r BIBLIOTHEEK UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM1 01 2505 3991  VERHANDELING OVER HET BEPAALEN DER LENGTE OP ZEE, DOOR DE AFSTANDEN VAN . DE MAAN TOT DE ZON, OF VASTE STERREN, voorma als opgesteld door. Commisfartsfen van het geweezen Colkg'te ter Admiraliteit te Amflerdam tot de Zaaken, het bepaalen der Lengte op Zet, en de verbeetering der Zeekaarten betreffende ; derde, vermeerderde en verbeeterde, druk, Uitgegeeven op Last van HET COMITÉ TOT DE ZAAKEN*VAN DE MARINE, J. H. FAN S W I N D E N. Te AMSTERDAM, J}y GERARD HULST van KEULEN, Bock* *cn Zeckaartverkooper, Compas-, Sextant-, Oflant-, Graadboog- en Mathematifche-Inftrumcnt-niaakei', aan de Oostzyde vaa den Nieuwen Brug. Anno 1796. door   AAN HET COMITÉ TOT DE ZAAREN VAN DE MARINE, RESIDEERENDE IN DEN HAAGE, WORDT DIT WERK EERBIEDIG OP GEDRAAGEN v o o x DEN MEEDE-OPSTELLER EN UITGEEVER JAN HENDRIK FAN SEINDEN   VOORREED E. De bepaaling der Lengte op Zee is, van alle tyden, voor een ftuk van het grootfte belang gehouden. Van daar de aanzienlyke premien dia verfcheiden Mogendheeden den Uitvinder derzelve hebben toegezegd. — Twee middelen zyn tot die bepaaling zeer dienftig gevonden: Voor eerst, de Zee-Horologien, voor welker nauwkeurige vervaardiging harrison in Engeland , lb roy en bërthoud in Vrankryk , aanzienlyke belooningen ontvangen hebben: en dan ten Tweeden, de Bepaaling van de Afpanden der Maan tot de Zon of Vaste Sterren: welke, hoewel reeds voor lang bekend, en in zich zelve eenvouwig, alléén feedert dien tyd heeft kunnen gebruikt worden , dat men in de kennis van den loop der Maan ver genoeg gevorderd is geweest,, om haaren Hand zeer naauwkeurig te bereekenen : waar toe de Maans Tafels van tobias mayer den grondflag gelegd hebben. — Het is aan den onvergelykelyken yver van het Engelsch Gouvernement, dat den overleeden mayer, in de perfoon van zyne weduwe , aan welke het eene aanzienlyke fom gelds voor de papieren van wylen haaren echtgenoot fchonk, luisterryk beloonde j — aan de kunde en aan den onvermoeiden arbeid van verfcheiden Engelfche en Franfche Geleerden, maske- LYlVE , lyons , dunthorne, LA caille, be fcoRDA, en anderen; — aan de Reizen, die, op bevel en kosten der Koningen van Engeland en Vrankryk, door de geheele VVaereld ondernomen en gelukkig volbragt zyn; dat men den verderen voortgang en de völmaaki'ng van de wyze, om de Lengte op Zee door den afftand der Maan tot de Zon, ot tjt de Vaste Sterren, te bepaalen? 3 ver*  vi VOORREED E. verfchuldigd is. Het valt ons hard te moeten zeg* gen, dat die manier by onze beide nayverige nabuuren geduurende twintig jaaren bekend, beoeffend, en hoe langer zo meer in gebruik geraakt was, alvoorens de Hollandfche Natie, welke op' dit onderwerp bynaar geheel fchecn ftil te zitten, iets tot bevordering van die zaak ondernam. Het ontbrak ons echter niet aan kundige Officieren in onzen Zeedienst, die, m de Engelfche en Franfche taaien bedreeven, en yverig alles in 't werk Hellende dat tot bevordering der Zeevaart {trekken kan, de gemelde wyze om de Lengte te bepaalen op hunne Scheepen oeffenden, de fraaiheid daar van erkenden , de nuttigheid aanpreezen , en de jongere Officieren. en Adelborsten, die het geluk genoten zich onder geleide van die Mannen bekwaam te maaken, al wat tot het verftaan en het beoeffenen daar van nodig is, volvaardig aantoonden , hun teevens de voortzetting ernliig aanbeveelende. — Een hunner heeft zelfs een zeer nuttig werk daar omtrent uitgegeeven , 't welk ni;t alleen de reegelen, maar ook, ter ftaaving, de waarneemingen van den ervaarenen Opfteller behelst («). — Het ontbrak ons ook niet aan Mannen, die het gewigt der zaake begreepen, en wenschten dat de Natie, ook in dit fl.uk, niet voor anderen zoude behoeven te wyken (b). Het 0*) Verhandeling van de Stuurmanskunst, -waarin verfcheiden vour[tellen, die op Zee haar nut hebben, voorkomen : en voorname lyk eene befchryving, op welke wyze men op Zee de Lengte kan bereekenen , &c. door j. o. vail~ lant , Capite'm ter Zee : te Amfterdam by c h. van KEULEN : I784. O) In het Jaar 1759 heeft Doctor houttuin , in het IV Deel zyner Uitgezochts Verhandelingen, p. 491. in  VOORREED E. vii Het Provintiaal Genootfchap der Kunsten en Weetenfchappen te Utrecht loofde in het jaar ƒ779 een' prys uit voor de beste, en voor allerlei ioort van „ Leezers, zo wel Kooplieden, Reeders, eri „ Boekhouders, als voor mingeöeffenden onder „ onze Zeelieden, veritaanbaarfte verhandeling „ over de verklaring en de aanpryzing van de wyze om de Lengte ter Zee waarteneemen^ „ door den afftand der Sterren van de Maan te „ meeten met een Ocïant of Sextant; mits door „ bewyzen en proefneemingen aantoonende, dat „ deeze manier om de Lengte te bepaalen ook by onze Neederlandfche Zeelieden practicabel ,, is, " en bekroonde den 24 April 1782 de uitmuntende Verhandeling van den Ridder de lA. coudrave, Oud Lieutenant der Koninglyke Zeemagt, en Ridder van de Koninglyke O/de van! St. Louis: welk overheerlyk ftuk in het jaar 1784 in het tweede Deel der Verhandelingen van het gemelde Genootfchap het licht zag, en waar van zeederd ook afzonderlyke eXemplaaren te bekomen zyn {a). .r ïn 't Nederduitsch geplaatst, de Onderrichting tot een ,gemaklyk gebruik van de manier om de Lengte op Zee ztf bepaalen door waarneemingen aan de Maan, welke onderrichting la caille uit zyne eigen ondervinding opgemaakt , en in het Jaar 1758 in het V Deel zyner Ephemerides des Mouvemens Celestes uitgegeeven heeft. Men moet vooral p. 507. en voigcnde, over hetpra&ikaal gedeelte leezen. In het Jaar 1770. heeft de Lecior STFEtfstra de keurige Lesfen over het vinden der Lengte op Zee, die hy in het Athenaeum alhier gehouden had , uitgegeeven fin 8'. by yntema en tjeeoel) : in de Zesde lies,, p. 76, handelt hy over de afftanden van de Maan tot de Zon of Sterren. . O) Het bovenftaande is bynaar woordelyk uit de Voorïe'éde Van d'en eerfcen Drek deezer Verhandeling oatleend.  vin VOORREED E. In deezen ftaat van zaaken, vond het gewepzen Collegie ter Admiraliteit,"binnen Amfterdam refideerende, goed, op voorftel van deszelfs Raad en Advocaat Fiscaal j. c. van der hoop, die zeer wel inzag van hoe veel nut het voor de Marine van den Staat zyn zoude, dat de manieren om de Lengte op Zee te bepaalen onder onze Zeelieden in meer algemeen gebruik mogten komen, en die beftendig alle zyne vermogens heeft aangewend om dit heilzaam werk voort te zetten, eene Commisfie om het bepaalen der Lengte op Zee en het verbeeteren der Zeekaarten te benoemen, en wylen pibter nieuwland, gekard hulst van keulen,enmy daar meede te vereeren. Het is nodeloos de Inflruétie, waarop wy aangefteld zyn geworden, hier intèlasfehen, daar 'dezelve vóór de Almanachen van 178a, 1789, 1790 en 1791 geplaatst is. Met welken yver wy getracht hebben aan onze aanftelling te voldoen, blykt genoeg uit het aantal Schriften die wy zeederd dien tyd hebben uitgegeeven, en waar van eene lyst vóór den Almanach van het jaar 1797 geplaatst is; doch het Haat niet aan my te beoordeelen, in hoe verre het ons heeft moge gebeuren aan onze aanftelling te voldoen , of dat groot nut te doen geboorèn worden, dat 'er by onze aanftelling bedoeld is geworden : ik durf echter veilig verzeekeren dat wy nuttig, ja zeer nuttig, geweest zyn. Het goed vertier van de door ons uitgegeeveu werken, itrekke tot bewys: immers daar de een ie Druk van onze Verhandeling over de Lengte in het eind van December 1787 uit kwam; waar by wy in 1788 een belangryk byvoegfel uitgaaven; moesten wy in Mey 1789 eenen tweeden Druk bezorgen, in welken wy het werk merkelyk verbeeterd hebben: en in 1794 wa-  VOORREED E. ix waren de exemplaaren van deezen tweeden druk, reeds zo verre verminderd, dat wy ons tot eenen derden moesten bereiden : niettegenftaande 'er intusichen Verhandelingen over de zelfde onderwerpen door steenstra en de hartog uitgegeeven waaren. Ik had dus reeds in den Zomer van 1794 ernftig met nieuwland over den derden druk geraadpleegd : wy waaren over eene algemeene verfchikking van het werk, en de ineenfmelting van Verhandeling, Byvoegfel en Aanhangzels, overeengekomen , en ik had op my genomen deezen derden Druk te vervaardigen, mits myn gefchrift aan zyn oordeel en zyne verbeeteringen onderwerpende: op dat het werk, volgends onze gewoonte, door hem nagezien en verbeeterd, als eene vrugt onzes gezamentlyken arbeids zoude verlchynen (//). Doch naauwlyks had ik handen aan 't werk geflagen, of nieuwland werd door eene ziekte overvallen, die hem in weinige dagen ten grave gefleept heeft. Myn hart bloedt nog over den dood van deezen waarlyk grooten en verdienstelyken man, ei ik befchrey dagelyks zyn verlies. Ik had hem reeds de twee eerfte deelen van het verbeeterde werk gezonden: doch hy was ziek toen hy ze ontving, en heeft niets kunnen nazien. De O) Ik heb elders gezegd wat 'er in onze gemeenfchappeïyke arbeid meer bepaaldelyk door nieuwland alléén verricht is, en ik vrees dat des kundigen maar al te zeer zullen gewaar worden , dat zyne hand in deezen derden Druk ontbreekt: doch ik heb gedaan wat in myn vermoogen was. Zie myne Lykreede over nieuwland, aanmsrkiuS Z9> 57 en s$. * 5  x VOORREED E. De last om bet werk te veranderen is dus op my alleen gekomen. Ik heb my daarin, naar myn beste weeten, gek weeten, zo veel als mogelyk was in alles de gedachten van nieuwland volgende. Ik arbeidde zonder ophouden aan het werk, eri voltooide het nog in het jaar 1794. Doch de groote verandering, die, kort daar na, in ons Gein eenenbest is voorgevallen , en de invloed die dezelve, voor eenige maanden, teegen myne begeerte, en teegen het geen myne keuze zoude geweest zyn, indien my eene volkomen vrye keuze waare gelaaten, op myne omftandigheeden gehad heeft, hébben my belet my met dit werk verder te bemoeijen, vóór de maand October 1.1., toen! ik het, na ieder ftuk nogmaals nagezien te hebben , ter Drukpersfe heb geleeverd; en het zoude veel vroeger zyn uitgekomen,indien ik niet in January, February en Maart deezesjaars door andere beezigheeden, die my opgedraagen Werden, waare bezet geweest. Ik zal hier me. wydloopig optellen alie de veranderingen, en zo ik meen verbeeteringen, die aan het weik in deezen derden Druk zyn tocgebragt. Wie cenig belang heeft om de veranderingen welke het werk óndergaan heeft te kennen, vergelyke de drie Drukken onderling: het zal genoeg zyn het werk kortelyk te doorloopen, om over dè orde te oordeelen. Het eerfie Deel bevat eenige algemeene aanmerkingen over de Lengte, en de manier om dezelve te bepaalen: hierin zyn de minfte verandering en gekomen. In het tweede Deel wordt de oorfpronkelyke' ma-  VOORREED Ë. xi manier om de Lengte uit eenen waargenomen afftand van de Maan tot Zon of Ster afteleiden, naar befiooren uitgelegd. — In dit Deel zyn merkelyke veranderingen voorgevallen: en 'er is geen Zeeman, die met eenig natuurlyk oordeel begaafd is, en het gewoone van de Stuurmanskunst bereekenen kan, of hy kan dit gedeelte verftaan. In het derde Deel, worden de verkortingen die men aan de oorfpronkelyke oplosfing heeft toegebragt, uitgelegd: en hierin ook, zyn, zo wel voor de orde, als voor de zaaken, veele verbeeteringen, of ten minden veranderingen, gemaakt. Ik ben beftendig by het gevoelen van nieuwland gebleeven, dat wy ons niet moesten houden aan ééne e'énige methode, aan die welke ons het meest mogt bevallen: maar dat wy de meest bekenden, of die het meest in gebruik zyn, allen moesten uitleggen, om daar door van een meer algemeen nut te zyn, en niemand in zyne keuze te bepaalen. Toen dit ftuk reeds ter Perste was, viel my het fraaije werk van mackay in handen: ik heb geoordeeld 'er gebruik van te moeten maaken: eri het doet my leed dat ik het niet vroeger gekend heb. By die gelaegenheid nader over dit onderwerp peinzende, en vooral over het gebruik der Sinusvet-fus, welke mackay zeer veel beezigt, viel my te binnen, dat nieuwland mymeermaalen gezegd hadt, dat, indien men zich de moeite gaf de nodige Tafels te bereekenen, de manier van kraffT* de kortfte van allen zyn zoude, daar men in dezelve Hechts eenige Sinus yerfus behoeft optecetlen. Ik heb dus de manier van krafft verder nagegaan: dezelve uitgewerkt, de Tafels die daar voor nodig zyn, namentlyk de XXl, XXII en XXIII  xii VOORREED E. XXIII van onze Verzameling bereekend, waar door ik hoop den Neederlandfchen Zeeman dienst gedaan te hebben. Doch ook hier om heb ik de Verzameling van Tafels, tot dit werk behoorende, niet alleen met de drie zo eevengemelde Tafels, maar ook met de keurige Tafel van Sinus-yerfut door mackay uitgegeeven , moeten vermeerderen: waar by nog komt dat ik fommige van die Tafels merkelyk verbeeterd heb. In het vierde Gedeelte worden de byzondere gevallen, welke plaats kunnen hebben, of uit den aart der zaaken, of uit gebrek van Meedehelpers, van heldere Kim enz. uitgelegd. Hier in is weinig verandering gekomen, dan alléén , gelyk doorgaands in het geheele werk, voor de orde. Ik zonder echter uit het belangryke dat ik uit mackay ontleend, en op myne manier uitgelegd, heb in § 191 —197, om namentlyk uit den gefchooten afftand niet alléén de Lengte, maar ook de Breedte, te beflaiten. In het vyfde Gedeelte wordt alles wat depraktyk betreft afgehandeld. In dit deel zyn zeer veele veranderingen en verbeeteringen gekomen. Eindelyk bevat het zesde Gedeelte het bewys van alle de Hukken die in de voorgaande deelen zyn voorgedraagen geworden: ook hier in heb ik merkelyke vermeerderingen gemaakt. Wy hadden wel in de voorgaande Drukken de verfchillende manieren om de Lengte te bereekenen, welke wy uitgelegd hebben, beweezen; doch wy hadden verfcheiden gronden vooronderfteld : hier uit ontflond dat die, welken het werk wilde bearbeiden , over die gronden andere Scbryvers moesten raadpleegen, en fomtyds, om het bewys van  VOORREED E. xin van een voorftel, dat zy nodig hadden, te kunnen verilaan, genoodzaakt waaren veele voorafgaande voorftellen van die Schryvers te beftudeeren, en daar toe veel tyds te befteeden: meerraaalen zyn my daar omtrent klagten voorgekomen: en het heeft aan meer dan eenen den moed doen zinken. Ik heb zelfs meermaalen ondervonden, en nog onlangs in het beftudeeren van het werk van mackay, hoe lastig het valt propofitien te ontmoeten, die als bekend, en uit de Grondbeginfelen ontleend, worden opgegeeven. en die men zich niet herinnert; die fomtyds ook in de Boeken welke men bezit niet gevonden worden: of die in deezen, op langwylige manieren worden beweezen, en vreemd voorkomen, enkel om dat de uitdrukkingen, van die geenen, waar aan men gewoon is, verfchillen. Wat my daaromtrent gebeurd is, kan ook wel eens aan eenige onzer Zeelieden, die niet meer ervarenis in de Wiskunde bezitten dan ik, gebeuren: enjk oordeelde die onaangenamheid, welke ik zo dikwerf voor my zeiven gewaar worde, voor anderen uit den weg te moeten ruimen. Ik heb dan die propofitien over de Sinus/en, en de Klootfche Driehoeksmeeting laaten voorafgaan, welke nodig zyn, en deezen uit de eerfte Grondbegïnfels der gewoone Meetkunde afgeleid. Meerkundigen zullen het my gemaklyk vergeeven, indien ik, ten behoeven van minkundigen, dit werk met twintig bladzyden vermeerdeidheb, die voor hen overtollig zyn. Doch dit werk zag ik gaarne aan als eene handleiding, om ook de werken van anderen te kunnen verftaan O). Zie O) Indien iemand zich door het gebruik deezer Verhandeling in het bereekenen der Lengte zoekt bekwaam te maa-  xiv VOORREED E. Zie daar wat 'er door my ter verbeetering van een werk, dat oorfpronkelyk door nieuwi,and en my is opgefteld geworden, gedaan is. Ik vleye my dat nieuwland zelfs, indien hy nog maaken , zoude ik hem aanraaden , i °. door middel van het Aanhangfel zich te gewei.ncn aan her opzoeken van jLogar}fhh:en voor SitimJen van boogen die niet alleen met tninuuten maar ook met Seconden worden uitgedrukt ; en dat, al waare hy met de _ Logarithmus Tafels van callet, die allen by verkiezing behoorden te bezitten , en waar van de tweede Druk in getale by de 3oekverkoopers du four en changuion te Amfterdam te bekoomen is, voorzien : hy kan zich immers in omftandigheeden bevinden, waarin hy maar gewoone Logarithmen by zich heeft. 2°. Het eerfte en het tweede deel te beftudeeren, gelyk meede de Tabellen, en derzelver uitlegging. Dan 3°. in het derde gedeelte , eerst enkel en alleen zich de manier van de borda eigen te maaken , uit hoofde dat die geene hulptafels vooronderftelt: dan voor het vinden van den waaren tyd op Tenerifta, de Proportionaal- Logariihmen, en eindelyk de overige verkortingen , zo hy zulks goedvindt: waaronder de verbeeterde manier van dunthorne, en vooral, zo ik my niet bedrieg, die van krafft, den voorrang verdienen : 40. Zo hy de gronden der Meetkunde verftaat, het VI. gedeelte. Het V. gedeelte betreft de Praktyk: dat kan gevolglyk te gelyk'met de voorigen, waarmcede het niets gemeen heeft, beftudeerd worden : men moet zich vooral in de kennis tan het inftrument oeffenen : en ik heb my zeer wel bevonden met , in het onderwys, een Octant of Sextant, in tecgenwoordigheid der leerlingen, als het waare te ont> leeden, om ieder ftuk aan te toonen , te doen zien hoe men het beproeft, weder op zyne plaats brengt, ftelt, enz. Eindelyk moet men zich oeffenen in het waarneemen; het geen men eerst doen moet op aardfche voorwerpen , en da» op heemellichten. Men moet zich ook, (.doch dit heeft plaats,welk werk men ook gebruike om de Lengte te leen. 1 bereekenen,; in het gebruik van den Almanach oeffenen : waar toe onze Verklaring van den Almanach zeer nuttig is : ik moet er ten minfien zo over ooideelen, als ik naga hne gemaklyk jongelingen, Czelfs Van 1 ï jaaren ,) in het Kweekfchool , daar deezc onze werken gebruikt worden, den Almanach ieeren verftaan, èn de Lengte bereekenen.  VOORREED E. xv nog leefde, niet alles zoude afkeuren: doch hoe veel zoude hy zelfs niet verbeeterd, en tot meerdere eenvouwigheid gebragt, hebben? Het zy my vergund nog één woord over den aart van dit werk te zeggen, gelyk meede ovejr deszelfs bedoeling. Men moet het niet befchouwen als Hechts {trekkende om ééne enkele Theoretifche manier voortedraagen, om de Lengte door de afftanden van de Maan tot de Zon of Ster te bereekenen, gelyk zulks de éénige inhoud is van verre de meeste werken die daar over gefchreeven zyn; maar als een werk waarin alles wat de Theorie, en de Praktyk van die methode betreft, gevonden wordt: en waarin de zaaken in zodanige orde voorkomen, dat het werk en voor. kundigen en voor minkundigen dienen kan: waaruit volgt dat het zelve niet door allen op de zelfde wyze moet gebruikt worden. En waarlyk men kan, zo als reeds in de Voorreede voor den eerlten druk van dit Werk gezegd is, onze Zeelieden, met betrekking tot hunne kundigheeden, jn drie Clasfen verdeelen. De eerfte, doch die helaas! verre de talrykfte blyft, bevat die Zeelieden, welke, uit gebrek van vermogens, of van genoegzaam onderwys, alles wat zy reekenen naar reegels verrichten die hun opgegeeven worden, die zy als 't waare van buiten leeren, en volgen, zonder eigenlyk te weeten wat zy doen; daar zy noch van den aart dier reegelen, noch van de getalen die zy gebruiken, noch van wat het ook zy', eenig duitlelyk denkbeeld hebben. Zy fchieten de Zon op  xvi VOORREED E. op den middag: zy weeten dat zy de Zons Declinatie moeten opzoeken, Kimduiking en Dampheffing gebruiken, en dat het facit hunner reekening de Breedte geeft. Zy weeten insgelyks dat zy uit eene gefchoten Zons hoogte, door zeekere bewerking, tot facit krygen hoe laat het is: zonder echter dat zy eenig naauwkeurig denkbeeld hebben van Declinatie, van Dampheffing, van Uurhoek enz. — De zulken moeten deeze Verhandeling niet geheel leezen, noch zo veel ik weet, ééne éénige van de my bekenden: zy kunnen zich vergenoegen met §. 35, 36% 37, 38, 39: verder, daar de manier van de borda om den waaren afftand te bepaalen, de meeste overeenkomst heelt met het geen zy gewoon zyn te doen, met %. 70 en 71: dan met §. 43 en 44: of § 129: en met § 47 tot 59; en vervolgends met het beftudeeren der Tabellen, waarin alle de bewerkingen voorkomen en in orde gefchikt zyn, zo dat zy Hechts de getalen hebben intevullen. Daar 'er nu geen Stuurman is, die niet uit eene waargenomen hoogte het uur -moet kunnen opmaaken , is 'er ook geen die niet het zo eeven gefielde, en dus de Lengte op Zee, zal kunnen bereekenen, daar die bewerking, eeven als alle andere Hechts in het op- of aftrekken van eenige Logarithmen beftaat: doch voor Zeelieden van deeze clasfe, is het bynaar onnuttig werken te fchryven; de gemelde op vier of vyf bladzyden gedrukt zouden voor hen genoegzaam zyn. De tweede clasfe bevat die Zeelieden, welke een goed denkbeeld hebben van alle de Hukken die zy moeten bearbeiden: alle de vraag:?h welke in de Navigatie voorkomen weeten optelos- ïënj  VOORREED E. xvii fen; zeer duidelyk zien dat die oplosfingen allen op het oplosfen van klootfche driehoeken fteunen: doch uit hoofde dat zy geheel in de -Meetkunde onervaaren zyn, het bewys der reegelen welke tot die öplosfingen dienen niet verftaan: en het valt zeeker te bejammeren dat het aantal van die Zeelieden nog zoo groot is. Het is echter voor deezen dat wy voornaamlyk gefchreeven hebben: het is voor deezen niet genoeg eenen reegel, of een famenftel van reegels te volgen: maar men moet hun, wil men ze naar behooren onderwyzen, den aart der zaaken en de waare gronden waarop alles rust, onder het oog brengen, tot'dat men aan reegelskomt, die zy moeten aanneemen. Men denke niet dat ik hier fpreek als iemand die niet gewoon is te onderwyzen, of ook met Zeelieden omtegaan. Ik heb het bereekenen der Lengte aan _ een groot aantal jongelingen onderweezen, en ik denk geduurig met aandoening over het groot getal derzelven die zich thands in 'sLands dienst bevinden, en onder welken 'er zyn waar op een Leermeester, hoewel hy nooit op Leerlingen roemen mag, echter met genoegen kan te rug zien. Het is my altoos voorgekomen, en de ondervinding heeft my zulks bevestigd, dathet zeer veel licht byzet, eerst een algemeen en gemeenzaam denkbeeld der zaaken te geeven ; en met die bedoeling is het eerfte deel gelchreeven: dat men altoos Wel doet ieder luik in' zyn' aart te ontvouwen, en aantetoonen, hoe, den grondflag den zelfden blyvende, men echter veranderingen, verbeeteringen, verkortingen maaken kan; hier toe ftrekken het tweede, het derde, en het vierde gedeelte. Voor Zeelieden;  xviii VOORREED E. van deeze clasfe is die werk eigenlyk gefchreeven; (a) en 'er is in die deelen, gelyk meede in hit vyfde; dat de praktyk betreft, niets, dat zy niet, met behoorlyke aandagt te gebruiken, verHaan kunnen: daar wy, hoe wel wy een klaar en volkomen denkbeeld getracht hebben te geeven van alle de ftukkcn,die in het waarneemenen bereekenen der Lengte voorkomen, en van de gronden waar op alles gebouwd is, in uezclven geene kundigheid in de "Meetkunde hebben vooronderiteld-.^oj maar alléén dit, dat men klootfche driehoeken kan oplosfen en dus de reegels tot die oplosfing betrekkelyk weet: welke men boven CtT> Zo lang de Zeelieden, welke tot deeze Clasfe behoorén, geene genoegzaame ervarenis in de Wis- en Natuurkunde bezitten, zullen hunnekundigheeden oppervlakkis: zvw, doch deezen zyn niet uit haaren aart zeiven, zo als die der Zeelieden van de eerfte Clasfe, altoos gebrekjtór: men lette wel op dit onderfcheid. Er is, zeide ik elders (Reede voering ttr Inwyding van het Gebouw der Maatrchappy Fe/ix Mertth: bl: 45-) „Er is een groot onderfcheid tusfehen het gebrekkige en het oppervlak" kiee Eene gebrekkige kennis is die, welke niet op " de waare gronden gevestigd is, onder den fchyn van ' gemaklykhèid veele Hukken agter laat, die echter tot den waaren aart der zaaken bchooren, en dus valiche " denkbeelden inboezemt. -— Maar eene oppervlakkige kennis is die, welke in zich zelve juiste denkbeelden opleevert, den waaren aart der zaaken voor oogen fielt, de waaren gronden aanwyst, op dezelven bouwt; doch " die, uit mangel van een genoegzaam aantal voorafgaande , of uit andere weetenfehappen ontleende , ',' kundigheeden, de zaaken niet kan doorgronden, en ' dus maar eene zcekere hoogte bereikt, daar zy moet „ blyven liaan, zonder immer verder te kunnen komen". O) §. 201, 207 en 207* alléén uitgezonderd, doch die niet wel op eene andere manier uitgelegd konden worden.  VOORRE E DE. xix ven dien, voor zo verre zy hier te pas komen, ook in het zesde deel aantreft. Daar dan al wat 'er in de vyf eerfte gedeelten van onze Verhandeling voorkomt, ofbeweezen, of tot de oplosfing van kiootfche driehoeken gebragt wordt; kunnen wy zeggen dat men, door zich deeze Verhandeling eigen te maaken, niet alléén den aart der handelwyze verflaan zal, maar ook de bereekening zal kunnen doen, en de reede van iedere bewerking bevatten: en het komt ons voor dat, wanneer twee menfchen eene gelyice oeffening bezitten, die welke de gronden en reedenen der bewerking verliaat, niet alleen met meer' gemak, met meer aandagt, met minder gevaar van te feilen, maar ook lpoediger de bereekeningen voleinden zal dan de ander, die van de gemelde kundigheeden ontbloot is. De laatfre clasfe, doch die helaas l verre de minst talryke is, beflaat uit die Zeelieden welke niet alléén alle de bewerkingen die in de Stuurmanskunst voorkomen verrichten kunnen; die niet ak léén de reedenen dier verrichtingen verflaan, en van allen duidelyke begrippen hebben, maar boven dien genoeg in de Meetkunde ervaaren zyn, om het bewys der verrichtingen nategaan. Voor deezen, doch voor deezen alléén, is het zesde deel deezer Veihandelmg gcfchikt, waar in zy alle de bewyzen van het gefielde zullen aantreffen, en overvloedige ftof tot oeffening vinden, ik wensch hartelyk dat 'er een tyd moge komen ^ Waar in de Zeelieden in het algemeen, en 's Lands Officieren in het byzonder, zich meer op deMeeten Wiskunde zullen toeleggen, gelyk ook op die ** 2 dee-  xx VOORREED E. deelen der Natuurkunde, welke op het bouwen en beftuuren van Scheepen, en op het doen van waarneemingen eene byzondere betrekking hebben. Dit is het eenig middel om waare kimde onder de Zeelieden te doen gebooren worden, en aan het Corps Zee - Officieren dat aanzien te doen verkrygen, dat het zelve behoort te hebben, en die kunde, welke het zelve gelyk zal Hellen met het Corps Zee-Officieren by andere Natiën. Zie daar het geen ik over dit werk, in deeze Voorreede, te zeggeq, hadt: en hoe wel ik alléén hier als Uitgcever te voorfchyn kom, als zynde de eenige der twee Opftellers van het Werk die overig blyft, en dus ook de eenige aan wien thans dit werk toekomt; geef ik het uit op last van het Commité tot de Zaaken van de Marine. Namentlyk, daar alle de Admiralitcits Collegien en alle de aankleeven van dien, door de refolutie van H. H. M. van 25 February 1795 zyn vernietigd geworden, begreep ik met den Burger van keulen, dat ook^de Commisfie op ons en op wylen onzen vriend nieuwland, in April 1787door het Collegie ter Admiraliteit alhier refideereiide geflagen, door de zelfde refolutie vernietigd was: waarom wy in September des laatstleeden jaars , ons by Requeste aan het Comité tot de Zaaken van de Marine vervoegden, met verzoek dat de Commisfie weder aangefteld mogt worden, wy tot dezelve rnogten worden benoemd, en verder geauctorifeeid, om, op naam en op last van het Comité, den derden Druk van de Verhandeling over de Lengte, waar van het handfchrift toen reeds bynaar gereed lag, te mogen uitgee- ven.  VOORREED E. xxi ven. Het Comité tot de Zaaken van de Marine, het welk vhet zyn de woorden van de refolutie van at September laatstleeden ,) zich overtuigd houdt „ van de falutaire inftelling dee„ zer Commisfie, zo voor 'sLands dienst als ,, voor de Zeevaart in het algemeen, " heeft deeze onze verzoeken ingewilligd. Ik verfchyn dan wel hier alléén als Uitgeever van deezen derden Druk: doch om in het vervolg niet dan gemeenfchappelyk met de beide andere Leeden der Commisfie te werken, (gelyk wy reeds gezamentlyk den Almanach van 1797 hebben uitgegeeven, en aan die van 1798 arbeiden) daar het Comité den uitmuntenden Mathematicus jacob floryn, in plaats van den overleeden nieuwland , tot Lid van dezelve heeft aangefteld: eene aanftelling, die het verlies van nieuwland zo volkomen herftelt als het door iemand te herftellen was; en die het zelve voorzeeker, in dit vak, voor my leenigt; daar 'smans verdiensten, kunde, en beproefde werkzaamheid, den Lande ten hoogfte nuttig zullen zyn., en der Commisfie zelve, aan welke hy reeds te vooren veel hulp en nut heeft toegebragt, luister byzetten. Ik verheug my over deeze keuze, en vleije my in mynen nieuwen Meedebroeder ook eenen vriend te hebben aangetroffen. Daar nu de ondervinding al langer hoe meer de nuttigheid van deeze manier om de Lengte op Zee te bepaalen aanwyst en bevestigt: daar zy doet zien, dat het niet moeijelyk valt de zelve, ook in alle haare byzonderheeden en uit** 3 ge-  xxii VOORREED E. geftrektheid, te leeren: daar zy thans in het Kweekfehool voor de Zeevaart, eeven als alle andere deelen der Zeevaartkunde, wordt onderweezen: daar 'er bynaar geen jongelingen uit de hoogfte of vierde clasfe naar Zee gaan die niet daar in zyn bedreeven: daar zeederd het eind van 1787, dat men in het Kweekfehool een aanvang met bet onderwys in het bereekenen der Lengte gemaakt heeft, tot den eerften deezer, reeds honderd een en vyftig jongelingen in die bereekening ervaren, naar Zee zyn gezonden, en 'er zeederd Maart des voorleeden jaars twee en neegentig, die allen, op zeer weinigen na, het bereekenen der Lengte verftaan, op 'sLands Scheepen geplaatst zyn, het zy als Luitenants, het zy als Cadets , het zy als Stuurlieden, het zy als Leerlingen, zonder die geenen te tellen welke nog in O. 1. of elders op reis zyn; vleije ik my dat die methode eerlang in een algemeen gebruik zal komen. Voorwaar een belangryk tydftip voor onze Nationaale Zeevaart! en waar van het daarftellen merkelyk verhaast zoude worden, gelyk meede dat van het volkomen herftel onzer Zeemagt, zo ver het de ki-mdigheeden van de Zeelieden betreft, indien de Fondfen van het Kweekfehool voor de Zeevaart toereikende waaren om, in plaats van Hechts honderd a honderd twintig jongelingen dadelyk in dat o-efticht te onderhouden, er' drie maaien meerder te huisvesten . en, behoorlyk in clasfen naar de verfchülende bekwaamheedeu verdeeld, naar vereisen optevoeden, en te doen onderwyzen! Mogten alle waare Vaderlanders, allen wien het welzyn van den Zeedienst ter harte gaat, of invloed op denzelven hebben, zich éénmaal daar toe vcréénigen! Ik durf nog  VOORREED E. xxm nog zeggen zo als ik in de Voorreede voor den eerften Druk van dit werk gezegd heb, „ Wyver„ maanen dan de Onderwyzers in de Navigatie op „ het crnfiigfte om hunne Leerlingen vroegtydig „ de kennis deezer methode inteboezemen: Wy „ vermaanen alle Reeders van Scheepen, al het „ overige gelyk gefield zynde, Kapiteinen die in „ deeze methode ervaaren zyn , den voorrang „ boven anderen te geeven: Wy vermaanen al„ len die in de volmaaking der Zeevaart en de „ veiligheid der Scheepen belang Hellen, al wat „ in hen is tot het invoeren van een algemeen „ gebruik van deeze handelwyze bytebrengen: „ Wy vermaanen eindelyk de Zeelieden 'er ge„ bruik van te maaken: " het geen hun nu gemaklyker dan te vooren vallen zal, daar 'er meerder Werken over dit onderwerp zyn uitgekomen, en wy de,onze merkelyk hebben verbeeterd. Ik befluit,gelyk voorheen,met de woorden van een zeer kundig Zeeman, die door zyn voorbeeld en zyn gezag veel heeft toegebragt om dc bereekening der Lengte onder onze Zeelieden intevoeren, en van wiens Werk over dit onderwerp wy reeds gewaagd hebben. „ De uitkomflen der Obfervatien toon en aan „ hoe nuttig het zyn zoude, indien men dezelve „ generaal in gebruik kon brengen: men zou dan „ met zeekerheid die groote Zeën bevaaren, naar „ Oost- en West-Indie; daar door veele onge„ lukken voorkomen , en voorfpoediger reizen doen: want men zou dan , door vry zeeker van „ zyn beflek te weezen, niet ontydig behoeven „ bytedraaijen , wanneer men van verre reizen ** 4 „ komt  xxiv VOORREEDE, „ komt en met zyn bellek voor uit is. De men? „ fchelykheid gebiedt ons van alle de middelen s, die 'er bekend zyn tot veiliger bevaaring der „ Zee , gebruik te maaken , om de reizen zo „ fpoedigmogelyk te volbrengen, tot gezondheid „ van het Scheepsvolk. Het zal ons aangenaam „ zyn indien deeze verzameling ftrekke kan om „ daar toe meede te werken " Hier toe verleene de goede Voorzienigheid haaren zeegen! J. H. VAN SWINDEN. Amfterdam, 5 Mey 1796.  INHOUD. Voorreed» . . . bl. v INLEIDING . . bl. I I deel. Algemeen denkbeeld van de Lengte, en van de manier van dezelve op Zee, door middel der Maans af (landen van Z,on en Sterren, te bepaalen § i — § 27. . 5 I. Wat is Lengte? § 1 - § 6. . . 5 II. Wat is Lengte in Tyd? § 6 - § 11. 8 III. Het bepaalen van de Lengte op Zee beflaat in het bepaalen van het uur, i°. aan Boord, 20. te gelyker tyd op eene bekende plaats aan Wal. § 11 n i°. Te vinden hoe laat het aan Boord. § § 12.13. 11 2°. Te vinden hoe laat het te gelyker tyd is op eene bekende plaats aan Wal, kan gefchieden door Zee-Horologien §§ 14. 15. . 12 30. Het bepaalen van den tyd op eene bekende plaats aan Wal, op het zelfde tydftip als aan Boord, kan gefchieden door de gelyktydige waarneeming van een en het zelfde Voorwerp. §§ 16 en 17. . 14 40. De Af/landen van de Maan tot de Zon, of eene vaste Ster, zyn daar toe een gefchikt Voorwerp. § 18 — § 21. . . 15 50. Men kan den afftand der Maan tot de Zon of eene vaste Ster, voor een bepaald oogenblik en eene bekende plaats bereekenen: hoe die bereekening gefchiedt. § 21 — § 24. 17 n 5 6°.  xxvi INHOUD. 6°. De bereekende afftand wordt in de plaats yan eene dadelyke waarneeming gefield. § 24 — § 27. bl. 20 II deel. Naauwkeurige aanwyzing van de gronden, waarop de bereekening van de Lengte door eenen waargenomen afftand yan de Maan tot de Zon, of tot eene vaste Ster, gevestigd is. § 27 — § 61. . 22 1. optelling van de vereischten tot de bereekening van de Lengte. § 27. 28. «2 II. eerste vereischte. Het bepaalen van den afftand der Maan tot de Zon of eene vaste Ster: en daar toe behoort i°. hetmeeten van den fchynbaaren af [land, en van de fchynbaare hoogte der Middelpunten van Zon en Maan. § ^9 — § 33. . 23 20. Tot het ecrfle vereischte behoort 20. dat wen uit de Jchyubaare hoogte der Middelpunten hunne waare hoogte aftelde. § 33 - § 40. 25 30. Tot het eerfte vereischte behoort 30 dat men uit de fchynbaare en waare hoogten en uit den fchynbaaren afftand der Middelpunten den waaren afftand aftelde: Lloe dit gefthUdi? $40—43. . . 35 III. tweede vereischte: ie bereekenen hoe laat de gevonden waare afftand op den Ptc van Teneriffa plaats heeft. § 43 — § 47. 43 IV. derde vereischte: het bepaalen van den waaren tyd, op welken de waare gevonden afftand aan Boord plaats heeft. % M " % 59- • • • 43 i°.  INHOUD. xxva i°. Hier toe behoort ic. de bereekening van den Uurhoek. § 4H — § 51. . bl. 49 2°. Het overbrengen van den Uurhoek der Zon tot -waaren tyd: § 51. § 52. 54 30. //e? overbrengen van den. Uurhoek in tyd, indien men eene Ster gefchooten heeft. § 53 — § 59- • • 55 V. vyfde vereischte: Be/luit: bepaaling van de Lengte. § 59. §60. . 61 III deel. Over de verkortingen en verbeet eringen die men aan fommige pukken van de oorfpronkelyke bereekening van de Lengte heeft toegebragt. § 61 — 142. . 6*3 I, Algemeene aanmerkingen over het geheel werk. § 61. §62. . • 63 II. Verkorte har.de/wyzeh om den waaren afftand van de Zon of eene Ster tot de Maan te bepaalen, en wel door werktuigen, of afpasfingen: § 63 — § 66. . 65 III. Verkortingen toegebragt aan de oorfpronkelyke bereekeningen van den waaren afftand van Maan en Zon, of Maan en Ster. § 66 — § 129. . - 67 i°. eerste verkorting: de handelwys yan de borda, om den afftand te bereekenen, § 69 — 72. • • jo Eerfte verkorting van die bereekening § 72. 73 Tweede verkortingvan dtebereekemng§7%. 75 2°.  xxvm INHOUD; 2°. tweede verkorting: Eerfte vtrbeeterde manier yan de borda , om den waaren afftand te bereekenen. § 74 — § 79. bl. 77 Tweede verbeetering aan de handelwyze van de borda toegebragt; en wel door MACKAY §79. ... 84 3°. derde verkorting : Oude manier van dunthorne. § 80 — § 88. . 88 V'-rbeetering van mackay aan de oude manier van dunthorne toegebragt § 88. 93 4°. vierde verkorting: Nieuwe ofverbeeterdemanier van dunthorne.§89 - § 94.95 5°. vyfde verkorting in de bereekening van den waaren afftand: handelwyze van krafft. $ 94. § 95. . . I03 Aanmerkingen op de yyf voorgaande verkortingen. § 96. § 97. . 104 6°. zesde verkorting in de bereekening van den waaren afftand: het bereekenen van denzelven door de eng elsch stafels Algemeene Aanmerkingen § 98. 107 Befchryving der Engelfche Tafels § 99 — 112. ... 108 Algemeen denkbeeld van het gebruik der Tafelen: en de gronden waar op het fteunt 5112 —§115. . . 115 Gebruik der Tafelen: § 115 — § 124. 116 Beftuit: overzigt van alle de bewerkingen § 124 — § 128. . . 124 Ver-  INHOUD. xxix Vergelyking van alk die verkortingen § 128 133 IV. Verkorting door de Proportionaal-Logarithmen, toegebragt aan N°. VI. van de geheele bereekening: namentlyk aan de bereekening van den waaren tydopTeneriffa. § 129- § ^o- • • 134 V. verkortinge toegebragt aan N9. Vlllvan de bewerking: namentlyk van het bereekenen van den Uurhoek. § 131 — § 141. 137 eerste verkorting: § 131— § 132. I37 tweede verkorting: manier van doüwes. § 133 — § I37. • I38 Verandering aan de manier van doüwes door steenstra toegebragt. §137— § 140.143 Aanmerking over de Uurhoek van eene Ster. § 140. . . . 145 VI. Be fluit. § 141. • • 146 IV deel. Over het bereekenen der Lengte in •eenige by zonder e gevallen, welke, in den eer ft en Jchyn, van den algemeenen reegel afwyken §142 — §208. . 147 I. Algemeene aanmerkingen over de gevallen welke plaats kunnen hebben: § 142— % 147.147 II. Hoe men te handelen hebbe wanneer de drie waarneemingen van hoogten en afftand niet gelyktydig kunnen gefchieden, maar door éênen éênigen waarneemer moeten gedaan worden § 147 — § 157. . 15* Gro/i'  xxx I N H O U D. Gronden waar op de waar neeming rust. % 147, § 148. . ' • bl. 151 Waarneeming: § 149. . 152 Bereekening der waarneeming §150 — § m 154 III. Hoe te uanueicn wanneer de hoogte der Zon, of van eene Ster, op den tyd der waarneeming niet naauwkeurig genoeg gefchooten kan worden § 157 — § 164. *" . 159 Grondbeginfel van de bewerking § 157 ~ § 160. . . . lS9 Reegel § 160. . . 162 Voorbeelden § 161 — § 164. 163 IV. Over het bereekenen van de Lengte, als men den afftand van de Maan tot de Zon of eenige vaste Ster gemeeten heeft, doch zonder der zeiver hoogte te kunnen fchieten: § 164 — % 191. . . _ Optelling der Stukken die daar toe vereischt worden. § 164. . . 166 A. Het vinden der waare hoogten van Zon of Ster en Maan. § 165 — § 181. l8l I. Algemeene oplosftng die teevens van zelfs op de hoogte der Zon wordt toegepast. § 165. . . . 168 Eerfte Reegel, door de gewoone Tafels. % 166 — § 169. . . 169 Twee-  INHOUD. xxxi Tweede Reegel, door de gewoone Tafels. % 169. . bL 17a Derde Reegel, door de gewoone Tafels. § 170 — 171. . . 173 Oplosfing door de Tafels van douwes § 172. . 174 Aanmerking over het verfchilder bereekende en waargenomene hoogte. § 173.176 II. Toepasfing der algemeene oplosfing op de hoogte van de Maan. § 174 — § 180. 177 i°. Uurhoek van de Maan 3 §174§ 178. . . ' 177 •2°. Declinatie van de Maan. § 178. 181 30. Bereekening van de waare hoog' te der Maan. § 179. . 182 Aanmerking over het verfchil derbereekende en waargenomen hoogte. § 1 80. 182 III Toepasfing op de hoogte van eene Ster. § 180*. 182 B. De fchynbaare hoogte van Zon, ofSter, en van de Maan te bereekenen. § 181 —■ § 185- • • 183 i°. Grondbeginfel waarop die bereekening jleutït. §181. §182. . 183 2°. Reegel om de fchynbaare hoogten te bereekenen. § 183. . 185 30. Befluit yan de Bereiding. % 184. 187 C.  xxxii INHOUD. C. Bereekening van den waaren afftand van Zon of Ster en Maan. § 185. . bl. 187" D. Bereekening van den tyd op Teneriffa, N°. VI. § 186. ; Z88 E. Be fluit van de seheele Bereekening., N°. IX. § 186*. Aanmerkingen op de voorgaande bereekening , en wyze om dezelve naauwkeuriger te doen worden. § 187 — § iqcx 189 Befiuit. § 190. 4 . 192 V. Over het bereekenen der Lengte, uit eenen waargenomen afftand van de Maan tot de Zon, of' eene Ster, al kent men de Breedte niet. § 191 — 197. 205 VI. Aanmerkingen over eenige byzondere gevallen. § 197 — § 206. . 205 Eerfte geval. § 198 — § 201. 206- Tweede geval. § 201 -• § 205. 208 Derde geval § 205. . 211 VIF. Aanmerkingen over eenige onmogelyke Voorbeelden. § 206 — § 208. . 212 V. deel. Aanmerkingen over eenige ftukken de praéïyk ) an de meeting der afftanden betreffende, en over de naauwkeurigheid van deeze handelwyze. § 208.— § 253. 216 I. eerste vereischte: van eene goede waarneeming; een goed Werktuig. §208. 216 II-.  INHOUD. xxxin II. tweede vereischte: dat men den tyd, die tot het doen van eene goede waarneeming het\gefchiktst is, zo mogelyk, uitkieze. § 209 — § 216". bl. 217 III. derde vereischte: dat men zich tot het doen der waarneeming behoorlyk bereide. § 216 — § 219. 4 223 IV. vierde vereischte: dat de Waarneemers het werk behoorlyk onder zich verdeelenden zich wel verft aan. % 219. en § 220. . . . 225 V. vyfde Vereischte : dat de afftand zeer naauwkeurig gemeeten worde; wat daar toe vereischt wordt ? § 221 —§229. 227" VI. zesde vereischte: men moet verfcheiden. achtereenvolgende waarneemingen doen, en een midden uit allen neemen. § 229 — 232. . . 233 VII. zevende vereischte: men moet verfcheiden ftellen van waarneemingen georuiken. § 232. . . 234 VUL Aanmerkingen over het'nutvanby iedere waarneeming den tyd op het Horologie aanteteekenen: § 233 — § 234. 236 IX. Aanmerkingen over de naamvkeurigheid met welke men door deeze handelwyze de Lengte op Zee kan bepaalen. § 235 — § 248. . . ; 239 X. Ovtrziening van het geheel Werk. § 244 — $ £53. . , 248 *** At»  xxxiv N H O U D. Algemeene aanmerkingen: § 244. bl. 248 Waarneeming: % 245. , 249 Bereekening: § 246. . 250 Uitlegging der gedrukte Tabellen. § — S 253- • 251 VI. deel. Bewys van alle de /lukken, welke in de voorgaande Deelen verhandeld zyn. § 253 - § 352- • • 256 I. Foor/lellen betreffende de Sinusfen, Tangenten en Secanten van Boogen of Hoeken. § 254 — § 263, . * 256 JI. Foor/lellen betreffende de rechtlynige Driehoeken: § 263 — 266. . 263 III. Voor feilen uit de klootfche Driehoekmeeting. § 266 — § 288. . 263 Algemeene uitlegging der zaaken. § 267 — ;. & 270. .. . , 264 Voorftellen. % 270 — § 287. . 267 Toepasfing. § 287. , , 276 IV. Oplosfng van twee gevallen uit de Klootfche Driehoeksmeeting. § 288 — § 301. 278 I. geval : Gegeeven zynde twee zyden, en den hoek door dezelven begreepen , de derde zyde te vinden: § 288 — § 294. 278 JI. geval: Gegeeven zynde drie zyden, een der Hoeken te vinden. § 294— § 301 281 v.  INHOUD. xxxv V. Bewys ven het geen § 67 gezegd is over de manieren om by nadering den waaren afftand te bereekenen: § 301 — § 302. 288 Verbeeterde handelwyze van lyo.ns. § 30.1 en § 301. a. . . 288 Eerfte handelwyze van lyons. § 301 b — % 301. e. . • 229 Handelwyze van maskelyne en mackay. § 301. e. ♦ 296; VI. Bewys van de manier van de borda , om in het bereekenen van de Lengte den fchynbaaren afftand tot den waaren te herleiden. § 302 — § 310. . 300 VII. Bewys van de verkorting door mackay, aan de handelwyze van de borda toegebragt. § 311. . . 308 VIII. Bewys van de oude manier van dunth0 rn e , om in het bereekenen van de Lengte, den fchynbaaren afftand tot den waaren te herleiden. § 312 — § 321. 309 DC. Bewys yan de verkorting door mackay, aan de oude manier van dunthorne toegebragt: § 321. . . 321 X. Bewys van de y er beet er de of nieuwe manier van dunthorne. § 322 — § 328. 322 XI. Bewys yan de verkorte handelwyze yan krafft. § 328 en § 328. a. . 326 XII. Bewys van de manier die de borda gebruikt , om de Uurhoek te bereekenen. S 329 — § 332- • • 329 XIII.  xxxvi I N H O Ü D. XIII. Bewys van de manier van douwes , om den Uurhoek te bereekenen §332—336. bl.330 XIV. Bewys van de verandering door steenstra aan de manier van douwes toegebragt: § 336 — <» 339. . ö 333 XV. Bewys van den Reegel om den Uurhoek te vinden, welke in § 52 is aangeduid. § 339 — 342. . . 335 XVI. Bewys van den Reegel § 170gegeeven, §342. 33; XVII. Bewys van de manier van douwes, om de hoogte eener Ster voor een bepaald Tyd /lip te bereekenen. § 343. . 330 XVIII. Bewys van het geen §190 gezegd is over den invloed van den Uurhoek op de hoogte der Sterren. § 344. . ^40 XIX- Bewys van eenige byzondere gevallen. § 345 ~ § 348. . . 342 XX. Bewys van het geen § 210gezegd'is over den voordeeligfien Tyd om hoogte te fchiet™. § 348. . . 345 XXL Bewys van het geen gezegd is § 219 en § 236. b. van den invloed der gemeete hoogte op den af/land. % 349. 345 XXIL Bewys van het geen § 236 gezegd is, over den invloed van de Hoogte der Zon op den Uurhoek. § 350 — § 351. 345 XXIII. Bewys van het geen % 243 gezegd is over den invloed -tan eene verandering van Breedte in den Uurhoek. § 352. ö 348 Aanhangsel. Over het vinden der Logarith- men van Seconden in de gewoone Tafels. 350 toegift van Voorbeelden. . 3^ VER-  xxxvii verbeeteringen. ijl. 19. noot «regel 7. Haat 200. a'. lees 2°. 1'. — 51 , ai ii°.38'.3Ö" ii°. 38'. 40". 4- 68 iaatfte § 311 §. 301 — 121 —— 47'. 37"- 47/-27". — 111 , . ar. 20 —— §4'.ao". 123 noot 6 van onderena7-37 2732 — 203 § 196. 3 820.9'. 54" 8a». 17'.54". im 329 18 ltaat § 13 § 131 eyvoegsels. Byvoegfcl tot § 58. Jri dit voorbeeld heeft men de Tafel van dé rechte Opklimmingen der Sterren gebruikt, welke in de eerfte en tweede druk van dit werk gegeeven is, en voor 1 January 178S,bereekend was. Doch dit zelfde Voorbeeld, op het Tabel N °. IF. b'ereekeneride, heeft men de nieuwe Tafel gebruikt, welke in deeze derde druk Haat, en die voor 1 Janiiary 1800 jbereekend is: het. geen tusfchén N°. VIII van dat Tabel en dit eenig verfchil geeft in de uitërlyke gedaante der bereekening, doch het fa's'tt komt óp net zelfde uit. Êyyoegfel tot § 64; ik had my gevleid dit werktuig voor hét uïtgeeyen deezer Verhandeling te zullen ontvangen: doch ik bezit het nog niet. Men kan eéne korte befchryving van het zelve vinden by la lande, üibrégh d"t Navigation, p. 63: en het bewys van de gronden waarop dé toeftel van Hét werktuig rust , iri de Connaisfance des terns, An %e de la 'Repuhlique bl. 230. het werktuig draagt té recht den naam van Compas de redudion. Byvoègfèl tot § 6& margets in Engeland, heëfc op zëëvëntfg Plaaten in Folio dpor toi figüuren^ alle. de getaleri van de En-  xxxviii Engelfche Tafels afgebeeld, zo dat men op het oog de correctien vinden kan, die men uit hoofde van dampheffing en verfchilzicht aan den waareti afftand moet toebrengen, en wel op 10 of 12 feconden na. Ik heb dezelven niet gezien, dus onthoud ik my van 'er oyer te pordeelen. Volgends de opgaave van la lande is de Tytel Longitude Talk, for correaing the effecl of parallax and refraction, on the obferved diftance taken between the Moott and the firn or a fixed Star, whereby the trut difiance is accurately obtained, and th» correfponding time at Greenmch found by infpectiony London 1790, folio, fold by Elms'ly in the flrand. la lande voegt 'er by dat de Opfteller in 1793 beezig was met eenen ijueuwen druk. op eene grooter fchaal te vervaardigen. Byvoegfel tot § 94. Ik dagt de eerfte te zyn, welke de nodige Tafels over de handelwyze van krafft bereekend en uitgegeeven had; doch ik zie, toen dit werk reeds geheel afgedrukt was , in de Connaisfance dts Tems, Idn IV. (uitgegeeven in February laatstleeden) dat de Spaanfche Zee-Officier mendoza, aldaar eene V erhandeling over de Lengte heeft geplaatst, waarin hy,'onder anderen, de manier van krafft zeer aanpryst, en eene Tafel voor den boek p opgeeft; doch de myne is uitvoeriger en gemaklyker. Geduurende zyn yerblyf te Amfterdam, heeft mendoza verfcheide "gefprekken met nieuwland en my gehouden over de buiten-middags Breedte en over de Lengte,' ook" volgends de manier van krafft. nieuwland heeft hem verfcheiden zyner papieren , zonder eenige agterhoudenbeid , geleend. Byvoegfel tot § 99- Wy hebben in het zesde deel § 301. b. § 301. 9- 5& Ver-   De Burger ilortn de goedheid gehad hebbende de derde Druk van de Verhandeling over de Lengte met eene onbegrypelyke naauwkeurigheid te leezen, heeft daar in eenige Drukfeilen ontdekt, welke hy de vriendelykheid gehad heeft aanteteekenen, en my meede te deelen. Dat hy daar meede, niet alleen my, maar allen die het gemelde werk bcgeeren te gebruiken, veel dienst gedaan heeft, valt in het oog: hy ontvange voor dien arbeid myne hartelyke erkentenisfe. De Leezers, welke eenig denkbeeld hebben, hoe moeilyk het valt de proeven van diergelyke werken, ja zelfs de Copy3 waar na het werk gedrukt wordt, van alle fouten te zuiveren, zullen deeze feilen zeer gcmaklyk verfchoonen: en alltn, welke zich voortaan van dit werk zullen bedienen , worden verzogt die feilen met de pen te verbeeteren, alvoorens zich tot het leezen van het zelve te begeeven. J. H. VAN S WINDEN. Amflerdam \ Juny 1797. ER.-  ERRATA IN DE VERHANDELING OVER DE LENGTE, DERDE DRUK. Pag. reg. Sta** — — Lees 5 7Noot 0 [ Westelyke r- .- Oostelyke 15 3 8 U.58 min. - - u TJ. 2 min. 19 óNoota 6 U.45 45" _ _ _ 6 U.54'45' 7 20y2' - , _ a»2r 33 7 v. 0. den onder of bovenrand - vanvoorenof: van achteren. 38 4V.0. 'fiTxCof.Tz - - Cof.mT »Ct>/ Tz. 4' 9 ^ 9-95^74 - - - 9.9522774 44 3V.0.N.* 13:5 - - - 1327 45 6 36' 37'' 9 54'' - - 56"< i7Noot« 62713542 - - 6.2783542 46 4 36-' 40" 48 13 PIPHP - - P T G ƒ> H 17 en vervolgends overal daar Q flaat, moet men F leezen. 32 SM - - KM. 51 23 36" - 40"' 75 7 Cojtnus - Sitius' 76 8 9-95JH57 - - - 9 95415X7 82 9 P'99845° - 9.998460 83 13 41 - 42' 85 24 aftrekken optellen- 300 22 47" - 57" 121 7 37" - 271" 8 3i» . - 34^ I23 2oN00ttf 2737 - - 2732! 137 6 39' 49" Prop. Log. 9118 - - 31181 141 16 Log. 4.8501768 - - Log, 4 8509431 157 3 35' - 34' 366 16 63» - - 36'' 187 7 v.o. 400 - - 420 194 9 v.o. zf - - - Zr J95 ien5 Mi - *- - Mc: 103 10 v. 0 9' » - - 17' Pag. 2281  ERRATA Pag. reg. Staat Lees 220 3 IZII - IKH 20 400 - 300 244 7 56» - * - 57"1 2t 59' - - 39' 39' 59' 256 3 v.o. KD BD 257 iNoot^ BE - - - BA 2 NDxBE NDxBA "BD~ " " BD 258 8Noot£ BP - - - BT 12 AAMUPenBND - AAMÜP,BUV, BND iNootc Noota - Noot£ 262 6 N". VIII. - , VIT. 8 (de laacfte) B-j-C - - B- C 10 IX door IV VIII door IIT 14 IV - - - _ VI 263 15 Fig. 12. . - - • Fig. 13. 264 21 MZ - - _ MN 271 4 Fi£-15 - - - Fig. 16. 6 MOR - - _ MR 274 2 TMZ - - - TMr 277 36 QMN - - - QLN 278 16 QL - - - QZ 17 MQL _ MQZ 18 ML MZ 283 2 v.o. § 264. No. VII. - - ' S.2ÖI.N0.IH. 286 29 303. c - - - 300. c 288 7 v.o. AA' - - A 5 v.o TZ« „,>..„-■- TZM 289 1 v.o. Cofecd - - Cofec.a 290 1 ' Cofic. = 347 " - - - ^mpi., 349 4 jTTJ - - _ zT„ 10 TP/ - , _ TPa 352 2g 507 506 28 758 ?78 355 29 17" - - _ _ n" ' 1 Noot alhier - njet In Fig. 1. By het Middelpunt, Haat G in plaats van C. By de fnyding der lynen Pp en GQ is vcrgeeten de ü.  VERHANDELING D VER HET BEPAALEN" DER LENGTE ÖP ZEE, DOOR DE AFSTANDEN VAN DE MAAN TOT DE ZON, OF DE VASTE STERREN. INLEIDING. ^IViets is 'er voor den Stuurman van een Schip van meerder gcwigt, dan ieder oogenblik met genoegzaame Zeekerheid tc weeten, waar hy zich op de wyduitgeftrekte ruimte van den Oceaan bevindt. Zyn behoud hangt dikwerf van die kennis af; en wy lchroomen niet te zeggen, dat meer dan éénSchip vergaan is, om dat de Schipper zich dicht by wal bevond, daar hy, op zyn bellek met te veel vertrouwen fteuncnde, 'cr dacht nog ver af te zyn, en een opkomende ftorm het Schip op die klippen, wier nabyheid niet vermoed werd, verbryzelde. Men kan dan de Stuurlieden niet genoeg aanzetten, om, zo dikwerf 'er maar gelegenheid is, hun beftek te verbeeteren. Het beftek te verbeeteren beftaat eigenlyk hier in, dat men de waare plaats, daar het Schip zich bevindt, met die vergelyke, daar men, volgends den gezeildcn koers en gemeeten verheid, denkt dat het is: en de gegiste plaats, door die vergclyking, tot de waare brengc. Twee dingen worden 'er vereischt, om dit, met genoegzaame nauwkeurigheid, of volkomen zeekerheid, te kunnen doen ; namentlyk de kennis der Breedte, en de kennis der Lengte.' deeze twee, Breedte en Lengte, bepaalen de plaats van het Schip. Wanneer men eenigên tyd volgends eenen bepaalden koers zeilt, is men in ftaaf, 't zy door oplosfing vaneen' rechthockigen driehoek, 't zy door de itreektafels, uit dien koers en de gezeilde verheid, of den weg dien men afgelegd heeft, te beA ree-  a Inleiding. reekenen, hoe veel men in Breedte, hoe veel men in Lengte gevorderd is: en dus, wanneer de Breedte en Lengte van de plaats, van welke men afvaart, of, zo als men het noemt, de af gevaar en Breedte en Lengte bekend zyn, kent men ook de bekomen Breedte en Lengte, of de plaats van het Schip. Maar hoe veele onzekerheden brengen hier niet de ftroomen, de ongeftadigheid der winden, de mindere naauwkeurigheid met welke men de fnelheid van het Schip bepaalt, en veele andere omftandigheedcn, in 't geen tot grondfteun van deeze bereekening ftrekt, namentlyk in den koers, welken men meent gevolgd te hebben, en in de gezeilde verheid? Het zoude dus dwaas zyn op die bereekening, gevolglyk ook op de afpasfing op de kaart, en op het zetten van het Beftek op dezelve, meer te vertrouwen dan op eene gisfing, en de geleegenheden te verwaarloozen, die mm bekomen kan, om die gisiing in zeekerheid te veranderen, dat is, het beftek te verbeeteren. Het eerfte middel om dat te verbeeteren, is, zo dikwyls mogclyk, hoogte te neemen, om de Breedte , op welke men zich bevindt, 'er uit af te leiden. Maar onze Zeelieden zyn ver af van alle de middelen, die daar omtrent voor handen zyn, te gebruiken. Meest vergenoegen zy zich met de Zons hoogte op dgn middag te neemen. Doch hoe dikwerf gebeurt het niet, dat op dien tyd de Zon beneveld is, en dus de waarneeming onmogclyk wordt ? Dit kan dagen achter één duuren, en men zwerft in 't onzeekere, vooral zo een ftorm belet heeft den gang van het Schip te bepaalen. — Zyn 'er dan geene andere middelen ? — Ja! meer dan een: doch zy worden te weinig gebruikt. Hoe dikwerf gebeurt het niet, dat de Zon op den middag bedekt, doch vóór en na denzelvcn eenigen tyd zichtbaar is ? Het ware dan te wenfehen dat alle Zeelieden het voorbeeld van fommigen volgden, en, zo dikwerf mogelyk, de Zon buiten den middag fchootert, om uit twee waarneemingen, en den tusfehen dezelve verloopen' tyd, de Breedte  Inleiding. • $ te te bepaalen: eene bewerking, die door het vernuft en de vlyt van wylen den zeer kundigen en te recht alom vermaarden Cornelis Douwes tot een' grooten trap van volmaaktheid gebragt, en zeer gemakkelyk gemaakt is, wanneer men zyne Tafelen tot het vinden der Breedte buiten den middag gebruikt: een boek, dat in de handen van alle Zeelieden behoorde te zyn. Maar 'er is buiten dit nog een ander middel, om de Breedte te bepaalen: namelyk door de waarneeming van de hoogte der Maan, wanneer zy in den Meridiaan is: wy hebben in de Verklaring van den Almanach (*) de gronden daar van aangeweezen, en getoond,dat dit eeven gcmaklvk is als de hoogte der Zon in den meridiaan te neemen. Men behoorde dit niet te verwaarloozen; dikwerf is het by avond of by nacht helder' f daar het den geheelen dag betrokken is geweest. Men kan zelfs de vaste Sterren, en ook de Planeeten, tot het zelfde einde gebruiken. Maar het is niet genoeg de Breedte te kunnen bepaalen, en naar de gevonden Breedte het geheel beftek te verbeeteren: wanneer men dit doet, vooronderstelt men, of dat de gegiste koers de waare is, of dat de gegiste verheid goed is: doch beide de onderftcllingen zyn onnaauwkeurig: en meest al verkiest men de gegiste Lengte voor goed, voor de waare Lengte, te houden, en dus, uit de verbeeterde Breedte, het geheel beftek te verbeeteren, en daar door een' misflag in den koers en in de verheid beide te ondcrftellen. Maar dit is eene loutere ondcrftelling: 'er kan, en in koers, en in verheid, eene misftelling plaats hebben, en M waare Lengte kan tevens van de gesiste Lengte verfchillen. Her (*) Zl« i" de inklaring van Jen Almanach, de Veiklar'ni» v, P W p, die door den Noordpool P, en den Zuidpool p gaan, recht Noord en Zuid: en dus zullen de Cirkels, F NA, GTM, WDO, wier {needen op de fneeden of de vlakken der eentgemelden perpendiculair (taan, het West en het Oost aanduiden, of regr. Oost en West liggen. Doch het vlak des Evenaars WDO ftaat loodrecht op alle de Meridianen: en dus zyn alle de cirkeis, die loodrecht op de Meridianen ftaan^ pok parallel of evenwydig aan den Equauw. en liggen dus ook allen, even als de Eqitater, recht Oost en West. §• 3- Daar nu de Lengte de afitand, recht Oost en West, van twee plaatfen is, volgt het ook, dat dc Lengte moet gereekend worden op een' boog die recht Oost en West gaat, dat is, of op een' boog, die evenwydig aan den Equator is, of op den Equator zeiven. Indien men dan vraagt naar deLengte van de plaats E, dat is naar haaren afitand recht O en W van den eerden Meridiaan P 'Vp, zal men uit E op den Meridiaan VTp een' boog EL evenwydig aan den Aequator trekken: en die boog geeft den afitand van E recht O en W van d$n Meridiaan van Tereniffa te kennen. Of ik nu den boog E L, of den boog A N, of M T, of O D neem, het komt, wanneer men derzelver grootte in gracuhn uitdrukt, (a) op 't zelfde uit: («) Wy zeggen wanneer men Je grootte van die booten in graden uitdrukt: want de omtrek van een cirkel, het zy groot of klein, wordt altoos in 360 graaden verdeeld; en daar de boog A N Het zelfde gedeelte van den cirkel 1; NA is, als de boog D O van den cirkel WDO, zullen de boogen AN en DO een even groot g«tal graaden bevatten. Het is anders mei de zaak geleegen indien men de Lengte in mylen uitdrukt. Het zelfde getal inyleh beflaat meer graaden op den cttkel F NA, wiens omtrek kleiner is, dan op den cirkel WDO wiens omtrek grooter is: en omitkeerd, het zelfde gettl graaden bevat op den eerstgeinelden minder mylen dan op den tweeden. Is  I. Wat is Lengte ? 7 uit: want zy 7.yn allen evenwydig aan elkander; allen drukken zy de helling uit van da vlakken PT/ P, PEO p P, die door de Poolen en de plaatfen T of E gaan: dat is: zy zyn de maat van een' hoek, DCO, ofTUM, of N VA, die altoos eeven groot is; en dus bevatten zy het zelfde getal graaden en minuuten. §• 4- Daarom neemt men voor de maat van dien hoek3 én dus voor die van de Lengte, den boog DO, die op den Equator befpannen wordt door de Meridianen van de plaatfen waar van men fpreekt,en men geeft deeze bepaaling van de Lengte; Lengte van eene plaats is de boog van den Equator, die tusfchen den Meridiaan van die plaats en den eerften Meridi~ aan begreepen is. Dus is D O de Lengte van alle de Plaatfen, die onder den Meridiaan PO/> geleegen zyn: en D W die van alle de plaatfen, welke zich onder den Meridiaan PWp bevinden. $. 5- Men telt dan de Lengte van een' bepaalden Meridiaan af, in graaden, minuuten en feconden ,'t zy naar welke reeden dit plaats heeft valt niet moeijelyk te bepaalen; want (Fig-2.) zy ^WPKdedoorfneede vanden Meridiaan, Vp de as van de aarde, C het middelpunt, WIK de omtrek van den Equator of Linie, F BH die van een Cirkel, welke op de Breedte WF evenwydig is aan den Equator; en dus een cirkel waar op men de iengte telt: zo (taan de omtrekken van de cirkels F BH en W IK in de zelfde reeden tot elkander als bunno Straalen FV en W C of FC: maar FV is de Sinui van den hoek F C P of van den boog P F, die het Complement is van FW : dus is F V de Cofinut van den boog FW,of van de Breedte: dus ftaat de omtrek van den cirkel F BH tot den om-trek van den cirkel WIK, of van den Equator, als de Cofinut van de Breedte tot den Radius: en gevolglyk verminderen de graaden vaneenigen citkel der Aarde, met betrekking tot de graaden van den Equator, zo als de Cofinusjèn van de Breedte : en in de zelfde reeden, doch omgekeerd, vermeerdert het getal graaden van dien cirkel.dat ineen bepaald getal mylen bevat wordt: indien byv. 15 mylen eenen graad uitmaaken op den Equator, zullen zy 3 graaden bellaan op de Breedte van 60 graaden: om dat de Cofinus van 60 gr. de helft is van den Radius. Op dien grond zyn de Streek - Tafels naar het rond voor de agtfte ftreek bereekend: zo als ook by douwes de Tafelsom de Afwyking in lengte (naar het tond; te veranderen dooide middelbreedte. A 4  8 I. Deel. Algemsen denkbeeld van de manier enz. naar het O, 't zy naar het W, Sommigen zyn gewoon altoos Oostwaarts te tellen, den geheelén cirkel rond , of tot 360 gr. Anderen tellen Oostwaarts tot 180 gr. en Westwaarts tot 180 graaden: men ftelle dat de" boog DO 20 graaden bevat, cn de boog W D 30 graaden: zo zegt men dat O 20 graaden Oostwaarts ligt van D, en W 30 graaden Westwaarts, of volgends snderen 330 graaden Oostwaarts: men ziet dat 'er in her laatfte geval nog 30 graaden ontbreeken om den cirkel te" volbrengen ; en die 30 graaden zyn juist de greottq van den boog WD. Beide deeze tellingen, namcntlyk altoos naar 't O. tot 360 gr. of naar 't O. tot 180, en naar 't W. tot 180, hebben hun voor- en nadeel: doch het is der moeite niet waardig hier by te blyven ftil liaan, om dat de zaak in den grond op het zelfde uitkomt. /ƒ. Wat is Lengte in tyd? §• 6. Daar de Aarde, door eene omwenteling op haaren as, alle 24 Uuren weder vlak over de /.on komt, en dus- de Zon, door eene fchynbaare daeelykfche beweeging, ééns in 24 U rondsom de Aarde Ichync re- gaan, en haaren omtrek, of 360gr., in 24 Uuren te doorloopen, legt zy in 1 U- het 2411e gedeelte van 360 gr. of 15 gr. af: en derhalven , zo zy op een bepaald oogenblik in den Meridiaan PD 15, zal zy reeds 1 U. ao' geleden in den Meridiaan VOp geweest zyn, die 'er ao gr. Oostelyk van af ligt; en zy zal eerst over 2 U. komen in den Meridiaan PW/, die 30 gr. Wcstelykcr ligt; en zo voorts,altoos naar gelang van de grootte der boogen OD, D W, 15 gr. voor één Uur, en dus één'graad voor 4 minuten tyds, een' minut graads voor 4 feconden tyds tellende. Men kan dan de Lengte niet alléén door de hoegrootheid der boogen OD, DW, in graaden uitdrukken, maar ook door het verl'chil van tyd; namentlyk , met aanteduiden, hoe veel vroeger of laater men in het zelfde oogenblik op de gene plaats dan op de andere telt; wanneer men dan  II. Wat is Lengte in Tyd? 9 dan dien tyd tot graaden brengt, heeft men de Lengte in graaden. Om dit gemakkelyker te kunnen doen, gebruikt men de IX en X Tafel van onze Verzameling van Tafelen die zeer gefchikt zyn om fpoedig den tyd in graaden, en de graaden in tyd te veranderen. §. 7- Men kent dan het verfchil van Lengte tusfchen twee plaatfen, wanneer men het verfchil van dentyd, die in het zelfde oogenblik op dezelve geteld wordt, kent- Het vinden van Lengte komt dus in de daad hier op uit ; wanneer men weet hoe laat het is aan 'Boord, of op de plaats daar men zich bevindt, te bepaalen hoe laat het is, of op de plaats des eer Hen MeriJiaans, of op eene plaats wier Lengte van den eerflen Meridiaan af, wel bekend is. Wanneer het 3 U. aan Boord is, en ik weet dat het als dan 5 U. op den Pic van Teneriffa is, dan is het op Teneriffa i U. laater, en dus ligt de Pic 30 gr. Oostwaarts van my af. § i En omgekeerd; wanneer men weet hoe veele graaden eene plaats van eene andere in Lengte af is, weet men ook hoe veel vroeger of laater het op deeze dan op geene is* Indien ik my op eene plaats bevind, die 6o gr. Oostelyker ligt dan Amfterdam, weet ik dat het te Amfterdam 4 uuren vroeger is dan by my, en gevolglyk dat men daar Hechts één uur na den middag telt, als ik reeds 5 uuren tel. Het zoude in tegendeel te Amfterdam 4 uuren laater zyn dan by my, indien ik my op eene plaats bevond die 60 gr.Westelyker dan Amfterdam ligt. Hoe wel dit klaarblyklyk zy, moet men echter deeze twee vraag en niet met elkander verwarren. De I. vraag is; Hoe laat is het op eene plaats, of welk uur telt men aldaar, als men op eene andere plaats, die Oostelyker of Wistelyker ligt, een bepaald uur telt ?