Wiskundig flxenootscïiaj»:
Ken onvermoeide arbeid komt alles te hoven.
waarde ƒ /: -



VERKLARING
du
GRONDEN
van de
ZEEMANS TAFELEN
van
C ORNELIS DOUWES,
Of der manier om uit twee waargenome Hoogten dèr Zon buiten den Middag, de Breedte eener Plaats te vinden.
DOOR
P. NIEUWLAND,
A. L. Af., laatst Hoogleeraar der Wysgeerte en Wiskunde te Leiden.
Uit het Hoogduitsch vertaald, en met Aanmerkingen uitgegeeven
DOOR
J. F. van BEECK CALKOEN,
A. L. M- , en buitengewoon Hoogleeraar der Wysgeerte te Leiden.
Te AMSTERDAM,
By G. HULST van KEULEN,
Boek- en Zeekaarteverkoper, Compas, Sextant, Oftant, Quadrant, Graadboog en Mathematifche Initrumentemaker, aan de Oostzyde van de Nieuwe Brug. Anno 1800.






(III)
VOORBERIGT.
By eene nieuwe Uitgave ^rüouWES TAFELEN.
fcheen my eene verklaring der gronden , op welke de manier van douwes zelve berust, noodzakelyk se zyn , te meer daar dezelve in de gewone Zeemans Handleidingen niet gevonden word: de Heer dou wes gaf in het /fte Deel der Verhandelingen van de Haarlemfche Maatfchappy , reeds eene verklaring zyner manier om de Breedte buiten den middag te vinden 3 in het licht, doch de Heer nieuwland behandelde dezelve met alle duidelykheid in eene Verhandeling in het Hoogduitsch, wélke in het ƒ/** Supplement op bode's Jaarboeken gedrukt is. Ik achte het der nagedachtenis van deezm geachten geleerden verfchuldigd, liever zyne Verhandeling, voor zo verre dezelve regtftreeks de manier van Douw és verklaard, in hit Neder duit sch voor deeze Uitgave te plaat/in, dan zelve iets nieuws hier over optejkllen: ik heb uit de Verhandeling van n. dat %een, 't welk hel bewys van fembêrton betreft} weggelaten, daar ik , hetzelve willende plaatfen , tevens de manieren van borda en de la caillb zoude moeten behandelen , en deeze uit andere Zeevaartkundige Schriften reeds bekend zyn. Hier en daar heb ik verfcheidene Aantekeningen, Ophelderingen en Byvoegzels, zo van de Heer von zach als van my zelve ''er by gevoegd; en vertrouwe dat niets boven de vatbaarheid des kundigen Scheipsbefluurers in deeze zyn zal.
Amflerdam
inJanuarylZoo. i. f. VAN BEECK CALKOEN.
* 2 Over



(iv )
over. de manier. van doüwes.
uit twee waargenomene hoogten der zon buiten den middag de breedte eeneh. plaats te vinden.
Naar het Hoogduitsch van den H. Nieuwland. (Zie bode's Jahrb. I. Suppl. Band pag. 42. &c.)
Het Sterrekundig voortel de Breedte of Poolboogte ccner plaats te vinden, is buiten twyffel van zeer veel gewigt in de Aardryks- cn Zeevaartkunde; onder de menigvuldige oplosfingen van het zelve is voorzeker die , welke , de Breedte der plaats, uit twee waarnemingen der Zonshoogte buiten den middag, en de tyd die tusfehen de beide waarnemingen verloopt, doet vinden, eene dernuttigfte en meest gefchiktc; het volgende behelst eene volledige oplosfmg van dit voor de Zeeman zobelangryk voorftel.
(Fig. 1.) Z zy het toppunt, P de pool der Evenagtslyn, HN de Gezigtcindcr, ER de Evcnagtslyn, LS een parallel der Zon, Q cn O twee waargenomene Zonsplaatfen; dus is PZ het compl. der Breedte: men kent wyders de bogen O Z en Q Z complementen der waargenomene hoogten of afftanden van het toppunt Z, P O en P~Q compl. der afwyking van de Zon of Ster zyn insgclyksbekend; de hoek O P Q vindt men uit de waargenomene tusfebentyd;' men vindt door rekening in den klootfchenDriehoek PO waarin dus twee zyden en dc ingeflote hoek gegeven zyn.' een der andere hoeken OQP, en de boog OQ (*)• in den Driehoek OZQ heeft men dan de zydc OQ,ZO cn ZQ bekend, cn vind dc hoek OQZ,endusZQPOQP — OQZ; dus in den Driehoek ZQP, uit QP, ZQ en de hoek ZQP, de zyde PZ of het complément der Breedte (**), om deeze bcreckening ge-
mak-
(*) Te weten de boog des grooten Cirkels door O en Q gaande. C**) De H. N. verklaart hier de manier, waarop men de gezogte Breedte door oplosfmg dezer Driehoeken kan vinden, men heeft be. ■„ ha'-



(v)
maklyker en korter te maken, daar zy de oplosfmg van, meer dan ecnen klootfchen Driehoek vereischt, is mens
. hjilres-dcczc, ccnc analytifche manier , welke dit vraagfr.uk even volko-S men cn direct oplost: (kaestn. Astron. Abh. 1, th. pag. 413.) t zy doj. Uurhoek der eerste, T der tweede waarneming, nu is r — T ~ 2 ƒ hei bekend onderfchejd in graden,indien dc beide waarncmingep ten oosten van de meridiaan zyn; doch ten westen is T — £ _ 2 ƒ, en , zo dc eene ten oosten , dc andere ten westen zy f -f- T — 3 f, t zy dc Poolshoogte, 3 de Declinatie (Noord.) h zy dc hoogte by da eerste, H by de tweede waarneeming; dus heeft men naar de klootfcha
A mcctingCo/: t ~~"-''~Si"-e/'"S of (Sn. t Sin. S,m; Cof. t Cof. 3, n Co/, s L,oj* o
■ nocmcndc)Cop~^H! Co/.T=^l^ ;maarT-r-2fof2 ƒ-1,
Ij»"» «»»>J,t>«« v>«£ ■»« n *'T* "-''Hl
dus Cof T — Cof. t Cof. 2/4- Sin. t Sin. 2 ƒ voorbelde gevallen,
dus Si"- 11 ~ "' = Cof. t Cof. 2 ƒ+ Sn. tSn.2f = ^ " ~ » " " .
| Cof H f 4- Sin. 2 ƒ J/i — —w^*. waaruit, na bchoor-
lykc reductie, cn 2 Sin- f2 voor 1 — Cof. 2 ƒltellcnde, men verkrygt
g/i.H +■£■•"■„--- 5?n.H &•;;./) Co/Ta ƒ, , ... _ , _ ,. _ ^ ^ _ —!~^i-niCof.p-m(Sn-lI-+-Sin.hy=0
of daar m, en n alleen de gezogte Poolshoogten bevatte, en al het overige
üi^A i n. 11 Sn- H2 + ** ~- 3 Sn- H -*»• A Co/: 2 ƒ
bekend is, ltcllc men — _____ !—1 ~ a
4 Sin. ƒ2
alsdan is a + m' - n! Co/: p — m (Sin^B. SiVi. /;) £r O of voor in cn h dcrzclver waardy iïdlcnde
fl-f-A7/i.£ Swj.J ~ Cof p Cof.FCofS~(Sin.H+Sin.lf)Sin 3Sin.i = Q in welke Acquatie S/n. c alleen onbekend is en moet gevonden worden ; men heeft dan ook a+Sn t2 (Sin. 32 + Cof. p Cof. F) — Cof.p CoC S2— (Sin. H + Sin. h) Sin. S Sn. $ __0 daar naSin. S-~ 1— Cof.S2, is ook Sn. ê'-f- Cof.S Cof.p = i — Cqf. 32 + Cof.32-Cof.p~ t -f- (Cof. f-—ï)Cof.$-oï~i~- Sin. f - Cof. S2
men heeft dus Sin. S— S».K+Sn. h Sn. * __ Cof.p Cof.J2- a
1 — Sin. p Cof. 1 — Sn. f2 Cof. S2
cc- ,r.,,_r. n. „ jso- < (5///. H-f-5/n./;)&•« 5 „. _ Cof.32—Sin.p2—a
of,(5i«.fCo/:S__&«.^ftcllcnde).i«.£5—i Sin.f= ——„ .
Cof. p1 Cof p-
waaruit_i«.i.__&'" H + &» /1 Sn. 3 4. //^ZofP—Sin. p' — a Sin.tt+Sin.h2 Sin. 3
2 co/: p2 — a co/: j>3 + 4 Coy:
dc Sinns der gezogte Poolshoogte of Breedte. VBC.
i * 3



