BlbSte^^^siteitvanAmsterdam 01 2749 8368  EERSTE BEGINSELEN FLUXIE-RE KENING, Behelzende eene duidelyke verklaaring van de gronden deezer voortref felyke WeEtenschap, benevens haare toepassing £N gebruik in onderscheidene deelen der WISKUNDE. ARNOLDUS BASTIAAN STRABBE, Mathematicus en Wynroeijer te Amfterdam, met plaatew. Te AMSTERDA Mt bv J: B: E L W E, Eoekvcrkooper op de Pypemarkt by den DaiïU DER DOOK M D C C X C I X,   VOORREDEN. Van alle de Mathematifche Weetenfchappen is, buiten alle tegenfpraak, de Leerwyze der Fluxïën de uitgebreidfte en verhevenfte. Zy is eigenlyk een nieuw gedeelte der Wiskunde, in zich fluitende eene Analyfis, welke zich onyergelykelyk verder dan die der Ouden uitftrekt. Veele zwaarigheden, welke door alle andere bekende Leerwyzen byna onöverkomelyk zyn , worden langs deezen weg met eene ongemeene vaardigheid, fierlykheid en klaarheid opgelost. Na hetgeen ik in het Oeffenfchool der Mathematifche Weetenjchappen, by wyze van eene inleidende Verhandeling, over dit onderwerp heb medegedeeld, en waarover veele hoogfchatters der Wiskunde my hun genoegen betuigd hebben, bleef my eeniglyk den wensch over, om t'eenigen tyde eene volkomener en meer uitgewerkte Verhandeling over dat keurig onderwerp het licht te doen zien. De moeijelykheid om zodanige Werken, waar toe veel kosten verëischt worden, en welke, wel verre van in den algemeenen finaak te vallen, flegts aan weinigen behaagen, aan den man te helpen, verydelde eenige achterëenvolgende Jaaren het ontwerp , 't welk ik my had voorgefchreeven , om naamlyk eene volkomene Verhandeling over de eerfte beginfelen der Fluxie-Rekening onzen land» genooten mede te deelen; en zekerlyk zouden alle myne poogingen , om eenmaal mynen wensch te vervullen, tot hier toe vruchteloos gebleeven zyn, zo niet het Genootfchap der Mathematifche Weetenfchappen, onder de Spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven, waar van ik de eer heb , fints deszelfs oprichting in den Jaare 1778, Lid en * a Se*  iv VOORREDEN. Secretaris te zyn, my hier in de behulpzaame hand hadt geboden, door op eene edelmoedige wyze alle de kosten der uitvoering op zich te neemen, waar voor ik hetzelve by deezen openlyk huide doe. Om nu ook iets van de famenitellinG; van dit Werk te zeggen, zal ik konelyk deszelfs inhoud voordragen. Hetzelve bevat zestien Afdeelingen. In de eerde Afdeeling wordt de natuur en den oorfprong der Fluxiën verklaard , en het onderfefceid tusfehen ifandvastige en veranderlyke Grootbeden ten duidelykften aangewezen. In de tweede Afdeeling worden de Fluxiën der Grootheden in 't afgetrokkene Qn abftra£loyy of zo als dezelve door algemeene Algebraïfche karakters uitgedrukt worden, befchouwd; en de daar uit vloeijende praclicaale Regelen door toe» pasfelyke voorbeelden verklaard. In de derde Afdeeling wordt van tweede, derde, vierde en andere Fluxiën gehandeld, en daar by aangetoond, dat tweede, derde, vierde en hoo» gere Fluxiën, met uitzondering van haaren rang en betekenis , eene voltïrekte overeenkomst nut eerde Fluxiën hebben , cn to; de Grootheden, waar van zy onmiddeiy* afgeleid worden, in eene geiyke betrekking liaan. JJe vierde .Afiecling bevat de Leerwyze, om de Fluxiën der Logarühmsn en Exponentiaale Grootheden te vinden Om hier toe te geraaken, zoeke ik eene Séries, welke den Hyperbulifchen Logarithmus der Grootheid i-i-.r uitdrukt ; van welke Séries de Fluxie , volgens de gegeèvene Regelen, bepaald zynde^ verandere ik die Fluxie- in eene eindige Grootheid, welke alsdan aantoont, dat de Fluxie vin eenen Hyper bolt„ (eken Logarithmus fteeds uitgedrukt wordt, door v ^  VOORREDEN. v ,, de Fluxie van het overeenkomstig getal, gedeeld door dat zelfde getal." In de vyfde Afdeeling wordt de omgekeerde Leerwyze der Fluxiën voorgedragen, om naamlyk van voorgeftelde Fluxiën tot de vloeijende Grootheden of de Fluenten , waar van zy de Fluxiën zyn, te rug te gaan, of wel om uit de Fluxiën de Fluenten te vinden, wanneer de laatften naauwkeurig in Algebraïfche Termen voorgefteld kunnen worden. In de zesde, zevende, agtfte, negende en tiende Afdeelingen worden de voorgedragene grondbeginfelen tot de Oplosfing van Voordellen, welke in de Wiskunde van een veelvuldig en onöntbeerlyk gebruik zyn , toepasfelyk gemaakt, als: het bepaalen der Maxima en Minima van Grootheden ; het trekken van Raaklynen tot Krommen; het vinden der buigpunten en kromteftraalen van kromme Lynen, en laatftelyk de nafpooring van de natuur der ontwondene Kromme {Evoluta) van eene gegeevene opgewondene Kromme (Jnvoluta). Na deeze toepasfingen, met de meest mogelyke duidelykheid, gemaikt te hebben , kome ik tot de Leerwyze der Fluenten te rug, van welke my nog overig was die gevallen te befchouwen, waar in het volllrekt noodzaakelyk is de Fluxiën in onëindige convergeerende Reekfen te kunnen herleiden , om vervolgens van eiken byzonderen Term de Fluent, naar den Regel, te bepaalen. Tot dat einde vindt men in de elfde Afdeeling de handelwyze, om Breuken of irrationaale Groothe ien in onëindige Séries of Reekfen te brengen, en in de twaalfde Afdeeling de bepaaling der Fluenten van gegeevene Fluxiën, door middel van onëindige convergeerende Reekfen. * 3 Eüi!  vï VOORREDEN, Eindelyk worde ia de dertiende, veertiende, vyftiende en zestiende Afdeelingen het gebruik der Fluxiën , of wel de Leerwyze der Fluenten, verklaard: iQ. In het rectificeeren van kromme Lynen; s'. in het vinden der Inhouden van krom ynige Ruimtens; 30. in het vinden der bultige Oppervlaktens van Lighaamen; en 40. in het vinden der Inhouden van Lighaamen. Om uit deeze Verhandeling eenig nut te trekken, wordt hoofdzaakelyk verëischt, dat de Leezer genoegzaam bedreeven zy in de Rekenkunst, Meetkunde, Algebra, Driehoeksmeeting, Kegelfneeden, en de natuur der Logariihmen ; terwyl hy tevens de gronden van eiken tak van Weetenfehap , op welken hy de Fluxiën zou willen toepasfen, behoort te verliaan. Ik heb voorts hier niets anders by te voegen dan de onbewimpelde erkentenis,dat ik,onder bet famenftellen deezer Verhandeling, gebruik gemaakt heb van hetgeen de beroemdile Engel fthe Wiskundigen, Newton, Maclaurin, Hayes, Ditton, Rowe, Saunderson, Simp* son en Emerson over deeze ftoffe gefchreeven hebben; nogthans kan ik voor my zeiven niet ontveinzen, dat veele der voorgedragene Leerwyzen, zo wel als veele der hier en daar ingelaschte ophelderingen , myn wettig eigendom zyn. Zo 'er desniettegenftaande de zulken gevonden mogten worden, welke my de onderwerpen, die my op eene uitfluitende wyze in eigendom toebehooren, zouden willen betwisten , gun ik hun de vryheid hier in naar welgevallen te handelen , als zy my flegts de eere laaten van met een goed oogmerk mynen Landgenooten nuttig te zyn geweest, I N-  INHOUD. I. Afdeeling. Van de Natuur der Fluxiën. ... . . Bladz. i IJ. Van de Fluxiën der Grootheden in abn ftra&o befchouwd, of zo als dezelve door algemeene Algebraïfche karakters uitgedrukt worden* ..... i° III. Van tweede , derde, vierde en andere Fluxiën. . . • a7 IV. Van de Fluxiën der Logarithmen en Ex- ponentiaale Grootheden, • • . 34 V. —— Van de omgekeerde Leerwyze, of de bepaaling der Fluenten van gegeevene Fluxiën. 46 VI. * ■» Van de toepasfing der Fluxiën in de Oplosfing van Voorftellen, waarin geëischt wordt de Maxima en Minima van Grootheden te iepaaien, . • • 9% VII. —— Van de toepasfing der Fluxiën in de Oplosfing van Voorstellen, waar in geëischt wordt Ruaklynen tot Krommen te trekken. . 187 VIII. Van het gebruik der Fluxiën in de Oplos- fing van Voorftellen, waar in begeerd wurdt de buigpunten van kromme Lynen te vinden. 305 IX. — — Van het gebruik der Fluxiën in de Oplotfing van Voorftellen, waar in begeerd wordt de kromtefiraalen van kromme Lynen te vinden. 217 X. ■ — Van het gebruik der Fluxiën in de Oplos» fing van Voorftellen, waar in begeerd wordt de natuur der ontwondene Kromme (Evoluta) van eene gegevene opgewondene Kromme (Involuta) te vinden. . . . 23J XI.  vin INHOUD. Xi. Afdeeling. Van de handelwyze om Breuken of irraMonaale Grootheden in oneindige Series of Reekfen te brengen. . Bladz. 245 XII. —— Van de bepaaling der Fluenten van ge. geevenc Fluxiën, doet middel van onëindige convergeerende Reekfen, . . 277 XIII. — — Van het gebruik der Fluxiën in de Op. losfing van Voorftellen , waar in begeerd wordt kromme Lynen te reÜificeeren, of haare Lengtens te vinden, . . . 283 XIV. —— Van het gehruik der F/uxien in de Gphsfing van Voorftellen , waar in begeerd wordt de Inhouden van kromlynige Ruimtens te vinden. " • 3r3 XV. ' • ■ Van het gebruik der Fluxiën in de Oplosfing van Voorftellen, waar in begeerd wordt de bultige Oppervlaktens van Lighaamen te vin. den» .... 322 XVI. —— Van het gebruik der Fluxiën in de Op. losfing van Vwrftellen, waar in begeerd wordt de Inhouden van Lighaamen te vinden, 327 EER-  ËERSTÈ BEGINSELEN DER FLUXIE-REKENING. eerste Afdeeling. Van de Natuur der Fluxiën. Om van de Naiuur der Fluxiën een juist en gepast aenkbeeJd te verkrygeu , is het vooral Boodzaakelyk den Leezer onder het ook te brengen hoedanig hy den Oorfprong en de Jeeïing van Wiskundige Grootheden behoort te befchouwen. In .e gemeene Meetkunde is men veelal gewoon de Grootheden als eene verzameling of opëenltapeling van zeer kleine deelen aan te merken; eri deeze befchoüwing is ten dien opzichte piet alleen niet afte keuren, maar ook in veele gevallen, waar in zy onöntbeerlyk is , van de grootire nuttigheid, gelyk allen , die zich in de beginfelen der Meetkunde éenigzins geöcffend hebben, niet onbekend kan zyu. t. Doch de Leerwyze, waar over ik nu zal handelen, is van eene gehee) andere natuur, in dezelve worden de Grootheden niet aangemerkt als eene Verzameling van zeer kleine deeltjes ; maar als Grootheden , die door eene geduurige on'dfgebrokene beweegiug befchreeven worden. Dezelve laat met toe, dat men zich de Grootheden verbeelde als de Aggregaten of totaale fommen van een oneindig geA tal  * EERSTE BEGINSELEN der tal faamenftellende deeltjes (elementa); — neen, men moet dezelve befchouwen als het gevolg of gewrocht eener regelmaatige vloeijing, die, van'teerfte oogenblik van haar begin tot dat van volkomens rust, onöphoudelyk voortgaat. Maar Iaat ik my nader verklaaren. Alle Grootheden worden aangemerkt als geteeld zynde door de geduurige beweeging van eenige haarer einden of uitenten; als een Lyn door de beweeging van een Punt; een Vlak door de beweeging van een Lyn; een Lighaam door de beweeging van een Vlak% en een Hoek door de beweeging van een zycer Beenen om een vast Punt, dat men hec Hoekpunt noemt. i. De Grootheden, welke aldus door eene geduurige beweegi'.g van eenige haarer einden of uiterften geteeld worden , noemt men Fluênten of vloeijende Grootheden: en de hoeveelheid, welke eenige vloei, jende Grootheid, met de teelende Snelheid in eenen gegeevenen Hand of tydltip f zo dezelve van daar af (leed1; onveranderlyk blyft), regelmaatig aangroeit, is de Fluxie van die'Gr ootneid in dien ftand, of in dat tydltip. 3» Om dit nader op te helderen, zo laat begreepen worden dat een Punt b, 't zy met eene f enpaa^ rige of verfnel- Ji} 111 '1 lende bewee- ^ ging , van A voortloopt, en daar door eene rechte Lyn Ab teelt: laat wyders onderfteld worden, dat de fnelheid van dat Punt in etrev voorgettelden ftand zodanig zy, dat (wanneer dezelve van dien ftand af onveranderlyk bleef) dezelve genoegzaam zou zyn , om, in den gegeevenea tyd votr de Fluxie bepaald! den afftand Sj te befchryven, of g>'iykmaatif> oyer te loopen : dan zaj de gemelde afitand ïi de begeerde Fluxie der vloei.  FLUXIE-REKENING. 3 vloeijende Lyn hb, in dien ftand, behoorlyk uitdrukken. Dus is, by voorbeeld, de beweeging eens Rogels, door her. vermogen zyner eigene Zwaartekrachc ne. derdaalende , geduurig verfneilende 5 doch om de Fluxie van de doorgevallene ruimte, in eenen gegeeveren ftand desKogels, te verkrygen, moeien wy vinden hoe ver de Kogel, met eene gelykmaat'ge beweeging, van dat Punt of dien ftmd af in eenen gegeevenen tyd zou daa'en, wanneer de Zwaartekracht, of de Aantrekking der Aarde , van daar af ha are werking ftaakte. Dus zal men door dat middel een zo klaar denkbeeld van de Fluxie en de juiüe Maat der fnelheid van den Kogel, in een gegeeven Punt, verkrygen, als in die Gevallen, waar in de beweeging werkelyb gelykmaatig is. 4. Alhoewel, ter verkryging eener juifte en dufdelyke bevartïng van de Natuur en de Hoegrootheid eener Fluxie , de befchouwing van Tyd, waar op zelfs onze denkbeelden van fnelheid fteunen, volftrekt noodzaakelyk is, moet men echter niet denken, dat 'er altoos eene gemeene Maat van tyd (als een Secunde , een Minuut, een Uur, er,z.) vereischt wordt, om de voortbrenging van deF/uxiën der Grootheden , die onder onze befchouwing vallen, te bepaalen. Een LyD, door de gelykmaatige of eenpaange beweeging van een Punt geteeld, zo als boven (§. 3.) aangemerkt is, kan als eene eigenlyke uitdrukking of maat van den tyd gt nomen worden : en die tydruimte, welke die ook zy, waar in de aldus geteelde Lyn met eenige lengte of bepaalde Fluxie vermeerderd wordt, kan voor den tyd, in de b.pailing bedoeld, genomen worden; zo als in 't vervolg van dit Werk duidelyk zal blyken. 5. Uit het geen ik in §. 3. gezegd heb, is na openbaar, dat, wanreer de teelende beweegint-; gelykmaatig is , de Fluxie *en het Increment of aangroeijend deel, dat daadelyk in den gegeevenen tyd A s be-  4 EERSTE BEGINSELEN dxk befchreeveD wordt, ééne en de zelfde zaak zyn: doch zo de fnelheid gedüurig aangroeit, of afneemt, moet alsdan de Fluxie of kleiner of grooter dan het gemelde Increment , of de daadelyk befchreevene ruimte, zyn: vermits eene aangroeijing der fnelheid noodzaakelyk eene aangroeijing in den overgeloopen afltand moet te weeg brengen , en zo ook in tegendeel. 6. Daar benevens is het klaarblyklyk uit het voorengezegde , dat Grootheden, welke vloeijen, of te gelyk aangroeijen, zulks dat dezelve fteeds in eene flandvastige Reden blyven , insgelyks haare Fluxiën in dezelfde flandvastige Reden hebben. Om dit met een byzonder voorbeeld op te helderen , zo onderftelle men , dat twee. Lynen A b en Bc , door de gelykmaatige beweeging van twee Punten b en c, zodanig geteeld worden, dat de laatfte van dezelven geduurig, of in alle overëenkomftjge g ftanden, Ai 1 i 1 a gelykaan S het dab- beid van da eerfte B f +■ • i zal zyn: T ~t neemen- de alsdan S, T; en j, t als gelyktydige ftanden van de gemelde teelende Punten, zal, door de OnderftelÜng, BT het dubbeld van AS, en Br het dubbeld van Ai zyn; dienvolgens moet ook Tt, de Fluxie van BT, het dubbeld van Sr, de Fluxie van AS, zyn. Aan den anderen kant is het mede klaarblyklyk, dat, wanneer de Reden der Fluenten kb, Bc vc-randerlyk is, die van de Fluxiën insgelvks veranderen moet. Indien dus, terwyl het Punt b zich gelykmaatig blyft bevveegen, naar reden van een Duim, Voet, Roede, enz. in een Secundetyds, de beweeging van het ander Punt e zodanig gericht wordt, dat het getal Duimen , Voeten, Roeden, enz. in de vloei-  FLUXIE-REKENING. 9 vloeijende Lyn Bc, daardoor geteeld, geduurig ge» Jyk zy aan het Vierkant van 't getal der Duimen, Voeten, Roeden, enz. in Ab, door het voorgemelde Punt b befchreeven; dan is het in dit Geval openbaar, dat de Reden der Fluenten Ah, Bc eene veranderlyke Reden is ,• en dat de lieden der Fluxiën insgelyks veranderlyk is, aangezien de aftanden 1, 4, 9, i*5 , 25, enz., door het Punt c in 1, 2, 3,4,5, enz. Secunden tyds befchreeven , in Evenredigheid veH fneller aangroeijen, dan 1,2, 3, 4, enz., de overeenkom(tige afflanden , die door de eenpaarige beweeging van het ander Punt b overgeloopen worden. 7. De Fluxiën van Vlakken en Lighaamen worden op de zelfde wyze befchouwd , en men kan zich van dezelven even zo gemaklyk een denkbeeld maaken, als van de Fluxie 'eener rechte Lyn. Men ver» beelde zich, dat eene gegeauene rechte Lyn bc zich, met eene gelykmaatige beweeging, van den (land AB af ev.nwydig aan zich zelve beweegt, en daar door den vloeijenden Rechthoek AbcB teelt; laac iDst> T -f fl gelyksdeaf- ■p. ■ ■ 3 f «and Sx O 3-) de uitdrukking , der Fluxie 1 0) , van de Lyn A S ^ "' ' P A^zyn, en de Rechthoek SrïT voltooid woraen. Dewyl dan deeze Rechthoek de ruimte is, die door de teelende Lyn b c, met eene gelykmaatige beweeging, befchreeven wordt, in den tyd dat A b op gelyke wyze de lengte Sf aangroeit, zal ook die zelfde Rechthoek Sj'rT de waare Fluxie vao den vloeijenden Rechthoek Ac indien ftand zyn, volgens de bepaaling (§.2). 5 8. Een Punt kan begreepen worden zich te verplaatfen met eene tweevoudige foort van beweeging; . • . A 3 na*-  6 EERSTE BEGINSELEN der naamelyk, of met eene eenvoudige beweegmg, of met eene beweeging , die uit twee anderen is faamengefteld. Men verbeelde zich , dat de Punten A en B zich rechtftreeks van A naar L , en van B s\ rs r naar K bewee- A L>—JJ_^ Ju geni dan zullen fv^-^ i = dezelve door ^ fë-vM' die beweeging —-K\ <^ l^v^T derechteLyrjen y ^ '^T\ / ALenBKbe- V> ^V^- ^^^Ll^f fchryven. In- Zf. K./a>r; dien de gehee- *V, leLynABzich I L 1 —L . van g naar K B R G H K beweegt,endat het punt A in het zelfde tydltip zich van A naar B begint te-beweegen, zal het punt A, met deeze beide beweeeirgen verplaatst wordende, of eene rechte Lyn,or eene Kromme befchryven, na dat deszelfsfnelheden in elke richtftreek tot elkander gefchikt, en geëvenredigd zyn, of zich tot elkander verhouden. Zo dezelve tot elkander in zodanige Keden waren, dat de. ruimters, welke inden zelfden tyd door hetPunc A in de richtftreek AB, en het Punt B in de richtftreek BK, befchreeven worden, geduurig de zelfde Reden tot elkander hadden, zou het fpoor der beweeging van het punt A eene rechte Lyn zyn. Stel, by voorbeeld , dat, terwyl het Punt B zich van B naar G beweegt, het Punt A zich van A naar s beweegt, en dat, terwyl het Punt B de Lyn B H befchryft, het Punt A de Lyn A t zal befchryven; of wel, dat, als B in GofH is, het Punt A inde Lynen .DG en EH, celyk en evenwydig aan A B zynde , in k of l zal zyn. Indien dan deeze ruimtens tot elkander evenredig zyn, of wel , zo men deeze Evenredigheid heeft Uk : El :: BG : BH , welke, uit hoofde der parallsle Lynen, overeenkomt met deeze : As At :: s* : tl\ dan zyn de Punten k en l in eene rechte Lyn ; en zo deeze Evenredigheid Overal en in alle ftanden plaats heeft, zal ook de Lya  FLUXIE.REKENING. 7 Lyn A-klK, het fpoor dor faamengeftelde beweeging van het punt A, eene rechte Lyn zyn. 9. Indien de ruimtens, door de beide bewecgende Punten in den zelfden tyd befchreeven, niet aldus tot elkander evenredig zyn > dan is het fpoor van het Punt A eene kromme Lyn, die naar de Lyn AB uitgebogen is , als de Kromme AdfK, of ten opzichte dier zelfde Lyn A B ingebogen is, als de Kromme ApbK. In het laatlte geval worden de Lynen f b en t n, door de beweeging van B naar K, in den zelfden tyd befchreeven» waar in de Lynen As en At, door de bëweeging van A naar B, befchreeven worden : en de Lyn , door de faamengeftelde beweeging van het Punt A befchreeven, is de Kromme ApbK., die ten opzichte der Lyn AB ingebogen is. In het eerfte geval worden de Lynen sd en tf, door de beweeging van B naar K, in den zelfden tyd befebreeven, waar irt de Lynen Af cn At, door de beweeging van A naar B, befchreeven worden; en de Lyn, door de faamengeftelde beweeging van het Punt A befchreeven, is de Kromme Ad/K, die naar de Lyn AB uitgebogen is. ■10. Zo nu de Kromme ApbK door het Punt A ïn deszelfs faamengeftelde bëweeging befchreeven was, zouden de ruimtens, door de beweeging in A B befchreeven, eene kleinere Reden to*: elkander heb. ben, dan de ruimtens, welke door de bëweeging in BK befchreeven worden: en zo de Kromme Ad/K opgelyke wyze befchreeven was. zouden de ruimtens, door de beweeging in A B befchreeven, eene grootere Reden tot elkander hebben, dan de ruimtens, welke door de beweeging in BK befchreeven worden. Om zulks aan te toon en, zo trekke men dePeefen Ab en Ai, fnydende de Lyn tn, of derzelver verlengde, in de Punten C en e.. Dan heeft men wegens de geljkvormigheid der Driehoeken Asb, AtC, de volgende Evenredigheid : As : At :: sb : tC. A 4 Der-  Q EERSTE BEGINSELEN der As sh Derhalvgn —- = — . Dewyl nu tC > tn is, At tC ' ' s b sb sb As zo is ook — > — ; dat is — > . Waar- tra tC t n At uit blykt, dat de ruimtens, door de beweeging in de richtftreek A B befchreeven , eene kleinere Reden tot elkander hebben , dan de ruimtens, welke refpeétivelyk in dezelfde tyden, dojr de beweeging in de richtirreek B K, befchreeven zyn. Aan deq anderen kant heeft men ten aanzien van de Kromme Ad/K, door de gelykvormigheid der Driehoeken Asd, Af e, deeze Evenredigheid: A s : A t :: sd : te» Ax si Derhal ven — S —. Dewyl nu te < tf is, At t e. sd s d s d As zo is ook -— < —- j dat is —- < -— . Dientf te tf At volgens hebben dc ruimtens, door de bëweeging in de richtftr -ek A B befchreeven , eqne grooteVe Reden tot elkander, dan de ruimtens, welke refpedti» velyk in de zelfde tyden, door de peweeging in de richtftreek BK, befchreeven zyn. rt. De Fluxie eener Driehoekige of Kromlynig^ ruimte AST wordt op de zelfde wyze verklaard, als die yan eenen Rechthoek. Want, laat de Krom» lynige ruimte Abc geteeld TT^^/ worden door de geduurige en j/fy--{y evenwydjge beweeging der /c ! veranderlyke Lyn bc, en laat / i Si de Fluxie van den Bafir / i j óf Abjcisfe Ab zyn (§. A / . " : dan zal ook in dit geval de £^ R^htek SxtT de  fluxie-rekening, ö der geteelde ruimte Abc zyn. De reden hier van |s klaar, uit hoofde dau wanneer de lengte en fnelheid der teelende Lyn bc van den ftand S T af onveranderlyk bleeven, de Rechthoek SstT alsdan geJykmaatjg geteeld zou worden met de zelfde fnelheid » waar mede dezelve in den aanvang geteeld wordt, of waar mede de ruimte Abc in dien ftand is aangegroeid. 12. Deeze waarheid zal nog duidelyker blyken, door te bewyzen, dat de begeerde Fluxie noch grooter, noch kleiner, dan de gemelde Rechthoek SstT fcan zyn. Onderftellende dus, dat de rr> j^"^ Lyn bc, terwyl dezelve zich _sf<3r'--f gelykmaatig naar s t beweegr, *r ^c^-- in lengte aangroeit, dan zal f I de daar door geteelde Inhoud f \ SkT klaarblyklyk grooter; a 1 ó / o " ' zyn, dan de Inhoud, welke, ö 0 met de gegeevene lengte in den eerften ftand ST, inden zelfden tyd gelykmaatig zou voortkomen} uit hoofde dat, wanneer de teelende Lyn geduurig langer wordt, de niéuwe deelen , welke in elk achtervolgend oogenblikontftaan, fteeds hoe langer hoe grooter worden. Wederom, onderftellende, dat de Lyn bc, de Fluxie teelende, van den gegeevenen Itand S T af geduurig in lengte vermindert, dan is het insgelyks Klaarblyklyk , dat de geteelde ruimte Sb cT kleiner zal zyn dan de gelyktydige ruimte, die, met de gegeevene lengte in den eerften ftand ST, gelykmaatig zou voortkomen Aangezien dan de Fluxie, of de ruimte, die uit de teelende fnelheid in den voorgeftelden ftand gelyki maatig zou voortkomen , kleiner is dan eenige ruimte , die in den gegeevenen tyd befchreeven kan worden, wanneer de Lyn bc aangroeit, en grooter daa A 5 eeni-  lo EERSTE BEGINSELEN der eenige ruimte , die ie den zelfden tyd befchreeven kan wonen, wanneer de gemelde Lyn afneemt; zo moer. derelve by gevolg gelyk zyn aan die ruimde, welke ontitaan zal, als men ondcrftelt, dat delengte der ge.-nelde Lyn, van den gegeevenen ftand af, noch iangröeitj noch afneemt; dat is, wanneer de geteelde- ruimte SbcT een Rechthoek is. m. Uit hetgeen dus verre gezegd is blykt, dat de Muuen vau Grootheden geduurig als de fnelheden zyn , door welke de Grootheden zeiven aan. groenen. Weshalven het geenszins moeijelyk is zich een denkbeefi ie maaken van de Fluxiën van Grootheden , welke niet door eene evenwydige beweeging, maar door de Omwenteling van Lynen of Vlakken geteeld worden. In 't vervolg van dit 'Werk zal hierover in 't breede gehandeld worden. 14. Alie Grootheden die geduurig de zelfde waarde behouden, en dus aan geen vloeijing onderhevig zyn, worde- gegeevene, ftandvastige, of onver ander, lyke Grootheden genaamd, üus is in eenen Cirkel de Diameter eene ftandvastige Grootheid , terwyl de Sinus verjus en de overëenkomttige Sinus veranderlyke Grootncden zyn. Op gelyke wyze is in een Farabool de Parameter of het Latus redum eene Itendvestige Groo>heid, terwyl de Abfcisfe en overeenkomltige Ordinaat veracderlyke Grootheden zyn. TWEEDE AFDEELING. Van de Fluxiën der Grootheden in abftrafto hefchouwd, of zo als dezelve door algemeene Algehraïfche karakters uitgedrukt worden. if. Gelyk men in de Algebra gewoon is de eerfte letteren van bet ABC voor bekende of gegeevene Grooi»  FLUXIE-REKEMING. n Grootheden, en de laatfte letteren voor onbekcn le of gezochte Grootheden te ftellen, wordt ten aanzien der Fluxiën eene genoegzaam overëenkomfb'ge bandelwyze gevolgd. Naamelyk, men Hele in 't algemeen de eerfle letteren a, b, c, d, enz. voor ltandvastige, en de laatften u, x, y, z, er.z. voor veranderlyke of vloeijende Grootheden. Dus km de Diameter van een gegeeven Cirkel door a , en de Sinus eens Boogs van trien Cirkel, als vcanJerlvk befchouwd zynde, door x uitgedrukt wordcr. 16. De Fluxie eener Grootheid, die in eene enkele letter beüaat, wordt gewoonlyk. uitgedrukt door de zelfde letter meteen punt daar boven Wanneer dus * of y voor eene Fluënt of veranderlyke Cr rotheid gefield wordt, zal de zelfde letter met een punt daar boven, als x , y, de Fluxie van x ofy refpectivelyk aanduiden. Voorts, dewyl de ff and va-tige Grootheden geen vloeijing onderhevig zyn, zo is de Fluxie van a of b gelyk o. 17. De Fluxie eener Grootheid, welke, in plaats van aan te groeijen, afneemt, moet ah negaiif b;febouwd worden; en de Fluxiën van alle Grootheden, welke eenige betrekking tot elkander hebben , worden fteeds als gelyktydig genomen, of als zodanig, dat ze, met haare refpeftive fnelheden, in een en denzelfden tyd te gelyk geteeld kunnen worden. 18. De Fluxiën der Grootheden , die in eene enkele letter beltaan , nu eens vooral bepaald zyn. e (§■ 16) » worden de Fluxiën van alle andere Grootheden, hoe genaamd, gemaklyk gevonden. Ik heb my voorgefteid hier toe eenen zodanigen weg in ie flsan , die ik oordeele de gefchiktfte te zyn, om zodanige Leezers, welke niet zeer gewoon zyn in 'c afgetmkkene te denken, op eene gemaklyke wvze de Fluxiën van alle Grootheden, welke die ook zyn, teileeren viuden. Tot dat einde zal ik eci>c de Fluxie  12 EERSTE BEGINSELEN des Fluxie van eenen Rechthoek, of het Produtï van twee veranderlyke Grootheden x en y, bepaaleu, en vervolgens, door bondige fluitredenen, de F/uxièn van alle andere Grootheden daar uit afleiden. Om nu de Fluxie van eenen Rechttfoek , of het Frodutt van twee veranderlyke Grootheden x en y te bepaalen, zo verbeelde men zich, dat twee rechte Lynen DE en FG, perpendiculair tot elkander, A -n zich van twee ^■f andere rechte Lynen AB en A BC, geduu- CT -g ^ rig evenwy- j/ . . dig tot elkan- ' ~ j- Gr- derzynde.be- « j weegen, en y/^^ . : daar door den B<£-- 1 x \ ^ veranderly- X % u ken Recht, i ' , •. . hoek DFtee- ien; iaat het fpoor haarer doorfnyding, of de Plaats ( Loei) van den hoek S, de Lyn B S zyn , welke den geteelden Rechthoek DF in twee deelen BDS, en BSF deelt. Laat wvders Od (x) en Ff (y~) a a ff0 ^ zyden BD O) en BF f-y) zyn; onderftellende, dat «f, en ƒr refpecftivelyk: eveawy* dig en gelyk aan DS en FS getrokken zyn. Aangezien dan de Fluxie van de ruimte of Inhoud nuü naauwkeung uitgedrukt wordt door den Recht- hoek Dx (= 34)« tm—I . m x x By gevolg y ZZZZ — x • « b-ï y w-i ï _ tb yx x n n y m y X x n sa ± m n m — \ . . m *x x n m X B Deê.  iS EERSTE BEGINSELEN der Deelende na den Teller en Noemer des Jaatftcn m #— i Breuks beide door x . zal men hebben m n x ' m . m n en eindelyk 31 ZZZ — xx x, zynde de zelfde ■ n Fluxie, die gevonden wordt, als men in de alge. m-J . m meene Fluxie mx x ( §. 24.) de waarde — voor m in plaats fielt. « 0.7. De Fluxiën der Magten met negative Exponenten worden insgelyks zeer gemaklyk uit de algemeem ne Fluxie van x (§. 24.) afgeleid. Om zulks te doen blyken, zo laat wederom voorgefleld worden de Grootheid * — —-^ 9 ten einde derzelvfer Fluxie te bepaalen. Stellende derhalven —— 3 in plaats vau m m de algemeene Fluxie van x (§.24)., zal men voor dc Fluxie van x ö verkrygen — 4 . — $x x. Om  fluxie-rekening. ïjj Om te bewyzen, dat deeze de waare Fluxie van -3. i * is, zo laat y _ , de waarde der gegeeve- ""3 ne Magt x , zyn * zo men alsdan de beide leden deezer Vergelykinge met a» vermeenigvuldigt, zal men hebben x*y zz i; en (lellende xs zz V, dan is vy zz i; dat is in Fluxiën y v vyzzo; (§. 16 • — yy & 18.); derhalven v y z. — y y, en j "* j! Aangezien nu , door de Onderlïelling, y — *} i%, zo is ook v = 3 *• * ( §. 23 ). By gevolg 31 — —— x* - I • tzzz — y x 3 * * • -3 *-i . -* X3» x. Én eindelyk heeft men yzz-^x 4**. de waars —3 Fluxie der «rgaïive Magt * , die gevonden moest worden. a8. Een algemeen Bewys Zal toereikende zyn, om dit betoogde meer klem by te zetten, en iten» . — n «r aan te dringen. Laat * de Grootheid zyn* waar vaD men de Fluxie begeert te vinden. Stel B 2 we»  -20 EERSTE BEGINSELEN der wederom j C-* *0 = —; wanneer dan n x de beide Leden van deeze Vergelykinge met x ver. n meenigvuldigd worden, zal men hebben x yzzzzi ; n Hellende nu x — y, dan is wederom v y zz i, en in Fluxiën y v -h v y zzzz o (§. i<5 en 18.). Waai —yy door men verkrygt y zz > . v Dewyl nu wederom , door de Onderlïelling, v zz n , «—im x is, zo is ook vzz nx w (§. 24). n — i . —yxn* * gevolg y ZZ — ■ s Sr -I . 2 — yx»K * -» -1 . r: —* xnx x y -7j- I . en eindelyk y r: — n x x, zynde de zelfde Fluxie, die gevonden wordt, als men in de algemee- TM—I . ne Fluxie m x x (§. 24,) de waarde—» voor £» ia plaats Helt, ap. Is  JLUXIE-REKENING. 2t f ag. Als de Exponent der gegeevene Magt niet al. ken ntgatif, maar ook eene gebrokene Grootheid is, wordt derzelver Fluxie even gcmaklyk gevon- r den. By voorbeeld , wanneer x s de gegeevene Magt is", heeft men in de algemeene Fluxie, §. 28. r gevonden, flegts — in plaats van n te flellen; waar s r r ~~ 7 . uit danzalblyken,dat * i de waare Fluxie s r s van * is. 30. Misfchien heb ik fommigen myner Leezeren verveeld, en hun geduld te veel gevergd, met deeze ftoffe zo naauw uit te pluizen. Ik beken gaerne, dat ik met minder woorden het zelfde had kunnen zeggen ; doch zulks doende had ik geenszins den zetregel gevolgd, die tot hier f>e den grondflag van alle myne uit gegeevene Werken geweest is. leder,' die gewoon is anderen in Weetenfchappen te onderwyzeu, ondervindt van tyd tot tyd, dat de waare vatbaarheid niet aan alle menfchen, maar flegts aan zeer weinige, eigen is; dat men, om zo te fprecken, den eenen eene zaak met zeer weinig woorden aan 't verftand kan brengen , terwyl men vuor eenen anderen eene zeer groote omfchryving en uitbreiding noodig heeft. De zucht, die my altoos bezield heeft, om myne geringe talenten ook anderen deelachtig te maaken,'ten welken einde ik my gerustelyk op het getuigenis myner Vrienden, welken ik daarvan blyken getoond heb, durf beroepen, is de eenige beweegreden die my daar toe genoopt heeft. Als men verders in aanmerking neemt , dar, dit Werk de eerste Verhandeling is-(een klein, B 3 doch  42 EERSTE BEGINSELEN der doch niet voltooid Fragment, door my in vroeger tyd in 'c Oeffenfchool der Mathematifche Weetenjchap. pen geplaatsr , uitgezonderd) die in de JNederduix-, iche Taal over de Fluxie-Rekening het licht Z'et, zal myne gemaakte uitbreiding, zo ik my durf vleijen, loor alle myne Leezeren , wie zy ook zyn, volkomen goedgekeurd worden. 3K Uit het geen ik dus verre in deeze AfdeeLTivC voorgedragen heb, worden de volgende' pratlicaale Regeleo, om de Fluxiën der Algehraïfhe Gaotheden te bepaalen , tot een vaardig behulp afgeleid. Orn den Leezer geleger.heid te gee* ven'_, zich in het nu voorgedragene te oeffenen, zal ik by die Regelen nog eenige toepasfelyke Voorbeelden voegen. I. Om de Fluxie eener gegeevene Magt van eene veriinderlyie Grootheid te vinden. Vermeenigvuldigt de Fluxie des Wortels met den Exponent der M.igt , en het Produit mee die Magt; van' den zelfden Wortel, welkers Exponent de Eenheid minder is dan de gegeeven Expment. De grond van deezen Regel is boven (§. 19.) aangetoond. Dezelve is in de daad niets anders,. r»~l . m dan m x x, de Fiuxie van * C§- 2i0 , ia woorden uitgedrukt, II. Om de Fluxie des Producls van verfcheide veranderlyke Grootheden, te faamen vermeenigvuldtgd, te vinden. Vermeenigvuldigt de Fluxie van elke Grootheid met het Producï der overige Grootheden; dan zal de fom der Predutten , welke op die wyze ontftaan , de gezochte Fluxie zyn. De  F L ü X I E-R E K E N I N G. 23 De reden hier van is klaarblyklyk uit hetgeen in §. 20. getoond is. lil. Om de Fluxie eens Breuks, uit de Deeling eener veranderlyke Grootheid door eene andere ontjtuan. de, te vinden. Vermeenigvuldigt de Fluxie van den Teller mee den Noemer, als mede de Fluxie van den Noemer met den Telier; trek vervolgens het laatile'Produlï van het eerlte af, en deel het Overblyf'lèl door het Vierkant ues Noemers. De grond van deezen Regel is boven (§. aa.) aangeweezen, TOE'passei.yKE VOORBEELDEN op de drie voorgaande Regelen. 1. ) De Fluxie van xs is 5 x* x. 2. ) De Fluxie van a + x\ is 10. a-h*!9*. 3. ) De Fluxie van a x? is 3 a x* x. n n—i a 4. ) De Fluxie van abx is abnx x. 5. ) De Fluxie van y aa — xx is — , y aa—xx 6. ) De Fluxie van yx + y y is * x-+ i y y' x ^ X + y f » B 4 of  14 EERSTE BEGINSELEN oe* i y x -h % y Of —— t 3 . ]/ x y -+ y 7.) De Fluxie van \/ax + y a a - **is,,.„ a \/aax xx . x - x x zy axx—— 2. a y+ r.x\* jssi&ir;.-*! neb naai "ie shs , üi sWWseri^ijr? > x y x. — x y Ï40 De fYiafc van ——>• is — 15,) De Fluxie yarj . is ———— '« ,6.)De Jfe* vanfZ is Mi O . _ a: 4- a I* x+aXxi—2ax* 17.) De Fluxie van js . . m tt m—» n f nt \ tl m t 18O DeJYaxze van i/ y V Ey J is — y j m SI -■- —— » m—11 my m AANMERKING. Waarfchynlyk zal het fommige Leezers vreemd B j voor-  '%6 EERSTE BEGINSELEN der m h n m 1 voorkomen, dat y y~y zou zyn. Dcch elk, wien de natuur der Logarithmen bekend is , weet, m dat het trekken des Wortels van de — de Magt uit n y juisc het zelfde is , als of men den Logarithmus m van y door deelt. Nu is het gemak'yk te bewyzen, dat het deelen eener grootheid door — even n bet zelfde is , als of men die grootheid met —, het omgekeerde des voorigen Breuks , vermee. Log. y n rjigvuldigt: derhalven—E Log. yx —, en » * m n_ o « m dus ook V y =y . Indien dus mZZ i, en nzz 1 is, z;.l p y ~y* zyn; want de Logarithmus vany door * te deelen is klaarblyklyk het zelfde, als of men dezelve met 2 vermeenigvuldigt:. r ~t P_ l_ m q c ; lo.)De Fluxie vxa — y x +y is .... « n Zzl hzi p q . h c . — x x-\— y y Q c - , » r. p. b- r-t ~q~ ~7 J0_ y x + y ao.)  