ÜAÏiDLEiDÏNG TOT DE KENNIS DER MEETKUNDE; DOOR 1 J. W. KARSTÈN, te leeuwaarden; Aan wien de Gouden Eerprijs is toegeweezeti, door het WIS- BOUW- EN NATUURKUNDIG GENOOTSCHAP TELEYDEN, ONDER DE SPREUK: de WISKUNDE IS DE MOEDER DER WEETENSCHAPPENi, De kennis der meetkunde is de eerfte ftap om een verftandig Man te worden. TE LEYDEN EIJ A. EN J. HONKOOP, i 7^9 7-   JU at de Weeterfchappen nuttig zijn ter befckaving van het ver/land, leert ons de dagelijkfche ondervinding. En zij die daarvan etnige kennis draagen, gevoelen de noodzaaktlijkheid, om de Jeugd totdeeerftsbeginfelenen grondenvan alle weetenfchappen.te doen opleiden. Het is derhalven de pligt van elk mensch, alles aantekenden , wat jlrekken kan om de Jeugd het eerfte en leste voedfel toetedienen, om langs dien weg de vermogens van hunnen geest, naar derzeher vatbaarheid , in werking te brengen , en op eene duidelijke, bevalligeen onderhoudende wijze de zaaken voor te Jlellen. Dit is ook de pligt van zulke Genoorfchappen, wier oogmerk is Kunjlen en Geleerdheid voortteplanten, niets onbeproefd te laaten, om de Jeugd tot bevatting der belangrijkfie kundigheden voortebereicten, en 'tet derzeher vlijtige beöeffening, door voorbeelden van derzeher voorireflijke eigenschappen, aantevuuren. .En het was door overtuiging en gevoel van deeze noodzaakelijkheid, dat de MaatJchappije, ten Spreuke voerende: De Wiskunde is de Moeder der Weetenfcbappen. ( Welke niets minder ten doel heeft, dan om liet aankomend geflacht tot de nuttigjie * % vee-  C ttt ) Weetenfchappen te bekwaamen,) het zich de moeite waardig achtte, cm de anders moeilijke kennis der Meetkunde voor de feugd zoo aangenaam en bevattelijk te maaken, dat zij, de v nischtebe6rippen van deeze weetenfchap derwijze opzamelende, bij vervolg, wanneer derzeher geestvermogens lekwaamer zijn geworden, fpoedig in de kennis der Meetkunde zal vorderen , en haar te recht befchouwende als den groni van alle weetenfchappen, al die hinderpaalen zal ligt achten, waar deor zoo veclen van derzeher btöeffening fchijnen afgefchrikt te worden. Deeze Maatfchappije heeft, ter bereiking van dat doeleinde eene prijsvraage uitgefchreeven , waar in vereischt werd om, of Jongelingen beneden de twaalf jaaren oud, op eene voor hun bevattelijke wijze de Meetkunde te leeren, of hen ter bevatting deezer weetenfchap vwtelereideiu li koe verre am hair verlangen voldaan zij , zal elk Kunstminnaar uit dit zoo nuttig Werkjen ras kunnen befpeuren, terwijl wij deszelfs Schrijver allen wel verdienden lof toekennen; vertrouwende, dat elk Huisvader, die zijne kinderen in de belangrijkjle der weetenfchappen wil onderweezett hebben , verfchuldigd is dit Werkjen hun in handen te geeven en wij houden ons verzeksrd, dat niemand onzen raad Zich zal behlaagen. HAND-  HANDLEIDING TOT DE KENNIS DER MEETKUNDE» EERSTE DEEL. OVER DE MEETKUNDE ZELVE. EERSTE SAMENSPRAAK. 2^oon. Gij hebt beloofd, vader! mi] eenig onderrigt te zullen geeven van de Meetkunde; —> wat zult gij mij nu leeren meeten? Vader. Vooreerst wil ik u leeren het bereekenen of meeten van lengten. Z. Waartoe zal dat dienen ? V. Om in ftaat te zijn de eene lengte met dé andere te vergelijken — om te weeten, niet alleen, wie van beide de langfte is, maar ,fs hoe veel de eene langer is dan de andere. Z. Ik wenschte wel te weeten, hoe dat gefchiedt. A V.  4 GRONDBEGINSELS V. Hebt gij nooit onder het fpeelen met knikkers , bij voorb.: verfchil met uw' maat gekregen , welke knikker, de uwe of de zijne, het digtfte bij een merk of fchreef lag? en als u dit gebeurde, wat deedt gij dan? meette gij dan niet ras, het zij met de hand of voet, deeze afftanden ? Nu , even zoo kunt gij ook handelen, wanneer gij, bij voorb.: den afftand van den eenen boom tot den anderen wilt weeten. En om dit werk gemaklijker te maaken, gaa van den eenen boom tot den anderen, en tel flegts hoe menigmaal gij uwe voeten verzet ; of, om naauwkeuriger te werken, neem een' ftok, zoo lang of kort gij wilt,, en leg dien'langs den grond, beginnende aan het eene einde, fpringende telkens een ftok vooruit, tot dat gij aan den anderen boom gekomen zijt. En wanneer gij nu wel geteld hebt, hoe dikwijls gij dit hebt moeten herhaalen, dan zegt gij, die boom daar, ftaat van deezeh op een' afftand van zoo veel ftokken. Z. Dm is wel, maar wat beduidt het of ik dit nu weet? V. Nog niets; maar veronderftel eens, dat er een derde boom op een' zekeren afftand van de twee anderen ftond, en gij begeerdet te weeten, froe veel verder deeze, dien ik hier C zal noemen (Fiii. i. ) van denmiddenftenB. afftaat, als A van B verwijderd is. — Stel verder, gij hadt tusfehen de twee boomen A en B uw' ftok viermaal  DER MEETKUNDE» $ ihaal langs den grond verlegd , dan neemt gij nü dien zelfden ftok, en legt dien in eene regte rigting van B tot C , gij vindt (b. v. ) datgijdenzelven wel agtmartl hebt moeten verleggen, wat befluit gij dan hier uit ? Z. Dat de boom C wel tweemaal zoo ver van B afftaat als de boom A. — dan, ik wilde wel eene aanmerking maaken, mag ik wel, vader? V. Hoe meer hoe liever. Z. In het voorig gezegde komen mij twee dingen voor , die ik niet begrijp; — waarom moet ik, als ik van B tot C meet, denzelfdeu ftok gebruiken , welken ik gebruikt heb, toen ik van A tot B heb gemeeten ? V. Dit zult gij begrijpen, als ik u zeg, dat gij juist met dien zelfden ftok niet behoeft te meeten, indien gij maar een ftok gebruikt, die juist even lang is, als de eerfte. — Gij begrijpt immers ligt, dat, zoo gij van B tot C met een* ftok, die tweemaal zoo lang ware als de voorige , gemeeten hadt, gij dan den zeiven maar viermaal hadt behoeven te verleggen : en dit bij de voorige meeting vergelijkende, zoudt gij op de gedagten komen, dat de boom C even ver van B af was, als A van Bj 't welk echter nietwaar is; en omgekeerd, indien gij een ftok gebruikt hadt, half zoo lang als de voorige, zoudt gij den zeiven van B tot C zestienmaal hebben moeten verloggen, en dus denken, daar de afftand van A A a tot  4 ÖR0ND BEGINSELS' tot B vïer (tokken, en deeze van B tot C zestleri ftokken js, dat de afftand van den boom C tot den boom B, viermaal langer is dan die van boom A tot boom B. Ondertusfchen gij weet uit de eerfte meeting, dat de eene af (tand a'leeii tweemaal zoo groot is als de andere, en dus weder uwe meeting valsch is. Z. Ik zie nu duidelijk, dat het noodzaaklijk is, in dusdanig geval een en den zelfden ftok, of ten minden ftokken van gelijke lengte te gebruiken. — Maar zeg mij nu eens, vader! wat moet ik verftaan door eene regie rigting? V. Als iemand volmaakt regtuit gaat, zonder naar de regte of linke band aftewijken, dan zegt men, die man gaat in eene regte rigting. Z. Goed , ik moet dus ook van B naar C mijn ftok langs den grond voordleggen zonder regts of links aftewijken; maar waarom dat? ik zoude immers evenwel aan C komen, en even goed weeten hoe dikwijls ik mijn ftok verlegd had, al ging ik ook een weinig regts of links. V. Zekerlijk zoudt gij even goed tot C komen; — maar verbeeld u eens, dat iemand van Leyden naar den Haag moetende gaan, eerst naar Amfterdam, en van daar naar den Haag ging, wat zoudt gij van hem denken? Z. Dat hij zeer verkeerd handelde. V. Wel waarom dat, hij komt evenwel langs dku weg even goed in den HtagT Z.  -1)ER MEETKUNDE. g Z. Ja, maar hij kon fpoediger zijne reis volvoeren met langs den gewoonen weg te gaan. V. Gij begrijpt dus, dat men langer werk heeft, wanneer men telkens , nu regts en dan links afwijkt, dan wanneer nien regtuit gaat en dus dat, indien gij uw' ftok (Fig. a ) van B tot t. voords van i tot 2. van 2 tot 3. van 3 tot C, langs den grond hadt voordgelegj, gij denzelveu meermaalen hadt moeten verleggen, dau wanneer gij regtuit langs de geftippelde lijn gemeeten hadt; — dit niet alleen, maar zoo doende is men ook onzeker van zijn werk, daar gij dan een en den zelfden afftand niet altijd even lang zoudt vinden, dewijl gij de eene keer meer, de andtre min, van' den regten weg zoudt afwijken, daar gij integendeel regtuit meetende, denzelven aitijd even lang zult vinden. Z. Weet ik nu genoeg hier van om eene lengte te kunnen meeten , vader? V. Genoeg voor u om een denkbeeld van de lengte-meeting te hebben. — Ik zal u alleen ia 'tkort herhaalen , wat men hierbij in acht moet neemen. —— Vooreerst, het is volmaakt het zelfde, wat gij gebruikt om eene lengte te meeten, indien gij maar zorg draagt, dat eene tweede lengte, die gij met de eerfte wik vergelijken, door 'tzelfde inftrument, of door iet van gelijke lengte, als waarmede gij liet voorige gemeeten hebt, gemeeten worde. Ten twee* A 3 d echter blijft er bij mij nog eene zwaarigheid over, zij is deeze: dat niet alle oppervlakten, die men wel zoude willen meeten, zulke vierkante figuuren hebben;-- moe» ten  DER MEETKUNDE» tj ten deeze dan ongemeeten blijven , of zijn daar ook middelen voor? Z. Zoo gij lust hebt om naar mij te hooren , en wat van deeze weetenfchap te verftaan, zal ik u in 't vervolg ook deeze zwaarigheid oplosfen. Z. Ik hoop, vader! dat het aan mij niet zal haperen, en ik zal mijn best doen om alles te bevatten, en dan, hebt gij mij gezegd, vergeet men niet ligt. V. Wij zullen dus bij eene volgende gelegenheid hierover nader fpreeken. VIERDE SAMENSPRAAK. Z. Ik heb uwe voorige lesfen bij mij zelveu nagedagt, en raij in uw afwezen geöeffend in die foort van meetingen, welke gij mij geleerd hebt. Ik heb verfcheidene dingen als tafels, glasraamen, vloeren, en wat niet al, gemeeten , met mijn wandelftokje — hiermede heb ik mij zoo vermaakt , dat ik zeer begeerig ben meer van deeze kunst te hooren. V. Dat is zeer prijslijk; en ik zal mijn best doen om, naar uwe vermogens, u hierin verder te  14 GRONDBEGINSELS te onderrigten. Ik zal daarom u eerst eene vraag doen: hoe zoudt gij te werk gaan, zoo gij twee dingen, bij voorb. twee ftukjes papier — twee plankjes — öf zoo iet hadt, en gij wildet weeten of deezen even groot waren, of anders, wie van beide de grootfte was ? Z. Ik zoude, zonder mij lang te bedenken, deeze twee dingen op eikanderen leggen , en zoo dan alle kanten van dezelven op elkander pasten , zóó dat het eene niet boven het andere uitftak, dan zoude ik befluiten, dat deeze twee even groot waren. — Zoo niet, dan zoude ik die voorde grootfte houden, welke over de andere heen ftak. V. Goed. Maar indien gij nu eens buiten ftaat waart deeze twee dingen op eikanderen te leggen, en gij wist alleen, dat de kanten van de eene even lang waren als de zijden van de andere (b. v. Fig. 6\) dat A B gelijk lang was als DE, — B C even lang als E F, en A C gelijk D F : wat zoudt gij dan denken? Z. Dan dunkt mij, dat die dingen gelijk zijn, vader! maar zeker weet ik het niet. V. Zeer natuurlijk: evenwel moeten wij dit in 'toog houden, dat de Meetkunde eene weetenfchap is , die niet toelaat, dat men iet alleen geloove; neen, alles wat hier gefteld wordt, moet men als zeker kunnen bewijzen, of ten minften kunnen aantoonen, dat 'tonmooglijk was, dat het anders zijn koude als men fielt. Z.  