totsfumirig' l&enaatac^: Ken onvermoeide arbeid komt alles te boven. "aarde ƒ f*-  PRINCIPES DE GEOMETRIE ÉLÉMENTAIRE, A V U S AG E DES COMMEN^ANS, P A R J. D. BLASSIÊRE; L E FlLS, A LA H A TE, Chez JEAN MENSERT, Marchand Libraire MDCCLXXXII.   A LEURS ALTESSES SERENISSIMES MON SEIGNEUR GUILLAUME FREDERIC e t MON SEIGNEUR GUILLAUME GEORGE FREDERIC, PiliNCE-5 d'ORANGE et de NA.SSAU, etc etc. etc. SERENISSIMES PRINCES! Les Mathématiques faifant parties des Scieni ces auxquelles Vos Altesses Serenissimes, s'appliquent avec un fi grand fuccès, je prensla liberté de VOÜS dédier eet Ouvrage, dans 1'efpérance que VOUS voudrez le recevoir avec bonté.  La Protedlion, dont L. L. A. A. S. & R. VOS AUGUSTES PARENS veulent bien honorer mon Père, me fait efpérer que V. V. A. A. S. S. daigneronc la continuer a celui qui al'honneur d'être avec le plus profond refpefl:. SERENISSIMES PRINCES! DE VOS ALTESSES SERENISSIMES Le trés humble & trés Obeijfant Serviteur J- D. Blassière.  PR.EFACE. ffit^^.l^Ouvrage que je prefente au Pubtic efl un CrS| extrait de celui que mon Père a pubHêfous o/| ie Titre de Inleiding tot dc BefchouwenW&é&t de en Werkdaadigc Meetkunde, en het gebruik van dezelve in het Landmeeten en Waterpaflen enz. op eene Nieuwe en Eenvoudige manier voorgefteld en betoogd door J. J. Blassière,(*) 2 Deelcn 'sHoge by J. Menfert 1776. ( ** ). Mon bui en y travaillant a été de nfinjlruire ö" le defir d'étre utile aux Commenfans me lefait publier. On y trouvera les premiers principes de la Géométrie élémentaire expo/és avec toute la briévetê & la clarté nécejfaire pour Je mettre en état de lire & óPentendre toutes les parties de cette Science, conlenues dans ks Elemens d'Euclide & dans les ouvrages des autres Auteurs qui ont traité cette matière (***> Cet f*") Inftitutcur en Mathématique & Phyfique des Enfans de la Fondation de Madame de Renswoude a la Haye. (_**■) On trouve chez le même Libraire, outre 1'ouvrage cïté , & celui ci, l'lnjïitution du CalculNumériaue & Littéral qui contient les principes de rithmétique & de P^lgèbre, par J. J. Blassière, 2 Parties , la Haye I77°- AprésA* Tabie des principaux Jtrticles \\ y a un renvoi des Propofitions des fix Premiers & de l'Onzicme &Douzième Livre des Elemens d'Euclide, au* Articles de cet Abrégé.  vt P R E F A C E. Cet Abrégé, qui contient nombre de Proportions nouvelles ou peu connues, efl divifê en quatreparties. La Première (a) contient la Théorie de l'interfection des lignes ainji que la Théorie des figurts Géométriques; les démontrations font Synihéiiques telles qu'on les trouve dans les quatre premiers Livres des Elemens d'Euclide. On traite dans la fecoude partic (Z>) de la Doctrine des Proportions, qui y ejl réduite a peu de Principes, faciles d entendre, a rétenir & d appliquer. Les Cammenfans auront occafion de voir dais la troijtème partie, Qc) qui ccn.ienï PApplication des proportions aux figures Géométriques, comirien la méthode Analytique efl propte d démontrer les virilés Géométriques de la manière laplus flmple & la plus facile. La quatrième & dernière partie (i) traite de Tlnterfeftion des plans & des propriétés des Corps Géométriques. Je prie le Lecleur cPavoir égard a mon jeune Age ( e) & de ne pasjuger de mon ftyle avec trop de févértté, vti le peu d^occafion que j'ai eu d'étudier la langue Franfo//V, qui m'eft étrangère. Si le fuccès de cet Abregé répond a mon attente, j'espère de publier paria fuite, un pareil extrait du fecond Tome de ïouvrage cité, qui contient la pratique de 1'Art ou 1'Arpentage, #c. Depuis le §. i. jufqu'au §. 179. (è) Depuis le §. i8:>. jufqu'au §. 198. (O Depuis le §. 199. jufqu'au §. 271. ( 105 19: "~J 104 — 28 4= ui 3c. ■ ■ ■ »'9 % 116 S ===== ? S 36.37 & 38 30 • — 40 31 : 44 o 96 & IOO ^5 . 125 33 , 124 3' j» 37 J» i6j 38 ~J li-  ( 12 ) LIVRE PREMIER. La 39 Propofition fetrouve au\ . 40 . ƒ • 3 64 41 r5r « 130 46 47 n 48 _} 168 LIVRE SECOND. La 1 Propofition fe trouve au §. 165 4 16Ó 7 167 12 — 160 I3 I?S LIVRE TROISIÉME. La 1 Propofition fe trouve au §. 79 2 54 3 46,47 & 48 4 . 53 £ .I4g 6 150 7 146 8 , 145 9 147 10 149 ir •> 12 ƒ 152 S ' *53 S 58 ^ ' 57 16 * 61 17 , 7, 18 & 19 , ÓI L I-  ( i3 ) LIVRE TROISIÉME. La 30 Propofition fe trouve au §. 63 & 64 « : 65 22 ~ 66 23 7a 4 73 2 ■ bo 26 . 5' 27 . ' 67 2^ 20 & 47 2 51 30 ' 70 ^ 6()—7I 32 ■ ■ 62 & 68 32 _ o, 34 81 , 217 f6 — 218 LIVRE QÜATRIÉME. Les §. 78, 81, 143 & 144. contiennent la partie la plus effentielle de ce Livre qui eft 1'infcription des Polygones réguliers dans le cercle. LIVRE CINQUIEME. La 1 Propofition fe trouve au §. 198 7 ' 1 8 " Y 188 0 _ 10 ■ J 11 197 12 198 15 192 16 196 L I-  ( M ) LIVRE SIXIÉME. La i Propofition fe trouve au §. 232 & 233 2 ' 121 & 201 3 •- ■ 207 4 20, 5 203 6 204 7 20,5 ö 2I2 9 *V 10 , ƒ 224 11 • 222 12 ~ 220 13 ——— ■■ , 22 r J4 236 & 23!) £ ' =37 & 240 17 ~zzr '94 is '95 18 2Ö5 19 ' ' ■ 24i o? ZZZL : 2-+2 & =43 _I — _ 22(J 11 ~~ ' 230 & 23» ' 2 26 31 ' 244, 261---264 33 * 255—260 LIVRE ONZlÉlHE. La / Propofition fe trouve au %. 274 l ~ 275 & 281 3 — ■ 283 i =rzzzi ■ 2?8 «—;e 9 ■-—_ , y 280 10 — m Lr-  C 15 ) LIVRE ONZIEME. La ii Propofition fe trouve au §, 296 11 ■ ' 297 !- 1 ■ 285 jj , — 288 * . 292 li-. 287 17 1 389 & 290 1 " V 27a 19 ' J 20 1 294 21 " ' 295 24 ■ ■ ' 30Ö 25 354 26 ' 301 28 :—357 30 [ 353 3i —' _ J 32 " 354 33 -—-—;—;— 37i 34: ' jsj 36 25» 37 ; ' 374 .38 ' ' 27* 39 ■ ■ ; 359 40 ■ " ' 357 LIVRE DOUZIEME. La 1 Propofition fe trouve au §. 245 2 ; % *4* 5e & 7 — 3<& 8 1 374 9 ' 368 10 3*3 LI-  ( 16 ) LIVRE DOÜZIEME. La ir Propofition fe trouve au §. 354 I2 3_4 14 . _— = & EXPLICATION des SIGNES c'ok? on s"eflfervi dans cet Oüvrage. È3 Sif.-Mfic le mot éga/. + ~ PW- Par Exemole 3 + 4-7 aefigne que Ia fommede 3 plus 4 efl égale a 7. ~ " mèijis; .ainfi 14-12 = 2, ou 14 moins 12 eft JgaJ au nombre 2. r°Ui. \ multipM: ainfi 4..X -3 = 12 & U + IJ 3 dénote que 4 ou 2 tfc i étant multiphe par 3 le produit eit ègal a 12. . ? " ■—— 4 divijé par g. > ' " ^"-f- firawi P. Ex. 6 > 5 ou 6 ptui grand que 3. < ~ ; ■ plus petit. 5/_3 ou . p/«J p«« que 7. " A. s i— triargh. 0 — ferc/f. i 1 femblable. -J- 'c-erpendkulaire, V —- ang/e. Z/ «win* quarrée. Pgt _ Paratehgramme. Rgle- — ReSangle. Prs. Pr is me.  PRINCIPES DE GEOMETRIE ELEMENTAIRE A VUSAGE DES COMMENCANS. Objets de la Géome'trie. % I- Iff^s^P^lf^ Géométrie efl cette partie des f5^" T °& Matbématiques, qui a pour objet, IÉ \—j Jf les Grandeurs , connues fous le ^êi<^0l}'0 nom d'ètendue. L'Etendue peut être confidérée. 1. Comme longueur; 2. Comme furface. 3. Comme corps ou folide. %. 2. L'étendue confidérée comme longueur, eft appellée ligne. Une ligne efl donc une étendue,dans laquelle on ne confidére que la longueur, fans avoir égard a fa largeur ou a fon épaiffeur. A Les  2 Objets de la Geometrie. Les extrémités d'une ligne font appellés des points: Ainfi on definit communement Je point comme une marqué fans parties. §. 3. On conftdère la furface, comme ayant de Ja longueur & de la largeur fans profondeur. §. 4. Le corps ou le Solide, a trois dimenfions, favoir, de la longueur, de la largeur & de la profondeur, ou êpaijfeur. 5- 5» La confidération de fes objets ont donné lieu, a divifer la Géométrie en trois parties, qui font, La Longimètrie, ou 1'art de méfurer des lignes ou des longueurs. La Planimètrie, ou la manière de méfurer des furfaces. La Stêrêomêtrie, ou la manière de méfurer les corps, ou les folides. PRO-  PROPRIÉTÉS GENERALES DES LIGNES. TL y a deux fortes de lignes; favoir, des lignes JL droites & des lignes courbes. §. 6. Une ligne droitt efl celle dont toutes les parties font fituées dans la même pofition ou direttion, fans s>écarter ni a droit ni a gaucbe; c'cft-a-dirc, la ligne droite efl également fltuée entre fes extrémités. , Ainfr la ligne AB (Fig. i.) eft appelléc une ligne droite. ■ %. 7. Dans la ligne courbe les parties fuccejfives nt font point dans la même direclion. Ainfl EF & GHne font point des lignes droites, mais des lignes courbes. Les propriétés des lignes droiies fe rapportent aux trois fuivantes. §. 8. L Toutes les parties d'une ligne droite, font dans la même direclion, & el'le mêfure la plus courte diflance qu'il y a entre deux points. A 2 IL  4 Propriétés Générales des Lignes. II. Deux points fuffifent pour déterminer la pojltion dPune ligne droite; au lieu qyPon a befoin de plus de deux points pour exprimer le cours d'une lignt courbe. III. II n'y a qu'une efpéce de ligne droite, au lieu qy?il y a une infinité de lignes courbes. DES  DES LIGNES PARALLÈLES ET DES DIFFERENTES SORTES D'ANGLES RECTILIGNES, 9. J'es lignes Parallèles font celles, qui font toujours, a la même dijiance les unes des autres; & qui, quoique prolongées ne fe rencontrent jamais. Ainfi les droites AB & CD (Fig. 4') font Pa' ralleles. §. 10. Toutes les fois, que deux lignes droites fe rencontrent non diretlement, elles forment une efpace qu'on nomme angle Reffiligne.- & qui rccoit différens noms, felon qu'il eft plus ou moins ouvert; c'eft-adire, felon que 1'inclinaifon de ces lignes eft plus ou mains grande. §. 11. Une ligne Perpendiculaire efl celle, qui tombantfur une autre droite, ne panche pas plus d'un cóté que de ï'autre: ainfi FH fera perpendiculaire fur EG, (Fig. 5) §. 12. LP efpace indêfinie HFG ou HFE formêe ou comprife entre les lignes FH, FG, ou FH, EF efl nommêe un angle droit. un angle droit Z LN (Fig. 7.) II n'y a qu'un efpèce d'angles droits qui Jont tous êgaux, mais il y a un nombre indcfini d'angles obtus & d'angles aigus, de grandeur différente. II faut bien rémarquer, que la longueur des cótés ou des Jambes d'un angle ne fait rien a fa gran. deur; mais que c'tft du plus ou du moins d'inclinaifon mutuelle de ces Jambes que depend la grandeur de 1'angle. Par Exemple, les angles dont nous venons de parler refteront inégaux, quel que foit la longueur des lignes dont ils font compofés. DES-  DESCRIPTION DU CERCLE, ET SON USAGE A MESURER DES ANGLES RECTILIGNES. ifl. Tin cercle eft une figure plane terminêe par une ligne courbe, nommée circonférence ; au milieu de laquelle il y a un point, dont toutes les lignes tirêes jujgues a la circonférence Jont également longues. (Fig. 9 & 10.) %. 16. On nomme les lignes CA, AD, AF &c des rayons, & les lignes FAB & HAb font des Diamètres. En de'crivant un cercle fur une ligne drojte AB on peut rémarquer, qu'a méfure qu'on avance du point B pour monter vers H, 1'arc BCH accroit ou devient plus grand, & que 1'angle aigu CAB augmcnte ou devient aufli plus grand, de manière que 1'arc HCB méfure ou fouftant 1'angle droit HAB : & 1'arc KHB méfure ou fouftant 1'angle obtus KAB: or comme la même chofe aura lieu quelque grand ou petit, que-l'on fuppofe le rayon avec lequel le cercle aura été decrit, on peut dire en général que la circonférence du cercle doit fervir de méfure a 1'angle rcctiligne. Cette confidération donnc lieu a la réfolution du Probléme fuivant. A 4 i 17.  8 Ufage 4u cercle dans ta méfure des angles. §. 17. P r o bl e m e. Méfurer la grandeur des angles differens EAF, KCL & MDN & GBH (Fig. ii.) Solutïon Déerivcz du fommet de chacun des angles donnés, un are de cercle avec la même ouverture du compas: c'eft-a-dirc, décrivez du fbm met A comme centre, 1'arc de cercle ab; du fommet B 1'arc, cd; du fommet C 1'arc ef, & du fom met D 1'arc gb. Ceci fait, on trouvera que V EAF eft le plus petit ou le moins ouvert des angles donnés, parceque 1'arc ab eft le plus petit: au contraire 1 V K CL efl: ie plus grand de tous. L'V GBH eft pius grand que V EAF & pius petit que MDN& MDN, plus petit que KCL. DE  DE LA MESURE DES ANGLES RECTILIGNES. % 18 T>Our méfurer avec facilité la grandeur JT d'un angle, on a divifé la circonférence du cercle en 360 parties égales qu'on nomme dégrés: chacun de ces degrés en foixante parties égales qu'on nomme minutes, &c. (a ) §. 19. Les arcs, qu'on dêcrit d'un même centre avee des rayons inêgaux font chacun une même partie de leurs cercles différents, par exemple, 1'arc be eft une même partie de fon cercle que les arcs, BC & bc le font de leurs cercles. (Fig. 12.) 'Les principes, dont on fait ufage dans la méfure des angles peuvent fe rapporter aux fuivants. §. 20. ï. Les angles êgaux Jont mefurés par des arcs êgaux.■ & rêciproquement, les arcs égaux Jont mêjurês par des angles égaux. % 21. II. Quand on connoit la grandeur de 1'angle, on O) Pour éviter d'écrire le mot Dégré, a la fuite du nombre qui défigne ia grandeur d'un angle; on a coütume de mettre un Zero a la fuite de ce nombre. Ainfi pour écrire 360 dégrés on mettra 360°, Au lieu du mot égalon, écrlt le figne & ainfi pour ex-primer qWm angle eft égal a 60 dégrés on écrira 3 6o°, A5  io Méfure des angles ReElUignes* on fait quel are de cercle on peut placer entre fes jambes. J §. 22. III. La méfure d'un angle droit efl oxfiïteL le d'un angle obtus, efl plus grand 9o0, ö5 cette d'un angle aigu efl moins de 90° W f,3' IV' Tcute la Conference du cercle occupe ou mefure quatre angles droits. (Fig. i5.) . §• H- V. La Méfure de tous les angles qu'on peut Me fur une furface plane par k moyen de deux ou ptufleurs hgnes autour d'un même point, eft de 360°. %■ 25. VI. Quand une ligne droite CFou CE (Fig 170 tombe fur une autre droite AB; la fomme de's deux angles ACF + FCB ou bien V ACE + V FCB efl égale a 180° ouforme deux angles droits. En décnvant du point C un demi cercle fur la hgne AB, la propofition devient évidente, par ce que nous avons dit précédemment, au §.18. %. 26. VII. On peut encore démontrer par le même raiionnement, que toutes les fois que deux lignes droites AC & CB en rencontrent un autre CF ou CE, de manière que la fomme des deux angles ACF + FCB ou ACE + ECBforment un demi cercle ou iSo°- les deux lignes AC & CB font une même droite ACB, ou font fituées dans la même direttion AB. ■ §• 27. VIII. Qjjand deux lignes AB, DE fe coupent, les angles oppofez au fommet font égauxc'eft-a-üire V * = Y y & V r = y j (Fig. 18.) D'é-  Méfure des angles Retfiltgnes. il Décrivez du fommet C, comme centre (avec un ouverture de compas a rolonté) un are de cercle mnop. Nous venons de faire voir au §. 25. que la fomme des deux angles je & r, méfurés par le demi cercle mno, font deux angles droits ou 1800. Ainfi V x + r~ 1800. De même 1'arc nop étant auffi un demi cercle, la fomme des angles r + y fait de même deux angles droits ou 1800. Ainfi V r + y =s 18o°. Or c'eft nn principe recu en ftlathématiqucs que deux Grandeurs ou deux quantités égales a une même iroijlème font égales entr'elles. Ainfi yx + r^,\fr+y De même, lorsque de deux Grandeurs égales on retrancbe les mêmes parties, les rejles feront égaux. Si donc on retranche de V * + »■ = V »■ t y de part & d'autre V r =a V r Il reftera V V y- Pour démontrer que 1'angle r eft égal y s i\ faut confiderer, que V s + y Pris enfemble font auffi égaux a i8o°; c'eft-a-dire V i + y = 18c0. par conféquent V-* + r~V* + y En retranchant V x ^ y II reftera V r = V s. %. 28. Probléme t Faire fur une ligne donnée AB (Fig. 16 ) un angle CAB ou y, égal a un angle donné FEG ou x. Solution Décrivez du point E, un are fg. Décrivez du point A avec une même ouverture de  12 Méfure des angles RecJilignes. de compas, un are indefini nee, qui coupe la liga AB au point e. Coupez de nee un are ec égal a 1'arc fg. Tirez par les points A & C, la droite qui formera avec la donnée un angle y, égal a 1'angle donné F£G ou x. §. 29- Probléme II. Connoijfant la grandeur de ï'angle DCB (Fig. i9); déterminer la grandeur de 1'angle adjacent^ DCA ou x; c'eft-a-dire, fi 1'y DCB eft =3 74°. combien fera la valeur de 1'angle * ou ACD. Sol ut ion. La fomme des deux angles ACD + DCB ^ i8o° (§. 25.) & 1'angle DCB a 740 retranchant ces valeurs égalës~ ' de part & d'autre, il reftera y ACD bs ioó° §. 30. Probléme III. Etant donné un des angles verikaux de deux lignes, qui s''entre coupent; déterminer la valeur de trois autres angles; c'eft-adire (Fig. 20.) fuppofani que V AFB ss 24° trouver les trois autres x, y z. SolutioN) felon le %. 27.' 1'y x =3 240. Comme étant oppofé au fommet a 1'angle donné. Le §. 25. donnc V 24° + y =2 i8c°. par conféquent V y = i8ó° — 240 ê 156°. Mais y y = y 2,(§. 27.) par conféquent y zfe. ra auifi =5 1500. PRO-  PROPRIÉTÉS DES LIGNES PARALLÈLES ET DES PERPENDICULAIRES EU EGARD A DES LIGNES OBLIQUES. gr. "\Tous arons dit au §. Q. qu'on nomme li1_N gnes Parallèles des lignes, qui, quoique prolongées de part & d'autre ne fe rencontrent jamais. Nous alons faire voir qu'ellcs font les propriétés de ces lignes. De toutes les lignes Ac, Ah, AE, AC (Fig. «O «u'on peut tirer d'un point A entre deux parallèles 'EB, KL; la Perpendiculaire AC efl la plus peltte m laplus courte, & toutes les fois qu'on doit méfurer l'efpace qu'il y a, entre deux parallèles EB & KL on doit le faire au moyen d'une perpendiculaire AC tï* rêe entre ces lignes. Ce qui eft évident par l'infpe&ion de la figure ai, danslaquelle les lignes AD Ad, Af, Ag, AC font également longues. %. 32. Les Perpendiculaires MN, OP (Fig. 24.) tirê'es entre deux Parallèles EB, KL font également longues; & réciproquement fl des Perpendiculaires MN & OP tirées entre deux lignes EB, KL font égales i ces lignes EB, KLferont Parallèles. Ces vérités font une fuite du §. 31, 5. 33. D'un mSm fint AouD (Fig. 22.) Jitui * dan*  .14 Propriétés des lignes Parallèles & Perpendïc. dans une Perpendiculaire ACD, on ne peut tirer que deux lignes égales AF, AR ou DH,DFa deux points F & H équidiflants dans la ligne Horizontale KLCelU-djre, toutes lesfiis que FC efl égale a CH, ia ligne oblique FA ou FD fera égale a AH ou DH Cette propofition eft encore une fuite du § 3r' car 13 la ligne AC eft la plus courte, qu'on peut mé-' ner d'un point A a une ligne KL (voyez Fig. 25 ) toute ligne AF & AH tirée du même point A depart & d'autre fur KL feront d'autant plus courtes ou plus longues qu'elles s'approchent on s'éloignent du point C. Par conféquent elles devront être également grandes a égales diftances. §• 34. Une ligne droite fera donc Perpendiculaire Jur une autre KL; toutes les fits que deux points A & Cpris dans la Perpendiculaire AC font êquidiflants a deux points F & H fuuées dans la bafe KL ; c'elta-dire, AC fera Perpendiculaire fur KL toutes les fois que FC =3 CH & AF ^ FH ou FD s DH (Fig. 22 & 25 ) §■ 35- Rem ar que. II eftaifé devoir, que les deux angles aigus, formés au point A ou au point D (Fig. 22 ) par la Perpendiculaire AC & les lignes obliques AF, AH doivent-être égaux entre eux : c'eft-a-dire, que V F AC a V CAH & y FDC e y CDH parcequ'il diminuent ou augmentent également, a méfure que les points A ou D pris dans la Perpendiculaire AC font plus prés ou plus éloignés de la bafe KL. §. 35  Propriétés des lignes Parallèles & Perpendic. 15 % 36 Quand deux lignes Parallèles EBKL ,(Fig. 23.) font coupées par une ligne oblique AD, 1'angle interne p fera égal a 1'angle externe 0 qui lui efl oppofé; parceque 1'oblique AD ayant la même inclinaifon par rapport a ces deux lignes, doit auffi les rencontrcr de la même manière: c'eft-a-dire que fi 1'on fuppofoit que 1'infericure KL fut approchée de la fuperieure EB fans changer de direclion, ces deux lignes en fe rapprochant fe toucheroient en toutes leurs longueurs & 1'angle 0 tornberoit fur 1'angle p. %' 37- Quand deux lignes Parallèles EB, KL(F'ig, 28.) font coupées par une autre ligne CD; les angles alternes font égaux. C'eft-a-dire V P é» V *~ V 0 s Vr&V"1-V»-V2;:;V^ Nousavons démontré tantöt queyo s3 Yp,&au %. 27. que V 0 = V r & V * ~ V r. Nous pouvons donc conclure que V 0 ~ V P «=> V s ~ V r. %. 38. Dans deux lignes Parallèles EB, KL (Fig. 28 ) qui font coupées par une même ligne CD, les angles externes ou internes prifes du même cóté de la ligne CD, font égaux a 1800 ou deux angles droits: c'eft4-dire \/? + 2- 1800 = 2L&V«+''i8o0 — 2L- Au %. 35 nousavonsdémontre' que yp+n^iüo* & au §. 27. que V *" = P Subftituant V r a la place de yp,on obtient Vr + n= 1800 s jL 39. Quand une ligne CD (Fig. 29.) C0UPe deux li'  16 Propriétés- des lignes Parallèles &Perpendic. lignes EB, KL & qu'on trouve que les angles alternes o &■ p font égaux entre eux, la ligne EB fera Parallele a la ligne KL, Car felon le §. 27. 1'y p =5 V r & Pon fuppofe que y p 55 y 0 d'ou nous concluons que y r — y 0 (*) & que par conféquent, la ligne EB eft Parallele a la ligne KL §. 36. 5. 40- Les lignes CD, EF (Fig. 30.) qui font Parallèles a une méme ligne AB, font auffi Parallèles entr'elles; c'eft-a-dire, li AB eft Parallele aCD&a EF; la droite CD fera auffi Parallele a EF. Pourledémontrer, tirez une ligne oblique GH, qui coupe les trois lignes AB, CD & EF. Puisque 1'on fuppofe, que AB eft Parallele aCD V 0 fera s y p (§. 36.) Mais parceque y?B eft auffi Parallele a EF, 1'y 0 fera 3 y r; (§. 37.) de même puisque 1'y 0 3 V f & V" = V> il s'enfuit que y p - y r & la ligne CD Parallele a la ligne £F (§. 39 ) C *) Parceque deux grandeurs égales a une même troificme font égales entr'elles. PRO-  PROBLÉMES RÉLATIFS A L'ÉLEVATION DES PERPENDICULAIRES &c. §■ 41- TjROELEME I. D'un point donné dans une JL ligne indefinie AB êléver une Perpendiculaire CD (Fig. 31 ) SOLUTION. Prenez dans ia ligne AB de paft & d'autre du point C, des diftances égales EC Sc CF: c'eit-a-dire: prenez EC a volonté & rendez CF =a CE. Décrivez des points E Sc F avec la même ouverture de compas deux arcs de Cercle qui fe coupent en D. Tirez du point D au point C la ligne DC, qui fera Perpendiculaire fur AB,felon le §. 34. §. 42. PROBLÉME II. Tirer du point C donné une Perpendiculaire CGfur AB (Fig. 32.) SOLUTION. Décrivez du point donné C, un are de cercle, qui coupe la ligne AB en deux points E &l F. Décrivez de ces points E Sc F, deux arcs de cercle, qui fe coupent dans un point D plus haut ou plus bas que le point donné C. Tirez par ces points C & D une ligne droite CDG jusqu'a la ligne AB; cette droite fera la Perpendiculaire cherchée , felon le §. 34. B § 43i  18 Manière d'éléver des Perpendiculaires &c. §. 43. PROBLÉME III. Divifer une ligne droite terminéc AB en deux parties égales AC, CB, (Fig 33 ) SOLUTION. Décrivez des extrémités A8c B dc la ligne donnée & avec des rayons égaux, deux arcs de cercle qui fe coupent en D & E. Tirez la ligne DE, qui coupera la ligne AB en deux parties égales en C, felon le §. 