een der andere breuken moet men op ,, gelijke wijfe beiverken en dan heeft men aan, „ den eisch van de vraag voldaan" § 508. Deefe régel is op de uitwerking van de volgende voorbeelden toegepast. I Voorgeeld. De breuken i*j h en $ tot dezelfde benaaming te brengen ? Ff i«  434 GRONDBEG. der CïJFFERKUNST. i° Lid der bewerking. 7» "»13 gem- deel- 7 . —— fcu it* tt 71 it, H ——~Ci3 t4tt i% icoi hec kleinfte ge¬ meene veelvoud van ^7, 9: en 143 , aanwij'ende in hoe veel deelen hec geheel gedeeld moec worden. 2° Lid der bewerking. a) looi deelen in het geheel in 77) komt 13 deelen voor ' deel. dit mee 13 ver menig v. komt 169 deelen voor ». 77 iooï 13x77 b) 1001 deelen in het geheel in 90 komt 11 deelen voor £ deel. dit met 12 verménigv. komt I j i deelen voor ~ 12^ I3<: 12x1 i dus — — — w . oi 10^,1 91x11 O  II. Boek. m II XIX. Les. Over de ^reuken. 435- O 1001 deelen in he; geheel in 143 komt 7 deelen voor rJ deel dit niet 20 verméniv. komt 140 deelen voor ~' derhalven —~~ Ji^l^r._i£? !43 143x7 ioor II. Voorbeeld, Om de breuken J,, it, itj> FsjsMI m gelijke benaamingen ts brengen? ï Lid der bewerking.. 2» 2> 3' 3» > 7» n» i3g'-™ 3f0. tl, i 17 s>0, it, tt, ' 5 44, tt 85 it, n -—(2 tt , 170 17) • (2 tïé , ii, i 340 m, u, tt —1—-(9=3X3 t5) 3060 (S 15300^ 107100 I178100 " -~ 03 J5 315305 net kleinfte gemeene veelvoud van de noemers der "gegeevene breuken, in welk getal van deelen het geheel nïoet gedeeld worden. F f 2j 2»  43Ó* GF.9NDBEG. der CIJFERKUNST; a° Lia aer bewerking, a) 153l5'ó°° deelen in het geheel in 36) * kdmc 425425 beelen in ,5 deel dit met 7 verménigvuldigd komt 2977975 deelen voor £ dus s97?975^ 7x425425 3ö""i53i53°o~ 36x425425 b) I53T5300 deelen in het geheel in 99) komt 154700 deelen in £ deel dit met 10 vermenigvuldigd. komt i547Q©o deelen voor ~ deelen. us IO— I0X1547o°— 1547000 99"" 99x154700 15315300 c) 15315300 deelen ia het geheel in 44) ■ komt 348075 voor ?) deel dit met 17 komt 5917275 deelen vcor 17 deelen 17 _t-X34Sc"5_ _59J727J derhalv ^-4^4^-153,^00 d) 15 315300 deeler in het geheel in 9 O x komt ,68300 deelen voor fï deel dit met 23 verménigv. komt 3870900 deelen voor der.  II.Boek. II.H. XIX.Les.Over de Breuken. 437 derh, ai r23X 168300^ 3870900 ' 91 ""91x168300*^ 15315^00 e) ( I53I53°° deelen in hec geheel in 143) 107100 deelen voor r4| deel. met 72 vermenigvuldigd komt 18421200 deelen voor deel derh I?2 *~172X107IO°—. 18421200 '. 143 ~i43Xl°7ioo~ 1531530° O 153'5300 deelen in het geheel in 85) komt 180180 deelen in s| deel dit met ïi verménigv. komt 1981980 deelen voor Jj deelen derh 11 — 11x1 ^°2fp_ 1981980 85^ 85x180180^ 153I5300 g) T53I5300 deelen in het geheel in 105) komt 145860 deelen in deel dit met 17 verménigv. komt 2479620 1 derh. I7r-i i7XI4586o^ 2479620 105" I05XI45860" 153l53°° F f3 *0  4s3 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. h) 153153co deelen in hec geheel in 130) — komt 117810 voor t,\ deel dit met 93 verménigv. komt 10956330 deelen voor & deelen. derh, .93a 93* 16956230' 130 130x117800""15315300 O 1531530° deelen in het geheel in ieo) komt 153 r53 deelen voor es deelen van die met 17 verménigv. (het geheel komt 2603601 deelen voor es deelen derh. JZ~ jfogot 100 100x153153 i$3i5£oo S 5C9 Na deefe uitvoerige verklaaring en op. hcldering van den régel, ftellen wij de volgende tot oeffening van de voorgefchreevene werkmanier. Maar wij moeten den leefer hier berichten, dat in de andwoorden, cm plaats te winnen, maar eene breuk of den generaalen noemer der breuken gefteld is, uit deefe ééne breuk vertrouwen wij, zal de leefer genoeg in ftast?ijn, om -zékerheid van zijne bewerking te hebben. Voorbeelden om onder dezelfde benaaming te brengen. ig Gegeeven i. j|» ï£? Andw, % enz. 80 generaale noemer* 2?  7/. 5wA II. H> XIX. Les. Over de Ereuken 439 7^0 gen. noemer. 3° Gffg^» -S n* 5 ca rï? Andw. 3465 g 6-7 en iT6? Andw. 226780 g««er. noemer. lo° G ?-> +T 'r5> '2. -i, 2, .3, 4 en lt 24 lö 12 3 4 6 2 Andw. 576 ófe ge», noemer. Ff4 13°  440 GRONDBEG. der 'CJJFFERKUNST. Geeecven —^> ,12, d1 -21, 2£2, »", U\ % i9 '°03!r 385 ' SS° 1365 231 ^ -1 105' 3Ö Ts ? Andw. 30030 ge», noem. Als de leerling door de uitwerking van1 deele uitgezochte voorbeelden, zich deelen werkré> gel behoorlijk eigen gemaakt heeft, zal hij tot de Additie en Subtractie der breuken kunnen overgaan, welker beichouwing het onderwerp der volgende Les zal zijn. XX Les, Over de Additie en Subtratlie der Breuken. § 510. "■""V woorden Additie en Subtra&ie behouden JLJr tier dezelve betékenis, die wij in de II en III. Les § 36 en § 49 aan dezelve gegeevea hebben: het eerfte betékent de fom van eenide breuken |, f/, f en het tweede het verfchil van twee breuken te vinden. A Fan de Additie der Breuken. § 511. In de de Additie der breuken komen ïwee hoofdgevallen voor; voor eerst de.Additie deizuivere Breuken; 2? die der gemengde getallen. § $12  II. Boek. II. H. XX. Les. Add. der Breuken. 441 $ 512. Het eerfte geval onderfcheidt zich in twee omilandigheden; want de breuken die men optelt, kunnen l° gelijke 20 ongelijke benaaniing hebben. I Als de breuken gelijke benaaming hebben. § 513. Als de breuken gelijke benaaming of den zelfden noemer hebben volgt men deefen Ré gel „ lelt de Tellers der breuken bij eL „ kander, fchrijft onder üeefe fom de generaals „ noemer — Dan is de begeerde fom der breuken 53 gevonden? Voorbeelden-j 4- -fi 3-f-4^ -fa i-f Zie régel § 461. ^iJ + ^ + ii-sjll-t^ilL1 1^. ïöT 1ÓT ió — lö —iö — 1 4 De réden van deefe bewerking is zoo klaar, dat het niet nodig is , dezelve nader te bewijfen. § 514. Dit werk is men op de Sch ooien ge wsön in deefe orde te fchikken^ 16 3 -9 9 ü 11 16 s~ 'S63 r-j der°m- F f 5 fchrij.  II.B.ILH. XXL L. Ov. de Muhipl. der Breuken.^ l Voorbeeld. 3796 met % te verménigvuldigen ? ï. II. 3796 3796 30 . 1898 30 .1898 15 . 949 10 . 632! 2 . i*6,| 5 • 316} — 2 . 126,-f Produél 2973- -■ Produel 2973^ ' nr. 3796 20 . 1265^ 15 • 949 12 ' 7S9* Produel 29734. Meer Voorbeelden. 10 1796 xM. = 1234120 1982.' x 4 - 278'^. 3° 3761 x | = 31311. 4° 837 H x & = 39o673. 5° 1376! Xg = 487Ü6° 1236! x H = 47411. 7° 8968^ x g = 317^. 8° 1296:; x g = 39o$i § 544. De leerwijfe, die wij in de voorgaande H h 4 $  4?i GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. $ oogegeeven hebben, kan alleen plaats hebben als de noemers der vermenigvuldigende breuken, deelbaare getallen zijn, en zulks geen plaats heb • bende, moet men of naar den algemeenen régel § 534 of naar $ 540 werken: — of men kan de teller van de verménigvuldigende breuk zo als pag. 239 § 599. geleerd is, in zamenhangende factors, ontlédigen: dat is als nlen 176 met ff moet verménigvuldigen, berékent men eerst hoe groot ^ van 176 zij? daarna ondédigt men 37 in de zamenhangende faclors 1,6,5 (zijnde 37 t=f I + ixö+ixóxj; en telt van 176, 6 maal sa en 5 maaló' maal ^ van 176 te zamen, deefe fom geeft 1221~ voor het produel:. d. Als een gemengd getal met een gemengd getal tnoet verménigvuldigd worden. § 545. Elk gemengd getal j\ kan aangemerkt worden als befiaande uit twee léden: eerst uit het heel getal 7 en dan nog uit de daar bijgevoegde breuk |. Nu heb «ik § 540 reeds gezegd, dat als een gemengd getal met een heel verménigvuldigd wordt, het produét door twee bewerkingen gevonden wordt; namenlijk door eersc het heel met den verménigvuldiger en daar de bijgevoegde breuk te multipliceeren en deefe producten op te tellen, dus zal iiïXJ7~ 1IX1744X17, Zo men derhalven in het geval komt, dat de verménigvuldiger een gemengd getal 'is, dat uit twee léden beltaat, zo als 117I met Hf moet gemultipliceerd worden, is iiï w 11 + i ep i° 117IX n = 117x114-5x11 en  ILB.ILH.XXLL. Ov. deMuhipl. der Breuken.®3 en 2° nyixl s ii7Xl+]x6 zo dat i^xiifs U7Xin-jxii + ii7x!+ 5x| In hec gemeen als een tweeledige grootheid A+B met een tweelédige C+D moet gemultipliceerd worden is i° (A+B)XC=3 AXC+BXC 20 fA + B) XD =3 AX D + BXD en 30 (A+B) X(C+D) =? AXC+BXC +AXD+BXD) § 546. Hec produel: van twee gemengde getallen zal dan zijn de fom van de volgende producten. 10 Het produel: van de heelen. 2 o -£De Producten van elk heel mee de breuk en 3 ivan het andere gemengd getal 4° Het produel: van de breuken. Zo dat 117I met nf zullende vermenigvuldigen, aldus kan bewerkt worden. 117X11=! 1287 117X | =3 971 i X I » f (opgeteld komt H7|xiif S13931 het begeerde product.' § 547. Als men dit beginfel veréénigd met het H h 5 geen  474 GRONDBEG. der CIJFFERKUN ST. geen in de voorgaande § § geleerd is, zal men veitaan kunnen de kunstbewerking die meest in alle rekenboeken over de multiplicatie der gemengde grootheden te vinden zijn. Voorbeelden. 3°4'l 3456? 36 1824 3 10368 — 912 — 82944. 8 . 18 1 . 81 4 . 9 1 . 8r z ' 4J 6*3- 1728! • 1 • 24 l2 . 1152= ~. 69% — ■ product' 84285a! produêi 1103 81' 3° _ 4°5 3oo!| iïooo 5 • 13& 3. produft 12087! Verklaar ing. In het eerste voorbeeld, heeft men eerst 304 met 36 verménigvuldigd, toen £ van 3S  II. E.II. H. XXI. L. Ov.de Multipl. derBreuken®*, q6 berekenden dat naar § 542, door ;| in 8,4, 2 en 1 te verdeelen. — eindelijk nog^ van ^04!; die deefe uitkomlten beeft men te zansen opgeteld. Dit weinige zal den leefer genoeg zijn, om de bewerking van de twee volgende voorbeelden te verftaan. § 548. Meest alle foortgelijke bewerkingen draagen den naam van korte rekeningen, dan of zij dien naam in de daad verdienen, hat ik tot beflis. fing aan een ander over: het zij verre van mij, dat ik dezelve wil verworpen hebben, zij kunnen in tegendeel van zeer veel nut zijn, al ware het Hechts, dat men door de oeffening van dergelijke kunstgreepen overvloedige gelegenheid heeft, om de hoedanigheden der getallen te leeren kennen, dat toch het ecnigfle en zékerfte middel is, om zich in ftaat te ftelien, bij voorkomende gevallen te oordeelen, vat de kort fte weg tot de berékening zij. VI, Bijvoegfel tot de Multiplicatie deiBreuken. § 549. Hoe zamengeflelde grootheden met heele getallen verménigvuldigd worden, is met alle voorkomende omftandigheden in de XIV Les verklaard. Eer wij nu van deefe Les afgaan, moeten wij nog in het kort leeren, hoe eene zamengeflelde grootheid met een gebroken of met een gemengd getal verménigvuldigd kan werden. I Voorbeeld. Om 2,72 Guld: 12 ftuiv. 10 pen.  476 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. pen: met Trs te verménigvuldigen, dat is J6yan 372 Guld. 1» ftuiv. en 10 penn. te bepaalen: I. Oplossing, Naar den gemeenen régel § 534. vermenigvuldigt men de gegeevene grootheid met 7 (de teller van de verménigvuldigende Breuk) naar den régel pag. 233. § 294. en deelt het komende product in den noemer der Breuk ,^zo als pag. 260. % 330. XV Les geleerd is. gegeeven 372 guld: 12 ftuiv: 10 penn. verménigv: met 7 komt 2608 guld: 8 ftuiv: 6 penn. t=s 7 maal het gefielde. in 16 ——— . 163 guld: o ftuiv: 8, penn. t=t i5 van het gefielde. II. Oplossing, Anders berekent men eerst, hoe groot 4 deel van de gefielde grootheid 372 Gl: 12 ftuiv. ro penn. zij? — door gemelde grootheid in 16 te deelen, dit gevondene zestiende deel verménigvuldigt met 7, komt het gevraagde, als boven, gegeeven 372 Guld: 12 ftuiv: 10 penn. 'in 16) . 23 Guld: 5 ftuiv: 12 f penn, p=! rs van hec gegeevene. dit vermén. met 7. komt 163 Guld: o ftuiv: 8^ penn: s ^ van het gegeevene. zd als boven. III  II.B. II. H. XXL L.Ov. deMultipl.derBreuken ® 7 III. Oplossing of men werkt als in § 543, de hreuk r75 in afhanglijke deelen verdeelende, zo als uit deefe onderftaande bewerking te zien is. gegeeven 372 Gl: 12 ft: 10 penn. 4 93 Gl: 3 ft: 2j penn. 2 46 Gl: nft: gi penn. 1 23 GI: 5 ft: ia| penn. komt 163 GI: o ft: Ö§ penn. (2 ,1 Van het gefielde als boven. II Voorbeeld. Om te vinden koe veel 17 maal 172 Goud-gl. 23 ftuiv: n penn. bedraagt9' Eerst verménigvuldigt men de zamengeflelde grootheid met 17 en dan berekent men, hoe veel \\ van dezelve, bedraagt, (als in het voorgaande voorbeeld) het welk bij het gevondene produel: van 17 gefteld, de komende fom het gevraagde produel: maakt. Berékening. 172 Goud-gl. 23 ft. Ti penü. met 17 \\ _J5 2938 Goud-gl. 10 ft. 11 penn, 5-57 : 17 : 3' 3-34 : 15 : 15 3-34 : 15 J5 3°&5 *• 3 : 12 J het product» § 550. Om deefe rekeningen te oeffenen zijn de volgende voorbeelden opgegeeven, tl  478 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. i* Te verménigvuldigen 37 Guld: 17 ft: 12 penn, met 8r*? komt 318 Guld: 17 ftuiv. \i \ penn. 20 Verménigvuidig36Zeeuwen 17 ftuiv: \%penn, met 17 Andw: 652 Zeeuw 42 ft. \sspenn. 3* Verménigvuidig 17 Laft 11 1 \ Schépel Amfteld. met 176^?' Andw. 3070 Lasten 22 mudd. 21| Schépel. 4 9 Verménigvuidig 132 jw? ri 7? i Andw. 205 voet 8 6' . linie. <° Als een pond kost 1 Gulden 11 ftuiv: 12 penn: hoe veel dan 17§ ponden? Andw. 27 G«/<&« 19 /7«fV. 9^ />«7«. e?» once kost 8 Gulden n r-5 ftuivers hoe veel dan 39 j)o»^ n|3 oneen? Andw. 5446 Gulden '14 ^ ftuiy. V Deefe voorbeelden zullen genoeg zijn, wjj ftap. pen 'er dus van af: ce meer, daar zulks in den régel van driën opzetlijk zal behandeld worden. XXII. Les. Over de Divifie der Breuken, 5 551. T_T et woord divideeren blijft ook hier de betéJLi kenis, in het eerfte Boek aan hetzelve gegeeven, behouden: het zal dan hier zeggen te be. paaien hoe ménigmaal eene breuk \ op de andere I begreepen is, en &? hoe een gefielde breuk ,| in een gegeeven getal deelen kan verdeeld worden. A.  II.B.ILH. XXII L.Ov.de'DivifiederBreuken,^9 A. De verhouding van twee breuken te vinden. § 552. Men heeft te vooren altijd ftilzwijgend onderfteld, dat de verhouding van een minder getal op een meerder alleen kan gevonden worden, en alle opgegeevene voorbeelden en régels zijn naar die onderftelling ingericht. Het is évenwei met de zaak geheel anders gelegen: men kan vraagen hoe veel maal zal 1» op 6 begreepen zijn ? —het andwoord zal zijn \ maal. — dat is met andere woorden 12 tot een geheel gefteld zijnde, zal 6 een half van dit geheel zijn. Vergelijk § 123 en 124. pag: 112. in de noot en § 161—163. ■ zo dat ten opzichte van alle getallen heelen of gebrokens een kleiner op een grooter meer dan één, een gelijk op een gelijk getal even één en een grooter op een kleiner minder dan één maal begreepen is. I. Befchrijving van de afzonderlijke gevallen. § 553' Laaten wij, om uit de natuur der zaak een algemeenen régel af te leiden eenige gevallen afzonderlijk befchouwen. I. Voorbeeld. Om te vinden, hoe ménig, maal - op 7 begreepen is? Oplosfing. f is op het geheel 5 maal begreepen. dus op 7 heelen 7 maal 5 maal, dat is 35 maal. derhalven \ gaat in 7 heelen 35 maal § 554. Als men dus vinden moet, hoe veel maal een breuk, waarvan een de teller een 1 is op een heel  480 GRONDBEG. der CIJFFEKRUNST. heel getal begreepen zij, „ moet men het heel ge. tal met de noemer van de breuk verménigvuldigen, \ Is op ó, 6 maal 4, dat is 24 maal begreepen. I is op 9, 9 maal 5, dat is 45 maal begreepen. | is op 10, 10 maal 7, dat is 70 maal begree- pen. II Voorbeeld. Om te vinden hoe ménigmaal de breuk \ in 15 begreepen is, redeneer jk op deefè wijs. | is zo veel als 3 maal * hu is | in 15, 15 maal 4 dat is 60 maal begreepen. Zie voorgaande régel, dus zal \ in 15 zo veel maal begreepen zijn als 3' in 60 begreepen is; dat is 20 maal. Wij kunnen deefen régel vastnetten. § 555. Als een heel getal, door een Breuk gedeeld wordt, „ zal men het quotiënt verkrijgen; „ door het heel getal met de noemer te vermé' „ nigvuldigen en het produCt met den teller van „ de breuk te deelen. Voorbeelden. 4 gedeeld door - is 4 x ^ *JjL ~ 6 3 "~ 2 i is m 19 begreepen -j~ t= — ö 215 maal. < • • t 16x35 ii is m 35 begreepen "~rf~a 112 maal. III.  IIB.ILH.XX1JLL. Ov. dcHerl. tot and. Noem.soi De leefer beoeffene deefe volgende voorbeelden i° | Guld. m 13 ftuiv. $\ penn. 30 jf Pond-VL w 2 /èAf//. 8 groof. 30 \ Last « 23 2! fchépel Amfteld. 40 | Ducaat ss 4 1 1 o ■ 50 ïi Afor& ^ 6 e»c Dat te vinden was. Meer Voorbeelden. i° Hoe veel. is i van 117'? Andw. 2915 K k 3 af  g02 GRONDBEG.Wder CIJFFERKUNST. 6° Als het geheel «a 119Ï, hoe veel is \? Andw. 471 3° Als het geheel is~ 1096, hoe veel is =|? Andw. 1(58,1 4° ^ fo* geheel «a 167^, veel is \? Andw. icoj 5° Als het geheelis^i*j6\, hoe veel is T\t Andw. 32rrr 6° ^/y geheel is=i 300! , #o*r.,.zulke vraaSen moeten, gelijk elk ziet door de iJivide in het gemeen beandwoord worden zo zal dewijl 31 0p 14 viermaal begreepen is 31'een Vierde van |4 zijn. Doch meer eigenaartig beanawoordt men zulke vraagen door de leer der ge. duurige breuken: men ftelt namelijk uit de getallen een geduurige breuk op, die men daarna tot een gewoone herleidt volgends den régel, zo als hier ffl het boven opgegeeveu voorbeeld te zien is, -3i~a*3 + i_. 7_ _ , 3 4 2x14 ""2X14 K ? Voor.'  II.B. II. H. XXIII. L.Ov deHerl. tot and.Noem ^ Voorbeelden tor oeffenitig. 1° Wat deel is 4*^ van 77? Andw. f. 2° Wat deel is 365 van 65^? Andw. |. 30 Wat deel is 169^ van 226 rj Andw. |. 40 Wat deel is 71 \ van 160? Andw. f. 50 Wat deel is g8 {J van joo? Andw: [?. 6° Wat deel is 159 ytffl 30031? Andw: rf. Kk 5 IÏI. HOOFD.  5p6 GRONDBEG. de* CIJFFERKÜNST. UI. HOOFDDEEL, Over de Decimaale Breuken, XXIV. Les, Over den aart en de natuur der Decimaal breuken en derzelver berékeningen. § 587. Het wordt rijd dat wij van de Decimaal breuken beginnen te fpreeken: wij zullen in derzelver behandeling korter zijn, daar wij met meer vollédigheid alle de gronden reeds hebben afgehandeld, die dienen moeten, om dit onderwerp en ook het geen in dit werk nog volgen zal, behoorlijk te verftaan. I. Wat Decimaale breuken zijn. § 588. Decimaale of Tiendeelige Breuken, ïijn zulke breuken, die een der termen van de grondreeks van ons tal - ftellèl tot noemers hebben. § 589. De grondreeks van ons talftelfel beftaat in deefe getallen i, 10, ïoo, 1000, loooc, jooooq,  ÏI.B.HI.H.XXIF.L.OvJe Decimaale £reuken.$oj ioocoo, iocoooo enz. dus zijn deefe onder» ftaande breuken DedmaaJen. J, J7%> 2137, _39, 17963289 10 100 1000 10000 1000 icoooo dus de gewoone breuken ~ enz, behooren toe dac foort van breuken niet. II. Hoofd eigenfchap der Decimaale Breuken. § 590. Elke Decimaale breuk kan gemaklijk in eenige andere decimaale breuken ontlédigd worden, welke met elkander genomen de ontlédigde breuk wéder voordbrengen: gelijk in de volgen* de voorbeelden te zien is, J5ai?j._5-Jj. _5. ïoo'-' 100 100" 10 100 1000' ' 1000 1000 ïooo""* 10 100 iooo* 10000 i0o00 10000 10000 10000*"" 10 100 1000 ïoooo 3795^ t 30000 . _7P^° j_ 900 1. 50 • 6 iooooo™" 100000 iooooo iooooo 100000 100000 -3 + _7 + _9 + 5 + \ 10 ' 100 1000 10000 10000 § 591 Volmaakt op dezelfde wijfè, kunnen allé andere decimaale breuken ontlédigd wordt. Deefe ontlédiging fchikt zich altoos naar de cijffers die ia den teller der decimaale breuk te vinden zijn; want elke decimaale breuk kan in zoo veele andere decimaale ontlédigd worden, als'er cijffers in den tel*  5o8 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. teller gevonden worden, terwijl de noemer van elke volgende breuk (indien 'er zich geen ooco in den teller bevinden) tienmaal grooter is dan die der voorgaande. III. Beeft eigenfchap legt den grond tot de bijzondere fchrijfwijze der Decimaale breuken. § 592 Deefe eigenfchao der decimaale breuken, welke bij de eerfte beichouwing in het oog ' .fe d„en grondfiag tot eene bijzonder» ichnjfwijfe deefer breuken; welke in het gebruik gefchikter en in de berékening gemaklijker°is; nameiijk als de decimaale breuk een eigenlijke is fchrijft men voor de plaats der heelen een o een comma of eenvouwig een ftip, het wélk ik voordaan het decimaal-punt zal noemen. Agter dit decimaal punt ter rechrehand, fchrijft men eerst de tiende deelen , vervolgends de honderfte deelen dan de duizenfte deelen, enz. tot dat alle de decimaale deelen, waar inde breuk ontlédigd wordt, agter elkander opgetékend zijn, wanneer alles als een heel getal ftaat, en de noemers van elk decimaal deel zijn weggelaaten. Op deefe wijs wordt r| aldus gefchreeven o <• om ïsI te fchrijven, zet men agter het decimaalpunt een o, om dat de tiende deelen ontbreeken en ag-er deefe o de 5 honderite deelen, aldus 0,0.5: dQ breuken ras% rE5x, en ^ wor. den aldus gelqhreeven. 0,003; 0,0007; 0,00000 0,000003. Voords  5«o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST, Berékening, 29/" door 60 deelende, om tot fe. cunden te maaken, komt 29w sa o" 48333333 enz. dus is iï" *9<» a 1»",48333^33 enzdit door 60 deelende, om tot minuuten te maaken, is u" 29'"= o', 9 388889 enz dus 49' n» zo'" 49^1913%8S$9 enz. dit wederom door 60 deelende, om tot graaden te maaken. komt 36° 49' u" 29'" ~ 360,8i98564ó Meer Voorbeelden. 1°) 9 ./?#*>. 15I />. 9\ penn. s=s 0,80691 'Goud-gl. 4°) 23 %\ fchép. = 0.8^5 .Ltfrt 50} 5 19 e^g 301 aas— 0,74975 Mark. 6°) 170 n' 3" st/r, 7= 27% 1844+30505^, 7 _) 17 vSVfo//. 2^ gr. sa 0,8604666 pond-vl. $°) 127 /fo*. ii 7| Unie— 127,9704861 y. C. /fee es» decimaale breuk tot een gewoone gebragt wordt. 5 615 Een decimaale breuk komt terftond toe de gedaante van een gewoone, als men den noemer fchrijft Zoo is is 0,379 ~ Tgg; 37,0:27 sa 37-^ enz. —- deefe zaak heeft derhalven geen de minfte moeijelijkheid. het eénigtte, dat hier in aanmerking komt, is, dat men zien moet of de gewoone breuk verkleint kan worden, en dit kan niet anders plaats hebben, dan in het geval als de tellers door één der getallen van de volgende reekfen deelbaar zijn. 2» i  ÏIB.IIIH.XXF.L. ÓvJellèrlJcrDec,Bretih$$z. 2, 4, 8, 16, 32. 64, 128, 255, gi2j I024 enZ5, 25, 125, 625, 3ias, 156*5, 78125, 390625 enz. J 616 Maar als de breuken niet verkleinbaar zijn, en het echter gemakshal ven nodig is, zodanige breuken in kleiner getallen te hebben, moet men gebiuik maaken van den régel pag. 412. § 488. voorgefchreeven, alwaar een genoegzaam getal ophelderende voorbeelden voor handen zijnae, eeq verdere verklaaring der zaak onnoodzaaklijk is, D Hoe decimaale van Gelden, Maaten en Gewigten tot de gewoone deelen en 7nin* derdeelen van dezelyt? herleid, worden.. § 617 Dit is het omgekeerde van artikel B en wordt uit de régels, in de IX Les opgegeeven, verklaard. Waarom eénige uitgewerkte voorbeeld den tot verklaaring genoeg zullen zijn. I Voorbeeld. De breuk 0,37892 Guldenjj, tot ftuivers en penningen te brengen? 0,37892 Gulden met 20 gemuit: om tot fluivers te maake» komt 7,5784 ftuivers met 16 gemuit: om tot penningen te maaken komt 7 ftuiv. 9,2544 penningen.^ 0,37893 guld.  532 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. II Voorbfeld. 33°»?98i7i tot minuuten fecunden, tertien enz. te maaken? multipl: met 60 tot minuuten komt 330 47',896r6 multipl: met 60 tot fecunden komt 33° 47/53/,»?756 multipl: met 60 tot tertien fc>™33°4?'53"4é"',536 multipl: met 60 tot quarten komt 330 47'53"46^3^,16= 33 °.79827J. Elk ziet hier uit, dat dezelfde régels, welke ■dienen, om de heelen van munten, maaten en ge. wigten tot minderdeelen te brengen, ook in deefe herleiding moeten gebruikt worden. Waarom wij den Jeefer , die eenigen twijfel mogt hebben, verzoeken de IX Les te raaöpleegen. Meer Voorbeelden tot oeffemng. i °> 7>3825 Goud-gl. =5 7 G-gl. 10 ft. 11,36p. *°) 0*3825 -Ducaat w 2 Guld 2,6penn. 3") 0,3795 Last a 10 mudd 0,986 fchép. 4°) I5°,82539 » 50' 49' 31" 24"' 14"" 24""' S°) ifMiSSMark* ij9Markti onc 4,096 aas. XXVI  1LB.1ILHXXVLL.0v Je wéderk. Dec. Breuk.s$% XXVI Les. Over de wéderkeerige Decimaale Breuken. 1. Wat wéderkeerige Decimaale Breuken zijn § 618. Als men een gewoone breuk gelijk T- tot een decimaale breuk brengt kan, zo als wij gezien hebben, de deeïing nooit opgaan, zo dat 'er nimmer een de- r r maale breuk 13 < 1,0000 enz. <0,(076923) 076923 kan gevon- t 90 ^ C°7 den worden 120 die aan de 30 gefielde ge- 40 lijk is. Maar 10 enz. als de deeling, die tot de herleiding nodig is, wel ingezien wordt, zal men wel dra gewaar worden, dat na verloop van eenige deelingen, dezelfde resten der deeling wederkomen, die men te voren reeds gehad heeft, waar door dan ook dezelfde cijffersin het quotiënt wederkomen; dit gaat zonder ophouden voord, gelijk men overtuigend zien zal, als men het névcnftaande voorbeeld tot 30 of 40 deelingen voordzet, als wanneer blijken zal, dat telkens de cijffers 076923, die tusfchen twee haak jes ftaan, wederkomen, § 619. Zulke decimaale breuken, waar in telkens de ?ijffers wéderkeeren, noemt men wéderkeM m 3 rige  GRONDBKG. der CIJFFERKUNST. f-ige Decimaale Breuken, en men is gewoon dezelve aldus te fchrijven, -l ~ 0,(076923)07 enz: ; = c,fi); i==o,(;3); .