I op eene manier by nadering bedagt geweest, welke nogthands even zeker tot het oogmerk leiden zoude, la caille gaf eene tamelyk gemaklyke, maar deeze vcreischte met alleen drie waarnemingen, doch gronde zig ook op ccne met volkomen waare onderflelling, dat de veranderingen der afftand van het toppunt, na genoeg aan de vierkanten der uurhoeken evenredig zyn. (*) Naderhand heeft d'alembert (**) deeze manier van r>. i: c. onderzogt, en haarc gebreken aangetoond.
bob,da flocg eene andere voor, die wel nauwkeuriger is, maar my weinig korter, dan de ftrikte berekening voorkomt; zy komt voornamcntlyk hierop uit; dat men naar veronderftelde Breedten den uurhoek berek'ene, en dan door Interpolatie dc waare Breedte vinde.
De manier van doüwes, welke het eerst in het ï. D. der verhandelingen van de Hol/andfihe Maatfchappy der PTe tenfcliappeu te Haarlem door Hem zelve bekend gemaakt wierd, heeft zeer veel boven de reeds gemelde vooruit; cn in eemge Tafelen gebragt, is haar gebruik zeer gcmaklyk gemaakt ; weshalven de Commisfarisfen over de Lengte in Engeland, aan deszejfs uitvinder eene aanzienlyke beloning! toezonden, en fints is deeze manier, zo wel by de En-! gelfche als Hollandfche Zeelieden algemeen aangenomen en! ingevoerd; met dit al is het vreemd, dat men in gcene der zeevaartkundige leerboeken eenig bewys van dezelve aantreft; zelfs zoekt men dit te vergcefsch in de nieuwe uitgaave der Franfche Encyclopédie méthodique de la Ma-\ fine, zo dat men zig algemeen met regt hier over beklaagd heeft; Ik meen het dan niet ondienstig te zyn my hier 'over ecnigzints breedvoerig intelaten, het welk min-l der vocglyk zyn zoude, by aldicn deeze manier meer bekend was. Het bewys bet welk ik thands geven wilde is het zelfde als dat van dotwes, doch in meer dan een opzigt verkort en verbeterd.
ZLHTPN (fig. a en3.) zy de Meridiaan, T het toppunft, ZN de projeftie des gezigteinders, LW die der
Eve-
(*) Bonguer traite dc navigation par la Caille p. 223. (»♦) Opincnics Math. tom. IV. p. 357. ——■*MmwM -iii»WCT^Maii, ,„ magaammammm^iam__=_



( VII )
Evenagtslyn, P de pool der Evenagtslyn, PW deszclfs As, IIGOR eene doorfnccde van de parallel der Zon met het vlak der Meridiaan, het welk dat van het papier is: aHMbR zy deeze parallel, perpendiculair op de meridiaan vlakte: de geftipte lynen zyn in het vlak der parallel; Indien men nu de boog HT kent, zo verkrygt men, indien men de boog HL, welke de afwyking der Zon is, hier by voegd, of van aftrekt, dc boog Z L het compl, der Breedte; a en b zyn dan twee plaatfen, in welke de hoogten h en h' der Zon zyn waargenomen, M het midden van de boog tusfehen deeze beide begrepen, in A en B de perpendiculaire projecticn dcezer plaatfen op de Meridiaan vlakte; wyders trekke men de perpendiculairen aA,, brB of bBr, ar, HK, A*, By, AF, BC, dc chordé ab, en de radius GM; alsdan heeft menHK_ Cofllt A*= Si/?. h,By - Sin. ti , AC = Sin. h v>Sin. h' (*> Voorts merke men nog aan dat de lyn H K (_ Cof. H T) twee declen heeft, HF namentlyk, cn ¥k (= Sin. /i): Nu wordt veronderftelt, dat men deeze laatftc zeer naauWr keurig kent; eene ongevecre waardy by nadering voor HK nccmendc, cn door deeze HF bepalende, verkrygt men, indien men FK by dezelve voegd, eene veel naauwkcurigcr waardy voor HK, dan die, welke men had aangenomen: In 't gemeen, indien men eene sequatic x — ay heeft, is ydcr verandering van y gclyk aan een verandering van x gcdeelt door a, dus word ook yder verfchil vanjydeste kleiner, naar mate a groter zy dan de eenheid (**): op dit eenvoudig beginzel berust de fchrandere manier van douwesj hy zoekt namentlyk door eene ondcrftelde genaderde waardy van HK, de waardy van HF, welke
hy
(*) Het teken «5 word Tan cagnoli (Traité de Trigon. Art. 128) gebruikt, om in 't gemeen het verfchil van twee grootheden, het zy decerfte grooter of kleiner zy, dan dc tweede, aantcduidcH N—d
(+*) De H. N. drukt dit door dc gewoone tekens der variatie rekening uit, 'maar ik heb my liever van omfchryving bediend, om rtict, zonder noodzaak, voor zommige ja dc mccs.te leezers, welke met deeze rekening niet bekend zyn, eenigszints onverftaanbaar te worden. VBC.
* 4



( vin )
by vervolgends by FK (= Sin. fi) voegd, om eene genoegzaam naauwkeurige waardy van FH te verkrygenHy bediend zig hier toe van de manier der projeftien, en verrigt aUes door de oplosling van regtlynigc Driehoeken, het welk men niet zelden met zeer goed gevolg by verfcheide klootiche Voorftellen doen kan, en welks nut by moeilyke en ingewikkelde Vraagöukken de H. caluso m het eerfte D. der Memoires de Turin heeft aangetoond.
I De Hoek CAB = FHA = LWT - de boog LT of onderftelde Pools hoogte, welke ik L noeme Nu heeft men AC: AB - Rad: Sec. CAB (- Sec. L)
derhalven AB = AQ Jg Rad.
ab: ar - Rad: Sin. abr ; dus Sin. ah* _Rad-x^ IINuis«r_ AB;deRadius= i ftellendc, is AB — AC Sec.h—ar daar nu Sin. abr = ~ (de Radius = i feilende) AC
is Sin. abr = — Sec. L ab
a b = 1 a d maar i -.Sin. a G M of a M als M G C- H GV a a dus ab = _HG Sin. aM, nu is HG;HW_ i-Sec D
dus ab _ aHW- Sin- *M Sec. D.
Hl. Deeze waardy van ab in de plaats Hellende in — Sec. L
ab '
i-™,* r- , AC. Sec. L. Sec. D
komt S:n. abr — — 1 _ nf rww — r ^
a HW „fc aM ot'^W=I ftcl"
lende) Sin. abr- __2__^ï_Jf£_D iSin. aM. ' IV. Eindelyk = HGM (wyldeZB Gdeszclfscompliment tot 90° tevens het compl. van de hoek abr is)
wiens boog HM, komt 2 Sin. HM- — See' L • jjf_D
JV». ^M
nu is J/ft _ de Radius = i Hellende ; dus
a Sin. HM _ AC. Sec. L. D. Cofec. aM of in
LO-



(ix)
Logarithmen Log. Sin. HM — Log. AC -f- Log. Sec. D -f- Log. Co fee. a M — Log, i, eene formule, welke Douwes door zyne Tafelen zeer gemaklyk gemaakt heeft. (*)
Men vind in dezelve voor yder halve minut van het tydverloop tusfehen de beide waarnemingen den Log. Co fee. aM, en den Log. Sin. HM -f- Log. 2, de eerfte deezcr Logarithmen noemt hy Logarithm- des \ verlopen tyds, de andere Logarithm. der middentyd (**).
V. Neemt men nu het verfchil der bogen HMcn^M, dc kleinere van de grotere aftrekkende, zo verkrygt men de boog aH wiens Sinus Verf. AH is voor den Radius GH,
en dus voor den Radius WH , —~f' ; men heeft
Sec. D
dan AH _ i&^frffi HF = Sec. AHF: Rad. Sec. D
~ „ , , . Rad*.Sin.v.aH — Sec. h: Rad., dus ook HF ——=—-—-—-—-.welke
Sec. L. Sec. D
formule, door een Tafel die de Log. Sin. verfus der bogen aH van 30" tot 30" in tyd opgeeft, gemaklyk gemaakt is, en welke Douwes Logarith. Ryfingnoemt (***).
Deeze formules kunnen tot de volgende regels gebragt worden.
L Reg. Men zoeke in de gewoone Logarithm. Tafelen der Log. Sec. L en den Log. Sec. D , indien men voor wyzer (of getal ter linker zyde van het comma) o, in
plaats
(*) Dit bewys verfchilt ecnigszints, van het geen in de Hoogd. Verhandeling van N — d. ftaat, in welke eenige onnauwkeurigheden ten dezen opzigte zyn ingeflopen. VBC.
(**) Is de Sons hoogte by de tweede waarneming groter, danby de eerfte , zo is M voordemiddag , indien zy kleiner zy, nademiddag: is de middag tusfehen dc beide waarnemingen in, dan is iM>HM: zyn beide voor of nademiddag , dan is aM <HM. N — d.
(***) De Engclfche noemen deze Log rijing, den eerften der twee te voren gemelden Log. half elapfed time, den tweeden Log. middle time. In de Requijite tables zyn deze van 10" tot 10" voor 8 uitren; in de Guide des Navigateurs, voor 5 uuren berekend. V. Z.
' * 5 '



