01 1127 2506 U9 AMSTERDAM



HISTORIE
DER
WISKUNDE.
In welke bericht gegeeven wordt van haare vorderingen, federt haai en oorfprong tot in onzen tyd,waar in het tafereel en de verklaaringen van haare voornaamfte ontdekkingen, de verfchillen, waar toe zy aanleiding gegeeven heeft, en de voornaamfte voorvallen van het leven derberoemdfte Wiskundigen voorgefteld worden.
door
den Heere MONTUCLA,
Lid van de Koninglyke Academie der Weetenfchappen
en fr aatje Letteren van Pruijfen* Uit laft van het Genootfchap der Mathematifche Weetenfchappen, onder de Spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven, uit het Franfch vertaald, en met eenige byvoegfelen, en ophelderende aanmerkingen vermeerderd,
door
ARNO LD US BAST4AAN STRABBE,
Lid en Secretaris van het zelfde Genootfchap; Lid van de Hamburgfche Kunftrekenings-lievende en oefenende Sociëteit, tot aanmoediging en voortplanting der Mathematifche Weetenfchappen, en Leermeejter der Wis- en Sterrekunde te Amfterdam.
Eerste Deel.
mm
Te AMSTERDAM,
By de Erven van F. HOUTTUYN y B ecu & x I I.



Mult'tpertrwfibunt & augebitur fcientia.
BACON,



V0OJR.IL.EBEN
VAN DEN
SCI1TTE1.
iL/en der waardigfte fchouwtooneelen, om een Wysbegeerig oog te treffen, is,buiten tcgenfpraak, dat der ontwikkeling van bet menfchelyk verfhnd, en der verfchillende takken van deszeifs kundigheden! 't Is meer dan een eeuw geleden,dat de beroemde Kancelier Bacon zulks aanmerkte; en deeze reden deedt hem de Hiftorie, zo als men dezelve tot in dien tyd gefehreeven hadt, vergelyken by een (lam, die van zyne edelfte deelcn beroofd is. Ik weet echter niet door welk noodlottig geval deeze tak der Hiftorie ten allen tyde het meed verwaarloosd is. Onze Boekeryen zyn overlaaden met wydluftige verhaalers van belegeringen, veldflagen en oorlogsgevallen,- hoe veel levensbefchryvingen zyn 'er niet van gewaande Helden, welke zich niet als door de
bloe-



IV
VOORREDEN van
bloedige tekenen, door hun nagelaaten, beroemd gemaakt hebben? Naauwlyks vindt men, zo als Plirdus met leedwezen aanmerkt, eenigeSchryvers, welke ondernomen hebben tot de nakomclingfchap over te brengen, de naamen dier weldoeners van het menfchelyk gedacht', waar van fommige gearbeid hebben, om deszelfs behoeftens door hunne nuttige vindingen verligting toe te brengen, andere, om de vermogens van deszelfs verftand, door hunne overdenkingen en nafpooringen, uit te breiden. Nog minder vindt men zodanige mannen, welke gedacht hebben om de bevordering van die vindingen voor te draagen, of om het menfchelyk verftand in deszelfs loop en ontwikkeling na te gaan. Zoude een zodanig tafereel minder bekoorlyk zyn, dan dat der bloedige vervvoeftingen en plaatfen, welken de ftaatzugt en boosheid der menfehen voortbrengen ?
't Zy verre van my, dat ik de Hiftorie der ftaatkundige gebeurtenifTen, door deeze overweegingen, in minachting zoude waanen te brengen. Doch haare Lofredenaars kunnen zelfs niet ontkennen, dat die Hiftorie, voor het grootfte getal der Leezers, veeleer een voorwerp van nieuwsgierigheid, dan een bron van onderwyzingen is. Weinige menfehen zyn aan het hoofd der regeering en legers, of voor die verhevene plaatfen gefchikt. Weinige menfehen zyn dienvolgens in het ge /al om voordeel tc trekken uit
de



DEN S C II 11 Y V E R.
V
de onderwyzingen dergemeeneI3iftorie,die bynaover mets anders handelt, als over de daaden der Beheerfchers. van de waereld, en dergeenen welken zy te werk ftellen. Ik zoude hier nog kunnen byvoegen, hoe weinige van deeze laatften trekken uit de Hiftorie li ;t voordeel, dat zy uit dezelve zouden kunnen trekken! Wcdcrhieldt dé afgryzing, welke de naamen der Tiberius en Nero's bezwalkte, de Heliogabalen en CaracallaV? Heeft de val van Sejamis9 en van zo veele misdaadige gunftelingen, eenemeenigte anderen, welke in alle tyden de zelfde voetftappen nagevolgd hebben, in de gemaatigdheid gehouden? De eigenliefde, de hartstogten, welke ons verleiden, of over ons heerfchen, vertoonen ons èc omftandigheden altoos als verfchillende, en maaken de voorbeelden der voorige gebeurtenifïèn onnuttig.
De foort van Hiftorie, die wy hier in 'c oog heb* ben, is tot nuttigheid van een veel grooter getal perfoonen gefchikt, en gaat veel zekerder tot haar oogmerk. De volgende overweegingen zyn gefchikt om den Leezer daar van te overtuigen.
Ik beken dat de Hiftorie eener Weetenfchap flegts van eene zeer geringe nuttigheid zoude zyn, indien men dezelve deedt beftaan in de Hiftorie van hun, welke deeze Weetenfchap aangekweekt hebben, en in de optelling van hunne werken; indien men zich, * a naar



vr VOORREDEN v a w
naar het voorbeeld van fommige Schry vers, ophieldt, om over weinig gewigtige voorvallen, zo als de juifte dagtekening, of de plaats van de geboorte of van den .dood eens Geleerden zoude zyn, eene fchraale geleerdheid te doen blyken. Ten hoogften zoude men daar door de goedkeuring van die perfoonen wegdraagen, voor wien de ontdekking destytels van een zeldzaam Boek, of van eene zonderlinge en onbekende geheime aantekening, dierbaarder dan die van eene waarheid is.
Maar zo iemand, tot den oorfprong eener Weetenfchap opklimmende, haare ontwikkeling van tyd tot tyd volgde, het tafereel en den voornaamften inhoud van alle de ontdekkingen, waar mede zy achtervolgens verrykt is, voorftelde, en door dat middel het deel van eere of achting, dat elk dergecnen, welke dezelve bevorderd hebben, toekomt, deedt kennen; zo hy, gaande weg, den Leezer de befte bronnen, in welke hy moet putten, aanwees; zo hy hem , door een wei gemaakt vertoog van die ontdekkingen, en van de inzichten, welke tot de. zelve aanleiding gegeeven hebben, dikwerf van de noodzaakelykheid, om tot die bronnen toevlugt te neemen, bevrydde, wie zoude dan kunnen twyffelen, dat zulks niet was een openbaare dienft te doen tan alle diegeenen, weike het ruim veld van die \\ eetenfchap doorloopen; hun te leiden, langs ee-
nen



den SCHRYVER. vii
nen gemaklyken en aangenaamen weg, tot het doel-* wie dat zy zich voordellen; eindelyk, om zo te fpreeken, hunne krachten te bewaaren , en in ftaac te dellen om gemaklyker verder te gaan. Dit is eene waarheid welke verfcheide doorluchtige mannen erkend hebben , en hun eene foortgelyke onderneeming heeft doen wenfehen. Ik heb den Kancelier Bacon reeds aangehaald. Dat overtreffelyk vernuft, dat, in eene eeuwe zo naby de duidernis, met zo veel verdands over de middelen, om de bevordering der Weetenfchappen te verhaaden, redeneerde (a~)9 plaatde haare gefchiedenis onder de ontbreekende dingen, wier uitvoering hy wenfehte. Hy deedt nog meer: hy ontwierp vooruit, ten diende van hem die t'eeniger tyd de onderneeming zoude doen; de fchets welke hy moed volgen, en deeze fchets verfchilt weinig van die, welke ik thans voordrage. De Heer de Mairan ontvouwt op eenewyze, die even zo overtuigend en verdandig is, de nuttigheid van een zodanig ontwerp. „ De Hiftorifche kenniilè „ der voorvallen en ontdekkingen dient, zegt hy(£), „ om ons in onze werken te bedieren; zy befpaarc
ons
De augm. Srient. L. II. c. 4. (6) Lofreden van den Heer de Bremond. Mèm.del'Acud. 1742.
*3



vin VOORREDEN van
ons de moeke en den tyd, dien wy misfchien „ zonder gevolg (altoos te vergeefs) zouden beftee» den' om ons wegen te openen, welke reedsaan„ geweezen zyn, en in welken niets meer te doen „ is dan te vorderen: zy verzekert de uitvinders de „ eere der vinding; en berooft hun van die eere, „ welke zich dezelve onrechtmaatig, of by gebrek „ van kennis, toeëigenen: zy bewaart ons eindelyk „ voor eene overeenkomOige verblinding, die altoos „ als verwaandheid of onweetendheid gewraakt is." Deeze zelfde redenen hadden ook den beroemden Heere Jacobus B:rnouiUi getroffen (c), endeeden hem van den Wiskunftenaar of van den Natuurkenner eene weetenfchap, van 't geen men vóór hem gedaan hadt. vorderen, dat is te zeggen, dat de Hiftorie der Wis - en Natuurkunde hem tot een zekeren trap bekend was (£).
Het
CV) Paralhlifmus ratiocimi Logici &? Algebrki. Op. T. I.
(«0 Het zoude my, in der daad, gemiKlyRzfaTeenze'er groot getal voorbeelden by te brengen, van Meetkundlger. welke, by gebrek van genoegzaam te kennen hetgeen men voor hen gedaan hadc, reeds gevonden zaaken als nieuwigheeden uitgegeeven, of in reeds uitgevoerde weiken eenen koftelyken tyd verloren hebben. De Heer de Lagni, by voorbeeld, beeft in de Memorien der Acaceniie van 'tjaar 1706 eene Leerwyze voor de algemeerse oplosfing der Vergelykingen gegeeven, welke in de Phi-



den S C H R Y V E R. IX
Het is derhalve onbetwiftbaar, dat de Hiftorie van eene Weetenfchap, befchouwd zynde zoals wyboven
lofopkifche TrmfaSim van 't jaar 166.9 reeds was bekend gemaakt. £e Leerwyze, welke de Heer Nicole, in >t jaar 1738, voor bet onherleidbaar geval gaf, was reeds door den Heer Leibnhz voorgefteJJ , en Wordt in het Comm. Lpiji. de Jnalyfi promota gevonden. Ik loochene niet dat deHeer Nicole dezelve breeder verklaard heeft, maar eindelyk hebben wy den Heere Leibnhz den grond van het denkbeeld te danken. Wat een tyd heeft de Heer Nick ook met verloren, om de waarden eener reeks van in en om den «rkel befchreeven veelhoeken te berekenen om als een toetsteen tot de gewaande quadraturen van deeze kromme te dienen! Dit is eene zaak welke Snellius reeds, en zelfs met meerder uitgebreidheid, in zyne Cyctmetri cus gedaan hadt. Ik gaa veele andere dergelyke voorbeelden voorby, betuigende voorts, dat het verre vanmy is, om daar door eenig nadeel aan de verdiende van die bekwaame Meetkundigen, en van de koflelyke verzaameling, in welke hunne fchriften bewaard worden, te willen toebrengen. Ik eindige met aan te merken, dat de Meet kundige, die, in eenige Msrcwen van 't jaar i754 z0 veel beweegicg gemaakt heeft, om zich de verdienilêee. ner nieuwe Leerwyze voor de quadratuur der krommen te verzekeren, de moeite gefpaard zoude hebben om dezelve in 't licht te geeven, indien hy geweeten hadt, dat dezelve niet alleen gevonden wordt in de Qeometna univerfalis van Jacolus Gregon, maar ook in de oude Memorien van de Academie (Tom. VI. p. 463, druk van
* 4



A VOORRÉDEN van
ven gedaan hebben h een nuttig werk is, en bekwaam om tot haare bevordering iets toe te brengen, zonder te fpreeken van het genoegen, dat elk Wysbegeerig verftand zal fcheppen in de befchouwing van haare opkomft, aanwas, lotgevallen, enz. Daar benevens zo het voor iemand fchandelyk is de Hiftorie van zyn Vaderland niet te weeten, moet het dan minder fchande zyn voor iemand die eene Weetenfchap aankweekt, dat hem onbewuft is langs welke trappen zy zich verheven heeft tot het toppunt, waar op hy dezelve gevonden heeft, en aan wiens werken zy haare vordering verfchuldigd is. Verdienen niet zy, voor wien deeze kenniffe onverfchillig is, hoe lofwaardig zy anders ook zyn, dat de nakomelingfchap hen met gelyke munt betaale, dat zy voordeel trekke uit hunne inzichten en vindingen, zonder aan den Autheur van dezelve te denken ?
Deeze waren zonder twyffel de beweegredenen, welke, omtrent het begin van deeze eeuwe, den Heere ds Monmort het denkbeeld van eene Hiftorie
der
i73o),als mede in die van 1703, (Zieeene Memorie van den Heer Gallois). Dat nog meer is, eene Leerwyze die ons, op het ltrikft genomen, opleidt, om de Parabolen der hoogere gedachten te quadrateeren, hetgeen zelfs de Vinder derzelve niet fchynt opgemerkt te hebben, ten zy hy een geheim daar van maalte, verdiende niet, dat men dezelve met zo veel drift als zyn eigendom aanmaatigdc.



den SCHRYVER. xr
der Meetkunde inboezemden. De wyze op welke hy zich over dat onderwerp uitdrukt voegt hier al te wel, om dezelve niet met ftilzwygen voorby te gaan. „ Het zoude zeer te wenfchen zyn, zegt hy in een „ Brief aan den Heer Nicolaas Bernouilli (<?),dat ,» iemand de moeite wilde neemen van ons te ken„ nen te geeven , hoe, en in welke fchikking , de „ Wiskundige ontdekkingen elkander gevolgd zyn, „ en aan wien wy de verpligting voor dezelve heb. „ ben. Men heeft de Hiftorie der Schilderkunit, „ der Muziek, der Geneeskunft gemaakt. Eene „ goede Hiftorie der Wiskunde, en in 't byzonder „ van de Meetkunde, zoude een veel fraaijer en „ nuttiger werk zyn. Welk een vermaak zoude „ men niet hebben in de befchouwing van het ver„ band der Leerwyzen, de aaneenfchakeli.ng der „ verfcheide Theorien, van de eerile tyden af tot s, in onzen tyd, in welken deeze Weetenfchap tot „ een zo hoogen trap verheven is! Myns bedunkens„ zoude een zodanig wel gemaakt Werk als de Hi„ ftorie van het menfchelyk verftand aangezien kun,, nen worden, naardien het in deeze weetenfchap „ meer dan in eenige andere is, dat de menfch de „ uitneemendheid dier gave van vernuft doet kennen,
„ weiCe) Zie Analyfe des Jeux de Hazard, feconde èdition,?* 99.



w VOORREDEN van
„ welke hem van God gefchonken is, om hem „ boven alle andere fchepfèlen te verheffen." De Heer de Monmort bepaalde zich niet flegts tot wenfchen, en tot de aanpryzing van die Hiftorie. Welhaaft ondernam hy die zelf, en was reeds verre met dezelve gevorderd, zo als een gedeelte van een zy ner brieven, in de Handelingen van Leipzig bygebragt ( ƒ), te kennen geeft. Maar zyn dood heefc ons berooid van dat werk, welks verlies men niet te veel beklaagen kan, als men acht geeft op de bedreevenheid van den Heer de Monmort in de Meetkunde, een voordeel 't welk gepaard ging met dat van eene zeer uitgebreide correfpondentie, die hem met het grootfte gedeelte der voornaamfte Meetkundigen van Europa verbondt. Het ware ten minften te wenfchen geweeft, dat zyne handfchriften bewaard geworden waren; maar het onderzoek 't welk ik, door de bemiddeling van een beroemd man, by zyne erfgenaamen naar dezelve gedaan heb, heeft tot niets anders geftrekt, als om my van hunne vernieling, of hunne geheele verftrooijing, te verzekeren.
Het zyn de zelfde beweegredenen, en een foort van gemengde fmaak voor de geleerdheid en de Wiskunde, eindelyk een zekere yver voor een tak van onze kenniflen, dien ik ongemeen verwaarloosd zag,
wel-
C/) Anno 1721, p. 215.



den SCHRYVER.
xni
welke my vóór veele jaaren myne onderneeming ingeboezemd hebben. Ik hadc dezelve van toen af op de boven voorgeftelde wyze befchouwd, zelfs vóór dat my de fchriften van den Kancelier Bacon, wiens beroemdheid in Vrankryk, weinig ouder dan de Encyclopédie is, bekend waren. Ik hadt, wel is waar, my in 't eerft tot de Hiftorie der Meet- e» zuivere Wiskunde bepaald ; doch de vreaze van een werk te maaken, dat eeniglyk gefchikt was, om een zeer klein getal Leezers deel aan hetzelve te doen neemen, gevoegd by de aanraadingen van eenige perfoonen, hebben my myn ontwerp toE de algemeene Hiftorie der Wiskunde doen uitbreiden. Ik ben echter niet van gevoelen, dat ik beter gedaan zoude hebben, als ik my aan myn eerfte beftek gehouden hadt.
Wat 'er ook van zy, zie hier de wyze op welke ik deeze Hiftorie der Wiskunde heb uitgevoerd. Ik ben in 't eerft zo hoog, als de duifterheid der tyden my heeft toegelaaten, tot haaren oorfprong op» geklommen. Vervolgens heb ik haare voetftappen by de oudfte volkeren gevolgd, en my, zo veel als ik heb kunnen doen, met den fakkel der oordeelkunde voorgelicht,, ftellende fomtyds, in plaats van de onbekende ontvouwing deezer Weetenfchap, eene verdichte, en waarfchynlyk zeer naby de waarheid komende, ontvouwing. Van daar ben ik overgegaan,



xrv VOORREDEN van
gaan, om van haare vorderingen in alle tyden verflag te doen, waar by ik voornaamelyk de ontdekkingen, welke aan ieder tyd eigen zyn, of die, waar van zy de zaaden leveren, doe kennen Alhoewel ik my niet voorgefteld hebbe, om de Hiftorie van hun, welke de Wiskunde bevorderd hebben, te maaken, is dit echter een gedeelte, dat ik niet t'eenemaal verwaarloosd heb. Ik heb vry omftandige aantekeningen over den perfoon, het leven en de fcbriften der meefte Wiskundigen van eenige beroemdheid medegedeeld. Het was mede van aanbelang verflag te doen van de onëenigheden, welke men by wylen in den fchoot der Wiskunde heeft zien ontffaan; dit is ook een lïuk, waar op ik eene byzondere aandacht geveiligd heb, en ik verbeelde my van de meefte dier beruchte twiftzaaken een zo juifl als naauwkeurig bericht gegeeven te hebben. Eindelyk, ert dit is het gewigtigfte ftuk, waar uit de Wiskundige Leezers de voornaamfte vrucht zullen trekken; ik heb my zorgvuldig verbonden om van alle de Theorien van eenig aanbelang, waar in het faamenftel der Wiskunde beftaat, een duidelyk denkbeeld te geeven, en heure waare grondbeginfelen voor te draagen.
Om een zo uitgebreid ontwerp met orde uit te voeren, heb ik hetzelve in verfcheide deelen verdeeld. In het eerfte geef ik , na eene inleidende
voor-



den SCHRYVER. xv
vooraffpraak, welke de natuur en de voordeelen der Wiskunde tot onderwerp heeft, haare gefchiedenisby de oudfte volkeren der waereld, en in 't byzonder by de Grieken, van de eerfte tyden af tot de verwoefting van het Ryk van Conftantinopohn. Deeze lange cusfchentyd, welken ik te doorloopen hadt, heb ik in verfcheide tydperken afgedeeld, als van de vroegfte tyden af tot Thales; van dien Wys« geer tot de ftichting der Schoole van Alexandria; van de ftichting dier Schoole tot de Jaartelling der Chriftenen; van het begin dier Jaartelling tot den ondergang vau het Griekfche Ryk.
Het tweede deel is gefchikt om verflag te doen van de Wiskundige kenniftèn van verfcheide Oofterfche volkeren, als de Arabiërs, de Chineezen,'enz. by wien de Wiskunde, geduurende den langen rus"* fchentyd,dathet weftelyk deel van Europa indeon. weetendheid gedompeld lag, in vollen bloei ftondt.
In het derde deel heb ik de vorderingen der Wiskunde by de Wefterfche Volkeren, tot in 't begin der voorige eeuwe, voorgedraagen. Hetzelve is verdeeld in verfcheide Boeken, waar van de byzondere verdeeling en het onderwerp in de Tafel, die achter de Voorreden volgt, te zien zyn.
Het vierde deel, dat den geheelen tweeden band
uit-



xvi VOORREDEN v a n
uitmaakt (g), heeft tot onderwerp de vorderingen van die zelfde Weetenfchap geduurende de zeventiende eeuwe. Het zoude van te langen adem zyn, om over de Boeken, waar uit hetzelve faamengefteld is, in grooter byzonderheden te treeden; derhalve wyze ik den Leezer naar de boven genoemde Tafel.
Ik was in 't eerft, onder het drukken van deeze twee Deelen, voorneemens, om ook de Hiftorie der Wiskunde geduurende de tegenwoordige eeuwe daar in te vervatten. Maar de nieuwe hukken, welke my by geval ter hand gekomen zyn, en de navorfchingen welke ik, onder het drukken van dit Werk, by aanhoudendheid, gedaan heb, hebben de fcoffe zodanig uitgebreid, dat ik, zonder een derde Deel te geeven, niet verder dan de zeventiende eeuwe heb kunnen gaan. Indien het gemeen, dteze proeve met toegeevendheid ontfangende, door zyne greetigheid blyken toont, van de bezitting van dit derde Deel desgelyks te wenfchen,
zo
(g) De verandering van Formaat heeft my genoodzaakt eene andere fchikking te volgen, als die welke hierdoor den Schryver-wordt opgegeeven, en in de Frznfcbe Editie in acht genomen is. Ik zal in myne Voorreden hiervan het noodig bericht geeven. Vertaaler.



den SCHRYVER. xvii
20 is het eenigermaate gereed, en zal dan eerlang
in 't licht gegeeven worden.
Voor het overige, fchoon ik myn beftek naar zekere tydperken gericht hebbe, heb ik my echter niet zodanig aan dezelve verbonden, dat ik die niet fomtyds heb durven te buiten gaan. Eene te flaaffche verbinding aan de orde der tyden zoude de ftoffen van dit Werk te veel verdeeld hebben. Naauwlyks ware een onderwerp begonnen, of men zoude alsdan van herzelve moeten aftrappen, om tot een ander over te gaan. Het is gemaklyk te oordeelen welke wanorde, welke verwarring zulks voortgebragt zoude hebben. Ik heb een foort van middenweg gekozen: dan eens, na eene Theorie verhandeld te hebben, welke haaren oorfprong-, en zelfs een zekeren aanwas, in een tyd bekomen hadt, heb ik die gelegenheid waargenomen, om de ontdekkingen te doen kennen, welke veele der laatere eeuwen by dezelve gevoegd hebben. Ik heb, by voorbeeld, aldus gehandeld ten'aanzien van het Problema der twee midden - evenredigen, waar van ik, by, gelegenheid der poogingen, welke verfcheide Meetkundigen. der Schoole. van Plüto, om hetzelve op te lollen, aangewend hebben, achtervolgens de Hiftorie van hetzelve by de Ouden heb voorgedragen. ■ Desgelyks hebben de ontdekkingen van den Heer Huygens over de flinger-middgipuntèn my aanlei!* ding



xvni VOORREDEN van
ding gegeeven, om de voikomene gefchiedenis van dat Prohlema tot in onze dagen voor te (teilen. Somwylen, in tegendeel, vergenoege ik my, met de opkomft en de eerfte vorderingen van eene Theorie aan te vvyzen, en doe van dezelve niet eerder verilag, als in den tyd waar in zy haaren vóórnaamHen aanwas bekomen heeft; en aldaar heb ik dan eenigermaate uitgeput hetgeen van dezelve te zeggen was. Wanneer ik zonderlinge voorvallen, fchoón eenigzins van ter zyde, en flegts van verre eenige overeenkomft met myn hoofdonderwerp hebbendé, in mynen weg ontmoet heb, heb ik dezelve in byzondere -aantekeningen bygebragt. Ik zal ten voordeele der Leezers, welke geene grondige kundigheden in de Wiskunde bezitten, hier nog by voegen, dat ik meefttyds de dingen van eene té moeijelyke navorfching in den text overgeflagen, en in byzondere aantekeningen geplaatit heb, zodat het genoeg zal zyn, dat men in deeze Weetenfchap flegts eenigermaate géoéffend, en aan eénige aandacht.gewend is, om het grootfre gedeelte van dit Werk te verftaan. Ik zoude ook zeer gaerne hetzelve voor aiie foorten van Leezers vatbaar hebben willen maaken. Maar de Wiskundige bloemen zyn van zodanige natuur, dat het byna niet mogelyk is dezelven van alle haare doornen te berooven. Daar benevens, indien men zelfs .-alles, dat tot een geleerd onderzoek behoort ,



den S C II R Y V E R.
xix
hoort, in dit Werk overflaat, zal 'er nog genoeg overblyven, cm de weetgierigheid vaneen Leezer, die eenig belang in de Weetenfchappen ftelt, te kunnen voldoen.
Ik zal over het ontwerp myner onderneeminge niets meer zeggen, .'t Is gemaklyk te oqrdeelen» welke zwaarigheden ik uit den weg heb moeten ruimen, om het ontwerp te volvoeren. Wat een raeenigte Werken .heb ik niet moeten kezen* verkopten , doorloopen, en onder malkander vergelyken, om de ftofFen van myn gebouw te verzaamelen! een gebouw welks ftichting des te moeijelyker was, alzo nog niemand de fchets en de uitvoering van hetzelve hadt ontworpen. Ik zwyge van de noodzaakelykheid om eene genoegzaame grondige kenniiïe van alle de verfchillende deelen der Wiskunde, wier faamenftel zo onderfcheiden en -zo uitgebreid is, met deeze nafpooringen te verbinden. Dit was, men vergunne my deeze uitdrukking, de eerfte grondflag'van myn ontwerp; en wat zoude een Hiftoriefchryver yan de?ze Weetenfchap zonder die kenniilè gemaakt, .hebben, anders dan een Werk, dat t'eenemaal-van zaaken ontbloot, eneeniglykgefchikt was, om dat ilag van Leezers,- voor wien woorden genoeg zyn, tydverdryf te bezorgen,-of wel een Werk vol befpottelyke misgreepen, ehbe» ** a kwaam



xx VOORREDEN van
kwaam om kundige lieden te doen lagchen Qi), indien die Schryver gewaagd hadt flegts eenigzins buiten den kring zyner kundigheden te gaan ? Maar dit is nog niet alles,- de ftoffen van myn gebouw x verzaameld zynde, moert men dezelve in orde fchik■ken, en van dezelve-een geheel maaken, welks deelen onderling eenig verband hadden; ik moet het bekennen, myne verlegenheid is meer dan eens groot geweeit, en mogelyk dat: anderen ook belem-r mering daar in zouden' gevonden hebben. Wolf, ■ ■ : -v o: wuodsg «•» , ..... .. . c ,-die
• .••ybtiüom w asb snörbiir'gjlbw v/aodv r,oó itM (h) Ik zaüde gemak'Ijtk duizend zodanige misvattingen , ,deor perfoqnen, welke te weinig, kenniffe van de Wiskunde hadden, begaan, kunnen opnoemen. Zie hier een bela,cheïy,k 'voorbeeld van dezelve. Men flaa zyne oo. gen op het'Artikel van Albategniur, in den op-één na laatften druH'-van het "Werk Va» Moréri:' men zal aldaar i leezen , dat die Sterrekundige' zew ?on4erjinge wparpee-
■ mingpn over dejchuinfche gedaante van den. Zodiak deeflt. Men wilde, zéggen, dat hy de fchüinsheid vin de Ecliptica waarnam, öldus worden 'de eenvoudigfte zaaken'in de Wiskunde, als zy door de pen eens Sehryversgaan, 'die in dezelve onkundig is, op dè 'belagcMykfte wyze on-
■ kenbaarir.gemaalvt. Ik zal bier nog byvöegen, dit zulks een- klip. is, weike hy niet zoude. vermyden, al bepqajde hy zich om van de eene taal in de andere over te zetten, ïk zoude daar van insgelyks belagchelyke voorbeel.
* den kunneri bybrengen, indien de zaak der moeite waar-
■ dig'ws.



dén SCHRY.VER. xxr
die met nadruk wenfchte, dat iemand eene zodanige onderneeming ter uitvoer bragt, hadt deeze zwaarigheden wel befeft; en dezelve deeden hem zeggen, dat eene volledige Hiftorie der Wiskunde ad gracas calendas prodihit. , Evenwel heb ik een moed, miflehien de vermételheid, gehad, om deeze zwaarigheden te trotfeeren, wel is waar, niet om eene zo vollédige Hiftorie der Wiskunde te maaken, dat dezelve na my niets overig liet te zeggen, maar om 'er eene te maaken, die genoegzaam uitgebreid en omftandig was, om de voornaam (Ie vruchten , welke men van een Werk van deeze natuur verwachten kan, voort te brengen. Het ftaat nu aan het gemeen om over de uitvoering te oordeelen ; wat den grond aangaat, geloof ik myne verbindtenifTen vry wel nagekomen te zyn. Aangaande dê fchikking heb ik van my niet het zelfde vertrouwen. Ik kan niet ontveinzen dat 'er eenige deelen van myn ontwerp zyn, welke, op eene andere wyze gefchikt zynde, meerder orde en zuiverheid in het geheele Werk zouden gebragt hebben; dat de lieden, welke voor een befchaafden ilyl zyn, hier en daar in den mynen meerder keurigheid en minder gebreken zullen wenfehen. Myne verantwoording zal zyn, dat myne voornaamfte aandacht op den grond zei ven van het Werk is gevetligd geweeft, en dat ik, by wylen eenen arbeid moede zynde, wiens grootheid ik niet 3 eer-



xxii V O O R REDEN van
eerder recht gekend heb, als na dat ik my reeds te diep in dezelve gewikkeld had, den moed, of zo men wil, de kunft om beter te doen niet gehad hebbe. Ten anderen is myne eerzucht nooit zo ver gegaan , dat dezelve my heeft doen wenfcnèn, om myn Werk in de handen van allerlei Leezers te zien. Ik heb niet gefchreeven voor hun, welke meer aan de woorden dan aan de zaaken blyven hangen, en Wier ongemeen fchérphoorend oor doör de faamenkomft van twéé klinkletteren, of eene te groore nabyheid van twêe overeenkomftige klanken, meerder gekwetft is, dan het verftand van eene misflag of valfche redeneering. De Wysgéeren, de lieden welke deeze Weetenfchap zyn toegedaan, zy die de Weetenfchappen beminnen, zyn het welke ik in 't oog heb gehad; en ik hoopé dat zy, ten aanzien der zeer groote uitgeftrektheid van myne onderneeming, de feilen, welke ik begaan heb, gunftig zullen verfchoonen, ik zeg niét alleenlyk die feilen, waar aan ik my reeds fchuldig verklaard heb, maar ook andere gewigtiger feilen. Hy die zich het eerft in een onbekend land begeeft, verdient ten aanzien der verkeerde wegen, welke hy in hetzelve kan inflaan, eenige toegeevendheid, en ik geloofvrymoedig te moogen zeggen, dat het veld, waar in ik getreeden ben, naauwlyks aan de zoomen gebaand was.
My



den SCHR Y V ER. xxiii
My blyft nog overig eene aanmerking temaaken. Men zoude ten onrechte Haat maaken, om van alle diegeenen welke der Wiskunde geoeffend, of over dezelve gehandeld hebben, eene voliédige melding te doen. Ik heb niet noodig geoordeeld my in byz'onderheden over het leveh en de fchriften van hun, welke niets'merkwaardigs gedaan hebben, uittelaaten. Een Leeraar is zekerlyk zeer lofwaardig, als hy getracht heeft zynen leerlingen de oeffening der Wiskunde door nieuwe beginfelen, of eene verzaameling van veele hier en daar verfpreide waarheden , faamen te ftellen, gemaklyk te maaken. Maar ten zy die Werken met eenen voortreffelyken fmaak en oordeel gemaakt zyn, zo men niet het vernuft, door de nieuwe wyze om de voorwerpen te befchouwen, in dezelve ziet uitblinken, zyn deeze geen genoegzaame eernaamen, om in deeze Hiftorie aanmerking te verdienen. Echter heb ik geenzins de verwaandheid gehad om te denken, dat ik niets heb overge* flagen, 't welk in dit Werk plaats behoorde te vinden. Zonder twyffel kunnen my veele gewigtige voorvallen ontgaan zyn. Met ftofFen overladen, ben ik zelf verpligt geweeft, om fraaije en geheel voltooide ftukken over te flaan, of zeer veel te verkorten. Doch om aan alles plaats te geeven, moeft ik de deelen vermenigvuldigd hebben; en het gemeen is, gelyk men weet, niet meer in den lmaak ** 4 der



xxiv. VOORREDEN van
der Werken, welke in veel banden beftaan. Zelfs zal men mogelyk nog bevinden dat ik, in weerwil van myne poogingen om my in te binden, nog korter had behooren te zyn.
Ik heb boven gezegd, en ik heb het metvrymoedigheid gezegd, dat de toegang tot het veld, waar in ik my begeeven heb, ter naauwernood gebaand was. Dit zal, zo ik het niet bewees, eene kunftgreep van den Schryver fcfcynen te zyn, die, om zyne-i arbeid te verheffen, zo veel hy kan, den arbeid van alle die vóór hem geween zyn in minachting poogt te brengen. Ik moet derhalve hun, welke dien tak van geleerdheid vóór my bevorderd hebben, naauwkeurig beöordeelen. Weshalve ik thans een getrouw verflag van hunne werken zal doen.
De Ouden hadden, zo het fchynt, de nuttigheid der onderneeminge, welke ik nu ter uitvoer gebragt heb, erkend. Sommigen onder hen hadden de Hiftorie der verfcheide deelen van de Wiskunde, tot in hunnen tyd, befchreeven. De beroemde opvolger van Arifloteks(Theophraflus) verontwaardigde zich niet om zich daar toe te verleedigen. Hy hadt de Hiftorie der Reken-,
et-en Sterrekunde gemaakt. Deeze twee laatfte Weetenfchappen hadden nog, omtrent dien zelfden tyd, een Hiftoriefchryver in Eudemvs, een an-
de-



den SCHRHER, xxv
deren Wysgeer der Wandel fchoóle. Eindelykfchreef Geminus, kort vóór de jaartelling der Chriftenen, op nieuw de Hiftorie der Meetkunde, of ten min' ften een Werk, waar van deeze Hidorie een voornaam gedeelte uitmaakte, onder den tytel van Enarration es Geometricce. Maar deeze koftelvke werken hebben de wederwaardigheden der tyden niet kunnen verduuren. Ons is van dezelve niets anders overig, dan het weinige dat Proclus daar uitgetrokken, en in zyne langdraadige Uitlegging over het eerfte Boek van Euclides verfnreid hééft. De overige Schryvers der aloudheid, wien wy cenige onderrichtingen over de Hifrorie der Wiskunde te danken hebben, zyn Diogenes Laënius, in zyne Levensbefchryving der Wysgeeren; Ptutarchus, in zyne Placita Philofophorum ; Stobeus, in zyne Edogce Pfjy/tcce; de Schryver der Philofophumena, Acbillss Tatius, in zyne Ifagoge ad phenomena Arati, voor het overige Schryvers, welke men niet zonder mistrouwen moet leezen. Want zy toonen zeer dikwils weinig oordeel in die ftofFen zo als ik op verfcheide plaatfen heb doen zien^z). Daar benevens betreft hetgeen zy ons te kennen geeven byna eeniglyk de Sterrekunde, en is dienvol-
(»') Zie onder anderen het I. Deel, pag. 143. **5



xxvr VOO R-R EDEN van
'volgens'flegts een klein gedeelte, van hetgeen voor ons van belang zoude zyn, om geweeten te worden.
Wat aangaat de hedendaagfche Schryvers, welke over die ftofiè gefchreeven hebben \ zie hier diegeenen welke tot myne kenniflè gekomen zyn.
i°. Men heeft eene Chronica de' Mathematici, overo epitome delle vite loro, een Werk van Dernardinus Saldi, een Wiskundige van de zestiende eeuwe, dat, na zyn dood, in'tjaar 1707 te Urbino in - 4to. in 'c licht gegeeven is. Hetzelve is een werk van weinig aangelegenheid, eene eenvoudige Chronologifchê Naamlyft- der Wiskundigen, met zeer geringe byzonderheden over hun leven en hunne fchriften. Wy gelooven zonder onrecht in den zelfden rang te mogen plaatfen de Chronologia clarorum Mathematicorum, welke de Vader Blancanuska. 't jaar 1615 in 't licht gaf; want de uitvoering beantwoord ftriktelyk. aan den tytel.
2°. VoJJius (Gerardus Joannes) ondernam, omtrent het'midden der voorgaande eeuwe, iets, dat uitgebreider is, over de zelfde ftoffen, en voerde hetzelve uit in zyn Boek^ Scientiis Matbematicis. 'Doch Vojfms hadt de noodige kundigheden niet, om, naar den zin der Wiskundigen, in eene dergelyke onderneeraing te flaagcn. Behalven de belagchelyke feilen, welke men vry dikwils in zyn
Werk



den SGHRYVER.
XX VH
Werk aantreft, is hetzelve flegts eene Cbronologifche Naamlyft, naar vervolg der 'ftofte gefchikt, waar in de heerlykfie loffpraaken dikwerf uitgedeeld worden, met de juiftheid welke men te wachten heeft van een geleerden, die, wel is waar, met eene voortreflèlyke geleerdheid begaafd, doch in die ftoflèn te weinig bedreeven is.- Hier uit, of uit eenige Verzaamelaar van levensbefchryvingen der Geleerden (k), zoude het ligtelyk kunnen zyn, dat een vermaard Boekzifter, die door de hoedanigheid van zyn verfland der Wiskunde weinig gunftig was, het denkbeeld heeft opgevat, dat nietsgemeener was dan de groote Wiskundigen. IVIaar de WeexVojftus en die Boekzifter neemen het my niet kwalyk, als ik zeg, dat de groote Wiskundigen niet minder fchaars zyn, dan de groote Dichters, de groote Redenaars, enz. De eernaam van fchrander, van verftandig, is meefityds die tot welke men die van groot,
be»
(k) Men heeft flegts de Woordenboeken, en voornaa. inelyk die Bihliographifche Boeken, welken men Biblio. theeken noemt, te leezen; niets wordt op eene befpottelyker wyze uitgedeeld, dan de eernaam van groot, beroemd , doorluchtig, en dikwils bepaalen zich de Werken van die mannen, welke met zulke pragtige eernaamen vercierd worden, tot eenige vertaaling, of eenig Werk over da beginfelen: fomtyds zelfs *ot Werken, welke door lieden van de kunft veracht worden,



xxvm VOORREDEN van
beroemd, enz. welke door in de Wiskunde onervarene perfoonen zo mildelyk Uitgedeeld worden, moet overbrengen.
30. De Vader Riccioli heeft hen, welke de Hiftorie der Wiskunde, of ten minften een van haare deelen, naamelyk de Sterrekunde, zouden onderneemen te fchryven, meer dienft gedaan. Zyn Almageflum novum, zyne Geographia reformata, zyn door de Hiftorifche byzonderheden, welke dezelve bevatten, weezenlyke rykdommen in dat vak der Weetenfchappen. Alleenlyk ware het te wenfchen, dat in dezelve wat meerder oordeelkunde, naauwkeurigheid en netheid, om de hedendaagfche vindingen te waardeeren, gevonden werdt.
40. Men vindt aan het hoofd der Mundus Mathematicus , of der Curfus Mathefeos van den V. Defchalles (Druk van 1690), een gefchrift, waar van de tytelis, de Mathefeos progreffu &'illuflribus Mathematicis. Doch, behalven eenige algemeene trekken, welke in 't gemeen bekend genoeg zyn, is hetzelve byna niers anders dan eene Chronologifche naamlyft van Wiskundige Werken, welke veel minder uitgeftrekt, en minder leerzaam dan die van Vojfius is.
50. Wallis gaf in 't jaar 1684 zyn Boek, getyteld Tra&atus Algebra Hiflor kus & praclicus, in 't licht. Dit Werk, ten aanzien der Wiskundige geleerd-



den SCHRYVER.
xxrx
leerdheid befchouwd zynde, is der groote achting van deszelfs Schryver" waardig; doch als men hetzelve aan de Hidorifche zyde befchouwt, is 'er niets onnauwkeuriger; en zo men hetzelve eenige achting heeft toegedragen, is zulks zekerlyk om dat niemand nog de minde navorfchingen over dat onderwerp ondernomen hadc ' Ik kan eindelyk zeggen naardien ik zulks elders (7)met de uiterfle klaarblyklykheid beweezen heb, dat dit Boek van Wallis flegts het werk der blindde partydigheid is. Hy fchynt zich niet verwaardigd te hebben, om de oogen op eenig Analifl te flaan, als op Harriot zyn landgenoot, voor wien alle de andere opgeofferd worden. Ook eigent hy. hem eene meenigce Analytifche ontdekkingen toe, waar voor wy Cardanus Bombelli, en voornaamdyk Fieta, ce danken hebben. Maar ik heb my deswegens op de behoorlyke plaatfen genoegzaam; uitgebreid.
6°. Onder de Memoden van de Academie dér Opfchriften leed men eene van den Heer Bwrdelot
- over den oorfprong wn de Spheèr en de Sccrrekunde. Ik weet niet of ik my bedrieg, maar my dunkt dat dit ftuk der grondige weetenfchap van di^i
■iA l; . ; ., sd :.\ •> ■ sj sbn^fe.
(0 II. Deel, VI. Boek.':^rt. ,5. III. Deeliil. Boek.