34. § 44. PROBLÉME IV. Tirer par un point donnê £ (Fig. 34.) une ligne AB Parallele a une ligne donnée CD. On peut réfoudre ce Probléme des deux manières fuivantes. PREMIÈRE SOLUTION. Tirez par le point donné E une ligne EF perpendiculaire fur CD, par le § 42. Prenez un autre point H.dans ia même ligne CD, & élevez y une feconde perpendiculaire indefinie GH, par le §. 41. Coupez de la ligne indeterminée GH, une partie égale a EF. Tirez par les points G & H, une ligne AB qui fera parallele a CD, parle %. 32. SECONDE SOLUTION, Prénez fur la ligne donnée CD, un point F a volónté (Fig. 3.5.) .Ti-  Manière d'éléver des Perpendiculaires &c. 19 Tirez du point £ jusques en F une ligne droite EF qui forme un angle r avec la ligne donnée CD. Taites au poiut F un angle 0 égal a V r- 0- 28.) Prolongez EB jusques en ^ & la ligne AB fera parallele a la ligne donnée CD, par le §. 39. Ba DE  DE Q.UELQUES PROPRIÉTÉS DU CERCLE RELATIVEMENT A DES LIGNES DROITES TIREES AU DEDANS ET AU DEHORS DE CETTE FIGURE. I. Des eordes & des Tangentes. % 45. rr*oute ligne droite AB ( Fig. 36.) tirêe dans le cercle Ö" terminée de part & d'autre a la circonférence fe nomme une corde; & la ligne EG qui paffe par le ccnfe efl appellée Diamècre. Quand on tire par le milieu F d'une corde AB, une ligne MFC jufque dans le centre",&; que dcplns on tire les rayons AC, CB & les cordes AM, MB les propriétés fuivantes auront lieu. §. 46. I. La ligne CF fera Perpendiculaire fur la corde AB. §. 47. II. La corde AM fera égale a la corde MB. %. 48. III. Vare de cercle AnM fera égale a 1'arc MmB. La ligne MFC étant tirée par le centre C & par le milieu de la ligne AB; il s'enfuit, que AF- FB & AC 3 CB, par conféquent les deux poipts C & F de la ligne CM font a la même diftance de deux points de la ligne ^B:d'oü il fuit,que la ligne CM eft Perpendiculaire fur la corde AB (§. 34.) Si  Des tor des & des Tangenter. 2t Si donc ia ligne CM eft Perpendiculaire fur la ligne AB & AF = FB, le point M doit-être a la même diltance des deux points A & B : c'eft-a-dire la corde AM eft égale a la corde MB: & comme on a démontré (§. 33.) que lorfque FC eft Perpendiculaire fur AB; 1'V 0 fera = V f> & que les angles egaux font foultendus par des arcs égaux 20.) il s'enfuit que 1'arc AnM ~ 1'arc MmB. §. 49. I. II fuit de la, que toutes les fois qu'on tire du centre d'un cercle, une Perpendiculaire fur une corde, cette Perpendiculaire divifera la corde en deux parties égales. §. 50. II. Quand on divife un angle placé dans le centre d'un cercle en deux parties égales, cette ligne divifera aufji 1'arc foujlendu en deux également. §.51. III, Dans un même cercle des arcs égaux foufiendent des cordes égales. §. 52. IV. La ligne FC qui efl Perpendiculaire fur le milieu de la corde AB, étanl prolongée paffcra par le centre. %. 53. Les parties AM, MG ö" FM, MH de deux cordes AG FH (Fig 37.) qui fe coupent dans un cercle,font inégaux.- c'eft-a-dire, il n'efl pas pofjible , qu'il Je coupent en deux parties égales. Car fi cela étoit, la ligne LM dévroit être Perpendiculaire fur AG & fur FH; feion le 46, cü qui n'eft pas poflible. B 3 54'  C2 Des cordes & des Tangent es. §. 54. Si Pon prend fur la circonférence du cercle, deux points A & B, & qu'on les joint par une ligne droite AB cette ligne droite fera entiérement dans le cercle (Fig. 38.) La ligne la plus longue qu'on peut tirer du centre jusqu'a la circonférence, étant le rayon. II s'cnfuit que les deux rayons CA, CB tirez aux extrêmités de la corde AB, doivent-être plus longues , que les droites CA7 ou CF. D'or. il paroïc, que toutes les parties de la ligne AB tombent dans le cercle, §. 55. Si dans un cercle on tire une corde AB ( Fig. 39) Parallele au diamètre EG, les arcs AE,GB compris entre ces lignes feront égaux. Tirez du centre C le rayon CF Perpendiculaire fur AB; ainfi que les rayons AC, CB. Comme CF eft Perpendiculaire fur AB,cUe la fera auffi fur EG ( §. 38.) Par conféquent V 0 +r^V? + ü=L(i 22 ) RéVranchant V 0 - V P (§35) II reirera y r 3 \ n. ""' ' D'ou il paroit que 1'arc EA eft égal a 1'arc GB O. 20.) §. 56. I. 77 fuit de ce que nous venons de dire.- que tes cordes Parallèles interceptent des arcs égaux', c'eftè-dire (Fig. 40.) que 1'arc KE étant =3 a 1'arc LG 1'arc AE =3 GB & 1'arc EAG 3 1'arc HMG. II s'enfuit, que 1'arc AG =3 HB, 1'arc GAEK 3 HBGL, §• 57'  Des cordes & des Tangentes. 25 demi cercle AFL. Or il eft démontré que y b y c, 1'arc FA=! 1'arc LG ~ 1'arc GB; & que 1'arc FA eft la méfure de V e (§. 19 & 550 Par conféquent 1'V FAL + b fera méfuré par 1'arc AFLGB: c'eft-a-dire, que 1'angle obtus EAB a pour méfure la moitié de 1'arc AFB. §. 63. L'ang'c BAC (Fig 46.) formê par deux cordes AB, AC qui fe rencontrent a la circonférence d'un cercle, eft méfuré par la moitié de Pare BC compris entre les jambes AB, AC. Tirez du point A, la tangente GD. Nous avons démontré (§. 62.) que V BAD eft méfuré par le demi are BCA C'eft-a-dire, la méfure de y a + b^, t are BCA. la méfure de V b a i are CA. Si donc on rétranche de la valeur fupeneure, la valeur inférieure, on trouvera que la méfure de 1'V a + b — b = 5 are BCA — { are CA. C'eft-a-dire, la méfure de 1'y a 53 i are BC. %. 64 Vangle BFC dont le fommet eft placé au centre & dont les jambes paffent par les mémes points A & B avec ceux de Vangle CAB, dont le fommet eft a la circonférence, fera le doublé de cet angle: c'eft-idire, quand fur un même are BC un angle CAB eft pofé a la circonférence, & un autre CFB, dans le centre; le dernier fera le doublé du premier, ou bien VF-2V». ' B 5 Nous  26 Des angles formés a la circonférence du cercle, Nous avons démontré (§. 220 que la meTure de 1 angle pofé dans le centre, eit égal a 1'arc total BL, & que la méfure de 1'y a eft la moitié de cet arc(>63) Par conféquent V F fera - 2 V a. . § 5.5- 2ou/ angles a,b,c,d,e, (Fig. 47.) /or^/a 7a «iYon/?rra^ d'un même cercle & fouftendus par le même are GKH,font égaux entr\ux. C'eft a-dire, V«s V * = V f 5 = V «. Puisque chacun de ces angles eft méfuré par la moitié du même are GKH; tous ces angles feront auffi égaux entr'eux. (§. rj3,) §. 66. Quand quatre points A,B,C & D, pris fur la circonférence d'un cercle, font joints par quatre lignes droites AB, BC, CD £f DA; la fomme des deux angles oppofés fera égale a deux angles droits ou a 180°. (Fig. 49.) C'eft-a-dire, y A+ C^ 1800 & y B + D = 180° L'angle A, eft méfuré par ia moitié de 1'arc DCB L'angle C eft méfuré par la moitié de 1'arc DAB (§• 63.) par conféquent les méfures des angles A & C pris cnfemble formeront la moitié de toute Ja circonférence & feront égaux a la moitié de 36b0 ou a 180° On peut démontrcr de même, que VD+ S= i8c0- 67. Dans des cercles êgaux.- les angles égaux, tant ceux au centre que ceuxa la circonférence font fouftendus par dei arcs égaux. §. 68. Vangle BAD (Fig. 48.) formê par la tangen-  Des angles formés a la circonférence du cercle. 27 genie ED & par la corde AB efl égal a l'angle AFB , fltué dans le fegmtnt de cercle oppofé: c'eft-a-dire, V Ceel eft «ne fuite des principes demontrés dans les §. 62 & 63. §. 69. I. Vangle BAC (Fig. 50.) placé a la circonférence d'un cercle & fouflendu, par le demi cercle BMC, eft un angle droit. §. 70. SB Vangle EDF (Fig. 51.) fouflendu par un are ENF, plus petit qu'un demi cercle; efl aigu. %. 71. Hf. Vangle HGK Q¥\g. 52.) fouflendu par un are HPK, plus g>and qu'un demi cercle; efl obtus- Ces trois principes font une fuite du §. 63. ou 1'on a démontré que l'angle a la circonférence eft méfuré par la moitié de 1'arc fouftendu. %. 72. Desfegmens de cercle font femblables, lorsqu'ils font une même partie de leur cercle: c\ft a-dire, deux demi, ou deux quarts de cercle, font femblables, parcequ'ils font une même partie de leurs cercles refpectifs. %. 73. II fuit de cette definition. Que lorfque tes cordes qui fouflendent des fegmens de cercles femblables, font égales; ces fegmens feront auffi également grands. AP-  APPLICATION DES PROPRIÉTÉS DU CERCLE DANS LA RESO LUTION DES PROBLÉMES. §. 74. PROBLÉME I. Tirer une tangenteaun pomt donné A fur la circonférence d'un cercle r n» 58.2 L b* SOLUTION. Tirez par le point donné A & par le centre C du cercle un rayon BAC. Elévez au point A la Perpendiculaire AD,(§. 41.) qui fera la tangente demandée, felon le §. <$i. S. 75- PROBLÉME II. J>ar un point donné B fituee au debors de la circonférence du cercle, tirer une tangente BD a cette figure [Fig. jp.] SOLUTION, joignez le point B avec le cen.tre C, par la ligne CB. Décrivez fur CB comme diamètre, un demi cercle BDC qui coupera le cercle en un point D. Tirez par les points B & D une ligne droite BD, qui fera Ia tangente demandée. Car, puisque BCD eft un demi cercle & y x un angle droit (§, 69) la droite AD fera tangente a 60) §. 76, PROBLÉME III. Divifer un are donné EF en deux parties égales. [_ Fig. Co. J SOLUTION. Tirez par les extrémités E & F de 1'arc donné, une ligne EF. Di-  Manière de tirer des Tangent es, &c. 29 Divifez cette ligne EF en deux parties égales (§. 43O Elévez au point H, une ligne Hl, Perpendiculaire fur EF; qui divifera 1'arc en deux parties égalcs, felon les §. 41 & 4?. §. 77. PROBLÉME IV. Divifer un angle dongk donné ACB en deux parties égales par une ligne CD [Fig. 61.] SOLUTION. Pofez un des jambes du compas dans le fommet C, & décrivez avec 1'autre, un are FEG, qui coupe les deux lignes AC, CB en F & en G. Divifez 1'arc -FEG en deux parties égales par le §. précédent. Tirez par les points C & E , une ligne DC, qui coupera l'angle ACB en deux parties égales x & y. (5/22.) § 78. PROBLÉME V. Faire poffer la circonfece d'un cercle par trois points A, B & C; c'eft-a-dire , trouver un point K qui foit placé a l'êgard des trois points A, B & C, de telle manière que la circonférence du cercle décrit avec le rayon AK Ö" du centre K, paffe aufji par les deux points B & C (Fig. da.) SOLUTION. Joigncz les points A B & C par deux lignes AB, BC. Divifez les lignes AB, BC en deux parties égales aux points D & F [ 43. ] Elévez fur D, une Perpendiculaire DE, & fur F une Perpendiculaire FG qui fe couperont en K ( §. 41). Dé-  30 Manière de tirer det Tangente'S; &c. Décrivez du point K, comme "centre, & avec le rayon KA un cercle, qui paffera par les points B & C. / §. 79. PROBLÉME VI. Trouver le centre C d'un cercle [Fig. 63.] dont la circonférence efl donnée. SOLUTION. Prenez deux points A & B fur la circonférence donnée & joignez les par une ligne BA. Divifez cette corde en deux parties égales en D (§• 430 Tirez par le point D, une Perpendiculaire EC & prolongez la jufques a la circonférence en F a 41.) Divifez cette ligne EF en deux parties égales en C, (§. 43.) Le point C fera le centre démandé. §. 80. PROBLÉxME VII. Acbéver la circonférence d'un cercle. dont Pare ABC eft donné [Fig. 64] SOLUTION, Prenez trois points A, B Sc C fur 1'arc donné. Joignez les par deux droites AB » BC, & achévez le refte felon le Probléme V. §. 81. PROBLÉME VIII. Couper d'un cercle donné une partie BAF, dont l'angle a la circonférence foit égal a un angle donné N. (Fig 48.) SO-  Manière de tirer des Tangentes, &c. 31 SOLUTION. Tirez la Tangente ED. (i 74.) Faites au point A, un angle x égal a l'angle donné JV(§. 28.) & prolongez la jambe AB jufques a la circonférence en B: le fegmcnt de cercle AFB fera le démandé, felon le 68. pao.  PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FIGURES RECTILIGNES. I. Définitions des figures a trois & quatre cótés. §. 82. Routes, les fois que des lignes enferment de toute part un efpace, cet efpace, eft appellê une figure. Si les lignes (qui fe nomment alors des cótés de la figure) font droites, elle eft appellée figure Rectiligne. Ces figures redtilignes ont des noms différens. On nomme Triangie la figure qui a trois cótés On nomme Quadrilatère une figure qui a quatre cótés. Les figures terminées par plus que quatre lignes, font nommées des Polygones. On diftingue trois fortes de triangles rélativenient aux cótés dont ils font compofés, & trois eu égard aux angles, $• 83.  Définitions des Triangles , Quadrilatères &c. 33 %. 83. Un triangie équilateral ABC eft celui dont les tnis cótés font égaux: c'eft-a-dire le A ABC eit équilateral toutes les luis que AB s BC a CA. [ Fig. 67] § 84. Un triangie DEF eft Ifofcèle lorsque deux de ces cótés fora égaux, mais le troijlème plus grand ou plus petit que les deux autres.- c'elt-a-dire le A DEF clt Ifofcèle, lorsque DE-DF, mais EF > ou < que DE ou DF. (Fig. 68.) §. 85. Un triangie Scalène eft celui, dont les trois cótés font inégaux, comme GEL (Fig. 69.70 & 71 ) Les noms particuliers, qu'on donne aux triangles par rapport a leurs angles,font. §. 86. Un triangie reclangk eft celui, qui a un angle droit L, ( Fig. 70.) § 87. Un triangie obtus angle ou ambUgone NOP, eft celui qui a un angle obtus N (Fig 71 ) §.88. Un triangie aigu angle ou oxygone GHI efl celui qui a un ang'.e aigu H. (Fig 69 ) Les figures Quadrilatères font. 89. Le quarré ABCD, dont tous les cótés & tous les angles font égaux (Fig 7;.) Ceft-a»dire, la figure ABCD, eft un quarré, lorsque AB a BC 3 CD a DA, & V üa Y Cs ~ U- L 90. Un quarré long ou un reclangle EFGH, C efl  34 Définitions des Triangles, Qtiadrilatères &fc. eft une figure, dont les cótés nefont pas égaux, mais dont tous les angles font droits. (Fig. 73.) C'efl-a-dire, la figure EFGH eit rettangle, par 'ceque V£ = VF = VG=V H = \_. §. 91» Un Rbombe IKLM, eft une figure Quadrilatère qui eft équilaterale mais non équiangle (.Fig. 74.) % 92. 'Un Rkomboïde ou Varalelogramme NOPR eft un Quadrilatère dont les cótés oppcfés font parallèles. (Fig. 75 ) Le Quarré, le Re&angle, le Rhomfae & le Rhomboïde ayant leur cótés oppofés, égaux & parallèles, on les défignc tous par le nom genéral de Parallelo grammes, reclangles ou obliques, felon que leurs angles font droits ou non. §. 9^ Un Trapéfe eft un Quadrilatère irrégulier, qui a des cótés Ö" des angles ir.égaux. "(Fig. 75 & 77.) 94. On range les polvgones fous deux clafles, favoir. 1°. Polygones Reguliers, c'eft-a-dire, ceuxdontles cótés & les angks lont égaux entr'eux. Voyez les Figures joó. 107 & 108. IK Po'ygones Irréguliers, c'eft-a-dire, ceux dont les cö:és & les angles font inégaux. Voyez Fig. PR.O1  PROPRIÉTÉS DES TRIANGLES. %.osi.l.'Tov.t triar.gle ABC (Fig. 78.) peut-Are infcnt dans ie eerde: c'eft-a-dire, il efl tosfible de circonferire autour d'un triangie donné une circonférence de cercle, qui page par lesfommets des angles du Triangie. Cette propofition eft évidente par le §. 78, ou nous avons donné la méthode dc faire patler la circonférence d'un cercle par trois points donnés. §. ofj. II. La fomme de tous les angles d'un Triangie eft égale a deux angles droits. (Fig. 78 ) C'eft-a-dire, V 0 + b c = 2 l~ - ï8o°' Pour le démontrer il fsut décrire un ceicle AH BGCF, autour du triangie donné ABC.' Nous avons fait voir au §. 63. que l'angle a Ia circonférence du cercle eft méfuré par la moitié de 1'arc qu'il fouftend. Par conféquent la méfure dc V a ss £ are ECG, de V b sa i are AFC, de V e - i ^ AHB, Or 1'arc BCG, plus 1'arc AFC, plus 1'arc AH3 compofent le cercle totai ou conjprennent 36c0. Ainfi la méfure de V <* + V b + V f fera =s 180*. §. 97. III. 11 fuit de la, que dans un Triangie EFD il ne peut y avoir qu'un ar.gie droit F ou qu'un anC a gk  36 Propriétés des Triangles. gle obtus F, & alors les deux autres angles E & D, feront aigus. ( Fig. 79. ) 5S. IV. Puisque les trois angles d'un Triangie pris enfemble font égaux a deux angles droits, il s'enJv.it que dans le Triangie reftangle, les deux angles aigus pris enfemble font égaux a un angle droit. §• 99. V. Quand les deux angles d'un Triangie pris enfemble font moins que 900, le troiftème angle fera obtus: puis qu'il eft égal a 18c0 moins les deux angles aigus. Par exemple, lorfque la fomme des deux angles aigus el 500 l'angle ob:us fera égal a 130°, parceque 5Ö + 130 a 1800. % 100 VI. Quand onprolonge un des cótés BC d'un Triangie ABC (Fig. 80.) jufqu'en D, l'angle externe ACD fera égal a la fomme des deux angles internes oppofés a+ b. Nous avons fait voir dans le 25. que V c + x 3 1 So°. & au §. 96 que \fa + b + c 3 18o°» par conféquent V e + * = V a + b -i- c. mais yrs V c. ainü V*"Vfl + ü- %. 101.VII. 1/ fuit de la, que l'angle exterieur x d'un triangie ABC elï toujours plus grand que chacun des ■ angks intérieurs oppofés. C'eft-a-dire V * > V « ou V b. ' %. 102. VIII. La fomme de deux angks d'un triangie * eft toujours moindre que 1800 ou 2 L -  Propriétés des Triangles. 37 C'eft-a-dire, ya+bou\fa+cou\jb+c font moindie que iSc°. §. 103. IX. Quand on connoitla grandeur de deux angles d'un triangie, on pourra auffi calculer le troiftème angle. Par exemple fi V a sa 6c° & V b 3 55°. alors V e s 050 parceque V « = l8o° "* V»-V^ ifco0 —55° — 6o°. On V c= 180° — 1150 3 Ö> 104. X. Ie; deux cótés d'un triangie pris enfemble font plus lohgs que le troiftème ebtè, (Fig. 81.) C'eft-a-dire: DE + DF > EF. Sclon le §. 8. la ligne droite EF eft la plus courte qu'on peut tirer entre deux points £ & £; ainfi DE + £>£doiver.t-être plus longues que EF. §. 105. XI. En tout triangie Scalène dont les cótés Jont inégaux, le plus grand cóté efl oppofê au plus grand angle & le plus petit cóté au plus petit angle. (Fig. 83) C'eft-a-dire,lorsque dans le triangie GEI, le cóté Hl eit plus grand que GI, alors i'angle g fera plus grand que y h \ parceque le plus grand are fouftend le plus grand angle; & ie plus petit are le plus petit angle, felon le \. 57. %. 106, XIF. Dans le triangie Ifofcèle ABC (Fig. 84.) les angles oppofés a des cótés égaux, font égaux. 107. XIII. Dans le triangie équilateral tous les angles font égaux entr'eux. (Fig. 85.) C 3 Pour  S8 Propriétés des Triangles. Pour le démontrer, il faut de'crire autour dc chaque triangie un cercle felon le §. 78. Puisque dans la Figure 84. ABz^ AC; 1'arcAKB doit-étre égal a 1'arc ALC. Par conféquent V b =s V c. Comme le A DEF (Fig. 83.) eft équüatéral, ]es cordes égales DE, EF & DF fouftendent des arcs égaux fejon le §. 51. Par conféquent V ^ V« = V/ §. 108. XIV. Si dans un triangie Ifofcèle onprolonge les deux cctês êgaux AB AC, jusques en D êS en E,les angles x 6' y au deffous de la bafe feront auffi êgaux entr'eux. (Fig. 86.) Nous avons démontré % 2,5. que V b + x 53 i8c° ainfi V b + x a yr + y Si on rétranche de part & d'autre y b ~ V c 11 reltcra y x — y y %. 109. XV. Lorfque Pon connoit un des angles d'un triangie Ifofcèle, on peut auffi calculer les deux autres angles. Que l'angle au fommet a foit 3 300 y b + c =s 1800 — 300 a 15c0. Mais y 6 3 y c. Par conféquent chacun eft la moitié de 1500 C'eft-a-dire y b =3 y c 3 75°. %. 110. XVI. La Perpendiculaire AD tirée du fommet d'un triangie Ifofcèle fur la bafe, divife le triangie & la lafe en deux parties égales (Fig. 87.) C'efi>  Propriétés des Triangles. 39 C'eft-a-dire, ft AD eft perpendiculaire fur CS; alors 1'V p = V r & DB = DB. Car ft du point A comme cenire & du rayon AB on décrit un are de cercle BGC;1'V f fera aVn (§. 34 ) & BD =a DC. ($ 49-) §. ui. PROBLÉME I. Décrire fur une ligne donnée AB un iriangh êquilateral ABC. [Fig. 05.] 'SOLUTION. Décrivez du point A comme centre, avec le rayon AB, un are de cercle FCB. Poiez le compas en B & décrivez 1'arc de cercle ACG, qui coupcra le premier en C. Tirez les lignes AC & CB, & le triangie ^BC fera êquilateral, parceque AB eft 53 BC a C/L O- 8s0 5. 112. PROBLÉME II. Faire un triangie DEF dont les ebtés foient égaux a trois lignes donnies. (Fig. 81.) SOLUTION. La folution de ce Probléme eft la même dans le fond que la précédenté. Par Exemple,pour conftiuire le triangie D£F,le cercle décrit du point D doit avoir pour rayon la ligne DE, & le cercle décrit du point F, pour rayon, la ligne EF. C 4 DE  DE LA CQMPARAISON MUTUELLE DES TRIANGLES E G A U X. Les figures pcuvent êcre coinparéeü de deux ma nietes. I. Rélativement a la pofition de leurs cöte's & de leurs angl .s. II. Rélativement a leurs furfaces, fans avnir égard a 1'égalité des angles ou des cótés. Nous traiterons icï, de la prémière manière dc comparer, en nous réfervant de parler de la fecondc, lorfque nous confidérerons les figures rétativcment a leurs furfaces. §.113 t Deux triangles ABC, DEF (Fig. 88.) feront femblables & égaux, toutes les fois que les cotés & le a:\gtes du triangie ABC, font égaux a ceux du tria igle DEF. C'eft-a-dire, fi AB 3 DE, BC sa EF, AC =3 Dt & v A ~ V D, = V B ~' v E, & y C~ V F. §. 114. If Deux triangles DEF> GHI (Fig j0) feront femblables quand ies angles dePunfont égaux aux angles de fautre, C'eft-a-dire, Je triangie DEF fera femblable au triangie GHI; lorfque V D = y G, y E = y H & V F = V I. On nomme les cótes oppofés a des angles égaux, des cótés boihologues. C'eft-  Comparaifon des triangles êgaux. 4t C'eft ainfi que le cóté ED eft homologue au cóté CH, !e cócé EF au cóté GH, & DF au cóté GL % 115. III. Deux triangles (Fig. 88 ) dont les cafés bomologues font égaux, feront éqmang>es & égaux entr'eux. 116. IV. Deux triangles font êgaux lorfque les trois angles de Pun étant égaux au trois angles dePautre, il s'y trouve deux ebtés homokgues êgaux entr'eux, C'eft-a-dire (Fig. 88.) lorfque dans lc A ABC» les trois angles A, B, C & le cócé BC font respectivement eguux lux trois angles D, E, FSc au cóté EF du A DEF; ces deux triangles feront egaux & femblables. 117. V. Deux triangles feront encore égaux entr'eux, lorfque les deux cótés, Pangle comprii enire ces deux cbtès de (un font égaux aux deux co.éi iS a Vangle compris de Vautre triangie. Ceft a-dire (Fig. 88.) ü AB eit =3 DE, AC =3' DF & V -4 - V D, alors le A ABC fera = A DFF, la bafe BC égal a la bafe FF: V B = V ^ & V C =3 V F- 5. 118. VI. Quand dans deux triangles ABC aci (Fig. 90.) le coté AB ejl égal au cóté ac, Ö" AC — ad, mais quePangle A au fommet dans le triangie AoC efl plus grand que 1 angle a dans ie triangie aci; alors la bafe CB du triangie ABC fera plus grande que la bafe cd, dans le triangie acd. C 5  42 Comparaifon des triangles êgauxl §. 