I (x)
1 plaats van 10, neemt; addeerende verkrygt men den Logarithmus (A), welke beftendig voor alle waarneemingen des zclven daags genomen blyft. Aanm. Men veronderftelt gewoonlyk byde manier van D. dat de afwyking der Zon tusfehen de twee waarneemingen dezelfde blyft, (wyl in Fig. i cn 3 HR parallel met LW genomen word) men zal in 't vervolg zien, hoe deeze misüag kan , verbeterd worden; doch in de meeste gevallen is het toereikend eene gemiddelde afwy- i king te necmen, tusfehen beide de waarnecmingen vallende, by Reg. VUL moet men in alle geval de afwyking voor het ogenblik van den waaren middag neemen (*); ook kan men in plaats van Log. Sec. het complement van Log. Cofm. gebruiken (**). II, Men zoeke in de Natuurlyke Sinus Tafelen , de Sinus der beide waargenomene hoogten, en trekke de eene
Ivan dc andere af; verders zoeke men den Logarithmus van dit verfchil inde Log, Tafelen der natuurlyke getallen. (B) Aamn. douwes berekende zyne Tafelen voor den Radius 100000; gebruikt men nu natuurlyke Sinusfen voor den Radius 10 00 000 moet de Wyzer van de Log. des verfchils a verminderd worden,
j III. Men nceme het halve tydverloop tusfehen de beide waarnemingen, en zoek in de Tafelen van Ds. den [ Logarithmus der half' verlopene tyd. (C) Aanm.
(*) Wel te verftaan in het byvocgen of aftrekken der Declinatie van den boog, wiens Sinus (FH-f-FK) of de verbeterde middag hoogte is; D is altoos de gemiddelde afwyking in dc formule.
VBC.
(**) Men kan zig zoms niet van dc Secans bedienen, zo als in dc nieuwe callets Tafelen, welke gecne Secans behelzen; doch mec
weet uit de Driehockmcting dat Sec. _ R" of R — 1 itel-
Cojlnus
lende Sec. rr . ^ dus Log. Sec. ~ compl. van den Logarith. Cofinui. VBC



( xi )
Aanm. Is de twede waarneming na de middag gemaakt, dan moet men eerst ia uuren tot dezelve addceren, en alsdan de tyd der eerste waarneming van dezelve aftrekken. IV. Men addcere de drie gevondene getallen by elkander, namentlyk het getal (A), de Log. van het ver- : fchil der Sinusfen, en den Log. der § verlopene tyd, deeze Som maakt den Logarithmus der middentyd, die men vervolgends in douwes Tafelen opzoeke.
V. Men trekke de laatstgevondcne tyd (Rcg. IV.) van het halve tydverloop af, de klcinfte van de grootfte, dan verkrygt men den afftand der Zon in tyd van den middag by de grootfte der beide Zonnehoogten. Aanm. Hier door verkrygt men tevens den gang van
het uurwerk; doch daar dezelve dus uit eene; waarneming, die zeer digt aan den middag is , word afgeleidt, doet men beter de ware tyd door andere hoogten te bepalen.
VI. Men zoeke voor deeze tyd in Ds. tafelen deri; Logarithm. der Hoogte , en trekke het getal (A.) van deeze af, zoeke wyders den Logarith. van het overige in de natuurlyke getallen op, zo verkrygt men de waardy van HF.
Aanm. Indien men zig liever van Tafelen der Sinus Verfus in plaats van die van douwes bedient , moet men dcrzelver charafteriltik of wyzer 5 verminderen, indien dc radius 100 oo ooo , 3 indien dezelve iooooo zy aangenomen. By den Logarithm. der natuurlyke getallen moet deeze wyzer i vermeerderd worden , als men den Radius iooooooo gebruikt.
VII. Men addeere IIF by F K (= den Sinus der grootfte h oogtc) zo verkrygt men II K = Sinus der middaghoogte van de Zon, of Cofinus van deszelfs afftand van 't toppunt.
VIII. De Som of het verfchil deezer afftand, met de afwyking der Zon (Declinatie) welke bekend is voor het oogenblik des waaren middags, zal de gezogte
Breedte van de plaats der waarneming geven.
!.»uni\pD .Aihü$o_ a}[) urv Sqtaoi ~ -xZ .-«0.1 wb " sbmu
j -OffV OmJ



(XII)
Om deeze voorfchriften op eene dadelyke waarneemins toetepasfen, en een uitgewerkt bewys van dezelve te geeven, verkies ik hiertoe de waarnemingen, welke ilc eedu rende myn verblyf in Gotha, by den Overften von zach met deszelfs Hadleyfcben Sextant en Chronometer van Emery m Erfurt, welke plaats reeds te voren door den H, VZ. bepaald was, gedaan heb.
Koorbeeld.
Den 34fte September 1792 nam de H. VZ.waar des voormiddags om 9- 7' 36» tyd des Chronometers de ware hoogte van het middepunct der Zon . 27°27' 3V" ten 11» 58'40" . . ; ogo^g/r
Hoewel de Breedte van Erfurt tusfehen 500 58' en bekend is, willen wy onderfteüen dat dezelve 6' onzeker was, en dus 500 53' aanneemen. De Q Deel op den middag den 04 Sept. 0° 49' 1» Zuidl., de eerste waarnemingen, en van welke die om 9» 7' 38" de eerste waaren, zyn tusfehen 9" 7'' en 9» ao' dus ongeveer om 9" 13 genomen; (*) en dus ? 47' voor de middag, dus de tusichentyd tusfehen de eerste en laatste waarneming tegen den middag i»^ iS; («) Nu veranderdt dc afwyking
. on-
(*) Zie de aanmerking op de volgende bladzyde. (**) De beide voorbeelden bewyzen, zo welde nauwkeurigheid der waarneming, ab die der methode. Dan om afzonderlyk te tonen, hoe weinig invloed cenige minuten mjsgi.fing in aangenomene Breedte op | de bepaling der Breedte zelve hebben , berekene men het Ilde voorbeeld doch ncemc voor aangenomene Breedte cene misgisfag van 4-6' du* aangenomene Brecdtest0 s' o" Co-log. Cof.0.2019032 O Zuidl. Deel. 0° 50-24" Co-log. Cof. 0.0000467
0.2019499 (A)
i Tydverl. i« 20' 4" als in voorb. II. 0,46560^4 (C) } als in ': IIde voorb' i«125/4_i^komt overeen met Log. 4.8645858^ s°m CA) 4- (B) 4- QQ 5*37" Log. hoogte 1.47694 cLog. der midd. tyd.
— log(A) 0.20195
'D JJfiV . 1£ ' . „ . - .
1.27494 waarvan het nat. getal 18,83 O gr. hoogte 61828,63 Som 61847,46
=r=FiSSmSSSSS—i_i " _
doch ncemc voor aangenomene Breedte cene misgisfag van 4-6' du* !aangenomencBTeedte5i° 5' o" Co-log. Cof.0.2019032



( xin )
iongeveer i' in het uur: Hier door verkrygt men Afwyking der Q oV i"— i'ii'-=0ow'#'' Z. :aangen. Breedte 5o°53r o" Co-log. Cof. 0,2000384 iZuidl.O'Declin. o047'38" Co-log. Cof. 0,0000417
0,2000801 (A) reg. r. igr. O' hoogte 38011' 28" Nat.Sin.d\ 8 2863 :kl. . . . . 27V37" • • • • 4608755
i574io8£.4,i970345 (B) reg. o.
1 tyd derWaarn. 1 i»58'4o"
9 7 38
Tydverloop 2u5i' 2"
Helft ' i»aS,3i''_v_hetitydv^438a5^(C)rc^ 3. (B)+(f~ reg. 4. Log. i"ao' 3" komt overeen met 4>83537i5|L°™/der middcntyd.: reg. 5.(*)verf.ou 5'28''hicrvoor.L.hoogte 1,4530124 Log. (A) 0,3000801 reg.6. verfch. óeiLog. 1,2529323 waarvan het natget. 17,90 Sinus der gr. hoogte 61828,63 reg. 7. Som 61846,53
deNamurl. J/VwvanditgetalisdiederG!m'ldda?hooSte = 38"ia,I5" rei- 8-
Gs Zuidl. Declin. + /W *" Compl. der Breedte 390 1' 16" Breedte 5o°58r44"
Tweede Voorbeeld. Deszelven daags nam de H. VZ. correspondeerende Qs hoogten, en nam dezelfde eerste hoogte 270 27' 37" waar, des namidd. om au 38' 48": de O» Declinatie is nu o° 49' i« + i' 23" = o° 50' 24" Zuidl. wy #ry:>en dus volgends dezelfde regels
dc Nat. Sin. hiervan is die der O middaghoogte — 380 PE*
O Zuid. Deel. o" 49'
Compl. d. Breedte 39" l' li"
Breedte 500 58' 42", dus voor 12' verfchil in aangenome Breedte niet meer dan 3" in de waare Breedte, waar uit ten volle het eigenaartig voordeel van deeze manier blykt. VBC.
(*) Dit get?.l(o» 5' 28") is de afftand der grootfte hoogte van de middag, daar de middemyd H M i" 2o' 3" kleiner is, dan het halve tydverloop aM, het welk i" 25' 31", valt de tweed., waarneming na de middag, dit verfchil 5' 28" van de tyd der tweede waarneming 1 iu 5f>' 4°" aftrekkende komt 11« 53' 12" voor de ware middag naar de Chronometer, dezelve was door cötresDondcerende hoogten li»53' 33" gevonden , men zie over dit verfchil dc nanm- op reg. V. VBC