xxx V O O R REDEN van
Geleerden byna-niet waardig is. Ik heb in hetzelve niets gevonden, dat eenig Wiskundige, die flegts de minfte geleerdheid in de Sterrekunde bezit, onbewuft kan zyn.
70. Men zoude niet zonder reden van' den Heer Cajfiniietsdat grondiger was, -dan hetgeen men leeft in de oude Memorien der Academie (VIII. Deel), onder den tytel de V origine & du progrh de VAflronomiei enz. verwacht hebben. Maar het is ten hoogften waarfch.y.nlyk$ dat het voorwerp van difen beroemden Sterrekundigcn niet anders geweeft is, als ora.de eerfte trekken der Hiftorie van deeze Weetenfchap te ontwerpen., om te dienen tot eene inleiding van hetgeen by. over de nieuwelings aan den hemel gedaane ontdekkingen, en haar gebruik in de Aardrykskunde en Zeevaart, te zeggen hadt.
8°. Dit was alles dat men tot aan het einde dér voorgaande eeuwe over de Hiftorie der Wiskunde hadt. Deeze eeuw heeft eenige grootefiê Wérken Over dat onderwerp: voortgebragt, maar wy durven
-zeggen,, dar dezelve wel verre zyn van een zodanigen tytel te beantwoorden. Het eerfte is dat van
, wylen den,Heerj/^///ars-,;.! Hoogleeraar. der" Wiskunde te Wittemberg'. hetzelve is getyteld Hifloria Aftronomi<s9 en kwam in 't jaar 1740 in 't licht- (Wittenh. in - 40.) Ik zoude my, ten aanzien van een Geleerden, wiens arbeid my
dik-



den S C I I R Y V E R. XXXI
dikwerf nuttig geweefc is, aan ondankbaarheid fchuldig maaken, indien ik dit werk eene zekere verdienfte weigerde. Men ziet in hetzelve , voornaamelyk in de eerfte Hoofddeelen, welke de eerfte voetftappen der «Scerrekunde betreffen, veel geleerdheid uitblinken, 't Is, om de waarheid te zeggen,deeze geleerdheid, waar in een Franfch Leezer weinig behaagen vindt, en welke beftaat in eene meenigte aan malkanderen gehegte plaatfen, die zelfs by wylen tegen elkander ftryden, alles doormengd met aanhaalingen van tytels, bladzyden, en uitgaven, een rechte baijerd, op welke men deeze Vaerfen van Ovidius kan toepaften .-
Rudis indigeftaque moles ;
Congefiaque eodem,
Non bene junüarum difiordla femina rervm
, 3 é * ^ ^
Het overige, is eene optelling, naar de dagtekening gefchikt, van alle de fchriften over de Sterrckunde, waar aan de Heer Weidler kennis, gehad heeft. Dezelve gaat gepaard met eenige- byzoncierheden over den perfoon, het leven van humie Schryvers, fomtyds ook, doch zelden\ met geleerde omlrandigheden., Dit Werk, ik zeg het nog eens, is my nuttig geweeft^a'gr ik. voege 'er by, aonder bet gevolg van deszelfs vergelyking met het
my-



xxxn VOORREDEN'van
myne te duchten, dat de fraaijere en gewigtiger ftukken, welke men in myn Werk zal leezen, niet uit dat van den Heere Weidler ontleend zyn. Zelfs zoude ik dikwerf zeer grove feilen begaan hebben, indien ik my gehouden had aan dien leidsman, welke 'niet altoos genoegzaam van den fakkel der oordeelkunde wordt voorgelicht. Ik heb de vryheid genomen zulks op fommige plaatfen aan te merken.
9°. Hetgeen ik nu van het Boek'van-den Heer Weidler gezegd heb , kan met vee!' meer reden gezegd worden van het Werk, ?t welk de Heer Heilfo-oner in 't {aar 1742 , ónder den tytel vari' Hiftoria Mathefeos (in - 4to.' Lipf.) in 't licht gaf. Men ftelle zich voor aantekeningen van Boeken en Schryvers, welke veel minder onderrichtend en minder naauwkeurig dan die van den Heer Weidler zyn; eenige zo weinig gewigtige ftukken ^ als de Loca Mathematica van Arifiotehs, door Blancanusyexzaameld; een overblyffel van Pfilk's; dat ons niets te kennen geeft, als dat Pfellus een gemeen Wiskunftenaar wast een uitfrekfel'uit de Boekeryen van handfchriften van Hottinger , Montfanco'n, enz.: zo heeft men voor* Het groorfte .gedeelte 'hét Werk van den Heer Heilbroner; dar ons daarenboven niet verder brengt, dan tot het-einde van de veertiende eeuwe. Is dat eene Hiftorie- der Wiskunde?



den SCHRYVER xxxiü
ïöo. De Heer Wolf heeft in 't begin des vyfden deels van zyne Carffts Mathematicus eengefchrifc gegeeven, waar van de tytel is, De pracipuis fcrip. tis Mathematkis. Hetzelve is in der daad eene Verzaameling, die keurig gemaakt is, en welke ons nuttelyk gediend heeft, om devaornaame bronnen waar in wy te putten hadden, te leeren kennen. Hetzelve konde ons weinig van eene uitgebreider nuttigheid zyn.
n°. Het Wiskundig Woordenboek van den Heer Savérhn vertoont ons een groot getal trekken, belangende de Hiftorie van deeze Weetenfchappen,maar ik denk niet, dat de zeer lofwaardige Schryver van dat groot Werk het my kwalyk zal neemen, als ik zeg, dat die trekken flegts een zeer klein gedeelte dergeenen uitmaaken, welke ik in dit Werk verzaameld heb.
12°. Ik heb eerft federt korten tyd kennis gehad aan een Werk, waar in veel over het Hiftorifch deel der Meetkunde te vinden is. Deeze zyn de Inflitutiones Geometrie fublimioris van den Heer G. IV. Craft (Tuk 1753 in-^y Men vindt in dezelve een ftuk over de Hiftorie der hooge Meetkunde, dat zonder tegenfpraak het uitgebreidfte en geleerdfte over dat onderwerp is, 't welk men tot in dien tyd gemaakt beeft, fchoon de Schryver, ***
waar-



xxxiv VOORREDEN van
waaifchynlyk weinig in flaat zynde, om met eenige oorfprongkelyke fchriften te raadpleegen, eenig? misvattingen begaan heeft. Een der verdeelingen van dat Werk, die over den cirkel handelt, bevat ook eenige gewig-tige zaaken over de poogingen, welke gedaan zyn qiü die kromme te quadrateeren, over de maanilukken, enz. Hetzelve zoude my van eene zeer groote nuttigheid geweeiï zyn, indien ik dat Werk van het oogenblik af, toen hetzelve het licht heeft gezien, gekend had.
13°. Ik kome eindelyk tot de algemeene en byzondere Hiftorie der Sïerrekunde, welke de Heer Efieve, lid der Koninglyke Maatfchappy vmMontpellicr, in 'tjaar 1755 (Parys 3 Deelen in -12™.) in 't licht gegeeven heeft. Onder het leezen van dat Werk kan men gemaklyk befpeuren, dat het oogmerk van den Schryver veeleer geweeft is denleezer •verk te verfchafFen, dan hem te onderwyzen, en dat hy gevreesd heeft zyne pen te verzwaaren, door zich aan navorfchingen over zyn onderwerp, welke eenigzins grondig waren, over te geeven. Indien hy zich aan dit gevaar hadt durven blootftellen, zoude hy veele misflagen, welke zyn Werk, dat anders vlug gefchreeven is, ontcieren, vermyd hebben. Hy zoude, by voorbeeld, niet gezegd hebben, dat het Ryk der Kalifs door de Mahonie-
u/a-



den SCHRYVER,
taamn verwoeft werdt (m}\ want de KaHfiz^i zo als een ieder weet, niet anders dan de Stedehouders van Mahometh. Hy zoude Gaüleus de oogen niet hebben doen uitftecken f», noch de vlekken der Maan de by de Sterrekundigen gebruikelyke naarnen, door den Heer Hevelius, gegeeven hebben (o); want fchoon de Heer Efteve de Maanbe1'chryving (Seknograpkia) van Hevelius aanhaalt, als of hy dezelve geleezen hadt, is het echter daarom niet minder waar, dat de Heer Hevelius andere naa« men dan wy aan- de vlekken der Maan geeft; want de laatfte zyn wy aan den Heer Grimaldi verfchuldigd; hy zoude Defcartes de eere niet gegeeven hebben, van de eerfte te zyn geweeft, welke van de uitwerkfelen der Telefcoopen reden gegeeven heeft (py, Kepler hadt zulks 30 jaaren te vooren, en veel beter, gedaan:hy hadt dan zekerlyk Greenvicb, die zo vermaarde verblyfplaats der Godeftè Urania in Engeland, die der Flam/lead's, der Hallefs, der gradlefs, gekend, en dezelve niet,
naar
(m) t. 1. p. U40.
(n) Ibid. p. 290. (0) Ibid. p. 348. (p) Ibid. p. 348.
* ** n



xxxvi VOORREDEN van
naar het Latyn van den Heer Weidler, Grenovis genoemd hebben (q): hy zoude het werkje van den Heer Clairaut, en verfcheide andere, over de gedaante der Aarde gekend, en niet gezegd hebben (V), dat niemand dat onderwerp naar andere grondbeginlëlen, dan die van Newton, verhandeld hadt. De Heer# Efieve hadt eindelyk geweeten, dat de beweeging der Apfiden in geenerlei wyze met de aantrek, king ftrydig is; en zoude niet gedacht hebben het Newtoniaanfch ftelfel den dooditeek toe te brengen ■> e'oor aan te merken, dat zyeene voorwaarts-gaande beweeging hebben (s). ' Ik gaa, om kort te zyn, eene meenigte foortgelyke mistellingen voorby. Weinige bladzyden zyn van dezelve vry. Wat zal ik nog zeggen van de al te losbandige fchryfwyze, met welke de Heer Efteve fomtyds van zeer lofwaardige mannen fpreekt ? Een Duitfcher, genaamd Frederik Weidler, een zo genaamde Snellius. Voorzeker, de Heer Efteve begaat daar in, ten,aanzien van den Heer Weidler, eene grooteondankbaarheid. Want ik heb reeds aangemerkt, dat het Werk van den geleerden Duitfcher den Franfchen Schryvcr
van
(?) T. II. p. 57. (r) Ibid. p. 274« (s) Ibid. pag. 69 en volg.



den SCHRYVER. xxxvii
uan eene groote nuttigheid geweeffc is (t~). Wat Snellius betreft, verdiende hy, die de Aarde het eerit met naauwkeurigheid mat, die de wet der llraalbuiging ontdekte, eindelyk een man, die een der eerfte plaatfen onder de Meet- en Sterrekundigen van zynen tyd bekleedde, zodanig benoemd te worden?
14°. Het drukken van dit Werk was byna geëindigd, toen dat van den oorfprong der Wetten, Weetenfchappen en Kun ft en (in • 40. 3 Deelen, Par.}, waar van de Schryver onlangs, door eene ontydige dood, der geleerde waereld ontrukt werdt, in 't licht gekomen is. De tytel van die Boek gaf een onderwerp te kennen, dat, ten minften in één van deszelfs deelen, te veel overeenkom!!: met het myne hadt, om niet myne nieuwsgierigheid te prikkelen. Derhalve heb ik hetzelve doorgeloopen, en
daar
(f) Het zoude my in der daad gemakiyk zyn, om de oorzaak van veele misdagen van den Heer Efieve by den Heer Weidler aan te wyzen. Waarom, by voorbeeld, na gezegd te hebben, van Hevelius fpreektn ie, in een Werk dat tot tytel voert Selenographia, waarom, zeg ik, haalt hy hem alsdan onder op die bladzyde, op deeze wvze, aanj SelenographiamJeu defcriptionem Lima, $c. Het is om dat de Heer Weidler van dien Srerrekundigen gezegd hadt, publicavit, en vervolgens a linea, Selenographiam feu defcriptionem Lwut, &f e.
!!* 3



xsxviii VOORREDEN van
daar in met genoegen gezien, dat ik, zo in de voorvallen als gisfingen, tot welke de duifterheid der eerfte tyden ons verpligt toevlugt te neemen, in 't algemeen met den Schryver van dat Werk overeenkome. Dit is alles dat wy gemeen hebben; want hy gaat niet verder dan het tydperk van de inftelling der Weetenfchappen in Griekenland,
Men vergunne my deeze Voorreden te eindigen met eene overweeging, betreffende het deel der Hi» ftcrie, dat ik tot onderwerp gehad heb. Van alle de Weetenfchappen zyn de Wiskundige Weetenfchappen diegeenen, wier voetftappenindenafbooring der waarheid de zekerfte en onwrikbaarfte geweeft zyn. Men heeft dezelve, wel is waar, dikwils langzaam zien vorderen: zy zyn fomtyds, en zelfs geheele eeuwen, ftilflaande geweesft, ik wil zeggen , als in haaren loop opgehouden wordende, en geene merkelyke vordering maakende; maar men heeft ze minder, dan alle andere Weetenfchap, teruggaande gezien, dat is de dooling voor de waarheid neemende; want in de vordering van het menfchelyk verftand is eene dooling een ftap achter uit. Nogthans betreft dit alleen de gemengde Wiskunde, die weetenfchap welke, door haarevereeniging met de Natuurkunde, noodzaakelyk eenigindrukfel van de zwakheid en de misvattingen van deeze Jaatfte moet hebben. Maar het is met de zui-
ve«



den SCHRYVER. xxxix
vcre Wiskunde niet eveneens gelegen. Haar loop werdt nooic geftremd door die fchandelyke feilen, waar van alle de andere deelen van onze kundighe* den zo veele vernederende voorbeelden aanbieden. Wat is 'er dan dienfliger om een Wysbegeerig verüand in te neemen, en hetzelve achting voor die Weetenfchappen in te boezemen ?



TAFEL
DER VOORNAAMSTE VERDEELINGEN VAN DIT
W E 3L 3L
EERSTE DEEL
Bevattende de Hiftorie der Wiskunde, van haaren oorfprong af tot de verwoefting van het Griekfche Ryk.
I. Boek. Inleidende redenvoering, over de na* tuur, de verdeelingen en de nuttigheid der Wiskunde.
II. Boek. Oorfprong van de verfcheiden takken der Wiskunde, en haare gefchiedenis by de oudde Volkeren der Waereld.
J III, Boek,



TAFEL. m
III. Boek. Bevattende de Hiftorie van deeze Weetenfchap, .in Griekenland overgebragt, ttt de ftichting der Schoole te Alexandria.
IV. Boek. Bevattende de .Hiftorie van d-ezi Weetenfchap, federt de ftichting der Schoole te Alexandria tot de jaartelling derChriften:n.
V. B o e k. Bevattende het overige van deeze Hiftorie, federt de Jaartelling der Ghrifténen tot de verwoefting van het Griekfche Ry k.
TWEEDE .JLD E E E.
Bevattende de Hiftorie der Wiskunde by verfcheide Oofterfche Volkeren , als de Arabiërs, de Perfiaanen, de Chineezen, de Indiaanen, enz. by de Latynen en Wefterfche Volkeren, tot in 't begin der zeventiende eeuwe.
I. Boek. Hiftorie der Wiskunde by de Arabiërs en de Perfiaanen.
II. Boek. Hiftorie der Wiskunde by de Chineezen en de Indiaanen.
*** 5 III. Boek.



kui T A F E L.
1X1. Boek. Staut der Wiskunde by de Romeinen, en haare vordering in 't We ft en, tot aan het einde der veertiende eeuwe.
IV. Boek. Hiftorie der Wiskunde geduurende de yyftiende eeuwe.
,V. Boek. Vordering der zuivere Wiskunde geduurende de zeftiende eeüwe.
VI. Boek. Bevattende de vorderingen van de Sterrekunde, en van de takken der Wiskunde, •welke van dezelve afhangén, geduurende de zeftiende eeuwe.
, VII. Boek. Bevattende de vorderingen der Werktuig -en Gezichtkunde, geduurende de zeftiende eeuwe.
BEi-



T A F E Lv
DERDE DEE L,
Bevattende de Hiftorie der Wiskunde,'geduurende de zeventiende eeuwe.
I. Boek. Vw deringen der Meet' en zuivere Wiskunde , op de wyze der Ouden verhandeld, geduurende deeze eeuwe.
II. Boek. Van de Meetkunde enAnalyfts, op de wyze van Defcartes verhandeld, tot aan het einde der zeventiende eeuwe.
III. Boek. Vorderingen der Optica, tot aan het midden der 'zeventiende eeuwe.
IV. Boek. Hiftorie en vorderingen 'der Stemkunde, van het begin tot aan het einde der zeventiende eeuwe.
V. Boek. Vorderingen der Mechanica, tot ia het midden van deeze eeuwe.
VI. Boek. Waar in men verftag doet van den aanwas der Meetkunde, en in V byzonder van de opkomft en vorderingen der nieuwe rekeningen, geduurende de laatfte helft der zeventiende eeuwe.



TAFEL»
VIERDE DEEL,
Bevattende het overige van de Hiftorie der Wiskunde, geduurende de zeventiende eeuwe.
-
I Boek. Vorderingen dér Mechanica, geduu» rende de laat ft e helft van deeze eeuwe.
II. Boek. Waar in men ver dag. doét van dè 'vorderingen der Sterrekunde^geduurende de laat» fte helft van deeze eeuwe.
III. Boek. Vorderingen der Optica,,. geduurende de laatfte helft van deeze eeuwe.
■
■ .as, ta»\ v. i* . .v.» v. v. B •<? , nV.tttti
II I-



HISTORIE
DER
WISKUNDE.
EERSTE DEEL.
Bevattende de Hiftorie der Wiskunde, van haaren oorfprong af tot de verwoejiing van het Griekjcbe Ryk.
EERSTE BOEK.
Inleidende redenvoering over de natuur, de verdeelingen en de nuttigheid der Wiskunde,
KORTE INHOUD.
I. Oorfprong van den naam der Wiskunde. II. Haar natuur en onderwerp. \\\. Haare verdeeling en verTrbillende uitgebreidheid onder de oude en bedendaagfcbe Wiskundigen. IV, Bovennatuurkundige ontvouwing van deeze Weetenfchap , en bnare verfcbillende takkm. V. Nuttige aanmerking over die deden der Wiskunde welke men ajfgetrokkene noemt. Vf. Loffpraaken'welken in alle tyden van de befte Verftanden en de doorlucbtigjle Wysgeeren ontfangen beeft. Onderzoek der denkwyze van Soerates ten baaren opzichte. VII. slntwoord op de zwaarigbeden door de Sceptici, of aan alles twyffelende Wygeeren , en de Epicuriiten tegen haar opgeworpen. Vijl. Haare verdeediging tegen ben welken getracht hebben baar in minachting te brengen. IX. Haare voordeden en nuttigheid. Ongetneene aantekening aangainde bet gebruik waar tos wemis I. Deel. A *er-



2
HISTORIE der
vernuftige geeften dezelve toepasfelyk gemaakt hebben. X. Vtrdeediging der afgetrokkene , en enkel verjtandelyke , Wiskunde.
I.
TP\e Wiskunde , zo wy daar in een byna algemeen \_J gevoelen gelooven, is haaren naam verfchuldigd aan de achting waar in zy by de Ouden was. Ingenotoen, naar men zegt, van de lichtverfpreidende zekerheid, die haar van andere Weetenfchappen doet onderfcheiden, noemden zy haar Matbefisoï Mathemata, hetgeen men door Weetenfchappen verklaart, als zynde van alle menfchelyke kundigheden diegeenen, welke het beft aan de uitgeftrektheid van deezen naam beantwoorden.
Deeze afgeleide oorfprong is zo gelukkig , dezelve doet deeze Weetenfchap zo veel eere, dat wy niets liever wenfchten, dan denzelven op de duurzaamfte gronden te kunnen veftigen. Maar, wy moeten het bekennen , dezelve is geenzins door het gevoelen van eenig Schryver der aloudheid onderfchraagd (a), en het isongetwyffeld het werk van een haarer hedendaagfche Lofredenaars. Indien de Ouden, in de keuze van deeze benoeming, door een zodanige beweeg-oorzaak geleid waren, moeft men dan by hen geen voldingender bewyzen daar van vinden? Wat moeten wy derhalve denken, als wy zien dat zy even zo verlegen waren als wy, om de waare oorzaak daarvan te fchiften ? Proclus, die de Wiskunde zo veel lof toezwaait (6),, en zo zorgvuldig de gevoelens van zyne Voorzaaten over haare natuur, verdeelingen, enz. verhaalt, zegt niets van deezen gewaanden oorfprong: integendeel gaat hy denzelven zoeken in eene Platonifche Bovennatuurkunde, al te fcherpzinnig om eenige beftendigheid te hebben rV). Om deeze reden belpaare ik denzelven voor den Leezer. De ongemeene overvloed der Stoffe, welke zich
voor
00 Scapula , in zyn Griekfch Woordenboek, baalt by het woord ftatButu, Philo, ot' den Schryver van het boek de tnundo aan, tot bewys van deezen ooifprong: maar daar worde niets dienaangaande geleezen.
(f) Comm. in I. Eucl. I. {.
(Y) Ibid. c. iJ. ^



WISKUNDE, I. Deel. I. Boek.
3
voor my opdoet , verpligt my om my alleen aan het nuttigde en gewigtigfte te verbinden.
Sommige hedendaagfche Wiskundigen , met deeze afkomft niet vergenoegd, of weinig daar van overtuigd zynde, Hellen daar voor eene andere . welke zy ^aar uit afleiden , dat ten tyde der opkomft van de Wis* kunde, en geduurende de eeuwen welke hst naaft daar aan volgden, de W'iskunde het eerde onderwys was, dat men by de Wyegeer^n genoot. Inderdaad, de Rbetorica, de DialeÜiea, de Spraakkunft, de Zedekuride, welke naderhand aan de ©effening van het verdand zo veel deel hadden , Honden nog gebooren te worden; de Wiskunde en de i-atuurlyke Wysbegeerte had* den byna alleen het menfchelyk verdand ingenomen: de laatfte weidt altoos voorgegaan van de Studie der eerfte , die als de toegang en inleiding tot dezelve was» Het is een ieder bekend, dat in de School van Pytbagoras de Clafle der Natuurkundigen van die der Wiskundigen werdt voorgegaan ; dat Plato in veel Jaater tyden van zyne Natuur- en Bovennatuurkundige lesfen diegeenen uitfloot, welke in de Meetkunde ongtöefT'eiid waren: dit was eindelyk hetgeen aanleiding gaf tot het antwoord van Xenocrates aan iemand die, geheel or.ërvaren in de Meet- en Rekenkunde, zich om onderweezen te worden by hem vervoegde. Gaa van hier, zeide hem de Wysgeer op eenen ftrengen toon, anfas Pbilofopbxct non babts (d).
Deeze trekken bewyzen in der daad, dst de Wiskunde aanftonds de eerfte was, waar mede men zich in de Schooien der Wysgeeren bezig hieldt; rn het is, zeggen de Schryvers waar van wy fpreeke;> (e),deeze voorrang , niet van volkomenheid , maar van tyd , welke haar deedt noemen Matbefis, als willende ze,?gen Weetenfchappen, of misfehien onderwys. Het zoude vermetel zyn over de wettigheid van deeze afkornft uitfpraak te vellen; want wie anders dan de Oudeü konden beter onze onzekerheid in dat opzicht vei dryven, en indien zy 'er zo veel belemmering in gevonden hebben, zy die nader by den oorfprong waren , welk vertrouwen be»
G/) Diog. Laër. in Xenocr.
{e) Ranius Proem. in Maib. Barrow, /eQ. Math. letl. I.
A 2



4
HISTORIE der
hooren wy dan in onze gisfingen te Hellen ? By geluk zullen wy weinig te verliezen hebben, wanneer wy dit Huk onbeflift voorbygaan.
I L
Om te verklaaren welke de natuur der Wiskunde is, zullen wy de zelfde zwaarigheden niet ontmoeten. Indien wy haar onder een algemeen gezicht-punt befchouwen , dan is zy de Weetenfchap der betrekkingen van grootheid of getal, voelke alle de dingen > die vermeerdering of vermindering onderhevig zyn, onderling kunnen bebben. Men worde niet verbaaft over het lbort van duifterheid, met welke deeze geheel bovennatuurkundige bepaaling in den eerften opflag fchynt aangedaan te zyn; hetgeen wy 'er nu nog zullen byvoegen zal dezelve verdryven. De Meetkunde , by voorbeeld , befchouwt de betrekkingen der verfchillende deelen van de uitgebreidheid; want meeten, dat het oorfprongkelyk en voornaamfte onderwerp der Meetkunde is , is niets anders dan de betrekking van een zeker gedeelte der uitgebreidheid ten opzichte van een ander, dat men tot een vafte maat genomen heeft, te kennen. De Sterrekunde leert de fchikking der Hemellichten, dat is, hunne meer of minder groote verwyderingen , ontdekken , de tyden van hunne omloopen berekenen , hunne ontmoetingen en wederkomflen voorzien. In de Mechanica of Werktuigkunde vergelykt men de gewigten of de beweegingen onder elkander, men berekent de krachten welke zy elkander tegenftellen. In alle deeze befchouwingen zyn betrekkingen van grootheid , en deeze zyn de eenige aan welken de Wiskunde zich verbindt. Indien het verftand, deeze paaien van haar beftek te buiten gaande, zich verledigt om over de natuur der Hemellichten , der uitgebreidheid of der beweeging, of over de oorzaak der zwaarte, te redeneeren, wyfr zy deeze nafpooringen tot de Natuurkunde te rug: de zuivere en uitblinkende klaarheid, waar over zy naayverig is, vergunt haar niet om zich daar mede bezig te houden.
III.



WIS K U N D E. I. Deel. I. Boek. 5
I I I.
De Wiskunde verdeelt zich natuurlyk in twee deelen; het eene bevat de Wiskunde die men zuiver en afgetrokken noemt; het ander beftaat in He gemengde Wiskunde , die men meefttyds het Pbyfico-Matbematifcbt deel noemt. Het eerfte befchouwt de eigenfchappen der hoegrootheid op eene geheel afgetrokkene wyze. en eeniglyk in zo verre als dezelve vermeerdering of vermindering kan ondergaan: en naardien het veiftand aanftonds twee foorten van grootheden befpeurt, de eene die in het getal of de meenigte beftaat, de andere in de ruimte of uitgebreidheid, worden daar uit ook de beide voornaamfte takken der eerfte verdeeling gebooren; naamelyk, de Reken- en Meetkunde. De getallen zyn het onderwerp van de eerfte; de figuurlyke uitgebreidheid, haare betrekkingen en meeting maaken dat van de tweede uit.
Wat de gemengde Wiskunde betreft, dezelve beftaat in niets anders als in zekere deelen der Natuurkunde, welke, door hunne natuur, eene byzoudere toepasfing der afgetrokkene Wiskunde onderhevig zyn: wy zullen dit nog door voorbeelden ophelderen. Dus handelt men in de Gezichtkunde over de uitwerkfelen en eigenfchappen van het licht, naar zekere grondbegir.felen , welke deeze befchouwing tot de zuivere Meetkunde overbrengen. Men ttelt daar in aanftonds vaft, dat de lichtftraalen in een rechte lyn voortgaan, zo lang als geen beletfel zich tegen hunnen overgang aankant; dat zy te rug gekaatft worden, door de fruithoeken gelyk aan de hoeken van invalling te maaken ; dat zy, door uit eene midden-ftoffè in eene andere van verfchillende digtheid te dringen, van hunne eerfte richtftreekafwyken , door niettemin eene zekere Meetkundige wet in acht te neemen. Deeze grondbeginselen eens aangenomen zynde, hoedanig ook de natuur zy van het licht, van de midden-ftoffen die hetzelve doorgaat, of die hetzelve te rug kaatfen, wordt nogthans deeze natuur niet door den Wiskunftenaar onderzocht: de ftraalen zyn voor hem niet meer dan rechte lynen ; de terug kaatfende of ftraalbreekende oppervlaktens niet anders dan enkel MeetA 3 kun-



6 HISTORIE der.
kundige Vlakken , waar van de gedaante alleen het voorwerp zyner befchouwing is. Op deeze wyze bepaalt hy den weg der Ijchtftraalen op de fpiegels , en midden door de gezichtkundige glazen, hunne uitwerkfelen op het géiïcht', enz. Men kan niet loochenen dat deeze nafpooriiigeri eigenlyk niet tot den kring der Natuurkunde betiooren : maar in zo verre zy ten naauwften verknocht, en afhangkelyk zyn van de afgetrokkene Wiskunde, die hen de zekerheid, die haar zelve doet uitblinken, mededeelt, zyn zy daar door eenigermaate verneven tot den rang der Wiskunde, waar van zy de tweede verdeeiing uitmaaken. In deeze hoedanigheid boii.it de gemnngde Wiskunde eenfoort van middelweg tusfohen de Natuurkunde, welke doorgaans van onzekerheid en duifternisfe omcingeld is, en de zuivere Wiskunde, wier klaarheid en klaarblyklykhéid altoos zonder nevelen zyn. Zy zoude geen volftrekte zekerheid meer kunnen hebben , dan hetbeginfel dat haar ten grondflag dient; hier in is dezelve met de Natuurkunde verbonden : van een anderen kant geniet zy eene onderftelde klaarblyklykhéid , gelyk aan die der afgetrokkens Wiskunde; ik wil zeggen, dat, haar grondbeginfel als waarheid aangenomen zynde, zy niet minder zeker dan deeze laatfte is. Zelfs heeft zy het voordeel van een fqort van bovennatuurkundige zekerheid re genieten wanneer zelfs haar grondbeginfel geen waarheid of in de natuur beitaanlyk zoude zyn, mits dat 'er niets tegenftrsevigs tegen de reden in gevonden worde. Hetgeen Arcbimedes over de betrekking der gewigten die in evenwigt zyn tot de einden van een balans beweezen heeft, is te gelyk waar, hetzy dat de richtftreeken der zwaare ligbaamen onderling evenwydig zyn, of dat zy in een punt faamenkomen. Alleenlyk zal in het laatfte geval de Theorie van Arcbimedes niet toepasfelyk zyn op de gewigten , die op de oppervlakte van onze Aarde hunne zwaartekracht oeffenen; maar zy zal te gelyk toepasfelyk zyn op die gewigten, welke volgens evenwydige lynen hunne zwaartekracht oeffenen , of begreepen worden te oeffenen; hetgeen op eene bovennatuurkundige wyze geenzins onmogelyk is. Ook heeft dit enkel onderftellig grondbeginfel, dat in de tegenwoordige orde



WISKUNDE. I. Deel. E Soek. 7
de van het geheel-al geen plaats heeft, niet nagelaaten den Meetkundigen van Syracufa tot de quadratuur van den Parabool te leiden, üe Piiyfico. Matbernatiftbe ontdekkingen van Newton over de gedaante der Loopkringen, welken de Pianeeten volgens de verfchillende Wetten van aantrekkings-kracht befchryven moeten, zou* den niet minder waar zyn, al bewees men dat deeze aantrekkings-kracht niet aanweezig is; zy zouden alsdan in het zelfde geval zyn als de eigenfchappen eens Driehoeks of Cirkels, wanneer 'er geen Driehoek noch Cirkel in de natuur was.
Uit hetgeen ik nu over de gemengde Wiskunde gezegd heb, volgt, dat het getal van haare deelen niet vaft en bepaald als dat der deelen van de afgetrokkene Wiskunde kan zyn. Naar maate de Natuurkunde, nieuwe rykdommen verkrygende, zich verzekerd heeft van zekere voorvallen , welke tot grondbeginfelen hebben kunnen dienen, heeft de gemengde Wiskunde in uitgebreidheid aangewonnen; de doorluchtige Kancelier Bacon merkte zulks aan met die fchranderheid, welke hem het aanltaande lot der menfchelyke kundigheden deedt voorzien. Pro ut Pbyfica, zegt hy, (f^majora in dies incrementa capiet, & nova axiomata educet, eo Mathematica novd operd in multis indigebh &P plures demiïm fisnt Mathematica mixta.
Men behoeft zich niet te verwonderen, dat de gemengde Wiskunde niet dan traage en weinig verzekerde vorderingen onder de Ouden heeft gemaakt, terwyl de afgetrokkene Wiskunde met een groot getal ontdekkingen fnellyk by hen aanwies. Het menfchelyk verftand heeft flegts eene ernftige denking noodig om in de laatfte te vorderen, maar de andere eifcht een byna tegangeftelden gang; zy vereifcht een meenigte voorvallen en waarneemingen : en zulks was de klip der Aloudheid. In 't 'algemeen deedt men toen te weinig waarneemingen; men verliet zich te veel op de redeneering en de Bovennatuurkunde, terwyl men zich nog niet behoorde te verbinden, als om met naauwkeurigheid te zien ert waar te neemen. Door eene ongeduldige nieuwsgierigheid
C ƒ) De augmento Scient. lib. 3. cap. 6.
A 4



g
H I S T0R1E der
heid opgewekt, en na alles zeer verfchoonlyk, wilden de Ouden de natuur verklaaren , vóór dat zy flegts haare eerfte bedryven hadden leeren kennen: ook kwam het gebouw, dat zy gefticht hadden, even als dat 't welk onvoorzichtige B">uwmeefters op een grond zonder vastigheid zouden oprichten, wel haaft in te ftorten.
Da achtervolgende opkomft der verfcheidene deelen van de Wiskunde beveiligt de voorgaande redeneering. De Pytbagorften erkenden flegts vier deelen, twee afgetrokkene en twee gemengde. Deeze twee laatfte waren de Muziek en de Sterrekunde. Reeds gaven de waarnef minden van Pytbagoras over het geluid, en die welke men ten allen tyde over de hemel-verfchynfelen gedaan had , gevoegd by eenige Onderftellingen, bekwaam om de beweegingen der Hemellichten te verklaaren en te berekenen, aanleiding om de zuivere Wiskunde op deeze voorwerpen van nafpooring toepasfelyk te maaken. Deeze Weetenfchap was weinig uitgebreider by de Aanhangers van Plato', de verdeeling welke zy daar van maakten (g), in Geometria, Stereornetria, A* ritbmetica, Mufica en Jfironomia, was weinig vernuftig, en bevatte niets meer dan die van de Pytbagorifcbi School: de twee eerfte deelen zyn in der daad niets anders dan eene ontvouwing van die der Meetkunde. Voor het overige werdt de zuivere Wiskunde merkelyk uitgebreid door den vlyt der Aanhangers van Plato\ maar zynde te diepzinnige Wysgeeren, waren zy in de Natuurkunde minder gelukkig. Het blykt niet, dat zy eenig voorval, bekwaam om tot een grondbeginfel voor eene nieuwe Weetenfchap te dienen , hebben vaftgefteld, ten zy wy mogelyk daar van uitzonderen de rechtlynige voortgang van het licht, en de gelykheid der hoeken van invalling en te rugftuiting. Wat 'er ook van zy, de Gezicht- en Werktuigkunde fchynen niet dan vry laat onder de Wiskunde gerekend te zyn; zulks gefchiedde eerft omtrent den tyd van Ari. Jloteles, toen men eindelyk eenige der Wetten van den voortgang des lichts , de ziening en het evenwigt ontdekt
Oj) Plat. dial. 7. de rep. Theo van Smirna, in loca Matb.
Plaienis.