-4=0,(18); 3-—0,(513)' il»0,13(8,»; 'j= 0,39(285714). § 52o Het getal (076923) in het eerfte, (1) in het tweede, (3) in het derde, (18 ) in het vierde (285714) in het zévende voorbeeld, dat bij herhaaling voorkomt noemt men het repetendum of herhaal-getal, dat wij in het vervolg altijd tusfchen twee haakjes zullen zetten. § 621. Men onderfcheidt de wéderkeerige Decimaal breuken in zuivere en gemengde. Door een zuivere wéderkeerige decimaal" breuk verftaat men zulk een, waar in alleen het repetendum bij herhaaling gevonden wordt; gelijk 0/3); 0,117) 0,(1826; enz. Een gemengde wéderkeerige de. cimaale breuk is zulk eene, waar in behalven het repetendum nog een ander lid vooraf gaat, gelijk 38>(°>) 3*8(725) 0,17(3127925) enz. De zuivere wéderkeerige, als ook de gemengde noemt men één, twee, drie-lédig enz., naar dat 'er één, twee, drie of meer cijffers of léden in het repetendum gevonden worden. Zo zijn 0/8); 3>2(7_) éénlédige; 0,(39) en 7>92(37) tweeledige (7,79) en 38,2(829) drieledige wéderkeerige decimaal breuken. ÏI Eigenfehappen der wéderkeerige Decimaale breuken. S 622. Als men de Breuken }, ~U -,m\ enz: tot decimaale breuken brengt, zal men voor  II.B. IIL H.XXFI.L.Ov.de wéderk. Dec.Breuk.5sS voor \ vindena ot( 1); o,Coi); ^a o,( ooi) js,-o,('oeoi); 555^^0,(00001^ voor a 0,(000001) enz« -—• Om die réden moeten de breuken 1-, $, 55! als de hoofdbreuken aangemerkt worden, waaruit de wéderkeerige decimaale breuken ontllaan. § 623. Hier uit is gemaklijk afteleiden, dat elke wéderkeerige decimaale breuk gelijk in waarde is met een gewoone breuk, waarvan de noemer een getal is, uit zo veel négens beftaande als 'er cijffers in het repetendum zijn, en waar van de teller het repetendvm zelve is; zo dat 0,(7 )aj; o,(37)a VA 0,(347)-$; °,(378SD o»(38279i) enz. % 624 Dit zal gemaklijk verftaan worden, als men de natuur der wéderkeerige breuken zich behoorlijk voorftelt. Want als ik o,(i)ai fchrijf, wil het zeggen» dat-a—4- —+ —-4 ; enz. als men nu deefe gelijkheid met 7 verménigvuldigt komt -|a f0 Jo + jd + izd+ enz~ °>C7) wederom-^ ^ 4. ~ 4- j^0+ enz. dit met 37 verménigvuldigd, komt g- !oo +1^0 + 7^dL+ enz <=j o,(37> Op gelijke wijfe is het met alle andere wéderkeerige decimaal breuken gelegen , zo dat hier uit, genoegzaam de zékerheid van de aangenomene ftelrégel vastgefteld is. § 625 Het is niet altijd noodzaaklijk, dat de noemers der gemeene breuken, die aan de wéderM ra 4 kec<=  §36 GRONÜBEG. der CIJFFERKUNST. keerige breuk gelijk worden, ééa deefer getallen 9> 99, 999, 9999 enz. zijn; want T'r a 0,(09;. 4 = 0,^076923 enz met meer anderen; maar als dat plaats heeft, moeten de noemers deefer breuJcen fi en ;| évenmaatige deelen van 99 en 999>;-99 zijn, het welk ook in der daad plaats heeft, want; 9Xji^99 en 13x76923a999999. De noemers der gemeene breuken, die een wé. derkeerig decimaal-getal kunnen worden, moeten uit de deelers van de getallen 9, 99, 99 ) ■, 9999 e,z. gevonden worden ;)ie deelers zijn in deefe onderftaande tafel te vinden. 9=~3, 3 99=6 y 3» 11 99.9=3, 3, 3, 37 9999=3* 3, i'» »oi 99999=3, 3, 41, 271 999999-^3, 3, 3, 7, 11, 13, 37 9999999=3, 3, 239, 4649 99'99999=3* 3, ]U 73, 101, 137 999999999-3, 3, ï? 3,37, 333667 dat men zelf verder kan berekenen, enz enz. De eerfte deelers deefer getallen berékend zijnde, gaat het altoos vast, dat eenige breuk, die een deefer deelers tot noemers heeft, tot eene wéderkeerige decimaale breuk herleid kan worden, die zoo veel léden in het repetendum heeft, of hebben' kan, als 'er léden in het-hoofdgetal, waartoe die deeler behoort, gevonden worden. Zo  ÏLB.III.H.XXFHL.Ov.deV&erk. der Getallen,^ dat de inhoud van een vierkant of quadraat gevonden wordt, als men de lengte met de breedte vermé' nigvuldigt.) De quadraaten of vierkanten ontitaati dus uit de verménigvuldiging van een getal met zich zeiven. Het vierkant van 9 is 9x9 of 8ü» hë£ vierkant van 36 is 36x 36 a 1296. § 635 De vierkanten der getallen t, 2, 3, 4} 5 enz ontftaan als men de onévene getallen 1, 2 * S> 7 5 9 enz« geduurig optelt. 1 is hét vierkant van 1 1+3 of 4 is het vierkant van 4 1+3+5 of 9 is het vierkant van 3 1+3+5+7 °f *6 is het vierkant van 4 ï+3+5+7+9 °f 2 5 is het vierkant van 5 Hier door is het dan gemaklijk, om zonder re multipliceeren, alleen door optellen een tafel der vierkanten van de natuurlijke getallen 1, 2, 3 , 4, enz- op te ftellen, het geen reeds door Fretfst, Wolf en anderen tot gemak der Rékenaars gedaan Is. IV. Hoe het vierkant van een getal kaü gevonden worden. $ 636 Als een getal in twee deelen gedeeld is$ zal, als men de vierkanten deefer deelen met twee* maal het product der deelen optelt, de fom éó groot zijn als het vierkant van het geheel. Als 12=^ 54-7 is, zal5X5+7X-+2x5x7=12x12. — eü Als c=a+b; zal aa + bb+ ,,ab — cc, liet welk zeer natuurlijk is, want a+b met a+B U  544 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. te verménigvuldigen, is te bepaalen wat Qa-\-b)xa en (a+bjxb te zamen uitmaaken. Nü ïs (a+b)xa=aa+ab en (a+b)xb = bb+ab dus (a+F) x a+(a-vbjxb *=aa+bb+<2 ab—cc § 637 Deefe leerftelling is van een goed ge. bruik , als men een grootheid of getal tot een vierkant zal brengen: te weeten, elk getal verdeek zich natuurlijk, naar de cijffers, die in het zelve gevonden worden» Zo is 37 — 304-7; 932 — 9004-304-2 enz: als men dan het vierkant van een tweelédig getal zoeken zal, telt men de vierkanten der léden met tweemaal het product, der léden bij elkander, waar bij men onder het oog houden moet, dat de vierkanten van éénen, éénen; van tienen honderden; van honderden tienduizenden; van duizenden, tien maal honderd duizenden of miliioenen zijn, enz. Als men dan de vierkanten van 97, 83, 124 zal bepaalen, werkt men dus. ABC 81 j 49 64 I 09 144 j 16 (der léden. 12 j 6 4 J 8 9 I 6 dubbekl product 9409 6889 15376 vierkanten. In voorbeeld A heeft men het vierkant van 9 of 9 tienen de 81 namelijk in de plaats der honderden, en 'er de 49 het vierkant van 7 agter aan gefchreeven. De 126 die'er onder ftaat en 'er bi) geteld is, ontftaat als men 90 of 9 tienen met 2 maal 7 veiménigvuldigt, wanneer het produél ook tienen  tienen zijnde, door ééne Ietter agter öit te plaaïfen op, zijn behoorlijke plaats komt. § 633 Als men een veellédigegrootheid a+b + c + d+e+eaz. tot een vierkant wil brengen, zal de fom van de vierkanten der léden met tweemaal het product van de twee eerften tweemaal het prodüct, van de fom der twee eerften met hec derda 2 0 + Xff, tweemaal het prodoft van' de drie eerfte met he: vierde of 2 (a + b + c jxd enz. alle bij elkaader geteld, hec vierkant van de ge. heele fom zijn. Want. r a+b+c+dy+ee+i'ya+b+c+d)xeqi&W+c&d (a+b+c/ +dd+ z(a\-b+c)x 'dh (a+b+c+df (a+b ~-+cc+2~(a+b-hc+d+e^ zijn, +i(a+b+c)Xd J ; +2 a+b+c+dXe j § 639 Hieruit volgt, hoe men een getal, dat uit dne of vier léden "bellaar, gemaklijk in het vierkant kan brengen, bij voorbeeld het getal 37.15 ~ 3,ccj +70 =+40+5.'Hieris«a 3000, £3700, czs^ d— S' aa'bb'ccldd 9 I49 16 25 _j a>+&+e»H? 4 2 1 zzzab ■ (290 & beftaat het gecombineerde getal 2090 wederom aj uit het vierkant van het volgende lid, en b ) dan nog uic tweemaal hec produel; van de fom der twee voorfte léden met het gezogte, (Zie§ 638). — daarom verdubbelt men het reeds gevondene 23, komt 46, dat fchrijft men onder 2090 (de agterfte plaats wederom open laatende) en vraagt hoe ménigmaal 46 op 209? komt 4 maal, deefe 4 fchrijft men agter de 46 en in de uitkomst, en dan multipliceert men de 464 met 4 komt 1856 = aan 4X4+2 maal 23X4, welk getal van 2090 afgetrokken, 234 overblijft. De bewerking is tot dus verre N n 3 $  $$o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 5'49>90>25{234 4 i U9 L. 43 C3 129 2090 464 ~C4 1856 234- —f Eindelijk de twee laatfte cijffers ageer het overfchot plaatfende, beftaat het getal 23425 wéderorii Uit het vierkant van het laatfte lid, dat nog gevonden moet worden, en tweemaal het produci van het gezogte met de fom der drie gevondene léden 2,"4, daarom verménigvuldigd men 234 met 2, komt 468; deefe zet men onder 23425' (de agt'.rfte plaats openlaatende) en nu vraigt men: hoe veel maal is 468 op 23425 begreepen? het andwoord is 5 maal, deefe 5 agter 468 in lédig" ftaande plaats en agter het reeds gevonden 234 gefteld, en 4685 met 5 verménigvuldigd zijnde, zal het iomcTid-: prodtiéï 234253 5X54-2maal 234X5, vt.; 3425; afgetrokken niets overblijven. En nu ïs : Wits wortel van 3549.90353 2345. .• • öwocele bewerking is hier onder te vinden»  ILB.UI. H.XXm.L.Q.denVierk.mrteU 551; . $a b c d 5*9*0,23 \% 3 4 5 4 . . . a 149 43 . a 2tf 4- o 129 . 2 *è + bb . £090 464 a 2 (a + b) + c . a (c 1856 3 2 ( Want als men van de breuk !L telier en noemer met'n verménigvuldigt (n geen vierkant zijnde,) kont een verkleinbaare breuk, dech zo men nu uit deëfe- V n ' : ' •fcreuk 2 in dien ftaat de vierkants-wortel maet trek- b'- n \ ken, za! zulks niet kunnen gefchiedeh, om dat teller en noemer worte!I«ofe getallen zün , indien men dan de breuk etrs'i döor n verkleint, zal de1 wortel uit de verkleib'd* brca?. ii kunnen getrokken worden en 1 zijn. Ai ■ h 1  II.B.ÏII.H.XXFII.L. Ov.den Vierk, Wortel. 5S$ VIII. Hoe de wortels uit decimaal getallen moeten getrokken worden. § 646". Hier dient men oplettend te zijn , dat men altoos de verdeeling van -het decimaal punt beginne te rékenen, voor de heelen naar vooren en voor de decimaalen naar agteren , en dan moet men uit het decimaal - getal de vierkants-wortel trekken, alsof het een heel getal was, mids niet te vergeeten , het decimaal punt in de verkreegene wortel te plaatfen, op die plaats, waar het zelve ftaan moet, te weeten als men aan het decimaalpunt van het geftelde vierkant gekomen is, moet men ook op die plaats het decimaal-punt in de wortel plaatfen. Voorbeeld. De vierkants• wortel uiü *389,7984 en uit 0,000680625 te trekken? A. 131 80, 79184 f37,28 Wortel 9 \ 489 _ 469 2079 742 59584 7443 * o<* 59584 O N n 5 g.  554 GRONDBEp. der CIJFF^RKÜNST. B f 0,00,00,68,06 25 «0,00825 Wortel,, 64 i 406 161 O 8225" «645 (5 8225 o Meer Voorbeelden toe oefening. 1°. V 10,6929 =! 3,27; 2° 1/99,2016=3 9,9^; 3°. V 3,0276 ~ i,74- 40*»7 76,Séa5=3 8,75, 5°. V 152,399025 =3 12,345,' 6°. ✓ ir95So,669iÉi =* 345,76i. 7°. ^ 0^296 =3 o, ;6; 8°. V* 0,0016 s- 0;04; 90. V 0,000000737881 ca 0,000859; ïo°.V 0,0000288369 =50,00537. JX* Over de Wortelloofe - getallen. \ 647. De getallen 2, 3, 5, 6, 7, 8, Io, \\, 12, enz. — die in de natuurlijke reeks der getallen, tusfchen de reeks der vierkante getallen 1, 4, 9, 16> 25 , 36, 49 enz. invallen, worden woyteloofe'getallen genoemd; de réden hier van is, dat 'er geen heele of gebrokene getallen zijn, die in zich zeiven verménigvuldigd zijnde , zulk een wortelloos getal volkomen kunnen uitmaaken. Om het welk te betoogen, ftel ik, dat men 4e wortel van hec getal 13 wil zoeken, deefe wortel  II. B. III. H. XXVI. L. Ov> de fVortelloofe Gei. 555 tel (ndien zij 'er is) zal grooter dan 3 en kleiner dan 4 moeten zijn, dus 3 + (de breuk b 1 ftellen wij cp het meest verkort te zijn) als dan 3 + i of lM~a met 3JLL_ verménigvul.» b I) b ° digd wordt, zal het product C—tl.)' — 13, gelijk een heel getal moeten zijn. Maar dewijl de breuk 1 niet meer verkleinbaar is, zijn a en b onderling onmeetbaar dus ("3 b + a) en (b) ing. gelijk onderling onmeetbaar, maar zulks plaats hebbende, zijn (3 b + en bb ook onderling onmeetbaar; de breuk (liill)3 zal dan aan geen heel getal, niet aan 13 kunnen gelijk zijn, aangezien anders ( $b + a/- 0 13 bb 9 zou moeten zijn , het welk onmooglijk zijnde , aantoont dat het getal 13 geen volkomen vierkants - wortel in getal heeft. Wij zeggen een volkomen vierkants* wortel in getal, dewijl 'er wel dégelijk zulke vier kants-wortelen, vooral in de Meetkunst zijn. (a) Maar zij zijn van dien aart, dat zij door geen getal aaauw- keu- («) De hoeklijn van een wierkant, dat een voet Jang en een voet breed is, is gelijk aan den vierkants-wortel uit 2 , gelijk in de Meetkunst beweefen wordt, maar aangezien de vierkants-wortel uit 2 door geen getal bepaald wordt, ten zij het te groot of te klein worde, kan de diagonaal of hoeklijn van het vierkant, noch door de zijde noch door eenig évenmaatig bepaald deel van de zijde volkomen gemeeten worden. Hier in heeft men dan een voorbeeld van onmeetbaare grootheden , daar wij reeds meermaal van gefproken hebben, enhoedanige in de Meetkunst zeer veele gevonden worden.  §56 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. keurig (niet anders dan nabij) kunnen aangeweefen worden. Om nu éven wel de waarde van de vierkantswortel, uit een wortelloos getal, zo na mogelijk, te vinden, werkt men raar het algemeene voor. fchrifr en als men tot de laatfte werking gekomen is, fchrijft men agter de rest die in zulke gevallen altijd plaats heeft, twee nnllen , en agter de laatfte cijffer van de wortel het dicimaal-punt, en werkt dan voord, naar den algemeenen régel, telkens agter elk nieuw overfchot twee o o fchrij vende. Voorbeeld. De vierkante wortel uit 19 zo na mogelijk in getal te bepaalen? 'Berékening 19 -£4,358898943euz- 3 Tö 300 : 83 t (3 249 5100 86 enz. Hoe meer léden men neemt van de decimaale t>reuk des te meer komt men in getal nader aan de wortel uit 19, zodanig dat de wortel uit ï$ grooter is dan 4,35 kleiner dan 4,36; grooter dan 4,358; kleiner dan 4,359 enz — waar van men kan overtuigd aljn, als men de vierkanten van deefe getallen opmaakt; want 4,3X4,3 is kleiner dan 19; 4,4x4,4 grooter dan 19; 4,35x4,35 kleiner dan 19; 4,36x4,36 grooter dan .0, enz. -— Zo dat elke eijffer nader aanwijst tusfchen welke breuk-tallen de, waare wortel fteeds nader komt. —— Meer  56*4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. (a+B)l~ 1369.. a+B « 37 Cs 3(*+6f~ 4107.. 3(^)=: ui. c a 6 f's 36. c's216 B(a+Byc=z 2464200 3(a+D)cs 3996. 3996 216 2504376= 3^+^*^+3C^+^)f'+^. dit bekomene getal 2504376 van 2844400 afgetrokken, blijft er over 340024. Dit is tot dus verre de bewerking. r 535497,400,832 < 376 27=; a5 lahc 26497 23653a aV+afr+c' 2844400 2504376- 3(^)V4-3C*+Oc'-^ 340024832 Om eindelijk de laatfte cijffer van de wortel te Vinden, herhaalt men dezelfde bewerking (a+B+c)' ~ 141376 ltf4-2?4-c — 376 2(a+b+cf a 424128 i3(*4-£+0 «1128^51» — een breuk, m X A die 'door A verkleind zijnde, I geeft. — De der- ' m de term gedeeld door de vierde m x B, geeft . B en deefe breuk door B verkleinende, is ook L de verkleinde breuk ■— deefe daadelijke IR deeling bewijst, dat als van de vier grootheden of getallen de eerfte door de tweede en de derde door  ni.B.l.H.XXVIU L Qv.de Meetk Proport 57G door de vierde terra gedeeld worden, de komende quotiënten in beide deelingen gelijk ziia; dewijl nü ("Zie § 659 ) de natuur van eene proportie juist daar in beslaat, befluic ik dat A, m x A, B en m x B in proportie zijn. Op gelijke wijiè moet de évenrddigheid van de zes volgende verfchikkingen beweéfen worden , wij Iaaten dat ter befchouwing voor den leefer over, om hem gelegenheid tot zelf denken te geeven, VIII. Voornaame Grond-ei genschap der proportien. § 67 x. Alle proportien in getallen hebben die eigenfchap, dat de eerfte term met de vierde vermenigvuldigd , het produft juist zo groot is, als hetprodu;}; van de tweede, met de derde term verménigvuldigd. Proportien Produften der termen. Als 7: 8=3 14:16 zal 7x16=38 x 14 a 112 9:16-18:32... 9 X32=3 t6xi8 = 28§ 3: 6— 6". 12... XX12 — 6 x6 =136 lU 3-i| l3k"* IhX3^ =3 3 xi| =4^ f: \ -a 3 :a ... ax| « § *3f;~i1 zijn Deefe Helling is gemaklijk te bewijfen. Want wij hebben aangetoont, dat al le proportien , die in getallen gegeeven kunnen worden, in deefe algemeens proportie A : B - m X A : m X B. of zo men wil in deeie A : tn X A - B:«XB. liggen opgeflooten. Als men nu lm de eerfte proportie de eerfte term A met de vierdp 9 X 8 Pps ver»  58o GRONDBEG. der CÏJFFERKUNSf. vermenigvuldigt, komt A X m X B tot produSi; en de tweede term B met de derde m X A verménigvuldigd , komt voor het produel: B X m X A, dat het zelfde is met het eerfte product A X m X B, dat biweefen moest "worden. Het zelfde heeft ook in de tweede proportie A : f» X A:=sB:0zXB plaats. Deefe grondftelling wordt meestal uitgedrukt onder deefe bewoordirg. „ Het produel der ui„ ter fte termen is gelijk aan het pro (tuft der ,, middelfte termen. *' ÏX. óver de vierde , derde en midden - évenrédigen — en hoe dezelve gevonden worden. % 672. a) Over de vierde-évenfédige ) De vierde term ( 3 O van eene proportie t 8 ; 7 ~ 4:33) wordt de vierde-évenrédige genoemd, én hangt af van de drie get:;llen tot wélke zij de vierde évenrédige is, zo dat drie getaiien nsar welgevallen kunnen gefteld worden , maar de vierde- éveniédige Zal dan van die drie gefielde getallen afhangen. Om tot drie gefielde getaiien 7, 8 en 21 een vierde-évenrédige te vinden, ftelt men voor die vierde • évenrédige x, en dan moet 7 : 8 =r 2r . x. nu is het product, der uiterften gelijk aan het product der middelften, 671.) derhalven 7 maal x a 8 maal 2t ~ 168. Om hier uit de waarde van x te vinden, moet men doör 7, de multiplicant van x\ divideeren, (a) komt (O Tot opheldering moetik zeggen, dat het eenealgesieene grondwaarheid is, djor elic erkend, dat, gelijke (zo  III. B. I. H. XXVIIIL. Ov. de Meetk. Proport. 5 81 8 maal 21 komt x c= ■—- — 24, de vierde-évenrédige zijnde 7 : 8 a 21 : 24. Als algemeen gegeeven waren a, b, c en dat een vierde-évenrédige x begeerd wierde, zou men wéderom ftellen a : b c : x maar dan is a X x a b X c CZie § 671.) deefe vergelijking door deelende, komt x a L~_l a Dit is een algemeen voorfchrift, het welk ons leert, dat, om tot drie getallen een vierde.évenrédige te vinden, „ de twee laatfte getallen met „ elkander moeten gemultipliceerd en het komende „ ptoduii door het voorfte getal moet gedivideerd „ worden , zijnde dan het komende quotiënt de „ vierde» évenrédige. " De vraag, om een vierde-évenrédige te vinden is van zulk een uitgefirekt gebruik, dat het als de ziel van de wiskundige rékeningen wordt aangerrerkt — De régel van drien niet anders dan eene bijzondere toepasfing van die vraag zijnde, zullen wij daarom nog eenige voorbeelden ftellen. Op- (7.0 ah men het gewoonlijke uitdrukt,) door gelijke g>' desld zijnde , de quotiënten gelijk zijn , dat is in een meer ve.ftaanbaaren ft;jl: van gelijke dingen, zijn de helften, derde, vierde-parten enz. gelijk, In ons geval zijn twee grootheden , ©f liever twee uitdrukkingen 7 maal x, en 8 maal 21, die gelijke waarde moeten hebben, dus zal ook een zévende van de eene uitdrukking een gelijke waarde hebben, met een zévende van de andere; dat is x heeft met een zévende van 8 maal 21 of 168 dezelfde waarde dat is x n— —^ 21 —— 24. 7 PP 3  |8s GRONDBEG. der CïJFFERKUNST. Gegeeven 3^:7- 2 f : x is x 5 ï 1 :§a bi?} :arlrsr» tóg 9: : 17; !=: ïoo :.vis^;t= i8i3,' 8 i : 9r! ^ IQ; 's x = ïo-15 c.79 : 32,82 ic 6,27 . x is x e= 6907,57 * Hieruit volgt, dat welke term in eene proportie Uitbreekt , dezelve ahijd kan gevonden worden. 1 Als van de proportie 9 : 16 = 27 : 48 de eerfte term 9; ontbreekt, en men dezelve vinden Wil, ftelt men x : 16 =3 27 : 48 hier door is 48x3 16 x 27, (§ 671.) dus x 0 — ^— =odeeerfteterm. 46 * ÏI Als de tweede term 16 ontbreekt, ftellen wij 9 : x =3 27 : 48 en dan is 27 x x sa 9 x 48 9 X 43 en * sa —jj— — 16 de tweede term. ÏII Als de derde term (27) ontbreekt, is de ftelling 9 : 16 sa x 48 dus lótfsa 9x 48 9x4^ , , , en #sa —— != 27 de derde term. § 673. Voor de algemeene waarde van een Vierde évenrédige x tot a, b , e is gevonden ar e - , voor welke uitdrukking (ic) kan gefchreeven worden — x c \ dit leert ons, dat men altijd de vierde a evenredige vinden zal, als men de derde term ver. ménigvuldigt met het geen 'er komt, als men de tweede term door de eerfte deelt. — Een ftelrégel, die men dikwijls met vrucht gebruiken kan. § 674-  UI. B.I.71 XXVIII. L. Over deMcetk:proport.s%S door verftaan wordt § 656") kunnen met het zeKde getal, dat men willekeurig neemen kan, vermé» rdgvuldigd oi gedeeld worden, zodanig, dat de o-. verblijvende termen, die niet verménigvuldigd of gedeeld zijn, met de komende producten of quo* tienten in evenredigheid blijven. Dat is als A: B — C: D een proportie is, en n eenig getal, dat willekeurig genomen is, zullen door multiplicatie en deeling van de gelijkHandige termen, uit deefe gefielde proportie, de volgende agt proportien geformeerd worden. Algemeen in Getallen uit A: B-rC: D { 60:90= 120:180 door multiplicatie van de gelijkHandige termen. i° A"X?:'BXn=: C : D 3X<5o:yoX?= 120:180' a° A:il = cX'i:^Xfl6o:9o=; 3XI2°:=Xf8o 3° »XA:B=; »XC:I) 7XW:9°- 7X'2o- 180 4° A:nXü = <~:nXOl63:&X9°= 120:8X180 door divifie der gelijkHandige termen. 5* A-r«i:B-i-te C :D,ooi 2:904.2 = 120: ijjo 6* A~' B=s C-f n^D^.n|6o;90=i 1204-10:180 — 10 7° Af» :B=Ct n ; D 604- 12:90=; 120 i 12 • igo 8° A: B A«z C: D 4- n'fio : 90 4- 9~ 120 :1807-9 _ Dat alle deefe agt (tellingen waarlijk proportien zijn, kan zeer gemaklijk aan het verftand van den leefer gebragt worden, want als A: B =3 C: D een proportie is en A en B elk met » verménigvuldigd worden is A:B=3 «x A :nxB volgends § 668 maar A: B=? C:D volgends deonderftelling derhalven Ax«: Bx» ~C:D. om dezelfde réden isA:B=Cx»:Dx«. Het betoog van de derde Helling is dus A:B=; C:D onder/lelling derhalven A:C =; B: D volgends (§ 670) bij m. keer mg. 1 dus ook A x n: C x n « B: D uit hec beweefene. p P 5 en  $86 GRONDBEG. der CIJFFERKÜNST. en ook Ax#: B=3 Cx«:D bij omkeering. Om dezelfde réden is A:BX«=: C:Dx« Op dezelfde wijfe betoogt men, dat de vier overige ftelligen in de daad proportien zijn; maar dat laaten wij tot eigen overdenking van den leefer over. 5 677. Deefe eigenfchap der proportien is van een uitgeftrekr eebruik, als men de getallen of ter-, men van een réden, wil veranderen in twee andere termen, die dezelfde réden hebben, en tot het gebruik geschikter zijn. i e De multiplicatie dient. om als de léden gebroken ofgemengie getallen zijn, heelen getallen in plarts ie verkrijgen, die tot elkander dezelfde ré« den hebben als de gefielde. Stel daarom. dat men de termen van deefe réden 71 tot r$| in heelen veranderen wil, dan multipliceert men beide termen met 8 het grootfte gemee' ne veelvoud van 1 en 8; dan komt 8X7 tot 8X.: 5s 1 dac is 6 3 tot 127 welke getallen 6a en 527 tot elkander dezelfde réden hebben als j\ tot 15* 2° De deeling dient, om als het mooglijk is, voor de termen van eene réden twee andere in kleinere getallen te vinden: maar dat heeft alleen plaats, als die getallen of léden een* gemeenen deeler hebben, en dan noemt men dat, de proportie of r vD en te verkleinen, f» Srel (a) Ais wij de breuken in de x7iii Les § 473 hebben leeren verkleinen, is zulks in da daad niets anders geweest, dan de réden, die de teller tot den noemer heeft in kleiner getallen te ftellen. Dat is als |— l bevonden worden, is 6:8=: 3:4. Nu éven als de teller en noemevaq een breuk onverkleinbaare getallen zijnde, die breu niek  III.BJ.H.XXVIII.L.Qverde Meetk proporttff Stel, da: men heeft de getallen 256 tot 144. 256 en 144: indien men deefe 2) ■ ■ door twee deelt, zal 256 tot 144 128 tot 72 zijn als 128 tot 72; de termen 2) '—— deefer laatfte réden wederom door 64 tot 36 twee deelende, komt 256 : 144 4) 1 s 128:72— 64:36: de termen 16 tot 9 der réden 64 tot 36 door 4 deelende, is 64:36 - 16 : 9- 30 De tweeaangeweefene gebruiken deefer eigenfehappen bij elkander neemende, ftellen ons in ftaat, om als men tot drie gegeevene getallen een vierde - évenrédige moet zoeken, en één of meer deefer getallen breuken of gemengde getallen zijn, in plaats van dezelve andere te verkrijgen, zodanig, dat in de betrekking dier andere getallen tot het gevraagde, bet gevraagde getal onveranderd blijft. Laat ons ftellen, dat tot deefe drie getallen 13? , 6: en 16; een derde-évenrédige x moet gevonden worden; dan is volgends de vraag 13;: 61 ~ i6\: x i° Als men nu van deefe proportie de eerfte ett derde term met 4 vermenigvuldigt, komt 55 : 6; =3 65 : x in welke de vierde x onveranderd gebleeven is. 2^, niet kan verkleint worden, éven zo kunnen als de termen, waar uiteene réden kellaat, onderling ondeelaaare getallen zijn, zulk eene réden in geen kleinere getallen uitgedrukt worden. Voeg hier bij, dat als de telleren noemer vaneen breuk onverkleinbaar zijn , "n men évenwei die breuk zo na mogelijk is, in kleiner getallen hebben wil, zulks ook het zelfde is met de réden van twee onderling ondeelbaare getallen in kleiner getallen, zo na mogelijk; is, uit te drukken. Zie S 490 & ftq.  S§8 GRONDBEG. der CIJFFERKTJNST. 20 Voords de eerfte en tweede léden elk met 7 verménigvuldigd, komt. 385 : 44 - 65 : x m welke proportie wéderom de waarde van x onveranderd gebleeven is. 30 Als men de eerde en derde term elk door 5 deelt, komt deefe nieuwe . „ , 77 : 44=! 