119. VII. Quand deux triangles ont deux cbtés botnologues égaux, mais que la bafe du premier foit plus grande que la bafe du fecond, Vangle au fommet du premier fera auffi plus grand que celui du fecond C'cft a-dire, fi AB eft = ac, AC = ad mais la bafe BC plus grande que la bafe cd; alurs l'angle A fera plus grand que l'angle a (Fig. 90,) Les fept propoütions que nous dcvons d'enonccr, peuvent être confidèrées comme autant d'axiomes! par ce qn'èlles doivent toutes être démontrées par la fuperpofition: c'eft-a-dire, qu'en appiiquant les cótés & les angles homologues de ces triangles 1'un fur 1'autre, ils fe couvriront exactement, horsmis dans la fixième & la fcptième, ou la bafe BC excedcra la bafe cd: ainfi qu'il eft évident par 1'infpection des figures. §. 120. VIII. Quand deux triangles inégaux mais femblables, GHI, GKL (Fig. 91.) font tellement pofés Pun fur Vautre, que deux cotés GL, GK & un des angles G du petit triangie GKL couvrent les cótés CH, GI, & le fommet G; alors Vautre cóté LK du petit triangie GKL, tombera dans le grand triangie, & fa pojltion donnera LK Parallele a Hl. 121. IX, Quand d'un point L (Fig. pi.) pris dans le cóté GH du triangie GHI. on tire une ligne LK, parallele au cotê oppofê Hl, cette ligne formera un triangie GLK quift ra fembiable au grand triangie GHI. . C'eft-a-dire le A GKL fera w A GHI parceque LK eft parallele a HL Les  Comparaifon des triangles égaux. 43 Les deux dcrnières Propoiitions font évidentes par la definition, que nous avons donné des triangles femblables $. 114. & par les propriétés des lignes Parallèles, que nous avons établis au i 39- PRO-  PROPRIÉTÉS DES FIGURES QUADRILATERES. §. 122. Tl y a deux fortesde figures quadrilatères, X-fcavoir I. Celles dont les cötés & les angles font inégaux, & qu'on nomme Trapéfes. II. Celles dont les cötés oppofés font parallèles, & qu'on nomme- Qiiarré, Quarré long, Rbombe & Rbomboïde ou Paraklogramme. Voyez les §. 89, 90, 91 & 9?. Ces figures ont des propriétés communes, qu'on peut démontrer de Ia manière fuivante,en faifantufage des Figures 96, 97, 9i & 99. Pour cet efiet foient tirez Ia ligne AC parallele a FD & GI parallele a MK. Que les parallèles AC & FD foient coupées par les trois perpendiculaires & parallèles AF, BE & CD; de manière, que la difiar.ee entre A & B foit égale a la diftance entre A & F & celle de iï a C, plus grande ou plus petitc. Cela étant, la figure ABEF fera un quarré, & 2?CZ)£ un quarré long1, ou un rèftangle» Si entre ia feconde paire de lignes GZ, MK, (Fig. 98 ) on tire trois autres parallèles GM, HL & KI, dans une dircclion oblique; ayant f.in de ren»  Propriétés des Figures Quadriicttères. 45 rendrc GM égale a GH mais Hl plus grande ouplus petite que HL; on formera deux Quadrilatères GH LM & H1ICL, dont le premier fe nomme un Rbutnbe ou Quarreau, & lc fecond, un Rhomboïde ou Quarreau long. §. 123. Le nom gênéral qu'on donne au quatre figures, efl celui deParalclogrcmme qui eft droit ou oblique, felon que les fecondes parallèles font Perpendiculaires ou non. Les lignes transvcrfales AE, BD, GL, & "K, font nommées les diagonaies des Paralelogrammes, Ces quatre Figures 96 > 97 > 9§ & 99 > ont com" muncs les propriétés fuivantes. §. 124. fe Q«« «Sa^ue ligne tirée d'un angle a Vautre, coupe la figure en deux parties égales. %. 125. IL Que les cbtês & les angles oppofés dans cbacune de ces figures font égaux tutr'eux. Ef' que toutes les fois que deux cb'ês oppofés font égaux, £7 parallèles , les deux autres le feront auffi. ■ Car V a - V & & V c - V (§• 37-) parCC" que les cötés oppofés font égaux, ainfi felon ie %. jiö ön obtiendra pour 1'égalité des triangles. A AFE ss A ABE; A EDE s A BCD. A GLM= A GHL; A H/CL= A HKI. B'ou il paroit.que les cótés & les angles oppofés font égaux entr'eux &c. paralelogramme B/FF. (* ) Nous avons démontré que le A DCJ eft a A BCJ. ( § 124 ) or le A EGC = A CJF & le A FB.4 a A HEA. Si donc on rétrahche du A CIF les triangles ECG Qc & du triangie IL4C, les triangles £07 & FF4, on obtiendra le paralelogramme £>H 2?G = paralelogramme B2FF. §. 131. Vn. Lorfque dans un quarré (Fig. 104) fej flfcwej parallèles PR, LM ne paffent point par le milieu de la diagonale AC, les deux figures ALEP Ö1 E y,CR par hsquelles la diagonale paffe, feront deux quarrés l'un de la ligne AP ou DR,l''autre de la ligne PB ou RC. Pour le démontrer, il iuffit de faire yoir que les AA ALE, APE; ERC & EMC font Ifofcèles & deux a deux égaux entr'eux. La ligne AD étant égale a DC; II s'enfuit que V a ~ V d (§. lOtf.) Or LM eft parallèle a DC. Par conféquent V b sv^O 30.) Donc Vi ([parceque deux grandeurs éga¬ les a une même troiftème font égales entr'elles.) Le A ALC fera donc Ifofcèle (§, 106.) & la figure ALEP un quarré formé fur la ligne LE (§. 89.) (*) On nomme ces paraleiogrammes DHEG & 31 EF par lequel la diagonale ne paffe point, des Com~ plemens.  48 Propriétés des Figures Quadrilatères, ■ 89.) Mais la ligne LE - DR. ~ AP. (§. 125.) Par conféquerat la figure ALEP eft le quarré de la ligne AP ou DR. On démontrera par un raifonnement femblable, que V e = V d. Le A Ifofcèle ERC =s A EMC & la figure REMC, le quarré fur RC, ou PS. DE  DE LA MANIÈRE DE FAIRE DES Qü ARRÉS ET DES PARALELOGRAMMES &ce / §. 132. PROBLÉME I. Sur une ligne donnée AB faire un Quarré ABCD, [Fig. 92.] SOLUTION. Tirez du point A une ligne perpendiculaire fur ABl§. 41.] Faitcs AD ss AB, & tirez par le point B une ligne CB parallèle a AD, & par D une ligne DC, parallèle a AB, (§. 44.) & la figure ABCD fera un quarré felon le §. 89. %. 133. PROBLÉME II. Faire un reélangle EFGH dont les có:és oppofés foient égaux aux deux lignes A & B (Fig. 93,) SOLUTION. Tirez une ligne EF ~ B. Faites V E ss |_ (§. 41.) & la ligne ER - jjt Tirez par H une ligne HG parallèle a .EF, & par F une ligne FG parallèle a HE (§. 41.) La figure EFGH fera un reétangle; par lc §. 90; puisque EF s GH & H£ FG, & les angles droits. O §■ «34.  50 Conftruiïion des Quarrês & des Paralelogr. %. 13.4. PROBLÉME HL". Faire un paralelogramme , dont Vangle n foit égal a Vangle donné N% (Fig. 94-) SOLUTION. Tirez une ligne IK^B,Sc faites.a 1'extrêmite'Zde la ligne IK un angle négal a l'angle N. "(§• 28 ) Faites/M = A. Tirez par M une ligne ML parallèle a IK (§. 41.) & par K la ligne KL parallèle a MI; la figure IKLM fera le Paralelogramme démandè (§. 92.) PRO-  PROPRIÉTÉS GENERALES DES POLYGONES RÉGULIERS E T IRREGULIERS. V I35- rFout Polygone peut être divifê en au~ tant de triangles que la figure a de cótés (Fig. 105.) Car fi on tire du point C pris au dedans de la figure, des lignes droites aux angles, on formera autant des triangles, que 1'on aura tiré de lignes. §. 136. II. Cbaque Polygone êquilateral & êquiangle, peut être infcrit dant un cercle: c'eit-a-dire, on peut décrire un cercle autour d'un Polygone régulier, dont les angles pajferont par la circonférence du cercle (Fig. 106.) II fuffit pour la de'monftration de ce Principe, de faire voir; que dans chaque Polygone régulier il fe trouve un point C, a égale diftance des angle A, B, D, E, &c. Pour cet effet, divifez trois angles du Polygone en deux parties égales. (§. 77.) C'eft-a-dire faites y o~ V r;\f p^ V s;\f n^ymt Puisque le Polygone eft équi-angle, V^Vf. D 2 Pat  52 Propriétés des Polygones. Par conféquent les triangles ACB & BCD feront Ifofcèles & égaux entr'eux. (§. 116.) D'ou il fuit, que AC = BC =: CD, & le cercle décrit avec le rayon AC paffera par les points A, B & D. Et comme la même démonfwation a lieu par rapport a toutes les autres lignes tirées du point C, aux autres angles du Polygone reguiicr. II s'enfuit, que le cercle décrit du point C avec le rayon AC paffera par tous les angles de la figure. %. 137. Hl. II fuit de la, que les rayons tirés du centre d'un Polygone êquilateral & équi-angle, divifent la figure en autant de triangles égaux & Ifojcèles, quelle a de cótés. § 138. IV. Chaque cóté d'un Polygone peut-élre confideré comme une corde d'un are de 3600 divilé par le nombre des cótés de la figure. §. 139. V. Le cóté AB de l'bexagone ABDEFG décrit dans un cercle efl égal au rayon. (Fig 107-) C'elt-a-dirc, fi dans un cercle on décrit un hexagone êquilateral, les cótés AB, BD, DE, EF, FG & GA de cette figure feront chacun égal au rayon.- ou en 'd'autres termes; le rayon AC peut-être appliqué fix fois dans la circonférence du cercle. Par le §. 138. 1'arc fouflendu par le cóté AG la fixième partie de 360°. C'eft-a-dire que y x 53 6o0. Si on rétranche les 6o0 ou la valeur de cet angle x de la fomme des trois angles x + y + a — 1800, on obtiendra Vy + «- taoa. Or  Propriitis aes Potygones. 5j Or les angles y & a font égaux entr'tux (§. io<5.) & chacun de ces angles fera de <5c°. D'ou il fuit, que le triangie ACG eft êquilateral (§. 107.) & par conféquent AC ss AG =3 AB 53 CD =3 CE-CF =3 FG. 5- 140. VI. D AE & AE S AF & AF > AG. 3. Les lignes tangentes AG AD font les plus petites de toutes les lignes qu'on peut tirer a la circonférence concave. 4. On ne peut tirer que deux lignes qui foient également longues de part ö" d'autre de la plus longue AB. Et au contraire. 5. De putes les lignes AG, AM, Ab, AO, AD tirées d'un point A a la circonférence convexe; la droite Ab, qui prolongêe pafferoit par le centre, efl la plus petitel 6. Les  Propriétés du Cercle-. 57 6. Les lignes AM, AN deviennent plus grandes que la ligne Ab, a méfure qu'elles en font plus éloignees. 7: Les plus longues de ces lignes font les tangentes AG & AD. 8. On ne peut tirer que deux lignes égales entr'elles de cbaque cóté de la ligne Ab. Pour dementrer ces d iïè'rentes propriétés il faut tirer les rayons TG, TF, TE, TC, &c. Ccci fait, on obtient piuöcurs triangles GTA, F1A &C qui ont tous le même cóté TA, & un rayon de cercle, pour fecond cóté. i: Dans le A AFT, les cótés AT + TE font > AE(%. 104.) or 2~£=3 TB, comme rayons d'un même cercle, donc AT + TE~ AT + TB sa AB. C'ed-a dire AB > AE. 2 & 3. Pour prouver que AE eft plus longue que AF, il faut confidérer les AA ATE &' AT F: dans lefquels TE =3 TF mais V ATB > V ATF. C'eft pourquoi AE > AF (§. 118. ) On démontrera de même, que AF > AG & AC > AD. 4. Toutes les fois que V ETb fera a \bTC, la ligne ^£fera =3 (§. 117-) 5. Le A & ATO fait voir, que comme TA < 40 + or & or = i*. La ligne Ab fera < OA. 6. & 7. Les AA AMTSt. ^Grdonnent AM < 119.) parceque Z*Af =3 2~G & 1'V < V ATG. 8. Enfin toutes les fois que 1'on formcra aucenD s tre  58 Propriétés dü Cercle. tre T depart & d'autre de la ligne TA deux angles égaux; les lignes tirées du point A la circonférence feront égales entr'elles. §. 146. II. De toutes les lignes droites AD, DB DE & DF tirées dans un cercle d'un point D. (Fig. ïio.) 1. La plus longue de toutes, fera celle qui paffe par le centre. C'eft a-dire, que AD eft plus longue que DG, DB, DE &c. 2. A méfure que les lignes s'éloignent de la droite AB elles devknnent plus petites.- ou bien,^D }DB, DB > DE, DE > DF. 3. On ne peut tirer de part &'d'autre de la plus longue AD, que deux droites égales DG, DB. Pour le démontrer il faut tirer les rayons CG, CB, CE, qui formeront trois triangles; (avoirCDG, CDB, CDE, qui ont tous de commun le cóté CA & les cöcés CG, CB, CE égaux entr'eux comme étant des rayons d'un même cercle. Voici ce qui réfultc de cette préparation. i°. Dans le A DCB, les cotés CD + CB font >£>B. (§ 104.) 20. Les AA BCD, DCE ont de commun le cóté DC; de plus CB =3 CE mais V DCB > V DCE donc BD > DE (§. 118.) Dans le A DCE, on trouve CD + DE y EC (§. 104.) Or CE 33 CF 33 CD + DF. Par conféquent CD + DE > CD + DF. Re-  Propriétés du Cercle. 59 Retranchant de part & d'autre, la partie commune CD; on obtient DE > DF. 3e Toutes les fois que V * » V y le A CDG fera =3 A DCB. (J- 103.) Ainfi on ne pourra tirer du point D de part & d'autre de la plus longue AD, que deux droites egales. §.•147. III. II fuit de la, que toutes les fois qu'il efl pofllble de tirer trois ouplufleurs lignes égales, dun point pris au dedans du eerde, ce point ferale centre. * U8 IV. Les cercles DEB, AD F (Fig. m), dont les circonferences fe coupent, n'ont par le mme Car fi ees cercles avoient le même centre. les rayo,s CD, AC & BC, dévroient être egaux en- ^IVZ^C^CA^CB. Cequieftimposfible, S 149- V. II efl impofflble, que deux cercles KGH & KGM fe coupent en plus que dans deux points (Fig112.) Carfi la chofe étoit poflible, les trots rayons Cl, CG & CH de 1'un des cercles fcroient en meme temps rayons de Vautre. Ceft-a-dire, que ces deux figures auroient le meme centre, cc qui eft contraire au §. 148. 5. 150. VI. Deux cercles PRT, PUS (Fig. 114O qui fe 'toucbent intérieurement en P, n'ont pas te même centre C. Car  <*> Propriétés du Cercle. Car f] cela étoit poflible les rayons CR & r? devroient être également grand, parceque felon la foppofition CP feroit - CR ~ CS. (§. r5 )oe Jj ne fgauroit avoir lieu. ^Woequi Mar. VIf. II fuit de la, que tes cinonférences rayons differens ne peuvent jamais fe toucher- mais r( F™ ™$érmCttf0nt ^éles en7ei Jeur5em'eZUL ^ *"* * - nTr C % ^r^1^' & ^ '« deux centre, C ü B de ces cercles, on tire une ligne droite CB cette ligne CB paffera par le point d\utouchement st- (Fig. 114 & 115.) Tirez par le point A une tangente MN (%. 74.") Tirez auffi les rayons CA Sc CB Alors V NAC = y NAB = 9c". CS. 6b ) Par conféquent ces lignes AC, AB doivent être dans ia même direcrion (§. 26.) C'eft-a-dire, la ligne droite CB tirée par les deux centres paffe par le point d'attouchement A. §. r53. IX I! fuit de la, que deux cercles nepeuventfe toucher extérieurement ou intérieuremem aut dans un point. Voyez les Figures 115 & 1 iö  DE LA GRANDEUR o u SURFACE des FIGURES, et de la MANIÈRE de les CALCULER. I. de la surface des paralelogrammes et des triang l e s. §. 154. Un pied Quarré, eft un quarré', dont chaquc cóté eft un pied. Une verge Quarrée, eft un quarré, dont chaque cóté eft long de douzc picds. Une toife Quarrée, eft un quarré, dont chaque cóté eft long de fix picds. §. 155. Pour donner une idèe de quelle manière on peut parvenir a déterminer la furface des figures, nous propoferons l'exemple fuivant. Suppofons qu'un homme muni d'un pied quarré V (Fig. 117.) fe propofe de méfurer la furface du redtangle ABCD, dont la longueur eft dc trois pieds & la hauteur d'un pied: voici 1'opération qu'il fera. II appliquera le quarré V fur la figure le long du  62 Surfaces des Pgmes & des Triangles. du cóté BA & marquera la première ligne ponctuée r. Ceci étant fait, il lévera fon pied quarré pour 1'appliquer une feconde fois entre. les deux lignes ponctuées r & 2. Enfin il appliqnera le quarré f^contre CB, pour achéver d'arpenter la figure ABCD. Si on méfure de même la. figure EFGH, dont la bafe HG eft de trois pieds & la hauteur dc deux, on trouvera que le rectangle EFGH contient fix pieds quarrés. §• 156. II fuit de Ia, I. que ia furface d'un rectangle doit êire détcrminëe par le produit de la bafe multiplié par la hauteur. C'eft-a-dire, que la furface du rectangle EFGH eft 33 HG X EH ou HG X FG. Si la bafe d'un reftangle étoit de douze pieds, & la hauteur de cinq: la figure contiendroit cinq multiplié par douze, ce qui feroit foixante pieds quarrés. Si Ia longueur étoit dc fept & la hauteur de quatre pieds, elle contiendroit vingt huit pieds quarrés. 5- 157- IL II fuit de la, que la grandeur d'un quarré ABCD efl égale a la bafe DC multiplièe une fois par elle même. C'eft-è-dire, le quarré ABCD 33 DC X DC 33 DC (*) §• 158. C.*) Pour éviter d'écrire ,deux fois, une quantité multiplièe par elle même, on a coutume de 1'écrire une  Surfaces des Pgmes & des Triangles. 63 §.158. III. LesVaralelogranmes ABCD, ABFE, qui font fitués fur la même bafe & entre les rrfëmès parallèles font êgaux. (Fig. 118.) Ceft-a-dire, fi DF eft Pilo a AB,\e reótangle ABCD contiendra autant dc furface que le Pgr. obtus angle EFBA. Nous avons démontré au §. 125. que dans un Paralelogramme, les cótés oppofés font égaux. Ainfi AD =3 BC, EA =3 BF, AB 33 DCSzAB ~ EF, d'ou il fuit que DE eft =3 CF. Le triangie DEA eft donc égal au triangie CBF. a 115.) Si on rétranche de ces deux triangles, la partie commune CEG, les parties reftantes feront égales entr'elles. C'eft-a-dire, figure DCGA- figure DEFB. Ajoutant le triangie AGB dc part & d'autre, on aura, figure DCGA + A AGB s figure DEFB + A AGÈ. C'eft-a-dire, Pgr. ABCD = Pgr. AEFB. §. 159. IV. D'ou il fuit, que les paraklogrammes ABCD, EFGH, dont les. bafesAB , GH font égaux ^ & qui font placês entre les mêmes lignes parallèles DF & HA, font égaux. (Fig. 119.) §• 16b. une feule fois, en tirant un trait par deflus & en placant le nombre deux a la fuite dc cc trait, ainfi que nous venons de le faire dans le texte : de même fi une quantité doit être multiplièe deux fois par elle même on jr placera un trois.  ' 0„, /fl ^me ^ & la même hauteur, le paralelogramme fera une fois plus grand que le triangie* §. 162. VII. La furface dhmparalelogramme, rettangle ou oblique, peut éire exprimêe par le produit qui provient de la muhiplication de la bafe par lahaul teur perpendiculaire de la figure. %. 163 VIII La furface d'un triangie reclangk, aigu ou obtus angle, eft égale a la moitié de la bafe multiplièe par la hauteur perpendiculaire. C'eft-a.dire (Fig. 125.) la furface du triangie reétangic ABC- BG;X AB, bubieri~ t BCXABl 2 ou bien encore s BC X i AB. La furface du triangie oblique DEF eft sü EF X 1. DG s § £Fx 1 DG^EFX ilDG. 2 Suppofons que dans le triangie ^BC, la bafe eft longue de douze picds, & BC égale a fept, aiors la furface du triangie ABC fera a 12 X 7 - 6 X 7 — 42 pieds quarrés. 2 Lorf-  Surfaces des Pgmes & des Triangles. 6*5 Lorfque Ei? eft égale a buit, & la perpendiculaire DG égale a quatorze pieds; la furface du triangie DEF fera s 8 X 14 — 56 picds quarrés. .5. 164. IX. L'inverfc des §. 158. &é. eft; for/a rf«e des paral elogrammes ou des triangles font phcés fur la même bafe, ou fur une même ligne, (f du même cóté, ces paral elogrammes ou ces triangles feront fi~ tués entre les métnes parallèles. C'eft-a-dire, la ligne, qui pafTera par le fommce dc ces figures, fera parallèle a celle qui leur fert dö bafe. Voyez les Figures 119, 120, 122, 123 & 124» Ë DE  II. DE LA SURFACE DES DIFFERENS RECTANGLES QU'ON FAIT EN COUPANT LES BASES DE CES FIGURES PAR DES LIGNES PARALLÈLES. §. 165. I. Quand de deux lignes données AD & AE (Fig. 126 ) Pune efl divifée en autant de parties AB> BC, CD, que Von voudra, le reclangle compris entre AD & AE fera égal a tous les reclangles, qu'on peut faire par la ligne AE, & par cbacune des parties, AB, BC, CD de la ligne divifée. C'eft a-dire, AE X AD a AE X AB + AE X BC + AE X CB, comme cela eft évident par 1'iufpection de la figure, dans laquelle AE a BF a CG a DH. §. 166. II. Si un quarré ABCD (Fig. 129.) efl divifépar deux lignes FG, parallèles aux cótés du quarré & paffant par le même point E de la diagonale ; on obtiendra les quarrés & les reclangles fuivants. ie. La figure fera coupêe en deux quarrés êS en deux reclangles 2e. Le quarré EGCI efl égal a celui qu'-on peut faire,  Surfaces des Reclangles. 6j faire fur la ligne DH, (f le quarré EFAH a celui de la ligne AH. ge. Les deux rettangles DHEG Ö? EFBI, qui font égaux entr'eux, peuvtnt être exprimés par le produit 2 DH X HA des deux parties de la ligne divifée DA. C'eft-a-dire, AD - DH +Ati+ 2 DH X AH; Pour le demontrer, il faut favoir que CD és DA (§. 89.) £t que par conféquent \/ r ~ V x (§. 106.) Mais comme Hl eft parallèle a AB & GF parallèle a DA, 1'V je fera =; V 2» & V - V y (§• io5.) De plus les triangles CGF & EHA font Ifofcèles k Cl sa GE sa DH sa GC ^ EI ^ BF &c EH ^ GD 62 F.4 sa sa EF-IB (§. 32.) D'ou il fuit, que les figures C7£G & EFAH, font des quarrés; & les figures GDHE & EFBIcxqs reclangles. (5, 131.) Donc sa DH + H^-i + » DH X AH; %. 167. III. Quand fur une ligne AD, (Fig. 129.) divifée a volonté en H, on forme un quarré; ce quarré AD de la ligne entière, ajouté au petit quarré AH * fera égal au quarré DH de l''autre partie DH, ajouté a deux fois le refiangle AD X AH de toute la ligne AD; 0" de la partie AH. E i C'êft  68 Surfaces des Recl'angles, C'eft-a-dire, AD + AH =3 DH + 2 ^D X -4H. Sclon le %. 166. precedent il eft conftaté que AD =3 DH + AH + 2 DH X AH. ajcwfC7. AH e „4/ F. II viendra ^!D + .4H 33 DH + 2 ^H + 2 DH X ^H. Or 2 -4H + 2 DH >4 ^H ^ 2 AH X AH + 2 DH X AH^ Q2AH+ 2 DH) AH ^2 DAX AH. Par conféquent AD + Ati ~ DH+ 2 DH X AH. llh DB  III. DE LA SURFACE DES QUARRÉS, FORMES SUR LES CÖTES DES TRIANGLES. ió8. I Quand fur les trois cótés d'un triangie rcftangle ABC (Fig. 130.) om décrit trois quarrés» le quarré fait fur le plus grand cóté AC fera feul aufft grand que les quarrés formés fur lts deux autres cótés CB & AB. C'eft a-dire, fi le triangie ABC eft rectangle, le quarré fur AC, ou la figure ACDE féra égale aux deux quarrés ABGF &. BHIC: ou bien encore AC is AB + BC. Pour le démontrer tirez de i'angle droit B, une ligne BK parallèle au cóté AE ou CD du grand quarré, & prolongez la jusques en K; cette ligne coupcra la figure en deux rectangles AEKL & LKDC. Tirez de plus des lignes AI, BD, BE & PC, qui formeront quatre triangles, lesquels deuxadeux ièront égaux entr'eux. C'eft-a-dire, il faut démontrer que A ACI ==; A BCD & le A EAB st A FCA. Enfuite nous ferons voir, que le triangie ACI eft égal a la moitié du quarré BCIH; & le triangie BCD égal a la moitié du quarré CKDL\ Ie triangie FAC égal a la moitié du quarré ABGF, & le triangie EAB égal a la moitié du quarré EAKL. E 3 Dans  70 Des quarrés dicrits fur lescStés des triangles. Dans un quarré tous les cötés font égaux, & tous les angles droits. (§. 89.} Par conféquent GB & EC, dc même que AB, & BH feront dans la même direction (§. 26.) C'eft-è-dire, AH eit une ligne droite auffi bien que GC, la première eft parallèle aCl, la feconde a ƒƒ/($. 125.) " Le A ACI eft - A BCD; (§. n7.) car es CD; CF =3 BC& V + z a V y + z. Lc triangie EAB - A FAC,parceque ^£ - ^C, Car V' * ~ V y « y f =3 V, * =3 900. De plus. le A ACI a § □ ECIH =3 § ie2] lc A BCD es i Rgle LKCD I le A £^25 =3 i Rgle L/LS^ f"5* l6x? Je A FAC 33 $ □ ABGF =3 3 2ö J Le A ^CZ étant ess A BCD, il s'enfuit que % A ^4C2" =3 2 A BCD, ou le"quarré hC0 Rgle LKDC: & comme A FAC ^ A EAB, on aura o A FJC E 2 A £^B. Ceft-a-dire, le quarré ^B =3 Rgle LKEA. Ajputant les Rgles enfemble, on obtiendra LKCD + LKEA e=j quarré ACDE ~ a~C. Ce qui donne enfin AC =3 ^B + BC* 169- II. Daw tm triangie obtus angle DEH (Fig. I3r0 'e quarré fait fur le plus grand cóté DE 'ejl égal a la fomme des deux quarrés faits-fur les có\ès qui formenl Pangle obtus, ajouté a deux fois le ree-  Des quarrés décrits fur' Us cótés des triangt. 