01 2124 7068 UB AMSTERDAM



GRONDBEGINSELS
DER
MEETKUNDE
DOOR
J. H. van S 1NDEN>
hoogleeraar. in de wysbegeerte, wis- natuur- en sterre kunde te amsterdam, lid van verscheiden celeerde genootschap pen.
Te AMSTERDAM,
£éï P IE TER den HENGST.
M D C C X Cj






INHOUD.
» oorreede. Bl. i
Aanwyzing der aangehaalde Schriften. xiii Aanhaaling der Propofitiën van euclides, met
Aanmerkingen over eenige derzelveii. xx Aanwyzing der Voorftellen welke men dient te verftaan, om ieder der Werkftukken te kunnen oplosfen. xxxviit
Uitlegging der Teekenen die men gebruikt. xlh
Drukfeilen en Verbeeteringen. xliii
INLEIDING. ■ XLVIX
I. boek. Oi/erde algemeene eigenfchappen der
rechte Lynen, zowel in zich zelf befchouwd , als in zo verre zy de hoeken van Driehoeken en Vierhoeken uitmaaken, of derzelver zyden zyn. j Bepaalingen. j Algemeene Voorönderftellingen. 10 Algemeene Kundigheden. Ir
L afdeeling. Over de rechte Lynen in zich
zelf befchouwd. jg
II. afdeeling. Over de zyden en hoeken der
Driehoeken en Parallelogrammen. ig
II. boek. Over den inhoud der rechtlynige Fi«
guuren. 36
I. afdeeling. Over de Driehoeken en Pa«
rallelogrammen. ^6
II. afdeeling. Over de Veelhoeken. • 51
III. boek. Over de Evenreedigheid. 60
t 2 In-



INHOUD.
inleiding, behelzende algemeene Bepaa.
liriSen' BI. 60
l afdeeling. Over de Geometrifche Evenredigheid, 69 Bepaalingen. ö9
Eigenfchappen der Geometrifche Evenrecdigheden. 0-
Eigenfchappen der Geometrifche Reek,
fen of Progresfiën, IO,
II. afdeeling. Over de ArithmetifcheEven-
reedigheid, 10g
III. afdeeling. Over de Harmonifche Evenredigheid. , j-
IV. afdeeling. Over de Logarithmen. ' i26 IV boek. Over de gelykvormigheid der Fi-
guuren, en de reeden van derzdver zyden
en inhouden. JC,p
Bepaalingen. Ton,
139
I. afdeeling. Over de gelykvormigheid van
Driehoeken en Parallelogrammen, en de reeden van derzelver inhoud. I4I
II. afdeeling. Over de gelykvormige Veelhoeken. m
V. boek. Over den Cirkel. Bepaalingen. I. afdeeling. Over de lynen die in of tot
den Cirkel getrokken worden. jgfo E afdeeling. Over de Cirkels die elkander raaken of fnyden, aqr
IV.



INHOUD.
VI. boek. Over de infchreevene en omfchree-
vene Veelhoeken. BI, 208
I. afdeeling, Eigenfchappen der Veelhoeken
die in of om den Cirkel befchreeven zyn. 208
II. afdeeling. Over de Veelhoeken die door
het trekken van diagonaalen in en uit andere veelhoeken gevormd worden. 242
VII. boek Over den Omtrek en den Inhoud
van den Cirkel. 25S
I. afdeeling. Over de Limieten der groot-
heeden en der reedens. 258
II. afdeeling. Over den Omtrek en den In¬
houd van den Cirkel. 2.66
III. afdeeling. Over de reeden van den omtrek des Cirkels tot de middellyn. 27a
VIII. boek. Over het meeten van Hoeken door Cirkelboogen; en het bereekenen van dezelven door Choorden, Sinusfen, Tangenten en Secanten. 293
I. èfdeeling. Over het meeten van hoeken
door Cirkelboogen. 293
II. afdeeling. Over het bereekenen der hoe¬
ken door Sinusfen, Tangenten en Secantcn. 299
III. afdeeling. Over het gebruik van de Sinus-Tafelen, ter gemaklyker bereeke-
ning van eenige gröotheeden. 326
IX. boek. Over de Driehoeksmeeting. 330 Bepaalingen. 33o
t 3 I. af-



1 N H O U D.
I. afdeeling. Over de rechthoekige Drie¬
hoeken. D,
bi. 333
II. afdeeling. Over de fcheefhoekige Driehoeken.
340
III. afdeeling. Over de Oplosfingen der driehoeken in byzondere gevallen, wanneer Hechts twee hoeken of zyden, en het verfcb.il of de fom van twee andere hoeken
of zyden gegeeven zyn. ^g
X. boek. Over de ligging en fnyding der Vlakken.
37r
XI. boek. Over de lichaamlyke Figuuren, die door vlakke oppervlakten bepaald zyn. 3?8
I. afdeeling. Over deParaIIelopipeda,Pris-
mas en Pyramiden. n„ö
37ö
II. afdeeling. Over de regelmatige lichaam¬
lyke hauwen.
421
XII. boek. Over den Rol of Cylinder, den Kegel en den Kloot.
. 441 Aanhangsel. Over de Worteltrekking uit *etalen. b
I. Over den Quadraat-wortel. 4?6 II. Over den Cubiek-wortel. 4g,
WERK.



INHOUD.
Werkftukken uit de Grondbeginfelen der Meetkunde.
L boek. Over de rechte Lynen. a
l afdeeling. Over de gelyke lynen , de
loodlynen, en de evemvydige lynen. n
II. afdeeling. Over de verdeeling der lynen. 4
III. afdeeling. Over de evenreedige lynen. 8
II. boek. Over de Hoeken. 13
III. boek. Over de rcchtlynige Figuuren. 14
I. afdfeling. Over de Befchryving der Fi¬
guuren. J4
II. afdeeling. Over de Befchryving der Fi¬
guuren ten opzichte van der zeiler inhoud. „c
III. afdeeling. Over de Reedens, de Som en het Verfchil van verfcheiden rechtly-
nige Figuuren. n.
IV. afdeeling. Over de gelykvormige Fi- ï guuren. . fl?
IV. boek. Over den Cirkel.
I. afdeeling. Over het middelpunt van den Cirkel, en de lynen die tot den Cirkel getrokken worden.
II. AF,



INHOUD.
II. afdeeling. Over de Cirkelftukken en Boogen. BI. 31
III. afdeeling. Over .de Raaklynen van den Cirkel. 33
V» boek. Over de befchryving van Figuuren
in en om den Cirkel. 38
VOOR-



V Ö O R R Ë É D Ë*
TToen ik, voor vyf jaaren , aan de Doorlüchtig'i Schoole deezer Stad beroepen werd, om, onder anderè kiikkën der Wysgeerige Weefen/chappen, ook de WisMnde 'té onderwyzefi, begreep ik dat het nuttig zoude zyn een kort begrip der Meetkunde op te ft ellen i 'om dairvan ïn myne les/én gebruik ie maahen. Ik gaf het zehe inh'et j<tari?Z6 in het Latyn 'in het licht': 'en toen ik voor een jaar begonnen heb , ïn hóópt van 'aan een grooter aantal jónge lieden nuttig 'tè Zyn , myne les/en over de Meetkunde in het NcdcYdü'nsch te houden, moest ik ook het gemelde kort begrip in 'onze moedertaal 'uitgieten. Dan ■, ik zag 'viel ras, dat ik niet eenè bloote vertaling, my zehèh ten minften , geenszins zoude voldoen: maar dat by die gelecgenheid , het geheele werk merkelyk 'moest ver'beeteren , en in alle opzichten völmaaken : te meer , char my in onze taal met boeken van 'dien aartflecht voorzien zyn. Hiertoe heb ik 'noch tyd, noch arbeid ge/paard. 'Of het my heeft mogen 'gelukken een beet ér en vollediger famenftel -te vervaardigen , dan isy tot nu toe gehad hebben , 'flaat niet aan my , maar aan den kezer , te beoordelen.
Ik zal my niet uillaaten over dé manier vin ' de Meetkunde voordeelig té onderwyzen : over den lof der Ouden ; over dien van euclides 'in het byzonder ; over de groote vraag ; of men ; zè ■ nis eenigen willen. , zyr.e grondbeginfelen j z.)reri * ' iriiUi



ii
VOORREED Ê.
trant, zyne orde, altoos volgen moet , en of hél omnogehjk is eene andere orde dan de zyne te volgen , en echter goede grondheginfekn der Meetkunde voor den dag te brengen; over den waar en aart van tnathematifche en wei fynthetiiche bewyzen , naar den trant der Ouden; en of het niet mogelyli zy deszen ftiptelyh te volgen, en echter eenige teekens te gebruiken die zy niet gebruikten. Wilde ik dit doen dan zoude deeze Voorreede een geheel Boek uitmaaken ; doch ik moet iets zeggen over het doel dat ik my in dit Werk heb voorgefceld.
Ik heb vooreerst getracht niets weg te haten van den Jïrikjien bewystrant der Ouden , waarvan euclides en archim£des ons zulke voortreflyke voorbeelden hebben nagelaaten , en geen moeite ontzien t om zeer naauwkeurige denkbeelden der zaaken voor te draagen; iets, dat op eene zeer aanmerkelyke wyze in de meeste heedendaagfche Boeken, die den naam van Grondheginfekn der Meetkunde draagen , verwaarloosd wordt. Den geest te vormen, denzeiven aan die naauwkeurightid van denkbeelden, aan dien Jlrikten redeneertrant, aan die volmaakt aaneengefchakelde bewyzen , te gewennen, is een der hoofdvoorwerpen, welke men zich in het onderwyzen der Meetkunde voor oogen moet flellen: eene der voornaamfie reedenen, die de jonge lieden moeten aanzetten om dezelve te leeren. „ 'Er is, zegt te recht, (*)
quintilianus , in de Meetkunde een gedeeltt (*) hjllt. Orat. Lib. I. Cap. 10. §. g.



VÖORREËDÊ. iii
dat voor de jeugd nuttig is : mant het verftani •5, wordt 'er door geoeffend, de geest gefcherpt j de
fnelheid in de bevatting fpruit uit dezelve vontz \, ja zelfs de Meetkunde is nuttig , niet zo als de „ andere konflen , wanneer men ze verftaat; maar \, ook zelfs wanneer men ze leert." En het is juist dat gedeelte, dat gewigtige gedeelte , dat men verwaarloost . wanneer men iets van den firikten redeneer:en bewystrant der Ouden agterweege laat , onder voorwend/el van de zaakcn bevattelyker vour le Jtellen, of aangenaamcr te maken.
Het is om de oeffening van het verjland, dé Jcherping van den geest te bevorderen, en deezen dié buigzaamheid te doen verkrygen, waardoor hy z:ckt zo wel tot hei bevatten der IVaarheeden, als tot het vplosfen der PVerkfiukken, bekwaam maakt, dat ik óp verre de meeste plaatfén alleen de gronden ; waarop de bemyzen der Voorftellen fieunen, heb aangcftipt, <en de IVerkjlukken van de Voorftellen, (The.)rerüata,) of Le erf tukken, afgezonderd heb. Ik bedoel door het eerfle, de jonge lieden aan te zetten om de bewyzen zelf op te maaken; het geen hun te minder moeijlyk zal vallen, daar ik alle de Voorftellen, die zy daartoe noodig hebben, heb aangehaald in die orde, in welke zy in het bewys moeten voorkomen. Ik heb die aanhaalingen meer of minder wydloopig gemaakt, nam:, tnaate zulks my noodig voorkwam , vooral voor dié Voorftellen, welke ik niet gewoon ben in myne lesfeh Hit te leggen en te bewyzen én die dus met cenè kkine letter gedrukt zyn. Veelal heb ik als dan het
* % 'm



voorreed e.
Bewys 'er geheel by gevoegd, inzonderheid op dg moeijelykjie plaatJen. Ik denk dat de jonge lieden t tn andere liefhebbers der Meetkunde hierdoor een ruim veld van befpiegeüngen en arbeid zullen bekomen. De aanhalingen van eucudes en eenige andere fchryveren zullen den leezer in ftaat /lellen, die fchryvers te raadpleegen, hunne manier van betoogen met de myne te vergelyken, en daardoor een beeter begrip van de zaaken te verkrygen. Wanneer men in een Boek altoos het Bewys by het Voorftel aantreft, werkt de geest niet om het bewys ie vinden* maar blyft ten dien opzichte geheel werkeloos. Wanneer een dergelyfr Boek tot onderwys dient, kan de onderwyzer byna niets doen, dan mondeling het zelfde bewys herhaalen. ' Ik heb dus , ook om die reeden, verkoozen, daar toch myn Boek gefchikt is om in myne lesfen door my uitgelegd te worden, de bewyzen achterweege te laat en, dezelve in tegenwoordigheid myner toehooreren uit de aangcfiip:e gronden op te maaken , en over derzelver aart en voortgang verfcheidene Aanmerkingen 'er by te voegen: eene handelwyze, daar ik my zeer wel by bevonden heb.
Ik herhaal het: men kan de leerlingen niet genoeg aanzetten , om zelve te werken , zelve iets opteftellen: by gebrek van die voorzorg worelen niet zelden de beste geesten verdoofd, of ten minflen traager dan zy anders zouden geweest zyn. Hierom heb ik de Werkflukken van de Voorftellen, dat is, het werkdaadige van het befchouwende gedeelte afgezonderd, en achter ieder Voorftel aangeflipt, welk Werk/tuk men
alt



VOORREED E.
v
■ah dan in /laat is op te los/en. Ik laat dus die Werkftukken door de jonge lieden zelve oplos/en en bewyzen, en hefteed eenen dag der weeke om hunne oplosfingen na te zien. Ik heb my uitneemend wel met die handelwyze bevonden, en my meer dan eens verwonderd over de vaardigheid die de leerlingen in korten tyd in dit ftuk verkrygen. Einclelyk , het is ook om die zelfde reeden , dat ik meer dan ééns in Gevolgen of Aanmerkingen heb doen opmerken, hoe men ééne en de zelfde zaak uit verfchillende grondheginfekn kan bewyzen. Alk bewyzen, mits zy richtig zyn, zyn wel voor den Wiskonftenaar, maarniet Vfior den IVysgeer van gelyke waarde. Deeze houdt die voor de beste , welke meer rechtsreeks uit den wa uen aart der voorwerpen a/gekid zyn. Het Theorema van pythagoras, by voorbeeld, over den rechthoekigen driehoek, kan beweezen worden in den trant van euclides , zo als wy zulks in het 7. Voorftel Van het 11. Boek gedaan hebben, of ook veel korter en gemaUyher uit de leer e der gelykvormige driehoeken of geleid {IV. Boek: 12. Voorftel Aanmerking 3.) ; doch het eerfie komt my voor, wysgeerig gefprookcn, het beste te zyn. Ik laat nimmer eenige gelegenheid voorby gaan, van dergclyke byzonderheden aan myne Toehoorers te doen opmerken*
Ik heb, ten tweeden, getracht, dit werk in eene lekwaame orde tefchikken, en de verfchillende foorten van voorwerpen , zo veel mogclyk , afzonderlyk te be/choumn. Het heeft niet weinig, moeite gekost 'om zulks te verrichten zender eenige gaaping. Het * l kwam



n V O O R R E E D E.
kwam my vonr het beste en gefchiktfte te z*n, ie> rechte lynen afzondcrlyk te befèhouwen, zónder deizeiver eigenjchappen uit die der driehoeken te moeten afleiden ; en dan eerst tot de driehoeken over te gaan : de rechtlynige figuuren af te handelen, alvorens over den cirkel te fpreeken, enz. Men klimt dus indedaad: t-rapswyze en in eene geregelde orde op. Het derde Boek, dat over de evenreedigheid handelt, bekoort niet tot de Mee!kunde, als zodanig hefchouwd, maar meer tot de. Rekenkunde, of tot «Ie Algebra of Stelkunde Het maakt 4us eene foort van tusfchenpoozlng, even als zulks by euclides voor Zyn -éyfde Boek plaats heeft. Misjchien had het becier geweest het zelve vooraan als eene InIfiiiing te plaatfen. Die in dat gevoelen Jleütt, kan. zulks doen: maar ik heb ondervonden; dat het denkbeeld van reeden en evenreedigheid ] hoe eenvoudig het indedaad ook zy , echter, den leerlingen air tyos moeijelyk voorkomt , en ik heb dus bdeter geoordeeld door de twee eerfie boeken hun vtrjland allengskens aan het befchouwen van afgetrokken denkbeelden te gewennen. Die m eijelykheid, welke zy inde befchouwing van rceelen en evenreedigheid aantreffen, is zeekerlyk voor een groot gedeelte hieraan toe te fchryven, dat men, in ele reekcnfchoolen, dit denkbeeld byna in hit. geheel niet, of ten minflen zeer. gebrekkig ontvouwt , hoewei byna alles in de reekenkunde daar op rust.
Ik had na het II. Boek onmiddelyk het V. kunnen haten volgen , en dan het XII. en XIII. Voorftel zMVK °P wjze van. euciidjïs kunnen bewyzen:
SA



VOORREED E. vn
en dit had ik ook in het eerfte heflek van dit Werk gedaan: maar ik heb dit naderhand veranderd, om dat men dan buiten [laat is van gewag te kunnen maaken van de reeden in welke de verfchillende lynen in of tot den cirkel getrokken elkander fnyden , dat is van het I. en II. Gevolg van het XII. en van het /., III., V., VI. en VII. Gevolg van het XIII, Voorftel; waar van men ook geen woord by euclides aantreft. Ik heb dus verkoozen den cirkel geheel in het V. Boek m de leere der gelykvormige driehoeken en rechtlynige figuuren, die in het IV. Boek begreepen is, af te handelen: doch niets belet, dat iemand onmiddelyk, va elat hy het II. Boek ten einde gebragt heeft, die ' ftukkcn van het V., die niet van het IV. afhangen, befiuuileere, zo hy zulks begeert.
Het laatjle dat ik bedoeld heb is een veel vollediger famenftel voor den dag te brengen dan tot hier toe gefchied is. De grootfte voorjlanders van eucuoes kunnen niét ontkennen, dat'er niet alles in euclioes gevonden wordt wat men thans volflrekt nodig heeft om , of zich tot de pracktyk van de Meetkunde bekwaam te maaken, of tot de Natuur- en Sterrckunde overtegaan. Men vindt niets over de inhoudvinding der figuuren; niets, of byna niets, over de Theorie der veelhoeken; niets over de reeden van den omtrek van den cirkel tot den diameter ; niets over de driehoeks weeting; niets over de fchoone ontdekkingen van ar* chimedes {die eerst 70 jaaren na euclides leefde), omtrent den cylinder , kloot , en keegel: enz. zo. dat men, na eüclïdes afgehandeld te hebben , nog * 4 das



Yhi VOORRE; E D E,
dat aU.es. uit andere boeken moet ontkenen, Zy kunnen niet ontveinzen dat men van. de dertien of vy (tien. boehen van euc ioes , thans alken de zes cerjh , hetX/. en XII. gebruikt : het. Vil, VIII, IX, X, overflaat-, om dat men die (toffe thans anders behandelt l het- XIII, XIV er. XV, deels om dat men ze minder nuttig acht., deels om dat men ze op dien trant als: euc..! ms ze- behandeld heeft niet verfiaan kan zonr. der het- X. Boek , dat, zeer moeijetyk is, volmaakt te. verftaan. Die Boeken zyn echter in hunne.foort vooral: mei minder fraai, dan de acht welke men gebruikt :• het X. komt my voor een meesterftuk te zyn. Geeft: men, dan toe, dat er eenige (lukken, zyn. die men beterkan . of anders mag, behandelen dan eü>:i.ides gedaanheef r, waarom ook dan niet aan zyn geheele fis Ij el alk, verbeetering. en vermeerdering toegebragt die men nuttig, oordeelt ?- Ik heb. dus. niet gefchroomd zulks te doen :■
men zal zien dat, ook uit dat oogpunt bejehouwd, tnyn werk vollediger is dan de meeste, zo niet alle-, de hedendaagfehe Grondbeginjels der Meetkunde die myhekend. zyn -; elaar ik in hetzelve niet alleen eenige. Voorftellen uit het VII, VIII, IX. en, X. Beek K maar ook het geheele XIII, XIV, en XV. Boek van eeci ides ingelascht , en zo kort en duidelyk. ah fo% mogelyk was beweezen heb.
'Er zyn.boven dien veele nuttige Vooijïellen die. niet: by EucLiDEs maar. wel in andere, elementaire werr ken gevonden worden :■ 'er zyn. , elie, men in geeite. derr laatstgemelden, maar elders verfprcid, aantreft, cn •waar., van. echter het gebruik zeer aaninerklyk is-.



VOORREED E, ix
%ooral in de Natuurkunde. Ik heb geo- rdeeld die allen {n myn werk te moeten brengen. En zoeker, indien ik niet gevreesd had myn werk veel te omjlagtig je maaken, en getwyffeld. oj het wel genoegzaam in 4en tegenmoordigcn fmaak valt , zoude ik het nog meel vollediger hebben kunnen maaken. Hoe dikwerf lieb ik, de Verhandelingen van verfchdehn Akademiën, de werken van pappus, vieta, sim.ll.us en anderen, vooral de geometria fubluTiior van kkafft ter deezer gelegenheid nagaande, niet met leedweezen ve le fchoont, Jiukken achterweege gelaaten om niet te breedvoerig te Zyn ? en hoe dilwerf heb ik niet gewejischt dat een-, maal iemand de moeite op zich nam, om alle de Ma-, ihematifclie Voorftellen , die in honderden boeken wyd en zyd verfpreid liggen, in één lichaam te vei zamelen?, dan zouden wy eerst onzen rykdom in de Meetkunde kennen: en daar men, met alle die Voorftellen in één geregeld lichaam te brengen. en het eene uit het andere te bewyzen, wel hier en daar eenige gaaping zoudebef peur en , zoude deeze, zo als ook de befchouwing zelve van dien voorraad, aanleiding tot het ontdekken van. vecle nieuwe eigenfchappen geeven.
Ik zal hier alle de hyzondere Voor/tellen die ik in. het I en II. Boek heb ingelaseht niet optellen; doch alleen melden dat ik meen de leere der evenreedigheden vollediger dan sewoonlyk gefchieelt behandeld te hebben : dat ik my niet herinner dat men iets van belang over de harmonifche evenreedigheid in onze taal aan.' treft, et} dat dit jluk, hoe nuttig ook in dgNatuurkun* 5



VOORREED E.
de, byna nimmer aangeroerd wordt: dat ik, zo wel m het IV. Boek {XII. Voorfi. Gev. 4. en 5.) als ia het V. (XIII. Voorfi 5, 6 , en 7. Gevolg) het nodige gezegd heb tot het verjiaan en beoordeelen van het vraagftuk om Hvee u.iddel evenreedige lynen tevinden : dat ik in het VI. Boek de geheele leer der inen omgefchreeven veelhoeken veel vollediger behandeld heb dan tot m toe gedaan is : dat ik in de I. Afdeeling, in het XVII. Voorftel en vervolgens, het fchoone fluk dat de Heer hennert in de Verhandelingen der Haarlemfche Maatfchappy over dit onderwerp heeft uitgegeeven, tot zeer eenvoudige bewyzen heb gebragt, die ik den leezer verzoek met de algebraifche bewyzen van dien Hooglecraar te vergelyken: dat ik de fchoone ontdekkingen van huighks, sneluus, ludolf van cpulfn, ou fay, sAUitiN , die byna in vergetelheid geraakt zyn, en zich in boeken bevinden die men. naauwlyks meer leest , om derzelver nuttigiieid en fraaiheid heb opgegceven: en dat de II. Afdeeling byna geheel nieuw is.
Ik heb in het VII Boek met de, leer der Limieten begonnen , iets waarover wy in onze taal niets bezitten: die leer is het eenige middel om de Voorftellen die ele reeden van den omtrek des Cirkels tot den diameter, den inhoud van den Cirkel, van Pyramiden, Cyiinders, Keegels, Sphecren, betreffen, met naauwieurigheid te bewyzen. • Ook hebben zo wel ahchimedes als iuclides die leer meer of min ingewikkeld gebruikt. Zy is bovendien de eenige grond
waar-



VOORREED E. xï
yiaarop de bereekeningen der hooge Mathejis rusten, indien men deeze naar behoo>en wil verklaar en , en n'ut tot 'ei onnaauwkeurig en ganse!: 01 marhernatisch denkbeeld van oneindig groot en oneindig klein! zyne toevlugt neemen.
Ik heb verder in het Vil. Boek de ontdekkingen van A-rchinIedes niet alleen , maar ook van s'n ll us en huigens , die men nergens dan in de buiten gebruik geraakte fchrifien van die fchryveren aantreft, opgegeev^n en beweezen.
Het VIII. Boek behelst verfcheidcn (lukken die men doorgaands in andere boeken van deezen aart niet aantreft: ik heb in de 11. en vooral in de lil. Afdeeling meest alles uit het uitmuntende werk van den Heer CAGNOLi ontleend : over het onderwerp van de III. Afdeeling was nimmer in onze taal gefchreeven.
Het IX. Boek of de Trigonometrie is veel vollediger dan men ze immer, op den Heer cagnoli na, dien ik meest gevolgd heb, behandeld 'heeft.
In het XI. Boek is de leer der regelmatige lichaamen in veele opzichten op eenen geheel nieuwen trant behandeld, zo als ook in het XII. de leer de infchryving van die zelfde lichaamen in den kloot : waar door ik in (laat gefield ben om het geheele XIII XIV. en XV. Boek van euclidks uit te leggen, zonder het X van dien Schryver, dat ongemeen moeilyk is, te gebruiken : welke Jlukken , dus al'en byeen verzameld , in geen der my bekende werken gevonden worden. ' *
De



vt VOORREED E.
De Leczer oordeele dan uit het gezegde , en nog meer uit het werk zelve, of en in hoe verre dit werk genoegzaam volledig , of vollediger dun andere kan genoemd worden. Hetzelve komt my voor zo wel voor meer als voor min gevorderden gefchikt te zyn. 41 wat met groote letters gedrukt is , maakt op zich %elve een geheel famenflcl van de meest noodzak lyke Vcoxfiellen uit. Men kan in den beginne het ove, r'ige, dat met kleine letters gedrukt en voor meer ge-, vorderden gefchikt is, over/laan.
Ik wensch dat ik met dit werk', zo wel Jen leerlin-. gen die my tot hunnen leidsman in de Meetkunde ver* kiezen, als mynen landgenoegen, bemimtaaren dier edele Weetenfehap, dienst heb mogen hen: dit is myn eenig dieiwit met het uitgeeven van hetzelve geweest ; geenszins om roem voor my zeiven te behaalen. Ik Weet dat daartoe in deczs eeuw , en meer byzonder in dit.tydvak der Weetenfchappen, Werken van eenen geheel anderen aart vcreischt worden.
■■Ik betu'S openlyk mynen hartelyken dank aan mynen Vriend den Heer pieter nuïuwuno, Lettor in de Wis- Sterre. en Zeevaartkunde aan de Doorluchtige Schok deezer Stad, voor de moeite die hy genomen heeft om , niet alleen de proeven , maar ooi het geheele Werk, alvorens het ter persfe ging, na te gaan, en zo wel de proeven van veek drukfeilen als het Wirk zelve van onnaauwkeurigheden te zuiveren, en, met gewigtige aanmerkingen te verrylen.
tfmfterdam iS %ly 1790.
AAN-



aaKwyzinö
DER AANGEHAAi.DE
SCHRIFTEN.
D 'alembert Melanges de Pbilofcpbie: 5 deelen in 8°. Wy hebben dit werk eenige weinige maaien aangehaald uit hoofde der uitmuntende aanmerkingen die in hetzelve gevonden worden over den aart der mathemathifcbe be* wyzen, en der grondbeginfeien door fommige Wiskunllenaaren gebruikt.
archimedes. De beste druk fs; archimedis opera qtiae ex* tant: illuflrata per d. rivaltcm : Parijiis 1615: Folio. tacquet heeft achter zynen eüclides de belangrykfld Voorftellen van archimedes onder den tytel van Seleüi ex archimede Ttieoremata ge^eeven.
Cagnoli , Traité de Trigoiw.nétrie , rciïiligne £f fpkérique, traiuit de l'Italien: Paris 1786. 4°. Het fchoontie werk dat my over die onderwerp bekend is, vooral voor de klooü'che driehoeksmeeting, en de toepasfing der'driehoeksmeeting op de Landmeetkunde, de Algebra, en de Sterrekunde. Al wat ik in de III. Afdeeling zo wel van het VII. als van het IX. Boek gezegd heb, is daaruit ontleend.
Uk caille , Lepiu de Malhematiques. Paris 1759. 8°.
Die Schryver wordt kortheidshalven door de letters
L. C. aangeweezen.
*■ Legons d''AJl'tmomie. Paris 1761. 8°.
LA chapelle, In/litulions de Geometrie. Paris 1763. 2 vol 8».
Dit werk vindt men in de I. Afdeeling van het VII.
beftendig, ea dan nog eens in het IV. Boek bl. 177.
aangehaald. clAvius. Zis eucudks.
CK3



Xï* AANWYZING DER
desparcieux , Nouveaux Traités de Trigonometrie avec tin Ctaiu ae Gnomomque. Paris 1741. 4*.
Eüclides. Zeei tafry*k zyn de uitgaven der Gróndbeginfelen van eüclides: dit werk bertaat uit XV. Hoeken, hue wel 'er bcx^stwaarlchynlyk maar dertien va:, lucudes zeiven zyn. De meeste uitgaven behelzen alleen de zes eeriïe, het Xi. en het Xll. Boik , de zeeven andere boeken worden thans byna nooit meer geleezén. Dé uitgaven in onze taal, door bouw coets, la bordus warius enz. bezorgd, zyn genoegfaam bekend. Over deizelver waarde zal ik my niet uitlaaien, maar alleen zeggen dat ik nimmer de uitgave van alle de Boeken van 1 ucliiJes , in onze taal door c, j. voogï in 1695 bezorgd, gezien heb: en dat van aile de uitgaven vari èuglides, ik de volgende het hoogfte fchat:
eucltdis quae fuperfunt omtiia : ex Recenfionc davit>is gregorii; ür. Lat. Oxonii 1703. folio.
Elementorum Eucums Libri XV. cürante baerman Lipfiae 1773. 8". De Schryver heeft de bewyzen vari euclides behouden , doch zo kort mogelyk vootgelttld,
elcxidis Elementorum Libri XV, braviter demonjlrata cperd is, barrow. Cantabrigne 1055. 8". liUCLiDis Elementorum Libri XV, autlore c. claviö. Francfurti 1607. Die uitgaave is met eene zeer breed, voeiige uitlegging, en veele byvoegfelen verfierd: het een en ander kan < tn moet ook fomtyds geraadpleegd worden : het zal altoos met zeer veel vrucht gefchieden;
Elementa Euclideae Geotnetriae . Selecta ex «kch'i3viede Thtoremata : quihus acceait Triganometria: auQare a. tacquet : Amftelodami 1725. De aanmerkingen en byvoegfels zyn uitmuntende: degewigtige Voor. ftelltn van archimedes treft men in geene andere ele. mentaire boeken aan. De IrigonomeUie is zeer goed. Deeze druk, door den Heer mjsschenb,.oek bezorgd^ is de bette, niet alken om dat die Hoogleeraar 'er dé



AANGEHAALDE SCHRIFTEN iV
aanmerkingen van whistón heeft bygevoegd: maar ook om dat hy dezelve zo wel met de reeds gemelde Trigonometrie als met de klootjche driehoehmeeting van ieiiOTTUS verrykt heeft.
Elemens de Geometrie, corZtmnt les fix premiers livrei d'euclide par m. koeNig, nugmentés de l'onzieme dit Uouzieme livre par j. j. blassiere; La Haye i762. 40.
Deeze uitgave is vooral aantepryzen om de uitmuntende uitlegging van het V. Boek, en het Aanhangfel op het zelfde Boek, waar in de Heer koenig den aart der Logarithtnen zeer wel verklaart.
Wy hebben ook in het XI. Boek de volgende uitgave aangehaald.
Euclides Elementa Geometrica , Libri XV. cui acceffit Liber XVI. i§c. authore Francisco Fiujjate Candalla: Parifiis 1566. Folio. euler , IntroduUio ad Anabjfm infinitorum : Genevae ij^Si 2 deelen 40.
uennert, Elementa Mathefeospurae, Ultrajeüi 1766. 3 vol. 8°* De arithmetica wordt door de letter a- de Geometrie^. door de letter g aangeweezen.
LA hire, Seüiones Conieae. Parif.is 1685. Fol. Een deruitmuntenfte werken in den trant der Ouden gefchreeven: het eerfte gedeelte behelst eenige Voorftellen over lynen die in Harmonische evenredigheid gefneeden zyn: en het is daaromtrent dat ik dit werk heb aangehaald in het III. Boek bl. 116.
IIOükebow , in continuam proportionem harmonicam Mathema. ta. 1737. herdrukt in het eerfte deel van deszelfs Opera Mathematico- Phyfica. Havniae 1740. 3 vol. 4".
ÏIUIGens , De Circuli magnitudine inventa : Lugd. Batav. 1654. 4°. herdrukt in deszelfs Opera varia : Lugd. Batav. ' 1724. 4°.
1'hüilier Expofition élémentaire des principes des calculs Jupé* riturt. Berlin 1786. 4".
KAJ-



fcvï ftANWYZÏNS DÉÜ
Kar'stew , Mathelis theoretica ekmentaris atque fublitiiid* j Rü Jlockii & Gryphisivaldiae. 1760. 8°.
koenig. Zie euclides,
«. w. krapft, Injlitntiones Geometriae Sublimioris: Tubingae. 1753, 4°-
tAMi, Elemens de Mathématiques, oit Traité de la grandeur. Amfterdam 1710. S°. Een zeer nuttig werk : wy hebt ben alleen van het laatfts gedeelte van het VUL Boekj dat over de Harmonifche evenreedigheid handelt; gebruikt gemaakti
LUDOlf van CEüLEis , Vaii den Cirkel, Leiden 1615. 2* druk 40.
- ——— Fundamenta Ariilimetica Geometrica
vernacuo in la'inum transhta, a W. Sn. R. F. {w. snellio, rudolp. Filio) Lugd. Batav. 1615. 40.
maclaurin, Traité des Fiuxions. Paris 1746. % vol. 40. Uit het Engelsen vertaald.
iioNTUCLA , Hiftoire des Mathématiques. Paris 1758. 2 vol. 40.
1 Hiftoire des Recherches fur la Qjiadrature du
Cercle. Paris 1754. 8°. Een uitmuntend werk, dat zonder den naam des Schryvers is uitgekomen.
MEWTorM, Principia Philojophiae naturalis mathematica. Lom dini 1726. 40.
pafpi , Alexandrini, Cclktliones mathematicae ; a Freieric»
Commandino editae: Bononiae'1660. folio. ptolemaei. Almagejlum feit magnae compofitionis mathema.
ticae opus. In des Schryvers werken, door Erafm. Ofvoaid.
Schrikkenhufius uitgegeeven in het latyn Bafiliae. 15511
folio.
robert simsom. Settionum Omicarum Libri quinque. Eden.
burgi. 1750. 40. th. simpson. Elements of Gevmetty. 2 Edition. London
I760, 8".
"villebrordi sneu.ii Cyclometricus. Lugd. Batav. 1621. 4°*
steen*



aangehaalde schriften.
steenstra Grondbeginfels der Meetkunst. Leyden 1779. 3de druk: kortheidshal ven wordt deeze Schryver enkel door de Ietter S, of St. aangeweezen.
, tacqu2t. Zte euclides.
vieta, Opera Mathematica: operd atque ftudio Fr. van Schouten; Lugd. Batav. 1646. Folio,
Viviani , De locis folidis, feeunda divinatio geometrica. Florentiae. 1701. Folio.
wallis , De Algebra Traüatus: dit boek is in het jaar 1685 in het Engelsch uitgekomen, en in het latyn herdrukt in het|2. deel der Opera Mathematica van dien Schryver, Oxford 1693. 3 vol- folio.
wolf, Grondbeginfels van alle Mathematische Weetenfcliappen. Amfterdam. 1738. 3 deelen in 8". Wy hebben alleen het eerfte deel aangehaald ; en de arithmetica met de letter a, de geometria met de Ietter g en de trigonome* tria met de letter t aangeduid. Kortheidshalven wordt deeze Schryver enkel door de letter W. aangeweezen.
Ook hebben wy nu en dan het latynfche werk van dien Schryver aangehaald: namentlyk
Elementa Mathejeos univerfae. Halae: 1742. 5 deelen in Quarto.
Van de Sinus, en Logarithmus. Tafelen zyn veele drukken, ln alle taaien; de beste zyn:
Tafelen bevattende de Sinusfen, Tangenten, en Secanten enz. lenevens derzelver Logaritkmen, als mede de Logarithmen der gewoons getalen van 1 tot 10,000, door B. J. douwes te Amderdam by G. hulst van keulen. 1779: in 8°.
En vooral, de grooter Tafels var/ denzelven, die tot ty> tel voeren , Tafelen , behelzende de Sinusfen, Tangenten, Se* camen, en Sinus verjus enz. benevens de vergrootende breedte , als mede de Logarithmen voor alle getallen van 1 tot icooco: door b j. douwes. Te Amfterdam i>y. J. van Keulen en Zoo > nen. 1776. 8°.
Deeze zyrf gefchikt naar de Tafelen van sherwin , doch «laar ds Heer douwes goed gevonden heeft in de Tafelen ** der



XVIII
AAN WY ZING DER
der Logarithmen van Sinus/ai enz. de proportionaale of even, reedige gedeelten wegtelaaten , zyn deeze Tafels veel minder nuttig dan die van s;je*win welke tot tytel voeren sherwin's Maihmatical Tables; the founh edition : care. fully revifed and correüed by william gardiner. London 17ÓI- 8°. denkelyk zyn er zeederd dien tyd neg nieuwe drukken gekomen. ^ De uitgeftreiitfte en beste Tafels zyn,buiten die van vlak in 1628 en 1633 te Gouda in Folio gedrukt, doch die thans zeer zeldzaam voorkomen en zeer duur zyn , de groote Logariüunus Tafels van a\i- diner in 174.2 te Londen in 40. uitgegeevtn: men vindt er de Logarithmen der Sinusfen enz. van 10 tot ïo feconden; deeze Tafels zyn in *t fransch mef veele en belangryke vermeerderingen uitgegeeven door den Heer tezenas onder den tytel
Tables des Logarithmes, centenant les Logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'a 102100 &c. publiées ci devant par M. gardiner: dvignon 1770. Ouarto.
Doch voor eenige jaaren zyn die Tafels wederom met alle mogelyke naauwkeurigheid in 8° herdrukt, en wat dè fchik. King der Logarithmen betreft verbeeterd, onder den tytel van Tables porialives de Logaiithmes, publiées a Londres par gardiner , augmentées g> perftüionnèes dans Uur difpofition par M. callet. Paris, chez Did t, 1783.
Deeze Tafels verdienen , myns oordeels, de voorkeuze boven alle andere. Men behoort echter te letten dat men rn dezelve (even als in die van pszenas of gardiner) de natuurlyke of flsclit Sinusfen, Tangenten en Secanten niet aantréft, zo als in de gewoone Tafels. Daar echter de Jlecht* flnusfen in fommige deelen der Stuurmanskunst te pas komen, moet men zich ook van eenige dier reeds opgenoemde kleine tafels voorzien: hoe wel men, zonder veel moeite, uit den Logaritlmus- fmus den Natuurlyken fmus , door de Logarithmus«Tafelen kan opm.taken. ' Onder alle de drukken van kleine Logarithmus - Tafelen, die verre in de meeste gevallen der praclyk genoegzaam
zyn,



AANGEHAALDE SCHRIFTEN.
XIX
ayn, en al? een handboek kunnen dienen, zyii de volgende de beste, inzonderheid voor de fchikking der getalen, die voortreffelyk is.
Tables de Logarithmes pour les Sinus & Tangenus de toutes les minutes du quart de cercle, è? Pour tous nmlres naturels depuis i jufqu'a 10800. Paris chez Guerin £ƒ de la Tour. 1760. 8°.
Het kan fomtyds in de praktyk nuttig en aangenaam zyn met een opflag van het oog het quadraat of den cubus van eenig getal te vinden, of den quadraat- of cubiek - wortel van eenig getal te kunnen nagaan : hiertoe dienen de zogenaamde Quadraat- en Cubiek. Tafels die men in eenige boeken over de Algebra, en ook af-.onderlyk aantreft: de gemaklykfte zyn die welke door buchner met eene Hoogduitfche verklaaring zyn uitgegeeven, onder den rytel joh. faul bucb» kers Tabula radicum quadratorum cuborum, bis auf 12000: Nurnberg 1701 ; in langwerpig 8°. Deeze Tafels zyn echter niet van drukfeilen vry.
Men vindt ook Tafelen van de quadraaten en cubi der na» tuurlyke getalen tot 1000 toe , in het werk van lamsert tot tytel voerende
Zufaetfe zu den Legarithmijcfen und Trigonometrifchen Ta* bellen: Berlyn 1770. 8°.
Men heeft ook voor de quadraaten zeer uitgebreide Ta. felen van ludolf: onder den tytel van
Tetragonometria tabularia Auclore l. j. ludolfio Amftelo. dami 1690 in Quarto.
*' %' AAN-



XX
AANTEEKENING DER PROPOSITIEN VAN EUCLIDES, DIE MET DE VOORSTELLEN
VAN DIT WERK OVEREENKOMEN. KB. De letter W duidt het Boek der Werkjlukken aan. L BOEK VAN EUCLIDES.
I. Propofitie is by ons W. III, &. ll' ~ W. I. 1. *
III <- W. I. 3.
IV- I. 8.
V I. i*.
VI . I. x,.
. vii _ (a)
VUI _ J/I2.
IX. • w> IL n
' x- — W. I. 7.
XI. We i: 3>
xii. - . ._i— w. ï. /r.
xiii. — _ r. 1.
XIV. . !, a.
xv. . . i. 3.
Ge-
O) (Fig. 28.) „ Indien 'er uit de Hippen A en C van „ eene lyn AC twee lynen AB, BC, getrokken zyn, die „ elkander in B ontmoeten, kan men op die lyn AC, aan „ den zelfden kant, en uit de zelfde ftippen geen twee an. „ dere lynen, aan de reeds gemelde gelyk, ieder aan ieder „ (namelyk AG — AB :GC=BC) trekken , die zich „ in eenig ander ftip G, van het eerstgemelde verfchillend, „ ontmoeten." Die propofitie dient alleen om de VIII. te bewyzen , en haar bewys is in de daad een gedeelte vaa het bewys dier laatstgemelde propofitie , die by ons het XII. Voorftel van het J. Boek ig.



AANHAALÏNCEN UIT EUCLIDES.
XXI
Gevolg is by ons ï. 3. Gev.
XVI. Propofitie L 7. Gev. 4.
XVII. (a)
XVIII. 1 _
XIX. }l' *4-
XX. I. 15.
XXI. ■ I. 16.
XXII. W. III. r.
XXIII. : W. II. 3.
XXIV. I. ij.
XXV. (b)
XXVI. — I, 9.
xxvy. 1
XXVIII. >1. 4'
XXIX. ■ J
XXX. h 5>
xxxi. — w-1 6-
XXXII. ' 1 1'
XXXIII. \ l8-
XXXIV. 1 I9-
xxxv. Vu. 1.
XXXVI. ]
XXXVII. \lh 6m
XXXVIII. J
XXXIX. Ijr 6i Gev. a.''
XL. J
XLI. 1 II. 1. Gev. 6.
XLIT.
(o) „ Twee hoehen van eenen driehoek zyn kleiner „ dan twee rechten," dit ligt in het VII. Voorftel van ons eerfte Boek ftilzwygend opgeflooten.
C*) Is het omgekeerde van de 24 : en dus ook by ons van I. 17.
** 3



XXII
AAN KAALINGEN
XLIL Propofitie is by ons W. III. n.
XLIIL . I 19. Gev. 4.
XLIV. . W. III. 13.
XLV. W. III. 16.
XLVI. , W. III. 4.
XL VIL . : , H. 7.
XLVIIL II. 7. Gev. 3.
II. BOEK VAN EUCLIDES.
I. Propofitie is by ons II. 1. Gev. 3.
II. II. 1. - 4.
III. II. 1. - 5.
IV. II. a.
V. : — — II. 3.
VI. II. 4. Gev.
VII. O)
VIII.
(a) Wy hebben uit het tweede Boek van ïüclides die Voorftellen overgenomen, die ons voor kwamen het meest flutü^ te zyn: uit dien hoofde hebben wyhet7, 9 en 10 overgeflagen: doch het zal misfehien den leezer niet onaangenaam zyn te zien, hoe gemaklyk ook deezen uit de door ons bygebragte Voorftellen volgen.
Men ftelle dan op bi. 41 na ons tweede Voorftel, aldus het
III. cevolg. Fig. 51.
Daar □ op GE r □ op GF +DopFE + i Rechth. uit GF, FE: is, Q op GE -+- p op FE = O op GF -+- 2 □ op FE ■+■ 2 Rechth. uit GF . FE. ZZ □ op GF -+- 2 Rechth. uit FEen(FE-l-GF) Vo.i.Gev. 3. ~ p op GF ■+■ 2 Rechth. uit FE. GE. dat



UIT EUCLIDES.
XXIII
VIII. Propofitie is by ons II. 4. XI. . W. I. 10.
m ? 11.9.
XIII. s
XIV. W. III. 19.
III. JJOEK
Jat ia, „ Indien eene lyn in twee deelen gefneeden wordt, „ is het vierkant op de geheele lyn, te famen roet dat van ,, een der deelen, gelyk aan den dubbelden rechtboek uit „ dat deel en de geheele lyn, te faamen met hec vierkant „ op het ander deel."
JEUCL. II. 7. ♦ IV. GEVOLG. Fig. 52.
Indien KIrr IG: en KII naar willekeur: is □ opKHrr □opKIH-ÜopIH-(-2Rechth. uitKI.IH
dus
P op K H □ op H G= □ op KI -j- □ op IH -f- 2 Rechth.uft
KI.IHH-QopBG rzDopIG-t-nopIHH-2 Rechth. uit IG.IH-l-nopHG ZZ DopIG -i-n opIH-l- 2 Rechth.uit IG . I H
-4- □ op IG — 2 Rechth. uit I FI. H G — □ op IH (Gev. 2.) ZZ 2 ClopIG-+- 2 Rechth. uit IH en (IG —HG)(i.Vo. Gev. 3.) — \ □ op IG -+- 2 □ op IH. dat is „ Indien eene lyn in twee gelyke en in twee ongelyke , deelen gedeeld wordt, is de fom der vierkanten op de „ ongelyke deelen gelyk aan de dubbelde fom der vierkan. „ ten op de halve lyn, en op het middel.ftuk." eu cl, II. 9.
* * 4 AAI».



«IT aanhaalingen III. boek van euclides.
I. Propofitie is by ons W. IV. i
II. V.
III.
IV. - i V. 6.
V. . .
VI. • ] V. i4.
Vil.
AANMEaiciNó. Dit komt in de daad overeen met htt geen wy in het i. Voorbeeld op het V. Voorftel van het VII. Boek beweezen, en aldaar uit geheel andere gronden op. gemaakt hebben.
V. gevolg. Fig. 52.
Indien KI genomen is naar willekeur, en HGssIH: ia
□ oPKG = nopKH-t-OopHG-+-2Recht.uitKH.HG
en dus
OopKG-J-QopKI = nopKH-t-G opKH-rjopHG H-2 Rechth. uitKH . HG = □ op K H p op K H _ 2 Rechth, uit KI. IH — □ op 1H -I- □ op H G-*-2Rtcbtb.uitK H.HG (Gev. 2.)
= 2 □ op K H ■+• 2 Rechth. uit Hl en [KH—KI] (I. Vo. Gev.3.} = 2 rjopKH-f- 2QopHI: dat is „ Indien eene lyn (IG) in twee gelyke deelen gedeeld », is, en men verlengt dezelve naar willekeur (tot in KJ; is >, het vierkant op de gegeeven lyn en het aangevoegde deel ,, te famen gefleid, te famen met het vierkant op het aan5» gevoegde deel, het dubbeld van de fom der vierkante» „ op de halve gegeeven lyn, en op de fom van de halve „ lyn en het aangevoegde deel." iucl, II. ic.



UIT EUCLIDES. XXV
VII. Propofitie is by ons V. 10. Vilt. V. n.
IX. V.- lo. Gev.
X. V. ij.
XI. ?
XII. i v-
XIII. • V. 16.
XIV. V. ii. Gev. 3.
XV. V. ii. Gev. i.
XVI. V. 7.
Gevolg. V. 8.
XVII. — ! w. IV. ia.
XVIII. ,
XIX. i V' 8-
XX . V. 3.
XXI. V. 3. Gev. 3.
XXII. : VI. 6.
XXIII. VIII. 3. Gev. 3.
XXIV. ■ VIII. 3. Gev. 2.
XXV. ■ W. IV. 3
XXVI. 7
XXVII. s •4'
XXVIII, ?
XXIX. S v- 4 Gev. 5.
XXX. — W. IV. 7.
XXXI. V. 5.
XXXII. V. 9.
XXXIII. W. IV. 5.
XXXIV. W. IV. 6.
xxxv. v. 12.
XXXVI. ?
XXXVII. — \ V' J3- Gev-2-
**5 IV. BOEK



XXVI
AANHAALINGEN
IV. BOEK VAN EUCLIDES.
L Propofitie is by ons W. IV. 3.
H. W. V. 2.
Hl. . W. V. 3.
IV. • W. V. 4.
v. . «- w. v. 5.
VI. ■ W. V. 6.
vu. W. V. 7.
Vlil. • W. V. 8.
IX; „ w. v. 9.
x. ■ w. ju. 10.
XI. W. V. 11.
XII. w- v- I2'
XIII. w- V. 13.
XIV. ■—• W. V. 14.
xv. w. V. 15.
XVL i Wm v> I(S>
V. BOEK VAN EUCLIDES.
De I., II-, III., V. en VI. Propofitien, betreffen de byzondere leer van euclides omtrent de Gelykvouwden,
IV. Propofitie is by ons III. 7.
VII. . < III. Axioma 1.
vin. ■ ni. — 2.
IX III. 3.
X. III. 2.
XI . — in. 5-
xii. — III. 17.
XIII. III. Axioma 6.
XIV. III. 9.
-xv> __. III. Axioma 4.
XVI.



uit euclides. xxt1i XVI. Propofitie is by ons III. 7.
xv"-!;, ui. s.
XVIII./
XIX- . III.S.Gev.enA.2.
XX. : ? m Gev> It
XXI. s
XXII. : ?m
XXIII. 5
XXIV. . III, 12 Aanra.
XXV. c~ W. 9. Gev. s.
VI. boek van euclides.
I. Propofitie is by ons IV. 6.
II. iv. i.
III. iv. 9.
jy. « IV. 2. Aanra. 2.
V. IV. 3-
VI. • IV. 4.
VII. iv. 5.
VIII. — IV. 12.
ix. w. I. 9.
X. • W. I. 10.
XI. W. I. 15.
XII. ■ W. I. 16.
XIII. W. I. 18. .
XIV. - - —7 iv> ? gev> 4> XV. s
XVI. 7 iv. 7. Gev. t.
XVII. s
XVIII. W. HL 29.
XIX. IV' J3-
xx. iv. 15.
XXI.



jxxviii aaniiaalingen
XXI. Propofitie is by ons Ca) XXII. . IV. l6.
xxjii. iv. 7. Gev. 2e
XXIV. co
XXV. _ W. III. 30.
XXVI. (0 d
XXVII.
xxyiii Ld)
XXIX. J
XXX. W. I, i2.
XXXI. ■ 1V. 20.
XXXII. ■ ~—? fa
XXXIII. VIII. x.
VII. boek;
Ca) De propofitie is, „ Recbtlynige figuuren die aan eene „ en de zelfde figuur gelykvormig zyn, zyn onderling ge„ lykvormig." Dit is in de daad een Axioma.
00 De propofitie is(Fig. 32.) „ De parallelogrammen Hl ,, en FE, die om den diagonaal van een parallelogram „AD ftaan, zyn onderling en met het gegeeven parallelo. „ gram ^iykvormig." Het kan als een Gevolg van ons JI, Vooritel *in het IV. Boek aangemerkt worden.
(O De woorden zyn. „ Indien men (Fig. 32.) van een „ parallelogram AD , een □ GB afneemt, dat aan het „ eerstgemelde gelykvormig en gelykelyk geplaatst is , en „ eenen boek FBE met het zelve gemeen heeft; zal dat „ parallelogram om den diagonaal van het eerstgemelde pa. „ rallelogram ftaan." Zie hier over de Aanm. op IV. 2. Gev. 3
(tf) Zie hier over de 8 en g Aanmerking op 12. V.
(O De propofitie is: „ Indien twee driehoeken (Fig. 65.) „ ABC en CDE, waar in twee zyden evenreedig zyn aan „ twee zyden (AB: CD = BC: D E) zodanig met eenen hoek „ (BCAen D CE) aan elkander gefield zyn , dat de eveneens„ geplaaifte zyden (A Ben CD: B C en DE) evenwydig aan ,, eikanderen zyn, zullen de twee overige zyden (AC en CE) f. ééne rechte lyn ACE uitmaaken." Het wordt gemaklykbeweezenuitl. 4., IV. 4., I, 7. en I, 2,



VIT EUCLIDES.
XXIX;
VIL BOEK VAN EUCLIDES.
NB. Dit Boek, het VIII. en het IX., handelen over de eigenfchappen der getalen: en dus behooren dezelve niet tot de Geometrie. 'Er worden echter uit dezelve in ons Werk eenige bepaalingen verklaard, ea eenige propofitien beweezen. Zie hier dezelve.
V. Bepaaling, is by ons III. Bep. 2.
XVI. wordt uitgelegd IV. 7. Gev. 7. 8.
Aanm. 9. bl. 154.
XVII. ■ XI. 11. Gevolg 3.
Aanm. 2.
XVIII. IV. 15. Gev. 1.
XIX. . xi. 12. Gev. 1.
i XX. —— III.Bep.n.Aan.4.
XXI. ■ IV. 7. Gevolg 7.
Aanm. 9. en XI. 11. Gev. 3. Aanm. 2. XI. Prop. is by ons III. 8. XII. ui. 17.
XIII. III. 7.: en III. 7. Aanm. 2.
XIV. Ui. ir.
XVII. _ .
XVIII { ' ' '■' Hl. Axioma 4.
XIX. III. 5.
XX. III. j. Gev. 1.
XXII. komt over een met III. 11.
VIII. BOEK VAN EUCLIDES.
V. Prop. is by ons IV. 7. Gev. 7. Aanm. 9.
XI. IV. 7. Gevolg 7. aan het eind.
XII. XI. 11. Gev. 3.
XIII. UI. ro. Gev. 1.
XVIII. . IV. 15. Gev. a.
XIX.



XXX
AANHAALINGEN
XIX. Prop. is by ons XI. 12. Gev. 3. en Gev. 5.
Aanm. 1.
XXI. XI. 12. Gev. 5. Aanm. r.
XXVI. IV. 15. Gev. 2.
XXVII. XI. 12. Gev. 3.
IX. BOEK VAN EUCLIDES.
VIII. Prop. is by onsT TTr IX. ƒ IIL l6' Gcv- I.
XVIII. XIX. (a)
XXXV. Prop. is by ons III. 17.: Gev. 2.
X. BOEK VAN EUCLIDES.
In dit Boek, dat zeer moeijelyk te verftaan is, behandelt de Schryver de leer der onmeetbaare grootheden op eene zeer volleedige.en naar den trant der Ouden gefchikte wyze: fommige Bepaalingen en Voorftellen worden ook o eenige plaatfen van ons Werk uitgelegd.
II.
(0) In deeze piopofitien fielt eucudes voor te bepaalen, of men aan twee of drie gegeeven getalen een derde of vierde evenreedtge vinden kan: het geen fchynt te ftryden met III. 5. Gev. 3. alwaar wy den regel om die getalen te vinden, als algemeen opgegeeven hebben. Doch de ree« den is , dat euclides door het woord getal, geheel getal zonder breuken verftaat, en wy geral in het algemeen, het zy geheel, het zy breuk. Wanneer nu het product der middelfte getalen niet zonder overfchot door het eerfte kan worden gedivideerd, is het gezogte getal geen geheel getal, en dus, volgens den zin in welken eucudes dat woord neemt, geen getal.



tTIT EUCLIDES.
XXXI
JI. Bepaaling is by ons III. Bep. 7.
im
IV. I
v > ■— zie hier over IV. 7 Gev,9.N°.4. Vl.j
I. Voorftel is by ons VII. 1.
IX. IV. 7. Gev. 9. N°. 4.
XIV. • . Lemma: is by ons II. 7. Gev. r.
XXII. komt over een met IV. 7.: Gev. 9.
N°. 1.
XXXIV. ■ Lemma 1. is II. 8. en het 2 Gev.
van ÉL 8.
XI. BOEK VAN EUCLIDES.
I. Prop. is by ons X. Bep. 1. Aanm.
II. X. 1. en Gev. 2.
III. X. Bep. 2.: Aanra.
IV. X. 2.
V. X. 3.
VI X, 4.
VII. O)
VIII. X. 4.
IX. X. 5..
X. X 6.
XI. > i— X. 2. Aanm. 1.
XII. X. 4. Aanm.
XIII. X. 3. Gev. 1.
XIV.
Ca) n Indien twee rechte lynen evenwydig aan elkander „ zyn , en men een flip in ieder derzelven neemt, welke „ (tippen men door eene rechte lyn vereenigt, zal die lyn „ in het zelfde vlak liggen als de twee gegeeven evenwy„ dige lynen." Dit is een Axioma.



AANHAALIKGEN
XIV. Prop. is by ons X. 7. XV — x. 6.
xv r. x> Gev> t
XVII _ x, 8>
XVIII, X, a. Gev. 3.
XIX. ■ ——■ X. 2. Gev. v.
XX. XI. i.
XXI s XI. 2.
XXII. -ziebyons XI.Bep.2.:Gév. 2,Aanm,
XXIII. — xi. 3. Gev. 2.
XXIV. —XI. Bep. 6. Gev. 1.
. XXV. is by ons XL 6.
XXVI, xi. 4 Gev. 1.
XXVII, —— zie byons XI. Bep. ö. Gev. 3, XXVIII. — is byons XI. 5.
XX1X.1
XXX./ "' '— XI- 7XXXI. - XI. 8.
xxxn. ■—-—.—. xi. 9.
XXXIII. ■ XI. 12.
XXXfV XI. n: Gev. r.
XXXV. ziebyons XI. 4. Gev. 2.
XXXVI. is byons XI. 12. Gev. 4.
XXXVII _- XI. 12. Gev. 2.
XXXVIII. « ■ X. 2. Gev. 4.
XXXIX. XI. 5. Gev. 3.
XL. ——. XI. 15. Aanm. 1.
XII. BOEK VAN EUCLIDES.
I. Prop. is by ons VI. 9.
II. —• VII. 14.
UI. xi. 19.
IV. — XI. 30.
V,



UIT EUCLIDES. XXXIII
V; Prop. is by ons XI. 22;
VI . XL 23.
VU, XI. 24.
VW. —' XT. 25. Gév. éi
IX. —- XI 25. Gev. 4.
X. ■ - :— XII. 8.
;XI. ——— Xlt.s.Gev a,en9.Gev, t;
XII. - . xll. 5. en 9. Gev. 3.
I XIII. —■ —I
Xiv, . >XII.a.Gev.4. en 9 Gev;t..
XV. . XII. 9. Gev. 2.
XVI. — __ï
XVJI. 1 j w
XVJII. XII. 23.
XIII. BOEK VAN EUCLIDES.
I. Prop. is by ons IV. 7. Gev. 6. Aanm. f:
it)
in > («) iv.; .
v.
(a) Twee onnuttige Problemas : doch een gedeelte vsrj 8e bewerking van het XVII. kan tot ons 5. Gevolg vin 32' XI. gebragt worden.
(s) De Ouden hadden veel op met de fnyding van eene lyn fn üiterfte efi middelfte reedeh: waarom zy die fnyding Ook de goddelyke fnyding noèmden. Om niets over te (laari van het geen men by éuclides öp dit frak vindt, zullen wy' aantonen, hoe die Propofitien die wy in óns Werk niet Ingelascht hebben , echter uit die welke wy beweezen Hebben volgen: en om den leergierigen Ièezer aan den trant der Ouden te gewennen, zullen wy de zes eerfte Propöfitiel vad EUCLiDEs in zyne bewoordingen laaten Volgen , na alvb'reni * * * hef-



XXXIV
AANHAALINGEN
V. Prop. is by ons IV. Bep. 2. Aanm. 2.
vi.
herinnerd te hebben, dat wy in het VIL Gevolg van 7. IV. verklaard hebben, wat de Ouden door magt van eene lyn verdaan. Zie hier de Propofitien van eucudes in derzelvet orde, doch beweezen uit onze VI., VIL en VJJI. Aanmer. lung op 7. IV., waarvan deeze allen Gevolgen zyn.
I. PRorosiTJ';. Indien eerte lyn in uiterfte en middelde reeden gefneeden is , kan het grootfte deel, te famen met de helft van de geheele lyn, het vyfvoud van het vieikant der halve lyn.
Dat is Fig. 155 □ op [llH+i BD] — 5 □ op § BD: of BH + I BD 3= \ BD x Vs
I. gevolg. Dus BH =iBD-|/5 —,[BD —jBD^S — i) Zie pag. 153 Aanm. 7.
_ „ _ 2 B H
II. gevolg. Dus BD = .
VS-.I"
II. propositie. Indien eene lyn KI (Fig, 155.) het vyf. voud kan van haar deel BK , en het dubbeïd BD van dat deel in uiterfte en middelde reeden gefneeden wordt , zal het grootfte ftuk daarvan gelyk zyn aan het overfchot BI van de eerstgemelde lyn KL
bewys. Uit de onderftelling is K! — BK V5: dus BI = KI — BK = BK Vs — BK r= BK (1/5-1) Maar zo BD — 2 BK in uiterfte en middelde reedtn gefneeden wordt, is het grootfte deel — \ BD (V5 — 1) — BK (v's — 1). Zie de voorgaande Propofitie. Dus is dat grootae deel gelyk aan BI.
III. propositie. Indien eene lyn L in uiterfte en niiddelfte reeden gefneeden is, kan het kleinüe deel (K) met de helft van het grootfte (G) het vyfvoud van het vierkant pp de helft-van het grootfte deel G.
bewys. Daar K: G = ï L (3 —, ys) : f l (j/5—-j) (VI. en VIL Aanm. op IV. 7.)
is



UIT EUCE.IDES.
VI. Prop. is by ons IV. 7. Gev. 6. Aanm. 6
VII.-
is K: G — 3 — VS •■ VS — 1 en dus {lil. 5.)
VS — 1 ) 1 G (VS—i t- 6 —a t/6\ _ ' V V5 — 1 / ~"
IV. propositie. Indien eene lyn (L) in uiterfte en middelde reeden gefneeden is, is de fom der beide vierkanten op het kleinfte deel (K) en van de geheele lyn (L) het drievoud van het vierkant op het grootlte deel (G).
bewys. □ op K = \ □ op L x (3 — Vsf ■ dus □ op K -f- O op JL =: ? □ op L (4. _)_ y — 6^/5-1- 5) — ^□opLx (18—6 Vs~)
Maar □ op L == 4 D °P C\ (I. Prop. 2. Gev.) O'S-O
dus □ op K -4- □ op L — -———_ = 3 □ op G.-
V. pRorosiTrE. Indien eene lyn in uiterfte en middeJfie reeden gefneeden is, en men voegt 'er een ftuk aan gelyk aan het grootfte ftuk, zal die geheele lyn weder in uiterfte én middelde reeden gefneeden zyn: en de eerst gegeeven lyn zal 'er het s»rootfte ftuk van zyn.
I. aanmerking. Zie het Bewys, JV. Bep. 2. Aanm. 2.: en uit het Bewys blykt, dat men ook aldus had kunnen redeneeren :
L : G — G : K: dus L - G: G _= G - K : K :' fiat is K: G — G — K • KofG—K: K — K : G (— L—K ) Dat is: „ Indien eene lyn in uiterfte en middelde reeden' *** - ge."



XXXVI AANHAAÏ.INCEN
VII. (b)
VIII. Prop. is by ons IV. 21, 2- gedeelte.
IX. . VI. I3. Gev. 3.
X. VI. 14.
Xï- VI. 14. Gev. 1. (O
• xn.
gefneeden is, en men van het grootfte deel (aan het uit einde van de lyn te beginnen) een ftuk affnydt gelyk aar» het kleinfte ftuk , zal hst overfchot ook in uiterfte en middelfte reeden gefneeden zyn: en het kleinfte ftuk van de gegeeven lyn, zal nu het grootfte ftuk zyn. II. aanmerking Het blykt dan dat, wanneer men eens «eDe lyne heeft die in uiterfte en middelfte reeden gefneeden is, men 'er altoos zo wel grooter en grooter, als kleiner en kleiner, zo veel men wil, vinden kan: rtrn heeft Hechts aan de gegeeven lyn een fluk te voegen gelyk aan het grootfte ftuk, of er een ftuk van af te trekken gelyk aan het kleinfte : en geduurig aldus met ieder der lynen die als dan gebooren worden voort te gaan. VI. propositie. Indien eene lyn in uiterfte en middelde
reeden gefneeden is , is ieder ftuk onmeetbaar, en wordt
apotomc genaamd. bewys. Zie het zelve IV. 7. Aanm. 6 en 7.: p. 152-en 153. alwaar wy aangetoond hebben, dat G — ï L (y$ — 1) sn K — i L (3 -y5).
Doch euclides noemt apo'ome (X. 74.) het verfchil van twee grootheeden die onmeetbaar in lengte, doch meetbaar in magt zyn: zo als hier 1/5, 1, en 3 het zyn: want de vierkanten 5, 1, 9 zyn meetbaar. (4) De 7de propofitie is deeze. Zo in eenen gelykzydigen
vyfhoek drie hoeken, het zy die op elkander volgen , het
zy die niet op elkander volgen, gelyk zyn, is de vyfhoek
gelykhoekig.
(c) De propofitie van eucudes is deeze: Indien men een vyfhoek befebryft in eenen cirkel wiens middellyn meetbaar
is,



UIT EUCLIDES.
XX XVII
XII. Prop. is byons VI. 16. voor het ic gedeelte. XiIL ,—- XII. 25. Aanm. II. N°. I.
en Aanm. IV. N°. I.
XIII. Lemma IV. 12. Gev. 3.
XIV. Prop. ,— XII. 25. Aanm. II. N°. II. en
"Aanm. IV. N°. II.
XV. XII.25. Aanm. II.NQ. III. en
Aanm. IV. N°.IV.
XyrA_^ —. XII. 25. Aanra. II. en Aanm.
XV1Lj IV.N°.IlI.enV.
XVIII. —■ XII. 15. Aanm. II. en III.
XVIII. Scholium XI. 30. Gev. 1.
Lemma komt, wat den vyfhoek betreft,
over een met II. 11. Gev. 1.
XIV. BOEK VAN EUCLIDES.
I. Prop. is byons VI. 13 Gev. 2. Gevolg' ■ ■ - VI. 8. Ge v. 3. voor het 1 ged,
II. Prop. XII. 25. Gev. 5.
Lemma ■ ■ VI. 14 Gev. 2„
IIL
h, is de zyde van den vyfhoek eene onmeetbaare grootheid die men kleins onmeetbaare noemt. Wy hebben beweezen, VI. 14. Gev. 1., dat de zyde van den vyfhoek onmeetbaar is met betrekking tot den radius: vervolgens: bl. 433 reg. 2: dat zo B G de radius is van den cirkel, eh BI de zyde van
den vyfhoek , B T — B G" Q^Z^^ = ^ XBG
(5 — 1/5): en eindelyk bi. 468, dat BG (5 — het
. , . , . BG
geen is, dat euclides eene vierde apotome, en dat —-xBGX
Cs — y"5) eene grootheid is, die hy kleine onmeetbaare noemt.



XXXVIII AAN WY ZING VOO li
ML Prop. is by ons XI. 34. N«. V.
IV. xil. 2j. Aanm. 5. Gev. 1.
Lemma * » VI. 15.
V. Prop. XIL 25. Aanm. 5. Gev. 4.
VI- '—:—' XII. 25, Aanm. 5. Gev. 2
VII. , iv. -. Aanm. S.
XV. BOEK VAN EUCLIDES.
I. Prop. is by ons XI. 32. Gev. 3
II. -» t 0
III. ƒ XI< 32- Gev. 4.
IV. . XL 33. Gev. 5.
V. Prop XL 32. Gev. 6.
VI xi. 31.
Vil. . XII. 3j. Aanmerking.
AANWYZING DER VOORSTELLEN, WELKE MEN BEHOORT TE VERSTAAN, OM" IEDER DER WERKSTUKKEN TE ' KUNNEN OPLOSSEN.
I. BOEK DEK WERKSTUKKEN.
' I. Werkftukt
•rr V na L Axioma 6.
III. .1. n. Gev. 4.
IV. N°. 1. —.1. u. Gev. 4.
' N». 2. V, 5.
V. —I. I2. Gev.
VI -1. 12. Gev> 3>
VII. . 1. jo. Gev. 3.
VUL



D Z WERKSTUKKEN. xtsix
VIII. N<w.Werktt nal. _o,Gev.ofIV.i ,Gev. NJ.2. —IV. 2.
IX. Werkftukaa IV, i. Gev.
X. IV. r. Gev.
XI. IV. 2. Gev. i.
XII. , II. 7. Gev. 5.
XIII. V. '13. Gev. 2.
XIV. 1 V. 12. Gev, 3.
xv.i
XVI. > IV. 2. Gev. 1.
XVII. j
XVIII.) ^7r „ ev ■
XIX I VI. 12. Gev. 3. of V. 5.
~ „* j ' en IV. 12. Gev. 1.
Aa.j
, XXI. , IV. 2.
XXII. IV. 2.
II. BOEK DER WERKSTUKKEN.
I. Werkfhik na I. 12. Gev. 3. II. — — I. 11. Gev. 2,
III. I. 12 Gev. 1.
IV. — I. 12. Gev. 3.
III. BOEK DER WERKSTUKKEN.
I. Werkfhik na I. 15.
II, T
ttt ï I. Axioma 6.
JU. j
IV. I. 19. Gev. 2.
*** 4 va.



VII. Werkftuk na I. 19. Gev. 2.
Vul — — v. 5.
IX. ~ — v. 4. Gev. 6.
X. No. 1. . v. 13. Gev. 2.
N°.2. II. 10. Gev. 4.'
- XI.1
XII. ƒ ?'—r"* Gev- 6>
XIII. NM tl i, Gev. 6.
N°-2 — IV. 7. Gev. 4.
XIV. N'.i 11. 1, Gev. 6.
N».2. — IV. 7. Gev. 4.
XV. N\i. II. j, Gev. 6.
N». 2. . IV. 7. Gev. 8. N°.
N°.3. . V. 12. Gev. 1.
. XVL]
XVII. > 11. 1. Gev. 6.
XVIII. j
XIX. V. 12. Gev. S.
XX. Nm. 1 -
No.,.- ,>IV-6-
XXL — 3— IV. 7. Gev. 3.
- XXII. —— IV. 6.
XXIII. \ n ^ •
xxiv./ »• Gev- 6-
XXV. —. II. 7. Gev. 5.
. XXVI. . — V. 5.
XXVII. II. 7. of V. 5.
XXVIII. (a) II. 7.
XXVIII. (O II. 1. Gev. 6,
• XXIX. Werkftuk na IV, 14.
XXX.



DE WERKSTUKKEN. SU
xxxi. I
XXXII. > IV. 15.
xxxni. I
XXXIV. J Gevolg. ) IV. 12. Gev. 3. XXXV. IV. 20.
IV. BOEK DER WERKSTUKKEN.
I. Werkftuk N°. 1. na V. 6. Gev.
N°. 2. — V. 5.
II. na V. 6. Gev.
IV./ —1 V* Gev^ r*
V. V. 9.
VI. V. 9.
VII. ■ V. 4 Gev. 5.
VIII. V. 4 Gev. 5.
IX. V. 4. Gev. j.
X. — iy. 2. Gev. of V. 6. Ge*.
XII. > V. 7. Gev. 1.
XIII. J
XIV. ]
XV. > — V. 7. Gev. 1.
XVI. J
XVII. ")
XVIfI. > ■ V. 15.
XIX.|
V. MOES,



J&Al AANWYZÏNG VO R DE WERKSTUKKIN, V. BOEK DER WERKSTUKKEN.
L Werkftuk na VI. 4.
II. vi. 4. en VI. ti. Gev. 5,
JII.1
IV. > — VI. 4.
vj
VI. ■ VI. 4.
VII. — VI. 4. en VI. 21. Gev. 1.
VIII.)
IX. > VI. 7.
X-J
XI. N5.i. VI. 10. Gev.
N°.2 VI. 14. Gev. 3.
XII. VI. 10. Gev. en VI. 21,
Gev. s.
XIII. ï
xiv./ VL *
XV. vi. 8. Gev. a.
XVI. 1 VI. 12. Gev. 1.
XVII. vi. 21. Gev. 1.
■ XVIII. — VI. 12, Gev. 2.
UITLEGGING DER TEEKENEN DIE DE WISKONSTENAARS GEBRUIKEN.
= betekent gelykheid; A ss B is A ge/31* aan B V —— grooter; A\B is A grooter dan B ""s —— kleiner; A ^ B is A kleiner dan B
Sommigen gebruiken het teeken C in plaats van ^ en 7Zi in plaats van 's.



uitlegging der tekenen. xliii
H plus o( fm ; A h- B dat is A pikt B, of dé fom
van A en B
Kims; A — B dat is A min. B of B afgetrokken
van A
pff > multiplicatie ; A X B of A.B betekent A gemultipliceerd doorB. en (c -f- D). E betekent de fom van C -1- D door E gemultipliceerd.
A . . A
|f —— d:vilie; g" is A gedividesrd door B
£ loodrecht; A I B dat is A loodrecht op B
// eveawydig; A // B dat is A evenwydig met B
L ——.. hoek A — driehoek jm ——— rechthoek □ ■'■ ' ■ vierkant
^ gelykvormig; A B dat is A gelykvormig aan B
: reeden ; A: B betekent de reeden van A:B:
dit wordt ook door divifie, en dus door ~ uitgedrukt. — DRUKFEILEN en VERBETERINGEN. BI. 24. Aan het eind van het tweede Gevolg, voeg by Men kan thans het IJ. Werkftuk van het ii. Boek opiosf^n 26. VIII. Gevolg : het Wykt dat er drie gevallen plaats hebben .- of D valt voorby g, zo als in fi> 105 , of tusfchen G en A, of aan den anderen kan* van A; dan valt gevolglyk CD onder A C, en de hoek van DC met CE, of D ce wordt grooter dan twee lechte hoeken: men kan er nog een vierde geval voor de figuuren by voegen , wanneer namentlyk D op A valt: doch dit is een teeken dat de driehoek AB C niec alleen gelykbeenig, maar ook gelykzydig is: dan valt
CD



XLIV DRUKFEILEN EN VERBETERINGEN.
C D op C A , en de lynen D C, C E maaken ééne rechte lyn uit; en dus, zo men wil, eenen hoek gelyk aan twee rechte hoeken, die ook in de daad het drievoud is van den hoek in een' gelykzydigen driehoek. 11, 29. reg. 4 van ondeten XL lees IX.
SÖ. — 12 AH lees AK.
37- — 14 6 Gevolg lees 8 Gevolg.
38. —r xo XiX. lees VIII.
■— III. Gevolg. Het blyktvan zelf dat dit Gevolg eveneem plaats heeft voor het verfchil van verfcheiden rechtboeken als voor derzelver Jom, en dat men het dus kon uitdrukken in bet algemeen Fig. 52. flellende IH — H G. De fom CL G) of het verfchil (LI) van verfcheiden recht, hoeken (LH, PG) die de zelfde hoogte doch verfchillende grondlynen hebben, is gelyk aan eenen rechf. hoek (LG of LI) wiens hoogte de zelfde, en wiens grondlyn de fom (KG z: KH + HG) of het verfchil (KI = KH-IH = KH — HG) van de gegeeven grondlynen is.
39. reg. 7. van onderen af. 14. I. Oplosfing lees 14. (I (Oplosfing) en 15. (I. Oplosfing.)
41. — 12 van onderen af BH lees KH.
42. — 9 eücl.I. 37. lees evcl. 1.37. en 38.
43. reg. 12 op de zelfde grondlyn. lees op de zelfde grond-
lyn of op gelyke grondlynen. reg. 25 VIL lees VUL 45. laatfle regel (AD) lees (CD) 47. reg. 5 voeg by en Voorft. V. 47. reg. 7 is (MN) het vierkant, lees is het vierkant. 49. — 20 en XI. lees en X. 55- — 20 VII. — IX.
57. — 14 wan onrf. XVIII. ieer XXI. en in het 3. Gev. va»
het XXIX.
58. — 10 XVIII. lees XXI. en het 5 van het XXX. 66. — 11 3. lees 2.
68. — 1 prof. lees defin, 68. — 2 IX Vil.
BI. 64.



DRUKFEILEN EN VERBETERINGEN. Xtf
BI. 68. reg. 4. a lees m.
5 a. — n. 76 — 16 geval — getal 77- — 3 D — IJ A B
79.-9 s--
87- — 8 raB — «B
■ 88. — 4 van onderen E lees C 102. reg. 9 1— VJ1I. lees V.
laatfte regel. Uit de XII. Bep. het X. en XII. Voor*
ftel. lees Uit de XII. en XVII. Bep. en het X Vocrft. 108. reg. 9 eerfte lees tweede 116. — 18 ha lees AD. 128. — 4 evenredigbeden lees evenredigen 135- l^atfle regel XXVII. lees XXXVII. 143- — 5 CUI. 5.) Ites (III. Axioma 5.) 144. — 17 voeg by III. aanmerking. Men kan thans
het XI, XV, XVI, XVII, XXI. en XXII. Werk.
ftuk van het I. Boek oplosfen.
146. reg. 10 en 9 van onderen om eenen anderen hoek ftaan lees om den derden hoek (A en D) ftaan.
147. reg. 12 en 11 Van onderen t ABC ^ i PEE lees L DEF = L ABC
reg. 8 van onderen (by voorb. C en F) lees (E en B). 150. III. Gevolg reg. 3 (5. en 6. III.) lees (9. en 6. III.)
—— laatfte reg. de eerfte Oplosfing van het
XI. lees de Oplosfing van tiet XXI. 154. «"« 4 iaaJ/ïe Deaj Bepaaling van vlakke
plaatfen <u;orrft nader en mauwkeuriger ontwikkeld.
p. 197. Aanm. IX. 174. reg. 4 gelykvormige figuuren lees gelykvormige es
eveneens geplaatfte figuuren. 174- re8- 15 II. Boek .tei Hl. Boek.
184- —• 6 vin. ~ vu.
386. — 19 of uit I. 10. — of uit I. 12.
390. — 23 XV. Voorftel — XIV. Vobrfte!.
£1. 19U



XLVI DRUKFEILEN EN VERBETERINGEN.
BI. I9i. — 8 drie — twee.
194- - 2i IV. en V. Gevolg — JU. iv. en V. Gev. 197. — 13 van mi Tak v. — Tab. VII. I9S. •— 7 Tab. IV. — VI.
203 8 van onderen KT lees EI
■ 39 AP hes AH
208 33 in eene andere lees in eenen cirkel
233 12. 5 Gevolg van liet 10 lees 2. Gev. van hét^ii
220. — 2 onze aanmerkingen — het Gevolg
3 XXXI. — XXXIII, N". III eri
V. en XXXIV. Nö. V.
221. reg, 7 van onderen X. Boek lees XIII. Boek„'222. — 3 XV. lees XIV.
226 — 3 van onderen 132 lees 2 : 1
234. _ 8 . GCK — GCR
236 reg. 17 van ond. 2 =: 3 kes —2:3
238 ■— 7 op het dubbeld N G lees op NG
239 5 rechthoek kes veelhoek
253 ■— 3 van onderen XI. lees XVI.
2fjO. 31 - 2 ■ 1 2 . r
271. — 2 (TV.) _ (IV. 20.)
344- — 35 Ac — AE
374. — 30 voeg by eucl. XI. 33.
420. — XXXIX voorstel. _ XXIX. voorstel.
429. — 30 van ondtren XIII lees XV..
438. reg. 3 van onderen AV2 AVJ
455- Voeg by na reg. 5
TTT <iv„„r „
Gelykvormige Keegels ftaan tot elkander in driedubv belereeden van de middellynen hunner grondvlakken. eucl. XII. 12.
WERKSTUKKEN. BI. 24. reg. 3 ABID lees ABCD
39. laatfte reg. eucl. IV. 9. lees eucl. IV. 8.
^ Ut*



INLEIDING.
i.
TT\e Meetkunde is dat gedeelte der Wiskunde, dat de eigenfchappen der uitgebreidheid navorscht, en dezelven door zeekere redeneeringen bewysf. II.
De uitgebreidheid en haare drie afmeetingen, leng te , breedte en dikte , zo wel als de Figuuren die daar uit ontfiaan,zyn het onderwerp der Meetkunde, III.
Het is enkel door eene aftrekking des Verftands', dar men die drie afmeetingen van de lichaamen zeiven alfcheidt, om ze afzondcrlyk te kunnen befchouwen. IV.
Het Voorwerp der Meetkunde is dus een afgetrokken en zeer eenvoudig denkbeeld.
ji'alembert. Melanges, F. IV. p. 158—fjo. V.
Het is aan die eenvoudigheid van het Onderwerp, nan de Grondbeginfelen welke de Meetkundigen ftelJen, en aan de wyze op welke zy voortgaan, dat men de klaarb'ykelykhei j der Meetkunde verfchuldigd is. d'alumbeut. Melanges, T. IV. p. 154.
VI.
De Grondbeginfels waaruit de Wlskpnftenaars hunne bewyzen ontleenen, zyn de bepaalingen zelve der voorwerpen die zy befchouwen ; waar by fommiger. eenige algemeene kundigheeden voegen, die zo.klaarblykelyk zyn dat niemand van gezond verftand 'er aan kan twyfelen. Deeze worden Axiowata genoemd: zo als
i°. Twee grootheeden die aan één en het zelfde gelyk zyn , zyn onderling gelyk.
20. Het deel is kleiner dan het geheel.
3°. Alle de deelen te faamen maken het geheel uif.
4. Indien m en gelyke grootheden by gelyke groot.
hc-



XLvm INLEIDING»
heden voegt, of van dezelven aftrekt, zyn de fommen of de verfchillen ook gelyk. VII.
De Wiskonfienaars maken van twee fhnrten vnh bewyzen gebruik: de rechtflreek/che en de bewyzen vit het ongerymde.
Een bewys, dat rechtflreeks voortgaat, beftaat hierin , dat men, door eene aaneengeschakelde redeneer ïing, hetgeen beweezen moet worden uit de eenmaal gefielde grondbeginfelen afleidt.
VIII.
De bewyzen uit het ongerymde beftaah hierin , dat men bewyze dat eene zaak waar is om dat ze niet valsch kan zyn: dat is, om dat, indien men (telt dat zy valsch, en dus het tegengeftelde waar is, men iri ongerymdheden vervalt.
d'alembert. Melanges, T. IV. p. 166.: men treft reeds eetj voorbeeld van die bewyz;n aan, in I. r. Gev. 2 bl. 13. IX.
Men maakt in beide de foorten van bewyzen een geduurig gebruik van het grondbeginfel van op elkander flelling (juperpofitio) en overéénkomst (congruen■tia.) Men verbeeldt zich namelyk, dat eene Figuur zodanig op eene andere geplaatst zy, dat eenige der deelen vari de eerstgemelde met èenige deelen der laatstgemelde overeenkomen of op dezelven vallen: én men befluit daaruit, of alle de andere deelen van de eerstgemelde Figuur op alle de andere deelen van de laatstgemelde vallen, en dus of die beide Figuuren geheel met elkander overeenkomen , en gevolgelyk onderling gelyk zyn, ja dan neen. ^
d'alemüert. Melanges, p. 105,166. Dit grondbeginfel is het oorfpronkelyk grondbeginfel van gelykbeid; zie I. Boek Bep. VI. Aanm. III. bl. 4, en reeds in het VI11. Voorftel van het zelve (bl. 20) een voorbeeld van dfé foort van bewyzen. GROND»



GRONDBEGINSELS
DER
MEETKUNDE
EERSTE BOEK.
over de algemeene eigenschappen
der rechte lynen, zo wel in zich
zelf beschouwd , als in zo verre zy de hoeken van driehoeken en vierhoeken uitmaak en, of dekzelver zyden zyn.
BEPAALINGEN.
I L ,
Wanneer men de uitgebreidheid alleen met betrekking tot haare lengte befchouwt, op de breedte, en dikte geen acht geevende, maar deeze beiden aftrekkende , verkrygt men het denkbeeld eener linie of lyn.
aanmerking. Van daar de gewoone fpreekwyze der Wis.
konftenaaren, dat de lyn eene lengte is zonder breedte, of
dikte. A B, CDE. fig. i. ïucl. I. 2. Bep. W. g. J. 2. St. p. a. d. 2.
II.
De uiteinden der lynen, en haare onderlinge fny-
dm en. woruen flippen genoemd.
I ai nmerfvIng. Van daar de gewoone fpreekwyze der Wiskonitenaaren, dat de fiippen geen deelen bezitten, A,B. fig. i. A, B, C, D, E. fig. 2.
eucl. I. i en 3 Bep. .— W. g. f. 2. — St. p. 2. d. 2.
II aanmerking. Sommigen befchouwen de lyn als door
A den



2 I. Boek : Over de lynen, en zyden der Figuuren.
den geduuiigen voortgang van een flip gebooren; zo men wil, als de moet of het Jpoor dat een bewogen flip zoude nalaaten.
III.
Eene rechte lyn is eene zodanige lyn, die overal gelyklyk tusfehen haare flippen gelegen is, Fig. i. AB: eene kromme lyn, die_ongelyklyk tusfehen dezelven gelegen is. C D E.
I aanmerking. Anderen zeggen : eene rechte lyn is die, welke de kortfte is tusfehen twee flippen. Wy zullen in de Aanmerking op het 15de Voorftel zien of dee. ze bepaaling goed is.
eucl. I. 4 bep. —— W. g. j. 8.
II aanmerking. Het is met deeze bepaaling gelegen , even als met alle de bepaalingen der dingen die te eenvou. dig zyn, om met woorden uitgelegd te kunnen worden: zy zyn allen zeer onvolmaakt, en zeer duister. De Heer d'alembert heeft hier over uitmuntend gehandeld, in zyne Melanges de Philofaphie IV Deel bl. 163 en 164: V. Deel bl. 203-206.
IV.
Men noemt oppervlakte eene ruimte die men alléén met betrekking tot de lengte en breedte befchouwt, op de dikte niet lettende, maar dezelve aftrekkende, zo als A B D A, fig. 3. ABDE, fig. 4.
I aanmerking. Van daar de fpreekwyze der Wiskonftenaaren : dat de Oppervlakte alleen lengte en breedte, doch geen dikte bezit.
eucl. I. 5 bep. St. p. 2. 3 bep.
gevolg. De uiteinden eener oppervlakte zyn lynen : het zy kromme, het zy rechte lynen.
II aanmerking. Sommigen befchouwen de oppervlakte, als door den geduurigen voortgang eener lyn gebooren : als 't ware het fpoor of de meet , die eene lyn, by haare beweeging nalaat.
V.



Bepaalingen, j V.
Een Vlak, of effen oppervlakte, of platte oppervlakte , is eene zodanige welke overal gelyklyk tusfehen haare uiteinden ligt, eucl. I. 7 bep. I aanmerking. Anderen bepaalen het Vlak aldus: eene , oppervlakte, welke eene rechte lyn in alle haare deelen kan raaken: op welke eene rechte lyn geheel past en fluit.
Zie clavius op de 7 bep. van het I. Boek van euclides St.p. 3.6 Bep.
II. aanmerkins. Wy zyn hier wederom in het geval, waarvan wy in de II Aanmerking van onze III Bepsaliug gewag gemaakt hebben.
VI Fig. 5.
De onderlinge helling van twee lynen (A B en E B of GF en KF,) die in het zelfde vlak geleegen zyn * en verlengd worden , tot dat zy elkander in eenig ftip (B of f) fnyden , wordt een vlakke Hoek genoemd. Die hoek is rechtlynig, zo de lynen, die denzei ven uitmaaken, recht zyn.
Het flip (B of F), waarde beide lynen elkander ontmoeten , of waar zy zich fnyden, wordt de Kruin of de Top van den hoek genoemd: de lynen zelve CB A, B E, of G F, K F), zyn de boenen van den hoek. eucl. 1.8en 9Bep. — W. g. 516,17 St. p. 5. Bep. 13
I aanmerking. Wanneer een hoek met letters wordt uitgedrukt, gebruikt men drie letters, of ééne letter: als men 'er ééne gebruikt, is het altoos de letter die aan den top ftaat: als men 'er drie gebruikt, ftelt men altoos de letter van den top in 't midden: dus worden de hoeken in fig. 5. of A B E, G F K, of wel enkel B en F genoemd.
II aanmerking. Daar de hoek alleen de helling van twee lynen is, volgt het, dat de grootte van den hoek alléén uit de grootte van die helling, en geenszins uit
A a dc



4 /. Boek: Over de lynen, en zyden der Figuuren.
de lengte der beenen van denzelven moet beoordeeld worden. Of de beenen lang of kort zyn, of zy meer of min verlengd worden, blyfc hunne helling, en dus de hoek die» zy maaken,dezelfde: dus is DBH dezelfde hoek als ABE. III, aanmerking. Men beoordeelt de gelykheid van twee hoeken uit derzelver overeenkomst. Zy zyn namelyk gelyk, indien, wanneer men voorondeiftelt, dat de beide toppen op elkander, en een been van den éénen iioek langs een been van den anderen, gelegd zyn, het tweede been van den eerstgemelden, met het tweede been van'den laatstgemelden , overeenkomt, en dus de zelfde helling heeft. Zo dit geen plaats heeft, zal die hoek het grootst zyn, wiens tweede been buiten het -tweede been van den anderen valt.
Dit is het oorfpronkelyk denkbeeld; en de natuurlyke maat, van de gelykheid of ongelykheid van twee hoeken. De zviaai der Timmerlieden fteunt op dat grondbeginfcl. En het is daarop, dat de Wiskonftenaars alles bouwen , wat zy van de gelykheid of ongelykheid van verfchillende hoeken bewyzen.
H. g. $. 13, 14, 15. IV aanmerking. Er zyn 'er, die willen, dat men in de vergelyking van twee hoeken dus te werk gaa : dat men nameiyk van de beenen gelyke deelen BI, KB, L F, JVIF affnyde; en met dezelven als radiusfen, uit de toppen B en F, cirkelbogen IK, LM befchryve: en dat men dan uit de gelykheid of ongelykheid der ruimten IBK, LFM over de gelykheid of ongelykheid der hoeken oordeele. Zie d'alemiert Melm.ges V. Deel p. 207, en p. 38. — St. p. 5. bep 14. Doch men moet met het denkbeeld van een hoek, die alleen in de helling van twee lynen beftaat, dat van eene ruimte, die tusfehen drie lynen begreepen is, niet verwarren. Wy zullen wel is waar, in het eerfte en tweede Voorftel van ons VIII Boek bewyzen, dat de cirkelbogen een eigenaarthe maat voor hoeken opleevaren: doch üs twyffel of dit grond-
be.



Bepaalingen. 5
beginfel wel als een eerfte grondbeginfel kan befcbouwd worden.
VIL
Wanneer eene lyn.(DB Fig. 6.) zodanig op eene andere (AC) invait, dat zy ter wederzyde van het Hip (B) van invalling gelyke hoeken (ABD en CBD) maakt, worden die hoeken rechte- of •winkelhoeken genoemd: en de invallende lyn zelve wordt gezegd lood-recht op de andere te ftaan, of eene loodrechte , of perpendiculaire lyn te zyn. Een hoek (EBC) die grooter dan een rechte hoek is, wordt een Jiompe of plompe hoek genoemd, en die (EBA) welke kleiner is, een fcherpe hoek.
eucl. I. 10. 11. 12 Bep. — W. g. f 20. — St. p, 6:
IS, 16, 17 Bep.
VIII. Fig. 7. Twee lynen (AD, GE) worden gezegd parallel of evenwydig aan elkander te zyn , wanneer zy met betrekking tot eene derde lyn, die haar fnydt,dezelfde helling hebben: dat is, aan den zelfden kant (door de III Aanmerking op de VI Bepaaling) gelyke hoeken met die lyn maaken, (nameiyk l A BF=;^GFK: ZABC = ZGFC.) I aanmerking. Het is niet gemaklyk een waar en eenvoudig denkbeeld van de evenwydige lynen te geeven : daar over zyn geheele boekdeelen gefchreeven: doch men kan zich vergenoegen met de Melanges van d'alembërt V. Deel p. 202., tacquet en clavius in hunne Verklaringen op de 3(5 Bepaaling van het eerfte Boek van eu« clides te raadpleegen. Ik heb die bepaaling gegeeven , die my voorkwam de eenvoudigfte en juistfte te zyn, en die geleegenheid geeft om alle de eigenfchappen van evenwydige lynen te bewyzen, alleen door die bepaaling zelve, en zonder ze uit fommige eigenfchappen dei A 3 drie-



6 I. Boek: Over de lynen, en zyden der Figuuren.
driehoeken te moeten' afleiden, zo als elclides gedaan heeft.
II. aanmekking. eucudes geeft deeze bepaling van de evenwydige lynen: „het zyn lynen die,in hetzelfde vlak „gelegen, en in hei oneindige verlengd, elkjnder nimmer „fnyden." Ik twyffel of het denkbeeld van eene verlenging ia het oneindige, en van nimmer te fnyden, voor een éérst grondbeginfel duidelyk genoeg zy: wy zullen in het Gevolg van het VI Voorftel bewyzen, dat die eigenfchap van zich nimmer te fnyden, ook uit onze bepaling der evenwydige lynen volgt. eucl. I. Bep. 35. Anderen geeven deeze bepaling: evenwydige lynen zyn die, welke altoos even ver van elkander af zyn, dat is die zodanig zyn, dat alle loodlynen (B L, C K, DI Fig. 8.) tusfehen dezelven getrokken, gelyk zyn. Wy zullen in het II Gevolg van ons IX Voorftel bewyzen, dat dit ook uit onze bepaling volgt: doch tevens in de Aanmerking op ons XIV Voorftel doen opmerken, dat deeze bepaling niet doorgaat, ten zy men te voren beweezên hebbe, of vooronderftelle, dat de aftïand van eenig ftip van eene rechte lyn af, door de Iood-lyn moet gemeeten worden. W. g. J. 25. — St. p. 29. Bepaling 27.
IX.
Een Figuur is eene ruimte die tusfehen rechte (Fig. 4.) of kromme lynen (Fig. 3.) befloten is. Zy 4s rechtlynig, wanneer ze door rechte lynen befloten i*s.
eucl. 1. 14 en 20 bep. St. p. 3, 7 Bep. p. 19,
18 Bep.
X.
De rechtlynige Figuuren zyn drielynig , vierlynig , vyflynig, en zo voorts, naar maate van het getal lynen dat dezelven influit: doch meest wordt de benaming uit het getal van hoeen ontleend: en men
noemt



Bepaalingtn. •>
noemt ze driehoektn, vierhoeken, vyf'hoeken enz. naar maate zy drie, vier, vyf of meerder hoeken hebben, en dus uit zo veele lynen beftaan. eucl. I. 20. 21. 22. 23 Bepal.
XI. Fig. 9. 10. ir.
Een driehoek (ABC) wordt gelylzydig genoemd , wanneer de drie lynen, of zyden (AB, BC, AC) uit welke hy beftaat gelyk aan elkander zyn. —— Hy wordt gelykbeenig genoemd (DEF), indien twee zyden (DE, EF) aan elkander gelyk zyn. En ongelykzydig{GHl) wanneer de drie zyden (GH, Hl, IG) ongelyk zyn.
eucl. I.bep.24.25. 26. W.g. jj. ti, —-St. p. 19,
bep. 20. 21. 22.
L aanmerking. Eene der zyden (AC, of DF, of GI) van een' driehoek wordt doorgaands deszelfs Bazis of Grondlyn genoemd, en dan draagt de hoek (B, of E, of H) welke over die grondlyn ftaat, den naam van Top of Top. punt des driehoeks. Men neemt in de gelykbeenige driehoeken (DEF) de zyde (DFJ die ongelyk is aan de anderen voor grondlyn: en dan worden de beide gelyke zyden (DE, E F) de beenen van den driehoek genoemd. II. aanmerking. Deeze bepaling en de twee volgende, zyn Hechts naam ■ bepaalingen of uitleggingen van het woord, daar zy alléén te kennen geeven, wat die woorden beteekenen in gevalle die figuuren mogelyk zyn. Doch wy zullen in het vervolg, alvorens over die figuuren te handelen, bewyzen, dat zy in de daad beftaan kunnen.
XII. Fig. 12. 13. 9.
Een driehoek, (LMK), die eenen rechten hoek (M) bezit, wordt rechthoekige driehoek genoemd: hy wordt ftbmp- of plomphoekig genoemd, als hy (zo als NP O) eenen Jlompenhoek bezit. Wanneer alle drie A 4 de



8 1. Boel: Over de lynen, en zyden der Figuuren,
de hoeken fcherp zyn is de driehoek fcherp • hoekig CA B C) Wanneer de driehoek CL M K) rechthoekig is, wordt de zyde CLK) die over den rechten hoek Haat, de fchuinfche zyde of hypotenvCe, en de beide anderen (LM, MK) die den'rechthoek (M) omvangen, worden de recht- hoek- zy jen genoemd.
Eucl. I. 27, 2^,29 bep.. . W.g §.21. S. p 20.
bep. 23. 24.. 25.
aanmerking. Het zal uit het H. Gevolg van ons VII. Voorftel blyken, waarom wy van rechthoekige of plomphoekige driehoeken fpreekendi, maar van éénen rechten of van éénen ftompen hoek gefproken hebben.
XIIJ.
Een Vierhoek draagt verfchillende naamen, te weeten:
Den naam van Vierkant ([Quadraat) zo de vier zyden CA B, BC, CD, DA Fig. 14.) gelyk aan elkander, en tevens de vier hoeken CA, B, C, Dl recht zyn-
Den naam van Ruit, (Rhombus), zo de vier zyden (FG, GH, Hl, Fl, Fig. j5.) wei geiyk, doch de hoeken niet recht zyn.
Den naam van Ruit-achtige Figuur of langachtige . Ruit, QRhomboides), zo de overfhande zyden CKI en Mh, LM enKI Fig. ,6) gelyk zyn, en ook dc overftaande hoeken, CK en M), L en I gelyk, doch niet recht zyn.
Den naam van Parallelogram, zo de tegenovergeftclde zyden CKL en MI, LM en Ml Fig' ,6.) evenwydig zyn ; doch zo in een parallelogram (A B D E, Fig. 40 de vier hoeken CA, B, D, E; daar en boven recht zyn, verkrygt het parallelogram den naam Van rechthoekig parallelogram of enkel van Rechthoek.
Alle



Bepaalingen.
9
Alle andere vierhoekige Figuuren, waar in de zyden en hoeken ongelyk zyn,(OPQN Fig. 17.), worden ongefchikte vierhoeken of Trapèziè'n genoemd.
Men noemt in alle die Figuuren, de lyn (DB, of GI, of LI, of PN) die van den eenen hoek tot den tegenovergeftelden gaat, den diagonaal,dat is, de lyn die de hoeken fnydt.
eucl. I. 29-34 bep. w. g. 5. 22. — St. p. 43,
29. 30. bep. p, 49, 32 bep.
aanmerking. Het woord, parallelogram, betekent in het Grieksch eene figuur , uit evenwydige lynen beftaande: doch wy zullen in ons XIX Vooritel bewyzen, dat alle Parallelogrammen in de daad Buitachtige Figuuren zyn , vermits de tegenoverftaande zyden, als ook de tegenoverftaande hoeken, gelyk zyn.
XIV. Fig. 3.
Een Cirkel is eene vlakke Figuur, door ééne éénige kromme lyn beflooten , welke lyn omtrek genoemd wordt : Die omtrek (A B D) is zodanig gefield, dat alle de lynen (AC,BC, DC)die men uit alle de flippen van den zeiven, tot één en het zelfde ftip (C) binnen den omtrek gelegen, trekt, en in het welk zy dus famenkomen, gelyk zyn. Dit flip (C) wordt het middelpunt of centrum, en de gemelde gelyke lynen (AC, BC, DC) worden Jlraalen, of radius/en genoemd. De kromme lyn zelve (ABD) draagt den naam van omtrek des Cirkels.
eucl. 1.15,16bep W.g. J. 12. 13.14. —St. p.3.9bep.
aanmerking. Da geheele Cirkel is dan eene Figuur ; en de geheele omtrek kan niet befchree-en worden zonder dat 'er een Figuur ontflaat, omdat de omtrek eene kromme lyn is, die in zich zelve wederkeert. Maar de deelen des omtreks, Bogen genoemd, (CDE Fig. j.) zyn geen Figuuren.
A 5 AL-



io I. Boek'. Over de lynen, en zyden der Figuuren.
ALGEMEENE VOORONDERSTELLINGEN.
I
Men vooronderftelt dat het mogelyk is, eene rechte lyn van een flip tot een ander ftip te trekken. eucl. I, i Begeerte. —— Sc. p. 16.
II.
Men vooronderftelt dat het mogelyk is, eene rechte lyn te verlengen, of zo veel men wil, of tot dat zy aan eene gegeeven lyn gelyk zy, of grooter dan eene gegeeven lyn worde.
eucl. I. 2 Beg. St. p. 16.
aanmerking. Wy zullen in het I. Werkftuk van ons I.
Boek van Werkftukken toonen, hoe men uit een bepaald
ftip eene rechte lyn trekken kan, die aan eene andere
gegeeven lyp gelyk is.
III.
Men vooronderftelt dat men op eene rechte lyn een (tuk neemen kan, dat aan een gegeeven, doch kleiner rechte lyn gelyk is. aanmerking. Wy zullen in het II. Werkftuk van ons I. Boek van Werkftukken zien hoe dit gefchiedt.
IV.
Men vooronderfteld, dat uit een gegeeven ftip eene lyn getrokken kan worden, die, of loodrecht op eene andere gegeeven lyn ftaat, of evenwydig aan dezelve is. aanmerking. Wy zullen in het III. en VI. Werkftuk van ons I. Boek aantoonen, hoe men dit verricht.
V.
Men vooronderftelt, dat het mogelyk is, uit een bepaald ftip als middelpunt, en met eenen bepaalden
ftraal



Algemeene Kundigbeeden. n
ftraal of radius, naar willekeur, eenen cirkel te befchryven.eucl. L 3 Beg. > St. p. 16.
ALGEMEENE KUNDIGHEDEN,
of AXIOMATA.
I.
Rechte lynen , waarvan twee flippen overéénkomen , komen geheel overéén.
eucl. I. 12 Axioma. — W. g. g, 41. — St. p. 14.
II.
Twee rechte lynen, die uit het zelfde ftip getrokken worden , of elkander fnyden, hebben niets ge» meens behalven het ftip daar zy zich ontmoeten, het welk tot beide de lynen behoort.
Zie tacquet en clavius op het 14de Axioma van ec-
chd2s 1 B. St. p. 14.
III.
Rechte lynen, wier twee uiterfte ftippen overéénkomen , en die dus geheel overéénkomen, zyn aan elkander gelyk: en omgekeerd: rechte lynen die gelyk zyn, zullen geheel met elkander overéénkomen, zo men haare uiterfte ftippen op elkander legt. W. g. g. 42.
aanmerking. Het is uit dit eenvoudig grondbeginfel, dat alle de bewyzen die de gelykheid van lynen betreffen , ontleend worden.
IV.
Zo de kruinen van twee gelyke hoeken op elkander gelegd worden , en een been van éénen hoek langs een been van den anderen, zal het tweede been van den eerften hoek ook met het tweede been van den tweeden overeenkomen. En omgekeerd, indien
de



xz 1. Beek: Over dc lynen, en zyden der Figuuren.
de kruinen, en de beenen van twee hoeken overeen, komen, zyn die hoeken aan elkander gelyk.
eucl. I. Ax. 8. . W. g. §. 4i.
aanmerk ik o. Zie onze aanmerking op de zesde Bepal. V.
Eene lyn, die eene van twee evenwydige lynen fnydt, zal ook de andere, indien zy,zo het nodig is, verlengd wordt, fnyden. I aanmerking. Dit volgt uit de bepaling zelve der even. wydige lynen : zie de VIII Bepaling. II. aanmerking, euclides heeft wel dit Voordel niet met zo veeie woorden uitgedrukt • doch hy heeft het zelve , ftilzwygend vooronderfteld in de bereiding van de 30 en 37 Propofitie van het eerfte Boek. Zie de Aanmerkingen van koenig, op de 27 Prop. van het L Boek van euclides, bl. 43-,
VI. Fig. 18.
Zo men uit de twee uiterften (A en B,) van eene rechte lyn (AB), als uit twee middelpunten, cirkels trekt, met ftraalen die of aan die lyn (AB) gelyk, of grooter dan die lyn zyn, zullen die cirkels elkander fnyden, (b. v. in C.) I. aanmerking, euclides heeft dit niet met zo veelo woorden uitgedrukt, doch hy gebruikt dit Voorftel klaarblykelyk in de bewerking van de r, 2 , 3 Propofitie van het
I. Boek. —- wolf heeft dit Voorftel beweezen , in zyne Latynfche Geometrie g. 197. doch het is zonneklaar, en behoort tot de algemeene kundigbeeden.
II. aanmerking. Indien men tot flraal eene lyn aannam, die kleiner is dan B A , zoude het kunnen gebeuren, dat de Cirkels elkander niet fneeden, maar flechts raakten, of ook dat zy elkander niet eens raakten.
III. aanmerking. Door middel van dit Voorftel en de V, Veoronderftelling, kan men het I. en II. Werkftuk van het I. Boek. en het II. en III. van het III Boek onaer Werkftukken , oplosfen. I. A F-



1. Afd. Over de rechte lynen. 13 I. AFDEELING.
OVER DE RECHTE LYNEN IN ZICH Z ELVEN BESCHOUWD.
I. VOORSTEL. Fig. 19.
Wanneer eene rechte lyn (DC) op eene andere ("A E) invalt, en dezelve in eenig flip (C) fnydt, maakt zy om dat ftip of twee rechte hoeken, of twee hoeken (A C D en D C E), die te famen genomen gelyk zyn aan twee rechte hoeken.
eucl. L 13. W. g. g. 57. — St. p. 16. 1 Prop.
bereiding. Deeze beftaac hierin, dat men, volgens de IV. Vooronderftelling, vooronderfteile dat 'er uit C eeritf lyn CB getrokken zy, die loodrecht op AE ftaat, bewys. Dit volgt uit de Vil. Bepaling, en uit de Bereiding zelve.
I. GEVOEG.
Alle de hoeken CABE, EBD, DBC Fig. 6~.) welke om een en het zelfde ftip CB) en aan denzelfden kant van eenige lyn (AC) door zo veel lynen CEB, D B) als men wil gevormd worden, zyn te famen genomen altoos gelyk aan twee rechte hoeken.
II. GEVOLG. Fig. 20,
Alle de rechte hoeken zyn aan elkander gelyk. bewys. Dit wordt ontleend uit de ongerymdheid, daar men in vervalt met het tegendeel te Hellen. Men houdt de oorfpronkelyke bepaaling der rechte hoeken in het oog (Bep. VII.) en dan onderftelt men, i*>. dat de lyn CB zodanig op AI valle, dat zy gelyke hoeken ABC en CBI maakt, die dus recht genoemd worden: 20. dat de lyn GE zodanig op DF valle, dat zy gelyke hoeken DEG en GE F maakt, die dus ook recht genoemd worden ;



14 /. Boek; Over de lynen, en zyden der Figuuren.
• den: «ra dan te bewyzen dat de rechte hoek GEF gelyk is aan den rechten hoek CBI, onderftelt men, dat E op B, en EG langs CB gefield worde: en men toont aan, dat men in ongerymdheid vervalt, indien men onttelt dan EF ergens anders dan langs BI valt, by voorbeeld, dat zy BF worde: en die ongerymdheid wordt uit dit I. Voorftel afgeleid , nadat men B aan de andere zyde van de lyn AI, tot in D verlengd heeft, aanmerking, euclides heeft die gelykheid der rechte hoeken,als eene zaak die van zelf fpreekt, aangenomen: doch pkoclus heeft te recht beweerd, in zyne aanmerkingen op dien Schryver, dat de zaak beweezen moest worden. Men zie denzelven, zo als ook clavius in zyne Aanmerkingen op het 12 Axioma van het I. Boek van euclides.
III. GEVOLG.
Daar dan de rechte hoeken allen aan elkander gelyk zyn, en dus eene bepaalde en beftendige grootte hebben, leevert die hoek eene eigenaartige maat uit, welke tot het bepaaien der grootte van alle andere hosken zal kunnen dienen,
H. g. $. 19.
II. VOORSTEL.
Fig. 6. doch waarin het thans niet nodig is, dat DB loodrecht zy op A C.
Indien twee rechte lynen (AB en BC) eene derde lyn (DB) in het zelfde flip (B) ontmoeten , zodanig dat zy met dezelve twee hoeken maaken (ABD en D B C) die , te famen genomen , gelyk zyn aan twee rechte hoeken , zullen die twee rechte lynen (AB , BC) maar eene en dezelfde rechte lyn (AC) uitmaaken.
eucl. I. 14. St. p. 17. pr. r. 3 Gevolg.
«ewïs. Het wordt afgeleid uit de ongerymdheid daar
Uien



I. Afd. Over de rechte lynen.
IJ
snert in vervalt, met hst tegendeel te ftellen , en te beweeren, dat niet AB fl.e.e.htë de verlenging van BC is, en met deeze maar ééne lyn AC uitmaakt, maar dat EB by voorbeeld de verlenging van B C zoude zyn. De ongerymdheid is uit het I Voorftel blykbaar. aanmerking. Dit Voorftel is ftechts het omgekeerde van het voorgaande.
III. VOORSTEL. Fig. 2.
Indien twee lynen (AB, CE) elkander in een ftip (D) fnyden, zullen de tegenoverftaande hoeken of fchriks • hoeken die om dat ftip (D) gevormd worden (ADE en CDB; ADC en EDB) aan elkander gelyk zyn.
eucl. I. is. W. g. 61. St. p, 18. pr. 2.
bewys : Uit het eerfte Voorftel.
aanmerking. Dit Voorftel komt my voor geen bewys nodig te hebben , en onder de algemeene kundigheden gefteld te moeten worden, daar A D en DE noodwendig dezelfde onderlinge helling hebben, als CD en DB, en dus eenen even grooten hoek maaken.
GEVOLG.
Alle hoeken, die om een ftip gemaakt kunnen worden, zyn altoos te famen genoomen gelyk aaa vier rechte hoeken.
ïuclI. is.CorW.g.J. 63—St. p. 18. pr. 2. 1 Gevolg.
IV. VOORSTEL. Fig. 7.
Wanneer eene rechte lyn (CK) twee evenwydige lynen AD en GE fnydt, maakt zy altoos de overhand'fche of verwis/etende hoeken (ABF en BFE: of DBF en BFG) gelyk aan elkander: en de twee inwendige hoeken (ABF en BFG, of DBF en BFE) die aan den zelfden kant ftaan , te famen ge. lyk aan twee rechte hoeken.
En



■ i6 I. Buck: Over de lynen, en zyden der Figuuren.
En omgekeerd : zo eene lyn (CK) twee andere (AD, GE) zodanig fnydt , dat of de overhandfche hoeken (ABF en BFE, of DBF en BFG) gelyk zyn : of de fom der beide inwendigen (ABF en BFG of DBF en BFE) aan denzelfden kant, gelyk is aan twee rechte hoeken, zullen die beide rechte lynen (AB, GE) evenwydig aan elkander zyn.
eucl. I. 29. 28. 27. W.g.597. 98. St. p.30.
pr. 12: p. 32. Cor. 3.
bewys : Voor het eerfte gedeelte door het 3de Voorftel, en de 8fte liepaaling.
Voor het tweede gedeelte, door het 1 Voorftel, en de 8fte liepaaling.
Voor het omgekeerde: uit de ongerymdheid waarin men vervalt, zo men het tegendeel ftelt, nameiyk, dat AB en G S niet evenwydig zyn, en dus dat eene andere lyn, by voorbeeld BK, met GE evenwydig is: en die ongerymdheid volgt uit de vergelyking van die onderftelling met de gegeevene ftellingtn, en het beweezene in het eerfte gedeelte.
V. VOORSTEL. Fig. 21.
Zo twee of meer lynen, (CD, EF) aan ééne en dezelfde lyn (AB) evenwydig zyn, zyn zy ouk evenwydig aan elkander. eucl. I. 30.
bereiding. Men trekt de lyn GL, die de gegeeven lynen fnydt.
bewys. Uit de 5de Algemeene Kundigheid, en de 8fte Bepaaling.
VI. VOORSTEL. Fig. 22.
Zo de lyn CL, twee lynen BG en IH zodanig fnydt, d'-u de inwendige hoeken (GDK en DKH) aan den zelfden kant te famen kleiner zyn dan twee rechte hoeken,
zul-



I. Afd. Over dt rechte lynen. 17
'gullen die twee l,nen, (zo het nodig is verlengd zynde) «lkander ergens naar dien kant fnyden (in F.) Iekeibing. Men onderftelt (door de IV onderftelling) dat de lyn AE , die door het ftip D gaat, evenwydig ii aan iF,
bewys. Uit het IV Voorftel, en de V Algemeene Kun•dighetd.
I aanmerking, euclides heeft dit Voordel onder de Algemeene Kundigheeden gefield, het is nameiyk by hem de XI: doch het behoort onder die klasfe nitt: zie koe3sig over het XI Axioma en de XXVII Propofitie van het I Boek, en tacquet over de XXXI Propofitie. De Heer Montlcla gist te recht, dat dit Axioma, door de onnaauwkeurigheid der oude copisten , uit zyne wanre plaat» gerukt is , en dat het eene gevolgtrekking was van de XX VIII Propofitie. (Hiftoire des Mahematiques T. 1. p. 221.) Ook wordt dit Voorftel in een oud Arabisch Handfchrift van euclides, dat te Rome bewaard wordt, wel degelyk beweezen.
GEVOLG.
Evenwydige lynen fnyden elkander nimmer, hoe veel zy öok verlengd worden: en omgekeerd: twee lynen die elkander nimmer fnyJen, zyn evenwydig.
bewys. Uit dit Voorftel, vergeleeken met het IV, leidt
men de ongerymdheid af, daar men in vervallen zoude,
indien rren dit niet onderftelde.
I. aanmerking. De Bepaaling van euclides dat twee ly. hen, die elkander nimmer fnyden, evenwydig zyn, volgt dan ook uit de onze.
II. aanmerking. Uit dit Voorftel volgt, dat men uit de uiteinden (D en K) eener rechte ljn DK, lynen (DF, K F) trekken kan , die elkander in een ftip F fnyden: en dus dat een Driehoek mogelyk is. Het volgt verder, dat een driehoek DFK op zyne groudlyn DK op het
B hoogst



1.8 /. Bock: Outf de lynen, en zyden der Figuuren,
hoogst maar eenen rechten hoek hebben kan. Doch wy zullen dit algemeener in het tweede Gevolg van het VII Voorftel bewyzen.
Hl, aanmerking. Men zoude ook uit dit Voorftel, gepaard met het IV, kunnen opmaaken, dat de drie hoeken van een driehoek, tefaamen genomen, gelyk zyn aan twee rechte hoeken , doch dit zal de ftof van het VU Voorftel zyn.
II. AFDEELING.
over de zyden en hoeken der driehoeken, en parallelogram men.
VII. Voorstel. Fig. 23. In alle driehoeken, (ABC) is de uitwendige hoelc (BCE) die eene der zyden (BC) met de verlengde aanleggende zyde (AC) maakt, altoos gelyk aan de fom der beide tegenover ftaan de inwendige hoeken CA en B): en de drie hoeken zyn te famen genomen altoos gelyk aan twee rechten.
eucl. I. 32. — W. g. §. 101. — St. p. 32 prop 13, bereiding. Men vooronderftelt dat 'er uit C eene lyn CD evenwydig aan de zyde AB getrokken is. bewys : Voor het eerfte gedeelte uit het IV Voorftel en de VIII Bepaling.
Voor het tweede gedeelte uit het I Voorftel, en het eerfte gedeelte.
I. gevolg.
'Er kunnen rechthoekige, en ftomphoekige driehoeken zyn.
II. gevolg.
. Een driehoek kan niet meer dan éénen rechten of éénen ftompen hoek bezitten. Zie III Aanmerking op het VI Voorftel. W. g. j. ioï, 103.
IIL



/ƒ. JfJ. Over de zyden en hoeken van driehoeken. 19
III. GEVOLG. (Fig. £5.)
Wanneer de fom van twee hoeken (A en B) in eenen driehoek (ABC) gelyk is aan de fom van twee hoeken (D en E) in eenen anderen driehoek (DEF)» het zy die hoeken onderling gelyk zyn „ (üamelylc A gelyk aan D, B gelyk aan E) dan niet 5 zal altoos de derde hoek (ACB) in den eerstgemelden driehoek (ABC) gelyk zyn aan den derden hoek (F) van den laatstgemelden (D E F): en omgekeerd. W. g. 5. 105. — Sc. p. 33. 1 Gev.
IV. GEVOLG.
De uiteilyke hoek (B CE Fig. 23.) is altoos grooter dan een der beide overftaande inwendigen (A of B).
EUCL. I. 1(5.
V. GEVOLG. Fig. 24.
Indien men uit een gegeeven ftip (B) eene lyn (BA) naar welgevallen op eene andere lyn ACE laat vallen; en dan uit het zelfde ftip nog meer andere lynen (BD, BC): zullen deeze lynen aan den zelfden kant des te grooter uitwendige hoeken (BCE, BDE) en des te kleiner inwendigen (B C A, B D A) maaken, naarmaate zy meerder van de eerfte lyn (AB) afwyken.
VI. GEVOLG,
Indien men uit den top vaneenen driehoek eene loodlyn op de grondlyn laat vallen, zal deeze (BD, Fig. 26.) binnen den driehoek vallen, zo de hoeken (A en C)op de grondlyn (AC) beide fcherp zyn: doch buiten den driehoek (zo als CD fig. 57.) zo een der hoeken (CAB) op de grondlyn (BA) ftomp is.
B a Vilt



*• l Boek: Over de lynen, en zyden der Figuuren,
VIII. voorstel. Fig. 25,
Wanneer twee driehoeken (ABC en DE F) zodanig gefield zyn: dat een der hoeken (B) van den eerften gelyk is aan een der hoeken (E) van den anderen, en dat beide beenen (BA, BC) van den gemelden hoek (B) in den eerften driehoek onderling gelyk zyn aan de beide beenen (DE, EF) van den gemelden hoek in den anderen driehoek, (nameiyk BA gelyk aan DE, BC gelyk aan EF) zal i°. de derde zyde (AC) gelyk zyn aan de derde zyde (DF): 2°. de hoeken die in de beide driehoeken over gelyke zyden ftaan, zullen ook gelyk zyn (nameiyk A aan D , ACB aan DFE) en 3°. de driehoeken zelve, dati is de ruimten die zy influiten, zullen ook even groot zyn.
eucl. I. 4. — W. g. §. 7o. — St. p. 41. pr. 3. bewys. Men vooronderftelt dat men den driehoek DE F, by voorbeeld, zodanig op den driehoek ABC plaatst, dat de kruinen B en E, zo als ook dat de zyden D E en AB op elkander komen: en men befluit dan uit de VI Bep. 3 Aanm. en uit de IV en III Algem. Kundigheid, dat alle de overige deelen ook overeenkomen , en dus gelyk zyn.
I. aanmerking. Men kan het derde gedeelte niet om. keeren, en zeggen: dat alle.de driehoeken die gelyk zyn, dat is, wier ruimten gelyk zyn, ook gelyke hoeken, en gelyke zyden bezitten: wy zullen in het II. Boek bewyzen, dat veele driehoeken gelyk zyn, wat den inhoud , of ruimte die zy bevatten, betreft, zonder dat er gelykheid van hoeken of zyden plaats heeft; dat is, zonder dat zy in allen opzichte gelyk zyn.
II. aanmerking. De onderftellingen, in welke dit Voorftel plaats heeft, zyn i». de onderlinge gelykheid van twee zyden in beide de driehoeken, ieder aan ieder: en dan i«. de gelykheid, niet van twee hoeken in het algemeen,
een



II Afd Over de zyden en hoeken var, driehoeien. 21
een'in ieder1driehoek, maar juist van die hoeken, welke tusfehen de gelyke zyden begreepen zyn. Hier moet men behoorlyk opletten; indien men de gelykheid onderftelde niet van den hoek, tusfehen de gelyke zyden begreepen, maar, van een' der hoeken, die in ieder' driehoek over een der zyden (laat die in ieder gelyk zyn, dan zoude hetbefluit niet algemeen zyn, maar alleen voor de rechthoekige driehoeken in het algemeen, en voor de overigen in een byzonder geval plaats hebben, welke beid» ftukken het voorwerp zyn van ons XI Voorftel6. Gevolg, en van het XiII. Voorftel.
IX. VOORSTEL. Fig. 25.
Wanneer twee driehoeken (ABC en DE F) zodanig gefield zyn, dat eene zyde (AC) van den eenen gelyk is aan eene zyde (DF)vaa den anderen : en dat twee hoeken van den eenen gelyk zyn aan twee hoeken van den anderen, ieder aan ieder, (byvoorb. ZBACr/EDF L AC B — L DFE) zal i°.de derde hoek B gelyk zyn aan den derden hoekE: fl°. zullen de overige zyden ook aan elkander gelyk zyn, die nameiyk, welke tegen over gelyke hoeken ftaan, (dat is AB = DE: BC = EF).
eucl. I. 26. — W. g. 5. 71. — S. p. 41. pr. 21. bewys. Voor het eerfte guleelte uit het 3de Gsvolg van het VII. Voorftel.
Voor het tweede gedeelte, door te onderftellen, dat de lyn A C gefteld worde op DF, en aan te tonen, dat, daar de hoek D gelyk is aan A, en F aan ACB, en dui de lynen DE en EF met AB en BC moeten overéénkomen, ook BA gelyk aan DE zyn moet, om dat men, zo dit dus niet was, en b. v. A G gelyk aan D E vooronderfttld wierd, in ongerymdheden zoude vervallen, in gevolge van het VIII. Voorftel. Men trekt dan tot bereiding de lyn CG.
B t t



1% I. Boek: Over de lynen, en zyden der Figuuren*
I. gevolg.
De geheele driehoek ABC is gelyk aan den geheelera driehoek DE F: dat is, de ruimten die zy bevatten, zyn even groot.
aanmerking. De Aanmerking, diewyop het VIII Voorfel gemaakt hebben, is ook hier toepaslyk.
II, gevolg. Fig. g.
Alle de loodlynen (BL, CK), die men tusfehen twee evenwydige lynen (AF, BG) trekken kan, zyn altoos aan, elkander gelyk:en omgekeerd, als de loodlynen die tusfehen twee lynen getrokken kunnen worden, allen gelyk aan elkander zyn, zyn de gemelde lynen evenwydig.
bewys. Het wordt uit dit Voorftel en uk het IV. ontleend, na dat men de lyn BK getrokken heeft. aanmerking. Men ziet dusj hoe, uit onze bepaling van de evenwydige lynen, ook die volgt, welke fomrnige fchryvers geeven, dat nameiyk die lynen evenwydig zyn, welke zodanig gefteld zyn, dat de loodlynen tusfehen dezelven begreepen, gelyk zyn.
X. voorstel. Fig. 26 en 27.
Indien in eenen driehoek (A C B) de hoeken (A en C) op de grondlyn gelyk zyn, is die driehoek een gelykbeenige driehoek, (dat is AB = BC.) eucl. I. 6. — S. p. 36. Gev.
eerste bewys Fig. 26. Men onderftelt dat B D uit B
loodrecht op AC valle: en het bewys wordt uit het IX.
Voorftel ontleend.
tweede bewys Fig. 27. Dit is het bewys door euclides gegeeven. Men verlengt de beenen BA en BC : maakt AE —CF: en trekt AF, CE: het bewys volgt danuit het VII Voorftel, deszelfs III. gevolg: de gegeeven onderftelling, en het VUL en IX. Voorftel.
I.



ƒ/. Af li. Over de zyden en boeken van driehoeken. 23
I. GEVOLG.
'Er kunnen gelykhoekige driehoeken zyn, dat is, driehoeken waarin de drie hoeken allen gelyk zyn.
II. GEVOLG.
Een gelykhoekige driehoek is altoos gelykzydig. W. 5. in.
XI. VOORSTEL. Fig. 26, 27.
In eenen gelykbeenigen driehoek (ABC), zyn altoos de hoeken (A, C) op de grondlyn gelyk aan elkander; zo als ook, zo de beenen verlengd worden, de hoeken (EAC en AC F) onder de grondlyn. el cl,. I. 5- — W. g. S- I07 — s- P- 22- Pr' 4eerste bewys Fig. 26. Men onderftelt dat de lyn BD den tophoek ABC in twee gelyke deelen fnydt, ABD en D B C; en dan volgt het bewys uit het VIII. Voorftel. tweede bewts Fig 27. Dit is het bewys door euclides gegeeven. De bereiding beflaat hierin, dat men A E en CF gelyk ftelt, en de lynen AF en CE trekt: het bewys wordt vervolgens ontleend uit het VIII en IX Voorftel.
I. GEVOLG. Fig. 25.
Indien eene lyn B A met eene andere lyn A C eenen fcherpen hoek BAC maakt, zal men uit het ander eind C van die tweede lyn AC geen lyn kunnen trekken, die met dezelve eenen hoek maakt, aan den eerstgemelden hoek gelyk, en die tevens aan de eerstgemelde lyn BA gelyk is, ten zy zy deeze in het eind B ontmoete.
Het Bewys wordt door hetXVooiftel opgemaakt, uit de ongerymdheid daar men in vervalt, als men ftelt dat BC de lyn AB ergens anders, by voorbeeld in G, ontmoet,
B4 II.