13 : * m welf.e de waarde vaa x onveranderd gebleeven 4° De beide eerfte termen eindelijk door n deelende is 7.4 13 • x eene nieuwe proportie, waar ia de waarde van x wederom dezelfde is als de eerst gefielde. Als men na deefe verandering de waarde van ar berekenen wil, is zulks door de laatst gevondene proportie gemaklijker, dan door de eerfte; want nu zijn voor eerst door multiplicatie der gelijkHandige léden alle de gebrokens weggemaakt en door deeïing heeft men voor de heele getallen, kleinere m plaats verkreegen, die diensvolgends minder lastig zijn in de uitvoering van den régel; want uk de laatfte proportie is. x =3 4X'3_ S2 — Een leerling moet zich nltijd gewennen te onderzoeken , of eenige réden, in getallen opgeevcn, in geen kleineie^ getaiien kan gefteld worden. S 678 Wij hebben gezien wat verandering de gelijkHandige termen ondergaan kunnen, maar nu vraagt een fchrander leerling wat verandering kan 'er aan de ongelijkftandige termen gefchieden? en w;j zullen zijne nieuwsgierigheid voldoen met te zeggen, dat één der gelijkHandige termen door eenig  III.B.I.H XXFIILL.OverdeMeetk.Propm 5S9 eenig getal verménigvuldigd en het andere door het zelfde getal gedeeld wordende, het produel: en quotiënt, elk op zijn plaats blijvende; met de onveranderde termen évenrédig zijn. Zo dat als A;B= C:D een proportie is, ook de vier volgende proportien zullen zijn. Ax»:Bs5 C.ti-s-B Av»:Bs C:DX8A:fix« — C~-«: ö en A ; B-7-» = C x »: D. Het aal genoeg zijn, aileen één van deefe fM« lingen te bewijfen Als A:B=: C:D is Ax»:Bx»öC:D (Zie $ 6>3) . van deefe laarfte proportie de tweede en vierde term door « deelende is Ax«: B=ï C:D-ï-» dat volgends § 673 ook een proportie is. Aldus bewijst men ook door behulp van de del ■ lingen § 673, dat de drie overige (tellingen ook proportien zijn — Wij zullen hier van in het ver volg nog wel eens gebruik maaken. XI. Hoe uit zanaenvoeging en fcheiding van de termen eener proportie nieuwe proportien ontdaan. % 679 Als A : B =s C : D eene proportie is, kunnen uit deefe ééne proportie de zes volgende gemaakt worden. i° A4B : C+D e= A : C ofa B : D £° A-~\ : C~D es A : C of = B : D 3« A+B 5 C+Ds A-B : G-D.  5Qo GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 4° A4-C : B4-D =3 A : B s C : D 50 A-C : B-D - A : B =: C : D 6° A+C : B4-D s A-C : B - D. Welk elk in het bijzonder de verfchikkingen der termen § 670. en de verandering door mulei, plicatie en divifie, § 676. geleerd, ondergaan kunnen, (a) i° Dat de eerfte ftelling een proportie is, kan dus beweefen worden. C kan gelijk zijn aan n A, maar dan moet ook D s»B zijn , daar door verandert de proportie. in A;B ts C : D in deefe A:B ts n x A : n X B. (Zie § 668.) Als men nu ftelt A+B:8A+8XBcA:«XA cB:sXB. Is deefe een proportie, want de eerfte term A -f- B is éven zo veelmaal op n X A 4- n X B (waar voor men fchrijven kan CA + 6) X n) als als de derde term A op de vierde bXA, namelijk (a) Veele andere proportien kunnen uit deefe gefielde afgeleid worden. Als daar is i° A 4-B B = C + D : D uit de eerfte 2» A — B : B = C — D: D uit de tweede beide bij verwisfeling. Zie tj 670. De eerfte deefer proportien wordt gezegd, door zamenftelling der rédens (compojitionevel additioneratiinem a-ótSrim gemaakt te zijn, waar door Euclides V. Liber. def. 15 verftaat ,, de réden „ van de fom der voorgaande en volgende, als eene „ grootheid, tot de volgende *. De tweede proportie wordt gezegd door lcheiding ot attreKKing van de reden gemaakt te zijn, dat in het latijn zeer oneigenlijk , en met den aart van griekfche woord A«/f£ In welke teller en noemer der Helkundige breuk D C ——— door D, en die van de breuk ■ - door CXu DaL C deelende ,iL ~ l en g£- S? gwordr, welke gelijke waarden op hun plaats ftellende, deefe proportie voordkomt. A • R =, J . L C * D * Wij verftaan door het omgekeerde van een heel getal een breuk, waar van 1 de teller en zulk getal de noemer is: zo is \ het omgekeerde van 4;-* het omgekeerde van ? is |; van 3! of f is 4 enz. Vergelijk § 561. Dit in aanmerking neemende, zal uit het zoéven beweefene volgen , dat als A : B omgekeerd is als C tot D, A tot B in de rechte réden zal zijn van het omgekeerde van C tot het omgekeerde ran D. P: 9 ? $2  598 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 3°. Uit het zo éven beweefene, wordt ook het volgende zeer natuurlijk afgeleid C E a) Als A : B omgekeerd als « ; ;„ D r lb D F Zal A : B recht zijn als 7=; : w, 5) Als A : B recht is als ~ : 2 Zal A : B omgekeerd'zijn £ : £ * ~' 7' j* 7 enz. Dit fchrijft men aldus (A, B,C,D,E, enz.) » / i» £» ~> 4 enz.) a c Want uit de onderftelling is^xA=-^XB.— Hier uit wordt gemaakt deefe proportie A: B = 2 : ~ss -p: 7 • § 686 en § 684 hier uit komt,door verwisfeling der rédens, A : -sB:-' § 670wé. derom is jXB=j X C, waar uit B: C=s j- d f - _5 _ : L , zie S 686 en § 684 en, doar verwis/s* C ƒ /;«gder rédens, B: --53 C: j" §670 wéderom is t X C »4xDen|xD s^XE, enz. uit welke ƒ f 1 op gelijke wijfe gevonden worden C: Ds^u : _ ft ft en D; E 7 enz. De proportien, die wij uit de gelijke producten afgeleid hebben, zijn de volgende. Aii* B: £ c=4 = d: r welke  UI.B.I.H. XXFIILL. Over de Meetk. Proport. 603 welke alle uic gelijke rédens beftaande, tot deefe aanééngefchakelde proportie veréénigd worden, dat is tot ^^#C:7^E:]Ben, dat is (A, B,C, D,E, enz,)- ft»:SUh~-> enz.) \a e e g i Dat te bewijfen was' XVI. Over de zamengeflelde proportie en de Verklaaring der Spreekwijfen , die in derzelver befchouwing gebézigd worden, a") Verklaaring van de zamengeflelde réden. § 689. Als men twee rédens 3 tot 4, en 8 tot 13 heeft, en de overéénkomltige termen deefer rédens met elkander verménigvuldigt, worden de réden van de produften 3 x 8 of 24 en 4 x 13 of 52 gezegd, zamcngelleld te zijn,uic de rédens van 3 toe 4 en van 8 tot 13. (a) § 69Ö," (o) De réden van 3 tot 4 wordt door * gemeeten en die van 8 tot 13 door De réden die uit 3 tot 4 en uit 8 tot 13 zamen gefteld is, namelyk 24 tot 52, wordt door gemeeten. Nu is }J. s J X Zo dat uien kan fteiien, dat de exponent van etne 'réden, 2a» mengefteld uit verfcheidene andere rédens, verkreegen wordt, als men de exponenten van de afzonderlyke ré*, deus met elkander verménigvuldigt. Als men gefchtee. ven vindt deefe uitdrukking ~ = |Xj5X§' *an men zeggen, de réden van P tot Q is zamengefteld uic de réden» van A tot B, van C tot D en van E tot F.  £4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST; § 690. Een réden kan op veele verfchiïïende wijfen uit andere rédens zamengefteld zijn. i °) XTit twee of meer rechte rédens. 2°j Uit twee of meer omgekeerde rédens. 30) Gedeeltelijk uit rechte, en gedeeltelijk uic omgekeerde rédens. Verklaaring. a) Als men heeft deefe uitdrukking A: Bs CxD: ExF. wordt de réden A tot B gezegd zamengefteld te zijn, uit de rechte réden van C tot E en de reehte réden van D toe F. — Of anders A is toe B. in de zamengeftelde réden van C tot E en van D tot F. en A: B = C x D x E : F x G x H hebbende, worde de réden van A tot B gezegd zamengefteld te zijn, uit de réden van C tot F, uit de réden van D tot G, en uit de réden van E tot H. V) In deefe uitdrukking A: B ~<~D •* wordt de réden van A tot B gezegd zamengefteld te zijn uit de omgekeerde réden van C tot E, en uit de omgekeerde réden van D tot F. CE c. Eene uitdrukking als deefe A: B ~ ~: -» hebbende , wordt de réden van A tot B gezegd zamengefteld te zijn, uit de rechte réden van C toe E, en de omgekeerde van D tot F. b. Eigenfehappen van de zamengeflelde rédens. % 601. I. Als A: B^CxD: Ex F S J en C: E sP: Q. Zal men mogen ftellen , i datA: B =DXP: FXQ. Want  IILB.I. H. XXVIII. L. Ov. de Meetk Propon. 605 Want C: E e P: Q (onderftelling.) dit met D: F a D: F vermenigvuldigd, is CXD: EXF t=PXD: QXF. (§ 6to.) nuis A: B=CXD: EXF, onderftelling. derhalven A: Ba DXP: F X Q. Zie pag. 591 in de noot. Uit deefe eigenfchap kan de leer der valfche pofitien betoogd worden. II. Als men heeft twee of meer évenrédigh'éden A : B a % : % B : C a £ : C : D =3 <£ : f D : E a : $ enz. enz. Waar in de volgende term van de eerfte réden eener voorgaande proportie gelijk is aan de voorgaande term van de eerfte réden eener volgende proportie, zal de eerfte term van de eerfte réien der eerfte proportie tot, de laatfte der eerfte réden van de laatfte proportie zamengefteld zijn uit de tweede rédens deefer proportien ; dat is A : E == 2I[ x € x € x x f x ïf. Want alle de overéénkomftige termen der gefielde proportien met elkander vermenigvuldigende, zijn de producten in proportie: dat is AxBxCxD:BxCxDxEaSTx<£ x€x<6:95x^>xfxï?. § 6ho. in welke de voorfte termen of de termen der eerfte réden, elk door B X C X D deelende A : E - SC X C X £ X^ : 23X© X f X ïf. ( § 676.) is Deefe eigenfchap legt den grond tot de bewerking van den ketting-régel. XVII.  €o6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. XVII. Verklaaring van de meest gebruiklijkfte ipreckwijfen in de leer der proportien. § 692. I. Als men gefchreeven vindt deefe Helling A:BaC:D' wil het zeggen , dat A tot B is als het vierkant van C tot het vierkant van D, waar voor men in navolging van de ouden zegt, A is tot B in de verdubbelde réden van C tot D. II. Deefe uitdrukking A : B =3 O : D' wil zeggen, dat A tot B is, in de réden van de derde raagt of de cubik van A. tot de derde raagt of de cubik van B. Dat noemen de ouden A is tot 3 in de verdriedubbelde réden van C tot D. lil. Deefe Helling A : B 53 C* : D» wil zeggen, dat A tot B in réden is van de n& magt van C tot de n^ magt van D. IV. Als A : B s= ~: is, wil het zeggen, dat A tot B is in de omgekeerde réden der vierkanten van C en ö of in -de omgekeerde réden van het vierkant van C tot het vierkant van D of anders in de omgekeerde verdubbelde réden van C tot D, V. Als A : B e= L : L} is, wil het zeggen dat A tot B is in de omgekeerde réden der cuben van C en D , anders in de omgekeerde ver drie.» dubbelde réden van C tot D. VI. En A : B ss 2p ~ zijnde, betékent het, dat A tot B in de omgekeerde réden is van de ndt magten van C en D. VII. Deefe uitdrukkiug A:Br=i/C:/D wil zeggen, dat A tot B is in réden van de vierkants-  III. B. I. H. XXVIÏÏ. L. Ov.de Meetk. Proport. 60? kanis.wortels uit C en D : dat noemen de ouden in de onderverdubbelde réden van C tot D. VIII. A : B c= Ve. C : Vc D zijnde , zege men A is tot B in réden van de Cubik-wortels uit C en D; — anders A is tot B in de onderverdriedubbelde réden van C tot D. IX. En A : B 1= Vn> C : ]/». D hebbende, wil het zeggen A is tot B als de rJ« magts*wortel uit C tot de n^ magts-wortel uit D. X. Voords zal deefe uitdiukking A : B e -4- : _L betékenen, dat A tot B is in de omgei/d V\j keerde réden der vierkants-wortels van C en D, of dat A tot B is in de omgekeerde onderverdriedubbelde réden van C tot d. XI. Deefe A : B « ^ , ^ zal zeg- gen: dat A tot B is in de omgekeerde rédens van de cubik-wortels uit C en D; of wel A is tot B in de omgekeerde onderverdubbelde réden van C tot D. XII. Veele andere uitdrukkingen zijn 'er , die alle ui: de reeds verklaarde verftaan worden. — als a) A : B =s V O : V D3, dat zeggen wil is tot B in de onderverdubbelde réden van de verdriedubbelde rédens van C tot D. b) h:-: B-a O: D! dat zeggen wil de vierkanten van A en B zijn als de cuben van C en D. f)A:Bs £-: ~ , dat zeggen wil, de VU V V réden van A tot B is zamengefteld uit de rechte réden der vierkanten van C en E, en de omgekeerde réden der vierkants-wortels uit D en F. Onnoemlijke andere gedaanten en zamenfiel- lin«  6-o8 GRONDBEG. der CÏJFFERKUNST, lingen der rédens kunnen 'êr ïn een proportie vallen , die onmogelijk alle op te noemen zijn : het bovenverklaarde bevat de meest gebruikelijk fte fpreekwijlèn, welke wel verdaan zijnde, van zèlven leeren , hoe men zich in alle andere gedaanren der proportien, behoorlijk uitdrukken moet. Wij Happen hier van de befchouwing der meetkunftige proportien af.-* Veel valt 'er nog te befchouwen, waar van wij niets gezegd , maar voor het onderzoek van den leerling overgelaaten hebben. Wij hebben hier een uitflaande tafel bijgevoegd, waar op in het kort alle de verhandelde eigeofchappen te vinden zijn. Deefe tafel raaden wij den leerling altijd voor oogen te hebben, en het ook bij het ééns of tweemaal leefen van deefè les niet te laaten berusten , aangezien iemand, die een kundig rékenaar worden vyil, de eigenfehappen der proportien tot een onderwerp van zijne geduurige overdenking ftellen moet. XXIX. Les. Over de Meet- en Rékènkunfigè Reekfen, derzelver overéénkomjl met elkander- en over de Logarithmen, uit deefe overèénkomf ontfaande. I. Wat Meetkunftige reekfen zijn, 'en hoé dezelve gevonden worden. § °93' Als van eenige getallen A, B, C, D, E, F, G, enz. het eerfte A tot het tweede B ftaat, gelijk B tot de derde C: en B tot C sC:D,C: D  Als ta ppt Tégen over Pag. IA* EL, waar in men met een opflag alle de verhandelde Eigenfehappen der Proportien vinden kan, dienende om liet geheugen van den Leerling in deefe zo noodzaakelijke kennis te gemoet te komen. I. Aart der Proportien. - Voords A : B ~ C : D. VI. Hter zijn eenige Formulen, die den Leerling tot gemak kunnen A : B =! C : D, is een Proportie En E : f =3 g : h Proportien zijnde, zijn ook de zijn, om te beöordeelen. of in den omgekeerden en zamengefteldeu *i oAC^oB D. „ „ a R r Ti volgende Proportien: Régel van Drien ce grootheden tot elkander in eene recte of verkeerde Als ï°2«ft0fao"a^ isoF3°£ B f 0 alsC=D. §> i°A x E : B x f — C x G : D x R7 « fiS proponie ftaan. * —'•"— » o -rny A. Winst =3 Capitaal x Tijd x Interest'sjaars ten honderd, hier uic II. *r ï* " A B. } $ «- .. £S£3Si delfde blijvend Als i° A : B c3 C : D een proportie is, zijn ane de vozende — Winst évenrédig aan Capitaal x met tijd. proportien: ' ° III. Aanééngefchakelde Proportien. & A!s de dJ'den §elijk- hlllv9ü' a° A : C =3 B : D door verwisfeling van j^o Als A • B s= C • D a E f - T H x T K *« Winst évenrédig aan Capitaal X met per Cento 's Jaars, 1° n ' r ~ S : ad,°°r van No; Zal A+C+E + G+J :~B + D + f"+ H + K ~ A' B.'§ 63,. y" £S 06 f8^60 geliik. .blijve°- „ , T o J : A door omzetting van jq© , ' ujj~ Winst évenrédig aan jyd x met per Cento sjaars. 5° C*: D a A : B door omkeering van jsj°' f -■ • — : C. /3;3. Tijd omgekeerd, ais Capitaal X per Cenro 's |aars. ~« het betoog § 669 c3? feq. en A • B - i . -ï £ Zie G 6<" - W* Per Cento 's Jaars omgekeerd t als Capitaal X Tijd. y" An : Bn =3 C : D ™ CD J °D" io° A : B =3 Cn • Dn l o° Ak A • n ~ ^ . E Dezelfde betrekkingen kunnen ook uic de vo'gcnde Formulen gehaald ii° An : B Cn : D ' ~ O' F worden. 13 0 A^n r^Zn^a C " D \ Zie § 676 &> fe^ zal A : B omgekeerd zijn als 2 : E? zie § 685. pag. 580/ B. Prijs van een Brood a Prijs van I Last x hec gewigtvan hec Brood. Ï4° A ": B =3 C*rn : D-4-n. I C w Inhoud van een lichaam ^3 lengte X breedte x hoogte. I50 A-r n : B~a C~n D 1 3° AlsA: Ba :__iis D. Weg die iemand reist — aan tijd X Weg in een bepaalden tijd. ï6° A ': B ~n a C :" D*H-n» J p ^ E. Verdienften =3 Werklied. X Kragten van één Man x met tijd, 17° An; B =3 C : Dia * 1 „ , zal ook A : B a - :-P, zie na» r! " a : r » *' !; I ' n en /' .1S SfHJk 880 wédero'm anderen afgeleid wórden, — Vr zijn toe dat einde geen andere »• üb ; c;g s AiBcrc-D D> ^Sö/^iitS™^^^72- **?>™* u,è*>*f. «o' a j.p . pin a o L c a m u ?. „ CUY , giootneden i behalven dat men weeten moet, dcc m deefe Schets het 1 éken =3 be- 5 =3 ^ : R / ,o De tSf J ^ b" VIerkas!£ ^ 3.g^eld door A, $ 674. tékenen moet aan. De eerfte Formule A betékent dus: 24° A+C I iln ^ a ! 5 3 C^ D i 5 a ™ ;f^:»% tusfchen twee grootheden ^ „De winst is évenrédig aan Capitaal, Tijd en Interest ten honderd f n+i . a-c : B-D ƒ met B f 6 ^ dC' vierkants•worrel «" A vermenigvuldigd „ Jaars met elkander vermenigvuldigd:'   UI.ÈJ.H.XXIX.L. OverdeMeetk.Reekf. 6o9 D a D : E enz. —- of waar van elke term door de onmiddelijk daar op volgende gedeeïd zijnde, overal het zelfde quotiënt komt. § 694. In eene meetkunftige reeks hangen alle de termen. hoe veele "er ook zijn, van de twee eerften af, die men naar welgevallen neemen kan en welke gefield zijnde, dienen kunnen, om dé reeks zo verre voord te zetten, als men goedvind of tot zijn bijzonder oogmerk nódig heeft: want twee getallen 2 en 4 tot de eerfte termen of léden der reeks (lellende, zal de derde term de derde évenrédige tot 2 en 4 zijn, welke (Zie § 674 ) gevonden wordt, door het vierkant van den tweeden term door den eerften te deelen, zijnde dezelve w 4 X 4 -f- 2 as 8; als men nü voords in aanmerking neemt, dat elke term van de reeks een derde évenrédige tot de twee voorgaande is, zai men gemaklijk de vierde en volgende termen kunnen berékenen. Want de vierde =j 8 X 8 *f- 4 — 16; de vijfde == 16 X 16 -f- 8 8 sa 32 ; de zesde = 32 X 32 ~ ,16 es 64; de zévende — 64 X 64 -v- 32 128, enz. — Zo dat wij door deefe rekening een meetkunftige reeks Verkreegen heb, ben, die men aldus met dit téken ~ fchrfft ~ 2, 4, 8, 16, 32, 64 , 128, 256, 5I29 1024, 2C48, enz. Een meetkunftige reeks, alhoewel uit een bepaald getal termen beftaande, kan voor en agterwaards, zonder ophouden worden voordgezet; dat is te zeggen, in de boven gevondene reeks volgen op de laatfte term 2048 een onbepaald getal andere, 4096, 8192, 8192, 16384, enz, die geduurig grooter worden, en in welke men nooit tot een laatfte term komen kan; zo ook, zijn de. R. r c'v>  610 GRONDBEG. der CIJFFËRKUNST. termen welke in de reeks de eerde term 2 voorgaan enz, van agter af te rékenen I 1 1 l; ~_t li I I_ t • • 25ö' 128» 6Ï' 31' 16' 8~' T' 2 ' 1 " die geduurig afklimmen , zonder ooit tot de kleinfte re komen. Elke meetkunftige reeks heeft dan een oneindig getal termen, naar de eene kant opklimmende eh naar den anderen kant afdaalende, zo dat de fpreekwijs een meetkunftige reeks van zo veel termen, moet verftaat: woiden van zo veel termen Of getallen uit een meetkunftige reeks genomen. Men onderfcheidt de meetkunftige reekfen in opklimmende en afdaalende. Een opklimmende, toeneemende of aanwasfende reeks is, als de getallen of termen of léden van vooren naar agteren geduurig toeneemeu; gelijk f-r 3, 6, 12, 24, 48, 96, enz. — Een afdaalende , afklimmende, of afneemende reeks, in tégendeel is , als de termen van zulk eene reeks geduurig van vooren naar agteren, minder worden; gelijk deefe r~ 18, 9, 41, 2;, ij, if, 3I, 4 enz. II. /iföfi cefl Meetkunftige reeks algemeen uitgedrukt wordt. % 695. In een meetkunftige reeks is de natuur en opvolging der termen afhanglijk van de exponent of aanwijfer der reeks, waar door men verflaat het getal dat 'er komt, als een volgende term gedeeld wordt door een term, die ommidiijk voorgaat: zo is in de reeks ~ 3, 6 , 12, 24, enz.: de exponent =s § s= 'f e. £ enz. k 2. In  lil. B. 1. H. XXIX. L. Over de Meetk. Reekft 61 f In de reeks fv 18, 9, 4' , ij enz, is de 9 4' ponent ~ ~ ~ a enz, tr - l8 Q Door deefe exponent kan men langs een gantfch korter manier dan boven opgegeeven is, eenige reeks in getallen opftellen; want men ftelt maar een getal tot begin van de reeks, bij voorbeeld 16 en neemt een ander getal , bij voorbeeld 2 voor de exponent, dan moet men om de termen, die op 16 volgen, te vinden eerst 16 met de exponent, en voords elke nieuw komende term wéderom met de exponent verménigvuldigen, om de volgende te hebben. De termen die 16 volgen zullen zijn 16 X 2 ss 32, 32 X 2 s; 64; 64 X 2 =3 128; enz.— en om de léden te vinden, die 16 voorgaan, moet men eerst 16 en voords elke nieuw bekomene rerm door de exponent 2 deelen, wanneer de volgende termen zullen zijn 16-7-2 S3 8; 8—-2 1=4,- 4-4-2 a 2j i4*ï ts 1; i 4-2 cj enz. (a) Als wij dan deefe exponent in het gemeen r noemen en ftellen dat A eenige term van een meetkunftige reeks zij, zullen de termen die op A volgen, rijn ~ Ar, Ar-, Ar3, Ar*, Ar5 enz. «—• en de termen die voor A gaan, zullen zijn A A A A A enz. —5 —■ > , — , —1 — r5 r4 r1 i* r Zq (a) Er is nooit een laatfte of grootfte term: want laat 'er een term zijn, die zeer groot is, dan zal deefe met den exponent verménigvuldigd, nog een volgende geeven, die wéderom een volgende hebben zal; het zelfde is te verftaan van de kleinfte termen, die naar vooren afklimmen., dewijl elke term, hoe klein zij,ook zij, door de exponent gedeeld zijnde, een volgende geeft, die wéderom kleiner is, Rr %  *i2 GRONDBEG, der CIJFFERKUNST. , . .. A A A« A A (iö dat 77 - ) - , - j - > -h , A, Ar , r5 r* r% r- r 7 Ar, Ar1, Ar?, Ar1, enz. — in het algemeen een meetkunftige reeks is. In deefe algemeene uitdrukking , kannen voor A en r alle getaiien , heele , gebrokene en gemengde gefteld worden, waar door men geduurig andere en andere reekfen zal hebben, waar bij op te mei ken is, dat indien voor r een heel of gemengd getal gefteld wordt de reeks toeneemend en voor r een gebroken getal Hellende de reeks afneemende zal zijn Dewijl dan deefe algemeene reeks alle mogelijke reekfen, die in getaiien kunnen gegeeven worden ir.fluit, mogen wij veilig vast fteilen, dat alle de eigenfehappen, die aan deefe reeks eisen zijn, ook behooren zullen tot alle de rueetkunfhge reekfen, die in getallen kunnen gegeeven worden. III. Algemeene Eigenfehappen der meetkunflige reekfen. § f96. I. Als men in de algemeene uitdrukking A A -AA.» a a ~4» ~3' *p* A, Ar, Ar, Ar', Ar>, Ar enz. de term A ftelt voor de eerfte, dan zal de n h term in de opklimming agterwaards zijn Arn-' en de A nie term in de afklimming voorwaards zijn — * het welk daar uit wordt afgeleid, dat de exponenten der magten ,■ waar mede r is 1 an edaan / altoos één minder zijn* dan het getal vsn den rang van ztilk eene term. § 697  T ///. H.XXIXL. Over de Meetk. Reekf. 613 § 697, II. ,AIs men van eenige termen eenec meetkunftige reeks, elke voorgaande term van zijne volgende, in een opklimmende, en elke volgende term van zijn voorgaande in een ai klimméfsde reeks afbekt, zullen ook de agcervolgende resten de rermen van eene andere meetkunflige reeks zijn, doch die met de gefielde de zelfde exoonent heeft Meetk. reeks. \ Verfchillen in een meetk. reeks A -f- r- der léden A -~ r x -l-t-A—r'aCAr-A) ~ r A A-A-f-r - (Ar—A) -f- r Ar | Ar —A fc Ar—A A r2 Ar' -Ar B (Ar~A) X r A r; Ar» -Ar ~(Ar-A; X r= Ar1 Ar ~Ar t=(ArW0Xf. . enz. enz. enz. In getallen ~ 1,3,9, *7, 81,743,729, Verfchillen H 2, 6, 18, 54, 162, 486, 3468, —- § 698. HL Als de termen van een meetkunftige reeks, elk met het zelfde getal verménigvuldigd of door het zelfde getal gedeeld worden , zullen de produéïen en quotiënten ook in een meetkunftige reeks zijn, het welk blijken zal, als de termen van de algemeene reeks A A A "f3' 7a' 7' A' Ae' Ar» Ar!> Ar"enz- elk met n verménigvuldigd of door n gedeeld worden, wanneer 'er komen deefe twee reekfen An An An r3> r2' TJ » r Anr J Anr3» Anr » enz. Rr 3 en  6i4 GRONDBEG. der CïJFFERKUNST. Ê A A A A A Vr A w3 A v en—, —2» , —, — Xr, — Xr%— Xn, nrJ nr nr n n n n AXr , enz, si welke, gelijk klaar te zien is, meetkunftige reekfen maaken. * Als men de termen van de algemeene uitdruk, king , voor dè meetkunftige reekfen aangenomen, door A deelt, zijn de quotiënten i i i r "r ' 7 ' 7' 7' T» r' rYrJ> r'f! in eene meetkunftige reeks.; dit leert ons, dat de agtervolgende magten, van een getal een meetkunftige reeks mifaken. § Ó99. IV, Als men twee of meer meetkunftige reekfen onder elkander ftelt, en de overéénkomftige termen met elkander verm énig vuldigt of door elkanderdeelf, zullen de produclen als ook de quotiënten een andere meetkunftige. reeks maaken. Öbk zullen de tweede, derde en vierde magten, als ook de tweede en derde enz. magt-worttls uit de termen van een meetkunftige reeks insgelijks tot een meetkunftige reeks behooren. Want als men twee meetkunftige reekiên ftelt, te weeten rïA, Ar, Ar\ Ar\ Ar\ Ar', Ars, enz. A, Ar, Ar-, Ar», Ar4, Ar5, Ar% enz. zijn de producten der overéénkomftige termen H AA, AArv, AArV, AAr-t- , AAr'x*, AAr5r, AAtV enz. —— als ook de quotiënten.  I. £.111H. XXIX. L. Over de Meetk. Reekf. 615 zo als uit de producten en quotiënten van zeiven blijkt in proportie. Het zelfde zal blijken als men de termen van een der reekfen, ftel bij voorbeeld de eerfte tot eenige magt verheft of eenige magts-wortel uit dezelve trekt. § 700. V. Als de grootheden ~ A , B, C, D, E, F enz. in eene meetkunftige reeks ftaan en tus* fchen de eerfte en tweede A, B; de tweede en derde B en C, de derde en vierde C en D, enz. de meetkunftige midden évenrédige i/AB , i^BC, vCD, v/DE enz. gefteld worden, zijn deefe A, ✓AB, B, i/BC, C, VCD, D, VDE, E,*/EF, F, v7FG, G enz. in een meetkunflige reeks. —— en elk begrijpt Iigtelijk, dat in deefe nieuwe reeks tusfchen elke term op nieuw midden-évenrédige gefteld kunnen woiden, die met de termen deefer reeks in een meetkunftige reeks blijven. § 701. VI. Als men eenige termen uit een meetkuoftige reeks opftelt, is het producl der eerfte en laatfte term gelijk aan het product, van twee termen die éven verre van de eerfte en laatfte afftaan. 123 45 67 Want ftel — A, Ar, Ar', Ar', Ar\ Ar6, Ar6 dan is het produel: van de ifte en 7de term 1=2 A X ss Axr* van de tweede en zesde sa Ar X Ars ss A* rs van de derde en vijfde fca Ar X Ar* aA* r6 van de vierde en vierde sa Ar X Ar% ts A* rr' dat is het quadraat van de vierde. Waar uic dan de waarheid van het gefielde overtuigend blijkc, R r 4 In  f16 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. In getallen K7, 14,28,56, 112, 224,448 56 28 14 7 * ™(°dlt?en 3i3^»3i36,3i3ó,3i3ö $ 702. vil. Als men eenige'termen van een meetkunftige reeks ftelt, ftaat de réden van de eerfte tot de derde term in de verdubbelde réden van de eerfte tot de tweede; de réden van de eerfte tot de vierde }n de verdriedubbelde réden van de eerfte top de tweede; de réden van de eerfte tot de W* term als de n—i magt van de eerfte tot n— 1 magt van de tweede term. Want haten wij deefe reeks A, Ar, Ar* , Ars, Ar4, Ar5, Ar* ftellen, dan js het klaar, dat ï°) A : Ar~ s A x A : A x Ar2 om dat de twee eerfte. termen A en Ar* , elk met A verménigvuldigd zijnde, de derde en vierde termen van de proportie geeven. Zie § 668. Hier uit blijkt dan , dat de eerfte tot de derde term ftaat ais het vierkant van de eerfte tot het vierkant van de tweede , het welk door de bewoording van de verdubbelde réden van de eerfte tot de jweede term te kennen wordt gegeeven. 2°. A : Ars t= A2 x A : A2 x Ars dat is A : Ars 1= ( A > : (Arjs 3°. A ; Ar* e ( A> : (Ar 14 „ 1. 4°. A : Ar» s= (A> : (Ar> d het welk op dezelfde aangeweefene gronden berust. § 703. VIII. Indien men uit een meetkunftige reeks een zéker getal termen neemt, ftaat de fom van alle de termen min de laatfte tot de fom van alle de termen min de eerfte, gelijk de eerfte tot de tvyeede term. 'Want laat gefteld worden, dat de getallen A, B, C, C, D , E, F, G in een meetkundige reeks  III. B. I. II XXIX.