71 reftangle du cóté DH fur la quelle la perpendiculaire AE tombe (qui efl tirée de f angle aigu E, fur le prokngement de DH) & de la partie comprife entre rangle obtus H 0° l'angle droit A. (*) C'eft a-dire, quand dc l'angle aigu E, d'un triangie obtus angle DEH on tire une perpendiculaire EA fur le prolungement de la bafe DH; le quarré qu'on fuppofe décnt fur ED fera non feulement auffi grand que la fomme des deux quarrés fur DH & Hü.mais il excedera la furface de ces quarrés de la valeur de deux rcctangles formés fur la bafe prolonoée (fur la quelle on a fait tomber la perpendiculaire) multiplièe par la partie HA comprife entre l'angle obcus H & l'angle droit A. C'cft-a-dirc que ÜË. - Dti + EH + 1 DHX AH. Ce principe peut être démontré de la manière fuivante. Comme la ligne AD eft divifé en H. II s'enfuit par le §. 166. que ~bZl -~DH + 2 DH X AH+~HA Ajoutez AE ss Ali ^ On aura"l3 + AE '. ss DH + 2 DH X AH + HA + AE Mais (* ) Les quarrés dont il eft iet queftion , ne fe trouvent point exprimés fur la figure 131. Les Commencans feront bien de les tracer en grand fur le papier ou fur I'ardoife,  72 Des quarrés décritr fur les cótés des triangt, Mais DA + AE ~ DE; & HA + ~AE -~E~H felon le %. 168. Sttbftituant ces valcurs dans 1'égalité pre'cédente, on obtient eniin DE =s DH + Etl + 2 DH X AH 170. III. Qiiand le triangie DEF efl aigu en P CFiS« r32.) te quarré fur le cóté oppofé DF fera plus petit que la femme des quarrés fur les autres co^ tés du triangie, de la valeur de deux retlangles firmés fur la bafe DH & la partie AH comprife entre l'angle aigu H & la perpendiculaire AF tirê du fommet F au dedans du triangie. 'C'eli-è-dirc; quand du fommet F d'un triangie FHD, on tire une perpendiculaire fur la bafe DH: il faudra ajouter au quarré de DF deux fois lc rec> angle formé fur la bafe & la partie AH comprife entre 1'angteaigu & la perpendiculaire AF. Ou bien DF+ 2 DH X AH-~D~H + FH. Nous avons fait voir au §, 167. Que AJJ + 2 DH X AH - ~DtI + Iti ajoutant AF - ~F II vient AD + AF + 2 DH X AH - DH AH + AF: Orjes AA reótanprles donnent felon le f. r68. AD + AF 55 DF; 8c~FA + ~A~E - FH Subftituant ces valeurs dans I'égalité pre'cédente pn obtierdra. DF +%DH X AH = 1)H + FH  IV. DE LA SURFACE DES POLYGONE S. 171. I. La furface d'un Polygone regulier ou irrégulier ABCDE (Fig. 133.) eft égale a celle de tous les triangles ABE + BCE + ECD, qui compofent la figure. Cette verité eft une fuite de eet axiome. Que le tout eft égal a toutes fes parties prifes enfemble. Par Exemple, fi pour déterminer ia furface du Polygone ABCDE, on fuppofe que BE 33 7, EC -7^3; LAF-2, liiöfls 3.'&löG = 3- AlorsA ABE= 4 BE X AF-i, 5X2,1= 7,35 A BCE- i CE X BH=3,65 X3.i-">3'5 A ECD — i CE X DG— -5,65X 3 ~}°> 9$ Ainfi la furface de ce Polygone ABCDE, fera égale a 29,615 pieds quarrés. §. 172. II. La furface d'un Polygone régulier ABDEF (Fig. 135.) eft égal au produit de la fomme des cótés égaux, multiplié par la moitié de la perpendiculaire tirée du centre fur un des cotés. C'eft-a-dire la furface d'un Polygone régulier ABDEF =3 (AB + DB + DE + EF+ FA) 4 CG. Nous avons démontré (§. 137.) qu'un Polygone régulier peut être divifé en autant de triangles équilatéraux & ifofcèles, que la figure a dc cötés. La furface du triangie ABC eft — ABX 4 .L CC. Donc celle du Polygone entier, fera égale autant de fois AB X i 1 GC que la figure a de có:és. E 5 C'eft-  74 De la furface des Polygone*: C'eft^dire, Ia furface du Polygone ABDEF i 1 GC (AB + BD + DE + EF + FA). régulier décnt dans un cercle, efl multiptié JafZ mom du rayon de ce cercle, le produit donnera la fur. face dun Polygone de deux fois autant de cótés. frZ r i l 1360 qui eft M+BG+ GI + Cp ] multiplièe par la moitié du rayon ce, le produit (AB + BG + Gl + IL + LA) ICE^ donneralafurfaeedu Polygone AEBFGHIKL- ^ Pour le démontrer tirez les rayons AC & CB & par e milieu D du cöté AB, le rayon CE firet de plus les cordes AE, eb tWnf^rfZ ? 'Cinquie"meP^e du pentagone ABGIL & les cötés £5 ceux d cagone AeBFG, &c. La figure quadrilatère acbe contient les deux triangles ACE & 6UX Or J~7'- C° Théoreme e" annoncé dans les Trois coups Imprimé* a ^0£f t« 1770 comme dc 1'inventipn de Mr. M^sL., & lm a fervi a ,a démonftration de plufieurs iln- *::zrviétés des poiysones * ^; i^iri^it croEuve dans un °uvrage Ho1- *n rrtrr ,° n ceulen, imprimé a Leide Nous parierons dc ce rapport au §. 248.  De la furface des Potygones. 75 Or comme la ligne AB eft jl fur la ligne CE ( §. 46) II s'enfuit que la furface de ces deux triangles peut être exprime'e par les produits fuivants CE X iAD + CEX i BD-i CEX AD + i CEX BDa i CE (AD + BD)^ i CEX AB (§. 163.) Or la droite CE eft un rayon du cercle & la ligne AB eft un cóté du pentagone régulier. Par conféquent, cinq fois le produit CEX l AB fera égal a toute la furface du décagone régulier; c'eft-a-dire. (AB + BG + GI + IL + LA) f CE= furface du décagone AEBFGHIKLM. La même demonftration a lieu quel que foit le nombre des cötés du Polygone régulier infcrit dans un cercle; donc &c.  DES RAPPORTS et des PROPORTIONS. I. Definitions. iSo. X orfque 1'on compare deux grandeurs en-L/ tr'elles (par cxemple les diffe'rentcs longueurs de deux lignes, 1'étcndue de deux furfaces, ou le volume de deux corps) cette comparaifon peut fe faire de deux manières différentes. i°. En determinant de combien la première grandeur eft plus grande ou plus petite, qu'elle a plus ou moins e'tendue, que la feconde. 2°. En cherchant combien de fois la première grandeur contient la feconde, ou en eft contenue. La première de ces comparaifons eft appellée Raifon ou Rapport Arithmétique, & fert a déterminer qu'elle eft la difference, qu'il y a entre deux grandeurs. (Elle eft de peu d'ufage dans la Geo* métric.) La Seconde manière de comparer les grandeurs entr'elles deux a deux, appellée Raifon ou Rapport Géomêirique s'effectue au moyen de la divifion, & peut-étre confidérée comme la clef de toutes les fciences Mathématiques. •■ Pöür  78 Definitions des Rapports & des Proport. Pour donncr aux Commengants une idéé de la différence qu'il y a entre la raifon Arithmétique & la Géométrique, nous fairons ufage des deux nombres 4 & 12. %. jSi. Le rapport Arithmétique fe déterfnine au moyen de la foultradtion, en rétranchant ou en otant le plus petic nombre du plus grand, (felon que le premier terme eft plus grand ou plus petit quele ft-cond, auquel on le compare). Ainfi en comparant 4 ou 12 on trouvera 12 a 4 + 8 : c'eftè-dire, que la différence de 4 a 12 eft 8; 0u bicn, qu'il faut ajouter 8 a 4 pour former le fecond terme 12. En comparant 12 a 4, on trouvera 12 — 4=. 8: ce qui dénote, que 12 furpaffe 4 de buit unitês. Les deux termes des rapports 4 a 12 ou 12 a 4 ont différens noms, rélativement a la place qu'iis occupent. On nonune le premier terme Antêcedent & le fecond Conféquent. Ainfi dans la prémière comparaifon 4 a 12, le nombre 4 eft Vantécedent, & le fecond 12 eft le conféquent. Au lieu que dans le fecond rapport; le nombre 12 eft Antêcedent & le 4 eft lc Conféquent. §. 182. Pour déterminer le rapport Géométrique des deux nombres 4 & 12, on a coütume de divifer 1'antécedent par fon conféquent, & le quotiënt qui en reTulte, foit cntier, foit fraiSionaire, défigne la grandeur rélative du premier terme com-jparé au fecond.  Definitions des Rapports & des Proport. 70 C'eft ainfi, que dans le'premier rapport 4 a 12, 4 1 le réfultat de la divifion indiquée fera — ou — & 12 3 12 dans le fecond rapport 12 a 4, cc refultat eft — 4 ou 3. Ces réfultats différens, font voir que dans la première comparaifon 1'antécédent eft le tiers de fon confe'quent; au lieu que dans le fecond, lc quotiënt 3 dénote, que 1'antécédent eft le triple de fon conféquent. De ce que nous vcnons de dire, on peut inférer. %. 183. Qiie la Raifon ou le Rapport Géométrique, eft la réJation mutuelle $u* a lieu entre deux grandeurs homogênes, ( ou de même nature) larf qu'on fait ftrvir la quantité de Pune pour déterminer celle de Pautre. On appclle Expofant du Rapport Géométrique, la quantité qui dénote combien de fois le terme antécédent eft contenu ou contient le conféquent. C'eft ainfi, que dans le rapport 12 a 4 le nom12* bre — =33 eft appellé 1'expofant de ce rapport, au 4 1 lieu que la fradtion —- eft 1'expofaut du rapport 3 4 a 12. % 184, Dans la Géométrie, ainfi que dans le plupart des autres fciences Mathématiques, il n'eftpas toujours poflible de fe fervir de nombres, pourdé- %ner  80 Definitions des Rapports & des Proporté figncr ou pour cxprimer les grandeurs, qu'on vent comparcr enfemble; c'eft pourquoi il eft fouvent néccffaire d'avoir re'cours aux lettres de 1'Alphabet; non dans Pintcntion de donner des valeurs numérales a ces lettres, mais uniquement comme dévant fcrvir a affigncr la place que chaque quantité occnpe dans Ie rapport. C'eft ainfi, par exemple, qu'en voulant comparcr les différcntes longueurs des rayons de deux cercles, on fuppofera la longueur du premier rayon être défigné par la lcttre R, & la longueur du fecond par la lettre r. Lc rapport de la longueur du rayon du premier cercle, fera alors a la longueur du rayon du fecond cercle, comme R eft ar, (*). De même en défignant deux lignes de longueur differente, par les lettres A & B\ & deux autres lignes par C & D; le rapport des deux premières fera exprimé par-A eft a B ou bicn A : B & celui des deux dernières par C eft a D ou par C : D (_ en fubftituant les deux points a la place des mots efl a). i 185. (*)• Lcs Commencans feront bieft de confuker ici, & même pour tout ce qui fuit, rclativement aux Rapports & aux Proportions, les hijlitutions du Calcul Numérique & Litteral, que mon Pere a publié eit 1770. en deux volumes in Octavo , depuis le § 69. jjis» qu'au § 83. de la première Partie & dans la feconde Partie depuis le J. 237 jufqu'au %. 259. De même que fon Inleiding tot de befebouwende en werkdaadige Meetkunde, in Octavo 1776, depuis le §. 214. jufqu'au y 241.  Definitions des Rapports & des Proport. 81 §. 1S5. On appelle raifon compofée, alle qui provient de la multiplicatión des terir.es comfpondenU ou homclogues de pluf.eurs raifons fimples. Par exemplc fuient dunnées les raifons fimples. A : B C f D E : F Les produits ACE : üül< ibrmcront !a raifon compofée. ExEMPLE EN NOMBKES. Raifons fimples «{4:5 L 6 : 7 , Railoiio compoiee 2 a 4 a 6:3X5X7 ou 48 : 105 §. 1S6. Lorfque les raifons compofantes font les mê* nies, la raifon réfultante, fera doublée ou triplée, felon le nombre des raifons compofantes, dont on a fait ufage. Par exemplc, fi la raifon rurrérique 2:5 eft multiplée une fois par elle même, la provenante 2 X 2 : 5 X 5 ou 4 : 25 eit appellée raifon doublée & fi on la multiplie deux fois, par elle même: la provenante fera appellée rcifon triplée. De même , la raifon triplée de 2:5182X2X2: 5 X 5 X 5 ou 8 : 125 La raifon fimple A : B eft doublée dans le produit. AA : BB & triplée dans AAA : BBB F 5. 187*  82 Definitions des Rapports & desProport. §. 187. Lorfque quatre nombrts, ou grandeurs ont deux a deux le même rapport Géométrique, ces qua. tre nombres formeront une proportion. Et réciproquement, toute proportion Géométrique de quatre termes, ejl compofée de deux raifons égales. ExEMPLE EN NoMBE.es. Les nombres 2 : 3 & 4 : 6 ayant le même rap- 2 4 port Géométrique [puisque — =3 —J peuvent- 3 <5 être rangés en proportion de la manière fuivante. 2:3= 4 : 6 Ce qui s'énonce; 2 eft a 3 comme 4 efl: a 6. Les nombres fuivans forment auffi des proportions. 2 : 3 =a 4 : 5 7 : 9 =3 21 : 27 5 : 4 =3 -25 : 20 De même, en fe fervant de quantités littérales; fi 1'on fuppofe que la raifon de A : B eft égale a celle de C : D, ces quantités formeront la proportion qui fuit A : B =3 C : D Formule, dont nous nous fervirons, en expliquant les propriétés générales des proportions, dont on fait le plus d'ufage dans la Géométrie. II. Prq<  II. Propribtes des Proportions Geomïtriques, § iSS. I. Toutes les fois y que te premier termed'unc proportion Géométrique eft égal au Jecond terme, le troiftème fera égal au quatrième. Ex. La péfantcur d'un livrc, eft a celle dc feize onces, comme un fiorin eft a vingt fois. Si dans la proportion littérale A : B ~ C : D Le prémier terme A fe trouve égal au fecond, ou que A - B; alors C fera e D. De même fi A =3 C, le terme B fera =3 D. §. 189. IL Si Pon multiplie, ou que Pon. divife les deux termes correfpondens cPune proportion par la mme quantité, la proportion ne fera point troublée. Exemple en Nombres., Soit donuée la proportion. 10 : 12 e 15 : jS. Multipliant les deux prémiers termes par trois, on obtient 30 : 35 15 : 18 Divifant le premier & lc troifième terme de la derniére par 15, il en réfulte. a : 36 =! 1:18 II fuit de la, que par quelque nombre qu'on F 2 muH  84 Propriétés des Proportions. multiplie ou divife les termes honvjlogues d'une proportion.- les réfultats feront encore en proportion. Des deux prircipes, que nous venons d'établir aux %. 188. & ;8p. on peut diduire les Liivants. %. 190. III. Lorfque les quatre termes cPune proportion Jent multipliês par les quatre termes d'une autre proportion, les réfultats feront encore en proportion. Exemple en Nombres. Soient données les proportions Géométriques. 2:3=4: 6 7 : 9 = 1 : 11 Les réfulrats 14 ■ 27 = #4 : jó2 font encore en proportion, paree que les frac- » 84 , „ tipns — & — font égaux. Voyez §. 187. 27 162 Exemple en quantités Litterales. Soient données F ^ ^ C: D La réfultante yi£ : = CG : DH. ^£ CG Dans laquelle les expofants —& — font égaux BF DH comme étant compofés de deux pioduits égaux A E C G — X— & — X — Voyez §, 187. B F D H  Propriétés des Proportions. 85 % 19 r. IV. Les grandeurs font proportionnelles a leurs équimultiples. C'eit-a-dire 2:3 = 2X2:3X2=7X2:7X3. ou 2:3=4 : 6 =3 14 :21 &c. Dc même A\B^. 2 ^ :zB3 3 ^ :g.ö&c. 192. V. Les grandeurs font proportionnelles a leurs moitiés, a leurs tiers, ou en gênéral a leurs êquifous- multiples. C'eft-a-dire. o . o 1 . £ _ 2 3 3 3 4 4 A B A B A : B - - : _ - _ . _ &c. ^233 5. 193. VI. Lorfque quatre grandeurs font en proportion, les quarrés ou les cubes de ces quantités feront en proportion, ainfi que leurs mimes racines. Exemple en Nombres. si 2 : 3 - 4 j 6 2X2:3X3=3 4X4: 6X6 ou 4 : 9 = 16 . 3ö De même 4 X 2 : 9 X 3 = 16 X 4 : 36 X 6 ou _j8_ : 27_ =3 jU : 215 V 4 : V 9 ~ 1/16 : V~j6 C'eft-a-dirc 2 : 3 33 4:6 F 3 Exem»  86 Propriétés des Proportions, ExEMPLES EN QUANTITÉS LlTTERALES. Si A : B sa C : D Alors ^ : BB = CC : DD Et yM^Z : BBB = CCC ■ DDD Y A ;VB cfC : ^D" (*) §. 154. VII. Si quatre grandeurs font en proportion, /e produit des txtrêmes Jcra égal au produit des moytns. La vérité de ce principe eft manifcfte dans les proportions numériques, que nous avons données pour les articles précédents, (a) mais il n'eft pas iï facile aux Commencans a la concevoir dans la proportion littérale. A : B = C : D Nous tacherons de le démontrer d'une manière *ifée. Au i3. nous avons établi , que lors- que Lorsquc 1'on veut faire connoltre qu'on doit extrairt la racine quarrée d'une quantité, on a couturoe d'y faire préeéder le figne Y~ . Ainfi pour anoncer.qu'on doit prendre la Racine quarrée du nombre 4 on écrira Y4. voyez a ce fujet Les Inftitutions du calcul Numériqtte & Litteral. 'Partie 11. %■ 196. &c. De même Inleiding tot de Befcbouwende en xoerk(iaadige Meetkunde, tweede Deel. §. 482. O) Par cxemplc , dans la proportion 2 : 3 «i 4 :, 6" Les produits 2X6=3X4 = 12 Dans la proportion 7 : 11 = 21 : 33 Les produits 7 X 33 = n X 21 = 231  Propriétés des Proportions. 87 que Pon niultiplie deux termes homologues d'une proportion, par une méme quantité,la proportion ne fera point troutrée (§. 191.) multipliant le premier & le troiflème terme de la proportion A\B :a C:D par la quantité B, on obiient AB : B 5= CB : D Multipliant enfuite lc fecond & le quatrième terme de cette dernière proportion , par A, il viendra AB : AB sa CB : AD. Or nous avons dit au §. 188. que toutes les fois, que le premier terme eft égal au fecond; le troiflème terme doit-ékre égal au quatrième ; & dans la dernière proportion les deux premiers termes font égaux. C'cft-a-dire que AB sa AB. Par conféquent CB eft sa AD. § 195. VIII, Deux produits êgaux ptuvent être décompofss en une proportion: C'eft-a-dire fi AD eft sa CB. On puurra former la proportion A : B =3 C : D Car puifque AD =3 CB on peut comparer ces produits égaux a deux autres AB =3 AB; cc qui donnera la proportion fuivante AB : AB - BC : AD Divifant lc premier & te troifième terme par B le fecond & lc quatrième par At felon le §. 192, les réfultats feront en proportion. C'eft-a-dire A : B =a C : D F 4 Exem-  88 Propriétés des Proportions. Exiïmples en Nombres. Puifquc 2 X 12 — 8 X 3'» on pourra conclure que 2 : 3 = 8 : 12 De même de 16 X 5 - SXio on pourra former les proportions l6 'r iq-sa 8 : 5 ou .5 : 8 ~ 10 : 16 16 : 8 = ic : 5 5 : 10 = 8 : 16 196. IX. Les quatres termes d'une proportion peuvent étre dtfpofés de diffcrentes manières, fans cesfcr d'être proportiminels. La proportion des quantités ne fera point troublée, tant que le produit des extrémes fera égal au produit do moyens. Par conféquent on pourra ch inger la poiition des quantités a : B z=, c : d de la manière fuivante, en gardant toujours ad - bc a : b == C : D a : c 53 b : d b : a =. D : C b : d =. a : c c:d=a:b c ; a =: D : b d : c — b : a d : b =3 C : ^f. (*) 5- *9>. (*) La rcfolution de la Régie de trois, ou Régie de proportion, fi connue dans 1'Arithmétique , eft fon, dé§  Propriétés des Proportions. 89 % 197. X Lorfque trois ou plujieurs raifons font égales, ou bien, que les grandeurs font deux a deux en même proportion, les termes Jt la première raifon feront proportionnels a ceux de la dernière. Exem- déefur cette Régie, ainfi que monPcrc Pa fait voir dans fon Inflitution du Calcul Nurnérique & L ittéral, qui contient les Principes de Pilritb'métique & de l'yllgèbre la Haye 1770. depuis le %. 78. jufqu'au §. 107.&dans fon he-Jle beginfelen der Reekenkunde, Hage 1769. §. 78. &c. dans lefqucls il a prouvé, que le quatrième terme d'une proportion ejl égale au pruJra du fecond terme mullipHé par le troificme & divijé pa*" le premier. C'eft-a-dire , que dans la proportion yl : B =3 C : D BC Le quatrième terme D efl: =3 Bt dans Ia proportion 4:5= 8 : 10 5X8 Le quatrième terme 10 3 4 Lorfque I'on fuppofe que le quatrième terme d'une proportion eft défigriéê par la lcttre lc. Et que les trois premier termes font défrrné.s par les: nombres 5, 7 & 20, on pourra écrire cette proportion de la manière fuivante 5 : 7 =3 20 : x Or comme dans une proportion Géométrique Ie produit des extrêmes eft égal au produit ucs moyens (§, 394-) II s'enfuit que 5 x efl: =3 140. F | Di-  $o Propriétés des Proportions, Exemplu en Nombres, Si 2 : 3 = 4 : 6 = 18 .• 27 Alors 2:3= 18 : 27. EXEMPLE POUR LES QUANTITÉS LlTTERALES. Si A : B =3 C : D C: D =3 E : F Aiors A : B =3 £ : £ La démonftration dc ce principe fe fait de la manière qui fuit. Puifque A : B 33 C ; D & C : D =3 £ : £ Multipliant les termes homologues, on obtient AC : BD =3 C£ : DF Diyifant le premier & le troifïèmc terme par C> le fecond & le quatrième par D, on aura A : £ s £ : £ §. 19S. Divifant dc part & d'autre par cinq on obtiendra. 140 x =3 ■ on x =3 28. 5" ' ■■ :"h*s D'ou il paroït, que le nombre cherché eft — 28. Ce principe eft lc fondement de la réfolution de tous les Problémes qu'on peut propofer rélativement aux Proportions des quantités ; connus dans 1'Arithmétique fous le noms de Regie dc Trois fimple & compofës, Regie de Compagnies, Regies conjoints, celles d'Interejl, de Rabats & de Courtages, &c. qu'on trouve communement dans tous les Livrcs d'Arithmétique , la plupart du tems fans la moindre démonftration.  Propriétés des Proportions. f)t §. 198. XI, Lorfque plv.ficurs quantités ont même raifon, deux a deux 1 0:1 ce qui révient au même, lorfque plujieurs raifons font égales; la fomme de tous les antécédcns fera a la fomme de tous les conféquens, comme un des anttcédens ef, a fon conféquent. Exemple en Nombres. Si 2:3 =s 4: 6 — 8 : ia — 18 .-37 s 3ó":,<4 &c. Alors 2 + 4 + 8 + 18+36: 3+6 +12 + 27 + 54 = 2 :3 C'eft-a-dire, 08 .• 102 = 2 .• 3 parceque 68 X 3 S3 102 X 2 =! 204. Exemple pour les quantités LlTTERALES. Soient les proportions A.-B- CD- E:F — G- H Alors A + C + £ + G:B+D+F+H ^A:B On peut démontrer cette vérïté de la manière qui fuit. Puifque par la nature des proportions, A : B '~ A : B, lc produit AB fera - AB Or A : B d C : D AD - BC A : B d £ : F yJF = ££ A : B - G: H AH d #G Ajoutant tous ces produits égaux; on obtkntl'égalité fuivante. AB + AD + AF+ AHa AB + BC + #G Ce qui donne .4 (5 +L> + £+ H) = 2- (J + C + £ + G) E'  92 Propriétés des Proportions. Et enfin £par le §. 195 ) 4+C+E+G:B + D + F.+ R=i A.B. II fuit de la, XII. Lorfque quatre quantités font en proportion, la Jomme des deux premiers termes fera au fecond terme, comme la fomme des deux deniers termes efl au der nier. Exemple en Nombres. Dans la proportion 8:5= 24 .• 15 On peut concture que 8 + 5 : 5 =3 24 + 15.-15 C'eft-a-dire 13 : 5 — 39/15 Puifque 13 X 15 - 5X39=i95 Exemple pour les quantités LlTTERALES. Dans la proportion A .- B =s C ; D On peut conclure que A+ B B ~ C + D .- D Voici comment on peut démontrer ce Principe. La proportion A : B 3 C D Donne AD 3 BC (§, 194.) A jou tan t BD =3 BD On obtient AD + BD 3 BC+BD Ou bien D(^+/i) = B(C+D) Cc qui donn- par le § 195. ^ + B: B - C + D.-D. DE  DE LA PROPORTION DES LIGNES, QUI FORMENT LES CüTfrS DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES. I. Des Triangles Semblables. § 199. I Quand deux lignes AB,AC (Fig 138.) qui forment un angle BAC, font coupées par quelques lignes êquidijlantes & parallèles EF, EF, EF &c toutes les parties AG, GH, HK &c. de la ligne AB feront égales. entr'elles, ainfi que les parties AO, OP, PQ_ 0c. de la ligne AC. C'eft-a-dire, AG = GHs HK* KL- LM; Dc même AO ~ OP - PQ = QR = RS. Pour démontrer cette vérité il faut faire la préparation fuivante. Tirez des points G, H, K, L, des points 0, P, Q, R, des perpendiculaires; Gg, Lb, &c. ces lignes formeront des triangles rectangles égaux.Ceft-a-dire, le A slGz ièra = A Gh'g; le A KHb = A kLK; le A AOz — A OPo & A PQj> s A QJH &c. t „  94 Proportions entre ies cótés des triangt. fembl, Les cötés obliques de ces triangles feront donc auffi égaux entr'eux. C'eft-a-dire, AG = GH ~ HK =. KL - LM & AO^OP- PQ ^QRs RS. 11 fait dc !a, §. 