(xiv ) -
Aangen.; Breedte 50^3' o" Co-log.Cof. 0,2000384 Os Zuidl. Declrn. sfi&^i Co~log. Cof 0,0000467
Log. van het verfchil der beide hoogten? 0,2006851
dezel f"de als in 't fits voorb. $ 4) 1970345 (B) tydderWaarn.i4«38'4b" • ■ •Ij-a ii"58'4o Tydverloop aa^d 8"
Helft r-20' 4» L. der | veil. tyd^4656014 (C)
ptf. i-^o" komt overeen met 4,8627210$$°m (A) 4- (B)-f- (Q verfchiie)5'26"dusi.dcrhoogtcI,4496327 g' ^ middentydAg-. (A) 0,2000851
15249547Ó waarvan het nat. getal 17,76 Sin. der gr. Q hoogte 61828,63
de Nar, Sin. hiervan is die der ©«middaghoogte. 38012' i4" S°m ~^^39 Os Zuidl. Deel. off4c/ 1" Compl. der Breedte ^~Vl^r _ j Breedte 50°58,4:;"
■ Deeze refultaateïi zyn inderdaad allernauwkeurigst ■ dien. " zeh-en dag vonden wy de Breedte van Erfurt 500 5 ^ ' door middag hoogte, en uit vyf andere waarnemingen zeer d gt by den middag, vond men (naar de manier Lor I H. VZ ,n het Berl. Jaarboek i794 p. I?9 verklaart cn aanbevolen) 5o° r8' 46» dl" ,Jt ,J ,, %crMaart cn middeiwpMl «~n „, ' 1 '-53 ' 47 ' 50 ; waa™'t het middenget fleps 6» van de uiterfte waarnemingen afwykt, cn 50 58 47»,4 Voor dc Breedte van Erfurt geeft ■ in
50 o9 8 gevonden. Daar wy dces dag verfchcidene cor
Enïïfrf h°°gten namCn °m dc den ï TT A, , Chr°nomfers te b=Pa^, heb ik alle de en-
Ï r SLTef11-j£ V0°r- Cn namidd^ m« Sfe welke ' zeer naby den middag genomen waren, verbonden en de
Stroomaf" V°!8Cnd tafdtjC gGbra^ -Vhier hef weineTT r^100 ^ «^gheid men met het kleine Hadleyfche Sextant bereiken kan, en hoe vol-
—»s „. . • ko-
, C ƒ Hier o de middentyd groter, dan het W7y^y^~^u, ^waarnen.ngc^n.iddag, op de2elfJc 2ydg j^rMeridiaan N-D !



(XV )
komen deeze rekenings en waarnemingsmanier zelve is, S terwyl het tevens ten voorbedde onzer aanmerkingen | over dezelve dienen zal. De aangeweze tyd is die des | Chronometers; men merke vooral, dat men by het gebruik deezer manier niet de waare tyd, maar alleen het tydverloop tusfehen de waarnemingen behoeft te kennen; wy wisten wyders uit onze corresponderende hoogten, dat de Chronometer 6' n" na de waare Erfurtcr tyd agter was.
Waare hoogte I Tyd des I II Tyd des I
van G'mid- Chron. Breedte. Chron. Breedte.
denpunt. | Voormidd. I 11 Namidd. | •£ ,
Naar dc Waarnemingen van dc Heer vqn z ach.
27* 27'37'' 9U 7'38" 5o°5S'44/' ei^^S'' 50° 48'45"
32 37 8 20 43 — —
37 38 94 42 37'20" 46"
47 38 10 27 41,5 37 57 46,5
52 49 11 14 42 35 14 47
57 39 "58 42,5 34 3° 47
a8° 2 39 12 39 42 33 47 47 '
7 39 13 26 42,5
12 40 14 9 42
17 4° 14 53 42 ' — :
22 40 .15 36 42
27 41 16 22 42 —
32 4! !7 6 43 — — —; " —
37 42 17 5i 43 28 37' 4»
42 42 18 41 4I>5 27 55 47 ,
47 42 I I9_E3_ 43,5 27 9 46^
Midden uit 16 Waam. so^b^", 3 I midden uit 5o»58y3Óy'',2
wier grootst verfchil. 2",5 I 9 gr. ver. 2"
Naar myne Waarnemingen.
29" 37'45" 9* 26'5+" 5o°58'43" «
47 46 28 15 39 - - — - - -
57 47 29 52 40,5 2» 16'33" 5o°58/43 ''
30 7 47 31 28 40,5 14 57 43 17 48 33 2 40 13 23 48 27 48 34 40 40,5 11 45 47,5 37 49 36 15 4° 10 7 47
47 49 37 50 39.5 — — — — j
57 5° 39 32 43 6 46 45",5
31 7 5o 37 6 39
Midden uit 9 gr. 50°58'4o",5| [midden uit 5o»5Ï/45/',8
verfch. 4" ||6gr.vcr. 5" ;
Indien men deeze en zclts de itrikte iormulen m byzondere gevallen gebruikt, geven dezelve niet altyd gelyke refultaten, wanneer er eenige fouten in de gegevcne grootheden zelve zyn. In zommige gevallen worden deeze fou-
fT-VTnsfttbiinimob dby\ bBfioxoD q*-> BSBbf/ifltsrt wb raatïüiMirKRlfcfl!



ten vry aanmerkelyk, in andere zyn dezelve onbeduidend, fchoon men in beide dezelfde manier van rekening bezige"; men behoord dan in alle manier by nadering, gelyk deeze van douwes is, hier op naauwkeurig agt geven. Wy zullen des kortlyk onderzoeken den invloed, welke de fouten in dc gegevene grootheden op het refultaat hebben moeten, en hier uit eenige voorfchriften, nopens de min of meer voordeelige omltandigheden, op welke men by deeze waarnemingen letten moet, afleiden.
Reeds merkten wy aan, dat de waardy HF, welke gevoniden moet worden, van de Breedte L zelve afhangt, en dus de aangenome Breedte altyd eenige invloed, hoe klein dan
ook, op deeze waardy hebben zal, nu zy x — p -f- -
(waar — de waardy van HF, x de Breedte L «itdrukO
dan is ydere verandering van x of Ajt, in HF =- ;
«
hoe grooter derhalven « zy, des te kleiner is de invloed der verandering van * op HF; daar nu x = p
n r
de O* grootfte hoogte is en dus niet veranderd, zo is yder verandering in aangenome Breedte , door het gedeelte, 't welk FH van deeze aangenomene Breedte uitmaakt of (-^vermenigvuldigt, aan de verandering inFH
en dus der ware Breedte gelyk : HF moet derhalven zo klein mogelyk genomen worden : HF zy dan z; zo is bekend dat HK (= Sin. O' middaghoogte) - F K-f-HF=Sin. h -f- z(*)
der-
(*) Zy die met dc differentiaal rekening niet bekend zyn, kunnen deeze asquatje uit de eenvoudige algebraifche bcginfclen in deezer voege afleiden.
Volgends steenstra Grondb. des Meetk. B. VU. pag. 5. 1. en n. Gev. is Sn. A + a — Sin. A Cof. a •+• Cof. A Sn. a (A en a bogen zynde eens Cirkels , wiens Radius 1 is.) Cof. A -f- a — Cof. A Cof. a -f. Sin- A Sin. a indien nu o zeer klein zy, is
^ na-