24 /- Boek: Over de lynen, en zyden der Figuuren,
II. GEVOLG.
Een gelykzydige driehoek is altoos gelykhoekig 3 en ieder hoek is twee derde gedeelten van een' rechten Jioek.
W. g. 5. 108. — S, p 23. Gev. 3. Het laatfte gedeelte wordt uit dit Voorftel, met het Vil gepaard, opgemaakt.
III. GEVOLG.
Een gelykbeenige driehoek kan geen' rechten hoek dan alleen in den top bezitten.
Het bewys wordt uit dit Voorftel en het 2 Gevolg vaa het VII. opgemaakt.
IV. GEVOLG. Fig. 26..
Een loodlyn (BD) uit den top van eenen-gelykbee». nigen of gelykzydigen driehoek (A B C) op de grondlyn (AC) neergelaaten, fnydt die lyn in twee gelyke deelen (AD en DC), en deelt insgelyks den tophoek (ABC) in twee gelyke hoeken.
En omgekeerd; die lyn welke uit den top van eenen gelykbeenigen of gelykzydigen driehoek (ABC) nedergelaaten wordt, en, of den tophoek, of die grondlyn in twee gelyke deelen verdeelt, ftsat loodrecht op de grondlyn AC.
tacquet op de 26 Prop. van euclides I Boek. ■ 1...
W. g. S 107. — St. p. 23. Gevolg i en 2.
bewys. Het wordt uit dit Voordel, met het IX gepaard,
ontleend.
aanmerking. Men kan thans de oplosfing van het 3. en de eerfte oplosfing van het 4 Werkftuk uit ons eerfte Boek verrichten.
V. GEVOLG. Fig. 133,
Indien op dezelfde grondlyn, (AC) twee" verfchil-



11. Jfd, Over de zyden en boeien van drie-boden, 2j
fchillende gelykbeenige driehoeken ABC, en AGC ftaan, zal de lyn (BG) die door de toppen (B enG) der beide driehoeken gaat, tot op de grondlyn (AC) in E verlengd , die grondlyn in twee gelyke deelen fnyden, en loodrecht op dezelve ftaan. bewys. Het wordt uit dit Voorftel met het IX. gepaard, en op de driehoeken ABG en GBC toegepast , ontleend : men bewyst nameiyk de gelykheid der hoeken ABG en GBC: waar door de lyn BGE in het geval van het IV. Gevolg vervalt.
VI. GEVOLG. Fig. 26.
Twee rechthoekige driehoeken (ABD, BDC) ia welke de fchuinfche zyden (AB, B C) gelyk aan elkander zyn, en eene der rechthoekzyden(BD) ook gelyk in beiden; zyn in allen opzichte gelyk.
W. J. 96. — S. p. 28. pr. 11. bewys. Men üelt de driehoeken met de rechthoekzyde BD, d ie in beiden gelyk is, tegen elkander; dan maaken AD en CD eene rechte lyn (II. Voorftel) : en het overige wordt uic dit Voordel, en zyn 4. Gevolg afgeleid.
VII. GEVOLG, Fig. 27.
Inditn men op de beenen (AB, BC)van eenen gelykbeenigen driehoek, of op derztlver verlengden, uit den top B, gelyke deelen affnydt (BE, BF,) zal de lyn (EF) die de uiterften (E, F) van die lynen vereenigt, met die lynen eenen gelykbeenigen driehoek (BEF) maken, waarvan de hoeken onderling aan die van den gegeeven' driehoek (A B C) gelyk zyn zullen , en wiens grondlyn (ÈF) evenwydig aan de grondlyn (AB) van den gegeeven' driehoek zyn zal.
bewys. Het volgt uit dit Voorftel, uit het 3 Gevolg van
het VII. en de VIII Bepaling.
VIII.



26 /. Boek: Over de lynen, en zyden der Figuuren: VIII. gevolg. Fig. 165.
Indien men uit een der hoeken C op de grondlyn van eenen gelykbeenigen driehoek AGC, op de overftaande zyde , zo het nodig is verlengd , eene lyn CD gelyk aan een der beenen Iaat vallen, zal de hoek D CE welke die lyn met de verlengde grondlyn A C maakt, het drievoud zyn van den hoek op de grondlyn, GCA of G AC.
aanmerking. Wy zullen in het Gevolg van het VIII.
Voordel in het VIII. Hoek toonen, welken invloed dit
heeft op het vermaard Vraagfluk de verdeeling van eenen
hoek in drie gelyke deelen betreffende.
XII. voorstel. Fig. 28.
Indien ieder der drie zyden van eenen driehoek (ABC) gelyk is aan eene byzondere zyde van eenen anderen driehoek (DEF): (nameiyk ABaan DE, AC aan DF, CB aan FE) zullen ook de hoeken, die over de gelyke zyden ftaan, gelyk zyn: (nameiyk ZBAC=EDF, ^ ABC —DEF : ZACB = DFE).
eucl. I. S. — W. g. 5. 72. S. p. 24. pr. 5.
bewys. Het wordt ontleend uk de ongerymdheid, waarin men vervalt, met te ftellcn dat zo D F op AC geplaatst wordt, de lyn DE niet op AB, zoude vallen , en dus de hoek FDE niet aan BAC gelyk zoude zyn: maai dat de lyn DE zoude vallen, het zy binnen den hoek BAC, het zy 'er buiten: de ongerymdheid wordt uit bet XI Voorftel afgeleid, fiellende AG — AB, en trekkende B G.
I. aanmerking. Dit Voorftel kan ook rechtflreeks beweezen worden: met, zo als in Fig. 133. de beide drie. hoeken tegenover elkander te plaacfen op dezelfde grondlyn AC: en dan BG te trekken. Men gebruikt het XL en het VIII. Voorftel in het I'ewys.
I. g e-



11. Afd. Over de zyden en hoeken van dri.hoeken. 27
I. GEVOLG»
De beide driehoeken zyn gelyk aan elkander; dat is, de ruimten die zy bevatten zyn even groot.
II. aanmerking. Met lette op het geen wy in de Aanmerking op het VIII. Voorftel gezegd hebben.
III. aanmerking. Men kan thans het 3 Werkftuk van on» II. Boek oplosfen.
II. GEVOLG.
Uit het Bewyi in de I. Aanmerking vermeld volgt, dat de hoeken om E recht zyn : Indien men dan twee driehoeken ABC en AGC, in welke ieder der drie zyden in den eenen gelyk zyn aan eene byzondere zyde van den anderen, tegen elkander plaatst, zodanig dat eene der zyden (AC) aan beiden gemeen worde, en de gelyke hoeken (BAC, en GAC: BCA en GCA) aan den zelfden kant boven en onder gefield worden: zal de lyn, die de toppen der beide driehoeken vereenigt, loodrecht op de gemeene grondlyn A C ftaan, en door dezelve in twee gelyke deelen gedeeld worden.
III. GEVOLG.
In de Figuur zyn B C G en B A G geiykbeenige driehoeken, wier gemeene grondlyn B G is: en dus indien men op dezelfde grondlyn BG aan verfchillende kanten twee geiykbeenige driehoeken ftelt, (gelyk of ongelyk) zal de lyn die derzelver toppen veréénigt, loodrecht op de grondlyn ftaan, en dezelve , zo als ook de tophoeken , in twee gelyke deelen verdeelen.
IV. aanmerking. Hier door worden de 5, 6, 7 Werkftukken van het I. Boek, en het 1 en 4 van het II Boek, opgelost.
V. aanmerking. De vergelyking Van dit III. Gevolg met het V. Gevolg van het voorgaand Voorftel leert ons, dat dezelfde eigenfehap plaats heeft, het zy de geiykbeenige
drie-



28 L Boek: Over de lynen, en zyden der Figuuren,
driehoeken beide boven, of beide beneden de grondlyn geplaatst worden.
XIII. VOORSTEL. Fig, I34, 135.
Indien in twee driehoeken (ABC en DE F) twee zyden van den eenen onderling gelyk zyn aan twee zyden van den anderen (A B — D E: B C — EF) e» een hoek (by voorbeeld A,) tegenover eene der gegeeven zyden (BC) ftaande gelyk is aan den boek (D,) die in den anderen driehoek over de gelyke zyde (EF) ftaat, zullen die driehoeken in alle opzichten gelyk zyn, zo de hoeken (C en F) welke in deze driehoeken tegen over de andere gegeven gelyke zyde ftaan, beiden of ftomp of fcherp zyn.
bereiding. Men ftelle de lynen BG en EH getrokken uit de hoeken B en E tu'fcben de gegeeven zyden (AB enBC, DE en EF) begreepen, op de tegenoverftaande zyden AC en DF loodrecht te zyn. bewys. Uit de gelykheid der driehoeken ABG en DEH door het IX Voorftel, en dan die der driehoeken BGC en E HF door het 6. Gevolg van het XI. Voorftel. aanmerking. De reden waarom vereischt wordt, dat in beide de driehoeken, de hoek die over de tweede gegeeven zyde ftaat, of fcherp of ftomp zy, is dat de gelykheid van AC en DF uit die van AG met D H .en GC met HF wordt afgeleid, en dat het alleen is uit de gemelde onderftelling, dat C en F beiden ftomp, of beiden fcherp zyn, dat men weet of dat DF het verfchil is van DH en HF, zo AC het verfchil is van AG en GC: of de fom van DH en H F zo A C de fom is van AG en G C (6. Gevolg van het VII. Voorlid.)
GEVOLG.
Alle rechthoekige driehoeken, zo als ook alle Ibmphoekige waarin deftompe hoeken gelyk zyn, zyn gelyk, indien twee zyden om een der fcherpe hoeken ftaande, gelyk zyn.
XIV.



//. Jfd. Over de zyden en hoeken van driehoeken. 29
XIV. voorstel. Fig. 24.
In alle driehoeken (ABC) (laat altoos de grootfte hoek (ABC) over de grootfte zyde (AC) en de grootfte zyde (AC) over den grootften hoek (ABC). eucl. I. ig. 19. — S. p. 36 pr. 14
I. gedeelte, beheiding. Stel AD —AB. trek B D. bewys. Uit het XI. Voorftel: en het 4. Gevolg van het VII.
II. gedeelte: Het wordt beweezen uit de ongeiymdheid daar men in vervalt, indien men AC gelyk aan AB, of kleiner dan AB ftelt : men gebruikt voor de eerfte onderstelling het XI. Voorftel: voor de tweede het beweezene in bet I Gedeelte.
- I. gevolg. Fig. 57.
Van alle de lynen (CB, CA, CD) die men uit een gegeeven ftip (C) op eene andere lyn (AB) kan laaten vallen, is de loodlyn (CD) de kleinfte: de Overigen zyn des te kleiner, naar maate zy nader by de loodlyn ftaan (C A ^CB) : uit dat ftip kan niet meer dan ééne loodlyn getrokken worden: en 'er kunnen niet meer dan twee lynen getrokken worden (A B en B C Fig. 26.) die gelyk aan elkander zyn: welke wederzyds gelyke hoeken rriet de loodlyn zullen maaken, en even ver van dezelve afftaan.
tacquet op de 32 Prop. van het I. Boek van euclides Cor. 14. — St. p. 53. Cor. 2. 3. bewys. Het eerfte, en tweede gedeelte volgt onmiddelyk uit dit Voorftel: en het derde wordt met behulp van het 2 Gev. van het VII. Voorftel: en het vierde met be. hulp van het XI. Voorftel, daaruit afgeleid.
II. gevolg.
Daar de loodlyn de kortfte is, heeft zy eene bepaalde grootte: en levert dus een eigenaartige maat
op



3o I. Boekt Over de lynen, cn zyden der Figuuren.
op, om den afftapd van een rtip tot eene rechte lyn te bepaalen. J St- p, 29. Bep. 26. L rrRK1NG' Debepaaiing, doorfon.migenvan.deeven, vyd.ge lynen gegeeven,- dat zy „amelyk die zyn, welke akoos opden «Ifden afftand van elkander zyn, s at niet door, ten zy dit Gevolg eerst beweezen zy.
III. gevolc. Fjg. 63. Indien men uit een ftip (A) eene fehuinfche lyn (AH) op eene andere lyn GK getrokken beeft, kan men aan eenen en denzdfden kant van die lyn (AH) geen twee lynen (AI, AH) trekken, die grooter dan de gemelde en tevens gelyk aan elkander zyn: doch men kan 'er wel aan denzelfden kant twee (AD, AB) trekken , die beide klei«er dan de gemelde gegeeven Iy„ zu||eu zyn en echter aan elkander gelyk : de eene zal dan aan den eenen, de andere aan den anderen kant van de loodlyn vallen: de eene zal met de grondlyn , naar den kant van de gegeeven lyn (AH) eenen ftompen hoek (ADH) de andere eenen fcher. pen hoek (ABH) maaken. II. aahmmkwg. Dit is de reden, waarom fommige fchryvers in plaats van de voorwaarde, onder welke w gezegd hebben dat het XIII. Voorftel plaats heeft; deez' Hellen : mits de zyden (BC en EF Fig. 134 r„ ) over de gelyke hoeken (AenD) ftaande, grooter zyn dan de aangrenzende (AB, DE) ; doch dan fc het Voorfte, alwaar in dat byzonder geval, maar het is niet in het alge. meen vafcch, zo die voorwaarde ontbreekt, en het tegengeftelde plaats heeft:want de driehoeken kunnen gelyk zyn , al zyn die tcgenovergefte.de zyden kleiner dan de aangrenzende, doch mits zy beide of ftompe of fcherpe hoeken met de derde zyde maaken; waarom wy het XIII. Voorftel liever op die wyze.als wy gedaan hebben, heb. ben uitgedrukt. xaesten. §. 83. en 5, 87.
XV.



11. Jfd. Over de zyden en helen van driehoeken. 31
XV. VOORSTEL. Fig. 30.
In alle driehoeken (A B C) zyn twee zyden (A B, BC) naar welgevallen te famen genomen, altoos grooter dan de derde (AC).
eucl. li 20. — Sc. p. 36. pr. 15.
bereiding. Men onderftelt CB zodanig verlengd te
zyn, dat DB — AB is; men trekt A D.
sk-vys. Uit het XI. en XIV. Voorftel.
I aanmerking. De bepaaling die fommigen van de rechte
lyn geeven: dat zy de kortfte is tusfehen twee Hippen :
gaat niet door ten zy dit Voorftel eerst beweezen zy.
II. aanmerking. Men is in ftaac het 1. Werkftuk van het
III. Boek optelosfen.
XVI. voorstel. Fig. 31.
Indien men van de uitein den Aen C vaneenezydein eenen driehoek (ABC)'twee lynen (AD , CD) naar een en hetzelfde ftip D binnen den driehoek trekt: zullen die twee lynen te faamen genomen, kleiner zyn dan de beide overige zyden (AB, BC) des drie* hoeks te famen genomen : maarzy zullen een' grooter' hoek (A D C) bevatten.
eucl. I. 21. — St. p. 37. pr. 16.
bereiding. Men trekt BD tot E, en verlengt AD tot F.
bewys. Voor het eerfte gedeelte, uit het XV. Voorftel. Voor het tweede gedeelte uit het 4 Gevolg van het
VII Voorftel.
I aanmerking. Men kan ook de lyn B DE misfen, en ah leen uit de vergelyking der hoeken AD C en A FC, A FC en ABC redeneeren.
II Aanmerking. Zo men het ftip D op een der zyden neemt, by voorb. in F, heeft men maar ééne lyn uit A te trekken, en het Voorftel behoudt ook in dat geval zyn kracht.
XVII.



33 /. Boek: Over de lynen: en Zyèn der Figuuren:
XVII. voorstel. Fjg. 24*.
Wanneer in twee driehoeken ABC, DE F, twee zyden van den eenen (AB , BC) onderling gelyk zyn aan twee zyden (DE, EF) van den anderen, doch een' grooter' hoek (ABC) bevatten: zal ook de derde zyde (AC) van den eerstgemelden driehoek (ABC) grooter zyn dan de derde zyde (DF) van den anderen driehoek (DEF). eucl. I. 24. S. p. 4o.pr. 22.
bereiding: Men fielt den hoek D E G — A B C: EGz:
BC: en trekt DG, FG.
bewys. Uit het VIII, XI en XIV Voorftel bewyst men de gelykheid van DG en AC, van de hoeken EGF en EFG; en dus dat £DFG grooter is dan DGE: en DG grooter dan DF.
XVIII, voorstel. Fig. 32.
Wanneer tvvee lynen (AB en CD) gelyk en tévens evenwydig aan elkander zyn: zullen de lynen (AC en BD) die dezelven veréénigen, ihsgelyks gelyk en evenwydig aan elkander zyn. eucl. I. 33. — st. p. 42. pr. 22. bereiding. Men trekt eene lyn (CB) die uit eene det hoeken (C) naar den tegenoverftaanden (B) gaat. bewys. Uit het IV en VIII Voorftel leidt men af, dat de driehoeken ABC en CBD in *lle opzichten gelyk zyn.
XIX. voorstel. Fig. 33,
Ineen parallelogram (ABDC) zyn altoos de tegenovergeftelde zyden (AB en CD, AC en BD) gelyk aan elkander: de tegenovergeftelde hoeken (A en D, ABD en ACD,) zyn het ook, en het geheele parallelogram wordt door den diagonaal in twee gelyke deelen (ACB, en CBD) gefneeden. eucl. I. 34. St. p. 43, pr. 23,
sewys.1



ïï. Afd. övcf de zyden en boeken van drhboekèn. 33
bewys. Uit het IV. en IX. Voordel toont men aan, dat de driehoeken ACB en CBD in allt opzichten ge* lyk zyn.
I. gevolg.
Een driehoek CC B D) is de helft van een parallels ram ( A B D C) dat op dezelfde grondlyn (C D~) et? tusfehen dezelfde evenwydige lynen zodanig gefteld is, dat het eenen hoek (D) gemeen hebbe met den driehoek.
i. aanmerking. In het 6 gevolg van het I Vocrftel van het II Boek,zullen wy toonen dat zulks ook plaats heeft, al is de hoek (D) in het parallelogram verfchillend van dien in den driehoek.
II. gevolg.
Zo twee naastliggende zyden vat? een parallelogram gelyk zyn, zullen zy alle vier gelyk zyn: en men verkrygt eene ruit. Zo boven dien eene hoek recht is, zyn zy allen recht, en men heeft een vierkant. Zo de naastliggende zyden ongelyk zyn doch eenen rechten hoek maaken „ heeft men een rechthoekig parallelogram, of eenen rechthoek (Bep. XIII.)
aanmerking. Men kan thans het 4 en 7 Werkftuk van
het III Beek oplosfen.
III. gevoeg.
In alle Vierhoeken, waarin de tegencvergeftelde zyden (A B en C D, A C en B D) gelyk zyn: zyn zy ook evenwydig: en de tegenovergeftelde hoeken zyn gelyk. bewys. Men onderftelc dat de diagonaal (C B) getrokken is: en men gaat voort uit het XII Voorftel, en dan uit | het IV.
ÏV. gevolg.
Indien men uit een ftip G van de diagonaal, de lynen C FGI



34- /. Boek: Over de lynen, en zyden der Figuuren.
Fol, en HGE evenwydig aan de zyden trekt, z<! het paxalleiogram in vier parallelogrammen verdeeld zyn, en de twee, (AG, cn GD) door welke de diagonaal i iet gaat, en die aanvul/els om de diagonaal genoemd v.orden, zullen gelyk zyn aan elkander.
eucl. 1. 43. —— Sc. p. 48. def. 31. p. 49- F< 30.
V. GEVOLG. Fig. 136.
De beide diagonalen (KM, LI) van eeH parallelogram fnyden tlkander in twee gelyke deelen. bewys. Uit de gelykheid der driehoeken LB M, en K B I.
XX. voorstel. Fig. 137. Indien 'er uit drie ftippen (I, B ,F) op een der zyden (AD) van een driehoek (ADE) op gelyke afftanden (IB, BP) van elkander geplaatst, drie lynen (INP, BC\FL) e.-enwydig aan de grondlyn getogen zyn: zullen die deden (NC, CL) van de andere zyde ( A E) tusfehen die lynen begreepen , ook gelyk aan elkander zyn. En omgekeerd, indien twee evenwydige lynen , (BC, FL), de zyden v,>n een' driehoek fnyden, en eene derde lyn, (IN),.van ieder een ftuk (IB, en N C) affnydt dat gelyk is aan dat ftuk (B F, C L) van ieder, het welk tusfehen de eerstgemelde lynen begreepen is: is die derde lyn evenwydig aan de twee eerften.
SlMPiON* I- 27.
Ïerbiding. Men ftelt dat de lyn PO door C evenwydig aan D A getrokken is, en de lynen IN verlengd, en FL, in P en O fnydt.
bewys. Uit het XIX Voorftel befluit men de gelykheid der lynen PC en CO: en uit het UI en IX die der lynen NC en CL.— Het tweede gedeelte, door het eerfte, uir. de befchouwing der ongerymdheid, daar men in vervalt Biet het tegendeel te ftellen-
«E-



JL 4fd. Over de zyden en boeken tan driehoeken. 35
g e Volg.
Indien men eene zyde van eenen driehoek in zo Veele gelyke deelen deelt als men wil, en uit iedef eene lyn evenwydig aan de grondlyn trekt, zullen die lynen de andere zyden in het zelfde aantal gelyke deelen fnyden.
aanmerking. Hier door kan men het 8 Werkftuk van
het I Boek oplosfen.
XXI. voorstel. Fig. 138.
Indien men de vier zyden van eenigen vierhoek (DCB A) in twee gelyke deelen deelt, zullen de lynen (HG, GF, FE, EU,), die de ftippen daar de deelinggefchied is verécragen, altoos een parallelogram uitmaaken, simi'Son. I. 29.
bereiding. Men trekt de diagonaalen DB, AC.
Bewys. Men befluit uit het XX Voorftel dat HG en ËF
parallel zyn aan AC: en HE en GF aan DB: waaruit
het voorftel door het V. Voorftel volgt.



TWEEDE BOEK*
OVER DEN INHOÜD DER RECHTLYNIGE FIGUUREN.
L AFDEELING.
OVER DE DRIEHOEKEN EN PARALLELOGRAM M E N.
EERSTE BEPAALINGEN. I. Fig. 56.
De hoogte (C D) van eenige figuur (A C B) is de loodlyn (CD) die van den top (C) op de grondlyn (AB) valt: of, indien de figuur zodanig gefield is (Fig. 68.) dat de zyde (AB) die over de grondlyn (CD) ftaat, evenwydig aan dezelve is, de loodlyn (ED) die van die zyde op de grondlyn getrokken wordt: en de inhoud van eene figuur is de ruimte die tusfehen de lynen, waaruit die figuur beftaat, begreepen is.
eucl. VI. 4 bep. —— St. p. 244. def. 4.
I. aanmerking. Dereeden, waarom gemelde loodlyn de hoogte van eene figuur genoemd wordt, blykt uit het 2 gevolg van het XIV Voorftel des I Boeks.
I. GEVOLG.
Twee figuuren, die tusfehen dezelfde evenwydige lynen begreepen zyn, zyn even hoog: (uit deeze be> paling en gevolg 2. van Voorftel IX. des I Boeks.)
II. GEVOLG.
Twee figuuren worden gezegd gelyk te zyn, zo haare inhouden gelyk zyn.
II. aanmëkkins. Zo bovendien de zyden en de hoeken
van



I Afd. Over de Driehaekcn en Parallehgrammen. 37
van de eene figuur onderling gelyk zyn, aan de zyden en de hoeken van eene andere figuur, (zo als zulks by v. in het VIII, IX, en XII Voorftel van het eerfte Boek plaats had,) zyn niet alleen de figuuren, wat den inhoud betreft, maar ook in allen opzichte, gelyk.
II. Fig. 49.
Een rechthoek (EFGH) word gezegd de rechthoek van twee bepaalde lynen ("AB, en CD) te zyn, wanneer deszelfs grondlyn (GH) gelyk is aan eene van die lynen (AB, by voorbeeld) en deszelfs hoogte (EG) gelyk aan de andere lyn (CD). eucl. II. 1 bep. S. p. 75. bep.
I aanmerking. Wy zullen gelegenheid hebben in het 6 Gevolg van het Vil. Voorftel in het IV, Boek, de reden van deeze bepaaling uit te leggen.
GEVOLG. Fig. 51.
Het vierkant (ACEG) op eene lyn GE gefield, is een rechthoek uit twee gelyke lynen (GE en CE) gemaakt.
II aanmerking. Men duidt dikwerf een' rechthoek door de drie letters aan , die een' der hoeken bepaalen: by voorbeeld , men zegt den Rechthoek E G H , om den Rechthoek uit HG, en EGaan te duiden. Ookbyveelen, voonl onder de oude Wiskunstenaaren, en die, welke .hunne wyze van fchryven flipt volgen, zullen drie letters van eene lyn , achtereenvolgend geplaatst, den rechthoek aanduiden van de twee lynen door die letters uitgedrukt; by v. Fig. 54. Rechthoek A Hl: dat is , rechthoek uit AH, en Hl: de middelfte letter is die welke, met Ae eerfte en laatfte veréénigd, de lynen, die de zyden van den rechthoek zullen zyn , uitmaakt.
Hier van daan ook de uitdrukking der Ouden, het be. greepene door twee lynen, om den rechthoek door dezelven gevormd uit te drukken.
C 3 I.



38 U. Beek: Over de rechtlynige Figuuren, I. voorstel- Fig. 50. De parallelogrammen (BL, DL, DH) die op- de. zelfde grondlyn (ML) of op gelyke grondlynen (ML én IH) ftaan, en tusfehen dezelfde evenwydig© lynen (AF, MH) gefield, en dus even hoog zyn, hebben gelyke inhouden, of zyn gelyk.
Mtt- L 35, 36 W. J. i52, IS3. _ s. p.
pr. 24, 25.
blwys. Uit de bepaling der evenwydige lynen (f. Boek, bep. 8.) en uit het XIX. Voorftel van het L Boek, bewyst men etrst de gelykheid der driehoeken BD M en CEL: waar uit het overige volgt,
I. aanmerking. De reden van de gevolgtrekking en du» epz. in het voorftel zelve voo;komende, blykt uit het ï. Gevolg van de I. Bepaling.
I. gevolg.
Een parallelogram MC is gelyk aan den rechthoek OL, die dezelfde of eene gelyke grondlyn, (ML) heeft, en wiens tweede zyde (MO) om den rechten hoek gelyk is aan de hoogte (MO of PL) van het paralleloovam. Zo dat een rechtboek de eigenaartige maat is van de parallehgrammen.
II. gevolg.
Alle rechthoeken, die uit gelyke lynen gemaakt wor^ den, zyn gelyk.
III. gevolg. Fjg. 52.
De fom van verfcheiden rechthoeken (LI, QH, PG,) die de zelfde hoogte doch verfchillende grondlynen. hebben, is gelyk aan eenen rechthoek (LG) Wiens hoogte de zelfde , en wiens grondlyn de fom SM alle de gegeeven grojtdlynen. ft
tv.», U, 1, .. '
IV,



/. Afd. Ox?r :k Dtichozken en TarnUe'ogrammer,. $9
IV. KiïvOLC Fig. 51. En dus is het vierkant <^AE) van eene lyn (GE,) gelyk aan de fom der rechthoeken, (A F, B E) van de geheele lyn met ieder der deelen, waarin de lyn ver» deeld is.
eucl. II. 2. — St. p. 76. pr. 2.
V. gevolg. Fig. 51.
En dus indien eene lyn (GE) in twee deelen (GF, FE) gedeeld is, is de rechthoek uit die geheele lyn (GE) en een der deelen (FE) gelyk aan het vierkant (IE) op dat deel en den rechthoek (HF) der beide deelen (GF, FE) te faamen. elcl. II. 3. — St. p. 77. pr. 3.
VI. GEVOLG. Fig. 50.
Een parallelogram (ME, BL, of EI) is altoos het cubbeld van eenen driehoek, die op de zelfde grondlyn ttaat, en de zelfde hoogte heeft, of tusfehen de zelfde evenwydige lynen begreepen is.
eucl. I. 41- — Wf. S- '51- St. p. 47. pr. 28. II aanmerking. Indien men dit Gevolg met het I. Gevolg van het XIX. Voorftel in het I. Boek vergtlyl t, zal men zien. dat het geen toen beweezen werd plaats te hebben , wanneer de driehoek en het parallelogram eenen hoek gemeen hebben- , nu op alle driehoeken, boe verfchillende ook hunne hoeken van die der parallelogram* men zyn mogen, wordt toegepast.
III. aakmerking. Men is uit dit gevolg in ftaat het ir , Ï2..13. (I. Op o fin;;) 14. (L Oplosfing) 16, 17, 18,23, 24, 28&. Werküuk van het III. Boek op te losfen.
II. voorstel. Fig. 51. Indien eene lyn (GE) naar welgevallen in twee deelen (GF , F ë), het zy gelyke, het zy ongelyke, gedeeld wordt: is het vierkant (AE) op de geheele lyn, de fom van de vierkanten (AI, IE) op ieder C 4 deel,



40 II. Boekt Over de reebtlynige Figuuren.
deel, en van den dubbelen rechthoek (IG en IC) o» beide de deelen.
eucl. II. 4. s. p. 78. pr. 4.
bewys. Uit II, 1; 2de Gevolg.
I. GEVOLG.
Indien eene lyn in twee gelyke deelen gefneede» wordt, is het vierkant van de geheele lyn, het vier. voud van het vierkant op een der deelen,
II. GEVOLG.
En insgelyks, is het vierkant van een der deelen gelyk aan het verfchil tusfehen het vierkant van .re geheele lyn , en de fom van het vierkant van het tweede deel met den dubbelen rechthoek der beide deelen te famen. I aanmerking. Dit Voorftel knn veel algemeener uitgedrukt worden op deeze wyze. Indien eene lyn in zo veele deelen als men begeert gefneeden wordt, is het vierkant van de geheele lyn gelyk aan de fom van de vierkanten op ieder deel, en de dubbele fom der rchthoeken , die uit alle- de deelen, twee aan twee genomen, gemaakt kunnen worden. Want ftei de lyn in verfcheiden deelen a,b,c, gefneeden, zo is door ons Voorftel, □ uit (a •+• b ■+■ c) = □ uit (a -+. £,\ «f- 2 Rechth. uit (a b) en c -*- □ uit c: Maar het □ uit (a -t- b) en den rechthoek uit ( a -t- *) en c door dit Voorftel , en het III. Gevolg van het voorgaande ont> Wikkelende, heeft men □ ui't(a -+- b ->>- c) zz □ uita-h a rechth. uit a en 6 □ uit b -+- 2 rechth. uit a en c -+- 2 rechth. uit b en c -f- □ uit c, of, alles in «rde fchikkende, □ uit (a -*-&-+- c) — □ uit a -4- □ uit b ■+■ □ uit c 2 rechthoeken uit a-en b -4» 2 reththot* ien uit a en c -4- 2 rechthoeken uit b en <?. II aanmerkt c- Wy zullen in het 7 Gevolg van het VU, YQQiftd van hst IV. Soek , aantoonen dat men
van



ƒ. Jfd. Over de Driehoeken en Parallehgrammen. 41
van de vermenigvuldigingen en tweede magten of quadraaten van getalen verdaan kan , het geen wy hier van rechthoeken en vierkanten van lynen gezegd hebben. Pus zyn deeze beide Voorftellen op alle grootheeden toepaslyk : en dit algemeen Voordel leevert juist den regel op, dien men , om den vierkanten wortel uit een getal te trekken, volgt. Zie St. p, 175—185.
III. voorstel. Fig. 52.
Indien eene lyn (KG) in twee gelyke, (KI, IG) en in twee ongelyke deelen (KH, HG) gedeeld wordt; zal de rechthoek (LH) van de ongelyke deelen (LH, HG) met het vierkant (NP) van het midden ftuk (IH) gelyk zyn aan het vierkant (GN) van de halve lyn.
eucl. II. 5. S. p. 79. pr. 5.
£ewys. Uit het 2 en 3 Gevolg van het I. Voorftel.
IV. voorstel. Fig. 53.
Indien eene lyn (A C) in twee deelen (A B, B C) naar welgevallen gefneeden is, en 'er een der deelen (BC) aangevoegd wordt , om met haar ééne lyn uit te maaken : zal het vierkant (KD) op die famengeftelde lyn (AD) gelyk zyn aan viermaal den rechthoek begrepen door de gegeven lyn (A C) en het gezegde deel (B C), te famen met het vierkant van het ander deel (A B).
eucl. II. 8.
bewys. Uit het 2 en 3 Gevolg van het I Voorftel. Gevolg:
□ op A C zz Rechth. AD, A B + □ op B C, daais:
Indien men eene rechte lyn AC in twee deelen naar welgevallen deelt ,en men voegt 'er een der deden aan,zo dat het met die lyn eene rechte lyn uitmaakt; is het vierkant van de gegeven 'yn, gflyk aan den rechthoek begrepen orider C 5 de



42 //. Boek: Over de recbtlyntge Figuuren.
de famengeftelde lyn en bet ander deel, te famen met het vierkant van bet aangevoegde deel.
eucl. ii. 6. S. p. 81. pr. 6.
V. voorstel. Fig. 139,
Het verfchil der vierkanten (HC en IC,) van twee ongelyke lynen (AC, BC) is gelyk aan den rechtboek (HE) begreepen onder de fom (AD of LE) en het verfchil (AB of FE) dier beide lynen. BeamDiNG. Men verlengt A C in D, zo dat C L> — B C, en men trekt vervolgens de evenwydige lynen D F, GF K E, LI. Bdwts. Uit htt 2 gevolg van het I Voorflel van dit Boek.
gevolg. Fig. 52. Het vierkant (M 1) op de helft (KI) van eene lyn (K G), is altoos grooter dan de rechthoek (LH) van de twee ongelyke deelen (KH, HG) die te famen de zelfde Jyn CK G) uitmaaken.
9iwrt» -Rechthoek uitKH en HG, is die van Kl-f-Ifï
en ki — 1H: dus gelyk aan □ op KI q 0p ih:
waaruit het gezegde volgt.
VI. voorstel. Fig. 54.
De driehoeken (ADI, AEI, HK L) die op de. zelfde grondlyn (AI), of op gelyke grondlynen (Af, HL), en onder de zelfde evenwydige lynen ftaan en dus even hoog zyn, zyn gelyk.
p.ccl. I. 37- W. g. (j. 153. —- s. p. 4(5. pr>
26, 27.
bereiding. Men vult de □ O BI, Cl, GL, aan. buwys. Het word uit het 1. Voorftel van dit boek, en fcet 1. gevolg van het XIX. Voorftel van het I. Bo< k ontleend.
I. gevolg.
De inhoud van eenen driehoek is de helft van den in • houd van eenen rechtboek, die op de zelfde grondlyn
ftaat



ƒ. Afd. Over de Drieboeten en Paraiklogrammen. 43
ftaat en de zelfde hoogte heeft, (6 en 1 Gev. van het
J Voorlid) en dus is de inhoud van eenen driehoek gelyk aan eenen rechthoek, waar van de grondlyn de zdfde, doch de hoogte de helft, of de hoogte de zeffdé en de grondlyn de helft is, van die des driehoeks: zo dat de rechthoeken ook de eigenaartige maat der driehoeken, even als der parallelogrammen, zyn. aanmerking. Wy zullen breeder over die maat handelen in het 6, 7 1 8 Gevolg en in de 8 Aanmerking op het Vil Voorftel van het IV Boek.
II. gevolc. Fig. 140.
Twee driehoeken die op de zelfde grondlyn, aan den zelfden kant gefteld, en gelyk zyn, zyn tusfehen dezelfde evenwydige lynen begrepen. t.vcL. I. 39.
VII. voorstel. Fig. j5. In alle rechthoekige^riehoeken is het vierkant (D S) van de fchuinfche zytje of hypotenufa (A B) gelyk aan de fom der vierkanten (B G en Cl) van de beide overige zyden (B C en A C).
eucl, I. 47. W. g. 5. 172. — s. p. 50. pr. 3ï.
ierüidinü. Men ftelt dat de lyn CK, uit den rechten hoek C, evenwydig aan AD of EB getogen is: en meu trekt de lynen CD, CE, AF, BI. bewys. Men bewyst uit het VII. Voorftel van hetl. Boek dat de driehoeken B AI en D A C gelyk zyn, zo als ook de driehoeken ABF en EBC: en vervolgens uit het f3 Gevolg van het I Voorftel van dit Boek, dat □ AK — Q IC: O K B — □ B G. Waer uit door het 4. Gevolg van dat Voorftel het befiuit volgt.
I. aanmerking. Dit Voorlid wordt het Voordel of het Theorema van Pytbagoras genoemd, en het is algemeen onder dien naam, bekend. Men kan het zeh e zeer geinaklyk
uit



44 II. Boek: Over de rechtlynifcbe Figuuren.
uit de leere der gelykvormige driehoeken bewyzen, zo aï* wy het in het IV. B, Voorftel XII, 3 Aanm. doen zuilen. II. aanmerking. Dit Voorftel en de twee volgende zyn flecbts byzondere gevallen van een algemeener Voorftel, alle driehoeken, hoe ook genaamd, betreffende: het welk door pappus in zyne ColleEtiones matbematicae (Lib. IV. pr. 1.) opgegeven, en door den beroemden castillon merkelyfc vermeerderd is: zie de fchoone verhandeling van den laatstgemelden in Mem. de l'Acad. de fierlin A°- 1766. p. $$U
I. gevolg.
In alle rechthoekige driehoeken is het quadraat van een der rechthoeks-zyden , gelyk aan het verfchil der vierkanten op de fchuinfcheenop de andere rechthoeks - zyde: en dus gelyk aan den rechthoek begrepen onder de fom en het verfchil van de fchuinfche en die rechthoeks - zyde.
II. aanmerking. De reeden van de gevolgtrekking, en dus».
blykt 'uit het V. Voorftel.
II. g e v o l g. Fig. 70.
Indien in eenigen driehoek DEH, de vierkanten van twee zyden (13H, HE) te famen genomen gelyk zyn aan het vierkant op de derde , is die driehoek rechthoekig: en de rechte hoe!: wordt door beide de zyden, wier vierkanten men famentelt, begreepen. eucl. I. 48.
bereiding. Men vooronderftelt H F — aan D H en 1 op E H: en men trekt E F.
bewys. Door dit Voorftel: en het XII van het I Boek. IV. aanmerking. Men kan het zelfde uit het ongerymde bewyzen: mits de volgende VIII. en IX. Voorftellen eerst bekend zyn.
III. gevolg. Fig- 56, en 57. In alle driehoeken ACB, is het verfchil der vierkanten op twte zyden (CB, CA) gelyk aan het verfchil der.vier-
kan-



I. Afd. Over de Driehoeken en ParaMogrammen. 45
kanten van beide de (lukken (DB,DA) die op de grondlyn, door de loodrechte lyn CC D) uit den top getogen.gemaakt worden: en dus is het ook gelyk aan den rechthoek onder de foin en het verfchil van gemelde Hukken begreepen.
V. aanmerking. De reeden van de gevolgtrekking, en dus
blykt uit bet V. Voorftel- '
IV. gevolg. Fig. 56 en 57.
Indien twee rechthoekige driehoeken D CB, A CD dezelfde hoogte C D hebben, zyn 1. de fommen van de vierkanten der fchuinfche zyde in den eenen en der grondlyn in den anderen gelyk (□ op C B H- □ op DA = □ op CA -t- op □ DB) en 2. De verfchillen der vierkanten van de fchuinfche zyden, en der vierkanten van de grondlynen zyn ook gelyk: Cd. i. □ op CB — O op C A = □ D B - □ op D A.)
V. gevolg. Fig. 51.
Indien men in eenen rechthoek (A CEG) een ftip I. naar welgevallen neemt, van het welk men rechte lynen (IA, IC, IE, IG) naar de hoeken trekt: zullen de fommen der vierkanten op de lynen, die naar de tegenovergeftelde hoeken getrokken worden, altoos gelykzyn:datis,rjopAl-+-, P op IE = DopICH- □ opIG.
bewys. Uit dit Voorftel, gepaard met het XIX. uit bel
1. Boek.
VI ftANMERKiuo. Men is thans in ftaat het 12 Werkftuk van het I, en de 25, 27, 28a. van het III Boek op te losfen.
VIII. voorstel. Fig. 56.
Indien men uit den rechten hoek (C) van eenen recht» hoekigen driehoek (AC B)eene loodrechte lyn (CD) laat vallen op de fchuinfche zyde (AB): zal het vierkant van die loodlyn (A D) gelyk zyn aan den rechthoek on-
des



46 li. Boek: Over de rechtlynige Figuuren.
«Ier de ftukken CAD, DB; van die fchuinfche zyd*
begreepen.
eucl. X. Lemma I, van de 34 propofirie. b!,wys. Uit het i. Gevolg van het VIL Voorftel, uit het Vil. Voorftel zelve, en dm uit het II. Voorftel, allen van dit Boek.
I aanmerking. Dit Voorftel kan ook uit de eigenfchappen van den cirkel, of uit die van de gelykvormige drieboeken beweezen worden, zo als wy bet in het V. Boek X Voorftel 2.Gevolg, en in het IV. Boek XII. Voorftel, I. Gevolg , doen zullen.
I- GEVOLG.
Indien in eenen driehoek, het vierkant van de Ioodlyü (CD) uit eenen der hoeken (ACB) opde tegenover* gefielde zyde CA B) nedergelaaten, gelyk is'aan den rechthoek van de ftukken (AD, DB) die daar door op die zyde gemaakt worden, is de gemelde hoek altoos een rechte hoek.
bewys. Uit het ongerymde, door dit Voorftel.
II. GEVOLG.
Het vierkant van een der zyde n (A C) van eenen rechthoeks gen driehoek, is altoos gelyk aan den rechthoek begreepen onder de fchuinfche zyde AB, en dat ftuk (AD) van de fchuinfche zyde dat door de loodlyn (CD) uit den rechten hoek nedergelaaten, afgefneeden wordt en aan de gemelde zyde (AC) grenst. eucl. X. Lemma I. van de 34. propofitie. bewys. Uit het VIL Voorftel: het voorgaand Gevolg; en 3. Gevolg van het I. Voorftel, van dit Boek. I. aanmerking. Het zelfde kan uit de leer der gelykvormige driehoeken opgemaakt worden, zo als wy in het IV. Boek, XII. Voorftel, 2. Gevolg toonen zullen.
III. CE VOLG.
Be rechthoek van de fchuinfche zyde, AB, en een va»
kaam



/. Afd. Over de Driehoeken en Parallehgrammen. 47
haare ftukken, AD , is altoos gelyk aan den rechthoek , uit de fom en het verfchil dier zelfde fchuinfche zyde. A B ,en dier reclichoeks zyde (GB) die aan het ander ftuk (D B)gren-t.
bewys. Uit het voorige Gevolg en het |. Gevolg van bet
VU. Voorftel,
IX. voorstel: Fig. 57, 58.
In alle driehoeken, is (MN) het vierkant van eene zyde (CB) grooter of kleiner, dan de fom der vierkanten op de grondlyn (AB) en de derde zyde (AC), naarmate de hoek (CAB)over de eerstgemelde zyde (CB) ftomp, of fcherp is: en het verfchil is de dubbele rechthoek van de geheele grondlyn (A B) en het ftuk (D A) van dezelve begreepen tusfehen den gemelden hoek en de loodlyn (CD) uit den tegenoverftaanden hoek (A C B) getogen.
eucl. II. 12. 13. St. p. 83. pr 8 en 84. pr, 0.
bewys. Uit het VII. Voorftel neemt men in den driehoek DCB de waarde van het vierkant op CB .- vervolgens uit het 1. Gevolg van dat Voorftel, in den driehoek DCA die van het vierkant op CD; en dan uit het 2 Gev. van het II Voorftel de waarde van het verfchil de vierkanten op B D en A B.
I. aanmerking. Indien de ZCAB recht was, viel de loodlyn CD op CA: en men kreeg wederom het VII. Voorftel: het ftuk D A als dan nul wordende, is de overmaat, of het te kort fchietende van het □ op CB, by de fom der vierkanten op A C en A B, ook nul.
II. aanmerking. Uit het 6. Gevolg van het VII. Voor.» ftel I. Boek volgt: dat in het eerste geval de loodlyn CD buiten, in het tweede binnen den driehoek valt: en dus dat het tweede gedeelte van het Voorftel, ook voor rechthoekige driehoeken plaats heeft, mits de hypotenufa of fchuinfche zyde als de grondlyn aangezien, en dus de ioodlyn uit dien rechten boek getogen worde.
I. i'ii



|g tl. Boek: Over de rechlynrge Figuuren,,
I. GEVOLG. Fig. 58.
Indien men uit de twee hoeken C en A', die aan uiteinden van de zelfde lyn (AC) grenzen, loodlynen AF, GD, op de tegenovergefteldd zyden trekt , zyn de rechthoeken , be* greepen onder die zyden, (AB, CB) en derzelver ftukken (F> D, B B) die aan dcnzelfden hoek (B) grenzen, gelyk. III. aanmerking. Indien de ZACB recht is zo als iri Fig. 56, is Rechthoek AB, 15D-Q CB, zo als wy zulks reeds in het 2. Gevolg van het VIII. Voorftel beweezen hebben , en in het IV. Boek XII. Voorftel, 2. Gevolg, uit de leere der gelykvormige driehoeken nog bevestigen zullen.
II. GEVOLG. Fig. 58.
Indien men uit den top C van eenen driehoek (A CB) op de tegenovergeftelde zyde A B, eene lyn C F trekt, welke die zyde in twee gelyke deelen fnydt: is het dubbeld vierkant van die lyn (CF), met het dubbeld vierkant van de helft der grondlyn, gelyk aan de fom van de vierkanten der twee overige zyden; dat is, 1 □ op CF ■+■ 2 □ op AF — □ op AC ■+■ □ op C B. (voor het bewys wordt C D loodrecht getrokken:) waar uit volgt (Gevolg van het II. Voorftel,) p op A C-t-D opC B
— □ op C F ZZ i □ A B: dat is, het vierde gedeelte van het vierkant der zyde, waarop de lyn is ntdergelaaten, is gelyk aan het verfchil van de helft der fom van de vierkanten der overige zyden, en het vierkant der nedergelaaten lyn.
III. GEVOLG. Fig. I36. In alle parallelogram men (KL Ml) is de fom der vierkanten van beide de Diagonalen (KM, LI) gelyk aan de fom der vierkanten van de vier zyden (LM, MI, KI, KL). St. p. 85
bewys. Uit het VIII, Voorftel van bet I. Boek, en wit dit Voorftel.
IV. aanmerking. Indien het parallelogram een ruit is, is de fom der vierkanten van beide de diagonalen, het viervoud van het vierkant van een der zyden.



1. Afd. Over de Driehoeken en Parallehgrdthmtn 4^ X. voorstel. Fig. 14:.
Indien een geiykbeenige driehoek (B A D) zodanig gefteid ïs, dat de hoeken (B en ADB) op de grondlyn het dubbeld 2yn van den tophoek (A); en indien men uit eenen der hoeken (D; öp de grondlyn , op het tegenoveritaand been eene lyn (CD) trekt, die gelyk is aan die grondlyn, zal zy een zodanig ftuk (B C) van dat been affnyden , dat 1. het overige gedeelte {A C) gelyk zal zyn aan de grondlyn : 2. dat het vierkant van dat deel gelyk zal zyn aan den rechthoek onder het geheel been AB, en het eerfte ftuk (B C) begreepen 3. dat in den gtlykbeen'gen driehoek CBCD) door de grondlyn (P D) Van dien gegeven driehoek, en de getrokken lyn (D Q ge* maakt de hoeken CS en BCD) op de grondlyn ook het dubbeld zulten zyn van den hoek CBDC) in den top : en 4. dat die hoek (BDC) het derde gedeelte is van den uiterly» ken hoek (ACD) door de getrokken lyn (DC,) met het been (BA) waar op zy getrokken is, gevormd. bereidik6. Zy DE loodrecht op BC:en düs (uit IB.XL Gev. 4.) BE— E C. en BC = 2BE. bewys. Van het I. uit het I. Boek, XL VIL enXI. Voorftel.
Van hét II. uit het IX. Voorftel van dit Boek: deberei» ding: het II. Voorftel: en het 3. Gevolg van het L beiden uit dit Boek.
Van het III. Uit het XI. Voorftel, en het 3 Gevolg van het VII Voorftel van het I. Boek. Van het IV. uit I. B. XI. Gevolg 8. of uit I. B. XI. en VIL
1. gevolg.
Het omgekeerde heeft ook plaats: nameiyk: indien eene lyn (AB) in twee deelen zodanig gedee'd is „dat bet vierkant van het grootfte ftuk (AC; gelyk is aan den rechthoek van htt kleinfte ftuk (BC) en de geheele lyn (AB): en men uit het ftip van fnyding C eenen Cirkel trekt waar vin het grootfte ftuk de radius is: en uit het ander eind (A) van D bet



50 //. Boek: Over de rechtlynige Figuuren,
het grootfte ftuk (AC) met eenen ftraal (A D) gelyk aan de geheele lyn (AB) eenen anderen cirkelboog die den eerstgemefden fnydt (in D), en uit dat ftip van fnyding lynen , (DA , D B, D C) naar de uiteinden (A, B) en htt fnydpunt (C) van de gegeven lyn trekt; zal men twee geiykbeenige driehoeken verkrygen: in welke beiden de hoeken op de grondlyn het dubbeld zullen zyn van dien in den top : en de beenen van den grooten driehoek (B A D) zullen gelyk aan de gegeeven lyn : en die van den kleinen gelyk aan derzelver groc (te ftuk (A C) zyn. St. p. 87. pr. 12. bereiding. Zy DE j. op BC.
bewys. Uit het IX en II Voorftel van dit, en het 4 Gevolg van het XI.Voorft.van het I. Boek bewyst men dat C D — B D is: het overige uit het voorgaande, en I. 7,
II. GEVOLG.
Hier uit volgt ook, dat L BD CzzL C D A, of dat L BDA, door de lyn DC, in twee gelyke deelen gedeeld worden.
III. GEVOLG.
Hier uit volgt ook dat, zo in eenen gelykbeenigen driehoek de hoek op de grondlyn dubbeld is van dien in den top, de jyn (1) C) welke den eerstgemelden hoek in twee gelyke deelen fnydt, de overftaande zyde (AB) zodanig fnyden zal, i.dat het vierkant van het grootfte ftuk gelyk zal zyn aan den rechthoek van de geheele lyn, en het kleinfte ftuk, 2. dat het grootfte ftuk gelyk zal zyn aan de grondlyn..
IV. GEVOLG.
Het blykt uit dit Voorftel, dat het befchryven van eenen gelykbeenigen driehoek, waarin de hoeken op de grondlyn het dubbeld zyn van den tophoek, afhangt van het fnyden •van eene lyn zodanig dat het vierkant van het eene ftuk gelyk is aan den rechthoek uit de geheele lyn en het ander ftuk, of, zo als wy het IV. B. 2 bep. zullen noemen, in middelfte en uiterfte reeden: zie het III. Boek der Werkftukken, het X. Veorftel, Het blykt verder dat het fnyden van eenen.
koek



I.Afd. Over de DriehoekenenParallehgrammen, jj
hoek in drie gelyke deelen, ook gedeeltelyk van het zelfde grondebginfel afhangt, zo als wy dat reeds in het I B XI. Voorftel 8. Gevolg gezegd hebben, en nader in de Aanmerkingop B. VIII. Voorft. 8. zullen aantoonen: zie ook de Aanmerkingen op het I. Werkftuk van het II Boek.
IJ. AFDEELING.
over de veelhoeken, tweede b epaa lxngek. III.
Eene gefchikte óf reguliere of regelmatige veelhoef is die, wiens zyden allen gelyk zyn, en gelyke hoeken met elkander maaken.
gevolg.
De gelykzydige driehoek en het vierkant kunr.er. dus ook tot de gefchikte veelhoeken gebragt worden* aanmerking. Fig. 142. Men moet wei op de dubbele' voorwaarde in de bepaling begrepen letten: wantinéefï veelhoek künnen alle de hoeken gelyk zyn zonder dar. dn zyden het zyn zo als in den veelhoek ABGHDFFAof alle Je zyden kunnen gelyk zyn zo als in den veelhoek A IK D E F A: zonder dat de hoeken het zyn : in geen vïtt beide de gevallen is de veelhoek gefchikt of regelmatig zo als de veelhoek ABCDEF is, daar de zyden gelyk zyn, en de hoeken h-.t ook zyn. He clavids op het IV. Bock'van euclides.
Men noemt inwendige hoeken van den veelhoek de hoeken welke deszelfs zyden naar den binnenkant
. 3> *



52 II. Boek: Over de rechtlynige Figuuren.
met elkander maaken: en uitwendige hoeken de hoe, ken die eene zyde met de verlengde naastgelegen zyde, naar buiten maakt.
V. Fig. 60.
Centrum of Middelpunt van eenen veelhoek is een flip (C) zodanig gefield dat de lynen (CA, CM, CK, CH, CF, CD) naar de hoeken van den veelhoek getrokken, gelyk zyn, en dezelven in twee gelyke deelen fnyden.
aanmerking. Wyzullen in bet XIV. Voorftel bewyzen dat
'er een zodanig centrum of middelpunt in de gefchikte veel.
hoeken is.
VI.
Men noemt omtrek van den veelhoek de fom van alle zyne zyden.
GEVOLG.
In eenen regelmatigen veelhoek is de omtrek gelyk aan eene der zyden zo dikwerf genomen als 'er eenheedeh zyn in het getal dat aanduidt uit hoe vëele zyden de veelhoek beftaat.
VII. Fig 60.
De loodlyn, die uit het middelpunt van eenen regslmatigen veelhoek op eene der zyden valt, wordt de loodlyn van dien veelhoek genoemd.
aanmerking. By de ouden wordt die lyn apothemef d. i.
nedergelaten lyn genoemd.
XI. VOORSTEL. Fig. 6l.
In alle veelhoeken, regelmatig of onregelmatig, (BCDE A) bedraagt de fom van aJIe de inwendige hoeken tweemaal zo veel rechte hoeken als 'er zyden ayn, min vier rechte hoeken.
TAcqurr. Op 32 pr. van het I Boek van euclides ——



//. Afd. Over de Veelhoeken. 53
bereiding. Men neemt eenig ftip I naar welgevallen, en trekt lynen naar de hoeken van den veelhoek, om dcezen in zo veele driehoeken te verdeelen als 'er zyden zyn.
3ewys. Uit het I. Boek VII. Voorftel, en gevolg van het UI. aanmerking. Het zelfde heeft dus ook plaats voor den driehoek: doch men heeft dit algemeener Voorftel niet kunnen bewyzen, zonder eerst, uit andere grónden, de zaak voor een byzonder geval, voor den driehoek nameiyk, bewezen te hebben. Dus ziet men hier de waarheid bevestigd van het geen 's gravesande zegt in zyne Logica 5, 1096: dat men dikwerf een algemeen Voorftel niet bewyzen kan, zonder alvorens een byzonder geval van hetzelve be-.veezen te hebben. Wy zullen in het vervolg veele voorbeelden van dien aart aantreffen.
I. GEVOLG.
Indien de veelhoek regelmaatig is, en het getal der zyden door g wordt uitgedrukt: zal ieder hoek, daar zy allen gelyk zyn, zo veele rechte hoeken bevatten , als 'er door het getal - gg~ * uitgedrukt worden.
II. GEVOLG.
'Er zyn maar drie foorten van figuuren, de gelykzydige driehoek , het vierkant , en de gefchikte zeshoek , die om één en het zelfde ftip geplaatst eene ruimte volftrekt, en zonder iets over te laaten, kunnen vullen : dit gefchiedt na. melyk met zes gelykzydige driehoeken, vier vierkanten, en drie zeskanten.
tacquet op de laatfte propofitie van het IV Boek van
euclides.
ö 3
XII.



54 II Boek: Over de ree htlynige Figuuren,
XII. voorstel. Fig. (5l.
Alle de uitwendige hoeken van eenen veelhoek zyn gelyk aan vier rechte hoeken. tacquut. Op de 32 prop. van het I. 3. van eucl. bewys. Uit bet I. Voorftel van het L B en het voorgaand Voorftel.'
aanmerking. Fig. f>2. Wy bandelen in dit Voorftel van veelhoeken in welken de toppen van alle de hoeken naar buiten ftaan: waare het anders: waaren 'er eenige hoeken, zo als BFD, wier toppen naar binnen ftaan, dan blyft het XL Voorftel -wel het zelfde , doch dit wordt 'er dus door Veranderd.
Alle de uitwendige hoeken van eenen veelhoek zyn ge= lyk aan de fom van vier rechte hoeken , en van tweemaal zo vee! rechte als 'er hoeken zyn, wier toppen naar binnen ftaan.
L. C. J. 520
XIII. voorstel. Fig. 143. Indien men binnen eenen veelhoek, welke by ook zy, een flap (P) neemt: en uit het zelve lynen (PB, PA, PD enz.) naar alle de hoeken (B, A, D enz.) trekt, en vervolgens Uit het zelve op ieder der zyden lynen (P T, P X enz.) nederlaag die de zyden in twee gelyke deelen fnyden, za' het verfchil tusfehen de fom der vierkanten van alle de lynen die naar de hoeken gaan, en de fom der vierkanten van alle de lynen die de zyden fnyden, gelyk zyn aan het vierde gedeelte van de fom der vierkanten van alle de zyden des veelhoeks. fagnano , Opera Mathm T. II, p. 206. Sewïs. Men past het laatfte gedeelte van het t gevolg des IX Voorftelsf» op elk der driehoeken BPAenz. men neemt de fom, en men verkrygt de fem die in het VoorSel gemeld wordt.
XIV.



II. Afd. Over de Veelhoeken. 55
XIV. VOORSTEL. Fig. 60.
Indien men alle de hoeken van eenen regelmatigen veelhoek in twee gelyke deelen deelt, zullen 1. alle de lynen die de hoeken aldus deelen (A C, D C, F C, H C, KC, MC,) in een ftip C te famen komen: 2. Zy zullen allen gelyk zyn, en dus den veelhoek in zo veele geiykbeenige driehoeken verdeelen als 'er zyden zyn: 3. Zy zullen om het ftip C gelyke hoeken (ACD, DCF, FCH enz.) maaken: en 4. Zal dat ftip C even ver van alle de zyden af zyn: dat is, de loodlynen uit dat ftip op de zyden getogen zullen allen gelyk zyn: en dus zal dat ftip het middelpunt van den veelhoek zyn. (V bepaling.) H. g. g. 129.
bewys. Het eerfte gedeelte volgt uit het I. Boek, IX. Vooiftel, en 1 Gevolg van het XI. Voorftel.
Het tweede en derde volgt uit het geen in het bewys Van het eerfte reeds bev/eezen is.
Het vierde uit de gelykheid der driehoeken CDB CED," CEF, CGF door het VII. Voorftel van het ï. Boek.
I. aanmerking. De reeden van de uitlegging, dat is, enz. in het 4. gedeelte van het Voorftel, volgt uit het I. B. l Gevolg van het XIV. Voorftel.
II. aanmekkino Daar het ftip C met reeden midddelpunt genoemd wordt, kan men de gelyke lynen CA, CD enz. die naar de hoeken gaan jlraahn noemen , in navolging van het geen voor den cirkel plaats heeft (I. Boek: 4 bep.)
III. aanmerking. De geiykbeenige driehoeken, waarin de veelhoek verdeeld wordt, worden te recht middelpunt* driehoeken genoemd, om dat zy om het middelpunt ftaan: en, daar zy onderling gelyk zyn, geldt voor allen wat voor één derzelven beweezen wordt.
P 4 1. ge-



II. Boek: Over de rechtïymge Figuuren
I. GEVQLG.
ieder hoek om het middelpunt, of de middelpuntshoek van den regelmatigen veelhoek, door twee lynen (C A^ £ D) die naar de einden van eene en de zelfde zyde (A D)
gaan gevormd, is=— zo men den rechten hoek
door R, en het getal zyden doorg. uitdrukt, [gevolg van het lil Voorfi. I. E.] En dus is de hoek, welken twee zy-. den van, een'regelmatigen veelhoek uitmaakenjgelyk aan ié. — 2) halve middelpunts hoeken.
Want die heek is f^^R,duis^4-^^-] = Cg-a)i halve viiddelpunts hoeken.
ïï. GEVOLG.
in eenen regelmatigen zeshoek, is de driehoekdcpr eene zyde, en twee fanalen, in het middenpunt gevormd, gelykzydig.
XI. Voorliet i Gev. en I. S. X Vooiüel 2 Gev.
III. GEVOLG.
Indien het getal der zyden van eenen regelmatigen veelhoek even is: zullen de beide lynen, die uit het middelpunt naar de tegeiiovergf.ftelde hoeken getrokken worden, ééne rechts lyn uitmaakèn:' die lynen zullen den veelhoek in twee gelyke deelen deelen, en kunnen dus diagonalen genoemd worden: de beide lynen die uit het middelpunt, loodrecht op de tegenovergefteldc zyden getrokken worden, zullen ook é'éne lyn uitmaakèn, en den veelhoek in twee gelyke deelen deeLn : dit zelfde beeft ook plaats voor ieder lyn , die door het middelpunt getrokken wordt: en eindelyk zullen de te^enovergeftelde zyden evenwydig aan elkander zyn.
Het eerfte en tweede volgt uit het I. Boek II. Vooi-flel: het laatfte, uit dit Voorftel zelve en het IV. Voorftel v3n het eerde Boek.
L C. §. 512. 513,
IV.



j II. Afd, Over de Veclhqehn* 52
ÏV. aanmerking: Het is dus met reeden. dat men de regelmatige veelhoeken, wier zyden e>en ïn getal zyn, ook Jymmetrifche of g'lykmatige vet Ihoeken noemt.
IV. gevolg. Fig 144.
Hier uit volgt wederom, dat, in die gelykmatige veelhoeken , de lynen (A D, G F.) die naar de uiteinden der elkander tegenovergeltelde, en dus evenwydige zyden getrokken worden , met die zyden rechte hoeken uitmaakèn.
XV. voorstel. Fig. 144,
Indien men in eenen n^clmatigen veelhoek, waarvan de zyden tven in getal zyn, en dus in eenen gelykmatigen veelhoek , de uiteinden der zyden die aan elkander evenwydig zyn door rtchte lynen veréénigt, zullen deeze door haare onderlinge ontmoetingen, om het middelpunt van den veelhoek , eenen nieuwen regelmatigen veelhoek maaken , van even veel zyden als de gegeeven vedboek, en waarvan de loodlyn de helft is. van de zyde van den gegeeven. du fay, Mem. de l'Acad. 1727. p. 299.
bewys. Uit I. B. XI. en IX. en uit het 3. Gev. van het XIV.
Voorftel van dit Boek.
aanmerking. Wy zullen, in het 7.Gevolg van het XVIII, Voorltel des VI Boeks, die inwendige veelhoeken nader befchouwen.
XVI. voorstel. Fig. 145. Indien men uit de beide uiteinden van ieder zyde van eenen regelmatigen veelhoek, wiens zyden oneven in getal zyn, loodlynen op die zyden opricht, zullen deeze door haare onderlinge ontmoeting twee regelmatige veelhoeken' vormen, onderling gelyk, en ieder van even veel zyden als de gegeeven veelhoek : hunne loodlyn zal de he-lft zyn van de zyde des gegeeven veelhoeks : zy zullen het middelpunt des eerften veelhoeks tot middelpunt hebben; en altoos binnen den veelhoek vallen , ten zy deeze een (gelykzydige) driehoek zy. Verder indien men ieder punt D 5 van



5 8 II. Boek: Ooer de recbtlynige Flgumeru
van den gegceven veelhoek aanmerkt als het begin vaneene zyde en het uiteinde van de naastvoorgaande , zullen de loodlynen uit het begin van ieder zyde op dezelve getrokken den eenen veelhoek, en de loodlynen uit het einde van ieder zyde op dezelve getrokken den anderen veelhoek vormen.
du fay, Mem. de l'Acai. 1727. p. 299. doch niet zo algemeen. Hy fpreekt flechts van éénen veelhoek, bewvs. Uit I. B. VII: I. B. XI: en I. B. IX. aanmerking. Het 8 Gevolg van bet XVIII Voorftel van het VI Boek zal den aart dier inwendige veelhoeken nog nader keren kennen.
XVII. voorstel.
De inhoud van eenen regelmatigen veelhoek is gelyk aan dien van eenen driehoek, waarvan de grondlyn den omtrek van den veelhoek is, en de hoogte de ïoodlynuithet middelpunt op eene der zyden van den veelhoek nedergelaten. St. p. 135- Pr- 13-
jsewys : Uit het VI Voorftel.
GEVOLG.
De inhoud van eenen regelmatigen veelhoek is gelyk aan dien van eenen rechthoek, waar van de hoogte de loodlyn is uit het middelpunt op eene der zyden getrokken, en de grondlyn, de helft van den omtrek des veelhoeks. Vl Voorftel. i Gev.
aanmerking. De inhoud der veelhoeken wordt dus
ook tot die der rechthoeken gebragt.
XVIII voorstel. Fig. 147. Wanneer men op alle de zyden van etnen regelmatigen veelhoek., flippen (E, F, G, 1, L) neemt even ver van de. naafte hoeken (A, D, C, B, K), zullen de lynen, die deeze flippen veréénigen, eenen regelmatigen veelhoek van
even.



II. Afd. Over de Veelhoeken. 59
«even veel zyden uitmaaken , als de gegeeven veelhoek zelve; en wiens middelpunt het middelpunt des eerften veelhoeks is.
sewys : Voor het I Uit de gelykheid der driehoeken A E L, E D F enz doorl.B VUL — Voor het II. Uit de gelykbeid der driehoeken AOL.EOD, enz. en dus der lynen LO,EQ, F O enz. waar uit volgt dat O het^niddelpunt is. aanmerking, simpson heeft dit alléén voor het vierkant beweezen, in zyn I. Boek pr- 28.
XIX. VOORSTEL. Fjg. 146,
De inhoud van een trapezium, CC EBA) waar van twee zyden (CA, EB) rechte hoeken met de grondlyn CA B) maaken, is gelyk aan eenen rechthoek, waar van de grondlyn die van het trapezium is, en de andere zyde de halve fom der rechthoeks - zyden in het trapezium.
St. p. 69. pr. 37.
Bewys : L[it het VI Voorftel.
XX. VOORSTEL.
De inhoud van alle rechtlynige figuuren wordt, tot die van de rechthoeken gebragt: en men kan altoos eenen rechthoek maaken, die gelyk is aan des inhoud van eene gegeeven figuur. bewys. De Figuur wordt door lynen in driehoeken verdeeld: ieder driehoek is gelyk aan eenen bepaalden rechthoek (VI Voorftel I Gevolg) : en men kan , door het geen reeds geleerd is, éénen rechthoek maaken, gelyk aan de fom van verfcheiden andere rechthoeken, en dus aan den gegeeven veelhoek: zie het 16 en 18 Werkftuk Van het 111 Boek.
D E ft



DERDE BOEK.
OVER DE
EVENREEDIGHEID. INLEIDING,
BEHELZENDE
ALGEMEENS BEPAALINGEN,
L
Wanneer eene grootheid, verfcheiden maaien genomen, of herhaald, of, in andere woorden, wanneer eene grootheid, door eenig getal vermenigvuldigd zijnde, eene andere grootheid evenaart: is zy een effen gedeelte, een opgaand deel, (pars aliquota) van die tweede grootheid : Doch indien zy eens of meermaalen genomen dezelve niet evenaart, maar kleiner blyft, en nog eenemaal meerder genomen grooter wordt, is zy 'er een oneffen gedeelte van (part aliquanta~).
iucl V. i def. en zie daarop, zo als beftendig in dit geheele boek, de aanmerkingen van koenig. aanmerking: Ik zeg eene grootheid, en niet enkel een getal ; want een kleiner lyn kan zo wel een even gedeelte van eene grootere lyn, of een kleine Cirkel van eenen grooteren Cirkel, of een kleiner vat vaneen grooter vat zyn, als een kleiner getal van een grooter: t, 2, 5. zyn effen, doch 3, 4, 7, 3, 9. oneffen gedeelten van 10. II.
Eene grootheid wordt een veelvoud o?vermeenigvuldigie (multiplex') van eene andere genoemd, als deeze de eerstgemelde meet, of een effen gedeelte daar van is: en dat effen gedeelte wordt eene ondervermeenigvuldigde,
eer*



Inleiding.
fceh opgaand deel (fuhmultiplex) van de andere grootheid genoemd.
By v. io is eene vermeenigvuldigde van i, 2, 5: doch niet van 3, 6, 7, 8,9: en 1, 2, 5 zyn ondervermeenigvuidigden van 10.
kucl. V. 2 bep. en VII. 5 bep. aajnme king. Ik zeg grootheid, en niet alleen getal om de reeds aangehaalde reeden: welke ook voor de volgende bepaaling geldt.
I. GEVOLG.
Hier van de benamingen dubbeld, drievoud enz. onderdubbeld of helft, onderdrievoud of derde gedeelte , enz.
III.
Twee (of meerder) grootheden worden gezegd gelykvouden , of gelykvermenigvuldigde Qequimultiplicia), te zyn van twee (of meerder) anderen, wanneer zy deeze grootheden even veel maaien bevatten, ieder namelyk die grootheid, van welke zy de vermenigvuldigde het veelvoud is.
By v. 20, 40, 60 zyn gc'.ykvermenigvuldige of gelykvtu den van 4, 8, en 12, of van 5, 10, 15, of van 10, 20, en 30; maar zy zyn het niet van 5, 8, 20: altoos die zelfde orde in acht nemende.
IV.
Men noemt magten van een getal, de getalen die men verkrygt wanneer dat getal, door zich zeiyen eens, twee, drie, vier maaien en zo voorts vermenigvuldigd wordt. Men verkrygt namelyk de tweede rnagt, ook wel quadraat of vierkant genoemd, Wanneer een getal ééns door zich zeiven vermeenigvuldigd wordt: de derde tnagt, ook Cubus of Taarling genoemd wanneer «en getal twee maaien: de vierde magt wanneer het drie
maa-



6& III Boel: Over de Evenredigheid. maaien; de vyfde magt wanneer het w maaien en zo voorts door zich zelf vermenigvuldigd wordt.
Ln omgekeerd : wanneer men een getal heeft, noemt menawtó van het zelve,die getalen, we, e door zich zeiven vermenigvuldigd, het eerstgeme, e uitmaaken: en dat wel tweede, ook quadraat of vierkante wortel, derde, ook cubieke of taerling wortel, vierde, vyfae enz. wortel die getalen, welke eens, twee, arie, vier maaien door zich zelf vermeenigvuldigd , het gegeeven getal uitmaaken.
By voorbeeld; 4. 8, 16, 32. enz. zyn. fa die orde, de 2.3. 4,5 magt van 2: doch 5 is de tweede of ouniraat
Zt?T'~t: Aerde0Ï „i: van f2S: de ^/«/e var) 3I25 en zo voons>
I. aanmerking. Wy 2Ul!,„ in het IV Boek VII Voorftel, 8. Gevolg N. 4. en in het XI, B. XI. Voorftel 2 Gevolg 2=en waarom de tweede en derde urtgten, ook ,J
wordl"" CR °f 2W'^e" Senoeffid
II. aanmehking.. Men kan eerfte magt van een geta! noemen dat getal zelve, dat is. dat getal door één vermenigvuldigd : en dit geüeld zynde zal men. in plaats van de inagten uit te drukken door'de vernieenigvuldi-
« X a, dat lastig is, de zehendoor eenen «rMeHtof a„.w*fr ku"«^ aanduiden, welke te kennen geeft, hoe dikw, rf dat getal gefteld wordt , en dus welke man het is nau;eiyk : 0 "
1 * 3 4 s
a, a, a, a, 0, enz. beduiden de eerfte, tweede tierde, vierde, vyfde magt.
Op gelyke wyze kan men de wortels door een teeken GO ^nduiden, en met 'er een cyfferletter in te Plantfen te kennen geevcn , de hoéveelfte wortel het is: dus zyn V«, of, gelyk men het ook fchryft, enkel Vatya,ya, ya.
enz.



Inleiding. É>3 enz. de tweede, derde, vierde enz, wortel vin a dus is
3
4 — I/64: om dat 4, tweemalen door zich zei ven vermenigvuldigd, of de derde magt van 4, juist 04 oplevert. III. aanmerking. Hier uit volgt 1. dat wanneer men magten van een getal door magten van het zelfde getal multipliceert, of divideert, de aanwyzer van het prortuft of quotiënt de Jam of het terfchil der aanwyzers zyn zal< 2. Dat men de divifie door eenen aanwyzer , met het teeken (-) minus, ter aanduiding van de aftrekking zaj
, ,iri -i_2_3
Kunnen aanwyzen: zo als ~, - , -3 enz.dooro.a , a,enz.
3- Dat men de wortels zal kunnen aanduiden, niet alleen 3 4
door de teekenen y, y ,y enz. maar ook door gebrookerie
3 $ 13 aanwyzers, §, \ enz. by v. y,i~a: want a of a — ya
3 3 $ i 5 1 X j/s X = o X a M s — ai + 3+i~ u. 4. Dat
de magt nul van een getal altoos de eenheid is: want a »-« o
ï ~ ~~a — a. Zo dat men altoos in plaats van r dc magt o van welke grootheid men wil ftellen kan. IV. aanmerking. Ik gebruik hier het woord getal en niet grootheid, om dat de magten in eene wezenlyke vermeenigvuldiging beftaan, en dus in den eigenlyken zin niet dan op getalen toegepast kunnen worden: men kan welzeggen 4 gemultipliceerd door 4 , en dat getal opgeven; maar men kan geen lyn door eene lyn, geen cirkel door eenen cirkel multipliceeren: en indien men wel eens van de de multiplicatie van twee Iynen, en zo voorts, fpreekt, of de zelve- door het teeken x aanduidt, gefchiedt zulks maar kortheidshalven: en he t beteekent altoos ftilzwygend het getal dat de grootheid van eene lyn of eenen cirkel, by v. uitdrukt, vermeenigvuldigd door het getal dat de grootheid van eene andere lyn of cirkel uitdrukt.
V.



(54 11L Boek: Over de Evenreedigheid.
V.
Men noemt gelyifoortige grootheden die. welke zodanig gefield zyn dat eëne vermeeri^vuldigde van de kleinfte de grootfte kan evenaaren , of overtreft n; of wel,grootheden die uit de zelfde foort van een eeden beftaan.
voorbeeld. Lynen zyn onderling gelykfoorti? : pnral. lelogrammen zyu het ook onderlint;: een oxhoofd is- geJykfoorttg met eenen emmer, of een pint : om dat eene imeenigte van emmers of pinten een oxhoofd Itunrien uitmaaken.
Masr eene lyn , een parallélogram, een oxhoofd, zyn onderling ongelykfoortig.
VI
ttfen noemt meetbaare , of ook rationeele grootheden , of getalen, die, welke eene gemeene maar hebben: 't zy de kl- infte de maat van de grootfte zy, dat is, juist eenige maaien in de zelve begree;>en worde of opgaa, het zy eene derde grootheid dèniaat, of een gedeelte van beiden zy. iurL X. i def. aaismekking. Ik zeg hier grootheden en niet enkel getalen, i-m dat dit op alle grootheeden toepasfelyk is: een once, een pond, een fehip-pond zyn meetbaare grootheden: even als een anker, een oxhoofd , een pyp , en 20 voorts.
II. GEVOLG.
Alle Breuken , of gebrokens, zyn onderling meetbaar: want men behoeft ze flechts tot den zelfden noemer te brengen.
III. GEVOLG.
In alle getalen hoe genaamd is de eenheid, het zy eene voacire het zy eene betreklyke eenheid, de gemeene maat.
aanmerking. De waare eenheid heeft dan alken p



Inleiding, {jj>
fcanneeLmen de getalen in het afgetrokken befchouwti süoudeJRe op iets te pasfen,- zo als wanneer ik zeg ico, • loco, enzovoorts: maar wanneer ik zeg., ico oxboofden, 20 roeden, so voeten, 20 vierkante roeden, doel ik op eene bstrekktlyke eenheid; naamtlyk op een oxhoofd , eene roede, een voet, etn vierkant wa.ir van de zyden eene roeiie zyn 1 en de getalen 20 roeden , 20 Toeten, zyn ongelyk groot, hoe wel beiden 20 , dat is hoe wel beiden even veel eenheden bevattende: want de eenheid van eene roede is 12 maaien grooter dan die van eenen voet.
VII.
Men noemt tnmtetkaare grootheden (ook irrationeek of Jurdeiï), die, welke geene gemeene mant hebben: dat is waar. Van de eene noch door de verrneenigvuldiging van de andere, noch door die van eenig opgaand deel Jerzelve kan gevormd Worden.
eucl, X. 2 def. I. aanmerking. Ik zeg -grootheden , en niet getalen: want eigenlyk gefprooken zyn het alleen grootheden die onmeetbaar zyn: zo als by voorbeeld de diagonaal van een vierkant en zyne zyde: de diameter van een' cirkel en deszelfs omtrek , verfcheiden rechthoeken enz. zo als'in het IV, VI, VII en VIII. Boek blyken zal; enz. welke groot, beeden, hoe wel onderling onmeetbaar, beftaan, en aangeweezen kunnen worden. Onmeetbaaré getalen zyn 'er in den eigenleken zin niet, want wie een getal zegt, zegt een aantal eenheden , en dus iets dat met die eenheid meetbaar is. Men gebruikt wel is waar ook die uitdrukking onmeetbaar van getalen fpreekende ; doch het is in eenen oneigenlyken zin , en kortheidihalven» By voorbeeld, een wortel van een geheel getal, die zelfgeen geheel getal is, kan even min door een gebroken als door een geheel getal, dat is, by kan door geen ge* tal hoe ook genaamd worden uitgedrukt. 'Er is bjf geen geheel getal, en ook geen breuk, die dóór zich E aelf



66 lil. Buk: Over de Evenreedigheid.
zelf vermeenigvuldigd 8 , of door zich zeliitovee maal vermeenigvuldigd 36 kan voortbrengen: en^Wjs kan de vierkante woitel van 8, of de cubik wortel van 36, door getn getal, hoe genaamd, uitgedrukt worden;- en daarom noemt men die wortels onmeetbaar : dezelvcn
nogthans d.oor een teeken (1/8,1/ 3(>) aanwyzende, handelt men daarmede als of het getalen waren, en men noemt ze dus onmeetbare getalen, doch zeer oneigen» lyk: men kan die wortels wel aanwyzen: men lwn den eerstgemelden wel door eene lyn uitdrukken (namelyk door de» diagonaal van eenen rechthoek, waar van de eene zyde 3' de andere 2 is:) maar niet door eenig getal: men kan wel 3ff> getal vinden dat 'er hoe langer boe npder bekomt, dat er zo weinig van verfchilt als men wil, doch nimmer een , dat dien wortel juist evenaart.
Wanneer men dan van onmeetbare getalen fpreekt, duidt men dezelven door een teeken aan, en fpreekt niet van het geen zy zyn, want zy zyn er niet, maar van het geen zy zouden zyn, indien men ze door getalen uitdrukken kon, het geen onmooglyk is. II. aanmerking. Wy hebben in de voorgaande aanmerking gezegd, dat men de wortels van getalen, wanneer zy geen geheele getalen zyn, door geen getal hoegenaamd kan uitdrukken, en dat dus die wortels , ten opzichte dier gemelde getalen, volürekt onmeetbaar zyn : men kan derhilven die wortels noch door een geheel getal, noch door eene breuk uitdrukken: en dus door geen getal hoe genaamd.
Wy hebben insgelyks gezegd dat de diagonaal en de zyde van een vierkant onmeetbaar zyn : dit volgt uit IL 7 en IV. 7. het 7 Gevolg. N°. 4. Want zy A1 dat getal: en zy a een getal , wiens vierkant a' juist kleiner zy dan A2: maar zo, dat het vierkant van a .+ 1 juist grooter zy: dan is de wortel van A2 grooter dan a,
maar



Inleiding. ^
maar kleiner dan a + j: das a met eene breuk: ftel a"^l ' dit getal d0ür zich zel^ mu!tiP|"'ceerende krygt men deszelfs vierkant of a' 4. la 4. (i\2 — A*:en daar
A*een geheel getal is, moet a1 + 2~ 4. ( LV het ook
n \ n'
zyn: het deel a2 is het: het deel 2J? kan het zyn: men
v h
ftelle zulks: maar ~ blyfc altoos een breuk: en dus de
geheele fom een breuk. Stel dat 2~ eene breuk is- dan n
zal *? + (l Y ofl X (aa + I) echter eene breuk b'vn v n J n \ ii' 1
ven: dus is altoos het vierkant a2 4 2' 4 I eene breuk,
daar het, indien a 4 - de wortel van A* was, een eeii
heel getal moest zyn: dus is het de waare wortel van A'niet. In andere woorden , eene waare breuk, of eene oneigenlyke breuk die niet opgaat, eens of meermalen met zich zelf vermenigvuldigd zynde, zullen de uitkomften altoos breuken zyn, die niet opgaan en die dus niet tot geheele getalen kun7 7
nengebragt worden. Dus ~met £ multipliceerende kcmt
'er i|: insgelyks eene breuk die niet opgaat. Plet zelfde
heeft plaats voor l x - X - ~ "H?, voor 1 X - X 5 5 5 127 SS
7 7
g X - enz. Daar dan alle breuken ook breuken voor
magten hebben, zal ook omgekeerd een geheel getal geen breuk tot wortel kunnen hebben.
III. aanmerking. Er zyn dan getalen , waar van men den quadraatwortel, er zyn insgelyks getalen, waar van men den cubiekwortel in getalen kan uitdrukken: er zyn anderen, waarvan zulks niet mogelyk is: de eerstgemelde worden quadratt getalen, en cubieke getalen genoemd: zo E 1 als



6$ ///. Bock: Over de Evenreedigheid.
/'7*
als euclides het uitdrukt in de 18 en 19 prof. van act IX. Boek: en de worttl zelf wordt de zyde genoemd. IV. aanmerking. Indien dan A, en B, onderling onmeet' baar zyn, en C een effen deel van B is dat ei,d maaien ingaat; zo zal het zelfde deel C, een zeeker getal lualen^ by voorbeeld genomen, nog kleiner zyn dan A, doch eenö maal meer, namelyk n -f* 1 maal genomen,grooter: zo dat, daar m C — Bis, men hebben zal 72C A, n ■+■ 1 C
A; zonder dat er eenig getal n Lis dat doorzyne rn
vermenigvuldiging met C, gelyk aan A worden kan. S. p. 205. def. 1.
VIII.
Wanneer men twee gelykfoortige grootheden vergelykt, ten einde de grootte van de eene uit die. van de andere onmiddelyk te bepaalen, noemt men dit derzelver reeden na te gaan: en die bepaaling zelve is de reeden die de grootheden onderling tot elkander hebben.
Zie vooral koenig op de g. bepaaling van het V. boek van euclides.
aanmerking. Men kan de grootheden onderling op verfchillende wyzen vergelyken : voornamelyk op twee wyzen, waar van de eene Geometrifcbc, de andere Aritbmttijibe reeden genoemd wordt: waaruit de geowetrijche en arithmetifche proportien , of evenreedigbeeden : en uit deeze onderling, doch op twee verfchillende wyzen, vereenigd , de Lvgarithmen en de Harmonifche evenreedigheid geboren worden. Wy zullen dit alles verklaaren.
I. A F-



ft
I. AFDEELING.
©VER DE GEOMETRISCHE E VENREE DIG* HEID.
BEPAALINGEN.
IX.
Wanneer men twee gelykfoortige grootheden met elkander vergelykt, ten einde te weeten welke vermeenigvuldigde of hoeveelvoud de eene van de andere zy, of, 't geen op het zelfde uitkomt,hoe veel maaien de laatstgemelde in de eerfle begreepen is, of een hoeveel, fte deel zy 'er van is, wordt men gezegd dQ geometrifche meden, of ook enkel by uitftek de reeden , die 'er tusfchen die grootheden plaats heeft, na te gaan: zo dat de geometrifche reeden, of enkel de reeden, tusfchen twee grootheden , aantoont hoe veel maaien de eene de andere bevat.
De grootheden welke die reeden uitmaaken worden derzei ver leden genoemd: de grootheid die men het eerst noemt, wordt voorgaande, de andere volgende genoemd: 'er is dus in iedere reeden een voorgaand en een volgend lid.
Zie tacquet op de definitïen van euclides V. W.
« §. 605. — St. 20ó- def. 4.
I. GEVOLG.
'Er zyn geene grootheden , mits zy gelykfoortig zyn , die niet eene bepaalde geometrifche reeden tot elkander hebben.
E 3 ÏI. g i-



70 III. Boek: Over de Evenreedigheid
II. GEVOLC.
Men verdeelt de geometrifche reeden, in meetbaare en ra, meeihêare. Eene reeden is meetbaar wanneer zy door getalen uitgedrukt wordt, of kan worden : doch onmeetbaar, of irrationeel, wanneer de grootheden die men vergelykt onderling onmeetbaar zyn , en haare reeden dus door geen getal uitgedrukt kan worden: in dat geval kan men de reeden Hechts aanduiden door een' teeken, by v. zo als de reedera van j/2 tot i; of door lynen: men weet dan wel niet hoe veel maaien de eene grootheid in de andere begrtepen is , doch men weet de uiterften tusfchen welken dat getal ia valt: zo als by v. de reeden van yz tot i is grooter das
4r421 41422 ï- doch kleiner dan 1. .
IOOOCO IOOOO
L. C. 5. 283.
I. aanmerking. Men moet echter niet denken dat wanneer men twee onmeetbaare grootheden vergelykt der2elver reeden tot elkander altoos onmeetbaar zy : zy kunnen eene meetbaare reeden tot elkander hebben, hoo •wel ieder van haar met opzicht tot eene andere onmeetbaar zy: by voorbeeld de reeden van yz tot yB is die van 1 tot 2, dus meetbaar, hoe wel de groothec'en elk in zich zelve met betrekking tot de eenheid onmeetbaar zyn,
II. aanmerking, euclides geeft deeze bepaaling van het woord reeden : „ Reeden , zegt hy (3. bepaling) is „ de onderlinge betrekking van veelvoudigheid, die twee „ grootheden tot elkander hebben:" en hy voegt 'er in de 4. bepaaling by. „ Grootheden worden gezegd „ eenige reeden tot elkander te hebben , als de eene „ door vermeenigvuldiging de andere overtreffen kan." Men lette wel: hy zegt niet évenaaren: want dan zou de bepaaling flechts betreklyk zyn tot meetbaare grootheeden : maar overtreffen, het geen de onmeetbaare ook bevat. By vecle vertaalers leest men in de derde bepaaling betrekking van boegrtotbeid (in het latyn Jecundum quantitatem) in
plaats



/. Afd. Over ds Geometrifche Evenreedigheid. 71
plaats van veelvoudigheid (fecundum quantupiicitatem); doch dit zoude even eens op aiitbmetifche als op geometrifche reedens toepasfelyk zyn, het geen euclides niet bedoelde, zo als overvloedig uit zyn VII Boek blykt: doch dat men hier het griekfche woord icara TrnXmimr» door volgens de veelvoudigheid vertaaien moet, is door wallis • COpera Mathematica T. II. p. 666) en anderen aangeweezen: ook heeft gregory het aldus vertaald. Zie ook koe. mg over deeze plaats, ^
X.
Men noemt aanvoyzer (Exponent) vad eene reeden fW het quotiënt dat uit de divifie van de voorgaande door' de volgende voortkomt, of begreepen wordt voor te komen.
W. a. g. 65. —— H. a. J. 126. S. p. 207.
def. 6.
I. aanmerking. In de daad, daar de reeden van twee grootheden aanduidt hoe veel maaien de eene in de andere begreepen is, en daar het quotiënt van eene divifie dit ook doet, is dat quotiënt de waare aanwyzer van die reeden : en dit wel altoos ftilzwygend met betrekking tot die eenheid, die men tot grondflag legt. aanmerking. Andere fchryvers noemen aanwyzer, of quotiënt, het quotiënt dat uit de divifie,niet van de voorgaande door de vulgende, maar van de volgende door de voorgaande voortkomt: doch dit komt op het zelfde uit., mits men in de bewyzen en ftellingen het woord aanwyzer of quotiënt altoos in den zelfden zin neeme. III. aanmerking, tacquet noemt noemer het geen wjr aanwyzer noemen. Zie zyn V. Boek, III. gedeelte5.2,3.
GEVOLG.
Wanneer de voorgaande grooter is dan de volgende, is de aanwyzer een geheel getd, of ten geheel getal met eene breuk,;
E 4 20



1% HL Boek: Over èe Evenreedigheid
jso de voorgaande kleiner is , is de aanwyzer eene zuivereireuk: zo de aanwyzer meetbaar is, is de reeden meetbaar^ doch zo hy onmeetbaar is, is de reeden onmeetbaar; en om», gekeerd.
ÏV. aanmerking. Wanneer de aanwyzer onmeetbaar is, kan hy door geen getal uitgedrukt, doch flechts doos een teeken aangeduid, of door lynen uitgedrukt worden,
20 als •—: —. En dit is de reeden waarom wy in
de bepaaling gezegd hebben voortkomt, of begreepen ttwd» voort te komen.
V. aanmerking. De reeden wordt iii woorden dus uitgedrukt: A tot B: en in plaats van het woord ««gebruikt men het teeken (:) of (, ) dus A: B of A, B : ook wel, in r avolging van leibnits, h?t teeken van divifie, eene ftreep
namelyk,en in de daad daar de reeden aanduidt boa
veel maaien de eene grootheid de andere bevat, beftaatzy in eene divifre, en wordt door het in 't werk fteilea van die divifie bekend,
XI
Twee reedens worden gelyk, of de zelfde genoemd,, wanneer haare aanwyzers evengroot zyn: doch van twee reedens is die het grootst waar van de aanwyzer de grootfte is: of, 't geen op het zelfde uitkomt, eene rceden is evengroot, grooter, of kleiner dau eene andere, naar maate haar aanwyzer evengroot, grooter of kleiner is dan die van de tweede reeden. Wanneer nu yerfcheiden grootheden onderling de zelfde reeden hebben, zegt men dat zy evenreedig, of proportioneel zyn : en de evenreedigheid of proportie heeft plaats als 'er eene gelykheid van reedea plaats heeft. W? a. S, 66. S. p. ao7. def. 8, ?. p. 215. def, 20.
I. AAN-



ƒ. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 73
I. aanmerking. De evenreedigheid werd voorheen meest aldus uitgedrukt door vier flippen (: :), namelyk
A : C : : C : D of
A , B : : C , D doch daar de evenreedigheid in de daad eene ge'ykheid it van twee reedens, en dus van de quotiënten uic twee divifiën gefproten, wordt dezelve, in navolging van leibnits veel beeter en eigenaartiger uitgedrukt op deeze wyze :
A : B r= C : D : of
A _ C
B D*
ïl. aanmerking. Wanneer de beide reedens meetbaar zyn valt het gemaklyk over derzelver gelykhtid of ongeJykheid te ^ditjelen , en zulks alleen uit den aanwyzer. ■ Maar hoe oordeelt men, zal men zeggen, van degel>kheid of ongelykheid van twee onmeetbaare reeiens'? daar geen van beiden door getalen uitgedrukt kan worden, en dus geen van bejden naauwkeurig en in de daad bekend is.
Men oordeelt'er van op tweederlei wyze: vooreerst, daar de onmeetbaare redens door een teeken of dooi lyn^-n kunnen worden uitgedrukt (7 bep. I, rtanm.) oordeelt men dat zy gelyk zyn, als zy het zelfde teeken tot aanwyzer hebben, of door dezelfde lynen uitgedrukt worden; dus js de reeden -/3 : j/6 gelyk aan de reede van 1 : j/2: of die van y(, : y% gelyk aan die y*3 : y^ zyn, en dus zy«t/3> V6, 1 ent/2: of yó, y&, yi% 1/4 evenreedig :
Maar 'er is een tweede middel dat algemeener is, en zo wel op de meetbaare als op de onmeetbaare grootheden toegepast kan worden. Indien men twee redens, by v. A: B, en C: D het ft, zal men mogen vastftellen, dat de reeden van A tot B gelyk is aan die van C:D, als men bewyzen kan dat zy noch kleiner , noch grooter zyn kan: ofs wat op het zelfde uitkomt, wanneer men E 5 be-



74 HE Boek: Over de Evenreedigheid.
bewyien kan , dat men in or.gerymdheden vervalt, in» dien men onderilelt dat zy ongelyk zyn, of dat de eene reeden grooter of kleiner dan de andere is: eene naar ons oordeel, uitmuntende trant van bewyzen.
I. GEVOLG.
Wanneer vier grootheden evenreedig zyn: en de eerfte en tweede enderiirg meetbaar zyn, zyn de derde en vierde insgelyks onderling meetbaar: doch zo de eerfte en tweede mieriing onmeetbaar zyn, zyn de derde en vierde ook onderling onmeetbaar.
iewts. Zo A:B S C:D is ~ = £ . en dus zo J een
C , A getal is, moet g er ook een zyn: en zo g geen getal
en dus onmeetbaar is, moet het ook zyn.
III. aanmerkin«. Dit gevolg is de io propofitie van het X. Boek van euclides : men lette wel dut wy zeggen de eertte en tweede , de derde en vierde onmeetbaar onierling,dat is,haare reeden onmeetbaar. Want wy hebben reeds gezegd (bep. 9. ie Aanm.) dat onmeetbaare grootheden eene meetbaare reeden hebben kunnen : dus yi : Vê r= 1 :z. Wy befchouwen dan bier de onmeetbaars grootheden, niet op zich zeiven, (dat is met betrekking tot de eenheid) maar met betrekking tot elkander, order' ling, dat is, derzei ver reeden.
IV. aanmerkik6. euclides heeft twee bepalingen van gelykhcii van reedens gegeeven, de eene is de 20 bepaling van het VII boek, alwaar hy zegt: „ Getalen zyn „ evenreedig , als de eerfte een gelykvoud, of een „ gelyk deel van de tweede is, als de derde van de vier„ de:1' de andere, die niet alleen op getalen , maar op alle grootbeeden , ook op de onmeetbaare, toepaslyk is, is de 7 van het V Boek, en komt hier op uit. „ Indien „ 'er vier grootlieeden gegeeven zyn, en men evenver-
„ me-



1. Jfd. Over de Geometrifche Evenreedigheid, 75
„ menigvuldigden of gelykvouden neemt van de eerfte en „ de derde: en andere gelykvouden van de rweede en „ de vierde : zullen die grootheden in de zelfde ree„ den zyn ; namelyk de eerfte tot de tweede, de dtrde „ tot de vierde; indien, wanneer het gelykvqud van de
eerfte even groot, grooter of kleiner is, d.ui dat van „ de tweede , uvens ook het geiykvoud van de derde „ even groot, grooter, kleiner is, dan dat van de vier„ de, en zulks altoos, en volgens welke vermenigvuldi„ ging men ook wille," waar by EUCLinES voegt: „groot,, heden die in de zelfde reeden flaan , worden even„ reedig genoemd."
By voorbeeld: indien A, B, C, D, gegeeven zyn: en men neemt gelykvouden m A en «1 C: insgelyks n B en n D, dm zal A: B — C : D zyn, indien w; nneer m A 7 n B ook m C 7 n D: en wanneer m A L n B ook m C L n D: en wanneer m A — »fi ook mC — bD: welke getalen men ook voor m en « neeme.
Deeze bepaling van eucltdes is algemeen, en bevat zo wel de meetbaare als de onmeetbaare grootheeden : doch zy is niet geheel duidelyk en volkomen, en niet uit de waare en eenvoudige natuur van het geen men oorfpronglyk door reeden verftaat, ontleend: zie koenig ter deezer plaatle. De leere der aanwyzers, die of meetbaar of onmeetbaar zyn, vis gemrklyker,- en even algemeen als die van euclides: wy zullen echter in het I, II, en III veorilel toon en , dat de bepaling van euclides uit de onze, en de ónze uit die van hlclides volgtV. aanmerking. Om de zelfde reeden geeft euclides deeze bepaaling van ongelyke reedens: ,, Wanneer men ,,'gelykvouden van de eeifte en derde grootheid, en an,, dere gelykvouden van de tweede en vierde genomen
heeft , en wanneer dan het gelykvoud van de eerfte,
dat van de tweede overtreft, zonder dat het gelykvoud „ van ie derde dat van de vierde overtrtfFe , zal de
7» eer-



7<5 IJL Boek: Over de Evenreedigheid.
„ eerfte grootheid grooter reeden hebben tot de tweede dan de derde tot de vierde."
II. GEVOLG,
Alle breuken, en alle producten of getalen door vermenigvuldiging of multiplicatie ontdaan, zyn ree-
dens: want Hel g = q en D x E = C, dan is er de-
zelfde reeden tusfchen A en B, als tusfchen q en de eenheid : en tusfchen E en de eenheid als tusfchen C en D.
IV. Aanmerking, De bepaalingen, die men inde meeste cyferboeken van multipHcesren en divideeren geeft, zyn zeer gebrekkig. Naauwkt urig gefprooken beftaat de multiplicatie in het vinden van een getal, dat toi een der gegeevenen is, als het ander tot de eenheid: en de divifie beitaat in het vinden van een getal dat tot de eenheid is, als het geval dat gedivideerd moet worden, tot den divifor of deeler. Zie hier over koenis np eucl. V. def. i, 2. — H.
a. g. 127. L. C. 5. 287. — doch vooral d'alem-
bert Melanges; V. p. 217.
III. GEVOLG.
De evenredigheid vereischt ten muitten drie groot~ heden.
eucl. V. bep. 0. VII. aanmerking. Men maakt in de gewoone wyze van fpreeken een beftendig misbruik van het woord proportie, dat men met het woord reeden byna altoos verwisfeit , zeggende ; de proportie van A tot B: dit is een m!sfiag , 'er is geene proportie of evenreedigheid tusfchen twee grootheden; maar twee grootheden hebben eene bepaalde reeden tot elkander: en dan eerst wordt eene proportie of evenreedigheid geboren, wanneer men twee reedens
dis



ï. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. ff
die gelyk zyn, met elkander vergelykt: het zy deeze te famen uit drie grootheden het zy uit vier grootheden beilaan : in het eerfte geval is A : B D : C of
è = ~: in het tweede A : B — C : D of - — 2. b C li U
XII.
Wanneer de grootheden, die gelyke redens tot elkander hebben, allen verfchiilëude zyii, zegt men dat die grootheden ondè'rfckeidenlyk (discrete) evenredig zyn: doch wanneer die grootheden zodanig gefield zyn, dat 'er altoos eene van de voorige reeden in de volgende herhaald wordt , dat is, dat de volgende grootheid in de eerfte reeden de voorgaande is in de tweede; de volgende in de tweede, de voorgaande in de derde, en zo beftendig Voort : dan zegt men dat die grootheden geiuurig (continue) evenreedig zyn: en die geduurige evenreedigheid wordt eene geometrifche reeks of progresfie genoemd, in welke men evenverafjlaande leden nuemt, die leden, welke door een even groot getal leden van eenig bepaald lid gefcheiden worden.
A , B, C, D, E, F, G, H zyn geduurig evenreedig, of maaken eene geometrifche reeks uit, indien,
A B C D K F
-rr-sr- = - = -=:- enz. of A : B — B : C — CB C D E EG ^ *
D = D : E —E : F = F: G enz.
W. a. g. 69- H. a. J. hi. St. p. 208. d.
12. p. 215. def. 21.
g evolc.
Hier Van is het dat men zegt dat gatalen of grootheden , die geduurig evenreedig zyn, eene geometrifche reeks uitmaaken: die reeks wordt aanwasfende, ook tpgaande ; of verminderende , ook faamenloopende , of
netr*



78 III. Boek: Over de Evenreedigheid.
neergaande genoemd, naar maate de leden beftendig
aangroeien, of verminderen. AA..messing. Eene geometrifche reek?,, of gedtiurige evenreedigheid wordt aldus C77) door vier flippen aangeduid ^ A, B, C; D, E, enz.
XIII.
Wanneer drie grootheden geduurig evenreedig zyn noemt men de tweede of middel He midden • evenreedigey en de laatfte, derde evenreedig: en wanneer vier grootheden onder/cheidenlyk evenreedig zyn, noemt men de vierde of laatfte vierde evenreedige. Ah dan worden ook de eerde voorgaande , en de laatfte volgende grootheid de uiterften of uiterfie leden genoemd: de eerfte volgende, en de tweede voorgaande, de middelden , of middelfie leden.
S. p. 209. d. 13, 14.
XIV.
De voorgaande worden met betrekking tot de voer' gaande, en de volgende met betrekking tot de volgende gelykgeplaatjle Qhomologi) leden genoemd.
iücL. V. bep. 12.
XV.
Wanneer men vier grootheden heeft, en men derzelver reeden befchouwt met betrekking tot de orde in welke men ze opnoemt, zegt men dat zy rechtftrtefo tot elkander, of in rechte reeden ftaan, als de eerfte ftaat tot de tweede zo als de derde tot de vierde: of in andere woorden, zo de reeden van de eerfte tot de tweede gelyk is aan de reeden van de derde tot de vierde: maar men zegt dat zy omgekeerd tot elkander ftaan, of in omgekeerde reeden zyn: als de eerfte ftaat
tot



J. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 79
tot de tweede zo als de vierde tot de derde: of de tweede tot de eerfte zo als de derde tot de vierde. L. C. %. 263. — Sc. p. 234. J. 23.
G EVOLC.
Hier uit volgt dat de omgekeerde reeden van twee grootheden gevonden wordt met de volgende grootheid door de voorgaande, in plaats van de voorgaande door de
volgende lediv'ideeien:- is de omgekeerde reeden van A 1
is de omgekeerde reeden van B : i.
li b » L. C. 5 299.
XVI.
Men noemt faamengejlelde reeden die welke uit verfcheiden andere reedens wordt opgemaakt, en dat wel door vermeenigvuldiging der enkele reedens, (in dat geval ook wel wortels en fa&oren genoemd) uit welken de faamengeftelde gevormd wordt: wanneer alle de wortels 'rechtjlreeks genomen worden, is de famengeftelde reeden rechtftreekfche reeden uit allen: zo zy allen omgekeerd genomen worden,is de famengeftelde reeden omgekeerde famenge(lelde reeden der- wortelen : en zo fommige wortel? rechtftreeks , anderen omgekeerd genomen worden , is de famengeftelde reeden uit rechtftreekfche en omgekeerde reedens gevormd.
voorbeeld. Men hebbede reedens zo is
B D F I
ACE
de reeden van P : Q famengeftelduitd ie van -, -enz.'
. ,. P A C E . 21 . ,
indien - — - ~ X ~:enz. dus ïsdie van — famen-
1 gefield uit - en Z; de reeden vanR .• S is de omgekeerde
famen-



%9 IH- Boek: Over de EventeedigbtiJ
AC, R B D r famengeftelde uit jj en g indien g — £ x £" = — j
BD
27 37 dus is — omgekeerd famengefteld uit - en -.-dereeders 21 9 3
van T: Uis famengenfteld uit de rechtreekfche van ,7 es
ij
de omgekeerde van ^ indien ~ ;r ~ X Dus
2 4 $
is — de famengeftelde rechtftreeks uit -• en omgekeerd uit ~.
L. C. 5. 290. — St. p. 245. def. 5. aanmerking. EucLiDts fpreekt in zyn V Boek in het ge* heel niet van die famengeftelling van reedens; doch in het VI Roek geefc hy 'er deeze bepaling van: Eene reedera „ wordt uit reedens famengefteld , als de hoeveelhee„ den of aanwyzers dier reedens onderling gemultipli„ ceerd; de hoeveelheid (of den aanwyzer) van die reeden uitmaaken." Zie hierover wallis de compofitione ratit* nwn in zyn opera Muthem, U. p. 666.
XVII.
Wanneer eene reeden uit gelyke reedens wordt famengefteld, wordt zy verdubbelde, driedubbele, vier* dubbele enz. genoemd, naar maate zy uit twee, uit drie, uit vier, gelyke redens famengefteld is,en die, £bep. 4.) de tweede, derde, of vierde magt van die reeden is.
Ax A AJ A x A X A f A3 Ax Ax Ax h A4
of <g4 zyn de verdubbelde, driedubbele, vierdubbele
reeden van
H. a. J. 130. —— L. C. 5. 191, Mnmeukiko. Daar do bepaalingen door euclides van
ver*



I. Afdi Over de Geometrifche Evenreedigheid. 8ï
dubbelde, driedubbele reeden enz. gegeeven, uit andere grondbeginfelen afgeleid zyn, behooren wy deztlven na te gaan, vooral daar die bepaalingen eenigen invloed in het vervolg kunnen hebben.
Dit zyn de 10 en de ir bepaaling van het vyfde Boek:
„ Zo drie grootheeden evenreedig (d. i. gedurig'even» „ reedig) zyn, wordt de eerfte gezegd tot de derde eene
dubbele reeden te hebben van die welke zy heeft tot „ de tweede.
„ Zo vier grootheeden evenreedig (d. i. geduurig even„ reedig) zyn, wordt de eerfte gezegd tot de vierde eene „ driedubbele reeden te hebben van die, welke zy heeft „ tot de tweede: en zo voorts, zo lang de evenreedig„ heid duurt.
p
Wanneer ik dus zeg, de reeden ~ is de verdubbelde van duidt dit aan, volgens ons, dat die reeden B
uit de vermeenigvuldigingvan dereeden - door zich zelve
B
p
gevormd wordt t volgens euclides, dat de reeden ^
die is van de eerfte A tot de derde C van drie geduurige evenreedigen , waar van A en B de twee eerfte zyn. Wanneer wy zeggen , dat de reeden van P tot Q de driedubbele is van de reeden van A tot B, geeft het volgens ons te kennen, dat die reeden uit de vermeenigvuldig'ng van
de reeden - , twee malen door zich zelve , ontlïaat,
dat zy de reeden is van A' tot B3: volgens euclides , dat de reeden van P tot Q de reeden Is van de eerfte tot de vierde van vier geduurig evenreedige grootheeden, waar van A en B de twee eerfte zyn. Hoe veel nu die uitdrukkingen in den eerften fchyn van elkander verfchillen mogen, komen zy op het zelfde uit, zo als wy zulks in de Aanmerking op het XIV Voorlid zullen bewyzen.
F w-



82 III. Boek: Over de Evenreedigheia.
euclides heeft zeekerlyk zyne bepaaling boven de an. dere, die natuurlyker is, en hem niet onbekend was, als rechtfirseks uit de 5 bep. van het VI Bock volgende, verkoortn; omdat hy de verdubbelde reeden van twee lynen in het VI Boek wilde gebruiken: terwyl hy wel begreep, dat de multiplicaiie in eenen ftrikten zin alleen op getalen, en niet op lynen of andere grootheeden kan gefchieden; waarom hy dus ook, by het denkbeeld van 'de verdubbelde reeden van lynen, het denkbeeld van multiplicatie wilde vermyden.
XVIII.
Men noemt onderver dubbelde reeden, onder driedubbele reeden, en zo voorts, eene reeden, die de tweede, of de derde wortel en zo voorts is van een gegeeven reeden.
s
Byv. v\ of —^: V% of ^— zyn onderverdubbel. B yB B ^
de, en onderdriedubbele reedens van jj.
H. a. §. 130. S. p. 245. d. 6.
aanmerking. Men maakt nog meerdere onderfcheidingen van reedens, welke men allen by clavius over de bepaalingen van het V Boek van euclides zien kan. Zo als by voorb. anderhalve reeden: dat is, de reeden van de vierkante wortels der derde magten
t/Af.
Of yB'.
VOOR.



I. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 83 VOORONDERSTELLINGEN. I.
Men vooronderftelt , dat, warneer drie grootheeden gegeeven zyn, er eene vierde evenreedige tot dezelven gevonden kan worden:
II.
dat, zo twee grootheeden gegeeven zyn, 'er eene derde evenreedige gevonden kan worden.
AXIOMATA,
0 p
ALGEMEENE KONDIGIIEEDEN. E
Gelyke grootheeden hebben dezelfde reeden tot elkander, gelyk ook elk tot eene derde grootheid. ZoA=B, C-DiisA: B = C:D en
A: E = B: E. bucl. V. 7. — W. a. 5. 72.
II.
Eene grootere grootheid heeft tot eene andere eene grootere reeden dan eene kleinere tot de zelfde: doch die derde heeft eene kleinere reede tot de groote dan tot de kleine: en eene grootere reeden tot de kleine dan tot de groote: en omgekeerd , Zo A>B: is A:C->B:C C:AZC:B C:B^C:A.
Eucl. V. 8. 10.
F 2 III.



84 Ui-. Boek: Over de Evenreedigheid.
UL
Grootheeden die tot dezelfde grootheid eene gelyke reeden hebben, zyn gelyk ; en omgekeerd: zo A:B = C:B is A —C; zo A=.C is A:B = C:B. eucl. V. 9. — W. a. g 73.
IV.
De even - vermenigvuldigde en even ■ ondervemenigvuldigde, of gHykvoudige en gtlykdeelige van twee gelyke grootheeden zyn gelyk: en die van twee ongelyke grootheeden zyn in de zelfde reden als de grootheeden zelve.
A B
zo A = B, is MXÜrwxB en - = -.
m m
„ A . m A
zo 5 = 9 is —„ — q
zo A:B = C:D is wArwzB-C: D en wjA:mB = mC : oiD en r»A:r«Br;^C:wD. etjcl. V. 15. en VII. 17. 18. VV. a. 5. 74.
GEVOLG.
Men kan dit cok aldus uitdrukken: zo twee grootheeden gelyk aan elkander zyn, wordt de gelykheid nietgeftoord, indien zy door het zelfde getal gemultipliceerd of gedivideerd worden: en, eene gn..oUKid bh, ft Je zelfde , indien zy door de zelfde grootheeden gemultipliceerd en gedivideerd wordt. L. C. §. 296. 297. — S. p. 222. pr. 10 p. 225. pr. 12.
V.
Indien twee reedens gelyk aan eene derde zyn , zyn zy onderling gelyk
eucl. V. 11. —— S. p. 224: pr. 11. — W. g. 70.
VI.



I. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid, BS
VI.
Indien twee reedens gelyk aan elkanler zyn, en eene derzei ven grooter of kleiner is dan eene derde, is de tweede het ook. eucl. v. i3-
EIGENSCHAPPEN
DER
GEOMETRISCHE EVENREEDIGHEDEN.
I. voorstel.
Indien vier grootheeden A, B, C,D evenreedig zyn: en
menneenu gelykvouden (m)van de eerfte en derde (m A, m C)
en andere gelykvouden (ö) van de tweede en vierde («B,
«C): zal het gelykvoud van de derde altoos even groot,
groofT of kleiner zyn dan dat van de vierde, naarmaate
het gelykvoud van de eerfte even groot, grooter of kleiner
is, dan dat van de tweede, welke vermeenigvuldiging mei*
ook neeme.
bewys, Uit de onderftelling is
A:B=C:D of
A _ C
B ~~ JD
dus (Axioma 4.)
w»A mC , —■0 — ■ dus na nD
zo mA of ^ofrrofZ »B is ook
mC of >of— ÓU nD
D. T. B. W.
aanmerking. Men ziet dat de bepaaling der evenreedigheid , door euclides gegeeven, uit de onze volgt. Zie onze XI Bep. Aanmerk. IV.
F 3 IL



86 III. Boek: Over de Evenreedigheid.
II. voorstel.
Zo de reeden van A tot B grooter is dan die van C tot D; kan men zodanige gelykvouden (m) van de eerfte en derde (mA, mC) en zodanige andere gelykvouden (n) van de tweede en vierde neemen C»B, nD) dat, zo het gelykvoud van de eerfte (m A) dat van de tweede (bB) overtreft , nogtlians dat van de derde (mC) dat van de vierde (nD) niet overtreffe, maar of gelyk, of kleiner zy.
tacquet op het V Boek van euclides Part, II. i Th. i,
wwys: Zy A.-BI» C:D
. A C of *"*>** i B D
, mA mC
~nB ^rTlV nukan' indien*nA"i>«B is,
— ■>~| zyn> al is mC>?iD, en het heeft zeeker plaats al* m C ~ nD, of mC L n D is.
III. voorstel.
Indien men twee reedens heeft A:B en C:D; en de gelykvouden (mA, wzC) van de voorgaanden, zyn te gelyk, of even groot, of grooter, of kleiner, dan andere gelykvouden (nB,nD) van de volgenden; dan zyn die twee reedens gelyk. tacquet V. B. Part. If, Th. 2. bewys: Het voorftel is; zo mA of-> of — of l hB; en tevens mC > of — of l nD; is ook
A: B = C: D. Immers, zoditnie- is, is of A.-B^, C:Dof C:DVA:B, xo het eerfte; zal men (II Voorftel) wanneer mA of~> of ZZ of i 11B, kunnen hebben in elk dier drie gevallen ofmC>nL), of mC-nD, of mCZ«D; dat tegen de gegeeven onderfteliing aanloopt; zoC;D>A:B; zal
men,



I. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 87
men, wanneer mC of ">of — of L nD, kunnen hebben in elk dier drie gevallen of m A>nB, of m A — nB , of mA L nB; dat insgelyks tegen de gegeeven onderftelling aanloopt: dus is noch AiB-^ C:D: noch A:B iC:D dus is A:B = C:D.
GEVOLG.
Indien men zodanige gelykvouden (m A,mC) van de voorgaanden neemen kan, en zodanige gelykvouden (mB.nD) van de volgenden, dat, terwyl het gelykvoud va 'de eerfte voorgaande grooter is dan dat van haare volgende (niA^ n B) , nogthans het gelykvoud van de tweede voorgaande niet grooter maar gelyk of kleiner zy dan d3t van zyn volgende (wC niet *> nD), zal de reeden van de eerfte voor» gaande tot de volgende grooter zyn, dan die van de tweede voorgaande tot haare volgende (A: B C: D.) tacquet V. B. Part. II. Th. 3. bewts. Zo dit niet is; zy A : B — C;D , en dus (MI Voorftel,) zo m A V nB: is mC "> n D , dat tegen de onderftelling aanloopt.
, C A wC »wA zoA:BZC:D,ofC:D->A:B;zal - ">-. dus -—^ —
D B n D na
zyn, en dus, zo i-A^nB ,zal ook m C^-nD zyn, dat tegen de onderftelling aanloopt; dus is noch A:B — C: D, noch A: B£C:D: dus is A:B">C:D. aanmerking. Men ziet uit dit Voorftel en zyn Gevolg, hoe de gelykheid van reedens uit de leere der gelykvouden door euclides aangenomen (zie Aanmerking IV op de XI bepaling) afgeleid wordt: en dus dat de eene leer hieromtrent volmaakt met de andere overeenkomt Het blykt verder, dat het om het even is of de groothetden onderling meetbaar, dan of zy onmeetbaar gefield worden.
Doch om dit verder optehelderen , zullen wy 'er het volgend Voorftel, dat onmiddelyk de onmeetbaare reedens betreft, nog by voegen.
F 4 IV.



85 III. Boek: Over de Evenreedigheid.
IV. VOORSTEL.
Indien men vier grootheeden A,B,C, D, ftelt: zo dat A onmeetbaar is met betrekking tot B; en C met betrekking tot D: doch B en D onderling meetbaar: en zo men dan verder ftelt, dat B in een aantal m van deelen, ieder gelyk aan b, en D in een dergelyk aantal m van deelen ieder gelyk aan d verdeeld zyn; en indien eindelyk , zo A->nb doch kleiner n+i b, en tevens O nd doch kleiner n-\r 1 d is,welke ook de grootheid der getalen m en n zyn moge:dan zullen de grootheeden A,B, C,D, evenredig tfn.
i Kaksten Geom. §. 182.
jsewys. De gegeeven onderftellingen zyn Brrwt;
- D=md; K>nb en tevens C*>nd: Aln+i, & en tevens Cin+i.d. Men moet bewyzen dat dan A: B r=C:D.
Zo dit geen plaats heeft, zy A:B — E:D, dan zal E
grooter of kleiner dan C moeten zyn.
. Uit het gefielde A:B — E:D: is
A _ E_ jv E_
B D' mb — mi
maar A^nb , en ALn + 1. b
, E n-f-i . 6 . E
dus — ^—7: en — V —--.
mb ntd mb ma
of
E -r- E , .
11 ^ - : en h +1 . V -: dat is
a a
nd L E, en n+i .a">E.
Doch men heeft ook ,
nd LC en n~+7 d>i: <C' men kan dan d, E, C befchouwen als vier grootheeden d, C, i, E, waarvan men gelykvouden neemt; namelyk n, of n-S- x van de eeifte en de derde , en 1, van de
tweede



J. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid, 89
tweede en de vierde: en daar nu wanneer die van de eerfte kleiner of grooter is, dan die van de tweede (ndZ C; n +1 .«OC),die van de derde ook te gelyk kleiner of grooter is dan die van de vierde, (ndLE: n+ 1. d. ~> E); zo volgt hier uit, dat men heeft
d:C — d:E: en dus (Axiom. 3) C=E. Eis dus noch grooter noch kleinst dan C, maar gelyk aan C; en gevolglyk
daar A: B = E; D is ook
A: B — C: D. Dat te bewyzen was.
I. aanmerking. Wy hebben reeds in de IV Aanmerking op de VII Bep. getoond, dat wanneer twee grootheeden C en D onderling onmeetbaar zyn , de onderftelling van nd LC en n +1. ->C, plaats heeft.
II. aanmerking. Wy hebben, wel is waar, in ons Bewys geen gewag gemaakt van het derde dat in de veelvouden plaats moet hebben, om 'er de gelykheid van reedens uit te kunnen opmaaken: namelyk, dat, zo nd— G ook nd — E zyn moet, doch hier is, uit hoofde der onmeetbaarheid tusfchen C en D, dat geval onmogelyk : want had dat geval plaats, dan zouden C en D onderling meetbaar zyn, en de gelykheid der beide redens, A:B en C:D, volgde van zelf.
III. aanmerking. Wy zullen ons dan nu in het vervolg niet meer met de meetbaarheid of onmeetbaarheid in de Voorftellen ophouden, en den leiddraad onzer XI Bepaaling volgen: alleenlyk zullen wy in jde aanmerkingen hier en daar een wooid tot nadere opheldering voegen.
V. VOORSTEL.
Wanneer vier grootheeden eene Geometrifche evenreedigheid uitmaaken: is het producT: van de beide uiterflen gelyk aan dat der beide middelden: en omgekeerd: wanneer twee pro'duclen, ieder uit twee grootheeden befhande. gelyk zyn, zyn die grootheeF $ den



po III. Boek: Over de Evenreedigheid.
den in eene Geometrifche evenreedigheid: de eerfte namelyk van het eerfte product, tot de eerfte van het tweede producT:, zo als de tweede an het tweede product, tot de tweede van het eerfte product.
eucl. VII. 19- W. a. J. 109. —— S. p. ais.
pr. 6.
bewys. Uit de 10 en 11 Bep. en Gevolg van Axioma 4.
I. aanmerking. Wy verdaan hier zo wel de produQen die in de daad door getalen uitgedrukt konnen worden, als die welke men flechts kan aanwyzen : en dus is dit Voorftel zo wel op de onmeetbaare als op de meetbaare grootheeden toepaslyk.
II. aanmerking. Men vindt dit Voorftel niet in het algemeen by euclides: maar alleen voor de getalen in het VII Boek , doch wy zullen in het IV Boek 7 Voorftel 8 Gevolg N°. 2. aantoonen, dat het 16 Voorftel van het VI B. van euclides met dit Voorftel overeenkomt.
I. GEVOLG.
Indien drie grootheeden geduurig evenreedig zyn , is het produel: der uiterften gelyk aan de tweede magt der middelften.
eucl. VII. 20. —— S. p. 16. Gev. r. II. aanmerking: Wy zullen in het IV Boek 7 Voorftel 8 Gevolg N°. 2. aantoonen , dat het 17 Voorftel van het VI B. van euclides met dit Voorftel overeenkomt.
II. GEVOLG.
De getalen, die twee gelyke producten uitmaaken, kunnen altoos zo gefteld worden, dat 'er eene Geometrifche evenreedigheid uit volge. L. C. g. 302.
III. GE-



1. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 91
III. GEVOLG.
Hier uit volgen van zelf de regelen om eene vierde , eene derde, of eene midden evenreedige te vinden.
W. a. $ 112 113. III. aanmerking. Op dit gevolg fteunt de geheele Regel van Men , en op het zelve , gepaard met het 4 Axioma de regel van driè'n in het gebroken, zo als wy zulks met voorbeelden zullen ophelderen.
L. C. g. 320-323. — W. a. g 114.119. — S. p. 21S. Gev. 3.; p. 223. ;
VI. VOORSTEL.
Indien de producten van vier grootheeden, genomen in die orde als zy opgegeeven worden, namelyk van de eerfte en tweede en van de derde en vierde, aan elkander gelyk zyn: dan ftaan die grootheeden in omgekeerde reeden tot elkander, de eerfte tot de derde zo als de vierde tot de tweede : of de eerfte tot de vierde, zo als de derde tot de tweede.
S. p. 219. pr. S. p. 234. pr. 21.
bewys. Uit het 2. gevolg van het V. Voorflel.
GEVOLG.
Hier op fteunt de manier om eene vierde omgekeerde evenreedige te vinden, dat is, eene grootheid die zodanig gefteld is , dat de eerfte en tweede in omgekeerde reeden ftaan van de derde en vierde: aanmerking. Hier op fteunt de omgekeerde regel -aan drièr,, zo als wy door veele voorbeelden zullen ophelderen.
W.