WIS K U N D E. I. Deel. I. Boek. 9
dekt had. De Werktuigkundige vraagen van deezen Wysgeer, eenige van zyne Problemata , en de Verhan. deling over de Gezichtkunde , aan Euclides toegefchreeven, fchynen de eerfte fciietfen van deeze Weetenfchap te zyn geweeft. Het algemeen Saamenitel der Wiskun» de beftont toen in zes deelen, de Meet- en Rekenkunde, de Muziek en Sterrekunde, de Gezicht- en Werktuigkunde: by de Ouden had hetzelve geen grooter aanwas.
De hedendaagfche Wiskundigen, zich met een goeden uitflag in de Natuurkunde oelfenende , hebben een groot getal andere onderwerpen, welken de Ouden naauwlyks hadden leeren kennen, aan de Meetkunde onderworpen; de Gezichtkunde bevatte onder hen niets anders dan eene vry eenvoudige Theorie van de verlichting der lighaamen , de Catoptrica, of de Weetenfchap van het terug gekaatfte licht, en een fchets van de PerfpeSlief. De Weetenfchap der Ziening of de gemeene Gezichtkunde was hen onbekend; zy leerden flegts grove of kinderachtige doolingen over dat onderwerp. De Dioptrica of Doorzichtkunde ftont nog gebooren te worden. Naauwlyks is 'er één en een halve eeuw verloopen, federt dat men het grondbeginfel, waar op zy t'eenemaal geveftigd is, benevens datgeen 't welk aan de gemeene Gezichtkunde tot een grondflag dient, ontdekt heeft: deeze beide takken eener Weetenfchap, die hedendaags zeer uitgebreid is, zyn byna alles tot hunne eerfte fchetfen aan de hedendaagfche Wiskundigen verfchuldigd.
Het is ook weinig tyds geleden dat de Mechanica uit den ftaat van zwakheid, in welken de Ouden haar tot ons overgebragt hadden,is gered geworden; zynde alstoen bepaald aan de eenige Weetenfchap van het evenwigt, bevatte zy niets anders, dan hetgeen wy hedendaags noemen de Statica en Hydrojlalica, waar in flegts het evenwigt der lighaamen befchouwd wordt. De Me» ebanica is tegenwoordig de Weetenfchap der beweeging in 't algemeen, en hetgeen waar uit zy oudtyds faamengefteld was, is thans niet meer dan een klein gedeelte derzelve. Wordt de beweeging verhinderd door eene ftrydige tegenftand, die, zonder haare ftrekking te verA s ftoo-



HISTOR'IE des.
ftooren, haare uitvoering vernietigt, en het evenwigt voortbrengt, heeft men de oude Mechanica. Maar befchouwt men de daadelyke beweeging in de lighatmen , de verfchynfelen die uit hunne botfingen en ontmoetingen ontftaan, den weg dien zy befchryven, en de fnelheden met welke zy zich beweegen, wanneer zy door verfcheide i'aamengevoegde krachten voortgedreeven worden, den tegenftand welke de Vloeiftoffen den lighaamen, die door dezelve gaan, aanbieden, dan oeffent men de Weetenfchap die thans Dynamica genoemd wordt. Dus vervatten alle de andere deelen der Wiskunde , zonder van naam te veranderen , hedendaags uitvoeriger onderwerpen ; en elk derzelven heeft een groot getal fpruiten gefchoten, welke , door de hedendaagfche Wiskundigen zorgvuldig aangekweekt zynde, welhaaft de oude Stam, uit welke zy gefproten zyn, overtroffen hebben.
IV.
Men zou ons met recht befchuldigen van een weezenlyk gedeelte van ons beftek voorby gegaan te zyn, indien wy verzuimden het geheel faamenftel der Wiskunde onder het oog van den Leezer te brengen, en hem van de verlchillende deelen, waar uit dezelve faamengefteld is, een denkbeeld te geeven. Daar benevens , naardien dit Werk de Hiftorie en de vorderingen, van het menfchelyk verftand in dit aanmerklyk gedeelte onzer kundigheden behoort voor te ftellen , fchynen haare ontvouwing, en, om zo te fpreeken, haare bovennatuurkundige aanwas, daarinnoodwendigeen plaats te verdienen: wy zullen hier in dat opzicht voldoen. Men verwondere zich voor het overige niet van in dit gedeelte veele der denkbeelden weder te vinden , welke de Schryver der verhevene Redenvoering, die aan het hoofd der Encyclopédie gevonden worde, in een zo bekoorlyk daglicht heeft weeten te ftellen. Ik ben niet genoeg met de nieuwigheid ingenomen, om meer geftreeld te worden met de verdienfte van een faamenftel dat my eigen zy voort te brengen , dan met die van alleenlyk waarheden, welke my wel geveftigd fchynen , ter neder te ftellen. De



WISKUNDE. L Deel. X. Boek. pg
De lighaamen zyn begaafd met verfcheide eigenlchappen, als de uitgebreidheid, de beweeglykheid, de ondoordringelykheid; maar van alle deeze eigenfchappen , die welke de eerfte in rang fchynt te zyn, die zonder welke de andere niet zouden kunnen beftaan, en die even zo wel door de minit aan overdenking gewoone, als door de fcherpzinniglte Verftanden befpeurd wordt, is de uitgebreidheid. Het is niet noodzaakelyk zeer afgetrokken te kunnen denken , om het denkbeeld daar van te vatten, om de verfchillende fooiten van uitgebreidheid, fchoon op eene natuurkundige wyze onaffcheidelyk van elkander, te onderkennen. De min likundige meiifch kan in een Kloot van zodanige grootte , van zodanige ftotTe , of van zodanige kojeur als men begeert , zeer wel onderfcheiden, wat het maakt dat de-^ zelve een Kloot, en geen Teerling noch Pyramide is. Spreekt men hem van de uitgeftrektheid eener Vlakte dan verbant zyn geeft, door eene werking die even zo natuurlyk als de redeneering is, het denkbeeld van diepte, en verbindt daar aan geen ande? dan dat van len<ne en breedte. Moet hy den afftand tusfchen twee voorwerpen kennen, denkt hy alleenlyk aan de lengte; hy gaat zelfs nog verder: hy berooft, in dit geval, deeze beide utterfte paaien van den afltand, dien hy zich voorftelt , van alle uitgebreidheid. Zie daar het Wiskundig punt, de Wiskundige lynen en Vlakken, oorzaaken van zo veele gebreklyke tegenwerpingen, met welke weinig Bovennatuurkundige lieden , of Voorftanders van een gevaarlyk Pyrrbonismus, dat alle dingen onzeker fielt, getracht hebben over de onwrikbaarheid der Wiskunde twyffclingen te verfpreiden.
Het lighaara, in zo verre hetzelve als uitgebreid befchouwd wordt, en onder dit eenig gezichtpunt, is derhalve den uiterlten eindpaal, tot welken het Verdand natuurlyk geleid, en door een gevolg van deszelfs zwak-, heid, geraakt, om de voorwerpen van zyne nafpooringen te ontleeden. Dus zullen de bepaalde uitgebreid, heid, en de gedaante welke dezelve noodzaakelyk vergezelt, de eerfte befchouwingen zyn, welke de menfehen, wanneer zy de natuur der lighaamen die hen omringen willen doorgronden, zullen bezig honden. Zy
ZB.



12
HISTORIE der
zullen dezelve beginnen te vergelyken onder deeze beide gezichtpunten, de eenige welke, uit kracht der afzondering die alle de andere hoedanigheden , bekwaam om aan eenige vergelyking tot een grondflag te dienen, verbant, plaats kunnen hebben: zodanig is de bovennatuurkundige oorfprong der Meetkunde.
Het denkbeeld van meenigte of getal is den menfch niet minder ratuurlyk, dan dat van de uitgebreidheid; van onderfcheidene en meer of minder talryke weezens omringd, kan hy van zyne zinnen geen gebruik maaken , of zy vertoonen hem dezelve op elk oogenblik : daar benevens ter zeiver tyd als het verftand de ruimte bevat, dezelve in figuurlyke deelen verdeelt, en die onderling te faamen vergelykt, bevat hy het getal, zonder 't welk die verdeeling niet beftaan kan. Daar uit wordt de ondeifcheiding der grootheid in verdeelde en onverdeelde grootheid gebooren. De grootheid , in zo verre zy in meer of minder talryke deelen gedeeld is, is het voorwerp der Rekenkunde; in zo verre zy uitgebreid, en door paaien beliooten is, is zy het voorwerp der Meetkunde, waar van wy thans eenige verdeelingen zullen voordellen.
Onder de verfchillende afmeetingen der lighaamen zyn de eene eenvoudiger dan de andere; de rechte lynen zyn eenvoudiger dan de kromme, en onder deeze laatften is de kring of cirkelvormige lyn het minit faamengefteld; desgelyks zyn de platte Vlakken, door rechte of cirkelvormige lynen bepaald , de lighaamen , door deeze vlakken befloottn,de eenvoudigfte van hunfoort. Dus hebben deeze voorwerpen van befchouwing als tot trappen, om zich tot hoogere nafpooringen te verheffen, moeten dienen; i.y zyn het onderwerp dergemeene Meetkunde. Men noemt overklimmende of hooge Meetkunde het onvergelyklyk uitgebreider deel van deeze Weetenfchap, dat zich met kromme Figuuren van een verhevener en afgetrokkener natuur bezig houdt, als de Kegelfneeden, en zo veel andere tot welker natuur deeze flegts de inleiding zyn.
Men kan de Figuuren of als ruimten, die zekere eigenfchappen hebben , befchouwen , of deeze ruimten uplosfen, en dezelve, om zo te fpreeken, outleeden in - da



WISKUNDE. t Deel. L Boek. 13
de oneindig kleine Elementen of beginfelen, waar uit zy gevormd zyn. Deeze twee handelwyzen om de uitgebreidheid te befchouwen, geeven aanleiding tot de verdeeling der hooge Meetkunde in eindig en oneindig. De befchouwingen der oude en hedendaagfche WisKundigen over de Theorie der kromme lynen verfchaiFen een voorbeeld van de eerfte» Hunne nafpooringen over de meeting van deeze krommen, nafpooringen welke doorgaans eeniglyk haaren oorfprong hebben uit de betrek, kingen, naar welke haare Elementen aanwasfen of verminderen, maaken de tweede uit. Men moet aanmerken, dat ik tot hier toe alle foort van rekening , ten minde de AlgebraiTche of Stelkundige, uitfluite; want wat de Aritbmetica of, gemeene Rekenkunde betreft, dezelve wordt reeds met de eerfte vergelykingen, die men met de grootheden onder elkander doet, noodzaakelyk.
Ëigenlyk is 'er geen rekening als door de getallen; maar eene handelwyze om de betrekkingen van grootheden algemeener voor te ftellen, heeft tot de Algebra aanleiding gegeeven. Zy is, zo men wil, eene Rekenkunde door tekens, of wel eene byzondere en verkorte taal, door welke men Meetkundige redeneeringen uitdrukt. In der daad, de Wiskunftenaar trekt , naar zyne verkiezing, uit eene Stelkundige uitdrukking, of de betrekking der grootheden , welke daar door aangeweezen worden, door middel der rekening , of haare opzichteiyke uitgedrektheid, met behulp van eene Meetkundige bewerking, die men Conftruclie noemt. Ik heb derhalve gemeend grond te hebben, om de Algebra aan te zien als eene middel-Weetenfchap rusfchen de Reken en Meetkunde; of, om nog beter te-zeggen, als die beide bevattende; en hier in brn ik van de gewjone aaneenfchakeling, in welke men van de Stelkundige rekening een foort van Aritbmetica miakt , afgeweeken. Ik zou deeze beide Weetenfchappen gaerne willen vergelyken met twee Rivieren, wier wateren eenigen tyd afzonderlyk geloopen hebbende, zich ten laatden weder vereenigen , en niet meer dan een zelfde kil of bodem , vergroot met de aanwinningen, welke ieder derzelvea in haaren byzonderen loop gemaakt heeft , ukmaaken.
Wan-



HISTORIE der.
Wanneer men ds vergelyking vervolgt, zou deeze nieuwe bodem de Algebra zyn, eene Weetenfchap die eenigermaate gevormd is uit de vereenigde entdekkingen der beide andere, die elkander , door hunne vereeniging, krachten mederieelen, welke geen van beiden afzonderlyk zoude hebben: zy, wien dit middel van ontdekkingen gemeenzaam is , zuüen , denk ik, van het z?lfde gevoelen zyn.
De Algebra, of deeze Weetenfchap der betrekkingen, hoe genaamd, van de grootheden in 't algemeen, befchouwt of alleenlyk de eindige grootheden, of gaat over tot het onderzoek der betrekkingen van haare oogenbliklyke en oneindig kleine aangroeijingen : de eerfte is de gemeene Algebra, die tot de oplosfing van duizend Voordellen, zo in getallen, als Meetkundige, gebruikt wordt; de oplosfing en faamendelling der Vtrgelykingen, en de Theorie van de eigenfehappen der Krommen zyn haare, takken. De andere is de Algebra van bet oneindige. Deeze gaat dan eens van de uitdrukking eener eindige grootheid tot die- van haare elementen, of on. eindig kleine aangroeijingen , dan wederom klimt zy van de uitdrukking deezer laa'den op tot de eindige grootheid , die uit haar fom gevormd wordt.
Daar uit worct gebooren haare verdeeling in Differentiaal- en Integraal-rekening; of, gelyk men zich in Engeland uitdrukt, in rekening der Fluxien en Fluenten, om dat men aldaar Fluxie noemt, hetgeen de Meetkundigen van 't vade land Differentiaal, oneindig klein element, of oogenbliklyke aangroeijing noemen. Van de Differentiaal-rekening zyn verfcheide byzondere Theori'èn afhangkelyk, de leerwyze der Raakïynen, of de bepaaling der Raakïynen tot eenige Kromme; die van Maximis e? Minimis, of de handelwyze om den laat den Term der aangroeijing , of der vermindering van eene grootheid die , uit kracht der Wet volgens welke zy verandert, aanwaden vervolgens vermindert, of in tegendeel, te leeren kennen; die der ontwondene Krommen, enz. De Integraal-rekening verfchaft de middelen, om de Inhouden, de lengten der Krommen, de oppervlaktens en de grootheden der Lighaamen, dat is te zeggen, alles dat vermeerdering en vermindering onder-



WISKUNDE, t Deel. I. Boek. ij
derhevig is, te meeten; want elke grootheid die in haare veranderingen een wet onderhoudt, kan verbeeld worden door kromlynige ruimten , op welken naderhand de Meetkundige de regelen van zyn kunft toepasfelyk maakt.
Doch het menfchelyk verftand, na zich eenigen tyd overgegeeven te hebben aan deeze enkel Meetkundige nafpooringen, nafpooringen zo veel te ftreelender voor hetzelve, om dat het altoos eene zuivere en lichtverfpreidende klaarblyklykhéid daar in vindt, wordt welhaaft* door deszelfs behoefcens of nieuwsgierigheid, genoodzaakt in de natuurlyke Waereld weder te keeren. Da beweegingen der lighaamen en hunne onderlinge werkingen, door hunne ondoordringelykheid veroorzaakt, zyn de eerfte voorwerpen , wier aanbelang hetzelve noopt om zich daar mede bezig te houden. Ook geeven dezelve aanleiding tot het voornaamfte en nuttigde deel der gemengde Wiskunde, naamelyk de Mechanica. Men zal misfehien zeggen, dat de oorfprong, die wy hier aan deeze Weetenfchap geeven , weinig overeenkom!!, heeft met haare weezenlyke ontdekking, dewyl zy niet als omtrent den tyd van Arijloteles een deel der Wiskunde fchynt geweeft te zyn. De aanmerking is rechtmaarig, maar dezelve belet niet, dat de eerfte nafpooringen der menfehen over de Mechanica niet als van da booglte aloudheid behooren aangezien te worden. Men deedt lang door een ingefchapen kundigheid hetgeen men, federt den tyd dat men de beginfefen van de beweeging en het evenwigt grondig heeft onderzocht, door een gevolg der redeneering gedaan heeft. Byna ten allen tyde zyn 'er Werktuigen geweefl; ten allen tyde hebben de menfehen middelen gebruikt, om de natuur te wederftreeven, of tot hun gebruik te buigen.
Men kap in het lighaam , in zo verre hetzelve beweegbaar is, befchouwen, of deszelfs eenvoudige neiging tot de beweeging, eene neiging welke door drydige poogingen wordt tegengehouden, of zyne bewse». ging zelve. Uit de eerfte befchouwing komt de Statica, voort, die men verdeelt in Statica, eigenlvk gezegd, als men van de lighaamen fpreekt, en in Hydroftatica wanneer men van de vloeiftoffen handelt. Wanneer njen
het



16
HTSTORIE der
het lighanm in beweeging befchouwt, noemt men deeze Weetenfchap de Dynamica, welke, even als de eerfte tak , verdeeld wordt in Dynamica en Hydrodynamica. Uit de Dynamica vloeijen eene meenigte befchouwelyke kundigheden, welke te uitgebreid zyn om dezelve hier aan te wyzen, en waaromtrent ik my vergenoegd heb, met fommige derzelve voor te ftellen in het afgefchetft faamenftel der Wiskunde , dat aan het hoofd van dit Werk gevonden wordt. Verfcheide Weetenfchappen zyn op eenigerlei wvze niet anders dan het gebruik en de toepasfing der Dynamica. Zodanig is onder anderen de Navigatie of Zeevaartkunde, in zo verre zy de kunft is om een Vaartuig, met behulp der werktuiglyke krachten, welke hetzelve in beweeging brengen, 'als de riemen, de zeilen, door de wind aangezet, het roer, enz. te doen beweegen en te beftieren. Deeze Weetenfchap is hedendaags aanzienlyk door de overweegingen , welke geleerde Meetkundigen over dit onderwerp gedaan hebben.
Na deeze voor onze behoeftens gewigtige kundigheden, is de Sterrekunde die Weetenfchap, welke ons het meeft behoort te ftreelen; de beweegingen der hemelfche lighaamen zyn zo regelmaatig, dat zy de verwondering en de nieuwsgierigheid der menfehen, op wien het fchouwtooneel der natuur den minften indruk maakt, opwekken: dus moeft het menfchelyk verftand welhaaft genegen zyn om de oorzaak en de verfchillende betrekkingen derzelven na te vorfchen. Ik heb met Kepler Qb~) Klootfcbe Sterrekunde genoemd die Weetenfchap, welke zich onledig houdt met de verfchynfelen, die uit deeze oogenfchynlyk waare onderftelling volgen , dat de Aarde in het middelpunt eens Kloots is, waar van de Hemellichten de oppervlakte vervullen : deeze is de eerfte tak der Sterrekunde : de tweede is de Ibeoretifcbe Sterrekunde, waar in men de verfchillende betrekkingen van (land, vanjveiwydering, en vanfnelheid der hemelfcbe lighaamen poogt te ontdekken, dat is te zeggen, de waare gedaante van het geheel-al te leeren keuren : Ut de Sterrekunde worden fommige Weetenfchappen, die
aan
(fi~) Epi'terne Aflron. Copern. p. 14.



WISKUNDE. I. Deel I. Boek. \j
aan dezelve ondergefchikt zyn, gebooren; de Wiskundige Geograpbie of Aardrykskunde, waar in men de gedaante dér Aarde en de ligging van haare voornaamfte plaatfen door waarneeming bepaalt; de Zeevaartkunde i Of de kunft om, alleen door de befchouwing der Hemellichten, een Vaartuig door Zee te brengen ; de Gnötnomcd, of de handelwyze om den tyd te verdeelen, en zyne yerdeelingen aan te wyzen door middel der hemellche lighaamen^ vooral door de beweeging der fehaduWe , welke de lighaamen , door de Zon befcheenen, achter zich laaten; de Cbronologia of dat deel van de Weetenfchap der tyden, dat bezig is om in de wyze van dezelve te rekenen eene fchikking te brengen, door, zo Veel rnogelyk is, de burgerlyke tydperken met die van de Zon of van de Maan te doen overeenkomen.
De verfchynfelen van den voortgang des lichts*, dat is te zeggen, van de beweeging doOr Welke hetzelve van de licbtgeevende lighaamen naar die, welke daar door verlicht worden, of'van deeze Iaatften tot onze oogen* wordt overgebragt, hebben den oorfprong aan de Optica of Gezichtkunde gegeeven. De eerfte waarneeming over de lichtftraalen, is dat zy in eene rechte lyn van de eene plaats tot de andere gaan, zo lang zy in eene zelfde middenftoffe blyven; wy ontdekken de voorwerpen meefttyds op deeze wyze^ en het indrukfel, dat wy Van ckzelveontfangen,wordt verfcheidenlykgemaaid,; volgens de ömftandigheden van hunne verWydering' ■ van hunnen ftand, enz. Deeze befchouwingen maaken de Weetenfchap uit; die men de eigènlykgezegde of recbte Optica noemt; het zou natuurlyk geweeft zyn de Perfpeclief aan dezelve te önderfchikken'; deeze laatfte is in der daad niets anders als de kunft, om dievermirdei tingen van gedaante en grootheid, volgens welke wy de ons omringende voorwerpen ontdekken , op eene Oppervlakte te vertoonen, en alle haare regelen zyn eeniglyk gegrond op hét grondbeginfel van den rècfïtlynigen voortgang des lichts. Echter zal ik het gemeen gebruik, dat haar onder de voornaamfte verdeelingen der Optica plaatft, niet tegengaan.
Maar het licht beweegt zich niet in een rechte lyn4als wanneer zyne beweeging door geen tegenftand beS B leófi-



18 HISTORIE der
kmmerd wordt; ontmoet hetzelve in zynen overgang een ondoorfchynend lighaam, dan wordt het tegen de oppervlakte van dat lighaam te rug gekaatd; en wan* neer die oppervlakte gepolyft is, dan vervolgt de geheele bondel lichts zynen weg, maakende een hoek van terugkaarfing gelyk aan dien van invalling. Indien het overftaande lighaam doorfchynend, en meer of minder dan het eerfte ineengedrongen is, dringt het licht naar binnen, neemende eenen meer of minder hellenden weg dan de eerde, hetgeen men Refractie noemt. Uit de eerfte waarneeming worden de veelvuldige verfchynfelen der Spiegels afgeleid; uit de tweede, die der glazen en Werktuigen, welken wy gebruiken om de zwakh:id van ons gezicht te hulp te komen. Men heeft aan de beide Weetenfchappen,welke over deeze twee voorwerpen handelen, den naam van Catoptricatn Dioptrica gegeeven.
De Acoufiica, of de Weetenfchap van 't gehoor, is ten aanzien van het geluid ten naafte by het zelfde, dat de Optica ten aanzien van het licht is ; maar het fcheelt nog veel dat zy zo ryk niet zy als deeze laatfte in zekere ea onbetwiltbaare kundigheden. Wy zullen in de natuur van haar grondbeginfel, moeijelyker om tot de eenvoudigheid van eene enkel Wiskundige onderftelling over te brengen, de reden daar van vinden: dit grondbeginfel 's dat der flingeringen van de veerkrachtige deelen der lucht, dat in den eerften opflag gezien wordt uit verfcheide natuurkundige zwaarigheden faamengezett te zyn. Tot deeze algerceene verdeeling moet nog gebragt worden de Muziek of Zangkunft, die zo aanvallige kunft om, door de aangenaame faumenluidingen en de achtervolging der klanken, het oor te ftreelen; zy deunt op een grondbeginfel, waar van eertyds een gedeelte door Pytbigoras, en het andere in onze dagen door den Heer Ramtau ontdekt is. 't Zy verre van ons te willen voorgeeven dat men, alleen met behulp der Wiskundige regelen, eene aangenaame Muziek kan maaken. Neen zeker niet: eene naauwkeurig Wiskundige welluidendheid zou zeer weinig dreelende voor de ooren kunnen zyn ; het is alleen de aangebooren fchranderheid en de fmaak welke, voor het onderwerp dat men verhandelt, de bekwaamde faamenluidingen kiezen



WISKUNDE. I. Deel. I» Boek. 19
'zen kunnert. Ook hebben de Wiskundige Muziek-kunftenaars, bf zy welke deeze kunft Wiskundig verhandeld hebben, nooit anders voorgewend, als van zekere verfehynfelen, die tvy, zo in dè zoetluidendheid als in de overeenftetnming der klanken, ontdekken, reden te geeven.
De vreeze voor eene te groote wydluftigheid vgrpiigt ons, dat wy de andere deelen der Wiskunde korrelyk onder de oogen van den Leezer brengen. De bsfchouwingen der betrekkingen van zwaarte, van. veerkracht, van digtheid ih de lucht en andere vloeiftofFen, welke deeze eigenfchappen genieten, wordt door fommige hedendaagfche Schryvers Pneumatologia of Pneumatica genoemd. De toepasfing der rekening om de mogelykheid der gebeurteni fen te bepaalen, geeft de kunji van gis/en, waar van de Analyfis der Kans/pellen eene voornaametakis; eindelyk de zuivere Meetkunde, toegepaft op de kunft om fteenen in de behoorlyke gedaante te houwen, om door hunne hereeniging zekere werken der Bouwkunft te ma?ken , maakt dat deel uit 't welk men de Steenbouwery noemt, een kunft die dikwils vry fcherpzinnige Meetkundige befchouwingen vereifcht» Wat aangaat de burgerlyke en Krygs-Bouwkunft, benevens de Pyrotechnica of Vuurwerkmaakkunde, men vergunne rny, ondanks de achting welke zy verdknen, dezelve niet onder de Wiskunde te plaatfen: zy die het onderwerp en de natuur van dit foort van kundigheden wel bcgreepen hebben, kunnen niet nalaaten te zien, dat deeze Kunften, wel is waar, een veelvuldig gebruik van de Wiskunde maaken, maar dat haare faamenftelling geenzins die der Weetenfchappen is, aan welken men deezen naam geeft.
V.
Wy hebben reeds meer dan eens aangemerkt,dat alle de deelen der gemengde Wiskunde op het naauwtte van de afgetrokkene Wiskunde afhangen , en dat zy van deeze Jaatfte flegrs de toepasfnigen zyn. Dit is eene aanmerking waar op wy gelooven te moeten aandringen , ten voordeele van hen die, eene uifgeftrekte en gronB 2 dige



40
HISTORIE der
dige kennisfe van deeze Weeterfchappen poogende te verkrygen, in den weg, bekwaam om daar toe te geraaken , inisgetaft zouden hebben, of wenfcben zouden dien te kennen: met dit inzicht zullen wy ons verbinden, om deeze overeenkomft en>afhangkelykhcid duidelyk aan te wyzen.
Elk vraagftuk der gemengde Wiskunde wordt tot een Problema der zuivere Meetkunde gebragt ; het is daar toe genoeg hetzelve van eenige natuurkundige omftandigheden, welke tot de oploffing van hetzelve onverfchillig zyn, te berooven: het voorbeeld, dat wy nu zu leu geeVen, zal deeze overeenkomft duidelyk doen zien. Men zoekt, gelyk men weet, in de Gnomonica of Zonmwjzeikunde, den ftand der fchaduwe, welken een ftyl, evenwydig aan den as der Waereld, opeen vlak, welks gelegenheid gegeeven is , in de verfchillende uuren van den dag befchryft. Men behoeft flegts eene middelmaatige kennis van de Spbeer te hebben ^ora te bemerken , dat deeze uuren bepaald worden door den ftand der Zon in de twaalf Uurcirkelen, welke haaren dagelykfchen omloop in vier- en twintig gelyke deelen verdeelen, en dat alle deeze Cirkelen e'.kander in eene zelfde lyn, naamelyk in den as der Waereld, dcorfnyden. Daar benevens merkt men aan, dat de ftyl, in den behoorlyken ftand, dat is te zeggen , evenwydig met dien as, geplaatft , oogenfchyniyk in denzelven vahj want de ftyl zou weezenlyk in denzelven vallen, wanneer men in 't middelpunt der Aarde was, en de verwydering waar in wy van denzelven zyn, met die van de Zon vergeleeken zynde, is van zo weinig belang, dat wy ons in het middelpunt moogen onderftellen. Eindelyk is het klaarblyklyk, dat de fchaduw: van den lighaamlyken as, in de gemeene dooifnyding van alle de Uurvlauken geplaatft, altoos in het zelfde vlak is, waar in zich de Zon en die as bevindt. De fchaduwe, welke die as achter zich werpt, is derhalve niets auders als het verlengde Uurvlak; dus wordt het Problema, om den ftand van deeze fchaduwe te bepaalen, hier toe gebragt : Een zeker getal Vlakken, die elkander in een zelfde lyn, en overal met gelyke boeken, fnyden, voorgefteld zynde, vraagt men naar bunne doorfnyding met een KlakyWaar
van



WISKUNDE. I. Deel. I. Boek. ai
van dejland en de gedaante gegeeven zyn. Nu is het ge» maklyk te zien, dat dit flegts een Meetkundig Problema is. Ondertusfchen ook dat hy die geen kennis van dezelve heeft, of maar zeer weinig daar in bedreevenis, zich met veel arbeid de oefFeningen der Zomiewyzerskunde en haare redenen bekendmaakt, vindt de'ervaren Meetkunftenaar alle die hulpmiddelen in hem zeiven; hy loft de Vraag op , hy verzint en maakt zich Leerwyzsn. Met de Perfpeclief is het even zo gelegen ; dit deel der Gezichtkunde beüaat in een Problema dat niet zeer moeijelyk voor een Meetkunftenaar is. Hetzelve betreft de handelwyze om op een Vlak, w;lks ftand bekend is, te bepaalen de doorfnyding dtr verfchilleiide lynen, welke men zich verbeeldc'getrokken te zyn van het oog tot de trekken der geftalte, die men moet uitbeelden, en onderfteld wordt achter dit Viak geplaatft te zyiü. Eene middelmaatige bevatting in de Meetkunde is genoeg ouj een lbortgelyk Vraa^lhik in zyn gaiufche uitgeftrektheid op te losfen , terwy hy die niets daar in gevorderd is, by eiken Ihp ftifhtande, een meeni^te zwaarigheden vindt, waar van hy de oplohfingen niet ontdekt noch begrypt. Ook vre'zen wy niet het te zeggen, de Meetkunde is de algemeene en eenige fleutei der Wiskunde: hy alleen, die de eerfte bezit, kan 'er naar ftaan om deeze Weetenfchappen grondig door te zien; alle anderen zullen noodzaakelyk in een naauwen kring beperkt, en in een middel, ftaat blyycn.
VI.
De Wiskunde werdt altoos met eene byzondere achting door de eerwaardigfte Wysgeeren der aloudheid bekroond. Wy behooren in der daad aan te merken, dat alle degeenen wier leere en zeden de volmaaktfte'waren, deeze Weetenfchap aankweekten, of ten minlten veel werks van dezelve maakten. Ik zeg opzettelyk zy wier leere en zeden de volmaaktfte waren; want my is niet onbewuft, dat men eenen drogredenaar Protagoras, eenen wellultigen Arijlippus , eenen Epicurift Zkno van Sidon, en eenige andere van de zelfde geaartB 3 heid,



22
HISTORIE der
heid, zal vinden , welke tegen de Wiskunde opftonden: wy zullen wat laager eenige aanmerkingen over de beweegredenen van deeze afkeerigheid maaken; maar zy aie onze achting het meert, verdienen deeden de Wiskunde altoos het recht dat zy verdient. Dïis dachten, om flegts de vetmaardfte te noemen, Tbales, Pytbagoras, Democritus, Anaxagoras , en alle de Wysgeeren der Tonifcfce en Italiaanlche fchoolen ; Plato eindelyk , Xenocrates, Arijtoteles, enz. Niemand is onbewuft , dat de eerften van deeze Wysgeeren met alle naarftigheid tot de vorderingen, welken" de Wiskunde in Griekenland maakte , het hunne toebragten ; dat Plato een der fchranderfte Meetkundigen van zynen tyd was , en dat zyne Werken met loflyke getuigenisfen voor de Wiskunde vervuld zyn. Xenocrates, een van zyne Opvolgers, dacht niet minder voordexüg van dezelve, getuige hier van het antwoord , dat wy reeds elders (i) bygebragt hebben. Het hoofd der Wandelfchool Qk) gebruikt, in zyne bovennatuurkundige fchriften, veeltyds voorbeelden, welke uit de Meetkunde genomen zyn ; hetgeen genoeg aantoont, dat hy dezelve aanzag als een voorbeeld , 't welk men in de nafpooring der waarheid te volgen had: men weet bovendien dat hy over verfcheide Wiskundige onderwerpen gefchreeven had. Wy zullen ons hier bepaalen, alhoewel wy gemaklyk een veel grooter getal gunftige getuigenisfen zouden kunnen verzaamelen. Wy vinden in de aloudheid geen ander dan Socrates, wiens gevoelen men , met eenigen fchyn van reden , tegen deeze algemeene ftem ten voordeele der Wiskunde kan opwerpen. Deeze Wyze, wy moogen het niet ontveinzen, wraakte eene te groote weetgierigheid om haare geheimen te doorgronden. Wanneer men, zegt hy, genoeg van dê Meetkunde weet , om zyn akker te meeten, genoeg van de Sterrekunde om de uuren en
tyden
(/) In dit Boek, Art. i.
(i) Dour Wandelfchool, in 't FranfchEcö/e Vcripatéticienne, of anders Lycée, moet verdaan worden de plaats te Athenen, daar Ariftoteles de Wysbegeerte al wandelende onderwees. Ver.
TAAIiEK.