( xvii )
derhalven d. Sin. HZ (- Cof. HZ d. HZ) - dz is; wy
von-
nagenoeg Sn. a = a en Co/: ft = rad. = i; derhalven in dit geval Sn. A + a ~ Sn. A •+■ a Cof. A, en Co/: AT^: Co/: A fi XJsu. A / dus dc verandering in de Sinus van A, is ± a Cof. A ; In den Cof. A , ■E a Sn. A: ftellende nu voor HZ, A; en a voor rfHZ (== dc verandering van de boog HZ) is d. Sn. HZ — d. HZ Cof. HZ; wydcrs in dc waardy van z~ Cof.D (Cof. L - Cof L. Cof. aM ^liJVT voor L, L 4- 'i voor HM, HM -f- M plaatfende (zynde l mM de verandering der bogen L en HM)Js_dc verandering van z of dz _ (Cof h 4. / — Cof.L + l. Cof. a M c<HM -4- M)> j, Cof L 4- Coy: L Coy: oM^HM + D c°f- D
aM^HMis,ofaM-HM,alsdan Co/aM*, HM~ Cof. «M Cof HM + &. aM &. HM 0fHM-aM,aIsdan Coy: aM «HM insgelykr j • „ ,„ Cof.aM Cof. HM-f Sin. aM Sin. HM
dusm alle geval Co/.aM« HM~ Cof.aM.CoJlI1M+Sn.aM.Sn HM maar Coy:L4-/=Cof.L-/&-,!.Ldus Co/ /+L — Co/L~ — /Sin. L — Co/. L-f.;. Co/(aMa> (HM4. M)) =
+ lSn. L (C°/:aMCo^HM4-m 4- 5/«. « M Sn. HM + m) of [daar Co/HM +~M ~ Cof. HM — M Sn. HM
4-ÏÏl? m = ^ HM+M C^ HM (Mklein zynde)] =4-tó;«:L(Co/aMC^HM-M^
wydcrs Cof. L. Co/ (aM co HM) — 4, Cof. L (Cof. aM Co/ H]V '
daar nu / en M beide kleine breuken zyn, £ IM (*) zonder misdag worden verwaarloosd; dos a 1c leden di, tot coëfficiënt 1M hebben, agterwcegs kunne'ndc ge a en wör'dcn eendere ekander^wegnemende door verfchil der tekens, verkryg m <i*-(-lSn.L-MCofL(-Cof.aMSn.HM+Sln «CofHM T V. 4- / Sn. L (Co/aM Cof. HM+fiwMffl,. HMV
Sn. H M = SJ!Ll'JfUl"Ji
2 Sn. a M Co/ L. Cof. D en > HM 4. M worden-
'(*) Dc Radius = f zynde , *yn alle Sinus en Cofmus breuken^ dus ook de l M, indien nu 1 =S „, M =J zecr kld„ ^
U 1M ~Tb nog eenma'11 20 kl<^> en mag dus zonder misflag verwaarloosd worden in deze rekening.
# *



!( xviii )
1 ttt7 r 1 — C°f- 0M <» HM)
vonden IIF of z — —.■ .- i —
Sec. L Sec. D
Cof.D.(Cof.L,— Cof.L. Cof(aM<s> IIm) ), en Sin. H M Sin.li<s> Siii.h' . + „ ^ Sin. h v> Sin. h'
1 — Sec. Li Sec. D — ■
a Sin. a M i Sin. a M. Cof L. Cö/? D f
z nu duTcrcnticcrcnde, zo dat alleen L en HM vcrandcrlylc zyn, verkrygt men
dz = dL (~ Sin. L Cof. D + Sin. L Cö/?D Cof.(«McelIM) ... |» HM Sik'. f> M oo HM) 'Cof. L Co/ D) I Het teken — is voor het geval, als HM < aM, of de middag tusfehen de waarnemingen in is; het teken -f- geldt, indien a M <" HM, en de waarnemingen op dezelfde zyde van dc meridiaan verrigt zyn: Nu is
d HM
, Sin. h co Sin h'
' 2 Sin. a M, Cof. D. Co/. L-f- /
dus Stil. HM 4- M — Sn. HM = het verfchil der Sinus . c. „, „ _ Sin. * 80 h' f t i \
C_a. hm _ ^^ajg^g,^ - öj^l
maar (/ klein zynde) Co/ L -f- / zr Co/ L — / Sin. Jj
dus i i__ — Co/L — Cof. L4-/A«-L — / Tawg. L t
Co/L-f-i Co/L Cof Ï7~+1 ■ Gif L Co/cLj-/) - I Sin. L i
Co/L" Si/TZ ' maar 11M = M ^ PM
^ Sin. h co Sin. h' l. Sin. L i
"s ~ 2 Sin. aM Cof. D ' Co/L * CÖ/L
of m Co/ HM — Sin.HM.' waaruit Mzé!' $aJ*-$«- «M Co/-L Co/L Co/llM
deeze waardy voor M frctlende, vcikrygt men / /c- t li t /—Sin HM" Co/faM v
\ 4-2 Sn.L ( coy: a M Cof. HM + Sin.HM. Sn. a M)/
of dz — (-1 Sin. L -f./ Sin. L H M?+Cof. HM;) Coy: aM>V
V ^ J Co/HM^-
+ Co/DCdaar&'«.HM2-f-Co/HM:!=:ienZdeverandcringvanLofa'Lis.)
dz = dL Co/ D L i 4. ^ T^ ), zo als in de ver-' Coy. HM/
handeling. VBC.



I C xix ) '
I ^hm= *i'/;?-HM_ vL faI-r j». # -|
I Cof. IIM Coj.L La JV».*M CojTLCÖ/VD
I X Cof HM ~ ^ 6^L- cV7HM'dGrhalven
Lz-^l(-j«.l cs»y:D)[i-d/:c«M<»iiM)+ f^'^f I y - Gty.iiM
i J/*, O M co HM;] — ^ L (— j». L Cty? D)
I / r-Co/HM.6o/c>Mco HM^MM^j/,,^ M »HM) *
j\ Ctf/HM )
jksu-sm cof.D^fX:^) - d L(^?__ ^
I ^ ö/HMj VCö/HM V
II (J/*. l G?/? D) dus ook CV HZ d UZ \\_ /Cof.aM >
I I Cö/: HM 1 )Sin- LcofD; eindelyk 4 H Z (de fout in
I de middaghoogte en dus in de daar uit afgeleide Breedte)
1= d l (c°^ am n si,u l ^ d I V Cof. HM" 1 ) CofllZ ~: k deeze for- |
Imule zal ik verfcheide regels afleiden, om zig van del i manier van douwes met het meeste nut te bedienen:!
[Men bemerkt al terftond, dat, indien -JLfL^ C , 9
CofUM ■> 1
i zy, de fout m dc onderftelde Breedte in denzclven fin
■ als de gevondene middag hoogte zyn zal: doch, zo' | Co/. aM
liCuj. 1jm < r' in een Kgenovergcftelden : het eerfte I nu heeft plaats, als ^M < HM; of indien de waarne-
■ mmgen aan dezelfde zyde der meridiaan gedaan zynJ het andere zo HM < aM of de middag tusfehen beidé lzy:daar"nu^Bc«.ï_^^-- .^£HM . I Cof HM '~ Cof. HM ' 15
het
■ (*) Hgt Gerist teken geld, indien aM > HM; sis dan is Ij Cof. H M+ aM—HM== Cof.aM; het onderfte, indien HM > aM; Ij anncer Cof. HM — HM —~a1vl .— Cof aM; VBC.
Ij * * 2



( xx )
het allervoordecligst indien HM <^ aM, dat is de middag tusfehen beide waarnemingen in zy; hoe minder aM van HM verfchilt, of hoe nader eene der waarnemingen by den middag genomen word, des te nader komt Cof. aM , , ., Cof. aM CoJVÜM am dC eenhCld' Cn CoJÏÏM- 1 aan nUl
In 't gemeen zal deeze methode des te nauwkeuriger zyn, hoe kleiner de coëfficiënt van dh is, cn van de andere factoren word Cof. D — i, als D = o : daar nu D voor de 0 niet groter, dan 23° 30' is , zal zyn Cofinus niet kleiner, dan 0,917 zyn kunnen. Dc afrtand der 0 van het toppundt
. Sin.h Sin. I, op den middag zy T, dan is -^-^ = g|ggi zo lang
Si». L
nu de breedte L kleiner is dan T, zal <^ 1 zyn; is L =T,
_ Sin.h ... T . _ . . Sin. L
zo word m — =; 1; maar indien L > T,danis „,> 1 Sm. T I
indien dan L en T klein zyn (zo als dikwerf het geval
, Sin. L , ^ , Sin.h
is) word iy^j; des te groter: zo L = m T, komt jyjpj.
des te nader aan de waardy m, naar mate L en T kleiner zyn. Deeze aanmerkingen leeren niet flegts in 't gemeen dat aM zo na mogelyk = HM zyn moet; maar wy kunnen tevens hierdoor de nauwkeurigheid deezer manier in alle gevallen beoordeelcn, cn de vcrcischtcn aanwyzen r naar welke de fout binnen bepaalde grenzen zal zyn in-; gefloten : Indien b. V. dc fout in de ware Breedte niet boven
— deel der foutinde aangenome Breedte zal uitmaken, behoeft
/ Cof.aM \ irCof.aM 1
m en flegts I- rr^r-- 1)*»= — ot ■— 1 -] ■
& \Cvj. 11M / n CoJ.ïlM mn
te ftellcn: In de voorfchriften der Requifite Tables p. qi. <yx der Qde uitg. heeft men n — 5 genomen en is hierdoor de waardy van «MenHM bepaald, zo dat altyd
Coj. a M _ j _j L- jjy de aUerongunitigftc omftandia-
CoJ. HM sm
hedea; aan m nu onderfcheide waardyen geevende, heeft
men