DER MEETKUNDE. J§ t. Kunt gij dit dan bewijzen, vader? V. Wij willen zien: ik heb gezegd, dat die twee figuur en niet op elkander konden worden gelegd, maar dit neemt niet weg, dat wij ons zulks evenwel verbeelden kunnen. Verbeelden wij ons dan, dat wij deeze figuuren op eikanderen leggen zullen; wij weeten al aanftonds, datABop D E wel zouden pasfen, omdat ze even lang zijn, gelijk wij gefteld hebben. Maar is het nu wel mooglijk, wanneer wij de geheele figuur op den anderen leggen, dat het punt C niet op F maar elders vallen zal ? — Zoo dit niet mogelijk is, dan (preekt van zelve, dat C op F vallende , de figuuren volmaakt pasfen, en dus even groot zijn zullen: dit nu willen wij eens onderzoeken.. Stellen wij, dat A B op D E gelegd zijnde , bij de verdere pasfing het punt C buiten F valt, aan de regter zijde. Is dit wel mooglijk, indien de kanten van de eene figuur gelijk lang moeten zijn als die van de andere? — Immers neen; want, ftel dat D C gelijk D F is, dan is evenwel C E veel korter dan FE.-— Zoo het punt C nog meer regts van F afviel, is dit verfcbil nog duidelijker, gelijk uit de figuur te zien is. — Het punt C kan derhalven niet aan de regtfche zijde van F vallen. Maar kan dit punt ook links F komen? dit is mede niet mooglijk; want men ziet al xas, dat, zoo E C gelijk E F ge-  Iö GR 0 ND B E GINSÈLS gemaakt wordt, zoo als hij wezen moet, dat dan D C korter dan D F zijn moet, het geen tegen de vooronderdelling aanloopt. Z. Ik zie duidelijk, vader! dat het punt C noch regts noch links van F kan komen , maar alleen op F zelve zal vallen , en nu beiluit ik gerust, dat, zoo van twee zulke driekantige figuuren, de zijden van de eene, gelijk die van de andere zijn , dat dan deeze figuuren even groot zijn zullen. Maar, vader! waar toe dient toch dit alles? het is zoo mooi niet als het eerfte, en het is ook veel moeilijker om te begrijpen. V. Dit is zeer natuurlijk, gij kunt tot nog toe niet zien, welk nut hierin fteekt, dan heb maar eene poos geduld, het zal u naderhand veel nuttigheid aanbrengen, en al ras zullen wij er de gevolgen van ontdekken. —> Wij zullen nu hier bij blijven, — overdenk alleen het geen ik u gezegd heb, en tragt dit bewijs grondig te ver ftaan. VIJFDE SAMENSPRAAK. Z. £U uilen wij nu weder Wat over de Meetkunde praaten, vader? V.  OER. MEETKUNDE. V. Wij zullen nu, op den gelsgdengrondflag, verder tragten te bouwen, en beginnen met te onderzoeken, wat jnen uit de voorgeftelde waarheid kan leeren: verbeelden wij ons dan (Fig.) 7. eene vierkantige figuur te zijn — dat de zijden, die tegen malkander overftaan , even lang zijn , dat is, A B even lang als C D, en A C gelijk B D: verbeelden wij ons verder, dat wij trekken de lijn A D van den eenen hoek naar den anderen, en dan, zeg ik, zal het e-ene-ftuk ADC even groot zijn als het andere ADB. Z. Wel zoo! kunt gij dit ook bewijzen, vader ? V. Ja, zeer gemaklijk, en wel als een gevolg uit onze voorige (telling. Wat hebben wij daar gefield en beweezen ? Z. Ik heb , in onze voorige Samenfpraak, van u geleerd, dat, zoo van twee driekantige figuuren de zijden van de eene, gelijk aan de zijden van de andere waren, dat dan deeze figuuren even groot zijn zullen. V. Die twee Hukken , die ik zeide dat gelijk waren, wat zijn dat voor figuuren ? Z. Dat zijn driekantigen , vader! V. Wel nu, wij hebben gefield, datdegeheele figuur zoo gemaakt was , dat A B even lang als C D, en A C gelijk B D was, — kuot gij nu nog twijfelen, of die driekantige figuuren even groot zijn.? B Z.  38 GRONDBEGINSELS Z. Wel neen, vader! ik zie duidelijk, dat de drie zijden van de eene dier twee figuuren (indien langs A D de geheele figuur wordt doorgeknipt ) aan de drie zijden van de andere gelijk zijn, en wel, omdat A L> dan zoo wel tot de eene als tot de andere figuur behoort. V. Uitneemend wel! en tot meerdere opheldering heb ik (Fig. 7.) langs DA, nu werklijk doorgeknipt; (zie Fig. 8). De twee ftukkeu zijn drie» kantig, en de zijden van het eene zijn volmaakt even lang als die van *tandere ftuk; want, volgens het geene wij veronderfteld hebben , is AC van 't eene even lang als B D van 't andere, en ook A B gelijk CD: en het fpreekt van zelf, dat A D even lang als A D zijn zal, dewijl zij voorheen een en dezelfde lijn uitmaakten. Z. Ik zie dus, dat, zoo dikwilseene figuur, als ( Fig. 7. ) door eene dwarslijn, als A D , gefneeden wordt, die figuur in twee gelijke ftukken gefneeden zal zijn. V. Dit heeft niet alleen plaats bij alle figuuren, als de 7: maar (gelijk ik gezegd heb) bij alle vierzijdige figuuren, die zoo gemaakt zijn, dat de twee tegen elkander overftaande kanten even lang zijn. Zodanig eene is (Fig. 9.) Z. Ja, vader! dat zie ik, het komt hier alleen op aan, dat de tegen elkander overftaande zijden even lang zijn moeten. V. Zie nu vervolgens, welke nuttigheid het heeft  DER MEETKUNDE. 19 heeft, dit te weeten. — Verbeeld u, gij tvildet eene figuur meeten, van gedaante als (Fig. 10.) dit is niet wel mogelijk, zonder vooraf eerst te weeten het geen ik u geleerd heb. Maar nu, verbeeld u flegts, dat deeze driehoekige figuur de helft is van eene vierhoekige, de andere helft er bij geteekend, vertoont u zulks duidelijk; — wat doet gij nu? gij meet de geheele figuur, het welk gij reeds geleerd hebt te doen , en de helft van haare grootte is de inhoud van de driehoekige figuur. Z. Wel, dat is waarlijk fraai. Ik dacht nimmer hieruit zulk een gevolg te kunnen trekken ; het is nu zeer gemald ijk de (13. Figuur) temeeten; want indien eens de onderfte kant zesmaal mijn ftokje, en de ftaande zijde vijfmaal de lengte van 't zelve hadde, dan was de geheele figuur dertig vierkantjes groot, (ieder vierkantje zoo lang en breed als mijn ftokje ,) en ik weet nu, uit het voorgaande, dat dus de driehoekige figuur , vijftien zulke vierkantjes zoude bevatten. — Ik begin waarlijk hoe langer hoe meer vermaak hierin te krijgen. V. Dit zal geduurig meerder worden, denk ik: vooral, wanneer ik u een denkbeeld zal geeven, hoe men allerlei foorten van figuuren meeten kan, hoe dezelven ook mogen gemaakt zijn. — Dan, vooraf moet ik u, tot uw-en mijn gemak, de naamen opgeeven der verfchillende foortea van MatheB a ma-  GRONDBEGINSELS mafifche figuuren, welken ons in't vervolg te pas zullen komen. Z. Ik zal mijn best doen, al die naamen m mijn geheugen te bewaaren. V. Zeer wel; —- vooreerst noemen de Meetkunftenaars een hoek (Fig. n) wanneer twee rijnen in één punt famen loopen. Van deeze figuuren zijn cr drie foorten, en het onder* fcheid hangt af vajï de grootte. Z. Waaraan weet ik , vader! of de eene hoek: grooter of kleiner is dan de andere? V. Naar maate de eene lijn fchuinfcher of fiaauwer op de andere helt, naar die maate is de hoek grooter of kleiner; — verbeeld u een' paster, een' duim ftok, of iet anders (hetwelk uit twee ftukken beftaat, die door middel van een fchariiier, op eikanderen draaijen ) eerst liggen de twee beenen van foortgelijk inftrument op of naast elkander, en maaken, als 'tware, ééne lijn uit; — gij doet 't zelve een weinig open, efi gij hebt een' zeer kleinen hoek; — gij doet 'tal meer en meer van een, en gij krijgt een hoek bijna zoo groot als N°. ir. -~ Gij doft hem nog meer open , en eindelijk raakt hij zoo ver van een , dat het eene been regt op het andere ftaat, zoo als (Fig. 12.); gij doet't inftru ment nog verder open, en men heeft een hoek als (Fig. 13.) — Eindelijk, doet gij het zoo ver open  DER MEETKUNDE. 