\L. Over de Meetk. Reekft 617 reeks zijn, dan xijn A : BsB:CsC:Ds D : E ~ E, : F F : G. § 693, in eene aanééngefchakelde proportie, Nu zijn ia alle aanééngefchakelde proportien, de fom van alle de voorgaande tot de fom van alle de volgende als eea \oo gaande tot zijn volgende: dat is A+B + C + D + E + F: B + C + D+E + F + G ss A: B. vergelijk § 683, Dat te betoogen was. IV. Hoe de Som van eenige termen eener meetkunflige reeks gevonden wordt. § 704. Het is zeer noodsaaklijk, dat men weete , hoe zonder daadlijke optelling de fom van eenige termen eener reeks gevonden wordt, naardien 'er voordeel en gemak voor veelerlei berékeningen uit kan gehaald worden en het tévens den toegang tot veele aartige vermaaklijkheden ontfluic. — Om deefe fom te vinden, moet men bekend hebben de eerfte term, de exponent der reeks en het getal der termen. Als men ftelt voor de eerfte term A, de tweede B de laatfte L de fom x — dan is de fom van al de termen min de eerfte rz: x— A, die van al de termen min de laatfte cs x — L, en nu is x — L : x —- A ca A : B. (volgens het beweefene in de agfte eigenfchap. Uit deefe proportie komt deefe vergelijking Bx— BLcAï-A2 derhalven Bx — Ax a BL—- Az , B L — A3 dus x ~ . • v;~ B — A Dit leert ons, dat om de fom der termen te vinden „ de tweede met de laatfte term verméR r 5 1 „ nig.  618 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST; „ nigvuldigd, van het produel het vierkant van „ de eerfte term moet afgetrokken wordenden de „ rest gedeeld door het verfchil van de twee eer„ fte termen. " Voorbeeld. Laat gegeeven zijn de fom van deefe reeks 2,6, 18, 14, 162, 486, 1458, 4374 » 13122 te vinden? Hier is A es 2 , B ~6,La i3i22,derhalvenx e= 6xi3I22~2X2 - -78732—4 78728 2 — . ~ ^ 1968a =3 de fom 4 4 van alle de léden der gegeevene reeks. 5 705. Als men voor de meetkunftige reeks deefe algemeene uitdrukking ftelt. A, Ar, Ar3-, Ar3, Ar*, Ars, Ar* enz. dan zal het getal der termen t= n ftellende, de laatfte term zyn s= Ar»-r, het product van de tweede en laatfte zal zijn Ar X Ar«-i =- A-m het vierkant van de eerfte A2 , dit gefteld in de gevondene formule, zal voor voor de fom van n termen van de reeks A, Ar, Ar2 enz. deefe uitdrukking komen A2 X r» — A2 Ar — A Welke breuk, indien teller en noemer door A gedeeld wordt, in deefe veranderd rn—i A x r—'i zijnde de algemeene uitdrukking voor de fom van n termen van een meetkunftige reeks die met A begint en waar van de exponent r is. * * Deefe uitdrukking is in de berékening van veel zaaken béter dan de eerfte § 704. gevonden $ 706"  III. B. LH. XXIX. L. Over de Meetk. Reekf. 6,9 § 706. Uit de formule, § 704. gevonden, kan afgeleid worden, hoe grcoc de fom zal zijn, indien het gantfche getal termen van een afklimmende reeks bij elkander genomen wordt. Stel om deefe fom te vinden, deefe reeks A, é, A . é. , A enz. — welker termen telr ' r- 9 r s * f* 9 kens kleiner worden en tot in het oneindige voordgaan , dan zullen zij eindelijk zeer klein worden en men zal, fchoon eenigermaate oneigenlijk, kunnen zeggen, dat de laatfte term s o is; dus zal in de formule B L—A2 _A*-BL X ~ B-A ~A -B Leo zijnde, ook B L m o zijn, en de waarde voor de fom der oneindige reeks zal zijn. A2 _ r A2 _ A_ A * ~ A —A ■"" rA— A r—i ~ r r—i r Voorbeeld. Stel dat A a f5, r t= 3 zij, dan is 23 t> de fom van 6 , 2, —<» ^ enz. — 3X — 3 9 3-3* 3X3^9. 1 Meer Voorbeelden. a) 7 +Z + Z+ Z+Z + 7 + JL * 3 9 27 81 243 729 3 X — ~ — s3 io'. 3— 1 2 iïii„ ^ V _ 4- - 4- - 4- -4- 5 &c. B I. f>) J 2 4 8 16 32 64128 V ' V. (3) Zulke reekfen worden oneindige reekfen genoemd, "nj,zijn van veel nut in alle deelen der Wiskunft,  c?2o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. V. Over de Rekenkundige reekfen. § JC7. Een Rékenkunflige reeks bedaar uic een menigte van getaiien die of toe of afneemen , en waar van het verfchil van twee op elkander volgende termen overal het zelfde is. Zodanige réüenkundige reekfen zijn en worden dus gefchreeven 30, enz.3lL' lS) ï9i 23' 27' 3r> 35, 63^. lïl 961 92 > 88' 8*> 8o> 76> 7*> de eerde waar in de termen geduurig grooter worden, wordt een toeneemende, en de tweede waar in de termen geduurig kleiner worden, wordt een afneemende reeks genoemd. * De natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4 _ 6 g^^^,9en,znn dus ook in een § 708. Een ïékenkundige reeks wordt gevonden als men bij een getal 1?9? eenig getal 5 b j voorbeeld herhaaling optelt of bij heïhaaling aftrekc naar dat men een opklimmende of afklimmende reeks vormen wil. (h) «««^e bij « Er zijn onder de WTskuMenaars drie foorten van proportien te weeten. de Meetkmfligf,liSunll'Ji en Harmomfche pnpmie: de eerfte beftaat , zo ajT wf fn de voorgaande Les aangetoond hebben, u de geiilhe d der verhoudingen van eenige getallen , twee aan twèe genomen; de tweede of de rékelku»fti§s u tde geliikhdl der verfcMlen van eenige getallen 5, Toen 17 J m« aar, twee genomen,- als namelijk de twee eerfte JètE 7 en 5 éve„ zo veel verfchillen als de twee laaS 10 cn ,7, dat men gewoon, is dus uit te druE ?: 5 19: i? en  III. B.I. Ê, XXIX. L. Over de Rêkenk.Reekf. 6i x ... 179, 184 ï89 194 199, 204, 209 5 5 5 _J> __S _5 __5 184, 189, 194» 199, 204, ao9, 214 enz. een opklimmende reeks. 179, 174 169 164 '59 *54> 149 enz5 5 5 5 1 ~- 174, 169» 164, I59>!54» H9» *44 enz> een afneemende reeks. VI. en te noemen 7 is tot 5 in de rékenkunflige réden vrn 19 tot 17, welke rékenki hfti s proportien met de meetkunftige daar in verfchiHe.. uat t) in de meetkundige de eerfte term gedeeld door de tweede, het komende quotiënt gelijk is aan het quotiënt van de de.'de term gedeeld dbor de vierde, terwijl in de rékenkunflige het verfchil van de twee voorfte termen gelijk is aan het verfchil' van de twee laatfté. 2) In de meetkunftige proportie is het product der uitterfte termen gelijk aan het product der midddflen ; maar in de rékenkunflige proportie^ is de fom der uitterfte termen gelijk aan de fom der mkldelftsn. 3) Om een meetkunftige vierde évenrédige tot drie getallen te vinden, moeten de twee agterfte getallen met elkander gemultipliceerd, en het komende product: door de voorfte term gedeeld worden, maar om tot twee getallen een vierde rékenkunflige évenrédige te vinden moeten de twee agterfte termen te zamen opgeteld en van de fem de voorfte term afge;rokken worden enz uit al het welk men ziet, dat de meet- en rékenkunflige proportien twee van elkander verfchiïïende dingen zijn. Pe meetkunftige proportie ontftaat dus uit de gelijkheid der quotiënten, en de réketikilnftige uit de. gelijk, heid der verfchillen : deefe tweeërlei proportien zij.i tweeërlei wijfen, op welke drie cf vier getallen rott elkander overéénkomen, en de proportien uit dit oogpunt befchouwende, kan men de meetkunftige proportie over éénkomft door gelijke quotiënten en de rékenkunfige pro. portie. overêénkomft door gelijke verfchillen noeimn. De rékenkunflige proportien zijn in vergelijking van de meetkunftige het zelfde, dat de rékenkunflige reekfen  ©22 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. VI. Hoe een rékenkunflige reeks algemeen uitgedrukt wordt. % 709. Een Rékenkunflige reeks kan dus be. greepen worden van de twee eerfte termen af te hangen , of liever van den eerften term en het geduurig verfchil; zo dat, indien men voor 'de eerfte term A en voor het geduurig verfchil V ftelt, de algemeene uitdrukking voor een toenee. mende reeks A+'5AvU',A + lV'A+3V'A + *V' en voor een afneemende reeks A, A -V, A ~2 V, A ~ 3 V, A ~ r V enz. wordt. 0 in fen in vergelijking van de meetkunftige zijn, het reen l°S,k aar^ brllJieVa/' als wiJ' ^ het 'vervolg van deefe les, deefe beide foorten van reekfen ténPn pU-,1 der vergelijkende, bevinden zullen, dat 35 elkander* op dezelfde wijs overeenkomen als de \™e^Zldl twee foorten van proportien. Bovengemelde Nog met een woord of twee over de Harmonifche proportie, waar van wij zoéven fpiaken. __Drie: °e t a, B en C maake» .een-Harmonifche proportie ^ het eerfte A tot het derde C ftaat als het verfchfl' van «ff twee eerften tot het verfchil der twee Jaatften, dat is als -r"T ~ •: 1 T°- ^iergeta|Ienzijnin een Harmonifche proportie als het eerfte tot het vierde ftaat PeUik het verfchil der twee eerfte tot dat der twee laatfte zd z n A, B, en DHarmonisch évenrédig als A :D — A — B • C ~D. Er zijn ook Harmonifche reekfen: A, B C D F F enz. maaken een Harmonifche reeks uit, als''er' devól. gende betrekkingen in gevonden worden- A ■ C = A — B : B — C; B : D = B — C : C — D • C • E = C — P • D — Ei D : F == D — E :: E _ £ enz Deefe Harmonifche proportien en reekfen in de Natuurkunde en de in de i^Iuiiek van veel gebruik.  III. B. LH. XXIX. L.Over de Rékenk. Reekf. 623 in welke voor A en V alle getallen naar welgevallen kunnen gefteld worden en dus deefe algemeene uitdrukkingen alle de algemeene reekfen voor oogen ftellen, die bij mogelijkheid in getallen kunnen gegeeven worden. * Al het geen derhalven aan deefe reekfen eigen is, kan men begrijpen ook eigen te zijn aan alle reekfen, die in getallen gegeeven kunnen worden. VII. Eigenfehappen van de rékenkunflige reekfen. § 710. I. Als A de eerfte term is, V het verfchil der termen, dan zal de waarde van de term der reeks voor een opklimmende zijn, A -f(n— i)xV; voor een afklimmende, A <—• (n—1) X V. Het welk gemaklijk te zien is ; want de waarde van de tweede, derde, vierde, termen, A + V, A +2V, A ±3 V enz. zijnde, ziet men, dat in -deefe het verfchil V met een getal moet verménigvuldigd worden, dat altijd één minder is , dan het getal dat aanwijst de hoeveelfte term van de reeks men beeft. Zo dus de eerfte term A ~ 19» het verfchil V != is 7 en men weeten wil, wat getal de 1 o term weefen zal, ftelt men dezelve gelijk 19 -f (10—ï) X 7 = '9 + p x 7 s 19+63 ö 82 de tiende term van 19, 26 enz. § 711. II. Als men bij elk der termen van een rékenkunflige reeks het zelfde getal telt of van dezelve het zelfde aftrekt, ot elk derzelven met bet zelfde getal multipliceert of door het zelfde getal divideert, zuUen de fommen, verfchillen, producten en quotiënten, ook eene rékenkunflige reeks uitmaakeh.  è*24 GRONDBEG. der ClJFFERKUNSl*. Std{J723' o9' "* 2I' 27' 33' 3°. 45, Si, 57 eni tel DIJ 2, o, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 - treKat 4, 4, 4) 4> 4; „4> ^ 4> 4> ^ komt -V- r, 7, j3) I0 2J 3r 4Q~777n7 deeTdo'or^'7? I3°-'*9^~°^°> 4~4^75^ent oeei door j;, 5, 5, 5) 5) s> s< 5j g> g komt-^- 2,14, 26, 38, 50, 52, 74, BdTlsJToInT. § 71a. III. Als men de overéénkomfh'ge termen van twee rékenkunftige reekfen bij elkander telt of van elkander aftrekt, zijn de fommen en vericmllen de termen van een andere , rékenkunflige reeks: gelijk hier te zien is„ 8> *5, 22, 20, 3Ö, 43, 5o, 57, 64 euz. 28' 3?. 46,177677^7171^: A) 36, 48, 60, 7,2, 84, 96, 106, 120 enz. Zf - 12, 16, 20,24,28, 3^36^40^4 eni komt 12, 20, 28, 36, 44) 52, 60, 68, 76~e~Z'. Men kan deefe, gèlijK ook de voorgaande eigenfchap , door de algemeene aangenomene reeks betoogen § 713. IV. Als men tusfchen elk der termen ▼an een rékenkunflige reeks en rékenkunflige midden évenrédige ftelt, (waar door men verftaat een getal, dat zo veel grooter is dan het kleinfte als het grootfte grooter dan het zelve is, en dat gevonden wordt door de twee getaiien optetelien en van de fom de helft te neemen) zullen alle deefe termen met hunne rékenkunftige mediums of mid- derj.  l& B. F. H. XXIX. Les Oi>. de Rékenk. Reekf. 623 denévenrédige een rékenkunftige reeks uitmaakeó, deefe reeks itellende — 3 , 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 enz. ■ is -V- 3, 44» 6,7", 9, ioj, 12, 13Ï, 15.16^ enz, In welks 4! de rékenkunftig middenéveniédige is tusfchen 3 en 6; 7\ tusfchen 6 en 9 enz. § 714. V. Als eenige getallen ih een réken, kunstige reeks zijn , is de lom van de eerfte en laatfte term zo groot als de fom van twee termen'i die éven ver van de uitïerftens afftaan. Bij voorbeeld Iri 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76 tel bij . . k , 44 36 28 20, 12 fommen 88, 88, 88, 88, 88 /. Het kan ook uit de algemeene uitdrukking op de volgende wijs opgemaakt worden. eerftè termen. A4-3V, A 4- '2 V, A +V , A tel bij de laatfte termen. A+Tz^.V, A4-«^3~. V, A4-«^2.V, A4.«-7TV fommen 2 A 4-«-1. V, 2 A+»-1. V, 2 A 4-1. V, nA4«^I.V Waar uit blijkt, dat het gefielde aan alle rékenkunftige reekfen eigen moet zijn. VIII. Hoe de fom der termen van een réken» kunfiige reeks gevonden wordt. 1 § 7X5- Beefe eigenfchap der rékenkunftige reekfen brengt ons tot de oplosfing vari deefe vraag: hoe zal men de fom der termen van een rékeakun-. ftige reeks, buiten de gewoone optelling,;vuidën? Laat ons om deefe te beandwoorden ftellen, dat Ss 4  6*6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. A., B, C, D, E, F, G, II, I in een réken, kundige reeks ftaan aj Als men nu de fom der drie termen A ^ B, C wil hebben ftek men A+C == 2 B (§ 714) derh. | (A4-C) = B tel bij A4-C s A4-C komt ï\ CA4-C)^A4-B4-C b) Als men de fom der vier termen A, B, G en D wil hebben, telt men bij A4-D es B4-C (§ 7H>) A+DsA+D komt 2, fA-r-O) =A + B4-C4-D s) Om de fom der vijf termen A, B, C, D, È te vinden, ftelt men A4-E s= B + D^| A4-E ssA+E f- volg. § 714. | (AH-E-> = C J dit oprellende is 2;(A+E) - A+B4-C+D+E Instel: ïs 3 CA4-F) = A+^+C+D+E4-F 31CA+G) ^A4-B+C4-Ü+E4-F4-G 4 CA+H)s:A4-B4-C+D+Ei-F4-G + II enz. enz. Uit deefe berékening blijkt, dat de fom van drie* vier, vijf, zes, enz. termen van een rékenkunftige reeks, gelijk is aan de fom van de eerfte en laatfte termen, verménigvuldigt met i;, 2, 2!, 3, 3S enz., welke getallen juist de helften zijn van het getal der léJen , waar van de fom berékend is; dewijl men nü zulks, hoe veele termen men ook neeme, waar bevinden zal, hebben wij deefen aégil. „ Dé fom der termen van een Rékenkun„ jlige reeks, wordt verkreegen, indien men de „ laat.  III. B. 1.H. XXIX. Les Ov. de Rékenk'Reekfi 627 „ laatfte en eerfte termen optelt en de fom ver„ ménigvuldigt met de helft van het getal, dat „ aanwijst, uit hoe veel léden de reeks beftaat:'' Voorbeeld de fom van 1 + 7+ 13 + 19 + 25 + q 1+37 + 43+49. (een reeks uit négen termen beftaande.j te vinden? eerfte term 1 laatfte term 49 fom van de eerfte en 50 laatfte term verm. met 4!- (gelijk, de \ van 9) 225 fom der termen. Öp deefe wijfe kan men ook vinden de fom van alle de natuurlijke getallen van r, bij voorbeeld, tot icosoo; want de natuurlijke getallen in een ré. kenkunftige reeks zijnde, is 1 de eerfte, en iooooo de laatfte, en icoooo bet aantal der termen, ge. volgelijk werkt men aldus: de eerfte term 1 de laatfte iooooo 100001 (der termen verm. met 50000 de helft van het getal 5000050000 de fom van al de getallen van 1 tot iooooo. § 716. Als men dit voorfchrift gebruikt, om de fom der termen van een rékenkunftige reeks te vinden, moet men de eerfte en laatfte term ben évens het getal der termen bekend, hebben, maar deefe bekendens zijn niet altijd, gegeeven: drie dingen moeten évenwei van een rékenkun8 s 3 ftigf  *2« GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. ftige reeks bekend zijn, zal men de fom behoorlijk vinden. Wij ftellen dat gegeeven is de eerfte term A, het verfchil V, en bet getal der termen a n: dan wordt de laatfte term door deefe formule A 4- (n~t) x V als de reeks opklimmend en door A — (n — i) x V als de reeks afneemehd is, uitgedrukt; dewijl nu de fom der termen volgends % 715. gelijk is' aan de fom der uicterften verménigvuldigd met de helft 'van het getal der termen, zal men bij A de eerfte term teilen A + («—1) X V de laatfte term komt 2 A + («—1) X V de eerfte 4-de laatfte dit moet met \ n (de helft van het getal der termen), verménigvuldigd worden komt n X A + »Xr>— l)y y voor de fom 2 . ' der termen. ^ NB. Her téken-f moet in een opklimmende en het téken— in een afnvemende reeks gebruikt worden. Voorbeeld re vinden de fom van 2 r rery;ze» ee« opklimmende reeks, w^w- 7 fcr« en 9 ^e; verfchil «? De gegeevene getallen met de algemeene uitdrukking vergelijkende, isA s/, V ss 9, « — 2It As 7 » e 21 1 Vt=0 « ss 21 «—1 ss 20 —es 210 2 n A ts 147 »(«-i>s:42o'. _ , «(«-0=210 — ~ V ss 1800 —' 2 1 2 «XA a j47 »XA+"--"*^X V ssip37defom 2 * § 717.  IIIB. I. II. XXIX. L Overêénk. der Reekf. 629 § 717, Veele vraagen kunnen ever de rékenkunflige reekfen worden voorgoftcld, welke wij alle flilzwijgend voorbij gaan, als ook, hoe uic de fommecring der rékenkunflige reekfen de figuur, lïjke getallen als de Polygonaal, Columnaar, Per* go'iiiaal, Piramidaal- getallen en derzelver oneïnc;ige gefkchten geformeerd worden , over welke getallen, wij in de Verhandeling over de Algebra uitvoerig zullen fpreeken. IX. Overéénkomft, die de Meet- en Réken, kun/lige reekfen met elkander hebben. § 718. Als men een meet- en rékenkunflige reeks met eikander vergelijkt, en zich daar bij derzelver eigenfehappen, die wij in deefe les ver, klaard hebben , herinnert, zal men de volgende overéénkomsten ontdekken. 1. In een meetkunflige reeks wordt elke volgende term gevonden, door de voorgaande term met de exponent te verménigvuldigen, indien de reeks toeneemt, of te deelen indien de reeks afneemt; maar in een rékenkunftige reeks vindt men elke volgende term door het verfchil bij de voorgaande term op te tellen of van de voorgaande aftetrekken , naar maate de reeks toe of afneemt. Iï. In een meetkunftige reeks is de nde term gelijk aan de eerfte term A verménigvuldigd door de n-r magt van de exponent r; maar in een rékenkunftige reeks is de nde term gelijk aan de eerfte term A geteld bij n-i maal het verfchil. III, Het product, der uitterfte termen van een meetkunftige reeks is gelijk aan het produót van twee termen die éven ver van de uitterftens afftaan: in een rékenkunftige reeks intégendeel, is het de Ss 3 fom  6j o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. fom der uitterfte tenren, die aan de fom van twee termen gelijk is , die elk éven ver van de uit. terften afftaan. IV. In twee meetkundige reekfen zijn de producten en de quotiënten der overéénkorsftige termen in een meetkunflige reeks ; maar van twee rékenkunflige reekfen zijn het de fommen en de verfchillen der overéénkomflige termen , die in een rékenkunflige reeks liaan. V De zeilde magten van, en de zelfde magts» wortelen uit een meetkunftige reeks, maaken een meetkunftige reeks; terwijl de gelijknaamige veelvouden en de gelijknaamige deelen van de termen eener rékenkunflige reeks met elkander een rékenkunflige reeks uitmaaken. Als wij dit alles bij elkander neemen , mogen wij befluiten, dat zo wel de gelijkheden als de reeklen, die in de meetkunflige reekfen door multiplicatie , divifie , verheffing tot magten en de wortel-trekking van eenige magt ontitaan, op gelijke wijfe in de rékenkunflige reekfen door Aditie, Subtraélie, Multiplicatie en Divifie voordgebragt worden. : § 719. Als wij twee reekfen een meet en een rékenkunflige reeks teaen elkander vergelijken , 'hoedanige 'er twee hier névens flaan , de eene A e£n meet en de ar.dere B een rékenkunftige réeks, van welke reekfen de overéénkomflige termen névens elkander liaan befpeurt mtn in deefe ieekfèn de volgende gewigtige overéénkomften. • I. Als men twee termen 6 en 8 f bij voorbeeld) van de rékenkunftige reeks optelt, ftaat de fom 74 in die zelfde reeks névens het getal 8192, dat het 1 pro-  III. B. I. II. XXIX L. Overééak. der Reekf. 631 product is van de getallen 64 en 256, A 1 B die in de meetkunftige reeks névens 10 de getallen 6 en 8 ftaan. 4 \ \\, Als men in de reeks B een klei- ^ 3 ner getal 5 van een grooter 12 aftrekt, 32 \ ftaat in die zelfde reeks névens het ver- ^ 6 ichil 7 in de meetkunftige reeks het l's6 8 getal 128, dat het quotiënt is van 5£j ^ 4096, (nevens 12 ftaande ,) gedeeld 204a lZ door 32, dat in die zelfde reeks naast 4096 13 5 ftaat, 16384 1.5 III. Als men eenig getal 3 met 2 g of 3 verménigvuidig: ftaan névens de j I3?07a x8 produaen 6 en 9» de getallen 64 en | gg* 1 19 512, die het quadraat en de cubik van 1 1048576 ' «1 8 zijn, van dat getal namelijk, dat in | g de meetkunftige reeks névens het ge- | 8388603 I 24 nomene getal 3 ftaat. IV. Eindelijk als men uit de reeks B een getal gelijk 12 neemt, zal de helft en het derde van dat getal, namelijk 6 en 4, névens 64 en 16 in de meetkunftige reeks ftaan, welke 64 en ^16, de quadraat en cubik - wortelen zijn uit het getal 4096, dat naast het genomene getal 12 ftaat. Van dit alles kan men zich nader overtuigen door geduurig andere termen uit de reekfen te neemen en het gezegde aan dezelve te toetfen. IX. Hos de Logarithmen uit deèfe overéénkomst ent/laan. § 720. Wij noemen in het vervolg de termen der rékenkunftig reeks B de Logarithiwem (dat zo veel zeggen wil, als Aóyav getal» Ss 4 len  62-2 GRONÜBEG, der CiJFFERKUXS j\ kn der rédens) van de overéénkomfiige termen der meetkunflige reeks. Zo is o do log. van i J 5 ce Jog. van 3 ?,. Het geen wij nu boven § 718. van deefe réékfen, gezegd hebben, drukt zich aidus uit: i° De logarithmen van twee getaiien optellende, is de fora de iogarithmus van het pro. duét deefer getallen. 2a Als men die zelfde Iogarithmen van elkander aftrekt, is het verfchil dë Iogarithmus van het quotiënt deefer getallen; 3" De Iogarithmus van een getal met N vermenigvuldigende', is het product, de Iogarithmus van de magt van dat getal. 4° — en die zelfde Iogarithmus door N deelende, is het quotiënt de Iogarithmus van de N -ptbolijche Logatühmus vao dat zelfde getal 0.  III. B.I. II. XXIX. L. Over de Logarithmen.."635 De logarithmen der ondeelbaare getallen naar deefe leerwijfe te berekenen is ééne van de zwaarfte en lastigfte rékeningen, die in de wiskunde plaats kunnen hebben, de leefer zal uit de volgende berekening van de Iogarithmus van het getal 5 kunnen oordeelen, met wat moed en onbegrijpelijk geduld de eerfte opftellers der logarithmen-tafel moeten bezield geweest zijn, om een zo m^juJj£ werk uit te voeren. Op de névenftaande bladzijde vindt men de berékening van de Iogarithmus van het getal 5. In deefe fchets is 1 ca A en 10 ca B gefteld; dus is log. van A of de log. van I s o en log. van B ©f de log. van 1 o ca 1. Tusfchen A en B heeft men de meetkunftige midden-cvenredige, die C genoemd wordt sa 3,162277 gevonden. (Deefe wordt gevonden door de getallen A en B met elkander' te vermenigvuldigen cn uit hst producl 10 de vierkants-wortel te trekken.) Na deefe bewerking heeft men tusfchen de log van A, die o, en de log. van R, die 1 is , de rékenkunftige midden - évenrédige 0.5000000 gevonden, door de loganthmus van A en'B optctellen en van deefe fom de helft te neemen, deefe rékenkunftige midden-évenrédige tusfchen 'log. A. en log. B is nu de log. van C. *Hec overige van de gantfche berékening beftaat in een herhaaling van dezelfde bewerking, namelijk éóne multiplicatie, ééne wortel - trekking, ééne additie en eens door 2 te divideeren, door welke herhaalde bewerkingen in de voorfte colom telkens getallen gevonden moeten worden , die nader aan 5 komen, en eindelijk van 5 zo weinig verfchillen, dat ze zonder merkelijke onnaauwkeu. righeid voor 5 kunnen gehouden worden, terwijl in de tweede colom door de. rékenkunftige mid. den  6$6 GRONDBEQ. der CIJFFERKUNST. Berekening van de Logarithmus van het getal 5. A ss 1,00000 j log. A =3 0,0000000 I B se 10,00000 Zog. B ss 1,0000000 I C ss 3,1622-7 I Zog. C ca 0.5000000 ' c = V A 3 » bb 5,623413 j Zo?. D =3 0,7500000 D = K B C £=34,2*6964 /og. E =30,6250000 1 £ =ij/CD g =s 4,869674 Zog. F a 0,6875000 F ~ f D F 5^32091 /cg. G =j 0,7187500 G^^/DF H =3 5.048065 j kg. H =3 0,7031250 H = 1/ FG i =3 4,9551069 ) Z#g. I 53 0,6953 »5 1 "^FH J- 5,002865 i log. K =s o 6992178 K =s i/H i L es.4,980416 j Zog. L s: 0.69726^,6 L =3 i/I K M= 4,99;627 i log. Ma 0,69824a t ï M=;i/KL Jj » 4^997-42 % N jfs 0,6987304 ' IN =s t^KM O = 5,000052 kg. O =3 0,6989745 lOsj/KN £ =4.998647 kg. P s 0,6988525 f' P = V/\ O X «4 9v)-'35« %.Q =30,69^35 Qcsi/Ö P K =3 4,99070r Zog R =3 0,6989440 R s3 1/OQ &=s4.95.9876 leg.S s;0,6985.59a S s5^0R •J ~ 4,999903 Zog. T =: 0,6989668 Ts/os V ca 5,000. 08 log. V =3 0,6989707 V = i/'0 T V. =34,999984 kg. W= 0,698^87 W=V'fV X =3 4.999997 Zog X = 17,6989697 X s=WVV Y es 5,02933 Zog. Y =: 0,6989702 Y - V V X i£ ca 5,00000 | Zog. Z =3 0,6989700 j Z =5 Y 4en-évenrédige tusfchen de logarithmen der getallen te bepaalen, waar van men de meeckunu>e midden-évenrédige gevonden heeft, de logarithmen deeler meetkunftige midden -éveniéiige bekend worden. Om nu voords elke nieuwe middenevenredige nader aan het bedoelde getal 5 te deen Soraen, moet men uit de reeds gevondene getal, len twee zulke getaiien neemen, die het naast aan 5 Koomcn, dogh het eene grooter en het andere  HI.B.L II. XXIX. L. Over de Logarithmen. 