( xxi )
men voor L = T (m — i) . _W?J^_ _ ffi nnn ^ J Cof. HM = °'200
L=flT(* = 3) =
L = 3TO = 3) =0>o67
. L = 5 T f> = 5) 0,040
L =ia T (» =I!0 ?
ia het voorfchnft word gezegdt b. v. dat in geval L — 3 T men het tydverloop (2 *M)ten minsten van een uur moet nemen by waarnemingen op eene zyde der meridiaan, als de aütand (>H) der grootfte hoogte van den middag insgelyks een uur is: men heeft dus, in dit geval aM = 70 30' cn HM = (*H -f- aM) = 2a° 30', derhalven &Lf}L _ T _ 99£ T
Cof. HM 917 ~~ 1 ~ W ~~ 1 = °>°7,
of nagenoeg 0,067 als in het bovenftaande Tafeltje Op deeze wys heb ik dc volgende tafel opgemaakt, welke men met de reeds aangehaalde voorfchriften der Req Tables vergelykende, zal bevinden naar dezelfde formule berekendt te zyn.
** 3 T A-



( XXII )
mm flsigqscf {i§i!»,v3^ g 5/(0 tjsiji ete«v4 isyy «|^| qO I
TAFEL voor de nadering eens vyvdcn deels der gegiste Breedte in de manier ,yan douwes, naar de Requifite Tables.
|,mmj j„, „. BoogH.VI! Waardy Waardy Verhouding Hoe dc Half Tydverloop ^ ,?! Som of van van '
der Breedte Waarne- of Boog aM .uJ"nS „7 u verfchil Cof aM Cof aM
otO'mcrid. mingen denmiddag of aH VM fl ^ ^ CoOBm^ 1
afft.vantorj. gedaan in tyd. in gra- in tyd. in gra- ca aH J 1 zyn. den. den.
' °zvdee <*45' II0-15' ia-30/ 22°-30/ 33°-45' 1'lS 0,18 L = T - :
I zydcrT Z"-15' 33"45 lU-15' 33-45 °°- °' °>S3 °»T7
0zvdCcC c"3''-3°" 9-2=i i°-i5' 18.45 sS°-7Ï' i,i2 o,T2
L=2T— ,
I °zPydènC *"-45' -6-'5 lU- °' [5- o u. 15 0>co ojio
op cene „ . , |_
^ zyde 0 30 "-3° 1 • & '5- 0 22" 30 1,07 °>c"
op twee „ . , „
I /yljen 1-3° 22.30 i". d 15. o 7- 3° 0,94 0,06
op cene „,,,,„, r ■
zyde °"^'-3°" ?-37i c°-45' U.IS IÖ- 5^1 1,04 o,c4
op twee „„,, , , „ , . I
iyflèn 1 • :-3Cy 16.52I cr.45' II. 15 5. 37* °,a6 °l°4
k- —I ,
5 - op cene , , 1
zvde cn-15 3-45 °u- 3° 7-3° «■ 15 1,02 0,02
L=iaT---
j I op twee
j zidcn c°45 °U-3C 7-3° ' 3- 45 0,98 | 0,02



I( XXIII ) Op gelyke wyze konde men alle dc gevallen bepalen in welke de fout niet boven —, — &c. der miseisfine zvn 10 ia i konde (*)
Tot hiertoe heb ik alleen de fout, welke door de misgisfing der Breedte kan begaan worden in aanmerking genomen, en deszelfs invloed op de ware Breedte bepaalt}., wat nu die geeae betreft , welke uit het bepalen der |hoogte ontdaan kan; men kan dezelve op den tyd-boog laM overbrengen: want is de Zon te hoog gerekend, als dezelve nog ryzendc was, of tc laag, indien dezelve daalde; zo is het even hetzelfde, als of men de hoogte zeer nauwkeurig, maar een weinig laater had waargenomen: het omgekeerde heeft plaats, als de boog te klein by een ryfendc, of tc groot by eene dalende Zon genomen is. Dcczc fout heeft dan op zig zelve een voldrekte waarde, komt hier nu een onregeimatigen gang van het uurwerk by, zo ontdaat 'er een tweede fout in de boos aM, welke met het tydverloop groter word; is dit laatde geval tc vreczen, dan moet men de dubbele boog aM of het tydverloop zo klein als mogelyk nemen. In 't gemeen zal yder fout in de boog aM , zo wel als in dc Breedte kleiner worden, naarmate eene der waarnemingen digtcr by den middag gedaan zyn: om dit tc bewyzjen zal ik z met opzigt tot de boog ^M djflerenticeren ; men verkrygt dan dz - d QaM oo HM)
Sin. (A M co IIM) Cof. L Cof. D dllM- ^ifül^ J J Cof.HM d aM Cof. aM Sin. h <o Sin. h'
Sin. aM' * 2 Cof. L~Cof D. cTf HM daM. Cof.aM Sin.HM
~- Si». aM *'(ï^=-^MCot,aMxTanS.Mn!
derh.
(*) Op alle Noord. Breedten, is, dc O' Declinatie N. zynde, L > T, uidlyk, T>- L; het omgekeerde voor Zuider Breedten; daar nu L 0 wel •<, dan >• T op beide Breedten zyn kan, moest om deeze 'afcl volkomen te maken insgclyks L = 'T.'ïfa. berekend wden, voor Zuidl. Q Deel. op N. Breedte, of" O N. Deel. op luider Brecdtens. VBC.
* * A
4 j



( XXIV )
dcrh.dz=d.aM(Sm.aM«,HM)(i- Cof.aM Tang.HM) Cof. L Cof D (*), de beide faftoren Sin. ~a~Mco HM >n i - Cot. aM Tang. HM) komen des te nader aan nul, hoe minder ^M van HM verfchilt (**). Tot hier toe
^.j i-Co/faMc^HM). £ ^
&c. L &c. D ~ vcrand-lnaM= * i in HM,M-M-(.)
feilende, verkrygt men
dz -iT^frM+i HMr- Jtj _ , - Cc/TCaM^ HM)
&c. L fee. D SÊ L óïcTD
en vermits q en M klein zyn, verkrygt men
voor Cof. .M+«r Co/ «M -% ««. aM; enz. evens als in de J\oot pag 14 , waar uit Sec. L Sec, D dz
= - (Cof. aM-cc Sin. aM) (Cof. HM + M Sin. HM^
-(Sin.aM+«Cof.aMXSin.HM-MCof.liM)+ Cof.aM^HMffe dce.cn deezcr aequatic met *M vcrwaarloozcndc, (naar de Noot pag. 14.) cn die elkander opheffen wegnemende , verkrygt mei dz — a (Cof. HM. Sin. aM - Sin. HM Cof. a M) — M (Cof. aM Sin. HM - Sin. aM Cof. HM) Cof. L Cof. D
maar HM = L. fee, D, dus &■„. HM-M
;._ Sin.hj^Sin. h'
~ 2 'Sin. (aM + «) &&D ; waar uic CM cn * klein zynde;
d. &'/;. HM — d. HM. Cof. HMend.HMrr M~—!1-™L —
Cof H M
— d. aM Cot. aM. Tang. HM; deeze waardy voor M Hellende wo,ddz-d. aM(Sin.aM—HM-f- Cot. aM-Tg. HM Siu.HM—aM) of' i* = d. aM. Sin. aM «HM (1 - Cot aM. Tg. HM) Cof. L x-of. D J
,, Dc hoog HM, met opzigt tot a M grootcr Wordende, als deeze verminderdt. VBC.
I (**).De Aequatic der fout, welke uit de misgisfing in Breedte I - rfX) ontftaan moet in dc berekening der waare Breedte volgends dc manier van d 0 u w e s , is P^-JLM — il P'""-L- °°f- D~l ,r
LCof. HM 'j L_cS/:~hz"J dL)
zy heeft dus twee coëfficiënten welke een van beide nul wordende [de misg.sfing gecne invloed meer op de Breedte zoude hebben: De lieer D. .heeft voornamcntlyk de cciste cocfficicnt behandeld, en cr zeer grewigtigcgevolgen nopend? den tvd cn dc keus der waamecnungen mt afgeleid; dc andere hangt alleen van de Breedte der plaats en O' Diclmstic af, cn ik geloof het der moeite wel waardig te zyn jeszclfs aonmeikeKkcn invloed hier tc overwecgen. ,n ;