$t III. Soek: Over de Evenreedigheid.
W. a. 5 119.
De omgekeerde regel van drën, verfchilt niet in aart van de» gewoon.n regel van driën; maar alleen hier in, dat de vraag in den laatstgemelden niet recht wordt opgegeeven. Men kan alioos onderkennen of men den rechten dan of men den verkeeiden regel van driën moet gebruiken. Wanneer, in het gevraagde, het "ierde lid ,dat men zoekt, in dezelfde reeden grooter of kleiner moet zyn, dan het derde der gegeevenen. als het tweede grooter of kleiner is dan het eerfte: heeft men den rechten regel van driën: doch wanneer het vierde lid in dezelfde reeden groorer of kleiner zyn moet dan het derde, als het tweede (niet gronter of kleiner) maar kleiner of grooter is dan het eerfte; heeft men het geval van den ver. keerden regel van driën: by voorbeeld: 40 menfchen maaken een' muur van 45 roeden in eenen dag: hoeveel menfchen zal men moeten hebben om in den zelfdr-n tyd een' muur van 81 roeden te maaken ? x ftc lende voor het gevraagde , heeft men niet 40:45 ~ 81: x maar 40:45 —x: 81.
VII. VOORSTEL.
Wanneer vier grootheeden (A, B, C, D) even. reedig zyn, zullen zy het insgelyks zyn by verwisfeling, de voorgaande van de tweede reeden, in plaats van de volgende in de eerfte, en de volgende in plaats van gemelde voorgaande Hellende (A: C =B: D): en ook by omkeering; de volgenden in plaats der voorgaanden ftellende.
eucl. V. 16. en V. 4. Corol. en VII. 13. — W. a. $.111.
St. p. 210. Gev. 1. — L. C. 5. 304.
bewys. Uit het 2 Gevolg van het V. Voorftel.
aak merking. De Verwisfeling, Qalterna ratio, ook by
fom-



I, Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 93
fommigen permutatio genoemd ,) wordt door euclides (V. B. bep. 13) aldus uitgelegd: „het is te ltellen, de •voorgaande tot de voorgaande , zo als de volgende tot de volgende.
II. aanmerking. Zo lang men de grootheeden in het afgetrokkene befchouwt, gaat de verwisfeling altoos door: doch wanneer men 'er bepaalde denkbeelden aan hecht van deeze en geene grootheid in her byzonder, gaat zy niet door of de vier grootheeden moeten gelykfoortig zyn. By voorbeeld, een pond vlaams ftaat tot een gulden, als een oxhoofd tot een anker: wederzyds zyn de voorgaanden het zesvoud van de volgenden: maar indien men byiverwisfeling zegt, een pond vlaams üaat tot een oxhoofd, zo als een gulden tot een anker, heeft dit geenen zin, om dat 'er geen reeden hoegenaamd tusfchen een pond vlaams en een oxhoofd zyn kan. Daarom voe. gen fommigen by dit Voorftel de voorwaarde, dat alle leden der evenreedigheid gelykfoortig zyn moeten; en dit geld: ook voor het volgend voorftel: doch wy be. fchouwen hier de grootheeden in het afgetrokkene. euclides in het 13 Voorftel van het VII Boek, van de getalen fpreekende, fpreekt, en zulks met reeden, van de verwisfeling in het algemeen, en als altoos plaats htbbende.
III. aanmerking. De Bepaaling van de omkeering , door euclides gegeeven, is deeze: „de oinkeeiing der reeden is te ftellen , de volgende tot de voorgaande, zo als de volgende tot de voorgaande." Indien men dit vergelykt met onze XV. Bep., blykt het dat het op het zelfde
a n
uitkomt: want indien ik ftel A:BzC:D: of -
B i)
en daar uit opmaak B:AzrD:Cof~ — , blykt het
A C
dat ik het omgekeerde neem. Zie gevolg van die XV. Bepaa!ing.
IV. aanmerking. De vier leden eener evenreedigheid
kun-



94 IU. Boek: Over de Evenreedigheid.
kunnen op verfchillende wyze veranderd worden, als men vtrwisjeliug en omkeering te famen voegt: aldus A:B = C:D . A:C = B:D . B:A = D:C . C:A = D:B . B:D = A:C . C:D=A:B . D:B = C:A . D:C = B:A. En men zoude insgelyks uit die zelfde vier evenreedige grootheeden A:B — C: D en dus uit A x D=J5«<Cacht omgekeerde reedens kunnen maaken, aldus
hetgeen men altoos naar welgevallen doen kan: en -de evenreedigheid za! altoos tusfchen die grootheeden hoe men die ook fchikken mo^e, plaats hebben, i-dien de producten der uiterft.n en der middellten> AD—8 C geeven , of tot die gelykheid gebragt kunnen worden.
VIII. VOORSTEL.
Wanneer vier grootheeden evenreedig zyn, heeft men door Jamentelling de fom van de eerfte en de tweede (A + B) tot de eerde (A) of tot de tweede (B> zo als de fum van de derde en vierde (C + D) tot de derde (C) of tot'de vierde (D): en door aftrekking: het veifchil der twee eerden (A—B)totc'e eerde (A) of tweede (BJ zo als het verfchil der twee laatden CC —D; tot de derde (C) of tot de vierde (D)" engemengd: de fom der twee eerden, tot derzei ver ver.
fchil:



I. Afd. Over de Geometrifehe Evenreedigheid. 95
fchil; zo als de fom der twee laatiten, tot derzei ver verfchil, en omgekeerd voor alle die gevallen.
eucl. V. 17, i3. en VII. 11. — L. C. g. 304, 305. — S. p. 217-230.
bewvs. üic het V Voorftel, 2de Gevolg, en Axioma 5. I. aanmerking, euclides geeft deeze bepaaling van de famentelling: (Compofitio), „ De famentelling van eene „ reeden is het neemen van dereeden der voorgaande en „ volgende, als ééne grootheid, tot de volgende. V. B. bep. 15. De bepaaling van de aftrekking (Scheiding) is by hem deeze ; „ De aftrekking eener reeden , is het neemen „ der reeden van de overmaat van de voorgaande, boven „ de volgende, tot de volgende.'' Het geen men in dit geval noemt divifio, of dividendo, noem ik hier aftrekking , of zo men wil fcheiding, (dat in dit geval de waare beteekenisis, ook van het Grieksch woord Aiaf/wi;, door euclides gebruikt) en niét deeling of divifie dat thans by ons geneel andere denkbeelden dan van eene fcheiding , of aftrekking, of JubfiraSie verwekt.
GEVOLG.
Uit dit Voorftel kan men, by verwisfeling en omkeering, veele andere evenreedigheeden afleiden, die het nodeloos zoude zyn , allen in woorden uittedrukken. Zie hier de voornaamften. De gegeevene zyn:
I. A-+-B: A = C + D : C: II. A + B: B = C-+-D : D: Hl. A —B: A = C- D : C: IV. A-B: B = C —D : D: V. A-hB: A —B = C-hD:C—D.
hier



§5 HL Boek: Over de Evenreedigheid.
hier uit volgen vi. a : a + B = C : C-+-d vii. b : a-+-b = D : CH-d viii. a-f-b : c ■+■ d = a : c IX. b :DzA + b: c-t-d X. ah-b : c h- d —A —b:c—D. en zo voorts.
II. aanmerking. Del. evenreedigheid vtrvoisfeld, name» lyk AH-B: C-f-D zz A:C vergeleeken, als onderftelling, met de IX. namelyk B:D r A+B:C+D ais
befluit, leevert de ftoffe der 19 Propofnie van euclides op: en de I vergeleeken als onderftelling, met de II als befluit, leevert het gevolg van die Propofitie op : namelyk: zo famengeftelde grootheeden evenreedig zyn , zyn zy het ook by omwending (converfto"). Hy noemt namelyk omwending in de 17 Bepaaling, „ het neemen „ van de reeden van de voorgaande , tot de overmaat „ van de voorgaande boven de volgende.
ix. VOORSTEL.
In alle evenreedigheeden, zo de voorgaande van de eerde reeden grooter, even groot, of kleiner is dan zyne volgende: is de voorgaande van de tweede reeden ook grooter, even groot, of kleiner dan zyne volgende: of zo de voorgaande der eerfte reeden grooter, even groot, of kleiner is,"dan die van de tweede; zal de volgende van de eerfte, ook grooter, even groot of kleiner zyn dan de volgende van de tweede: of zo de volgende van de eene grooter, even groot, of kleiner is dan die van de andere, is zyne voorgaande ook grooter, even groot of kleiner dan de voorgaande van de andere.
eucl. V. 14. —— L. C. §. 306.
bewys. uit het V. Voorftel.
i. 6»'



I. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 9?
I. GEVOLG.
Indien de eerfte grootheid van eene evenreedigheid de grootfte is van allen, is de laatfte de kleinfte van allen.
II. GEVOLC.
De fom van de grootfte en van de kleinfte is grooter dan de fom der beide overigen. bewys. Uit het I Gev. het VIII. Voorftel N». 2. en het VIr. aanmfriums. Dit is de 25 Prop. van het V. B. van euclides, waar in die fchryver ftilzwygend vooronderfteld, dat, zo de eerfte grootheid de grootfte is, de vierde de kleinfte is.
X. VOORSTEL.
Indien men twee evenreedigheden heeft CA:B — C:D en E:F=G:H) ieder uit vier leden beftaande: zullen de leden van de «ene, ieder in zyn' rang door de leden van de andere gemultipliceerd of gedi» videerd, nog evenreedig zyn: Cd. i.) zo A : B = C : D en E : F = G : H,
zal AE:BF = CG:DH: en |:|= |:| zyn.
L. C. 5- 3°7' S. p. 230. pr. 17.
bewys. Uit het V. Voorftel en zyn tweede Gevolg.
I. GEVOLG. a
Indien vier getalen evenreedig zyn , zullen ook hunne magten en hunne wortels, van dezelfde orde, «venreedig zyn.
L. C. §. 308. —— S. p. 231, pr. 18.
II. GEVOLG.
Zo vier grootheden evenreedig zyn, ftaat de helft van de eerfte, tot de tweede, zo als de derde, tot G het



98 Hl. Boek: Over de Evenreedigheid
het dubbeld van de vierde : of meer algemeen; De evenreedigheid blyft ongeftoord, al wordt eene der twee uiterfte grootheden door eenig getal gedivideerd, en de andere tevens door het zelve gemultipliceerd. Het zelfde heeft plaats omtrent de beide middelften. tacquet Lemma ad pr. iï, ex Archimtde —■ S. p. 233. pr. 20.
XI. VOORSTEL.
Indien men twee, of meerder, evenreedigheden heeft, (A:B-=D:Een B: C = E:F), waar in de voorgaande of volgende van de eerfte, ook, het zy voorgaande , het zy volgende zyn van de laatfte: zullen ook de overige leden van de eerfte, ieder in zyn rang, evenreedig zyn aan de overige leden van de laatfte, (A:C = D:FO S. p. 232. pr. 19.
bewys uit het X Voorftel.
I. aanmerking. Dit Voorftel behelst de 22 en 23 Propofitien van euclides : in beiden noemt hy het befluit (ex aequo) uit gelykheid; doch het befluit, zo A: I? — D: £: «n B : C — E : F; is A: C == D:F, wordt uit gelykheid met mie genoemd: en het befluit, zo A:B=zE:F: en B:C — D :E; is A : C — D: F, uit gelykheid , zonder Oide. Beide de befiuiten worden wit gelykheid genoemd, om dat het befluit in eene gelykheid van reedens beftaat: ds gesteven gelyke reedens zyn in het eerfte geval A B . D*,E , A B E D
%'C e" E'F ^ in het tweedeen-,- en in
A D
beiden, befluit men de gelykheid tusfchen - en - : doch
in het eerfte geval gaat de gelykheid van reedens voort in dezelfde orde wederzyds: namelyk aan den eenen kant zyn gegeeven A, B, C, aan den anderen D, E, F: de



I. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 99 gelyke reedens zyn in de zelfde orde wederzyds van de eerfte en de tweede grootheid , (- en van de tweede en de derde (~ en |); dus is het befluit met orde:
in het tweede geval zyn de gelyke reedens niet wederzyds in de zelfde orde: zy zyn van de eerfte en de tweede /A
grootheid (~ ,) aan den eenen kant, doch van de tweede en de derde ( ~ ) aan den anderen; en van de tweede en de derde ( ^ ) aan den eenen, doch van de eerfte
en de tweede ( 2 ) aan den anderen, dus befluit men
wel uit gelykheid doch zonder orde En hier uit zullen de drie volgende bepaalingen van euclides genoegfaam opgehelderd worden.
De 18. Men befluit uit gelykheid, wanneer 'er vei„ fcheiden grootheden gegeeven zyn , wederzyds ge„ lyk in getal, en de eerfte van den eenen kant tot de „ laatfte is, als de eerfte van den anderen, tot de laatfte: „ of anders: Het neemen der uiterften, met achterlating „ van de middelrte." lin indedaad in het befluit worde niets van de middelfte gewaagd.
De 19. „ De evenreedigheid is met orde, als de voor* „ gaande is tot de volgende, zo als de voorgaande tot „ de volgende: of als de volgende tot eene andere is, „ zo als de volgende tot eene andere.
De2c. „ De evenreedigheid is zonder orde, wanneer „ 'er wederzyds eene reeks van drie grootheden gegee„ ven zynde, de voorgaande tot de volgende van de twee„ de reeks ftaat als de voorgaande tot de volgende van de „ eerfte: en zo als in de eerfte de volgende tot een an„ der, aldus in de tweede e<ne andere tot de voorgaande."
G * By



ico III. Boek: Over de Evenreedigheid.
By voorbeeld: gegeeven zynde A, B, C en D, E, F: de voorgaande A tot ue volgende B, zo als de voorgaande E tot de volgtnde F: en de volgende B, tot eene ander C, zo als eene ander D tot de voorgaande E.
II aanmerking. Ons Voorftel is algemeener, behelst alle mogelyke gevallen , en men' behoeft nu niet op eenig onderfcheid van met orde, of zonder trde, te letten.
UI. aanmerking Dit Voorftel is de grond, waarop alle bewerkingen gegrond zyn, die men verricht in den regel van Vyven, den Ketting regel, Cezeljchaps regel en zo voorts: waar in men het gevraagde vindt door eene aaneenfchakeling van enkele evenreedigheden waar in altoos eenige leden de zelfde zyn: en dus door bejluit uit gelyk. heid verdwynen; zo als wy zulks door een aantal voorbeelden zullen ophelderen1. Zie L. C. S. 324. — W. a g. 120. en volgende.
I. GEVOLG.
zoA:B = D:E en B .- C = E: F of zo A:B zz E:F en B:C = D:E
in beide de gevallen is D v of = of ^ F naar maate A of u of = of <*Ü C. Dit blykt uit dit en het IX Voorftel: en het maakt het 20 en 21 van euclides uit, waarin hy ook deeze befluiten uit ongelykheid, met of zonder orde, noemt.
II. G f V O L G.
Men kan,in eene evenreedigheid, altoos voor twee
lec-



1. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 101
leden andere, die met deezen evenreedig zyn, ftellen; by voorbeeld,
zo A:B = CD: EF en C:E = I : K
is A:B = ID : KF. VI. aanmerking. Dit is de grond waarop de regel vm valfche pofitie fteunt; zo als wy door voorbeelden zullen uitleggen. L. C. j. 3*5.
XII. VOORSTEL.
Zo men twee evenreedigheden heeft, (A:B = C:D,)E:F = H, en de reedens uit welke zy be-
ftaan gelyk zyn, (g = § = | =r ' zulIen de fommen of verfchillen der grootheden, in die beide evenreedigheden ieder in haar rang genomen, ook evenreedig zyn. jewys. Uit het V. Voorftel, en zyn 2 Gevolg. L. C. $. 309.
aanmerking. Van dit Voorftel is de 24 Prop. van het V. Boek van euclides een byzonder geval: namelyk , zo A:B=C:D en E:B —F:D, is A + E: H = C+F:D in woorden dus „ Zo vier grootheden (A, B, C, D) „ evenreedig zyn: en een vyfde tot de tweede ftaat'. zo „ als de zesde tot de vierde, is de famentelling van de „ eerfte en de vyfde tot de tweede, zoals de famentèl„ ling van de derde en de zesde tot de vierde."
GEVOLG.
Indien men by de volgenden van vier evenreedige grootheden, andere grootheden voegt, of ze 'er van aftrekt, die in de zelfde reeden ftaan als de voorgaanden, zullen die fommen of verfchillen, in gelyke reeden met de voorcaanden blyven.
G 3 Xlir



ioz III. Boek: Over de Evenreedigheid
XIII. voorstel.
Indien men twee evenreedigheden heeft ( A: B — C:D: en E:F = G:H) en de voorgaande in beiden ook evenreedig zyn (A:C = E.G) zullen de fommen of de verfchillen der grootheden in de beide evenreedigheden, ieder in haar rang genomen , ook evenreedig zyn. L. c. 5 300.
bewys. Uit het VIII. Voorftel, en zyn tweede Gevolg. aanmerking. Dit en het voorgaand Voorftel leeveren de twee eenigfte gevallen op, waar in men tot de evenreedigheid van de fommen of verfchillen der leden van twee evenreedigheden befluiten kan.
EIGENSCHAPPEN
VAN DE
GEOMETRISCHE REEKSEN, of PROGRESSIEN.
XIV. voorstel.
Indien verfcheiden grootheden (A, B, C, D, E, enz.) geduurig evenreedig zyn, of eene Geometrifche reeks uitmaaken, ftaat de eerfte tot de derdein verdubbelde reeden van de eerfte tot de tweede; tot de vierde in driedubbele reeden en zo voorts : in een woord, de eerfte ftaat tot de grootheid die « in rang is, zo als de magt »—1 van de eerfte tot de magt «—1 van de tweede.
L. C. §. 208. 318 — S. p. 242. pr. 28.
MWYs. Uit de XII. Bep. het X en XI. Voorftel.
I. ge'



I. Afd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 103
I. gevolg.
Dus is de reeden van het eerfte lid tot eenig ander lid famengefteld uit de reedens van alle de tusfchen in geplaatfte leden tot elkander; dat is, daar alle die reedens gelyk zyn, uit de reeden van het eerfte lid tot het tweede, zo dikwerf door zich zelf vermenigvuldigd, als 'er leden zyn tot aan het gegeeven lid toe.
aanmerking. De bepaaling door euclides gegeeven van verdubbelde, of driedubbele reeden, van twee grootheden (A: B) dat zy namelyk de reeden is van het eerfte lid eener geduurige evenreedigheid, waarvan de gegeeven grootheeden de twee eerfte leeden zyn, tot het derde, of tot het vierde , komt dan met onze bepaaling zeer wel overéén. Zie hier boven XVII Bepaaling en Aanmerking op dezelve.
II. gevolg.
De middelevenreedige tusfchen twee grootheden ïs altoos kleiner dan de grootfte, doch grooter dan de kleinfte. Want zy A: B == B : C:
Dus A'.-B'zsB^C =A:C (X Voorftel, 1 Gev.
en dit Voorftel.) Maar A">C: dus A ^ B en B ^> C. (IX Voorftel.)
III. gevolg.
Ieder lid van eene geometrifche reeks is gelyk aan het voorgaande, door de reeden van het tweede tot het eerfte, dat is, (Bep. x, Aanm. 2.) door deu Aanwyzer vermenigvuldigd.
IV. gevolg.
Alle Geometrifche reekfen. kunnen gevolglyk aldus worden uitgedrukt, indien A het eerfte, B het tweeG 4 de



104 HL Soek: Over ie Evenreedigheid.
de lid, en g de aanwyzert of g=-,is; A, Ag, Ag%
Ag3, Ag4, Ag5, Ag»-*
L. C. 5. ju. — S. p. 237. Def. 25.
V. gevolg.
Eenig lid (bet n) van eene geometrifche reeks, is gelyk aan bet eerfte door de magt n— 1 van den aanwyzer gemultipliceerd.
VI. gevolg.
Indien het eerfte lid grooter is dan het tweede, en dus de aanwyzer eene breuk is, is ieder lid kleiner dan het voorgaand : en de reeks is eene af namende reeks, waar vaa alle de leden volgens eene beftendige reeden hoe langer hoe kleiner werden, zonder echter immer nul te kunnen zyn: en indien het tweede lid grooter is dan het eerfte, is de reeks wasfende ; alle leden worden hoe langer hoe grooter volgens eene beftendige reeden: het eerfte lid is hes kleinfte van allen, doch het kan nimmer nul zyn.
VII. gevolc.
Niets belet, dat men deeze reeks, die men gefield heeft in A te beginnen, befchouwe als vóór A beginnende, namelyk:
A A A A A A . 17'
of, (3 Aanmerk, op de IV Bepaaling.)
Ag-O-0 Ag-4, Ag-3, Ag-% Ag-«, Ag°, Ag%
Ag1, Ag», Ag4 Ag"-*
VIII. gevolg.
Men kan ook het getal der leeden van eene gegeeve» jeeks vermeerderen, met tusfchen twee naastvolgende leeden een aantal middeleveoreedijen tc neemen , waar door



I. Afd. Over de Getmttrifcbe Evenreedigheid. 105
de reeks altoos Geometrisch blyft: by voorbeeld in de voorgaande reeks.
A.Aj*, Aq*, Aq^, Aq, Aq1^, AqI^lAq1^tt\ql, enz.: of
A , Aq°'25, Aq°' 5, Aq°' 7S, A,\ A^, A,'* W M , A,\
en zo voorts, zo ved men wil.
Er is dus geen getal, of men kan het als een lid van zodanig eene reeks befchouwen; want 'cr is geen getal dat niet aan eenige wortel van een gegeeven getal gelyk is, dus by voorbeeld,
1 <5<)"97 ipoooo
is 5=ioI'43o69==io0,Ö9897==io'5°°^=Vxo69897. En dus
kan s befchouwd worden als een lid van eene Geometrifche reeks waar van 1 het eerde, en 10 het laatfte lid is.
XV. VOORSTEL.
In alle geometrifche reekfen is het producT: van twee leden, welke zy zyn mogen, gelyk aan het producT: van twee andere, die even ver van de gemelden afftaan, het eene van het eerfte, het ander van het laatfte: en zulks, het zy men leden neeme, die vóór het eerfte, en na het laatfte zyn: het zy men leden neemt die tusfchen beiden invallen : en zo, in dit geval , het getal der tusfchen invallende leden cneeven is, is het gemelde producT: gelyk aan de tweede magt van het middelfte lid.
S- p. 238. pr. 24. L. C. $• 316.
jEwri. Uit het 4 en het 1 Gevolg van het XIV. Voorftel.
XVI. VOORSTEL.
In alle geometrifche reekfen, waarvan de eenheid
het eerfte lid is, (zo als 1, ?, q* 9») js het
producT: van twee leden gelyk aan een ander lid in dezelfde reeks, dat even ver ftaat van een tier seG 5 melde



to6 III. Boek: Over de Evenreedigheid.
melde leden, als het ander van het eerfte lid der geheele reeks of van de eenheid. bewys. Uit het XV. Voorftel.
I. aanmerking. Deeze eigenfchap is een der gronden waarop de aart der Logarithmen fteunt.
II. aanmerking. Men kan deeze reeks i, q,?*, j*
q", ook dus fchryven: q°, j', a3, J3,---- q"; zie de 2 Aanmerking op de IV. Bepaaling.
I. GEVOLG.
Hier uit blykt de 8 Propofitie van het IX. Boek van buclides, ,, zo eenige getalen, beginnende met de een„ heid , geduurig evenreedig zyn, is het derde een quadraat „ getal; zo als ook de volgenden om het ander getal: het „ vierde een cubiek getal, en dus vervolgens allen om ,, het derde getal : het zeevende is en ten quadraat „ en een cubiek getal, en dus vervolgens om het zesde „ getal." en dus ook het IX Voorftel: ,, zo het eerfte „ getal naast de eenheid een quadraat of een cubiek getal „ is, zyn alle de andere in de geheele reeks ook quadraat „ of cubiek getalen "
Ij f> ï4< f> 98 • enZi: I j f . 9s> ï9> ÏIJ, enz.
II. G E V O L G.
Men kan deeze reeks i, q,q2,qs,q*t q"be*
fchouwen als reeds voor de i begonnen te zyn: aldus i irl 2 3 4 n
q»-> q\q2-> q, 9 . ? :
of, wat op het zelfde uitkomt, IV Bep. 2en3Aanm.
q-", q~z>q-2>q~li fMMM3»?*, g\
zo dat indien q een geheel getal is , de leden tot q° of i breuken zyn, waarvan de noemers magten van q zyn; na de i, zyn de leden zelf de magten van q.
XVII.



I. Jfd. Over de Geometrifche Evenreedigheid. 107
XVII. voorstel.
In alle geometrifche reekfen is de fom van alle de voorgaanden tot de fom van alle de volgenden, zo als het eerfte lid tot het tweede.
eucl. V, 12. en VII. 12. — L. C. 5- 310. —»■» S.
p. 220. pr. is.
bewys. Uit het XII. Voorftel, en IV Axima.
I. gevolg.
Indien A het eerfte lid is, B het tweede, Z het laatfte, q de aaniDyzer of het quotiënt van B door A gedeeld, en S de fora van de geheele reeks, zo is
z. B.
S =: ^'—: of, noemende n het
getal der leden
A*-Ay_A_f^— O , A — Aq ~~ 'q — 1. L. C. 5. 327. S. p. 241. p. 22.
II. gevolg.
Zo tf A,B,C,D, Y,Z, is
B —A:A= Z —A:A + B + C + D Y.
of in woorden , „ zo eenige getalen geduurig evtnree^ ,, dig zyn , en men trekt van het tweede en van het laatfte „ een getal af gelyk aan het eerfte, ftaat het overfchot van „ het tweede tot hst eerfte, zo als het overfchot van het s, laatfte, tot de fom van alle de voorgaanien. lucl. IX, 35-
bewys. A:B = B:C = C:D: Y:Z:j
dus Voorftel VIII. N. 2.) A:B — A = B:C — B = C:D-C---Y.Z — Y:
en dus, door dit Voorftel: A +■ B + C + - - - - YjB^A + C^B+D^C-- — + Y-Ï-Z -Y = A:B —A of
A + B + C....Y:Z-A=A : Br-A: of B—A : A =fc Z —A : A + B + C-.. Y
III.



Co8 lil. Boek: Over ie Evenreeiighe'd.
HL OEVOLG.
i
Uit het Voorftel Is by verwisfeling: A-+-B-+-C Y:A = B-*-C-f-D t-Z:B;
Uit bet 2 Gevoig, by verwisfeling:
A+B-f C Y-A = Z — A:B—A: en dus
B-+-C-+-D- -4-Z:B = Z — A:B—A of B-A: B = Z—A : B-t-C-f-D Z :
dat is in woorden: ,, zo eenige getalen geduurig even„ reedig zyn, en men trekt van het e^rifi en van het laatfte ,, een getal af, gelyk aan het eerfte, ftaat het overfchot van „ het tweede tot het tweede, zo als het overfchot van het „ laatfte tot alle de volgenden famen genomen.
XVIII. VOORSTEL,
Zo vier of meerder grootheden (A, B, C, D, en E) zodanig gefteld zyn, dat zy evenreedig zyn aan haare verfchillen , (A:B=A—-B:B — C enz.) zullen zy geometrisch evenreedig zyn (— A, B, C, D, enz.
.bewys. Uit het VII. en VIII. Voorftel.
aanmerking. Dit Voorftel is van een groot nut in de
Natuurkunde.
II. A F D E E L I N G.
O Y ER DE ARITHMETISCHE EVENREEDIGHEID.
TWEEDE BEPAALINGEN. XIX.
Wanneer men twee gelykfoortige grootheden met elkander vergelykt, ten einde te weeten, hoe veel de eene de andere overtreft, dat is, hoe groot het ver-
fchil



II. Afd. Over de Arithmetifche Evenreedigheid, 109
fchil is dat tusfchen beiden gevonden wordt, wordt men gezegd de arithvietifche reeden, die 'er tusfchen die twee grootheden plaats heefc, na te gaan: en dat verfchil zelf maakt die arithmetifcht reeden uit. S. p. 207. def 5. — W. a. J. 65, aanmerking. Alle de algemeene bepaalingen in het begin van dit Boek gegeeven, hebben hier ook plaats: zo als ook die van voorgaand en volgend lid. (c, Bep.)
XX.
Arithmetifche reedens worden de zelfde of gelyke reedens genoemd, wanneer het verfchil der grootheden, tusfchen welke zy plaats hebben, het zelfde is; dat is, wanneer het voorgaand lid van de eene reeden zyn volgend lid even veel overtreft, of even veel door het zelve overtroffen wordt, als het voorgaand lid van ieder der andere reedens zyn volgend overtreft, of door het zelve overtroffen wordt.
En hier van worden grootheden gezegd in arithmetifche evenreedigheid of proportie te ftaan, of arithmetisch evenreedig , of proportionaal te zyn, als dezelfde arithmetijche reeden tusfchen haar plaats heeft. S. p. 208 def. 9. 10. — W. a. §. 66
voorbeeld. 10: 4 = 7-*i arithmetisch : om dat 10 4
— 6 en 7 — 1 = 6: en in het algemeen is A : B — C : r> arithmetisch,
zo A —B = C —D : of B-A=D-C.
Het fpreekt van zelf dat men in die beide reedens het verfchil der termen in dezelfde orde neemen moet, in beiden het volgend lid van het voorgaande, of in beiden het voor. gaande va» het volgende aftrekkende.
XXI.



li o HL Boek: Over de Evenreedigheid
XXI.
De grootheden zyn onderfcheidenlyk (difcrete) evenreedig zo de leden der beide gelyke reedens verfchillende zyn: doch geduurig (continue) evenreedig, wanneer het volgend lid in de eerfte reede, het voorgaand lid is in de tweede ; het volgend lid van de tweede, het voorgaand lid van de derde, enzov. De geduurige evenreedigheid, draagt den naam van arithmetifche reeks of progresjie: en even ver afftaande leden zyn die welke met betrekking tot een ander door een gelyk getal leden van dezelven gefcheiden worden.
voorbeeld. Indien A —B=B—C = C—D = E— F enz.: maaken A, B, C, D, E, F, enz. eene arithmetifche progreifie of reeks uit.
I, aanmerking. Men ziet dat deeze bepaaling, op het woord arithmetisch na, dezelfde is ais de XII bepaling: en de naamen van middelevenreedige, derde evenreedige , vierde evenreedige, uiterjlen, middelden, eveneensgeplaaiflt hebben hier dezelfde betekenis als in de XIII en XIV bepaalingen , die hier ook gelden.
II. aamerking. Eene ariihmetifcha progresfie wordt dus aangeduidt -r: by voorb. r A, B,C,D, E, enz, beteekent dat A,B, C, D, E eene arithmetifche reeks uitmaaken.
CEVOLG.
De reeks welke grootheden, die geduurig evenreedig zyn, uitmaaken, is wasfende of opgaande, indien de grootheden beftendig grooter en grooter worden: doch afneemende of neergaande, indien de grootheden * beftendig kleiner en kleiner worden.
EI-



II. AfJ. Over de Arithmetifche Evenreedigheid. 111
EIGENSCHAPPEN
DER
AR1THMETISCHE EVENREEDIGHEDEN in PROGRESSIEN.
XIX. VOORSTEL.
Wanneer vier grootheden eene arithmetifche evenreedigheid uitmaaken, is de fom der uiterften gelyk aan de fom der middelden.
St. p. 209. pr. 1. * W. a. j. 105.
bewys. Uit de XX bepaaling.
I. GEVOLG.
Wanneer drie grootheden geduurig arithmetisch evenreedig zyn, is de fom der uiterften het dubbeld van de fom der middelften, en dus is het middelfte lid de halve fom der beide uiterften. W. a. 5. 106. 107. — S. p. 210. pr. 2. aanmerking. Hier uit blykt hoe men gemaklyk eene vierde, derde, of middelevenreedige vinden kan.
XX. VOORSTEL. Hoe minder twee getalen van elkander verfchillen, hoe minder de middel - evenreedige , arithmetisch genomen, verfchilt van de middel-evenreedige, geometrisch genomen. L. C. Aftron. §. 26. bewys. Uit het 1 Gevolg van het XIX, en heti Gevolg van het V Voorftel.
XXI. VOORSTEL.
Wanneer verfcheiden grootheeden eene arithmetifche reeks uitmaaken , groeien zy aan of nemen zy af, met een beftendig verfchil, zodat eene arithmetifche reeks altoos deeze gedaante heeft
AjA^fV, A+aV,A + 3V A±{n^ï)v.
St.



rn HL Boek: Over de Evenreedigheid.
St. p. 2!o. Cor.; p. 211. d. 16, 17, 18, 19. bewys. Uit de XXI. bepaaling.
I. aanmerking. De XIII. en XIV. bepaaling gelden hier even als voor de geometrifche reekfen.
I. GEVOLG.
Ieder lid is gelyk aan de fom, of aan het verfchil van het voorgaand lid en den aanwyzer, of beftendige reeden, naar maate de reeks opgaande of nederdalende is.
II. GEVOLG. \
Ieder lid is gelyk aan de fom, of aan het verfchil van het eerfte en van het verfchil door het getal der voorgaande leeden gemultipliceerd.
III. GEVOLG.
De reeden van het eerfte lid tot het derde, is dubbeld van die van het eerfte lid tot het tweede: de reeden van het eerfte tot het vierde, is drievoud van de reeden van het eerfte tot het tweede en zo voorts: zo dat ook hier, doch in eenen irithmetifchen zin, verdubbelde, driedubbele enz. reedens plaats hebben. Zie de XVII Bepaaling en de Aanmerking op dezelve.
St. p. 214. pr. 5.
IV. GEVOLG.
Eene opgaande reeks kan met nul beginnen, en zo ver men wil voortgaan: eene nederdalende reeks kan met nul eindigen, of nog beneeden den nul voortgaan , als wanneer de leeden weder aangroeijen even als boven de nul, en door alle de zelfde trappen gelykelyk gaan, doch als negatief, of ontkennende, befchouwd, en met het teeken (—) minus beftempeld worden.
4V,3V,aV,V,o:-V,-aV,_3V_4V,enz.
AAN-



II. Afd. Over de Arithmetifche Evenreedigheid. 1x3
aanmerking. Men moet zich een juist denkbeeld van die negatieve of ontkennende leien vormen. Men zegt doorgaands dat de negatieve grootheden kleiner dan nul zyn: dit is geheel verkeerd. Het negatieve heeft flecnts betrekking tot de plaatfing, of tot den zin in welken grootheden genomen worden. Hier ziet het alleen op de plaatfing : en het beteekent enkel of de grootheden aan den eenen of aan den anderen kant van de plaats, van waar men af reekent, gefteld zyn, Dit zal door de volgende eenvoudige 148 figuur opgehelderd worden. Men ftelle eene rechte lyn BA ft, op welke, op gelyke af (landen van A, loodrechte lynen getrokken worden, die eene arithmetifche reeks uitmaaken: dan zal de lyn C GA die de uiteinden dier lynen veréénigt, eene rechte lyn zyn, en door A gaan: dat is, zy zal de lyn BAZ> in A fnyden, en dus eindigt de reeks van arithmetifche lynen CB,FO, enz. in A, en het laatfte lid is nul: doch indien men de lyn CA verlengt, en op BA6, aan den anderen kant van A, gelyke ftukken At, ts, sr, rq, qp neemt en de loodlynen tl, sk, ri, aan den onderkant trekt, zullen 2y aldaar eene reeks uitmaaken, in allen opzichte aan de voorige gelyk, en met dezelve verbonden : doch die leden van de reeks worden, ten opzichte van de eerstgemelden, negatief genoemd ,om dat zy aan den anderen kant, en dus in eene tegengeftelde richting of plaatfing genomen worden.
V. GEVOLG.
De natuurlyke getalen o, 1, 2, 3 enz. maaken eene arithmetifche reeks uit.
XXII. VOORSTEL.
In eene arithmetifche reeks is de fom van twee leden gelyk aan de fom van twee andere leden, doch die even ver van de eerstgemelden af zyn: zo dat het eerfte even veel vóór of na het eene ftaat, als het tweede na of vóór het ander der eerstgemelden ftaat.
H S.



H4 Boek: Over de Evenreedigheid.
S. p. 212, pr. 3. Bfiwxs. Uit het voorgaand Voorftel.
GEVOLG.
Indien het getal van leden oneven is, is de fom van twee leden, die even ver van hetmiddehte af ftaan, gelyk aan het dubbel van het middelfte: en dus is het middelfte de helft van de fom dier twee andere leden. S. p. 213. gevolg.
XXIII. VOORSTEL.
Wanneer nul het eerfte of het laatfte lid van eene arithmetifche reeks is, is de fom van twee leden gelyk aan een derde lid, dat even ver van een dier twee leden afftaat, als het ander van het begin of einde van de reeks, of van den nul.
bewys. Uit het voorgaand Voorftel.
I, aanmerking. Het zelfde geldt dus ook voor de reekfen die ter wederzyde van den nul vervolgd worden : want men kan dezelven befchouwen als uit twee reekfen beftaande.
II. aanmerking. Dit Voorftel is het tweede grondbeginfel waar op de aart der Logarithmcn fteunt.
XXIV. V OORSTEL.
De fom van alle de leden eener arithmetifche reeks is gelyk aan de fom der beide uiterften , gemultipliceerd door de helft van het getal der leden. St. p. 213. pr. 4.
bewys. Uit het XXII Voorftel.
GEVOLG.
Dus is de fom ook gelyk aan de helft van het getal der leden gemultipliceerd door de fom of het verfchil van het dubbel van het eerfte lid, en het verfchil door het getal der leden min één gemultipliceerd.
S = (2A±B-lV> 3
III.



Over de Harmonifche Evenreedigheid. 115
III. AFDEELING.
OVER DE HARMONISCHE EVENREEDIGHEID.
DERDE BEPAALINGEN. XXII.
Drie grootheden (A, B, C) worden gezegd harmonisch evenreedig te zyn, wanneer de geomstrifche reeden van de eerfte tot de derde (A: C) gelyk is aan de geometrifche reeden van het verfchil tusfchen de tweede en de eerfte (B—A) tot het verfchil tusfchen de derde en de tweede (C_B).
Dat is: zo A: C = B —A:C —B zyn A, B, C, har. manisch evenreedig.
HOIlkJKBOW §. 15. ——. LAMI p. 461.
I. GEVOLG.
Het blykt, dat indien het tweede lid grooter is dan het eerfte, het derde ook grooter dan het tweede zyn zal: dus is een der twee uiterfte leden het grootst en het ander het kleinst der drie leeden. Waarom ook fommigen deeze bepaaling geeven: „ Drie getalen ftaan in eene barmonifche „ evenreedigheid als de kleinfte ftaat tot de grootfte, zo als „ de overmaat van de middelfte boven de kleinfte, tot de „ overmaat van de grootfte boven de middelfte.
II. GEVOLC.
Drie getalen kunnen geene harmonifche 'evenreedigheid uitmaaken, als het verfchil van het middelfte en het kleinfte grooter is dan het kleinfte zelf.
Uit de XXII Bepaaling en het IX Voorftel.
LAMf p. 463,
H * III.



iiö III. Boek: Over de Evenreedigheid.
III. gevolg.
Dit II Gevolg in acht genomen zynde, blykt het, dat men, twee getalen gegeeven zynde, een derde vinden kan, dat met de twee anderen in eene harraonifche evenreedigheid ftaat.
lami pr. i. p. 46r.
Fig. 149;
I. aanmerking. Indien men drie lynen heeft AD, AC, AB, zullen zy harmonisch evenreedig zyn, indien
AD : AB zz\ AD — AC : AC — AB: zo dan A D de grootfte, AC de tweede, en AB de kleinfte is: en men op de lyn AD neemt, AC=AC,AB = AB, isAD_AC = CD en AC —AB = BC en dus AD:AB—CD:BC of
AD : CD = AB : BC, men zegt dan dat die lyn harmonisch gefneeden is: waar uit deeze bepaaling van den Heer la hire (SeStim Con. Lib. 1. def. 1.) volgt ,,Eene rechte lyn a/ wordt gezegd v/ „ harmonisch gedeeld te zyn, indien de geheele lyn AD „ tot een der uiterfte deelen (A B, of CD), ftaat, zo „ als het ander uiterfte (CD of AB,) tot het middelfte „ deel: of, zo de rechthoek van de geheile lyn en het „ middelfte deel, gelyk is aan den rechthoek van de ui,, terfte deelen.
Hier op fteunt de oplosfing van het XXII Vraagftuk van het I. Boek der Werkftukken. II. aanmerking. Deeze evenreedigheid wordt harmonisch genoemd, omdat zy de giondflag is van de harmonie. Drie fnaaren, die even dik, en even gefpannen zyn, geeven de drie voornaamfte toonen uit, den octaaf, quint en quart, wanneer haare lengten zyn als 3, 4, 6. De tweedie als 3 tot 6 ftaan, geeven den ctlaaf: de twee die als 4 tot 5 ftaan, geeven de quint: en de twee, welke als 3 tot 4 ftaan, maaken de quart uit: die getalen nu, 3, 4,6, zyn zodanig gefield dat 3:6 = 4 — 3: 6—4.
XXIII.



lil. 4fd. Over de Harmonifche Evenreedightid. 117
XXIII.
Verfchillende getalen maaken eene harmonifche reeks uit, als het eene ftaat tot het tweede dat 'er op volgt, zo als het verfchil tusfchen het miidelfte en het eerfte, tot het verfchil tusfchen het gemelde tweede en het middelfte, dat is, A, B, C, D, E enz. zullen een harmonifche reeks uitmaaken indien
A:C = B — A : C - B B:D = C — B:D — C C:E = D — C: E — D enz. D: F = E — D:F — E. aanmerking, wolf geeft in zyne Iatynfche Algebra J.I3Ö. deeze bepaaling van vier harmonifche evenreedigen; hy zegt „ vier grootheeden zyn harmonisch evenreedig, „ als het verfchil tusfchen de eerfte en de tweede, ftaat „ tot het verfchil tusfchen de derde en vierde, zo als „ de eerfte grootheid tot de vierde:" doch dan moet men die getaien afzonderlyk befchouwen,en niet als zynde in eene harmonifche reeks: men zoude anders in veele feilen vallen; en dus achten wy die bepaaling onnaauwkeurig. De Heer wolf kan eene dusdanige evenreedig. heid wel harmonifche evenreedigheid noemen: doch dit is niet die evenreedigheid die door alle andere fchryvers dus genoemd wordt: dit zal duidelyker uit de 2 Aanmerking op het XXIX Voorftel blyken.
GEVOLG.
Wanneer getalen harmonisch evenreedig zyn, zullen hunne producten of quotiënten het ook zyn, indien zy allen door een zelfde getal gemultipliceerd of gedivideerd worden. lami p. 463. pr. 3.
XXV. VOORSTEL.
Wanneer het tweede van twee gegeeven getalen grooter is dan het eerfte,kan men niet altoos getalen vinden, die met de voorgaande eene harmonifche opgaande reeks, zo ver uitü 3 ge-



li8 UI Boek: Over de Evenreedigheid.
geftrekt als men wil, zullen uitmaaken: maar dit kan altoos gefchieden wanneer het tweede getal kleiner is dan het eerfte: en dus kan een nederdaalende reeks zo veel men wil verlengd worden.
bewys. Het blykt uit het 3 gevolg van de XXII bepaa. ling, dat men aitoos eene derde harmonifche evenreedige aan twee getalen vinden kan: doch al had men 'er reeds twee, drie enz., is het niet zeeker dat men 'er eene volgende vinden kan: want in de evenreedigheid C: E — D —C : E — D : daar E"^ C , moet E_D > D — C zyn: dus E+O2D: doch daar E^D en C<-D, is zulks niet altoos mogelyk. Zie verder 2 Gev. van het XXVIII Voorftel. Maar, indien B A, zal de evenreedigheid zyn
C: A — B — C : A — B : En dus A en B gegeeven
zynde, is A_B^.A: dus moet B —C<«C of C^-
2
zyn, dat altoos mogelyk is, om dat C nog niet gegeeven is. En al verder E:C = D — E : C — D : daar nu
C — TX.C : is ook D — E <• E of E> ~ dat altoos
2
mogelyk is: en dus zal ieder lid altoos grooter zyn dan de helft van het voorgaande.
XXVI. VOORSTEL.
In alle harmonifche reekfen, is altoos het producT: der twee eerfte leeden tot dat der twee laatften, zo als het verfchil der beide eerften tot dat der beide laatften. bewys. De leden der evenreedigheden van de XXIII bepaaling onderling en in hunnen rang multipliceerende, zullen de uitkomflen evenreedig zyn: (door het X Voorftel:) en deeze zullen door het IV Axioma deeze evenreedigi eid opleveren,
AB : EF = B —A : F—-E.
XXVII.



111. Afd. Over de Harmonifche Evenreedigheid. 119
XXVII. voorstel.
Indien A, B, C, D, E, enz. eene harmonifche reeks uitmaaken , en Y het «fte lid is, en Z het n-t-i, heeft men B-b (B-A) : B — A = Y: Z — Y.
bewys. A:B'= B —A : C —B: dus A :B _ A=B : C-B; en B: B _ AnsC-B:C —B:
B_(B-A):B-A = C:r_B: en B-2(B-A):B-A-B : C-B.
D. T. B. W. i°. verder B:C — B =r D : D — C:
dus B — 2(B —A) : B-A=D: D-C: endus B — 3(B — A) : B — A = C : D - C:
D. T. B. W. ao. verder C : D —C=E : E —D:
dus B—3(B —A) ; B —A = E:E —D: endus B —4(B —A) : B — A = D:E-D
en zo voorts. D. T. B. W. 30.
gevolg.
Uit dit Voordel en uit het VIII. N°. I. volgt: B-t^T7(B — A):B—n(B — A) = Z : Y dus voor het derde lid
B —(B — A) : B —2(B —A) —C:B of 2A-B : A = B : C. Dit is het 5 Theorema van wolf in zyne latynfche algebra §. 187. „ Zo drie getalen harmonisch evenreedig zyn, „ is het verfchil tusfchen het tweede en het dubbe.J van „ eerfte tot het eerfte, als het tweede tot het derde:" en omgekeerd. Zie ook iiorrebow § 30.
20. Uit 2A — B:A —B:C volgt C:A = B: 2A —B en C + A:C = 2A : B of C + A:2A = C : B.
H 4 Dit



120 III. Boek: Over de Evenreedigheid.
Dit is het Tkecrema van wolf in $. 191. „ Zo drie groot„ heden harmonisch evenreedig zyn, is de fom van de „ eerfte en laatfte tot het dubbel van de eerfte , zo als de laaifte tot de middelfte," Dit kan ook aldus uitgedrukt worden, en dan zyn het de Theoremaia by horreüow § 23 en 2t. „ zo drie getalen harmonisch evenreedig zyn, is de fom der uiterften, tot een der uiterften, zo als het ander ui. „ terfte, tot de helft van het middelfte: of zo als het dub„ bel van het ander uiterfte tot het middelfte." aanmerking. Het Theorema van wolf in j. 192, dat namelyk , ,, zo vier grootheden harmonisch evenreedig „ zyn, de derde tot de vierde ftaat, zo als het verfchil tusfchen de tweede en het dubbeld van de eerfte tot „ de eerfte," is in den zin van onze bepaaling valscb,als fteunende op zyne onnaauwkeui ige bepaaling , waarvan wy in de Aanmerking op onze XX.IU bepaaling gefproken hebben.
XXVIII. VOORSTEL.
Indien Z het nfte lid is van eene harmonifche reeks, waar van A het eerste, en B het tweede lid is, is
Ax B _ AB
B — en-O (B—A) ~ B + n^l (A — B>
bewys : A:C = B -A:C — B AB
Dus het derde lid of C — —; „ —
lA — B
tT = W—wfn—: D.T.B W. 1°.
B-*-2A—2B i>- 2(rS — A)
B:D = C-B : D-C:
_ -p. B C B AB
DUS D= ÏÏÏ=C - ~ AB- * iA^B-
2B-2A^B
AB' _ AB AB
= 4AB—2BB—AB - 3A-2B ~ B-3(B-A) D. T. B. W. 3°.
C;



III. Afd. Over de Harmonifche Evenreedigheid. 121 c:e = d-c : e—d
dc
Dus het vierde lid, of e = ^ of
2t — d
ab ab
_ b-3(b-a) xb-a(b-a) _ _ q ab A b ~
b — 2 (b — A) — b~^3(b—a)
aV _ ab
ab(ab—6 (b-a)—b-H2(b—a)) b-4(b-a)
d. t. b. w. 3°. En 20 voorts voor alle de leden; en dus voor het n lid
z_ ab ab
~b—n—i(b—a,_ b-Hn^7(a-b>
i. GEVOLG.
Hier uit volgt i°. dat men ieder lid van eene harmonifche reeks vinden kan , als men de twee eerften kent, en weet het hoeveelite het geviaagde lid isj 2°. dat men een lid naar welgevallen, en de twee eerften gegeeven zynde, vinden kan het hoeveelfte het gevraagde lid is.
ii. GEVOLG.
Hier uit volgt dat, wanneer het tweede lid grooter is dan het eerfte, en dus de reeks wasfende is, men deeze niet zo ver men wil, verlengen kan, want B—n—i (B — A) zoude eindelyk s= o kunnen worden ; doch dat dit mogelyk is wanneer B A, of de reeks afneemende is, zo als wy zulks reeds in het XXV Voorftel getoond hebben.
In het algemeen, zo de reeks wasfende, en het verfchil (B — rt) der twee eerfte leeden een effen deel van het tweede lid (B) is, is de reeks eindig': want dan wordt n—i (B-A) eindelyk gelyk aan B: dus wordt de noemer B — ü^i (B-A) nul: en de breuk waar van dat getal.de noemer is, kan niet uitgedrukt worden.
H s In-



ï22 HL Boek: Over de Evenreedigheid.
Indien het verfchil B—A een oneffen deel is van B, ao zsl men eindelyk tot een getal komen , zodanig , dat B— m (B—A) nog kleiner is dan B, en dus dat de noemer B— mf.B—A) nogpofitief is,maar dat i?Ht-t (B-A)grooter is dan B , en dus ds noemer B— m-i~i (fi —A) negatief , waar door dat lid, en alle de overigen ook minus zyn zullen. By voorbeeld, zy A, of bet eerfte lid 20: B , of het tweede, 36: dan is B—Aziiö enBxA —72°: dan zullen de !eeden zyn
720 720 720
20 76 ———■ , . enz
'30—.ixiO ' 36—3X16' 36—4X16'
of „ 720» 720 720 720
20, 36, - - , , Th> —T7> of
4 —12 —20 —44
20, 36, 180, —60, —255, —ï6z\: en men heeft als dan : by voorbeeld
36: —60=180—36 : —60—•180 of
36: —60—144 : —240: of 6 : —10= 12 : —20: insgelyks
180: 2Sf=;i8o~-(—60): —60 —(—25^) of
180
180: —— — 180 + 60: —60 +25^
7 of 7 : — 1 = 240 •• —34?
240
7 : — I — 240 : of
7
7 : — 1 — 7 : — 1: en zo voorts in alle gevallen, mits behoorlyk op de teekenen +, — lettende.
XXIX.



III, Afd. Over de Harmonifche Evenreedigheid. \i%
XXIX. voorstel.
Indien men eene beftendige grootheid achtervolgens door de leden van eene arithmetifche reeks divideert; zullen de quotiënten eene Harmonifche reeks uitmaaken.
HoRREBOW 5- 10. «— LAMI p. 465.
iewys. Uit het voorgaand Voorftel blykt, dat eene harmonifche rei A, B, C, D, £, enz. dus kan worden
uitgedrukt,
AB AB AB AB
B ' B + (A-B) • B-t-2(A-B)' B+~3vA-Bj AB _ AB
B + 4(A-B) ' B + n-iCA-B)
Maar AB is eene beftendige grootheid, en (XXI. Voorftel,) B, BH-QA — B), B-4-2(A—B), B-+-3(A—B)
* - • - BH-n—1 (A—B) maaken eene arith-
metifche reeks: waaruit dan het Voorftel volgt.
I. ge v olg.
Getalen, die bet omgekeerde zyn van de leden eener arithmetifche rei, maaken eene harmonifche rei uit.
I. aanmerking. Indien men , zo als horiïebow , dit Voorftel als de bepaaling van eene harmonifche progresfïe aanneemt, kan men uit dezelve, zo wel onze bepaaling als de vorige voordellen afleiden.
II. aanmerking Uit dit Voorftel b'ykt genoegzaam, dat de bepaaling van wolf hier niet geldt: want men heeft hier niet
. AB
A:B-3(A-b; = a-b;
AB AB
: TB+a(A-B; —B+sCA^B) Want dan moest men hebben
^. a_I3 — 1 1 t_
Bh-X A-B) * Bh-2(a_B)~"Bh-3TA-B) = B + 2(a-B) : A-B SS 2A — B : A - B: dat valsch is.
it



1X4. Hl. Bod-' Over de Evenreedigheid.
ii. GEVOLG. Wanneer men, uit eene harmonifche reeks, leden uitneemt, die even ver van elkander afflaan, zuilen zy ook eene harmonifche reeks uitmaaken. horkebow 5. 12. bewys. Het blykt om dat de noemers altoos in eene arithmetifche reeks blyven.
xxx. VOORSTEL.
Wanneer drie getalen eene arithmetifche evenreedigheid nitmaaken, zyn de producten van het eerfte met het tweede , van het eerfte met het derde, en van het tweede met het derde Harmonisch evenreedig. lami. p. 464. prop. 4. bewys. -i- i, K, l: dus i -1- l — 2 k: i — k = k - l: maar i.k : k.l 3* i : L (IVJx.) dus i.k:k.l= i(k — l):l(i-k) (IV Ax.) of ik : k l rr ik —il, : il —kl ik, il, en kl, harmonisch evenreedig.
xxxl VOORSTEL.
Wanneer men tusfchen twee getalen I, K eene arithmetifche middel - evenreedige (A) en eene harmonifche middel, evenreedige (H) neemt, zullen die vier getalen eene geometrifche evenreedigheid uitmaaken, waarvan de twee gegevene de uiterfte, en de twee gevondene de middelfte lede» zullen zyn.
1-4-k
bewys. Door de onderftelling is A ==
en i : k = 1 — H : H-K: of TT _ fl k i
= FtTk : maar
i : i = k: ki (IV Axioma.)
dus



III. Afd. Over de Harmonifche Evenreedigheid, 125
dus (X. Voorftel, 2. Gevolg.)
IH-K: I = K : of 1-+-K
I-f-K , aKI
i ~T * 1 - K : T^K dus
A : I = K : H.
I. alcemeene aanm£rkih«.
De leer der harmonifche evenreedigheid is van het grootK belang in veele ftukken van de Natuurkunde, waaromtrent men hoerebow ter aangehaalde plaatfe g. 45. en volg. kan raadpleegen, zo als ook myne Pofuiones Phyficae Lib. III. $. 105. Lib. IV. 5. j.15, & $. m. J 333, 36r.
II. algemeens aanmerking.
'Er is nog eene andere foort van evenreedigheid die wolf tegen-harmonifche (contra-harmonica) noemt, in zyne latynfche Algebra J. 193: namelyk drie getalen zyn tegen-harmonisch evenreedig, zo het verfchil tusfchen het eerfte en het tweede, ftaat tot het verfchil tusfchen het tweede en het derde, 20 als het derde tot het eerfte: dus zyn A, B, C, tegen- harmonisch evenreedig, indien
A — B : B —C = C : A; en dus is
C2 — BCzBA — A2 ofj
C3H- A2 ~ B (C■+■ A) :~ en dus
-Q^-^-zz.ii: gevolglyk: Indien men de fom der
cjuadraaten van twee getalen door de fom dier getalen di. videert, is het quotiënt middel-contra-harmonisch-evenreedig tusfchen die getalen. Zie verder wolf §. 193—19$.
IV.



126 III. Boek: Over de Evenreedigheid.
IV. AF DEELING,
OVER DE LOGARITHMEN.
XXIV BEPAALING (a).
Indien men twee reekfen van getalen heeft, de eene, eene geometrifche reeks, de andere eene arithmetifche reeks ren men de zeiven zodanig ftelt, dat 'er over ieder lid van de geometrifche reeks een lid van de arithmetifche reeks tegen over ftaat: worden de getalen van de arithmetifche reeks in het algemeen de Logarithmen genoemd van de getalen der geometrifche reeks , ieder van dat getal, tegen over welk het ftaat.
By voorbeeld: Geometrifche reeks 3,6,12,24,48, Arithmetifche reeks 1,2, 3, 4, 5, Dan zyn 1, 2, 3, 4, 5, ieder in zyn' rang de Logarithmen van 3, 6, 12, 24, 48.
S. p. 393. def. 1. W. Tr. J. 21, 22.
aanmerking. Wy zullen in de eerfte aanmerking op het volgend Vooiftel een naauwkeuriger denkbeeld van Logarithmen geeven.
XXXIl. VOORSTEL.
Indien men de geometrifche reeks
p . „ N i 2 3 .4 n a (of i),a , a ,a,a , a
heeft, zyn de aanwyzers o, 1, 2, 3, 4, enz., de
logarithmen van de getalen a (of 1), a, a , a , enz. ieder in zyn' rang. S. p. 395. def. 2.
bewys. Uit de XXIV Bep. het XIV Voorftel, 4 Gevolg,
en het XXI Voorftel, 5 Gevolg.
I. AAN-
(öj De eerfie Bepaal'ingen zyn te vinden psg. 60, de tweede pag. 108, de derde pag. 115.



IV. Afd. Over de Logarithmen. 127
I. aanmerking. In de berekening en dus in het gebiuik der Logarithmen, onderftelt men altoos dat de etn-
o
heid, (en dus a . Zie IV Bep. 2 Aanm.) het eerfte lid van de geo netrifche reeks is, en dus nul het eerfte lid van de arithmetifche reeks, of van de reeks der logarithmen : gevolglyk zyn, in eenen meer bepaalden en naauwkeuriger zin, de Logarithmen, „getalen in eene „ arithmetifche reeks met nul beginnende en tegen over „ de getalen van eene geometrifche reeks, die met 1 „ begint, ftaande."
I. GEVOLG.
Dus is in het algemeen, indien a het getal is, waar van de Logarithmus r is, 1 r: Log. a: o = Log. a° zz Log. i:ena;z Log. a".
II. aanmerking. Dat getal a, waar van 1 de Logarithmus zyn zal, kan naar welgevallen genomen worden : doch het hangc van dit getal af, welke de getalen zyn waar van 2, 3, 4 enz. de logarithmen zyn zullen, daar die getalen de 2, 3, 4 magten enz. van a zyn. Dit is de reeden waarom men dat getal, waarvan 1 de logarithmus is , den grondflag of bazis van dat Jlelftl van Logarithmen noemt, en dus kunnen 'er zo veele verfcbillende ftelfels van Logarithmen zyn, als men verfchillende getalen tot grondflag aanneemt.
II. GEVOLG.
Wy hebben gezien in het 7 Gevolg van het XIV VoorHel , dat men de Geometrifche reeks
A, Aq, l\q2 A5B-1
aan den anderen kant van A verlengen kan: dus, ftellende Am heeft men
,_(»-!)-.., ?-4, 5-3, ?-3j t, jo, q i3j3) ?4> of _ r t 1 1 1 j \ ■"* j-r»ï4,7'> 7a» 7, *' s' qX' q%' 24"--!"-1
En



123 UI. Boek: Over de Evenreedigheid.
En gevolglyk zullen —(n—i) , —4, —3, —2, —1 de Io> garithmen zyn der breuken —, "?, —
IIL GEVOLG. Insgelyks, indien men andere middel-evenreedigheedcn tusfchen twee leeden, by voorbeeld 1 en 3, 5 en 3* neemt, zo als
0,25 o,s 0,75 1 i,2S l.S i»75. » pn_ 3,? ,? ,2 > 4 . ? ■ 4 .? ,4» enz
zullen 0,25, 0,5, 0,75, 1,25, i.5» X>75 > de logarithmen
van die getalen zyn ieder in hun rang; en dus is 'er getn
getal hoe genaamd, of men kan zyn logarithmus bepaalen:
want het valt zeker tusfchen twee leeden van de reeks q,
q' t q* enz. in, welk getal men ook voor q netme: en 'er
is geen getal of het is eenige magt of wortel van het getal f
(8 Gevolg van het XIV Voorftel.)
XXXIII. VOORSTEL.
De Logarithmen (x en y) van een en het zelfde getal (s), welke tot verfchillende ftelfels van Logarithmen behoren, zyn altoos in eene beftendige reeden.
H. in. 5. 208. bewys. Zy het eene ftelfel
a°, al, a*, «', - - * • - a* het ander
b°, b1, b', 6', fc»
Met ftelle dat of — Z ~ by : zo ais by voorbeeld, indien ar: 4 is, en b — 2, is «4ZZ256. en 68 — 256: dus «4 — i)8 — 256 — Z , daar dan by — Z: is f.*3:'* :
x Log. azzy Log. b en dus x : y = Log. b: Log. a: dat is in eene beftendige reeden.
XXXIV.



W. Afd. Over de Logarithmen. iap
XXXIV. VOORSTEL.
De fom der Logarithmen van twee getalen is de Logarithmus van het producT: dier beide getalen door elkander gemultipliceerd.
S. p. 396. pr. i. — W. t. §. 23;
bewys. Uit het XXXII, het XXIII en het XVI Voorftel-
I. GEVOLG.
De Logarithmus van het product uit verfcheiden qetalen is de fom der Logarithmen van ieder van di« getalem
II. GEVOLG,
De Logarithmus van eenige magt n van een gé« tal & ,dat is, van i",is het product van den aanwyzers gemultipliceerd door den Logarithmus van het getal
bewys. Uit het I Gevolg en de IV bepaaling. S. p. 397- Pr- 2- W. t. §. 25.
III. GEVOLG.
Indien mén dan eene Tafel gemaakt- heeft vari de Logarithmen van alle de getalen, zal men, met te zien, welk getal tegen over de fom der Logarithmen van twee of meerder getalen ftaat, weeten, dat dit getal het produét van die getalen is: en men zal dus het zeer lastig werk van muhiplicetren , tot het gemaklyk werk van addeeren herleiden.
XXXV. VOORSTAL.
Het verfchil der Logarithmen van twee getalen is de Logarithmus van het quotiënt dat uit de divifie dier twee getalen voortkomt.
S. p. 398. pr. 3. w. t. §. 33,
bewys. Uit het XXXIV. Voorftel, gepaard met de III.
Aanmerk, op de IV bepaling; of uit het XXXII Gev. 2.*
XXIII en XVI Voorftel.
ï L 0ê>*



130 III. Boek: Over de Evenreedigheid.
I. GEVOLG.
De Logarithmus van den wortel « uit eenig getal h
("of van yb, of b") is het n gedeelte van den Logarithmus van dat getal zelf: (II Gevolg van het voorgaand Voorftel, gepaard met de III Aanmerking Of de IV Bepaling.)
S. p. 399- pr. 4. —— W. t. 5. 27 —31.
II. GEVOLG.
Als men eene tafel heeft, waarin de logarithmen van alle de getalen gevonden worden, zal men het lastig werk van divideeren tot eene aftrekking van logarithmen , en het nog moeijelyker werk van worteltrekken tot eene ligte divifie herleiden.
III. GEVOLG.
Log. —. is dus = Log. 1 — Log a:> a
dus is Log. =Log.6X ~ — Log. b + (Log. 1.
Log. a.) of = Log.ö— Log. a. Men noemt het arithmetisch complement van een' logarithmus de rest die men verkrygt, wanneer men een' logarithmus van o aftrekt; welke rest dus negatief is (XXXII Voorftel, 2 Gevolg). En du» komt het aftrekken van een' logarithmus met het byvoegen van zyn arithmetisch complement overéén. Zie,op het eind van dit Boek, het Bericht N°. VI.)
XXXVI VOORSTEL.
Wanneer drie getalen zeer weinig van elkander verfchillen, zullen de verfchillen der logarithmen zeer ten naasten by de zelfde reeden volgen als die der getalen, waarvan zy de logarithmen zyn.
bewys. Uit het XXXII en uit het XX Voorftel.
XXXVII.



ly. Afd. Over de Logarithmen. 13 g
XXXVII. voorstel.
In alle ftelfels van logarithmen, zyn de logarith» men van de bazis, en van alle de getalen die magten zyn van de bazis, gegeeven: zy zyn namelyk» geheele getalen, de natuurlyke getalen 1, 2, 3, enz. zelve. De logarithmen van alle de andere getalen zyn breuken , en wel zuivere breuken voor alle de getalen tusfchen de eenheid en de bazis begreepen j gemengde breuken voor alle de overige getalen die grooter dan de bazis zyn.
bbwys. Ui: het XXXII Voorftel en desfelfs 2 Gevolg.
gevolg.
In onze gewoone logarithmen, die men Tafel - Lo» garithmen, om dat zy de logarithmus - tafelen uit» maaken, of ook wel Briggiaanfche logarithmen noemt,' omdat zy door henry briggs, een' Engelschman, bereekend zyn, is 10 de bazis: dus is, zo als altoos, o de logarithmus van 1: 1 de logarithmus van io* of 10: 2 de logarithmus van ioJ of 100: 3 de loga* rithmus van io3 of 1000: 4 de logarithmus van 10* of loooo: en zo voorts. De verdere logarithmen wor* den door decimale breuken uitgedrukt: en dus zyn zy o, met zo veele letters 'er achter als vereischt worden om de breuk te maken, voor alle de getalen tusfchen 1 en 10: i, met letters tot breuk, vooralle de getalen tusfchen 10 en 100 enz.: doch voor waare breuken zyn zy negatief: namelyk — 1, met letters 'er achter tot breuk voor alle de getalen tusfchen t en —2, voor alle de getalen tusfchen r'5 en ^ enz. Zie 2 Gev. van het XXXII Voorftel.
De logarithmen beltaan dan uit eene cyffer, o, of l,of 2, of 3 enz., die men het charaSter of den aanvoyzer noemt, en uit cyffer-letters achter het characler I a om



132 UI. Boel: Over de Evenreedigheid.
cm de nodige breuk te maaken: en deeze noemt mefi het aar.vu'fel (jmantisfa).
Het ckaracïer is dus een geheel pofitief of een geheel negatief getal, naar maate het tot den logarithmus van een getal dat groter of kleiner dan de eenheid is, feehoort: en 'er zyn zo veel eenheden in het charatter als 'er cyffer - letters in het getal, of in den noemer van de decimaak breuk. waar van het de logarithmus is , gevonden worden min één : dus is o het characler van alle getalen tusfchen i en xo: t van de getalen tusfchen tusfchen 10 en 100: 2 van de getalen tusfchen 100 en 1000 eiiz. —t van alle de decimaale breuken tusfchen 3rs en T§5: —2 van alle de decimaaie breuken tusfchen r;5 en ^ enz. aanmerking. In de gewoone kleine logririthmus-Tafelen wordt het characler altoos vóór het aanvulfel gevonden, en van het zelve met een ftip afgefcheiden: doch dit is nutloos, en kan geleegenheid tot veele misflagen geeven. Daarom wordt het charadter te recht weg gelaten in de grooter Tafelen van douwes , hierwin, garoineii, gallet, en zo voorts: Men vindt het character onmiddelyk door dit Gevolg.
XXXVIII, VOORSTEL.
De logarithmen van alle de getalen die noch d© bazis, noch magten van de bazis zyn, worden bereekend door het geduurige vinden van geometrifche midden - evenreedigen tusfchen de magten der bazis, tusfchen welken het gegeeven getal valt, en van overéénflemmende arithmetifche midden-evenreedigen tusfchen de logarithmen van de gemelde magten der bazis.
St. p. 406 — 411. —_ w. t. 5. 37. »ewys. Uit het XXXIi Voorftel 3. Gevo'g.
AAKg



IV. Afd. Over de Logarithmen. 133
ï. aanmerking. Men wil by voorbeeld den Logarithmus van 5 bereekenen: De logarithmus van 1 is o: die wan 10 is 1 : het getal 5 Haat tusfchen 1 en 10: ik befchouvv dnn de getalen I en 10 als de uiterften van eene geomet.ifche, en de getalen o en 1 als de uiterften van eene arithmetifche reeks: ik zoek dan wederzyds middelevenredigen , tot dat ik in de geometrifche reeks een getal kryg, dat zeer ten naasten by 5 is: aldus
Midden-evenreedige tusfchen 1 en 10=; ^1x10 = VTo— 3,162277 :midden-eveureedige tusfchen oen 1 is § ofo, s , dus is o, s de logarithmus van 3,162277: dit getal is te klein: ik zoek dan weder eene midden - evenreedige tusfchen 10 en 3, 162277: die gevOlgtyk kleiner dan 10, doch grooter dan 3, (62277 zyn zal: (8 Gev. XIV Voorftel:" deeze is V31,02277— 5,623413 : de midden-evenreedige tusfchen 1 en 0,5 is 0,75, dus is o, 75 de logarithmus van 5,623413: dit getal is te groot: ik zoek dan eene rxidden-evenreedige tusfchen 5 623413 en 3>!62277 welke kleiner dan 5,623413, doch grooter dan 3 162277 zyn zal; deeze is ^5,623413 X 3. 162277 — 4, 216964 : ik zoek insgelyks een midden-evenreedige tusfchen 0.5 en 0,75, deeze is 0,025: dus is 0,625 de logarithmus van 4,216964. Dit getal te klein zynde, neem ik weder een midden-evenreedige tusfchen 4,216964 en 5,613413 en zo voorts, tot dat ik tot midden-evenreedige een ge» tal verkryg, dat z^er na by 5, komt. Zie ook de volgende III Aanmerking.
II. aanmerking. Het blykt hier uit hoe het kome, dat, daar de logarithmen de aanwyzers zyn van getalen in eene geometrifche reeks ftaandc, nochtans in de Tafels de ge. talen. tot welken de logarithmen behooren, eene arithmetifche reeks maaken, als zynde de natuurlyke getalen 1, 2, 3, enz. want men heeft alle de middelieeden , die tusfchen o en 1, tusfeben 1 en 2 enz. zyn, en die «jen mede heeft moeten bereekenen om de overigen te I 2 vai-



134 UI. Bock: Over de Evenreedigheid.
vinden, veggelaaten. Het vinden van eenen logarithmus van een getal, byv. van 5 , is eigenlyk vinden , welke rnagt dat getal van de bazis 10 zy: dus vindt men bier , 0,60897
aat 5 _ 10 : en dus is o, 69897 de aanwyzer van
die magt, de logarithmus van 5.
JU. aanmerking. Het volgt hier uit dat de Logarithmen Hechts ten naasten by gevonden worden, daar alles fteunt op worteltrekken uit getalen die allen onmeetbaar zyn: en gevolglyk dat de logarithmen ook naauwkeuriger zyn zullen, naar maate men de wortels naauwkeuriger, dat is tot meerder cyffer - letters, bereekent. De logarithmen zelve worden doorgaands tot 7 letters in het aanvulfel gebragt.
IV. aanmerking. Het is op deeze wyze dat bribgs en vlacq de logarithmus. tafels bereekend hebben: dan hoe lastig en langwylig dit werk ook zy, wordt het veel verligt, 1°. hier door, dat het genoeg is de logarithmen der eerfte getalen, i, 2, 3, n, r3 te berekenen: daar de overigen door eene enkele optelling van logarithmen gevonden worden ,by voorb.Log. zu — Log 3. +Log. 72°. Dat alle die midden.evenreedigen die men bereekent om den logarithmus van een getal te vinden, niet verlooren zyn , maai wederom in het vervolg in de tafels dienen kunnen: 3°. dat wanneer de getalen weinig veri fchillen, men de arithmetifche midden-evenreedige neejnen kan. Ook heeft men in het vervolg andere handel» wyzen uitgedacht, op wiskundige gronden, doch welke hier niet kunnen uitgelegd worden, fteunende, om den logarithmus, van welk getal men wil, veel gemakJyker te bereekenen.
V. aanmerking, neeper , een Schotsch Edelman, de eerfte Bitvinder der logarithmen,heeft zyne lo-arithmen op eene andere bazis dan 10 bereekend: zyn bazis namelyk h het «ei%\ 3,7182818 : dus i% j de lögaruhjnus van 2, 7182818,.
daajt



IV. Afd. Over de Logarithmen. 135
daar het by on- de logarithmus van 10 is. Die logarithmen worden de neepekiaanscue, ook de natuurlyke of Hyptrboiij he logarithmen genoemd: het eertte naar den uitvinder , het ander om dat zy ook uit de quadratuur van de hypetbok ontleend worden. Het zal genoeg zyn hier aan te merken, dat de neepejuaa.-vSChe of Hyperbolifche logarithmus van 10is 2,3025850.-endus (XXXIII Voorftel) dat de hyperbolifche logarithmus van eenig getal, ftaat tot den logarithmus van het zelfde getal in de Tafels, zo als 2,3025850 tot i,coocooo: dat de tafel - logarithmen gevolglyk tot de hyperbolifche herleid worden, zo men ze door 2,3025850 multipliceert: en de hyperbolifche tot de tafel logarithmen, indien men ze door 2,3025850
divideert, of door dat is door 0,4342744
multipliceert. H. III. 5. 209 352.
BERICHT.
Ik zal in myne lesfen zelve het gebruik der Logarithmus{afelen door voorb.-elden uitleggen, en toonen hoe het zelve op de oorgaande Voordellen rust: het is onnuttig dit gebruik hier in te lasfchen, om dat het voor alle Tafelen gevonden wordt. Het zal echter niet ondienftig zyn aan te merken, dat 'er vyf Vra.igftukken op te losfen zyn.
I. Te vinden den Logarithmus van een gegeeven geheel £#• tal, dat in de Tafelen ftaat. Dit lost zich van zelf op.
II. Te vinden den Logarithmus van eene decimaale breuk, het ssy zuivere, het zy gemengde breuk, doch die niet uit meer tyffers bejtaat dan de geulen van de Tafels die men gebruikt.
Men zoekt den logarithmus als of het een geheel getal was, doch zonder op het charaBer (indien het in de Tafelen ftaat) te letten: met voegt het charafter by naar het Gevolg van het XXVII Voorftel.)
1 4 Wy



ï3ó III. Boek: Over de Evenreedigheid.
Wy zullen hier uitleggen hoe, en waarom, men vooe het chwaSler der logarithmen van zuivere breuken, in plaats van negatieve charaéters , gebruiken kan 9 voor de getalen tusfchen ' en 1, en dus in plaats van —1: 8 voor de getalen tusfchen en en dus in plaats van —2 : 7. voor de getalen tusfchen en en dus in plaats vari —3 en zo voorts: altoos zo veel eenheden van 10 aftrek, kende, als 'er nullen vóór de eerfte cyffer van de breuk gevonden worden.
III'. Te vinden den logarithmus van e.en getal , 't zy geheel, 't zy eene breuk, uit meet cyffers beftaande dan de getalen van de Tafel. ; Men neemt de logarithmen van het naastvoorgaande, en het naast volgende getal, na dat men by ieder deezer getalen zo veele nullen gevoegd heeft, al» 'er cvfl'era meer in het gegeven getal zyn, en de charaüers n;i3r trch gefield heeft: men neemt hun verfchil. Men neemt insgelyks het verfchil tusfchen die twee getalen, en tusfchen het kleinfte en het gegeven: vervolgens zoekt men door eenen regel van driën eed evenreedig gedeelte voor den logarith^ mus, zeggende :
Het verfchil tusfchen de twee getalen ftaat tot het verfchil van hunne logarithmen, zo als het verfchil tusfchen het kleinfte getal en het gegeevene, tot het verfchil tusfchen den logarithmus van het kleinfte en den logarithmus van het gegeevene: welk verfchil men dus by den eerstgemelden voegt. (XXXVI Voorftel.)
Wy zullen hier het gebruik aanwyzen van de kolommen van Praportionaale gedeelten die in de grootere LogarithmuaTafelen gevonden worden: en de reeden geeven, waarom de gemelde regel Èaauwkeurig voor groote, doch onnaauwkeurig voor kleine getalen is. IV. Een logarithmus gegeeven zynde, het getal te vinden. Zo dc logarithmus in de Tafels ftaat , is het overeenftemmend getal het gezochte. Zo nier, vergenoegt men zich ffiet het getal wiens logarithmus het naast aan den gegeeven kigairithmas komt: of, wi! men Baauwkeurig te werkgian,
zotki



IK Afd. Over de Logarithmen. 137
zoekt men een evenreedig gedeelte door denzelfden regel als in het voorgaande vraagftuk, zeggende: het verfchil tusfchen de twee logarithmen ftaat tot het verfchil tusfchen hunne getalen , zo als het verfchil tusfchen de kleinften logarithmus enden gegeevenen , tot het verfchil tusfchen het kleinfte en het gezochte getal. « of wel in plaats van dien legel gebruikt men in de grooter Tafelen de kolom van Proportiuneele of evenreedige gedeelten.
V. Te vinden den Logarithmen van eene breuk, 't zy zuivere , het zy gemengde. ——»■ Men trekt den Logarithmus van den noemer van den Logarithmus van den teller af : de rest is de gevraagde logarithmus: en het getal, dat over dien logarithmus ftaat, of tot denzei ven behoort , is de decimaals breuk die aan de gegeeven breuk gelyk is.
Zie S. p. 413 en volgende.
VI. Hier moet men ten zesden byvoegen, dat, daar. het addeeren altoos gemakkelykcr valt dan het Jubtraheeren, mea in plaats van Logarithmen af te trekken, meest altoos der. zeiver arithmetifche complementen (XXXV Voorft. het III. Gev.) neemt, en by telt: het geen vooral veel verkort, wanneer men verfcheiden logaiithmen meet aftrekken: byv.
23 X 3o3 X 277 in het bereekenen van deeze breuk >■ ^ 2. «"47' zou"
de men op de gewoone wyze dus te werk gaan.
Log. 23 1,3617278
Log. 303 2,4814426
Log, 277 ...... 2,4424798
6,2856502
Log. 13 . . . . 1,1139434 Log. 24 .... 1.3802112 Log. 47 ? 1,6720979
_—, , . 4,1662525
2,1193977
Waarvan het getal ten naasten by is 131,642
i 5 Doch



138 HL Boek: Over de Evenreedigheid
Doch men werkt korter aldus:
Log. 23 ... 1,3617273
Log. 303 2:a8 14426
Log. 277 ... 2 4424798
Comp. ar. Log. 13 . . . 8,8860566
■ 23 . . . 8,6197888
—— 47 • • 83279021
2,ii93977
En het valt altoos gemaklyk het arithmetisch complement van eenen logarithmus te neemen: want men neemt Hechts (van de linker hand beginnende) het verfchil van iedere cyffer van den gegeeven logarithmus met 9, behalven voor de laatfte cyffer, wier verfchil men neemt met 10.
VIERDE



*39
VIERDE BOEK.
OVER DE GELYK V ORMI GHEID DER FIGUUREN, EN DE REEDEN VAN DERZELVER ZYDEN EN INHOUDEN.
I. BEPAALING Fig. 70. 71.
Men noemt gelykvormige figuuren die geenen, in welke de hoeken onderling gelyk zyn, en de zyden, die om gelyke hoeken en tevens over gelyke hoeken ftaan, dezelfde reeden tot elkander hebben.
eücl. VI. idef. — W.g. 5.5. en §. 182. — S.p.243^
i bep.
voorbeeld. In fig. 70 is LDzz L A : LF = LC L Ezz Lli-.en FD:FE = CA: CB:
F E: D F. — C B : B A
DE:FD —BA: CA. en op de zelfde wyze in figuur 71: LA ~ Z.F:Z.E — IK: LD= L1:LC = LH-.LB = LG : en BA:AE = GF:FK enz.
I. aanmerking. In deeze bepaaling wordt van eene dubbele eigenfchap gefprooken, dieniet altyd plaats heeft, zo als uit figuur 4 en 14 blykt: doch wy zullen in het
II Voorftel bewyzen, dat in driehoeken de eene altoos met de andere gepaard is: en dan in het XIV, wat ser vereischt wordt op dat het zelfde in andere figuuren plaats zoude hebben.
II. aanmerking. Het valt zeer moeijelyk eene naauwkeurige , alleszins voldoende, en op alle gevallen even toe» pnsfelyke bepaaling van de gelykvormigheid te geeven: wy zullen in het XII Voorftel van het VII Boek zien , hoe deeze bepaaling op den Cirkel toegepast kan worden. JU. aanmerking. De gelykvormigheid van twee figuu*
ren



Ho W.Boek: Over de gelykvormigheid der Ftguureh.
ren wordt dus gezocht in de gelykheid van fommige deelen, van de hoeken namelyk: en de evenreedigheid van anderen, van de zyden : zo dat de gedaante van beide de figuuren de zelfde zy. Daarom is het niet genoeg dat de zydtn, die gelyke hoeken bevatten, evenreedig zyn; by voorb. in Fig. 70. A B:AC — DF:DE: en in Fig. 71. BA:AE = FK:GF: maar het moeten de zyden zyn die tevens over gelyke hoeken ftaan, AB:AC —DE:DF en BA:AE=GF:FK, om dat men dan de zyden in beide de Figuuren volgens de zelfde orde, of den zelfden rang neemt: 't geen de gelykheid van gedaante, en dus de gelykvormigheid in beide de figuuren te weeg brengt. Hier om is het dat ook die zyden, welke gelyke hoeken bevatten en over gelyke hoeken ftaan, met recht eveneensftaande (homologa) genoemd worden. IV. aanmerking, euclides heeft de woorden, die tevens over gelyke hoeken [taan, in zyne bepaaling achtergelaaten; het komt my voor dat zy 'er een weezenlyk gedeelte va» uitmaaken.
II. BEPAALING.
Eene lyn wordt gezegd in uiterjle en 'middelfte reeden gefneeden te zyn, als de geheele lyn tot het grootfte deel de zelfde reeden heeft als het grootfte deel tot het kleinfte.
eucl. VI. 3 bep. St. p. 244. d. 3.
ï. aanmerking. Wy zullen ftraks (VII Voorftel 1 Gev.) bewyzen, dat, in dat geval, de rechthoek uit de geheele lyn en het kleinfte ftuk gelyk is aan het vierkant van het grootfte ftuk: en dus hebben wy in het X Voorftel van het II Boek, reeds van eenen driehoek gewag gemaakt, welks eene been in uiterfte en middelfte reeden gefneeden is.
II. aanmerking, euclides heeft in de zes eerfte Propofitien van zyn dertiende Boek verfcheiden eigenfchappen
die?



/F. Boek: Over de gelykvormigheid der Figuuren. 14 r
*
dier lynen voorgefteld: waar van deeze onder anderen in het oog loopt: dat, zo men aan de gegeeven lyn (L) een ftuk voegt gelyk aan het grootfte ftuk (G), het geheel we* derom in de zelfde reeden zal verdeeld zyn: want, ftel K het kleinfte gedeelte; dan is door de onderftelling
L : G = G :K: dus, III, 8. 1N°. 1.
L + G: G +KzcL:G of
L + G : L = L : G. Eucl. XIII. 5: zie verder hier onder het VII VoorfteIs 6 en 7 Aanmerking op het VI Gevolg.
I. AFDEELING.
6ver de gf.lykvormigiieid VAN driehoeken en PARallelogrammen, en de reeden VAN derzeever inhoud.
L voorstel. Fig. 64en 137.
Indien men binnen eenen driehoek CA DE) eene lyn (BC) evenvvydig aan een der zyden (DE) trekt: zal die lyn de beide overige zyden in gelyke reeden fnyden: en omgekeerd; zo eene lyn twee zyden in de zelfde reeden fnydt, zal zy evenwydig aan de derde zyde zyn.
eucl VI. 2. W. g. g. 184. —- S. p. 247. pr.2,
L bewys. Fig. 137.
I. geval. Indien de lynen BA, en B D eene gemeene maat, tel de lyn AZ, hebben: dan behelst de lyn BA die maat by voorbeeld m maaien, en de lyn B D n maaien i en men bewyst uit het Gevolg van het XX Voorftel, I. B. dat, zo ZQ |J DE, dati AC de lyn AQ ook m maaien,
en



142 IV. Boek: Over de gelykvormigheid der Figuuren.
en CE die zelfde lyn AQn maaien, bevat, waar uit volgt (III. B. IV Axioma en XI Voorft.) dat men heeft B A: BD = AC: CE.
II. geval Indien de lynen BA, en BD geen gemeene maat hebben', laat dan AZ eene maat zyn van de lyn AB, en 'er m maaien in bevat zyn: dan wordt AQ ook m maaien in A C begreepen5! (L B. XX. Voorft. Gev.) en AZ zal meer dan n maaien by voorbeeld, en minder dan «-J- i maaien in BD begreepen worden: zo als ook AQ meer dan n en minder dan ?ï-f-1 maaien in CE, en dus: daar B A = m X AZ, en hC~m% hQ; en B D "> «X AZ, en dan n + i. AZ enCE^ra. AQenKjï+lx AQ; heeft men hier (III. 3.)
AB :BD = AC:CE.
I. aanmerking. Het omgekeerde wordt beweezen door de ongerymdheid daar men in vervalt met het tegendeel te ftellen..
II. aanmerking. Dit bewys komt ons voor uit den waaren aart der zaaken ontleend te zyn, en dus, wysgeerig gefprooken, de voorkeur boven anderen te verdienen. euclides heeft een ander bewys gegeeven , ontleend uit ons volgend VI Voorftel, dat namelyk driehoeken, die de zelfde hoogte hebben,in de reeden hunner grondlynen ftaan : doch de Heer d'alembekt heeft reeds te recht aangemerkt, dat dit bewys flechts iwlireiï is: daar het echter voor veelen gemaklyker fchynen zal, zullen wy 'er de gronden van opgeeven , ons VI Voorftel bev/eezen Hellende: en in de daad daar het van de vyf voorgaande Hellingen onafhankelyk is, kan men het zelve eerst nagaan en bewyzen, en, zo men wil, voor het eerfte en dit voor het tweede van dit Boek houden.
11. bewts , Fig. 64. Uit euclides ontleend: en fteunende op het volgend VI Voorftel. Na de lynen BE en DC getrokken, en, uit het II Boek VI Voorftel, de gelykheid der driehoeken B CE
en



LAfd. Over de Driehoeken enParallelogrammen. 143
en D B C beweezen te hebben , toont men uit het VI van dit Boek, dat de driehoeken DBC en BA C zyn als de grondlynen DB en BA: insgelyks ook de driehoeken BCE en B AC als de grondlynen AC en CE: waar uit dit Voorftel door (III. 5.) volgt.
Het omgekeerde wordt beweezen uit de ongerymdheid daar men in vervalt met het tegendeel te ftellen. CE VOLG.
De geheele zyden zyn in de zelfde reedeo als haare ftukken: namelyk
AD : AB = AE : AC AD:DB = AE :CE uit dit Voorftel en III, 8. W. §• 185.
III. aanmerking. Dit Voorftel ftelt ons in ftaat om uit het I Boek der Werkftukken het 8. (1. Oplosfing) 9 en 10 Werkftuk op te losfen.
II. VOORSTEL. Fig. 65.
Wanneer de drie hoeken (A, ABC, ACB) van eenen driehoek (ABC) gelyk zyn aan de drie hoeken (DCE, CDE, E) van eenen anderen driehoek (C D E) ieder aan ieder, zyn die zyden, welke in beide de driehoeken gelyke hoeken bevatten, en over gelyke hoeken ftaan, in de zelfde reeden.
eucl. VI. 4- w- 5- '83 St. p. 249. pr.4.
bereiding. Men vooronderftelt dat de beide driehoeken naast elkander ftaan,zo dat debeidegrondlynen AC,CE, eene lyn uitmaaken: dan volgt uitje onderltellingen en IB. bep. 8. dat CD||AB: DE||BC: en dus indien men AB en D E verlengt, tot dat zy in F te famen komen en GD || AC is , dat BC=FD: BF = CD: GD= AC. (I. B 19 Voorft) bewys. Uit de bereiding, en het I Voorftel.
I. GE-



144- W, Boek: Over de gelyhormigheid der Figauretti
I. gevolg.
Driehoeken, die gelyke hoeken hebben, zyn ge» lykvormig.
I. aanmerking. Dus, zodra eene der voorwaarden van de gelykvormigheid, de gelykheid namelyk der hoéken plaats heeft, heeft, in de driehoeken, de andere, de evenree. digheid der eveneens geplaatfle zyden, ook plaats.
II aanmerking. Het. is op dit Gevolg, en op het VII , van bet XI Voorftel in het I Boek, dat het gebruik van die lynen op den proportionaal pasfir fteunt, die den naam draagen van gelyke deelen, op die inflrumenten van franscli maakfel (porties egales), eri welke op die van engelsen maakfel meest met een L de eerfte letter van het woord Leagues beftempeld zyn. Hier op fteunt ook het gebruik der transverfaale lynen in alle plynfchaalen om zo veel gelyke onderdeelen van eene maat als men wil te neemen.
II. gevolg. Fig.,70. Wanneer twee driehoeken gelyke hoeken hebben* én dus gelykvormig zyn: zyn de hoogten (BG,EH) in de zelfde reeden als de eveneensftaande zyden, en de grondlynen (zo nodig verlengd) worden door de loodlynen (BG, EH) uit de toppen (B, E; op de2elven getrokken, in evenreedige deelen gefneeden. St. p. 250. Gev,
II. aanmerking. De woorden zo nodig verlengd, gelden „• wanneer een der hoeken op de grondlyn flomp is: want dan valt de loodlyfl buiten den driehoek. (1,7: gev. 6.)
III. gevolg. (Fig. I37.)
Indien men op eene lyn AE een ftip A neemt, en uit' twee andere flippen (C, E) twee lynen (CB, ED) naar denzelfden kant zodanig trekt, dat zy en evenwydig aan
iU



Over de Driehoeken en Parallehgrnmmen. 145
elkander, eD in de zelfde reeden zyn als haare afltanden van hee.ft'Sp A, (BC:DE =AC: A E) zo zullen haar* Uiteinden D, B, met het ftip A in ééne rechte lyn zyn. bewys. Het volgt door dit Voorftel uit de ongerymdheid daar men in vervalt met het tegendeel te Hellen. aanmerking. Dit Voorftel komt In de daad met euclides VI. 26. overeen : want het zal het zelfde zyn , indien men op AC, BC, en AE, ED, de parallelogrammen daar euclides van fpreekt, voltooit. H. aanmerking. Dit Gevolg , of dit Voorftel , is in Veele gevallen, ook in de Natuurkunde, van nut: men Vindt het ook by b. simson Seffi Om. pr. 34.
ÏIÏ. VOORSTEL. Fig. 66. Wanneer de zyden (A B, A C, B C) van eenen driehoek (ABC) de zelfde reeden tot elkander hebben, als de drie zyden (DE, DF, EF) van eenen anderen driehoek (DEF),zullen de hoeken die tusfchen dê evenreedige zyden begreepen zyn, in beide de driehoeken gelyk zyn.
eucl. VI. 5- — St. p. 251. pr. 5bereiding. Men vooronderftelt dat 'er op DF een driehoek D F G, gelykhoekig met ABC zy gefield. bewys. TJit het^gegeevene, de evenreedigheid der zyden in de driehoeken DFG en ABC', en het XI. van bet IM. B. wordt beflóoten dat de zyden der driehoeken DGF en EDF onderling gelyk zyn: en dus uit het XII van het I. B. dat de hoeken het ook zyn: waar uit het Voorftel volgt.
GEVOLG.
Twee driehoeken, wier zyden evenreedig zyn, zyn
gelykvormig.
aanmerking. Dus wederom, wanneer het tweede vereischte voor de gelykvormigheid in driehoeken, de evenreedigK bdd



145 IV. Boek: Over de Gelykvormigheid der Figuurèn.
digheid der zyden, plaats heeft, heeft ook het eerfte plaats, namelyk de gelykheid der hoeken.
IV. voorstel. Fig. 66. Indien een hoek (A) van eenen driehoek (ABC), gelyk is aan eenen hoek (EDF) van eenen anderen driehoek (DEF): en de zyden, die deeze hoeken in beiden bevatten, evenreedig zyn (AB en AC, DE en DF), zullen de driehoeken gelykhoekig,. en dus gelykvormig zyn.
euclides VI. 6. . S. p. 252, pr. 6. bereiding. Men ftelt dat de driehoek DFG gelyk vormig is met B AC: namelyk LFDG—LC: LDFG=r LA. bewys. Uit de gegeven evenreedigheid, het II Voorftel van dit Boek , en het IX. van het III. wordt de gelykhtii 'der lynen DE en FG, en dan uit het VIII van het I. Boek, de gelykheid der hoeken EFDen FDG, EenG opgemaakt: waaruit het Voorftel zelf blykt.
Het laattte gedeelte blykt uit het 1. Gevolg van het II. Vooiftel.
V. voorstel. Fig. 66 en 67.
Indien twee driehoeken (ABC, DEF,) beide rechthoekig zyn , of beide ftomphoekig, of beide fcherphoekig,en in beide de laatfte gevallen een' hoek (C) van den eenen gelyk is aan eenen hoek (F) van den anderen: en indien verder de zyden die om eenen anderen hoek ftaan, evenreedig zyn: zullen die driehoeken gelykhoekig, en dus gelykvormig zyn. eucl. VI. 7- — S. p. 253. pr. 7. I.bewys. I". Voor de rechthoekige driehoeken:men ftelle in fig. 66. de hoeken B en E recht: die dus van zelf gelyk zyn: waarom 'er dan ook niet, zo als in beide de overige gevallen, nog boven dien een gelyke hoek vereischt •wordt. ZyAB: A CrD E: D F. De bereiding is als in het IV Voorftel: uamelyk, ftel den driehoekD GF gelykhoekig met
ABC:



g.Jfd. Over de Drhhoeten en PardÜikgranï-ne'n. 147
ABC:dan is LF D G — L C : LDFG SsA;dus LG recht: v/aaruit, namelyk uit het II Voorftel, de onderftelling , 'en het IX Voorftel van het III Boek, de gelykheid van DE en FG volgt: en dan uit het 6 Gevolg van het XI Voorftel van het I Boek, die van EF en DG, ea van de fcherpe hoeken.
11°. Indien beide de hoeken E en B of fcherp cf ftomp sys, en boven dien £,C—DFE : men maakt even als in 1. LDFG — A: waar uit volgt de gelykheid vari DE en FG: dus uit het XIII Voorftel van het I Boek die van DG en FE, en die der overige hoeken; waar Uit het Voorftel verder wordt opgemaakt. I. aanmerking. Men behoeft voor K°. i. wanneer de driehoeken rechthoekig zyn, niet eens het gemelde 6 Gevolg te gebruiken: want uit het VII Voorftel van het II Boek, is
P opDE + □ op EF— □ opDFir Dop DG + □ opGF en daar Q op D E = □ óp F G is: is □ op E F zz □ op D G: of EF —DG
•II. bewys Uit de ongerymdheid daar men in vervalt, zó men het tegendeel ftelt, Fig. 67. Men ftelt CG=EF en CHrDF. Zy AB: B C — D E: E F: en de hoeken C en F of recht; of, zo zy niei recht zyn, dan gelyk, en daar en boven als dan dé LB en L E beiden ftomp, of beiden fcherp: zó dan niet LHGC of ABC =2 LDEF Iaat hetLCGI zyn: dan volgt uit de onderftelling , en het I Vóorftel, dat IG = H G zyn zoude.
II. aanmerking. Het blykt waarom de beide hoéken (by voorb. C en F) of ftomp, of recht, of fcherp moeten zyn, want daar men (I. 14. Gev. 1.) uit het flip A twee gelyke lynen trekken kan, -die dus tot AC de zelfde reeden hebben , die namelyk van DE: OF, maat waar van de eene met BC eenen ftoinpen, de andere eenen fcherpen hoek zoude maaken, daar de hoeken C en F de zelfde zoude blyven, volgt het dat de foort der hpeken B en E Isepaald moet zyn.
K 3 IL



148 IV. Boek: Over de Gelykvormigheid der Figuuren,
II. aanmerking. Het geen wy in de II Aanmerking op bet XIV Voorftel van bet I B omtrent het XIII Voordel van het zelfde Bock gezegd hebben, heeft hier ook plaats: zodat fommigen dit Voorftel dus uitdruk/en: driehoeken, die eenen hoek gelyk hebben, en.twee zyden 0111 een: n anderen hoek ftaande evenreedig, doch waar van die, welke over den gelyken hoek ftaat, grooter is dan die welke daar aan grenst, zyn gelykvormig.
En hier uit volgt dan ook dat rechthoekige driehoeken of ftomphoe.kige-, W3ar in de ftompe hoeken gelyk zyn, zo 'er twee zyden die om eenen anderen hoek ftaan, evenreedig zyn,gelykvormig zyn: dat ook ttn onuiiddelyk en byzonder Gevolg van ons algemeen Voorftel is. . ■, k aksten $ 203.
VI. VOORSTEL. Fig. 63.
Driehoeken (ABC, ACD) die dezelfde hoogte hebben ,'doch op verfchillende grondlynen (B C, C D) Haan ; hebben tot elkander de zelfde ree Jen als de grondlynen zelve; en omgekeerd: het geen ook voor de Parallelogrammen plaats heeft. eucl. VI. 1. — S. p. 246 Gev. 1. bereiding. Men verlengt de. grondlynen BC, en CD, en neemt op dezelve zo veele deelen BE, EF, FG gelyk aan BC, als deelen DH, Hl, IK, gelyk aan Cl). Men trekt de lynen A E, AF, AG, AH, AI. AR. bewys. uit II. 6. III. 3. Voor het tweede gedeelte uit het 1 Gevolg van 19. I.
Het omgekeerde wordt beweezen uit de ongerymheid daar men in vervallen zoude, indien het tegendeel gefield wierd.
I. aanmerking. Veele fchryvers bewyzen dit Voorftel aldus: met de eene grondlyn in m deelen by voorbeeld te fnyden: en de andere in n deelen van de zelfde grootte : dan zal de eene driehoek m en de andere n gelyke diiehoeken bevatten, endus zeilen de driehoeken tot elkander
ftaan



1. Jfd.Over deDriehotken cnVaraUalogramnvn. 149
Ham als m tot h,dat is als de grondlynen : doch het loopt in het oog dat men dan ftilzwygend onderftelt, dat de grondlynen eene gemeene maat hebben, dat niet altoos waar is: en dus is dat bewys onvoldoende. II. aanmerking. - Men kan thans het XX Werkftuk van het III. Boek oplosten.
VIL voorstel. (Fig. 68.) Parallelogrammen,(AD,GKv of driehoeken, die op verfchillende grondlynen, (CD, LK) en op vcrfchillende hoogten (DE, KH) ftaan , zyn tot elkander in famengeftelde reeden van de grondlynen en de hoogten, (zo als C D X D E : L K x K H ) St. p. 2+5. pr. r. bereiding. Men onderftelt dat de rechthoeken FD en M K ieder op de zelfde grondlyn en hoogte als de gegeeven paralielogrammen of driehoeken ftaan.- vervolgens dat de rechthoek Mli op de zelfde lyn als de rechthoek FD, zodanig gefteld is, dat een der hoeken aan beide gemeen worde: men verlengt IIK tot N. bewys. Uit het VI Voorftel van dit Boek en het X van het III wordt de reeden der rechthoeken FD en M K, opgemaakt te zyn, de famengeftelde van CD X DE en CK XtiK; waar uit die der gegeeven paralielogrammen of driehoeken volgt, door het 1 Gevolg van het I of het 1 Gevolg van het VI Voorftel, beide in het II Boek. I. aanmerking. Zie daar wederom een algemeen Voorftel dat niet beweezen kan worden, ten zy eerst een byzonder geval van het zelve beweezen zy : want het voorgaand Voorftel is een byzonder geval van dit.
I. GEVOLG.
Indien parallelogramm«n of driehoeken op gelyke grondlynen ftaan, zyn zy in de zelfde ieeden als hunne hoogten.
tacquet op eucl. VI, i. Cor. —- St. p. 246. Gev. 2 K 3 Hiet



i $® W. Boek: Over de GelykvQrmigheid der, FiguurenK
Hier op fteunt de oplosfing van het XXII Werkftuk ui^ het III Boek.
II. GEVOLG,;
Gelykhoekjge parallelogramraen, of driehoeken , £yn in famengeftelde reeden der zyden die gelyke hoeken bevatten , en over gelyke hoeken ftaan. Dit blykt om dat als dan de driehoeken EB D en HIK gelykvormig zyn; en dus de reeden van ED en HK <lie der zyden BD en IK is. II. aanmerking. Dit is de 23 Propofitie van het VI B, by euclides. Die fchryver, by wien men ons Voorftel niet vindt, bewyst dit zeer vernuftig: namelyk (Fig. 32,) Jaar de C3. AG en GD gelykhoekig zyn, vooronderüeld hy dat dezelve met.de gelyke hoeken tegen elkander ilaan: dan zullen FG en GI éénc rechte lyn, en HG. ?n GE ééne rechte lyn uitmaaken: (II Voorft, 3 Gev.); •vervolgens ID en AH verlengende, bekomt men □Hls. •waarmeede men door het voorgaand Voorftel, beide de gegeeven parallelogramraen AG, en GD vergelykende^ |iet befluit opmaakt. St. p. 267. pr. iq.
III. GEVOLG.
Indien twee parallelogrammen, of twee driehoeken, gelyk zyn, ftaan de grondlynen in omgekeerde reeden. der hoogten, en omgekeerd, (j en 6 III.)
tacquet op eucl. VI, 15. Cor. —- St. p. 246". Gev. 3. 311. aanmerking. Men is thans in ftaat de eerfte oplosfins van het XI Werkftuk van het III. Boek te vei rich ten.
IV. GEVOLG.
Indien twee parallelogrammen of twee driehoeken pelyk zyn, en boven dien éénen gelyken hoek bevitten i zyn de zyden, welke dien hoek in den eenen
be-



J. Afd Over de Driehoeken en Parallelogrammen. 131
bevatten in omgekeerde reeden van die welke den gelyk en hoek in den anderen omvatten: en omgekeerd. Het blykt om dat als dan ED en HK de zeilde reeden tot elkander hebben als BD: IK.
S. p. 259. pr. 12. p. 260. p. 13. Dit zyn de 14 en 15 Propofitiën van het VI B. van eublides: welke die fchiyver op die wyze betoogt, die wy in de tweede Aanmerking hebben aangehaald.
IV. aanmerking. Men is thans in ftaat de 2 Oplosfing van het Xlll en XIV Werkftuk van het III. Boek te verrichten.
V. GEVOLG.
In alle rechthoeken, die gelyk aan elkander zyn, zyn de grondlynen in omgekeerde reeden van de hoogten ; en omgekeerd: dat is, zo vier lynen evenreedig zyn, zal de rechthoek uit de twee uiterften gelyk zyn aan den rechthoek uit de twee middelften ; en indien de twee middelften gelyk zyn, en dus de vierde in de daad derde evenreedige is aan de twee eerften, of, wanneer drie lynen geduurig evenreedig zyn, zal het vierkant op de middelfte gelyk zyn aan den rechthoek uit de uiterften.
V. aanmerking. Dit zya de 16 en 17 Tropofitiën van EüCLiDf.s in het VI. Boek: die door hem op de reeds aangehaalde wyze betoogd worden. Wy zullen ftraks VIII. Gevolg N°. 2. zien, dat dit Voorftel volftrekt het zelfde is als het V. van ons III. Boek, met doszelfs 1 Gevolg: en men zoude verwonderd zyn dit gewigtig Voorftel in het V. Boek van euclides niet aan te treffen, indien het niet met de zo evengemelde 10 en 17 van het.
VI. Boek overéénkwam, en die Schryver niet de evenreedigheid meer bepaaldelyk in betrekking tot de Meetkunde befchouwd had.
Ei VL



3 £2 IV. Boek'. Over de Gelykvormigheid der Figuuren-,
VI. GEVOLG.
Uit het voorgaand gevolg blykt, dat eene lyn ia uiterfte en middelfte reeden te fnyden , het zelfde is % als eene lyn zodanig te fnyden, dat het vierkant van het grootfte ftuk gelyk is aan den rechthoek uit de geheele lyn en het kleinfte ftuk : eene uitdrukking waarvan wy reeds in het X Voorftel van het II. Boek gebruik gemaakt hebben, terwyl die verdeeling zelf' iiet onderwerp is van het XII Werkftuk uit het h 35jek der Werkftukken.
VI. aanmerking. Hier uit volgt dat de beide deelen. ©nuieetbaar zyn tot het geheel; want (Fig. 155.) zy-BD, eene lyn in uiterfte en middelfte reeden gefneeden in H.i en zy B I ~ J B D: zo is door het voorgaand gevolg: P op BH = Rechth. uit BD, DH: dat is
p op B D — DH— Rechth uit E D, DH:of II. 2 Gev. a. \ C op BD—2 Rechth. uit BD, DH+Q op DH SS
Rechth. uit BD, DH.
. en dus
£1 op BD —2 Rechth. uitBD.DH-t-Qop DH+ 5n op Dl = Rechth. uitBD.DH-1-5 □ opDI of
D op BD —3 Rechth. uit BD, DH + dopDH.f.scl op Dl =5aepDI. of (II, 1 het 1 Gev.), 9 □ op Dl™. 6 Rechth. uit BI, DH+ □ op DH —
— 50 op. Dl
of (II. 2: Gev. 2.) P op (3DI — DH) -sD.opDI: en dus
3DI ~D H = lyn waar van het O ~ S □ op Dl of z= Dl Y5
ent,



J. Afd. Over de Driehoeken en Paralklogrammen. 153
■ en dusDH = 3DI —01^5= 3D—V^S
2 *
= ' 7 (3 — Vs)
Maar daar j/5 onmeetbaar is, is ook DH onmeetbaar. Dit is de VI Prop. van euclides XIII. Boek.
VII. aanmerking. Hier uit volgt wederom, daar
DH = 8D-BH,dat3DI — DH— |BD— BD +BH
— i B D + B H : en dus dat D(iBD + BH)=s □ op 4 BD ca
BH + i BD=; i BD/sDit is eucl. XIII, r,
VIII. aanmerking. En even als DHr^ (3 — V$~)
CE
is, is eene andere lyn CK — — (3 — ^5) en dus
DH : CK = ^C3-V5): ~(3~Vs)
of (UI. Axioma IV.) =BD:CE:
en insgelyks BH:EK = BD:CE.
dat is: „Wanneer eene lyn in uiterfte en middelfte reeden „ gefneeden is, is altoos de reeden van de geheele lyn tot „ ieder der ftukkera beftendig, en voor alle de lynen die ,, dus gefneeden zyn , de zelfde.
eucl, XIV, 7: of volgens anderen, XIV, 2.
VII. gevolg. Fig. 68.
Zo dc grondlyn CD de grondlyn LK m maaien en zo de hoogte DE de hoogte KH n maaien bevat, is □ G K: nADzi: m x n: en dus (9. IIIJ indien men o GK, of den rechthoek MK voor de iériheid of voor de gemeene maat aanneemt, is het getal dat den inhoud van het parallelogram A D uitdrukt gelyk aan mn: dat is, het parallelogram AD «al zo veele paralklogrammen gelyk aan GK, of zo . K 5 veele



154 IK- Soek: Over de Gelykvormigheid der Figuuren.
veele rechthoeken gelyk aan MK bevatten, als 'er eenheden in het getal m j< n zyn.
Men neemt den rechthoek MK zodanig, dat hoogte en grondlyn gelyk zyn: of dat het een vierkant is, waar van de zyde LK die éénheid is, welke tot het bepaalen der lengte van de zyden CD1, DB, DE, gebruikt wordt: by voorb. één duim, één voet, éénl roede en zo voorts: en men noemt dien rechthoek MK, vierkante éénheid, om de zelve van de lengte - éénheid , die ter meeting van afftanden of lengten dient, te onder-, fcheiden: en dus indien het Q C B 10 voeten bevat, duidt dit aan iq vierkante voeten, of 10 vierkanten, wier zyden ieder éénen voet bedraagen.,
Hier uit volgt: dat enkele en vierkante éénheden van verfchillende benaaming tot elkander ftaan, als het getal deelen die in de enkele éénheid begreepen zyn tot het vierkant van dat getal: dus behelst één voet 12 duimen: en één vierkante voet 12 maal 12 of 144 vierkante duimen: het geen ook door euclides in de XI. Propofitie van het VIII. Boek beweezen wordt. IX. aanmerking. Men ziet hier uit hoe men met euclides (VII Bep. 16.) een producT: van twee getalen een vlak getal noemen kan, waar van de getalen die bet zelve voortbrengen de zyden zyn: en dat vlakke getalen tot elkander ftaan in famengeftelde reeden hunner wortelen : (eucl. VIII, 5.) en dat gelykvormige vlakke getalen zodanig zyn wier wortels evenreedig zyn. (VII. bep. 21.)
Dit is ook de reeden waarom de Ouden vlakkeplaatjen (loei ylani) en vltkke vraagftukken (problema planum) alle die werkftukken noemden, waarin producten van niet meer dan twee grootheden, of alleen vlakke getalen gebruikt worden,
VII!.



I. Afd. Over de Driehoeken en ParaUelogramtnen. i j j
VIII. GEVOLG.
Uit het voorgaande Gevolg blykt, hoe en in welken zin men zeggen kan:
i°. Dat de vermenigvuldiging van twee lynen den rechthoek van dezelven uitdrukt of geeft: en gevolgd lyk hoe eene reeden uit twee reedens famengefteld door den rechthoek der lynen, die de enkele reedens uitdrukken , en eene verdubbelde reeden door het vierkant eener lyn aangeweezen wordt, en daar meede overeenkomt.
2P. Dat, wanneer vier lynen evenreedig zyn, de rechthoek der uiterften gelyk is aan den rechthoek der middelften, zo als in het V. Gevolg uit andere gronden beweezen is; en hoe dit overéénkomt met het V. Voorftel van het IH. Boek.
3q. Dat, wanneer drie lynen evenreedig zyn , het vierkant op de middelfte gelyk is aan den rechthoek der uiterften, zo als reeds in het V Gevolg uit andere gronden beweezen is: en hoe dit overeenkomt met het i Gevolg van het V. Voorftel van het III Boek,
4°. Dat de inhoud van een parallelogram uitgedrukt kan worden door het product van de grondlyn vermeenigvuldigd door de hoogte: en dat dit overeenkomt met het i gevolg vau het I. Voorftel uit het U. Boek.
Insgelyks dat de inhoud van een vierkant uitgedrukt kan worden door de tweede magt of het quadraat van deszelfs zyde.
Het is ook om die reeden, dat de Ouden de uitdrukking magt van eene lyn, eene lyn heeft zo veel magt, eene lyn kan zo veel, gebruiken om de vierkanten op die lynen gemaakt aaa te wyzenjdas by voorbeeld, drukte euclides



j 5 6 IV. Boel: Over de Gdfybvormigheid der Figuuren.
het geen wy in de Vil Aanmerking op dit Voorftel beweezen hebbsn, aldus uit. „ Indien eene lyn in uitejlle „ en middelfte reeden gefneeden is, kan het grootfte deel „ te famen met de helft van de geheele lyn het vyf ,, voud van het vierkant der halve lyn." Zo dm het getal eenheden waar door de inhoud van een vierkant uitgedrukt wordt, geen quadraat getal is, is de zyde van het vierkant altoos onmeetbaar met betrekking tot de eenheid die de lengte meet: en dit is altoos het geval van de diagonaal van een vierkant met betrekking tot de zyde; het geen ook elcudes in de laatfte Propofitie van zyn X Boek beweezen heeft.
5°. Men ziet hier uit ten vyfden , dat de inhoud van eenen driehoek uitgedrukt kan worden door het produel: van de grondlyn vermeenigvuldigd door de halve hoogte: of door dat van de hoogte vermeenigvuldigd door de halve grondlyn: in één woord door het halve product van grondlyn en hoogte: en dat dit overéénkomt met het i Gevolg van het VI. Voorftel uit het il Boek.
6°. Dat de inhoud van eenen regelmatigen veelhoek uitgedrukt wordt door het halve product van den'omtrek met de loodlyn vermenigvuldigd: en dat dit overéénkomt met het XVII. Voorftel van het H. Boek.
7°. Dat de inhoud van een rechthoekig trapezium uitgedrukt wordt door het product van de grondlyn met de helft van de fom der rechthoekzyden; of, wat op het zelfde uitkomt (III, 19, Gevolg) met eene arithmetifche midden - evenreedige tusfchen de rechthoekszyden, vermeenigvuldigd : en hoe dit overeenkomt met het XIX. Voorftel uit het li Boek.
8°. Eindelyk, dat eenen rechthoek op eene gegeeven
lyn te Jiellen, dat is, op tene gegeeven lyn eenen rechthoek



t.Jfd Over de Driehoeken en Parallelogrammen. 157
hoek te maaken, die aan eenen gegeeven rechthoek of vierkant gelyk is, overéénkomt met te vinden het quo. tient dat 'er voorkomt, wanneer men het produel: van twee getalen door een gegeeven getal divideert: immers komt het gevraagde hier op uit: eene lyn te vinden, die met eene gegeeven lyn eenen rechthoek, aan eenen gegeeven rechthoek gelyk, uitmaake: hetgeen het onderwerp van ons XV. Werkftuk in het III. I3otk oplecveru X. aainmkrking. Alle de voorgaande uitdrukkingen zyn naauwkeurig als men ze behoorlyk gebruikt: doch zy zyn in zich zelf genomen niet geometrisch, en men boezemt niet alleen onnaauwkeurige, maar zelfs geheel valfche denkbeelden in, wanneer mendezelven, zo a's vee" len doen, in den beginnen gebruikt. De Ouden gebruiken nimmer dergelyke onnaauwkeurige denkbeelden » zo als by voorb.: de inhoud van eenen rechthoek is gelyk aan het produót van de grondlyn met de hoogte: ook hebben wy, zo als behoort, overal het woord •wordt uitgedrukt door, of komt ovetéén met, in plaats van het onnaauwkeurige en valfche is gelyk aan gebeezigd. Men kan in den eigenlyken zin geeüe lynen door elkander multipliceeren, of divijeeren, maar alléén getalen; en dus ook die getalen welke de lengte van twee lynen, met betrekking tot eene gemeene maat, uitdrukken. De multiplicatie van twee lynen maakt nimmer eenen rechthoek of een vierkant: maar het getal van vierkante éénheden , dat is van gelyke vierkanten wier zyden men als betrekkelyke éénheid, of gemeene maat voor de lengte gebruikt, het welk de inhoud van een' gegeevenen rechthoek bevat, is gelyk aan het producT: der zyden van dien rechthoek, dat is, aan het producT der getalen welke de lengte van die zyden, met betrekking tot de jemelde éénheid of gemeene maat, uitdrukken. Wil iemand echter de gemelde uitdrukkingen na dat derzei ver waare zin eens naauwkeurig verklaard geweest is, gebruiken, hy doe zulks, doch Hechts als verkorte manteien van fpretken, of verkorte aanduidingen. Zie



158 IV. Boek: Over de Geïykvomigheid der Figuumh
Zie hier over d'alim3ERt4 Melanges Tome V. p. 2ih feqq. — taco/jet Scholion op de 34, en 44 Propofitie van het I. en de 22 Propofitie van het VI Boek van euclides: cLAViusop diezelfde plaatfen henneet G. 5.303-328.
IX. gevolg.
Indien men de Inhouden van twee parallelogrammen of driehoeken door I en i, de grondlynen door B en b, de hoogten door H en k uitdrukt, is ons Voorftel dit I:i S BxH .- ii- h: en dus
i". Zo de grondlyn onmeetbaar is tot de grondlyn , of de hoogte tot de hoogte, doch niet beiden te gelyk,zullen ook CM. B. XI. Voorft. 1 Gev.) de inhouden I en i onderftng onmeetbaar zyn: dat is geene ruimte zal der^elver gemeene maat kunnen zyn.
20. Indien en hoo3te en grondlyn van beide de parallelogrammen onderling onmeetbaar zyn, kan den reeden van de Inhouden (I:;) meetbaar zyn: (III B. XI Bepaling.)
Dit is het geval by voorbeeld, indien men op den diago* naai en de zyde van een vierkant vierkanten befchryft.
3°. Indien vierkanten op lynen gemaakt worden, die onling onmeetbaar zyn, zullen hunnen inhouden, dat « dié vieikanten zelf, niet tot elkander ftaan als een quadraat-getal tot een quadraat-getal, dat is als twee getalen, waaruit men de wortels trekken kan.
4°. Vierkanten kunnen onderling onmeetbaar zyn: want (F'g- 750 zy AF onmeetbaar tot FD: by voorb. als 1/15:2. Men ftelle eene middel-evenreedige FB tusfchen beiden: dan is FB1 — 2 V15 — y6o;cn dus het □ op FB: □ op FD^:|/6o:4 = v'i5:2:en CJopFB:D opAF= V6o:i5.
Er zyn dus onmeetbaare vierkanten; er zyn lynen die onmeetbaar zyn, doch wier vierkanten meetbaar worden: en 'er zyn 'er die onderling onmeetbaar zyn, en wier vierkanten het ook zyn : euclides noemt de eerstgemelde lynen onmeetbaar in lengte: de Iaatstgemelden onmeetbaar in lengte en in magt. En hier uit volgt het IX Voorftel van zyn X B.
in



I. Jfd. Over de Driehoeken en Parallelogrammen. 159
in deeze woorden: „ De vierkanten welke op lynen, die „ in lengte meetbaar zyn, gemaakt wordtn, ftaaYi tot elkan„ der als een quadraat getal tot een quadraat getal, en 0111. „ gekeerd. De vierkanten op lynen gemaakt die in lengte „ onmeetbaar zyn , ftaan niet tot elkander als een quadraat „ getal tot een quadraat getal, en omgekeerd: En, (dit is „ het Gevolg) lynen die meetbtar zyn in lengte, zyn het „ ook in magt: die welke meetbaar zyn in magt, zyn het „ niet altoos in lengte: die welke onmeetbaar zyn in lengte „ zyn het niet altoos in magt: doch die welke onmeetbaar „ zyn in magt, zyn het ook altoos in lengte.
X. GEVOLG.
Uit de voorgaande Gevolgen, vooral uit het V. en VUL blykt verder, dat men alle reedens, hoe famengefteld zy ook zyn mogen, altoos door de reeden van twee rechte lynen kan uitdrukken.
Want zy M: N = A X B X C : D X E x F. De enkele reedens A en D, B en E, C en F kunnen altoos door rechte lynen worden uitgedrukt, het zy dezelven meetbaar of onmeetbaar zyn.
Ik ftel P middel-evenreedige tusfchen A en B, Q tusfchet D en E: en R derde evenreedige 3an P en Q: dan is
Q op P — Rechth. uit A en B:
D op Q — Rechth. uit D en E dus D op P : □ op Q = A x B : D x E: maar
P : Q = Q : R: dus (8 Gev.N". 8 en III, 14.)
□ op P : □ op Q — P : R : gevolglyk
P R = A x B : D x E : en
M:N = P*C:RxF. ftel S middel-evenreedige tusfchen P en C, T tusfchen R en F: en U derde evenreedige aan S en T: dus
O op S : □ op T =: P x C : R x F. maar □ op S : □ op T = S : U: dus
M : N — S : ü : en op de zelfde wyze voor alle aiogelykc gevallen.
VUL



ï6o IV. Boek: Over de Gelyhormigheid der Figuuretli
VIII. VOORSTEL» Fig. /Oi
In gelykvormige driehoeken (ABC, DEF) zyn de rechthoeken der eveneens geplaatfte zyden (AC, BC, DF, EF) doch wederkeerig genomen, (namelyk van AC en EF, BC en DF) gelyk aan elkander.
bewys Uit het II Voorftel en het 5 Gevolg van het VIU aanmerking Dit zal in het V Boek, in het 1 Gevolg" >van het XII. Vooiftel op eene andere wyze beweezen worden.
IX. voorstel. Fig. 69. Indien eene lyn (BD) eenen hoek (CB A) van eert driehoek (BCA) in twee gelyke deelen deelt, en tot op de overltaande zyde of de grondlyn (CA) verlengd wordt, zullen de (lukken ( AD, CD) van die overltaande zyde of grondlyn in de zelfde reeden ftaan als de aangrenzende zyden AB, BC, des drie^ hoeks: en het vierkant van die zelfde lyn (BD), te famen met den rechthoek uit de gemelde ftukken (AD, DC) van de grondlyn,is gelyk aan den rechthoek van de twee overige zyden (B A, B C). voor het I. bereiding. Men verlenge A B: en zy C E |j B F.
bewys. Men betoogt eerst uit den aart det evenwydige lynen , en het IV Voorftel van het!.Bock; dat LECB= LCEB, en dus (I, Jtt.j EB — CB : waar uit het bewys volgt door het I Voorftel van dit Boek. voor het II. bereiding. Stel LD AF — L ABF: verleng lfD tot in F, en trek C F.
bewys. Men betoogt uit het gegeevene , en de bereiding A ABF^ AD AF, om dat L A R F == L C B D : en dus in de AA CDB en FDA ook LBCD 3 LAFD, of
LAF®



/. Afd. Over de Driehoeken en Parallelogrammen. r 6t
L A F B in den A A B E': en dus in de AA BFA en CBD wederom LBAF= LCD B Waaruit,door het VIII. Voorftel van dit Boek. en het 3 Gevolg van het I van het II Boek, en wederom door het VIII. van dit Boe ; de za.k beweezen wordt, !. aanmerking. Ditzalop eene andere wyze in het7Gevolg van het XII. Voorftel van het V.Boek beweezen worden. II. en gewigtige aanmerking. Fig. 150, 151. Het eerfte gedeelte van dit Voorftel is de derde Propofitie van het VI. Boek van euclides, doch het zelfde geldt ook; voor den uiterlyken hoek CBO rdan valt de lyn BD, dia den gemelde hoek CBO in twee gelyke deelen (OBD, en DBC) deelt buiten de grondlyn CA: doch niet altoos aan denzelfden kant: want indien LOBC:=2LBCA, en dus indien de ACBA gelykbeenig is, zal BD jj AC zyn, eh gevolglyk zal die lyn de grondlyn AC niet fhy« den. Indien O B C < 2 B C A, zal de lyn BD naar C B hellen zó als in Fig. 15Ö: doch naar BA zolOBO 2 BCA, 20 als in Fig.
Indien men dan in Fig. 150' CE || AB ftelt, is D A: D C=lAB:CE:maarZ.BECr: LOBE (I. 4i) en dus = LEBC: dus Cl. 11.) EC = BC:
en dus D A : D C zz A B : B C.
En indien men in Fig. 151. AE JJ CB ftelt, is DA : DC ü AE : BC: maar i AEB zz LCBQ = Z.QBO — LABE: en dus Cl, 11.) AE —B A : dus D A: D C — AB : CB.
Verder, men ftelle in Fig. 150. QA zodanig dat LQ AB = Z-BDC : dan is is ADCB ABQA; want LQBA=l.EBC: LQAB— A.BDC: dus LDCB — LB Q A: waar uit volgt (IV, 2.)
DB:BC=;BA:BQ:dus (VlI^Voórftel 5de Gev.)
L Rechth.



ï6 i IV. Hoek: Over de gelykvormigheid der figuuren.
Rechth. uit HC, P.Ar: Rechth. uit D B, B Q —:Rechth.
uit D B, D Q — O op D B (li, I Gev. 5.) maar ^OCB uADQa : dus DB:DC = DA:DQ en Rechth. uit DB, D Q = Rechth. uit D C , DA:
dus:
I, Rechth. uit B C, B A = Rechth. uit D C. D A, — □ op D B, Men ftelle in Fig. 151. QC zodat £QCB = LBDA: dus is AQCB Ab AD: waar uit volgt
D B : B A = B C : B Q en Rechth. uit B A, BC —■ Rechth. uit DB, BQ
— Rechth. uit DB, DQ— □ DB (li, 1 Gev. 5.) Maar A DAB co ADQC: en dus
DB:DA — DC : DQ en Rechth. uit DB : DQ = Rechth. uit DA.DC. li. En dus Rechth. uit B A, B C = Rechth. uit D A , D C — □ op D B.
Uit het geen hier N°. I en N°. II. beweezen is, blykt, dat het tweede lid van ons Voorftel in dit geval het volgende wordt:
„ Het verfchil tusfchen het vierkant van die lyn en den „ rechthoek der ftukken van de grondlyn, is gelyk aan „ den rechthoek der overige zyden.
Ons geheel Voorftel, zo wel op den innerlyken als op den uiterlyken hoek toegepast, wordt in den algemeenften zin het volgend.
„ Indien eene lyn eenen hoek van eenen driehoek,het s, zy eenen innerlyken het zy eenen uiterlyken, in twee „ gelyke deelen fnydt, en zo nodig verlengd zynde, de „ tegenovergeftelds zyde of grondlyn ontmoet; zullen de „ ftukken door die lyn op de grondlyn gemaakt, ïn de zelfde „ reden tot elkander ftaan als de aangrenzende zyden: en „ de fom of het verfchil van het vierkant van die lyn en „ van den rechthoek uit de gemeide ftukken van de „ grondlyn, zal gelyk zyn aan den rechthoek uit de ove.
,» n'ge



I. Afd. Over de Driehoeken en Parallelogrammen i 6$
j, rige zyden: de fom namelyk, zo de innerlyke , het verfchil zo de uiterlyke hoek gedeeld is geweest. De Heer r. simson heeft het eerste gedeelte van die eigenfchap voor den uiterlyken hoek als een belangryk byvoegfel op de derde Propofitie in het VI Boek van euclides voorgefteld, doch hy heeft niets van het tweede gemeld: (SeEt, Conicae p. 36.)
gevolg.
AD + DC of AC:AD =AB + BC: AR: dus is de grondlyn tot een der ftukken van dezelve, zö als de fom der zyden tot de zyde aan het gemelde ftuk grenzende.
X. voorstel. Fig. 154.
De lynen (CE, AF) die uit twee hoeken (C en A) van eenen driehoek (CAG) op de tegenovergeftelde zyden (AG en CG) getrokken worden, en de zelve in twee ge. 'lyke deelen fnyden, ontmoeten elkander in een flip (D) dat op twee derde gedeelten is van ieder lyn, van den top af te reekenen: en indien men uit den derden hoek (G) door dat flip (D) eene lyn (GB) op de derde zyde (CA) trekt, zal zy ook die zyde in twee gelyke deelen fnyden: zo dat de drie lynen die,uit de drie hoeken getrokken, de tegenoverftaande zyden in twee gelyke deelen fnyden , elkander in één flip, dat op twee derde:gedeelte van ieder lyn geplaatst is, ont. moeten.
voor het I. gedeelte: bereiding. Men ftelle FY [j AG bewys. Men bewyst uit het I. Voorftel van dit, en het IX van het III. Boek dat FY de helft is van EG : dus ook van A E en men gaat voort uit de gelykvormige driehoeken ADE, YDF, om te toonen dat A D = 2 D F.
voor het II gedeelte, bereiding. Men ftelle FR || CA. bewys. Men bewyst, even als in het voorgaande, dat CB = 2RF, en men gaat voort uit de gelykhoekige drie» hoeken ADB en RDF, waar uit het befluit volgt.
t 2 aak



FÖ4 IV. Boek : Oierde gelykvormigheid der Figuuren.
aanmerking. Dit Voorftel is van veel nut in de Natuurkunde, daar het dient om het zwaarte-middelpunt va* eenen driehoek te bepaakn, het welk het. ftip D zelf is.
XI. voorstel. Fig. I53.
Indien men uit twee hoeken (G, C) van eenen driehoek loodrechte lynen (G B, C E) op de tegenoverftaande zyden (CA, AG) tiekt, zullen zy zich binnen of buiten den driehoek in éénig ftip D ontmoeten, naar maat= de zyden op welke zy getrokken worden, eenen fcherpen of eenen ftom. pen hoek maaken; indien men verder uit den derden hoek (A) door dat ftip eene lyn A F op de derde zyde (C G) trekt, zal deeze ook loodrecht op die zyde ftaan. eewïs. ACBDtoACAEt^AGBA: dus CB:BD — BG:BA: of, CB :BG = BD: B A: til dus, daar de hoeken om B recht zyn, is
A ABD'to ACBG: (V. Voorftel): en du« LB AD — lDGF; LBDA = LFDG dus Z.ABD = LDFG: dus LDFG rz L.
I. gevolg.
De lynen, welke uit de drie hoeken van eenen driehoek op de tegenoverftaande zyden loodrecht getrokken worden, fnyden elkander In één ftip.
II. gevolg.
Indien de driehoek rechthoekig is, is het ftip de rechte hoek zelf.
III. gevolg.
Indien de driehoek gelykzyd'g is, hebben dit Voorftel> en het voorgaande te gelyk plaats: vermits als dan de loodlynen juist die lynen zyn, die de zyden in twee gelyke deelen fnyden.
xir.