WISKUNDE. I. Deel. I. Boek. 23
tyden te kennen, om in de Land- en Zee-reizen den weg te vinden, moet men naar geen grooter geleerdheid trachten. (7)
Het zy ons vergund over deeze taal van Socrates eenige aanmerkingen te maaken , welke bekwaam zyn om de gevolgen, die men daar uit zoude willen afladen, in hunne juifte waarde te ftellen. Vooreerft, bewilligt ons deeze Wysgeer niet veel, en veel meer dan hy fchynt te willen doen, wanneer hy ons vergunt de Wiskunde voort te zetten , tot dat men dezelve zo ver als de behoeftens der tmatfchappy vereisfchen gebragt heeft? Indien de omftandigheden van den tyd waar in hy leefde haare nuttigheid bepaald genoeg maakten, is het tegenwoordig geheel anders daar mede gelegen ; wy vaaren niet meer op eene naauwe Zee, zo als men toen deedt. Nooit meer voor de gevaaren der Scheepvaart beveiligd, dan wanneer men ver van de kuften is, vindt men een weg midden door den Oceaan, zonder, geduurende een geruimen tyd, eenige andere gemeenzaamheid als met de Sterren te hebben: de kennisfe wegens den ftand van alle die hemelfche lighaamen is derhalve noodzaakelvk. Het is van veel belang eene volmaakte Aardryksbefchryving te hebben; men zal daar niet toe geraaken, als naar maate men de Sterrekundige Leerwyzen zal volmaaken en vermenigvuldigen. Indien men hedendaags met zo veel naarftigheid , en eene zo groote toerufling van waarneemingen en berekeningen , aan de Theorie der Maan arbeidt, men denke evenwel niet dat zulks eene bloote nieuwsgierigheid is, die nogthans gemaklyk gebillykt konde worden ; het is met oogmerk om den Zeelieden een zeker en volkomen middel te bezorgen, waar door zy de plaats, alwaar zy zich bevinden , ten allen tyde kunnen weeten: zie daar dan eene grondige Sterrekunde, naar het oordeel zelfs van Socrates noodzaakelyk geworden. Wy hebben de Sterrekunde tot een voorbeeld uitgekozen , om dat deeze het deel der Wiskunde is, welks minder bekend gebruik haar als
eene
(/) Diog. in Socrat. Xenoph. 11b. IV. 'de die. & fac. Sócr. B4



*4 HISTORIE DER
eene ongegronde en onnutte Weetenfchap zou kunnen,, doen aanzien. Welke meenigte nuttigheden zouden wy in de Mechanica, de Optica, enz. niet gevonden hebben?
Maar wy zyn yoornaamelyk onze overweegingen fchuldig aan de beweegreden , welke Socrates deeze denkwyze inboezemde. Deeze Wysgeer , zich eenigJyk aan de Zedekunde overgeevènde, beeldde zich in (zo mpeijelyk is het een juiften middelweg te houden), dat de eenige ffudie, weike den menfeh behoorde bezig te houden, die was, welke dienen konde om hem btter te maaken. Wy bekennen dat zy de eerfte en de gewigrigfte is; dat, zonder de zedelyke deugden, de verheverfte hoedanigheden van den geeft en het yernuft weinig achting verdienen; maar moet men niet bekennen dat het eene pnmaatige ft.-engheid is , om geen andere als deeze bezigheid aan het menfchelyk verftand toe te laatenf Indien het noodig is eene weetgierigheid, die het menfchelyk verftand al te natuurlyk is, om wraakbaar te zyn dat men dezelve zoekt te voldoen, eenig voedzel te verfchafTen, welk ander voegt hetzelve beter dan de Studie der Wiskunde? Weezenlyk onbekwaam om het hart op een doolweg te brengen, ter zeiver tyd als zy het verftand voorlicht, zyn de Weetenfchappen , waar uit zy faamengefteld is , al zag men dezelve als bloote nieuwsgierigheden aan , zonder tegenfpraak de bekwaamde, om het menfchelyk verftand zonder geyaar bezig te houden. Voor het overige, ondanks de geringe achting voor de WTiskunde, welke deeze onmaatige ftrengheid Socrates inboezemde , liet hy hier na te erkennen, dat zy in zekere opzichten voordeeiig was. Zo wy Plato daar in gelooven , zag hy dezese aan als zeer" bekwaam zynde om de vermogens van den ,',ee(r té verfteiken. '„ Hebt gy nooit beperkt, zeg' hy, (*») dat zy die natuurlyk rekenen met een „ oordeel, bekwaam om in alle kunfteii fpoedig tevor„ deren , begaafd zyn, en dat zy die,van ten traag en „ weinig geopend vernuft zyn, indien men hun in de „ ReVrtkunde oeffent, naar elks bekentenis, vernufti-
tm) In Pbedro, fjp lib. VU. dt RepubL



WISKUNDE. L Deel. I, Boek. aj
ger en verftandiger worden": En elders (n) fchvnt hy de nuttigheid der Wiskunde in alle kunftén te erkennen ; hetgeen zyn weinig voordeelig oordeel veel maatigt,of ten minften van weinig belang maakt. Want het is onbetwiftbaar dat Weetenfchappen, nuttig voor de faamenleeving, om tot volkomenheid gebragtte worden, de bezigheid moeten zyn van fommige byzondere perfoonen, met talenten en fchrandérheid begaafd en dat het te wenfchen zonde zyn, dat alle menfehen hunnen arbeid en poogingen daar toe konden aanwenden Men kan eindelyk niet nalaacen te bekennen, dat eene* Studie die het verftand gefchikter maakt om te bevatten en bekwaamer om deszelfs vermogens,naamelvk de redeneenng en overweeging, te oeffenen, een voornaam gedeelte der opvoeding van hen, die gefchikt worden om in den tyo huns levens te denken, behoorde uit e maaken. Dus, in plaats dat het getuigenis van Socrates dienen kunne, om de Wiskunde in minachting te brerÏÏ gen, kunnen wy uit de zaaken zelve, die hy toeftaa een gantfeh ftrydig gevolg opmaaken. y ^e"aat,
Wy kunnen in alle eeuwen een reeks van <ïrpmmo„ verzaamelen, welke deeze Weetenfchap niet minder dtn die der Wysgeeren van de aloudheid zyn toegedaan Indien 'er in die duiftere tyden waar van het geheel £ t Wellen zo langduung geweeft is, fommige mannen een verlichter eeuwe waardig, en welke boven hunnl tydgenooten hebben uitgemunt,gevonden worden rner ken wy aan, dat zy de Wiskunde voorgeftaan óf ten minften met recht zeer hopg gewaardeerd hebben 7n danige waren de vermaarde Boëtius, C<,ffi,doru/ia L zesde eeuw; de eerwaardige Beda\ Alcumus zyn her ling, en Leermeefter van Karei de groote in de airfté eeuw ; Gerbert in de tiende eeuw ; Alben de groote Roger Bacon, en eenige andere in de dertiende eeuw? alle deeze mannen, des te eerwaardiger om dat zv VnM den door de onweetendheid en woeftheid hunner eeuwe hebben weeten door te breeken , deeze mannen Zl ik, waren beminnaars en hoogachters der WisknnH* en fomrmgen onder hen oeffenden dezelve met veel yVer:
(») In PM. 8e-



z6
HISTORIE der
getuige hier van Roger Bacon, in wiens Schriften men de zaaden van zo veele uitmuntende vindingen aantreft; getuige Gerbert die , met deeze Weetenfchap ingenomen, uit zyn K'.oofter vlugtte om by de Arabiërs te reizen , ten einde aldaar zodanige hulpmiddelen te zoeken , welke de Chriftenheid hem niet verfchafte.
Laat ons nu tot de hedendaagfche Wiskundigen overgaan ; wy zullen zien dat de doorluchtigfte Wysgeeren, welke federt de wederöpkomft der geleerdheid gebloeid hebben, die mannen aan welken het menfchdom een gedeelte der kundigheden, die hetzelve hedendaags bezit, verfchuldigd is, de Wiskunde geöeffend of met recht hoog gewaardeerd hebben. Zodanig was de doorluchtige Kancelier van Engeland , dat diepzinnig vernuft, dat, in een tyd die flegts de fchemering was van het groote daglicht, 't welk de Weetenfchappen naderhand verfpreid hebben , het menfchelyk verftand den weg voorfchreef, dien hetzelve, om de Wiskunde tot meerder volkomenheid te brengen, behoorde te volgen. De Wiskundige Weetenfchappen fcheenen hem een ten hoogften noodzaakelyk middel te zyn, voor de herftelling en bevordering der Natuurkunde , welker beöefTening hy zo ernliig aanraadt. Wien is onbewuft, dat Galiküs, Torricelli , Defcartes , Pafcal onder de Wiskundigen van hunnen tyd de eerfte plaats bekleed, en de Natuurkunde met de luifterrykfte ontdekkingen verrykt hebben? Boyle,de voornaamfteherftellerderproefondervindelyke Natuurkunde, heeft zich meer dan eens beklaagd (o), dat hy de geheimen der Meetkunde en Analyfis niet grondig genoeg had doorgezien; nogthans kan men niet zeggen, dat hy geheel onkundig in dezelve was; zyne Werken getuigen het tegendeel op verfcheide plaatfen: maar hy bemerkte dat grondiger kennisfen in dat foort hem een groot hulpmiddel zouden geweeft zyn. Het zelfde vernuft, waar aan wy de fraaifte ontdekkingen der Meetkunde verfchuldigd zyn, de groote Newton, is de uitvinder der verhevenfte ontdekkingen in de Natuurkunde. Het was den eerften der Wiskunde) In Conjid, circa utilit. Pbil. experim. exercit. VI.



VVIS K U N D E. I. Deel. ï. Boek. i?
kundiger) voorbehouden het lichtte ontleden, het ftelfel van her geheel al, en de middelen waar door hetzelve in weezen blyft, te leeren kennen, en op eene onwederfpretkelyke wyze ce betoogen. De doorluchtig, ffe Uovennatumk'iindigen lromen eindelyk hunne ftemmen voegen by.de geenen, welke wy nu verzaameld heb. ben; Mallebrancbe heeft geloofd geen beter voorbeeld van de handelwyze, om in de nafpooring der waar'ieid voort te gaan, té kunnen geevert, dan de Leerwyze der Meetkundigen (p). Ik eindige met het getuigenis- van Locke, een zeer krachtig getuigenis voor hen aan wien deeze groote man bekend is. Ik beb , zegt hy (q) reeds ie kennen gegeeven, dat de Wiskunde zeer nuttig wal om bet verftand aan eene nette en wel gefcoikte redeneering te gewennen; niet dat ik noodzaakelyk aebte, dat alle' menfehen Wiskunjtenaars worden: maar wanneer zy door deeze Studie eene goede redeneertrant verkreegen hebben, kunnen zy in alle de andere deelen van onze kennisfen van dezelve gebruik maaken, enz. De Algebra, zegt hy wat verder die een gedeelte der Wiskunde uitmaakt, geeft nieuwe inzichten , en verfebaft nieuwe hulpmiddelen aan 't verjtdnd ' enz. Ik gaa, om kort te zyn, veele andere even zo beflegtende Haaltjes der achting van Locke voor deeze Weetenfchappen ftilzwygende voorby. Indien het geza» der groote mannen van eenig gewigt is, wat zyn 'er dan niet al naatnen om op te werpen tegen haare vyanden en tegen die fchryvers, welke men van tyd tot tyd dezelve ziet aanranden, die in de kennisfe derzelven zo weiniff bedreven zyn, dat ze, zo dra als zy van dezelve be ginnen te fpreeken , in de belagchelykfte misgreepen val len? De vermaarde Bayle (V), wien eene bepaalde nei-" ging tot het Pyrrbonismus deedt zeggen , dat de Wiskunde zelve een zwakke zyde had , ftemde nogthans toe, dat 'er, om dezelve met een goeden uitflag te beftryden,een man veretfcht werdt, die te gelvk een goed Wysgeer en bekwaam Wiskundige was. Maar wy moo-
gen
Rech. de Ia vérité, liv. 6. chap. y. &pajïïm. De la conduite de Temend. $. 6. 7. &c. (r) Diétion. Critique, article de Zenen de bidon.



*& HISTORIE der.
gen vrymoedig zeggen, dat deeze aanval niet voor da Wiskunde te vreezen is; en durven verzekeren, dat niets bekwaamer zou zyn om haare beftryders hunne gevoelens te doen herroepen , dan eene weezenlyke erj grondige ftudie der waarheden, welke in de Wiskunde geleerd worden.
De Jaarboeken van de Wysbegeerte en het menfchelyk veiftand verfchsffen ons tene meenigte roemwaardige voorvallen der Wi&kunde; de meefte natuurkundige ontdekkingen, welke wy heden bezitten, zyn door wiskundige Natuurkenneis voortgebragt of befchaafd. Wy hebben dit zo even getoond door het voorbeeld van Defcartes , Pa/cal, Galiküs , Newton, enz. in tegendeel zo eenige klaarfchynende en nu.iige waaih id tegenkantingen heelt uirgeflaan , zyn dezelve meeft voortgekomen van lieden, die der Wiskunde onkundig waren , ot dezelve in minachting zochten te brengen. De tuigwerkelykeontdekkingen van Galiküs, de zwaarte der lucht , vonden geen tegenftreevers als in man» nen die blyken gaven, dat zy van deeze grondige kennisfen ontbloot waren. Wie zyn zy die in onze dagen de tuigwerkelyke en gezichtkundige waarheden, door den doorluchtigen Engelfchen Wysgeer geleeraard, beflryden , anders als lieden die meèft onkundig in deeze Weetenfchappen zyn, of dezelve poogen verdacht te maaken.
Indien wy thans de oogen flaan op. die Genootfchap. pen van Geleerden, waar in een groot getal Meetkundige Natuurkenners doorgaans het gezag voeren, zullen wy zien , dat de gezonde gevoelens der Natuurkunde altoos lang zyn aangenomen , vóór dat zy tot de Schooien , alwaar de Wiskunde weinig begunftigd wordt, overgaan; zy komen niet dan zeer laat, en veel eer onder den raam van gemeen gevoelen, als onder begunftiging van eene fchrandere fchifting,in de Schooien alwaar men dezelve geheel verwaarlooft. Men onderzocht de Natuurkunde van Defcartes in de Academie der Weetenfchappen, reeds in de eerfte jaaren van haare infteiling; Arijioteles heeft zyn volfirekt gezag nog meer dan veertig jaaren in alle de Hoogefchoolen , zelfs de geleerdfte, geoeffend. Het doorluchtig Ge.
nóot«



WISKUNDE. I. Deel. L Beek.
nootfchap, waar van ik zo even gefproken heb, verwierp het gevoelen van den Franfchen Wysgeer over de wetten van de bo.iitig der lighaamen , over den vloeden ebbe der Z-'e, over de koleuren ; het veroordeelde eindelyk zyne draaikringen, byna naar maate als wel geftaalde proeven en nieuwe natuurkundige verfchynfelen de wei.iige beftendigheid van dezelve toonden. Hoe veel fchoolen zyn 'er nog alwaar Arijloleles heerfcht? Hoe veel andere alwaar men van zyne leere niet als federt eenige jaaren heeft afgeftaan , en alwaar men, de eene dwaaling voor de andere in plaats ftellende, tegenwoordig Defcartes en zyne gevoelens leert? Misfchien zal 'er nog een halve-eeuw verlopen eer de waarheden, door Newton beweezen, aldaar bekend of zegepraaiend zyn.
vu
Na zulke eerwaardige getuigenisfen, zulke bekende voorvallen, welke ten voordeele der Wiskunde faamenftemmen , ware het misfchien overtollig by de vruchtelooze redenvoeringen van haare vyanden ml te fraai! fjj).
N aarCO Indien de Wiskunde de loffpraaken van een meenigte eerwaardige mannen tot zich getrokken heeft, heeft zy ook haare belagchelyke tegen ftree vers gehad; wy zullen hen, die gewaand hebben haar met de wapenen der Wysbegeerte zelve te beftry. den, in deeze No&t niet aanroeren: zy worden in dit Anikel beantwoord. Wy zullen om hier alleen bepaaten tot het opgeeven der tiinmen van fommigen, welke de boertery tegen de Wiikunde gebruikt, of dezelve door beweegredenen, welke geen ernftig antwoord verdienen, verworpen hebben. Iemand wees Epicurus een Zonnewyzer,om de nuttigheid der Wiskunde daar door te verheffen: Fraaije vinding, zeide by, om het uur der maaltyd niet te vergreten. Ver dier Vauprivas, (in zyne Bi. blioih.') vindt in Euclides geen natuurlyk verftand. Zulks i»ver« fchooniyk in een man, die meer tytels van Boeken dan weezenlyke kundigheden in 't hoofd had. Hobbei, ichoon in zekere andere opzichten pryswaardig, heeft de Wiskunde eene geduu. rige verblinding verweeten ; maar de reden daar van was, dat zyne vaiï'eae Ouadratura circuli met haare grondbeginfelen ftry-
dig



53 H I S T O R I E der
Naardien echter onder dezelven zodanige gevonden worden, welke bekwaam zyn, om hen, dia de natuur van deeze Weetenfchappen weinig overdacht hebben , te misleiden, denken wy dat het niet onnut zal zyn regelrecht daar op te antwoorden : men behoeft geen fterke poogingen aan te wenden, om het zwak van die redenvoeringen te ontdekken , en dezelve tot haare juifte waarde te brengen.
Twee Secten onder de Ouden hadden zich toegelegd om de Wiskunde in minachting te brengen; naame-
iyk
dig waren. Dit gaf aanleiding tot eene langduurïge twift, waar van de ftukken in de Pbikfoophifcbe TransaSien ta zien zyn,* dezelve zullen den Heer Hobbes geen zeer uitfteekende plaats by het nageilacht doen verwerven. Ik zeg niets van een meenigte Schryvers, welke tegen de gewaande ydelheid en onzeker, heid der Weetenfchappen zich in fcheldwoorden uitgelaaten hebben. De meefte van hen doen de Wiskundigen lagchen door de manier, op welke zy van de Wiskunde fpreeken. Het eenig antwoord dat zy verdienen , is eene tioodiging om , ten minften in haare eerfte begiufelen, zich te oeffenen ,vóór dat zy daar van ipreeken. Van dit foort zyn eeni?'_> ftukken, in verfcheide Jour. naaien verlpreid, onder anderen één in lejourn. Littér.de Sept. 1713.^. 188. Dit ftuk is zo belagchelyx, dat men fterk aangedreeven wordt te gelooven , dat het enkel boertery is, gemaakt om met die zwetfers tegen de Wiskunde den fpot te dryven, of dat hetzelve het werk van een geheel ontfteld brein is.
Anderen zyn 'er welke da Wiskunde als fchadelyk aangezien hebben,• het verftand van Pic de la Mirandole was waarfchyn. ïyk veel verzwakt, toen hy zeide dat hy dezelve niet beftaanbaar met de Godgeleerdheid dacht te zyn, om dat zy tot al te fterke bewyzen gewent. Een zeker Pierre Poiret (in een boek getyteld De vcrd, falfd & fuperficiarid eruditione , 1694. Leipf.) ftek dezelve voor als eene bezigheid, die in 's menfehen verftand meer Zwakheid dan kennisfe en kracht aanwyft, voor. naamelyk wraakt hy dezelve, om dat zy, naar zyn zeggen, ons van dè befchouwing der Godheid aftrekt. Deeze godvruchtige Wysgecr verdiende mogelyk niet om wederlegd te worden; nog. thans is zulks gedaan door den Graaf van Herbe/iein, in een Schrift, getyteld: Matbemata adv. umbratiles P. Poireti impetuipröpugnuta, 1709, in-%*:



WISKUNDE. I. Deel. I. Beek. SI
lyk, die van Pyrrbon en Epicurui. Wy zullen eerft de beweegredenen van den eerften onderzoeken. Ueeze gelyk men weet, maakte zyn eenige ftudie om tegen alle menfehelyke kennisfen twyffelingen op te werpen • dus mag men wel denken, dat de Wiskunde de eerfte aanvallen van dezelve had uit te ftaan. Sexttu Empiri. cus heeft in zyn beruchte Boek tegen de Wiskundigen ,dit is de naam die hy in 't algemeen geeft aan alle de geenen, welke eenig foort van geleerdheid hoe genaamd voorftaan , ons de redeneeringen van zyne Secte bewaard; deeze allen verklaart hy de een na de anderen den oorlog , en de eigenlyk gezegde Wiskundigen worden in de III, IV, V en VI<fc Boeken aangerand. Om zyne tegenwerpingen te beantwoorden, zou h-t byna genoeg zyn het belagchelyke van een Pyrrbonismus aan te. merken, t welk durft voor te geeven, dat 'er geen bewys, geen middel om zich de ininfte zekerheid te yerfenaffen is, voor 't welk de zetregels van het natuurlyk verftand van minder gewigt zyn dan het getuigenis der zinnen, die zo dikwils voor de dwaaling bloot ftaan • dat eindelyk voorneemt de Weetenfchap der redenee. ring om ver te werpen en te vernietigen. Ons onderop is hier met om deeze denk wyze te beftryden, en de menfehelyke reden in de voorrechten, welke men haar beiwilt, te herftellen; geen fchrandere geeft is 'er die in zich zelve gaande, het antwoord cp die onnutte hairkloovingen niet vindt. Wat verftandig man zal om de ongerymde fteilingen van Empiricus niet lagchen , als hv tegen de Meetkundigen onderneemt te bewyzen , dat er noch lighaam, noch uitgebreidheid is ; tegea de Rekenkundigen dat 'er zelfs geen getal is; tegen de Zangkundigen dat 'er geen klank is ? De voortelling van deeze belagchelyke wonderfpreuken is alleen genoeg om dezelve te wederleggen. s
d^;.cege°werPingen, welken het Pyrrbonismus tegen ae Wiskunde maakt, zyn de eenige, welke eenige opmerking verdienen, die welke de natuur der voorwerpen waar mede zy zich bezig houdt, en in 't bvzonder de Meetkunde, betreffen. Wy zouden in dat opzicht ons kunnen vergenoegen met een algemeen ant.
woord



39
HISTORIE dek
woord, dat meenigmaal door bekwaame lieden gegeeveri is, daar op te doen. De voorwerpen der Wiskunde, hebben zy gezegd, zyn zo bovennatuurkundig, dat men zich niet behoeft te verwonderen, dat zy tot zwaarigheden aanleiding geeven; maar het is hier de plaats om van eenen regel, welke in de nafpooring der waarheid noodzaakelyk is, gebruik te rhaakên: dat is, dat eenige tegenwerpingen, al waren zy zelfs onöverwinnelyk, ons niet moeten doen wankelen in een gevoelen, dat zich opdoet met die klaarblyklykhéid ? welke de toeftemming afperft. De Wiskunde is in dit geval; dé twyffelingen , wélke men tegen dezelve doet gelden j moogen, als eeniglyk gegrond cp de geringe kennisfe, welke wy van de natuur der lighaamen, van de uitgebreidheid en de beweeging hebben , geen nadeel doert aan gevolgen, welke op beginfelen en redeneeringen, wier klaarblyklykhéid niet betwift kan worden, gevestigd zyn.
Wy zullen ons echter tot dit foort van verdeediging niet bepaalen; dus zullen wy fommige van die zwaarigheden, welke door de Sceptici, of de vyanden der Wiskunde , zo hoog geroemd worden, naauwkeurig onderzoeken.
De voorwerpen der Meetkunde, zéggen zy terftond, hebben geen weezenlykheid, en kunnen niet beftaan; lynen zonder breedte, vlakken zonder diepte, een wiskundig punt, dat is te zeggen, zonder lengte, breedte noch dikte, zyn ingebeelde Weezens , bloote hersfenfchimmen. Het is op de zelfde wyze gelegen met de Figuren * welker eigenfchappen de Meetkunde betoogt; daar is en daar kan geen volkomen cirkel, geen volmaakte kloot zyn: dus* befluiten zy, houdt deeze Weetenfchap zich eeniglyk met ingebeelde en onmogelyke voorwerpen bezig. Zy onderfchtaagen deeze tegenwerping met verfcheide redeneeringen. Indien men, zeggen zy, uit het middelpunt eens cirkels tot alle dé punten van den omtrek lynen trekt, zullen dezelve het geheele vlak van dien cirkel bedekken; en ieder cirkel, die met deu eerften het zelfde middelpunt heeft, door die ftraalen in even zo veel punten gefneeden zynde 4
zal



WISKUNDE. I. Deel. I. Boek.
33
zal aan denzelven gelyk zyn, om dat dezelve een gelyk getal punten zal bevatten. Indien men zich een volkomen kloot, die een volkomen vlak raakt, voorftelt, zal de aanraaking een punt zonder uitgebreidheid, een weezenlyk Wiskunftig punt zyn; maar wanneer deeze kloot op het vlak voortrolt, zal dezelve, door met haare oppervlak e geduurig dit vlak te raaken, een lyn beichryven. Dus hebben wy dan , voegen zy 'er by, een lyn faamengefteld uit punten zonder uitgebreidheid, dat is te zeggen , eene uitgebreidheid , welke uit deelen zonder uitgebreidheid gevormd is; hetgeen ongerymd is, en klaarlyk aantoont, dat een volkomen cirkel, een volkomen kloot , wezens zyn , wier beftaan de taftelykfte ftrydigheden oplevert. Daar benevens hervat men andermaal den ftryd, en zegt: Indien men door elk der punten van den ftraal eens cirkels gelykmiddelpuntige omtrekken befchryft , zullen dezelven allen elkander raaken, en den geheelen cirkel bedekken ; nieuwe ongerymdheid, hierin beftaande, dat lynen zonder breedte, op elkander gelegd,, een Vlak kunnen maaken, of wel de IVIeetkundigen zullen genoodzaakt zyn te zeggen, dat hunne lynen breedte liebben: hetgeen genoeg is om alle hunne bewyzen om ver te ftooten. Ik zal geen grooter getal tegenwerpingen van deeze natuur bybrengen , om dat dezelve, voor het grootfte gedeelte, niets anders zyn dan het zelfde denkbeeld, op verfcheide wyzen omgekeerd , en dat de oplosfing van fommige aan alle de anderen tot antwoord kan dienen.
Om deeze zwaarigheden op te losfen, zou het byna genoeg zyn ons te beroepen op hetgeen wy reeds hier boven over de ontvouwing der Wiskundige Weetenfchappen gezegd hebben; men zou alsdan zien, dat de Wiskundigen zich nooit hebben laaten voorftaan , dat 'er lighaamen, in lengte en breedte uitgeftrekt, waters, zonder vaftigheid te hebben; dat 'er andere waren , welken alleenlyk lengte zonder eenige andere afmeeting hadden : zy hebben niets anders gedaan als de uitgebreidheid , die zy in haare onderscheidene deelen befcnouwden, te ontleeden , welke deelen dnarom niet minder noodwendig te faamen verbonden zyn , fchoon het verftand één onder dezelven aangrypt, zonder ter I. Deel, C zei-



34
HISTORIE der
zeiver tyd op het andere acht te flaan. Eik lighaam heeft uitgebreidheid in lengte, breedte en diepte; maar hetgeen maakt dat het volgens de twee eerfte afmeetingen uitgebreid is, is niet hetgeen maakt dat hetzelve diepte heeft. Men heeft het derhalve eeniglyk als lang en breed zynde kunnen befchouwen; hetgeen het denkbeeld van een Vlak heeft voortgebragt: en dit Vlak, desgelyks door een nieuwen trap van afzondering ontleed , heeft dat van de lengte vertoond. Het vlakTis de eindpaal der ruimte van het lighaam, en by gevolg heeft hetzelve geen dikte; de lyn is de eindpaal van een befloten vlak, en het punt de eindpaal van een lyn.
Daar uit volgt, dat de lighaamen, de vlakken, de lynen in geenerlei wyze verzaamelingen van op een geitapelde vlakken, lynen, of punten zyn; want de eindpaal eener uitgebreidheid kan geenzins vooreen van derzelver faamenftellende deelen genomen worden: dus kan men de ftelling, waar op de eerfte en laatfte tegenwerping uitloopt, loochenen. Welk getal lynen men uit het middelpunt eens cirkels tot deszelfs omtrek, of uit den top eens Driehoeks tot deszelfs Bafis, ook trekke , zullen dezelve nooit een Vlak faamenftellen ; dezelve zullen flegts de eindpaalen der verdeelingen van dit vlak in deelen zyn, even als de punten van den omtrek flegts de eindpaalen der deelen van dien omtrek zyn: want het zyn deeze deelen, en niet haare einden, welke den omtrek faamenftellen. Wanneer men derhalve voorgeeft , dat 'er in een groote even zo veel punten als in een kleine lyn zyn,kan zulks redelykerwyze nietanders als op deeze wyze verftaan worden, naamelyk, dat men de eene in even zo veel deelen als de andere verdeelen kan: gevolglyk zullen in ieder derzelven even zoveel eindpaalen van verdeelingen zyn ; maar men kan voor haare grootte geen gevolg, dat van de grootte der deelen, in welken men dezelven gedeeld heeft, afhangt, daar uit afleiden. De gewaande ongerymdheid, welke men door de laatfte tegenwerping poogt tebewyzen, heeft geen meer beftaanlykheid. Alle die gelykmiddelpuntige omtrekken zuilen het vlak des cirkels niet bedekken, zy zullen niets anders doen als denzelven te
ver-



WISKUNDE. I. Deel. I, Boek. 35
verdeelen in kringswyze ftrooken , welke wederzyds van die omtrekken zullen befloten zyn.
Daar is den Meetkundigen weinig aan gelegen, of 'er natuurlyk een volmaakte kloot, een volmaakt vlak aanweezig is ; deeze Figuren zyn flegts de verftandelyke paaien der ftollelyke grootheden, welken zy befchou. wen, en hetgeen zy ten aanzien van die paaien bewyzen, is ten aanzien der ftoifelyke lighaamen zo veel te waarachtiger, als zy nader by dezelve komen. Wanneer men dus toeftaat, dat de waarheden der Meetkun. de flegts onderftellingen zyn , dat is te zeggen , dat zo 'er een volkomen kloot en een volkomen Cylinder aanweezig waren , dezelve tot elkander in zodanige reden zouden zyn, zal echter altoos de Wiskunde daar door op verre na niet gekrenkt worden. Men moeft bewy. zen , dat een volkomen kloot de twee-derde van een volkomen Cylinder, om denzelven befchree ven , zoude zyn om te weeten dat de zelfde betrekking oogfchynlyk plaats' heeft tuskhen de ftoffelyke lighaamen , die naaft aan deeze biguren komen, in zo verre onze zinnen ons toelaaten daar over te oordeelen.
Maar misfchien zal men hier op aandringen, en vrasgen, of die lighaamen, van volmaakte gedaanten voorzien, mogelykzyn? Wy antwoorden hier op, dat men de natuur der ruimte en ftoffe beter moeft kennen om de vraag te beflegten, en te oordeelen of de ongerymdheiddie, naar men voorgeeft, uit deeze onderftellinff zou volgen, eenige vveezenlykheid heeft. H>t is den Meetkundigen genoeg dat het bovennatuurkundig denkbeeld van die gedaanten klaar en blykbaar zy, om aan hunne nalpooringen tot een grondflag te dienen, en od dat hunne gevolgen de zelfde blykbaarheid en klaarheid bezitten.
Wat de gemengde Wiskunde betreft, haare zekerheid hangt ten deele af van die der Meetkunde, tendeele van de waarheid der ftelling, die zy tot grondflag neemt: wy hebben derhalve, door het belang der Meetkunde te verdeedigen, ook haar belang voorgedaan, ten minften in zo verre zulks aangaat de gevolgen, welke zy uit de onderftelde daad afleidt. Wat deeze daad of dit grondbeginfel belangt, dewyl dezelve op de herhaalde en ftandC a vaftige



3ej HISTORIÉ der
vaftige waarneeming of ondervinding gegrond is, zoo men de twyffeling verder dan de Sceptici moeten laaten gaan, om ie weigeren dezelve toe te ftaan; want deeze Wysgeeren ontkenden de voorvallen en ondervindingen niet. Empiricus, die de waarheid der algemeene kundigheden van de Meetkunde weigerde te erkennen,nam nogthans aan dat deel der Sterre-Voorzegkunde, welks onderwerp is de ongeftadige beurtwisfelingen der jaargetyden te voorzien, om dat hy geloofde, dat hetzelve op de Waarneemingen der Stcrrekundigen geveftigd was.
De fmaadredenen van Ariflippus tegen de Wiskunde, de kleinachting welke Epicurus en zyne aanhangers voor dezelve hadden , zullen van weinig belang zyn by die geenen, welke deeze perfonaadjen kennen. Men behoeft niet verwonderd te zyn , dat Weetenfchappen, welke eene fterke infpanning van geeft vorderen, eenen WeUuftigen als den cerften mishaagd hebben; de vermaaken welken zy geeven kunnen, vermaaken welke alleen de Ziel aandoen , zyn niet van de natuur dergeenen, waar in hy de gelukzaligheid deedt beftaan (r). Wat aangaat Epicurus, wien men ten onrechte eene zo onbefchaafde Zedeleer zoude toefchryven, eene andere beweegreden deedt hem de Wiskunde verwerpen; deeze was de onbeftaanbaarheid van zyne leeringen met de waarheden , welke in dezelve geleerd worden. In der daad, wat Wiskundige zoude hy overreed hebben, dat de Zon niet grooter dan zy ons toefchynt, of zelfs nog kleinder, kondc zyn; dat de Zon- en Maan-Eclipfen, de ondergangen der Sterren, misfchien te weeg g^bragt werden door eene geheele uitblusfching van haar licht, dat by haaren opgang weder ontfteeken werdt, enz. Zodanig was de Natuurkunde van Epicurus; eene Natuurkunde die een zodanig waardeerder dtr Wiskunde wel waardig was. Ook befchimpt Cicero hem op meer dan eene plaats, onder anderen op de eene (u) , alwaar hy zegt, dat hy hem zonder moeite, en zonder zynen eed noodig te hebben, gelooft, wanneer hy voorgeeft
nooit
(7) Diog. Laerr. in Ariliipp«.
C«) De finib. bon. ö? mal. hb. i. J. 7.