200. II. Qu'im ctrtam nombre de parties égales prifes fur la ligne AM ont la même proportion a un même nombre de parties fur AS, comme toute la ligne AM efl a toute ia ligne AS. C'eft-a-dire, AG.-AO=: GH: OP-HK : PQ- KL : QRs LM: RS es AM: AS. $■ 201. III. 71>h;u /« /o;'x ^tie Par conféquent le A EFD <\, A ABC (§. 201.) §. 204. VI. Lorfque dans deux trianghs il fe trouve un angle égal compris entre deux cótés proportionnels Ö° bomologues, ces deux triangles feront équiangles & femblables ( Fig. ig9.) C'eft-a-dire; fi dans les triangles ABC, DEF; lys eft = V£ & que AB: BC — DE ". ÉF'. alors V£ = yc & VA s \ d. Pour le démontrer,, rendez Bd 0 ££> Tirez par le point J, une ligne parallèle a (§• 44-) Le triangie #i/fera -v» A ^£C. (§. 202.) Par conféquent AB : BC s £J : £ƒ Mais on fuppofe que les cötés homologues font proportionnels, ce qui donne AB : BC 3 2XE : £F C'eft pourquoi, D£ : FF s FJ ; £ƒ (§. Ip7 ) Qr DE ^ Bd &c EF ^ Bf, par conltruction Donc  Proportions entre les cótés des triangl. fembl. 97 Donc A DËF- A Bdf (§. 117.) Mais A Bdf eft ^ A ABC (§ 121 ) Par conféquent A DEF eft 'x, A ABC. §. 205 VII. Quand dans deux triangles ABC* DEF (Fig. 139.) «ra ^ng/e B eft égal a un angle E, que les cótés AB, AC, ED, DF, qui firment les deux autres angles, font proportionnels ,& de plus que les angles C & F font aigus ou obtus; les deux autres angles refïants A & D, Qcompris par les cótés proportionnels,~) feront auffi êgaux; ff les deux triangles ABC, DEF feront des figures femblables, C'eft-a-dire; quand y B~ y E, AB: ACss DE: DFSc les angles C & F font aigus ou obtus, alors VyA fera ö V D\ V£ = yC& le A ABC on pourra faire la proportion fuivante AB : AC sa BD : DC Prolongez lc cóté slB jufques en E, & tirez du point C la ligne CE, parallèle a la ligne AD. Ccci fait 1'Vffl sa V°» VP - V»> (§• S7&38.) mais on afait y«;a Vf ,'donc V™ = V» Par conféquent le triangie ^4£C eft Ifofcèle (§. io<5.) C'eft-a-dire, AE sa JC Mais felon le §. 114 & 202 on peut former la proportion AB : AE sa BD : DC Si donc on y fubftitue ^C pour ^Z£,on obtienr dra. AB : AC - BD : DC §. 208. II. Lorfqu'entre deux lignes droites & parallèles ED, IH (Fig. 14c) on tire deux autres GB, CF qui s'entre-coupent dans un point sl, les parties de ces lignes feront rcfveclivement proportion* nel les, G 3 Cefi>,  ioo Des Ugn. prop. dans le cercle & dans les tr. C'eft-a-dire, lorfque DE eft parallèle a Hl & que deux lignes obliques BG, FC, s'entre coupent en A; les deux triangles ABC & FAC feront femblables te donncront la proportion qui fuit AB : AG & AC : AF Car la ligne DE étant parallèle a HL II s'enfuit que V ra = V' « & V° — V P ( § 37-) Par conféquent les AA ABC Z-cAFG équiangles & femblables, donnent felon le §. 202. la proportion fuivante. AB : AQ =5 AC : AF II fuit de la §, 209. III. Qtte /e/ triangles BCA, F AG, formés par deux lignes qui fe coupent entre deux paral' léles, font femblabks. §. 210. IV. Lorfque dans l'angle obtus A (Fig. .143.) d'un triangie amblygone ABC, on forme deux angles égaux aux deux angles aigus de la bafe, de manière que m formé fur le cóté AB foit égal a 1'y aigu C, ff 1'y n, formé fur le cóté AC foit égal a 1'y aigu B ff que de plu;, on prolonge les lignes AD ff AE jufqu'a la bafe BC: on obtiendra les réfultats fuivans, i°. Les triangles ABD ff AEC feront femblables entr'eux ff femblables au grand triangie ABC. 2°. La ligne AD fera égale a la ligne AE 30. La fuperficie du quarré conflruit fur le ebté AB fera égale a celle d'un reclangle formé par la bafe BC ff  Des lign.prop. dans le cercle & dans les tr. 101' ff par la partie BD: c'eft-a-dire, AB =s BCXBD. 40. La fuperficie du quarré conflruit fur lecbtêAC fera égale a celle dPun reclangle formé par la bafe BC —2 ff par ïautre partie CE: c'eft & la coupante AF fera perpendiculaire fur ia bafe CB. Car f, on le §. 96, les VV B + C + Cm + n) cs i3c° = 2L Ör V tb +*'» = donc V B + V C = L. de plus V*- + J = 2 L§- 25; & Vr' = V» + V C: V ' = V »»+ y 5, (§. roo) & par ia conftrocbön IV m = V C' & V'n = V & Par conféquent V»*~VJ=U&la ligne Ji?i. fur BC O. 11.) II fuit de la, §■ 212. VI. Q«f ƒ Ju fang/e droit d'un triangie reclangle, on abaiffe une perpendiculaire fur le cóté oppofé, la figure fera divifée en deux triangles reclangles FAB, FAC, qui feront femblables entr'eüx&fembiabks au grand triangie BAC. %. 213. VII. Les perpendiculaires abaifjees de deux angles égaux fur les cbtés oppojés de deux triangles femblables, feront proportionnelles entr'elles, & aux cbtés de leurs triangles. CVft-a dire, lorfque dans deux triangles femblables ABC, DEF, on tire des mêmes angles A & E (Fig.  Des tign. prop. dans te eerde & dans les tr. 103 (Fig. 161.) deux perpendiculaires AG & ÉH finles cótés oppofés BC, DF, les proportions fuivantes, auront lieu AB:BC=z DE: DF ra AC: EF— ± AG: J.EH. Cette vérité eft évidente par les §. §. 202 & 203. Car le A BGC fera ^ A EDH. Et par conféquent AC: EF^ j, AG : x £H §. 214. VIII. La perpendiculaire AF ( Fig. 144 ) tirée d'un angle droit fur le grand ebté d'un triangie reftangle, efl moyenne proporiionnelle entre les parties de cette ligne. C'eft-a-dire, lorsque la ligne AF tirée de l'angle droit eft j, fur le cóté oppofé BC : la proportion fuivante aura lieu BF : AF - AF : FC Cette vérité eft une fuite du §. 212. §. 215. IX. La perpendiculaire AF (Fig. 14$.)'tirée fur le diamètre BC d'un cercle, éj prolongée jusqu'a la circonférence, efl moyenne proportionelle entre les deux parties BF & FC du diamètre. C'eft-a-dire, lorfque d'un pcint F du diamètre BC on éléve la perpendiculaire I gle des deux parties de Vautre. - C'eit-a-dire, lorfque deux diamètres, ou un diamètre & une corde, ou bien deux cordes, s'entre coupent en C, le reclangle AC X CB, formé des parties de ia ligne AB, fera égal au reclangle BC X CE des parties de la ligne DC: ou ce qui réVieftt au même AC X CB == DC X CE. Pour démontrer cette vérité, il faut tirer les lignes AD & BE. Comme les VV n & 0 font placés a la circonfeïenjce fur le même are EA; ^«gy,( §. 65.) & de plus les angles oppofés en C, égaux. (§. 27.) Le A BEC fera <\, A CDA (§. 202.) Ce qui donne la proportion. AC : DC =5 CE : CB. Multipliant les extrêmes & les moyens felon le 194, on obtient. ^C X CB ~ BC X CE, % 2:8.  Des Ugn. prop, dans ie cercle & dans les tr. 105 §. 218. XII. Quand d'un point A pris hors du eerde (Fig. 147.) on tire une tangente AC, Ö" une fêcante AB, le quarré de la tangente AC, fera auffi grand, que le reclangle de toute la fécante AB, multiplièe par la partie extérieure AD, C'eft-a-dire, Ja AB X AD Tirez les lignes BC & DC Le A BAC eft équiangle au A ACD ($. 202.) Car V v sa Vx (§. 68.) & y A eft commun aux deux triangles. Les cdtés qui font ficués autour d'un même angle A, font donc proportionnels. (§. 204.) C'eft-a-dire, AB : AC =3 AC : AD Si 1'on multiplie la première grandeur AB avec la dernière AD & la feconde avec la troiftème felon §. 194. il viendra AC a AB X S?D II fuit de la %. 219. XIII. Que fi d'un même point A (Fig. 148.) on 1're plufieurs fécantes AB, AD, AE, ($ une tangente AC: le reclangle de chacun de ces féeantes par fa partie extérieure, fera égal au quarré de la tangente. C'cft-è-dire, AcU AB X AF7^ AD X AG s AE X AH G 5 III.  III. Problémes, rélatifs a la Manière de chercher des lignes Proportionnelles. *. 220. PROBLÉME I. Trouver une quatrième proportionnelle a trois lignes données. C'eft-a-dire, on demande une ligne cF (Fi"-. 151.) dont la longueur foit proportionnelle a trois' lignes données AB, AC, & BD. SOLUTION. Faites un angle ZAX a volonté. Rétranchez de la ligne AZ la partie Ab ~AB & bd - BD; & de la ligne AX une partie Ac jj-J AC. Joignez les points b & c paf la ligne bc, & tirez par le point d, la droite dF parallèle a ^,(§.44.) La ligne cF fera la proportionnelle demandée; parceque A Abc eit <\, £ AFd. Et Ab : bd =3 Ac : cF (§. 200.) Si on fubftituc AB, AC, BD, en place des lignesAb, Ac, & bd, ii en réfultera AB : AC =3 BD : CF §. 221. PROBLÉME IL Trouver ö»« moy^ proportionnelle BD entre deux lignes droites données AB, BC, (Fig. i5z ) SOLUTION. Joignez les deux lignes AB, & BC dans une même direction AC. Décrivez fur AC un demi cercle ADC. Elé-  Probl. concernant les lignes proportionelles. 107 Elévez au point B une ligne BD.perpendiculaire fur AC (§. 41.)^ cette perpendiculaire fera la moyenne proportionnelle démandée felon le §. 215. §. 222. PROBLÉME III. Trouver une troiftème proportionnelle BD a deux lignes données AB, BC(Fig. 153.) C'eft-a-dire, trouver une ligne BD qui faffe une proportion continue avec deux lignes données AB, BC On peut réfoudre ce Probléme dc deux manières. PREMIÈRE METHODE. Quand dans le I Probléme on fuppofe que AC eft = BD, la droite eF fera la troiftème proportionnelle. (Fig. 151.) SECONDE METHODE. Joignez les lignes AB & BC de manière qu'elles forment un angle droit ABC (Fig. 153 ) Tirez AC & faites au point C un angle droit ACD. Prolongez les lignes AB & CD jufqu'a ce qu'elles fe rencontrent en D. La ligne BD fera la troifième proportionnelle O- 2I4-) §. 223. PROBLEM E IV. Trouver une progresfion de lignes, dont les deux prémières foient données. SOLUTION. Tirez deux lignes a volonté FH & G.E,qui fe coupent a angle droit en B. (Fig 154 ) Prenez fur FH une partie AB égale a la première  io8 Probl. concernant tes lignes proportionelles. re ligne donnée & fur GE une partie BC, égale la feconde ligne donnée. Tirez AC, & faites en C un angle droit ACD. Prolongez CD jufqu'a la ligne FH, & la droite BD fera une troifièmc proportionnelle ( §. 214.) Faites de réchef én' D un angle droit CDE, & prolongez la ligne DE jufques en £ & la droite BE fera la quatrième proportionnelle au trois lignes AB BC, BD (§. 212.) Continuez 1'opération de la même manière, & les lignes, AB, BC, BD, BE, BF, BG, & BH feront en proportion continue. 5. 224. PROBLÉME V. Divifer une ligne donnée AB (Fig. 15,5, 156.) en plufieurs parties égales. Par exemple en cinq parties. PREMIÈRE METHODE. Tirez une ligne AC (Fig. 15,5.) quifaffe un angle CAB avec ladonnée AB. Prenez fur AC cinq parties égales. Tirez par C & B une ligne CB,tk par les points 1, 2, 3, 4, les lignes droites, ai, bi, f3, J 4, parallèles a CB; ( %. 44.) ces lignes couperont la donnée AB en cinq parties égales. ■(§. 200.) SECONDE METHODE. Tirez par A (Fig. 156.) une ligne AC & par B une ligne BD parallèle a AC. § 44. Prenez fur ces lignes AC & BD cinq parties éga'es. Tirez par les points 1, 2, 3, 4, des droites,qui couperont la donnée aux points a, b, c, d, en cinq par les égales. TROI-  ProbL congemant les lignes proportionelles. 109 TROISIEME METHODE. Tirez une ligne CD (Fig. 157.) Piénez fur cette ligne cinq parties égales. Conftruifcz fur CD un triangie êquilateral CDF ( §. ni.) & tirez par ces points, des lignes droites , qui coupent le triangie CDF en cinq triangles égaux. (§. 160.) Appliquez la donnée AB lc long des cótés FC, & FD du triangie êquilateral FCD dans les points a & i Joignez les points a & b par la ligne ab, qui fe trouvera divifée en cinq parties égales. La Démonftration de ces trois différentes Methodes de réfoudrc le Probléme propofé, eft fondée fur le §. 202. parceque ies AA ACB & Aa i,kc. font 'vi & parconféquent leurs cötés proportionnels. D E  DE LA PROPORTION, QUI A LIEU ENTRE LES CIRCONFERENCES ET LES SURFACES DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES. I. De la proportion qui a lieu entre les Circonfiérences & les Surfaces des Figures diffemblables. %. 225. y cs figures diffemblables font celles qui 1—' n'onc pas la même formc; c'eft-a-dire» dont les c jtésnefont point proportionnels entr'etix, ni les angles également grands. %. 226. Au contraire, les figures femblables ont le même nombre d'angles tgaux, & les cótés, qui fortrtent ces angles proportionnels entr'eux. Pour fe former une idéé de deux figures femblables, il faut les confidérer (tant rélativement a leurs cörés & a leurs angles, que rélativement a leurs furfaces) comme compofées d'un même nombre de points ou de petites parties tellement dis- pofées  Prop. entre les figures diffemblables. iii pofées, qu'il ne fe trouve aucnne d'elles dans une de fes figures, qui n'ayc fa partie correfpondante dans 1'aatre; que pour cette raifon il ne fe trouve dans 1'une aucuiie partie qui ne puiffe fe rapporter a fa correfpondante dans 1'autre ; & que par conféquent, chacune de ces figures, eft compofée d'une même nombre de parties homolognes, femb'ables & femblablcment pofées: D'ou il fuit, que la différence de grandeur de deux figures femblables, ne provient que de la différente grandeur, qu'il y a entre les parties ou les points correfpondans, qui forment les contours, & les furfaces de ces figures femblables. Par exemple, quand deux triangles, deux cercles, ou deux polygones équilateraux & équiangles, font tellement confiruits, que dans la première de ces figures, chaque cóté Ou le diamètre foit 10 pieds & celle des autres de 10 verges; la furface de la figure, dont le cóté eit de 10 pieds, fera exprimée par des pieds quarrés, & celle de la feconde figure, dont la méfure étoit de 10 verges, fera exprimée par le même nombre de verges quarrées. On peut conclure de ce raifonnement. §. 227. I. Qite les circonférences de deux figures femblables font entr'elles comme deux de leurs cbtés bomologues. Par exemple, la fomme des quatre cótés d'un quarré font a la fomme des quatres cötés d'un autre quarré, comme un des cötés du premier eft a un des cötés du fecond. §. 228.  H2 Prop. entre les figures diffemblables. §. 228. IL Dans deux cercles inégaux les circonférences feront entr'elles comme les rayons ou les diamètresde ces figures femblables. %. 229. HL Les circonférences de deux figures irrégulières font comme la fomme de tous les cótés de chaque figure. %. 230. IV. Les furfaces de deux Paralelogrammes font entr'elles en raifon compofée de leurs baf es ff de leurs hauteurs. C'efi>a-dire, que la furface du paralelogramme M (Fig. 158.) efta la furface du paralelogramme N, comme la bafe AB, multiplièe par la hauteur perpendiculaire DE du Pgr. M, eft au produit de la bafe EF multiplièe par la hauteur Hl du Pgr. Ar. Car la furface du Pgr M~ ABX ±DE -] La furface du Pgr EEX±hI.J §• IÓ2- Donc M:N^ABX±DE:FEX±HI(U87). §. 231. V. Lorfqu'on tire les diagonaies DE ff HF, onformera deux triangles DAB, HEF, qui feront Chacun les moitiés de leurs Varalekgrammes (§. 161.) D'ou 1'on peut deduire (§. 192) la proportion fuivante. A ABD: A EHFzs ABX JLDEiFEXJLHl II fuit de la, Que les furfaces de deux triangles font entr'elles en raifon compofée de leurs bafes multipliées par leurs hauteur s. §. 232. VI. Si 1'on fuppofe que ± DE sa J_ Hl, ou cequi révient au même, que les Paralelogrammes  Prop. entre les figures diffemblables. 113 mes ont la même hauteur les grandeurs j, DE j, Hl des deux dernières. termes pourront être effacées felon le §. 189, & la nouvelle proportion fera. M : N =3 AB : EF Ce qui fait voir, que L« furfaces des Paralelogrammes qui ont la même hauteur, font entr'elles comme leurs haf es. %. 233. VII. Quand on fuppofe la j, ED a iHZ a 1'égard de la proportion A,:BD:AEFH- AB X lED : EFX 1 Hl CVft-a-dire, quand les triangles ABD, EFH ont ia même hauteur, on obtiendra en effacant les grandeurs égales, (§. 189.) cette nouvelle proportion A ABD : A EFH p AB : EF . C'cft-a-dire, les furfaces des Triangles qui ont la mime hauteur font entr'elles comme leurs bafes. §. 234."VIII. Au contraire, quand dans la' proportion M : N ~ AB X 1 DE : EF X X Hl on fuppofe que les paralelogrammes ont les mémes ou des bafes égales; les grandeurs AB, EF pourront être effacées, & la proportion deviendra M : N' = 1 DE : j. Hl C'eft-a-dire, les Paralelogrammes, qui ont les ntSi mes ou des bafes égales, font entr'elles en méme raifon de leurs hauteur s particulier es. %. 235. IX. De même, les furfaces de deux triangles, qui ont les mêmes, ou des bafes égales, font entr'elles, comme les diffêrentes hauteurs de ces triangles. H 236*.  U4 Prop. entre les figures diffemblables. %, 236. X. Quand on fuppofe dar.s la proportion M : N - AB X 1 DE : EF X 1 Hl que le Pgr M eft zs .Pgr N; les deux dernièrs ternies de cette proportion feront auffi égaux entr'eux. 1 C§. 188) C'eft-a-dire, quand les Paralelogrammes font égaux, ou que AB X 1, DE — EF X 1 Hl on pourra former la proportion fuivante, felon lc $• 195. AB : EF ts _L HJ : X D£ II fuit de ce raifonnement. Que dans les Paralelagrammes égaux, les bafes font entr'etles dans la raifon inverfe de leurs bauteurs. C'eft-a-dire, quand la furface de la figure M eft aufli grande que celle de la figure A7, la bafe de la première figure, eft a celle de la feconde, comme la hauteur de la feconde, eft a la hauteur de la première, 237. XI. Cette vérité a auffi lieu par rapport aux triangles égaux; C'eft-a-dire, que dans des triangles égaux, les bafet Jont entr'elles en raifon inverfe des bauteurs de ces figures. - £ 238. XII. Toutes les fois, que la figure M eft équiangle a la figure1 JV, ou que V -A - V E \ le A ADB fera équiangle & égal au A EDF, & par conféquent, les deux proportion fuivantes auront lieu. ADXEH^ l_DE:±Hl-\ % ^ AB : EF 3 AB : EF J Si  Prop. entre les figures dijfembtables. if5 Si 1'on multiplie les termes homologucs, il viendra (§. 190) AD X AB :EHXEF^ ABX±DE:£FXiHl Mais M:N^ADX ±DE: EFX ±HI. ( V 230.) Par conféquent M : N 33 AD X AB • FF X EHa 197.) ' Ce qui fait voir Que les furfaces des paralelogrammes êquiangles font entr'elles en raifon compojée de leurs cbtés bomologues. §■ 239. XIII. Quand dans la dernière proportiori M : N sa ADX AB-.EHX EF on fuppofe les deux premiers termes égaux, entr'eux, ou le Pgr M =3 Pgr N; alors AD X AB fera 33 EFX EH (§. 188.) Et par conféquent AB : EF 3 EH : AD. (§. 195) Proportion, qiü exprimée en paroles, donne le principe fuiVant. Dans des Paralelogrammes êquiangles de méme grandeur, les cótés autour des angles égaux font réciproquement proportionnels. C'eft-a-dire, la bafe AB du prémier eft a la bafe EF du fecond, comme le cóté EH du fecond eft au cóté AD du prémier. (Fig. 158.) §. 240. XIV. De même quand deux triangles de même furface ont un angle égal, les cótés autour ds cet angle feront réciproquement proportionnels: oubien quand la furface du A ACB =3 celle du A D£C & V» = V'i (Fig. 1É0.) les deux cötés AC, CB du A ABC, feront réciproquement proportionnels" aux deux cótés CD & EC du triangie DEC. H 2 C'efta"  iiö Prop. entre lei figures diffëmblables. C'eft-a-dire, AC : CD ts EC : CB. Pour démontrer cette ve'rité il faut que les AA ACB & ECD foyent pofés de manière, que les deux cótés AC & CD forment une ligne droite AD: & alors BC & CE feront auffi en ligne droite BE (§. 27.) parceque V» = V». Tirez auffi la ligne BD. ' Les A A ABC & BCD étant fitués fur la même ligne droite AD, & les AA FCD & DCE fur BE; il s'enfuit que r A ABC : A BCD ^ AC : CD ^ , l A D£C : A BCD p CE : BE j '* Mais le A ABC eit s A DCE. Ainfi A JBC : A BCD sü A £CD : A. DCB O 188.) Et par conféquent AC : CD = C£ : CB (§. 197.) H. Da  II. De la proportion qui a lieu entre les surfaces des figures se mblable s. {. 241. I. Les furfaces de deux triangles femblables, font entr'elles comme les quarrés de leurs cótés bomologues (Fig-. i6j.) C'eft-a-dire, quand les deux AA ABC, DEF font femblables, la furface du triangie ABC fera a celle du triangie DEF, comme le quarre' conftruit fur la ligne AB eft au quarré conftruit fur la ligne ,DE. C'eft-a-dire, A ABC : A DEF sj ~B : DÊ* Tirez des angles A&c E, deux perpendiculaires AG&c HE. ($. 41.) Les A A ABC, DEF & BAG, DHE étant deux a deux femblables, donnent les proportions fuiyan- tes. AB : DE =3 BC : DE (§. 202.) AB : DE ss ±AG:±HE ($ 213.) Les termes homologues de ces proportions étant multipliés donnent (felon les §. 190 & 1,57.) ~ABVDE- BCX±.AG:DFX±HE Mais BCX±4G^ 2 ABAC-j , tf & 6 & FD X J- HE =jA DEF J * 3 Subftituant ces grandeurs dans la dernière proportior, on obtient AB : DE £ 2 A ^BC : 2 A DEF Les  ïi3 Proport. des fur f. des figures femblables. Les derniers termes étant divifés par deux, donncront AB : DE — A ABC : A DEF. §. 242, II Démjt figures femblables M ff IV ( Fig. 163) peuvent-étre divifées en un même nombre de triangles femblables, par des diagonaies tirées des angles bomologues. Ceft-è-dire, quand les figures ABCDE, & FGH IK font femblables & qu'on tire des angles A & F, deux diagonaies AC, AD, FH & FI, ces diagonaies diviferont les figures, en des triangles femblables, ou bien A BAC ^ A FGH A ACD cm A FHI A AED A FIK. Puifque 1'on fuppofe que les figures ABCDE & FGHIK font femblables, les cótés homologues teïont proportionnels, & les angles égaux. ($. 226.) Par conféquent A ABC -v» A FGH & A ACD -v A FHI &c. ( §. 204.) § 243. IIL Les furfaces des figures femblables M ff JV font entr'elles comme les quarrés de leurs cbtés bomologues. C'eft-a-dire, quand le polygone ABCDE eft fem» blable au polygone FGHIK, la furface dè la première figure fera a celle de Ia fecond*, comme le quarré fur AB eft au quarré fur FG, ou bien M : N =3 AB : FG* Lorfque les figures M& N font coupées en un mê-  Proport. des furf. des figures femblables. même nombre dc triangles femblables, felon le §, précédent, on pourra faire les proportions fuivantes. A abc: A FGHa A adc: A fhi^ A ead: A kif Prenant la fomme des antécédens pour prémier terme, & celle des conféquens pour fecond terme, on aura. (§. 198. XI.) A abc+ A adc+ A aed; A FGH+A FHI + A FKI^ A abc: A FGH. Mais A abc + A dac+ A aed =s Fig. m. A FGH+ A FHI + A IFK sa Fig. N. Donc Fig. M: jV~ A abc: A FGH Mais A abc: A FGH = a!