5 I open als gij kunt, en de hoek verdwijnt, daar nu de beenen ééne lijn uitmaaken. — Hoe meer gij nu den pasfer, duimftok, of iet van dien aart opent, hoe grooter de hoek wordt. — Al de hoeken, die gij door het openen van uw inflrument maakt, eer dat het, gelijk (figuur 12) wordt, noemt meii fcherpen, (Fig. 12) regte , en al de verdere, fiompe hoeken. Z. Dit kan ik gemaklijk onthouden; want de eerfte foort heeft fcherpe, de derde ftompe punten, en de tweede foort, daar liaan de beenen regt op elkander. V. Zeer wel aangemerkt; ik voeg er alleen dit bij, dat een Mathematicus dus zoude fpreeken: de eene lijn van een' regten hoek, (laat Jcodregt of .perpendiculair op de andere; en waarom dat? wel, omdat, wanneer men een fuik lood naar beneden werpt, 'tzelve, door zijne zwaarte, regt néér op den grond valt: of, indien men een ftuk lood bij D ( Fig. 12.) het vallen ,' het zelve langs de lijn A D , en juist op het punt A zal neder komen. Hierom is het, dat Timmerlieden en Metfelaars, wanneer zij willen onderzoeken of een kozijn van een deur, of wel een gemetzelde muur, juist regt op fraat , dit altijd door middel van een touw, waar aan een ftukje lood is vast gemaakt, meeten. Z. Ja, vaderI dit heb ik meermaalen gezien, B 3 maar  at GRONDBEGINSELS maar ik heb hun nimmer durven vraagen waarom zij zulks deeden; —• dan nu ik het weet, zal ik het niet meer ongemerkt laaten voorbij gaan. V. Nu nog eenige naamen, en dan eindigen wij. — (Fig. 7. ) noemen wij ttxxregthoek, omdft al die vier hoeken als A, B, C, D, regte hoeken zijn; (Fig. 10.) een driehoek, omdat hij uit drie hoeken beftaat. Hier van zijn ook drie onderfcheidene foorten; ( Fig. 10. ) is een regthoekige driehoek, omdat er één regte hoek onder is ; (Fig. 14.) een fcherphoekige, omdat hij uit drie fcherre hoeken beftaat, en (Fig. 15.) een plomphoekige, omdat er een ftompe hoek onder is. Z. Moet ik nog meer weeten van die naamen, vader ? V. Alleen nog deezen: ( Fig. 16.) is een regthoek, maar een regthoek , waarvan niet alleen de twee tegen elkander overftaande zijden, maar ook al de zijden even lang zijn, deeze wordt vierkant of quadraat genaamd. En ( Fig. 9.) een Paralehgram. Z. Een Paralelogram ! hoe zoo , vader? V. Paralel beteekent evenwijdig. dat is te zeggen, dat A B altijd evenver van D C afblijft, of anders: dat A B niet naar D C toeloopt of helt, zoo dat zij eindelijk eens famen zouden komen , en een hoek maaken, wanneer die verlengd werden. — Wanneer nu eene vierkante figuur zodanig gemaakt is, dat de twee te-  DER MEETKUNDE. 23 tegen elkander overftaande zijden paralel zijn, dan noemt men zodanig eene figuur een Paralelogram. Z. Wel, vader! is dan (Fig. 7) ook een Paralelogram? V. Ja; maar men noemt deeze anders, om onderfcheid temaakentusfchen(Fig. 7) en (Fig 9.) — gij ziet dan, dat een regthoek ook een Paralelogram, maar dat een Paralelogram, niet altijd een regthoek is. Wanneer gij" nu dit alles wel onthoudt, zullen wij de volgende keer eens een ftuk land tragten te meeten. Z. Ik zal mijn best doen, vader! ZESDE SAMENSPRAAK. Z. Ik verlang reeds met ongeduld naar deeze les. V. Dit is mij regt aangenaam : men leert nooit beter, dan wanneer men met lust leert — maar, om ter zaak te komen — zie hier eene afteekening van een ftuk land, (Plaat H. Fig. 17.) —• verbeelden wij ons dat hetzelve aan den eenen kant door een' rijweg A wordt bepaald— aan de andere zijde tegen een water B gelegen is — voords aan de linker aijde een trekvaart C en B 4 aan  H GRONDBEGINSELS aan de regter een floot D heeft liggen — verbeeld u verder: gij wildet weeten, hoe veel dit land grooter of kleiner was dan een ander., aan de overzijde der floot gelegen - wat zoudt gij dan doen? Z. Als de figuur van dit land vierkantig of driehoekig was, dan zoude ik hetzelve meeten met mijn ftokje, of iet anders; insgelijks ook het andere land, en dan konde ik deeze twee bij elkanderen vergelijken, even gelijk wij in 'tbegin twee tafels gemeeten en vergeleken hebben, maar ik zie geen middel om dit land te meeten. V. Wij willen dan nu eens zien of hier geen middel voor is. — Als wij dit land eens in driehoeken of regthoeken konden verdeden, zoudt gij dan nog zwaarigheid maaken om die figuuren te meeten? — en de fom van hunne grootte zal die dan niet de grootte van dit land aanwijzen ? Z. Zeer zeker, vader! indien ik die verdeeling dan maar doen konde. V. Volg mij flegts met uwe gedagten : Ik trek eerst de lijn A B, van den eenen hoek tot den anderen; dan laat ik uit al de uithoeken van dit land. die mij gefchikt voorkomen (als in dit gevalG,F,D,G, M,L,I,H,) loodlijnen vallen op die groote dwarslijn. — Nu is N°. i. een driehoek. - Maar om het volgende Ruk te bekekenen, moet men eerst op de tweede loodlijn F  DER MERTKUNDE. &$ FC, eene andérel loodlijn G K trekken, dan j heeft men N°. i. een regthoek No. 3. een driehoek. — Nu het derde ftuk — om dit meetbaar te maaken , trek ik D C perpendiculair op F C, dan eene lijn van D tot F , en voords om den fcherphoekigen driehoek F D,E in twee regthoeklgen te hervormen, de loodlijn Fm. —Nu het vierde ftuk. — Hier is niets anders te doen dan de loodlijn C i te trekken, en men heeft — N°. 8 een regthoek en — N°. 9 een driehoek. — Het vijfde ftuk is een driehoek, gelijk ook het zesde. — Het zevende wordt in een' regthoek en driehoek veranderd door de loodlijn M p. — Maar het agtfteftuk is moeielijker — ik trek hier de lijnen IL, Io, L q;enikhebN». 14.! 15. 16. & ij. — Eindelijk, het negende ftuk trek ik de loodlijn In — en nü heb ik de geheele figuur in meetbaare regthoeken ea driehoeken verdeeld. Z. Wel ik ftaa verwonderd hier over, vader! — Maar kan men deeze lijnen werklijk ooi; zoo op; 'tland zelve maaken, als gij ze hier op papier getrokken hebt? V. ó Ja! zeerwel, en oók ieder fiukje in 't bijzonder meeten; dan, dit zult gij in 't vervolg van tijd wel leeren; laat ons nu eens zien, hoe men de grootte van dit ftuk land bereekenen moet. — Veronderftellen wij, dat de lengten van de loodlijnen en anderen, dat is de lengten en B £ breed-  S.6 CR O ND BEGINSELS breedten der regthoeken en driehoeken gemeeten zijn , ( b. v.) met uw wandelftokje, en dat men die lengten gevonden hadde gelijk in 'tvol« '■ gende lijstje gemeld ftaat. CA», groot 5 ftokjei. w-x!°«- ->»- • • f at II. . • [ck. .. .12. . . rek. ... ii. . . No- * l kF 6. . . r Ce. ... io . . . No + £eD 13. • • riD. . . . io . . . No'* £lF. ... J. . . r bD. . . . io . . . No-* |Fm.... 4. . . T Fm. ... 4 - . . No-7 |Em «... C eg. ... IS . . . |gc. ...... . . C ic. . . • is • • . |iD .... CgB. . . . I» . . . "°'"|eC ... • . Zoudt gij nu kans zien om mij de volgende keer te kunnen zeggen hoe veel vierkantjes (lang en breed als uw ftokje ) dit land groot is ? Z. Ik zal mijn best doen, vader! om u de, volgende keer de bereekening te laaten zien. ("Bh. groot p flcjliei. No. II < ... ) kM. ... io . . . C hf. ... 14 . . . No. 12 \ . I fP. ... 10 . . . 1 pM.. . . 14 . . . No- ^jpL... ..... Cfo. . . . » . . . N°-'4af- • • Nq Clo ... 13. . . )oL. . • .io. . , C Iq. . . . I« . . . £lK »,. • . Cbd. . . , 7 . . . N0 l8[dl. ... [. . . No-I5[nH..' CAb I0. . . No-50[bH j. . .  DER MEETKUNDE. ZEVENDE SAMENSRAAK. w el, C/eöntesl hebt gij voorgaande opgaave kunnen bereekenen? Z. Het is mij gemaklijker gevallen dan ik in 't begin dagt; — zie hier, vader! hoe ik werkte: — vooreerst herinnerde ik mij, dat gij, inde vijfde famenfpraak, mij getoond hebt, dat een regthoekige driehoek de helft is vtrn een' regthoek van gelijke lengte, en breedte, ik bereekende dan de regthoekige driehoeken , even gelijk ik al de regthoeken bereekend heb, en deelde die fom in tweeën door, gelijk gij zien kunt uit de volgende bewerking. No. I. De eerde régel A a. beftaat uit 5 ftokjes. In deeze figuur zijn ... 12 regels derbalven 12 maal 5 . . . 60 vierkantjes MaarNo.iiseendriehoek,dus3o vierk. is dan de grootte van deszelfs oppervlak. Op deeze manier nu heb ik al de driehoeken bereekend, en heb dezelven, als ook de regthoe* ken , gevonden als volgt. Drie-  SR0N1E GINSELS. No I ii groot 30 vieriintjei'. 3 ■ • • 33 • ... 5 . . . J5 • ... 6 ... 20 7 ... 4 • ... t* . ■ . IS . . . . 10 . . . GS . ... 11 ... 45 . ... I] i « • r4 • • • . 15 • • • °J . ... #« . , . 7» ■ ... fom 389 vierk. Dus de driehoeken famen 475 vierkantjes, en de regthoeken famen 607 maaken vour de geheele figuur 1082. vierkantjes, van lengte en breedte als mijn ftokje , waarmede ik gemeeten heb. V. Ik ben ten uiteiften voldaan over uw werk. — Gij ziet dus, op welk eene wijze men in ftaat is, de mocielijkfle figuuren zelfs te meeten en te bereekcnen. — Wanneer gij nu met dien zelfden ftok, op foortgelijke manier, een ander land meet, zult gij ook in ftaat zijn , om, bij ver» gelijking van de fommen , teoordeelen , welk land het grootfte, en hoe veel het eene ftuk grooter dan het andere is, en het is deeze weetenfchap, of liever kunst, welke men landmeeten noemï. Z. Zoo , nu herinneï ik mij het gebeurde van gisteren, — terwijl wij in 't véld eene wandeling uee- No. 17 is groot 54 vrerkiatjes. - 19 ■ • • 7 • . . ao . . . ij . ... 'de eerde fom 389 vierk. dus dc drieh. 475 vierk. No. 3 isgront 131 vierk. 4 • • 130 .. . 8 . . J65 . . . la . . 14J . . . 14 . . 16 . . . I? • • 14 • . . fom 607 «j'rk.  DER MSSTKUNDE. 