FLUXIE-REKENING. a? n m n p 20.) De Fluxie van z \/x y -{-z is .... ,% ut » x — i. >» ti n — 1. m « » i«—1 * y z z+x z y y+—y z x *+« v ft p -f-« * ö-4-B-j. - ,, ,.v. ;» « jhj.» ---zr z,alles gedeeld door ^ x ytZ +z*~ , DERDE AFDEELING. Van tweede, derde, vierde en andere Fluxiën. 32. Als eene bëweeging geduurig verfnellende óf vewaagende is , kan men haare fnelheid zelye als eene veranderlyke of vloeijende Grootheid befchouwen, en dezelve met eene Lyn verbeelden, aie geduurig aangroeit of afneemt. Wanneer eene fnelheid geduurig aangroet, zo dat dezelve in gelyke ty ',su gelyke lncre?nenten of aangroeijingen veikrygc dan wordt haare Fluxie bepaald door het Increment, dat in eenen gegeevenen tyd wordt voortgebragt. Ia dit geval wordr. de frelheid verbeeld met eene Lyn, die met qene gelykmaatige beweeging befchreeven ïs; en haare Fluxie met de ftandvastige fnelheid van hêt Punt , 't welk die Lyn befchryft, of mee de ruimte, die door dat Punt in eenen gegeevenen fyd befchreeven wordt. Wanneer eene fnelheid geenen gelykmaatigen loop houdt, maar ia gelyke tyden zodanige Increnienten verkrygt, welke geduurig aan^ groeijen of afr.eemen, dan wordt baflre"T.F/zme in elk tydlbp niet bepaald door het Jncrenient dat zy wer- ke«  *8 EERSTE BEGINSELEN der kclyk verkrygt, maar door het Increment dat zy verkreegeü zou hebben, indien haare verfnelling van dairaf, geduurende eenen gegeevenen tyd, gelykmaatig gebleeven was. En wederom, wanneer eene beweeging geduurig vertraagt.zal de hoeveelheid, welke dezelve m eenen gegeevenen tyd verminderd zou zyn, als haare vertraaging van dat tydftip af gelykmaatig gebleeven was , haare Fluxie in dat tydftip bepaalen. Dus komt deeze befchouwing der Fluxiën. van hoogere rangen in allé opzichten overeen met net geen § 3. van de Fluxiën van byzondere Grootheden gezegd is. 3?. Laat dus, by voorbeeld, de Lyn A B eene veranderlyke Grootheid verbeelden, welke door de beweeging van.het Punt B geteeld wordt, cn laat derzelvet eerfte . B Fluxie, of de ruim. 1'"" te, die metdefnel-q heid van het Punt C l ~ B, in eenen gegee- venen tyd, gelyk- -p ,JP maatïg befchreeven zou worden, fteeds ~ I-T worden uitgedrukt "' 1 1,1door den afftand des Punts D van een geFeeven of vast Punt C: indien dan de fnelheid van het Punt B niet overal de zelfde is , zo moet ook de afftand CD , welke de maat van die fnelheid uitdrukt , veranderlyk zyn , door de beweeging van het Punt D van of naar het Punt C , naar dat de fnelheid van het Punt B aangroeijende of afneemende is : en de Fluxie der aldus veranderende Lyn CD, of de ruimte EF, die met de fnelheid van het "tint D, in den voorgemelden gegeevenen tyd, gelykmaatig re^hreeveu zou worden,. is de tweede Fluxie van A B. Wederom , indien de bëweeging van  IFLUXIE-REKENING. 29 van het Punt B zodanig is, dat noch dezelve, tsöch die van het Punt D, welke daar van af hangt, gelykmaatig is, dan zal EF , welke de fnelheid van het Punt Ü uitdrukt, insgelyks haare Fluxie GH hebben; welke de derde Fluxie van AB, en de tweede Fluxie van C D is. Dus moeten de Fluxiën van alle andere rangen befchouwd worden , ah de Maaten der fnelheden, door welken haare rejpetlive vloeijende Grootheden, de Fluxiën van den voorgaanden rang, geteeld worden CS- 2.). 34. Hier uit is openbaar, dat een tweede Fluxie niets anders is dan de Maat van den aanwas, of van de vermindering der eerfte Fluxie , als mede dat derde, vierde en hoogere Fluxiën, als men liaaren rang en betekenis uitzondert, eene volftrekte overeenkomst met eerfte Fluxiën hebben , vermits dezelve tot de Grootheden, waar van zy onmiddelyk afgeleid worden, in eene gelyke betrekking ftaan. Derhalven kunnen de Fluxiën van hoogere rangen door dezelfde algemeeue Regelen, welke boven ($» 3i' 1 zyn voorgedraagen , bepaald worden. De eerfte Fluxie van x* is dus 4 x* x ( §. 24. ), Onderftellende nu x ftandvastig te zyn , dat is te zeggen , dat de Wortel x mei eene gelykmaatige fnelheid geteeld wordt, dan zal de Fluxie van 4 a3 xt of 4* x x*, door den eerften Regel (§. 31.) op nieuw genomen zynde, 4 * x 3 x* x of 12 x* x* zyn ; en dit gevondene is dan de tweede Fluxie van *+. Op  30 EERSTE BEGINSELEN der Op gelyke wyze zal men voor de Fluxie van ia*8** vinden 24*a;8, zynde de derde Fluxie van x*. Eindelyk zal men voor de Fluxie van 24 xxs, of de vierde Fluxie van x* vinden 44 x*; en verdere F/uxiën kunnen in die geval niec gevonden worden 4 vermits hier de laatfte Fluxie 24 a;4 eene ftandvascige Grootheid is. 35. Om dit op een algeméén Geval toepasfelyk te m maaken, zo laat x de voorgemelde Magt zyn , waar th — 1 . van mx x de eerfte Fluxie is (§. 24. )i Wan» neer men dan * als ftandvastig aanmerkt, zal meri 771— 1 . . 771—1 voor de Fluxie van 772* ar, of m * x 1 * hebben mxx m— 1 . * *, of m . m — 1 . f/Z-2. . m X . x* 5 zynde de tweede Fluxie van x . Op de zelfde wyze voortgaande, zal meh voor de m volgende rangen der Fluxiën van x vinden: Derde Fluxie m . m — 1 . m^—2.x ^,x3. Vierde Fluxie m.m+-i» m—a . 771-3 •* Vi*. Vyfde  FLUXIE.REKENING. 31 Vyfde Fluxie m.m— 1 .jm-2 . 7» - 3 . »j — 4.. f w-5 . Eb in 't algemeen heeft men voor'de n Fluxie van* . wj-2 fcfV. tot tb— b- i .* 36. Wanneer nu in de voorgaande algeméene uitdrukking mzzzzn is, zal dezelve Worden m . m—i. m-i &c. tot m- m-i.x° . * ofm . m-i . w - a 8V. tot 1 x * • Wnar uit bjykt , dat, wanneer « een geheel en pe/ifƒ getal is, men ten laatflen tot eene Itanrivastige Grootheid zal komen, die geen Fluxie onderhevig is; en dat van elke veranderlyke Magt zo veel rangen van Fluxiën gevonden kunnen worden, als de Exponent dier Magt aanduidt. Dat is te zeggen, m dat de Magt x , m rangen van Fluxiën heeft. 37. Tot dus verre heb ik onderfteld, dat de Wortel x met eene gelykmaatige fnelheid geteeld is 5 doch wanneer de fnelheid aangroeijende of afneemen- de is, zal ar, als derzelver Maat uitdrukkende, veranderlyk, en dus ook eene Fluxie onderhevig zyn, welke gewoonlyk aangeweezen wordt door x : op gelyke wyze wordt de Fluxie van * uitgedrukt door x die yan x door * , en zo vervolgens. 38. De  & EERSTE BEGINSELEN fiER 38. De volgende Voorbeelden # waar in de Wör» tel * ( of y) onderfteld wordt met eene veranderlyke fnelheid geteeld te zyn, kunnen tot opheldering van dit gefielde dienen. Daar de eerfte Fluxie van x+, zo als boven ( §.24.) getoond is* uitgedrukt wordt door 4*' 'x, moet thans zo wel x als x veranderlyk onderfteld worden, uit hoofde dat * als met eene veranderlyke fnelheid geteeld zynde wordt aangemerkt. Nu kan men 4 *s x als eenen Rechthoek, of als het Produel van twee veranderlyke Grootheden 4»' en» befchouwen; dan is van 4 x* de Fluxie 12 x1 'x (§.23.); en dewyl van * de Fluxie x is, zal de Fluxie des Rechthoeks 4 x* x x, of de tweede Fluxie van £*, in ge-> volge §. 18., zyn * X 12 ar* 'x -+ 4 x3 x »" 2= 12 x' at* -+ 4 x3x". 30. De derde Fluxie van x* wordt nu, met behulfj der laaefte uitdrukking, even gemaklyk gevonden* Want 12 i'i's-^ï'i' = iss'xa;1 h- 4 4* x *, en dei^me van 12 a;s r= 24 a-x, die van x' z ix %\ (§• S'O, derhalven is de Fluxie van 12 a:2 X ^xx x ar'-i-ia a-^xaiïc == 24 *» + «4>* * (&. 18.;. We-  FLUXIE-REKENIRÖ. 33 Wederom is de Fluxie van 4x3 = I2x*x ($ 31), en die van * = * ( § 37 ), derhalven is de Fluxie van 4 a;5 xx r—: i2jc'*x^+4^'x* zzzz. iïx'x x -1-4 *3 a; (§ 18). Dewyl dan de Fluxie van 12** ï' is ....... S4XX*+24»* * x «n die van 4 xs x . ZZZT". 12 xa x x + 4 x, zal de FZu*/« van 12 4 *3 x , of de derde fluxie van ar4 , zyn 24 x*3 -f- 36 x* » x -1- 4 a;3 x. Voorts worden de hoogere Fluxiën van x* op gelyke wyze uit de voorgaande afgeleid. JM-I . 40. In 't algemeen , wanneer y = mx x is, • f»—1 „ zal y (of de Fluxie van mx x x ) m-2. .. . .x x* + « x x zyn j en xa= xy zynde, zal 2 zz= + zyn * en in zo alle andere Gevallen. VIER'  34 EERSTE BEGINSELEN dbr VIERDE AFDEELING. Van de Fluxiën der Logarithmen en Exponentiaale Grootheden» "* Schoon ik reeds eenigzins breedvoerig over bet vinden der Fluxiën van vloeijende Grootheden gehandeld heb, is zulks echter op verre na niet toereikende, om in alle voorkomende Gevallen de Fluxiën te bepaalen. Ik heb in de tot hier toe verhandelde Magten van Grootheden (leeds onderfteld, dat haare Exponenten ftandvastig zyn ; doch dit is altoos het geval niet. De Exponenten kunnen even als de Wortelen vera!nderlyk zyn; en dus is het gemaklyk na te gaan, dat de Regelen, welke in het eene Geval van dienst zyn , te vergeefs op het ander toegepast zouden worden. De Hyperbolifche Logarithmen, of de zulke wier Modulus i is , zyn tot het laatfle volflrekt onontbeerlyk, waarom het noodzaakelyk is de Fluxiën van zodanige Logarithmen te kunnen vinden, en de betrekking te kennen,die tusfchen eiken Logarithmus en deszelfs abfoluut Getal plaats heeft. Hier toe zal de Oplosfing van het volgend Problema mv den weg baanen. 41. Problema. Eene Séries te vinden, welke de Hyperbolifche Logarithmus der Grootheid 1 +x uitdrukt. Laat de Log. van 1 + x 7~~z A x -h B x* +Cx* -j~Dx4+ &c. zyn. Dan is door de eigenfchap der Logarithmen Log. i + x\ ~aAK + 2BiJ + «Ci3+2Djf+ + &c. Maari-hjc| zzzzz 1+ (a*+**) : Stel  FLUXIE-REKENING. 33 t) » I •» I B ( » I » I H < I 4M$*f*l !,| . u) w PA ^ « I pj « « xxxx> JLi —z £ + 1 w o ó » 11 § ü *i ? !' !r !' I !! ? • ► 11 : : 1 i i x - * T h * * * - * *, -> M • * { * . I <3 » a » ra , 4. 4. + 2 o a o« . + J ; * 2 +d«t w ? £ + ^ o g t13 R C « & & & X 5 *jj O o P » G> * £ ? ? S P P P x S? 5 I ■ 1 * » Dien-  3ö~ EEJRSTE BEGINSELEN der Dienvolgens heeft men, door deopzichtelykeCoëfficiënten met elkander te vergelyken, 2 a ZZZZ 2 A, a B irrr A + 4 B, 2 C = 4 B -i- 8 C, 2 D S= B 4- 12C + 16 D5 a E = 6 C -!- 32 D + 32 E. enz. enz. Waar uit men afleidt A ^ fB = - 2 A 6 C = — 4 B S C = —. HH A 14 D=- B+isC|q D = • * '. * | A 30 E — — ö C 32 D I E = J L 5 enz, ifjs. e»z. ^kz. Stellende nu deeze Waarden van B, C, D, enz. in de aangenomene uitdrukking voor den Logarithmus van 1 +a*> zalmen hebben: A A A A Log. i+x-Ax xa + —*3 *4+ — xs — 2 3 * 5 &c. , eens SVriw waar in A het Modulus van den Ls.  FLUXIE.REKENING. 37 Logarithmus uitdrukt. Dewyl nu in dit Geval de Hyperbelifche Logarithmus, wiens Modulus 1 is. bedoeld wordt, zo laat A ZZ I geïlêld word?n ; dan heeft men voor den Hyperbolifchen Logarithmus van 1 -f- x x* x* x* xs 2 3 4 5 °" Dat te vinden was. é.2. Om nu de Fluxie van den Hyperbolifihen Loga. rithmut der Grootheid ar -f-1 te vinden , heeft ncn niets anders te doen, dan, volgens de gegeevene Regelen (§. 3'0> de Fluxie van de laatstgcvondcne Séries te bepaalen, en vervolgens te ODder?oeken, of de bekomene Fluxie, die klaarblyklyk eene Séries zal zyn , met in eene eindige Grootheid vuündeidkan worden. *a xs x* x« 43. Nu is van de Reeks x 1— 1 1 2 3 4 5 — &c. de Fluxie x-x x + xt.x -x*x -r x*x- &c.; ofwelïxfi-ï-l-ï'-ïS -j- ** — &cO : maar 1 + x*- &c. x ï + in; derh«hen 1 -x 1 f ; 'i* + «Sec. =r , en dus de Fluxie X -{- l . I * van Log. i-l-xzzxX —— i? . By gevolg wordt x -f 1 x+ 1 r> 3 de  S8 EERSTE BEGINSELEN der de Fluxie van eenen Hyperbolifchen Logarithmus fteeds uitgedrukt door de Fluxie van het ovexëenkomjtig getal, gedeeld door dat zelfde getal. 44. Hier door kunnen nu de Fluxiën der Logarithmen van alle foorten van Magten , als mede de Fluxiën der JVtagten van Logarithmen gemaklyk gevonden worden. Om dus de Fluxie van Log. xx + yy te vinden, zo heeft men eerfixlyk voor de Fluxie van xx+yy de uitdrukking axx + ayy (§. 31.); vervolgens voor de Fluxie van Log. xx+yy, volgens den gevopde- 2 xx -|- 2 yy een Regel (§. 43.), —— . xx + yy Op gelyke wyze is de Fluxie van Log. ax1 + x*zz 2 a xx -{- 3 x2x 2 a ar + 3 x x m—1 . — — r— ■.. - ; en zo ook a x + xi ax+x* in andere Gevallen, waartoe het niet coodig is eene meenigte Voorbeelden by te brengen. Het volgend algemeen Geval kan voor alle andere dienen. Laat begeerd worden de Fluxie van den Logarithmus der m n\P Grootheid x + y \ te vinden; dan is i°. de Fluxie m n m— 1 f n — i, van x + y == m x x+ny y (§. 24.)j m n'f r rs-l . &7, de Fluxie van * + y \ zz \ pmx x + n-i pn y  FLUXIE-REKENING. 39 m-i A m n\P~l pny yjx x +y 1 j en eindelyk de Fluxiè m nf van den Logarithmus der Grootheid x -;- y \ zz f m-\. n-ï\ m wj^""1 \pmx x-\-pny yjxx +y | ' —— (§. 43.)» m n\P x + y | 45. De Magten der Logarithmen van Grootheden n n worden aldus uitgedrukt: l x, l .a-'-x, dat is, de Logaiithmus van x , verheven tot de Magt welkers Exponent n is, eu de Logarithmus van a+x, tot de zeifde Magt verheven; en zo ook met andere. Om nu de Fluxiën der Magten van Logarithmen te vinden , heeft men niets anders te doen als den algemeenen Regel voor de Fluxiën der Magten van vloeijende Grootheden , welke hier vooren (§. 31.) gegeeven is , ffiptelyk op te volgen ; gedachtig zynde dat de gevondene Regel voor de Fluxiën van Hyperholifche Logarithmen (§• 4>) ook alleen op zodanige Grootheden toegepast kan worden. 46. Laat gefield worden , dat men de Fluxie van m l .«-r n begeert te vinden. Dewyl dan de vloeijende Grootheid, die zich hier ter befchouwingopdoet, de ïrade Magt van den Logarithmus van a + xis, zo moet men, volgens den algemeenen Regel ($.31 ),de vloeijende Grootheid tot eene Magt brengen, welkers Exponent deEenheid minder is dan de Exponent dergegevene C 4 Magt  4o EERSTE BEGINSELEN der m-1 Magt, naamelyk tot l . a + x, vervolgens deeze aldus verlaagd- Magt met den Exponent dei3 gegeevene Magt , zynde m , vermeenigvuidigen , waar m — i door men bekent ml ,a+x. De Wortel m der Magt l . a+x is eindclyk l a + x, en deszelfs x Fluxie —— (5. 43.), welke vermeenigvuldigdzyn- a + x m~ 1 d" met ml . a + x. zal men voor de Fluxie der rode Magt van den Logarithmus van a + x bekomeu «i-I x ml . a + xx . a + x m n 47» Dus zal ook de Fluxie van l . a + x\ , of de Fluxie der mde Magt van den Logarithmus der n iti — i . n Grootneid a + x\ , zyn zzzzz ml . a + xl X nx m „ . Want de vloeijende Grootheid isl . a+ri a + x T" 1 » of de mie Magt van den Logarithmus van a + x "' de> ze derhal en tut eéne tvlagi gebragt zynde, vel' ker;- Exponent .'e Eenheid min .'er is dan de Exponent der gegeevene Magt* en met de Exponent m vermee- m- 1 n mgvuUigd , zal 'er komen tv l . a+xl : maar n ee Woittl der voorgemelde Grootheid is I, a+xl , en  F L U X I E - R E K E N I N G. 41 . «- 1 . nxxa + x\ n x en deszelfs Fluxie ... .. — . n a + x a + x\ m _ » Dus is het het klaar, dat de Fluxie van l . a + xl m-i 11 11 x zal zyn ml . a + x 1 x 48. Op gelyke wyze zal de Fluxie der — «de Magt ra —m-i van den Logarithmus van a + x I zyn ~ — m l . » 72 X — m 72 x a + x 772 -r 1 » fl + x l . a+x\ m ra Indien men, in plaats der Fluxie van l . x + a \ t m n die van l . x + a hadt willen vinden, zou de uit- f?j— 1 drukking der Fluxie in dat geval zyn geweest m l n x x + a X ~; want in deeze ocderlteiling bex + a hoort de Exponent n niet tot de peheele tweeledige Grootheid a + x, maar alleenlyk tot de Grootheid a. 4Q« Te vergeefs zou ik meerder Voorbeelden te berde breng-n , om te toonen hoe men de Fluxiën van zodanige Uitdrukkingen zal vinden, waarin ue Magten van Logarithmen mer andere g nie^ne vloei, jende Grootheden vermeenigvuldigd zyn- Elk die in (laat is om uoor de pe neene Regelen (§. 31.) de Fluxiën van alle trodutlen van vloejeude Gr^omcden C j te  4» EERSTE BEGINSELEN der te vinden , en voorts grondig begreepen heeft hetgeen dus verre van de Fluxiën der Magten van Logarithmen gezegd is, is buiten twvfl'e! ook bekwaam om de Fluxiën van zodanige Produden, als boven gezegd is , te vioden. Derhalven zal ik cu nog onderzoeken , welke Gevolgen uit den Regel, §. 42. gevonden, afgeleid kunnen worden. 50. In de eerfte plaats zal, na een naauwkeurig onderzoek , blyken, dat de Fluxiën der Logarithmen van willekeurige Magten eener zelfde Grootheid tot elkander in reden zyn, als de Exponenten van die Magten, By voorbeeld: Fluxie l. 1 -rx : Fluxie l. i+x\ :: t : n. Want Fluxit l. 1 -h * ~ en Fluxie l. 1 -i- x . m-l n nxx i+x\ nx = = (§• 430- i+*TB x nx Nu is het openbaar, dat ..... ■ : —— :: 1 : », I -+- x I-\-x welke refpeclivelyk de Exponenten der Magten zyn. Dus is dan de Fiuxie van den Logarithmus des Wortels ï der Fluxie van den Logarithmus des Vierkants, | der Fluxie van den Ltgarithmus des Teerlings, en zo vervolgens. 51. Wederom is hieruit openbaar, dat de Fluxiën der Logarithmen van willekeurige Magten eener zelfde Grootheid tot elkander in reden zyn, als die Logarithmen zei ven. Want de Logarithmen der Magten zyn tot elkander in reden als haare Exponenten. Maar deeze Exponenten zyn tot elkander in reden als de Fluxiën der Magten zeiven, en dus zyn ook de Lo- ga-  FLUXIE-RE KENING. 43 gar'ühmen der Magten tot elkander in reden als hunne Fluxiën, j2- Het geen ik dus verre gezegd heb wel begreepen zynde, zal het niet zeer moeijelykzyndeFZrmeji van Exponeniiaale Grootheden ,naamlyk van dezulken wier Exponenten onbepaald of vloeijende zyn , te vinden. Deeze foorten van Grootheden zyn van verfch'ide Raugen of Trappen ; want wanneer de Exponent eene enkele onbepaalde Grootheid is, noemt men dezelve eene Exponentiaale Grootheid van den eerften of laagften Rang ; wanneer de Exponent zelve eene Exponentiaale Grootheid van den eerften Rang js, noemt men de Grootheid, welke dien Exponentls toegedaan , eene Exponentiaale Grootheid van den tweeden Rang ; en zo de Exponent eene Exponentiaale Grootheid van den tweeden Rang was, zou de Grootheid , verhieven tot eene Magt, door dien Exponent uitgedrukt wordende , eene Exponentiaale Grootheid van den derden Rang zyn ; en zo vervolgens. Dus y is, by voorbeeld, de Uitdrukking z eene Exponentiaale Grootheid van den eerften Rang , vermits de Exponent eene enkelde vloeijende grootheid is; ook X y is z eene Exponentiaale Grootheid van den tweeden x Rang , om dat de Exponene y eene Exponentiaale Grootheid van den eerlten Rang is; voorts is op ge- xx lyke wyze de Exponentiaale Grootheid 2^ van den x derden Rang, uit hoofde dat de Exponent yx van den tweeden R*ng is. De volgende drie Voorbeelden zullen genoegzaam zyn, om deeze foort van Eluxien te verklaaren. 53.  44 EERSTE BEGINSELEN der 53^ Laat begeerd worden de Fluxie der Uitdrükkin- ge a , waar in a eene ftandvastige Grootheid is, x te vim'en. Stei a zzy, dan zal y gelyk aan de Fluxie & x van a zyn. Vermits nu a =j is, zo is door de ei- gerfch p der Logarithmen l. a ZZ l. y, of x l a — l y bier van de FtuMXn neeinende, is de Fluxie van~ la ZZxl.a+xx Fluxie La(§. i8.), en dievanZ.y- D' *" (§-43-)• Maar a eene ftandvastige Grootheid zynde, is Fluxie l.a zz o ( §. 16.), en derhalven 11, a y zz — , of 31 x x y l. a. Stellende nu voor y haare y x • . x Waa-de a , zal men hebben yzz xx a l.a voor de x Fhixie van a . 54. Om de Fluxie der Uitóukkingc x te vinden y y ' zo ftel x = %; dan is wederom l. x zz l. z : hier van de Fluxiën reemeode, is de Fluxie van l. / , 0f de Fluxie van y l. x, zz y L x + (§. jg.^ en die van l. z = - (§. 43.). Derhalven - zz vl.x z z J  FLUXIE-REKENING. 45 yx . - yzx -1 , of z ZZ y x z l. x -i Stellende X X y nu voor z haare Waarde x , zal men hebben z = y y y x^ x y y — I. xx L x + —— zzyxxl. x + yx x x y voor de Fluxie van x . x°y 55. Om de Fluxie van u te vinden , fielt men x$ y u zz z, waar door men heeft x l. u zz Uz. Hier y van de Fluxiën noemende , is de Fluxie van x ZZ y • y-i 1 I. ï X J + * ? X * cs- 540 » die van u z L u zz —, en die van Z. z r: —; dus zal de FZ«xz'« u z y y . y-i van * l. u zzl. z zyn * Z. * Z. aj + 1 9 . y u z . 1.kï + ï x — — — • Derhalven z zz z X u z C y, • y-1 , • y «n \x Z. a Z. u ? + x y Z. m x + x x — ), of, ftellende voor z haare Waarde u , zal men hebben x^ y . x^ y-1 . x' z — u x Z. x /. » y -h a x [- de Flu-  FLUXIE.REKENING; 47 Fluent van 313c is onbekend, alzo 'er nog geene Uitdrukking ontdekt is, welke yx voor derzei ver Fluxie voortbrengt. 57. In 't algemeen is het zeker, dat men, om de vloeijende Grootheid van eene Fluxionaa/e Uitdrukking te vinden , het tegendeel van die bewerking moec doen, welke men gevolgd heeft om de Fluxie zelve te vinden. Zo dat de vermenigvuldiging, het verlangen der Magten van vloeijende Grootheden, en het plaatJen van Fluxionaale Letteren m de direSle Leerwyze, in dit geval eene tegengeltelde bewerking verëirchen; dat is te zeggen, dat men voor ieder byzonder geval , in de directe Leerwyze voorkomende , in plaats van te vermeenigvuldigen moet deelen , in plaats van de Magten te verlaagen tot zodanige Magten moet verheffen, en in plaats van Fluxionaale Letteren in te voeren , dezelve moet verwerpen : wel verftaande , dat in zo verre de vermeenigvuldiging en het verlaagen van Magten in het eene geval plaats hebben, oolc even zo, en niet verder , de Deeling en het verhoogen der Magten in het tegengeltelde geval plaats moeten hebben, 58. Doch wel verre van dat deeze Regel algemeen zou doorgaan, doet zich aanftonds in veele gevallen eene zwaarigheid op, die in 't eerst onöverkomelyk fchynt te zyo, en niet als mee een grondig doorzicht overwonnen kan worden. Men heeft in het vooiverhandelde kunnen zien, dat de vloeijende Grootheid eener voorgemelde Fluxie niet alcoos eene uitdrukking is, die enkel in vloeijende Grootheden bertaat; maar dat dezelve ook dikwyls faamengefteld is uit v!oeijen> de Grootheden, welke door de Tekens -f- of — mee andere ftandvastige Grootheden verbonden zyn; en men heeft tevens kunnen opmerken, dat in beide' gevallen, hoe mecnigvuldig of hoe onderfcheiden de ftand V3S'  48 EERSTE BEGINSELEN der Vastige Grootheden ook zyn , de zelfde Fluxie voortkomt. Nu weet men , dat in de voortbrenging eener Fluxie alle zuiver ftandvastige Grootheden verdwyren, en als niets gerekend werden, vermits haare Fluxten gelyk aan nul zyn (§. 16), Dewyl zy derhalven aldus verdwyneo, zonder e< nig teken of voetnoot achter zich d de Fluxie na te laaten, waar door het mogelyk is te weeten,dat zv wee/enlyk inde uitdruk&iog van de Fluent waren , zo moet tot herftelling van dat verlies, dat ten minden mogelyk is, in de uitdrukking d-r Fluent eenige voorziening gedaan worden. Want fcheon men in byzondere gevallen, fomtyds door zekere gedaane on'derdellingen, ten fterkIten overreed kan zyn , dat 'er in zodanig geval geen enveranderlyke cf ftandvastige grootheden by hetveranderlyk deel der Fluent b-hoeven gevoegd te worden , is het echter , als mea z'-danig geval in 't algemeen en op zich zelf befchouwt, "zonder oo centge onderftellingen te letten, ten hoogden noodzaake5yk eenige voorziening te doen in het geen zelfs mogelyk kan zyn, ten einde de uitdrukkingen , die men gebruikt, zodanig in te richten, dat ze voor alle gevallen gefchikt bevonden worden. Nu is het zeker, dat dn uitdrukkingen niet algemeen , noch aan eene zodanige fchikking onderhevig zouden zyn , zo 'cr niet eenige onveranderlyke Grootheden met dezelve verbonden waren: want in dat geval zouden zy flegts vloeijende Grootheden kunnen verbeelden, die enkel en alleen zodanig waren; cn geenszins zulke, welke door de Tekens --!-- en —, met ftandvastige Grootheden verbonden zyn. Daar nu eene voorgeftelde Fluxie zo wel uit de eene als uit de andere van deeze twee foorten van Uitdrukkingen kan voortgebragt worden, moet ook in de Uitdrukking der Fluent daar op behoorlyk acht geflagen worden. 59. Om dit nader optehelderen, zo onderftelle men de Fluxionaale Uitdrukking a s-j dan zegt men , dat de  L U X I E - R E K E N 1 N G. 4$ de Fluent van deeze Uitdrukking ax is , en het is ook eene onbetwistbare waarheid dat zy het is j, of ten minf.ten kan zyn ; doch dan is hst ook ten Uiterften zeker, dat 'er daar benevens nog een oneindig getal uitdrukkingen gevonden worden , van welken iedere uitdrukking de Fluent van de zeilde Fluxie kan zyn. De Grootheid ax kan onmogdyk iets anders voor haare Fluxie hebben, dan de Uitdrukking ax; doch de Uitdrukking ax kan, behalven ax, nog eene andere Grootheid toe Fluent hebben : want als meu b, c, d, e, f, enz, als ftandvastige Grootheden befchouwt, zal de Fluent van de Uitdrukkinga'x een der volgende üitdrukkin ;en kunnen zyn, nadrnelvk: ax~ÏLbt ax^lc, ax'Sd. axltb'tc^d, enz., of met één woord ax^L eene onëindige verfcheidenheid van andere Itandvastige Grootheden. Ditnuzozyrde, ishetnoodzaaklyk,dat deF/wenïopzulkeene aigemeene wyze uitgedrukt worde, dat dezeive zonder onderfcheid kan verbeelden eene van aile deeze oneerfcheidene vloeijende Grootheden, waaruit dezelfde Fluxie ax weder voortgebragt kan worden 5en welke of grooter of kleiner dan de Grootheid ax kan zyn. Om deeze redtn wordt de Fluent van ax niet uitgedrukt door ax, maar door ax — q; waar in qbeukent eene ftandvastige Grootheid, van geen bepaalde waarde, doch naar welgevallen genomen, en idy k:n zyn aan eenige 0 De JPVaenï van — 7 -v is y . ra 10O De Fluent van — «3/ £ is y ". t • 1 — ra n.) De Fta» van , ofa*"*;, is-Ü xn i-n a+*2Tm +1 iqO De i^/a«»ï van a+z^xz is —— m + l j-n x i3JDeFluentvanx n «'is ra*1", 140  FLUXIE-RE KENING. 53 l-n 1 14O De Ftutnt van — x x is x . n m>i — i n • x x 1 m 15.O De F/»w van 0f — x * i, p m»-!-r» — 1 \ m 4 mx 1 is . mnp -\rmp —p irj.) De Fluent van xn]/pxx'x,ofp»x*flx*»xx, f 2«-f- I 1 C I • . P x» Jof/3xx a xï, is —„. 2 n-j- 3 Ik zoude meer zodanige Voorbeelden hebben kun» neo byorengen; doch deeze wel begreepen zvnde, zyn alle andere, hoe ingewikkeld ook , als zV fiegts tot deeze ftort behooren, gemaklyk op te los'fen. 62. Door dea zelfden Regel worden ook de Fluenten van ïaamerigeftelde Uitdrukkingen gevonden, wier Termen beftaan in Magten van vloeijende Grootheden, vermeemgvuldigd met haare refpeftive Fluxiën. De Fluent derUkdrukkinge$*xx* y >y~tcz*zzal derhalven zyn ia* x*±\by*±*czs, en zo ook van andere foortgelyke Uitdrukkingen. Want men heeft in d t geval niets meer te doen, dan de Fluenten der ver/chetdene Termen met haare eigene Tekenen te vertinden, ° D 3 63.  51 EERSTE BEGINSELEN des ^3. Wanneer Fluxionaale Uitdrukkingen voorgefteld, worden, welke een Koppelteken zyn toegedaan, dac is te zeggen, dat eene famengeflelde/«r^/c/jeGrootheid of Magt met eene Fiuxie vermeenigvuldigd is, mnpf men in overweeging neèoienj of de Fluxh, t a1door % deelerde , zal het Quotiënt de bovengen o..e uitdrukking zyn. 64. Andere foortgclyke Voorbeelden zyn de vol« gende: 1.) De Fluent van xx-hax dat is van x \/x--a, cfvanx + a! xx, is ?a-i-x\*~ , a x x -1- | a x -f- s a a 5 2.)  FLUXIE.REKENING. 55 « m+n — 711 2. ) De Fluent van a-rx\mxx is Xa+x\ " . 3. ) De Fluent van zxxtf xx-\- aa3datis vaaxx + aa]*- ,3 2xx-{-aaa Xi«, is |xx + aal'ZZ »—— \/x% + aat 3 4. ) Dc Fluent mn px *x^Jr«^ is ; X -7— '|n+i n + i +■ o11 . En zo ook met andere Voorbeelden, waar in de Fluxionaale Uitdrukkingen van zodanige natuur zyn, dat zy onder 't bereik van deezen Kegel vallen. 65. Om du nog duidelyker te toonen, hoe a'Ie foortgelyke Voorbeelden ooor den algemeenen Regel voor Magten (§. öo ) opgelost kunnen worden, heeft men llegts de furdifcha Uitdrukkingen , door eene eenvoudige en gemaklyke fubftirutie, rationaal te maaken , en vervolgens van de aldus rationaal gemaakte Fluxie de Fluent te zoeken ; welke dan door eene nieuwe fubfHtutie de gezochte Fluent vaaxtbrengt. Laat, by voorbeeld, de Uitdrukking axx\/ xx + aa gegeeven zyn. Stel dan tf xx+aq ~ z, dan is xx-Vaa = z1, en ix.x = 222 ( §- 31 )• Derhalven is door fubllitutie ixx i/xx + aa ("222x2) "— 2 z2 2, waar van de Fluent is _| z1 CS- <5o): maar z ZZZZ V x x -\- aa zzzzz x x -haal'; dienvolgens zl zzzzz xx+aa\-% en f z3 zzzz § xx + aal* ZZT* D 4 2  56 EERSTE BEGINSELEN DEa 2xx + 2aa ~—~—'— 1/xx + aa, zo als in het voorgaande der» de Voorbeeld gevonden is. <5ö Om dit door een algemeen Voorbeeld te too- p — i 1« nen, zo laat de Uitdrukking px xxxV + aa\ gegeeven zyn. Stel xp + «?| ZZZZ z; dan is r i — n t , Q 72 P~l ■ I . ^ + ^ = 2S enpx xzzzz-z " z(§3i}. n p— l ' Ij} Derhalven is door fubllitutie px ix/+ a?| (I-B . 1 ~n~- ^ 1 K = - z z x zy = - %nz , waar van de n n »-rr I 1 « |?2 Jtet js z (5- 6o) : maar xp + a^l I = z, en = zw zynde, zal ookxP+fl?|B i X *U C = xP+a*\n + I ) = z x z" (n -I- i \ n +1 r=z 'rt ./ zyn; dienvolgens —— z n ~ ——. n -h i B+I 67. Wanneer de Fluxionaale Uitdrukking buiten het Koppelteken riet de Fiuxie is der Grootheid onder het Koppelteken vervat, doch in eene gegeevene Re-  FLUXIE. REKENING. 57 Reden {Ratio') tot dez. K-eis,kan desnietfegendaande de l/itd uuing der Fluent in bepaalde Termen gevonden worden. Indien dus d^ Uitdrukking xx i/xx-ï-aa gegce- ven was, waar van xx, de Fluxi* buiten het Koppelteken , ftaat tot de Fluxie der Grootheid onder hetzelve vervat (naamlyk 2.xx), als 1 tot 2, del dan, alsvooren, \/xx-\-,aa = z; dan is arra — z», en axx = . 2 4 Deeze zelfde Fluent kan nog op eene andere wyze gevonden worden , zonder dat zy eenige de micfte verbetering noodig heeft. Want als meu, in de gegeevene Vergelykinge y=a + x\3xx\ a+*daadelyk tot de derde Magt verheft, zal dezelve veranderen in yza'x + sa^xx+^ax^'x + x'x, waar van de FJumt is yzza* x H + xx'x zyn; dan vinden wy eerltelyk, volgens de handelwyze in §. 65 voorgedra' a'-x'\* gen, y — — —; wanneer nu 3» = o is, zal ■ 3 '— worden — j derhalven 3 3 3 zal, volgens den Regel §. 69, de verbeterde F/wnt 3 3  <5i EERSTE BEGINSELEN der & A N M E R. K I N O. Daar het fommige Leezers vreemd mogt fchyneos a3 dat de gevondene verbetering in de verbeterde 3 Fluent pofitif wordt, niettegenftaande de eerstgevonden Fluent negatif blyft, z;l het niet ondienftig zyn deeze zich opdoende zwaarheid door eene korte opheldering, welke geen twyffel meer overlaat, uit den weg te ruimen. Laat tot dat einde de verbetering, die by de eerstgevondene Fluent gevoegd moet worden, V zyn, dan heeft men ~ö*~—~#7[\ 3 Wanneer nu y verdwynt, of m: o wordt, verflwynt ook te gelyk x3 en dan zal de voorgaande Vergelykinge worden «3 o = + V. 3 a3 By gevolg V zz —, eene fejitive Grootheid , dat 3 getoond moest worden. ~ \n W - T . IV. Laat y ZZ a -r x I x x x ?yn; dan Vinden wy, op voorgaande wyze, eerUelyk M h fi. y  ;FLUXIE-RE KENING. 63 a -f- x | y ZZ —. mx n+ 1 Stellende nu^ro, dan is ook , en derhalven ~la+i mn-Vm a I >? de verbetering 1: ——«— — Dethal* mx«+i «ixn+i ven zal de behoorlyk verbeterde Fluent zyn ~m~7~m~\n + l mn + m a +x I — a y zz ~—« . V. Laat eindelyk y zz a -;- b xm + c xn\P x nï-1 . « — I. m&s x-!-rjfx * zyn; dan heeft men. op voorgaande wyze, in de eerile plaats a t * x 4. c x y zz — ! i m P-hl Stellende nu 31 zz 0, dan is ook x zz o, en dienvolp + i gfns de verbetering zz . p + i Derhalven zal, volgens den Regel^. 69, de verbeterde hlueni zyn  €4 EERSTE BEGINSELEN df.& m rP + ' P+l ■ a + b x -f- cx " i —a y - . . p-r l. 7ï. In alle deeze Voorbeelden heeft men onderfleld, dat de veranderlyke Grootheden , door x en y ui gecrukt, te gelyk haaren oorfpro g neemen, en dus gelykcydig zyn; zo dat de eere verdwynende, of gelyk rul wurdenJe, ook de andere in deo ?elfden tyd zal verdwynen, of gelyk nui wcr.en: coch dit is altoos het geval niet; de natuur van een Voordel Kan hier in eene merkelyke verandering te weeg brengen, By voorbeeld : alhoewel de Sinus en Tangens eens Boogs beide verdwynen, of gelyk oul worden,wanneer de Boog zelf verdvty-t, of >lyk nul wordt, zal evenwel de Secans niet verdwynen, maar opdei draal {Radius) vallen, en dus gelyk aan den ftra I zyn. indien cerbalven bekendis, dat, de geheele Fluent onderdeid zypde geiyk nu! te zyn , oe veranderlyke Leaer, caar iu voorkomende, voï-zens denaruurvan het \ oorftel eere zekere waarde zal hebben, zal echter de verbetering op de zelfde wyze gevonden worden. Dl-s zal in de Flux maak Uitdrukking a 4- y\4 x 'y a + y\s (§ fi) de te-stgevonden Fluent zyn ■ . Laat nugtfteld worde:., dat v,arceer de geheeleFluentge- Jyk ul is, yZZu zal zy'rj; dan is de gezoch- 5 te verbe" rirg en i< r'.al ven zal de verbeterde Fluent a-ry\$ — a-t- b s S ra»  FLUXIE.REKENING. 65 " 72. Dewvl du dit laatffe geval (§. 71.) in het gebruik der Fluxiën van zeer veel belang is, zal her. niet ordienltig zyn hetzelve door de oplosfingen van eenige Voorbeelden, (waar in y — o zynde, dc waar. de van x üeeds sza zal zyn,) nader te verklaaren. I. Laat y r= *' x zyn ; dan heeft men voor dea x* eerstgevonden Fluent y = — ; wanneer nu y=o is, 3 X* g3 zal —, volgens de Onderftelling, =r — zva. Der» 3 3 *3 -a* halven is de verbeterde Fluent y — ——, 3 fi + i • . x ii. Laat 9= -ï*j zyn; dan is 31 = — ■ 72 + 1 n+i n+I x . a Stellende nu y =so, zal — — worden — —; « + i 7»+i n+ 1 72 4-1 derhalven is de verbeterde Fluent yzz-> . »■+ 1 HL Laat eindelyk 'yZ2c* +bx*\'Jxxx zyn; dan jc* + **» I* is eerftelyk 3- ; en wanneer y—0, en 3 i E «  66 EERSTE BEGINSELEN der c3 -r bx21s cs -!- £aa | * ar ra is, zal worden .. Der- 3 * 36 nalven is de verbeterde i^/z/ent d gevonden wordt , en welkers Fluenten ui £ omgekeerde van den eerften -kemeenen Regel ( afgeleid kunnen word.n ; doch K halven deèzé/Vn er nog andere foorcen van F/zmes, welke geen Mae» welke ui °Prde Groothed^ ™* Produtlenzyt welke uit de vermeenigvuldiging van vloeiende Grootheden met F/a*«»ontIraa£, luiks dat de&S van 'elke vloeijende Grootheid, en geene andere ir! de Uitdrukking gevonden wordt. V,.n deeze laa'tife foorc v«n huxien worden de Fluenten met behmp van h t omgekeerde des tweeden en derden algen eeneh Regels ( 3i.) gemaklyk gevonden- g Dus wordt de Fluent van uirgedrukt door xy (§• 18.); die vau yz'x + xz y + xy z door xyz (§. 20. ); die van wyz'x + Wxzj+ wxyz+xyzw door wxyz ($. 2i.); die van ■ ~ * ?. door - 7* y (§. ai.) ; die van ax -(- xy + y'x door flJB +,j (§. i8.); cn die van nxyn~* y+yn'x^ na xn~~l 'x  F L Ü X I E-RE K E N I N G. 67 p +m P n ral 771 T n\ m mX-y x-a* \ X y ax I door ——: want, p + m deelende , in het laatfte Geval, de gegeevene Uit. n h drukkinge door de Fluxie van den Wortel y x—ax B-I. (§. 61,), welke ( volgens §. 31.) is ra «31 y + P ra. ra—ï. y x-nax x, zal h et Quotiënt zyn ji72^-ax"| 81; indien nu by den Exponent van deeze aldus gevondene uitdrukkinge de Eenheid wordt opgeteld, heeft ~ + 1 men y"* — axn\ m ; en deelende deeze laatfte 1 / grootheid door den aldus vergrootten Exponent — + 1, m _ l + r ra ral m y x—ax 1 aal men eindelyk bekomen . p -77-; P X *ZZZZj x r. •: . >%4f> 1 . »» P + ™ ral ?