637 dere kleiner dan 5, dan gaat het vast, dat het getal, het welk men op nieuw verkrijgt nader aan 5 zal zijn, dan eenige der getallen, die men te vooren revonden hadt;— Agtervolgends deefe befchrijvmg berekent men de midden-évenrédige tusfchen cn B, komt D ss 5.632413 ■> enïiu fcbriift men ?m cemaklijker het beloop der bewerking te overzien in de derde colom D ss V B C, telt voords de logarithmen van B en C te zamen, neemt van de fom de helft, dan komt kg. van D sa 0,7500000. >Va d^efe tweede benadering zoekt men de middenévenrédige tusfchen C en D, die van de leeds bekende getallen het naast aan 5 komen, deefe fteit men ss £, en zoekt de Iogarithmus van E dus voordgaande, zo als men uit de verdere bafchouwing der berékening zien zal, vindt men na l993744^> hg. van 985,7 es 2;993744*| log. van 98.57 » ^993744» log. van 9,857 = 0,9937448 Om die réden zijn de logarithmen m de tafels van Douwus na de eerfte duizend met weglating van de wijfers opgefteld, naardien derzelve altijd uit het getal cijffers, waar uit de heelen van het natuurlijk getal beftaan, gekend worden. II. HOOFD-  fyo GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. IL HOOFDDEEL. Over de proportie-rékening in opzicht tot allé voorkomende omftandigheden. XXX. Les- Over de oplos fing van de vierde évenrédige gewoonlijk den régel van Drien — benévens een aanwijfing van den aart dér vraagen, waar in deefen régel moet gebruikt werden. IA. Over den Régel van Drien in het geineen. % 727. TX7at eén vierde évenrédige tot drie getallen \ V is, en hoe deefe vierrï» &UJJ,cn den wordt is in &Txxvm rére"red,£e §evonvoldoende verklaard her n § 67 ^ reeds' is dus alleen maar ,Lm l9 8rS Van dcefe Les waar onder" de ddé ^^1?^ ' " v^gen t°nderl5k Ï£ aan h 3^^^ ™,k« oplosfing pnderworpen woeden. CVenrédiSe ka° L Wac  III. B. II. EXXX. L, Ov. den Régel van Drien 64I I. Wat tot den régel der vierde évenrédige behoort. § 728 Als men fielt, dat een vraag door den régel van de vierde - évenrédige kan opgelost worden, moeten eerst m zulk eene vraag drie getallen bekend zijn, uit welker (a » overéénkomst met elkander het vierde moet bepaald worden. — Onder deefe drié getallen, moeten i°twee zulk eene overéénkomst met elkander hebben, dat als het ééne eenige maaien grooter of kleiner is, het andere ook ëenige maaien grooter of kleinermoe: gefteld worden. 20 het derde 'getal moet met één van de twee voorgaande van dezelfde foort zijn; dat is te zeggen, het derde getal moet met één van de rvee andere , ^grootheden van dezelfde foort uitdrukken., ook moet dat zelfde derde getal met het gevraagde in dezelfde overéénkomst ftaan als de twee eerst genoemde. Om alles béter aan het verftand van den leefer . te brengen, zullen wij eerst twee vraagen van een régel van drien ftellen, en de gegeevens van elk derzelver tégen elkander vergelijken. i° Stel dat men voor 5 gulden kan hoopen 9 ponden van zékere waar; hoe veel ponden van die zelfde waar zal men dan hebben kunnen voor 100 gulden? 20 Stel dal met roo gulden Capitaal in één jaar 4 gulden kan gewonnen worden-, hoé veel gulden (n) Om dat 'er in het vrdagftak van de vierde évenrédige , drie getallen als Metdiens gegeeven zijn; wordt de werkmanier, waar door die vierde-évenrédige gevonden wordt, den régel van Drien genoemd. Tt  64a GRONDBEG. de* CIJFFERKUNST, gulden zal men dan tri dat zelfde jaar met 6725 gulden winnen? In de eerste deefer vraagen zijn twee grootheden; 5 gulden en 9 pond, die ge ijk waardig, zijn en dus noodzaakiijk deefe overéénkomst met elkander hebben, dat zoo veel maal het eene 5 gulden grooter of kleiner genomen wordt, het andere"9 pond éven zo veel maai grooter of kleiner moet worden. Dit heet overéénkomst van gelijkwaardigheid, De 10 gulden, die nog in de vraag zijta, zijn met de vijf gulden grootheden van dezelfde foort en hebben met he gevraag le getal van ponden dezelfde oveiéénkomst van gelijkwaardigheid. In de tweede vraag fïaar het Capkaal ! eo gul« den met de winst 4 gulden* coor het Capkaal aangebragt, juist in geen overéénkomst van gelijkwaardigheid , maar komen me: de twee gelijkwaardige getallen in de eers'e vraag daar méde overéén, dat een dubbeld, drieën vierdubbeld Dpitaal ook een' dubbelden , drie en vierdubbeldt-n winst moet aanbrengen, in welke overéénkomst ook het gegee ■ vene Capitaal 6725 gulden met de gevraagde winst moet zijn. Dit verklaarde vergeleeken met den oorfprong en den aart der proportien, in de XXVIII, Les § 657 en 659, mogen wij befluiien, dat in beide geHelde vraagen, de drie bekeade getallen met her. onbekende of gevraagde in proportie ftaan; te weeten, het onbekende x noemende. 5 Guld : 100 Guld. a 9 pond : x pond in de eerste en 100 Capit. 2 6725 Capit. ss 4 winst : x wipst in het tweede. in welke beide flellingen het gevraagde x de vierde évenrédige zijnde, bewijst dat de opiosfmg van bei. de  777. B.1T.È XXX. L. Ov. den Régel van Drien, 643 de (tellingen aan de eigenfehappen der proportien en aan de vraag om de vierde-évenrédige te vinden onderworpen is. Als men beide Hellingen werkelijk oplost, zal men in de eerste x ~ ?XxOQ_ =; igo; en in dëj 5 tweede x ~ -Lr-~~Jt -.260 vinden, 100 II Wat voorzorg men gebruiken moet voof dat men bejluit, dat een t>o ^gefielde vraag tot den régel van Drien behoort. 1 § 729 Als dan de befchreevene overéénkomst tusichen de bekende en het onbekende getal in een vraag beftaat, mag men ftellen dat zulk een vraag, door het vinden ven een vierde-évenrédige kan opgelost worden: Men moet dan — ( en dit is het eerste en gewigtigfte weik, dat tot de ,op(osfmg van een régel van Orien behoort) voorïf onderhoeken, of die vereischte betrekkingen tuslchen de gegeevene én het gevraagde getal [land grijpen; want zo ?er de. fe niet in gevonden worden, is de vraag ook geen ftelling van den régel van S. rien, maar etn vraag van een gattfseh andere natuur*. Hier in dient elf; zeer oplettend te zijn , aangezien 'er veele, voorftellen zijn, die in het eerste aanzien order de gedaante van de ftelling van een régel van Drien voorkomen en die évenwei uit geheel andere bo" giniélen moeten opgelost worden T z 2 III (a) Ooi die réden is hei üobdza  éu GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. III. Hoe een peiling van een régel van Drien opgelost wordt, § 730, Een ftelling van een régel van drien noemen wij in het vervolg, elke vraag, die door het vindén van ectf vierde évenrédige moet opgelost werden Alhoewel nu dé oplosimg van die vierde évenrédige, zó als wij die § 67a geleerd hebberi, Voor alle gevallen voldoende is, zullen wij de zaak uit een ander gezichtpunt befchouwen, en ete geval^ dat pfërts kan hebben , afzonderlijk in overweeging neemen. « Algemeen Voorschrift. § 731 - 0 In een Pelling van een régel van „ drien onderfchcidt men het geen bekend is van „ het gevraagde, het geeh uit de natuur van en „ uit bewoordingen waar in de vraag uitgedrukt „ is gevonden wordt \ 20 Gevonden hebbende, waar naar gevraagd „ wordt, zoekt men onder de gegsevens een ge* „ tal dat met het gevraagde gelijkmaatig is en ,, dat getal fchrijft men op". 3Q. wijfer zijne leerlingen juiste denkbeelden inboezeme van" den waaren aart van den régel van drien : buiten deefe voorzorg zallen hunne leerlingen waare machines zijn, die vraagen (gelijk bij voorbeeld een lichaam dat valt, valt in de {eerste fecunde door een ruimte van 15,6 voeten, door wat ruimte valt het dan in den tyd van 7 iecunden?) waar in dne getallen gegeeven, en door de gebruikte bewoordingen, het aanzien van een régel van Drien hebben) als een régel van drien oplosfcn. Deefe onkunde in den waaren aart van den régel van dries, die dikwijls aan het verzuim van den Leermeester toe te fchrijven is, kan (gelijk ik dikwijls heb zien gebeuren) de oorzaak van veele misvattingen zijn. ■  III. B.1I II. XXX.L. öv.den Régel van Drien. 645 30 „ Met het opgefchreevene getal ftaat een „ der twee andere bekende getallen gelijkwaardig „ of in évenrédigheid , en dat getal gevonden „ zijnde\ "fchrijft men het zelve voor aan ter „ linkehand van het eerste " 4° ,, Het andere bekende getal dat rQV;rblijft „ fchrijft men aan de rechteband1. De-twee (tellingen van § 728 pag. 64a zullen naar dit voorfchrift dan aldus {Taan: de eerste 5 Gl. — 9 pond — ïoo Guld. de tweede ïoo Cap, — 4 winst — 67.5 Cap. In deefe opftellingen is op te merken. i° dat de twee voorfte gerallen of met elkander een gelijke waarde hebben, gelijk in de eerste, of aan elkander évenrédig zijn, gelijk in de laatfte, (welk laatfte zeggen wil, da; de grootheden door de twee eerste getallen ui-gedrukt, van dien aart zijn, dat het eerste in dezelfde réden grooter of kleiner wordt dan het andere) 20 dat het eerste en het laatfte getal grootheden van dezelfde foort moeten zijn; dat is als het eerste guldens, ellen, ponden, capitaal, of winst betékent, moet ook het laatfte yetal guldens, ellen, ponden, capiraal of winst betékenen. 39 dat het middelfte getal een grootheid van dezelfde foort moet zijn als het gevraagde, zo dat naar ponden, guldens, capitaal of winst gevraagd wordende, het middelfte getal ook ponden, guldens, capitaal of winst moet betékenen. Dit alles zijn gevolgen, op den voorfchreevenen en eenigzints willekeurigen régel beiustende, welke ftrikt gevolgd zijnde, alle de eigenfehappen , in de vourge?chreevene opmerkingen opgerekend, tot een zéker kenréken zullen hebben, dat men in alles den régel gevolgd heeft. T t 2 IV.  6* GRONDBEG der CIJFFERKUNsï. IV De ftelling van een régel vm d '.en opgefchreeven zijnde, dezelve te berékenen in de onderftelling, dat alle de léden hiele getallen zijn. % 732 Wij zullen vier (tellingen opgeeven, de^el. ve betoogmaatig oplosfen-en daarna alles tot éénen algemeenen régel verzamelen I Voorbe ld. Als 1 pond cofij kost 13 ftuivers , hoe veel kosten dan £3 pond? De ftelling naar den régel $ 7vI opgefchreeven zijnde, heeft men i.pond 13 ftaiv.;^ 83 pond. Dewijl hier de twee eerste termen in waarde aan elkander gelijk zijn, zal 8,3 maal 1 pond ook een gelijke waarde hebben met 83 n:aal i\ ftuivers- om dan te vinden hoe veel 83 pond kost, moet 12 ftuivers met 83 gemultipliceerd worden, zo als rneii hier ziet i pond — ï3 ftuiv. «—, g3 pond komt io/|Q ftuiv. het beloop van 83 p. cofBj of liever 53 Guld. r9 ftuiv., dat het zelfde is II Voorbeeld. Als 144 dien laken kosten 720 guldens-, lioe veel kost dan 1 elle van dat zelfde laken? Als men de ftelling naar den régel opfchrijft, ftaat dezelve aldus 144 ellen — 720 guldens — 1 elle. In deefe hebben de twee voorste getallen eene gelijke waarde, gevolglijk zal één honderdvierën. veer-  111. E. II. II XXX. L. Ov. den Régelvan Drien. 547 veertigfie deel van het eene getal 144 ellen een gelijke waarde hebben met één hcnderdvierënveenigfte deel van hef andere; dat is $ van 144 ellen of 1 elle zal gelijk zijn met - van 720 guldens, dus zal men 720 gulden /f2,144 moeten deelen, wanneer men zal vei krijgen dat 1 elle gelijke waarde heeft met 5 gulden —— en de bewerking Haat dus 144 ellen — 710 guldens — 1 elle ■{ § gulden , de waarde van één elle laken. ITï Voorbeeld. Als men voor 17 ftuivers hoopt 1 pond., hoe veel pond zal men dan hebben voor 8891 ftuivers? De ftelling wéderom cpgefchreeven zijnde, heeft men 17 ftuiv. 1 pond 8?9I ftuiv- Nu zal elk toeflnan, dat zo ménigmaal als 17 ftuiv op 8Hqi ftuiv, begreepen zijn, ook éven zo veele ponden felk r-7 ftuiv. waard ) voor 8891 ftuivers kunnen gekoft worden, weshalven de vraag opgelost is, als 8891 ftuivers door 17 ftuivers gedeeld worden, waar door de geheele berékening in deefe order ftaat J7 ftuiv> .— 1 pond S891 ftuiv. 39 "{5 2 3 Zoo veele 51 ponden zal men (o om 8891 ftuiv. kunnen hebben IV Voorbeeld Als 25 pond van eenige waar kosten 15 gulden, hoe veel kosten dan 720 ponden van die zelfde waar ? Wij hebben na het opfchrijven van de ftelling 25 pond 15 guld. —' 720 pond. Hier hebben (gelijk in de voorige) de twee T t 4 eer-  &8 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. eerfte termen of léden eene gelijke waarde, dus zal (het agterfte getal tot muliiphcant neemende) 720 maal 25 pond zo veel waard moeten zijn als 72 maal 15 gulden, dat is 720 maal 25 pond is s= aan ioboo guldens, aangezien nu 720 maal 25 pond zo veel is als 25 maal 720 pond, en men eigenlük naar de waarde van 720 pond, en niet naar die van 25 maal 720 pond vraagt, is het verkreegene getal 10800 guldens 25 maal te groot, of 25 maal grooter dw het getal, dat men eigenlijk hebben moet, hec geen ons van zelf aanwijs:, dat, om het eigenlijke getal te vinden, een vijfëntwintigfte van 10800 guldens bepaald moet worden, dat is 10800 moet in 25 gedeeld worden. Zo dat de 15 gulden eerst met 720 moet verménigvuldigd en daar na het komende in 25 moet gedeeld worden. Het geen uit deefe bijgevoegde bewerking nader te zier; is 25 pond 15 guld. 720 pond 720 10800 \ 452 guldens die 720 ; 80 pond kosten in de on50 derftelüng dat 25 pond (o 15 gulden kosten. § 733. In deefe vier voor ftellen worden alle de gevallen gevonden, die plaats kunnen hebben, als al de termen van de ftelling heele getallen zijn: in het eerfte komt alleen ééne multiplicatie, in het tweede en derde alleen ééne divifie te pas: het laatfte wordt door ééne multiplicatie en ééne divifie tot de oplosfing gebrsgt. — Dit alles bij één brengende, blijkt het, dat men mag vastftellcn deefen algemeenen r é G e l. „ De ftelling naar behooren .opgefchreeven „ zijnde, vermenigvuldigt men de twee agterfte „ ter.  III. B. IIII XXXL. Ov. den Régelvan Drien 649 ,, termen met elkander en deelt het produEt door den voorflen term? % 734. Aanmerkingen. I Als men deefen régel vergelijke mee den régel die wij §672 opgegeeven hebben, zal men zien, dat zij in het weelen der zaak' met denzelven overéénkomt. II. Het is niet noodzaaklijk de twee agterfte getallen eerst te verménigvuldigen en dun het produel: door het voorfte te deelen ; men kan het agterfte eerst door het voorfte deelen, en dan het middelfte door du komende quotiënt verménigvaidigen of ook het middelfte door het voorfte deelen en het quo. tient met het agterfte verménigvuldigen, III. Om de bewerkingen zo veel als mogelijk is te verkorten en gemaklijker te maaken, moet men de getallen, zo- veel mogelijk is, verkleinen. Ten opzichte van deefe verkleining gaat het vast, „ dat „ altijd het voor/Ie tégen het middelfte en ook „ tégen hst agterfte kan verkort worden" (Nooit mogen da twee agterfte getallen tégen elkander verkort worden.') Wij zullen den aart van deeie ver. kleiaing in de oplosfing van het vierde voorbeeld nader doen zien: de ftelling is aldaar 25 pond—-15 Guld:——720 pond. Als men de twee voorfte termen door 5 deeie, komt voor 25 pond 15 Guld: 720 pond. deeie 5 pond ~— 3 Guid: —— 720 pond, Nu is de ftelling veranderd in deefe, „ Als 5 pond kost 3 Gulden: hoe veel dan 720 pond! In deefe laatfte ftelling kan de eer;;c en dej de term elk door 5 gedeeld worden, en dan komc voor 5 pond — 3 Gi'ld; 7 -.o pond deefe 1 pond —. 3 Guid; 144 pond welke door eene enkele mulupliéaue kan ben k« • ï Ttj5  650 GRONDBEG der CDFFERKUNST. worden, re weeten door 3 Gulden met T44 te verménigvuldigen, wanneer 'er komt 452 Gulden, z ' als wij ook door de eerfte bewerking gevonden hebben. Het geheele beloop van die kunflbewerking. $!.? pond fi Guld: pond. t 3 144 * 3 432 Gulden, de waarde van 720 pond. Wij ftaan bij deefe verkleining nog een oogenblik ftii. — Als men de twee voorüe termen elk door 5 deelt, bekomt men twee getallen, die gelijke waarde hebben: of men dus zegt 25 pond kost 15 Gulden hoe veel 720 pond? dan of men zegt 5 pond kost 3 Gulden, hoe veel 7. 0? moet men in beide vraagen het zelfde andwoord verkrijgen, aangezien door deeling blijkt, dat 25 pond Gul. den waard zijnde, ook 5 pond met 3 Gulden een gelijke waarde moeten hebben. — Ten opzichte van de verkleining der eerfte en derde term tégen elkander , dient men optemerken, dat ook daar door het gevraagde getal niet veranderd; want zo veel als het product door de verkleining kleiner wordt, zo veel maal wordt het quotiënt grooter, men zal dan met de getallen, die men door verkleining verkreegen heeft, werkende, dezelfde uitkomst in de rekening verkrijgen , die men zou verkreegen hebben indien men met de onverkleinde getallen gewerkt hadt. Deefe tweeërlei foort van verkleining der getallen kan ook nog afgeleid worden, uit die eigenfchap der proportien, bij welke de gelijkHandige ter  HL Rif. H. XXXI. Ov.detiRógelvan Drien. 65r termen met het zelfde getal gedeeld zijnde , de quo:i tot ftuivers gemaakt, en het komende in 120 gedeeld worden, dewijl nu 20 in 120 zesmaal begreepen is, deel ik 17 \ nu als een geral van ftuivers aanmerkende) door 6 en dan vetkrijg'ik 19 ftuiveis. De overblijvende 3 ftuiv. moeten met 6 tot penningen gemaakt en het komende getal in 6 gedeeld worden, maar 6 en 6 door 2 veikleinbaar zijnde, vermenigvuldig ik met het getal 8 en deel het product door 3, zijnde  ó>4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. zijnde de getallen, die voor 16 en 6, door verkleining, gekomen zijn. B. BefchoavAngen van de bijzondere gevallen van den rég ! van Drien. §• 735- Ais men weet hoe een régel van Drien opgelost wordt in de onderftellirg, dat alie de ter. men of léden heelen getallen zijn, is men ook in ftaat cm alle andere gevallen, na eene korte herleiding tot het hoofd .geval te Brengen , en dus door den régel van 5 733 op te losfén. $ 736. De gevallen, die ons thans te befchouwen ftaan, verdeelen wij in twee hoofdfoorten. I. Als een of meer der gegeevens zamengefteld zijn uit heelen, deelen en minderdeelen, welk geval gewoonlijk gezegd wordt tot den régel van' drien in het geheel te behooren. II. Als een of meer der gegevens gebrokene of gemengde getallen zijn. Dit geval wordt d&n ré. gel van drien in het gebroken genoemd. In deefe twee gevailen kunnen wéderom andere cmflandigheden plaats hebb.-n, die wij elk afzonderlijk gaan befchouwen. Vooff moet ik mijn leefer berichten, dat men 1° elk geval door één of meer der herleidingen, in de IX. en X Les geleerd, moet brengen tot het hoofd geval. 20 Dat men vooral moet oplettend zijn, of de voorfte en agterfte termen gelijkmaatig zijn, Want dit vereifchte in de ftelling van den régel van Drien ontbreekende, moeten door de heken, de of gegeevene betrekking tusfchen de éénen deefer getallen , die getallen eerst gelijkmaatig gemaakt worden. 3 ftuivers 30 ftuivers met 37 verménigv. § 713 injo ftniv. de waarde van 37 pond. of 55 guld. 10 ftuiv. Zo veel kost 37 pond. II Voorbeeld, Als 7 ellen kosten 3 guld, 17 ftuiv. 8 penn. hoe veel Ï19 ellen? De ftelling en de bewerking is als volgt. i Elle — 3 gl. 17 ftuiv. % penn. — tt$ ellen. I 20 1 halve ft. 17 77 ftuiv. . met 2 tot halve ftuivers 155 halve ftuivers met 17 verménigv. 2635 halve ftuiv. O 7 13171 heele ftuiv. 65 guld 17! ftuiv. —— de waarde of het - beloop van ixo ellen. Vet  III. B. II.H. 'XXX. L\ Ov.den Régel vönDrien6$? ■ Verklaaring.^ Eerst maakt mende zamengeftelde grootheid 3 Guld. 17 ftuiv. 8 penn. tot penn. ï maar om dat [in dit geval de 8 penn. eigenlijk een halve ftuiver zijn, fchrijft in plaats van die 8 penn. 1 halve ftuiver, en maakt de 77 ftuivers; die voor -r guld.- 17 ftniv. gevonden zijn, töt halve ftuivers, de ééne halvë ftuiver voor de 8 penningen, daar bij 'tellende: nu is de vraaa: tot deefe herleid „.als 7 5, ellen kosten 155. halve ftuivers. hoe veel halve „ ftuivers kosten dan 119 ellen"? Eer meu deefe ftelling oplost, gaat men na , door welke getallen men verkleinen mag- en vindt, dat 7 ellen tot 119 ellen door 7 gedeeld zijnde, tot elkander ftaan als 1 tot 17; men zal dan alleen met 17 behoeven te verménigvuldigen, om te vinden, dat .119 ellen ~ 2635 halve ftuiv. s 13173 heelen — 65 Guld. 17; ftuivers zijn. Aanmerkingen op dit geval.} § 738. I. Het is niet volftrekt noodzaaklijk, om eerst de middelfte term tot minderdeelen te reduceeren: men doet dikwijls veel béter als men de middelfte term terftond met de agterfte verménigvuldigt ' en het iproduóï iri de voorste term verdeelt. Op .deefe wijle zijn de twee opgegeevene voorbeelden hiei onder bewerkt. I.) 5 pond.-*- 7 guld. 10 ftuiv.. — 37 pond, - ■ . 37) verméni 277 guld. 10 ftuiv. Jn 5 deel) - —-— komt 55 guld. 10 ftuiv. voor het be« loop van 37 pond.  •558 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. lij i ellen - 2 guld. 17 ft. 8 p. - ii§ ellen l verménigv. met 17 17. 65 guld. 17 ft 8 penn. het beloop van itq ellen. Deefe bewerkingen hebben, indien wij onderftellen, dat de leeier het verhandelde in de XIV en XV Les verftaat, en den genoegfaamen grond van den algemeenen régel § 733 doorzien kan, geen verdere verklaaring noodig. II. § 739' Dikwijls gebeurt h.t, dat men, gelijk in het eerste voorbeeld, het eerste getal tégen hec tweede verkleinen kan; dan doec men best eerst de verkleining in te richten, en daar na den algemeenen régel toe te pasfen. t pond — 7 guld: 10 ftuiv. — 37 pond. I pond — 1 guld: 10 ftuiv, met 37 verménigv. 55 guld: 10 ftuiv. Zo als boven gevonden is. III. § 740 Men kan ook vooraf de laatfte term door de eerste doelen, en de middelfte met het korrende quotiënt verménigvuldigen. Bij voorbeeld in deefe vra?p,i ah 8 pond kost 19 guld, 11 -ftuiv 14 pen'ti. hoe veel 113 pond? welke men in deefer voegen kan berékenen. ? pond  UI. B.1L H. XXX. L. OvJen Régelvan Drien.639 % pond -~ 19 guld. 11 ft. 14 p.— u% pond I verménigv. met 14J i^j 274 guld. 6 ft. 4 penn. nij J 2 guld. 8 ft. 151 penn. komt 276 guld. 15 ft. 3] penn. het beloop van 113 pond. Wij verzoeken den leefer om het geen wij in de multiplicatie der breuken over de verménigvuldiging der zamengeflelde grootheden door gebro^ kene of gemengde getallen , gezegd hebben t| herleefen. / IV § 74?- Eindelijk kan men nog op de vol gende manier werken. I) 5 pond — 7 guld. 10 ft. - 37 pond. 7 259 ïo ftuiv. 18 : 10 277 ; 10 •deel in 5)——. 55 gl- 10 ftmV. het beloop van 37 pond, II) i ellen - 3 gl.: 17 ft.: 8 p.t H ellen. 17 3 12 51 gi. 10 8 gl. 10 ft. 5 4 gl, 5 ft.' 23 2 gl. 2 ft.8p komt als boven 65 gl 17 ft,8p V v 2 DU,  660 GRONDBEG. der ClJFFERKÜNST.' III) 8 pond i- iQgl. ii ft. I4p.— 113pond j ftuiv. |To . . . . . 56 : o ' 1— i6penn 5 : 13 f~T . . . . 2 : 16 : 8 Pe"n-\ 4 - • • • 1 : 8 : 4 2 . . . . 14 : 2 2214 : 1 :14 8) komt zo als boven a7Ógl. 15(1. 24 p. Perklaaring, van de bovenftaande bewerkingen. Als de leefer de verdeelingen, die wij § 543 geleerd hebben naleest, en den régel die wij daar toe hebben vöorgefchreeven, op de deelen en mirderdeelen der Munten. Maaten en Gewigten roepast, zal hij de bewerkingen op de drie voorgaande voorbeelden toegepast, volkomen in ftaat zijn te begrijpen. Wij zullen alleen de bewerking van het tweede voorbeeld varklaaren en het overige den leefer tot eigene overdenking overlaaten. Men heeft in het tweede voorbeeld eerst de 7 en 19 ellen tegen elkander door 7 veikleind, en dus in plaats van deefe getallen 1 en 17 verkreegeu. Daarna heeft men \y met 3 verménigvulddigd, komt 51. Deefe 51 zou het beloop van 119 ellen zijn, als de 7 ellen maar 3 gulden kosten ; maar nu de 7 ellen eigenlijk 3 guld ; 7 ftuiv. en 8 penningen kosten, moeten bij deefe 51 gulden nog zo veel maal 17 ftuiv en 8 penningen bij gedaan werden, als 7 eilen op 119 begreepen is, namelijk 17 maal. De 17 ftuiv. en 8 penn. laaten zich  III. B, II. II. XXX. L Ov. den Régelvan Drien66i zich door gemelden régel van § 543 verdeelen in 10 ftuiv. 4- 5 ftuiv. 4. 2' ftuivers, nu is 10 ftuiv. ca \ guld; 5 ftuiv. ca \ van \ gulden of | gulden; en 2\ ftuiv. 1 van 5 ftuiv. ca ^ van ï gulden ca \ gulden. Nademaal nu de 17 ftuivers. en 8 penn 17 maal bij de 51 gulden moet gefteld worden, zal ik het geheele beloop vinden, door eerst 17 halve guldens, dan 17 quart guldens en dan nog 17 agfte guldens bij de 5*1 gulden te tellen. Nu is (zie de fchets der beréking) 17 halve guld ca 8 guld. 10; 17 quarc-guld. ca \ van ( 8 guld. 5 ftuiv.) ca 2 guld. 2 ftuivers 8 penn; deeie te zamen met 51 gulden opgeteld, maaken 65 guld. 17 ftuiv. 8 penn. Uit dit Haaltje zal de leefer zien, hoe hij den régel van §541 gebruikende, de deelen en minderdeelen van Gelden, Maaten en Gewigten verdeelen kan: de bepaaldheid van plaats, die ons nog over is, belet ons, om deefe leerwijfe door veele voorbeelden op te helderen ——. évenwei zullen wij ten gevalle van hun, welke deefe leerwijfe zeer begunstigen en om een réden, mij tot nog toe onbekend., Praétijk of korte rékening noemen, eenige voorbeelden, zonder de daadehjke bewerking ter neder ftellen. a) (15 ftuiv. 4-12 penn.) c 10 ftuiv + 5 ftuiv + 8 penn. 4- 4 penn. =5 \ guld. 4- 5 van 1 guld, 4- k van \ Guld, 4- 5 van ~ van | Guld. V) (17 Schell. io'groot) ca 10 Schelf 4- 5 Schell. 4- 2 Schell. 4- ó groot 4- 3 groot 4- ii groot =3 \ pond 4- \ van | pond 4- \ van \ pond j' van 5 van {pond 4- \ van -. van \ van i pond 4ï van \ van \ van \ van \ pond. O (23 fluiv. 4- 12 penn.) ca 14 ftuiv. 4. 7 1 V v 3 ftuiv.  66% GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. ftuiv. ij ftuiv. + i ftuiv. s i Goud-gl. + i van J G-gl. 4- \ van \ van -t G-gl. +1 van g van ; G-gtl rf) (22 mudd. 4- i| fchep.) =3 9 mudd. 4- 9 mud, 4- 3 mud. 4- 1 mud. + 1 fch. 4- \ fch. + \ fch, ca J Last 4- - Last 4- j van J Last -f- ^ van * van Last 4- ± van j van * van f Last 4- j van ; van 3 van 3 van | van f Last. Deefe voorbeelden zijn naar den gemelden régel berékend: als de leefer de moeite neemen wilj om alle deefe voorbeelden zelve na te rékenen, zal hij nog veel andere verdeelingen kunnen vinden, die wij, om kort te zijn, hebben agter wége gelaaten. § 742 Na deefe verklaaring ftellen wij de volgende uitgezochte voorbeelden tot oefening in dit geval. ; Voorbeelden. i° Hoe veel bekopen 3796 pond, als 1 pond kost 1 guld. ïr ftuiv. en 14 penningen? Andw. 98^5 guld. 17 ftuiv. 8 penn. 20 Als 1 Last graan kost 38 Goud-gl. ïr ftuiv. 10 penn., hoe veel kosten dan 113 Lasten t Andw. 17671 guld. 1 ftuiv. 10 penn. In dit voorfte! moet men in de uitkomst guldens hebben — dit is het geval dat veel voorkomt, de. wijl de guldens de gemeene maat zijn, in welke alle geldfpetien in-en uitlandfche gemeeten en het beloop der waaren bepaald wordt. 