J. Afd. Over de Driehoeken en Parallelogrammen. 16$
XI I. voorstel. Fig. 56. Indien men uit den rechten hoek (C) van eenen rechthoekigen driehoek (A B C) eene loodlyn CC D) op defchuinfche zyde (AB) hut vallen, zal deeze den geheelen driehoek in twee driehoeken (ACD, DBD) verdeelen, die onderling, en met den geheelen driehoek gelykvormig zyn.
eucl. VI. 8. — S. p. 255. pr. 8. bewys. Uit het 3 Gev. van het VII. Voordel van het IB,, en 1 Gevolg van het II Voorftel van dit Boek.
I. gevolg.
De loodlyn (CD) die op de grondlyn valt is midden - evenreedig tusfchen de ftukken van de grondlyn: dat is
AD:DC = DC:DB.
I. aanmerking Indien men het VIII. Voorftel van het II Boek, op het 5 Gevolg van het VII. Voorftel van dit Boek toepast, zal men zien dat het gemelde VHF. Voorftel met dit Gevolg overeenkomt, hoewel uit andere gronden afgeleid.
II. g e v o l g.
Ieder der rechthoekzyden (BC of AC) is midden - evenreedig tusfchen de fchuinfche zyde (A B) en het aangrenzend ftuk (B Dof AD) van dezelve» dat is
AB : AC = AC : AD AB : BC = BC : BD.
II. AANMEiiKiNG. Dit komt overeen met het s Gevolg van het VIII. Voorftel van het II. Boek, zo men het s Gevolg van het VII. Voorftel van dit Boek daar op toepast.
III. aanmerking. Uit het vorige Gevolg wordt het Voorftel van pythagoras (II, 7.) zeer gemaklyk afge. leid, door het s Gevolg van ons VII Voorftel van dit Boek t •n het 4 Gev. vau het I Voorftel van het II, Boek.
L 3 HL



ï$6 IV. Boek: Over de gelykvormigheid der Figuur
III. gevolg.
Uit het i en 2 Gevolg, gepaard met het 5 Gevolg va$ ?iet VII. Voorftel is,
O op DC = Rechih. uit AD, DB en □ op CB — Rechth. uit AB, DB: gevolglyk
O op DC : O op C8 = AD : AB. Dit is in het XIII, B. van euclides het Lemma na de ij Propofitie.
IV. aanmerking. En dus zyn DC en CB in onderverdubbelde reeden van AD en A B, bet geen men dus uitdrukt:
DC : CB = V A D : V Ali: de ouden zouden dit dus uitdrukken.' dat de magten van de lynen D C en CB tot elkander ftaan ais de lynen oj>, AD en AB.
IV. gevolg. Fig. 156.
Indien men de loodlyn CD verlengt, tot dat de zelve de lyn AF, uit A loodrecht op CA getrokken in F ontmoet, zullen AD en CD midden - evenreedigen zyn, tusfchen PE en DB :
yrant DF:AD = AD : DC en AD : DC = DC : BD: dus DF, AD, DC, BD. V. aanmerking. Indien 'er dan een middel was, om». wanneer DF en DB rechthoekig op elkander geplaatst zyn, de lynen AF» AC, CB zodanig te trekken, dat AF en AC om A in de verlenging van de lyn BD, en A C en B C om C in de verlenging van D C rechte hoeken souden maaken, zoude het beroemd vraagftuk om tiveemidden-evenredigen tusfchen twee gegeeven lynen te vinden, geometrisch opgelost zyn : doch dit is onmogelyk. tlato heeft echter een middel uitgedacht, om zulks door twee ^i.nkel-Jiaaktn wcrktuiglyk te doen: en dit middel is
Qechts



1. Afd. Over de Driehoeken en.Parallelogrammen. i&?
flechts eene toepasfing van dit gevolg: zie onze II Aanmerking op het XX. Werkftuk van het I. Boek.
V. gevolg. Indien men uit B, Bi loodrecht op AB ftelt, en uit I, IL loodrecht op ACI, zullen AB, AI, twee middenevenreedigen zyn tusfchen ACen AL: want uit het tweede Gevolg is
AC : AB — AB: AI AB : AI st AI: AL en dus ~ AC, AB, AI, AL.
VI aanmerking. Hier op fteunt een inftrument doof cartesiüs uitgedacht, om twee of meerder midden-evenreedigen tusfchen twee gegeeven lynen te trekken: ik zeg twee of meerder: want men kan met het trekken van lood. lynen op AL, en AI, op de zelfde wyze voortgaan zever men wil, en 'er zullen altoos gelykvormige driehoeken ontftaan.
XIII. voorstel. Fig. 70.
Gelykvormige driehoeken ftaan tot elkander in de zelfde reeden als de vierkanten hunner eveneensftaande zyden; of, in andere woorden , zy zyn in verdubbelde reeden hunner eveneensftaande zyden.
eucl. VI. 19. — S. p. 26c. pr. 14,
bereiding. Men ftelle dat BG en EH de hoogte der
driehoeken ABC en DEF zyn.
bewys. Uit het VII. Voorftel, en het 2 Gevolg van het II: of zonder bereiding, uit het 2 Gevolg van het Vil. Voorftel, he| II. Voorftel van dit B., en het 2 Gevolg van het XI. Voorftel van het III. Boek. aanmerking. Fig. 25. Wy hebben in het III. Boek, Aanm. op de 17 Bep. gezegd, dat die uitdrukking verdubbelde reede in den eerften opflag by euclides eene andere beteekenis fchynt te hebben dan by ons: en wy hebben (Aanm, op III, 14.) getoond, hoe beide die beteeL 4 te^



i68 IV. Boel: Over ie gelylvormiglieid der Figuuren.
kenisfen echter in de dand overéénkomen. Volgens de betekenis door euclides aan het woord verdubbelde reeden gegeeven, moet men bewyzen, dat indien bh, derdeevenreedige is aan ba, en d e, men hebben zal ABACï A d e f — a b : b h: en dat bewys gaat aldus voort t bc : ba — fe : de» dus bc : fe = ba: de maar b a : d e= d e : b h dus bc: fe s= de; bh: • waarom , uit het 4 Gevolg van het VII. Voorftel
abhc=a.def: • doch abca : a^hc = ab : bh (iv, 6) dus abca : adef=AB : BH.
II. AFDEEL! NG.
over de gel.ykvormige veelhoeken» XIV. voorstel. Fig. 71.
Indien veelhoeken (M en N) die uit een gelyk getal zyden beftaan , door diagonaalen , (AC, AD^ FH, fi) uit eenen der hoeken, (A en f) naar de andere hoeken getrokken, in driehoeken (13AC, cad, DAE en gfh, hfi, ifk) gedeeld worden ; zullen die veelhoeken gelykvormig zyn, zo de driehoeken twee aan twee en in hunnen rang genomen, gelykvormig zyn (namelyk a.BAC aGFH,, acad ^ ahfi; ad AF ^ AlFK. S. p. 26. pr. 15. en Gevolg. ümvys. Uit de gelykheid der hoeken in de driehoeken, wordt de gelykheid der eveneens geplaatfte hoeken in de beide veelhoeken beweezen: dat het eerfte is.
Uit de evenreedigheid der zyden in de driehoeken, Wrtrdt de evenreed'gheil der evencensffaande zyden in de veelhoeken af-elciJ.- dit het tweede i&. aam-



IL Ajd. Over de gelyhormige Veelhoeken. 169
aanmerking. Dit moest beweezen worden om aan te toonen, dat 'er gelykvormige veelhoeken zyn kunnen; en hoe men dezelven befchryven kan. Zie het 29 Werkftuk van het III. Boek.
gevolg.
Wanneer twee driehoeken gelykvormig zyn, zullen de parallelogrammen welke voor diagonaalen eene der zyden van die driehoeken hebben , en dus het dubbeld van die driehoeken zyn, ook gelykvormig zyn: en dus heeft al wat van de gelykvormige of gelykhoekige driehoeken beweezen is, ook voor de gelykvormige parallelogrammen plaats.
XV. voorstel. Fig. 71.
Gelykvormige veelhoeken (M en N_) worden door diagonaalen, als deeze op eene gelykvormige wyze getrokken zyn, in gelykvormige driehoeken gedeeld: en de inhouden dier veelhoeken zyn tot elkander als vierkanten op hunne eveneensftaande zyden , of in de verdubbelde reeden van die zyden. eucl. VI, 20 — S. p. 264. pr. i<5. bewys. voor het I. Uit het IV. Vojrftel.
voor het II. Uit de befchouwing dat de veelhoeken tot elkander ftaan als de fommen hunner driehoeken: dat deeze driehoeken tot elkander ftaan als de vierkanten hun eveneensftaande zyden ; en dus als die der eveneensftaande zyden van de veelhoeken : waar uit het Voorftel volgt door het XII. Voorftel van het III. Boek. aanmerking. Men kan thans het 30, 31, 32, 33, 34. Werkftuk van het III. Boek opiosfen.
I. gevolg.
Zo vier lynen evenreedig zyn, ftaan de vierkanten op dezelve befchreeven in verdubbelde reeden dier lynen: en gevolglyk komt iu't geometrisch vierkant overeen met de ver» L 5 dub.



j 70 IV. Boek: Over de gelykvormigheid der Figuuren.
drbbela reeden: en men kan de arithmetifche quidraaten, of tweede magten der getalen, welke de lengte van eenige lynen uitdrukken , in plaats der geometrifche vierkanten gebruiken. Zie III. Boek XVII Bepaaling: en hier boven VII. Voordel, het 8 Gevolg Ns. r. en N°. 3.
k enig Op eucl, VI, 20.
IL GEVOLG.
Uit dit Voorftel, op parallelogrammen toegepast, en vergeleeken met de IX. Aanmerking op het VII. Voorftel,blykt, in welken zin euclides gezegd heeft, in de XVIII. propofitie van zyn VIII Boek, dat „ gelykvormige vlakke geta„ len tot elkander ftaan in verdubbelde reeden van de „ eveneensttaande zyden, en (pr. XXVI.) dat zy tot elkan„ der ftaan als een quadraat - getal tot een quadraat-getal."
III. GEVOLG.
Zo drie lynen geduurig evenreedig; zyn, flaat de Figuur op de eerfte tot de gelykvormige Figuur op de tweede, zo als de eerfte lyn tot de derde lyn, (XIV. Voorftel van het III. Boek.)
TACQUET Op euclides VI, 20 Cor. 2.
XVI. voorstel. Zo vier lynen evenreedig zyn, zullen de gelykvormige en eveneens geplaatfte figuuren op de eerfte en twee.ie lyn, in de zelfde reeden zyn als de gelykvormige en eveneens geplaatfte figuuren op de derde en vierde: — en omgekeerd: — Zotwee gelykvormige figuuren in dezelfde reden zyn als twee andere'gelykvormige figuuren, zullen de eveneens geplaatfte lynen op welke deeze figuuren gefield zyn, evenreedig zyn.
eucl. VI, 22. — St. p. 266. pr. 18. I. bewys. Volgens euclides: A, B, C, D, zyn de vier lynen.
vcoa



II. Afd. Over de gelykvormige Veelhoeken. 171
voor het L gedeelte. eeheidixg. Stel b derde evenree-» dige aan A en B : en d derde evenreedige aan C en D. bewys. A : B = B : b~\ C r D = D , dj A : B — C D dus B : b = D : d en A : C = b : d of A : b zz C : d Maar Fig. op A; Fig. op B zz A : b"\ XV. Voorft. Fig. op C : Fig. op D — C : df GeV' 3' dus Fig. op A : Fig. op B = Fig. 'op C: Fig. op D. voor het II. bereiding. Stel A : B = C : d.
bewys. Q opA: □ op B = □ op C: □ op d: door het I en OopAtö opB = aopC: □ op D XV. Voorft. dus □ op d — □ op D en d — D. dus A : B — C : D. aanmerking. Dit Bewys van euclides , dat wy voor het tweede gedeelte wat eenvoudiger voorgefleld hebben, is zeer fraai, en ten vollen geometrisch, p. bewys. voor hetI. Uit het XV Voorftel, deszelfs 1 Gevolg, en het 1 Gev. van hetX. Voorftel van het Hl. B.
voor het IL Uit het 1 Gevolg van het X. Voorftel van het III. Boek: ». Gevolg van het XV, van dit Boek.
XVII. voorstee. Fig. 73. %
Alle regelmaatige veelhoeken, die uit een evengroot getal zyden beftaan, zyn gelykvormig aan elkander; en hunne inhouden zyn als de vierkanten der eveneensftaande zyden , of der ftraalen, of der loodlynen, of in verdubbelde reeden dier zyden, ftraalen of loodlynen.
bewys. voou het I. Üit het XIV Voorftel; e» den aart
der gelykvormige veelhoeken, voon hlt II. Uit het XV en XIII. Voorftel.
oi.



172 IV. Boek: Over de gelykvormigheid der Figuuren»
gevolg. Fig. 144, 145, 147. Dus zyn de veelhoeken waar van wy in het XV, en XVI, Voorftel van het II Boek gewag gemaakt hebben, gelykvor, mig aan de veelhoeken in welke zy ftaan:en in het geval va» het XVIII, Voorftel, (Fig 147; zal de veelhoek EFGIL, in omtrek en in inhoud de kleinfte zyn die hy zyn kan , wanneer de ftippen E, F, G, I, L, op het midden der zyden AD, DC, CB, BO, O A ftaan: want dan is de llraa 1 OE loodrecht op AD, en dus de kortfte lyn.
XVIII. voorstel. Fig. 73.
De omtrekken der regelmatige veelhoeken, die uit een gelyk getal zyden beftaan, maar op ongelyke lynen befchreeven zyn, ftaan tot elkander zo als hunne, ftraalen, of loodlynen.
bewys. Uit den aart der veelhoeken; namelyk uit het
Gevolg van de 6 Bepaling van het IIBoek, en II Voorftel
van dit Boek.
cevolg.
In alle regelmaatige veelhoeken, die uit het zelfde getal zyden beftaan, is de reeden van den omtrek tot de loodlyn, of tot den ftraal beftendig de zelfde.
XIX. voorstel. Verfchillende regelmatige veelhoeken ftaan tot elkander in famengeftelde reed-.n hunner omtrekken en loodlynen. bewys. Uit het XVII Voorftel van het II B. en uit het Vil. Voorftel van dit Boek.
I. gevolg.
Dus, indien de omtrekken gelyk zyn, zyn de inhouden zo als de loodlynen: en indien de inhouden gelyk zyn, ftaan de omtrekken in omgekeerde reeden der loodiynm , (III. Axioma IV: en III, 5 )
II. gevolg.
Indien^useengelykzydige driehoek ,een vierkant,en een
re-



II. Afd. Over de gelykvormige Veelhoeken. 173
rege'matige zeshoek denzelfden omtrek hebben , is de inhoud van den zeshoek grooter dan die van het vierkant, en die van het vierkant grooter dan die van den driehoek.
BEwrs. Fig. 144.. De loodlyn CX in den zeshoek PQRSTU = VCIV— RX1 —VRS<-ïH$> —
_ 4 0 4 4 X36 —
O X 1^— , indien O den omtrek aanduidt. 48
De loodlyn in het vierkant is de helft van de zyde, dus
hier — O AT dus kleiner dan voor den zeshoek. 8 64 In den gelykzydigen driehoek DAF, is de loodlyn
CX=|AX (XI.Voorftel, 3 Gev.) = |VAf1—FX?^= f V AFj-j AF— iA F V\ — AF A's —
af yi = ioy!=o y~=0y~
dus kleiner dan voor het vierkant. \
III. GEVOLG.
En dus indien de inhouden van eenen regelmatigen zes. hoek, een vierkant, en eenen gelykzydigen driehoek gelyk zyn, heeft de zeshoek eenen kleineren omtrek dan het vierkant ; het vierkant, dan de driehoe'k. aanmerking. De Byen, die aan haare celletjes eene zeskantige gedaante geevea, gebruiken dus van die figuuren, in welke geen tusfcbenruimte verlooren wordt, die, welke den grootften inhoud onder den zelfden omtrek bezit, of die den zelfden inhoud met den kleinften omtrek, en dus met de geringde hoeveelheid ftoffe, daar ftelt. Zie la chaïelle Injïitutms de GsometrieT. II p. 217 — 233.



1^4 Boek: Over de gelykvohn'tgheU der Figuurên*
XX, VOORSTEL. Fig. J2.
In alle rechthoekige driehoeken is de figüur op da fchuinfche zyde gelyk aan de fom der beide gelykvormige figuuren die op de rechthoekzyden Haan.
eucl. VI. 31. S. p. 280. pr. 30. en Gev.
bewys. Uit het XV. Voorftel 111, 8: het XV. Voorftel: III, 11: II, 7: en III, 9: * I. aanmerking. Het Voorftel van pythagoras (II. Boe!: VII. Voorftel) is Hechts een byzonder geval van dit Voorftel: ook hangen zy beiden van eene meer algemeene eigenfehap der driehoeken af, zo als wy dit reeds in de Aanmerking op het VII. Voorftel van het II. Boek gezegd hebben.
I. aanmerking. Men kan thans het 35 Werkftuk van het
II, Boek oplosfen.
XXI. VOORSTEL* Fig. I54>
Indien men in eenen regelmatigen vyfhoek, uit de twee einden (II, K) van eene der zyden (KH), rechte lynen. (H d, K E) naar het eind der aangrenzende zyden (K#C, H Ë) trekt: zullen i". deeze den veelhoek verdeden in êene ruit (pBEx), in twee gelykbeenige driehoeken (KxC, HiE) wier beenen gelyk zyn aan de zyden van den vyfhoek, en in «enen derden gelykbeeoigen driehoek (KxH) wiens grond' lyn de gebruikte zyde des vyfhoeks is: verder 2°. zullen de twee gemelde lynen (H 6r, K E) elkander in uiterfte en middelfte reeden fnyden, en haar grootfte ftuk is gelyk aan de zyde van den vyfhoek. 30. indien men uit iederen hoek lynen naar alle de overige hoeken trekt, zal ieder dier diagonalen zodanig door twee anderen gefneeden worden, dat het grootfte ftuk door dé" eerfte deezer afgefneeden , weder door de tweede in uiterfte en middelfte reeden gefneeden wordt, zullende het kleinfte ftuk het middelftuk der twee fnydingen zyn: en 40. zullen deeze lynen door haire ontmoeting binnen den vyfhoek, en om het zelfde middelpunt



ÏI. AfJ. Over de gelykvormige Veelhoeken. 175
punt eenen nieuwen vyfhoek maaken, die dan den gegeevenen gelykvormig, doch ten zynen opzichte omgekeerd geplaatst is, en wiens zyde tot die van den gegeeven veelhoek ftaat » zo als het kleinfte ftuk van de gefneeden geheele -lyn tot die geheele lyn.
eucl. XIII. 8. voor het tweede gedeelte.
ïewys. voor het I.
LKHE = 6^ (II, n. het 1 Gev) dus LKHG= | R:dus L GtHE = ~ R :
en L6-HE + LB EH zz — = 2 R •
' j 5 gevolglyk Cl, 4-) G-H || B E. op de zelfde wyze KE || (*B : dus is G-BEr eene ruit (1. bep. 13) en de zyden <&B, BE, Ex, xS, zyn gelyk aan elkander: dus zyn de AA9iK, en ê X H gelykbeenig en onderling gelyk: dus ook KxzzHx: en dus is ook AHïK gelykbeenig.
voorhrt,!!. In de a a K*H en KEH is de Z.HKE gemeen: LKH*=: Z.KEH: L K x H = L KliE: en dus (II. Voorft.) K E : E H = K H: H x of KE:Ex = Ex : Kx: en insgelyks HG.: xGl = i&: Ux. Dus fnyden de lynen H G>en E K elkander in uiterfte en middelfte reeden. (2. bepaling.) voor het III. HG-: xG = xG : Ux dus (III. 8.) Hfr-sfr: xd= xO—Ux: Ux of
H* : i&-= 1CK-31G: Hx of
Hx : .xG = xy : Ux
due



176 IF.Boek: Over de gelykvormigheid derFiguunn.
dus
Ux ; xy = xG-: llx = HG: xG> of
HG : xG = xG:Hx of Gy en dus, daar H& in uiterfte en middelfte reeden gefneeden is in x, is xG het ook in y. (IV, 7: de 8 Aaim.).
voob het IV. Dat de vyfhoek OÏSvxy regelmatig is, blykt uit de gelykheid der driehoeken OBN, NEw, *Hx, xKy, yöo. en dus is dezelve aan den gegeeven veelhoek gelykvormig. (XVI. Voorftel.)
Dat het middelpunt hèt zelfde is voor beiden blykt hier uit, dat de lynen die uit B en G loodrecht op H K en E H zouden getrokken worden, door het middelpunt van den gegeeven veelhoek gaan: en dat dezelven ook loodrecht op O N, y O, en door x en v gaan zouden, en dus door het middelpunt van den nieuwen veelhoek. Verder: A OBN AKBH: dus ON : KH == OB : BH. L aanmerking. Alle de eigenfchappen in dit Voorftel vermeld , zyn den vyfhoek alléén eigen, uitgezonderd deeze, dat de diagonaalen door haar onderlinge ontmoeting eenen nieuwen gelykvormigen veelhoek zullen maaken; dit is aan alle de regelmatige veelhoeken, van den vyfhoek te beginnen, eigen, doch met eenige byzonderheden, waarvan wy in het XXVIII Voorftel van het VI. Boek, handelen zullen.
II. aanmerking. Indien men wederom den nieuwen vyfhoek op de zelfde wyze verdeeld, zal 'er een nieuwe vyfhoek ontftaan, op wien alle de gemelde eigenfchappen toepaslyk zyn.
VYF-



ï 77
Vyfde boek,
over den cirkel, bepaalingen; ,1. Fig- 33-
Men noemt Choofde, Spantyn, of Pees van een' cirkelboog eene lyn (BE, BD, AF) die,in den Cirkel getrokken, den omtrek wederzyds raakt, en dus eehigen boog (by voorb. BDE) befpant. Indien eene dergelyke choorde door het middelpunt gaat, draagt zy den naam van middellyn, of diameter, befpant wederzyds deti halven cirkel ; en deelt dus den , cirkel in twee gelyke deelen.
eucl. I. d. 17. — W. g. 5. i4' — St. p. 89. d. 1.
I. GEVOLG.
Eene Choorde , Span'lyn, of Pees befpant altoos, of wederzyds den halven cirkel, zo zy door bet middelpunt gaat, en dus middellyn is; of aan den eenen kant eenen boog (BDE) die* kleiner, en aan den anderen kant eenen boög B AI FE die grooter is dan de halve cirkel: zo dat de beide boogen te famen den geheelen omtrek uitmaaken.
II. GEVOLG. Fig. 43.
indien eene choorde (AE) door het middelpunt gaat, en gevolglyk middellyn is, óf den balven cirkel (ADE) befpant, kan men uit eenig ftip (D) Van dien halven omtrek naar de uiteinden (Een A) van de middellyn choorden trekken (D E, D A) die ieder eenen boog (D E, D A) zullen befpannen; en daar deeze boogen altoos te faamen eenen halven omtrek uitmaaM ken,



178 V. Boek: Cv er den Cirkel
ken, noemt men den eenen het fupplemera van den anderen,dat is;het aanvul/el om den halven cirkel uit te maaken: dus is de boog D E het fupplement van den boog DA, en omgekeerd: waar van in het VIII Boek nader.
1% Fig- 33Men noemt Cirkelfluk of Segment (B D E) een gedeelte van den cirkel binnen den omtrek van een' boog (BDE) en de choorde (BE), die denzelven befpant, begreepen.
eucl. I. d. 18, 19: S. p. 103, d. 5. p. 104.. d. 8.
III.
Men zegt dat een hoek in een Cirkelfiuk (BDE) geplaatst is, als zyn top (D) in den boog is, en zyne beenen (DB, DE) tot de uiterften (B, E) van de choorde die het ftuk beperkt, komen. eucl. III. d. 7. — S. p. 103. d. 6, 7.
IV.
Een hoek wordt gezegd op eenen boog te ftaan, wanneer zyne beenen tot de uiteinden van dien boog raaken: en hy wordt een hoek in het middelpunt of in den omtrek genoemd naar maate de top C of D van den hoek (BCE, of BDE) in het middelpunt (C) of in den omtrek in (D) ftaat.
eucl. III. d. 8. — S. p. 103. d. 6.
gevolg. Fig. 88.
Een hoek (E B F) in den omtrek, en die dus in een cirkelftuk (EBF) geplaatst is (bep. III), rust altoos op den boog (EAF) die met den boog van het cirkelftuk daar de hoek in tftaat den geheelen omtrek uitmaakt.
Die



Ëepaalingcn. i ■m
Die boog ËAF is dan kleiner, even groot, of grooter dan de halve omtrek, naar maate het cirkelfiuk daar de hoek in ftaat grooter, even groot, of kleiner is dan de halve cirkel.
v- F'g- 33-
Men noemt feclor een ftuk dat tusfchen twee ftraalen (radii) BC, CE, en eenen boog (BDE), tot •wiens uiterften de ftraalen komen, begreepen is. ïucl. III. d. 9. — St. p. 104. d. 9. aanmerking. Er is dus dit verfchil tusfchen een fegmertfi of cirkelfiuk, en eenen feclor, dat het fegment door eenen boog en eene lyn, de choorde namelyk, doch de /eSsr1 door eenen boog en twee lynen, maar die door het middelpunt gaan , gevormd wordt. Gevolg'yk behoort de halve cirkel te geiyk tot de fegmenten en de ftcloren. VI.
Men noemt raaklyn of tangent van den cirkel, eenê lyn (HFK) dien den cirkel raakt, doch, verlengd zynde, niet fnydt.
eucl. III, d. 1. St. p. 101. d. 4.
aanmerking. Zoude 'er uit deeze bepaaling niet recht-' ftreeks volgen, dat eéne raaklyn den cirkel maar in één ftip raakt ? doch 'er moet beweezen worden, dat 'er lynen kunnen zyn, die den cirkel in één ftip raaken, en denzelven, hoe zjr ook verlengd worden, niet fnyden: het geen wy in ons VII. Voorlid doen zullen.
VU. Fig. 34. Men zegt dat twee cirkels elkander raaken, wan* neer zy elkander raakende zich niet fnyden. De aanraaking gefchied of uiterlyk, zo de eene geheel buiten den anderen valt, of innerlyk, zo de eene geheel binnen den anderen valt.
xua. III. d. 3. —— S. p. 89. d. 2.
M a AXIO-



i3o V. Bock: Over dén Cirkel.
AXIOMATA.
O F
ALGEMEENE KUNDIGHEDEN.
i.
Cirkels, die met gelyke ftraalen getrokken zyn, zyn gelyk.
EUCL. iii. ax. i.
II.
De middellyn is het dubbeld van den ftraal of radius.
III.
Indien uit het middelpunt naar eenig ftip eene rechte lyn getrokken wordt die korter is dan de radïus of ftraal, valt dat ftip binnen den cirkel, zo als Ook de geheele lyn: byv. C F fig. 34.
I. AFDEELING,
over de lynen die in of tot den cirkel getrokken worden.
I. voorstel. Fig. 35-,
Indien men in den omtrek van den cirkel twee flippen neemt (A, JB), en dezelven door eene rechte lyn (AB_) vereenigt, zal die lyn geheel binnen den cirkel vallen. eucl. iii, 1.
bsreiding. Trek op die lyn uit het middelpunt eenige JynCD.
BEWYS.



I. Jfd. Over lynen in of tot den Cirkel getrokken, 121
bewys. Uit het 2 ged. van het XVI, uit'het XI. en het XIV. Voorftel van het I. B. en het III. Axioma van dit Boek.
II. VOORSTEL. Fig. 77.
Wanneer drie ftippen (A, B,D) niet in ééne rechte lyn zyn, ftaan dezelven altoos in den omtrek van eenen cirkel: of, in andere woorden, men kan altoos eenen cirkel trekken wiens omtrek door die ftippen gaan zal. bereiding. Trek BD, BA, AD: ftel dat BD, en AD in twee gelyke deelen gedeeld zyn in K en L: en dat K C, cn LC die loodrecht op B D en AD ftaan, elkander in C ontmoeten : trek CB, CD, CA: men moet bewyzen, dat CB, CD, CA onderling gelyk, en dus ftraalen zyn van eenen cirkel, wiens middelpunt C is. ie vvs. Dat C B — CD en C D = C A is, volgt uit het VIII. Voorftel van het I. Boek.
GEVOLG.
De voorgaande bereiding en het bewys leveren deeze ei. genfehap der driehoeken op :
De loodlynen, welke uit het midden der zyden van eenen driehoek op dezelven getrokken kunnen worden, komen allen in één ftip, het zy binnen het zy buiten den driehoek, te te famen:en de lynen, uit het zelve naar de hoeken van den dtiehoek getogen, zyn gelyk.
Hier uit volgt wederom , dat, zo de driehoek gelykzydfj is, die loodlynen door de toppen van de overftaande heeken zullen gaan,en die hoeken in twee gelyke deelen fnyden (I 11 ,"het 4 Gev.) en daardoor wordt bet ftip van fnyding of veréénigi"g in dat geval het middelpunt van den driehoek geoemd, en het ftaat van den top af op twee derde gedeelten van ieder loodlyn. Zie IV, 11. het3 Gevolg, en IV, 10, aanmerking. Men zie in het X Werkftuk van het IV Boek de manier om eenen cirkel door drie gegeeven flippen te trekken,
M 3 IIL



ï8a V. Boek: Over den Cirkel
III. voorstel. Fig. 41.
Een hoek (GEF) in het middelpunt is dubbel van denhoek (GIF) in den omtrek,'die op den zelfden boog (G F) ftaat.
eucudes III. 20. —~w. 5. 112. 113. — Sp.IC4.
pr. 10.
bereiding. Men trekt uit den top I, de middellyn IE L. 1 «ewys. Uit I, 11 en 7 , op den driehoek IEG en dan, wederom op den driehoek I EF toegepast. ?den neemt vervolgens de fom of het verfchil der hoeken LEF en LEG, LIF en LIG naar niaate de lyn IL binnen o£buiten den hoek FEG valt.
I. CE VOLG.
De fom of het verfchil van twee hoeken in den ora-. trek is de helft van de fom of het verfchil van twee hoeken in het middelpunt, die op de zelfde bogen mten*
II gevolg. Fig. 88. De fom der hoeken (EAF en EB F,) die, in den. omtrek,op bogen rusten welke te famen den geheelen omtrek uitmaak en, zyn gelyk aan twee rechte hoeken:: en de fom der hoeken , welke op bogen rusten die te famen den halven omtrek uitmaaken, zyn gelyk a3.11 éénen rechten hoek; en omgekeerd.
III. gevolg.
Alle hoeken in den omtrek, die op den zelfden boog rusten, zyn gelyk,
eucl. III. 21. —W.§. 114. S. p. 106. pr. n
IV. voorstel.. Fig. 36.
In den zelfden cirkel, of in gelyke cirkels, rusten gelyke hoeken, het zy allen in hetmiddelpunt,(DCB,
BCA)



I.Jfd.Over lynen in of tot den Cirkel getrokken. 183
BCA) het zy allen in den omtrek, op gelyke bogen DHB, BIA): en omgekeerd.
eucl. EI. 26. 27 W. 5. 114.
bereiding. Men trelit de choorden DB, BA. bewts. voor het I. Uit het VIII Voorftel van het IBoek volgt BD~ BA: en dus, vermits A op D valt, indien B op B en AB langs BD geplaats wordt, zullen, ook.weegens de gelykheid der ftraalen, de bogen DUB en B 1 A op elkander vallen en gelyk zyn. vooa het II. Uit het ongerymde, door het I. I. gevolg.
Een hoek, of in den omtrek, of in het middelpunt» die op een'dubbelen, driedubbelen boog enz. ftaat, is dubbeld, 'driedubbeld enz. van den hoek die in den zelfden of in eenen gelyken cirkel, het zy in den omtrek, het zy in het middelpunt op den enkelen boog ftaat; en omgekeerd.
II. gevolg.
In den zelfden cirkel ftaat de grootfte hoek, het zy in het middelpunt, het zy in den omtrek, op den grootften boog.
III. gevolg.
De hoek, die in het middelpunt recht is, rust op eenen boog die het vierde gedeelte is van den omtrek des cirkels.
IV. gevolg.
De bogen,die tusfchen evenwydige choorden begreepen zyn, zyn gelyk en omgekeerd: (uit 1,4: en dit voorftel.)
V. gevolg.
Uit het bewys van ons voorftel blykt, dat, war> M 4 aeeï



iS \ V. Boek:- Over den Cirkel
neer in céncn en tien zelfden cirkel twee choorden ge* lyk zyn , de bogen welke zy befpanrten ©Ök gelyk zyn : en het omgekeerde volgt even getnakh k.
eucl. 28,, 29: —- S. p. 10 pr. 16. — VV. § 122,
I. aanmlhkin5. Op dit Gevolg rust het bewys der oplosfing van het VIII Werkftuk in het IV Boek, en op het UI Gevolg die van het' VIII en IX.
VI. gevolg.
Ook volgt hieruit, dat de choorde van. een grooter boog grooter is dan die van een kleiner boog.
II. aanmerking. Men kan het IX Werkftuk van hei;
III. Botk oplosten.
V. voorstel. Fig. 42.
1 Een hoek (ABD) j» den halven cirkel geplaatst is ïeclït *. een hoek (AGB) die ia een kleiner ciik.1Ituk ftaat is grooter dan recht: een hoek (BAD) die in een grooter cirkelfiuk ftaat is kleiner dan recht, eucl. UI. 31. — w. g. § 115. 116—-S p. 112. pr. 18. bereiding voor het I. Zy F G E een middellyn loodrecht ' op de middellyn AD: trek AF, FD: voor, het II, ' trek GD,, '3ewys. Men bewyst 1° uit I, 11, dat de LL AFC en CFD ieder half recht zyn: en. dus uit het 3 Gev. van het III Voorftel dat L A B D = L A Y D =r I. is.
2" Om dat /. A G B V L A G D , en alle hoeken die op - AEB rusten gelyk zyn aan LAGB:
3° Om dat L B A D "v L A B I): en alle hoeken, zo sis 3? GD, die op BD.rusten gelyk zyn aan 4.BAD. I. aanmerking. Het blykt.uit het gevolg van de IV be, ■ paaling, dat men dit voorftel aldus zoude kunnen uitdrukken,
„ Een hoek in den omtrek is recb r,pf kleiner, of grooter dan recht, raar rnaate hy ftaa; op den halven omtrek, of op eenen boog die kleiner,of op eenen boog die greo» ter cran de hnh-e omtrek is.
rtt)vS ' 4 fel Vk



f. Afd. Over lynen in of tot den Cirkel getrokken. 185
II. aanmerking. Het bewys van het eerfte lid wordt 5ernaklyker, met de middellyn AD te befchouwen als befpannende den halven omtrek, tn dus de fom der bogen AE en ED, of hier bet'dubjbeld van den hoog AE, en du-s met den hoek A CF, die recht is,te befchouwen als de helft van den hoek die de lynen A C en CD maaken : waar uit door het III Voorftel L A B D = L A CE = L
III. aanmerking. Door het I gedeelte bewerkt men de 2 oplosfing van het 4. werkftuk in het I Boek.- Men kan thans ook oplosftn: bet 5, 6, 8, 26, 27 Werkftuk van het III Boek: het 1 (2 oplosfing) van het IV Boek: die alle vooronderftellen dat men weet dat de hoek in den hal ven cirkel recht is,
I. GEVOLG, Fig. I57.
Indien men van de uiteinden A, en B van de middellyn raar twee of meerder ftippen (ü en E) in den omtrek lynen (AD en DB, AE en EB) trekt, zullen de fommen der vierkanten op de-lynen naar het zelfde ftip getogen altoos onderling gelyk zyn (II, 7) naamelyk
□ op AD □ op D B = □ op A E -t- □ op E B: «n het zelfde beeft plaats aj worden de lynen niet van de xiiteinden der middellyn, maar uit twee ftippen (I, K) op. dezelve op gelyke afftanden van het middelpunt getrokken (II, p, het 2de gevolg en de gelykheid der ftraalen;) dat is
P op ID + Dop KD zQ op IE +QopKE simpson Ekm. of Geom. III. B. pr. 20.
II. GEVOLG. Fig. 1J7. Daar alle de driehoeken in den halven cirkel rechthoekig zyn , volgt het dat in dezelven al wat wy in het VlII Voorftel van het II Boek en deszelfs gevolgen, zo als pok in het XII 'Voorftel van' het IV Boek en deszelfs gevolgen gezegd hebben, insglyks plaats heeft: en'dus indien B O en È P loodrecht zyn op de middellyn is □ op A D — rechth. uit A B en A O P op AE zz rechth. uit AB en AP
M 5 'dus



ig6 V. Bock: Over den Cirkel
dus (III Axioma I en IV.)
□ o;» AD: □ op AE zz AO: AP, dat is de vierkantten der choorden zyn in de zelfde reeden als de ftukken van de middellyn uit wier uiteinden zy getrokken worden. Viviani, Divinatio de locis folidis pr. 9.
; VI. vookstel. Fig. 37.
Indien eene middellyn (B K) eene choorde (L H) irt twee gelyke deelen fnydt, fnydt zy dezelve loodrecht; en omgekeerd: zo eene middellyn loodrecht op eene choorde ftaat, fnydt zy dezelve en den befpanden boog in twee gelyke deelen. Doch twee choorden (BF, AE) kunnen elkander nimmer zodanig fnyden , dat zy daar door beiden in twee gelyke deelen verdeeld zyn.
eucl. IIL 3,4: — W. 5. 125 — St. p. 91. pr. I
p. 92, 2 Gevolg.
bereiding voor het I. gedeelte ■' trek LC, HC: —
voor het II. trek C G.
be'.vys voor het I. uit I, ii en 8. of uit I, IO ■ ' Voor het omgekeerde uit I, i r en 8 of uit 1, 11 het 6
Gevolg
voor het ii gedeelte uit deongerymdheid daar men in vervalt met het tegendeel te ftellen: want dan moest door hes eerfte gedeelte zo wel L-AGCals L BGC recht zyn, dat onmogelyk is.
gevolg.
Zo eene choorde op eene andere choorde loodrecht valt, en haar tevens in twee gelyke deelen fnydt, gaat zy door het middelpunt, en is eene middellyn.
aanmerking. Door dit Voorftel lost men het I, (i op.
losflng) het 2 en 10 werkftak van het IV Boek op.
VII. voorstel. Fig. 33.
Eene rechte lyn BD, die loodrecht ftaat op het
eind



I. Af 11. Over Jyntn in of tot den Cirkel getrokken. 187
eind van de middellyn, valt geheel buiten den cirkel, en raakt den cirkel in dateenig ftip, het uiteinde namelyk (B) van de middellyn; zo dat er uit dat ftip tusfchen die raaklyn (BD) en den omtrek geen lyn getrokken kan worden die den cirkel niet fnydt.
eucl. UI. 16: S. p 101. pr. p.
{ewys. Voor het I uit het ongerymde. Men trekt namelyk uit het middelpunt de lyn CD tot het flip D waar in men ftelt dat de lyn B D ook den omtrek raakt en dat dus tot den omtrek behoort, zo dat CD een ftraal zoude zyn: de ongerymdheid volgt uit het X.IV Voorftel van het I Boek.
I. GEVOLG.
Eene lyn , die den cirkel raakt, raakt denzelvenin cén eenig ftip.
S. p. 102: het 1 Gev.
I. aanmerking. Men kan thans het n , 12, 13, 14, 15 en 16 Werkftuk van het IV Boek oplosfen.
II. aanmerking. Fig. 43. De boog HA heeft eene heeling op den tangent of op de raaklyn AB, en men kan die helling van HA op AB eenen hoek noemen, waar van net eene been eéne rechte lyn, het ander een cirkel boog is: doch de helling van eenen cirkel boog op eene rechte lyn is geheel anders dan die van eene rechte lyn op eene rechte lyn; en dus kunnen die twee hoeken. indien men zich by het eenvoudig en oorfpronkelyk denkbeeld van eene helling houdt, niet met elkander vergeleken worden. Wanneer men zegt dat de hoek tusfchen de boog DHA en de lyn AB kleiner is dan eenige rechtlynige hoek tusfchen BA, en eene tweede lyn uit het flip A getrokken, vergelykt men niet de enkele helling doch de ruimte die dergelyke hoeken bevatten: dus is het waar, en klaarblykelyk, dat in Fig. 162 de krom-
x lymge driehoeken GIE, GIL, kleiner zyn dan de recht, lynige GIE, GiL: dcch wy hebben reeds te voren gezegd



j88 V. Boek: Over den Cirkel
zegd dat het denkbeeld van ruimte tot dat van eenen hoek niet behoort: 2de Aamn, op de 6 Bepaaling van het-eerfte. Bock. Men heeft zeer veel over den aart van dien hoek door eene rechte lyn met eenen cirkel-boog gevormd, getwist: waar over men kan nazien clavius en tacquet op. euclides III, 16 en wallis Opera Mathematica, T. II. p 605. II. aanmerking. Fig. 158. Ket is misfchien met niet meerder naauwkeurigheid dat men rechtlynigen hoeken met hoeken uit twee cirkel bogen beftaande vergelykt: men zegt byv. dat indien twee gelyke cirkels BAFD, tn BKD E G elkander fnyden, t n men uit één der fnydings " Hippen B de raaklyn BF aan eenen der cirkels trekt, en dan in denzelven den boog BK DEG gelyk aan den boog T> A F disn de gemelde raaklyn van den anderen cirkel afIrjy.dt n.erat, en eindelyk de choorde BE trekt, dat dan de kromlynige hoek FABKD gelyk is aan den recht. Jynigen hoek FBG: want zegt men de gemelde kromlynige hoek
FABKD ZZ FAB FBKD. Maar FAB — BKDEG: dus FABKD ZZ BKDEG -+• FBKD=LFBG: ■
doch het blykt, naar ons inzien, duidelyk, dat mtn dan riet, zo als behoorde, de enkele helling van den .011,trek of boog FAB op den boog BKD vergelykt met de helling \an de lyn FBop de lynGB: maai ftilzwygend de ruimte door de bogen FAB en BKD bevat met de ruimte tusfchende rechte lynen B G, BF en de bogen FD , DEG begreepen. Het is ook wel waar dat indien men uit B de raaklyn BI op den boog BA trekt, de rechtlynige hoek 1BF door de twee tangenten gevormd wordt: maar de helling van IB opEF is niet vergelykbaar met die van den boog FAB op den boog BKD. vieta Oper. p. 382.
VIII. VOORSTEL. Fig. 3^.
Eene lyn (C B") die van het middelpunt (C) naar het ftjp(B)van aanralung tusfchen den cirkel en eene rechte
lyn



1. Afd. Over lynen in of tot den Cirkel getrokken. t%9
lyn(BD) getrokken wordt, ftaat loodrecht op die raaklyn; en omgekeerdl eene lyn in den cirkel, die loodrecht op de raaklyn in het ftip van aanraking ftaat, gaat door het middelpunt.
eucl. III, 16, Cor: en 18, 19: — St. p. 102, 2, en 3. Gevolg.
bewys voor het I: door de ongerymdheid waar in men vervalt als men fielt dat eenige andere lyn, zo als CD, loodrecht is: die ongerymdheid b'ykt uitl, 14. • voor het II uit de ongerymdheid daar men in vervalt indien men ftelt dat eenige andere lyn BG door het middelpunt Ggaat; die ongerymheid blykt uit het eerfte gedeelte.
IX. VOORSTEL. Fig. 43.
De hoek (D A Bof D A F) welke de raaklyn(A B of AF) met de choorde (AD) maakt die uit het ftip van aanraking (A) getrokken wordt, is gelyk aan den hoek (AED, of AHD) die geplaatst is in het overhandfche cirkel ftuk (DE A of DHA) door die choorde gemaakt.
eucl. III, 32 S. p. 113 pr. 20.
bereiding. Zy E CA eene middellyn, dus X op FAB
trek ED en EH.
bewys. Uit de befchouwing dat LED A recht is (door het V Voorftel): dus dat ook L D E A, en L E A D te famen recht zyn, zo wel als Z.EAD en LD AB te famen.
Voor den hoek FAD, uit de befchouwing dat LFAD= L-H LEAD: dat LEAD — L EHD (door het IV Voorftel) en L AHD — L + EHD. aanmerking Hier op fteunt de bewerking van het 5 en 6 Werkftuk van het IV Boek.
X. VOORSTEL. Fig. £9.
Indien men binnen den cirkel een (tip (A) neemt verfchillend van het middelpunt (C), waaruit men
ver-



ipo K Boek: Over den Cirkel.
verfcheiden lynen (AB, AG, AD, AH) tiaar den omtrek trekt, zal het volgende plaats hebben,
i° De grootfte van allen is die (AD) welke door het middelpunt gaat.
a° De kleinfte is het overige gedeelte (AF) van de middellyn.
3° De lynen (AG, AB, enz.) zullen des te klei* ner zyn naar mate zy verder van de middellyn af, of van het middelpunt verwyderd, zyn.
4° Uit het zelfde ftip (A) kunnen twee lynen (A G, A E) getrokken worden, en niet meer dan twee» welke gelyk aan elkander zyn: de eene zal aan den eenen de andere aan den anderen kant van de middellyn vallen,en zy zullen met dezelve gelyke hoeken (GAD en DAE) maaken, of even ver van het middelpunt afzyn.
5° Eindelyk, al het zelfde zal gelykelyk plaats hebben, (uitgezonderd N°. 2) indien het ftip A op den omtrek zeiven valt.
blcl. III, 7 St. p. 93: pr. 3.
voor I ek II. bereiding: Men riekt de ftralen CÖ, CB, CE, CH:
bewys. Uit de XIV bepaaling en het XV Voorftel van hetl. Boek.
voor ket III bereiding: Men trekt CLx op AG ea COopAB:
bewys: 1° Voorde AA ABC, en AC G uit I, 17: en dan 20uit 1, 14 om te toonen dat CN en dus CO V CL, voor het IV. bebeiding. Stel GIE x op AD: trek AE, en dan CM x opAE:
bewys: in AA GAI en IAE is LGAD — L DAE; uit het VI voorftel, bereid, enl, 8:en in AA CAM ei» CAL is CM = CL. ofwel
bereiding. Stel L DAE — 1. DAG: enCMx op AE:



l.Afd. Over lynen in of tot den Ci> kei getrokken. 191
bewys. i°. Uit I, 13. AE — AG: en dan uit I, 9 ia AA ACM en ACL, CL= CM.
Dat er geen andere lyn dan A E, getrokken kan worde, die gelyk is aan AG, blykt uit N° 3. N°. 5. volgc van zelf.
gevolg.
Indien 'eruit eenig ftip, binnen den cirkel, tot aan den omtrek meer dan drie lynen getrokken kunnen worden, die gelyk zyn aan elkander, is dat ftip het middelpunt van den cirkel.
eucl. III, 9. — St. p 95. Cor. 2.
XI. voorstel. Fig. 40. Indien men uit eenig ftip buiten den cirkel eenige lynen naar den omtrek trekt, zal het volgende plaats hebben:
i°. De Iangfte van allen , die den cirkel fnyden , en binnen in den omtrek komen , is die (A G) welke door het middelpunt gaat: de overige zullen des te korter zyn, naar maate zy grooter hoeken met de middellyn maaken , of verder van het middelpunt af zyn.
20. De kortfte van allen die Hechts tot aan den omtrek komen, is die (AL) welke, verlengd zynde, door het middelpunt gaat: en de overige zullen des te langer zyn, naar maate zy grooter hoeken met de middellyn maaken, of verder van het middelpunt af zyn.
3°. Men kan, het zy tot binnen, het zy tot buiten den omtrek, Hechts twee lynen uit het zelfde ftip , (A) trekken, die aan elkander gelyk zyn, en deeze zullen de eene aan den eenen , de andere aan den anderen kant van het middelpunt vallen, en even ver van het zelve af zyn, of gelyke hoeken met de middellyn maaken.1
ei-cu in, 8: — S. p. 95. pr. 4.



102 V. Bock: Over den Cirkel
voor HtT 1. en II. bereiding. Trek de ftnaieri CK, CE, Cl', CH, CD, CF: en CMx op DA : CQX op FA.
bewys: Uit de XIV. Bepaaling en bet XV Voorftel van het 1 Boek is A G V F A : uit het XVII. Voorftel van het I Boek, is FA^DA: uit het XV. is AL ^ AE: en uit het XVI. A E\AK. Voorts uit het XIV. Voorftel van het zelfde Boek is CM V CQ.
voor het III. bereiding. Stel DHx op AG: trek AII vervolgens CN L op AH:
bewys. In de A AD AO en O AH, is uit het VI Voorftel,enl, 8. LGADSLGAH,enHA = DA:eii dart uit I, o, CN = CM.
Of wel, bereiding ; Stel AH = AD, trek CH: en dan CNxop AH.
bewys. Uit I, 12. inAADCA en HCA Ui LD A O ZZ G AH, HA — DA: en dus uit I, 9. in A A CAM en CAN, CNzzCM.
I. GEVOLG;
Van alle de choorden die in den cirkel getrokken kunnen worden, is de middellyn de grootfte. eucl. lil, 15- S. p. ioo. pr. 8. I aanmerking. Dit kan ook onmiddelyk beweezen won den uit de XIV. bep. en het XV. Voorftel uit het I.
1°Aanmerking. Men kan thans het 3 cn 4 Werkftuk uit het IV Boek oplosfen.
II. GEVOLG.
De choorden, die even ver van het middelpunt afftaan, zyn gelyk.
eucl. III, 14. *-*-* St. p. oo- pr. 7.
III. GEVOLG.
Van alle de lynen die tot den bollen omtrek komen , is de raaklyn de grootfte : doch zy is de kleinfte van allen, die tot den hollen omtrek komen.
IV



I. Afd. Over lynen in of tot dek Cirkel getrokken, 193
IV. GEVOLG.
Van eenig flip buiten den cirkel kunnen altoos tot denzelven twee raaklynen getrokken worden : deeze zullen onderling gelyk zyn; en de grootfte zyn van alle de lynén die tot het holle, doch de kleinfte van allen die tot het bolle van den omtrek getrokken kunnen worden-,
III. aanmerking. Het zelfde zal in het 4 Gevolg van het XIII. Voordel op eene andere wyze beweezen worden: Men kan het ook onmiddelyk bewyzen uit het VIII. Voorftel van dit, en het 3 Gevolg van het XII. Voorftel in het I. Boek. «
V. GEVOLG.
Uit een ftip buiten den cirkel kan men maar twee lynen naar den omtrek trekken, die gelyk aan elkander zullen zyn.
IV. aanmerking. Indien men dit Voorftel met het voorgaand vergelykt, zal mm zien, dat het in de daad een en het zelfde Voorftel is; en da: het verfchil alleen in de plaatfing van het ftip A beftaat.
XII. VOOR STEL. Fig. 74.
Twee Choorden, (A D, B E), die zich naar welgevallen fnyden (in F), fnyden zich altoos zo, dat de rechthoek uit de deelen AF, FD) van de eene gelyk is aan den rechthoek uit de deelen (BF, FE) van de andere.
eucl. III. 35. «■ S. p; 116. pr. 23." eerste bewys. Uit de eigenfchappen der rechthoekige driehoeken ontleend.
bereiding. Trek door F en het middelpunt C de middellyn NCG: vervolgens CD: ehCHI op AG. bewys. Uit het VI. Voorftel van dit Boek, en II, 7. het 4 Gevolg, is in de AA CD H, en CFH. Q cp CD — O op CF — □ op HD—pop HF.
JN waa&



194 K Bod- Over den Cv kei.
waaruit, door de gelykheid der ftraalen CD, CN, CÓ en door het V. Voorftel van het IL Boek, rechthoek uit NF en FG — rechthoek uit AF en FD. Men b'e'wyft het zelfde voor den rechthoek uit BF en FE: waar uit het voorftel volgt.
tweede bewvs. Uit de gelykvormige driehoeken. bereiding. Men trekt AB en DE. iewys. Uit het 3. Ge volg van het III. Voorftel, isAABF V-> A F D E: en dus uit IV., 2.
AF: BF = FE: FD: en dus uit IV., 7. het 5. Gevolg: rechthoek uit AF en FD =r rechthoek uit B F en FE.
I. aanmerking. Dit voorftel, aldus beweezen, levert ook een bewys op van het VIII. Voorftel uit het IV. Boek.
II. aanmerking. Het voorftel is algemeen: doch wanneer er voor de choorden die zich fnyden , byzondere omftandigheden bykomen, zullen 'er ook uit het Voorftel eeni. ge byzondere gevolgen getrokken kunnen worden: zo als by v. wanneer de choorden elkander rechthoekig fnyden: en in da: geval is of eene derzelven de middellyn, het geen de ftof van het IV. en V. Gevolg opleevert: of zy zyn beide choorden, maar die rechthoekig gefneeden worden: cn dit is het geval van het VI. Gevolg.
I. GEVOLG.
De deelen van eene choorde zyn altoos wederkeeïig, zo als de deelen van eene andere choorde, die de eerstgemelde fnydt: d. i.
AF: BF = FE: FD.
III. aanmerking Indien men het eerfte bewys van het Voorftel gebruikt, volgt dit gevolg uit het Voorftel, door
IV. 7. het 4. Gevolg.
Maar indien men het tweede bewys gebruikt, is dit gevolg minder een gevolg van het Voorftel, als de uitdrukking in woorden van dat gedeelte van het bewys zelf, waaruit het Voorftel wordt afgeleid.
II. GE-



I. Afl Over lynen in of tot den Cirkel getrokken, tm
II. G F. VOLC.
Op dnt ëf een cirkel door vier gegeeven ftippen* A, B, D, E getrokken zoude kunnen worden, moeten dezelven zodanig geplaatst zyn, dat de lynen die ze vereenigén zich in wederkeerige reeden fnyden > of dat
AF: BF = FE: FD.
lv. aanmerking. Men kan dus niet altoos eenen c'rket door vier gegeeven ftippen trekken, daar zulks voor drie flippen , mits zy niet in ééne reshte lyn liggen , altoos mogelyk is> zo als wy dat in het II. Voorftel beweezen hebben.
til. GEVOLG. Fig. 75. Indien 'er uit eenig ftip (B) van den omtrek eene lyn CB F) loodrecht op de middellyn getrokken wordt, zal het vierkant van die lyn gelyk zyn aan den rechthoek uit de deelen (AF, FtT) van de middellyn, en dus zai ook die lyn midden • evenreedig zyn tusfchen de gemelde deelen (IV., 7. het 5. Gevolg) d. u □ op BF = rechthoek uit AF, FD : en AF: BF — BF: FD. tr. aanmerking. Het zelfde kan uit het V. Voorftel van dit Hoek, en het VIIl. van het IV. Boek onmiddelyk be. Weezen worden.
VI. aanmerking Hier op rusten de oplosfingen van het 14, 18, 19, 10 Werkftuk! van het I. , de 3. oplosfing van het 15, het 19 en het gevolg van het 34. Werkftuk van het III, Boek.
VII. aanmerking* Indien dan het deel AF, m maaien het deel FD bevat, of AF = m * FD: zo is □ op BF = m y. □ op FD. en □ op BD = □ op FB + □ op FD r= m □ op F D 4. □ op FD = m~^7ï x Dop FD: dat is: het vierkant op de choorde U D bevat zo veele
N 2 maa-



Ip6 V. Boek: Over 'den Cirkel.
maaien liet vierkant van FD , a!s erin de middellyn AD deelen gelyk aan FD genomen worden.
IV. gevolg.
Die zelfde lyn (B F), eene loodlyn namelyk op eene middellyn, is altoos zodanig gefteld dat het vierkant op dezelve gelyk is aan het verfchil der vierkanten op den radius, en op het deel van de middellyn dat tusfchen het middelpunt en die loodlyn begreepen is, d. i. □ op 15F = □ op CD — □ op CF. Uit het voorgaand gevolg, en II., 5. in aanmerking neemende dat AF zz CD + FC, en FD = CD — FC. Het zelfde kan onmiddelyk uit II7.1 Gevolg worden afgeleid,
V. GEVOLG.
De twee voorgaande gevolgen, namelyk dat □ op BF = rechthoek uit AFen F D, — □ op CD — □ op CF, zyn ook omgekeerd waar: namelyk, zo eenige lyn A B D zodanig gefteld is, dat men voor ieder ftip van die lyn hebbe Q op BF = rechthoek uit AF, FD, of = □ op CD — □ op CF , dan is die lyn de omtrek van eenen ciikel waar van AB de middellyn Is.
pappus, Coll. Mathem. VIL, p. 165. VIIL aanmerking. Dit leevert op het geen de hedendaagfche Wiskonftenaars noemen, de Fergelyking QAequatio) van den Cirkel, of in het algemeen van eene kromme lyn. De lyn (AD) wier richting gegeeven is, wordt u of middellyn genoemd: men noemt het ftip A of C, van het welk men de ftukken AF, of CF der middellynen of asfen, afgefneedenen oïabscijfen (absciffae') genoemd, begint te neemen , den oorfprong der afgefneedenen of absctffen : en de lynen B F noemt men toegepasten of ordinaten, (ordinatae» applicatae).
De kromme lyn is dan bepaald zo dra de betrekking die 'er beflendig tusfchen de afgefneeden en toegepast! lynen plaats heeft, bekend is. Voor den Cirkel wordt die bti trekking uitgedrukt door Q



J. Afd. Over lynen in of tot den Cirkel getrokken. 107
□ op BF — rechthoek uit AF, FD, of ==
rechthoek uit A D, FD — □ op FD. noemende dan BF, y; FD, x; AD, ia; en in acht neemende het geen wy IV., 7, het 8. Gevolg en de 10. Aanm. gezegd hebben, is y' = (2 « — x) x — 2 a x — x2 de vergelyking die den aart der Cirkels aanduidt: of ook, ftellende CF = x, dat is, de abicijjen, niet van het uiteinde der middellyn,
maar van het middelpunt neemende, is y2 — a3 x' zz
(a + x) (a —- x) de vergelyking van den Cirkel, IX. aanmerking. Wy hebben in de 9. Aanmerking op het VII. Voorftel van het IV. Boek gezegd, wat de Ouden door vlakke plaat/en of vlakke werkftukken verftaan: zy zyn namelyk die, waarïn het gevraagde getal zo wel in het vierkant als door een ander, doch gegeeven, getal gemultipliceerd voorkomt: en het is door het derde en vierde voorgaand gevolg, dat zy dezelven eeoinetrisch oplosfen: immers kan men alle die Vraagftukken, of, zo als men het nu noemt, alle die vergelykingen van den tweeden graad tot deeze twee herieiden.
I. x2 ax — b2: II. x* Hh ax ZZ b2.
voor het I. Stel (Fig. 60. Tab. V.) GL = \a,lG =zb rechthoek ij op DL: befchryf uit L als middelpunt met den radius LI den cirkel DIKF, die de verlengde lyn LG in D en F fnydt. Dan is de lyn DG het getal * dat de vergelyking x2 ■+• a x = b: en de lyn G F het getal * dat de vergelyking x2 ax ZZ b2 oplost.
Verder zy HF := DG: dan is DG = HF= GF ~ GII r= G F — m.
Want: DL — \ a DG : DF — j + 2 DG: GF — DF — DG = a -f- DG.
Indien men dan in het III. Gevolg voor de vierkanten de tweede magten , en voor de rechthoeken het multj. plicnie-teeken gebruikt, het geen gefchieden kan zo al» N 3 wy



ip8
V. Boek: Over den Cbkd.
wy zulks in het 8, Gevolg N°. i.enio. Aanmerking op nets VJI. Voorflel van het IV. Boek getoond hebben: is IG2 = DG *GF = DG x (a + DG)= DG3 ^
a x DG ss b*
en
lG!=DG5SGF = GFx(GF^a)i:GF,~fl X
GF = b\
voor het II. Stel (Fig. 15. Tab. IV.) A E = • a: befebryf Vit E met A E den Cirkel A D B: fteJ A C ss b loodrecht op AB: zy CD// AB: en DF j. op AB : dus EB — — ka DF=CA = i: dus is tTE2 zz DE1 — DP = J a2 — b2 s enFE=ir \a2 — b2 i =rECf: dus BF =EB \ EF
== — I a jf V 4a* — h1
waar uit volgt:
i' Y'l «3 — b2 ss BF + 1 a, en dus | a2 — b2 = l a2 + a i& BF + BF1 of BF3 -f. a -st BF ss — Z>» en dus voldoet B F aan het getal x dat de vergelyking ï'+jis-Ii' oplost.
i'AF = AE- FE = 1 * ^- y i a2 — b2 en dus V \ a? — i» r= § a — AF: en dus ï a! - J1 = AF1 - « X AF 4. \ a> en dus Al" — a X A F = — b' dus vpldoet A F aan het getal x dat de vergelyking ~» 9 x =z — bi oplost. Men kan dit laatfte ook korter bewyzen; want
P~P = AF 54 FB (3. Gevolg) dus: pFJ ss AF >t (AB —» AF) s: AF X AB — AF3
of 02 — a1 * AF zz — D F2. Men ziet dan dat 'er» om die vergelykingen door de Meetkunst $p te losfen , niet andeis vereücht wordt,
éaB



/. Afd. Over lynen in of tot den Cirkel getrokken. ip£
dan dat eene lyn een getal J a uitdrukke, en eene andere de wortel 6 uit een getal b2, dat men als een vierkant getal, meetbaar of onmeetbaar, befchouwt: het eerfte loopt in het oog: het tweede insgelyks, zo b1 een vierkant getal is; zo niet, kan men b2 behandelen als een product van twee getalen m en /, voor een derzelven, zo dit nodig is, de eenheid ftellende: die getalen m en i kunnen door lynen worden uitgedrukt, en de lyn middencvenreedig tusfchen dezelven is de gezochte lyn b.
De Heer koenig herleidt het geen wy nu gezegd hebben tot de 28 cn 29 propofitie van het 6 Boek van euclides : en in de daad, daar men hier x vinden moet, zoekt men, volgens de lyna,eenen rechthoek (a ■+■ x)xte plaatfen, gelyk aan eenen gegeeven rechthoek b*, en wiens bazis (a x) groter of kleiner dan de gegeeven lyn a is: waar op de gemelde propofitiën van euclides uitkomen.
VI. GEVOLG. Fig. IJ9.
Indien twee choorden elkander rechthoekig fnyden, zal de fom van de vierkanten der deelen (□ op AF 4. □ op B F + □ op F D 4. Q op F E) gelyk zyn aan het vierkant van de middellyn.
X. aanmerking. Dit kan op verfcheiden wyzen beweezen worden.
1" Als een gevolg van dit voorftel aldus: trek BD, DE, vervolgens door het middelpunt C, BI, en eindelyk BA, AI, ID uit ons voorftel is
AF: B F — FE: F D: dus: □ op AF: Q op B F — □ °P FE: □ op FD. waaruit, door famentelling, verwisfeling en wederom door famentelling der reedens volgt O op AF op BF -4- □ op FE -+- □ op FD: O opFE-t-QopFDrrOopBF-l-DopFD.-DopFD: of (II., 7.)
O op AF-f-OopBF-j-nopFE-r-QopFD: n P E D s= □ op BD: □ op FD.
K 4 Mas»



300 V. Boek: Over den Cirkel.
Maar ^FDEu AIBD; want L FED -z L BID (V 3. 3- Gev.) En L EED ffi L BDI — L (V. 5.) dus (IV. 16.) □ op FD: □ op BD z= □ op ED: □ op BI: en dus (111. Axioma 4.) □ op BI — Q op AF -+- □ op BF + □ op FE + □ op FD.
20. Men kan ook dit gevolg bewyzen door het voorftel van r-YTHAGorus (II., 7.) Men trekt als dan CB,CD, CE, CA en de loodlynen CL, CM. Men neemt door IL, 7., in de AA BCL, E CL, ACM, enMCD.de waarde der vierkanten op CB, CD, CE, CA: de fom van die vier vierkanten is gelyk aan 4 □ op CB, == Q op BI: en de fom der gevonden waarden door II., 7. en II., 2. ontwikkelende vindt men dezelve gelyk aan Q op A F -j- □ op B F -f- □ op F E -f- □ op F D. 3° Men kan het ook bewyzen uit de befchouwing dat (III. Voordel, 2. Gevolg) daar L ABE + L BAFrrL, de bogen AE + BD den hal ven omtrek uitmaaken: insgelyks ook AB -+• ED: dat dus boog AI nfi boog ED maar L B/U = L (IV,Voorftel) dus (II., 7.) □ op BI op AB □ op Ai: 35 P op AB □ op ED.' waaruit door II., 7. het voorftel volgt.
VII, gevolg. Fig. 83.
Indien in eenigen driehoek (EBF) eene lyn (BI) eenen der hoeken (EBF) in twee gtl/ke deelen (EBI, IPF) deelt en de overftaande zyde E F fnydt : zal het vierkant van die lyn (BI) met den rechthoek der deelen (Al, FI) van de gemelde lyn (EF) gelyk zyn aan den rechthoek der Xjwee overige zyden. bewys. Men Helle dat de A EBF in een cirkel ftaa , (II Voorftel.) zy BI de gegeeven lyn die L EB A — L ABF maakt. Men neemt uit dit Voorftel ann dat rechth. wit AI en IB, =z rechth. uit El en IF: men bewyst uit feet I. Gev, vat} het III Yperftel dat A.EIB Vj a aBF:
en



J. Afd. Over lynen in of tot den Cirkel getrokken. 2ei
en dus uit IV, 2, vervolgens uit IV, 7, 5 Gevolg, en U, 1. het 5 Gevolg dat rechth. uit BE, BF = ïechth, uit EI, IF 4. □ BI: waaruit de zaak volgt. XI aanmerking. Dit was reeds, doch uit andere gronden, }n het IX Voorftel van het IV Boek beweezen.
XIII. voorstel. Fig. 40.
Indien twee of meerder lynen (AD, AF, AG, enz.) uit een ftip (A) buiten den cirkel, tot aan den omtrek van den cirkel getrokken worden en verlengd zynde denzelven fnyden, zyn de rechthoeken uit elke geheele lyn en zyn ftuk dat buiten den cirkel valt (uit (A D en A K, uit A F en A E,) altoos gelyk aan elkander.
S. p. na. Gev. 1.
eerste bewys. Uit de eigenfchappen der rechthoekige driehoeken.
bereiding. Men trekt de ftraalen CD, CF, en dan CM X op AD en CQ 1 op AF:
bewys. in de rechthoekige driehoeken CAQ en CA M is (door II , 7 : het 4 Gev.) Q op AQ — Q op Qli ZZ □ op AM — □ op MK: waar uit door II, 5. en het VI Voorftel van dit Boek het befluit opgemaakt wordt.
tweede bewys. Uit de gelykvormige driehoeken. bereiding. TrekFD, en EK.
bewys. Men toont 10 dat AAFDuAAEK vermits L D A F in beiden gemeen, L FDK 4. L FEK — 2 L (III Voorftel 2 Gev.) zz L FEK 4. L KEA: en dus LFDK == L KEA. Waaruit door IV. 3 volgt AD; AF — AE : AK: waaruit door IV, 7: het s Gev. het Voorftel volgt.
I. aanmerking. Het blykt duidelyk dat dit Voorftel en het voorgaande één en het zelfde Voorftel zyn, dat men algemeener op deeze wyze zoude kunnen uitdrukken. „ Indien men twee lynen trekt, die elkander binnen N 5 „ of



20.2 V. Boek: Over den Cirkel.
„ of buiten den cirkel fnyden: zyn de rechthoeken der . „ ftukken van ieder lyn die tusfchen het flip daar de lynert „ elkander fnyden en de beide ftippen daar elke lyn den „ omtrek fnydt, onderling gelyk.
I. GEVOLG.
De fnylynen worden door den cirkel in omgekeerde reeden gefneeden: dat is
AF : AD =5 AK : AE,
II. aanmerking. Indien men het eerfte bewys gebruikt volgt dit uit het Voorftel door II. 7, het 5 Gevolg: en zo men het 2 bewys gebruikt, is het minder een Gevolg, dan de uitdrukking in woorden van dat gedeelte van het bewys waar uit het befluit wordt opgemaakt..
II. GEVOLG.
Indien men uit een ftip A buiten den cirkel eene raaklyn (AB) en eene fnylyn (AF) naar welgevallen trekt, is het vierkant op de raaklyn (AB) altoos gelyk aan den rechthoek uit de fnylyn (AF) en haar gedeelte (AE) dat buiten den cirkel valt: en omgekeerd.
eucl. III. 30. 37- S. p. 118. pr, 24.
III. aanmerking. Wy befchouwen dit als een onmiddelyk gevolg uit ons Voorftel: want wanneer DA een raaklyn wordt, valt het ftip K op B : dus DA — KA en rechthoek uit DA , KA r Q Btl. Anderen , zo als euclides, maaken van dit Gevolg het hoofd-voorftel, en van ons Voorftel een Gevolg: en dan wordt het beweezen, of uit de eigenfchappen der rechthoekige driehoeken , of uit de gelykvormige driehoeken : in het eerfte geval is door II. 7. 1 Gevolg: □ AB = Q AC — Q CB = □ AC — nCG = Rechth. uit AG AL (II. 5) — en dan gaat het bewys even als in ons Voorftel voorr,
In het tweede geval volgt het door IV. 3. en IV. 7,
S Ge-



ƒ. Afd.Over lynen in of tot den Cirkel getrokken. 203
5 Gevolg uit de gelykvormigheid der driehoeken (Fig. 164 ) AE 15 en FAB: want L A is gemeen in beiden: en door het IX. Voorftel van dit Boek is Z.EB A = L B F E.
IV. aanmerking. Hier op rust de oplosfing van het 13. Werkftuk van het I. Boek , en ook bet bewys van de 1 Oplosfing van het 10 in het III Boek,
III. gevolg.
De raaklyn is midden-evenredige tusfchen de fhylyn, en haar gedeelte dat buiten den cirkel valt. Uit het II Gevolg, en IV. 7 Gev.
IV. gevolg.
De twee raaklynen, die men uit een flip naar den cirkel trekken kan, zyn onderling gelyk.
V. aanmerking. Dit hadden wy reeds in het XI. Voorftel, 4 Gevolg, beweezen.
V. gevolg. Fig. 40.
Indien het buitenfte deel (A K) van eene der lynen (A D) midden-evenreedig is tusfchen de beide deelen van eene andere (AP): zal ook het buitenfte deel (PA) van deeze middenevenredig zyn tusfchen de beide deelen van de eerstgemelde: Want zo A P : A K = A K : H P, daar AP : AK —: DA : AH, is ook BA : AH — AK : HP ; en dus I DA — AK : DA — AH _ HP : AH of DK : PA = DA : AH: en dus DK : PA = AP : AK, ▼ETA. Operum p. 242.
VI. cevolg. Fig. iob. Indien de beide lynen zodanig getrokken worden, dat het buitenfte deel van de eerfte ftaat tot derzelver binnenfte deel, zo als het binnenfte deel van de tweede tot derzelver buitenfte deel, zullen de buitenfte deelen van de eerfte en
de



50f V. Boek: Over den Cirkel
de tweede, twee midden-evenredigen zyn tusfchen de binnea-lte deelen van de tweede en eerfte: want,. Uit de onderftelling is
DK : AK — AP: II P of
DK : AP — AK: ÏIP; dus
DK :. AD — AP: AH en
AD ; AH — AP: AK dus
DK : AP = AP: AK = AK; HP.
Of — DK, AP, AK, HP. V. aanmerking Indien men dan twee lynen in den cis> kei geometrisch zodanig trekken kon dat DEï AK ss AP: HP, was het vraagftuk om twee midden-evenredigen te vinden geometrisch opgelost, en het is hier toe dat vieta het vraagftuk gebragt heeft : doch dit is niet mogelyk. Men kan wel de zaak tot eene eenvoudiger oplosfing brengen:namelyk .-aldus:Fig. iöo.men btrfchryve eenen cirkel waarvan de middellyn eene der gegeeven lynen is: men trekke de andere, (de kleinfte), HP in den. cirkel: men verlenge dezelve zo dat HL ~ HP : men trekke vervolgens PI. || L C. Men trekke ein<* delyk door het middelpunt G-j.-de lyn DCKA zodanig dat AG ss KC worde: dan is
AG: AP = GC: PL:
maar AG — i KD zo als PH=r ï PL: >
dus AG: KD = PH: PL en dus
KD : AP = GC: PH.
maar A G ss K C: dus G C ss AK: dus
KD: AP zz AK: PH of
KD: AK ZZ AP: PH: en dus.
~ KD, AP, AK, PH: maar men kan de lyn DCKA geometrisch niet trekken zo dat AG ss KC. zy, vieta. p. 243.
VII. gevolg, Fig. 161.
Indien de hoek ABC recht is, en men dea Rechthoek
AD



f Afd. Over lynen in of tot den Cirkel getrokken. 205
AD C B voltooit: verder door Den A, en door Den C, de lynen D C G en D A F, en eindelyk uitB, de fnylyn GBC* K, zodanig trekt dat BG = OF, dan zullen AF, en GC, twee middel evenreedigen tusfchen AB en B C zyn: Want daar Ö'F zz'BG, ü ÖG == BF: en dus
Rechth. FD, AF = Recht BF, F O zz Rechth. OG: BG = Rechth. GD GC: en dus i° GD: FD = AF: GC: maar (IV, 2.)
GD; FD = AB: FA: dus 2° AB: FA =3 FA: GC. 3° GD — AB: GD = FD — FA: FD of GC: GD = BC: FD 4»ofGC; BC sz GD: FD = FA: GC: dus 1* en 40 AB: FA =z FA: GC = GC: BC: endus 4f AF, FA, GC, BC. Indien men dan , A B rechthoekig op B C gefteld , eh eeö Cirkel die door de (tippen A,B, C gaat getrokken zynde, den rechthoek AB CD voltooid, en DA en DC verlengd zynde, men door het ftip B, de lyn G BF zodanig trekken kon, dat BG zZ FO, was het vraagftuk van twee evenreedige lynen opgelost, en het is tot die vraag dat philo van Byzantium, het gemelde vraagftuk gebragt heeft. Zie tacquet op
KUCL. VI. 13.
II. AFDEELING.
OVER DE CIRKELS DIE ELKANDER RAAKEN OF SNYDEN. XIV. VOORSTEE.
Cirkels die zich fnyden of raaken hebben het zelfde middelpunt niet.
t.vcl.



ÊofS V. Boek: Over den Cirkel.
eucl. III. 5, 6: aluemeene aanmerking. Dit Voorftel en de drie volgende rusten op dit grondbeginfel, dat twee cirkels, dis elkander raaken of fnyden , juist zo veel flippen gemeen ■hebben, als er ftippen zyn in welke zy zich raaken, of fnyden; gevolgelyk dat de lynen uit die flippen naar ieder middelpunt getrokken j gelyk zullen zyn. bewys. Voor de cirkels die elkander fnyden Fig. 44..; voor die welke elkander innerlyk raaken Fig. 45 ; vooj óie welke elkander uiterlyk raaken, Fig. 46.; voor deze laatften fpreekt de zaak van zelf, daar de beide cirkels geheel buiten elkander ftaan: voor de twee eerfte gevallen word het bewys opgemaakt uit de ongerymdheid die voortvloeit met het tegendeel te ftellen; en die ongerymdheid wordt uit de gelykheid der ftraalen opgemaakt*
XV. voorstel.
Zo twee Cirkels elkander innerlyk, of uiterlyk raaken, gaat de lyn, die door de beide middelpunten gaat, ook door het ftip van aanraaking. eucl. III, 11, 12. bewys. Voor beiden uit het ongerymde. Zo de cirkels elkander innerlyk raaken , Fig. 45, en het gefielde geen plaats heeft: laat dan I het middelpunt zyn van den cirkel A D li buiten FA: trek AI: dan moest (15. I.) DF > F15 zyn: dat onmogelyk is. Zo de aanraakisg uiteriyk is, (Figi 46.) laat de lyn CF , die de middelpunten vereenigt buiten A vallen: dan moet (15. I.) CD 4. BF >. CF zynê dat onmogelyk is.
aanmerking. Men kan thans de 17, 18, 19 Werkftuk» ken van het IV Boek oplosfen.
XVI. voorstel.
Een cirkel raakt eenen anderen cirkel flechts in een ftip
eucl. III. 13 — S. p. 98. pr. rj. bewys. Voor beiden uit het ongerymde, Zo de aanraaking
in-



H. Afd. Over di Cirkels die elkander raaken of fnyden. 20*
innerlyk gefchiedt, Fig. 45, laaten B en A de twee Hippen van aanraking zyn: en (Voorftel VII) F en C de twee middelpunten: dan moest FB = FC + CB d3t (15, I) onmogelyk is. Zo de aanraaking uiterlyk is , Fig. 46 , laaten A e» D de twee ftippen van aanraaking zyn: danmoestCA 4. AF zz CD + DF: dat (15,1)onmo. gelyk is
XVII. VOORSTEL.
Twee Cirkels die elkander fnyden, fnyden zich in twee ftippen, welke zodanig geplaatst zyn dat de lyn die dezelven vereenigt loodrecht ftaat op de lyn die door de middelpunten van beide de cirkels gaat, en door deeze in twee gelyke deelen gedeeld wordt, en zy kunnen elkander in niet meer dan twee ftippen fnyden.
eucl. III. 10 — S. p. 9?. Gev. a. I gedeelte. Fig. 48. Indien de beide Cirkels maar een ftip gemeen hadden zouden zy zich Hechts raaken: dus, daar zy zich fnyden, fnyden zy zich ten minften in twee ftippen.'
Die ftippen kunnen niet ftaan aan den zelfden kant van de lyn, die de beide middelpunten vereenigt: want dan zoude men aan éénen kant uit een ander ftip dan het middelpunt twee gelyke lynen kunnen trekken dat onmogelyk is. (door het Gevolg van het VIII en 5 Gev. van het IX Voorftel.)
Die ftippen A, F zullen dan aan verfchillende kanten vallen, en dan volgt het Voorftel uitl. ii. 5 Gevolg.
II gedeelte Fig. 47. Uit het ongerymde : want dan moesten de beide Cirkels een en het zelfde middelpunt hebben: dat onmogelyk is: door het XIV Voorftel:
ZES-



20S
zesde boek.
OVER DE INSCHREVENE EN OMSCHREVENÈ VEELHOEKEN.
I. AFDEELING.
EIGENSCHAPPEN DER VEELHOEKEN DIE 1FJ OF OM DEN CIRKEL BESCHREEVEN ZYN.
BEPAALINGEN. I
Ëene figuur wordt gezegd in eene andere figuur te ftaan, of in dezelve befchreeven te zyn, als de toppen van haar hoeken op de zyden van die andere figuur rusten.
En dus wordt eene figuur gezegd in eene andere te ftaan,of in dezelve befchreeven te zyn, als de toppen Van haare hoeken op den omtrek rusten: en de cirkel wordt gezegd in eene figuur befchreeven te zyn , als zyn omtrek alle de zyden raakt.
eucl. IV. I , 3, s bep. — S. p. 122. def. I. aanmerking. Wy zullen in het XIX Voorftel zien op welke wyze een regelmatige veelhoek in eenen regelmatigen befchreeven wordt.
li. aanmeeking. Volgens het geen wy in het XVIII Voorftel van het II Boek beweezen hebben, kan men (Fig, 147., in eenen veelhoek zoveel andere gelykvormige veelhoeken befchryven als men wil, doch die allen van ver. fchillende grootte zyn zullen. Doch als men van eenen veelhoek in eenen veelhoek befchreeven in het alge' meen fpreekt, behoort men van eenen veelhoek, die eenen
be.



/. Afl. Eigenfchappen der Veelhicken* sop
paalde grootte heeft te fpreeken : maar wy hebben in het gevolg van het XVII Voorftel van het IV Boek gezien dat dit plaats heeft als ds toppen E, F, G, I, L op het midden der zyden AD, DC, CB, BQ, QA rustent Waarom men dan ook dien veelhoek, als by uitftek, den veelhoek in den veelhoek befchreeven noemen kan
II.
Eene figuur wordt gezegd om eene andere figuur te ftaan, of, om dezelve befchreeven te zyn, als alle haare zyden de toppen van alle de hoeken van die andere figuur raaken.
En dus, wordt een cirkel gezegd om'eene figuur befchreeven te zyn, of om dezelve te ftaan, als de omtrek van den cirkel de toppen van alle de hoeken raakt: en eene figuur wordt gezegd om den cirkel befchreeven te zyn, als alle haare zyden den omtrek Van den cirkel raaken,
EUCL. IV. d. 2, 4, 6. —— S p. 122. d. 2.
aanmerking. Wy zullen in het I Gevolg van het XXI Voorftel zien hoe een regelmatige veelhoek oin eenen regelmatigen veelhoek befchreeven wordt.
AXIOMA.
Een veelhoek kan noch in eenen veelhoek noch cm eenen veelhoek befchreeven worden, ten zy deeze evenveel zyden hebbe.
h voorstel. Fig. 77. Geen figuur kan in eenen cirkel befchreeven worden, ten zy er, in of buiten dezelve, eenig ftip zodanig gefteld zy, dat alle de lynen van het zelve naar de hoeken van de figuur getrokken , (CB, CD, CA) onderling gelyk zyn. *ewys. Uit I Bep. en den aart van den cirkel.
O II. Voo*.



2io VI. Bock: Over de Veelhoeken.
II. VOORSTEL. Fig. 78.
Geen figuur kan om eenen cirkel befchreeven worden , ten zy 'er in dezelve eenig ftip zodanig gefteld zy, dat de loodlynen (CI, CK, CL), uit hetzelve op alle de zyden van de figuur getogen, onderling gelyk zyn.
bewys. Uit II. Bepaling, en V. 7.
III. VOORSTEL.
Geen figuur I.an om eenen cirkel befchreeven worden , ten zy, indien haare zyden even in getal zyn, de fom van de eerfte, derde, vyfde, zevende, enz. gelyk zy aan de fom der tweede,vierde, zesde,achtfte,enz. en, indien zy on. even in getal zyn, ten zy de fom der eerfte, derde, vyfde, zevende, er:z. gelyk zy aan de fom van de tweede, vierde, zesde, acatfte, enz. en daarënboven van tweemaal dat ftuk der laatfte zyde dat tusfchen de eerfte en het ftip van aanraking begreepen is.
pitot. Mem. de l'Acad. de Paris. A. 1725. p. 45.
bewys. Uit II. Bepaling, en V. II. Gevolg. 4.
IV. VOORSTEL..
'Er is geen driehoek, of dezelve kan in of om eenen cirkel befchreeven worden: en dus ook geene, of 'er kan een cirkel om of in denzelven ftaan.
bewys. I. Gedeelte. De infehryving des driehoeks in den
cirkel, en dus de befchryving van deezen cm denzelven,
blykt uit V. 2.
II. Gedeelte. De befchryving des driehoeks om den enkel.
bereiding. Fig. 78. Stel dat de lynen BC, en CD, welke de hoeken ABD en A D B in twee gelyke deelen fnyden, in C famen komen : trek CD; cn de loodlynen Cl, CK, CL: men moet bewyzen (II. Voorftel) dat Cl — CK — CL. bewys. Uit I. 9.
GE-



/. Afd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 2tt
CE VOLC,
De bereiding en het bewys van het II. gedeelte van dit Voorftel leeveren de Volgende eigenfchap der driehoeken op:
De lynen, welke de hoeken van eenen driehoek in gelyke deelen verdeelen, komen in één ftip binnen den driehoek te fairnen: en de loodlynen die uit hetzelve op de zyden des driehoeks getrokken worden, zyn allen gelyk aan elkander. L. C. J. 502.
I. aanmerking. De driehoek is de eenige figuur die altoos in of om den cirkel befchreeven kan worden: en in of om welke men aitoos eenen cirkel befobryven kan. U. aanmerking. Men kan thans het 1., 2., 3., 4. en 5. Werkftuk van het V. Boek oplosfen.
V. VOORSTEL. Fig. 79. 80.
Niet alle onregelmatige, maar wel alle regelmatige veel. hoeken kunnen in of om den cirkel befchreeven worden L. C $. 530.
bewys. Voor het I. uit het r. en 2. Voorftel: en voor het II. uit het 1. en 2. Voorftel: en II. 14. aanmerking. Het eerfte en tweede Voorftel van dit Boek gepaard met het 14. van het II. toonen genoeg aan hoé men in en om eenen gegeeven regelmatigen veelhoek eenen cirkel befchryven moet:dus kan men het i3.eni4. Werkftuk van het V. Boek oplosfen. aanmerking. Wy fpreeken hier, en in de volgende Voor. fteilen, van het 8. af, vaa regelmatige veelhoeken in en om den cirkel befchreeven: doch clavius merkt "te recht aan (op EucL, IV. 16.) dat een gelykzydige veelhoek m den cirkel befchreeven altoos gelykhoekig, en dus re. gelmat.g is: doch dat een gelykzydige veelhoek om den c.rkel befchreeven, niet altoos daarom ook gelykhoekig is, ten zy het getal der zyden oneven zy; of, zo het even is, twee naastliggende hoeken gelyk zyn, of ml ree hoeken, vraar van, de eene voor den eerilen gW 0 2 men



2r2 VI. Boek: Over de Veelhoeken.
Dien zynde, de andere eene even plaats bekomt: by t. de 4 , 6., enz. Verder, dat een gelykboekige veelhoek, om den cirkel befchreeven, altoos gelykzydig is, doch dat een gelykhoekige veelhoek in den cirkel befchreeven het niet altoos is, ten zy het getal der zyden oneeven zy, of, indien het eeven is, ten zy twee naastliggende zyden gelyk zyn, of twee zyden het zyn , waar van. de eene voor de eerfte genomen zynde, de andere eene eeven plaats bekomt: by v. de 4., 6. enz.
VI. voorstel. Fig. 88.
In alle vierhoeken, (AEBF), in den cirkel befchreeven , zyn altoos de overltaande hoeken te famen genomen (A E B en A F B: E A F en E B F) gelyk aan twee rechten.
eucl. III. 22. — S. p. 106. pr. 12.
bewys. Uit V. 3. Gevolg 2.
aanmerking. 'Er kan dus geen vierhoek in den cirkel befchreeven worden, of hy moet deeze ei^enfehap bezitten : en dus kunnen 'er nooit een ruit, of een parallelogram in befchreeven worden: maar wel een vierkant, of een rechthoek.
VII. voorstel. Fig. 88.
In alle vierhoeken, die in den cirkel befchreeven zyn , is de fom van de rechthoeken uit de tegenoverftaande zyden (FA en EB, AE en FB) gelyk aan den rechthoek der diagonaalen (A B en E F). tacquet in zyn fckolium op euclides VI. 10. bereiding. Men trekt EG zodanig dat L AEG^rLFEB: waar uit, en uit V. 3., 3. Gevolg: volgt, 1° A A E G t-^> AFEB;enAGEBt-^AEAF:wantL.EBG=:LAFE: V. 3., 3. Gev.: £ AEG = L F EB : dus, weederzyds byvoegende L GEF, is L AEF zz L GEB. «ewys. Uit de gelykvormigheid der A A AEG en FEB:
ver»



I. Afd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 213
vervolgens van A G EB en A E AF, enlV, 7. 8. Gevolg N?. 2.-is Rtchth.FB. AE — Rechth. AG. FE en Rechth. BE. AF BG.EF: waar uit, en uit II. 1., 3. Gevolg, het befluit wordt opgemaakt.
I. aanmerking. Dit Voorftel wordt het Voorftel van ptolemaeus genoemd: om dat ptolemaeus of hetzelve heeft uitgevonden, of 'er het eerst gebruik van heeft ge» maakt, om de choorden van bogen te berekenen, zo als wy zulks in het VUL Boek XI. Voorftel zullen aantoonen. Zie ptolemaeus Ahtageflum L. I. Cap. 9. II aanmerking. Indien men dit Voorftel met het voorgaande Voorftel, en met het 5. Gevolg van het 10. Voorftel in het V. Boek, vergelykt, zal men zien dat 'er in eenen vierhoek, op dat dezelve in den cirkel befchreeven zoude kunnen worden, drie dingen plaats moeten hebben: doch zy zyn zodanig, dat zo dra een van driën plaats heeft, de twee anderen ook plaats hebben.
III. aanmerking. Men lost thans het 6., 7., 8., 9. en 10. Werkftuk van het V. Boek op.
VIII. VOORSTEL. Fig. 79.
Wanneer een regelmatige veelhoek in den cirkel befchreeven is, verdeelen iQ. de zyden den omtrek in zo veel gelyke boogen , als 'er zyden in den veelhoek zyn: a°. die zyden zyn de choorden van die boogen : 30. het middelpunt van den cirkel is dat van den veelhoek : 4°. de radius van den cirkel is die van den veelhoek zeiven : en 50. de choorde die, twee zyden van eenen gegeeven veelhoek befpant, is de zyde van eenen veelhoek die de helft van het getal zyden des gegeevenen veelhoeks bezit.
I. GEVOLG.
. De zyde E F van eenen regelmatigen veelhoek in den cirkel befchreeven , is de choorde van den middel-
O 3 pilHtS-



214 VI. Botk: Over de Veelhoeken.
puntshoek (FCE) of van eenen hoek die gelyk is aan —- (II., 14. het 1. Gevolg.)
II gevolg.
De zyde van den zeshoek in den cirkel befchreeven , is gelyk aan den radius van den cirkel. (II. 14, het 3. Gevolg,)
aanmerking. Hier door kan men het 15. Werkftuk van
ket V. Boek oplosfen.
III. gevolg.
De loodlyn van eenen gelykzydigen driehoek in den cirkel befchreeven, is de helft van den radius: en de loodlyn uit eene van deszelfs hoeken op de overftaande zyde nedergelaten is anderhalfmaal de radius.
euclides XIV., 1. Cor. voor het eerfte gedeelte. IV. gevolg.
De zyde van het vierkant in den cirkel befchreeven ftaat tot den radius zo als y 2: 1. en de inhoud van dat vierkanê is de helft van het vierkant op de middellyn.
Dus is de zyde van het vierkant, in den cirkel befchreeven, onmeetbaar met betrekking tot den radius. kucl, X. 117.
IX, voorstel.
De zyden en de omtrekken van gelykvormige regelmatige veelhoeken, in of om cirkels van verfchilleude middeilynen befchreeven, ftaan in de zelfde reeden als de middeilynen van die cirkels: doch hunne inhouden üyn in verdubbelde reeden van de middeilynen.
EPCL. XII. I.
bewys. Uit het 5. Voorftel; en uit II. 14. en IV. 15. Aanmei'ktno. Hier op, en op IV. 2., fteunt het gebruik van die lynen op den proportionaal - pasfer welke



I. Jfd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 215
ke met het woord Pol. of Polygosnen , beftempeld zyn, en dienen om getnaklyk alle Polygoonen of Veelhoeken, op gegeeven lynen , of in gegeeven cirkels, te befchryven : doch de lyn der choorden is daar toe van nog meer dienst: zie de 2. Aanmerking| op het' 2. Voorftel van het VIII. Boek.
X. voorstel. Fig. 79.
Indien men uit de uiteinden (F en E) der zyden van eenen regelmatigen veelhoek in den cirkel befchreeven , doch waarvan het getal der zyden oneven is, lynen (FB, EB) naar den top des tegenoverftaanden hoeks (A B D) trekt, zullen dezelven met de gemelde 2yde eenen gelykbeenigen driehoek (F B E) uitmaaken, waarin een der hoeken (B F E of BEF) op de grondlyn tot den hoek (FBE) in den top
g T
ftaat. zo als : 1.
' a
tacquet Op eucl. IV. ii.
bewys. Dat ^ FBE gelykbeenig is volgt uit V., 3. het 3,, gev.: het overige uit ds befchouwing dat L FBE =: 4 L
l L FCE zjx—: en zo dra de hoek FBE beg
kend is, zyn de hoeken BFE, FEB het ook, uit L 7, het 3. gev.
aanmerking. Het zelfde heeft ook plaats al is de veelhoek niet in den cirkel befchreeven, en is dus eene eigenfehap van alle de regelmatige veelhoeken wier zyden omnen in getal zyn, in het algemeen,
gevolg.
De hoeken op de grondlyn zyn dus veelvouden van den
hoek in den top; en zyn gevolglyk tot dien hoek in den
(gelykzydigen) driehoek = . . . bs* t!i 1.
■ vyfhoek . . . . 2:1.
■ zevenhoek , . . 3:1.
■ negenhoek- . . . , 4:1.
O 4 AAM"



216 VI. Boek: Over de Veelhoeken.
AAHMERKino. Men kan thans het n en 12, Werkftuk vaa het V. Beek oplosfen.
XI. voorstel. Fig. 80. Indien men uit het middelpunt van eenen cirkel eene loodlyn (CL.) laat vallen op de zyde (GF) van «enen regelmatigen veelhoek in den zeiven belchreeven, doch wiens zyden even in getal (g) zyn, en men vervolgens die loodlyn wederzyds tot aan Jen omtrek verlengt, om 'er eene middellyn van te maaken, zal die middellyn de zyde (G F) op welke zy valt in twee gelyke deelen (GL, LF) verdeden: en de lynen (GH, FH) die men uit de uiteinden van de gemelde zyde (GF) naar het eind (H) van die middellyn trekt,zullen met die zyde eenen gelykbeenfgen driehoek uitmaaken, waar in de hoeken (HGF of HFG) op de grondlyn tot den
hoek (GIIF) in den tcp zyn zullen, zo als fe*: 1.
2
TAQUET Op EUCL. IV. ttl
ïewts. Het zelfde als voor het voorgaande Voorftel. gevolg.
De Hoeken op de grondlyn zyn dan hier veelvouden van dien in den top op deeze wyze: . De eerstgemelde ftaan tot de laatstgemelden voor het vierkant als § : r. —— den zeshoek als J : 1. ■>— — achthoek als z ; j. t»—— — tienhoek als % : r.
en zo voorts.
aanmerking. Het blykt uit dit, en uit het voorgaande Voorftel, dat indien men door de Meetkunde dit algemeen vraagftuk kon oplosfen, Lamelyk, eenen gelykbeeHigen driehoek te maaken , waarvan de hoeken op de grondlyn tot dien in den top ftaan, zo als 1, x|, 2, ai, 3, 3}, 4 en zo voorts, tot 1, men ook alle regelmatige veelhoeken op eene gearneirifche wjze in den cirkel zoude
kun-



l.Afd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 217
kunnen befchryven: en dit vraagftuk hangt wederom, zo als van zelf blykt, en reeds zeer wel door papi-us in zyne CMeBiones Mathematicae is opgemerkt, van dit ander af, eenen cirkelboog in twee deelen, die eene bepaalde reeden tot elkander hebben te verdeelen. Dan, dit vraagftuk is in het algemeen, in eenen geometrifchen zin, dat is door behulp van rechte lynen en cirkel alleen, niet op te losfen.
Men heeft tot nu toe geen middel gevonden , om rechtftreeks andere veelhoeken in den cirkel te befchryven dan den driehoek, den vierhoek, den vyfhoek, den zeshoek, en die veelhoeken welke uit deezen door eene herhaalde verdeeling van de boogen in twee gelyke deelen, of wel door het volgende Voorftel , gevormd kunnen worden. Men kan geen' zeeverhoek, negenhoek, elfhoek, enz. geometrisch in den cirkel befchryven.
Men gebruikt het middtl van den gelykbeenigeri driehoek, in dit en in het voorgaande Voorftel vermeld, niet voor den driehoek , het vierkant, of den zeshoek , die men op eenvoudiger wyzen befchryven kan ; doch wel voor den vyfhoek.
XII. VOORSTEL. Fig. 79. Of l62.
Indien men uit het flip E van den omt'-ek de choorde EF trekt, die de zyde is van eenen veelhoek van g zyden, en de choorde IE, die de zyde is van een veelhoek van G zyden: zal de boog FI zo veele zyden bevatten van eenen veelhoek waarvan het getal zyden G x g zyn zal, als 'er eenheeden in het verfchil Van G en g begreepen zyn.
bewys. Uit het 1. Gev. van het VIII. Voorftel.
I. GEVOLG.
De choorde van den boog FI zelf zal de zyde zyn
G 5< s
van eenen veelhoek van T,—- zyden : en dus, zo Oj Cxg



2i3 VI. Boek: Over de Veelhoeken.
Q~Z7"g een S^1^1 getal is> en gevolglyk , zo Gg een veelvoud van G — gis, zal die veelhoek in den cirkel befchreeven kunnen worden. Insgelyks, indien G x g geen veelvoud is van G — g, maar G — g gelyk is aan a, of eenige magt van 2, zal de veelhoek befchreeven kunnen worden: want de boog FI zal zo veel zyden van den veelhoek bevatten als die magt van 2, bedraagt; en dus kan men door eene herhaalde verdeeling in twee deelen, welke geometrisch gefchiedt, den boog voor ieder zyde bepaalen: dat niet gefchieden kan zo G — g = 3, of 5, of 6 enz. is. By voorbeeld, zo E F de zyde was van eenen driehoek, en IE die van eenen vyfhoek, zoude de boog IF twee zyden van eenen vyftienhoek bevatten. Men kan dus nu hes 16. Werkftuk van het V. Boek oplosfen.
II. gev olg.
De befchryving van veelhoeken op eene gegeeven lyn hangt af van de befchryving van veelhoeken in den cirkel.
aanmerking. Het valt zeer gemaklyk dit te verrichten door behulp van die lynen welke op den proportiomal-pasfer met het woord Pol. of Polygoonen beftempeld zyn.
XIII. voorstee. Fig. 162.
Indien men den radius (CI) van den Cirkel in uiterfte en middelfte reeden deelt in Z, is hut grootfte ftuk CZ de zyde van den tienhoek in den cirkel befchreeven. bereiding. Men ftelle IE — CZ: men trekke CE, EZ, Uit II. 10, Gev. 1, is L CIE = Z.CEI = 2 L I CE maar L CIE -f L CEL 1CE ~ 2 L: (I.7) dus 5 LI CE =2L
en



I. Afd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 219
aL 4L enZ-ICE =: y (-
dus IE — CZ dc zyde van den tienhoek (VIII Voordel Gev. i.)
I. GEVOLG.
Dus is de zyde van den tienhoek onmeetbaar met betrekking tot den radius (IV, 7. ö Aanmerking.)
II. GEVOLG.
De loodlyn (CK) van dea vyfhoek is de helft der fom van den radius (of zyde der zeshoeks) en van de zyde des tienhoeks te famen genomen. eucl. XIV. 1.
jkwys. Zo IF — IE ZZ CZ de zyde des tienhoeks is, is FE dé zyde des vyfhoeks: en CK de loodlyn (door het VIII Voorftel;)
Nuis CK — CZ + ZK : maar IE = CZ — ZE (II. 10. Gev. I.) dus Z K = KI (1, 11 Gev. 4.) dus C K zz CZ+SZI =CZ+ i (CI-CZ) = 5 CZ,-*- |CI — IE-+-CI-
III. GEVOLG.
Indien men de fom van den radius of zyde des zeshoeks, en van de zyde des tienhoeks neemt, is de geheele lyn in uiterfte en middelfte reeden gefneeden: en het grootfte dee is de radius.
Want uit dit Voorftel is CZ de zyde des tienhoeks, en Cl: CZ zz CZ: Zl: dus Cl: CZ + Cl = CZ: CZ + Cl of Cl? BZ = CZ: Cl ofBC is CZ: BC — BC: BZ
eucl. XIII. 0.
Zie verder voor de grootte van de g> heele loodlyn B K, van de loodlyn CK uit het middelpunt getrokken, en van den ra-
di-



220 VI. Boek: Over de Veelhoeken.
dius Cl, met betrekking tot de grootte van de zyde des vyfhoeks, N°. III. en N°. VI van onze aanmerkingen op het XXXI Voorftel van het XI Boek,
XIV. VOORSTEL. Fig. 162.
Het vierkant van de zyde des vyfhoeks is gelyk aan de fom der vierkanten van de zyde van den tienhoek, en van de zyde van den zeshoek, of van den radius. eucl. XIII, 10. bereiding. Zy Cb loodrecht op IE, of op de zyde des tienhoeks, en dus 16 = bE: Men trekke , uit I, IO, naar het ftip O daar Qb de lyn FE, zyde des vyfhoeks, fnydt: dus is IO zz O E.
1
«ewts. lECO = 2 L ICE: L IFE zz i L ICE (v, 3) dus L ECO = L IFE: Maar L IFC = 5 L FCI, (om dat F I de zyde is van den tienhoek) — L FCE: dus LFCE— Z.ECO=Z.IFC — LIFE: of L O CF = L CF O : en dus 1° OC zz FO: a° de derde L COF zz L F CE . en A FCO A. FCE dus
FE: FC zz FC: FO
Insgelyks AEIO u ^FIE: en dus
FE: IE = IE: OE:
en dus (IV. 7. Gev. 5.) □ op IE-j-D op FC zz rechth. uit OE, FE -4- rechth. uit F O , FE zz recht uit FE, FE — □ op FE
I. gevolg.
Uit dit Voorftel, en het eerfte Gevolg van het XIII, blykt dat de zyde van den vyfhoek onmeetbaar is met betrekking tot den radius: en insgelyks tot de zyde des tienhoeks.
II. gevolg. Het vierkant van de zyde (FE) van den vyfhoek, te famen met het vierkant van de choorde (FB) die twee zyden van
den



I. Jfd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 221
den vyfhoek befpant, is gelyk aan vyf maaien het vierkant van de zyde des zeshoeks, of van den radius.
Want □ op FB -+■ □ opFI = rjopBI = 4 □ op Cl. maar □ op FE zz □ op FI -+- □ op Cl: dus Q op FB •+■ □ op FE -+- □ op Fl ZZ 4 □ op Cl •+■ □ op FH-DopCI:of rjopFB-t-Q opFE =s □ op Cl. eucl. XIV, 2, Lemma.
III. GEVOLG. Fig. 163.
' Indien men op de middellyn A B, uit het middelpunt C, de loodlyn CD trekt ; vervolgens den radius CB in twee gelyke deelen deelt in E; D E trekt, en uit E met den radius E D den boog D F befchryfc, zal de choorde FJ> de zyde van den vyfhoek , en het ftuk FC die van den tienhoek zyn in den cirkel befchreeven :
Want, Rechth. uit BF, FC.+D op CEr= □ op FE = □ opDE (II,4,Gev.) maar □ op DE = O op DC -f- □ op CE (II, 7) dus rechth. uit BF, FCr:□ op DC = □ op BC dus BF: BC = BC: FC (IV, 7- Gev. 5.) en BF—BC: BC zz BC—FC: FC (III, 8. N°. 2.) of FC: BC of AC= AF: FC of AC: FC=FC:AF;
en dus is de radius AC in uiterfte en middelfte reeden gefneeden: gevolglyk is FC de zyde van den tienhoek: (XIII Voorftel) en dus daar QopFC-t- OopCD=L"lopFD is F D de zyde van den vyfhoek. (door dit Voorftel) aanmerking. Dit gevolg is by euclides de 1.0. propofitie van het X Boek:en het levert die gemaklyke wyze op om eenen vyfhoek en eenen tienhoek in den Cirkel te befchryven, welke Ptolemaeus heeft voorgefteld. Almagejfum 1B. Cap 9.
XV. VOORSTEL. Fig. 162.
De inhoud van eenen vyfhoek in den cirkel befchreeven, is gelyk aan den rechthoek begreepen onder vyf zesde gedeel-



222
VI. Boek: Over de Veelhoeken.
deelten van de choorde die twee zyden van den vyfhoek be«
fpant, en anderhalf maal den radius eucl. XV, 4 , Lemma. bewys. Daar A FEC gelykbeenig is, is £ FCE sa Reehth. uit i CE en FS = Rechth. uit f CE en f FS = Rechth. uit I C E en § FD; en dus is 5 A FCE3= vyfhoek FEDBAF 3= 5 Rechth. uit f CE en § FD: — Rechth. uit i| CE en f FD.
XVI. voorstel. Fig. 144.
Het vierkant van de zyde des gelykzydigen driehoeks in den cirkel befchreeven is het drievoud van het vierkant op de zyde van den zeshoek, of op den radius: of ook gelyk aan den rechthoek uit de middellyn en de loodlyn uit den top des driehoeks op de grondlyn nedergeiaten. eucl. XIII. 12.
bewys. I □ op DF = n 0p DX = □ op CD - n op CX 01, 70
maar □ op C X — J n 0p C E of C D (VIII Voorft. 3 Gev.) en dus} □ op DF — 3 a op Cü> of.
□ op DF z= 3 □ op CD. D. T. B. W.i.
of □ op DF = Rechth. uit CD en 3 CD == Rechth. uit 2 CD en f CD maar » CD = A X (VIII Voorft. 3 Gev.)
dusD opDF = recht uit 2 CD en AX. D.T.B. W.2. aanmerking. Zie stedmanPhil. TranJ. vol. LXVI. p 299'. waar op horsley zeer wel aanmerkt dat dit flechts een gei volg is van liet geen in het algemeen voor alle driehoeken plaats heeft: dat namelyk de Rechthoek van twee zyden des driehoeks (welke rechthoek in den gelykzydigen driehoek met het vierkant der zyde overeenkomt) gelyk is aan den rechthoek uit de middellyn des cirkels om den driehoek befchreeven , en de loodlyn uit den hoek dien de eentgemelde zyden bevatten op de derde zyde nederge-
laa-



I. Afd. Eigenfchappen der Veelhoeken» 223
katen: het geen zeer gemaklyk uit de leere der gelykvormige driehoeken beweezen wordt.
Want Fig. 159. A ABI » A BFD:
om dat L B AI = L B F D = L
L AIC — L BDF: dus L A BI = L EBD;
en daarom (IV. 2) AB: BI — BF: BD: en
dus (IV. 7- Gev. 5.)
Rechth. uit AB, BD = Rechth. uit BI, BF.
gevolg.
De zyde des driehoeks is dus met betrekking tot den radius onmeetbaar: en wy hebben reeds gezien dat het zelfde voor de zyde van het vierkant (VIII Voorftel, 4 Gevolg) voor die van den vyfhoek en voor die van den tienhoek, plaats heeft (XIV. Voorftel Gev. 1.)
XVII. voorstel. Fig. 162.
Wanneer men de boogen, welke de zyden van eenen regelmatigen veelhoek in den cirkel befchreeven befpannen, in twee gelyke deelen deelt, zullen de choorden van die boogen eenen nieuwen regelmatigen veelhoek uitmaaken die tweemaal zo veel zyden zal hebben als de gegeeven veelhoek: 20. Ieder zyde (I E) van dien nieuwen of volgenden veelhoek ftaat tot de helft (K E) van de zyde des eerften, ofvargaanden veelhoeks, in onderdubbelde reeden van de middellyn (BI) tot het gedeelte (B K) van dezelve door de zyde des voorgaanden veelhoeks afgefneeden: 30. De omtrekken der beide veelhoeken ftaan tot elkander in de zelfde reeden: 4°. De inhoud van den nieuwen of volgenden veelhoek ftaat tot dien van den eerften of'voorgaanden, zo als de radius (C1) van den cirkel tot de loodlyn (C K) van den eerften veelhoek; of 5°. zo als de zyde FE van dien voorgaanden veelhoek; tot de loodlyn (F S) van het uiteinde (F) van deeze zyde (F E) op
den



«24- VI. Bock: Over dc Veelhoeken.
den radius (CE) getrokken, of eindelyk 6°. in onderdubbelde reeden van de middellyn (TE) en het ftuk T S van dezelve middellyn, bewys. Het I. gedeelte fpreekt van zelf. voob het II. en III. Indien de zyde FE in twee gelyke deelen in K verdeeld is, en de middellyn IKB uit Kop dezelve rechthoekig getrokken is, uit V, 4, en uit de gelykvormigheid der AA IKE en IBE (IV, 2.) vooit 11 et IV. Uit de befchouwing, dat zo g het getal zyden in den eerften veelhoek is, die veelhoek gelyk is aan 2 gx A KCE: en de volgende veelhoek aan 2 g x A ^1 CE.-welke driehoeken tot elkander ftaan —CK: Cl: en dus ftaat de volgende veelhoek tot den voorgaanden als Cl: CK.
voor het V. en VI. Uit de gelykvormigheid der driehoeken FSEenCEK.is CK:CEofCI=FS.EF = yST:yïü (IV, 12: het 3 Gev.) en dus de volgende veelhoek tot den voorgaanden alsFE:FS •£ y TE: y TS. I. aanmerking. Het laatfte gedeelte is het fchoon Tfieorema door den Heer hen nekt in het Vdeel der Verhandelingen van de Hollandfcbe Maatfcbappy bi. 250 gegeeven ; wy hebben het hier op eene eenvouvvdiger wyze beweezen. De Heer hennprt gebruiktandere woorden .-namelyk voor FS hoekmaat of finüs van den 6 FCE of middelpuntshoek: voor FE of dubbele KE, dubbele hoekmaat van denhal, ven middelpuntshoek: voor S T verkeerde hoekmaat, (finus verfus) van L TCF, of fupplement van den middelpuntshoek FCE: welke benaamingen wy in het VIII Boek zullen uitleggen.
I. GEVOLG.
De omtrek van eenen regelmatigen veelhoek in den cirkel befchreeven is kleiner dan de omtrek van eenen regelmatigen veelhoek, insgelyks in denzelfden cirkel befchreeven, doch die een dubbeld getal zyden heeft.
II. Ge-



I. éfi. Eigenfchappen der Veelhoeken. 225
II. GEVOLG.
De inhoud van eenen regelmatigen veelhoek in eenen •cirkel befchreeven is kleiner dan die van eenen regelmatigen veelhoek, insgelyks in den zelfden cirkel befchreeven, doch die een cjubbeld getal zyden heeft.
III. GEVOLG.
Daar de veelhoek op FE: veelhoek op IE — CK: Cl: en CK: Cl = CK: CE zz FT: TE; zo is een veelhoek in den cirkel befchreeven. lot den veelhoek insgelyks inden cirkel befohieeven ,doch die een dubbeld getal zyden heeft, 20 als de choorde van het fupplement des boogs door de ^yde des eerstgemelden veelhoeks befpannen, tot de middellyn.
vieta, Oper. p. 398.
IV. GEVOLG.
Waar uit wederom volgt, dat zo men eenen veelhoek heeft die in den cirkel befchreeven is , en men door verdeeling der bogen in twee gelyke deelen eenen tweeden veelhoek befchryft, die dus een dubbeld getal zyden heeft, vervolgens eenen derden, die wederom een chïbbeld getal zyden heeft, en d.tn eenen vierden enz. de eerfte veelhoek zal 2zyn tot den laatften (ftel den hften) 20 als de famengeftelde reeden van alle de choorden der fupplement-boogen, tot de magt n—1 van de middellyn.
Dit is een voorftel van vieta (Oper. p. 399:) het welk tot het vinden van den inhoud des cirkels zeer nuttig kan zyn.
V. GEVOLG.
Door het laatfte gedeelte van dit Voorftel kan men den inhoud van eenen veelhoek, door raiddel van eenen veelhoek die maar de helft van het getal zyden heeft, dat is, den inhoud van eenen volgenden door middel van eenen voorgaandcn veelhoek berekenen: en daar men als dan getalen moe
P 09»



226 VI. Bock: Over de Veelhoeken.
gebruiken, zal men op het geen wy in bet VII Voorftel vaa het IV Boek, het 8 Gev. en de Aanm. daarop gezegd hebben , moeten letten. Die uitdrukkingen dus gebruikende, is het getal waar door de inhoud van den voorgaanden veel. hoek uitgedrukt wordt = 2g % ACKE = g X CK XKE: en dus is •
Volgende veelhoek t<tf£3cCK$:KE=CI:CK: en volgende veelhoek — g x CK tc KE X Cl CK
gXFE X Cl r or /r*FE = 2 = (zo Cl = ,) -
waar uit dit uitmuntend voorftel van Ludolf van Geulen (in zyn Boek over den Cirkel, en ook te vinden by Snellius prop. 30 volgt:
„ Indien men de zyde van eenen veelhoek in eenen cirkel „ wiens radius gelyk aan de eenheid gefteld wordt, befchree„ ven, door bet halve getal der zyden multipliceert, verkrygt „ men den inhoud van eenen veelhoek die een dubbeld getal „ zyden heeft, en in den zelfden cirkel befchreeven is."
VI. CE VOLG.
Daar de volgende veelhoek =g tt FE-£ Cl is, zo is ces
2
veelhoek gelyk aan eenen driehoek wiens hoogte de radius is en wiens grondlyn de omtrek is van eenen veelhoek die maar half zo veel zyden als de gegeeven veelhoek heeft.
Dit is een zeer gewigtig Voorftel, door Huigens; in het bewys van zyne 7e propofitie de vera Circuit magnitudim, ge» ïeeven.
VII. GEVOLG. Dus is de inhoud van den zeshoek tot dien van den driehoek (Fig. 144) zo als CA: CV rz tt 2 (VIII Voorftel, 3e Gevolg): dus is de zeshoek het dubbeld vaa den driehoek. Dit is de 5e propofitie van Snellius.
VIII. GE-



ƒ. Ajd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 227
VIII. cevolc.
Dus is de inhoud van den twaalfhoek gelyk aan de helft van zesmaal de zyde van den zeshoek gemultipliceerd door den radius; of gelyk aan drie maaien het vierkant van den radius (ViH Voorftel het 2 Gev.):of ook gelyk aan het vier. kant van de zyde des gelykzydigen driehoeks (XVI Voorftel.)
Het eerfte is de 5 propofitie by Snellius waarover men Hennert ter aangehaalde plaatfe kan nazien: en het tweede is zyne 4e propofitie.
IX. gevolg.
Waar uit, (en uit het VlII Voorftel het 4e Gevolg) wederom volgt: dat de inhoud van den twaalfhoek tot het vierkant in den cirkel befchreeven, ftaat zo als 3: 2 en tot het vierkane op den diameter zo als 3: 4.
XVIII. voorstel. Fig. 162. Het vierkant van de zyde (FE) van eenen veelhoek in den cirkel befchreeven, ftaat tot den nïiddelpunts driehoek (F CI) van eenen veelhoek in den zelfden cirkel befchreeven, en die een dubbeld getal zyden heeft, zo als de halve zyde (KE) des eerstgemelden veelhoeks, tot het aehtfte gedeelte van den radius.
bewys. A CIE: A CEK = Cl: CK (IV, 6) dus A ClE:[i rechth. uit CK.KE — Cl: CK of A CIE: i KE = Cl: 1
en dus A CIE: □ op KE = Cl: 2 KE (III. io,
het 2 Gev.)
dus
rjopFE: A CIE =r KE: f Cl. aanmerking. Dit is de fraaie propofitie van den Heer Hennert ter aangehaalde plaatfe bi. 243, doch hier veel korter beweezen. Gemelde Heer gebruikt voor KE de uitdrukking fmus van den bateen middelpunt: boek: welke uitdrukking wy in het VIII Boek veiklaaren zullen.
F 2 G*



2*8
VI. Boek: Over de Veelhoeken.
GEVOLG.
A CIE: □ op Cl zz i KE: Cl:
dat is:
De middelpunts driehoek van eenen veelhoek tot het vierkant van den radius, zo als ife"h^Van de zyde eens veelhoeks die maar het halve getal 'zyden bezit, tot den radius. Hennert, p. 255.
(XIX. VOORSTEL. Fig. 162.)
Indien een regelmatige veelhoek (EFABDE) in eenen cirkel befchreeven is; zal de zyde (IE) van eenen regelmatigen veelhoek (EIFt A, enz.) die insgelyks in den cirkel befchreeven is, doch een dubbeld getal zyden heeft, middelevenreedig zyn tusfchen den radius en het verfchil (QE) van de middellyn (TE) met de choorde (F T) van het fupplement (TAtF) des boogs (F IE) die de zyde van den eerstgemelden veelhoek befpant. mreidino. i°. Men trekt uit C, C4 l op IE: welke de lyn K E in O fnydt. 20 Door I en O de lyn IP op CE; 3o Uit T met den radiusTF den boog FQ: ze dat TQ = TF: en dus QE = TE—TQ= TE— TF. bewvs. Uit de bereiding, en uit 1,11. Gev. 5. volgt i° lOrz OE: 20 in A CIO en in A CEO, L CIO zz Z.CEO: waar uit 30 in AA KOI en OPE, KO == OP, en L OPE = L OKI zz L: dus is IP j. op CE: en dus 40. in A CK O en A COP, CK = CP: gevolglyk eindelyk: 50 uit A TFE ^ A KCE en III, 9. CK=| TF: en dus CP = i TF.
Dit gefteld zynde is, uit A TEI A IPE, TE: IS JS IE: PE: en dus (IV, 7 : Gev. <;.) □ op IE = Rechth. uit TE en PE
— Rechth. uit TE en (CE—CP) SS Rechth. uit TE en (CE—-i TF) , = Rechth.