/j f» xynx — ax | ■ ——— j voor de waare Fluxie der ƒ> +wi voorgeitelde Grootheid. Doch daar het zelden gebeurt, dat deeze föort van Fluxiën, welke twee of meer verfchillende verE 2 aa-  68 .EERSTE BEGINSELEN der anderlyke Grootheden in eenen Term bevatten, ea nogthans voikornenc Fluenten roelaaten, indedaadelyke oefFening voorkoncn, zal ik my daarover niet verder uitbreiden ; als zynde myn voornaam doelwit alleen zo.ianige Voorbeelden by te brengen , welke tot myn onderwerp volflrekt noodzaakelyk, om niet te zeggen onöntbecrlyk , zyn. Om deeze reden zal ik nu vervo'gens my flegts tot zodanige Fluxiën bepaalen , waar in niet meer dan eene verani'-rlyke Grootheid gevonden wordt; zoals dezelve, bv de oplosfing van Voorftellen, zich doorgaans opjoen, en van wtlke Fluxiën , na eene be> hoorlyke vevfchikking , in gevallen daar het noodig is, de Fluenten door mynen reeds gegeeven Regel ( §. 61.) kunten gevonden worden. - 74. Laat gegeeven zyn de Fluxionaale Uitdrukking ~ n\m n-i. a + bx I x c x x, waarvan de Exponent (n-1) der veranderlyke Grootheid < x ) buiten het Koppelteken de eenheid minder is dan de Exponent (n) der zelfde Grootheid onder het Koppelteken , dan kan ook de Fluent derzelve door den meergemelden Regel (§. 61.) gevonden worden. n Want, Iaat a+bx , de Grootheid onder het Kopn-1. . pelteken, = z zyn j danisookwia; a:~z(^.a4.), j tn 72 — 1, /" m en by gevolg a + bxn' Xcx x \ » x c z\ cz z c z — J -ZZZ «——•, waar van de Fluent is ■ nl' nb . —— nbxm + i -m+i cxa + bxn\ n (§.61.)=: — als men a + bx nbxm + l in de plaats van % fielt. 75..  FLUXIE-REKENING. 69 ' 75. Wanneer de Exponent der veranderlyke Grootheid buiten bet Koppelteken, meer de eenheid gelyk is aan cenig veelvouwd ( Multiplex ) van den Exponent onder "het Koppelteken , dan wordt ook c e Fluent als boven gevonden. ra! m Om dus van de Fluxionaale Uitdrukking a-f- bx i in— 1. n Xcx x den Fluent te vinden, zo laat a-'rbx , de Grootheid onder het Koppelteken, :m z zyn , ra z-a ra-i. z dan is x 5= , en nx x zz — (5. 24-)- 6 b b-i . z Derhalven nx x zzzzz — ü n z—a * b —. verm. 2b—1. zz — az Komt nx x zzzzz —■ b- n ■ 111 ara-1. zz — az ■ c m— 1 . c ~ T Dus cx x =r x Z2-oz nb* : m m Maar a + bxn\ zzzz z als boven, e 3 %  70 EERSTE BEGINSELEN der ~rm in-1. c By gevolg a-:-Z>*| xcx x B±3 —- x 72 &2 w + I . i» . f z z-üz z, waar van de Fluent ia —— x Bi* zm + 2 "V477 — (§, 6i,)i welke Uitdrukking, 72 door a-hbx weder in plaats van z te ftellen, zal worden c fa-'rbxn\ axa-rbxn\ \ »6* \ IB-r 2 772-1- I / (Xa+ Z>a- i / a-'rbx a \ X ( = .. :l«-'ri » fXo-r-iac I / a \ 72 >7/l + 2 i "T / ■ 7/2+2 x m+i waare -fYuewt van a+fc*wl xcx Sr, 76. Op gelyke wyze wordt ook de Fluent der ~n\m 3»*I. Fluxionaale Uitdrukking« + t)s I xcx * ge. B vonden. Want , laat wederom a-Vbx , de Groot, heid onder het Koppelteken, = z zjd; dan is, als voeren v§. 750» tt*  FLÜXIE-REKEN tNG. 71 n- 1 . z nx x zZZZZ —, b - i n z-a ^ an z-a'l* .... _ ^ b, - z'-2az-f-a* 3«—I . . z^z-sazz+a* z nlH 3 ra -1. c —: : r ex * = tt x z'z-j/in + a'z; m 1(9 3 » 'n\m 3«-i. a-r-fc* = z; dienvolgens a + &* | X" as c m + 2. *» 4- 3. «« . — — xz z - 2 a z z -!- a 2 z z, waar w2>' m-r-3 «4- 2 c xz 2az van de Fluent is —— X I ~—. -—• —■— nbs \ ffi-1-3 «z + 2 m + i aa z \ + . ■ I (§.6i.); welke Uitdrukking»door m +1 ' a4.1xnwederom in plaats van z te [tellen,zal worden (" ' . m -i- 3 " ' m 4- 2 a + ia; I 2* ü> a; \ ———— 4- — 1, zynde de Fluent der «4-3Xw4"2 J opgegeevene Uitdrukking. Tt*  FLUXIE-REKEN1NG. 73 77. Wanneer de Fluxie buiten het Koppelteken niet de Fluxie is der Grootheid , onder hetzelve vervat, noch eenige gegeeven Reden (Ratio ) tot dezelve heeft, kan men evenwel in veelerlei foorten van Uitdrukkingen , volgens zekers gemaakte onderftellingen, de Fluenten in eindige Termen vinden. Laat gegeeven zyn de Fluxionaale Uitdrukking.... 1 ' j~ m. m, . m a+x xxx, waarin x : 1 , en gevolglyk niet in eene gegeevene Reden, is. Indien de Exponent m een geheel getal is, 't welk in byzondere Gevallen als gegeeven wordt aangemerkt!, dan kan de Fluent der Uitdrukkinge in eindige Termen gavonden worden ; doch dezelve zal in een grooter of kleiner getal Termen beftaan , naar dat m grooter of kleiner is. Stel a-t-x = z; danisx^=z, xzzz—a, I 1 m \m ~ x =2 —al , en a + ï' ZZ z • Derhalven 1 1 1- hz. rj |hz. a-'rx'"xx x = z xz-a' z. Nu is door het Theorema van den Ridder Isaac Newton, te vinden ia myne Inleiding tot de Mathematifche Weeten- ,wz m fchappen, II. Deel, pag. 95, z - al zz z —..... jjl— I 771.771-1 171-2 hz.771— I.h1 — 3 in z a-\ z a1 .... 1.2 1.2.3 Hl —3 % a3 + &c., welke Séries eindigen zal met even zo veel Termen op den eerften te lasten volgen, als door een Getal gelyk aan m wordt uitgedrukt. «17Z+1 n 771 . ~ . Dus is dan z xz — a\ z~z z —— E 5 ma  74 EERSTE BEGINSELEN oer Bira-B + i ra«.a»+i ra . m1-?» n tnz az-\ z a*z — &c., a waar van de Fluent door den algemeenen Regel m n + n 4-1 , 7. n n tnn (§. 6t.)is z - mn + n+i mn-hi mn-\-jL mn — n+i n »!*« —win n z a-j z aJ — <5cc.; 2 Hl B — 2b + 2 welke Uitdrukking , door a + jc wederom in plaa s van z te (tellen, zal worden mn+n+1 mn+\ re » mn ; n • — a+x\ — a-r-xl HlK-f-B-f-I HlB-i-I fHB-W-r-I m'n — mn n fl-f —— a-fxi a* - &c. 2H2B- sre+a 78. Om te toonen, dat van deeze foort van/'"Ïbavonaale Uitdrukkingen de Fluenten in eindige Termen gevonden kunnen worden, wanneer de Exponent m der Grootheid buiten het Koppelteken een geheel getal is, zo laat hi = 3 en 71 = 2 zyn; dan is de gegeevene Fluxionaale Uirdrukking fl+ïl'xx'*, waar van Hellende a-'r xzzzzzz; dan is wederom — ^ xZZz—*, *sr:z'-3azJ-r-3a22-^3Jena4>x\*zz l  FLUXIE-REKENING. 75 1 x . 1 z\ Derhalven a + x Ia x x* x = z* x z1 - 3 a ~h 30*3"^ a3x z = z* 2— 3«z*z + 3a2z5z — a» 25z, waar van de F'uent, door den Regel (§. OI0 bevon- 2 i 6 ï 6 i; » den wordt te zyn — z az -\— a%z —- ~~ 9 7 5 3 a* z ; en Hellende in deeze Uitdrukking a + x in 2 1 6 plaats van z , zal men hebben — a + x\ - a 9 1 Xa + x\ + ~a X a + Jtf-2 fl!x a-rTf , 5 3 'twelk insgelyks gevonden wordt, als men in de bekomene algemeene Uitdrukking (§. 77.) 3 voor tb; en 2 voor n in plaats itelt ,- terwyl alle de overige Termen dier algemeene Uitdrukking, hoe ver men de Séries ook moge vervolgen, door die Subfiilutk nul zullen worden. 79. Alles als voor en (§. 77.) geftcld zynde , behalven dat het vtrandcrlyk deel der Grootheid onder het Koppelteken tot eenige maet verheven zy; dan kan ook in veele gevallen de Uitdrukking van den Fluent in eindige Termen gevonden worden. Laat, by voorbeeld , de Fluxknaalè Uitdrukking 1 1 "n m' zyn a+x-> x * x, waar in het veranderlik deel der Grootheid onder het Koppelteken eene magt is, naamlyk Stel a + x* ZZ z; dan is 2xxZZz (§, 24.), aca zz z — 0, en by gevolg xZt z-al* ; der«  76 EERSTE BEGINSELEN der m ii m 2 n n derhalven* ;—; n\ , en a + jc» | mz . i . z z n Dus is ook x ZZ ZH ——, en a-S- x*\ X 2* .* 2xz-al1 i m tb . b 2 z x i ~ z X z r— öl x -— .,.,. ax z-al* I w — — I t7z-I ~znxz—>a\ 2z i b "üT . 1 " —• '■ zz - z x z —ai z. Indien m- i nu de Exponent —— een geheel getal is, het geen 2 plaats heeft, wanneer tb een oneven getal is, dan tb — I zal, de Grootheid z-a tot de magt ——— verheven 2 zynde , het komende in een eindig getal Termen beftaan, en dus de Uitdrukking van den Fluent mede in ^eindige Termen gevonden worden. Maar indien de m-l Exponent —-— een Breuk, of, dat op het zelfde 2 uitkomt, tb een even getal is, kan de Fluent niet anders ais door eene onëindige Reeks uitgedrukt worden , hetgeen derhalven het laatfte hulpmiddel is, tet hetwelk wy onzen toevlugt kunnen neemen. ,8o.  FLUXIE. RE KENING. 77 80. Indien het veranderlyk deel der Grootheid onder het Koppelteken tot eenige raagt verheven is, en de Fluxionaale Uitdrukking buiten het Koppelteken geen magt van de vloeiende Grootheid in zich bevat, maar eeniglyk de Fluxie van den Wortel is,zal altoos de Uitdrukking van den Fluent eene oneindige Reeks zyn. Laat, by voorbseld, gegeeven zyn de Fluxionaale Uitdrukking aa-'r xx\ xx, waar van het veranderlyk of vloeijend deel onder het Koppelteken eene magt van x , e»t de Fluxie buiten het Koppelteken flegts de Fluxie des Wortels van die magt is. Stel dan aa + xxzzzt dan is zxxzzz cs-24-),xxzzz-aa, ï z z en x=z — aa\ ; by gevolg x~ — , 2 x * 2X2-aalr 1 I n n z en derhalven aa + xx{ X.x-*z x •zz»*' 1 n . »■-—■ , of, dat het zelf Je is, ~ 2 x z— a al1 _ 1 1 2 n . ax 2-aa' x % z. Om nu van deeze Uitdruk, king den Fluent te vinden , kan in dit geval niets anders gedaan worden, dan de Grootheid z — aa tot de  78 EERSTE BEGINSELEN der t de magt, welkers Exponent is, te verheffen , £ 't welk eene onëindige Reeks zal zyn, vervolgens el« i ken Term van die Reeks met izn z te vermeenigvuldigen, en eindeiyk door den meergemelden algemeenen Regel (§. 61. ) den Fluent van elk dier Termen te bepaalen ; dan zal de lom van alle die Fluenten de Uitdrukking van den gezochteu Fluent voortbrengen: doch deeze gezochte Fluent zal altoos meer of min gebreklyk zyn , naar dat men min of meer Termen van de onëindige Reeks genomen beeft. In 't vervolg van dit Werk zal ik ornftandiger over dit onderwerp handelen ; doch alvoorens de Fluxionaale Uitdrukkingen, in §§. 74, 75, 76, voorgedragen, in den algemeenlten zin befchouwen. 81. Laat gegeeven zyn de Fluxionaale Uitdruk- king a+bx \ x cx x. waar van de Fluent gevonden moet worden. » n n z-a Stel a + bx zzz; dan is bx ~z —a, x zz —a b { 1 ~ n 7 ri en *=« 5 by gevolg — — x = ..... I x bn  FLUXIE-REKENING. 75 w—I z — a | n n— 1 n 0 n Van de Uitdrukking a + bx zzzzz z de Fluxie ge» « ï . nomen, krygt men «i* irrs ( §. 31.), ea » —1 (lellende voor x de Waarde hier boven gevon- n — i 2 — a| den , zal 'er komen » 6 x ——n a; = z; «— i b * n — ï 71 — 1 * . ™ ., derhalven n b x » —a| # = & z, en x = 72 — 1 b z 71— 1 , : » atxz - «1 n 82. Boven (§. 81.) is gevonden bx = z <— 01 deeze vergefyking tot de magt r verheven zynde, be-  So EjERSTE BEGINSELEN der' . , r rn r rn bekomt men b x = z - al , waar door x zz z —> a\ ——■ zal zyn; indien men derhalven deeze Iaatbr i " « z — a\ Re vergelyking door xzz (§. 81.) deelt, i zal 'er komen' rn m i rn-i z - al 71 * — , dit met e vermeenig- rn-i vuldigd, heeftimen r«-i rn-i z-a| n xt r «• i I «" n "—'—\m' Dewyl nu^a+bx zzzgefield is,zo is a-hbxn\ ' m ZZZZ z ; waar door nu alle de faamenflellende deelen der gegeevene Fluxionaale Uitdrukking in Termen van z gevonden zyn: derhalven blyft er mets anders overig , dan alle die faamenflellende deelen in Termm van 2 te faamen te vermeenigvuldigen. Dus  F LUXIE-R.E KENING. 81 ~ n\m rn—i . Dus is dan a + bxl x« ar : T%— l »—I / t» z-al " X er b n sr V ƒ z x —— X — — ] \ rn-i n-i J b n nbx ~Z-7\ n czm'z nbr 83. Nu is door het Theorema van tfewton , waar r-1 Van boven (§, 77.) gefproke* is, z — a\ —— r-f r-2 r - 2 r-3 * — f - 1 x « fl-r-r-ix —— X z a* 3 r-a r-3 r.4 — r- 1 X — x —— X z as en der* 2 3 cz z r-i c ha'.ven — x z - al x rz fcr » br Cwj + r-i. «z-i-r-è. z z - r-ix«2 z + r — i x r—2 m + r—3 . _ r —2 r —3 — Xfl'z z — r — ix X -— x 2 * 3 Hi + r-4. *\ '«* £ 4- £fc. J» waar van de Fluent» F vol*  82 EERSTE BEGINSELEN der volgens den Regel ( §. 61.) i is —1— x nbr (m+r m+r-i — jb+r-2 z r-t . az r-i . r-i . a*z m + r m + r-i P —r 2 . W-f-r —2 —— ■ m + r- 3 r-i . r- 2 . r -3 . as z \ -+&C. ). 6 . w-f-r—3 Indien nu r een geheel pofitif getal is , zal de Fluent altoos in zo veel Termen beftaan , als door dat getal uitgedrukt worden, behalven in het geval als m+r insgelyks een geheel en pofitif getal, doch Kleiner dan r is; in welke omltandigheid, de DeeIers m+r, m + r-i, m + r-2, enz. eerder daa de Multiplicanten r-i, r-ixr-2, r — 1 xr —2x r-3, en«. gelyk nul wordende, de overeenkomfHge Termen der .Se'n'er oneindig zullen zyn, en alsdan is de Fluent onvindbaar, vermits niets van dezelve bepaald kan worden. 84. Neemende rr=2, dan is de Fluxionaale Uit. drukking de zelfde ais die van §. 75, en men heeft dan m + rz=m+-2 ; (lellende dus m+2 in plaats van m+r in de algemeene Uitdrukking van deü Fluent (§. 83.) zal dezelve worden tb-j-2 m + i c s*z az >. —77 X ( J ; zynde nb* v m + 2 m+i -/ naauw*  FLUXIE. REKENING. 83 naauwkeurig het zelfde, dat in §. 75 op eene ver- fchilien.de vvyae gevonden is. 85. Op de zelfde wyze wordt ook , door de algemeene Uitdrukking van den Fluent (§. 83.), de Fluent der Fluxionaale Uitdrukking van §. 76 gevonden , door in de geme'de algemeene Uitdrukking » + 3 in plaats van m + r te (lellen: maar wanneer r een Breuk of negatif getal is , zal de Séries voor den Fluent tot in 't onëindige voortloopen; ver. mits alsdan geen der Multiplicanten r— 1 , r-2, r~3, r-4, enz. gelyk nul kan zyn. Het gebruik der voorgaande algemeene Uitdruk- 7~Tjb m-i . king voor den Fluent van a-'rbx l xcx x (§. 83.) zal nog nader uit de volgende Voorbeelden biyken. 86. Eerst e Voorbeeld. Laat begeerd war- 1) 20 X ■ "5 * den den Fluent van , of a ■+- x\ xbxx. a + x\' Door de voorgeflelde Fluxionaale Uitdrukking met , m rn—1. a-i-bx \ xcx x te vergelyken, hebben wy a — a, b—i, x = x , n—\, m — — \, c — b, m-i, ör. vorn dat n = i is) r— 1 ZZi; dus r = 3. Derhalven 'is a + bxn = z (§. 81.') = a~Vx , en deeze waarden gefubllitueerd in de Uitdrukking van den Fluent, §. 83 gevonden , zal mea verkrygen _3 X - k*C~ 7—/ = Fa * X  M EERSTE BEGINSELEN der 3 ♦ a-Vx\ K f *X^< ■ aaxa + xl )ZZbxa+xl x 3 -< fLlÜÜ 1 \ _ b' «+~*[' • 2*-4a V. 3 4 V 3 » de begeerde Fluent. 2wÏJ%°Jn te tü0n^n, dat deeze Grootheid de waare fluent der voorgeftelde Fluxionaale Uitdrukking i». zal ik my , ten overvloede, van de handel wyze, in S'S- 74 > 7f ,16 voorgedragen , bedienen, ten ein«tirZ£k?beldJder bovengevondene algemeene Fot. m™ CS- 83.) daar door te ftaaven. Laat a+xzzz zyn ; dan is 'xzz'z, xzzz-a, en a + x\ zzzz z : dienvolgens a + x~\ \bxx~zz fcz z-ai» 2, waar van de *W, volgens den algemeenen Regel CS- 6x0, is *— — 2 3 of, Rellende aH-* iD pJaats van - ' *+*' 3 , i f aa + 2x - 0Xa.+ *| x ^ * — 2a J ~ , . . .  FLUXIE.REKENING. 85 b . a + X] . 2# —43 1 ■ ■ " , het geen ook boven (§.8<5.) 3 gevonden is. 88. Tweede Voorbeeld. Laat de voorgefleU 0 n — 1. ax x . — j de Fluxie zyn — , of b -!- c xn\. x b-rcxn\* 272— I . ax x. Hier hetft men nu, door vergelyking der overeten» komftige Termen , a = 6 , i = *=.*, 72 = 71, «2 — — \i <■' — flj r 72— I — 271- 1 ; dus m"271, of r—2. Dienvolgens is a + bxn=z (§. 81.) '- b-'rcxn, en deeze waarden gefuMitueerd in de Uitdrukking van den Fluent ( §. 83.;, bekomt men a fb + cxn\* b. b-hcxnl * ^ nc* v. 3 j ✓ ' XI 2bxb-hcxnl )ZZZZ nc' ^ 3 J a - -rf ri . b + cxn ^ — X b + cxn\ x ( — ab ) = nca V. 3 ✓ a . è-h cx'1 c x — 4& r— x « >. TIC* 3 F 3 39.  28 EERSTE BEGINSELEN der 80. Derde Voorbeeld. Laat de gegeevene Fluxie 3«— 1. bx x -.— 5 zyn — , ofa+dx « X 3B-Ï. b x x. Hier is nu aZZa,. b zzd, x-x, nZZti, mZZ—\, cZZb, r~s, en dus m+rzzi; voorts is *+&xB:= z zz a+dxn, en deeze Waarden gefubftitueerd inde Uitdrukking van den Fluent (§. 83.) zal men ver- b sa + dxnV aa.a + dxn'. krySen n~d* X ^ l l )b ^2.a-hdxnV zz —x( ■ tid* >• 5 4axa + dxn\' jjifs &xa+üx*f . H sa'Xa-!-^ï I ) — ———x 3 ^ nd3 ^•2 . a -f- d xn\ 4 « ♦ a + dx11 ^ t x ^5 3 b . a+o _ X SS i +\* ? + + » Bg x * » + * |S , „ I + j* ' + P : xs ^ £ + ° i J h S 3 S o + ■» — v a + ? 3 •«! 1+ S * ? 7! + I i> ! ™ ff % f ' ,il * I x b 1% L*-vTSrf 3 co * a „ » * cr ^* ~ 03 t3 y , * * ° % ■' 1 ^ f T 8- B 5 o "51', j' > S * + » I £ * < EL tl f g l i S a % « <5 ~ V " ' Cf^ $• - { "y—H ctq « o o 2. 2 tt 3 II O 2 + »»_ °- s 1 « • a o **( I SS o 5? ' 5 I 3 *  FLUXIE-REKENING. «9 o • " -1 n> « B KA I 0-3 U < O 1 I D*S» < kp ra . a a 2 1 , - 2 1 «8+ a a g- + + S o II a | i < + »*• + g <* 03 " « I I o a " " i l 1 9^ sr n - (R li a ~ • • £ II do 3 ** a S-a re go. > S » I * £° % ?, 3 « D . ** ?r — i o r •% a T + e'X o ai, 1 i! H S-S ï || 5 . . • « re|} a M o: ""^ o cr. S ^ S 0 *» 2 U k H 2§ S *1 3, n ^ cl_. X ~? aag»« » « '« » I * - ? a & ■ ' -r - T • 1 »*■ a • « ra II ^ 11 s . e 11 r > F 5  9o EERSTE BEGINSELEN der ^ 1 U r-i.a r-i.r-2.aa s.s-i.nb* s.s-i.S'2.nb3 r-I.r-2.r- 3.a3 D= &c. x.i-i.f-2.J- s.nb* Subftitueerende vervolgens deeze waarden van A, B, C , D,enz., benevens die van p en v (§. 92.), in den aangenomen -F/aent (§. 90.), zal dezelve worden rn-n r»-an TpM + l /* r-i.fltf £ 200 vee* Termsn beftaan, als 'ereenheden  FLÜXIE-REKENING. 91 den in r zyn , onder die bepaaling nogthans, dat r een geheel en po fuif getal zy , behalven in het geval als s een geheel en pofitif getal kleiner dan r is. Zo ook wanneer r een Breuk of negatif getal is, zal, zo als §.85. reeds is aangemerkt, de Séries voor den Fluent tot in 't onëindige voortloopen, en derhalven de Fluent flegts in eene oneindige Reeks benaderd kunnen worden» n\m rn"J' 94. Om den Fluent van a + bx \ Xcx x te bepaalen, heeft men nog eene andere handelwyze, door welke men in Raat is eene Formule te vinden , die in veele gevallen dienftigis, als de voorgaande onvindbaar wordt, of in eene onëindige Reeks voortloopt. Men heeft gezien, dat de voorgaande Fluent (§, 93,) rïïw~M gevonden wordt door cx a + bx v x » . . . » Cp p — V p — 2V ~V Ax +üx +C* &c.y voor denzelven aan te neemen (§. 90.), en de tweegrootfte£;cp(mff«ten der daar uit voortkomende Vergelykinge onderling te vergelyken (§. 92 ), doch zo men in plaats p p — v p—2v vanAx 4-B* +Cx &c. eene afklimmen- p p-j-V p + iV de Reeks verkiest, als Ax -J-Bx +C* &c. (waar in de Exponenten van x geduurig aangroeijen), en de twee klcinfre Exponenten van x in de daar uit voortkomende Vergelykinge op gelyke wyze onderling vergelykt, zal de zelfde Fluent onder eene verfchillende gedaante gevonden worden, welke het gebrek der voorige in veele gevallen verhelpt. 95. Wanneer nu in de laatfie Vergelykinge van § 90. in p'aats van p—v, />—2v, p—%v, enz. refpeftivelyk gefchreeven worden p-fv, p+iv, p-Mv, enz,, zal men bekomen ^6 ' bnx  oa EERSTE BEGINSELEN der O-V , i ■* •« + ff t i ? , f 2 5 E ^ I x + + 3 ** | h -' X 1 o 3 " T 1 X ;i » af §• vi > g? ss S +1 I ^ x "» » x + + £. + CC « h -f tra ** ^ * S T I -r i ^ +19 I «Tl C> ly. 1 T , a X o. T | * ± = I * ° 3 i' I "*» + + ? < s i t + & * \*-> ■* £ 9? 3 T _ < % «ff +1 ^ I a ^ X t I ? II p s j- *» S4 ^ » i__ i £5 >e • . j —-v——^ ** 4. II • | ?! • » <* i  FLUXIE-REKENING. 93 crQ o I n %o o"o~J a sa g + ? °£5r « 3 "S? B" 1 S s . 3 * 5" Sa a 1 o <« * o ,1 §•+ o «S's + + Sao. ^ ?' ia a x gjj a 5 §M » 3 -li*- » * 3 ^ 1 a I tl 3*1 X > og +| { . slU ~ I iH'i-ia — a » ° O gt, » fik a T e X * g"^ I * , ° g- ,_, a .va4 X _, 1 cl O? t 10 n cr. CO X g +8° o 1 o , a » < " t 5 « R> £. 4.! ra"1 P ft» b -r ^ t* 2. " X £5^ ' r S ^ «» 2. (j £ 3 " II gfï? " go ï*»co 5'a p po. o w tl O PO P»  94 EERSTE BEGINSELEN deh I J-rl.M f-l-I.£ C =: —~-—~- , &c. &c r.r-j- i.r + 2.«a3 Subftitueerende eindelyk deeze waarden van A, B, C, enz., benevens die van p en v (§. 96.) in den aangenomen Fluent c x a + b x « x (p -i-v p-i-2v "\ Ax -f- B x +Ci " + &cy , zvnde de zelfde als die van §. 90, behalven ddt de Exponenten p-v, p-2v, p-sv enz. in J? + v, p + 2v, P + 3V enz. verwisfcld zyn, zal 'er komen rn rn+ra ~~~rm+1 /ar j 4-1.6* cXo + £a; I x ( — - —. + \rsa r.r+i.na* r»4-a« j + i,i-,l2.ï'j; v rzr.-^r:—) = •; r. r+ i .r + 2.«a' / "mi"1**"1 rra / 7X7 ks <»+»« j_ iH__ x f 1 - 1 r«;i \ r+i . a " 2 0 n S+ t.J-{-2 . b X \ — — ■■ ■ &c. i, welke Séries een be« r + i.r+2 . a4 ** piald  F L U X I E-R E K E N I N G. 95 paald getal Termen zal hebben, wanneer fjofr+jn, een geheel negatif getal is, behalven in het byzonder geval, als r insgelyks een geheel negatif getal kleiner dan s is; want alsdan zal de Noemer van één der Termen nul worden, vóór dat de Séries ten einjie loopt. 98. Het gebruik deezer twee voorgaande algemee. ne Uitdrukkingen voor den Fluent van a»'rbxn\ x rn-i. * x x> welke voor de bewerking gemaklyker zyn, dan die van §. 83, en daar benevens eene grootere algemeenheid influiten , zal door de volgende Voorbeelden ailerduidelykst blyken. 99. Vierde Voorbeeld. Laat de gegeevene Fluxie X3 X —1 | zyn ———- , of a' — x3 J x *3 ie. a* -.xz\*. . . 1 rn Vergelykende de gegeevene Fluxie met a-hbxnl x rri— 1, cx x (§. 98.), heeft men azza', b= — is n_t, mZZ-ï, cizi,Tflwrr^r*; by gevolg r~2. en m + r = xr + ». Dewyl no j = + i geen geheel en getal is, kleiner dan het geheel en pofitif getal a~r , moet hier van de algemeene Uitdrukking des Fluents (§• 930 gebruik gemaakt worden; en men zal be- komen ——— Xr*—. — i^£+8a« -3 -i -3 " voor den begeerden Fluent, iOo.  96 EERSTE BEGINSELEN der loo. Vyfde Voorbeeld. Laat de gegeevene Fluxie d*-'rz*\*z- , _6. zyn —— ,ofd* + z*rx z z. zs Door de gegeevene Fluxionaale Uitdrukking met n\m rn-i. a+bx^ xcx x ( §. 98.) te vergelyken, heeft men o_ d», b zz i, xzzz z, n zz '•», mZZU c=si, m-i_-ó; by gevolgr--!, en m+rzZsZZ~%l Dewyl nu szz-2 een geheel en negatif getal is, moet men hier van de algemeene Uicdrukking des Xluents (§. 97-) gebruik maaken; en dan is rf'+z'|* . z 5 / - i.j.» \ - 5  FLOXIE-REKENiNG. 97 ¥ ioi. Zesde Voorbeeld. Laat eindelyk de g« geevene Fluxie zyn a —pz I Xï 2. Dan is door vergelyking, als vooren, a — a, l — — p, x—z, wi-i, c~J ,_rn-i— — In— 1; by gevolg rZL-l, en ?«+»•_*—.-3. Dewyl dan r = — 3 een geheel en negatif getal is , moet hier wederom van de algcmeer e Uitdrukking des Ftuents (§. 97.) gebruik gemaakt worden; i! a — p zn | x z en men zal bekomen — ■—i x — Ina / n 2 2n\ f -2X—pz -ax-iXp z \ ; \ —fa —ix — la' / 7^pz~n\l / 4Pzn 8p2z2B\ X I i + -1 ) = -lnaz>n V 5a I5a' a—pznV 30fl,-f-a4apz',4-i6pa z *s _ 15a3 7»az a-pznla x 30fla + 24apzB-l-i6p3»an —- .. . voor ioSna*z*n den begeerden Fluent. ioi. Wanneer een Fiueni niet naauwkeurig in Algebraïfche Termen voorgelie'd kan worden , drukt men hem uit door eene convergeerende Reeks , of door eenen reeds bekenden Fluent, die eenvouwdiCï ger  98 EERSTE BEGINSELEN der ger is. In de Deeling der gemeene Algebra , ais ook in de tiendeelige Kekenkunde , is het Quotiënt veeltyds eene zodanige Reeks Doch om het geduld der Öeffenaars van deeze Theorie , door verdere afgetrokkene befchouwingen , niet te vermoéijen , haaste ik my, om de nuttigheid van het tot hier toe voorgedragene in praktikaale Gevallen te doen ziei>, met oogmerk om den draad van de Leerwyze der Fluenten in eene volgende Afdeeling te hervatten , en dezelve in alle haare uitgeftrektheid,zo kort eü duidelyk als mogelyk is, te verklaaren. ZESDE AFDEELING. Van de toepasfing der Fluxiën in de Oplosjing van Foor/lellen, waar in geëischt Wordt de Maxima en Minima van Grootheden te bepaalen. 103. Als eene Grootheid, door beweeging geteeld wordende, geduurende eenigen tyd aangroeit, en dan wederom afneemt , wordt dezelve in het tydftip, als de aangroeijing ophoudt, en de afneeming begint, een Maximus , ofGrootite, genoemd. Desgelyks wanneer dezelve , op gelyke wyze geteeld wordende, geduurende eeningen tyd,- of tot zekeren ftand, afneemt, en daar na wederom aangroeit, wordt dezelve in het tydftip, als de 'afneeming ophoudt . en de aangroeijing begint, een Minimus , of Kleinste , genoemd. 104. Om deeze Bepaaling eenigzins op te helderen, zo laat gefield worden , dat een punt m zich eenpaarig in eene rechte Lyn van A naar B beweegt, en dat een ander punt « zich achter hetzelve, met A D C B eene aangroeijende of 3f- 1 , 1 1 n n neemende fnelheid, zodanig beweegt, dat deszelfs fnelheid , in eenen zekeren ftand D, gelyk worde aan die  FLÜXIE-REKEN ING. j>r; die yan het voorige punt m, dat zich eenpaarig be. weegt. Dit voorüf gefield zynde , zo iaat de bëweeging van het punt n eerst als eene aangroeijcnde bëweeging befchouwd worden ; in welk geval de afftand van n achter m geduurig zal aangroeijen, tot dat de beide punten in de gelyktydige Handen C en D komen ; doch daar na wederom zal afneerüen ; want, aangezien de beweeging van het punt n' tot daar toe traager dan in D is, zal dezelve, door de Onierftelling, insgelyks traager zyn', dan die van bet voorgaande punt m; maar daar na iheller dan die van m wordende, zal de afftand mn, zo als reeds geze4d is, wedcom afoeemen. Derhalven is deeze afftand een Maximum 3 of van alle gelykcydige afftanden de grootfte, wanneer de meineden der beide punten aan elkander gelyk zyn. Doch als het punt n met eene afneemende fnelheid jn Dkomt, zo dat deszelfs beweeging eerst fneller, en daar na .'angzaamer dan die van het punc 73» is, »al de afftand mn eerst afneemen, en dan aan»roeijen, en is derhalven een Minimum, of de kleinste van allen , in de voorgemelde omftandigheid. 105. Dewyl dan de afftand mn, een Maximum of een Minimum is, wanneer de fnelfièJen der punten m en » gelyk zyn , of' wanneer die afitand door de beweeging van het punt m zo fchielyk aangroeit, als dezelve door de bëweeging vau tiet punt n afneemt, is zyne Fluxie in dat tydftip klaarblyklyk gelyk aa i nul of' niets C §§- 2 en t^. j. Aangezien Jus de „bëweeging der punten «1 en «zodanig begreepen"kan worden , dat hun afitand mn da man van eenige verardenlyke Grootheid uitdrukt, zo vr!,;, da; de Fluxie van eenige veranderlyke Grootheid , wanneer df zelve een Maximum of Minimum is , aan nul cf niets gelyk zal zyn. 106. Aangezien dan eenige Grootheid een Maximum of Minimum is, wanneer derzei ver Fluxie nul is, iu Ga d*  IOO EERSTE BEGINSELEN oer de onderlïelling, dat flegts ééne veranderlyke Grootheid daar in gevonden wordt, en het zelfde waar is, wanneer eenige andere Grootheid alleen verönderfteld wordt veranderlyk te zyn, zo volgt, dat, wanneer in het Maximum of Minimum verfcheide veranderlyke Grootheden gevonden worden , de Fluxiën van die Grootheden ieder byzonder gelyk aan nul moeten zyn. Hier uit vloeit de volgende Regel. I. Stel de Jtandvastige Grootheid m 'voor het begeerde Maximum of Minimum; en zoekt eene Vergelyking voor m; verdryft vervolgens , met behulp van deeze en andere gegeevene Vergelykingen, zo veele van de veranderlyke Grootheden als u goeddunkt, indien 'er verfcheide zyn: Stel alsdan de overige Vergelykingen in Fluxiën , en verdryft voor iedere Vergelyking ééne Fluxie, tot dat gy nog Jlegts ééne Vergelyking hebt; maakt in deeze laatfte Vergelykinge , na dat alles aan eene zyde gt~ bragt is, de fom van alle de Termen, welke iedere byzondere Fluxie vermenigvuldigen, afzonderlyk=oy en gy zult zo veele Vergelykingen bekomen, welke met de eerst gegeevene te faamen alle de onbekende Grootheden zullen bepaalen. II. Maar wanneer de Fluxie van eene enkele Grootheid = o gevonaen is , dan is die Grootheid zelve of een Maximum , of een Minimum, of eene ftandvastige Grootheid- Of zo 'er eene onmogelyke Vergelyking uit voortkomt, zal de Grootheid geen ander Maximum of Minimum, dan dat oneindig is, hebben. Meenigmaal zal de Vergelyking verfcheide Wortelen hebben, welke allen afzonderlek beproefd moeten worden, om te zien, welke van die Wortelen aan de conditiën van het Voor* jlel zal voldoen, en het begeerd Maximum of Minimum voortbrengt; en zulks wordt verricht, door de enkele veranderlyke Grootheid in . het Maximum of Minimum aan verfcheide achtervolgende Waardens, in getallen •iitgeirukt, gelyk te ftellen. III»  FLUXIE-RE KENING. ioi III. Wanneer men de natuur eener Kromme , alt ECD (Fig. i.) begeert te weeten, welkt eenig Maximum of Minimum zal bevatten; onder fielt dan twee punten der Kromme F en G gegeeven zyn ; dan moet men een punt C tusfchen beiden vinden, zodanig dat het deel tusfchen F en G, of tusfchen FH en Gl, een Maximum of Minimum kan zyn. Want indien het punt C niet zo gelegen is, dat het deel tusfchen Fri en Gl een Maximum of Minimum zy, dan is het klaar, dat nog minder de geheele Kromme een Maximum of Minimum kan zyn. Derhalven trekt men twee Ordinaten F H , G 1 oneindig dicht by elkander , zodanig dat dezelve een oneindig klein gegeeven deel van het Maximum of Minimum befluiten, en dus ook van de gegeevene grootheid in het Voorfiel vermeld: om alsdan een tusfchen beiden gelegen punt C te vinden, trekt men den Ordinaat CL , zodanig dat dezelve een Arithmetisch Midden-evenredige tusfchen de twee andere FH, Gl zy. Deeze Ordinaat deelt deeze oneindig kleine Grootheden in twee deelen; alsdan moet de Fluxie der Som van ieder zz o gefield worden, 't welk twee Vergelykingen voortbrengt, uit welken de Natuur der Kromme afgeleid zal werden. 107. Het komt 'er nu nog op aan te weeten, hoe veel Maxima en Minima eene Grootheid , ingevolge §. 103 & feqq. , kan toelaaten. Hier toe zal ik ge» bruik maaken van het Voorbeeld, dat ons de geleerde Wiskundige Thomas Simpfon tot dat einde aan de hand geeft, en my van de grootfte nuttigheid fchynt te zyu, om dit gewigtig Leerituk in het helderst daglicht te (tellen; Laat begeerd worden de verfchillende Waarden van x te bepaalen, wanneer die van 2X* — 28ax* -(-84a2*1—96a' x -h 48 b* een Maximum of Minimum wordt. De Fluxie van deeze Grootheid is, volgens de Regelen in §. 31. voorgedragen , 12 x% x — 48a*2* 4- 168 a'xx — 96 a3*, welke gelyk aan nul gefield, en door 'x gedeeld G 3 zyn-  IC2 EERSTE BEGINSELEN der Sfe^ v™nbrenBea ™**-8+a*' + i68a'*.n t J7 2 *: - ? a ^ + M «; * - 8 «3 - o: waar bLm.n f dG gemeC"e Re*elen dcr Algelra% be*onun x-a — o, * —2a=:o, of z — 4a~o. Derhalven zyn de Wortelen der VergelykingeTof de drie warden van x, a, aa, en 4a. io8. Uit dit Voorbeeld blykc derhalven, dat eene Grootheid zo veel Maxima en Minima kan toelaasn, als er mogelyke Wortelen zyn in de VergeJykiiige , welke voortkomt als men de Fluxie van die Grootheid aan nul gelvk fielt. Om nu te wee25,1 we,ke Bv,an die Wortelen een Maximum , en wt Re een Minimum aanduidc , moet men onder?.0Utn, of de uaarde der gemelde Fluxie. kort vóór dat dezelve gelyk aan nui wordt, pofitif of negatif JS\ zo dezelve cq/iï//is , dan geeft de eerstvolgende vv ortel eeb Maximum; doch »»gat«/zynde , een f""™"' De r|dén hier van is zeer ligt te be- HÖt™ ; .^at;£ ZOn,hGZ als een'ëe Grootheid aanbot c, zal haare Fluxie pofitif zyu, doch, wanneer afueemt 38 haare Fluxie negatif ( §. i7.) ïöy. Laat wederom tot een voorbeeld genomen tf* + 48*4(§- 107.), waar van de Fluxie in ver- korte uitdrukkingen is is^x xJ^l'axT+'^a17^Sa^ = i de eerfte of derde, de kleinfte Waarde voortbrengt. Tot dat einde fubftitueert men die beide Wortelen, ieder afzonderlyk, in de gegeevene Grootheid, en men zal vinden 48 b*— 37a4, en 48è4—64fl*. w»ar van de laatfte uitdrukking de kkinfte is; dienvolgens is het ten vollen klaarblyklyk , dat de derde Worcel de mogelyk kleinfte Waarde oplevert, welke de voorstelde Grootheid j^an toelaaten. 110. Wanneer alle de Wortels onmogelyk worden, moet de voorgeftelde Grootheid, waarvan de Fluxie als dan nooit =0 kan zyn, of geduurig aangroeijen, ofafneemen; en derhaiven kan dezelve nimmer eeu Maximum, noch een Minimum, toelaaten. Daar benevens kao het gebeuren , dat de Wortelen mogelyk zyn , de Fluxie = o , en dat nogthans de Grootheid zelve , in die omltandiyheid, noch een Maximum , noch een Minimum kan zyn. ni. Om dit te verkiaaren, zo laat nogmaals gefield worden, dat het punt n zich, als vooren gezegd is (§. 104* )j achter het punt m beweegt, aliecnlyk met dit ooderfcheid, A D C B dat de fnelheid van het punt I 1 1 1 1 n r.iet langer aangroeit , dan n m tot-dat heczelve tn d komt;' en dat die fnelheid daar na weder afneemt: dan is het klaar, dat alhoewel de Fluxie van den afftand mn, in den ftand cd, nul is, nogt.hans de afftand zelf geen Maximum zai zyn; uit hoofde dat het punt «, dat naderhand, zu wel als te vooren , eene mindere fnelheid dan hst punt m heeft, fteeds by aanhoudendheid meer en meer achter uit zal blyven. Op de zelfde wyZe kan dit geval ten opzichte v.-.n een Minimum verklaard worden. Ook is het openbaar , dat deeze gevallen altoos zullen voorkomen, wanneer de Fluxie der gegeevene Grootheid , beide vóór en na dat dezelve gelyk aan nul wordt, in opzichte tot het pqfitive en negative, van de zelfde benaaming is; hetgeen, zo als de Regelen der gemeene Algebra ons leeren, G 4 dan  io4 EERSTE BEGINSELEN der dan alleen gebeurt, wanneer de Vergelyking een even getal gelyke Wortelen toelaat. Wt volgend voorbeeld zal, zo ik meen , toereikende zyn 2om du ter neder gefteldo nader te verklaaren. i Ja. Laat de voorgetelde Grootheid zyn aia»*30 «- »» + i6 ax' ~ 3X<. waar VM d* ^./jg 24a5*-. 6oaa*# + 48aW-i2*'#, welke C=o kompï'»6" alfes,do°r "gedeeld zynde, zal 'er qax ■+■ 5a-x~- aa3JZIo, waar uit blvkt . dat d.» twee kleinfte Wortelen gèlyk (naamlyk ièder a), Toch mIT^ 20 W', °US is er Doch noen Minimum ie vmden, wanneer #~a is; want zo mtn *iets kleiner of grooter dan a neemt, zal de Waarde der Fluxie evenwel altoos pofitif Naardien nogthans de grootte Wortel (2fl) geen andere geiyke Wortel heeft , ftrekt zulks ten be. wyze, dat dezelve, zo als boven gezegd is (K, icS.) een Maximum aantoont. v>'cb.;, ii 3. Om het geen boven is aangemerkt nog duidelyker te doen blyken, z0 laat de gegeevene Uitdrukking 24a« *- 3oa> *• + i6ax> - 3V voorgeteld worden door den verandeilyken OroW FQ a.) der Kromme AQ.MMR, welkers Abfcisfs Al' ik, als naar gewoonte, * zal noemen. Terwyl de F/axfr van den Ordinaat 12 i x 1*7,X ar*X *W blyft, of zo lang tot dat dezelve zzazzAE wordt, zal de Ordinaat! zelf aangroeien. Maar in den ftand J3M werdt dezelve Itiittaar.de ; het zy my vergund deeze Uitdrukking te béwgen, vermits de Fluxie alsdan zzo is. Waar na, de FluxU wederom pofitif zynde , de Ordinaat andermaal zal aangroeijen , tot dat xzzza fzzAO wordt; wanneer de Fluxie ten tweedemaal nul, en naderhand negatif wordt , zal CN een Maximum zyn; Kort daar na daalt de Kromme beneden haaren as,en b/yrt tot in 'c oneindige vandenzelveDafwyken. 114.  FLUXIE.RE KENING. 105 114. Nog iets anders is 'er , waar op men in de Oplosfing van deeze foort van Voorftellen byzonder acht moet geeven, naamlyk, of de Maxima of Minima, welke gevonden worden door de Fluxie zzo te ftellen, binnen de Limieten vallen , welke door de natuur van het Voorltel , of van de Figuur, worden voorgefchreeven: dit nu wordt meenigmaal bepaald door Conditiën, welke in de Algebraïfche berekening geen plaats vinden. ny. Laat dus, by voorbeeld , gefteld worden, dat men in een gegeeven Ellips A8HD (_Fig. 3.), een zodanig punt F moet vinden , dat onder alle andere punten van het einde van den toegevoegdea As het verst afftaat. Trekkende dan F£ evenwydig aan den langen As AH , en (tellende AH~a, ïiDzzb, en Bü — x; dan is DE:r2> — x, en dus het vermeenigvuldigde der Jbjcisfen BEx DU — bx—x'. Nu is door de eigenfchap der Ellips ( Toepasfing der Algebra op de , a1 hooze Meetk. §. 