30 Al 100 pond kosten 75 gulden 12 ftuiv. en 8 penningen, wat is dan de waarde van een pond? Andw. 15 ftuiv 2 penn. 4° *k »'375 po»d kosten 6512 guld. 7 ftuiv. 8 penn., hoe veel beloopt dan één pond? Andw. 4 guld. 14 ftuiv. 13^ penn. 50 Gefteld, dat 7ponden 13 oneen van zéke» re  JILB. ILH.xxx.Les Ov. den RégelvanDrien66% re waar 25 gulden waard zijn, hoe veel oneen van die waar zal men dan kunnen hebben voor ééne gulden? Andw. 5 oneen. 6° Als j6i ellen kosten 231 gulden 16 fluiv. 3 penningen, hoe veel koften dan 115 ellen? Andw. 165 guld. 11 fluiv. 9 penn. 7° Indien \oc pond kost 37 guld. 12 ftuiv. 4 penn., hoe veel kosten dan 37819 pond? Andw. 14224 guld. 13 ftuiv 6*\ penn. 8° Als men met 100 gulden 3 guld. 11 ftuiv. 4 penn. winnen kan, hoe veel zal men dan winnen met 37195 guldens? Andw. 132j guld. I ftuiv. 7 penn. § 743 B. Als bij de eerste en laatfte termen deelen en minderdeelen zijn — In dit geval moeten de eerste en laatfle termen tot gelijkmaatige getallen gemaakt, en daar naailes, als in hec hoofdgeval, behandeld worden. I VooRiiEELD. Als een pond kost 17 ftuiv. wat kosten dan 17 pond en 7 oneen? Stelling t pond — 17 ftuiv. — 17 pond 7 oneen. 16 oneen < met 16 tot oneen 279 oneen met 17 vermén. in 16)4743 J29I6 154 C 103 14 gl. i6^R: rest 7 het beloop van 17 pond en 7 oneen. Verhlaaring. Eerst is 17 pond 7 oneen tot oneen herleid, en men heeft 279 oneen in plaats verV v 4. kree»  d64 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. kreegen. Ook is i pond tot óneen gemaakt. Door deeie herleiding is de gegeevene iteliing van den régel van Drien in deefe veranderd. Als 16 oneen kosten 17 ftuiv. hoe veel kosten dan 279 oneen? — Welke ftelling uicgerékend, voor het begeerde gevonden wordt 14 gulden 16 ftuivers 7 penningen. II Voorbeeld. Als men-voor 13 fluiv. 12 penn. kan hopen 1 pond, hoe veel ponden kan men dan koopen voor 154 guldjns. Stelling en Berékening, Xg ftuiv. U penn. — 1 pond -^444. guldens i$ 3) met 2^ tot ftuiv. 4 met 4 tot vierde ftuiv. 14 gé vierde ftuiv. 4 $ komt 224pofd, die voor 154 gulden kunnen gekoft worden. Verklaaring deefer berékening.) De 13 ftuiv. en 12 penn. maak ik eerst tot pmningen,- maar aaangezien de 12 penn, tegen de 16 penn. in ééne ftuiver begreepen, door 4 deelbaar, maak ik de 13 ftuivers en 12 penningen tot vierde ftuivers. Nu moeten nog de 154 Guldens (het laatfte lid van de ftelling) tQt vierde ftuivers gemaakt worden, tot dat einde fchrijf ik onder 154 de 20 en 4 om als muliplicanten te dienen, en "eer ik nu werkelijk verménigvuldigd, onderzoek ik eerst, of het mogelijk zij te verkleinen, fo/ welk ik om die réden doe; cm dat de faclors van de multiplicanten béter kenbaar zijn dan de faclors van het produel, uit de multiplicanten entflaande, en ook om dat men ' daar door dikwijls veel multiplicatien kan uitwin- nen.  III.B. ILH.XXX. L. Ov. den Régel van Drien.665 ngn. Eerst deel ik 55 en 154 elk door 11 komt 5 en 14: daarna deelt men de 5 die in de eerste term is overgebleeven tégen de 20. die een mulei* plicant van de laatlle term is, door 5 komt 1 en 4 Alle mogelijke verkleiningen zijn nu te werk gefteld , de eerste en tweede termen zijn door dezelve 1 geworden, en tot de uitrékening van de ftelling is alleen maar nodig de getallen 4 en 14 en 4 met elkander te verménigvuldigen, hec welk geeft 224 pond, die voor 154 gulden kunnen gekofc worden. III. Voorbeeld. Ah 17 Mark 4 oneen l£> engels kosten 77 guldens, hoe veel kost dan 1 Mark? Stelling en Berékening. 17 Mark 4 onc. t$ eng. — ü gl. — 1 Mark. 8 (4 7 £ Ï40 onc, -(7 r M (5 *l 35 U gl 2 (3 l Ui M 5 M —~— f (8 15<7l«. Verklaaring. Na de ftelling opgefchreeven te hebben, reduceer ik eerst de 17 mark 4 oneen 16 engels tot 5e deelen van oneen (aangezien 16 eng. 4 vijfde deelen van een once is) en fchrijf onder 1 Mark de getallen 8 en 5 om als multiplicanten de i Mark tot vijfde deelen van oneen te maaken; — dit afgedaan hebbende, verklein ik 704 tégen 77 door 11 komt 64 en 7, de 64 tegen 8 komt 8 tégen 1. — Eindelijk is 5 en 7 met elkander verménigvuldigd en het producT; door 8 gedeeld, Vv 5 komt  666 GRONDBEG. der CIJFFERKUNSï. komt 4 guld, j\ ftuiver voor het beloop van i Mark. IV Voorbeeld. Ah 39 pond kost 13 gl. 17 ftuiv. 14 penn., hoe veel pond kan men dan koopen voor 655 guld. 10 ftuivers $ Stelling en berékening. 13 gl. 17 ft. 14 p. - z$ pond - 655 gl. 10 ft. 2° (7 tt 20 « r . «77 Univ. ispfo ftuiv. t$ (8 me: 8 tot duit. jf^^af duiten 230 v i** — 5^1 komt 1840 pond (1 Verklaaring van deefe berékening.) Men maakt eerst de 13 Guld. 17 ftuiv. 14 penn. tot duiten, daarna de 655 Guld. 10 ftuiv. tot Stuivers, kome 1311 o ftuivers, hier onder zet men 8 om tot duiten te reduceeren; dit gedaan hebbende verkleint men eerst de termen tegen elkander; namelijk, 1° i de 2223 en 39 door 3, komt 741 en 13; a°) de741 en 13110elk doorkomt347en4370; 30) de 247 en 13 eik door 13 komt 19 en 1: 4°3 eindelijk 19 en 4370 elk door 19 komt 1 en 230. Na deefe verkleining moeten de getallen 230 en 8 met elkander verménigvuldigd worden, komt 1840 voor het getal van ponden die voor 65 c guld. 10 ftniv. kunnen gekoft worden. Deefe voorbeelden tot opheidering van het tegenwoordig geval genoeg zijnde, zullen wij tot oeffening van den leefer de volgende Hellingen opgeeven. "  lil B.II.K XXX.\L. Ov. den Régel van Drien 667 1°) Als 1 Last kost 43 guld., hoe veel koften 17 Last 13 mud. en 2 fchépels.' Andw. 752 guld 10 ftuiv. 2°) Liesveel beloopen 29 Schippond Ti pond en 10pond, het Schippond tot 52 guld.% Andw. 1538 guld 6 fluiv. 10: penn 30) Als 1893 pond kosten 674 gl. 7 fluiv. 10penn. hoe veel kost dan 1 pona? Andw. 7 ftuiv. 2 penn. 4°9 ^/y 40 Lasten kosten 1917 g#W., Aöö veel dan 1 fchépel? Andw. 8 ftuiv. 14 5 0) Hoe veel pond kan men hebben voor 259 gl. 16 ftuiv. eh 5 penn. als \ pond kost 17 fluiv 12 penn.? Andw. 292^ pond. 6°) Als 1 Z,. 12penn., hoe veel Last kan men dan koopen voor 1587 gl. $ ftuiv. 3 penn.? Andw. 19 Last 22 wMi£»«. Andw. 9387 pond. § 744 C. Wij komen toe de laatfte omftandigheid van ons eerfte geval 9 om, namelijk , als de middelfte term met de eerfte of laatfte of mee beide te zamen uit heelen deelen en minderdeelen beftaan. — In de behandeling van dit geval kunnen wij kort zijn, aangezien alles, wat in de twee voorgaande gevallen behandeld is, zich in het tegenwoordige veréénigen. I. Voorbeeld. Als 1 Laft kost 69 Guld. 7 ftuiv. 2 penn. hoe veel kosten dan 36 Laft 17 mudden 3 Schépels? Andw. 2542 Gl. 8 ftuiv. 6\ penn. ftel*  668 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. ftelling en bewerking i Last — 69 Gl. 7 ft. 2 pen. — 36 Last 17 m. 3 Sch. 27 m. 20 27 U% fch.- é4 1387 ftuiv, 259 0 16 73 a • HH4 penn. 989 mudden; tU GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 37 L. 19 m- 2 fch. - 2616*gl,5 ft. 7p.-1 Last 27 20 27 mud. ! W fch, 268 52325 ftuiv. a 75 16 is ioi8 mudd. 837207 penn. 4 18 44>i4 fchép. 6>q< 1506^0 <22194 penningen WH *• 1489 tdoorio' tot ftuiv.j 679 ï3i7 «. 6382 138I7 ft. 2 penn. 2716 ■ (o 69 guld. 7 ftuiv. 2 penn. het beloop van één Last. Verklaaringü Eerst heeft men de 2616 guld. 5 ftuiv. 7 penningen tot penningen; de 37 Last 19 mudde 2 fchépels t ot fchépels gemaakt en voor 1 Last 108 fchépels gefchreeven, door die bewerking is de vraag in deefe veranderd: als 4047 fché. pels kosten 837207 penningen, wat kosten dan 108 fchépels? Eer men deefe ftelling 'opgelost heeft, zijn eerst de 4047 en 108 eerst door 2 en daarna door 3 verkleint, in plaats van welke getallen men verkreegen heeft 679 en 18. Eindelijk de ftelling uitgewerkt hebbende, heeft men bevonden, dat 1 Last kost 22194 penningen, die tot guldens herleid zijnde, bedraagen 69 guld. 7 ftuiv. 2 penn. III Voorbeeld. Als 3 Schippond 4 Lijspond 5 pond hossen 314 guld. 4 ftuiv 9 penn.y hoe  ÏII. B. II. H.XXX.L.Ov.den Régelvan Drien, 67 i hoe veel kosten dan 19 Schippond 18 Lijspond 10pond? Andw 1947 guld. 4 ftuiv. 12 penn. 3S P.4L-P. £p.~3i4g.4ft«9P- 19S.18L ^p. 20 (1 20 20 (2 64 Lijsp. 6284 ftuiv. 398 Lijsp. té v3 '6 ^ (3 193 derde deelen 10055^ pen. 1196 derde deelen van Lijsponden 100553 van Lijsponden. 9049/7 603318 deel in 193{120261388 {623116 penningen i 446 tdoor 16 te deelen 60 r ■ 223 3894*412 P- 308 • 1158 1947 gl- 4 ft- 12 P' (° Verklaaring. De eerfte en laatfte termen tot derde deelen van Lijsponden gemaakt (het welk hier plaats kan hebben, aangezien 5 pond één derde en 10 pond twee derde van een Lijspond is) en de 314 Gl 4 ftuiv. 9 penningen tot Penningen gereduceerd zijnde is de vraag veranderd in deefe: als 193 derde deelen van een Lijspond kosten 100553 penningen hoe veel kosten dan 1196 derde deelen van een Lijspond ? welke ftelling volgends den algemeenen régel van § 733. uitgerékend zijnde, voor de waarde van 19 Schippond, 16 Lijspond en 10 pond. komt 1947 Guld. 4 ftuiv. 12 penn. Meer Voorbeelden tot oeftening i°) Hoeveel kost 11 pond 7 oneen, als 1 pond kost \7 ftuiv. 10 penningen? Andw. 10 Guld. l ftuiv. 9Ï penn» 2°)  67a GRONDBEG. der CIJFFERKUNSlt 2°) Als i Last Groninger-Maat host 78 Guld. 10 ft. 4 hoe veel bekopen dan 2 9 .Lsw 31 muaden en 11 Spint? Andw. 2352 G/. 5 /?a/y. o|' penn. 3 °) /fte yec/ bédraagen 19 Schippond 12 Xz/f/oaa" (?« 10 _po«rf, /o? 54 Guld. 19 y?«/j», 4 />e»«. het Schippond? Andw. 1079 Gl 1 ft. 15 -penn. 4°) -^/y 15 Schippond 3 Lijspond 5 /ras* 537 Gz/W. 9 y?azV. 6 /zoc veel beloopt dan 1 Schippond? Andw. 35 Ga/V % ftuiv. 12 ƒ><:««. 1 5° ) .Zo 12 13 mudden 2 Schépels kosten 958 Gulden 7 ftuiv. 3 jö4 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. ftaat; door die bewerking worde de tweede terra een heel getal, ("dewijl het vast gaat, dat een gebro. ken of gemengd getal door de noemer van de bijgevoegde bteuk vermenigvuldigd zijnde, het produ£l een heel getal is,) ook zijn de producten 12. pond en 71 ftuivers van gelijke waarde, en de ftelling is dus door de multiplicatie in deefe veranderd: als 12 pond kost 7' ftuivers hoe veel dan 307 pond, die volgends den algemeenen régel uitgewerkt, voor het beloop.vin 307 pond geeven co Guld. 16 h ftuiver. (a) Uit de verklaaring van de berékening van het bovenftaande voorbeeld, blijkt zonneklaar ,, dat ,, zo bij de midaelfte term een breuk ftaat of ,, dezelve wezenlijk een breuk is, die middelfte „ term met den noemer van die breuk most wor„ den verménigvuldigd, maar dat dan ook de ,, voorste term met dien zelfden noemer moet ver„ mdnigvuldigd worden, om de gelijkwaardig. „ heid of évehrédigheid der twee eerste termen ,, met te verbreeken'\ Meer Voorbeelden tot oeffenirig. lv° ) Als 3 pond kost7- gulden, hoe kosten dan 37 pond'? Andw. 10 guld. 15 ftuiv. 133 penn, 2°) F (d) Men kan ook uit een ander besinfel de b.'ré'kening verklaaren. Als rri ftuiver friet 4 gernu tipiceerd wordt, zijn het produft 71 eigen)yk quart-ftuiv rs of oortjes en de ftelling is nu in deefe veranderd ; „ Als 3 pond kosten 71 oortjes hoe veei dan 307 poni? om welke uit te rékenen 71 met 307 en het produdt door 3 meet gedeeld worden de uitlomst, die oortjes zijn moeten nog door 4 gedeeld worden, om dezelve tct ftuivers te maaken. Men moet, de zaak uit dit beginfei befchouwende, eerst door 3 en dan door 4 daelen, het geen het zelfde geeven moet als boven, waar men in eens af door 12 gedeeld heeft.  III. B. II, H. XXXL. Ov. den Régel van Drien.6j$ 2.0) Als i elle kost 4 guld 12 | ftuiver hoe veel dan 107 ellen? Andw. 494 guld, 171 ftuiv. 3°) Als 7 ellen kosten 17 gulden 11 ftuiv. 7;penn, hoe veel dan 113 ellen? Andw. 283 guld. 13 ftuiv. 14-;' penn. 4°) ^/f 100 r5 GRONDBEG. der CÏJFFERKUNST. die uitgewerkt zijnde, voor het gevraagde 35^ ftuiv. geeft. ü Voorbeeld. Als \l) pond kosten 5 gl. O ftuivers 11penningen, hse veel 371 pond? Avdw. 374 gula. 6 ftuiv 1 penn. Stelling en Berékening, II'; pond—5 gl. 9 ft. 11 p. - 171 pond. té derde— • t (pönd 109 ftuiV. tin derde p. (1 16 159 titê 351 i? 5 3159 55809 penningen 16) - 34£[8 ftuiv. 1 penn. Ï74 guld. 8 ftuiv. 1 penn. het be* loop van 371 ponden. Verklaaring'} In het eerste lid zijn de n; pond tot derde ponden gemaakt, als ook de 371 pond, waar door de vraag veranderd is in deefe : als 35 deide ponden kosten 5 gl. y ftuiA. 11 penn. hoe veel kosten dan 1113 derde ponden ? — de f guld. 9 ftuiv. 11 penn. tot penningen gemaals zijnde, komt deefe ftellmg: 35 derde ponden ko* tén 1755 penningen, hoe veel dan 1113 derde ponden ? Na een verkleining van den eersten en tweeden term door 5 en nog ééne van de eersten tégen den derden term door 7 • komt na behoorlii ke berékening 174 guld. 8 ftuiv. 1 penn. Het  2IL B. IIK XXX, L. OvJen Régel van Drien. 677 Hec blijkt uit deefe twee voorbeelden, „ dat „ zo in eene ftelling van een régel van drien, „ de eerste of laatfte term met een breuk is aan„ gedaan, zulke term altijd door den noemer van „ die breuk verménigvuldigd moet worden, om „ een heel getal te verkrijgen, terwijl de eer„ ft en term, zo de breuk bij de agterfte term „ ftaat, en de laatfte, zo de breuk bij de voorfte „ term ftaat, met dien zelfden noemer moet ver„ ménigvuldigd worden. * Meer Voorbeelden tot oeifening. i° Hoe veel kosten f- ellen als 1000 ellen kosten U!S gulden* Andw, 6 gulden 19 ftuiv 6 penn. 20 Als 1 pond kosten 3 gulden il ftuiv. 8 penn hoe veel kosten dan. jWpond? Andw 25 guld. 12 jtniv- 1 af penn. 30 Ah hl elle kosten 7 ftuiv 10 penn hoe veel kosten dan 125 ellen? Andw. 30 gidden 10 ftuiv. 4° Als 12I pond kosten 11 guld, 4 ftuivers 13 penn. hoe veel dan 111 pond? Andw. .194 guld. 8 ftuiv. 15'j penn, % 747 C De twee gevallen die in de twee voorgaande § % verhandeld zijn , bevatten de twee yoornaame régels, die bij de uitrékeningvan de ftel. Img van een régel van Drien in het gebroken te pas komen. Wij zullen om alles bij één te hebben hier eenen algemeenen régel voorfchnjven, dezelve door de lebets van de daadelijke uitwerkinovan dne voorbeelden ophelderen, en dan nog eemge vraagen tot oefening ter néder ftellen. ALOEMELNEN RéüEL 10 „ Breng (eerst indien het nodig is) elke X x 3 term  6>8 GR0ND3EG. der CIJFFERKUNST. 5, term tot zijne minderdeelen', (het geen alleen 9, nodig is indien bij zulk eene term deelen en, ?, minderdeelen ftaan.) a° „ Verménigvuidig elke term, die een „ breuk is of die een breuk bij zich heeft, met j, den noemer van die breuk, dan komt ''er al~ „ tijd een heel getal voor in plaats"'. 3° „De noemers der breuken die bij het „ voorfte getal getal ftaat, zet men onder het „ agterste en die bij het middelfte en agterfte ,, getal ftaan, zet men voor aan: dee^e dienen in „ de berékening als inulciplicancen of faélors, ,, waar mede of de voorste of de agterfte term „ moet verménigvuldigd worden". 4° „ Eer men nu verder gaat, onderzoekt men of niet de voorste term of een faclor van 5, dezelve tégen de middelfte of agterfte en zijn „ faclor kan verkleint worden, en zulks mogelijk „ bevindende, verkleint men in de daad zoo lang 9, en zo ménigmaal de verkleining mogelijk is". 5 ° Als "er nu geen verkleining meer plaats „ 'kan hebben verménigvuldigt men de middelste „ term met de agterfte en zijne faclors, en deelt f, het produel door den voorsten term en zijne j, faclors , en dan is het komende quotiënt de ge~ 9, vraagde vierde évenrédige'1''. I Voorbeeld. Als 7\ pond kost 24 guld. 16 ftuiv. hoe veel bedraagen dan 103^ pond? Andw. 331 gl. 9: ftuiv. Stel.  III. B. IIH. XXX. L.Ov.den Régel van Drien.679 Stelling en berekening. 7| pond — 24 gl. 16 ftuiv. — të$% pond. tt 1=43 i$ 4i>$ Univ. 4 (1 3 l6 (16 19888 3) 6ó2,|g? ftuiv. het beloop van 103 £ pond 331 guld. a\ ft. Verklaaring. Men vermenigvuldigt 7\ pond met 4 komt 31. Voords 103,-!, pond met 12, komt 124^ Eindelijk maakt men 24 gl. 16 ftuiv. tot ftuiv. komt 496. De 12, noemer van de breuk bij het agterfte getal zet men onder de 31 ■ en de 4, de noemer der breuk bij de eerste term zet men onder de laatfte term. Nu veikleint men 4 tégen '2 door 4; 31 tégen 496 door 3 en de. wijl men nu niet meer verkleinen kan, vermenigvuldigt 1243 met ié en deelt het product. 19888 door 3 komt 6629', ftuivers voor de begeerde uitkomst — aan 331 gulden 9) ftuiv. II Voorbeeld. Hoe veel kost 1 Last als voor arj last betaald wordt 107 guld, %\ ftuiv, Andw. 51 guld. x\\ ftuiver. X x 4 Stel-  58o GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Stelling en Bewerking. 1 2,1 Las: — 107 guld. 8|, ftuiv. - 1 Last. H • .ft 4 21481 ftuiv, 3 ' C5 ' r- %m 171P —(3 m 5157 5)— iP3ji| ftuiv. 51 guld. n| ftuiv. het beloop van één Last. Verklaaring. Men maakt de 107 guld 8} ftuiv. tot ftuivers, dan is de ftelling: als 2T; Last kost 21481 ftuiv. hoe veel 1 Last? De eerfte terravcrménigvuldigt men met 12, de tweede met 4 om heele getallen te verkrijgen. - Voords zet men 12 de noemer der breuk bij het voorste getal ftaande onder het agterfte en 4 de noemer van de breuk bij het tweede getal ftaande onder het voorste. Daar na verkleint men 4 tégen 12 door 4 en 25 tégen 8595 dooi 5 - en naardien 'er nu niet meer verkleint kan worden, verménigvuldigt men 1719 met 3 komt 5157 dit deelt men in 5, komt 10315 ftuiv. ^51 guld. n| ftuiv. voor het beloop van 1 Last lil Voorbeeld. Als 21 ellen kosten 84 gl. ilf ftuivets, hoe veel kost dan \6* ellen? b ' , Andw. 66 guld. 2 ftuiy, jra» penn. Stel-  111. B.II. H. XXX.L. Ov. denRégehan Drien, 681 Stelling en Bewerking, | y?awr hoe veel kosten dan i9i mark ? Andw.' 590 9 y?zvw. 5,' ö 8°; 12 />ö^ te i63= gulden, hoe veel kosten dan 117* oneen? Andw. 10 gulden '4ftuiv. I ff penn. 0 T' 9°) Als 2 iï&r* tee« ,7| Schelling, hse l^l/ostendan 17) Mark 5i oneen? Andw. 5 ^o»i Vlaamfch 2 ÓV4 10 r groot, io°,\ Als de i van \ ellen kosten £ Daalderhoe veel Ducaaten bedraagen dan \ van de helft van nf ellen? Andw. f; Ducaat, 11 °) Als een derde van ander halve derde part van 1 elle , ju» 31 ftuiver kost, hoe veel gulden kosten Jan ' en l pond? Andw. & gulden Gö»*g/. ^/r I a<* I van s maal 1 \7\p0nd 120' wtófc» + i| Ducaat kosten? Andw. ^ pond *' C  IIt B.IÏ.H. XXX. L. Ov. den Régel van Drien 6% 5 C. Aanwijzing van den aart der vraagen, waar in den régel van Drien moet gebruikt worden» % 748 Als de leefer de régels, die wij tot de uitrékening van de gevallen van den regel van Drien opgegeeven hebbenJ volkomen verftaat, is hij genoegzaam toegerust met alle werktuigen die hi nodig heeft, om zijne aangeleerde kundigheden in de daaglijkfche noodwendigheden van het leven tot verdere oefening en bekwaammaaking aan te •wenden. Er ontbreekt hem nu nog maar, dat wij hem in korte woorden de voornaam fte zaaken optellen in weke hij de ftelling van een régei van Drien gebruiken moet. Men kan den régel van Drien in de volgende gebruiken. 6 740 I In het berékenen van de waarde en het beloop van de Goederen en Koopmnnfchappen, ten opzichte van welke het altijd zéker is, ,, dat de Geldwaarde der goederen altoos éyenre„ dig is aan derzelver hoeveelheid, die^ bij ellen, „ ponden, lasten enz gemeeten wordt" - Al de voorbeelden die wij in deefe les opgegeeven heb* ben (behalven eenige weinige; behooren tot deeie berékenng. s 750.II. Tn het berékenen der per Centen, dat is in het beiékenen van de Imeresfen , die met zékere Cap^taalen in bepaalde tijden gewonnen zijn . en omtrent welke her zéker gaat A ,Dat de Win fen of Interes fen die in dezelfde tijden met onderfckeidene Capitdalen gewonnen " zijn, in dezelfde réden van de Capitaalen zifib  686 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. „ dat is zo veel het Capitaal grooter of kleiner „ wordt, zo veel maal moet ook de winst trrsoter „ of kleiner zijn." ° B. „ Dat, zo de Capitaalen gelijk en de tijden ,, ongelijk zijn, de wit!fen in réden van de tij „ den zijn." Zo dat met ïoo Gl: in % Jaar, twee„ maal zo veel zal gewonnen worden, als met die „ zelfde ïoo Guld: in i Jaar. C. „ Dat de rédens van de winften van de on-, „ derjehetden Capitaalen zamengefteld zijn a) „ uit de rédens der Capitaalen b,en uit de-rédens„ der tijden, in welks deefe Capitaalen op inte„ rest ge/laan hebben." $. 751. IIL In de Interest van InterestRékening, waar door men verftaat, het beloop van Ccpitaal en Interest van een Capitaal na verloop van eenige tijden te berékenen , onderfrellende dat, na verloop van elke tijd, de verlocpene Inte' rest bij het Capitaal gevoegd, en deefe Som als éen vermeerderd Capitaal wardt aangemerkt dat m den volgenden tijd, tégen den bepaalden Inte rest winnen moet. Men kan een Interest van Interest-Kékemng door de uitrékening van 'zo veele régels van Drien vinden als er tijden gegeeven § 7'12 («) Zo veele régels van Driën zijn 'er niet nodig aJs men de Logarithmen wil gebruiken, dit zullen wii den weetgierigen Leefer kortfijk aanteonen 1 t«, ff? S^^CaP'tol A, de Interest van 1 in één Jaar 0f ééne t.,d w het getal,der Jaaren of tijden t; ha beloop van Capitaal en Interest voor dien tiid S Nu is i : 1 4. w £s A • (1 + w) V A he- h loop van Capitaal en Interest na éénen tijd ~ 1 : ? + w-tsU 4. W)X A : (1.4. w)*X A s; het  III. B. II. H.XXX.L,Ov.den Régelvan Drien, 6*87 §. 752. IV. In de Rabat-Rckening,waar door men de contante waarde berékend van een Geldfom, die na verloop van A tijden te betaalen is, kortende zékeren interest ten 100 'sJaars, welke contante waarde zo bepaald moet zijn,.dat, indien dezelve op interest van interest in die A tijden tégen gemelde interest ten 100 uitgezet'wierdt, het beloop van Capitaal en Interest, na die A tijden, bedraagen zal de Som, die in A tijden moest betaald worden, zo dat men 4 ten honderd kortende, de het beloon van Capitaal en Interest in twes tijden of jairen. 1:14- wS (1 4- t*0;XA:(i 4- ")!X ^ het beloop van Capitaal en Interest in drie lijden of jaircn. Als men de rekening verder opmaakt, zal men bevinden, dat het beloop van Capitaal en Interest in de volgende tijden zal zijn (i 4- w}«X A , (i 4- W)'X A enz- > waar uit men befiuiten mag, dat het beloop van Capitaal en Interest na f jaaren of tijden zal zijn (i 4- w)t + A t=:S. Als voor deefe uitdrukking de vergelijking op de Loga» rithmen gefteld wordt, hebben wij tXLogarühn. (i -f- w) + k'gyith. A £2 logarith. S. Men za! dus de logantfcmas van Capitaal en Interest vinden, als men de Iogarithmus van Ci 4- w) met t het getal der Jaaren verménigvuldigt en by he> produft de Itgaiitbmus van de hoofdfom telt —— Vo o r b e b L d : Hoe veel bekopen Capitaal en Interest van 26co Gulden in 30 Jaar, a 3? per Cento 's Jaars Interest van Interest? Hier isAe 2600, en 100: 3j t=s 1: 0,035 ta wenf= 25 nu is kg. U 4- w) — \»g- '-°35 s= 0.0149403 verm; met f. ts 26 komt t X H- + o. 3X84478 log. A e= 7,4149733 hg. S. t=: ï,So342ir hg. van 6359,5 het beleop wan Capitaal e» . Interest na 26 Jaar.  688 GRONDBEG. der CIJFFÉRKÜNSf. de contante waarde van een Som, over een Jaar betaalbaar, willende vinden, zeggen moet, 104 over één Jaar te betaalen zijn 1 co contant waardig, hoe veel dan de gegeevene Som over één Jaar betaalbaar? ^b) §. 753. V. Tot de interest rékeningen kan men nog tellen : A) De berekening van het rabat der Goederen , die op tijd gekogt en gereed betaald worden, welke korting ftandvastig 8 ten honderd in het Jaar is, en zo gerékend wordt, dat voor elke 108 over één Jaar te betaalen, 100 gereed betaald worden, en ook ten opzichte van den tijd voor, 12', 15, 18, at , 30 en 33 Maanden bepaald wordt. B_) DeProvifie-rékening, zijnde deProvifie, die een Makelaar geniet van de waarde der Goederen, die hij voor zijn Principaal koopt en verkoopt, en van i tot 2 per Cent of nog meer gefteld wordt. C) De /Isfnrantie-Rekening, waar doormen verftaat het berékenen der Asfurantie premie op Goederen , Schepen en Huizen tégen 1 a 3 ten honderd. VI.) (6) Om een formule (e vinden, door welke men ook, met behulp der Logarithmen , de contante waarde kan vinden, die over n Jaartn of tijden te betaalen is. Steld men S voor de gegeevene Som, C voor de Contante of tegenwoordige waarde, w de korting van 1 gulden in 1 tijd of 1 jaar, dan worde de contante waarde dus Helkundig berékend ; 1 w : 1 t=S :.——- X S S3 de tégen- woordige w rde van een fom over een Jaar betaalbaar. I 4. w : / XS ^ • 1 + w (1 + w) 2^ de tegenwoordige waarde van een Som over twee Jaar betaalbaar. Dus  HL B. ILH.XXX.Les Ov, den Régel van DrienëSg F D.) De reductie van Bank- tot Kasgeld en van Kas- tot Bankgeld. Welke dus berékend wordt, dat men voor 103 Guld; of meer Courant-geld ioo Gulden in de Wisfeibank kan hebben, door welke bepaaiing dan eerst kan gevonden worden, hoe veel Courant gold men geevéri moet, om een gegeevene Som in de Wisfeibank te hebben, en dan wéderom een gegeevene Som Bank-geld totCasgeld te brengen, moetende in beide gevallen de Agio bekend zijn, dat is hec geen men ten ico geven moet om i co Gulden in de Bank te hebben* €. 