Ï:~FGQ§, 241.) Par conféquent Fig. M : Fig. N =3 'AB: FG % 244. IV. S»"/ur /« froij tófe; d'un triangie reftangle on décrit trois figures femblables, la furface de la figure faite fur le cbtè oppofé a Pangle droit, fera auffi grande que celles qui font formêes fur les deux autres cbtés du triangie. C'eft-a-dire, lorfque fur les trois cdtés ac, ab & bc (Fig. 165.) d'un triangie reclangle ^4BC,on décrit trois figures femblables G, e & H; la figure G oppofé a l'angle droit aura autant de furface que les deux figures E + H prifes enfemble.- ou bien la Fig. G =a Fig. E + Fig. H. Car puifque les Figures E, G & H font femblables H4 H:Q  120 Proport. des fnrf. des figures femblables, H : G - A '2 : AC 1 , 2 2 i §. 24J. E : G =3 BC : /ie J Par conféquei.t H + E:G~ AB + BC:AC (§ 198. XII.) Les triangie reftangle donne + BC =s ^C. (§. 168,) C'eft-a-dire, le troifième terme égal auquatrième. Par conféquent le premier doit auffi être égal au fecond; (§ 188.) ce qui donne Fig. E + Fig. H ss Fig. G. 245 V. Les furfaces de deux potygones femblables inferits dans des cercles, font er.tr''elles cpmme les quarrés des diamétres de ces cercles (Fig 166.) C'eft-a-dire, quand les polvgones femblables P & Q font inferits dans des cercles, leurs furfaces fe_ ront entr'elles comme les quarrés formés fur les diamétres EL , GM: ou bien Fig. P : Fig. Q. - KL : GM. Pour démintrer de principe, il faut tirer des deux angles homologues E & G, deux diagonaies EB & GK & les deux diamétres EL, GM. Tirez encore les diagonaies yJL, FM. ie Le A EAB eft »\, A GKF. (§. 202.) Car les cótés EA, AB font proportionnels aux cótés GF, FK; comme étant placés autour de deux angles égaux. Par conféquent V b ~ y k- 2^. De pius yb = v ALE & V * = V FMG. (§. 65 ) comme étant appuyés fur des arcs femblables AE, FG: donc V ALE= y FMG (§. 65.) 3e. Les  Proport. des furf. des figures femblables. in 3c Les triahglet, nxtangles LAE & FMG font femblables (§ 202 ) Par conféquent EL : GM =3 AE : FG & : GM 3 ^£ : 2?G (§. 193.) Mais les pojygones fembiables P & Q, donnent P : Q.= AElEG^, 343.) Par eonféquent P : Q. =3 EL : GM. (§. 197.) 5. 246. VI. Dans le §. 178. nous avons fait re'marquer, que let; cercles peuvent être coniidè'rés Comme dés polygones d'un grand nombre de cótés, Hz la démonftration, que nous venons de donner, eft applicable a tout efpéce de polygone infcrit: fi donc on veut confidérer les cercles comme des polygones, on pourra conclure. Que-les furfaces de deux cercles font entr'elles oom* me les quarrés de leurs diamétres. H 5 CAL-  CALCUL DE LA SURFACE DU CERCLE CONNU SOUS LE NOM DE QUADRATUR E. §. 347. T a manière Géométrique de trouver la -Lr circonférence du cercle, confifte a chercher en premier lieu combien eft grande la furface d'un polygone infcrit dans un cercle, & én fecond lieu combien eft celle d'un polygone circonfcrit a ce méme cercle & enfuite a prendre le milieu arithmétiquc entre ces deux réfultats. C'eft ainfi, que le grand Archimede eft parvenu a connoitre par approximation, quel eft le rapport du diamètre a la circonférence du cercle, en inferivant & en circonferirant a cette figure un polygone de nonante fix cótés. Leréfultat de ces caiculs donne te rapport du diamètre, a la circonférence du cercle, comme le nombre fept efl a vingt deux. C'eft-a-dire, fi le diamètre eft fuppofe être long de fept pieds, la circonférence fera a peu prés vingt deux de ces mêraes picds. §. 248. Ce rapport de fept a vingt deux a été condéré comme la vraye expreflion du diamètre a la circonférence , jufqu'au tems, qu'un de nos concitoyens nommé Ludolf van Ceulen, a déterminé par une  Quadravure du Cercle. 123* une me'thode laborieufe, que ce rapport pouroft être exprune' plus pre'cifement au moyen d'une ferie de fractions décimales. Voici le réfultat de ces calculs. Le diamètre efl a la circonférence, comme 1 efl a 3, 141 592 653 589 793 238 4(5 a peu prés, Ce rapport, qui eft trés embaraffant,comme contenant beaucoup de chiffres, n'eft d'ufage, que lorsque 1'on fe propofe une trés grande exactitudedans le calcul, on ne s'en fert que dans le cas oule cercle, dont on veut connoïtre la circonférence» a beaucoup d'étendue. Dans la pratique on ne fait commnnement ufage que des fept premiers décimaux, & alors le rapport eft 1:3, 141592. Même on rejette fouvent les quatres derniers chiffres, ce qui donne pour le rapport du diamètre a la circonférence ~ i, 3, 14. Ceft de ce rapport dont nous nous fervirons dans las fuite. §. 249. Quand on défigne le diamètre du cercle par la lettre d, & la circonférence de cette figure par p, la proportion réduite de Van Ceulen pourra s'exprimer par la formule. 1 efl a 3 ,14 comme le diamètre a la circonférence. Ou bien 1 : 3, 14 =j d \ p Et par conféquent p 53 3, 14 d, felon le §. 194, C'eft-a«dire, la circonférence d'un cercle eft égale au diamètre multiplié par 3,14. %. 250. Selon le §, 179. 1'aire ou Ia furface d'un (tercle eft égale a la circonférence, multiplièe par ia quatrième partie du diamètre. Par  124 Quadratare du Cercle. Par conféquent 1'aire d'un cercle pourra être dcfigné par la formule. 4 4 4 Mais - 0,785 (*) 4 vCo . - pd %,ïi,dd . Par conféquent a ~ 0,785 dd. 4 4 Formule qui étant exprimée en paroles, donne lc rapport fuivant. §. 24r. La furface du eerde eft égale au quarré du diamètre multiplié par 78.5 ff divifé par 1000. Par conféquent. %. 2.52. Uaire du eerde eft au quarré décrit fur fon diamètre comme 785 ; 1000. (*) Voyez les Inftitutions. du Calcul Numérique &■ Littéral, de J. J. Blaflière , pag. 122. ,1. Part. & fon Eerfle beginfelen der Reekenkunde pag. 142. I. De  I. De la Proportion, qui a lieu entre les* differens elemens du Cercle. §. 253. Nous avons fait voir au §.19, que tout angle placé au centre d'un cercle, a pour méfure 1'arc de cercle compris entre fes jambes, & que par conféquent, les angles égaux ont pour mefure des arcs égaux (§. 20. ), II fuit de la, qu'a méfure qu'un angle augmente ou diminue, 1'arc qui le méfure, deviendra plus grand ou plus petit. Cecipoié, on doit récevoir au nombre des axiomes les propofitions fuivantes. % 254 I. La circonférence entière du eerde efl a Pare ADB , comme tous les angles, formés autour du ■point C ou 3Ö00 font a Py ACB- ('Fig. 167,) C'eft-a-dire, Circonf. 1'arc ADB sa 3<5o0 : V ACB Par conféquent les trois proportions luivantes au- ront encore lieu (en faifant ufage 'des §. 191. & 192.) V ACB : V BCE sa are ADB : are BFE V ACB ; V '-ACE sa are ADB ; are AGE V BCE ; V -ACE sa are BFE : are AEG ou bien -■; lJ- \ ■ ■■ ■ Surface du ©: furface ACBD m s6o0: y ACE %. 25Ö. III. Les,furfaces de deux fetleurs d'unmê* me cercle font entr'elles comme.ia grandeur dis an* gles de ces fetleurs. C'eft-a-dire, ACBL\  128 Qitadrature des Elemens du cerelê. (appellé PHypothenufe') ei) égale a la fomme de ceh, les qui {ont décrttes fur les deux autres cbtés ( nommés catbêtes ) §. 263. X. Quand (Fig. j7o.) A efl le centre commun de deux cercles ADCE ff BAGF, & fa droite BC une perpendiculaire, fur le rayon AD (prolongée juf qu'a fa circonférence en C); fa furface de Panneau comprife entre. les deux circonférences BFG ff ECD fera auffi grande, que celle du cercle dont BC feroit le rayon. Pour le démontrer, on doic tirer le rayon AC. Ccci fait, on obtient un triangie reclangle ABC. Or felon le §. 261, le © fur AC s © fur BC + ®tmAB. Jle^nchez© fnr AB - © fur AB. II reuera © fur AC— © fur AB = © fuTBG Mais © fur AC — © fur AB - a 1'anneau CDEGFB. Par conféquent 1'anneau = CDEFGB- © furBC. f. 264. XI. Lorfque fur les trois cótés'd'un triangie reclangle ABC ( Fig. 171.) on décrit trois demi cercles, de telle manière que le demi cercle BE AFC décrit fur le plus grand cóté couvre le triangie ff rétranche de chacun des demi-cercles (décrits fur les deux autres cbtés un fegmeni) alors les furfaces des deux lunules BGAE + AHCF pris enfemble feront égales a celle du triargle reclangle. C'eft-a-dire la furface du £ ^BC fera s lunule BGAE + la lunule AHCF. Ce  Qiiadratures des Elemens du cercle. 129 Ce Principe eft une fi ire de %. i6t, Car le demi 0 BE AFC a { © BGAB + i © AHGA Ue'tranchant de part & d'autre les pCits fegmens BEAB + AFCA n reftera A ABC a lunule BGAE + lunule AHFC II. Problémes rélatifs a la Methode de construire. des figures Semelables, et au Calcul de la Surface du Cer- CLh, &C. I .' §. 265. PROBLÉME I. Sur une ligne donnée AD conjiruire une figure M femblable a la figure N (Fig. 172.) SOLUTION. Première Metbode, Tirez dans la figure N une diagonale FH, par laquelle cette figure fera divifée en deux triangles FHË,, FGH Faites au point A fur la ligne AD, un V a V £ & en D un . m - y n. {5. 28.) Prolongez les cótes de ces angles pour former lé A ABD, qui fera éqvianglc au A FEH ($. 20;.) Faites la même chofe a l'égard du A FGH. La figure M fera & équiangle a la figure 2V felon le §. 242. Secor.de Méthode. Faites au point ^ fur AD uil y ^ s V E. I Chef*  130 Conftruction des figures femblables &c. Chcrchez une quatrième proportionnelle AB aux trois lignes EH, EF & AD. C'eft-adire, faites cette proportion. EH : EF a AD : AB (§. 220.) Le fecond cóté AB de Ia figure M étant ainfi determiné, on paffe a la ligne BC en la faifant encore proportionnelle aux cótés. EF : fG =. AB : BC. Après que i'on aura fait V B — y F. On continue ainfi a chercher des proportionnelles jufqu'a ce que toute la figure eft achevée. §. 266. RE1VARQUE. C'eft felon cette méthode , que 1'Arpenteur forme le plan d'une campagne ou d'une contrée. La Verge ou la Toife eft la méfure, dont il fe fert pour méfurer le terrein: & une échelle ou une méfure divifée en parties égales lui fert d'unité fembiable fur le papier, fur lequel il fe propofe de tracer fon plan. Le Graphomètre ou quelqu'atnre recipiangle eft la machine , dont il fait ufage pour méfurer les angles fur le terrein , & le Tranfporteur ou Demicercle divifé en dégrés, lui fert a tracer les angles obfervés, fur le papier. L'abregé du fecond Volume de la Géométrie Theorétique & Pratique de mon Père. (*) que je me propofe de donner dans la fuite, contiendra la manière dont on opère, pour faire des Pians avec la juftefle réquife. §• 267. (_* ~) Inleiding tot de befchotrecende en TVerkdaadige Meetkunde, en het gebruik derzelver in het Landmeeten, ÏVaterpafj'en enz. II Deel, 'sHage 1776.  Conftru£tion des figures femblables &c. 13 r i 267. PROBLÉME II. Calculer faire ou la furface de la figure M femblable a la figure ZV; ttant connus, la longueur des cbtés AD (f EH en nombres & furface de la figure N. (Fig. 172.) Par exemple, fi on fuppofe AD = ico verges, EH as 40 verges & la furface de la figure N =3 250 verges quarrés. SOLUTION. Selon le §. 243 on peut faire la proportion EH : AD E3 furface N : furface M. Si dans cette proportion, on fubftitue les nombres donnés, & la lettre * pour la furface de la figure M, il viendra 40 X 40 : roo X 100 -3 250 : x ou i6co : roooo — 250 : x Et par conféquent itJoo x =3 2500000 2500000 25000 C eft-a-dire x tt » 3 15^,5 * IfJOO 16 ^ D'ou il paroït, que la furface de la figure M eft égale a 1562, 5 verges quarrées. §. 268. (*) Nous fuppofons ici que le Leóteur eft inftruft dans 1'Arithmétique vulgaire & qu'il connoiffe les fractions décimales Ccux qui ont envie de s'en inftruira peuvent confulter les Inftitutions du Calcul Numéri~ que & Littéral: ou bien de Eerfte Beginfelen der Reckenkunde,' que nous avons eu occafion de citer précédemment. I 2  132 Conftruiïion des figures femblables &c. 1 §. 268. PROBLÉME HL Déterminer' la circonférence d'un cercle, dont le diamètre efl long 128 pieds ? SOLUTION. Faites felon le %. 348. la proportion 1 : 3, 14 — 128 : x D'ou il provicnr, en multipliant les extrèmes & les moyens, felon le § 194. x ss 3,14 X 128 — 401,92. Par conféquent la circonférence du cercle, dont le diamètre eft long dc 128 picds fera = 401,9a de ces mémes pieds. § 269 PROBLÉME IV. Déterminer ou calculer faire d'un cercle, dont le diamètre efl de 256 pieds ? SOLUTION. On peut réfoudre ce Probléme par le 252. qui donne la proportion fuivante 1000 : 785 = 256 X 256 : 1'aire du cercle dcmandé, ou 1000 : 785 = 65*36 : x (En fiippofant x sa a la furface demandée) Par conféquent icoo x ~ 785X 6.^6 (§. 194.) Et x =2 51445,75. C'eft-a-dire la furface du cercle demandé, dont le diamètre eft 256 eft égale a 51446,76 pieds quarrés. an fera arrèté dans fa révolution a la n nconrré du premier point fitué hors de la ligne droite autour de la quelle il tourne: done &c. § 277 V. Toutes les parties d'un même triangie font fituées dans un mime plan Géométrique. C ft a-dire, lorfque par la rencontre mutnclle de trois lignes droites on forme un triangie, ces trois li-  Propriétés des Plans Géométriques. 137 lignes ( ou tout le triangie ) feront pofe's dans un même plan, §. 278. VI. Une ligne droite qui efl perpendiculaire fur un plan Géométrique fera auffi perpendiculaire fur toutes le' lignes droites tirées dans ce plan par le point de contact ou par le pied de cette perpendiculaire (Fig 1730 C'eft a-dire, lorfque la droite AE eft perpendiculaire fur le plan CCCDDD, cette même ligne fera auffi perpendiculaire fur toutes les droites DC, DC &c. Et réciproquement. §. 279. VI. Lorfque AE eft perpendiculaire fur deux droites CD, CD fituées dans le même plan Géométrique: cette droite AE fera auffi perpendiculaire fur ce plan. Ce principe eft une fuite du §. 272. §. 280. VIL Quand deux lignes droites font perpendiculaires fur un plan , ou également incliné du même ebtê, elles feront aufjl parallèles. Ceft-è-dire, quand fur le plan PM, (Fig. 175.) les droites AB & DC font perpendiculaires, ou les lignes EB, CF également inclinés d'un même cóté; de manière que V EBC foit =3 V FCK, la droite AB fera parallèle a DC & EB a FC. Pour le démontrer, tirez par les points B & C, fitués dans le plan PM, la ligne BCK. Comme AB & DC font fuppofées -être perpendiculaires fur le plan PM : les angles ABC Ik BCD feront des angles droits. (§. 272'.) 1 5 Par  ï38 Propriétés des Plans Géométriques. Par conféquent AB eft. parallèle a DC. Quand les lignes EB & CF ont la même inclination, l'angle EBC doit être égale a l'angle ECK. Par conféquent EB eft parallèle a CF. (§ 39.) 5. 281. VIII. //gnef JmVW) qui Je n Jont dans un même plan. 282. IX. Quand deux lignes droites parallèles & puees dans le même plan font coupées par une troiftème; cette toupantefera aujji dans le même plan avec les deux parallèles.- parceque les points de feftion de cette coupante doivent auffi fe trouver dans un même plan avec les deux lignes parallèles j felon ce qui a étédit au §. 275. §. 283. X. 11 n'eft pas poflible, que trois points foyent fttués dans deux plans different, a moins, que ces trois points Je trouvent dans une même ligne droite. Car toutes les fois, que les trois points en question ne font point dans la même direètion pour former une ligne droite, on pourra conftruire un triangie entre ces points. Or nous avons démontré au §. 277, qee toutes les parties d'un même triangie font fituées dans un même plan: donc &c. II fuit de la %. 284 Xi Que la commune JeBion de deux plans qui s'entre coupent, forme une ligne droite. II Dê  II. De la Secti on commune de deux ou de plusieuks P l a n s. §. 285. I. On ne peut éléver qu'une feule perpendiculaire AB (Fig. 177.) d'un même point A pris fur le plan: è d'un même point B Jituê hors du plan PM; ff on ne peut faire tomber fur ce plan PM qu'une feule perpendiculaire AB. §, 286. II. La diflance d'un point B a un plan PM efl mefurée par la perpendiculaire AB. Tirez dans le plan PM par le point A une ligne CAD. Tirez par le point B jufqu'a cette ligne CD ia droite CB, La figure BCA fera un triangie, & par confé. quent l'angle en Cne peut être un angle droit, parccque l'angle en A eft droit: (§. 97.) par conféquent la ligne AB eft < BC. ( CD (§• 105.} Si 1'on rétranche de CB + BD la partie BC &de CD une égale partie C£: les ren es, favoir BD & £D feront inégaux: c'eft-a-dire, BD > ED. Etconfidérant les AA AED & ^£D on trouvera AD - AD; A 1 3 mais BD > D£ Par conféquent V d > V c. (§. 1 r9 ) > Dónc yd + y CAB yyb+c (parceque y CAB "= VO c'eft-a-dire, que !es deux angles plans pris enfemble fort plus grand que lc troifième. §. 295. II La fomme de tous les angles plans BAC, CAD ü BAD qui fo; ment un angle folide eft moindre que 3600. Prenez fur les communes feétions, trois parties égales: c'eft-a-dire, faites AB AC 3 AD. Tirez les droites BC, CD & BD, qui é^nt fituées dans un méme pian felon le § 277. formeront troi-> autres angles folides, B, C & D. £»ans lc §. précédent nous avons démontré que l'angle plan BDC eft plus petit que y ADB + ^DC;1'V plan CBD < VV plan CBa + ABD 1'V plan BCD < VV P'an BCA + ACD. II paroit donc que la fomme des trois angles plans du A BCD eft plus petite que celle des fix angles des'  Propriétés des angles Jolides. 145 des AA ABC, ACD, ABD, contigus aux angles folides B, C & D. Or la fomme des trois angles plan du A CAD eft = 1 3o ( § 96 ) Par conféquent la fomme des fix angles mentionés fera plus grande que iSc°. Mais la fomme des neuf angles qui forment les triangie^ ABC + ACD + ABD faifant fix angles droits, ou trois fois 18c0. (§. i,6 ) II s'enfuit, que les trois angles plans qui forment I'ai gle folide lont moindre que quatres angles droits ou 3Ó00. K IV. Da  IV De la Manière d'eléver et d'abaisser des Perpendiculaires sur les Plans Géométriques. $. 20(5. PROBLÉME I. D'un point A (Fig. 184.) Jitué bon d'un plan ZX, faire tomber une perpendiculaire fur ce plan. SOLUTION. Tirez dans lc plan ZX, une ligne BC. Tirez du point Al fur cette ligne BC une perpen. diculaire AD ( %. 42.) Le point D é ant fitué dans le plan ZX, on peut y tirer fur la ligne BC & au point D une feconde perpendiculaire DH. Cette ligne BH affigne la place du plan qui pasTe par les lignes DH & DA. (§ 281.) Tirez dans cc nouveau plan une ligne AH perpendiculaire fur DH(§. 4^.) qui fera auffi perpendiculaire fur le plan ZX. Pour démontrer, cette conftruction on doit tirer dans le plan ZX une ligne EF parallele a BC. O 44-) pjfque BC & EF font parallèles & que la première eft perpendiculaire fur DH; la droite EF fera tutfi perpendiculaire fur cette mème ligne Par conféquent EF fera auffi perpendiculaire fur le plan DHA(§. 279.) Mais  Elevations des perp. & conjlr. des angl.fol. 147 Mais la ligne AH eft dans le plan DHA & de plus elle eit perpendiculaire fur DH. Par conféquent AH fera auffi perpendiculaire fur le plan ZX (§. 279 ) %. 297. PROBLÉME IL D'un point A fituè dans un plan PM. éléver une perpendiculaire fur ce plan (Fig. 177.) SOLUTION. Prenez un point H hors du plan PM. 'lircz de ce point PI, une perpendiculaire HC fur ie pian PM, (par le §. 296.) Tirez par les points C & A une ligne a volonté CAD, & dans le plan HCD, qui pafle par les lignes HC, CD, une ligne AB parallèle a HC qui fera perpendiculaire fur PM (§. 279.) t %. 298. PROBLÉME III. Comment mefure Pon, Pangle, que forme une ligne oblique AD par rapport a un plan horizontal ZX. (Fig. 184) SOLUTION. Tirez (comme dans le Probléme §. 206,) une ligne BC, perpendiculaire fur AD & dans ce mème plan une ligne DH J_ fur BC O 42.) ceci fait, ie plan DAtl fera J_ fur leplan ZX(§. 278, 282.) La ligne AH J_ fur DH faira connoïtre 1'inclinaifon de ia ligne AD rélativement au plan horizontal ZX. §. 299. PROBLÉME IV. Quelle eft la meilleu- re manière de méfurer Pangle MTX ou BAD, que forment deux plans inclinés Zl4 & ZX, CFrg, i8ó.) K 2 SO-  148 Etevation des perp. & conjlr. des angl. Jol. SOLUTION. Prenez fur la fection commune ZT, le pomc A. Tirez par ce point deux perpendiculaire?, 1'une AB dans le pian ZM, & 1'autre AD dans le plan ZX. (% 43.) Le p an, qui paffera par ces deux lignes fera perpendiculaire fur les plans ZM & ZX",cumme étant perpendiculaire fur la fection commune. (§. 279.) Tirez enfin par B une perpendiculaire BC, fur AD, ou bien décrivez de A avec le rayon AB un are de cercle. La première de ces opérations fait connoitre Ia grandeur du triangie reclangle ABC: la feconde niontre la grandeur de l'angle par le moven de 1'arc de cercle. ( '. 19.) 1 %. 300. PROBLÉME V. Comment doit on pofer un plan PM pour êtn parallèle au dejjus d'un plan donné ZX (Fig. 187. ) SOLUTION. Prenez dans le plan ZX trois points A, B & C, qui ne foient pas dans la même direrftion mais qui forment un angle ABC.' Tirez de chacun de ces points, des perpendiculaires égales DA, BE, CF, ( §. 297.) Joignez les points DE, EF par des lignes droites; le plan PM, qui paffera par ces lignes DE,EF fera parallele au plan donné ZX ( §, 280" & 287.) §. 301. PROBLÉME IV. Quelle efl la méthode la plus fimpte, pour méfurer la grandeur d'un angle folide, (3 pour le copier. (Fig. 188.) SO-  Ekvation des perp. & conjlr, des angl. fol. 149 SOLUTION. Pofez l'angle folide, par un de ces cö:és ou de ces angles plans, fur un plan ZX. Ceci fait, on peut méfurer par le §. 298 & 299, 1'obliquité de la ligne AB. REMARQL'E. Si l'angle folide eft comoofé de plus de trois angles plans, on renére 1'opéiation pour chacun de ces cötés. K S DE  DE LA GEOMETRIE DES CORPS SOLIDES. I. Definitions et description des differens Corps Solides Géométrique. §. 302. T Tn corps Solide peut être confidéré fous KJ trois dimenüons:. c'eft a-dire, comme ayant de la longueur, de la largeur & de la profondeur ou de PépaiJJeur. Comrnunément on ne confidère dans la Geometrie que les corps Solides, propremcnt dit: c'eft èdire, ceux dont les parties immuables confervent toujours la même place: une pianche, un poutre, un édifice ou une partie de ces corps, font des folide-, au lieu que la méfure des fluïdes ne fait point 1'objét de la Géométrie, que lorsqu'ils font renfermés ou contenus dans des baffins, dont les paroïs font des folides & c'eft alors qu'on les méfure par la capacké de leurs baiïïns. §. 303. Les corps qui font 1'objet de la Géométrie peuvent-être rangés en trois Gaffes. La première Clafll contient les corps dont Jes fur-  Definitions des corps Géométriques. 151 furfaces font des plans, & qui font connus fous le nom de polyëdres. La leconde, les corps, qui font terminés par des furfaces courbes, c<./nvexes ou concaves, nommés des corps ronds ou fphériques. La troifième, les corps, dont les furfaces font en partie plans & en partie courbes. §. 