29 deeden, zagen wij een' man , met nog twee anderen , die eene ketting tusfehen hun voortfleepten van eene vervaarlijke lengte, zij Haken mi en dan, aan *teinde van dezelve, een pin, waar van zij eenigen bij zich hadden, in den grond: op eene andere plaats, niet vef van hun, lag een Jange ronde ftok, met koperen fpijkertjes beflagen; ik vroeg een landman , die daar omtrend bezig was, wat toch die man daar deed? Dat is een landmeeter, zeide hij, en meer wist hij ons niet te vertellen, de man zelf durfde ik fiiet aanfpreeken , dewijl ik hem niet wilde bulderen , en dus gingen wij weder van daar. V. Nu ja, deeze man was nu werklijk bezig dat land te meeten, de ketting, welke hij gebruikte , diende hem voor maatftok, even gelijk wij ons verbeeld hebben uw wandelflokje te gebruiken. — Met deeze ketting meet hij alle landen die pen hem laat meeten. Z. Maar, vaderh waarom gebruikt bij juist die ketting bij alle lauden , die hij meet? gij hebt mij immers zelf gezegd, dat het er niet op aankwam, welken maatftok men gebruikte. V. Dit heb ik u gezegd — en dit zeg ik nog; dan , deeze man gebruikt eene diergelijke ketting, gemakshalven : — immers, hoe langer de maatftok is, hoe minder men denzelven behoeft te verleggen , en hoe gemaklijker men werkt. — Zoude hij nu een' ftok gebruiken van die lengte, hoe oh-  go GRONDBEGINSELS moeielijk zoude niet deeze te behandelen zijn! — een touw meet niet naauwkeurig genoeg, omdat het geduurig dan rekv., dan weder inkrimpt, naar maate de lugt nat of droog is. — Eene foortgelijke ketting is dan het gefehiktfte werktuig voor ten' landmeeter, te meer, daar dezelve zoo gemaakt worden, dat ze als een touw kunnen opgerold , en in den zak geftoken worden — maar, waarom nu gebruikt hij altijd diezelfde ketting? Omdat dan alle menfchen, die hunne landen doorhem laaten meeten, in ftaat zijn te oordeelen, hoe veel hun land grooter of kleiner is dan dat van een' ander', ook door hem gemeeten. — Gij begrijpt nu ligt, dat, zoo hij telkens een' nieuwen maatftok gebruikte, dan eens korter, dan eens langer, men dan nooit de grootte der landen tegen elkander konde vergelijken. Z. Ja, vader 1 dat begrijp ik zeer ligt; maar moeten dan nu alle menfchen hunne landen bij dien éénen man laaten meeten? V. Dan zoude hij welhaast zoo veel te doen krijgen, dat 't hem onmogelijk worden zou , aan hun aller begeerte te voldoen,— neen— de maatftok, waarmede men meeten moet, is eens vooral vastgefteld, niemand mag nu een lajid met een' anderen maatftok meeten als met dien , welke door de Regeering van dat Land, waarin zijn land gelegen is, is vastgefteld, en dit in achtneemende, kan een ieder, die de kunst verftaat, zijn land  DER. MEETKUNDE. 31 land zelve meeten, en de grootte daarvan naauwkeurig bepaalen, deeze vastgeftelde aangenomefn maatltok was die ftok met koperen fpijkers be« (lagen, welken gij bij den landmeeter zaagt liggen. Z. Maar, vader! waartoedienden die koperen fpijkertjes, is dat voor fieraad, of heeft ook dit zijne nuttigheid? V. Deeze fpijkertjes hebban zeer veel nuttigheid. Plaat h (Fig. 18.) verbeelden wij ons eens, wij wilden de lijn AC met den ftok D. meeten, wij beginnen bij A. leggen hem voord tot B viermaal; dan, het overfchietend ftuk is kleiner dan uw' maatftok, de lijn AC is dus viermaal grooter dan de ftok D, en kleiner dan vijfmaal dezelve. — Het is dus niet mogelijk de lijn AC juist te meeten. Z. Is hier dan ook een middel voor, vader? V. Ja; wij deelen den maatftok eens in vier ftukken, ( b. v.) maaken bij iedere afdeeling een teekentje; nu leggen wij hem langs BC, en wij zien, dat deeze BC lang is twee van die deeltjes; wij weeten dus, dat de lijn AC vierftokken lang is, en twee vierde parten van een' ftok. Z. Maar, vader! als het nu weder niet uit kwam, — als AC eens lang bevonden werd vier ftokken, en iet meer dan twee, en iet minder dan drie vierdeparten, hoe dan? V, Dan zouden wij die vierde deelen, ieder nog  3» GRONDBEGINSELS nog eens op de helft doordeelen, en dan had men den maatftok in agt gelijke deelen verdeeld, en nu zoude men AC misfchien vinden, vier geheele , en vijf agtfte deelen van den ftok groot te zijn. — Wilde men nog naauwkeuriger meeten, dan moest men den maatftok in zestien gelijke deelen deelen, en zoo doende zal men hoe langer hoe nader, aau de waarheid komen. Z. Nu begrijp ik ook, waartoe die koperen fpijkertjes dienen, het zijn naamlijk de teekentjes voor de verdeelingen van den maatftok; heb ik het wel begreepen, vader? V. Zeer wel; de aangenomen maatftok noemt men eene roede, deeze verdeelt men doorgaans in twaalf onderdeelen, die men voeten noemt, en dan is gemeenlijk nog een van die voeten, In twaalf gelijke deeltjes gedeeld , welke duimen genaamd worden; — en nog bovendien, zijnde duimftokken, in nog kleinere deeltjes gedeeld, ieder duim gemeenlijk in agt. — Dit alles is alleen zodanig vastgefteld, om des te naauwkeuriger de grootte der landen, en andere dingen te bepaalen. Z. Nu begrijp ik het klaar — Ik heb, (b. v.) eene lengte gemeeten, en dezelve bevonden iet meer dan dertig roeden — dit iet meer nu, meet ik met mijn' voetftok, en vind 't zelve lang vijf voeten, en nog iet, dit overfchot nu meet ik met mijn' duimftok, en ik vind het zelve lang ne-  DER MEETKUNDE. 33! negen duimen, en nog boven dat drie agtfle deelen van één' duim: deeze lengte is dan dertig roeden, vijf voeten , negen duimen, en nog drie agtfte gedeelten van een' duim lang. V. Zeer wel, Ck'óntes! ik merk , dat gij zeer aandagtig naar mij geluifterd hebt, en dit doet mij waarlijk zeer veel vermaak ; wij zullen daarom dan ook hierbij blijven om de lesfen niet te lang uitterekken. Z. Ik wenschte egter nog gaarne twee vraagen te doen , vader! V. Nu, ik zal tragten die in 'tkort optelos» fen, welken zijn ze? Z. Indien ik dan nu een regthoek of driehoek wil bereekenen , wiens lengte en breedte uit roeden , voeten, en .duimen beftaat, hoe moet ik dat doen ? V. Gij moet, even als u geleerd werd wegens de guldens , ftuivers , en penningen , de roeden en voeten tot duimen vermenigvuldigen ; en dan die kleine deelen met eikanderen multipliceeren. Z. En dan nog deeze vraag, vader! — Heeft men overal op deeze waereld een en dezelfde lengte tot maatftok? V. Neen; het ware te wenfchen dat dit zoo ware; — met dat al kan men thans door eenen regel van drieën bereekenen, hoe veele vierkante roeden, voeten , en duimen van onze maat een land groot is, het welk in Frankryk C bij  j$ GRONDBEGINSELS bij v. gemeeten, en daar een zeker getal vierkanten van hunne maat groot bevonden is, omdat men bereekeningen gemaakt heeft van de lengte der maaten in andere landen , met betrekking tot onze roeden. — Dan, dit zijn zaaken , welken gij in 'tvervolg wel leeren zult; ook is het mijn oogmerk niet om u de Meetkunde te leeren , ik wil u alleen een denkbeeld van deeze weetenfchap geeven, opdat gij zoudt kunnen oordeelen, of het u der moeite waardig is dezelve te leeren of niet. [AGTSTE SAMENSPRAAK. V. Ik heb u in de voorige Samenfpraaken een ruuw denkbeeld gegeeven omtrent het meeten van lengten en platte oppervlakken, ik konde n nog zeer veel van deeze weetenfchap vertellen, dan, dit befchouw ik als onnuttig, — indien gij er lust in hebt om meer hier van te weeten, eene meenigte boeken zijn reeds voorhanden om u daarin te voldoen; wij zullen nu niet Verder daar over fpreeken, maar tot eene derde foort van meeting overgaan, die weder geheel and ars van aard is. Z.  OER MEETKUNDE» SS t. Wel, vader! wat zullen wij dan nu meeten? V. Lichaamen, mijn zoon! Z. Lichaamen, vader! welke lichaamen? V. Gij meent misfchien lichaamen van menfchen of dieren? —. maar neen. —- De Natuurkundige noemt alles, wat zichtbaar is, een lichaam. —- Gij begrijpt dus dat er niet alleen eene ontelbaare meenigte, maar ook een onbegrijplijk aantal foorten van lichaamen zijn; —— dan, de Meetkunftenaar bepaalt zich alleen bij die foort, welke de Bouwmeefter het meeste nodig heeft. Z. Welke zijn dan deeze lichaamen? V. Zij worden gemeenlijk in drie clasfen verdeeld? Z. Welken behooren tot de eerfte clasfe ? Vi Vooreerst de driehoekige kantzuilen* Ten tweeden de Paralellepipeda. Ten derden de taerling. Ten vierden de vijf-, zes-, of veelhoekigé kantzuil. En ten vijfden de rol of cilinder; Z. Tot nog toe heb ik u altijd vrij wel bégreepen, vader! maar dit is mij te moeilijk* V. Ik zal u eens eenvoudig deeze foortert Vart lichaamen voor den geest brengen , en het zal li niet meer zoo onbegrijplijk voorkomen; ■— Eené zuil is een lichaam op zijn eene eind op dért C % grond  GRONDBEGINSELS grond geplaatst, terwijl hèt andere zich boven den grond verheft — een pilaar, b. v. is zulk een lichaam, maar, wanneer nu zulk een pilaar, in plaats van rond, kantig is, dan noemt men dezelve eene kantzuil. Nu zullen wij al die andere lichamen van papier tragten te maaken. — Wij knippen eerst eene zeer groote meenigte driehoeken , die allen volmaakt aan eikanderen gelijk zijn, dit gedaan hebbende, leggen wij al deeze papieren driehoekjes op elkander, zoo, dat ze niet over elkander heen fteeken, en dit ftapeltje papieren vertoont ons eene driehoekige kantzuil. Z. Wel dat is aardig. Kunnen wij de andere lichaamen ook zoo van papier maaken, vader? V. Ja, zeer wel; wij knippen nu eveneens eene groote meenigte regthoeken, en deezeftapel vertoont ons een Paralellepipedum. Dus vertoont ieder boek of liever riem papier ons de figuur van dit lichaam. Stapelen wij eene meenigte van vijfhoekige papiertjes op elkander, wij hebben eene vijfhoekige kantzuil gemaakt, en zoo ook met de zes, en andere veelhoekige zuilen. Z. Maar wat is nu een taerling, vader? is dat zoo een ding, waarmede ik wel eens met mijne makkers fpeel, en dat ook wel een dobbelfteen genaamd wordt ? V. Ja; een taerling of dobbelfteen is dezelfde  der meetkunde, «?. de. — Dit lichaam is eigenlijk een Paralellepipedum, met dit onderfcheid echter , dat het uit vierkante , en niet uit regthoekige papiertjes mag famengefteld worden, en dat het ltapeltje net zoo hoog moet zijn als een van die vierkantjes lang of breed is. Z. Ja, zoo is juist ook een dobbelfteen, want als hij wel gemaakt zal zijn, moet hij even hoog, lang, en breed wezen. — Maar nu een rol of cilinder, wat is dat voor eene figuur? V. Wij willen die ook eens van papier maaken , en daarom moeten wij nu eene groote verzameling van cirkels knippen, die op eikanderen ftapelen, en gij zult uw cilinder gemaakt hebben. Z. Maar, vader! wat is dat voor eene figuur, een cirkel? die heb ik nog niet hooren noemen. V. Verbeeld u eens , dat gij hand aan hand , in een' ronden kring danst met uwe fpeelmakkers, dat