— deeze eerfte vraag is die, waar van wy nu gefprooken hebben: men brengt de Lengte in tyd, (§.7.) cn het is op de eerfte plaats juist zo veel vroeger A 5 Of  ïd /. Diel. Algemeen denkbeeld van de manier enz* of zö veel laater, naar maatc zy Westelyker of Oostelyker ligt dan de tweede: dit behoeft geene verdere uitlegging. § o. De II. vraag is deeze: Wanneer temands van eene plaats vertrokken, op eene andere gekomen is, en by zyne aankomst aldaar bepaalt hoe laat het is, welk uur zal hy op het zelfde oogenblik tellen op die plaats uit velke hy vertrokken is'? — Hier toe is het niet genoeg te weeten hoe veel die plaatfen in Lengte verfohiilen, en dat verfchil in tyd te brengen, zo als in de eerltc vraag: maar men moet daar en boven no* wecten of men naar die tweede plaats gekomen is met Oostwaards, dan wel met Westwaards, te gaan. Men onderitelle iemand is uit Amfterdam vertrokken, en is den 10 September, ten 7 U, Westwaarts omgezeild zynde, op eene plaats gekomen die 60 graden Westelyk van Amfterdam ligt: vraage hoe laat hy oordeelen zal dat het op dat oogenblik te Amfterdam is? ' Vermits hy Westwaards omzeilt, komt hy allengskens op plaatfen daar het vroeger is dan op de plaats van waar hy vertrokken is; hy is 6c gr. gevorderd; dus telt hy 4 Uuren vroeger dan'hy te Amfterdam zoude geteld hebben: hy oordeelt dan dat het aldaar 11U. des avonds van den 10 September is. Maar was hy Oostwaards omgezeild-, hy zoude 300 gr. afgeleid hebben: hy komt, Oostwaards gaande , allengskens op plaatfen daar men laater en laater telt dan op de plaats van waar hy vertrokken is: gevolglyk daar hy 300 gr. heeft afgeleid, zal hy 10 uuren laater tellen dan hy op het zelfde oogenblik te Amfterdam zoude geteld hebben, en dus oordeelt hy dat het aldaar nog ao uuren vroeger is dan op de plaats daar hy zich bevindt; en gevolglyk dat het ao Uuren is voor 7 Uuren des avonds van den 10 September: dat is den 9 September li uuren des avonds. ) §• IQ- fa) Indien onze Reiziger dan wilde weeten wélke deZonsof Maans Declinatie, of RechteOr-kUmming is,als by op die plaats den to Sepïember j uuicu des avqnds telt, zoude hy in Tafelen voor Amfterdam bereekend iele Declinatie, Rechte Opklimming, &c- Tooiden 10, ten li'uuren 'savonds moeten zoeken indien hy Westwaards, doch voot icn 9, ten 11 uuten 's avonds indien hy Oostwaards gezeild was.  III. Bep(taling van den tyd aan Boord. n §• 10 Het is dan niet genoeg te weeten hoe veel de plaats waar men zich bevindt van eene andere in Lengte verfchilt, en te zeggen, zy is zo veel Oostelykèr, of zo veel Westelyker dan deeze 3 dus is het 'er zo veel laater, of zo veel vrseger, maar men moet weeten hoe men 'er gekomen is; men moet, Oostwaards gezeild hebbende, altoos vroeger, Westwaards gezeild hebbende altoos laater tellen op de plaats van waar men vertrokken is, of van waar men telt; en zulks naar gelang van het aantal graaden welke, naar dien kant geteld waar men na toezeilt, tusfchen de beide plaatfen geleegen zyn. O) IIT. Het bepaalen van de Lengte op Zee beftaat in het bepaalen van het Uur: 1° aan Biord: en 2°, te gelyker tyd, op eene bekende plaats aan wal. § li. De geheele manier om de Lengte op Zee te bepaalen , beftaat dan enkel en alleen in twee (tukken : het eerfte; te weeten hoe laat het op een bepaald oogenblik is, aan Boord, of op ide plaats daar men zich bevindt: het ander; te vinden hoe laat het juist op het zelfde oogenblik is op eene andere wel bekende plaats, by v. onder den eertten Meridiaan. j. Te vinden hoe laat hit aan Boord is. §• 12- Het eerfte ftuk, te vinden hoe laat het aan Boord is, is eene vraag die alle Zeelieden weeten op te los- («1 jacob florVN, 6p wiens voetfpoot wy deeze gewigtige aanmerking, die echter meest altoos achtergelaaten wordt, en die ons in de eerfte druk van dit werk ontglipt was, maaken, zegt te recht ,, Dus zoude men in alle Voorbeelden, waar in van Lengte „ gefproken wordt, eigenlyk moeten opgeeven, of men op die Lengte „ Oosnvaards of West-waards om gekomen is; het welk echter nei,, gens gedaan is. Men moet derhalven altyd begrypen, dat men op W. Lengte ook Westwaards, en op O. Lengte ook Oostwaards „ gekomen is: gelyk het in de daad met de meefte Zeevaart uit „ Europa plaats heeft: terwyi men op grootei tochten, of Reizen „ rondom den Aardkloot, zich naar het bovengemelde kan gedraagen.-" Zie p. iteehstra, benodigde Tafels Sic. J 209,  n I. Deel. Algemeen denkbeeld van de manier enz. Iosfen. Wanneer men de Breedte juist, of omtrent kent, kan men uit de hoogte van de Zon, of van de Sterren, het Uur gemaklyk afleiden: dit vraagftuk worde in alle de Boeken over de Stuurmanskunst opgelost: en wy zullen geleegenhcid hebben om 'er hier onder f§. 47 en volgende) nader van te fpreeken (&): die tyd is dan de waare tyd. Men kan, over hét verfchil van waaren en gemiddelden tyd, dat geen nazien , 't welk wy in de Verk'aring van de eerfte bladzyde van den Almanach, by geleegenheid van de Tyd-vereffening, gezegd hebben: namentlyk, op bl 31 — 36.' § 13. Het ander Huk, te bepaalen namentlyk hoe laat het op eene zeekere pbats, den eerften Meridiaan by voorbeeld, is, op dat oogenblik, dat men aan boord ' verkiest waartcneemen, is wat moeijelyker, of ten niinfteh het valt zo gemaklyk niet in het oog; wy zullen trachten dit op te helderen. 2. Te vinden hoe laat het te gelyker tyd is op eene bekende plaats aan Wal, kan gefchieden door Zee - Horologien. § 14. Twee middelen zyn 'er om dien tyd te weeten. Het eerfte beftaat in een goed Horologie. Ik ftel, dat men aan Boord een volmaakt goed Horologie hebbe, dat , of den gemiddelden tyd volmaakt volgt, of waar van men den gang, ten opzichte des (<<) Zie gietermaker, derde Boek, LUI. voordel. — klaas be vries, Druk van 1786: p. 501. — struik, Zeevaartkunde, P' 277i §304 st een st ra , Stuurmanskunst, eerfte Boek^Voorltel: doch voor al de fchoone manier van douwes, door behulp van de uitmuntende door hem bereekende Tafels, welke het werk Beer veel vetkoiten en Hgter maakeu: de Engelfcacn hebben die Tafeli veel uitgebreider gemaakt: steenstra, heeft dezelven nog uitgebreider in zyne benedtgde Tafelen geplaatst, welke Tafels van steenstba ook achter de Verhandeling ever de Lengte van dehartog, te vinden zyn. Alle deeze Hoeken zyn by den Drukker van dit Werk tc bekomen»  Bepaaling van den tyd aan JVaï. 13 des gemiddelden tyds, volmaakt kent O): een Horologie, dat, niet tegenlïaande de beweeging van het Schip, de veranderingen in de warmte en de iuchtgelteldheid der plaatfen, waar het Schip zich bevindt, geene ongereegeldheid in zyn' gang ondergaat, Men ftelle, dat men, op een'bepaalden middag, alvorens uit Texel by voorbeeld te zeilen, het Horologie op den waaren middag ftelt: dan zal die Horologie, waar men zich ook op den wyduitgeftrekten Oceaan bevinde, altoos aantoonen, hoe laat het op Texel is: want het maakt geen verfchil, of het Horologie op Texel gebleevcn waare, dan naar elders gebragt zy: het gaat eeven goed, en op de zelfde wyze als het op Texel zoude gegaan hebben. Alleen, daar, zo als wy het ter aangehaalder plaafe gezegd hebben, het Horologie enkel den gemiddelden tyd volgt,zal men door deTyJvereffening, naar gelang van het getal dagen, die zedertdat het Horologie gefteld is, verloopcn zyn, den gemiddelden tyd tot den waaren brengen: en gevolglyk dien tyd3 dien waaren tyd, het waare Uur dat het als dan op Texel is, met het Uur aan Boord waargenomen vergelykcnae, weet men terftond op welke Lengte van Texel af het Schip zich bevindt, en dus ook, daar de ligging van Texel bekend is, van den eerden Meridiaan (by § 15- Niets is dan gemaklyker: de eenige onzekerheid die 'er overblyft betreft alleen de naauwkeurigheid en regelmatigheid van het Hor jlogie: doch men heeft het reeds zo ver gebragt, dat Harrison, Arnold, Emmery, Kendal in Engeland, Berthoud en le Ror in Vrankryk, dergelyke zeer naau- 'keurige Zee Horo- lo- («) Zie, in de Verklaring van den Almanach, de Verklaring der Tjdvereffening, by welke geleegenheid wy op bl. 38—50 al wat der» gang der ilorologien, en het vinden van den tnaareu tyd door middel van den gemiddelden, of van eep Horologie, uitvoerig verklaard hebben, vooral in den tweeden druk die met den Almanach van 1791 is uitgegeeven, en voor alle volgende jaaren dient: het is deeze tweede druk die wy overal aanhaalen. (t> Indien wy merken dar de Tyd-Meetert of Zee - Horohtien by Onze Zee-Officieren in gebtuik raaken, zullen wy in onze Verzameling van Verhandelingen, eene Verhandeling ovet al wat derzelver gebruik betreft, plaatfen. De Capiteins vaixlant en van btuanb hebben reeds op hunne reizen zeer veele belangryke waaineerniDgea met dezelve gedaan.  14 1- Deel. Algemeen denkbeeld van de manier enz. logien gemaakt hebben, die men op zeetochten beproefd , en voldoende bevonden heeft: Jammer is het, dat de kosten van dergelyke werktuigen niet toelaaten dat alle Schippers 'er zich van voorzien: en dat hunne aart. zelve, en de omzichtigheid, met welke men ze behandelen moet, allen niet toelaaten 'er meede om te gaan: want, daar men zich op een dergelyk werktuig vertrouwt, moet men zorg draagen dat 'er niets aan ontbreeke, en 'er geen ongemak aan kome: indien 'er, zonder dat men het wist, eenig ongemak aan kwam, en men 'er op bleef vertrouwen, zoude zodanig een Horologie nadeelig in plaats van voordeelig zyn. Men heeft deeze Horologien niet ten onrecht Tydbewaarders genoemd, om dat zy, den tyd die op de afgevaarene plaats waargenomen wordt altoos te kennen geevende, den zeïven, om zo te fprceken, beftendig bewaaren. 3°. Het bepaalen van het Uur op eene andere plaats , ep het zelfde tydftïp als aan beord, kan gefchieden door de gelyklydige waarneeming van één en het zilfde Voorwerp. 5 Ió. Maar 'er is een tweede middel, dat van dergelyke werktuigen geheel onafhanglyk is. Namentlyk, indien 'er éénig verfchynfel is dat maar dén oogenblik duurt, of maar één oogenblik het zelfde is, en indien twee Waarneemers , op verfchillende plaatfen, dat verfchynfel te gelyk waarneemen ; zyn die twee waarneemingen, buiten eenigen twyffel, op het zelfde oogenblik genomen; zo dan ieder waarneemer den waaren tyd , op welken hy dat verfchynfel gezien heeft, aantcekent•, zal men, uit de vergelyking van die twee waargenomen en aangetcekende tyden, weeten , hoe laat het op 't zelfde oogenblik op die twee plaatfen is: dus hoe veel vroeger of laater op de eene dan op de andere : en gevolglyk zal men het verfchil van Lengte tusfehen beide de plaatfen kennen ( § 7. § 11. >. Zo iemand by voorbeeld dat verfchynfel' ten 10 uuren 's a-  Te vinden hoe laat het aan boord h< 15 *s avonds waarnam te London, en een ander, het zelfde te Karelskroon in Zweeden ziende, aldaar dan maar 8 uuren en 58 minuten des avonds telde,zoude hy weeten dat Karelskroon een uur en twee minuuten tyds, dat is, 15 graaden 30 minuuten, oostclyker ligt dan London. § 17. Het komt 'er dan maar op aan, om een dergelyk verfchynfel te vinden. Wy zullen ons niet ophouden met allen, die men op het vaste land zoude kuanen gebruiken, hier by te brengen: doch alleen herinneren, dat het waarneemen van het begin en het einde eener Eclips,voor al van eene Maan Eclips,(*) waar m men boven dien den tyd, op welken dc byzondere vlekken beginnen verduisterd of weder verlicht te worden, kan waarneemen •, gelyk ook de waarneeming der Eclipfen van Jupiters Satellieten (F) tot het bedoeld einde in zich zeiven zeer dienftigzyn. Maar de Maan-Eclipfen vallen zelden voor: en de Eclipfen van Jupiters Satellieten kan men op Zee volftrekt niet gebruiken. Das moet men naar andere verfchynfelcn omzien: en ik zeg, dat de afftand van de Maan tot de Zon,of vaste Sterren Juist een verfchynfel is van dien aart als het weezen moet, om ter bepaaling van de Lengte op Zee te dienen Wy zuilen dit nu zo duidelyk mogelyk aantoonen. 40 De afftanden der Maan lot de Z-m of raste Sterren zyn een daar toe gefchikt Veorwsrp. § 18. De Maan heeft niet alleen met den gcheclenSterrenhemel eene lchynbaare dagelykfehe beweeging omde Aarde, maar boven dien eene waare bcweegingin haare loopbaan, waardoor zy in 27d.7 U. 43' ra»» baa- (*) Waarom wy hier vooral van eene Maan-Eclips, en niet van eene Zon-Eclips fprceken, blykt uit het geen wy over de 2oljEolipfen in het Voorbericht voor ied'eren Almanach, bl: XV-XX a». zegd hebben. (b) zie het geen wy over die Eclipfen gezegd hebben in de Vm ^«rwig wx» dm Almmntch, bl: rjs enz.  jó I. Deel. Algemeen denkbeeld yan de manier enz. haaren gemiddelden loop om de Aarde volbrengt: Do Maan heeft dus eene zeer fnelle beweeging, ten aanzien van de dagelykfche beweeging der vaste Sterren : namentlyk gemiddeld, van 13°. en io' daags: en dus van byna 33' voor ieder Uur. De Uurbeweeging der Maan is ook fnel ten opzichte van die der Zon: vermits deeze laatfte maar omtrent 1'. 33* op hen hoogst bedraagt. Hier uit volgt dat de Maan, niet alleen geen oogenblik op den zelfden afftand van de Zon, of van de vaste Sterren, blyfr, maar ook zich zo fpocdig van beiden verwydert, dat de verandering van afftand, zelfs in een' zeer korten tyd , merkelyk is: en derhalven duurt de bepaalde afitand van de Maan tot de Zon, of eene bepaalde Ster, maar cén oogenblik, en verandert in een korten tyd zo veel, dat wy die verandering met onze werktuigen kunnen gewaar worden. De afftand der Maan van de Zon, of van de vaste Sterren, voldoet dan aan bet eerst vereischte dat in een voorwerp, ter bepaaling van Lengte dienftig , noodzakelyk is. (§ 13 ) § 19. Het tweede vereischte is, dat men dit voorwerp op het zelfde oogenblik , op de twee plaatfen, waarvan men de onderlinge Lengte bepaalen wil, waarneeme. (§ 16. ) Dat men dien afitand aan Boord, zo we! als op eenige plaats aan wal waarneemen, en het oogenblik van die waarneemins weeten kan, fpreekt van zelf: want, laat (Fig.4) KI de kim van den Waarnecmer zyn: M de plaats daar de Maan, en Z die daar de Zon, of eene Ster, zich bevindt: zo zal de Boog MZ de afftand tusfehen Zon en Maan zyn; en men kan dien afftar.d door een Sextant even goed meeten, als den afftand tusfehen twee Toorens, of tusfehen twee voorwerpen hoe ook genaamd («■). Men kan ook het Uur bepaalen: want, daar de Breedte naauwkeurig, of na genoeg, bekend is, kan men uit de hoogte ZI van de Zon, het Uur bereekenen , § 12): 't geen men ook door eene Sters hoogte (zie 53 — § 59;, en door die der Maan , haa- («) Zie ytrb*ndelin& mtr de Octanten en Sextanten, bl. 5Ï-6J.  Bepaakti van hét Ü. door den dfft. der Mam enz. 17 haare Declinatie kennende, (zie §174 — 5 179) doen kan. Ik ipreek nu niet van het geval daar men een goed Horologie heeft: wy zullen naderhand (§ 214 § 215) zien hoe veel dit de zaak eenvouwiger en gemaklyker maakt. § 20. Eeven als men dien afftand aan Boord rheeten kan, kin men denzclven, en het Uur, op eenige ander© plaats der Waereld waarneemen, zo de Maan namentlyk aldaar boven dc kim is. Maar of men dien afftand aldaar waarneeme dan niet, het kan den Schipper weinig baatcn, die, op het oogenblik dat hy zyne waarneeming doet, en, om dc Lengte van het Schip te bepaalen, dezelve met de andere vergelyken moet, van deeze laatfte geen kundfchap krygen kan. Het fchynt dan in het eerfte oogenblik, alsof de Waarnceming van den afftand der Maan tot de Zon ons niet zjudc kunnen dienen, en dat wel by gebrek van eene wnarneeming, in eene bekende plaats op het zelfde oogenblik genoomen. Maar deeze zwarigheid zal ras verdwynen, indien men op het volgende letten wil. 5°. Men kan den afftand der Maan tot de Zon of eene Ster, voor een bepaald oogenblik en eene bekende plaats , bereekenen i hoe die bereekening gejthiedti § 21. Of ik op eene bekende plaats, by voorbeeld Pic pan Teneriffa, een' bepaalden afftand van de Maan tot de Zon of eene Ster, op een bepaald oogenblik, in de daad waarneem, dan wel of ik van vooren weet, op welk tydftip van den dag die bepaalde afftand op die bepaalde plaats Voorvallen moet, komt, voor het gebruik, op het zelfde uit, mits men kundigheeden genoeg hebbe,orn dien tyd met de vereischte naauwkeurigheid te bepaalen. Die kundigheeden hangen alleen af van eene genoegzaa* me kennis van den loop der Maan. B § 23.  l8 /. Deel. Algemeen denkbeeld pan de manier enz, § 22. Door den vlyt der laatere Sterrckundigen heeft men dien loop zo wel leeren kennen, dat men in ftaat gefteld geworden is, met eene genoegfaame naauwkeurigheid, te kunnen bereekenen, welke op eene bekende plaats, voor ieder Uur, naar welgevallen, de afftand der Maan tot de Zon, of tot de eene of andere Ster zyn moet: ik zeg met eene genoegfaame naauwkeurigheid, dat is met eene naauwkeurigheid die voor de Zeevaart genoegfaam is; eene zodanige, dat men in de uitkomften van de reekeningen flechts feilen te wagtcn heeft, die draaglyk zyn: en veel geringer dan die, aan welke men anderszins bloot gefteld zoudezyn. Naauwkeuriger waarneemingen zullen ons, door den tyd, den loop der Maan nog naauwkeuriger leeren kennen: en ons dus tot naauwkeuriger befluiten doen geraaken. {a) § 23. Wanneer men den loop der Maan genoeg kent, om haare Lengte en Breedte, of haare Rechte Opklimming en Declinatie (£-) voor ieder oogenblik te kunnen bepaalen, zo als men denzelven daar toe genoeg kent, valt het niet moeijelyk den waaren afftand tusfehen ae Zon en de Maan, of de Maan en eene Ster, te bereekenen. Laat (in de Figuur 4) Z de Zon, of eene Ster, M de Maan, EQ de Evenaar. P de Pool zyn: zo laat men uit den Pool op den Evenaar door dc Zon en door de Maan de bogen P Z Q en P M E gaan, die beiden 90 graden behelzen : en dus, daar Z Q de Declinatie van de Zon, ME die van de Maan is, zyn PZ en PM de complementen van die Declinatien. Zo ^ het eerfte * ftip («> Dit is in dc daad reeds gebeurd: zie hier Onder § 538. i b} De Declinatie en Rechte Opklimming der Zon vindt men, Toor iederen dag, op de eerfte bl. van onzen Almanach, op den middag van den Pic van Teneriffa; en de Declinatie en RechteOpklimming van de Maan, op bl. n en in, tweemaalen voor iedeten dag latrat teekend; nam: voor middag, en voor middernacht. Alles wat de Declinatien en Rechte Opklimmingen betreft, is in de veiklaaiing vaas den Almanach duidelyk uitgelegd.  Bereekening van den afpand van Zon en Maan. 19 nip van Artes is, van waar men de Rechte Opklimmingen der heemellichten begint te tellen, is VQ de RechteOpklimming van de ©of van de Ster: VE dié van de Maan: en dus is de boog EQ, of de hoek EPQ, waar van hy de maat is, het verfchil der Rechte Opklimmingen •: en derhalven heeft men een' klootfchen driehoek, waar in twee zyden ZP en PM (complementen der Deel marien) en de hoek MPZ (verfchil der Rechte Opklimmingen) tusfehen de zyden begrecpen, bekend zyn: en dus kan men door de reegels van de Driehoeksmeeting dieri driehoek oploslén,en de zydc MZ, of den afftand der beide heemellichten, vinden (a). — Wil men, _ (<) Wy zullen den reegel § 40 mot b vooiitelten, en vervolgend» ïn tiet VI Deel § 588 -§ :ps bewyzen: thands zullen wy een voorbeeld van deezen aarr opgeeven. voorbeeld. Den 4 July 1794 is {vooz Gmmvich) volgends den Engelfcbcn Almanach, de Zons Declinatie, of ZQ pp nuddag a»«. 52' N- haare Rechte Opklimming of T Q, 6a. 4;'. 4;i: dus in graaden 1030 41'. ]5«: Maahs Declinatie!» op middag, of M E — 30°. 2' N, haare Rechte Opklimming, of T E J'84°- 35': gevolglyk EQ, of her vetfehil der Rechte Opklimmingen, 9t Buiken: 111 39. Om das B a  «10 /. Des/. A'gemeen denkbeeld van de manier enz. men in plaats van Rechte Opklimming cn Declinatie, de Lengte en Breedte gebruiken: zo zy EQ de Ecliptica: P de Pool der Ecliptica: en gcvolgelyk ZO en ME de Breedte. ooren dan van achteren gefchooten is: de Kimduiking uit Tafel I; welke men aftrekt van of voegt by de hoogte van den gefchoten rand, naar maate men van vooren of van achteren gefchoten heeft: het verfchil of de fom geeft de weezenlyke fchynbaare hoogte van den gefchoten rand: verder, de halve-middellyn der Zon, die men (<) By voorbeeld: indien ik Oostwaards gezeild zynde, my op 349" bevond; zoude ik weeten dat het op de Teneriffa 16 U. 36' vtocget is dan aan boord: en gevolglyk, daar ik aan boord rel den 10 February 5 uuren, zoude men op Teneriffa tt U. 361 voor den middag van den tienden February rellen, dat is, den 10 ten o U. 24' 's morgens: of, volgens de Aftronomifche relling, den dag op miltdag beginnende en tot 24 U. toe tellende, den 9 February ra U. 24'. En het is voor dat tydihp dat ik alles wat nodig is, in dcu Almanach zoude opzoeken, en bereekenen.  jö II. Deel. Nttauwkeurlge ontvouwing enz. men uit de cêrfte bladzyde van de maand in derf Almanach oplchryft: men voegt de halve-middeliyn by de weezen- ke fchynbaare hoogte des gefchoten Jands, of trekt 'er dezelve van af, naar maate men den onderrand of den bovenrand gefchoten heeft: -*« het Verfchilzicht oer Zon, voorde waargenoomen hoogte/ uit Tafel IV: doch men behoeft het Verfchilzicht niet in acht te neemen, dan wanneer men zeer naauwseurig te werk wil gaan.— De Dampheffing of Refractie* die men uit de 1H Tafel opmaakt, voor de weezenlyke ichynbaare hoogte van den gefchoten rand (d) Dit alles dient om eerst dc fchynbaare, en dan de waare hoogte van hec Middelpunt der Zon te bepaalen: zo ais dat in de verklaring van dc laatfte kolom der eerfte b adzyde van ieder maand in den Almanach, bl. 50 en 51 van die Verklaring is uitgelegd : en uit dc verklaring van de eerfte , van de t:erde, en van de vierde Tafel blykt, in onze verzameling van 'l afelen. 7° De hoogte van den rand der Maan dien men fclnct, en of men dien van vooren of van achteren fchiet; de Maans ha/ve-midde/lyn, en haar Verfchilzicht voor den naast voorgaanden middag of middernacht, die men beiden , gelyk ook dei zelvcr verfchitlen in 12 U. op de derte bladzyde vo r iede e maand in den Almanach vindt: men teekent verder aan, door het teeken -f (plus) of — (.minus) naast die verfehillen te zetten, of de halve-middellyn en het verfchilzicht aangroeiicn dan afneemen: Eindelyk neemt men uit Tafel V de vermeerdering van de halve-middellyn der Maan. •— Dit alles gcfchiedt om de waare halve middellyn der Maan, en daar door de fchynbaare en de wa-tre hoogte van het Middelpunt der Maan te bereekenen : Zo als dit volleedig uitgelegd is geworden in de verklaring van de (a) Tn de eerfte en tweede druk van dit werk zyn wy minder naauwkeurig te werk gegaan : naet namentlyk eerst de halve-middellyn by te Voegen of at te trekken: en dan die dampheffing te gebruiken welke Voor de fchvnbaare hoog'e. van het middelpunt plaats heeft. — Dit ia niet geheel naauwkeurig: hoewel het verfchil altoos zeer gering blyft: Inde Verklaring van de IV Tafel, van onze verzameling van Tafels, hebben wy reeds ^ bl 56) eenen zeer naauwkeurigen reegel gegeeven, Zie du wat wy aldaar in deeze derde druk nadet op dit ftuk zeggen.  Bereiding voor de berekening. gt de derde Bladzyde voor iedere maand in den A Imanach 3 bl. 98 — 117 van die Verklaring: en in de verklaring der V Tafel, in onze verzameling van Tafelen. Dit herinnerd hebbende zullen wy nu dit alles in de behoorlyke orde voor ons voorbeeld aanteekenen. (b) A Breedte. . . io°. 20' N. Gegiste Lengte '249° O: of m° W. dit in Tyd (Tafel IX ) v M< voor 1100. . . . 7-ao'.}, voor i°. 4'. /Iaater , ?_ >op den Dus . . .7. 24'. jPic. Tyd van de Waarnceming . 5 Dus gegiste tyd op Teneriffa ,op het oogenblik van de Waarneeming 12. 24'. Waargenomen afftand van ' ~ ~ ©s en ds randen . 420. 2'. 32". B G. M. S. © Onderrands gefchoten hoogte van achteren . . 11.22.20 Kimduiking (Taf. I.) • 4- 3- 56 © Onderrand; fchynbaare hoogte . 11.26. 16 © i Middellyn (I.) (c) . . . 16.15 (A) © Middelpunts (Taf. IV.) weezenlyke fchynbaare hoogte 11 42. 31 © Verfchilzicbt voor de onderrand: fchynb. h. 9 Dampheff. (Taf. I1L; voor die hoogte 4. 36 (d) C. (b) Wy hebben voor het gemak van leerlingen, en ook van bereekenaars in 't algemeen, groore Tabellen vervaardigd, op welke ieder arrikel zich op zyne behoorlyke plaats bevindt, en waarin men alleen de cyffers die 'er nodig zyn heeft in te vullen: dit brengt, naar ons inzien , veel gemaks in het bewerken, fpaart tyd, voorkomt verwarring , en die feilen welke 'er ligt ontitaan kunnen als men zich dea ecnen of anderen regel niet wel herinnert. Deeze Tabellen, waar van men de modellen achter dir werk aantreft, zynafzonderlyk te bekomen. (f) Een dergelyk getal duidt die bladzyde van de Maand in den Almanach aan, op welke men de getalen die men gebruiken moet vinden kan. Wy vooronderftellen dat men, 't geen in die verklaring gezegd wordt, zo als ook de verklaring en het gebruik onzer verzameling van Tafelen, verftïat. (d) In de eerfte en tweede druk was de fchikking alhier, en das ook op de Tabellen, eenigzins andersj Zie hier boven Aanmerking {*). Zy wat namenlyk deeze: ^ Q  ja II. DeeL Naauwkeurige ontvouwing ent. C. G. M. Si ("Hoogte^bovenrand,van vooren 530. 6'. 56". [%Middellyn middern of 12U. (IR)— 15 21 1 Verandering in 12 U. -f- . . 4". C < Vermeerdering van jMiddell. in hoogte (Tafel V) . (e,. J Verfchilzicht.middern.of 12 U. [lil.] 56. ^Verandering in 12 U. -f- . . . ij», Zie daar alle de Artikels behoorlyk aangetcekena: nu kan men ieder ftuk afzonderlyk bereekei.en. No. II. Schynbaare afjland pan 0 en G Middelpunt:n. § 37- Om, uit den fchynbaaren afftand der randen, d:n fchynbaaren afitand der middeipmten te befluiten, moet men dc halve-middellyn der Zon uit N". I. ö. neemen: doch uit U". li C. de halve — middel yn der IVIaan bereekenen: naamcntlyk i°. met, uit de aldaar aangeteekencie verandering in 12 U, door behulp van de XHdé Tafel, de verandering voor den tusfchentyd die 'er zeederd den laatst voorgtanden middag of middernacht, tot op hetoogenblik der waarneeming, verloopen is, te bereekenen: en die by de bereekende verandering te voegen , of'er vanaf te trekken, naar mate het teeken 4- of — in N°. I. byftaat: 2°. met de vermeerdering in hoogte uit N°. I. C. te ontlecnen, en die altoos by te voegen: waar over men de Verklaring van de derde zyde van iedere maand in den Almanach. en die der Ve Tafel, in onze Verzameling van Tafels, kan nazien. Zie daar dan den geheelen inhoud van die N°. in ons voorbeeld. Schynb. f Onderrands hoogte van achteren. . , nu. 15'. 20'i \ i Middellyn (i. *) -+- 15'. 15" ? \Kimduiking (Taf. I ) -+-3-56 S 20. 11 O < — )A Middelpunts fchynbaare hoogte. . . \i. 43. .z /Dampheffing tTaf. III.) voor die hoogte 4. 30 (.VïtfchiLiidit (Taf. IV.) , . . . 9  Bereekening van denfchynb. afflani der Middelp. 33 Schynb. afftand der naaste randen: ( N°.LA) • • • *» 32''. 0| Middellyn (N° LB) • . + 16'. 15". G i Midellyn ten 11U. (N. T. C) 15'. 21"^ de verandering in 24', uit N°.I. C bereekend, hier te klein. ? Vermeerdering in hoogte (Ng.l.C)-f IS" ] A. gs waare i Middellyn. . + *5'- B. Schynbaare afftand van © en g Middelpunten. . . 42°. 34'. 20". Aanmerking* Indien men eene Ster waarneemt, vervalt de halve middellyn. Wanneer men © en g waarneemt, zyn altoos de veriichte randen die men meet naaf elkander toe, en gevolglyk. moeten de halve-middellynen altoos bygevoegd worden: doch, wanneer men den afitand van de Maan en eene Ster meet, kan de verlichte rand der Maan van de Ster af zyn: en dan moet men de halve-middellyn der Maan aftrekken, om den afftand van het middelpunt tot de Ster te bekomen. No. III. Schynbaare en Waare Hoogte van het Middelpunt der Zon. § 38. Om uit de waargenomen hoogte van de Zons on: der of boven rand , de fchynbaare cn waare hoogte van het middelpunt te bepaalen, moet men i°. de kimduiking aftrekken of by voegen, naar maate men den onder- of boven - rand gefchoten heeft: Men' heeft dit reeds in N, I. B gedaan, en nu alhier door de Letter A aangeduid: verder 20. moet men de Dampluffing aftrekken, en het Verfchilzicht by voegen. Dit alles wordt naar behooren uitgelegd in onze Verzameling van Tafels, in de Verklarincder f, IIIen IV Tafel; het is die bereiding, welke men altoos geC woon  14 li- Deel. Naatiwkeurtge ontvouwing enz. woon is te doen, wanneer men uit eene gefchoten Zons hoogte het zy de middag- Breedte , het zy eenen Uurhoek, wil opmaaken. Zie hier dit alles op ons voorbeeld toegepast: G. M. S. A. Schynbaare hoogte van 0 Middelp. (NP.I B) II. 42.31- Dampheffing. (No. I. R) — 4'. 36" Verfchilzicht. (N. I. B; -f 9" B. 0 Middelpuats waare hoogte. . 11°. 38'. 4" N°. IV. Schynbaare en Waare hoogte van hit middelpunt der Maan. § 39- Om de fchynbaare hoogte van het middelpunt dor Maan te kennen, moet men i°. de Kimduiking, die reeds door N°. 1 B bekend is, aftrekken van, of voegen by, de gefchoten hoogte, naar maate mende Maan van vooren of van achteren gefchoten heeft, om daar door de weezenlyke fchynbaare hoogte van dien gefchoten rand te bekomen-, men moet a°deha'vemiddellyn, die reeds in N°. II A gevonden is, byvoegen of aftrekken, naar maate de onderrand of de bovenrand gefchoten geweest is, ten einde de fchynbaare hoogte van d middelpunt te bekomen: doch men kan'hier, kortheidshal ven, beide die bewerkingen in ééns doen: zo als ftraks uit het voorbeeld, hier opgegeeven, blyken zal. Om uit die fchynbaare hoogte de waare hoogte afteleiden, moet men voor eerst uit hei Verfchilzicht en de verandering in 12 U, die in N°. I C aingeteekend zyn, door een' recgel van drieën, of met behulp der XII Tafel, bereekenen hoe groot het Verfchilzicht is op het oogenblik der waarn-eming: waar over men de Verklaring van de laatfte Kolommen der III bladzyde van iederen maand in den Almanach kan nazien, bl. 109 van die Verklaring: en dan  Èireekening tan dé waare hoogte. $g dan uit dat Verfchilzicht de fchynbaare hoogte, door de Vlll Tafel, (a ) welke voordat middelpunt bereekend is, nagaan wat 'er, ter oorzaake van de tegenftrydige werking van de dampheffing; en van het verfchilzicht, by die fchynbaare hoogte gevoegd moet worden om de waare hoogte te bekomen. Dit alles te zeer in 't breede in de Verklaring der VTII Tafel uitgelegd. Zie hier dit alles op ons voorbeeld toegepast: G. M. S. (Bovenrand. (No. I. C) , r,. a ^ó C ji Middellyn. (N°. II A)-i5'. 33". ' (■Kimduiking. (N°.I.B) — 3. 5ó. — 19. 29. A. g Midielp. fchynbaare hoogte. 52. 47 ^ Horizontaal verfchilzicht, uit N°.I. C. . 56'. 20". Veranderingen in 24' . hier te klein. B. waar verfcnilzicht. 56. 20. Coiredie voor Verfchilzicht en Dampheffing: Tafel VIII. . . . 3- aö. C. g Middelp. waare hoogte. '~$j. 20. 47^ Tot het eerfte Vereischte behoort, 30. dat men uit de Jchvnbaare en waare hoogte, en uit den fchynbaaren afftandder middelpunten, den waaren ajllsnd afleid e: hoe dit gefchiedt? § 4°- . Nu komt de tweede Vraag: of men uit de bekefi- ac waare en fchynbaare hoogten van Zon en Maan, mitsgaders uit haaren fchynbaaren afftand, den waaren afftand kan bereekenen? — Dit valt niet moeijelyk ; het is, indien men de zaak recht befchouwt, een zeer bekend Vraagiluk uit de Klootlche Driehoeksmeeting.Dit zullen wy eerst behoorlyk voordraagen. In mf.*\Z'euide Ve,k'arinS Tan <* Tafel, en YciMating tan den AU man.icb, bl. 114 tn 115. C a  g6 // Deel. Naauwkeurig e ommming enz. In den driehoek MTZ (Fig. 4.) kent men drie zyden . namentlyk M T, Complement van de fchynbaare hoogte der Maan: dus hier .... 379- 12' 33". TZ, Complement van de fchynbaare hoogte der Zon: dus hier .... 7°>l'. 17'- 29". en MZ,fchynbaare afitand der Middelpunten van o en g, dus hier .... 4*°- 34'- ao". Wanneer men drie zyden van een' klootfchen driehoek kent, kan men den geheelen driehoek oplosfen, dat is, alle de hoeken vinden, en dus ook hier den hoek T. dat is MTZ, of m T z f»; dit is een zeer bekend vraagltuk; 'er is geen Stuurman of hy is, byraar dagelyks, in de noodzakelykheid om hetzelve op te losfen: wat is het opmaaken van den Uurhoek of van het Azimuth uit eene gefchoten Zons hoogte enders, dan eenen driehoek, waar van drie zyden gegeeven zyn, op te losfen? als dan immers zyn de drie gegeeven zyden Complement Zons hoogte 'M T , Complement Breedte T P , afftand van den Pool PM: en in het eerfte geval zoekt men den hoek («O Den gewoonen Reegel tel oploslïng hier van vindt men by GIETE (.MAKER IU B. p. 12. Exempl. XI. — DE VRIES , p. 477. — STRUIK, § 118: — STEENSTRA, p. 97. Xle. Geval. — Het bewys by denzelven: K'ootf Driehoeksm. § 153 en § ifi. De Reegel is deeze: t°. Neem de fom der drie zyden: 2°. Vervolgends de halve fom- 3». Trek 'er van af eene der zyden die den gezogtcn hoek beEtypeii, en dan 40. de andere, 5°. Neem de Logaiithmen Smm van die beid- verlchillen: en dan 6°. de fom van die Logarithmen: ?°. Neem den Logarithmus pnni van ieder der zyden die den hoek begrypen cn dm 8°. dczelver forn: 90. trek die lom af van de voorgaande fom N«. 6: io°. Neem de helft van het verfchil: het is de Sww vau den halven hoek, dat is: M T + T Z + M Z. Neem " ~ ~ 1 Trek af TZ: van het verfchil neem Ugarith. fuut. .... Trek af MT: van het verfchil neem Ugarith. jinus neem de fom van die Logarithmen neem Log. Sin. M T. Log. Sin. T Z. fom. Trek die van de voorgaande fom ■ . - - af. Het veifchil is neem de helft van dat verfchil. Jiet is de Logarith. Sinus van J i T. Wy zullen dien recgel in ons zesde Deel § soa cn § 300 bewyzen-  Bereekening van den waaren afftand. 37 hoek P, in het tweede den hoek T, door denzelfden reegel dien wy nu volgen. Indien men nu verder den d riehoek «T z befchou wt, zo kent men in denzelven den. hoek T of m T z zo eeven gevonden. m T, Complement van de waare hoogte van g middelpunt: dus hier, uit N°. IV. C .§ 39) 36°. 39'- 13"' z T, Complement van de waare hoogte van 0 middelpunt, dus(uit§ 38 No. UI B) hier . . 780. ai'. 56". Men heeft dan wederom een' klootfchendriehoek, waar in twee zyden m T, 2 T, en de hoek «Tz tusfehen dezelven begreepen, bekend zyn; Maar men kan dien driehoek op'osfen, en de zyde m z bepaalen. — De reegel, welken men om zodanigen driehoek optelosfen volgen moet, vait niet moeijelyk: hy is die welken wy hier onder (J0 aannaaien, en thans op het voor han- (b) Zie den gewoonen Reegcl by GIETERMAKER, IIIBoek, p.ff, Exempel I. — DE VR1E3, p. 465—468. — STRUIK, § 117. — STEENSTRA, — p. 90, Vlle geval: — Die Ree gel, welken wy in het VI Deel, § 288 — § 290 bewyzen zullen, is deeze : men nekt uit het uiteinde m van eene dei gegeeven zyden den boog m R loodrecht op de andere gegeeve zyde T \, welke men voor bd\is neemt. De loodrechte boog m R valt of buiten den fS T m ï, zo als in deeze Figuur; of binnen denzelven, zo als TL in f\ MTP. Na dat men uit m den boog m R loodrecht op den boog T ^ getrokkea heeft, heeft men; (*) Log. Cot. ra T Trek af Log. Cofinus l T Verfchil is Logarith. Cot. van het eerfte Stuk of lof. Cot. TR. en daar T >; bekend is, is het tweede Stuk \ R ook bekend, en dus zegt men, Log Cof. m T Log. Cof. \ R fom Log. Cof. R T. ■ Verfchil. is Log. Cof. m z •" waar door 1» \ bekeni wordt. Om (*) Sommigen reemen Log. Tang m T: doch dan neemt men de fom in plaats van het verfchil met Log Cofin. i T: en die fom is dan Log. Tang. T R. Dit komt op het zelfde uit, om dat de Cotangentcn in omgekeeiden reeden zyn van de Tangenten: Zie het VI deel § 255. C 3  §8 IT. Deel. Naauwteurige ontvouwing enz» handen zynde vrsagftuk zullen toepasfen: en vervolgends in het zesde Deel §288 bewyzen. Daar nu de bereekende zyde m z van den driehoek m T z de waare afitand is tusfehen de Zons en M-ians middelpunten, ziet men duidelyk., dat men, door de gewoone Driehockimeetirg, dien bewusten afftand vinden kan, en gevolglyk het tweede gedeelte van het vraagftuk der bc'paalir.g van de Lengte op Zee opk sfen Wy zullen dit nu toepasfen op het voorbeeld dat wy reeds begonnen hebben te bewerken: doch wy moeten alvoorens aanmerken, dat 'er hier Bogen voorkomen, die niet alleen in graaden en minuuten , maar bovendien in feconden zyn uitgedrukt, cn dat men die feconden niet kan verwaarlozen : dat de gewoone Logarithmus Tafels, die de Zeelieden gebruiken, naar voor Dogen van graaden en minuuten bertekend zyn: dat men dus in Itcat moet zyn, zo men geen andere Logarithmus - Tafels heeft, uit deezen de Logarithmen van Cofnusfin, Sinus/en t Secanten van boogen, daar feconden in voorkomen, te vinden. Wy hebben dan nuttig geoordeeld, in een Aanhangzel op deeze verhandeling, de manier te ontvouwen waarep men, door middel van dc gewoone Tafels, daar de Logarithmen voor Sinus/en, Coflnitsfen, Seconden alleen van boogen in graaden en minuten uitgedrukt, gc- Om te weeterj of het ter/ie Stuk T R grooter of kleiner is dan petoj lette men flechts dat het gtooter tyrj zal indien of m T alleen, of i r alléén gtooter is dan 90°: wanneer dit plaats hech moet men in plaats van den Boog dien men in de Tafels naast Cotangens T R vindt, desfelfs fpplemtnt neemen: en als dan is altoos het iveeile ituk \ R het vtrfchit tusfehen den boog T ^ cn het eerjte ituk, het klemfte van het grootfte afgetrokken zynde. Hier op komt de eenvouwige Rccgel, door CAGNOL1 op^c^ecven [Traité tle Trigonometrie § 45P] uit; en door denzelven rermydt men alle de Rtcgcis die hier omtrenr door anderen gegeeven zyn. Insgelyks zal de zyde m z grooter zyn d n 9c0 [als wanneer men in piaats van den boog die in de Tafcis naast Co/wits m \ (laat, dcstclfs f*pflement neemt] indien of de bog'n m T, ^ R cn R T alle drie, ol ficclr.s een dezelven grooter dan 900 zyn. Er is wel eene andere manier, die in eenige opzichten bcetcr is, doen dje in de pracijk weinig gebruht wordt: zy is, 111d.cn men zonder Logarithmen werkt, deeje; (-»ƒ. m \ — m T CoJ- T \ ■+• Eo den Uurhoek bci.etle.nr.  Bereekening van den waaren afftand. 39 gevonden worden, de Logarithmen voor Sinusfen, enz. van Boogen welke boven dien ieconden behelzen,, kan opmaaken: en wy vermaanen allen, die zich tot het bereekenen van Lengte begeeven, en aan het opmaaken van die Logarithmen niet gewoon zyn, eerst dat Aannangzel naauwkeurig na te gaan, en zich de daarin uitgelegde manier eigen te maaken. De geheele bereekening wordt zeekerlyk veel verligt, als menSinus Tafels heeft waar in de Boogen van 10 tot 10 Seconden voorkomen, zoals die van callet, (0) welke de beste van allen zyn: dan valt de geringe invulling, die 'er nog te doen is, zeer gemaklyk. Om alle invulling te vermyden , moest men Tafels hebben die van Seconde tot Seconde gaan, zo als de Tafels die taylor in Engeland heeft uitgegeeven: doch dit buek is zo duur, en bovendien zo omflagtig, dat hec onmogelyk door alle Zeelieden gebruikt kan worden. Men getrooste zich dan eenige meerdere moeite. § 4i. Bereekening van de waaren Afftand N°. V. (V) 1. VOORBEELD. I. Oplosfmg van den A MTZ MT= 37°. ia'. 33". Log. Sinus 9.7815590 TZ = 78. 17. 29. 9.59086*0 M z =_42. 34. aq fom 9.77242:c77A> fom 158. 4. 22. halve fom 79°. 2'. 11". | fom («) Hoewel dter.e Tafels uil de Engelfche van GARDINER zyn overgenomen, welke Engelfche Logarirhinus Tafels ook door den ar* beid van PEZEN AS in het Fransch te A'jigncn zyn herdrukt, zyn zy echter boven allen te verkiezen, zoo voor de uitmuntende fchikk ng der gctalen, waar door men minder aan feilen is blootgeiteld, als v egens de naauwkcuriglieid. 7y zyn daar en boven veel beeter koop aan oie van GARDINER en PEZENAS, welke in Qnam gedruktzyn- (M De vier vootige No* van de bereekening vindt men op onze Tal ellen: doch met dei ze oorfpronkelyke bereekening van N°. V. om dat dcze.ve niet m gebruik is: men gebruikt doorgaands vetkoitinge.i zo als § 4a tezegd za worden. C 4  40 JT. Deel. Naauwkeurige ontvouwing enz £ fom — TZ geeft o. 44. 42. Log. Sinus 8. 1140214 i fom — MT — 41-49- 3». — 9.8240520 17-9380734 Log. Sin. MT+Log. Sin. TZ hier boven (A) 9.7724^.70 verfchil 8.1656464 half verfchil 9. 0028232 is Log. Sin. 6°. 57'. i| . het dübbeld is i3°.54r.3"= LT. II. Oplesftng van /\ mlz wT = 3ó0. 39'. 13". Log.Cto.o. 1283580 ZT = I3- 54- 3- Log. Cof. 9. 9870908 verlchil o. 1412672 is Log. Cot. 35°- 50'. 3c" = TR(f) 78. ar. 56 =Tz verfchil 42. 31. 26 = Rz f»T r= 36°. 39'-13"- Log. Cof. 9. 9043147 z R = 42. 31. 2Ó. ■ 9. 8674649 fom 19.7717706 TR = 35". 5C'- 30". Log. (707:9.9088271 verfchil 9.8620525isLog. Cofinus van mz of van 430.9'. 57". = mz, (c) of aan den maren afftand van © en g die gezogt wordt; In het vervolg zuilen wy 430. 9'. 56"- in plaats van 43°- 9'- 57".neemen,om redenen als dan C§ 43 noot a) te meiden- II. VOORBEELD. Om nu ook een voorbeeld te geeven vcor die gevallen, waarin de zyde mz of waare afftand grooter is dan 900, en daar door, het geen wy § 40. nota b gezegd hebben optehelderen, zy g fchynb. (M rndicn i T grooter is dan go", is T R > 90" en men neemt dan het fupplement van den Boog d.en men in de Tafelen naast fyf. T R vindt. (c) Indien TR alleen, of R K al'.een, (doch niet beiden te faamen ) g'ocrer is dan 909. is >» ï. ook gro-ter dan 90°.: en men neemt het fupplement van den boog die men in de Tafelen naast Zc°- Cej:,. m \ aantreft.  Bereekening yan den waaren afftand. 41 g fchynb. hoogte 230.iq'. 45" compl. 66°.40'. 15"'=?MT C waare hoogte 24. 12. 2 65. 47. 58 = «T ©Ichynb. hoogte 12. 39. 19 77 20. 41 = ZT © waare hoogte 12. 35. 19 77. 24. 41 == zT Q(i fchynbaare afftand ico° 24'. 12" — MZ 1. Oplosfing van den A MTZ mt = 66°. 40'. 15". Log. Sin. 9. 9629585 tz=77- 20.41 Log. Sin. 9. 9H93189 fom 244. 25. 8 | fom 122. 12. 34 ff. - tz=44°-5 i'.5S".£«ff.«*.9 8484572 £f—mt=55. 32. 19. z.^ 5;».9.9i6i948. fom 9.7646520 (a) 99522774 verfchil 19.8123740 ■J verfchil 9.9o6i873»S/«.53'.4o'.50" 2 LT -zzz 107.21.40 2. Oplosfing yan den /\ mT z bjT=650.47'.58".L. Of. 9. 6516616 £t =107.21.40. z>.e»/;9.4747887 verfchil o. 1778720 L. Cof. 3?°. 34'.54" 'waar van het fuppl. 146'. 25'. 6"=tr ; om dat LI >90° 77V 24. 41 =Tz verfchil 69. o. 25=.Rz w2t = 65°.47'.58". L.Cof. 9.6127117 Rz=69. 0.25. Z.Co/:9.554i9iQ 9. i66;cg7 TR =146. 25. 6. Z.Cö/ 9 9200902 verfchil 9.2462075 L. Co/T 790.5c'. 48" waar van het fupplement 1000. 9'. li'. = /»z Com dat hier TR alléén > 90.) = waaren afftand. Qa) § 42. («) Dit voorbeeld it uit de verhandeling van DE HARTOG ontleend; bl. 49: alwaar door de oude manier van DUNTHOB.NE, de waare afftand op ioo°. 9'. 6". bereekend wordt. C 5  42 II. Deel. Naauwheurige ontvouwing enz. § 4a. Het Wykt dan dat het niet moeijelyk valt den waaren afftand van het middelpunt der Maan tot het middelpunt der Zon, of tot eene vaste Ster, uit den waargenomen fchynbaaren afftand van den rand der Maan tot dien der Zonne, of tot eene vaste Ster te bereekenen: maar de bewerking volgends deezen gewoonen , en zo eeven aangehaalden, Reegel islang, en vereischt bovendien eenige oplettenheid omtrent de bogen en hoeken, die grooter dan oo° zyn mogten: Op Zee nu komt het 'er op aan, alles zo veel mogelyk, eenvouwig te maaken en te verkorten: al waare het maar om dat men daar door de aandacht verligt, en dus den Reekenaar, wiens aandacht op Zee veel meer dan aan de Wal geftoort wordt, en die aldaar de zelfde infpanning van geest niet hebben kan, te gemoet koomt, en hem feilen doet vermyden. — Dit is de reeden, waarom de beroemdfte Wiskunstenaars getracht hebben deeze oplosfing te verkorten, of zelfs Tafels op te ftellen, waarin al wat tot het gevraagde dienftig is gevonden wordt. Wy zouden den loop van onze verdere redeneeringen hier te veel ftremmen, indien wy op deeze plaats die verfchillende verkorte manieren om uit den fchynbaaren afftand den waaren op te maaken, wilden uitleggen. Wy zullen ons geheel derde Deel daaraan toewyden: en nu maar met een woord melden dat wy in het III Deel a°.De gewoone manier van de borda zullen uitleggen, § 69 - • § 74. Zie ook Tabel l. A, Tabel If. en Tabel IIJ. a°. De verkorte manier van den zelvcn, § 74 — § 79. Zie ook Tabel \. B. 3°.De oude manier van dunthorne, welke door de hartog onlangs op nieuws is voorgedraagen, S 80 - § 89. 4°. De verbeeterde, of nieuwe manier van dunthorne, § 89 - § 94. Zie ook het Tabelletje daar toe vervaardigd. 5°. De verkorte manier van krafft, § 94 — § 95. Zie ook het daartoe vervaardigde Tabelletje. 6°. En eindelyk de bereekening door de zogenoemde Engeljche Tafels, § 98 — % 124. Zie ook JabellV. Waar  Bereekening va» den tyd op Teneriffa. 43 Waar door wy oordeelen een vry volleedig ftukover het bereekenen der Lengte voor den dag te zullen brengen: vooral daar wy in het VI. Deel alle deeze verfchillende handelwyzen uit de eerfte grondbeginlelen der Driehoeksmeeting zullen bewyzen. Wy gaan nu over om den tyd zo wel op den Pic, of op eenige andere bekende plaats, als aan boord tc bepaalen. Tweede vereischte: te bereekenen hoe laat de gevonden waare af/land op den Pik van Tenerijfa p laats heeft. § 43- Wy hebben dan gevonden dat de waare afftand, die tusfehen Zon en Maan, op het oogenblik dat de waarneeming aan Boord gedaan worde 3 plaats heeft, 43°. 9'. 56". bedraagt. ( te vinden, en dan uit liet &\tm*th den Uurhoek: doch dit is veel langwyliger; immers moet D  50 //• Deel. Naauwkeurige ontvouwing enz. rithmen, die men moet aftrekken, hunne Comple-menten neemen en die by tellen, dat gemaklykeris.;». PT, hier Compl. Breedte Compl. Log Smus., PM, hier Pools afftand .... Compl. Log. Sinus. TM, hier Compl. waare 0 hoogte. Som der drie zyden (P T + P M + T M.) halve fom der drie zyden. halve fom.—(P T) Comp. Breedte... Log. Sinus... halve fom.—(PM) Pools afftand Log. Sinus... fom van de vier Logarithmen halve fom ... . is Log. Sinus van den halven hoek TP MofQ P E , hier den halvcn Uurhoek, welken men vervolgens. in tyd brengt, zie ftraks §. 51. § 49- Voorbeeld. Alle de grootheeden die hier in komen zyn of bekend, of reeds bereekend: de Declinatie der Zon 1 of men dan, om liet A\imuth, dat is,den hoek MTP te vinden, juistl dezelfde bewetking doen die vvy hier opgeeven, behalven dat men i in plaats v:n PM, van de halve fom der zydrn TM afttekt. Zie: in het VI deel, § 199 en 301 den algemeenen-reegel en het bewys; en ten tweeden moet men deeze evenreedigheid maaken. Sin. MP: Sin. MT = Sin. i MTP: Sm. ZMPT: gelyk men zulks beweezen vindt in § 386. Die dubbele bew erking komt alleen te pas wanneer men uit de zelfde waatneeming de miswyzing van het Compas en den Uurhoek wil opmaaken: dorh dit is hier het geval niet. Wy zullen in hei VI deel nog eene andere manier opgeeven: gelyk ook die van douwes in § r3,i — § 141. (a) Zie § 44 nut a. Indien men de Complementen^ Logar. van dies twee Sinusfen niet wilde gebruik-n; zoude men de Logarithnlen■ der Sinusfen neemen: dan derzei ver fom: en naderhand die fom, Van de fom der twee volgende Logarithm. Sinus aftrekken. Het Complement Log. Sinus is ook het zelfde als Log. Coftans, zie hier onder ö 356 om dat Cofec. — j-; waarom ook veelen hier de Log. Secanteiti gebruiken: doch men letre dat de Leg. Sec. in de Tafels van callet, gardiner, of pezekas niet gevonden worden, en te recht: orai dat zy dc zelfde zyn als de Compl. /.o?. Coftnus : of, zo men wil, als de Lag. Sinus zelve, mits men dan de Log. Sinus bytelit of aj'trekt, slaat men de log- CejtnHf zoude afgetrokken of bjieteU hebben.  Bereekening pan den Uurhoek aan Boord. $i of der Ster (a) alleen uitgezonderd; doch van haar grootte hangt de afftand der Zon of Ster tot den Pool af: zo dat men, alvoorens den Uurhoek te kunnen bereekenen, dien aftand tot den Pool moet bepaalen, en dus ook de Declinatie van de Zon, of van de Ster die men gebruikt. Wat lm voor eerst de Zon betreft, men vindt wel haare Declinatie in den Almanach, doch maar voor den middag op Teneriffa: men moet dan dezelve bereekenen voor het oogenblik der waarneeming; en daar nieri reeds onder No. Vl. t.5 44) bepaald heeft hoe laat het op dat oogenblik op Teneriffa is, gebruikt men dat Uur; eh men bereekent, volgends het geen wy in de Verklaring der eerfte bladzyde van ieaere maand in den Almanach gezegd hebben, dc Declinatie der Zon, en dus den a.ltand der Zon van den Pool, voor dat Uur. Wy ücllen dan onder . No VII. Se. Bereekening pan den afftand der Zon, of der Ster, o>an den Pool. 1°. Voor de Zon. TT t\ * U. M. S. Uur op Tic van Teneriffa No VI) (b) 11.0. 38'. S6„. © Declinatie op den middag bl. I. ~ van den Almanach. . . 4 14. 19. 48. Z. ver- lieh'S"'^ M?r t0C 3boos èe, Z«">. of eene Ster: hoe men ».'ch gedraagen moet wanneer, men de Ster niet met eeióegzaame rd,'et? «■».«•««« wy naderhand §S"? fvolg.) k-.n vol 'e7>, r Z°Ude °°k df Maa" kunnen gebruiken ; want me. iedere m«„ H • W ë'ï? ™Y u de Veikh»"S van de He Bladzyde van een hZZ ien Almanach gezegd hebben, haate Declinatie voor rnlrWn, 6°Sefbllk bennen: doch daar die Declinatie op geen Crwo Jen3 HnS 1S> Z°UfC dl rCCkeniriS ook ™Vande.n ,r' 7 °C J"cn C15h echter ais da» in de overbrenging liïrit'\11°V" t!dt K£cA™&" heeft; hebben vvy in de Wh» Hf Men Z*?ZMMÏ' bh 9S' V'n dcn uveeden dluk verklaard. k '„ "oti hler de» waaren tyd, die reeds bekend is, gebrut- I Vo? L £n &Cé'S]en tydS dee:e k2"'ö:" '««aten hiér bövetl «ok eenf afnm, .' . d? ?'Mren v"fchill« > waar uit dan tbepaalenZ tn'V'1 *= "«•*««"»*. « om den Uurhoek bvet «zeS SSffi? Dedli,at,e z0«de Eie wat wy daat «suvsr aen Aln»nacb vooi 179J. geplaatst' D a  gt II. Deel. Naauwkeurige ontvouwing enz. verand. in 24 U is 19'. 39" 140. 48' Z. dus in n ü. (Taf. XI) voor 19'. . 8'. 4^,5". 39". • i8,> in 39'. voor 19'. . 305S 39"- l>° fom omtrent. . • — 9. 3.1. aftrekken, om dat de Declinatie afneemt: dus . . . . 14 10. 16. voeg by om dat de Deel. Z is (d). 90. Afftand van O tot Pool . i©4. 10 16. 2°. Voor eene Ster. Wanneer men eene Ster fchiet, is deeze bereekening overtollig. Men zoekt de Declinatie der Scer die men gefchooten heeft, in de XV Tafel: en men voegt 'er by, of trekt 'er van af, dc verandering die 'er federt den tyd , op welken die Tafel gciteld is, in die Declinatie is voorgevallen: Zie een voorbeeld op onze II en UI uitflaande Tafel: en over het vinden van die verandering, de Verklaring der gemelde XV Tafel. De Declinatie der Ster bekend zynde,gaat men eeven als voor de Zon te werk. Zie Tabel II en Tabel lil, No. VII. («) Indien dc Dwlinatie Noordelyk was, zoude men dezelve vaa po» aftrekken-  Bereekening van den Uurhoek aan Boord. 53 no. vin. Bereekening van den Uurhoek. § 50. Dit gefchicdt aldus, door den Reegel zo eeven in § 48 gefield (a) ? BS S ——— ^ 0 3 S"' S: I !6kX} IS" S°§3 §«® ,3 oa a 11 rro < • =• 3 ft n VfrW" zr» ïp.tli if£ II gff SS jsaj £ [-> CS ^ ll! <"'2a. rxg-cg I I c?rl8 s .5 " -Lr* r— ~ Zn Ou #-tO S •> ™ K'n CU i ^ - ï> 03 ' • u " „ w Na S'S'S' WÖwa Omm "3 e.8"S *.° f'^rP^^P'g £ = r- - S • ? OlB Oo2 b °-b « » ' " • •* \\ 5Si3; ovwl oo'g, ^«a ' 'no 3 a.S3 s * 2 2 5 o.B» „1-, 33 - S-2c!3 0 C?05f-p^p |o-p p o ?' 0 S a. ooolvooi ün a -1 mo», m O 1:« o. a o.f +« w - »o o e O b " SS 43 Ml t ü B - o. Vl O O « GJcSs k- o« g 3' V D S Da  54 // Deel. Naattwkeurige ontvouwing enz. De bereekening is volftrekt dc zelfde of men de Zon dan of men eene Ster gebruikt hebbe: maar de Uurhoek moet nu tot tyd gebragt worden: cn het geeft eenig verfchil in de behandeling of het de Uurhoek van de Zon of die van eene Ster is. Tweede puk van het derde rerehchte: overbrenging van den Uurhoek der Zon tot waaren Tyd. § 5i. Indien men den Uurhoek van de Zon heeft, behoeft men flechts de graaden tot Uuren te brengen, 15gr. voor éen Uur {tellende, om dat de dagelykfche fchynbaare omwenteling der Zon in ia Zonnc-uuren gefchiedt: dus te werk gaande heeft men door Tafel IX G. V. M. S 70 ... 4. 40. o 5 ... . ao. o o. 4'. ... 0. 16 o. o. 49" . , O. •? 75°. 4'. 49". is . • 50. o'. uf Dit is het Uur op het Schip, in plaats van 5 U. zo als men meende: dus was het Horologie 19" na den waren tyd Indien men de waarneeming vóór den middag gedaan had, zoude die Uurhoek aantoonen, hue ven de Zon nog van den Meridiaan is; en dus zoude men den gevonden tyd moeten aftrekken, of van 24 U voll gendsdeSterrekundige manier van tel]en, en danhadt men het Uur van den dag, die, volgends de Sterrekundige reekening nog de voorige is met betrekking: tot dien welke men in de burgerlyke famcnleeving: r.elt (§ 36. N°. 30 00: of van ia U. volgends de ge- (*) By voorbeeld indien de w.tnrneeming vóór den middag gedaan was, zoude men 5". o'. 19". vóór den middag tellen: dat is den ici Febr: 6° 59'. 41". volgends de gewoone burgerlyke telling: of den 9 ten i8". 59'. 41". volgends de Aiironoinifche telling, die wy ir. den Almanach volgen.  Overbrenging van den Uurhoek in Tyd. 55 eewoone manier van tellen, en dan telt msn het Uur vóór den raiddag vaneen zelfden dag. § 5*- Wy hebben hier wecderom deeze reekening door de o-evoone Tafels völbragt: doch men kan dezelve bekorten, indien men de Tafels van Douwes gebruikt: Wy zullen alle die verkortingen in ons III deel % 13 ( en volgende, uitleggen Ook hebben anderen, zoals de Borda den oorfpronkelyken ree"-el dien wy gevolgd hebben, onder eene andere vorm voorgedraagen , gelyk wy in het III deel § 15 r en S iaa zullen doen zien, en het gezegde in het VI deel § 329 bewyzen. — Ook zoude men nog op eene andere wyze, die wy in het zesde deel $ 5.39 zullen opgceven, den uurhoek door deszelfs Cofinus kunnen bereekenen: en wel op eene wyze die met het weezenlyke van Douwes overeenkomt Het kortfte en gemaklykfte zoude zyn Tafels van Uurhoeken te gebruiken, waarin men het gevraagde met een op [lag des oogs vindt. La La» de heeft in 1793 dergelyke tafels uitgegeeven, doch zy beilaan 300'bladzyden, groot quarco , hoe wel zy maar van graad tot graad, zn wel voor Breedte, als voor Declinatie, en voor hoogte gaan; zodat men altoos drie aanvullingen of interpollatien te maaken heeft • deeze, daar 'er overal proportionaal - gedeelten zyn bygevocgd, vallen wel niet moeijelyk, doch verevenen tyd, en oplcttenbeid Dit zy hier van, voor het teegenwoordige, genoeg. JDerde Stuk van het derde vereischte: den bereekenden Uurhoek in tyd te brengen, als men eene Ster gefchoten haft. % 53- ' Wanneer men, den afftand der Maan tot eene Ster gefchoten heeft, en die Ster gebruikt om den Uurhoek te bep alen, moet men op eene wyze te werk gaan, die eenigzins van de voorgaande verD 4 fchilc.  5t5 II. Deel. Naauwkeurtge ontvouwing enz.. fchilt. Dit belangryk, en meer of min ingewikkeld, ftuk, moeten wy met de nodige duidelykheid vcrklaaren. De Uurhoek van eene Ster geeft eigenlyk maar te kennen hoe veele graaden op den Equator de Ster van den Meridiaan af is: en dus ook, indien men deezen boog in tyd overbrengt, hoe veel tyd de Zon nodig heeft om den zeiven te doorloopen. Maar die Uurhoek duidt door zich zelfs niet aan hoe laat het is Om zulks te bepaalen moet men daar en boven weeten i. hoe laat de Ster door den Meridiaan gaat: aa. hoe veel tyds de Ster nodig heeft om den boog van den Equator, die tusfehen haar en den Meridiaan begrecpen is, d. i denzo eeven bereekenden Uurhoek, te doorloopen: welke beido itukken niet moeijelylc vallen te bereekenen (a)\ en men moet in alle andere gevallen hoe ook genaamd , alwaar men den tyd uit eene gefchoten Sters hoogte, cn dus uit den Uurhoek van die Ster wil opmaaken, die twee bereekeningen doen,,welke by den Uurhoek der Zon geen plaats hebben, om dat die Uurhoek door zynen eigen' aart den tyd bepaalt. Maar, in dit byzonder geval, daar men de Lengte door eenen waargenomen afftand van Maan en Ster* bereekent,en die zelfde Ster, welke tot den afftand dient, tot het bepaalen van den Uurhoek gebruikt wordt, is'er eene kortere, cn teevens naauwkeuriger, manier van handelen: en wel om dat 'er hier eene byzonderheid plaats heeft, die men in geene andere gevallen , waar in men den tyd door eenen Ster»-Uurhoek moet bepaalen, aantreft. § 54- (a) Zie hier Omtrent de Verklaring van den Almanach bl. If— 23. In de tweede dtuk van deeze vcihjndeling hadden wy zulks nóg breeder verklaard : c'och wy oordeele.i nu , m navolging van DE H4RTOG; eene bceieie, koneie , 50 naauwkeuriger manier te moeten ye'kla.uen: Zie wat wy daar over gezegd hebben bl. 17 — 32. van onze r,;tcbten over uitgekomen irïikit») geplaatst achter den Almanach Voor 179;.  Overbrenging van den Uurhoek in Tyd, 57 § 54- De gemelde by zonder heid is deeze, dat de bewerking van no. VI (§. 44.) reeds te kennen geeft hoe laat het is op Teneriffa, wanneer men de Ster fchiet. Indien ik nu bepaalen kan hoe ver de Zon op dat oogenblik van den Meridiaan van het Schip af is, weet ik ook hoe laat het aan Boord is, daar'die tyd door den afitand der Zon van den Meridiaan gereekend wordt. Dit nu te weeten valt zeer gemaklyk. Zy de Cirkel (in Fig 5) V © MS de Equator. S de plaats daar de Ster, © de plaats daar de Zon zich bevindt op het oogenblik dat men de waarneeming doet, of de Ster'fchiet. M de Meridiaan van het Schip. Dan is SM de Uurhoek van de Ster, dewelke reeds bereekend is: dan zal © S de afitand zyn van de Zon tot de Ster op hef oogenblik der waarneeming; en © M die van de Zon tot den Meridiaan op denzelfden tyd, dat is 0 M geeft den tyd te kennen dien men begeert te weeten. Wat is nu © M ? zy cyi (-dries) het itip van den Equator, waar men de rechte opklimming der heemelfche lichaamen begint te tellen (V); dan is V* 0 de rechte opklimming van de Zon^ S is de rechte opklimming van de Ster: en dus is ©S, afitand van de Ster" tot de ©, het verfchil der beide rechte opklimmingen Men bereekent dan i° de rechte opklimming van de Zon voor het oogenblik der waarneeming, dat uit No VI. bekend is: insgelyks de rechte opklimming der Ster voor het zelfde oogenblik, door Tafèl XV: men neemt derzelver verfchil. Dit verfchil duidt zeer ten naasten by aan (b) het Uur op welk de (a) Zie Verklaring va» den Almanach. bl. 8 enz. ( h * Het duidt nauwkeurig aan hoe ver, op het oogenblik de: waarneeming.de © van de Sier af is: en gevolglyk hoe veele uuren dc Ster laater dan de Zon in den Meridiaan zoude komen , indien geduurende den tusichentvd die 'et nog verloopen moet, eer de Ster in den Meridiaan komt, de afitand van de Zon tot de Ster niet verminderde: en gevolglyk ir.dien men niet op de zogenoemde verfnelling der Ster moest letten. Doch het verfchil is gering: cn daar het D 5  5§ II. Deel. Naauwkeurige ontvouwing enz. de Ster in den Meridiaan moet komen: waar u;t men, by vergelyking met het Uur op welk de waarneeming aan Boord gefchied is, weet, of de Ster op het oogenblik dier waarneeming reeds door d.n Meridiaan is of niet, $■ 55- De rechte opklimming der Zon kan kleiner of grooter dan die der Ster zyn. In het ccrltc geval komt de Zon vóór de Ster in den Meridiaan: in het laaste de Ster vóór de Zon-, doch daar wy in den Almanach den dag op middag, (dat 1S op het oogenblik dat de Zon door den Meridiaan gaat) beginnen , is dc Ster als dan. reeds vóór het begin van dien dag door den Meridiaan gegaan. Men (lelie de rechte opklimming van Regulus in tyd 9 IJ 57'. at", die der Zon by voorbeeld den -25 September op middag ia U. 8'. 45". het verfchil is 2 U. 11'. 20. dat is, Regulus is op dien bepaalden dag 2 U 11'. 20" vóór de Zon door den Meridiaan gegaan: die doorgang behoort dan , volgends de Sterrekundige telling, tot den voorigen dag, den 24fte, en daar Regulus (gefteld zynde dat de Zfm altoos op den zelfden afftand van de Sterren bleef) na 24 U. weeder in den Meridiaan komt, zal hy 'er ten ai ü. 49'. 4c" van deezen dag, van den 25,weeder inkomen; welken tyd men gemaklyker zoude bekomen hebben, met eerst 24 U. by de Stcrs rechte opklimming te voegen, en 'er dan de rechte opklimming van de Zon aftetrekken: waarom men dan altoos de rechte opklimming der Zon van die van dc Ster aftrekt, by deeze, zo zy kleiner is, ftilzwygend 24 ü. volgende. 00 § 56. het nu genOeg is dien tyd omtrent te weeten, om te onderfcheiden of de Ster al of nog niet door den Meridiaan is, behoeft men zich hier in die vtrjnelling niet in te laaten De afitand van de © tot de Ster komt thans alléén te pas. In alle andere gevallen , daar de tyd op Teneriffa niet, (zo als hier) van elders bekend iss is het .wat anders: hier op moet wel gelet worden. (*) Zie hier over biceder Verklaring van den Almanach, bl. 19.20.  Overbrenging van den Uurhoek in Tyd. 59 §• 56 Men weet dan (§. 54 ) of de Ster nog door den Meridiaan gaan moec, of'er reeds door is, dat is 'of zy Oostelyk of Westelyk van den Meridiaan is. Men weet óf het vóór of namiddag is, d. i. of de Zon Oostelyk of Westeiyk van den Meridiaan is. Maar daar wy in den Almanach den dag op middag beginnen, befchouwcn wy de Zon, op welk Uur buiten den middag het zyn moge, als reeds voorby den Meridiaan; zo dezelve den 10 February by voorb. 3 U. Oostelyk van den Meridiaan of 3 U. vóór dén middag Itaat, befchouwen wy haar als zynde op den neegenden at Uuren Westelyk van of voorby den Meridiaan: zo dan de Zon en de Ster beiden aan den zelfden kant van den Meridiaan ftaan 3 cn dus beide Westelyk, de Zon verder van den Meridiaan dan de Ster, behoeft men flechts (Fig. 6.) den Uurhoek M S (in tyd gebragt) by 0 S, het verfchil der rechte opklimmingen, te voegen, om O M te kennen: dat is den afitand van de Zon tot den Meridiaan, of hoe laat loet aan Boord is. Zo de Zon en de Ster ieder aan eenen byzonderen kant van den Meridiaan zyn, en dus de Zon aan den Westkant, de Ster aan den Oostkant; daar wy de Zon altoos als Westelyk van den Meridiaan, als na den middag zynde, befchouwen, moet men van O S, [verfchil der rechte opklimmingen,]MS [Uurhoek van de Ster] aftrekken, om fj M [afitand der Zon van den Meridiaan] te bekomen, dat ïs, om te weeten hoe laat het aan Boord is. Het geheele vraagltuk is dan opgelost. Wy zullen nu, om nog duidelyker te zyn, den geheelen reegel in één famentrekken, en op een voorbeeld toepasfen. § 57- Reegei om door den Uurhoek van eenen Sur in dit geval den Tyd te bepaalen. 1°. Neem uit Tafel XV de rechte opklimming der gefchoten Ster, en breng die tot den gegeeven dag. a°» Zoek in den Almanach de rechte opklimming der Zon voor den gegeeven dag,en het verfchil. m Si  6o II. Deel. Naauwkeurige ontvouw/tig enz. 3°. Bereekcn door Tafel XI de rechte opklimming der Zon, voor het Tydftip in N°. VI. der geheele Bereekening (§. 43. 44.) gevonden. 40. Trek dc rechte opklimming der Zon van die der Ster af, by deeze laatfte, zo zy kleiner is dan die der Zon, «14 Uuren voegende. 5°. Breng den Uurhoek in tyd door Tafel IX. 6°. Voeg by dat verfchil (N°. 4.) den Uurhoek in tyd gebragt, (N°. 5) of trek er denzelven van af, naar maate de Ster reeds door den Meridiaan is, of nog niet door den Meridiaan is. (§. 54.) 70. De uitkomst geeft te kennen hoe laat het aan Boord is. § 58. Voorbeeld. Ik vooronderftel f» dat de Uurhoek 3» 59'. 16". de Uurhoek van eene Ster is,cn wel van Aldebaran of het Oog yan den Stier. Men ftelle dat de waarneeming gefchied zy aan Boord den 11 February 1788, naar gisting ten 6 U. 10'. — Men ftelle dat het op het zelfde oogenblik op den Pic is 10 U. 23'. 27" volgens No. VI. dan bereeken ik dus Rechte opklimm. van Aldebaran U. M. S. voor 1 Jan. 1788. . . 4. 33. 4g Verfchil voor 12 Maanden 3,42" voor ij Maand 0. o. 0,4 fom . . 4. 2» 46,4 ©RcchteOpkl 11 Febr.2iU.?9'.4T,3» Verfchil ra 24 U.3'.56» dus in 10 U voor 3'. Taf XI. 1. 15 56','. 23,3 23' voor 3 . 2,9 58». I 2r- 4i-a7»S verfchil . 6. 42. 19 Dus («O Wy -hebben verkozen met het voorbeeld te neemen dat op hier tweede uitllaande Tatel ft ut. r  Be/luit. Bepaaling van de Lengte. Np. IX. 6* Dus is de Ster nog niet door den meridiaan 00', gevolglyk trek «/"Uurhoek in tyd Taf. IX. . . 15 57 Komt voor den tyd aan Boord . 6. •)-  66III. Deel. Verkort in deoorjp her eek. van den afftand. rust. — Maar het is en blyft a'toos icne bewerking waarin men faalen kan door onvoorzichtigheid, door gebrek aan genoegzaamen aandacht, door onnaauwkeurigheid van her. werktuig zelfs, dat moeijeyk is te vervaardigen zal het goed zyn: zo dat de bereekening, hoewel langer, altoos boven een werktuig zal te verkiezen zyn: wy zullen ons daar over niet breeder uitlaaien, om dat wy ons gevoelen daar omtrent reeds breedvoerig geüic hebben in onze bi fchryving van dat werktuig. Naauwkeurige bereekeningen zyn altoos boven werktuiglyke handelwyzen te verkiezen: wy denken echcer (zo hebben wy ons op bl. 37. van die belchryving geüu) dat „ zo„ danige Zeelieden, welke de reekening met Loga„ rithmen niet behoorlyk verftaan, of daar meede in ,, den war geraaken, zodra de bereekeningen wat „ omiiagtig worden,'met veel vrucht van dit werk„ tuig gebruik kunnen maaken, ter oplosfing der „ vraagltukken die in de praktyk van de Zeevaart „ voorkomen: en dat bet ook voor die geenen, wel„ ke gemaklyk met het cyfferwerk weeten om te „ gaan, van nut kan zyn, al ware het Hechts om „ de uitkomst, op die wyze verkreegen, met do „ bereekende uitkomst te vergelyken, en zich dus „ gerust te ftellen van geene groove mibflagen be,, gaan te hebben: of ook, om het in zodanige ge„ vallen te gebruiken, daar men geene groote nïiauwkeurigheid vereischt, en die dan de moeite tener „ ftrikte bereekening niet verdienen." § 64. la grange tc Parys hcefc ook een werktuig uitgevonden, om op eene zeer gemiklyke wyze den fchynbaaren afitand tot den waaien te herleiden: doch de tydsomftandigheeden hebben ons belet dit werktuig uit Parys te laaten komen: en dcrhalven kunnen wy omtrent hetzelve niets meer doen dan het aantekondigen. § 65. . Anderen hebben in plaats van bereekeningen eenige Be-  Verkorting door Afpasfmg en figuufen, &} Bewerkingen voorgefteld, waarin men, met pasfer cn liniaal eenige bepaalde figuuren vervaardigt en verdeelt, om daar door aftepaslen, hoe veele minuuten en feconden men by den waargenomen, en dus fchynbaaren, afftand moet voegen,of'er van aftrekken, om den waaren te verkrygen. Dit is door la caille (d) verricht: doch wy zouden op dergelyke figuuren niet veel betrouwen, om dat zy veel aandacht vereisfchen: het moeilyk valt dezelve naauwkeurig te vervaardigen, en eenige misflag in dezelve eene groote feil in de uitkomst kan voortbrengen. •» III. Verkortingen toegebragt aan de oorfpronkelyke bereekeningen van den waaren afflanct van Maait en Zon, of Maan en Ster, §. 