304 Les Anciens divifoicnt les corps folides fous les noms de co.ps réguliers & de corps irréguliers. Par des folides réguliers ils entendoient ceux, qui font compris par des furfaces femblables & égaux. Tels font. Le dez ou le cube, le Globe &c. Us y en ajoutoient encore quatre autres, nommés Le Tétraëdre; qui eft une Pyramide terminée par quatre triangles équilateraux & égaux. LPOBaëdre; qui eft un folide terminé par huit triangles équilateraux & égaux. Le Dodecaëdre; qui eft un folide terminé par. douze Pentagones équilatéraux & égaux. L'Icofaëdre ; qui eft un folide terminé par vingt triangles équilateraux & égaux. Par des corps irréguliers ils entendoient les corps folides terminés par des furfaces irréguliéres & inégales. Pour ce qui eft des corps, que nou» avons défigné fous le nom général de Polyëdres, ou corps a K 4 plu-  152 Definitions des corps Géométriques. plufieurs cötés, on doit y ranger, outre les corps réguliers des Anciens , dont nous venons deparler, encore deux autres efpèces l^avoir. ï. Les corps'Malemcnt irreguliers, ou ceux, dans les quels les plans & les angles, qui les terminent, font diflemblables. II Les corps Symmétriques, ceft-a-dire ceux, qui fans être entierement réguliers ont les plans & les angles oppofés parallèles & égaux: c'eft principalemem de ces fortes de corps, dont on traite dans la Géométrie des Solides, ainfi que nous allons le faire voir. % 305. Les corps Symmétriques termüaés par des Plans, le rangent fous deux claffes. L Les Prismes. II. Les Pyram ide s. §- 306. Un Prisme, eft un corps folide, dont la bafe, qui eft un plan polygone,eft égalea la p.'atte fin-me, ou au deffus du corps & dont les plans qui forment les cötés de ce corps font des para elogrammes. (Voyez Figures 189. i9z. 20I. 202. 205 & 20S.) I e Prisme efl droit , lorfque la furface fuperieure eft perpendiculaire fur Ia bafe, & qne i,s cötés du Tc!L ^TJJ^ Paralelogrammes reclangle X comme ABLF Fig. 189.) * Le  Definitions des corps Géométriques. 153 Le Prisme efl oblique, toutes les fois que les cótés de ce corps font des Paralelogrammes obliques comme HKLN. §. 307. Jjne Pyramide, eft un corps, dont la bafe eft une figure polygone & dont les plans qui forment les cótés, font des triangles, qui fe terminent tous en un même point. (Fig. 190 ) La Pyramide efl droite, lorfque fon fommet eft perpendiculaire fur le milieu de fa bafe. La Pyramide efl oblique, lorfqu^ la ligne tirée du fommet jufqu'au centre du plan de la bafe, eft oblique fur cette bafe. § 308. Les Prismes & les Pyramides ont des noms difterens felon le nombre de cótés qui forment le polygone , qui leur fert de bafe. Par exemple, un Prisme ouune Pyramide dont la bafe eft un plan triangulaire, quadrilatère, ou pentagone fe nommi Prisme ou Pyramide triangulaire, quadrilatère ou pentagone, &c. § 309. Le Prisme, dont la bafe eft un quarré ou un paralelogramme, & dont par conféquent les cótés oppofés font des figures femblabies & égales eft nommée Poutre ou Paralelipipède. C'eft ainfi, que le corps A (Fig. 191.) e& ll" paralelipipède droit, & B un Paralelipipède oblique. §. 310. Pource qui eft des corps filidcs, qui font terminés par des plans courbes, la Sphère ou le Globe tient le premier rang. K s On  154 Definitions des corps Géométriques. On nomme Globe ou Sphère, un corps folide régulier rcrminé nar un plan courbe, dont tous les points font la même diftance d'un point Cfituédans le corps, & au quei on a donté Ie nom de centre (Fig. 192.) Chaque ligne tirée de ce point C de part & d'autre jutqu'a la circonférence eft nommée Diamètre ou Axe de la Sphère. §■ 3". La troifième efpèce de corps folides, nommemehr ceux, dont les furfaces font en parties rectilignes, en parties des fuifaces courbes, on les diftingue en deux claflcs, favoir. L Les Cylindres. IL Les Co n es. • Un Cylindre eft un corps, terminé aux deux extrémités oppofés par des cercles égaux & parallèles & dont le cóté eft formé par un plan courbe, plié autour des circonférences des bafes oppofés- §. 312. Un cöne eft une pyramide, dont la bafe eft un cercle, & dont la furface ronde concoure en un point (Fig. 174. i9o. i96. 107.). §■ 313. Un Cylindre efl droit, lorfque la ligne qui paife par les centres des deux cercles oppofés, eft perpendiculaire fur les deux furfaces (Fig. 202. £) ^ Un Cylindre efl oblique, toutes les fois, que la ligne, tirée par les deux centres des plans oppofés n'eft pas perpendiculaire fur ces plans. (Fig. 209.) §. 3t4-  Definitions des corps Géométriques. 155 § 314. La ligne, tirée par les deux centres efiV appellée 1'axe du Cylindre. (Voyez les lignes CD > cd. Fig. 209.). §. 315. Le cóne eft droit,lorfque 1'axe de ce corps tiré du fommet au centre de la bafe, eft perpendiculaire fur cette bafe. ( Voyez la JL KL. Fig. 190.) Au contraire le cönc eft oblique, lorfque 1'axe n'cft pas perpendiculaire fur Ia bafe. §. 316. Les corps folides qui font 1'obiet de la Géoméaic, peuvent être rapportés fous trois genres. Premier Genre. Ler Prismes, A ce genre fe rapportent. i° Les Prismes triangulaire:, dont les bafes oppofé font des triangles égaux. 2<\ Les Poutres ou Paralelipipèdes & les cubes. 30 Les Prismes po'ygones, &c. dont les bafes oppofées & parallèles font des polygones de cinq ou fix cötés, &c. 4°. Le Cylindre, dont les bafes oppofés font deux cercles égaux & parallèles. Second Genre. Les Pyromi'.es. A ce genre fe rapportent. i°. Les Pyramides, dont les bafes font des figures  156 Definitions des corps Géométriques. ™^ïigneS' & dünt Ies c^>rnontants font des tnarg.es. qui coacourent au fommet. 5°. Le cóne, dont la bafe eft un cercle. Troisieme genre Lc Globe ou la Sphère. % 317- Tous les corps du premier Genre peu vent etre confidérés comme compofés d'une muStude de tranches ou de furfaces égales & tr s min ne^ndemultitudede ieuillets ou de furfaces tès Le Dèz: on le Cube, peut-étre confidéré comme compofe d'une multitude ae quarrés trés mince pofes reguherement les uns fur les autres. Le Prisme droit, comme une multitude de polvgones équilateraux & êquiangles, pofésrectangulairement les uns fur les autres. Le Prisme oblique, comme une multitude de fur faces égales, qui n'étam point pofés rectangulaircment les unes fur les autres, le font dans une fitua. tlon oblique. 5- 3i8. Tous les corps du fecond Genre peu vent être confidérés comme compofés d'une multitude de polvgones ou cercles pofés les uns fur le. autres, qui n'étant pas de même grandeur, dimi- nuent  Definitions des corps Géométriques. 157 riuenr. régulièrement de bas en haut, jufques dans le fommet. %, 319. La formation des corps du troifième Genre, favoir la Sphère peut fe congevoir de la manière fuivante. Lorfque 1'on fait tourner un demi cercle autour de fon diamètre, ce demi cercle décrira en tournant une Sphère, tandis que la periphérie du demi cercle, décrit la furface de ce corps (Fig. 198.) Le Diamètre im>robile, autour du quel fe meut le demi cercle Générateur, eit appellé Paxe de la Sphère. II. De-  II. Definitions des Coups Sem- ■ blables, §. 320. Deux corps de même efpèce font femblables , lorfque les trois dimenjlons du premier font proportionnels aux trois dimenfwns du fecond, ff que les corps font êquiangles. C'elt-a-dire, deux corps font femb'abïes, lorsqu'ils font f'ormés Par un même nombre dc plans femblables & homologues. §. 321. Deux Prismes font femblables, lorfque les bafes étant des figures femblables, & les lignes montantes , qui feparent les cótés (avant la même direclion , rélativement a leurs plans,)' ont la même pr. portion entr'elles, que deux cótés homologues pris dans leurs bafes. §. 322. Deux Pyramides font femblables entr'elles, lorfque leurs bafes étant des figures femblables, les' bgnes, tirées du fommet jufques a un angle homologue, ont la même direcdon, & font proportionnelles a deux cótés homologues de leurs bafes. §. ,323. Deux Cilyndres ou deux cónes:font femblables, lorfque leurs axes ayant la même direction ou inclinaifpn rélativement a leurs bafes, font entr'eux comme les diamétres de ces bafes. PRO-  propriétés des PP.ISMES, CYLINDRES, PYRAMIDES, CO< INES et SPHERES, LORSQUE CES CORPS SONT COUPES PAR DES PLANS, §. 324. I. 'JToutes les fois, qu'un prisme ACG (Fig. 189. } eft coupé par un plan adfg parallèle a la bafe ADFG, cette feBion aura la même forme & la même grandeur, que la baje du corps. La feclion parallèle d'un cube ou d'un dez donne un quarré égal a la bafe du cube. Celle du Cylindre donne un cercle, qui eft auffi grand que la bafe du corps. On peut démontrer ces vérités de la manière fuivante. Puifquele plan ADF & adfg eft parallèle a la bafe ADFG; la ligne AD fera parallèle a la ligne ad; DF a df; FGa/g&c. Par conféquent les figures AadD, dDfF, FfgG &c font des paralelogrammes. (§ 122,) D'ou il fuit, que AD 3 ad, DF 3 df, FG 3 fg, &C.G- 12.5.) Et  i6o Propriétés des Prismes, Cyt.indres, &e. Ft la figure ADF fembiable & égale ala fimre adfg. (§ 199 & 22Ó.) La Section fera donc de la mème forme, & de la même grandeur, cjue Ia bafe du prisme La même méthode de démontrer a lieu* dans le Cyhndre, tomes les fois qu'on conrdèré les bafes oppofées dc ce corps comme des Polvgones femblables d'un même nombre de cötés, felon ce qu'il a ete dit aux §. i78 & 2^6. §. 3=5 IL Lorfqu>une pyramide ou un cbne (Fig I9°0 & couié par un plan parallèle a fa bafe: cette feEtion formera une figure femblable a celle de la bafemais elle fera d'autant plus petin,. qu'elle approcbera plus du fommet du corps empê. Puilque dans la pyramide ABCD, on fuppofe que la fection bed eft parallèle a la bafe de Ia Pyramide, il s'enfuit que Ab :bB^ Ac:cC. f§ iJJa) Par coniequent bc eft paralièle k lC On prouvera de la même manière,'que BD eft parallele a bd, & DC a dc. bafeÏcD fUiC> 'a %UrC kd Cft femblabIe a 'a §. 3* La partie inferieure de la pyramide ou du cóne; apres qu'on en a enlévé Ia pointe Z une fection paraüè'e a la bafe fe nomme une pla. mide ou un cone troni/ue C'eft ainfi que la partie BbdcCD eft nommée une pyramide tronquée. La  Propriétés des Prismes, Cylindres, &c. 161 Ia partie GHIF du cone FGK eft un cone tronqué. § 327. lil Lor feu? une Sphère (Fig. 102 ) efl coupé par un plan, la fèaion plane fer a un'-eereh, foit que le plan coupant paffe par le centre foit qu'il n'y paffe point. ie. Lorfque la fection DE paffe par le centre, ie point C fera le centre de la commune fection: comme ayant la même ditfance de la circonférence DE décrice fur ia furface de la Sphère. 2e. Lorfque la fection ne paffe point par le centre du Globe, elle formera cependant un cercle. Ainfi que nous aüons le démontrer. Pour cet effet fuppofons que 1'axe CA foit tiré ,L fur le plan DF. Tiiez plufieurs lignes dC, Ce, &c. du centre C jufqu'a la circonférence de Ia figure de. Le:- lignes Cd, Ce, &c. tirées du centre a la circonférence font égale» entr'elles (§ 310.) Par conféquent ces droites Cd, Ce font a égales diftances du point £'(§. 49.) D'ou il paroii, que ie cercle décrit du point F avec le rayon ld ou Fe. pafte par tous les points de la c rconference; : c'eft-a-dire, que cette figure eft un cercle. §. 328 II paroit par la démonftrntion que nous venons de donner, q.e ia fection dc la Sphère, qui paffe par le centre, donfte le plus grand cercle. L C'eft  i6z Propriétés des Prismes, Cylindres, &c. C'eft pourquoi qu'on appelle grand cercle de la Sphère, celui qui a le même centre avec ce corps.- au lieu que les autres feclions font nommées des petits cercles, parceque leurs rayons font plus petits, que celui de la Sphère. DE  D E L A SURFACE DES CORPS GÉOMÉTRIQUES, I. De la Surface des Prismes, des Pyramides &c. §• 329. I. La furface des Paralelogrammes reclangles, qui forment les cótés d'un prisme droit, font (pris enfemble') égales a un paralelogramme d'égale hauteur avec le prisme, & dont la bafe efl auffi longue que la circonférence de corps. (Fig. 193.) C'eft-a-dire, que les furfaces des paralelogrammes AabB + BbcC + CcdD + DdeE +• EeaA =5 au paralelogramme AaaA, dont la bafe aa eft = ab + bc + cd + de + ea, & dont la hauteur eft Aa; comme il eft évident par les §. 158 & 306. §. 330. II. La furface convexe d'un Cylindre droit FfgG (Fig. 194.) efl éga'e a celle d'un paralelogramme reclangle de la même hauteur que le Cylindre C dont la bafe eft auffi longue que la circonférence de la bafe du Cylindre. Comme il eft évident par les §, 311. 31Ó. & L 2 5. 331.  IÖ4 Surfaces des Pristn., Cyi & Pyram. &c. %, 331. III La furface convexe d'un Cylindre, dont la hauteur eft égale au diamètre de la bafe du Cylindre ejt quatre fois ft grande la bafe. ( ar lorfque 1'on fuppofe la hauteur du Cylindre égale au dlarrèrrc dc la bafe circulaire, la lurface convexe fera ésale a la circonférence de ce cercle multiplié par le diamètre; or nous avons demoi.tré (§. 179.) que la furface d'un cercle eft égale a fa circomerence, muitiplié par ie quart de fon diamètre. Par conféquent, la furface convexe d'un Cylindre, dont la hauteur eft égale au diamètre de fabafe, fera quatre fois plus grande que fa bafe. §. 3^2. IV La fu face montante d'une pyramide eft égale a celle de tous les triangles, qui Ftntourent; ff lorfque la pyramide eft droite, cette furface fera équivalente a celle d'un triangie, dont la hauteur eft égale a la perpendiculaire tirée du fommet de la pyramide, fur un des cótés, ff dont la bafe eft égale a la longuMr du circuit de la bafe. § 333. V Le cone pouvant être conftdéré comme une pyramide, dont la bafe eft un cercle (ou un polygone d'un grand nombre de cótés); il s'enfuit, que la furface convexe d'un cóne eft égale a un fetleur de cercle ABC 13 (Fig. J9Ó). ou un triangie de même hauteur slB que le cbne, ff dont t'arc, ou la bafe BCB efl égale a la circonférence de cercle BC Ce Theorème eft une fuite des %, 307. 312. 316 & 332- %. 334. VI. La furface montante d'un cóne ou d'une  Surfaces des Prism,, Cyl. & Pyram. &c. 165 ne pyramtde tronquée efl égale a celle d'un trapéfe, dom la bafe (parallèle au cbté fupérieur~) efl auji longue, que le circuit inferieur du corps, & le cbté d'enhaut aujji longue que le circuit Jupêrieur. (Fig. 197-) C'eft-a dire, que la furface du cóne tronqué BbcC, eit égale au trapéfe EefF: dans lequèl ef eft 3 circonférence du cercle bc, & la droite EF = a la circonférence du cercle BC, & dont la J_ eS=: Bb, Pour le démontrer, il faut achéver le cóne, en prolongeant les cótés jusqu'a leur iencontre en A. Nous venons de faire voir, que la furface du cóne entier BAC, eft égale a ceile du A DEF, lorsqiu EF eft égale a la circonférence de la bafe DE, & que fa haateer égale le cóté BA du cóne. De même, la furface du cóne defficient Abc fera égale a celle du triangie Def. lorfque eD 3 Ab & af = a la circonférence du cercle bc. En réiranchant le A eDf du grand A DEF, le refte, favoir le trapéfe EEef réprefentera la furface du cóne tronqué. RE MAR QUE. Lorsqu'on tire par le milieu G de Ia ligne Ee une ligne GH parallèle a EF, cette ligne fera une moyenne entre les lignes ef & EF. Par conféquent la furface du trapéfe efEF pourra être exprimée par Ee X GH. II fuit de la, que §• 33.5* Vil. La furface d'un cbne tronqué efl égale a la circonférence d'un cercle décrit fur le milieu dt fa L3 ' fur  iö6 Surfaces de la Sphère. furface convexe multiplièe par la hauteur de ce même cbne tronqué. (*). II. Methode de Déterminer la Surface d'une Sphère. %. 336. Nous avons dit au §. 319. que la Sphère peut-être confidérée comme produite par la révolution d'un demi cercle AcbB autour de fon diamètre AB (Fig. 198.") Si 1'on fuppofe que la furface du cercle Générateur eft compofée ou couverte d'un nombre infini de lignes perpendiculaires CC, dD, & qu'on aye infcrit ou circonfcrit au dedans ou autour de ce cercle, un polygone d'un même nombre de cótés; de manière, que chacun des cótés de ce polygone foit compris entre deux de ces perpendiculaires cC, dD ; alors les furfaces de ces polygones infcrit & circonfcrit feront chacun a peu prés égale a celle du demi cercle (felon le §. 178.) & le potygone infcrit fera divifé en un nombre infini de petit trapéfes, dont un d'eux eft exprimé par la figure DdcC. Si (*) Lorfque la ligne EF réprefente le circuit d'une pyramide tronquée & la droite ef le circuit fupérieur. la ligne GH fera encore une moyenne proportionnelle' entre ces deux circuits; & alors le principe que nous venons d'établir pour le cóne tronqué fera auffi ap. plicable aux pyramiJcs.  Surf ace de la Sphère. 167 Si donc 1'on fait faire, a ce demi cercle & a fon polygone, (infcrit ou circonfcrit) une révolution cntière autour de fon axe AB: le demi cercle d'écrira ure Sphère, & le polygone un polyëdre compofé d'autant de cónes tronqués, qu'il y aura de perpendiculaires fur AB, ou de cötès dans le polygone infcrit ou circonfcrit. II paroit de ce raifonnement. %■ 337- ï. Que la Sphère peut être confidérée comme compofée d'un nombre infini de cbnes tronqués, entasfés les uns fur les autres autour d'un axe commun. II. Que les bafes des deux plus grands cbnes fontun grand cercle de la Sphère, ff que les bafes des cónes fuivants diminuent de part ff d'autre du centre C dat.s la même raifon, que les perpendiculaires, qui couvrent la furface du demi cercle gênêrateur, III. Lajurface de la Sphère fera auffi, (peu s'en faut) égale, a celle du polyëdre infcrit ou circonfcrit c'eft-6-dire, que la furface de la Sphère, pourra être fuppofée égale a la fomme des furfaces de tous les anneaux circulaires, qui forment les furfaces convexes des cbnes tronqués, ff dont on fuppofe que les polyëdres font compofés. IV. La même methode, ou le même calcul, qui doit fervir a déterminer la furface de tous ces cbnes tronqués, dont ces polyëdres font compofés, donnera auffi la furface de la Sphère. Nous allons tacher dc dévélopper cette methode, avec toute la clarté & la brièveté puffible. L 4 338  168 Sur face de la Sphère. %. 338. Suppofons (Fig. 199 ) que ABdDEGH ILMQP, fuic ups Spliere comppfée des cónes tronqué BOFD; aBUE, PJEG; PQHG; QA ƒƒƒ; Si maintenant on démontré, que Li furface dc chacun de ces cónes tronqués BO F, A&D£> &c. efl égale a faxt, ou a 1'épaiffeur dF, Fx du cóne tronq\ é, mu'iiplté par la circonférence du grand cercle de la S hirt; on pourra c.nclure, que ia fomme des fur aces de ces cónes tronqués, dont ia Sphère efl coir.p ,fee,e i egale a la tomme de tous les axes de ces cónes, (ou de la ligne dL) mulripliés par la circo , érencc du grand cercle de ia Sphère. Pour eer effet tirez par le milieu y du cóté AB un- Ög e y/iparalle.e aux plans BD, At. (§.44) 1 irez js perpendiculaire fur AB: cette ligne pasfera par le centre C; & fera un axe de la Sphère (5 61 3t 319.; Tirez par ie point B la ligne Bz J_ fur AE, (R 42.) cette ligne Bz fera egale a 1'axe Tx du 'cóne tronqué %. 32.) 1 :rez enfin la droite B.s. Le A ABz feta jy, yfa. fj. 202.) Car 1'V ABz e,t = \' Rys, parceque 1'V Z?ytf a Ja même méfure que V Rys. (§. 62.) De plus ces triangles font reöangles, le premier en 2, & lc fecond n R. Ainfi la proportion fuivante aura lieu bz ou Tx ; AB - yR : ys_ Mais les circonfercnces des cercles font entr'elles comme leurs diamétres ( §. Par conféqucm ix fera a AB, comme la circonférence du cercle deV  Sur/ace de la Sphère, 169 décrit fur le diamètre yli eft a celle qui eft décrit fur le diamètre ys: c'c ,-a dirc, a la circonférence d'un gra d c rcie de ia Sp, ère. (§,. 320. ) Si 1'on fubiticue les c rcon érences, que nous vepons d'indiquer, a la place de leurs diamétres, dans ia dernière proportion, on aura Tx ; AB ~ Circonf. yli : circonf de la Sphère. Mul ipliant les extrèmes & les moyens, felon lc §, 194. on obtient les réfu.ljtats fuivans. l.'axe Tx X circonférence du grard cercle eft égal au cócé AB X circonférence du cercie yR. Or nous avons démontré au § 334, que AB X circi n erence \R eft égal a la furface convexe du cóne tronqué ABDB. Par con'equcnt certe furracc fera aufli égale a la ciiconerei.ee d'un cercle de la Sphère, multiplièe par 1'axe du même cö e tronqué Tx(%. 194 ) On peut démontrer par une méthode H-mb-lable, que la furfacé du cóne tronqué APG£ eft égale a uné même circonférenct du grand cercle, multiplièe par 1'axe xC de ce cone, II paroit donc, qv.e la furface de chaque có e t1 onqué, dont la Sphère eft compofée, efl égale a Li circonférence d'un grand cercle, multiplièe par fon axe: C? que par conféqumt, la jomine de tous ces produits; c\ ft-c-dire , la furface de tous les cbnc> tronqués, efl égale a la circonférence d'un grand cercle, de la Sphère, multiplièe par toutes les parties dC, Tx, xC,CL &c. qui compofent Paxe dL de ia Sphère, D'ou il paroit. 339 Que la furface d'une Sphère efl égale a la circonférence de la Sphère multiplièe par fon axe. L 5 Nous  *7o Sur/ace de ta Sphère. Nous avons fait voir au §. I?9. que U furface d an cercle eft égale a fa circonférence multiplièe par lequart de fon diamètre. Par conféquent, la tand d T%SFhèreferaégakahfurf^ grand cercles de cette Spbère. veil f ^'T"^ 3U §' 33'■ que la furface c^veie dun cylindre, dont la hauteur égale le dianet» de fa bafe, eft auffi égale a quatre fois la furface du cercle, qui lui fert de bafe- II paroit donc. §• 340. Que lorfque la hauteur d'un cylindre efl égaleau diamètre de ja bafe, ou a Paxe d'une Sphère, ces deux corps auront la méme furface; c'eft.a-dire, la furface de la Sphère fera égale a la furface convexe au cylindre. II fuit encore de ce raifonnement 5 34'. Que la furface convexe d'un fegment de Sphère terminêe par un plan circulaire eft é&galea la furface convexe du cercle correfpondant C'eft-a-dire, ia furface de la partie aBc (Fi* 200.; eft egale la circonférence du cylindre Jfct\ multiplièe par la hauteur AD. 7 °D DE  III. De la CoMPARAISON des surfaces des Corps Géométriques. Dans les §. 329. &c. nous avons fait voir, que les furfaces des corps Géométriques font égales aux produit de deux de leurs dimenfions; par exemple, au produit de la longueur de leur circuit, multiplié par leur hauteur &c. Voici les principes qui decoulent de ce raifonnement. §, 342. I. Les furfaces.de deux corps de même genre 'comme deux Cyiindres, deux Pyramides (3c.) font entr'elles comme les produits de deux de leurs dimenfions. (Voyez les §. 329—332.) §. 343. II. Lorfque deux corps de même genre ont une même dimenfion égale, (foit la même hauteur ou le même circuiü leurs furfaces feront entr'elles comme les autres dimenjions. C'ert-a-dire, quand deuxPrismes, deux Cyiindres, &c. ont la même hauteur; les furfaces de ces corps feront entr'elles comme les circuits ou les circonférences de leurs bafes. §. 