87.), EF ~—xbx—x', en door b' her Pythagorisch Leerftuk is ËT (rBË + ÊF) - x* 4 xbx — x1, eene uitdrukking die, volgens b* den eisch van 't Voorltel, een Maximum moet zyn. a1 ~ " De Fluxie daar van is ixx-\ x bx—zxx, welft' ke gelyk aan nul gefteld, en door k gedeeld zynaa de, zal voortbrengen a#-! xb — axzzo, of b' a' — b1 Xx—la*b; waar uit wy bekomen G 5 x —  106 EERSTE BEGINSELEN' der ... j\/[aar door de natuur der Kromme is a'--b~- de grootfte Waarde , die #'fJ:rBE) met mogelykfteid kan hebben, b (z:BDj; indien derhalven de ; ... betrekking van a en b zodanig is, dat ■ groo- a'-ft1 ter dan b zy, dan is deeze Oplosfins; klaarblyklyk onmogelyk. Om derhalven de Limiet te bepaalen, ia'b zo ftel —-—L_ waar Ujt (jan gevonden wordt, a*~b* dat ib'-a2 zal zyn. Dus kan de voorgaande OpJosfing tlleenlyk plaats grypen , wanneer aBÏTgeIvk, of kleiner dan AH'is. 116.. Wyders moet nog in aanmerking genomen worden , of de Waarde van x , door de gemeene Leerwyze gevonden , eene kleinere Grootheid voor bet Maximum, en eene grootere vüor net Minimum voortbrengt, dan uit de uiterfte paaien zelve, door welke x gelimiteerd is , zal omftaan. Laat dus begeerd worden de groorfie en kleinfte Ordinaten te. bepaalen in eene Kromme APK (Fte 4.) weikers Vergelyking is y* ~ 6a* * — yax* -Fax** en welkers grootfte Abfcitft AD gelyk aan 2a gegeeven js. j s Dewyl nu y alle de Ordinaten uitdrukt, van wel. ke men de grootften en kleinllen begeert te bepaalen, zo moet van 6 a2 x — gax2 + 4x* de Fluxie genomen ,^ en _ o gefteld worden ; waar door wy hebben 2x* — 3ax_~.a*, eene Vergelykinge waar uit men vindt x~}a , of xZZa. Als men nu deeze gevondene Waarden , benevens dis van de grootfte Abfcisfe, zynde 2a, in'de Vergelykinge der Kromme  FLUXIE-REKENING. 107 roe .y* ZZ 6 a' x—9ax1-hAXs voor x in de plaats ftelt, zal men hebben :y3~|a5, of y'zza3, of^s = s 8a3; waar uit afgeleid wordt y _a|/|, of y~a, of y~2a\ dat is de Oraïnaaï BPizaj/f, de OrainaatCQzu, en de Ordinaat DR, zynde de grootfte van allen, ra* Hetgeen dus tot het volgend befluit aanleiding geeft. 117. De eerfte BP der gevondene Ordinaten is geenszins de grootfte van allen, vermits de uiterfte D R zz 2 a grooter dan a Y § is ; ook is C Q even zo min de kleinfte, uit hoofde dat de Ordinaat aa» het ander einde A geheel verdwynt, ot eigeulyk nul is. ■i.i>i« i ii Jittó'A < • ... • x 118. Somtyds zullen één of meer der punten Q, S, enz. ( Fig. 5.) welke de Maxima en Minima bepaalen , beneden den As AF vallen ; in welk, geval de overëenkomftige Waarde der algemeene Uttdrukkinge van den Ordinaat tiegatif zal zyn: doch in de punten b, c, d, enz. , waar in de Kromme den As doorfnydt , zal dezelve gelyk aan nul zyn. Ik zal daarom in 'f voorbygan nog aanmerken, dat de reden klaarblyklyk is, waarom de Wortelen eener Vergelykinge, als x11—axn~'l-{- b* xn~ 2. . . . . + qnzzo, by Psaren onmogelyk zyn. Want, aangezien Ab, Ac, Aa1, A e , enz. de Wortelen van .die Vergelykinge, of de vQïfchillende Waarden van x, zyn, wanneer de Ordinaat xn-—axn 1 4- b' xn~2 + gfl(MN) gelyk aan nul wordt, is het .klaar, dat zo PA, die de gegeeven Term gn uitdrukt, tot Pa aangroeit, zulks dat AF, die alsdan op af valt, de Kromme in S raakt, de aanleggende  ic8 EERSTE BEGINSELEN der de "Wortelen Ad en Ae alsdan gelyk zullen worden; n en dat, zo a nog verder aangroeit, zulks dat de As geheel beneden de Kromme valt, niet alleen deeze twee, maar ook alle de andere Wortelen, Ab en Af, onmogelyk zullen worden. • 119; In 't algameen heeft men. ten aanzien der Limieten van Vergelykingen, door deeze Maxima en Minima bepaald-, het volgende op te merken. Eene Uitdrukking, welke die ook zy, die, gelyk aan nul gefteld zynde, twee of meer gelyke Wortelen toelaat, heeft, ten zeiven tyde , zo veel achtervolgende ordent van Fluxiën gelyk aan nul, als door het getal van die Wortelen min één uitgedrukt wordt. Lus zal eene Vergelyking, die drie gelyke Wortelen heeft, beide haare eerfte en tweede Fluxiën gelyk aan nul hebben, wanneer de Fluent zelve gelyk aan nul is. 120. Hier door heeft meo , behalven den boven aangeweezen weg (§. 111. ), nog eenen anderen, om te weeten , of eene Grootheid haare Fluxie gelyk aao nul kan hebben, en desoiettegenftaande geen Maximum noch Minimum zal toelaaten : want vermits deeze oroftandigheid altoos plaats grypt , wanneer de Vergelyking, zo als reeds getoond is (§. n ij, een even getal gelyke Wortelen toelaat, moet het getal der ordens van Fluxiën, die gelyk aan nul zyo, tan zei ven tyde, met influiting der eerfte, insgelyks even zyn. Hier door heeft men insgelyks eene gemaklyke Leerwyze, om te ontdekken, wanneer fommige der Wortelen van eene Vergelykinge gelyk zyn ; en, in gevalle het zo is, wat zy zyn. 121. Laat dus *» — 3a#J+4as— o voorgefteld worden, waar van de Fluxie 3x-'x—6axx gelyk "aan nul genomen zytde, ae Waarde van xzzza zal zyn;  F L U X I E-R E K E N IN G. ieo zyn; dus is dan 20 eeD Wortel van de gegrevene Vergelykinge, zo dezelve twee gelyke Wortelen toelaat. Om dit te beproeven, ïubüitueert men 2a voor x ia de gegeevene Vergelykinge, en men'bevindt alsdan dat dezelve, naar den eisc'h, — o wordt. 122. Laat wederom 8** — 28a'*3 -!- i8aa x* 437a3*—27a*—o zyn. Van deeze Vergelykinge is de eerfte Fluxie 32^3^-84aA'5.r-f-3Sa5^.v-j-27a3*-, en de tweede Fluxie 96X2 x~- — 168axx' + 36a2 x' ; welke laatfte == o gefteld zynde,. zal men door herleiding bekomen 64 x* — nz a x — 24 a'; 7a , 25 a2 g"a a waar uit wy vinden x~—Z.V • — —,'of —. 8 64 3 4- Zo nu de voorgeftelde Vergelyking drie gelyke Wortelen toelaat, zal één der gevondene Grootheden de 3« Waarde van elk derzei ven zyn: en wanneer men —« z tot dar einde beproeft, zal men bevinden, dat dezelve de uitdrukking van elk der gelyke Wortelen is; waar door dan ook , volgens de grondbeginfelen der ge- (28a 3a "— —X 8 a jz-a^ gegeeven is. T23. De reden van deeze bewerkingen, zo wel als van hetgeen boven gefteld is, kan op de volgende wyze beweezen worden. Laat r-xxr-x &c. X A 4- B* 4- C x2 &c. zz o eenige Vergelyking zyn , hebbende twee of meer gelyke ' V ortelen , welke ieder door r uitgedrukt worden: Hel y~r--x , en laat n het getal der gelyke Wor-  iio EERSTE BEGINSELEN der Wortelen zyn; dan hebben wy door fubllitutie yn x A-hB x r — y + Cxr — y\> &c. zzo; welke Vergelykfn r ', door de magten van r—y uit te drukken, en a-A+Br + Crfcfc, bzzB-haCr + sDr'tfc. te (lellen, verders veranderd zal worden in yn x a — by+cy1 — dy* GPc. —o: eene Vergelyking waar van de Fïuxie nayn~~ ly — n+i .byn'y + n~+2 X cy y &c. klaarblyklyk gelyk aan nul is, wanneer — t —« nul is, en dat ook n grooter dan de eenheid zy. Desgelyks is het klaar, dat de tweede Fluxie n.n-i .ayn'~2,y1 — n + i. nbyn~~ ly' -J- n~+~2 x n + i\.cynyt fcrV. in de zelfde omftandigheid ook gelyk aan nul zal zyn, wanneer « grooter dan 2 is. Hier uit kan men nu het algemeea befluit opmaakén , dat, hóe groot ook het getal n van gelyke Wortelen zy, dat der ordens van Fluxiën, welke aan nul gelyk zyn, ten zrlven tyde uitgedrukt zullen worden door dat getal min één , zo als boven getoond is De volgende Voorbeelden zullen tot nadere bevestiging en verklaring, van betgeen dus verre gezegd is, kunnen dienen. 124. Voorbeeld I. Een gegeeven rechte Lyn AB in twee deelen AC, BC te deelen, zodanig dat de Rechthoek, of het Product, van die deelen de mogelyk grootfte zy. * '"" '"' " "•' V'.' C J„' ^ Laat de gegeeven Lyn ABra Air 1 iB ya, en uei net aeel AC, dat oor de beweeging van het nunt A naar R «rptpeld wordt, en dus veranderlyk is, ~x\ dan is BC~ a-A;. Derhalven is, volgens den eisch van het Voor- ftel,  FLUXIE.REKEN.LN.G. ïtt ile\, AC.xBQ~i.ax— x3: waar van de Fluxie ax~» axxzzo gefteld zynde (§. 105. ), zal men hebben axxzla_x ■', en by gevolg x zz ia. Derhalven-zyn AC en BC, in de begeerde ömitandigheid , aan elkander gelyk, zo als ook .nit.aaderr Grondbe^irtfelen bekendis. ( Zie Gronden der Meetkunst XL Boek, TJieon 16.•)♦ •• • . ,: WW Ï25. Voorbeeld II. Den mogelyk grootften Recht* hoek te bepaalen, welke in een gegeeven Cirkel kan befchreeven worden. Laat QRST ( Fig. 6.) den gezochten Rechthoek Zyny Zo men nu de Diameters AB , DE evei.w.dig aan de zydën van den Rechthoek trekt, is het klaar, dat daar door de Rechthoek in vier gelyke en j*elykvotmige Rechthoeken gedeeld zal worden , --arts CPQN. Dertnlven is het viervouwd van CPQN de yioo?fte Rechthoek , welke in den Cirkel befchreeven kan worJen, en dus een Maximum. Nu wordt CPQN bepaald door het vermeenigvuttPgde van CP en PQ, welke de perpendiculaire Coördintt' ten des Cirkels zyn , de Oorfprong in het middel, punt C genomen zynde. Laat r de ftraal, x de Abfcisje C P zyn , dan zal de Ordinaat P Q 7—g ff r*—x' zyn {Toep. der Algebra op de hooge Meetk. §. 10.). Dus is xy r"— k1, het vermeenigvuldigde der Coördiflatón CP , PQ , dn Inhoud van den Rechthoek ^J^N , en deszelfs viervouwd 4 % Y r' — x* c/e"Inhoud van den Rechthoek QRST. Derhalven moet de Grootheid t\xy'r2— x1 een Maximum zyn , of wel men Zoekt eene Waarde voor x, die 4xyr2— x'zzz, een Maximum maakt. Nu  Ti2 EERSTE BEGINSELEN de Nu is van 4*|/r2 — x> de Fluxie ^x'xr2 — xH *— 4arf\lndtölï dus in het •voorgaande Voorbeeld, waar in Ufrblgemeene Uitdrukking van den Inhoud des begeerden Rechthoeks is 4*i/ra— x21 de ftandvastige Mnltiplicant 4 ver. worpen wordt, zullen wy hebben *-/>'—~ê», waar van de Fluxie x x r* — *' I» j» x' x x r*— *'| *  PLU XIE -REKEN ING. u3 ~o gefteld zynde , zal men bekomen ar — rY \, zo als boven (§. 125.) insgelyks gevonden is. De reden hier van is openbaar ; wanc wanneer de Grootheid zelve, van wat foort die ook zy, de mo« gelyk grootfte of kleinfte is , zal insgelyks eenig gegeeven deel, magt of veelvouwi derzelve de mogelyk grootfte of kleinfte zyn. 127. Voorbeeld III. Den mogelyk grootfien Rechthek te bepaalen, welke in een gegeeven Driehoek kan befchreeven worden. Laat de Softs AB (Fig. 7.) van den gegeeven Drie. hoek =ö, en deszelfs hoogte CD =a zyu ; ftel voorts de hoogte Dl van den ingefchreeven Rechthoek EG, als veranderlyk befchouwd zynde, =*$ dan hebben wy, uit hoofde der parallele Lynen AB, FG, deeze Evenredigheid: CD : AB :: Cl : FG.. Dat is a : b :: a-x : FG. ab—bx Derhalven FG —— , en dus de Inhoud dei a Rechthoeks EFGH, of FGx Dl— ah~~bx x a abx—bx3 * ZZZ —■"■ , waar van de Fluxie , zonder op a den Noemer desBreuks, als ftandvastlg zyndë, acht te geeven , is ab'x— zbx'x , weike ==0 gefteld zynde, yal men vinden x = ja. Derhalven is de grootfte ingefchreeven Rechthoek die , welks hoog. te juist de helft der hoogte van den Driehoek is. "I28. Voorbeeld IV. Een gegeeven rechte Lyn AB in twee deelen AC, BC te deelen, zodanig dat het H Pa-  3i4 EERSTE BEGINSELEN der Parallelepipedum, dat onder het vierkant van het deel AC, en het ander deel BC begreepm kan worden, of wel AC x BC, het mogelyk grootfte zy. Laat de gegeevene Lyn Aüzza zyn, en ftel het deel AC = * ; dan is het C andere deel BC = s-ï; Ai " i ■ iB en dus de Inhoud van het Parallelepipedum ACx BC — x'xa—xzzax1 — a;' = een Maximum. Hier van is de Fluxie iaxx-* 3x'x, welke =o gefield zynde, vindt men xzz\a; dienvolgens a—x~la Derhalven zal, volgens de conditiën van 't Voorftll uit de deelen der gegeevene Lyn het groo;fte Parallelepipedum gevormd worden, als het eerfte deel het dubbeld van het laatfte is. (Zie ook Gronden der Meetkunst XI. Boek, Theor. 19.). ioo. VooRnEEXD V. Op eene gegeevene rechte Lyn, als Hypothenufa, den mogelyk grootften rechthoekisen Driehoek te formeeren^ s Laat de Hypothenufa AC (Fig. 8.) ~a, dezyde AB_x en bezzy zyn ; dan is, door het Pythago- risch Leerfluk, x*+y' =za*, en dus y ZZ\/a~—x\ xy x ; Pienvoigens-zz-V a'-x' = den Inhoud des 3 2 Driehoeks. Daar nu de Inhoud des Driehoeks een Maximum moet zyn, zal ook deszelfs Quadraat~ x* 4 — een Maximum zyn (§. i2(5.). Derhalven moet  FLUXIE.REKENING. 115 a' ri moet de Fluxie van deeze laatfte Grootheid . 2 — x'xzzo gefteld worden; waar door wy vinden xzzaj/ \ , en y (-f/V-*2) ZZa\/*. Hieruit volgt dus , dat de gezochte grootfte rechthoekige Driehoek gelykbeenig moet zya. Indien men derhalven op AC, als Diameter, een halven-Cirkel befchryft, en uit het midden B van dien haiven Cirkel de Chorden BA, BG trekt, zal men den gezochten Driehoek hebben. 130. Op eene andere wyze wordt dit Voorftcl aldus opgelost: naardien **y een Maximum, etl x'-r-y' — a2 is (§. 129.), zo laat van deeze beide Grootheden de Fluxiën genomen , en = o gefteld worden , dan zal men hebben i*;y + *:y* —o, en aïi + 2)ï=0' Van welke Vergelykingen uit de yx eerfte afgeleid wordt yzz -—, en uit de laatfte x xx yx xx yzz- —-• Derhalven zyn en — aan elkan. y x y der gelyk, en by gevolg*tv, zoalsboven (§. 129.) getoond is. Ijfï. Voobbeeld VI. Fan alle rechthoekige Driehoeken , den zelfden gegeeven Inhoud bevattende, dien te vinden, waarvan de fom der beide Seenen de mogelyk kleinfte is. Laat de Inhoud van den Driehoek zz a, en het eene Been AB ( Fig. 8.) zzx zyn; dan is het andeÜ2 re  "6 EERSTE BEGINSELEN der za re Been — —; en dus hebben wy voor de fom der * : . . . df» .(.; beide Beenen (AB -f- BC) x -f. — , waar van de x . lax Fluxie is * , welke ~ o gefteld zynde, zal men vinden x~V üazzAB; waar door BC Q~-^ mede ~V ia is. Derhalven zyn de beide Beenen mede aan elkander gelyk. 132. Voorbekld VII. In een gegeeven halven** Cirkel den mogelyk grootfien Driehoek te befchryven. Laat de Diameter ACZa, en bet eene Been AB (Fig. 8.) _ x zyn: dewyl dan de hoek B , op den Diameter ftaande, recht is , is de Driehoek ABC rechthoekig, en dus BC Qzz Y A~C —AbQ -— Va1 — x2. Derhalven is de Inhoud des Driehoeks ABC (ziABxBC) zzixya7^, waar van de Fluxie is \xxa2 — x2\2 — *x*x xo2 — x' welke z;o gefteld zynde, zal men vinden zx'zzaa, of %~aV\\ dus BC QzzfT a-^j'i^a'-^ = a\V \. Derhalven zyn in dit geval, als vooren,de beide Beenen aan elkander gelyk. J33-  FLUXlE-REKENING. U7 133. Voorbeeld VIII. Door een gegeeven punt P, linnen den rechten hoek A BC geplaatst , de mogelyk kortfte Lyn te trekken. ( Fig. y.). Trek PM parallel AB, en PNparallel C8. Dewyl dan het punt P gegeeven is , zal men HM en BN bekend hebben. Laat dus BMzza, BNzzb , én MC-i zyn;. dan zal men hebben PC = MÜ'+ PM = MC + BN ==: x* + V, en PC ~V x* + b'. Voorts naardien de Driehoeken CMP, en CBA gelykvormig zyn, hebben wy deeze Evenredigheid: CM : CP :: CB : CA. Dat is x : y xT+~f :: x + a : CA. x 4- a Dienvolgens CA = —— x V'«2 -t-&2 zzzz een ■ ' x '■ - ax Minimum. Hier van is de Fluxie — j— x *3 + b2[2 'i 8 x1 -'rx + axx'-'rb'r^xx, welke zzo gefteld zynde, zal men vinden x*zzabs, en x—tf ab\ Derhalven heeft men in dit geval e!ers anders re doen, dan tusfchen b en a twee midden-evenredigen tevinden, waar van de eerfte —x is. Want fteilen"de, dat x en z de' beide midden-evenredigen zyn, zal men, hebben b : x :: x : z, en b : x :: z : a. derhalven è x ""z*2, en xzzzab. Gevolglyk a-33== ab2z, of x*zzaba, en y-ab3 , de uitdrukking welke gecongrueerd moet worden. T34. Om dit te verrichten, zo laat om AP als As (Fig. io.)s met een Parameter zzb, den Parabool H 3 AMR  UB EERSTE BEGINSELEN DEk AMR befchreeven worden (Toep. der Algebra op de b hooge Meetk. §. 209.); neem alsdan AD=•—; trek vervolgens DC perpendiculair tot den As AP, en a =—: befchryf uit het punt C, met CM als Straal, 2 een, Cirkelboog ANM , welke den hal ven -Parabool AMR m een punt M zal fnyden ; waar door dan de Ordinaat PMzzx zal zyn. Want, volgens de Conjlruclie, is MF ( "PM-CD) —. Maar i - 2 door de natuur van den Parabool is AP x & Czz PM) ZZ $* , of AP 5 — ; derhalven PD b b x* ( = AD—AP) c . En om dat CF=:PD is, zal men hebben CM* (nMFVcF^ =#,--1 -f. b **| a' x* J» T —™ax-> 1 1—. Voorts is CM - 2 , b 1 4 b* 4 r CA, en CA3(-z:aÖ + CD'3 = ~ + derhal- 4 4 fc* a» a* x* bx ~ v* ven — + — - — ax + — + — 4- —, of — = 4 4 4 &a 4 i*  F L O X I E -REK E N 1 N G. 1:9 *' litx zza, x'zzab1. Derhalven PMl^i/ai'. ' b* ~~ 13*. Voorbeeld IX. Het punt jÓj in den grooten As eener Fllips AON gegeeven zynde, te vinden QM den mopehk kortften afftand tot de Krouma (Fig 1 t A Laat AC = fl, CD = b , AQ~p,- QN , en QJ>-x zvn; dan is AP~p -+- a , 10 i j ' yu' IIiaiea «aQ OQperpendiculair opengetrokken wordr, zu]len wy hebbeQ ^ vorang zyn, hebben w?1e?« ffi^ BQ :0Q;: BDi DC. Vat is y^ j a DC. Derhalven DC , de .halvevan den gelyk. beenigcn Driehoek, = 23^ en by gevoIg de Vx'+a' Inhoud des Driehoeks ABC (zz BD x DC; a x x -f- a 13 "oni^a ; welke ee* ^'«-ro zynde, moet des. zelfs Vierkant, en by gevolg &3 ™ x2 — a2 x-'-als ' 3 JCsgelyks een Minimum zyn; maara*, als *yndeeene ftandvastige Grootheid, kan verworpen^ wor.  FLUXIE-REKENING. 121 worden (§. 126.) > dus blyft 'er nog overig, dat x + al1 —— -—• een Minimum moet zyn. Hier van is de x — a ^xxx + al^xx-a — * x *+al * Fluxie ■' - m , welke zzo x — a I * xxx + al' gefield , en alles door —4 gedeeld zynde, x — a\% zal men verkrygen 3 x x-a — x+a — o, en by ge.volg A-zaa. Derhalven is BO ~ 2 OQ, en vermits de Driehoeken BOQ en BDC gelykvormig zyn, is het klaarblyklyk, dat ook BCz2 DC~AC is. Gevolglyk is de Driehoek ABC,om de mogelyk kleinfte te zyu, gelykzydig. 137. Voorbeeld XI. Den grootflen Cylinder te bepaalen , welke in een gegeeven Conus of Kegeï kan befchreeven worden. Laat azBD (Fig. 13.) de hoogte van den Kegel zyn; bZZAC de Diameter van deszelfs Bajis; xzz efof dg de Diameter van den Cylinder, als veianderlyk befchouwd zynde; s~ den Inhoud des Cirkels, wiens Diameter de Eenheid is. Dewyl dan de Inhouden van Cirkelen tot elkander in reden zyn, als de Vierkanten van hunne Diameters, hebben wy , 1* : x2 :: s : sx2, de Inhoud van den Cirkel et fs. Daar benevens hebben wy, door de H 5 go  iaa EERSTE BEGINSELEN de* geiykvormigheid der Driehoeken ABD en Ade, dee- 2e Evenredigheid: AD : BD :: Ad : de. ab-ax Dat is ib : a :: ib—lx i de zz ■ —. . u. ' '" ■ 7 • + Derhalven is de Inhoud van den Cylinder (zz Cirk. ab- ax sabx*—sax3 erfs x de) zzsx*x —— zz — een b b Maximum, waar van de Fluxie, zonder den Noemer desBreuks, als ftandvastig zynde, in aanmerking te Deernen, is asakxx—^sax'x, welke — o gefteld, en alles door saxx gedeeld zyrde, zal men bekomen ixzzo, en by gevolg xzzib. Derhalven de ZZ ab — ax\ -s — J zz$a: waar uit blykt, dat de ingefchree- b * ven Cylinder de mogelyk grootfte zal zyn, als des. 7elfs hoogte juist f der hoogte van den geheelen Kegel is. 138. Voorbeeld XII. Den Kegel, of Conus, te bepaalen, welke, onder eene gegeevene bultige Opperylakte-enüaüsZZp, den mogelyk grootjlen lighaamlyken Inhoud bevat. Laat de halve Diameter van den Bafis, AD (Fig. 14,) ZZx, en de lengte van de (chuine zyde AB —y zyn. Laat ook c _ den omtrek des Cirkels zyn, wiens Diameter de Eerheid is. Dan hebben wy voor den Omtrek van den Bajis en voor den Inhoud van den Bafis ex2, en ver- mee.  FLUXIE.REKENING. 123 meenigvuldigende den Omtrek van den Bajis des Kegels met de halve fchuine zyde AB, zal men voor de bultige Oppervlakte des Kegels hebben cxy. Derhalven is de geheele Oppervlakte des Kegels ze *-a + p cxyzzp, en dus 31— x. Maar de hoogte bd ...... r ' ■ ex.' —r . p* zp C-^ab1-ad1) -yy-x*zzY —; C* X1 c deeze vermeenigvuldigd met 1 van den Inhoud van Cx* ex* p* 2p den Bajis zz ——> zal 'er komen V —— — 3 3 c*x* c voor den lighaamlyken Inhoud des Kegels ; welke p\x* een Maximum zynde, moet deszelfs Vierkant — — ipex* 9 . of, alles met — vermeenigvuldigende , 9 . P px1 — 2.ex* insgelyks een Maximum zyn. Hiervan is de Fluxie zpxic — 8ex>x, welke =0 gefteld, en alles door 2 x 'x deelende, zal men verkrygen p - 4 c x3 p ■ /■ p = 0, en by gevolg xzzy/—: waar door y i zz—4c cx p—cx* ncx^-c-x' 3 ca?1 xz. ZZ ~ ZZ3* ) insgelyks be> CX cx cx -/ keod  134 EERSTE BEGINSELEN der. kend zal zyn. Waar uit dan openbaar is , dat de grootfte Kegel onder eene gegeevene Oppervlakte, -of een gegeeven Kegel onder de kleinfte Oppervlakte, een z°danigezal zyn, waar van de lengte der fchuine zyde ftaat tot den halven-Dia/werer van den ^/jr in de Reden van 3 tot 1, of. dat op het zelfde uitkomt, •wanneer het Vierkant der hoogte ftaat tot het> Vierkant van den geheelen Diameier, ih de Reden van atot 1. 139. Voorbeeld XIII. De afmeetingen van een . Cylindnsch Fat, dat boven ópen is, te bepaalen, zodanig dat hetzelve, onder de mogelyk kleinfte inwendige Oppervlakte, eene gegeevene hoeveelheid Waters zal bevatten. Laat den Diameier AB (Fig. 15. ) : en de hoogte Ai) zzy ?yn ;, laat voorts c den Omtrek.des Cirkels zyq , wiens Diameter de Eenheid is, en ftel de gegeevene hoeveelheid Waters , welke het Cylindrisch Vat kan bevatten , i—a. Dan hebben wy 1 : c \: x : cx den Omtrek van den Bajis; welke, met de hoogte y vermeenigvuldigd zynde , voortbrengt exyzz de holronde Oppervlakte des Cylinders, Op gelyke wyze, de zelfde uitdrukking met \ van den Diameter x vermeenigvuldigende, vinden wy den ln- cx' houd :van den Bajis zz —•; deeze met de hoogte y ' '"4 c x2 y . vermeenigvuldigd, heeft men — voor den lighaam- ' i: ~* a'^i- ™* *»t"^f»i» ■- c.2 -cos m3 r. lyken.Inhoud des Cylinders ; deeze ZZ a gefteld zyn- | * ' - de, is cx'yzzia, en cxy zz — zz de holronde Op. pervlakte des Cylinder^ by gevolg is de geheele Op. per-  FLUXIE.REKENING. ï25 4 a cx' pervlakte r—*: i ZZZZ een Minimum. Hier vKs'ff ^ Atv.| zm% ;Mqf- vd tt* ,ozzit-% jxu*.„r ~±ax cxx van is de Fluxie i , welke " gefield X2 2 zynde, zal men bekomen — Za + cx* ZZO , en der- 3 * halven xzzzy Voorts, naardien cxs~8a, en c c x2 yzz^a is, zo volgt, dat* — 2yis; waardoor dan y insgelyks bekend is. Dus is hier door klaarblyklyk , dat de Diameter van den Bajis juist het dubbeld van de hoogte moet zyn. 140. Voorbeeld XIV. De Jlelling eener rechte Lyn DE te bepaalen, welke, door een gegeeven punt T gaande, twee rechte Lynen AP en AO_, welke in Jlelling gegeeven zyn, zodanig zal fnyden , dat de fom der deelen AD en AE , daar uit ontjlaande, de mogelyk kleinfte. zy (Fig. 16 ). Laat TB, parallel aan AQ, ~a, en TC, parallel aan AP, ~b zyu, en flel BDr*: dan hebben wy, uit hoofde der parallele Lynen, deeze Evenredigheid: BD : TB :: TC : CE. ab Dat is x : a :: b : CE — —. Derhalven AD-I-AE (~ BA -r-BD-1- AC + CE) ab ab # ZZZ b-\-x-\—, waar van de Fluxie is * —. ——, X X1 wel-  u6 EERSTE BEGINSELEN der welke, in de begeerdeomftandigheid _o zynde, voortbrengt /-a&no, en by gevolg x~ y/ab. Waar uit blykt, dat BD O) een midden-evenredige tus« fchen TB (o), en TC O) zal zyn. Laat derhalven, in AP, BR = TB genomen, ea od AR, als Diameter, den halven-Cirkel ASR befchreeven worden ; trek uit B den Perpendiculair BS ftcotende-oen Omtrek des halven- Cirkels iu S- 'dan is BSzzV ab. Neem alsdan, fri BP,BD_ BS, en trek uit D, door het gegeeven punt T, de rech;e DE; deeze zal de begeerde Lyn zyn. 14t. Dit zelfde Voordel kan, buiten Fluxiën, nog op eene andere wyze opgelost worden, als men hetzelve op eene algemeene wyze befchouwt, door de Helling der Lyn DE "te vinden, wanneer defom der deelen AD en AE, in plaats van een Minimum te zyn, aan eene gegeevene Grootheid gelyk moet zyn. In dit geval hebben wy de volgende Meetkundige Conftruttie. „,«/-,■ Trek, als vooren, TB (F?g. 17.) parallel AQ, en TC parallel AP ; neem , in het verlengde van PA, A c ZZ AC, en maak cF gelvk aan de gegeevene fom der beide deelen AD, AE. Befchryf op Been BF, als Diameters, twee halve-Cirkelen , en trek uit A perpendiculair op Bc, de rechte AG, ftootende den Omtrek van den eerften halven-Cirkel in G-, trek insgeivks GH parallel aan Fc, fnydèrde den Omtrek des ïaarften halven-Cirkels in Ij trek 1D perpendiculair tot Fr. en uit D door T de rechte DE, welke aan den eisch van het Voorltel zal voldoen* U2. Want vermits AB x AczzAG ZzDl'p BD x DF is, hebben wy BD : AB :-• Ac (rAC): DF; ook hebben wv, üit hóófde der parallele Lynen TB, TC' BD : AB-i: AC : CE; en daarom AC : Db :: AC : CE ; by gevolg DF z: CE, en dus AD + AE  F L ü X I E - R E K E N I N G. 12 7 AE (nAD-f AC + CE) rcF de gegeeven fornder beide deelen (§. 141.) Dat betoogd moest worden. 143. Om nu te toonen, in hoe verre deeze Oplos, fing tot het onderwerp, waar over ik handele, toepasfelyk gemaakt kan worden , zal ik den Leezer vooraf doen^opmerken, dat de Oplosfing, volgens de voorgaande Conjtruclie §. 141, onmogelyk zal zyn , wanneer de rechte Lyn GH , in plaats van den halven-Cirkel BIF te inyden , ofte raaken, geheel beneden dien halven-Cirkel valt; by gevolg zal men de mogelyk kleinfte Waarde van BF , en dus ook van cFlAD -f AE , hebben, wanneer de gemelde rechte Lyn GH den halven-Cirkel BIF raakt; dat is, wanneer BD — Dl ~ AG ~ V AB X AC is. 144. Wy kunnen nog tot het zelfde befluit Zz , of ra. Maar 3 31*;: 411* (§. 150.), en by gevolg u'-isrr^'xs; »—ijVJ» «3 ~ c53^3i dus hebben wy door fubllitutie ———zz\ 1$ o, of — — z:a: derhalven 31' ZZ , y^zz 2*ü iy 3V3 -—, en ^ = 2^— rsffr 3«*:rs. 27 27 152. Wederom is Vy1— u- + 1fz2 <— ur> + 2^=3 sa « ' .—(§. 150.)» en derhalven *=—•iffyt-mu*u u iVz2—ma——~Vy'~— M==|^3a«; uZZ^ u 3 Dienvolgens is DErFC QzzYy2 — m1 )zff^a» en daarom AD isDEi 2FC ; AD zz AB z BC. Waar uit, volgens de Beginfelen der Meetkunde, opeq-  FLUXIE-RE KENING. i35 openbaar is, dat de Figuur ABCD in eenen hal ven Cirkel, wiens Diameter DC is, befchreeven ra-eC kunnen worden. i«. Lemma. Onderftellende dat een Lighaam of iWn (Fig. at.) zich in eene rechte Lyn AS beweegt, dan zal deszelfs volftrekte jnelheid , in de Richtftreek van die Lyn, in reden zyn tot de betrekkelyke fnelheid , waar door het na of van een gegeeven punt C, ergens buiten de Lyn, poogt te gaan , als de afftand Cn ftaat tot den afftand Dn, begreepen tusfchen o en den Perpendiculair CD ; of, als_KaüiUs tot de Coünus van den hoek van helling DnC Want, laat CDzifl , Dnzzx , en Cnzzy zyn. Dan hebben wy ^\ ~ CDD » ) z:a2 + z:;f, waar van de Fluxie is Perpendiculair op Cn ltaande , tot elkander in reden zvu, als Cn Dn, en CD refpeftivelyk. * ' "» 155. Voorbeeld XIX. De Jlelling van een Punt te bepaalen . waar uit drie rechte Lyienltevenll veel gegejne Punten A , B, C getrlkkcn %™"2 Laat DPE den Omtrek eens Cirkels zyn , die uit i'r fentrum' «Mt eenigen afftand AD, als flaowr, befchreeven is; en laat het Punt P begreepen worden zich in dien omtrek te beweegen me eene eenpaange Snelheid, van D naar E. De* wy dan de betrekkelykc Snelheid van dat Punt in de verengde I ichtftreek CP, ftaat tot deszelfs oetrek. kehke_ Snelheidm de verlengde Richtftreek BP, als noefc tt^D (§. 154.) ; en naardien, n het geval 'al« de Som yan CP en BP een Minimum is, deeze sief heden gelyk moeten zyn (§§. a en oVjti ii X openbaar, dat de gemelde Hoeken Ci'ïi en. BPf» gelyk mede hunne Cofmusjin, in die omftandfeheid aan elkander gelyk worden; en dat by gevolJfacit de hoek APC gelyk aan den hoek APBzallya. w blykt, dat, hoe groot of klein de Radius AD ook genomen worde, de Som der drie Lynen AP B° en CP de mogelyk kleinfte niet kan zyn , wanneer de* hoeken APB en APC engdyk zyn/ Ook zal doo? eene gelyke redeneering blyken, dat de gemelde fom ke^ATB^PPr^f/,30 Zy°' ™-™**h*. e ï 5 ■ PC 0D§elyk »-yn» derhalven zal rif Som der dne Lynen AP, BP en CP de moTelvk klwfe zyn, als aüe de drie hoeken om heXtP aas  FLUXIE.REKENING. 13?- aan elkander gelyk zyn ; by gevolg is ieder van die hoeken APBzAPCzrBPCvan 4 rechte hoeken Z1200. Indien echter het geval geen zodanige gelykheid der hoeken toelaat, ofwel, als de Driehoek ABC, ftomphuekig zynde, den Hompen hoek gelyk of grooter dan 120" heeft, zal het punt P in den Rompen hoek vallen, en dus het voorgeftdde onmogelyk worden. Derhalven wordt het Voordel op de volgende wyze geconjtrueerd. 156. Befchryf op BC het Segment eens Cirkels, dat een hoek van 120° kan bevatten, en voltrek den geheelen Cirkel BCF; trek uit A tot het midden F des Boogs BFC de rechte AF, fnydende den Omtrek des Cirkels in P; 'twelk het begeerde Punt zal zvn. Want, vermits de hoeken BPF en CPF op de gelyke «n°ngenA^ en CF Üaan ' zvn hunne Complementen APB, APC, zo we) als de hoeken zclven, aan elkander gelyk; en om dat, volgens de Conjlruclie, de hoek BPC _i2o° is, zal ook ieder der gemelde hoeken APB, APC aan 12c0 gelyk zyn, T57. Op de zelfde wyze z?.l blyken, dat de Som van alle de Lynen AP, BP, CP , enz. (Fig. 23.), uic eemg getal van gegeeven Punten A, B, C, enz. tot een ander Punt getrokken , de mogelyk kleinfte zal zyn , warneer de Cofinusfen der hoeken NPA , NPB, NPC, enz,, welke de gemelde Lynen met eemge andere Lyn JN'M maaken, die door het Punc van famenkomstgaat, elkander vernietigen; hetgeen plaats zal hebben , wanneer alle de hoeken APB, BPC, CPD, enz. gelyk zyn, en we! in alle zodanige gevallen , waar in de ftellins der gegeevene Punten zulk eene gelykheid zal toelaaten. Doch wanneer de gegeevene Ponten vier in getal zyn , zal het begeerde Punt zich bevinden in de doorfnyding van twee rechte Lynen , welke de tegen over elkander a1 4DP nten larnenvoegen. Want, onderftellende dat AI C en BPD geduurige rechte Lynen zyn, zal de UJinus van den hoek NPA gelyk aan de Co/mus I 5 van  i38 EERSTE BEGINSELEN der van den boek NPC , en de Cojinus van den boek NPB gelyk aan de Cojinus van den hoek NPD, en ia tegendeel, zyn. 158. Voorbeeld XX. Als twee Reizigers op den zelfden tyd uit wee gegeevene Plaatfen A en B ver' trekken , en van daar in gegeevene Richtftreeken AP en BQ gelykmaatig voortgaan, met Snelheden welke in eene gegeevene Reden zyn , begeert men hunnen Jtand te vinden, en hoe ver elk van' hun gegaan heeft, wanneer zy op het mogelyk naast by elkander zyn (Fig. 24. U Laat M en 1M de gelyk;ydige Standen der Reizigers zyn, wanneer zy zich het naast by elkander bevinden ; trek MN , en laat op AP de Perpendiculairs NE en BD vallen; laat ook QB verlengd worden, tot dat dezelve AP in C ontmoet. Laat voorts de Reden, der gegeevene Snelheid in BQ. tot die in AP, die van n tot m zyn, en neem AC~a, BC—6, CD—c, als ook de veranderlyke afftand CN~ x. Dan zullen wy, uit hoofde der parallele Lynen NE, BD, deeze Evenredigheid hebben BC : CN :: CD : CE. Dat is b : x :: c : CE. cx Dei halven CE~ —; en vermits ook de afftanden b BN en AM , welke in den zelfden tyd gegaan worden, als de Snelheden zyn, hebben wy desgelyks BN : AM :: n : m. Dat is x-b : AM :: n : m. mx—mb Derhalven AM ZZ —, en by gevolg CM n ( = AC  FLUXIE-REKENING; 139 mb mx (ZAC—AM) zza-\ ; of, Rellendea+ n n mb mx —ZZ d, CMzzd — —. Maar volgens de eerfte n n Beginfelen der Meetkunde is MN zCM'+CN"- , mx | CMx2CE, en derhalven MN zzd J +x2—. n I mx 2c nmdx m" x* icdx r. b n n' b amcx* 4- • . Dewyl nu MN de mogelyk kleinfte nb moet zyn , moet ook MN de mogelyk kleinfte zyn amdx m" x2 (§. 126. )> en daarom d2 1- ____ + n n2 zcdx 2 mcx2 - + —— ZZ een Minimum, Hier van is de b nb zmdx 2 m1 xx , acdx Fluxie •— 1 \- ixx— {...... n n2 b %mcxx ——, welke ZZZH2 o gefteld , en alles met bn' nb gemultipliceerd, als ook door 2* gedeeld zynde, zul.  140 EERSTE BEGINSELEN dhr zullen wy bekomen -mnbd + m* bx + n*bx-n' ci . , mnbd+n*cd f-zmncx ___ o; by gevolg xzz- « m"-b+n"- 6+ -'rimnc en MN insgelyks gegeeven zyn. W C/fe- in de richtlbeek d^Iyn'MN^rïï fpeöivelyk uitgedrukt worden door x ^ Radius Cofin. N £a ~R~a^iuT * n CS' 1530 '> en vermits ^ iStelel^fr?^ SeÏÏ^Sr^ « : » :: Co/?«. N : Ccfin. M. Maar teiM : Secans N :: Co/». N : Cofin. M (Driehoeksmeting §. 35.) w v' By gevolg « : „ j. &fflw M . Secam ^ Hier uit volgt deeze Co kj  PLÜXIE-REKENING. i^t Constructie. Neem CH tot CB (Tig. 25.) in de gegeevene Reden van m tot n, en trek HB; verleng UB, 2,0 het noodig is , en trek uit A op dezelve den Per. pendiculair AR; trek voorts RN parallel AH, welke de begeerde ftand zal zyn. Want van de Driehoeken BKN, BCH, is £RBN = CBH, eri L RNB zzzzz BCH ; derhalven zyn deeze Driehoeken gelykvormig, en daarom RN : BN :: CH : CB :: jm : n. Dewyl nu, wegens de parallele Lynen , RN rrr: , AM is, zal de Evenredigheid worden AM : BN :: CH : CB :; m] : n. Waar uit blykt , dat M en N gelyktydiee Starji den zyn ; en vermits de hoek NKR ( —ARK) een rechte hoek is, zal, wanneer men NK tot Radius neemt , RN de Secans van den hoek KNR , of CMN , en BN de Secans van den hoek KNB of CNM zyn. By gevolg RN (nAM) : BN :: Sic, LCMN z Sec. Z.CNM :: in : «, zo als boven reeds getoond is. I60. Men kan echter het Voörftel eeniglyk vol» gens de Beginfelen der Meetkunde, zonder het behulp van Fluxiën, oplosfen. Want aangezien 7»en n twee gelyktydige Standen naar welgevallen uitdrukken, en CH tot CB in reden is, als de Snelheid in AP tot de Snelheid in CQ , zo laat «r (tig. 25.) parallel aan AP getrokken worden, ontmoetende de verlengde DB in r, en voeg de punten A en r te iliamen. Dan hebben wy , wegers de gelykvormigheid der Driehoeken BCH, Bnr, CB  24» EERSTE BEGINSELEN üer. CB : CH :: Bn i nr; maat, door de oudefftelling is CB : CH :: Bn : Am; derhalven nr ZZ Am; en vermits nr parallel Am is, zal ook Ar gelyk en parallel mn zyn. Dewyl nu Ar de mogelyk kleinfte is, wanneer dezelve perpen' óiculair op HR ftaat j zo volgt, dat MN, parallel AR, den begeerden, mogelyk kortften, afftand zal zyn. i6r. Voorbeeld XXI. Een Lighaam M zich felykmaatig van A naar Q beweegende, met de Snel' eid m , terwyl een ander Lighaam N in den zelfden tyd, van B met de Snelheid n voortgaat, begeert men den Richtftreek BD van het laat (ie zodanig te bepaalen , dat, als het laatfte in den Weg of Richtftreek AO_ van het eerfte komt , de afftand MN der beide Lighaamen de mogelyk grootfte zy ( Fig. 26.). Trek BC perpendiculair op AQ; laat voorts AC t=a, BCzzh, en BN~a- zyn. Dewyl dan de ftand M gelyktydig met N onderfteld wordt, zullen wy hebben n : m :: BN : AM. Dat is n : m :: x : AM. mx Derhalven AMl—, en CM (AM—AC)c=: n mx — a. Maar , volgens het Pythagorisch Leer. 0 ftuk is CN°(z:BN2—BC*) -x-—b'-, en dus CN ZZZZV x2 —h\ By  FLUXÏE-REKEN1NG. 143 By gevolg MN (zCN-CM) =^~-TF — mx hal een Maximum. Hier van is de Fluxie n xx mx ———■ , welke Z o gefteld , en alles door f x- — b* x m x gedeeld zynde, zal 'er komen ■ — — —'» ylF^b* n mb derhalven .?Z» ■ ——, en CN (zzf/x2 — b') til Y tn1 —n' nb Y>'mï—n* mb nB Derhalven EN : CN :: -——- : ——— : 3 Yu^-n* Ym'—n" m : n. Maar BN : CN :: Radius : Cofinus N ♦ volgens de Beginfelen der Driehoeksmeeting, en daarom m : n :: Radius : Cofinus N. 162. Men kon nog op eene andere wyze toe het zelfde befluit geraaken door de volgende befchou» vving. Laat gefteld worden, dat de rechte Lyn BD (Fig. q6.) om het Punt B , als Centrum, draait, met eene beweeging , die zodanig is ingericht, dat het Deel BN van die Lyn , tusfchen het Punt B en de rechte Lyn  144 EERSTE BEGINSELEN der Lyn AQbegreepen, met dé gelykmaatige Snelheid & aangroeit: dewyl dan de Snelüeid met welke CN is n x Radius aangegroeid ±zz — * is ft. 153.), zo moeC Cofinus N by gevolg deeze Uitdrukking , wanneer MN een Maximum is, gelyk zyo aau m, de Snelheid van het ander Lighaam M f $. 