er een in het midden van den kring ftaat, zoo dat gij allen juist evenver van deezen af zijt, in dat geval maakt gij met uwe makkers een' ronden kring of cirkel. — Gij ziet dus, dat (Fig. 20) geen ronde kring of cirkel is, omdat de lijnen GE, die uit het midden naar de kromme lijn toe worden getrokken, niet allen even lang zijn — en dit konde niet misfen, wanneer de eene E evenver van G afltond , als de andere. — Maar (Fig. iq.) is een cirkel, want C 3 hier  «|t ttRONDBEGlNSEL* hier is de eene C evenver van A als de andere verwijderd, waardoor dan ook al de lijnen, die uit het midden A tot den kring worden getrokken, allen even lang zijn zullen. Z. Hoe maak ik zulk eene figuur, vader? V. Laat u een pasfer geeven, en zet het eene punt van dezelve op 't papier , als 't ware vast, laat dan het andere punt om dit vaste punt rond draaijen: wel zorg draagende, dat hij niet onder het draaijen toe — of open gaat, en dan is de fchreef, door het losfe punt geteekend , den omtrek van uw' cirkel. — Nu kunt gij u in de eenzaamheid vermaaken met het famenftellen van die meetkundige lichaamen — de volgende keer zal ik u nog andere foorten laaten zien, NEGENDE SAMENSPRAAK. Z. iZijn er nu nog meer foorten? ei noem ze rnij, als 't u belieft, vader! V. Tot de tweede clasfe telt men: Eerftelijk, de naald of piramide, Ten tweeden , de kegel of conus. Z. Ik hoop, gij zult hier van eene uitlegging gpeven, zoo als gij van die der etTfte clasfe gedaan hebt, V.  DER MEETKUNDE. SJ V. Zeker zal ik dat: luider dan, neem eene meenigte driehoekjes van papier geknipt, zodanig , dat zij niet allen even groot zijn, gelijk in de drie. hoekige kantzuil, maar dat de tweede een wei» nig kleiner dan de eerfte, de derde een weinig kleiner dan de tweede, de vierde een weinig kleiner dan de derde is, enz. dan zoude de laatfte eindelijk op niet uitloopen, deeze nu in die orde op elkander gelegd, vertoonen eene driehoekige piramide. Z. Maar, vader! als dit nu eens vierkantjes of regthoekjes geweest waren, die men dus geknipt , en op elkander gelegd had, zoude men dan niet eene vierhoekige piramide hebben? V. Ja ; en in geval het vijf-, zes-, of veelhoekige figuuren waren geweest, had men ook vijf-, zes-, of veelhoekige piramiden gevormd. Z. Zeg mij nu eens, vader! hoe maak ik een conus of kegel? V. Op deeze wijze: gij knipt eene meenigte cirkels, maar deeze ook, even als in de piramide, hoe langer hoe kleiner— en deeze cirkeltjes op elkander geftapeld hebbende, ziet gij den kegel. Z. Nu verlang ik ook wat van de derde clasfe te weeten? V. Hier heeft men alleen de globe of kloot, en deeze figuur behoef ik u niet te befchrijven, C4 g<|  5,0 GRONDBEGINSELS gij hebt hem in de meesten uwer fpelen geduütig voor oogen. — Een knikker , een kaats- of kolfbal, -- deeze allen , en meer anderen vertoonen u den kloot of globe. Z. Zijn dit nu al de foorten van lichaamen, die de Meetkunftenaar weet te meeten , vader ? V. Ja , dit zijn de eenigften , waarop zij hunne aandagt gevestigd hebben, als die geenen , welken het meeste voorkomen, en als de eenigften, welken regelmaatige figuuren vertoonen. De anderen zijn te Willekeurig, en kunnen, des noods, indien het er op aan komt, door middel van deeze lichaamen, gemeeten worden, — dan, dit zult gij in 't vervolg wel leeren. Z. Ik verlang reeds te hooren, op welke manier de eerfte foorten gemeeten worden. V. Ten opzichte van deeze lichaamen heeft eene tweeërlei meeting plaats, te weeten, de oppervlak-meeting van die lichaamen, en hunne inhoud-vinding. — Dan, eer ik tot die twee foorten van meetingen overgaa, moet ik u doen opmerken, dat men al de opgenoemde meetkundige lichaamen in twee hoofdfoorten onderfcheidt.Z. Welke foorten , vader ? V. Men onderfcheidt dezelven in regelmaatigen, cnonregelmaatigen. De eerfte foort heeft men, wanneer de opgenoemde lichaamen, uit regel- maa-  DER MEETKUNDE. 4* maatige platte figuuren zijn famengefteld — en de tweede foort, wanneer deeze gemaakt worden uit onregelmaatige platte figuuren. Z. Om dit wel te verdaan, vader! zoudt gij mij eerst het onderfcheid tusfchen deeze platte figuuren dienen te toonen. V. Dit fpreekt als van zeiven, en zulks was ook mijn voorneemen. — Regelmaatige platte figuuren zijn zulken, wier zijden even lang, en wier hoeken even groot zijn, zoo is, b. v. , een vierkant eene regelmaatige figuur, omdat hier alle zijden even lang zijn, en alle hoeken, regtehoeken wezen moeten, en derhalven ' even groot zijn ; — zoo zal ook ( Fig. 24.) een regelmaatige veelhoek zijn, wanneer al de hoeken (als ABC. BCD. CDEeuz.) even groot zijn, dat is, wanneer A B en B C even zeer zich openen, als B C en C D, als C D en D E enz. en dat daarbij al de lijnen A B, B C , C D, enz. allen even lang zijn. — Maar, wanneer nu (Fig. 24) eene figuur was, welker zijden niet allen even lang waren, en waar van de eene hoek , b. v. als hoek (a) (Fig. 21), en de andere, als hoek (b) was, dan zoude men zeggen: deeze figuur is onregelmaatig. Zodanig nu is (Fig. 25.) Z. Zoo ik dan nu eene meenigte papiertjes knip, als (Fig. 24,) en die regt op elkander ftapel, dan heb ik sen regelmaatig meetkonftig C 5 U-  M GRONDBEGINSEL* lichaam: — en, wanneer ik eene verzameling van figuuren, als (Fig. 35,) op een zet, dan krijg ik een onregelmaatig meetkonftig lichaam, heb ik u nu wel begreepen, vader? V. Zeer wel. — Gij begrijpt nu ligt, dat dit omtrent al de opgenoemde lichaamen van de eerfte en tweede clasfen plaats heeft. — Maar zeg mij eens, wat zegt gij van de cilinders en kegels , zouden daar ook onregelmaatigen onder zijn ? Z. Volgens de befchrijving die gij van een' cirkel gegeeven hebt , worden alle cirkels op dezelfde wijze gemaakt: dus zijn dan regelmaatigen of onregelmaatigen. En mij dunkt, dat men den cirkel voorzeker niet onregelmaatig kan noemen , daar hij mij zelfs de regelmaatigfte fchijnt van allen, die ik tot hier toe gezien heb. V. Gij hebt die vraag uitneemend wel beantwoord; ja, ook de Wiskunftenaars noemen hem eene regelmaatige figuur, en dus ook het lichaam , uit deeze figuuren famengefteld , een regelmaatig lichaam. — Maar nu worden al deeze lichaamen, zooregelmaatigenals onregelmaatigen, zoo wel van de eerfte als van de tweede clasfe nog eens in twee foorten verdeeld. Z. Welken zijn die ? V- Men onderfcheidt ze in fcheeve en regte lichaamen. Z.  DER. MEETKUNDE. Sfj %. Deeze onderfcheiding is duidelijk, dunkt mij, de eerfte foort ftaat regt op, en de tweed» dreigt te vallen, heb ik gelijk, vader? V. Ja wel — alleen zal ik 't wat meer meetkunftig uitdrukken: de eerfte foort ftaat loodregt of perpendiculair op den grond, daar de tweede op zijne grondvlakte overhelt. Nu zijn wij zoo ver gekomen, dat wij in eene volgende bijeenkomst de oppervlakte van deeze lichaamen zullen leeren meeten. TIENDE SAMENSPRAAK. e laatfte keer hebt gij mij beloofd, vader! dat wij nu zouden overgaan tot de oppervlakmeeting der \ opgenoemde lichaamen; maar eerst wenschte ik wel te weeten, in welke gevallen dit te pas komt. V. Verbeeld u, dat er eene zuil wordt opgerigt, dat men deeze zuil met papier beplakken, of met laken bekleeden wil; in dat geval heeft men alleen nodig te weeten , hoe veel vierkante voeten, (b. v.) die zuil in 't oppervlak groot is, om dan ook een laken te koopen, het welk een gelijk getal vierkante voeten groot is. — In zul-  M CRONDBECINSELS zulke en diergelijke gevallen heeft men alleen de oppervlakte van 't lichaam nodig. Z. Beginnen wij nu met de eerst opgenoemden, was dat niet de driehoekige kantzuil? V. Ja ; dan , ik verkies nu , gemakshaJven , met het Paralellepipedum te beginnen; zie, hier hebt gij er een van hout gemaakt, (a) hoe zult gij de oppervlakte van dit lichaam meeten ? Z. Wel, vader l dit is zeer gemaklijk , dunkt mij; de oppervlakte beftaat uit zes regthoeken, ik meet dan ieder regthoek hoofd voor hoofd , tel de fommen famen, en ik heb het geheele oppervlak van dit Paralellepipedum. V. Ik ftaa verwonderd over uwe vlugheid , gij hebt de zaak zeer wel begreepen. Dan, met dat al, willen wij eens zien, of dit niet langs eenen gemaklijker weg te vinden zal zijn, en of wij niet eenen algemeenen regel kunnen uitdenken , waarnaar wij die foort van lichaamen zouden kunnen meeten: verbeelden wij ons eens, dat wij de vier ftaande oppervlakken van het lichaam konden affcheiden, en naast eikanderen zetten (Fig. 23) dan maaken zij famen eenen geheelen grooten regthoek uit, (want deeze regthoeken zijn allen even hoog, en kunnen, even daarom , tot ééne figuur gebragt worden ) de («) Bezie bij gebrek daar van, Fig. 22.  DER MEETKUNDE. 