66. Wy oordeelcn dan dat 'er, om volkomen naauw.Keurig te werk te gaan, niets overig blyft, dan den waaren afftand uit den fchynbaaren door onmiddelyke bereekening afteleidcn. Wv hebben reeds § 40 en & 41 aangetoond, welke die bereekening is, en datzy oorfpronkelyk in het op'osfen van twee driehoeken beftaat, in eene van welken drie zyden gegeeven zyn, (namentlyk de fchynbaare hoogten van 0 of* en rj en de fchynbaare byftand,) cn de heek over eene derzelven (hier over den fchynbaaren afftand) ltaande gevonden wordt: en in de tweede van welken, twee zyden (de waare hoogte van 0 of * en de. waare hoogte van de Maan) met den hoek tuslenen dezelven begrecpen (den zo eeven bereekenden hoek) gegeeven zyn, en de derde zyde, (hier de waare afitand) gevonden wordt. Die bereekening: va t met mocijelyk, doch zy is, zo als wy gezegd nebben, eenigzins lang, en op Zee komt het 'er op aan, alles zo veel mogelyk, eenvouwig te maaken, en (<0 Zie tACintï Traité de Navigatie» § 635 _ S 654. ia Th. r7' ExP°fiüm i" C*k?1 Aftrmtmiqne § 33' _ 248. en MACKAY - iue rhesry and PraBice of Finding the Ltnginde, ItnAtn 1793. 8°. £ 2  68 III. Deel. Verken in de oorfp. her eek. van den afftand. en te verkorten: al waare het maar om dat men daar door de aandacht verligt, en dus den reekenaar, •wiens aandacht veel meer op Zee dan aan Wal geftoord wordt, en die dezelfde infpanninjr. van geest niet hebben kan, te gemoet te fcoomen, en hem feilen te doen vermyden. Uit is de reeden waarom de beroemdfte Wiskonstenaars getracht hebben deeze oplosfing te verkorten , ia zelfs Tafels op te Hellen wa-.r in al wat tot het gevraagde dienstig is, gevonden wordt. §• 67. Veelen zyn de verkorte handelwyzen om uit den fchynbaaren afftand den waaren opteroaaken, dat is, om het geen wy N°. V. van de geheele bewerking, het vinden van den afftand, noemen , op de eenvouwigfte, kortfte, en gemakkelykrte wyze te befluitcn. O) Wy zullen ze hier allen niet opnoemen, dit zoude onnuttig zyn: genoeg zy het hier aantemerken,dat ze in twee Clasren belaooren verdeeld te worden: de eerfte behelst die handelwyzen, welke volkomen naauwkeurig zyn, a's berustende op de oorfpronkelvke oplosfing der twee driehoeken MTZ en mTz (Fig. 4.) zo als zulks in §. 40 en §.4:. is aangetoond:de tweede die, welke Hechts na genoeg naauwkeurig zyn, als berustende op deeze onderftelling, dat men zeer k'eine klootfche driehoeken voor rechtlynige kan aanzien (f). Dat deeerstgemelden, al het overige gelyk zynde,de voorkeur boven de laatstgemeldeh verdienen . fpreekt van zelfs. Indien men nu alle die handelwyzen nagaat zal hetniec moeijelyk vallen te befluiten, dat order de geene, die inde praktyk het meest in aanmerking komen, de volgende uitmunten, waarvan de vier eerfte en zesde onder de Zeelieden in gebruik zyn. l°. (a) Behalven de zes, die wy in den text opnoemen, zyn 'er om nog zeeven bekend, en dus in het geheel dertien: deeze zeeven zynde handelwyzen van lyons, maskelyne, (beiden na de eerfte uitvinding nogvevbeeterd.cn byzondere Tafelen vereifchende ) witcHEL , f USS, von platen, romme, en elliot, : de drie eerfte behooren tot ce eerfte Claife, de anderen tot de tweede. ij>) Zie het zesde Deel § 3H.  Verkortinge in de bereekening zelve. gp 1°. De manier van de borda; a°. De verkorte manier van den zelfden,, door ons en door floryn opgegeeven: en verder met de verandering daar aan door mackay toegebragt; 3». De oude manier van dunthorne, ook door steenstra uitgelegd, en onlangs door de hartog weder als de beste, en die welke de voordeden van de andere veréénigt, en de nadeden die aan dezelve vast zyn, uitfluit, voorgefteld en aangeprcezen : en waaraan ook mackay eenige verandering heeft toegebragt, 4°. De verbeeterde of nieuwe manier van dunthorne, 5°. De mnnier van krafft; die veelligt de eenvouwigfte is van allen, hoewel tot dus verre zear weinig bekend. 6°. De manier van de zogenoemde Engelfche Tafels. Deeze is minder eene bereekening, aan eene ligte invulling van reeds gemaakte bereekeningen. §. 68. De gevoelens, zo wel van de Zeelieden als van de Wiskunstenaars, zyn hier, over de meerder of mindere kortheid, gemaklykheid,en eenvouwigheid van de eene deezer zes manieren boven de anderen, verfchillende: en in de daad ieder derzelve heeft eenige toevallige voordeden, die by de anderen niet gevonden worden; en de beflisfing hangt misfchien ook op dit ftuk, zo als bynaar op alle anderen, by verfchillende menfchen, van den fmaak,of van eene meerdere of mindere bedrcevenheid en hebbelykheid in het reekenen af: misfchien ook naar maate men zich aan deeze of geene manier, van den beginnen af, gewend heeft. Wy verkiezen dus hier omtrent niets te beflisichen: maar, daar wy ons werk zo volmaakt mogelyk trachten te maaken,moeten wy geenszins eóne éénige methode,met uitfluiting van alle anderen, opgeeven, of onzen by zonderen fmaak aan anderen opdringen. Dat is de reeden waar om wy nu de zes opgenoemde handelwyzen, zo naauwkeurig en duidelyk ons mogelyk zyn zal, zullen uitleggen: op dat ie/er die geene zoude kunnen verkiezen welke hem hettreE 3 mak-  70III. Deel. Verkort, in deeorfp. her eek. van den afftand. maklykst voorkomt: doch na de uitlegging zullen wy eenige weinige aanmerkingen laaten volgen. i. Eerfte Verkorting. De handelwys van de borda om den af/land te bereekenen. §■ 69. Wy beginnen met de manier van de borda, welke, buiten twyffel, eene der fchoonfte en gemaklykfte is: i". om dat zy geene andere Tafelen hoegenaamd dan de gewoone Sinus -Tafelen vereischt: waaromtrent het zeer veel sremak toebrengt, zo als wy reeds te vooren gezegd hebben, ( § 40 ) de Sinns - Tafelen van cal let te gebruiken, die van 10 tot 10 Seconden bereekend zyn: anderszins moet men zich de moeite getroosten om de Logarithmen voor de Seconden zelfs op te maaken, volgends den reegel dien wy in ons Aanhangzel zullen opgeeven: doch dit heeft eeven eens voor alle de manieren van bereekenen , (uitgezonderd die van de Engelfche Tafelen) plaats. a°. Dat men in die handelwyze niets heeft te gebruiken dan Cofinusfen, het geen de aandacht verligt. Wy zuilen hisr enkel de manier van de borda opgeeven (V),zonder eenig bewys 'er by te voegen, dit zoude de aandacht der meesten te lastig vallen , en de gedachten van 't geen te doen valt te veel verwyderen: het is buiten dien niet voor alle Zeelieden gefchikt: wy fpaaren het tot ons zesde Deel, alwaar wy het zullen uitleggen, en uit dien zelfden reegel, dien wy voorde oorfpronkelyke bereekening hebben opgegeeven, afleiden. Reegel van de Borda, cm den waaren afftand te vinden. § 70. Zie hier de geheele handelwys van de Borda konclyk voorgefteld: N°. I, II, III en IV blyven de (a) Deeze manier wordt ook verklaard in de Vethandeling vaa be la coudb.aye en in die vanvaillANt, j>. 86 en 8?.  • -Eerfte verkorting: manier van DE BORDA. 71 de zelfde-als hier hoven (§36 — 540) is uitgelegd. De manier voor N° V, of voor den afftand verfchilt alleen. Men lette enkel, dat men in de bewerking van deezen reegel alle de Logarithmus-Cofinus onder eikanderen aan de linker, en alle de boogen onder elkander aan de rechter hand fchryve. i. Neem 0s of Sters fchynbaare hoogte [No. III. A § 38,] cn fchryf 'er naast zyn («) Complement Logarithmus-Cofinus. 2°. Neem de & fchynbaare hoogte [No. IV. A. § 39 ,j en zyn Complement Logarithmus-Cofin. 30. Neem den fchynbaaren afftand [No. II. B. § "373 40. Neem de fom van deeze drie getalen: vervolgends de halve fom: en daar van den 'Logarithmus - Coftnus. 50. Neem het verfchil tusfehen die halve fom (N° 4.) en den fchynbaaren afftand (No 3.) cn van dat verfchil den Logarithmus-Cofinus. 6°. Neem 0s of Sters waare hoogte en haar Logarithmus - Cofinus: en ook gs waare hoogte en haar Logarithmus-Cofinus. 7». (a) Wy hebben reeds gezegd § 44.noota&nCorhplement vm een Logarithmus, het verfchil is tusfehen dien Logaiithmus en o ofwel 10: Byv: het Complement van Logarithmus -.9345607 is 3.0654393: en het valt zeer gemaklyk dat Complement te neemen : want, den, Logarirhmus zeiven in de Tafelen voor oogen hebbende, neemt men voor iedere Cyffer (aan de linker hand beginnende) het verfchil mer 9: doch voor den laatften het verfchil met jo. In de Verhandeling van vaixlant, p. 8r : vindt men Logarithm. Secans in plaats van Complement Logarith. Cofinus. Doch het komt op 't zelfde uit; want Comp. Log. Cofinus is Log. van —— of van ( ojtn. 1 gedivideerd door Cofmus: masr de Stfans is gelyk aan 1 gedivi- deerd door Coftnus (Zie § 256) dus is Log. Sec. —Log. ^-y. •— log. 1 — log. Cof. — o — Log. Cof. ~ Comp. Log. Cofinus. Dit meenden wy te moeten aantoonen, op dar men niet zoude denken dat 'er weezenlyke verfcheidenheid pbats heeft. Wanneer men Tafelen gebruikt daar de Logarithmen der Secanten in gevonden worden, valt het gemaklyker den Logar. Secans dan het Complement van den Logar. Cofinus te neemen: doch in de Tafelen van callet zyn geen Secanten te vinden , om dat dc Cofinusfen genoegzaam zyn: daar men Hechts den Logarithmus-Cofinus optelt of aftrekt, in plaats van den Logarithmus - Secans aftetrekken of bytetellen. Zo ien.and moeite had om die Complementen Logarithmus-Cofinus te neemen: hy n;eme de Logarithmen der twee Cofinusfen, telle die twee Logarithmen by elkan» oer, en ttekke daar na die fom van de fom de vier overigen af. E 4  72 lil. Deel. Verk. in de oorfp. her eek. van den afftand., 70. Tel die zes Logarithmen by eikanderen: en neem de helft van die fom. 8, Neem de fom der waare hoogten (N°. 6): vervolgends de halve fom: en daar van den Logarithmus-Cofinus. 90. Trek dien Logarithmus (No. 8) af van de halve fom der Logarithmen N° 7: en zoek den Boog op (ftel G), waarvan dat verfchil den Logarithmus-Sinus is. (b) ie». Neem van dien Boog G den LogarithmusCofinus. lio. Voeg by dien Logarithmus (No. 10) den Logarithmus-Cofinus van de halve fom der waare hoogten reeds No. 0 gebruikt. Zoek den Boog waar van die fom (No. n) de Logarithmus - Sinus is. Die Buog is de halve afitand. 130. Neem het dubbel van dien Boog: het is de waare afftand. Laat ons nu deezen reegel op het voorbeeld van $ 3«» toepasfen. N°. V. Bereekening van den waarin afftand volgends D£ B 0 li D A. § SlUif fchikt men dus, volgends het voorfchrift van den reegel, G fch.hoog.CN0.III.A) 11.42 31 Compl. Log. Cof. 0.0091320 d fch. hoog.(N°.IV.Ai52.47-27C01r.pl.Log. Cof. 0.218441a 0afch.Aftt.CN°.IlB)4a. 34 *o fom. . . 107- 4- 18 halve fom. . 9 Log.Cofin.9.774020a* Verfchil met ©tf ^ fchynb. Aflt. 10.57.49 Log. Cofin. 9. 9920001* 0 waa- (a) de BORDA, en na hem IA coudrAyi, noemen dien hockA: dit doet niets tet zaake: wy gebruiken hier de iet'.er G: om dat wy in het bewys § 303 de letter A, tot aanduiding van den waaren afitand gebruiken. {*) Waaiom wy hier een * ftellen zal blykcn § .-4: dit * doet in zich zelfs hier niets tei zaake,  Eerfte verkorting: manier van de de borda.. 73 © waare hoogte (No. IV, C) 53- 20-47 Log. Cofin. 9.7759567 halve fom. . . 32.29.26 halve fom^ö~88rar?^" pd.e halve fom Log Cofinus. < ft Log. Sinus gJ$%$%?% Aog. Cofinus halve tS^'^Sg^^^ . fom 9.5656647 is Log. Sinus van 2,0 34', 5g mulcipliceer door 2, ^i^f van de voorgaande bereekening. § 72. twee achteréénvolsenfe A^ot aSS crz Met byftaan. De last worJt metkelvk »,™ , . * neer men de Simt-Ttf.!,, «n cfi^T |1„Z"" iyte «énen S^^tf* &SK E 5 met  74 T/I. Deel. Verkort in de obrfp. bereekening. met de Sinusfen, Cofinusfen, enz te neemen zo als zy in de Tafels zyn: namelyk dien van den boog die in de Tafel het raast aan den begeerden komt. by voorbeeld dién van n*. 42'. 30 vcor dien van iïo 4l'. 31": dien van 520 47' 3°' voor ^ïen van 47'. a7": dien van 53° 20'. 50" voor dien van ««' ao' 47": en zo voorts in ahe gevallen: men git op "de zelfde wyze te werk in het opzoeken van booten waar van Logarithmus - Sinus , ot Lof»Ë eee-^even is. Als dan behoeft men geen Sinus of Colmus te bereekenen, maar alleen op te zoeken* de feil kan nimmer zo groot zyn, dat zy die geringe feilen welke in de waarneemingen onvermydeHk zyn. te boven gae. Indien wy du op hef voorbee'4 van de < oorgaande § toepasfen, zullen wy yin* den - 0.0091316 in plaats van 0.0091320 g o. a.M93 02184410 977.0174 9.774C202 999 0997 9 9920°o£ 9.9009859 ~— 9-9909841 9.77594S2 9-775V5Q7 ■ 39 7605341 rX9~88ÖöiS6o 19-8802670 9 926C694 _£■ 9260748 G — 64°*' 40" in plaats van 6.°. 8 . 40'; Lo*. Cof. G = 9''$958 .9 -— 9-639j>899 y. 926:694 _ 9 9160748 ^5650503 9.5656647 o Log Sin. 21. 34.57 in plaats van Log Sin. 21.34.5* 2 j "Vanrp Aart' (<*) Iemand die het reekenen gewoon is ral juist die beide tig.tm. uit de Tafel niet opfchcyven: maai alleen de verlchillcn neemenj en die aanieekeoen. f4) Om een algemeen bewys van onzen teegel te hebben, zy S' dc Sinus die in de Tafels een gegeeven Sinus S voorgaar, en S" die welke 'er op volgt, cn dus van een boog die t' of 60'' grooter it. li de boog waarvan S' de Sinus is: en die dus in de Tafel ftaat: en 4 't geen men by dien boog voegen moet om den boog G te hebben: zo dat G — B r 4 Zy C' de Cofinus van den boog B: C" de Cofinus van den boog die 'er op volgt, en die dus 60" of t' grooter is: zy f 'r geen men van den Cofinus C1 des boogs B moer aftrekken, om den Cofinus van den boog B -H 4 of G te verkrygen. Dan heb ik, volgends de gewoone manier om Sinusfen van bogen daar feconden in koinea, te vinden, (Zie het Aanhang/tl.)  Eerfte verkorting: manier van de borda. 77 Aanmerking. Men kan deeze bekorting ook gebruiken, al gebruikt men de Tafelen van callet daar de leconden van 10 tot 10 feconden in liaan: doch het valt als dan gemaklyker eerst den boog G te zoeken en dan zyn Logar.-Cofinus, dan wel volgens deeze bekorting onmiddelyk den Logar. - Cofinus: zo dat die bekorting als dan van geene waarde is. Tweede verkorting. Eerfte verbeetcrde manier van borda, om den waaren afftand te berekenen. § 74- Het blykt uit het geen wy in de drie voorgaande §§ over de handelwyze van de bok da gezegd hebben, dat 'er in dezelve geen andere Tafcis, hoe genaamd, gebruikt worden dan de LogarithmusTafels, en dit is, naar ons inzien, een groot voordeel, al waare het maar om dat men zich in gevallen kan bevinden dat men met geene andere Tafels voorzien is. Maar wanneer men ook andere Tafels begeert te gebruiken, en wel met nasme de XVÏ[ van onze verzameling, met de XV11I en XIX die daar by hooren, kan men het werk eenigzms verkorten. Het zy ons geoorloofd, alvorens de reegeis optegeeven, aantewyzcn waarop die verkorting Iteunt. Wy hebben gezien (§ 70 en 71) dat men in de manier van de borda de fom van zes Logarithmen van Cifinusfen neemen moet: onder welke zes deeze vier zich bevinden: 0 fchyn- S" — S' : 60" = S — S' : b : en 60" : C' — C z= b : c : en dus S" — S' : O — C" — S — S' : c : of S" — S' ; S — S" = C' — C": c : maar, c' — c — Cofinus G: dat is in. woorden: Het verfchil der voorgaande en volgende Sinusfen in de Tafel» tot het Verfchil van den gegeeven Sinus G en den voorgaanden: zo als het Verfchil tusfehen den Cofinus die in den Tafel naast dien voorgaanden Sinus ftaat, en den volgenden Cofinus in de Tafelj tot een vierde getal, dat men van den eerstgemelden Cofinus aftrektj en men heeft Cofinus G. Wanneer wy van Sinus en Cofinus kort. heidshalven gefprooken hebben, veiftaan wy ook daar dooi derzelTen Logarithmen.  J8 HL Deel. Verkort, in de oor/}, bereekening. Q Schynbaare hoogte Complem. Log. Cofinus. G. Complem. Log. Cofinus. © waare hoogte .... Log. Cofinus. n waare hoogte .... Log. Cofinus. Men kan in plaats van de fom van deeze vier Logarithmen, het getal dat in de XVII Tafel ftaat gebruiken, mits den Index of het Chara&er met jo vermeerderende,en vervolgends de twee overige Logarithmus-Cofinusfen, die, welke wy §71 met een *ttrondericheiding beftempeld hebben, er by voegen. Men zoekt dan flechis drie getalen op, twee in de gewoone Logauthmus-Tafels, en een in de XVII Tafel, gepaard met de XVIII of XL\ ; en dat in plaats van zes gctalen, alle zes in de gewoone Tafels: dit is gevolglyk korter. Al het overige blyft. § 75. . Deeze handelwys vcoronderftelt dat het getal het welk men uit de XVII Tafel, (verbeererd, naar vereisr-h van omltandigheeden, door de XVJII of XIX Tafel,) ontleend, het zelfde is ais de fom der vier Logarithmen, welke men nu laat vaaren: en in de daad wy zullen in het vervolg (§314— § 319) bewyzen dat het zo is: en dat de gctalen van de XVII Tafel, hoewel zy Hechts fchyrien aftchangen van de Maans fchyrbaare hoogte, dte boven aan (laat, en van Maans verfchilzicht (van welke voornaamlyk het herleiden der Ichynbaare hoogte tot de waare afhangt,) dat op zyde aan de linkerhand ftaat, echter juist daarom van Zons of S ers fchynbaare en waare hoogte, die beiden in aanmerking komen, afhangen, dat zy door de XVIII of door de XIX Tafel verbeeterd worden. Dit met een woord aangemerkt hebbende, zullen wy den Reegel opgeeven, en doezen vervolgends op een voorbeeld toepasfen. Ret-  Tweede perk.: verbeeterdemanier pan de borda. 79 Reegel om den waaren afftand te bereekenen volgends de verbeterde manier van de borda. § 76. »«. Neem uit Tafel XVII het getal dat by de fchynbaare hoogte van g middelpunt (Nu. IV. A. of § ?o) en by het horizontaal verfchilzicht der d (reeds door Nó. I. C. § 36 bekend) behoort: (a) t°. Indien men eenen afftand tot de Zon gefchoten heeft, trek 'er van af het getal dat men voor de gefchoten 0 hoogte in Tafel XVIII vindt: (Z>) en zo men eenen afitand tot eenige Ster gefchoten heeft, trek 'er van af het getal dat voor die Sters hoogte in Tafd XIX ftaat, zo de hoogte der Ster kleiner dan 25°. bedraagt: doch anders niet; vermeerder den index of het character met« 10. 3°. Maak eene Som van de fchynbaare hoogten van © of Ster, en van g, en van den fchynbaaren af- («.) VS'y hebben dc XVII, XVIII en XIX Tafel iij onze Verzameling van Tafels behoorlyk uitgelegd: wy zullen over dezelve in ons bewys van de manier van dunthorne, tot welke zy oorfpronkelyk behooren, nog breedet handelen. Hier zullen wy Hechts herinneren , 10. dat men irf Tafel XVII boven aan de fchynbaare hoogte van i vier eerfte letters, die voor een groot aantal getaiea van iedere Kolom onveranderd blyvcn, nier telkens herhaald, maar eens voor al boven aan geplaatst hebben: men zy dan indachtig dezeivcn te gebruiken. (b\ Men lette wel dat de Logarithmen in de Tafel XVII maar met 5 cyffetleners bereekend zyn, of wel zelf, volgends Zeemans gebruik, met vyfj want de zesde, of laatfte, is van de voorigen door een itipje afgezonderd} doch het is nauwkeuriger zeven letters te gebruiken, vooral daar het hier op Logarithmen van Seconden aankomt, daarom voegt men'er tot zeevendc cyffer of een nul by, of die letter, welke uit de invulling die n^diï is (ziet noot a) voortkomt. Dit zelfde heeft plaats voor Tafel XVIU en XIX; de laatfte cyffer .die 'er in voorkomt (aan de rechrerhand) moet onder de zesde van het getal van Tafel XVII gefteld worden: waarom wy, die zeeven letters gebruiken, ook aciner die laatfte letter van Tafel XVIII en XIX. een nul voegen tot aanvulling. Zie het voorbeeld in § jf.  So ƒ/ƒ. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. afftand: neem de halve fom: en daar van den Logarithmus-Cofinus; fchryf dien onder het verfchil N°. 2. gevonden. 40. Neem het verfchil van de halve Som (N°. 3.) 1 met den fchynbaaren afitand: en daarvan dem Logarithmus-Cofinus: dien men onder de voorgaande getalen ttelt. 5°. Neem van die drie getalen de Som en de halve Som. 6°. Neem de Som van de beide waare hoogten; van die Som de helft; en van die helft den Logarithmus-Cofinus. 7°. Trek dien Logarithmus -Cofinus van de halve Som (N°. 5.) af, en zoek den Boog, (ftel G) waar: van dat verfchil de Logarithmus-Sinus is. 8". Zoek vervolgends van dien Boog G den Logarithmus - Cofinus (d). 9°. Voeg by dien Logarithmus den LogarithmusCofinus van de halve Som der waare hoogten,, reeds N°. 6. gevonden. 10°. Zoek den Boog waar van die Som (N°. 9.) de: Logarithmus Sinus is. II».Neem het dubbel van dien Boog, het is de waare afitand. §• 77- Voorbeeld. Wy zullen hetzelfde voorbeeld als §. 71, gebruiken. © fch. hoogte. (No.III. A n°.4a'.3t". Taf. XVII. 19. 9945155 G fch. hoogte. (No.IV.A)52. 47. 27 Taf.XVIlI. 70 ©glch. afft. r rr.— t— (N°. II. B) 42. 34. 20 Verfchil 19.9945085 fora . . 107. 4. 18 halve fom . 53. 32. 9 Log. Cof 9.7740202 Ver- (*) N°. 8, 9, 10 en 11 zyn woordelyk. het zelfde als N°. 10, ti, is «n 13 van den ooifptonkelyken tcegel yan ra eorda: zie § r*«  Tweede ver ketting: manier fan de borda. 8j Verfch. met 0 g fch. afft. 10.57.49 Leg. Cof. 9.9920001 èw h.CNo.IJI.B)n.3». 4 fom . 39.76052]^ a w.h (No.lV.C)53.20.47 u , , V i§£-_li halve f°m 19 8802644 fom. . 64.58.51 ^ r A. halve fom. 32. 29.26 Log. Cof. 9.9260748 J Verfchil . T'q.^'^cT \ is Zö^. Stnus G: dus /?764^ir37J,'Vhier;an 7^-C^ 96396028 CA. Log. Cof. itom. q eng waare hoogte . 9.9260748 fom . 9.5636776" is Log, Sinus van 2iü. 35'. multipliceer door 1 i_ komt de waare afttanT4^7iö. Het geen 4" verfchilt met de bewerking van^71 (d) Ieder een kan nu oordeelen waar in deeze maner korter is dan de oorfpronkelyite bereekening van de borda zeiven. § 7*. Aanmerking. Wy hebben deeze verkorting van de manier vati de borda flechts by toeval ontdekt, wanneer wy, eemgen ryd na ons eerile Byvoegfel op den eerden druk deezer Verhandeling in 1788 uitgegeeven te hebben, zagen dat de getalen van de XVII Tafel, niet anders zyn dan de fom van vier deezer Logarithmen m de manier van de borda gebruikt. Jacob floryn is san zynen kant, zonder dat wy onderling iets van elkander wisten, op de z Ifdegedachten als wy gevallen, en waarfchynlyk eerder dan wy ook heeft hy de zaak, zo als nu blyken zal, anders behandeld, zo dat wy hem de eere van deeze uitvinding geheel toekennen. De Reegel dien floryn opgeeft is, wat het weezen der zaak betreft, volkomen de zelfde als de onze,- hoe- afftandIyN«ebvrn ^«king °P Tab. I. B. gefteld, cn die sritand in N". VI gehouden: waardoor de lengte in N°. IX komt fcd/vcrfthüt.15'' die l£ngte 1,001 *» '** i *' &  8s III. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. hoewel 'er zich in de uiterlyke gedaante eenig verfchil opdoet. Het voornaamfte beftaat in de Logarithmen, die hy uit Tafel XIV van steenstra overneemt: doch men lette wel, i°. dat die Logarithmen het complement zyn der Logarithmen van onze XVII Tafel: zo als by voorb. naast 53' verfchilzicht en 150 fchynbaare hoogte, gevonden wordt 1540, of tot zes cyfferletters gebragt 0.001540: waarvan het complement is 9.998450, dat juist het getal is dat men, ter zelfde plaatje, in onze XVII Tafel vindt: i° dat floryn ee Logarithmen van zvne XIV Tafel aftrekt, daar wy die van onze XVII Tafel bytellen : (a) en dat het dus op het zelfde uitkomt: vermits wy reeds te vooren gezegd hebben (§ 44. noot a) dat een Logarithmus aftetrekken of zyn comp'ement by te voegen, hetzelfde is, of het zelfde facit geeft. De overige verfchillen beftaan in eenige kleinigheeden van fchikkingen , die in zich zelfs onverfëhillig zyn, en waar omtrent het moeijelyk zoude vallen met genoegzaamen grond te beflisfchen welke de voordeeligfte is. By voorbeeld 3 wy neemen de Som der beide fchynbnare hoogten, en des fchynbaaren afltands: vervolgens i° de halve Som; van welke wy a°. den atftand aftrekken •, floryn neemt eerst de Som van de twee fchynbaare hoogten: dan derzei ver halve fom; en vervolgens i°. voegt hy 'er den halven atftand by: en dan 20. trekt hy 'er den haiven afltar.d van af-, twee bewerkingen die in do daad met de twee zo eevengemeleie overeenkomen. Wy neemen de Som en halve Som der beide waare hoogten: floryn neemt het verfchil der twee Correctten (N° lil en IV) en voegt hetzelve by de som der fchynbawe hoogten , om dan wederom de helft van het facit te neemen: dat op het zelfde uitkomt: van welk facit men den LogarithmusCofinus neemt, die afgetrokken moet worden; doch daar flokyn, volgends de conftructie van zyne XIV Tafel, het getal dat men in dezelve heeft opgezogt ook {a) Om de zelfde reeden worden by STEENSTRA of FLORYN degetalen van Tafel XV en XVI (die onze XVIII en XIX zyn) by die van XIV. (of onze XVII) bygeteld, daar wy ze aftrekken.  Tweedt verkorting: manier van de borda. 83 ook moet aftrekken, en wel hier flechts ie helft van dat getal, maakt hy eerst eene fom van die helft, en van den gemelden Logarithmus-Cofinus. en trekt dan die fom af. J 9 VOORBEELD. Om te klaarer te doen zien welk het verfchil der beide handelwyzen is, en den Leezer in ftaat te ftellen om ze te gemakkelyker met elkander te yergelyken, en ze vergeleeken hebbende, eene te kiezen, zullen wy het voorbeeld van §. 71. hier, volgends defchikking van floryn uitgewerkt, ter neder ftellen © fc h. 1 io.4i'.s^'Cor.— 4'.27'<(§ S8)Taf xvm. 7 C ie. h 52. 47^ g7_Cor.+3_3. so(§. jo)Taf.xva. 5484 Q) fom. 64. 29. 58 Verfc.a8.53 fom. . . 549T Jg*t# i fom. . .T74T 04.58.51 i fom. 32. 14. 59 2) Ir „ 32.29.26 Cofin. 9-926074(0 $f.afft2i. 17. 10 —-—~ y r — „ „ fom. (A) 9.928819 fom. 53. ga. 9 Log. Cof. 9.774020 (^ Verfch.10. 57. 49 Log. Cof 9.991999 fom. 39.766019 2) i9-«83oc9 fom. (A) 9.9288:9 Verfchil 9.954190 is Log. Sin. G. dus G= 64°. 8'. 38". T „r r me L°g- G = 9 6?9599 Log. Lof. % lom waare hoogten 9.926074? is Log. Sm. 2i°. 34.59 (a 43- 9- 58 waare afftand. Tme- TaféV xvyn n^men b}a .het, C0D1PIeme« van het getal nit onze W&ouf h " 10 ie/°orgMnde § vermeld* Indien men Terkoos het getal im onze Tafel XVII te nemen, nam. 9.994516: _ mea F 2  ?4 III Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. Tweede verbeetering aan de handelwyze van de borda toegebragt. §• 79- Welke ook de verbeetering zy die wy in § 7 r en §. 78. hebben uitgelegd; blyft altoos dit zeeker, dat men eene dubbele bewerking doen moet, om eerst den Boog G en dan deszclfs Cofinus te vinden: ja zelfs dat men om dien Smits te bekomen, van de Som van eenige Logarithmen eenen anderen Logarithmus moet aftrekken, mackay (c) heefe deeze gebreeken verholpen; zie hier den reegel, welken wy in het zesde Deel § 311 bewyzen zullen. Reegel. N°. i, 2, 3, 4, 5: zyn woordelyk zo a's in § 76. 6°. Zoek in de Logarithmus - Sinus-Tafel den Boog op, waar van die halve Som (N°. 4.), 10 van den index aftrekkende, de Logarithmus - Sinus is. Zy die hoek genaamd H. 70. Neem de Som van de waare hoogten der beide heemellichten: en van die Som de helft: 80. Voeg by die helft, den Hoek H, (N°. 6 ) en neem van de Som den Logarithmus-Cofinus. 90. Trek den hoek H (N°. 6 ) van die halve Som N°. 7 af, en neem van het verfchil den Logarithmus - Cofinus. 10°. Neem de Som van die beide Logarithmen N°. 8,, en No. 9: zy is Logarithmus - Sinus van den halven waaren afftand. Voorbeeld- In het voorbeeld van §. 77. zyn wy in het aan- tee- mèn zoude het by de fom 39.766019 moeten voegen: men zoude dan hebben 39.760455: men zoude dan halveeten, komt 19 880517 en eindelyk den enkelen Logarithmus 9-92607c» aftrekken: het geen geeft 9.954191 even ali in den Text. (41 Wy neemen bier maar zes cyfferlettets om reeden § 76»oo/(t) aangehaald. (<■) Trtttift in Tktory md Praftict »f Ltn$itxdis: Lond. 1:93:  Tweede verbeetering: manier van de borda. 85 teeken der vyf eerfte reegels gekomen tot deezen Logarithmus. . 19.8802644 is Log, Sin.vi.ri 40° 22'.47" — H O w. hoogten. 38. 4, m. C w. hoogte^. 20.47 fom . 64.58.51 i fom . 32.29.26 hoek H 49.22.47 fom ■ 81.52. 13 Log. Cof. 9-15-4948 Verfchil . 16.53.21 Log. Cof. 9.980852; fom . 9.1313471 § fom . 9.565673^^.07». 21.35'. o" het dubbel 43'. 10'. o is de waare afftand. Aanmerking. §• 79-* Het fpreekt van zelfs dat men deeze tweede verbeetering gebruiken kan, al gebruikt men voor het overige de oorfpronkelyke manier van de borda en niet de Tafels xvii, xvin en xix: doch in deeze' verbeetering moet men, na dat men den hoek H gevonden heeft, twee Cofinusfen aftrekken, en daar toe eerst de fom en het verfchil van twee grootheeden neemen: daar men by de borda ook twee Cofinusfen moet opzoeken, die namentlyk van hoek G, en eerst, om deezen te vinden, die van de fom der waare hoogten: zo dat het twyffelagtig worde welke van beide de handelwyzen de kortfte zyn zal. derde verkorting. Oude manier van dunthorne. §. 80, 'Er zyn onder den naam van dunthorne twee handelwyzen bekend: de eerfte door hem zeiven F 3 uit-  86 III. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. uitgegeeven, die wy de oude zullen noemen. Men heeft 'er naderhand eenige verbeeteringen aan toegebragt, en deeze verbeeteringen zyn van belang: waarom wy die verbeeterde manier onder den naam van nieuwe manier zullen uitleggen: wy hadden zelfs in het Byvoegfel op de eerfte uitgave van deeze verhandeling, en in de tweede uitgave, de nieuwe manier alléén, uitdrukkelyk en volleedig, uitgelegd: ons vergenoegende de oude in het bewys van de nieuwe (die op de zelfde gronden ge vestigd is,) intelasfchen. Doch daar de hartog, in zyne V?rhandeling oper de Lsvgts, de oude manier alléén aanvoert, en deeze als de beste van allen, die hem bekend zyn, befchouwt, daar wy geen recht hebben om den Lcezer eene manier boven de andere cn by uitfluiting op te dringen: cn gaarne ons werk zo volleedig bcgceren te maaken als mogelyk is, zullen wy^nu dc oude manier van dunthorne afzonderlyk opgeeven, en naauwkeurig uitleggen. Wy zullen, eeven als wy te vooren met dc handelwyze van de borda gedaan hebben,, flechts de reegels uitleggen, zonder het bewys 'er by te voegen, om alle verwarring te vermyden: wy zrllen al wat wy hier ter nederftellen in ona zesde gedeelte bewyzen, en afleiden uit de oorfpronkelyke oplosfing, waar van wy te: vooren gefpri.oken hebben ($ 40 § 41.) en dié de: eenige grondfiag van alles is. §• 81. Alvorens verder te gaan vinden wy goed te: herinneren: i°. Dat alles wat het opfchryven der waarneemingen, het herleiden van Zons of Sters: en Maans waargenoomen hoogte en afftand tot de: fchynbaare hoogten en den fchynbaaren afftand der: middelpunten: vervolgends het opzoeken der Correfticn die men aan Zons of Sters en aan Maans 1 fchynbaare hoogten moet toebrengen om de waare hoogten der middelpunten te bekomen, de zelfde: zyn als in de oorfpronkelyke bereekening-, en gevolglyk dat onze N°. I, li, III, IV (§35 — 5 40.} on-i  Dirds verkorting. Oude manier van dunthorne. 87 onveranderd blyven: het zelfde heeft ook plaats voor N°. VI, VII. Vlli en IX. Het eenig verfchil beltaat in de bereekening van n°. V, dat is in het herleiden van den fchynbaare afftand tot den waaren: en deeze aanmerking is ook op de verbeeterde of nieuwe manier van dunthorne toepasfelyk. §. 82. Wy merken aan, ten tweeden, dat de bereekening afhangt, eeven als altoos, en in alle handelwyzen , niet alleen van de fchynbaare, maar ook van de waare hoogte van de gefchoten heemellichten: dat men, of die waare hoogte, onmiddelyk uit den fchynbaaren kan ©pmaaken, zo als wy in onze N° III en IV gedaan hebben, of wel alleen de Corredtien, die men daartoe gebruiken moet, neemen, en dezelve in het vervolg der reekening optellen, of aftrekken, zo als behoort, wanneer men de fom der waare hoogten begeert te hebben: dit is de manier welke dunthorne gebruikt, en daarin is hy door steenstra gevolgd. Doch hoe wel dit, in den eerften opflsg misfchien iets gemaklyker, of ten minften eenvouwiger, mag voorkomen, vereischt het aan den anderen kant zeer veel oplettenheid om met de teekens plus en minus, en met de gevallen waarin men op moet tellen of af moet trekken, niet in den war te raaken, dat het veel beeter is, ten minften naar ons inzien , onmiddelyk de waare hoogten (volgends onze N°. Hl en IV (§ j8 en § 39) te neemen, en die altoos te gebruiken:'dit zullen wy nader onder het oog brengen, als wy ftraks (§85 noot b.) een voorbeeld, volgens de methode van dunthorne , zullen bereekenen: en ook deeze aanmerking is eeven op. de verbeeterde of nieuwe manier van dunthorne toepasfelyk. S 83. Wy merken aan, ten derden, dat men in de manier van dunthorne, buiten de I, III, IV F 4 en  88 III. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. en VIII Tafel van onze Verzameling, en de ge-, woone Tafels van Logarithmus-Sinus, ook gebruiken moet de XVII, XVIII en XIX Tafel van onze Verzameling, en de Tafel van Slecht - Sinusfen en Slecht - Cofinusfen. Daar nu in de gewoone SinusTa fels de boegen maar in graaden en minuuten zyn uitgedrukt , moet men uit derzclvcr Sinus of Cofinus, den Sinus of Cofinus van boogen , die feconden bevatten, opmaaken: het geen eenigzins lastigvalt, hoe wel het op de zelfde wyze gefchied als voor Logarithmus - Sinusfen, en dus volgends de reegels, die wy in ons Aanaangfel zuUen opgeeven, Db hartog, welke, zo als wy gezegd hebben, alleen de oude manier van dunthorne voordraagt cn volgt, heeft den last vergoed, met eene 'I afcl van Slecht - Sinusfen te bereekenen voor alle de boogen van 6 tot 6 feconden; eene Tafel die daar en boven dienen kan, wanneer men den uurhoek, volgends de manier van douwes, bereekent, en oordeelt feconden in dc hoogte en declinatie van het gelchoten heemellicht,zo als ook in dc Breedte, te moeten gebruiken. Maar, wanneer men feconden in eenige bereekening van boogen gebruikt yoldoet men, naar ons oordeel, niet aap dc vereischte en beoogde naauwkeurigheid, ais men de Sinusfen Hechts met vyf cyffer - letters uitdrukt, waarom het ook jammer is dat dezelve in de Tafel van de hartog maar nut vyf cyffer-letters zyn uitgedrukt, en niet met zo veele als noodjg is om aan de bedoelde naauwkeurigheid te voldoen. § 84. Wat eindelyk de XVII, XVIII en XIX Tafel betreft, dezelve zyn cigcntlyk voor deeze manier yan dunthorne bereekend, en behooren eigenanrtig tot dezelve. Wy hebben reeds een woord van dezelve gewaagd (§'74en§78)cnzullenbreeder pver derzelver conltructic handelen, zo wel in de Uitlegging van onze Verzameling van Tafels, als in het bewys yan de manier yan dunthorne: nam.  Derde verkorting. Oude manier van dunthorne. 89 nam. in het VI Deel § 314— § V9- Thans zullen wy flechts aanmerken dat die Tafels zo wel tot de nieuwe als tot de oude mcnier van dunthorne behooren, doch met eenig onderfcheid. Onze XVII Tafel behoort, zo als zy ingericht is,eigenlyk tot de nieuwe: maar de oude Tafel [zo als de XIV van steenstra is] verfchi't enkel hier in van de nieuwe, dat de Logarithmen, die aldaar gevonden worden, de Complementen zyn van de Logarithmen van onze Tafel: waar uit vbUt C § 44 "oet a ) dat men oiue Tafel ook voor de oude manier kan gebruiken , mits men dc Logarithmen, die wy by tellen of aftrekken, omgekeerd aftrekke of bytelle: of wel mits men derzelver Complementen neeme. Dit veroorzaakt geen moeite. Wy zullen naderhand (§ 318) zien waarin de nieuwe Tafels gemaklyker zyn dan de oude. Dit aldus vooraf aangemerkt hebbende, gaan wy nu den reegel van dunthorne opgeeven, waar na wy denzelven met een voorbeeld zullen ophelderen. Reegel om den waaren afpand te bereekenen door de oude manier van dunthorne, of velgends de manier van steenstra en de hartog. % 85. \o. Neem de fchynbaare hoogten van Zon of Ster [N°. Hf A.3 en de fchynbaare hoogte van de Maan [N°. IV. Al Neem derzelver verfchil de kleintte van de grootfte aftrekkende. Neem den Slecht-Coftnus van dat verfchil. 2°. Neem den Slecht-Cofinus van den fchynbaren afitand [N°. II. A] en trek dien van Slecht-Cofinus N°. 1 af, zo de fchynbaare afftand kleiner is dan 90°: zo hy groter is voeg die beide SlechtCofinusfen by elkander, . 9°. Neem den Logarithmus van dat verfchil of van die fom N°. 2: voeg 'er by den behoorlyken F 5 L°-  90 III. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. Logarithmus uit Tafel XVII, verbeterd, zo zulks nodig is, door Tafel XVIII of XIX. («) 40. Neem het getal van die fom. 5°. Neem het verfchil tusfehen de waare 0 of Sters, en de waare Maans hoogte [No. III. A No. IV. A] de kleinfte van de grootfte aftrekkende : (F) neem van dat verfchil den Slechts-Cofinus en fchryf het onder het getal No. 4. 6°. Trek het verfchil No. 5. en het getal No 4. van eikanderen af, het kleinst van het grootfte: het overfchot is dc Slecht-Cojlnus van den waaren afftand, zo het getal No. 3 kleiner is dan Cofinus No. 5: doch het is de Cofinus van Supplement des waaren afitands, zo het getal No. 4 grooter is dan de Coftnus No. 5. § 86. («) Wanneer men onze Tafel XVII, dat !s in één woord de Taiel voor de nieuwe manier van dunthorne, gebruikt, trekt men de getalen van Tafel XVIII of xix, af: doch zo men de Tafel» van steenstra gebtuikt, of, in één woord,die welke voor de oude manier van dunthorne bereekend zyn, relt men de getalen die in dezelve gevonden worden CTafel XV en XVI by steenstra) by de getalen van dé eerfte Tafel, of van Tafel XIV by steenstra. (b) Wy hebben hier gemakshalven, eene kleine verandering in de oorfpronkelyke manier van dunthorne gemaakt, waarin de hartog onsgevolgd heeft; de oorfpronkelyke reegel van dunthorne is deeze: g. Neem uit Tafel VIII de Correctie vöor de Maan, en uit Tafel III en IV de Correctie voor Ster of Zon: neem de fom van die beide Correctien. Zo de Maans hoogte grooter is dan de Zsns of Stets hoogte, voeg die fom by het verfchil No. r: doch zo de Maans hoogde kleiner is dan die van Zon of Srer, trek die fom van het verfchil N°. i af. Dit gedaan zynde neem van het getal dat 'er komt den Slecht-Cofinus en ftel dien onder het getal No. 4. Het valt gemaklyk te zien dat men op deeze wyze het verfchil der waare hoogten verkrygt: doch het vereischt oplettenheid, om, n.iar maate de Maans hoogte grooter of kleiner is dan die van de Zon of van de Ster, de fom de Correciien, by te voegen of aftetrekken: en dir vermydt men door ons eenvonwigei vooifchrift. Z»e het bewys § 3si.  Derde Verkorting. Oude manier panDUNTH08.1SE. 91 § 86. Voorbeeld. Wy zullen weederom het voorbeeld van § 71 gebruiken. Gicti hoogte (No. III. A) 5a. 47- 27 q_- (No. III. A) 11.42.31 verfchil 41. 4-56 Cofinus 7537<5 O tffchynb. afitand. 42.34-20 Cofinus 73642 — 1734 hier van Logarithm. 3. 239049 Logarithmus TafelXVIII? .... XVIIJ . 19- 994508 C waare hoogte 53°- 20'. 47" fom 3-233557 O 38- 4 getal 1712 — verfchil . 41. 42. 43 Cofinus . . 74650 72938 is Cof. 430-9'-59* waare afftand. § 87. Aanmerkingen. 'Er- zyn in de manier van dunthorne, zelfs zo als wy ze hebben opgegeeven, twee Hukken, die lastig zyn, die veel oplettenheid vereisfchen; en daarom ook aanleiding tot verbeetering gegeeven hebben. Het eerfte is dat men in No. 2. moet letten of de fchynbaare afftand kleiner of grooter is dan 900: in het eerfte geval moet men het verfchil, in het tweede de fom van twee Cofinusfen neemen.' De hartog heeft, denkelyk om dien reegel te verbeeteren, een ander voorfchrift gegeeven: het is dit. Neem van het verfchil der hoogten den Cofinus [zo als wy in No. 1. gezegd hebben] en van den afitand, zo dezelve onder qo9 is, ook den, Cofinus; doch boven de 900 zynde, van' zo veele graaden ais hy  92 III. Deel. Verkort in de oorf. bereekening. hy 'er boven is, den Sinus: en fchryf die onder eikanderen 'er achter; zo zult gy hebben of twee Cofinusfen, of een Cofinus met een Sinus : in het eerfte geval trekt ze van eikanderen af, doch in het laatfte tett ze zamen op. Het is voor een Mathematicus blykbaar dat dit voorfchrift volkomen met het onze overeenkomt: («) maar valt het wel gemaklyker te onthouden ? dat men in eén geval het verfchil van twee Cofinusfen van gegeeven "Boogen , en in een ander de Som van een' Cofinus van een' gegeeven B> >og , en van een' Sinus van een' Boog die niet onmiddelyk gegeeven is 9 maar Hechts na aftrekking van 900 bekend wordt» moet neemen; dan wel zich het voorfchrift N°. 2. te nerinneren. Het tweede ftuk dat in de manier van dunthorne lastig valt is, dat men in I\o. 6 uit de omhand igheed en moet opmaaken , of de Boog, wiens Cofinus men verkrygt, de waare afftand is, dan of het zyn Supplement is dat men voor den waaren afftand moet neemen. (b) de hartog geeft hier ook in plaats van IS0 6 een ander voorfchrift: naamentlyk, Zo het getal N°. 4. kleiner is dan de Cofinus N". 5, heeft men et-n Cofinus en zoekt den Boog op: doch zo het grooter is, heeft men een Sinas : men zoekt den Boog op en voegt de gevonden graaden, minuuten, en feconden by 90°. (c) Wy (a \ Men drukke immers den afitand door a uit: vervolgends a — 90 -f- b : dan is b ~ a — 90 en gevolglyk Sin. b — Sm. ia — 90") ~ Sin. a Cof. 900 — Sin. 900 Co/, a zz — Cof. a {Zie hier onder § 257) dat is: -f- Sin. b — — Cof. a, en dus Cof. a aftetrekken, of Sinus b by te tellen is het zelfde- {b) Zie verder over dir geval het geen wy in het bewys van deeze m:nier zullen aanvoeren in § 319. § 320. (c) Dat dit met onzen reegcl overeenkomr, rs weederom voor een Mathematicus duidelyk: want zo de Coftnus Negatief is, kening van den waaren afitand 3 of het opmaaken van denzelven uit den fchynbaren. Wy zullen eerst den Reegel zeiven opgeeven 3 en dan voorbeelden voordraagen. reegel em den waaren afjland te bereekenen, volgends de nieuwe of verketterde manier van dunthorne. § 91. Trek de fchynbaare hoogten van de Maan I [No. IV. A.] en van de Zon ii\o. III. A.J van elkander af, de kleinfte van de grootlte, om dus haar verfchil te hebben, a3. Voe-  Vierde Verk. verheeterde manier van dunthorne. 97 a°. Voeg dit verfchil by den fchynbaaren afftand • [No. II B] neem de halve fom, en daarvan den Logarithmus-Sinus. 3° Trek bet gemelde verfchil [ No. I. ] van den fchynbaaren afftand [>o. II. B.] af; neem bet halve verfchil, en daarvan den Logarithmus-Sinus. ' * 40. Zeek met de fchynbaare hoogte van Maans' middelpunt en het Horizontaal Verfchilzicht dat in den Almanach Haat, en reeds onder No I 0dgefclvreeven is, in Tafel XVII, den Logarithmus die daarby behoort. Doch zo men den afitand van de Maan tot de Zon gefchoten heefc. moet men van dien Logarithmus het getal aftrekken, dat voor die Zons hoogte in Tafel XVIII gevonden wodt- en indien men den af Hand van de Maan tot eene Ster gefchoten heeft,cn de hoogte der Ster minder dan 250 bedraagt, moet men van gemelden Logarithmus het getai aftrekken, dat voor die hoogte in Tafel XIX Haar. 5°. Dien Logarithmus dus bereid hebbende fchryf denzelven onder de twee voorgaande (i\0. 2 en a> neem de fom der drie: vcrvolgends de halve fom' trek 10 van het CharabJer of van den Index af- en zie dan dien Logarithmus aan als den Logar ithmusStnus van een boog G: en zoek dus dier. boog G in de Tafel van. Logar.ithtnui- Sinus op. óü. Trek de waare hoogten van Zon cn Maan door No. III. B en IV. H gevonden, van elkander ai cn neem dc helft van dat verfchil (a). 1°. Neem (*) Wy hebben hier eenige verandering in de Methode van Dunthorne gemaakt, eeven gelyk wy zulk» in de oude manier gedaan hebben (§ 8; >mi b- en om de zelfde reedencn. Volgends zyn voorfchrift zoekt men alleen ( No. III. A. en iv. A.) de fchynbaare ïmddc puntihoogten van Zon en Maan, cn met haare waare hoo-ten. Veryolgends neemt men hier ter plaatfe de Correctie voor de Maan uit Tarel VIII. en de Correctie voor de Zon, of het verfchil tusfehen haare Dampheffing en Verfchuzichr uit Tafel III cn IV: men addeert d.eze Correejien en men telt de lom, uelke dunthorne Correctie ym Ma*m hooftt noemt, by het verfchil der fchynbaare Jjoogten m M. I. gevonden, wanneer de Maans hoogte grooter dan die der Zon is, maar men rrekt die Correctie en het verfchil der lchynbaaie hoogten van clkinder af, wanneer de Zons hoogte gtooter dan die der Maan is. In beide gevallen geeft de uitkomst het verISWl öer wawe hoogten. De reeden deezer. rerftlul^c tuodeiwyzer» G  98 III. Deel. Verhort- in de oorf'p. bereekening. 70. Neem de fom van hec voorgaand getal en van boog G, (No. 5.} en van die fom Log. Cofinus. 80 Neem het verfchil tusfehen het getal (No 6.) en boog G, (No. 5.) en van dat verfchil Log. Co/in. 90 Eindelyk neem de fom dier beide Logarithmen: dan de halve fom: zy is Logarithmus-Cofinus van den halven waaien afiland. Zoek dan deezen op in de Tafel der Logarithmus-Cofinus: het dubbel is de waare afitand. Zie daar de Voorfchriften: cn zie vervolgends hier de fchikking die de bewerking (naar geleide der voorfchriften) verkrygt. Wy zullen twee voorbeelden geeven: een voor de Zon, het zelfde dat wy reeds te vooren bereekend hebben: een voor eene Sier. § 92- 2al uit § 350* blyken. Wy hebben het beeteï en gemaklyker geoordeeld die hoogten, zo als gewoonlyk gefchiedt, van Dampheftii'g en Verfchilzicht te zuiveren, en dan van elkander af te trekken, om hun veifchil te bekomen. Men is dus van alle op* letienheid op verfchtllende gevallen bevryd, en men moet toch de Zons of Mers waare hoogte kennen, om 'er in N°. VI[ en VIII, den Uurhoek uit te befluiten; zo men echter verkiest de Voorfchriften van DUNTHORNE letterlyk te volgen: ftelle men in plaats van dit Voorfchrift, het Voorfchtift dat wy in § 2j mot (b) gegeeven hebben.  Vierde Verk, verbeeterde manier van DUNTHORNE. 99 § 92. I. VOORBEELD. © Middelp. Sch. hoogte( N°. Ut. A. § 38W 10.4a1.3i« S (N°.1V.A.§ 39)52. 4r. 57 Verfchil . 41. 4. 55 O endfchynb. afftand (N°. II. B.§3r). 42. 34. 20 Som. . 83. 39. 16 | Som. . 41. 49. 38Si». 9.8440640 Verfchil . 1. 29. 24 é Verfchil . o. 44. 42 lor. Sin. 8.1140581 £ Log. Taf. XVII. . 9.9945:50 O Log. Tafel XV11I. .... ?0 ^ u /m . . Verfchil . 9.9945080 Ow.h.(N°.in.)rt°.38'. 4" (I h.(K°.IV.)53. 20. 47 Som, 10 vauden«'»°- *8'. 35"- en het Horizontaal Verfchilzicht der Maan, op het tydftip der waarneeming 56'. 15': den waaren afitand te vinden. De Dampheffing der Ster uit Taf. 111. is o°. 1'. 3». dus Sters waare hoogte 24°- 45'- 47"- 1.N0 III. B.] De Correctie voor de Maans hoogte uit Tafel VIII. is co. 50'. 42". dus Maans waare hoogte 130, so'. 42". CNo, IV. C ] vod  Vierde Verk. verbeeterde manier dunthorne. Ioi Volgends dunthorne. ©s. Middclp. of Sters fch. hoogte (N°. III. A.l 24°. 48'. o" &s. Alidddp.fch.hoo»te(N°.IV.A.)i2. 30. o $ Verfchil 12. 18. o 2Gs-ofStetsof(T.sfch.afit.(N°. II.B-);i. -8. 35 C Som. 63. 46. 35 < ê Som. 31. 53. 18 r»x.S»'».9.7328533 (. Verfchil 39. ro. 35 i Verfchil 19. 35.17 Log. Sin, 9.5153814 (ts.Log. uit Taf. XVII.9.998S400 ofOs-wa.ho.(N°.III.) 24.45.57 om dat Sters hoogte < 250. (T,s.wa.h.(N0.IV.'13.20.42 Log.Taf.XIX. . 10 Verfchil ti.3j.tg Verfchil . 9.9986390 j Verfchil 5.45.38 Som, 10 van den Indix afgetr. 19.2468726 1 Som . 9.6234363 Dus G — 54.50.46 is Log. Sin. G. Som 30. 33. 24 Log. Cof. 9.9350696 Verfchil 19. 8. 8 Log. Cof. 9.9753149 Som. 19.9103845 l Som. 9-9551953 • • L°£. Cof. 3j. J4. gg 3 Waare afftand 51. 9. jq volgends de borda. (Js. fch. hoogte 12°.30'. o" Compl. log. Cof. 00104185 Sters fch. hoogte 24. 48. o Compl. Log. Cof. 0.0450306 Sters (Js. fch. hoogre 51. 28. 35 Som 88. 46. 35 Halve Som —- 44 23. 17J Log. Cof. . . 9.8540731 VerfchilmetStetsfJs.fch.afft. 7. 5. 17$ Log. Cof . . 9.9966681 ds. waare hoogte 13. 50. 43 Log. Cof. . . 9.9881119 Sters waare hoogte 24- 45- 57 Cof . . 9.9580990 Som 38. 6. 39 Som 39.8493913 halve Som 19. 3. tf —. halve Som 19.9546955 -A van die halve Som Log. Cijinni. . . . 9-9755355 Verfchil. . 9 9->9tr°l dit is Zog. Cof G: dus G 62«. 49' Log. Cof. G. . 9 6597634 ■ Leg. | Som A. . 9 9755 55$ Som . 9.6352889 is Log. Sin. van 25», 34 .56 3 Waare afftand. jt. 9. 54 G 3 & 94.  J02 III. Deel. Verkon. in de oorfp. bereekening Vyfde bekorting in de bereekening yan den waaren af {land: handelwyze van krafft. § 94- De beroemde krafft heeft in het jaar 179L (<0 eene nieuwe en ongemeen eenvouwige manier voorgedraa^en om den fchynbaaren afftand tot den waaren te herleiden De bewerking gelchiedt zonder logarithmen, en beftaat enkel in het optellen van drie, en aftrekken van twee Sinus verfus. Er behoorendan tot deeze handelwyze Tafels van Sinus verfus, ten minften van 10" tot 10": deeze zyn dour mackay bereekend geworden, cn wy hebben zc van denzelven overgenomen, en in onze Ver-zameling, als de XXIV Tafel geplaatst. Maar in de manier van kraeft wordt een zcekere hoek gebruikt, dien wy p zullen noemen: cn waarvan de grootte afhangt van de fchynbaare hoogte van het middelpunt en van het horizontaal verfchilzicht der Maan: Wy hebben eene Tafel van die hoeken p bereekend: het is de XXI; waarby dc XXII en XXIII behooren, om dezelfde reeden a's deXVUI en XIXtotdeXVH, Die Tafel is dus in het gebruik volKornen gelyk aan de XVII Tafel. Dit vooraf herinnerd hebbende, zie hier den reegel die ongemeen eenvouwig is: wy zullen denzelven in 't VI Deel, § 328 en volgende bewyzen. § 95Reegel. ï°. Neem uit Tafel XXI dan hoek p: verbceterd, zo het nodig is, (dat zelden gebeurt) door Tafel XXII en XXIII. 2°. Neem 0 of Sters waare hoogte: de waare hoogte der Maan, en derzelver verfchil: en van dat verfchil (Tafel XXIV.) Sinus verfus. 3°. Neem de fom van den hoek p ( N°. 1) en van den fchynbaaren afftand: en van die fom den Sin. verf.. 40. Neem het verfchil van den hoek p ( N°. 1) en 1 van den fchynbaaren afftand: en van dat verfchil. den 'Sinus verfus. 5*. Neern de fom van deeze drie Sinus verfus. 6°. Neem 0 of Sters, en gs fchynbaare hoogten, enj derzelver verlchil. 2°. Voeg by dat verfchil (No.6) den hoek p (No. i): 1 en neem van die fom Sinus verfus. 8°. Trek (<0 Uitgegeeven in 1793 'n h« VII Deel van de mtv* ttta tttn-\ p'litanu p. 36;.  Vyfde bekorting: handelwyze van krafft. 103 80. Trek dat verfchil (No.6)en hoek p: (No. ) vanelkander af: en neem van het verfchil den Sin. verf. 90 Neem de fom dier beide Simt: verfus ( N°. 9. No. 8 ) en trek ze af van de fom (No. 5) het verfchil is Sinus verfus van den waaren afftand. s 8 3, « <3 -d "< "3 pr —, j 1 gg: - •° .Br ^ f g 7+ SlU'-S f « K et er »a «, s *> m re ' * .- er 2 H PTTT u mn o 2 o C3. » » =r—T-— n S! * ^ £. o j* F. * * _~ er £ 3 * . . ra 5» vs H S cr S • -*3 = Ba M re < f V» & S Ü §. 4 £■ r« 3 r- er w o I « li g- f ° ■ ë ^ Z2\t | » & * F si' »<» M " uj "2, w o. - g öi«p r f K ' >s \s t» j*. p .„ to «■ tri o _ «,5 «3 ^ g- o » t>Oi ra « 3 2 . ^-3^-O-lsiS.erer £j a h >OOi I8§ ... 3 « a^ ^ v ' $3 - s: ET M f P* ra 5 g? ra c?©1 • • b xw ~ ? " " 3, 3 g w» o«q ra ra3fv «* S * es er *»• 2 ? s£ - • • • • S 1 * »C* 5. r/j -.1 VO <3\ Ol »-j O» O* 00*0 Ow ^ wog t* O <» *t G 4 Aan,  104 m Deel. Verkort, in de oar/p bïreehning Aanmerkingen op de vyf voorgaande verkortingen. § 96. Wy hebben reeds gezegd dat (§67) de zesde verkoning die wy voorneemens zyn uitteleggen,namentlyk de manier van de Engelfche Tafels, minder eene bereekening dan wel eene invulling van reeds gemaakte bereekeningen is. Dit is de reeden waarom wy hier eene korte vergelyking der vyfl reeds uitgelegde handelwyzen zullen voordraagen, ten 1 einde de voordeden en mdec'en ,diein ieder derzelver ' gevondm worden, onder her. oog van den Leezer tc brengen, en hem dus in ftaat tc ftellen te gemaklyker eene keuze te doen. j°. De oorfpronkelyke manier van de borda, de; verbeeterde manier van de bok da, de nieuwe i manier van dunthorne, en de manier van. krafft hebben die boven de oude manier van dunthorne gemeen, dat zy op allemogelyke gevallen toepasfelyk zyn, zonder dat men zich met eenig verfchil van omftandighceden of geval- • len behoeft te bemoeijen : Ca) het tegendeel heeft in de oude manier van dunthorne plaats, alwaar men telkens, in twee byzondere plaatlenvan den reegel, zyne aandacht op het verfchil der gevallen, wc'ke plaats kunnen hebben, moet vestigen., 2°. Die zelfde vier manieren hebben 'ook nog dit boven de oude manier van dunthorne in hun voordeel, en dit voordeel is in de practyk niet gering, dat men altoos met het zelfde foort van getalen werkt, nam. met Logarithmen in de drie eerlten: en met enkele Sinus verfus in de laatfte; daar men in de oude manier van dunthorne dan eens Logarithmen, dan eens getalen, dan eens Logarithmus Cofinusfen, dan eens Slecht-Cofinusfen moet gebruiken. 30. (i) Wanneer men naamentlyk in de ver'oeeteidemanierrandunthorne de «Mare Zons bi Sters, en de waare Maans hoogte gebruikt, zo als wy § gt N». 6 gedaan hebben; wanneer men het oorfpronkelyJc voorfchrift van dunthorae volgt, moer men wel d;-egelyk letten of men de lom der Correciien en het verfchil der fchynba.ire hoogten by elkander voegen of van elkander aftrekken moet, zo als wy het fj a\ N°. 6 noot «, en $ 85 noot b gezegd hebben: Zie § 321 en § 327.  Vergelyking detzer vyf verkortingen. 105 g°. De oorfpronkelyke manier van db borda heefc dit boven alle anderen , en dit is geen gering voordeel, dat zy geene hulp-Tafelen nodig heeft, en alleen gewoone Sinus-Tafelen vereischt. Dit voordeel is, naar ons inzien, zeer groot: om dat men zich in omftandigheeden bevinden kan van geene andere Tafelen te bezitten: en wy zouden om die reeden allen, welke zich op het bereekenen der Lengte toeleggen, aanraaden zich die manier eigen te maaken: wel is waar dat men in dezelve aan het ongemak onderworpen is, van Logarithmen van Sinusfen of Cofinusfen op te zoeken, daar Seconden in voorkomen, het geen lastig valt, vooral wanneer men geen andere Tafelen heeft, dan de gewoone, daar de boogen maar in graaden en minuuten worden uitgedrukt: doch dit werk wordt veel verligt wanneer men de Sinus-Tafelen van callet gebruikt, die van jo" tot 10", en voor de twee eerfte graaden van feconde tot feconde bereekend zyn, 'en boven dien voor de fcfiikking, de naauwkeurigheid, en de zindelykheid van den druk de beste der ons bekende zyn. Wel is waar dat die last ook de drie andere manieren van bereekenen drukt, doch minder, om dat men in dezelve minder Logarithmen moet opzoeken ; die last verdwynt in de handelwyze van krafft, om dat de Tafel van Sinus verfus van 10 tot 10 feconden bereekend is, en de invulling zeer gemaklyk valt. 4'. De oorfpronkelyke manier van de borda heeft ook nog dit boven de andere vooruit, dat men bvnaar maar eene foort van grootheeden in de Tafels moet opzoeken, namentlyk Logarithmen van Cofinusfen: doch aan den anderen kant is'er weederom dit nadeel in geleegen, dat men zes vry groote getalen moet addeeren: waarin zekerlyk min geoeffenden gevaar loopen van feilen te begaan, welke in korter optellingen van twee of drie Logarithmen, zo als by dunthorne, of in de verbeeterde manier van de borda ligter te vermyden, of, begaan zynde, te ontdekken zyn. In de handelwyze van KRAFFr, is bet voordeel van Hechts met één foort van getalen te doen te hebben, volleedig. § 97.  Xo6 III. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening § 97- Zie daar de voordeelen en nadeelen die elke manier eigen zyn: indien men geene andere Tafeien dan de gewoone Tafelen, wil of kan gebruiken, is zekerlyk de manier van de borda, boven de oorfpronkelyke manier door twee driehoeken (§4o§4 0 te verkiezen. Wanneer men de Tafelen van dunthorne gebruikt, dat is onze xvu, xvm en xix zal het moeijelyk vallen tusfehen de verbeeterde manier van de borda en de verbeeterde van dunthorne te kiezen: men vergelyke de voorbeelden van § 77 en 91: misfchien is de eerfte nog iets etnvouwiger: misrehien vooral indien men de verbeetering van mackay gebruikt (§ 84) doch dit durven wy niet bepaalen: wy hebben bereckenaars gezien die door de oorfpronkelyke manier van de borda Ipoediger dan door de andere werkten: anderen die de verbeeterde manier van de borda, anderen dié de verbeeterde van dunthorne ver¬ kozen. In du alles geioovcn wy dat 'er veel van de gewoonte afhangt: wy durven voor ons niets be¬ paalen : wy waagen en^ci uk vuuruei: or nier., zo dra men hulp - Tafelen gebruikt, de handelwyze van krafft de ecnvouwigfte is? Het zoude ons zo Voorkomen,'vooral als men Tabellen, daar alles in Order gcfehikt is gebruikt. Laat ons hier nog eene aanmerking byvoegen;dat wanneer men de Lengte door eenen waargenomen onland wil b.paaien, men, vooral aan boord, zeer wel zal doen dezelve ten minsten door twee byzondere bcreekenaars te laaten bereekenen: en dat het dan, ter vermyding van feilen dienstig zyn zal, jsjo. v der bewerking, dat is het opmaaken van den waaren afftand dóór twee verfchillence manieren te laaten bereekenen: om dat men dan te minder gevaar loopt van dezelfde lborc van feilen te begaan; en dus uit dc overeenkomst der befluiten te zeekerder de waarheid der zelve kan opmaaken, Ze:»  i©7 jSesde Verkorting in de bereekening van den wateren afftand: het bereekenen van denzelven, door de zogenoemde engelsche tafels. Algemeene Aanmerking. § 98. Alvorens tot de befchryving der zogenoemde Engelfche Tafels over te gaan, zullen wy nogmaal herinneren dat alle de handelwyzen, welke zy ook zyn mogen, die wy uitgelegd hebben, alleen toe oogmerk hebben den fenynbaaren waargenomen afftand , van de uitwerking der Dampheffing en van het Verfchilzicht ta bevryden,om 'er dan den waaren afitand uit aftelciden: dat men in de voorgaande bereekeningen daar toe nodig heeft, behalven hec aanteekenen van alle de ftukken die tot de bereekening nodig zyn, (dat No. I. of de bereiding, uitmaakt,) den waargenomen afitand tot denfehyn-r baaren der middelpunten te herleiden, dat No. II. der bewerking is: vervolgends heeft men nodig de fchynbaare hoogte van Zons of Sters middelpunt, (No. A): de fc'rynbnare hoogte van Maans middelpunt (No. IV. A) en daarenboven dc waare hoogte van Zons middelpunt, of van de Ster (No. III. B) en van Maans middelpunt (No IV. C). Deeze ftukken moet men altoos vooraf bereekenen; en dit heeft ook hier, in het gebruik der Engdfche Tafels, plaats, behalven voor de twee laatfte, namentlyk voor het bereekenen van Zons of Sters en Maans waare hoogten: daarvan is men aihier verfchoont, doch niet van het bereekenen van No. IV. B, dat is van het bepaalen van dat Verfchilzicht der Maan dat op het oogenblik der waarneeming plaats heeft. Men moet dan hier tot bereiding, eeven als doorgaands, aanteekenen en bewerken,' No. I. § 36. No. II. § 37. No. in. A. § 38. No. IV. A en B. § 39. Als  Io8 III. Deel. Verrt. in de torfp. bereekening. Als dan wordt No. V. of de waare afftand uit deeze Tafels opgemaakt: dit is het eenigltc dat verkort wordt, zo 'er al in de daad eene meikelyke verkorting plaats heeft: want, den afftand bereekend zynde, moet men, eeven als altoos, den tyd op Teneriffa, door No. VI, (§ 43 §en 44.) den uurhoek door No. VII en VIII (§ 49,5 50 en §51.) bereekenen, en het befluit door No. IX. opmaaken. Dit ter loops aangemerkt hebbende, om dat men zich hier niet van de Engelfche Tafels meer zoude verbeelden dan zy waarlyk kunnen opgeeven, laat ons tot de verklaring van derzelver inrichting en gebruik overgaan. . XI. Befchryving der Engelfche Tafelen. § 99- De Commisfarisfen, door het Engelsch Parlement, ter bevordering van de bepaaling der Lengte op Zee, anngefteld, hebben in het jaar 1772 een Hoek van over de ïgco bladzyden ui folio uitgegeeven, onder den volgenden Tytel: Tables for correcting the Apparent Dijlance of the \ Moon and a Star from the effects of Refraction and', Parallax, Cambridge 1772: dat is: Tafels om den fchynbaaren afftand van de Maan m \ eene Ster van de uitwerkfels van Dampheffing en Ver- ■ fchilzicht te zuiveren. Deeze Tafels zyn door lïons, ïarkinson, en Williams, naar de reegclen ooor lyons opgegeeven. bereekend. De Tafels kunnen, als enkel uit cyffers beliaandc, door ieder een verftaan worden: doch daar de Verklaring die vooraf gaat, in; («) De zelfde Verklaring is in het Fransch gedrukt in de CmnaUftnee des tempt voor 1779: en men vindt 'er eene in het Nederduitsch, in het byvoegfel dat het Utrechtsch Genootfchap op dc Verhandeling van la CoudraijH gegeeven heeft: zo als ook in de Verhandeling van vaillant > ever de Stuurmanskunst, p. 75 — 81, erj p. 130. — Wie deeze Tafels gebruikr, dient indachtig te zyn, dat 'er vier of vyf bladzyden drukfouten achter de zelve gevonden .worden, en dat nun dus wel zal doen die drukfouten met de pen ie verbeeteren, alvorens men de Tafels gebruikt.  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels. ïCX) in 't Engelsen gefchreeven is, zullen wy hier eene verklaring op onze manier laaten volgen. Wy onderftellen dat die, welke dit leezen, de gemelde Tafels voor oogen hebben. § ioo. Deeze Tafels beftaan uit vyf Kolommen op iedere bladzyde. Boven aan de bladzyde vindt men den Schynbaaren Afjland yan de Maan tot eene Ster, in graaden uitgedrukt: wat 'er omtrent minuuten te doen valt, zullen wy ftraks melden. Die Ichynbaare afftand is hier de fchynbaare afftand van het Middelpunt der Maan tot het Middelpunt der Zon, of tot de Ster: en vooronderftelt dus de bewerkingen die wy onder No. I en II gelteld, en in § 36 en § 37 uitgelegd hebben. De afftanden beginnen met io graaden. Op mindere afftanden zouden de getalen der Tafelen te fpoedig veranderen, en dus niet met genoegzaame naauwkeurigheid te gebruiken zyn. Waar omtrent wy Hechts zullen aanmerken, dat de manier van de borda, en die van dunthorne, ftrikt Mathematisch zynde, voor alle afftanden en hoogten, als bereekening befchouwd, altoos eeven naauwkeurig doorgaan. § 101. Ieder van de vyf Hoofdkolommen op elke bladzyde is weederom in vier Kolommen verdeeld,met de volgende tytels: Alt. dat is Attitude of Hoogte: Red. dat is Reductie, of Herleiding, Verbeetering: Cor. Log. dat is Correcting-Logarithmus of Verbeetering! Logarithmus; en eindelyk Var. dat is Variatie of Verandering. Wy zullen alle deeze Kolommen naauwkeurig verkiaaren.  no Ut. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. Eerfli Kolom: Maans en Zons hoogte. § 102. De Kolom Alt., dat is, Attitude s of Hoogte, is in twee deelen verdeeld. In de eerfte ftaat de hoogte van de Maan,die hier dc eerfte in aanmerking koomt; en in de tweede die van de Zon of eene Ster; beiden in geheele graaden uitgedrukt: zo, dat, indien de Ichynbaare hoogte van Maans middelpunt ao°, er> die van Zons middelpunt 120 is; men onder den fchynbaaren afftand, dien men gelchoten, en bereid heeft, (N°. II. B) in de eerfte Kolom ao, en in de tweede 12 zoekr. — il'ceze hoogten, (of Attitudes/) zyn de fchynbaare hoogten van de Middelpunten: en dus vooronderftellen zy de bewerking die wyi onder N°. IV. A gedaan hebben: en boven dien, zo men de Zon gefchoten heeft, de bewerking 1\°. III. A. Zie § 39 en § 58 : en het zyn de hoogten, die men na deeze bewerking bekomt, welke men moet! opzoeken. Tweede Kolom: Reductie. § 503. De twee.lc Hoofdkolom draagt den naam van Red. of Reductie, dat is Herleiding, Verbeetering. Door de: Dampheffing namentlyk zien wy alle de Sterren te: h'Og; door het Verfchilzicht zien wy de Maan en de Zon, doch vooral de Maan, te laag: beiden ma .ken dat d^ Ichynbaare afftand van den waaren vrWehilt: dat 'er dus eene Reductie, Herleiding, Verbeetefing, in den waargenomen afftand te maaken is, om den waaren te verkrygen (§ 40). Deeze verbeetering wordt in die tweede Kolom aangeweezen: en her. valt niet moeij.iyk dezelve te bereekenen. Doch daar die reductie of verbeetering verfehilt, naar maate het verfchilzicht der Maan grooter of kleiner is: en dit van 531 tot 6;' klimt, en dus volle: 9' grooter dan 53' worden kan: heeft men in deeze; tweede Kolom voorondcrftelt, dat het horizontaal verfchilzicht der Maan maar 54' bedraagt. § 104.;  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels. m § 104. De tweede Kolom geeft dan, onder den tytel van Reductie ,oï Verbeetering, te kennen, wat men by den waargenomen, en dus lchynbaaren afitand, (in volle graaden geteld,) voegen moet, of 'er van moet aftrekken , om den waaren afftand te verkrygen, onderftellende dat het horizontaal verfchilzicht der Maan maar 53' bedraagt Itc zeg byvoegen of aftrekken: want de uitwerking van het verfchilzicht en van de dampheffing kan den fchynbaaren afftand zo wel grooter als kleiner dan den waaren doen voorkomen. — Of men de reductie by moet voegen, dan wel moet aftrekken, wordt aangeduid door het teeken -}-, of—, tusfehen de beide deelen van de tweede Kolom geplaatst: wel verftaardedat het zelfde teeken, van daar het geplaatst is af, altoos dient tot daar 'er een ander voorkomt. Derde Kolom: Correciie-Logarithmus. % IC5. De derde Hoofdkolom draagt den naim van Cor. Log. of Correctie-Logarithmus. Deeze verdient eene uitvoerige uitlegging. Wy hebben gezegd, dat de Reductie der tweede Kolom, eene bcftendïge Maans Parallaxis of Verfchil' zicht, namentlyk van 53', vooronderitelt; en dat dit verlchilzicht wel 9' gmoter kan worden: — Men moet dan eene verbeetering in die reductie maaken, naar maate de parallaxis grooter dan 53' wordt. Maar indien men weet hoe veel de reductie, in de onderftellirg van 53' voor parallaxis, veranderd moet worden voor eene vermeerdering van 91 of 54c" in de parallaxis,en vervolgends onderftclt dat die veranderingen de zelfde reeden als de parallaxis volgen, zal men door een' tegel vun driën zegsen: 54O" verandering in parallaxis, ftaan tot de verandering die daar uit voortvloeit in den aflland (ftel v"): zo als een bepaald getal feconden, (ftel s~) verandering in de.parallaxis, tot de verandering (jf) die daar uit voortvloeit in den afftand: dat is;  112 III. Deel, Verkort, in de oorfp. bereekening. 