I. Afd. Eigenfchappen der Veelhoeken. *2r>
= Rechth. uit TE en (2 CE—TF) 2
— Reehth. uit i TE en (TE—TF) ZZ Rechth. uit CE en QE.
I. aanmerking. Men vindt dit Voorltel by Snellius prop. 1: en reeds by Ptclemaeus (Almgeftum Lib. I. Cap. 2.) doch op deeze wyze uitgedrukt.
TE: IE = IE: PE: maar PE as J (TE—TF) = ï QE.
GEVOtC.
Daar dan pop IE zz Rechth. uit TE en (TE—TF.)
2
en □ op TI = □ op TE — Dop IE CH, 7 Gev.i.)
is
O op TI zz Rechth. uit TE, TE — Rechth. uit TE
2
en (TE—TF) ZZ Rechth. uit TE en (2 TE—TE 4- TF) a
= Rechth. uit TE en (TE + TF.) 2
Dit is het vermaard Voorftel door Snellius gevonden, en waar vaa het nut tot het vinden van den inhoud der veelhoeken zo aanmerkelyk is: namelyk
„ Het vierkant op de choorde van het fupplement des „ boogs door de zyde van eenen veelhoek befpannen, is „ gelyk aan den rechthoek uit den radius en de fom van de „ middellyn met de choorde van het fupplement des boogs „ door de zyde van eenen veelhoek die flechts het halve ge„ tal zyden heeft, befpannen."'
II. aanmerking. Dit Voorftel brengt zeer veel toe om geinaklyk den omtrek van veelhoeken te vinden, waar van het getal der zyden beftendig dubbeld genomen wordt: want een veelhoek , by v. een zeshoek , of een vierkant, gegeeven zynde, bereekent men eerst door dit Voorftel
P 3 d«



«3© VI. Bock: Over de Veelhoeken.
de zyde van den veelhoek die eens zo veel zyden heeft: dan, door dit Gevolg, de choorde van den fupplement boog, dan wederom door het Voorftel de zyde van den volgenden veelhoek, enzovoorts: welke berekeningen alle volgens eene beftendige orde volgen; zo als by Snellius te zien is , en insgelyks by Montucla Hift. de la Quadrawt du Cerele p. 52.
XX. VOORSTEL. Fig. 80. Indien men de naastliggende zyden (FG, FE) van eenen regelmatigen veelhoek in twee gelyke deelen verdeelt, eude ftippen (L en M) dier verdeeling met lynen (LM) vereenigt, zal er i° een nieuwe veelhoek ontftaan, die den eerstgemelden gelykvormig, en in den zeiven befchreeven is: deszelfs zyde zal tot de zyde van den gegeeven veelhoek ftaan zo als de loodlyn (C L) van den gegeeven veelhoek tot deszelfs radius, of tot dien van den cirkel daar hy in befchreeven is: 30 de omtrekken zyn in die zelfde reeden, en 4" de inhouden in de verdubbelde reeden; of ook 50 zo als de loodlyn (C R) van den nieuwen veelhoek tot den radius (C F) van den gegeevenen.
bewys. Voor het I. uit het XVIII. van het II B. en zie
de 1 bepaaling v^n dit Boek.
voor het II en III. vervolgens uit de gelykvormigheid der driehoeken LR F, CL F en CLR. vooe het IV: uit het XVII Voorftel van het IV Boek. voor het V: uit de befchouwing dat die veelhoeken onderling zyn = A CLR: A CLF en dus (IV, 6) zo als CR: CF.
aakmerking. Wy zullen in het IV Gevolg van het volgend Voorftel dien veelhótk den veelhoek in den gegeeven veelhoek befchreeven noemen: de reden blykt uit de «. Aanmerking op de eerfte bepaaling.
XXI. voos.-



L Afd. Eigenjchapptn der Veelhoeken. 131
XXI. voorstel. Fig. 162. Indien men de ftraalen (CF, CE) van eenen in den drkel befchreevenen veelhoek (F E D B A F) verlengt, tot dat zy de raaklyn (N G) ,uit het ftip (I), alwaar de verlengde loodlyn (CI) den omtrek fnydt, getrokken, ontmoeten (in N en G) zal het ftuk (N G), dat men op die wyze van de gemelde raaklyn affnydt, de zyde zyn van eenen regelmatigen en gelykvormigen veelhoek om den cirkel befchreeven: of, indien men de aangrenzende zyden (DE, en E F>van den veelhoek in den cirkel befchreeven , in twee gelyke deelen deelt, en uit het middelpunt (C,) door de fnydings ftippen (R, en K) lynen (CRU, en CKV) trekt totdat zy de raaklyn (VU) ontmoeten die in het ftip (E) daar de gemelde zyden (F E en DE) famenkomen getrokken is, zal het gedeelte (V U) van die raaklyn, tusfchen de gemelde lynen begreepen, «>ok de zyde zyn van eenen gelykvormigen veelhoek zo wel om den cirkel als om den eerstgemelden veelhoek befchreeven.
Verder, de zyde (NG of VU) van den veelhoek om den cirkel ftaat tot de zyde (FE of IL) van den veelhoek in den cirkel, zo als de radius (Cl) van den cirkel, tot de loodlyn (C R) van den veelhoek in den cirkel: de omtrekken ftaan in de zelfde reeden: en de inhouden in de zelfde reeden doch verdubbeld of wel zo als de radius van den cirkel tot de loodïya (C Q) van den veelhoek die in den gegeeven veelhoek, (FEDBAF) befchreeven is.
eewys. voor ülT I. en II. Üit de gelykheicï der driehoeken NC1 en VCE, door bét IX Voorftel van het 1. Boek.
voor het III. Uit de geSylivermige driehoeken CK E en CiG: —— vervolgens uit. 1Y , jS 17; esndelyfc ts'a P 4 *e



*32 PL "Boel: Over de Veelhoeken.
de befchouwing dat de gelykvormige veelhoeken om en 'm den cirkel tot elkander ftaan als A. CIG: A CKE = IG: KQ(IV, 6) = Cl: CQ.
I. GEVOLG.
Het blykt uit dit Voorftel hoe men eenen regelmatigen en gelykvormigen veelhoek om eenen gegeeven regelmatigen veelhoek of om eenen cirkel befchryven kan : en dat er geen regelmatige veelhoeken om veelhoeken, of om cirkels, befchreeven kunnen worden dan die welke men in den cirkel befchryven kan: waardoor men het 2, 4, 7, 8, 12 en ï8. Werkftuk van het V Boek der Werkftukken kan oplosfen.
II. GEVOLG.
Zo dra de zyde van eenen veelhoek in den cirkel befchreeven gegeeven is, kent men de zyde van den gelykvormigen veelhoek die om den cirkel befchreeven kan worden.
III. GEVOLG.
De zyde van het vierkant om den cirkel befchree. ven, is gelyk aan de middellyn: en dus is deszelfs inhoud het dubbeld van het vierkant in den cirkel befchreeven (VIÏI. Voorftel het 4 Gevolg.)
IV. GEVOLG.
De zyde van den veelhoek om den cirkel of om eer.en veelhoek befchreeven, beeft tot de zyde van dien veelhoek de zelfde reeden als deeze zyde tot de zyde van den veelhoek, indenlaatstgemelden of den gegeeven veelhoek befchreeven: dat is (door het voorgaand en doof dit Voorftel.) VU: IL (of F E) =: 1L (of FE): RK; endus „ Is de zyde van dien gegeeven veelhoek middenevenree„ dig tusfchen de zyde van den veelhoek in denzelven -, en
>, de



1. Afd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 233
„ de zyde van den veelhoek om denzelven befchreeven; en „ insgelyks is het met de inhouden geleegen."
Want □ op VU: □ op FE =z □ op FE: □ op RK: en dus (IV: 17) Veelhoek op VU: veelh. op FE = veelh. op FE:
veelh. op RK.
V. gevolg. Indien men de lyn FD trekt, zyn de AA RKE en FDE
gelykvormig en dus is
KE: RK, = FE: FD; maar KE = i FE: dus RK = i F D waar uit het voorgaande gevolg dit wordt
VU: FE = FE: § FD: dat: is in woorden:,, de zyde ,, van eenen in den cirkel befchreeven veelhoek, is middene„ venreedig tusfchen de zyde van eenen gelykvormigen vcel„ hoek om den cirkel befchreeven, en de halve zyde van „ eenen veelhoek, insgelyks in den cirkel befchreeven; doch „ die flechts de helft van het getal zyden des gegeeven veel„ hoeks bezit.
huioeks de Circuit magnitudine, prop. 13.
VI. gevolg.
Uit het IV Gevolg blykt al verder dat het verfchil der in. houden van den regelmatigen veelhoek om den cirkelen van den gelykvormigen in den cirkel befchreeven , tot den inhoud van den eerstgemelden veelhoek ftaat .. in verdubbelde reeden van de zyde des veelhoeks in den cirkel, tot de niiddel/yn:
Want daar veelh. op VU : veelh op FE ss veelh. op FE: veelh. op RK is (III 8, N°. 3)
, veelh. op V ü —veelh. op FE : veelh, op VU — 'j veelh. op FE—veelh. op RK : veelh. op FE ZZ A ftQf'-: A ftCE =: QE: CE (IV. 6.) maar QE: RE éz RE: CF. (IV. 12. Gev. 2.) en RE: CE ~ RE: CE
P 5 dus



234 VL Boek: Over de VtelUékvt.
dus QE: CE = RE*; CE1: (Hl., lo) eii dus:
veelh. op VU — veelh. op FE: veelh. op VU ~ RÜ? ;
CE3 = FE*: TE*:
VII. CÏVOtG.
Dus is het gemelde verfchil gelyk aan eenen gelyfcvormi:gen veelhoek die befchreeven zoude worde» om eenen cirkel waar van de zyde FE des gegeeven veelhoeks de middel» Jyn zoude zyn. (IX Voorftel.)
du fay Mem. de l'Acad. 1729: p. 297.
VUL gevolg.
Dus is het gemelde verfchil ook gelyk aan den veelhoek die gevormd wordt door de ontmoeting der lynen die,, of de uiteinden der evenwydige zyden van den gegeevera veelhoek, zo deszelfs zyden even zyn , veréénigen , of die loodrecht op de zyden getrokken wosden, indien het getal der zyden oneivcn is. (Voorgaande Gevolg en XV. en XVL Voorftel van het II. Boek.) Want, in die veelhoeken, is de loodlyn de helft van de zyde des gegeeven veelhoeks „ en dus radius van den cirkel in die veelhoeken befchreeven. bu fay ibid f. 299.
XXII. voorstel. Fig. 162.
Indien men uit het middelpunt (C)des cirkels lood» ïynen (Cl, C L) nederlaat op de aan elkander liggende zyden (NG, Ga) van eenen regelmatigen veelhoek (N G a) om den cirkel befchreeven , en men trekt eenen radius (CEG) naar den hoek(G) welken de gemelde zyden onderling maken: zomen eindelyk de hoeken (ICG, GCjfc) welke die ftraal met dc gemelde loodlynen wederzyds maakt, in twee gelyke deelen deelt, door lynen CX, C Y, die tot de zyden (N G, Go) des veelhoeks (in X en Y) verlengd worden, zal het volgende plaats hebben:
in. De



1. Jfd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 235
i; De lyn XY, die de gemelde fnydings-ftippen verëénigt, zal de zyde zyn van eenen nieuwen veelhoek om den cirkel befchreeven, doch waarvan de zyden het dubbeld in getal zullen zyn.
20. Ieder zyde X Y van dien nieuwen veelhoek ftaat tot de zyde van den gegeeven veelhoek, zo als de ra. dius (CE) van den cirkel tot de fom van den radius des cirkels, en den radius (C G) des gegeeven veelhoeks :
3°. De omtrekken der beide veelhoeken, van den nieuwen en van den gegeeven, ftaan tot elkander, zo als de middellyn van den cirkel tot de fom van den radius des cirkels en den radius des eerften veelhoeks :
4°. En de inhouden ftaan in de zelfde reeden. BtWYS. voor het I. Uit de gelykheid der AA CIX en CYL, volgt CX= CY, IX — L Y, en dus X G = GY ; W3ar uit (I., 12. het 3. Gevolg) volgt CE ± op XYi en dan uit A 1CX = A XCE, CE = Cl: dus raakt het ftip E den cirkel, en is 1 X zz X E: insgelyks E Yzz L Y. voor het II. Uit IV , 9.: en dan uit de famentelling der reedens, door III. 8 No 1,
voor het III. Uit de befchouwing dat zo de omtrek van den gegeeven veelhoek is g >C IG: die van den nieuwen zyn zal 2 g x 1 X of X E.
voor het IV. Uit de befchouwing dat de inhouden zyn in famengeftelde reeden van de omtrekken en de loodlynen (II. 17, en IV, 7.) en dat hf?r de loodlyn voosheide de veelhoeken dezelfde is, namelyk de radius van den cirkel.
I. GEVOLG.
De zyde van eenen veelhoek, om den cirkel befchreeven, is kleiner dan de zyde van eenen veel hoek
in»-



%SÓ VI. Boek: Over de Veelhoeken.
insgelyks om denzelfden cirkel befchreeven, doch die flechts half zo veel zyden heeft.
II. gevolg.
De omtrek of de inhoud van den eerstgemelden , is ook kleiner dan de omtrek of de inhoud van den laatstgemelden.
III. gevolg.
De zyde van eenen veelhoek om den cirkel befchreeven, ftaat tot de zyde van den veelhoek in den cirkel befchreeven, doch waarvan het getal zyden maar half zo groot is, zoals de radius van den cirkel tot de fom van den radius des cirkels en de loodlyn des laatstgemelden veelhoeks,
Want , door ons voorftel is IX: IG = Cl: Cl + CG = CK: CK + CE: raaar IG : KE — Cl : CK
dus (III. 10)
IX: KE = Cl: CK + CE = XY :FE
IV gevolg! Dus is de zyde van den zeshoek om den cirkel tot de zyde des driehoeks in den cirkel, zo als R: [ R + R 2 ZZ: 3. (VIII. Voorftel. 3. Gev.)
SNELLIUS prop. 7.
XXIII. voorstel. Fig. 162.
Een veelhoek in den cirkel befchreeven is middel-evenreedig tusfchen eenen veelhoek in den cirkel, en eenen veelhoek om den cirkel, doch die beiden flechts het halve getal zyden van den gegeeven veelhoek bezitten: en de veelhoek om den cirkel is harmonisch middelevenreedig tusfchen den gelykvormigen veelhoek in den zelfden cirkel befchreeven, en den veelhoek om den cirkel befchreeven, doch die flechts het halve getal zyden bezit.
SNEL-



/. Afd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 237
snellius prop. 9. voor het I. gedeelte.
saurin, Mem. de l'Amd. 1713-: P- 10. voor het II. ged. voor het I. gedeelte, bereidinc. Zo'IE de zyde is van den veelhoek in den cirkel, zyn FE en NG de zyden va» de veelhoeken in en om den cirkel, die flechts het halve getal zyden hebben: en dus zyn die drie veelhoeken als a A ICE : A FCE: A N CG = A ICE : A KCE: A ICG.
bewys. A K G E : A ICE = KQ : IP
= CK : Cl
= CE : CG. A ICE : A ICG = KE : IG = CE : CG: dus
A KCE : A ICE = A ICE : A ICG of veelh. op FE: veelh. op IE = veelh. op IE: veelh. op TG DTBW.
voor het II. gedeelte. bereiding. Zo' NG en FE de
zyden zyn van gelykvormige veelhoeken om en in den cirkel, zal tL ZZ FD de zyde zyn van eenen veelhoek in den cirkel, die het halve getal zyden heeft: en dus indien men CL tot aan de raaklyn NIH trekt, is IH de halve zyde van den veelhoek om den cirkel, welke dus het halve getal zyden bezit: en dus zyn de veelhoeken op NG, FE, en het dubbeld van IH, als de A A NC<5, FCE, enICH.
of als
HetftuklCLG, dat= ANCG is,A ICL, die = A FCE is en A ICH.
Daar nu volgens de 22 bepaaling van het III. Boek drie grootheeden harmonisch evenreedig zyn, wanneer de eerfte ftaat tot de derde zo als het verfchil tusfchen de twee eerften tot het verfchil tusfchen de twee laatften, moet msn bewyzen dat,
A ICL: AlCH=ftukICLG —A ICL:A ICH —
ftuk 1CLG.
of



238 VI. Boek: Over de Veelhoeken.
of
AICL:AICH = AILG:a GLH. bewys. A ICL : A ICH — CL : CH = Cl : CH A ILG : A GLH = IG : GH = Cl: CU (IV. 9.) dus
A ICL : A ICH =s-£ fLG<: £ GLH : cn dus veelhoek op het dubbeld NG harmonisch middenevenreedig tusfchen veelhoek op FE, en veelhoek op het dubbeid van IH.
aanmerking. Dus is, by voorbeeld, volgens het I. gedeelte van dit Voorftel, de zeshoek in den cirkel midden evenreedig tusfchen den driehoek in en den driehoek om den cirkel : en de zeshoek om den cirkel is harmonisch middenevenredig tusfchen den zeshoek in den cirkel, en den driehoek om den cirkel.
XXIV. voorstel. Fig. 129. Indien men in den cirkel eenen regelmatigen veelhoek befchryft, waarvan het getal der zyden even is; de middellyn (AE) door twee tegen elkander overftaande.hoekenjtrekt, zo als ook uit het uiteinde (E) van die middellyn de choorde (EB) naar het einde der zyde (AB) aan die middellyn grenzende: en zo men eindelyk de zyden, CA B en A H, B C en H G) enz. die op gelylten afftand van de middellyn zyn door rechte lynen (BH, CG, DF) die allen de middellyn rechthoekig fnyden vereenigt; zal de rechthoek uit de middellyn (AE) en de gemelde choorde (BE) gelyk zyn aan den rechthoek uit de zyde (A B) van den veelhoek, en de fom van alle de lynen (B H, C G, D F) die de zyden vereenigen. abckimedes, de Sphaera et Cylindro: pr. ai. bereiding Men trekt CH, DH, DG enz. die de middellyn in L, M, N fnyden.
bewys. Uit de gelykvormigheid der driehoeken, A BK, LKH, LCM, MGN, NDO, OFE, volgt de geduurige evenreedigheid van BK : K A = HK : KL —
CM:



I. Jfd. Eigenfchappen der Veelhoeken. 239
CM : ML = GM : MN r DO: ON =: FO;OE eo uit ML 17. die van BK : KA zo als de fom der voorgaanden tot die der volgenden; en daar uit (door IV. 7. Gev. 5.) de gelykheid der gemelde rechthoeken.
1. aanmerking. De rechthoek moet een getal zyden beaitten dat eeven is, want anders is de lyn A E geen middellyn , en de lynen BH, CG, DF, zyn niet evemvydig aan elkander , waar op de gelykvormigheid der drie. hoeken rust.
II. aanmerking. Heeft dit Voorftel plaats in het algemeen, zo heeft het ook plaats in die regelmatige veelhoeken, waarvan het getal zyden niet alleen even, maar ook eene vermeenigvuldiging van vier is: en het is in dien zin, dat tacquet dit Voorftel van archimedes opgeeft, in zyne Tbeomata Jeleü» ex Archimede pr. 16.: om dat het alleen dat geval is, dat door akckimedes zeiven, ter bepaling van den inhoud eens kloots, gebruikt wordt, in Gevolg
2. opdit Voorftel: Zie ons XII. B.: 13 en 14 Voorftel.
XXV. voorstel. Fig. 129.
Indien men in een cirkel ftuk (DAF) waarvan de grond*yn (D F) rechthoekig ftaat op de middellyn, een regelmatigen veelhoek befchryft, waarvan het getal zyden even is: en men trekt de choorde (5 E) van het einde eener zyde (AB) die aan de middellyn grenst naar het einde der middellyn, zal de rechthoek uit die choorde, en het gedeelte (AO) der middellyn tot aan de ontmoeting van de grondlyn (DO F) begreepen, gelyk zyn aan den rechthoek uit eene zyde (BA) des veelhoeks, en de fom van alle de lynen (BK, CM, D O) die de zyden des veelhoeks op dezelfde wyze als in het voorgaand Voorftel vereenigen.
archimedes de Spbaera et Cylindro, pr. 23.
bereiding. De zelfde als in het voorgaand Voorftel.
bewys. Uit de gelykvormigheid der diiehoeken ABE,
AB K, HEL, LCM, MGN, ND O, woidt afce!eid:
AB:



S40 VI. Boek: Over Je Veet&oeketi.
AB:BE = AK:BK = L K : HK — LM: CM —j MN: MG = NO: OD:
Waar uit door III. 17. AB: B E zo als de foin van alle de voorgaanden tot die der volgenden: en daar uit volgt (door IV. 7. Gevolg 5.) de gelykheid der bewuste rechthoeken.
aanmerking. De beide aanmerkingen, op het voorgaand Voorftel gemaakt, gelden hier ook.
gevolg. In het bewys heeft men gezien dat AB : BE = AK ■+- KL +LM + MN + NO+ OE (zo men den geheelen cirkel neemt) : BK -+■ HK -+■ CM + MG + DÜ + OF:
of dus
A B : B E =AE:i(BK-(-CM + DO)>> Wy zullen dit Voorftel, door vieta opgegeven, (Opir. p. 315.) in het XXII. Voorftel van het VIII. Boek gebruiken.
XXVI. voorstel. Fig. 162.
Indien men in een cirkel ftuk (FIELD) eenen gelyk» beenigen driehoek (FED) befchryft , en wederom tenen gelykbeenigen driehoek (FIE, ELD) in ieder der cirkelHukken die door de zyden (FE, ED) van den eerstgemelden driehoek (FED) gemaakt worden, zal deeze driehoek (FED) kleiner zyn dan het viervouwd der beide aadere driehoeken (FIE, ELD) te famen genomen. huigens de Circuli Magn. pr. 1.
sereidng. Men trekke IL, en dan E C loodrecht: waar-
uit volgt: FE =2 ED, — IL: en A IEL = AELD
= A FIF.
bewys. 'O op F E : □ op IE = E S: E P. (V. 5. Gev. 2.) Maar FI = I E, en FI -+. IE V FE (L, 14.)
dus FE "s. 2 IE: dus □ op FE: □ op IE ■<*. 4 : 1 : dus ES: EP X 4 : 1.
Ins-



I Jfl Eigenfchappen der Veelhoeken. 241
Insgelyks FD : IL of FE ^ 2:1.
dus ES X FD : EP X IL t 8 : 1. Maar AF/ED : A IEL = ES . FD : E P . IL (IV. ti) dus A*ED:A IEL ^ 8 : 1. of AFED "s 8 A IEL: en dus AFED < 4(AE1E + A ELD)
XXVII. voorstel. Fig. 162*
1 Indien men in een cirkelftuk (IEL) dat kleiner is dan een halve cirkel, eenen gelykbeenigen driehoek O EL) befchryft, en voorts op de zelfdegröndlyn (IL)eenen gelykbeenigen driehoek (1GL) wiens beenen (I G , LG) raaklyhen zyn van dezelfde cirkelbogen (IE, LE): zal de raaklyn CXEY) die door den top E des eerstgemelden driehoeks (IEL) getrokken wordt, van den laatstgemelden (IGL) eenen driehoek (X G Y) atfnyden, die grooter is dan de helft Van den eerstgemelden Cl EL).
huigens de vera Circuii Mogn. pr. 2. bereiding. Men trekke door G en E de lyn GEC, diedus op IL loodrecht valt (I. ii. het 5. Gevolg). bewys. A -G L: A IEL = GP: E P (IV. 7. het 1 Gev.)
= 1G.-IX (IV. 2.)
A XG Y : A IGL r= GX=:IGJ du. A XGY: A IEL = GX'tlX.IG Maar GX V IX, en V l Wt- (XXII. Voorft. Gev. i.) dus GP V I IX.IG: en dus A XGY V I A IEL.
Q
II. AF-



242 VI. Boek'. Over de Veelhoeken.
II. AFDEELING.
QVER DE VEELHOEKEN DIE DOOR HET TREKKEN VAN DIAGONALEN IN EN UIT ANDERE VEELHOEKEN GEVORMD WORDEN.
XXVIII. VOORSTEL. Fjg. I44, 166.
la alle veelhoeken kan inen zo veele diagonalen, of lynen die van eenen hoek naar de andere hoeken gaan, trekken,
als'er eenheden zyn in het getal ^^i^P; indien g het ga-
tal der zyden uitdrukt.
lexel, Novi Commentarii Petropol. T. XIX. p. 231. xewys. Er zyn g hoeken in de figuur: dus, indien men A niet mede rekent, g— 1: gevolglyk kan men uit A, naar de af.dere hoeken g — 1 lynen A B, AD», AE, AF enz. trekken: uit den tweeden hoek B, kunnen g—2 dérgelykc en van de vorige verjchülenie iynen getrokken worden;' namelyk B D, B E Bf; er z : want men telt nu de lyn B A, reeds uit A naar B getrokken, niet meede.
Uit den derden hoek zullen 'er g — 3 dergelyke lynen DE. DF enz. getrokken worden: en zo voorts, tot dat men aan den hoek, die op éénen na de laatfte is, komt, waar uit 'er maar éen getrokken zal worden: dus is de fom van alle de lynen , g— 1 4. £—2 -f- £ — 3 +g — 4 — — — IC)us is zyde fom van eene arithmetifche reeks ,dieg—1
ledtnheeft, en dus (II1,24)gelyk aan (g~1
—: maar onder deeze lynen zyn de g zyden
vaa



II. Afd. Over ie Veelh. gevormd door Diagon. 243
van de figuur begrepen: de overige alleen, en niet deeze, zyn diagonalen : dus is het getal der diagouuien
g X g -_i . _ g (ff- 3) 2 S ~~ 2
Men kan dus «r/ife, tweede, derde diagonalen enz. noe» ffien, de diagonalen die van iederen hoek (A) naar den tweeden (D), of naar den derden (E), of naar den vierden (F) volgenden hoek gaan.
II. GEVOLC.
Indien dan.de veelhoek regelmatig is, en dus in eenen cirkel befchreeven is of kan zyn, zal de hoek welke ieder zyde AB van den veelhoek met den eerften, tweeden, derden &c. diagonaal die uit het uiterfte van die zyde getrokken wordt, een hoek zyn in den oniüfck , die op den boog rust j welke door de zyde des veelhoeks als choorde befpartï wordt, of op eenen dubbelden, driedubbelden, vierdubbel, den boog, enz. rust: en duszal die hoek gelyk zyn aan eenen. Of aan twee, of aan drie enz. halve middelpunts boeken : dat is, de m- diagonaal zal met de zyde uit wier uiterften zy
getrokken wordt, eenen hoek maken irz Cü;i -4«
het li Gevolg.)
Die hoek zal gevolglyk recht zyn wanneer —" ™ 1: of
* = 2'
III. GEVOLG.
Doch de hoeken, welke twee agteréénvolgende diagonalen onderling maaken, (A D en A E by voorbeeld.) zyn altoos
2L
halve middelpunts hoeken, en dus ieder — ►—:gevolglyk,
g
daar de hoek dien twee zyden onderling maaken -ja^*""2 ■'
S
q 2 li]



244 VI. Boek: Over de Veelhoeken.
is, (II., 14, het 1. Gev.) zal de hoek, dien de me diagonaal uit eenen hoek getrokken, maakt met den ne diagonaal «it'den zelfden hoek getrokken, doch altoos van den anderen kant af gereekend, gr zyn&^H-'")1^1. __ [g-^T"~+ïï 2 L
e g
en dus zullen die hoeken recht zyn, wanneer 2g — 2n — 2<n rg — 4
— 4 = S ot —2— —■ " + *
IV. GEVOLG.
Indien men door de letter n, uitdrukt de hoeveeljlt diagonaal een diagonaal is, zal die jje diagonaal met de zyde van den veelhoek uit welke men begint te teilen, en waaruit hy getrokken is « 4- 1 zyden van den veelhoek als choorde aan den eenen kant befpannen ; de eerfte diagonaal n.imelyk twee, de' d£rrj?drie zyden, enz. en dus aan den anderen kant g (« + 1) zyden.
V. GEVOLG.
Zo dan g een even getal is, en g —..7T+~T zz n + 1 of
g zz: 2 n + 2: of ^ £ = n, zal die diagonaal door 2
het middelpunt gaan , en men, zal tusfchen de zyde van ivaar men telt, en het middelpunt, geenen van een' hoger' rang kunnen trekken : en alle de ne diagonalen , indien n beftenp _ 2
dig zz , zullen elkander in het middelpunt C ont«
moeten.
g —- 2
Maar zo n (g altoos een even getal zynde)
zal men nog alvorens tot het middelpuut te komen diagonalen van een' hoger* rang kunnen trekken : en die van den rang n zullen eikander buiten het middelpunt ontmoeten, en dus door hunne ontmoeting verfcheiden veelhoeken vormen,



II. Afd. Over de Veelh. gevormd door Diagon. 245
o — 2 g — 4
men. Eindelyk zal dan het getal ö—— — i of —
aanduiden . welke de diagonalen van den hoogflen rang zyn, die elkander buiten het middelpunt fnyden, VI. GEVOLG.
Maar zo g een oneven getal is, kan 'er geen diagonaal door het middelpunt gaan (II, 14 Gev.3.) en dus ook niet dendiagonaal , die namelyk welke aan den eenen kant n ■+■ 1 en aan den anderen g — n + i zyden befpant: zo dan n de hoogftë diagonaal is die men trekken kan , zal dezelve n -+- i zyden befpannen , de volgende zal aan den anderen kant ook B-+-I zyden befpannen : en 'er is nog eene zyde tusfchen de twee diagonalen : dus is het getal zyden , of
g — 3
g — »;-*-.- +«-t-H-i=:2ii-f-3:dus« = ——
is de hoogfte diagonaal dien men tusfchen eene zyde en het middelpunt trekken kan,indien het getalg der zyden oneven is.
XXIX. VOORSTEL. Fig. 144, 154, l66.
Alle de diagonalen die men in eenen regelmatigen veelhoek trekken kan, zullen door hunne onderlinge ontmoetingen binnen denzelven zo veele gelykvormige veelhoeken
g — 3
vormen als 'er eenheden zyn in het getal ?——zo het getal
g — 4 .
£ der zyden oneven is; en in het getal z° net Setal
der zyden even is.
20. Die veelhoeken zyn allen om het middelpunt des gegeeven veelhoeks regelmatig geplaatst: doch de eerfte omgekeerd ten opzichte van den gegeeven: de tweede recht: de derde omgekeerd enz. : zo dat de lyn die door den top van eenen der hoeken en het middelpunt getrokken wordt, beurtiings of door de toppen der tegeuov'ergeftelde hoeken, pf loodrecht door de aan elkander evenwydige zyden van Q 3 ds



z\6 VI. Hoé.: Over de Veelhoeken.
de gevormde veelhoeken gaat, zo het getalder zyden eve$ Is; en beftendig door den top en loodrecht door het midden der tegenoverftaande zyde van ie deren veelhoek gaat, zo het getal der zyden oneven i's.
3°. Eindelyk, die veelhoeken worden gevormd, de eerfte door de ontmoeting .van alle de eerfte diagonalen, de tweede door de ontmoeting van alle de tweede, de derde door de ontmoeting van alle de derde diagonalen, enz. die uit lederen hoek getrokken worden.
voorbeelden. Fig. 144. In den zeshoek is *5LüIi — i
2 — '
en er wordt een zeshoek U PQ R S T binnen den gegeeven zeshoek ABDEFG gevormd.
Fig. 154. Voor den vyfhoek is i^il = i s en 'er worde 2
een vyfhoek ONvxy binnen den vyfhoek GBEHK gevormd.
Fig. 166. Voor den tienhoek is 4 — 3: en 'er worden binnen den tienhoek ABDEFHIKLG drie tienhoeken gevormd: namelyk, PQRSTVXYZ ü: abcdefgbik: Imnopq^r stti.
Verder, in Fig. 166. gaat de middellyn B Cl door de toppen c en i des tweeden veelhoeks : doch beftendig lood« recht door de zyden PQ en XV des eerften, en de zyden mn en sr des derden. Doch die zelfde middellyn gaat door den top B en de zyde KHvan den vyfhoek GBEHK: en door de zyde ON en den top x van den vyfhoek ON •vxy : even als in Fig. 144.
bewys I. *£r kunnen zo veel rangen van diagonalen zyn
als 'er eenheden zyn in het getal ~S of naarmate dat het getal van zyden oneven of even is (XXVIII Voorftel, (J en ^Gcvo'g) : Maar, alle de diagonalsn van iederen rang maken
eca'



II. Afd. Over de Veelh, gevormd door Diagon. 247
eenen veelhoek uit,van zo veele zyden als 'er diagonalen van den zelfden rang zyn inden gegeeven veelhoek, dat is, van zo veele zyden als de gegeeven veelhoek zyden heeftff
Dus zullen 'er S of veelhoeken geboren
worden, naar mate g oneven of even is.
Die veelhoeken zyn regelmatig: want het is klaarblykelyk dat (Fig. 144- i<56.) AABQ = AQDE;en
A ABP = A DRE: en dus dat P0- = QR; L PQR
— L A B D: enz. voor de hoeken en zyden van alle de
driehoeken.
Ui Daar (Fig. 144) A BQD gelykbeenig is, valt het ftip Q op de loodlyn die uit het midden Z der zyde BD getrokken wordt , en door het middelpunt gaat: dus L PQC = L CQR: en APCQ=:AQLR: dus PC
— CQ = CR: ofCis het middelpunt van dien veelhoek: en dus ook voor alle anderen; waar uit het overige van de tweede ftelling volgt.
III. Het derde is van zelf blykbaar.
I. GEVOLG. Indien het getal der zyden van den gegeeven veelhoek oneven is, dienen alle de diagonalen tot de vorming van de nieuwe veelhoeken: doch zo het even is, zyn alle de diagonalen welke door het middelpunt gaan daar toe onnuttig: en deeze zyn altoos ~ in getal. Dus zyn in Fig. 144.
drie diagonalen AE, BF, DG onnuttig: in den tienhoeSr van Fig. 166. zyn'er vyf AH, BI, DK, EL, FG. IJ. GEVOLG. Het valt niet moeijelyk de grootte der zyden en loodlynen van alle die veelhoeken, zo we! oDderling, als met betrekking tot den gegeeven veelhoek te bepaalenr mits mett hier aanneeme het geen wy in het VIII, Boek over de finusfen zullen zeggen.
Q 4 Na-



24c? VI. Boek: Over de Veelhoeken.
Namelyk (Fig. 166.) zo de zyden even in getal zyn, 19 de loodlyn Cz de Jir.us des hoeks E G F, die de helft is van den middelpuntshoek ECF.
De loodlyn C« is de finus van den hoek DG F — » middelpuntshoeken: de loodlyn C /3 is de finus van den hoek B G F die gelyk is aan J middelpuntshoeken; en de loodlyn Cy is de cofinus van den hoek GC y die gelyk is aan f middelpuntshoek.
Indien men dan den binnenfien veelhoek den eerften noemt, en alle de anderen vervolgens, ieder in zyn' rang den II, den III, enz. heeft men deeze evenredigheid:
Loodlyn van den I: loodlyn van den II: loodlyn van den
Ï1I: tot loodlyn van den IV, enz. tot loodlyn
van den gegeeven veelhoek, = finus \ middelpuntshoek: finut § middelpuntshoeken: finus g middelpuntshoeken:finus
s middelpuntshoeken: enz. . tot
cofinus. I middelpuntshoek.
Doch, zo het getal der zyden oneven is, is L EGF = { L EGH — \ /. ECH — \ middelpuntshoek: vervolgens BGF = 3 EGFzZ f,ECH 33 | middelpuntshoek : enz. altoos met i middelpuntshoek opklimmende: en dus is
Loodlyn I veelhoek : loodlyn II veelhoek : loodlyn III vee.h. enz. — — : loodlyn van den gegeeven veelhoek — fim^s \ middelpuntshoek: finus \ middelpuntshoek : finus * middelpuntshoek : enz. — —,
Cofinus i middelpuntshoek.
De zyden of omtrekken ftaan in de zelfde reeden (IX. Voorft. en IV., 18.)
III. GEVQLG,
Indien het getal der zyden even is, wordt de binneni fic veelhoek, die namelyk wqlke het dichst by het middel-
|»unt is, door diagonaalen van den rang^-^gevormd (XXVIII Voorft, 5 Gev.) die diagonaal maakt dus op de zyde uit welks
. 8



II. Afd. Over de Veelh. gevormd door Diagon. 249
zy getrokken is eenen hoektr L ZZ ^TL> e" du?» daar twee naastliggende zyden (AB, b6) van eenen veelhoek onderling eenen hoek maaken zz -^"""^ 2 -~ (--• 14. het 1 Gevolg) zal die diagonaal met de tweede van die heide zyden , met (B C) eenen hoek maaken = 2 L ^f~4- L = L: gevolglyk zyn de diagonaalen, welke den
binnenften veelhoek vormen, juist die geene welke loodrecht ftaan op de zyden op welke zy getrokken worden: die dus de aan elkander evenwydige zyden vereenigen: die binnenfte veelhoek is dan die van welken wy in hetXVVoorftel vanhetll Boek en in het XXI (het 7 Gevolg,) van dit Boek na den Heer du fay gefprooken hebben, en die het verfchil is tusfchen den regelmatigen veelhoek om, en den regelmatigen veelhoek binnen den cirkel befchreeven. (XXVIII. Voorftel Gev. 8 ) Dit zelfde blykt ook uit het geen wy in her. voorgaande ge. volg gezegd hebben; want de loodlyn van dien binnenfteu veelhoek is gelyk aan finus \ middelpuntshoek: dus gelyk aan de halve choorde van den middelpuntshoek,- dat is gelyk 'aan de halve zyde van den gegeeven veelhoek.
XXX. VOORSTEL. Fig. 144. IÖ6. Indien het getal der zyden van eenen regelmatigen veelhoek even is, en men de twee naastliggende zyden door diagonaalen , en dus door diagonaalen van den eerften rang vereenigt, zullen er twee gelyke en gelykvormige veelhoeken gebooren worden, wier zyden ha'f zo veel in getale zyn als de zyden in den jegeeven veelhoek.
yoorbeelden. In Fig. 144- worden twee gelykzydige driehoeken ADF, BEG: en in den tienhoek van Fig. 166. worden twee vyfhoeken ADFILA , en GBEHKG gevormd.
ïëwys. Indien men eenigen hoek B voor den eerften aanq 5 neemt,



250 VI. Boek: Over de Veelhoeken.
neemt, zullen de diagonaalen getrokken van den eerflea hoek B naar den derden E, van den derden E naar den vyf. den H enz. tot dat .men weder op den eerften te rug komt, eenen regelmatigen veelhoek uitmaaken, die het halve getal zyden hebben zal. Indien men diagonaalen trekt van den tweeden hoek D ,. naar den vierden F, van den vierden F naar den zesden I enz. ; zal er wederom een gelyke en gelykvormige veelhoek ontftaan.
Maar de diagonaalen van den derden hoek E naar den vyfden H , van den vyfden naar den zevenden enz, behooren reeds tot den eerften veelhoek: en die van den vierden hoek naar den zesden, van den zesden naar den achtften enz. behooren reeds tot den tweeden veelhoek: dus kunnen er maar twee dergelyke veelhoeken gebooren worden. aanmerking. Het blykt van zelf waarom wy in het Voorftel zeggen indien bet getal van zyden even is: want in eenen veelhoek, die een oneven getal zyden bezit, kan men door het trekken van diagonaalen van den eerften rang geen nieuwen veelhoek doen gebooren worden.
I. GEVOLG.
De zyden van die beide veelhoeken liggen in de zelfde lichting als de zyden van den eerften innerlyken veelhoek, PQRSTVXYZU waar van wy in het XXiX Voorftel gefprooken hebben: doch beurtlings: de eerfte namelyk, de derde, de vyfde, van deeze laatstgemelde zyden , of PQ, R S, T V enz. zullen tot den eerften , doch de tweede, vierde, zesde enz., ofQR, ST, VX enz. tot den tweeden veelhoek behooren.
II. GEVOLG.
De zyden van die beide veelhoekèn zyn dus flechts verlengingen van de zyden des innerlyken veelhoeks: zo dat derzelver hoeken beurtlings gevormd worden door de onderlinge ontmoeting van de verlengde even zyden des innerlyken veelhoeks, en van de verlengde oneven zyden deszelfden.
III- GE-



ÏI.Ajd. Over de Veelh. gevormd door Diagon. 251
111. gevolg.
r Men zal, door de verlenging der zyden, alle de innerlyke veelhoeken, cntftsan op de wyze in het XXIX Voorftel gepield , ieder in twee regelmatige veelhoeken veranderen, die de helft van het getal zyden zullen hebben van den gegeeven veelhoek : en daar de zyden dier nieuwe veelhoeken de verlengingen zyn der zyden van de innerlyke veelhoeken uit welken zy gevormd worden, zyn zy ook doelen van de tweede diagonaalen voor de veelhoeken uit den tweeden innerlyken veelhoek gevormd : van de derde diagonaalen voor de veelhoeken uit den derden innerlyken veelhoek gevormd en zo voorts,
IV. gevolg» De hoek,welken de m: diagonaal met den eerften uit het zelfde ftip getrokken maakt is(XXVIH Voorft., 2Gev,)rZ'n—1
, 2 L, , , ,. , , m—1 X 2 Ui —: en dus zal die hoek recht zyn, wanneer —
S &
ZZ 1: of in — £jtl2 is: maar de eerfte diagonaal is hier de 2
fr _L 2
zyde van den nieuwen veelhoek,en dus wat.neer m ZZ ,
is die wie diagonaal de loodlyn uit het einde der zyde van den nieuwen veelhoek op denzelven getrokken.
V. gevolg.
Indien dan het getal der zyden van eenen veelhoek wel even , doch deszelfs helft oneven is , (zo als vooi den tienhoek) zal de nieuwe veelhoek (by v. de vyfhoek GBE II K) een oneven getal zyden bezitten : en de gemelde anc
g + «■
diagonaal van den eerften veelhoek zal , zo m = —-—
(voor den tienhoek de zesde GI) de loodlyn zyn die op de zyde van den nieuwen veelhoek opgericht, den innerlyken gelykvormigen Veelhoek (<J|tóp) waar van wy hier boven in het XI Voorftel van het II. Eoek, en in' het 8 Gevolg van het XXI van dit Boek, na den Heer du gefprooken hebben , helpt uitmaken , en welke veelhoek



252 VI. Bock: Over de Veelhoeken.
hoek het verfchil is tusfchen den veelhoek van een oneven getal zyden om den cirkel, en den gelykvormigen veelhoek binnen den cirkel befchreeven, (Voorftel XXI Gevolg o, 7 8.) doch daar er g~^~3 diagonaalen uit eenen hoek kunnen getrokken worden, zullen er.nog g—3 — + dat is g—8
— diagonalen overig blyven: en dus, van den anderen kant beginnende te tellen, zo als wy tot nu toe gedaan hebben, is de gemelde diagonaal de ^=-8 + 1 0f de //€ZT^V' 2 • \ 1 J'
En dus indien men een veelhoek van een oneven getal zy. den heeft, derzei ven in een cirkel befchreeven vooron Jer. ftelt, en uit denzelven, door verdeeling der bogen in twee gelyke deelen, eenen veelhoek van een dubbeld getal zyden
vormt, zullen de diagonaalen van deezen nieuwen
veelhoek, door haare ontmoetingen, eenen gelykvormigen veelhoek vormen, waar van de zyden, door haare verlenging, zoals in dit Voorftel gezegd is, twee veelhoeken zullen uitmaaken , die aan den eerften gegeeven gelykvormig zyn zal. Jen, aan elkander gelyk, en bovendien gelyk aan het verfchil dat er is tusfchen den gegeeven veelhoek en den gelykvorBiigen om den cirkel befchreeven , zo als wy hier boven ifi navolging van den Heer du fay gezegd hebben. aanmerking. Men ziet hier uit hoe het Voorftel van den Heer du fay, voor de oneven veelhoeken indedaad maar een gevolg is van zyn Voorftel voor de even veelhoeken ; en dat het juist daarvan afhangt dat er binnen den gegeeven oneven veelhoek niet flechts een, zo als voor de even veelhoeken, maar twee veelhoeken gevormd worden, die aan het vereischte voldoen. Men zonde zelfs de beide* voorftellen met de zelfde woorden kunnen uitdrukken: want de lynen welke de evenwydige zyden van veelhoeken die een even getal zyden bezitten vereenigen , zyn loodrecht op die zyden: en dus is het algemeen Voorftel
dit;



II. Jfd. Over de Veelh. gevormd door Dlagon. 233
dit; Indien men uit ieder der hoeken van eenen regel. „ matigen veelhoek loodlynen op de zyd.-n trekt, zullen die loodlynen door haaie onderlinge ontmoeting eenen „ nieuwen regelmatigen en met den gegeeven veelhoek ge„ lykvormigen veelhoek vormen zo het getal der zyden in „ den gegeeven even is : doch zy zullen twee gelyke ,., en gelykvormige vormen, zo het getal dier zyden one„ ven is."
aanmerking. Het fpreekt van zelf dat ieder van die nieuwe veelhoeken weder door diagonaalen verdeeld kan worden
XXXI, VOORSTEL.
Indien men de zyden van eenen regelmatigen veelhoek weèerzyds verlengt , en de ftippen, in welke die verlengde zyden elkander ontmoeten , door lynen vereenigt , zulleu deeze lyr.en zo veele regelmatige met den gegeeven gelykvormige en om het zelfde middelpunt befchreeven veelhoeken uitmaaken, als er eenheden in het getal --—4 , zo de
zyden van den gegeeven veelhoek even, of in het getal — ,
zo zy oneven in getal zyn, begreepen zyn.
voorbeelden. Uit den vyfhoek ON vx y Fig. 154 komen de ftippen GBEHK, die de punten van een vyfhoek maaken. Uit den zeshoek UPQRST, tig. 144. komen door de verlenging derzydenUPen QR, PQ en RS, QR en ST, RSen TU: TS en UP, UT en PQ, de ftippen B, D, E, F, G, A die eenen nieuwen zeshoek uitmaaken: in fig. 167 komen er uit den gegeeven tienhoek, Imnopqrstu, drie tienhoeken : namelyk door verlenging der zyden lm en n 0, m n en 0 p, 110 en pq enz. altoos eene zyde tusfchen beiden laatende de tienhoek aNbvc xdye 0: door verlenging der zyden lm en »ƒ>, nm er. pq, no en qr enz. altoos twee zyden tusfchen beiden laatende, de tienhoek MSTVUXPYRQ: eindelyk door verlenging der 2yden mn en qr, no en r s, op en s t enz , altoos drie zyden tusfchen beiden laatende , de tienhoek E FH IK L GABD.
38-



&5i VI. Boek: Over de Veelhoeken.
bewys. I. De tweeover elkander ftaandezyden van eenen re^ gelmatigen veelhoek,welke evemvycïgaan elkander zyn.zyn door een getal —2 zyden van elkander verwyderd: doch deeze, hoe ook verlengd zynde, kunnen elkander nimmer ontmoeten: dus zal een derzelven maar - 2 dat is g 4
—- verlengde zyden kunnen ontmoeten, en'er zullen dus maar«JS4 veelhoeken gevormd worden. II Indien men in eet: en veelhoek, waar:van de zyden oneven in getal zyn , eene zyde fleémt, zyn er tusfchen dezelve
enden pverftaanden top zyden begreepen, endus
zal die zyde, verlengd zynde, of ^verleng¬
de zyden, wederzyds ontmoeten: en gevolglyk do:>r die ontmoeting de toppen van even zo veel veelhoeken vormen: die alle regelmatig zullen zyn, en om hetzelfde middelpunt befchreeven. —. I. aanmerking. De uiterlyke veelhoeken, dus door famenHelling uit den gegeeven veelhoek geboren, zyn, op Öeri gegeeve en den laatften na/niet de zelfden welke uit dee. zen, door het trekken van diagonaalen , gevormd worden op de wyze in het XXX Voortlel aangeweezen: duszynïfi fig. 167 en 166, de veelhoeken Imnopqrstu en ABDE FHIKLG de zelfden: de beide overige denhoeken zyn verfchillende; doch in den tweeden, a Kbvcxgy e O, ko. men de ftippen N,v,x,y,0, overeen met de ftippen welke door de zelfde letters uitgedrukt worden in Fig. 166. en het valt ook niet moeielyk te onderfcheiden welke lynen het zyn, in de figuur 166, die de flippen, fn de 167 door Q ,R, S i T, U uitgedrukt, en den derden tienhoek uitmaakendey doen geboren worden ; doch om dit duidelyker te maaken hebben wyde hoeken, welke door de ontmoeting dier lynen gevormd worden door grover ftippen aangeweezen.
11. aan:



tï. Afd. Over de Feeïb. gevormd door Diagon. 253
II. aanmerking. Indien men de ftippen, daar de verlengde zyden elkander ontmoeten, niet door lynen vereenigt, zullen die ftippen de kruinen zyn van regelmatige fterachtige figuuren , om den gegeeven veelhoek befchreeven, en waar van de verlengde zyden des veelhoeks de zydt»



25<5
ZEVENDE BOEK,
OVER DEN OMTREK, EN DEN INHOUD VAN DEN CIRKEL,
L AFDEELING,
OVER DE LIMIETEN DER GROOT H EDE f] EN DER REDENS.
VOORBERICHT,
Ik vind het nodig, alvorens tot het hoofdonderwerp va;i dit boek over te gaan, en hetzelve uit ftreng wiskundige grondbeginfelen te behandelen, vooraf iets over die grondbcginfelen zelve , namelyk over de leere der Limieten of Gr ent-paaien van veranderlyke Grootheden te zeggen: al ware het Hechts om de verkeerde begrippen, en alleszins onnaauwkeurige bewyzen, door veele nieuwere wiskonftenaarea voorgedraagen, tegen te gaan. Maclaürin heeft over de leere der Limieten, in den trant der Ouden , vooral van archime. des, gehandeld in de Inleiding van zyn werk over de FluxieReekening, d'alembert heeft die zaak zeer wel uitgelegd ia de Encyclopedie op het woord Lmite, en in zyne Melanges T. v. p. 239. Men kan ook nazien La cnapelle Inflitutions de Geometrie Tome II. 5. 433. en volgende. Doch niemand heeft er naanwkeuriger en volIediger_over gehandeld dan l'huilier, in zyne Expojition des principes des Calculs Juperieurs Chip. 1. Ook newton heeft reeds vooraan in zyne Grondbe' ginjelen eenige Voorftellen op dit ftuk voorgedraagen. Ik zal uit alle die fchry vers, dat geen't welk my voorkomt van het uiterfte belang te zyn en meest onmiddelyk tot ons beftek tebe. hooren, ontkenen, en in eene geregelde orde voordragen.
I. BE



ƒ, Afd. Over de Limieten der Grootheden. 25^
I, EEPAALIN6,
jndien eenige grootheid A, door vermeerdering, of Boor vermindering, aan eene andere grootheid Lhoe langer hoe nader komt* zonder echter dezelve.immer te kunnen overtreffen of evenuaren, wordt die tweede grootheid L de Limiet van de eerstgemclde A genoemd, en wel de Limiet in grootte zo de grootheid A aan de Limiet L by vermeerdering, doch de Limiet in kleinheid, zo zyaan de zelve vermindering hoe langer hoe nader hykomt.
I. GEVOLG.
Üaaf de grootheid A, door beftendige vermeerdering of vermindering, aan de groot heid L, of haare Ltmiet, altoos nader en riader komt, volgt het dat zy zodanig vermeerderd of verminderd kan worden, dat zy van haare Limiet minder verfchillen zal dan eenige mogelyke gegeeven grootheid, hoe klein die ook zyri moge, bedraagt.
VOORBEELi>E&.
Fig. 40. De Tangens A B is de limiet in kleinheid van alle de Jny lynen AF, AD, esz.: die uit het zélfde ftip A tot den hollen omtrek van den cirkel getrokken kunnen worden: en de limiet in grootte van alle de lynen AE, AK, enz., die flechts tot aan den bollen omtrek komen. aanmerking. Men zoude, doch in eefien oneigenlykeu zin , kunnen zeggen, dat de middellyn de limiet is in grootts van alle de choorden, indien niet de middellyn zelve fn den eigenlyken zin tot de choorden behoorde, en dus eene grootheid is, die door eenechoorde, cboorde blyvende ,kan geëvenaard worden, hetgeen in het denkbeeld van limkt niet begreepen is, of begreepen kan worden: daar ih tegendeeli in óns voorbeeld, de fnylynen; zo lang zy fnylynèn zyn, de jaaklyn A B niet kunnen evenaaren,
r ji dV



253 VLl. Boek: Over den omtrek van den CirhL
II. De Breuk } is de limiet in grootte van de breuk 0.333333333 zo ver men wil uitgeftrekt.
III. Het getal i is de limiet in grootte van deeze geometrifche reeks
i ■+• | -f- | -+- -4- 5rj -f- &c. zo ver men wil uitgeftrekt.
aanmerking. In het algemeen, .de uitdrukking (III, 17,Gev.i) S zz —— is de waare fom van een getal n leden
van eene geometrifche reeks, doch S = —— is de limiet
van de geheele afneemende reeks, zo ver men wil uitge^
ftrekt: en van hier de uitdrukking van fommigen, dat —■
de fom is van een oneindig getal leden van eene geometrifche afneemende reeks: waar uit volgt: i°. dat, daar in de gemelde reeks l -4-1 4- | &c. het eerfte lid i, en het quotiënt i U; men hebben zal A = i, q = £ ..-
A i
dus 1 — q — l: en S — _ = i — 1 en
1 ~ q h
20. in de reeks 1 + 1 + ^ + ^4 &e.: A 1, q zz i: dus S _ —~ Sj B *
IV. De arithmetifche middelevenreedige is de limiet in kleinheid van de geometrifche middelevenredige, tusfchen twee grootheeden (III., 20 )
II. BEPALING.
Wanneer de reeden tusfchen twee grootheeden. aan de beftendige reeden, die er tusfchen twee andere grootheeden is , by vermeerdering of vermindering, nader en nader bykomt, wordt de laatstgemelde reeden de limiet, in grootte ofin kleinheid, vandeeerstgemelde reeden genoemd.
vooebeeld: De reeden van y 2:1 is de limiet in grootte
van



I. Jfd. Over de Limieten der Grootheeden. £59
van alle de getalen waar door men de reeden , die de diagonaal van een vierkant tot deszelfs zyde heeft, kan uitdrukken. De reeden van 2: y 3 is de limiet in grootte van de getalen waar door men de reeden van de zyde eens gelykzydigen driehoeks tot deszelfs loodlyn kan uitdrukken. De reeden van y 3 : 1 is de limiet van de reeden die de zyde des gelykzydigen driehoeks, in den cirkel befchreeven, heeft tot den radius van den cirkel, indien men die reeden in getalen uitdrukt. Zie d'alembert Mel.aiges T. V. p. 215.
ï. voorstel.
Zo er twee grootheeden zyn, A en B, en men van de grootfte de helft, of meer dan de helft, aftrekt, en van het overfchot wederom de helft, of meer dan de helft, en zo voorts, altoos op de zelfde wyze, zal er eindelyk eene grootheid overfchieten die kleiner zyn zal dan de tweede gegeeven grootheid B.
eucl. X. 1.: of by koenig Lemma voor XII. 2.: en
eenigermaate by tacquet Lemma 2 na VI., n.
gevolg.
Men kan dan geene grootheid zo klein geeven, of het overfchot zal eindelyk nog geringer worden.
II. voorstel.
Wanneer twee grootheeden gegeeven zyn* waar vaa de eene(L) beftendig* de andere (A) veranderlyk is, doch, by vermeerdering ofby vermindering, nader en nader by de eerstgemelde grootheid L komen, en er dus minder van verfcbjllen kan dan eenige te geeven grootheid bedraagt: zal de reeden van gelykheid de limiet zyn in grootte of in kleinheid van de reeden dier beide grootheeden: en omgekeerd.
l'iiuilier 5. 2. —-— tacquet Tbeof. fel. ex archiHbde pr. i , 2.
Ra ke-



26o VII.Bock: Over den omtrek van den Cirkel
bewys. Zo men het tegendeel ftelt, zy L ZZ A -+■ Ei dan is het verfchil tuslchen de beide grootheeden gelyk aan een bepaald getal, 't geen tegen de onderftelling ftrydt, welke ftelt dat het gemelde verfchil kleiner is dan eenig getal dat gegeeven kan worden.
I. aanmerking. Dit zal door eene nadere uitlegging der voorbeelden van de I. Bepaling opgehelderd worden.
II. aanmerking. Van daar de uitdrukking van fommigen, dat eene grootheid in haare limiet eindigt.
III. VOORSTEL.
Zo éëne en dezelfde grootheid CL) de limiet is, hefzy in grootte, het zy in kleinheid, van andere grootheeden , b. v. (A en B) is de reeden van gelykheid de limiet der reeden van deeze grootheden. üewys. De reeden van A : L is eindelyk die van gelykheid of eindelyk A : L — i: i (II. Voorftel); en eveneens B ; L —: I : i; dus eindelyk A : B — i ; i of de reeden van A: B komt hoe langer hoe nader aan de reeden vaa gelykheid.
voorbeeld. De limiet van de reeden der beide reekfen, f, "+■/U -** h h &c' en } -*- -i^f- is enzheiden zo ver men wil vervolgd, is die van gelykheidé aanmerking Van daar de uitdrukking van fommigen , dat de laatfte reeden dier grootheeden eene reeden van gg. lykheid is.
IV. VOORSTEL.
Zo twee grootheeden beiden de limieten zyn van eene derde, is haare reeden die van gelykheid; dat is, zy zyn gelyk.
jteWYs Uit het III. Voorftel. ,
la chapelle, j. 433.
V. VOOR-



I. Afd. Over de Limieten der Grootheeden. zót
v. VOORSTEL.
Zo twee grootheeden A en B, beiden in haare vermeerdering, of beiden in haare vermindering, altoos de zelfde reeden (a : V) tot elkander behouden, zal ook die reeden de reeden haarer limieten CL en Q
zyn. „, tacquet Porisma na XII. a. maclaurhï p. VI.
— l'huilieu, g. 3. p2wys. Zy A:B = zo nu
niet L:l = a:b, is
L:Z of v of ^ a:bi zy L : / V a:b; en dus L — X :/ = «:& = A:B. Zo nu L en / de limieten in grootte zyn van A en Ti: is B l: dus moest ook A altoos kleiner zyn dan L— X; dus minder tot L naderen dan eene gegeeven grootheid X , dat tegen het denkbeeld van eene JiflHrtÖrydt: dus is niet L:l >. a:b.
Zy L : l a : b: dus
L:J — X=a:fc==A:B: Maar A is ^ L: dus moest B ook altoos kleiner zyn dan l — X: dat insgelyks tegen het denkbeeld van eene limiet ftrydt:
dus is noch L : l V a:b noch L : / a : b dus is L : / = a : b. Zo L en l de limieten in kleinheid zyn, is de reden.ecring de zelfde: men ftelt voor het eerfte geval, zo L:l V «;il> l:i + X»:i: en voor het tweede, zo / : / a : 6,
L X : l ZZ « : *« de ongerymdheid Myft de zelfde.
r 3 voor-



26z VII. Boek: Over den omtrek van den Cirkel
voorbeelden. I. Fig. 58. In alle driehoeken A CB, waarin de lyn CF de tegenoverftaande zyde in twee gelyke deelen deelt, is altoos, hoe ook de driehoek moge zyn: (II., 9. Gev. 2.) d^P_AC-f-□ op CB
z~" & °P CF = \ □ op AB =
P op AF ~ □ opFB. Maar de lyn AB is de limiet in kleinheid van de fom der zyden AC en CB (I., ls0: want hoe dichter C hy de lyn AB valt, hoé nader AC-f-CB aan AB komt, zonder immer AB te kunnen evenaaren : en gevoI?lyk wat voor de zyden AC en CIJ geldt, geldt ook voor derzelyer limiet, dat is voor de lyn AB. Indien men dan onderftelt dat C ergens in D valt, en F in F, moet volgens dit voorftel ook liet zelfde voor de lyn AB plaats hebben: namelyk p op AD -f- q 0p DB
l O op DF zz □ op AF:
nu kan men rechtftreeks bewyzen, dat dit zo is: Want, uit II., 2. Gev. 2.: en II., 2. is
DdpADsrp op A F — P op D F — 2 rechth.
uit AD, DF.
en P op DB = pop AF-f-p op D F-f-2 rechth.
uit AF, DF.
endus PopAD-+-popDB=2popAF-t-2rechth.
\ , uit DF, DF.
dat is
D op AF = g^ADt-PopDB popDF.
2
Men kan de zaak op de zelfde wyze aantoonen indien de A ACB ftomp is, (Fig. iö8.), en dus het ftip D buiten AB valt.
II. Fig. 40. In dén cirkel heeft altoos voor de fecanten of fnylynen deeze reeden plaats (V. 13.): rechth. uit , AD, KA — rechth. uit AH, PA: en gevolglyk heeft
dit



/. Af tl. Over de Limieten der Grootheeden. 2*6*3
dit ook voor de limieten der fnylynen, dat is (1. Bep. I. Voorbeeld) voor de raaklynen, plaats: en dus □ op AB = □ op AI: of AB — AI, dat men reeds uit andere grondbeginfelen weeten kan: (uit V., 11. Gev. 4 en V., 13- Gev. 4 ) III. Fig. 169. De Tangent in eenig ftip B, dat beftendig is, is de limiet van alle de fecanten die door dat ftip gaan. Laat men~door het middelpunt C de middellyn FCEA trekken, die de fnylyn D B A in A ontmjet. Lr.atenB R M en DNI en KCG loodrecht op de middefyn ftaan: en BQ evenwydig zyn aan EF. Dan is beftendig, uit de gelykvormige driehoeken BOD en ARB , voor alle de fnylynen door B getrokken, DO:OB = RB:RA,en dus is de limiet in kleinheid van D O tot de limiet in kleinheid van OB = RB: RA en die reeden zal ons aanduiden waar A vallen moet, op dat ABD eet:e raaklyn in B zyn zoude.
Immers is D O: O B = O Q : IO (V., 12. Gev. 1.),- en dus is de reeden der limieten van O Q en IO die der limieten van DO en OB: maar de limiet van OQ is BQ 352 BP = 2 RC CV., 5.): de limiet van 10 is MB = 2 RB: dus is de reeden van RC:RB die der limieten van DO, en OB, dus die van RB en RA: gevolglyk zal ABD tangent zyn indien R C: RB = RB: RA, dat is, indien RB middenevenreedige tusfchëhRC en RA is: het geen ook buiten alle kennis van limieten onmiddellyk volgt uit het geen wy beweezen hebben, (V., 7.) dat, zo ABD tangent is, de L ABC = L is; en dus (IV., 12. Gev. 1.) RC: RB ZZ RB : RA. aanmerking. Wy zullen, in het VIII., het XI. en XII. Voorftel, nog veele voorbeelden bybrengen: doch dit zy genoeg om de juistheid van het denkbeeld van limiet te bevestigen.
VI. VOORSTEL.
Zo twee grootheden A en B, b:idtn veranJerlyk, R 4 bc-



l&j. VIL Boek i Ov.r den omtrek van den Cirkel
"beftendig de zelfde reeden blyven behouden tot twee beftendige grootheden , (A:B = a: *), welke vermeerdering of vermindering.^' ook ondergaan: zullen derzelver limieten (L en 0 ook in de* zelfde reeden (van a:b) ftaan.
l'hUILTER $. 4. ——■ MACLAURIN p. XI. —— taqüe*
leieiïa ex archimede pr. 1 eri 2.
bewys. Zo neen, zy L: / V a : * en dus L — X : l — a:b ZZ A :B
maar B is altoos kleiner dan /, zo / de limiet in grootheid is: dus-moet ook (III., 11.) A altoos kleiner zyn dan L X, dat valsch is: want daar L de limiet is van As kan A nader tot L komen, dan eene bepaalde grootheid X bedraagt.
Zo L : l "<n. a : b zo is L:l — x = a : b zz A-.B: Maar A ^ L dus moet B X l — x zyn, dat tegen het denkbeeld van eene limiet ftrydt: dus L : l = a : b. Het bewys gaat op de zelfde wyze voort, zo L en i de limieten in kleinheid zyn.
VII. VOORSTEL.
Zo twee reedens van veranderlyke grootheedcs £A en B, L en M) altoos gelyk blyven, welke verandering in vermeerdering of-vermindering die grootheeden mogen ondergaan, (dat is, zo beftendig A:B — L:M): zyn de reedens haarer limieten (a en b9 Imtn) ook gelyk, (dat is, a:b = l:m). l'hbilier §. 5. 3bewys. Daar de reeden van «: b de limiet is van de. reeden A : B is zy het ook van' ds recden L:M. Maar de reeden van l :'m is de limiet van de reeden van L: M i dus zyn a : b en l: m de limieten van eene en de zelfde, .reeden L: M: dus zyn de ree-deus van a : b en van l: m gelyk, door het IV, Voorftel
VHI. voos-



I. Jfd. Over de Limieten def Grootheeden. 265
VIII. voorstel.
De limiet van eene reeden, uit twee of meerder grootheeden (A:B en G£D) famengefteld, is de famengeftelde reeden der limieten (a:b en g: f) van die grootheeden (JA, B, G, D).
la chapelle §. 434- l'kuilier §. 6.
bewys. Indien A: B voor limiet heeft a: b: en G : D voor limiet heeftgïd, komt a:b nader aan A:B dan eenige gegeeven grootheid kan bedragen: en insgelyks g:d nader aan G: D dan eenige grootheid kan bedragen: dus zal ook
f X f nader aan X § komen , dan eenige gegeeven grootheid, dat is, zal 'er de limiet van zyn.
IX. voorstel. Fig. 82. Indien de lynen A B , B C, rechthoekig op eikander traande , met de kromme lyn AC eene figuur uitmaaken; en rnen de grondlyn BC in zo veel gelyke deelen BD, DE, E F enz. als men wil verdeelt , om dus door middel def lynen MD, EN enz., AM, SLN enz. de rechthoeken AMDB, SLDB, DLNE, RKED enz. te maaken : zal men door het getal der deelen BD, DE, enz. te vermeerderen, en dus hunne grootte te verminderen, de kromlynige figuur ABC A tot limiet van de uiterlyke (AMLN K&c.) en van de innerlyke (SLRKQ &c.) hebben: en de limiec der reeden van deze figuuren zal dus eene reeden van gelykheid zyn.
newton , Lem. 2. 3. bewys. De overmaat der uiterlyke figuur boven de innerlyke is de fom van alle parallelogrammen, A L, LK,K I,enz. de fom van die parallelogrammen is de rechthoek AMBD, welke door geduurige vermindering van BD kleiner wordt dan eenige gegeeven grootheid ,waar Uit het Voorftel volgt. aanmerking.Het zelfde heeft plaats,al wordt de kromme lyn AC in eene rechte lyn A C veranderd, en dus al heeft snen eenen rechtlynigen driehoek ACB: welk voorftel



t<56 VIL Boek: Over den omtrek van den Cirkel
van een zeer groot nut in de Natuurkunde is. Het bewys van de voornaamlte eigenfchappen der verfnellende beweeging, en dus van die der vallende iichaamen , fteunt
daar op: zie 's cravesaudk Phyfica j. 373. musschew.
broek. j. 187. . keill Inleiding tot de waare Wis- en
Stemkunde. XI. Les, Tbeor. XVII.
II. A F D E E L I N G.
over den omtrek en den inhoud van den cirkel.
X, voorstel.
De omtrek van den cirkel is grooter dan die van cenigen veelhoek in den cirkel, en kleiner dan die van eenigen veelhoek om den cirkel befchreeven: en insgelyks is het met den inhoud gelegen. bewys. het I (Fig. 79.) volgt uit het r. en 2, Gevolg van het XVII. Voorftel in het VI. Boek, en het II. (Fig. 81.) uit het r. Gevolg van het XXII Voorftel; aanmerking, archimedes heeft het tweede gedeelte uit dit ^.tiffjjja afgeleid, dat eene vlakke figuur, die eene andere bevat, grooter is dan deeze laatfte (de Spbiera & Cylindro I. pr. 1.)
XI. voorstel. Fig. 79. 80. De omtrek van den cirkel is de limiet van alle de veelhoeken die in den cirkel of om den cirkel befchreeven worden: en insgelyks is het met den inhoud geleegen.
tac/uet Selclia ex archimeoe. pr. 3. bewys. Uit XVII en XXII. van het VI. Boek, en de r. Bepaling van dit Boek.
I. ce-



II. Afd. Over den omtrek van den Cirkel. 257
I. GEVOLG.
Hier uit blykt in welken zin men te verlhan bebbe, dat een cirkel «n veelhoek is van een oneindig getal zyden: doch eene dergelyke uitdrukking is niet naauwkeu'rig.
II. GEVOLG.
De gelykvormige veelhoeken, in en om den cirkel befchreeven, komen elkander hoe. langer hoe nader, en hunne laatfte reeden is de reeden van gelykheid.
Zie ook het IX. Voorftel van dit Boek.
III. GEVOLG.
De radius van den cirkel is de limiet van de loodlynen der regelmatige veelhoeken in den cirkel befchreeven.
XII. VOORSTEL.
De omtrekken van twee ongelyke cirkels itaan altoos tot elkander als hunne middeilynen, en dus als hunne ftraalen.
taqöet Seleiïa ex arciümede pr.2. — S.p. 268. pr. 22. bewys. Uit het IX Voorftel van het VI, en het VI. en X. van dit boek.
t. GEVOLG.
Alle cirkels zyn gelykvormige figuuren.
I. aanm.ekk.ing. Wy hebben in de 1. Bep. van het IV. Boek gezegd wat wy door gelykvormige figuuren verdaan: doch die bepaaling is niet op den cirkel toepaslyk, ten ininften niet rechtftreeks: wy oordeelen dat men een kenmerk van die gelykvormigheid in de beftendige reeden van den ftraal tot den omtrek ftellen kan; daar die beftendige reeden een onmiddellyk gevolg is van de gelykvormigheid der veelhoeken.
II. aanmeekino. eccltdes heeft de gelykvormigheid der cirkels ftilzwygend vooronderftelt.
II. GE-



2Ö8 VIL Boek: Over den omtrek van déni Cirkel
II. GEVOLG.
Gelykvormige bogen van twee ongelyke cirkels zullen die zyn welke de zelfde reeden tot hunne omtrekker. , en dus tot hunne halve middeilynen hebben,
III. GEVOLG.
En insgelyks zullen gelykvormige cirkelftukken die? izyn welke uit bogen beftaan die onderling zyn als de omtrekken of middeilynen der geheele cirkels , en wier choorden dus ook de zelfde reeden hebben.
XIII. VOORSTEL.
De inhoud van den cirkel is gelyk aandien van eenea driehoek, waar van de grondlyn gelyk is aan den om* trek des cirkels en de loodlyn gelyk aan deszelfs radius, taquet SeleBa en archimede. pr. 4. 5. bewys. Men ftelle eenen dergelyken driehoek: dan fa dezelve de limiet van de veelhoeken, zo wel in als om den cirkel befchreeven: (II, 17: en uit dit Boek, XI, XI Gev, 3, en VIII:) doch de cirkel is ook de limiet dier veelhoeken (door het X. Voorftel) waaruit het befluit vojgt (door het IV. Voorftel.)
I. aanmerking, archimedes heeft dit Voorftel uitmuntend beweezen: (de Circuit dimenjione pr. 1); en maclaurin heeft fcet zelve zeer wel uitgelegd, Traité des Fluxions. p. IX. .
L GEVOLG.
Indien men den inhoud van den cirkel door getalen wil uitdrukken , en men let op het geen wy in fiet IV. Boek, VII Voorftel, 8. Gevolg n°. 5. gezegd hebben, volgt het, indien men in het algemeen ftelt dat O den omtrek uitdrukt wanneer de middellyn 1 is; en wanneer men verder vcor den radius van eenen byzonderen cirkel R, en voor deszelfs middellyn



It Afd. Over den omtrek van den Cirkel. ï5$ lyn D ftelt, dat élan de inhoud van dezen cirkel is
. O.D* = °-R = —
II. gevolg.
De inhoud van den cirkel ftaat tot dien van het vierkant in den cirkel befchreeven, zo als de halve omttek tot de middellyn (VI, het 4- Gevolg): en tot dien van het vierkant om den cirkel befchreeven of tot het vierkant op de middellyn, zo als het vierde deel van den omtrek tot de middellyn. (VI. au Gevolg 3.)
taquet Selecta ex arciümede. pr. 5. Oor. 2.
III. gevolg.
De inhoud van eenen Sector is gelyk aan een driehoek waarvan de grondlyn gelyk aan den boog van deri Seclor, en de hoogte gelyk aan den radius is.
S. p. 273- 1 corbewïs. Uit de befchouwing dat de omtrek van den boog de limiet is van de fom der grondlynen.der gelykbeenige driehoeken in den Ssffor befchreeven , en de radius de limiet van de loodlyn in ieder driehoek. II. aanmerking, dus, zo B de boog van den Seiïor is, is
o« B jcr-
de inhoud van den oetiar —-—
■ JU. aanmerking. Men kan altoos een vierkant befchry* ven wiens inhoud gelyk is aan den inhoud van een' gegee-
i ven driehoek: zie het XVIII Werkftuk van het III. Boek. Men zoude dus een vierkant kunnen maaken dat gelyk zoude zyn aan den inhoud van den cirkel, indien men eene rechte lyn trekken kon die gelyk aan den omtrek is. Indien men dit doen kon, zoude het gewigtige vraagftuk van de Quairatmir, of inhoudvinding des cirkels, geome-
■ triscb opgelost zyn. Doch tot nu toe heeft men geen mid-
del



270 VII. Boek: Over den omtrek van den Cirkel.
del gevonden om zulks geometrisch te verrichten: ik zie echter geene Önmogelykheid waarom men dit niet in het vervolg zoude kunnen volbrengen,en zulks te meer, daar men reeds, zoals wyin het 3 Gev., en de I en II Aanmerking op het XIV Voordel bewyzen zullen, den inhoud van verfcheiden figuuren uit cirkelbogen beftaande gevonden heeft. Ik ben derhalven met hennert en anderen van gevoelen , dat de Quadratuur van den cirkel, hoe wel nog niet gevonden, niet onmogelyk is in eenen geometrifchen zin.
Ik zeg in eenen geometrifchen zin: geheel anders is het indien men het vraagftuk in eenen ariibmetifcben zin opvat; dat is, indien men van getalen fpreekt die den inhoud, of den omtrek van den cirkel met betrekking tot het vierkant van den diameter , of den diameter, uitdrukken. Ik twyffel of deeze wel immer meetbaar kunnen zyn, zie de Aanmerking op het XV Voorftel.
XIV. VOORSTEL.
Ongelyke cirkels hebben tot elkander de zelfde reede als de vierkanten hunner middeilynen.
eucl. XII. 2. en tacquet op die plaats: Cor. 2. — S. p. 273. pr. 27.
bewvs. Uit het i.Gev. van bet XII Voorft.; en IV. 15. of uit het XII en XIII Voorftel van dit Boek.
I. GEVOLG.
Men kent dan altoos de onderlinge reeden van twee cirkels wier middeilynen hekend zyn: en men kan dus cirkels maaken die eene bepaalde reeden tot elkander hebben, 't geen het 33 en 34 Vraagftuk des III Boek* uitmaakt.
Zie taquet op eucl. XII. 2, het 3. Gev.
II. G E VOLG.
Indien men cirkels befchryft op de fchuinfehe en op de beide reehthoekzyden van eenen reehthoekigen driehoek,



II. Af cl. Over den omtrek van den Cirkel. 271
hoek, is de fom der beuk cirkels opd« reclithoekszyden gelyk aan den cirkel op den fchuinfchezyde (IV,) en men kan dus eenen cirkel maaken die gelyk zal zyn aan een gegeeven getal cirkels, volgens het 35 Werkftuk van het III Boek. S. p. 280. pr. 30.
III. GEVOLG. Fig. 83. Indien men op de fchuinfeheen op de beide recbthoekszy den van eenen rechthoekigen driehoek halve cirkels trekt, naar den zelfden kant, die dus den halven cirkel opdefchuinfche zyde fnyden, zullen de beide maantjes, F en G, te famen gelyk zyn aan dien gegeeven driehoek. Uit het II Gevelg.
taquet Cor. 10. op euclides XII. 2.
I. aanmerking. De beide maantjes zyn gelyk indien de driehoek ADB gelykbeenig is: anderszins ftaan zy tot elkander als de driehoeken AD C en DCB.
II. aanmerking. Zie daar een voorbeeld van eene ruimte binnen cirkelbogen bevat, wier inhoud volmaakt bekend is. Deeze maantjes worden naar derzelver uitvinder, ii:rrocRATES van chics, genoemd. Doch erzyneene menigte van dergelyke Maanen wier inhoud men volmaakt kan vinden. Dus. by voorbeeld, fig. 170, indien men den omtrek in zes deelen deelt, de choorden (of zyden van den zeshoek) AB en BD trekt, en dan uit F en E met den zelfden radius de bogen AC, en CD, die zich in het middelpunt ontmoeten: dan zal de kromlynige figuur A B D C A: die archimedes en ïroclus Arlehs noemen, gelyk zyn aan de ruit AB D C: zo als van zelf blykt. Zie over die maanen en figuuren van deeze» aart krast Ceuneiria fu> hlimior $. 161., en veele volgenden.
II. AF-



2?2
III. AFDEELING.
ÖVER DE REÈDEN VAN DfeN OMTREK DES CIRKELS TOT DE MIDDELLYN. XV: VOORSTEL.
De reeden van den omtrek des cirkels tot deszelfs middellyn kan uit de befchouwing der veelhoeken niet dan ten naasten by bepaald, worden: die reeden, aldus bepaald, is onmeetbaar: en de reeden van den inhoud des cirkels tot het vierkant der middellyn is het, in den zelfden zin, insgelyks. bewï-s. De omtrek des cirkels is de limiet van den omtrek der veelhoeken: en das, hoe veele zyden men ook ia eenen veelhoek vooronderfttlle, is de omtrek des cirkels ak toos grooter dan die des veelhoeks zo de veelhoek in den cirkel, en altoos kleiner zo de veelhoek om den cirkel befchreeven is: zodat, daar de omtrek des ciikels tusfchen in valt, men niet weeten kan hoe veel de cirkel grooter is dan de eerstgemelde veelhoek, en hoe veel Meinet dan de laatstgeinelde.
Men kan dus alleen, i plaats van den omtrek des cirkels den omtrek van eenen veelhoek neemen, welke minder van dien des cirkels afwykt naar mate de veelhoek meer' zyden heeft.
Verder, de reeden zelve van den omtrek des veelhoeks tot de middellyn is altoos onmeetbaar, (uitgenomen voor den zeshoek) en men kent alleenlyk zo naby men begeert de paaien tusfchen welken die reeden valt; dus, welken veelhoek men ook neeme om deszelfs omtrek voor dien des cirkels te gebruiken, is dezelvealtocs onmeetbaar met betrekking tot de middellyn.
En daar de inhoud des cirkels gelyk is aan een* driehoek waar van de hoogte de radius en dus meetbaar is:
de



ïlï.Jfd.Cver dé reeden van Jen omt. tot de tnidd. 27^
de grondlyn de omtrek, en dus op de gezegde wyze ohmeetbaar, zal ook de inhoud van dien driehoek, en dos die van den cirkel , onmeetbaar zyn met betrekking tot het v terkant op de middellyn,
AAnmÈKicrfiB. Men vraagt of men nimmer voor den omtrek des cirkels een getal zal kunoen vinden dat meetbaar is met de middellyn? Ik kan niet ontveinzen zeer geneegen te zyn om te denken dat Zulks niet mogelyk is: fchoon het bezwaarlyk valt dit te beflisfen. En het komt. my dus voor zeer waarfchynlyk te zyn dat de oplosfing van de GLiiidratuur des cirkels in eenen arithmetifchen zin onmogelyk is.
XVI. VOORStEL.
De reeden van den omtrek eens cirkels tot zyne middellyn 5s kleiner dan van 3 — tot 1, en grooter dan
h 12 tot ti of, wat op het zelfde uitkomt, kleinef
dan s2.' 7 en grooter dan 223 i 71 volgens archimeüEs, Die reeden is naauwkeuriger zo als 3,t4i592Ö535:1 volgens ludolf van ceueen :'en de reeden, doof metius opgegeeven , is byna even naauwkeurig, namelyk van 355 -.113.
h AANMERKING.
handèlwyze van archimedes.
Die Wiskunftenaar berekende den omtrek van eenen zes* en-negentig-hoek om den cirkel, en dien van eenen zes*en» fiegentig'hoek binnen den cirkel befchreeven : de omtrek des cirkels is kleiner dan de eerstgemelde, en grootér dan de hatstgemelde.
bereiding. Voor den 96- hoek otiï deii cirkel befchreeven,
FiS-
Zy BI de zyde van eenen twaalfhoek in den cirkel oe* g fchreü



274 VIL Boek: Over den omtrek van den Cirke.
fchreeven; en zy LBD loo 'recht op de middellyn in en dus eene raaklyn: men trekke C1L. Laat HC den hoek IC B in tweeïn gelyk deelen: insgelyks GC denhoek HCB: FC den boek G CB: EC den hoek FCB: dan is L ECB de middelpuntshoek van eenen iy2- boek: en dus, indien L BCD =r L ECB, is L ECD de middelpuntshoek van eer.en 96- hoek: en dus is E D de zyde van etnen <;6- hoek om den cirkel befchreeven. D.iar wy nu de grootheid van de zyden dier veelhoeken motten bepaalen, en dus dezelve door getalen uitdrukken, zullen wy het geen wy in het 8 Gevolg op het VII. Voorftel van het IV. B., en in het 1. Gev. van het XV. Voorft. van het zelfde Boek gezegd hebben in acht neemen; en, in plaats van de vierkanten op lynen, de tweede magten der getalen die de zyden uitdrukken gebruiken, en, in plaats van de zyden -waarop een gegeeven vierkant gefteld zoude kunnen worden, den vierkant.wortel van hef get.d dat den inhoud van dit vierkant uitdrukt. Archimedes is ook op die wyze te werk gegaan. £Ewrs. Uit VI., 22. N°. 2. is
1°. BL : BH = CL -f- CB : CB 2*. BH : BG = CH -4- CB : CB 3?. BG : BF =5 CG CB : CB 40. BF : BE zz CF ■+■ CB : CB
of, by verplaatfirg: lü. CL •+- CB : B L = CB BH 20. CH -t- CB : BH = CB : BQ 3». CG -+- CB : BC — CB : BF 4°. CF •+- CB : BF = CB : BE.' Maar, IM = | IK (V. 6.)
en IK — Cl (VI., 8. het 2. Gev.) dus IM zz I Cl: en daar
BL : CL zz IM : Cl (IV., 2.) is BL — I CL. (lü., 9.)
Waar-



III. Jfd. Over de reeden van den cmt. ibtdèbtidd, ij$
Waar uit vo'gt, dat zoBL bekend is, CL het ook is: en uit II., 7. ook CB: en omgekeerd: men kan dus in N°. 1. BH vinden, dus ook CH (II-, 7): en dan iiï N°. 2. BG: in Np. 3. BF: in N°. 4- BE. i°. archimedes Helde BL = 153: dus CL zz3°ö: dui CB1 r= 3Có2 —T532 = 70227 : dus Cb* V 70225 ; en CB >. j/70225 of V 265 : Hier uit voigt in N3. 1. CL -f- CB : BL 571 : 153: en dus ook CB : HB V 571 : 153 cf V 8 X 57*i: 3 ^ 153 öf V 4568 : 1224. Zo dan HB — 1224 is CB V 4568. 2*. Dus CH* -f-Ts682 of V 22364S00
dus V 22363441 of ^ 4729*: dus CH V 4729: en dus in N°. 2. CB : BG \ 9297 : 1224: en dus: indien BG 55 1224 is CB V 9297. g°. Dus is GC1 >>. 9297a _j_ 1224* of
>• 8793238S d is ^ 87928129 of_> 9377* dus is, N°. 3., GC 9377: en CB : BF V 1SÓ74 : 1224 of 18674 1224 , v
en dus indien BF ~ 612 : is CB X 93374°. Dus is CF2, \ 6122 -p 93371 of
87554113 •• dus v 87553449 of ^ 93572: dus CF >. 9357en dus in N°. 4. CB : BE V 9347 i 3o6. dud 2 CB : 2 EB of ED 9347 : 30Ó en dus , zOED = 306, is 2 CB of dé hriJdeiiya V 9347-
Maar 96 % ED = 29376 ZZ omtrek van den vesU
host.
S 2 9<4t



275 VII. Boel: Over dm omtrek van den Cirkel.
Dus omtrek van den veelhoek: Middellyn 293^6;
™*^r*
^aar ;^rr "s i: en omtrek van den cirkel kleiner das 9347
die van den veelhoek: dus
Omtrek van den cirkel tot de middellyn "S. 3 '7: 1 of 22: 7.
bereiding voor den 96. hoek in den cirkel befchreeven. Fig. 172.
Zy B L de zyde van eenen zeshoek in den cirkel befchreeven: Iaat AH den boog BL in twee gelyke deelen deelen: insgelyks A G den boog B EI: A F den boog B G : AE den boog BF: dus is BE de choorde van eera 96- hoek:
bewys. Uit IV., 9. is
AL .- AB ~ EL : BK: dus (III, 8. N°. 1.)
AL + AB : AB — KL + BK of BL : BK: of
AL H- Al! : BL r: AB : BK:
Maar A BUK ^ A AHB; dos
AB : BK =r AH : BH: en 30. AL -f- AB : BL == AH : BIL
op de zelfde wyze is 2°. AH -f- AB : BH — AG : BG 3». AG + AB : GB ZZ AF : FB: 4°. AF -f- AB : FB — AE : EB. Zo dra nu LB gegeeven is, is AB = 2 LB bekend, en omgekeerd : A L wordt daar uit gevonden (II., 7. het i.Gev.) en dus verkrygt men eindelyk de waardy van EB.
Stel dan i° LB = 780 : dus AB — 1560: l7A2"=r 15601 — 780* = 1825200 ""s. 1825201 of ""s 13512: dus LA 1351.
dus in N<\ 1. AH : BH t 2911 : 780 of 291100: 78000.
Ir>



III. Jfd. Over de reeden van den omt. tot de midd. 277
Indien dan. BH = 78000 is AH ^ 29110b: dus AB* 29TÏ001 •+■ 7licoo* of 90823210,000 of 90826890625 of 's. 301375* dus AB "<$. 30I37S2'. Dus is in N°. 2. AG : BG ^ 592475 : 78000, of mujtipliceerende beide de getalen door 11 en ze divideerende door 325 is AG : BG "s. 20053 : 2640.
Zo dan BG == 2640 is AG t 20053 : dus AB -s I26402 -i- 200532 409092409 ^ 4°£>I3I529 o£
X 20227Z :
dus AH *t 20227:
Dus is in N». 3'. AF : BF 40280 : 2640 of multipliceerende door 3, en divideerende door 20. AF : BF X 6042 : 396.
3". Zo dan BF = 396: is AF ^ 6042 dus AB1 ^'.396 * -4-I5Ö422 36662580 "n 36663025 of ^ 60552.
Gevolglyk is AB X 6055: en in N°. 4 is AE : BE 12097 : 396 of Ts, 24194 : 792. 4P. Indien dan BE = 79* .is AE 5 24194: dus AB2 7^2Z -f. 241912 of ^ 5859769CO of ^ 585978849 of ^
242072.
Gevolglyk AB 's 24207.
Men heeft dan
BE : AB V 792 : 24207: of, divideerende door 3,
BE : AB V 264 • 8069.
en 96 X BE of de omtrek van den veelhoek: AB V 96
25344 ^ 1137
X 264 of 25344 : 8069 of ^ go6- : 1 of ^ 3 ^ I
Maar is — , en de omtrek van den cirkel
8009 71 '
is nog grooter dan die van den veelhoek: dus is omtrek van den ctrkel tot de middellyn V 3 ^: 1 of >. 223:71.
S 3 II. AAN.



%78 VIL Hoek: Over den omtrek van den Cirkel II. AANMERKIN G.
De reeden van 22:7, hoe we! iets te groot, is echter ia 4e praktyk voor de meefle gevallen voldoende.
JIJ. AANMERKING. archimedes is eenigzins anders te werk gegaan dan ds nieuwere Wiskonftenaars die hem gevolgd zyn : hy heefq niet de zyden van den i2-hoek, van den 24-hoek, van den 48-hoek, van den 96-hoek, berekend voor eene gegeeven middellyn : maar hy heeft enkel gezocht naar de reeden welke de zyde van ieder dier veelhoeken tot de middellyn hebben moet: en daar die reeden onmeetbaar is, heeft hy voor den veelhoek om den cirkel, die grooter is dan de cirkel, altoos eene reeden genomen die iets grooter is, en voor den veelhoek in den cirkel , die kleiner is dan de cirkel, eene reeden die iets kleiner is dan de waare reeden van de zyde van den veelhoek om of in den cirkel, tot de midde'Iyn. Zyne berekening fteunt gevolglyk niet op getalen die flechts ten naaften by naauwkeurjg zyn , maar op waare getalen. Zie hier over montucla Hifi oir t de la Oiia» drature du cercle, p. 31—36.
IV. AANMERKING.
ludolf van ceulen heefc eenen anderen weg ingefh» gen: hy berekende met behulp van het 5 Gevolg van ons XVII, en van het XXI Voorftel van ons VI Boek, de zyden van veele veelhoeken in en om den cirkel befchreeven : Hy trok ten dien einde de wortels uit onmeetbaare getalen met veel naauwkc-urigheid, en tot een groot getal van dec'tmaaien Hy vindt dus in zyn Boek over der. Cirkel, alwaar men het geheel beloop van zyne bereekening zien kan , dat, indien men de middellyn gelyk aan 1 ftelt, en eenen veelhoek van 32212254720 zyden gebruikt, de omtrek des cirkeii. grooter is dan
3,14159265353979323845
ft> kleiner dan
5,14159265358979325847.



UI jfd. Over de reeden van den omt. tot de midd. 279
Naderhand nog naauwkeuriger te werk gaande, vind hy sa zyne Fundamenta Antbmetices et Geometrhe , dat, indien men de middellyn des cirkels 1 ftelt, de omtrek des cirkels grooter is dan
3,14159265358979323846264338327950
en kleiner dan
3,i4iS926535897932384626433832795i. De reeden van archimedes 22:7 tot eene decimaale breuk gebragt, geeft 3,14285: dus is die te groot: e» wel
byna 12(5 of byna Q-~ gedeelte. ' 100000 ' 8co
V. AANMERKING.
' p»e©JJ-JrfB*«*6 heeft de reeden van 355 : 113 ge- ; vonden, die in geheele getalen uitgedrukt reeds zeer naauwkeurig is: want, indien men dezelve tot eene decimaale breuk brengt, geeft zy, 3,i4i5929 : dat
"iet eens i^cfcso deden te §r00t iS'
Zie hier over montucla ter aangehaalde plaatfe, en taquet felecla ex archime-de , Jchol 4: pr. 6: P- =75-
VI. AANMERKING.
Wy zullen in het 4 Gevolg op het XIX Voorftel van het VIII Boek toonen , hoe veel dit werk door het gebruik van de Sinus-Tafelen verkort wordt: doch men lette wel, dat daar het lastige van dit werk alteen hier in beftaat, dat men de zyden van verfcheiden veelhoeken, zo wel in als om den cirkel befchreeven , berekenen moet, en daar de Sinutfen en Tangenten de halve zyden van dergelyke veelhoeken zyn, men in het berekenen van de Sinus-Tafelen juist dat lastige werk reeds verricht heeft: en gevolglyk dat de verkorting meer fchynbaar dan weezenlyk is,
S 4 VII. AAN-



fiSo VIL Boek: Over den omtrek van den Cirkel
VII. AANMERKING.
snellius, doch vooral na hem huigens, hebben veele verkortingen gebruikt: zy hebben naameiyk nieuwe eigenfchappen van veelhoeken, in of om den cirkel befchreeven, gevonden, waar door zy in (laat gebragt zyn, met behulp van veelhoeken uit een gering geial zyden beUaande, de zelfde naauwkeurigheid te erlangen, welke ludolf, door het eAbruik van veelhoeken uit een grooter getal zyden beftaande , verkregen had. Hunne bewerkingen waaren pp de volgende Voorftellen gegrond,
XVII. voorstel. Fig. 173.
Een cirkelftuk kleiner dan de halve cirkel, is grooter dan vier derde gedeelten van den gelykbeenigen driehoeks die op de choorde van dat öuk in hetzelve befchreeven is. huigens pr. 3.
bereiding. Men befchryve op de beenen, FE en ED, de gelykbeenige driehoeken FIE, ELD : die dus onderling gelyk zyn: vervolgens wederom op Fl, JE, EL, LD, de driehoeken F ml, I«E,EoL, LpD, allen onderling gelyk : en zo voorts wederom andere driehoeken op de ?yden dier driehoeken.
bewys. Door VI., 26. is
A FED 4 C'A FIE -f. A ELD): of A FIE + A ELD V \ A FED.
Insgelyks zyn de A A op FI en IE, EL en LD befchreeven te famen V \ (A FIE + A ELD) en dus > <fe A FED:
Het zelfde heeft plaats voor alle de driehoeken die men op Fm, ml, In'enz. befchryven kan. ,
Dus is'de fom van alle die driehoeke.i ^ FED -+- i; A FED -+. & A FED H- j, A FED.&c of ^ ^ FED (1 -f- * -+• A ■+■ U &c.)
Dus is de Umiiï van de fom van a:le die driehoeken
gfpo-



JU Af'dt Over dereeden van den omt. tot de midd.z&l
grooter dan de limiet vanAFEDxCt + J-t-i?-*- &c.) dat is, dan § A FED (II. Aanm. op de I. Bepaaling van dit Boek).
Maar het cirkelfiuk FIELD is de limiet van de fom van alle de driehoeken (XVI. Voorftel): dus is het cirkelftuk > f A FED.
XVIII. voorstel. Fig, 173.
Een cirkelftuk (IE L) dat kleiner is dan een halven cirkel, is kleiner dan twee derde gedeelten van den gelykbeenigen driehoek (IGL), op de choorde van dat cirkelftuk door de tangenten aan de uiteinden van den boog gevormd, huigens pr. 4. bereiding. Men trekke door E de raaklyn XEY.
Men befchryve op IE, EL, de gelykbeenige driehoe» ken I n E , E 0 L: en trekke door de kruinen n en a de raaklynen qnr, sot: men befchryve wederom op In, «E, Eo, oL, dergelyke driehoeken, en altoos zo voorts. bewys. A XGY+ A X?»"-+-A srt erz° V i A IEL -+- l A I»E + i A EoL &c. (VI., 27.)
Dus ook V i CA IEL-t-A InE ■+-A EoL &c.) De limiet Van de eerfte fom is 'dus ook grooter dan de limiet van de helft van de tweede fom; dat is: de ruimte tusfchen de lynen IG, GL, en den cirkelboog I?jEoL begreepen, is grooter dan de halve inhoud van het cirkelftuk InEoLI: en dus is de gemelde ruimte te famen met het gemelde cirkelftuk, dat is de geheele £ IGL >. ii cirkelftuk InEoLI.
of
Cirkelftuk InEoLI^fAIGL. aanmerking. Het loopt in het oog waarom men hier een cirkelftuk neemt dat kleiner is dan een halve cirkel: want indien D1E0L een halve cirkel was, zouden de lynen IG, GL evenwydig aan elkander zyn, en dus geen' diiehoek uitmaaken.
S 5 XIX. VOOR,*



2 S 2 VII. Bock: Over den ofhtrek van den Cirkel
XIX. voorstel. Fig. 162.
De inhoud van een' cirkel is altoos grooter dan die van eenen regelmatigen veelhoek van een even getal zyden in denzelven befchreeven , te faam en met een derde gedeelte van den overmaat van dien veelhoek boven dien van een veelhoek in den zelfden cirkel befchreeven , doch die maar de helft: van het getal zyden van den eerstgemelden behelst. huigens. pr. 5. bereiding. Zij FIELD d B T A f F de regelmatige veelhoek in den cirkel befchreeven , waar van de zyden 2 g in getal zyn, en men noeme deszelfs inhoud kortheidshalven V.
Zy FEDBAF de andere veelhoek , die maar half zo veel zyden als de eerstgemelde bezit: men noeme deszelfs inhoud kortheidshalven v.
De overmaat van den eerstgemelden veelhoek boven den laatstgemelden is dus gelyk aan een getal g van driehoeken allen gelyk aan A FIE: dus V—« — g X A FIE:
bewys. De inhoud van den cirkel is = v + fegm. F1 E -4. fegm. ELD + fegm. DrfB&c. — v + g fegm, FIE.
Maar fegment FIE ^ f A FIE (XVII Voorft.) dus Inhoud van den cirkel « _j_ f g X AFIE
ofV«+g*AFIEH-?-g*AFIE of V V | (V-u).
aanmerking. Men ziet hoe veel naaawkeuriger dit Voorftel de getalen, waar door men den inhoud van den cirkel kan uitdrukken, beperkt: volgens de manier van archimüdës weet men alleen dat de inhoud van den cirkel grooter is dan die van eenen 96-hoek in denzelven befchreeven; doch door dit Voorftel weet men bovendien dat hy grooter is dan die van eenen 96-hoek te famen met f van het verfchil tusfchen den 96-hoek en den 48-hoek.
XX. voor-



Jlï.Jfd. Over de reeden van den omt. tct de midd, 283
XX. voorstel. Fjg. 173.
De inhoud van een' cirkel is kleiner dan twee derde gedeelten van eenen veelhoek van een even j-etal zyden om den cirkel befchreeven , te famen met het derde gedtelte van den gelykvormigen veelhoek in denzelven befchreeven, huigens. pr. 6. bewys. Cirkelftuk I n E 0 L I ^ f A 1G L: (XVIIIVoorftel) gevolglyk.
Cirkelftuk «EoL I+AÏCL'<|AIGL_1_AlCL pf Sector ICLEI X. f ftuk C IGL f A ICL: en dus:
g}i Setlor ICLEI t f X £ftukCIGL + i£ * AICL: Inhoud van den cirkel "s. | veelhoek om den cirkel 4. veelhoek in den cirkel.
I. aanmürking. Door de manier van archimedes weet men flechts dat de cirkel kleiner is dan de 96- hoek o:ri denzelven befchreeven: thans weet men dat hy kleiner is dsn twee derde gedeelten van dien veelhoek en j van den 96. hoek in den cirkel; waar door de afwyking van de waarheid nader beperkt wordt,
II. aanmerking. Daar men door hét XVII Voorftel van het VI Boek, en deszells V en VI Gevolg zeer gemaklyk den inhoud van eenen veelhoek in den cirKel vinden kan, en dan door het XXI dien van den veelhoek om den cirkel, ziet men hoe gemaklyk men door dit Voorftel den inhoud van den cirkel kan bepaalen. Door middel van eenen twaalfhoek verkrygt men reeds eene zeer aanmerkelyke naauwkeurigheid.
GEVOLG.
De inhoud van eeneo Setlor C IE L C is ook kleiner dan twee derde gedeeltejn van het trapezium (ClGLC) gevormd door twee radiusfen en twee tangenten op de uiteinden van den boog des Sectors getogen: te famen met een derde gedeelte van den middelpunts driehoek ICL. huigens. pr. 6.
XXI. voor-



584 VIL Boek: Over den omtrek van den Cirkel
. XXI. voorstel. Fig. 162, of 173. en 174.
De omtrek van den cirkel is grooter dan de omtrek van eenen regelmatigen veelhoek van een even getal zyden, in denzelven befchreeven, te famen met het derde gedeelte van het verfchil tusfchen dien omtrek en dtn omtrek van den veelhoek die inaar de helft van dat getal zyden bezit. huigens. pr. 7. bereiding. Men ftelle dat F D de zyde is van eenen veel. hoek : dat F E, E D , de zyden zyn van eenen veelhoek van een dubbeld getal zyden: en FI, IE, EL, LD, de zyden van eenen veelhoek die wederom een dubbeld getal zyden heeft:
Zy Fig. 174. gh gelyk aan den omtrek van den veelhoek op FD (*): zy gi gelyk aan den omtrek van den veelhoek op FE: en ik —\ hi = | (.gi—gb). Einde» Jyk zy de loodlyn nz gelyk aan den radius van den cirkel: men trekke ng, nb, ni, tik; en men noeme O den omtrek van den cirkel. feivys. A Sni = veelhoek op F O
Ag«/j = veelhoek op FE ƒ VI' 17 °CV' 6' en dus & ink = ^ (A gni — gnh') — \ (veelh. op FI — veelh. op FE.)
Gevolglyk inhoud van den cirkel V A 5«» + A nik (XIX Voorft.) of wel (Voorftel 13., en IV 7, Gev. 8, N?. 6.)
O 3& — >. gt X ~ + kt X — en dus 2 22
O V gi + fei of V gi 4. § (gi—gb) L gevolg.
Zy P de omtrek van eenen veelhoek, en p die van den voorgaanden, d. i, van dien welke maar het halve getal zy» den heeft; zo is
O
(?) De [figunr 174 is uit gebrek van plaats op eene kleiner fchaal dm de figuur 173 of 162 geteekend: doch dit doet niets ter aaake.



lil. Jfd.Over de reeden van den omt. tot de midd.. i$S
1 — p 4 p
O VP + ~1T : of >>. _ P — ~ : dus is in woorden : 3 3 3
t, De omtrek van den cirkel is altoos grooter dan vier t, derde gedeelten des omtreks van een' veelhoeks in dien „ cirkel befchreeven, die een even getal zyden heeft, min ,, het derde gedeelte van dien van eenen veelhoek die maar é. h t halve getal zyden heeft. huigens. pr. 7: Cor. aanmerking. De zyde van den zeshoek is de radius: dus is het derde gedeelte vnn zynen omtrek gelyk aan de middellyn: en dus zyn 16 zydon van den twaalfhoek min de middellyn kleiner dan de omtrek van den cirkel: doch het verfchil is zeer gering. De zyde nu van een' twaalfhoek wordt zeer gemaklyk bereekent door VI, 17 het 8 Gevo'g. Men ziet dus dat men hier naauwkeuriger te werk gaat dan door de manier van aiichimedes , door welke men flechts weet dat de omtrek van den cirkel grooter is dan die des veelhoeks in den cirkel befchreeven.
II. gevolg.
Het blykt uit het bewys en uit het XIX Voorftel, dat het geen voor den geheelen cirkel plaats heeft, ook voor iederen boog plaats heeft: gevolglyk „ is een boog altoos „ grooter dan de vier derde gedeelten van zyne choorde „ min het derde gedeelte van de helft der choorde van eenen „ dubbelen boog: of grooter dan de choorde, te famen met „ een derde gedeelte van het verfchil tusfchen de choorde, „ en de halve choorde van eenen dubbelen boog." II. aanmerking, huigens gebruikt het woord finus van den boog in plaats van de helft der cboorie van eenen dubbelen boog. Wy zullen in het XIII Voorftel van het VIII Boek zien dat dit op het zelfde uitkomt.
III. gevolg, Fig. 174. a
Hier uit volgt eene zeer gemaklyke manier om eene rechte lyn, die ten naasten by gelyk zy aan eenen gegeeven cirkel.
boog3



sSo VLL Boek: Over den omtrek lian den Cirkel
boog, geometrisch te vinden; mits die boog kleiner zy dan het vierde gedeelte van eenen cirkel.
Zy ACJ3.de boog: deel denzelven in twee gelyke deden in C: trek AC, CB: verder CE loodrecht: zy FG — AB; FI rx AC 4. CB: IK z% f Gi: zo zal FK ten naasten by de gezochte lyn zyn. Want boog CB >. CB4.j fCB-EB) dus boog ACB VAC+CB+J (AC 4. CB—AB) of boogACB V FI 4-| (FI—FG) of V! FI 4. j GI of V FI 4. 1K. of grooter dan FK.
HUIGENS. pr. 12.
aanmekhikg. Naarmate de gegeeven boog kleiner is , komt de lyn FK nader aan denzelven : daarom hebben wy eenen boog vereischt kleiner dan een vierde gedeelte van den omtrek: doch indien de gegeven boog grooter was, zoude men den zeiven in 2, 4, 8 , of meerder deelen verdeelen, dat geometrisch gefchieden kan: men rreeme dan FK gelyk aan een der deelen: en dan het dubbeld, ofvier* voud, of aebtvoud van FK.
XXII. VOORSTEL. Fig. ifjj Indien men uit het uiteinde fö) van demiddellvn(BG) eenfnylyn (BK) trekt, die den cirkel fnydt, en to't aan de raaklyn (GKE) op het ander eind (G) van de middellyn getogen komt; is de boog (CG) tusfchen de eerstgemelde lyn BC en de middellyn (BG) begreepen altoos kleiner dan twee derde gedeelten van het ftuk (GK) dat door de gemelde ftylyri (AK) van de raaklyn (GK) wordt afgefneederi, te famen met het derde gedeelte van de loodlyn fCH) uit het einde des boogs op de middellyn (BG) nedergelaaten.
HUIGENS. pr. 8.
MBEIDIK6. Zy C Z eene raaklyn aan C: trek A Z.
Stuk ACZG — 2 A ACZ: — A waar van AC dé grondlyn en 2 CZ de hoogte: of 2 CZ de grondlyn en AC of AG de hoogte: (IV 7. het S Gev. n° 5 ) maar CZ — GZ (V. 15. Gev.)
Dtis, indie«men uit Z met den rad:as ZG eenen cirkel'
be.



»
III. Afd. Over de rceden van den omt. tot de mild. 287
befchreef, zoude dezelve door C en G gaan, doch ook door K. Immers is hoek BCG = recht (V. 5.) dus ook G C K: en dus moet de halve cirkel door. K gaan : dus ook KZs ZG± CZ en K G == aKZ.
Gevolglyk ftuk ACZG = A waar van AG de grond. Jyn en G K dc hoogte is.
Maar van A ACG is AG de grondlyn en CH de hoogte; en dus is A ACG = A waar van CHdehooS* te en AG de grondlyn is
Eindelyk Sedor CAG — A waar van boog CG do giondlyn en AG de hoogte is (XIII. Voorft. 3- Gev.) of AG dg grondlyn en CG de hoogte.
Dus: SeftorCHG: Trap. ACZG: A&CG = boog CG: GK: CH. (IV. 7. Gev. 1.)
Maar Seiïor CAG VI ftuk ACZG+ } A ACG:
(XX Voorlt. Gev,
dus'ooog CG ^ C GK 4. | CH.
XXIII. voorstel. Fig. 175. De omtrek van den cirkel is kleiner dan twee derde gedeelten van den omtrek eens regelmatigen veelhoeks in den cirkel befchreeven, te famen met een 'derde gedeelte van den omtrek eens gelykvormigen veelhoeks, om den cirkel befchreeven.
huigens. pr. 9. bereiding. Zy CH de halve zyde des veelhoeks in, endus ACE trekkende, zy EG de halve zyde des veelhoeks om den cirkel befchreeven.
Men trekke B C tot in K verlengd. Men ftelle LH — HG: dus BL = (BG—LG) = 2 (AG-HG) = 2 AH.
bewys.
EG: CH == AG: AH (IV, 2.)
dus EG-f-CH: CH —AG +AH: AH (III, 3, na 1.)
Maar CH: KG s BHj BG (IV, 2.)



288 VII. Boek: Over den omtrek van den Cirkel
•dus EG+CH:KG = (AG-+-AH)x BH:AHxBG:
Cm, ii.)
ofEG-f-CH: KG = BH 5< BH: AH H BG.
dus
EG -f- CH: 2KG = BHx BH: 2 AK x BG
— Dop BH: rechth. uitBL, BG. Maar O op BH zz rechth. uit BH, BL -4- rechth, uit BH, LH:
en rechth. uit BL, BG = rechth. uit B L, B H rechth,
uit B L, H G.
Maar rechth. uit BH, LH V rechth. uit BL, HG'
dus: □ op BH V rechth. uit BL, BG.
enEG + CH>.2KG.
EG -f CH . KG. en 3 V2 —
EG4. 2CH 2 KG+ CH. en r—V
Maar boog CG\?KG + ICH (XXII Voorft.) dus boog CG^fCH-4-fEG.
en dus ook de geheele omtrek des cirkels "s. f omtrek des veelhoeks op CD ^_ | omtrek des veelhoeks op E F.
I. aanmerking. Volgens de manier van archimedes vindt men alleen dat de omtrek des cirkels kleiner is dan de om« trek des veelhoeks om den cirkel befchreeven: doch nu vindt men dat de omtrek des cirkels kleiner is dan eene grootheid welke zelve kleiner dan de gemelde omtrek des veelhoeks is. En dus komt men tot grooter naauwkeurigheid.
GEVOLG.
Daar boog CG f CH-*-| EG: „ is ieder boog die „ kleiner is dan een vierde van den omtrek, kleiner dan twee „ derde gedeelte van de halve choorde van den dubbelden „ boog, te famen met een derde van de raaklyn E G.
II. aanmerking, snellius en huigens gebruikten het
woord



III. Af cl. Over de reeden van den mt. tot de thidd. 2 89
woord finus in plaats van halve choorde van dun dubbelden boog: de reeden daar van zullen wy in het XIII Voorftel van het VIII Boek uitleggen.
III, aanmerking. Dit zyn de Voorftellen , eerst door snellius opgegeeven , doch niet ten vollen bewee* zen; huigens ondernam en volbragt dien taak. Hier door kan men met veel minder' omilag dezelfde nauwkeurigheid erlangen, die LUDOLFdoor eenen zeer grooten arbeid verkreegen heeft, huigens is naderhand nog verder gegaan; en heefc nog twee andere Voorftellen gegeeven, die het werk nog merkelyk verkorten, doch die niet tot de eenvoudige grondbeginfelen der Meetkunde behooren; en welke wij gevolglyk hier niet kunnen byvoegen.
IV. aanmerking. Na de tyden van ludolf, snellius of huigens, heeft men door de zogenaamde verheevene Wiskunde middelen gevonden om dereeden van den omtrek tot de middellyn nog gemaklyker en nog naauwkeuriger bepaalen: en wel zo, dat, indien 1 voor de middellyn genomen wordt, de geheele omtrek door dit getal zal worden uitgedrukt, waarvan de laatfte cyffer te klein is: doch zo die 1 grooter was, was het geheele getal te groot: namenlyk:
3, 141, 592, 653, 589, 793. 238. 462, 643. 383. 279, 502, 884, 197. 169, 399, 37S, i°S. 820, 974, 944. 592, 307, 816, 405, 286, 089. 986, 280, 348, 253» 421, 170, 679, 821, 480, 865, 1321 723. ö56;? 47o.
938 , 44<5-
üuler, Introd. 5. 126.
Men zal van de overgroote naauwkeurigheid dezer uitdrukking kunnen oordeelen, indien men in acht neemt, dat zo men de 21 eerfte cyfterletters van deeze breuk neemt, van welke 21 Ietteren deeze (462) de drie .laatfte zyn, en men voor de laatfte in plaats van 2 een 3 ftelt, het verfchil op eenen cirkel, die zo groot is als de omtrek des geheelen aardkloots, nog niet het 28oooodocoo gedeelte van een' zandkorn zoude bedragen indien T o:ea



290 VIL Boek: Over den omtrek van den Cirkel
men reekent dat 200 zandkorreltjes, naast elkander op eene rechte lyn geplaatst, de lengte van een' duim uitmaaken.
Zie klinkenberg , Verb. van de Haarlemfcbe Maatfci. IJJv Deel p. 156.
V. aanmerking. Daar men nu de paaien, tusfchen welkende reeden van den omtrek tot de middellyn befloten is, met eene vry groote naauwkeurigheid kent, zullen ook alle reedens, die men opgeeft, en die men niet anders bewyst dan met aan te toonen, dat zy binnen die zelfde palen vallen , ook aangenomen kunnen worden ; en op dit grondbeginfel rusten veele manieren, die men voorgefteld heeft om eene lyn gelyk aan eenen cirkelboog te trekken , of een vierkant gelyk aan den inhoud van eenen cirkel ta maaken. Uit allen zullen wy deeze twee, die eenen grooten graad van naauwkeurigheid bezitten, opgeeven. I. Men deelt eene lyn in uiterfte en middelfte reeden: het kleinfte ftuk ftaat tot de geheele lyn, als de middellyn van den cirkel tot vyf zesde gedeelten van den omtrek.
vieta, p. 392. Men ftelt een getal voor bet kleinfte ftuk: men bereekent door de bekende eigenfchap van eene lyn op die wyze gefneeden, dat namelyk de rechthoek uit de geheele lyn en het kleinfte ftuk gelyk is aan het vierkant van het grootfte ftuk, de waarde van de geheele lyn : welke men gemaklyk uit de 6 en 7 Aanmerking op het VII Voorftel van het IV Boek afleidt: of men gebruikt de geometrifche conftruclie waar van wy in het V Boek, XII Voorftel, 9 Aanmerking, gefproken hebben, en men vindt dat de reeden van het kle infte ftuk tot de geheele lyn maar zeer weinig afwykt van die, welke men, uit de reeden door ludolf gegeeven, voor de reeden van den diameter tot vyf zesde deelen van den omtrek, afleidt.
De volgende wyze is geheel geometrisch. 'II. Zy BCD (Fig. 176.) een halve cirkel, en B C een vierde deel, laat de rechte hoek B AC, in drie deelen gefneden
wor-



HL Af d. Over de reeden van den omt. tot de miid. 29 r
worden, waar van L B AE een is; het geen geometrisch gefchied.
Trek DL en BI J,x op BD: verleng AE tot inl: trek im loodrecht op dl: neem dl = 3 AB: trek, IL: deeze lyn is zeer ten naaften by gelyk aan den halven omtrek.
Trek E F J. op F d: ftel den radius Bilri: dus is F E de halve choordevan een' hoekdie— 5 Lis: dus (il, 7.,het
1 Gev.) FA = v 1 — k —Vh Maar AF : FE = AB : BI: dus
BI = rr = DM: dus ML = 3 — y\ en
il = f/\-*~ ti^vï? — y ^9—6v§-+-f =;
3 Y3 + 3 j vi
VlfZ~^±=\y : het geên
ontwikkeld voor IL geeft 3,14153, dat dus zeer wel overeenkomt. koehanski. Acte Lipfierifia 1685. P- 397» XXIV. VOORSTEL.
De Boog- wiens lengte gelyk is aan den radius, behelst ten naasten by 57°. 17'. 44, 8/'. bewys. Uit hetXVI Voorftel, dereeden doorLCDOLFgegeeven gebruikende.
XXV. VOORSTEL.
De inhoud van den cirkel ftaat tot het vierkant op den diameter zo als 11 : 14, indien men de reeden, door archimedes gegeeven, gebruikt. S. p. 272.
bewys. Uit het 2 Gevolg van het XIII Voorftel. I. aanmerking. Indien men de reeden door ludocf ge« T 2 s«ff.



S (j 4 ?77. -5öe£ i Over (ten omtrek van den Cirkel.
geeven wil gebruiken, ftaat de inhoud van dien cirkel tot het vierkant op de middellyn, zo als 0,7853981634:1 dat is als 10,9955742876:14: het geen maar zeer weinig van 11 : 14 verfchilt.
II. aanmerking» Indien de halve middellyn 1, en dus de geheele middellyn 2 gefteld wordt: zal de inhoud van den cirkel 3,415926536, en dus byna 3.4160 bedraagen.
III. aanmerking. Indien men het grondbeginfel dat wy in de V Aanmerking op het XXIII Voorftel gegeeven hebben gebruikt, zal men vinden , „dat, zo men eene „ lyn in uiterfte en middelfte reeden fnydt, de geheele
lyn te famen met het kleinfte ftuk zal zyn tot de -„ dubbelde lyn , zo als de wortel uit anderhalf maal den „ radius tot de zyde van het vierkant dat gelyk is aan „ den inhoud van den cirkel."
Men ftelt de lyn' zelve gelyk aan een: men bereekent het kleinfte ftuk: en men vindt dat de gemelde evenreedigheid juist dat geen opleevert, dat uit de ieeden van iudolf volgt.
En hier uit ontleent men de volgende geometrifche conftruclie. (Fig. 177.)
Laaten B C, D E twee diameters zyn die zich rechthoekig fnyden: deel A C in uiterfte en middelfte reeden in H. TrekEC: dus EC=i/2: maar ftel AF = § EC:
dus AF = yOt: Trek B F verlengd: dus BF = yi-t-J: 2
Trek FH : Maak BH : BC = BF : BI: dat is trek Cl // FH : en BI zal de zyde van het gezochte vierkant zyn: en BI KL het vierkant zelf. viïxa, p. 393.
ACH-



ACHTSTE BOEK,
OVER HET MEETEN VAN HOEKEN DOOR CIRKELBOGEN EN HET BEREEKENEN VAN DEZELVEN DOOR CHOORDEN, SINUSSEN , TANGENTEN, EN SECANTEN.
I, | LI .. I "-J- -—
L AFDEELING,
OVER HET MEETEN VAN HOEKEN DOOR CIRKELBOOGEN.
I. VOORSTEL. Fig. 178.
In den zelfden cirkel, of in gelyke cirkels is er tusfchen de hoeken, zo wel in het middelpunt als in den omtrek de zelfde reeden als tusfchen de boogen op welke zy rusten : het zelfde heeft voor de Seftofen plaats: en een hoek in het middelpunt ftaat tot vier rechten, zo als de boog op welken hy rust tot den geheelen, omtrek.
eucl. VI. 33.
bereiding. Men neeme de bogen GB, BI, gelyk aan AG; en eeven veel boogen MN, NO gelyk aan KM.: men trekke CB, Cl; LN, LO.
bewys. voor het I. Uit de befchouwing dat boog Al en LACI gelykvouden zyn van boog AG en LACG: zo als ook boogKOen LKLOvanboog KMenLKLM,; «n dan uit III, 3. V, 4. Gev. 1. en V. 3;.
voor het II. Volgt uit het I.
vooa hlt III. Uit V. 4, Gev. 3,
Ta t



i94 Vlll. Boek: Over de maat en lereekening der Hoeken.
I. gevolg.
Een boog kan dan voor de maat van eenen hoek in het middelpunt gehouden worden, zo lang men van den zelfden cirkel fpreekt: en wy zullen die fpreekwyze aanneemen.
II. ce volg.
De maat van eenen hoek in den omtrek is de helft van den boog op welken hy rust: (i. Gev. en V. 3.)
II. voorstel. Fig. 80*.
De bgogen CD F, AGJ van ongelyke cirkels, op welke gelyke hoeken (A C G, D C F), namelyk allen in den omtrek, of allen in het middelpunt rusten, zyn onderling in de zelfde .reeden als de omtrekken waarvan zy deelen zyn. En omgekeerd, indien twee boogen Van ongelyke cirkels tot elkander ftaan als de geheele omtrekken, zullen de hoeken in het middelpunt, of de hoeken in den omtrek, die op dezelven rusten, gelyk zyn,
Zie koenio Cor. 2. op eucl. VI. 33. bewys. voor het I. gedeelte. Uit np. 3. van het I. Voorftel. en III. Axioma 4. voor het II. Uit het I, door het ongerymde
I. gevolg.
Bus rusten, in ongelyke cirkels , gelyke hoeken op gelykvormige bogen. (VII. 12. het 2 Gev.)
II. gevolg.
De bogen van twee ongelyke cirkels, op welke gelyke hoeken rusten, zyn zo als de halve middeilynen dier cirkels, en deeze zo als de choorden dier bogen (VII. ia. en IV. 2.) St. p. 260. Cor.
III. GE»



ƒ. Jfd, Over bet meeten van heeken door Cirkelboogen. 195
III. GEVOLG.
En omgekeerd, zo bogen van ongelyke cirkels zyn als de geheele omtrekken, of de halve middeilynen > zullen de hoeken die op dezelven rusten gelyk zyn, en hunne choorden zullen zyn zoals de halve middeilynen.
IV. GEVOLG.
Dus zyn, in alle cirkels, de bogen de eigenaartige maat der hoeken in het middelpunt: en de halve bogen die van de hoeken in den omtrek.
V. GEVOLG.
Hier op fteunt het meeten der hoeken in graaden.
I. aanmerking. Volgens een oud gebruik deelt men den omtrek van eenen cirkel in 360» : en de graaden wederom door een geduurige zestigdeelige verdeeling in Minuuten, Seconden, Tiercen enz.
S. p. 5. d. 14.
II. aanmerking. Hierop, en op IV, 2, fteunt het gebruik van die lynen op den proportionaal pasfer welke met het woord cboorde beftempeld zyn: deeze dienen om. de choorden van alle bogen gemaklyk te vinden, en dus ook de zyden van alle mogelyke veelhoeken, en dat wel door VI, 4, Gev. 1: en dit gebruik is vee! algemeener dan dat van de lyn der Polygonen. Zie VI, 8. Aanmerking. — Hier op fteunt insgelyks het gebruik van den kleinen cirkel of
' Transporteur om hoeken te meeten.
VI. Gevolg.
De zelfde ftraalen fnyden gelykvormige boogen van de omtrekken van cirkels die om het zelfde middelpunt ftaan.
Zie koenig 3 Cor. op eucl. VI. 33.
III. voorstel. Fig. 84. Gelykvormige cirkelftukken (ABC, DEF) zyn T 4 die



2Q 6 VIII. Boek: Over de maat en bereekening der Hoeken.
die welke gelyke hoeken bevatten : en gelykvormige Secloren zyn die welke door ftraalen,' gelyke hoeken bevattende, gevormd worden.
S. p.107. def. u.p. 108.pr.13 P- ioo.pr. 14 p.270. d. 7. BEwars. voor het I. Uit het L Voorftel toont men dat de boogen, op welke de hoeken ABC, en DEF rusten, zyn als de omtrekken : en dus uit III. 8. n°. 2, dat de bogen ABC en DEF het ook zyn, waar uit bet Voor» . ftel door VII, 12. Gev. 3. volgt-
voor het II. Uit de gelykheid der hoeken, en dus de gelykvormigheid der bogen, en hgnne gelyke reeden tot de ftraalen, (door het I Voorftel, en VII, u. Gev. 2.) aanmerking, euclides ftelt dit Voorftel onder de Ax.it* mata van zyn derde boek.
I. GEVOLG.
De bogen van gelykvormige cirkelftukken of Sectors, zyn als de tegen der cirkels, of de choorden daar die op. rusten.
IJ. gevolg.
En dus zyn de gelykvormige cirkelftukken, die op gelyke choorden ftaan, gelyk. eucl. III. 24.
III. GEVOLG.
En gevolglyk kan men op eene lyn aan den zelfden kant geen twee cirkelftukken plaatfen, die gelykvormig en teevens ongelyk zyn.
eucl. III. 23. — St. p. no. pr. 15.
IV. GEVOLG.
Gelykvormige Seélors en cirkelftukken zyn in verdubbelde reeden der choorden op welke zy ftaan , of der middeilynen van de cirkels tot welke zy behooren (IV. 17.)
TAC-



I, Af d. Over bet meeten van koeken door Cirkelboogen. 297
tacquet Schol. I. Op eucl. XII , 2. — S. p. 277r
pr. 28. en p. 270. Cor. pr. 29.
IV. voorstel. Fig. 80*.
Bogen (AG, DE) van ongelyke cirkels, op welke ongei lyke hoeken rusten, zyn in famengeftelde reeden der hoeken a en der ftraalen: en de hoeken zyn in famengeftelde reeden van de rechte reeden der bogen, en omgekeerde reeden der ftraalen.
bereiding. Men onderftelt de cirkels om het zelfde middelpunt te ftaan: en men verlengt C G in F. bewys. voor het I. Uit het I Voorftel: en III. 10.
voor het II. Uit het eerfte: en III. Ax. 5. aanmerking. Hoe wel dit Voorftel van veel gebruik is in de Sterrekunde, vindt men het echter byna in geen elementaire boeken. Zie het by la caille lecons a"Aftre* namie. §. 124. en keafft Geometria fublimior. ($. 107.
GEVOLG.
De Sector CDEC : tot den Se&or CAGC — £, DCE * CD2: L ACG xAG1 want uit VII, 13. Gev. 3. is
CDEC; CAGC = ^ DE X CD: ^ AG X AC: maar ^ DE: uj\G = L DCE * CD: L ACG X AC: dus SeftorCD EC : Seftor CAGC — L DCE x CD1:
L ACG x, AC#
En, indien de Sectors gelykvormig zyn, zyn zy als het vierkant der middeilynen.
krafft Geometria juUimior. §. 107.
V. VOORSTEL. Fig. 43.
De maat eens hoeks (BAD), in het aanrakings ftip (A} door eene raaklyn (BA) en eene choorde (DA) gevormd, is1 de helft van den boog dien de choorde befpant. ■
bewys. Uit V. 9- en hier het II. Vootftel, 4. Gevolg.
T j VI. VOOR-



Sq8 VUL Boek: Over de maat en bereekenmgderHoekm
VI. voorstel. Fig. 85. Pe maat van eenen hoek (DCE) wiens kruin C binne» den omtrek des cirkels is, is de helft van de fom der bogen (DE, AB) op welke de beenen des hoeks, als zy wederzyds verlengd worden, rusten. L. C. J. 470. bereiding. Men trekt AE. bewys. Uit i. 7. en hier het II. Voorftel, 4. Gev.
VI} voorstel. Fig. 85.
r De maat van den uitwendigen hoek (H GI), in den omtrek gemaakt door eene choorde (HG) en eene verlengde fnylyn (FG) is de helft van de fom der bogen (HG en GF) die gemelde lynen wederzyds van het fnypunt befpannen.
bereiding. Men trekt HF.
bewys. Uit l. 7. en hier het II. Voorftel. 4 Gev.
VIII. voorstel. Fig. 86.
De maat van eenen hoek (D A E) wiens kruin (A) buiten »len cirkel valt, is de helft van het verfchil der bogen (DE, GH), die de beenen des boogs befpannen. L. C. J. 474.
bereiding. Men trekt HD.
bewys. Uit I, 7. en bier het II. Voorftel. 4. Gev*
cevolg. Fig. 165.
Indien de kruin A zodanig op de middellyn ACE genomen wordt, dat AG — GCis , zal de hoek DAE het derde gedeelte van den hoek DCE, e^hetvitïrdervaatlen
want L A = i^DE— i^HGjen L GCA=^HG: dus:
■i^DE —I ~ HG=^HG:of^DE = 3^ HG en dus L DCE = 3 /. GCH zz 3 IA : «trxtea?*.
AAN-



/. Afd. Over het meeten van hoeken door Cirkelbogen, 209
AANMERKING.
Indien er dan een middel was om, een boog D E of een hoek DCE gegeeven zynde, eene fnylyn D G A zodanig te trekken in een' cirkel waar van DC de ra» dius is , dat het ftuk buiten den cirkel gelyk zy aan den radius, zoude het zeer gemaklyk vallen eenen hoek in drie gelyke deelen te verdeelen: doch het is niet mogelyk zodanige lyn door middel van den cirkel en van de rechte lyn alléén, dat is, in den ftrikften zin geometrisch, te trekken. vieta heeft het vraagftuk van den verdeeling eens hoeks
in drie deelen tot dit Voorftel gebragt: Operum. p. 245.
II. A F D E E L I N G.
VAN HET BEREEKENEN DER HOEKEN EN BOGEN DOOR SINUSSEN, TANGENTEN EN SECANTEN.
BEPAALINGEN. Fig. 8?. . I.
Men noemt complement van een' boog CD B) den boog (GD) dien men by den boog CD B) voegen moet om het vierde gedeelte van den cirkel uit te maaken: en fupplement den boog CA G D) dien men 'er moet byVoegen om den halven cirkel uit te maaken.
Insgelyks : noemt men complement van een' hoek (DCB) , den hoek CGCD) dien men by denzelven voegen moet, om een' rechten hoek te verkrygen: en fupplement den hoek CACD), die'er bygevoegd moet worden om twee rechten uit te maaken. S. p. 283. d. 2. 3.
J. aanmerking. De woorden cnnplement en fupplement be*
te-



jao VUL Boek: Over de maat en beretkening derHoekr\
tekenen beiden byvoegfel of aanvul/el. Het gebruik beeft gewild dat het eene aanvul/el tot een vierde gedeelte des cirkels, het ander tot een' balven cirkel zoude betekenen,
GEVOLG.
Indien men dus eenen boog , of hoek (dat is het gptal graaden dat derzelver grootte aanduidt) van jjq° en van i8ó° aftrekt, verkrygt men het complemmn en het fupplement. II. aanmebking. Daar de bogen de maat der hoeken zyn (VIII., 2. Gev. 4,) moet men in het vervolg dqor Vierde gedeelte van dtn cirkel of halven cirkel, een' rechten hoek of twee rechte hoeken verftaan : en *t geen men van bogen zeggen zal ook op hoeken toepasfen, en omgekeerd.
II.
Men noemt choorde van eenen boog de lyn (DB), die beide de uiterften des boogs veréénigt: zy onder fpant, wel is'waar, zo,wel den boog (DAB) diemet den yoorgaanden (DB) den geheelen omtrek uitmaakt, als den boog (DB)zeiven : doch, men verftaat altoos ftilzwygend alleen den boog die kleiner is dan de halve omtrek.
III.
Men noemt finus (of hoekmaaty van eenen boog (DB), de loodlyn (Dl) die van een zyner uiteinden nedergelaaten wordt op den diameter (B A), die doos het ander einde (B) gaat. En die zelfde loodlyn is ook de finus of hoekmaat van den hoek (D C B), waar van-de boog (DB) de maat is. St. p. 284. d. 4. — W. T.
I. GEVOLG.
De finus van eenen boog is ook de finus van het fupplement.:
W. T. §. 5v *
/ W. T,



ÏL AfL OveY dê Sinus/en t Tangenten en Secantsn. §»i
II, GEVOLG.
Hoe grooter de boog is hoe grootèï de fihus is, tot dat men een' boog van negentig graaden, of een vierde gedeelte van den omtrek heeft: dan is de finus gelyk aan den radius, waar om ook de radius de ge* heele finus (finus totus~) genoemd wordt. De finusfen van. bogen die grooter zyn dan 90 graaden zyn wederom kleiner, en de finus van 1800. is nul. aanmerking. Indien men nog verder dan de halve cirkel wilde gaan (Fig. 129.) by voorbeeld tot den boog EB AH, zoude de finus HK zyn, de zelfde als BK, dat is voor het verfchil tusfchen den gegaeven boog en den halven omtrek: doch dan valt de finus onder den diameter en dus aan het tegengefielde van den kant waarop men de. finusfen der bogen tot 180 gr. toe genomen heeft: Indien men zich dus herinnert wat wy (in het IIIB. 3LXI. V. Ge v. 4. Aanm.) van negatieve grootheeden en derzelver aart gezegd hebben zal het blyken , dat die finusfen negatief zyn: dus is finus o" = o: finus 900 = R: finus 1800 =r o: finus 2700 = — R: finus 3600 = o en zo vo"orts. Doch dit komt in de elimentaire Meetkunde niet veel te pas.
IV. Fig. 87.
Men noemt Cofinus of meede hoekmaat, ook fchilboogs hoekmaat, en meest finus complement, van een' boog (DB) of vaneen' hoek (DCB) den finus of hoekmaat (HD) van zyn complement: of, wat op het zelfde uitkomt, het gedeelte (Cl) van den radius, dat tusfchen het middelpunt des boogs, of den top des hoeks, en den ontmoeting van den finus bevat is. W. T. 5. 7. — St. p. 285. d. 6.
I. GEVOLG.
De Cofinus is kleiner naar maate de boog of hoek
groo-



302^11L Boek: Over de maat en bereekening der Hoeken.
grooter is: die van een' boog van 90 gr. of van eenen rechten hoek is nul: hy wórdt grooter en komt nader aan de radius, naar mate de boog kleiner wordt en dus nader aan o graden komt. Dus is Cofinus 0? gelyk aan den radius.
II. GEVOLG.
De Cofinus van een' hoek of boog is ook de Cofinus
van zyn fupplement. aanmerking. (Fig. 179) Indien men zich hetgeen wy III. B.
, XXI.V.Gev. 4. Aanm, over den aart der negatieven grootheeden gezegd hebben herinnert, blykt het dat de Cofinusfen van bogen tusfchen de 90° en 2700 altoos negatief zyn: want men begint ze van M af te tellen: en dus voor de bogen van E af tot C toe naar den kant M E: doch voor de bogen van C tot A, en tot G, naar den kant MA, endus aan den anderen kant van het begin of den oorfprong der telling ; het geen juist het denkbeeld van eene negatieve grootheid uitmaakt: dus is Cofinus o° zz: R: Cof. 900 = o: Cof. iio°zz — R: Cof. 270° = o: Cof. 360° — R.
Deeze aanmerking is van gewigt: om dat men veeltyds uit het teeken of —- moet beoordeelen of een beree« kende Cofinus tot een' boog die kleiner dan go°, of tot deszelfs fupplement, dus tot een' boog die grooter dan 90*is, behoort.
V. Fig. 87.
Men noemt (inus-verfus, verkeerde finus, of pyl9 het gedeelte (BI) van den radius dat tusfchen het eene einde des boogs, en den finus, begreepen is. W. 5. 7. — St. p. 285.
GEVOLG.
De finus-verfus is dus gelyk aan het verfchil van den ^finus en den radius voor hoeken of bogen die kleiner dan 90 graaden zyn: doch voor hoeken of
bo-



II. Afd. Over deSinusfen, Tangenten, en Secanten. 303
bogen die grooter dan 90 graaden zyn, dat is voor de fupplemenren der eerstgemelden , is de finus-verfus gelyk aan de fom van den radius en den cofinus. aanmerking. De finus-verfus is dus altoos pofitief, omdat hy altoos naar den zelfden kant geteld wordt, groeijende van o tot -)- R en + 2 R.
VI. ,
Men noemt Tangent of raaklyn van een' hoek of boog, dat gedeelte (BE) van de onbepaalde raaklyn, het welk begrepen is tusfchen het ftip van aanraaking (B), en de ontmoeting (E) van den verlengden radius , die door het ander eind (D) van den boog gaat. W. g. 6. — St. p. 286. 8 Rep.
GEVOLG.
De Tangent wordt dus grooter naar maate de boog «f hoek grooter wordt: doch de tangens van -een boog vaa 90° graden, kan den radius die door het ander eind des boogs gaat niet ontmoeten, om dat hy evenwydig aan den zeiven is: en dus is de tangent in dat geval onbepaald groot. Doch de tangenten van hoeken, die grooter dan 901 zyn, zyn gelyk aan de tangenten der bogen of hoeken waar van zy fupplementen zyn. aanmerking. Fig. 170. Indien men op het laatste gedeelte van dit gevolg Iet, zal men indedaad zien, dat , zo de boog AGD grooter is dan oo°, de radius CD nimmer de raaklyn A E boven den diameter A B raaken kan: maar indien men D C onder den diameter tot in T verlengt, zal AT, volgens de bepaling de tangent van boog AGD zyn: nu is AT — EB — tangent van den boog DB, die het fupplement is van boog AGD.
En indien men een verder let op het geen wy in het III Boek, XXI Voorft, Aanm. op het 4 Gev. gezegd hebben,
over



304 VUL Boek: Over de maat enbereekening der Hoeken.
over den aart der negatieve grootheeden, blykt het, dat A1 als negarief befchouwd moet worden: en dus is Tangens o° zz o: Tang. 900 ZZ oneindig: Tang. van een' boog grooter dan 90° negatief: Tang. 18c0 — o: Tang. boog grooter dan 180° tot 2700 pofitief: Tang 2700. oneindig : Tang. boog grooter dan 2700 tot 360° pofitief. Tang 3600 zz o,
Wy zullen in het vervolg (Aanm. op Voorftel XIX.) zien, hoe dit met het geen wy van pofitieve en negatieve finusfen en cofinusfen gezegd hebben, overeenkomt.
VIL
De Cotangent (G F), of meede- raaklyn, ook tangent complement genoemd, is de tangent van het complement van een' gegeeven boog of hoek. W. t, 5. 7. — S. p. 287. d. 9.
GEVOLG.
De Cotdngent wordt dus kleiner naar maate de heek grooter is: is nul voor een'rechten hoek, oneindig voor een' hoek dien men zoude begrypen nul te zyn.
aanmerking. Het geen wy voor het pofitieve of nega* tieves van de tangent gezegd hebben , heeft ook voor de cotangent plaats.
VIII.
De Secans of fnylyn (CE) van een' boog of hoek , is de radius tot aan den tangent verlengt. W. t. 5. 6. — S. p. 286. d. 8.
GEVOLG.
De fecans is dus grooter naar maate de hoek grooter is: die van een boog of hoek van 90 gr. is oneindig: doch de fecanten van bogen die grooter dan 900 zyn, zyn dezelfde als de fecauten der bogen of hoeken,
die



II. Jfiïi Over de SinusftQ 5 Tangenten en Secanten. 30^
die kleiner dan 900 zynde, de fuppleraenten van de
èerstgeraelde zyn. aanmerking. Het geel» wy over het pofitieve af negatieve van de Tangenten gezegd hebben , heeft op de zelfde wyze voor de Secanten plaats.
IX,
Cofecant, (CF) of mede-fnylyn, ookJèèini complet ment genoemd, is de fecant van het complement. W. 5 5- 7-
GEVOLO.
De Cofecant wordt kleiner naar maate de boog grooter wordt: die van 900 is hul: die van een' boog, welken men begrypen zoude nul te zyn, is oneindig.
aanmerking- Het geen wy van het pofitieve en negatie.
ve van de Secanten gezegd hebben, heeft hier even eens'
plaats. , .
BERICHT.
De Eigenfchappen derSinusfen, Tangenten en Secahten, •worden ten vollen door de Meetkunde beweezen, en uit de eigenfchappen van den' cirkel en van gelykvormige driehoeken afgeleid: en in zo vetre behooren die lynen tot de Meetkunde zelve. Doch dè Wiskonftenaars gaan verder; zy vergelyken de hoegrootheid dier lynen met den raï èius , en drukken dezelve door getalen uit. Dit gaat buiten de paaien van het ge n de Ouden Meetkunde noemden: vooral, daar de Sinusfen, Tangenten en Secanten, allen (op drie na, Sinus 300, Tangens 45° en Secans èo") door onmeetbaare getalen, en dus flechts ten haasten by, Kunnen worden uitgedrukt.'
Dan, daar wy nu ovef die lynen meer bëpaaldclyk, ten nutte van de praktyk, fpreeken zullen, enwelmetoogtneikorn aan te toonen, hoe men derzelver grootheid bereekent „• zullen wy geen zwaarigheid maaken, de yerkoite uitdrukkingen, in bet IV Boek VII Voorftel, VI en VII Gevolg, Uitgelegd, te gebruiken: en van het product van twee lynen



306 VUL Boek: Over de maat en oereekenlng der Hoeken.
te fpreeken, om den rechthoek, doordezelvengemaakt, aan te duiden. Ons XI Voorftel, by voorbeeld, zoude, volgens de ftrikte fpreekwyze der ouden, welke wy tot nu toe in acht genomen hebben , dus uitgedrukt worden : ,, de rechthoek uit de choorde, die de fom van twee boogen „ befpant, en den diameter, is gelyk aan de fom der recht„ hoeken uit de choorde vari eiken boog, met de choorde „ van het fupplement des anderen boogs." En het XIV, XV, XVI, en de volgende Voorftellen konden op dezelfde wyze uitgedrukt worden: doch hoewel deeze uitdrukkingen rnisfchien meer in den fmaak der ouden zouden vallen, verkiezen wy liever de anderen, die korterzyn, en meeronmiddelyk in de reekeningen te pas komen, te gebruiken; vooral daar wy dezelven zetr naauwkeurig uitgelegd , en tevens aangetoond hebben , hoe zy in de daad uit de ftriktfte bewyzen der Meetkunde zelve afgeleid worden. Wy hebben daar in te minder zwaarigheid gemaakt, daar euclides en archimedes zelve ze gebruikt hebben , zo dra het op het reekenen in getalen aan kwam , zo als duidelyk blykt uit het VII en X Coek van euclides, waarvan wy verfcheiden plaatfen hebben aangehaald , en uit het werk van archi. medes over den Cirkel. Dit zy over onze manier van handelen in de volger.de Voorftelien genoeg.
IX. VOORSTEL.
De reedens van Choorden (DB en db), Sinusfen (DlendOi verkeerde Sinusfen (Blen bi), Tangenten (BE en be) , S&canten (CE en ce) , Cofinusfen (Cl en ci), Cotangenten (GFen gf), Cofecanten (C F en cf) van gelyke hoeken, of van bogen die gelyke hoeken befpannen* en dus gelykvormig.zyn, tot den radius, zyn in alle cirkels, welke ook derzelver grootte zyn moge, de zelfden. W. 5 10.
bewys. Uit de gelykvormige driehoeken, door IV. 2.
GE-



11. Afch Over de Sinusfen, Tangenten en Secantevl 30?
gevolg.
De Sinusfen, Tangenten, Secanten, zyn dus ook eene waare maat van de bogen en van de hoeken: en, welke ook de grootte van de.n radius zyn moge, worden die finusfen, tangenten, fecanten, altoos door het zelfde getal deelen van dien radius uitgedrukt.
X. voorstel. Fig. 88.
Het vierkant van den diameter is gelyk aan de fora der vierkanten van de choorde eens boogs, en va» «ie choorde van het fupplement-
dat is, AB: 23 AË2 ■+- BE\ bewys. Uit V, 5. en II, 7.
gevolg.
De dianieter van den cirkel, en de choorde van een' boög gegeeven zynde , vindt men gemaklyk de choorde van het fupplement
dat is, A ti2 =z "AB2 — BE4aanmerking. De choorde van een'boog. van 6o° is dë zyde van d ;n regelmatigen zeshoek in den cirkel befchreeven, (VI. 8, Gev. 2.) en is dus gelyk aan den radius. Alle andere choorden worden gevonden met den wortel uit getalen te trekken : doch deez^ zyn geen vierkante" getalen : en dus vindt men die choorden flechts by nadering.
XI. voorstel. Fig. 88.
De choorde (FE) van de fom van twee boogen (ED , FB) is gelyk aan de fom der produéten van ieder choorde met dé choorde van het fupplement des anderen hoogs gemultipliceerd, en door de middellyn gedivideerd , dat is, AFx EB-t-AExFB
FE= ABT '
ïeeeidino. Men trekt de middellyn BA: en de fupplW V 2 liieni



3c8 VIII. Boek: Over de maat en lercekenïng dér Hoeken,
ment-choorden AE, AF: dan is AEBF een vierhoek1 inden cirkel befchreeven, waar van.EF de eene diagonaal en de diameter A B de andere diagonaal is. Iewys. Uit VI. 7. v/elk Voorftel indedaad met dit overeerakomt zo men voor de rechthoeken de produften der lynen, dat is de produ&en der getalen die de lengte der iynen uitdrukken, ftelt.
I. CEVOLG.
Wanneer dus de choorden van twee bogen bekend z'yn, kan men de choorde van de fom dier bogen vinden: want men bereekent eerst door het X Voorftel, Gev. de choofr den der fupplementen, en dan door dit Voorftel de gevraagde choorde der fom.
II. G E VOLG.
De choorde van een' boog, die het dubbeld is van een gégeeven boog , is gelyk asn het product der choorde van den boog door de choorde van het fupplement gemultipliceerd , en door den radius gedivideerd, dat is, z% EB = FB. is
AE X EB
FE= —GBT~
III. GEVOLG.
Op de zelfde wyze vindt men de choorde van eenen drieVoudigen, vyfvoudigen, enz. boog; met door ons Voorftel en door het II. Gevolg, de choorde te bereekenen van des boog die de fom is van de enkele cn de dubbelde, vervolgens van de dubbelde en de drievoudige, enz.
XII. VOORSTEL. Fig. I62.
De choorde van eenen boog (IE) die de helft is van een' gegeeven boog (FIE) is gelyk aan den vierkants-wortel van bet product uit den radius (CE) en het verfchil (Q E) van dén diameter en de choorde (TF) van het fupplement van den gegeeven boog (F I E): dat is, IE — /VcEx(J Ë-TF)



II. Afd. Over de Sinusfen, Tangen!en en Secanten. 3 09
bewys. De choorde van eenen boog is altoos de zyde van eenen veelhoek: dus is de choorde van den halven boog de zyde des veelhoeks die eens zo veel zyden heeft: en dus is dit Voorftel het vermaarde Voorftel van ptolemaeus door ons in hec XIX Vooiftel van het VI Boek beweezen.
GEVOLG.
Men kan dus de choorden bereekenen van alle de bogen, aie door eene geduurige verdéeling in twee gelyke deelen voorkomen:en die reekening wordt nog gemaklykergemaakt door het Voorftel van snellius dat by ons het Gevolg is van het XIX Voorftel van het VI B.
I. aanmerking. Men kan de choorde van de helft eens gegeeven boogs nog op eene andere wyze vinden. Want, daar FI — IE is, zy CK loodrecht op FE: en dus KE = i FE: maar CK = /^cE1—ÏHÏ2": en KI
II. aanmerking. Men kan dus gemaklyk de choorden van alle hoeken of boogen bereekenen: want die van 6o° is gelyk aan den radius: en door de verdeeling in twee deelen, vindt men die van 300, 150, 70 . 30', 3' . 45' — 225': dus die van een vyfde gedeelte van 225' of van 45': dan die van een derde gedeelte van 45' of van 15': wederom die van een vyfde gedeelte of van 3': wederom die van een derde gedeelte of van 1'. Om de choordes van boogen te vinden die derde of vyfde gedeelten zyn van eenen gegeeven boog, gebruikt men eene foort van valfcbe pojitie: de choorde van het derde gedeelte van een' boog is iets grooter dan het derde gedeelte van de choorde des gegeeven boogs: men neemt dan een getal dat iets grooter is dan het gemelde derde gedeelte, en gebruikt dit als of het de waare choorde was: die choorde aanneemende bereekent men de choorde van den drievoudigen boog(doorhetXI Voorft. Gev. 3) welke dus de gegeeven
V 3 choot-



ai© VUL Bock: Over de maat en bereckcnhig da Hoeken*
choorde zyn mpec: zo 'er eenig verfchi! fs, maakt me» deezen regel van driën :
De gevonden choorde ftaat tot het getal dat men gefteld heeft voor de choorde van het derde deel des boogs, zo als de waare choorde van den gegeeven boog tot de waare choorde van het derde gedeelte : en deeze rege! fteunt hierop, dat voor boogen die weinig van elkander verfchillen , de aanwas der choorden de zelfde reeden als die der boogen volgt, zo als reed-, uit de Theorie der limieten is op te maaken, en verder in ons XVIII Voorftel blyken zal.
Indien men dan de choorde van 70. 30' heeft, kan men op die wyze de choorde van het derde gedeelte , of van 20. 30' zoeken : en dan van het 5 gedeelte van 2". 30' of van 30': en dan van het derde gedeelte, of van 10': en dan van het vyfde gedeelte of van 2' : en dan van de helft of v.ari i': waar uit men alle andere choorden vindt. III. aanmerking. Men vindt by ptolemaeus en anderen tafels van choorden : die gebruikte men eertyds , al-, voorens de finusfen bekend waaren: en die tafelen bereekend zynde, kan men gemaklyk de finusfen uit dezelve opmaaken: doch het valt gemaklyker tafelen van finusfen te bereekenen. De eigenfchappen der finusfen die wy jiu verklaaren zullen, dienen daartoe. Intusfchen kan men na Ieezen deparcieux, Nouveau Traité dc Trigonometrie, pr. 4—12, die dit ftuk uitmuntend behandeld heeft.
XIII. VOORSTEL.
De finus (DI) van een' boog is de helft vaa dc choorde van een' dubbelden boog.
tacquet. Trigon- Lemma p. 335 \V. t. §. 2. sewys. Uit V. 6. en de derde Bepaling»
I. GEVOLG.
Men kan dan de finusfen uit de choorden, en omgekeerd, de choorden uit de finusfen opmaaken.
^ II. Ci E-



II. Mi. Over ds Sinusfen, Tangenten en Secanten. 311
II. GEVOLG.
De finus van een' hoek of boog van 300 is de helft van den radius. (Aanm. op het X. Voorftel.)
III. gevolg.
De zyde van een' veelhoek in den ciikel befchreeven , is' het dubbeld van den finus des halven middelpunt-hoeks: zo dat men die zyden zeer gemaklyk vinden kan, wanneer de finusfen van alle boogen met genoegzaame naauwkeurigheid bereekend zyn.
XIV. voorstel. Fig. 87.
De fom der vierkanten van den finus en van den cofinus van een' boog, is gelyk aan het vierkant van den radius: dat is, ^
R' zz fin.* + ~cof.z-
BEWYS. Uit II. 7-
gevolg.
Wanneer de radius en de finus of de cofinus gegeeven zyn , vindt men gemaklyk den cofinus of den finus: want
fin? - R' - cof.1. 7of.z = R.' — fm-z-
tacquet. Trigon. Porism. I. — S. p. 290. pr. 3. —
w. S-
aanmerking. De VViskonftenaars ftellen in het algemeen den radius gelyk aan de eenheid: waardoor alle de bereekeningen eenvoudiger worden. In dien zin heeft men fin. -f. coj. ZZ 1
fin. =1 — coj. —xt T"l
cof. =1 — Jm. •
V 4 XV. VOOR-



3 ï 2 VÜI. Boek: Over de maat en bereekeJfttig der-Hoeken XV. voorstel. Fig. 179,
. De. finus TL N) van de fom- van twee hoeken of bogen (D L en D B), is gelyk aan de fora der producten van den finus van ieder' boog gemultipliceerd met den cofinus van den anderen, en gedivideerd door den rad:us: en de finus (TS) van het verfchil van twee boogen is gelyk aan ..het Verfchil dier zelfde producten: d. i.
fin. (B -f- C) — (fin. B . cof. C •+■ fin. C . cof. B): R en \
fin. (B — C) — (fin. B . cof. C — fin. C . cof B): R i' S. p. 294. pr. 5beréidtrg. Zy L M loodrecht op C D : dan is L M de finus, CM de cofinus van boog LD , of L LCD : zy insgelyks Dl x C B, dan is D I finus en CI cofinus van boog DB of L DCB: zy LN x CB, dan is LN ~ finus LB
— fin. (LD + DB) en CN is^cof. CL D+DB):voorts LM verlengende tot de ontmoeting des cirkels, is MT
— LM, en boog DT — boog LD, en dus is TB zz boog (DB — LD).' Maakende TU en PM loodrecht op LN, en MO op CB ; is TS = fin. TB — ÜN = PU — T U = PN - PL;ora dat P L — PU, want LP : PU — LM : MT: en LM = MT.
bewys. voor het eerste. , LN — PN 4. P L : men
2oekt eerst de waarde van P L uit de gelykvormige drie^
hoeken PML en CDI: dan die van PN uit de gelyk»
vormige driehoeken MCO en CDI. En men verkrygt
LM x Cl + Dl x CM . LN r= g-^ waaruit het \poro
ftel volgt.
voort het tweede. TS. = UN = PN —=PL: waar* uit het Voorftel volgt.
1. gevolg.
De tnut vm een' dubbelden hoek is geb/k aan het dub-



27. Afiï. Over de Sinus fn, Tangenten en Secanten. 313
bek. product van den finus door den cofinus, gedivideerd door den radius: dat is
2 fin. B x cof- B fin. 2 15 = *————
of, zo R =: 1, fin. 2 B z£ 2 fin. B $ cof. B. W. t. 5. 14.
II. GEVOLG.
r
En dus fin. B ^ 2 fin. i B . co/, i B. cagnoli. §. 63.
XVI. voorstel. Fig. 179.
De cofinus (CN) van de fom (LB) van twee hoeken (LD, DB) is gelyk aan het verfchil van de producten der cofinusfen van beide de hoeken , en der finusfen van dezelven, gedivideerd door den radius: en de cofinus (Cl) van het verfchil van twee hoeken is gelyk aan de fom van die zelfde produ&en; dat is
erf. (B+C) = (coj. B . cof C — fin. B . fin. C): R en cof. (B — C) — (coj. B . cof. C -+•>. B .fin. C):R. St. p. 295: Gev. 2. bereiding. Zy is de zelfde als voor het voorgaande Voorftel : en daaruit volgt
CN — CO — NO—CO — PM. cn CS = CO + OS = CO + XT = CO + UX'
— CO -{» PM.
bewys. Men zoekt eerst de waarde van CO door de
gelykvormige driehoeken C M O en CDI: en dan die
van PM door de gelykvormige driehoeken PLM en
CDI: waar uit volgt
CN — CM X Cl — LM x Dl
1 CD
CNXCI—LMxDI , , .tt n 1 • C S =5 , —^ , dat het Voorftel is.
aanmerking. Het blykt uit het t. Gevolg der 4 BepaaV 5 ling,



314 VUL Bock: Over de maat en bereekenlng der Hoeken.
ling, waarom de cofinus van de fom van twee boogen kleiner is dan de cofinus van hun verfchil.
I. CEVOLG.
De cofinus van een dubbelden hoek is gelyk aan het ver. fchil der vierkanten van den finus en van den cofinus, gedivideerd door den radius; dat is
cof. i B = cê/TB1 _ JinTB1. Hellende i voor den radius.
II. GEVOLG.
Indien men in het I. Gevolg in plaats van fin. bl en cof. tiz hunne waarden fielt uit de Aanmerking op het Gevolg van het XIV VoorHel, is
cof. 2 B = 2 cof. B1 — i en cof. a B rr i — 2 >Tb* : en dus
tof. Bl = - ^
* 2
v—. I — tof. 2 b
fin. B SS .
2
CAGNOLI. S'. 66. 67.
III. GEVOLG.
Daar door het XV. en door dit Voorftel, fin. i (A — B) — fin. j AX cof. J B — fin. | B * cof. \ A: en
af. \ (A 4. B) = cof. i A>C co/. | B —ƒ». f h Ui fin. }B:
zal men door multiplicatie verkrygen :
fa. (A — B) * «ƒ. § (A 4. B) = fin. I A . co/. | A .
[«ƒ. i b* + finTf^] — ƒ«. } B . co/. I B [«ƒ. f A* 4. /ïnTjA2] en dus (door XIV. Voorftel)
v, fin.