WISKUNDE. I. Deel. I. Boek.
3?
nooit geen meefter gehad te hebben; maar dat hy veel beter zoude gedaan hebben een meefter te verkiezen, om eenige lesfen in de Meetkunde van denzelveu teontfangen, dan dezelve verdacht te willen maaken : hy voegt 'er eindelyk nog by, dat dit heilzaam onderwys hem voor eene groote belagchelykheid zoude beveiligd hebben (w). Het zy my vergund hier aan te merken , dat eene byna gelyke beweegreden de meefte Wysgeeren der Schoole tegen de Studie der Wiskunde wederfpannig maakte, en het is nog de zelfde reden, welke eenige hedendaagfche Wysgeeren, beminnaars van zodanige Opftellen, met behulp van welken men alles ten naafte by, en niets in 't byzonder en met naauwkeurigheid verklaart, tegen de grondige Meetkunde en haare roepas, ftng op de Natuurkunde doet opfhan. Deeze Weetenfchappen bragten de zwakheid der Natuurkunde van de eerften aan den dag , en de Meetkunde is de geesfsl van die natuurkundige Romans, het voorwerp van de toegeevendheden der laarften. Ik zwyge van de vonnisfen, door fommige Keizers tegen
(w) Men ziet uit eene andere plaats van Cicero (Acad. quefi. ïib. 2.), dat het Epicurus gelukt was een zekeren Polyanus, die voor een goed Wiskundige gehouden was, en naderhand beweerde dat de Meetkunde flegts in eene aanëenfchakeling vaa verdichifelen beftont, tot zyne gevoelens over te haaien. Het is zeer mogelyk,dat deeze Polyanns als bedreeven in de Wiskunde gehouden is, zonder eene meer dan middehnaatige kundigheid in dezelve te bezitten, en het kan nog zeer wel zyn, dat een bekwaam Wiskundige tot een dwaaze opvatting overilaat. Maar al voegde men by dit voorbeeld, dat van den Ridder de Meré, die zich, in een brief aan den Heer Pafcal, voor een Meet. kundigen van den eerften rang uitgeeft, (Bayle, Dift. art. Zenon de Sidon; Lettres du Chev. de Meré, num. 19) en de bewyzen van den Heer Pafcal, en de Meetkunde, voor valfch verklaart, zullen zodanige redenen nog niets tegen de Wiskunde bewyzen; men zou of meer diergelyke voorbeelden moeten heb. ben van bekwaame Wiskundigen , die van de Wiskunde waren afgeftapt, na het zwak derzelve doorgrond te hebben , of tegenwerpingen, die, ten minften in klaarblyklykhéid, de gronden, waar op de Meetkunde gevelligd is, evenaarden»
e3



33
HISTORIE der
gen de Wiskundigen uitgebragt. Het is een ieder bekend , dat de Sterrewikkers , welke Rome geduurende veele eeuwen als overftroomden, zich aldaar onder dien naam bekend maakten; zy hadden nog dien naam ten tyde van den H. Auguftinus, van wien men eene Leerreden leeft, die by gelegenheid der verzoening van één deezer gewaande Wiskundigen met de Kerk gemaakt is (ff). Maar de verftandige lieden , de Wysgeeren, zelfs de Keizers, opftellers van die herhaalde vonnisfen om de Wiskundigen uit het Ryk te bannen, willen onderfcheid te maaken tusfchen de waare Wiskundigen en de bedriegers, die hunnen naam onrechtmaatig aan zich trokken; zy fpraken met lof van de eerden, terwyl zy tegen de anderen opftonden, of ftraffen tegen dezelven verleenden. Zelfs is 'er een befluit van de Keizers Tbeodofias en Valentinianus (y), dat hen, welke der Meetkunde toegedaan zyn, of zich in dezelve oeffenen, eertytels, als die van SpeÜabiles en ClariJJtmi ,-toefchryfr. Vóór hun hadden de Keizers Diocletianus en Maximianus door eene uitfpraak verklaard, dat het algemeen belang vorderde, dat de Meetkunde begunftigd wierdt: Artem Geomelrice difcere atqiie exercere publicè intereft,
VIII.
Thans heb ik tegenwerpingen van eene andere natuur te beantwoorden; deeze betreffen niet de zekerheid der "Wiskunde, maar eeniglyk den rang die zy onder de menfehelyke Weetenfchappen verdient te houden. Het is hedendaags zeer ge-reen te zien dat mannen van Studie hunnen toeleg maaken, om deeze Weetenfchappen in alle gelegenheden te verachten , en de verdiende van hen , welken daarin uitmunten, te vernederen. Mem hoore den Abt Des Fontaines, die vermaarde man door het ampt dat hy in de Letterkunde zo lang bekleed heeft: indien men hem wil gelooven, heeft men Wiskundigen met Schoolgeleerden zien bloeijen in de eeuwen, welken het meeft van fmaak , van waare weetenfchap en.
fcherp-
(x) In P/alm LXI. p. 32. ed. Frob. van 1556*. (?) L. 2. Cad. de excufat. artif.



WISKUNDE. I. Deel. I. Boek. 3»
fcherpzinnigheid ontbloot waren (z). De grootfte Wiskundigen, zegt hy op eene andere plaats, zyn altoos de oudfte of zy, die het meeft gearbeid hebben, geweeft. Men kan niet mistaften in het onderzoek der beweegreden, welke deezen berisper, voor wiendenaauwkeurigheid en billykheid veeltyds deugden van bloote beichouwing waren, zodanige taal inboezemden. Het was zicbtbaarlyk om allerlei vernuft van de Wiskunde af te zonderen , en haar gelyk te ftellen met de Schoolfche beuzelingen, waar mede die onweetende eeuwen zich onledig hielden. Volgens Scaliger en veele anderen, welken het herhaald hebben, was 'er,om in deeze Weetenfchappen te flaagen, flegts een dom en traag verftand noodig, en zy, die zich aan dezelve overgaven, behoorden nooit een luifterryk aandeel aan de onfterflykheid te hoopen.
Deeze verv/yten, of liever deeze aantygingen, zullen hun, die het menfchelyk hart kennen, niet vreemd voorkomen; 't is het werk van die eigenliefde, die de meefte menfehen zodanig bezielt, dat ze niets als nuttig, als achtingwaardig, aanzien, dan hetgeen zy doen, en hun aanzet om alles wat de bezigheden van anderen kan vernederen zorgvuldig in top te heffen. Ten aanzien der Wiskunde is 'er daarbenevens nog een andere reden: ten allen tyde hoog gewaardeerd door de fchrandere verftanden, zelfs kan ik zeggen, dewyl ik zulks beweezen heb, door de eerfte vernuften; fomtydsin gebruik komende, is de toegang tot dezelve zwaar en moeijelyk; men wordt niet als bezwaarlyk tot haare geheimen toegelaaten, en veelen van hen, welke zich onderwinden de Wiskunde met boosaardigheid te verachten , doen zulks eeniglyk uit een foort van verdriet van dezelve niet te hebben kunnen doorgronden. Het was, by voorbeeld, flegts eene eigenliefde met afgunft vermengd, welke Scaliger tegen dezelve gaande maakte,
eu
fa) Ik weet niet op welke plaats van zyne Schriften zulks gevonden wordt; maar ik heb het, naar hem, hooren tegenwer. pen aan een perfoon,die veel werks maakte om zynefchriftenti? leezeo.
C 4



4o HISTORIE der
en hem de redenen, welke wy nu bygebragt hebben; deedt zeggen. Doch om nader te komen, moe>en wy f ™ oorfprong van deeze vyandfchap opklimmen: Jcfepb Scaliger, vol van dat vertrouwen op hem zeiven, t welk hem in zo veel misvattingen fleepte, wilds zich tot onder de Wiskundigen beroemd maaken: wel"verre van toenmaals op eene zo verfmaadende wyze te denken, zocht hy naar de oplosfing van alle de ProMemata, die boven het bereik der Wiskundigen waren geweest als de quadratuur van den Cirkel, het in drieën deelen van den hoek, de verdubbeling van den teerlink enz Eindelyk bragt hy zyne zogenaamde ontdekkingen meiveel ophef aan den dag (a); hy gaf ook eene handelwyze om den Almanak te verbeteren, en ftelde denzelven tegen dien van Gregorius den XIII; maar alle die nieuwigheden, wel verre van den Wiskundigen te behaagen, werden van hen ontfangen, zo als eene aaneenfchakehng van tastelyke drogredenen, met hetfchareperfte vertrouwen '.waereldkundig gemaakt, verdiendeeen algemeen gefchreeuw verhief zich tegen Sca'ieer, en de V. Clavius fchreef onder anderen om hem te wederleggen. Van dat oogenblik af waren zy , die de Wiskunde met een goeden uitflag bevorderden, flegts domme en traage verftanden; en de Meetkundige fyfuit zyn voornaamfte tegenparty, werdt met een onderfcheid van icheldnaamen, evenredig aan de beleediging welke hy van hem ontiangen had , bejegend (b\ Dezelve verdienen byna geen ander antwoord ais dit kort verhaal.
Zy die in deeze ongegronde aantygingen behagen fcheppen, toonen of zeer weinig kennisfevan de eebeurtemsfen te hebben, of zeer weinig goede trouw te bezitten. W aren net dan domme en traage verflanden,
als
(a) Cyclomctria nova. 1692. in-folio.
(b) Statiger maakte Clavius voor een Os uit. AW* da- bet nog de mode der fcheldnaamen was, die thans nog niet geheel
Boek De fubnhtate, ten naafte by eveneens gefcaolden, ea ia veele opzichten met even zo weinig redeu.



WISKUNDE. I, Deel. I. Boek. 4I
als die van eenen Pytbagoras, van eenen Plato, en van zo veel anderen, welke onder de Ouden in de Wiskunde hebben uitgemunt? van eenen Defcartes, van eenen Leibnitz,or\deï de laatere Wiskundigen? Het zou ten hoogften onrechtvaardig zyn, wanneer men de meefte Wiskundigen van naam, die thans bkeijen, daarvan befchuldigde. Al wie de Voorreden der Encyclopédie weet te waardeeren, eene Voorreden waar in het vuur van een uitfteekend wysgeerig Vernuft , en de talenten van een meer dan gemeen Schryver uitfchitteren: al wie, ze?ik deeze Voorreden weet te waardeeren, zal den Schryver derzelve onder de uitfteekende mannen, welke onze Landaart (c) beroemd maaken, geen plaats weigeren, 't Is nogthans het werk van eenen onzer eerfte Wiskundigen, üie met de zelfde pen, waar mede hy de beweeging der vloeiftoffen en de verpiaatfing der Maan heeft berekend, die met recht voortreffelyk en verheven ftuk gefchreeven heeft. Een ander Wiskundige is'er, wiens naam vermaard is door één der fraaifta werkingen,welken de menfehen beproefd hebben, door Wis- en Natuurkundige ontdekkingen van onderfcheiden foort, en die de fchraalfte Wysgeerige nafpooringen met bloemen van welfpreekend. heid heeft weeten te dekken. Ik zou gemaklyk veele andere kunnen opnoemen,in wien de diepe overwee°ing aan de bevalligheid van geest geen nadeel heeft toegebragtindien men anderen van een verfchillenden aart vindt' zyn het of Wiskundigen van eene zeer middelmaatige' verdienfte, of wel is het een gebrek dat men aanërft door de eenzaamheid der Studeerkamer, zo bekwaam om alle den glans en fchranderheid van geest te verdooven. Schoone vernuften in alle foort hebben dit lot in verfcheide tyden ondergaan, en vooral in die eeuwen,
waar
Cc) De Schryver, die een Franfchman is, beöogt hier zyn<» natie, welke dien lof met recht verdient. Immers i« het by de meefte Wiskundigen te over bekend, dat de Heer cTAlembert Schryver van die Voorreden, door zyne Letterkunde en verhevene ontdekkingen in de Wiskunde zich als een zeldzaam vernuft in geheel Europa beroemd heeft gemaakt. Vertaler.



4a HISTORIE der
waar in de Geleerden, minder verfpreid, byna öiets anders als hunne Boeken zagen, en nooit de paaien der Weetenfchap , aan welke zy zich hadden toegewyd, te buiten gegaan waren. Indien fommige Wiskundigen toen geheel vreemd in de Letterkunde waren, hoe weinig van hen, die zich aan de fraaije Letteren of de geleerdheid hadden toegewyd, verftonden daarentegen de eerfte beginfelen der Spbeer? Ik heb gezegd fommige Wiskundigen , want het zou gemaklyk door talryke voorbeelden te bewyzen zyn, dat de meefte geen kundigheden in de geleerdheid en fraaije letteren ontbraken ; maar al waren 'er meer geweest, die in een foort van Letterkundige onweetendheid leefden, was hen zulks met veel anderen gemeen. Daar by zyn zy in deeze eeuw veel befchaafder geworden. Men zou, denk ik, nog wel geleerde mannen, en voornaamelyk Dichters, vinden, die niet weeten , waarom 's zomers de dagen langer zyn als geduurende den winter. Heeft dan een zo geregeld en zo gemeen verfchynfel minder recht, dan de verhevene bevalligheden van da Dichtkunst en Welfpreekendheid, om de verwondering en weetgierigheid van het menfchelyk verftand op te wekken?
Als men de gefchiedenis der Weetenfchappen flegts eenigermaate weer., is het gemaklyk de pylen, door den Abt Des Fontaines gefchoten, af te keeren; dezelve hebben geen kracht als voor hun, welke de talenten niet onderzoeken kunnen. In der daad deeze fchryver heeft zonder twyffel de plunderaars (Compilatoris) dergrootfte Werken voor de grootfie Wiskundigen genomen; en naardien men in den bloei van zyne jaaren, of zonder een onvermoeiden arbeid, geen dikke boekdeelen gemaakt heeft, zo heeft hy daar uit befloten, dat de befcwaamfte Wiskundigen de oudfte of de arbeidzaamfte waren. Deeze misvatting is niet verfchoonlyk als in een Vreemdeling in de Wiskunde: indien de Abt Des Fontaines wat minder een Vreemdeling geweest ware, zou hy anders gedacht hebben. De Wiskundigen hebben altoos meer verftands befpeurd in eenige bladzyden van Fieta, Kepler, Copernicus, Tycbo Braté, dan in de wydloopige Schriften van Clavius, Renaldini, en Guarinit enz. Defcartes, nog in den bloei van zyne jaaren,



WISKUNDE. I. Deel I. Boek.
43
ren, onderwees alle de Wiskundigen van zynen tyd, door in 't licht te geeven zyne Meetkunde, een zeer kort gefchrift, 't welk, door de talryke ontdekkingen die hetzelve bevat, hedendaags het verzekerdfte deel van zynen roem uitmaakt. De verbaazende aanwas der Meetkunde, federt omtrent een eeuw, hebben wy bykans alleen aan jonge Wiskundigen te danken. De Heer De Fermat was zo weinig bejaard als Defcartes, toen hy met hem worftelde, en de gronden onzer Rekening van 't oneindige lag. Wallis was jong in den tyd toen hy zyne ontdekkingen op die van Defcartes en Fermat vestigde ; Newton, naauwlyks 23 jaaren bereikende, was reeds de eerfte Meetkundige van Europa, naardien hy in dien ouderdom veele van die verhevene Analytifche Leerwyzen, en onder anderen de gronden der Differentiaal- en Integraal-Rekeningen, ontdekt had. Weinig jaaren daar na ontleedde hy het licht, en verbreidde zyne geleerde Theorie in den ouderdom van 28 jaaren. Zyne onlterflyke Verhandeling der Grondbeginfelen van de natuurlyke Wysbegeerte, is ten deele een voortbrengfel van zyne jeugd. Hy bad van toen af het ontwerp van dat onmeetelyk en wonderbaar gebouw gemaakt; veele gemeene levens zouden ter naauwernood genoeg zyn, om de talryke bouwftolfen, welke hy daar toe gebruikte, en uit de fcherpzinniglte Meet- en Werktuigkunde ontleende , te verzaamelen en werkftellig te maaken. JNogthans had hy de he'ft van zynen levensloop niet bereikt, toen hy dat Werk, op de dringende begserte van 't gemeen, in 't licht gaf. Leibnitz de DifferentiaalRekening ontdekkende, en den Meetkundigen fchriftelyke uitdaagingen voorhoudende, of daaraan voldoende, was nog jong van jaaren, de groote geleerdheid van dien doorluchtigen man , in de Oudheden , in de Gefchiedkunde, in de Staatkunde en in de Rechtsgeleerdheid; zyn fmaak voor de fcherpzinnigfte Bovennatuurkunde, zyn by elk bekend. Zonder die onderfcheidene Werken, en welke hem geduurende zyn gantfche leven gelykelyk bezig hielden, is het te vermoeden, dat zyne jeugd, even als die van Newton, met de allervoortreffelykfte ontdekkingen zoude zyn getekend geworden. Wat zal ik zeggen van de twee vermaarde broeders, de
Hee-



44 HISTORIE der
i
Heeren Jacobus en Jan Bsmoulli, van den Marquis de L'Hópital, welke, de voetltappen van Leibnitz en Newton navolgende, na hen de bekwaamfte en jongfte Wiskundigen van Europa waren ? maar waarom zouden wy ïn de voorgaande eeuwe voorbeelden van dat verfchynfel, indien het 'er een is, zoeken? Wy hebben laatere voorbeelden, en die onder onze oogen zyn. De Heeren Clairaut en d'Alembert, beide nog [naamelyk in 't jaar 1758, toen de Autheur dit fchreel] in den bloei van hunne jaaren, zyn van hunne jeugd afin den rang der eerfte Meetkundigen geweest. Wy kunnen eindelyk nog zeggen, dat 'er hedendaags geen Wiskundige van aanzien is, die niet reeds in zyne eerfte jaaren, door eenig werk van vernuft, getoond heeft, wat hy reeds was, en wat hy eens zou zyn.
Laat ons dan uit deeze trekken, wier getal ik gemaklyk zoude hebben kunnen vermeerderen, befluiten, dat niets minder gegrond is, dan de eerfte befchuldigingvan den Abt Des Fontaines: in de tweede is geen meer rechtmaatigheid. Die Wiskundigen, welken men in onweetende en woeste eeuwen zag bioeijen, zyn zodanig niet als deeze berisper ons dezelve Zou willen vertoonen ; niet tegenftaande zy zeer weinig in getal waren, terwyl men van Schoolgeleerden als overladen was, niet tegenftaande de meefte zich met kracht tegen de kwaade fmaak, die in de Schooien heerschte, verzet hebben, kunnen echter de verftandigfté onder hen niet in vergelyking komen met de vernuften , welke Griekenland in zyne fchoone dagen voortbragt, en met hen, welke men federt de wederopkomft der Letteren in Europa heeft zien bioeijen. Bepaald tot de allereenvoudigfte kundigheden in alle foort, hielden zy als eene krachtdaadige werking des verftands Euclidss geheel te verftaan. De Meetkundigen van een verhevener verdienfte, Arcbimedes , Appollonius, waren hen naauwlyks in naam bekend. Maar laat ons voor een oogenblik toeftaan, dat die duiftere eeuwen uitmuntende Wiskundigen hebben voortgebragt, waarom zou de vruchtbaarheid der natuur, die van tyd tot tyd uitfteekende vernuften maakt, toen opgefchort hebben moeten zyn? Deeze mannen waren des te achtbaarder, om dat zy door de
neve.



WISKUNDE. I. Deel. I. Boik. 4S
nevelen van hunnen tyd hebben weeten heen te dringen; en niets zou roemwaardiger voor de Wiskunde zyn, als te zien dat de befte vernuften in alle eeuwen in dezelve zyn onderweezen geweeft: men zou daar uit mogen beilniten , dat niets bekwaamer is dan deeze Weetenfchap, om het verftand die kracht en fterkte by te zetten , die hetzelve over de hinderpaalen van de vooroordeelen en de onweetendheid doet zegepraalen. Daar benevens zal ik kunnen vraagen, in welke eeuw Homerus, Hefiodus, enz. geleefd hebben; is het niet in den tyd toen Griekenland nog zeer naby de woeftheid was ? Welke is de eeuw die Dante, Petrarebus, Dichters welke in veele opzichten achtbaar zyn, aan Italië gegeeven heeft, anders als eene onweetende eeuw? Hoe veel Dichters, waar van veelen niet zonder verdieefte zyn , hoe veel mannen , door eene gegronde Letterkunde achting waardig, heeft de zestiende eeuw, zo naby de duifternisfe en den bedorven fuiaak, overal zo weinig vruchtbaar in oorfprongkelyke Wiskun. digen, behalven in Italië, alwaar de Kunften en Letteren als om ftryd bloeiden, niet voortgebragt? Dus keert de tegenwerping van den Abt Des Fontaines tegen hem zeiven te rug, of liever zy bewyft niets Een minder partydig onderzoek zal doen zien, dat byna altoos de mannen, welke in de Letterkunde beroemd waren, en zy die het in de Wiskunde zyn geweest, ter zeiver tyd geleefd hebben. De bekwaame Wiskundigen, welke Italië ten tyde van de wederopkomst der Letteren in Europa voortbragt, waren tvdgenooten van Ariofte en Toffe. De zelfde eeuw aie aan Frankrvk Defcartes, Pafcal, Fermat, en den MarQms de IHopital gegeeven heeft , heeft ook Corneiüe, Molière, Hacine aan dat Rvk gegeeven; in Engeland hebben (Vallis, Newton, Halley met Milton, Addiiïon en Pope in de zelfde eeuw geleefd. - De Ouden, als redelyker zynde, erkenden, zo het fchynt deeze waarheid , wanneer zy de bediening om over de S'udie des hemels te heerfchen aan eene van hunne Zanggodinnen opdroegen. Naardien deeze ftudie het deel der Wiskunde is, dat door de edelheid van deszelfs onderwerp het meeft bekoort, was het
ook



46
HISTORIE der
ook dit deel dat zy het eerft in 't oog hadden, toen zy dat verbloemde wezen fchiepen; maar de hoedanig, heden, welken zy aan hetzelve toeeigenden, behooren tot de Wiskunde in 't algemeen: in der daad de Pasfer en Winkelhaak zyn de zinnebeelden der Meetkunde, en leeren ons dat zy uitgebreider oogmerken hadden , als in den eerften opflag blykt. Daar benevens is het eeniglyk door de wederzydfche hulp, die zy elkander verleenen, dat men tot de verheven kennisfe der verborgen oorzaaken en Wetten van 't geheel-al kan opklimmen ; dus behooren deeze allen noodwendig onder het getal van die, waar over deeze Godheid heerscht. De Zanggodin Urania is derhalve niet alleen zy , die den Sterrekundigen in den hamel geleidt , zy is het ook nog van welke den Meet- en Werktuigkundigen aangedreeven worden: deeze laatften hebben ook hunne plaats op den Zangberg, en in der daad, waarom zouden zy, die de geheimen der natuur met zo veel fchranderheid navorfchen, niet met hun, die haar met zo veel bevalligheden afmaaien, op denzelven klimmen?
Het is door een gevolg van deeze verbindtenis der Sterrekunde met de Dichtkunft, dat de oude Dichters dikwils in den mond van hunne Zangers onderwerpen gelegd hebben, welke van deeze Weetenfchap afhangen , als zynde de waardigfte om in de taal der Goden verkondigd te worden. Men hoore Firgilius aan het einde van het eerfte Boek der Eneïs.
Cytbard crinitus Jopas
Perfonat aurata docuit quce maximus Atlas. Plic canit errantem Lttnam , folifque labores, ArcïiiTum, pluviafque Hyadas, geminofque Triones, Quid tantum Oceano propsrent fe tingere foles Pliberni, nel quce tardis mora noftibus obfit.
Deeze Vorft der Dichteren betuigt zelfs de byzondere liefde, welke hy voor de natuurlyke Weetenfchap.



WISKUNDE. I. Deel. I. Boek. 47
fchappen en de Sterrekunde gevoelt, wanneer hy zich in zyne Landgedichten aldus uitdrukt. Qd),
Me ver'o primüm, dulces ante omnia, Mufce, Quarum facra fero ingenti perculfus amore , Accipiant, ccelique vias & Jidera monftrent; DefeSlus Jolt! varios, Lunceque labores. Unde tremor terris, qua vi maria alta tumefcant, Objicibus ruptis, rurfus que in fe ipfa refidant, Quid tantum oceano proper ent, &c.
Ik kan mede doen gelden het getuigenis van Cicero, niet van Cicero den Redenaar , die de loffpraak zyner kunst'met uitfluiting van alle andere maakte, maar van Cicero den Wysgeer , die da Weetenfchappen met de Schaal der reden waardeerde. Welken lof geeft hy niet aan de Natuur- en Wiskunde? fj?) Quid dulcius otio Utterato; iis dico litteris, quibus infinitatem rerum ac naturce, G? in boe ipfo mundo, coelum, maria, terras, cognoftimus. Hy doet een gedeelte der wysheid beftaan in de befchouwing en de verklaaring van deeze wonderen; hy roept uit (ƒ), welke rykdommen , welke kroonen kunnen hooger geacht worden dan de vermaaken, welke eenen Pytbagoras , eenen Democritus, eenen Anaxagoras gevoelden ! Welk bahaagen fchept niet een Wyze in de befchouwing van het verbaazend Schouwtooneel van dit geheel-al! Elders (g) fchroomt hy niet het vernuft van Arcbimedes goddelyk te noemen, als hebbende in een broos Werktuig dat heerlyk werk weeten na te bootfen; en de fchranderheid der Sterrekundigen komt hem zodanig te vooren, dat hy een zyner voornaamfte bewyzen van de beftaanlykheid eener ziel, gedeelte of beeld der Godheid, daar uit afleidt.
IX.
00 I-ib. II. v. 474. O) Tulcul. quali. lib. V. verf. fin. (ƒ) Ibid. lib. V. verf. med. (g) Ibid. lib. I. verf. med.



48
HISTORIE dek
IX.
My blyft nog overig de nuttigheid, welke de Studie der Wiskunde vergezeld (ö), te doen zien. Ik bepaal
my
Verfcheide Schryvers, met een ongegronden yver voor de Wiskunde bezield, hebben de nuttigheden derzelve, op eene zeer beuzelachtige wyze, in top gevyzeld. Wy hebben noodig gedacht daar van te fpreeken, al ware het alleen om dezelve te loochenen, en de befpottelykheid, welke zo weinig vei Handige voorwendingen, wanneer ze niet tegengefproken werden, over deeze achtingwaardige Weetenfchap zouden verfpreiden , van dezelve af te keeren. De V. Merfenne (Harm. univ, torn. 2. liv. VIII. Syn. Matb. Préf. §. 13.) maakt geen zwaarigheid den Redenaars te noodigen , om hunne redenvoeringen met voorbeelden en texten, uit de Wiskunde ontleend, te verfieren. De Kegelfneeden fchynen hem zelfs de fraaifre onderwerpen van vergelyking ten gebruike voor den kanfel te verfchafFen. Anderen hebben op Vraagftukken over de Godgeleerdheid, de Bovennatuurkunde en de Zedeleer belagchelyke toepa«;fingen der Wiskundige Waarheden gemaakt. De Pythagoriften toonden daar van oudtyds het voorbeeld, door de zenuwlooze zinfpeelingen, welke zy in de gamfche natuur met de figuren en de getallen vonden; maar men vindt laatere Schryvers, die zodanig boveu deeze ydele berfenfchiramen uitgemunt hebben, dat 'er geen Pytbrtgorift is geweest, die niet voor hun zou geweeken hebben : het is eene eere , die bovenal verdiend zoude hebben J. Caramuel de Lobkowitz , Schryver van het boek, dat tot tytel voert: Matbefis auiax, rationa/is, naturalh, fupernaturalis, &c. Lov. 1644. 410. Alles dat in de Bovennatuurkunde diepzinnig, in den geöpenbaarden Godsdiend onbegrypelyk is, wordt door Wiskundige redenen, wier loepasfing de allerbelagchelykfte is, in hetzelve verklaard en ontdekt. Men onderzoekt in hetzelve, of God Engelen heeft kunnen fcheppen, wier trap van volmaaktheid oiiiifmeerelyk was; men overweegt vervolgeni of, door de wegvoering van Paulm, de beweeging der Aarde mogelyk is; welk foort van Driehoek de Drieëenhcid uitmaakt, enz Caramuel heeft navolgers gehad in een zekeren Micbiel Bcns, Schryver 'van een Hoogduitsch boek, welks tytel my vergeeten is; in Casparus icbtxidt, die nog daar benevens de geheele Godsdienft, haare voorfciiriften en geheimen in de Wis.
knnde



WISKUNDE. I. Deel. I. Boek.
49
my hier tot de voornaamfte nuttigheden, welke men uit dezelve kan trekken; want wat belangt de voordee-
len,
kunde gevonden heeft: zyn werk, met recht eene aanëenfchakeling van zinneloosheden , voert tot tytel '.Aftrohgia Cathetica.
Fosfius geeft geen groote blyken van een goed oordeel in zyn boek De Scientiis Matbematicis, e. 7. wanneer hy de nuitig. heid der Wiskunde onderzoekt. Hy vindt dezelve goed voor alles, voor de Dichtkunft, voor de Spraafckunfl, voorde huis. houding , voor de Godgeleerdheid, enz. men zou bezwaarlyk de redenen, welke hy daar voor bybrengt, kunnen gisfen. De Kunft der faamenvoegtngen (Combinatie-nes) , zegt hy, zal den Dichter leeren, dat het Vers rex, lex, jol. dux, fins, lux, mom, fpes, pax, petra , Cbriftus, op 3628800 wyzen kan verfchikt worden. De Taalkenner zal weeten, dat een boekdeel, zo dik als het oude beroemde Woordenboek in elf taaien van Calepimis, naauwlyks genoeg zou zyn, om alle de verfchillende woerden , welke men van zestien letteren kan maaken, te bevatten. De huishouder zal uit de Wiskunde leeren , dat één erwt in twaalf jaaren een zo talryk nagedacht zou kunnen voortbrengen ; dat de prys van hetzelve, zelfs goedkoop zynde,meerdan iboooooooocoo Kroonen zoude beloopen; maar de goede Foifius was in de eerfte beginfelen van den Koophandel onkundig: want zulke ongemeen overvloedige eetwaaren zouden geen prys meer hebben. De Godgeleerde eindelyk za! inde Wiskunde redenen vinden, om de ongeruflheid van hen die vreezen mogten , dat'er voor hun geen plaats in het Paradys was, te doen bedaaren; de Wiskunde, zegt hy, zal hem leeren, dat wanneer zelfs de Waereld 12000 jaaren zou ftaan, en dat 'er 20 duizend millioenen menfehen zouden zalig worden, de hemel nog groot genoeg is, op dat God aan elk van hun zo veel ruimte kan toeleggen, ais verfcheide Koningryken op de Aarde bevatten.
Wy zyn ook onze aanmerkingen fchuldig aan verfcheide boeken, welke door lieden van weinig fchranderheid in 't licht ge. geeven zyn, met oogmerk om te toonen welke ophelderingen de Wiskunde ons aan de hand geeft, om de gewyde Boeken te vet ftaan. Deeze zyn de Tytels derzelve: Andrea; Arnoidi, Ma. tbefisSacra, 1676. 40. Altorf. Sam. Reyheri, Matbefis me. faïca, 1679. Krift. Sturmii, Matb. ad S. Script, interp. ap. plicata. Norimb. 1710. Wideburgi , fpecimina Mathefeos bi. Mica',]. Schmidt, Matbefis biblica,mB". 1736.in't Hoogd. Men kan niet loochenen, dat eenige kennis der rekening en Meetkunde nuttig zy, om zekere voor villen, in de H. Schrift uitgedrukt, te D ver-



50 HISTORIE der
len, die zy aan het verftand kan toebrengen, daar van is boven reeds gefproken; en het zou, zo als de Heer
Loc*
veiklaaren; maar het is de uiterfte domheid, dat men, zo als de Schryvers waar van wy komen te fpreeken doen, eene meenigte beuzelachtige vraagtlukken verzaamelt, om de allereenvoudigfte beginfelen der Reken- en Meetkunde op dezelve toe te paafen ; want zodanig moet geoordeeld worden over de meefte vraagftukken, welke in die Boeken voorkomen, als de berekening van fcet ftof, waar van Genef. XIII. 16 gefproken wordt, die van de lengte van Goliath, de gewigtige berekening der zwaarte van Mfaloms hair, van de kroon van den Koning der Ammoniten, enz. Fosfius heeft niet nagelaaten eenigen der beuzelachtigfte vraagftukken uit dezelve te ontIeenen,om den Godgeleerden tot de ftudie der Wiskunde aan te moedigen.
Onder de misbruiken van deeze Weetenfchap behoort men nog te rekenen, de toepa>fing derzelve, welke men op de Bovenratuurkunde en de Geneeskunft getracht heeft te maaken;'er zyn Schryvers, die zich verbeeld hebben, dat als zy hunne droomen by wyze van Theorema, Problema, en Corol/aria gefchikt hadden , dezelve daar door tot den rang der Wiskundige waarheden verheven waren: men heeft in deeze laatfte tyden verfcheide Werken in 't licht zien komen, waar In de betwiftelykHeBovennatuurkunde op de wyze der Meetkundigen verhandeld werdt, en wier Schryvers, na veel quod erat demonflrandum, Scbolia en Corol/aria op een geftapeld te hebben,ter goeder trouw geloofden, dat zy hunne gevoelens de zekerheid van e:n Meetkundig Theorema byg'ezet hadden. Het is geenzins, zeggen wy hier, van de fchikking haarer redeneeringen dat de Wiskunde de zekerheid af. leidt, welke haar van andere Weetenfchappen doet onderfcheiden; zy is dezrive alleen verfchuldigd aan de eenvoudigheid en de klaarblyklykhéid van haare grpndbegiiifelen, aan de lichtverlpreidende en onbetwidbaare aaneenfchakeling, welketusfchen de Voordellen, die zy het een uit het ander afleidt, ftandvasug heeifcht. Een Schryver (de llr. P. de Creza) fchynt zich voorgedekt te hebben, om dit verplaaifte gebruik der Meetkundige fchikking befpotielyk te maaken, in eene Verhandeling over de geedelyke natuur en de onfteiflykheid der Ziele; hy doet in hetzelve gantfch klugtige redeneeringen, altoos met den flyl der Meetkundigen bekleed, welke eene weezeniyke befchimpingzyn der Bovennatuurkundigen, waar van wy gefproken hebben. Dewyl my voorts dit Werk niet anders als door aanhaalingen bekend is, weet ik uiet of de Schryver van hetzelve ook niet de Wis-
kun-



WISKUNDE. I. Deel. t Boek. 51
Locke zegt, te wenfehen zyn, dat allen, die gefchikt zyn om van hun oordeel gebruik te maaken, dezelve
ge*
kunde hoeft willen aanranden: in dat geval zou hy zelf eene groote zwakheid van geeft getoond hebben.
De Geneeskunft zou ons veelvuldige voorbeelden van het misbruik der Wiskunde verfchaffen, indien wy ons wilden ophouden om die alle weder op te haaien. Men kan, wel is waar, niet loochenen, dat zy dienftig is, om van zekere Mechanifche uitwerkfelen , welke in het menfchelyk lighaam voorvallen , ten naafte by eenige reden te geeven: het Boek van Borclli, De metu animalium, is om die reden een zeer geacht Werk; doch zich te laaten voorfiaan, om de Rekening en de Analy/is op de faamengeftelde beweegingen der vogten en vafte deeltjes in dit Werktuig, het rneeft faamengeftelde van allen, toe te pasfen, is eene onderneeming,die wy belagchelyk durven te verklaaren. Ik kan niet beter doen als dezulken tenoodigen, om één der Blieven van den Heer Maupertuis, naamelyk de XlVde, te leezen. Het is vermaaklyk, ten minften in de oogen der Wiskun* digen, zekere Phyfiologiften, met eenige pennetrekken, Proble. mata te zien oplosfen , welker ontbinding de uitfteekendfle Meetkundige - Mechanicus niet zoude durven onderneernen. De Dijfertatie van den l ieer Bernoulli, De motu mufcuhrum ,moet flegts aangemerkt worden als een vernuftig proefftuk van zyne krachten, over een onderftellig Problema, waar van de Oplosfing aan duizend onaftandigheden verbonden is. Zie hier detytels van eenige Genees-Wiskundige boeken: N. Stroem. ratioc. Mechanic.in medicina ufus vindicalus,L> Bat. 1707. in* 8°. N. Gaukes ,DeMed. ad Matb, certitud. evebendd. 1712.;«-8°. Archibaldi Pitcamii, Elementa Medicina Phyfico - Matb. Lond. 1717. in.8°. Niemand heeft, myns bedunkens, de Wiskunde meer misbruikt als deeze Geneesheer: hy zegt, 't welk zeer belagchelyk is, met behulp derzelve de handelwyze te hebben gevonden, om de duizelingen tegeneezen; en hy dorft zich dit Problema voordellen, eene ziekt* gegeeven zynde, het hulpmid. del daar voor te vinden. Waarfchynlyk lofta Pitcam het kwalyk op; want in weérwil van zyne Oplosfing is het maar al te waar, dat de Kunft, zelfs in de bekendfte ziektens,dagelyksgebreklyk bevonden wordt. Het zou waarlyk iets byzonders zyn te weeten, of deeze vermetele Geneesheer in de behandeling van zyne Zieken beter Haagde, dan zy die minder beloofden.
De Rechtsgeleerdheid verfchaft fumtyds vraagftukken, welke een zekere bedreevenheid in de Rekenkunde, en eenige kundigD 2 h«<



52
HISTORIE der
geleerd hadden: men zou dan minder voorbaarïge gevolgtrekkingen, minder flegte redeneeringen, als bewyzen aangepreezen 5 eindelyk minder perfoonen , door eene uiterlyke fchyn van waarheid bedrogen, zien; maar wy hebben reeds breedvoerig genoeg over dat fr.uk gehandeld, en daarom zal het hier genoeg zyn, hetzelve nog eens kortelyk te herinneren.
Men kan zich aanftonds niet onthouden de noodzaakelykheid der Meet- en Rekenkunde in de maatfchappy, en in een oneindig .getal Huishoudelyke, Gerecbtszaakelyke en andere gevallen, eindelyk in alles waartoe rekening en vergelyking van grootheden noodig is, te erkennen. In de meefte zyn , wel is waar, flegts eenvoudige kundigheden deezer Weetenfchappen noodig, en fomtyds is dat gedeelte derzelven, 't welk de natuur
aan
beden der Meetkunde vereisfchen. Dit heeft tot de volgende Werken aanleiding gegeeven : N. Vogt, Arithm. jnridica. N. Polackii, Matbeps foren/is. Indien deeze werken met dat inzicht gemaakt zyn, om den Rechtsgeleerden in het verhandelen van deeze vraagftukken te hulp te komen, dan is de beweegoorzaak lofwaardig;maar indien de Schryvers derzelven ten doelwit gehad hebben, om de Wiskunde een algemeen aanzien door dezelve te bezorgen, indien hun oogmerk geweeft is, dezelve op duizend beuzelachtige Vraagftukken, die van naby of van verre aan de Rechtsgeleerdheid verhouden zyn, toe te pasfen5 zo plaatfen wy dezelve nevens de Mathefisbiblica, mofaïca, enz.
Een Meetkundige (de Graaf van Ilcrbeflein') heeft eene Disfertalie uitgegeeven onder deezen Tytel; An Studium Geome. ttia, rempublicam adminiftranti adr.üniculo fit, an ob/laculo. (te Praag gedrukt). Dat is te zeggen: Is de Studie der Meet. kunde nuttig of nadeelig voor een Staats-dienaar? My is onbewuit hoe hy de Vraag oploft; ik gis nogthans dat hy befluit, dat de hooge Overheden voortaan hunne Raadsheeren niet als onder de Meetkundigen behooren te kiezen; zulks mag men met recht verwachten van een Land en tyd, welke zo veel beuzel, achtige Werken over de nuttigheid der Wiskunde voortgebragt hebben. Wat ons betreft, wy denken dat vernuft en liefde voor het algemeen welvaaren beter zyn, om het roer van een Staat te houden, dau de verhevenfle kennisfen der Meetkuade.