43 de eerde twee zijn de in (Fig. 22,} zichfbaare vlakken, a en b, en de laatften zijn de onzichtbaaren; A verbeeldt het vlak, hetwelk aan den agterkant, tegen over a is, en B dat, hetwelk tegen over b ftaat. Z. Wel, vader! dan kan men deeze vier te famen meeten, niet waar? V. Ja wet, men meet alleen roodfom het onderfte van de Paralellepipeda, de vier breedten , als D E. E F en de twee anderen; deeze famen maaken de onderfte lijn G H van ( Fig. 23) uit: nu behoeft men alleen de hoogte van het lichaam, of de lengte van den eenen regthoek a te meeten, deeze is gelijk als G I in ( Fig. 23 , ). En wanneer ik nu den inhoud van deezen grooten regthoek bereekene, dan heb ik tevens den in. houd van alle vier de regthoeken van het Paralellepipedum , hier uit nu trekt men deezen regel: ,, de lengte der zijden van de onderfte of het gronc'« ,, vlak te famen genomen, vermenigvuldigd met ,, de hoogte van dit lichaam , geeft de opper,, vlakte van de regtftandige zijden van 't zelve." Maar laat ons eens zien, of wij deezen regel ook op de drie -, vijf -, zes -, en veelzijdige kantzuilen kunnen toepasfen 'v — ik heb hier voor u eene (Fig. ,'26) van hout gemaakte agtkantige zuil, befchouw deeze eens met oplettendheid, en zeg mij dan, of gij deukt, dat de geitel-  4* GRONDBEGINSELS ftelde regel ook op dit lichaam kan worden toegepast, dan niet. Z. Wel, vader! dit zijn ook al te maal regthoeken, en van ééne hoogte, ik zie dus, dat ook hierop de regel zeer wel past. V. Ja, en wat meer is, indien deeze figuur een regelmaatig lichaam is , dan zijn , gelijk wij gezegd hebben, al de zijden van de grondvlakte even la;\g, en dus al die agt regthoeken even breed; — wordt nu de meeting niet nog veel gemaklijker ? Z. Ja, vader! want nu zijn alle regthoeken even groot. Zoo ik dan den inhoud van den eenen regthoek heb, neem ik die agtmaal, en deeze fom zegt mij, hoe groot de oppervlakte is van de agt regthoeken van deze zuil famen genomen. V. Zoo is het eveneens met alle andere regtftandige, regelmaatige kantzuilen gelegen — en met de onregelmaatigeregtftandigen handelt men, even als wij met het Paralellepipedum gehandeld hebben. — Gij ziet dus , dat deeze meetiugen niet moeilijk zijn, wanneer men maar oplettend is; — wij zullen de volgende keer over de andere foorten handelen.  OIR MIITÏUNDI, ft ILFDE SAMENSPRAAK. V. J-^l u willen wij eens onderzoeken , welk middel er zijn zal om ook van eene rol of cilinder de oppervlakte te meeten: bezie ten dien einde, (Fig. 27,) zij is een cirkel, indien mert deeze in vier gelijke boogen verdeelt, en de verdeelingspunten A, E, I, N, door lijnen famentrekt, heeft men een vierkant A E I N. — Verdeelt men verder die vierdeparten van den cirkel ieder in twee gelijke ftukken, zoo krijgt gij, wanneer nu weder deeze punten worden famengetrokken, eene agtkantige figuur als A C E G I L N P A. Gaat gij nog verder met geduurig in tweeën door te deelen, zoo krijgt gij eene figuur van zestien zijden , gelijk hier geteekend is ABCDEFGHIKLMNO P Q A. — Dan nog eens door, heeft men eene figuur met tweeëndertig kanten, enz. Wanneer gij deeze verdeelingen zoo doet, en zoo lang verdeelt als mogelijk is, wordt dan op'tlaatst die veelzijdige figuur niet bijna gelijk de kromme cirkel ? Z.  1$ GRONDBEGINSELS Z. Ja, vader! zij komt hoe langer hoe nader bij de cirkel figuur. V. Indien gij nü eert' ftapel geknipte vierhoeken hadt, zou deeze u eene vierhoekige zuil vertoonen; zoo gij den flapel van de agthoekige figuuren gemaakt hadt, zoude hij verbeelden eene agtkantige zuil; en zoo de zuil van dc zestienhoekige figuur was famen gefteld, hadt gij eene zestienhoekige zuil gemaakt: — en zoo voordgaande, zou uwe zuil bijna een cilinder worden, even gelijk , door de geduurige verdeelingen de veelzijdige platte figuur bijna een cirkel werd. Z. Ja, vader! dat is zeer natuurlijk, maar ik zie nog niet, waar toe dit alles dienen zal. V. Dit zullen wij nu hebben; — gij weet, dat de oppervlakte van al die kantzuilen, 'tzij die dan veel of weinig kanten hebben , bereekend en gemeeten wordt door het getal (duimen b. v.) dat de zijden der grondvlakte famengenomen uitmaaken, vermenigvuldigd door het getal van duimen, die de zuil hoog is— indien men nu de lengte van de kromme lijn (want deeze kan men befchouwen, als te zijn de fom van al de zijlen van een' veelhoek, die zeer veel zijden heeft) of van den cirkel konde meeten, hadt men deeze lengte, met het het getal duimen der hoogte vau den cilinder te vermenigvuldigen , en  DER MEETKUNDE. 49 en de uitkomst zoude u zeggen, hoe veele vier» kante duimen de oppervlakte van dit lichaam groot was. Z. Ja wel, vader! dit begrijp ik ; — maar hoe meet ik die kromme lijn? mij dunkt, hier toe kan men den maatltok geenzins gebruiken. V. Gij hebt gelijk; ook is dit het zwaarfte ftuk dat in de Meetkunde voorkomt: het eenigfte, het welk, fchoon er door de kundigfte mannen veele honderden jaaren aan gearbeid is, nog niet is opgelost. — Wanneer gij ia vervolg van tijd in ftaat zult zijn om de boeken, hier over gefchreeven, te verdaan , dan zult gij u verwonderen over de menigvuldige poogingen, hier omtrent in 'twerk gedeld. — Voor 't overige — daar wij hier in niet kunnen meden, indien 'tu voorkomt om de oppervlakte van eene colom of cilinder te bereekenen, hebt gij om de colom enkel een touw of draad te fpannen, en dus de maat van den krommen omtrek te meeten, dewijl gij deeze draad kunt ontrollen, en in eene regte lijn veranderen. Z. Zijn dan alle poogingen van die kundige menfchen, die hier aan gewerkt hebben, geheel en al vrugtloos geweest? V. Niet geheel en al; zij hebben het zoo var gebragt, dat men, door een' regel van drieën, den omtrek van een' cirkel vrij nabij kan bereekeD nen  50 GRONDBEGINSELS nen; maar deeze bereekening kan den Wiskunftenaar niet volkomen voldoen, omdat ze niet naauwkeurig genoeg is. Dan, dit zijn dingen welke voor u nog te moeilijk zijn; — wij zullen daarom liever tot iet anders overgaan. Z. Nu zullen, denk ik, de piramide en de kegel aan de beurt liggen. V. Ja; daarmede zullen wij nu beginnen: — eene piramide en kegel van hout gemaakt, welke ik u mede gebragt heb , zullen u veel helpen. Zie hier dan eene (Fig. a.8) regelmaatige regte drie kante naaide; — vindt gij ookzwaarigheidomde oppervlakte van dit lichaam te bereekenen? Z. Wel neen , vader I 't zijn allen driehoeken , ik heb alleen de grondlijnen, en de loodlijnen, die uit den top op die grondlijnen getrokken moe. ten worden, (want het zijn fcherphoekigen) te meeten, dan kan ik ieder driehoek op zich zeiven bereekenen, en de fom zal de oppervlakte van het geheele lichaam zijn. V. Zeerwel; dan, ook hier kunt gij de moeite fpaaren, om ieder driehoek op zich zelf te bereekenen. — Gij begrijpt, voor eerst, dat al de loodlijnen even lang zijn , in eene regelmaatige ïegtftandige piramide; — wanneer gij nu het getal duimen, 'twelk deeze loodlijn lang is, vermenigvuldigt met het getal duimen der famen genomen grondlijnen, zoo hebt gij den dubbel voudigen in-  DER MEETKUNDE. inhoud der oppervlakte van dit driekantig lichaam: de helft dus van deeze uitkomst zal u de grootte der oppervlakte zeggen. Z. Maar, vader! is 'thet zelfde, of ik de loodlijn met de fom der grondlijnen vermenigvuldig , dan of ik deeze met iedere grondlijn afzonderlijk multipliceer, en de fommen bij een voeg? V. Ja, dit is 'tzelfde; verbeeld u, gij hadt vijf gulden, deeze wildet gij driemaal neemen, het zal u dan immers het zelfde zijn, of gij ieder van die vijf driemaal neemt, en de fommen bij een voegt, dan of gij de geheele fora driemaal neemt — dus ook hier. Z. Nu zie ik het duidelijk, indien ik ieder gulde apart met drie vermenigvuldig, dan heb ik vijf hoopjes, ieder van drie gulden , die maaken famen vijftien gulden — en zoo ik vijf gulden driemaal neem, heb ik ook vijftien gulden. V. Zoo ook hier: — ftel eens, de loodlijn was 5 duimen lang, de grondlijnen ieder 8 duim, — driemaal 8 of 24 duim is de fom der grondlijnen; — nu is 'tvolmaakt hetzelfde, of men' vijfmaal 24 dan of men vijfmaal 8 en deeze fom driemaal neemt; want vijfmaal 24 is 120, en vijfmaal 8 is 40, en dit driemaal is ook 120. Z. Nu volgt de kegel, (Fig. 29) zal deeze ook gelijk zijn aan eene piramide van een zeer groot getal kantjes ? D 2 V.  gt GRONDBEGINSELS V. Ja, deeze kunnen wij volmaakt even eens befchouwen, en dan weet gij ook wel hoe deszelfs oppervlakte gemeeten moet worden , niet waar? Z. Ja, vader! de fom van al de grondlijnen van die groote meenigte driehoekjes, of liever, de lengte der kromme lijn zelve, vermenigvuldigd met de lengte der loodlijn , uit den top op den omtrek des cirkels getrokken, zal mij de dubbelde grootte der oppervlakte geeven, en dus de helft van deeze fom de enkele grootte. V. Dit is zoo wel begreepen, dat ik er niets meer heb bij te voegen, en wij zullen hierop direct de inhoudmeeting der lichaamen zelfs aanvatten. Z. Maar, vader! wij hebben immers de oppervlakten van al de opgenoemde lichaamen nog niet leeren bereekenen? V. Het is waar, wij hebben alleen de paralellepipeda's, de zuilen, de piramides, de cilinders , en de kegels befchouwd; — er blijven dus nog overig de taerling , en de kloot; — dan, de oppervlakte der eerfte, kunt gij meeten, wanneer gij de paralellepipeda's bereekenen kunt; want een taerling is een paralellepipedum : en het lantfte lichaam, de kloot naamlijk, is voor u te moeilijk. Z. Dan is 'twel: maar, vader J de opervlakten van fcheeve en irreguliere lichaamen, hoe handelt men daarmede ? V.  DER MEETKUNDE. 