540: v — s: x: en dus is 3!Xt volgends den gewoonen reegel van driè'n, x = of, door Logarithmen, Log. x = Log. v -f- Log. s — Log. 540: en dus Log. 540 — Log. x = Log. 540 — Log. v — Log. s -fLog.540: of Log. 540 — Log. x = (Log. 540 — Log. ») -f (Log.540 — Log. *). Wat een parallaciiekt Logarithmus is. § icó. Daar dan 540 of liever Log. 54© hier een beftendig getal is, en telkens het verfchil tuslchen dien Logarithmus cn de Logarithmen der overige getalen die men bier gebruikt genomen wordt; heeft men uitne dacht eene byzondere Tafel te maaken van het Logarithmiek verfchil tusfehen 450 cn de overige getalen die hier in aanmerking kunnen komen, dat is, van het verfchil tusfehen den Logarithmus van 450", en den Logarithmus van ieder der gemelde getalen in 'l by zonder: Men noemt dat Logarithmiek Verfchil, Parallactieken Logarithmus, cm dat die Logarithmen hunnen oorfprong uit de parallaxis of het verfchilzicht ontleenen, en tot bepaaling van de veranderingen, die de parallaxis in de waare afftanden van de Maan en Sterren te weeg brengt, dienen- Men vindt, by de gemelde Tafelen, eene Tafel der Parallactieke Logarithmen voor alle de feconden van i« tot 54c" of 9' toe; dat is tot het grootfte getal minuuten dat immer hier gebruikt kan worden : om dat de parallaxis der Maan nooit meer dan 9' boven de 53" komt. Uit het gezegde blykt voor eerst, dat de parallactieke Logarithmen kleiner worden, naar maate zy tot grooter getalen behooren : want dan worde »cr een grooter Logarithmus van den Logarithmus van  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels. ug van 540 of van 2. 732. (de vier laatfte cyffers weg laaiende) afgetrokken, om den parallactieken Logarithmus ce verkrygen: en 'er volgt ten tweeden uit, dat de parallaclieke Logarithmus van 540" of y' nul is. Nadere lepaaling pan den aart de getalen in de. derde Kolom begreepen. § 108. Deeze derde Kolom behelst dan den parallactieken Logarithmus van de verbeetering of Correctie, die men aan de Reductie van de tweede Kolom moet bybren. gen, wanneer de parallaxis der Maan volle 9'of 540 boven de 53' is, welke men voor de parallaxis in de bereekeningen van de tweede Kolom heelt gefteld. Gevolglyk, indien de horizontaa'e parallaxis maar 53' is, worde deeze derde Kolom niet gebruikt; indien zy volle 9' boven de 53 is, of 62' bedraagt, wordt die Kolom gebruikt zo als zy is: en wanneer men in de Tafel van de parallactieke Logarithmen het getal zoekt dat tot dien Logariihmus behoort, ziet men hoe veeic minuuten en feconden de Corredtie, die daar uit voorkomt, bedraagt. Wanneer de hor zontaa'e parallaxis boven de 53', doch minder dan 62' is, moet men een eevemeedig gedeelte neemen : hoe dit gefchiedt, zullen wy ftraks * C§ 119) nader toonen. § 1^9 Dj Correctie, d'c uit deezen aanwas van dc parallaxis in den afftand gemaakt moet worden, doec de Reductie van den waaren afftand fomtyds grooter, fomtyds kleiner worden. Urn dit aan te duiden, vindt men hier cn dair een Harretje *. Alle de Correctie-Logarithmen, die van 't begin van eenen graad voor Maans hoogte, boven het perretj* zyn, moeten bygevoegd worden, of zyn plus (_—'): die naast het fterretje ftaan, of'er onder, moeten afgetrokken worden, of zyn minus. (—) Enkel gebeurt het, dat, hoewel de parallaxis 9' grooter word: fi dan  114 m Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. dan 5V, de Reductie die in de tweede Kolom ftaat 'er niet door verandert: en als dan ftaat 'er eene ftreep , in plaats van een getal in de Kolom van Correctie-Logarithmus. Zie voorbeelden van dit geval hier onder, 5 120. Vierde Kolom: Variatie. § ito. Eindelyk. de vierde Kolom draagt den naam van Var. of Variatie: dat is Verandering. Die Kolom ziet op de Refractie of Dampheffing: deeze namentlyk hangt veel af van de gefteldheid des Dampkrings: en dus van de drukking der lucht, die door den Baromeeter, en van haare warmte, die door den Thermomeeter wordt aangeweezen. — Die Refractie wordt grooter, naar maate de lucht dikker is. Men vindt dan in deeze kolom aangeteekend , hoe veel dc Reductie vermeerdert voor eene verandering v.m 20 graaden op den Thermomeeter van fahrenheit, of van anderhalven Engelfchen duim op den Baromeeter. Dc Tafels voor de Dampheffing zyn bereekend voor den middclbuarcn ftaat der Lucht, dat is, voor eene hoogte van 30 Engelfche duimen in den Baromeeter, en voor 56 graaden van fahrenheits Thermomeeter (a). § ut. Dit nu tot verklaring van ieder kolom op iedere bladzyde der Tafelen,,en van den aart der getalen die men daar aantreft3 gezegd hebbende, moeten wy overgaan tot de verklaiing van het gebruik deezer Tafelen Dit is zeer eenvouwig: en om de waare eenvouwigheid cn de waare reeden van dit gebruik te beeter onder het oog te brengen , zullen wy ééne algemeene aanmerking laaten vooraf gaan. U (*) Zie hïec over, in onze Verzameling van Tafelen, de Verkkting van de UI Tafel, § S.  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels. 115 II. Algemeen denkbeeld van het gebruik der Tafelen, en de gronden waar op het /leunt. § 112. Wy hebben te vooren gezien (§ 40 en § 41.) dat men uit den Ichynbaaren afftand den waaren kan opraaaken : mits men de fchynbaare hoogte van Zon of Ster,en Maan kenne, en daar uit derzelver waare hoogten bereekene Hier uit blykt, dat men bereekenen kan, wat men by ieder' bepaalden fchynbaaren afftand , voor eene bc[ aaide Zons of Sters, en Maans hoogte, voegen moet of'cr van aftrekken , om den waaren afftand te vinden: en daar deeze Reductie afhangt van de hoogte, zo der Maan als der Ster, zal men ook kunnen weeten, hoe veel die Reductie voor elke verandering van hoogte, zo wel van Maan als van Ster, bedraagt. § 113- Indien deeze Reductie altoos eevenreedig was aan de verandering, die men trap.'gewyze in de onderlinge hoogte van Maan en Ster itelt, zoude die reekening zeer ganaklyk zyn: doch daar dit maar, voor kleine veranderingen "plaats heeft, heeft men de afftanden itrikt bereekend van vier tot vier graden ; cn in het begin van de Tafelen nog voor mindere tusfehenruimten, om dat aldaar de veranderingen grooter zyn. Men heeft die bereekeningen volgends de Methode van ltons verricht, welke manier wel is waar in eene nadering beftaat, doch in de rraktylt genoeglaam is. Alle de overige getalen zyn door invulling (interpolatie') gevonden. § 114. Het gebruik nu van deeze Tafels beftaat in eene beltendige invulling, dat is, in het zoeken van e.evenreedigc gedeelten: om namentlyk daar doof de Reductie, die hier maar voor iederen geheelen H 2 graad  Ïl6 HL Deel. Verkort, in de oor fp. bereekening. graad van afftand, en hoogte, gefteld is, te brengen tot het geen zy weezen moet voor de afftanden en hoogten, die niet alleen in geheele graden maar ook in minuuten uitgedrukt worden. Dit is de geest van het gebruik: cn in gevolge van dien , zal het zeer gemaklyk vallen , het gebruik deezer Tafelen te verklaarcn. III. Gebruik der Tafelen. § H5- Wy zullen het zelfde voorbeeld , dat wy reeds door de manier van de borda opgelost hebben, gebruiken. Het voorbeeld, na dc bewerking van No. I, II, III. A, IV A en B, komt hier op uit. De fchynbaare afftand der middelpunten van 0 en G is 420. 34'. 20": de fchynbaare hoogte van © middelpunt is li0. 42'. SU*.; die van fi middelpunt is 5a0. 47'. 27". het Horizontaal verfchilzicht der Maan is 56'. 20". Men vraagt den waaren afitand. Eerfte bewerking: Reductie. Ik zoek eerst boven aan dc bladzyde, Afftand 42.0. dan in de eerfte kolom g hoogte 520: en naait die 52°, in het tweede gedeelte der kolom, n° voor de 0 of Sters hoogte: daar vind ik Reductie -f- 20". Oor. Log. ap. beiden plus3 en dus by te voegen. % 116. Indien derhalven de fchynbaare afftand juist 42°, de fchynbaare hoogten juist 510 en 11°, en de horizontaale parallaxis juist 53' waren: zoude de waare reductie + 3V- 2c". zyn: en alles was afgedaanj want dan was de waare afitand 420; 35'. 20. Maar ik heb minuuten boven die geheele graaden: en de parallaxis is meer dan 53'; dus moet ik vin-, dedj  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels. 117 den hoe veel de Reductie 35'. 20". daar door verandert. Indien ik dan weet hoe veel de Reductie verandert voor ëönen graad vermeerdering van Q hoogte, éénen graad vermeerdering van g hoogte, éénen graad vermeerdering van Afitand, en vóór 91 vermeerdering van parallaxis; kan ik door eenen enkelen reegcl van driën beüuiten, hoe veel die Reductie zal veranderen voor eene vermeerdering van 42'. 31* in 0 hoogte: 47/. 17" in g hoogte: 34'. 2:.". ■ in afitand, en 3'. 20" in parallaxis: en dan zal de fom van alle die veranderingen aantoonen, hoeveel de eerfieReductie die ik in de Tafels gevonden had, namentlyk 35'. 2c". veranderen moet. Tweede, derde, en vierde Bewerking. § "7- Dit zullen wy ftukswyze doen : en ik zoek derhalven eerst de Reductie en Cor. logar. voor 1 gr. 0 hoogte meerder, afftand en g hoogte de zelfde blyvende: dan voor 1 gr. g hoogte meerder, afftand en 0 hoogte de zelfde blyvende: en eindelyk voor 1 graad afftand meerder, 0 en g hoogre de zelfde b'yvende: dit fchryf ik, het voorgaande 'er by begrecpen, dus: Afitand 42. -j N°. i.g hoogte 52. ired. + 35'.ao". Cor. Log. 230. © hougte 11.) Afftand 42. -y N°. 2. g hoogte 52. ired. + 33'. 34". Cor. Log. 248. © hoogte 12.) Afftand 42. y N°. 3-G hoogte 5^. Cred. -f- 35'. 58". Cor. Log. 222. © hoogte 11.) Afitand 43- y N°. 4- g hoogte 52. £red. -f- 34'. a". Cor. Log. 246. © hoogte 11.) Hg § ilS,  II8 III. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. § 118. Daar men nu weet welke de Redactiën en de Correctie-Logarithmen zyn voor den gcmeetcn afftand, de © hoogte, en g hoogte, in graaden uitgedrukt; en welke die zyn voor eenen g aad meerder, zo van afftand als van o hoogte en van g hoone : is men in ftaat om te weeten welke veranderingen de Reductie in N°. i, of eerfte Reductie, cn dc Correctie- Logarithmus van N°. I. of eerfte CorrectieLogarhhmus ondergaan, voor eene vermeerdering van 10 0f van óo' in den afftand, voor eene vermeerdering van 60' in de © hoogte; en voor eene vermeerdering van öa' in de g hoogte. Hier omtrent kunnen twee gevallen plaats hebbeni Of de Reductie ('t geen ook van den Correctie - Lo'gariihmus of deszelfs Boog verftaan moet worden) heeft in No. 2, in No 3, in No. 4. het zelfde teeken als in No. 1; of niet f. Geval: zo het teeken van No 1, of No 3, of No. 4. het zclfbe is als dat van No 1, neemc men het verfchil tusfehen No 1 en No 1, en mem krygt de verandering die in dc Reductie cn in de. Correctie- Logarithmus O) plaats heeft voor 1° ver-, meerdering in Q hoogte: het verfchil tusfehen No. 3 en 1 geefc de verandering voor 1°, vermeerdering in g hoogte: en het verfchil tusfehen No. 4 en No 1 geeft de verandering voor eenen graad vermeerdering in den afftand. Indien de getalen van' No. 1. 3 , 4 grooter zyn dan die van No 1, isi de verandering +, dat is de Reductie of dc Correctie- Logarithmus, cf deszelfs Boog, worden grooter: zo de gctalen van No 1, of No 3, of No 4, kleiner zyn dan die van No. 1 wordt de verandering —; want als dan wordt de Reductie, of de Correctie-Logarithmus of des zelfs Boog, klei> (*) NB. Indien écu of meerder der Correctie logarithmen, doch! riet allen, Mtniu zyn, neemt men derzelver Beogen; en men werkt met die boagen in plaats van met die Logarithmen; Zie § r22 en $ 1=5: doch zo zy allen mmu, zyn werkt men als of zy allen plus waaren, dat ,s met de Correctie-logarithmen zelve: d.r valt gemaklyker dart met de boogen te werken: hoe wel dit laatfte, m Uit tevA geen feil in de uitkomst zoude veroorzaahen.  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels. 119 kleiner. Men zal zo daadlyk voorbeelden zien in onze vyfde bewerking en in § 125. II Geval: indien de getalen van No. 2,ofNo. 3, of No. 4 een ander teeken hebben dan die van No. 1, zo als in het voorbeeld van § 125, zal de verandering niet het verfchil, maar de fom zyn der beide getalen: want zo de Reductie in No. 1 is 2'. by vooroeeld, en in No. 3 is — 4': dan verandert de eerfte reductie 6': want om van 2' tot nul te komen, is de verandering 2, en om van nul tot eene aftrekking van 4, of tot — 4, dat is tot 4 onder nul te komen, is de verandering weederom 4; dus is de -geheele verandering 6": en daar men uit die verandering ziet wat de Reductie of Correctie - Logarithmus, of deszelfs Boog wordt in No. 2, of in No. 3, of in No. 4 van 't geen hy in No 1 was, geeft men altoos aan die verandering het teeken van No 2, 3 of 4: dus zoude hier de verandering zyn —■ 6: insgelyks, indien de Reductie in No. 1 was -f- 8' en in No. 3 — 2,zoude de verandering zyn — 10: indien zy in No. 1 was — 6 en in No. 2 + 4? zoude zy zyn -f- io: was de Reductie in No. 1 — 2, in No. 2 -f 6 dan zou de verandering zyn -f- 8. Men kan dan deeze twee algemeene reegels ftellen; Indien de getalen van No. 1 en No. 2 , of No. 3 of No. 4 het zelfde teeken hebben, is de verandering het verfchil van beiden: en wel -f- zo het getal in No. 1 kleiner, en — zo hst getal in No l grooter is. Indien de getalen van No. 1 en No. 2, ef No. 3 of No 4 verfchillende teekens hebben, is de verandering de fom van beiden, met het teeken dat aan de gebruikte No. namentlyk aan No. 2, of t\ó. 3, of No. a eigen is. Wy gaan nu volgends dcezc reegels voort. Vyfde bewerking. Ik neem dan het verfchil tusfehen No 1 en No. 2, No. 1 en No 3 , No 1 en No. 4 en zeg, No 5. Voor eene verandering van /© hoogte-) r— i'. 46". -> verandering 60' in< (£ hoogte C komt ■j-fo'. 3*». sir.de Redue^Afftand ) (~— 1'. 18". J tie van No. 1. H 4 Dit  iao III. Deel. Verkorf, in de oorfp. bereekening. Dit nu gevonden zynde, moet ik daar uit befiul ten, welke de verandering zyn moet voor 42'. a:l die de © hoogte is boven n»: voor 47'. 32". die de d hoogte is boven 5a0: en voor 34'. :o,;. die de afftand is boven 4a0. § 110. Dit zoude men door een' rcegcl van driè'n kunnen doen: doch men vindt in het zelfde bock op eene afzonderlyke bladzyde eene Tafel van praportimaV pans of eevenreedige gedeelten O); waar in men boven aan, in Seconden, de veranderingen neemt die voor écnen graad of 60' voorgevallen zyn: en op de eerfte kolom, het getal minuuten voor hetwelk de verandering gevraagd wordt Dus hier: is voor © hoogte, de verandering i'. 46" of icó" voor 1 gr. ot 60': dus zoek ik boven aan icó en in de eerfte Colom 43 (het getal minuuten waar voor ik de verandering zoek) en vind dan in dc lyn 43 op de Kolom . ico . 72'/. en dan nog in de Kolom 6 . 4.' dus voor 43/ . . . 76». verandering Men kan de feconden vcrwaarloozcn, mits alsdan, zo als wy nu gedaan hebben, 1' meer noemende f.o het getal feconden boven dc 30 is: of men kam dc feconden, in de Kolom van minuuten zoeken,, en het 6c^ gedeelte van 't geen men vindt nee-men: dus voor 31" vind ik 52: die hier h van 1", of' ongeveer r, uitmaaken: en dus vind ik in 't geht-el voor 42'. 3!". eene verandering van 75". namentlyk: voor 42'. onder ico . . 7;«. —- 6 . . 4. voor 31". onder ico . . 1. Zes- (*} D,e Tafel is- volitrekr de zelfde, cn op de rieffde grinden, 1 101 du oogmerk, gebouwd als in onze /'n^.tmrlmg sin Tuftlen de XI cr, XII Tafels voor veranderingen die in 34 0. ot in 11 U.' v oorvalien.  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels, 121 Zesde bewerking. § no. No. 6. Dus voortgaande voor allen, vind ik dat in de Reductie: eene verandering van f © h. -> c- io6\ du. f4^'-3i"o ~ 75". 60/ inj ah. imaakt^+ 38 f v00r^47.37- f+30. De fom van alle die veranderingen , trekkende de -f- (plus) en dc — (minus') van elkander af, engcevendeaanhetoverfchot liet teeken van 't geen het meest is, de lom zeg ik, is . . . —90". of — 1'. 30". maar de Reductie van No. I, was . . 35. ao. dus wordt dc waare Reductie . . 33'. 5c". Cn daar de eerfte Reductie , of die van No. I plus was, is deeze waare Reductie het ook: en moet dus by den fchynbaaren afftand gevoegd worden. NB. Zo de fom van alle de veranderingen in de Reductie plus is, voegt men altoos by, al waare de eerfte Reductie minus: om dat die plus aanduidt dat de eerfte Reductie grooter moet worden: zo de gemelde fom minus is, trekt men altoos af, al waare de eerfte Reductie minus: om dat die minus aanduidt dat de eerfte Reductie kleiner moet worden. Het zelfde heeft voor den Correctie-Logarithmus plaats. Het is klaarblyklyk dat men deezen algemeenen reegel ftellen kan Zo de fom van alle de ver¬ anderingen in de Reductie plus is, wordt zy by de eerfte Reductie gevoegd: zo zy minus is, wordt zy 'er van afgetrokken: en die fom, of dat verfchil, geeft de waare Reductie, die by den fchynbaaren afftand geteld, of daar vm afgetrokken moet worden, naar maate de eerfte Reductie zelve plus of minus is. Indien de fom der veranderingen grooter is dan de eerde Reductie ( No. I.) en een andtr teeken heeft, geeft men aan het verfchil, of aan de waare Reductie, het teeken van die fom. Zie het 1 Voorbeeld § 125. H 5 Z»-  122 III. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. Zeevende en Achtfle Bewerking. Men bereekent vervolgends op de zelfde wyze de verandering in de Correciie-Logarithmen. Ik ftel dan in ons voorbeeld: N°. 7. Het verfchil tusfehen de Correctie - Logarithmen van N°. 1 en N°. 2, NJ. 1 en Nü. 3. N°. 1 en IS0.4. neemende , voor eene verandering van r© hoogte . (-+ 18. y verandering in 60' in ^ d hoogte i komt <— 8. £ Correctie Log. c Afitand J t-f 16. ) van N°. 1. En dus N°. 8. voor de Correctie-Logarithmen, eene verandering van c© h.-j r 18} f-421. 31;; 13 60' in^o: h. S.maakt "5— 8 >dus voor^47'. 27 .C— 6 CAflt. i <• ió) ^34'.2CO 9 fom . . 16 Correctie - Logarithmus I. . . . 230 fom, of waare Correctie-Logarithmus . . 246 Zo de iom der veranderingen plus is voegt men altoos by: zo zy »z<«»j is trekt men altoos af, welk ook. het'tcekcn van die Correctie-Logarithmus of van deszelfs boog is: het zy plus het zy minus: zie § 120. (NB.) § 122. Wy hebben hier het geval dat de Correctie-Logarithmen (§ 117) boven het fierretje (zie § ico) Vallen, en du* plus zyn. Doch zo een of meer derzelven beneden het fierretje vielen {a), en dus minus waren, zoude men teritond na de Zesde bewerking, voor den Correctie-Logarithmus in N°. 1, en voor de drie anderen in N°. 2, 3, 4, in de Tafel der Parallaciieke-Logarithmen de boogen zoeken, welke tot («) Zie § 118, nut a.  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels. iaj tot die Logarithmen behooren: dezelven met het teeken aan den Logarithmus eigen onder de Logarithmus zeiven plaacfen: en men zal vervolgends in het bereekenen der veranderingen voor de minuuten en feconden die men boven de volle graaden heeft t de eeven reed ige gedeelten niet voor de Correctis-Logarithmen zelf, maar voor die Boogen zoeken: en de geheele verandering gevonden hebbende, daar van den Parallactieken-Logarithmus neemen, om daar meede te handelen zo als wy nu doen zullen. Wy zullen twee voorbeelden in § 125 opgeeven. (\d) Neegeiide bewerking. § 128- Die waare Correctie-Logarithmus is die, waar van men het getal gebruiken zoude, indien de parallaxis der Maan volle 9' boven de aangenomen 53' bedroeg: maar wanneer die minder dan 9' boven de 53' bedraagt, moet de Correctie ook in eevenreedigheid ver- (<«) Het zal niet onnuttig zyn, aantetoonen, waarom men de 'Correctie-Logambmen niet gebruiken kan, vanneer één der boogen, of meerder, maar nut allen negatief zyn. De geheele bewerking rust op dit grondbeginfel, daar voor kleine veranderingen , de veranderingen der boogen in de zelfde reedeti voortgaan als die van derzelver Logarithmen: en omgekeerd: Dit nu heeft geen plaats meer wanneer eene grootheid van pofitief negatief wordt, en omgekeerd, en dus door nul gaar: want de Logarithmen der negative grootheeden zyn de zelfde als die der pofirive: en de verandering van teekeus heeft geen invloed op dezelve, men ftelle »ie volgende boogen, en derzelver Parallaktiefy - Logarithmen : Verfchil. + fi Paral. Log. 1887 , _1_ -I, . 20,3 J + 3" MJS \l\ + I» . 3733 4'4 — I" ■ =."33 — 3" 225? 4<5 Indien men dan aan de Logarithmen het zelfde teeken gaf als aan «ie boogen, zoude die van -|- r" zyn -4- 2737 die van — r" zoude — 2732 zyn: en daar het verfchil der boogen s« is zoude dat der Logarithmen ^464 zyn, dat ongerymd is- Ik heb deeze uitlegging in de nagelaten papieten van wylen mynen dier blaren vriend *n meedeweikei r ie ter. nieuwlano gevonden.  J24 III. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. veranderd worden: en daarom voegt men by den zo eeven gevonden waaren Correctie-Logarithmus, den Parallactieken-Logarithmus van 't geen de parallaxis meerder dan 53' bedraagt (a): men zoekt den boog van de lom: en het is die boog dien men, naar: maate de waare Correctie-Logarithmus plus of minus, is, by de Reductie voegen of aftrekken moet, om de geheele verbeetering te hebben. N°. 9- In ons geval is de waare CorrectieLogarithmus. (N". 8) . , . 2i6 De parallaxis is 3', ao" boven de 53': waarvan de paral la ctiske Logarithmus is. . 431 fom .... bet getal is uit de Tafel van Parallac. Log. 1'. 54". de waare Reductie N°. 7. . . 33. 50. dus geheele Reductie. . . 35~44. fchynbaare afftand. . . 4<20 S4. 2c;>/# Dus waare afftand. . . 43o~ïa 4». Bejluit. Overzicht van alle de Bewerkingen. § 124. Om nu den Leezer in ftaat te ftellen te beoordeeien, of, cn in hoe verre deeze handelwyze korter is dan de be eekeningen § 40 en in het Hl Deel uitgelegd, zullen wy nu al'e de bewerkingen opfchryven , zo als zy het behooren te zyn: zonder eenige aanmerking 'er tusfehen te mengen. De fchynbaare afftand der randen van © cn e is gemeeten . . 420. 2-. 32„. © onderrands hoogte . . u». aa 20»! y bovenrands hoogte . . 53. 6. 56"' Dan zoekt men de getalen op van N°. I, en maakt dc bewerkingen van No. II, III A, IV, A cn Ji van de manier van de borda, hier in deuitflaande Tafelen en boven §§ 37, 38, 39, aangetoond. Dit («O Men voegt altoos by, al is de waare Correctie■ Lognrhlimni (N°. 8.) minxi: dit volgt uit den aart der famlUktieke Ltg.tritbmm , die voor een Weinet getal veranderd altoos grooter worden (§ ro; ): hier uit volgt, dat voor eene vermeerdering van paralLxis, 'die Jtfmder dan 9 bedraagt, waarvoor He Correctie-t.egaritiimm bereekend is, de Correctie kleinte moet f, orden, en dus ha.te PMjüUktttkM* ttgMitbmnj grooter.  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels. 155 Dit gedaan zynde, heeft men den fchynbaaren afftand van 0 en d middelpunten, en de fchynbaare hoogten van 0 en g middelpunten. Dan (telt men in plaats van dc enkele N°. V. in de bereekeningen te vooren uitgelegd (zie de neevenso-aande Tafel,!. II.) de volgende Artiekclen, welke wy op de neevensgaande uitflaande IV Tabel gefteld hebben om de geheele bewerking in ééns te doen zien:wy hebben 'er teevens de reegelen bygevoegd, voor al voor de teekenen, omtrent welken 'er in deeze bewerkirg vry wat te letten valt, het geen voorzeeker eene onvolmaaktheid in deeze handelwyze is: het zat dus nuttig zyn altoos die reegelen , in eene dusdanige Tafel, voor oogen te hebben. Na dat men den waaren afftand gevonden heeft, doet men de zelfde bewerking als in N°. VI, VII, VIII en IX van de handelwyze van de borda. §• i»5- Wy hebben reeds gezegd (§ 122.) dat de Correctie-Logarithmus zo wel beneeden als boven het fierretje vallen, en gevolglyk zo wei minus als plus zyn kan: maar dat men in het eerfte geval, in plaats van de verandering die de Correctie Logarithmus ondergaat, uit hoofde van de minuuten cn feconden die men boven de volle graaden heeft, voor dien Logarithmus zeiven te zoeken, die verandering als dan voor den boog, waarvan hy de parallactieke Logarithmus is, bereekent: zo dat men eerst, voor iederen Correctie Logarithmus , den boog in dc Tafel der parallakiieke Logarithmen opzoekt, en dan de eevenreedige gedeelten voor die boogen neemt: yervolgends daaruit de geheele fom, die plus of minus is. opmaakt: die fom by den boog van N°. I. telt of aftrekt, voor de uitkomst weederom d3nparallactieken Logarithmus zoekt, en dan vervolgends werkt eeven als in het voorgaand geval § 124 gezegd is. Wy zullen twee voorbeelden opgeeven: het eerst wanneer 'er maar een Correctie-Logarithmus, minui is: het ander wanneer zy het allen zyn. I. VOOR-  jaö III Deel. Verkorting in de oorfpr. bereekening. 2 s ftO «Cu w . 3 x o w»; ~ 7 - g. * tl |S- ^ 5 « 5" BÖOjf?. r i *a-5 h m pWB*T a ? ïCg ö ö v^g, 8 .« '1 • * -I? 5 s? i + i ? i i g.:-;| * *" • • Si | °? -*SJ.B • ° °- | I I ü.n ^"S »• im £-vO 2 S ►« p. • - ^ i i i .c^ n § g °g g !? —jj. g. M ^ ^ •• • 09 " | 2 i ^ ta < 1J,1qO o I C^^j^? * c* c" w ^o^i^rr^ I ' ? ' ^- ^T^^T* ' * '~ ° w „ „ i • | | | + 1 • " °-?t- G»>K w % t X « * „ „ • • f?-#H M * O * | i = O ! n * » o ... « u * o i-l i'g >» ? ?f? * " 1 I I I . °r o o h « r o ■ * £ Ül MUM OO u * I .* .* .* cq N M » ^ 5 9. & frfr J?ir ???»§. ? ° Ili  Zesde Verkorting. Engelfche Tafels. nj £ « § 2 ?" ?" s= s> < K <» g o 2 e o «. «« P- Kot " 2 2<5 ~. Sjj-jyOoE* ■ *••»■•» „"5 ^W^l 3» g -§E ?| «ml £ ? ' — «rtrjpS» o 1 § ff f |??iü't^ ? • . si' "?^o^2 ' " M|i» h.Si ó°J-o « » -»h om» Vrïfyt* ST 2 5 " " f o> 5 _ ES- o 1 2 «s- _ OT I E. a i 2 i"™ I %%» E*3 O- 2. « " B * - ~0 c*» eo — O n " o • < }3 o o-"1» * > -. Ö " § O. N*w« B ïTot r* " S'^;1 Hg- -V^g-™ 3 o S S'gS ° S-°iS- ^ w N f '. c. 3 m „ü O |m C n «" C OT 1 " &• '1 » * *» S 4 " I <* a B K" ' e § 126  128 II/. Deel. Verkort, in de eorfp. bereekening.1 § 126. Wy hebben in de uitlegging deezer Tafelen § ico* gezegd, dat 'er gevallen zyn, in welken, hoewel de Parallaxis 9' grooter wordt dan 53', de Reductie 'er niet door verandert; en dat 'er dan in de kolom van Correctie-Logarithmus eene ftreep in plaats van een getal ftaat. In dat geval is de Correctie-hoog nul, en 'er kan geen Logarithmus voor denzelven gefteld worden. Dit maakt geene verandering in de bewerking: alle de reegels blyven de zelfde: en men neemt in dit geval altoos de boogen der Correctie logarithmen, in plaats van die Logarithmen zelf. De veranderingen derhalven, die in dien boog uit de vergelyking van N°. I. en N°. II, N°. I. en N°. III, N9. I. en N°. IV. geboren worden, zyn de boogen in die N°. zelf aangeteekend,met hun eigen teeken, zo het de boog van N°. I. is, die nul is: doch zo een der boogen van N°. II, III, of IV, welke met N°. I. vergeleeken worden, nul is, dan is de verandering voor die N°. de boog van N°. I. met een teegengefteld teeken. Wy zullen dit met voorbeelden ophelderen. I. VOOR'  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels. 129 9 cf 7? £ S o 2 2 0-=-» — — o ^ | 3 §■ £ ???3 g " 5- ... '^V^'o. H, R3 ~ _ O. » Er B" CT3 „ O I 1 + 1 § g °J> % g a I + UtSg- ft;? Is £ = W^S- w S 3 !' 1' '* + f ' r^i*j8g ° ■ . I I ! ?- r I I Iw^s?" °- 0-4- • . » o * ^ o a»» o o hJ! «a • • I * ! £ £ OT " P- * ' " rp-.p-g <5» 4* 2. ge?* .ft" l II. VOOR-  J30 III Deel. Verkorting in de oorfp. bereekening. go S s-?-3? P-s | e$ï*fc /•"s_A--~, 3 o o n> _ ► w(0 OT j_ ■ O O „, 1 + 1 2 ???T-" 1 „«38 " Kllf^C? £ g. 5 < O. 2. «Aoai'iSn i^K. < 2 « g »? E 2 ; 5 ?» s= g ^ |2. | ,_«,êb , p ■ I .* " 3.8.3. | W £, * S r+ • 8; .8 + I l + l ML rt? L? Po &+ I «£>- Si? * * "5 o Q %' E" OT £, ?* ^ '£+ + «15 ^ III. Y00R-  Zesde Verkorting: Engelfche Tafels. 131 | | ,: i s i + i 8 ° % a l2 «»°| * |8 *< a §• Ê " p. Ë r^J^. £ e = V;??3S « | S 5 2 »?o g* | 5 |. J .»» fr f > I- °? 3 £ * I gr^-« ■ ^ 9 ? s i £ i^^|?*?t?'S " • • " °°° + tak \Z Z< cn •••" uitgelegd hoe men zich daar in gedraagen moet: dat alles beftaat in het bewerken van eenen rcegel van driën, zeggende het verfchil der twee afftanden1, in den Almanach . tuïfóhen welke de bereekende waare afftand (No. V.) valt, veteisCht drie uuren tyds, hoe veei tyds vereischt het verfchil tusfehen een derzelven en den bereekenden? welke reegcl van driè'n in zich zelfs gemaklyk optelosfen is, en nog veel («> Door de maniet van LYONS waar van wy een denkbeeld zullen geeven iq hg( YJ. Dssl j § S«j  Verkorï'.in hetbêrèekvanden waan Tyd op Tenerifa.\%% Vee't korter door de gewoone Logarithmen; en vooral door de fchikking, welke wy in onze Tabellen hebben waargenoomen, verkort wordt Deeze reekening, hoewel niet moeijelyk, is echter om drie reedenen, wat omilagtig 1° om dat men de graaden, minuuten en feconden der beide verfchillen, van welke men de Logarithmen moet opzoeken (nam van het verfchil tusfehen de twee afftanden in dén Almanach, en van het verfchil tusfehen een' derzelver en den bereekenden,) tot feconden moet brengen: en dan de feconden, welke de uitkomst geeft, wecder tot uuren en minuuten, en feconden moet herleiden, i9. Om dat men een Logarithmus van een dier getalen, en het complement van den Logarithmus van het ander moet opzoeken: De Logarithmus van 3 U. of ioHco" baart geene moeiielykheid, dewyl die beftendig blyft, en daarom in onze Tabellen ééns vooral gedrukt is. 3Ü. Om dat men eene additie van drie getalen maken moet. . . ,. De befchouwing van deeze drie ftukken hebben aanleiding gegeeven om eene Tafel te maaken van zogenoemde Proportionaal- Logarithmen, door het gebruik van welke men bevryd is van het lastige om de twee zo eevengenoemde verfchillen, eerst tot feconden, en dan de feconden van hei facit tot uuren en minuuten en feconden te herleiden • en verder ook dit gemak heeft dat de geheele bewerking maar in het aftrekken van twee Logarithmen , de eene van de andere, beftaat. _ De Tafel van Propottionaale-Logarithmen, is de XX Tarel van onze Verzameling, en wy hebben in de uitlegging van die Tafel breedvoerig aangetoond wat Proportionaale-Logarithmen zyn, hoe zy bereekend worden, cn waarom de aftrekking van de twee proportionaale-Logartthmen, die men gebruikt, juist dc zelfde uitkomst geeven moet als de oorfpronkelyke bereekening te vooren door ons (§ 43. § 44.) verklaard. Men zoekt in die Tafel den begeerden proportionaal-Logarithmus op, ot het begeerde getal van eenen gegeeven proportionaal-Logarithmus, eeven als in dc gewoone Logar tthmus-Tafel gebruikclyk is: meer behoeven wy hier  136 III. Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. omtrent niet te zeggen; het zal genoeg zyn den reegel op te geevcn, «n daar na een Voorbeeld , het zelfde dat wy reeds (§ 44.) bewerkt hebben. Reegel om door de Proportionaal-Logarithmen den Tyd op Teneriffa, of No. VI. der bewerking3 te bereekenen. § 13c 1°. Neem het verfchil van die twee afftanden, in den Almanach, tusfehen welke de bereekende waare afftand (No. V.) invalt , en van dat verfchil den proportionaalen Logarithmus. 2°. Neem het verfchil tusfehen den bereekenden waaren afftand (No. V) en den kleinften (a) der zo eevengemclden (No. I.) en van dat verfchil den proportionaalen ■ Logarithmus. 3°. Trek die twee Logarithmen (No. I en JI.) van elkander af, den kleinften van den grootften: het verfchil is een proportionaal-Logarithmus, waar van men het getal zoekt, dat in uuren, minuuten en feconden, of in minuuten cn feconden in de Tafel uitgedrukt ftaat. 4°. Voeg dat getal by het uur, waar op de kleinfte (6) in No. 2. gebruikte afftand plaats heeft, of trek het 'er van af, naar maate die afftand vroeger of laater voorvalt dan de grootftc (No. I.) der twee gebruikten. De fom of het verfchil is het gevraagde tydftip. Voorin Het is in zich zelfs onverfchUlig, of men het vetfehil neemt tusfehen den bereekenden waaren afitand en,, zo als wy hier zeggen ,) den kleinften dan wel den grootften: doch het is ons voorgekomen dat men als dan de verfchillen gemaklyker neemt, vooral by dc fchikking door ons in de volgende § waargenomen. (b) Indien men in N». i den groot/len afftand gebruikt had, (Zie noot *) zoude men Jiist pok het. WH wa« Of die greetjtt plaats heeft, gebruiken.  Verkorting in de bereekening van den Uurhoek. i%1 Voorbeeld. Wanneer men de bewerking van § 44. hervat, en volgends deezen Reegel, in den Almanach opzoekt vindt men op Tener. 13 u. 53'. 20. afft. 440.15'. 37" Tafel XX. L _ ^5t^z_42. 47.39 j°-;j'f{2i«-9iij aan Boord . . 43- 9-54 5 --— verfchil 5994 waar van ' het getal . 45. 16 fom in ~" dit geval nu. 38'. 36 eeven als in § 44. en waare tyd op Teneriffa, toen de afftand aan Boord werd waargenoomen. Deeze verkorting is voorzeeker ook al gewigtig. V. Verkorting, toegebragt aan No. VIII. van de bi' werking, namentlyk aan het bereekenen van, den Uurhoek. § 131» Wy hebben om den Uurhoek te bereekenen de gewoone Oplosfing gegeeven, (§ 49. § 50. § 51.) die in zich zelfs zeer gemaklyk is: anderen draagen 'er andere voor, die misfchien ieder hun voor- en nadeelen hebben, doch waarin, over het geheel genomen , de voor- en nadeden zodanig teegen eikanderen opweegen, dat het moeijelyk zoude vallen eene keuze te'doen. de borda heeft eene manier opgegeeven die misfchien iets korter en eenvouwiger is, en die wy hier na (§ 329 — § 332)zuilen bewyzen. Zie hier dezelve: i°. Neem 0 en Sters afftand van Pool No. VU. en daar van Complement-Logarithmus-Sinus. 20. Neem de Breedte, en daar van Complement-La- garithmus - Coftnus. 3°. Neem 0 of Sters hogte. 4°. Neem de fom van deeze drie booten: vervolgends de halve fom, en daar van Logarithmus-Coftnus. 5°-  ïg3 ïlL Deel. Verkort, in de oötfp. bereekening 5°. Veem hot verfchil tusfehen die halve fom (No. 4) en dc © of Sters hoogte No. 3: cn van dat verfchil den Logarithmus-Sinus, 6°. Neem de fom van de vier Logarithmen: (No. 1, 2, 4, 5,) vervolgends de halve fom: het is Logarithmus - Sinus van den halven Uurhoek, Deczc fchikking is nu wel iets korter dan die welke wy gebruiken (§ 50.) doch men moet drie maaien Logcirithmus-Sinus opzoeken en twee maaien e,n Logarithmus-Cofinus: dat wat moeiielyker valt dan wanneer men, zo als in onze uitdrukking, enkel met Logarithmus - Sinus te doen heeft. Voorbeeld. § 132. Wy zullen het voorbeeld § 5c. hervatten. ©afft. van Pool ( N VII.) ic(0 to'. 16'' ComplLog. Sin. o. 0134213 B tedte . . 10.20 Compl.Log Cof. 0.0071016 © hoogte . _u-_Ss'-_4_ fom 116. 8. 20 ^ fern 63. 4.10 Log. Cor. 9 6560121 |föln- ©huogtcsi. 26. 6 Log. Sin. 9.8931520 fom 19.5696870 l (om 9-7848435 is Log Siuu: van 37° 32'. 24 j" h.t dubbel . 75. 4. 49, is de Uurhoek, eeven als in % 50. en men ziet dat de reekening i p ■ het -/elfde uitkomt: immers alle de getalen die 'cr jttebrüikt worden zyn de zelfde, hoe wel zy in ichyn andere naimen drawgen. Tv;eede Verkorting: manier van douwes. § m> In de zo eevengemelde bekorting, Of in dc bereekening volgens de borda, en in de gewoone, die wy te vooren hebben opgegeeven (§49? §5°5 §50 cn die  Verkort, in de bereekening van den Uurhoek. 139 die waarlyk ook haare voordeelen heeft, blyft hêc Vraagftuk altoos aan twee bewerkingen onderworpen: men moet namenlykeem den Uurhoek bereekenen, en dan ten anderen denzelven in tyd brengen: tot dit tweede, kan men onze neegende Tafel gebruiken, of flechts door 15 multipliceeren: doch wanneer men met de Tafels van doüwes voorzien is, die thans in handen der meeste Stuurlieden en Zee-Officieren zyn, en algemeen gebruikt worden, kan men den Uurhoek onmiddelyk in tyd vinden, en boven dien den Uurhoek zei ven op eene manier die veelen korter achter bereekenen. Men moet dan ren dien einde in die Tafels de Kolom, getyreld Logarithmus-Ryzing gebruiken. Wat die Logarithmus - Ryzing is, en op welke gronden de manier van douwes rust, zullen wy hieronder (§ 332) betoogen. Het zy genoeg hier te herinneren, dat in het werk van douwes zeiven, die Tafels flechts van halve minuut tot halve minuut, uitgezonderd voor de eerfte vyf minuuten, bereekend zyn: dus zcuue men den ryd of Uurhoek maar in halve minuuten vinden; de invulling is zeer gemaklyk, en gele biedt op de zelfde wyze als voor de gewoone Logarithmus - Sinusfen. (fing: en de waare hoogte van Zons middelpunt, zo als ook de Declinatie door de bewerking van N°. III en No. VII bekend zyn. Men heeft dan. N. Breedte io°. 20 Log. Sec. . . 0.007 50.16 Z. Declin. 140. 10 16 Log, Sec. . . 001342.13 fom f» 24°. 30. 16 . . (A) 0.02052.29 hier van Cofinus 9099291 ©Hoogte:ii°.38'. 4" Sinus2c 166.65 Verfchil. . . ""70826.26 Log. 4.85017.68 fom. 4 87071.72 opgezocht in Logarithmus Ryzinggsek^V.c'. 19" Aanmerking. § 136. Vindt iemand de manier van douwes in haar zelve veel korter dan de gewoone, of gemaklyker in h2t geheugen te prenten: zo kan hy dezelve gebruiken, al waare hy van de Tafels van douwes ontbloot: en dit wel op twee wyzen. i°. Zo hy de groote Sinus-Tafels van douwes, of de Engellche Sinus-Tafels van sherwin be- (<) Indien Breedte en Declinatie v.m de zelfde benaaraing zyn, neemt men het ve/fcbil volgends den regel N°. 4. douwes begaat hier eene feil met dit getal te noemen © midnagraf/tand van Tof .dit is alleen waar wanneer de Declinatie de zelfde op den middag als op een ander uui vooionderfleld wordt: 't geen men meel dan de helft van het jaar, geduurende welke de Declinatie 1' of i'ieder uur verandert, niet doen kan, ten minsten voor den tusfehentyd van eenige uuren, zo men met eenige naauwkeurigheid te werk wil Raan: en wil men uit eene gefchoten Zons hoogte den Uurhoek jnet eenige nauwkeurigheid bepaalen, moet men de Zon fchieten als zy nog pen uur of drie van den Meridiaan af is, Zie hier onder § 2101  142 Deel. Verkort, in de oorfp. bereekening. bezit, waar in men achter de Sinusfen, eene Tafel van den Sinus Verfus vindt; zal hy het Charadler van den laatüen Logarithmus, (hier 4.8707172) met 5 vermeerderen', en zoeken dan dien Logarithmus in de Tafels van LogarithmusSinus Verfus: (a) het getal graaden en minuuten dst 'er meede overeenfUmt, is de gezochte Uuihock in graaden: dujs is hier 9.8707172 ue Logarithmus--Sinus Verfus van 75-. 4'. 49". Doch dan is men vcriioken van het gemak om den Uuiboek onm'ddeiyk tot :yd gebragt te verkryj>en: en die Tafels gaan maar van minuut tot irinuut, dus moet men een Logarithmus - Sinus Verfus, voor boogen daar feconden in komen, bereekenen,dat ecnigzins lastig valt; ook gaan die Tafelen gemeenlyk flechts tot 9-0 en kunnen dus niet nrriddel\k dienen voor Uurhoeken die grooter zyn. Het vinden der Logarithmen Sinus Verpas voor zodanige hoeken of omgekeerd is eeriigszins lastig. Men zie daaromtrent de Verklaring der groore Sinus-Tafelen van douwes. 2°. Zo men geen Tafelen van Sinus Verfus beeft: zal men het getal neemen van den laaiften Z0garithmus: hier, van 4.8707172. en dus 74253: dit aftrekken van iccc.ee of 'er het Complement van neemen: hier 25747: en het zelve onder de Slecht Cofinusfen opzoeken: de graden, minuuten en feconden dier 'er meede overeenkomen geeven den Uurhoek: hier 750. 4'. 48". Dit is dus iets langer dan het voorgaande. Wanneer in dit geval de Sinus Verfus grooter is dan icocco, is zulks een teken dat de Uurhoek grooter dan 900 is. Men moet In dat geval van het gevonden getal icccoo aftrekken; de re.st, in de Tafel der Slecht.- Cofinusfen opgezocht, zal een hoog geeyen,die by 96° geteld moet worden om den Uurhoek te vinden. Wanneer men Tafels van Slecht-Sinus Verfus gebruikt, rnC/é.t iren eerst van den laatften 'Logarithmus het getal zoeken, wel lettende dat in die (<<) Wy sullen de leerfcn van deeze beweiding hier onder § 335 bewyzen.  Verkorting in de bereekening van den Uurhoek. 143 die Tafel de radius op. ioqc,poo, of zeeven Oyfferlettcrs gefield is, en dus dat de Logarhhmus van den radius is o.cocooo; daar in de ge wou.-e Tafels van Slecht -Cinusfen, die radius maar is ïco.coo: dus moet men, de Cofinus fin tnc de gewoone Tafels gebruikende, het Cnaracter van den laatften Logarithmus in de bewerking met 1 vermeerderen: doch zo men dc Cofinusfen door onze XXIV Tafel, uit die van Sinus Verfus opmaakt zo als § 13.^ noot (c) gezegd is, is zulks onnodig: want dan is de radius met 7 Cyfferletters uitgedrukt. Verandering aan de manier van douwes door steenstra toegebragt. I § 137- Welke voordeelen de handelwyze van douwes ook 'moge bezitten, heeft zy echter dat nadeel, [dat wy ook reeds in de oude manier van dunthorne hebben opgemerkt, en dat eene der reedcr.en geweest is die aanleiding gegeeven hebben om verbeeteringen aan dezelve toetcbrengen,] dat men dan ééns met Slecht - Sinusfen of Cofinusfen moet werken: dan derzelver Logarithmen opzucken, dan weeder gewoone Logarithmen- Ieder, die in het reekenen bedreeven is, weet dat dit ongemaklyk valt. De overdenking hiervan heelt steenstra aangezet om aan de bewerking van douwes eenige verandering te naaken, waar door men van den gemelden last bevryd wordt, en altoos met Logarithmen werkt. Wy zullen in ons Zesde Deel bewyzen boe gemaklyk de reegel, door steenstra voorgelteld, uit dien van douwes volgt: het zal genoeg zyn hier den reegel zeiven voortedraagen en op een Voorbeeld toetepasfen. Wy zullen echter aanmerken: i°. dat men hier niet alleen de uitkomst van de bewerking in de Logarithmus-Ryzingi van vouwES-Tafels, opzoekt, maar dat men nog boven dien , in de bewerking zelve, die Kolom van de Tafel van douwes gebruikt, welke den tytel voert van Logarithmus- Middeltyd, en  ï44 Hl Deel. Verkort, in de eorfp. bereekening. en dien steenstra Logarithmus-Halve-Ryzing neemt. Wy zullen 20. aanmerken dat steenstra ook in zyne bewerking de middag-hoogte van de Zon gebruikt. Deeze is altoos het Complement van de fom \ of van het verfchil van Breedte en Declinatie, naar1 maate deeze van gelyke of van verfchillende benaming zyn: hier over zullen wy in ons bewys handelen (§ 336). De Reegel zelve is deeze; Reegel. § 13*. l°. Neem de Breedte s en daarvan Logarithmus-Secans, of Complement-Logarithmus-Cofinus. 2°. Neem de Declinatie, en daar van LogarithmusSecans of Complement-Logarithmus-Cofinus. 30. Neem het verfchil of ie jam van Breedte (No. 1.) en Declinatie (No. 2.) naar maate zy gelyknamig of ongelyknamig zyn. 40. Neem het complement van dat verfchil, of van die fom: het is de Middags hoogte. 50. Neem de fom van de Middags hoogte (No. 4.); en van de Zons hoogte: vervolgends de halve fom: en daar van Logarithmus-Cofinus. 6°. Neem het verfchil van de Middags hoogte (No. 5.> en van de Zons hoogte: vervolgends het half verfchil: en daar van Logarithmus Middeltydoi halve Ryzing uit de Tafel. 70. Neem de fom van die vier Logarithmen: en zoele daar van het getal in de Kolom LogarithmusRyzing: het is de gevraagde Tyd. Vom  Verkorting in de bereekening van den Uurhoek. 145 pQorb'eeldi 5 130. Wy hervatten het Voorbeeld uit § 135. N. Breedte: io°. 20'. Log. Sec. of Compl. Log. Cof. o. 007 lö 4- Z. Deel. 14; 10. 16": Leg. Sec. of Compl. Log. Cof. o. 0134a fom . . 24; 30. 16 9Q- iComplem. 65. 29. 44 Middags hoogte. iOhoogte ii. 38. 4 fom i . 77. 7. 4g ifom . • 3». 33. 54 log. Cofinus ; . 9.89315 Verfchil 53. 51. 40 | verfchil 26: 55. 50 Log. Middelt, of i Ryfing 4.95703 ., ; i. ■ - fom 4.87070 opgezocht in Logarithmus Ryfing geeft 5 U. o'. ioA Dat men enkel met Logarithmen werkt is zeeker Pen gemak: doch misfchien neemt de geheele bewerking niet vee! minder tyds dan de gewoone of die van de borda; hier over oordeele ieder naar zyne keuze. aanmerking. Over den Uurhoek van eene Stén § 140. De manier van douwes is eeven gefchikt orri den Uurhoek van eene Ster oi van de Maan als om die van de Zon te bereekenen: doch zy geeft den Uurhoek in Tyd: in dit byzonder geval4 nam: yan eene te bereekene Lengte door eenen gefchoten Sters en Maans afitand, moet men dén Tyd gihruiken, zo als de Tafels van Douwes ze Opgeeft, wanneet mén, namentlyk, om den Tyd aan Boord te kennen, dien reegel gebruikt, welken wy nu^ in navolging van de hartog, hier boven (§ 54. i hebben voorgedraagen: de reeden daar van blykt Uit het geen wy daar ter plaatfe over die zaak gelegd hebben. Maar ihen lette wel* flat men in K alle?  J46 III. Deel. Verkort, in de oor/}, bereekening. alle andere gevallen, om den Sters Uurhoek ia tyd te brengen, dat is om te weeten hoe veel tyds 'er nog verloopen moet, eer dat de Ster in den Meridiaan komt, of hoe veel 'er reeds verloopen is, zederd dezelve in den Meridiaan geweest is, dat men, zeg ik, in alle andere gevallen daar toe, van dien tyd de verfntlling van de Ster moet aftrekken: of'er, zo men de Maan gefchoten hadt ,dei vertraging van de Maan by voegen: doch over de Maan zuilen wy hier na § 174. — 5 179. breeder handelen en men kan ook raadpleegen wat wy over die ftukken gezegd hebben, in den tweeder; Druk der Verklaaring van onzen Almanach, bij 93—98 en bl. 23. VI. Be/luit. § 141. Wy hebben alle de verkortingen, die op de drie "ftukken van de geheele bewerking, nament-; ]yk> op N° V. of het bereekenen van den waa< ren afftand, op N°. VI. of het bepaalen van der Tyd op den Pic, op N°. V511. of het bereekenen van den Tyd aan Boord, vallen , immers de voon naamfte derzelve, uitgelegd: ieder kan verkiezen welke hem het meest bevalt: wy herhaalen nogmaal deeze éénige aanmerking, dat wy allen Leerlin-i gen zouden aanraaden , en indien wy hunne Meesi ters waaren zouden wy het van hun eisfchen, dat zy zich de oorfpronkelyke bereekening § 40. of die vanoEBOKDA § 70. voor N°. V. of voorden afitand. en de oorfpronkelyke manier om den Uurhoek u bereekenen § 48. waar onder wy ook die van dj borda (§ 131.) begrypen, zo men deeze ven kiest, eigen maaken , en grondig verltaan, en we daarom, om dat zy van geene By-Tafels, hoeges naamd, afhangen, maar alleen van de gewoont Logarithmus-Sinus-Tafels; en dit is, in veele op| zichten , een groot voordeel Wy zullen op het eind van deeze Verhandeling een algemeen Overzicht van het geheel Werk voon draagen, en dan alle ftukken verëenigen en uit éét en het zelfde oogpunt befchouwen* W  14? IV. DEEL. OVER HET BEREEKENEN DER LENGTE IH EENIGE BYZONDERE GE VALLEN, W EL K E , IN DEN EERSTEN SCHYN, VAN DEN ALCEMEENEN REEGEL AF W Y KEN» t Algemeene Aanmerkingen over de gevallen welke plaats kunnen hebben. § 142. Wy hebben, in het tweede Deel, de oorfpreflkelyke manier, om de Lengte te bereekenen, verklaard, en in het derde de verfehillende Verkortingen opgegeeven, die men aan eenige der ftukken, welke in de algemeene bereekening voorkomen, kan toebrengen. Het blykt uit het gezegde dat deeze bereekening, buiten de naauwkeurigheid der waarnceming, waar over wy naderhand zullen handelen, (§ 238 — § 235.) en die der bereekening zelve, welke hier voorondcrfteld wordt, drie gelyktydige waarneemingen vereischf, namentlyk die der Zons of Sters hoogte, die der Maans hoogte, die van den afftand der Maan tot de Zon, of toe de gefchoten Ster: en nog noven dien dat do4ioogte der Zon of van de Ster zodanig gefteld zy dat men ze veilig gebruiken kan , om 'er den Uurhoek met genoegzaame zeekerheid, uit optemaaken. Laat ons deeze drie ftukken een weinig nader befchouwen. § 143. 1°. Om drie gelyktydige waarneemingen te doen worden 'er, buiten twyffel, drie W aarneemers vereischt, welke met eikanderen over 't geene 'er te doen valt zyn overeengekomen, zo als wy het hier K. a orj'  14$ IV. Deei. Het her eek. der Lengte in byz gt feil ert. onder nader zullen verklaaren. Maar hoe nuttig ook deeze geheele bewerking zyn mogt, zy zoude veel van haaren prys verliezen, indien de famenloop van drie waarneemers zodaanig noodzaakelyk was, dat men zonder denzelven niets doen kon: want'er kunnen veele geleegenheeden zich opdoen,waar in men geene genoegi'aame hulp heeft, of zich geheel alléén bevindt. Het eerfte ftuk dat ons nu te ontvouwen ftaat, komt hier op uit, dat, hoewel men zich alléén mogt bevinden, men die waarneemingen van hoogten en afftand, welke men als dan neemen kan, en die dan niet gelyktydig, maar achtereenvolgend gefchied zyn, echter tot de bereekening kan gebruiken, mits men van een meedehelper of asjijlent voorzien zy, welke telkens het tydftip van iedere waarneeming , volgends een goed Horologie, aanteekent. § 144- 2°. Hoewel de uitkomst der bereekening des te naauwkeuriger zyn moet, dat ieder gedeelte der waarneeming naauwkeuriger is; echter hebben de onnaauwkeurigheeden , welke in ieder deezer deelen plaats kunnen hebben, en die waarlyk, gelyk van al wat door menfehen verricht wordt, ook van de beste waarheemingen onaffchcidelyk zyn, niet allen den zelfden invloed op de uitkomst der bereekening; dit zullen wy naderhand, wanneer wy over de naauwkeurigheid die men van deeze geheele bewerking kan verwachten, handelen zullen, nader ontvouwen (§2R5,§ 236 §237). Het zy genoeg hier aantemerken, dat het 'er veel op aankomt, dat de hoogte van de Zon of van de Ster, welke men fchiet, zeer naauwkeurig genomen worde: (m reeden dat de naauwkeurigheid van den Uurhoek, en dus de bepaaling van den tyd aan Boord, van die gefchooten hoogte voornamentlyk afhangt. Veele omftandigheeden nu kunnen te weeg brengen dat men op de gefchooten hoogte, voornaamentlyk by nacht, als men eene Ster fchiet, niet genoegfaam ftaat kan maaken , om 'er den uurhoek uit te bepaalen, hoewel dc  Algemeene Aanmerkingen. I49 dc waarneeming naauwkeurig genoeg zy, om geenen nadeeligen invloed, in her. overige der bereekening te hebben, en hoewel de afftand van de Maan en Ster of Zon, en de hoogte der Maan goed waargenomen kunnen worden. Zoude men dan, in dergelyke gevallen, de geleegenheid om den afiland waarteneemen, en daaruit de Lengte, op welke men zich bevindt, te bepaalen, onverrichter zaake moeten laaten voorby gaan ? geenzins Wy moeten dan aantoonen, wat men in die gevallen te doen heeft; hoe men zich, mits met een goed Horologie voorzien zynde, hebbe te gedraagen ; hoe men eene dusdanige waarneeming kan bereekenen : en dit is het tweede ftuk dat ons in het vierde gedeelte van deeze Verhandeling te verklaaren ltjwc* s 145. 3°. Ten derden: 'Er kunnen omftandigheeden plaats hebben, dat de lucht helder genoeg is, ojn eenen afitand waarteneemen, en dus, in dien zin eene goede waarneeming te doen: doch waarin de kim te beneeveld is om de hoogte van Zon Maan, of Ster boven dezelve te kunnen fchieten* Deeze hoogten zyn toch in de bereekening, om uic den fchynbaaren afftand den waaren afteleiden en omden Uurhoek te bepaalen onontbeerlyk, wanneer men de bereekening, volgends de hier boven aangevoerde handelwyzen, (§ 40, § 41 en het geheel Jll gedeelte) verricht. Maar, indien men een goed Horologie heeft, is men in ftaat om, het geen ontbreekt, en in de daad onontbeerlyk is, te herftellen. Wy moeten dan nu in de derde plaatfe aantoonen, hoe men zich te gedraagen hebbe wanneer men eenen afftand tusfehen de Maan en de Zon of eene vaste Ster gefchooten heeft doch niet in de geleegenheid is om de hoogte deezer heemellichten te kunnen waarneemen. KJ f 14*.  J50 IV. Deel. Het Ier eek. der lengte in byz. gevallen. § 146. 40. In al het voorgaande wordt 'eT vooronderfteld dat men de Breedte, waar op men zich bevindt, en ook de Lengte naar gisfing, kent: doch men zoude zich in gevallen kunnen bevinden, dat men door ftorm verdreeven, en op eene onbekende of onbewoonde plaats vervoerd, noch het een noch het ander wist: indien men dan in het geval was van eenen afftand tusfehen Maan en Zon, of Maan cn Ster te kunnen fchieten, mitsgaders derzelver hoogten . zoude men echter nog de Lengte en de Breedte, met eene vry groote naauwkeurigheid kunnen opmaaken, volgends de handelwyze daar omtrent door mackay voorgedraagen. Dit is dan het Vierde ftuk dat wy verklaaren moeten. § 146.* 5". Eindelyk wy zullen, na het verhandelen van deeze vier ftukken, nog eenige aanmerkingen voordraagen, over byzondere gevallen, die, wel is waar, misfchien nimmer plaats hebben, die, ten minften , voorzeeker ongemeen zeldfaam zyn,doch welke, indien zy voorvielen, aan minervaarenen moeijelykheeden, in de toepasfing der reegelen, zouden kunnen baaren, hoewel flechts een weinig aandachts genoeg zy, om den aart deezer gevallen te onderfcheiden. Ook kunnen fomtyds Leerlingen, en anderen, aan wie men voorbeelden ter beoeffening opgeeft, in verleegenheid raaken , wanneer die voorbeelden gevallen onderllellcn , welke uit den aart der zaaken onmogelyk zyn. Wy oordeelen het van onzen pligt te zyn, ook hier over het een en ander, ter waarfchouwing, vo>rtcdraagen. De vyf opgetelde ftukken naar behooren te ontvouwen, zie daar het onderwerp van deeze Vierde Afdeeling. 11.  Over het doen der Waarneemingen door één Waarn. 151 II. Hoe men te handelen hebbe wanneer dt drie waarnemingen van hoogten en afftand niet gelyktydig 'kannen gefchieden, maar door éénen èènigen Waarneemer moeten gedaan worden. % 147- Gronde* waarop de bewerking rust. Het fpreekt van zelf dat één éénig Waarneemer de hoogte van de Zon of Ster, die van de Maan, en den afftand van beiden , niet op het zelfde oogenblik, maar alleen achteréénvolgend, kan waarneemen; en gevolglyk, daar men echter gelyktydige waarneemingeh hebben moet, dat men dan de waarneemingen van hoogte,die voor of na de meeting der afftanden gedaan zyn, moet bereekenen , en die hoogte tot dat geen brengen dat zy geweest zouden zyn, indien men ze, op het zelfde oogenblik als den afftand waargenomen haat. Die bewerking rust alleen op dit grondbeginfel, dat die veranderingen in een zeer korten tusfehentyd de zelfde reeden als de veranderingen van tyd volgen: dar by voorbeeld de verandering die *er in twee of drie minuuten tyds in de hoogte van Zon of Ster of Maan voorvalt, het dubbeld, het drievouwd is van de verandering welke die hoogte in ééne minuut tyds ondergaat. — Dit grondbeginfel gaat met eene genoegzaamc naauwkeurigheid door, wanneer de tusichen - tyd klein is; anders niet: men lette dan wel dat men tusfehen ieder deel der waarneeming vooral niet meer dan tien minuuten laate verloopen, en 'de geheele waarneeming in minder dan twintig minuuten volbrenge. S 148. Het volgt uit het gezegde, dat de Waarneemer, die by voorbeeld eerst de hoogte van de Zon, of Ster, dan den afftand, dan de hoogte der Maan fchiet, K 4 en  152 if.Deel. Hei bereik, der Lengte in byz.gevAiIen, en deeze drie waarneemingen noodzakelyk de eene na de andere doen moet, den tusfehen-tyd welke 'er tusfehen die verfchillende gedeelten zyner werking plaats heeft, moet kennen. Hy moet dan vooreerst eenen meedchelper, of Asftflent hebben, die het tydftip van iedere waarneeming aanteekent: hy moet, ten tweeden, met een Horologie, dat de feconden aanwyst, voorzien zyn. Het komt 'er in dit geval niet op aan of het Horologie vóór of na gaat; te fchielyk of te langzaam gaat; maar het moet éénparig gaan, dat is altoos met de zelfde fhelheid; niet, dan eens fchielyker, dans eens langzaamer: zo dat wanneer de wyzer tweemaalen byvoorbeeld de ruimte van vyf minuuten heeft doorloopen, men zeeker zy dat 'er in de natuur, geduurende het doorloopen van de eerfte vyf minuuten, niet meer of minder tyds zy voorbygegaan. dan geduurende het doorloopen van de tweede vyf minuuten, maar juist eeven veel. Die eenpaarige beweeging is het kenmerk van een goed Horologie: cn hoewel alle Horologien, vooral de Zak-Horologien, door eene meenigte oorzaaken in die eenpaarige beweging geduung geftoord worden, zoude een Horologie, met eenen feconde-wyzer voorzien, al zeer flecht moeten zyn , om niet geduurende vyftien of twintig minuuten eene eenparige beweeging te behouden. Hoe korter den Verloopen tusfehen tyd is, hoe veiliger men op de gemelde eenpaarigheid van beweeging kan ftaat maaken , ten minften hoe geringer de feilen zullen zyn; en dit is eene tweede reeden om de waarneemingen zq fpoedig mogelyk op elkander te laaten volgen. Waarneeming. 5149. De waarneeming gefchiedt op deeze wyze: wy la£cn nu daar wat de naauwkeurigheid van de waarneming in zich zelve betreft: hier over zullen wy gaar na (§ 2oc>—§ 235 handelen. 1. De  Over htt doen der Waarneemingen deer één Waarn. 153 I, De Waarneemer zal eerst eene hoogte der Zon meeten: en de Asfiftent, die door roepen op hec oogenblik der waarneemine; gewaarfchouwd wordt, zal de feconde, de minuut, en het uur aanteekenen: (d) waar na de Waarneemer hem de hoogte opgeeft. II. Drie of vier minuuten daar na neemt de Waarneemer eene tweede hoogte van de Zon of van de Ster: de Asfiftent teekent feconde, minuut, en uur, aan: en als dan daarneevens ook de hoogte. III. Zo fpoedig mogelyk meet de Waarneemer den afftand: de Asfiftent teekent feconde, minuut, en uur, aan: zo als ook daarneevens den afitand. De Waarneemer kan hier drie of vier achtereenvolgende afftanden waarneemen, (V) welke de Asfiftent eeven als de voorgaande, met den tyd 'er by, zal aanteekenen: dan zal men een midden uit allen neemen: insgelyks uit de tyden derzelve: en het zyn, die midden afftand, en die midden-tyd, welke men in de bereekening van § 154. onder N°, HL ftelt. IV. Zo fpoedig mogelyk neemt de Waarneemer de hoogte van de Maan: de Asfiftent teekent feconde, minuut, en uur aan: zo als ook vervolgends de hoogte. V. O) Waarom wy hiel zegge* da* men cent de ftemdt, dan il mmxMi, dan het Uur moet aanteekenen, zal blyken uit § 333. (t) Waarom wy hier van verfcheide dcbttr-écn vtlgtndt afji*nit» fpieeken, cn hoe noodzaakclyk die vooizoigc zy, zal blyken uit, $ 15J en velg: K s  154 IF' ^et^ Hfi bereek. der Lengte in byz gevallen. V. Drie of vier minuuten daar na, neemt de Waarneemer eene tweede hoogte der Maan, de Atjïjlent teekent feconde, minuut, en uur, aan: en dan ook de hoogte. VI. Indien men wil, kan men dan weederom verfcheiden hoogten en afftanden meeten die men alleni zo fpoedig mogely k op elkander laat volgen: doch men moet indachtig zyn van tusichen de eerfte en de laatfte waarnceming niet meer dan twintig mi-, nuuten te laaten verloopen, dat is geen tien mi-s nuuten tusichen N'. I. en III. en geen tien tus-i fchen N°. III. en V. Zie daar het beloop der waarneemingen: nu ecni woord over de reeden en de fchikking derzelvc, en dan een voorbeeld. Bereekening der waarneming. % 150. Men neemt twee hoogten van de Zon of van eene Ster, en dat wel met drie of vier minuuten tusfehentyd. Uit die waarneemingen leidt men al hoe veel de hoogte in dien tusfehentyd verandert, en daar uit befluit men door eenen reegel van driè'n hoe veel de hoogte tusfehen N°. II en N°. III veranderd moet zyn: zeggende, in den tusfehentyd van N°. I tot N°. II is de hoogte van dc Zon zo veele minuuten vermeerderd of verminderd, hoe veele minuuten en feconden zal zy vermeerderen of Verminderen in den tyd die 'er tusfehen N°. II en N°. III verloopen is ? welde uitkomst men, naar. maate de hoogte vermeerdert of vermindert, by 1 de hoogte N°. II voegt, of 'er van aftrekt, om de hoogte te bekomen waar op de Zon moet geltaanl hebben op het oogenblik van de waarneeming N°. HIJ Men neemt eenen tusfehentyd van drie of vier minuuten , tusfehen N°. I en N°. II. om de hoegrootheid  Over hit doen der Waarneemingen door éénWaarn. 155 heid der verandering te bceter te kunnen weeten, en daar na, uit die bepaalde verandering, eene andere, die kleiner is, (die namentlyk welke tusfehen N°. II en No. Ili plaats heeft) te kunnen afleiden: dit gaat met meerder zeekerheid door, dan wanneer men eene groote verandering uit eene kleiner befluiten moet. Hoe geringer de tusfehentyd tusfehen N°. II en N°. III is, hoe naauwkeuriger het waar is dat de verandering in hoogte de zelfde reeden als die van den tyd volgt. En het is daar om dat men de lilde waarneeming, die van den afitand, zo fpoedig mogelyk na de tweede doet. § 151- Dit is ook de reeden waarom men , voor de Maan, N°. IV zo fpoedig mogelyk op N°. lil laat volgen: en in teegendeel, tusfehen N>.IV enN°. V weederom eenen tusfehentyd van vier of vyf minuuten laat verloopen: om namentlyk daar uit de verandering, die 'er in de hoogte der Maan tusfehen NJ. III tn N'. IV voorgevallen moet zyn, tezeekerer te kunnen befluiten: men maakt voor dezelve eenen dergelyken reegel van driè'n als voorde Zon, zeggende, in den tusfehentyd die'er tusfehen N°.1V en V verloopen is, is de hoogte der Maan zo veele minuuten cn feconden grooter of kleiner geworden, hoe veele minuuten en feconden zal zy veranderd zyn tusfehen N°. III en Nu. IV: welke getal minuuten en feconden men van de hoogte van N°. IV aftrekt, of 'er byvoegt naar maate de hoogte van N°. V grooter of kleiner is dan die van IV: en men heeft de hoogte op welke de Maan zich op het oogenblik der waarneeming N°. Hl, dat is van den gefchoten afiland, moet bevonden hebben. § 152. Die tusfehentyden voor de Zon en de Maan tusfehen No. I en N°. II., N°. IV en N°. V, één» waargenomen hebbende, moet men, zo men meerdere waarneemingen van den afiland doetj dezelve  156 IV Deel. Hetbereek. der Lengte in byz. gevallen ve zo fpoedig mogelyk laaten volgen: want, in dien men tusfehen de waarneemingen welke mei met elkander vergelykt, meer dan 20 minuutei tyds liet voor by gaan, zoude men niet meer, me genoegzaame nauwkeurigheid, kunnen onderftellen dat de veranderingen in hoogte met die van der tyd gelyk gaan, en de zelfde reeden volgen. § 153- Eindelyk, de meeting van den afitand wordt gedaan, na dat men de Zons hoogte gefchoten heeft en vóór dat men de hoogte der Maan fchiet, om dat die meeting dan minder ver af is van den tyd op welken men eene dadelyke hoogte van de Zon en eene van de Maan genomen heelt, dan zy zyn1 zoude indien men de vier hoogten allen vóór of na den afftand waarnam: en dus kan de overbrenging nauwkeuriger zyn. Laat ons nu dit alles met een voorbeeld ophelderen, v * Voorbeeld. Ik neem waar. O hoogte. Afft. c hoogte. © d I. ten JU. 56'. i". 7°. 34-35». II. 4U. . . . 7. 0.30. III. 4U. i'.59< . . . 1080.10'. 15». IV. 4Ü. S'. 4" 540.2,-! V. 4U. 6'. 14- 550 16'I. Ik bereeken dus deeze waarneemingen (a). Tus- («) 'l Geen hier voor de Zon gezegd wordt, heeft ook plaats voor «Ie Sterten: alleen merk tk aan, dat men, zo de Ster die men «ebimkr, imst op dat oogenblik niet gefchikt was, om 'er de hoolte genoegfaam naauwkeurig van te neemen , en dus uit die waarneennng den waaren tyd te befluiten; men alvorens te beginnen, eene «idere, daar toe op dat oogenblik gefchikter, Ster kan fchieien, en den tyd op het Horologie aanteekenen« vetvolgends met N°. I 1L «nz. zo goed men kan voort gaan: alj dan zal n.en uit de hoöeie van de eeisrgelchoten Ster den waaren tyd kennen: dus, uit den reiloopen tyd tusfehen die waarneeming en N°. 1, den waaren ivd P*itt, ©p een bekwiraen tyd, de hoogte van de Zon fchjeten, om uit  Over het doen der Waarneemingen door één Waarn. 157 Tusfehen de Ie en 11e zyn 3'. 59" verloopen: de verandering in Zons hoogte, geduurende dien tyd, bedraagt 35'. 5": tusfehen de He en Ille waarneeming zyn 1'. 50/' verloopen: dus zeg ik. 3'. 5Q" (verloopen tyd) zyn tot 34'. 5' (verandering 'in Zons hoogte^ zo als i'. 59" (verloopen tyd) tot de verandering, die, geduurende dien tyd, in Zons hoogte voorgevallen moet zyn: het geen ik, kortheids-halven door Logarithmen bewerk Log. 34'. 5"- = 2045»... 3 31C6933 Log. 1.59".= 119»... 2.0755470 5 3*62403 Log. 3.59".= 239»... 2.3783979 3.0078424 Getal 1018 = ió'. 5b". de hoogte was ten 4 U. 70. o'. 30". dus zal zy ten 4 U.x'.59". zyn; 6°. 43. 32" en die Zons hoogte zal men, eeven als of zy waargenomen geweest ware, gebruiken, lnsgelyks Tusfehen N. III en IV, verfchil in tyd 1'. 5". tusfehen N°.IV en V, verfchil in tyd 3'. 10": in hoogte . . 53'. 5": Ik zeg dan 3'. 10». (verfchil in tvd) tot 53' 5". (verfchil in hoogte) zo als i'. 5". {verfchil in tyd) tot het verlchil m hoogte, geduurende dien tyd: en dus door Logarithmen werkende. Log. 53'. 5"-of 3185".= 3-503'C94 Log. 1'. 5". of 65".= 1.8129134 5. 3160228 Log. 3'. 10". of 190".= 2.2787536 3.0372692 Getal. 1090". =5 18'. 10». G hoogte ten 4U. 3'. 44". is54°. a3._i_i. dus 54. 5. 1. is de hooguit den bereekenden Uurhoek vin dezelve den waaren tyd te befluiten: en ais dan, indien men een goed en vel gereegeld Horologie JJeefr, kan men, den tyd op welken men de Zon, en dien op welken men den afftand van Maan en Stet gefchoten heeft, op het Horologie bekend zynde, uit den waaren tyd van de eerstgemelde waarneesning, dien ran de tweede befluiten. Zie hier onder § 19*4 ea volg.  I58 IV. Deel. Het bereek. der Lengte in bjz. gevallen. hoogte ten 4 U. ï'. 59». ten tyde dat de afftand tusfehen © en cj gemeetcn wierd (». § 155- Ik gebruik dan in de bereekening deeze getalen. Afftand. ©hoogte. fi hoogte. 4U. v. 59". — 108. io 15''. — 60. 43'. 32». _ 54o. g». jut ik zie dezelve aan ais of zy my'allen door eene' onmiddelyke waarneeming bekend geworden waaren; en het zyn deeze getalen die ik tot den grondflag myner bereekening leg, en gevolglyk in de bereiding onder N°. I. ( § 36.) aanreeken. Hier uit blykt dat een éénig Waarneemer, mits met een goed, of ten minsten tamelyk goed (§ 148) Seconde-Horologie voorzien, in ftaat is, om alleen alle de deelen der waarneeming te verrichten. Een Asfiftent moet 'er altoos zyn om de waarneeming aanteteekenen: doch op dat hy dit te gemaklyker zoude doen, en zich in het aanteekenen niet zoude verzinnen, zal hy wel doen een papier voor zich te neemen dat op de volgende wyze bereid is, waarin hy by iedere waarnceming den tyd in de eeri:a kolom aanteekent, en in elk der overige kolommen, in dien reegel, in welken voor dat tydftip geen zwarte ftreep is, de waarneemingen zelve fchryftdus kan hy zich niet vergisfen, met in de eene kolom te ftellen wat in de andere zyn moet. Zie dan hier het model U. M. S. ©s. hoogte. Afftand. Cs. hoogte. 11' UZIZZ A ü m IV. Men (<) Het valt ligter die bereekeningen door de pnpsrtimtal- loga. mhmtn, uit Tafel XX te doen, om dat men d'an van de moeite fcevryd is om de minuuten tot leconden te biengen, ca om£ckee£d. m tyd uuwuu en feilen voorkomt.  Over het doen der'WaarneemingendoorèènWaarn. 