104. ). Derhalven hebben wy, als vooren, m : n :: Radius : Cofinus N. 163. Voorbeeld XXII. Laat gefield worden, dal een Schip van eene gegeevene Plaats a, in eene ge* geevene Richtftreek AQ, onder zeiLgaat, en dat op den zelfden tyd, van eene andere gegeevene Plaats li, een Boot vertrekt, met oogmerk om , ware het mogelyk, het Schip te achterhaalen; zo nu de Snelheid van het Schip tot die van de Boot in reden is, als m tot n, vraagt men in welke Richtftreek de Boot moet zeilen, om, zo dezdve het Schip niet mogt kunnen achterhaalen , nogthans zo naby hetzelve te komen als mogelyk is, (Fïg. 27 ). Men verbeelde zich D en F als de Plaatfen der beide Vaartuigen, wanneer zy het n;:ast by elkander zyn» en dat, uit 15, als Centrum , door F den Om. trek eens Cirkels befchreeven zy. Aangezien dan de afftand DF, Volgens de bepaaling van het Voordel, de mogelyk kleinfte is , moet het Punt F zyn in de rechte Lyn DB, welke het Punt D en het Centrum B faamen voegt; vermits, volgens de Beginfelen der Meet* kunde, geen ander Punt in den geheelen Omtrek, waar in de Boot in den zelfden tyd uit B kan komen zo dicht by D is, als dat waar in de Lyn DB den gemelden Omtrek fnydt Om nu, in Mgebraïjche Termen,eene Uitdrukking voor DF te bekomen, trekt men BC perpendiculair op AQ, en men ftelle alsdan ACzia, öCzzb, en CD ZZx; dan is BD '(riBC^-f CD ) z~b- -F x~-; en dus WzzVFWFi Maar  FLUXIE'REKËNINGi t4£ Maar volgens het Voordel is m : n : i AD : BF. Dat is ia i n 11 a+x : BF. na-\-nx Derhalven BF zz » en by gevolg DF m na-hnx C==DB-BF) = Yb2-r-x2 - • £=3 een m ilffm'ffjwm. Hier van is de F/tm'e *-*» —1 yb2 -\-x2 n x '—, welke ±=0 gefteld , en alles door x gedeeld m ü n zynde, zullen wy hebben *—-— — — zrz: O, 7——: m v'b2 + x2 nb . ea by gevolg * ZZ ■ —; waar uit blykbaar is» mb dat BD,den Richtftreek van de Boot, ~— Y m2-nx en dus bekeodj zal zyn» Subftituerrende nu de gevondene Waarde van x in die van DF, boven gevonden, zullen wy hebben by m2 —n2 — na DF ~ — ; waar uit dus de ftand van F m bekend is. Dewyl nu DF eene weunhke, pofitivt K Groet-  146 EERSTE BEGINSELEN dhr Grootheid, volgens het Vborftel, meet zyn , zo is het klaar, dat, in geva'le de BOQt het Schip niet achterhaalen, maar ectues zo na rnógëlyk by hetzelve komen kan , m groorer dan-n , en dus ook hi/wz-n2 grooter dan na zal zyn; .vermits iu aJJe andere gevallen de Boot het "Schip zaf kunnen achterhaalen. ■ 164. Om nog op eciïe arrdere wyze tot het begeerde te komen, zo laat'de Radius des Cirkels ^ EFH begreepen worden gelykmaatig aan te groeijen, met de fnelheid n , terwyl het Punt D zich, niet de fnelheid m , gelykimati;; langs AQ beweegt. Dewyl dan de fnelheid in f) , in de Rfchtftreèk der m x Cojinus D verlengde BD, = is CS- 153O» $1» 1 ' Radius '"' de betrekkelyke fnelheid , met welke het Punt D van den Orotrek dts gemelden verarderlvken Cirkels afwykr,. algemeen uitgedrukt _ worden door .... m X Cojinus D - «, welke—o zynde, als DF een Radius Minimum i?, hebben wy in dat Geval mx Cofinus D ' rmwx Radius , en by gevolg m : n :: Radius : Cojinus D. Hier uit vloeit de volgende Constructie. Maakt in C een rechthoekigen Driehoek. Cbd, wiens Bajis Cdt=n, en Bypthcnufa db = m is. Trekt voorts BD pamliel bd, deeze zal de begierde Richtftreek zyn. Eindelyk neemt in BD de vierdeEvenredige BF tot m, n en AD, dan is F de begeerde ftand van de Boot. - 165. Vocubëkld XXIII. Aan eenen horizentaafeu talk AB is in A een i ya3-f-c3-—2c# j/a3 — a-3 en alles door j gedeeld zynde , zal men hebben : ...* ds~b, eene Vergelykinge, waar van cén der Wortelen de gezochte Waarde Voor AE cp'.eevert. 167. VooRnEELD XXV. Een Lyn te vinden, welke met twee gegeevene Lynen den mogelyk grootfien Inhoud zal bejluiten, K 3 Laat  ijü- EERSTE BEGINSELEN dek Laat de gogeewwe Lynen ab (Fj>. 30.) — a, P-C — b , cn de te virdcq [.yn \Czz~x .zyn. Tr:k BD perpendiculair o(> AC, en [te! AD^-y; dan is B r>: Cs? 1/ A B2—A D O 3b ^ , Cn derhal¬ ven ACxBDz: den dubbelden Inhoud des Driehoeks ZZzzz xya- — y- rrz: een Maximum; waar van de .ry y F/zak xVa2—y-. rrr o is CS. 105.), Vóü&emm i.-;, volgens Meetkunilige Beginfelen, l\c'. + AB'-BCa-2ACxA0 ; dat is .r=+a'— è= = 2a?y. LJier van de i'ïttjcte neemende , hebben wy sxx~''.yx f 2.tj? , of, door 2 gedeeld, xx—yx-r ... xy xy ; feta!ven x = —*«, Subrtitueeren.de nu deex y ze Waarde van x in de bovengaande Vergelykinge, xy xyy zul ea wy hebben Va*-y* =ro,ea " , I -y alles door xy deelende,—.ycf—y* V a3 — 31» y *—•■ o , of ... -— — - ' ; waar uit deeze Evenredigheid voortvloeit;  F L ü X I E - R E K E N I N G. 151 x~y : t/a*—y* :: V<^-f '• 1Dat is D.C i BD :: BD : AD. By gevolg is de Perpendiculair BD een Middenevenredige tusfcbcn dc Deelen Ai) , DG van den Bafis AC 4 en vermits dit , volgens de Béjfiflffëteö der $êeÜÓ3nH8, eeae eigenfehnp van der, rcch.noc kigefi.D'iehoek is, zo moeten de gegeevene Lynèlt KB, BC perpendiculair tot elkander /yn ; waar door dan gezochte Lyn van zelfs .bepaald is. 16». Hier uit volgt., hoe men den grootïten Inhoud , begr'eepen onder een willekeurig getal rechte? Lynen. en eene andere onbekende L^n, kan vinden. Want ABCDE ( Fig. 31.) het Vlak 7-vndü 'c weU den mogelyk grootib-n Inhoud moet bevatten,moet A AB£ -+■ Trap. BCDIi een Maximum zyn. Want het is klaar, dat, hoe veel zyden de Fisjwur ook moge hebben, ABE een Driehoek zal zyn, die rechthoekig in B is. Wederom , naardien ABC -i- CDE -!- ACE een Maximen zo is het klaarblyklyk, dat, hoedanig ABC en CDE ook zyn , ACli een Driehoek zal zvn, die rechthoekig in C is. Desgetyto* naardien A.BCD4-ADfveen Maximum is, is"het openbaar, dat, hoedanig de Figuur AQCl> fok zy,J ADE een Driehoek moet zyn, d» feebe* hoekig iu D is; en zo vervolgens, al hatit de Figuur rog zo veel zvden. Derhalven moeten afle de hoeken ABF, ACE, ADE, welke op Ml (laan, r chte hoeken zyn. By gevolg is de gebette tisiuur in eenen hal ven-Cirkel befchreeven, wiens Diameter iAF. is, en buiten deeze bepaaling kan dezelve geen 'Maximum zyn. 109. Voorbeeld XXVI. Den grootften Inhoud te bepaalen, ■welk'; onder vier gegeevene rechts Lynen begreepen kun wer-den. Uil het boven beweezene(§. ló&Jl. en de Gron. den der gemeene Meetkunde , volg-, dat de InK 4 houd  152 EERSTE BEGINSELEN der houd de grootfte zal zyn, als het Trapezium , door de gegeevene Lynen gevormd, in eenen Cirkel befchreeven kan worden. Doch ik verkies deeze waarheid als onbekend aan te merken, en de eigenfchappen van zodanig Trapezium uit de Theorie der Fluxiën af te leiden. Trek den Diagonaal AC, en laat op CB en AD de Perpendiculairs AE en CF vallen. Men ftelle (Fig. 32O AB-a, BC-A, CD~c, DAna", BE ~x, en DFny; dan is AErrjVa*™^, en CF rr V~c2 — y\ Derhalven Driehoek ABC (iBCxAE) -\b\/a2 — %2, en Driehoek ACD (é ADx CF) ZZ\dyc2 — y'. Dienvolgens is de Inhoud van het Trapezium ABCD - i /} f «* — x2+*dy^ïr5* J=5 — ^ b x x een Maximum. Hier van is de Fluxie —- < ya2 — x* idy'y ,„ ~dyy ' ■ _ • = o (§. 105.), en derhalven . fc^y2 yT2~^}y bxx VaT^-~x2~ 170. Voorts is volgens de grondbeginfelen deï Meetkunde b b BC*+AB'+ aBCxBEzrAC*; lis ook DTi'+CD'-.aDAxDF-AC1, Der-  FLUXIE. REKENING. 153 Derhalven BC + AB +aBCxBEzDA5-r-CD - 2 DA x DF. Dat is b2 + a2 + 2i xzzd2 + c2— 2dy ; hier van de F/wiie neemende, hebben wy 2bx~ — 2dy, of <— dyzzbx'y dit voor —dj/ in de voorgaande Vergelykinge (§. 169.) gefteld, zal dezelve worden b xy bxx y ■—- rz », en daarom — ;—; l/c2 — y2 ya2—x2 ifc2—y* x -■■ ; waar uit vloeit deeze evenredigheid: tfa2-x2 Vc'—y' • y Va2—x2 : x. Dat is CF : DF :: AE : BE. 171. Hier uit blykc, dat de Driehoeken DCF ea ABE gelykvormig zyn, en dat deihalven Z*ABErrr;/.D is. Hier by A.ABC=£. ABC opgeteld. Komt /L.ABE + Z.ABC-/LABC + Z.D Maar L ABE 4-L ABC- 2 rechte hoeken. By gevolg Z.ARC + /.D — 2 rechte hoeken. Waar uit blykt, dat de Vierhoek, om de mogelyk grootfte te zyn , in eenen Cirkel moet kunnen befchreeven worden. K 5 "7*  f54 EERSTE BEGINSELEN n*R7 172. Om nu eene uitdrukking in bekende Termen voor 'JüO-.Inh.rird.des Vierhoeks ABC.D te vn-den, h- hh?n wy door de gelykvoTtnigbeiü der Driehoeken fr&F en ABE, CO : DF :: AB : BE. • ' Dat is e : y :: a *v . cx • • Derhalven yzz—. Deeze waarde gefubftitueerd zzzzz. - ■■ ~- nfos.v, r : , ••• — — ~ - '— . - in de voor geyqndene Uitdrukking b~-.-'ra-.-r2bxzz d~- -f-c1 — i£y (§. 17c), zal 'ër komen ; • ~.. ■ - . . fc'+fl' -r2i^ —dJ + cs a '.. • i. "j zedx of a&#+ ■ ■ zz d'-\-c'— b2 — a* a 2.ab+2cd»x >-.biM^o 08iT:v..~-DOA A v_« tj»1H a- d2 + c2 —b2 — a' En derhalven — czz: >- ■ ■ ■ a s,ab + 2cd 173. Nu is de Inhoud van den Vieihoek ABCD, . . cd of SBCxAE + JADxCF, ZZ}bi/a2~x2-\ 2 a Va*—x2  F L U X I E - R £ K E N I N G. 155 , i_ C x 1 r' , fa2—a-2 , als men — voor y fubftitueert, ~T a ab + cd Va2-—x\ Derhalven is het Vierkant van ab -;- c d\ ab + c d\ dien Inhoud zz 1 x a2 —x~ zz —— 1 402 4a1 ' a £ + c d I ■ x x Xa + ïXa-ï- X H X I . 4 a a x d~ -F c- -b' — a2 174. Naardien nu—~ — is (§, 172.), « zab + icd x d2c2-b2-a2 hebben wy H — 1 + —— __. zz . ■, , a 2ab+zcd 2ab + scd+d* + c2-62-a2 d-'-cf —• af ' **—; ——• ■ ■ ^» 2 ab 2c d 2 ab -F a e d x 2ab-'ricd-d'-c2 + b2 + a* a 2ab-'r2cd fr+a\ — d — cT ———— . Dienvolgens is het vierkant van 2 a £ -F 2 c d afc + ca"!1 d+cl* — è^al" den Inhoud — ■ x ■ ■ x . i 4 aai-F 2 cd b + a\ -d-c\ d-bc\ -~b-a\ xb + a\ -d-~c\ a * 'F 2 cd 16 of,  356 EERSTE BEGINSELEN der of, om dat het verfchil der Vierkanten van twee Grootbeden gélyk is. aan het vermeeni'gvuldigde van haar Som met haar Verfchil, wordt hec vierkant van den Inhoud uitgedrukt door d+c + b-axd+c-b + axb+a + d-cxb+a-~d+c 4 • d 4- c-r b + a d+c+b+a d + c+b-\-a flx__ bx cx H. |; . . 2 2 d-\-c-\-b + a . — 1 — d. Hier uit blykt, dat, als men ' tl »* K ï*Tj & "i'V-' 1'' '; ■ -^fr-tit' tmïnwW 4V [ van de halve -fóm der vier zyden iedere zyde byzonder aftrekt, het geduurig Product der overblyffelen het vierkant des Inhouds zal zyu. 175. De algemeene Regel om van een Driehoek, wiens drie zyden bekend zyn, den Inhoud te vinden , kan nu als een gevolg uit de voorgaande Formule (§. 174.) 'afgeleid worden. Want Hellende a — o, dan wordt hec Trapezium veranderd in een Driehoek , en de voorgaande Formule zal dan zyn d+c + b d + c-i-b d + c + b d+c + b 2 2 2 a Deeze Formule wordt nu woordelyk aldus uitgedrukt: Trek elke zyde byzonder van de halve-Som der zyden; vermeenigvuldigt de drie Overblyffelen te famen, en het ProduSt neg met de halve-Som der zyden ; dan zal het laatfte ProduSt het vierkant van den Inhoud des Driehoe As zyn. Hoe dit l atfte Theorema buiten Fluxie - Rekening gevonden wordt, heb ik in myne Toepasfing der Alge-  FLUXIE- R E K E N I N G. 157. gebra op de Meetkunde , L Deel. Pag. 62 en.63, §• 85. getoond. 176. Voorbeeld XXVII. Van alle Driehoeken, welke den zelfden gegeevenen Perimeter hebben, en in den zelfden gegeevenen Cirkel befchreeven zyn , den mogelyk grootflen te bepaalen. Laat de Bafis BC (Fig. 33.) des begeerden Driehoeks ABC, door den Diameter DE in twee gelyke deelen gefneeden , en EA, EB, BD getrokken worden. Trek wyders HF perpendiculair op BA , en GA parallel BC, ontmoetende ED in G. Laat de Dia. meter DE ZZ a, de gegeevene Perimeter des Driehoeks ZZfb, en DH~a- zyn; dan is EHra-i. Nu is volgens de eigenl'chap van den Cirkel. BH =DHxEHr:*xa — x. By gevolg BH = Yax—x>. 177. Alvoorens verder te gaan, ftaat ons te be. wyzen, dat AF de halve-Sorn der BeenenAB,AC, en dus AF+BH de halve-Perimeter des Driehoeks is. Laat tot dat einde E ƒ perpendiculair op de verlengde AC getrokken, en E,C ftunengevoegd wor. den. Dewyl dan in de Driehoeken BAE, ÈAC BE = CE AE zzzzz AE gemeen en Z-BAÈ zzzr i_ ÈAC is, Zo is ook AB Af. Dewyl dan de rechthoekige Driehoeken AEF, AE/de zyde'A S gemeen, en Z.EAF (of £_ BAE ) ZZLEAf fof ZLKAC; hebben, is AF~A/, en dus ook BFziC/. By  ijg EERSTE BEGINSELEN der By gevolg AB + AC (~AF-|-A/) raAF. AB-+ AC Derhalven —■- zzzzz AF BC a — —1 verg, AB + AC+ BC = AF + BH. 2 Daarom AF-FBH = b BH = V~aJ-~x* • ■ afgetf. AF .... — b — -ff ax— jr2. 178. Nu is volgens de Beginfelen der Meetkunde Drieb. DBFI : Drieh. DOE :: Ï5Ï3': DlT. En Drieh. DBH : Drieh. DBE :: dh : DE Derhalven BD': dIT:: DH : DE. Maar BD*: BF:: AF : AF/ By gevolg DH : DE - AF: AË' Dat is x - 0 :: b-Vax-x*\ ; AE* Dus  F L ü X I E - R E K E N I N G. 159 3 a !—;—zr~~|3 Dus AE ZZ — x b-fax-x*] 179. Wederom is DE : AE :: AE : EG. of AÊ2~ DE xEG. Dat is — x b-Yax^VA ~ a x EG. x Derhalven EG z: b-ffax — x2\ a, \§ .?' '... * «*(MO«r M 9* ö3,fe* WHA EH ~ a —* *~ 1 — 1 1 'H ■■- afgetr. — 2 Jfr'a*- — HG — • By gevolg is de Inhoud des Driehoeks ABC . b2 — zbi/ax—x2 (BHxHG) ZZ yax-x2 X ~ b2/ax — x1 ' *- zaiï + abx zz een Aiaximum. Hier iab2 x van is de Fluxie 2bx — ., we|ke — o xyax-x* gefteld, en alles door b'x gedeeld zynde. zal men oekonaen 2—  ï6o EERSTE BEGINSELEN der ïab 3. 1 ~ o s]/ ax—x* of 2X[/ax—x1 zz \ab V/ ' 4 l6ax3 — l6x* zz a*b* of i6x*—i6ax% + a~b2ZZo, eens VefgelyKing* door welke op te losfen de zyden van den begeerden Driehoek bepaald worden. iüo. Vooreeld XXVIII. Den grootften Paraboot te bepaalen , welke door de fnyding van een gegeeven Kegel gevormd kan worden* Laat BTC (Fig. 3*0 ^en Kegel', AD, parallel TB , den As , en n N den Bafis of dubbelden Or* dinaat des Kegels zyn. Stel BC— a, BT-£, en CD-ï. Dan hebben wy, uit hoofde der parallels Lynen TB, AD, deeze Evenredigheid: BC ï BT :: CD : AD. Dat is a : b :: x : AD. Derhalven AD zz—* a Wyders hebben wy doör de eigenichap van den Cirkel ÜD*  FLÜXIE-RËKËNING. iet fiü ™ DN°~ AD x BD. Dat is DN — xxa — xZzax — x2, By gevolg DN =: y~ax~— ~x*~, en 2 DN zz nNzzïylix—~x2 181. Nu is, volgens myne Toepasfing der Algebra op dehooge Meetkunde, §.64, ieder Parabool de f van een Paralellogram van gelyke Bafis en hoogte. Der- , , . , bx nalven is de fnhoud van den Parabool = f x x a 4bx s.yax-x2zz yax~x2zz een*Maximum. Maar 4b *- is eene ftandvastige Grootheid, dus hebben wy 3a flegts xVax-x2, of het Vierkant dier Grootheid, zynde ax*—x*, in Fluxie te ftellen, waar door wy bekomen |. 3a*1 x—4X* # = 0 3a — 4*=o of /\x — 3 a 3a cn * = — =r CD. 4 bx <$b Derhalven — = — = AD. s 4 L Dien*  162 EERSTE BEGINSELEN der Dienvolgens is CD zz\x BC, en AD zz |XBT. 3 3* 30* Voorts »N (zz zVax—x' ) — 21/ — zz \/ — 16 4 z=zay~IzzBCxV I; en dus is de Inhoud van den grootten Parabool, die uit deu Kegel gefneeden kan worden ( = JxADx nN) zzi X J x BT x BC x 1/3 |/3=BTx BCx —. 4 182. Voorbeeld XXIX. Den grootften Ellips te btpaalen, welke door de fnyding van een gegeeven Kegel gevormd kan worden. Laat AB (Fig. 35) de groote, en wN de kleine As van den Ellips ANBn zyn, en laat de Ellips als veianderlyk befchouwd worden, door de beweepring van het einde A van den grooten As langs de lyn TC. Laat wyders AH parallel met TD den As des Kegels zyn, ontmoetende den Diameter BC van het Grondvlak in H , en laat gefteld worden , dat de Diameters Ali en QF parallel met BC zyn, en dat de laatfte GF door O, het middelpunt van de Ellips, gaat. Stel nu TD zz a, DC zzb, en ÜH x; dan is BHzi + .r, en CH — 6 — x. Voorts hebben wy, uit hoofde der parallele Lynen, 'J.D, AH, DC : TD :: CH : AH. Dat is b : a :: b-x : AIL axb-x Derhalven ah zz • b By gevolg AB (zBhV AÊT; Ï-H*|' + ... o' x~b—~x\' b'xb+x\' + a'xf—x\2 . =± - ■ , en dus i' b* ab =  F k U X i E- R E K E N I N G\f ify Aangezién ru de Driehoeken AOG, ABC, als ook de Driehoeken BOF , BAE gelyichöekig Zyn, en AO C ZZ Bü ) — i AB is, heb oen wy desgelyks Oü- i tCZZb, en OF ZZ \ AE = BH ZZ *j en by gevolg OG X OF "ON ("door tie eigenfchaö van den Cirkel) derhalven Mn ZZ i y bi, eü daarom Yb1 x b-(- #1 2 -f aJ x £ — A'l2 x 4** ABx N« — j « ~~- ffl" .. "* r ' 184. Nu is dê Inhoud van eene Éllips in eene ftandvastige Rede tot den Rechthoek der beide Asfen* Zie Toepasfing der Algebra op de hèoge Meetkunde, 1. Deel. 94, 95. Zal derhalven de Inhoud dé mogelyk grootfte zyn , moet de laatfte algemeene Uitdrukking insgelyks een Maximum zyn. De-wvl nu de Noemer van die Uitdrukking eene ftandvastige Grootheid is, blyft 'er niets anders over , dan dat de Teller, of liever detzell's Quadraat (§. iz6) . b2.vxb-\-x\' -]r a' xxb — x\2xb, of wel b2xx ... b+x\' +a' XX & — ar12 ( ZZb*x 4. 2Ü»1 x* 4- b'x* a2 b2 x — 2 a2 b x2 -Fa2 .r') een Maximum moet xym Hier van is de Ftaai'é fc4# -F 4&3*.y -F 3&'#2a- -F a2è2 at—4a*bxx + %a*x2 x, welke ~o gefield, e& alles door x gedeeld zynde, zal men bekomen, I, 2 I* JF  *Ó4 EERSTE BEGINSELEN der b* + 4b'x + il>'x1+a2b2 — 4a' bx+ia2 x2 — o ofsa'+zb1 .x1— a' — b2. 4bxzz-a~1~+b~xb2 a2-b*.dbx b' Dat is x' — ;—- 3a"-+3i' 3 a'-b2 x 2 b j 4a*-ia~hTX4~b~x b' 3a2-h5b2 ~ - a2 — b2.4bx a2 — b2xzb\ x' — h ' ■ 3a'+ 3ft* 3«' + 3^" I Wxa4— i4a'£a+,ê4 3a' + 3ft*|a 1/ — b2X2b -thffa*- 14a2 b' + b* 3a2+3^J 3a1 + 3ft* a* — b'x^b'ï.bya* — i4a2b2 + b . Derhalven xzz ■ ' 3fl' + 3&' waar uit nu voorts de Ellips bekend is. 185. Wanneer echter a4—I4a*ft*4-ft4 eene ne~ gative Grootheid is, wordt deeze Oplosfing onmogeïyk, vermits de Vierkants - Wortel uit eene negative Groot-  FLUXIE.REKENING. 165 Grootheid getrokken rr.oet worden. Om derhalven den Limiet te hepaalen, zo ftel a4 — 14 a1 b2 + b*zz o; dan hebben wy a4 —i4fli&* rzrr — b* 49 b4 zzzzz: 49 b* a*—140Tb* + 49 b* ZZ \%b* V a* — Tb2 ZZZZZ4 b'1/3 Dus tt,r=:liIx7 + 4i/3 V • azzzzzb x 2 + 1/3 Derhalven hebben wy deeze evenredigheid: a : b :: 2-hf 3 : 1. Indien dus de Rede van TD tot DC niet grooter is, dan die van 2+1/3 tot 1; of, dat op het zelfde uitkomt, indien de Hoek CTD niet kleiner dan 15 Graaden is, kan de Fluxie van de Ellips nimmer ge» lyk aan nul worden ; maar de Ellips zelve zal van den Top des Kegels af geduurig grooter worden , tot dat zy op den Bafis des Kegels valt , en dus ten Cirkel wordt ; derhalven is de Ellips op den Bafis grooter, dan in eenigen anderen ftand. 186. M aar dit Voorftel is nog tusfchen naauwere Limieten befloten. Want de Ellips zat of van den Top des Kegels tot deszelfs Bafis geduurig grooter worden, dat plaats heeft in het geval, ais oe Hoek Cl D grooter dan ij Graaden is; of wel zy zal geduurig grooter worden , tot dat hec punt S in eeuen zekeren ftand A komt, vervolgens kleiner worden tot eenen anderen zekeren ftand a, en einL 3 de-  ï66 EERSTE BEGINSELEN der delvk wederom grooter worden , tot dat zy cp den Bafis des Kegels valt. Want zo dra het runt S onder den Perpendiculair BP komt , zullen de beide Asfen van de Ellips ia den zelfden tyd grooter worden. 187. Het zelfde blykt insgelyks uit de voorgaande Vergelykinge (§. jÖ4. ) , e« — b"- x 2 bï b \/ a4 - 14 a' b* +T« ,? zz •■—h—1——- ; welkers bei- de Wanrden de twee Wortelen van** fof DH >, in de tyden van het Maximum'm A ,en hec daar op volgend Mi-, nmum in a, uitdrukken. Waar uit open Daar is, dat de Ellips tusfchen den Top des Kegels en den Perpendiculair BP een Maximum, kan toelaaten, en nogthans dat Maximum kleiner zy dan de Bafis des Kegels, ten zy de voorgemelde Hoek CiD zoveel klei oer zy dan 15 Graaden, als de aangroeijing van a rot C minder is, dan de afneemb-g van A tot a. tim Cus tien naauwkeuiigen Limiet te bepaalen, zo leut de voorgemelde aangroeijing en afneeming aan elkander gelyk gefield worden, of, dat in de daad het zelf Je is, laat de EiUps Bi\S»Bz: den Cirktl Bf C«, of BS X N«~ BC zyn , dat is , Y b'xb-rx\1-\-a1 xb-xr X*bx ~~~~b~ ~4 f' b% xb-'rxl - -h a" x b-x\* x 4 fc3 4- x\* -h a" X b-x\ 1 x 4 bxZZ 16 b' b*X  FLUXIE-REKENING. 167 j,» x j+Ti' + a2 X & — a-I a X * - 4&5 Of &'*+2Z>'#' -r-J'lf' + a'AfX 4^ Derh. a**X 6^*1lzzb* *i»7-^*-2fc** 4£l-£»\*-2&a-t-tf* en a1 S£ — X _ * * b—x\2 b2 Ab2 + %ix + x2 Dat is a* = — X ' • x b — x 188. Wyders hébben wy , volgens §• 1&4, de volgende Vergelykinge: fc* -f- 4 &3 x-f 3 è2 x2 ■+• a' £1 — 4 a2 £ *+3 a2 #2 = o of -a2b2 + ta*bx-3a'x'-b'xb'-tr + »b2x-4ff3z=ff»* + 4*A-+3A-3 of \bx2 + 8b"-x zrzr 4b3 4 6 — i . x' + ibx ZZZZ b2 x2 -t abx + b* . 190. Wy hebben boven (§, 187.) gevonden b' 4b2 + $bx+x2 b2,4b' + 3bx+~x* a'zz — x of a3~ • x b — x bx — x2 a2 4b~- + »Éx + x* derhalven — ~ . Voorts is x2 H» b2 bx—x' nbx-b2 (§. m.y, of x2zzh2-nbx, enfubflitueerer.de deeze Waarde voor x2 in de naastvoorgaande Vergelykinge, zal dezelve worden a2  FLUXIE.REKENING. 169 a2 yb'+bx 56* -Vbx $h->rx b2 bx — x2 %bx—b2 3x — b 56 + 61/2 — 0 464-61/2 4 + 1/2 3&Va-30-5 361/2-4-5 31/2-4 4 + 1/2 . 4+31/2 22+!6l/2 ^ ~4+Tj/2 . 4 + 3l/a 2 Hier door hebben wy deeze evenredigheid; 1 : 1.1 + %V 2 :: b2 : a\ By gevolg 1 : |/ii + S^2 :: 6 : a :: DC : TD. Nu is \Y 11 + 81/2 na genoeg —4.72374 , zynde de Tangens van 78 Graaden 3 Min., de Radius 1 Maar in den Driehoek CTD hebben wy, volgens de Grondbeginfelen der Driehoeksmeeting, DC : TD Rad. : Tang. LTCD. By gevolg iLTCD—78 Graad. 3 Min., en dus is deszelfs Complement L Dl C ~ 11 Graad. 57 Min. de mogelyk kleinfte Limiet. indien derhalven de Hoek, welke de fchuine zyde met den As des Kegels maakt, nie.t kleiner dan 11 Graad. 57 Min. is , zal de grootfte Ellips kleir.er dan de Bafis des Kegels zyn. 191. Voorbeeld XXX. Men begeert x en y zodanig te bepaalen, dat de Fundie x*—x2y2-ray3 een Minimum zy. De Fluxie van de gegeeven Funclie is 4x,x — 2y*x* zx'yy + 2ay2yz=zo. Zo wy nu eerftelyk y als L s ftand*  i7o EERSTE BEGINSELEN der ftandvastig befchouwen ,. dat is zzo ftellen , hebben wy . 4#3*-— 2y° xxzzo 9 xx ■ 2x' — y* — o of ax*=y' 19a. Wederom * als ftandvastig aanmerkende, en = 0 Hellende, hebben wy. . -zx^y-hsay'yzzo -ix' + saj ~ o of axx zz %ay Maar a#s ZZ y* (§. 191.) Derhalven zz %ay, y y z: 3a, en dus * — 3«i/|. 103. Voorbeeld XXXI. Wat getal is het, dat ioor&ynen Logarithmus gedeeld zynde, een Minimum tot Quotiënt geeft? Laat x het gezochte getal zyn, dan moet, volx gens de bepaaling, een Minimum, en by ge- Leg.x Log.x volg ——— een Maximum zyn. De Fluxie van x _ * Leg. * is — (§. 43.), en derhalven is die van x Log. x  F L ü X I E - R E K li N I N G. ï7* Log. xxx Log. x m r (§. 31.). Deeze ~o ge- X X2 X2 fteld , alles met *' vermeenigvuldigd , en door * gedeeld zynde, zullen wy hebben i-Z.og.a-~o , en derhalven Log-a~i. lewyl nu hier de fhperbolifche Logarithmus bedoeld wordt, zo is x na genoeg "2.718. Voorbeeld XXXII. Gegeeven zynde de fnelheid eens Kogels, die uit een Kanon gefchoten wordt, den hoek van verheffing te vinden, waar door dezelve op het horizontaal Vlak den grootften afftand zal doorkopen. Laat ABC (Fig. 36. ) de richtftreek drs Kogels zyn, en laat de gegeeven kr-icht in A zodanig zyn, dat dezelve alleen den Kogel van A tot B gebragt zou hebben , terwyl dezelve door zyne zwaartekracht alleen van A eene bekende ruimte als s gedaald zou zyn ; dan zullen AB en s ftandvastige Grootheden zyn, wyl de fnelheid;des Kogels in A benevens de zwaarrekracht verönderdeld worden de zelfde te zyn , hoedanig ook de richtftreek ABC zy. Laat de horizontaale Lyn AD de groot ft" door te loopen afftand des K gels zyn , cn trek DC en BE perpendiculair op AD. Trek wyders AF parallel DC, én DF parallel AC, ontmoetende malkander in F. Dan is het klaarblyklyk, dat de Kogel, terwyl hy de kiomme Lyn AGf3 befchryfe , door zyne voortwerpende kracht alleen van A tot C,ers door zyne zwaartekracht alleen van A tot F gebragt zoude worden, in gevalle éón der beide krachten zyne werking ftaakte. Want de zwaartekracht, die in eene met CD cvenwydige richting werkt, zal de bëweeging des Kogels naar de Lyn CD noch bevoidei'en , noch verhinderen ; cd het zelfde kan ten aanzFn der voortwerpende kracht en de Lyn DF insgelyks gezegd worden waar uit volgt, dac d Kegel, terwyl by door "zyne voortwerpende kracht :.I'een de ruimte AC doorgelopen zou zyn , door zy-  W EERSTE BEGINSELEN der zyne zwaartekracht alleen door de ruimte af of CD gedaald zou zyn: en naardien de ruimtens welke v74^efr eT ?hunr,en va! doori°^ ss lim^lfdllyden zyn*20 hebbeQ w*d£eze AB*: AC*:: / : CD. MurAV: AC :: Wz AL>\ volgens de Gronden t — der Meetkunde. , Derh. Aii*: AD* : s : CD AD By gevolg CD zz s x . AË* C^^,\cd[ de ^ykvortnigheid der AE : AD :: BE : CD AD Derhalven CDzBEx AE' xtt . AD AD Waar uit volgt, dat BE x —±s x __ ,-s AE AE* ' AD Dus is BE-xx ■ . AE of AExBE=jxAD ~~ „. , aITrë " D.envolgens AD= tea Maximum. s Maar  FLUXIE-REKENING. i73 Maar s is eene ftandvastige Grootheid; derhalven zal de Verheid AD de mogelyk grootfte zyn, wanneer AEx BE een Maximum wordt. 196. Laat ABrr, BEir#, AEry zyn; dan hebben wy in dit Geval AExBE^A^r; een Maximum, en derhalven y'x + xyzzo. Nu is volgens hec Pythagorisch Leerftuk Be'+AE^ABj dat is x%-ty* zz r\ Hier van is de Fluxie ix'x + iyyzzo ; der- xx . X'X halven yzz , en xyzz ; waar by yx op- y y tellende, zal men bekomen x*'x \-y*-° y . y —x*x-\- y'xzzo of x* x ~ y' x X 1 1 %*zzy% V xzzy Dus is de rechthoekige Driehoek ABE gelykbee. nig, en dnarom ZLABEzrZ.BAE. Waar uit blykt, dat, om den Kogel den grootften afftand te doen overlopen, het (tuk eenen hoek van 45 Graaden met het horizontaal Vlak moet maaken. 197.  174 EERSTE BEGINSELEN der ig7. Indien het Stuk tot eenen hoek van meer dart 45 Graaden verheven werdt, zou de doorgelopen ruimte des Kogels de zelfde zyn, als of het Stuk tot even zo veel minder dan 45 Graaden verheven was; verAE. BE mits de Grootheid in beide Gevallen de f zelfde zal zyn. 198. Voorbeeld XXXIII. De grootfteWaatdt vdiï y in de Vergelykinge a*x*zzx' +y'\* te vinden. Stellende de geheele Vergelyking in Fluxiën. zul* leu wy heboen 2fl4 xx ZZ2 x x + 2 y y X 3 X x2 -f-y211 Laat nu y onveranderlyk zyn, dan is yzzo. en' wy zullen alsdan hebben aa4**—6xx Xx2-r-y2lt itt 1, a+zzsxx' + y']* a* Dus x* + y211 'ts — 3 V a2 xt + 3x3 — x8 — x x b} —x1 zz Dewyl nu 4 3/3 <5/3 §V 3 eene ftandvastige Grootheid is, zo blyft nog overig, dat b3x' — x' een Maximum moet zyn. De Fluxie hier van is yb3x*x—8x'xt welke =0 gefteld, en alles door x+x gedeeld zynde, zullen wy hebben  FLUXtE-REKENlNG» !?? 563—8*'-=-o of 8a-»zzyb1 8 */——— 2 * zz b y 5 2 i — xZZ\b\T 5 9 eh z (= ^ ~èft^if. \ V 3/ 202. Voorbeeld XXXV. Gegeeven zynde de ftand 'van een horizontaal Vlak BD i, Fig. 37.), «n dien van het verticaal Vluk BA ; begeert men door een gegeeven punt ü het Plak DM te trekken, langs welk een Lighaam M, van het verticaal Vlak BA, tot het gegeeven punt D in den mogelyk kortjlen tyd kan komen. Het is klaarblyklyk, dat da tyd der afdaalirjg van de door te loopen ruimte'en de fnelheid van het beweegend Lighaam afhangt. Zo de ruimte DN kleiner is, zal ook de fnelheid kleiner zyn ; zo het Vlak DA langér is, zal de fnelh'id, en tevens ook de ruimte, grooter zyn. Het is derhalven openbaar, dat 'er tusfchen beiden een Vlak DM is, langs welk de tyd de mogelyk kleinfte moet zyn. Laat £D~o, BM — a- zyn; dan is DM zzy/a1 -Fa-2,, Nu wordt, Volgens de GrondbeginFlen der Mechanica, de door het Lighaam verkrèegene frielheid, als het van M in D komt, uitgedrukt door den Vierkants-Wortel uit de hoogte BM vah het Vlak DM, dat is, door \/x, en deeze fnelheid zou genoegzaam zyn, om het Lighaam M, met eene gelykmaatige beweeging, eend dubbelde ruimte van MD in den belteeden tyd ter doorlooping van MD te doen befchryven; voorts zyn de ruimtens, welke mee eene gelykmaatige beweeging M door-  i?8 EERSTE BEGINSELEN der doorgeloopen worden, als bet vermeenigvuldigdcder fnelheid met den tyd: derhalven wordt de tyd uitgedrukt door het Quotiënt, dat voortkomt, als men°de ruimte door de fnelheid deelt. Weshalven de tyd, welke befieed wordt om DM door te loopen, zal 2 f/a* zyn . Dewyl na deeze tyd een Minimum 4 a5 ■+- 4 x2 moet zyn, zal ook zyn Vierkant — een Minimum zyn. . 4aï-l-4*T —4a3x + 4x'x Nu is van de Fluxie * x' welke =o gefteld, alles met*» vermeenigvuldigd, en door 4*gedeeld zynde, zullen wy hebben — a* + x1 = o of x2 a' V x = a, of BM = BD. Derhalven is de rechthoekige Driehoek MDB gelykbeenig, en by eevolg moet het Vlak MD met het horizontaal Vlak BD eenen boek van 4S Graaden maaken. 203. Maar by aldien de vraag was, om het Vlak MD zodanig te trekken , dat langs het zelve een Lighaam, uit het gegeeven punt M, in den mogelyk konften tyd tot het horizontaal Vlak BD zal kunnen komen , zo ftelle men BM zza, en BD-*, dan 2j/a2 + *1 zal de gezochte tyd = — zyn. Deeze nu Va een  FLUXIE.REKENING. 179 4a° + 4*» een Minimum zynde, zal ook het Vierkant , a of wel 4 a5 4-4 #J, een Minimum moeten zyn. De Fluxie hier van is 8**, welke =0 gefteld zynde, zullen wy hebben 8xx = o, of *=_BD = o; derhalven zal het punt D op het punt B vallen, en dus zal een Lighaam langs een verticaal Vlak in den kortften tyd nederdaalen ; hetgeen reeds uit and re grondbeginielen klaarblyklyk is. 204. Hier mede zal ik de toepasfing der Fluxiën op de bepaaling der Maxima en Minima van Giootheden eindigen, als oordeelende, dac de bygebragte Vo:-rbeelden toereikende zullen zyn , om de Oeffenaars van deeze Leerwyze in ftaat te ftellen, alle mogelyke Gevallen hier toe betreklyk op telosfen. Om echter den Oeffenaar gelegenheid te geeven, zyne eigene krachten te kunnen beproeven , heb ik goed gedacht de volgende onopgeloste Voorftellen , uit verfcheide Autheuren byöen verzameld hier nog by te voegen. I. Een Breuk te vinden, welks CubiC van zyn Fierkant afgetrokken zynde, het overbirffel een Maximum zy. II. Een gegeeven getal in twee deelen te deelen, zodanig, dat één der deelen met den Teerling van het andere deel vermeenigvuldigd zynde , het Product een Maximum zy. III. Men begeert het mogelyk kleinfte Getal te vinden , zodanig dat als men hetzelve in drie deelen verdeelt Waar van de beide eerften tot elkander in reden ftaan * als r tot s, de fom der Producten van die deelen, twee aan twee genomen, gekk zy aan een gegeeven Getal a Gegeeven zynde r~2, s~3, a=475, dan is 38 net begeerde Getal; en de deelen zyn jo, 15 en 10. IV. Een gegeeven Gstal a in drie deelen te deelen, vaar van de beide eerften tot elkander in reden ftaan t M 2 fl/T  i8o EERSTE BEGINSELEN der als r tot s , en de fom der Producten van die deelen, twee aan twee genomen, de mogelyk grootfte zy. Gegeeven zynde r—3, szz§, fl~49 5 dan zyn de deelen 12, 00 en 17. V. Men begeert het mogelyk grootfle Getal te vinden, zodanig dat als men hetzelve in drie deelen verdeelt, waar van de beide eerften tot elkander inreden flaan, als r tot s , de Jom der Cmadraaten van die deelen gelyk zy aan een gegeeven Getal a. Gegeeven zynde rzzi, szzz, a~ 14, dan is 14 het Geril, en de deelen zyn 3, 6 en 5. VI. Een gegeeven Getal a in drie deelen te deelen, waar van de beide eerften tot elkander in reden ftaan, als r tot s, en de Jom der Quadraaten van die deelen de mogelyk kleinfte zy. Gegeeven zynde rZZ 2, f~$t a-702; dan zyn de deelen 116, 315 en 261. VII. De Inhoud van eenen reclithoekigen Driehoek gegeeven zwde , de zyden te vinden, wanneer de Perimeter of Jom der zyden de mogelyk kleinfte is. VIII. Twee on/ielyke, pofitive, rationaalc en geheele Getallen te vinden , weliïers fom in de fom van kunne Quadraaten gedeeld zynde , het Quot:ent het kleinfte geheel Getal zy. IX. De Waarde van x te vinden, als a> — aax + x* de mogelyk kleinjle is, X. Van eenen gelykbeenigen Driehoek de Beenen gegeeven zynde, begeert men den Bafis te vind en, zodanig dat de Inhoud de mogelyk grootfte zy. XI. Als j7-t- z . x —xxyr; een Maximum is, en x + y-hz_a , vraagt men naar de Waarden van x, y en z? Gegeeven zynde az:i2; dan is xzzó, en z~y. XIT Eene rechte Lyn AB , en twee punten C en D, buiten de 4» 5» de fom der vyf Producten abcd, bede, cdea, deab, eabcde mogelyk grootfte zy. Antw. Het Getal is 4072, en de deelen zyn 462,693,924, J155, 838. XXXVI. Een gegeeven Getal a in vier deelen te deelen , waar van de d> ie eerften tot elkander in reden zyn, als 1, 2, 3 , en zodanig dat de fom van hunne Cuben de mogelyk kleinfte zy. Gegeeven zynde «"30; dan zyn de deelen 6-«/6 ia_0V6, 1* —3^6, en — 6-t-6f6. XXX VII. In den Foor gevel van een Huis is een Glasraam gemaakt, waar door men het uitzicht op de Straat heeft; de wydte der Glaskozynen van C tot D is 10 Voeten, en van D tot den hoek van het Huis B is een afftand van 8 Voeten. Nu begeert men omtrent E aan den wand een ftoel te zetten, van waar men het Glasraam op 't breedfte kan zien. Men vraagt, hoe ver M 4 men  Ï84 EERSTE BEGINSELEN der men het oog des Zieners, die op den floel zit , van den hoek d zou moeten fielten , zonder in aanmerking te veemen, of de hoek b recht, fcherp of (lomp u? Ai tw. la Voeten. ' r XXXVIII. Te vinden den grootten Ordinaat eener Kromme ANa , welkers Ordinaten CN~z middenevenredig zyn tusfchen de Ordinaten Cmzy, en de vvv" A9-x van den halven-Cirkel A m a. i i jix' Uit em ^evenpunt op den As eens Parabools , de mogelyk kortfte Lyn tot die Kromme te trekken. liL, Uit een gegeeven punt op den grcoien As eener Jidips, de mogelyk kortfte Lyn' tot die Kromme te trekken. ^Xi.I. Uit een gegeeven punt op den eerften As eens yrerboois, de mogelyk kortfte Lyn tot die Kromme te trekken. XI.II. Aan een Huis is een Luifel gemaakt, welke 4 Voeten, rechthoekig van den muur af, Ireed, en mf Voeten boven den grond hoog is. Men vraagt waar er. geus boven de Luifel een Venfltr R in deezen muur moet gemaakt worden, om met den kortften Ladder tot aan hetzelve te ranken ? XL 111. Aan de fchutting van een Tuin, hebbende de gedaante van eene Ellips , waar vaii de beidé Asfsn tot elkander m reden ftaan als mot 2, is een PedeSal, 50 r oeten hoog , zodanig geplaatst , dat een Beeld van Hercules, zelfs Oppen/lakte de mogelyk kleirfte zy. LIfi; Een Parallepipedum te vinden, welks Inhoud _b3 is, zodanig dat deszelfs Oppervlakte de mosehk kleinfte zy. ö LIV. In een gegeeven Cirkel den mogelyk grootften Driehoek te befchryven. LV. Om een gegeeven Cirkel den mogelyk kleinfien Driehoek te befchryven. . LV1. /Mes gegeeven zynde als in Voorstal XLIX en L, begeert men den 'rdmaat PM zodanig te trekken, dat QP x P vl de mogelyk grootfte zy. LVii, Een gegeevene rechte Lyn in drie deelen te verdeelen, waar van het eerfte tot het tweede in reden is als r tot s, en dat ook het derde deel zodanig zy, dat als men van de gemelde drie deelen eenen Driehoek famenftelt, deszelfs Inhoud de mogelyk grootfte is. M 5 LVIIL  186 EERSTE BEGINSELEN der LVII1. Van een Driehoek ABC, hebbende een hoek A 60 Graaden, is de zydeM> — io, en de fom der Quadraaten van de drie zyden de mogelyk kleinfte. Men vraagt naar de beide overige zyden AC en BC? Antw. AC-5, en BC = 5f 13. LIX. Van eenen anderen Driehoek ABC, hebbende een-hoek A_45 Graaden, isdefomderQa^ate^van de drie zyden =140. Zo nu de Bafis AB de mogelyk grootfte is, vraagt men naar de drie zyden des Driehoeks? Antw AB-4t/y, ACnf xo, en BC = 5 v" m Gevallen te vinden , waar in de Functie * -.8x +22f~ a4x + 12 een Maximum o/ een Minimum wordt. LXI. De Gevallen te bepaalen, vaar in de FunEtie xs — 5x* + 5X3 + i een Maximum of een Minimum wordt. LXTf. In welke Gevallen wordt yrriox* 12 x5+ 15X4— 20xs4- 20 een Maximum of een Minimum? x LXIII. De Gevallen te vinden, waar in yzz ■ 1H" x x een Maximum of een Minimum wordt. LX1V. In welke Gevallen wordt y = . 