( xxv )
toe hield men deeze manier van D., flegts voor eene gemaklyke oplosfing by nadering van het voorftel derklootfe
DrieIn do formule ^^D» is HZ het complement der Breedte ■Hr dc Declinatie, of ~ 900 — L + D, derhalven Cof. HZ rr Cof. (90"-L ± D) ~ Cof. D Sin. L + Sin. D Cof. L Stn.T, Cor.T>__ Sin. L. Cof. D __ ï
Cof. HZ~ C0y7D.&«.L4-S/«.D.Coa~ 1 +(
\Tang.Ls
waar uit de Aequatic der fout
_ rcof. «m -1 r ~\
- Leo]; Hl ~1J\_i + (~Le-^)JdL : overal nu
\Toordcr Breedte onderftellcnde, is het bovenftc teken vosr Nbordêr, het onderfte veor Zuider Declinatie; cn omgekeerd op Zuidcr Breed-
ten, men ftcllc » i dan is - dc formule welke nader
I!moet overwogen worden. Uit deaclve blykt, dat Daar m altoos politiv is, ook —-— *> —i— cy, cn dus in 't ; gemeen de invloed der misgisfing, indien Breedte en Declinatie > beide Noordclyk of beide Zuidlyk zyn, grootcr is, dan indien dezelve verfchillcn. Dat door deeze coëfficiënt ^> 1 de misgisfing geheel op
dc Breedte invloeit, en met m aanwast by gclyknamige Breedte en Declinatie, terwyl ■—-— niet kleiner, dan \ kan worden ■ 1 -p m 1 uitgezonderd als D > L is, het welk alleen tusfehen de Keerkringen plaats heeft. 3°. Voor tegenovcrgeftcldc Breedte cn Declinatie is —ï— cn dus I -)- m het laatfte, voor gelyke, —-— waar uit de grootc invloed der T — m 1 Breedte cn Declinatie reeds eenigermaate is aftcnecmen. |j< Dc Zon of een Ster in den Evenagtslyn zynde is D ~ o, dus m zz: o ten zy L' m o waare , dat is onder den Evenagtslyn zelve; ook is m ~ o indien L ~ 900 en D < 900 is of onder
dc Polen; in beide gevallen wordt dc coëfficiënt tjwpi: Ef 1, cn
i-t-m
JL : **5 dc



( XXVI )
Driehoek meeting boven gemeld; maar men kan dezelve ook uit een ander oogpunft befchouwon, waardoor zy niet
min-
| de fout dz = (§|-g|| ~ i) d-L kan alken van dc tyd der waarnemingen afhangen.
5°. Indien de Breedte der plaats cn Declinatie beide Noordclyk of Zuidlyk flegts zeer weinig van elkander verfchillcn, word de coëfficiënt j—ï-^ (m byna = i zynde) zeer groot, cn hier door
de fout uit de misgisfing alleraanmerkelykst, zo dat in eenige gevallen dezelve groter, dan de misgisfing zelve, en dus de gehecle manier van douwes onbruikbaar kan worden; Een geval van dien aart, geeft het volgend voorbeeld: vcrondcrftel dat men op den i«« Juny 1800, naar gisfing op 240 55' Noord. Breedte des morgens ten l" 43' 2" waare tyd, bevond de Hoogte van C' middepund 450 o' c" ten ie" 33' 3:" des zelvcn daags en ter zeiver plaats , die hoogte 7c» o' c" dc Noord. Declinatie der Zon, is aangenomen naar dc tafelen 220 3' 10" • men vindt dus volgends do uwes 250 8' Noorder Breedte: iïclt ■ men dc gegiste Noord. Breedte 4' groter (— 240 59';, dan vind men 250 -J voor dc waare Noorder Breedte, weikc van de nauwkeurig berekende (= 250 o' o") nog 2' verfehilt; in het vorige geval had men een fout van 8' uit 5' misgisfing; in dit van 1' by 1' misgisfing, waaruit dus blykt, dat de fout in dc rekeninr grotcr, dan dc misgisfing zelve, en hier door naar de manier § van D., uit deeze twee waarnemingen de gegiste Breedte nic: 1 kan verbeterd worden.
In de Aequatic [g^|[ _ r] p-=^D~] dL moet f L Tang. L.-J § h| pbfeöt der facftoren. het zy negativ of pofitiv, altyd een gebro- I ken g:tal zyn, zal dc fout niet grootcr , dan dc misgisfing zyn; ik 3 zal hier uit eenige regelen, door douwes voor zyne tafelen geg'ee- 8 ;
ÉMen noeme den tweeden factor — Tang.D , B • 'f Sfi x l~rTaig7L' 1 .
jjvj <. 1 t- jr zyn, welke dc waardy van B bok :ral waar B pofiüv of L < D is, zal dan hier aan , indien HM < «M, of de waarnemingen op beide , dc middag tusfehen beide zynde [volgends de 4<H 22.] Indien HM 90» zy, 'is de fout in de mis j



( XXVII )
minder gewigtig voor den Sterrekundige, dan voor den Zeeman word : — Indien men eene der waarnemingen zeer naby den middag neemt, worden hier door alle mogelvkc fouten,uitgenomen die,welke uit de grootfte hoogte meting ontltaan, zo gering, dat dezelve geen mcrkbaarfn invloed op de Breedte meer hebben kunnen, het Welk by onze .Erfurtfche waarnemingen plaats hadde.
Dus
gisfing oneindig; waar uit volgd, dat men nimmer Oost of West tusfehen beide de waarnemingen moet neemen [ifte reg. van D.] of geene der waarnemingen boven dc 7 ftrecken van dc Meridiaan doen moet naar dc -de. Indien aM ~ HM vcrdwynt de font altyd •wee waarnemingen aan cene zyde moeten groter Azimuthhoek met -ikander miken , als 'er tusfehen dc hoogftc obfervatic cn den mid .lag is (reg. 6. v. D.), want HM — 11 a -+- il zynde,
ij Cof. aM <L Q. -f- Cof. Ha + aM
»f Cof. aM < (2 + I Cof. IIa + aM
\ lang. Ls
m>n kan hier, door het gezogte halve tydrcrloop cn den middentyd
•djoos vinden, of dc manier van D. met voordeel op twee waarnemingen
. 1 r , Cof. aM ^ -r Taag. D , ,
's-toerepasfen, daar —-—rr-rï *< 3 -4- t. t altvd zvn moet, men * ' Cof. H M ~ lang. L :
-oude dienvolgends een tafeltje voor de waardy van 2 3?"^' ?
Tang. L
het bovenfte teken voor gelyknamige, het ondcrflc voor ongch knamigc Breedte cn Declinatie kunnen berekenen , waar uit terftond :i!eek of men de ware Breedte uit deeze gedane waarnemingen al of niet konde afleiden: maar aM > HM zynde heeft dit altoos plaats , men mag ook by ongclyknamigc Declinatie cn Breedte, dc waarnemingen aan eene zyde digtcr by elkander verrigtcn, dan by gayknamige.
Op kleinere N. Breedten by gelyknamige Declinatie der O, gecné der waarnemingen digt aan den middag hebbende kunnen ver'igten; kan mende tafelen van douwes vooralle Sterren die niet meer als 28' 28' Declinatie hebben gebruiken ; cn hiertoe op N. Br. 'ig bevindende, de voornaamfte Sterren uit het Zuidlyk, op Zuidlykc Breedte die uit het Noordlyk halfrond bezigen.
Men vindt deeze Jaarlyksch in dc Connolsfance du temps naanweurig opgegceven; het tydverloop moet alsdan in tyd der eerste bdweging worden uitgedrukt, we ke gemaklyk uit dc middelbaarc yd word afgeleid, daar 24 dcczer uwen gelyk zyn aan 2^» 56' 4" mSr,.d"lb. tvd.