344. III Et réciproquement. Lorfque ces corps ont le même circuit, leurs furfaces feront entr'elles comme leurs bauteurs. §, 345. IV. Lorfque deux dimenfions de ces corps font réciproquement proportionnelles: ces corps auront la même furface. C'eft-a-dire, lorfque dans deux Cyiindres, deux Py-  172 Comparaifon desfurf. des corps Géomêtr. Pyramides, &c jes circuits des bafes font emr'eux en raifon inverfe des hauteurs: les furfaces latéralcs de ces corps feront également grandes. ( Vovez 5 329-332-) 5- 34<*- V. Les furfaces des corps femblables, font entr'elles comme les quarrés de leur dimenfions bomologues C'eft-a-dire, les furfaces de deux cubes, prismes] cyiindres, pyramides, ou cbnes femblables, font entrVles comme les quarrés de deux cbtés bomologues. Voyez les §. 241 , 243 , 320-3*3 , 320-332. §. 34?. VI. Les furfaces de deux Spbères font entr'elles comme les quarrés de leurs axes. (Voyez § 246 319» 3390 DE  DE LA MESURE DES CORPS SOLIDES. I. De la Mésüre des Prismes et des Cylindres. 348. Kfous entendons par la foliditê des corps Géo' mêtriqucs ,1a quantité de matière contenue ou ren}'ermee entre leur furfaces. Par exemple, la quantité d'eau contenue dans une citerne, le nombre de pierres, qu'on peut arranger dans un magazin . ou dans un vaiffeau , Ia quantité de terre empl yée a la conftruction d'un icmpart ou d'une digue, &c. Ainfi la Solidité ou la capacité d'un corps depend du nombre des particules dont ce corps eft cumpofê, ou qu'il peut contenir. Nous avons dit au % 317- que le Prisme doit é' tre confidéré comme compofé d'une multitude de furfaces trés minces entafiées les unes fur les autres. Ainfi la fohdité d'un tel corps fera égale a la fomme de toutes les furfaces, dont il eft compofé. 5. 349. Pour méfurer lafoliditi des corps, onfefert du  174 Sotidité des Prismes & des Cyiindres. du cube. (*) Ainfl lln corps de ce eit uncorp., dans lequel un pied cf efeft^ Un corps de foixante pouces cubes, eft un corus qui contient foixante pouces cubiques * ' Comme chaque pied quarré contient ,44 pouces quarrées, un pied cube fera compofé de r44 v I2 Pouces. CefU dire de r728 pouces cubiques 11 fuit de la §■ 350. I. Que toutes les fois, que la Joüditè d'un eorps eft exprmé Par un nombre.ee nombre ndiqZ a des pteds ou des pouces cubtques, felon l'unité ou 2f)51' 1Llff°Mi{éd'un prisme ou d'un cy'indredrou ou oblique, eft égale a la furface de la bafe multiqliée par la hauteur du corps. 1 C'eft-a-dire, que li ]a furface de la bafe d'un tel corps eft exprimée par des pieds quarrés, & illu teur par des pieds lineaires, la folidké de ce corps feta egale au produit de ces nombres Par exemple, lorfque la bafe du prisme ou du cv Undre, eft vingt pieds quarrés, & la hauteur perpendiculaire dc ces corps fept picds; la folidite fera 20 X 7 = i4o pieds cubiques. 5. 352. III. Les folidités de deux Prismes ou de deux C*) Un cube ou Tetraëdre eft un corps terminé par fixquarreS egaux. tel eft Je dez a jouer. Voyez le  Soliditè des Prismes & des Cilyndres. 175 deux Cyiindres font entr'elles en raifon compofée de leurs bafes ff de leurs bauteurs. C'eft-è-dire, (Fig. 201.) la folidité du corps 0 eft a celle du corps P; comme la bafe AB X J-. DC eft au cercle GF X FE, &c. Ou bien Corps 0: corps P ~ pgr AB X _L DC : cercl. GFX ± EF. Corps 0: corps Q. =s pgr AB X _L DC; pol. K/Xl HfCorps P: corps Q. =1 cerc. GFX 1. EF : poi. n xi f/r. S' 353 lv« Prismes ff /eJ Cyiindres, qui ont des bafes égales ff /fl même bauteur, ont la même folidité, foit que ces corps foient droit ou oblique. (Fig. 202.) C'eft a-dire, les corps E, F, G, H, ont la même folidité, paree qu'ils ont les mêmes hauteurs, & que les furface de leurs bafes font égales (quelque foient leur forme.) 354. V. Les folidités de deux Prismes ou de deux Cyiindres qui ont la même bauteur,font entr'ellescom* me leurs bafes. (tig. 203. ) C'eft-a-dire, fi _L EF eft =2 X CB, on aura la proportion. Prisme DE j Cyl. CB =a pgr. DF: cercle AB Car la folidité du prisme ï DE =a pgr DF X Ju. EF I . ntt la folidité du Cylindre f s> ^a1» CB a cerc. ^fi X 1 CS J Ainfi on pourra former l'analogie. fuivante (§. 188.) Pr.  i j6 Solidité des Prismes & des Cyiindres. Pr. DE : Cyl CB = Pgr. DF X ± EF : Ccrcl. AB X X CB. Fffacanc dans les deux derniers termes, Ia partie X EF 55 X CB 011 ebeiendra felon le § ip3i Pr. DExpyiCB - Pgr Cf: cercle ^ §• 355- Si au contrair^, on fuppofe, que ces deux corps ont des bafes égales; ou ce qui révient au mème, que danspa proportion générale. Pr. DE : Cyl. CB = Pgr DF X X EF ; cercle AB X X CB; le Pgr, lF éft. 55 cercle wB; on pourra effacer ces quantités égales dans les deux dernier termes. felon le §. iS9; ce qui donna* Pr. DE : Cyl. CB ^ X EF : j_ CB Laqueiie étant exprimée en paroles donne le principe qui fuit. Vï. Les folffltés des Prismes, # des Cyiindres, qui ont des bafes égales , font entr'elles comme les diffêrtntes bauteurs de ces corps. §356. Enfin, fi dans la proportion générale on fuppofe, que le Prisme a la méme folidité, que le Cylindre. C'eft-a-dire, que Prisme DE =; Cylindre CB. Les deux derniers termes feront auflï égaux enti'eux (% 188.) ou bien Pgr DF X X EF sa cercle AB X ± BC Et par le 195 Pgr DF : cercle AB 55 X BC ; J_ Ef Ce 'qui'fait voir, que VII. Dans les prismes ff les Cyiindres, dont la fali-  Solidité des Prismes & des Cyiindres. 177 lidité eft la même, les bafes font réciproquement proportionelles aux différent es hauuurs de ces corps. C'eft-a-dire, que la bafe du premier folide eft a ld bafe du fecond, comme la hauteur du fecond eft a let hauteur du premier. %. 357. VIII. Le plan CFED (Fig. 205 ) \üi paffe par les diagonaies ,oppofées CF, ED du paraUlipipède GBHA divife ce corps en deux prismes triangulair es égaux EAC Ö" EDB. Dans le 309. nous avons dit , que le paralèlipipède eft un prisme dont la bafe eft un paralelo-» gramme. D'ou il paroit que le Pgr. HDJE = Pgr. BCGF. Or le A HDE 0 A DEA ss A FCG = A BEC. De plus, Pgr. F ?AE 53 Pgr. BHDC, & le Pgr. BFEH ~ Pgr. CGAD (Voyez lcS 'f. 124.159.161* & 309 ) Par conféquent les corps EBD & EGD font des prismes triangulaires égaux. § 358. IX. Lorfque trois lignes AB, AD, AC, (Fig. 206.) font proportionnelles, le paralelipipède BCD , formé de ces trois Ugnes fera égal en folidité a un cube DADD dont la ligne AD efl un des cótés. C'eft-a-dire, lorfque AB : AD ^ AD : AC Le paralelipipède BCD fera = cube DADD. Car les lignes proportionelles donnent la proportion fuivante AB : AD — AD : AC Par conféquent AB X AC e AD. ( §. 194;) M MuU  178 Solidité des Prismes & des Cyiindres. Multipliant les deux produits égaux par la même quantité ad on obtient ab X ac X ad =3 "ad X ad (§. ipr. j Or le premier produit donne le paralelipipède .tfCD & le fecond le cube dadd. (§. 35i ) Par conféquenc le paralelipipède BCD ell égal au cube ddd. II. De la Solidité des Pyramides et des cones. 5. 359- I. Lorfque dans un cube AFEDCBH (Fig. 207 ) on fuppofe quatre diagonaies', AD, BE, CF, & GH: ces lignes s'entre couperont tous dans un même point 0, Pour le démontrer, il faut tirer fur deux plans oppofés du cube FEGD & AHCB, deux diagonaies' homologues EG, HB. Nous avons démontré. i°. Que deux lignes, qui s'entrecoupcnt, font fituées dans le même plan. (Voyez §. 281.) 20 Que les trois cótés d'un même triangie font litués dans un même plan. (Voyez §. 277.) Par conféquent les fix lignes EG, EB, EH, HG, HB & GB font toutes fituées dans un même plan. Or les AA EOH, HOB, OGB & OEG étant égaux (§. 12Ö.) tl s'enfuit, que le point 0, eft au centre du plan egbh. (§. 127.) On  Solidité des Pyramides & des cónes. 179 On prouvera, de la même manière, que HO ss OA es BO fa OC es OG = OD sa 0£ Et que par conféquent le point O clt au centré du Cube. II fuic de ce raifonnement §. 360, II Que les triangles formés par les cótés ö? par les diagonaies AD, BE, HG, CF du cube, coupent ce corps, en Jïx pyramides égales & femblables, dont les bafes qusrrées fo> ment les plans du cube& dont tous les fommets fe réuniffent au centre O. C'eft-a-dire, que les fis pyramides AHOCB, DCBOG, DOEHC, AOHFE,AOEGB & EODGF font toutes égales entr'elles. Par 1'infpection de la Figure 207, il eft évident que les deux pyramides oppofés FEGO + HCOBA ont enfemble la hauteur du cube, ainfi la hauteur de chacune de ces pyramides eft égale a la moitié de celle du cube. Et par conféquent La folidité du cube efl égale a fix fois celle d'une pyramide, qvi a la même bafe, & la moitié de labauteur. D'ou il fuit §. 361. Ut Que la moitié du cube ou ce qui rêvient au même, que le prisme qui d la même bafe Ö* la même bauteur qu'une pyramide, efl trois fois plus grand que la pyramide. La folidité d'une pyramide Jera donc égale au produit de la bafe de ce corps, multiplièe par le tiers dt fa hauteur. 5. 362. La pyramide devient cóne, toutes les fois que fa bafe devieut un cercle: & nous avons fait M 2 voir  180 Solidité des Pyramides & des cónes. voir au §. 353. qu'un cylindre & un prisme, qui ent des bafes égales, & la même hauteur, ont la méme folidité. Ainfi le cóne fera au cylindre, ce qae la pyramide eit au prisme: c'eft-a-dire: 5* 363. IV, Que la folidité d'un cêne fea égale au tiers de celui du cylindre de même bafe ff de même bauteur; ou bien, la folidité du cóne fera égale au produit de fa bafe multiplié par le tiers de fa bauteur. §. 364. V. Lorfque la bauteur de F axe d'un cóne efl égale au diamè>re de fa bafe, la folidité de ce corps fera exprimée par le produit de fa bafe multiplièe par le tiers de fon diamètre. §. 3*5- Ce que nous avons démontré dans le 5. 3ó» —35ó- touchant la folidité des prismes & des cvlindres, fera donc applicable aux pyramides & aux cór:es: c'eft a-dire. VI. Que lesfoHditês des pyramides ff des cónes qui ont des bauteurs différentes font entr'elles en raifons compofée.' de leurs bafes ff leurs bauteurs ( Fig. 190.) Ceft-a-dire: Prs A'cCD'. cóne FKG ~BCDX±AN: GFX±KL §, 36Ó. VII. Les folidiiês des pyramides ff des cónes, qui ont mémes bauteurs, font entr'elles comme les furfaces de leurs bafes. %■ 3Ó7. Vilt Les foliditès des pyramides ff des cór,es, dont les bafes fo it égales, font entr'elles comme les bauteurs de ces corps. %• 368  Solidité de la Sphère. 181 %. 368. IX. Lorfque des pyramides ou des cbnes ont la même folidité: les bafes de ces corps feront rêcipro~ quement proportionnelles a leurs bauteurs. III. De la Solidité de la Sphère. §. 369. La Sphère, qne nous avons confidérée au %. 337. en parlar.t de fa furface, comme compofée d'nn nombre infini de cónes tronqués, entaffez les uns fur les autres ; peut auffi (en !a confiderant rélativement a fa folidité) être compoiée d'un même nombre de cór.es p;nntus, égaux & extrémement minces, dont les f^mmets fe raflemblent, fe reuniflent ou coïncident au centre, & dont les bafes rangées les unes a cóté des autres, forment la furface de ce corps. La folidité de la Sphère fera donc égale a la fomme de tous ces cónes: ou bien a un feul cóne de méme bauteur quele rayon de la Sphère, mais dont la bafe circulaire efl égale a toute la furface de la Sphère. §. 3-0. Nous avons démontré au §. 362, que la folidité d'un cóne eft égale au produit, de la furface de fa bafe multiplièe par le tiers de Ia hauteur. Par conféquent. La folidité de la Sphère fera égale au produit de fa furface multiplièe par la ftxième partie de fon diamètre. § 371. Selon le §. 339 la furface de la Sphère eft éeale a celle dc quatre grands cercles. M 3 .La  1S2 Solidité de la Sphère. La folidité de la Sphère fera donc égale a la furface de quatre gr ands eer des, multiplièe par la ftxième partie du diamètre. C'eft-a-dire, que cette jolidité pourra être exprimée par quatre fixièmes ou deux tiers de la furface du grand cercle muitiplié par le diamètre. §. 3?2. Nous avons fait voir au §. 351. que la folidité d'un cylindre, dont la hauteur égale le diamètre de fa bafe, peut étre exprimée par le produit de la furface de cette bafe multiplièe par le diamètre de ce même cercle. Et au §. 364. Que lorfque la hauteur de 1'axe d'un cóne égale le diamètre de fa bafe circulaire, la folidité de ce corps doit-être exprimée par le produit de la furface de la bafe multiplièe par le tiers de fa hauteur, ou par le tiers du diamètre de cette baie. Si donc les diamétres des bafes la hauteur du cylindre ff celle du cóne égalent le di-.mètre de la Sphère, les folidités du cbne,de la Sphère & du cylindre feront entr'elles comme les nombres un , deux ff trois. C'e'r-a-dirj, lorfque les dimenfions de ces trois corps font égales; la Sphère fera le doublé, ff k cylindre le triple du cone. Car le cóne =s furf. de fa bafe X — diamètre 3 La Sphère » furf. du cercle X — diamètre Le c-yl. - furf. de fa bafe X \ diamètre Or ces produits font entr'cux comme — è — a r. 3 3 C'eft-a dire. comme 1 a 2 a 3. (§. I92.) IV. De  IV. Db la compar aison des c orps semblables, 373. Dans le § 320 nous avons définis, les corps*femblables, comme compofés ou compris par le même nombre de plans fembhbles Ö* bomologues. Ainfi deux Cubes ou deuxtphèies font des corps femblables. Deux Prismes ou deux Pyramides feront des corps femblables, toutes les fois que leurs bafes étant des fi ures femblables, les plans, qui forment leurs cótés font des paralelogrammes ou des triangles fembcables. Or comme tous les cercles font des figures femblables, & que par conféquent les bafes des Cyiindres & des Cónes ne fauroient donncrun terme de comparaifon, on a choifi pour cet effet dans ces corps, leurs axes, les diamétres de leurs bafes, & Pangle d'inclinaifon que forment les axes avec les plans de ces bafes. Onnommera donc cyiindres ou cones femblables, ceux, dont'les axes ayant la même inclinaifon.font proportionnels aux diamétres de leurs bafes refpectives. §. 374. Le principe général pour la comparaifon des corps femblables, eft. Que les folidités des corps femblables font entr'elles comme les cubes décrits fur leurs cbtés homologues. Nous allons démontrer cette vérité pour chaque genre dc corps. fc M 4 Pour  18 4 Comparaifon dei corpt femblables. Pour les Prismes femblables. (Fig. 20S.) § 375- I- Comme 1'on fuppofe que les corps ABCDE & abcde font femblables, leurs bafes doivent être des figures femblables, & leurs hauteurs des hgr.es proportionnelles aux cótés homologues . dc ces figures ( §. 373,) Ainfi on pourra fotmer les rrr,Porti0ns fuivantes. Fig. ALCD : Fig. akd - uc\ 0c\, Haut. EF : Haut. ef = BC j bc Multipliant les termes homologues. de ces nro portiom refpectivement Fun par l'autre on oh" tiendra ' Fk.^BCDXhaut£F= prisme ABCDE-] Fig abed X haut ef = prisme £ : Pr. abcde =, £c ffc' Pour /<, Cyiindres femblables. Fig -09 f.l r:V!: Cümme ^ fuppofe ^ue'^s Cyiindres font Lmbables. les angles d'ineünaifon DCE del doivent être égaux entr'eux (5 3?3 ) ' ° Le A DCA fira ^ A dce (§. 202.) & Ies axes fi* —nnels aux diamétres desVes, ^ • o« - CD . cd ~ AB : ab. Pe plus bafe ,45 : bafe fl* =^ ^,5 24Ö . haut. ED:hm. de^ AB : ab.^ 4 ° Mul-  Comparaifon des corps femblables. 185 Multipliant & rëduifant comme dans Partiele précédent, on obtient ^ Cyl. ABD : Cyl. abd ei Aö 5 ab Pour les Pyramides Ö" les cónes femblables (Fig. 210) § 377. Hl. Les axes des Pyramides & des cónes femblables étant dans le même cas que dans les Cyiindres femblables: on pourra faire les trois proportions fuivantes. CD : cd = AB : ab Ou | CD : | cd = : ai. (5. 19O bafe AB-Mteab ~ A i : at. '243 & 246) Multipliant les terme, homologues des deux der- nières proportions, on obtiendra les réfultats lui- vants j CD X bafe 3 cone ABlD ■> ^ j62. | ei X bafe at =3 cóne atc^ ƒ JB X Tij = H 1 i '93ab X ai ss at J Subftituant ces valeurs pour la nouvelle proportion, on obtient - ^ Cóne ABCD : cóne abcd =s AB : Comparaifon des corps femblables. Surf iC?XliB = r°ldelaS^ABCL, , Surf ^ XI ab = fol.de Ia Sph. abcd } §'37°' X AB ^ 1 ab" X ab ^~~al ƒ §' 2^ Subftituant ces valeurs comme dans les cas précedens, on aura y Sphère ABCD : Sphère atef s X' f2 V. Problémes rélatifs au calcul des Surfaces et des Solidités des corps semblables. fft3i?^K,?BLiME L la furface V la foUdaifun prisme ou d,un J J bauteur Je contour & lafurface d( lahaJe/ont cJul CfSLZ\1cn' QUC k haüteur du VteKBEeb itig. 193O foit = i3 pieds: le contour ou Ia fomme des lignes ab + bc + cd + de + ta - ao mVH«. & la furface de la bafe = „s pieds P La furface laterale du corps, ou celles de tousles Pgrs. qui entourrent Ie corps, fera 3 40 X 12 - a o pieds quarrés. (§. 329.} f Lorfque Pon ajoute a cette fomme la furface du -r- 115 _ 5p,3 p-eds quarrés. Pour déterminer Ia folidité de ce corps, on doit O- 3öO  Problémes. 187 O 351) multiplier la furface de la bafe (exprimée par 115 pieds quarrés) par la hauteur. Ainfi la folidité du prisme BEebtein- 115X1* ss 1380 pieds cubiques. REMARQUE. Pour calculer la furface & la folidité d'un cylindre, il fuffit de connoitre la hauteur de ce corps & le diamètre de fa bafe, puisqu'alors on peut calculer par les §. 248 & 351, la circonférence & la furface. §. 380. PROBLÉME IL Déterminer la furface & le folidité d'une Pyramide. SOLUTION. Que dansle A BCD (Fig. 190) la ligne BC foit sa 5; BD = 4 & DC sa 3 pieds, & de plus la furface de A BCD sa 6 pieds quarrés. Lorfque la Pyramide eit droite, les triangles qui 1'entourent auront la même hauteur. Que cette hauteur foit sa 12 pieds. La furf. de la pyr. fera =: a la moitié du produit de fon contour X par la hauteur 332). C'eft-a-dire sa (3 + 4 + 5) 6 sa 12 X 6 3 73 pieds quarrés. Pour déterminer la folidité de cette Pyramide, on doit multiplier la bafe par le tiers de la hauteur perpendiculaire (§. 362,) Si 1'on fuppofe cette hauteur perpendiculaire AM 3 9 pieds; la folidité de la Pyramide fera sa 3 X 6 318 pieds cubiques. §. 381. PROBLÉME III. Déterminer la furface & la folidité d'un cbne droit KFG (Fig. 190.) SO-  188 Probléme. SOLUTION. Oup U i vt c ^ Alors felon lc 5. 249, la circonr de )a bafo ^ - 3.14 X 40 = 125,0 pieds, & ia furface du 0 - 125,6 X 10 = 12-6. (§. I79 ) La furface d'un có.e eft égale a fa circonf. multipliéc par la moitié de fa hauteur laterale (§ 332.) c a. d., furface cóne FIIG - £il x 1:5,0 =3 = 36,9 X 125,0 = 3r8, 64 pieds2quarrés. La folidité du cóne eft égale a fa bafe multiplièe par le tiers de fa hauteur (§ 362 ) Uonc la furface du cóne FHG 50 62800 " ~X 1256 ~ — = 20933 \ P. cub. t! 3 M\ «ff;• PROULÉME IV. ^f^h» fa/ttr^ cr lajohdtte dun cóne tronqué BbcC (Fig. 197.) SOLUTION. Suppofons Ie diamètre BC de la bafe = 40 pieds, Ie diamètre de Ia partie fupeneurer: 16, la hauteur du cóté oblique bB 3 36 & la hauteur perpendiculaire 3 32. Cela étant on obtient par le §. 248. la circonrdu grand cercle BC = 40 X 3,14 =; 125, 6:& cel le du petit be = 16 X 3 .14 ~ 50,24.' La furface du cercle BC 3 125,6 X 10 3 1256 pieds quarrés, celle de be = 50,24 X 8 = 401,92. Par le § 334. la furface d'un cóne tronqué eit égale a la moiré des deux circonf.. multiplièe par la hauteur oblique du cóne tronqué. Donc  Problémes. 189 Donc la furface cherchée fera ( 125.6 + 50.24) 3<* „ . • = 175, 04 X 18 = 5165,12 2 picds quarrés. Pour déterminer la folidité du cóne tronqué, on cherchera celle dtfcóiie emier, en enfülte celle de la partie retranchée, la différence entre ces deux produits donnera la folidité demandée. Selon le %. 362, la folidité du cóne entier BAC eft égale a la fuifacede la bafe multiplièe par letierS de fa hauteur. Ainfi la folidité du cóne ABC fera. j2a6X^o 3 — • 3 20933,33 Pieds CubeS- d Donc la folidité du cóne tronqué BbcC fera sa 20933,33—2411,52 = 18521,81 p. cub. §. 383- PROBLÉME V. Déterminer la furface Cf 'la folidité d'une Sphère dont le diamètre eft donnée. SOLUTION. Soit le diamètre donné 360 P,La'circonf. du grand cercle fera fj- 248.) a 60 X 5,14 f= 188,4 Ficds' Et parVi 339 , * de la SPhère « Ö°X 188 4 s H30I4 P'-eds quarrés. Or la folidité de la Sphère eft égale a fa furface multiplièe par la hxieme partie de fon diamètre GV 372 ) Ainfi la folidité cherchéc fera 3 1130,4 X 10 11304 pieds cubes. §. 384. PROBLÉME VI. Déterminer la furface (f la folidité d'unfegment de Sphère a B c (Fig. aoa)  '5° Problémes. SOXUTION. Selonle§ 34i, la furface convexe du fegment aBc eit égale a la circonférence du cyhndre ADLC multiplièe par la hauteur DA Or cette circonférence eit - 3>I4 ^ ^ Donc la furface du fegment de Sphère aBc fera 3>^ X AC X ± AD. Si = 40 & j_ AD =3 10 pieds, la furface fera 3^4 X 40 X 10 « 3,14 X 400 = 1256 p. quarrés. Pour déterminer la folidité, il faut fa.re le raifonnement fuivant. 1: On peut confidérer le fegment comme un cóne tronqué dont la furface de la bafe eft celle que nous venons de calcu!er, & dont la hauteur eft la J_ AD. (§. 338.) 2». Si le cóne que nous venons de fuppofer, n'étoit point tronqué fa hauteur feroit égale a la moitié du diamètre AC (§. 370, ) II fuit de raifonnement que la foliditéd'un tel cóne eft égale au cercle décrit fur AC multiplié par la fixieme partie du même AC: c'eft-a-dire =s 0 AC X — AC. 6 De ce cóne on doit rétrancher, la partie tron- T;J°nï 13 b2fe Cft 1C CCrde ac & dont la Auteur eft défignée par i Dd-AD = j AC—AD La folidité du cóne que nous venons de' fuppofer pourra donc être exprimée de la manière fuivante. (i AC — AD) 3 Donc la folidité du fegment a B c 1 © ac =5 © AC X — AC moins (j AC ~- AD) 6 3 § 38r.  Problémes. iQI $ 585. PROBLÉME VII. Déterminer la folidité d'un'corps irrégulier, par exmple celle d'une grappe de r ai fins. SOLUTION. La méthode la plus facile pour déterminer la folidité d'un petit corps irrégulier & mobile eft de le plonger dans un vafe rempli d'eau & de méfurer combien le corps en déplace ou en fait fortir par fon immerfion. Cette quantité d'eau déplacée exprimera le volume ou la folidité Géométrique du corps. F I N.  FAUT ES A CORRIGER. Pag 7 >«gne 17 tl y a fouftant lifez fouftend ra —- 4 ^ & c — ^ & ^ 3° 3 & 17. ajoutez Comme il eft évi¬ dent par le §. 52. — 39 0. II y a BD — BD lifez BD - DC — 4Ö 4 ^ —. & 47 —- 7 A CJ£ A ^DC — 6y —— 4 d'enbaS, 7/ y a quarré CKLD It* fez Rgle CKLD Ibfê, dernière ligne 1 *. EKLA — Rgle EKLA. 73 —- 4 - Fig. 133 .— Fig. r34. — 01 —- 15 G = H — G : H — jC2 3 BC : AC-BC : CE BC : AC 3 AC : C£. — 127 13 BC — ~BC 13-2 24 , 51446,76' 5144&7Ö itfo ö — confidèré —- confidère