53 V. Al is een lichaam nog zoo fcheef en irregulier, zoo maar de oppervlakte plat en effen zij, kan men dezelve altijd bij ftukken meeten, en de fom van deeze ftukken geeft de geheele oppervlakte; — meer wil ik u ditmaal hier vaut niet zeggen, omdat het mijn voorneemen is u alleen een oppervlakkig denkbeeld van alle foorten van mathematifche meetingen te geeven. Z. Goed, vader! zoo als 'tu belieft — wij zullen dan bij eene volgende gelegenheid den in« huud der lichaamen leeren meeten. TWAALFDE SAMENSRAAK. Z. 1^ u wij aan de inhoudmeeting der lichaamen gekomen zijn, moet ik u, eer wij beginnen , mijne gedagten hierover zeggen: gij hebt mij al die lichaamen doen famenftellen uit eene meenigte geknipte papiertjes; wel, vader! als ik dan den inhoud van een dier papiertjes bereekende, en wanneer ik dan dien inhoud zoo veel maal nam als er papiertjes waren, zoude ik dan den inhoud van dat lichaamniet gevonden hebben ? V. Gij wilt dan den oppervlakkigen inhoud D 3 van  54 GRONDBEGINSELS van één der papiertjes, zoo menigmaal neemen als er papiertjes zijn. Maar, begrijpt gij dan niet, dat, wanneer een oppervlak twee, drie, ja honderdmaal genomen wordt, deeze twee, drie, of honderdvoudige figuur, evenwel altijd een oppervlak blijven moet ? — Na dat ik u een denkbeeld van een oppervlak heb tragten te gee« ven , door 't zelve, bij de fchaduw , op een' muur geworpen, te vergelijken, kunt gij oordeeleii, of wel eene meenigte oppervlakken öp elkander gelegd (indien zulks mogelijk ware) eenige de minfte dikte zouden uitmaaken, — immers neen; even min als een op den muur geworpen fchaduwbeeld deezen muur verdikken zal. — Ik begrijp wel, hoe gij op deeze gedagten zijt gekomen , gij hebt geen onderfcheid kunnen maaken tusfchen een oppervlak, en een vel papier — en dit verwondert mij juist niet; — dan, het is evenwel iet, waarop men wel moet letten; — er zijn drieërlei foorten van dingen , welken dooide Meetkundigen befchouwd, en gemeeten worden , en deeze drie foorten verfchillen geheel en al van aard, zoo dat zij onmogelijk bij eikanderen kunnen worden vergeleeken, of ook niet met een en dezelfde maat gemeeten kunnen worden : — deeze drie verfchillende foorten zijn de lijn, het vlak, het lichaam. — Eene lijn, of liever eene lengte wordt in die gevallen gemeeten , waar alleen de afftand van de eene plaats Un  DER MEETKUNDE. 55 tot de andere moet gemeeten worden, — bij deeze meeting komt noch dikte, noch breedte te pas; — zulk eene lijn kan derhalven nooit op 'tpapier geteekend worden, dewijl dezelve alleen in 'tdenkbeeld beftaat, en men aan eene geteekende lijn, al is dezelve nog zoo fijn gemaakt, altijd eene zekere breedte moet toeschrijven. — Gij begrijpt dus ligt, dat, ai maakte men eene ontelbaare meenigte van die mathematifche lijnen naast eikanderen, dat deeze verzameling nooit eenige breedte zoude uitleveren , en dus, dat een vlak een geheel ander ding dan eene lijn zijn moet, en geene de minfte overeenkomst met eene lijn kan hebben. — Deeze eerfte foort nu wordt gemeeten door eene lijn, en dus door iet van haar eigen foort; op deeze wijs meet men de lengte van een ftuk lint (b. v.) met eene el; — 't is waar, zij hebben beide breedte en dikte; dan, daar 'thier alleen aankomt op de lengte, wordt ook alleen de lengte der el, bij de lengte van het lint vergeleeken, en dus eene lengte door eene lengte gemeeten. — Zoo ook met de tweede foort, deeze heeft weder geheel geen overeenkomst met de derde, of lichaamen, evenmin als met de lijnen, maar ftaat geheel op zich zeiven. — Daar de eerfte foort alleen lengte bezat, zonder breedte of dikte, bezit nu deeze lengte en D 4 breed-  56 GRONDBEGINSELS breedte, doch volftrekt geene dikte. Het is dus duidelijk, dat een oneindig groot getal van dee. ze vlakken op elkander gelegd nooit eenige dikte of lichaam zullen uitmaaken; 1 deeze foort nu wordt door een vlak gemeeten, — dus weder door iet van de foort zelve. — 't Is waar, liet papiertje , dat wij in 'tbegin gebruikten, was geen vlak, want het had dikte; dan, deeze dikte kwam geenzins in aanmerking, even min als de breedte of dikte van eene el in aanmerking komt, bij het meeten der lengte van een ftuk lint of iet diergelijks. — De derde foort is een lichaam, dit heeft lengte, breedte, en dikte gelijk alle lichaamen; maar, waarmede denkt gij jiu dat die foort zal moeten gemeeten worden ? Z. Ik heb uit uwe redenering gehoord, dat de drie verfchillende foorten, ieder als 'tware door zich zeiven werden gemeeten. — Men meet lengte met iet dat lengte heeft, en dus door eene lengte; een vlak door een vlak; ik be- fluit uit dit alles, dat ook een lichaam, door een Jichaam gemeeten zal moeten worden. Maar, daar er zoo veelerlei lichaamen zijn , welken gebruikt inen meest tot het meeten van dematheraatilchen? V. Toen ik u eene lengte leerde meeten, heb ik gezegd, dnt het volmaakt'tzelfde was, welk irvftrument gij hiertoe gebruiktet, indieii "t zelve maar lengte hadde; — daarna heb ik u  DER MEETKUNDE. $J getoond, hoe nuttig het was, dat men overal een en't zelfde infirument gebruikte : — dat men eene lengte had aangenomen, dewelke men roede noemde: dat men deeze roede in twaalf gelijke deelen had gedeeld, welke deelen men voeten genoemd had: dat men voorts ieder voet nog eens in twaalf gelijke parten had gedeeld, en deeze den naam van duimen gegeeven had. — Ik heb u verder gezegd, dat een vlak, zijnde eene roede lang en breed , eene vierkante roede, en .een vlak van een voet lang en breed, een vierkante voet genoemd werd, en dus ook een viêrkante duim een vlak was, één duim lang en breed. — Zoo ook heeft men tot het meeten van lichaamen een van deeze foort gekooren, zijnde het regelmaatigfte van allen , ik meen den taerling. — Wanneer zijne lengte, breedte, en dikte, ieder eene roede is, wordt hij een taerlingsroede, — zoo die afmeetingen ieder van een voet waren, een taerlingsvoet, en van een duim, een taerlingsduim genaamd. — Maar gij moetin 'toog houden, dat hierdoor niet" wordt omver geworpen, het geen ik u voorheen in 't algemeen heb gezegd; te weeten , ,, dat het volmaakt het zelfde is welk inftrument om te meeten men gebruikt, zoo het maar een van dezelfde foort is, en een gedeelte van het te meetene beflaan kan." (zoo biflaat eene lengte van een' voet, een twaalfde deel van eene roeD 5 de;  58 GRONDBEGINSELS de; even zoo, een willekeurig genomen vlak ftukje papier, een gedeelte van eene tafel, en zoo zal ook een kleiner lichaam een grooter voor een gedeelte vervullen ). Ook moet gij hierbij opmerken, dat de bepaalingen van roede, duim, enz. alleen gemakshalven gemaakt zijn, omdat men altijd moet zorge dYaagen , wanneer men de grootte van twee dingen wil vergelijken, dat dezelven door een en denzelfden maatftok gemeeten worden. Z. Zullen wij nu de volgende keer werklijk een lichaam meeten? vader! V. Ja, maar eerst moet gij, het geen gij nu geleerd hebt, overdenken, en 'tzelve tragten te verliaan; want zonder dat zou uwe geheele weetenfchap op losfe fundamenten rusten. DERTIENDE SAMENSPRAAK. V. -^ie hier, Cleöntes! (Fig. 3.0) het lichaamtje, waarmede wij nu al de andere zullen meeten ; i— hoe meer nu een te meeten lichaam van deeze lichaamtjes bevatten kan , hoe grooter hetzelve zal zijn. Z. Zeer natuurlijk, even gelijk als bij de mee-  DER MEETKUNDE. 59 meeting der vlakten en lengten; maar hoe zal deeze meeting gefchieden? V. Gij zult het ras ontdekken: — het lichaamtje, waarmede wij nu meeten zullen , is een taerling voet. — Verbeelden wij ons nu, dat men weeten , wilde hoe veel taerling voeten , een regenbak (Fig. 31) (b. v. ) waarin geen water is) groot is, — wij llellen dat de regenbak regtljoekig gemetzeld is, en dat de zijdmuuren loodregt gemaakt zijn; — kom aan, klim eens in denzelven, en meet daar, met uw' taerling, de grondvlakte van deezen bak , even gelijk gij r#et een vierkant papiertje de oppervlakte van eene tafel gemeeten hebt. Z. Welaan, ik begin uit den hoek A en meet eerst langs AR nu heb ik mijn taerling agtmaal verplaatst, er kunnen dus op deezen regel agt zulke taerlingen naast elkander gezet worden: nu meet ik de breedte van den bak.... hier verleg ik 't zelve viermaal, en hieruit zie ik, dat er dus op den vloer van deezen regenbak, vier regels, ieder van agt taerlingen, kunnen worden geplaatst — er kunnen op den vloer dan net tweeëndertig taerlingen Haan. Maar, vader! hoe nu verder? V. De onderfte laag beftaat dan uit tweeëndertig taerlingfche voeten: nu moet gij, om den bak verder te vullen, op deeze laag nog eene fla»  ÖO GRONDBEGINSELS ftapelen, — hoe veel taerüngfche voeten denkt gij wel, dat hiertoe nodig zijn zouden? Z. Wel, vader! evenveel als tot de eerfte laag. V. Indien gij nu wist hoe veel laagen er op ' elkander konden worden geftapeld, om den bak tot boven toe te vullen, dan wist gij immers hoeveele taerlingen in dien bak konnen liggen ? Z. Wel zeker; want ftel, er konden eens agt laagen op elkander geplaatst worden , dan had men agtmaal zoo veel als de onderfte laag behelst, dat is 32, benodigd tot vulling van den bak , dus twee honderd zes en vijftig. V. Maar, als gij nu eens op het eerfte taerlingtje (8.) zoo veel ftapeldet tot boven toe, zou hier door dan niet het getal der laagen kunnen worden bepaald? Z. Mij dunkt ja — dat wil ik aanftonds eens doen: ik ftapel op B de tweede taerling a, op deeze b, hierop c enz. nu zie ik, dat er vijf taerlingen op eikanderen moeten ftaan, om tot boven toe te ftapelen; ik befluit dus , dat er vijf laagen op elkander moeten worden gelegd, om den bak te vullen, ieder laag nu is van 32, dus de geheele bak 160 taerlingen groot. V. Gij ziet dus, dat men met een' taerling voet zeer wel kan meeten, hoe veel van die foort mea nodig zoude hebben tot vulling van een' bak,  DER MSETKUNDE. bak ; men meet eerst op den grond langs AB , om van den eerden regel het getal taerlingen te bepaalen; dan meet men langs B C, hoe veel van die regels naast elkander op den grond kunnen geplaatst worden, en dan weet men, hoe veele taerlingen de onderfte laag in zig bevatten kan: om nu den geheelen inhoud te vinden, meet men langs B E, om te weeten hoe veel laagen de geheele bak bevat; nureekentmen — deeerfte regel heeft agt taerlingen , en de eerfte laag vier regels, dus viermaal 8, dat is 32 taerlingen. —-Men heeft langs B E gemeeten , en dezelve lang bevonden vijf voeten, en daar nu ieder laag één voet dikte heeft, is men verzekerd, dat in deezen bak vijf laagen, ieder van 32 taerlingen, en dus 160 taerlingen in den bak kunnen liggen. Z. Ik heb den vloer van deezen bak met den taerling gemeeten, maar konde ik die niet veel gemaklijker met een' duimftok gemeeten hebben, vader? V. Zeer zeker — en waarom niet den geheelen inhoud ? Zoudt gij niet even goed overtuigd zijn geweest, dat er vijf laagen in den bak konden , wanneer gij A E met uw' duimftok gemeeten hebbende, dezelve vijf voet lang bevonden hadt, dan wanneer gij dat met den taerling deedt? Z. Welja, vader! dat zie ik tot mijne verwondering; want dit had ik nooit verwagt — het  62 GRONDBEGINSELS het is dus niet alleen de lengte, en het vlak, maar ook het lichaam , dat door eenen ftok kan worden gemeeten. — Maar waarom hebt gij mij eerst al die moeite laaten doen, daar ik den inhoud veel gemaklijker met een' duirnltok had kunnen bepaalen ? V. Om u de eigenlijke meeting te doen verftaan , en om u niet in 't begrip te brengen, dat, en lengten, en vlakken, en lichaamen, door lengten alleen gemeeten worden; maar, dat men zeer wel, door middel van eene lengte tot maatftok te neemen, kan bepaalen, hoe veel een zeker vlak den maatftok van 't zelve behelst, en hoe veel een lichaam zijn maatltok in zig begrijpt. Z. Ik zie, dat men dit niet onder elkander moet verwarren , en zal daar altijd wel om denken. V. Zeer goed, wij zullen nu hier eindigen, en bij eene nadere gelegenheid over de andere foorten van lichaamen fpreeken. VEERTIENDE SA MEN SR AAK. V. ïk heb u nu duidelijk laaten zien, op welk eene wijze den inhoud van een' regelmaatig regt- hoe-  DER MEETKUNDE. 