f ( XXVIII )
Dus geraakt men in ftaat uit verfcheidene waarnemingen digt by den middag genomen zo veele Poolshoogten attelejden, welke alle even naauwkeurig zyn, als de onmiddelbaar waargenomene Zons middag hoogte , en ('t welk eene der eerfte voordeden deezer manier boven alle andere is) zonder de waare tyd der waarneming , by deeze te moeten wceten. Ik zal hier de voordeden , welke deeze manier boven andere die tot het zelfde einde kunnen gebezigd worden,' heeft,, optellen. i°. is zy niet, gelyk de middagshoogte, tot een tydftip bepaald, maar men kan het aantal der waarnemingen naar goedvinden vermeerderen. 2°. men kan de alidade en nonius van den Sextant of Oftant te voren op een rond getal der afdeeling plaatfen, het welk' zeer veel tot de nauwkeurigheid der waarneming bydraaot 3°. vcreischt zy niet, even als de hoogten digt aan den middag, (welke manier de Heer VZ. (Astr. Jahrb. 1794! p. i79-)aanpryst,)dat men de ware tyd weet. Indien wy,' jzp by onze Erf. waarnemingen, des nademiddags geene U'orrespondeerende hoogte hadden kunnen verkrygen, zouden wy nogthands door de manier van D. de Breedte zeer juist hebben kunnen bepalen. 40. flegts by eene waarneming kan de fout van belang worden, te weten by de grootte,na by den middag genomene hoogte: welk voordeel by de ftrikte opjosfing van dit voorlid door de Klootfche Driehoekmeting geen plaats vind. 50. is de be-i rekening zeer gemaklyk, vooral indien men meer dan! ! eene waarneming deszelven daags gemaakt moet bere-ï ■ kenen, dewyl alsdan verfcheiden getallen onveranderd, dezeltde blyven; zy vereischt negen Logarithmen, die vair borda, bevoorens aangehaald, een veel grooter aantal. j ■ Wy onderftelden tot nu toe , dat beide waarnemingen op een en dezelfde plaats gedaan wierden;! doch zulks heeft op Zee geen plaats, dewyl het fchip m dien tusfehentyd voortzeilt: men moet dus de foutj \ hier uit ontftaan, zo veel mogelyk zoeken tc vermin- • deren, offehoon men de zelve nimmer geheel kan weg-1 noemen, al bezigde men alle de ftraks te meldene verbeteringen , weshalvcn hier in een voorname reden liet
I t i
— waar-} f



( XXIX )
waarom men nimmer veel tyd tusfehen de beide waarnemingen moet laten verlopen i voor het overige is deeze zwarigheid niet flegts by de manier van D. maar even zo by de ftrikte berekeningen onvermydelyk. Daar wy nu aantoonden, dat alle fouten, die geene alleen uitgezonderd welke in de grootfte hoogtemeting begaan worden , door de manier van D. zeer verkleind worden, heeft zy dan van deezen kant een aanmerkelyk voordeel berven alle de overige.
Eindelyk zullen wy nu onderzoeken , op weïk eene wyze, men de plaatsverandering van het Schip in de rekening moet inbrengen. Indien het Schip alleen in Lengte ware - voortgegaan, zonder van parallel te verandert te zyn, was [ de zaak zeer gemaklyk op tc losfen, daar in alle plaatfen op dezelfde parallel liggende op het zelve uur de Q gclykc hoogte heeft; (Fig. 4.) In de driehoeken ZPS, Z'PS' heeft, men voor dit geval (de afwyking der Zon onveranderlyk lte!lcnde)ZP-Z'P,PS=PS'S en de hoek ZPS =den hoek J Z' P S'; derhalven Z S = Z' S': Men ondcrftcllc de Zon ten ic ; uuren te hebben waargenomen, en ten elf, naar het zelfde uurwerk, verrigtte men de andere waarneming; nu zy het' Schip in dien tyd 10' in tyd oostelyk gevorderd, dan za)! men by de tweede waarneming dezelfde hoogte hebben, ! welke men om nu 10' ter eerfte plaats zoude gehad, hebben, indien het Schip niet waare voort-gezeild; men moet dan, om het ware tydverloop te verkrygen, de oosiclykc voortgang van het Scrup in tyd gebragt tot h-e' i tydverloop naar het uurwerk addeeren , of zo het Schip | we.stelyk waare voortgegaan van het tydverloop aftrekken, K maar dit alles geld dan alleen wanneer het Schip flegts in' I Lengte van plaats verandert, dog op dezelfde parallc'. S blyft, men moet dan ook een regel geevcn voor het anI der geval, cn onderftellen dat het Schip van Breedte ver-' 1 andert: Het volgende is de manier van D. zelve (Fig. 5,6.. lik onderftel, dat men de eerfte Qs hoogte in Z de | tweede in Z' heeft waargenomen; het zal dan niet moeil:lyk zyn, de laatfte waarneming tot de eerfte in (Z) te Ij brengen, indien men tevens met Hoogte, het Azimuth derj' ! Q in Z' genomen heeft: LQ' (Fig. 6.) zy de parallel
Cir-Ï



( xxx )
Cirkel der Q voor dien dag , Q deszrïfs plaats op het oogenblik der waarneming in Z', deszelfs zenith afitand is dan Z'Q, welke men voor het ogenblik der waarriël
I ming in Z kennen moet. Men trekke uit Q' met den radius Q'Z' den kleinen boog Z'x, en neeme den weg
, door het Schip afgelegd ZZ', zo klein ten aanzien van
| Q'Z cn QZ', dat men deeze lynen voor evenwydig en het Driehoek ZZ'.v als regtlynig en regthoekig kan "aanzien : Nu zyn in dit Driehoek bekend de hoek Z' Z O' ] het verfchil of de fom van het Azimuth der Zon jZQ' cn van dc hoek jZZ', welke de rigting van het Schip: met de Meridiaan is, als meedc de boog ZZ' of afgelegde weg, welke men in graden uitdrukt; zo vindt men Zx = ZZ' Cof. Z'ZQ', het welk by Z'Q - Q'x gevoegd , of hiervan afgetrokken, de gezogte ©* topputits afitand QZ voor het zelfde ogenblik geeft, waarop men
; deszelfs atitand van 't top Z', als Z'Q heeft waargeno-
I men.
Men konde even zo de in Z gedaane waarnemingen, tot die in Z' brengen, door het Driehoek ZZ'y op| tclosfen: indien men vergeten had het Azimuth der 0
II waar te nemen, kan men met dc aangenome Breedte dit Driehoek nog vry naauwkeurig berekenen, uitgezonderd; |in geval dc Zon digt by het toppunt en dus QZ en QZ' jtc klein waren om den hoek Z'QZ te mogen verwaarjloozen, men moet alsdan dc waarnemingen niet tc ver van elkander ncemen: Eindclyk konde men ook het Drie-: hoek ZQZ' berekenen, in welke men ZZ', de hoek Z'ZQ, cn eene zyde Z'Q of ZQ kent; maar deeze
Iberekening is, behahen haarc langwylighcid, niet naauwkeurig.| Wy houden het dus raadzaamer cn bckwaamer, om dc fouten door de plaatsverandering van het fehip zo in Lengte, als in Breedte ontftaan , ydcr in 't byzondcr te berekenen : \ reeds toonden wy aan, hoe men de fout uit het verfchil | van Lengte ontftaan, verbeteren kan , er fchict dan al-f leen overig, van de andere nog met een woord te fprekcn.i In het Driehoek PZS (fig. 7.) ftellen wy den hoek ZPSf en de zyde PS onvcranderlyk, maar PZ veranderlyk, . nu j



( xxxi )
nu is, naar Cagnoli's'formule (Trigon. Art. 550) <5* ZP^ZS= i:G»/:PZS dus ^ZS g <?. ZP. Cö/:PZS(*)' dat is dc verandering in hoogte is gelyk aan de vcrande' nng der Breedte gemultipliceerd met dc Cofinus des Azi muths. De verandering in hoogte wast, indien het Azimuth < 90°, met die der Breedte aan; dog omgekeerdI zo het Azimuth > 900: als de Zon zeer naby het top is, is deeze formule niet bruikbaar, om de foelie verandering van het Azimuth; ook moet men fteeds dc klein! O hoogte tot het ogenblik der waarneming van dc grootfte brengen, om dat de naauwkeurigheid der gehecle manier inzonderheid van de laatfte afhangt: Voor het overige zyn deze opgegévene verbeteringen, en aanmerkingen insgelyks by dc oplosfmg door de klootfche Driehoek meting noodzakclyk ; doch in de manier var» borda heeft men flegts de verandering in Lengte in aan-: merking te neemen.
(*) In den kleinen regthoekigen klootfchen Driehoek Znz, regthockig by n heeft men Cof. Zz/i ~ Cot. Zz. Tang. zn of,: Tang. zn — Tang. Zz. Cos. Zzn; nu zyn in kleine Driehoeken], de Tangenten nagenoeg aan de bogen zelve gelyk; cn dc hockZz/; = SZP, dus z/i.~Zz. Cof. SZP; dat is dc verandering in hoocte' gelyk aan de verandering in Breedte, gemultipliceerd met de Cofinus dei Azinwths. VBC.






XANIEK VAN DotlWES.