WISKUNDE, I. Deel. I. Boek. 53
aan alle menfehen verleend heeft, toereikende • maar daar zyn zwaarwigtiger gevallen, welke een grondiger Analyjis vereisichen: het is van belang voor een Staat yoor een Gemeenfchap, die zich tot het betaalen van Lyf renten verbindt, fomtyds onder zeer faamengeftelde voorwaarden , die zekere fpellen, als de Loteryen, wel. ke alleen door het geval beftierd worden , toeftaat of aanzien geeft, de voor-en nadoelen derzelve te weeten en eene zekere gelykheid daar in te houden. Deeze zvn Vraagftukken , waar over altoos met de Wiskundigen geraadpleegd is, en de bloote befchouwing der verhevene boeken, over die ftoflèn gemaakt, leert ons dat ze met tot den kring der Rekenkunde, noch zelfs tot de gemeene Anahfis, behooren.
Het is door de Mechanica en de kunftige faamenvoeging van haare verfchillende krachten, dat de fneedigheid der menfehen het zo ver gebragt heeft, om lasten, zo verre boven onze krachten, te verzetten en te vervoeren; om het water tot eene beweegende oorzaak aan eene meemgte Werktuigen te doen dienen, om het op den top der bergen te brengen, ten einde hetzelve naderhand voor ons vermaak uit te ftorten. Arcbimedes verdeedigde lang zyn Vaderland door zyne vindingen en byna alle de Werktuigen, welkende Ouden in den oorlog gebruikten zyn in tyden, toen de Wiskunde in Griekenland zeer bloeijende was , uitgevonden of tot meerder volkomenheid gebragt: hetgeen een foort van bewys is, dat zy op de volmaaktheid van dat deel der Krygskunde veel invloed had.
De voordeden der Sterrekunde zullen niet betwift worden door hun, welke de volgende ftukken in overweeging neemen: 't is aan het lot der Sterrekunde, dac het lot der Aardrykskunde , Zeevaart en Tydrekenkun de verbonden is. Men zal zonder t wyffel toe ftaan dat het den menfeh van eenig aanbelang is de gedaante! ae grootheid de naauwkeurige ligging der verfcheide plaacfen yan den kloot, dien hy bewoont, te kennenhoe zoude hy zonder het behulp der Sterrekunde daar toe gekomen zyn? De naauwkeurigfie Reisbefchryvingen zyn middelen, waar op, zo als ügteiyk te bevroeden is, weinig ftaat gemaakt kan worden, ten minften D 3 in



54
HISTORIE der
in zo verre, om daar uit de ligging van ver van elkan-, der gelegen plaatfen valt te ftellen. Daar beneyens, in hoe weinig gevallen is het mogelyk deeze handèlwyzete gebruiken? Indien deeze de eenige handelwyze was, zoude men alsnog de naauwe paaien der plaatfen, welke ons van nader by omringen, over te treeden hebben. Door het behulp der Sterrekunde zyn de afeelegenfte Landftreeken , ondanks de onbevaarbaare Zeeën , de Woeftynen en de wilde Volkeren, welke dezelven verdeden , in een foort van onderhandeling, waar van de hemel de eenige middelaar is.
De Koophandel, die bronader van den rykdom en de magt der Staaten , is de uitgebreidheid, welke dezelve nu ter tyd heeft, eenigermaate aan de Wiskunde verfchuldigd. In der daad, zy heeft meer deel als men ge. meenlyk gelooft, aan de ontdekking van die Landen, waar uit wy zo veel rykdommen bekomen. Toen de Infant Don Jan van Portugal, die de voornaamfte bevorderaar van de ontdekking der Indiën was, dit ontwerp ter uitvoer bragt, gebruikte hy Wiskundigen, die aan hem verbonden waren, om Werktuigen uit te vinden, om bekwaame handehvyzen, door welke men een Schip in Zee konde beftuuren, te verzinnen; het was ten deele door deeze middelen, dat hy mannen noopte in zyne oogmerken te ireeden, en hen tegen de gevaaren eener onbekende Zee verzekerde: zodanig was de eerfte oorfprong van onze Sterrekunde ter Zee, Deeze, in de Wiskunde, geleerde Vorft zelf was de uitvinder der Kaarten, welke men in deeze Scheepvaart gebruikte, en waarfchynlyk zou eene zo grootfche onderneei ming, zonder die omftandigheden , nog lang gedraald hebben, of mogelyk ter naauwer nood uitgevoerd zyn geworden. Colombus befloot door Natuur- en Wiskundige redenen , of de weezenlykheid van een nieuw Vaft-, land ten Wellen van Europa, of die van een gemaklyker en korter weg naar Ooft Indiën; en zo het waar is, gelyk men verhaalt, dat hy den Bewoonders van Ja*. 7na\'ca eene Eclips voorzeide, moeft hy veel verhevener kundigheden voor zynen tyd gehad hebben.
Indien men zich hedendaags, met zo veel zekerheid an weetenfchap, midden door de Zee een weg baant,
H



WISKUNDE. I. Deel I. Boek. 55
ismen zulks verfchuldigd aan de Wiskunde , die de middelen daar toe aan de hand gegeeven heeft. Het is aan Mercator, Aardryksbefchryver en Sterrekundige der Nederlanden, dat men de uitvinding der Kaarten van wasfende Breedte, de befte naar het oordeel der verftandige Zeelieden, te danken heeft," zonder twyffel zullen zy eens de uiterfte volmaaktheid van hunne kunft den Sterrekundigen verfchuldigd zyn, wanneer de beweeging der Maan bekend genoeg zal zyn, om op elk oogenblik haare plaats met naauwkeurigheid te kunnen bepaalen.
De bekwaame Tydrekenaars hebben van de Hemelverfchynfelen altoos een der middelen gemaakt, om de dagtekening van zekere grondftellige tydmerken te ftaaven; men vindt in de tyden der oude Volkeren geen orde, wegens de onweetendheid waar in zy, ten aanzien der hemelfche omloops-tyden, waren. De zekere gefchiedenis, welke de gebeurtenisfen op haare weezenlyke plaats brengt, neemc geen aanvang als met de Sterrekunde. Eene fchikking van een wel geregeld jaar, en zodanig als hetzelve voor redelyke en wel b.'ftierde Volkeren voegt, fchynt hetmeefterftuk van deeze Weetenfchap te zyn. Wat al moeite hebben de oude Grieken, de Perfiaanen, de hedendaagfche Europiërs niet aangewend, om hunnen Almanak eene ftandvaftige en volmaakte fchikking by te zetten, en zy zyn daar toe niet nader gekomen, als naar maate de Studie des hemels meerder by hen is aangekweekt geworden. Behoore ik te vergeeten, dat wy eeniglyk aan deeze S uiie verfchuldigd zyn, het ophouden van die voor de menfehelyke reden zo onteerende verfchrikkingen, waar van eertyds de Volkeren, by het zien van weinig gewooneVerfchynfelen, bevangen werden? Men herinnert zich niet dan met deernis het ftaaltje van dien onnozelen Vorft, die by de befchouwing eener Zons-verduiftering zyn zoon, als op een dag van ongeluk, het hair liet affnyden. De onweetendheid van Nicias , die de Scheeps. vloot der Atheners in den oorlog van Sicilië geboodt, was de oorzaak van het ongelukkig verlies, 'twelk zy aldaar ondergingen; door eene Verduiftering verfchrikt, dorft Nicias, toen het tyd was, niet onder zeil gaan, om het beleg van Syracufa op te breeken; des anderen D 4 daags



jö HISTORIE der
daags de wind hem tegengeloopen zynde, belette hem zulks te vertrekken, waar door hy met zyn geheele Vloot gevangen genomen werdr. Het is nog niet lang kleden , dat de verfchyning van een Comeethet Vo'k eene bygelcovige fchrik inboezemde; de Sterrekunde alleen heeft dezelve kunnen doen bedaaren, door de oorzaaken van dat verfchynfel aan den dag te brengen. Het is ook de aanzienlyke aanwas der Sterrekunde, waar ran wy het verval der Sterre-Voorzegkunde te danken hebben: deeze bedrieglyke kunft, gebooren uit het misbruik der Sterrekunde , nog in haare opkomft zynde heeft haar aanzien verloren, of wordt niet meer in achting gehouden, als by eenige domme verftanden, federt dat de Sterrekunde uit den band gefprongen is , en nader tot de volmaaktheid komt. Uit alle de Sterrekundige kenmsfen vloeit eindelyk een groot licht voor het algemeen Stelfel van 't geheel-al, een voorwerp, voorzeker waardig om de verftandige Wezens, welke dat verwondenngswaardig Schouwfpel genieten, bezig te houden: aldus zullen zonder twyffel diegeenen denken welke de oogen niet eeniglyk naar de Aarde gekeerd hebben, en aan deeze fraaije .Verfen van Ovidius zuilen gedachtig zyn;
Pronaque cum fpeftent animalia ccetera tsrram Os bomini Jublinie dedit, ccelumque tueri JuQit, & ereftos ad fidera tollere <óultus.
X.
Wy zouden tot eene te groote en onnuttige wydluftisheid moeten overgaan, indien wy ons met deeze byzonderheid wilden verbinden, om het gebruik der overige deelen van de gemengde Wiskunde te toonen; v?n de meefte vertoont zich dit gebruik genoegzaam van zeivp, om my te bevryden van daar by ftil te ftaan: ik bepaale my derhalve tot eenige over'weegingen, belangende de Meetkundige befchouwingen van een zekeren rang, waar van men naar het oogmerk en de nuttigheid kan vraagen. Hier moeten wy bekennen, dat onder dezelve



WISKUNDE. L Deel. I Boek. $7
zelve een groot getal gevonden wordt,welke flegts verftandige weetgierigheden zyn, en geen nuttigheid van eenig belang aanbieden; maar als men met opmerking gadeflaat, dat zy de eenige onbetwiftbaare en onvervalfchte waarheden zyn, waar van het menfchelyk verftand, van zyn eigen oordeel geholpen , zich heeft kunnen verzekeren, zal men nalaaten het verwyt van beuzelachtigheid, dat zy fchynen te verdienen, tegen dezelve in te brengen. In der daad, naardien de menfch uit twee deelen is faamengefteld , het een geeftelyk, welks natuur is te denken , en de eigenfchappen der voorwerpen grondig te onderzoeken; het ander lighaamlyk, gefchikt om die zelfde voorwerpen gewaar te worden en te genieten , moet men toeftaan , dat zo men hunne gewaarwordelyke eigenfchappen moer leeren kennen, met inzicht om dezelve ten voordeele van het ftoffelyk deel aan te wenden, die voorwerpen , welke eeniglyk verftandig zyn, op eenebyzondere wyze met het verftandig deel overeenkomen. Ten anderen, waar toe zouden de menfehelyke kennisfen gebragt worden, indien men alle die kundigheden, waar uit geen ftoffelyk voordeel te trekken is, verbande? Welhaaft zou de on_ weetendheid de overhand neemen, en alle de ongelukken der onbefchaafdfte en woefte eeuwen te rug doen keeren.
Ik zoude nog kunnen aanmerken , dat deeze enkel Theoretifche waarheden, wier nuttigheid weinig fchynbaaris, misfehien niet nalaaten eene nuttigheid te hebben, welke de toekomende eeuwen zullen ontdekken; maar ik moet voornaamelyk aanmerken, dat veele van die waarheden, welke uit haar zeiven,naar hetfchynt, onnuttig zyn, als tot trappen en fteliaadjen dienen, om tot andere , die zeer gewigtig zyn , op te klimmen. Wat al toeftel van Meetkunde vereisfehen niet zekere Mecbarrifche en Sterrekundige Vraagftukken ï Een zodanig is onder de laatfte dat van de beweeging der Maan, van weiks oplosfing, zo als te vermoeden is, men het uierbaar voordeel van een Volkomen Zeevaart zal genieten. Het lot der gemengde Wiskunde is noodwendig aan dat van de afgetrokkene Wiskunde gebonden; alle de waarin 5 heden,



58 HISTORIE der W I S K. &c.
heden, welke in de laatfte geleerd worden, hebben derhalve deel aan het belang der eerfte.
Ik eindige met eene overweeging: Een Wysgeer vraagde eens, waar mede de menfehen zich onledig zouden houden, indien zy vry waren van de hartstogten, welke hun beroeren, en ontflagen van de onderfcheidene behoeftens, waar aan hunne natuur hen onderwerpt? Het is niet twyffelachtig, dat de liefde en nafpooring der waarheid, de befchouwing van de verfchynfelen der natuur, en de volbrenging van hunne pligten jegens de oorzaak van hun wezen , eeniglyk de bezigheden van een even geruft en gelukkig leven zouden zyn. Wel nu! deeze zo edele voorwerpen, naardien zy de eenige bezigheden van een volmaakt fchepfel zyn , deeze voorwerpen, zeg ik, zyn die van den Wiskundigen. De nafpooring der verftandige waarheden , haare toepasfing op de verfchynfelen van 't geheel-al, maakt dat deel der Wiskunde uit, dat zich niet beroemen kan aan eenige lighaamlyke nooddruft te voldoen, van eenigen rykdom in onze havens te brengen, of den menfehen eenig wapen in handen te geeven, om elkander wederzyds te befchadigen.
Felices anima quibus bac eognofcere primis, Atque domos fuperas fcandere cura fuit.
Credibile eft Mos pariter, vitiifque jocifque Altius humanis, extruijfe caput. ' Admovere oculis diftanlia fidera noftris , JEtheraque ingenio fuppofuere fuo.
&c.
* Ovid. i. Faft. V. 257. & feq.
Einde van het eerfte Boek.
KIS-



HISTORIE
DER
WISKUNDE.
EERSTE DEEL.
Bevattende de Hiftorie der Wiskunde, van haaren oor-, Jprong af tot de venvoefting van het Griekjche Ryk.
TWEEDE BOEK.
Oorfprong vsn de verfcheidcn takken der Wiskunde * en haare gefchiedenis by de oudfte Volkeren der Waereld.
KORTE INHOUD.
I. Onzekerheid waar in men over den oorfprong van de meejle Weetenfchappen is. II. Opkomjl der Rekenkunde. Van waar het komt, dat wy met Leden van tien tellen; fchikking der Rekenkunde van de Grieken en Ooflerfche Volkeren. 111. Oorfprong welke men aan de Meetkunde beeft toegefcbreeven. Onderzoek der redenen op welken men deezen oorfprong veftigt. Gisfing over de vorderingen welke de Egyptenaars in dezelve gemaakt hadden. IV. Oorfprong <éer Sterrekunde. V. Tekenen welke ons van de Cbaldeeuwfcbe Sterrekunde overig zyn. VI. Gisfingen over die der Egyptenaar en. VU. Waar in de Griekjche Sterrekunde vóór den tyd der Wysgeeren beftondt. Verdeeling van den Zodiak en den Hemel in Gejterntens. VIII. Onderzoek van verfcbeiden Stelfels, by gelegenheid van deeze verdeeling.
IX.



60
HISTORIE der
IX. Befcbryving der oude Perfiaanfcbe, Egyptifcbe en In. diaanfche Spbeeren. X. Vinding en bevordering der Zeevaart by de Ouden. XI. OpkomJI van de andere deelen der Wiskunde.
I.
De Geschiedenis der Weetenfchappen heeft, even als die der Ryken, haare beginfeien met duifter. bis en onzekerheid omwonden; de eerfte flappen van het menfchelyk verftand, zwak en duifter zynde, moeten den aandacht van hen, welke getuigen daar van waren zo weinig opgewekt hebben, dat men zich niet behoert te verwonderen, dat het fpoor derzelven byna geheel is uitgewifcht: by deeze reden voegt zich ten onzen op. zichte die van de verwydering der tyden, waar toe dezelve behooren. Indien de Staatkundige Hiftorie, die altocs met de meefte vlyttot het nageflacht werdt over. gebragt, ons boven zekere tydbeurten ontbreekt, mag men met reden ftaat maaken, om die der Weetenfchappen en Kunften byna altoos te zien verwaarloosd en m de verdichtfelen of gisfingen verloren gaan; want de meefte der fchetfen, welke men over dit onderwerp verfpreid vindt, moeten weinig anders befchouwd worden In deeze omftandigheden beftaat de pljgt eens Hiftorie. Schryvers daar in, dat hy weete de getuigenisfen te waardeeren, en te onderkennen wat het indrukfel van de ligtgeloovigheid of de onweetendheid, of van hetgeen op vafte gronden geveftigd fchynt , draagt- wy hebben getracht deeze voorwerpen te volbrengen, 'i aat ons beginnen met de Rekenkunde: men verhaalt'haare opkomft op de volgende wyze,
I I.
De Pheniciërs, hebben fommigen gezegd, waren de eerfte en bekwaamfte Kooplieden van het geheel-aj • maar de Rekenkunde is nergens nuttiger en noodzaakelyker als in den Koophandel ; dus hebben die volkeren ook de eerfte Rekenkunftenaars moeten zyn,
Strabs



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 6ï
Strabo (a) geeft ons dit gevoelen op, als in zynen tyd geloofd zynde; en zelfs, zo wy eenen Hiltorie-Schry. ver daar in gelooven, fchreef Pbosnix, zoon van Aee. nor, het eerll eene Rekenkunde in de Pheniciaanfctie taal. Van een anderen kant beroemde zich Egypte van de bakermat dcezer kunft geweeft te zyn; (c) en naardien eene menfehelyke bevatting voor eene zo nuttige uitvinding naauwlyks genoegzaam fcheen te zyn , bedacht men dit godvruchtig verdichtfel, dat eene Godheid de uitvinder van dezelve was, en ze den menfehen had medegedeeld, (d) Het was ten minften het algemeen gevoelen , volgens Socrates of Plato (e), dat Tbeut de uitvinder van de getallen, de Rekening en de Meetkunde was; en het is zeer waarfchynlyk, dat de Grieken daar uit het denkbeeld ontleend hebben, van aan hunnen Mercurius, met wien de Egyptifche Tbeut of Hermes eene kenlyke overeenkomft heeft , het opperbewind over den Koophandel en de Rekenkunde te geeven.
Maar ik zal op deeze verdichte of gewaagde voorvallen niet langer aandringen; wanneer men den oorfprong van onze kundigheden eenigermaate op eene Philofoophifche wyze navorfcht, zal men zien, dat de Rekenkunde alle de andere Weetenfchappen heeft moeten voorgaan. De eerfte welbeftierde maatlchappyën konden dezelve niet ontbeeren ; want het is genoeg iets te bezitten, om verpligt te zyn van de getallen gebruik te maaken, en wanneer zelfs de eerfte menfehen flegts de dagen, de jaaren , hunnen ouderdom , hunne kudden geteld hadden, was zulks genoeg om te zeggen,datzv in 't bezit der Rekenkunde waren. Het is waar dat de ryklte maatfchappyën, of de zulke welke den grootften Handel dreeven , de paaien van deeze natuurlyke Rekenkunde hebben kunnen uitzetten, door mogeiyk tekens of korte handelwyzen uit te denken, om het verftand
in
Ca) Oeograpb. lib. XVII.
(J>) Cedren'us, p. 19. edit Par.
(c) Diog. Lae'r. in proëmio.
(d) In Pbadro. p. 124.0. ed. 1.602, (O Ibid.



Cit HISTORIE der
in de berekeningen, welke eenigzins ingewikkeld zyn , te verligten : en in deezen zin heeft Strabo niets ge* zegd , dat niet met de reden overeenkomflig is. Wat aangaat het verhaal van Jofepbus (ƒ), die ons Abraham als de oudfte Rekenkundige opgeeft, en hem den Egyptenaarende eerfte beginfelen der Rekenkunde doet 011derwyzen, het is gemaklyk te zien, dat deeze HiftorieSchryver den eerften vader van zyn geflacht heeft willen optooijen met eenige der kundigheden , welke hy zag dat by de Vreemdelingen in achting waren. Die is 'een van die ftaaltjes, welke geen ingang kunnen vinden als by een Verzamelaar (Compilator'), die van oor» deelkunde -en redeneering ontbloot is.
Wanneer wy dus tot de oudfte fpooren der Rekenkunde opklimmen, moet onze eerfte aandacht natuurlyk geveftigd zyn op de verbaazende overeenkomft van alle menfehen, om het zelfde opftel van telling (numeratio') te verkiezen. In der daad, indien wy de oude Chineezen , en een ander Volk, waar van Ariftoteles fpreekt, hier van uitzonderen, fchynen alle de andere Volkeren, welke ons bekend zyn, overeengekomen te zyn, om den tienvoudigen voortgang te verkiezen; ik wil zeggen, dat zy, na dat zy tot tien geteld hadden, weder begonnen zyn , zeggende , de waarde van 10 meer i, meer 2, enz. (want elf en twaalf zyn niets anders) tot 10 meer 10, of tweemaal »o , of twintig; alsdan vervolgende met tweemaal 10 meer 1, meer 2 , of een- en twintig, twee- en twintig, enz. hebben zy desgelyks aan het derde, aan het vierde , enz. tot aan het tiende tiental met dén begonnen; van welk tiende tiental zy een verfchillend foort, als honderd, gemaakt hebben ; vervolgens van tien honderden een nieuw foort, dat zy duizend noemden, enz. Ariftoteles ftelde zich eertyds dit Problema voor (g), en hy zoude het beter opgeloft hebben , indien hy zich gehouden had aan de laatfte reden, die hy geeft, na alvoorens, zonder oorzaak , op de eigenfchappen van het getal tien gevallen te zyn. Deeze is, dat alle menfehen, in de kindsheid van hunne reden, begonnen hebben op hunne
(ƒ) Ant. Jud. lib. I. c. 9. (g) Probkm. Seft. XV. 3.



WISKUNDE, I. Deel. II. Boek. 63
«c vingeren te tellen, en naardien het getal vingeren van de beide handen niet boven tien gaat, zyn zy, tot daar toe gekomen zynde, verpligt geweeft weder te beginnen, met in gedachtenis te houden, dat zy reeds éénmaal, en vervolgens twee, drie, vier maaien, enz. rond geteld hadden, hetgeen zy nog daar benevens met behulp van de zelfde vingeren konden aanwyzen. Maar na dat zy dit getal tien maaien rond geteld hadden, moeiten zy een ander teken , evenwaardig aan onze honderd , om dezelve uit te drukken, verzinnen, en om de zelfde reden maakten zy voor tien maal honderd ook een nieuw teken, en zo vervolgens. Deeze handelwyze was aan den anderen kant onvermydelyk, om de verbeelding te bepaalen, en het geheugen te verligten. Dezelve zou nooit toereikende hebben kunnen zyn tot het onthouden der noodige tekens, om elk getal in 't byzonder te verbeelden, indien men dezelve niet al« dus in rangen gefchikt hadt.
Het is 'waar dat ieder andere voortgang insgelyks tot dat gebruik gediend zoude kunnen hebben; alleenlyk moet men aanmerken dat fommige , door het te groot getal verfchillende tekens, moeijelyk zouden hebben kunnen zyn, als de twintigvoudige voortgang, dat is van twintigtot twintig, of een ander grooter voortgang. Men zou twintig onderling verfchillende tekens moeten gehad hebben, om de eerlte te gebruiken; 'er zyn andere voortgangen, die het ongemak zouden gehad hebben , van een te groote reeks der zelfde herhaalde tekens te vereisfehen, om middelmaatige getallen uit te drukken. Indien men,by voorbeeld, zich tot den tweevoudigen voortgang bepaald had , zou een getal tusfehen 32 en 64 niet als door zeven tekens uitgedrukt hebben kunnen worden. Dit gebrek fchynt nogthans de oude Chineezen niet afgefchrikt te hebben ; zy bedienden zich, naar men gelooft,van deezen voortgang: hetgeen de Aritbmetica binaria heeft faamengefteld , waar van fommigeGeleerden de faamenftelling en het gebruik verklaard hebben. Ariftoteles geeft ons nog het voorbeeld van een Volk, dat van den algemeenen regel afweek; een Volk van Thraciën , zegt hy op de aangehaalde plaats , telt maar tot vier , hetgeen fchynt te moeten
ver-



<?4 HISTORIE der
verffaan worden in den zelfden zin, als hyzegt,dat wy tot tien, dat is te zeggen, by leden van tien tellen. Hy geeft daar van tot reden, dat dit Volk,even als de kinderen , niet boven vier konde onthouden, en dat hetzelve, in eene groote eenvoudigheid levende, weinig noodig hadt. Onze Rekenkunde zou volmaakter zyn, indien wy, in plaats van den tienvoudigen voortgang , den twaaifvoudigen , dat is die van ia tot 12, aangenomen hadden. Twee tekens meer zouden het geheugen weinig bezwaard hebben. Een zesvingerig Volk zoude, naarallen fchyn , eene Rekenkunde van die natuur gebruiken, en deszelfs Rekenaars zouden zich daar wel by bevinden; want het getal 12 heeft boven dat van tien, en alle de andere tot 60 toe, het voordeel van helgrootse getal der gebruiklyke deelers toe te laaten , hetgeen in veele gelegenheden ongemeen gemaklyk zoude zyn.
Wat belangt de handelwyze, om de getallen door gefchreeven tekens uit te drukken, byna alle de oude Vólkeren, welken ons bekend zyn, zyn overeengekomen om de letteren van hun ABC daar toe te gebruiken. Deeze waren, in der daad, de natuurlykfte tekens, zo om dat de gedaante van elk derzelven reeds gemeenzaam was, als om dat hunne fchikking in de reeks van het ABC dezelven zeer bekwaam maakte, om aanftonds het denkbeeld van een meer of minder groot getal te verwekken. De Oosterfche Volkeren hebben dit gebruik het eerft gehad , en de Grieken fchynen hetzelve van hun ontleend te hebben ; want men befpeurt in de reeks van hunne tellende tekens eene navolging van die der Hebreen. Deeze laatften, en waarfchynlyk ook de Pheniciërs, welken de zelfde taal fpraken, gebruikten de negen eerfte letteren van hun ABC, alepb, betb, ghimel, daktb, het vau, enz, om de negen eerfte getallen uit te drukken, de negen volgende voor de tientallen, als 10, 20, enz. en het overige van het ABC met eenige byzondere tekens voor de honderden. De Grieken deeden niet anders als getrouwelyk letter voor letter overbrengen , wanneer zy foortgelyke of overeenkomftige tekens in hun ABC hadden , en wanneer hun dezelve ontbraken, wilden zy, in plaats van het volgen» de teken te gebruiken', liever een teken daar voor in
plaats



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek.
6$
plaats ftellen. Hebbende dus geen vait onder hen , fielden zy in plaats van dezelve het teken s-, waar aan zy den naam gaven van ema-nfitt Sm , 't welk de plaats van de vau vervult. In piaars van derhalve «, B, y, }, t, £, «, 6, t te doen verbeelden i, a, 3, enz., drukten zy die getallen uit door», e, r, £, v, e, ten
einde met de Hebreën voort te gaan , om 10, 20, 30, 40, enz. door 1, », A, fi, », die met de jod, kapb, lam, mem, mm overeenttemmen, aan te wyzen. Het is waar, dat zy ten opzichte van de volgende getallen, vermits het overige van hun ABC zeer verfchillende is van dat der Hebreën, het befluit namen, om hetzelve zodanig als het was te gebruiken, om niet te veel verwarring te veroorzaaken. Maar alleen de naam , dien zy aan dit teken <r, in plaats van de Hebreeuwfche Vau gefteld, gegeeven hebben, fchynt te kennen te geeven, dat zy in 't eerft flegte navolgers zyn geweeft.
Ik zal my niet langer ophouden om dit foort van Rekenkunde te verklaaren: naardien zulks veeleer tot de \ algemeene Letterkunde als tot de Wiskunde behoort, bepaale ik my tot de Schryvers te wyzen , welke daar over gehandeld hebben, De meefte Griekfche Taalkenners geeven daar over alle de ophelderingen , welke men kan wenfchen.
III.
Daar is eene zekere Meetkunde, welke de natuur aan alle menfehen vergund heeft, en waar van de oorfprong even zo oud is als die der Kunften, en zelfs als de redeneering. Het is niet noodzaakelyk tot de overftroomingen van den Myl toevlugt te neetnen , om dezelve te doen ontftaan; alle de Volkeren, by welken de Kunften eenige vorderingen maakten, geeven ons de tekenen van dezelve te kennen. Men maakte, in Griekenland en elders, lang vóór de opkomft der Wysbegeerte, wel aangelegde Werken, die zekere Meetkundige kennisfe vereifchten. In alle de wel beftierdemaatfehappj ë 1, welke aan Wetten onderworpen zyn , werden buiten twyffel verdeelingen van Velden gemaakt , waar in I. Deel. E men



66
HISTORIE der
men naauwkeurigheid beoogde. Zie daar dan de Meetkunde eenigermaate in alle landen overgebragt.
Wy vinden onder dezelve nogthans één land, naamelyk Egypce, waaromtrent alle de Schryvers overeenkomen, om den oorfprong van deeze Weetenfchap aldaar te plaatfen. Men verhaalt zulks op verfcheide wyzen : volgens fommigen maakte de Nyl, door alle de Velden van dat Land in haare geregelde overvloeijingen te bedekken , eene verwarring in de fcheidingen der bezittingen, hetgeen, na dat zy weder binnen haaren oever getreden was, noodzaakte tot nieuwe verdeelingen toevlugt te neemen (b). Het was derhalve noodzaakelyk zich nieuwe regelen te maaken, om ieder een gedeelte lands, gelyk aan hetgeen hy vóór de overftrooming bezat, te kunnen aanwyzen. Zodanig was,naar men zegt, de oorfprong van de Landmeetkunft, eerfte fchets van de Meetkunde, waaraan zy niettemin den naam gegeeven heeft: want Geometria of Meetkunde betekent in't Gn'ekfcb Land- of Veldmeeting. Ik merk in 't voorbygaan aan, dat men byna te vergeefs onderïtelt, dat de Nyl aldus de fcheidingen der bezittingen verwarde; het was niet zeer moeijelyk fcheidingen, die geduurzaam en diep genoeg waren, te maaken, om ondanks de overllrooming ftand te houden. Men kan zich niet overreden, dac Egypte ieder jaar door de wateren verwoei, werdt: zulks zou kwalyk overeenkomen met het denkbeeld van een vermaaklyk land, als dat't welk de aloudheid ons van hetzelve geeft.
Sommige Schryvers, onder welken Herodotus is , bepaalen de opkomft der Meetkunde in den tyd, toen 5efoftris Ci) Egypte met talryke gragten doorfneedt, en een foort van algemeene verdeeiing onder deszelfs bewooners daar van maakte. De Heer Newton Ck~), het gevoelen van Herodotus omhelzende, zegt, dat die verdeeling op den raad van Tbot, Staatsdienaar van Se/osiris, die volgens hem OJïris is, gedaan werdt. Deeze
gis-
(b) Procl. in i Eucl. /. II. c. 4. Servius, in eclog.
(i) Herod. Au.
(k) Chron. ad arm. 964,



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 67
gisfing, over het ampt en de natuur van dien vermaarden man, is van geen oude getuigenislen ontbloot, en komt volmaaktelyk overeen met het gevoelen, waarvan elders (l) gefproken is, dat Tbeut de uitvinder van de getallen, dé Rekening en de Meetkunde was. In der daad, men kan zeggen, dat vermits de verdeeling, door Sefoftris beraamd , Meetkundige kennisfen vorderde , zyn Staatsdienaar, by die gelegenheid, de gronden daar van leide. Zulks komt desgelyks overeen met het gevoelen, 't welk die vindingen toefchryft aai Hermes, anders den vermaarden Mercurius Trismegiftus ; want alle die mannen zyn waarfchynlyk de zeltde. EenSchry. ver (m) verhaalt, dat deeze Mercurius de gronden der Meetkunde graveerde op pylaaren, welke in ruime onderaardfche holen ter bewaaring gefteld werden , en de verdichte Jamblicus (n) zegt , dat Pytbagoras uit het zien van die gedenkzuilen veel voordeeis trok. Een Schryver eindelyk, door Diogenes Laïrtius aangehaald (o), zegt, dat Meerit, waarfchynlyk die Vorlr, welke het vermaarde Meir van dien naam liet graaven, om tot een ontlading aan den Nyl te dienen, de grondbeginfelen der Meetkunde hadt uitgevonden. M^n ziet gemaklyk de beweegreden van zyne gisfing.
Men kan zich niet onttrekken aan zo veel getuigenisfen, die, fchoon in de omftandigheden verfchillende, een foort van eenftemmi* geroep' ten voordeele der Egyptenaars maaken. VVv behooren ook aan te merken dat de eerfte Griekfche Wysgeeren hunne Meetkundige denkbeelden van hen ontleenden, 't Is derhalve in Egypte alwaar men, naar het fchynt, de eerfte vonken der Meetkunde moet zoeken; ik wil zeggen, van die eenigermaate ontwikkelde Meetkunde, door welke de Meetkundige van den rviinftenaar, of van den Ambachtsman , eeniglyk donr eene zskere ingefchapen kundigheid geleid , onderfcheiden is. Wy vinden hier van zelfs by Ariftoteles eene reden, die wysbegeeriger en
ver-
(/) Hier vóór pag. 50.
O) Ammian. Marcell. rerum geft. 1. XXIï.
(si) In vita Pythagor. c. 29.
C<0 In Pythag.
E a



68
HISTORIE der
verftandiger is, dan alle de redenen welke wy tot hier toe voorgedragen hebben. Zonder tot de overftroomingen van den Nyl, of tot de pylaaren van Mercurius Trifmegiftus, toevlugt te neemen; „ is de Wiskunde, zege s» hy C/0> in ÉgyPte gebooren, om dat in die land,, (treek de Priefters het voorrecht genoten, dat zy van de bezigheden des levens omfhgen waren, en den tyd hadden om zich aan de ftudie over te geeven." Zulks wordt ons insgelyks door Herodotus, Diodorus, en veele anderen, te kennen gegeeven. Het fchynt dac onder menfehen , welke de neiging van hunnen geeft onbefchroomd en zonder ontrufting konden volgen, zodanige moeiten gevonden worden , welke zich naar weetenswaardige voorwerpen, als de Natuur- en Sterrekunde , keerden, en zich verbonden om die natuurlyke Meetkunde, waar van wy gefproken hebben , tot meerder volmaaktheid te brengen. De wyze op welke dit gevoelen de Meetkunde doet gebooren worden , komt het beft overeen met de ontvouwing, welke wy van dezelve gegeeven hebben,Qq) en misfehien is dezelve het naaft aan de waarheid.
Thans blyft ons nog overig om, over de vorderingen welken de Egvptenaars in deeze Weetenfchap maakten , eenige gisfingen voor te ftellen. In dat opzicht ben ik, ondanks het grootfche denkbeeld dat fommige Schryvers van hunne geleerdheid in de Meetkunde opgevat hebben , zeer genegen om te gelooven , dat dezelve van weinig belang was, en dat zy de paaien der gemeenfte en allereenvouwdigfte waarheden weinig overtraden. De werken en de eerfte flappen der Griekfcha Wysgeeren fchynen my de bevvyzen daar van op te geeven. In der daad , indien de verrukkingen van blydfchap, welke Tbales en Pytbagoras lieten blyken, op het zien van eenige Meetkundige Tbeoremata, welken zy kwamen te ontdekken, niet gedwongen waren,moeten wy van de geleerdheid der Egyptifche Priefters geen zeer verheven denkbeeld opvatten, of liever moet men zeggen, dat zy hun flegts de allereenvoudigfte der ken-
nis-
Oj) Metapb. I. I. c. r.
{q) Zie het voorgaande Boek, Art, IV.