ƒ/. Afd. Over dc Smurfen, Tangenten en Sccanten. 3 r 5
2 fin, l (A —. B) X coj. } (A + B) = 2 ^. 1 fl
f A 2 fin. | B «ƒ. 1 B en dus (door het XV Voorftel, Gevolg 2.)
I. fin. A — B — 2 fin. i (A — B) cof. § (A -t- B). Waaruit ook volgt, of op gelyke wyze uit de waarden
van fin. \ (A B) en cof i (A — B) beweezen wordt,
II. fin. A fin. B = 2 fin. | (A -+- B) coj. \ (A —B);
waaruit verder volgt lU.fin._fA_—fin. B _ fin | (A —- B) cof. | (A -4- B) >. A -+■ fin. B — ƒ ;i. I (A -1- B) cof. £ (A — B>
cagnoei. g. 80. 8l.
XVII. voorstel. Fig. 89.
De finus (LM) van de helft van een' boog is gelyk aan den wortel uit het halve produft van den radius en den finus verftts : of aan de helft van den wortel uit de' fom van de vierkanten van den finus en den finus verfus: doch de Cofinus (CM) van de helft van een' boog is gelyk aan den wortel uit het product van den radius en den finus verfus van het fupplement: dat is.
fin- i Ü = J/ïX'X.fin tT'ÊI — i /^T^L* + Jm^tTW1: en
ia/TTÉ = tVk B * fin.*.fiW>.U, == f^_±^LBy.
St. p. 291. pr. 4. en pr. 4. Gev. 1. — W. t. §. 13. • I. bewys. voou het eerpte. Uit de gelykvormige driehoeken AB I. en LBN, en de opmerking d^t LM — § LB. voor het tweede. Uit II. 7. op den driehoek LBN
toegepast.
voor het derde. Uit de befchouwing dat Cof. =z /^Rs— fin.z: en voorts uit het I.
JI. bewyï. Stellende in de uitdrukkingen van het II. Gevolg van het XVI. Voorftel B. - 5 E, heeft meu
cof.



a j 6 VUL Boek: Over de maat en bereekening derHoehtc
„ i+ cof. E fin. v fupp E
coj. l E =—7—= 1~ m
' i_cc/.E y?n.v.K
fin. i E — ~ = •
I. gevolg.
mTjinTÏE^1^^
is co/. E — 1— 2 (fe. § E)* = 2(M/.iE)* — i cagnoi 1. $ 66.
II. gevolg.
/,(E-±-F)^, (fcï)=2U^£ï,
want uit het XV Voorftel is
fin.b^h'Cx/a.lï^c'z:^rTË1 Tö/Tc1 ->Tc2 «ƒ. b*
= uit (XIV. Gev.)
(1 -^^.Xw/TC2 _ cof. b2 (1 — «>ƒ. cj) = c^Tc2 -
•7/Tb2 cl/Hc2 — c'ojTb1 + ^/Tb1 el/Tc2 =? «/Tc2 —
E F
Hellende nu ~en ~ in plaats van b en C , is
/E+F\ /E — F\ _ —, |
y xfin. — J = „ƒ. i F — cof. i E*
1 + cof F i-*-«ƒ• E _ en dus uit dit Voorftel = — — 2 —
cof. F — coj. E 2
XVIII. voorstel. Fig. 87.
De laatfte reeden van den boog, de choorde, den finus, en dc tangent, is die van gelykheid.
bewys. Uit VII., 3. Om dat de boog de limiet is va* 3e choorde, den finus, en de tangent,
l. ge-



21. 4fd. Over dé Sinusfen, Tangenten en Secanten. 3 fj
I. gevolg.
De finusfen van kleine boogen volgen ten naasten bif dé reeden van de bjogen zeiven, en zyn daaraan ten naasten by gelyk: de cofinusfen van zeer kleine boogen zyn ten naasten by gelyk aan den radius: en, hoe kleiner de boogen zyn,hos naauwkeuriger dit een en ander plaats heeft. S. p. 298. pr. 6. en Cor.
II. gevolg.
Gevólgiyk indien B zeer klein is, is fin. (A -+; B) = ftn. A -+; B coj. A: en »s/".(A-+;B) — cof. A^BJin. A
III. gevolg.
Èn dus, indien men twee boogen heeft die weinig van ek kander verfchillen, zyn de aanwas of de afneeming van finusfen van boogen die tusfchen in vallen ten naasten by in de zelfde reeden als de aanwas of de afneeming der boogen.
IV. gevolg.
De boog is de limiet van de choorde; en de diameter is de limiet van de choorde van het fupplement. . I. aanmerking. Het is door de voorgaande eigenfchappen dat men tafelen van finusfen en cofinusfen voor alle liogen heeft kunnen bereekenen. Immers is de finus van 30* de helft van den radius of §: dus vindt men den cofinus van 300 door het XIV. Voorft. Gevolg: vervolgens door het XVil Voorftel den finus en cofinus van 15° , van 70 . 30', van 30. 45', van i°. 52'. 30", van 56'. 15'', van 28'. li'1 enz tot dat men tot eenen boog komt die klein genoeg is om Jer, met betrekking tot de naauwkeurigheid j welke men begeert, den finus van een juist getal minuten, of ficouden , uit af te leiden door het III Gevolg van dit voorftel. Dan vervolgens opklimmende vindt men finusfen van alle dubbelde bogen door het Gev. van het XV Voorftel; en van de fom van twee bogen door het XV Voorftel: dus indien men eens den finus heeft van 1'. vindt
men



318 VUL Boek: Over de maat en bereekening der Hoeken, men gemaklyk die voor 2°,4°, y°, 16° ,32°: dus ook die van 2 4. i-of 30, van 4 4.1 of 5., van a -t~ 1 of 9°, enz. en dan van 2 x 3 of 6°, van 120, enz. 1 van 6 4. 1 of 7 Gr, enz. en dus ook voor minuuten.
Men kan over het berekenen der Tafelen nazien steenstra p. 292. Gev. 3. tacquet. I. Prop. i—5. en p. 346.
II. aanmerking. Wy zullen hier den aart en het gebruik der Sinus-tafelen uitlegden, zo wei van de natuurlyke cf flecht-finusfen, als van de Logarithmus-finusfen enz., en aantonen hoe men door het JU Gevolg van dit Voorftel da finusfen vindt van boogen die niet juist in de tafelen zyn , en omgekeerd hoe men de boogen, tot gegeeven finusfen, doch die niet in de tafels ge.onden worden, behoorende, vinden kan.
XIX. voorstel. Fig. 87.
De Tangent of raaklyn (BE) van eenen boog (DB) of hoek(DCB)is gelyk aan den radius gemultipliceerd door den finus, en gedivideerd door den cofinus: en de Cotangent (GF) is gelyk aan den radius gemultipliceerd door den cofinus, en gedivideerd door den finus. dat is
Rx& . R x cof.
Tang, = ,• Cot. =r —r-—-
ö coj. fin.
S. p. 301. pr. 8. — W. t. 5. t8. iewys. Uit de gelykvormige driehoeken CID en CUE voor het I: CDI en G F C voor het II.
cagnoli 5 50" 57 102 1. aanmerking. Hier uit blykt, dat, zo of de finus of de s cofinus negatief is, de tangent het ook is, het geen overeenkomt met de aanmerking op de 6 bepaling: en dat, zo finus en cofinus het beiden zyn, de tangent wederom pofitief wordt: het geen plaats heeft voor bogen tusfchen 180 en 270 graden.
j. g2>



11. Afd, Over de Sinusfen, Tangenten en Sccanten. 319
I. GEVOLG.
De Tangent en Cotangent van eenen boog van 45* zyn beiden gelyk aan den radius. S. p. 288. pr. 1,
II. GEVOLG.
Hier uit biykt, hoe gemaklyk de Tangenten en Cotangenten te bereekenen zyn, als men de finusfen en cofinusfen eerst bereekend heeft. tacquet. tr. prob. 6.
III. CEVOLG.
Men kan uit dit Voordel, gepaard met het XV, XVI, XVII, gemaklyk uitdrukkingen vinden voor de tangent vaa de fom of van het verfchil van twee hoeken, of van een' dubbelden hoek of een' halven hoek:
dus is, uit Voordel XV en XVI,
I. Tang (A-4- IT) - feJ^T Bj^fijuAeof. BRn. B. cof. A
- J—cof. [A-tB]—coJ.Acof.B^.fm. K.fiu.tï
— Tang' A TmS- B_. "~ i J[I Tang. A x Tang. B '
en dus, zo A = 45°, en gevolglyk Tang. A ±f 1,
II. is Tang. C45» B) - 1 ~ Tm*L?
~ l+Tang.B
III. Tang. i A - t^-J^^fAl _
coj. i A fm.v.fupp. t\
JSl -cof.IC. = /(7Z.CQJ.A}
i-t-w/.A. K (i-f-cc/.A.)(i— coj. A.) fin, y. & Jin. A
IV. GEVOLG.
Hier uit volgt:
Dit is het fchoone voorftel door john pell in 1644 gevon-
den,



3£0 VUL Boök: Over demtiat en bercèkening derlloehn.
den, en tot het bepaalen van den cirkels-omtrek met zeer veel nut gebruikt: zie controverfia enz. p. 13.
V. gevolg.
De Tangent van eenen boog is de helft der zyde van eenen veelhoek om den cirkel befchreeven , wiens middelpuntshoek het dubbeld van den gegeeven hoek is: zo als de finus de helft is[van een' dergelyken veèlhoek in den cirkel befchreeven, gelyk wy reeds te voren gezegd hebben: dus is by voorbeeld de tangent van eenen boog van i°. 22.1. 30' de helft van de zyde van eenen veelhoek wiens middelpuntshoek 3° en 45' bedraagt, dat is van eenen 90"- hoek: en de finus van i°. 22', 30". is de halve zydé van den 96 hoek in den cirkel befchreeven: zo men dan dien tangent en dien finus neemt, is de reden van den omtrek van den cirkel tot den radius kleiner dan 19a maaien die tangent, en grooter dan 192 maaien die finus; of tot den diameter kleiner dan 96 maaien die tangent, en grooter dan 96 maaien die finus. En indien men de finus en tangent van eenen boog van 1' nam, kwam het op het zelfde uit als of men een 10800 hoek gebruikte: dit gaat dus zeer gemaklyk voort wanneer men eerst de finus- en tangenten- tafel bereekend heeft; doch men lette op het geen wy in het VII. Boek in de VI. Aan° merking op het XVI. Voorftel gezegd hebben. XX. voorstel. Fig. 87.
De tangent van eer en boog is gelyk aan het vierkant van den radius gedivideerd door den cotangent: en de cotangent is gelyk, aan het vierkant van den radius gedivideerd door den tangent: dat is
Ta^—at.CoU-mg.
bxwts. Uit de gelykvormige driehoeken CEB en CFG.
t G'E-



II. Afd. Over de Sinusfen, Tangenten en Seeantén. 3 21
I. GEVOLG;
De Tangenten zyn in omgekeerde reeden van d@ Cotangenten, en de Cotangenten in omgekezrde ree* den van de Tangenten; dat is:
Tang. = —; Cet. = —*— eet. tang.
II. GEVOLG.
Het komt gevolglyk op het zelfde uit, of men door den Cotangent divideert, of door den Tangent multipliceert; eri omgekeerd: of, wanneer meh door Logarithmen weikt, of men den Logarithmus van den Cotangent aftrekt, of den Logarithmus van den Tangent bytelt; en omgekeerd: Daar hu de bytelling altoos gemaklyker valt dan de aftrekking, moet tnen altoos aan dezelve den voorrang geeven,
IIL GEVOLG.
Uit het xv. Voorftel is 3. fin. (A -4- rp_fm. A.cof. b -4- fin. B . ca/. a fin. (A — B) ~~ fin. A elf. B — fin. B . coJT&i — (divideerende door cof. A . cof. b)"
tang. A -4- tang. B _ cot. A cot. b **" tang. A — tang. B cot. B — cot. A
op eene dergelyke wyze vindt men ook ii. cof. (A -f- b) _ cot. B — tang. A cot. A — tang. 8 cof. (A — B) cot B *+• tflrc^. A coï~A~H-lï«jf"lj en uit het lil. Gevolg NQ. 3. van het XVI. Voorft. rblgf
ta«£. | (A ü. b)
V tang. ï (A -4- B) en insgelyks IV. cff^^Jof.JB ^ cot 1 (i\ 4. fi) co/. B — co/. A ia?(g. |~(A — B) Sagkoli, jj. 58. j. 59- 5- 86. J. 87".



3 S2 VIIL Boek i Over de maat en bereekening derHoeheti.
XXI. VOORSTEL.
De Secant CE is gelyk aan den wortel uit de fom der vierkanten van den tangent en van den radius i ook gelyk aan het vierkant van den radius gedivideerd door den cofinus : ook gelyk aan het produét van den tangent gemultipliceerd door den radius , en gedivideerd door den finus: en de Cofecans is gelyk aan den wortel uit de fom der vierkanten van den radius en den cotangent: ook gelyk aan het vierkant van den radius gedivideerd door den finus: ook gelyk aan het product van den cotangent, gemultipliceerd door den radius, en gedivideerd door de» cofinus: dat is
tr. .rwï—:—: -r Rs R X tang.
fee. zz y R» + tang.- zz -g. -
tofec. = VR'+ cot? =
Jm. cofin.
St. p. 302. pr. 8. bewys. voor het I. N'. i. uit ÏL, 7. toegepast op C E B : voor N°. 2. en No. 3. uit de gelykvormige driehoeken CDI en CEB.
voor het II. N". 1., uit II., 7. toegepast op & GCF: voor N», 2. en N». 3. uit de ge!ykvormige driehoeken CGFenCHD.
ï. gevoeg.
De fecanten zyn in omgekeerde reeden van de c«finusfen: en de cofecanten in die van de finusfen % en omgekeerd; dat is
fee. = —~>; cofee. — ; cof. zz -r— ; fin. zz —-jï— e0f' Jm' Jec' cofec.
II. gevolg. Het komt dus op het zelfde uit, door den fecant te muhiV pliceeren of door den cofinus te divideeren: en door den



II. /ifd. Qw de Sinusfen, 1 angenten en Secar.tea. 323
fecant te divideeren of door den cofinus te multipliceeren j of, wanneer men door de Logarithmen werkt, den Logarith, fecant af te trekken , of den Logarith, cofinus by te tellen ; en den Logarith. fecant by te tellen of den Logarith. coftoant af te trekken.
III. gevolg.
De Logarithmus-fecant is het complement van den Logarithmus-cofinus en deLogarithmu»-coiècant is het complet inent van den Logarithmus-finus. (III. 35. Gev. 3.)
IV. gevolg.
Hierüit volgt dat de Tafels van fecanten en cofecanter» gemaklyk te bereekenen zyn als men de finusfen en cofinus • fen bereekend heeft: doch het blykt teevens, dat zy onnuttig zyn: waarom zy ook in de beste Tafelen van gaediMer cn cal let weggelaaten zyn.
XXII. voorstel. Fig. 129.
De fom der Sinusfen van alle de boogen in den halver», cirkel, te beginnen van eenen bepaalden boog af, en altoos met den zelfden opklimmende, is gelyk aan den cotangent van de helft diens boogs, gemultipliceerd door den radius,
bIwys. Zy AB die boog; men noeme den zeiven B.
Dan is AB : BE = A£ : 2 (BK 4. CM4»DO)(Vt'25',
Gevolg.)
Maar 2 (BK 4 CD 4» DO) is de fom van alle dc finusfen BK, KH, CM, MG, D O, OF in den geheelen cirkel: dus
choorde B : choorde fup. B — R ; fom van alle ds finus* fen, tot 1800. (VI. 25. Gevolg) dus
L ■ l R JC- choo'de fup. B
fom van de fmusfen tot 1800 ZZ w-*-**
cboordi &
^ R X l choorde fup. B -
choorde B ™
x i K



324 VUL Boek: Over de maat en bereekening der Hoeken.
R X Jin-J fuP- B _ (in. § B
- RfK-^lg — R X c* ï B =
— ƒ«. § a
R X *an£ co"2/'- ï RIndien dus K — i°: zyn alle de finusfen, van graad let graad genomen , te' famen = R X tang- 8£°' — h4,<:886, indien de radius io gefield wordt.
Zie vieta, Operum p. 375- en krafft, geometria fublimior, §. ioo.
XXIII. VOORSTEL. Fig. 89. De Sinus verfus of pyl (NB) is gelyk aan liet vierkant van de choorde (L B), gedivideerd door den dubbelden radius (AB).
bewys. Uit de gelykvormige driehoeken L NB en ALB.
gevolg.
De finus verfus is dus gemaklyk uit de choorde te berekenen : doch nog gemaklyker uit den cofinus. (V. Bepaling).
aanmerking. Men vindt Tafels van finus verfus in de E»gtlfche Tafels van sherwin , en in de groote Nederduitfche van douwes. Doch dezelven gaan flechts tot 90°: en wy hebben te vooren gezien, dat de finus verfus altoos aangroeit tot 1800 toe ; men moet dus ook de overigen weeten te vinden, het geen gemaklyk gtfchiedt , met by den radius den cofinus van het getal graden die de gegeeven hoek boven de 90" behelst, te voegen, en dan den Logarithmus van die fom te neemen,wel lettende dit men het charafter met 3 moet vermeerderen, om dat de Logarithmus des finus verfus (het geen ook in den Logarithmus der finusfen, tangenten, ftcanten plaats heeft) voor een' radius van io.cro.coo oco, doch de natuurlyke, of flecht-finus verfus, finus, of tangent alleen, voor eenen radius van io,oao,coo betekend zyn.
XXIV. VOGEi*



II. Jfd. Over de Sinusfen, Tangenten en Secanten. 3 25
XXIV. voorstel. Fig. 87. De laatfte reeden van den finus verfus, fB1) en van dat gedeelte (D E) van den fecant dat tusfchen den omtrek en den tangent begreepen is, is de verdubbelde reeden van den Boog BD.
newton. Lem. II. bewys. I. Uit XXIII. is D B
fin. verf. — BI — ^-gr: maar Boog DB is de limiet van de choorde DB: en dus is de limiot van finus verjus
Boog1,
Diam.
IL Uit de driehoeken EDXenCEB is (IV., 2.) DE : IB zz CE : CB en dus
■ IBXCE DB* X CE , _ib'>.
DE r: ———- ZZ ——-: maar boog DB is de
CB AB X CB &
limiet van de choorde DB, en CB is de limiet van CE,
en dus
limiet van D E =
üimn.
I. GEVOLG.
De finus verfus van kleine boogen groeijen aan of verminderen in de verdubbelde reeden hunner boogen.
II. GEVOLG.
Voor kleine boogen is het gedeelte van den fecant, tus» fchen den omtrek en den tangent begreepen, gelyk aan den finus verfus, en het groeit aan als het vierkant van den boog.
aanmerking. Beide deeze gevolgen zyn van veel nut in de Natuur- en Sterrekunde.
X 3 III. AF-



3 2 $ FIN. Boel: Over de maat en hereekomg der Hoeken,
III. AFDEELING.
bVER HET GEBRUIK VAN DE SINUS" TAFELEN, TER GEMAKIYKER BEREEKEN ING VAN EENIGE GROOTHEIDEN.
XXV. VOORSTEL.
Alle grootheeden, die waare breuken zyn , en, welke Verandering zy ook ondergaan mogen , altoos waare breuken blyven, kunnen als de finus van eenigen boog aangezien worden: en alle grootheeden, die breuken zyn, doch van waare bieuken gemengde breuken of geheele getalen kunnen worden, zo ver men wil uitgeflrekt, kunnen als tangenten aangemerkt worden.
' bewys. De eenheid voor den redius aangenomen zynde, zyn immers alle finus fen breuken: de tangenten zyr breuken tot 450 toe, en vervolgens gemengde breuken of geheele getalen.
aanmerking. De fecanten, die altoos grooter dan de radius zyn, zyn geheele getalen, Of gemengde breuken.
XXVI. VOORSTEL.
Alle grootheeden, die deeze gedaante hebben, «6 cd
« x, welke ook de grootte van a, 'o, c, d moge zyn, zyn
altoos zodanig dat men hebbe : cof. A zz ^ j£: er. ss — sd z= x — ed (tang. A)s
cagnoli. 5 202,
lEwys. x — ab — cd ~ cd {~, — xY
\cd /
&ïaar (tang. AV =(fee. A)3 — i — faj*Ay ~~ 1:.
jb dns, CVccrftel XXI., Gev. i,>
*''•'<« ■ ■ •»•••• » ..- ia-



/II. Afd. Over bet gebruik van de Sinus-Tafelen. 327
• j- 1 fli c r a mV'cd indien ;- > =:>-,, of («. Ai' -r »
(cof. Ay cd J ab
i$ 9b — cd~cd (j_Y~__l — 1) =cd (tanS- = *• GEVOLG.
Daar men altoos ab = pa en co" = q2 ftelle» kan, (iV. Gev. 10.) heefc men ook,
q
indien x ■=■ f — q1: en coj. A = ~ 4. * * rr j2 (tang. A)7
XXVfl VOORSTEL.
Alle grootheeden die deeze gedaante hebben , x — ab
+ cd , welke ook de grootte van a, b, c, rf zyn moges
zyn altoos zodanig, dat men Hellen kan, tang. A ZZ
Z^cd ab
* <-f en x =z 7—-
ab (cof. A)*
cagnoli, 5- 198'
bewvs. x i oi 4. cii ~ si ^1 ■+■ MaaryëTï^r: 1 4.ta^TA2 (Voorftel XXI.)
jyTd .
sa dus, indien tang. A = r — is
x =o& -IrcdzzabQfec. A)1 — (fc,/? Aj*(Vootft.XXI.)
I. GEVOLG.
Men kan ook Hellen cot. A —
Vcd
en dan had ntsn
ao
— ab
^ - (fin. A)-
II. GEVOLG.
Indieno6^=li», erf— 0', tang. A — ~.' is k — TjcoJKy1 X 4 XXVII. voor,



19 8 VilI. Bock: Over de maat en bercckening der Hoeken-
XXVJI} VQ O R STEL,
Alle grootheden die deeze gedaante hebben x zz
Y p2 -+- q', zyn zodanig dat tang. A — ~ en x = —-Z -
p cof. A.
CAGNOLI. §• 20(5,
• ewy5. X = y p1 -f- q' sn p I -h '*
ff
' MaarïejTA == ^' A = VT^TangTK)'.
J.0 dan tang. A=~: is xzzp X fee. A =z -~-rV cof. A.
XXVIII. VOORSTEL.
Alle grootheden die deeze gedaante hebben * sa
Y P2 — 9* zyn van dien aart dat cof. A zz - en x == P •
fin.A; of fin. A zz ~'• en « — p . coj. A,
CAGNOLI. (J. 20S, ÏEWSTS, X = y p2 q* ZZp j/^ I — «*
L r'
Maar y i — (.fin. A)' zz cof. A: of y"\ —"*(«ƒ. A)J zz fin. A:
dus, zoi 22 co/". A, is a; 22 ? ƒ«. Aj ea 30 2. = fin. A, is * =s 6 cof. A.
i>
XXIX. VOORSTEL» Alle grootheden die deeze gedaante hebben * =5 re J£
/ZQrjanig, dat zq tang^ B — ~ , k = m X
\<t y ■ ■ «
U'ig-. (45° -± B)j
CAGNOLI A |. 2O0, - f*;
Mi



Ill.Afd. Over bet gebruik van de Sinus-Tafelen. 329
1,
bewys. * zz m x ^ " ^ , maar (Voorftel XIX, Gev. 3. N°. 2.)
i -4- tang. B
zo dan - = tang. B, i» a
«-(»}{ (45° Hfc B),
X* NE'



33°
NEGENDE BOEK,
OVER DE DRIEHOEKS-MEETING, I. BEPAALING.
De Driehoeks-meeting of Trigonometrie is de weetenfchap welke ons leert, hoe men driehoeken moet jneeten, of dezelven oplosfen. W. t. f. i.
I. aanmerking. Wy zullen hier alleen handelen van de rechtlynige driehoeks-meeting, of kunst om de rechtlynige driehoeken op te losfen ,- welke kunst ook platte drieboeks-meetirg genoemd wordt, en omdat de rechtlynige driehoeken, wier zyden allen in één en het zelfde vlak liggen, platte figuuren zyn, en om ze te onderfcheiderv van de klootfcbe drieboeks-neeting, die de klootfche driehoeken tot onderwerp heeft, d.'i., driehoeken wier zyden bogen zyn van cirkels op eenen kloot befchreven, en die dus niet in één en het zelfde vlak liggen.
II. aanmerking. Het geen men driehoeks-meeting noemt, behoorde in de daad driehoek s-reekening genoemd te worden. Want die kunst beftaat in het berekenen der grootte ▼an de onbekende zyden en hoeken; het geen in de Meetkunde der ouden niet te pas kwam; ook vindt men 'er geen fpoor van in euclides: een hoek, eene lyn werd by hen voor bekend gehouden, zo dra dezelve in grootte gegeeven , of uit hoofde van het overige der figuur bepaald, was: waarvan wy in de Aanmerking op het XXXII. Voorftel van het XI. Boek, een aanmerklyk vooibeeld zullen bybrengen. Daar wy dus moeten reekenen, zullen wy van tnultiplicatie en divifie van lynen, dat is, van getalen die lynen uitdrukken, fpreeken: even als wy zulks in de Aanmerking op het XVI. Voorftel van het VII. Boek ge«. daan, en in het Bericht voor het IX. Voprflel van het VIII. Boek breeder «itgelegd hebben.
I 11. B$-



IX. Boek: Over de Driehoeks meeting. 33^
II. BE PAALING.
Men zegt dat men eenen driehoek oplost, wanneet' ïnen, twee hoeken en eene zyde, of twee zyden en een hoek, of de drie zyden van eenen drieho<... hekend zynde, de grootte van de onbekende deelen bepaalt: en het is de kennis van de regelen, welke men volgen moet, om tot die bepaaling te komen, die het onderwerp van de driehoeks-meeting of Trigonometrie uitmaakt.
St. p 307. Bep. 1. 3. aanmerking. De driehoeks-meeting vooronderftelt dan, dat het geen gegeeven is genoegzaam is, om tot de kennis van het gevraagde te geraaken, en gevolglyk dat, zo dra die dingen, welke men opgeeft, bepaald zyn, al het overige het ook is, en dus, dat 'er geen twee driehoeken zyn kunnen , waar in het gegeevene voor beiden het zelfde is, en de overige deelen verfchillende kunnen zyn. Dit is de reeden waarom wy in deeze Bepaaling niet van het geval gefprooken hebben, waar ift alléén de drie hoeken des driehoeks bekend zyn : want al zyn deeze in twee verfchillende driehoeken gelyk, kunnen echter de zyden zeer verfchillende zyn in grootte; de driehoeken zyn in dat geval alleen gelykvormig, en niet gelyk: zo als uit het IV. Boek genoegzaam blykt.
Dit is derhal ven de reeden, waarom 'er in de diiehoeks-meeting maar drie algemeene gevallen plaats heb» ben : die, namelyk, welke wy in de Bepaaling hebben opgeteld. Dat in het L en III. het gevraagde door het gegeevene bepaald is, blykt genoegzaam uit het IX. en XII. Voorftel van hét I. Boek. Dit heeft ook plaats voor het II. geval, doch met eenige onderfcheiding; omdat het zelf twee ondergefchikte gevallen behelst: het eerfte is, wanneer de gegeeven hoek tusfchen de twee gegeevea zyden begreepen is; dat dan al het overige ook bepaald is, blykt uit het VIII. Voorftel van het I. Boek : het
an-



332 IX. Boek: Over de Driebüeks'tneethtg.
ander is, wanneer de gegeeven hoek over een der zyden ftaat; en het blykt uit het XIII. Voorftel van het I. Boek, dat dan al het overige ook bepaald is, mits men vooraf weeten, of een dtr overige hoeken ftomp zy , of niet want laten, in figuur 141, de zyden AD en DC gegeeven zyn , zo als ook de hoek A: dan kunnen 'er twee driehoeken zyn, namelytt ^ACD, en & ABD, waarin het gegeevene (namelyk LA, A Den CD, of B D — CD) hetzelfde is, doch die van elkander verfchillen, omdat in den eenen de L C ftomp, in den anderen de hoek B fcherp is; het geen ook op de grootte van de derde zyde A C of A B , en van den derden hoek A D C of A D B invloed heeft. Nogthans zyn die twee driehoeken zo gefteld, dat de hoek C in den eenen altoos het fupplement is van den hoek B in den anderen: en daar een hoek den zelfden finus, cofinus, fcfc heeft als zyn fupplement, (VIII. Bep, 3, 4 en 5) kan men uit de bereekening , die voor uitkomst den finus van den gezochten hoek opleevert , niet weeten of men den hoek, die aan dien linus in de Tafelen beantwoordt, dan wel zyn fupplement neemen moet: dit moet van elders, uit den aart namelyk van het Vraagftuk, bekend zyn. II. aanmerking. Men is gewoon de oplosfing der rechthoekige en die det fcheefhoekige driehoeken afzonderlyk te behandelen: en, in de daad, die der rechthoekige is altoos gemaklyker, omdat 'er in dezelve altoos één hoek, de rechte hoek namelyk, gegeeven is; waar uit verder volgt, dat de finus van dien hoek ZZ 1 en de ééne fcherpe hoek het complement van den anderen is.
I. AF-



1. Afd. Over de rechthoekige Driehoeken. 333
I. AFDEELING,
OVER DE RECHTHOEKIGE DRIEHOEKEN» I. V OORSTEL. Fig. 87.
In alle rechthoekige driehoeken (CDt) ftaat de radius tot den finus van éen der fcherpe hoeken (D of C)zo als de fchuinfe zyde (CD) tot die rechthoekszyde (Cl of Dl) welke over den gemelden hoek ftaat.
St. p. 312.
bereiding. Men ftelle dat Cd de radius zy , g db de cirkel met denzelven uit C befchreeven , en di loodrecht op Cb, dh enDHopCG welke met C B eenen rechten hoek GCB maakt.
bewïs. Uit de gelykvormigheid der AA CDI e" CU: de gelykheid der AA HCD en-DCI: tn de 3.bepaaling van het VIII. Boek.
aanmerking. Dit Voorftel is eigenlyk een byzonder ge, val van het IV. Voorftel.
I. GEVOLG.
Dus is ook CD: Dl = radius: cof. L D: CD: Cl = radius: cof L. C
II. GEVOLG.
BusooklCD: CD— DI = i: 1 — ce/".D.(III.S.N°.2.) en
CD —Dl
1 — cof. D = et) : maal
1 _ cof D = 2 (fin i Dy (VIII, 16. Gev. 2.)
CD-_DI dus 2 (fin. i D)1 = q rj#
in



^34 ï& 2°e&'> Over de Driehoeks-meeting.
en CA», i D) = I'C° ~~ Dl ^ 2 CD
CACKOLI. §. 217.
III. GEVOLG. CD Dl: CD - 1)1= 1 + „ƒ. D: 1 _ Cof.DÏ en dus
CD — Dl 1 - cof. D '' ■
CAGNOLI. g. 217.
II. VOOItSTEL. Fig. 87. In alle rechthoekige driehoeken (CDI) ftaat de fa. dius tot den tangent van een der hoeken (C of 1)) zo als de zyde (Cl of Dl) aan dien hoek grenzende tot de zyde (Dl of Cl) welke over dien hoek ftaat. S. p 309- — w, t. 5. 50. bereiding. Als voor het vorige Voorftel: enzybe loodrecht op C4 en GF op CG.
bewys. Uk de gelykvormigheid der a,a CDI en Ceb; de gejjrkheid der AA CDI en HD C; en dé 6. bep'aaling van het VIII. Boek.
GEVOLG.
Dus is ook: Cl: Dl = radius: cotang. L D.
Dis Cl == radius: cotang. L C.
III- VOORSTEL. Fig. 87.
In alle rechthoekige driehoeken (C D1) ftaat de radius tot den fecans van een der fcherpe hoeken (C of D) zo als de zyde (Cl of Dl) aan dien hoek grenzende tot de hypotmufa of xhuinfche zyde (CD.) S. p 309. 2. regel. bereiding. Even als voor het II Voorftel. bewys. Uit de gelykvormigheid der driehoeken CDI en Ceb; de gelykheid der AA CDIenHDC; de gelykvormig*



2. Afd. Over 'do rechthoekige Driehoeken. 335
anigheid van AA HDC en GFC:en de 8. bepaaling van let VIII. Boek.
I. aanmerking. Dit Voorftel kan ook als een gevolg van het I Voorftel aangemerkt worden, indien men voor fin. LD of (in. LC gebruik maakt van de uitdrukking in het XXI. Voorftel van het VIII. Boek en deszelfs I. Gevolg gebeezigd;.immers dan wordt de regel deeze:
cof. LC: rad. ZZ Cl; CD
cof. LD: rad. = Dl: CD
GEVOLG.
Dus is ook Dl: CD — rad.: cofiec. LC Cl: CD = rad.: cqfec. LD. •f wel, door de voorgaande aanmerking,
fin. LC: rad. zz Dl: CD
fin. LD: rad. zz Cl: CD ü. aanmerking. In de beste Tafelen vindt men geene feeanten; het is dus beter den regel altoos door r'e finusfen of cofinusfen uit te drukken.
REGELS TER OPLOSSING VAN DE VIER GEVALLEN DIE IN DE RECHTHOEKIGE DRIEHOEKEN PLAATS KUNNEN HEBBEN.
aanmerking. Wanneer drie dingen van eenen driehoek, gegeeven zyn, kan men altoos (behalven in de reeds te vooren uitgezonderde gevallen) elk der drie overigen onmid. delyk, dat is, onafhanglyk van de twee anderen, kennc-a. Doch men kau ook, en dit is dikwerf gemaklyker, eerst één derzelven en dan door dat reeds gevondene de overiger» vinden. Dus wordt in het II. der volgende gevallen dc gezochte zyde gevonden of onmiddclyk door del. Oplosfing (II. n°. 2.) welke uit II, 7. is afgeleid, of wel gcjnaklyker door eerst den overftaanderr hoek te zoeken en
da*



336 IX. Boek: Over de Driehoeks-meeting.
dan door II, n°. i. Het zelfde geldt voor het IV. geval.
I. GEVAL.
gegeeven. De hypotenufa en een der fcherpe hoeken.
gezocht. De beide rechthoekzyden, en de andere
hoek.
oplossing.
I. Overftaandezyde g^*ƒ"• ^ httek' Rad. ([. Voorft.)
II. Aangrenzende zyde - Hyp' * ^ ge«ev- hQeA' *~ Rad. (i. Voorft.) III. Gezochte hoek = comp. gegev. hoek.
II. geval.
gegeeven. De hypotenufa en eene zyde. gezocht. De andere zyde, en de hoeken.
I. oplossing.
I- /?«. tegenoverftaande hoek = gegev' z^e ii!^
Hypot.
(I. Voorft.)
er v i gegev. zyde x Rad
of cof. aangrenz. hoek zz -- „ "— ZL.
Hypo:.
(I. Voorft.)
II. Gezochte Zyde:=:^^^^
Rad. (I. VrJorTTJ
ta?zg. tegen o verft, hoek x geg. zyde
~" Rad> (ü. Voortt.)
of Gezochte zyde = fu^f g^rzyde2(ll,7.G.r.)
= /^CHyp.-t-geg. zyde) x (HypT^I geg. zyde) (II. 5)
II. oplossing. Voor den gezochten hoek.
fin. i aangr. hoek zz ^Hypot" ~~ Sefr_gyje^ 2. Hvpot.
(I. Voorft. Gev. 2.)



ï. Afd. 'Om •dënchthotkïgè Drkhoefen, 337
aanmerking. Wanneer men tot facit van de rekening den co/inus van eenen zeer kleinen, of den finus van eenen zeer grooten hoek krygt, kan men door de gewoone tafelen tot geene zeer groote naauwkeurigheid komen. om dat de cofinusfen dan voor eene vry aanraerkeiyke verandering in den hoek te weinig veranderen: doch de finusfen van kleine hoeken veranderen integendeel zeer fpoed'ig, en dus kunnen de hoeken waarvan zy finusfen zyn naauwkeuriger berekend worden ; waarom men dan in dergelyke gevallen deeze tweede oplosfing de voorkeuze geeven moet.
III. geval.
gegeeven. Eene rechthoekzyde en eene hoek: gezocht. De hypotenufa, de andere zyde, en de tweede hoek.
oplossing.
I. Gezochte hoek sas compl. geg. hoek.
II. Hypotenufa te * RaJ:
cof. aangr. hoek.
^_ pegev. zyde x Rad. _ fin. tegenov. hoeK. (I. Voorft.)
geg. zyde x fee, aangr. h.
~ Rad.
geg.zyde x c q/èc.tegenov.h. ~ RacT
(III Voorft.)
ilrT _ . 4 s pes zyde X tang, aangr. h.
III. Gezochte zyde — ^ —
_ geg. zyde X cot. tegenov. h» Rad. (II. Voorft.)
IV. geval.
gegeeven. De twee rechthoekzyden. gezocht. De hoeken, en de hypotenufa»
Y of-



338 VIII. Boek: Cver de Driehoeks - meeting.
oplossing.
, , aanerenz. zyde X Rad.
I. eet. gez. hoek ±= ,r~r
tegtnoveift zyde.
. , , tegenov zyde X Rad.
of tang. gez. hoek — —° 1—_ _
aangrenzende zyde.
(II. Voorftel.)
,t . r zyde X Rad.
II. Hypotenufa <= ^
fin rtgenoverlt. hoek.
i '". zydt x Rad.
coj. aangr. hoek.
(I. Voorftel.)
zydtxcq/èc.tegenoverft.h.
. Rad.
zyde X fee. aangr. hoek.
,— Rad.
(III. Voorftel.)
III. Hypotenufa =t /^éënëlyde1 andere zyde*
a V " deitzyde^
— eene zyde r 1 -t-l i-— I
N eene zyde *
I. aanmerking. Wanneer men , dat verre het gemak» lykst is, den radius gelyk aan één ftelt, moet men daarop in het gebruik der finus-tafelen letten: men moet namelyk alle finusfen , cofinusfen , de tangenten tot 45° toe en de cotangenten boven de 45°, als breuken aanmerken, en dus, indien men door de logarithmen werkt,' overal 10 van het chatakter in het facit aftrekken , wanneer het facit de logarithmus eener gezochte zyde is.
II. aanmerking. Wanneer men met logarithmen werkt, 20 als men altoos in de praktyk doet, wordt de rekening korter, met, in plaats van een' logarithmus aftetrekken , zo als in het II, III en IV geval, zyn arithmetisch complement bytevoegen. Insgelyks, wanneer men door logarithmen werkt, moet men altoos in het II en IV geval, de tweede uitdrukking van n° lil. gebruiken, die gemaklyker te bereekenen is.
III. aan-



/. Afl\. Over de rechthoekige Driehoeken. 3 ^
511. aanmerking. Men vindt op der; Er gelchen pro , i0. naa'-pasjer eene fchaal, genoend Gunthrs jcbaat, welue uit drie lynen beftaat: de onderlte is met de letter n i^de eerfte letter van bet Engelfche woord number of getal); de tweede is met de letter s (ot finus); dc derde met .ie letter ï of (tangens) beftempeid. Op de onderfte lyn zyn de logarithmen der getalen, op de tweede die van d< finusfen tot dien voor 900 of logari'rhmus van den radius toe op de derde die van de tangenten Keteekend. Indien men nu da voorgaande gevallen nagaat, en men dezelven doo.< Logarithmen bewerkt, zyn zy byna allen Log finus of cofinus Log. van een getal (het zv hypotenufa , het zy zyde; = Logarith. radius+ Log van een getai. en
Logarithmus tangent of cotangent -f. Log. van een getai ZZ Logarith radius^. Log. van een getal en dus
Log. radius — Log. finus of cofinus ZZ Log. van een g«. tal — Log. van een getal.
en •
± Log. rad. + Log. Tang. of _£ Log. rad. -*- .og. Cot. — Log. van een getal — Log. van een getal, (de bovenlte tekens gebruikende zo de hoek <• 45c / de on derlle zo ^ 45°.) Het verfch.1 der Logarithmen van het derde en vierde lid is dan het zelfde als dat der ;.ogirth van het eerfte en tweede Men neemt dus met den pasfer op de behoorlyke lyn, het verfchil tusfchen de twee eerfte leden die bekend zyn: ,Dcn houdt die opening van den pasfer onveranderd , en men ftelt op de behoorlyke lyn eene punt van den pasfer op het derde lid: de andere punt wyst dan het vierde lid, en dus het gezochte, aan. Wy zullen dit met een aantal voorbeelden ophslderea. IV. AANMttiKurc Het is door middel van de «piosfW van rechthoekige driehoeken,dat men inde I «idmeetkunsc de hoogte van voorwerpen en; en in de Stuurmanskunst al wat den koers, verheid, en bekomen lengte en breedie betreft, bereekent: zo als door voorbeelden blyken za
Y * II. AF-



34° IX. Boek: Over de Driehoeks' meeting.
II. A F D E E L I N G.
OVER DE SCHEEFHOEKIGE DRIEHOEKEN. IV. VOORSTEL. Fig. 90.
In alle driehoeken (ABC) ftaan de zyden tot elkander zo als de finusfen der tegenovergeftelde hoeken: dat is
AB: BC = fin. L C: fin. L BAC: AC: BC ss fin. L ABC: fin. L BAC: AC: AB = fin. L ABC: fin. L C. S. p, 310. — W. t 5. 4V 47. bereiding. Stel a C — AB — «C: en laaten BE.ae, A H, « h loodrecht zyn op A C en B C. bewys. Uit het I. Voorftel: en III, 11.
I. aanmerking. Indien de A ABC rechthoekig was, by voorbeeld in A: hadt men
AC: BC = fin. ABC: fin. L: dat is
AC: BC == fin. LABC: rad. het geen het I Voor. ftel opleevert, het welk dus maar een byzonder geval van dit meer algemeene Voorftel is.
II. aanmerking. Ook het. tweede Voorftel wordt zeer gemaklyk uit dit afgeleid. Zo L A = L
AB: AC ss fin, C: fin. B SS coj. B: fin. B
fin.B — 1 : fo/.B ■— 1 : tang. B.
III. aanmerking. Indien een der hoeken, by v. CAB, ftomp is, zoude men eigenlyk in plaats van fin. L CAB hebben fin.fuppl. L CAB; doch wy hebben in de III- Bepaling van het VIII. Boek 1 Gevolg, gezien dat het fupplement van eenen hoek den zelfden finus heeft als de hoek zelve: en wil men zulks uit dit Voorftel zelve beweezen hebben, men befchouwe Fig. 57: aldaar is



i II. Jfd. Over de fcheef hoekige Driehoeken. 3 4.1
ACDB t^» A ABE: en dus CB: AB = CD: AE. Maar in A. CAD is CD : CA ZZ fin. L CAD; rad.) en in A AEC is V» I. Voorftel.
AE: CA zz fin. L ACB: rad) dus (Ut n.)
CD: AE = fin. L CAD: fin. L ACB;
en dus
CB: AB ZZ fin. L CAD: fin. lACB; of
CB: AB = fin. fuppl. L CAD of fin. L CAB : fin.
L ACB.
III. aanmerking. Dit voorftel dient om de zyden van eenen driehoek te vinden, wanneer eene derzelven en de hoeken gegeeven zyn: (f om de derde zyde te vinden, wanneer'er twee zyden, en een hoek over een derzelven gefield, gegeeven zyn; doch men lette in dat geval op het geen wy in de eerfte Aanmerking op de II. Bepaling over den aart dier onbekende hoeken gezegd hebben. Wy zul» len de toepasfing van dit Voorftel in de oplosfing van het I. en II. geval zien.
V. voorstel. Fig. pr.
In alle ongelykzydige driehoeken (CAB) , ftaat de fom van twee zyden (BC + AB) tot derzelver verfchil (B C — A B) zo als de tangent van de halve fom der hoeken (A-t-C) over die twee zyden gefteld, tot éen tangent van derzelver half verfchil (A — C).
St. p. 315. w. t. I 5a.
bereiding Trek uit den hoek B, tusfchende beide bewuste zyden begreepen, als middelpunt, en met de kleinfte der gegeeven zyden B A als radius, eenen cirkel A D E. Verleng CB in E: trek door E en A, EA: en laat CF jl op EA zyn; CF valt binnen of buiten den driehoek naar maate L CAE fcherp of ftomp is. Trek DA.
Y 3 *E-



242 IX. Boei: Over de Driehoeks-meeting.
biwys. en bewyst eerst datCE=rBC-+-ABenCD — BC — A (?.
o.» Dat L K C F — L A D E fI. Boek, Bep 8-)=Z é L AB E
(V,4j=i(i-CAR+I ACB (i, 7-0
3°. Datge^o.glyki (Z. CAI) -j- L ACB) — L A C P of
i(L CAB— L At'B) — L ECF— LACB—LFCA.
Uit dit alles niaaia men vervolgens , met het II. Voorde! op de driehoeken Fdi, en FCA lue tepasfen, doorIII-,
ir. en de gelykvormigheid der A A AED enEFC, het befluit op.
I. GEVOLG.
Daar dan
AB + BC: BC — AB = Tang. |(A + C): Tang.
KA - C)
en L A + L C = fupplem. L B, volgt i°. dat zo hnek B bekend is, L A + Z. C het ook is: en gevolglyk in dat, zo AB en BC bekend zyn, men Tang. I (A — C) vinden kan; waar uit de bepaaling der hoeken A, en C volgt: want de grootfte hoek A =r ; (A -f- C) -4- | (A — C): en de kleinfte L C =r J (A + C) - 1 (A -r c> Dus dien£ dit Voorftel eigenaartig, om eenen driehoek op te losfen, waar in twee zyden, en de hoek tusfchen dezelven begreepen, bekend zyn; gelyk wy in de oplosfing van het III. geval zien zullen. I. aanMo \kino Dit Voorftel heeft alleen plaats voor ongelykzydige driehoeken; doch niet voor gelykzydigen, ver» mits als dan (Fig. 9.) B C — AB zz O zo als ook het verfchil van twee hoeken: het heeft ook geen plaats Voor gelykbeenige driehoeken in het algemeen : want (Fig. 70.) wanneer de gegeeven hoek B tusfchen de gelyke beenen AB en BC is: is BC — AC r: o en L A — C 0: 'dus geldt dit Voorftel ahdan niet: maar het «oude kunnen gelden, indien een der hoeken op de grondlyn A, of C, met de grondlyn AC, en een der beenen
BC



II. Afd- Over de fcheef hoekige Dri'hoeken. 343
BC gegeeven was: doch dan is het onnuttig, vermits als dan ook het tweede been en de derde n ei gf?eeven zyn, d. i. vermits er alsdan niets in den driehoek onbekend is.
II. aanmerking. Wanneer dan in eenen ge'ykbeenigen driehoek ABC, (Fig" 70.; de beide beenen en de hoek ABC, tusfchen dezelven be.-reepen , bekend zyn, laat men ui: B eene loodlyn B G neder: da;ir deeze den L A B C en de grondlyn AC in twee gelyke deelen fnydt, :s L ABG bekend, en dus, door oplosfing van den rechthoekigen driehoek ABG, vindt men gemaklyk AG, waar van het dubbeld is AC: dat it :
rad.: cof. L A = \ B : i \ C of, wat nog veel geimikiyker n , daar a!1e de hoeken van eenen gely beenigen driehoek bekend zyn wanneer 'er eene bekend is , vindt men de derde zyde door het vierde Voórüel.
II. CEVOLG.
Daar L A + /. C r 180 — L B . LA-t-LC
is — 90 — ï B:
of = Comp. | B:
dus
Tang. J (A + c) = cot. l L B : waar door het Voorftel wordt
BC-+-AB: BC — AB — cot. £ L B: tang.l(A—C) en dus wordt ook de yrooifte hoek A = comp. i L B -+- | gevonden verfchil: en de kleinfte = comp. \ L B" — J gevonden verfchil.
III GEVOLG.
BC - AB: BC AB = tang. £ B: cot. | (A — C). (VIII, 20, Gev. ij
Y 4 VI. VOOR-



344 IX. Boek: Over de Driehoeks •meeting.
VI. voorstel. Fig. 9a.
In alle ongelykzydige driehoeken ftaat de grootfl© zydeCAC) tot de fom der twee overigen(BC + AB) zo als derzelver verfchil (BC — BA) tot het verfchil der ftukken (EC — AE), die op de grootfte zyde door de loodlyn, uit den top des tegenoverftaandea hoeks B nedergelaaten, gevormd worden, dat is; AC: BC-t-AB = BC —AB:EC—AE. S p. 3'9. — w. t 5. 53.
bereiding. Zy BE x op AD: waar door AE q=ED.
Trek, uit B als middelpunten met A B de kleinfte zyde als
radius eenen cirkel A DFG, die AC en BC in D en F
fnydt Verleng CB tot in G. trek EG.
dan is GC= öC+ aB; en FC = BC — AE ; en
DC — EC — ED c= KC — AC.
UiWYs. Uit V., 13. het ï. Gevolg,.
gevolg.
Daar dan
AC: BC + AB = BC - AB: EC - AE: volgt het, dat men, als A C, A B, B C gegeeven zyn x EC — AE vinden kan: en daaruit zyn EC en AE afzonderlyk bekend; want
EC + AE =; AC is bekend: maar EC_ (EC + AE)-KEC-AE) £n
(EC ■+• AE) — (EC — AF.) AE_ _ _ . .
Wanneer nu A E en E C bekend zyn, vindt men, door het I. Voorftel, in de rechthoekige driehoeken ABE en CB E, de hoeken A, en C : waar uit de hoeken. ABE, CBE, en ABC volgen: zo dat men dus door dit Voorftel als voorbereiding ter bepaaling der ftukken AE en EC, eu voorts door het



11. Jfd. Over de fcheefhoekige Driehoeken. 345
l. Voorftel, de hoeken van eenen driehoek, waar van de drie zyden gegeeven zyn, vinden kan. Aanmerking Om- de zelfde reeden, die wy in de aanmerking op hei voorgaande Voorftel gemaakt hebben, ts dit Voorftel niet toepaslyk op de gelykbeenige driehoeken, wanneer de grondlyn AC de grootfte zyde is, ncch ook op de gelykzydigen : maar in eenen gelykzydigen driehoek zyn de hoeken van zelve bekend (I., 11. Gev. 2 ) en in eenen gelykbeenigen . daar de loodlyn BG (Fig. 70) den tophoek en de grondlyn in twee gelyke deelen fnydt , zyn de hoeken door de oplosfing van eenen rechthoekigen driehoeii ABG te vinden: want:
A B: i A C = rad.: cof. L A, of tot finus i I ABC.
regels ter oplossing der vier gevallen die in de scheefhoekige driehoeken plaats kunnen hebben. I. geval.
gegeeven. Twee hoeken, A en C, en eene zyde AC. gezocht I De derde hoek B,
II. De twee overige zyden, AB en BC.
oplossing.
J. Gezochte hoek rs Suppl. fom der gegeeven
hoeken.
fin. overft. hoek x geg. zyde
II Gez zvde —
1 fin, hoek over de gegev. zyde.
(IV. Voorftel.)
H. GEVAL.
Cegeïven. Twee zyden, AB, BC, en een hoek C, doch die niet tusfchen de zyden begreepen is.
gezocht. 1 De andere hoek A, die over eene der gegeeven zyden ftaat:



346 IX. Boei: Over de Driehoeh-meeting.
II. De hoek tusfchen de gegeeven zyden begreepen:
III. De vierde zyde AC.
oplossing.
I. fin. gezochten hoek over de gegev. zyde
tegen overft. zyde x fin, gegev. hoek
*~- zyde over den gegeeven hoek.
(IV. Voorft.)
aanmerking. Daar de finus van eenen hoek ook de finus is van het fupp!tment des zelfden hoeks, heeft hier die onzekerheid plaats, waarvan (il. Bep. I. Aanm.) gefproken is. Doch die onzekerheid verdwynt in twee gevalien: voor eerst, wanneer de zyde over den gegeeven hoek grooter dan die over den gezochten hoek is: want dan moet degezochte hoek kleiner dan de ^egevene, en dus ook noodwendig fcherp zyn : en ten tweeden . wanneer de zyde over den gezochten hoek grooter dan de zyde over dtn gegeeven hoek is ,en de gevonden fcherpehoek kleiner dan iegegeeven is. Immers, daar alsdan de gezochte hoek j^roorer dan de gegeeven zyn moet. zal men het fupplement of den ftompen hoek moeten neemen.
IL Derde hoek z= fuppl. fom der twee overige: fin. hoek over dezel-
III. Derde zyde = ve* gegev.zydc
fin. noek over de gegev. zyde.
(NM. en IV Voorft)
III. C E V A L.
gegeeven. Twee zyden: en de hoek tusfchen dezelven begreepen.
gezo.'ht. I. De twee overige hoeken: II. De derde zyde.
I. oplossing. I. Tang, i verfchil der gezochte hoeken =
„ • , , , verfch. gegeev. zyden
Cot. i gegeev. hoek X , r1—
00 lom. gegeev. zyden.
Groot-



II. Afd. Over ds fcheefhoekige Driehoeken. 347
Grootfte dergez. hoeken ss Con pl. igeg.hoek 4. i verfchil.
Kleinfte der gez. hoeken = Compl. i geg. hoek — J vet fchil.
(V. Voorft en deszelfs lldt gevolg..)
II. De hoeken dus bekend zynde, zoekt men de derde
zyde door het 1. geval: namelyk
fin. overftaanden hoek x gegeev. zyde
e zy e yfoThöek over de gegeev. zyde.
gevolg
van de eerste oplossing.
Daar Tang. £ verfch. eer gezochte hoeken =
verfch. geg zyden
Cot. i gegeev. hoek x ,— —
s b fom geg. zyden
of, Fig. 56. en 57 ,
~ t n /ba ■ ac\
Tang. i(c-b) = cot. | a x (faa-h Ac)
is ook VIII, 20, Gev. 1.
Cot. | (c-b) = tang. i a 54 (ba^Tc)
= Tang. 1ax m |
en dus, uit VIII., 29., indien a c
Tang. a — ^ gefteld wordt
■ y* ƒ• is cot. I (c — b) = towff. | a (45' -+■ a) Deeze oplosfing kan in de Sterrekunde te pas komen, en tevens bewyst dezelve dat het, om de hoeken te kennen, genoeg is. de reden der zyden a c en b c te weeten, zonder derzelver ei^enlyke grootte te kennen. cAGNOLi. S- 230.
II oplossing. Fig. $6. 57. Bee2e dient alleen voor de hoeken: Tang gezochten hoek rs
tegenoverft. zyde X fin gegev hoek
tweede gegeev. zyde «fl tegenoverft. zyde X coj. geg. hoek.
na-



348 IX, Boek: Over ie Driehoeks-meeting,
aamelyk -, zo de gegeeven hoek fcherp; + , zo hy ftomp is.
CAGKOLI. J. 229.
bewys. (Fig 56 en 57.) Men ftelle dat AB, AC de gegeeven zyden, CAB de gegeeven en B de gezochte hoek zyn: dat CD loodrecht*op AB ftaat. Dan is in ACBD:
BD: DC = 1: Tang. LB (II. Voorft.). dus 1». Tang. 1B = ^
Jö ju.
in A ACD is AC: DC 5= r: fin/iCAD
dus 2. DC zz fin. L CAD x AC-~l
insgelyks DA = Cofi L CAD x Ac/ ^ Voorftel.
Maar BD=AB + DA:
dus 3' BD =3 AB4: AC * cof. L CAD:
en dus uit n". 1, door n°. 2 en n°. 3.
Tang. L C = A C C ™
AB -J- AC x cof. L CAD. Maar zo L A of C A B fcherp is; is L CAD — L CAB = LA: dus
Tang.LC = ACx^
A B - A C ctfi A.
zo L A of L CAB ftomp is, is
L CAD =fuppl. L CAB: dus
fin. L CAD — fin. jüppl. L CAB = fin. L CAB
en cof. L CAD zz cof. fuppl. I CAB
= —- cof. L CAB (VIII. Bep. IV. Ge*
volg 2; aanm.) dus in dat geval:
Tang. C - AjC X fin. A
! Ali + AC <rof A. aakmeekikc. Indien de hoek A fcherp is kan C fcherp, recht of flomp zyn: het eerfte heeft plaats zo lang AB \ AC x cof. A het tweede wanneer AB — A C X cof A en
dus



IlAfd. Over de fcbeefhoekige Driehoeken. 349
dus de tang. ,C oneindig of L C recht: het derde wanneer AC X coj. A "ï». AB: want dan is tang. C negatief, en gevolglyk L C ftomp.
III. OPLOSSING. Voor de gezochte zyde.
Door deeze oplosfing vindt men de gevraagde zyde, zoni der alvorens de hoeken gevonden te hebben, zo als ia de beide voorgaande oplosfingen nodig is.
zy .
2. fin. i geg. hoek reproduit der gegeeven,'
Tang. a _ -erfch> geg. zyden * K zyden.
verfchil geg. zyden dan is, Gezochte zyde — *
CAGNOLI. $. 227. 28. BEWYS.
ÏC2=ACl +Ül + 2AB. AD. (II. 9.) Maar, in A ACD is
AC: AD = 1: cof. L CAD (I. Voorftel): dus AD = AC * cof LBAD < en
BC1 = AC1 + AB14- 2 AB. AC. cof. L CAD. 20 nu L CAB fcherp is, is L CAD — L C AB of A; en dus
BC* = A'C1 + AB1 — 2 AB. AC. cof. LA zo L CAB ftomp is, is * BC1 = ÏÏC1 4- AB1 2 AB. AC. cof. L CAD: en L CAD ± fupp. L CAB: dus (VIII. Bep.IV. Gev. a.'
Aanm.)
«ƒ. L CA D = — cof. L CA B of A: dus wederom, en dus in alle gevallen . BC1 = AC* •+■ AB* — 2 AB. AC. cof. A. Maar cof. A = 1—2 (fm. i Af (VIII, 17. geV. ft) dus
BC*



35o IX. Boek: Over de Driehoeks-meeting.
HCZ — ac* + AH1 — 2 ab. ac -+- 4 ab. ac.
, (rd i A>
= ab — ac* 4 ab ac. (fin. i a)1 (II. 2.)
en dusj zo7^., =S|^||*^abTac, - rr ab — ac,
lïBC=—cojr— wm,*w
IV. GEVAL.
gegeeven. De drie zyden. * gezocht. De drie hoeken.
I. oplossing.
Men laat op de grootfte zyde eene loodlyn uit den tegenovergeftelden hoek vallen : waaruit (II, 15 en I, 7, Gev.) volgt dat die lyn altoos binnen den driehoek valt,' en de grondlyn in twee ftukken deelt. I. verfchil der ftukken van de grondlyn = fom der zyden x "erfchil der zyden
;* grondlyn: ; (VI- Voorftel.)
dus
grootfte ftuk =| (grondlyn verfchil der ftukken) kdeinfte ftuk = J (grondlyn — verfchil der ftukken ) -
H. Cof. hoek op de grondlyn = aangrenzen< ftuk x Rad;
1 aangrenz. zyde.
_„ (1. Voorftel.)
ÏII. Hoek in den top .= fuppl. van de fom der hoeken op de grondlyn. II. oplossing. Fig. 56. 57.
Om de hoeken te vinden, zonder behulp der loodlyn ■ ï. af. I Hoek —
7/halve fom~dë~r zvden x Gfom —tegenovëTft. zydcp * product der aangrenzende zyden.
of



II. flfd. Over dc fcbeefhoekige Driehoeken. 351
II. fin- l Hoek = JTT^fomdej zyden - eene aan^r.zv x (jrl^m — and, aangr.z.) r produel; der aangrenzende zyden. cagnoli. 5- a33bswïs. voor het I. Uit het bewys van de derde Oplos* iïng voor het III. Geval heeft men bc2 = ic' + AB1 — 2 A15. AC. cof. a. dus
cof. a = AC'+^'^jg J 2 AB. AC.
_~A~CZ + AB* -H 2 ab. ac- BC* — 2 AB1A& ! 2 ab. ac.
= !^AB'-J£*_.X (II.o
2 AB. AC •
(ACH- ab~+ B C) (A C -f. A B — B C)
2 AB. AC (II. 1. gev.)"" 1 M3arce/. a == 2 (co/". \ A)2 — 1: (VIII, 17. gev. 1.) dus
1 r an, (AC-4-AB-hBC)(AC-hAB-BC) 2 (cof.*-A)* - i = ATT A C" J-1
en
(AC4.AB4.BC) (ac 4-ab — bc)
«.ƒ. ï A SirjC
dus
/(AC-+-AB-4-BC (a C ^TTB^TfiC) cc/. ï a = // 2 X 2
r Hk a£ '
bewys. voor het II.
Uit het bewys van de derde Oplosfing van het III. Ge» val heeft men. bc* = A~B - a c1 +4 AB. ac. (fm. ï A)*j dus .
jfc 1 Ay:J^Tgf^ffi; gi!/sO
4a b. au



352 IX Bock: Over de Driehoeks ■ meeting*
(bc -f- a b — ac) (bc — ab + ac)
— 2 2
tili . ti C.
^Bi+i!±LC_AC) X p4!*^^ —ab)
' ' a Li . ac. ~
dus
fin. | a =a ^_
|/^^AC-AC)x (^^Cab)
aanmerki.-g Deeze oplos'ffné kan in zeer veele gevallen te pas komen, en heefc zeer veel gelykheid met die, wel< ke men in de klootfche driehoeks-meeting voor het zelfde geval gebruikt.
algemeene aanmerking. Men kan de gewoone oplo'fingen, dat is die, welke *y terfte oplosfingen genotmd hebben, voor deeze vier gevallen . even als voor de rechthoekige driehoeken, door den proportionaal-pasjer verrichten: want men heeft:
I. grval. Log. gez. zyde — Log. gegev. zyde =
Log. /tri. overft. hoek _ Log. fin. hoek «ver de gegev. zyde.
II. geval. Log. fin. L over de geg. zyde — Log. fin. geg.
hoek.
—- Log. overft. zyde — Log. zyde over den geg. hoek.
Log. gez. zyde — Log. geg. zyde ZZ. Log. fin. hoek
over de gez. zyde Log. fin. hoek over de geg. zyde. IU. oeval. Log. Tang. j verfchil der gezochte hoeken —
Log. Tang. comp!»
§ geg. hoek = Log. verfch. geg. zyden
Log. fom geg. zyden. Log. derde zyde - Log.geg. zyde — Log. fin. hoek over de gez. zyde — Log. fin. hoek over de geg. zyde
IV. gk-



ÏI; Jfd, Over de fdheèfboskige Driehoeken. 353.
IV. geval» Log. verfchil der ftukken — Log. verfchil
der zyden = Lóg. fohl der zyden — Log grondlyn. Leg. rad. — Log. cof. hoek op de grondlyn — Log. aangr. zyde i- Log. aangr. ftük.
II. ALGEMEENE AANMERKING. )VER HET GEIJRU1K DER VOORGAANDE Op» LÖ S S I N G E & De oplosfing der febeefhoekige driehoeken fs in de praktyk Van het landmeeten ten hoogden nood'zakelyk. Het eerfte 'geval dient om (Fig. 93) te bepaalen Op welken afftand "CA óf CB men zich van een ongenaakbaar voorwerp C bevindt: mits 'men uit twee plaatfeh van de bekende bazis A B de hoeken meeten kan, welke het gemelde voorwerp uit 'die plaatfen gezien met de bazis iriaakt. Kan men 'er dan ïiog by bepaalen den hoek, dien het voorwerp uit A oF uit B gezien boven de kim maakt, dan zal men, den afftand CA of CB eerst berekend hebbende, de hoogte van dat voorwerp kunnen bepaalen, door het I. geval van de rechthoekige driehoeken.
Het derde geval dient om dén óndérlingen afftand CD Van twee ongenaakbaare voorwerpen C eh D bepaalen i mits men de hoeken die zy, uit de uiteinden van de gemee? ten bazis AB gezien, met dezelve maaken, gemèeten hetjbe : want dan komt men eindelyk tot de driehoeken C A D of C B D waarin twee zyden C A en AD: of C B ert B D : en de begreepen hoek CAD ofCBD bekend zyn.
rïet vierde geval dient om de onderlinge richting van drie voorwerpen, wanneer derzelver afftandén van elkander bekend zyn, te bepaalen.
Ik zal die gevallen dobr daadelyke meetingen én voorbeelden in myne Iesfen uitleggen.
Men is derhalven door mcetingen van eene bazis, «n voorts van hoeken, in ftaat om een land op te neeZ meti



354 LT* Bod: Over de Driehoeks'meeting.'
men en in kaart te brengen. Wat 'er tot eene naauwkeuy rige meeting vereischt wordt, behoort tot de praktyk zelve. De kaart naauwkeurig gemaakt zynde, kan men den inhoud van het gemeeten land in gitórfraat-roeden of andere quadraat maat vinden door het geen in het XX. Voorftel van het II. Boek gezegd is.
III. AANMERKING.
OVER EEN BELANGRYK GEVAL IN DE PRAKTYK. Fig.l8l.
Het gebeurt fomtyds dat 'er gevallen zyn waar in men in den eerften opfiag geene genoègzaame bekende dingen fchynt te hebben, om de oplosfing te volbrengen, en die echter door deregelen in deeze vier gevallen opgegeeven volmaakt opgelost kunnen worden. Wy oordeelen htt niet onnuttig, twee van die gevallen hier te behandelen, om dat zy van het grootfte nut zyn, en zo veel ik weet byna in geene boeken verhandeld worden.
Men ftelle dat de onderlinge ligging van drie plaatfen A, I, C, welke dus den driehoek AIC uitmaaken, be« kend is , en dat men uit eenig ftip B de hoeken ABI, 1BC meet, men vraagt de afftanden BA, BI, BC, en de hoeken CAB, ACB.
I. OPLOSSING, (o)
I. Daar in den driehoek AIC de drie zyden bekend zyn, berekent men eerst de hoeken IAC, AIC, en ICA, door het vierde geval.
II, Men onderftelle dat de cirkel BADC om den driehoek ABC befchreeven zy : (VI, 4) men trekke de lyn BI welke den omtrek in D fnydt: vervolgens AD, en CD. dan is:
i°. L DCA = L ABD-] , '. .
... LDAC = LDBCJ CV' 3' g6V' 30 dUS bekend'
3'.
O) Deeze oplosfing is door my overgenomen uit de lesfen van wylen roynen zeer geëerden amptgenoot den Heer Profesfor K. Ypey.



11. Afd. Over de fcheefhoeldge Driehoeken. 355
3', Maar L IA D zz verfchil of fom van L D A C en L I A C 40» en L ICDz: verfchil of fom van LDCAenAlCA dus zyn Ook die beide hoeken IA D en IC D bekend.
III. Gevolglyk zyn in den A ADC bekend de drie hoeken en de zyde AC; dus vindt men AD en DC door het I. Geval.
IV. Inden driehoek DAI zyn bekend AI door de onderftelling, AD uit n°. III, LI AD uit n'. II, 3». dus vindt men L ADI door het III. geval: en insgelyks L GDI in den driehoek D Cl.
V. Maar L AIB — L DAI 4. L ADI-)
enLBIC - LIDC 4 LDClJ1'7'" en zo I buiten den cirkel valt is L AIB zz fuppl. (LDAI •+• AADI)-] L BIC = fuppl. (LIDC-+- LDCI)J ' 7'* Dus zyn die hoeken bekend
VI. Gevolglyk zyn in & AIB bekend, L AIB, door n°. V. L ABI en IA door de onderftelling : dus vindt men A B, IB , en L IA B door het I. geval. ■
Insgelyks vindt men in den A ICB, de zyde CB, en L ICB: waaruit dan ook de hoeken CAB en ACB afgeleid worden, en dus het geheele geval opgelost is. aanmerking. Deeze oplosfing is vry lang, want zy ver"eischt dat men, buiten den driehoek AIC, vyf driehoeken oplosfe: dus zal misfcbien de volgende oplosfing korter zyn.
■II. OPLOSSING. (Ja).
Men ftelle kortheidshalven L (a -4-<j) =s n: L (d — <r) — h. dan is
Tang, u = — AI * 'in- " *
AC X fin. a —• AI. lin. n. col. h
en
(*) Ik gaf in het jaar 177a deeze oplosfing aan ten goed vriend,. Me «ny dit vraagftuk voorftelde.
Z 2



356" IX. Boek: Over de Driehoeh-meetingi
en ABsACxf"*^ fin. n
Waaruit IB en CB volgen.
BEwrs. io. fin. n: ac = fin. «: ABT , „ H fin. a: AI = fin. r: ABJ 1V'V°°tRi
4'. dus AB - A-U^ - AC fin-M lin. a ~"" iin. n.
3°. Maar r c = u j^d: dus r — a -t* a" — e
ZC a dus, uit N°. 3. en N". 2.
AlXfin.r« + h) _ ac. fin, a
fin. a lin. n * 0 '
Bellende fcortheidshalven
Ai;■ , a_c
5 — ïlhTa: P — fin. n'
g fin. (a 4. A) fin. «en dus (VIII. 15) q fin. a. cof. è -1- g fin. b cof. u — p fin. u 4°, en (p — 3 cof. h) fin. a = g. fin. i. cof. m fin. a q
cn dus c—«. ? Tang' tt = i> - .. cof- =
AI
fin.a — r—cof. h\
\\m.n fin.a y
AI. fin, n
ac. fin. a — AI fin. n col. h
I. aanmerking. Indien ac. fin. a s: AI. fin. n cof. Is tang. a oneindig; endus hoeka recht: indien AI fin. ncof. /»
ac fin. a is tang. a negatief; en dus hoek a ftomp. Zie Aanmerking op de VI. Bep. van het VIII. Boek.
II. aanmerking. Indien men, in plaats van den tangent «, den finus a onmiddellyk wilde kennen, had men flechts N". 4. in het quadraat te brengen: en men kreeg dan (j>_ j cof. b)lÏÜI7ul zz q1 finTP cöTw1 zz g* finlli*
— ïl finTV finTTi* waar



II. Jfd. Over de fcheef hoekige Driehoeken. 357
waar uit volgt (pT - ipq cof. h -+- q cLT;/1 -+- J1 fin. h1) ün. h*
en dus (VIII, 14) rpz _ 2 p j cpf. ft. + a») iiïïTtt1 = i1 ïïnTi* of
a fin. b
fin. m — 7~»~^= ~ .. . ' " .
//p1 - 2pg cot.0 3'
Doch hieruit kan nimmer blyken of de hoek u fcherp of ftomp is: waarom wy de bereekening door tangensu , welke ook gemaklyker is, zouden verkiezen.
IV. AANMERKING.
OVER EEN TWEEDE BELANGRYK GEVAL IN DE PRAKTYK. Het tweede geval dat wy beloofd hebben hier tezujlen opgeven, is het volgende. (Fig. 93.) Gegeeven zynde de afftand CD , indien men uit A en B de hoeken CAB, DAB,CBA, DBA met, vraagt men de len£;te van AB en de afftanden CA, CB, DA, DB. I. OPLOSSING.
Tang. L C D A =
fin. CAD. fin. CBA. fin A DB
fin. AB D.fin. ACB^-co/CAD. fin. CB A.fin. A D 8
zo LCAD fcherp: -fc* zo LCAD üomp is.
fin. ACB. fin. CDA AB — fin'. CBA.fin- CAD. *
ïewys. In de driehoeken A C B, A D B zyn de hoeken ACB en A D B bekend , dewyl de beide overige hoeken in eiken driehoek bekend zyn. Door de II. Oplosfing van het 111. Geval is
CA x fin. L CAD Tang. LCD i\zz~rz~ — _ . y~r „ * AD H- CA X cof. L CAD:
Z 3 =



358 IX. Boek; Over de Driehoeks-meeting.
fin. L CAD
— AD— r . _ . ~ 1- cof L CAD.
maar
/m. L ACB: fin. L CBA = AR : AC fin. L ABD: fin. L ADB zz AD: AB
dus
AD: AC = fin. L ABD. fin. L ACB: fin. L CBA.
fin. L ADB,
en
AD fin, f, ABD, fin. L ACB AC ~~ fin. L CBA. fin. jL ADB: en dus
7- / r n A _ fin.LCAD
5' Lc u A — fin, LAÜD. fin. L A CB£CAD jfd.i. CB A. J?n. Z. ADB"
ƒ«■ 7. C.\D.fiv. L CB &. ƒ Ti. /.ADB
"~~ jïn. Z. AB D.fin. L ACB cof. L CA D. fin. L^CBa",
Ui)B,
Dus word (.CDA bekend: waaruit Z. A C D volgt; én voor»
AC — L CDA.X C.? ~" 2 CAD
doch
fin. LACB x AC. AB — yin. L CBA.
en dus eindeiyk
/«"• L ACB yj fin. L CDA * CD AB — /t«. L CBA. fin. L CAD.
waaruit al het overige bekend wordt. I. aanmerking. Men kan ook zo men wil den hoekCDA door de eerfte oplosfing van het III. geval zoeken: want, hoewel A C en A D als dan nog niet bekend zyn, is derzelver reeden bekend , het geen tot vinding van den boek genoeg is.
H.



II. Afd. Over de fcbcej'hoekige Driehoeken. 359
II. aanmerking. Beide deeze Voorftellen zyn van een zeer groot nut, om op zee en op land door eene enkele waarneeming den afftand en ligging van de plaats, daar men zich bevindt, te bepaalen , mits men drie voorwerpen hebbe, waarvan de afftand bekend is. En indien men in het L Voorltel Fig. 181. Uit een tweede ftip G (en ins. gelyks uit meerdere ftippen) de zelfde waarneemingen als uit B doet, zal men in den driehoek B AG de zyden AB, AG, en den hoek B AG bekend hebben: en dus ook BG en de hoeken ABG, AGB kunnen bepaalen al kan men B uit G niet zien.
III. AFDEELING.
OVER DE OPLOSSING DER DRIEHOEKEN IN BYZONDERE GEVALLEN, WANNEER SLECHTS TWEE HOEKEN OF ZYDEN EN HET VERSCHIL OF DE SOM VAN TWEE ANDERE HOEKEN OF ZYDEN GEGEREVEN ZYN.
VII. VOORSTEL. Fig. 91.
Gegeeven zynde twee zyden AB, BC, en het verfchil der tegenovergeftelde hoeken AenC, den driehoek optelosfen.
CAGNOLI. 5. 237.
OPLOSSING. Tang. i begreepen hoek =
Cot. i geg. verfchil X verfchil geg. zyden. lom der gegeeven zyden. waar uit het overige door het I. Geval gevonden wordt. bewys. Uit het 3. Gev. van het V, Voorftel is BC—AB:BC4.AB = tang. J B: «f. i (A — C) Z 4 ea



360 IX. Boek: Over de Drhhoch-meei'm§.
. . _ cot. 1 CA — C)x (bc — AB) en dus ta,S. i b = bc^-ab.
VIII. voorstel. Fig. 91.
Gegeeven zynde de hoeken, en de fom of het veifchit van twee zyden, den drkhoek optelosfea.
CAGNOLI 5. 2js.
oplossing.
I. Verfchil der geg. zyden =
fom eeg. zvden 54 tont;, i begr. hoek. cot. i verfchil der overige hoeken. JL Som der geg. zyden —
Verfch. geg. zyden x rot, j begr. ho?k. teng. i verfchil der werige boeken. BEwts. Uit het Vil. Voorftel is
_ cot. | fA — c) x cb C— A b> Tang. i b _ : A g-
*m bc-ab = (bc •+■ ae; x ^nx^ri ■ en
«t 4 M — G)
bc4-ab = cbc-a3) x ——nr~
(bc —ab) v 7^ (viij> !0> s-v- %
tang. i (A— C)
L GEVOLG.
Indien de driehoek rechthoekig was in a, en mei kende eenen fci.erpen hoek, (dus alle de hoeken) en boven dxn de fom of het verfchil van de hypotenufa bc en eene zyde ab, dan had men:
la — c = co — c — comp. c: en dus Ung. ï (a — C) zz cot. I c: en cot. j (a— c) = tang. I c en dus
t6ni- ï C x t*j c.
en



JIL Mi. Oplosfing van byzondere Gevallen. 361 en
3Crj-ABSBG^ABX^1^ = ÜC —AB X«« ;B*
za«£. ^ C'.
Waar uit, het zy B C -f- A B , het zy B C — A B gegeeven is, BCen AB afzonderiyk tt vinden z\n: en daaruit AC.
Men zoude pok AC onmiJdelyk kunnen vinden, door het 3. Gev. van het II. Voorliet: want volgens het zelve heeft men in onze figuur (altoos den L A recht Hellende,]) BC —AB ; ,
%r~M X AC1 = «anf. | B)' X iTc1 : of (II, 7.
BC— ABx (BC1 _ AJÏ') , ,
BCH-"AB ~ = Ct<"^'?B>XAC ; °f
door II. 5.
(B-C—AB) fB C -j- A B) (B C — A R")
«C * AB : = " — tanS- i Bl X A Cl
(BC — A B) • Of AC = r-~
lang. } B
Indien men door A C1 divideeit in plaats van te mukiplifteren, heeft men
AC ZZ tang. 1 B X (BC-+-AB).
CAGNOLI. £. 218.
II. GEVOLG.
Indiende ACAB niet in A,maar in B by voorbeeld,rechthoekig was, en men kende de hoeken , en de fom of het verfchil der rechthoeks zyden, had men ? L B = 45.?; en dus tang. { LB — radius =1 1: en dus,
daar A C = po, is A r= 90 C: en
A —■ C = 90 — 2 C: dus J (A — C) = 450 _ C;
Z 5 Waar



362 IX. Boek: Over de Driehoeks■ meeting.
Waaruit de oplosfing wordt
BC — AB — l] C A \ en (.VIII., 20. Gev. 1.)
cot. (.45° — C) v *
BC — AB
BC _i_ AB = 7— - pr,
^ £<sn£. (45° — C>
cagnoli. 5. 219.
IX. voorstel. Fig. 91.
Gegeeven zynde een hoek (B) , de tegenovergeftelde zyde (AC) en de fom of het verfchil der beide anderen (AC, AB), den driehoek optelorfen.
oplossing.
verfchil derzyd. X cof. * geg. hoek.
Sin. ï-verf. deronbek. h.zz~—~ ~\ **
2 — geg. zyde.
fom der zyden -x. fin \ geg. hoek. Cof. I verf. der onbek. b. zz ■ ,
geg. zyde.
cagnoli. 239.
bewvs. B C : A B zz fin. A; fin. C: dus
BC — AB: fin. A — fin. C == BC: fin. A — AC: fin.Bi
en dus
BC-AB = AC.C^A-^C) B.
= (door VIII., 16.: Gev. 3.)
— A C X 2 7««. i (A — C) cof. | (A-4-C)
B.
AC x 2 fin. 1 (A —C) x tg/i I (AH- Cj fin. fuppl. (A -4- Cj. AC X 2 /ï«. £ (A — C) X cof. ?- (A-4-C)
7i«T (A -*- cj.
_ AC XSfin. i (A—-C) x co/. |(AH-C) 2 i (A-f-C) cof. I (A-t-C.)
— AC x fin. I (A —C) _ AC X fin, f (A — C)
fin. \ (.AH-C) co/. | B.
om datf (A + C) ==s (i8o« —B) = go° — J E.
ca



III. Jfd. Oplosfing lian byzondere Gevallen. 363
en dus is
BC —ab x cof. I B = AC x 7»»; I (A — C)
en dus
AC: BC— AB = cof \ B: fin. 1 CA — C)
en op de stelfle wyze, neemende BC-t-AB in plaats van
B C — AB, vindt men
AC: BC-{-AB = fm. } B: «ƒ. J (A —C)
gevolg,
Jndien de hoek B recht was, en men kende dus in eenen rechthoekigen driehoek (buiten den rechten hoek) de hypotenufa (A C), en de fom of het verfchil der rechthoek- zyden, had men
1°. cof. I B = fin. y B rr fin. 45° — L
2 ~~ y%'
A-+-C =s go: dus A — C = 90 — 2 C: en I CA — C) = 45° — C:
en dus cof. f (A — q rr fin. compl. (45° C) rr
fin. (90° —145° -i- C) rr fin. (45° ■+■ C). en dus hééft men
AC : BCIjLAB = ~ : fin. (45° +■ C).
of
AC: BC^_AB = 1: fin. (45° Jp C) X |/2.
CAGNOLI. §. 220.
X. voorstel. Fig. 91. Gegeeven zynde eene hoek (C) eene der aangrenzende zyden (AC), en de fom der twee anderen (AB -I- BC,) den driehoek optelosfen.
oplossing. Cot. Q hoek die aan de geg. zyde grenst) ss
. , , , geg. fom -+. geg. zyde.
tang. | geg. hoek x ^——i__
geg. fom — geg. zyde.
CAO-



$6 t /X. Boek i Over de Driehoeks - meeting.
cagnoli. j. 740,
Bereiding. Zy B li zz A B: en dus CE, = CB -f- AB„
bekend. En dus ook
L CAE — E zz L CAE — L BAE — L CAB:
bewys. In den A CAE is door de eeifte oplosfing van
het derde Geval.
Tang. i{L CAE - E) of hier
Tang. i L C A B = cot, | B * 2L^l3-^-A C
of (VIII., 20. Gev. 1.)
. , n . D i , „ CB -t- AB + AC
Vut. I CAB = tang J B $c r_r
CB -j-A.B —ACi XI. VOORSTEL. Fig. 91. In eenen driehoek (A B C) gegeeven zynde een hoek (Cj) eene der aangrenzende zyden (AC,) en het verfchil der ove. rige zyden (CB — AB) den driehoek op te losfen.
o 2 LOSSING,
Tang. | (hoek die aan de gegev. zyde grenst) —
Tang. I hoek x 8^ ^^ ^ vergil gegev. zyde — gegev. verfcln'1.
cagnoli. j' 24i-
bereiding. Zy B D == BA : dus i°. CD =.CB — AB: dus 2.0. L DAB = LADB:3».IC0A-LCADzz 180° — L ADB — /.CAD = 180' _ (L ADB 4. L CAD) = i8o° _(LDAB 4.LCAD) = j8o° _ l CAB: dusi(^ CDA — 1 CAD) — 90 — j L CAB — comp. i L C A B.
bewys. In den A CAD is door de I. Oplosfing van het III. Geval.
tang. \ (L CDA — L CAD) = cot. § L CAB
, . _ CA — CD ZZ cot, ~ L C x CA ^.C1>



III. Md. Oplosfing van byzondere Gevallen, §è$
, _ _ CA — (CB — AB) = COt' >LC* CTT(CBT ABY^ui
r ^ . ^ „ CA 4- CB -f- AB
tang. | L CAB ZZ tang. J C x ■ r
CA — CB — AB.
XII. voorstel. Fig. 56, 57. Gegeeven zynde de drie hoeken , en de grondlyn (A B) de ftukken die op dezelve door de loodlyn gemaakt worden te bepaalen.
oplossing.
VerfcbiH g'ondl.Xfin. verfc.rtoekon degrondl.
of > der ftukken zr • 1 1—:—1
f0m j «c- tophoek.
cagnoli. %. 243.
jewys. AD: DB = cot. L CAD: cot. L B:
dus
AD-f-DB.-DB— AD — at. L CAD -f. cot. L B: cot. L CAD — cot. B;
en dus
DB — A Ö _ cot. L CAD — rot. B AD-r-DB ~ «t. Z. CrtD -+- cos. B . y*?3- (CAD — B)
= ƒ». (l^r^-/VIIL' 20'het 3-Gev.)
en dus Fig 56. D R A D __ ABx ^J£AJ^_B) _ A_Bx^(A —B) fin. fuppl. ATB TT ƒ». ACB. en Fig. 57. AD^DB = AB^CAJ^Bi jm. (CAD — b;
3= A B ƒ». (180 — C A B -f. B) 7ïb.(i8o — CAB — B) _AB/fa.p8q-(CAB-B)) AJUin.ftip rr.AB-B) /fa. (180 _(CAB +B))— /fa./^CAB + B) _^AB /fa. (CAB — B) *~' fm. ACtfi
CS-



%66 IX. Boek: Over de Driehoeks-meeting.
CE VOLG.
Indien de tophoek recht is, is het verfchil der ftukken = grondlyn x £n. vtrfc-ll der boeken op de grondlyn. of DB — AD = AB fin. (A B)
doch om dat A -t- B = 90: is A — B =90 0 R —
compl. 2 B.
en dus
DB — AD = cof. 2 B; indien de radius AB — 1.
en dus \
da.ir DB = ï (AB -4- DB _ AD]
. (IV. Gev. r. Opl.) en AD — I (AB — DB — AD)
is DB: AD zz 1 H- cof. 2 E: 1 — cof. 2 B
en dcor (VIII., 16. Gev. 2.)
— I -+- 2 cof. Bz —1:1—2 cof. B1-*-!
ZZ 2 cof. B1: 2 _ 2 cof. B1
ZZ coi. B:: 1 — cof. bz
iin. B1 .
= I: =r—1 = 1 : ung. B** cof.B
insgelyks, AB.-DB — AD = 1: fin. (A — B). Welke beide uitdrukkingen men voor den rechthoekiger! driehoek, en dus in een byzonder geval, onmiddellyk en korter had kunnen bekomen. cagnoli. §. 221. aanmerking. Het geval waar in men de ftukken van de grondlyn vraagt als de drie zyden van den driehoek gegeeven zyn, is de L Oplosfing van het IV. Geval.
XIII. VOORSTEL. Fig. 56, 57.
Warneer in eenen driehoek (A C B) de tophoek, en de zyden (AC.CB) om dien boek gegeeven zyn, de ftukken te vinden in welke eene loodlyn uit dien hoek op de tegenover? gefielde zyde nedeigelaaten dien hoek verdeeien zal.
Cf



lil. Md. Oplosfing van byzondere Gevallen.
OPLOSSING.
r'verfchil^
Tang. i •< of y der deelen van den hoek. V. fom J
verfchil der geg. zyden.
— eot. i gegev. hoek x 1—r ï- j ~~"
b b ^ fom dier zyden.
cagnoli. 5. 245.
BEWYS.
B C: CD = i: cof. B GD:
CD : AC = cof. A CD: i
dus BC: AC = cof. ACD: cof. BCD: en
bch-AC: BC _ AC = cof. ACD h- cof. bcd:
«ƒ. ACD — cof. bcd.
bc —AC __ cof. ACD — cp/.B CD
BlC^hAC"- (((f.ACDH-tt/.BGD
tang. i (BCD —ACD) ,,7TTr _ .
— .— i: fVIII. 20. Gev. •?.)
to£. i (A C D -f- li C D) ^"cv,J,->
dus in Fig. 56.
R C AC
r««. KB C D - A C D) ~ cot. j (A C D+B C D) x^-^^, - BC — AC
en in Fig. 57.
1 t BC-AC
«t!|(ACD-t-BCD) tang.f(BCD-ACD) B C-*-AC of
Rf — AC
tang. f (A c d -t- b c D) = cot. \ (B C D-A C D)XB(H.AC
BC—AC
=cm-ïacbxbcTac.
GEVOLG.
Indien Z. acb recht: is cot. f acb — t
en dus
^.i(acd + bcd) = |^A-C.
XIV. voor.'



$68 -/X Boek: Övef de Driehoeks ■ meetings
XIV. voorstel. Fig. 58. Te vinden de Hukken welke op de zyde (AB) van eeneri driehoek (ACB) gemaakt worden door eene iyn CF, die den övergefteklen ho'ek(ACB) in twee gelyke deelen deelt: het zy mét) iil dien driehoek de hoeken en de verdeelde znde AB, het zy men de zyden ktnne en den verdeeldtö hoek.
OPLOSSING. 1. Verfch. der ftukken ~
ve deelde zydt x tang. \ verfch asngr. hpekera tang. i fom van die hoeken : H. Verfch. der ftukken =:
verdeelde zyde X verfchil der andere zyderi fom van die andere zyden.
cacnoli. j. 244.
B E W ï S.
BD : cf = fin. L B CF: fin. L B :
cf: af ~ fin. LA : fin. L acf of)?»». L bc?
dus
Ï5F : af r= fin. a: fin. B:
BF -4- AF: BF _ AF == fin. A -4- fin.B'.fin. a— firuB
en dus
*v a. a — "*' +AF X (/ti. A —fin; B) Bt — Al _ —fin-Th. + fin. B.
= « * SL¥w£%CVI"-10-GeM>
maar
a c ■+■ b c: b c — a c = tang. § (a -4- b): tang. § (a — b) (door het V. Voorft.)
dai
tang, f. (a —B) ___ bc —ac _ . tang. i (A^kTJ) — BCH-AB : e°
jj Q ^
bf - af = (ab) * bc^Tac.
I. GÉ-



127. Jfd. Oplosjïng van byzondere Gevallen. $6$
l. cevolg.
Indien de driehoek rechthoekig is in C, is A -i-B — 900: dus | (A+B) — 45° : en
l (A — B) — 45° — B: maar BD fcdt '4 A B 4. J (B D — AD), en AD — j AB — J (BD —AD); en gevolglyk
BD.-AD-, AB (t . ff!g-KA-B)); ~2 \ tang.i (A-*-B)'
(1 — ta«g-KA — B)\ \ la^. KA-*-By = t«V. 1 (A + B) + tón*.|(A—B): i(A + B) — tang.
KA-B)
= tang. 45' 4. {arur. (45°—B): tang. 4.5° —tang. (45° — B)
(VIII. 19. Gev. 3 ) r= r 4. *~ ta"8-B. i _ X.— tang.B 1 -f. tang. B' 1 -+■ tang. B = 1 -+- tang. B -f-1 — tang. B: 1+ tang, B — 1 -f- tang B Ez: 2 : 2 fang. B — 1: tang. B.
CAONOLI. 5- 222.
II. cevolg.
Indien de driehoek gelykbeenig is:namelyk zo A CnBC: isBD — AD = o of BD = AD hetgeen men reeds van elders weet: namelyk uit I., 11.
XV. voorstel. Fig. 58.
Indien twee zyden (AC, B C,) en de hoek tusfchen dezelven begreepen, gegeeven zyn, en die hoek door eene lyn, wei» ke de derde zyde in twee gelyke deelen fnydt, verdeeld wordt, de ftukken van dien hoek te vinden.
1 oplossing.
Tang. | verfch. der ftukken van den hoek ss
1 t , verfchil der geg. zvden
tang. | geg. hoek x —r ; f -
lom der geg. zyden.
CAONOLI. $. 246.
A a ss 2-



37o IX Boek: Over de Driehoeks-meeting
BEWYS.
AF: CF ZZ fin. L ACF: fin. A: B F of (A F): C F = fin. L FCB: fin, L B: en dus
fin. ACF : fin. FCB =fin. A: /ïn. B = CB : AC* en dus
CB-+- AC: CB —AC = fin. ACF «4-Jïb. FCB: fin,
ACF — ./«o. FCB
en
CB —AC fin. AC,F .—fin. FCB _
CB-+-AC ./»• ACF -+- fin. FCB ~~ tang. |(A CF— FCB) = tang.f (A CF H-TCB)' (VIU"' 20-Gev'*> dus
tflV. f (ACF—FCB) = tav. I ACB £ §~f£
TIEN.



TIENDE BOEK,
o ver de ligging en snyding der vlakken.
bepaalingen. I. Fig. 94.
Eene rechte lyn (F E) ftaat loodrecht op een vlak (RS) wanneer zy loodrecht ftaat op alle de lynen (AB, DC,) die in het gemelde vlak liggen en elkander fnyden in het ftip daar de lyn FE het vlak ontmoet.
eucl. XI. d. 3. —- St. p. 336. def. 10. — aanmerking. Men houde hier beftendig de 5de Bepaaling van het I. Boek in het oogt uit welke het klaarblykelyk volgt dat eene rechte lyn geheel in één en het zelfde vlak ligt: hoewel anderen zulks opzetlyk beweezen hebben. eucl. XI. pr. 1. — St. p 332. pr. u
li. Fig. 95. en 96.
Wanneer een vlak (AV) op een ander vlak (PQ) ftaat, of hetzelve fnydt, wordt de lyn (UV) die aan beide de vlakken gemeen is, de gemeene Jneede van die vlakken genoemd.
aanmerking. Deeze Bepaaling voororaderfielt dat de gs~ meene Jneede eene rechte lyn is: het geen wederom klaar* blykelyk uit de bepaaling van een vlak volgt: anderen hebben dit echter beweezen.
eucl. XI. 3. — St. p. 333. pr. 2.
ia Fig. 95.
Een vlak (AV) ftaat loodrecht op een ander vlak(PQ) Wanneer de lynen (E F, D G) die in eeii der' vlakken lig* Aa j gêrtü



37* X Boek: Over dc ligging en fnyding der Hakken.
gende op de gemeene fneede (UV) loodrecht ftaan, ook tevens loodrecht op het andere vlak (AV) ftaan. eucl. XI Bep. 4. — St. p. 339. def. 13.
IV. Fig. 97.
De helling van eene rechte lyn (FC) op een vlak (PQ)is de fcherpe hoek (F C E) welke die lyn (F C) maakt met de lyn (CE), die in het gemelde vlak uit het uiteinde (C) der gegeeven lyn getogen wordt tot het ftip (E,) daar de loodlyn (FE) uit het andere einde (F) van de gegeeven lyn nedergelaaten het vlak ontmoet.
eucl. XI. def. 5. — St. p. 337. def. ir.
V. Fig. 96.
De helling van een vlak (AV)op een ander vlak (PQ) is de fcherpe hoek (BEF,) welke gevormd wordt door twee lynen (BE, EF) uit het zelfde ftip E van de gemeene fneede (UV) in ieder vlak loodrecht op die fneede opgericht.
eucl. XI. Bep. 6 — St. p. 33S. Bep. 12.
VI.
Hierom worden vlakken gezegd gelykelyk op andere vlakken te hellen , wanneer zy onderling gelyke hellingen hebben: en evenuoydige vlakken worden die genoemd welke op een derde vlak gelykelyk hellen, dat is, met eene en dezelfde lyn, die in dat derde vlak loodrecht op de beide gemeene fneeden ftaat, gelyke hseken naar den zelfden kant maaken. aanmerking. Anderen zeggen dat twee vlakken onderling evenwydig zyn, indien zy zich nimmer ontmoeten of fnyden. eucl. XI. def. 8. — Anderen noemen evenwydige vlakken die welke overal denzelfden afltand van elkander hebben* — St. p. 345. def. 14.
Zie



X. Boek: Over de ligging enfnyding der Vlakken. 373
Zie hier over het geen wy gezegd hebben van dergelyke bepaalingen in de aanmerking op het VIL Voorftel; zo als ook in de aanmerkingen op de VIII. Bepaaling van het I. Boek.
I. voorstel. Fig. 98.
Een driehoek ligt altoos in één vlak.
eucl. XI. 2. St. p. 335. pr. 3. Gev. r.
bewys. Door de eerfte bepaaling; of rechtftreeks, of uit het ongerymde: in het laatfte geval onderftelt men dat het gedeelte ACKI in één vlak , het gedeelte IEK in e,en ander vlak ligt.
I. gevolg.
Wanneer drie ftippen naar welgevallen gegeeven zyn, kan men altoos onderftellen dat er een vlak door dezelven gaat : en de ligging van dat vlak is bepaald.
St. p. 333- pr. 1. Gev. 2.
II. gevolg.
Twee lynen (A B, D C) die elkander fnyden, liggen in een en het zelfde vlak.
eucl.. XI. 2. — St. p. 334. pr. 3.
III. gevolg. /
Men kan altoos een vlak door twee gegeeven lynen laaten gaan; en deszelfs richting is bepaald.
II. voorstel. Fig- 94Indien eene rechte lyn (EF) in het ftip(E), daar twee lynen (AB, DC) zich fnyden, loodrecht op dezelven ftaat, ftaat zy ook loodrecht op alle de lynen die in het vlak liggen dat door de twee gegeeven lynen gaat, en dus ook op dat vlak zelve. eucl. XI. 4. —- S. p. 337. pr- 4'
Aa 3 M<



374 X Boek: Over de ligging enfnyaing der Vlakken;
bereiding. Maak EA = EB, EC rs ED:
Trek AD, CB, en door E de lyn PEQ naar willekeur,
vervolgens FA, FP, FD, FC, FQ, FB:
bewys Uitl. 8, 9» 12, wordt beweezen dat L PEF =3
L FEQ, dus = L
I. gevolg.
Uit een en het zelfde Hip, het zy (F) boven het vlak t het zy (E) in het vlak , kan men maar ééne éénige lyn (F E) trekken, die loodrecht op het
Vlak is. . «t. jv*m.
II. gevolg.
De loodrechte lyn is de kortfte van alle de lynen die men uit een ftip (F) boven een vlak op het vlak kan laaten vallen.
%. aanmerking. Fig. 97. Het blykt, dat zo men eene lyn Dl naar welgevallen in een vlak trekt, daarop uiteen ftip F boven net vlak de lyn F C loodrecht laat vallen: verder uit C op Dl de loodlyn CE in het vlak trekt, en dan uit F de lyn F E loodrecht op C E; dat dan de lyn F E ook loodrecht op het vlak zyn zal. eucl. XI. 11. — St. p. 344. pr. 11.
III. cevolg. Fig. 95. Indien eene lyn BD loodrecht op een vlak ftaat» ftaan ook alle de vlakken (>o als A V) welke langs die lyn gaan loodrecht op het zelfde vlak.
eucl. XI. 18. — St. p. 340. Gev. 7. Bep. 13.
IV. gevolg.
Indien men uit een ftip B van een vlak AV dat loodrecht op een ander vlak PQ ftaat eene loodlyn op dgt laatstgemelde vlak nederlaat, zal die lyn in de gemeene fneede vallen? eucl. XI. 38.



X Boek: Over de ligging en fnyding der Vlakken. 375
V. GEVOLG. Fig. 99.
Indien twee vlakken CD, AB, die elkander fnyden, beiden loodrecht op een derde vlak PQ ftaan, ftaat derzelver gemeene fneede EF ook loodrecht op dat vlak.
eucl. XI. 19 — St. p. 34i- prop- 6.
III. VOORSTEL. Fig. IOO.
Indien eene rechte lyn (FE) loodrecht ftaat op drie lynen (AE, GE, CE,) in dat ftip (E) waar die drie lynen elkander fnyden , liggen die lynen in het zelfde vlak.
eucl. XI. 5 — St. p. 338. Gev. van pr. 4. bewys. Uit het ongerymde door het II Voorftel: ftellende byv. dat de lyn E A in een vlak ligt dat van het vlak PQ, waarin de beide andere EG, EC liggen, verfchillend is.
IV. VOORSTEL. Fig. IOI.
Indien twee rechte lynen (AB, CD) loodrecht op het zelfde vlak (PQ) ftaan , zyn zy onderling evenwydig. En omgekeerd, indien twee rechte lynen onderling evenwydig zyn, en eene derzelven ftaat loodrecht op een vlak, is de andere ook loodrecht op dat vlak.
eucl. XI. 6, 8. —- S. p. 342. pr. 7. ïEEiDiNG. Men ftelt dat door de lynen AB , CD een vlak ACDB gaa , waarvan B D de gemeene fnede met PQ is.
bewys. Uit het 4. Gev. van het II. Voorftel: en I. Bep. 8. Voor het II. uit het 3. Gev. van het II. Voorftel, en I. Bep. 8. aanmerking. Hier uit volgt wederom, dat, indien men (Fig. ioi.) uit eenig ftip B in een vlak een loodlyn BA op dat vlak wil oprichten, men eerst uit eenig ftip C buiüen het vlak eene loodlyn C D op het zelve moet laasen A a 4 val»



f?6 X Boek: Over de ligging en fnyding der Vlakken.
vallen, en dan uit het gegeeven flip B eene lyn trekke» die met de gemelde loodlyn evenwydig is, eucl. XJ. 12. — St. p. 345- pr. 12,
V. voorstel. Fig. 102.
Twee lynen (AB, CD), die elk evenwydig aan eene en dezelfde derde lyn (EF), hoewel deeze niet met de twee anderen in het zelfde vlak ligt, zyn ook onderling evenwydig,
eucl. XI. 9. —- St. p. 343. pr. 9» bereiding. Men fielt dat 'er door EFen A B een vlak EQ, en door EF en CD een vlak EP gaa. Men trekt uit eenig flip G van de lyn EF, de lyn GH loodrecht op AB, en GK loodrecht op CD, en eindelyk de lyn HK: en men fielt dat 'er een vlak door HGK gaa. bewys. Uit het IV. Voorftel.
VI. voorstee. Fig. IO3.
Indien twee lynen (AB, BC) in eenig vlak liggende eenen hoek (ABC) onderling maaken: en in een ander vlak twee lynen (DE, FE), die eenigen hoek (DEF) onderling maaken, elk evenwydig aan eene derzelven zyn, zullen die hoeken gelyk zyn: en de vlakken (ABC. en DEF) die door de gemelde lynen gaan, zullen ook onderling evenwydig zyn.
eucl. XI. 10 en 15. St. p. 354- Pr- *° en 347. pr. 14.
bereiding. Stel ED =7= AB : EF = BC : trek AD » BE, CF, AC, DF.
bewys. Uit I. 17: X., 5: L, 12. en X. Bep. 6. Vil/ voorstel. Fig. IO4.
Indien eene en dezelfde lyn (EF) loodrecht ftaat
op



X. Boek: Over de ligging enfnyding der Plakken. 377
op "twee vlakken (PQ, P.S,) zullen die vlakken
evenwydig aan elkander zyn.
eucl. XI. 14. — St. p. 346. pr. 13. bereiding. Men ftelle dat 'er door de gegeeven lyn EF, en eenige lyn EG in het vlak, PQ byv., getrokken, een vlak EG HF gaat, waar van de gemeene fneede met 11S de lyn FH is.
bewys. Uit het 3- Gevolg van het II. Voorftel, en de VI. Bepaling.
I. GEVOLG.
Alle de loodlynen die tusfchen twee vlakken, welke onderling evenwydig zyn, getrokken kunnen worden, zyn gelyk. (Door I., 8. (lellende HF = GE, en trekkende GF).
aanmrkikg. Hier uit worden de reedenen afgeleid der Bepaalingen waarvan wy in de Aanmerking op de VI. Bepaaling gewag gemaakt hebben.
II. G E VOL C.
Indien twee evenwydige vlakken door een derde vlak gefneeden worden, zyn derzelver gemeene fneeden onderling evenwydig. eucl. XI. 16.
VIII. VOORSTEL. Fig. I05.
Indien twee rechte lynen (AB, CD) door evenwydige vlakken (HG, LK, NM) gefneeden worden, worden zy in de zelfde reeden gefneeden. eucl. XI. 17. St. p. 351. pr. 18.
bewys. Uit het 2. Gev. van het VII. Voorftel': IV., 2.
en III,, jo. //
Aa 5 ELF-



37«
ELFDE' BOEK,
OVER DE LICIIAAMLÏKE FIGUUREN DIE DOOR VLAKKE OPPERVLAKTEN BEPAALD ZYN.
I. AFDEELING,
©VER DE PARALtELOP IPEDA , PRISMAS, EN PYRAMIDEN.
EERSTE BEPAALINGEN. (tt)
L
Een Lichaam, of lichaamlyke Figuur, is eene figuur die in lengte, breedte, en hoogte of diepte uitgeftrekt is. Zy wordt dus door oppervlakten bepaald. eucl. XI. def. i. 2. — S. p. 33°. def. i. 2. II. Fig. 106.
Men noemt eenen lichaamleken hoek eenen hoek» die uit drie of meerder vlakke hoeken (CAB, CAD, DAB) welke in verfchillende vlakken liggen , en wier toppen in een ftip famenkomen gevormd is.
eucl. XI. def. ix. — S. p. 352- «tef. ISI. GEVOLG.
De toppen der vlakke hoeken die eenen lichaamlyken hoek uitmaaken komen dus overeen ; en een der
beiCo) De tweede Bepaalingen volgen na het XXIX Voorftel.