159 Men lette echter wel, dat men niet, om dat wy hier maar vyf reegels onder No. III. geplaatst hebben, daaruit befluite, dat men noch meer noch minder dan vyf waarneemingen van den afftand neemen moet; men moet hier naar maate van de omftandigheeden te werk gaan, enkel zorg draagende, dat men tusfehen de eerfte en de laatfte waarneeming niet meer dan ao minuuten tyds laate verloopen, zo als § 149. N°. VI. gezegd is. § 156- Wanneer men dan de waarneemingen aldus gedaan beeft, zal men alle de waarneemingen onder N°. III. optellen, Ca) en 'er één midden uitneemen, insgelyks met de correspondeerende tyden handelen, en deeze gevondene middengetalen dus aanteekenen. (b) U. M. S. 1 ©s. hoogte. Afitand. Cs. hoogte. I II. Gemidd. III IV V Waar na men die waarneemingen op de zelfde wyze als § 154 en 155 gezegd is, zal gebruiken. III. Hoe te handelen wanneer de hoogte der Zon, ef van tene Ster, op den tyd der waarneeming niet naauwkeurig genoeg gefchooten kan worden. § 157. Grondbeginfel van de bewerking. 'Er kunnen zich drie gevallen opdoen, waar in men de hoogte van de Zon of van eene Ster niet met (*) Waarom men "ei meet dan eene neemt en behoort te neemen ral blyken uit § 339 en volgende. (b) De (lippen vervangen in dit model de cyffedetters der vMaeeniÉpgen dje men 'er anderszins. » fchxyft,  ï6o IV. Dttl. Het bereek. der Lengte in byz. gevaïlèé. met die naauwkeurigheid fchieten kan, welke vereischt wordt om 'er den waaren tyd uit optemaaken: i°. Wanneer de Kim te veel beneveld is om de gefchooten hoogte daar toe te betrouwen, of zo men eene Ster fchiet, wanneer de Kim daar toe te duister is: 2°. Wanneer de hoogte van de Ster of van de Zon, al is de Kim voor het overige zuiver, daar toe te klein is: 3». Wanneer de Zon of de Ster ten tyde dat men ze fchiet te dicht by den Meridiaan zyn: in welke beide laatfte gevallen de befluiten uit eene anderzints naauwkeurige waarneeming, aan eenige onzeekerheid onderworpen zvn: en men herinnere zich altoos dat feilen ofonZeekerheeden in de gefchooten hoogte, Welke op het bereekenen des afftands bynaar geen invloed hebben, veel invloed hebben op de naauwkeurigheid van den bereekenden Uurhoek, en dus van den waaren tyd aan Boord. Men kan de zwarigheid die daar uit ontftaat te boven komen, mits men een goed Seconde-Horologie bezitte, dat is, een Horologie dat eene eenpange beweeging, geduurende eenen genoegfamen tyd, behoudt. Het grondbeginfel waarop dc geheele bewerking (leunt is zeer cenvouwig. § 158. Men ftelle 1°. dat men op het oogenblik der waarneeming den tyd op het Horologie aanteekette, namentlyk het uur, de minuut, en de feconde: a. Dat men, of eenigen tyd vóór of eenigen tyd na die waarneeming, eene bekwaame Zons hoogte fchiete, en teevens het uur, de minuut, de feconde op het Horologie aanteekene: Dan zal men i° uit die hoogte den Uurhoek bereekenende, den waaren tyd van die waarneeming weeten: dan zal men 0° daar uit opmaaken, hoe veel het Horologie op dat oogenblik vóór of nagaat. 30. Men weet uit de vergelyking der twee waarneemingen hoe veel Horologie-tyd 'er tusfehen dezelve verloopen is. 50. Zo men dan een Horologie heeft, dat, of den gemiddelden tyd volgt, of waar van men den gang kent, zal men door middel der tydytreffening en der reegelen, die wy daar voof  t)p hetgev. als de Q of Ster niet naattwk.gefch.Wordt. 161 voor in onze Verklaring van den Almanach gegeeven hebben, den verloopen tusfehentyd op het Horologie, in waaren tyd veranderen : waar uit volgt dat zo men dien waaren tusfehentyd, van den tyd der waarneeming, welken het Horologie aanwyst aftrekt of 'er byvoegt, naar maate die hoogte na of vóór het meeten van den afftand gefchooten is, men ook den waaren tyd van de waarneeming kennen zul* Het zal niet ondienstig zyn, hier over nog eene cn andere aanmerking te maaken. § 159 Het is altoos nuttig dat men meermaalen daaes eene goede Zons hoogte fchiete, ten einde 'er ee nen hoek uit te bereekenen, hetgeen wv kort heidshalven eenen Z-ns-Uurhoek noemen zullen I . Men kent daar door den waaren tyd, en herkan , in veele omftandigheeden, dienftig zyn den zeiven wel te kennen: s9. Deeze herbaalde waarneemingen van Zons-Uurhoeken, ftellen ons in ftaat den gang vjn het horologie te kennen en kunnen alleen ons daar toe in ftaat ftellen: dit nu is van het uiterst gewigt. 30. Daar men, hoe helder ook de lucht zy , nimmer weeten kan of, uanneer het tydftip, om eenen afftand te kunnen Ichieten, daar zal zyn, de lucht helder genoeg zal zyn, om eene Zors of Sters hoogte naauwkeurig genoeg te neemen, cn deeze lichten zich als dan misfchien op eene hoogte of op eene plaats zullen bevinden, die tot het bepaalen van den Uurhoek minder gefchikt zyn ; zal het altoos eene billyke voorzorg zyn, zich in ftaat te ftellen, door het tydig fchieten van eenen of meer dan eenen goeden Zons-Uurhoek, dit onheil te voorkoomen Wy hebben gezegd dat men , ten 40 jen '«-an* van het horologie kennen moet; dat is, niet lleen of bet vroeger of laater wyst, dan de waare tyd en hoeveel; maar of het den middeltyd vokc- of de tusfehentyd van ten uur op het horologie, juist («) Zie Verklaring 'jan de» Almanach, tweeden druk, bl, »ï.  16» IV". Deel. Het bereek. der Lengu in byz. gévallen. tuist één uur middeltyd uitmaakt, dan wel meerder of minder: en zo ja hoe veel Wy hebben al wat den gang van het horologie betreft , en de middelen om dfnzelvcn te bepalen breedvoerig, in den tweeden Druk van de Verklaring van den Almanach, uitgelegd, en wy meenen R|jvolglyk Hir nuk- hier te kunnen vooronderftcllen : daar Smand, Se dit ftuk en de volgende ftukken van de Lenete wil beöeffenen, den Almanach volkoomen behoort te verdaan; en wy gerechtigd zyn den Leezer thands na denzelven te wyzen. Dit vooraf herinnerd hebbende, zullen wy den Reegel opgeeven, en met voorbeelden ophelderen. Reegel. § 160. 10 Alvoorens den afftand te fchieten, en de verdere ' waarneemingen van Maans en Zons noogten , die daartoe noodig zyn, te doen, zal men ten bekwaamen tydeeene goede Zons hoogte fchieten, en op het oogenblik van de waarneeming, de feconde, de minuut en het uur, die het horologie aanwyst, aanteekenen. ao Bereeken, u t die gefchooten hoogte, zo naauwkeurig moogelyk, den Uurhoek: de uitkomst ceeft den waaren tyd, en toont aan hoeveel het horolone vóór of na den waaren tyd wyst. «0 wannea gy den afftand zult fchieten, teeken * ' de feconde, de minuut, en het uur aan. a° Uit de vergelyking van No. 3. en No. 2. weet * 'sv hoe veel horo'ogie-tyd 'er tusfehen de waar¬ neeming No. 1, en die van den afftand ver- eo ^eng dien verloopen horologie-tyd, door de ' kennis die gy hebt van den gang van het horologie, tot gemiddelden tyd, en deezen door de tvdvereffening tot waaren tyd. fio voeg dien waaren tyd No. 5. by den waaren ' tvd No. 2: het is de waare tyd van het oogenblik, op het welk gy den afftand gefchooten hebt. 70t  Öj>. het ge», als cle Ö of Ster niet traauwk. ge fch. wordt. 163 j°. N. B. Indien de waarneeming van den Uurhoek CNo. 1.) niet gefchieden kan vóór het waarneemen van den afftand, fchiet den Uurhoek daarna: ga te werk zo als in No. 2, 4 en 5: doch als dan trek den Waaren tusfehentyd No. 5; van den waaren tyd No. 7 af: het verfchil is de waare tyd van den afftand. 8°. Eindelyk, men zal, zo mogelyk, geen te langen tyd tusfehen de waarneeming No. 1. of No. 7.en het fchieten van den afftand, laaten voorby gaan, op dat men te meer zeeker zoude kunnen zyn: i. dat 'er in dien tusfehentyd geene verandering aan het horologie gebeurt: 20. dat indien de gang van het horologie dien van dert niiddeliyd niet mogt volgen, en men het verfchil niet wist, de feil, die 'er uit voorkomt, niet merkel yk zyn zoude. 9°. Al heeft men de waarneenling N°. r. gedaan, zal het nuttig kunnen zyn de waarneeming N°. 7. ook te doen, al waare het maar om ter bevestiging te dienen , de naauwkeurigheid van de eene door de andere te toetfen, en den waaren tyd des afltands te naauwkeuriger optemaaken. Het is meestal, wanneer men den afftand van Maan en Ster fchiet, naauwkeuriger deeze manier te gebruiken dan den Uurhoek uit de gefchoten Ster afteleidcn; dit is de reeden waarom wy op onze Tabel li. en 111 voor het bereekenen van de Lengte door den afitand van Maan tot Ster, de fchikking zodanig gemaakt hebben, dac men raar willekeur de eene of de andere handelwys kan gebruiken. Op het II Tabel vindt men de gewoone, op het III, die welke wy nu hebben uitgelegd en met voorbeel* king den gaan bevestigen. I. Voorbeeld. §. 161. Den 11 February 1788. rtty op 300 gr* Noorder Breedte, en naar gisfing op 56° Westelyke Lengte van Teneriffa bevindende, heb ik ten 4 U. 27'. 20". de hoogte van den bovenften rand der Zon gefchoL 2 ten  164 IV. Deel Het her eek. der Lengte in hyz. gevalle*. ten ico,en ten 6 U. 16' heb ik den afftand van Maan* verften rand en Aldtbaran gemeeten. Men vraagt den waaren tyd van die meeting. Uit de Zons hoogte, en uit de Breedte, op welke ik my bevind, bereeken ik den Uurhoek, en ifc vird dat dezelve, in tyd gebragt, is O). 4 U. 37'. 41". maar het Horologie wees op dat oogenblik 4 U- a7- dus wyst het Horologie na. . o. 10'.ai". Het Horologie wees op het oogenblik van de meeting des afftands 6 U. 16'. o». op dat van de höogtemeeüng der Zon. 4-27 20 dus verloopen tyd. . . • 1 , 48 40 waar by dc tyd van de hoogtemeeting. 4 . 37 41 dus waare tyd op welken de afftand ge meeten is. . . • • 6 . 26 at Wy voorondcrftellen hier ten eersten dat de verandering van tyd vereffening, geduurende den op het Horologie verloopen tyd, te klein is om in acht genomen te worden: ten tweeden dat bet Horologie den gemiddelden tyd naauwkeurig gevolgd heeft, dat is, dat de gang van het Horologie volmaakt gereegeld is. 'Er zyn veele gevallen dsar het dus niet geleegen is, en in welke men derhalven op de verandering van de Tydvereftcring en op die van den gang van het Horologie letten moet. § 162. I. De verloopen tyd tusfehen dc meeting van den afitand en de hoogtcmeeting der Zon, op het Horologie gefchat, is gemiddelde tyd: doch het is niet dc gemiddelde m:iar de waare verloop* n tyd dien men gebruiken moet: dus moet men dien gemiddelden tyd tot waaren brengen, voluenus het geen in de verklaring van den almanach omtrent de Tyd vereffening gezegd is, en han. de. (<«) Het is onnuttig de bereekenine van den Uurhoek hier by te «oegen: rucn kan dezelve vinden op het U Takel N°. 3, 1, 8.  Ov. hetgev. ah de O of Ster niet naauwk. gefch. wordt. 165 delen naar den zo eeven opgegeeven reegel (§ 160) men moet namentlyk een evenredig gedeelte van het verfchil van TydvereiTening aftrekken of byvoegen, naar maate de TydvereiTening en haar ■verfchil de zelfde of verfchillende teekens hebben; want het eerlte is een teeken dat de verloopen gemiddelde tyd grooter dan de verloopen waare tyd is, het tweede is een teeken dat de gemiddelde tyd kleiner dan de waare is. • • * •. II. Voorbeeld. Ik ftel voor een oogenblik, dat het geen men in het voorgaand voorbeeld bereekend heeft, niet tot den 10 Februari, (daar het verfchil van Tydvercffening in 24 U maar 0,2" bedraagt, en dus te klein is om in aanmersing te komen) maai tot den ic January behoort. Al'het overige het zelfde geheld zynde, zoude ik dus vo>rtgaan. waare tyd van de hoogte meeting. . 4^-37'•41"« Verloopen tyd op het Horologie. . 1 U. 48'. 4c". Verfchil van -f- Tydvereffening in 2411,4-24» '"• dus eevenreedig gedeelte in 2 U, omtrent. . — 2»._ dus waare verloopen tyd. . . I. 48. 38. Dus waare tyd van de waarneeming. . 6. 26. 19. S '63. II. Wanneer het Horologie den gemiddelden tyd niet vo'gt, en zyn gang dus niet gereegeld is, moet men deezen door waarneemingen van twee Zons hoogten, by voorbeeld, leeren kennen, zo als zulks 'in de Verklaring van den Almanach is uitgelegd: en dus moet men voor den op het Horologie verloopen tyd een eevenreedig gedeelte neemen van het geen het Horologie in 24 U, of anderen bepaalden tusfehentyd, te fchielyk of te langzaam gaat: aftrekkende zo het Horologie te fchielyk, by voegende zo het te langzaam gaat. Wy zullen dit insgelyks met een voorbeeld ophelderen. ,ir L 3 1H.  IÓ6 JV.Deel. Het hereek. der Lengte in byz. gevalle», III. Voorbeeld. Ik ftel alles zo als in het II Voorbeeld: behalvcn dat men gevonden heeft dar. het Horologie b" te fchielyk gaat in 24 U. men heeft dan: ' U. M. S. Waare tyd van de hoogtemeeting. . 4, 37.41. ü. M. S. Verloopen tyd op het Horologie. 1, 48.40, Verfchil van 4-Tydvereffening in 24, U., 4- 24, 1'. Dus Correctie in 111.48' -\ omtrent. —- a"./ Correctie van het Horo- \ logie in 24 U. — 8' r dus in 1 ü. — 2C7 \ in 48'. . . i6"5 —6r.J dus geheele Correctie. . . 38'<. Dus waare verloopen tyd. . 1 48- 3. Waare tyd van de waarneeming. . 6 25. 43. en niet zo als in het 11 Voorbeeld 6 U. 26'. k;". of zo als in het eerfte 6 U. 26'. 21". Waar uit blykt hoe noodzaakelyk het is hier op te letten. JY. Over het bereekenen van de Lengte, ah men de» Afftand van de Maan tot de Zon of eenige vaste Ster gemteten heeft, doch zonder derzelver Hoogte te kunne» fchieten. § 164. Optelling der ftukken die daar toe vereischt worden.. 'Er kunnen zich gevallen opdoen, dat men in d< onmogclvkheid zoude zyn, weegens ccne duistere of onvrye kim, of eenen donkeren nacht,dchoogt' van Zonen Maan , of van Maan en Sterren , zelfs me eene middcloiaatigc naauwkeurigheid , tc meeten: waar door men dus ue geheele waarnccming zou de moeten laaten vaaren , indien men zich niet i ftaat bevond ook dit te gemoet te kaomen. Me  Over het meeten des Afflands zender Hoogte. 167 kan dit doen, mits men een goed Seconde-Horologie hebbe, dat men te vooren naar den waaren tyd getoest heeft: dat is, i°. mits men te vooren eene goede waarnecming van de Zons hoogte gedaan hebbe, en te gelyk den tyd op het Horologie hebbe aangcteekend , om dus te weeten hoe veel het Horologie vroeger of laater dan den waaren tyd aanwyst: en mits 2°. of de gang van het Horologie wel bekend zy , of de gemelde waarneeming niet te lang geleeden gedaan zy, om te vreezen dat het Horologie ongefteld geraakt zy , of een' gang mogt hebben , die van den gemiddelden tyd merklyk afwyke . en dus eenigen invloed op de befluiten kan hebben O). Wat dan de waarneeming betreft: men zal i°. cp het oogenblik dat men den afitand fchiet de feconde, de minuut, en het uur van het horologie aanteekenen : a°. Indien men dan den tusfehentyd , welke 'er op het Horologie verloopen is, zeedert dat men den waaren tyd door eene Zons meeting bepaald heeft , door een eevenreedig gedeelte van den gang , zo noodig is, en van tydvereffening verbeeterd, zal men den verloopen waaren tusfehentyd verkrygen: 30. Deezen, by den waaren tyd, die by het neemen Van de bewuste Zons hoogte plaats hadt, voegende , heeft men den waaren tyd op het oogenblik der waarnceming (F) Wanneer men dien waaren tyd naauwkeurig kent, is men in ftaat,uit den gemeêten afitand, de Lengte te bereekenen , eeven als of men Zons of Sters, cn Maans hoogte gefchooten hadt; want om de Lengte te bereekenen, dat is , om uit den fchynbaaren gemeeten afitand den waaren op te maaken, moet men vyf dingen weeten: i. de waare hoogte van de Zon , of van de Ster die men gebruikt ; 2°. de waare hoogte van de Maan: 3°. en 4. derzelver fchynbaare hoogten: om dus N°. III. A en B, K°. IV. B en C, van onze bewerking CS 38 (*) Zie Verklaring va» den Almanach, bl. 24. of meer byzonderlyk ia den twoeden druk, bl. 38—49. (h) zie wat wy hier boven gezegd hebben (§ 159 — § 164): dit is hier volkomen toepaslel) k. L 4  l68 IV. Deel. Hit Ier eek. der Lengte in byz- gevallen. (§ 38 en 39) te verrichten: cn dan 50. den fchynbaaren afftand zeiven; om uit deeze' 'vyf bekende ftukken den waaren afftand (No. V. § 40. en 41.) te bereekenen; en daar uit (N° VI. § 43.§44.) den tyd op Teneriffa afteleiden. De waare tyd aan boord is by de onderftelling gegeeven, zo dat men niet N°. VII en VIII. niets tc doen heeft No. IX. valt altoos gemaklyk. A. Het vinden der waare hoogten van Zon, of Sier, en Maan. 1°. Algemeene oplosfing die teevens van zelfs op de hoogte der Zon toegepast wordt. § J65. Dit gefteld , en dus den waaren tyd voor een bepaald oogenblik bekend zynde, is de algemeene vraag deeze : Bekend zynde de Breedte, den Tyd, en dc Declinatie van eene Ster; haare hoogte voor dien tyd te vinden. Dit is weederom een voorftcl waar van de gronden in byna alle de boeken over de Stuurmanskomt gevonden worden, en dat zeer gemaklyk op te losfen is. Immers is (Fig. 4) in den driehoek TPZ , TPZ de Uurhoek die gegeeven is, mits het Uur in graaden gebragt worde; T P het Complement van de Breedte: P Z de afftand van de Zon of Ster tot den Pool: en dus heeft men eenen driehoek waarin twee zyden en de begreepen hoek bekend zyn, en gevolglyk kan men de zyde T Z , hier het Complement van de Hoogte, vinden. De rcegel wordt in alle de Boeken over de Stuurmanskonst opgegeeven ; wy hebben denzelven reeds te vooren aangeteckend (§ 43. Noot b) en zullen ze § 288 en volgende bewyzen — Doch hoewel alle de opgenoemde Schryvers dit geval van de klootfche driehoeksmeeting behandelen, is 'er maar een hunner , namentlyk GiETtRMAKER, die 'er eene toepasfing van maakt op het vraagftuk dat wy thands voor handen hebben, te weeten om de hoogte van cenc Ster voor een  Over het meeten des sffftands zonder Hoogte. 169 een bepaald tydftip te bereekenen , de Breedte op welke men zich bevindt, bekend zynde : ditr noopt ons die zaak hier opzetlyk te behandelen , vooral om dat men twee reegels zoude kunnen opgeeven , die in den eerden opflag fchynen zouden van eikanderen te verfchillen, hoewel zy uit dezelfde oplosfing van den klootfchen driehoek TPZ voortkoomen. Wanneer men namentlyk een' klootfchen driehoek TPZ heeft, waarin twee zyden TP, PZ, en de hoek P tusfehen dezelve begreepen , bekend zyn, moet men, om de derde zyde te vinden, uit een der beide onbekende hoeken , eenen perpendiculairen boog op de tegenovergeftclde , en dus bekende, zyde laaten vallen: wy hebben dan de keuze om dien perpendiculairen boog of uit Z, en dus op TP, of uit T, en dus op PZ te laaten vallen •, en dit leevert juist de twee oplosfingen op: wy zullen die beiden nagaan. Eerfte Reegel voor die oplosfing , door de gewoone Tafels. § id Laaten wy dan ondcrflellcn dat 'er uit Z een p rpendiculairc boog 'Lx op PT valle : dan heeft men volgends den bekenden reegel § 4c. noot a. aangehaald en § 2b8. en volgende bcweezen. Log. Cot PZ. Log Cos. iTPZ. Verfchil is Logarithmus Cotangens van het eerfte ftuk of eerfte fegment ?Tx, tusfehen den hoek P en den perpendiculairen boog begreepen: men neemt voor dat ftuk Pa-, of den boog die in de Tafel ftaat, of deszelfs fupplement, naar maate de boog PZ en de hoek TPZ van den zelfden of van verjchillenden aart zyn. Cd) Het (t) Zie het geen wy gezegd hebben § 4onoot£en in het bewys zeggen -uilen § 290, over de gevallen wanneer de perpendiculaire boog, binnen den A valt, zo als in A TPZ de boog T», ot buiten denzelven zo als hier. L 5  170 IV. Deel. Eet bersek. der Lengte in byz geval/en. Het weed) ftuk, x T , is het Verfchil tusfehen de gegeeven zyde TP , en het gevonden eerfte ftuk , P x. De beide ftukken bekend zynde, heeft men verder, Log. Cos. PZ. Log. Cos. tweede fluk. Som deezer Logarithmen Trek af Log. Cofin eerfte ftuk. het Verfchil is Log. Cofinus TZ, Complement van de fezochtc hoogte, en dus ook Log. fin. van die oogte. § l67- Laaten wy dit op een voorbeeld toepasfen: op het voorbeeld namentlyk dat wy tot nu toe bereekend hebben. jo. Wy hebben gezien § 51. dat de waare tyd aan boord is 5 U. c'. 19". Daar wy hier over de Z >n handelen, geeft die tyd te kennen, hoe veel dc Zon van den Middag, of Meridiaan af is: en dus is die tyd, in graaden gebragt, de Uurhoek ZPT zelf: dus hier 75° 4'« 45"- a°. De Breedte is uit § 36. bekend,namentlyk ic*\ 20': dus is P T, of Complement Breedte, 79°. 4C %p. Om naauwkeurig te werk te gaan , moet men ,de Declinatie niet flechts voor den middag van den gegeeven dag uit den Almanach ontleenen, maar men moet dezelve voor het gegeeven tydftip bereekenen, eeven als wy dit in § 49. gedaan hebben: Zie hier de bereekening voor ons geval^ De gegiste Lengte is 1 n° W of in tyd. 7 U. 24'. o" het gegeeven tydftip aan boord is. . 5 o- *9 dus is het dan op Teneriffa. - 12 U. 24 19* Voor welk oogenblik dc Declinatie bereekend wordt. Zy is namelyk den 10 Febr. 1788. op middag. . . . 14°. 19». 48" Z Verandering in 24 U. — 19. 39" dus in iï U. voor 19' . . 9'. 30*} voor 391» . . • I9"C in 24' voor 19' . . . IV C voor 39" . . . i'J — 10. 9" Dus  Over het meeten des Afftands zonder Hoogte 171 Dus 0 Declinatie op het oogenblik der waarneeming. (a\ 14°. 9'. 3<)"Z Dus is PZ, of Zons afftand van den Pool hier 90» + I4°- 9'. 39"' of JC4° 9'- 39": en gevolglyk van verfchillenden aart met hoek P, of met den Uurhoek. Maar Cotang PZ is altoos gelyk aan Tang. Declinatie , en Cos. PZ gelyk aan Sinus Declinatie. § 168. Het voorgaande dus in woorden gebragt, leevert deezen reegel op: naast welken wy de getalen zullen plaatfen om ons voorbeeld teevens optelosfen. 1°. Neem Log. Tang. Deel. (14°. 9'. 39"). 9.4019373 a°. Neem Log. Cos. Uurhoek. (750.4. 45"). 9.4107505 3°. Neem hetVerfchil dier Logar ithmen\ivei 9.9911868 4°. Zoek den boog waar van dat verfchil is Logarithmus Cotangens: men vindt hier 45°. 34'. 53*. en die boog of deszelfs fupplement is het eerfte ftuk, naar maate Pools afftand en Uurhoek van den zelfden , of van verfchillenden aart zyn : hier zyn zy van verfchillenden aart: dus neemt men voor het eerfte ftuk het fupplement van 450. 34'. 53" namentlyk 134O. aji 7». 5°. Neem het verfchil tusfehen het eerfte Stuk en Complement Breedte, [hier tusfehen 1340. 25'. 7». en 790.40'.] het is het tweede ftuk: hier 540.45'. 7". 6°. Neem Log. Sin. Deel. . (14° 9'. 39'/). 9.3885357 70. Neem Log. Cos. 2e Stuk. (54° 45'.57 ). 9.7612642 8°. Neem de Som van die Logarithmen. . 9.1497999 9O.TrtkafL0g.C0s ieStuk.(tfO 34.53"). 9.8450332 10». Hel Verfchil . . . 9.3047 667 is Log. Sin gezochte hoogte. . 11°. 38'. i-»». Het geen maar 13" grooter is dan de hoogte No. IH. % 38. bepaald. Twee» v\fï ?m weLke tte.den d,e P*$a*fr> hifI sr" Metier gevonden v ot it dan in § 40, hoewel het voorbeeld het zelfde *y, zal blykea  17* iV.Deel. Het bereek. der Lengte in byz. gevallen* . Tweede Regel voor die oplosfing door de gewoone Tafels. §• 169. De Tweede Reegel heeft plaats indien men den perpendiculairen boog T u uit T op PZ laat neervallen: dan heeft men, volgends den Reegel § 166. aangehaald.Log. Cot. T P. Log. Cos. L TPZ. Verfchil. ... is Log. Cot van het eerfte ftuk. Het tweede ftuk gelyk aan het verfchil van PZ cn het eerfte ftuk. Vervolgends: Log. Cofin, T P. Log Cofin. tweede ftuk. Som deezer Logarithmen. Trek af Log. Cofin eerfte ftuk. Het Vëxld\^\TTog7Coftn^s T Z. Dit in woorden "ebragt cn teevens op ons voorbeeld toegepast, geeft deezen Reegel. 1°. Neem Log. Tang Breedte (1c0. 20' ) 9.2608626 2°. Neem Log. Cofin. Uurhoek (7$°. 4 45".). 9 4107505 3°. Het Verfchil van die Logarithmen 0 8501.121 is Log. Cotang. eerfte ftuk hier ^4°- 41'. 48" 40. Het tweede ftuk is verfchil van pools afftand en eerfte ftuk: dus hier 104°. 9'. 39" — 5 den Logarithmus Ryzing , dat is (§ 305.) den Log. Smits verjus van den Tyd, die zeedert den middag verloopen is, Of, zo het vóór den middag is, nog verloopen moet: men moet dan in dit geval den gegeeven tyd van 12 of van 24 U. aftrekken , naar maate men, zo als in de burgerlyke faamenlecving flechts tot ia U of, zo als de Sterrekundigen , tot 24 ü. geteld heeft. Zie bier de geheele bewerking op het zelfde voorbeeld toegepast, N. Br.  Over het meeten des Afftands zender hoogte 175 N.Br. ic0.!O. Log. Sec. of'Comp. Log. Co/T 0.00710 Z.Dccl. 14. 9.39"- — 0.01340 O; ©afft. van top24- 29. 39. fom (A) 0.02050 O) Tyd 5 U. o'. 19". . . Ze^. ftyz<«ff 4.8707S verfchil 4.85025 hier van getal 70836 JJecht Cofinus afftand van Top . 91000 verfchil 20164 is JJecht Sinus van 11° 38'. Dit verfchilt niet alleen met de waare hoogte, maar ook met de hoogte door de gewoone oplosfing gevonden: dan, daar douwes de gewoone Logarithmen maar tot 5 letters gebruikt, en de zyne maar tot 5 letters bereekend heeft, dat zeer te beklaagen is, daar boven dien zyn Tafel Logarithmus Ryzing, zelfs in de uitgave vaa steenstra, maar van 8 tot 8 feconden tyds bereekend is, en gevolgelyk maar van 2' tot 2'graads, fpreekt het van zelf dat men aan eene feil van eenige weinige feconden onderworpen is: (c) intusfehen ziet men hoe veel die manier korter is dan gewoone: doch men moet in § 136. nagaan hoe men die manier gebruiken kan, al heeft men de Tafels van douwes niet: en dan kan men de Logarithmen tot 7 letters neemen. Aan- (st) Als Breedte en Declinatie gelyknaamig zyn, trekt men af. (& 1 Als dc Tyd voor middag is, trekt men denzelven van den middag af en men neemt Lig. Ryvng van dit verfchil. (c) Dat deeze reedenen de oorzaak van het verfchil zyn, zal blyken, indien wy de bereekening met nauwkeuriger getalen bewerken, en den Ligarithnws-Sinus - Vit Jus in plaats van den Logarithmus-Ryzing met de voorzone hier boren §135 gemeld, gebruiken. Zie hier de bereekening: 0.0071016 o.0134027 o.0205045 4j 870705 T_ 4.8502014 getal. 708274 91000; 201731 biet van de Ltgarlthmus 9-3047727 is lagtrithmut*Sinnr van 110.38'. 17". eeven al* wy het te VOten gevonden hebben.  176 IV. Deel. Het her eek. der Lengte in byz. gevallen. Aanmerking over hei verfchil der bereekende en de waargonomene Hoogte. § 173- Wy hebben gezien § i63. § 160. dat de bereekende hoogte 13" met de waarger.oomen § 3. N°. III. verfchilt: men zal zeekerlyk vraagen wat is de oorzaak van dit verfchil? Zy is deeze. Om dc hoogte te bereekenen moesten wy dc Zons Declinatie kennen : daar toe was het noodig dezelve te bereekenen voor het Uur dat men op het oogenblik der waarneeming op Teneriffa telt. Dit Uur is flechts by gisfing bekend, om dat men voor als nog aan Boord de Lengte niet dan by gisfing kent. Wy gisten dat het toen op Teneriffa 12 U. 24'. 19 . v/as: 'doch, de uitkomst van N°. VI. (§40) onzer bereekening der Lengte heeft getoond dat het toen op Teneriffa maar 11 U. 38'. 36" was: wy hebben dus de Declinatie voor 45'. 43" laater dan gefchicden moest bereekend: g'volglyk is de Declinatie die wy gebruikt hebben 37» te klein: hier door js de 'pools afitand te klein: dus (in den tweeden Reegel § 169.) het tweede ftuk tc klein : dus deszelfs Cofinus te groot: en daar door de gezochte hoogte ook re groot. Wil men dit nader bcweezen hebben: men gebruike de Declinatie en den pools afftand, die wy, in N°. VII. voor het waare tydftip bereekend hebben, dan zal (§ 169.) het tweede ftuk zyn 490. 2b1'. 28" en dus heci't men Log. Sinus Breedte (io°. 20') . 9.2537609 Log. Cofin. tweede ftuk. (49°. 28'. 28") 9. 8127711 9.C655320 Log. Cofin. eerfte ftuk. (54°. 41'. 48") 9-7618566 verfchil . . 9.3046754 is Sinus gezochte 0 hoogte = 110.38'. 8" dat met de waargenomen hoogte op 4" na overeenkomt. De feil. die 'er in de bereekende Zons hoogte uit de onzeekerheid der gegiste Lengte ontltaat, kan nooit zo groot zyn dat zy eenen merkelyken invloed op de Lengte, die men bereekenen moet, hebben kan: doch al waare dit zo, kan men echter,  Over het meeten des Afftands zonder Hoogte. 177 ter, door herhaaling, tot de waarheid komen, zo als wy het ftraks (§ 189.) voor de hoogte der Maan toonen zullen, alwaar die feil van zeer veel invloed zyn kan. II. Toepasfing der algemeene oplosfing op de hoogts van de Maan. 1°. Uurhoek van de Maan. § 174. Wanneer men de hoogte van de Maan of van eene Ster voor een bepaald oogenblik bereekent, moet men, eeven als voorde Zon, buiten de Breedte, waarop men zich bevindt, den Uurhoek, en de Declinatie der Maan kennen; voor de Zon was ook de Declinatie niet gegeeven : die moest men voor het gegeeven oogenblik bereekenen (§ 167.): dit moet men hier ook doen : en dus ten dien opzichte, (taan beide de vraagftukken gelyk. Maar wat den Uurhoek betreft; deeze was voor ie Zon gegeeven, want de tyd zelve die gegeeven is , is niets anders dan dc afitand der Zon 'an den Meridiaan , dat is de Uurhoek. — Geheel mders is het met dc Maan geleegen : de Uurhoek s en blyft wel de hoek TPM, of FPE in den feriehoek r P M (Fig 4.) welke hoek docr den boog ' E van den JEquator gemeeten wordt, cn den aftand der Maan van den Meridiaan aanduidt: maar ie afitand, die boog FE is hier niet gegeeven, en wet dus als eene bereiding bereekend worden. De gronden waar op dit rust zyn zeer eenvoudig ik weet, door den gegeeven tyd, hoe ver e Zon , op dat tydftip, van den Meridiaan af is, p den /Equator gereekend Zoo ik dan weet bxe er de Maan, op den /Equator, van de Zon af is, an ik ligt opmaaken hoe ver de Maan van den leridiaan afltaatj dat is, ik ken den boog FE van en JEquator. en dus den Uurhoek. Men verbeelde zich dan dat in Fig. 7 de lyn de fnyding van Artes, het flip waar M van  178 IV. Deel Het beretk. der Lengte in byz gevallen. van men de rechte opklimming begint tc tellen: (a) zo is V G de rechte opklimming van 'de Zon: V Cl die van de Maan: en gevolglyk is g 0, het verfchil dier beide rechte opklimmingen, de afftand van de Maan tot de Zon : het toont aan hoe veel de Maan verder op den JEquator is dan de Zon, of de Zon dan de Maan. § 175. Zo de Maan verder is , dat is, zo haare rechte opklimming grooter is dan die der Zon , is zulks een teeken dat zy na de Zon in den Merid-aan komt : en dus, neemende het verfchil tusichen het gegeeven Uur, dat is tusfehen den tyd dien de Zon reeds door den Meridiaan (M/h) geweest is, en het verfchil der gemelde rechte opklimmingen , of den tyd dien de Maan na de Zon in den Meridiaan komt , weet men hoe veele Uuren de Maan van den Meridiaan af is; dat is men kent den Uurhoek. Zo de Zon verder is dan de Maan , dat is zo haare rechte opklimming grooter is dan die der Maan , gaat de Maan vóór de Zon door den Meridiaan : en dus den tyd , dien de Zon reeds door den Meridiaan geweest is, voegende by den tyd dien de Zon verder dan de Maan is, of het gemelde verfchil van rechte opklimmingen , heeft men den tyd dien de Maan van den Meridiaan af is, of den Uurhoek. Beide deeze gevallen kan men, eeven als voor den doortocht der Sterren door den Meridiaan, tot eenen reegel brengen (c). Ret- (4) Zie Verklaring 'Mn den Almanach, bl.8 (O Zie wat wy hiei boven §54 — § 58. daar over gezegd hebben,  Óver h'et tribeten des Afftands zonder Hoogte. 179 Reegel om den Uurhoek der Maan te bereekenen. § l?ö. i°. Bereekett de rechie opklimming van Zon en Maan voor het gegeeven tydftip. Breng de laatstgemelde ook in tyd. 2.°. Trek de rechte opklimming der Zon van diè der Maan af, by deeze laatfte 24 U, voegende, zo zy kleiner dan die der Zon is. Het verfchil geeft den afftand dei- Maan van di Zon op den iEquator te kennen. 5°. Neem hel verfchil tusfehen dat verfchil en het gegeven Uur : de rest geeft detl afiland van de Maan tot den Meridiaan, dat is, den Uurhoek der Maan. NB Die zelfde reegel gelde ook voor den Uurhoek der Sterren, Voorbeeld. § 177. Men' vraagt dert Uurhoek van de Maan den tö Fcbr. J788 's avonds, ten 5 U. o'. 19". op eené plaats die iiiq. W. van den Pic afligt, en op io°. 29' Noorder Breedte is. Dié 1: io l engte maaken 7 U, 24' uit: en dus komen die 5 U. '0'. 19" met 12 U. 24". 19». op den Pic over een: voor welk tydftip men den Uurhoek der Maan door de rechte opklimmingen bereekenen moet. Men bcreckerit eerst de rechte opklimmingen Volgends het geen wy in dc Perklaring van den Almanach, 11 bi. van iedere maand,gezegd hebben, de tweede veriehillen, zo het nodig is, gebruikende. . . . , I. Ver. K. Ver grechteOpk'i 10Ftb. middag 3§6°. 52 ö -s midJcrn. 2. 46 9 54 4- 6'C n middag 8. 46 °* 0 7.C6* *—middern. 14. 53 °- 7 j M 2 Uit  l8c IV. Deel. Hetbereeh. der Lengte in byz. gevallen. Uit Tafel XII. in 24' voor 6°. . u'. in 19* 6°. . 0. ica 12'. 10". Uit Tafel XIII voor 6J'in 24', omtrent. . . — 6". (a) Dus verandering . . 12'. 4". G Rechte 1 pk lira. 10 Feb. XII U. . 20 46. Dus ten 12 U. 24'. 19". 20.58'. 4". hec geen in tyd maakt: voor 2°. . 8'. o". 58'. . 3'' 5a"- ■■ 4". . 0". dusinhetffeh:clii'.5a". U. M 9. © Rechte Opklimming 1 - F br middag. . 21.35.49. \ erand in 24 U is 3'. ge;*. Du in <2 U. . ï*5% in 24 (Taf. XI) • ■ 4 • • Dus O Rechte Opkl. ic F>.br ten 12 U. 24 Hf- • • • 37- 51 De (J rechte opklimming was. . . O. U' 52» trek af 0 rechte opklimming. . . 2ï 3?. 51 2 34- 1 gegeeven tyd aan boord. . . 5. c. 19 trek af, het klein ite van het grootte, bly ft,,_jz ïê. j8 na den doorgang van de Maan door den Meridiaan (*) Wy rubber) in de beteekenine der rechte opklimming van de Maan, om zeer naauwkeurig re werk te gaan , het tweede verfchil gebruikt, ty anneer men du niet georuikt is de bereekening veel korter, en fomtyds mauw keurig genoeg. Dus hier, zoude men hebben, verfchil in 24' 19" uit Tafel XiT. 12' 10": dus rechte opklimming der Maan. 20 58 . 10" of, in tyd, it'. (I* omtrent: en dus maakt hec in dit geval geen merkelyk verfchil. De bereekening door de twtede verfchillen is wel langer, doch, wanneer het gegeeven Uur veel voor ot na den middag Ui veel naauwkeuriger, en moet dus gebankt worden.  Over het meeten des Afflands zonder Hoogte. 181 diaan (a): of in graaden , ?/o. t>4'. en <}ic ^ de Uurhoek dien men gebruiken moet' i°. De Declinatie der Maan. 5- Nu moet men ten tweeden de Declinatie der Maan kennen Men bereekent dezelve insgclyks voor het tydftip der waarneeming volgends het geen wy in de Verklaring van den sJ:manac,h, over de II. bl. van iedere maand gezegd hebben, vooral in den tweeden druk : men gebruikt de tweede verfchillen , als het nodig is: laat ons dan nu die Declinatie voor ons voorbeeld zoeken: I Ver II. Ver. g Deel. toFebr middag. 40.10N. o0 „e, -\ middern. 6.38 \0 £ - 3' i ,r 11 middag. 9. 3 „o'oi — 4' \ middern. 11.24 * * J Uit Tafel XII. in 24' vcor i. . , . 4». 0". 2>'. . . . o'. 53". — 15' voor 10 1 25'.r • • • 4' 4'- 54"- Tafel XIII voor 3^ in 241 omtrent . . . 3V. geheele verandering. . . 4. 3 GDecl.ioFebrXüU. 6", dus 10 Fcb. XII U. 24'. 19.6° 4/. 57», ofbynaO jj'. a». Se- ( Dus © middelpunt fchynbaare hoogte. 42'. 35 Wy hebben § 179 de Maans waare lioogte "door bereekening gevonden. . . 53o 40< IV> Hier voor het getal in Tafel VIJL opzoekende vindt men dc córrectie. . — 32. 40 Het verfchil is Ci middclpunts fchynbaare hoogte. . . . 53. 7- 3i § 182. Maar zyn die gctalen naauwkeurig ? Op dat zv naauwkeurig zyn zouden, zoude men, op die gevonden fchynbaare hoogten dc cor-ectien voor Dampheffing of refractie, en Verfchilzicht of parallaxis, op de gewoone wyze tocpasfcnde, weederom die waare hoogten moeten verKrygen, die wy te vooren berekend, en uit welke wy die fchynbaare hoogten afgeleid hebben. Dan het znl niet moeijelyk vallen jo. te bewyzen dat dit geen plaats heeft, en 2°. te doen zien hoe men tc handelen hebbe om de fchynbaare hoogten naauwkeurig te verkrygen. ° Zy (Fig. 8) Z A de waare hoogte van Zons middelpunt: UZ de uitwerking van het verfchilzicht en de dampheffing: dan zal B A volgens de voorgaande bereekening de fchynbaare hoogte der Zon zyn. Maar, indien dit naauwkeurig is, dan moet ik, uit die fchynbaare hoogte der Zon de waare opmaa' kende, die waare hoogte ZA verkrygen: doch indien  Over het meeten des Afflands zonder Hoogte. 185 dien ik voor de hoogte BA de dampheffing in Tafel IH neem, zal die dampheffing kleiner zyn dan die welke voor de hoogte ZA plaats hadt: dus zal de correctie thans maar Bz in plaats van BZ zyn: en men zal voor de waare hoogte der Zon niet Z A, maar z A bekomen. Het zelfde heeft plaats voor de Maan. Zy (Tig. 8) MA dc waare hoogte der Maan: MC de correctie voor die hoogte uit Tafel VlïjL: dan zal CA de fchynbaare hoogte der Maan zyn: maar indien ik nu die fchynbaare hoogte tot de waare wil brengen, en in Tafel VIII de correctie voor de hoogte CA opzoek, zal die correctie, als dienende voor eene kleiner hoogte, grooter zyn, en dus grooter dan CM, ftel byv. Cm-- en dus zoude 772 A en niet MA de waare hoogte der Maan zyn. Het fprcekt echter van zelf, dat men de fchynbaare hoogte zodanig neemen moet dat men uit dezelve de waare hoogte zo als zy in de daad is konne afleiden: en men ziet, dat men, om zulks te verkrygen, niet moet gebruiken de correctie die voor de waare hoogte ZA of MA plaats heeft, maar die, welke voor de fchynbaare hoogte plaats heeft a°. Reegel om de fchynbaare hoogten te bereekeneiu- § 183. Uit het gezegde, volgt duidelyk deeze reegel. Men bereekent eerst, door aan de waare hoogte de correctie , die voor dezelve plaats heeft, toe te brengen, eene fchynbaare hoogte (hier BA, of CA) die ik de eerfte noemen zal: men zoekt de correctie op voor die eerfte fchynbaare hoogte: en men past die correctie tos op de waare hoogte: dan verkrygt men naauwkeurig de fchynbaare hoogte. Ik zeg naauwkeurig; dat is^in dc practyk naauwkeurig gonoeg: want 'er is nog een klein verfchil: immers laaten (Fig. o.) Z A en MA de waare, BA cn C A de fchynbaare hoogten zyn. Wanneer ik voor ZA cn MA in dc Tafel de Correctien zoek vind ik £Z> BZ en M c <, M C; b A, en cA zullen myne eerfte fchynbaare hoogten zyn. M 5 Nu  186 IV. Deel. Het bereik, der Lengte itibyz geval/en. Nu zoek ik in die zelfde Tafels de Correctien Zp en Mk voor deeze eerfte gecorrigeerde hoogten, en ik pas die Correctien op de waare hoogten ZA en MA toe. Die Correctien, pZ cn kM\ zullen nog iets verfchillen van BZ en MC, doch dat verfchil Bp en Ck is zo gering, dat het volftrekt geenen invloed heeft voor de Zon, voor welke zelfs de eerfte correctie meest al genoegzaam is; en geene die van eenig belang is voor de Maan: vreesde men echter zulks, men kan eene tweede herhaaling op dezelfde wyze in 't weik ftellen. Voorbeeld. Laat ons dit op ons voorbeeld toepasfen. © Eerfte fchynbaare hoogte reeds gevonden (§ idi) . " . . l10.42-.35,, Dampheffing daar voor . . 4'. 304 Waare hoogte. . . . 38'. 17" Dampheffing. . -f- 4 • 30^" ? "Verfchilzicht:. —- 9 5 4.21^ Schynbaare hoogte. . . n.42'.'38£' Maans eerfte fchynbaare hoogte reeds gevonden. (§1810 • • 5l°- 7'-3i" G waare hoogte. . . 53°-40' 11" Correctie voor de eerfte fchynbaare hoogte. 33. 6 G fchynbaare hoogte. . 53°. 7'. 5' Wilde men nu nog naauwkeuriger té werk gaan, zoude men zeggen. Waare hoogte . . 53°. 40'. u" Correctie uit Tafel VIII. voor de tweede fchynbaare hoogte. . . 33. 5^ G fchynbaare hoogte. , . 530 7' 5** het geen byna niets van het voorgaande verfchilt.  Ootr het meeten des Afftands zonder Hoogte, 187 BeJJttit van de Bereiding. § 184. Wy zullen dan nu in onze bereekening de volgende groothceden gebruiken. © fch.hoogte 42'. 39"-luit s ,8, G — 53- 7- 5* 0 waare h. II. 38. 17. uit§ 168. of§ 169. of § 171. G — 53- 4°» M- uit §179- De bereekening die wy tot nu toe gedaan hebben is als eene bereiding, en dient enkel om het gebrek van daadelyke waarneecming van hoogte te vergoeden, of, zo gelyk wy het by den aanvang zeiden (% 164.), om 'N9. III A cn B, N°. IV. B en C van onze gewoone bewerking te verrichten. Nu gaan wy over tot het bereekenen van den waaren afitand. C. Bereekening van waaren afjiand van Zon of Ster en Maan. § 1%. Men bereekent nu op dezelfde wyze als in N°. V. door middel van den gemoeten afitand, hier 420. 34'. 20". (N". II. B. § 37-van de bereekende waare en fchynbaare Zons en Maans hoogten (§ 168 § 179' 5 iS&D den waaren afitand van Zons en Maans middelpunten Zie hier de bereekening: zy is volgends de oorfpronkelyke manier van de borda, eeven als in § 70 en 71. © fch. hoog te. n. 42. 39 Compl. Log. Cof. o. 0091355 G - 53- 7-5 0.2217271 f© eng fch. afft 40- 34- ^0 \ 107.84. 4 \ halve fom. 53.42. a Log. Cof . 9.7723257 /verfchil met 0 1 eng afft. tl., 7.42 Log. Cof. . 9-99*7564 0 waare hoogte 1 r. 38. 17 Log. Cof. . 9.99°9785 g ■ 53.4;. ii — — . 9.77*6436 fora  188 IV Deel. Het Ier eek. der Lengte in byz- gevallen. fom. . >65> i&ao' . fom 39.7585068 halve fom ja. .$9.14 . i fom 7^8 7 9283"! A, van die halve fom Lbg. Cof. . y. 9252839 f verfchil 9-9539995 ) is J/». G:dusG=64°. 5'-3X \ Dus fo/G. 9. 6404102 ƒ A. iffg-. Cof. | fom 0 cn (, G hoogte . . y 9:52839 9- 5656941 21°. 351.3J* het dubbel is . 430.10'. 7 de waare afftand Zons en Maans middelpunten. ' Dit verlchilt flechts 13? met den afitand § 71. No. V. gevonden: de reeden van dit verfchil is hier van hetkomitig, dat de bereekende zo wel fchynbaare als w&are Zons en Maans hoogten afwyken van die, weike men door onmiddelvke waarreeming bekomt zo als wy zu ks hier boven $ 173. en § 180. getoond, en 'er de reeden tecvens van gegeeven hebben. D. Bereekening van den tyd op Teneriffa, N°. VI. § 186. Iniien wy nu bereekenen op welken tyd de zo. cever gevonden afftand op Teneriffa plaats heeft, zulten wy, het zy door de gewoone rrani-r§ 43. §44, het zy door de proportionaal - Logarithmen (§ 130.) vinden, dat het ais dan is 11 U. 39.3": hec g en 27' mee het geen wy tc voren in onze N°. VI. § 4a, $ 44- gevonden haüdun, verfchilt. M Be/luit van de geheele bereekening, N°, IX. § 186* Her is dan volgends onze bereekening op Teneriffa . i _ liV.m'J** en dour de onderftc-lling waare tyd aan Bould" * '*° ' ' * Dus het verfchil 6ü.^'44" is de Lengte van het Schip : of in graaden. 990. 4,' c« • en dus zoude het beftek volgends die reeke n. 110. lQ!. o" te westelyk zyn. Aan-  Over het meeten des Afjlands zonder Hoogte. 189 Aanmerkingen op de voorgaande bereekening, en wyzs om dezelve naauwkeuriger te doen worden. § 187. Het blykt dus uit de voorgaande bereekeningen dat men in ftaat is, zo als wy het § 164 zeiden, wanneer men met een goed Horologie voorzien is, en te vooren eene waarneeming ter bepaaiing van den waaren tyd gedaan heeft, de Lengte op Zee enkel door meeting van den afitand te bepaalen, zonder zich op dat tydftip met de hoogte-meeting van Zon , of Ster, en Maan te bemoeijen. Doch laat ons nu een oogenblik daar by itil ftaan. Wy zullen nu niet fpreeken van de naauwkeurigheid die men van de afftandmeeting als meeting, of van deeze manier om de Lengte te bepaalen, in zich zelve befchouwd, te wachten heeft; wy zullen dit in het vervolg doen: maar alleen van het geen het bepaalen der Lengte, door enkele meeting van afftand, zonder hoogtemeedng betreft. . De naauwkeurigheid der bereekening hangt aiïéén van de naauwkeurigheid van N°. V, dat is van het bereekenen des waaren nfftands, af; en de naauwkeurigheid van die bereekening van N°. V. hangt af van de naauwkeurigheid, met welke men de waare hoogte van Zon, of Ster, en Maan bereekend heeft: en deeze hanut weederom af van de naauwkeurigheid met welke men de Declinatie van dc Zon, of van de Ster, en zo wel de rechte Opklimming als de Declinatie van de Zon en van de' Maan be'reeKerd heeft. De feil die daar in plaats kan htbbcn is van geen belang ter waereld voor de Sterren, wier Declinatie zeer weinig verandert; van weinig invloed voor de Zon: doch van veel invloed voor de Maan (§ 180) en zy onsftaat uit de feil die plaats kan hebben in den gegisten tyd op Teneriffa. De feil die in" de gegiste Tyd op Teneriffa kan plaatshebben, hangt weederom van twee ftuk-^en af: voor eerst, van den waaren tyd dien men denkt dat hec aan Boord is, en voor welk oogenblik men alles bereekent: ten tweeden van de (.engte waar op men gist zich te bevinden, dat is van de gegiste Leng-  IQÖ IV. Heel Hit kreek, der Lengteïnbyz gevdllim Lengte: Uit deeze beide immers maakt men op hoe laat^hec op den Pic is, als men den afitand aan Boord fchiet: en het is voor dat tydftip dat men Declinatien, en rechte Opklimmingen, door middel van den Almanach, bereekent. § 188. Wat nu het eerfte betreft, den waaren tyd aart Boord, wy hebben te vooren § 164 gezien hoe nien deeze bepaalt, en dat de nauwkeurigheid van die' bepaaling van het Horologie dat men gebruikt, er, van de kennis die men van deszelfs gang heeft, afhangt. Beiden moet men kunnen betrouwen. — Den gan/ kan men mislchien fomtyds nog door eene nieuwe waarneeming, na dat men den afftand gemeeten heeft, toetfen, zo als wy reeds gezegd hebben (§ 160 N° 9.) en wanneer zulks mogelyk is, moet men het niet nalaaten: daar men den waaren tyd, alvorens men de bereekening begint, als volkomen of genoegzaam naauwkeurig bekend moet befchouwen. De feilen van de bereekening, of liever de onzeekerheid van de uitkomst der bereekening, dat is van de Lengte die op deeze wyze bepaald wordt, haiut hoofdzaakelyk af van de orzeekerheid die 'er in dc gegiste Lengte (§ 18?) zelve is. Zo dan de Lengte die uit deeze bereekening volgt veel van de gegiste Lengte verfchilt. zo als hier § 186* plaats heeft, moet men belluiten dat die bereekende Lengte niet tehecl naauwkeurig is, en dat men dus op dezelvö niet ten vollen betrouwen kan. Doch die bereekening is echter van veel nut, om dat die bereekende Lengte voorzeeker veel naauwkeuriger dan de gesiste is. By voorbeeld daar de gegiste Lengte m», van de waare Lengte, namentlyk van 91,0. 34. 15», Ii° 25'. 45" verfenilt , • crlchilt enze thands bereekende Lengte (§ i86*j maar 6'. 45" van die zeÏÏde waare: en is dus ruim ico maaien naauwkeuriger dan de gegiste: dit verfchil met de waaie is hier zeer gering, en kan in veele gevallen grooter /.yn. § 189  Over het mieten des Afftands zonder Hoogte. 191 S 189. Maar bevindt men zich in omttandigheeden daar men de Lengte met zo veel naauwkeurigheid, als deeze methode toelaat, begeert te kennen; kan men zulks by herhaaü! g , eeven als in de manier om da Buitenmiddags Breedte volgends douwes te bereekenen, doen. Men zal namentlyk de Lengte, door deeze bereekening § 186* gevonden, in plaats van de gegiste aanneemen: en dus voor den tyd op Teneriffa, die daar uit volgt, dc Declinatie der Zon, de Maans en Zons rechte opklimming, den Maans Uurhoek, de Maans Declinatie bereekenen, (zo als wy § 167, S 177» § 178) gedaan hebben: om dan daar uit zo wel de waare als de fchynbaare Zons en Maans hoogte op te maaken (§168, § 179 en § 18?.) welke men dan in de bsreekening van N V,§i8s. tot het vinden van den waaren afiland zal gebruiken. Om te doen zien tot welke naauwkeurigheid men op die wyze kan geraaken, hebben wy de Maans waare hoogte, § 179 reeds gevonden, by herhaaling bereekend op deeze wyze. De westelyke Lengte in tyd, is volgens de eerfte bereekening § 186 * . 6 U 38'. 44» Tyd ain boord. ... 5 o. 19 dus Tyd op Teneriffa . li U. 39'. a« 10 Ik bereeken voordien tvd de rechte opklimming,en vind2°. 35'. 36" of „ £'d- • • • • o U. 10.22« a De © rechte opklimming, en vind dezelve. . . . ai. 37.44 Verfchil 2. 32. 38' Tyd aan Boord. ... 5. o. 19 Verfchil, is de Uurhoek der Maan. Is! 27? 41^ of in graaden. . . . g6o. 55/ j5 $°Ik bereeken de Maans Declinatie voor dien tyd. en vind dezelve 6°. 33'. 43". 40 Ik bereeken hier uit, en uit den Maans Uurhoek, de Maans waare hoogte, en ik vind dezelve 530. ïs • 23", het geen maar a'. 24-/. mee de waare Maans  192 IV' Deel. Het her eek. der Lengte in byz. gevallen. Maans waargenomen hoogte IV. C. § 39.) verfchilc. H:er uit leidt men de Mams fchynbaare hoogte af, volgends het geen § 184 en 185 gezegd is. Men zoude op de zelfde wyze met Zons Declinatie, waare en fchynbaare hoogte kunnen handelen, en dan die verbeeterde hoogten, zo van Zon als van Maan, in dc bereekening van den waaren afftand in N°. V. gebruiken: welke men dus zeer naauwkeurig zoude bekomen. Befiuit. § 190. Hier uit blykt, dat men, zonder hoogte meeting, doch den waaren tyd aan Boord bekend zynde, de Lengte eeven naauwkeurig bereekenen kan, als wanneer'men de hoogte van dc Zon, of van de Ster, en van de Maan lchiet; doch de bereekening is zeer veel langer; en men moet gevolglyk dezelve niet dan in gevallen in welke men niet anders doen kan gebruiken. Alles hangt in deeze bewerking van de rechte naauwkeurige bepaaling van het tydftip, waar voor men de hoogte bereekent, af, dewvl dit eenen dricvouwigen invloed heeft op den uitkomst: i° op den Uurhoek, en daar door op de Declinatie der Maan: op de hoogten van beide Heemellichten, al waare de Declinatie naauwkeurig bekend, Ca) en eindelyk 3°. op de Lengte zelve, dat is in de vergelykïhg van den tyd ran Boord, met dien op Teneriffa: — deezen laatften kan men naauwkeuriger bekomen, door de herhaaling waar van wy zo eeven gefprooken hebben, als waar door d Uurhoek en Declinatie naauwkeuriger bekend worden, en dan de bereekende afftand nader en nader aan den waaren komc, en gevolglyk de tyd op Teneriffa naauwkeuriger bekend wordt : doch de tyd aan Boord blyft het voornaamfte. Men kan dus aan Boord nooit wérks genoeg maaken om het uur naauwkeurig te ken- («) Zie het zesde Deel § 35»•  Over liet her eek. van Lengte en Br.uit eenen afft. 193 kennen, zo wel door herhaalde ftellen van achtereenvolgende Zons hoogten; als met telkens een goed Horologie naar dezelven te verbeeteren , en Bynen gang te kennen. V. Over het bereekenen der Lengte, uit eenen waar* genomen afftand van de Maan tot de Zon, of eene Ster , al kent men de Breedte niet. § 191. Tot nu toe hebben wy onderfteld dat men de Lengte by gisting kent, en ook de Breedte: doch al is men van het een en ander onkundig, kan men echter uit eenen waargenomen, afftand, de Lengte niet alleen, maar ook de Breedte bepaalen. mackay. is, zo veel ons bekend is, de eerfte die dit Voorftel heeft voorgedraagen. Lsat ons voor eerst de grondbeginzels waar op de Oplosfing fteunt uitleggen. Wy hebben de gegiste Lengte gebruikt, om daar uit. eerst by gisfing. optemaaken hoe laat het is op Teneriffa op het oogenblik der waarneeming,ten einde de halve middellyn en het verfchilzicht der Maan voor dat oogenblik te bereekenen: beiden nu zyn nodig om de waare hoogte van de Maan te kennen, welke hoogte gebruikt wordt om den waaren afftand uit den fchynbaaren optemaaken; en daaruit, inN°. VJ. van de bereekering, den waaren tyd op Teneriffa. Men ftelle dan nat het, by voorbeeld, middag is Op Teneriffa: O) de feil die men begaat zal, al zou- (*) Men zoude in den eerden opfbg denken kunnen, dat het Yoordeeliger wa^rc, een tydltip te neemen, ;dat nader aan de waarheid komt: namentlyk, daar de febynbaate afitand der Middelpunren bekend is, zo dra de gefchooten afftar.d tot dien der middelpunten heileid is, en deeze maar weinige minuuten met de waare kan verfchillen, kent men ook ttn naaiffcn by den waaren: en dus, al zoude men niet eens weeten weiken dag men tek, doch alleen welke maand, en of men in 't heain of m het eind der maand is, zal men in den Almanach kunnen zien, niet alken op welken d.ig, maar ook op een half»uur, en minder, na, het tydftip waar op die afftand plaats heeft, en men k;n dan dat tydftip' neemen: maar daar meede wordt niets uilgehaald, om d.u men dan der correctien in hoogte, zoals zr — kMcorrectie in aftand , tot zq— Mi correctie in afftand; welke beweiking ik dan door eenen enkelen reegel van diiën verricht: en ïieop'osfing valt zeer gemaklyk, wanneer men die door Logarithmen dö:t: daar het nu onveri'chiiüg is we k'foort v=*n Logarithmen men gebruikt. zal he; gemaklyker vallen de proportionaal - Logarithmen Tafel XX te gebruiken, om dat deeze van leconde tot feconde bereekend zyn: ik vind dan op die wyze de correctie die ik aan den fchynbaaren afftand moet toebrengen om den waaren te bekomen: en dus is ook de waare afftand bekend. § 19».* Door deezen kan ik N°. VI. van de bewerking ook herhaaien, om den waaren tyd op Teneriffa te vin Jen: doch daar de afftanden zeer ten naatften by 30' in een uur veranderen, en dus 1" verandering in den afftand 1" verandering in den tyd zal maaken , kan men zich vergenoegen met (zo de verfchillen klein zyn) by den bereeken jen tyd N >. VI, tweemaal zo veel feconden te voegen, of'cr van aftetrekkt-n, &U het verfchil tusichen den waaren en den bereekenden afftand bedraagt. §• 193- Om nu hot voordel geheel optekrfen, moeten wy de Breedte vinden, vervolgends den tyd a*n Boord , om daar uit en uit den nu bekenden tyd op Teneriffa (§ 192*) de Lengte te bekomen. De bereekening beftaat in net oplosfen van drie klootlche driehoeken, en is daar door lang, noewèl niet mceijelyk Laattn tin Fig. 4.; M en Z de waare plaatfen van Zon en Maan zyn: dan zyn i°. in AZTM bekend de drie zyden, ZM waare afftand (§ 192) ZT en TM complement Zons en Maans waare hoogte. Dus kan men den ZTZM vinden. N a ft°.in  10.6 IV. Deel. Het lerecL der Lengte in byz. gevallen, a°. In de A ZPM zyn bekend i° ZM waare afftand (§ 192) ZP, en PM afiianden van Zon en Maan tot den Pool P, welke bekend zyn,. om dat, den tyd op Teneriffa bekend zynde (§ 192*), men nu de Declinatie van Zon en Maan voor die tydftippen bereekenen kan-, en 90° ^Declin. den Pools afftand geeft, naar maate Declinatie en Breedte van de zelfde of van verfchillendc benaaming zyn. Men kan dan den 2.PZ1VI bereekenen. Waar uit volgt dat iTZ P, verfchil tusfehen TZ M (bekend uit N°. 1) en PZM, bekend is. 30. Eindelyk in den A TZP zyn bekend twee zyden, TZ complement Zons hoogte, en ZP Zons afftand tot den Pool: en de begreepen hoek TZP(N°. 2); dus kan men de derde zyde TP, dat is complement Breedte, vinden. (a~) 4». Waaruit dan ook 4° de Uurhoek TPZ wordt afgeleid: welke den tyd gcert zo men de Zon gefchooten heeft, of, volgends hetgeen §53 — §59 gezegd is geworden, in tyd moet worden gebragt indien men eene Ster gefchoten heeft. 5°. Waaruit volgc dat ook de Lengte bekend is, § 194. 'Er is dan niets of men kan het oplosfen:de reegels ter oplosfing van de AA ZTM, en ZPM waarin drie zyden gegeeven zyn, zyn bekend: men kan 'er verfchillende voigen: ons komt voor dat dc gemaklykfle in de praktyk, de gewoone is dien men in de bereekening van de Uurhoek volgt C § 4° of $ 48): mackay gebruikt dien welken *y in f sco£ bewyzen zulien:en zyne recgels zyn opdien leest gefchoeid. Wy zullen hier flechts aanmerken dat wy. kortheidshalven.den ZTZM ,die in den driehoek TZM gevonden wordt, zullen noemen eerfte» Boog9 (aï Het zy door dm peivoonen reegcl, in § 40 noot b voorgedraagen, en § 588—§ 392 beweezen: het zy d >or den reegel. irt t) 296 N'°. M optegecven, of door den reegel van § 300. b Wy gebruiken dien van § 296 No. 111 in N«. JUvan den icegel: mackay dien van § 300. b.  Over het her eek. van Lengte en Br.uit eenen afft. 197 Boog, of Boog A: den £PZM,diein d n AZPM gevonden wordt, den tweeden Boog of B.uig B: bet verfchil dier beide hoeken of Hoogen den derden Boog, of Boog C. Eindelyk zullen wy tot de oplosfing van ATZP, waar in twee zvden en den begreepen hoek gegeeven zyn, niet vo gen den gewoonen reegel reeds § 40 noot b gebruikt, maar den reegel dien wy & 196 Hl bewyzen zullen, en waarop de manier van douwes om de hoogte van Zon, Maan, of eenige ster, voor een bepaald tydftip te bereekenen, gevestigd is. Dit alles dan gefteld zyndé, zullen wy den reegel, of liever de vcrlchillende reegels, die men volgen moet, in orde laaten volgen. Reegel. % 195- I. Onlerftel dat het op het oogenblik der Waarnc ming M.dJag is op den Pik, (of op de plaats waar voor de Almanach bereekend is): neem voor dat tydftip 0 en Q halve middellynen, en C H rrizontaal verfchilzicht; en bewerk daar meede dc N°. I, II, III, IV, V, en VI van de bereekening der Lengte, volgends die manier welke gy verkiest. Noem den afftand in JN« V gevonden den bereekenden afftand: en den tvd in N3. VI bepaald den bereekenden tyd. II. Bereeken voor dien bereekenden tyd g halve middellyn en Horizontaal verfchüz'cnt en herreeken daar meede in N°. IV § 39 de correctie die men aan Ma^ns fchynbaare hoogte moet toebrengen om de wuare te hebben. III. Neem de fom van de correctie voor de Zon, (N°. III. A. § 38) en van de gegiste correctie voor de Maan (n°. IV. § 39) dat is de gegiste fom der correctien; insgciyics de fom van die zelfde correctie voor de Zon, en van de in de voorgaande N°. verbeeterde correctie voor de Maan: dat is de waare fom der correctien ; neem het verlch.il tusfehen den fchynbaaren afitand en den bereekenden afitand, ot' de gegiste correctie des aftands: N 3 IV-  98 IV. Deel. Hei bereek. der Lengte in byz. gevallen. IV. Neem de fom ters hoogte, en van den waaren afftand : van die "fom de helft; cn fchryf naast ieder Complement zyn Compl: Logar. Sinus- 2°. Trek van die helft af: >°. Compl. van Zons hoogte: 2°. waaren afftand: en neem vani ieder van die verfchillen den Logarith Sinus: 3,0. Neem dc Som van die vier Logarithmen: het is Logar Sinus van een boog ; het dubbel van dien boog is de eerfte boeg, of boog IX. Neem i de fom van Maans afftand tot den Prol, van Zons afitand tot den Pool, van waaren afftand: en van die fom de helft, eti fchryf naast ieder der twee laatstgenoemde afltandcn, het Complement-Logarithmus aIJ,Trel  Over het hef eek, van Lengte en Br. vit eenen afft. 199 29. Trek van die halve fom af i° Zons of Sters afiland van Pool; 20 waaren afitand; en neem van ieder van die verfchillen den Logarithmus - Sinus: 3°. Neem de fom van die vier logarithmen; zy~ is Logarithmus - Sinus van een Booz, wiens dubbel is de tweede hoog, of boog B X. Neem het verfchil tusfehen boog A (VIII N°. 4) en boog B (IX. N°. 4) het is de derde koog, of boog C. XI. Neem de fom van Log. Cof. boog C (X), van Log. Sin. Compl. Zons of Sters hoogte, van Log Sinus © of Sters afitand van Pool; en van die iom het getal. Neem de fom van Log. Coftnus Complement Q of Sters hoogte, en van Log. Coftnus 0 of Sters afftand van Pool: en daar van het getal. Neem de fom dier beide getalen; of derzelver verfchil zo in een der beide leeden één der gebruikte Cofinusfen negatief is, dat is, zo de boog waar toe hy behoort grooter is dan 9c graaden: — Neem dan van die fom of van dat verfchil den Logar: het is Logar. Sinus Breedte, mack ay gebruikt den reegel dien wy § goo b bewyzen XII. Bereeken nu den Uurhoek van Zon of Ster, het zy volgends den gewoone reegel, het zy volgends de manier van douwes,en breng dien Uurhoek in Tyd. (§ 51. — § 590 XIII. Neem het verfchil tusfehen dien Tyd (N° XII) en den tyd op Teneriffa (N°. VI): het is het verfchil van Lengte in Tyd: waar door de Lengte, van Teneriffa afgcreekend , in graaden ligt is op te maaken. Voorbeeld. § X95-* Den 16 February 179?, wordt © onderrands hoogte gefchoten 15°. 18': Maans onaerrands hoogte, jt;°. 12'. Zons en Maans afitand 8;° 57'. Vraage Lengte, Breedte en Tyd. Ik ftel 3'. 57" voor de Kim-duiking. N 4 L  flOO IV. Des!. Het bereeh der Lengte in byz. gemltstt. I. Het nodige in den Almanach voor den 16 Febr. op middag opzoekende, gaa ik dan voort: alles op hec beknopts opfchryvende. © 1^.18'o« (1 19.12. o 0- S 8; o. 57. 0» Kimd. o. 3.57 Kirad. 3L57 ©énudl. 16.14 I5.14. s 19. 8. 3" gj-midl. 16.13. jmid.lyn 16.14 jmü.Iyn 16 13 fchynaf.82.a9.27 0 fch. h. 15. 30.17 C fch. h. 19. 24.16 Refr.-par. 3.J8 Cor.T.VHI 53-^3 ©w. h. 15.26.59 gw.h 20.17.44 Door de handelwyze van krafft- , . O w-h *5- 26.59 p =60. 10. 33 £ w.h.Qo. 17 44 ©f.h. 15. 30.17 afft.=82.29. 27 ^ - o. eih.1ifl4.16 — Verf. 4.50.45 Sm.v. 003574 1 „ JL-5 Som.142 40. o Sin.v. . . • I795>" Verfc. 3-53.59 verf.22. 18.54 Sin.v. . . • 74^9 p = 6c. 10.33 ^ „ —ö~Zcr. Som 64.4-32 Sinus verfus 5628152 .Som. 1037624 Verfc.56.l6.34 Sinus verfus 444«c95 ^ is Sin. verfus 82». 17'. 49* Het is de bereekende afftand. UitdenAlm.Iou.53.2Of83.23 54) 15 Febr. -582. 17.4^>- . . , I3U-5S-50 81.45.40J i0-38'.i4 prLo 2630 32. 9' . . pr Lo 7481 0.58.55 pr.Lo.4851 15 Febr. ten 12.54.25 bereekende Tyd op TenerhTa. II. Ten 12 U. 54'- 55"- gfch.h 19. 24.13™) Cïmid. 1.16'. 10.7 c Taf. vill. 53-ï8 rC°"17'31 Cor. voor de Zon. 3. 18» Som. 56.36 III en  Over het bereik, van Lengte en Br. uit eenen afft. aoi III cn IV. Som.^r.Corr.voor©cnfi56'. 36"pi'öp Logar. 5025 Verf. her eek. en fch. afft. n- 38 prop. Logar. 11895 5om.^.Corr.voor0end56. 46 Comp.pr.Log 94988 Som. ii9o8:isLog.vami>.36* waare Correctie van afftand. V. Schynbaare afftand. 82. 29.27" Correct. G^middelyn . 3 82. 29. 24 waare Correctie — 11.30 82.17.48 waare afftand. VI. Bereekende afftand. 82°. 17'. 40". waare afftand. JS20 17'. 48". ber. tyd. 12.U54'. 25». verfchil. . . iVhet dubb. . . 2". waare tyd. . . 120. ^\ ^\ VII. Den 15 February op Teneriffa. Teni2u. ©De. ia.28'.24". Z. (jDccl. 160. 36. Z voor 55'. Taf. AI. . — 1. Taf XII. +3.45. waare ©Deel. . 12 28.23. w dDccl. ióTYoT^jTz. 90- _ 90. O afft. tot Pool X02. 28.23. Gaf.totPoalic6.3lH5. VIII. Compl. w. Gh. 69 42.29. Compl. ©vv.h. 7433. 1. Compl. Log.Sin. 0.0159840 waare atuand. .82^17.48. Compl. Log.Sin. o.coSsJi fom . 226.33.18. bal ve fom . 113.16.39. - l fom.  104 IV. Deel. Het bereeh der Lengte in byz. gevallen, | fom — 0 hoog. 38. 43.38. Logar. Sinus. 9.7963060 |fom — wa. aftt. 30.58.51. Logar. Sinus. 9.7115974 fom 19-5278245 % fom 9.7639123 Logar. Sinus. 3 j°. 29'.46'. 2. A. of eerfte boog. . . c= 70.0.59'.32". IX. Cafft. tot Pool. ic6. 39. 45 ©afft. totPool. ic2. 28.23 Compl. Log. Sin. 0.CIC3733 waare afftand 82.17.48 0.0039371 fom 291.25.56 | fom 145.42. 58 Jf. — ©af totPo 43. 14.25 Log. Sinus 9.83575C6 |f.—waare afft. 63.25.10 9.9514862 fom 19.8015472 \ fom 9.9^07736 is Log Sin. van 52°. 43'. 32" 2 B. of tweede boog . . . 105°. 27'. 4» X. B of 'weede boog . 1050.27'. 4" A of eerfte boog . . 70. 59. 32 C of derde boog . . 34. 27. 32 XI. Derde boog 34 27. 32 Log.Cof.Q- 9162077 Compl. © h. 74. 33. 1 — Sin. 9.9840160 0af. tot P. 106.28.23 — —9.9896267 fom . 9.8898404 getal 77596 Compl. ©h.74. 33. 1 Log.Cof.9.4555223 C.Qafft. t.Fo.102. 28.23 — — 9. 3344844 NB.— fom . 8.7599367 getal 5753 verfchil . . 71843 is Log. Sin. 450.46'. 36". s= breedte, waarop men zich bevindt. XII  Over het bertek. van Lengte en Br. uit eenen afft. 203 XII. Compl. © hoogte 74. 33. J Compl breedte 44. 4.14C0mp.Log.S1n®. 1576559 © aflt. tot Pool 102.20". 33 — 0.0103779 fom . 221. 5.58 halve fom . 110. 32.59 * fom — Comp. Br 66.28.35 Leg. Sinus 9.9623 f99 |f. -©afft. tot Po 8. 4.26 9 I4753&7 fom 19.2778884 halve fom o. 6389442 is Log. Sin. van 250. 48'- 50* 2 dus is de uurhoek . . 51. 37- 4» in tyd, voormiddag . . 3 U. 26. 11 JA , dus tyd aan boord 15 February 20. 33. 49 XIII. Tyd aan Boord . 20. 33. 49 Tyd op Teneriffa 12. 54. 27 Lengte ik tyd . 70.39'.22" of in graaden. ii4°-5o'-45" § 196. Wy hebben dit voorbeeld, uit de Verhandeling van de hartog, (bi. 47.) ontleend •, deeze vondt voor den waaren afftand 82°. 9'. 54", dat men onze bereekening geen noemenswaardig verfchil maakt: hy vondt voor den waaren tyd op Teneriffa 1* U. 54' welk verfchil van 11" met den tyd dien wy gevonden hebben, uit het verfchil van 6« op den afftand ontftaat: cn dus ook hier niet noemenswaardig is. Hy ftelde de Noorder Breedte 470 ior, daar wy flechts 450. 46'. 36" vinden; een onmatig verfchil voorwaar! gelyk ook is het verfchil van 5' in den tyd aan Boord. _ Dit  SC4 IV Deel. Het bereek. der Lengte in byz. gevallen. Dit laatfte verfchil hangt alléén af van het verfchil in de Breedte, die geen invloed heeft op de geheele bereeketiing, dan alléén wanneer men den Uurhoek moet bereekenen. Maar' wanneer men, om Leerlingen in het bereekenen der Lengte te oeffenen, voorbeelden opgeefc, welke niet uit gedaane waarneeminjren ontleend zyn, kan rmn uit het uur alléén niet opmaaken of de vooronderftelde waarnecming, op dc Breedte, die gefteld wordt, kan genoomen geweest zyn of niet, ten zy men eene Breedte opgaf, die geheel onger/md waare. Maar 'er is een ander middel, namentlyk te zien of alle de deelen van de waarnecming met die geftelde Breedte overeenkoomen. De plaatfen waar de Zon en Maan zich bcvinden zyn bekend, daar de waare tyd op Temri a gegeeven is : de hoogte nu dier heemellichten Doven dc kim, hangt, voor ieder bepaald tydilip, van de Breedte af: en gevolglyk zo de hoogde der Zon, hier 15*. 26'. 59% gegeeven is, moet de Breedte, waarop dc waarneeming gelchiedt, zodanig zyn, dat de hoogte der Maan op het zelfdeoogenblik in dit geval 2c0. 17'. 33" zy. Wanneer jncn nu eene Breedte aanneemt, kan men in den A TPM gemaklyk nagaan, of zy met die hoogte der Maan overeenkomt: want da^r dan in de A TPM gegeeven zyn de drie zyden TM, TP, PM, kan men den Uuthoek der Maan, namentlyk Z TPM vinden: die bereeken ik in ons voorbeeld, Uit onze bereekening', dat dc Breedte 45°. 46'. 36". is, en ik vind 33°. 56'. 3a". Maar, de Uurhoek der Zon is 51". 37'. 4c" voor den middag: de fom 83° 34'. ia" is de 'fom der uurhoeken,dat is hoe ver de Maan van de Zon afltaat op den JEquator , of het verfchil der rechte opklimmingen van Zon en Maan, wanneer het 12 U. 54'. 27" op den Pic is. Om dit nu te toetfen bereeken ik de rechte opklimmingen van 0 en 2 voor dat tydltip, en vind voor de Zon in graaden 329°. 23'. 45": voor de Maan 24^°. 49'. 23": het verfchil is 340 22": dat nagenoeg met onze bereekening overeenkomt : daar men uit dc Breedte van 4-(o'. 10', den Uurhoek der Maan zoude vinden 31°. 12'. 20": eh den Uur-  Over het bereek. van Lengte en Br. uit eenen afji. 205 Uurhoek der Zon 5c0. 16: te faamen 8i. 28'. 20V dat merkelyk met de waarheid verfchilt. Wy (lippen dit enkel aan, om den Leerlingen te waarfchuuwen dat, indien zy, een gegeeven voorbeeld tot grondflag neemende, zo als wy nu gedaan hebben, de Breedte kwamen te bereekenen, en dan dezelve met de in het voorbeeld aangenoomen Breedte niet overeenüemmend vonden, zy niet in verleegcnheid moeten raaken , en denken dat hunne bereekening niet goed is. Voorbeelden zyn voorbeelden, en iemand, een voorbeeld verzinnende, waarin niets aanftootelyks is, zal zich de moeite niet geevcn om naderhand de Breedte, door eene bereekening, zo als wy nu gedaan hebben, te gaan opmaaken.