6"j hoekig paralellepipedum gemeeten wordt, laat ons nu dit op alle regtftandige kantzuilen en cilinders toepasfen; de oppervlakkige inhoud der grondvlakte, vermenigvuldigd met de hoogte van het lichaam, zeiden wij, gaf ons den inhoud van het zelve. Immers, dit heeft in alle zuilen en cilinders plaats; want, zoo dra wij, door middel van de oppervlakmeeting der grondvlakte, ontwaar worden, hoe veel vierkante duimen deeze groot is, zoo weeten wij ook hoe veele taerling duimen op dit grondvlak ftaan konnen: — en door de meeting van de hoogte des lichaams weeten wij, hoe veele laagen in 'tzelve op elkander kunnen worden geftapeld, en, daar de kantzuilen en cilinders van boven even dik zijn als van onderen, zoo zijn alle laagen even groot, of beftaan uit evenveel taerling duimen , het is dus zeer gemaklijk hunne inhouden te vinden. Z. Indien men dan den inhoud van hunne grondvlakte en hunne hoogte kan meeten, is eene enkele vermenigvuldiging genoeg, om den inhoud der cilinders en zuilen te vinden. — De grondvlakte nu der zuilen, al hebben die nog zoo veel zijden, is gemaklijk te bereekenen. — Maar de grondvlakte van een cilinder, is een cirkel, dus eene kromlijnige, en geen regtlijnige figuur, en gij hebt mij wel de laatlte, maar niet de eerfte foort leeren meeten. V.  64 GRONDBEGINSELS V. Hier vervallen wij weder in dezelfde moeilijkheid , waarvan wij voorheen reeds hebben gei proken; want hier toe is weder nodig, dac wij de juifte lengte bepaJien kunnen van de omtrekken dier kromme lijnen; konden wij dit, dan was er geene moeilijkheid aan, om ook den inhoud van den cirkel te vinden, dewijl de lengte van deeze kromme lijn, vermenigvuldigd met de lengte van eene der lijnen, die uit het middenpunt tot deezen omtrek kan getrokken worden, het dubbelvoud is van den inhoud van dien cirkel. Z. Waaruit weet men dit, vader? V. Dit zal ik u zeggen : Indien eens de cirkel (Fig. 32) verdeeld ware in een onbegiïjplijk groot getal driehoekjes, zoo als een gedeelte derzelver Acd. vertoont, dan zoude men immers bijna niet kunnen ontdekken, dat de grondlijntjes of breedtens van deeze driehoekjes, kromme lijntjes waren? Indien men dan de inhouden van deeze driehoekjes in dén fom bij een hadde, dan zou deeze fom haast de inhoud van den cirkel zijn: — de inhoud nu van deeze driehoekjes famen, is de helft van het vermenigvuldigde van de lijn A C met de fom van al de kleine lijntjes: — en de fom van deeze kleine grondlijntjes zal bijna de lengte van de kromme lijn uitmaaken. Men zoude dus den inhoud van den enkel kunnnen, bereekenen, indien men de  DER MEETKUNDE* 65 de lengte van den omtrek wist te bepaalen5 want men had deezen omtrek te vermenigvuldigen , met de lijn uit het midden tot dezelve getoogen , wanneer de helft deezer uitkomst u zeggen zou, hoe veel vierkante duimen deszelfs inhoud ware. Z. Nu begrijp ik u, — laat mij nu eens optellen, hoe veele foorten van lichaamen ik nu al kan meeten: vooreerst, een paralellepipedum, allerlei foorten van veelhoekige kantzuilen , als ook cilinders. Maar, vaderi hoe handel ik nu met het bereekenen der piramiden en kegels ? V. Om u dit te beduiden, zal veel moeite kosten ; dan, ik wil u alleen dit zeggen (en laat dit u voor 't tegenwoordige genoeg zijn , ) dat eene piramide een derde part is van een paralellepipedum , het welk even hoog, lang en breed is als die piramide, dat is , wiens grondvlak gelijk dat der piramide is, en de hoogten dezelfde zijn. Z. Kunt gij mij dit ook toonen, vader? V. Op eene zeer eenvoudige wijze zal ik u dit laaten zien: hier zijn zes piramiden, hunne grondvlakten zijn volmaakte vierkanten, en hunne hoogten de helft der lengte of breedte deezer grondvlakken. Het zijn regte piramiden , en de eene is volmaakt gelijk de andere, zoo in grootte als in maakfel: deeze nu voeg ik in een met de punten binnenwaards, C gelijk gij E zien  C6 GRONDBEGINSELS zkn kunt Fig. 33 ) en wat heb ik nu voor een lichaam ? Z. Wel, vader! een taerling. V. Gij ziet dus dat deeze zes piramiden een taerling formeeren, en daar gij weet dat deeze allen eikanderen volmaakt gelijk zijn, twijifeltgij , denk ik ook niet, dat ieder op zich zelve een zesde deel dier taerling is, en dus ook een derde der helft van deezen taerling; maar is niet die gezegde helft der taerling een paralellepipedum, wiens grondvlak gelijk dat der piramide is, en met deeze eene gelijke hoogte heeft? en blijkt dus ook niet hier uit de waarheid van mijn gezegde? Z. Ja, vader! zeer duidelijk — en nu is het . ook niet meer moeilijk den inhoud van zulk eene piramide te vinden; de grondvlakte, vermenigvuldigd met de hoogte zal de inhoud van den balk zijn, welks derde deel de inhoud der piramide is. (*). V. Gij hebt het zeer wel begreepen, en di: nu is de weg, langs welken al de piramiden worden gemeeten en bereekend. Z. Gaat het met de kegels ook zoo, vader? V. (*) Men diende, zoo wel in dit als in r.lle andere gevallen den leerling deeze lichnmeüjke figuuren, het zij van hom of iet anders, te Yertoonen, om de verbeelding te hulp te komen.  DER MEETKUNDE. fj? V. Daar men den kegel kan bcfchouwen , als zijnde eene piramide, welker grondvlak, in plaats van een cirkel, een veelhoek is , met een zeer groot getal kantjes, zoo kan men die foort van lichaamen mede onder de piramiden rangfchikken, en dus hen op gelijke wijze bereekenen, naamelijk: den inhoud des cirkels, dietotgrondvlak dient, vermenigvuldigd met de hoogte des kegels, en van deeze uitkomst de derde part genomen, zal men den inhoud des kegels gevonden hebben. Z. Nu de bal of kloot, vader! V. De bereekening van deeze lichaamlijke figuur oordeel ik voor u nog te moeilijk; gij zijt , nog niet gewoon om u leevende denkbeelden te maaken van die dingen, welken men u niet kan vertoonen; tot nog toe hebben wij altijd lichaamen befchouwd, welken door natuurlijke voorbeelden konden worden aangeweezen 5 dan , het is met deeze niet wel mogelijk zoo te handelen; als gij wat verder gevorderd zijt, zal u zulks gemaklijker vallen. — Ook oordeel ik mijn oogmerk bereikt te hebben, door u een oppervlakkig denkbeeld te geeven van de drie onderfcheiden foorten van meetingen, en nu wil ik u bij volgende gelegenheden eens aantoonen hoe 1 nuttig deeze weetenfchap voor alle menfchen is * en hoe noodzaaklijk het is, dat men ten minften iet van deeze dingen verftaat. E 2 NUT-  NUTTIGHEID D ER MEETKUNDE. TWEEDE DEEL. EERSTE SAMENSPRAAK. VviZie daar, C/eontesl nu heb ik u een weinig van de Meetkunde verteld; ik heb, zoo kort als mogelijk ware, in 'truuwe met u de drie foorten van meetingen door geloopen; en dit heb ik niet gedaan omute leeren meeten, of een Landmeeter van u te maaken; maar om u eenigzins bekend te maaken met de moeder van alle fraaije konften en weetenfchappen. Z. Kan dan 'tlandmeeten betrekking hebben op alle andere konften en weetenfchappen? dat begrijp ik niet! V. Ja, de Meetkunde heeft betrekking, zoo niet pp  DER MEETKUNDE. 6<) op allen , ten minften op de meesten derzelven.— Ja — zij is de moeder, zij is de oorzaak, zij heeft aanleiding gegeeven tot het uitvinden van die weetenfchappen, welken ons boven de woeste volkeren verheffen. Zij heeft het verftand befchaafd, en den mensen vervuld met nuttige befpiegelingen, waar door hij zich zeiven en zijnen Schepper nader heeft leeren kennen. Z. Ik ftaa verwonderd over dit getuigenis, ik heb tot nu toe dezelve alleen als een fpelletje behandeld , en weinig had ik gedagt dat deeze in mijne oogen geringe weetenfchap zulke gevolgen konde hebben. Weet gij ook, vader! waar deeze kunst het eerst werd aangekweekt , en wat hier toe aanleiding gaf? V. Ten zuidoosten van ons, in een ander waerelddeel, Afrika genaamd, is een land, in de Heilige Schrift vermaard door de inwooning der kinderen Israë'ls aldaar, Egipten genaamd, het fchoonfte en vrugtbaarfte land dat bekend is , en met dat alles regent het daar nooit. Z. Het regent daar nooit, en echter vrugtbaar! hoe is dat mogelijk? ik meende, dat de landlieden altijd klaagden over onvrugtbaarheid, wanneer wij eens een drooge zomer hadden gehad. V. Schoon het daar nooit regent, blijft echter dat land niet droog liggen : neen, eene groote breede rivier met verfcheiden armen, door E 3 het