WISKUNDE. 1. Deel. IL Cö
nisfen, welke zy bezaten, openbaarden ; hetgeen my moeijelyk fchynt te gelooven. Maar wanneer wy zelfs dit aanneemen , kunnen wy nogthans door de zwakheid der beginfelen , welken zy bekend maakten , over de zwakheid van het voornaamfte deel der Weetenfchap welke zy verborgen hielden, oordeelen. Hunne bekendgemaakte beginfelen zouden een grooter uitgebreidheid gehad hebben, indien hunne geleerdheid daar in met de verbeelding van hunne Lofredenaars overeenkwam: te vergeefs zal men my tegenwerpen de oudheid van dat Volk, en het getal der eeuwen, welke verloopen zvn, federt dat dit volk zich aan de Weetenfchappen heeft overgegeeven. Wy hebben een voorbeeld van deezen tyd, dat ons het antwoord op deeze tegenwerping verfchaft. Sedert veele duizenden van jaaren kennen de Cnineefen de Sterrekunde, achten dezelve, en maaken zelfs een Wet van hun Ryk, om dezelve aan te kweeken. Nogthans toen de Europeërs bv hun kwamen waren zy byna nog in de eerfte beginfelen derzelve bezig Het vernuft der uitvinding hadt zich zelden byhen doen gevoelen; altoos te vreden met hetgeen hunne Vaders hen hadden overgeleverd, kenden zy nier die onruftige weetgierigheid , welke zoekt te volmaaken, en alleen bekwaam is om de Weetenfchappen fchielyke vorderingen toe te brengen. Ik geloof dat hetby de Egyptenaars ten naafte by even zo gefteld was, en zie met vermaak, dat myn gevoelen over dat onderwerp met dat van den Heer de Mairan overeenftemt (r). Daar zyn tusfchen deeze twee Volkeren zekere overeenkomften van zeden en inborft, welken veele Geleerden befpeurd hebben en deeze gisfing tot een grondflag dienen.
IV.
De Sterrekunde is van alle de weetenfchappen waar over wy in deeze Hiftorie handelen, die Weetenfchap waar over de minfieovereenftemming tusfchen de Schryvers is, en men behoeft zich deswegens niet te verwonderen. De hemelfche verfchynfelen en de regel-
(0 Ihft. de l'Acad. ann. 1732. p. 24.
E 3



ïo HISTORIE der
maatigheid, welke men in de beweegingen der Hemel* lichten waarneemt, hebben ten naafte by in den zelfden tyd de nieuwsgierigheid van alle menfehen moeten gaan» de maaken. Ook vindt men fchier by alle de oude volkeren merktekenen van de Studie des hemels.; zy die den roem hadden van geleerd te zyn, waren de eenige nk-t welke op dit heerlyk fchouwtooneel der natuur acht gaven. Het zy my vergund alleen de Gaulers onze Voorvaderen hier toe by te brengen. Julius Ce/ar (f) geeft ons te kennen, dat de Druïden, welke vry wel met de Egyptifch^ Priefters overeenkomen, over de beweeging der Hemelen grondig redenkavelden , en de Jeugd daar in onderweezen. De Sterrekunde eindelyk was byna de eerfte. Weetenfchap van alle Volkeren.
Men zal altoos onbewuft zyn, welke vordering het menfebe yk verftand by de eerfte bewooners van het geheel-ai vóór den Zondvloed gemaakt hadt. Dit fchrik■kelyk voorval, den draad tusfchen bun en ons afbreekende, last niet dan verdichtfelen of f isfingen toe. Dat dus de afftammelingen van Adam tn Setb in de Sterrekunde bedreven geweeft zyn , daar in zie ik niets onmogelyks; maar dar die Vaders van het merfchelyk geflac -r , hun voorzegd hebbende , dat de Waereld door twee Zondvloeden, de eene van Water, de andere van Vuur, zoude vergaan , de grondbeginfelen van deeze Weetenfchap op twee pylaaren , de eene van fleen, de andere van tigchxlen , gegraveerd hebben, om dezelve tot hunne nakomelingen over te brengen (O; dat Setb zelf den Hemel in Gefternten verdeeld, en de Planeeten en Sterren naamen gegeeven heeft (u), zyn zaaken , die men als gewaagde voorvallen moet befchouwen. Jofepbus, die het eerfte van deeze voorvallen verhaalt, bedacht hetzelve ongetwyffeld in navolging van die pylaaren, bewaarders der oude Egyptifche gefchieder.is, by welken Manetbon te raade gegaan was. De naam van den Uitvinder deezer gedenktekenen, en die
van
O) De bell. Galk 1. 6.
(/) Ant. Jud. i. i. c. 3.
(u) Malalas. Chron. p. 4, Glycas ann.p. 121.



WISKUNDE, I. Deel. II. Boek. 7i
van de plaats alwaar dezelve gezien werden, zyn aldaar naauwlyks veranderd. Want men noemde dezelve , of ten minften Maneihon noemtze, de pylaaren van Sothis, anders genaamd Afetb, en zy waren in een Lan.iftreek genaamd Seriadica. Jofepbus maakt van dezelve herwerk van Setb en zyne afitatnmelingen, en plaatffze in een land, dat den zelfden naam draagt , in terra Siriade. Het is zonder twyffel met deeze gefcliiedenis gelegen als met die van Abraham , onderwyzende de Egyptenaaren de Sterre- en Rekenkunde. De Joodfche Hiltorie-Schryver heeft den Vader van zyn volk eenig deel willen geeven aan de uitvinding der Weetenfchappen en Kunfteri, welke hy zag dat by de Vreemdelingen in hoogachting waren.
Zondèr tot verdichtfelen te vervallen kan men gisfen, dat de eerfte menfehen niet zonder eenige Sterre. kundige kennisfen waren, al hadden zy niets anders gedaan , dan zich te onderwinden om de tyden met eenige regelmaatigheid te rekenen. Daar benevens kan men niet gelooven, dat het Schouwtooneel des Hemels voor hun niet de zelfde bekoorlykheden, als voor hunne nazaaten , gehad hebbe ; maar te willen raaden tot hoe verre zy de Sterrekunde doorgrond hadden, zou eene onderneeming boven onze krachten, om niet te zeggen belagchelyk, zyn. De vermaarde Heer Caffini (v) giste nogthans hunne Sterrekundige geleerdheid, naar een plaats van Jofepbus (w). Deeze Hiftorie-Schryver, na gezegd te hebben, dat God de eerfte Vaders van het menfchelyk gedacht geen zo lang leven vergunde, als om hen den tyd te geeven , om de Sterre- en Meetkunde tot volkomenheid te brengen , voegt 'er by, dat zy zulks niet zouden hebben kunnen doen, indien zy minder dan 600 jaaren geleefe hadden. Want, zege hy, 't is niet als na eenen omloop van zes eeuwen dat een groot Jaar vervuld wordt... In der daad ' zegt de Heer CaJJini , deeze omloop van 600 jaaren
brengt
ff) Orig. & prog. de 1'Anron. anc. Mém. de 1'Acad. T. VII1
(w) Ant. Jud. ibid.
E4



72
HISTORIE der
brengt de Zon en Maan op zeer weinig na weder in het zelfde punt des Hemels, en zoude zulks volmaaktelyk doen, indien de Maan-maand van 29 dagen, 12 uuren , 44', 3", en het Zonne-jaar van 365 dagen, 5 uuren , 51', 36" was. Daarom , vervolge hy, indien de Aartsvaders deezen omloop kenden , zal men hen eane vry grondige kennis der beweegingen van Zon en Maan moeten toeftaan. Wy moeten bekennen, dat de Aartsvaders, indien zy dien omloop kenden, zeer verftandig in de Sterrekunde waren. Maar is het niet veel waarfchynlyker, dat de Schryver dei Joodfche Jaarboeken deeze Maan- en Zon-Periode van de Chaldeërs of de Egyptenaars ontleend heeft? Want men weet, dat de eerften veele uitvindingen van dat foort hadden, waar van onder andere eene hen veel eere aandoet. Dit is, denk ik, alles dat men van deeze Sterrekunde vóór den Zondvloed kan zeggen. Ik zou een koftelyken tyd gelooven te verliezen, indien ik my ophieldt om de ver. fcheidene vertellingen, welke men daar van doet, naar de twyffelachtige Boeken van Ilenocb, enz. te fchiften , dezelve kunnen geen anderen als Schryvers zonder oordeel bedriegen, Wy zullen vrymoedig de Sterrekunde van deezen Aartsvader, in gelyken rang ftellen met de Vv'ysbegeerige Verhandelingen , voorgefteld door Abraham in het dal van Mamre, aan hun die hem hielpen om Lot te verlosfen, Verhandelingen,welke een Schryver, (x) van eene ongemeene ligtgeloovigheid, gezegd heeft, dat nog in de Boekery der Koningen van Ethiopiën bewaard worden.
De fabelachtige of Helden-eeuwen, dat is te zeggen, de eeuwen welke vóór den oorlog van Troyc verliepen , zyn weinig bekender dan die, welke den Zondvloed zyn voorgegaan. Ik denk derhalve my niet lang daar by te moeten ophouden. Met dat oogmerk zal ik verfcheide verdichtfelen der Griekfche Mytbologia , waar in het fommige Vernuften behaagd heeft de eerfte fchetfen der Sterrekunde te vinden, maar even aanroeren; zodanige
zyn
(#) De naam van deezen Schryver is ons bekend gemaakt door de Encycl. Arr. Bibliotb.



WISKUNDE. I. Deel. ft Boek. y5
zyn onder anderen die van Prometbeus, van Endimion van Atlas, enz. Men heek van den eerften een Waarneemer gemaakt, die met bekommering werk maakte om van den top des bergs Caucafus de beweeging der Uemelen te helchouwen. Het is, zo men gezegd heeft deeze onrufUge weetgierigheid , welke men heeft willen aanwyzen door den Gier, die hem onophourielyk het hart knaagde. Men heeft gewild dat Endimion een Sterrekunüige was, die een groot getal jaaren op den Ber°Latmos doorbragt, om de oneffenheden der Maan waar te neemen, en om die reden by dag Hiep, en 's nachts waakte; dit was, zegt men, hetgeen aanleiding gaf om te verfieren, dat hy, buiten den tyd der nachtbezoeken, waar mede de kuifche Diana hem vereerde, altoos fliep. Ik zie tusfchen die verdichtfelen en de verklaaringen, weiken men daar van geeft, flegts willekeurige overeenkomflen. Daar is geen meerder gegrondheid in den zin, dien men geeft aan het zinnebeeld van Atlas, beladen met den laft van het Hemelgewelf. Niets is minder gegrond dan zich te verbeelden, dat de Öu. den de uitvinding der Spbeer in 't oog gehad hebben • want d,zelve was nog niet bekend in den tyd, toen dit Verdichtfel den Dichteren gemeenzaam was. Het is gemaklyk te befpeuren , dat zulks flegts een kunftig verdichtfel is, door 't welk de Grieken, welke in hunne Zeetogten den Berg Atlas zynen kruin in de wolken zagen verheffen, zyne verbaazende hoogte hebben willen te kennen geeven. Wie zal niet kunnen lagchen als hy het verdichtfel van Hercules, die Atlas eenige oogenblikken verkwikte, ziet verklaaren door Sterrekundige lesfen, welke die held van hem ontfing, in een bezoek dat hy hem kwam doen. Deeze gewaande Koning van Moorenland, fchoon nevens veele anderen door Riccio» li in zyne Naamlyft geplaatft, is even zo min een Sterrekundige als Uranus en zyn zoon Hefper , waar van een Griekfch Hiftorie-Schryver (jy) het droevig wedervaren met zo veel byzonderheid verhaalt, en die aan een gedeelte van de Atlantifche Zee , als mede aan de Avondfter, zynen naam gaf.
(y) Diod. Bibl. Hifi.!. III. c. 5. De E S



74
HISTORIE der
De Mufeüs en de Linus,a.m welken Diogenes Laërtius (z) de uiivinding der 5pèf£r toefchryft, fchynen my ook veel naar eene verfiering te zweemen. Ik behoore insgelyks te zeggen van den vermaarden Orpbeüs. onder wiens naam men Gedichten , vol Pytbagorijcbe denkbeelden over het Stelfel van 't geheel-al, bybrengt; indien deeze perfonaadjen ooit eenige weezenlykheid hadden , werden de kundigheden, waar mede men hen verfiert, hun waarfchynlyk toegeëigend door de Grieken, welke met wangu'.ift zagen , dat de vreemdelingen vóór hen in 't bezit der Weetenfchappen waren. Zy zouden wyzer geweeft zyn, indien zy Plato, of de Schryver der Epinomide, (a) nagevolgd hadden , welke , dit voorval toeftaande, de voornaamfte eere van zynen landaart daarin Pelde, dat dezelve de Weetenfchappen tot meerder volmaaktheid gebragt, of ten minften veel uitgebreid hadt.
Wy zouden ons tot veele beweegredenen van onzekerheid moeten bereiden, indien wy blindelings alle de getuigenisfen der oude Schryvers, welke van den oorfprong der Sterrekunde gefproken hebben, wilden aanneemen. Men kan dezelve verzameld zien in het geleerde boek , 't welk de Heer Weidler den tytel van His* torie der Sterrekunde gegeeven heeft, een boek dat zeer veel achting verdient, door de talryke texten en Bibliograpbifche byzonderheden, welke men in hetzelve verzameld vindt, doch voor geen rechte Hiftorie der Sterrekunde kan gehouden worden, als door hun die van het onderwerp , 't welk een zodanige tytel belooft, geen denkbeeld hebben, (b)
Onder de verfcheidenheid van gevoelens, welke een meenigte texten en getuigenisfen, door den Heer Weidler met veel arbeid verzameld, ons voordellen , ontdekt men ligtelyk dat de Babyloniërs en de Egyptenaaren de eenigen zyn, welken elkander betwiften kunnen van de ftudie des Hemels het eerft doorgrond te hebben. Zulks
volgt
(z) De rit. Philof. in proetu. («) Plat. Op. p. 1012. Ed. 1602. Zie de Voorreden.



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 75
volgt uit het getuigenis van Plato, O) van Ariftoteles, (d)vzn Cicero,(e) van Diodorus Siculus, ( ƒ) cn duizend anderen. Deeze beide Volkeren beroemden zich over veele zeer oude Sterrekundige gederktekenen. In Cbal. dea hadt de Tempel van Jupiter Belus, door Semiramis gedicht , waar van ten tyde van Plinius nog tekenen overig waren (g), den Chaldeën tot een Objervatorium gediend, indien wy Diodorus daar in geloovcn (b). De Egyptenaars hadden hunne Byeenkomften van Priefters te Diofpolis, Heliepolis en Mempbis, benevens het vermaarde gedenkteken van den Koning Ofymandijas. Hetzelve was een gouden (f), of liever vergulden ring, van 365 ellen omtreks, en één el breed, waar op by ieder der verdeelingen was aangeweezen één dag van 'e jaar, benevens den op- en'ondergang der vafte Sterren, welke daar mede overeenftemde. Zulks wordt verftaan van den beliafcben op- en ondergang, waar van de Ouden veel werks maakten (kX De Chaldeërs roemden hunnen
fe) In Phted. & Epin.pajfim.
OO L. II. De Ccelo. c. 12.
ie) De Divinat, 1. 1. %. I. & alibi.
(ƒ) Bib. Hifi.paffim.
(g) Hifi. Nat. I. 17. c. 26.
tb) Bib. Hifi. 1. 1. p. 11.
(*') De vermaarde Stofl'cheider Olaus Borricbius heeft gewild, dat dit goud het werk der Scheikunde was. In der daad, het was moeijelyk te begrypen, van waar eene zo groote hoe' veelheid van dat koftelyk metaal konde komen. De^Heer Ma. tbias Bofe van Wittenberg, van een redelyker begrip zynde, heeft de ontknooping voorgefteld met te zeggen , dat deeze ring' ten hoogden flegts van verguld koper was. Het zou misfchien nog vernuftiger zyn, denzelven als verdicht zynde te befchou. wen.
Qk) Een Ster gaat beliacè op, wanneer zy 's morgens kort vóór den dageraad boven den Horizon begint te verfchynen,- hetgeen, aanwyft dat de Zon, door haare eigenlyke beweeging, haar genoegzaam voorbygeloopen is, dat zy, wanneer dezelve opgaat, niet meer van haare Straalen verdonkerd wordt., Deeze is een der opgangen welke men Dichterlyk noemt, om dat dezelve een dergeenen is, welke de Dichters in hunne Werken dikwils in 't oog gehad hebben. De heliafcbe ondergang van gen Ster is haa.
re



76 HISTORIE der
nen Zoroafter, Koning van Batïriana f7), die, naar men zegt, 500 jaaren vóór den oorlog van Trooije leefde, en maakten van hem den herfteller hunner Sterrekunde. De Egyptenaars ftelden tegen hem over hunnen vermaarden Tbot, of hunnen Mercurius Trismegiflus , volgens hun, de uitvinder van de Sterrekunde, als mede van de Reken- en Meetkunde (m). Beiden vercierden eindelyk hunne Jaarboeken met eene verbaazende Oudheid, en deeden hunne Sterrekundige werken tot veel duizenden eeuwen opklimmen (72). Wy zullen ons wel wachten om over deeze voorvallen , waar van veelen het kenmerk der ligtgeloovigheid en vergrooting draagen, tot eene ernftige fchifting over te gaan. Ik denk, dat de onmaatig groote ring van Ofymandijas en het Ob. fervatorium vin Belus, in deeze van Oordeelkunde en Wysbegeerte verlichte eeuw, weinig geloof zullen vinden. Die vermaarde Zoroafter konde wel niet anders dan een vercierde perfoonaadje zyn. Ten minften , indien men zich houdt aan 't geen de meefte Schryvers van hem verhaalen, heeft hy veel meer het gelaat van een Tovenaar of Sterrewikker, dan van een waare Sterrekundige; en men kan niet wel een verfchillend denkbeeld maaken van dien Hoftanus, dien Belefus, welke ligtgeloovige Verzaamelaars van naamen van Sterrekundigen hem tot opvolgers geeven. Het zal veel beter zyn , dat wy overgaan tot hetgeen den grond der Chaldeeuwfche en Egyptifche Sterrekunde betreft, dan dat wy ons langer ophouden met een zo duifter onderwerp waar aan zo weinig opheldering kan gegeeven worden
V.
re verduiftering, door de nabyheid der Zon veroorzaakt; zulks gebeurt wanneer de Ster by haaren ondergang niet meer gezien wordt door de helderheid van den Horizon, die nog te glinlte. rend is van het licht der Zon , die kort te vooreu is ondergegaan.
CO Juftin. /. I. c. 1. Diod. /. 11. (tri) Diod. i. 11. Plato, in Pboedro. (») Herod. /. 11. Plin. /. VII. c. 48. Cic. de Divin. I. I. §. 19. Diod. L 11.



WISKUNDE. L Deel. II. Boek. 7? V.
De Sterrekunde der Chaldeën vertoont ons verfcheide Maaltjes , wier weezenlykheid niet verdacht gehouden kan worden. Het is waar dat die 493000 jaaren van Sterrekundige oudheid, waar in zy hunne eere ftelden flegts een verdichtfel van hunne verwaandheid waren: maar men kan hen niet betwifien, dat zy zich vroegtydig toégelegd hebben om de Hemel-verfchynfelen waar te neemen. Indien wy het verhaal van Simplicius daar in zelooven (0), beriepen zy zich ten tyde van Jlexander op eene reeks waarneemingen van 1503 jnaren, welke Arijtoteles zich door de bemiddeling van Calliftenes deedt mededeelen. Indien dit voorval een genoegzaamen grond hadt, zou de Chaideeuwfche Sterrekunde die der Chineezen, welke geen Sterrekundige gedenktekenen van een zo lang verloopen tyd aanhaalt, in oudheid overtreffen; want cit tydbegin klimt op tot meer dan 2227 jaaren vóór de tydrekening der Chriftenen, en de oudfte Cirneeichc waarneeming is flegts 2155 jjaren vroeger. Maar, ik kan het niet bewimpelen , men hoeft geenzms de zelfde bewyzen van de waarheid deezer Chaideeuwfche waarneemingen , als van die der Chtneefche waarneemingen , w.iar van wy komen te fpreeken. Men kan zelfs getuigenisfen aannaaien, welke met dat van Simplicius gantfchelyk ftrydig zyn. Berofus, die een Chaldeer was , en omtrent het jaar 300 vóór" J. C.in Griekenland bloeide, erkende geen ouder gedenkteken van de Chaideeuwfche Sterrekunde dan van 480 paren (p ) Een zeker Epigenus , waar van Sent ca Cq) zegt, dat hy de Sterrekunde by de Chaiutcis geleerd hadc, en die van Plinius (r) als een defti* en aanzienlyk Schryver opgegeeven wordt, noemt flegts waarneemingen van 720 jaaren oudheid, welke men in gebakken aarde gefneeden bewaarde. Men gift dat deeze
O) Comnt. In Arift. de Cxlo. c. 12 Lp) Plin. Hifi. Nat. I. VII. c. 56. U) QtJa/l. Nat. I. VIII. c. 3. {r) hifi. Nat. ibid.



78
HISTORIE der
ze Epigenus niet veel vroeger dan Alexunder geleefd heeft. Dus doet de gunftigfte van deeze Schryvers de werken der Chalceërs in de Sterrekunde niet hooger opklimmen, dan eenige eeuwen vóór de Jaartelling van NabonaJJar, welke den 2.6 February van 't jaar 747 vóór de Tyd'ekening der Chriftenen begon.
De oudfte Chaideeuwfche waarneemingen, waar van in de Sterrekunde "melding gemaakt wordt, zyn van de jiaren 27 en 28 der Jaartelling van NabonaJJar, dat is te zeggen 719 en 720 jaaren vóór J. C. Deeze zyn drie waarneemingen van Maau-Echpfen, door Ptolomeüs aangehaald Deeze Sterrekundige fpreekt nog van vier andere (t), waar van de laatfte van het jaar 367 vóór onze Tyarekening is. Hy hadt dezelve zonder twyifel van Hipparcbus , die zorg gedragen hadt van alle de Waarneemingen, welke ter kennisfe van de Grieken gekomen waren , te verzaamelen: voor het overige fchoon Ptulomeüs en misfehien Hipparcbus geen ouder waarneeming, dan de eerften waur van ik gefproken heb, gebruikt hebben, zyn wy niet bevoegd om daar uit te beiluiten, dat men in Cbaldea in dat tydbegin de hemelfche beweegingen eerft begon te volgen. De waarneemingen, welke te vooren gedaan waren , hebben om veele redenen by hen verdacht kunnen zyn ; en daar benevens hadden alle die geenen , welke voor de Jaartelling van NabonaJJar gedaan waren , mogelyk geen genoegzaam Zekere dagftellingen, om gebruikt te kunnen worden. Want oude waarneemingen zyn fbgts een byna onnuttig gedenkteken, indien men den juiften tyd, welke federt dezelve verloopen is , niet weet; en het heeft kunnen gebeuren, dat'er, vóór de Jaartelling van Na* bonajjar, eene groote verwarring in den Babylonifchen Almanak heerfchte.
De oude Schryvers maaken melding van eenige Maanen Zon-Perioden, welke een zeer voordeelig denkbeeld van de Chaideeuwfche Sterrekunde geeven kunnen. Geminus (u) verklaart een derzelven, waar uit men de da-
gelyk-
Q) Almageji. I. IV. c. 6. (O Ibid. c. 9 & li. (u) Elem. Aftroti. c. 15;



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 79
gelvkfche en middelbaare beweeging der Maan , van 13° io'35"> opmaakt, hetgeen naauwlyks één Secunde afwykt van de grootheid, welke uit de hedendaagfche waarneemingen vloeit: Maar niets doet die oude Scerrekundigen meer eere, dan de Periode aan welke zy den naam van Saros gaven (v); dezelve was faamengefteld uit 223 Maan-maanden, of 6585 d.(8 u., en hadt het opmerkelyk voordeel, van na dien tyd de Maan, ten aanzien van de Zon , haaren knoop en haar Apugeu-n, byna naauwkeurig weder in den zelfden ftand te brengen; waar uit volgt, dat de verfchynfelen, welke van de faamengevoegde beweeging deezer beide Hemellichten afhangen, met genoegzaame juiffheid in den loop der volgende Perioden vernieuwd wierden. Daarom zeide Plinius (ia) Defecius folis £ƒ lunee 223 menfibus, redire in erbem compertum efi. De Heer Hallei heelt dus deeze plaats volkomen herfteld, door Sterrekundig t2 bewyzen fV), dat men 223, in plaats van 222, 't welk in de meelte ManuJ'cripten van Plinius , gelyk ook in die van Suidas, gevonden wordt, moet leezen. De zelfde Heer Hallei beeft de juiltheid van deeze Periode bevestigd , door aan te merken dat zy, door middel eener verbetering van 16' 40", de weder&omft der zelfde doolingen van de Maan met eene naauwkeurigheid opgeeft, welke die der befte Tafelen te boven gaar. Zulke uitfteekendc vcordeelen hebben dien Sterrenkundigen aangezet, om dit middel, van door de onmiddelyke waarneeming de Theorie der Maan tot meerder volmaaktheid te brengen, te beproeven; hy heeft gedacht, dat indien men, geduurende den gantfehen loop van eene zodanige Periode, de plaats van deeze Planeet, met die van de Zon vergeleeken , waarnam , men alsdan, met zeer geringe verbeteringen, haare plaats, geduurende de volgende Perioden, roet veel meer naauwkeurigheid als door da gewoone berekeningen , zou kunnen vinden. De Heer Hollet ondernam deeze reeks Waarneemingen in 't jaar 1722, en heeft tot opvolger gehad den H>er
le
(V) Suidas, Lexicon by 't woord Saros.
(w) Hifi. Nat I. ir. c. 13.
(x~) Iranf. Pbilof. num. 204. an. 1694.



HISTORIE der
le Manier, welke de Periode, door den vermaarden Engelfchen Sterrekundigen begonnen , voltooid, en eene tweede Periode ondernomen heeft. Wy zuilen met meerder uitgebreidheid van deeze werken fpreeken, wanneer wy verflag zullen doen van de poogingen, welke men in deeze laatfte tyden heeft aangewend, om de beweeging van deeze wederfpannige Planeet aan de rekening te onderwerpen.
£ De Arabifche Sterrekundige Albatenius (y~) zegt, dat de Chaldeërs het Sterre-jaar van 365 d. 6 u, 11' maakten. Zoude men daar u'u niet mogen befluiten, dat de achtervolgende voortgang der vatte Sterren hun niet onbekend was? Want het is , door de vergelyking der bovengemelde Perioden, klaarblyklyk,dat zy zeer naby het waare Zonne-jaar gekomen waren , en hetzelve van 365 dagen , 5 uuren, 49', 30» gemaakt hadden. Waar uit kan dit nieuwe zo genaamde Sterre-jaar voortkomen , ten zy uit de kennisfe die zy hadden , dat de vafte Sterren langzaam in de orde der tekens voortgingen: in dit geval zou men kunnen zeggen, dat zy die beweeging van 51» en eenige tertièn 'sjaars, of van één graad ïn omtrent 69 jaaren, bepaalden. Deeze gisfing is niet zonder waarfchynlykheid: Volkeren , fedïrt lang aan de waarneeming der Hemel-Verfchynfelen overgegeeven, konden niet mislen deezen achtervolgenden voortgang der vafte Sterren , door middel van haare beliafcbe op- en ondergangen, te befpeuren (2). Ik zal my hier omtrent nader verklaaren : het is een verfchynfel dat een Ster, die zich op een zekeren dag van 't jaar van de Zonneftraalen begint te ontheffen, en kort voor haaren opgang boven den ïhnjon te verfcbynen, zich eenige eeuwen daar na, alles gelyk ftaande, eerft veifcheide dagen laater op deeze wyze begint te vertoonen. By voorbeeld, eene merkwaardige Ster, als de koorn air van de Maagd, die in het begin der Chaideeuwfche Sterrekunde , omtrent den tyd der nachtevening van den herfft opging , moeft twaalf eeuwen daar na eerft 16 of 17 dagen na die nachtevening opgaan.
(31) Scient. Steil. c. 17. (s) Zie de voorgaande noot



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 81
gaan. Zy die, door de oude met de laatere waarneemingen re vergelvken, deeze opmerking cleeden, moefte i daar uit befJuiten, dat die Ster zich omtrent 17 graaden van de nachtevening verwyderd hadt, en verdeelende deeze tusfchenwydte over 1200 jaaren, moefte 1 zy bevinden , dat haare beweeging meer dan één en-een-derde graad, of minder dan ééti en een-halve griad ih een eeuw was. De eerde van die bepaalingen geeft voor den jaarlykfchen voortgang der vafte citerren C48 Secunden, en de andere 54 , by gevolg 51 wanneer men tusfchen dezelve eeii medium zoekt; hetgeen met de hedendaagfche waarneemingen zeer wel overeenftemt. Ik geef dit alles echter voor niets anders op als voor een gisfing, welke de plaats van den Arabifchen Sterrekundigen , die wy aangehaald hebben, doet ontftaan.
De Kunft, om de lengte van den dag door middel der Zonnewyzers te verdeelen , is eene uitvinding, in welks bezit de Chaideeuwfche Sterrekunde van zeer oude tyden af fchynt geweeft te zyn. Herodotus zegt (z), dat de Grieken de verdeeling van den dag in ia gelyke deelen, en het gebruik der Werktuigen , welke hy Polus en Gnomon noemt, van de Babyloniërs hadden. Het laatfte is bekend genoeg , en waarfchynlyk verftondt Herodotus daar door niets anders als het Werktuig, waar aan wy insgelyks dien naam geeven, dat is te zeggen, een recht-opftaande Styl, die door zyne fchaduwe dient om de Zons-hoogte, de-Zonneftanden en de Nachteveningen aan te wyzen. Ten aanzien van het Werktuig, dat hy Puim noemt, ismen minder verlicht: een plaats van Atheneus (a) zou ons doen denken, dat hetzelve een foort van bevveegbaare Zmnewyzer was ; want hy geeft dien naam aan iets, 't welk naar een ZonneWyzer gelykt, en in het vermaarde Schip van den Ko • ning Hiero gemaakt was. Maar wy bekennen ter goeder trouw, dat di. plaats zeer duifter is, en dat men 'er niet veel ftaat op moet maaken. Ten aanzien der Gnomonica of Zonuewyzerskunde gLfen wy, dat dezelve
Cs) Lib. IV. Deipnofopb. [. V.
I. DfcEL. F



22
HISTORIE d*r
ve in Chaldea bekend was, zelfs voor het begin der Jaartelling van NabonaJJar, of ten tyde van Acbaz, byna 250 jaaren vóór dat men in Griekenland het denkbeeld van dezelve hadt. De Zonnewyzer van Acbaz, waar van de H. Schrift melding maakt, fchynt my een bewys hier voor te verfchaffsn. Schoon dat men daar in niets vindt 't welk te kennen geeft, dat dezelve het werk der Chaldeërs was, zal men nogthans haaft niet daaraan kunnen twyffelen, wanneer men in aanmerking neemt de verbindtenisfen van vriendfchap, welke die Vorft met hen onderhieldt, en de uiterfie onweetendheid in die foorten van Weetenfchappen, waar in de Jooden altoos waren. Ik ben 'er ver af van het gevoelen, of liever de wonderfpreuk , van den Heer Flamjltad (b) aan te neemen , die voorgegeeven heeft, dat het de lfraëlieten waren, welke de Sterrekunde in Cbaldea overbragten. Een volk, dat in zyne laatfte tyden noodig hadt tot het zien der eerfte Pbajis van de Maan toevlugt te neemen , om zich van den dag haarer vernieuwing te verzekeren, fchynt my weinig gefchikt om de Sterrekunde geleerd te hebben , of was uitermaaten verbafterd. Maar weder tot den Zonnewyzer van Acbaz komende, zoude men kunnen vraagen, welke gedaante dat eerfte gedenkteken der Gnomonka hadt ; het zou vry zeldfaam zyn zulks te weeten: dus is het te beklagen , dat de duifterheid der H. Schrift dit niet toelaat. Schoon verfcheide Uitleggers hunne poogingen aangewend hebben, om daar toe te geraaken , durven wy zeggen, dat hunne gistingen geen licht over dat raadfel verfpreid hebben.
Dus verre hebben wy de ftaaltjes , welke de Chaideeuwfche Sterrekunde de meefte eere aandoen , verzaameld; doch om van dezelve eene getrouwe befchryving te doen, moeten wy desgelyks diegeenen bybrengen, welke ons een minder voordeelig denkbeeld van dezelve geeven. 't Is een bekend voorval, dat zy met de droomen der Sterre-voorzegkunde ongemeen befmet was: de Chaldeërs verkreegen zelfs een zodanige vermaardheid , door dat zy van deeze uitzinnige en dwaa-
ze
ö) Hifi. Cehfi.frolegom.



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 83
ze kunft hun byzonder beroep maakten , dat hunne naam die van alle deeze bedriegers wierdt. Indien wy Dtodorus ("O daar in gelooven , kenden die Sterrekundigen de oorzaak der Maan-Eclipfen, maar zy hadden twift, dat is , zy waren in de onweetendheid, wegens die der Zon-Ecüpfen: de rondheid van de Aarde was hen onbekend , en zy maakten dezelve overeenkomftig met een Schuit. Om de waarheid te zeggen , ik kan bezwaarlyk aan het verhaal van den Griekfchen Hiftoriefcbryver geloof flaan, en weete niet, hoe eene zodanige onkunde met zo veel andere blyken van geleerdheid, welke van hun tot ons gekomen zyn, overeen te brengen zy. Wanneer men echter gadeflaat, dat 'er Oosterfche volkeren zyn , als de Siammers en de Indiaanen, welke vry vernuftige Jaarkringen en Tydmerken hebben , en nogthans de rondheid der Aarde, de oorzaak der Eclipfen en Pbafes der Maan niet kennen, dan fchynt hetgeen Diodorus ons van de Chaldeërs te kennen geeft, niet t'eenemaal onmogelyk.
De gefchiedenis maakt alleenlyk melding van eenCbal. deeuwfchen Sterrekundigen; deeze is de vermaarde Berofus, die men van den Hiftoriefchryver , die omtrent den tyd van Alexander leefde, mogelyk niet behoeft te onderfcheiden. Hy kwam, zegt men, in Griekenland, en verkreeg zich aldaar eene zo groote beroemdheid, docr zyne geleerdheid in de Sterrekunde en zyne voorzeggingen , dat de Atheners hem, in hunne openbaars Academie, een Standbeeld met een vergulden tong oprechtten. Deeze voorzeggingen , gevoegd by verfcheide andere ftaalijgs, leeren ons, dat Berofus weinig minder een S'errewikker dan een Sterrekundige was. VU truvius (d) verhaalt ons eene verklaaring, welke hy van de Pbafes ritr Maan gaf; dezelve verfchilt van de waare uitlegging alleenlyk hier in, dat hy, zo het fchynt, onderftelde , dat de Maan een natuurlyk blinkend halfrond hadt, en dat het andere donker was: hy voegde er nog by, dat zy, door eene zekere faamenneiging, haar blinkend halfrond altoos naar de Zon keerde; hetgeen
(*) Lib. II.
(«) Artb. I, IX. c. 4.
F 3



84
HISTORIE der
geen haare verfchillende Pbafes voortbragt, op de zelfde wyze als wy dezelve verklaaren, wanneer wy het grondbeginfel, dat zy van de Zon verlicht wordt, valt» ftellen. Maar ik ben zeer genegen om den Latynfchen Bouwmeefter verdacht te houden, van by de verklaaring van Berofus omftandigheden gevoegd te hebben, welke de Schryver daar by niet gefield heeft; want het is hem vry gemeenzaam weinig oordeel te laaten blyken, wanneer hy van de kunft, die zyn beroep is, afwykt. Men eigent Berofus een foort van Zonnewyzer toe, die Hetnicyclus genoemd werdt. Het is van geen groot belang dat wy ons onderwinden, om naar deszelfs faamenftelling re raaden; derhalve laaten wy dit raadfel over aan de OEdipi of Uitleggers, welke zich daar toe willen verledigen.
VI.
Alhoewel ons van de Egyptenaars minder Sterrekundige gedenktekenen dan van de Chaldeërs overig zyn , hebben wy daar door geen recht om te befluiten, dat zy zich minder dan de Chaldeërs aan de waarneemingen der Hemelverfchynfelen overgegeeven hebben. Verfcheide beweegredenen geeven aanleiding om te gelooven, dat hunne werken in de Sterrekunde weinig minder oud zyn, Zy hadden in hunne Jaarboeken de gedachtenis van 373 Zon- en 832 Maan-Eclipfen, vóór Alexander gefchied , bewaard (e). Deeze is vry wel de rede welke tusfchen de Eclipfen van die beide Hemellichten, boven een zelfden Horizon gezien, heerscht; en deeze aanmerking fchynt te bevvyzen, dat die Eclipfen niet verdicht zyn ; maar weezenlyk waargenomen waren. Doch hetgeen zy 'er byvoegden, naamelyk, dat die verfchynfelen in 48853 jaaren gefchied waren, is flegts een kwalyk beraamd verdichtfel; want dat getal Eclipfen heeft in 12 tot 13 honderd jaaren moeten gezien worden. Dus blykt het, dat het tydmeik der eerfte Egyptifche waarneemingen tot 16 of 17 eeuwen vóór de 'i ydrekening der Cnriftenen opklimt. Ariftoteles beveiligt hetgeen wy nu gezegd hebben met zyn
ge-
fV) Diog. Laé'r. in froêmie.