— Men moet de voorbeelden niet verder betrouwen, dat in zo verre zy tot het oogmerk dat men bedoelt dienen, namentlyk , om aantewyzen hoe men de gewoone Lengte-bereekening doen moet. § 196*. Het blykt dan uit al het gezegde, i«. van hoe veel nut het is, of zyn kan, afftanden van Zon en Maan ol Maan en Sterren te fchieten, of te bereekenen, vermits men daar uit ook den tyd, en de Breedte kan opmaaken: 2°. Dat, al is men over de gegiste Lengte geheel onzeekcr, dit met hindert, vermits men als dan Gs halve-middellyn en verfchilzicht, voor den middag van Teneriffa, uit den Almanach neemende, naderhand den waaren afftand, door eene ligte bewerking, verreekenen kan: en dit ook is van veel gewigts. VI. Aanmerkingen over eenige byzondere gevallen. § 197. Het gebeurt meermaalen in algemeene handelwyzen, die men voorfchryft, dat 'er fommige byzondere gevallen vóórkomen, die in den eerften  2C6 IV. Deel. Het her eek. der Lengte in byz. gevallen. opflag den mingeoeffenden eenige moeite kunnen verfchaffen; of die ook fomtyds eenige verkorting toelaaicn. Er zyn 'er drie van dien aart, wanneer men de manier van dunthorne, het zy oude het zy nieuwe, volgt: en van deezen kunnen de tweede cn. de derde ook in de manier van deb jrda plaats hebben. Eindelyk wanneer men aan Leerlingen voorbeelden, om zich te oeffenen, opgeeft, kan men fomtyds onmogelyke gevallen opgeeven , hoewel de onmogelykheid niet terltond blykt Dit zyn de ftukken die wy nu voorgenomen hebben te verklaaren. Eerfte geval. § 198. Het eerfte geval is, wanneer de fchynbaare hoogten van de Zon of Ster en van de Maan gelyk zyn-, dan is haar verfchil nul: gevolglyk, indien men in § 91. h.er boven, den Reegel voor de verbeterde manier van dunthorne nagaat zal men zien dat N". u vervalt: dat N©. 2. en n». 3.dezelfde worden , namentlyk dc Logarithmus Sinus van den halven afftand : welke Logarithmen men dan twcemaalen opfchrytt. Vervolgcnas zal het, in dit geval, gemaklyker vallen met in no.6. dc waare hoogten van Zon en Maan te neemen, zo als wy in N°. 6. voor fchryven, maar, volgends het oorfpronkelyke var dunthorne, dc Correctien: want de waarê Zons hoogte is de fchynbaare minus de Correctie • ■ de waare Maans hoogte is de fchynbaare plus de 1 Correctie: en dus daar men derzelver ve^chil nee-, men m et, en de fchynbaare Zons en Maans hoog-, ten gelyk zyn, zullen deeze beide, in de aftrek-. King verdwynen, en het verfchil zal zyn de fom van de twee Correctien. Men neemt dan in N° 6 de halve fom der Corre&i'èn, uit de Tafel. IIF en IV* (voor de Zon) en Vlil. voor de Maan): gevolglyk' in No. 7 en 8, den Logarithmus Coftnus van de föm en van het verfchil van dat getal en van den boog G. Voor-  Aanmerkingen over eenige gevallen. ao7 Voorbeeld. § 199* Men ftelle de fchynbaare hoogte van Zons middelpunt 30°, van de Maan insgelyks 30°: den fchynbaaren afftand der middelpunten 20°, de horizontaaie parallaxis der Maan 56'. halve afftand io° Log. Sin. 9.2596702 ïo — ■**> 9.2396702 Taf. XVII.-Taf. XVIII. , . 9.9966470 fom 8.4759874 is Log. Sin. 90. 51'. 40"= G. Cor.O ï'. 371.. Taf. III. IV. Cor. d 46. 51. —■ VIII. fom 48. 28 § fom 24. 14 G = 90.51. 40 fom 10.15. 54 Log. Cof. 9. 99s99'5 veef. 9.27.26— — 9.9940568 fom 19.9870493 i fom 9. 9935246 Lo. Cof. 9°. 52'. 10» 2 19. 44. 20 waare afftand. § 200. Wanneer men de oude manier van dunthorne volgt, is ""er een ftuk dat in den eerften opflag moeijelyker fchynt: wy zullen het echter zo duidelyk ons mogelyk is voorftellen. Volgends den Reegel van dunthorne(§85)neemt men 10 het verfchil der fchynbaare hoogten, en den Cofinus van dat verfchil. Hier wordt het verfchil nul: maar daarom wordt deCofnus niet nul: in 't teegcndeel de Cofinus van een boog die nul is, is de radius zelfs: waarom dan men hier den radius neemt dat is icocoo, indien men de gewoone Tafels of die van de hartog gebruikt. Vervolgends in N° 2, trekt men den Slecht-Cofmus van den fcnynbaaren af-  £o8 IV. Deel, Het bereek der Lengte in byz- gevalle». afftand, van den radius af, of voegt 'er hem by naar gelang van zaaken. h°. 3, 4 blyven. In l\o. 5 zalmen, eeven als gezegd is (§ 198) liever de fom der Correctien dan het verfchil der waare hoogten neemen: dit valt gemaklyker in dit geval. N°. 6 bfóft» In 't algemeen, men lette wel , dat zo in eenige reekening men by toeval tot een' boog komt die nul is, en waar van men echter den Sinus of Cofinus neemen moet: dat de Sinus, Tangens én Secans vm zo een boog nul zyn: deCo/inus inteegendeel gelyk is aan den radius; dat "de Cotangens en Co/ecans oneindig zyn. Indien men de manier van de borda gebruikt of de Engelfche Tafels, of de oorfpronk'e'yke bereekening § 40 § 41, valt 'er hier niets byzonders aantemerken. Tweede geval. Het tweede geval is, wanneer dc fchynbaare afftand gelyk is aan het verfchil der Ichynbaare hoogten. Dan vallen 'er eenige verfchillende byzonderheeden voor, naar mate men de manier van de borda of de verbeeterde manier van dunthorne, of de oude manier van dunthorne gebruikt. Wy beginnen met de verbeeterde manier van dunthorne. Om duidclyk, te zyn, en woorden re fpaaren ' zyn wy hier genoodzaakt eenige teekenen te gebruiken: door a duiden wy aan den .fchynbaaren afftand: door 0 en a de fchynbaare Zons en Maans hoogten, en door Log. N den Logarithmus uit Tafel XVII behoorlyk door Tafel XVIII of XIX verbeeterd. Wanneer men dan de manier van dunthorne § 91 gebruikt, neemt men voor eerst de fom van deeze drie Logarithem, uit N°. 2 3 ^ Log. Sin. [^±f]+Z^. Sin.[^Zll -f- Log. N: en dit geeft Log. Sin. G. Het optrekken der Logarithmen komt over een met het multipliceeren der getalen; en dus indien men  Aanmerkingen over eenige gevallen. 209 men Slecht-Sinusfen gebruikten, zo als ook het getal N dat met Logarithmus N in de LogarithmusTafel overeenftemt, zoude men hebben. Sin.G = Sin. [i®^±?] * Sin. \^=^S\ x N. Nu is in dit byzonder geval (O —(O =a: en dus C0 -f a =2 a: dus ook ^Q""^~aj _ Q en by gevolg wordt, Sin. G = Sm. a x Sin. 0 x N. Maar de Sinus van een boog die nul is» is ook nul: dus wordt het geheel product nul, eh Sin. G = 0: en G = o; dat is dc boog G verdwynt, en N°. 1,2, 3* 4, 5 van de geheeie bereekening komen niet in aanmerking. Wy moesten dit op deeze manier aantoonen, om dat veele leezers mislchien niet zouden gezien hebben, dat, wanneer men eenige Logarithmen (hier drie) by elkander moet voegen, en een derzelve by toeval de Logarithmus van nul zoude zyn: het product waar van die Som de Logarithmus is ook pul wordt. Dit dan gefteld zynde^, dat namentlyk boog G nul wordt, zo volgt dat N° 7 wordt Log. Cofinus half verfchil der waare hoogten: dat.N°. 8 dit ook wordt: dat dus N°. o Wordt de helft van tweemaal Log. Cofinus half verfchil der waare hoogten : dat is Log. Cofinushalf verfchil der waare hoogten: en dit is Logarithmus-Cofinus halven waaren afftand: in dit geval dan is de waare afftand gelyk aan het verfchil der waare hoogten, eeven als de fchynbaare het is van het verlchil der fchynbaare hoogten. § 202. Het valt ligt optemerken dat, welke ook dc ftand van Zon of Ster en Maan zyn moge. dit geval plaats zoude kunnen hebben: doch hec heeft altoos uit den aart der zaaken plaats, wanneer de beide heemellichten, in den zelfden vertikaal fïaande, recht onder elkander zyn, zo als uit figuur 11 blykt, daar KTI de vertikaal cirkel is, T de Top: KI de O Kim,  aio IV. Deel. Het bereek. der Lengte in byz. gevallen. Kim, Z en M de fchynbaare, z en m de waare p'aatlen der Zon en Maan zyn. Men ziet dat de afftanden ZM en zm het verlchil der hoogten KZ en KM. Kz en K.m zyn. Doch dit geval kan voor Zon en Maan geen plaats hebben; want in dit geval waare de Maan nieuw, en dus onzichtbaar: maar het kan op die wyze plaats hebben voor Maan en eenige der vafte Sterren, die tot het meeten der Lengte gebruikt worden: hoewel het buiten twyffel zeer zeldzaam gebeuren zal. § 203. Gebruikt men dc oude manier van dunthornea zo hebben 'er eenige byzonderheeden plaats. Daar beide de fchyrbaare hoogten, ieder kleiner' zyn dan 90 graaden, zal haar verfchil het ook zyn:: en dus daar de afitand, by ondemelling, hier aan. dat verfchil gelyk is, is het zelve ook kleiner dam 9c0: vervolgends moet men in No. z, Slecht-Cofinus ■ van den ichynbaaren afftand aftrekken van den Slecht-Cofmus van het verfchil der fchynbaare ho,.g~ • ten: maar daar de afftand by onderftelling gelyk is: aan dat verfchil, zyn de gemelde Cofinusfen ook ge- ■ lyk, en dus wordt het verfchil in N°. 2 gemeld nul., Zo men hier op toepast het geen wy zo eeven ge-' zegd hebben (§201) blykt het dat het produdt,vant wiens Factoren men in N°. 2 en in N°. % de Logarithmen neemt, welke men by eikanderen telt, om 1 daar van in N°. a het getal te neemen, dat is het; product zelve, dat dit product zeg ik nul wordt. N0. ïs 2, 3, 4 vervallen dan: N° 6 vervalt ook:; No. 5 alleen blyft, en de afitand is het verfchil: der waare hoogten. % 204. Wanneer men de manier van de borda gebruikt: gaat de bereekening naar gewoonte voort: niets verandert in dezelve van gedaante: men merkt wel is waar door dezelve niet terftond dat de afftand ini dit geval gelyk is aan het verfchil der waare hoogten: doch mei. kan h?C 7er echter uit opmaaken, als;  Aanmerkingen over eenige gevallen. 211 als men de geheele handelwyze in ëene Mathematifche formule brengt. Wy zullen dit in ons zesde Gedeelte(§ 345)aantonen, nadat wy demanier vari de borda mathematisch beweezen zullen hebben, ïntusfchen daar de taanier Van de borda ook in dit geval op de zelfde wyze voortgaat, zullen mingeoeffenden dezelve gebruikende, zich in geene verleegenheid vinden :daar het laatfte hoogst waarfchynlyk plaats zoude hebben, indien zy eene der manieren van dunthorne gebruikten: en dit is eeri voordeel: hoewel men als dan de verkorting van in eens te zeggen, de waare afftand is het verfchil der waare hoogten, niet gebruikt: doch ook dit ziet men, de manieren van dunthorne gebruikende, niet in, dan na dat men dezelve met een Mathematisch oog befchouwd heeft; het geen het Werk van leerlingen of mingeoeffenden niet altoos ls, of zyn kan. S 205. Derde geval. Wy hebben zo eeven (§201) gezien, ddt wanneer Ster en Maan in dén zelfden vertikaal zich bevinden, doch aan den zelfden kant, het verfchil der waare hoogten gelyk is aan den waaren afftand. Iets dergelyks heeft plaats, en dit is het derde geval dat wy befchouwen moeten, wanneer de Ster en Maan in den zelfden vertikaal zyn, doch aan teegenovergeftelde kanten van het Toppunt: wy fpreken hier alleen van Ster en Maan: het kan voof de Zon en Maan geen plaats hebben: deeze iinrtiers zoude als dan vol zyn: zy kan dus niet te gelyk: met de Zon boven den horizont op die wyze gezien worden. Men ftelle(Fig. ia ) dat de Cirkel KTMde vertikaal zy : T het Toppunt: KI de Kim: Z en M de fchynbaare , 2 en m de waare plaatfen van Ster en Maan dan is: KZ -f ZT M + Ml = 1800: en dus ZTM (de fchynbaare afftand) = 1800 — KZ — MI = 180° — (KZ+MI): dat is de fchynbaare afftand EP «et fupplement van de fchynbaare hoogteri.  212 IV. "Deel. Hei bereek. der Lengte in byz. gevallen. Insgelyks is Kz -f- zTm + ml = i8c°: en dus z T m — J 8 3 — C K z — ml): dat is de waare : afitand gelyk aan het fupplement der waare hoog-' ten. Dit blykt dan van zelfs, zonlcr dat men eenige verdere bereekening behoeft te doen: dcch wy zuilen ook in ons zesde Gedeelte ( § 546. § 347 ) het zelfde uit de Mathcmatifchc formules, die dè: manieren van de borda en dunthorne hebei** zen, afleiden. Deeze gevallen kunnen niet dan zeer zelden ini de praktyk voorvallen; en het zaï boaven dien zeer: moeijelyk zyn met de vereischte naauwkeurigheid i te onderfchciden, of Maan en Ster zich juist ini den zelfden vertikaal bevinden. VI. Aanmerkingen over eenige onmogelyke Voorbeelden. § 205. De naauwkeurige navorfching der gevallen, die: plaats kunnen hebben, heeft ons doen bemerken £ dat 'er fommige voorbeelden door Schryvers worden opgegeeven, die in de natuur onmogelyk zyn. Dit werden wy gewaar met een dusdanig voorbeeld, waarvan wy toen de onmogelykheid nog nietl hadden bemerkt, aan een Leerling optegeeven, eni hem hetzelve, door de methode van de bord ai en door die van dunthorne, te laaten bereekenen: wat 'en- ook gedaan werdt, de uitkomftem der twee bereekeningen bl eeven zeer verfchil lende: eindelyk vonden wy de reeden van dat verfchil in: de onmogelykheid zelve van het geval, (c) De voorbeelden namentlyk zyn die , waarin men ondcrftelt dat de fom der beide fchynbaare hoogten en van den afftand grooter dan ihc° is. Dit is: niet mogelyk; want in alle Kiootfche Driehoeken IS: («"> Het voorbeeld daar toe gebruikt is te vinden in de nieuwe! Requifite TMts, bl. Jö.  Aanmerkingen over ammgetyke Voorbeelden. 213 is de fom van twee zyden grooter dan de derde; dit is eene algemeen bekende waarheid, (Zie % iOj No. 7.) dus in A MTZ (.Fig. 4.) is MT-f TZ>MZ Maar MT = VK-MK = 9o —G ZT = TI -ZI =90 -0 MZ = «, dus 90—©4-00— G>a, of lSO^.Ö + 0-f fi en dus zyn geene andere voorbeelden mogelyk dan die, waarin de fom van © -Hfi + tf kleiner dan i8cQ is; het eenig geval uitgezonderd, waaan de lichten in den zeilden verticaal zyn; want dan is 'er geen Driehoek meer, maar alleen een halve Cirkel. De Op (tellers der Engelfche Tafes hebben dit zeer wel begreepen; want daar men in die Tafels onder den fchynbaaren aftand en fchynbaare Maans ho igte opzoekt, treft men geene'grooter Zons hoogte aan, dan die met Maans hoogte en den afitand juist i8c° uitmaakt; dus onder 103° afitand en 700 Maans hoogte vindc men niet meer dan -,o Zons hoogte, die met het voorgaande juUt i8co uitmaakt. Ook is dc feil, in de voorbeelden der Requijlte Tab-es in 't jaar 1781 begaan, opgemerkt en met een woord aangeweezen in den Nautical AU fi'enach voor 't jaar 1791 p. 144*- Wy hebben by die geleegenheid de Obfervatien van wales en bayly, geduurende de tweede reizc van cook gedaan, geraadp'eegd, en wy hebban eenige waarncemingen gevonden, daar de gemelde fom i8c° overtreft, doch de meest gewigtigen daarvan op de Gloöe behoorlyk afpasfende, bleek het wel ras , dat die ftellb g aan zeer aannierkelyke drukfouten te wyten was. § 207. De reeden, waarom men dergelyke voorbeelden heeft opgegeeven, ligt zeekerlyk hierin, dat derzelver Opgesvers van handelwvzcn gebruik maakten, die deeze on•mooglykheid niet'openbaarden. Daar is, wiskuaftig gefyrooken, niets in de mathematifche uitdrukkingen , die de voorfchriften van duuthorne opkeveren, dat die o 3 011-  SI4 IV. Deel. Hetbereek. der Lengte inbyz.gevallen. onmoogelykheid kenbaar maakt, en dit is zeeker, weederom wiskundig gefprooken, eene onvolmaaktheid, doch die in de methode van de borda geen plaats heeft, want.» daar blykt de onmogelykheid wel dra van zelve. Indien mey immers a 0 -f-G> 180 ftelt. zo is g+© + gy_ ^ 2 en dusïs Cofin. ^ +© + g de Coftnus van een Boog die grooter is dan 900 en gevolglyk negatief , maar daar door \vordt de Teller der uitdrukking van Sinus G, (Ziehier onder § 308.) V Cf i «f f Q n- 4) x - C.f\ «£f©T«) Cf. tr. O Cf. w. (J dat is negatief: nu weet men dat men de wortel uit eene negative grootheid niet trekken kan: en dus is in dit geval Sin. G pnmogelyk, en dan kan ook A niet gevonden worden. Men kan, wel is waar, getalen gebruikende, het teeken — van Cof. ( g -f. 0 -f- a) weglaaten, en handelen als of die Cofinus pofitief was, en dan krygt men voor^ eene zeeker* waardy, doch die van de waardy , door andere handelwyzen gevonden , verfchilt: om dat zy , niet onmiddelyk uit de formule volgende, ook niet waar kan zyn. Dit nu is geen gering voordeel van de methode van de borda; niet in de praktyk, want het geval komt 'er nooit te pas, maar wiskunftig gefprooken: en het is noodig dit aantemerken, vermits Leerlingen niet zouden, weeten, waar het aan haapert,. indien zy een dergelyk verdicht voorbeeld, door verfchillendc handelwyzen, bereekenende, eene andere uitkomst vonden dan door de methode van de borda, die de eenige is, welke dit in de daad onmogelyk geval uitfluit: om dat het de eenige methode is, daar G bepaald wordt, door den wortel uit een getal te moeten trekken , dat in dit geval eenen, ttegativen Cofinus bevat, en daar door negatiefis. § 207 * En dat dit de waare reeden is, zal hier uit blyken, dat men de methode van de borda zeer gemaklyk ook voor (*) e, O, (£ beteekenen hier fchynbaare Afftand en Hoogten; B'Q.rJ de waaie Hoogten. Wy maaken hier gebruik, van hel; geen ; maar indien , 2 Cofi iraj^irQ G+©+« > 180, en dus § CC-f 0-f 90, is de Cofinus daarvan negatief: en dus Z> negatief, dus moet men met ftellen D, maar ± D, en dus heeft men 2 Sin. | ■—■ ' =1 — CX-D) = 1 ~Z?; dat is —. Cof. i C fVd + WQ zo de bewuste halve fom <<, 90, -f, zo die ^ 90» is, En dus f%- Sin. M = 1 Log. (r rr. D)-f- Leg. Cof. § ( iVd _|_ irQ) waar door men ook die methode op de beide gevallen toepasfelyk maakt : het zoude dus eene verbeetering in dezelve zyn, indien die gevallen, waarop zy anders niet kan toegepast worden, mogelyk waaren: hoewel zy daar door van haare gemaklykheid veel verliest, vermits men als dan tot zeekere hoogte met Logarithmen, voorts met natuurlyke getalen, eii dau weder met Logarithmen zoude moeten werken. («O FLORYN heeft ook over de onmo»eIvkheid van dergelyke gevallen gehandeld, en eene manier op egeeven om den reegel, 4oor nem voorgeiteld, ook op die gevalleii toepasfelyk te ma.ken. Kluotfche Pne-I hoekm. § 9; en 106: Zie het bewys vnn die reegels in ons VII deel § 570. § 373. § !7j en § 57;. § 376.  II. Den behoorelyken Tyd uittekiezen. 221 Cos. TP: 1 = Cos. PZ: Cos. TZ: of hier Cos Compl. Breedte: 1 = Cos. Comp. Deel. : Cos. Compl. Hoogte: of wel Sinus Breedte: 1 = Sin. Deel.: Sin. Hoogte, dat is, door Logarithmen werkende. Log. Sin. Declinatie (hier 180. 23') 9-4988245 Log. Sin. Breedte (hier 30°. ) 0.6989700 verfchil 0.7998545 is Log. Sin- 39°. 6'. 10". Hoogte waarop de Zon of Ster zyn zal, wanneer zy door het Oost of West Saat- Deeze bereekening is des te nuttiger, om dat men, door eenig toeval, by gebrek by voorbeeld van Horologie, of door nalatigheid van het gefteld te hebben, of door onmogelykheid om zulks te doen, in het geval kan zyn van op een kwartier Uurs of meer na den waaren tyd niet re weeten. Alsdan zoude men wel doen, de geheele waarneeming te doen op het oogenblik dat de Zon zich op die hoogte bevindt, en dan in de bereekening voor tyd aan'Boord dien te neemen welken wy zo eeven bereekend hebben; echter met de vcorzorge die wy nu (§ 214) zullen voordraagen. § ai* Indien men verkoos die gevonden hoogte in fteede van de waargenomen te gebruiken, zo als nuttig zyn kan (§ 164 en volg.) moet men aanmerken, dat de Declinatie van de Zon in den Almanach de Declinatie is op den middag, voor den eerften Meridiaan; dat men daar uit, volgends het geen in de Verklaring van den Almanach, 4 bl. van iedere maand gezegd is, door eene ligte bereekening uit de gegiste Lengte kan opmaaken, hoe groot de Declinatie zyn zal op den middag van het Schip: doch dat 2, 3, 4, of 5 Uuren na den middag de Declinatie genoeg veranderd kan zyn om invloed op den bereekenden Uurhoek *n op de bereekende hoogte te hebben: dat men dus, door middel van de Declinatie op den middag,  $22 V~. Deel. Aanmerkingen over de Pra'ctyk. dag, den Uurhoek bereekend hebbende, wel zal doen de Declinatie voor dac Uur te bereekenen (§ 49.) fen dan, die Declinatie aar,neemende, den Uurhoek in uuren, minuuten, en feconden, zo alsi ook de hoogte, op nieuws te bepaalen, ten einde'; geene merkelyke feil te begaan. Voorbeeld. % ai5- Den 1 April 1788, op io° Noorder Breedte, eii 30 gr. West van den Pic: De Declinatie van de Zon is op middag, op den Pic. . . 4°> 55'. 56'/. N., verandering in 24 U. 23'. dus voor 300 Lengte, of in 2 U. . 1. 55. De Declinatie pp den Middag van het Schip . . . 4°. 57. 51. N., In de eerfte bertekening, kortsheidshalven de feconden verwaarloozende, en dus voor de Declinatie: 4°. 58' gebruikende, heefc men Tang. io°: Tang. 4°. 58. = 1: Cof. Uurhoek, Log. Tang. 4°58'. . 8.9^90321 Log. Tang. 1CA . 9.2463188 Verfchil. . 9.6927133 is Log. Cof. 6 <*. 28' omtrent; dus in tyd 4 U. 2'. Voor dc tweece reekening heeft men § 213. Sinus ic°i 1 = Sin. 40.57'. 51": Sm. Hoogte. Log. Sm. 4°-57'-5i". • • 8.9371802 Log. Sin. ic°. . . . 9.2396702 9-6975100 Is Log. Sinus 29°. 53'. 20". voor de hoogte: doch daar de Declinatie 23' in 24 U. verandert, en dus 57A" of byna 1' ieder Uur, en daar de tyd van die hoogte 4 U. 2' omtrent na den middag op het Schip, en 6 U. 2' na den middag op den Pic voorvalt, zal hetbeeter zyn de Declinatie naeuwkeurig voor dat uur te bereekenen, en die verbeeterde Declinatie in deeze reekeningen te gebruiken, aldus; Der:  II. Zich behoorlyk te bereiden. 223 Declinatie op den Pic, op middag . 4°-55'. 56». N. verandering in 24 U. is 4- 2,3', dus in 6 U. . . . 5»45*in a'. . . . . . 2". Dus Declinatie. . . 50. i.4^ "Veder, Log. Tang. 5°. l'. 43". is 8.9444425 Log.Tang.it0. . . 9.2463188 Verfchil. . 9.6981237 is Log.Cof. van 620. 3r. 52" welke hoek de Uurhoek is: of in tyd 4 U.o'. 15". Eindelyk: Log. Sinus. 50. 1'. 43". . 8. 9427677 Log Sin. ic°. . . 9.2396702 9- 7030975 is Log. Sin.\an 300.18'. 59". voor de waare hoogte: waaruit blykt boe noodzaakiyk het is de Declinatie behoorlyk te bereekenen; vooral daar die hoogte ter bepaalihg van den Uurhoek, dat is van den waaren tyd aan Boord dient, en die tyd van de naauwkeurigheid der Declinatie afhangt. III. Derde vereischte: dat men zich tot het doen der waarneemiug behoorlyk bereide. § 216. Wanneer men dan op den dag op welken men voorneemens is eenen afftand van de Maan tot Zon of Ster te fchieten, den tyd uitgekozen heeft, op welken men dit meent te doen, hec zy dan den best mogelyken tyd (§ 210) het zy, zo dit door hinuermsfen of anderszins niet mogelyk is, efenen anderen tyd; is men in ftaat van vooren te weeten welke omtrent de afftand zyn zal. Men weet immers by gisfing welke de Lengte is, waarop men zich bevindt, en eenige graden onzekerheids, zyn hier van geen belang: men weet dus hoe veel uuren men vroeger of laater op Teneriffa, of op eenige andere plaats, die men tot gronuflag aanneemt',telt: ge-  824 V. Deel. Aanmerkingen over a*e Practyk. gevolglyk dien tyd van het uur wasr op men de waameerning san Boord doen wil, aftrekkende, of 'er by optellende, naar mate men Ooftelyker of Westelyker dan de Pic ligc, (§ 36 N. 1.) zal men ■weeten hoe laat het ten tyde der waarneeming op den Pic zyn zal: en gevolglyk welke dan de waare afftand zyn* moet: het zy door een' rcegel van driën, het zy door de proportionaale Logarithmen, zo als te vooren (§ 43: § 44 en § 129) is uitgelegd geworden : doch men behoeft niet eens zo veel naauwkeurigheid te gebruiken, het inzien van den Almanach is genoeg. Voorleeld. § 217. tk bevind my op den 21 July 1793 op 4c0 Oostelyke I-ergte, miar gisting: en ik wil tecgens 3U eeren afftand neemen van Zon en Maan: dan zal het op Teneriffa au 4c' vroeger zyn: en gevolglyk omtrent 2j' namiddag: welke tyd invalt tusfehen den ao, ten 22". 53;. 2C". Cfterrekundigen tyd) en den ai ten i". 53',ac": en wel bynaar middel in. Maarden 20 ten 22«. 53'.20". is dé afftand in den Almanach 6;°. 18'. 23". en den 21 ten 1". 53'. 23". is dezelve 64°. 43'. se": dus het midden 640 zal omtrent den afftand zyn die ik zal waarneemen: Ik zeg omtrent: want een graad, ja zelfs twee graaden zyn hier van geen belang, om dat het veld van den Kyker eenige graaden bellaat, en men dus de beide voorwenen te gelyk zien kan, al zyn zy nog eenige graadei van elkander af. Al wtet mtn dan flechts op een uur na hoe kat het op Teneriffa is, is het genceg om dat het verfchil der afftanden in 3 uuren tyds altoos minder dan twee graaden bedraagt. § 218. Wanneer men dan op die wyze op een* graad of halven graad na weet hoe groot de waare afftand is, weet men ook met de halve middellynen van Zon en Maan al'tetrekken; of zo men eene Ster fchiet met  JF. Hst Werk behoorlyk te verdeelen. 22 met die van de Maan, naar vereisen van zaaken, aftetrekken of bytevoegen, en dit ook maar in ?| ruuwe, voor iedere middellyn, by voorbeeld^ 16 minuuten neemende; hoe groot de fchynbaare afftand zyn zal. Men zal dan den Wyzer op dien graad en die minuut die men bepaald heeft fchuiven,en den vingerfchroef klemmen, op dat de Wyzer niet door eenigen ftoot', of enkele aanraakirg, van plaats veranderen zoude. — Dit nu gedaan zynde, fpreckc bet van zelf, dat, indien men dan door den kyker onmiddelyk het gezicht naar een der voorwerpen richt, hec ander zich gelyktydig in den fpiegel zal verwonen, zo men het Inftrunient naar de onderlinge richting dier voorwerpen doet hellen: en dat dit tweede voorwerp zich in aanraaking met het eerfte zal vertoonen, of wel zich flechts op eenen kleinen ïfltand van hetzelve bevinden: zo dat het gemaklyk vallen zal, met den wyzer, door middel van de StelSchroef, zagtjes te verfchuiven, eene volmaakte aanraaking, waarin eigentlyk de waarneeming beftaat, te doen geworden. Door deeze voorzorg zal «de waarneeming gemaklyker, naauwkeuriger^ fchielyker gefchieden, dan indien men, het oog reeds naar ten der woorwerpen richtende, het andere nóg meest zoeken. IV. Vierde vereischte; dat de Wadrneetners het werk behoorlyk onder zich ver deelen, en zich wel verf aan. § si* Wy hebben meermaalen gezegd dat 'èr oorfpronftelyk drie Waarneemers tor deezi wfarneeming vereischt worden; een derzelver lchiet de hoogte hn Zon of Ster; een tweede die der Maan; een derde meet den afftand der beide voorwerpen: men kan boven dien een Asfiftent gebruiken om de waarneemingen optelchryven, en het tydftip der waarheemingen op een feconde-Horologie na te gaan. Wy hebben, wel is waar, hier boven gezien, hoe men , alléén zynde, en flechts door een' Asfiftent geP hol»  226 V. Deel. Aanmerkingen over de Praciyk. holpen, alles wat 'er vereischt wordt doen kan ï (§ 147 —§157-) doch het is becter dat 'er drie Wnarneeniers zyn. Alles gefchiedt dan gemaklyker, fpoediger: cn de bereekening valt minder möeijelvk. Ieder der drie Waarneemers doet dan eene afzonderlyke waarneeming: doch de drie waarneemingen zyn niet allen eeven gemaklyk, eeven gewigtig. De moeijelykfte en de gewigtigfte is het meeten van den afitand. De kur.digite Waarneemer moet dan dien taak op zich neemen: van hem hangt alles af: hy moit alle de deelen van de waarneeming bellieren. De hoogte-meeting van de Zon of Ster is gewigtiger dan'die der Maan, om dat zy dient tot het bepaalen van den Tyd; de kundigfte der twee; overige Waarneemers moet dnn dezelve op zich neemen, en de Maans hoogte voorden derden overlaaten. Eene kleine feil in de bepaaling van Zons; of Maans hoogte heefc niet zo veel invloed op hec bereekenen van den afitand, mits men de correctien' die uit dampheffing en verlchilzicht gebooren worden (iN°.III cn No. IV) nvt alle zorg beezigc. f» Zie daar hoe de Waarneemers het weik orden zich verdeelcn. § 220. Maar de hoogten der Maan en der Zon of Ster, moeten op het zelfde oogenblik des tyds genomen worden als de afftand: daar nu deeze dne meetingen: door drie vcrfchillende Waarneemers gefetaiedenj moeten deezen door een teeken gewaarfchuuwd: worden. Alles hangt af van den Waarneemer dia den afftand meet. Wanneer dan ieder zich gereed houdt om de hem toevertrouwde waarncem'ing tei doen, zal de eerstgemelde, wanneer hy, na de Zon: of Ster en de Maan eenigen tyd in het Inftrument gevolgd te hebben, ziet dat zyne waarneeming goed: zal worden , de beide anderen door een teeken, het roepen by voorbeeld van Geeft acht3 waarlehuu- wen: («) Zie zesde deel, § $49,  V. Dat de afftand zeer naauwk gemeeten worde. 227 wen om met alle aandacht de Zon of Ster en de Maan, ter hoogtemeeting, te volgen ren wanneer hy oordeelt dat zyne waarneeming goed is, zal hy een teeken geeven, by voorbeeld roepen Meet. of Stop, en de anderen zullen op het hooren van dat woord de hoogte naauwkeurig meeten : terwyl die, welke gefteld is om te fchryven, op het aanhooren van het zelfde woord , op het Horologie de feconde waarneemt, en daar na minuut en uur, zo men een Horologie gebruikt: waar over ftraks nader CS 232-) V. Vyfde vereischte: dat de afftand zeer^ naauwkeurig gemeeten worde: wat daar toe vereischt wordt? §221. Dat alle drie de waarneemingen, zo wel die van Zons of Sters en van Maans hoogte, als die van den afftand der beide lichten, naauwkeurig moeten geleideden, is eene zaak die van zelfs fpreekt: doch daar het fchieten van hoogte een dagelyks werk by alle Zeelieden is, daar men gevolglyk voorondcrftellen moec dat zy in dat ftuk behoorlyk bedreeven zyn, en daar de bewerking in zich zelve ook vry wat gemaklyker valt dan het meeten van den afftand, dat buiten dien het gevvigtigst is, zullen wy van die waarneeming alléén fpreeken. De afftand die men meet is een boog van een grooten cirkel, wiens vlak door beide de voorwerpen, hier Zon of Ster, cn Maan, en door hec oog van den Waarneemer gaat. De verdeelde rand van den Sextant, welke dien boog aanduidt, moet dus ook in dat vlak ftaan: dat is, het werktuig, de beide voorwerpen en het oog moeten in één en bet zelfde vlak zyn Dit is het algemeen grondbeginfel waaruit wy alles zullen afleiden: op dit grordbeginlel fteunt ook de hoogtemeeting: want daarin meet men den afftand tusfehen het voorwerp en de kim: en daarom houdt men den ÜÊtant als dan loodrecht: om dat de afftand van het voorwerp tot Pa de  328 V. Deel. Aanmerkingen over de Practyk. de kim, dat is de hoogte, gemeeten moet worden door een' loodrechten boog, door eenen boog van den cirkel die door het toppunt gaat: het werktuig moet dan loodrecht gehouden worden, om dat het zelve, het oog, het voorwerp en de kim in een en het zelfde vlak zouden zyn. — Wy teekenen dit enkel aan op dat men zien zoude dat 'er hier eigenlyk niets nieuws gevraagd wordt. § 222. Wanneer men dan den afftand meeten wil, wordt men vooronderiteld het werktuig eerst te hebben bereid volgends het geen wy gezegd hebben. Men weet uit de Tafels van den Almanach of de Ster of Zon, zich Oostwaards dan Westwaards van de Maan bevindt: en ilus weet men daaruit hoe men zich richten moet. Verder, het inftrement gefteld zynde,(§ 218) indien men door het zelve, het oog onmiddelyk naar een der voorwerpen richt, en aan het inftrument die helling geeft die de beide voorwerpen onderling hebben, zal het ander voorwerp zich zeeker in den fpiegel vertoonen, en wel bynaar in aanraaking: het geen tot de volkomen aanraaking ontbreekt, dat is tot de volkomen waarneeming, zal men, den wyzer door de ftel fchroef naar behoren verfchuivende, gemaklyk vinden: doch ook; hier in zyn 'er eenige voorzorgen noodig. §• 223. Het is altoos voordcclig het oog door het glasi naar hec fiaauwst voorwerp te richten, en het beeld: van het ander dat hec meeste licht geefc in den fpiegel tc vangen: dus wanneer men een' afftand; van Zon en Maan waarneemt, richt men het oog naar de Maan, men vangt het beeld van de Zon in den fpiegel: wanneer men den afftand van de Maan en een e Ster waarneemt, richt men het oog naar de Ster, en vangt hec beeld van de Maan in den fpiegelj Dit is in dit laatfte geval des te noodzaakelyker, dat men anderszins wel eens eene verkeerde Ster zoude kunnen neemen; dat nu geen plaats heeft.: daai  V. Dat de afpand zeer naauwk. gemeeten mrde. 229 daar dcStcr, die men tot die werk gebruikt, altoos een van de helderden is: daar het werktuig gefteld zynde, de Ster en de Maan zich bynaar in aanraaking zullen bevinden, de Ster loodrecht op de hoornen van de Maan, of wat op het zelfde uitkomt in de verlenging van den kleinen as der Maan. Men moet zich in het algemeen oeffenen in het onderfcheiden der Sterren, en daar toe zullen deeze waarneemingen, wanneer het inftrument gefteld is, een goed middel aan de handgeeven, al zoude men ze tot het bepaalen der Lengte niet gebruiken: want de heldete Ster die dan in den fpiegel te gelyk met de Maan, en bynaar in aanraaking met dezelve, gezien wordt, is de bedoelde Ster. § 224. Wanneer men dit voor een' reegel houdt, dat men aloos het oog naar het flaauwfle voorwerp richt, zullen 'er twee gevallen piaats hebben : want het ander voorwerp bevindt zich dan, ten opzichte van den Waarneemer, aan zyne rechter of aan zyne linker hand. In het eerfte geval, zal men, door het beweegen des wyzers, de voorwerpen gemaklyk in aanraaking brengen, daar men dezelve terftond ziet, vermits de wyzer en dus de fpiegel van zelfs naar dat tweede voorwerp gekeerd is. In het tweede geval, in teegendeel, is de wyzer, en dus ook de fpiegel, van het tweede voorwerp afgekeerd: men kan dan het zelve in den fpiegel niet vangen. Men moet dus in dat geval, wanneer namentlyk het voor werp, wiens beeld men in den fpiegel vangen wil, aan de linkerhand van den Waarneemer ftaat, het werktuig het onderfte booven houden; als dan immers is de ipiegel naar de linkerhand. en eus naar het voorwerp gekeerd: hy kan dan het beeld van dat voorwerp vangen. Ook zal men als dan, indien hec werktuig eens gefteld is, (§ 218.) en men hec in de behoorlyke richting houdt, dat tweede voorwerp in den fpiegel zien, bynaar in aanraaking met het eerfte, naar welk men het oog richt. P 3 § 325  330 V. Deel. Aanmerkingen over de Pretctyh Men moet dan wel zorgen dat die aanraaking volkoumen zy, want daarin beftaat eigentlyk de geheele waarneeming: men vangt dan het beeld van het voorwerp, d^t door den Ipiegel gezien wordt, ol op het onverfoeilied gedeelte van den kimfpiegel, zo dat voorwerp zeer helder ichynt, of op het vcrfoeilied gedeelte, zo het voorwerp flaauw is. en dus zo na san den rand als moogelyk is. Wanneer de voorwerpen in aanraaking fchvnen te zyn, en men dus ziet dat de waarneeming goed gaat worden, verzeekert men zich, door eene zachte beweeging en flingering van het Inftrument, dac de aanraaking juist is, dat zy maar in een ftip gefchiedt, zonder dat de beelden zich fnyden: dan is de waarneeming goed, en men waarfchuuwt den As/Jftent, of de Meede-waarneemers, dat zy zo is, (§ 220.) % 226. Men gebruikt doorgaands een' Kyker op den Sextant, om de voorwerpen net en naauwkeurig te zien , en op dat de aanraaking Icherper zoude zyn. De Kyker, die de voorwerpen omkeert, is daar toe, als zynde de helderfte, het gefchikfte, en moet dus, by voorkeuze, gebruikt worden, hoewel het moeilyk valt, als men 'er niet aan gewoon is. Men moet vervolgends zorgen, niet alleen dat de Kyker wel gefteld zy, dit immers hoort tot het wel nazien van het inftrument, maar ook zorgen, en dit behoort onmiddelyk tot de waarneeming, dat de aanraaking juist op die lyn, of op die hoogte gefchiede, welke noodig is, op dat het vlsk dat door dat ftip en de aanraaking in of op den fpiegel g;;at, eevenwydig aan het vlak van het inftrument zyn zoude: anders immers zoude het oog niet met de beide voorwerpen in het zelfde vlak ftaan: men moet dan allen vlyt aanwenden om die aanraaking, in het midden van den Kyker, te doen voorvallen, dat is, zo de Kyker van draaden ontbloot is, zo veel moogelyk, op het middelpunt van  V. Dat de afftand zeer naauwh. gemeeten worde. 231 van het glas: of zo de Kyker met drasden voorzien is, midden in de ruimte, tusfehen de twee draaden: immers zo veel mocgelyk is. Dit is van veel belang: en de recden daar van ligt in den aart zeiven van die foort van waarneemingen opgefloten. § 227. Wy hebben immers gezegd (§ 221.) dat, om eene goede waarneeming te doen, de beide beelden van Zon en Maan, of van Zon en Ster, zich in een vlak bevinden moeten, dat eevenwydig aan het werktuig is; gevolglyk, zo men een Sextant of Octant, met een Kyker voorzien, gebruikt, in dat gedeelte van den Kyker, in die lyn op het veld van den Kyker, die men weet dat aan het vlak van den Sextant, of Octant, eevenwydig is. Zo dat geen plaats heeft, zo de beide beelden zich in een ander gedeelte van den Kyker bevinden, is de hoek, dien men waarneemt, de waare hoek niet: maar altoos grooter. Wy hebben dit breedvoerig, in de gemelde Verhandeling, over de Octanten en Sextanten, aangetoond; en vooral § 65. en rog meer byzonder, in de aanmerking c, op die plaats, alwaar wy de zaak mathematisch hebben onderzocht: hier zy het genoeg aantemerken, dat.de hoek, ofaf.iand, dien men gefchooten heeft, als dan te groot is, en da: men derhalven, aan dien hoek, eene verbeetering moet toebrengen: de XVIde Tafel dient hier toe. -— Daar wy namentlyk, aangetoond hebben hoe de Waarneemer, daar hy te vooren bepaald heeft, hoe veele minuuten de afitand, tusfehen de twee diaaden, bevat, omtrent gisfen kan, hoe veeie minuuten de plaats, daar hy de Zon en Maan in den Kyker ziet, van die plaats, die aan het vlak van het werktuig eevenwydig is, verfchiit (a): heefc hy maar, in die Tafel, onder die minuuten, optezoeken, wat hy, van den waargenoomen hoek, moet aftrekken. Hy meet, by voorbeeld, den afftand van Zons en Maans randen op 420. 2'. 35". en gist dat de beel- («) Zie Veihandelir.g over de Octanten en Sextanten! §§6i, 62,65. P 4  S3a " V. Dtel. Aanmerkingen over de Practyk. beelden van Zon en Maan ao' buiten de behoorlyke plaats in den Kyker zyn: hoe groot is de waare gemeeten hoek of afftand? Waargenoomen afftand . . . 4-°. a'. 35". Correctie voor ao'. afwyking, en 420. afitand. (Tafel XVI.) . _. 3j_ Dus waare gemeeten afftand. . 41° 2'- 3*'*o als wy ze boven § 36. gebruikt hebben Dit is eene Correctie of verbeetering, die men doen moet, alvootens men den gemeeten afiland ter bereekening aar,teekent. Zie verder 't geen wy, in de Verklaaring van de XVI Tafel van onze Verzameling, en in de Verhandeling ove,r de Octanten en Sextanten, § 65. en aanmerking c% bl. 6.5. der aanmerkingen , gezegd hebben, § 228. Wanneer men alle deeze voorzorgen gebruikt, wanneer men den aart van de Sextanten genoeg kent, om te beöordeelen wat 'er tot eenen goeden Sextant of Octant behoort, en zyn inftrument behoorlyk heeft nagegaan, kan men zich vleijen eene goede waarneeming te sullen doen. Maar ook hier kan mpn alleen door ervaarenis, de hebbelykheid pm wel waarteneemen, om alle de zo eeven opgemelde theoretifche, of practifche aanmerkingen, daadelyk toetepasfen, verkrygen. Men moet zich gevolglyk geduurig, in ciergeiyke waarncemingen , c .'Oenen, al waare het alleen om zich te oeffenen, en zonder oogmerk om de waargenoomen afftanden te bereekenen Men gebruikt doorgaands Sextanten tot hec meeten der afftanden: maar men kan die waarneeming ook met een Octant doen, mits de afftand niet boven de oc°zy:en indien een Octant, 'met een Kyker voorzien waare, zoude het in dat ^Bval om 't eeven zyn, een Octant of een Sextant je gebruiken, VI.  VI. Verfcheide achtereenvolgende Waarn. te doen.i\\i VI. Zesde Vereischte: men moet verfeheiden achtereenvolgende waarneemingen doen, en een midden uit allen neemen. % 229. De Waarneemer moet, om eene goede waarneeming te doen, eenige hebbelykheid van waarneemen verkreegen hebben. Dan, hoe ver hy ook in die kunst bedreeven moge zyn, kunnen alle zyne waarneemingen met eeven goed zyn: veele omftandigheeden kunnen eenige misflagcn in dezelven te weeg brengen. Het is dus onvoorzichtig zich in een zo gewigtig ftuk a's dat der bepaaling van de Lengte, met ééne enkele waarneeming te vergenoegen: men moet meer dan ééne doen: zo 'er als dan feilen ingefloopen zyn, zullen juist die feilen in alle waarneemingen niet eeven groot zyn : ook, zo de gemeeten afftand of hoogten in de eene grooter dan de waare zyn, zullen zy waarfchynlyk niet in allen grooter zyn, doch in eenigen kleiner: indien men dan een midden uit alle de waarneemingen neemt, zullen de feilen zich gedeeltelyk verbeeteren: en htt overfchnt, over allen gelyklyk; verfpreid zynde, zal dc gemiddelde waarnecming minder van de waarheid afwyRen dan ééne éénige der geenen, weike men tot die gemiddelde gebruikt heeft. § 230. Indien de veranderingen, die in Zons en Maans hoogte en afftanden in eenigen tyd voorvallen, altoos tenpanrig wnaren, beftendig in gelyke tyden eeven veel aangroeiden of afnamen •, zoude men, indien men wist, hoe groot die veranderingen in een' bepaalden tusfehentyd zyn, ook weeten dat zy dubbel zyn in een' dubbelen ryd, viervoudig in een viervoudigen, en, in één woord, kunnen bereekenen, hoe groot de verandering zyn moet voor een' bepaalden tusfehentyd. Deeze voor- snderftelhng heeft geen plaats voor groote tusfehen- p 5 £y-  234 V. Deel Aanmerkingen over de Practyk. tyden: maar zy is byna naauwkeurig voor kleine tuslchentyden, en kan zeer veilig gebruikt worden • dus zal men alle de afftanden, die men achtereenvolgend waargenoomen heeft, en aile de hoogten die men te gelyker tyd met ieder' afftand waargenomen heeft, by eikanderen teilen ; de lommen door Het getal van waarneemingen divideeren: en de quotiënten of uukomften der divifiën geeven den gemiddelden afftand 3 cn dc gemiddelde hoogten. Voorbeeld. Vu ftel dan dat men de vier volgende waarneemingen gedaan heefc: afftand: © hoogte g hoogte van © en a onderrand. onderrand. jc8°. 9'. 20". - 70. c,. 30«, _ 53> - , c log 10. 15. _ 6. 43. £ _554. * J 108. 10. 45. - 6. 23. 3o. - 54. a$. q 108. n. 3o. — 6. 6. o. _ 54. 39. g| door 4 tty.^j*. 41. 50- - 26. 13. 30; ^ï&jg^M ' ' . IO8. 10. 27. — 6. 33. 22. — 54. i4. a2 Het is dan voor dien gemiddelden afftand dat men de reekemng zal in 't werk ftellen: en men zal onderftellen dat op het oogenblik, toen die fchvnbaare alitand plaats hadt, de hoogten van den onder»cn rand der Zon en der Maan geweest zyn 6». 33.89*, fIL54°' I4'.2'"; ,'c Seen men, om de aangehaald reeden, veilig onderftellen kan. vn. Zevende vereischte: men moet versheiden ftellen van waarnemingen gebruiken. § 232. Men moet niet alleen verfchc'den meetingen van •Manden neemen in den zin dien wy zo eeven verWaard hebben: maar het zal imgclyks nuttig zyn, • op  VIL Verfichtide fielten van Waarneem, ie doen. *%$ op één' en den zelfden dag meer dan een ftel waarneemingen te doen, en uit ieder de Lengte te bereekenen. Indien namentlyk de Zon ten O. of ten W van de Maan is, en men den afftand tusfehen Zon en Maan waargenomen heeft: zal het nuttig zyn den zelfden dag, zo fpoeJig mogelyk daar na, of daar vóór, eenen afftand te neemen van eene Ster die ten W. van de Maan is zo de Zon ten O. was, of ten O. zo de Zon ten W. was: of, zo men den afftand van eene Ster ten O. van de Maan gemeeten heeft, ook nog den afitand van eene Ster ten W. van de Maan te meeten: cn dan uit ieder ftel waarneemingen de Lengte te befluiten. Men kan dan die beide Lengten met eikanderen vergelyken, haar verfchil nagaan, een midden neemen enz. en deeze waarneemingen geevcn de naauwkeurigfte befluiten, voor al, om dat de feilen, die 'er in het inftrument kunnen zyn, zo als ook die, welke in de beste waarneemingen altoos overig kunnen bly ven , als dan eikanderen grootendeels vernietigen. Men moet dan geene geleegenheid om die herhaalde ftellen van waarneemingen te doen, laaten voorbygaan: ook zo de atftand van Zon en Maan tusfehen de 90 en 120 graaden is, zal men wel doen, niet alleen den afftand van Zon en Maan, maar ook dien van Maan en twee Sterren, waar van de eene oostelyk, de andere westelyk van de Maan is, te meeten. Wel is waar dat het Schip in den tusfehentyd, die 'er van het eene ftel waarncemingen tot het ander verloopt, voortzeilt, en dus misfchien van Lengte verandert: doch het valt gemaklyk de veranderde Lengte uit de bekende verheid en koers op te maaken: en dus deeze van de Lengte, uic het tweede ftel waarneemingen befloocen, aftrekkende of daar by voegende , naar maate der omitandigheeden ,die Lengte te herleiden, tot het geen zy geweest zoude zyn zo hec Setup piet van plaats veranderd was. VIII.  %l6 V. Deel. Aanmerkingen over de Practyk. Vilt. Aanmerkingen over het nut van hy iedere waarneeming den tyd op het Horologie aan te teekenen. § 233. Indien men een Horologie heeft, kan men den tyd van iedere waarneeming 'er by voegen; dit is wel in zich zelf niet noodig, want menbereekent het Uur, of het waar tydftip der waarneeming, door middel van de hoogte der Zon, of van de Ster: maar men zal 'er nocthans een dubbel nut uit haaien: voor eerst dat men, het tydftip van de waarnceming op het Horologie gezien, en het zelve daar na in N°.V11I. (zïe § 50 en 51) onmiddelyk bereekend hebbende, het Horologie op den waaren tyd zal kunnen ftellen, »t geen in zeer veele opzichten zeer nuttig is: en ten tweeden, dat men daar door in ftaat zal zyn te oordeelen of 'er, tusfehen de gedaane waarneemingen ook eene of andere is, die te veel van de overigen afwykt, dus twyffelachtig moet voorkomen, en verdient verworpen te worden. Wanneer men den tyd op het Horologie aanteekent, moeten 'er twee men chenzyn: de Waarneemer die de waarneeming doec; cn de Asfijlent die op het Horologie ziet: deeze zal zyn oog op den Seconde- wyzer vestigen, en, zo dra de waarneemer hem waarlchuuwt, de Seconde, die de wyzer dan aantoont, opnoemen, vervolgends de Minuut en dan het Uur. Het is nog boeter, dat de Asfiftent, alvorens gewaarfchuuwd te worden, wanneer de feconde-wyzer eenige minuut begint san te wyzen, dat is, op 60 ftaat, overluid, of voor zich zeiven telle, een, twee, drie en zo voorts tot 60 toe, en "weeder een, twee, drie altoos tot 60: dan zal hy gemaklyker en naauwkeuriger gewaar worden met welk getal feconden het oogenblik der waarfchuuwing, en dus der waarneeming, overeenkomt: waar sa hy vervolgends naar de minuut, en het uur ziet. S m  VUL Den tyd der JVaarn. op een Horol. aanteteek. 237 § 234. Dit zullen wy met een voorbeeld ophelderen. Ik herhaal de voorige waarneemingen: doch onderttel dat zy op deeze tyden van het Horologie gedaan zyn. S o1 e; 3 O. 2. 0\ | -ft- * 4* *. c c c c c cj "L ^O. t»_ w_ Q_ c> ij * vq o. M -fc. M M M M O •» 0000 00 00 00 oo 00 • • • • • #o M 5; M p r r P o vo KJ ÜJ 1» J> „ „ p p ui 01 g o F" e> 0\ e> ~J • - . o *» w Cv 1» w O 13 e p O p p O SU s P* 0 5 o era J* sr o o m S  833 V.Deel. Aanmerkingen over de Practyk. De waarneemingen volgen hier omtrent allen de reeden van den tyd, en dus is 'er grond om dezelven allen voor goed aan te zien, zonder met recht de eene boven de andere te verkiezen: doch, zo de derde waarneeming, by voorbeeld van den afftand, geweest was 108. n', zoude men duidelyk zien dat zy verworpen moest worden: want tusfehen de tweede en de derde zouden 'cr i'. 5" tyds verloopen voor eene verandering van 45" in den afiland; en tusfehen de derde en de vierde zouden 'er 1'. 38" tyds verloopen voor flechts 30" verandering in den afftand; dat niet mogelyk is; dus fchuilt 'er ergens eene feil: en men zoude die derde waarneeming moeten verwerpen. — Men ziet daar uit hoe nuttig het zyn kan de verloopen tyden, en het tydftip van iedere waarneeming , op het Horologie waarteneemen en aanteteekenen. IX. Aanmerkingen over de naauwkeurigheid met welkt men door deeze handelwyze de Lengte op Zee kan bepaalen. 5 235- De graad van naauwkeurigheid dien men by het bepaalen der Lengte, door middel van de afftanden der Maan tot de Zon of eene vaste Ster, kan verkrygen , hangt van deeze vier ftukken af. Vooreerst dat men een goed werktuig gebruike: 20. Dat men de waarneemingen naauwkeurig doe: 30. Dat men zich in de bereekening niet verzinne: 40. Dat de Sterrekundige Tafels waar uit de Almanach bereekend is, eene genoegfaame naauwkeurigheid hebben. Dat men een gced werktuig most bezitten, het zelve moet weeten te gebruiken, fpreekt van zelf: zo als ook dat men in ftaat moet zyn eene goede waarneeming te doen. Wat tot het eerstgcmelde, het werktuig naamentlyk vereischt wordt, is door ons in onze Vtrhandeiing over de Sextanten en Octanten breedvoerig genoeg aangeweezen: des wy hier over niet verder behoeven te handelen. Wat de waarnee -  IX. Over dt naauwkeurigheid'van het geheele Werk. 239 neemingen betreft hier over is genoeg gezegd. De vraag is dan deeze: Wanneer iemand eene waarneetning gedaan heeft, met zo peel nauwkeurigheid als in dit foort van waarneemingen mogelyk is: wanneer hy zelfs, om zeeker te gaan, een midden uit verfcheiden waarneemingen genomen, (§ 239.) ja zelfs yerfcheiden ftellen pan waarneemingen (§ 232.) gedaan, en de naauwkeurigheid aier waarneemingen door een goed Horologie getoetst heeft (§ 233.) zja dan die waarneemingen pan dien aart, dat' men de befluiten uit dezelve opgemaakt kan betrouwen? zya de bereekende slfflanden genoegzaam zeeker om 'er ia dit gewig ftuk op af te kennen ? Zo beide deeze vraagen ftellig beantwoord kunnen worden, zai het klaarblykelyk zyn dat men deeze geheele handelwyze als genoegzaam zeeker kan befchouwen: dat men ze in de praktyk algemeen behoort tc gebruiken. § 236. Wy kunnen, op de eerfte vraag, welke toch de graad is van naauwkeurigheid, die men, in de beste waarncemingen van deeze foort, in die wuarneemingen welke met de meeste voorzorge zyn genoomen, kan erlangen, niet boeter antwoorden dan met het geen daar over door lieden, ïn die foort van waarneemingen door en door ervaaren, hier omtrent is aangevoerd, en uit eene langduurigc ondervinding opgemaakt is, te volgen. (Y) Men kan feilen 'begaan, zo wel in de waarneeming van de hoogten van Zon of Ster cn Maan, als in die van den afftand. De hoogte van de Maan dient allcdn om, in de bereekening, den waaren afftand, uit den fchvnbaaren aftcleiden: (§ 4c. §41.) Eene feil, zelfs Van eenige weinige minuuten, in die hoogte begaan, is van geen merkelyken invloed, op de uitkomst der bereekening. (ft) Eeven eens is het met de hoogte van de Zon of Ster geleegen, in zo verre die, (V) Zie Voyage de PINGRE, VERDUN et DE BORDA, Tom- s» p. 440. volg. ih z'c § 349-  240 V. Deel. Aanmerkingen over de Practyk". die, in de bereekening van den afftand, te pa? komt. Maar ook deeze, immers die van de Zon , dient ook om den waaren tyd aan boord te kennen: en hiertoe behoort meer omzichtigheid en naauwkeurigheid: daarom zalmen, om den Uurhoek naauwkeurig te verkrygen, een hel vsh verfcheide achtereenvolgende Zons hoogten neemen, (het tydftip waarop ieder, volgends een goed feconde • horologie, plaats heeft, aanteekenende, ) en uit alle dezelve eene middelhoogte, die men, in dc bereekening, gebruikt, afteleiden. Dit is eeng voorzorge die men altoos in het werk moet ftellen, cn daarby, zo veel moge'yk, dewrarneemingen.in die omftandigheeden doen, welke hec meest gefchikt zyn om goede uitknmften opteleevcren. (§ ;co—§216^ Indien men aldus te werk gaat, is het niet wel moogclyk eene feil van eene minuut, in de hoogte, te begaan. Deeze echter zoude, op den Uurhoek, Hechts een misflag van & a 5 leconden tvds veroorzaaken, indien men zich naby den Mquator bevond, en van 10 a 12 (d) feconden onder den Pool-cirkel: bet geen gevolglyk, in de bepaalde Lengte ., maar eene feil van eene minuut graads, ih hec eerfte geval, en van drie minuuten, by den Pool-cirkel, zoude bedraagen: en die feil is, in dit opzicht, van geen belang. §237. Eenige misflag in den waargenomen afftand is van meer gewict: de afftanden immers veranderen, hes een door het ander, bynaar \\ graad in de drie uuren, cn gevolglyk bynaar go minuuten ieder uur. Eene feil van eene minuut in den afftand geefc dan eene onzekerheid van twee minuuten tyds: en daar door van een' halven graad in de Lengte: — doch zo het immers mogelyk is, moet men het nooit op ééne éénige waarneming laaten aankomen: men moet "er verfcheide achtereenvolgende doen, en een midden uit allen neemen (§ 229 —- § 232.) waar door de feil noodzakelyk geringer worde. % 238. («) Zie § 3ic  Over de naauwkeurigheid van het geheel Werk. 241 § 238. Wat nu eindelyk de feilen in de bereekende afftanden, welke in den Almanach ftaan, betreft; zy hangen af van de nauwkeurigheid van Maans Rechte Opklimmingen Declinatie, of liever Lengte en Breedte, uit welke die afftanden zyn opgemaakt (§ 21.) en deeze hangen af van de kennis, welke wy omtrent den loop der Maan bezitten. Die kennis nu, hoewel niet volmaakt, is vry vergevorderd, en genoegfaam om ons billyk te doen vertrouwen dat de bereekende afftanden der Maan toe de Zon, of eenige vaste Ster, maar weinig van de waare zullen verfchillen. Voor weinige jaaren bedroeg de feil in de Astro^ nomifche Tafels, die men tot het bereekenen van den Almanach gebruikte, ééne minuut: waar uit een misflag van een' halven graad in de Lengte, uit de afftanden van de Maan tot de Zon, of Sterren, opgemaakt, kon ontdaan. De grootfte onnaauwkeurigheid die in de Tafels, welke men thands gebruikt, plaats heeft , bedraagt flechts een' halven minuut bjogs: waar uit dus in de bereekende Lengte op het hoogst maar eene feil van een vierde deel van een graad ontftaan kan (a). Wy kunnen dan de naauwkeurigheid der Tafels veilig vooronderftellen. § «38* Indien men dan de beide feilen, zo wel die welke uit de waarneeming, als die welke uit de bereekende afltanden in den Almanach ontftaan kunnen $ te fameu voegt, zal het blyken dat de fom derzelve, en dus de algemeene feil, op het hoogst drie vierde van een'graad of een' graad op de geheele Lengte kan bedraagen: en zy zal hoogst waarfchynlyk, orn niet te zeggen zeeker, geringer worden, als men tot grondflag der bereekening niet ééns,i waarneeming , maar een midden uit een geheel ftel van waarneemingen legt (§ 229 — § 231); verfcheide ftellen van waarneemingen bereekent ( § 232. ) en («) Zie Verklaring van tUn Almanach ade druk, bl. 1*5, noot (f). Q  34* V. Deel. Aanmerkingen over de Practyk. en tot bevonden Lengte een midden uit alle de byzondere utkomften neemt. Hoe wel nu eene feil van eenen hal ven graad, of van een graad, in zich zelve groot moge fchynen, behoort men wel te letten, dat men fomtyds op langduurige reizen, in het beftek der Lengte, feilen van zes, van acht van meerder graaden begaat, als men het enkel op het geen uit het beftek volgt, laat aankomen: en dat men dus op dergelyke reizen, door deeze handelwyze, de onzeskerheid merkelyk vermindert: het geen buiten twyffel van het grootst belang is. Men herinnere zich eindelyk, dat men nimmer van eene handelwyze, hoe ook genaamd, meer moet eisfehen dan waar toe zy uit haaren aart gefchikt is. Deeze is het, voor langduurige reizen, daar mea zich op grove feilen, op veel onzekerheids kan verwachten, by uuneemenheid: maar iemand die, by voorbeeld, 'smorgens uit eenen gefenooten afftand, eene Lengte van 450 zoude opmaaken, en 's avonds by herhaaling van eene dergelyke waarneeming eene Lengte van 460: zoude zich zeer vergisfen met te befluiten dat hy, al wees hem zyn beftek het teegendeel, eenen graad in Lengte moet gevorderd zyn: hy zoude veel eerder met de behoorlyke voorzorgen een midden uit die beide waarneemingen moeten neemen, en naar hetzelve zyn voorig beftek verbeeteren. In zodanig een geval, voor de veranderingen in korte tyd per ken voorgevallen, zoude een Tydmeeter meer voldoende zyn: Kapitein van byland zeu;t te recht, ., hoe zeer „ ook de afftanden van Zon en Maan my voor de „ groote Zeevaart toefchynen, de vooikeur ter be„ paaling van Lengte verre boven den Tydmeeter te „ verdienen, zo is het geheel iets anders v/anneeri ,, het op de naauwkeurige bcpaaling der Lengte van: a, eene plaats aankomt." (a) S- 239; M ytt\' _ En eindelyk, dat men in veele opzichten meester is om den tyd, die tot de waarneeming de voordee igfte is, u.t te kiezen. § 209 - § 216 Wanneer men zich nu tot' eene dergelyke waarnecming wil begeeven, moet men op alles naauw5fUnf wen; en' 20 veel mogeiyk, aan de afftanden der Maan tot de Zon de voorkeuze gteven —. Wanneer men de waarneeming bereekent, hangt 'er veel van af, voor eerst dat men alles in eene: ilZT 2, , , e: tm dat men niet zonder' roodzakelykheid twee maaiende zelfdegetalen fchrv-. ve; daar door verliest men tyd en loopt men ge-, vaar yan feilen te begaan: en eindelyk dat men ziel; w lC uunS ^e ree£els behoeve te herinneren. — I Wy hebben daarom hier op een blad aangetoond,, hoe men alle de grootheeden, die in de bewerking te pas koomen, op moet ichryven, ten einde zulks 1 op  X. Bef uit. Overziening van het geheele Werk. 249 op hec gemaklykst te verrichten. — Eindelyk, om den Zeeman in alles te gemoet te komen, hebben wy een groot aantal dergelyke vellen laaten gereed maaken, waarin alles, wat onveranderlyk blyft, gedrukt is, en de cy fiers alleen voor iedere waarneeming en iedere bereekening ingevuld moeten worden. Daar door kan men zich in een oogenblik alles wat men te doen heeft herinneren, en verzeekerd zyn van alles in de beste orde te zullen doen, zo als wy hier onder (.§ 247 ) nader zeggen zullen. § 245. Indien dan iemand alléén het practikaale wilde oeffenen, zonder zich over de reedenen der reegels, te bekreunen, lette hy alleen op het volgende. Waai neeming. i°. Wanneer men beflooten heeft eene waarnecming te doen, gaat men na, in den Almanach, welke afftanden van de Maan tot de Zon ofte vaste Sterren 'er voor den dag, op welken men eene waarneeming doen wil, bereekend zyn: men tracht, zo de omftandigheeden zulks toelaaten, den tyd te kiezen, op welken de Zon, of de Ster, die men verkoozen heeft, in of naby hec waare Ooscen of Wescen, dac is in den eerften vercicaal, (§ 2C9— § 219.) is, en men maakt zich teegen dien tyd gereed: of anders teegen den tyd dien men hec gefchikefte oordeelc. 2°. De waarneemer die den afftand meeten zal, zal dan den wyzer van den Sextant op den behoorlyken afftand ftellen; zo als § 219. gezegd is. 1°. Hy zal vervolgends alles in het werk ftellen wac noodig is, om eene goede waarneeming te doen: zie § 221 — § 229. 4°. Indien hy door twee andere waarneemers, die de hoogte-meeting op zich neemen , geholpen wordt; gaat hy te werk volgends § 219. § 220. 5° Indien hy alleen is, en enkel een Asfiftent tot hulp heeft, die op hec feconde-horologie ziec, en de waarneemingen opfchryfe, gaat hy te werk volgends § 149. O 5 60. In-  250 V. Deel. Aanmerkingen over de Practyk. 6». Indien hy op het oogenblik der waarneeming geen hoogte meeten kan, die hy genoegzaam be:rouwt om tot den Uurhoek te dienen, een geval, waarop hy altoos, by voorraad bedacht moet zyn, en zich gedraagen moet als of het voorvallen zoude, handelt hy zich § 157 — § 164. ï». Indien hy in het geheel geen hoogte neemen kan, gaat hy te werk zo als § 164 en volg. geleerd is. $0. Eindelyk in allen gevallen, draagt hy zorg van verfchcidc achtereenvolgende waarneemingen te doen, zo als § 229 — § 233 gezegd is. De waarneeming ntar behooren gelchied zynde, moet men dezelve bereekenen. Bereekening. § 846. N°. T. Men bereidt de grootheeden die men gebruikt, met ze naauwkeurig en in orde op te fchryven§ 36. Indien men meer dan eene waarneeming gedaan heeft, neemt men een midden uit allen § 229. cn het zyn die gemiddelde waarneemingen die men opfchryfe. Indien men alleen is, bereekent men eerst die hoogten, welke voor het oogenblik, opi het welk de afftand gemeeten is, plaats hebben 1 C§ 150— § 155): en het zyn die uitkomften welke: men onder den tytel van voorbereiding opfchryft Zie de gedrukte I, II en III Tabel, of blad, diê: by deeze Verhandeling gevoegd zyn. Vervolgends gaat men aan 't reekenen: en hier 1 toe gebruikt men geduurig de XI en XII Tafels1 van onze Verzameling: om namentlyk de eevenreedige veranderingen, die de grootheeden onder-, gaan, te vinden. N°. H. Men bereekent eerst den fchynbaaren af-ftand van 0 of Ster en g middelpunten: § 37. Mo. III. De fchynbaare en waare hoogte'van Zonsi Middelpunt, § 38. Hier toe gebruikt men de III eni IV Tafel. Wanneer men eene Ster gebruikt, wordt! dit eenvouwiger, daar men dan aïleen met de re- frac-%  X. Bef uit. Uitlegging der gedrukte Tabellen, 251 fractie of dampheffing te doen heeft om de waare hoogte te vinden. Zie de II en III. Tabel, N° III. N°. IV. De fchynbaare en waare hoogte van Maans Middelpunt § S9« wa:ir toe men de vm Tafel £e~ bruikt. „ « _ N°. V. Den waaren afftand, § 40 en §41: Deezekan op verfchillende wyzen bereekend worden. Z e de volgende § 248. N°. VI. Den tyd op den Pic yan Teneriffa, §4?. Het zy door de gewoone Logarithmus-Tafels, § 43. het zy door de XX Tafel onzer Verzameling of Tafel der Proportionaal- Logarithmen § 129 No. VII. Den afftand van de Zon of van de Ster, tot den Pool, § 48 — % 5^ N'. VIII. Den Uurhoek in graaden, § 50: en deezen brengt men vervolgcnds in tyd over voor de Zon, § 51: voor eene Ster, § 53- — ^ 59«' zie de gemelde Tabellen. De bereekening is gemaklyker door de manier van douwes, (§ 133 —§140.) NO. IX. Eindelyk befluic men de Lengte (§59-) Zie daar het geheel beloop van het werk; dat wy door voorbeelden, in alle deszelfs deelen hebben opgehelderd; terwyl men teevens in de neevensgaande bladen of Tabellen ziet, hoe alle Artikels der bewerking gefchikt worden, en dezelve altoos in die orde voor het oog gefchikt blyven. . Uitlegging der gedrukts Tabellen, § 247. Vermits het bereekenen wel over't geheel het zelfde blyft, wanneer men den afftand van de Maan tot eene Ster gemeeten heeft, doch het overbrengen van den Uurhoek in tyd eenigzins verfchillend is, hebben wy het noodig geoordeeld hier ook een voorbeeld te moeten laaten volgen, en gedrukte vellen d2ar van te laaten vervaardigen, waarin men dan enkel de getalen te plaatfen heeft. Die vellen zyn by den Drukker deezos te bekoomen. Sommigen zyn tot bereekeningen der afftanden van Maan en Zon, fommigen tot die der afftanden van Maan en Ster gefchikt. Beide de foorten hebben dit gemeen: dat men  %$% P. Biel. Aanmerkingen over de Practyk. men alle de bewerkingen N°. na No. 'er in gefteld vindt, en wel zo, dat men flechts de getalen in te vullen en hier en daar door een enkel woord de pen te haaien heeft: By ieder N". vindt men de § deezer Verhandelino;, waarin dezelve verklaard wordt. De aanhaalingen, bl. I. en III, duiden de bladzyden der Maand van den Almanach aan. — Naast (ömmige Artikels, vindt men de Teekens +j (plus en minus') om aan te duiden dat die Artikels, zo als de Kimduiking, dc 0 en d halve middeltonen* de verandering in middellynen, in Verfchilzicht, en in Declinatie, de Declinatie zelve, naargelang van zaaken, dan eens bygevoegd, dan eens afgetrokken moeten worden: en dus om de aandacht daar omtrent, als 't waare, wakker te maaken. In de Tafels waarin de getalen ingevuld zyn, hebben wy naast het getal dat afgetrokken moet worden het teeken — (minus) geplaatst. Om dezelfde reeden zyn 'er hier en daar dubbele woorden zo als ibo^n\ (■onder j rand: fv^£ randen: ¥an ™oren l ¥oorl LnaafteS « u ' • Ivan achter enS Ina $ c/am ~> tverfchilS om aance!;oonen dat men letten moet, welk van beiden te gebruiken is, en men kan dan, wanneer men de getalen invult die tot de bereekening, welke men voor handen heeft, behooren, door dat woord, of door dat teeken , dat als dan niet in aanmerking komt, de pen haaien: zo als men in de peviude vellen, die in deeze Verhandeling tot voorbeeld ftrekken, die woorden of die teekens heefc achtergelaten, cn enkel die geenen, welke te pas komen, heeft laaten Haan: uit de vergelyking der ingevulde en oningevulde blaaden blykt dit genoeg. Doch wy moeten nog één woord over NQ. V. No. VI en NO. VIII van onze Tabellen zeggen. § 248- N°. V kan", zo als wy gezegd hebben, op verfcheiden wyzen bereekend worden: wy hebben 'er buiten de oorfpronkelyke bereekening, (§ 40 — § 41) doch.  BejBit. Uitlegging der gedrukte Tabellen. 4g$ loch die niet in aanmerking komt, dan in geval van jood zes opgegeeven. h.f 7V n0rfarnn- 0 ne manier van de borda, het zy de ooripron■ * -Keiyke $ 70: hec zy met eemge verkortingen io.§Drve?be7e3cerde manier van de borda § 74 — ,0 y7oude§ manier van dunthorne, door de 3 'hartog op nieuws voorgefteld § 85. of met eenige verandering § 87. 4o De nieuwe manier van dunthorne § 91. to ëe manier van krafft, welke, zo dra men 5 hulptafels gebruikc, ons voorkomt, de gemak- lyklte en kortfte van allen te zyn (§ 95-) oe Se Engelfche Tafels C § 9» — § I290 doch welke eigenlyk voor afftanden van Ster en Maan gefchikt zyn , en voor de Zon altoos eene geringe verbeetering nodig zouden hebben, («) De N° V van onze Tabellen is voor de Methode van de borda gefchikt: doch daar de verbeeterrje mtnfer de bIhda van de oude^rm verfchilt, dat men de TaU XVII, door ïaieiAVin of XIX verbeeterd, in plaats van twee Complement Logarithmus-Cofinusfen, en van de twee Log», fifkmus'Cofinusfen van © of* en van J waare hoone, gebruikt, hebben wy die twee Comp. Logar. Cofinus ™ die twee Logar. Cofinut, welke men in dat geval niet gebruikt, in Curfief, en mee eer * laaten drukken, om aan te toonen dat men als dan die reegels niet invult: maar wel de twee Logar. Cofinus- dit met gewoone letters gedrukt zyn: men ftelt als dan in plaats van de twee Comp. Log.Mc men niet gebruikc, eerst het getal uit imWll, 10 bv hec character of den index voegende § 74; dan hec getal uic Tafel XVIII, of XIX, naar mare men de Zon of eene Ster fchiet: dan het verfchil dier beide getalen, welke men vervoigends met de twee Lor Cofi. die men gebruikt optelt. Men ziet die bewerking op Tab. I, B zo dat die Tabellen eeven gefchikt zyn, welke manier men ook gebruike. In |ile gevallen , moet al wat Curfief gedrukt is naar ge- {«) Mcj» %k wat wy hiel over gezegd hebban § go*, c  254 V. Deel. Aanmerkingen enr de Practyk, gelang der zaaken gebruikt, of niet gebruikt worden: wat met gewoone letcers ftaat wordt altoos gebruikt. Verkiest men den Log. Cofinus G te zoeken, zon-i der den Boog G gevonden te hebben, men neeme in sent wat wy § 73. gezegd hebben of gebruikö: de manier van mackay § 79. § 249- Wanneer men N°. V. volgends dunthorne bereekent, gebruikt men het klein Tabelletje dac daar toe: gefenikt is, en op de gewoone JMÜ. V. geplakt kan wor ïen. Wy hebben geen afzonderlyk Tebelletje voor dö: oude manier van dunthorne in gereedheid laaten brengen, om dat die manier bynaar uit gebruik geraakt is, en de nieuwe manier van dunthorne merkelyke voordeden boven haar bezit. Zie § 89. Eindelyk daar de manier van krafft ons zeer' eenvouwig voorkomt, hebben wy ook een afzonderlyk Tabelletje vervaardigd, dat éevcn, als dat voor1 de verbeeterde manier van dunthorne,op JS°. V van de groote Tabel kan geplakt worden. § 250. Wy hebben een voorbeeld van de Bereekening volgends de engelfche Tafels in onze uitflaande IV Tafel gegeeven, 'er teevens de reegelen voor de teekenen byvocgende: zonder deezen, kan die bereeK.ening op een klein itukje papier gefteld worden, dat men naderhand op Ne. V van de groote Tabel plakken kan. § 25r. N°. VI. Ons Tabel is gefchikt voor de gewoone Lonnritnmus-Talelen. Wil men de proportionaal-Logarithmen gebruiken, § 129. §130.dan gebruikt meri den Log. van 3 U. niet, die ook daarom in Curfief en met een * gedrukt is In plaats van de Comp. Log. gebruikt men den proportionaal - Logarithmus, waar- cni  Bijluit. Uitlegging der gedrukte Tabellen. 