7^4. VI. In de Compagnie, of GezelscHAPS-RéKEjsiNG, waar door men bepaalt hoe Dus voordgaande, zal men voor de contante waarden der fommen, die over 3, 4, 5 un t Jaaren betaalbaar zifn, deefe uitdrukkingen, vinden: _J y„ __J vs , 1 VS en (1 4- w)3 U + w)4 ' t1 + w)> 1 tXS. Hier uit maakt men deefe vergelijking: (1 + w) Ê - 7r+^)txs welke in Logarithmen overgeüragt zijri. log. C = log. S - f X log. (1 + w). Voorbeeld: Éen Som van 5864 Guldens moet over tien Jaar betaald worden, hte veel is de Contante waarde, «« ■men kort zamengeflelaen Interest tegen 5 per Cent? Hier isS d 5864.; en t ss 10. ico; 5=1: 0,05 =w 1 -J- w ss 1,05. De beréken'ng is deefe: log. (i 4. w) ss 0,0211893 met t ss 10. verménigv. t X log. (1 + = 0,2118930 ingetrokken.' log. S ss 3,7681940 I log. C ss 3*55*3310 — l°g- van '3*00 dg ae'vraagde Contante waarde. Yy  6*90 GRONDBEG. der CIJFFERKTJNST. hoe veel elk van de winst of het verlies moet toegerékend worden, naar evenredigheid van zijne injaagt, als eenige perfoonen elk eene zékere Som hebben ingelegd of bijééngebragt, om met die ganfche Som te zamen te negotiëeren. v Voords kan den régel van Drien nog in veele andere gevallen gebruikt worden, die wij alle hier niet zullen opnoemen, te meer, om dat elk, die onfe gelegde grondeu goed verftaat, inftaat zal zijn om alle vraagen, van wat aart ook, te kunnen uitrekenen. - - . XXXI. Les. Over de omgekeerde, zamengefielde en aanééngefchakelde régels ' van Drien, A. Over den omgekeerden régel van Drien. §• 755- TT? r zijn veele vraagen , die in het eerfte aanzien Jgjj en i° de bewoordingen , waar onder zij voorgedraagen zijn, tot de ftelling van een régel van JÜricn fchijnen te behooren , maar die évenwei nader ingezien zijnde, van een geheel anderen aart zijn. Zodanige vraagen zijn bij voorbeeld de volgende : (i °. Als 36 Werklieden in den tijd van 65 dagen zéker werk kunnen maaken, hoe lang zullen dan 45 Werklieden daar toe nodig hebben? On* derftellende, dat de vermogens der Werklieden ge* lijk zijn, dat is; dat de een op éénen dag éven zo veel werkt als den anderen. 20. Gepeld, dat een Capitaal van 2000 Guh den  ÏIL B.II. H.XXXIDOngek.RégelvanDrien. 691 den tegen 4. ten honderd uitflaande. in 5 Jaar 400 Gulden wint, hoe lang zal dan een Capitaal van 3000 Gulden tégen 4 ten honderd moeten uitgezet worden , om met dien zelfden Interest ten ïoo insgelijks 400 Gulden te winnen? Deefe vraagen hebben wel hec aanzien van de ftelling van een régel van Drien; maar de vereischtcns, die wij § 728 hebben opgegéeven, ontbreeken, en hec algemeene Voorfchiitc § 731 kan dus. op dezelve niet toepasfelijk zijn. In de eerfte vraag is een overéénkomst tusfchen het getal der Werklieden en den tijd waar in zij hec bepaalde werk verrichten; maar deefe overéén komsc is niet zoo, dat de tijd grooter wordt, naar évenredigheid dat hec getal der Werklieden toeneemt, hoedanig de overéénkomst tusfchen beide zou moeten zijn, "(volgends § 729) om de bewerking van den régel van drien op de vraag te kunnen toepasfen ; intégendeel — hoe grooter het getal der Werklieden is , des te minder tijd wordt 'er vereischt om het zelfde werk te doen. Zo is het ook met de tweede vraag gefteld , in welke het Capitaal grooter wordende , de tijd zo veelmaal kleiner moet zijn. I. WelkeVraagen tot eert omgekeerden régel van Drien behooren. %. 7<;6. Als men zegt, dat een vraag door den omgekeerden régel van Drien kan opgelost worden, moet in zulk eene vraag het voJgendete vinden zijn: 1°. Moeten 'er drie getallen gegeeven zijn, (éven als in den régel van drien) uit welker overéénkomst met elkander een vierde getal, dat gevraagd wordt, gevonden moet worden, Yy 2 %%  602 GRONDBEG. der'CIJFFERKUNSÏ. 2 °. Onder deefe drie gegeevene gerallen, moeten twee getallen gelijkmaatig zijn, of ten minften gelijkmaatig gemaakt kunnen worden. — Het derde getal moet met het gevraagde van dezelfde foort Zfltf. 3". Eindelijk moeten 'er onder de gegeevene twee grootheden ( of getallen) in zulk een verband met elkander fia^n, dat zo reeimaal qls het eene getal grooter of kleiner wordt, het andere getal integendeel zo veel maaien kleiner cf grooter moet geiieid worden. Dezelfde overéénkomst moet 'er zijn tusfchen hec derde van de gegeevens en het gevraagde, "Men moet volkomen verzekerd zijn, dat deefè hoedanigheden in een vraag gevonden worden, eer men befjuiten mag, dat zulk eene vraag toe den omgekeerden régel van drien behoort. II. Hoe een Vraag van een omgekeerden régel van Drien wordt opgefteld. %• 757' ®m een vWég van een omgekeerder» régel van drien op te ftellen , bedient men zien van dit Algemeene Voorschrift. x°„ Na hst, bekende van het gevraagde onder*' „ fcheiden te hebben, zoekt men uaar een getal, ,, geltjkfoortig''met het gevraagde, en dat geial „ gevonden hebbende, Jchrijft men het zelve in „ het midden „ c° 5, Vooraan ftelt men het getal, dat met het 5, reeds opgefekreevene in die betrekking ftaat, „ dat het eene grooter wordende , het andere zo veelmaal kleiner wordt, het geen gedeelte,, lijk uit de bewoordingen der vraag en ge,, deeltelijk uit de natuur der zaak" gekend moet , worden." o>°■>■> Het  IIIB ILH.XXXLL.Omgek.RégslvanDrien.693 30,, Het derde der bekendens, fchrijft men „ agter aan'. welk getal met het onbekende de - zelfde overéénkomst heeft als de twee eerst „ opgeftelde." De twee vraagen, die wij § 755 gefield hebben, zullen naar die voerfebrif: aldus opgefteld worden: Deeerlle 36 Werkl—65 dag.— 45 Werkl. De tweede aooo Capit. — 5 Jaar—300 3 Capit. * De Leerling moet zich oeffbnen, cm alle foortgelijke vraagen vaeidig naar dit voorfebrifc te kunnen opftellen, het geen hij doof eene aanhoudende oeffening alleen zich eigen maaken kan. Hl, Hoe de ftelling van een'' omgekeerden régel van Drien kan uitgewerkt worden. §. 7"8. Hier moet wéderom de régel, om de ftellmg op te losfèn, uit de natuur van de vraag afgeleid worden. •Laat ons de eerfte ftelling neemen :.deefè is, zoals wij daar éven zagen: 36 Werklieden — 65 dagen —- 45 Werklieden. De 36 Werklieden ftaan met den tijd van 65 dagen in die betrekking, dac zo veelmaal als het getal der Werklieden minder wordt, de tijd, die tot het volbrengen van het werk nodig is, éven zo veelmaal moet vermeerderd worden. Dus de 1 van 36 Werkl zuilen in smaal 65 dagen, \ van 36 Werkl. in 3 maal 65 dagen, j van 36 Werkl. in 4 maal 6^ dagen, 55 van 36 Werkl, ( dat is één Werkman) in 36 maal 65 dagen, het zelfde werk doen, dat 36 Werklieden in 65 dagen met hun allen doen. „ Indien men dan de middelfte term 65 dagen Yy 3 „ met  694 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. „ ma 36 vermenigvuldigt, zal men daar door weecen, dar. één perfoon in 2340 het geheele „ werk zal voltooijen. 36 Werklieden — 65 dagen — 45 Werklieden, met 36 verm. 195 2340 dagen, die één perfoon no» dig heeft om het geheele werk af te doen. Na deefe eerfte bewerking, kan men zich de vraag aldus voordellen : als 1 perfoon in 2340 da. gen het werk kan afdoen, hoe lang zullen 45 peribcnen'daar toe nodig hebben ? — Als men nu wé'. dsrom het zelfde beginfel gebruikt, zal menbefluiten, dat het getal der Werklieden nu 45 maal grooter wordende, alleen een vijfémeertigftc deel van den tijd voor hun zal nodig zijn, om liet zelfde werk te maaken: men zal daarom. 4' van 2340 moeten neemen, om het begeerde te vinden, en daarom 2340 in 45, het getal van den agterfte terra, moeten deelen, waar door men 52 dagen vinden zal, die 65 Werklieden van noden, hebben, om gemelde werk te maaken. De geheele bewerking is nu: 36 Werkl.  III. B. II.KXXXI.L.Gvigck Régel vanDrien.693 36 Werkl. 65 dogen 45 Werkl. mee 36 verménigv. ?9° ' -95 komt 2340 dagen, die i perfoon nodig 90 beeft om hec werk te doen. " " ' lp , , deel in 45) -— keme 52 dagen, die 45 perfoonen daar toe nodig hebben. Op gelijke wijfe redeneerende, kan men ook de tweede vraag berékenen: 2000 Cap. 5 Jaar 3090 Capitaal, met 200.0 verménigv. 10,000 Jaar, die men zou nodig hebben, om met ééne gulden die winft te doen, deel in 3000 —— —~ komc 3; Jaar, of 3 Jaar en 4Maanden voor den tijd, die vereischc worde,om met 3000 gulden dezelfde winst tégen 4 ten 100 in het jaar te doen. §. 759. Deefe oplosfingen zijn natuurlijk die, welke iemand, na rijpe overweeging der zaak', in het eerst volgen zou; zij komen overéén met deefen régel, die men gewoonlijk volgt , en bij de meefte Schrijvers vindt opgegeeven. Regel., Als men de ftelling van een régel 5, van Drien naar het voorfchrifi van §. 757* „ heeft opgefteld, moet men de twee voorfte getal' Yy 4 len  6$6 GRO^DEEG. ber CIJFFERKUNST. „ len met. elkander multipliceeren en hel komende ii pfcdüSi in* den agterjlen term deelen. % 760, Aanmerkingen. I. In elke ftelling van een omgekeerden régel van Drien, maaken de drie bekendens met het onbekende een omgekeerde proportie, (zie wat 'er door verftaan woidtXXVJH. Les 5 684^ Uit de twee opgcgeevene Vraagen vormt men de twee volgende omgekeerde proportien , (het gevraagde x noemende.) 36 werkl.: 45 werkl. omgek, als 65 dagen: * dag. £ 000 Capit: jjö6o Capit. omgek als 5 Jaar tiVjaa*. Als men den régel van pag. yaa. om de vierde omgekeerde évenrédig 'te vinden), met den bovenftaaijdeu vergelijkt, ziet men dat hij met denzelven, uitgenomen in de fchikking, volmaakt overéénkomt. JL Eer men tot de bewerking van don régel overgaat , mag men het agterfte getal tégen het middöfté of tégen" hec voorfté verkleinen , en na dé verkleining , de'getallen di2 men in plaats verkreegen heeft, naar den régel van 5. 759 bewerken, om het gevraagde te verkrijgen. Berekening van het eerfte Voorbeeld, na voor' ïfgaande ver klein in aen -ó Werkl. — fé dag.- 4S WeikHedèn, '4 ' ' '13* r >' $ <4 ■ Cl 5? dagen. Hier :s e&st 36 tégen 45 door 9 verkleint, dit kan geen' verandering in het begeerde getal veröorzaakèh, aangezien hec middelfte met het eene getal ge.Jt;!tipiicotrd en dat producl door hec andere getal moet gedeeld worden. Eindelijk heeft men de 5 *fgcn &5 c3oor 5 verkleint en j en 13 in plaats ver.  ÏII.B. /ƒ. AXXI.L. Omgek,Régel vanDricnfig? verkreegen: die kun ook geen verandering geeven; want dewijl het middelde getal, door hèt agterfte moet gedeeld' worden, 2al een gelijknaamig deel van het middelfte door een gelijknaamig deel van het agterfte gedeeld , het zelfde quotiënt moeten geeven, zie § 657. III. Als bij zommige léden van de ftelling deelen en minderdeelen van' Munten, Maaten en Gewigten gevonden worden, z~u men die eers,t tot minderdeelen moeten herleiden — en daar bij onder het oog houden, dat (g'drjk in den regten régel van Drien.) de voorfte en'agterfte termen eer men den régel mag tcepasfen, tot dezelfde minceideelen moeten'gebragt worden: voords da: na de daadelijke toepasfing van den régel, de uitkom.se een getal van die minderdeelen is, waar in de middelfte term is herleid geworden, IV. Als de termen geen heelen,'maar gebrokéné of gemengde getallen zijn, moeten éven eens als in den reebten régel van Drim ./ elke term eerst met den noemer van zijn bijzijnde'breuk vermér.igvuldigd worden; daar na moet men de eerfte term met de noemer van de breuk van de agterfte term verménigvuldigen en de agterfte term mee de noemer van de breuken der voorfte en middelfte termen- (Alles hertégengeftelde van het geen daar omtrent in den regten regel van Drien plaats heeft.) Het zal nodig zijn, dat wij zulks" nog door een voorbeeld ophelderen : Gefield , dat een recht vierhoekigeKamer\dle \ 6\ voeten lang, \\\breed is, tot op de lengte van 14? voet zal moeten gebragt worden, hoe lang zal dm de breedte moeten ge' nomen worden, om de Kamer dezelfde ruimte te doen behouden i Welke vraag door een omgekeerden régel van Drien zal moeten opgelost worden, Yyirj aan*.  698 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. aangezien de lengte kleiner wordende, de breedte in dezelfde réden moet verminderen. Stelling en berékening: iöj lengte — iij breedte — 14;- lengte 7 15 t 1 — (7 4 105 2 8) — 13I voet breedte In deefe berékening is eerst elke term met den noemer van zijn bijftaande breuk verménigvuldigd, de eerste term is met 7 de noemer van de laatfte breuk verménigvuldigd; de agterfte met 3 de noemer van de eerfte en met 4 de noemer van de laatfte breuk. — Hier door blijft de betrekking van de voorfte en agterfte termen onveranderd. Na behoorlijke verkleining der termen en berékening van den régel, vindt men voor de begeerde breedte 13! voeten. V. Eindelijk dient nog te worden opgemerkt, dat men elke ftelling van een omgekeerden régel van Drien zou kunnen uitrékenen door de voorfte en agterfte termen met elkander te verwisfeien, (dat is de voorste term in plaats van de agterfte en de agterfte term in plaats van de voorfte te ftellen,) en deefe nieuwe ftelling der getallen naar de régels van een regten régel van Drien uit te rékenen. — Wij zullen van deefe aanmerking in den zamengeftelden régel van Drien gebruik maaken. IV. Ver-  JU. B.II.H. XXXI.L.Omgek.RégelvanDrien^.y IV. Vergelijking van den regten en oingekcer^ den régel van drien mei elkander. §. 761. De kennis van her onderfcheid tusfchen den regten en den omgekeerden régel ya^Drier, is van te veel gewigc, om dezelve Hechts ten halven te verftaan : het is om die réden, dat wij nog ten overvloede de vergelijking van beide régels zullen opmaaken, op dat het verftand jvan den Leerling daar door te meer opsrefcherpt worde. 1 0. In een regten régel' van drien zijn drie groot heden gegeeven, uit welker overéénkomst met elkander een vierde moet gevonden worden. <- 2 0. In een regten régel van Drien ftaan de bekende grootheden met de onbekende grootheid in een regte proportie. 30. Als een regten régel van Drien § 7 31 is op • gefteld , zijn de voorfte en agterfte termen van ge lijken naam, terwijl het middelfte met het gevraag, de gelijkmaatig is. 4 0. In de ftelling van een régel van Drien is de tweede term altijd in dezelfde réden grooter of kleiner dan den eerften. i°. Het zelfde heeft in den. omgekeerden ré. gel van Drien plaats. 2 0. Maar in een' omgekeerde régel van Drien ftaan de bekende termen met de onbekende term in eene omgekeerde proportie, 30. Het zelfde heefc ook in den omgekeerden régel van Drien plaats, J wel verftaande, als de ■ ftelling naar den régel van § 757 is opgefchrceven. 40. Maar in een omgekeerden régel van Drien wordt de tweede term zo veelmaal grooter als de eerfte kleiner wordt — en-omgekeerd, 5°. Om  700 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. 5°. Om de ftelling vai een regten régel vanDrier uit :e werken, moet mcr de agterfte termen mei elkander verménigvuldi gen en het product door den voerften term deelen. 6°. In een regten régel ven Drien ken de voor fte term tégen de middelfte en agterfte terra verkleint worden. 7°. Eindelijk Zo de termen van een regten régel van Drien met breuken zijn aangedaan, moeten de noemers der breu* ken, die bij de middelfte en agterfte termen ftaan, bij den voorften term, en de noemer van de breuk «"er voorften term bij de agterfte term gezet worden , cm als multiplicaHMer termen te dienen.' ' rz&A&l Voorbeelden tot Oefiening: '• °) Een Kamer, die 24 voet lang en 18 roet breed is, word 3 voet in de lengte afgeneo* hoe veel voet moet dan de breedte ver. 1 er d worden, om in de Kamer dezelfde : hebben? Andw: 2_4 voet. 2° Als 5 0. In een omgekeer; den légel van Drien moet men in tegendeel de twee voorfte termen me: elkan: der vermérigvnldigen, en ■ het product door de agterfte term deelen. 6. Tn een omgekeerden régel van Drien is het intégendeel de agter-, j fte term , die tégen de voorfte en middelfte kan verkleint worden. 70. Maar zo de termen van omgeseerden régel van Drien met breuken zijn aangedaan , moeten (omgekeerd) de noemers der breuken van de voor| fte en agterfte termen on| der de agterfte term en ; de noemer der breuk van \ de voorfte term onder de ; agterfte term gezet wor. I den, om deefe termen te verménigvuldigen.  ÏII.É.1I.H. XXXI.L.Omgek.Régel vanDrien, foï 2°) Als een Balk van 6 end duim O voet lang is, hoe lang moet een halk van 3 en 5 duim zijn, om zoo zwaar te zijn als de eerfte ? Andw: 25? voet. 30; Iemand, die dagelijks 5' wtyV ««/, om een zékeren weg af te leggen, 24 dagen , nodig , hoe veel mijlen zal 'hij dan daags moeten afleggen, om dien weg in 16 dagen te doorreifen ? Andw: 8 mijlen daags. 4.0) Hoe veel dagen zal iemand moeten reifen, die 8| mijlen op een dag aflegt,- indien hij 5| mijlen daags reifende, dien weg in 28. 'kan afleggen? Andw. in 17': dag. 5°_) Indien 550 man een werk in 7 Maanden kunnen maaken, ^oe vee/ tijd zal daar toe nodig zijn , indien er nog 25 ffzö.-z Wjr genomen worden? Andw: 6 Maanden. 6°) M?^r «ft /W gemelde werk, dat door 150 ww» ï» 7 Maanden km volbragt worden, in 5 Maanden moet gereed zijn, Aoe veel Werklieden zal men 'dan boven de % 50 «eg in het werk ftellen? Andw: 100 man. 70) 42 Werklieden, iflfe X2 «»^» ^*gs ■ ■ 46 Gl: 11 ftuiv., dat met 760 Gulden in 21 Maanden gewonnen is. In de tweede ftelling wordt gevraagd naar den tijd die nodig is, om met 650 Gulden Capitaal 36 te winnen. Deefe tijd hangt af van de Hoofd- lom en van de winst, - en kan door eene /telling van een' regten régel van Drien en ééne fteiiing van een' omgekeerden régel van Drien ber rékend worden. ik réken eerst uit, hoe veel tijd men zal nodig hebben, om met poo Gulden 36 Gulden te winnen. Dit kan door een regten iégel van Drien gevonden worden. (Dewijl de tijd grooter moer zijn, om met het zelfde Capitaal meer te win. neri.) 3| winst -— ff Maand. 36 winst — 4 4 f-b * 1 * 5 144 ■ C4 576 5> 115; Maand tijd, die men zal nodig hebben , om met 100 Gulden 36 Gulden te wirnen. Na dat men dit gevonden heeft, berékent men wat tijd 'er nodig zal zijn, om 36 Gulden, die met ïoo Gulden in ii5j Maand gewonnen wordt, met 650 te winnen, deeie berékening vereischc, om dat de tijd vermindert, naar évenrédigheid hec Capitaal grooter wordt, een' omgekeerden régel van Drien. Capt.  ÏII.B.II.H.XXXLL Zameng.Régelvan Drien 705 fóè Cap. 115' Maand —— 650 Cape. 2 576 V r52 117*s Maand "jd, die 'er * 502 *■ nodig zal zijn, om 47 mee 050 Gulden 36 Gulden te winnen. Wij hebben dus de eerfte vraag door twee regte régels van Drien, en de tweede door éénen regten en éénen omgekeerden régel van Drien kunnen oplosfen. Men heeft in deefe oplosfing kunnen opmerken, dat in elke ftelling, die tot de oplosfing moet dienen, in het eerfte altijd naar winst en in het tweede altijd naar tijd gevraagd wordt ; dit is iets , waar door die foort van vraagen onderfcheiden zijn van een ander foort, die ook door twee of meer régels van Drien kunnen opgelost worden, maar welke régels van Drien moeten dienen, om telkens een grootheid van een andere foort te be' paaien. I. Welke Vraagen tot den zamengefteldett régel van Drien behooren. .§ 753. 19. In een'zamengeftelden régel van Drien wordt éven ais in den regten en omgekeerden régel van Drien naar een getal gevraagd; maar daar in deefe régels dit getal ftegts van één ander getal afhangt, met welke het in eene regte of omgekeerde proportie ftaat, hangt het in tégendeel in den zamengeftelden régel van Drien van twee of drie zomtijds ook wel van meer grootheden af; deefe grootheden ftaan elk met hét gevraagde of in eene regte, of in Z z eene  7o6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. eene omgekeerde réden. — Die getaiien of grootheden, waar van het gevraagde afhangt, moet da Leerling uit de natuur der Vraag leeren kennen; de bewoordingen, waar in de Vraag voorgefteld is, kannen daar toe aanleiding geeven ; men moet, voor dat men tot de oplosfing der Vraag overgaat, overtuigend zéker zijn, welke grootheden met het gevraagde getal in die betrekking ftaan. 2°. Als men zulks in de Vraag gevonden heeft, moeten 'er nog de volgende grootheden als gegeevens ra te vinden zijn: a) Een grootheid, die gelijkmaatig is met het gevraagde getal, en b) , dan nog éven zo veele grootheden, die met dat getal in dezelfde overéénkomst ftaan, als hec gevraagde metde getallen, die in de Vraag van dezelve afhangen. Zodanige zijn de kenmerken, waar aan men weeten kan, dat een Vraag tot een' zamengeftelden régel van Drien behoort. Het kan een Leerling verwarren , als men alleenlijk zege, dat een zamengeftelden régel van Drien een ftelling is, die door twee of meer regte régels van Drien kan opgelost worden. ( a) De Vraagen, die wij § 762 opgegeeven hebben, behooren dus tot den zamengeftelden régel van Drien : In het eerfte wordt naar winsc gevraagd; deefe is eersc in de regte réden van hec Capitaal 760 Gulden, en dan nog in de regte réden van den tijd, welke winst dus van twee dingen afhangt, van Capitaal en van tijd: in die zelfde Vraag is nu ook eene andere winst gegeeven, te weeten 3: Gulden, die ook van een Capitaal van 100 Gulden en een djd van 12 Maanden afhangt. In het tweede Foorbeeld is de tijd, die gevraagd worde, van een gegeeven Capitaal'en een gegeeven Winst afhanglijk. De (a) Want mei; kan het zelfde eok van den Kctt:ng-régt: 2eggen, en éven wei is deefe van den zameggtftelden iégejjzcer ondexfeheiden. Zie $ 768 & jeq.  lILBJIMXXXIL.ZamengiïégeïvanDrkn-yoj De zamengeftelden régel van Drien wordt gewoonlijk genoemd Régel van Vijven: en wei, om dat in de meefle Viaagen vijf getallen gegeeven zijn, en dan verdeeld men dien zogenoemden régel van Vijven in twee gevallen: te weeten in een' regten en in een' verkeerden régel van Vijven, na dat de régels van Drien, die tot de oplosfing dienen moeten, of alleen regte, of de eene een' regten ■en de andere een' omgekeerden régel van Drien is. Het komt ons het natqurlijkfte voor, om den zamengeftelden régel van Drien in de drie volgende gevallen te verdeelen: I. Als de régels van Drien, die tot de oplosfing dienen moeten,' alle regte régels van Drien zijn, II. Als de régels van Drien, die tot oplosfing dienen moeten, gedeeltelijk regte en gedeeltelijk omgekeerde régels van Drien zijn. BI. Als die zelfde régels van Drien alle omge. keerde régels van Drien zijn. Alle Vraagen, die tot den zamengeftelden régel van Drien behooren, kunnen, zopa's in § 762, door twee of meer régels van Drien of omgekeerde régels van Drien worden opgelost: deefe leerwijfe zou kunnen volftaan , en kan door den Leerling met nut geöeftend worden, (a) * De zamengeflelde régel van Drien is dus een régel; waar door alle régels van Drien, die men anders tot de oplosfing zou nodig hebben, in eens af worden opgelost. fV) Wij raaden de» Leerling, om elke Stelling van eea1 zamengeftelden régel van Drien, eerst door regte en ver. keerde régels van Drien op te losfen, hier door zal hij de betrekkingen der grootheden, in de Vraag voorkomende, béter leeren ouderfcheiden. Z z 2 II. Hos  7o3 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST. II. Hoe eer? zamengeftelden régel van Drien in het gemeen wordt opgefteld. i aj § 764. Men onderfcheidt wéderom eerst „ het geen gevraagd wordt van de bekcudens?' 2°„ Dit gevonden hebbende, zoekt men onder i, de békendens een getal, dat met het zelve ge„ /ijkmaatig is, en dat getalfeit men op* 30,, Voor dat getal, ter linkehand, fchrijft ,j men de getallen, die met het zelve in de regte „ of omgekeerde rédens ftaan. en van welke de „ waarde van het eerst opgefchreeven getal af„ hangt." 40,, Eindelijk fchrijft men de overige getallen „ tn eene colom onder elkander. Deefe zijn zo veel „ in getal als de eerfte en met de getallen van „ de eerfte colom van dezelfde foort." De vraagen van § 762. zullen, naar deefen régel opgéfteld zijnde, aldus ftaan. de eerfte 100 Capit 7 winst J760 Capit 12 maand, j °' } 11 irjaand. de tweede * 100 Cap. l12maandi%o Cap. 2) winst J [36 winst * Met (a) De Heer Blasstkie geeft eenen anderen rége! op, welke wij niet ontveirfen kunnen, een meerder gemak in de tékenjng aan te brengen, dewijl in veele gevallen vin den omgekeerden régel tan Vijven ds getallen, •die met het gevraagde in een omgekeerde réden (taan, niet behoeven omgezet te worden; maar naar «nfe Leerwijfe, moet een Lfeiling oplettend zijn, om voo:af na te gaan, welke grootheden ten opzigte van bet gevraagde getal, rest of verkeerd ftaan , iets dar ycor den Leer. ling van het grootfte belang is wel te weetcn. Ook kun. nen 'er! gevallen zijn , waar in den régel van den fleer Blassibke zo gemaklijk niet toegepast kan worden gelijk het derde Vootbeeld Van de opheldering hier onde  M.S.H. HXXKl.L.Zameng.Régelvan Drienjog * Hec wel opftellen van den régel is ook hier van zoo veel belang, dat de leerling zich hier ia niec ce veel kan oeffenen. III. Hoe een zamengeflelde régel van Drien opgefteld zijnde, moet opgelost worden, § 765.-Kerst zullen wij den régel in het ge. meen voordraagen cn dan van elk geval een bijzonder voorbeeld, uitgewerkt, opgeeven, 1 0 , Het eer/Ie werk dat mij te doen ftaat is „ dat ik eerst 'elk getal, dat in de voorfte colom „ ftaat , tégen het middelfte getal vergelijk om „ daar uit te beöordeelen of deefe term met het middelfte getal in een regte of in een omge„ keerde réden ftaat: die welke in een omgekeer „ de réden ftaan tekent men met een fterretje * „ (zie de op/lelling van het tweede voorbeeld „ maar die in een regte réden ftaan, laat men ongetekend. % 0 }, JL' ''er omgekeerde rédens zijn, haalt men ,, de getallen die in de omgekeerde réden met „ het middelste getal zijn door, en fchrijft het „ getal dat voor ftaat agter en het getal dat ag„ ter ftaat vooraan, — zo als men in het tweede „ voorbeeld zien kan. • m Capitaal? a maandff^^ 3^ wxnst j [36 vvmst 650 10.0 „ als alle de termen met het middelfte in een reg„ te réden ftaan. behoeft men in de getallen niet „ te ver plaatfen". 