1,4fd. Over de Paraïïehp.,Primas, en Pyramiden, 3 79
beide beenen van ieder'vlakken hoek, is tevens een der beenen van den naastliggenden. AB is gemeen aan de hoeken CAB, en BAD: AD aan de hoeken BAD, en CAD: AC aan de hoeken CAD en BAC, Die beenen worden door fommigen de ribben (les c6tes),en de driehoeken, die tusfchen dezelven begreepen zyn, de vlakken of zyden van den lichaamlyken hoek genoemd, terwyl het ftip waarin zich de toppen der vlakke hoeken vereenigen, de top van denzelven is. Wy zullen die benaamingen van ribben en zyden behouden.
II. GEVOLG. Fig. Ï14, 109.
Indien men op eene der ribben van eenen lichaamlyken hoek een ftip neemt, en door hetzelve een vlak laat gaan dat de zyden (zo nodig verlengd) van den lichaamlyken hoek fnydt, zullen de gemeene fneeden van die zyden en het gemelde vlak op het zelve eenen veelhoek maaken van zo veele zyden als er vlakke hoeken zyn die den lichaamlyken hoek uitmaaken ; en dus eenen driehoek, vierhoek, vyfhoek, naar maate de gegeeven lichaamiyke hoek uit drie, vier, vyf vlakke hoeken beftaat. aanmerking. Hier op komt, naar ons inzien, de 22 prop. vanhetXI.Boek van euclides uit: ten minften voor zo verre het gebruik betreft dat hy daarvan in de 23 propofitie maakt; want de voorwaarde die hy opgeeft, dat twee van de drie gegeeven platte hoeken grooter moeten zyn dan de derde, is flechts eene dier voorwaarden welke vereischt worden op dat er uit de drie gegeeven platte hoeken een lichaamiyke hoek gemaakt zoude kunnen worden: de gelykheid der ribben die hy verder vordert, is op dat men zeeker zoude zyn dat 'er door de uiteinden derzelven een vlak zoude kunnen gaan : hetwelk echter alleen doorgaat voor drie hoeken.
I 11. GEVOLG.
Twee lichaamiyke hoeken zullen dus gelyk zyn, indien,



380 XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
dien, wanneer de top vooronderfteld wordt met den top overeentekomen , alle de vlakke hoeken, waaruit die lichaamiyke hoeken gevormd zyn , insgelyks overeenkomen : en gevolglyk zyn twee lichaamiyke hoeken gelyk, wanneer zy gevormd worden door vlakke hoeken die gelyk zyn in getal, en boven dien in grootte ieder aan ieder, en eindêlyk onderling volgens de zelfde orde geplaatst.
aanmerking. De vlakken , welke eenen lichaamlyken hoek uitmaaken , kunnen hunne hoeken of allen buitenwaarts, of gedeeltelyk buiten- en gedeeltelyk binnenwaarts gekeerd hebben: welke gevallen men beboorlyk moeton» derfcheiden zo als uit de aanmerking op het II Voorde! blyken zal.
III.
Gelykvormige lichaamen zyn die, wier vlakken ge* lyk in getal, gelykvormig, en [gelykelyk geplaatst zyn.
eucl. XI. def. o. — S. p. 330. d. 5. aanmerking. In gelykvormige lichaamen zyn dan de eveneensgeplaatfte lichaamiyke hoeken gelyk , en de vlakken uit welke deeze gevormd worden, zyn gelykvormig. d. i. de vlakke hoeken zyn in dezelven gelyk, en de zyden om die hoeken zyn evenwydig : waar door deeze bepaaling van gelykvormigheid met de I Bepaaling van het IV Boek overeenkomt.
IV.
De Inhoud van eene lichaamiyke figuur is de ruimte welke begreepen is tusfchen de oppervlakten welke de figuur bepaalen : en, gevolglyk zyn twee lichaamiyke figuuren gelyk aan elkander, dat is, haare inhouden zyn gelyk, wanneer die ingeflooten ruimten gelyk zyn.
I. AAN-



I.Afd. OverdeParalklop.y Prismas, en Pyramiden. 381
I. aanmerking. Andeien draagen de zaak dus voor. Indien twee lichaamen ieder door vlakken, welke beften, dig aan eene hunner oppervlakten evenwydig zyn, gedeeld worden ; zullen die lichaamen gelyk zyn, waéneer de vlakken door de zelfde fneede in ieder lichaam gevormd, beftendig gelyk zyn , ieder aan ieder. Zy befchouwen die vlakker), welke door eene dergelyke
- verdee'icg gebooren worden, als zynde de faamenjl ellende deelen uit welke de gegeeven lichaamen gevormd worden. Deeze redeneering komt dan hier op uit: wanneer de famenftellende deelen, welke twee lichaamen uitmaaken , ge* lyk zyn ieder aan ieder, en evenveel in getal, en op dezelfde wyze geplaatst, zulien die lichaamen gelyk zyn. Dit is buiten twyffel : doch op welke wyze zal men over de gelykheid van die famenjlellende deelen oordeelen ? De
■ fcbry vers, van welke wy hier fpreeken, ftellen dat die deelen oneindig dun zyn, om dus de lichaamen als uit een oneindig getal van vlakken [amengejleld, te kunnen befchouwen, het geen geheel en al van de matbematifche naauwkeurigheid afwykt, niets dan valfche denkbeelden inboezemt, en dus geheel verworpen moet worden. S. p. 359. 360.
II. aanmerking. De Wiskunftenaars letten , in het denkbeeld dat zy zich van lichaamen vormen , alleen op de groot'e , het getal, en de plaatfing der oppervlakten , waaruit die lichaamen beftaan , dat is , door welken zy omvat worden; en geenszins op het geen de Natuurkundigen ondoordringbaarheid noemen : waarom dan ook de Wiskunftenaars verfcheiden lichaamen op het zelfde grondvlak plaatfen , hoewel zulks voor weezenlyke en ondoordringbaare lichaamen onmogelyk is.
V. .
Gelyke en gelykvormige lichaamen zyn die, welke door gelykvormige vlakken, gelyk in getal en in grootte, begreepen of omvat worden.
el'CL. XI. def. 10. — St. p. 330. Bep. 4.
VU



382 XI. Boek: Over ie lichaamiyke Figuuren. VI. Fig. 107. 117.
Een parallelopipedum of balk is eene lichaamiyke Figuur , welke omvat of begreepen wordt door zes vlakken, waarvan die, welke tegen over elkander ftaan, gelyk en evenwydig aan elkander zyn. Het parallelopipedum wordt rechthoekig (Fig. 107.) genaamd , wanneer die vlakken alle rechthoekig, en dus rechthoekig met elkander veréénigd zyn: Scheefhoekig (zo als MHABDLKNM Fig. 117.) wanneer die vlakken fcheefhoekig, en dus lcheefhoeJdg veréénigd zyn.
eucl. XI. Bep. 30 , volgens fommige uitgaaven. >~
St. p. 331. Bep. 5. 6.
I. GEVOLG.
De vlakken , die een parallelopipedum uitmaaken, zyn dus parallelogrammen, waarvan de tegenoverftaande gelyk zyn; zo als gemaklyk en uit deeze Bepaa,iing, en uit het XIX. Voorftel van het I. Boek afteleiden is.
eucl. XI. 24. alwaar beweezen wordt, dat, indien een lichaam uk evenwydige vlakken beuaat, deèegenoverftaande vlakken onderling gelyk, en parallelogrammen zyn: een dergelyk lichaam wordt in de volgende pro» pofitiën door euclides een parallelopipedum genoemd, zonder verdere voorafgaande bepaaling. I. aanmerking. Men ziet hieruit hoe men de zes rechthoeken, waaruit een rechthoekig parallelopipedum gevormd wórdt, op het papier moet (tellen, op dat dezelven alleen door omvouwing het parallelopipedum zouden uitmaaken: met ftelt namelyk (Fig. 192.) vier rechthoekige parallelogrammen onder elkander: het eerfte en het derde gelyk aan elkander; het tweede en het vierde insgelyks gelyk aan elkander. Verder ftelt men aan elke zyde van het tweede een ander, die aan elkander gelyk zyn: dan worden het eerfte en derde
twee



ï, Ajd. Over dg Parallelop., Prismas, en Piramiden. 383
twee zyden» het tweede en vierde deonderfie en bovenfte oppervlakte: waar door het vyfde en zesde of de twee overige zyden van zeiven volgen.
Het zelfde heeft plaats voor een parallelopipedum, dat niet rechthoekig is: behalven i° dat dan de parallelogrammen N°. 1 en 3, insgelyks N°. 2 en 4, niet alleen onderling gelyk, maar ook gelykvormig zyn moeten: 20 dat dan, zo dra de grootte en gedaante dier parallelogrammen, N". i en 3, N\ 2 en 4, bepaald is, zo als ook de Helling van N?. 1 en 3 op het vlak van N°. 2, de parallelogrammen N°. 5 en 6 ook bepaald zyn: hunne zyden immers zyn die van N°. 2, cnJN°. 3, en de hoeken die welke de zyden der parallelogrammen N°. r en N°. 3 na de omvouwing met het vlak van N°. 2 uitmaaken. wolf , g. 5. 249. N°. 3 en 6. II. aanmerking. Sommige befchouwen een parallelopipedum als gevormd door de aan zich zelf evenwydige beweeging van een parallelogram, dat met een' bepaalden hoek op het vlak waar op het zich evenwydig aan zich zeiven beweegt , hellende, voorgaat. wolf, g. j. 432 en 633.
II. gevolg. Fig. 116 en 117. Men zegt dat een parallelopipedum uit drie lynea (AN,NK,NM), gemaakt wordt, wanneer het grondvlak een parallelogram is, uit twee derzelven gemaakt, . en de opftaande parallelogrammen ieder uit eene van die twee, en uit de derde gemaakt worden: doch ais dan verfchillen de parallelopipeda uit de zelfde lynen gemaakt, naar maate van de ongelykheid der hoeken van de gemelde parallelogrammen. Gevolgelyk is een parallelopipedum, uit drie gegeeven lynen gemaakt, niet van eene beftendige grootte of inhoud, ten zy de grootte der hoeken zo wel van het grondvlak als van de opftaande parallelogrammen bepaald en gegeeven
zy. Daar nu rechte hoeken alle gelyk aan el-
kan-



384 XI Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
kander zyn, voïgt het dat een rechthoekig parallelopipedum uit drie gegeeven lynen gemaakt, eene beftendige en gegeeven grootte heeft.
III. gevolg. Fig. 107 en 116. Indien twee paralklopipeda onderling gelykvormig zyn, moeten de eveneens geplaatste hoeken der parallelogrammen, uit welke zy beftaan, gelyk, en de drie lynen waar uit zy gevormd worden, evenreedig zyn.
Want door de bepaaling moet men hebben: □ AGun AK; a AF ^ a AM; en
en □ HE o NL: en dus ook AH : AN = HG: NK:Ï HG : NK = HF : NM: > (IV., 1. Bep.) HF: NM = AH: AN:j dat is
AH : HG : HF = AN : NK : NM.
En twee rechthoekige paralklopipeda zullen gelykvormig zyn , wanneer de drie lynen waaruit zy beftaan evenreedig zyn.
Dit Gevolg komt overeen met eucl. XI. 27.
VII.
Indien de zes parallelogrammen waar uit een parallelopipedum beftaat, vierkanten zyn, en dus onderling aan elkander gelyk ; wordt de Figuur een Cubus of Taerling genoemd.
I. gevolg.
Een Cubus van of op eene lyn, is dus een Cubus waar van de hoogte de gegeeven lyn, en het grondvlak het vierkant op de gegeeven lyn is: een Cubus wordt dus uit eene gegeeven lyn, of liever uit drie gelyke lynen rechthoekig, even als een parallelopipedum



I. Jfd. Over de Parallelop , Prismas, en Pyramiden 3 85
dum uit drie ongelyke lynen, en ook fcheefhoekig» gevormd.
Euct, XI. def. 25. — St. p. 353. def. 3.
II. GEVOLG.
Alle Cubi zyn onderling gelykvormig. (VI. Bep. 3. Gevolg.)
VIII. Fig. ic8. Een prisma of zuil is een lichaam door verfchei» den vlakken omvat of begreepen, van welken'er twee gelyk, gelykvormig, over elkander gefield , en aan elkander evenwydig zyn , terwyl de overige allen parallelogrammen zyn. De twee eerstgemelden kunnen bazes of grondvlakken van het. prisma of van de zuil genoemd worden.
eucl. XI. def. 13. — St. p. 331. def. 7.
I. GEVOLG.
Naarmaate de grondvlakken, driehoeken , vierhoeken , vyfhoeken &c. zyn, wordt de zuil of het prisma driekantig , vierkantig, vyfkantig enz. genoemd. De zuil van Fig. 108. is vyfkantig: die van Fig. 124- driekantig: zoals ook ABDFGH in Fig. 107.
II. GEVOLG.
Het prisma of de zuil is rechthoekig of fcheef'hoekig, naar maate de parallelogrammen, die de grondvlakken vereenigen, rechthoekig, dat is, rechthoeken, of fcheef hoekig zyn. — Verder , indien het prisma of de zuil rechthoekig is, en de grondvlakken regelmatige veelhoeken zyn, kan men de zuil regelmatig noemen.
St. p. 331. def. g. I. aanmerking. Men kan dus ook de Paralklopipeda of balken, en de Cubi of Taerlingen, als foorten van vierkantige Zuilen aanzien.
III. GEVOLG.
De oppervlakte van een prisma of zuil beftaat, Bb in-



3S6 X/. Boek: Over de lichaamiyke Figmiren.
indien men de grondvlakken niet mede reekent, uit 10 veele parallelogrammen, als het grondvlak zyden heeft: en dus, indien het grondvlak eene regelmatige figuur is, is die oppervlakte gelyk aan eenen rechthoek, waarvan de grondlyn de omtrek van het grondvlak is, en de hoogte de hoogte van de zuil, of de loodlyn die tusfchen de beide grondvlakken ftaat.
IV. GEVOLG.
Men kan het prisma of de zuil in zo veele driekantige zuilen verdeelen, als het grondvlak in driehoeken verdeeld kan worden: dat is in zo veele ditjehoeken als 'er zyden in het grondvlak zyn , min twee: zo als fig. 108. GAHBIF: FHBIEK: IBKCDE. '
II. aanmerking. Sommigen befchouwen het prisma of de zuil als geboren door de evenwydige beweeging van het grondvlak, volgens éene lyn die , ofloodrecht, offchuins, op de zyde van het grondvlak ftaat: als de moet, het fpoor, door eene dergelyke beweeging van het grondvlak nagelaaten.
wolf. Elem. Math. g. 5- 45<5.
III. aanmerking. Wy zullen beftendig voor grondvlakken der zuilen die vlakken aanzien, welke wy in deeze Bepaaling grondvlakken genoemd hebben: doch euclides neemt dan eens een der parallelogrammen, dan eens een der vlakken welke de parallelogrammen vereenigen voor grondvlak aan ; zo als duidelyk uit de 40 propofitie van zyn Xf. Boek blykt: eene onderfcheiding, waarop men wel letten moet om geene feilen te begaan.
V. GEVOLG.
Het blykt uit de III. Bepaaling, dat twee prismas gelykvormig zullen zyn, wanneer de grondvlakken gelykvormige veelhoeken zyn, en de opftaande parallelogrammen insgelyks allen gelykvormig zyn: endus zullen,



I. Af L Over de Parallelop.; Prismas, en Pymmiden 387
len, wat de zyden betreft,de zyden van de grondvlakken evenreedig tot elkander zyn; en de zyden van de opftaande parallelogrammen zullen het insgelyks moeten zyn.
IX. Fig. 109. Men noemt Pyramide of Naald eene lichaamelyke Figuur, famengefteld uit driehoeken, waar van de grondlynen het grondvlak van het lichaam uitmaaken , en wier toppen in één ftip te faamen komen. eucl. XI. def. 12. St. p. 332. def. 9.
I. GEVOLG.
'Er zyn derhalveri zo veele driehoeken, die de naald of pyramide famenftellen, en derzelver zyden genoemd worden, als het grondvlak zyden bezit.
II. GEVOLG.
De Pyramiden of Naalden zyn dan driehoekig, vier* kantig &c, naar maate het grondvlak een driehoek, een vierkant enz. is. En eene veelhoekige of veelkantige pyramide, of'naald, kan in zo veele driekantige verdeeld worden, als het grondvlak zyden heeft, min twee, zo alsAVEB: BVEC: CVED: inFjg. 109. St. p. 332. def. 9.
III. GEVOLG.
Eene Pyramide of Naald, kan regelmatig genoemd worden, indien het grondvlak een regelmatige veelhoek is, en de driehoeken, die dc zyden der pyramide zyn, allen gelyke en gelykbeenige (ctus ook gelykvormige) driehoeken zyn. Waarom dan ook de loodlyn, die uit den top op het grondvlak wordt nedergelaten, er die in dit geval in het middelpunt van het grondvlak valt, de as van de naaide kan genoemd worden. aanmerking. Indien men dus op het papier den veelhoeli befchryft, die het grondvlak van de naaide zyn rnoetj en E b z op



388 XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren*
op ieder der zyden van dien veelhoek den driehoek die de zyde moet zyn van de naald: zal men, door vouwing van het papier, de naald verkrygen.
IV. GEVOLG.
Twee pyramiden zullen dus gelykvormig zyn als de grondvlakken gelykvormig zyn , en de eveneens geplaatste zyden het ook zyn,
Waar uit volgt, (door IV., Bep. i.) dat ook de zyden van de grondvlakken , en de ribben van de zyden der gelykvormige pyramiden onderling evenreedig zyn moeten.
X.
Wanneer men een der vlakken, uit welke de lichaamiyke figuur beftaat, voor grondvlak aanneemt, noemt men hoogte van de figuur de loodlyn die uit den top van de figuur op dat grondvlak nedergelaten is: Of, zo het meest verheevene vlak van de figuur evenwydig is aan het grondvlak, is de hoogte van de figuur de loodlyn die tusfchen die twee evenwydige vlakken begreepen is.
XI.
Alle lichaamiyke figuuren, welke uit verfchillende veelhoeken, hoe ook genaamd, famengefteld zyn , worden veelkantige lichaamen (polyedra') genoemd.
XII.
Eene lichaamiyke figuur wordt gezegd in eene andere lichaamiyke figuur befchreeven te zyn, als alle derzelver hoeken, of op de hoeken, of op de ribben, of op de zyden van die laatstgemelde figuur rusten. eucl, XI. Bep. sr, in fommige uitgaaven van het werlt
van dien Schryver.
aajs-



JT. Jfd. Over de Parallehp., Prismas, en Pyramiden, 3 89
aanmerking. Wanneer alle de hoeken van de eene Figuur, of op alle de zyden, of op alle de ribben van de andere Figuur rusten, wordt de eerstgemelde gezegd volmaakte, lyk in de laatstgemelde befchreeven te zyn: doch wanneer alle de hoeken van de eerfte flechts, of op eenige zyden, of op eenige ribben, of in eenige hoeken der laatstgemelde rusten , is de infchryving onvolmaakt. Zie verder XXXII, Voorftel, 2. Gevolg.
XIII.
Eene lichaamiyke figuur wordt gezegd om eene andere figuur befchreeven te zyn, wanneer haare zyden, ribben, of hoeken, alle de hoeken van de laatstgemelde figuur raaken. eucl. XI. Bep. 32,
I. VOORSTEL. Fig. II4.
Indien een lichaamiyke hoek (A) uit drie vlakke hoeken(BAD,DAC,CAB)beftaat,zyn altoos twee derzelven te faamen grooter dan de derde. eucl. XI. 20. — St. p. 3S3- Pt. 19. bereiding. Zy L B A C de grootfte der drie: men ftelle in het vlak dat langs C A en B A gaat, LBAE = LBAD: AE = AD: men tiekke door E, BEC: vervolgens CD, BD.
iewys. Men bewyst eerst uit I, 8, dat BD = BE: vervolgens uit I, 15, dat BD +DC V BC : waaruit volgt DC V EC: waaruit door I. 17. door het neemen der fora van L DACenBAD, en van L CAEenEAB het befluit volgt.
II. VOORSTEL. Fig. II4.
Alle de vlakke hoeken welke eenen lichaamlyken hoek uitmaaken zyn kleiner dan vier rechte hoeken. eucl. XI. 21. •— St. p. 354. pr. 20. bereidihg. Men neemt in ieder der zyden AC, AD , Bb 3 AB



590 XL Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
AB, een flip C, D, B, zodanig dat door dezelven het vlak CDB gaan kan: hetwelk derhal ven met de vlakken langs CA en AD, CAenAB. A B en AD gaande, lichaamiyke hoeken in B, C, D maakt. bewys. Men bewyst eerst nit het eerfte Voorftel dat de fom der zes vlakke hoeken (ABC, ABD, ACB, ACD, ADC, ADB) om B, om C, en om D grooter is dan de fom der drie hoeken van den AHCD: en dus dan 2 rechte hoeken: (I, 7.) die fom aftrekkende van de fom der hoeken in de driehoeken BAC, CAD, DAB, en de 2 rechte hoeken van 6 rechte hoeken die gelyk zyn aan de laatstgemelde fom (1, 7.) verkrygt men tot befluit het voorgeftelde.
I. aanmerking. Dit Bewys is eigenlyk gefchikt voor eenen lichaamlyken hoek uit drie vlakke hoeken beftaande: hoewel het zelve op andere meer famengeftelde hoeken kan toegepast worden. Doch het volgende, door clavius voorgefteld, is meer algemeen.
In Fig. 109. zyn de hoeken van alle de driehoeken BVC, AVB, enz. die eenen vlakken hoek uitmaaken, en waar van de zyden C B, B A, enz. in één vlak zyn, gelyk aan 2 maal zo veel rechte hoeken, als het grondvlak zy. den heeft. Maar alle de hoeken B AE, ABC, enz. van het grondvlak zyn gelyk aan het zelfde getal rechte hoeken, min vier (II, n.) dus zyn alle de hoeken van de gemelde driehoeken — aan alle de hoeken van het grond vlak, flus vier rechte hoeken.
Dan van alle die hoeken in de gemelde driehoeken zyn de twee, zo als ABV, VBC, die eene gemeene ribbe V B hebben grooter dan de hoek ABC van het grondvlak met welken zy eenen lichaamlyken hoek uitmaaken : (I. Voorftel.)
Gevolg'yk ,dit wederzyds aftrekkende, heeft men de hoeken om den top, dat is, die welke den lbhaamlyken hoek uitmaaken, te faamen kleiner dan vier rechte hoeken.
II, aanmerking. Dit Voorftel geldt flechts wanneer alle de
vlak»



I.Afd. Over de Parallelop.. Prisman, en Pyramiden. 391
vlakke hoeken die eenen lichaamlyken hoek uitmaaken buitenwaarts gekeerd , of alle uitfpringende zyn: maar niet zo eenige derzelver uitfpringende, andere infpringende zyn, zo als zulks het eerst is opgemerkt door den Heer le sage Hift. de VAcad. ds Paris A°. 1756. p. 77. Wy hebben in het XII. Voordel van het IL Boek iets dergelyks voor de veelhoeken aangeteekend.
III. VOORSTEL. Fig. 183.
Indien men uit den top (A) van eenen lichaamlyken hoek uit drie vlakke hoeken (BAC, CAD, D AB)beftaande, eene loodlyn (AP)nederlaat op het driehoekig vlak, (BCD), 't welk door de ftippen (C, B, D) op ieder der ribben op gelyke afftanden (AC = AD = AB)van den top genomen, gaat; zal die loodlyn AP op het middelpunt vallen van den^ cirkel, welke om den gemelden driehoek (BAD) befchreeven kan worden. bereiding. Trek uit P de lynen PB, PC, PD: men moet bewyzen dat deeze gelyk zyn, het zy het ftip P binnen, het zy het buiten den driehoek BCD valle. bewys. In de driehoeken PACenDAP isAC — AD, AP ZZ AP, L in P recht: dus (L 11, Gev. 6.) is PD == PC: insgelyks, in AA PAC en PAB, is PC = PB: dus P D = PC — PB: en PA het middelpunt van den cirkel om den driehoek befchreeven.
I. GEVOLG.
Dus □ op AP = □ op AC — □ opPC(II,7.Gev. 1.)
II. GEVOLG.
Hier uit blykt hoe men uit drie gegeeven vlakke hoeken, waar van er twee kleiner zyn dan de derde, en die te faa» men kleiner zyn dan vier rechte, eenen lichaamlyken hoek maaken kan.
Want men neeme AB r: AC = AD. Men trekke de Bb 4 grond-



392 XI. Eoek: Over de lichaamiyke Figuuren.
grondlynen BC, CD, BD ; en maake uit dezelven eenen driehoek. (III. B. der Werkftukken, het I. Werkft.) Men befchryve om dien driehoek eenen cirkel (V*. B. 5 Werkftuk) waar van P het middelpunt is. Men richte uit P op het vlak BCD eene loodlyn PA. (X. 4: Aanmerking:)
men maake PA zodanig dat □ op PA = □ op AC p
op P C: (B. III, 26 Werkftuk;) men trekke A B , A C , A D .en de vlakken die langs AB, AD en BD: A B, ACen BC: AC, A D en CD gaan, zullen den gevraagden lichaamlyken hoek uitmaaken.
I. aanmerking. Dit is het 23 Voorftel in het XI. B. van
euclides.
II. aanmerking. Dit Voordel gaat niet door voor de lic. haamlyke hoeken die uit meer dan drie vlakke hoeken beftaan: omdat, al zyn de ribben (AV, BV, CV, DV, EV Fig. 109.) gelyk, de ftippen A , B , C, D, E niet altoos in één vlak zyn: daar in tegendeel drie ftippen B, C, D, (Fig. 183.) zich altoos in één vlak bevinden. Doch wanneer dit plaats heeft voor den lichaamlyken hoek uit meer dan drie platte hoeken famengefteld, dan heeft dit Voorftel ook plaats.
IV. VOORSTEL. Fig. 184.
Twee lichaamiyke hoeken (Fen A) ieder uit drie vlakke hoeken (GFH, GFI, IFH, en MAD, MAC, CAD) beftaande,zyn gelyk, indien,wanneer in beiden eene vlakke hoek gelyk is, (7_ GFH = L MAD) de ribben die over di» gelyke hoeken ftaan, in beiden, met bet vlak van dien hoek de zelfde ftelling hebben CL IF L == L C A E): en het vlak dat langs die ribbe loodrecht op het vlak van den gelyken hoek ftaat, denzelven in beiden in de zelfde reeden ver. deelt.
bereidino. Zy IL de loodlyn uit I op het vlak FGH nedergelaaten: trek FL en door L de lyn GLH: vervol. ■■ gtnsFI, IH.
2y



I.Ajd. OverdeParalklop , Prismas, enPyramid&n. 303
Zy C A = FI: CE de loodlyn uit Cop het vlak MAD nedergelaaten: trek AE: dus is (X.Bep.4.) L CAE = L I V L.
Zy MA — G F: trek door M en E de lyn M E D: vervolgens MC, CD.
Men moet bewyzen dat Z.MAC = LGFIenLCAD = LIFH.
bewys. In de driehoeken FLI en EAC, is AC = FI; L CAE = L IFL: L FLÏzZ LAKC zz L dus i\ AE — FL: LI = EC: (I, 8.; verder L GFL: L LFH = L MAE: L EAD. (onderftel) dus (III, 8.)
L GFL + L LFH: LMAE + LEAD — L GFL: L MAE = L LFH: L EAD. of
Z. G F H: L MAD = L GFL: Z.MAE = L LFH:
L EAD
en dus (UI, 9) omdat L GFH = L MAD
is 20. L GFL = L MAE en L LFH 55 L EAD.
Dus is in de AA GFL en MAE,
GF= MA: FL = AE:en LGFI =LMAE(N»2.)
dus 3". L FGL — L AME: en GL = ME. (I, 8.)
a°. Op de zelfde wyze in AA LFH en E AD ts
LH r ED.
En dus, in AA GLI en MEC, is
LI = EC (N°. 1.:) GL = ME (N°. 3:)
1GLI = L= MEC: dus (I. 8-)
50. MC = GI.
6°. Op de zelfde wyze: IH = CD:
dus is in AAGFI en MAC, GF = MA: FI = AC
(bereid) : en GI — M C N». dus
7°. L GFI = L MAC (I. ra:) en op de zelfde wyze
MFH = L CAD.
Bb 5 I. GE-



394 XL Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
I. gevolg.
Hier uit blykt, dat, om in een gegeeven ftip A van eene gegeeven lyn A M, eenen lichaamlyken hoek gelyk aan eenen lichaamlyken F te maaken, men niets te doen heeft, dan uit I de loodlyn IL te laaten vallen, FL te trekken, vervol» gens L MAD = L GFH, MA = GF, AD = FH, L MAE = L GFL, AE = FL te maaken: uit E, EC loodrecht op het vlak MAD te richten : EC gelyk aan LI te maaken , en dan A C te trekken: de vlakken die langs MA en AC, en langs CA en AD gaan, zullen met het vlak MAD in A eenen lichaamlyken hoek maaken gelyk aan den gegeeven lichaamlyken hoek F. eucl. XI. 26,
II. gevolg.
Het omgekeerde van dit Voorftel, waar van de waarheid in het oog loopt, levert de 35 propofitie van eucltdes XI. Boek op: namelyk: „indien twee vlakke hoeken, GFEJ, „ MAD, ondeiling gelyk zyn, en men uit de toppen F en ,, A twee rechte iynen FI, AC, in een ander vlak trekt,
welke met de zyden der gegeeven hoeken, hoeken maa„ ken die onderling gelyk zyn : namentlyk I MAC = „ LGFI: L CAD = LIFH: en men uit eenige Hippen „ C en I in die lynen, op de vlakken der gegeevene hoeken
MAD, GFH loodlynen CE, IL laat vallen, en de ftip„ pen daar die loodlynen vallen met de toppen dier hoeken „ door lynen (EA, LF) vereenigt: zullen de hoeken E AC, „ LFI,welke die lynen met de gemelde loodlynen maaken, „ onderling gelyk zyn."
V. voorstel. Fig. I07.
Indien men een parallelopipedum (AE)deelt door een vlak dat door de diagonalen der tegenover elkander ftaande parallelogrammen (BD en GF) gaat; zal het zelve in twee gelyke en gelykvormige deelen verdeeld worden.
EUCL.



IJfd. Over de Parallelop^Prismas, en Pyramiden. 395
2ucl, XL 28.
bewys. Uit 1, 19. en het I. Gevolg van de VI. Bapaaling.
I. GEVOLG;
De twee deelen waar in het parallelopipedum op die wyze verdeeld word zyn driehoekige primas, of zuilen. (VIII. Bepaaling.)
II. GEVOLG.
Dus is een driehoekig prisma de helft van een parallelopipedum, wiens grondvlak het aangevulde parallelogram van het grondvlak van het prisma is, en wiens zyden de parallelogrammen zyn van het prisma, welke op de zyden van deszelfs grondvlak ftaan, en de zelfde ftelling op het grondvlak hebben.
III. GEVOLG.
Indien men de diagonaal BF van dit vlak BDGF trekt, kan men dezelve als de diagonaal van het parallelopipedum aanzien : zo als ook de lyn van den hoek C tot dtn hoek H of van A tot E getrokken, diagonaal zyn zoude: en het is niet minder klaarblykelyk, dat alle die diagonaalen zich in één ftip ontmoeten , en zich aldaar in twee gelyke deelen fnyden: gelyk ook, indien men, zo als in Figuur 120, vlakken PVXM, aUTI, KRWY6 door het midden der tegen over elkander (taande zyden liet gaan, de gemeene fneeden dier vlakken en de diagonaalen zich onderling in het gemelde ftip in twee gelyke deelen fnyden zouden. eucl. XI. 39>
VI. VOORSTEL. Fig. II5.
Indien een parallelopipedum (BF), door een vlak (GC) gefneeden wordt dat evenwydig is aan de tegen over elkander ftaande vlakken (BH , LM) zul-
ien



396 XL Boek: Over de lichaamiyke Figuuren;
len de deelen (BG, GD) tot elkander ftaan zo als hunne grondvlakken (IG, GM.)
eucl. XI. 25.
bereiding. Men verlenge de lyn HG F, I NM weder. 3yds: en neerne in dezelven een gelyk getal deelen, ieder gelyk a*an H G aan den eenen en ieder gelyk aan G F aan den anderen kant : Men volmaake de pr-1 PH, UQ_ enz., FE, Ec enz. zoals ook de lichaamen MH, RQ, FV , Vc enz. welke alle gelyke parallelopipeda zyn zullen (7 en 5 Bepaaling) en allen flechts als 't ware de verlenging van het gegeeven parallelopipedum uitmaaken. bewys. Uit het 3. Voorftel van het III. Boek. aanmerking. Het is volftrekt het zelfde bewys als dat van het VI. Voorftel van het IV. Boek: en men ziet dat beide de Voordellen ook van den zelfden aart zyn. Zy hebben het zelfde onderwerp, doch het eene dient voor de driehoeken of parallelogrammen, het andere voor de parallelopipeda.
VII. voorstel. Fig. 116. 117.
Parallelopipeda (M B, N E) die op het zelfde grondvlak ftaan, (KLMN) en de zelfde hoogte hebben, en dus tusfchen de zelfde evenwydigé vlakken begreepen zyn, zyn gelyk.
eucl. XI. 29. 3p. — S. p. 364. pr. 2. I. geval. Fig. 116- Wanneer de parallelogrammen AHMN en NIFM, zo als ook de parallelogrammen BDLK en KCEL van de beide parallelopipeda in dezelfde vlakken ftaan: en alleen de parallelogrammen ICKN en ABKN, EFLMenHDLMin verfchillende vlakken zyn. bewys. Men bewyst eerst dat het prisma ABCINK en het prisma HDEFMLgelyk zyn, om dat zy uit gelyke en op dezelfde wyze geplaatfte vlakken beftaan: het geen uit II, 1 beweezen wordt: en dan wordt het Voorftel op. gemaakt met van die gelyke prismas een gemeen ftuk H D
CIOP



I, Afd. Over de Parallelop jPrismas, en Pyramiden. 397
CIOP afteneemen, en er een gemeen ftuk LMNKPO by te voegen.
II. geval.- Fig. 117. Wanneer niet alleen de r—1 r~\ 1C K N en F E L M in andere vlakken ftaan dan de pp ABKN en HDLM, maar ook de Q Q NI FM en K C E L in andere vlakken ftaan dan deooAtlMNen BDLK: zo dat het parallelopipedum NE ten opzichte van het parallelopipedium MB, aan beide kanten helt. bereiding. Men verlengt de lynen EC, FI, AB, HD, zo dat zy zich in P, Q, R, O fnyden: waar door een pa. rallelopipedum POR LM ON gebooren wordt, dat met betrekking zo wel tot het parallelopipedum MB , als tot het parallelopipedum N E, in het eerfte geval ftaat. bewys. Uit het eerfte geval.
I. aanmerking. De reeden van de gevolgtrekking en dus in bet Voorftel vermeld, blykt uit X, 7. het I. Gevolg en X, Bepaaling van dit Boek.
II. aanmerking. Men ziet dat het bewys van het eerfte geval juist bet zelfde is en op de zelfde gronden fteunt als dat van het I. Voorftel van het II. Boek , behalven dat hier van parallelopipeda, daar van parallelogrammen gefprooken wordt.
GEVOLG.
Dus is een feheefhoekig parallelopipedum gelyk aan een rechthoekig , dat op het zelfde grondvlak ftaat, en de zelfde hoogte heeft: en dus zullen in dit parallelopipedum de zyden van de parallelogrammen , welke rechthoekig op het grondvlak ftaan, gelyk zyn aan de hoogte van dat feheefhoekig parallelopipedum: dat is aan de loodlyn die .tusfchen het grondvlak en de bovenfte oppervlakte der beide paralklopipeda begreepen is.
VIII. VOORSTEL. Fig. Il8,
Paralklopipeda die op gelyke grondvlakken (EG,
en



398 XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
en AO,) ftaan en gelyke hoogte hebben, zyn gelyk
aan elkander.
eucl. XI. 31. — S. p. 364. pr. 2. bereiding. i°. Men verlenge FG zo dat GM gelyk zy aan de grondlyn van het paralklogram A O. 2°. Stel op GM het a G K = en t-^ □ A O: trek door M, PMQ en voltooi de GP, LM.
dan is o LM = □ GK — CD AO. 3°. Men ftelle dat er op GK een parallelopipedum ftaa gelyk en gelykvormig aan het parallelopipedum op A O: en dus van de zelfde hoogte als het parallelopipedum op E G: en dat er insgelyks op LM en G Pparallelopipeda van de zelfde hoogte zyn, en waar van de opftaande parallelogrammen volgens de lynen CGL, PMQ, CP en LQ ftaan. bewys. Uit het VI. Voorftel, eerst voor de parallelopipeda op EG en op CM, dan voor de parallelopipeda op CM en LM genomen: dan uit HL n: en III. o: en uit het VI. Voorftel van dit Boek.
GEVOLG.
Een parallelopipedum , is altoos gelyk aan een rechthoekig parallelopipedum dat op een gelyk grondvlak ftaat, en de zelfde hoogte heeft. Zo dat de maat van alle parallelopipeda hoe genaamd herleid wordt tot die van een rechthoekig parallelopipedum, waarvan het grondvlak gelyk is aan het grondvlak van het gegeeven parallelopipedum, en de zyde der rechtopftaande parallelogrammen de hoogte van het gegeeven parallelopipedum is.,
IX. VOORSTEL. Fig. Il8.
Parallelopipeda die de zelfde hoogte hebben, ftaan in de zelfde reeden als hunne grondvlakken. ewcl. XI. 32. — St. p. 306. pr. 4.



/• Jfd. Over de Parallelop., Prismas, en Pyramiden. 399
bereiding. Deeze is de zelfde als voor het VIII. Voorft. bewys. Uit het VIII. Voorft. VI. Voorftel, twee maai gebruikt: en uit III, n.
X. VOORSTEL. Fig. 119.
Parallelopida (A en B) die op gelyke grondvlakken ftaan, zyn onderling in de zelfde reeden als hunne hoogten.
S. p. 367' pr- 5 bereiding. Zy de rechthoek K E LI gelyk aan het grondvlak van het parallelopipedum A: en dus ook van het pa» rallelopipedum B: en de lyn AI, die loodrecht op het vlak IE ftaat, gelyk aan de hoogte van A. Men voltooij'e de rechthoeken AK, AL, DE, BE, op dat er het paral, lelopipedum AE ontdaan zoude.
Men verlenge AI en maake IH gelyk aan de hoogte van het parallelopipedum B, men voltooije de rechthoeken KH, HL, LF, FK op dat het parallelopipedum IG er uit ontftaan zoude
bewys. Parallel op. AE: parallel op. Iq —
{3AK : EJIM. — VI. Voorftel.
D AK: D IM = AI: IH: IV. 1.
dus parallel op AE:parallel op IG — AI: IH: (III. ir.)
Maar parallel op AE = parallel. A^ Gevolg van het
en parall op IG = parallel. BJ VIL Voorft. dus parallelop. A: parallelop. B = AI: IH.
XI. voorstel. Fig. 119. Verfchillende parallelopipeda ftaan tot elkander in famengeftelde reeden van de grondvlakken en de hoogten.
S. p. 366. pr. 3. bereiding. Men ftelle dat de rechthoekige parallelopipeda AG, en Z. beide gelyk zyn aan de gegeeven: (VII. Voorftel, Gevolg) dat is dat de rechthoeken HF en NO
ge-



4co XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuur'en.
gelyk zyn aan derzelver grondvlakken: en AH, en PN aan derzelver hoogten.
Men neeme op AH, Hl — PN: en ftelle dat door 1 het vlak I KEL evenwydig aan HF en du? aan B D gaat. bewys. Uit het IX. en X. Voorftel en III. 10. en het IV. Axioma.
I. aanmerking. Het IX. en X. Voorftel zyn byzondere gevallen van dit: doch dit kan niet beweezen worden zonder dat de beide voorgaanden het zyn. Wy hebben rttds te vooren meer dan een dergelyke voorbeelden ontmoet, inzonderheid in het VII. Voorftel van het IV. Boek, dat juist het zelfde is als dit behalven dat daar van paralielogrammen en dus van grondlynen , hier van parallelopipeda en dus van grondvlakken gefproken wordt.
I. GEVOLG.
Indien verfchillende parallelopipeda gelyk zyn, ftaan derzelver hoogten in omgekeerde reeden van de grondvlakken.
eucl. XI, 34. — S. p. 367. pr. 6.
II. aanmerking, euclides bewyst dit rechtftreeks , byna op de zelfde wyze als de 23. propofitie van zyn VI. Boek, zo als wy het in IV. 7, Aanm. gezegd hebben: hy maakt eene dergelyke bereiding als wy gemaakt hebben: 'er zy dan een parallelopipedum Q, gelyk aan het parallelopipedum AF waar van g het grondvlak, h de hoogte is ,• en zy in het ander parallelopidum IF, IH — h: dat is parallelop. lF:Q = HF:g:of
parallelop. IF: parallelop. AF z= HF: g: maar parallelop. IF: parallelop. AF — IM:AM —IH:AH dus HF: g = IH: AH.
II. GEVOLG.
Indien het grondvlak HF tot het grondvlak NO (laat zo als m x « : i : en indien de hoogte van het
pa-



ï. Jfd. Over de Parallelop., Prismas, en Pyramiden. 401
parallelopipedum AFj h maaien de hoogte van het parallelopipedum Z bevat: heeft men parallelopipedum AF: parallelopip. Z = nXB x i: 1 en dus (III, 9) indien men het parallelopipedum Z voor de eenheid aanneemt, of voor de gemeene maat, is het getal, dat den inhoud van het parallelopipedum A F uitdrukt, gelyk aan m xn x h: dat is, het parallelopipedum AF zal zo veele parallelopipeda gelyk aan 2 bevatten, als er eenheeden zyn in het getal m X n x h
Men neemt doorgaans tot paralleiopipedum Z, dat tot maat dient , of voor eenheid gebruikt wordt, hiet alleen een rechthoekig parallelopipedum, waar van de reeden uit het gevolg van het VIII. Voorftel blykt; maar zodanig een, waarin tevens de zyden van het grondvlak onderling gelyk zyn, dat is, welks grondvlak een vierkant is , waarvan de reeden uit het 7de Gevolg van IV, 7, genoegzaam blykc, en welks hoogte gelyk is aan de zyde van het grondvlak: dat is, men neemt voor de maat van alle parallelopipeda, voor de eenheid om derzelver lichaamlyken inhoud te meeten, een' Cubus waarvan de zyde die eenheid is welke tot het meeten der zyden AH» HG, GF gebruikt wordt: byv. één duim, één v'oet, ééne roede enz. en men noemt dien Cubus de Cübïekétenheid, om dezelve te onderfcheiden zo wel van de lengte» eenheid die ter meeting van afftanden of lengtéji dient, als van de vierkante' éénheid die ter meeting van vlakke figuuren gebruikt wordt. Dus; indieri het parallelopipedum AF ïö voeten bedraagt, zal dit gétal 10 Cubieke voeten aanduiden: dat isj dat het gelyk is aan 10 Cubi wier zyden ieder éénen voet bedriagen;
Ce lil,. &t



40a XI. Eock: Over de lichaamiyke Figuuren.
III. gevolg.
Hier uit volgt dat enkele en Cubieke éénheden van verfchillende benaaming tot elkander ftaan als het getal on Jerdeelen, die de enkele éénheid bevat, tot denCubui of de derde magt van dat getal: dus behelst één voet 12 duimen, één vierkante voet 12 maal 12 of 144 vierkante duimen , en één cubieke voet, 12 maal 12 maal 12, of 1728 Cübleke duimen. Dit is het geen euclides in de 12. propofitie van zyn VIII. Boek bewyst: dat namelyk een Cubiek getal tot een Cubiek getal ftaat in de driedubbele reeden der zyden. II. aanmerking. Men ziet hieruit, hoe men met euclides (VII. bep. 17.) het product van drie getalen een Ihbaamlyk getal (numerus folidus~) noemen kan, waar van de getalen die hetzelve voortbrengen de zyden zyn : dat lichaamiyke getalen in de famengeftelde reeden ftaan hunner wortelen: en dat gelykvormige lichaamiyke getalen zodanige zyn wier wortels evenreedig zyn. eucl. VII. bep. 21.
IV. gevolg.
Uit het tweede Gevolg blykt, hoe en in welke» zin men zeggen kan;
i°. Dat de vermenigvuldiging van drie lynen het rechthoekig parallelopipedum op dezelven gemaakt uitdrukt; en gevolglyk hoe eene reeden uit drie reedens famengefteid door het rechthoekig parallelopipedum van die lynen, welke de enkele reedens uitdrukken , en eene driedubbele reeden door den cubus op eene lyn, aangeweezen worden, en daarmeede overeenkomen.
20. Dat de inhoud van een parallelopipedum uitgedrukt kan worden door het product van het grondvlak vermenigvuldigd door de hoogte, en dat dit
over-



I./lfJ. Over deParallelop., Prismas,enPyra:niden. 403
overeenkomt met het Gevolg van ons VIII. Voor.
fteL
En insgelyks dat de inhoud van een Cubus uitgedrukt kan worden door de derde magt of den Cubus van deszelfs zyde.
Voor het overige kan men hierop de X. Aanmerking op het VII. Voorftel van het IV. Boek, (bl. 157) toepasfen.
V. GEVOLG.
Zo dan het getal eenheden , waar door de inhoud van eenen Cubus uitgedrukt wordt, geen Cubiek getal is, is de zyde van dien cubus altoos onmeetbaar met betrekking tot ds eenheid die de lengte meet.
VI. GEVOLG.
Indien men de inhouden van twee parallelopipeda door I en i, de grondvlakken door G en g , de hoogten door U en h uitdrukt, is ons Voorftel dit
1 : i = G X H : g x />: en dus
1". Zo het grondvlak onmeetbaar is tot het grondvlak, of de hoogte tot de hoogte, doch niet beiden te gelyk, zullen ook (III. Boek, XI. Bep. 1 Gev.) de inhouden len i onderling onmeetbaar zyn: dat is, geene lichaamiyke ruimte zal derzelver gemeene maat kunnen zyn.
20. Indien en hoogte en grondlyn van beide dé Parallelopipeda onderling onmeetbaar zyn, kan de reeden van de inhouden I en i meetbaar zyn.
Byv. indien men in fig. 75. ftelt dat p op AF: □ op BF = 15: yóo zo ijs wy te vooren IV, 7. IX Gev, N°. 4- op bl- 153. gezegd hebben: en men Op die beide vierkanten parallelopipeda ftelt waar van de hoogten zyn als V5 '• V3> en dus onderling onmeetbaar, zullen die pa, rallelopida tot elkander ftaan als 15 x V5 : VooXVs, of als 15X1/5: V180, of als 15 X Y5 : V36 X V 5 Cc 3 =3



4©4 XI. Boeki Over de lichaamiyke Figuuren*
— 15 : 6, en dus zyn de parallelopipeda onderling meet>
baar. /
3° Gubi zelf kunnen onderling onmeetbaar zyn : en dit heeft altoos plaats wanneer de lynen, op welke zy gefteld worden, onmeetbaar in lengte,doch meetbaar in macht zyn; by voorbeeld, de Gubi, welke op de diagonaal, en op de zyde van een vierkant gemaakt worden, zyn onderling onmeet* baar: doch Cubi zyn onderling meetbaar als zy gefteld wor» den op lynen die in lengte meerbaar zyn, of die aange weezeri
worden door getalen die y genoemd worden van een ge*
tal dat geen Cubiek getal is, zo als door j/2, of 1/3: enz.
XII. VOORSTEL.
Gelykvormige Parallelopipeda, zo als ook alle Cubi, ftaan tot elkander in driedubbele reeden hmv ner eveneensftaande zyden.
eucl, XI. 33. —• St. p. 369. pr. 7. jewys. Uit het XI. Voorftel, IV, is, enIII, tl, 14. aanmerking. Wy hebben in de Aanmerking op de 17de bep. van ons III. Boek gezegd dat die uitdrukking driedubbele reeden in den eerften opflag eene andere beteekenk by euclides fchynt te hebben dan by ons: en wy hebben in de Aanmerking op het XIV. Voorftel van dat zelfde boek getoond hoe beide de beteekenisfen in de daad over«enkomen. Volgens de beteekenis, door euclides aan het woord driedubbele reeden gegeeven, moet men bewyzen, dat de beide gegeeven parallelopipeda het eerfte-en het laatfte zyn van vier geduurig evenreedige parallelopipeda s «n dat boven dien dat eerfte en bet tweede in dezelfde reeden ftaan als de eveneensftaande zyden der twee gegeevene.
Men ftelle dat gegeeven zyn de twee gelykvormige paral» lelopipeda 5fi en en dat de twee lynen die de paralle* logrammen uitmaaken welke de gelykvormige grondvlakken zyn van' % en ®, uitgedrukt worden door a §n a, Js en At
da



1 Afd. Over de Parallelop., Prisma:, en Pyramiden. 405
en de zyde vaa het opftaande parallelogram in ieder door a en d: men ftelle twee andere parallelopipeda 33 en € beide gelykhoekig met % en dus ook met ©; laaten a, a, en d de ribben zyn van 25; en d, o, en d de ribben van C: dan hebben parallelopipeda 56 en 25 de zelfde hoogte, indien men de parallelogrammen uit a en a, 3 en d voor grondvlakken aanneemt.' insgelyks hebben de parallelopipeda 25 en ^ dezelfde hoogte, indien de parallelogrammen uit a en a , en uit a en d de grondvlakken zyn : en eindelyk hebben de parallelopipeda <j£ en 3£ de zelfde hoogte , zo men de parallelogrammen uit a en 4 en D en d voor grondvlakken aanziet: dus is door Voor. ftel XI. en IV, 15.
5$ : 25 =.CU uit 8 en 0: EZ3 uit 3 en ^ — a •" ^
25: C = □ uit a en a: C3 uit 8 en d = a : d
C: 53 = □ u't 8 en d : □ a en d = a : a
Maar omdat de parallelopipeda 51 en ® gelykvormig zyn, fa
(Bep. VI. Gev. 3.) a:d=a:d=5a:ö
en dus is 4: 56, 25. €, dus ook (III. 14.)
3J : © = 5fi' : 25' = a5 : ;== aJ : &': dat be-r
weezen moest worden,
I. GEVOLG.
Dus komt de cubus op eene lyn overeen met het geen men de derde magt van eene lyn noemen kan, dat is, met de derde magt van het getal dat de lengte van die lyn uitdrukt. Zie III. Boek, Bep. 4.: en het 4. Gevolg van het voorgaande Voorftel.
II. GEVOLG.
Indien vier lynen evenreedig zyn, zullen de gelykvormige parallelopipeda op dezelven gelykvormig gefteld , insgelyks evenreedig zyn, en omgekeerd» (Uit dit Voorftel en UI, 10, Gevolg 1.)
EUCL. XI. 37.
C C 3 III.



XL Boel: Over dc lichaamiyke Figuuren.
III. GEVOLG.
Uit dit Voorftel, vergeleeken rnet het 2 en 3de Gevolg Van het XI. Voorftel, blykt, in welken zin euclides heeft kunnen zeggen in de 19de. propofitie van zyn VIII. Boek, „ dat gelykvormige lichaamiyke getalen in de driedubbele
reeden ftaan hunner eveneensftaande zyden, en prop. 27 „ dat zy ftaan als een Cubiek getal tot een Cubiek getal."
IV. GEVOLG.
Zo drie lyneri geduurig evenreedig zyn , is het parallelopipedum , dat uit die drie lynen gemaakt wordt, gelyk aan hetgetykzydig parallelopipedum dat uit de middelfte gemaakt ■wordt, en gelykhoekig is met het eerstgemelde: en dus is ook de Cubus op de middelfte lyn gelyk aan het rechthoekig parallelopipedum uit de drie lynen famengefteld. eucl. XI. 36. — S. p. 372. pr- 9'
V. GEVOLG.
Indien vier lynen geduurig evenreedig zyn , ftaan de Cubus op de eerfte tot die op de tweede, zo als de eerfte lyn tot de laatfte: (Uit dit Voorftel en IH., 14) I. aanmerking. Hier uit blykt in welken zin euclides heeft kunnen zeggen (VIII. Boek, 19 en 21 prop.) „ dat er ,, tusfchen twee gelykvormige lichaamiyke getalen twee „ middelevenredigen vallen: en omgekeerd , dat, indien 'er „ tusfchen twee getalen twee middelevenreedige vallen, „ die getalen gelykvormige lichaamiyke getalen zyn. Ü. aanmerking. Hier uit volgt verder dat het vermaarde vraagftuk om eeh' cubus te vinden welke het dubbeld zy vaneenen gegeeven cubus, op dit vraagftuk uitkomt, twee middelevenredigen te vinden tusfchen twee lynen waaf van de tweede het dubbeld is van de eerfte: een vraagftuk hét welk buiten de paaien van de Meetkunde, in den ftrikiften zin der ouden genomen, gefteld is. Zie de Aanmerking op het XX. Werkftuk van ons I. Boek.
XIÏÏ. VOORSTEL» Fig. 120.
kdien iiïen feene lyn (AC*) in twee deelen (AI,
IG)



I.Afd. Over de Parallelop.. Prismas, en Pyramiden, 407
IG) naar willekeur verdeelt, zal de cubus op de geheele ,lyn gemaakt gelyk zyn aan de fom van de cubi van ieder deel, en van het drievoud der parallelopipeda uit het vierkant van ieder deel, en liet ander deel gevcrmd.
Dat is, indien a en & de deelen van de lyn zyn, is cubus op a + b zz
Cubus op a + Cub. op b: 4. 3 parallelopip. uit □ op a en b: +3 parallelopip. uit □ op b en a
bewys. Zy AF het vierkant op de lyn AG, en AZ de Cubus. Men neemt GX = GI: en trekke IT en XM. Dan zal het vierkant AF in vier deelen gedeeld zyn, namelyk in
10. O HL = hetQ op AI:
20. q AL —■ (—} LF — rechth. uit AI en IG:
30. in □ IX ZZ het Q op J G: Zie II. B. het 2. Voorft.
Indien men dan door IT en MX twee rechthoekige vlakken IaüT, XM PV laat gaan, die elkander in Q L fnyden; wordt de Cubus in vier parallelopipeda verdeeld, welke alle de hoogte van den Cubus hebben, en tot grondvlakken de gemelde vier deelen van het grondvlak.
Eindelyk, indien mea AK —AI ftelt, en door K een vlak KPvWfc laat gaan, evenwydig aan het grondvlak, dat de gemelde twee loodrechte vlakken in NY en Sx fnydt, wordt ieder van die vier parallelopipeda weder in twee parallelopipeda verdeeld, die ieder het zelfde grondvlak, doch waar van de eene de hoogte A K ss Al, de andere de hoogte BK = IG hebben zal: en dus, heeft men de acht volgende deelen van den Cubus: 1°. Parallelopipedum MS, uit CU HL, en hoogte NM of A K: dat is Cubus op AI.
20. Parallelopipedum NU, uit a HL en hoogte NP of BK = 1G : dat is parallelopipedum uit □ AI en hoogte IG. 3°. Parallelopipedum KL uit o AL, en hoogte KA of Cc 4 AI:



ïoS X7. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
AI: of uit o K s IA en hoogte IL = IG : dat is uit □ AI en hoogte IG.
A". Parallelopipedum K Q uit tj K O of A L en hoogte BK of IG: of uit □ aQOs en hoogte Ks of AI, dat is uit □ IG en hoogte AI.
5°. Parallelop. OG, uit O IX en hoogte Is = AI of uit □ IG en hoogte AL
6". Parallelop. s V, uit Q sY en hoogt ra: dat is Cubus op IG.
7°. Parallelop. LW, uit E3 TX en hoogte WE: of uit £□ XW en hoogte LX: dat is uit □ AI en hoogte 1 G. 8°. Parallelop. OZ, uit p3 O W" en hoogte ZW: of uit pUWen hoogt Y W, dat is uit □ op IG en hqogte AI.
Nu de fom van alle deeze deelen in de volgende orde neemende N°. i, N°. 2, 3, 7: N». 4, 5, g: en N?, 6, krygt men
Cubus op AG, of op (AI 4. IG) =3
Cub. op AI 4. 3 parallelop. van □ uit A I en IG 4.
3 Parallelopip. van Q uit IG en AI 4. Cub. op IG. of
in het algemeen
Cubus op a 4- b — Cub. op a ■+■ 3 parallelopip. uit a\ en b 3 parallelop. uit l* en a -+- Cub. uit b.
L GEVOLG.
Indien de lyn in twee gelyke deelen gefneeden is * 2al de Cubus uit acht gelyke Cubi, ieder op de haive!yn gemaakt, beftaan.
II. GEVOLG. Daar de derde magt van een getal den inhoud uitdrukt van ?erien cubus'op de lyn, wier lengte dpor dat getal aangeduid? wordt, gefield: en het producT: van een vierkant getal door een enkel getal den inhoud tc kennen geef: van een paral'ak'opjpcdym gevormd utt een vierkant en eene lyn wier, inteó'ud fa lerwe dooi- die getalen aangeduid worden, Vólgt



J..AJ4 Over de Parallelop,, Prlsmas, en Pyramidw. 409
het dat dit Voordel het middel opgetft oin den Cubick-wci' tel uit een getal te trekken : want men zal hebben. ïT+b1 = o' -t- 3 ar b .+. 3 ai^-l-i3: en 7~+~b 4. c3 = (a^ï 4- e)3 3? « + i>5-4-3(« + &)* » 4- 3 Ca 4 *0 £l ■+■ c' =
„! 4. 3 a2 i 4- 3 a iiJ -I- + 3 (a+i)2 £ + 34 +1 ."- ■+- c>
het geen juist den regel oplevert, dien men in de bewer« king volgt.
aanmerking. Indien men nu den Cubus zeiven moest jnaaken, of alle de deelen waaruit hy beftaan zal aanduiden, zou men hebben: Cubus uit (a ■+• b -t- c) ~ Cub. op 0 •+• Cubus op 6 -+■ Cubus op e 3 paraip. uit s* en 6 -I- 3 uit az en c
3 uit t! ena + 3 uit bl en c
3 — uit cs en a + 3 uit c* en 6 6 paralp. uit a, £>, en c
XIV. voorstel. Fig. 107.
Een driekantig prisma, of zuil CH A B D FG) is d© helft van eenig parallelopipedum , dat de zelfde hoogte heeft, en op het parallelogram ftaat dat het aanvulfel is van het driehoekig grondvlak van dat prisma.
bewys. üit het a. Gevolg van het V, en uit het VIL
Voorftel.
gevolg.
Dus is ook een driehoekig prisma gelyk aan een rechthoekig parallelopipedum, dat de zelfde hoogte heeft, en wiens grondvlak een rechthoek is gelyk aars «jen driehoek, grondvlak van het prisma.
XV. voorstel.
Ken prisma, het zy driekantig, het zy veelkantig,
Cc §



4*0 XL Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
is altoos gelyk aan een rechthoekig parallelopipedum, waar van de hoogte die van het prisma, en het grondvlak een rechthoek is gelyk aan den veelhoek die het grondvlak is van het prisma.
bewys. Uit het 4. Gevolg van de IX. bepaaling, en het
gevolg van het XIV. Voorftel.
I. aanmerking. Wy neemen hier het woord grondvlak va» het prisma in den zin dien wy 'er aan gehecht hebben in de IX. Bepaaling: anders immers zoude dit Voorftel met het 40 van het XI. Boek van euclides fchynen te ftryden; het zelve luidt dus:
„Indien twee prismas even hoog zyn en het een eenen „ driehoek, hec ander een parallelogram tot grondvlak „ heeft, en het parallelogram het dubbeld is van den drie■„ hoek, zyn die prismas gelyk." Want dan ftelt men dat In het tweede geval, daar een parallelogram>het grondvlak is, de opftaande zyden driehoeken zyn: en dan komt het Voorftel in de daad , hoe wel het in woorden verfchilt, met het onze overéén : beide de prismas immer zyn in dat geval de helft van parallelopipeda die gelyke grondvlakken , en de zelfde hoogte hebben, whiston en clavius fchynen de mindere gefchiktheid van de uitdrukking van euclides gemerkt te hebben: want de eerstgemelde herinnert, in zyne aanmerkingen over deeze plaats van den euclides van tacquet, dat deeze beide gegeeven driekantiga zuilen de helft zyn van gelyke parallelopipeda door diagonaalen verdeeld: doch met dit onderfcheid dat de deeling in het eene door de diagonaal van het grondvlak gefchied , en niet in het andere: en clavius merkt aan dat dit voorftel alleen geldt voor prismas waar in twee tegen over elkander geftelde grondvlakken driehoeken zyn.
GEVOLG.
De inhoud van de prismas wordt tot dien van de parallelopipeda gebragt.
II. aanmerking. Het blykt uit het II. en IV. Gevolg op het
XI.



I.Jfd. Over de Parallehp^Prismas, en Pyramiden. 411
XL Voorftel, in welken zin men het gezegde van veelen te verftaan hebben dat de inhoud van een prisma gelyk is aan het grondvlak door de hoogte vermenigvuldigd. St. p. 361. Gevolg.
XVI. voorstel.
Verfchillende prisma ftaan tot elkander in famengeftelde reeden van hunne hoogte en grondvlakken. bewys. Uit het Gevolg van het voorgaande Voorftel: en het XL Voorftel.
I. gevolo.
Dus zyn de prismas die de zelfde hoogte en de zelfde of gelyke grondvlakken hebben, gelyk:
II. gevolg.
Dus zyn de grondvlakken en hoogten van gelyke prismas in omgekeerde reeden van eikander: en omgekeerd.
III. gevolg.
Dus zyn prisma op gelyke grondvlakken ftaande zo als derzelver hoogten : en die op gelyke hoogten zo als derzelver grondvlakken.
IV. gevolg.
Gelykvormige Prismas zyn in driedubbelde reeden hunne?! eveneensftaande zyden. (9 bep. 5. Gevolg ) St. p. 372. pr. 10.
XVII. voorstel.
De oppervlakte van een rechthoekig prisma is, indien men de grondvlakken uitzonderd, gelyk aan eenen rechthoek waarvan de grondlyn de omtrek is van het grondvlak van het prisma, en de hoogte de zyde van de opftaande rechthoeken, waaruit het prisma gevormd is.
BE»



4t2 XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren,
4ewys. Uit het 3. Gev, van de VIII. Bepaaling: en II., ï, het 3. Gevolg.
XVIII. voorstel. Fig. in.
Indien men eene pyramide of naald, (CDBAD) door een vlak (GFE) fnydt dat evenwydig is aan het grondvlak: zal de fneede aan het grondvlak gelykvormig zyn, en tot hetzelve liaan, zo als het vierkant van haaren afftand van den top tot het vier* kant van den afftand des grondvlaks.
bewys, IV., 1 - 511. Axioma 5, IV. 4. en IV. 13.
gevolg.
Indien men dan twee even hooge pyramiden door het zelfde vlak, dat aan de grondvlakken evenwydig is, fnydt, en dus op den zelfden afftand van de groadvlakkën, zullen de fneeden tot elkander ftaan als dq grondvlakken zelve. St. p. 374- pr- 12.
XIX. voorstel. Fig. 121.
Indien men alle de ribben (AB, AC, AD, DB» PC, CD,) van eene driekantige pyramide in twee gelyke deelen fnydt, en vlakken (GFE , FHIE, EKI,) door de tegenovergeftelde ftippen van fnyding laat gaan ; zullen deeze de pyramide verdeelen ia twee gelyke en gelykvormige driekantige pyramiden, (EFGAF: CKIEK) en in twee gelyke prismas, (G E F H BI: D H F EIK) doch die te famen genomen grooter zyn dan de helft van de geheele pyramide. eucl. XII. 3,
sewys. voor het I, uit de IV. Bepaaling: voor het II, uit het XV. Voorftel: II, 6. Cor. 1. aanmerking. De twee gemelde piisma's zyn te fameji $iet alleen, grooter dan de helft van de gegeeven pyram",*
de^



1. Afd. Over de Parallelop, Prismas, en Pyramiden. 413
de, 't welk het eenige is dat euclides 'er van zegt: maar zy zyn 'er juist de drie vierde gedeelten van: doch dit kan niét beweezen worden, dan na dat het derde Gevolg van het XXV. Voorftel beweezen Zal zyn. Zie dus-de Aanmerking op dat Gevolg.
XX. VOORSTEL. Fig. 121, 122.
Indien men twee driekantige pyramiden, die de zelfde hoogte hebben, volgens het voorgaande Voorftel ieder in twee prismas (GE H, FED en M NP, QNU) en in twee pyramiden (AGEF, IECKen LNQM, NSTR) deelt: en ieder dier pyramiden wederom op de zei fde wyze: en ieder de pyramiden, welke uit die deeling gebooren worden wederom op de zelfde wyze, en zo voorts, zo ver men wil: zal de fom van alle de prismas, door die herhaalde deelingen in eene der gegeeven pyramiden gebooren, ftaan tot de fom van alle de prismas in de andere pyramide, zo als het grondvlak (BCD) van de eerstgemelde, tot het grondvlak (O S O) van de laatstgemelde. eucl. XII. 4.
sewïs. Uit het XVI. Voorftel, 3- Gevolg : IV., 2; III,? 12, en axioma 4.
XXI. voorstel. Fig. lét.
Indien men eene driekantige pyramide, volgens het voorgaande Voorftel, in prismas en pyramiden verdeelt, zo ver men wil: zal de gegeeven pyramide de limiet zyn van de fom van alle de prismas door die herhaalde verdeeling gebooren: dat is, de laatfte reeden van de pyramide en de fom dier prismas is eene reeden van gelykheid.
bewys. Uit het XIX. Voorftel: en het L en II. Voorftel
van het VII. Doek.
XXII. VOOR-



414 XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
XXII. voorstel. Fig. 121, 122.
Twee driehoekige pyramiden, die even hoog zyn, ftaan in de zelfde reeden als haare gronvlakken. eucl. XII. 5.
bereiding. Men verdeele dezelven volgens het XX. Voorftel.
bewys. Daar de gegeeven pyramides even hoog zyn, is het getal van prismas die uit de gemelde verdeeling gebooren worden, in beiden het zelfde.
Maar, de prismas, in iedere verdeeling, ftaan onderling zo als hunne grondvlakken, (XVI. Voorftel, Gev. 3 ) en die grondvlakken zyn zo als de grondvlakken der gegeeven pyramiden. (IV., 2.)
Dus ftaan de prismas, in iedere verdeeling, zo als de grondvlakken der gegeeven pyramiden. (III., Axioma 5.)
Dus ftaan de fommen van alle de prismas in iedere pyramide zo als de grondvlakken van die pyramiden. (III, 12.)
Maar, de pyramiden zyn de limieten van die fommen, (XXI. Voorftel.)
Dus ftaan de pyramiden onderling in de zelfde reeden als haare grondvlakken. (VII. 6.)
XXIII. voorstel.
Twee verfchillende pyramiden, hoe ook genaamd, die de zelfde hoogte hebben, ftaan tot elkander zo als haare grondvlakken, eucl. XII. 6.
bereiding. Men onderftelle dat die veelkantige pyramiden ieder in driehoekigen verdeeld zyn, volgens het 2 Gev. van de IX. Bepaaling.
bewys. Uit het XXII. Voorft.: en III, 8. 12. en Axioma 5, 4 XXIV. voorstel. Fig. 124.
Een driekantig prisma kan in drie driekantige gelyke pyramiden verdeeld worden.
eucl,



!• Afd. Over de Parallelop., Prismas, en Pyramiden. 415
jscul. XII. 7. —— S. p. 377. pr. 14. bereiding. Men trekke de diagonalen BF, BD en FC: i". dan zullen de driehoeken FBE en EBD met FED ds pyramide DFB E maaken. men laate vervolgens
20. een vlak gaan langs BF en FC: dit maakt mee ABC, ABF en ACF de pyramide BAFC 3°. de driehoeken FBC, FCD, BCD en FBD, maaken de pyramide FBDCB.
BEwrs. De 1. en 2. pyramide zyn onderling gelyk uit het XXII. Voorftel.
De 2. en 3. om dat zy beiden de helft van eene pyramide zyn, die de zelfde hoogte, doch het CD ACDF tot grondvlak, en dus een dubbeld grondvlak, zoude hebben. GEVOLG.
Eene driekantige pyramide is dus het derde gedeelte van een driekantig prisma, dat op het zelfde driehoekige grondvlak, en onder de zelfde hoogte ftaat.
XXV. VOORSTEL.
Eene pyramide, welke ook haar grondvlak Zyn moge, is altoos het derde gedeelte van het prisma dat op het zelfde grondvlak en onder de zelfde hoogte ftaat.
bewys. Uit het 4. Gev, van de IX. Bepaling en het XXIV. Voorftel.
I. GEVOLG.
Hier uit, en uit het XV. Voorftel, blykt, dat men den inhoud van pyramides tot dien van prismas, en daardoor tot dien van een parallelopipedum herleidt. Eene pyramide namelyk is gelyk aan het derde gedeelte van een rechthoekig parallelopipedum , dat de zelfde hoogte heeft, en waar van het grondvlak ,
dat



416 XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
dat een rechthoekig parallelogram is* gelyk is aari den veelhoek die het grondvlak is van de pyramide^
II. GEVOLG.
Hieruit en uit het 4. Gev. van het XI. Voorftel, volgt verder. in welken zin men het gezegde van veelen verftaan moet dat de inhoud van eene pyramide gelyk is aan het grondvlak door het derde gedeelte' van de hoogte vermeenigvuldigd. St. p. 379- pr. 15. — P- 381.
III. GEVOLG.
Verfchillende pyramiden ftaan dus tot elkander iri famengeftelde reeden van haare grondvlakken en vari haare hoogten. aanmerking. Wy hebben in de Aanmerking op het XIXi Voorftel gezegd , dat de twee prismas waar van in dat Voorftel gefpröken wordt, te zamen drie vierde gedeelten van de geheele pyramide uitmaaken: en in de daad, de grondvlakken der beide pyi'amides liaan ieder tot die van de groote pyramide als r: 4 (IV., 14) de hoogten zyn als 1 : 2: dus is ieder kleine pyramide tot dé groote als r : 8: en beiden te famen zyn zy het vierde gedeelte van de geheele pyramide: dus zyn de twee priw mas de drie vierde gedeelten van dezelve.
IV. GEVOLG.
Hier uit volgt i°, dat, wanneer pyramiden gélyfe zyn, haare hoogten ia omgekeerde reden ftaan va« haare grondvlakken: en omgekeerd* eucl. XII. 9.
V. GEVOLG.
aS. Dat pyramiden die gelyke grondvlakken hebben in de zelfde reeden ftaan als haare hoogten: en omèekeerd.
* VI. Güi*



I. Afd. Over de Parallelop., Prismas, en Pyramiden. 417
VI. GEVOLG.
En eindelyk dat gelykvormige pyramiden in driedubbele reeden van h^are eveneensgeplaatfte zyden Haan.
eucl. XII. 8. —- S. p. 3B7. pr. 20., Gev. 2.
VII. gevolg.
Uit het eerfte Gevolg blykt, dat indien men op het grondvlak van een' cubus eene regelmatige pyramide ftelt, die de hoogte van den cubus heeft , en wier top dus op het midden van de bovenfte oppervlakte van den cubus komt, die pyramide het derde gedeelte van den Cubus zyn zal.
Indien men verder vier vlakken laat gaan, ieder langs eene ribbe van de pyramide, en de tegenoverftaande Loodrechte ribbe van den cubus zullen er vier gelyke en gelykvormige pyramiden geboren worden , die ieder een vierkant, (zyde van den cubus) tot grondvlak, en de halve hoogte van den cubus tot hoogte zullen hebben, en dus ieder de helft van de eerstgemelde en middelfte pyramide zyn zullen, en gevolglyk het zesde gedeelte van den cubus.
Dus wordt een cubus in vyf vierkantige pyramiden gedeeld , waarvan 'er vier gelyk en gelykvormig zyn, en de vyfde het dubbeld van iedere der vier overigen is.
VIII. gevolg.
Hier uit volgt dat men ook den inhoud van eene geknotte pyramide vindt, door het verfchil tusfchen de geheele pyramide en het afgeknotte ftuk, dat ook eene pyramide is, te neemen.
XXVI. voorstel. Fig. 109.
De oppervlakte van eene regelmatige pyramide is, (het grondvlak niet meede gereekend zynde), gelyk aan den inhoud van eenen driehoek, wiens grondlyn gtlyk is aan den omtrek van het grondvlak der pyramide, *n wiens hoogte de Dd lood-



4-i8 XL Boek: Over de lichaamiyke Figuuren,
loodlyn is uit den top op de grondlyn van eene der zyden nedergelaaten.
bewys. Uit het i. en 3. Gevolg van 'de VIII. Bepaling: XXVII. voorstel. Fig. 123.
Indien men zyde BA van eene pyramide in gelyke deelen Vo, nB, enz. verdeelt, en men op het grondvlak BCD, ,een prisma ftelt, CDB mni&ln, dat de hoogte nB hebbe, en insgelyks op het bovenlte vlak nml, dat door de zyden van de pyramide bepaald is, wederom een nieuw prisma van de zelfde hoogte ; en op het bovenfte vlak van dat prisma wederom een ander , en zo voorts: is de pyramide de limiet van de fom van alle die prismas: en de uiterfte reeden van de fom van alle die prismas tot de pyramide is eene reeden van gelykheid.
bewys. De overmaat van alle de prismas boven de pyramide is de fom van alle de prismas CDmikl, qptsru enz. die al langer hóe kleiner worden , en allen de zelfde hoogte hebben: naar maate dus die fom kleiner is, komt de fom der prismas nader aüii de pyramide, en die fom wordt kleiner naar mate de hoogte iD geringer is: dus kan de fom van alle de prismas aan de pyramide naderen zo veel men wil, en minder van dezelve verfchillen dan eenige eindige grootheid bedraagt: dus is de pyramide de limiet van de fom van alle de prismas (VII, bep. dus is de uiterfte reeden van beiden eene reeden van gelykheid (VII. 2.)
I. cevolg.
Kier uit blykt in welken zin men verftaan moet het geen fommigen zeggen, dat eene pyramide uit een oneindig aantal van gelyke oneindig dunne prismas , en dus uit een oneindig aantal vlakken, die aan het grondvlak evenwydig zyn, gevormd wordt: (het geen anderen ook uit het Gevolg van het XVIII. Voorftel afleiden:) en hoe ver dergelyke uitdrukkingen van alle mathematifche naauwkeurigheid ontbloot zyn. S. p. 375. Gevolg.
II. ge-



I.Jfl Over de Parallelop,, Prismas, en Pyramiden. 4.1 g
11. GEVOLG. Daar de grondvlakken van alle die prismas In de zelfda reeden ftaan als de vierkanten der afiïanden van den top CXVI1I. Voorftel) of als de tweede magten der geta'en wel. ke die afftanden uitdrukken (IV, 15, Gev. 1) en dus, indien de deelen vo, «B, gelyk aan elkander en voor éénheid genomen worden, van den top af de reeden volgen van de vierkan^ ten der natuurlyke getalen; zief men, in welken zin men 2eggen kan dat de limiet van de fom dier vierkanten, cf, zo als veelen zich uitdrukken, de jom van alle die vierkanten, uitóe. drukt kan worden door den inhoud van eene pyramide, wier grondvlak het vierkant van het laatfte getal, en de hoogte het getal zelve is, en die dus (Voorftel XXV. 2 Gev.) gelyk is aan het derde gedeelte van het produ£t van het quadraat van dat getal door het getal zelve gemultipliceerd, of van hel derde gedeelte van den Cubus van het getal.
Zie 's Oravefande Natuurkunde $. 480, alwaar dit Voor» ftel van zeer veel gebruik is.
XXVIII. voorstel. Fig. 185. De inhoud van alle lichaamen, welke door rechte lynen en vlakken bepaald worden, kan tot den inhoud van een parallelopipedum gebragt worden. bewvs. Men kan door vlakken het lichaam of in paralle* lopipeda, of in prismas, of in geheele of geknotte pyra» luiden verdeelen , van welke allen men den inhoud afzon, derlyk vinden kan: en de fom is de gezochte inhoud. voorbeeld. Indien het lichaam BADHEFGCtot ba« zis het trapezium D CBA heeft, en de vlakken EB, DE, HC, GB loodrecht zyn; indien voorts Hl) a EA-' GC = FB, en men de uitdrukkingen in het 4. Gevolg van het XI. Voorftel vermeld, gebruikt, zal de inhoud van het lichaam door deeze grootheid uitgedrukt .worden» indien e» en d> de inhouden van de driehoeken ACB en ACD aanwyzen.
2j;X, FB^ié^E^^ xEA-H^FB
3 ~ " "
Di 2 Want



4-so XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren*
Want, indien men AK = Dl = FB =r GC ftelt, ert door F G IK een vlak laat gaan, is dat vlak evenwydig aan DCBA: en de inhoud van het lichaam KIGFBADC is (4- + d») X FB.
Het bovenfte ftukEKIHGF beftaat uit drie pyramiden* de eene, FKEG, heeft tot bazis den driehoek FGK C— CAB) en tot hoogte de lyn EK: dus is de inhoud
/RA — FB» = el (—?—}
Het overige gedeelte van het bovenfte ftuk is eene vierzydige pyramide HIK EG, die verdeeld kan worden in twee gelyke driekantige, GEIH en GEIKj de laatfte, wanneer men GIK (== CDA) voor grondvlak en EK voor /EA-FB\
hoogte neemt, is zz d1 \ )• dus de fom van bet-
J /EA-FBN den = 2 d1 I ^ J
de fom van de drie deelen is derhalven
2 e1 x FB + 2 'i1 X EA + «z X EA + FB
' 3MAunuiT Mem. prefentês IV. p. Ö24. aanmerking. Het komt in de Bouwkunde zeer dikwerf te pas den inhoud van dergelyke lichaamen te moeten vinden.
XXXIX. VOORSTEL.
Indien men binnen een veelvlakkig lichaam een flip neemt, en van daar lynen naar alle de lichaamiyke hoeken tórdM: zullen er zo veele pyramiden gebooren worden, als de figuur vlakken of zyden heeft: en derzelver fom zal gelyk zyn aan den inhoud van de geheele figuur.
I. AF-



4*1
II. AFDEELING.
qver de regelmatige lichaamlyke figuuren.
tweede bepaalingen. XIV. eepaaling.
Men noemt regelmatige lichaamen zodanige , welke uit gelykvormige, gelyke, en eveneensgeplaatfte vlakken beftaan.
I. GEVOLG.
In regelmatige lichaamen zyn dus de lichaamiyke hoeken allen gelyk aan elkander : ep het middelpunt is dat ftip het welk even ver van alle de hoeken afftaat.
II. GEVOLG.
Alle regelmatige lichaamen van de zelfde foort zyn onderling gelykvormig. (III. Bep.)
XV. Fig. ii o.
Een Tetraedrum of vierzydig lichaam beftaat uit vier gelyke en gelykzydige driehoeken. eucl. XI, bep. 26.
XVI. Fig. in.
Een Oclaedrum of achtzydig lichaam beftaat uit acht gelyke gelykzydige driehoeken. eucl. XI. bep. 27.
XVII. Fig. 113.
Een Tcofaedrum of twintigzydig lichaam beftaat uk twintig gelyke gelykzydige driehoeken. eucl. XI. bep. 29.
Dd3 XVIII,



4$U XI Boek: Over do lichaamiyke Figuuren.
KV UI. Fig. 107.
. Een Cubus of taerling beftaat uit zes vierkanten. Zie boven bep. 7.
XIX. Fig. na.
Een Dodecaedrum of twaalfzydig lichaam beftaat uit twaalf gelyke regelmatige vyf hoeken. eucl. XI. bep, 28. aanmerking. Men moet bewyzen dat die figuuren in de daad beftaanbaar zyn , en uit den aart der eenige moogeiyke lichaamiyke hoeken, welke uit gelyke vlakke hoe. ken gevormd kunnen worden , volgen. Dit is door xucddes niet gedaan: doch hier toe ftrekt het volgende Voorüsl met deszelfs gevolgen.
XXX. VOORSTEL.
Indien een lichaamiyke hoek door vlakke hoeken van gelyke regelmatige veelhoeken gevormd wordt, beftaat dezelve, of uit drie, of uit vier, of uit vyf hoeken van gelykzydige driehoeken: of uit drie hoeVen van vierkanten, dat is uit drie rechte hoeken: of Uit vyf hoeken van regelmatige vyfhoeken. Geen lichaamiyke hoek kan uit meerder of minder hoeken van de gemelde veelhoeken, of uit hoeken van eenige andere regelmatige veelhoeken beftaan.
bewïs. Uit het II. Voorftel van dit boek , en II, n . het 1. Gevolg,
I. GEVOLG.
Er zyn dus maar vyf regelmatige lichaamen mogelyk. Het zyn de vyf bovengemelde, zo als nu biyken zal.
evcl. XIII, fcholium op de laatfte propofitie.
II. GE-



II. Afd. Over de regelmatige lichaamiyke Figuuren. 423
II. GEVOLG. Fig. IIO.
Wanneer een lichaamly!;e hoek uit drie hoeken van eenen gelykzydigen driehoek beftaat, en men die driehoeken voltooit, en dezelven als de zyden van eene lichaamiyke figuur aanziet, zullen de grondlynen van die drie driehoeken, eenen nieuwen en gelyken gelykzydigen driehoek maaken, die de vierde zyde van het lichaam zal zyn. Dat lichaam zal derhalven beftaan uit vier gelykzydige driehoeken. Het is dus een tetraedrum.
Hier uit volgt i°. dat een tetraedrum eene alleszins regelmatige driekantige pyramide is , waarvan de zyden gelyk zyn aan het grondvlak.
2°. Dat de loodlyn uit eenen der toppen op de tegenovergeftelde zyde, die dus ten opzichte van dien top het grondvlak is , nedergelaaten , op het middelpunt van dien drie. hoek (HL Voorftel) valt, en dus op twee derde gedeelten van de lyn, uit eenen der hoeken van dien driehoek loodrecht op de tegenovergeftelde zyde van den zeiven getrokken (IV, 11, Gevolg 3. en IV. ie.)
3°. Dat, indien men op het papier eenen gelykzydigen driehoek maakt, en wederom eenen op ieder der zyden van deezen , men door vouwing van het papier een tetraedrum zal verkrygen, waar van de eerstgemelde driehoek het grond, vlak , en de drie andere de zyden zyn zullen.
III. GEVOLG. Fig. UI.
Wanneer een lichaamiyke hoek uit vier hoeken van gelykzydige driehoeken beftaat, en men die vier driehoeken voltooit, zullen derzelver vier grondlynen eene gelykzydige en gelykhoekige figuur, en dus-een vierkant, uitmaaken, waarop die vier driehoeken als eene regelmatige pyramide zullen ftaan: over welke pyramide men op het zelfde grondvlak eene gelyke Hellen kan: zo dat dan het geheele lichaam uit acht gelykzydige driehoeken beftaan zal: het is een Oüaedrum.
Hier uit volgt, dat de lynen, die uit iederen hoek naar den tegenoverflaanden getrokken worden, diagonaalen of as.
Dd 4 Jen



424 XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
fen van de figuur zyn, en elkander onderling in twee gelyke deelen fnyden in één ftip dat dus het middelpunt van de fi" guur is.
Voorts , indien men acht gelykzydige en gelyke driehoeken ftelt, zo als in fig. 190, zal men door vouwing van hetpipiereen Otlaedrwn verkrygen: namelyka, b, c, d, zullen de eene helft waar van i de top is maaken: en e, ƒ, g, h, de andere helft, waar van k de top is.
IV. gevolg. Fig. 113.
Wanneer een lichaamiyke hoek G uit vyf hoeken van gelyke gelykzydige driehoeken beftaat, zullen de vyf grondlynen FH, Hl, 1D, DE, EF van die vyf voltooide driehoeken F GH, HGI, IGD, DGE, EG F eenen regelma. tigen vyfhoek FH1DE uitmaaken. Op ieder dier lynen ID, IH, HF enz. zal men wederom eenen gelyken gelykzydigen driehoek ICD, BIH, AH F, enz. kunnen ftellen: en dan tusfchen de twee naastliggende, CIDenBIH, BIHen AHF, enz. wederom eenen BIC, AHB, die de lichaamiyke hoeken I, en H, enz. ieder uit vyf hoeken beftaande zullen voltooien. De grondlynen CB, AB enz. van die vyf driehoeken maaken wederom eenen regelmatigen vyfhoek: op wiens zyden men wederom vyf gelyke gelykzydige driehoeken flellen kan, wier toppen eenen lichaamlyken hoek zullen uitmaaken, en de geheele figuur fluiten. De Figuur beftaat dan uit twintig gelykzydige driehoeken , en is een Jcofaedrum.
Hier uit volgt dat de lynen die van iederen hoek naar zy. nen tegenovergeftelden getrokken worden, en die dus diagonaalen of asfen en aan elkander gelyk zyn, zich onderling in twee gelyke deelen fnyden in één ftip dat het middelpunt van de figuur is.
Ook blykt het , indien men twintig gelykzydige en gelyke driehoeken op bet papier teekent, zo als in fig. 191. dat dezelven door vouwing van het papier een icofaedrum zullen uitmaaken: namelyk, de vyf b,c,f,e,d zullen om bet
ftip



II. Afd. Over de regelmatige lichaamiyke Figuuren. 425
flip x als top eenen lichaamlyken hoek maaken: insgelyks p, q, r, t, u om het ftip y: door welker vereeniging men het bovenfte en onderfte gedeelte verkrygt : daar de overige tien driehoeken het middelfte gedeelte zullen maaken, V. cevolg. Fig. 107.
Indien een lichaamiyke hoek U uit drie rechte hoeken A D C, C DF, en AD F, beftaat , en men voltooit de vierkanten ABC D, CD FE, AD FH: zal men door het vierkant CBGE cp BCen CE en A BGH op BG en A B te voltooien , de drie vierkanten C B G E. A B G H, en G E F H, verkrygen, die eene. lichaamiyke figuur uit zes vierkanten beftaande zullen uitmaaken, en dus eenen Cubus of Taerling.
Hier uit blykt dat de zes ge'yke vierkanten, waar uit eeu Cubus gemaakt wordt, op de zelfde wyze als de rechthoeken in fig. 192. gefteld moeten worden.
VI. GEVOLG. Fjg. 112. Wanneer een lichaamiyke hoek M uit drie hoeken van gelyke regelmatige vyf hoeken beftaat, en men de vyfhoeken MLABC, MCDEN, MH'ON voltooit, en op de zyden LP, PO, NO, van eenen dier vyf hoeken wederom gelyke vyfhoeken AKIPL, PIHGO, OGFEN, ftelt, zullen deze, met de reeds gegeeven drie te famen, zes vyfhoeken uitmaken, onderling met vyf lichaamiyke hoeken veréénigd j doch men ziet duidelyk dat B C en C D, D E en E F, F G en G H, H I en IK, KA en AB, ieder twee aan twee wederom twee zyden G li en HI zullen zyn van vyf nieuwe vyfhoeken, die met de reedsgegeevene, MLABCen MCDEN MCDEN" en O GF EN, enz. twee aan twee vyf lichaamiyke hoeken ieder Uit drie vlakke hoeken van regelmatige vyfhoeken beftaande zullen uitmaaken: en dat de vyf zyden van die vyf vyfhoeken, welke aan elkander grenzen , vlak over ML PON eenen Vyfhoek zullen uitmaaken , en de figuur fluiten , even als de vyfhoek MLPON gevormd door de vyf zyden LM, MN, NO, OP, PL van de vyfhoeken MLABC, Dd5 MCDEN



426 XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
MCDEN enz. De figuur zal dan uit twaalf gelyke regelmatige vyfhoeken beftaan, en is een dodecaedrum.
Hieruit volgt, dat de lynen, die van iederen hoek naar zynen tegenovergeftelden getrokken worden en diagonaalen of asjen zyn , zich allen in twee gelyke deelen in één ftip fnyden: welk Hip het middelpunt der figuur is.
Mea ziet verder, dat indien men op alle de zyden van eenen regelmatigen vyfhoek, gelyke vyfhoeken ftelt: deeze zes door het vouwen van het papier de helft van een dode* caedrum zullen uitmaaken: en dat men, indien men een ander dergelyk ftel maakt , de andere helft op gelyke wyze zal bekomen: zo dat zy beiden te famen het geheele dodecaedrum vol maaken: men kan, tot meer gemak, wanneer men het eerfte flel gemaakt heeft, een'der uiterlyke vyfhoeken van het tweede op de zyde van een' der uiterlyke vyfhoeken yan het eerfte ftel plaatfen.
XXXI. VOORSTEL.
Ieder regelmatig lichaam heeft zo veel ribben , als het product van het halve getal van vlakken die het lichaam uitmaken, door het getal der zyden van die vlakken gemultipliceerd , eenheden bevat: en zo veele lichaamiyke hoeken als 'er eenheden zyn in het quotiënt van het product der vlakken en van het getal der zyden in ieder vlak, door het getal der hoeken die iederen lichaamlyken hoek uitmaaken gedivideerd. eucl, XV. 6.
I. bewys. Het getal van zyden in alle de veelhoeken die het lichaam uitmaken,is het product van het getalzyden in iederen veelhoek, door het getal van veelhoeken of vlakken gemultipliceerd. Doch de vereeniging van twee naastliggende zyden maakt eene ribbe , en dus beftaat het getal van ribben uit het gemelde halve product.
II. 'Er zyn zo veel vlakke hoeken als 'er eenheden zyn in het product van het getal vlakken die de lichaamiyke figuur uitmaaken, door het getal der hoeken in ieder vlak
of



//. Md. Over de regelmatige lichaamiyke Figuuren. 427
of veelhoek gemultipliceerd. Doch ieder lichaamiyke hoek van de figuur beftaat uit zo veel vlakke hoeken , als de aart van de figuur vereischt: waarom men het gemelde product door dat getal moet divideeren, om het getai vaa hoeken te verkrygen.
GEVOLG.
Dus beftaat een Tetraedrum uit zes ribben, vier hoeken en vier zyden.
Een Octaedrum uit twaalf ribben, zes hoeken, en acht zyden.
Een Icejaedrum uit dertig ribben , twaalf hoeken , en twintig zyden.
Een Cubus uit twaalf ribben, acht hoeken, en zes zyden, Een Dodecaedrum uit dertig ribben , twintig hoeken, en twaalf zyden.
XXXII. VOORSTEE.
Geen lichamelyke figuur kan in eene andere befchreeven worden, ten zy het getal of van ribben, of van zyden, of van hoeken in de laatstgemelde, ten minden even groot zy als 'het getal der hoeken in de eerstgemelde.
bewys. Uit de XII. Bepaling.
I. GEVOLG.
Dus kunnen noch de cubus, noch het icofaedrum, noch het dodecaedrum , in een tetraedrum befchreeven worden; noch het dodecaedrum in het octaedrum, of in den cubus.
II. GEVOLG.
De overige lichaamen kunnen in elkander befchreeven worden , doch niet allen even volmaaktelyk :. volmaaktelyk noemt men het, wanneer alle de hoeken, van de ingefchreeven figuur alle de zyden of ribben van de andere raakens minder volmaaktelyk, wanneer eenige van de ribben der laatstgemelde niet geraakt worden, om dat zy grooter ie getal gyn.
I. AAU'



428 XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
T. aanmerking. In het vyftiende Boek der GrondbeginfeJen van euclides, doch het welk , even als het XIV, hoogst waarichynlyk niet van euclides zeiven, maar van hypsicles den Alexandryner is, wordt alleen over de •zjotaaafaeinfebryving gehandeld, en te recht: deeze alleen kan dien naam waarlyk dragen, en voldoet aan de bepaalingi Een der «itgeeveren van euclides, foix pe candalle, heeft aan het einde van het XV. Boek, te beginnen namelyk met het VI Voorftel , en het VI. en VII. van den Schryver weglaatende, eenige voorftellen gevoegd over die jnfehryving welke wy onvolmaakte noemen, en ook over eene andere foort van infehryving welke enkel hierin beftaat, dat een lichaam in een ander lichaam bevat of ingefloten is, zonder dat echter alle deszelfs hoeken, maar flechts eenige, de zyden of ribben van de andere raaken; of ook zodanig dat eenige zyden van de eene geheel op de zyden van de andere liggen: hy heeft insgelyks by de XV. Boeken een XVI. Boek over de onderlinge iu- en
• omfchryving van de regelmatige Figuuren gevoegd: clavius heeft dit alles overgenomen. Doch hierin zullen wyons niet inlaaten: en flechts met een enkel woord de volmaakte omfchryving aanftippen.
III. GEVOLG.
Een tetraedium is in den cubus befchreeven wanneer de zes ribben van het zelve de zes zyden van den cubus raaken, en dus langs derzelver diagonaalen liggen: waaruit volgt, dat de hoeken van het tetraedrum met hunne toppen die van den cubus raaken, en in die hoeken begreepen zyn. eucl. XV. i.
IV. GEVOLG.
Een oUaedrum kan befchreeven worden in een tetraedrum, en in een' cubus
In een tetraedrum, mits de zes hoeken ieder op eene der ribben van het tetraedrum ftaan , en wel op het midden dier ribben.
eucl.



Ü. Af d. Over de regelmatige lichaamiyke Figuuren. 42$
eucl. XV. 2.
In een' cubus mits de zes hoeken de zes zyden van den cubus raaken, en wel in het middelpunt dier zyden, dat Is In het ftip daar de beide diagonaalen zich fnyden.
eucl. XV. 3.
V. gevolg.
Een cubüs kan befchreeven worden in een octaedrum en in een dodecaedrum.
In een octaedrum, waaneer de acht hoeken van den cubus ieder op eene der zyden van het octaedrum rusten: en dat wel ir: het middelpunt van die zyden; dat is(IV, n. Gev.3.) op de twee derde gedeelten van de lyn welke uit den top van iederen hoek der driehoekige zyde loodrecht op de tegenoverftaande zyde van dien driehoek ftaat. eucl. XV. 4.
In een dodecaedrum : indien men namelyk in de vier vyf. hoeken (Fig. 112.) die om de ribbe MN byv. liggen , de diagonaalen CE, CL, LO,OE trekt, heeft men een vierkant het welk zich met vyf vierkanten op gelyke wyze befchreeven veréénigt, en den cubus uitmaakt, wiens acht hoeken dus in acht hoeken van het dodecaedrum ftaan.; en de vier lynen die de as fen zyn van den cubus, zyn tevens asfen van het dodecaedrum.
aanmerking. Een gedeelte van de bewerking van euclides XIII, 17. kan hiertoe gebragt worden.
VI. gevolg.
Een dodecaedrum kan in een hefaedrum befchreeven worden , indien de hoeken van het dodecatdrum ieder op eene zyde van het icofaedrum rusten, en wel op het middelpunt van die zyde: dat is op twee derde gedeelten van de lyn welke uit den top van iederen driehoek, die de zyde van het icofaedrum uitmaakt, op de tegenovergeftelde zyde van dien driehoek loodrecht ftaat, eucl. XV. 5.
VII



4$ö XI. Beek: Over de lichaamiyke Figuurén.
VII. GEVOLG.
Het fpreekt van zelf dat ieder regelmatig lichaam in een regelmatig lichaam van de zelfde foort kan befchreeven worden:
II. a erking. De befchouwing deezer lichaamen kan fomtyds zonderlingevraagftukken opleeveren, onderwelken dit uitmunt, het welk in de voorleeden eeuw door den kundigen Paltzifchen Prins rupert werd voorgefteld, en door wallis opgelost (zie Oper. Tom. IL p. 470. of Algebr. cap. 109 ) „ Eenen cubus zodanig te doorbooren, „ dat er een ander cubus van gelyke grootte door kan."
Men kan zelfs gemaklyk eenen cubus zodanig doorbreeren, dat 'er een grooter Cubus door kan: en de paaien van de grootte des laatstgemelden kunnen gemaklyk aangeweezen worden.
XXXIII. VOORSTEL.
Indien men eene ribbe van eene lichaamiyke figuur in twee gelyke deelen deelt, en uit het ftip der verdeeling eene loodlyn trekt op die ribbe in elk der twee vlakken die door haare zyden de ribben uitmaaken, zal de hoek, welken die lynen met elkander maaken, de helling aanduiden der vlakken waar uit die lichaamiyke figuur beftaat.
bewys. Uit X, bep. 4.
GEVOLG.
In het tetraedrum , octaedrum , icofaedrum en dodecaedrum gaan de gemelde loodlynen door de toppen van de driehoeken of vyfhoeken in welke zy getrokken zyn, zo als blykt uit 1. 11.
Doch voor den cubus ftaat die lyn rechthoekig op de twee tegenovergeftelde ribben. aanmerking. Dit Voorftel is het eerfte gedeelte van de 7. propofitie in het XV. Boek van euclides: en de bewerking die men aldaar aantreft komt met ons Voorftel overéén.
De ouden fchynen hier in niet verder gegaan te zyn dan de enkele aanwyzing van dien hoek. Door onze driehoeks-



II. Afd, Over de regelmatige lichaamiyke Figuuren. 431
hoeksmeeting komen wy verder, en wy kunnen de grootheid van die hoeken berekenen, op de volgende wyze
I. Voor het tetraedrum.
Zy in fig. 186. A VD de driehoek die,in fig. iio.,doorde ribbe AV gaande, loodrecht op het vlak BAC komt: daaruit volgt i°. dat VD in het vlak VCB ligt en de loodlyn is die uit V op CB getrokken wordt: en dus is VD == A V X y\. CVI. 16en8.Gev.3): 2°.datADeene dergelyke loodlyn is in het vlak ABC, en dus AD = VD — AV x V3.
Men ftelle 30 dat E het middelpunt van & ABC fig. 110. zy : dan zal E in AD vallen en AE = | AD zyn (IV. 11. Gev. 3.} en L VEA recht (V. 5.)
gevolgelyk
AE = f x AV yi zz A V ytJLl ~ AVi/f.
9x4
en dus
40. VE = ^AV* —AF? ~ AV Vl ^ l=a-AV VI
Eindelyk indien men op A V de lyn A Z rechthoekig trekt tot dat dezelve VEZ in Z ontmoet, en op VZ den cirkel VAZ befchryft is VC = AC: en dus is C het middelpunt van het tetraedrum. MaarVE: AV = AV: VZ (IV. Gev. 2.) dus VZ = A V VI- en V C = i A V y\ = A V V|.
Uit de driehoeks meeting is (IX. 1.)
AV : VE r= rad : fin. L VAD: en
VD : VE = rad : fin. L VDA:
Dus vindt men L VAD, dat is, den hoek dien eene ribbe maakt met het vlak daar hy op ftaat, gelyk aan 5.10. 44. 8" omtrent: en L V D A, dat is, den hoek dien twee vlakken of zyden van het tetraedrum onderling maaken = 70'. 31'. 43" omtrent.
II. Voor het octaedrum. Fig. m.
Het blykt duidelyk in hetOdaedrum i°(XXX^.Gev.3.)datde hoeken die «o welde «lakken ais da ribben onde^k>g.r*aafc«i
<rr«*r> toe", lé'.f^



432 XL Boek: Over de lichaamiyke Figuuren.
racbt zyn: 2°. dat de as van het oótaedrum de diagonaal is van het vierkant A11CD: en dus dat die as — AB x yz: en eindelyk 30. dat de afftand van het middelpunt tot den top de helft is van dien as, en dus = i AB yi = AB
III. Voor het icosaedrum. Fig. 113 en 187.
Indien men het icofaedrum (Fig. 113.) door een vlak fnydt dat langs de ribbe BI en vervolgens aan den anderen kant van I door de loodlyn IK van den gelykzydigen driehoek IGD gaat, dan zal die fneede vervolgens wederom door eene dergelyke loodlyn , dan door eene ribbe, door eene loodlyn, en eindlyk door eene ribbe gaan: zo dat men den zeshoek KMNLBI (Fig. 187.) verkrygt waarin IB en MN ribben zyn, en dus zyden van de gegeeven gelykzydige driehoeken die het icofaedrum uitmaaken, en de overige KI, KM, NL, LB, loodlynen in die driehoeken zyn: en dus ieder — BI y\.
Verder, in de zelfde figuur is de lyn IN, die de beide ribben IB en MN, en dus de toppen van de tegenoverelkander ftaande hoeken 1 enN, vereenigt, de ar van het icofaedrum: en KB, is in den regelmatigen vyfhoek BCDGH, (Fig. 113.) dien de vyf driehoeken om den top I maaken, de loodlyn uit B in dien vyfhoek op de tegenovergeftelde zyde G D getrokken: en daar IN de as is, welke loodrecht op het vlak van gemelde vyfhoek ftaat, is het ftip G daar dezelve dat vlak fnydt ev.en ver van alle de hoeken van die vyfhoek af, en dus is BG de radius van den cirkel weke men om dien vyfhoek trekken zoude, waarvan de zyden gelyk aan BI zyn.
Indien men dan T voor de zyde van den tienhoek in den zelfden cirkel befchreeven ftelt. is~ÏÏI2 = BG'+T1 (VI. ,14.)
MaarT == ^— (ys — 1) (VI. 13. Gev. 3 :enIV.7. Aanm.7) dus^-ÏÏG1-*-^ (Ys-1)1



II. Aji. Over cte regelmatige lichaamiyke Figuuren. 433
= BG' :en du, is Vö* = en BG = BI X V 2—.
.'. s -ys-
'endus, daar IG* ~ B I2 — BG1 is,
fè* - Ïi*-J-S£ = gl'^-Vg «in dui S — VS 5 - V5--
ÏG = BI V^Sl: 5 - ^5.
Doch daar de halve cirkel op IN, waarvan C het middelpunt is, ook door B gaat, is Z. IB N — L (V. 5.) e» dus is (IV. 12. Gev. 2.) ÏG: BI =3 BI: IN: waar uit volgt
IN - BI V* - ys
3 - VS
«n dus IC, of de afftand van het middelpunt 'op den as, =2 3 - VS
; Men kan insgelyks K G vinden^want indien men de 187. fig. met de 79- fig. vergelykt, zal men zien dat de lyn KB de zelfde lyn is in beide de figuuren , en du GK van de
ë^fteCKinde laatfte is: dus, daar in deeze CK* = CE**— KE1 s BC* — • FË*, Is ook in fig. 187.
rö* = BG* — |BI* Li jJïL - I12 = -* x
4 5 - VS 4 Bl
/8 - 5 VS _ (3+/^ BI V 4 (5 - V'S) = Bi* 4Ü= en du$ KG = -
. 2^3 -*- W
5 - f5.



434 XI. Boek: Over de lichaamiyke Figuuréh.
Men is dus in ftaat IB en B G, IK en KG bekend zynde» in de driehoeken 1B G en IK G te berekenen i°. L IBG dien men vindt . . 310 - 43 - 3'* dus L BIG ZZ L NBG . « 58-16-57 20. L KIG, dien men vindt . . 52-37-21 dus L KIB zz L IBL . . 110 - 54 - 18 en L IKG . . . . 37-22-39 en LNBL(= Z.IBL— 9o'.) = Z.BNL 20 . 54 - 18 Gevolglyk L NLB — L MKI . . 138 - 11 - 24. Indien' men nu daaruit de hoeken KBL en BKM opmaakt , vindt men I KBL = 790. n-15" en LBKM = ico», 48' 45" dus te famen 2= 2 L : waar uit volgt (I-4.) KM//BL: 't geen uit de conftructie zelve van het icofaedrum ligt is op te maaken.
Eene ribbe maakt dan met het aangrenzend vlak een' hoek van no0- 54' 18'': en twee aangrenzende vlakken maaken onderling eenen hoek van 33S0. ii' 24".
Om nu de loodlyn CO uithetmiddelpunt op de driehoekige syden neergelaaten, te vinden, behoeft men flechts in aanmerking te neemen dat die lyn op het middelpunt O van den driehoek valt: dus 10 = f KI — | BI V\ zz BI y\x
en dus CO = Vrff -af = BI >^T~ Vs - I =
ZZ ~ ^5-3^5-12 + 4^5^^/^_ 2 3 (3 _ ySy 2 3(3-1/5)
SBI Vt* - VS? _,BI yi+lZï
en dus is de hoogte OP = BI J^L±L-LÏ3
6.
IV. Voor den cubus. Fig. 107;
Het fpreekt van zelf 1». dat de vlakken onderling rechte
hoe-



m. Jfd. Over de regelmatige ÏÏclitiamlyh ligmeren. 435-
hoeken maaken, zo als ook de ribben; 20. dat het vierkant 'van den as, AE of B F, van den cubus het drievoud is van het vierkant der zyde: want n op BF 7^
ZZ □ op BD 4. □ op DF:
= 2 □ op DC of DF + □ 0p DF,
— 3 □ op DF: dus
33F zz DF ys; en dus de halve as DF
= — V3 zz DF y\.
V. Voor het dodecaedrdm.
' Indien men het dodecaedrum (Fig. 112.) door een vlak fnydt het welk langs de ribbe CM, de loodlyn MR, de loodlyn RH, en insgelyks aan den anderen kant van de figuur door dergelyke loodlynen gaat, en eindelyk door de ribbe die vlak over CM ftaat, verkrygt men eenen zeshoek CM RH SQ fig 188, waar in CM en SH de ribben, enMR, HR SQ en QC de loodlynen zyn.
indien men verder(Fig. 112.) in de drié vyfhoeken om den top M, de diagonalen CL, CN, LN trekt, maaken dezelve eenen gelykzydigen driehoek; de loodlyn MR fnydt de diagonaal LN in twee gelyke deelen in i, en de ly„ Cl, in het vlak van iden driehoek CLN getrokken, is de loodlyn uit den top van eenen gelykzydigen driehoek op de grondlyn getrokkentn dus is C: (ook in fig. 188.) zz CL X y34 ZZZ LN x y}'
Maar de diagonaal LN is bekend: want, indien men R voor den radius van den vyfhoek LM NOP fielt is (VI. 14. Gev. 2.; '
> O* = 5 R* sL MN\- en uit het geen_wy voor het
icofaedrum gezegd hebben blykt dat R* — *-^L$* : dus is
~" 5 ~ VS
ln* - 10 mnl —.
= T^ry5-^ * =
Ee Z tfj



486 XL Boek: Over dè lichaamiyke Èignurèri.
en dus LN zz CxM VVs ~+- 1 VS — I Gevolglyk, daar Cf — LN V\ :
isci = Cmyj/^Vj_-j-_J = cm X /'^^ZEES*!
VS - I (V5-i)X4 Maar Fig. 188. de as ms valt loodrecht op de lyn Ci, en dus vaït Z op | Ci: (Voorftel 30. Gev. 2. N°. 2 ) waar
uit volgt CZrr f Ci
^5 ; 9* 4 VVS-1/
3 (V5
Maar mz = ^Cm' — CZ?t dus
MZiCM^i- t*Jt* = cm* 3 (VS- 1)
J/l V-S — 2
3 (|/5 — 0
= cm =CMH
(VS ~ 2) (Vs -t- ö - cm /^a (3-~~V5) (VS - 1) CV5 ■+■ iJ 3 x. 4
^3 - VS 6.
Maar, omdat m CS rechthoekig is, (V. 5.) is (IV* 12.)
mz: cm = cm: ms: dus is ms zzB^* ZZ CM x mz
V* » 3. = cm AV* 3 = cm 3 — V5 6 — 2 V5
— cmx21/3 ,
(VS"-"Ö» - * V5~ iWelke uitdrukking volmaakt overeenkomt met bet geen V/y te vooren gezisn hebben (Voorft. 32. Gev. 5.) dat name*



U.Afil Over ie regelmatige lichaamiyke Figuuren. 437
Jyk ook LN fig. 112. de zyde is van den cubus in het dode* caedrum befchreeven, en wiens as de as is van het dodecaedrum: immers
MS 3= LN V3 = V3 X CM /sJ±J — VS —1
CM X V3 ^Vs-f-rXVs-0= CM ^
(.V5 — *) VS I.
dus MD = ï MS = CM * = CD.
I/S" i-
Om nu de loodlyn DX te vinden, moet men flechts aanmerken dat die lyn op het middelpunt van den vyfhoek vallen moest en dus op. CQ; zodanig dat CX de radius van den vyfhoek is, gevolglyk (p. 433) gelyk aan CM x;
: waardoor
5 — V5
DXe/^cd* - cx2 = CM V _-3_ _2
(l/5-t)* V5(V5-0
vs. (vs o vs ~~ 1 " Vsr
en dus is XT , of de hoogte van het dodecaedrum, — * CM, tS2-+v~ï V5-i -yj-
De bepaaling nu deezer lynen geeft ook die der hoeken : «raat
MS: CM =5 1: fin. L CSM zzz fin. L SMH dus L SMH — 20°. 54' 19" en L CMS — L M£D =5 690. 5 . 4I
CD: DX =r 1: fin. L XCD = 51. 37 . 2r
dus L Q c M = L c M R . iïi - 43. - %
waar uit volgt L CQS — LM RH nö0. 34' 4"
Eene ribbe maakt dan met de aangrenzende vlakken hoeken van 1210 . 43/ . 2": en twee vlakken maaken onder, ling eenen hoek van 116° ■ 23'" - 56'' Waardoor al wat het dodecaedrum betreft bekend is.
Ee 3 XXXIV..voor.



-43^ XL Boek: Over de lichaamiyke Figuur**».
XXXIV VOORSTEL.
De inhoud van een tetraedrum u gelyk aan een rechthoekigparalleloppedum van de ztlfdp hojg'cr en wiens grondvlak gelyk is aan het derde gedeelte van het driehoekig grondvlak, des tetraedrums.
De inhoud vaneen oüiedrum is gelyk aan een rechthoekig parallelopipedum wiens hoogte de as is van het oftaedrum, en wiens grondvlak een derde gedeelte is van het vierkant op de ribbe van het octaedrum befchreeven.
De inhoud van een icofaedrum is gelyk aan een rechthoekig parallelopipedum, waar van de hoogte het derde gedeelte is van de loodlyn tusfchen twee tegenoverfaande evenwydige zyden van het icofaedrum begreepen of var, de hoogte van het icofaedrum, en het grondvlak het tienvoud van ten der drieboeken die het icofaedrum uitmaaken.
De inhoud van het dodecaedrum is gelyk aan een rechthoekig parallelopipedum waar van de hoogte de hoogte is van het dodecaedrum, en het grondvlak het dubbeld van eene» der vyfhoeken die het dodecaedrum uitmannen.
bewys. Uit het XXIX. Voorftel, en het XXV. en XV.
TOEPASSING ÖP IEDER DE v yf REGELMATIGE LICHAAMEN, I. TETRAEDRUM. Fig. 186. Cn IIO.
De inhoud van het driehoekig grondvlak is j AV M FTaV* = av1 X $ Vl ■■ gevolglyk is de oppervlakte van het tetraedrum =r 4 h~Vz x t V3 == 5"?* Vy,de hoogte v7 e is — AV^f: duslsde geheele inhoud — a VJJ£
3 * ri^"--X-3 = A V1 TV : of, de zyde door Z en dén 3
inhoud door T uitdrukkende is
, V* ï = z3 * 12:
II. 00.



ƒƒ. Jfd. Over de regelmatige lichaamlyleFiguuren. 439
II. octaedrum. Fig. irr. De inhoud van het vierkant op a b is a b1 : de as is AB y%.
dus is de inhoud O van het Octaedrum — l AB5 y<i\ of yi
De inhoud van de driehoekige zyde is j ab2 y%: dus is de oppervlakte van het octaedrum — \ ab2 y$ = 2 ab2 YZ'
III. cubus. Men heeft C = Z3;
en de oppervlakte — óZ1 \
IV. icosaedrum. Fig. iir. en 187. De inhoud van den driehoek is Bl2 x % yy. dus is de oppervlakte ±r 20 BI2 XJ ^3 "^s 5 Bl2 V-$,
De hoogte is = Bl ^7 ^" 3 ^5
6
dus de inhoud
30 BI' x T's ^7^-3^s)Xa 6
= ï;bi3^l±S 2
V. dodecaedrtjm. Men moet eerst den inhoud van den vyfhoek vinden: deeze is gelyk 5 CM x i loodlyn: maar; (tellende R voor den radius, is die loodlyn L = PSX~Z^iTcM* —
rr-iCM \ — ir y^rA ■
5-^5 2 f/5 — O
5 C M2 7/" p
en dus is de vyfhoek zzz —\— ' —"** ' 5
4 ^S (^5 — O
E e 4 ff*;



44P Boek: Over de lichaamiyke. Figiuiren.
gevolglyk is de oppervlakte — 12 X 5 C M x i loodlyn rs •o CM X loodlyn: het geen de 3 propofi ie in evclioe*,
5 X 1' C M *
XIV. Boek is: of ook de oppervlakte — ■ Sfc
• " ' - • 4
Vh±VsZ = I5 CM2 V\ + ^ : de hoogte VS CVS-) FsiCs-D ■
V5~ I ys
dus is het dodecaedrum ~
10 CM' pr('r^Tys)(2 -f- ys) a (VS — O ' 5 (VS — V
5_J1M! J^11 ~*~ 5 V5 = 5 CM? ff6 YS-t~H — VS —1 5(V5—O V5 — I ' SCVS-i)* ^
5 CM' j^YS H--14 of
(VS - O' 5
D — S Z1 jE^S VS 14;
(Vs - 0* s
XXXV-. VOORSTEE.
Alle de gelykvormige regelmatige lichaamen zya in de driedubbelde reeden der ribben uit welke zy_ gevormd worden.
»ewys. Uit het XXIV. Voorftel.
TWAALF-



44?
TWAALFDE BOEK,
PVER DEN ROL OF CYLINDER, DEN KEIGEL, EN DEN KLOOT.
BEPAALIN GEN.
I. Fig. 125.
Indien 'er twee Cirkels (AGBenCHD) in twee verfchillende doch evenwydige vlakken geplaatst, en derzelver middelpunten (E en F)door eene rechte lyn ([EF) veréénigd zyn: en meu onderftelt dat 'er zich eene rechte lyn rondom de omtrekken van die cirkels altoos evenwydig aan zich zelve en aan de lyn (EF) die de middelpunten vereenigt bewecge , en door die beweeging eene oppervlakte befchryve; zal het lichaam (ACHDBGA) dat door diebewceging gevormd, en door de gegeeven cirkels befluoten
Wordt, een Cylinder of Rol zyn. Die cylinder- of
ïol zal recht op. het grondvlak ftganj indien de lyn, welke de middelpunten der gegeeven cirkels vereenigt, en die men den as van den rol noemt, rechthoekig op die cirkels ftaat: zo niet, ftaat de cylinder of rol fcheef op het grondvlak, zo als CllDbga.
eucl. XI. def. 21. 22. 23. — S. p 357. bep. r. I. aanmerking. Men kan dus den rechten cylinder ook be» grypen ais gebooren te zyn door óe omwenteling van een rechthoekig parallelogram GEFH , op eene der zyden E F als op eene fpil of as: dan zal de andere opftaande zyde G H den omtrek van dtn cylinder , en de twee o.ve. rige HF, GE de cirkels befchryven. Dit is de bepaaling door euclides gegeeven: doch dezelve fluit de fcheeTe cylinders uit.
Ee 5 An-



442 XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot.
Anderen befchouwen den cylinder als gebooren uit de evenwydige beweeging van een cirkel langs eene gegeeven lyn: byv. van-den cirkel, CHD langs de lyn CA of langs de lyn C a.
I. GEVOLG.
Iudien men den cylinder door vlakken fbydt welke evenwydig aan het grondvlak zyn, zullen die fneeden cirkels zyn. Indien de fneede door de middelpunten van de grondvlakken gaat, of evenwydig is aan een vlak dat door die punten gaat, is zy een parallelogram j en wel een rechthoek voor den rechten cylinder.
Die parallelogrammen hebben alle de zelfde hoogte, die van den cylinder, en ftaan dus tot elkander als hunne grondlynen, dat is, als de choorden der boogen welke zy van de grondvlakken affnyden. II, aanmerking. De fchuinfche fneeden van den cylinder behooren niet tot de grondbeginfelen der Meetkunde, wanneer men deeze weetenfchap in eenen ftrikten zin volgens de gewoonte der ouden neemt,
II. GEVOLG. Fig. I30.
Indien FBDL een cirkel is evenwydig aan het grondvlak van den cylinder, zal de raaklyn GE dié deezen cirkel in L raakt, ook eene raaklyn van den cylinder in dat zelfde ftip zyn : en indien men op de oppervlakte, (Fig. 125.) de lyn AC evenwydig met den as EF trekt, zal die iyn geheel in de oppervlakte van den cylinder liggen.
III. GEVOLG. Fig. 125.
Indien een vlak den cylinder zodanig raakt, dat eenige lyn A C van het zelve evenwydig zy met den as van, den cylinder, en geheel op de oppervlakte van deezen
lig-



XH. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kimt. 44 3
ggge, (II. Gev.) en dat alle de lynen , die in het vlak op de lyn AC loodrecht getrokken worden, tevens raaklynen zyn van cirkels in den cilinder, die evemvyd!» en gelyk zyn aan deszeLs grondvlak, zal dar vlak den cylinder in die lyn alleen ra:ken, en nimmer fnyden.
II. Fig. 126. Indien een (tip (V) boven her vlak van een' cirkel CA DB) verheeven is, en eene lyn (VA) zich uit dat onbeweeglyke ftip (V) als uit ten rnudelpunt, iM den omtrek van den gegeeven cirkel (ADBjbeweg, wordt de figuur, welke door die beweegirg gevormd, en door den gegeeven cirkel alsgrondvhk befioo'm wordt, een Keegd of Conus genoemd ; de kromde oppervlakte door die beweegirg gebooren , is de keegeluhtige oppervlakte; het gegeeven ftip de kruin; de|gegeeven cirkel het gra-rlvlak. De lyn, welke het gegeeven ftip en het middelpunt van den gegeeven Cirkel vereenigt, is de as van den keegel. De lyn, door wier beweegirig de keegel gevormd wordt, is de zyde van den keegel. Indien de as rechthoekig op het grondvlak ftaat, is de keegel recht: zo met, Jchuinsch, zo als BDAv.
eucl, XI. bep. ,8. xq. 20. — S. P. 358. d. 2. J. aanmerking. Anderen befchouwen den kt egel als geboren door de omwenteling van eenen lechihoekigen driehoek VCA om eene der reebthoekszyden als om eenen as; de fchuinfche zyden befchryft dan de kegelachtige oppervlakte: de andere rechthoek - zyde de bazis of het grond, vlak i doch dan is de fcheeve kegel onder de 'bepaling niet begrepen.
I. CEVOtC.
Pe zyde van den keegel heeft eene beftendige groot-
te



444- XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot,
;te in rechte keegels: doch is voor ieder ftip van den omtrek verfchillend in fchuinfche keegels.
II. e E V O LG.
Indien men een vlak Iaat gaan door den top V en het middelpunt van het grondvlak, en dus langs den ss VC, is de fneede een driehoek AVB, welke gelykbeenig is, en rechthoekig op het grondvlak ftaat^ zo de keegel recht is. Naar maate de top hoek AVB van dien driehoek recht, ftomp of fcherp is, wordt de keegel rechthoekig , ftomphoekig of Scherphoekig genoemd,
III. GEVOLG.
Indien men den keegel evenwydig aan het grondvlak fnydt, zyn de fneeden cirkels, waar van de omtrekken , zo als ook de middeilynen, tot elkander ftaan, zo als hunne afftandcn van den top: en de inhouden in verdubbelde reeden van die afftanden (VII. 14O
aajsmerkikg. De fchuinfche fneeden van den Keegel befjooien niet tot de grondbeginfelen der Meetkunde , wanneer men die wetenfchap in eenen ftrikten zin volgens de gewoonte der ouden neemt.
IIL
Gelykvormige keegels en cylinders zyn die, waarvan de asfen in de zelfde reden ftaan als de middeilynen der grondvlakken , en gelyke hoeken met die grondvlakken maaken.
eucl. XI. def. 24. , aanmerking. Deeze bepaaling is een gevolg van de derde, bepaaling van ons XI. Hoek. Om dezelve op den zelfden leest te fchoeijen zoude men moeten zeggen „ gelykvor„ mige keegels en cylinders zyn die welke gelykvormige „ grondvlakken en gelykvormige keegelachtige of cylindri-
„ fche



XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den KToot. 4.4 5
„ fche oppervlakten hebben." Maar de grondvlakken zyn cirkels jen deeze zyn altoos gelykvormig, en hunne omtrekken ftaan in dezelfde reeden als hunne middeilynen (Vlli 12 ) en wy zullen in het IV. en het IX. Voorftel van dit Boek bewyzen, dat de cylindrifche of keegelachtige oppervlakten altoos tot elkander ftaan zö als rechthoeken waarvan de grondlynen de omtrek van den cirkel, en de hoog. ten zo alsde asfen zyn: waar uit dan de gelykvormigheid van verfchillende of cylinders of keegels tot die van de gemelde rechthoeken gebragt wordt: en dus tot degelykhejd der reedens van as en middellyn des cirkels: waar uit deeze verkorte bepaaling haaren oorfprong ontleend.
Indien de cylinders of keegels recht, en teevens gelykvormig ïyn , zyn de rechthoekige parallelogrammen of driehoeken, waar door zy gevormd worden, gelykvormig.
S p. 373. bep. 6. p. 386. bep. 7.
IV. Fig. 127.
Indien een halve cirkel om zyn middellyn ais om ten fpil wentelt, zal hy door die beweeging een lichaam vormen , dat een kloot of fpheer genoemd Wordt. De middellyn van 'den cirkel is de as van den kloot: het middelpunt is het middelpunt van den kloot: en de beide uiteinden van den as worden de poolen van den kloot genoemd.
eucl. XI. bep. ia. 15. 16. 17. — S. p. 387. 388.
L GEVOLG.
De lynen die men uit het middelpunt van den kloot naar alle de ftippen van deszelfs omtrek trekt, zyri gelyk : en dit is de reeden waarom fommigen den kloot een lichaam noemen, zodanig gefteld, dat alle de lynen uit zeker punt naar deszelfs oppervlakte getrokken, onderling gelyk zyn.
taco/jet op de 5 definitie van buclidss XII.
«. ge.



44Ö XII. Boek: Cuer den Rol, den Keegel, en denKkoti
II. gevolg.
Op vvelkë wyze ruen eenen kloot fnydt, is dü fneede altoos een cirkel. jitwYs. Zy D E de fneede of liever de gemeene fneedè van da: vlak, en den cirkel BG BB die door het middelpunt van den kloot gaat: dan is D E eene choorde vari dien cirkel BGHB: en dus indien men dezek-e in F in twee gelyke deeleh fnydt, en door F en het middelpunt C de lyn BFCH treKr, is die lyn BH eene middellyn van den cirkel BGIB. Dus zyn BEHenBDH halve ciikels: en gevolglyk inm'en de halve cirkel BDII om BH wentelde zoude dezelve den zelfden kloot befchryven; en het Hip D, zoude eene cirkel befchryven, waar van DE dé mid.;ellyn is Dus is de fueede van het vlak dat den kloot langs ED fnydt een cirkel.
III. gevolg.
Alle de fneeden die door het middelpunt gaan zyn cirkels, en wel gelyke cirkels. Zy worden ook groots cirkel van den kloot genoemd, en derzelver middeilynen middeilynen van den kloot: men kan altoos eenen derzelven , en welken men wil, voor as van den kloot aanneemen. Maar zo de fneeden niet door het middelpunt gaan, zyn zy wel cirkels, maar worden kleine cirkels v?,n den 1:1 ot genoemd , en zy zyn kleiner naarmate zy verder van hst middelpunt afftaan.
S. p. ?8S. Bep. 9. 10. I. aanm:.rkiko. Hel blykt dat men de bi-p.aaling van kleine cirkels niet eccven kan, dan na dat men beweezen heeft dat alle de Dveedex vaft den kiert cirkel- zyn : het geen echter door dc intt-iten verwanrloofd vordt. Men noemt ooi; Equator van ci-m r, kloot den omtrek van den cirkel dip door het n riddpUQt gaat en loodrecht pp den as .ftaat? welke cirkel das, ïo als slle groote wrkels, den kloot in
twee



X1R Bod: Over den Rolt den Keegel, en den Kloot. 44 f
twee gelyke deelen deelt. De omtrekken nu en middeilynen van de kleine cirkels die evenwydig aan dien Equator zyn , zyn zo als de Cofinusfen der hoeken die hunne afftanden van den Equator meeten. Want, zy » Fig. 169, EKFGE de fneede van den kloot, EF de as, GK de fneede van den Equator; en IND, MRB die van twee kleine cirkels: 20 zyn de bogen KD en KB hunne afflanden van den Equator, en ND, RB zyn de Cofinusfen van die afftanden.
Dus zyn ook de inhouden van die cirkels zo als de vierkanten van de gemelde Cofinusfen.
IV. GEVOLG.
Indien eene lyn, (GE,) (Fig. 150.) eene raaklyn is van eenen grooten cirkel (FBDL) van den kloot, en dus op den diameter (BL) van den cirkel» welke diameter dan voor as van den kloot gehouden wordt, loodrecht ftaat, is die lyn ook eene raaklyn van den kloot, en het uiteinde (L) van dien as is het ftip der aanraking.
En dus zal ook een vlak den kloot in L raaken , indien de as BL , die door L gaat, in L loodrecht ftaat op alle de lynen die uit L in dat vlak getrokken kunnen worden.
V.
Een prisma, of parallalelopipedum, wordt gezegd om eenen cylinder befchreeven te zyn, wanneer de grondvlakken op elkander liggen, en alle de opftaande zyden van het prisma of parallelopipedum, den omtrek van den cilinder raaken.
Een cilinder wordt gezegd om eenen keegel befchreeven te zyn, als zy op hetzelfde grondvlakftaant en het bovenfte vlak van den cilinder den top van fceegel raakt.
Eau



448X/T. Boek: Over den Rvl,dehKegèl>endenKhoti
EenCubit of een cylinder, worden gezegd oih eenèrj Kloot befchreeven te zyn, als de kloot zodanig in de zeiven bevat is, dat hy alle de vlakken en oppervlakten raakt.
S. p. 388. Bep. ti.
gevolg.
Hier uit volgt i° dat de zyde van den cubus, öf de middellyn van de bazis des cylinders,onl den klobt befd reeven, gelyk is aan dé middellyn van den kloot;
a° Dat de aanraking van den kloot met den oppervlakte van den cylinder, of de zyden van den cubui gefchiedt door den equator van den kloot, en op d* helft van de hoogte van cubus of cylinder.
30 Dat de as van den kloot met dien van den cylinder overeenkomt.
VI
Èen kegel wordt gezegd om eenen kloot befchreeven te zyn , als de kloot op het grondvlak var. den keegel rust, en de Oppervlakte van dén klooS door die van den keegel geraakt wordt.
gevolg. Fig. 189.
Die cirkel welke de oppervlakte van eenen rechten kegel raakt, is altoos een kleine cirkel , en is meer var! dth Equator verwyderd naar maate de kegel ftomper is: want Po : PC =. cof. L *PC s 1 sz coj. L PÖÏ f i
cof. i li GOF : ü
Vit
Eene lichaamiyke figuur wordt gezegd in eenen klo.it befchreeven te zyn, als alle de hoeken van die figuur op de holle oppervlakte van den kloot rusten.
ï. GS"



XII. Boek i Over den Rol, den Keegel, en den Kloot. 4
I. GEVOLG.
En dus een cylinder, wanneer de oriderfte en bovenfte cirkel; en een keegel, wanneer het grondvlak en de top de holle oppervlakte van den kloot raaken.
II. GÈVOLC»
Geen cylinder kan in een' kloot befchreeveh worden, ten zy hy rechthoekig is.
I, VOORSTEL. Fig. 125.
Eer, cylinder is de limiet van alle de prismas die om en in den cylinder befchreeven kunnen worden* tacquet, Seittta ex archimede. pr. 8. IC. bewys. Uit de VK. Bep. eh VII. ir. '{
GEVOLG.
Hieruit blykt, hoe men te verdaan hebbe wat veelen zegi gen , dat de cylinder een prisma is van een oneindig getal zyden : w^elke uitdrukking geheel van de mathtmatifche naauwkeurigheid afwykt.
II. VOORSTEL.
De cylinders ftaan tot elkander in de famengeftelde reeden hunner grondvlakken en hoogten. bewys. Uit het I. Voorftel, VII. 5, 8. en XI. ifi,
I. GEVOLG.
Dus ftaan cylinders tot elkander inde famengeftelde reeden uit de enkele reeden der hoogten, en de vérdubbelde reeden der middeilynen van de grondvlakken.
II. GEVOLG.
Dus zyn cylinders, wier grondvlakken en hoogterl Ff ge*



45° XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot.
gelyk zyn, gelyk: en die, wier hoogten gelyk zyn, ftaan in de zelfde reeden als hunne grondvlakken,.
eucl. XII. ii.
III. GEVOLG.
Dus ftaan cylinders, wier grondvlakken gelyk zyn» in de zelfde reeden als derzelver hoogten: en gevolglyk, zo men eenen cilinder door vlakken , die evenwydig aan de grondvlakken zyn, fnydt, zullen de deelen de zelfde reeden tot elkander hebben, als de deelen die zy van den as affnyden. eucl. XII. 14- 13-
IV. GEVOLG.
Indien twee cylinders gelyk zyn, zyn hunne grondvlakken in omgekeerde reeden hunner hoogten: en omgekeerd.
eucl. XII. 15.
V. GÊVOLG*
Hieruit, en uit XL, 11., het 4. Gev., blykt, hoe men deeze uitdrukking te verftaan hebbe, dat de cylinder geiyk is aan het grondvlak door de hoogte vermeenigvuldigd. Dat is: zy I de inhoud Van den cylinder, H de hoogte, M de middellyn van het grondvlak, 0: 1 de reeden van den omtrek van den cirkel tot de middellyn: zo wordt de inhoud van den
. , , 3 O X M! X H cylinder uitgedrukt door *
S. p. 361. Gev. en p. 364*
III. VOORSTEL.
Ëen cylinder ftaat tot het omfchreeven parallelopipedum, zo als de inhoud van den cirkel tot het vierkant



Xïï. Bock: Over Jen Rol, Jen Keegel, en den Kloot. 451
kant op de middellyn: of zo als het vierde gedeelte Van den omtrek tot de middellyn. S. p. 371. pr. 8 Gev. 2. N°. 3. BEivrs. Uit het 1. Voorftel, XI. irj. Gev; 3. en VII* 13» Gev. 2..
gevolg.
En dtis, volgens de reeden door archimedes be* paald, als Ui 14. (VII. 25.)
IV* VoORf TEL;
De cyiindrifche oppervlakte van eenen cylinder is gelyk aan een parallelogram , Waarvan de hoogte de as van deh 'cylinder, en de grondlyn de omtrek is van het grondvlak van den cylinder: of, waC op het zelfde uitkomt, die oppervlakte is gelyk aai» den inhoud van een' cirkel, wiens radius middenevenreedig is tusfchen den as van den cylinder, en de middellyn van het grondvlak*
tacquet Selecla ex archimeoe pr. 10. Cor. 1. en Cor1
5. en pr. 11, en Cor. r. pr* ir.
bewïs. Uit het I. Voorftel en XI, 17. en VII. 13. Gev. 2»
I. aanmerking. Op dit Voorftel fteunt de bepaaling var» gelykvormige cylinders. Voor den rechten cylinder is de as ook de hoogte, en men kan die woorden onderling verwisfelen.
II. aanmerking. Én dus hebben alle de gevallen , in welk* parallelogrammen onderling gelyk zyn , of in eene bepaalde reeden ftaan (Zie IV, 6,7:) ook plaats voor d« oppervlakten van cylinders.
tacquet pr. 10. Cor. 2. en pr. 11. Cor. 2; 3. &c*, I. gevolg.
De cyiindrifche oppervlakte van eerrechten cylirtier ftaat tot het grondvlak, zo als de as van dencylin;
Pfa de*



45 ^ XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot.
der tot het vierde gedeelte der middellyn van het grondvlak.
tacquet 1. c. pr. io. Ccr. 3. en pr. 12.
II. GEVOLG.
Indien de hoogte van den rechten cylinder gelyk is aan de middellyn van het grondvlak, is de cylindiifche oppervlakte van den cylinder het vicrvo-id van die des grondvlaks. tacquet pr. 12. Cor.
III. GEVOLG.
Zy dan C de Cyiindrifche oppervlakte, G- het grondvlak: dan is de gebefte oppervlakte CC -+- 2 G) in dit geval gelyk aan 4 G -f- 2 G ~ 6 G dat is : de oppervlakte va* eenen rechten cylinder, wiens hoogte gelyk is aan de middellyn van het grondvlak,, is bet zesvoud van dit grondvlak.
I V. VOORSTEL.
Gelykvormige cylinders ftaan in dé driedubbele reeden van de middeilynen hunner grondvlakken. eucl. XII. 12. .— St. p. 373. pr. 11. Sewys, I. Voorftel en XI. U.
VI. VOORSTEL»
Indien de cyiindrifche oppervlakten van twee rechte cylinders gelyk zyn, ftaan die cylinders tot elkander ih de zelfde reeden als de middeilynen hunner grondvlakken of in omgekeerde reeden der hoogten: en indien de cylinders gelyk Zyn, liaan hunne cyiindrifche oppervlakten in omgekeerde reeden van de middeilynen der oppervlakten, of in ondervcrdubbeldt reèden van de hoogte.
tacquet pr. 10 Schol. 2. ïewys. 1. Zy de reeden van den omtrek des cirkels tot de middellyn als O : 1. laaten H en h de hoogten van de cylinders, I en i hunne inhouden, S ea * de opper vlakten,
M



XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot, 4 53
M en « de middeilynen der grondvlakken verbeelden : dan is de cyiindrifche oppervlakte van den eenen tot die van den ander r= HxOMilxOn'.en dus, in dit geval H OM = hX Om; dus H : h = Om. : O M = m : M. Waar I:i = HxMxM:/(X m x»». (II. Voorft, Gev. 1.)
zz m M M : M m m
ZZ M : in.
ss k : H,
II. Uit de enderftelling is I = i: dus M* H = m1 // r dus M: m zz yh : yE; dus S : s = MH : ml =
JM li M m i m hm M — m : M ss yii : yh.
I, gevolg.
Indien men dan uit een blad, dat een rechthoekig parallelogram is, een cylindrisch vat mott maaken, zal de inhoud grooter zyn indien men de kleinfte zyde, dan indien men de grootfte zyde voor hoogte neemt : bet geen in de prak» tyk.van belang is,
II. gevolg,
Hier uit ziet men hoe vtel de oppervlakte van eenen draad vermeerderd wordt met denzelven te rekken: en dus, indien bet eene vergulde draad is, hoe veel de dunheid van het goud (welks dikte in de zelfde reeden als de oppervlakte is, doch, omgekeerd) daar door vermeerdert.
VII. voorstel. Fig. 126. Een keegel is de limiet van alle de Pyramiden die de zelfde hoogte hebben als de keegel, en wier grondvlak een veelhoek is in den cirkel, grondvlak van den keegel, befchreeven. tacquet pr. 9. 10. bewys. Git VII. 11.
gevolg.
Hier uit blykt hoe men het gezegde van veelen te verftaan Ff 3 heb!