255 om ook het woord Camp. in Curfief'en met een * gedrukt is: en in de plaats van den laatften Logarithmus in de gewoone Tafcis te zoeken, neemt men den proportionaal- Logarithmus: het verfchil van die tweeproportionaal-Logarithmen is niet een gewoone, maar een proportionaal-Logarithmus, waar van mea het getal opzoekt. Men ziet die bewerking op Tab. I. B: zo dat de Tabel I. B. alleen hier in van Tabel I. A. verfchilt, dat men op Tab. I. B. in N°. V. de verbeeterde manier van de borda, en in N°. VI. ae bewerking met de proportionaal-Logarithmen gefteld heeft. Het fpreekt van zelf dat men dit ook op de Tabellen II en IIL, die voor de Sterren gefchikt zyn, volgen han. § 252. N°. VIII. Ons Tabel is voor de gewoone manier gefteld : wü men de manier van douwes volgen ( § 133 — $ 136) men gebruike daar toe een afzonderlyk papier. De veilen voor de bereekeningen der afftanden van de Maan tot eene Ster zyn wat grooter: om dat men den Uurhoek op tweederlei wyzen bereekenen kan, zo als § 58 gezegd is. Men gebruikt namentlyk N°. VII en VIII, als men de hoogte der Ster wier afftand tot de Maan men gemeeten heeft, tot het bereekenen van den Uurhoek gebruikt: doch zo men daar toe eene Zons hoogte, te vooren, of daar na genomen, beezigt, (§ 157 — § 161.) gebruikt men N» 3, 7, 8. Al het overige is in de Tabellen voor de Sterren het zelfde als in die voor de Zon. § 252*. Eindelyk hebben wy aan het eind van deeze Verhandeling, achter het VI Gedeelte, eenige voorbeelden geplaatst, waar op de Leerlingen zich kunnen oeffenen, en hunne uitkomsten met die, welke hier opgegeeven zyn vergelyken. VI. DEEfc»  a$6 V I D E E L. BEWYS VAN ALLE DE STUKKEN, WELKE Iff DE VOORGAANDE DEELEN VERHANDELD ZYN. S 253- Ons voorneemen in dit Deel is naauwkeurige,, en zo veel mogelyk, eenvouwige bewyzen voortedraagen van al wat wy in de voorgaande Deelen hebben vcorgefteld. Wy vereislchen, tot verftand van die bewyzen, niets meer dan eenige kunde in de eerfte grondbeginzels der Meetkunde: wy zullen, om den Leezer niet telkers naar andere boeken te verwyzen. al het overige dar. wy, het zy uit de platte-, het zy uit de klootfche "Driehoekmeeting noodig hebben, vooraf uitleggen en bewyzen. t Foorfellen betreffende de Sinusfen, Tangenten en Secanttn van Boogen of Hoeken. § 254. t Uit de 13de Figuur valt het ligt optemaaken dat ND de Sinus, BD de Cofinus, E A de Tangens, HF de Cotangens, BE de Secans, BF de Cofe-■ cans, cn A D de Sinus verfus of Pyl is van den boog NA, of van den hoek NBA. II Het blykt 2.0. dat de hoegrootheid van den Sinus, Cof mis, Tangent, Cotangent, Secant en Cofecant de zelfde is voor den hoek NBA, en voor deszelfs Supplement LBE. Maar de ligging van den Coftnus, is niet de zelfde: namentlyk wanneer de hoek ABE grooter wordt, wordt de Cofinus KD kleiner, de Sinus N D grooter. III. Wanneer de hoek recht wordt, of HBA is, is de Coftnus nul, de Sinus gelyk aan den radius B H. IV.  t. Foor/lellen omtrent de Sinusfen &c 257 ÏV. Wanneer de hoek nog grooter wordt en ftomp is, zoals IBA; is wél KBrsBD, indien ZIBL = £EBA: maar BK ligt aan den anderen kant van het middelpunt B , niet betrekking tot BD: waarom de wiskunftenaars dan zeggen dat die Cofinus negatief is, en met het teeken minus beftempeld moet worden: zo dat de Cof mis van een Supplement wel de zelfde in grootte als die van den hoek, doch negatief is: het geen ook voor den Tangens A O, den Secans B O, Cotangens en Cofecans plaats heeft, als welke allen, - niet , zo als voor den hoek zeiven, boven de middellyn, maar beneeden de middellyn vallen. V. De Sinus ND, of IK blyft poftief, om dat hy altoos boven de middellyn ftaat, ten zy de hoek: of boog, zo als AHLQ grooter zy dan ï8o°: dan valt de Sinus DQ beneeden de middellyn, en is dan negatief. Verder, men beftempele den hoek NBA, enkel , met de letter B; en neemede eenheid voor radius, dan is: VI. (Sin. B)»+ 'CoJ. B)>=i: (a)\ waaruit volgt VII. (Sin. By ss i-(Cof. B)\ VIII. (Cof. By = 1 — (Sin. By. § 255- Insgelyks is _ m n Sin B (*) „ ' . Cof. B I. Tang. B = ' II. Cot. B = —— ö Cof. B Sin. B waaruit volgt III. Tang. B s= —— en IV Cot. B = *-tb9- 6 Cot- B Tang.B V. Sin. B = Tang. B x Cof. B % 256» (<) Want in den rechthoekigen A BND is (BD)i + (ND)» ~ volgends het bekend voorltel van EUCLIDES I. 47' ea hier 11 B N — t« (4) Want, in de A A BND en BEA, ii BN: ND — BE: N D X BE ND EAj cn dus EA ~ —-—— = ■ om dat radius BE = i. BD BD het zelfde heeft voor den Cotmigeni plaats. (O Want. indeA A BEA en BïH, is EA; BA S ÏH! BHXBA (BA)i i |Fj cn dus EA --— = '= . . HF Hf Hf R  a58 VI. Deel. Bewys van tl het voor'gefielde. § 256. I Sec. B = jJL H. Cofiec. B = Cof. B y o7«. B § 257- t ( B -f C) = Sin. B x Cof C-\-Sin. C x Cöx. B (£) II. Sin. (B — c) = &»'. b x Cof. C—Sin. C x Cöj. B Hier uit volgt door § 254 n° III. in. sin. (900 tC) = oy: C verder IV. Cofin. (B -f C) = Cof. B Cof C - B Sin. C (c) V. Cof. (B — C) = O/: B Có/. C -f Sin. B C waar («) Want, in de A A BND en B E A is: BE: BA =s BN BAXBN (BA): 1 BD;cü dus BE — — — 1 BD BD BD (f) Dit valt niet moeijelyk te bewyzen: want in Fig. 14, is 1°. N D de Sinus en BD dc Cofinus van i N B A , of boog N A. s°. MU de Sinus, B U de Cofinus van £ M B N'', of van den boog MN. 3°. MX is de Sinus, BX dc Cofinus van Boog MNA, dus van Boog (NA -j- MN) of van l MBA — i NBA -f-, l N B M. 4°. Indien M U verlengd wordt, is U S — M U: boog NS — boog MN, en de boog Ai - boog NA — boog NS - boog N A — boog MN: nu is ST de Sinus, B P de Cofinus van boog AS, en dus van boog NA — boog NS. «o. Ind ien men U P, U V, SR, loodtecht trekt, is M P P B. onj dit UM = ÜS: cn Pï - UV: cn RX = ST. 6". Maar in de A A MUP en BND is: B N : N D ~ B X7: U V : en dus B U X N D ÜV = PX = — -■- verder, B N P M: MU ~ B D: NB: dus MU x BD PM = ————; en dus uit No- S en j. N B BUXND + MUXBD 9». MX = PX-r-MP = " , en ÏN BU x ND—MU X BD 10». ST = RXrPX-PR = PX-PMr • BN het geen door N°. 4, j, 3, in woorden gebragt, en den radius BN - 1 ftellende, N°. I en II van den Text opleevert. 1 (cS Want, de redeneering van no.t * vervolgende, is in de f\f\ BND en BUV: BND en MPU, BU X BD 11». BN: BU = BD* BV cn dus BV = —r^~—  I. Voor feilen omtrent de Sinusfen &c. 259 waaruit volgt VI. Cof Coo°-rC) = 4- Sin. C. VII. Sin. 2 B = 2 B Cef.B aftellendeB =C VIII. Cof. 2 B =iCof. Bf — (Sin. BV5 in N°. I en IV. IX. Cof. 2 B = 2 (O/. B}1 - i: O) en N°. IV en V addeerende X. Cof (B + C) + Gty: (B - C) = 2. Cof B. 0?/ C. § 258. Uit § 257 No. IX volgt I. (Cof. B)a=———;enftellende- in plaats van li Cof. B 4- 1 , , , fcCC¥*B)'*=- ■ g — i gevolglyk III. 1 + Cof.B = 2 (G>/:i BV 1 — Co/I B IV. I—CCo^iB)1-:- ~i • waaruit volgt door § 254 N*. VII. V. (&«.iB)J qs1""^. 8. VI. i- G?/. B=2. (Sin. § B)1 § 259. Zo lang de hoek of boog B < oo°. is. L Sin. Verf. B =. 1 — Cof. B (tV)en dus § 258 N°. VI. II. Sin. Verf. B = 2 (Sin, *B)2; of (2 &'«. * B)* III B = — 2 IV, ND X MU «0. BN: ND — MU: PU: dus T/U — XV = — waar uit volgt BU x BD —ND X MU 13°. BX = BV — XV = ' BN,—— tn BUXBD-Ï-NDXMU. H». BT = ÏV + VT = ~N ' Het geen N«. IV cn V opleevert. (*) Om dat {Sin. B)a S I — (Ce/ B)» § 354 N°. VII. (,*) WMil DA = BA — BD (Fig. 13) R 2  200 VI. Deel. Bewys yan al het voor gefield». Maar wanneer B > 90,0 is IV. Sin. Verf. B sz I + Cof. B (a) of V. Sin. Verf. B — 2 — Ó7«. .W. B: en uit N», IV en § 258 III. VI. Sin. Verf. B = z.(Cof.i B;« Doch, «//cox, of B >. 9c0 dan ofB < 90° is, uit No. 1 en IV. VI. Sin. Verf. B — Sin. Verf. C — CofiB — Cof. C eiï VIII. Si». Verf. B = -i^-BZ_^) «S/u. verf.Sup.B § 260. Indien men in §257: No. I en No. II door eikanderen multipliceert, en het product tot de gróotfte eenvouwinheid brengt, komt L Sin. (B + C) x Sin. ( B — C) — (Cof. CV — CCö/B)j(0 waar uit door § 254. No Vlll. volgt. II. 5/». (B + ü) x Sin.(B-Cy=(Sin.By-(Sin.CY Of ook, multipliceerende in § 257. NA IV door No. v: komt op de sélfde wyze. ïli. Cef(B + C) x Cof. (li _C) = (Cof.Cy—(Sin.ny en IV. Cof. (B-f-C) y. Cof (B-C) = (Cof. BV - (Sin. Cy Multipliceerende in § 257. N°. I. door Nu. V. komt- V.^.rB + QxCVCB-C)^^^^^ Mul-. (a) Voor den ftompen hoek ABI, is A K de Sinns verfus: maar A K — A B K B = 1 -f- dfin. — AL — L K ~: '3 rad. — Sinus verfus van hel Supplement. (4) Om dat het eene' bekende ci.rnfchap van den Cirkel is, dat! N D* DA: N D = ND: L D: en dus DA — LD (c) Men krygt eerst tot pioduct (Sin. B )? X [Cof. C)*— (Ca/TB)11 X (Sin. C)i: waar in men uit § 254. N°. VII voor {Sm. By en 1 (Sin. C)i hunne waardyen ftelt. (d ) Men krygt eerst tot product Sin. B X CofiS CW? C1 + Si». Bi X Cof. B (Si». C)» -f- Sin. C X C./ C. (Co/. B)i 4- Sm. C. Cof. C. (Si». B)a: dat is Sm. B x Cof. B X [(Si». C]> -f- (Co/ C)a] ~j~ tm. C x tof C [Cof. B -f- Sin. B *]: dat is voor § 354 N». VI) Si». B x g _p s,„. c X Cof. C: waar uit door § 257. N°. VIÏ ▼olgt het geen in den Tc« ltaat. Met N». VI is het ec*ea een* geleegen.  I. VoorfitHen omtrent de Sinusfen &c. 261 Multipliceerende in N°. 257. N°. II. door N°. IV komt VI. Sik (B - C) *Cof. (B + C) = ^11^12 & 261. Indien men nu in alle de N°. van § 260: voor B en C ftelt £ B en \ C: komt L (Cof. i Cy - (Cof. i By z=\Sin. \ (B + C) x £ (B-C) II. (Sin. 2 B)' — G5/«. § C)' = I (B -f C) x o7«. J CB-C) Uit N'o. I volgt door « 258. N°. II. TTT Cof.C-Cof.B lil, -i sitt. ï (B + C) x Sin. % (B-C) en __ Cof. C —Cof. B iv. ——~J— - (Cof. i cy - (Cof. -1 By Verder door No UI en IV van § 260. V. (Cof i Cy - (Sin. %B y = Cof. l(B+C)x Cof. I (B-C; VI. (Cof. i By - (Sin. iCy = Cof. è (B 4- C) xCof. % (B — C) en dus door § 258. No m en No. VI. En door N°. V en No. VI. van § 260. VII. Cof. B -f- Cof. C = ïCof.*(B + Cyx~CSfï (B-C) VIII Sia.B + Sin.CzziSin. f^^t^^xCof.l(B-~C) IX. Sin. B — Sin.C — 2 Sin.~y xCof-i(B + C) § 262. Divideerende in § 261. N°. IX. door No. III. komt Sin. B — Sin.C_ 2. g>/: j CB + C) x j/g. § (B—C) " Co/: C - Gy: B 2. ,Sï«i i (B + C)7sin.ïB—C = G*. i(B + C) § 255. II. Hier uit volgt, (lellende C = 0: II. Cot. $ B= ^? 2 i-g>/:b r 3 üi-  SÖ2 VI. Deel. Bewys van al het veorgefteldi. Divideerende No VIII. § 261 door N°. VII. Hl Sin' 8 i Sin'C—SiH- è (b + c) x Cof. I (b — c) ' Cof. b+cö/Tc~~öyTï (b-fC)x Cty:4(b-o~ = Tang.i (b-f C;, § 255. i. Sin. b! Hier uit volgt, Hellende c = o-, IV.Tang.ib=— —— Cof. B -f. i [ Divideerenie § 261. N'o IX. door N°. VIII. komt &•».B- SijuC_Sin. j(b--c) x Ca/: j (B -f C) 'c^/Tb+c^c^c^hb + c) xoy: § (b +c> = 7^. i (b-c) § 255. No. I. Divideerende N«. IX. door N«. IV. komt vi j^Bj4^:iL-^ii^—) * * Cof. C~~Cof. B ~~ Sin. 1(8 + c) x £ (b + c) = Cot, J (b-c), § 955. No. II. En hier divideerende N°. IV. door N°. III. komt vu Cof. B^Ccf^^ot. è (b — C) ' Cof. C- Cof. B" i ang. j (b + C) S 262* b Om dat § 262. No. IV, Tang.i b =x . (Sin. b;2 _ (i — Co/:b;) isookr^.5B=^8/i+Cb/B)-^B(I+G7/:BÏ Cl -f- Cof. b). (i — Cof B) __ l '^Cof. B 1 "~ «SfoTB Cl + Co/: b) ~~ Sin. B I Cof.B Sin. B Sin.B dus is § 256. II. en § 255. II. I 7Vi»£. i B =5 Co fee. B — Cot. b: en dus II. Cot. b = Gyffc. b — Tang. \ b. Deeze uitdrukking wordt door lyons gebruikt, in het bereekenen van fommige Tafels dienende om den (chynbaaren afftand van de Maon tot eene Ster tot den waaren te herleiden. Zie § jpi. b. II.  Voorfel/en uit de Rechtlynige- Driehoeksm* 263 II. J^oorfeilen betreffende de rechtlynige Driehoeken. § 263. Indien twee Driehoeken onderling gelykhoekig zyn, (taan twee zyden van den eenen in de zelfde réedén tot elkander, nis de twee eeveneens geplaatfte zyden van den anderen driehoek. Cd) § 264. I. Wanneer (Fig, 13.) 111 een'rechthoekigendriehoek NBD, de (chuinfche zyde BN voor radit/s wordt genomen, zyn de rechthoekzyden ND, B D, de Sinusfen der teegenovergeftelde hoeken N BD en BND II. Indien in een' rechthoekigen driehoek BEA, (Fig. 12..) eene der rechthoekzyden BA voor radius wordt genoomen, is de andere EA de Tangens van den icherpen hoek EBA, aan de eersgemelde zyde BA grenzende. §265. III. In alle rechtlynige Driehoeken ftaan de zyden in de ze fde recden als de Sinusfen der teegenoverllaande hoeken, (b) III. Voorftellen uit de Klootfche Driehoeksmeeting. § 266. Bynsar alles, wat wy in de voorgaande Deelen geheld hebben , is op de klootfche Dnehocksmea'ting gevestigd. In de meeste boeken over de Stuurmanskunst, worden de Reegels, ter oplosfing van ' *S Dit is een bekend voorftel, dat men in alle boeken over de Meetkunde vindt: zie ETJCLlDEs VI. 4. STEENSTRA Meetkunde „VI. 4 VAN SWINDEN Meetkunde IV. a. " (ê) Want in Fig. 15, maak ED~ AB: trek BC en DF, lood• reclit, dan is B C : A B — Sin. U: 1 en DE of AB: DF — 1: Si*. ZE, Derhalven BC:DF = Sin. Z A: Sin. Z Z : miai (§ 263.) EG: DF = BE: DE of AB, dus BE: AB = Si», A: Sin. E. R 4  SÖ4 VI. Detl. Bewys van al het voorgejtelde. van klootfche Driehoeken, voorgedraagen, doch niet beweezen: maar deeze zyn geenzins genoegfaam. Wy zullen derhalven het noodige op de eenvouwiglte wyze voorftellen, en uit den aart van een' kloot en van de klootfche Driehoeken afleiden, zonder dat men noodig hebben zal iers, hoe ook genaamd, tot verftand van het geen wy zullen voordraagen uit andere boeken te ontleenen. Algemeene uitlegging der zaaken. § 267. Men ftelle, in Fig. 16, welke de doorfneede van 1 een' kloot verbeeldt I. Dat ZN de As, en E h^t middelpunt is van den: kloot: dat ZHN Z, ZRNZ, ZMNZ de vlakken zyn van drie halve cirkels, welke door het middelpunt gaan, dat is van drie groote cirkels ,, en dst de as ZN de gemeere lneede is vani die vlakken. II. Dat dc boogen Z H, Z R, Z M, ieder 900 graaden 1 bevatten: dat dus ook de boogen NH, NRt) MZ 9':° behelzen: dat 'er door de flippen 1 H, R, M het vlak H R M E H van een grooten 1 cirkel gaa: dan 7al dat vlak loodrecht ftaan opi de vlakken ZHN, ZR M, ZMN, en dezelven loodrecht fnyden: zo dat de hoeken ZHR,, ZRH, ZRM, ZMR, recht zullen zyn. III. De vlakken ZHN, ZRN, ZMN hellen op el-, kanderen: en derzelver hellingen, of de hoeken 1 H ZR, RZM, HZMdie zy onderling maaken,, worden gemeeten door de perpendiculaire boogen 1 H R, R M , H M. Zo dat de Boog H R, of l H E R,, de Boog R M of ZREM, de boog HRM ofl 1HEM refpeetiveiyk aanduiden en meet,en de: onderlinge helling der vlakken ZHN en ZRN;; ZRN en ZMN; ZHN en ZMN, en ge-, volglvk ook van het geen men noemt de klootfche 'hoeken HZR, RZM, HZM, welke doori de boogen van groote cirkels gemaakt worden. IV. Men ftelle nu dat de Boog HRM ook 90° zy:; cn dat 'c>r dcor het flip M, een vlak FMEF vam  Algemeen» uillegging der Klootfche Driehoeken. 265 van een grooten Cirkel, en dus door het Middelpunt gaa, zo dat het loodrecht op het vlak ZHN valle in F: en dus de Boog FM ook * 9c0 bedraage: dan is Boog FH of LFEH de maat van den klootfchen hoek FM H: zy duiden immers beiden aan de onderlinge helling der vlakken FME en HE M V. Op die wyze worden uit de onderlinge ontmoeting van Cirkel-vlakken, die elkander in het middelpunt E des kloots fnyden , op de oppervlakte des kloots verfcheide klootfche driehoeken, door groote Cirkels des kloots gevormd. Zo als hier A FZT, rechthoekig in F ; Z H R, en H N R, rechthoekig in H en R, en gelykbeenig; T Z M, fcheelhoekig: T M R, rechthoekig in R. VI. De klootlche driehoeken beilaan dan uit boogen, die allen boogen zyn van groote Cirkels, en dus op de oppervlakte des kloots de kortfte weg zyn tusfehen de beide Hippen die zy befpannen, (a) of vercénigen. Waaruit volgt VII. Dat twee zyden van eenen klootfchen driehoek te faamen génoomen, altoos grooter zyn dan de derde: en ook VIII. Dat nimmer een Boog of een hoek van een klootfche driehoek i8c° kan bedraagen: byv. ZHN en ZRN, welke Boogen 1800groot zyn, maaken geen driehoek uit. § 568. Om nu uit deeze weinige bepaalingen alle de eïgenfehappen der klootfche driehoeken, te kunnen afleiden, moeten wy de beide driehoeken FZT en TRM van nader by befchouwen. I.De driehoek FZT wordt gebooren 1°. door de verlenging der zyden MT en MR , tot MF en ( Eene andere boog kan immers met anders zyn dan een boog van eenen kleine Cirkel, wiens vlak niet door het middelpunt gaat: maar vanneer twee Cirkel boogen, de twee zelfde flippen vereeningen, is die, welke met een kleiner radius getrokken is, aligos de $tootfte, cn heeft de jiootlte kromte. R5  365 VI. Deel. Bewys van al het voorgemeld*. en MH, of ieder tot 900 graaden, a. door den Boog FH des grooten Cirkels welke die ftippen F en H vereenigt tot 900 te verlengen , of tot in Z; 3°. door den derden Boog R T des driehoeks T M R, insgelyks tot 900 te verlengen : waardoor die boogén in Z zich veréénigen. Zo dat de heide driehoeken FZT en RTM rechthoekig zyn in F en in R;en eenen gelyken hoek bezitten, namentlyk £FTZ = ZRTM. Verder is in dezelve II. In A FTZ, LZ — boog HR = Compl. boog R M in A TRM. II. FZ = Compl. boog FH: = Compl. iTMR in A 1 RM. § 26-. No. 4. III. TZ — Compl. boog TR in A TMR. IV. FT ss Compl TM, in ATM R. W aarom dan ook die beide driehoeken , Complementair de een van den anderen genoemd worden. % 269. Om nu de deelen van den A TMR nader te befchouwen , trekke men uit F , in het vlak H Z E H, op de gemeene fneede H E met het vlak HRM E, de -L FG Uit T in het vlak ZT R E, op de gemeene fneede ER met het vlak HRME, de -t- TL Uit L, in het vlak HRME op EM, de gemeene fneede van dat vlak met ZMN, de loodlyn LD: en uit R, de loodlyn R U. Eindelyk, uit T, in bet vlak FEM, op EM, de gemeene fneede met ZMN en HME, de loodlyn Tü, die LD in D ontmoeten zal. Dan heeft men, (lellende den radius van den kloot EM, RE, HE, TE, gelyk aan de eenheid. I. FG = Sin. iFE H = Sin. Boog FH = Sin. iFMH C§ 267. No. 4) — Cof. Boog FZ (§ 268. No. 2.) II. GE = Cof. £FEH == Cof. Boog FH = Cof. 1FMH = Sin. Boog F2. III. TL = Sin. ZTER = Sin. Boog TR = Cof. Boog TZ (§ 268. No. 3) IV.  Voorftellen uit de Klootfche Driehoeksm. 267 IV. LE = Cof. iTER = Cof Boog TR = Si». Boog T Z V RU = Sin iREM = Sin. Boog RM = Sm. £RZM (§ 267. No. 3/) =3 Co/: Boog HR =5 Co/.' Z, HZR (<$ 26^. N°- 2.). VI.EU == Cof LREM = Co/ Boog R M = Cof. Z.RZV1 =3 Sin Boog HR = ó/« ZHZR. Indien men dit weinige, uit den aart des kloots en der Klootfche driehoeken ontleend, wel verftaat, zal men alle de eigenfchappen der klootfche driehoeken zejr wel en gemaklyk kunnen bewyzen. I. Voorftel. § *7°- In alle klootfche Rechthoekige Driehoeken TRM, ftaat de Cotangens van eene rechthoek-zyde M R tot den Cotangens van de fchuinfche zyde MT, zo als de Radius tot den Cofinus van den hoek M, welke aan die zyde grenst: dat is Cot. MR: Cot. MT = 1: Cof. LM. Bewys: In de gelykhoek'ge A AFEG en TDL is S 263. FE: EG = TD: Dl: dat is TD DL ,:EG=TD: DL=—: maar DL: DE = RU: EU (§ 263): dus DL RU DE — ËÜ' 611 TD RU 1: £ G = —: —: dat is § 209. DE EU Sin MT Sin. MR fCnr iTMR = : ' of§255. no I. I, L0J-Lim Cof. M T CoJ. I. 1: Cof. LT MR = tang. MT : Tang. MR: of hr r9C,° n uKlr> 00k bekend: dus is L srH, of de Uurhoek, door het bovenftaande te vinden: namentlyk Co/"üurh.=r Tang. Breed x Tang Declin. of ook Cof. üurh. = I^IlP^l . Cot. Br. net geen door Logarithmen uitgewerkt den gewoonen recgel geeft. II. In de Stuurmanskunst, om te vinden wanneer een heemelhcht in den eerften vertikaal komt. want zy i HTK recht. danisTKAde eerfte vertikaal, en dus is voor de fter M in den A PTM bekend, PM afftand tot den Pool, TP Complement Breedte; waar uit l P te vinden isNamentlyk Cof. P = Tang. PT x Cot. PM of Co/. Uurh. — Cot. Br. x Tang. Deel. III. In de Scerrekunde om (Fig. 3.) gegeeven zynde de Lengte LZ van de Zon, haare rechte Opklimming LO te vinden: want L ZLO is de helling van \  Voor feilen uit de Klootfche Driehoeksm. 369 van de Ecliptica: en dus Tang. 0L= Cof. L. Tang. L Z: dat is: Tang. r. o = Cof. 230. 27'. 40". x 7ï»0g\ Lengte. II. Voorflel. § 273. In alle rechthoekige klootfche Driehoeken mtr (Fig. 16.) ftaat de Sinus van de fchuinfcbe zyde mt tot den Sinus van eene der recnthoekzyden (t R) zo als de radius tot den Sinus van den hoek m die over gemelde rechthoekzyde t R ftaat j dat is, Sin. m t: Sin. TR = i: Sin. M. Bewys. In de gelykhoekige AA tDL en FEG is (§ 263.) TD: TL = FE: FG: Dat is § 269. I. Sin. m t: Sin. t R = 1: A«. m. waaruit volg:: n. sm. m* ??JJL iii. ^MT==«i Sm- m t .57». m IV. tR =r Sin. MTx m. § 274- Men knn dan, twee deezer drie dingen gegeeven zynde, de fchuinfche zyde, eene rechthoekzyde, en de hoek over dezelve, de derde vinden: waar uit volgt dat die eigenlchap dient: I. In de Stuurmanskunst om de plaats van Zons •waare op- en ondergang te vinden: want zy in Fig. 4. S de ondergaande Zon: K het waare Oosten of Westen: dan moet men den boogSK. van de horizont vinden: nu is IS EK recht: SE Zons Declin. I SKE = öoogGF = Compl. FT = Compl. Breedte: en dus ,. B J Sin SE fsl Sin. Deel. Sm. SK = ~~M ~—~~z: d.i. Sin.Qw.~-— Sm. ZK Cof. Bre. dat,  «70 VI. Deel. Bewys van al het voor gepelde. dat, door Logarithmen bewerkt, den gewoone recgel opleevert. II. In de Sterrekunde om (Fig. 3.) uit de Zons Leng-e ZL, haare Declinatie ZO optemaaken: want dan is Sin. ZO = Sin. 23° 47'. 45". x Sin. Lengte. III. Voorftel § *75- In alle rechthoekige Klootfche Driehoeken (Fig. 16.} ftaat de Cofinus van eene rechthoekzyde MR tot dien van de fchuinfche zyde MT, zo als de radius tot den Cofinus van de andere zyde TR, dat is Cofin. MR: Cof. MT = 1: Cof. TR Bewys. In de AA ROE en LDE is: % 263. UE : E D = R E: LE: dat is'§ 26a. Cof. MR: Cof. MT = x: Cof. TR Aanmerking. , § 276. Dit voorftel dient om, twee zyden, naar willekeur, gegeeven zynde, de derde te vinden , en dus , in de Stuurmans- en Sterrekunde, om de hoogte vaneenig Heemellicht M (Fig. 4.) te vinde-n, op het oogenblik dat het in den eerften verticaal TKA is: want dan is in A TMP: de hoek T recht: de zyde PM, afftand van het licht tot den Pool (= qc° + Deel.) en TP, Complem. Breedte, zyn gegeeven: en dus door dit voorftel. Cof. MT = ^L-~.: dat is Cof T P si», hoogte = c^ Pools alft: = , K1 Sin Breedte. Sin. Br. Si' 1N°. 6. dat, door de Logarithmen uitgewerkt, den gewoonen reegel geeft. IV.  Voorftellen uit de Klootfche Driehoehm. 271 IV. Voorftel. § 277- In alle rechthoekige Klootfche Driehoeken MTR (Fig. 15.) ftaat de radius rot den Tangens van eenen hoek M, zo als de Sinus van de aangrenzende zyde CMÜR) tot den Tangens van de overftaande zyde TR: dat is, 1: Tang. M = Sta. MR: Tang. T R Bewys. io.In de AA LTD en GFE is § 263. LD: LT = EG:GF. ao.ln de A LDE, LD: LE és Sin. L LED: 1 § 264. I. 3°.In de A TEL3 LE: LT = 1: Tang. L TEL. § 264. II. 5 40. Gevolglyk LD: LT — Sin. L LED: Tang. 1TEL. 5°.En dus uit No. 1, EG: GF ~ Sin. L LED: Tang. TEL. dat is: § 269. 60.Cof. LM: Sin. LM~Sin. RM: Tang. TR: 7°. Waaruit volgt 1: = Sim MR: Tang. TR. Cof M en door § 255 1.1: Tang. LM~ Sin. MR; Tang. TR Aanmerking. § 278. Dit voorftel dient om, twee van deeze drie dingen, de twee recht-hoekzyden, en eenen hoek gegeeven zynde, de derde te vinden: en dus in de Sterrekunde om (Fig. 3) uit Zons Rechte Opklimming OL, haare Declinatie ZO optemaaken: volgends dit voorftel immers, is Tang. 0 Deel. ~ Tang. 23°. 27'. 50" x Sta. R. O. V. Voor-  272 VI. Bewys yan al het yoorgeftttde. V. Voorftel. § 279- In alle rechthoekige Klootfche Driehoeken, (Fig. ifi.) ftaat de radius tot den Cofinusvun de ichuinfche zyde MT, zo als de Tangens van een der hoeken M tot de Cotangens van den anderen hoek MTR, dat is i; Coftnus MT — Tang. LT: Cot. M — Tang. M: Cot. T. Bewys. Indien men het geen § 277 beweezen is op A FTZ overbrengt is: 1: Tang. LT — Sin. FT: 7^. FZ: dat is door § 268. 1: Tang. LT ~ Cof. MT: Cot M: Of 1: Cof MT — 7iw£. T: Cot. M: — 7W. M: Cot. T. § 255. No. III. Aanmerking. § 280. Indien dan twee van deeze drie dingen gegeeven zyn, de Hypothenusa, en de beide hoeken, kan men de derde vinden. VI. Voorftel. % 281. In alle rechthoekige Klootfche Driehoeken ftaat dé Coftnus van eene rechthoekzyde (TR) tot den Cofinus van den over/taanden hoek M, zo als de radius 'tot den Sinus van den aangrenzenden hoek T dat is: Cof. TR: Cof. LM — 1: Sin. LT. Be-  JU P~oorftellen uit de Klootfche Driehoeksm. 273 Bewys. Indien men het geen § 273 NA t beweezen is op A FZT toepast is: Sin. TZ: Sin. FZ — 1: ZT. dat is door § 269. I. Gy7 TR: Cof LM — 1: Sin. LT. en op de zelfde wyze is If. Cof. MR: Cof. LT - 1: Sin. LM. Aanmerking. § 282. Hier uit blykt dat, indien twee van deeze drie dingen, de twee hoeken en eene zyde, gegeeven zyn, de derde gemaklyk gevonden wordt. VII Voorftel. 5 283. Indien men uit een» der hoeken M van eenen fcheef hoekigen Klootfchen Drithoek MZT ( Fig. 4 ) eenen boog Mr loodrecht laat vallen op eene der zyden ZT, welke men voor bazis aanneemt: (a) zullen de Cofinusfen der overige zyden TM en MZ tot eikanderen ftaan in de zelfde reeden als de Cofinusfen der ftukken Tr en Zr van de bazis aan weiken die zyden TM en MZ grenzen; dat is Cof. MZ Cof. MT = Cof. Zr: Cof. Tr. £e- (*) De loodlyn kan of buiten den Driehoek vallen, ze» als hiei Mr voor den A ZTM: of binnen derzelven zo als LT in de« A TPM: doch dit maakt hier geen verfchil in het voorftel. S  §74 VI. Deel. Bewys van al het voer gefielde Bewys. In de rechthoekige driehoeken MZr en TMZ is Cof. MZ: Cof. Mr — Cof. Zr: i2ff SÊ*liCöC&£4s l; Tri5 *75i gerolglyk Cof. MZ: Co/ MT zz\TcofP^rCoJ.T~T I. Gevolg. S 283 * Co/. MZ 4- Co/. MT: Of. ML — Cof. MT =3 Cof. Zr + Co/: Tr: Cof. Lr - Cof Tr. _ „ en dus: Co/: MZ + Co/7 MT _ Co/Zr -f Co/:Tr. Cof. M Z _ Co/ M f ~ Co/: zl^~CofT7 M t . dus is $ 26?. No. VII. (MZ - MT) _ CoA|(Zr _ Tr) rmg-,i(MZ4-MT;" Tang. %(zT+Tr") _ T en dus: Cot 4 (MZ - MT): Cot 4 (Zr + Tr) — Tang. 4 (IV/Z + MTj: 7W * (Zr _ Trï i ~ of§ .55N°. min iv. ; Tiwg-. 4 (Zr — Tr): 7W. 4 (MZ 4- MT^ si i (MZ — MT); Tang. 4 fZr + tVT dat is ' Tang. 4ZT: 7^. 4(MZ 4- MT)= 7^. 4(MZ — MT: Tang. ^Tr-^ Hier door vindt: men, wanneer de drie zvden ne. geeven zyn, de deelen waarin eene loodlyn, uit een' der hoeken op de tegenovergeftelde zyde neergelaaten, die zyde ihydt; want * TZ , /TZ T + C V ~ Tr) = TZ - Tr = zr en TZ /TZ ^ Dit  III Voorfiellen uit de Klootfche Driehoeksm. 275 Dit voorftel wordt door maskelyne en mackat gebruikt in het betoog van hunne handelwyzen, om den waaren afftand van de Maan tot eene Ster tot den waaren te herleiden. tl. Gevolg. Hier uit volgt, i°. dat indien men uit den Top van eenen gelykbeenigen fcheefhoekigen driehoek: eenen boog loodrecht op de bazis laat vallen, die boog, en de bazis, en den Tophoek in twee gelyke deelen deelt: en dat in een gelykbeenigen driehoek de hoeken op de Bazis gelyk zyn. Want men ftelle dat in Fig. 4, A MTP gelykbeenig zy: en dat TL de loodlyn zy: dan is Cof MT: Cof. TP_ — Cof. ML: Cof. LP: en gevolglyk daar M T en T P gelyk zyn, zyn M L en LP het ook. En dus zyn in beide de driehoeken MTL en LTPde drie zyden onderling gelyk; dus Zyn die driehoeken in allen opzichten gelyk, en derhalven zyn de hoeken MTL, en LTPhet ook: gelyk meede de hoeken TMP en TPM. (a) Wanneer echter de Driehoek, gelykbeenig zynde, de beenen ieder 90° zyn, en dus de hoeken op de bazis recht zyn, kan de loodlyn de bazis overal fnyden: want dan wordt de eevenreedigheid Cof. M t: Cof.T?= Cof. M L: Cof. L P deeze Cof. 90°: Cof. gc° — Cof. ML.- Cof. L P, dat is Cof. ML: Cof. LP — c: o § 254. N°. III. Het geen aanduidt dat ML en LP onbepaald zyn. VIII (*) Dit vootitel komt ia de Stuurmanskunst te pas, wanneer men, uit twee waargenomen Zons hoogten en den tusichen dezelve verloopen tyd, de Breedte opmaakt zonder eenige gegiste ïreedte te kennen; zie STEENSTRA, StHuimumkHmt, lil Eoek, S i« » 5 14». S 2  876 VI. Deel. Bewys van al het voorgefleldii VUL Voorftel. $ 285. Tn alle fcheefhoekige driehoeken MTZ, ftaan de< Sinusfen der zyden in de zelfde reeden als de Sinus* fen der overftaandehocken: dac is Fig. 4, by voorbeeld I Sm. M r: Sin. MZ =2 Sin. LTZ M: Sin. ZZTM. Bewys. Indien men uit een der hoeken by voorbeeld Ml op de overftaande zyde TZ eenen boog Mr lood-, recht laat vallen ; is. Sin. M T: Sin. M r = 1: Sin. L r T M of Z T M. I c Sm.Mr: Situ MZ = Sin. Z. (a) ; 1 5§273*. gevolglyk Sin. MT: &.MZ l=7sm7Zi Sin. Z T M. Aanmerking. % 286. Dit Voorftel dient om, drie van deeze vier dingen, twee zyden en twee hoeken, gegeeven zynde, de vierde te vinden : en daarom gebruikt men het in de Stuurmanskunst om uit een gegeeven, of' bereekend Azimuth,den Uurhoek optemaaken: want ïïdr MT.P 1S LT hec Azinwth: LP de Uurhoek, T_M complement hoogte, en PM Pools afftand J—■ 9C° 37 Deel.) zyn bekend: dus Sin. PM: Sim. TM= Sm.J: Sin.P; of Cof. Deel: Cof. Hoog z= Sm Azimuth: Sm. Uurhoek: waar uit de gewoone reegel volgt. & Toepasfing. § 287. "wy zullen ons niet ophouden met de reegelen Toortedraagen om alle klootfche Driehoeken optelos- fen: „ .°f binnen of buiten den A valle. is om 't eeven: ^elfden "bw fupplement tl yan TZ M, hebben zj d«n-  III. Toepasfing dier Voorftellen. 277 feh: voor de fcheefhoekige Driehoeken, komen in de Stuurmanskonst , buiten de twee voorgaaode Voorftellen, maar twee, ten minften voornaamlyk, te pas: over deeze moeten wy bepaaldelyk handelen: en, wat de rechthoekige Driehoeken betreft, de reegelen voor alle mogciyke gevallen zyn in de voorftellen van § 270 — § 287 begreepen Om daar van eene toepasfing te maaken zullen wy ophelderen wat wy in de' tweede noot van § 23 ter loops hebben voorgefteld; namentiyk zy (Fig 3) L, die fneede van de Ecliptica Q D L en den Equator NOL, by welke de Ster het naaste is: Laaten M en S twee Sterren zyn, en Z de Zon: Vlen trekhe uit M en S de boogen MQ, SD loodrecht op de Ecliptica, MN, SIC, cn ZO loodrecht op den Equator. Dan zyn LÓ, LX, LN Ac rechte-opklimmingen der Heemellichten, zo L , Aries is, of derzelver afilanden tot het naaste eevennagtspunt: ZO, SX, MN zyn derzelver Declinatien: S D, M Q derzelver Breedten: en LZ, LD, LQ of derzelver Lengten, zo L Aries is, of derzelver afftand n tot het naatfte eevennagtspunt, op de Ecliptica gereekend. Eindelyk laaten ML, MS, SL, Boogen zyn van die groote cirkels welke door M cn L, M en S, S en L, gaan. I.Om nu uit de rechte opklimming LN en Declinatie MN van eene dier Sterren, M by voorbeeld, haare Lengte QL, en Breedte MQ optemaiken, bereekent men 1°. in AM Lts, door §177 den heek MLN, en dan d.o in denzelven de fchuinfche zyde M L door $ 275. Indien M de Ma;m i«, en wy het voorb.cld van § 23 noot a hervatten, vinden wy voor 4j"iy 1794: i MLN = 6o° 2'. 40" en ML == 50 o' 50». S. Daar QlN de hellit g is der Ecliptica 22 23°. 27'. 5c" en i M L Q £ M L N rr Q M N , nnpr maate de Ecliptica tusfehen de Ster en den Equator, zo als hier, of de Equator tusfehen de Ster en de Ecliptica valt, is 'L Mi Q = 42° 34. 5c": Men bereekent vervolgends 4. in &MLQ door § 272 LQ en door \ 2-4 MQ: men vindt hier QL = $° 23' .II. Dus is Tr, of het eerfte ftuk bekend. üm nu te weecen of Tr grooter of kleiner is dan 90°, lette men flechts i° dat zo MT> 9c0 haar Cotangens of Tangens negatief is: gelyk meede Cof. T, zo £T> 90° ^ 254 N°. IV. 2» dar zo zy het beiden zyn, of geen van beiden, Tang. Tr of Cot. Tr pofitief blyft: doch 3* dat zo 11 chts een van beiden negatief is, Tang. of Cot 1 r net ook iiij dat een bewys is dat dan Tr grooter is dan S 4 9'-°  280 n. Deel. Bewys »an al het Poorgeftelde. 90° en gevolglyk dat men het fupplement neemen rnoet van den boog die in de Tafels^evSen w0Td? II. Het tweede ftuk Zr is altoos gelyk aan heï ver fchil tusichen Tr en TZ III. In A MTZ is $ 283, ' Cof. Tr: &/ rZ = Cof. MT; (V: ZM en dus Cof MZ = 9SL^LMsZ TUI C°f- Tf Men moet nu den boog neemen die in de Tafel* ftaat, wanneer of geen der drie andere Cof,ltsL tuf zyn, of twee het zyn: maar desfeifs rZhmem dat is zo flechts een der boogen, of alle drie de boogen grooter zyn dan 90°. ' de § 291. Indien men nu de drie deelen van deeze bcwPr k.ng door Logarithmen bereekent, verkrygfmen den Reegel dien wy §40 noot * hebben voor^eSgen" I Aanmerking. § 292. Er zyn nog twee andere oplosimecn waarin perpendiculair gebruikt word?: doch zy JyTmiS dezdJetn0 doï fl™?ï gemc,d<' ™ ^ «""g re-a n werkeS mi^g8rithm^n' dan met nacnurlyfce M'di n wei Ken moet: zy vogt uit de eerfte nni™ ;°utendngeil» 20 ais wy he in°§Pl2°5 $ 300. b. zullen aantoonen. y II Aanmerking* § 293. I. I^Ki^J" de Std.urma"sIfonst te pas.V dlle,.dle ftukken waar in wy het in deew *pr handeling gebruiken, her zy om de ïftanden vin Zon en Maan te bereekenen f K 2O her Jl in dj oorfpronkelyke bereekening5 v n'de LeLte CS 40;, het zy om de Zons of eene Sters hoof e voor een bepaald tydftip te bereekenen (V S)! het  IV. Oplosfingen van Klootfche Driehoeken. 28: het zy om uit eenen gefchooten afftand de Breedte te bepaalen (§ 195) II. Wanneer men, zonder eenige gegiste Breedte te kennen, uit twee Zons hoogten, en den tyd tusfehen dezelve verloopen, de Breedte bereekent. (= - J Sm. MVT X Si». T Z Shu 1 (M T-f-T Z-MT)XSkl(MT-T Z-f-M T) JII [Sin. ITla- — — {Sin, Al T X Sta. T Z i v c- r t sw- "• m z - Sin. v. (tz - m T) IV. Sw. verf. T= ——■ ■ —. Sin TZx Sin.MT I.; Oplosfing. § 295- I. Cof. MT: Cof. MZ—Cof.Tr:Cof.Zr § 283. Maar Z r — ± (T r — ZT) naar maate' Mr binnen of buiten den driehoek valt. 2. Ge- (4) Zie STEENSTRA Stuurmanskunst § 145 — 5 S 5  ï8a VI. Deel. Bewys van al hef veergejfeldt. *. Gevolglyk Cof. MT: Cof. MZ = Cof, Tr: ± Cof. (TfJ en dus door § 25" N° IV. of N. V. 3. Cof. M T: Co/* MZ = Cof Tr: 4- (Co/: Tr. Co/: TZ at T r. Ai». T Z) "~ en dus Cof.Ir ~V Cof Ir LCof.Tr 1 dat is door § 255. No. 1. 5. Co/: M T; Cof MZ—1: -j; Cof. TZ ± Si». T Z Tang. T r Maar § 271. No.ti. 7a ng.Tr = Cof. T Tanr. M T dus is ö 6. Cof. MT: Cof. MZ=i: ± Cof. TZ + #«.TZ. Co/!T x 7<7«^. M T en dus 7. Co/"MZ = Co/? MT x (+ Co/TZ + Sin. TZ. Co/: Tx Ji^. MT) ~ J dat is 8. Cof. MZ = ;r Co/: M T x Cof TZ~r Cof. MTx Tang. M T. Sin. TZ Cof. T ~ cn door § 255. N° V. 9. Cof. MZ~-± C»f. MT. Cof. TZ 4- Sin. MT. x «5/"«. TZ. Cof. T ~ en dus 10 Cof. T z-^C°f-MzzrL ^_MJT. Cof. TZ MT.'«Jfe. TZ Aanmerking. § 29<5. I. Men gebruikt de borende teekens zo de loodlyn binnen, de onderfte zo de loodlyn buiten den Driehoek valt; en dus is in allen gevallen. r,T^Cof.MZ~Cof.MT.Cof.TZ ... CofiT*—__trekkende het kleirfte van het grootfte af: en indien Cof. MT. Cof. TZ het arootst is, zal Cof. T negatief zyn; en dus T 9c0, waarom men dan het Supplement neemt van dien boog dien men in de Tafe s vindt. II  JV. Oplosfing van Klootfche Driehoeken. 283 II. Deeze manier wordt weinig; gebruikt: maar zy ieevert den grondflag op van de volgende oplosfingen. III. N°. 9. van § 295. geeft eene oplosfing van het eerfte geval, om namentlyk twee zyden en den begreepen hoek gegeeven zynde, de derde zyde te vinden, en dat wel zonder perpendiculair te trekken: namentlyk: Cof. MZ-r Cof. MT. Cof. TZ ± Sin. MT. Sin. TZ. Cof. T alwaar het teeken -f- of — voor Sin. MT Sin. TZ Cof. T gebruikt wordt naar maate T < of >. 900. en het teeken — wordt voor Cof, MT. Cof. TZ gebruikt, wanneer MT alldén, of TZ alléén (maar niet beiden te gelyk) grooter is dan oo°: anders het teeken -f-. Dit volgt uit § 254 N°. V. Deeze is de oplosfing wsar van wy reeds § 40. noot b. gewaagd, cn die wy in § 170. om de hoogte van eene Ster voor een bepaald tydftip volgends douwes te bereekenen gebruikt hebben: waar over nader in § 342: gelyk meede in § 195. N° Xf. om uit eenen gefchoten afftand van Maan tot Zon of Ster de Breedte optemaaken. In % 300. b. zullen wy nog eenen anderen reegel opgeeven. II. Oplosfing. § 297- Uit § 296. n°. I. volgt: Cof. M Z — Cof. M T. Cof. T Z dat is [_Sin MT&0.TZ ~CofMTCof.lZ]-\-Cofi.MZ 2. l-f-Co/7T~ — —■ ■ ■ f J Sin.MT. Sin. TZ. waaruit volgt door § 257 No IV. , T t r r t -Cof'M Z ~ Co/: CM T+T Z] 3. i-j-uy. i- sinftuT.Sin.ïZ ftcllcnde dan in § 264. n°. Vli. MZ voor B en fJVIT + TZ] voor C, is 4. 1 +  a?4 VL Deel. Bewys van al het voor gefielde. d. i-t-C^T-^^ * MZjMTj-TZ]xf/^g^-Mjj^TZ] &'».MT. T Z waaruit door § 258. No. M. voh't Sin. MT. Sin. TZ. Aanmerking. § 298. Deeze uitdrukking wordt, zo veel ik my herinner, niet gebruikt, daar de volgende gemaklyker valt: doch zy is de grondflag van het bewys der manier van de borda, om de Lengte te bereekenen, zo als § 3c2 blyken zal. III. Oplosfing. § 299. Uit § 296 No. I is: l. J — Cof T = 1 — ^MZ- A/MT C^: TZ AfcTZ. o7«.MT dat is: 2. | T—k*** TZ J/*MT4^.T&Q^MT]«-(yMZ &'». TZ. Sin^MT cn dus 5 257 N°. V. 3.1 — Cof. T = ^[TZ-MTJ-C^MZ 5/« TZ Sin. MT maar, fteilendc in § 261, N°. III, (TZ-MT) voor B, en MZ voor C, voipt 4. i~r^T=—jiËZ±l^Jl1ViT_) Y^;; iCMZ-TZ+MT] i J/« TZ. ó7« MT en dus door § ttf No. VI. 5. [jfo 4r3'=&'^"CMZ+IZr^T^-jCM?-TZ4-MT3! TZ. Sin. MT.  IV. Oplosfing van Klootfche Driehoeken. 285 Aanmerking. § 300- Men kan de voorgaande uitdrukking ook aldus ftellen. 3* [HÏ+^IMJ-mt] «jk [MZ+Tfg-Tz] ^T]J= Ï7«. MT. .Si». TZ. welke uitdrukking, door Logarithmen behandeld, den gewoonen reegel opleevert, dien wy in § 40 noot a met woorden hebben uitgedrukt, zo dat het niet nodig is denzelven te herhaalen. Deeze reegel, hoewel langwylig, wordt het meest in de praktyk gebruikt, i° Om dat men alleen door Logarithmen werkt, en wel alleen door Logarithmen-Sinus. 20. Om dat men met geen verichillen van gevallen te doen heeft: 30. Om dat men den reegel zeer gemaklyk in het geheugen prent. § 3C0. a IV. Oplosfing. Uit § 299. N°. 3 is „ Cof. [TZ — MT] — Cof. MZ I. I — Cof. T = —C-h - - 3 Sin. TZ. Sta. MT en dus _cr _}^_CofMZ- [i-QATZ-MT)] °J' ~~ Sin. TZ. Sin. MT dat is door § 2^0. N°. I. Sin. y.MZ — Sin. y. [TZ-MT] S.St».,,Tz=: ^;TZ. si^ur 4. Maar ftel Sin. y.MZ— Sm y. (TZ — MT) = G dan is ook 5° G t= Lof. MZ — Cof. (TZ — MT) § 259. N°. vi en gevolglyk G 6. Sin. v. T = Sin. TZ MT. en dus 7-  986 VI. Deel. BeWys van al het voorgemelde. 7. Log. Sin. v. T — Log. G - [.Log. Sin. TZ -f* Log. Sin MT] of 8. Log. Sin. v. T = Log. G + Comp. Log. Sin. tz + Comp. Log. Sin MT. Maar wy hebben reeds gezegd § 13? eng 136, en wy zullen het nader $ 535 zeggen, dar. de kolom getyteld Logar. Ryzing, m de Tufcls van douwes niets anders is dan Logarith Sinus Verfus: en dus kan men zeggen. Ü. Log. Ryzing T = Log. G -f Comp. Log. Sin. T z -f Comp. Log. Sin. MT mits behoorlyk op het character lettende. Aanmerking. § 20C. h. Deeze oplosfing is dienftig, i. om het zy dat bewys behelst van de manier van douwes, om den Uurhoek te bereekenen, zo als wy § 333 zullen aantoonen: en 2°. om dac zy ook eene oplosfing geeft van het eerfte geval, om namentlyk, twee zyden en den begreepen hoek gegeevtn zynde, de derde zyde te vinden : want uit de voorgaande § N° % volgt Sin. y. MZ = Sin. y. T. Sin. TZ. Sin. MT + Sin. v. [TZ — MT], welke uitdrukking door mackay wordt gebruikt, onder anderen in het oplosfen van den rcegel, dien wy S io<ï JN°. XI gebruiken. ' Algemeene Aanmerking. § 303. c. Dit tweede geval komt veel in de Stuurmanskonst te pas: wy hebben reeds gezien § 40 dat de oorfpronkelyke manier om de Lengte uit de afftanden van Maan tot Zon of Ster te bereekenen daar op gevestigd is: gelyk meede § 192 en volg. die om uit den gefchoten afftand de Breedte optemaaken. Doch het komt boven dien in de drie volgende gevallen te pas. 0 1 om  IV Oplosfing van Klootfche Driehoeken. 28f I. Om hec Azimuth te bereekenen: als dan lost men den A TZP op, waar in de drie zyden gegeeven zyn, en de hoek T gezogc wordt: en dus is door de derde en meest gewoone oplosfing, de reegel deeze, rZP+TZ-f-TP m~\ „. rzp-j-Tz+TP 1 Sin. \_ \ ~ T Z J *Sin. |j TP J P"~ Sin. TZ. Sin. TR die door Logarithmen uitgewerkt, den gewoonen reegel opgeeft: II. Om den Uurhoek te bereekenen, als wanneer in denzelfden driehoek TZP, de hoek P gezocht wordt: hec geen alleen een verfchil brengt in de zyden die men van de halve fom der drie zyden aftrekt, en altoos die zyn welke den ,ezochten hoek begrypen. Men zal dan hebben i. rZT+PZ-f-TP -1 TZT-f-PZ+TP -| Sm. I -~- PZ J y.Sin. I —— TP J P^= Sin. PZ. Sin. TP het welk door Logarithmen uitgewerkt,en Hellende voor ZT, ZP en TP refpectivelyk, Complement hoogte, Zons of Sters afftand tot Pool, en Complement Breedte, den reegel uitmaakt dien wy § 48. opgegeeven, en § 50. gevolgd hebben. III. Men kan ook door dit geval, dit zeer belangryk vraagftuk oplosten; namentlyk: gegeeven zynde twee plaatfen Z en M, waarvan de Breedten ME en ZQ, (en dus ook de Complement-Breedten PM en PZ) bekend zyn, gelyk meede derzelver afftand MZ, het verfchil in Lengte, dat is Q E of £Q PK of ZPM, te vinden; men lost den A ZPM volgends den zo eeven gegeeven reegel op. V.  ftSg VI. Deeh Bewys van al het voor gefielde. V. Bewys van ket geen § 67 gezegd is over de manieren; om by nadering den waaren afifland ie bereekenen. Verbeeterde handelwyze van lyons. § 301. Wy oordeelen deeze handelwyzen uit haaren ei-, gen aart te moeten afleiden, hoewel zulks ook anderszins uit de oorfpronkelyke bereekening zoude: Kunnen gefchieden. Zy (Fig. 17) T de top, M en Z de fchynbaare,, «en z de waare plaatfen van Maan en Zon oft Ster, dan w MZ de fchynbaare cn mz de waare atftand; welke boosen zich in ü kruisfcn. De waare en de fchynbaare afitand verfchillen 1 maar weinig van eikanderen: gevolglyk, indien mem uit O de boogen Zr en mk trekt, zal men kunnen vooronderftellen. £ Dat OZ en Or gelyk zyn: gelyk'meede Om en Uk: en gevolglyk dac rz en Mk hec verlchil uitmaaken tusichen den fchynbaaren en denwaa-. ren afftand: men neemt namentlyk het verlchil tusfehen die beide boogjes M k en rz: vermits hier Oz^OZ om dat de Zon laager, en Om < OM om dat de Maan hooger ftaat dan zy fchynt. Z» . dat de Correctie voor den afftand — -r-MkZ-rz' Ir-Dar Joodrechc °P 20 en mk loodrecht op MO va t, en gevolglyk dat de A A rZz en Mkm als rechthoekig, en boven dien als rechtlynig kunnen befchouwd worden. III. Dat de hoeken TZM en Tzm als gelyk kunnen^ gehouden worden; gelyk meede Tmz cn Dit vooronderfteld zynde volgt, Dat in de A A ZrZ, (§ 264. I.) Zz: rz— No m\ LZZz „= \^Cofi. rzZ: (en dus door No. III) = 1: Cof. TZm: gevolglys IV. rz = Zz x Cof. TZM. B* Insgelyk in &Mkm is V. M k z= mM x Cof. TMZ Maar in den A TMZ, is door § 295. No. I. VT.  V. Bew.van § 67: over de her. van den afft. by nadering 289 Cof. MT rr Cof. TZ xCVTMZ VI. Cof. TZM = o- TV ■ Jrj—~ en Sm. TZ x Sm. MZ ^TM.-^Zz^MT x Cef.MZ Cof tmz-—;^ivï1\^;mz— Indien wy nu, zo als wy vervolgends altoos doen zullen, Gs en Ös»Ichynbaare hoogten door G en 2 uitdrukken, waar van TZ en TM de complementen zyn: en door a den fchynbaaren afftand: wordt Cof. O Sm. a Sin. G — Sin. Q. Cof. a vin. cv: tmz = —~———-—— 1 Cof. d Sin. a En dus is uit N°. IV, V, VII en VIII, De, Correctie voor den afftand = *v L„ fSin.Q-Sin.aCof.a\ r-Sin.a—Sin.Q.Cof.a-i IX. zrMw! -— — 1-rZz -— — V Cof.a.Sm.a > L Cof.® Sin. a J welke uitdrukking door § 255 en 256 aldus wordt veranderd. Mm (Sin. © Sec. & Co/fo; a — 7^. fj. Co;, «) -7 Zz 2 &c ©• Cofeca — Tang. Q.Cot.a') §• SOL ct Deeze uitdrukking nu geeft de nieuwe en verbeeterde manier van lyons op. Cd) Hec vale niet moeijelyk die beide deelen te bereekenen: namentlyk Zz is de correctie voor de Zons hoogte uit Tafcl III en IV. Om niet Zz en Mm tot feconden te brengen, gebruikt lyons, en te recht, de Proportionaal-Logarithmen: maar dan komt er een verfchil in de bewerking: by voorbeeld, wy zouden 'neemen Log Z z -f- Log. Sin. g -j- Log. Sec. Q -f- Log. Ccfec a: en daar van het getal: XI. Maar zo ik de proportionaal Logarithmen neem; neem ik eieenlyk (f) r s ü -1 L°g'\ r,—Tr ^ „ „ ■■ :datis~Z0ff.3U.-~Z0Jr.Zzl 5 i-Zz.Sin d.Sec.Q.CofecdJ & J — L°g> (a) Reqtiifite 7Mis, tweede druk, bl. 28. (p) Zit in de verzameling, van Tafels, de KerkUrini vem Tafel XX» T  «$0 VI. Deel. Bewys van al het voorgemelde. Log. Sin. d - Log. Sec. Q — Log. Cofec fi: of Prop. L-'g- Zz + Log. Cofec d + Log. Cof',Q + Log. Sin*(i a 256) en het föett geeft een Propornonaal-Logarithmus, waar van het getal is ^2 x G x G * Cofec a. Insgelyks bereekent men het tweede gedeelte, namentlyk Zz x Tang. O Cot. a: of door Prop. Logarithmen ; Prop. Log. Zz + Log. Cot. G + Log. Tang.a. C§ a55) Wanneer nu a <. 9c0, is Cot. a pof tief (% 154) cn men neemt het verfchil der beide deelen, Zz (Sin. d Sec. Q O/ec a) en Zz 7to*g-. Q Co/.ƒ doch indien a > 9co is, is Co/, 0 negatief: dus, — Zz G Co/, a /o//« <-°°- „, , r _ , , Indien men dan dat verfchil of die fom aftrek van een reeds in N°. XII verbeeterde» afftand; heeft men den waaren afftand. XIV. Deeze waare afftand zoude volkomen naauw keurig zyn indien dc onderitellingen die wy ge maakt hebben volkomen waar waaren: doch das zy het maar ten naasten by zyn, is ook die wat re afftand maar by nadering: en, wil men naauw keurig te werk gaan, moet men 'er eene vei beetering aan toe brengen, welke men dot Ofii  fr.Bew.pan § 67: over de ber.van den afft. by nadering. 20J nnze XVI Tafel bewerkt: namentlyk neem den dubbelen waaren afftand; daarvan het fupplement: zoek in Tafel XVI vuor dat rup^ement aan de finker hand, en c correctie uit TafelVIII boven aan (in plaats van de afwyhng,) het getaL dat de Tafel geeft: neem daar van de helft: voeg hier t.y den waaren afftand of trek den zeiven Sr van af, naar maate de afftand kleiner of grooter dan oc. - Wy zullen dit hier onder | go] c No. 8 en § 301% N°. XIV bewyzen. Eerfte handelwyze van lyons. § 301. b. Fig. 17. Het blykt uit het gezegde, dat deeze handelwyze bv nadering niet korter is dan eene eenige der Senen, welke wy, in het III Deel, hebben voorSaagen - en nog is deeze verbeeterde manier van froïs korTer d'an zyne eerfte: (*) wdtogjg aan den anderen kant dit gemak heeft, dat bynaar alles door eenmaal bereekende Tafels gefchiedt. Wy zullen een denkbeeld van dezelve geeven, om dat de FnirelCche Tafels daar door bereekend zyn. H?verfchif dat 'er tusfehen den fchynbaaren en den waaren afftand gevonden wordt, is hier uit oorfnmnkelvk dat wy de heemellichten met zien daar Ky n y n dat dl dampheffing en hec verfchilzicht die de hoogte veranderen, daar door ook invloed nebben op den afftand. l'yons bereekent de uitwerking der dampheffing, en die van het verfchilS ieder afzonderlyk: welke uitwerkingen dampheffing Jn affland, verfchilzicht in afftand genoemd WMeeh"'ftelle, zo Z en M de fchynbaare plaatfen zyn, datde dampheffing alléén werkt, en dus; dat de waare plaatfen als dan zend zouden zyn. dan 7vl indien men de boogen M* en Z» neerlaat, f« ?n "7 de uitwerkingen der dampheffing;ina ftand, en de correctien, die men aan den fchyntaaren afftand-moet toebrengen, orn denzelven van de uitwerking der dampheffing te zuiveren» Wy t <0 Zie tstqwRu TaHii, eerfte dmk. T a  292 VI. Deel. Bewys van al het voor gefielde. Wy hebben reeds gezien § 301 dat (Hellende, zoals behoort, «z voer rz) ni - Zz.Cof.TZM — Zz x : (Sin. G— Sin. Q Cof. as , . V n r ^ : en het volgc insgelyks dat: v LoJ.Qj.Sw.a ' „7 rStn' G—Sin. & Cof. a\ db=Md —-— —): welke beide uit- l~ Cof. & Stn. a I drukkingen alduskunnen gefield worden; ~ Sin. a Cof. G; , Zz Sin. G Cot.a: indien wy Mg en Zz, die de uitwerkingen zyn 1 der dampheffing, of refractie op Maan en Zon, duidelykheidshalven, door RG, R Q uitdrukken, heeft men Cofec,[R.a * Sp-P +R.Q xr^\ - Cot.a, l- Co/, d Co/. 0-J [R G. T&ft?. C -f- R O * 03 lyons heeft het eerfte gedeelte, de factor namentlyk! van Cofec. 0, voor alle hoogten bereekend, en eene Tafel gemaakt (het is zyne eerfte) voor de Logarithmen van die getalen , zoekende de kleinfte hoogte boven aan, en de grootfte op zyde ; welken Logarithmus men dus by Log. Cofec. a voegt, en men neemt voor die fom het getal. lyons heeft insgelyks eene Tafel, (het is zyne: tweede)bereekend van Cot. a(R(L.Tang. fi-f-RQ x Tang. 0) in welke men het getal opzóekt voor a en voor de kleinfte der twee hoogten. Men voegt dat getal by dat van de eerfte Tafel, indien a ^ 90: anders trekt men het af: de reeden: blykt uit het geen § 301. a, N°. XI en XIII gezegd is.; De reeden waarom men in de I Tafel het getal ©pzeeke voor dc kleinfte der twee hoogten, is deeze. Men moet vooronderfteilen dat de grootfte der twee hoogten, ftel hier Q, ten minften 10 graaden! bedraagt. Wanneer nu eene Ster meer dan 10 gr.| hoogte heeft is de dampheffing bynaar in omgekeerde! reeden van den tangens hoogte: namentlyk gelyla aan 57". x Cot. hoogte: zynde 57» de Refractie op 45 graaden. Voor de grootfte hoogte in dus RG^-G=^~~r^=5?" fteï= * en dus eenil Tang. O beJ  y.Bsw.-vaa%6li onrdeber. randenafjl bynadmng. s oc g °f G < o 00- en dus III. Derde boog of M F — a — II boog. IV. In A FTZ, is § 27c Tang. TZ: T^. FZ = 1: Cof. Z en in A Z»z als rechtlynig belchouwd is. V. Zz: nz=zi: Cof.l zol—i: Cof. L Z. en dus uit IV en V: is VI. Zz: nz — Tang. TZ: Tang. FZ. ZzxTang. FZ . . en dus nz = —-—-,==—: dat is hier Tang. IZ VU. O dampheffing in afftand == g *'« Aaoff x Tang.Uboog c^Tg" Dit kan dus gemaklyk bereekend worden: doch indien de Zon óf Ster boven de io° gr. hoog is, is ten naasten by , zo als wy reeds gezegd hebben: g dampb. in hoogte = 570 Cot. o» ™ gevolglyk in die onderftelling is VIII. g dampheffing in afftand =51» x Tang. II boog. Indien men dan den II boog aanziet als of hy een U) Want uit § 283 is Cof. tz: Cof. MT ~ Cof. Fz: Cof. mF: zo nu 0> C »s TZ «mt: dus Co/ tz> Cof. mt: en gevolglyk Cof fz> e»/ fm , of zf \ * eo ZFiJa: derhalven ZF = J« — I boog: t5  998 VI. Deel. Bewys van al het voorgeflelde een Complement hoogte is, vindt men Q dampheffing in afftand in de gewoone Tafel van dampheffing, (by ons Tafel lil): men neeent dan voor hoogte Complement II boog. ia) Insgelyks en op dezelfde wyze' is IX. g b = g damph. in afftand = 57". Tang. Illboo»* welke g dampheffing in afftand men gevolglyk m de III Tafel vindt, voor hoogte neemende Complement III boog. X. De fom van deeze twee geralen CN°. VIII en No. IX.) indien de eer/Ie boog grooter is'dan de halve afftand, (b) anders derzelver verfchil, is de eerfte Correctie: welke gevoegd by den fchynbaaren afftand geeft den uit dampheffing verheeterden afftand, dien wy a zulien noemen, dat is boog gz. De uitwerking van gs verfchilzicht in afftand, of ac, wordt op de zelfde wyze gevonden als «z, in N°. IV, V, VI en VII namentlyk: * XI. g c = g m x Tang. M F x Cof. M T. Maar g m is g verfchilzicht in Hoogte: en deeze is — V x Cof g. Zie § 3oi c N°. II. waaruit gc„ of XII. g verfchilz. in afiland — V x Tang. III Boog x Tang. «xCof.(i~V xTang. III Boog, x Sin. g § 255- I. Dit kan men uitwerken, of door de gewoone Logarithmen, of door de proportionaal Logarithmen: in welk laatst geval, wa;,r in de bewering gemaklyker valt, men hebben zal (§ 301 a. Prop. Log. g verfchilzicht in afft. ö Prop. Los: G AUI. Deeze tweede verbeetering, welkè uit hoofde van g verfchilzicht plaats heeft, moet by de eerfte (No. X) gevoegd worden, wanneer de eerfte boog groeft») Men neemt h^Complemtnt om dat de uitdrukking hier is —" x 7V„?. H. boog: daar die voor de dampheffing is r»« x Cot Htirte g dlIS jial «r». r*»r, 11 U; eene uitdrukking van dainphcSinè zyn, indien men ze dus telt gf» x Cot. van Compl. II boot (.*) imnlets de cerjie boog is = J MZ _ Z F: zo nu § MZ — 2.F' >|MZ zoude FZ buiten den A vallen, en dus ook «v  V. Bew. van ^éf. over de her. van den afft. hy nadering. 299 grooter is dan de halve afftand, en g hoogte teevens grooter dan die der Zon: maar anders altoos worden afgetrokken. De fom of het verlchil is de geheele Corectie, weike altoos by den fchynbaaren afftand gevoegd moet worden om den waaren te bekomen. XIV. Eindelyk moet men nog die verbeetering aanwenden waarvan wy reeds § 301 a E\°. XIV en 301 a% M°. IIgefprooken hebben: doch wy zullen nu toonen dat dezelve door onzeX VI Tafel kan gefchieden. Die verbeetering was (Fig. 18) _ gverfch. in hoogte*— g verfch. in afft. ^ ^ nc— a Indien men nu de beide deelen afzonderlyk bereekent, en voor dezelve de letters D en d ftelt: gelyk meede P en p voor het verfchilzicht of de parallaxis: eindelyk a voor den verbeeterden afftand, is D = — x Cof. a en d — — x Cot. 0. 2 2 de getalen nu van onze XVI Tafel zyn, gelyk wy bl. 61 van de aanmerkingen op de Verhandeling over de Oclanten en Sextamen beweezen hebben, V:=A* x Tang. | H, dat is, gebruikende P voor A. V = P2 x Tang. \ H. Maar ftel H = i8o —2 fl: dan is 28 = 180—FT: 8 — go — \ H :en dus Cot. a = Tang. h H. in dat geval dan is V = P1 x Cot. a. cn dus V = 2 D: of de getalen van de XVI Tafel worden het dubbeld van die welke wy nu noodig hebben. Men neeme dan het fupplement van den dubbelen verbeeterden aftand: zoeke daar voor, en voor het getal van parallaxis in hoogte, vervolgends voor dat van parallaxis in afftand , (in plaats van voor de afwyking) de getalen die in de XVI Tafel üaan: men neeme de helft van derzelver verfchil, het is de verbeetering welke men by den verbeeterden afftand (No. XIII) voegen moet or'er van aftrekken, naar maate dezelve kleiner of grooter is dan 9c0 en men krygt den waaren afftand. Hier valt nog aan temerken, dat de uitwerking van Zons verfchilzicht niet in acht genomen is: men moet  |b® VI. Deel. Bewys van al het voor gefielde. moet dan dezelve bereekenen, of uit de V en VI Tafel van lyons eerfte handelwyze opmaaken: waar om wy aan de verbeeterde handelwyze van lyons de voorkeuze zouden geeven. § soi./. Dit zy over die handelwyzen by nadering genoeg: Wy zullen 'er niet meerder uitleggen; O) het blykt dat, ook door de kortheid der bereekening zelve, die, welke wy in onze derde afdeeling uitgelegd hebben, allezins de voorkeuze verdienen, vooral die van krafft. VI. Bewys van de manier van de borda om in het bereekenen van de Lengte den fchynbaaren affland tot den waaren te herleiden. § 302. Het bewys van de manier door de borda (a) gebruikt is geheel gevestigd op de oorfpronkelyke bereekening die wy te vooren (§ 40—§43.) hebben opgegeeven: namentlyk in de oplosfing van de twee driehoeken MTZ, en mTz, welke eenen hoek T gemeen hebben, die eerst voor den A TMZ gevonden wordt, en dan tot oplosfing van den A mTz wordt gebruikt. Maar juist om dat die hoek T aan beide de driehoeken gemeen is, heeft men twee uitdrukkingen van denzelven: namentlyk voor den £ TMZ, (§ 294 II) (Cof. (4) Zie hiei over de verhandeling van FUSS, in het Fransch gefchreeven, en gedrukt in de Nova Aüa Pttropolitana van i:rg. s deel, bl. 310. (a) De Schryver heeft een hewys gegeeven in zyn Voyagt fait par ordn du Roi tn 177,, par M. M. DE VERDUN, DE BORDa. »* pingré: I Deel, p. 3*7: LA COUDRAYE heeft 'er een ander Reseeven in zyne Verhandeling over de Lengte.  VI. Bewys van de handelwys van de borda. 301 Cof.iTy=:Sin ( a JxSi*.^ j ^ " Jï». Tz. Ji». MT en voor de A Twz - . . ■ fmT -r-Tz + wz \ /-«s-Tz-wTX cof.i ry^si*.^ - jtsia.^ a y Tz 5/». wT waaruit volgt dat die uitdrukkingen onderling gelyk zyn: zo dat men heeft i«. 4 (M T+TZjj-MZV^ ggj CMZ-- TZ—M T)„ &•». TZ MT * Q»T + Tz+ffl^j!!ji^ -Tz —m 1) Tz. «Si». mT eene uitdrukking uit welke men eene waardy van den boog mz., die gevraagd wordt, moet afleiden, en dit valt niet moeijelyk. S 303. 10 Ten dien einde zullen wy korrheldshalven flet' len dat de fchynbaare afftand MZJoor de letter a worden uitgedrukt; dat is MZ-«. ao dm de fchynbaare hoogte Zl der Zon uitgedrukt wordt dooi' O, en MK die der Maan door fiï waar uit volgt, T,._Tir M(f_0O * TZ =TI—ZI = 90 — O- enTM = lK-—MK.— 90—ii MT + TZ -f- MZ 90 — g + 90— Q + * se. ■ s= a ^ii1±q±1>! Co/g - c./:o Co/ j (w. g 4- w. Q—A). Co/: 1 (w. g+ w. g + A) Co/: w. g. e»/: w. g . Uit welke vergel yking men de hoegrootheid van, A, of den waare afitand, moet afleiden. S 305.:  VI. Bewys van de handelwyze van de borda. 30$ § 2có. Ten dien einde zullen wy het eerfte lid van deeze vergely Icing onveranderd laaten, doch de beide deelen Co/li (w.G+w.q ~ A) en Cofii (w.G -f- w. Q + A) van het tweede lid nader nagaan. I. Cof. Kw.CS-f-w. O + A) = Cof £ (w.G + w. Q)* Cof. £ A — Sin. i (w. G -f- w. O) 4 A en Co/: i (w. G + w. O - A) = Co/7 4 (w. G + w. ©) x Cof. \ A -f- ,5/0. i Cw. G + W. ©), Sin. £ A door § 257. V. II. Indien men nu deeze beide vergelykingen door eikanderen multipliceert, en het product tot de meelte eenvouwigheid reduceert, is. Cof.\ (w. G-fw. O — A)x Cof. I (w.G -fw. O + A) = Co/Kw. G+wT©) x CoJlk-Sin. i(w. G-f w.©> x -2 A=,(daarCo/ £ A.=\ -Sin.£ A §254.VIII) z=CtyJT(^+W- (v) ~ [Co/- Kw. g"+w."q"3 x § A.a + &*». (J w. G + w- c S] * Sin. i A maar § 254 VI. Cof. £ (w.G 4- w. e5 4- «&'»• i (w- G 4- vv^O) = r en dus III Cof. £ (w. g 4- w. O — A) x Cof. £ (w. G + w. O 4- A) = [Co/ i (w. G 4- w. O)]1 - iSin. 'I A.y S 3°7- Indien men nu deeze uitdrukking N°. III. in plaats van het tweede lid der vergelyking § 305. ftelt, heeft men Cof.  |04 VI. Deel. Bewys van al het voorgeftelde. j CofiKd+Q-ay Cof.Kjl-T-O + d) _ Cof. g. Cof. Q ~ CoJ. (4 w. g + w. ©) — Sin. 4 K 7TP-—^TTTT—~ •' waaruit volgt Cof w. 0. Cof. w. g h CofKsl+Q-*)- CofK — Cof 4(g+ö - * w 4 ch-Q-f-*). c>/: w. gc^w.g: Gy: g- cy: g enhetal1esdoor[Cy: (w. g4-w. g]'divideerende, en reduceerende, komt eindelyk (Sin. 4 A)a * c^lf>7g + w7g)5 ~" c^g+o^f )• Co/:4(g+g+^> Co/Tw.Q Cofiwfi CofiQ Cof g. [Co/: 4 Cw. g4- w. g>]' § 3C8. Het voorftel is dus opgelost, daar men eene waardy heeft van (Sin. £ A)' dus van Sin. £ A, dus ook van A, enkel en alleen door de fchynbaare en waare hoogten en door den fchynbaaren afftand uitgedrukt: maar die uitdrukking zoude misfchien in de praktyk wat moeijelyker te behandelen zyn: waarom dï borda dezelve op deeze wyze heeft vervormd. (Sin. 4 Ay [Qfiicw.d+wnï18 een quadraat>en dus altoos fofiiief: gevolglyk moet het tweede lid i — Co/.'4:(.(i4-04-#)c?£- ookpoftief zyn: het geen niet zyn kan, ten zy het tweede gedeelte van dat Lid Cof.  VI. Bewys yan de handelwys van de borda. 305 >o/i(g + ©4-a)Cof. (KQ-K-aXY w.QCo/: w. g Cof. o e*/ g. 0>/i(w.g + w. (f) ene waare breuk zy, kleiner dan de eenheid. («) Daar dan dat gedeelte eene breuk is, en de Sinus'm ook breuken zyn: is 'er geen breuk of dezelve ; gelyk aan den Sinus van eenigen hoek, of aan et quadraat van den Sinus van eenigen boog. Dit rondbeginiel aanneemende ftelt de borda. jjG+gifjg0/-" iKQ-K+«)-«] c°f-w- W w. O _ {Cof. \ (w.ö+w. g)? x cy: o» Cof. g = .ij». G1 n dus <®-l*)' - ! _s7n~.~G*— doflV CC^iCw.g + w.G)]1 gevolglyk: [. S,n' ^ A = Co/: G: en daarom Co/: 4 (w.g + w. o) Siu. § A = Co/.' (w. Ö + w. g). Cof. G. § 3CQ- De beide uitdrukkingen in % 308 opgegeeven leesren juist de gantfciie manier van de borda op: /ant dezelve beftaat, zo als uit § 71 te zien is, it twee deelen; in hec eerste bereekent men de zaardy van C^^fi+^V^CG+g-g) - »W- w.gCo/Tw.Q CofÖCof.d _ ' fi r= oz«. Vjr- cyè(w.G+w.g) om (*, Indien die breuk gelyk aan de eenheid waare, zoude I — e breuk ~ o zyn: dus ook Sm. § A ~ o of A ~ o- dat is 'er >ude geen afftand zyn : de hemellichten zouden in den zelfden :rt,caal-cirkel zyn, dat hier het geval niet is, noch zyn kan, zo ;a men eenen fchynbaaren alftand heeft waargenomen : doch wy tflen § 34? over dit geval iets zeggen. Indien het tweede gedeelte van het tweede Lid gelyk aan o waare: idt men Sin. I X~ [Cof. * (W g + W0)f: en dus ..jAzCififWiirW O) dat is i A — go — 4 (Wg— WQ): en dus = 180 — W g — W O = (90 — Wg) •+■ (9O-W0|i dat is 5" fn + T-,: dat onmogelyk is, daar- in alle Klootfche Drie? leken, twee zvden altoos grooter zyn dan de deitte. V  So6 VI. Deel. Bewys van al het voor gefielde. om een getal te hebben dat, onder de Sinusfen ge zogt, den boog G opleevert. {d) Waarna men II den Cofinus van dien boog neemt en het tweede gedeelte O/èCw.Q+w.g) CofiG = Sin *A bereekent, om daar door JA, en dus ook A te bt koomen. Indien men nu deeze twee ftukken door de Li garithmen bewerkt, en in acht neemt cat de Li garithmus van den wortel de helft is vsm den Logt rithmus van het geen onder het wortelteeken ftaat zal men het volgende krygen, dat vvoordelyk m< den reegel, in § 71 opgegeeven, overeenkomt. Neem 'dJ.ct °cr breul1 O waare hoogte. . . . Logarith. CtAvls Vonder het wortel ° ; J teeken un. fom van allen is de Logarithmus van die geheele breu halve fom is de Logarith. van den wortel deezer breuk. O waare hoogte. (£ waare hoogte. fom halve fom waar van Log. Cof. is Zog. van den noemer buiten den worti Verfchil met de bovenfta-mde halve fom is Log. sin. G. Zoek dan in de Tafds der Logarithmus Sinusfen, den hoek G. Neem dan ls«. Cof. G . . . . Voeg by Log. Cof !( + II (<0 Of men hier G neeme zo als die boog in de Tafels ftaat dan wel desfclfs fupplement, (iets dat men altoos uit de omftar digheeden moet bcpordeelen'het is om 't eeven: want Cof. Juppi.C verfchiltnier in grootte vanC'o/^ G:maat wel hier in dat dezelve négatit ïs : dus zoude die Cofinut negatief z-jn: dus Sin. \ A ook negatie. cn gevolglyk j A > iSo° dat onmogelyk is : daar A zelfs altot kleiner is dan i8o°C§5f'7 N° 8 )en dus i A kleiner dan oo°; waaru 'blykt dat men den B->og G zo als dezelve in de Tafels ftaat ne« men moet. (b) Wy tellen de Complementen der Logarithmen van Cofinus ( en van Cofinus (J by de overige Logarithmen , om dat het op zelfde uitkomt, als of wy de Logarithmen dier Cofinusfen aftroliket «n dus, alsof wy, indien wy zonder Logarithmen werkten, doe het product van Cof. (J Cof. Q dividenden. Zie § 44 *  prj. Bêwys van de handelwys van de borda. 30? De fom is, Log. Sin. £ A, want die uitdrukking is de Logarithmus van de uitdrukking. (Sin. 4 A) ~ Cof. i (WÖ-f-Wd) • Cof. ff. Zie daar het bewys van de handelwyze die ds borda in 't werk ftelt, om de waare afftanden van Zon en Maan uit de fchynbaaren afceleiden. Wy henben het wat uitvoerig voor gedraagen om, zo veel in ons was, voor een grooter getal Leezers verftaanbaar te zyn. § 3ió. Wy hebben gezegd § sc8. dat de oorfpronkelyke uitdrukking § 307. 'N°. IV. namentlyk (Sin. ï A)' Cof. f(y^a + w. 0) ' ' Cof.QCof.(i[_Cof. £(w.d + w. e)]2 , . door de borda niet is gebruikt geworden; denkelyk om dat zy in de praktyk minder gemaklyte valt te behandelen: want men moet dan eerst het tweede gedeelte van het tweede lid door Logarithmen bereekenen: dan het getal zoeken van hec product, dan weederom dat getal van 1 aftrekken: en van de rest den Logarithmus neemen enz. Doen aan den anderen kant is 'er in het vinden van den boog G, daarna van deszelfs Sinus, ook eenige moeite: misfchien zullen dan fommigen denken dat dc oorfpronkelyke uitdrukking nog de kortlte iss deeze wordt dan Sin. £ A = Cof. i (W. O + W. G)x ^ 1 Cof O Cof.\ {Cof. \ Cw. O + w- Indien wy dit op het voorbeeld van § 7*- <-oepasfen, blyven dezes eerfte Logarithmen de zeilde* hunne fom is  S08 VI. Deel. Bewys yan al het yoorgeflelde. rS n O, 39-760534I W. g 53- ^o- 47 fom 64. 58. 51 2 fom 32. 29. 26: hier van 2 maal de Log. Cofinus 19.8521496 verlchil 19.9083845 getal o. 809812 1 verfchil o. 190188 van dat verfchil Logarithmus 9.2791831 de helft 9.6395916 Log. Cof. ± g (w. O + w. g ) 9.926074» fom 9.5656664 waar van de hoek is 21°. 34'. 58". dus A 430. 9. 50". § 310* Over de verkorting welke men aan de handelwyze van de borda heeft toegebragt, met de getalen. welke in Tafel XVII, voor zo veei des noodsdooi Tafel XVIII en XIX verbecterd, voorkoomen, ir plaats van de fom van 4 Logarithmen, die men ann ders moet opzoeken, te gebruiken, zullen wy niets zeggen: want dat hangt hiervan af, dat, zo als wy het onderfteld hebben, de getalen van Tafei XVII juist opleeveren den Logarithmus van Cof.w. Q.Cof. w. g , . , Cof. o Co/Tg—: 1S van s' 0jr w'0 * Log.Cofiw.a -J- Comp Log. Cof. Q -f Comp Log. Cof. g< Dit nu zullen wy ftraks in het bewys van de maniet van dunthorne, § 314 en volgende, aantoonen, VIL  'IIBew.van dehand. j>.borda d0orUA.CKA.rperkort.io9 VII. Bewys van de verkorting door mackay, aan de handelwyze w deborda toegebragt. Zie § 79- § jii. Indien wy ftellen dat Cof.w-O Cof.w.G pffs. H)1 0 is uit § 307. N°. 4. 1 A __ (Sin. HV I 1H ^^w-fi+w-0)31 waaruit volgt: ' fef A = [Co/, * (w. ö + w. (OT ~ Sin. H en dus door § 261. n°. 5. 1. * a = cy [ 4 (w. e + w. O) + H3 * Cof li Cw. S 4- w. fj ) - h] Indien men dac door de Logarithmen bewerkt, leeft men N°. 