2 -f~3X-r-xx een Maximum of een Minimum? LXV. In welke Gevallen wordt y=aT+xx"i* x een Maximum of een Minimum? LX VI. De Gevallen te bepaalen , waar in y * faa + abx + rnxx-nx een Maximum of een Minimum wordt. LXVII. Gegeeven zynde de Vergelyking x* — ay1 + by3 —— — xx^ay-f-xxzo, begeert men de Waarden a + y van x<» y zodanig te bepaalen, dat die van y de mogelyk grootfte zy. ' s LX VII.  FLUXIE-REKENING. 187 LXVIII. Een Cirkel AEB en twee punten C, F buiten dien Cirkel in Helling gegeeven zynde, op deszelfs omtrek het punt E te vinden, zodanig dat de fom der rechte Lynen, uit de punten C, F tot E getrokken, de mogelyk kleinfte zy. ruXl?', Een SeSeeven toog AB in twee deelen AC, te deelen, zo dat het Product van eenige gegeevene Magten APn x BQm hunner Sinusfen AP en BQ het mogelyk grootfte zy. x' Rn % ^ 8eSeeveH Bo°S AD in drie deelen AB, BL> cu u deelen, zo dat het Product van eenige gegeevene Magten BE™ x Cl" X DÖr /2M„„er Sinuslcn BE, Cl, en DO Aet woge^/fe grool/ïe zy. ZEVENDE AFDEELING. Kan de toepasfing der Fluxiën in de Oplosfing van Voorftellen , waar in geëischt wordt Raaklynen tot Krommen te trekken. 205. Laat AMB (Fig. 35?.) eenige Kromme, én de rechte 1 MC een Raaklyn tot dezelve, in eenig punt M, zyn, ontmoetende den As AD, verlengd zyode, zo het noodig is, in T: ftelwyders dat een punt m zich langs de Kromme, van A naar B , beweegt, en laat de volftrekte fnelheid van hetzelve in M, in de Richtftreek van de Kaaklvn MC, of de Fluxie van de aldus geteelde Lyn Am'(§§. 2, 6.), uitgedrukt worden door MS, eenig ded van de gemelde Raaklyn: inden men dan AF, Pm en pS perpendiculair op den As AD, en Emn parallel mee AD trekt, zullen de betrekkelyke abelheden van dat punt, "!_de Richtftreeken Mn en PM , waar door Ent ( —AP) en Pm in dien ftand aangroeijen, behoorJyk uitgedrukt worden door M» en nS (§. 153.): maar de fnelheden, waar door de Grootheden aangroeijen, zyn als de Fluxiën van die Grootheden. Naar-  i88 EERSTE BEGINSELEN der kaa7rv!fnMderhalVe!l^S ÓeFluxie dpr kromme Am de'Sè^ apD de o^komdige /^Ien van ^a«L, TP^Vee^erl gSS^ÏS §», de Ataxie van d 0 ^. M b de wu l van de Jtf^, en den SgS|^ de ac6.,Stellende dus de /ft/cix/è APr* , enden J> : :: *x*3*ï : Derhalven ••y^.xiif-f' Hier  ipa EERSTE BEGINSELEN der Hier van de Fluxie neemende, hebben wy 2 a*yyzzb2 xzax — 2xx x saJy en — zz —— y b* xia — zx , y yx sa'j' a'y* y £*X2a-2* b'xa-~x En (lellende voor a^y* zyne waarde b1x^ax-x71 zal de voorgaande uitdrukking worden yx b'xiax — x2 aax — v* 'y bïXfi-x a~X king van de Subtangens TP , die in myne Toepasfing der Algebra op de hooge Meetkunde §. ui uit andere gronden is afgeleid. 211. Indien men in eene andere foort van Ellips eene uitdrukking voor de Subtangens wil vinden, o m-tn neemt men van de Vergelykinge — x y ra P xm x a — x\n, de algemeene uitdrukking van alle foorten van ElUpfen, de Fluxie; dan hebben wy a ! m-\-n — i. m — i. n — xm+nxy yzzmx *x»-#l —nx P__ X a — x\n~~t x xm; en derhalven x « • 7  PLÜXIE.REKENINO, 193 a 4 m-r-B— 1 -Xm+nxy Z - p 5 m*m~lxa^\n-nxa~^\n-Wxm — — y a m-r-n » -Xf»+»X3> p y mxm''1xa~x\n-nxa~^x\n-1xxm a m + n m En Hellende voor — xy zyne Waarde* x ? «T— zullen wy hebben yx m + nxx xd—-*l n . - ... . . . . . ... tB+«x*xa — # — —:—— , als men den Breuk door mxa-x — nx am'~Ixa>-x\n"~'1 verkleint. Derhalven is de be* m+nxxxa—x geerde Subtangent PT=r- ■ tb x a—x — n x 212. Vooreeeld IV. Tot een gegeeven punt M (Fig. 4?"), in e«n gegeeven Hyperbool AMB , «?» Raaklyn MT te tr«Me». IS AI2  IP4 EERSTE BEGINSELEN der Als a en b de halve-Asfen van den Hyperbool uitdrukken , zal de Vergelyking' der Kromme zyn b1 x aax-r x'— a' y'. Hier van de iluxie neemende, hcbüea wy b*x 2a.ï + 2 xxzzza'y y x a'y ■ Derhalven — zz y b'xa + x ■" - y verat. Stellende nu in plaats van a* y* zyne Waarde ia X 2 ax+x1, zal de voorgaande uitdrukking worden, yx b* xzax-t x* zax-l-x* y l=xaT"x a''rX Dienvolgens is AT (~TP-AP)= — insge- a+x lyks bekend ; en derhalven, het punt T gegeeven zynde, kan de Raaklyn M't' getrokken worden. Deeze uitdrukking • v n de Sub'angens wordt in myne Toe a,Jïng der Algebra op de hooge Meetkunde %. 173 uit. andere gronden argdeid. 213. De wyze om tot alle foorten van Hyperbo* ltnt in 't algemeen, Riakiynen ie trekken , is de zelf»  FLUX lE'RËIEN ING. ios ieelfde als die van de Ellips; vermits de Vergely. kingen der twee foorten van Krommen in niets anders, als in "haare tekens, veifchilien. 274. Voorbeeld V. Tot een gegeeven punt M fJFig. 43) in de Cisfoïde van Diocl , waar van de Vergelyking is ay1 — xy4 ZZx', een Rzaklyn Mï te trekken. Van de gegeevene Vergelykinge de Fluxie neemende, hebben wy aayy — zxyy — y* xzz%x* x of 3 x' x -+- y5 x zz 2 ay y — 2jty y> r — — ■—— * aaj — 2xy ayxa — x Derhalven — zz —— — * 3^+y1 2*' + y* ■» — '■■ y verin. yx ay*xa—x * sx'-l-y' $15. Nu is de Vergelyking der Kromme ay8 — xs xy' zzx* (§. 214) , en derhalven y'zz—en a — x ax* zy'zz- ; Hellende dus deezè Waarden van y' a—x en 2 31' in de boven gevondene uitdrukking van den Subtangens, zal men hebben y'x Na -r  ïq6 EERSTE BEGINSEjLEN der ; ax* — X a—x yx a—x ax* 4 *? *l 2x'-ï-> 3jrJ H a—* a—x * 2a—2x 3 + a—x ax Dienvolgens AT 3 ; waar door dan, het 3a—2* punt T gegeeven zynde, de Raaklyn MT getrokken kan worden. 916. Voo3B5Er.o VI. Een Raaklyn MT ("Fig. 44) tot een gegeeven punt M in de Conchoïde van Nicomedes te trekken, welke van zodanige natuur is dat, trekkende uit een vast punt P, als Pool, eeniee rechte Lynen PA, PM, PM, enz. de deelen van die Lynen FA, eM, EM, enz. tusfchen de Kromme en ha iren As FT begreepen, alle aan malkander gelyk zyn. Onde'ftellende AF cn MQ perpendiculair op , en MN parallel aan de fiirettrix FT te zyn. Laat PF=a, Me —AF) —b, VQ — x, en MQ —j zyn; dan hebben wy door de gelykvormigheid deF Driehoeken PMN, MeQ, PA : MN :: MQ : Q*. Dat is y+a : x :: y : Q*. *y Derhalven Qe = . y + a ai7«  F L ü X I E-R E K -E N I N G. 197 217» Wederom is door het Pythagorisch Leerftuk Qe'zzTÜ' — MQ*, dat is Q^e'zz b'—y', of Qe zzi/V^f. xy Derhalven ■■■ — YD% — T y + a of xyzzy+ay b*—y* ~^ Dus is x* ys —y -ha\sxi' — y1 de algemeene Vergelyking der Kromme. 2iR» Van de voorgaande Vergelykinge der Krom* me nu de Fluxie neemende, hebben wy ax* yy •{- 2y* xxzzzy Xy+axb2 — y' — 2yyxy+al* — zyxy+axb* -31* — yxy+« —ayxy+axb* — ay—2y\ Derhalven zy'xxzzzyxy+axb' — ay-2y* -2x% yy ay'x m -—. >-—~ .... . y Xy+dX b' — ay~ ■>, y' — x' yy X ZZ »■ '■ xy1 x y+axb'-ay-zy' — x'y en dus — zz < ■■ yx y+axyxb*~ay-2y* — x*y' By gevolg — ~ —— — ■ N 3 919»  io8 EERSTE BEGINSELEN deb 219. Aangezien nu x*y' — y"+a\* x ÏTZÏZ* CS- 217) 3 zo bebben wy, door uit de beide Le, den deezer Vergelykinge den Viejkants. Wortel 'te trekken, *yzzy+aXfV-7'; derhalven yxxy pyxy-\raxYl>'-y>. Stellende nu deeze waarde in plaats van deu Noemer des Breuks 4 die gelyk is y'x aan -- (§, 318), zullen wy bekomen 1 . y ' Jx y + axyxl>3--ay-2~y* — x'y* y yxy+axVb~r^y* RrSdT voor in den Teller deezes laatflen Bieuks de waarde van x' y ( §, aI7J fleliende Tal de laatfte uitdrukking worden 7J ueJleDdej zal j yxy-haxV'P^y yxi/b^y ^_*-y3 — ab* yt-hab* yi/b'—y' y^T^-^yï RnSlvn1 'in'''026- uitd?uRk^ negatif is, zal de KaaKiyn , ten inzien van den top der Kromme aan de andere *yde van den Ordinaat vallen j en dus zal  F L ü X I E ■ R E K E N I N G. 199 y3 -\-ab* zsl men, door het teken te veranderen, —__—. yy/b'-y* voor de Subtqngens in dit geval hebben. 2ao. Vookbeeld VII. Tot een gegeeven punt M (Fig. 45) der Cycloïde een Raaklyn Mi te trekken. Laat de Kromme BMD een Cycloïde zyn, welkers Abfcisfe hier, volgens onderftelhng, de halve-Cirkel DFC is, en trek tot dien halven-Cirkel de Raaklyn FH (§. 20/). Laat voorts wiMT een Raaklyn tft de Cycloïde, in het overeenkomstig punt M, et. GMp parallel aan HFy zyn. Stellende ru den Boog, of. de Abjcisfe , üFzrz , zynen Ordinaat FM=y, CB=lI> , eh DFC = c; dan zullen wy, door de eigenfchap der Kromme, hebben DFC : C13 :: Boog DF : FM. Dat is c : b :: z : y bz Derhalven y — —, C' . .. , b'z en y = — ~ mp. - •' -" • c' "• ' ; "3 zo is ook x*y + a*'y—aax~x— ayxi; en , 2ax— 2yx derhalven y zz x Deeze waarde van y x* + a* in de laatst gevondene Vergelyking fubititueeren* de, zal dezelve worden . . . zax-ayx 2ax*zzzyx*+4xxx x* x' -h a* g"" ... IU . . t . aa*-o.yx ax'zzyx* -{-sxxx x* x1 -ha» £34. Daar nu de Vergelyking der Kromme is ax' ZZx'y+a'y (§. 23a), zo hebben wy door herlei. ax1 ding yzz . Deeze waarde in de naast voor. x* +a* gaande Vergelykinge ($. 233) fubftitueerende. zul. ien wy hebben ax' . iax-ayx ax* _ ■ af»4.2TX xx» x'-i-a1 x' + a* X* 1 1 ax* aax—'iyx a — f- 2.x x — ■ *'+a5 *J+a* ax* -f-  FLUXIE-REKËNING, 209 ax* + a3 zz ax* -4- 4ax* — 4yx* ax2 of a' — 4fljc* — 4*1 x ■ x* + a* a »— — 1. > —- de* a' = 4 x5 — 4 *« x - x* +a* n'x' -ha*zt— a'x + x3 ' 12 * en laajry'-iaa'af' + ia** Maar 120*5» —b1^ 3*'T Dienvolgens i2aJx1 -f- i3*4ra^+3"**T O a Dat  ma EERSTE BEGINSELEN der Dat is laa'x' + mx*—a* + 6a2x' + ijx* of 2x* + 6a'x2 — a* 3 3^*1° rrpa* 9x*-l- 18a2 x2 + 3a'\2 — na* V ■ 3x' + 3a'-a2 |/ia 3 ——— ——— jr'+a'-aVI of *»-a» (f/f-i) V — — x~a W\-i 339. . Men kan anders het Werk ook op deeze wyze inrichten. Naardien ay'-a's-f.*» is, zo hebben wy yzz a* * + x3 a2x+x' i* » en y — —. Derhalven -y '—- a l/a J $a2 x + £x2 x X a2x-i-x3\~^ I/a Van deeze laatfte uitdrukking de Flutie genomen, en "O gefteld zynde, zullen wy hebben 3*x» x a2x+x' 2 +ïa2+~[x2 x ..... — ia'i'—|x'jJ x a3*"?**!""* =0; of 3*xa'* + *'|~ 2 -Ha'+ Jx'x-ia3-*x'x a2x + x'l"* —o. Deeze laatfte Vergelykinge _ver-  F L ü X I E-R E K E N I N G. 213 vermeenigvuldigd met a'x + x*\* > zal 'er komen 3 jr-t-ia* + |5» x -T«1 — 1 *1X a* * + *11" * = °' Deeze Vergelyking wederom met a'i + J5 vermeenigvuldigende, zullen wy hebben $xxa*x+x3 -'ria' + è*' X-^-a' — lx1 ZZo. ... .... - - ■ «3 Cxxa'x+xi + a' + sx'x-Tra-1 — lx1 ZZo of óa'x1 +6x* — ±a+—-3a1*' — I*4-o - ■ — — ■■- a ■• ïaa'x' + iax*—a4 — 6a'x*— 9*+~o DerhalveD 3*4—{-óa'.t' zza*. Zynde de zelfde Vergelyking, die wy boven (§. 238} op eene andere wyze gevonden nebben. 240. Voorbeeld IV. Laat de vcorgojielde Krom.' me de Conchoïde van Nicomedes zyn, waar van de Vergelyking is x'y* zz y +al* x b'-y' (§. 217;, y + öi1X b* - y* of x'zz • r y+al'xb'-y* Neemende van de Vergelykinge *' — : y' de Fluxie, zullen wy hebben **=..... yxy+a x b'-y'-yy xa+y 1 * x y2-yy xy+ai* x ft'-y* y— j-r-axaè'+y1 . -a*b* ab1 y* ' y3 ya O 3 Van  ei4 EERSTE BEGINSELEN der Van deeze laatfte uitdrukking de tweede Fluxia neemende (§. 38), y onveranderlyk blyvende, beeft men: 3a' ii1 aai1 + = } - 1 x j'. y* y3 Dewyl nu xzzo is (§. 319), zo is de voorgaande uitdrukking: • _3a2** 2flft' • Wb'+iab1 y-y* +——ixy'= xy. y4 y3 y* J y+axab* + y* 241. Aangezien nu — - -xy is y3 y + axai'+y» (§. 240), zo is ook xzz xy; en *ys dus hebben wy, door de beide leden deezer laatfte Vergelykinge tot de tweede magt te verheffen, y + aT Xaft'+yT|' *' = ■ x y' x2y6 3a2is-f2a£2 y—y* Maar x*zz xy* C§. 240). y4 3a*b* + oab*y-y* y+a\2xa£2 + y»|a Derh. —— . y* *2y6 By gevolgia*b*+2ab2y-y*xx2y*~y+al2xaT2+yï\* 342. Daar  FLUXIE-REKENING. 215 24a. Daar nu, door de Vergelykinge der Kromme, x2y2~y+a\2x b* -y' is (§. 240), hebben v?y deeze waarde van x*y2 flegts in de laatstgevondene uitdrukkinge ( §. 241) te fubftitueeren , waar door dezelve zal worden: 2a2b2 + 2ab2y-y*x.y+a\2xb2-y2—y + a\2x ab^ + y^W Deelende nu deeze Vergelykinge door y 4- a!5, zullen wy verkrygen: 3 a2b^-\--o. Dewyl nu deeze Vergelyking deelbaar is door a-x, 2a-*, of Sa^x, zo heeft dezelve drie Wortelen, naamlyk a, aa en 3 a; dienvolgens heeft de Krom. me, wier natuur door de gegeevene Vergelykinge bepaald wordt, even zo veel buigpunten. 246. Om nu te weeten, of een deel der Kromme tusfchen twee nabuunge punten gelegen, welke op yoonge wyze gevonden zyn, naar den As uit- of ingebogen is, onderzoekt men of de waarde der Uitdrukking voor de tweede Fluxie des Ordinaals, tusfchen de twee overëenkomüige Wortelen, pofitif of negatif zy. Is dezelve pofitif dan is dé Kromme uitgebogen, en negatif zynde, ingebogen, mits dat de geheele Kromme aan de zelfde zyde van den As ligt. * vu 247. Wanneer men nu in dat opzicht het voorhanden zynde Voorltel nagaat, is het zeer gemaklyfe te zien, in welke gevallen de Kromme, ten opzichte van den As, uit- of ingebogen is. Dewyl dan 'y, de tweede Fluxie van den Ordinaat, geduurig als. 6a«--11 a"x + 6ax>-x* (zz'aVrxl~a^xx ra^r) is, zien wy, dat, Hellende x kleiner dan de eerde YV ortel a, de waarde van deeze uitdrukking pofitif zal zyn; derhalven zal de Kromme in 'teerst uitgebogen tot haaren As zyn. Vervolgens * grootër dan a hellende, wordt de waarde der gemelde uitdrukking negatif, en de Kromme zal alsdan tot den As ingebogen zyn, en zodanige kromte behouden, toe dat  FLUXIE-REKENING. 217 dat x gelyk aan den tweeden Wortel za is; waar na de Fluxie wederom pofitif wordt ; dienvolgens zal de Kromme andermaal uitgebogen zyn , tot dat *_3a zy, en deeze Wortel de uiterfte Limiet zynde, zal de Kromte voortaan fteeds naar dea zelfden weg ftrekken. 048. Hier by behoort nog in aanmerking genomen te worden , dat 'er gevallen kunnen voorkomen, waar in de tweede Fluxie des Ordinaats gelyk aan nul wordt, zonder dat nogthans haare waarde van pofitif in negatif , of van negatif in pofitif, verandert. Deeze gevallen hebben altoos plaats, wanneer de Vergelyking een even getal gelyke Wortelen toelaat ; want alsdan is het punt, dat als boven gevonden wordt, geen buigpunt, dewyl alsdan de kromte aan ieder zyde van hetzelve naar den zelfden weg ftrekt, NEGENDE AFDEELING. Vun het gebruik der Fluxiën in de Oplosfing van Vuorltetlen , waar in begeert wordt de kromteftraalen van kromme Lynen te vindsn. 049. Nairdien de kromte, of uitgebogenheid van alle kromme Lynen, behalven die van Cirkelen, in ieder punt verandert , heeft men flegts Cirkelen te befehryven, welke met eene gegeevene Kromme in eenig getal punten overeenkomen ; dewyl dan de ftraalen van deeze Cirkelen , zo als gemaklyk te zien is , niet alle even groot kunnen zyn , en dezelve nogthans den trap van kromte bepaalen, zal de vinding van die ftraalen het onderwerp van deeze Afdeeling zyn. 550. En naardien alle kromme Lynen, behalven Cirkelen, gevormd of geteeld worden, of begreepen kunnen worden gevormd of geteeld te zyn , door de ontvouwing (evolutio), of afwinding. van eenige O 5 a«-  «8 EERSTE BEGINSELEN der ï?rC k/omJ?° Ly°en« zuBen derhalven de middel ? der ?rke,en> welke famenloopen of Telvkê RCtSd te zvn ,l^gr^Pen W°rde" eev°™d «f genoemd. * ' -W°rden °PSewondene \lnvolute) ói^OntZ.lï (?Sr SP ^^ommc zyn, uie eene untwondece (Evoluta) genoemd wordtmen verbeelde zjch rondom dezelve een dra^d tP" vaï^^de Krommfn^' tC ZyV ei? laat déeze draad den Lik, dn^ i?F,l0S8emaaki of afwonden woroen, zulks dat dezelve, van de Kromme af^anri» geduurig in zyne geheele lengte uitgeSt■ ff- dL' of hShPUDt A de °Pgewonde?e KrSeABY' t'eelen of befchryven; en de rechte Lynen AD BR v ^ KromteLa,e^ndepunten 2J2. Hier uit vloeijen deeze Gevolgen- as* s £tesirDiA zal ^y* w aa° d« kunde^^n"', V0,gens de Beginfelen der MeetRaaklvn ïiJ™1 eeCS ?'rkds Perpendiculair op de nunt ft ,iJ ' Z° 'S °ok de Kromteftraal in eeniz pu« B akoos perpendiculair op een Raaklyn in Jaf HL De ftraal BE, die perpendiculair op de opge. won»  FLUXIE.REKENING. a<9 wondene Kromme io het punt B ftaat, is een RaakJyn tot de Ontwondene in het punt E. 2 — xy re ftelling aanwysc. 261.  m EERSTE BEGINSELEN der a<5?. Om de bewerking minrJer lastig te maakeii. kan men voor eene onverSnderlyke Fluxie de eenheid , of i , in plaats Hellen, ten einde daaf doof de andere Fluxiën met i te kunnen vergelyken. Stellende derhalven dan zal de algemeene uitdrukking voor de Kromteftraal zyn Uli—, 9 wanneer y met eene vertraagde beweeging aangroeit, "Til I -+- •y1i of haare tweede Fluxie negatif is; en zz , --'5 wanneer y met eene verfnelde beweeging aangroeit, of haare tweede Fluxie ftellig is. Het eerfte heeft plaats wanneer de Kromme naar den As holrond en het laatfte wanneer dezelve ten dien opzicht' uitgebogen is, * 262. Indien wy derhalven de Vergelyking der ge3ff7?nre Krom™e» welke de betrekking tusfchen de Abjcisfe x en den Ordinaat y uitdrukt, in Fluxiën ftellen, neemende xzz t; of uit de natuur der Kromme de waarde, van izzi in Termen van rjen j vinden, en alsdan deeze Fluxionaale Vergelyking wederom m Fluxiën ftellen , 1'ubftitueerende fteeds 1 voor x, en maakende de Fluxie van y negatif, wanneer de Kromme naar den As holrond , en pofitif. wanneer zy ten dien opzichte uitgebogen is; dan zullen daar uit de Waardens van de tweede, en het " vierkant van de eerfte Fluxiën van y bepaald kunnen warden: welke voor dezelve gefubftitueerd zynde m ééne van deeze twee algemeene uitdrukkingen, naamlyk in de eerfte wanneer de Fluxie van y negatif  F L U X I E - R E K E N I N G. 225 gatif is , en in de laatfte wanneer dezelve pofvif is , zullen wy eene bepaalde uitdrukkirg , of eene zodanige die vm Fluxiën vry is, voor BE, de begeerue Kromteltraal verkrygen. 263. VooaisiiEtn I. Ve Kromteftraal in eenig punt B (F'g- 54) van den gemeenen Farabool Aï, te vinden. _Laac de Parameter zza zyn. Stel de Abfcisfe Ac —x, en den Ordinaat Clïziy. Dan is door de eigenfchap der Kromme axzzy", waar van de Fluxie neemende, zullen wy hebben a'x—iy'y, of, ftelJen- . ._ . fl de , a_2yy, en by gevolg y~—-. Maar 2 31 y'rra* zynde, is ook y~a*F, en derhalven y— a *—j-j-—Van deeze Vergelyking is wederom de' 2 x a#l^ Fluxie -y- by gevolg 'y'zz erj 4X«P 4X0*7^ . a az om dat y=± —-— is, zo is Ook y2 = ; =s fl —. Subftitueerende nu voor yy en y2 hasre waar4 * den in de algemeene uitdrukking voor de Kromte.' ftraal — (§. 261}, zullen wy hebben . . . 3 P BE=?  226 EERSTE BEGINSELEN der H X 4Xaxl* s Eg- 4 * 1 __4a^ + aJi = a' aa* ' 264. Subftitueerende voor y haare Waarde — in yy (§. 263) , hebben wy - of £3 —AD den 2 Wfï/caa/^ afffand. Deeze zeifde waarheid kan ook of SntT/™ Uk Óe Ditdrukki"g ™°r de «X or btraal Bh ; want , wanneer de g, melde Straal deriverticaalen afftand wordt , dat is wanneer he punt B m het punt A valt , dan verdwynt *, en dus valt 4.ax uit de gevondene Uitdrukking ($. 363} weg, en wy hebben alsdan -£a, als vooren. 2fl2 }ï-0RBE!?tÜ K g' Xrmteflraal in eenig punt B (Fig. 55 vaR rfe Cycloïde ABD vinden Laat de Straal OF of OD=a. de ^/m/, ACzr^r de. Ordinaat CB~y, de Boog FG-Z, en deszelfs tonus 1g_j zyn; dan is, volgens de Grondbegin- felen der Meetkunde, kT-Dl xIF, of IG = Dl x SF|s, dat is s- - TaJ^p^, van welJte Vef> . a3'~,~')l7 gelyking de F/aró is s zz —-—■ . 2flj—y»|* 266. Maar door de natuur der Cycloïde ( Toepasfing der Algebra cp de Hooge Meetkunde , 11 Deel §• 55;  FLüXIE-REKENING. s.17 K. 55) is Boog DGrrGB, en derhalven Boog FOr: GI4-AC, of AC= Boog FG-GI, dat is*-z-j. Stellende nu voor x haare Waarde, hier boven gevonden ( 165 ) , zu'len wy hebben * = z — • t • a ay — 31* 12. Hier van de Fluxie noemende, en xzzi Hellende, zal 'er komen . yy — ay 1 = 2+ —— . aay — y*\~2 267. Voorts z — is4- | - — | XJ' 3 31 I iay\u x 31= «ayt3 X y* zayl* = ZZ BE, de be- ay3 ay geerde Kromteftraal. 2^9. Voorbeeld IIL De Kromteftraal in eenig •punt Ü (Fig. j6) der LogarithrnifcbeKromme, waar van de Subtangens CT eene ftandvastige grootheid, gelyk aan eene gegeevene Lyn ais, te vinden. yx Laat GC zz x , en CB — y zyn ; dan is — — a y (.§• 206); dat is, wanneer x~ 1 gefte$ wordt, — y y . y* ~a-\ derhalven yzz~, en y"-~—, en naardien y P 3 met  230 EERSTE BEGINSELEN der met eene velheide bewepging vloeit, of dat haare tweede Fluxie eene Heilige grootheid is, hebben wy y % iy y~—; en fubftitueerende voor 31 haare Waarde -. y zal deeze uitdrukking veranderen in y = ~. 270. Subftitueerende nu ip de uitdrukking voor I + y'i de Kromteftraal 261) voor y* en y -y haare Waardens, hebben wy y2i* x + —j x a3 . a2i a' -hyl*" ' " = ——, de gezochte — y -ay Kromteftraal; waar in het negatif teken alleenlyk aantoont, dit de Ontwondene en Kromteftraal , ten aanzien vm x en y ,• aan de andere zyde van de Kromme liggen. 27e Vooïibkecd IV. r>e Kromteftraal in eenig punt B r\ 5. 51) der Kromme AD te vinden, welkers Raaklyn BT overal gelyk is aan eene gegeevene Lyn a. Laat GC~a; en CB~y zyn, dan is, volgens het Pythagorisch Leerftuk, TB*— Bc'^r; Cl"; dat is 1 y x a'-y'l^ -CT-— (§. 2c6; ; of Hellende x y ZZ l.  F L ü X I E-R E K E N I N G. 231. « . y rr^-n^-i derhalven y-^ZTIT^ Ên dUS 'y a*-*l* *s - _JÜ . Voorts, naardien de Fluxie van y ftel- a3 — y* lig is, hebben wy . T ï'J 31X a1— y2l3 -r ■ a3—yals •• _ - -, dat is, lubfti- a3 — y* tueerende voor y haare boven gevondene Waarde, y3 y+ fl3— y* a'y 272. Wanneer wy nu in de uitdrukking voor de Kromteftraal Ü^LL C§. 261) voor y* en haare -y Waardens fchryven, zullen wy hebben . 3 r * t , + — xa'-rl* 1 -i-yM en Erf Bb : rf :: BE : rE. Dividendo Bb — rf : Bb :: BS —rE : BE. , *'* y/a +y'4 + y *É y" « «11 pat is x" +y" 12 ■—; : *f +y'212:; + y'»l* P 5 BE  234 EERSTE BEGINSELEN der BE —rE (=rB) : BE. *'y ~ ■ : BF, * *—yxy" yxx'+y-l^ * —> zynde eene agtmeene Uitdruk- x* + xy' ~yx y king voor de Kromteftraal van alle kromme Lynen welke tot een vast of centraal-Punt bepaald zyn' wanneer x'of x onveranderlyk is. 278. Hier door zal, ftellende in, de algemeene y x 1 -t-y* I Uitdrukking voor de Kromteftraal zyn. i+r— yy Indien wy derhalven de Vergelyking van de gegeevene Spiraal m Fluxiën ftellen , (neemende x'zzi), vervolgen? deeze Fluxionaale Vergelyking wederom in Fluxiën brengen ; en daar uit, of uit de natuur der Kromme, de Waarden van 'y' en y vinden : indien w\ dan eindelyk voory2 en y deeze haare Waarden in de bövenftaande algemeene Uitdrukking fubftitueeren, zullen wy de begeerde Kromteftraal BE bekomen, als in de volgende Voorbeelden te zien is. 279.  FLUXIE.REKENING, 235 270. Voorbeeld L De Kromteftraal in eenig punt B (Fte. 59) der Spiraal van Archimedes LU <&c. te vinden. ~ Laat de Omtrek van den teelenden Cirkel Ab &c. ZZa, deszelfs Straal CA = fc, de Ordinaat CU --, en de Boog AF = *zyo. Laat Cƒ verönderfteli worden onbepaald dichc by CF te zyn , dat i< , laat de L FC ƒ onbepaald klein veröuderfteld worder.; befchryf voorts met den Ordinaat CB, als Straal, de kleine Cirkelboog Bn, en ftel denze'ven =* , als mede F/rz'; dan is door de natuur der Kromme y : b :: z : a ( Toepasfing der Algebra op de Hooge ay Meetkunde, II. Deel §.127), of zzz--, waar b . "y van de Fluxie is zZZ2—* b Voorts hebben wy door de gelykvormigheid der Settors CBra en CF/, j'i ffi Ttt'i derhalven bx' . bx ay bx z'zz —, of zzz—• By gevolg —— —; datis, y y b y Rellende 'xzzi , — zz-; uit welke Vergelyking b y b* . V wy hebben yr —; derhalven y>zz , en y _ ay a1?1 ^ab* y . b* , ; dewyl nu yzz— is, hebben wy door fub- a*y' ay -b* ftitutie yzz—. Stellende nu deeze Waarden van a'y' i'  •tf EERSTE BEGINSELEN der ^Mtif^L ™ * Kromteftraal .11 yx n if)^W T, 14 ; ^4 a*y + 2ab*~~ i+ + a*y* a3y' BE, de gezochte Kromteftraal. B T^V.• Vereelt™ ïïïJnïli *Y Ordinaat cb = y, de Zr,^^?^ a en b voor tw» gegeevene Grootheden) is "z ~ ty. De 2te van de Vergelyking der Kromme is az -b'y ; derhalven Laat de hoek BCh als a onbepaald klein genomen, en met den Ordinaat CR als Straal, het klein Cirkelboogje B s SÏÏ worden. Indien wy nu b« als een kleine rechte Lyn perpendiculair op CB , befchouwen, en B eer kleine rechte Lyn, die met een Kartlyn in het punt Bfamenloopt; dan hebben wy door het Pyth£ gorisch Leerftuk, B£-bV+«TI*, dat is, adlende Bnzzx', nb~y\ en BJ=z', a'-^+yTp^ ' of door de Fluxie voor het Increment in plaats te ftellen, zzz'x'+y\ \ dat is; ae\lende'x~ i, z = —7Ï*  FLUXIE-'REKENING. 237 1—~fl b'y I + yJ' . Hier door —— 1 +y*i ; quadratmen* a de nu de beide leden vaD deeze Vergelykinge, zullen b%'y' wy hebben — zz 1 +y', of b* y* zza* + a*y2, en a2 a2 . a y — . Derhalven yzz » en om dat deeze Waarde van 'y eene ftandvastige Grootheid is, zo is y zz o. 281- Wanneer wy nu de Waarden van 31* en y (§.280; in de Uitdrukking van de Kromteftraal CS* 87*ü ftellen, zal dezelve worden -a-|! —ril yxl+-z—I 31 X I +y 1 b —« • 1+y1— yy J+ 0 b2 — a1 yx — yx zz BE , de begeerde Kromteftraal. TIEN-  m EERSTE BEGINSELEN der TIENDE AFDEELING. Van het gebruik der Fluxiën in de Oplosfing van foorftellen, waar in begeert wordt de natuur der ontwondene Kromme (EvolutaJ van eene gegeevene opgemndene Kromme (Involuta; te vinden. Naardien het den Leezer volffrekt noodza?,lfPl„£ » met het verhandelde in de vocrige jfdeeHn*^ bekend te zyn, eer en alvoorens hy tot di onX. werp overgaa, zullen wy thans niet weder herrl™ len wat men door Evoluta en Involuta te verftaVn hebbe , alzo het daar ter plaatfe • §. 250 ) S zaam verklaard is. ^ ö ' senoeS- BE (Fiê:6l)de Straal van Ontwin, ding of kromte zyn in eenig punt B van de Se" wondene Kromme■ ( Involuta > AB, welle.s Abfcïsrè Zy Afns*S en dcn °^inaat CB~y. Trek l'N parallel HA ; ve,!eng BC tut L ; e., rrek uit ien top der ontwondene DE , de rechte DN gelik S BVHC?ndl^iaD ?t ^ ZU"tn de Drietek 2 en BEL gelykvormig zynj en derhalven BH : HC :: BE : EL. Dat is CS. 2J4) lx : 01 .. t±t}l x x xy CS- 256) : EL. x' + j8 Derhalven ELryx . 'xy We-  FLUXIE-REKENING. ^ Wederom HC : CB :: EL : LB. yy i x2 + y* Dat is — : y :: y x ! LB. * *y x'+y' Derhalven LBr: . y Deeze nu zyn algemeene Uitdrukkingen voor EL en LB, wanneer x als onveranderlyk , en de Fluxie van y als negatif befchouwd wordt. 283. Wanneer xzz t, en de Fluxie van y negatif is, i + y* zal de algemeene Uitdrukking voor BLzz *m zyn, J . i+y* en deeze vermeenigvuldigd met y, is yx » — de y algemeene Uitdrukking voor LE. Wanneer wy nu, met behulp der Vergelykinge van de gegeevene op. gewondene Kromme, y, y' en y, als in de voorgaande Afdeeling, uit deeze Uitdrukkingen verdryven, en door §. 263 den afftand van den top AD vinden j vervolgens de Abfcisfe van de ontwondene Dft—«, en haaren Ordinaat NEzzv ftellen, kunnen wy, met behulp van deeze twee Vergelykingen, «~BL—BC, en v—AC—AD-hLE , de natuur der begeerde outwondeue Kromme DE vinden. 384*  *4« EERSTE BEGINSELEN de* 284. Aanmerking. Wanneer de asscevenp r,™* jondene Kromme (AvafaiO tenÏS^K As uitgebogen » , en *en y te famen aangroeijen" °fi.dat le van * en y beide ftellie zvn • dan zullen de aigemeene Uitdrukkingen voor^TenLE 1 +y' .1 +y zyn en y x refpeüivelyk. Waar in -y 5fn WïitGke? aantoont» dat de punten L en E t rel ? Zyde dCr °PgeWondeCePKrommerdac is , ten aandien van * cn 7, aan de andere zyde derzelve genomen moeten worden* 085. Voorbeeld ft' D *" en y in de algemeene Uitdrukking voor BL, i+y aaamlyk ~_ (§.283), zal men bekomen V a . , -2 t-\ X4.«*lè ' + y _^ 4X 4x+a x axl- y a* ~a ' Ook-  F L U X I E-R E K E Ni N G. 341 Ook zal de Uitdrukking voor LE, naamlyk y X: ■ = y x BL , door fubllitutie worden . . « . y a 4#+aX axl* • X zzz2x + -ka. Hier doot 2Xax\s a 4* + axa#l2 hebben wy b( = BL —EC)r -y, •a 4*+axa*l^ , 4xxa~x\* 0f — rt#| 2 — , a a 4xxax\u Derhalven — u a " a 4xxaxl s ~ au 1/ 16a*3 tH a'u* 16 a a u1 ~ Wit*. ^086. Wederom hebben wy NErAC — AD + LE *-x~ia-}rax-i-ia-2x-v ; derhalven 27 a:'== * at** *3, en *• . Hier dóór hebben wy — ' * ' fl7 ■: 16 . F£ Q J \ £, «7  Ht [EERSTE BEGINSELEN der 2?' ^ VS~~i7"; Zy"de de VerSeIvkiDS van de fSTn^rfA T'H d^bet,rekkinS trnkhen de AbSkin* I + y" >• —— _ — 2 y , en LE — j x •* a y - - „. vay—y' 15 r BL ~ -x a-y = a.aay—y»ls. Stellende - j< •'■ v . - derhalven de Abfcisfe AN — w , en den Ordinaat tiEzzv , zuilen wy hebben: »r (BL — CB = J 231—31 = 3', en v= (AC + LE-) *-+• .... a.aay—yJl=. Maar f"ï-2a;jf-ya 1' ($. 266); der-  FLUXIE-REKENING. 243 derhalven hebben wy door fubllitutie a v _ 2 -r* 2«31— y~|^. Nu is boven gevonden «ry,_ derhal. ven hebben wy, door voor y haare waarde u in plaats te Hellen, vzzt-h 2 au— u2^. Waar uit blykt, dat de ontwonaene Kromme AfiP eene Cycloïde is, gelyk aan de gegeevene Cycloïde ABD. 288. Want, laat ASrzSVzrc zyn ; dan hebben wy, ANzz Fl zynde , AT~ FG r s, en MT '== aaw —ÜM1 = IG ; derhalven AT + TN = z + 2aii — «M*, dat is AT + TNnNE, zynde de elgenfchap der Cycloïde ( Toepasfing der Algebra op de Hooge Meetkunde , 'II. Dbfl„ 5. 56) : dienvolgens is de Eyo/uta AEP eene C\ctóó!e; en naardien AVrFD is, zo volgt dat dc Cycloïden AKP en ABD aan elkander gelyk zyn. 989. Voorbeeld HIJ De natuur der Ontwondent (Evoluta) van de Kromme AD (Fig. 63 ) te vinden, welkers Raaklyn BT overal gelyk is aan eene gegewne Lyn a. Laac BE dê Kromteftraal jn het punt B zyn; indien dan uit het punt .T ( §.' 2öy ) een Perpendiculair getrokken wordt, zal dezelve door het punt Egaan } wanneer derhalven het punt T op het punt F valt, dat is wanneer de Raaklyn en Ordinaat aan elkander geryk worden , of de punten B en O op elkander vallen, zal het punt E desgelyks op het punt D val* len: by gevolg .valt de'top van de ontwondene op dien van de opgewondene. Laat GF=£, GC —*, CBrry, DN zz «, en , _ « y ' % NE-y zyn ; dan is y zz —"~"> y* p --' ». a~r\* a'-y*  344 EERSTE BEGINSELEN der •• a~y Cn y=:ZWZZZ7 ^S' aöp^: derhalven (§. 284) a2-j>*j* en LE-^xBLr-:_ir-x i-_a~^. en naardien het wgati/teken alleenlyk aantoont, dat de punten L en E aan de holle zyde der opgewondene Kromme DA moeten genomen worden , zo ia a* — y' BLz: , en LEraJ-y»|=. Hierdoor heb- y ben wy u zz (LB ■+- BC— DF~) —L+y_ai of «y^a'-y'-r-y'-ay; dat is «y-r-ay-a', en 3 = • Derhalven y zzzz — j zo ook a + a ' : tt+al * ff (GF — GC -f- CT zz) b-x + a*-yHÏ, en . yy derhalven v zz — x — —. Maar CT *—• 08 *K ~ 1 ' .«a-yalB — =: 5^-*5-'"l*j of ir-xa"^-"Fl = ; by gevolg heb.  FLUXIE-REKENING. 245 hebben wy door fubllitutie vzz — -xnJ — y3P — y yy -a*y r: , dat is, Hellende in plaats a'—y-i^ yxa'-y3!* a' a*u van j en y haare waarden , en , U + a «TaV au vzz , welke eene Vergelyking is voor u' 4- 2 au]'5' de Ontwondene (Evaluta) DE , en dus ook eene Vergelyking van de Ketcinglyn (Catenaria). Derhalven is de Evoluta DE de Kettinglyn , zynde eene Kromme, welke gevormd wordt door eene buigzaa» me Lyn of Ketting, welke aan twee punten , het zy dezelve horizontaal zyn of niet, wordt opgehangen» ELFDE AFDEELING. Fan de handelwyze om .Breuken of irrationaale Groot' heden in oneindige Séries of Reekfen te brengen. Thans, daar wy den afgebroken draad van de Leerwyze der Fluenten weder zullen hervatten, cn daar toe, ten mitiften voor fommige geheel en al onhandelbaare Grootheden , volftrekt noodzaakelyk is zodanige Grootheden in onëindige convergeerende Reekfen te kunnen herleiden, zullen wy dit onderwerp met de noodige uitgebreidheid, en zo duidelyk als mogelyk is, afhandelen, fchoon het anders niet eigenlyk tot de Leerwyze der Fluxiën behoort. —— Zie hjer daar van eenige Voorbeelden. Q 3 290.  24&" EERSTE BEGINSELEN der b 20c. Voorbeeld L De Breuk in eene on- a + x eindige Reeks of Séries te herleiden. Plaarstden Noemer a+x als Deeler, en den Tel. Ier b als Deeltal; verricht vervolgens de Deeling als naar gewoonte, tot dat gy 4, 5,' 6 of meer Termen in het Quotiënt bekomen hebt; waar na gy zo veel Termen, als gy tot uw oogmerk noodig hebt , kund vinden , door flegts den voortgarg der Progresfie van de reeds gevondene Termen in acht te neemen. Hebbende dus, zo als in de hier na volgende Bewerking . . , . b bx te zien is, de vier eerfte Termen, naamlyk -f a q2 bx' bx* " gevonden , zo is ook de wet van voort- a3 a* gang van de Deeling of van de Séries openbaar; want ieder volgende Term wordt klaarblyklyk voortge- , x bragt, wanneer men den voorgaanden met ver- a meenigvuldigt , en dienvolgens zal de i-yfde Term bx* bx* 4 , de zesde Term &c. zyn. Zie hier a5 a6 de Bewerking, i O bx bx2 bx* a + x b < i (- öcc. ' Ca a2 a» a* bx b+ — a bx a  FLUXIE-REKENING. 247 bx a bx bx* a aa bx* + — a* bx* bx' + ' a' o* bx' a' bx' bx* a1 «♦ bx* H a4 &c. 20T. Wanneer in den Noemer des bovenilaanden Breuks x vóór a geiteld, of wel de Deeler aldus geichreeven wordt, x + a, in plaats van a + x, zal b ba ba' ba1 het Quotiënt of de Séries zyn " + ~ ^7 -f- gV. Waar uit dan de Wet van voortgang als boven (§. 390) afgeleid kan worden. 292. In 't algemeen, om eene waare of convergeerende Reeks te bekomen; dat is eene zodanige Reefes, waar in de Termen geduurig verminderen of kleiner Q 4 wor-  248 EERSTE BEGINSELEN der worden, moet de grootfte Term vooraan geplaatst worden. Indien dus in het voorgaande Voorbeeld a grooter dan *is; dan moet a de eerfte Term van den b bx bx' bxs Deeler zyn, en + + &c is als* a a' a9 a* dan de waare Séries: ook is de andere Séries, welke gevonden wordt door x in den Deeler voorga n te plaarfen, alsdan eene divergeerende Reeks, waar in de Termen geduurig grooter worden , en derhalven zal men, hoe verder de Séries voortgezet wordt, geduurig meer en meer van ae waarheid afwykcn. 293. Schoon het in alle gevallen onmogelyk is, eenig getal Termen in de Séries te neemen , waar door de waarde der gegeevene Grootheid naauwkeurig uitgedrukt worde; zal echter in 'talgemeen een klein getal enkele Termen genoegzaam zyn , om dq ■.Vaarde des Breuks na genoeg voor te ftellen. 