30 „ Indien ''er onder de termen gebrokens „ gevonden worden, moet men die termen met de 5, noemers der bijzijnde breuken verménigvuldiZ z 3 gen,  710 GRONDBEG. b=r CIJFFERKÜNST. gen, om heels getallen te verkrijgen, met de n noemers deefer breuken éven eens te werk gaans> de , als in den regten regel van Drien: te „ weeten de noemers der breuken in de voorfte ?? colom ftaande, in de agterfte colom en de noe,> nters der breuken van de agterfte colom en van „ het middelfte getal in de voorfte colom te plaat* „fen. 4 ° ,. Men mag ook de termen tégen elkander y, verkleinen, daar in de zelfde omzichtigheid ge bruikende, als in den regten régel van drien; ., te weeten eenig getal van de voorfte colom kan „ tégen het middelfte getal of tégen eenig getal 5, in de agterfte colom verkleind worden \ 50 „ Eindelijk verménigvuldigt men het mid' „ delfte getal getal met alle de getallen die in „ de agterfte colom ftaan, en divideert hei pro' duel door het produel der getallen, die in de „ voorfte colom /taan, dan is het begeerde gevon„ den". De twee voorbeelden van § 762 zullen naar dien régel aldus bewerkt worden. he; eerfte. 5 m Cap. ? . Ijn Cap. %%. ro 4 u maandj J' *mst \ # maand. 7 * 7 (7 49 — dg H 931 aeel in 5 maal 4} 46^ Gulden. Zoo als §76^ gevonden is. hec  il.EJLH.XXXLL.Zameng.Rêgelvan'Drien.jii het tweede té. ® winst S . mddim-\ 36 winst 65e Z(2 M '2 8 4 ■ (4 32 (36 1152 in 65)- komt 17% maand. Zoo als ook aldaar gevonden is. Ik geloof dat elk onder het voorftellen van den régel en de befchouwing der bijgevoegde rékeningen , klaar genoeg zal gezien hebben, waarom men den régel dus opftelt en dus bewerkt, dewijl de gantfche fchikking der berékening daar op neer komt, dat men in eens alle de régels van drien bewerkt, die men anders afzonderlijk zou hebben moeten opftellen en uitrékenen. § 766. Om de zaak volkomen te voldingen, zul-, len wij voor elk geval nog een voorbeeld opgeeven cn daadelijk uitwerken. Voorbeeld op het eerfte geval. Als 24 Werklieden in 20 weeken, daags 7 uuren werkende 1435 guld. verdienen, hoe veel verdienen dan ^3 Werklieden in 36 weeken, dagelijks 12 uuren werkende? onderjlellende dat het werk, dat elk in gelijke tijden afdoet gelijk is. Zz 4 Stelling  n% GRONDBEG. dkr CIJFFERKUNST. Stelling en Bewerking, a. U Werklied.. Werkl l.S. *t weeKen l fTTS Werkl {# weeken. o i. t uuren J ^ lI? uureQtIv 4* ~7C9 369 C33 i2i;7 - 6c88'- Gulden, verdienen 33 Werkl. in 36 wee ken, eiken dag 12 uuren werkende. Ferklaarifig. Hec werkloon is a) in de rente reden van het getal Werklieden, b) in de regte réden van den tijd en e) in de regte réden van den trjd, die men eiken dag werkt, (a) V°0.R/EE.Ln °P h« tweede geval. Ah 25 WerkUeden *ng weeksn, & f f werkende, 6088:' gulden verdienen, i„ w«t >d zullen dan 24 Werklieden n ,„„-L j 3 , + " <-iwca~n , 7 uwen daags wet- hende^i^s gulden verdienen? ö Stelling JW behalven de ultflaaöde Tafel tégen over nas 608 «IR nndea, of de betrekking van tik getal in de voorfte ^portie naatj Op deeie wijs : Ik vraag: Indien de weeten en de uuren daags gelijk blijven, in wat terifefaS ftaan dan de Werkhe.dea mtt het werkloon? ££ zai  III.B II.H.XXXIL. Zamtng. Régelvan Drien,^ Stelling en Bewerking: f . 14 ♦ ü Werkl. ■> f^'WerkL^.^ 1 > (omgek.) i.f » fi. uuren J jf* week. \ i uuren. / ■■ l U 4 (omgek.) fiiïufafJtiVfretïl 3 2 i/^^Weiki/i) 4'W ïM (feSÖ 4Èt 5 4'/ ' —(2 ï i IO (2 Komt 2 o weekea, waarin 24Werkl,, 7 uuren daags wer» kende, 143^? guld. kunnen verdienen» Verklaaring De 36 weeken zijn d) met de 33 Werklieden alles gelijk blijvende in de omgekeerde réden, b~) ook met de tijd die zij daag* iijks werken in de omgekeerde réden , (c maar zijn met het werkloon in een regte réden. Voorbeeld. Op.het derde geval. Als 840 Gulden Capitaal in 8 Jaar tégen 3 per Cento een zékere winst opbrengen, tégen hoe veel per Cento moeten dan 2400 Gulden in 2', ¥aar uitgezet worden, om het zelfde te winnen? * Z z 5 Stelling zal ik niet lang behoeven te overdenken om te zien, dat Werklieden en IVerklann in een regte réden zijn. Als men op gelijke wijfe de betrekking van elk der overige getallen tot het middelfte onderzoekt, door altijd het overige gelijk te ftellen, zal men insgelijks de overéénkomften vinden. - De kennis van den waaren aart der zaaken, moet altijd dea grondlïag zijn van een welgegronde berékening.  714 CRONDBEG. der CIJFFERKUNST. Stelling en Berékening. %é. $444 * %4o Cap,-» ,$444 Capt. $46. U V3fJr.Gt.-j (omgek.) 5 =! * f JnfcJ 3 *-?}Jaar..? 2 i " 3 (omgek.) 9 C* i} 16 {komt ?j per Cent, tégen welken Interest 2400 Gulden Jaar moet uitgezet werden, om het zelfde re winnen. Verklaaring, De tijden gelijk zijnde , moeten om het zeilde vt wirsnei, de Capitaalen in de omgekeerde réden van de interesfen ten ico zijn. — En de Capitaalen gelijk zijnde, zijn ook de tijden in de omgekeerde réden van de winften ten honderd. * Als alle de Stellingen omgekeerd zijn, behoeft men de getallen niec ce verplaatfen, men kan alsdan alles als eenen omgekeerden régel van Drien bewerken. 5 76" Voorbeelden tot Oeffening in den zamengeftelden régel van Drien. A. Zulke , die door regte régels van Drien kunnen opgeltst werden, 1°) Als 8 Knegts in den tijd van 12 maanden winnen 2593 Gulden, hoe veel winnen dan 35 Knegts in den tijd van io\ maand? Andw. 9922; Guldens. ï'J Hoe veel zal ééne Knegi in ééne week verdienen, als 9 Knegts in io\ week 73S.? Gul' den verdienen"1. Andw, 7:;. Gulden. " 3°; Hqü  III.B .11. H.XXXI.LZamcng. Régel vanDrien.7 15 30) Hoeveel zal men met 1625 Gulden in \7\ maand tégen % ten honderd in het Jaar vinnen? Andw. 88 GL 17 fluiv. 5! penn. 40) Als men met 450 Gulden in 12 Jaar tégen 6 ten honderd in V jaar 324 Gulden winnen kan, hoe veel zal men dan winnen met 750 Gulden in 7* jaar tégen 31 per Cent? Andw. 2? 5? Gulden, K°) Als 5 Werklieden, 6 dagen in de week werkende , in den tijd van 41 week 1471 Gulden verdienen, hoe veel zullen dan (de verdien • fte n der Werklieden gelijk ft ellende} 5 3 Werklieden in 46} week verdienen, zo zij elke week 65 dagwerken?Andw. 17502Gl sors3 ft. 6°} Als 12 Knegts in 7 weeken, 6 dagen in de week en ic uuren daags werkende, 650 verdienen, hoe veel verdienen dan 20 Knegts in 12' week, ${ dag in de week en 9 uuren daags werkende , gefield das elk van de '2(J 'Knegt in 12 uuren i~ maaien het zelfde werk doet, dat elk van de 12 Knegts in die zelfde 1 a uuren kan af maaken? Andw. 2127^- Gulden. B. Zulke Vraagen, die gedeeltelijk doot regte en gedeeltelijk door verkeerde régels van Drien kunnen opgelost worden. 1°\ Als een Last Tarw kost 128 Goud-gl, betaalt men 4' ftuiver voor een Brood van 3 pond; als nu de Tarw 16 Gulden op het ■ Last af ftaat, hoe veel pond Brood zal men dan koopen voor 9 ftuivers en 3 penn.? Andw. 7 fond. 8°) Een \i v  7i6 GRONDBEG. der CIJFFERKUNST; 8°3 Een Loodgieter heeft ic6~ pond Lood, waar méde hij het vierkant plat van een Huis beleggen kan, zo nu het plat 17 voet lang is, koe breed zal hei dan moeten zijn, indien hij om een plat, dat 13; voet Ittng , 7; voet breed is, te beleggen, 43; pond van dat zelfde Lood nodig heeft? AÏidw. 13^ voet. 9°) Len Muur , v- /leen dik , 32 voet lang, oó voet hoog, beloopt voorwaarde aan Bouwpof en Arbeids loon 360 Gulden, hoe lang zal dan een 3 ft eens muur zijn van 45^ voet hoog, die aan Bouwflof en Arbeids loon 1110 beloopt? Andw. 39 ?' voet lang. IO°3 Als 20 Arbeiders -, in 15 weeken 6 uuren daags werkende, •oco Gulden winnen, hoe veel uuren moeten dan 3 6 Arbeiders 4 weeken lang daags werken, om 64c Gulden te verdienen? Aodw. 8 uuren. H°) Indien 360 Soldaaten in 11 weeken 6 dag werkende en 12 uuren cp den dag een Gr agt maaken, die 7200 voet lang, 28 voetbreed en 10 voet diep is, hoe lang zal een Gr agt moeten zijn , waar aan 560 Soldaaten, daags I4Ï uur werkende. 24 weeken lang werk zul. len hebben » gefteld dat zij £j dag in de week werken, en dat de Gr agt 30 voet breed en lil v°et diep moet weefen% Andw. 27449^ 12°) Gefteld\ dat men met 8coo Gulden 'in 16 Maanden tégen 3 per Cent 3:0 winnen kan, met wat Capitaal zal men dan fat 33' Maand 513 Gulden tégen 3J />er Cent kunnen win. nen? Andw. .,900,; Gulden. C. Zulke  III.B.1LHXXX1, L.Zatneng.Régel vanDrienji 7 C. Zulke Vraagen, die door Wee of meer verkeerde régels van Drien kunnen ontbonden worden, 13 °) Hoe hoog moet een Regenbak gemetzeld worden, die 12 voet lang, 10 \voet breed is, om zo veel tonnen waters in te houden als een anderen Bak 11 voet lang, 8 voet breed en 73 voeten hoog? Andw. 5? voet. H°> Hoe'veel Capitaal moet voor 16 Maanden tégen 4; per Cent op interest gezet worden, om zo Veel te winnen als 600 Gulden in 131 Maand'tégen g| per Cent? Andw 46 15°) Hoe lang moet 1200 Gulden tégen 3! per Cent op f riterest gezet worden, om zo veel te win hen , als 1600 Gulden in 5 Jaar en 3 Maanden tégen 4;, per Cent 's jaars vannen kunnen? Andw. 7 Jaar 7 Maanden. 16 °) «wrw moeten 35 Werklie¬ den 14 mfe» /rfffg werken, o?» 20 *w£ tf/ ^« * 8 Werklieden in 27 yowfrtfK /;a;wf», dagelijks \o\uur werkende? Andw. ïof uur, j70>) //o Werklieden in 10 wieken, 6' dag \ weeks en ia', uur daagi werkende? Andw. 650 Werklieden. C< Gy*r  7i8 GRONBEG. der CIJFFERKüNSl'. C. Over den aanééngefchakelden régel van Drien, anders genoemd den Kcttiug-régel. § 768. 'Er zijn in de gewoone Rékenkunsc een ménigre Vraagftukkeu, die men door twee , drie of wel meer régels van Drien kan oplosfen, welke alle zo aan elkander verbonden zijn, dat het geen men in de eerfte régel van Drien tot uitkomst verkrijgt, de laatfte bekc-nde term van de volgende wordt, enz. — Zulk een Vraagftuk is bij voorbeeld : Als 24 pond te Amftejdam zo zwaar zijn als 25 pond te Antwerpen, en roo pond te Antwerpen zo zwaar zijn ah 107 pond te Sivilieri, hoe veel pond te Sivilieh zullen dan met u6co pond te Am. ftel dam een gelijke zwaarte hebben? Deefe V'raag lost men door den régel van Drien aldus op: Eerfle Stelling. 14 pond Amft.—Z5 pond Antw.—%$66 pond teAm/l. komt 3750pond te Antwerpen , die éven zwaar wegen al* 7600 te Antwerpen. Tweede Stelling.. fiépondAntw.—107 pond Stvil. — 3750 pond Antw. 2 — ' 75 535 749 8025 komt 4014' pond te Srnlien gelijk in zwaarte aan 3750 te Antwerpen , derhalven ook gelijk in zwaarte met 3600 pond te Amjieldamt dat gevonden moet worden. De  III. B. II.II. XXXI. L. Over den Ketting-règel 719 De Vraagftukken, die op dezelve wijfe kunnen opgelost worden, behooren tor. de Ketting régel. I. Welke de hoedanigheden zijn, die in een Vraagftuk moeten gevonden worden —• eer men bejluiten kan, dat zulk eene Vraag door den Ketting régel kan worden opgelost. § 769. In een Vraag, die door den Ketting-régel kan worden opgelost, moeten gelijkheden gevonden worden. Veriiaat door gelijkheid in het vol ■ gende : „ 24 pond te Amfteldam zijn zo zwaar „ als 25 Bond te Antwerpen — en dergelijke." Deefe gelijkheden zijn in de eene Vraag meer en in de andere minder; want daaromtrent is geen bepaaling nodig. De gelijkheden moeten zo gegeeven zijn, dat het laatfte lid van da eerite gelijkheid gelijknaarnig is met het eerite lid van de tweede, het laatfte lid van de tweede gelijknaamig met het eerite lid van de derde. Zo is in de opgegeeven Vraag: 24 pond te Amfl. a 25 pond te Antw. 100 pond te Antw. =s ic7 pond te Sivilien. Eindelijk wordt 'er in zulk een Vraag naar een andere gelijkheid gevraagd; gelijk hoe veel ponden is Sivilien gelijk itaan met 5600 pond te Amfteldam. Deefe gevraagde gelijkheid moet bekend worden uit de gegeevene gelijkheden : en 'er moeten zo veele tusfchen gelijkheden gegeeven zijn, als 'er nodig zijn. om met behulp*van dezelven de gevraagde gelijkheid te bepaalen. Als in het opgegeevene Voorbeeld alleen gezegd was 24 pond te Amfteldam weegen zo zwaar als 25 pond te Antwerpen,hoe zwaar weegen dan ^dozAmfteldamjche ponden  72b CR03DBEG. der CIJFFERKUXST. ponden te Sivilien, zou men door deefe gegeevene gelijkheid wel kunnen berékenen, hoe zwaar 3600 Amfteldamfche ponden te Antwerpen vvcegen; maar om aan de Vraag te voldoen, moet er een gelijkheid in getallen tusfchen de Antwerpfche en Sivtliaanfche ponden gegeeven zijn, zonder welke de Vraag onmogelijk kan beiinchvoord worden. II. Hoe de gelijkhêdm van een Ketting-régel moeten opgefteld worden. $ 770. Om de gelijkheden van eèn Ketting régel op te ftellen, moet i0,, Onderzogt worden, waar naar gevraagd „ wordt , dit getal onbekend zijnde , ftelt men „ daar voor een (x) — anderen ftellen een puntje of een R er r et je " 2 0 „ Daar na herleest men de Vraag, en vraagt „ aan zich zelven: wat moet met dat getal gelijk „ (laan? dat zal men uit de Praag vinden, „ en het geen 'er méde gelijk ftaat, fchrijft men 5, agter de (x) ter reg'ehand," 3°;, Nu is de onbekende gelijkheid opgefchree. „ven, en alle-de andere bekende gelijkheden, „ moeten onaer die eene gelijkheid op deefe wijfe ., gefchreeven worden ; dat de eerfte term van „ elke volgende gelijkheid gelijknaarnig is met de „ tweede term van de voorgaande, het welk men „ altijd uit de eenvoudige leefing der Vraag zon- der veel nadenkens vinden kan?' 40,. Als men alle de gelijkheden onder elkander „ gefchreeven heeft, heeft men twee Colommen „ van getallen , in de voorfte van welke het on- bekende getal ftaat, en in welke de laatfte term „ in de laatfte Colom gelijknaarnig moet zijn met „ het  ƒƒƒ. B. ÏZ H. XXXI. L. Over den Ketting.régel, 721 & het onbekende, dat is met de eerfte term van de „ voorfte Colom " . • ■ . 50,, Indien het gebeurt, dat de laatfte term „ yan de laatfte Colom met de eerfte term van de Voorfte niet gelijknaamig is, heeft men of een „ misflag inden régel begaan, of alk gelijkheden niet op getékend, of ''er is in de vraag niet alles gegeeven, dat tot bepaaling van de onbekende n gelijkheid noodig is." (a) Het Ca) De Ketting régel heeft dat bijzonder eigen, dat men die gelijkheid, die het eerst voorkomt, het eerst kan opfchrijven, en dan voords ten opzichte van de plaatfing der overige gelijkheden , den voorgefchreeyenen régel naauwkeurig in acht moet neemen. Zo veele léden als dan in alle de gelijkheden te zamen genomen zijn; zo veele ondeifcheidene wijfen van opftelling kunnen 'er plaat? hebben. Het opgegeevene Voorbeeld kan dus op de volgende wijfen opgefteld worden. A. pond te Amft. 24 I 25 poud te Antw. pond te Amtw. ïoo I 107 pond te Sivilien. pond te Sivilien x • 3600 pond te Amft. B. pond te Antw.' 100 I 107 pond te Sivilien. pond te Sivilien x I 3600 pond te Amft. pond te Amft. 24 • 25 pond te Antw. c. pond te Amft. 3Ö00 I x pond te Sivilien. pond te Sivilien iq7 I 100 pond te Antw. pond te Amft. 23 ' 24 pond te Amft. D. pond te Sivilien 107 I 100 pond te Antw1; pond te Antw. 25 I 24 pond te Amft. V pond te Amft. 3600' x pond te Sivilien; E. pond te Antw. 25 I 24 pond te Amft. pond te Amft. 3600 I x pond te Sivilien ; pond te Sivilien 107 |. ima pond te Antwerpen; Aast  72a GRONDBEG. Mii ClJFfERKUNST Het voorbeeld van $ 76S zal naar deefen régel aldus opgefteld worden: pond te Sivilien x 3600 pond te Amfteld. pond te Amft. 24 25 pond te Antw. pond te Antw. 100 > 107 pond te Sivilien. De Leefer kan hier uic zien, hoe eenvoudig deefen régel is: het is daarom in de daad te verwonderen, dat de Ketting-Régel zo weinig gebruikt wordt, III. Hoe een Ketting-régel wordt opgelost. § 771. Om nu een Ketting-régel op te losfen, volgt men deefen Algemeenen RéoEL: i°„ Eerst moet men, „ indien 'er gebrokene of gemengde getallen zijn, „ die getallen met de noemers van de bijftaande j, breuken vermenigvuldigen , en de noemer van „ die breuk in de andere Colom zetten, om daar „ als Multiplicant te dienen. * 20,. Men moet, zo lang het mogelijk is, eenig ,, getal van de eene Colom tégen een getal yanK de ,, andere Colom verkleinen." 3°„ Eindelijk moet men de termen of getallen „ van de voorfte met elkander verménigvuldigen, „ als ook die van de agterfte, dan deelt men het „ produel der agterfte Colom door dat der voorfte, „ het geen 'er uitkomt, is her gevraagde getal ft Het Vraagftuk, daar zo éven opgefteld , wordt dan aldus uitgewerkt, pond te Sivil. x \ ;5zi pond te Amft. téf pond te Amft $41 :< pond te Antw. 1,75 4 pond te Antw. 1-- J J07 pond te Sivilien. 2 2 / 8025 f4012. pond te Sivi* ■ I \lien, die gelijk ftaan fmet 3600 pond te \Amfteldam. Betooo  UlB.ILH.XXXlL.0ver den Ketting-régel. 72$ Betoog van deefen Régel.) Als men den voorgefchreevenen Régel met de oplosfing § 768 ver* gelijke, befpeurt men ten eerften , dat door de fchikking der vergelijkingen in Colommen, de voorfte termen der régels van Drien, alle in de voorfte Colom, en de middelfte termen van die zelfde régels van Drien in de agterfte Colom komen te ftaan, dewijl men nu in een régel van Drien met de middelfte termen verménigvuldigt en door de voorfte termen deelt, moet men noodzaakïijk het produfl der termen van de agterfte Colom door het produ£t van de voorfte deelen. Nog de volgende Vraag zullen wij voor den Leefer uitwerken. Vr a a g : Een Koopman ontvangt uit Engeland zékere ftukken Linnen, die hem aldaar 42 groot Sterlings de el kostten: Zo nu 12 ellen ie Amfteldam i o Vlaamfche ellen ; 7 Vlaamfche ellen 5 Engelfche ellen waerdig zijn, en de Cours van de Wisfel 36 Schellingen 4 groot Vlaamsch is, vraagt men, hoe veel ftuivers een elle van dat Linnen te AmfteU dam kost? ftuivers x j 1 El te Amfteldam. ï.l.Ell. Amft. tl U Vlaamsch.Ell.tf.i 1. Vlaamsch. El. i 5 Engelfche EU, Eng. El ï 41 groot Sterl. $ groot Sterl. tl 1 Schell. Sterl. 4.Schell. Sterl. 1$ Schell. Vlaamsch, Schell. Vlaamsch 1 $ ftuiv. 3 109 24 545 5ƒ «tg ftuivers de ■ *? waarde van 65 j 1 Elle Hol. Ü 1 O 7 ** landsch. Aaas JYZSBjt  724 GRONDBEG «* CTJFFERKUNST. Voorbeelden tot Oefening. 1°) He: veel Ag: en-frintigen zal iemand tnt> fangen voor 713 Ducaaten? Andw. 2673 j. 2 5) Hoe veel Ducatons zal men hebben voor 5486 FranfcJte Kroonen, in de yoorb'nderftelling dat iedere FranfcheKroon 28 ftuivers waar digis? Andw. 1549 Dueaaten. 3°) Hoe veel Zesthalven zal iemand ontfanget, voor 360 Goude Rijders tct 14 Guldens hes ftuk? Andw. 18327^. 4CJ Iemand heeft een ftuk gekogt, dat 50 Ellen lang is, voor 36 Gulden; vraage, voor hoe veel hij de El wéderom zal moeten uitver. koopen, om 10 ten ico te winnen? Andw. 15 .: Gulden. 5 °) Een Koopman heeft een ftuk Laken, het welk 230 Gulden kost en lang bevonden wordt 46 ellen , vraage: hoe veel hij de el zal moeten verkecpen, om 20 ten ico te winnen?Andw. 6 Gulden. 6°j Indien 57 pond tot Bamberg éven zo zwaar zijn als 56 pond ie Amfteldam, op hoe veel Zullen dan 171 Bambergfche ponden te Amfteldam komen te ftaan, zo 21 pond Axnaeh damsch gewigt 43 Gulden kosten ? Andw. 344 Gulden. 7 °) Wat kost een el Laken te Londen, als een Anuleldamfche elle kost 4 gulden 19 ftuivers, en 102 ellen rc.\mfteldam zo lang zijn als99 elkn te Londen; als mede 1 L. Sterlirgs in Amfteldam?ch 36 Joh. en 8 groot waardig is? Andw.9 \: fchell. fterl. V) Eén ftuk Laken, dat i%\ el lang is, kost mij ingskegt 74 guldens, tct hoe veel zal ik wéderci.i  III.B.IIH. XXXIL Over den Ketting Régel. 72$ wéderom de el moeten verkoopen, om 18 ten 100 te winnen ? Andw. 4 guld. j 4 ï 9°) Indien ico pö«^ Geneven 200 veel waar. dig zijn als 108 pond /eLions, 100 pond te Lions £o»van de tweede foort 4 ellen, zo dikwijls hij van de tweede foort 3 ellen neemt, neemt hij van de derde joort 5 ellen, en van de derde foort a ellen neemende, neemt hij van de vierde foort 5 ellen: vraage hoe veel ellen heeft hij van elke foort gekoft? Andw. 36 ellen van de eerfte, 48 van de tweede, 80 van de derde en 100 van de vierde foort. 4°) Een fom van 9368 gulden moet onder vier perfoonen dus verdeeld worden, dat $ van het deel van A, | van het deel van B, \\z maal het deel van C en \ maal het deel van D alle gelijk zijn. Andw A 4284; B. W; C, I344;D, iS36guld. 5 ) yeiteld, dat er drie Watermolens A , B en Czijn, de twee eerften A en B kunnen een Polder in i6tx dag leegmaalen, A en C kunnen het *ni7\ dag en B en C kunnen het in i 8 'J dag doen: vraage in hoe veel tijd zullen zij elk afzonderlijk dien Polder kunnen leegmaalen? Andw. A in °o, 13 in 36 £n C in 40 dagen. 6°) Twee hebben te zamen in Compagnie gedaan, •na het epmaaken van de rekening bevinden zij, dat A aan Capitaal en Winst 721 en B 927 gulden ontvangt, zo nu A 200 gulden minder dan B heeft ingelegd, vraagt men, hoe veel elk ingelegd en gewonnen heeft? Andw. A ingelegd 700 en 21 gewonnen B en 900 gulden ingelegd en 27 gewonnen. 7°) Brie maaken een Compagniefchap, waar in B 90 meer legt dan A, en A en C te zamen 1190 gulden, na verloop van eenige tijd is 'er tienmaal zo veel gewonnen als A ingelegd heeft; als nu C voor het aandeel van zijn winst, 834J, meer geniet dan B ,• vraagt men hoe veel elk ingelegd en gewonnen heeft? Andw.-A 360 gulden ingelegd en 79© I? §e'  Vitgeleefene Voorftelkn. ?2Q 79oi? gewonnen. Het overige wordt hier uit gé. wtaklijk gevonden. Z°) Een Koopman koopt eenige foorten Koopman' fchap, die hij onder elkander vermengt; te weeten de helft tot %\ fchell.; een derde tégen 4. fchell ; een tiende tot 5 fch. en de rest tot 7; fch. het pond; zo nu het beloop van de menging, door elkander serékend, 4410 guld. bedraagt, vraagt men, hoe yeel ponden van elke foort in de menging genomen zijn? Andw. 1S00 pond van de eerfte Joort; 1200 pond van de tweede; 360 pond van de derde en s4o pond van de vierde foort. 9 ) Op een vreemde plaats worden gekoft Cent 36 pond van zékere IVaar tot 24 gulden 42 ftuivers; 8 Cent 27 pond tot 26 guld. 8 ftuiv en o~Cent 72 pond tot 25 gulden 4 ftuivers het Centenaar, bedraagende te zamen 764 gulden 16 ftuivers: vraage hoe veel daar het Centenaar is houdende? Andw. ic8 pond. 10°) 150 Werklieden hebben een Werk aange* nomen : het zelve kunnen zij in 60 weeken gereed hebben, indien zij si dag V weeks werken en 10 uuren op eiken dag; nu beginnen zij daar aan te werken 5 dagen in de week en 12 uuren op eiken dag; na verloop van 6 weeken neemen 2> Werklieden hun affcheid, en de overige 125 Werklieden werken 6 dagen in de week en 10;' uur daags; deefe 7 weeken lang gewerkt hebbende^ moet het geheele Werk in den tijd van 25 weeken volbragt zijn, tot dat einde werken zij & dagen V weeks en\7\ uur daags: vraage hoe veelWerk. lieden 'er nog aangenoomen moeten worden , om het Werk in den bepaalden tijd gereed te hebbent Andw. 22 Werklieden. Aaa 5 BIJ.  73» B IJ L A A G E. B JJ L A A G E. Ik was eerst voorneemens geweest eenige Bijlaagen, betreffende zommige Kunst ftukken en verkorte manieren van rékenen bij dit Werk te voegen; doch het zelve onder het afdrukkeu zo wijd uitgeloopen zijn. de, zal ik mij flechts met deefe ééne vergenoegen, welke ik insgelijks zou agtergehouden hebben, indien ik zulks op pag. 6 in de Noot niet beloofd hadr. Wij gebruiken het tientallig-ftelfel, om de getal, len in Cijffers uit te drukken. Wij worden tot het zelve noodzaaklijk gebragt, om dat wij tien Cijffers, i* 2» 3» 4» 5» 6, 7, 8, 9 en o gebruiken. — Maar als men min of meer Cijffers gebruikt, zal men andere ftelfels verkrijgen, in welke alle getallen Kunnen uitgedrukt worden. 1°. Als men alleen de Cijffers o en i gebruikt, Zijn de waarde der plaatfen van agter af J> 2' 4> 8, 16, 3a, 64, f28, 256, enz. 2 . De Cijffers o, 1 en 2 gebruikende, zijn de waarde der plaatfen o'v^v?.;/7,8l' 243> ?29> 2l87' enz- 3 . De Cijffers o, 1, 2 en 3 gebruikende, zijn de waarde der plaatfen. ^ 1,4, 16, 64, 256, 1024, 4096, enz. 4 . De Cijffers o, 1, 2, 3, 4 gebruikende, zijn de waarde der plaatfen b*\£'i&. I25' 6251 3125, 15625, enz. 5 . De Cijffers o, 1, 2, 3, 4, 5W^gebrui. kende, zijn de waarde der plaatfen 1, 6, 36, 2!6, 1296, 7776, 46656, enz. Hier uit kan elk opmaaken, wat waarde de plaat. fen  jB I] L A A G E. 731 fen der getallen in alle fteUèls der getallen zullen hebben, het zijn namelijk de magten van het grondtal van elk ftelfel. . Grondtal noem ik het getal Cijffers, dat m een {telling gebruikt wotdt. A Wij zullen nu eerst zien, hoe een getal naar ons tientallig ftelfel gefchreeven, in eenig ander ftelfel gefchreeven kan worden. Om den 21 Januarij 1793 in het twee-, drie- en agt tallig ftelfel te fchrijven , dat is eerst als men 0 en 1, ten tweeden als men o , 1 en 2 en ten derden als men o, 1, 2, 3, 4, 5 » 6 en 7 tot Tal letters gebruikt. (1) I2) 2); j2( (2) 2) 2) 2) |2)' f 1 A°. 1793 < 896 44 8 2241112 56 28 U 7 3 ") 1 2> (A (o| (c Ko| C°U° (° (° dl (l 1 Januarij ai \ 10 I 5 I \'\ I , 2) (1 I (o| (i| Col' , komt dan ioï 01 Januarij A°. iiioooocooiTallett.o,! II. A'. 1793 1597 *99 1^1**1 7|2| 3^ Ca 1 (° U 1 (° I O I C1 l Januarij 21 I 7 a (o 1(1 komt Januarij 2ioA°.2iioi02. Talletterso, I, *. HL A°. 1793 1 sp41 ^3 j 3 Januarij 21 | ^ 8; 01 Cal C4l , (5\ komt 2S Januarij A°. 3401. Talletterso, I, 2. B Hoe een getal, in eenig talftelfel gefchreeven, tot het onfe wordt overgebragt, zullen wij nog doof een voorbeeld aantoonen. Wat  732 B IJ L A A G E. tainTa^Srdu ueeft h^C getal IO*34i> tot het vijftaJhg ftelfel behoorende, in het onfe? I0434i 5 5=^5X1+0 29 = 5x5^4- 148 = 5x29+3 ' (5 744 ='5x148+ 4 komt 3721 - s x 744 +1 voor de waarde van het geftelde getal. Die begeerig is over die ftof meer te leefen, kan zijne nieuwsgierigheid voldoen in een Werkje over teRéken-Kunften, door den Heer De la Fa i li e, uitgegeeven, waar in dit Stuk uitvoerig behandeld k EINDE. VER*  VERBETERINGEN, Niet tégenftaande alle genomene voorzorg, heb* ben wij , na het overzien der afgedrukte Bladen» de volgende misflagen ontdekt: Pag, 8 rég 7 ftaat hedeeling-, lees verdeeltng* Pag iól, in de Noot, de derde régel van onderen, ftaat, om dat het eerfte Jaar onfer Jaar, moet zijn, om dat het eerfte Jaar onfer Jaartelling. Pag, 109, in de derde régei van boven, op het einde * ftaat, in 28 ftuiv. 7 maal, moet zijn» in 28 fluiv. 4 maal' , ,i4 Voords zal de Leefer op twee plaatfen Van dit Werk tweemaal dezelfde % vinden , — het is aart onfe opmerkzaamheid ontlhapt, wij verzoeken den befcheiden Leefer dit gunftig te verfchoonen.