454 XIL Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Klooi,
hebbe, dat de keegel eene pvramide is van een oneindig getal oneindig kleine zyden : welke uitdrukking geheel te verwerpen is.
VIII. VOORSTEL.
Een keegel is het derde gedeelte van eenen cylindef Cm dien keegel befchreeven.
eucl. XII. 10. — S. p. 3S3. pr. 18. bewys. Uit het VH. en I. Voorftel; VII. 5. en XI, 25,
I. GEVOLG.
Hier wit blykt boe men het gezegde van veelen te verftaaa hebbe dat de inhoud van eenen keegel gelyk is aan het grondvlak door helderde gedeelte van de hoogte vermeenigvuldigd. S. p. 384. Gev. 2.
II. CEVOLG.
Een keegel ftaat tot een parallelopipedum om den keegel befchreeven, zo als het derde gedeelte van den inhoud des cirkels tot het vierkant op de middellyn: of zoals een twaalfde gedeelte van den omtrek tot de middellyn. (III. Voorft.)
IX. VOORSTEL.
Verfchillende keegels ftaan tot elkander in famengeftelde reeden hunner grondvlakken en hoogten. eewïs. Uit het V1H Voorftel, en II, 8.
I. G EVOLG.
Keegels die de zelfde hoogte hebben zyn als hunne grondvlakken, of in verdubbelde reeden van de middeilynen dier grondvlakken : kegels die gelyke grondvlakken hebben zyn als hunne hoogten: en keegels, welke op gelyke grondvlakken en tusfchen de zelfde evenwydige vlakken ftaan, zyn gelyk, eucl. XII, 11, ifa
II. GE*'



XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot. 455
II. GEVOLG.
Indien twee keegels gelyk zyn, liaan derzelver grondvlakken in omgekeerde reeden hunner hoogten : en omgekeerd. eucl. XII. 15.
X. VOORSTEL.
De keegelachtige oppervlakte van eenen rechten keegel is gelyk aan eenen driehoek, waar van de grondlyn de omtrek van het grondvlak en de hoogte de zyde van den keegel is: of, wat op het zelfde uitkomt, die oppervlakte is gelyk aan eenen cirkel wiens radius middelevenreedige is tusfchen den radius van het grondvlak, en de zyde van den kegel.
tacquet I. c. pr. 10. Cor. 6. Cor. 10. en pr. 13. en
Cor. pr. 13.
bewys. Uit het VIJL Voorft., en XI, 26\enVII. i3.Gev.,2. aanmerking. Alle de gevallen in welke de inhouden van verfchillende driehoeken gelyk zyn , of in een bepaalde reeden ftaan (zie IV , 6, 7. enz.) hebben ook plaats voor de oppervlakte van keegelf. tacquet pr. jo. Cor. 7. en pr. 13. Cor, 2. 3. enz.
I. GEVOLG.
Hier op fteunt de bepaaling van de gelykvormige kegels.
II. GEVOLG.
De keegelachtige oppervlakte van den rechten keegel ftaat tot zyn grondvlak, zo als de zyde van den keegel tot den ra» dius van het grondvlak.
tacquet I. c. pr. 10. Cor. 8. en pr. 14.
III. GEVOLG. En dus, zo de fneede van den keegel die door den top gaat een gelykzydige driehoek is, dat is, zo de zyde vaa den Ff 4 ke-



456 XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot.
keegel gelyk is aan de middellyn van het grondvlak , is de kegelachtige oppervlakte van den kegel het dubbeld , en dus de gebeele oppervlakte het drievoud van het grondvlak. tacquet pr. 10 cor. o
IV. gevolg.
De keegelachtige oppervlakte van eenen rechten keegel ftaat tot de cyiindrifche oppervlakte van eenen rechten cylinder die de zelfde hoogte en het zelfde grondvlak heeft , als de. halve zyde van den keegel tot de hoogte, van den cylinder (iV. Voorft. Gev. I,)
tacquet 10, cor. 9. en 14. cor. 3.
V. gevolg.
Dus is ook de keegelachtige oppervlakte van eenen rech^ ten keegel gelyk aan eenen cirkeN/ïSor, wiens boog aan den. omtrek van het grondvlak , en wiens radius aan de zyde van den keegel gelyk is. De zyde nu van den keegel ftaat tot den radius van het grondvlak, zo als 3000 tot den gemelden boog.
Hier uit befchryft men gemaklyk eenen Settor, die door omroliing van het papier een keegel van eene gegeeven hoog. te en grondvlak worde.
Want, zy (fig. 193.) PQ de middellyn van den cirkel die het grondvlak van den keegel zyn zal,: zy A C de zyde van den keegel: zy 2 A C of de middellyn tot PQ. == of de omtrek tot den boog D E, dat is tot den hoek DCE: maak dan op CA, uit C, L DCA == L ACE = \ gevonden hoek : dan is de driehoek D C Ë de oppervlakte van den keegel, de boog DAE gelyk aan den omtrek van het grond, vlak IZ , en dus, indien men DAE om den cirkel Z rolt, zal men den gevraagden keegel verkrygen.
XI. voorstel. Fig. 128.
De oppervlakte van eenen geknotten rechten keegel is gelyk aan den inhoud van een rechthoekig trapezium waar van
de



XII. Boek: Over den Rol den Keegel, en den Kloot. 457
de hoogte de zyde van dei 1 geKii"tien keegel is, cu de onder» fte en bovenfte zyden de omtrekken zyn van den onderUen en bovenden cirkel des geknotien keegels: of, 20. wat op het zelfde uitkomt, die oppervlakte is gelyk aan den inhoud van een parallelogram, wiens hoogte de gemelde zyde is, en wiens grondlyn middel ariibmetiich evenredig is tusfchen de omtrekken der beiden cirkels van den keegel: of eindelyk, 3°, wat nog op het zelfde uitkomt, die oppervlakte is ge» lyk aan den inhoud van een'cirkel wiens radius geomeiri^ch middenevenredig is tusfchen de zyde des keegels, en de fom der rad ën van de beide cirkels. tacquet 1. c pr 15. bewys Dit het X Voorftel, en IV. 7. Gev. 8f N° 7. AANMEtiKiNO. Indien Y de ci'kei is die de bovenfte . pper» vlakte is van een' geknotunkeegel: en men ftelt, fFig. 193.) middellyn van Z tot middellyn van Y — AC: CF: zal boog GH gelyk aan den omtrek van, den cirkel Y zyn : en dus zal G D EH de oppervlakte zyn van den geknort*n keegel, en het vlak , daar door omrolling op de beide cirkels, den geknotten keegel uitmaakt.
XII. voorstel. Fig. 131.
De kloot is de limiet van alle de veelzydige iichaa« men die in den zeiven befchreeven kunnen worden. bewys- Git VII. ii.
gevolg,
Hieruit blykt hoe men te verftaan hebbe 't geen veelen zeg. gen dat de f( heer een veelzydig lichaam of polyedrum is van een oneindig getkh oneindig kleine zyden; een denkbeeld dat geheel onnaauwkeurig is (XI. 29.)
XIII. voorstel. Fig. I29.
De" oppervlakte van den kloot is het viervoud van; den grooten cirkel van dien kloot: of, 2,0 wat op het zelfde uitkomt, zy is gelvk aan een cirkel wiens radius Ffj het



458 XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot.
het dubbeld is van den radius des grooten cirkels; of eindelyk 30 wat nog op het zelfde uitkomt, zy is gelyk aan den rechthoek uit de middellyn en den omtrek eens grooten cirkels,
TACQUET, pr. 18 — 24.
bereiding. Men onderftelle dat 'er in den grooten cirkel een regelmatige veelhoek van een even getal zyden befchreeven , doch welk getal door vier deelbaar is. Zy ABCDEFGH een dergelyke veelhoek, AE de as van den kloot : men trekke de lynen zo als in de figuur, en men ftelle dat nu de kloot door de omwenteling van den halven cirkel gevormd word : dan befchryft de omtrek ABCDE van den halven veelhoek een lichaam, beftaande uit twee gelyke keegels ABH en EFD en verfchillende geknotte keegels BCGH, doch die wederzyds van den equator C G altoos ieder in hun rang gelyk zyn, zo dat 'er altoos twee gelyke gevonden worden. bewzs. Men neemt de oppervlakten van die keegels en geknotte keegels ABH, HBCG &c. en derzelver fom: welke men tot eene tenvouwdige waardy herleid : namelyk O >C AE 5£ BE door VI., 24 ; de oppervlakte des keegels is dus de limiet van die fom, en men ftelt dus, voor de lyn BE die in dezelve voorkomt, derielver limiet, namelyk de middellyn AE; waaruit het gefielde volgt door VII, 13. Gev. 1.
AiNMEKKïNG. Men neemt een getal zyden voor den veelhoek, dat door vier deelbaar is, opdat het even zoude zyn in den halven cirkel: en opdat 'er dus geen zyde evenwydig aan den diameter zoude zyn , en 'er dus geen cylinder geboren zoude worden.
I. GEVOLG.
De oppervlakte van den kloot is dus gelyk aan de cyiindrifche oppervlakte van eenen rechthoekigen cylinder die om denzelven befchreeven is. (IV. Voorftel,) tacquet pr. 26".
IL GE-



XII. Boek; Over den Rol, den Keegel, en den Kloot. 459
IJ. GEVOLG,
De oppervlakten van verfchillende fpheeren ftaan tot elkander als dü vierkanten hunner middeilynen. 31. aakm uking Indien men dit Gevolg vergelykt met de 3,
Bepaaling van het XI. Boek, en met het geen wy in de
1. Aanmerking op htt X'il. Voordel van het VII. Roek;
gezegd hebben, zal het blyken dat allé kkoten g&lykvonnige
lichdamtn zyn,
III. GEVOLG. Fig. 189,
De oppervlakte van den kloot ftaat tot de geheele op. pervlakte van den gelykzydigen keegel in denzelven befchree* ven als 16 : 9,
Want, de oppervlakte van den kloot is het viervoud van den grooten cirkel; die van den keegel het drievoud van het grondvlak (X Gev. 3.) Maar groote cirkel van den kloot tot grondvlak van den kt egel zo als ON1: OF* of OG*
= GO1 : ÖT (V.. 5- Gev. 2.) en dus
= OG' ; ($ O G)1 : rs ió : 9
en dus oppervlakte van den kloot tot die van den keegel == 16 : 9. tacquet pr. 39.
IV. GEVOLG. Fig. 189.
De oppervlakte van den kloot (laat tot de geheele oppervlakte van den gelykzydigen keegel om denzelven befchreeven als 4 : 9
tacquet pr. 40 want oppervl. van kloot GNFO:oppervl. van keegel G O P
s= 16: 9. (Gev. 3.)
Maar, om dat K I — ? O N ,
is oppervl. van kloot KBID rr \ oppervl van kloot GNFO (II. Gevolg.) dus oppervl. van kloot KBD; Oppervl. van kegel BKD
= 4:9 V. GE-



4f)o XII. Roek; Over den Rol, den Keegel, en den Kloot*
V. GEVOLG,
Dus is de geheele oppervlakte van den omfchreeven keegel het viervoud van de geheele oppervlakte van den infehreeven keegel.
tacquet 41.
XIV. voorstel. Fig. 129.
De ronde oppervlakte van een ftuk (A C D F G H A) van eenen kloot is gelyk aan den inhoud van een' cir* kei wiens radius eene lyn (AD) is getrokken uit het ftip A van dat ftuk, pool van den cirkel die het grondvlak van het ftuk is, naar den omtrek van dezen cirkel. tacquet pr. 25.
bewys. Uit het XIII. Voorftel en VI. 25,
XV. voorstel. Fig. 130.
Indien et een rechthoekige cylinder om eenen kloot befchreeven is, en men fnydt den cylirdxr en den kloot beiden door vlakken ISQM die loodrecht op den as B L ftaan,,' zullen de cyiindrifche oppervlakten van ieder ftuk (ACM1) van den cylinder, gelyk zyn aan de ronde oppervlakten van ieder overeenkomend ftuk (S D Q) van den kloot, tacquet pr. 26. 27.
BEREiDiNp. Zy het □ AE de fneede van den cilinder
door den/as, en dus de cirkel FBDL die van den kloot.
bewys. Uit het IV. en XIV. Voorftel.
XVI. voorstel. Fig. 131.
De kloot is gelyk aan een'keegel, wiens hoogte de radius ■is van den kloot, en wiens grondvlak gelyk is aan de oppervlakte van den kloot. tacquet pr. 28.
bewys. Uit XI. 39, en het VII. VoorfteL
I. gevolg.
D,e kloot is het viervoud van eenen keegel wiens grondvlak.



X11. Bock: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot. 461
vlak de groote cirkel van den kloot en wiens hoogte de ra* dius van den kloot is.
II. GEVOLG.
En dus is ook de kloot het dubbeld van eenen keegel wiens grondvlak de groote cirkel van den kloot, en wiens hoogte de middellyn van den kloot is.
III. GEVOLG.
En de halve kloot is het dubbeld van eenen keegel wiens grondvlak de groote cirkel van den kloot, en wiens hoogte de radius vah den kloot is.
tacquet pr. 28. Cor. en pr. 30.
IV. GEVOLG.
Een feétor van den kloot is gelyk aan een' keegel, wiens hoogte de radius van den kloot is, en wiens grondvlak de oppervlakte van den lector is. tacquet. pr. 29.
XVII. VOORSTEL. Fig. 131. De cylinder is gelyk aan anderhalf maal den kloot om welken hy befchreeven is, zo wel wat denkinhoud als de geheele oppervlakte betreft.
tacquet pr. 32. S. p. 388. pr. 21.
bewys. Uit XVI, Gev. 2, VIU, XIII. en IV. Gev»
aanmerking. akchimedes fchatte dit Voorftel zo hoog ,
dat hy beval dat men op zyn graf eenen kloot, in eenen cylinder befchreeven, verbeelden zoude.
I. CEVOLG.
Hiér uit blykt hoe men te verlkan hebbe het geen veelen 2eggen , dat de kloot gelyk is aan den inhoud van den grooten cirkel, door twee derde gedeelten van de middellyn gemultipliceerd.
S. p. 390. Gev. 2.
II. OE*



462 XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Klooft
II. g e v o lc*
Indien eeh keegel, en een cylinder dert grooten cirkel vati eer.en kloot tot grondvlak hebben, en tot hoogte de middellyn van den kloot: zullen de keegel, de kloot, tu de cylinder tot elkander (iaan als r, 2, 3.
tacquet pr. 32. Cor. 1.
S, pr. 390. Gev. 1.
X V111. voorstel*
Een kloot ftaat tot den cubus die om denzelven befchreeven is, als het zesde gedeelte van den omtrek tot de middellyn.
bewys. Uit het XVIt. en III. Voorftel.
gevolg.
De kloot ftaat tot den cubus vah de middellyn, naar de reeden door archimedes gegeeven als U: 21 j haar die van ludolf als 157: 300 of 11: ai, 02
bewys. Uit VII. 16.
XIX. voorstel. Fig. 189.
De kloot ftaat tot dt.n gelykzydigen keegel in denzelveii befchreeven, als 32 - 9. tacquet pr. 42. bewys. Kloot K MDIBP: keegel BKD=r 4 KT X CI:
BD* x KL (XVI. en IX.J == 16 Cl5 : BD* x KL S lóCl5 : 3 CI1 x KL, (VI. 16) *= iö CIJ : 3 CI* X I Cl (VI. 8. Gev. 3.) Sr 32 : 9.
XX. voorstel. Fig. 189.
De kloot ftaat tot den gelykzydigen kegel om denzelven , befchretven , zo als 4 : 9. tacquet pr. 44,
3e-



XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot, 463
bewys. Kloot KM DIBP : keegel GO F afe 4 KI* 5C CI : GF1 xOI (XVI, enIX.) s= 16 X CI3 : GF1 X 01 = 16 X Cl' : 3 CN2 X OI rz 16 x Cl' : 3 CN1 x I CN = 32 CIJ : 9 CN' = 32 Cl' : 9 X 8 ÏÏI5 = 4-9
aanmerking. De zelfde reeden heeft ook plaats voor de oppervlakten van dien kloot en van dien cylinder, zo als blykt uit XIII. Gev. 4.
gevolg.
Dus is de gelykzydige keegel om den kloot befchreeven, het achtvoud van den gelykzydigen keegel binnen den kloot fcefchreeven.
tacquet pr. 43.
XXI. v oorstel. De gelykzydige keegel en de rechte cylinder , beiden om den kloot befchreeven, (taan zo wel voor den inhoud als voor de geheels oppervlakte tot elkander zo als de gemelde cylinder tot den kloot of zo als 3: 2 tacquet pr. 45. bewys. Uit het XX. en XVII. Voorftel.
XXII. voorstel. Fig. 189,
Indien een gelykzydige keegel en een rechte cylinder beide om denzelfden kloot befchreeven zyn, ftaan hunne geheele oppervlakten, hunne bolle oppervlakten, hunne inhouden, hunne hoogten, hunne grondvlakken, als 3 : 2. tacquet pr. 46. mwys. Voor de geheele oppervlakten, en de inhouden* keegel : kloot =9:4: (XX. en XII.) kloot : cylinder = 2 : 3 (XVM.) Dus keegel; cylinder Ss: 3 : 2
V«or



464 XII BoekïOver den Rol, den Keegel, en den Kloot.
Voor de bolle oppervlakten :
keegel: cylinder c= j GF1 : KI2 (IV, X, en Boek
VII, 13. H-) = § CN* : 4 IN2 (VI 16)
e= | CN1 : CN2 = 3:2. Voor de hoogter: keegel: cylinder = O I : K I '= 3 : 2 Voor de grondvlakken: keeael; cylinder z= 0 opGF: 0op TS -+- O opQR rrs 0 op GF : 2 © op I'S
= üF2 : 2 TS2 (VIL 44.) ■= 3 CN2 : 2 CN2 = 3:2
XXIII voorstel,
Veifchillehde fphceren ftaan tot elkander in 'dé driedubbelde reeden hunner middeilynen.
üucl XII. 18 — S. p. 391. pr. 22. . sewys. Uit XVIII.
XXIV. voorstel.
Kleine fphëertn hebb.n meerder oppervlakten met betrekking tot derzelver inhoud, dan grooten : en wel in omgekeerde reeden der middeilynen.
bewys. Indien O en 0 , de oppervlakten: I en i de inhouden , M en m de middeilynen aanduiden is Q — 4 gr. Cirk =r 4 omtr. gr. Cirk. X \ M zz omtr gr,
cirk. x M
M*
I r= O X \ M = omtr gr. cirk. x -
ii 0 « dus O : 1 := 6 : M en - = M
O 6 O O 6 6 insgelyks 7 = m! en I ; 7 = M 1 ï. S * : M
XX V. voorstel. Alle regelmatige lichaamen kunnen in eenen kloot befchreeven worden.
AAN-



JiTA Boek: Over den Rol. de*,i Keegel, en den Kloot, 4Ö5
aanmlmc'NG. Men vindt in het XIII, 117 , en XV Boek van euclides veele voorftellen die infcbryving be. treffende; Wy zullen allt'én aanmerken, vooreerst d„t wan» heer een regelmatig lichaam in eenen kloot tercbreeven is, 'de as van deri kloot 'ook die van het lichaam is; en ten twee. den, dat, zo dradeas van een regelmatig lichaam gegeeten is, zyne zyden en ribben ook eene bepaalde grootte hebben. 'Gevolglyk, om een bepaald lichaam in eenen bepaalden kloot te befchry ven , moetmeri i° uit de gegeeven 'grootte van dtn as des kloots beliuiren, welke de grootte is van
- de ribben in het gemelde lichiam: en a° de ftipp-n van de klootfche bolle oppervlakte bepaalen op welke de hoe-' ken van hel lichaam rusten zullen.
ÏI. aanmerking. Wat Wet eerfte gedeelte betreft, men kan zulks gemaklyk verrichten door het geen v?y in bet Gevolg van het XXXill. Voorftel van het XI. Boete gezegd hebben. Wy zulle-n nu kortheidshalven door A den as Van den klöot en dus ook van het lichaam, en door R<de ribbe van het lichaam uitdrukken. Verder, men kan ook, de as van den kloot door eene lyn uitgedrukt zynde, 'de ribben vaft alle de regelmatige lichaamen 5 in dien kloot befchreeven, insgelyks door lynen uitdronken.
Zy dan (Fig. 191.) A B de as van den kloot, AEB'de halve cirkel op denzelven , en dus de halve fneede van den kloot lan^s den as.
I. Voor het tetraedrum*
A == R y\ : en dus R = A y\ of
R2 = | A2 of R2 : A2 = 2:3
Dit is de XIII. propofitie van het XIII. Boek van euclides.
Indien men hu maakt AD: D15 : A B ZZ 2 : 1 : 3 ; Z D loodrecht in D opricht; en A Z trekt: dan is A Z de ribbe v an het tetraedrum!: want i° ZDl zz ADj< DB(V.i2.Gev>sO
|= | AB X f AB = ; AB1; voorts AD2 SS f AB*
Gg «*U9



4&5 XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot,.
dus AZ2 = AB2 x l~ ab1 x f: en az = AB VIeucl- xiii. 18.
II. Voor het octaedrum. is A = R yi: of A2 zz 2 r1 , „ a
dus R zz ^ : of R : a zz i : V2
Dit is eucl. xiii, 14.
Men trekke, uit c, c e loodrecht, en dan ae: AË it de ribbe van het Octaedrum: want aTï2 = ACZ + EC* = | A"b2 z= i AB2 : dus AE zz ab y\. eucl. xiii. iS.
III. Voor den cubus»
Is a = R y3 .: dus R == —
of A2 zz 3 R2
dus A2 : R2 zz 3 : 1
Dit is eucl. xiii. 15.
Trek ZB: ZB is de ribbe van den Cubus: want zb2 zz ZD2 *b DB2 = f AB1 + } ab2 St= AB2 x |: dus ZB sa ab v\.
eucl. xiii. 18.
mi. Voor het icosaedrum.
is a zz r. — Vs
3- VS-
dus R zz A. t^S — VS _ a 1^(3TZYJ}±1±VS) 5 - VS (S — VS) (5 -*-y5)
S A f^10 ~ *VS = A ^ — Vj«
20 "** iq
Stel



XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot. 467
Stel AH zé ab : trek HG: uit T, TK loodrecht: en dan AT deeze is de ribbe van het Icofaedrum: wantTK:KC= HA:AC:dus KC rz \ TK dus TC2 = 5KC1 ZZ \ AB2 :enKCzzAB^'s. Öok is AT : A k ZZ AB : AT. dus AT2 zz AK 55 AB.
Maar AK zz AC - KC zz l AB — AB ^=1 AB
(1 - V0
dus AT2 = i AB(i -|/|)x AB
* (VS - 0 , fs — V5^
dus AT = AB ^ ~ Vs.
10.
V. Voor het dodecaedrum; is A = R X vs ±
Men fnyde dus ZB in N in uiterfte eri middelfte reeden:
dan is NZ de ribbe van het Dodecaedrum:
want N Z — * Z B CV 5 — 1) door IV; 7. Aanm. 7.
maar ZB zz AB y\:
AB . . dusNZ =z~^X(^S — 1)
lil. Aanmërkikg. Zie daar dan de grootte der ribben van de vyf lichaamen in den zelfden kloot befchreeven bepaald . en door lynen uitgedrukt, euclides heeft ookj 20 als wy gezien hebben, de grootte van de ribben van het Tetraedrum, het Oéhedrum, en den Cubus bepaaldelyk opgegeeven; doch niet van het Icofaedrum en het Dode* Saedrum : en hiér in zy wy dus verder. Hy geeft aan de ribbe van het icofaedrum den naam van de kleine onmeetbaare lyn: en aan die van het dodecaedrum den naarri G1 2 vab



468 XII. Boek i Over den Rol, den Keegel} en den Klooi-*
van apritome, dat is de afgejneeder.e. Men zoude eene vry omflagtige verklaarihg van veele ftukken) uit het zeer möeijelyke X. Boek van euclides moeten geeven om dit alles te verklaaren: genoeg zy het hier te melden , dat men ook apotome noemt, de ftukken van eene lyn in uiterfte en middelfte reeden gefneeden , het geen hier voor de ribbe van het dodecaedrum plaats heeft: en dat men kléine ■cnrreetbaare (rationalis minor) noemt, eene lyn wier vierkant of magt, gelyk is aan den rechthoek , (of het producT;,) van eene meetbaare lyn en de vierde apotome: (X. 95 ) en men noemt vierde apotome het verfchii (byv. 51— y5) van twee grootheeden (5 en y%) dit alleen in magt (dat is 51 en 5) en niet in lengte meetbaar zyn : en verder zodanig gefteld zyn dat het verfchil (20) hunner vierkanten (25 eft 5) alleen in magt, en niet in lengte (dat is niet "1/20) meetbaar is met de grootfte grootheid (5). Dit nu is het geval voor de ribbe van het icofaedrum:
A B1 A B
want AT2 — — * (5 - V$) = - X A B(S _ ^5):
— A B
dat is het producT; van eene meetbaare lyn — en eene
onmeetbaare AB (5 — Ys) die een vierde apotome is. IV. aanmerking. Nu blyft er nog overig de infchryving zelve.
I. Voor het tetraedrum»
AZ is de rï'obe van het Tetraedium: dus zullen de drie ribben, die het driehoekig grondvlak uitmaaken , in het vlak van den kleinen cirkel moeten ftaan, waarvan Z D de radius is. maar ZD2 : AB* = § AB" : AB2 zz 2 : 9 en dus Z D : A B = j/2 : 3 of
Z D : i A B zz Vz : \; — 2 yi: 3. En dus zal men den cirkel hebben, in welken men eenen gelykzydigen driehoek befchryft, die met de lynen naar den top A getrokken het tetraedrum zal uitmaaken.
II. Voor



XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, enden Kloot. 4.69
11. Voor het ociaf.drüm.
Voor het OUaedrum is AE de ribbe: dus. EC de radius van den cirkei, waarin het vierk"nt dat de beide pvramiden welke het vlak van het octaedrum uitmaaken vereenigt: en dus indien men eenen grooten cirkel loodrecht op den as ftelt, befchryft men flechts een vierkant in dien cirkel: en trekt lynen naar de beide uiteinden van den as. eucl* XIII. 14.
III. Voor het icosaedrum.
AT is de ribbe van het Icojaedmm: men neemt vooreerst op den kloot eenen kleinen cirkel, loodrecht op den as , en waar van TK - i KC 3 2 AB — AB V\ de .halve middellyn is. Dit komt juist overeen met euclides XIII, 16, want hy ftelt byv. in Fig. 75 •' AD de middellyn van den kloot; maakt AF : FD = 4 : 1 J «efct BD en neemt die voor den radius van den cirkel;
nu is A D : B D — B D : F Den dus BD = V t\ D . F£> —,y AD X \ AD. pz AD |/f.
Men befcbiyve dan verder in dien cirkel een' vyfhoek, die de vyfhoek(DGHBC fig.. 113 3 zyn zal, welken de vyf gelykzydige driehoeken, in den top veréénigd, uitmaaken.
Men befchryft uit den anderen pool B eenen dergelyken .cirkel: men laat door de poolen, en door twee hoeken van den reeds befchreeven vyfhoek , twee halve cirkels gaan, die den tweeden kleinen cirkel in twee ftippen fnyden: men deelt den boog tusfchen die twee ftippen in twee gelyke deelen: Men maakt van het itip van deeling af in dien kleinen cirkel een' vyfhoek, die gelyk zal zyn aan den reeds be-. .fchreeven, doch zodanig gefteld dat zyne hoeken loodrecht over het midden der zyden van den anderen ftaan. Men trekt lynen van. de hoeken van den eenen vyfhoek naar de beide uiteinden van de tegenover.taar.de zyde van den an:dereu en van de hoeken van iederen vyfhoek naar den pool: en mesj heeft, het icofaedrum.
Gg 3 V? Voor



470 XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Klooi.
IV. Voor den conus.
Daar Z B de ribbe is van den Cubus b-fchryft inen uit B, met ZB op de oppervlakte van den kloot eenen cirkel waarvan ZD de radius is: dus is die cirkel de zelfde als voor het tetraedrum. Indien men in dien cirkel een' gelykzydigen driehoek befchryft, zyn dezelfs zyden de diaeonaalen van drie vierkanten die den cubus uitmaaken; en dus uit B lynen trekkende naar de zyden van dien driehoek, heeft men drie ribben van den cubus.
Indien men door de poolen en de uiteinden van een der ribben een'grooten cirkel laat gaan , dan uit den tweeden pool, en om denzelven een' gelyken kleinen cirkel trekt als uit den eerften pool, en in denzelven, te beginnen met de plaats daar by door den gemelden grooten cirkel gefneeden wordt, weder een' gelykzydigen driehoek maakt, en naar denzelven pit den tweeden pool lynen trekt, heeft men wederom drie ribben; dezelven met de anderen vereenigende verkiygtmen de zes overigen, en dus den geheeleu cubus.
V- Voor het dodecaedrum. De befchryving van het Dodecaedrum hangt van den cubus af: de cubus ééns befchreeven zynde, zyn de acht ftippen daar de acht hoeken van den cubus raaken, ook acht ftippen daar acht der hoeken van het dodecaedrum rusten. Indien men de ribben van den cubus in twee gelyke deelen fnydt, en de tegenovergeftelde deelings-ftippen met lynen vereenigt , zullen deezen zich op ieder vierkant of zyde van den cubus, in het middelpunt van dat vierkant vereenigen. Indien men dan op eene dier lynen, in een dier vierkanten genomen, ter wederzyde van het middelpunt, de helft ftelt van het grootfte der twee ftukken van de zyde des cubus wanneer die in uiterfte en middelfte reeden gefnee-, den is, en uit de uiteinden dier halve ftukken loodlynen tot aan de holle oppervlakte van den kloot richt: zal de lyn die de uiteinden van deeze loodlynen befpant de ribbe xyn van het dodecicdrum: en dus de uiteinden van die ribbe
mei;



XII. Boek: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot. 471
met de naastliggende hoeken van den cubus vereenigende, VMkrygt men reeds vyf ribben van het dodecaedrum: men gaat op de zelfde wyze voort voer ieder vlak van den cubus: met dit onderfcheid,. dat men in de vier vlakken, die aan het vlak dat men voor het eerfte genomen heeft grenzen, niet de lynen neemt welke roet de gebruikte lyn evenwydig zyn, maar die welke met deezen rechte hoeken maaken. Men verkrygt dus voor ieder vlak, vyf ribben : en gevolglyk voor de zes, de dertig ribben van het dodecaedrum.
EUCL. XIII. 10.
V. aanmerking. Indien men nu de vyf lichaamen in eenen en den zelfden kloot befchryven wil, moet de as van allen de zelfde zyn, de middellyn namelyk van den kloot: er blyft dan niets overig dan de ribben te vinden: en men verkrygt uit het geen hier boven gezegd is het volgendej noemende A den as van den kloot.
I. Voor het tetraedrum» Ribbe = A x V\ :
Oppervlakte: — 2 A1 x a'
Inhoud = _
II. Voor het o,ctaedrum. Ribbe rr; s?
V 2
Oppervlakte: A* V$. Inhoud —
6
III. Voor het icosaebrum.
Ribbe =2 A J^l^TJ/^ 5 — VS
Gg 4 Op«



47 Boek. Over dm Rol, den Keegel, en den Kloot-. Oppervlakte — s A! ^3 Yf)^ ^
inhoud = f? A'C-"^') V^ÏXL - VS' 2(s_^5)
— » A ■ 5 CS - Y5).
IV. Voor den cobu^ Ribbe — A X V\ Oppervlakte = 2. A3,
Inhoud = —r 3 Y3
V. Voor het n o d, E c a e d r u i^, Ribbe = A (^-~)
Oppervlakte 5 Al
5 - i/;
Inhoud — A5 x h ^ ^ * Xl> -5
I. gevoeg.
Hier uit volgt 1" dat de oppervlakte van het dodecaedrum Haat tot die van het icofaedrum
= S A* VÏEB ; A, (*~s\
== 1: Y3 Vl-V* 5 ~ VS
= ^ : ^fZT^'' dat "' de °PPervI.akte van herdodecaedrum ftaat tot die van hst icofaedrum als de ribbe Van den cubus tot die van hst icofaedrum: SVCL. XIV. 4.
II. $e\



XII. Boek Over den. Rol, den Keegel. en den Kloot. 473
1I. GEVOLG, Het dodecaedrum ftaat tot het icofaedrum
- A3 x 5 ^S^>. „ A. fHZ
- Tï J5 ^ 5 (S - y5)
1 5 ~ VS
~~ 1' 2 Ci"-*- y5) (s-V0
= 1-2 - VT- ~ ^
-+- vs ö - ys) (s - vs)
- ' 5 - y"S
En dus ftaat het dodecaedrum tot het icofaedrum zo als de. ribbe van den cubus tot die van het icofaedrum, tucL. XIV. 6.
Hl. GEVOLG,
Dus hebben de oppervlakten van het dodecaedrum en ico. feedrum de zelfde reeden tot elkander als de inhouden dier zelfde figuuren , namelyk die van de. ribbe varr den cubus tot de zyde van het icofaedrum:
IV. GEVOLG.
Indien nu L eene lyn is in uiterfte en middelfte reeden gefneeden, zy G het grootfte . K het kleinfte ftuk: zo is
(IV, 7. Aanm.6.) G — \ (ys - 0 L
K — 2 (3 — Vs) eB dus
4
Gg 5 V L*



474 XII. Boek: Over den Rol , den Keegel , en den Klooi.
— i • (3 - vs) _ , . Vi- VS
S—Y5 VT' 5 -VS
— ribbe van den cubus tot die yan het icofaedrum , Maaz
Ih1 •+- G*en ^L* -rfa K* zyn de zyden wier vierkanten, dat is de vierkanten op de zeiven gemaakt , gelyk zyn aan de fommen der vierkanten op de geheele lyn en het grootiie of kleinfte ftuk: en dus ftaat de ribbe van den cubus tot die van het icofaedrum, zo als de lyn wier vierkant gelyk is aan het vierkant van eene lyn in uiterfte en middelfte reeden gefneeden te famen met het vierkant van het grootfte ftuk , \n de lyn wiet vierkant gelyk is aan het vierkant van de gemelde gefneeden lyn t,e famen met dat van het kleinfte. ftuk.
eucl. xiv. 5.
V. CEVOLG.
De driehoek van het icofaedrum, en de vyfhoek van het do» decaedrum, kunnen in den zelfden cirkel befchreeven worden.
Want de radius of ftraal des cirkels waar in een gelyk». zydige driehoek befchreeven is, is s — R y\'.
doch bier R = A Z^3 ~ Vs : dus 5 - VS
s=a/^-|/s v
3(5-1/5)
De radius van den cirkel waar in een vyfhoek befcbreeve»
wordt, is s == R —— (Zie bL 433- reg. 3.) 5 VS
Maar R = A —— :
dus S — A V*- (Yï ~ *>* -*
4x.3c5 — VS~)
A



XII. Bock: Over den Rol, den Keegel, en den Kloot. 475
= /^(ó — 2 VS) — y3 -
4 X 3(5- t^5) 3 (5 — VS)
en dus die radius gelyk aan den radius van den cirkel waar in de driehoek van het icofaedium kan befcbreevea. Worden.
S.VÏL. XIV. 2.
AAN.



AA NHANGSEL
OVER DE WORTEL TREKKING UIT GETALEN.
Wy hebben in de I. en II. Aanmerking op het IL Voorftel van het II. Boek, en in het II. Gevolg van het XIIL Voorftel van het XI. Boek de grondbeginfels opgegeeven, waarop de regels, die men tot de worteltrekking uit getalen gebruikt , gevestigd zyn: wy oordeelen het niet ondienftig thans aantetoonen hoe die regels in de daad uit de; gemelde grondbeginfelen worden afgeleid.
Den Quadraai* of den Gubiek-wortel uit een getal te trekken is, het getal te vinden dat, door zich zelf ééns of twee maaien vermeenigvuldigd, wederom het gegeeven getal opleevert.
Het getal, dat de wortel is, kan begreepen worden, uit zo veele deelen te beftaan als het cyffer letters heeft: dus by voorbeeld beftaat 376 uit drie deelen 300, 70, en t>: of uit 3, 7, 6, wel verftaande dat in het laatfte geval ieder cyffer eene tien-dubbelde waarde verkrygt wanneer men eene andere cyffer ter rechte zyde van dezelve plaatst.
De regel nu beftaat uit twee deelen : vooreerst het bepaalen van het getal der cylferletters die den. wortel uitmaaken: en dan het vinden van ieder diescyffers in het byzonder.
I. Over den q.uadraat wortel.
De Quadraat-wortels van alle de getalen tusfehea g en,iog beftaan uit ééne cyfferletter: die vandege-



Aanhangfel. 4^
talen tusfchen 100 en 10,000 uit twee: die van da getalen tusfchen io,coo en 1,000,000 uit drie en zo voorts: zo dat men altoos weeten kan uit hoe veel letters de Quadraat-wortel van een gegeeven ^etal beftaan zal. Men behoeft flechts, van de rechter hand te beginnen , het gegeeven getal ih fneeden i ieder van twee cyfterletters, te verdeeien ; en dus» indien het getal dier cyfferletters oneeven is, zal dè laatfte fneede flechts uit ééne beftaan. De wortel zat uit zo veele cyfferletters (en dus deelen) beftaan, als er fneeden gemaakt zyn.
Ieder paar cyfferletters in het gegeeven getal geeft dus ééne cyfferletter voor den wortel; en iederö fneede heeft in het getal eene honderd-dubbele waarde met betrekking tot de volgende, zo als ook iedere letter van den wortel eene tiendubbele waarde heeft met betrekking tot haare volgende. Qa)
Om nu den wortel uit een gegeeven getal te trekken , heeft men flechts te letten op de uitdrukking (a + b)z zz az 4. 1 ab + bz zz az + (2 a + b) bt en het gegeeven getal met dezelve te vérgelykea.
Ik wil byv. den Quadraat wortel uit 1704 trekken: ik deel het getal in fneeden van twee letters aldus 17 1 64: waar door ik weet dat de wortel uit twee letters
zal
(«) Byv. In het getal 17 | 64; is de eerfte fneede , in zich zelve btfchouwd 17, en de tweede 64: doch zo ik de eerfte met de tweede vergelyk, is de eerfte met betrekking toe de tweede niet 17, maar 1700, dus honderdmaal meer dan in het afgetrokkene. Insgelyks in den wortel 42 is de eerfte cyffer in het afgetrokkene of op zich zelve bëfchouwd, 4: de tweede is 2: doch zo ik de eerfte met de tweede verge* Ifk, wordt die eerfte 40, of krygt eene tiendubbelde waarde»



47S Aanhdngfel
zal beftaan waarvan ik de eene met a, de andere ftiét b zal vergelyken.
Ik vergelyk dus 17 | 64 met al + 2 ai + bl eri wel 17, (dat is hier 1700), met di. Het vierkant dat. het naast aan 17 (of «700) komt is 16 (of 1600), waar van dè wortel is 4 (of 40): ik ftel dus 4 Cdat is 40) = a , voor het eerfte gedeelte van den wortel: ik trek het quadraat 16 (of 1600) van 17 | 64 af, de rest 164 zal nu gelyk zyn aan 1 a b -+• b2 = (2 a -4- 6) b. Ik neem het dubbeld van 4 (of 40} dat is 8 (of 80) welke ik dus vergelyk met 2 a: ik deel door hetzelve 10* (of i6d) dat is 2 ab: eh het quotiënt 2 is waarfchyn, 2 a& ,
fy£ de tweede letter van de wortel öf6, want— = frik ftel dus de a naast de 8, dat is, ik voeg de 2 by de 80 : of ik neem 2 a 6: ik multipliceer 82 door 2 (dat is (a a + b) door fr) : ik verkryg 164 die ik met 2 a b -f- ö2 vergelyk: en daar dit product gelyk is aan de rest 164 , blyft er na de aftrekking niets over: en dus is 42 de wortel van 1764. Zie hier de geheele bewerking in orde gefteld. getal wortel
o
ïk heb gezegd dat 2 waarfeliynlyk de tweede letter' Van den wortel is: want indien 82 x 2 grooter waare geweest dan de rest, 164, zoude men daaruit gezien hebben dat 2 te groot is, en men had dus voor 2 eene kleinere cyffer moeten gebruiken.
Wanneer de wortel uit drie of meerder cyfferlet-
tere



Aanhang fel. 4j?c>
ters beftaat, gaat men op dezelfde wyze tewerk, en men befchouwt, om de derde letter te vinden, de twee eerfte letters als maar ééne uitrnaakende, volgens de uitdrukking (a "+" b c)z zz a -+- £2-f-Q(a ~t-b) 4fe c .+- <?*. Wanneer nu de twee eerften gevonden zyn, is het deel a-4-6* afgehandeld, en de overige cyffers van het gegeeven getal zyn gelyk aan a (a ■+■ b) c + c\ Om de vierde letter te vinden befchouwt men de drie eerften als ééne letter uitrnaakende, en men gaat altoos zo voort.
REGEL,
I. Deel het gegeeven getal (by voorb. (488601) in
fneeden ieder uit twee letters beftaande, beginnende aan de rechterhand (48 | 86 J 01)
II. Neem het quadraat (36) dat het naast aan het
getal (48) van de eerfte fneede komt: trek het van die fneede af, en teeken de rest (12) aan. De wortel (6) van dat quadraat is de gezochte cyffer van den wortel.
III. Stel de cyffers van de volgende fneede (86) naast de rest, en befchouw dit getal (1286) als één getal.
IV. Neem het dubbeld (12) van de gevonden Ietter (6) des wortels: divideer daar door het getal N° III. de laatfte cyffer niet meede reekenende (dus hier 128) : merk het quotiënt (9) aan als de nieuwe cyffer van den wortel.
V. Stel het zelfde quotiënt (9) naast het dubbeld getal N° IV: multipliceer dan dat getal (129), als één getal befchouwd, door dat quotiënt of die nieuwe cyffer van den wortel (9) : trek het product (1161) van de rest N9 III. af, en teeken de rest (125) aan»
VI



.^o/o Amihansfel.
VI. Zo er nog meerder letters in het gegeeven getal zyn, ftelt men de volgende fneede (hier 01) naast de gemelde rest (125), en men befchouwt dit getal als één getal (50501)
Vil. Vervolgens befchouwt men de reeds gevonden letters (69) van den wortel als ééne letter, en men gaat volgens Wó IV, V, en VI. voort, tot dat men alle de fneeden van het gegeeven getal uitgewerkt heeft. Zó er dah geen rest over blyft; Is bet gegeeven getal een quadraat getal 4 waais van het gevonden getal de wortel is.
VllI.Zo er een rest over blyft, ftelt men zo veel paaren nUllen naast die rest als men in den wortel decimaale letters tot nadering wil gebruiken, en men ziet ieder paar aan als eene nieuwe fneede Van het gegeeven 'getal, dat men uitwerkt vol* gens N° IV, V, en VI.
ÏX. Wanneer men eene breuk heeft, (byv. g—^ neemt
men afzonderlyk de wortels van den teller en van dm noemer, en maakt van deezen eene breuk Q) die de gevraagde wortel is: of men brengt (zo de teller en noemer geen quadraat getalen zyn) de breuk tot eene decimaale breuk, waaruit men v*üen worteL trekt;
Zie hier drie uitgewerkte voorbeelden* I. Den wortel te trekken uit 488601.
48|86,OI f^9__
'kè6— L-2 2~
uji 1161 ^ 01
125 01
,12.5 01
ö
jDe wortel is 699. Dea



Aanhang fel. 4gt
II. Den wortel te trekken uit 300 3 j 00 y 17.3205 y
2 ! ) *7 ■ 1 34-3 I 3462
200 -_7 I 3 | .2
*89 I^_LI<??9 ! 6924
11 00 " 3464T05
i2_-9_ 5
71 00 17^2025
69 24
176.00 De wortel is ten naasten by
1760000 17. 32025
1732025
27975-
lil. Den wortel te trekken uit o 273 : dat is uit aoöo: daarde noemer geen quadraat getal is, multipliceer ik door 10, en de breuk wordt _£Z3°: dus zal de
10000
noemer van den wortel ico zyn, dat is, men krygt honderdfte gedeelten : trekkende den wortel uit 2730, heeft men
27-] 30 f 0.522 &c. ^5 I ■< 102 | 1042
*21 30 L 3 5 '
2 _o4 204. I 2084 2600 2084 5T6
Dus is de wortel grooter dan 0,52, of dart 0,550; en men kan al verder voortgaande zo na komen als men wil
II. Over den cubiek-wortel. De cubiekwortels van alle de getalen tusfchen 1 en loco beihtan uit ééne cyfferletter: van de gelalen tUsfchen i,©oo en i,oco:ooo uit twee Cyfferletters: van de getalen tusfchen ïcoo,öcó én ï3doó.öod,ooo uit Hl' êlh



482
danhcmgfel.
cyfferletters, en zo voorts; zo dat men altoos weeten kan uit hoe veele letters de cubiek - wortel van een gegeeven getal beftaan zal: men moet flechts, van de rechterhand te beginnen, het getal in fneeden afdeelen ieder van 3 letters: en dus, indien het getal cyfferletters in het gegeeven getal niet door drie deelbaar is, zal de laatfte fneede, die aan de linkerhand, maar ééne of twee cyffers bevatten.
Ieder drietal cyfferletters in het getal geeft dus ééne cyfferletter voor den wortel: en iedere fneede heeft in het getal eene duizenddubbele waarde met betrekking tot de volgende; zo als ieder letter van den wortel eene tiendubbele waarde heeft met betrekking tot de volgende cyffer.
Om nu den cubiek-wortel uit een gegeeven getal te trekken behoeft men flechts te letten op de uitdrukking CXI, 13. Gev. s.) a3 4- 3 a b -f- 3 ab2 4, è5 = a3 4. 3 ab (a -t- b) b\ en het gegeeven getal daar meede te vergelyken.
Ik begeer den cubiek-wortel uit 74 088 te trekken. Ik deel dat getal in fneeden, aldus 74 \ 088 , waar door ik weet dat de wortel uit twee letters zal beftaan , waar van ik de eene met a de andere met b zal vergelyken.
Ik vergelyk dus ook 74 | 088 met a + 3 a b _j_ 3 a è3: en wel 74 (of hier 74 000) met a3. Het cubiek getal dat het naast aan 74 komt is 64 Qni)
(of
(m) Men dient een tafeltje voor oogen te hebben van de cubi der 10 eerfte getalen: zie hier hetzelve cubi , 1. 8 . 27 . 64 .125 . 216 . 343 • 512 . 729 . 1000. wortels,!. 2 . 3 . 4 . 5 « 6 • 7 . 8 . 9 • 10 «



danhar?gfelt
483
(of hier 64 oco), waarvan1 de wortel 4 (of 40) de eerfte letter is van den gezochten wortel: ik trek dat cubiek-getal van 74 | c88 af: de rest is 10 088 die gelyk is aan 3 a b + 3 abz + b\ Ik neem het quadraat van de reeds gevonden letter 4 (of 40) , dat is 16 (of 1600): ik multipliceer het door 3, en kryg 48 (of 4800) welk getal ik dus vergelyk met 3 az: ik deel 100 door die 48 (of 10088 door 4800) en verkryg tot quotiënt 2 , die voaarfchynlyk de tweede letter van
den gezogten wortel is, om dat zz *• ^ ^
3 a
dus 2 naast de eerfte letter en heb 42.
Ik multipliceer het drievoudig quadraat van de eerfte letter, hier 48, door de tweede letter, het product is 96 (of 9600 = 3 a b): ik multipliceer het drievoudig quadraat 12 van de tweede letter 2 door de eerfte letter 4: het produel; is 48 (of 480 = 3 ab') : ik neem den cubus van de tweede letter 2: het product is 8 zz ik addeer die drie producfen (96, 48, 8) te famen, wel lettende van het tweede (beginnende aan de rechter hand,) eene letter verder naar («) de rechterhand te plaatfen dan het eerfte, het derde eene letter meer naar de rechterhand dan het tweede (m)*de fom 10088 is zz 3 sz 6 4-3 a +
Ik
(n) Immers, is die 96 eigenlyk 9600, en de 48 maar 480 : of, in het algemeen, daar de eerfte letter eene tienvoudige waarde heeft van het geen zy in het afgetrokken fchynt te hebben , zal het quadraat van die letter eene tienvoudige waarde bezitten ten opzichte van het producT: dier eerfte letter door het quadraat van de tweede gemu'lupltcéercf.
(m) Immers is die 48 eigenlyk 480: inhetalgemcen daar de eerfte letter in de daad eene tienvoudige waarde' bezit, heeft Hh a ook



j}f?4 Aanhang fel.
Ik trek die fora van de gegeeven rest af, en zie dat er niets overig blyft: waaruit ik befluit dat 42 de gezogte wortel is. Zie hier de bewerking
74 \ 088 y 42
°"4 ) S 16 48 30 ■ 088 L 3 S
IQ 088 48 12
o 2 4
96 is
jy
Ï0Ö88
ïk heb gezegd dat 2 vaaarfchynlyk de tweede letter van den wortel zyn moest: want indien de gemelde producten en cubus te famen grooter geweest waaren dan de rest 10 088, zoude het een teeken zyn dat 2 te groot is voor de tweede letter, en ik zoude een kleiner getal moeten gebruiken.
Indien de wortel uit drie of meerder letters beftaat, gaat men op den zelfden voet voort, en men befchouwt de reeds gevondene lettets als één getal, volgens do uitdrukkingC« 4- b-i-ey zz (a 4-6)J 4- 3 O 4- Ó* * c 4- 3 (a 4- V) c1 + c5 en insgelyks voor de vierde, vyfde letter enz.: waar uit deeze regel afgeleid wordt, welke wy tevens op een voorbeeld zullen toepasfen,
REGEL.
J, Deel het gegeeven getal C5>a68.o24), beginnende aan de rechterhand in fneeden ieder van drie cyfferletters.
de
©okhetproduftvandie letter door het quadraat van de tweede eene tienvoudige waarde met betrekking tot het product van het zelfde quadraat door die tweede letter , dat is tot deu cubus van de tweede !e:-c:;.



Aanhang/el 485
IL Neem den Culnis CO die Tiet nnnst komt aan het getal (5) van de eerfie fneede aan de linkerhand: trek dien van dat getal af: teeken de rest (4) aan. De wortel (1) van dien cubus is de gezochte cyflèr van den woitel.
III. Stel de cyffers (3 6 8) van de volgende fneede naast die rest (4) en befchouw heulséén getal (4268)
IV. Neem het quadraat Ci) van die eerfte cyffer: multipliceer het door 3: divideer door dat producr(3) het gemelde getal NS III, de twee laatfte cyffers niet meede rekenende: het quotiënt Chier 7) C») is waarfchynlyk de volgende letter van den wortel.
V. Multipliceer het drievoudig quadraat (3) van de
reeds te vooren gevonden letter door de nu op nieuws gevonden £7) N° IV : multipliceer het quadraat (49) van' die nieuwe letter door 3: en het product (147) door de te vooren gevonden letter (i): neem den cubus C343) van die nieuwe letter (7). Addeer de drie producten te famen , (tellende het tweede, eene letter meer naar de rechterhand dan het eerfte, en het derde dan het tweede : trek de fom C?9i3) van de gemelde rest N° lij. af: teeken de rest (355) aan. VI. Zo er nog meerder letters in het gegeeven getal , zyn , ftelt men de volgende fneede (hier 024) naast de gevonden rest (355) en men befchouwt dit getal als één getal (35502,4) uitrnaakende. ,
VII.
00 Hier gaat wel is waar 3 veertien maaien in dc 42: doch men kan niet meer dan 9 voor een quotiënt ftellen: en indien men 9 Üelde zoude men door de volgende bewerking N° V. vinden dat niet alleen 9 maar ook 8 te groot is: men moet hier bet quotiënt bynaar altoos veel kleiner neemen als in den eerften opfng fchynt.
Hh 3



48 ó* Aanhang/el
VII. Men ziet de reeds gevonden letters (17) van den wortel als ééne letter aan en gaat voort volgens 1NP IV, V, VI, tot dat men alle de fneeden van het getal uitgewerkt heeft: zo er dan geen rest over blyft is het gegeeven getal een cubiek-getal, waar van het gevonden getal (174) de wortel is.
VIII. Zo er eene rest over blyft, ftelt men zo veel maaien drie nullen agter het getal als men in den wortel decimaalen tot nadering wil gebruiken. Men ziet ieder drietal nullen aan als eene nieuwe fneede van bet gegeeven getal die men uitwerkt volgens N°. IV, V, VI.
IX. "Wanneer men eene breuk heeft (byv. rif') neemt men afzonderlyk de cubiek-wortels (4 en 5) van den teller en van den noemer, en maakt van deezen eene nieuwe breuk (f) die de cubiek wortel van de gegeeven breuk is: of men brengt (zo de teller en de noemer geen cubiek-getalen zyn) de
• breuk tot eene decimaale breuk , den teller zo ver uitftrekkende, of, zo die bepaald is, er zo veele nullen byvoegende als nodig is op dat na die byvoeging de noemer een cubiek getal zy: als dan handelt men met den teller als met een geheel getal. Zie hier het voorbeeld uitgewerkt. 174
5 1 £68 | 024 r ~~~f = 4917 4r= T6
1 = i X_jif- = c>8s) x_3
41 268 j<3 i47 x 3 48
3 9*3 3 xj 867 *J2
355.024 JAJ 147 x 4 Ü16
355-Q24 ■ 21 7'= 343 3468 43 = 64
o 147 816
343 64
3913 355°34
WERK-



WERKSTUKKEN
UIT DE
GRONDBEGINSELEN
DER
MEETKUN]DE<



WAARSCHOUWING.
Achter ieder Werkftuk vindt men by het woord oplossing, de aanvvyzing van die Werkftukken door welke het voorgeftelde Werkftuk opgelost wordt: en by het woord bewys , de aanwyzing der Vaorftel. len uit de Grondbeginfelen door welken aangetoond wordt dat de Oplosfing indedaad aan het gevraagde voldoet. f
WERK-



WERKSTUKKEN
UIT
DE GRONDBEGINSELEN DER MEETKUNDE.
BEPAALING.
^LVlen zegt, in navolging der ouden, dat een vraag* ftuk of werküuk door de Meetkunde in den jïrikften zin wordt opgelost, als men de oplosfing verricht enkel door middel van rechte lyne.i en cirkels, dat is, met behulp alleen van lincaal en pasfer.
-aanmerking. Ik zeg in navolging der ouien,en in denftrik' ften zin; doch federt den tyd van cartesius neemt men het woord van geometrifche oplosfing in eenen ruimer' zin. Al wat niet alleen door cirkel en rechte lyn , maar ook door zogenaamde geometrifche lynen, zo als de kegelfneeden, wordt opgelost, wordt tot de gcometrijche oplosfingen gebragt. Wy zullen hier alleen van geometrifche oplosfing in den zin der ouden fpreeken.
Men vooronderftelt dan deeze drie dingen.
i
Dat men uit een gegeeven ftip eene rechte lyn trekken kan, het zy onbepaaldelyk, het zy gelyk aan eene gegeeven lyn, het zy tot een aniter gegeeven ftip.
II.
Dat men eene lyn Haar welgevallen kan verlengen. III.
Dat men uit een gegeeven ftip, met eenen gegeeven' radius, een' cirkel trekken kan.
\_A\ I. EOEK. ,



s
EERSTE BOEK.
OVER DF. RECHTE LYNEN.
L AF DEELING,
OVER DE GELYKE LYNEN, DE LOODLYNEN, EN DE EVENWYDIGE LYNEN.
I. WERKSTUK. Fig. I.
Uit een gegeeven ftip C eene rechte lyn CG te trekken, die gelyk zy aan eene gegeeven lyn A B.
eucl. I. 2.
oplossing: Door de 3 vooronderftelüng, en het 6 Axioma van het I. Boek. De Cirkels namelyk worden getrokken uit A en C met CA als radius: uit A met &h als radius: uit D met DF als radius.
aanmerking. Deeze oplosfing is die van euclides : doch ik twyffel of het niet even mathematisch zoude zyn te zeggen? „ Befchryf uit C met eenen radius gelyk aan AB eenen „ cirkelboog: trek GC van den omtrek naar het mid„ delpunt: het is de gevraagde lyn." In de praótyk gaat men altoos dus te werk.
II. WERKSTUK. Fig. 2.
Twee rechte lynen AB en C gegeeven zynde, van de grootfte A B een ftuk A E af te fnyden dat gelyk is aan de kleinfte. ' eucl. I. 3.
oplossing. Door het 1 werkftuk maakt men AD — C: en dan gaat men voort door de 3 vooronderftelüng. AANMtRKiNG. Deeze oplosfing is wederom van euclides. Zoude het niet even mathematisch zyn te zeggen? „ Be-
„ fchryf



Werkjliikken. I. Boek. Over de rechte lynen, g
j, fchryf uit A met den radius AE gelyk aan C eenen ciikel. „ boog DE F?" In de practyk gaat men 'altoos dus tewerk. III. WERKSTUK. Fig. 3.
Uit een gegeeven ftip C in eene gegeeven lyn ED, eene lyn C F te trekken die op de gegeeven lyn E D loodrecht flaat.
eucl. I. 11. . V/. g. 5. 94. St., p, 27. pr. 9,
' o*lossing, Men neemt CB naar willekeur: CAr;CB: en
werkt door de 3 vooronderftelüng: en het 6 Axioma vaji
het l. Boek.
bereiding voor het Bewys: Men trekt VB, FA, bewys. Uit het 4. gevolg van het XI. Voorftel van het I, Boek.— Of «it de befchouwing der driehoeken AFC, en CFB door het XII. Voorftel van het I.Boek.
IV. WERKSTUK.
Op het uiteinde B van eene gegeeven lyn AB eene loodlyn B D op te richten, w. g. 5- 119.
Ij oplossing. Fig. 4. Men verlenge AB: en werke als io
het voorgaande Werkftuk.
bereiding voor het Bewys: men trekt DK, Dl.
bewys. Uit het 4 gevolg van het XI. Voorftel van het I,
Boek.
II. oplossing. Fig. 5. Men neeme een ftip A: werke uit A en B volgens de 3 vooronderftelüng en het 6 Axioma van het I. Boek: dan weder uit C: — men trekke ACD: en dan B D :
bewys. Uit het V. Voorftel van het V. Boek. V. WERKSTUK. Fig. 6.
Uit een ftip F, buiten eene gegeeven rechte Iyn A B, «ene loodlyn FH op die lyn te laaten vallen,
[<* 2] Et?.



IVerkftukhtï,
eucl. I. 12. w. g. £. 95- St. p. 28. pr. tai
oplossing. Eerst gaat men uit F volgens de 3 voo/onder(telling te werk: dan insgelyks volgens dezelve, en uit het 6 Axioma van het I. Boek uit DenE: men trekt FHG die de gezogte lyn is.
bereiding tot het Bewys.' men trekt FD, FE, GD, GE. bewys. Uit het 3 gevolg van het XII. Voorftel van het I. Boek.
VI. werkstuk. Fig. 7.
Uit een gegeeveD ftip E eene iyn EG te trekken die evenwydig is aan eene gegeeven Iyn I M.
eucl. I, 31. — W. g. 5. 91. St. p. 39. pr. 19.
J. oplossing. Eerst uit E door het V. Werkftuk: dan uit eenig
ftip D door het III. en het I. Men trekt eindelyk, door
E en K, de lyn EG die de gezochte lyn is.
bereiding tot het bewijs. Men trekt ED.
bewys. Uit het IV. en het VIII. Voorftel: of uit hetXVIIL
Voorftel, allen uit het I. Boek.
II. oplossing. Men trekt ED naar welgevallen: en giat uit D volgens het III. Werkftuk van het II. Boek te werk. lEwrs. Uit het IV. Voorftel van het I. Boek.
II. AFDEELING.
over de verdeeljng der lynen.
VII. werkstuk. Fig. 6.
Eene gegeeven lyn DE in twee gelyke deelenEEP HD, te verdeelen.
eucl. I. 10. — W. g. $. 120. —- St. p. 26. pr. 8. oplossing. Men gaat uit de beide uiteinden E en D volgens de 3 vooronderftelüng, en het 6 Axioma van het I.
Boek



I. Boek. Over de rechte lynenï j
Boek freemaal te werk, zo dat twee cirkelbogen zich in F,twee aiidere zich, het zy beneden het zy boven de lyn AB, in G fnyden. Men trekt FG: die de gezoch e lyn is. bereiding tot het Bewys: men 'rekt FD, FE, DG, GE SEwrs.^Uit het 3 gevolg van hetXil Voorftel in hetI. Boek.
Vilt. wErkstdk. Eene gegeeven rechte Iyn B A in zo veele gelyke deelen BR, RS, enz. te deelen als men wil.
clavius op de 10 prop. van het VI. Boek van euclides. ■—-
W. g. §. 190.
J. oplossing. Fig. 8. Door de 1 vooronderftelüng, en, na HA getrokken te hebben, door het VI. Werkftuk. bewys: Uit het XX. Voorftel van het I. Boek : —■ of uit het 1. Voorftel van het IV. Boek. II. oplossing. Fig. 9 Door het VI. Werkftuk, en dan door de 1 vooronderihlling.
bewys Uit het II. Voorftel van het IV. Boek. aanmerking. De bjwerking door den proportionaal-pasfer, om dit Werkftuk op te losfen, komt met deeze tweede op. losfiug over één.
IX. werkstuk. Fig. IO.':
Van eene gegeeven lyn AB, een bepaald gedeelte
AD aftefnyden. Eucl. VI. 9. oplossing. Door het VIII. Werkftuk, 1 oplosfing. bewys. Door het XX. Voorftel van het I. Boek — of het I. van het IV. Boek.
aanmerking. De proportionaal-pasfer is hier toe in de practyk zeer dienftig.
X. werkstuk. Fig. II.
Eene gegeeven lyn A B in de zelfde reeden te fnyden \A 33 al*



4 Werkjiukieft.
als eene andere gegeeven lyn AC, (in D, E), verdeeld is.
eucl. VI. lo. — W. g. g. 191. oplossing. Door het VI. Werkftuk. bewys. Door het I. Voorftel van het IV. Boek.
XI. werkstuk. Fig. 12.
' Eene gegeeven rechte lyn FE zodanig (in I) te fnyden, dat haare deelen E f, FI tot elkander ftaan in de zelfde reeden als t wee gegeeven lynen A B en C D. •
clavius op Let X. Vooiflel van eucl. VI. Boek. p. 557.
oplossing. Eerst uit F door het 1. Werkftuk : »it E door
het VI. en II.: trek G Fl: I. is het gezochte ftip.
bewys. Uit het II. Voorftel van het IV. Boek.
XII. werkstuk. Fig. 13.
Eene gegeeven lyn AB zodanig in E te fnyden, dat de rechthoek uk de geheele lyn A B en het kleinfte deel AEgelyk zy aan het vierkant op het grootftedeel BE.
Of wat, op het zalfde uitkomt (IV. Boek, 2 Bep.) Eene gegeeven lyn AB in uiterfte en middelfte reeden te deelen.
Eucl. II. Ir/ên VL 30. — St. p. 89. pr. 11. OPLOfsiNG. Men richt op B volgens het IV. Werkftuk de lyn CBD: men maakt door het VII. en I. CB — § AB Vervolgens werkt men eerst uit C, dan uitB, door de 3 Vooronderftelling. " bewys. popAC = nopAB-»-DopBC(II.7.)
= 4dopBC-»-OopBC (II. 2. gev. 1.) 4 = 5 □ op B C.
□ opAC~rjopCD
= aopBC-f-nopBD-t-2 Rechth. uUB CBD (II. 2.)



I. Boek. Over de rechte lynen*-
7
= □ op B C-+- □ op B E -+-Rechth. uit AB.BE.
das snopBC = aopBC-)-nopBE-f- Rechth. uit AB.BE.
en4DopBC=:n opBE-f-Recht, uit AB.BE, dus OopAB — Rechth. uit AB.BE — QopBR. dus Rechth.uit A B,en [AB- BE]=DopBE.(II. i.gev.3.)
of Rechth. uit A B. A E — □ op B E.
XIII. werkstuk. Fig. 14.
Indien 'er twee rechte lynen, A B en C D, gelyk of ongelyk, gegeeven zyn: eene derzelven CD, zodanig te verlengen , dat de Rechthoek uit die lyn te famen met het verlengde ftuk (dat is uit C L) en uit het verlengde ftuk DL, gelyk zy aan het vierkant op de andere lyn AB.
clavius op eucl. III. 36. p- 312-
oplossing. Trek CG volgens het IV, en I. Werkftuk:
werk dan door het VII. , door de 3. vooronderftelüng;
en maak eindlyk door liet II. Werkftuk DL = GI.
bewys. Door het 2 Gevolg van het XIII. Voorftel van
het V. Boek.
XIV. werkstuk. Fig. 15.
Eene rechte lyn M L gegeeven zynde, eene andere gegeeven lyn AB, doch die niet kleiner zy dan het dubbeld van de eerstgemelde ML, zodanig te fnyden , dat die eerstgemelde midden-evenreedig zy tusfchen de deelen (AF, FB) van de andere.
clavius op XI!I. Voo:ftel van bet VI. Boek van eucl. p. 565. oplossing. Door het VII. Werkftuk : door de 3. vooronderftelüng: door het IV. en het VI. Werkftuk. bewys. Uit het 3i Gevolg van het XII. Voorftel van het V. Boek.
IA 4] HL AF-



I Werkjlukhn.
III. AFDEELING,
over de evenreedige lynen. XV. werkstuk. Fig. 10".
Eene Iyn AE te vinden die derde evenreedigezyaarj twee gegeeven lynen A B, en A C.
eucl. VI. ii. St. p. 257. pr. 9. — W. g. 5. 186.
oplossing. Door de 2. voorondenlelling, het II. en het VI. Werklui'::
bewys. Uit het I. of II. Voorflel van het IV. Boek.
XVI. werkstuk. Fig. 17.
Eene lyn DH te vinden, die vierde evenreedige zy aan drie gegeeven lynen A,B, C: eucl. VI. ia. —■ W. g. g. 1S7. — St. p. 258. pr. 10. oplossing. Door de 2. vooronderftelüng : het II. en he? VI. Werkftuk:
bewys. Uit het I. of II. Voorflel van het IV. Boek.
XVII. werkstuk. Fig. 18.
Wanneer drie Iyneö A, B,C gegeeven zyn, eene vierde GH te vinden die tot de derde C zy, zo ais de eerfte A is tot de tweede B.
cLAvius op eucl. VI. 12. oplossing. Door de 1. vooronderfteUing, het II. en hst VI, Werkftuk.
bewys Utt het I. of II. Voorftel van het IV. Boek.
XVIII. werkstuk. Fig. 19.
Eene middelevenreedige DG te vinden tusfchen twee gegeeven lynen A en B.
eucl. VI. 13 W. g. §. 2to St p. 258. pr. ir.
oplossing. Door de t. vooronderftellirg, het II. en het VII. Werkftuk, de 3. vooronderftelüng, en het III. Werkftuk.
be-



I. Boek. Over de rechte lynen.
y
bewys. Uit het 3. Gevolg van het XII. Voorflel van het V. Boek.
XIX. werkstuk. Fig. 20.
Gegeeven zynde de middelfte A, en de fom AC der uiterften van drie evenreedige lynen, de uiterften CA F en CF) zelve te vinden.
tacquet Cor. 2. op eucl. Vf. 13.
oplossing. Door het VII. Werkftuk, de 3. vooronderfte!«
ling, het IV. Werkftuk, het II., het VI. tweemaal gebruikt.
bewys. Door het 3. Gevolg van het XII. Voorftel in het
V. Boek.
XX. werkstuk.
Tusfchen twee gegeeven lynen A en B, drie, of zeeven, of vyfden midden-evenreedigen te vinden, in één woord , zo veele als 'er door de geduurige optelling van de leden deèzer geometrifche progresfie i, 8, 4, 8, 16, 32. enz. ontftaan kunnen. tacquet Cor. 3. op eucl. VI. 13. oplossikg. Door het X.V1II. Werkftuk. I. aanmerking. De reeden waarom men flechts 3, of 7, of 15 enz., midden-evenreedigen vinden kan, dat is, altoos onééven in getal, is deeze. Men kan door de Meeikunde maar ééne midden-evenreedige tusfchen twee lynen vinden: Indien 'er dan twee lynen A en B gegeeven zyn, vindt men 'er doorhetXVIH. Werkftuk eene derde (C) die tusfchen deeze midden-evenreedig is: Men kan 'er wederom eene (D) vinden tusfchen de eerfte Iyn A , en de eerfte midden-evenreedige C, en eene(E) tusfchen deeze C en de tweede gegeeven lyn B: dus in het geheel 3. Tusfchen deeze vyf lynen , kan men 'er wederom 4 vinsen , namelyk tusfchen A en D, D en C, C en E, E en B, dat is in het geheel 7, enz.
\\A 5] II. AAJf-



10 Werkjiukketi,
II. aanmrrking. De ouden hebben reeds veel moeite aan. geweid ter oplosfing van het vraagftuk, tusfchen twee ge» geeven lynen twee middelevenredigen te vinden. Doch dit kan door de enkele Meetkunde, in den ïtrikften zin namelyk, dien de ouden aan dat woord gaven, dat is door cirkel en rechte Iyn alleen, niet gefchieden. Wy hebben in de V. en VI. Aanmerking op het XII. Voorftel van het IV. Boek, de gronden aangeweezen waar op eenige oplosfingen fteunen, en aangetoond, wat men zoude behooren te kunnen doen , op dat die oplosfingen geometrisch zouden worden: doch hier in is men in gebreeke: die ftukken, welke ten grondflage dienen, kunnen niet dan door toetfen verlicht worden; zo als bij voorb., indien men (Fig. 156.) de beide gegeeven lynen BD en DF loodrecht op elkander plaatst, en ze beiden, de eerfte naar A, de tweede naar C verlengt, en twee winkelhaaken F AI en BCI neemt, waarvan men de eeneFAIzo ftelt dat het been AFaltoosA raake, en de hoek altoos op de lyn B Avalle, en de andere BCI op het been AI van de eerstgemelde zodanig fchuift, datCB altoos op het ftipB.en de hoek op de IynFCkome, zullen z\D, en D C, de twee midden-evenreedigen zyn. Dit is de bandeiwyze van plato. Men zie hier over, en over die van cartesius, tacquet op eucl. VI. 13.
Wy hebben ook in het VI. en VII. Gevolg van het XIII. Voorftel in het V. Boek de gronden aangeweezen om het zelfde door middel van eenen cirkel te vinden. Zie insgelyks tacquet ter aangehaalde plaatze.
XXI. WERKSTUK. Fig. 21.
■ De reeden die 'er tusfchen twee gegeeven lynen AB, BC plaats heeft, doch waar van de eerfte groo» ter is dan dc tweede, zo ver men wil te verlengen, en de fom van alle de leden aantewyzen.
TACQUiIT Op EUCL. VI. II.
op-



I. BoeL Over de rechte lynen. 11
Oplossing. Men richt (door het IV. Werkftuk) A D i op A B en door het III. BE j, op AB: men maakt door het II. AD =z AB, BE — B C: men trekt DE tot op A F verlengd ; men trekt CG j. op AF. maakt CN — CG: trekt IIN i op AF enz. AB, BC, CN enz. zyn de leden, en A F de fom van allen.
bewys. Door het II. Voorftel van het IV. Boek, en de eigenfchappen der evenredigheeden; vooral III. 8. Aanmerking, Hoewel men het getal der leden zo groot kan neemen als men wil, is hunne fom eene bepaalde Iyn AF , om dat de leden in eene bepaalde reeden (van AB:BC) afneemen. Zie het geen wy gezegd hebben III. Boek XIV. Voorftel 6. gevolg.
XXII. voorstel. Fig. 149. Eene Iyn A D in harmonifche evenredigheid te deelen: dat is, volgens de 1. Aanmerking op de 22. Bepaaling van hetIII. Boek, de lyn AD zodanig in drie deelen AB, BC, CD, te deelen, dat de geheele Iyn AD tot eene der uiterüen AB by v. ftaa, zo als de andere CD tot het middelfte deel BC.
la iiire SeBwi. C011. prop. 1, oplossing. Trek DG en AG naar willekeur.
Trek uit een ftip B op de Iyn AD, naar willekeur,BE evenwydig aan DG, door het VI. Werkftuk:
Verleng EB in F tot dat BF zz: EB door het II. Werkftuk.
Trek FG.
bewys. AADGu A ABE en ADGCUABFC: dus: IV. 2.
AD : AB = DG.-BF of B E Maar D G: B F — D C : B C : dus AD:AB = DC:BC; (III. n.)
II. BOEK.



I 2.
TWEEDE BOEK.
OVER DE HOEKEN. I. WERKSTUK. Fig. 22.
EeneD gegeeven hoek ACB in twee gelyke deelen (ACF, BCF) te deelen.
eucl. 1. 9. —— St. p. 16. pr. 7. -■ ■■ W. g. J. 126.
oplossing. Men gaat uit C te werk door de 3. vooronderHelling, en dan uit de beide ftippen D en D , door dezelve en het 6 Axioma van het I. Boek. Men trekt C F die de vereischte verdeeling maakt.
bewys. Uit het 3. Gevolg van het XII. Voorftel van het 1. Boek.
I. aanmerking. Men kan op die wyze, door eene geduu» rige verdeeling in twee deelen, eenen hoek in vier, acht, zestien enz. gelyke hoeken verdeelen: in één woord in een getal deelen dat eenige magt van het getal 2 is.
II. aanmerking. Men kan door de enkele Meetkunde , in den ftrikften zin genomen , dat is , door cirkel en rechte lyn, geen' hoek in een oneeven getal deelen deelen, uitgenomen alleen den rechten hoek in drie deelen, of ook in vyf deelen: het geen het onderwerp is van het volgende
II. Werkftuk, en van het VIII. en IX. in het IV. Boek.
III. aanmerking. Eenen hoek in drie deelen door de enkele Meetkunde te verdeelen, is een beroemd vraagftuk by de ouden geweest :wy hebben reeds in het VIII. Gevolg van het XI. Voorftel van het I. Boek, en in het VIII. Gevolg van het VIII. Voorftel van het VIII. Boek aangetoond dat dit vraagftuk hierop uit komt, om wanneer een hoek DCE gegeeven is (Fig 16SO eene fnylyn DGA zodanig te trekken , dat het ftuk A G buiten den Cirkel gelyk zy aan den radius. Het geen geometrisch (in den ftrikften zin) niet mogelyk is.
II, WERK-



IL Boek. Over de Hoeken* jij
II. werkstuk. Fig. 23.
Eenen rechten hoek B C A in drie gelyke deelen te deelen.
clavius op de 32. prop. van eucl. I. Boek p. 10S. oplossing Men gaat uit C en A door de 3 Vooronderftellina en Axioma 6 van het I. Boek te werk: vervolgens door het I. Weikftuk var. dit Boek.
bfwys. Uit het II. Gevolg van het XI. Voorftel van het I. Boek.
III. werkstuk. Fig. 24.
üit een gegeeven ftip A van eene gegeeven lyn ABj eene lyn A L te trekken die met de gegeeven lyn eenen hoek LAB gelyk aan eenen gegeeven hoek CDE maake.
eucl. I. 23. St. p. 38. pr. 18. —- W. g. j. 69.
oplossing. Men gaat uit D volgens de 3 Vooronderftelüng te werk: dan uit A, enFvoIgens de zelfde en het 6 Axioma van het I, Boek.
aanmerking Die oplosfing is de zelfde als die van het I. Werkftuk in het III. Boek.
IV. werkstuk. Fig. sj.
üit een gegeeven ftip F buiten eene Iyn (A b; eene Iyn F A te trekken, welke met de gegeeven lyn A B eenen hoek FA B gelyk aan eenen gegeeven hoek maake.
oplossing. Men gaat uit eenig ftip D in de Iyn volgens het
Hl. Werkftuk te werk: en dan uit F door het VI. van hst
I. Boek.
sewïs, üit de 8. Bepaaling van bet I. Boek.
III. BOEK.



DERDE BOEK.
over de rechtlynige figuuren.
I. AFDEELING.
over de beschryving der figuuren. L werkstuk. Fig. 26.
üit drie gegeeven lynen A, B, C, waar van altoos twee te famen grooter zyn dan de derde, eenen driehoek EHF te maaken.
eucl. I. 22. St. p. 38. pr. 17. —— W. g. g. 76.
oplossing. Door de 2. VooronderfteUing, het I. Weikftuk van het I. Boek, de 3. VooronderfteUing en het 6 Axioma van het I. Boek.
AANmbrking. De reeden waarom 'er deeze voorwaarde by. gevoegd wordt; waarvan altoos io", blykt uit het XV. Voor» flel van het I. Boek.
II. werkstuk. Fig. 27. Op eene 'gegeeven lyn AB eenen gelykzydigen driehoek ABC te befchryven. eucl. I. 1. — W. g. g. 74. —— St. p. 25. gevolg. oplossing. Door de 3. Vooronderftelüng en het 6 Axioma van het I. Boek.
HL werkstuk. Fig. 28. Op eene gegeeven lyn A B eenen gelykbeenigen driehoek ABC te befchryven.
clavius op eucl. I. 1. — W. g. g. 75. —— St. p.
25. pr. 6.
oplossing. Door de 3. vooronderftelüng en het 6 Axioma van het I. Boek.
aan-



I. Md. Over de befchryving der Figuuren. 15
aanmerking. Men belbhryft op gelyke wyze, doch door cirkels wier Öraaien ongelyk zyn , eenen ongeiykzydigen driehoek op eene rechte lyn. Zie clavius ter aangehaalde plaatfe.
IV. werkstuk. Fig. 29.
Een.vierkant D ABC op eene gegeeven lyn AB te befchryven.
eucl. I. 46. —- St. p. 49. pr. 31 w. g. 5.133.
orLossiNG. Voor AD en BC uit het IV. en II. Werkftuk
van het I. Boek: men trekt daar na DC.
bewys. Uit de 8. Bepaaling en het XVIII. Voorftel van het
I. Boek Of ook na B D getrokken te hebben, uit de
8. Bepaaling, het IV. en VIII. Voorftel van het I. Boek. aanmeeking. De bewerking is dezelfde, indien men, niet een vierkant, maar eenen rechthoek op de Iyn A B befchrijven wil, dan worden A D en B C niet aan A B maar aan de andere gegeeven lyn gelyk gemaakt.— W. g. g.139.
V. werkstuk. Fig, 30.
De fom AE der twee zyden van eenen Rechthoek, en de diagonaal AC van de zelfde gegeeven zynde de zyden AB, BC te bepaalen.
ofLossiNG. i°. Richt in C de loodlyn CF — AC: door
het IV. en II. Werliftuk van het I. Boek.
20. Trek AF, en deel AF in twee gelyke deelen in D
door het VII. Werkfluk van het I. Boek.
3°. Trek uit D als middelpunt met D A als radius den hal.
ven Cirkel A CF die dus door den hoek C gaan zal: door
het V. Voorftel van het V. Boek.
4°. Trek CD, die dus loodrecht ftaat op AF, door het 4 Gevolg van het XI. Voorftel van het I. Boek' 5°. Trek A G = A E (door het I. Werkftuk van het I. Boek. 6D. Trek FG, en deel FG in twee gelyke deelen in M
«n



i6" III. Boek. Over de rec)tlynige Figuuren.
en insgelyks AE in K , door het VII. Werkftuk van bet
E Boek , zo dat A K = KE : >
7°. Maak KL = MG = J FG:
8°. Befchryf op AC den halven Cirkel ABC.
9°. Maak B A = AL = AK — KL.
io°. Trek B C: dan is L A B C recht door het V. Voorftel
van het V. Boek.
A B en B C zyn de gevraagde zyden: dat is, men moet bewyzen dat AB -t- B C = AE.
buwïs. □ op AF — □ op AG = □ opFG. (U.7.gcv.i) — □ op A F — □ op A E.
insgelyks
O op A F = □ op A C -t- □ opFC = 2 □ op AC (N°. i.) en □ op F G = 4 □ op L K (N°. 7. en II., 2 het 1 gevolg.) =s= 4 □ op (A K—A L) = 4 □ op A K— 8 Recht, uit A K. A L -j- 4 □ op AL (II., 2- het 2 gevolg.) — rjopAE — 4Recht.uitAE.AB-f.4D opAB (N°. 7. . en 9.) en deeze waardyen in den eerften regel ftellende heeft men 2 □ op A C — □opAE = DopAE — 4Recht.
uit AE.AB -t- 4 □ op AB :
en dus
QopAC=ElopAE — 2Recht.uit A E. A B -I- 2 □ opA B en
n op A C— Dop AB = Dop AE —2Rechth.uit AE.AB op AB = Dop(AE — AB) doorII. 2. dus uit II., 7. het 1. gevolg. O op BC = □ op (AE — AB) en
BC = AE - AB: of
BC -f AB = AE. aanmerking. Indien de lyn AC gelyk of grooter was dan AF, zoude de oplosfing onmogelyk zyn: want dan was de lyn AC, die voor diagonaal gegeeven wordt, gelyk aan de fom der zyden, of kleiner dan dezelve : dat onmogelyk is, door I. 15. VI. weri*



ï. Md. Over as befchryving der Figuuren, 1^
VI. WERKSTUK. Fig. 30*.
Wanneer de diagonaal AC van eenen rechthoek, *n het verfchil AE der zyden gegeeven is, de zyden AB, BC zelve te vinden.
oplossing. Zy is de zelfde als in het voorgaande Werkftuk, behalven dat nu het ftip E tusfchen A en C en niet voorbjj Hi valt.
VII. 'werkstuk. Fig. 31. Gegeeven zynde het verfchil AB tusfchen de diaconaal en de zyde van een vierkant * het vierkant •zelve te vieden:
clavius op het 14. Voorftel van ihclides II. Boek}'
|- 2t3.
I. oplossing. i°. Door het IV. Werkftuk van dit Boek : dan dóór de I. vooronderftellii g en het II Werkftuk van
•tiet I Boek, maakende EDnDA: en dan 3°. door het IV Werkftuk van dit Boek.
II. oplossing. N°i 1. blyft: doch 2°. BA verlengende en dan door het IV. Werkftuk van het I. Boek voor EF, B G eu FG.
bewys voor de 1. oplosfing. Men trekt EA: dan FA, en men moet bewyzen io. dat FA en AB ééne rechte lyn uit* maaken, dus dat B F de diagonaal is van hetoFEBG: en 20 dat FB — FE 'zz AB en dus dat FE — FA.
Het eerfte gefchiedt door de waardy der hoeken i, ƒ, ff, üit I> 7. en I, 11. te oritleehen: en dan die van o,p: en daar uit te doen zien door 1,2, dat if + Lf + iD AB rr 1 L.
Het tweede volgt door het geen in het i. beweezen is dat L 0 = Lp en l, 11.
bewys vtor de 2. ojlosjing. Men tiekt EA: en men bewyst 1. uit de waardy der hoeken l, e, f, 0, en p, evert



18 III. Boek. Over de rechtlynige Figuuren.
als in het eeifte bewys ditL oz= Lp, en dus dat F Er: F A,
2. Uit de waardy der hoeken F KB, EB F, dat L EFB zzx L EBF: en dus (I, uj dat FE =: EB. 3. Uk de befchouwing der A A FEB en FGB, door I, 8. dat B G rs F E : en dus dat F E B G een vierkant is.
VIII. werkstuk. (Fig. 32.)
Gegeeven zynde de fchuinfche zyde A, (ofC D) co eene der rechthoek-zyden B van eenen rechthuekigen driehoek, de andere zyde DE te vinden.
oklossing. Door de 3. VooronderfteUing, het L Werkftuk
van het I. Boek, en de 1. VooronderfteUing.
bewys. üit het 5. Voorftel van het V.' Boek.
IX. werkstuk. Fig. 33. Eenen gelykbeenigen driehoek FCD te befchryven, wiens grondlyn FD grooter zy dan een der beenen CD, CF.
oplossing. Door de 3. VooronderfteUing.
bewys. Uit het 6. gevolg van het IV. Voorftel in het V.
Boek.
X. werkstuk. (Fig. 34.) Eenen gelykbeenigen driehoekCABte befchryven: waar in de hoeken ABC, ACB op de grondlyn BC, he dubbeld zyn van den tophoek A. eujl. IV. 10. — St. p. 88. pr. 13. I.oplossing. Fig, 34. x.Men trekt eene lyn AB naar willekeur, die men deelt volgens het XII. Werkftuk van het I. Boek, 2. Men befchryft uit A, met AB eenen cirkel.
3. Msn maakt BC = AD: en trekt A C.
jbereuiing voor het Bewys. Men onderftelt dat 'er door
A, D, C een cirkel gaa volgens V., 2.
sewys. Uit N°. t., N°. 3., en het 2. gevolg \an hetXIII.
Voor-



ƒ. Afd. Over de befchryving der Figuuren. 19
Voorftel van het V. Boek bewyst men, dat B C, eene raaklyn is van den kleinen cirkel, en dus door het IX Voorftel van het V. Boek L D CB - ie,
20. Uit I., 11. en I., 7. dat L BDC = BCA — L B
en dusDC= BC= D&.
3°. En dus L c — L d: en gevolglyk (I., 7.) L BDC L B — iLc.
I. aanmerking. Dit is de oplosfing door EucLiDESgegeeven: die dus van de eigenfchappen des cirkels afhangt. De volgende , die enkel de Jtere der driehoeken vereischt, i» gemak lyker.
II. oplossing. Fig. I4I.
i°. Men trekt eene lyn A B naar welgevallen, en fnydt
dezelve volgens het XII. Werkftuk van het I. Boek.
25. Men trekt uit C en B, met een' radius gelyk aan AC,
cirkelbogen die elkander in D fnyden, men trekt BD, en
A A B D is de gevraagde driehoek.
bewvs. Uit het r. en 4. gevolg van het X. Voorftel in het
II. Boek.
II. aanmerking. Indien 'er gevraagd wierd om eenen dergelyken driehoek op eene gegeeven lyn te befchryven: zoude men eerst eenen dergelyken driehoek naar willekeur maaken, en dan volgens het geen wy in het XXIX. Werkftuk Ieeren zullen, op de gegeeven Iyn eenen driehoek, aan deezen gelykvormig, befchryven.
[5 *3 U. AE-



to III. Boek. Over de reehtlynige Figuuren.
II. A F D E E L I N G. %
ovir de beschryving der figuuren ten opzichte van derzelver inhoud.
XI. werkstuk. Fig. 35.
Een parallelogram FH CG te befchryven, dat gelyk aan eenen gegeeven driehoek A B C zy, en eenen hoek F H C gelyk hebbe aan eenen gegeeven hoek D. eu.l. I. 42. —— St. p. 47. pr. 20.
oplossing.' Door het VI. Werkftuk van het I. Bock, het
III. van het II. Boek, het Vlt^van het I., het VI. van het
1. twee maaien gebruikt.
bewys. Uit het 1. gevolg van het XIX. Voorftel uit het I. Boek en het 6. gevolg van het I. Voorftel van het II. Boek.
XII. werkstuk. Fig. 36.
Eenen driehoek A DE te maaken die gelyk zy aan een gegeeven parallelogram BCFA, en eenen hoek DAE gehk aan een en gegeeven hoek hebbe.
clavius. Op de 42. propofitie van het I. Boek van eucl.
oplossing. Door het lil. Werkftuk van het II. Boek, het
I. en VI. van het I. Boek.
bewys. Uit het I. Voorftel en deszelfs 6. gevolg van het
II. Boek.
XIH. werkstuk. Op eene gegeeven lyn HI, een parallelogram IH MK te befchryven, dat gelyk zy aan eenen gegeeven driehoek ACB, en eenen hoek IK M gelyk aan eenen gegeeven hoek A bezitts.
eucl. I., 44,
I. oplossing. Fig. 37. i°. Men maakt o D AFE volgens
het



II. Afd. Over de befchryving der Figuuren. 2 r
het XI. Werkftuk. a°.Men verlengt IH tot dat HG — AF: 3°. Men maakt door het III. Werkftck van het 11. Boek L HGN= L A: 4°. Men maakt GI. = H G. en L N — A D: en voltooit de para lelogrammen op alle de getrokken lynen. bewys. Uit het 4. gevolg van het XIX. Voorftel in het I. Boek.
II. < plossing. Fig. 38- N°. i. is het zelfde als in de I.Op. losfing: bet overige fteunt op het 4. gevola, van: het VII. Voorftel des IV. Boeks: en wordt dus verricht door het XVII. Werkftuk van het I. Boek. bewys. Uit IV., 7. het 4. gevolg.
aanmerking. Het blykt dat men even gemaklyk cp eene gegeeven lyn een parallelogram kan maaken, dat aan een gegeeven parallelogram gelyk zy, en eenen hoek gelyk aan eenen gegeeven hoek hebbe.
XIV. werkstuk.
Op eene gegeeven lyn HI eenen driehoek te maaken HIL, die aan een gegeeven parallelogram GB gelyfc zy, en eenen hoek gelyk aan eenen gegeeven hoek hebbe.
clavius Op euclides I. 44.
I. oplossing. (Fig. 39.) Door het XII. en XIII. (r. oplos-
fing') Werkftuk van dit Boek.
bewys. Door het i. gevolg van het XIX. Voorftel in het I Boek.
II. oplossing. (Fig. 40O Door het XII. en XIII. (2. Oplosfing) Werkftuk van dit Boek.
bewys. Uit IV., 7. het 4. gevolg en I., 19. het 1. gevolg.
XV. werkstuk.
Op eene gegeeven Iyn HG het vierkant DB van eene gegeeven lyn AB te ftelten,of, wat op hetzelfde uitkomt, op eene gegeeven lyn HG eenen rechthoek LB 3] EF



22 111. Boek. Over de rechtlynige Figuuren.
EFGH te maaken, dat aan een gegeeven vierkant
AC gelyk zy.
tacquet op euclides VI., 16. Cor. i., en 17. Cor. 2. I. oplossing. (Fig. 41.) Door de aanmerking op het XIII. Werkftuk van dit Boek.
bewys. Uit IV., 7. het 4. gevolg. H. oplossing. Door het XV. Werkftuk van het I. Boek. bewts. Uit IV. 7. het 8. gevolg N°. 3. en 8. III. orLossiNc. (Fig. 45.) Richt op de gegeeven lynFG. de loodlyn GL, gelyk aan de zyde van het gegeeven vierkant. Trek FL: richt op FL in L eene loodlyn L 11. Verleng F G tot in II: en verleng L G tot dat GI — G H: K G zal de rechthoek zyn.
bewys. Uit IV., 12. het 3. gevolg en IV., 7. het 8 ge. Volg, N°. 3. en 8.
XVI. werkstuk. Fig. 45. Een parallelogram IO te maaken dat aan een gegeeven rechtlynige Figuur (ABCDEFJgelyk zy, en eenen hoek KIP gelyk aan eenen gegeeven hoek hebbe.
eucl. I. 45.
orLossiNG. Men trekke uit eenigen hoek F de lynen F D ' FC, FB: en dan door het XI., vervolgens zo veel maaien als nodig is door het XIII. Werkftuk van dit Boek.
XVII. werkstuk. Fig. 43. Eenen driehoek LHI te maaken die gelyk zy aan
eene gegeeven rechtlynige Figuur E, en eenen hoek
gelyk aan eene gegeeven hoek hebbe.
oplossing. Door het XVI., en dan door het XII. Werkftuk uit dit Boek.
XVlIi. werkstuk. Fig. 44, Op eene gegeeven lyn KL, een parallelogram, of eenen driehoek K N L te maaken , die gelyk zy aan
eene



ILAfd. Over de befchryving dei Figuuren. 2%
eene gegeeven Figuur, en ook, zo men wil,eenen hoek hebbe, gelyk aan eenen gegeeven hoek.
cl/vvius op eucl. I. 45' oplossing. Men maakt eerst het parallelogram F FI door het XVI. Werkftuk: dan op K L den A KNL door het XIV. beide uit dit Boek.
XIX. werkstuk. Fig. 45. Een vierkant te maaken dat gelyk zy aan eenen gegeeven rechthoek KG of aan eene rechtlynige Figuur,
euclides II. 14
oplossing. Door het XVIII. Werkftuk van dit en hetXVUI. van het I. Boek; en dan op GL door het IV. Werkftuk van dit Boek.
bewys. UitV. i2.het3.gevolgenIV., 7. het 8.gevolgN°. 3XX. werkstuk. Fig. 46.
Een trapezium waarvan twee zyden evenwydig aan elkander zyn in zo veele gelyke deelen te verdeelen als men begeert.
I. oplossing. Fig. 46. zy ABCD het Trapezium waar van de zyden AB, DC onderling evenwydig zyn: Men maakt j3 l — IC: trekt AIE: en gaat voor de lyn D E volgens het VIII Werkftuk van het I Boek te werk.
ip.wYf. Men bewyst eerst door 1, 9 dat AADE = trapez. ABCD: het overige volgt uit IV, 6.
II. oplossing. Fig 9. zy ABHP het trapezium waarvan de zyden AB, PH onderling evenwydig zyn: men verlence PA, H B tot dat zy in C famenkomen,en fnyde P H, volgens het VIII Werkftuk van het I Boek: de trapezia AVIP, VU Dl enz. zyn alle onderling gelyk.
iewys. Uit IV., 6.
CEVOLG.
De zelfde oplosfingen hebben plaats voor een parallelogram, een vierkant, eenen Rechthoek.
[fl 4] W.



$4 HL Bock. Over de rechtlynige Figuuren^
W. g. 5. 2c0.
aanmerking. De tweede oplosfing is ver boven de eer(le: te verkiezen.
XXI. werk stok.. Fig. 180. Een trapezium AB1D in twee geiyke deelen AF K d3. BF KI te deelen.
oplossing. DeelAB in twee gelyke deelen in F door hei ,VjI werkftuk van het I Boek,
Trekt de ioQdlyneij AE, Bi, door het V Werkftuk van tet i Boek.
Deel de lyn DC in K, zodat DK: KC r: BI: AE, door Isct XI Werkftuk van het i Beek.
Trek FK : en de deelen AFKD en BF KC zullen ge •yk zyn.
bereiding voor het Bewys., Trek AK, BK. sewys. Uit II, 6 en IV, 7, het 3 Gevolg.
Hl. AFDEELING.
'over de reedens,. de som, en het v-er^ schil van verscheiden rechtlynige figuuren»
XXII. werkstuk. Fig. 48..
De] reeden van twee rechtlynige Figuuren A en BK door rechte lynen HG, GF, uittedrukken. oplossing, door het XVI en het XVIII Werkftuk van dat Boek.
EEWTS. door IV, 6-
XXIII. werkstuk. Fig, 48.
De fom of het verfchil vaa twee gegeeven rechtlynige figuuren A en B, te viodem clavius op eucl. I, 4,5..
OP»



III. Afd. Over de reedens der rechtlynige Fig. 25
oplossing, door het XVI en XVIII Werkftuk van dit Boek. bewys. üit II, 1: het 3 Gevolg.
XXIV. werkstuk. Fig. 48.
De fom te vinden van zo veele rechtlynige Figuures els men wil.
CLAVIUS Op EUCLIDES 1, 45.
oplossing. Door bet XVI en XVIII Weikftuk van dit Boek. bewys. ÜitII, i: het 3 Gevolg.
XXV. werkstuk. Fig. 49.
Een vierkant te maaken dat gelyk zy aan de fom van zo veele vierkanten als men wil. clavius op eucl. I, 47. pag. 154. N•>. 6.—W. g. J. 174. oplossing, door het IV Werkftuk van het I Boek. iewys. door II. 7.
XXVI. werkstuk. Fig. jo.
Een vierkant te vinden dat het verfchil zy van de vierkanten, op de twee lynen A en B befchreeven. clavius op euclides I, 47. pag. 153. oplossing. Uit het VII Werkftuk van het 1 Boek: de derde VooronderfteUing en de het I Werkftuk van het I Boek. sfwys. Uit het V Voorftel van het V Boek: en VII Voorftel van het II Boek, het 1. Gevolg, gevolg.
Indien men het verfchil vao drie of meerder vierkanten vraagt, zal men op FD de zelfde bewerking doen als op CD.
XXVII. werkstuk. Fig. ji. Gegeeven zynde twee vierkanten op de lynen A en
B befchreeven: twee andere vierkanten te vinden die te faamen aan de fom der twee gegeeven vierkanten gelyk zyn; het zy men die nieuwe vierkanten gelyk Qf ongelyk aan elkander begeere.
[ 5l cl4-



3 f5 III. Boek. Over iè rechtlynige Figuuren.
clavius op euclides I. 47. pag. j 53. no. 4.
I. oplossing. Door het IV Werkftuk van het I Boek: de 1 Vooronderftelüng: het VII Werkftuk van het I Boek: de 3. VooronderfteUing, het III Werkftuk van het I Bock, en de I Vooronderftelüng.
bewys. Uit II, 7- v- 5- en I. 8.
II, oplossing. Indien de vierkanten ongelyk gevraagd worden kan men te werk gaan alleen door de I Vooronderftel. ling het IV en het VII Werkftuk van het I Boek en de III Vooronderftelüng: doch dan is het Voorftel voor zo veele Op'osfingen als men wil vatbaar, daar men in den halven cirkel zo veele driehoeken als men wil befchryven kan, en de vierkanten op de zyden van die driehoeken gefteld aan het bedoelde voldoen zullen.
bewys. Uit II. 7.
XXVIII. (a) werkstuk Fig. 52.
Wanneer twee Vierkanten EG en AC gegeeven zyn, aan de kleinfte derzelver eene Figuur te voegen, die aan het grootfte vierkant gelyk zy, en zo dat de geheele Figuur wederom een vierkant zy.
clavius op euclides I. 47. p. 154. 'No. 7.
cploss'NG. door het I Werkftuk van hetl Boek: dan door de I VooronderfteUing, het IWerkftuk van het I en het IV van het III. Boek. bewys. Uit II. 7.
XXVIII. (b) werkstuk. Fig. 53. Indien er eene figuur van meerder dan drie zyden gegeeven is , dezelve in eene even groote figuur te veranderen, doch die eene zyde minder bezit. H. g. §• 182.
oplossing. Door de I. VooronderfteUing het VI. Werkftuk van bet I. Boek, en de I. Vooronderfttlling. bewys. Uit II. 1.
IV. AF-



W; Ajd. Over de geïytoormige Figuuren. 2? IV. AF DEELING,
over de gelykformige figuuren.
XXIX. werkstuk. Fig. 54.
Op eene gegeeven lyn C O eene rechtlynige figuur te maaken die aan eene gegeeven rechtlynige figuur gelykformig zy.
eucl. VI. 18. Sr. p. 262. pr. 15.
oplossing. Door de 1. Vooronderfïeiling en het III Werkftuk van het II. Boek. ïewys. üit IV, 14.
XXX. werkstuk. Fig. 55.
Eene Figuur JM te vervaardigen , die aan eene gegeeven Figuur L gelykvormig, en aan eene andere M gelyk zy. eucl. VI. 25.
oplossing. Voor □ AH uit het XVIU Werkftuk van dit Boek: insgelyks voor a AD. Vervolgens voor FC door het XVIII Werkftuk van het I Boek: en dan voor Nd^or het XXIX van dit Boek.
«ww. Uit IV, 7, het 1. Gevolg. IV, Is. en III., lQi en 9.
XXXI. werkstuk.
De eveneensftaande zyden a, b van twee gelykvormige Figuuren gegeeven zynde, de reeden van die Figuuren door rechte lynen uittedrukken.
oplossing. Door het XV. Werkftuk van het I. Boe'-
fjT* üit IV" I5" 1V- * h" 5. gevolg, enla'het. Axioma. *
XXXII. werkstuk.
Wanneer de reeden van twee gelyky0,mige Fjgun.
ren



a8 UI. Boek: Over de rechtlynige Figuuren.
ren CA,B) door twee lynen (M, N) uitgedrukt is, de reeden van derzelver eveneensftaande zyden (a,b) te vinden.
oplossing. Door het XVIII. Werkftuk van het I. Boek. bewys. üit IV., 15 en III., 14. en III., 10. het 1.gevolg.
XXXIII. WERKSTUK.
Eenen veelhoek N te maaken, die aan eenen anderen veelhoek M, waar in eene zyde A bekend is, gelykvormig, en tevens een bepaald veelvoud m van den zei ven zy. oplossing. Door de I. vooronderfteUing, het XVIII. Werkftuk van het I. Boek: en dan op die midden-evenreedigen doorliet XX X. Werkftuk van dit Boek, bewys. Uit IV, 15. IV, 7. het 5 Gevolg, en 111, 14.
XXXIV. WERKSTUK.
Eenen veelhoek N te maaken, die aan den gegeeven veelhoek M, waarvan eene zyde (A) bekend is, gelykvormig, en tevens een bepaald gedeelte ^vandea zeiven zy,
oplossing. Door het VIII. Werkftuk van het I. Boek: dan door het XVllI:en dan op die midden-evenreedigen door het XXIX. Werkftuk van dit Boek. »ewts. Uit het IV, 15- IV, 7- het 5 Gevolg, en III. 14.
GEVOLG.
Daar alle vierkanten gelykvormige figuuren of veelhoeken zyn (II. Boek, Gevolg van de 3 bep. en IV. Boek, XVII. Voorftel) geldt dit Werkftuk ook voor de vierkanten, en desfelfs oplosfing geeft ook de oplosfing van dit Werkftuk, (Fig. 47.)
,, Een vierkant te maaken, dat een bepaald ge„ deelte van een gegeeven vierkant ABCD zy."
Doch



IV. Afd. Over de geJykvcrmige Figuuren.
Doch men kan dit ook rechtftreeks oplosfen door het XX, net XI en het XIX Werkftuk van dit Boek, zo men de eerfte oplosfing van het XX Werkftuk gebruikt heef, :of anders door de tweede Oplosfing van het XX. Werkftuk en het XIX.
XXXV. werkstuk. Fig j5.
Eene Figuur M te maaken, die gelyk zy aan da fom van zo veele gelykvormige Figuuren A, B, C, D, enz. als men wil, waarvan de eveneens geplaatfte zyden, a, d, enz., bekend zyn, en die tevens gelykvormig aan allen zy.
oplossing. Door het IV en I Werkftuk van het I, Boek:
en het XXIX. van dit Bock.
hewïs. uit IV, ao.
VIERDE



VIERDE BOEK,
OVER DEN CIRKEL.
I. AFDEELING,
OVER HET MIDDELPUNT VAN DEN CIRKEL, EN DE LYNEN DIE TOT DEN CIRKEL GETROKKEN WORDEN.
I. WERKSTUK.
Het middelpunt C van eenen gegeeven Cirkel te bepaalen.
eucl. III, i: — S. p. 92- pr. 2.
I. oplossing. Fig. 56*. door de eerfte vooronderfteUing het VII. en III. en wederom het VII. Werkftuk van het I. Boek.
bewys. üit V, 6.
IL oplossing. Fig. 57. üit de eerlte vooronderfteUing : het IV Werkftuk van het I Boek: de 1 vooronderfteUing, het VII. Werkftuk van het I. Boek. bewys. Uit V, 5.
II. WERKSTUK. Fig. 58.
Gegeeven zyede een Boog ADE, of een Cirkelftuk ADEA, het middelpunt daarvan te vinden, en den geheelen Cirkel te voltooijen. eucl. III. 25. — S. p. 92. pr. 2.
oplossing. Door de eerfte vooronderfteUing: het VII ea
III. Werkftuk van het I. Boek.
bewys: Uit V, 6, het Gevolg.
III. WERKSTUK. Fig. 59.
In den Cirkel ABC eene lyn AB te trekken die
t«5



ï. Afd Over lynen die tot den Cirkel getrokken worden. 31
gelyk zy aan eene gegeeven lyn N, doch welke kleiner is dan de middellyn. eucl. IV. 1.
oplossing. Door het I. Werkftuk van het I. B. en de
III vooronderltelling.
bewys Uit V, 11. bet 1 Gevolg.
aanmerking. Het blykt dat men altoos twee dergelyka gelyke lynen in den Cirkel trekken kan.
In den Cirkel DKF eene rechte lyne IK te trekken, die gelyk zy aan eene gegeeven lyn AB, doch kleiner dan de middellyn, en tevens aan eene andere gegeeven lyn C evenwydig.
clavius op euclides IV. i. oplossing. Door het V! Werkftuk, het VII. twee maa. len, het III twee maaien, allen uit het I Boek: en de 3 VooronderfteUing. bewys. Uit VI. 11. het 1 Gevolg.
OVER DE CIRKELSTUKKEN EN CIRKELBOGEN.
V. WERKSTUK. Fig, 61.
Op eene gegeeven.lyn AB een Cirkelftuk te befchryven, dat eenen gegeeven hoek N bevatten kan.
eu l. III. 33. S. p. ii5. pr. 21.
oPLosMNc. Door het III Werkftuk van het II. Boek: het IV, het VIL het IV van het I. Boek: de 3 VooronderfteUing : Het Cirkelftuk A O B is het gezogté. bewys : Uit V , 9.
IV. werkstuk. Fig. 60.
II. AFDEELING,
VI.



3» IK Bosk: Over den CirkeL
VI. werkstuk. Fig. 62.
Van een gegeeven Cirkel ABC een ftuk BC A a& tefnyden, dat eenen gegeeven hoek N bevatten kan*
eucl. UI. 34- s- P- 115- Pr- 22-
I. oplossing. Door de i VooronderfteUing: het IV< Werkftuk van het I. Boek en het III. van het II. bewys. Door V, 7 9-
II. orLossiNG. Door het XI. Werkftuk van dit Boek eri het UI. van het II Boek.
bewys. üit V, o.
VII. werkstuk. Fig. 63.
Eenen Cirkelboog A D B, of een Cirkelftuk, in tvreé gelyke deelen te fnyien.
eucl. III. 30. S. p. m. pr. 17.
ePLObSiNd. Door het VII. en Het III. Werkftuk van hst ti Boek.
Beüeiding tot het bewys: trek AD, DB* bewys. Uit 1, 8: en V , 4- het 5 Gevolg. aanmerking. Op die wyze kan men door eene geduurigo verdeeling in twee gelyke deelen eenen hoek in een even getal deelen.dat of 2, of eenige magt van 2 is .verdeelen. Doch men kan Geometrisch, in den ftrikften zin, geenen boog in drie of in een oneven getal deelen fnyden, op die uitzonderingen na welke wy in de volgende Vraagftukken melden zullen, De Aanmerking die wy op het I. Werkftuk vah het II. Boek gemaakt hebben, geldt hier ten vollen : want eenen boog of eenen hoek te deelen is hei zelfde , daar de een de maat van de* ander is.
VIII. Werkstuk. .Fig. 64.
Eenen Boog die het vierde deel van den omtrek is ia drie gelyke deelen te verdeelen.



II. Jfd. Over de Cirkel/lukken en Cirkelbogen. 33
oplossing. Door het II. Werkftuk van het III. Boek,
en het VII. van dit, of hst I van het II Boek.
bewys. Uit I., 11. het 2. Gevolg en V , 4. het 3. Gev.
IX werkstuk. Fig. 65.
Eenen Boog, die het vierde deel van den omtrek is, in vyf gelyke deelen te verdeelen. oplossing. Door hrt X Werküuk van het III., en het III. van het II. Botk.
bewys. Uit I., 7. I., 11. en V., 4. het 3. Gev.
X. werkstuk. Fig 66.
Eenen Cirkel te befchryven, die door drie gegee* Ven ftippen gaat. oplosmng. Door de r. Vooronderftellirg, het VII. en III. Werkftuk van het I. Boek, en de 1. en 3. VooronderfteUing.
bewys. Uit V , 6.
aanmerking. Het blykt dat de oplosfing Juist op het zelf ie uitiomt als de bereiding van het II. Voorftel in het V Boek.
III. AFDEELING.
over de raaklyne.n van den cirkel XI. wfrkstuk. Fig. 67.
Uit een gegeeven ftip A in den omtrek eene raaklyn DAE aan den cirkel te trekken. oplo'sing. Door de 1 VooronderfteUing en het IV. Werkftuk van het I. Boek.
bewys. Uit V.., 7.
[C] XII. web.e»



34 W- Boek: Over den Cirkel
XII. werkstuk.
Uit een gegeeven ftip buiten den cirkel eene raaklyn aan den zeiven te trekken.
eucl, III. 17. — S. p. 113. pr. 19.
I. oplossing. Fig. 68. Door de 1. VooronderfteUing; het VII. Werkftuk van het I. Boek, de 3. en 1. VooronderfteUing.
bereiding. Trek CD, CB. bewys. Uit V., 5. en 7.
II. oplossing. Fig. 69. Door de t. en 3. Vooronderftelüng ; het III. Werkftuk van het I. Boek, en 3e 1. VooronderfteUing.
bewys. Uit I., 8. en V., 7,
aanmcBking. Het blykt uit beide de oplosfingen , dat men uit het ftip A altoos twee raaklynen zal kunnen trekken , die elkander gelyk zullen zyn: het geen reeds uk V., kr. het 4. Gev. bekend is.
XIII. werkstuk. Fig. 70.
Eene lyn KG, die den cirkel raakt, gegeeven zynde, het ftip E van aanraaking te bepaalen.
oplossing. Door de 1. Vooronderftelüng, het VII. Werkftuk van het I. Boek, en de 1. VooronderfteUing. bereiding. Trek E H. bewys. Uit V., 5. en V., 7.
XIV. werkstuk. Fig. 70*.
Eene lyn EG te trekken, die den cirkel raake, en evenwydig zy aan eene lyn- AB, die den cirkel fnydt. clavius op eucl. III., 17. p. 273. oplos?ing. Door het V. en IV. Werkftuk van het I. Boek. bewys. Uit V., 7. en de VIII. Bep. van her I. Boek.
XV. WERK-



III. JfJ. Over de raaklynen van den Cirkel 35
_ XV. werkstuk.
Twee cirkels gegeeven zynde, doch die elkander niet geheel infiuiten, eene lyn te trekken, die ze beiden raakt.
clavius op eucl. III, 17. p. 267.
'Er zyn twee gevallen: want de Cirkels zyn of gelyk, of ongelyk in grootte.
I. geval. Fig. 71. a. b. c.
oplossing. Door de r. VooronderfteUing, het IV. Werkftuk van het I. Boek , en de ï. VooronderfteUing. sewys. Uit de V1IL Bep. en het XVIII. Voorftel van het I. Boek en het VII. van het VI.
II. geval. Fig. 72. a. b. c.
oflopsing. Door de 3. VooronderfteUing. Uit G met eenen radius = GC-EK: verder door het XI. Werk. ftuk van dit Boek: het V. en IV. van het I. en de r. VooronderfteUing.
bewys. Uit de WÏI. Bep. en het XVIII. Voorftel van het t. Boek, en het VII. van het V.
XVI. werkstuk. Fig. 73,
Eenen cirkel te trekken , die eene gegeeven Iyn AC in een gegeeven ftip B raakt, en door een gegeeven ftip E gaat.
oplossinu. Door het III. Werkftuk van het I. Boek , da
1. Vooronderfttlling, het III. Werkftuk van het I. Boek,
en de 3. Vooronderftelüng.
bewys. Uit I!., 10. en V., 7.
XVII. werkstuk. Fig. 74., a.b.e. Eenen cirkel te trekken , die door een gegeeven ftip A gaat, en eenen anderen gegeeven cirkel innerlyk of uiterlyk raakt.
[C 2] cia.



36 IV. Boek: Over den Cirkel.
CLAVIUS Op EUCL. III., 17. p. 269.
'Er zyn drie gevallen, nr.ar maate het ftip A op den om* trek, buiten den omtrek, of binnen den omtrek valt. oplossing Door de 1. VooronderfteUing, het VII. Werk. ftuk van het I. Boek, en de 3. VooronderfteUing. aanmerking Het blykt i°., dat men in het eerfte getal op de lyn AD zo veele ftippen als men wil neemen kan, die de middelpunten van even zo veele cirkels zyn zullen, welke allen aan het gevraagde zullen voldoen. 2°. Dat in beide de andere gevallen, zo dra men door het gegeeven ftip A en het middenpunt des gegeeven cirkels de Iyn AB getrokken heeft, 'er altoos twee cirkels zyn zullen die aan het gevraagde voldoen.
XVIII. werkstuk. Fig. 74*.
Een ftip A buiten den cirkel BCD gegeeven zynde, eenen cirkel te trekken die door dat ftip gaat, en den geseeven cirkel uiterlyk zodanig raakt, dat geen van beide de cirkels binnen den anderen valt.
clavius Op eucl. III., 17. P- 2"0.
oplossing. Door de i. VooronderfteUing, het VII. Werkftuk van het I. Boek, en de 3. VooronderfteUing.
XIX. werkstuk. Fig. 74**.
Twee cirkels gegeeven zynde, eenen derden te trekken die ze beiden raakt, en wiens middelpunt in dezelfde rechte lyn is met de middelpunten der gegeeven cirkels.
CLAVIUS op EUCL. III., 17- P- 271.
oplossing. Door de i. Vooronderftelüng, het VII. Werkftuk van het I. boek, en de 3. Vooronderiitlling. bewys. Uit V., 15.
I. aanmerking. Het blykt dat wanneer de cirkels geheel buiten , of geheel binnen elkander vallen , men altoos
vier



III. Afd. Over de raaklynen van den Cirkel. 37
vier cirkels vinden kan die aan het gevraigcie voldoen: doch flechts twee, wanneer de cirkels elkander fnyden. II. AAM1ERKIK6 Wanneer men uit e k der middelpunten van de twee gegeeven cirkels , in< t eene opening gelyk aan de fom van den radius aan dien cirkel , en van den radius des cirkels dien men • oor den rakenden cirkel neemen wil, bogen btfchryft , zal het flip daar die bogen elkander fnyden , altoos het middelpunt zyn van den cirkel die beide de gegeeven raaken zal.
[C 3] VYF»



*8
VYFDE BOEK,
over de bes chryving der figuuren in en om den cirkel.
h werkstuk. Fig. 75.
In eenen gegeeven cirkel ABHC, eenen driehoek BAC te befchryven, die gelykhoekig zy aan eenen gegeeven driehoek D F E.
eucl. IV., 2. ——. S. p. 123. pr. 1.
oplossing. Door het XI.' Werkftuk van het IV., htt III.
van het IL Boek, en de 1. VooronderfteUing.
BtWïs. Uit V., y.
II. werkstuk. Fig. 75*.
Om eenen gegeeven cirkel eenen driehoek M K l te befchryven, die met eenen gegeeven driehoek CAB gelykhoekig zy.
eucl. IV., 3. S. p. 123. pr. 2.
oplossing. Men verlengt eene zyde CB van den driehoek. Vervolgens gaat men te werk door de i. Vooronderftelling: door het IV. Werkftuk van het I. Boek, door het III. van het II. Boek, twee maaien: door het IV. van het i. Boek , twee maaien.
bewys. Dat de, driehoek G L H om den cirkel befchreeven is, blykt uit de Oplosfing en VI., 2. Dat hy met den gegeeven gelykhoekig is, blykt uit IL, 11. I., I.
III. werkstuk. Fig. 76.
In eenencirkel eenen gelykzydigen driehoek te befchryven.
oplossing. Door de 1., 3, en 1. VooronderfteUing.
as-



V. Boek: Over de bef. der Fig. in en om den Cirkel. gr>
bewys. Uit I., 8. en H, 10. het 2. Gevolg. . Of nog
korter uit VI., 8. het 2. Gev. en VI., 8. N0. 5.
IV. werkstuk. Fig. 77.
Eenen cirkel in eenen gegeeven driehoek ABD te befchryven.
eucl. IV., 4. S. p. 124. pr. 3.
oplossing. Door het I. Werkftuk van het II. Boek, en
het V. van het. I.
bewys. Uit VI-, 4. het Gevolg.
V. werkstuk. Fig. 78.
Eenen cirkel om eenen gegeeven driehoek BAC te befchryven.
eucl. IV., 5. —. s. p. 125. pr. 4. oplossing. Door het VII. en III. Werkftuk van het I. Boek, en de 3. VooronderfteUing. bewys. Uit V., 2. het Gevolg.
VI. werkstuk. Fig. 79.
Een vierkant in eenen gegeeven cirkel te befchryven.
eucl. IV., 6. S. p. 120. pr. 5.
oplossing. Door de 1. Vooronderftelüng, het III. Werkftuk van het I. Boek, en de 1. Vooronderftelüng. $ewys. Uit I., 8. ui V,, 5.
VIL werkstuk. Fig. 80. '
Een vierkant om eenen gegeeven cirkel te befchryven.
eucl. IV., 7. S. p. 128. pr. 6.
oplossing. Door de 1. Vooronderftelüng, het III.enIV. Werkftuk uit het I. Boek. bewys. Uit I., 18. en 19.
VIII. werkstuk. Fig. 8;i. Eenen, cirkel ineen gegeeven vierkant tebefchry ven. eucl. IV., 9.
[C 4l op-



40 V. Boek: Over de bef der Fig. in en om den Cirkel
oplossing üit het VII. Werkftuk van hst I. Boek, ie I. en 3. VooronderfteUing. bewys. Uit I., 8. en VI., 2.
IX\ werkstuk. Fig. 8r.
Eenen cirkel om een gegeeven vierkant te befchry» ver.
eucl, IV., 9 , oplossing. Door de i. en 3 VooronderfteUing. eewys. Uit I , 19. her 5. Gevolg en VI., 1.
X. werkstuk. Fig. 83. ! Om een gegeeven vierhoek ABCD, waar in de tegerovergeftelde hoeken B en D, en A en C, gelyk aan twee rechte zyn, eenen cirkel te befchryven. oplos-sing, Trek AC: en dan door het V. Werkftuk van dit Boik. 1 bewys. Uit VI., 6.
XI. werkstuk. Fig. 84.
In eenen gegeeven cirkel eenen regelmatigen vyfhoek te befchryven.
eucl. IV., 11. — S. p. 128. pr. 7.
I. cplo.'sikg. Van euclioes Door het X. Werkftuk van het III. Boek, het I. van het V., het I. van het II. Boek en de 1. VooronderfteUing. — Of door het X. van het III. Boek, het I. van het V. en het VII. Weikltuk van het
' IV. Botk.
bewys. Uit VI., ic.
II. oplossing Van ptolemeus. Fig. 163. Richt uit C de loodlyn CD op (door het III Werkftuk van hetl. Boek) deel CB in twee gelyke deelen in E, (door het VII. van het I Boek) l.efchryf uit E met den radius ED den boog DF: trek de lyn DF : het is de zyde van den vyfhoek.. be'-vy3, üit VI., 14. het 3. Gevolg.
XII. werk-



V. Boek: Over de bef. der Fig. in en om den Cirkel. 41
Xlf. werkstuk. Fig. 85.
Eenen regelmatigen vyfhoek om den cirkel te befchryven.eucl. IV., 12. — S. p. 129 pr. 8. oplossing. Door het XI. Werkftuk van dit Boek en het
IV. van het I. bewys. Uit VI., 21.
XIII. werkstuk. Fig. 86.
Eenen cirkel in eenen vyfhoek, of in het algemeen in eenen gegeeven regelmatigen veelhoek te befchryven. eucl IV., 13. — s. p. 134. pr 12. oplossing. Door het I Werkftuk van het II. Bock, het
V. van het I. Boek, en de 3. VooronderfteUing. bewys. Uit li., 14 en VI., 2.
XIV. werkstuk. Fig. 87.
Eenen cirkel om eenen vyfhoek, of in het algemeen om eenen gegeeven regelmatigen veelhoek te befchryven.
ejcl. IV., 14. S. p. 132. pr. 11.
oplossing. Door het I. Werkftuk van het II. Boek, ea de 3. VooronderfteUing. * /
bewys. Uit II., 14. en VI., r.
XV. werkstuk. SQfa'
Eenen regelmatigen zeshoek in den cirkel te befchryven.
eucl. IV., 15. S. p. 130 pr. 9.
oplossing. Door de 3. en r. VooronderfteUing. bewys. Uit VI.. 8. het 2. Gevolg.
XVI werkstuk.
Te bepaalen welke veelhoeken men geometrisch in
den



42 V. Boek'. Over de bef. der Fig. in en om den Cirkel
den cirkel befchryven kan, en boe men ze befchryven moet.
oplossing. De driehoek, het vierkant, de vyfhoek, en de zeshoek, zyn de eenige oorfpronkelyke Figuuren, die men geometrisch in den cirkel befchryven kan. Men heeft tot nu toe geene geometrifche manier voor de zeeven. hoek, negenhoek, enz. en voor de overige veelhoeken, waar in het getal der zyden een eerfte getal is.
Maar door middel van de vier gemelde veelhoeken , kan men een aantal anderen befchryven, en wel op tweeder. leie wyze.
Voor eerst, door het VII. Werkfluk van het IV.Boek, door eene geduurige verdeeling der boogen in twee gelyke deeien : op die wyze befchryft men door middel van den driehoek, veelhoeken van 6, 12, 24, 48 zyden enz.; door middel van het vierkant, veelhoeken van 8» 16, 32 zyden enz.; door middel van den vyfhoek, veelhoeken van io, 20, 40 zyden enz.
Ten tweeden , door de inlchryving van twee oorfpron» kelyke veelhoeken: want,zo AD , AB, Fig 89., de zyden zyn van twee veelhoeken, wier zyden g en G in getal zyn ; zal de boog D B , G — g zyden behelzen van eenen veelhoek waar'in het getal zyden G X g is: en dus, zo G—g rs 1 ,of G X g een veelvoud is vanG— g, of zo G—g zr: 2, of eenige magt van 2 is, zal men detj veelhoek van Gxg1 zyden kunnen befchryven. By voorbeeld, zy AD de zyde van eenen driehoek; AB die van eenen vyfhoek ; zal de boog DB i zyden van eenen vyf tien-hoek behelzen: en dus is de choorde van den hal. ven boogBD, de zyde van eenen vyfiien-hoek. (Zie eucl. IV, het 16 Voord.)
bewys. Uit VI., 11., Gevolg, en VI., 12. het 1. Gevolg. aanmerking. Somtyds kunnen 'er byzondere manieren
plaats



V. Bock: Over de bef. der Fig. in en om den Cirkel. 43
plaats hebben: zo als, by voorbeeld, voor den tien; hoek, waarvoor twee oplosfingen voorhanden zyn. L oplossing. Van euclides, Fig. 54. Men fnyde den radius AB in uiterfte en middelfte reeden. (J. Boek, XII; Werkftuk.) Men maake B C = A D: en B C is de zyde van den tienhoek. sewys. Uit VI., 13.
II. oplossing. Van ptolemeus. Fig. 163. Richt uit C de loodlyn CD op , (I. Boek III. Werkftuk) deel CB in twee gelyke deelen in E: (I. Boek VII. Werkftuk). Befchryf uit E met den radius ED den boog DF: FC is de zyde van den tienhoek. bewys. Uit VI., 14. het 3. Gevolg.
XVII. WERKSTUK.
Te bepaalen welke regelmatige veelhoeken men om den cirkel befchryven kan , en hoe men ze befchryven moer.
oplossing. Allen, die men in den cirkel befchryven kan,
kan men ook om den cirkel befchryven : men gaat te
werk zo als in het XII. Werkftuk.
bewys. Uit VI., 21. het 2. Gevolg.
XVIII. WERKSTUK.
Eenigen veelhoek op eene gegeeven rechte Iyn te befchryven.
oplossing. Fig. 92. Men befchryft eerst in eenen cirkel naar welgevallen eenen veelhoek aan den gevrangden gelykvormig. Vervolgens maakt men op de gegeeven lyn AB eenen driehoek ADB gelykvormig aan oen middelpunts - driehoek E CF van den gemaakten veelhoek. Dan befchryft men uit D met den radits D A eenen cirkel :
in



44 V Boek: Over de bef. der Fig. in en om den Cirkel.
in welken men de lynen BG, GH&c gelyk aan AB ftelt; deeze zullen de gegeeven veelhoek ui'nnaken.
I. aanmerking Hier op fteunt het gebruik van den pro. portionaal pasfer, om dit Werkiiuk door denzelven optelosfen.
II. aanmerking, 'Er zyn voor fommige veelhoeken kor. ter handelwyzen : zo als voor den driehoek en het vierkant. Zie het II. en IV. Werkftuk van het III. Boek.









lab II.
























-Pre&Zs&uz&i- Tab V \