291. Voorbeeld II. De Breuk -1— in eene qo. a—x eindige Reeks of Séries te herleiden. Bewerking. *~x/a» .... + &Ct ax—x* + ?' x* +x' , ••««macn 10 ftót,*'%a33 mo ^3»*,,*- »• «1 *»  FLUXIE-REKEN1NG. 24J> ** +— a *s x* +—r + — a' *♦ x5 a2 a3 + — a» &c. Waar uit de Wet vau voortgang openbaar is, dewyl ieder volgende Term gevonden wordt, door den x naastvoorgaanden met - te vermeeoigvuldigen. a a1 295. Voorbeeld III. De Breuk in ax + nax+x2 eene oneindige Reeks te herleiden. Bewerking. Cs* 3*1 4** P + zax+x1 fa* s*+ + 3**+— + — a a' 4*3 3*4 a a* 4*' 8*4 4*5 fl a' a' 4*s aa a3 &e. Nu is uit deeze vier Temen der gemaklvk te zien , hoe en op wat wyze de overige Termen gevonden kunnen worden , zonder de De'eling verder voort te zetten; want de Tellers zyn de Macten van x. en hunne Exponenten zyn i minder dan het getal Termen, waar toe zy refpeöivelyk behooren , vermeenigvuldigd met de gemelde getallen. Voorts zyn de Noemers de Magten van a , welkers Exponenten met die van x in de Tellers overéénkomen, en de tekens der Termen wisfelen beurtelings af in -|- en Dus is de vyfde Term 5«f' 6x' -1—--, de zesde Term —.—; en zo vervolgens. 996.  FLUXIE.REKENING. ajt 596. Voorbeeld IV. De gegeevene Grootheid i -(-*'— 2 *4 .... , in eene onëindige Reeks te herleiden, i — x — x* Bewerking. I -I + *a~2 *4^i+*+3*4+4*3+5** + &c' 1 _ x-x' + *+2X» i +X — X'-X' -+-3X1 4-*' — 2X4 -f 4x3 + *4 -r-4x3~4X4-4X5 -t-5 a4-5*5-5** -r-9*5 + 5*s In deeze uitkomst, of Séries ,i+* + 3i' + &c. is nu de Wet , om dezelve verder voort te zetten, openbaar ; vermits de Coëfficiënt van eiken naastvolgenden Ter?» fteeds aan de lom der Coëfficiënten van de twee onmiddelyk voorgaande Termen gelyk is. Ook is de Exponent van x, de eerfte Term welke 1 is , niet in aanmerking neemende , fteeds gelyk aan het getal der Termen aan die plaats. S197. Voorbeeld V. De Radicaale Grootheid Va.* + 4at' in eene onëindige Reeks te herleiden* Be-  *ja EERSTE BEGINSELEN der Bewerking. *)" 2** 2 x* ax6 «s + 4*': deel dit overblyffel door sa, het dubbeld van den eerften Tim , dan zal het Quotiënt zyn + -r  FLUXIE-REKENING. 33-3 2 ar* •+• — voor den tweeden Term der Séries, welke gea voegd zynde by aa , het dubbeld van den eerften. IX* Term, en alles met — vermeenigvuldigd, voort zar a 4*4 brengen 4*am , en dit afgetrokken van 4a;2 a2 4*4 blyft 'er over , hetwelk gedeeld zynde door a is a2 1 jfl I 4 *' 2 a H , het dubbeld der beide eerfte Termen van a de &Wer , — voor den derden Term der Séries a3 zal voortbrengen , welke gevoegd zynde by 2 a -+■ 4*2 : «jj ——, het dubbeld der beide eerfte Termen, eh alles a 2 a;4 met - — vermeenigvuldigende , zal het Produtï a3 4*4 8#6 ax* ax"< Zyn — 1 ; dit Produft van — a2 a4 a6 a' „ 8x6 afgetrokken , zal het overblyffel zyn —| — a4 4*3 ■ , 't welk gedeeld door het . dubbeld der drie reeds gevondene Termen van de Séries, naamlyk door  V4 EERSTE BEGINSELEN der 4** 4*4 4x6 door aa-| — , voortbrengt 4-——, voor fl fl' 05 den vierden Term der Ser/Vj. Op de zelfde wvze voortgaande , kan men van de Séries zo veel Termen vinden als men,begeert; 7.0 ook, wanneer men de wet van voortgang der Séries ontdekt heeft, kan men , zonder de Bewerking verder voort te zetten , van de Séries zo veel Termen vinden . als men begeert. * 298. Voorbeeld VI. Men begeert de Radicaale Uitdrukking !-*- x»f* in eene mëindige Reeks te veranderen. Bewerkinc. L 2 8 16 1 2) — x — x' ■ pp. s 35 a^stf-K)') Jlsrfc , -*+— 4 5X% 4 4 8 * 64 4 / 8 „ 64 EL 5ff S  F L U X fE.REKENING. 255 5*« 5*4 ai*5 25i* ' 8 16 64 256 4*a4 25«s 55«6 64 64 256 j i s 5»' 5*3 Derhalven = 1 ■ fL aö.rf)A . Rf 3. 2. aB «. 16 . , , 099. Naardien de Wet om Séries , uït radicaals Grootheden voortkomende, door middel vau eenige op voorgaande wyze gevondene Termen te vervol, gen , niet zeer gemaklyk te ontdekken is , zal ik hier nog eene andere handelwyze byvoegen, door middel van welke het begeerde in zo veel Termen als men verkiest met weinig omflags gevonden wordt. Men ftelle naamlyk de waarde der voorgemelde radicaale Grootheid gelyk aan eene Séries met on* bik nde Coëfficiënten; en deeze aldus aangenorjiene Séries verOc en zynde toe de twee ie , derde, vierde magt enx. , haar dat d:.- vVe.'tel , die uit de Grootheid getrokken moet wor !en, van dë tweede , derde , vierde roag't , enz. is , zal men eene Vergelyking, van Surden ontheven, bekomen, waar uit, door verge'ykin^ der overéenkotuftige Termen» de aangenomens Coëfficiënten, en dienvolgens de gezochte Séries, bepaald zullen worden; zo als nu vervolgens getoond zal worden. an anl^ 300. Voorbeeld VII. De Grootheid a -!-x | in eene onëindige Reeks te herleiden. Laat A+B*°-n+C**w + D/n + E/B-r- &c. de beeeer-ie Séries zyn. Deeze tot de tweede magt verheffende, hebben wy Aa +  &56 EERSTE BEGINSELEN der A2 + 2AB*2w+3AC*4B+2AD*6" + 2Affl . x ere » + Ba*4" + 2BC/B+2BD}'4a K en by gevolg A' + aAB*2W +2AC*4S + 2AD*6w-h" _fl*« « + B^4B + 2BCx6n +yl ;, V . . aBDxSw ^c. j ' Derhalven hebben wy , door ve.gclyking der Coëfficiënten, A«-aan=o; of A1—a2w, en A-a"; aAB —1=0; of B~ (f— -r/j _L; 2a n i r sAC+B'-o; of 2a X C-! =o,enC- ; n i 0AD + 2BC-0; 0f 2a x D + 2X x . . . . aa" •AA -1 n 1 «9 . , «2 'i ' — —— — 0; dat  F L U X I E-R EKENING. 257 dat is anx D + -lx _ J_-a«xD —=0, en D — ; aAE + 2BD + C3=o; of 20BX E+ 2X — x n 2a 1 1 5 1- , = o; 0f aanx E H ~oj 16a5" 64«6W 64a6w 5 en E- . Dienvolgens A + B/fl+Cï4B+Di6fl-hEi8'1 + £fc. =aw -i 1 f 2a" 8a3" IOfl5« l2ga7« Welke Séries y Hellende nzi5 zal worden a -f- ■-— 2 a — 1 tfc zynde he(. zelfd d 8a» 16a5 128a? gevonden wordt, als men de radicaale Grootheid aM-*2!^, naar de eerst voorgedragene Leerwyze . in eene Séries herleidt. 301. Voorbeeld VIII. De Grootheid a-hbx0!' l» eene onëindige Reeks te veranderen. R Laat  258 EERSTE BEGINSELEN der zyn. Dan hebben wy, door deeze Vergelyking tot de derde magt te verheffen , A, + 3A'Bxw+3AïC*ctn + 3A2Da;3«+£vp(r."| \\ + 3 A B' *2n + 6 ABC *3" + £?c. \ t +B»*3B + efc.j r en by gevolg A* 4- 3 A3 B*n + 3 A'C *a n + 3 A-D x3 n+&c.l fl—^"-|-3AB'x2ö-r-6ABC*3n + ^. j.JJ Derhalven hebben wy, door vergelyking der Coëfficiënten, A3 — az:o; of A3~a, en Ara1; / b \ b ïA'B-bzzo; 3AaB~&;ofBz: ( ) —; 3AaC+3AB2r:oiof AC=-B»; Crf-—=J — —— j 5 9a* C6ABC + B3 ^ —-zz ) 3A' 8 8ia3 Dien-  FLUXIE.REKENING. 25!? Dienvolgens A + B xn + C *" -t- D xn + &c. - a% hxn 563*3B + + £fc. 3a3 9a5 81 a3 302. Stellende in de boven gevondene Séries (§-3oO» <»—1 •> bzzi , «—3; dan zal dezelve x* x6 5*9 worden H 1 SV« zyude de zelf" 3 9 81 de Uitdrukking, welke gevonden wordt, als men, volgens de eerst opgegeevene Leerwyze (§. 297 )> uit i — ** den Cabic- Wortel trekt. Deeze zelfde handelwyze kan ook toepasfelyk gemaakt worden op zodanige Radicaale Grootheden , welke negative Exponenten hebben, zo als in hec volgende Voorbeeld te zien is. 1 303. Voorbeeld IX. Dé Grootheid ——, in eene a-x oneindige Reeks te herleiden. 1 Laat A + Bx-r-C*a+D*s-f.E** &C. de a-x begeerde Séries zyn. Deeze Vergelyking met a — x vermeenigvuldigd, beeft men I-aA+aB* + aC*2 -h ADa:s-r-aE è?c — Ax — Bx1 — Cx3 — Dx* ÊfV. Weshalven de overëenkomllige magten van x te famen vergelykerde , zullen wy hebben aA~i, ab-Aro, aC-Bro, aD—C30, aE—D~o% l * A ^. i £fc Dienvolgens A~~, Bzz ( ) —, CzZ a >■ a y a- Ra va y  s6o EERSTE BEGINSELEN der va^a» ^a -/a4 ^a -/a5 i i x .** x3 x* Derhalven —- +—|—-)—4 j. a-x a a» a3 a* as 504. Alle foorten van gebroken en Surdifche Grootheden kunnen in onëindige Reekfen herleid wordeD, door het beroemd Binotnisch Theorema van den Ridder Izaak Newton, en wel ten aanzien der verheffing tot Magten, of de uittrekking van Wortelen, op eene veel gemaklyker en vaardiger wvze , dan door eenige andere Leerwyze. Ik heb elders (*) getoond, hoe dit Theorema uit de Beginfelen der Algebra kan afgeleid worden ; thans vergischt myn te* genwoordig onderwerp, dat ik doe zien, hoe men door de grondbeginfelen der Fluxiën tot het zelfde befluit geraakt. 305. Laat i+y een Binomium zyn, welks eerde Term de eenheid , en tweede Term eenige vooreeftelde Grootheid j> zy, en laat de Grootheid, welke ontwikkeld, of in eene Séries herleid moet worden, i + y\v zyn; van welke uitdrukking de Exponent v verönderfteld wordt eenig getal hoe genaamd, het zy geheel of gebroken, pofitif of negatif, aan te duiden. Nu is het klaarblyklyk , dat de eerfte Term der begeerde Séries de eenheid moet zyn ; om reden dat, wanneer jnzois, alle de andere Termen vet' dwynen; en, in ditgeyal, 1 -\-y")vgelyk aan de eenheid is. Laat derhalven 1 + A ym -f Byn -I- Cyp-h Dy? (*) Meidinge tot de Mathem. Weetenfch. II. Deel, Eladz. 94.  FLUXIE.REKENING. *6i 8c begreepen worden de waare Waarde dér gemelde Séries uit te drukken, of, dat het ze.rde is, laat T+y\Vzz i + Aym + Byn-h c/ + Dy?-r&c, zyn, waarin A, B, C, D, 8c ra, 3» 8c. onbekende, maar bepaalde Grootheden uHdrOKken. Indien wy alsdan , y veranderlyk onderftellende, de geheele Vergelyking in Fluxiën brengen,zullen wy hebben v'yx 1 +y\V~l — «131 Ay"1 * "1" m5 *3n~I+PjCyp~l + qyDy*-1-Y- 8c 306. Wanneer wy nu de laatstgevondene Vergelykinge met de Vergelykinge 1 + Aym-r-Byn-i-Cyp -hDyl+tfc. zzT+y\v (%. 305) vermeenigvuldi- gen, en tevens door yxi+y\V~~l deelen, zal 'er komen v + yAym + vByl-,rvCyP-\-vDyq-'r8c.7Ï^XtnAym'~l+nByn-l-hpCyP~I+ ï • • gDy1"1 &c Dat is v+vAym + vByn-}-vCyp + vDyq+&c.zz m A ym~1 + n Vyn " 1 + p C yp~l 4- q D j*"18c + mAym-r-nByn-t-pCyp -+qDyq &c. Derhalven hebben wy door herleiding mhym- 1 +nByn'l+pCyp-1 + qVy4~l &C'\ + mAym + nByn +pCyp 8e. lp — v —vAym— vByn—vCyp 8c J R 3 3°7-  26* EERSTE BEGINSELEN der 307- Nademaal het ons nu vry ftaat de Exponenten van y, naar welgevallen , zodanig te ncemen, dat dezelve aan de Conditiën der Vergelykinge vol' doen of we , dat alle de hier ter nede%eftelde Termen tegen elkander verdwynen; zo Iaat dezelve zodan.g genomen worden, dat de Termen zelve van gelykefoortzyn; dat is, laatm-1-0, B-i-0 0>H-1 = .) 4, enz. T ;J' 2 — Stellende nu deeze Waarden in de boven gevondene Vergelykinge ($> 3°6) , zal dezelve wofdeT A—^2By—f-3Cy=—f-4D3i3+ —T-Av~i-2b^—h3c/ + L =0. —-v—j-Aj;— vBy vCy3 — fcfV.J Derhalven hebben wy, door vergelyking der Coëfficiënten, A-y-o, of A-v; 2B+ A-vAz:0, of B (zz *A-A^Axv-i\ vx 7-7 ) - ; 3C+2b-yB-o, 2 2 / a ' V 3 3 ^ a X —; 4D + 3C-rC-o, of D C = —22 - Cxv-3\ _ v —1 v —3 ' J — ">>X x 1 X , en zo ver- 4 2 3 4 Volgens. vJüh ^^«"rende nu de gevondene Waarden voor a, li, t, ü, enz. benevens die van »«, »,  FLUX IE-REKENING. S63 p, q, enz. 307) in de eeFst genomene Séries i + Aym + B ,B + C / + D yq &c ( §. 305), nullen wy eindelyk vinden T+y\V zz i+vy+ . . . ——*v»a —-■ — V X V-I V X V — \ X V—2 j» -i- ■ y • • • • 4- . - y*+ 8c 1 . 3 . 3 • 4 roQ. OU deeze aldus voortgebragte Séries kan eeniee Maat of Wortel van eene andere famengeitelde Grootheid, het zy dezelve in twee, drie, of meer leden beftaat, gemaklvit afgeleid worden. Want, Ss men onderdek , dat P den eerften Term van eene zodanige Grootheid, en Q het &«ot«« der overige Termen, gedeeld door den eerften, verbeeldt, zal . S Grootheid zelve uitgedrukt worden door P+PQ, of P X 1 + Q » en derzelver vde. magt door P X 7+Qly, welke derhalven gelyk is aan P X . « » vx^Ti vxv'TTixv-a I.uvQ+ Q. + __—Q 1.2 I • ■* • J " ' v~ V"-**-* * rit | :p'; ■ in gevolge hetgeen 1.3.3.4 wy boven (§. 3«3) getoond hebben. 3io. Doch wanneer v een Breuk is , zo als in dit geva\ by de Worteltrekking p;aats heeft, kan dit TheoreJa, voor de daadelyke oefiening f "f"™**1? gemaklyk gemaakt worden, door ui plaats van v een  EERSTE BEGINSELEN der B 'fc m reu. , a/s , £e fubftitueeren; waar door dan het n Theorema in hec volgende zal veranderen: m tn P n v ÏTLKi" — r,« m m m — n » ra 2« 71 271 3» ra a» 3n Q4+ «2rV. Het gebruik van deeze Theoremata zal uit de volgende Voorbeelden blyken. 3H., Voorbeeld X. De Grootheid ? + x^ ,« eene oneindige Reeks uit te drukken. Naardien de Grootheid or+~l^ _—— ~J>\i x 2+~j IS» zu'len wy, door deeze la3tfte Uitdrukking met het algemeene Theorema (§. 310) te ver. gelyken, hebben P~a% Q = L, m-,, en B-2 a' Stellende derhalven deeze Waarden in de laatfte algeueene Vergelykinge, zal men bekomen a~2+xTi^ = «x i+ix^ + £x-ix-+*x-*x-Jx a- a+ - + a6  F L ü X 1 E-R EKENING; 265 X^ X8 a° a8 x* x" x6 5*a + ÖV. aa 8a3 i6as 128a7 Wanneer men de handelwyze van §. 297 gevolgd hadt, zou men, fchoon door een grooteren omweg, tot het zelfde befluit gekomen zyn. 312. Voorbeeld XI. De Grootheid a3—x3!3 in eene onëindige Reeks te herleiden. Daar in dit geval de gegeevene Grootheid uitge. —ï **|* drukt kan worden door a3|3 x 1 , zal men, a3| door vergelyking van deeze Uitdrukking met het m m algemeene Theorema PB x 1 -r-Qjra (§. 310), hebx» ben, Pna', Q r , mtZi, en «-3. Derhal. a» ven verkrygen wy door Subftitutie ,x"> f a3_jfS|3 ^-jxi -j J=axi + fx- 7 T6 ' x9 — + f X - •§ X H | X — I X — I X r-|X a' a? a9 - f X - | x - tI X — + &e. ata R S -°  265 EERSTE BEGINSELEN dhr ac5 x6 5*9 io*1' r=a— ësV. 3a1 9a5 81a8 243a11 i 313. Voorbeeld XII. De Grootheid * a2-~yV dat is a3 —yJi""2, in eene oneindigs Reeks te herleiden. l' -t_x ?r* Hier is a2— y'\ *zza'\ 2xi 1 ; der- a2l y' halven P=a% Q~ i mzz — i, en nr 2; dus a' 1 hebben wy door Subftitutie a' — y'\~z « • • r 1 1 ~7 r- \ ( = - x 1 1 )=-xi-ïX -è x v a a'\ ^ a a' 3* 'f — |x |x — ix-|x *x-£x-| a4 a6 3>8 1 3' 3J* 53>3 x «. | X — -H fif C = - + — + — H h a8 a 2a3 8a5 16a7 353»8 12% a9 1 314. VoosiiEELD XIII. De Grootheid —, dat is aa-'r£*'""^, in eene onëindige Reeks te herleiden. Hier  FLUXIE-REKENING. Q67 1 xzi"~^ j Hier is a* + x*\~~è-a*r* X 1 + —I =-X fl'l a H—' , derhalvenPrra*, Q-—» «——I» en a'l a' «na; en fubftituëerende deeze Waarden in het algemeene Theorema (§. 310), zullen wy hebben , / 1 ~~ 1 *■ a'+^r^ (=-xH— )r-xi*-£x — Va a'l / a a* x* x6 -.^x-lx ix-4x—lx ix—ix- a+ a6 *8 1 «r2 3*4 5*6 6>< 8 a8 a 2a3 8as 16 a7 35 *" + ff c. 128a9 a 315. Voorbeeld XIV. De Grootheid ■ 1 1 dat is a x ————, of a x ax —x'i""5 in eent ax— x'l2 oneindige üee^f ïe herleiden» - _ — p*l Naardien a*—jt2!"2 — aa;!"*"* x 1 —-1 is» «I zo hebben wy voor de gegeevene Grootheid a x ï7r*  ?68 EERSTE BEGINSELEN der —-„x ax\ * x j ; of f om dat axax,-i \_ o*l ■ ui' ,i ji al x\'i - Vergelykende nu i fflet ,"+q|» t en nzz 3, Derhalven a-f-*!* =2 X  •270 EERSTE BEGINSELEN der l X X2 — i X3 a3 x i + lx— + |x|x—+|x§x—x—+ a aJ 9a3 -1 -4 x* 5 ga1* f x § x —X —X 1- fcfc. = aJ + -— -f- 0 12 a+ 3 5*» 5** 5** 1- , gfe 1 4 7 « 9a3 81a3 243a3 r 318. Voorbeeld XVI. De Grootheid , arx-x"|* dat is arx—x»!"'2', in eene oneindige Reeks te herleiden. Aangezien 2 rx — x2\"^ ( 2 rx\~~ 2 X««. »|—*\ 1 I ) zz XI — —I is» zul- 2rl ' 27*1* 2r| , 1 m x )* ~ len wy, door 1 1 met i + QI (§. 310) ar | x te vergelyken, hebben Q = , B"*i, en 2f x p / - nzz2. Derhalven 1 — —j y = i + Qln = m 3 +- »  FLUXIE-REKENING. 271 m m m—« >. —1 1 + —Q + —X Q1 + 8c ) = 1 + — n n 2 n f 2 — * —1 —3 *' -1 —3 — 5 x h ■— x — x — + — x — X ! 2r 2 4 4fa a 4 6 -x3 — 1 —3 —5 —7 ** x {- —x — x—x — x— 8c =: Br3 a 4 6 8 I6r4 ar 3X1 15 *3 105** ! + _ + _ + + —— + e>c. 4r 32r" 3S4»'3 6i44 1 ~\~ * 1 Dienvolgens x 1 = x i 2 r i *" 3*2 15*3 105*4 1+— + + + + 8c. at 32r3 384»"* 6144 319. Voorbeeld XVII. De Grootheid a + x x a — x 13 in eene oneindige Reeks te herleiden. . i ~~~x\* Vergelykende nu a —*|4, of a'xi-—1 met «I m m X ï+QI n (§. 3io>, zullen wy hebben P-fl, x . "• Q ~ , m — 1, en « ~ 4. Derhalven a— ; 0  272 EERSTE BEGINSELEN deh / -« ~if \ , ; ( =8XIH )=a3xi-K>c +ix ' a — 3 *' —3—7 r^"*» _o X + l X x X Li v- 8' a' 8 i2 a3 4* 8 X — 7 — ii *4 _ . t X X — + &e. ZZZZ al- — i* ia 16 a4 3 ' m 4 a 4 ?2 a4 73c 231** * 3 u 128 a 3 6144 a'3 Verm. met a+x Komt *4 J 4 1 ■ ; -&c' 32a4 128a4 6144a + y-j *2 3*3 7*4 + a4* , , -6fc. 4a4 33 a4" ia8a'3 -53 a4* II** IQ,. 507,4 Dus a4 + Hl _ 32a+ 128a4 6144a 3 « + * X a -Ti73 de voorgemelde Grootheid. f' 320. Voorbeeld XVIII. De Grootheid y-1ïl^, *■ ^«rffce itw^t, Aer&iVfca. *'+X'1 Hier  FLUXIE-REKENING. *73 Hier is V -— zz & x a^+x'C K Verge- aa+x~'\' _s __a «4~* lykende nu aJ+*al""3, ©f a1!"3 X i + — m m met Pn x 7+~Q| 71 (% 310), zullen wy hebben x1 ■ ■ - - » Pzza*, Qr —, m —— 2, en « = 3. Derhalven a* . a'~+x~21 3 ^za*!"* X 1+.— ^ r=a2i"'ï>< - 2 ■ x11 -2 -5 ** -a —5 - 8 IH X K X X 1 X X X 3 a2 3 6 a* 3 6 9 Jê —2 ' —« —b —ii — + —X X X X \r =t a6 3 6 9 12 a8 . a "2X1 5ï4 40 nu*8 ó^|" 3 X 1 + ! + 8c. 3aa ga* Riaö 243a8 Vermeenigvuldigende nu deeze laatfte Vergelyking met a1!3" (~a?), Zullen wy hebben: _ T 9X*~ SX* 4.OX6 IlOX* •■l"3 X I - + " r H 8c 3a2 9a4 81a6 243a* 32!. Voorbeeld XIX. De drieledige Grootheid x3-j-2x4+3X5)* in eene oneindige Reeks te herleiden. S Aan-  274 EERSTE BEGINSELEN DER Aangezien ^Jr+JT^ZZZM*i*xiT^qT»I* * zu,ten wy» door deeze laatfte Uitdrukking [e m m Yergelyken met P-xT+Ql" (5> 310), bebbe„ Fzzx', q=aM+3x», W-,> ea «r3. Derhalven ^T7*~3P |l=,x, +|x^+3>+1 x Z!x - 6 2* + 3*'r + ix~x-—xaTTjr»!3 + x v 6 9 J 1 3 x ^2 ^5 — 8 . T . B T x T * 17 x a*+3*a^ — + 7 " 1 *X **t ' + sf *x 2T+3TI 3- 4far 3 3 9 12*4 9*5 40** 6o*5 l6o^s V T ■ ■' 1T + V 77 ^- = * + —+ + —&C 3 9 8l 243 322. Wanneer de voorgeftelde Uitdrukking ia twee of meer famengeftelde irrationaak Grootheden beltaat, welke met herteken van vermeenigvuidrgme te iamen gekoppeld zyn, moet men iedere Grootheid atzonderlyk in eene Séries herleiden, en dezelve alsdan iamen vermeenigvuldigen: mits geduurig ■ in acht neemende, dat mm alle zodanige Termen vertvaarloost, waar van de Exponenten die van den laat- ften  fluxïe*Rekenïng. fi?5 ften of hoogden Term,tot Welken men voorneemens is de gezochte Séries te vervolgen, te boven zouden gaan. Het volgende Voorbeeld kan tot opheldering hier van dienen. 323. Voorbeeld xx. De Grootheid ^a^^x^ï^x b3"—xM""^s ia ce«e onëindige Reeks te herleiden. _ De eerfte te herleiden Séries is a3 — a;1.* . • ^ i =a»l?xi—-j J = axi—. Wanneer i 1 m ar^p , wy nu 1 — —-1 met 1 + Ql" (§• 3io) vergely. aM ken, zullen wy hebben Qr: , m~l, en«_2. , oa . . — *» -1 Derhalven 1 1 = 1 -KX - — + i X — X a'l a2 4 se* -1 —3 x° —1 —3 _ + iX— X—X + * x — x-X a* 46 a6 46 '— x — + &e, si- —,"'» 8 a» aa8 8a* 16a6 i 8V. ï«8a»  *7« EERSTE BEGINSELEN oer ~ . *» x* X6 Dienvolgens « x i 1 — a - , a'l 2a 8a» ióas 5*' &c. ia8a7 304. De tweede te herleiden Séries is b'—x'\~^ r t>\ )b xi~i x° I—'"è Vergelykende nu, als vooren, 1 met H m j-f-Q!" (§. 3IO), zuiien wy hebben Q- —— m — — I, en «ra. Derhalven 1 ZZ\-h > IV11 ~x— li Z.3 14 —l" —3 2 »; 2 "7* x 7*+ T x 7 x -5 -*« -i -3 -5 _7 ,8 "T-x —+ —X — x — X — x— +ÖV. 6 *6 346 8 b* — x"« ~ H 1 1 &c. Dien volgen» 16b6 128b* I,-,-.' Fj* i 3** )xi 1 = --f- — -f- j- * H b 3^3 8i, 5*6 35*8 ~~—- + &c. S25«  F L ü X I E-R E K E N I N G. 277 325. Wanneer wy nu de beide gevondene Séries (§§» .323, 3 4), te famen vermeenigvuldigen, zullen wy hebben aai 3a I 1 - + x *' + x ** + b 1b3 lab 86s 4«63 8as* 3 1 ï 35 a 16b7 i6abs ióa3i' i6a56 128*» 5 3 ï 5 x *8 öfc. 32a67 64a3ès $aa5b* i28a7è voor de vyf eerfte Termen der gezochte Séries. TWAALFDE AFDEELING. Van ie bepaaling der Fluenten van gegeevene Fluxiën, door middel van oneindige convergeerende Reek/en. 396. Wy hebben nu, zo wy vertrouwen, in de voorgaande Afdeeling door een genoegzaam aantal Voorbeelden verklaard , hoe en op wat wyze alle Breuken of irrationaale Grootheden in onëindige convergeerende Reekfen herleid kunnen worden; thans zullen wy daar van geb'uik maaken, om van eene ftuneogcfte'de Fluxionaale Uitdrukking de Fluent te vinden, door middel van den volgenden Regel. Verandert of herleidt de Fluxionaale Uitdrukking in tene oneindige Reeks; zoekt vervolgens, naar den Regel (§.61 j de Fluent van ie eren Term byzonder, en vif^ alle die Termen met haare refpeclive tekens aan elkander } dan is de komende Uitdrukking de begeerde Biuent. S 3 3*7»  s?3 EERSTE BEGINSELEN der 327. Voorbeeld I. De Fluent van —^— x u vinden. a + x _ b De Breuk . , in eene oneindige Reeks her- a + a: b bx bx* bx* leid zynde, is ~ 1 —+ £^.($.290). a a2 a* a* Dit vermeenigvuldigd met komt * —■ a-'rx bx bxx bx2 'x b x* x ' — -i — - 1 — + ; en de Fluent o a' a3 a* van deeze Uitdrukking is, volgens den Regel ($.di), bx bx- bx3 bx* 5= + + ÖV. a aa' sa* 4a4 328. Of, naardien de Fluxie van den HyperboliJchen Logarithmus eener Grootheid, gelyk is aan de Fluxie van die Grootheid, gedeeld door de Groot. . , b . heid zelve (§. 43), zo is ook de Fluent van * a+x C= bx ^ =: b x Hyp. Log. van a+x* a -!- x-s Want de Fluxie van a+*is*, 't welk gedeeld x zynde door a + #, bekomt men —. a-hx . axx 329, Voorbeeld II, De Fluent des Breuks . U vinden. a—x Naar-  fluxie.rekening. 279 axx ax . ax Naardien ~ x * is, zal de Breuk , a-x a-x a—x in eene Sérits herleid zynde, uitgedrukt worden Xa X* X* door x-\ 1 1 1- 8c (§. 294). Dit met & a' as * vermeenigvuldigd zynde, zullen wy hebben . . • x'x x'x x*x ** -i 1 j V&c, waar van de Fluent9 a a* a' x' *3 *♦ volgens den Regel (§.6i)t is: — ^ 1 J- 2 3a 4a* x5 'r &c 5«' 330. Voorbeeld Til. De Fluent van k x aa+xJ 1^ ir. eene onëindige Reeks te bepaalen. .1 ** ** x6 Naardien a2 + x'\'s = a -{ -| aa 8a' lóa5 . 5*8 . ■ \-8c is (§. 310, zo is ook xxa'+x-\^ 128 a7 x'x x*x x6x 5x8x Z— ax-\ 1 h 8c, waar 2a 8a» 16a5 128e7 van de Fluent, volgens den Regel (§• 61), is =5 *3 *5 x7 sx9 ax h 1 + 8c 6a 40a3 112a5 1152a7 • 331. Voorbeeld IV. De Fluent van XX a«—x»l^ t» eene oneindige Reeks te benaderen, S 4 De  28o EERSTE BEGINSELEN dhr De Uitdrukking a»—**\\ jn eene Séries herleid zynde, isrra g>c, 30* Qa5 8ia8 243a11 (§. 312). Dit vermeenigvuldigd zynde met x, zal . . x3'x x6x 'er komen * x a» — *3|3 ~ a * — 3a2 9a5 5 X9 X 10X12X — Qfc., waar van , als boven 81a8 243a" (§.60» de Fluent is a* _ 12a1 63a5 162a8 10*13 &C, a3 — x»l^ 332. Voorbeeld V. De ^/«s»; va» x *n* in eene onëindige Reeks te benaderen. VV y hebben boven (§. 325) gezien, dat de Waar- a^T2!^ de van — ■, in eene Séries uitgedrukt, is V — x*\* a a 1 3a 1 1 b 26» nab 8bs A.ab* 8a3* X 5ffl 3" ~ l~ x* + ~~ . x + ïób7 i6abs 16a»*3 i6a5b 35« 1286»  FLUXIE.REKENING. 28c 35 « 5 3 i~~ 5 x x* ïzib9 32a/;7 64a» bs 32a5*3 I28fl7^ ÖV. Deeze Uitdrukking vermeenigvuldigd met xnx, en van het komende Product , volgens den K.egel (§. 61), de Fluent opgemaakt, zullen wy hebben axn+l a r £+3 7—;— . 26» 2ab » + 3 8£5 4oè» ï~"~ *"+S ~7a 3 7~ 8a'fr » + 5 I6ó7 ï&ai5 i6a*bs r *"+7 —— g ~3~ jéa5£ « + 7 128^» 32aè7 ö4a3£s 1 5 *w + 9 X r- fcfc 32a5^' I28a7£ n-r-9 n P+Q 1 333. Voorbeeld VI. De Fluent van xK+axr ^ + b~xP + ^xP+2Q + cxt> + 'iQ-i. &c | j00t xPfien eerften Term, deelt, zal dezelve veranderen in . . • • Hellende ax q + bx *q+ cx3q + fifc. — y, zullen S s wy  48* EERSTE BEGINSELEN der wy hebben xpn x ï+y\n. Maar ï+ ~y\n ■—- n.n-i n.n-i .n-2 i+ny + y+ :y3 + £rV. C$.38): 1 • 2 1.2.3 derhalven xpn x T+y\n zz xpn x ».»-i ».fa-i.«-2 n.n-i .n~i.n^i , + _ *• a I.a.3 1.2.3.4. n.n-i 334. Stel nu, kortheidshalve,nzA, ——-~B 1.2 * b.«-i.s—2 n.»-i ,n — 2. n-3 ~—" =C, D x-2.3 1.2.3.4 dan zal,naSubftitutie van a*? + £*2^+cx39 + £rV in plaats van de gevondene Uitdrukking (§. 333) worden xpn-hAaxpn + «-+-aT+ Ba»x*?"+2« + ^^aB^ÏTCa^ x^+3ï+ AT+ 2"B~a7 + y + ^g-*--TP?r x xpn+44 + AT+TBaiT 2 B 6c + 3 C o*7+~3^al^~4^a3T-MË^ x 335» Er blyft dus niets anders overig , dan de laatstgevondene Oitdrukkinn C$.334,), met xn~l 'x te vermeenigvu'digen, en van hei komend ProduEt. volgens den Regel (MO, de Fluent op te maa- ken,  F L ü X I E - R E K E N I N Gi 083 xpn+m ken, waar door wy zullen hebben — + .. i pn + m Aaxpn+m+q AT+~^bTc^Xxpn+m+^ H rf, pn + m-iriq pn+m-\-$q Ad + 2bTcTb^+sC^hTdI* x je?n+ni+4 2 -r cjfr» voor de Fluent, die men zich voorgefleld hadt te vinden. DERTIENDE AFDEELING. Van het gebruik der Fluxiën in de Oplosjing van Voorftellen, waar in hegeerd wordt kromme Lynen te rêclificeeren, of haare Lengtens te vinden. Om dit Onderwerp in [eene geregelde orde af te handelen, moeten wy twee ondericheideneGevallen in aanmerking neemen. Deeze zyn: L Als alle de Ordinaten der Kromme, van welke foort die ook zy» onderling evenwydig zyn, en perpendiculair op den As ftaan. II. Ais alle de Ordinaten van eene voorgeftelde Kromme zich tot een vast of centraal punt uitftrekken, en daar in famenkomen. Wy zullen, alëer wy tot Voorbeelden overgaan, ieder deezer Gevallen onder een algemeen gezichtpunt befchouwen, en daar toe gebruik maaken van de wyze van voordragt, door den beroemden Wiskunstenaar Thomas SiMpson, in zyne uitmuntende Verhandeling, ten tytel voerende: The Doe* trine and application of Fluxions, gebeezigd. 336v  t84 EERSTE BEGINSELEN der rv 5f f u uitgedrukt worden door Cc, of door Bn, ge/yk en evenwydie aan Cr ™ «S, gelyk en-evenw'ydig aan B^r aangezien wor^ den , als verbeeldende de overéén fcnmEm™ ■ yan den Ordinaat CB \ dan Sf dnSnJ%? taakende de Kromme in B fï 2C,^ iSrT, ' welke het teelend punt p xoïde^iVhrfven! hfffi ^den'Tf gSS?. "w^T B ^'SatigwaS fcevvoruen (.5. 205_) : wesiialven ook dpp?? I »n volgens de Bepaabng (9. 2), de dooV geloopene ruimte AB behoorlyk zal Sdrukken. 1 337- Hicrötn, ftellende ACzzx, CB-y, en de Kromme AB zz z , zal ook Cc (zz Bn) — #, Br {zzSn)zz-y, en BS ré zyD. Derhalven BS "- Bn'-f- sS*. Of z' ZZ X' + y' f en dus x zz y'x' + En dit is nu eent algemeene uitdrukking voor de Lengte van iedere kromme Lyn, welke die ook zy. ' Nu kunnen wy, met behuip der Vergelvkinee van de gegeevene Kromme, welkers Lengtl begeerd wordt, de waarde van *» jn Termen van y*t of van is in Termen van 'x', vinden ; en vervolgens zal men, door de Fluent van de komende Vergelvkinee te bepaalen, de waarde van z, of de Lengte der begeerde Kromme, vinden. 8 r,n3V8^.In het tweede Geval ftelle men de Raaklyn RP fftg 65)perpendiculair op CP ftaande, = ». den Boog BN eens Cirkels , uit C ais Radius be* fchreeven, — x, de Radius CN, of CB, zz a CR ^y, en den Boog AR zzz; dan hebben wy ' z :'y :: CR ; RP £§, IS3)  FLUXIE.REKENING. 285 y ' t. yy By gevolg z = —. Waar uit dus de Waarde van z gevonden zal wor« den, wanreer de betrekking-van yen t gegeeven is. In andere gevallen echter zal het beter zyn de y*x' ' Vergelyking z = t/y2 -+- —— tot den grondflag der bewerkinge aan te neemen; waarörri wy nu zullen aantoonen, hoe en op wat wyze .die Vergelykinge gevonden wordt. 339. Men verbeelde zich, dat de rechte Lyn CR rondöu het Centrum C bewogen wordt; naardien dan 1de Tnelheid" van het-tellend punt R , in eene Richtftreek!perpendiculair tot CR , in reden ftaat tot *, de fnelheid' van het punt N , als CR Qy) tot CN (a), zal deeze fnejheid naar waarheid yx - ■ r uitgedrukt worden door —. Maar de fnelheid van het teelend punt R ftaat tot y, de fnelheid in de richtftreek van CR, verlengd zynde als CP (,) tot RP (O (§. i53> Derhilven hebben wy y'* . — : y :: 11 ». a y' x* By gevolg —- : y* :: r* ; j«. °* C«m*  48 a2 Nu is, volgens het Pythagorisch Leerftuk, Cpa+ RP1- CR*, of s*-bt*—y*. Derhalvea y* ** 1- y' y' - y* : Waar door wy hebben jy3** yy , En by gevolg V +y>~-zzz C§- 33^)5 a' * dat getoond moest worden, -1AO Aangezien het zelfde befluit of eene gemaklyker wyze uit de Incrementen , of onëindig kleine Deeltjes , der vloeijende Grootheden opgemaakt kan worden, zal het hier de rechte plaats zyn, om den Leerling het onderfcheid tusfchen Fluxiën en Incrementen te tonnen, en hem van de laatfte een juist en gepast denkbeeld te verfchaffen, Wy hebben reeds in de I. Afdeeling van dit Werk fS§ 2, O gezegd dat de Fluxiën van Grootheden Reeds bepaald worden door de hoeveelheden, met welken dezelve m een gegeeven tyd gelykmaatig zouden vermeerderen of aangroeijen Indien derhalven twee Grootfa ïde of Lynen, AB en CD (Fig. 66) te gelyk geteeld worden, door de gelykmaatige bëweeging van twee Munten B en D, zo volgt, dat de beide tuimtens Bï> en üd, welke in den zelfden tyd van die Punten B en D doorgeloopen worden, en daar door  FLUXIE» REKEN ING. 287 AB en CD vergrooten, de Fluxiën van de geteelde Lynen AB en CD behoorlyk zullen uitdrukken. Waar uit .! envolgens onwederfpreeklyk blykt, dat de Incrementen , of de ruimtens, welke van die punten werkelyk doorgeloopen zyn , als mede de Fluxiën, in dit (ïeval, waar in de teelende meilieden gelyk. maatig zyn, de zelfde zaaken uitdrukken. Doch zo, in tegendeel, de meineden der beide Punten, teelende de Incremenien Ml/ en Nd, onderfteïd worden aan te g-oeijea, of af te neemen, zullen klaarblyklyk de aldus geteelde Lynen of lncrementen 1 iet langer de Fluxiën vau AB en CD uitdrukken; als zynde grooter of kleiner dan de ruimtens, welke in dcD zelfden tyd, met de ftelheden in M en N, gelykmaatig befchreeven zouden worden (§. j). In de daad, by aldien deeze Incrementen, benevens de tyd van hunne befchryving, zo ukermaaten klein geDoiien worden, dat de beweeging der Punten, geduurende dien tyd, als gelykmaatig befchouwd kan worden , zal alsdan de Ratio van de gemelde Incrementen die van de Fluxiën uitdrukken, of oneindig naby als de fnelheid in M tot die in N zyn; fchoon dezelve niet ten ftriktften als zodanig begreepen kan worden j ten zy misfchien in zekere bvzondere Bevallen. 3 b 341. Hier uit is nu duidelyk te zien, dat de Differentiaal-Rekening, welke met deeze oneindig kleine Incrementen, daadelyk geteeld , even zo te werk gaat, als wy doen met de Fluxiën, of de ruimtens, welke gelykmaatig geteeld mogren worden, weinig of niets van de Leerwyze der Fluxiën ver(chilt,ten zy alleen in de wyze van bevatting, en in het ftuk van naauwkeurigheid, waar in dezelve blykbaar gebreklyk is. Desniettegenftaande is het zeer zeker, dat de befluiten, welke langs dien weg opgemaakt worden, Wiskundige waarheden zyn; en de reden, Waarom dezelve die befchapenheid hebben, is zeer gemakiyk te verklasren. Want, fchoon door het aenkbeeld en de eerlte bepaaling van de Leerwyze, the in dit Werk verhandeld wordt, werkelyk ver. ftaan  288 EERSTE BEGINSELEN de» ftaan wordt het geheel volkomen Increment, wordt ro'thans, in deOplosling van Voorftel'en, denaauwkeurige Maat van hetzelve niet genomen, maar eeniglyk dat Deel vm hetzelve, 't welk uit eene gelykmaatige aangroeijing, overëenkomftig de bepaaling van eene Fluxie (§. a), zoude ontftaa% en waarvan een (triKt bewys gegeeven kan worden. Doch, alh-s w l ingezien zynde, heeft de Differentiaal-Rekening één voorde;l boven de Leerwyze der Fluxiën ; hier in beftantde, dat wy in dezelve niet verplicht zyn de eigenfehappen der beweegree in te voeren: rademail -wy in de Differentiaal-Rekening over de Incrementen zelve redeueeren , en niet over de wyze op welue zy getetld*kunnen worden. 342. Wy hebben hier boven gezegd (§. 341), dar, alhoewel de Incrementen van Grootheden, m .oen ftriktften zin, niet als de Fluxiën zyn, de Ratio de) Furiën nogthans uit dczelven-afgeleid kan worden; en het is klaarblyklyk, dat hoe kleiner deeze Incrementen genomen worden, hoe nader hunne Ratio :by die van de Fluxiën z \ komen. Indien wy dernalven, dojr't één ot ander middel , d^ flati') kunnen ■vinden , volgens welke de gemelde Incrementen . door zich ezelven hoe langer hoe kleiner te verbidden, geduurig nader by elkander komen, cn waar toe zy, alyoorens te verdwynen , nader dan eenie bepaald verich.1, kunnen geraaken; dan zal deeze Ratio, welke die van de Incrementen bepaalt, in den ltriKtften zin die van de Fluxiën zyn. 343. Het nu voorgedragene zal nog meer byzon. der blykeu uit de volgende voorbeelden; waar in de bandelwyze, om de Ratio der Fluxiën uit die der Incrementen afte leiden, wordt voorgedragen. i9. Laat voor gefteld worden de Ratio dtr Fluxim van x en x2 te bepaalen. Indien men nu ouderftelt,dat * vermeerderd wordt met eenige kleine Grootheid *, zulks dat dezelve wordt  FLUXIE.REKENING* 289 wordt x + x; dan zal het Vierkant van x vermeerderd Ai ■ ' " worden tot * + *| =X'+zxx + xx; derhalven zal het Incrcment van x2 zyn 1 x x -f x x; t welfe derhalven tot x, het ïncremeni van *, ftaat, als tx + xtot u Hos kleiner derhalven x genomen wordt i hoe nader deeze Ratio by die van ax tot I, welke haare Limiet is, zal komen , en derhalven zal de Ratio der Fiuxien uitgedrukt worden door die van 2* tot i, of, dat het zelfde is, door die van zxx tot x (§. 19). 20. Laat de Ratio der Fluxiën van x en SE begeerd worden. Indien dan x vermeerderd wordt tot x-bx, zal * s n-i ' vermeerderd worden tot x-\-x\ _*<-!-»* * + _ ,B-v + *" 3x2tyc... '1,2 i.a-3 (§• 3°2). Derhalven zullen de Incrementen van # én #n tot elkander in reden zyn, als 1 tot nxn~1 -F a"-2;+ *a 3**G?f.Hcd 1.3 1 • 2 ,'3 kleiner derhalven * genomen wordt, hoe nader de Rofio by die van 1 tot nx1i~ 1, welke, zo als bïykr$ haare Limiet is, zal komen. Derhalven is deeze' T laa.a  aoo EERSTE BEGINSELEN der laatfte Ratio, of die van x tot nxn"1 'x, de Ratio der begeerde Fluxiën (§. 24 ). 344. 5°. Laat voorgejteld worden de Reden der Fluxiën van de zyden AC en BC (Fig. 67}, eens rechthoekigen platten Driehoeks ABC, te bepaalen; in de onderjtelling, dat de Perpendiculair AB onver anderiyk bhft. Onderftellende dat Cd eenig Increment van BC, en Drf het overësnkomstig Increment van AD (zz AC) verbeeldt, dan hebben wy, volgens myne Grondbeginfelen der Driehoeksmeeting (§. 96), in den klei■en Driehoek CDd deeze evenredg-heid: Cd : Dd :: Sin.LCDd : Sin.LDCd, Ey gevolg zal de Ratio der Incrementen van BC en AC in 't algemeen uitgedrukt worden door die van de Sinus des hoeks CDd tot de Sinus des hoeks DCd. Hoe kleiner nu de Incrementen verönderfteld worden te zyn, hoe nader de hoek CDd gelyk zal worden aan eenen rechten hoek , of aan den hoek B, welke deszelfs Limiet is, en hoe nader ook, ter zeiver tyd, de hoek DCd gelyk zal worden aan den hoek BAC Derhalven is hier de Ratio, welke toe een Limiet van die der Incrementen verftrekt, die van de Sinus des hoeks B (of Radius} tot de Sinus van den hoek BAC. Welke Ratio desgelyks die vaa de begeerde Fluxiën uitdrukt (§. 153). 