6, 7, 8, 9, 10 van Jen Reegel § 79. VIII. 3ewys van de oude manier van dunthorne omy in het bereekenen van de Lengte, den fchynbaaren ajftand tot den waaren te herleiden. § 312- Het is weederom, eeven als voor het bewys van Je manier van de borda (§ 302.), uit de bel'chouping (Fig. 4O der twee driehoeken, TMZ en Tmz, die wy in de oorfpronkelyke oplosfing van dit vraagftuk (§ 40. § 41.) gebruikc hebben, dac wy ons jewys zullen afleiden: en wel bepaaldelyk hier uit lac de LT asn beide de AA ™z en Tw? &e" ueen is. Wanneer men dan voor den A T MZ jen hoek T bereekent, heeft men door § 294. i, en 5 29S' V 3 Cof.  $Ï0 yj. Deel. Bewys van al het voor gefielde, Cof. T = 9^ Z ~ Cof M T. Cof T_Z_ o7« M T. &«. T Z cn indien men daarin voor MZ, MT, TZ cc makshalven, eeven als in S ao? ftelt. TZ = 9cO-ejTM = 9o-g} MZ = «: is I Cof. T Cofia - Sin. g 0 fy/TdTCofi'ö Insgelyks is den A '«Tz, Co/7 T = *~C>. lil. in de voorgaande § voegen en 'er weeder om van aftrekken dcezé hoegrootheid, Cof. w. G Co/  VUL Bewys van de oude manier van dunthorne 3 ï I Cof.w.d.CofiO.Cofi g; namentlyk de aftrekking na de tweede term, en dc byvoeg'mg na de laatfte term ftellende; waar door wy voor den teller krygen, dezelve om reedenen, in drie reegels opfchryvende, f Cof. w. O- Cof'. w. g- Cof. a. — Cof. w. O- Cof w. g- Sin. g Sin. Q. — Cof.vf.Qx t i Cof. w. g. Cof. Q. Cof g + 1 Sin. w. 0» &'». w. g. Cy 0. Cy g. -\-Cofw.Q x t Cof.w.(L.Cor.(-).Cof.(l. Daar nu de twee iccden van den tweeden reegel beiden door de zelfde grootheid worden gemultipliceerd: gelyk meede de beide leeden van den derden reegel, kan rren het aldus fchry ven. f Cof. w. Q. Cof. w. g. Cof. a. \ —Cof w. O- Cof. w. g (Sin. g- O- + Cof. Q x Co/g.] ! 4- Cy 0. Cof. g. [&'»• w. ©. Sin. w. G. -f l Cof. w. 0. Cy w g] en uit § 257. I\°. 5, kan het weederom aldus gefteld worden. ui. cof. w. 0. cof w. g. cy«- cy w. 0. cy w. g. * cy (g-0)+cy 0. cy g. cy (w. g.—w.©) Endaar nu de twee eerfte leeden wederomeenen gemeenenMultiplicacor hebben, zal de teller dus gefchreeven kunnen worden, de laatfte term nu vooraan (tellende. 1 v.cy 0. Cof. g. co/: (w. g—w. o)-ccy cg-O)— Cy ti] x Cof w. 0. Cof w. g. Dit dan voor den teller van de breuk ftellende in § 312 N°. III. verkrygt men V. Cof. A = Cof. [w. g. -w. 0] - [Cof. (g- O) — Cof. w. 0: Cof. W.g- Co/:*] x ^:0Tcy"G7- welke uitdrukKing de oude manier van dunthorne en het grondbeginfel van zyne nieuwe manier opleevert. § 3M- Om nu deeze methode in praktyk te brengen, zullen wy aanmerken , dat men het getal Cof. [w.g—w. 03 in de Tafels van de Slecht-Sinusfen V 4 kan  312 n. Deel. Bewys van al het voorgeflelde. kan vinden: doch dat het tweede deel afzonderlyk ïffiKSf KÏÏan gee" d°0r Log. [[Cof. (d-O)- Cof. al x Wv-O'WmS] Co/iq.cof. a. J- Log. [Cof. (Z-G)-Cof. al+Log. CofG-Cof.Q. 9 fte.lende _ N . Cof q. Cof. ^ ~ N is de Logartthmus van het tweede gedeelte. Ar- [cy: g - ©) - cy:^ + z£. n. ^,f^N^HOrRNE-nu heefc' om de zaak te befpoeaigen, de Logarithmen van N ééns vooral in Tafels bereekend; deeze Tafels zyn by ons deXVII, XVIII ^nH hÏV6" !"6r Uk b,ykt reeds dat Log. N in de men ?n ZT/™ der Z6S Lo^ithmen, welke ! w « ?6 °de va" de borda gebruikt, zo ais wy $ 74-78 gezegd hebben. S 315. Daar dan N = ^i&Cofiv^ Cof. G. Cof.g. *1S00k Lo A N 7^ _£+Z^_JL^: welke fchouwenfWy nu afzonderlyk zullen be- Ik begin met Log. De waare hoogte nm J^3," is a,t srooter dan de fchynbaare , om dat de uitwerking van het Ve,fchihkht waar door wy de Maan te laag zien, grooS is dan die jan de dampheffing of refractie waar door wy de aan cy.g. want wat een boog grooter is wat zyn Cofmus kleiner is: en gevolglyk is ^L^' altoos cy: g eene  VUL. Bewys van de oude manier van dunthorne. 313 Cof.w. G eene breuk: en de Logarithmus van —-—— is Lof. G de Logarithmus van eene breuk. Daar nu de beide Correclien, die men aan de fchynbaare hoogte van de Maan moet toebrengen, om de waare hoogte der Maan te bekomen, in de VIII Tafel opgegeven worden valt het zeer gemak- lyk dc Log. ^ 'g J te bereekenen. Men ftelle by voorbeeld 40 Maans fchynbaare hoogte en 58' horizontaal Verfchilzicht: dan vindt men in de Vlllfte Tafel, 46' Correctie, dus: W (L = 4° 46' Log. Cofin. 9,998495 00 G — 4° Log. Cofin. 9,998951 fCof. W G A Verfchil of Log. J g J=9,999554: net geen, zo als behoort, den Logarithmus van eene breuk aanduidt. Het eerfte gedeelte wordt dan voor alle mogelyke hoogten en horizontaal — Verfchilzichten der Maan door onze Vlllfte Tafel bereekend: en die bereekening is de grond der Logarithmen die in onze XVJI Tafel gevonden worden. § 316. ( heffing en v voor Verfchilzicht - zo is vfQ — Q — d+v. En dus^0^9^S®=±t2 , . , Cof.® Cof. 0 daar nu p + v - d grooter is dan Q - d: en dus Cof. C +v-d) kleiner dan Cof. CQ - d) zal ook de Logarithmus van dit tweede gedeelte kleiner zyn dan indien men, onder de ze'fde omftandigheeden. eene Ster gefchoten hadt: en dus ook kleiner dan 120 die men in Tafel XVII, als beftendig hadt aangenomen: men moet dan niet alleen iets van Tafel XVII t wvJv £iaar meer dan voor ecne Scer' of da" ir< Wel XIX ftaat. De XVIIIde Tafel nu behelst wat men voor iedere Zons hoogte moec aftrekken. § 3i8. Het blykt dan uit het gezegde, dat de XVH Tatel, naar gelang van zaaken door de XVIII of XIX verbeeterd, de getalen behelst welke voor alle mogeiyke gevallen zyn Log. N: dat is Log. f^imk _ , ICof. Q Cof. qS Doch, daar wy reeds gezegd hebben dat 'er twee handdwyzen van dunthorne zyn, de' oude welke vvy nu bewyzen, en de nieuwe, waar over wy ftraks rnyf™^e^ ™0CCt;n w^ docn opmerken, dat . onze AV1I lafei eigenlyk de getalen voor de nieuwe  VUL Bewys van de oude manier van dunthorne. 317 we manier behelst: maar zy kan eeven gemaklyk voor voor de oude dienen: want daar wy nu gefteld heton=^^ (S3.4)fte,«n Cof. O Cof. g- wGJ-rctf (g-O)-CoF- a~\ xn door N de getalen verftaande waar van de Logarithmen in Tafel XVII, voor zo veel nodig is door Tafel XVIII of XIX verbeeterd, worden gevonden. In het bereekenen van die uitdrukking moet men de twee deelen afzonderlyk bereekenen: het tweede eerst door Logarithmen. en dan hec geul van den Logarith-  Jl8 VI. Deel. Bewys van al het voorgefielde. rithmus van de uitkomst neemende, om bet van de Cofinus (wd —wQ) afietrekken, ten einde Cofinus A te vinden. ' Wanneer men nu dit doet, en de bewerking ver- gelykc met den regel § 85, zal men vinden dat men al het geen wat onder de verfchiliende artiekels van dien § bevolen is, verkrygt. l°. In de flecht Cofinusfen zoekt men op den Cofinus van (g - Q), het maakt geen verfchil of dc hoogte van de Zon grooter is dan die der Maan : men trekt alroos het kleinfte van hec grootfte af: dit blykt uit (§ 257) om dat Cof. (g—0)=cy. g. Cof. Q+ J/* dSin. Q, eeven als Cof. (O —g) = Cof g Cof 0 + Sin. g Sin. 0. 20. Men neemt Cof. a ,dat is van den fchynbaaren afftand: maar zo a grooter is dan 900, blyfc wel de Cofinus de zelfde in grootte, doch valt aan den anderen kant van het middelpunt, dat is, wordt negatief "(§2 54 N°. 4):,dus wordt'in de daad Cofia in dat geval ( — Cof. a) en dus — Cof. a wordt wezenlyk -f- Cof. a: en gevolglyk moet men in dac geval Cof. a niec aftrekken, maar bvvoegen, zo als in N°. 2 van den reegel § 85 bevolen wordt. Zie ook § 81. 3°. Wanneer men dan de Som of het verfchil van Cof. (g—(• ) en Cof a genomen heeft, neemt men de Logarithmus daar van, en men voegt 'er den Lob- n, dat is de Logar. uitdeXVII Tafel, door deXVlll of XIX zo nodig vcrbeetcrd, by: en dan 4». Neemt men het getal van de Som dier Logarithmen, om daar door het getal dat [Cof g — 0] — Cof. a] x N uitdrukt te bekomen, dat is, het tweede gedeelte van de geheele uitdrukking. § 320. 5°-Wat nu het eerfte gedeelte van de uitdrukking betreft, behoeft men flechts, volgends N. 5 van den reegel, het verlchil tusfehen de waaren hoogten van de 0 en van de g te neemen, de kleinfte van de grootfte aftrekkende, en daar van den Slecht-Cofinus om Cof, (w. 0 ~ w. g) te verkrygen. * 3 6». En  VIII- Bewys van de oude manier van dunthorne. 319 6°. En dan moet men eindelyk het verfchil neemen van die twee getalen, van N°. 5 namentlyk en N°. 4, om het getal te hebben, dat Cof. A uitdrukt, en dus onder de Slecht - Cofinusfen opgezocht, den boog A, of den waaren afftand bekend doet worden Maar hier doet zich weeder een dubbeld geval op: wanneer namentlyk [Cof. (g—©) — Cofia] x N kleiner is dan Cof. [w. g — w. 0] wordt het van dit laatfte afgetrokken, en Cof. A is pofuief, dus A < 9c0 (fi% 254. N°. 4) en men neemt den boog A zo als dezelve in de Tafels gevonden wordt. Maar indien [Cof. (g — 0) _ Cof. al x N > Cof. [w. g — w. 0] wordt de uitdrukking eigenlyk Cof.Atz - DGtyXg-©) - Cofia) N—CofiXw.d—w.0VJ en de Cof. A is negatief, dat is A is > 900 en men moet het fupplement neemen van den boog die in de Tafels gevonden wordt, zoo als ook r\°. 6 van den regel opgeeft, (a) Zie ook § 88. Zo dat deeze regel thands in alle deszelfs deelen beweezen is, (b) % 320-* (a) Het is waar dat in de meeste gevallen deeze laatfte oplettendheid naauwlyks noodig is, deuyl de waare afitand maat weinig van den fchynbaaren verfchillen kan: doch dezelve is volitrekt noodzaak lyk , wanneer O en dus w. g > w. O maar indien Q > S.. is he't (1) Indien (7 — Q d. i. indien de fchynbaare hoogten der beide lichten_gclyk zyn: is w. g - w. © = -f- (c + d! en w. © G — — w. © daar v; g > g en w. © < ©. Ook kan het gebeuren in de tweede uitdrukking, wanneer de fchynbaare hokten zeer weinig verfchillen, dat w. (J > w. © aJ is © > g. Q:m wordt c ^_ d > q _ 90. maar ook I. Cof. (G — G) — Cof. a — Cof. (G—©) -1 + 1 - Cof a. z=l-Cofia-Ci—Of. (2_ 0) s= Sin. v.a — Sin, v. ( G — 0;: indien a < 90. en dus altoos, en in 'c algemeen, l Cof. (G — 0) — Cof.a — Sin. v. (G — 0) — Sin. v. a: het grootst namentlyk van het kleinst aftrekkende, en dus is: V. Cof. A = Cof. [w. G—w. 0] - [.Sin. v.« — 0) — Sin. V.«] x N. en dus 1.1 - Cof. A sa1 — Cof. (w. G— w. ©)+[•#*. v. (g _ ©) _ Sin.». /jN. of 'II. Sin. v. A=Sin. v. (w. G— w. ©) + [Sin. v. (< - ©) — Sin. v.a\ x N. Indien nu het tweede lid , kleiner is dan de radius, dac is, in de Tafels van mackay, dan i,oco,coo, is de boog A kleiner dan 90°: (§259) maar indien het tweede lid grooter is dan de ra» (*) Daat (J < fjo" en 0 « 90". is (j — 0 ook < 908: en óm Sin. (ï—0)= 1 — Cof (& — C) gelyk meede in N'.YII, w. G — w Q -s en du» Sm,v, (w.G*-w.O> =i— Ce/-(*'G-w.©J  3*2 VI. Deel. Bewys van al het voor gefielde.' radius, is de Sinus verfus het ook: dat is de hoek A is ftomp: en in de daad hec alles uit den dubbelen radius, dat is hier uit 2,osc,coo, trekkende heeft men 2,000,000 — Sin. v. A. dat is door § 259 No. V. VIII. Sin. v.fiupp. A=2ccocoo- [Sin. 3>.(w.g— w.0] f Sin. v. Cd— 0) — Sin. v. a~\ x N. Welke uitdrukkingen N«. VII en VIII den geheelen reegel opleeveren. X. • Bewys van de verbeeterde of nieuwe manier van dunthorne. § qi. § 322. Wy hebben § 89 de reedenenvoorgedraagen waarom men de methode van dunthorne voor eene andere, die wy de nieuwe of verbeeterde manier van dunthorne noemen, verwisfeld heeft. Men vindt de voorfchriften van dezelve en eenige voorbeelden in de nieuwe Requifite Tables, doch niets over haaren aart, haare voordeden, of haar bewys: om dit te vergoeden zullen wy nu dat bewys voordrangen : en eeven als wy hec bewys van de oude manier uit de oorfpronkelyke bereekening § 40-41 hebben afgeleid, nu ook de nieuwe uit de oude afleiden, om des te beeter het verband van alles te toonen. Wy vinden in § 319. voor de oude manier van dunthorne deeze uicdrukking. Cof. A = Cof. (w. g- ©)- {Cof. (g— ©)— Cof.a~\ N door N hier verltaande het getal van den Logarithmus der XVII Tafel, dien men gebruikt, mee de nodige verbeecering daar aan, uit Tafel XVIII en XIX toegebragt. Hier uit volgt 1.1 -f- Cof. A — ï+Cof. (w. g- w. ©) - {Cofi'd-Q)- Cof.q-] N. II. Maar uit § 25S.N0.3. is 14- Cof.( w. g- w. ©)=2.C0/Kw.g.-wT©) III. Enuit§26i.No.4.isCö/:(g-0)-Co/:« = 2 [CofMd-^-CefïJ'a] gevolglyk NQ. II. en NQ. III. in N°. I. Hellende verkrygVmer7 2 J IV. Cof. £A =3Cof. |(w. g - w. ©) - [Cor. i(g- ©ƒ_Cofi%a'] N. 0 if  X. Bewys van de nieuwe manier van dunthorne. 323 of ftellende kortheidshalven V.p == w.G — w.0 Q = G — 0, zal men hebben \JCoTi A = CoJTe- {Cd/Ti Q — Cof i « ] x N. I.Daar nu § 261. N°. 1. Cofl Q1— Cö/7 i = $ (Q + «) * 4 (« — Q) is I. Co/TA^ Cof \ pj- [&'*. i O x Q) f &'». (ia — Q)] x N. § 324- Indien men het tweede lid van het tweede gedeelte der voorgaande uitdrukking nagaat, zal men zien dat, vermits Sin. è O + Q) en Sin-i O — Q) en N allen breuken zyn ($ 315), het geheel product insgelyks eene breuk is. Doch eene breuk kan altoos befchouwd worden als de Sinus van een hoek , en dus ook als het Quadraat van een Sinus. X. Men ftelle dan Sin. i [a t Q] x Sin. \ (a — Q) x N = (Sin. G)' dan is X..Sin.G = V Sin.i (a f Q) x Sin, \ (a-Q) x N. waar uit de hoek g bekend is. S 325. Indien men dan de waardy N°. X. in de uitdruk* king N°. VIII ftelt, is i. Cof. i A = CoplfP — Sin. G maar § 261. N°. VI, ftellende aldaar g voor i C: en dus 2 g voor C, II. g^1~p — Sht~G = Cof. £ (p -f- a g) x Cof. i (P ~ 2 g) = Cof. Ci p + g) x Cof. [i P - G]: waaruit volgt II. [Cof. | A¥ = Cof. [i p + g] x Cof. [£ p - g] en dus v.o/: 1 a = V o»/: 0 p - g) x &/:cè p - g] § ^  S«4 VI. Deel. Bewys van al het voorgemelde § 3*6. De twee uitdrukkingen N> X en No, XIV, Ieeveren juist de beide gedeelten van dunthounbs reegel op; want indien men weederom w. g—w. © ftelt voor P, en G — © voor Q volgends § 322, N°. V: komt voor N°. X en l\o. XIV hsin. g =YSittti (^r0 + fl) ~ &in i en II.Cof. l A = Ycofn (w.g -"^Tö)+G]7cty:5(w. gw. r Indien men nu deeze uitdrukkingen met den reegel § 91 vergelykt, blykt het duidelyk: I. Dat men, deeze waardy van Sinus G door Logarithmen uitwerkende, juist N°, 1, N°. 2, N°. 3 No. 4j N". 5 van den reegel volgen moet. ' * II.Insgelyks indien men de tweede uitdrukking, die van Cof £ A, door de Logarithmen wil uitwerken, zal men met No. 6, 7, 8 en 9 van den reegel § 91 gegeeven, moeten volgen In de II uitdrukking gebruikt men'w.G — w.Q: doch dunthorne gebruikt hier, eeven als in de oude manier, niet de waare hoogten, maar de fchynbaare , en de correctien: dat is w. G — w. Q = G- O + (c + <0 of w-O — w. g = O - G - Cc + d) zoo als wy zulks § 321 en § 91, noot a hebben uitgelegd: weshalven het nodeloos zoude zyn zulks te herhaalen. § 327. Om niets ©verig te laaten dat eenige moeite kan baaren, moeten wy hier, eeven als § 399, noot (a) voor de methode van de borda, eene zwarigheid uit den weg ruimen: namentlyk men netmc § 326 N°. I, den boog G: maar het is bekend dat, wan» neer men den boog voor een gegeeven Sinus opzoekt, men uit de omftandigheeden moet opmaaxen of men den boog, dan wel deszelfs fupplement neemen moet: zoude het dan hier geen ondencheid maaken, indien men hier in plaats van g deszelfs fup-  A". Bewys yan de nieuwe ma nier van dunthorne. 345 fupplement nam? Het valt ligt te bewyzen, dat dit geen onderfcheid maakt; immers volgends $ 325, No. XIV is Cof. | A = V Cof. (£ P -f- G) x Cof. CÏP~— G) ftel nu i8c° — G in plaats van G: an is Cof | A = V Cof. (£P+ 180 — G] x Cof. (|P- 180-f-G) [aarCof. (iP+i8o-G)=Co/: \PCofi C180—G)-&«.iPA«.(i8o-G) En door 257 No. 5) is Cof. (180 — G) = — Cof. G. en Sin. 180 —• G = Sin. G. du Cof.G P + 180 — G) = Cof. £ P x — Cof. G — Sin. \ P Sin. G. = — (Cof. iPCof. G + Sin. \ P Sin. G): dac is § 257, N0.5 X- (4 P + -80 — G) = — Cof. fiP- G). insgely kis Cof. (i P — 180+G) = Cof. (ï P — (180—G): en dus f. (iP-i8c+G) = G>/: J ?Cof. C180—G)+iW«. i VSin. (180-G) = Cof. i P x —• Cof. G -f- § P Sin. G. =—[Co/:iPCö/:G-5/«.lP5/».G)d.i.door§257.No.c Co/:(iP+i8o —G) = - CtyTCiP+G): waar uic, ftellende No. II. en No. III. in No. f. Cof. i A = V^TCö/: ($• P - G) x - Cof. Cj P -f- G) = V Cof [i P — G) x Cofii? -f G) eeven als of men den boog G genomen hadt. Waar uit volgt, dat het op hetzelfde uitkomt, of men, Sinus G in de Tafels opzoekende, G neemt dan wel deszelfs fupplement. XI. Bewys yan de verkorte handelwyze yan krafft. i 94- v S- 328. Dit wordt uit de oorfpronkelyke oplosfing ontleend : namentlyk uit de oplosfing der beide driehoeken M T Z en m T z (tig. 4.) De hoek T behoort toe beiden: en door § 2941X0 2 is in AT MZ. Sin. i (MZ + TC^MT) x Sin. | (MZ — (TZ - MT) 'Sin. i TV — Sin T Z. Sin. M T. en in f\ mTz is door den zelfden ieegel. X 3 a».  326 VI. Deel. Bewys van al het voorgemelde. ft0. Sin. | T)1 * °"Z + T Z * ^ lm 2 ~" (T 2 - i8r». T z.ShümT. Indien men nu die beide uitdrukkingen met elkanderen vergelykt, en voor MZ, TZ, MT, mZ* 1 z, f»T die teekens ftelt, welke wy reeds in S so* gebruikt hebben, verkrygt men 30. «S/«. £ Ca -f Q — g) x _ o —~g) Cof. Q. Cof. d ' = Sin^CA. -f-w.Q — w-g) &'«.(A — w7© — w. g) Cof. w.Q. Cof. w.~g waar uit volgt 4°.««. i (A + w.Q —w. g ) x SÏ*. I (A - [w. O _ w. g]) = Sin. i la + (O - g)] x — (O —g)] x Wr*-'O. C,fi] Cof. O Cof. ( maar om dat w. O < O»is Cof. w. O > C< O en . Cy: w. o 1S ~Q/Tc)~ ^1: maar daar w- G en O zeer weinig van eikanderen verfchillen, omdatdehorizontaale dampheffing flechts 33' bedraagt, is 2. Cof. O Cof. w. O CoC w rr en dus \ -prTT-f- < 1, of eene breuk: gelyk Cof O Cof. d ook eene breuk is, om dat Cofw. d g. cn dus is ook nog te meer i x ^1^1^ x <^LW1? Cof. o a>/:g eene breuk: en by gevolg is die breuk de waardy van eenigen Coftnus: men ftelle dan . 5 O/O Ccf.d 1'. en dus in N°. 4, ftellende 2 Cc/: p voor —°^ W'( Cof-O Cof. Q, 6°. Sin. j~A-f-w.Q—w.g~j x|~A — w. 0 — w. gjj 5= j~a -f 0 — g j x Sin. Qi— G^G^ x 2 Cof.p. waar uit volgt door § -60. N°. 3,  Bewys van de verkorte handelwyze van kr,„ïtt. 327 70. (Sin. i A)* — Sin, i (w. Q — w, g)*= [($/«, ï rt)1 — J/». i (g~— G) ] x 2 Co/7/>. en dos f». iA)'=J/'«. i(w- 0 -w. Q0±£(Sin. lay—Sin.iCQ—Q.yjXiCofp. waar uit voigt ^258. N°, 5. n. £A)J = Sin. i(w. O—w- G)4-Co/: />. Co/: (Q—G) — Co/:ƒ>. Co/: en hier uit volgt door § 257. N°. 10. I». \Ay=Sht~.tyi. Q-w£)+lCof. [ö^G-b>]+iCo/{o- a-jp] — i'C^<4+>> — ï&fX4 — p') laar door § 259. N°. 6, is altoos K(O — +ƒ)- Co/: f> +/0 = v.a+p—Sin. v. (©— g-f/) '^(O — G—# — Co/7 = &'«.* (a - j». (©— G-/>) verder om dat w. Q w. G < 90». is § 259. N°. 3* = § Sfc». * (w. O — W. g) en eindelyk Sin. ï A)3 = f v. A. dit alles ftellende in N°. 9, is ï«, v.A=z Sin. v. (w. g — w. g) + Sin. v.a + p-\- Sin. v. (a — p) — [sin. v. (g~— G+ ƒ>) + o7«.(F— />] Het geen woordelyk den reegel van krafft, § 95 opleevert. Ook ftaat hier op te merken dat, indien het getal waar aan Sin. v.A gelyk is, grooter is dan den radius, dat is dan i,ooo,oco in onze Tafel XXII, het een teeken is dat A > 9c0: gevolglyk dat men dan het getal van den dubbelen radius of 2,000,000 moet aftrekken: en het fupplement van den boog die in de Tafel naast dat verfchil ftaat moet neemen. Want § 259. N°. 5 is Sin. v. A = 1 — Sin. v. fup. A. § 328. O.) De aart der zaaken vereischt, dat wy den hoek p. nog nader verklaaren. Wy hebben gezegd % 328 N°. 5. dat 1 \c°f' w' O- Cof. w. g.-1 X 4 :n  3*8 VI Deel. Bewys van al hei voorgemelde. enóusLog.Co/.p^Log.r^^^l 7o,a . * gL cof.ocofd J-Z^a- Joch indien men dit vergelykt met [,et geen wy in hec bewys van de manier van düntkÖkne hebben aangetond (§ 3i8) blykc het, «£? (Cof. w.Q- Cö/:w.g\ . . e*^~cWörc7/rrJJust de getD'en van Tafel XVII opleevert: en gevo'glvk dat Log. Cof. p = Log. uit Tafel XVIl _ Lof 2 Wanr int volgt dat men,övoor ieder geval, den * S .0,301030 aftrekkende van den Logar uit Tafel XVII door rafel XVin 0f X.X des noo!fverbee e d, men ryk'&rftetïeeSn^ l" ied" af^' ' «tofe en daar om hebben wy de XXI Tafel bereekend die! opzien zelve genomen geene verk aarin? behoeft-' alleen moeten wy over haare naiuwkeurieheld tenl dew" °uPZichle n°ë een woord zeggen & VcT™o-T*te vooren 5 316 gezien da£: l°g' V Chf~cJ) by"aar een beftendig getal is: n*| boven dien, wanneer men de Zon fchiet; moet meï de verbeetering uit Tafel XVIII gebruiken™ om dar ffte? Verfchiï,Sefn ,°P de ^Sn"^^^? o'oki op net Verfchilzicht, die voor eene Ster niet temi a^n?cnen^°Ct--?e *rootfte 'erbeetering"ie dPan cemgen ^oganthwus van Tafel X VU uit eene van deeze twee oorzaaken toegebragt zoude moeten worden, bedraagt ag, zo dat Log. (jf'.^$ S als dan OOCGC02 zyn zoede, in plaats vafoSoiro Daar nu de uiterfle gctalen van Tafel XVII 7™ 9 mm en 9.002338 zuilen de uiterften ïog C™ zyn  XI. Bewys van de verkorte handelwyze van krafft. 329 zyn 9,698809 en 9.691308, zo dat de uiterften der boogen zyn zullen 6o°. o'. 44". en óo. 34'. 43": nu ia die tusfehen ruimte, maakt een Verfchil van 28 op den Logarithmus Cofinus (bereekend tot zes Cyffer letters) flechts een Verlchil van 7j« op den boog: op de O hoogte van io° is het verfchil flechts een vierde gedeelte of nog geen 2" feconden: en voor eene Ster flechts ééne feconde: al het welk op den Sinus verfus ook eenen kleinen invloed heefc: doch om nauwkeurig te werk te gaan, kan men, indien men wil, de verbeeteringen di^ op Tafel XXII en Tafel XXIII Haan gebruiken: welke verbeeteringen by de boegen van Tafel XXI moeten gevoegd worworden, om dat de boogen grooter worden naar maate de Cofinusfen kleiner zyn. XII. Bewys van de manier die de borda gebruikt, om den Uurhoek te bereekenen §13. § 3*9- Uit het geen wy § 49 en 50 gezegd hebben, gelyk meede in het bewys § 300, blykt het dat wy den Uurhoek (U) door deeze uitdrukking bepaalen: indien wy namentlyk door B de Breedte, door P den Pools afiland, en door H de waare Zons hoogte uitdrukken: (Sin, Jü)" = 1 ll(Comp.B-\-P+Comp.L^'Coinp.B]Sin,li(Comp.B-\-P-\-Comp.H)-P'\ Jin. Comp. B Sin. P "Wy zuilen afzonderlyk de beide deeien van den teller en van den noemer van deeze breuk nagaan, en dezelve vervormen in de uitdrukking welke de borda gebruikt. § 330. Het eerfte deel van den Teller o. r* (Comp. B4-P + Comp. fl) — Comp. Bl = aan ^ ri8o-£+P-#- i8o+22?l «•0(90- 5-i-P+90-fl3-(9o-5)]=J/».| pfj J :,,[M^-]=,„.[£±|±£_,] X 5 / Het  Het tweede deel van den Teller, L L 2 p J = aan Eindelyk de noemer, Jfo. Gajy. B. Sin. P — Cof. B. Si S 331. , cv: j?. p " " werKt^eni'ÏM^1"8' d00r de ^rhhmen uitgewerkt en in plaats van Lof. Cor. B A- Lo* S7« p liïï^™ derzelver CorSplementen^byvoéSde geeft ftap voor ftap, aHc de deelen van denReegeï XIII. *«fyx A M»»/^ „„„ douwes, m, ton Uurhoek ie bereekenen § 133. § 332. neD|e£ternVy DOUhWES ™ den Uurhoek uit eene gei^nooten Zons hoogte te bereekenen nf £XnSUivCeef % ^5^^! mESi? gebruik: en de van dien kundigen man zyn in de handen der meeste Stuur-  XII. Bew. Mtideman. «wboBda voordenUur-hoek. 331 Stuurlieden, en Zee Officieren: doch het bewys der Reegelen door douwes daar voor, en voor de bereekening der buiten-middags Breedte, opgegeeven, is meest onbekend: het wordt in de gemelde Tafels niec gevonden-, maar alleen in eene zeer omllaguge Verhandeling van den Schryver in het eerfte deel der Verhandelingen van de Haarlemfche Maatfchappf der TVeetenfchappen geplaatst: en by verkorting in de Zeevaartkunde van struik. Wy zullen misfchien in het vervolg opzetlyk eene Verhandeling over alle de deelen der Methode van douwes in onze Verhandelingen over verfchillende jukkende Zeevaart betreffende, in het licht geeven : doch daar het bewys der manier van douwes, om den Uurhoek, en om de hoogte van eene Ster op een bepaald oogenblik te vinden, midden in het geen wy uit de klootfche driehoeksmeeting hebben moeten aanhaalcn, om de handelwyze van de borda, te bewyzen, gevonden wordt, kunnen wy niet afzyn van hier dit bewys een weinig nader te ontwikkelen. § 333- Indien wy het geen § 299. N. 3. voor den A ZTM beweezen is, voor den hoek T, in den A TPM op den hoek P, den Uurhoek, t'huis brengen, zal men hebben door § 259 N°. 1. 6 Cof.MT - Cof.jPT — PM] Sin.verf. P = ^ T P. sin. PM. Maar T P is het Complement Breedte of B. P M is de afftand der Ster of Zon van den Pooi, en dus PM = 9c0 + Declinatie = 90 ql D en dus Sin. PT = Cof. B:Sin. ?M = Cef.D en verder PT — PM = 90° — B - 90° 4- D = B Z- D het bovenfte teeken dienende zo Breedte en Declinatie gelyknaamig zyn. Eindelyk MT = Complement Hoogte: en dus Cof. MT = Sin. Hoogte = Sin. H. waar uit volgt j> Sin. H - Cof. [B ql Dj. #».*.Uurh.= c^fcVfV. S 334*  33* VI. Deel. Bewys van al het voorgejtelde. § 334- Indien men gebruikt maakt van § 256 N° 1 il de voorgaande uitdrukking deeze Stn.v. Vurh. = [Sin. H. — Co/: ("B ~ D^l &c R v„, li en gevolglyk door Logarithmen werkende io^. B -f Log. Sec. D. J ^ 5 335. h3?LV00rgaande uitdrukking nu leevert de geheele* handelwyze van douwes op: want het geen hv' fZZtr" $yzing noemt' is andc" "iet dan % Logarithmus Sinus verfus van den Uurhoek reedl ÏLafF-'ï' $yz,"ë iS van 1 [Jur: 'er is alleen ditonderfcheid, dat het Characier van zyn Logar zmg 5 kiener is dan het Characier vaneen Ie woonen Log. Sinus verfus: de reeden is deeze g In de gewoone Tafelen zyn de Logarithmen van Sinus enz. voor eenen Radius van ioCZ bereekend want het Characier vaï den SSW f,*™^ 9C° is 10: dlls beftaat SS , „ 11 cyfferletters: doch de flecht SinusreneË ivn wanneer men, zo als douw4s doTX"wtSé cyffers weg laat, maar bereekend voor eenen iS Zn W?rt°0: d'e/du? 5 cyfferletters minder bfhetr en daar douwes Jlecht Cofinusfen en Sinusfen in zvné uudrukkmg gebruikt, en dan van de ge aTen ^e VOOrtkomen de ^woone Logarithmen in de Tafelen neemt, moest hy alles tot denzelfden grondflag brengen, en dus den LogarithmuTfyzTg tot 5 cyfferletters minder dan dl gewoone LoZf Smns verfus. De uitdrukking van de voorgaand; I CC° 7 StH' Hoo* l * Sec-x &o Br. Indien men nu het tweede Lid zo v.el mogeivk Kk*Loia:fme" b^erkt, en in de beste orde fch kt, heeft men juist de geheele bewerking van dqüwes, zo als hgt uit S I384 en § 135 te Kft? XIV  XIII. Bewys Pan de Verkorting door steenstra. 335 XIV. Bewys van de verandering door steenstra aan de manier van douwes toegebragt % 137. § 336. Volgends § 335. is 1. Getal van Logar. Ryzing = {Cof. (Br. ^- Deel.) — Sin. Hoogte] x Sec. Br. Sec. Deel. maar indien (Fig. 4) PTG de meridiaan, en. x de plaats is van de Zon of het Hemellicht, wanneer het in den meridiaan is: is Gx die middag hoogte: nu is, wanneer x tusfehen F en T valt, dat is als de Declinatie jrelyknamig is met de Breedte, Gx =t GF -f- Yx— Compl. Br. -\- Deel. doch zoo x beneeden F valt, dat is zo Declinatie en Breedte ongelyknamig zyn, zoude Gx — G F — Gx zyn, = Compl. Br.— Deel. Dus is in alle gevallen Middags Hoogte = Compl. Br. -r Deel. dat is in 't algemeen. Mid. Ho. aa 9o° — B ± D = 9co - (B ~ D) JI. en dus Cof. (B+D) = 5i«. Mid. Ho. gevolglyk dit ftellende in N° I is ÏH. Get. van Log. Ryzing=[&'«. Mid. Ho. — Sin. H.]x Sec. B Sec. D. Maar uit § 261 N°. 9 is - „ „rMid.Ho.-Hn Sin. Mid. Ho. —Sin.H^Cof. ^ ■— I * „. ^Mid.Ho.-H\ : j , 2 Sin. ( ) gevolglyk ^ „rMid.Ho.-fH-! IV. Get. van Log. Ryzing = Cof. —!—j x fMid Ho. —HH „ „ '■ • 2. Sin. I —— J x Sec. B. Sec. D. V. Ind en men dan door Logarithmen werkt, meet men de iom neemen der vier Logarithmen, waar uit het tweede- Lid beltaat om den Logarith. Ryzing te verkrygen. De  334 VI. Deel. Bewys van al het voorgejlelde. De Logarithmen van het eerfte, derde en vierde Lid ftaan in de gewoone Tafels, doch die van hec tweede Lid, namentlyk 2 £Mid'Ho—fiJ ïs de Logarithmus van het dubbeld des Sinus van een boog; en dus is die Logarithmus gelyk «n Log. * + Log. ^(^^f*^^ zoude dan om den gezogten Logarithmus te verJtrygen, den beftendigen Logarithmen van 2, dat is 0,3010300 moeten voegen by den gewoonen Logar. Sin. van den boog door^^^^) ■ uitgedrukt: het welk niet moeilyk valt: maar ook douwes heeft ons van die moeite bevrvd daarhy inzyre Tafels, in de kolom met den naam Zl? Log Middel Tyd, die Logarithmen heeft oaargeiteld; namentlyk de Logarithmen Sinus van aue boogen, doch met den beftendigen Logarith* mus van 2, dat is met 0,301300 vermeerderd. ^0 dat indien men de Tafels van douwes georuikt, de voorgaande uitdrukking No. iy door logarithmen behandeld, deeze wordt VI. Log. Ryzing — Log. Sec. B + Log. Sec. D. 4T _ „/^Mid.Ho. + H\ ~ Log. Cof. ~—J + Log. Middel Tyd van Welke omwikkeling juist opleevert den Reegel door ons in § 138 in navolging van steenstra opgegeeven. & & § 337- vl^L^hhm S 136 gezeSd hoe me« ook den Reeff ™« d0uwes opcegeeven gebruiken kan, al is men van zyne Tafels ontbloot: het zelfde heeft Sr ^/\eeVen gemaklyk P^ats: het blykt uit het gezegde § 333 en uit § 337. N". V. dat meii als dan deeze uitdrukking moet gebruiken. Log.  XIV Bewys van de verkorting door steenstra, enz. 335 Log. (Sin. y. ü. h.) 'is Log. Sec. B -f Log. Sec. D + /'Mid.Ho.+H \ , _ •". /^Mid. Ho.—HA , Log.Sin.l^ J+Log.Stn.{ - J-f 0,3010300. Doch de gewoone Reegel (§ 48 en 50) is buiten twyflël gemaklyker dan deeze. § 338. Wy moeten nogmaals herinneren, dat men door de methode van douwes den Uurhoek onmiddelyk in Tyd verkrygt: en wel onmiddelyk hoe laat het is, indien men den Uurhoek van de Zon bereekend heeft: — Doch in alle andere gevallen weet men flechts daar door hoe veel tyds de Maan of de Ster van den Meridiaan af is, en dus moet men nog letten i°.op het geen § 53 gezegd is, om te weeten hoe laat het is": en 1". wel deegelyk in acht neemen het verfchil dat 'er is om eenen Sters Uurhoek in tyd te brengen, wanneer men teevensden waaren afftand van die Ster tot de Maan waargenomen en reeds bereekend heeft, of wel wanneer men uit eene bloote Sters hoogte den Uurhoek moet opmaaken, zo als wy dit in § 140 hebben aangetoond. In allen gevallen waarin men de Tafel van douwes niet gebruikt, moet men den gevonden Uurhoek in tyd brengen. XV. Bewys van den Reegel om den Uurhoek te vinden, . welke in % 52 is aangeduid. § 339- Wy hebben § 52 gezegd dat men den Uurhoek ook onmiddelyk door deszelis Cofinus kan bepaalen: en wy hebben beloofd dien reegel te zullen opgeeven en bewyzen. En in de daad uit § 294 N*. I. is in A MTZ Fig. 4 Cof. T = C°f' MZ ~" Cof. MT. Cof. TZ °J' Sin. MT. Sin. TZ; het geen op den ATPZj en dus op l P toegepast., geeft Cof.  336 VI. Deel. Bewys Pan al hei PoorgefleUe. Cef. P = WJJ^JWJ^O^ZP Sin. TP. Sin. ZP. CofTP-Z^^' CeVen 318 § 333Sin. TP = iïf\ B Cof. TZ=Sin. H " = 0^ B men verkrygt /# LP~Sttt- ü O»/: Uurh. = g^gggg^ y^'l^te.'^Detd^ of ook C°f' Bfeedte * Declinatie ! gebrmken moet, eeven als in de manier va™wS § 340- en vooral dan die van novwvl . de Sewo°ne. teeken _ W**)"^™^*™*™ het Breedte en Declinatie van de zelfd^fhnrr^' Wa"neer men wel deegelvk in £n? „„iMe'oort zyn,moet: beide ftira^i^SÖ^ g» de: namentlyk of het produtt SilvBr k In^W want daar van hangt het af rif*J,"\/>«'-' negatief wordt, en dus of AS r Iel leTM**'/ dan i ft % nn» n« » ^ee1- is de Uurhoek- &taiven SurS°Tustn&?g gefC ™ kleiner is dan oc? ai js I n??™ hoek die a,toos dan 6 ü. bedrïi?. " of minder  XVI. Bewys van den Reegel om^-hoogte te vinden. 337 § S4i» Wy hebben § 136 gezien, hoe men de manier van douwes gebruiken kan; al is men mee de Tafels van doüwes niet voorzien, en dan zelfs is die manier korter dan deeze. XVI. Bewys van den Reegel § 170 gegeeven, om de hoogte van eene Ster voor een bepaald Tydflip te bereekenen. S 342- Wy hebben in § 166 en § 169. twee manieren opgegeeven om de Hoogte van eene Ster voor een bepaald Tydftip te bereekenen: zy zyn beiden ontleend uit de gewoone oplosfing van eenen klootfchen Driehoek, waar, in twee zyden en de begreepen hoek gegeeven zyn; in welke oplosfing men uit een' der onbekende hoeken eene perpendiculair op eene der bekende zyden laat vallen. Dan zie hier het bewys van eene derde oplosfing, door ons in § 170 gegeeven , in welke men met geen perpendiculair te doen heeft. Zy is weederom ontleend, Uit het geen wy § 295 en § 296. beweezen hebben:namentlyk Fig. 4. _ Cof. MZ - Cof. UH.Cóf. TZ °f T ~~ Sin. TZ. Sin M T Wanneer wy dit op den L TfM van £\ MTP toepasfen, heeft men Cof TM - Cor. MP .Cof PT F*'é,-6ttrs5s—' en dus III. Cof. P- Sim TP.Sin. PM = Cof. TM — Cof. T P. x v Cof P M en IV. Cof. TM = Cof. P. Sin. T P. Sin. P M -f Cof. T P x Cof. PM ln onze Figuur is V.TM = Compl. Hoogte: en dus Cof. TM — Sim Hoogte; Pis de Uurhoek in graaden; verder T P = Comp fireedte: dus Cof. T P = Sim Breedte, en Sim t P 5= Cof Breedte. - S4 Y PM  333 VI. Deel. Bewys van al het voor gepelde. P M = Pools afftand : dus = go ~ Declinatie: dus = St\n-^°rr Deel.) = Of. Declinatie: en Cof. PM = Cof (9d -r Deel.) = _r Si», Declinatie Dit in onze r\o. iv (tellende., heeft, men VI.ó7«.Hoogte=C/Breedte - Cof.DecIinatie. --Sin. Breedte x Sin. Declinatie. Men kan die uitdrukking zeer gemaklyk irtwerkcn.- en dan beeft men den reegel van § 170: doch wy zullen ainmerken i°. dat men in net Optellen dier Logarithmen, voor het Character of den Indtx van de fom, alleen de tweede cyffer van die fom neemt, en de eerfte weg;aat: by voorbeeld zode fom voor Ckarackr gaf 29 of 28, neemt men flechts 9 of 8 : de reeden is uit den aart der Logarithmen voor Sinusfen en Cofinusfen blykbaar 20: Dat wy voor den Radius 1 neemende, ook de Characlers q\ 8, 7 &c. der Logarithmen van Sinusfen en Cofinusfen moeten aanzien als Logarithmen van tiende, van honderdfe, van duizendfte deelen: »t geen wy ook in het neemen van de getalen der beide fommen gedaan hebben. 30. Men komt eindelyk tot een getal dat de Sinus is der gezochte Hoogte. Indien men die getal in de flecht Sinusfen opzoekt, zoekt men het onder getalen die uit 7 letters beftaan zo hec tiende deelen zyn, onder de getalen die uit zes letters beftaan zo het honderdfe deelen zyn en zo voorts; in den woord onder de getalen die uit zo veele letters beftaan als 'er overig blyven, wanneer men hec getal nullen van acht aftrekt. Doch het is beeter den Logarithmus van dat getal te neemen: en dan dien Logarithmus in de Tafel van Logarithmus-Sinus optezoeken, al waare het maar om op die wyze de Tafels van callet, waar in men de Sinusfen van 30 tot ic feconden vmdt, te kunnen gebruiken. Men kan in het voorbeeld van § 170 de fchikking cn de bewerking zien. 6 Dee/e manier is ongetwyffeld korter dan de twee gewoone oplosfingen, § ioó en § 169 gegeeven- of zy korter of gemaklyker zy oan de manier van Douwfs in § 172 uitgelegd, en in S 34, te bewyzen laacen wy aan hec oordeel van den Leezer over • zekerlyk gebruikt men hier naauwkeuriger Logarithmen dan in de manier van douwes. XVII.  m xvtt. BéWS va» de manier «« douwes» offl de hoogt* tener Sier voor een bepaald Tydjhp te bereekenen. % 343- Het bewys van die manier ligt insgelyks in orti bewvs van de handelwyze van douwes om den Uurhoek te bereekenen opneuoten: wy hebben immers toen beweezen in § 3N „. „ „,„ Sinverf.U^ = [Cof.^é "Dec) Sm Hoog•]* Sec. Deel. x Sec. Breed. — Sin. Hoog. x Sec. Deel. x Sec. Br. En dus . _~ &"«. Hoog. x $«?. Z><*. x Sec. Br. s*Ü£ [Br. + Deel* Sec. Deel. x &c. Br. - Sin, verf. Vurhoek. Waar uit volgt. J/mj'er/^Uurh. Sin. Hoog. = [Breed, qj, Z>ec/.] — — ffgfsëc^r. En dit is juist de bewerking van douwes § 172: want zo men het tweede gedeelte door de Logarithmen uitwerkt heeft men, onderttellende naiueIvk, 'c geen wy § 335 getoond hebben, dat de Logar. Ryzing by oouwis3 niets anders is dan de Log. Sinus verfus Uurhoek, Breedte hiervan Log. Sec. . . » . Declin. hiervan Log. Sec. . . . *_ m TveTfchiK fom .... k of £ C fom J Lo^JR^ztng. . . . Verlchil . . . is Afftand van Top. Hier van getal. . . . Jlecht Coftnus Atftand van top. , . « Verfchil . . . is yfec/&« Sh.us Hoogte. Y a &vüï-  34° VI. Deel. Bewys van al het voorgeflelde. xviii. Bewys van het geen § 190 gezegd is over den invloed van den Uurhoek op de hoogte der Sterren. § 344- I.Zy in Fig 19,p de Pool, T de Top, M eenig neemellicht: zy um V een Declinatie Cirkel,eevenwydig aan den Equator; dus is die Cirkel de Cirkel welken de SterM.(rJeZ)^//«di//'e vooronderfteld zynde de zelfde te blyven) door de daagelykiche fchynbaare bewieging fchynt te befchryven : en YMR. een Azimuth-Cirkel , eevenwydig aan de Kim. Men ftelle dat de Uurhoek TPM eene kleine verandering ondergaa, namentlyk van TPM worde TPO: dan zal de Ster niet in M zyn, maar in O; en trekkende Ox loodrecht opTM, isxM tje verandering van hoogte die de Ster ondergaat. Daar de veranderingen vooronderfteld worden zeer klein te zyn, zo kan men den A O*Mals eenen rechtlynigen driehoek befchoutt We» ' dle rechthoekig is in x: dat gefteld zynde is 11. m O : m x = 1 : Sin. liOM; maar , lx O m is het complement van LOUx'. en om dat de hoek OMP recht is, als vallende den boog 1 M uit den Pooi loodrecht op den Declinatiecirkel UMV, is ook 10Mx het complement van TMP: en dus is ï ir . JMOx=L TMP: endienvolgendsuitNo.il. „. M0-* Mxz= 1: Sin. TMP: maar § 273 V.j/«.OPM:MO= 1: Sin. pm; en dus ^s-Stn.OPM:Mx= 1: Sin. TMP x Sin. PMt» Maar, om dat de Wiskonstenaars gewoon zyn de Verfchillen, of Differenüen, van grootheeden door de letter d. (de eerfte letrer van het woord Differentie) uittedrukken : zo is £opm= d. i T P M = d. U, ftellende U voor Uurhoek: en dus ook Mx = d. TM = d. H, ftellende H voor de hoogte der Ster: dus is VII. - $ Na?lently't N* 4 en N» ? door eikanderen multplicerende, en in IS" 1 .MO, ot den boog, voor Sin. MO ftellende, om dat MO zeer klein u i om dezelfde reeden ftaa; in N° 7, O P M in plaats van Sin. O P M,  XVULBew. panden invloed van denUurh.op*hoogte,34l VII. d. U: d. H. = i: Sin. PM x Sin. TMP. maar in A TMP is § 285 Sin. PM: Sin. T = TP:S*. TMP. waar uit volat: &'«. PM x Sin. TMP = Sin. T x Sin. TP: en dus VIII. d.U: d. H =1: Sin. T x Sin. TP: dat is, IX. d. H = d. U. x T x Sin. TP: of X. d. H. = d. U. x Sin. Azim. x Co/I Breedte. of ook, daar de Amplitudo of afitand tot het O. of W. het complement is van den A- XI. d. H. = d'. U x Cof. Ampl x Cof. Breedte. Waar uit volgt, i°. dat wanneer de Breedte o is, of onder de Linie, en wanneer de Amplitudo o is, of de Ster in het O. of W. dat dan d. H. =d U. of het verfchil van hoogte gelyk aan dat van den Uurhoek. En dus eene onzekerheid van i' Tyds, dat is van 15' graads in den Uurhoek, brengt, in die gevallen, 15' onzeekerheid in de hoogte: in alle andere gevallen is die onzeekerheid minder: doch, op de zelfde Breedte , altoos grooter naar maate de Amplitudo kleiner is, of het Azïmuth grooter; dan is de Ster verder van den meridiaan af. XI. Om nu te weeten hoe veel de verandering is in t' Tyds, moet men de voorgaande uitdrukking door 15 multiplicecren, en dan zal d. H. in minuuten'graads uitgedrukt zyn; dus is d. H. (in ééne minuut Tyds) = 15' xCofi Ampl, x Cof. Breedte : waar van l'eveque Tafels voor alle Hoogten en Breedten heeft laaten drukken in de Connaisfance des Temps voor 1772 : Tafels die zeer nuttig zyn , wanneer men waarneemingen , die niet op het zelfde oogenblik hebben kunnen gedaan worden, tot het zelfde tydftip moet herleiden. Om dezelven te gebruiken moet men het dzimuh kennen: maar dit valt gemaklyk;want §285 Sin. T: Sin. MP — Sin. P: Stn. TM: dus is' - _ Sin. P. Sin. MP. _ Stn. T = ———-— of Sin. TM Y 3 Sin.  S4« VT. Deel Bewys van al kit voorgeflelde. Sin AzimW=(^ r " Co/.n. Sm. Ü. Cof. Deel. Cof H. Wanner by voorbeeld de Amplitudo 450 gr, en de Breedte 5" is, verandert de Sters hoogte 6'. 49". in iedere minuut Tyds- waaruit blykt vin hoe veel gewigt hu is den Tyd nauwkeurig te kennen. XIX. Bewys van eenige byzondere gevallen. § 345- Wy hebben gezetrd § 204 dat indien het verfchil der fenynbaare hoogten van de beide hemellichten -gelyk is aan den fchynbaaren afiland, de wa^re afltard gelyk is aan het verfchil der waare hoogten Het (laat ons nu te bewyzen dat dit uit de handelwyze van de borda biykt. De mathematifehe uitdrukk ng voor dezelve is deeze § 308. & \ TPf.KOtR+42Q^iiC4f^'a2CppT»:ipöfi&c,_ w [Cof Kw-g-f w."o]'Cof g Cof. c en dan II. Sin £ A = Cof. I (W. G + w. g) Cof. G. Daar men nu heeft a = ^ — Q, is dz= a4-C) en Cof H'O 4- /: 4 (w. ü + w. oy Maar door § 257. IV. q 4. w. q — c^: w. g Co/: w. g—sin. w. g w. d en dus 1 - (.sin, w. g w^+c^w^cy: w. g)= dQor y ' ~ 2 CCo/7 i Cw. o + w. g)]1 1 — Co/: (w. g — w. c) . . , 0 0 .,T as : 7 — « dat is door § 258. VI. ïWUw-o + w-fi] ££ w. g — w g)a * , . sa — -: en gevolglyk [Cof i (w. g + w. grj' è Cw. 0 — w. (Q . , , XTn TT j — — : waar uit volgt door N°. II. è Cw. © 4- w. g)' Sin % A. — Sin. \ (w. q — w. g) en dus A = w. 0 — w. g Zoo als wy het korter uit de manier van dunthorne hebben afgeleid. § 346. Om te bewyzen het geen in § 205 gezegd is van het geval, waarin de beide heemellichten zich in den zelfden Vertikaal Cirkel, doch aan tegenovergeftelde kanvil) Stellende namentlyk i!daïrC = Qo:l«>mt3 Ctf.\ 1 X C»/}B = i t C.f. B Ctf. B -)- C#/ o, cl»c i» [t 'f. i B] i = =— d»t hier toegepast wordt. % Y 4  344 VI. Deel. Bewys van al het voor gefielde. uftSJ3" het To,ppunt bevi"den, moet men in de en van nCgC"' te °PIosfi"^n van dunthorne en van ui borda behelzen, a = 180 - ((. (S!».Gy- L ■ , V" deNraanier van dunthorne. ** i C180 - Cg+G)+(g- G)] x ^.iCifco-cs+G).^ C90 ~ g) x (9o - e) x N. = cof. o cor. a x ^f^TJ^JJt Gw tn9.^h0OSer ^aare' zoude raen vinden iS-h i faft°,r °'°518' den tweeaen 0,1684: Sïk ïïï S'n'L008 a"e «keurigheid die mo- XXII. van de Hoogte der Zon op den Uurhoek § 350. Volgens § 344. N°. XI is d. H. = d. ü. x Cof. Ampl. x Cof Br. d.V.z=^~^~l-^^—^t U,Sgc,AmplxSec.Br. ftel  XXÏÏI- Bewys van den invloed der hoogte op den Uurh. 347 ftel t»q de Breedte nul: dan is Sec. Br = 1: ftel de Amplitudo o, en dus de Ser in den eerften Vertikaal .waarin de veranderingen het grootst zyn: dan is d. U. = d. H. en dus v verandering in hoogte maakt v verandering in den Uurhoek, dat is 4" op den tyd: en op. de Breedte van 66° by voorbeeld, zal dit aangroeijen go als de Secans Breedte, dat is bynaar in de ree^ den van 1: i\ en dus worden ic*. Om die uitkomst in eenen Sinus van minuuten tyds te hebben, divideert men de voorige uitdrukking door 15: en men heeft: d. U. = d. H. (in i' tyds) x Sec. Mupl. x Sec. Breedte: en hier uit volgt d. H. (in 1' tyds) = 15' x Cof Ampl x Cof Br van welke verandering van hooüte, in iedere minuut tyds l'eveque Tafels bereekend heeft, van graad tor graad, zo van Amplitudo als van Breedte, welke Tafels te vinden zyn in de Connaisfance des Temps voor :77a. bl. p. 140 —170: deeze Tafels zyn nuttig wanneer men achtereen volgende fepogten neemt die men herleiden moet tot het geen zy op één en het zelfde oogenblik zouden geweest zyn. Om die Tafels te gebruiken, moet men eerst de Amplitudo bereekenen, dat zeer gemaklyk valt, daar (§ 286) Cof. Sin.U. Cof. Deel. ■ , a Ampl. = Sin. Azim. — ■ : doch daar meestal 2 gr. verfchil in Amplitudo, maar een gering verfchil in d. U. te weeg brengen, voor al wanneer de Amplitudo niet groot is, kan men zich in veele gevallen vergenoegen met het Azimuth, door een Azimuth - kompas te peilen, wanneer de miswyzing bekend is. § S5I. Indien inFig. 19 T de Top is, en SYMR een AzimuthCirkel, parallel aan den Horizont, zal de Ster M, waar zy zien in dien Cirkel bevinde, de zelfde hoogte hebben. Zy dan die Ster in Y; maar dan is niet PM doch PY de afftand tot den Pool: en dus YO de verandering in deezen, en gevolglyk ook m de Declinatie: en de Uurhoek, welke,hadt met de zelfde  34* VI. Deel. Bewys van al hei voorgeflelde. weeï^TP^ 0Ü TY' de P°ols afftand PM geweest, TPM zoude geweest zyn, is nu TPO en de verandering daar in is O PM: u * ru»en inaar YO: OM = Sin. YMO: Sin. OYM = Sin. YMO: Cof YMO* — Sin. TMP: Cof. TMP YO- ol ÏJ = f"' Wf = c1: S 344- V. en dus ï U. O PM = Stn. PM x&a. TMP:Cö/: TMP of OPM = ™*JL°lllMl - VO*Cot. TMP . Sin. PM. TMP ^ pm dat is d. U. =s d-Z?gg/- X^.TMP _ d;ïïecI.xCot. TMP ' " Pools Afft. ~ Co/TdÏcT " rf™ a,armenmoDec/.dan eers« den hoek TMP, dien men den hoek van Pof ne noemt, bereekenen, met te zesgen § »8i ,S,n. TM?:Sin. T? = Sin. TPM:.»»TM' en dus Sin. TMP = *» T^-Sh TPM . TM flaC 1S> c;„ tivid Br. x J/a^j TMP ~ __. Hier uit volgt dat, al het overige gelyk zynde, d. U. grooter wordt, naar maate de hoek TMP kleiner wordt: en deeze, al tei?rrJgeIc]y} geftdd z?nds> wordc ^ner, naar maate de Breedte grooter is. Men heeft dus van de verandering in dc Declinatie eene grooter feil in den Uurhoek te wagten, naar maate men zich op hooger Breedte bevindt. v XXIII. Bewys van het geen % 243 gezegd is over den invloed van eene verandering van Breedte in den Uurhoek. § 352. Indien men onderftelt dat in de A TPM (Fig.20^ de zyde P T eene verandering ondergaat cn P / wordt; fin 1 Af r M .P ' M veranderen; zynde ti u~,T^M; dan 1S LTPt de verandering in den Uurhoek TPM: en dus L t p T s= d. U. Men  XXII'I. Bewys van den invloed der Breedte, enz. 349 Men trekke uit P als Pool het boogje T», dat dus, daar de iTP/ zeer klein is, als loodrecht op Vt en op PT kan befchouwd worden: dan zal A ;TÜ voor rechtlynig gehouden kunnen worden, en tu is de verandering in Breedte: dat is tu = d. B. verder, daar *M = TM, kan men met M. als Pool het boogje tT beichryven, dat dus loodrecht op —Coy; B. y^, AzmK of § 256 en § 255. d. U. =d. B. xSec B. xCot. Azim. = d. B. xSec B. x Z*/»^. Gevolglyk is de feil in den Uurhoek des te grooter, als het overige gelyk zynde,dat de Breedte grooter is,en wel in reeden van den Secans van de Breedte. Aa»-  15° Aanhangsel. Over het vinden der Logarithmen van Seconden m de gewoone Tafels. S x. Het grootst ongemak van de handelwyze des Ridders de borda, en van allen daar men sinus/en en Cofinusfen in gebruikt, is, dat men Sinusfen, en Cofinusfen van Boogen daar feconden in komen, moet neemen, terwyl onze gewoone Tafels maar van minuut tot minuut gaan. Men kan, wel is waar, de groote Tafels van gardiner in 4o, gebruiken, of wat op het zelfde uitkomt, de Tafels van c aliet f», welke beiden voor de drie eerfte graaden van feconde tot feconde, en vervolgends van 10 toti 10 feconden gaan. waar door het werk merklyk verligt wordt: of wel de groote Tafels van taylor die men in Engeland vervaardigd heeft, en die van feconde tot feconde gaan: doch dit laatlte Boek is zeer duur, groot van omflag, en men kan dus met vooronder/tellen dat het in handen van alle Zeelieden kan zyn. Wy zullen ons dan met de kleinfte Tafels vergenoegen, en de zaaken zo duidelyk mogelyk voorftellen. Of men den Sinus, dan wel den Cofinus, Tangens, Secans en zo voorts vrage, het komt op het zelfde uit: dus wv alleen heti woord Sinus gebruiken; en wat wy van Lo den, en dm dien van den Sinus des hoeks, die ééne minuut grooter is. Dus neem ik Log.iH .310.11' 9-7I4M37 Log. Sm. gi. jo 9.7139349 iS>. Dan neem ik het verfchil dier Logarithmen. Qcga 3°. En (a) Dc Tafels van CALLET zyn boven die vin GARDINER tc Verhezen, i». 0ni dat de fchikking der Logarithmen in die Looaruhma, , ic,en beettr ii: i«. om dat het boek kleiner is , en dus ge-, maklyier te behandelen: 3". om dat het veel beeter loop is. Dei tweede veel vermeerderde en veibceteidc druk u onlangs uitgekomen.  uianhangfeU J5I 3°. En dan maak ik deezen regel van driën: een verfchil van ééne minuut of 60" in den boog, maakt een verfchil van 2088 in den Logarithmus van den Sinus: hoe veel verfchil zullen 13" (het gegeeven getal feconden} in dien Logarithmus te weeg brengen? Dat vindt men, 't zy door den regel van driè'n, namentlyk 2088 door 13 multipliceerende en door 60 divideerende, 't zy door de praSiyk , dat is, zeggende ia is \ gedeelte, dus 418 1 is i, 35 fom . . 453 Dit gevonden getal voegt men by den gegeeven Sinus, dewyl die van het volgende getal grooter is: in andere gevallen trekt men het af Ca): en men heeft den begeerden Sinus. Zie hier in ons geval de wyze van bereekenen, en de Ichikking der reekening. Log. Sinus 31°. 10'. ... . 9.7x39349 Verfchil met Log. 310. 11'. . . «088 waar van voor 12". . | ged. . 418 x". . !s ged. . 35 45$ geeft Log. Sinus 31°. 10'. 13". . 97139802 Wanneer men de Engelfche Tafels van sherwin gebruikt, is hec werk gemaklyker, om dat de verfchillen van de op elkander volgende Logarithmen van Sinusfen , Cofinusfen, &c. naast die Logarithmen &c. zeiven aangeteekend Haan, 't geen veel voordeel verfchaft. Het is jammer dat b. j. douwes in zyne groote Sinus-Tafelen, die de beste zyn, welke wy in onze taal hebben, dit niet gedaan heeft, (b) Sa. f» Voor de Sinusfen, Tangenten, Secante», voegt men altoos bjr, Om dat die aangroeijen: doch voot Cofinusfen, Cotangenten ,Cofecanttn m trekt men af, om dat die kleiner worden voor grooter hoeken' M zï zru bX den Drukker van dit Werk te bekomen.  35* VI. Deel. Bewys van al het voorgeftelJé. § 2. Het valt insgelyks niet moeijelyk, een Logarithmus van een' Sinus gegeeven zynde, den boog zelvcn, aan wien hy toekomt, met feconden te vinden. Men zoekt namentlyk den naast bykomenden kleiner Logarithmus in de Tafel, en teekent den hoek aan: men neemt het verfchil tusfehen dien Logamhmus en den gegeeven Logarithmus: zo als ook het verfchil tusfehen den zelfden en dien van eenen boog die ééne minuut grooter dan gemelden hoek is: en men zegt: het verfchil tusfehen de twee Logarithmen in de Tafel, ftaat tot i' of 60": zo als het verfchil tusfehen den kleinften van die Loo-arithtnen en den gegeeven, tot het getal feconden, die by den aangeteekenden hoek moeten gevoegd of daar van afgetrokken worden. By voorbeeld: van welken boog is 94507898 de Logarithmus? Gegeeven Logarithmus. . . . 9.456789* 160. 38'. Log. Sinus. . . 9.456739/06 160.39' . , 9457l6l84220 Dan zeg ik: zo 4226, verfchil in de Logarithmen, v of 60" in den boog te weeg brengen, hoe veel verfchil brengen 506 in den boog te weeë? 507 & ' 60 4226 30500 7/1 __29582 758 Antwoord 7": en de boog zal 16°. 38' 17*. bedraagen. Men kan dit in veele gevallen zonder reeeel ;?"prd:ie; gemaklyker doen , met de verfchillen (hier 5có en 422Ó) tot eene breuk te brengen (hier J06 \en te zien welk deel van eene minuut die breuk 4226./uitmaakt: Hier ziet men terftond dat her omtrent 8is; en dat { van eene minuut, of omtrent 7" bedraagt. Dit zal, denk ik, aan het'oogmerk voldoen. SS-  jianhangfeh 35 3 S 3. Wanneer men de Tafels van g ar diner of van callet gebruikt, waarin men de LogarithmusSinusfen enz. van 10 tot 10 feconden aantreft, moet men insgelyks eene invulling doen, als de gegeeven hoeken of boogen eenige feconden boven de juiste jo, 20, 30, 40, of 50 behelzen: die invulling gefchiedt op de zelfde wyze als in § 1 en § 2: doch zy valt gemaklyker: i°. om dat de verfchillen naast de gemeide Logarithmen ftaan: 2°. om dat men niet door 60, maar door 10 divideert, dat is, flechts eene cyffer aan de rechterhand afinydt: men multipliceert dus het verfchil dat in de Tafelen ftaat door het getal feconden dat boven de 10, 20, 30, 40, of 50 gegeeven is: en dan fnydt men een cyffer af. By voorbeeld, om den Logarithmus-Sinus van 310. io'. 13" te vinden: de Logarithmus-Sinus van 31°. 10'. ie is 9-7139697 verfchil in de Tafel 349 door 3 multipliceerende en eene cyffer affnydende 105 fom. . . • • 97JS9802 Insgelyks: men vraagt den boog waar van Logarithmus Sinus is ... 9 4567898 naafte boog in de Tafel is, . 160.38'. c< "Verfchil der Logarithmen: 506 Verfchil in de Tafel. . 705 5060 dus of r 705 gevraagde boog . • i6°- 38- 7" Indien men Tafels gebruikte, waarin men de Logarithmen voor iedere feconde aantreft, zo als die van taylou. zyn, twyffelen wy geenszins of de manier van borda zal wel zo gemaklyk zyn als alle anderen en eeven weinig tyds vereisfehen. Z TO^  354 TOEGIFT fan tenige Voorbeelden van gemeeten afftanden v^a de Maan tot de Zon of eene vaste Ster, om de Lengte te bepaalen. « Het is ons meer dan eens aangeraaden eenige voorpeelden by deeze Verhandeling te voegen, ten einde de Leerlingen zich ir. dezelve zouden kunnen oeffenen: wy voldoen gaarne aan dit verzoek: en zullen ten dien einde eenige voorbeelden opgeeven, pncleend uit waarneemingen, door Voedfterlingeri uit het Kweekfehool voor de Zeevaart genomen; Alle de bereekeningen zyn door den kundigen Wiskonstenaar obbe sic ces bangma, Leermeester der Stuurmanskonst in het Kweekfehool voor de Zeevaart,nagezien,en herreekend: om te beeter te zorgen dat 'er in den uitkomst geene feilen zouden zyn. I. en II. voorbeeld,. Den 14 Augustus 1789. heeft men te Amfterdam, in het Kweekfehool voor de Zeevaart, 's morgens ten 8 ü 38'. 48». den afftand van Zons en Maans randen waargenoomen 86°. 57»,Zons onderrands hoogte 34°. 41, Maans bovenrands hoogte 43°. 14': beiden van vooren: het Oog 70 voeten boven het water Zynde. " Ten zelfden dage heeft men op de zelfde plaats. Is morgens ten 8 U. 52'. 25". den afftand van Zons en Maans randen waargenomen, 86°. 511. 50": Zons onderrands hoogte, 360. 29'. 16": Maans bovenrands hoogte 410. 29'. 40", beiden van vooren: het Oog 70 voeten boven het waater zynde. De eerfte waarneeming geeft voor de waare Lengte 210.43': de tweede 2jo. 37'; dus gemiddeld 21 °. 46'. Men heeft; in de bereekening, de Breedte gefteld op 520.23': (a) de gegiste Lengte op 21.0. 31'. Om (<0 Volg nds de waarneemingen van Wylen piet er n1euwLAND, is de Breedte van Amfterdam, in het Huis dat hy op de fnnrengragt, by de Roozengtagt, bewoonde, g2°. 4s", door een  Toegift van Voorbeelden. 355 Om dit te bereekenen IV) heeft men het volgende uit den Almanach nodig. O halve middel. 15'. 51". O Deel. 13 mid. 14°- 29'. T„. N. 14 140. ic. 26». N. I3middern.fihalv.middel.i5'.i7". hcr.Verfchilz. 56'.5". J4middag ■ 15-24. 5°'-*9> Afftanden van 0 en fi middelpunten. 13 Aug. 16U. 53'. 10. - 88°. 6'. 26;;. 19U. 53. 20. — 86. 38. 56. III. voorbeeld. Den 20 Maart 1790. heeft abraham ursinus grevenstein, op het O. [. C. Schip Dordwyk, waar op hy, in de t'huis reis, ais Sous-Luitenant diende, thans Luitenant in 's Lands Dienst, ten 2 U. 35'. op 21°. 43'. Zuider Breedte en 8ow- 44'. gegiste Lengte, den Afitand van O en a randen gerei ee- middel uit 28 waavneemingen. Zie lykreede over den \el-jen, bl. 15. dat Huis nu ligt iets N'oorderlyker dan het Kweekfehool. Volgends de waarneemingen van LULOFS ligt Leiden cp 52°. 8'. 40'': de afftand tusfehen Amfterdam, het Stadhuis namentlyk, en Leiden, lecht Nooid cn Zuid,is.ö44° Roeden: Het geen miakt 13'. 5": dus zoude volgends dien de Breedte zyn 5=°. 91'. 45"- Volgends, een middel uit 5 wnarncemingen in 1767. door MESSIER, PINGR.E en COURTANVAUX op 's Lands Werf'gedaan, zoude de Breedte zyn 520. 91. 56": Men zoude dan door een middel ;2°. 91. 52"- en in een rond getal 52°. 22' kunnen ftellen. (4) Deeze Lengte wordt hier als naauwkeurig opgegeeven: de Kim •is voor het Kweekfehool niet vry genoeg om genoegfaamen ftaat op de waarneemingen van hoogten te kunnen maaken: echter zjet men hoe volkomen deezen onderling overeenkomen. Leiden ligt, volgends LULOFS , 2°. 8'. van Paiys : de afftand tusfehen Leiden en Amfterdam. is recht O. en W. 6980 Roeden, dat, op die Breedte, ?J'. 14". in Lengte maakt: dus zoude het Verfchil in Lengte ttisfchen Paiys en Amfterdam 2". 3t' 44'' bedraagen: en Amlterd.im op 2iu. 3t'. 14". van den Pic at liggen: uit de waarneemingen der Zon Eclips van 5 Sept. 1793. door JACOB FLORYN met veel fclnanderhe:d onderling vergcleekcn, komt de Lengte van Rottcidam op 210. n'. omtrent. Uit dc vergelyking van de waameemmgm van het eind dier zelfde Eclips door FLORYN, te Rotterdam, en te Amfterdam d'Ot NIEUWLAND gedaan , zoude, volgends aanteekemngen in NIEUWLANDS papieren gevonden, het Verlchil in Lengte van c!ie twee plaatfen op 15 minuuten graads kunnen komen: en dus zoude Am. llerdain liggen op 2t . 26 : waar uit bljkt hoe wenfchelyk het waare da,t de ligging van Amfterdam en andere Plaaifeti in ens Land, eenmaal door dc iiaauwkeuriglte waarr.eemmjen volkomen bepaald wercit. Z 2  356 Toegift van Vóórhelden. meeten 490.55r. g0». q onderrands hoogte 46'. 19»; C bovenrands hoogte 500. 1'. 30". (a); beiden van vooren: liet oog 16 voeten boven water: De waare Lengte is 87°. 53'. Om dit te bceekenen moet men het volgende uit den Almanach ontleenen. Maarci9mid.0Z>*c.oo.2Cr.i6'<.Z.^ ,. , ,„ Maarti9 middern. middel. 14'. 52.hor paral. 54'.33«. ■ 20 midd. 14. 55. . 54.44. Afftanden van Q en g middelp. I9MaartJ9u. 53'. 20". — 490. 47'. 44». 22. 53. 2e. 51. 10. 12". IV. VOORBEELD. Dn 22 April 1790. is, door den zeiven, op den zelfden Bodem , ten 4U. 14', op 34' 27'. Z-Breedte, en 38°. 38'. gegiste Lengte, den afftand van 0 en g randen waargenomen 920. 35'. o". Q onderrands hoogte 150. 36; giiOimiddell. 151.56, 8*. 22 April middag \ rj middel!. 15'. 5c". hor paral. 58'. 6". 22 middern. . 15. 57». 58 31,,. Afftanden van Zons en Maans middelpunten : 21 ten 22 ü. 53'. ao*. — 910.30 53". 22 — 1 U. 53. ao". — 93. 4. 56. V. voorbeeld. Den iojanuary 1701 ,werdt door jan de graef, Cadet in dienst der O. I. C. ten 3 U. 30', op 9°. 35'. Z. Breedte, en 116°. 22'. gegiste Lengte, den afftand van Zons en Maans randen waargenomen, 090. 21'. Zons onderrand 31'. 22': Maans bovenrand 760.25': beiden van vooren: het oog 20 voeten boven het water zynde. De waare Lengte is 1170. 26'. Om dit te bereekenen moet men het volgende uit den Almanach gebruiken. Qjanuary Q Deel. 22°.4'. 3".Z~ ,■ ... „ „ 10 O 21.55. 8< Gamiaaeu. 10. 19. 9january middern. & \ midd. 15'. 7", hor par. 55'. 27".Z 10 middag 15. 2". 55.11. Afftanden van Q en ï middelpunten: 9 January 19 U. 53.2c1.— 69°. 35. 20*. — 22 U. 53. 20. — 70°. 59'^ o". VI. voorbeeld Den 13 Maart 1791, nam dezelfde ]an de graef ten 4 U. 20', op 340. 27'. Z Br. en 350. 1'. gegiste Lengte, den afftand van (j\end randen waar: cn wel 96°. 54'. 58": Zons onderrands hoogte 19°. 46'. Maans bovenrands hoogte 29°. 54'. 40", beiden van vooren: het oog 16 voeten boven het water. De waare Lengte is 34°. 38'. Ter bereekening dient het volgende: f | Ghalvemiddell. 1*. t.  35' Toegift van Voorbeelden. 13 Maart middag gimidd. 15'. t* hor.parai. 55'. jo<'< — —- mideern. 15. 6". -—- 55. 27. Afftanden van 0 cn g middelpunten: 13 Maart 1 U. 53. 20". — 960.57'. 11*. 4 U. 53.10. — 98. 21. 9». f» Vir. voorbeeld. Den 26 Mey 1788, 's morgens om 5 U. 8'. 5". op 46'. 57'. N. Breedte, cn op 7°. 1'. gegiste Lengte, heeft a. u. grevenstein, den afftand van Zons en Maans randen iu°. 14'. gefchoten: dc hoogte van Zons orderrand 6°. 48'. 55"; die van Maans or.derrand 290. 27'. 58": beiden van vooren: de hoogte van hec oog was 05 voeten. De waare Lengte is 70. 19'. Om dk te bereekenen ontleenen wy het volgende uit den Almanach': 25 Mey 0 Deel. 210. 7. 52". N. 26 — 91. 18. 7". G ^middell. 15'.5o". 25 Mey middern. g j midd. 14'. 49". hor.parai. 54. 23". 26 middag — i4'. 51. — 54.29. 25 Mey 13 ü. 53- 20. O <£ afft. 112. 46. 34. — 16 U.53. 20. 111.24.46. vul f>) JAN DE GRAEF heef:, geduurende deeze reis, zeer veele waarneemmgi.n gedaan: fomtyds twee, of dtie, op eenen d.g , op verfchillende tyden: vooral wanneer de uitkomflen veel van de gegiste Lengte verfchilden, om daar door te weeten of 'er ook feilen in de waarneemingen gefiopen zyn. By voorbeeld 22 April 1791, geeft eene waarneeming het bedek te Oostelyk,2°. ?S': den 9 Maart geeft eene waarnecming het beftek 2V. 42'. te Westelyk: eeré andere ï . 18'. — Wie zal niet deeze waameemmgen voor goed 1 ouden cn het beftek daar na verbeeteren? den 25 Januaiy uit eene waarneeming het beftek befioien 4'J. 17'. ie Westelyk: den =8 uit eer.e andere 25". J4r. te Oostelyk: wie is 'cr a.-.n wien niet deeze waarnecming verwcrpelyk zal voorkomen? Ook nam de GR.AEF dien dag eene tweede en eene derde, welke gaven 20 21'. en 2°. 23' te Westelyk: ■welke beiden dus dc feil van de eerstgemelde aantoonen: en elkanderen onderling bevestigen : gelyk zy ook bevestigd worden door 2 waarrieemingen van den 22: welke h:r beftek 2". 13'. cn 2°. 6'. te Westelyk gceven:— Wy ftippen dit, uit veele voorbeelden, aan, om te toonen, hoe kundige Zeelieden te weik gaan en hoe noodzaakelyk liet zy veele waarneemingen; en altoos meer dan ééne, re doen De GR*EF, is ni zyne terugkomst uit Indien , in het zelfde Jaar 1791. als Stuurman in 's Lands dienst gerteeden, aan boord vahtC-pitcin KUVEL, met wien hy weederom naar O. I. gefteevend'is, cn in welke ieis hy ook blyken van kunde en ervateJlis gegeeven hteft.  Toegift van Voorbeelden/ 55> «• Vin. voorbeeld. ben 18 December 1788, 's morgens ten 6 2Q'. 5"» op 35°. 31'. Zuïder Breedte, en op 58' gegiste Lengte, heeft a. ü. greevenstein waargenomen den afftand van Zons en Maans randen 111". 27'; de hoogte van Zons onderrand io°. 271, van Mians bovenrand 410.15', beiden van vooren : de hoogte van bet oog was 25 Voeten. De waare Lengte is 1 s°- 53'- Men vindt in de Almanach. 17 Dec. © Deel. 230. 24'.58".Z.Q V iddelL ,6, ^ j8 23. 26. 23. —w a 7 11 Dec. middern. g^middell. ïó'. 19". hor.parai. 59', 52"; jg middag — -— 16. 15. ,59- 3& 17 Dec 16 U. 5V.20"3 4 Afft. iu°. 49 .21". _ 19 TJ. 53. 20. 110. 9. 42- IX. voorbeeld; Den '17 February 1789, 's morgens ten 9 ü; 33' 25". op 38°. 11'. Znder Breedte: en op 46°- 22'. Lengte, heeft a. u. gxevenstein waargenomen den afftand van Zons en Maans randen 85°. 31 ■ 3° : de hoogte van Zons onderrand 470 14': die van Maans bovenrand 41°. 48': büden van vooren: de hoogte van het oog was 25 Voeten. De waare Lengte is 4Ó°.55'. Men vindt in den Almanach: 16 Febr. q Deel. 10?. 2'. 47 ""-Z. $ 1 middéll. 16'. . ii. 4!. 43. Z. W 16 Febr. middern. (^middell. 15'. 27". hor.par. s&rfify 17 — mi-ldag — 15- 2C"- ~ — 5Ö- « • 16 Febr. i6«». 53'. 20". 0 2 Afft. 86". 9- 19. 53.20". 8-1-41.22". X. voorbeeld. Den 3 Maart 1789, 's namiddags ten 5 Ü. 4'- op'. 36°. 16'. Zuider Breeire, en 73O08'. gegiste Lengte: is door a. u. grevenstein de afftand van Zons en Maans randen waargenomen 72°.; 25'. *?•» ie hoogte van Zons onderrand 23°, 40: die van Maans Z 4 m'  <* Söö Toegift van Voorbeelden. bovenrand 33°. s0': beiden van vooren: zynde de hoogte van het oog 25 Voeten. 7 6 • De waare Lengte is 72°. 46». in den Almanach ftaat: 3 Maart © Z> waar meede de afftand gtichoten is 31" te veel geeft; dus moeten 'er 31» van  Toegift van Voorhelden. 361 van den waargenomen afftand afgetrokken worden, en dezelve blyft 59°. 11'. 59" i dien wy ook in hec Vraagftuk hebben opgegeeven. Ten derden: in het Vraagftuk, hebben wy het facie opgegeeven, zo als het komt,als men den Uurhoefc uit de gefchooten Sters hoogte bereekent: doch wy hebben gezegd § 157—§ 164. dat het dikwerf moeijelyk valt de hoogte eener Ster naauwkeurig te fchieten: dat men zich dus by voorraad van een goede Zons hoogte moet voorzien; dit is ook door den "Waarneemer gedaan. Hy fchoot, namiddag ten 5 U. 39'. 2a'. op het Horologie, den Zons onderrand 8°. 7'. 45". waar uit de Uurhoek komt: 5". 27'. 54": f» en dus wees het Horologie 11'. 28". vóór; weshalven de tyd door het Horologie op het oogenblik der waarneeming aangeweezen, 8 U. 57'-37"» in de daad maar bedraagt 8 U. 46'. 9". waaren tyd: onderftellende, zo als de Waarneemer onderfteld heeft, (buiten twyffel op goede gronden) dat 'er geene verbeetering van eenig belang in den gang van het Horologie voor den verloopen tyd van 3 U. 18'. 15". tusfehen het fchieten der Zon en het meeten van den afftand , te maaken is. Uit al het welke de Waarneemer de waare Lengte 3500. 54'. 30". afleidt: of 90. 5'. 30". Westelyke Lengte. Zo dat het beftek 40. 47'. 30". te Oostelyk was. Ik voeg hier by data volgends een dergelyk ftel van Waarneemingen met de Ster Antares, op den 23 genomen, het beftek te Oostelyk was 4°. 50'. 30"; den 24, 6°. 58'. 30"; den zelfden dag, door een tweede ftel van waarneemingen 70.22.; dus gemiddeld 70.5'. 15". welke waarneemingen eikanderen bevestigen. Zie hier een van die voorbeelden. XII. VOORBEELD. Den 23 Julv 1790, ten 10 U. 7'. 45". op het horologie, op a°. 33'. N. Breedte, en 3550.1'. gegiste Leng- (a) Uit den Almanach ontleent men © halve middellyn, is'. 48''. Q Deelt», den sz Jury middag, 10". 13'. o1'. N. 23 . " 20. o. 46. in het brreekenen der Declinatie heeft dc Waarneemer 9". voor de I engte aan boord aangenomen. Z 5  3<& Toegift »an roorheelden. Men vindt in den ^Imamch: ü üyi g- s'-fi o * AAS^jf'31,1 AANMERKINGEN. 7- 45- Afftand 28. S'S? 9- 15- G bovenrand 68. 10 o u ^ cü correctte voor het Inftrument —oa! *mnos hoogde ^»teï^-^:a*^r0°- XIII. VOORBEELD. Den 16 Augustus 1790. ten 8 ü. ?o' an" nr, ka» afftand van d« Lfr ,T 385". 47'. den (in den En ,1 dCF Maan tot de de hoogte 6p\t VJ- ^eno^n ^ 23".  Toegift van Vóórhelden. 36$ ag°. 83» 30". beiden van vooren: de hoogte van het oo£ was 16 voeten. De waare Lengte is 335°- *4'. O. of 24'. 36'. West, indien men den Uurhoek uit de Sters hoogte afleidt. Men vindt in den Almanach. ióAug.mid. O Deel. 13°- 37'-6". N. 17— J3- I7-54-N. 16 Aug. mid. C i mid. 16'. 12". (I hor.par. 59'27". ,6 —middern. 9- — 59- 14/. 16 Aug. 7 U. 53'. 20". <£* Afft. 7a0.31'. ao". 10U.53. 20. 7°- 56. o. AANMERKINGEN. Dit is weederom uit een geheel ftel van waarneemingen afgeleid. Zy waaren deeze 8 U.23'.3o". Afft 720.i7'.>r. 39": zo dat de waare tyd van de waarneeming 9 L). 31. 58". geweest is: welke tyd in het bereekenen des afftands gebruikt is geworden. Dien waaren tyd, uit den Uurhoek der Zon ontleend, gebruikende, vindt de waarneemer de waare Lengte 220.45'. »". Westelyk, of 337. 14'. 52". Oost: en het beftek i°. 12. 8". te Westelyk: — Men ziet hier uit, hoe een kundig Waarneemer op alles let. BESLUIT. Hoewel ik nog meer waarneemingen, ook door andere voedfterlingen uit het Kweekfehool voor de Zeevaart genomen, zoude kunnen by brengen, is het my voorgekomen dat deeze veertien genoegzaam zyn: daar men in dezelve eene vry groote verfchei-* denheid van gevallen aantreft.