345. Op de zelfde wyze kan de reden der Fluxiën van andere foorten van Algebraïfche en Meetkundige Groorheden nagefpoord worden; doch het zou ver» gceffthe moeite zyn ons by dit onderwerp langer op te houden. Ik zal dus alleen hier nog eene aanmerking by voegen , betrek kelyk tot de waarden van eenen Algebraïfchen Breuk , in die byzondere omHandigheid, waar in beide deszelfs Teller en Noemer gelyk aan nul worden, of ter zelfder tyd verdwynen» Welks Waarde, zo als uit het boven geleer-  FLUXIE. REKEN ING. 291 leerde volgt, gevonden zal worden, als men de Fluxie van den" Teller door die van den Noemer deelt. Want, nademaal de Waarde eens Breuks, in die omftandigheid , befchouwd moet worden a!s de limiteerende Ratio , tot welke deszelfs twee Leden, Teller en Noemer, alvoorens te verdwynen , moeten famenloopen: en aangezien de Fluxiën fteeds door die Ratio uitgedrukt worden , is de waarheid van den Regel, of ftelling , hier door openbaar. — Wy zullen dit door een Voorbeeld nader ophelderen. x2-a2 346. Laat derhalven de Breuk voorgefteld x—a worden, ten einde deszelfs Waarde te vinden, wanneer xzza is, en dus de Breuk in g verandert. Indien wy den Teller door den Noemer deelen, is het Quotiënt x + a; en Hellende xzza, zo is de Waarde des Breuks ZZ 2 a. De Fluxie van den Teller is — 2xx, en die van den Noemer ~*; derhalven is de Fluxie des Breuks 2 xx — — zz zxzzza, als vooren» x 347. Daar het fommigen een Wonderfpreuk moge fchynen, dat § gelyk aan eene eindige Grootheid is, zal het, onzes bedunkens, niet ongepast zyn, hier de onderfcheidene eigenfehappen van o (niets) en van het oneindige te verklaaren. Het is klaar, dat nul of niets by eene Grootheid opgeteld, of daar van afgetrokken zynde, dezelve noch grooter, Doch kleiner maakt. Desgelyks, wanneer eene Grootheid met o vermeenigvuldigd, dat is nul maaien,genomen wordt, zal het Product nul of niets zyn, T a Laat  292 EERSTE BEGINSELEN dkk b Laat —zzq zyn; dat is, Iaat het Quotiënt , of b a gedeeld door fl, gelyk aan q zyn. Indien dan b onveriinderlyk het zelfde blyf'c uitdrukken, zo is her. kbar, d3t hoe kleiner a h, hoe grooter het Quotiënt q zal zyn. Laat a oneindig klein bHren alle raaien zyn, dan zai q oneindig groot buiten alle paaien zyn. Wanneer derhalven a niets is , zal het Quotiënt q oneindig zyn. Waar uit volgt , dat, b naardien - ZZ oneindig is , derhalven b zz nul x o •" '3>w oneindig zal zyn. 3:8. Men ftelle zich voor eene Reeks van Geometrisch evenredige Grootheden, ais*, x2, xs, x*, x5, £fff. Indien dan deeze Reeks naar de linkerhand 1 1 wordt voortgezet, zullen wy hebben xt 1, -, — ar x" &c\ dat is, X1, *°, se""1, x~2 &c. , in welke Magten de Exponenten geduurig met 1 verminderen; en dus is hec klaar dar x°zzi is, hoedanig ouk. x genomen worde. Derhalven o°~J. 349. Laat x eene oneindig kleine Grootheid zyn, buiten alle verbeelding, dan zal in dè Keeks*, ar1, *s , **, x5 iedere Term onbepaald grooter zyn, dan de volgende» En wanneer xzzo is, dan is in de Reeks |, o°, o1, o=, £fc. ? eene oiiëind.ge Grootheid , en o is niets , zo ais boven (§• 346) getoond is. Derhalven is oa eene eindige Grootheid. Stel o°zzb, dan is § : b :: b : o, en by gevolg Ixo 1x0 zzb*, dat is Ja ~ zz 1 ; waar uit wederöm ten o klaarften blykt, dat b of o° zz 1 is. 349»  FLUXIE-REKENING. 293 a a 350. Laat , of de Breuk , die daar 1—1 aan gelyk is, eeue onëindige Grootheid zyn, dan zuilen wy, door de deeling daadelyk te venichten, a a a hebben, — a-Y-a-ba H , en zz 1 —1 I —I -1+1 a a » —-fl — a —a -i . Deihalven —— -f- a 4- -1 + 1 1 — 1 a a + a zz a — a— a , waar uit volgt, 1 — 1 dat eene onëindige Grootheid door eindige Groot* heden Dimmer vermeerderd, noen verminderd wordt. 351. Uit ^ het nu voorgedragene , wegens de cïgenichapperi van o of niets, worden natuurlyk deeze onloochenbare Gevolgen afge'eid. I. Als o met eene eindige Grootheid vermeenigvuldigd wordt, zul het Proauè o zyn II. Als o met eene oneindige Groothid vermeenigvuldigd wordt, zal het Product eene eindige Grootheid zyn. Of eene eindige Grootheid is een midden - evenredige iusJchen nul en oneindig Want cx oneindig ~£(§. 347). Ui Ah eene eindige Grootheid door • gedeeld' wordt, zal het Quotiënt eene oneindige Grootheid zyn. Want h ■ - zz oneindig (§. 347). o IV. Als O door o gedeeld wordt, zal het Quotiënt eene eindige Grootheid van eenige foort zyn. vVant, door Gevolg I., is ixoro, eu derhalven °zzb, eene eindige Grootheid, of niets. V. Daarom ook o°~i, of de oneindig kleine Magt van eene oneindig kleine Grootheid, is oneindig naby 1. VI. Als men eindige Grootheden, welke die ook zyn, T 3 by  294 EERSTE BEGINSELEN der by eene oneindige Grootheid optelt, of daar van af , maakt zulks geen verandering. Vil. Wanneer dus in eenige Vergelykinge, waar in fommige Grootheden voorkomen, welke oneindig kleiner dan andere zyn, kunnen dezelve uit de Vergelykinge verworpen worden. Vlil. Eene oneindige Grootheid kan tweezins befchouwd werden, naamlyk als pofitif, of als negatif. b b Want , of zz oneindig. + o —o 352. Men kan niet ontkennen , dat in de Leera der oneindigen en nieten, zaaken voorkomen , welke buitengemeen fpitsviudig en moeijelyk te bevatten zyn. Schoon echter de voorwerpen zeiven boven onze bevatting zyn, is het evenwel buiten onze magc de kracht van betooging, belangende hunne Magten, eigenfchappen en gewrochten , te wederftaan; welke eigenfchappen wy, zo wy durven vertrouwen , nu naar behooren, en op eene voldoende wyze , verklaard hebben. Metaphyfifche denkbeelden, welke buiten deeze Wiskundige bewerkingen gaan, behooren niet tot den kring, binnen welken een Wiskundige zyne navorfchingen beperkt. Genoeg zy het ons te zeggen, dato, in eenen Wiskundigen zin , nimmer een volftrekt niets betekent ; doch evenwel altoos niets in betrekking tot het voorwerp, dat men voor heeft te befchouwen. Om dit op te helderen, zo laat onderfteld worden', dat wy den Inhoud befchouwen, welke tusfchen den Bafis van een Parallelogram en een Lyn, evenwydig aan den Bafis getrokken , befloten is. Immers is het klaar, dat hoe nader deeze Lyn by den Bafis getrokken wordt, hoe meer de Inhoud zal verminderen; tot dat ten laatften, wanneer die Lyn op den Bafis valt, de Inhoud niets wordt, Dus verandert hier door de Inbond in eene Lyn, welke niets, of geen deel van den Inhoud, is. Maar dezelve blyft fteeds een Lyn , cn  FLUXIE-RËKENING. 295 en kan met andere Lynen,doch geenszins met Vlakken, vergeleeken worden. 353. Om deeze Leerwyze nog in een klaarder daglicht te ftellen, zullen wy trachten eenige tegenwerpingen, welke daar tegen ingebragt kunnen worden, met klem van boncl'ge fluitredenen, die alle ervarene Wiskundigen, wy houden ons des verzekerd, uier hunne roeftemming zullen begunstigen, u*t den weg te ruimen. Vooreerst zou men kunnen zeggen , dat, wanneer men, in plaats van den Inhoud eens Vlaks te befchouwen, de lengte van eene Lyn in aanmerking neemt, alsdan natuurlyk zal volgen, dat, wanneer haare lengte verdwynt , dezelve een Wiskundig J'unt, of wel niets, zal worden. Doch zy, die zulke tegenwerpingen mogten doen, weecen zekerlyk niet wac zy zeggen; alzo hunne eigene fluitredenen genoegzaam zyn , om hen te wederleggen. Want wanneer de lengte van de Lyn verdweenen is, dan wordt dezelve een Wiskundig Punt, of niets; dat is, dezelve wordt niets, wanneer zy met eene Lyn vergeleeken wordt. Wil men nu zeggen, dst een Meetkundig Punt volftrekt niets is , dan beweeren wy, dat het voor Meetkundigen onmogelyk zou zyn, vaa een Punt, als eene Meetkundige uitdrukking, eene bepaaiing te geeven , naardien een volftrekt niets geene wyze van beflaan heeft, en in geene Weetenfchap eene bepaaling kan zyn. Ik zeg, dat eene Lyn niets is, wanneer dezelve met een Vlak vergeleeken wordt, fchoon zy in zich zelve iets is. En om de zelfde reden, is een Punt niets, wanneer het met eene Lyn verge'eeken wordi, fchoon het een ding is, dat op zich zelf beftaat, en geenszins volftrekt niets is. 354. De tweede tegenwerping komt hier op neder, dat wy geen Wiskundige Punten te famen kunnen vergelyken , uit hoofde dat zy feenemaal van deelen beroofd zyn; en dat 'er buiten deelen geene vergelyking kan plaats hebben. Men zou niisfchien kunnen den- T 4 ken,  256 EERSTE BEGINSELEN der ben , rlac dingen qp de gemaklykfte wyze te famen vergeleeken kunnen worden, wanneer zy onder gelyke piKltandigheden , en van de zelfde foort zyn. Want pnnten moeten of onderling gelyk, of ongelyk zyn ; en zal 'er eene vergelyking plaats hebben, moet 'er ook eene gelykheid zyn. Maar indien één der dingen van deelen ontbloot is , en het andere deelen heeft, kan tusfchen dezelve, als onderfcheidene fcorten van dingen zynde, geene vergelyking gemaakt worden. Intusfchen is het gemis van deelen geenszins de reden , waarom dinaeo niet te famen vergeleeken kunnen worden. By voorbeeld, gefield zyn.e, dat iemand mogt beproeven eene Lyn met een Vlak te vergelyken, en tot reden gaf, dat zy niet te famen vergeleeken kunnen worden, om dat zy b:-iden van deelen ontbloot zyn , zou men zekerlyk om zyne dwaaze en onzinnige redeneerirg moeten lachen , naardien de waare reden is,dat zy vau onderlcheiiene foorten zyn,en 'erom die reden geene vergelyking gemaakt kan worden. Eene derde tegenwerping is deeze , dat de Nul jlegts de Limiet of fcheidspaal tusfchen negative en pojitive Grootheden is, of wel het punt, van waar zy beide beginnen, en wa'ir door zy moeten gaan, ten einde haare benaaming te veranderen. Dit te onderltellen, verraadt men zyne onkunde , wegens het groot en meenigvuldig gebruik van de nul "in alle Arithme'Afche bewerkingen. Ook zou uien in de Oplosling van Voorftellen weinig bedreeven moeten zyn, om niet te weeten , 't geen nogthans dikwerf gebeurt, dat o één der Wortelen van eene Vergelyking kan zyn ; en alsdan heeft o eene zo wez^nlyke, verfraanbaare en bepaalde Waarde, als 1, a, 3, 4, enz., en dit i3 in de daad iets meer, dn de bloo* te fcheidspaal tusfchen negative en pojitive Grootheden te zyn ; eene zaak waar mede de Algebraïst zyn hoofd niet breekt, terwyl hy alleen acht Haat pp het wezenlyk gebruik van dién Wortel, wanneer hem dezelve voorkomt. \  FLUX1E-REKENING. 297 356. Thans zullen wy den draad der redeneerirg, dien wy voor eene zeer gewichtige befchouwing hebben laaten vallen, weder opvatten, om naamlyk te toonen, hoe de Vergelyking z ~ \Y + y* a- (§. uit de Incrementen der vloeijende Groot¬ heden afgeleid kan worden. Gefteld zynde, dat Km, rm, enNn (Fig. 6j) eenige zeer kleine overëenkomftige Incrementen van AR, CR., en EN verbeelden; dan is Km=zt rm^'y, en K» = i. Derhalven hebben wy deeze evenredigheid.: CN : CR :: de Boog N« : den gelykvormigen Boog Rr. Dat is a : y :: x : den Boog R r. t By gevolg is de Boog R r = —. a Indien nu de Driehoek Rrm, welke, terwyl het Punt m naar R te rug keert , lleeds meer en meer gelykvormig aan den Driehoek CRP wordt, als rechtlynig befchouwd wordt, zullen wy hebben t -—3 —■ —, , y'x' , Rm ~ Rr + rm ; dat is zazz h y** Indien wy derhalven , in gevolge §. 343 £f feqq., z, x en y voor z, 'x en y in plaats ftellen , zal 'er koT 5 men  298 EERSTE BEGINSELEN der men z2 ~ —^-r-ya,en daarom ook z~1/ Yy2* a* a2 zynde de zelfde Uitdrukking, die boven (§. 339) gevonden is. 357. Voorspeld I. De Lengte van de Kromme AB (Tig. 68) zzz te vinden, welkers Vergelykinge (Jlelïende de gegeevene Lyn AG~|a,GC~x,en CB — y,) U 2 x aa+x*|^= $ct2y. De Fluxie van deeze Vergelykinge is 3 x a1 + 3? t ^X . . zxx , nxxzzza'y', derhalven y zz x 3xa2+x2\* zz 3a2 nxx t . 4a;'*2 —— x a2 + *J|% en y2 = x a'-hx' zzzzz a2 a3 4a*x* x2 -\-ax*x* ——— ' ■ . Subftitueerende nu deeze Waar. a* de ven y2 in de Uitdrukkinge van i=si-+j-j^ (§• 337) > zullen wy hebben , z = .... ■ ■ x • . .12 . . a*x2 +40' x' + 4**xa| a2x-\-2x2x a* a2 Fluxie van de Kromme AB, welkers Fluent is z zz a*x + %x* ax3 • CS» 61) zz x-i — de Lengte van a2 3a* de begeerde Kromme AB. 358.  FLUXIE-REKENING. 299 358. Voorbeeld II. De Lengte van eenen Parahooi te vinden. Laat de Parameter ~p zyn Stel de Abfcisfe AC (Fig. 69) zz x, den Ordinaat CB— y, en d- Kromme AB r: z. De Vergelyking van d?n Parahool is y'—px ( Toepasfing der Algebra op de hooge Meetkunde §. 21). De Fluxie hiervan is 2yy ~px. By gevolg x zz , en derhalven x' zz . Sub- p p» ftitueerende nu deeze Waarde van ** in de Uit- • « ~\i drukkinge van z zzx* -'rya\ (§. 337)» zal 'er ko- . x • 4y*y2 . 2 y men,z=: h y1 = - x p2 -b43H . ?a P Wanneer wy nu de Magt pa + 4js|* in eene Séries ay' 2y* herleiden , zullen wy hebben : p H — H P f3 4^6 t" ✓ y a — —- ÖV. Derhalven z ( = - x p2 + 4y*(* ) Ps V p / y ay' ay* ty6 . . = - x p + — r- — — 8V., dat is z ~y P p P3 P5 ay'y ay*y ^ySy -I- ' 1 r ——• — SV. En de F/«enf p3 p* p6 2jis ny5 4jy7 van deeze Séries is szrj-j + &c» 3P' 5P* 7P6 359»  goo EERSTE BEGINSELEN der 359 Vor>KbEELD III. De Lengte mn den HalvenCubifchen Parabool, welks Vergelykinge is px1 ZZy*» te vinden De Vergelykinge px'zzy* herleid zynde, is _ y° _ ^ x — — > en i_ —, waar van de Fluxie is x — M2y . 9y'y' . Dienvolgens x* zz , en z2 . , , A/>* 4P ** + yl (§• 33?; = by'zz . . jf X 4p + yyj2 Derhalven hebben wy z — . 2p^ 360. Om van de laatstgevondene Fluxie (§. 359) de JïaeBt te vinden, zo ftelle men, naar aanleiding van §. 65, 4/> +93/1- — v; dan is 4p + 9yzz v2, en . . avv , zal de Sinus of Ordinaat CB —J ( §• 3°' ) — i zyn » en derhalven zullen de Termen van de boven gevonden Fluent, in Decimadle Breuken herleid, en ouder malkander geplaatsl zynde, aldus ftaan: , 500000000 £rVrf , 020833333 , 002343750 , 000348772 , 000059339 a 0O0OIO923 , 0o0oo2i18 , OOOOOO426 &C. Hier van is dt Som , 5235987 &c. zz de Lengte van den Boog AB» Naardien nu de Boog van 30 Graaderf , welke wy boven tot een maatftaf aangenomen hebben, het twaalfde-deel van den Omtrek eens Cirkels is, zo vermeenigvuldige men de nu gevondene Lengte van den Boog AB, naamlyk ,52350$? ÖV., met 12; dan zal 'er komen 6,2^31^5 £rV» voor den Omtrek eens Cirkels, wiens Radius 1 is. Derhalven 3,141592 êfc. zz den Omtrek eens Cirkels. wiens Diameter 1 is. 3Ö5.  FLÜXIE-RËKENING. 305 365. De nuttigheid, welke in dit Voorleeld ligt opgeiloten , en waar door de flaaffche arbeid van onzen met recht verdienstelyken Landgenoot Lujdolf vün Keulen, in zyn Boek over den Cirkel, ten toon gefpreid, in eene zeer eenvouiige en gernaklyke berekening veranderd wordt, noopt ons deeze ftofte mg verder te vervolgen , en in een algemeener daglicht te (lillen. Wy zullen daar toe den gronten Engellchen Wiskunstenaar Thomas Simpson op het voetfpoor volgen, om, naam]yk, de Sinus, Sinus Ver jus, Tangens , of Secans van eenen Cirkelboog als bekend aan te met ken, ten einde daar uit de Lengte van den Boog zeiven, ia Termen daarvan, te vinden. 366. Stel de Sinus Ver pus AC (Fig. 70) —*, de Sinus CB, als vooren (§. $61 y zzy, de Tangens ATrt, de Secans OTzzs, den Boog Aözzz, en de Radius OA , of OB, zza (§. 361). U>at des- gelyks Bfizzx, nbzzy, en Bbzzz zyn. Nad.-maal dac de hoek bn& (zzeenen rechten hoet) rOC3, en bBn (zz eenen rechten hoek — £»BO) = £.OBC is, zyn dienvolgens de Driehoeken bBn en OfcSC gelykhoekig, en daaröui ook gelykvormig. Derhalven hebben wy, CB : OB :: B» : Bb* Dat is y : a :: 'x : z. ax Derhalven z ±= Dewyl nu aa*—x*zzy* U y C§» 36O1 zo ïs ook 2a*—ï*|* zzy, en daarom, . ax door Subttitutie, z zz . sa* — *" V 307.  3oó EERSTE BEGINSELEN der 367. Wedetötn hebben wy deeze evenredigheid, OG : OB :: nb : B&. Dat is aa —j2!* : a :: y : z. ay Derhalven sr , de zelfde Uitdrukking, a1— j'l2 die boven (§. 362), langs eenen anderen weg, gevonden is» 368. De nu gevondene twee Waarden z ~—; ax . ay ; t (§• 3Ö6), en zzz (§. 367) 2a*-*2|* a2— vertoonen de F/tme van den Boog in Termen van de Sinas Verjus en Sinwr refpeöivelyk. Doch om de zelfde Waarden in Termen van de Tangens en Secatis te verkrygen , hebben wy, door gelykvormige Driehoeken: OT : CA :: OB : OC. Dat is *~ : a :: a : OC. * a' By gevolg OC — — — ■ . s aT+i'\i a% a1 Hier door is AC zza — — ZZZZZ, a — — . f a^+T'i* Derhalven heeft men voor de Fluxie der laatstgo a's a'tt vondene Uitdrukking (§.31) — — ■■■» ** a'+t'l* 369*  FLüXIE.REKENING. ~3o? 369. De gelykvormigjieicj der Driehoeken bB% en GAT verl'chaft ons wyders de volgende evenredigheid : AT : OT i'. Bn : Bb. Dat is s'—a'l^-t : fraa + t2l* :: — ss 1*1 *•* a*ti — : %. aM-7'1* . (I* s fla £ By gevolg z = —— —— = • 370. Uit éécé der vier nu gevondene Fluximy a ar naamlyk ■" J(§- 3öö^, > ■ (§. 307), sax-K1]- a1— y*\* o't a*i , (§. 369)* "I de Waarde a- + t' -—Ui van den Boog zeiven, door de Fluent jw eene oneindige Reeks te benaderen , desgelyks bekend worden. Doch de derde van deeze Fluxiën, in Termen van de Tangens uitgedrukt, waar in geeo radicaale «jrootheid gevonden wordt, is de gemaklykile voor't gebruik; niettegenftaande de eerfte van deeze Ftuxiën het fpoedigst afloopt. a' i 371. Indien derhalven in eene onëindige a1 + ï»  3°8 EERSTEi BEGINSELEN der Reefes veranderd wordt, zullen wy hebben z ZZZZ . t*t tn t6i t*i v°t Wt aa a* a6 a% ato + "ö^*" ~~ 1- 6rV., en by gevolg z~( i 3a* ja* t7 t* t" t13 aj-j-a'^ + i4!2 x Hyp. Log. van b\ Daar 2a nu, volgens de natuur der Logarithmen , het verfchil der Logarithmen van twee getallen welke die ook zyn, gelyk is aan de Logarithmus van hun Quotiënt, kan de laatfte uitdrukking ook in deezer voegen gefchreeven worden: -1. x a>f>~f> 7' I * ab' b* ay + a*y2 + b*\* + — x Hy/). Log. van , ■ ■ 2 a b* de de lengte van den begeerden Boog CPB. Stellende derhalven de Radius b voor den OroY. naat y in plaats, zal de lengte van den geheelen . , b' Spiraal CPBA zz £ x a* +b> 11 + —- x # ±aï de P'rpendicu. var au_b, lid_x, en ac, evenwvdiï aan ap Dan hebben wy ,' door de^geVkvormS, heid der Driehoeken ABC, aBct gasvormig. BD : AC :: Bd : ac. Dat is b : a :: x • « Derhalven j — ■. By gevolg j», de F/ime van den Inhoud (JI 379), axx , , a** ^ a* * ^ = ; en dus de Fluent zz — f — . v 1 * 2b \r 0 ? 8 J xy = —. Wanneer nu ac op AC valt, dan is xzzb, 2 en yzza. Derhalven is de Inhoud des Driehoeks r xy^ _ ab ^- — J - —• Dat is, de Inhoud ABC zal geACxBD lyk zyn aan , zo als mede uit de eerfte s beginfelen der Meetkunde blykbaar is. » |£5a Yl""^1,0 1U Den Inh°u -pè,^ ea dus  FLUXIE.REKENING. 317 dus de Fluent rfp**» (rfpMx*) =f*y, door y, in plaats van p-x* te ftellen, z=fx ACx CB, den begeerden Inhoud. 386. De Inhoud, die hier in Termen van x gevonden is , kan in fommige gevallen , om radicaale Grootheden te vermyden, gemaklyker in Termen van y bepaald worden. Dit op ons tegenwoordig jï geval toepasfende, hebben wy pxzzy', en xzz— • P . 2yy Derhalven * zz , en by gevolg de Fluxie van P . 2j* y den Inhoud (zzyx) zz ; waar van de Fluent P ay3 f ay y2^ zy is — (-—-X— — X JZfxACxCB, 3P V 3 3 de zelfde Uitdrukking , die wy boven ( 385 ) ge. vonden hebben. 587. Hier uit volgt, dat de Inhoud van eenige Parabolifche Ruimte gelyk is aan twee-derde-deelen van deszelfs omgefchreeven Parallelogram. 588. Voorbeeld III. Den Inhoud der Ruimte ABCG (Fig. 75) ie vinden, -wanneer de eigenfchap der Kromme A" zodawz is, dat haare Subtangens of Onderraaklyn C V onver ander lyk is ^ of wel, in alk gevallen, de zelfde waarde heeft. Laat de gegeeven Subtangens CTzza, GAr*, yx GC-*, en CBzry zyn j dat» is az: — (§. 206), y ea  318 EERSTE BEGINSELEN de» . ay en derhalven x zz —. By gevolg de Fluxie van den Inhoud (zzyx) zz ay, waar van de Fluent is ay» Doch wanneer de Innoud der Ruimte zzo, of yzzb is, chn wordt deeze uitdrukking voor de Fluent zz ab; derhalven is de verbeterde Fluent ay — ab (§.69) zz y — b x azz den Inhoud der begeerde Ruimte ABCG. 389. Voorbeeld IV. Den Inhoud der Kromme ADB (Fig. 76), waar van de Vergelyking is x4 — aax1 + a4yJ zzo, te vinden. De gegeevene Vergelyking der Kromme herleid zynde , heeft men a'y* zza'x* — x*, of /i'y'rT" j'-i!Xï'. Derhalven ay zz a* — x*\* x x , en a2-x'\^xx . aJ-*2|2K» y zz Dienvolgens y x ZZ ; a a waarvan de Fluent f volgens den Regel (§. 6j), is I a*— xz\ m ————.. Om deeze Fluent te verbeteren, zo 3a laat de inhoud der Kromme zz o zyn ; dan is ooft xzzo. Derhalven hebben wy ^oor de verbetering a' HF-x* \} — —. Deeze afgetrokken van — » zal 3 3« a* o* — x*\^ men bekomen — — voor de verbeter» 3 3a de Fluent, of de waarde van den Inhoud ADB, 390.  FLU X IE. REKENING. 3i9 390. Wanneer y, of de Ordinaat CD . . , . ) gelyk aan nul wordt, en dus het punt C in B valt, zal *-«r.AB worden; en derhalven zal alsdan de Inhoud der geheele Kromme a1 —, ADB eenvoudig zz — zz § AB zyn. 3 39T. Voorbeeid V. Den Inhoud der Hyperbolifche Kromme, waarvan de Vergelyking is x m yr' z am~'~n te vinden. * De Vergelyking herleid zynde, hebben wy yn =3 m+n m + n ~~n~ ™ + n -*» a a — . , en derhalven y zz - ra n x * xm m By gevolg is de Fluxie van den Inhoud (rjï) m+n —m = a n X* n *, waar van de Fluent is (§. 61) m+n n—m m+n n-m •~" x* n na~~x»~ ~ = «-- 1 ■ , welke Fluentt n — m n-m n n grooter dan m zynde, en xzzo ftellende, mede -o zal zyn; waar uit dus blykt (§.69), dar de be.  330 EERSTE BEGINSELEN der begeerde Fluent in dit Jgeval gesne verbetering ver. eischt; uit hoofde dat de inhoud APkB (Fig. 77, tusfchen de Afymptote AP en den Ordinaat BR befloten, door de boven gevondene uitdrukking . . . jb + n n — m n n na xx - —" ■ " behoorlyk bepaald wordt. n-m 392. Indien nogthans n kleiner dan m is, zal, wanneer *_o gefteld woidt, de Fluent oneindig zyn. Want het is uit de eerfte beginielen der ^Ige- n-m tra blykbaa:, dat, de Exponent negatif zyn» n de, ml een Deeler van na 71 wordt; gevolglyk zal de Inhoud APR.B desgelyks onë:ndig zyn. 393. Daarëntegen is de Inhoud BRQ, tusfchen den Ordinaat, de Kromme, en het deel BQ vau de andere Afymptote begreepen, eindig, en wordt be. m+n n-m \ , na~ xx~~n~ hoorlyk uitgedrukt door — , zynde ffi-n de boven (§. 391) gevondene Uitdrukking, met verandering van tekens. Want aangezien de Fluxie m + n -m van het deel APRB zz a n xx * * is (§. 391), zal by gevolg de Fluxie van BRQ , deszelfs Sup- m+n —m 'i piment, zyn -a n X* B *» Hier van is de Fluènt  FLÜXIÊ.REKENINÖ. 324 m + n n—m Mutnt ($. 61.) — , -£g k ê # # n — m » m+n n — m m-fn n-m -»a ft x* n m na n XxT " " — ——— • ——i voof n—m m—n den Inhöud BRQ, welken om boveD gemelde redeBen CS§«.3°i en 392) é mede aan geene verbetering onderhevig is* 0 /°.0RBEoE*;D y<3 ƒ>*« ^ y* -> 4d den Inhoud der Ruimte CPBC, die gevonden moese worden. x m»  332 EERSTE BEGINSELEN der 395. Voorbeeld VI. Den Inhoud der Ruimte CPBC ( *2 ) te vinden ; wanneer de Kromme CPBA de Spiraal van Archimedes is,. Laat de omcrek van den teelenden Cirkel ARArra, en deszelfs Radius^CAzzb zyn. Stel desgelyks den Ordinaat CB~y. Dan hebben wy, door het te oyy vooren gevondene (§. 324), . Dit ver- b' rneenigvuldigd met |y, zullen wy voor de Fluxie . ayy der Ruimte bekomen éyx (§. 381)— -—— x \y zz b' 0 y* y . De Fluent hier van is, volgens den Regel &bz aj3 (§. öi}, — — zz den Inhoud der begeerde Ruim6b' te CPBC. 396. Wanneer b voor y in plaats gefield wordt, zal de Inhoud der geheele Spiraal-Ruimte CPBAC ZZ\\ab zyn. Hier by in aanmerkrng neemende, dat de Inhoud eens Cirkels gelvk is aan het vermeenigvuldigde van den omtrek met de halve-Radius; dat is — iab, zo volst, dat de geheele Spiraal - Kuimte naauwkeu-ia gelyk is aan één-derde van aen Inhoud des leelenden Cirkels. VYFTIENDE AFDEELING. Van het gehrwk der Fluxiën in de Oplorfing van Voorftellen, wair in begeerd wordt de buwge Oppervlaktens van Lighaamen- te vinden. - .• Laat het Lighaam AlV (Fig. 79) begreepen worden  FLÜXIE.RË KENING. 3a3 den geteeld te zyn door eenen vergrootenden of onverMnderlyken Cirkel, welks aanwssiende ltraal de veranderlyke Ordinaat der Kromme AI is , en welke Cirkel zich met eene evenwydige beweeging langs den As van A naar E beweegt: dan zal de fnelheid, waar mede zyne bultige oppervlakte vloeit , gelyk zyn aan den omtrek van den teelenden Cirkel, vermeenigvuldigd met de fnelheid , met welke dezelve langs de Kromme AI beweegt ; dat is , dë Fluxie der gemelde Oppervlakte, op eenigen eind* paal HB , zal gelyk zyn aan den omtrek eens Cirkels, hebbende tot Braai den Ordinaat CB, vermeetiigvuldigd met de Fluxie der Kromme in het punt B. Dit belluit is niets anders dan een gevolg van §• 37° 5 wanneer rnen de bultige oppervlakte befchouwt als fteeds gelyk zynde aan den Inhoud van eene kromlynige Figuur , welkers Abfcisfe gelyk is aan de Kromme AH, als mede de Ordinaat gelyk aan den omtrek des teelenden Cirkels, welks ltraal CB is. 397» Stellende dethalven de Abfcisfe hCzix, den Ordinaat CB=j>, de Kromme AB = z, en c=s 6,283^ &c. ss den omtrek eens Cirkels , welks ftraal 1 is; dewyl dan cyzz den omtrek eens Cirkels, welks ftraal de Ordinaat CB is, en '% ~ x2 +y2 I* is f§' 337^ za' de algemeens uitdrukking vcot de Fluxie der bultige Oppervlakte van het Lighaam ABH zyn ~cyz of cy X x* +y'' % v.-ue'iit, mee behulp der Vergelykinge van de gegeevene Kromme AB, «s of y^i &c. verdreeVen kunnen wordan; en alsdan zal de Fluent van de daar uit voortkomende uitdrukking de begeerde bultige Oppervlakte aantooben, zo als uit de volgende Voorbeelden nog nadec zal blyken. 398» Voorbeeld I. De Oppervlakte eens Klocts, X a p W+p'\* yy. Hier van is de Fluent (§. 67) — X w+p'l*. Naardien nu in den top A, 12p alwaar y verdwynt, of ~o wordt, deeze Fluenti' c 3 cp* aak uitdru king r — x p" 12 ~ — zal zyn , zo iap 12 e is derhalven de verbeterde Fluent (§. 69) zz — x lip , cp- 4>" -tp't* — —, voor de begeerde bultige op12 pervlakte van het Lighaam ABH. ZESTIENDE AFDEELING. Van het gebruik der Fluxiën in de Oplos/ing van Foor (tellen, waar in begeerd wordt de Inhouden van Lighaamen te vinden. Laat de Cylinder LG QFig. 83) eetcld worden door de evenwydige beweeging van Hen Cirkel lD langs de Lyn LN. Laat in den zelfden cyd het Lighaam AIV geteeld worden door de e euwydige beweeging van den gelykmiddelDjntigen en verander» lyken Cirkel ZF, welke verörider(tel1 wordt in den top A onbepaald klein te zyn . en zich, in zyne bëweeging langs de Kromme AI, geduurig uit te breiden. Dan is he~ klaar, dat het Lighaam' AIV langzaamer aangroeijen, of met eenen minderen graad van fnelheid vloeijenzal, dan de Cylinder LG, vóór X 4 en  ja8 EERSTE BEGINSELEN naa en aleer de teelende Cirkelen tot den eindpaal HB korritn 5 en naderhand fchielyker, of met eenen imeerderen graad van fnelheid : derhalven zullen de beide teelende Cirkelen, aan den genjelden eindpaal, (alwaar ZY gelyk worden , of hunne omtrekken op elkander vallen, met den zelfden of eenen gelyken trap van fnelheid aacgroeijen, of vloeijen. Dau het ïs klaarblyklyk, dat de fnelheid, met welke de Cylinder vloeit, gelyk is aan den Inhoud van zynen teelenden Cirkel, vermeenigvuldigd met de fnelheid, waar mede dezelve zich langs de Lyn LN .beweegt; dat is, de Fluxie van den Cylinder is, aan den eindpaal HB, gelyk aan den Inhoud eens Cirkels, welks Straal CB is, vermeenigvuldigd met de Fluxie van de Lyn LH of AC. Derhalven is de F-'uxie van het Lighaam AIV, aan den eindpaal BH , gelyk aan den Inhoud ee.cs Cirkels , welks Straal de Ordinaat CB is, vermeenigvuldigd met de Fluxie van de Abfcisfe AC. 4°4« Stellende derhalven de Abfcisfe hCzzx, den Ordinaat CBzzy, en czi'3.14159 &e. zz den halvenOmtrek eens Cirkels , welks Straal de eenheid is, dan zal de algemeene uitdrukking voor de Fluxie) des lighaamlyken inhouds eyaxzy\\i uit welke uitdrukking, met behulp vau de Vergelykinge der gegeevene Kromme, x of y2 vernreeven kan worden; en alsdan zullen wy, door de Fluent van de daar uit voortkomende Fluxionaale uitdrukking te vinden, dan begeerden Inhoud van het Lighaam ABH hebben, 405. Voorbeeld ï. Den Inhoud van eenen Kloot, i>f eenig Segment deszelven , te vinden. Laat de Diameter AD (Fig. «4) zza zyn. Stel ACzzx, CB-y; dan is COzza—x. Nu is, volgens Meetkuustige Grondbeginfelen, ax—x'ZZy3 ; en, (tellende ax—,x*, in plaats van y2, in de algemeene uitdrukking voor de Fluxie van den ligbaam- jjfcen. Inhoud, msamlyk Cy2 x (§, 404) zal dezelve WOIs.  F L ü X 1 E-R E K E N I N G. 329 worden cxxax—*» — caxx—cx'x. Hier van is cax" cx3 vcax' — zcx3 de Fluent (§. 61) z: —~ — — ~ - 23 6 den Inhoud van het Segment ABH. Stellende nu a in plaats van x, zal de voorgaan3ca» — aca9 de uitdrukking veranderen in — —— ~ Jca3 ZZ 6 den Inhoud van den geheelen Kloot ABDH. 406. Nademaal viermaal den Inhoud eens grooten Cirkels van den Kloot ZZca2, en de Inhoud eens Cylinders, om den Kloot befchreeven, zr^ca* is, zo volgt, dat de Inhoud eens Kloots gelyk is aan viermaal den Inhoud van zynen grootften Cirkel vermeenigvuldigd met {de deel van zynen As , of gelyk aan twee-derde-deelen van zynen omge. lchreeven Cylinder» 407. Voorbeeld II. Den Inhoud te vinden van de Parabolifche Conoïde ABH (Fig. 82; voortkomende uit de omwenteling der Parabo/ifche ruimte ABC rondom den As AC. Laat den Parameter zzp zyn. Stel ACr*, en CB_y. Dan is, door de natuur der Kromme, px _ïV Subftitueerende nu px voor y2 in de algemeene uitdrukking voor de Fluxie van den ligchaamly- ken Inhoud, naamlyk cy'x (§,404), zullen wy hebben caxx. Hier van is de Fluent (§. 61) as j cax*, of, door y2 voor ax in plaats te ftellen , zzicxy2— den begeerden Inhoud der Parabolifche Conoïde ABH. 408. Men kan nog op eene andere wyze in deezer Voegen te werk gaan. De Fluxie van de Vergelykinge der Kromme, naamlyk van pxzzy*, is px * X 5 sjj*  330 EERSTE BEGINSELEN der zyy'i derhalven 'xzz— Subftitueerende nu deeze waarde vau * in de algemeene uitdrukking voor de Fluxie van den lighaamlyken Inhoud, naamlyk cy*'x ayy icy^y ( § 4o,), zullen wy hebben c y * x =——ó nier van is de Fluent (§.61) —» of> door P* voor y ap in plaats te ftellen, = den lighaamlyken In- houd, als boven. aoo Om dit Voorftel in dè volftrektfte algemeenheid te befchouwen, zullen wy het gedacht van den teelenden Parabool als zodanig aanmerken , en ten dien einde onderltellen, dat deszelfs Vergelykinge, m —n « _ in. in algemeene uitdrukkingen, zy p * - y » m—n n dan hebben wy yzzp m X xm. Derhalven = •2«J-2» 2« W x * • Subftitueerende nu deeze waarMe van r in de algemeene uirdrukking voor de Fluxie vau den lighaamlyken Inhoud , naamlyk 2!»—2» m cy*x (§• 404)» zu,len wy hebben cp X 2f«-2» £>n , —■ s m *. Hier van is de Fluent (§. 61) cp X  FLUXIE* REKENING. 331 ' I- I 3M-HB —— + I * m mx x = cp x — an 2«-r-T» 1- I m sni-sn sn m m mx mx tp xxx zz cy' X — = den Inhoud van het Lighaam; dat derhalven tot den Inhoud des omgefchreeven Cylinders ia reden ftaat, als m tot 2«-f m. Waar uit dan ook tevens blykt, dat het Lighaam door den Conifchen Parabool geteeld C§« 4°7)f waar in mzzz, en nzzi is, naauwkeurig gelyk is aan de helfc van deszelfs omgefchreeven Cylinder. 410. Voorbeeld III. Den Inhoud eens Kegels AIV (Fig. 81), wiens Bafis een Cirkel is, te vinden. Lfat de gegeevene hoogte AE—a, en de Diameter VIzyn. Laat HB evenwydig aan VI zyn; ftel vervolgens ACr*, en £-.78539 &c. zz den Inhoud eens Cirkels , wiens Diameter de eenheid is. Dan hebben wy, door de gelykvormigheid der Driehoeken AVI en AHB, AE : VI :: AC : HB. Dat is a : b :: * : HB. bx By gevolg HB zz —, a Derhalven is, volgens de beginfelen der Meet* 17\' kunde , de Inhoud van den Cirkel HB-— x fl I  33a EERSTE BEGINSELEN der cb*x' e = ——. Deeze vermeenigvuldigd met x, de a* cb*x% x Fluxie van AC, zal 'er komen ——— — de Fluxie a' van den Inhoud des Kegels aan den eindpaal CB.' eb' xs Hier van is de Fluent —— — den Inhoud des Ke3a2 gels AHB. Stellende ui) a in plaats van x, zal de voorgaande cb!la1 uitdrukking veranderen in — \ cb*a ZZSZ den begeerden Inhoud des Kegels AVI. 411. Alles als vooren gefield zynde , kan men dit Voorftel 1 og op eene andere, niet minder kunstmaa. tige, wyze befchouwen, mits men flegts in de eerfte beginfelen der Meetkunde eenigermaate bedreeven zy. Men hebbe zich alleenlyk te herinneren, dat alle gelykvormige vlakke Figuuren tot elkander in reden ltaan, als de Vierkanten van haare overëenkomftige zyden , om daadelyk uit de aangeweezene bepaalingen (dato) deezs evenredigheid op te maaken: AE : AC :: Cirk. VI : Cirk. HB. Dat is aa : x' :: Cirk. VI : Cirk. HB. \ Dewyl nu de Diameter van den Cirkel VI reeds als bekend i aangenomen ( %. 410), zo is deszelfs Inhoud nude eene bekende grootheid, die wy daarom B zullen noemen, en dan hebben wy a' : x* :: B : Cirk. HB. B xx ; Derhalven Citk. HB zz . a' Deeze  FLUXIE-REKENING; 333 Deeze uitdrukking vermeenigvuldigd met xs de i Bx' x Fluxie van AC, zullen, wy hebben ■ =r= de *• ' a1 «aa* van den Kegel AHB, Hier van is de Fluent Bx3 —- - den Inhoud des gemelden Kegels ; en wan3 ^ neer vervolgens a in plaats van * gefield wordt, zal de Inhoud des geheelen Kegels AIV - |aB zyn. " 412. Aangezien nu B (§„ 4Ir) als den Inhoud van den Bafis eener Piramide, hoedani» dezelve ook zy, belchouwd kan worden, kunnen wv uit hetgeen wy dus verre van den Kegel Analytisch be* toogd heot.en , dit onloochenbaar gevolg sfl idendat de lighaamlyke Inhoud van eenen Kegel of Piramide, gelyk is ain één-derde van zynen Bafis vermeenigw ddigd met zyne perpendiculaire hoog.e; of wel, dat dezelve ge.'vk is aan één-derde-deel hoogde" CyK"der> of P,im*> van gdyke Bafis en a£12A Y20[l^ELD IV* Den Inh™* eener Spheroïde ACBD (Fig. 85 ) te vinden. Laat de As Arf, rondöm welken het Lighaam geteeld wordt, zza, en de andere As CD van den teelende,, Ellips zzb zyn. Stel de Abfcisfe AE=x, den Ordinaat Gï^y; dan is BE zza-~x. Dan hehben wy d^or de ei-enfchap der Ellips (Toepas- fing der Algebra op de hooge Meetkunde §.80;: GE2: AExEB :: cT: AF*. ~ . * ** Dat is ja : xxa-x — 4 4 Of  334 EERSTE BEGINSELEN de* Of y : xxa-x :: b* : a2. b2 Derhalven y2 — — x ax—x*. a2 Subftitueerende nu deeze waarde van y* in dè algemeene uitdrukking voor de Fluxie van den lighaamlyken Inhoud, naamlyk cy* x (§. 4°4)> zullen cb* . —: 7 wy hebben — X axx — x2x. Hier van is de ' a2 cb* 4 ' , fluent — x i ax2 — §*3 = het Segment AGH. a2 Stellende voorts, in deeze nu gevondene uitdrukking, cb2 3 in plaats van * , zal dezelve worden — x a2 \a? — |a3 = 1 f a 4' = den Inhoud der geheele Spheroïde. 414. Nademaal de Inhoud van den Cirkel CD cb* uitgedrukt wordt door —, zal derhalven de Inhoud 4 van den Cylinder, waar van CD de Diameter, en cb' a AB de hoogte is, zyn. Waar uit dus klaar* 4 blyklyk volgt, dat de Inhoud der Spheroïde gelyk is aan twee - derde - deelen van haaren omgefchreeven Cylinder. , 415. Voorbefld V. Den Inhoud vanhet Lighaam tt vinden, dat door de omwenteling der Cisfofde van Diocles, rondom haaren As, geteeld wordt. Naar*  FLUXIE.REKEN-ING, 23tf Naardien de Vergelyking der Kromme is y == X3 ' - (§• 215). zullen wy, door Oibftitutie deezer rïlVan y\'m ,de a,gemeene uitdrukking v-or de Fluxie van den lighaamlyken Inhoud , naamlyk . • CX3 X — cx3x n'x (§-404), hebben = = _ a—x x — a ca3* ! tx'x — caxx — ca' x — - — — cx*'x -m x—a —i *' caxx — ca*x — ca3 x Dewyl nu '; *. a — x a__g de Fluxie der Hyperbolifche Logarithmus van a-x is 43Jï zal de der voorige uitdrukkicg cx3 cax' zyn -~ t ~ cai' ~ca* * * ^s.; van a — x. 416. Stellende nu xz% dan zal de laatsrgevondeue Fluent veranderen la -a» x Hyp. Log. van 0. Derhalven is ue verbeterde Fluent (§. 69 | == c*3 Cflï2 "~ 7 ~ ca** - ™3 X Hyp. Log, van fl_/u7l~/a\x Log. van a Dewyl nu het Verfchil der Logarithmen van twee gewlTn, welke nJÏ rZyï> 8e'y\iS aao den Logarithmus vaTi het Oboïim» dat voortkomt, als men het eene in 't anuere deelt, kan de laatotgevondene uitdrukking ook aldus gefchreeven worden: - — - —. _ ca2X - 3 a  336 EERSTE BEGINSELEN, EKzv s •f