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 8j
getuigenis. Na alvoorens van eene bedekking van Mars door de Maan, die hy waargenomen hadt, gefproken te hebben, voegt hy 'er nog by (ƒ"), ,, de Babyloniërs „ en de Egyptenaars, welke, federt een groot getal jaa„ ren , de hemeliche beweegingen met oplettendheid „ befchouwd hebben , hebben het zelfde verfchynfel „ aan andere Sterren zien gebeuren, en men heeft van „ hun een groot getal geloofwaardige waarneemingen." Men weet dat Cono, de vriend van Arcbimedes, de Zon-Eclipfen, door de Egyptenaars waargenomen (gj, verzaamild hadt ; wy moeten het verlies van zo veel werken , waar van hedendaags n;et het minfte teken meer in weezen is, beklagen; en men kan verwonderd zyn, dat Ptolomeüs, die te Alexandrie woonde en waarneemingen deedt, nooit eenige Hulding noch gebruik daar van gemaakt heeft.
De Egyptenaars hadden waarfchynlyk Leerwyzen om de Eclipfen te berekenen , het zy dat deselve met de onze overeenkwamen, hetgeen nogthans niet waarfchynlyk is, of wel foorten van rekenkundige voorfchrirten waren, even als die der hedendaagfche Siammers en Indiaanen. Het fchynt, in der daad, dat Tbales het middel, om eene Zon-Eclips te voorzeggen van de Egyp. tenaaren hadt. Geringe kundigheden in de Sterrekunde zyn genoeg om te zien, dat die VVysgeer eu de Grieken, welke hem geduurende verfcheide eeuwen volgden , geen genoegzaame vordering in dezelve gemaakt hadden, om uit hun zeiven tot eene voorzegging van die natuur te komen.
Men maakt eene zeer gunftige gisfing over de oeffe. nende Sterrekunde der Egyptenaaren, door den ftand van hunne Piramieden , wier zyden met veel naauwkeurigheid naar de vier hoofd-punten geplaatft zyn (7>). Naardien eene zo naauwkeurige ligging aan het bloot geval niet toegefchreeven kan worden, moet men daar uit befluiten, dat zy goede handelwyzen hadden, om den Middag-lyn te vinden; en de fchrandere Waarnee-
mers
(ƒ) De Ccelo. 1. II. c. 12.
Cg) Seneca, Qiiaft. nat. i. VII. c. 3.
{b~) Mém. de l'Acad, Aan. 1710.
F 3



85
HISTOR IE der
mers weeten, dat zulks moeijelyker is, dan men eemeenlyk denkt , vermits de doorluchtige Tycbo Brahê. de bekwaamde waarneemer van zynen tyd, zich, door het trekken van zynen Middaglyn van zyn Obfervatorium te Uraniënburg, eenige minuten vergift hadt. De naauwkeurigheid met welke die vermaarde Piramieden alsnog naar de Kompasflreeken gericht ftaan, heeft de gisfing, welke de dooling van Tycbo veroorzaakt hadt, doen verdwynen, naamelvk, dat de ftand der Meridiaanen veranderd was. Proclus CO heeft gezegd, dat die Piramieden eertyds de Egyprifche Priefteren tot een Obfervatorium dienden. Zulks is weinig waarfchynlyk, ofwel het zou niet zonder reden ge weeft-zyn, dat 'er, zo als men zegt, in Egypte Byeenkomften van Priesteren, wien de Studie des Hemels aanbetrouwd was, geweeft wa-en; en dat dezelve talryk genoeg waren geweeft , ~m eiken dag een Waarneemer te bezorgen. Want byna alles dat hy, wiens beurt gekomen was,om tor zvn Obfervatorium op te klimmen, zou moeten doen, beftondt in niets anders, als daar te gaan, waarneemingen aldaar te doen, en op den dag weder naar beneden te gaan.
Een gevoelen dat zeer bekwaam is, om de Egyptifche Sterrekundigen eere aan te doen, indien het zeer zeker was, dat zy de Uitvinders daar van waren, is die van de beweeging van Fenus en Mercurius rondom de Zon. Men eigent hun dezelve gemeenlyk toe5 naar het getuigenis van ;Macrobius (k) , fchoon hy dezelve op eene zo twyffelachtige wyze belchryft, dat het zeer waarfchynlyk is, dat hv dezelve niet verftondt. VitruviusiT) en Martianus Capella (m) geeven meer tekenen van weetenfchap in de befchryving welke zy daarvan doen , maar zy fpreeken daar in niet van de Egyptenaaren, hetgeen over het recht, dat men hun tot dit Stelfel geeft,
eenige
(i) Comm. in Tinsaum, HM. Univerf. d'une Socièté, &c. T. I. P. 341.
(k) Comm. in Somn. L. I. c. o, Q) Architect. I. IX. c. 19. Lm) De nupt. Pbilol. L .VIII.



WIS K U N D E. I. Deel. II. Soek. 87
eehige twyffeling zou kunnen doen ontdaan. Echter is het byna tot eene gewoonte overgegaan, om Egyptifch Stelfel te noemen , dargeen 't welk flegts daar in van het Stelfel van Ptolomtüs verfchilt, dat men in hetzelve Venus en Mercurius rondom de Zon in beweeging ftelt. Men gelooft zelfs, dat de eerfte der Grieken, Pytbagoras, by voorbeeld, die leerde, dat de avond- en morgen-Ster niets anders waren dan Fenus , dan eens de Zon voorgaande, en dan wederom dezelve volgende: men gelooft . zeg ik, dat deeze Wysgeer die ontdekkingen van de Egyptenaaren hadt. Men gaat zelfs nog verder, en doet de Egyptifche Sterrekunde de eere, van aan dat Stelfel, in 't welk men alle de Planeeten rondom daonbeweeglyke Zon doet draaijen, oorfprong gegeeven te hebben. S. Clement van Alexandrie (n) verzekert zulks uitdrukkelyk, en, om zyn getuigenis te onderfchraagen, merken wy aan, dat het weinig waarfchynlyk is, dat de Pytbagorifien uit hun zeiven tot dat gevoelen gekomen waren. Eene zo tegengefproken waarheid flegts door het getuigenis der zinnen te vermoeden, is, zo het fchynt, het werk van eene zeer gevorderde Sterrekunde. Ik zal echter niet ontveinzen een {taaltje, t welk dit gantfche gebouw vau loflyke gisfingen voor de Egyptenaaren fchynt om ver te ftooten; deeze is de orde volgens welke zy de Planeeten fchikten (o), eene orde, volftrekt overeenkomftig met die welke Prolomeus haar gaf, en die een gevolg is van zyne denkwyze over de ligging der Aarde. Maar misfchien moet zulks verftaan worden alleen van de hedendaagfche Egyptenaaren, dat is te zeggen van de Griekfche Sterrekundigen, die zich te Alexandrie neergezet hadden
Ik moet niet nalaaten hier te fpreeken van de vermaarde Periode , of het Hondfterre-jaar, welke by de Egyptenaaren m gebruik was. Dezelve komt voort uit de faamenvoegmg van hun Zonnejaar met den beliafcben op. gang O) van de Hondfter, of Sirius , eene, door de gevolgen van dien opgang, voor hun zeer merkwaardi-
(*) Strowat. I V. **6 f>) Oio, Caf. hifi. rom. 1. 37. (J) Zie de noot^ k pag. 75.
F4



83
HISTORIE der
ge Ster. Ik zal nu den oorfprong van deeze Periode, die zeer gemaklyk te begrypen is, naar Geminus Cq) en eenige andere verklaaren, fchoon Scaliger en Saurnaije cairoverin groote misvattingen gevallen zyn (r).
Eene gebeurtenis, welke de oplettendheid van gantfch Egypte opwekte, was de overftrooming van den Nyl; ook was dezelve voorfpeld door een zeer merkwaardig Verfchynfel, naamelyk de verfchyning , of den Helia* Jcben opgang van Sirius. Het is waarfchynlyk , dat men in de eerfte tyden van het Ryk der Egyptenaaren, door deeze reden , het begin van 't jaar daar van maakte. Dezelve was een vaft punt, dat tot dit gebruik zeer bekwaam was, en zonder de beweeging der Sterren alle de voorwaarden van het beft gefchikte Zonne-jaar vervullen zoude.
In 't vervolg ftelde men in plaats van deeze Periode een Zonne-jaar, of dat men ttn minften met den loop der Zon waande over een te brengen. In 't eerft werdt hetzelve faamengefteld uit 360 dagen , in 12 maanden van 30 dagen ieder verdeeld Cs), maar vvelhaaft befpeurde men deszelfs zeer groote afwyking van deeze Ster, en naardien de Sterrekunde reeds vorderingen in Egypte maakte , vermeerderde men hetzelve met vyf dagen, die ten laatften ingtiafcht werden. De Thebeërs waren het welke deeze verbetering daar in maakten: men hieldt zich toen overreed, dat dezelve zeer naauwkeurig met den tyd van eenen omloop der Zon overeenkwam. Het gedenkteken van Ofymandias is daar van een. bewys ; want anders zou hetzelve een groot misverftand zyn geweeft, naardien de op- en ondergangen der Sterren , welke tot elk der deelen van hetzelve behooren, niet onveranderlyk tot dezelve konden voegen, a!s in deeze onderftelling.
Maar de dooling waar in men viel, door het Zon< ne-jaar flegts van 365. dagen te maaken , was van byna zes uuren 's jaars, en men befpeurt gemaklyk, dat de uitwerking, welke dezelve moeft voortbrengen, een
acii-
Cq) Ifag. Aflron. c. 6.
Cf) Peiau Uranol. var. dijf.
(s) Sincell. Cbronolog. p. 123. ed. Par.



WISKUNDE, I. Deel. II. Boek. 89
achtervolgende overdragt van het begin des jaars in alle de jaargetyden was, Ik wil zeggen, dat zo dit gewaand Zonne-jaar met den Zomerfchen Zonneftand een aanvang nam, hetzelve na een zeker getal eeuwen met de lente, vervolgens met den winter, en eindelyk met den herfft, zoude begonnen hebben. Ongetwyffeld bemerkte inen welhaaft deezen jaarlykfchen teruggang ; maar wel verre van te zoeken om denzelven te verbeteren, vondt men daar in een geheim, waarvan men een ftuk van Godsdientï maakte, en terwyl de andere Volkeren altóós zochten , om het begin van hun jaar vaft en onveranderlyk te maaken, fchepten de Egyptenaars behaagen in eene ftrydige uitwerking, als geloovende daar door alle de deelen van het jaar te heiligen; want vermits hunne feeftdagen aan vatte dagen van hun onzeker jaar verbonden waren, kwam hetzelfde feeft dan eens in het eene jaargetyde, dan wederom in het andere. Zodanig was de getteltenis van het Egyptifch jaar tot den tyd van Augujlus, toen de invvooners van Alexandrie en het overige van Egypte het Juliaanfche jaar aannamen (t).
Ondertusfchen was de opgang der Hondfterre eene gebeurtenis, waar op Egypte de oogen geveftigdhieldt; derhalve zocht men dezelve op eenigerlei wyze methec burgerlyk jaar te verbinden. Nu befpeurde men welhaaft, dat dit Verfchynfel geduurig laater kwam, zo. danig dat zo hetzelve in 't eerft met het begin van 'ejaar gekomen was, hetzelve vier jaaren daar na op den tweeden dag, na vier andere jaaren op den derden dag, enz. kwam; waar uit volgt, dat hetzelve ten einde van 1461 jaaren weder met den eerften dag van 't jaar moeft aanvangen. Men noemde deeze Periode het jaar van Tbot het jaar van God, anders nog het groote jaar, ofHondfterre-jaar , of jaar van Sotbis. Want alle die naamen zyn byna van gelyke betekenis. Men gaf den naam van Tbot aan de Ster Sirius, ter eere van den vermaarden Mercurius , dien zich aldus genoemd hadt. Tbot of Tbeut. was mede één der naamen van de godheid' en
Sotbis
(t) Theon, in canone exped.
F5



90
HISTORIE der
Sotbis fchynt het zelfde woord, een weinig door de Grieken verminkt, te zyn. Deeze redenen maaken, dac het misfchien onnut is eenige weezenlyke perfoorratidje voor den Vinder van deeze Pmorftf na te vorfchen. Cenfarinus fchynt zulks te denken (u), en het is ook het gevoelen van veele Geleerden. Sommige anderen zyn nogrJians van een tegenftrydig gevoelen, en onder hen heeft de Heer de la Naufe (v) poogen vaft te ftellen , dat .de Koning Afetb , of Setbofis, die omtrent eene eeuw vóór den oorlog van Troye leefde, de infteller van dezelve is. Zyne redenvoering verdient wegens de uitIteekende nafpooringen, waar mede dezelve vervuld is, geleezen te worden. De^l Petau (t«),tot zynen grond neemende een plaats van Cenforinus (a;), alwaar gezegd wordt, dat de Caniculare Periode in't jaar der Burgermeefterlyke waardigheid van Antoninus den Godwucbtigen en van Brutius weder een aanvang genomen hadt, heeft het begin der Caniculare Periode omtrent het jaar 3330 vóór J. C bepaald. Nu komt het jaar deezer Burgers, eefterlyke waardigheid overeen met het I38flena J, C., dus moet men 1460 Juliaanfche')aarcnte rug gaan, en men:zal vinden het 1321 vóór onze Jaartelling, dat is, volgens de gemeene tydrekening, het i3?fte vóór den oorlog van Troye. Deeze rekening wordt geftaafd door de volgende aanmerking. Men weet, dat het begin der Jaartelling van NabonaJJar op den 26February van 't jaar 747 \óór J. C. valt. Derhalve was het begin van het Egyptifche jaar, achterwaarts gaande , van de plaats van. deszelfs eerfte inftelling tot den 26 February overgegaan. Want de jaaren van NabonaJJar waren t'eenemaal de zelfde als de Egyptifche jaaren (y). Maar ten
tyde
(») De die natali.. c. 18. iy) Mém. des Infeript. T. XIV. (te») UranpL in Diffèrt. ÖO De die nat. Ibid.
( y) Wanneer wy zeggen, dat de jaaren van Nabenafar met de, Egyptifche jaaren overeenkwamen, willen wy niet zeggen hetgeen men tot hier toé geloofd heeft, naamelyk: dat men in de Jaartelling van Nabotiaffar by jaaren gerekend hadt, welke juift met die der Egyptenaaren waren overeengekomen. De
Heer



WISKUNDE. L Deel. II. Boek. 9r
tyde van deeze inftelling kwam hetzelve overeen met den opgang der Hondfterre, welke, in de nabuurige eeuwen van den Oorlog van Troye, omtrent den ao July te Heliopolis opging. Dus was hetzelve van den 20 July tot den cö February, dat is 144 dagen, achterwaarts gegaan. Nu wordt 'er tot eene zodanige terugwyking een tusfchentyd van 576" jaaren vereifcht. Gevolglyk is het tydmerk van 't begin der groote Caniculare Periode 576 jaaren meer achteruit gezet, dan het 747»e jaar vóór J. C. , weshalve hetzelve op het -323fte J'aar valt. Deeze bepaaling verfchilt zo weinig met die van den V. Petau, dat, wel verre van dezelve tegen te fpreeken , zy aan dezelve een nieuwen trap van waarfchynlykheid byzet, en daar van ontfangt
Het zou ons gemaklyk geweeft zyn meerder uitgebreidheid aan dit Artikel te geeven, indien onze toeleg geweeft ware, om , zonder onderfcheid, alles te verzaamelen, wat de Hiftorie-Schryvers ons, belangende de Egyptifche Sterrekunde, voordragen. Maar de meefte laaten zo weinig naauwkeurigheid , of zo weinig oordeel , in die ftotfen blyken, dat men weinig kennis zoude moeten hebben , om 'er eenig geloof aan te flaan. Behooren wy Plinius (jt) te gelooven, wanneer hy ver* haalt, dat de Egyptenaars één graad van den Loopkring der Maan flegts 33 ftadiën lengte toefchreeven ? Indien 'er by die Volkeren eenige kennisfe van de rondheid der Aarde, eenige ruwe fchets van Waarneeming eindelyk eenige geringe bevatting der Meetkunde was! konden zy dan niet weeten, dat een graad der Aarde die kleinder dan een graad van den cirkel der Maan is, een veel grooter uitgeftrektheid heeft?
MaHeer Freret heeft krachtige redenea tegen dit vooroordeel ge. geeven in de Mém. de tAcad. des lnfcript. T. XIV. Het if veel waarfchynlyker, dat de jaaren, tot nu toe als van Nabotiaffar aangenomen, flegts de Egyptifche jaaren zelve zyn, tot welke Hipparcbus en Ptolomeus de Chaideeuwfche WaarneemiDgen, welke tot hun gekomen waren, hebben overeebraet. 00 Wfi. Nat- ■■ «. c. 24. 6 -



£>a HISTORIE der.
Macrobius heeft gewaand ons de handelwyze te leeren , naar welke de Egyptenaars den Zodiak verdeel, den , en hy befchryft dezelve zeer breedvoerig (a). Zy namen, zegt hy , een groot Vat, dat zy met water vulden, en lieten hetzelve, geduurende een geheelen omloop der vafte Sterren , loopen , door eene kleine opening, onder aan hetzelve gemaakt. Waar na zy, dit water in twaalf gelyke deelen gedeeld hebbende , opmerkten, welk gedeelte van den Zodiak zich, terwyl één van deeze deelen uitliep , boven den Horifon verhief. Maar vermits Macrobius ons niet opgeeft, wie voor zyn gevoelen ingedaan hebben, en ik geloof dat hy bezwaarlyk eenigen derzelven genoemd zoude kunnen hebben, behoort men , zonder twyffel, deeze gefchiedenis voor niets anders dan een verdichtfel aan te zien ; en zelfs zal 'er de Egyptifche Sterrekunde weinig by verliezen, indien wy dezelve van deeze uitvinding berooven, om dien Schryver, of liever Sextus Ernpirt. cus(b), die het zelfde van de Chaldiërs verhaalt, daar van de eere te geeven. Indien zy beiden meer bedree. yen in de Wiskunde waren geweeft, zouden zy niet nagelaaten hebben te befpeuren,dat het middel, 't welk zy voorftelden, niet bekwaam was om den Zodiak in gelyke deelen te verdeelen. Want onderftellende zelfs, 't welk geenzins waarfchynlyk is, dat die eerfte Waarneemers met de behoorlyke aandacht opgemerkt hadden de wyze, op welke het water uit een Vat, dat van onderen doorboord is, loopt, om zich tusfchenruimten van gelyke tyden te verfchalFen, zouden zy niet gelukkiger geflaagd hebben. Zy zouden den Equator , en niet den Zodiak, gelykelyk verdeeld hebben, waarvan de fchuinsheid tot den as van omwenteling maakt, dat dezelve zich j in gelyke tyden , ongelyke deelen verheft. De Uitlegger van den droom van Scipio, geeft nog een weinig voordeelig denkbeeld van zyne kennisfe in de Sterrekunde, wanneer hy vernaaien wil, door welk middel men , naar zyn zeggen , bevoudt, dat de fchynbaare middellyn der Zon het io8fte deel van den
hal.
Com. in fomn. Scip. I. I, c. 21. (i) Cbron, Canon. Egjpt,



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 93
halven-Cirkel was. Deeze grootheid, die met 1° 40' overeenftemtjis meer dan het drievoud van de waare grootheid; en een Schryver, met eenige Sterrekundige kcnnisfen begaafd, zoude niet nagelaaten hebben zulks op te merken. Behooren wy de Egyptifche Sterrekunde te beöordeelen naar getuigenisfen , welke zo verdacht zyn van verciering , van onweetendheid , of van weinig naauwkeurigheid ? Neen zeker niet. Het is , naar ik denk, wyzer, en meer overeenkomftig met de regelen der Oordeelkunde , zyn oordeel over 't geen dezelve betreft op te fchorten, en wy behooren dit onderwerp onder zo veel andere te ftellen, over welke het gebrek van zekere gedenktekenen ons nooit andere dan weinig zekere gistingen zal toelaaten. Ik bepaale my tot deeze laatfte aanmerking over de Egyptifche Sterrekundigen ; deeze is dat zy de Chaldeërs niets toegaven in verkeerden waan of ligtgeloovigheid voor de ydele inbeeldingen der Sterre-Voorzegkunde. Veele Schryvers geeven ons zulks te kennen , en een bewys daar van is voor handen in dd Apotelefmatica,of regelen van voorzegging van den vermaarden Manethon, een Egyptifch Prielter die dezelve onder Ptolomeiis Pbiladelphus verzamelde; men kan niet twyffelen of het is het Werk der Egyptifche Sterrekunde, want de Grieken waren in dat tydmerk nog niet tot die belagchelyke wonderlykheid van .gaeft vervallen. Gronovitts heeft de vruchtelooze moeite genomen, om dit Stuk openbaar te maaken; ik zeg, de vruchtelooze moeite, want diergelyke uitfpoorigheden, fchoon in Griekfche Vaerfen by een gebragt, verdienden niet uit het ttof gehaald te worden.
VII,
Men behoeft in Griekenland geen fpooren vau Sterrekundige Werken, zo oud als die der Chaldeërs en Egyptenaaren , te zoeken ; deeze Volkeren hadden reeds poogingen gedaan, om de duuring der hemelfche omloopen ,'en de fchikking van het geheel-al te leeren kennen; zy hadden reeds lange reekfen van Waarneemingen, toen de Grieken naauwlyks een begin maakten , om de oogennaar den Hemel te wenden. Wy willen



94 HISTORIE der
Ien niet zeggen, dat zy voor het fchitterend Schouw, tooneel, 't welk dezelve vertoont, t'eenemaal ongevoelig zouden zyn geweeft. Men heeft reeds elders aangemerkt, dat eene zekere kennisfe des Hemels de eerfte Weetenfchap van alle Volkeren geweeft is. Al'eenlyk verftaan wy daar door, dat zy zich nog niet tot die Sterrekunde, welke alleen dien naam waardig is (V), verheven hadden , eene Sterrekunde die zich op niets anders toelegt, als om de fchikking der hemelfche lighaamen te ontdekken, om hunne Verfchynfelen te verklaaren en te voorzien. Eerft na de inftelling der Wys« begeerte by hen , begonnen zy zich op die foort van Studie toe te leggen. Tot dien tyd toe bepaald tot de kennisfe der Hemellichten, welke de Landbouw en eene zeer bepaalde Scheepvaart vereifchten , hadden zy de Gefterntens flegts naamen gegeeven, namen de op en ondergangen der merkwaardigfte vafte Sterren waar, en bedienden zich van dezelve, om de Saifoenen , bekwaam tot de verfcheide foorten van arbeid op het land, aan te wyzen. Zie daar de geheele Griekfche Sterrekunde tot den tyd van Tbales en Pytbagoras; zy is de eenige, welke de Schriften van Hejiodus en Homerus, de oudfte Dichters welke tot ons gekomen zyn, ons voordellen. 'Er zyn byna geen Griekfche Helden, waar van de Dichters, of andere Schryvers, in laatere tyden geen zeer ervaren mannen in de Weetenfchap der Hemellichten gemaakt hebben. Euripides , Sopbocles, Efcbilius, ftellen ons op het tooneel voor Prometbeus, Her. cules, Palamedes, als zeer verbonden aan de Studie des Hemels (d). Maar men zou zeer ligtgeloovig moeten zyn, om deeze tooneel-redenen eenige Hiftorifche waarheid toe te eigenen. Lucianus en Hyginius hebben een groot getal voorbeelden der Griekfche Verdichtfelkunde op eene Sterrekundige wyze verklaard; verftandige lieden moeten zeer verwonderd zyn, van Pbaeton, Dida. lus, Atreus en Tbieflus , Belleropbon, Tirejias , enz. in Sterrekundigen veranderd te zien (e). Wy hebben
reeds
(O In Epinont. Opp. Plat. p. 1014. ed. 1602. (tf) Ifag. in Ar at. c. I. - (e) Wy kunnen ons niet onthouden eenige vermaaklyke Haaltjes



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 95
reeds gezegd, en vreezen niet het nog eens te herhaaien , dat het eene buitenfpoorige kinderachtigheid is, foortgelyke verklaaringen voor te ftellen.
Het merkwaardigfte gedenkteken der oude Griekfche Sterrekunde, is de verdeeling van den Hemel in Gefterntens. Naardien dezelve nog heden in onze Sterrekunde ftand houdt, is het een ftuk , waar in wy belang behooren te ftellen, en dat wy niet zullen fchroo. men met een weinig uitgebreidheid te onderzoeken.
Alle menfehen , wien hunne bezigheden of woonplaatfen in ftaat ftellen, om dikwils de oogen naar den Hemel te ftaan, laaten niet na naamen te geeven aan de verzaamelingen van Sterren, welke door haare gedaante, of door haaren glans, merkwaardig zyn. Dan eens
wordt
jes op te haaien van de uitzinnigheid dier Schryvers, om aan alle de Verdichtfelen, welken zy daar toe kunnen buigen een Sterrekundigen zin by te zetten. Volgeni Lucianus, in zy» Boek de Ajirologia , heeft men Phaëton om geen and are teden voor den geenen gehouden, die de Zonnewagen beftierd hadt, en door Jupiter met den biixem geflage* was , als om dat hy een Sterrekundige wss, die in 't midden der Waarnsemingen, welke hy ondernomen badt om de beweeging de<- Zon te leeren kennen, ftierf. Wat zeide hy niet , om zyne* verklaaring nog meer overeenkomftig met de omftandigheden van. dit Verdichtfel te maaken, dai hy geftorven was van een kwaad', aartige avond-damp, welke hem, door Jupiter waar te nee. men, bevangen hadt, en dat deeze de b'ïïxem-uV wss, waar mede die Godheid hem nedervelde. Euripides, door Je les Tatius aangehaald Ufag. ad Arat. P/ben.), maakt van itrem een Sterrekundige, die befpeurd hadt, dat de eigeBlykebeweeging der Zon te rug gaande, of ftrydig met de dagelykfch» beweeging van het Ooften naar het Weften is, Hyginius gaat (in zyne Verdichtfelen) veel verder: hy geeft als oorzaak der onlusten van Atreus en Thieftus op, dat de eerfte de oorza«k der Eclipfen ontdekt hadt; Thieftus, zegt hy, was daar over zo af. gunftig, dat hy Mycenus verliet, en zyuea broeder een- eeuwige vyandfehap zwoer. Men kan dee^e belagchelvke voorwendfeien niet beter vergelvken, als met die van zekere Chimifien , wier inbeelding getroffen van den Steen der Wysgeeren denzelven vindt in het gulden-Vlies, in het Verdichtfel van Medea d«n ouden Vader van Jafon aan een frisfe jeugd helpende, enz".
Men



96 HISTORIE der
wordt deeze benaaming ontleend van haare overeenkomft met voorwerpen, welke die onbedreven Waarneemers geduurig onder hunne oogen hebben ; dan wederom geeven zy aan dezelve de naamen der Perfoonaadjen, waar op de vermaardfte voorvallen der Hiftorie zien ; fomtyds hebben dezelve betrekking tot de uitwerkingen, welken de verfchyning of de bedekking van die Sterren fchynt voort .te brengen, Wy hebben hier van voorbeelden by ons op het land, en zouden zonder twyffel een grooter getal van dezelve hebben, indien onze Landlieden, voor hunnen arbeid , verpligt waren, zo dikwils als de Ouden den Hemel te befchouwen. Het is waarfchynlyk, dat aldus de meefte Geftermens hunne naamen in Griekenland ontfingen. Men verbeelde zich een Volk , begaafd, als de Grieken waren, met de levenaiglteverbeelding, een Volk, genegen om alle Voorwerpen met bevallige verdichtfelen op te tooijen, en dat hetzelve , zo door nieuwsgierigheid, als door gebrek, aan dieverzaameüngen van Sterren , welke zyne oogen treffen, naamen wil geeven, dan zal hetzelve, buiten twyffel, maar op eene veel uitgebreider en vernuftiger wyze, doen, hetgeen wy aangemerkt hebben door de onbedrevene menfehen, welke onze Velden bewoonen, gedaan te zyn. Dan eens, by gelegenheid van zekere natuurlyke benaamingen, welke den fmaak van dat Volk voor de verbeelding niet genoeg zullen voldoen, zal hetzelve verdichtfelen verzinnen. Op deeze wyze is het dat de Pleijades , wegens haare meenigte aldus genoemd ' naderhand de dogters van een Nimf Pleïme en Atlas wierden. Dus is het dat het Gefternte van Orion, merkwaardig door de uitgeftrektheid en den glans van hetzelve ,
Men behoort aan het Verdichtfel der Zon, op het zien der misdaad van Atreus achterwaarts keerende, geen anderen oorfprong dan eene zeer natuurlyke, fchoon Dichtkundige , uitdrukking toetefchryven, om de verfoeijelykheid van een daad uit te drukken. Blaeu, of Cafius, heeft niet nagelaaten alle die beuzelingen , en eene meenigte anderen, te verzaamelen, in zyn Ccelum Aflronomieo • Pseticum, het beuzelachtiglte Werk dat my bekend is.



WISKUNDE. I. Deel II. Boe\. s?
Éelve, den naam van een Reus bekwam, en naardien hetzelve geduurig de Pleijades volgt, nam men daar uit gelegenheid te vercieren, dat hy dezelve onophoudelyk Vervolgde, en het op haare eere gemunt hadt. Niets was natuurlyker dan den naam van Kroon te geeven aan die Sterren, welke hedendaags dien naam voeren. Want de gedaante, welke die Sterren ons voorftellen, komt zeer na by denzelven. De Dichters vercierden, dat het die van eene ongelukkige Vorftin was, waar van zyhet: droevig voorval omftandig vernaaien.
Andere reizen zal het Volk, waar van wy fpreeken, toevlugt neemen tot de vermaarde, zo Hiftorifche als Verdichte , Voorvallen , waar van deszelfs geheugen vervuld is. Het zal dezelve overbrengen , en op eenigerlei wyze aan den Hemel fchryven, door aan de Sterren de naamen der Perfoonaadjen te geeven, welke daar in de voornaamfte rollen fpeelen. Dus is het dat de Reize der Argonauten in de hemelfche Gefterntensaan de nakomeIingfchap fchynt vernieuwd te worden. Want men ziet onder dezelve het Schip Argo; den Ram, welks Vlies het voorwerp van deeze vermaarde Krygstogt was; Castor en Pollux, twee der Helden , welke daar aan deel hadden; Hercules, een onder hen , met den Néraeefchen Leeuw, dien hy gedood, en den Gier, dien hy met zyne pylen doorboord hadt-; de vergiftigde Kelk van Medea; de Hydra en den Stier, welke den koïtelyken fchat van het Flies bewaarden; de Lier van Orpbeus, t'én der Argonauten. Eindelyk Cbiron, een zo vermaard Jaager, als beroemd door zyne Godsvrucht jegens de Goden, komt daar in ten voorfchyn, doodende aan de eene zyde een Leeuw, en hebbende ter andere zyde een Altaar, rookende van eene offerhande. Het verdichtfel, of de verminkte gefchiedenis van Per* Jeus en Andromeda wordt daar in vertoond door die Gefterntens,en door die van Cepbeus, CaJJiopea enden 'Wat' vifcb, welken Perfeus fchynt te beftryden. Die van den Ösfendryver, yan de Maagd, en van den kleinen Hond, fchynen gedenktekenen te zyn der vaderlyke godsvrucht van Herigonius, die zynen vader learus niet overleeven konde, en der genegenheid van zyn hond, die over het ve* lies van zyne meefters van droefheid ftierf.
G 0«



P3 HISTORIE der
Om de waarheid te zeggen, zo is 'er geen onderwerp* waar over een grooter verfcheidenheid van gevoelens onder de Uitleggers der Verdichtklkunde heerfcht, als deeze oorfprong van den naam der Gefterntens (ƒ)'; maar die, welke wy nu voorsre fteld hebben, fchynt niet te ver gezocht, en van alle die gevoelens het meeft omhelsd te zyr.
Een Schryver, door Clemens van Alexandrie aangehaald (g), geeft Cbiron de eere van deeze benoeming der hemelfche tekenen, Wy behooren , zo het fchynt, niet veel vertrouwen te dellen op het getuigenis eens Dichters, waar van ons flegts een half Vers overig is; maar wy kunnen niet uit het oog verliezen eene aanmerking, welke ten minften fchynt te betoogen, dat die benoeming van eene zeer groote aloudheid is. Deeze is, du alle de Gefterntens, indien wy daar van uitzonderen de Weegfchaal, het Hair van Berenice en Antinoüs, wier Oorfprong bekend is, uitfteekende overeenkomften hebben met den reistogt der Argonauten, of met vroegere gebeurtenissen, en nimmer met verdichtfelen, of veel laatere gefchiedenisfen. Dus fchynt het byna zeker, dat alle die tekenen niet laater hurme naamen kreegen als in dien tyd, en vóór den Troyaanfchen kryg. Want het zou bezwaarlyk zvn te gelooven, dat die katfte gebeurtenis, de beruchtfte en vermaardfte van de oude Griekfche Hiftorie, ons niet verfcheide Gefterntens hadt opgëléeverd, indien hunne naamen hen niet vroeger als na dat tydmerk gegeeven waren (b).
De
(f) Zie Hyginius in zyn Poeticon AJIronowicon,of de Cceium AftronomicO'Poeticum van Blaeu, ÖÖ Stromit. h S'
(£) Ik twyflële geenzins of fommige Leezers rullen ons tej/eiwerpen, dat «fên'die naamep een veel grooter aloudheid, én eonen atideren- oorfprons;, moet toefchryven , naardien men die van Orion, van de Pleijades , van Arcïurus in het bó'ék Jpbs (Cap IX. vs. o.) vindt. Maar da geleerde Heer Schultejis, heeft, in zyne Vecklaatiiig over dat Boek, aangemerkt, dat dit geenzins den zin was der Hebreeuwfche uitdrukkingen, welke flegts te kennen geeven, qui fecit noöturnum cir;itorem, fidut torpidum, £? penetralia aufttï. Wat is dit noüurnus circitor,
zulks



WISKUNDE, I. Deel. II, Boek. 99
De Heer Newton heeft van deeze verdeeling des Hemels , ten tyde der Argonauten uitgevoerd , één der gronden van zyne nieuwe Tydrekening gemaakt. Hy heeft gemeend, dat Cbiron toen niet alleen de hemelfche tekenen naamen gaf, maar dat hy ook de vier nachtevenings- en Zonneftands-tekenen in order bragt, zulks dat dezelve door de Coluren der nachteveningen en zonneftanden in twee gelyke deelen verdeeld werden. Wy kunnen niet loochenen, dat het opüV.1 der Tydrekening van den Heere Newton niet op veele zeer verleidende redenen (leunt; maar ons dunkt, dat zo hetzelve flegts op deeze gewaande verdeeling van Cbiron gegrond was, het alsdan weinig bekwaam en weinig waardig zou zyn, era eene fcheuring onder de Tydrekenaars te maaken. Wie kan gelooven, dat eene foongelyke bepaaling eens zo ver verfchovene oudheid heeft ? Zou zulks niet zyn die eerfte Grieken wel overwogen Sterrekundige kennisfen , en in zekere opzichten zeer verheven boven die der Volkeren zeiven, die altoos als hunne meefters waren aangezien, toe te ftaan ? Wat een toeftel van Werktuigen en Waarneemingen zouden zy niet noodig gehad hebben, om tot eene zo naauwkeurige verdeeling te komen ! Wanneer het dus genoegzaam beweezenzou zyn, dat het oogmerk van Cbiron was de vier hoofdpunten in 't midden der vier voorfte tekens vun de Saifoenen te plaatfen , zou men ook noodwendig moeten toeftaan, dat hy zich vier of vyf graaden heeft kunnen verzinnen. Zulks is geenzins, naar myne gedachten, een al te geris.-g denkbeeld der bekwaamheid van dien gewaanden vader onzer Sterrekunde op te vatten, in een tyd toen men de oneffenheid van de beweeging der Zon nog niet kende, en toen men, in de onderftelling dat'er eenige
zulks is ons niet mogelyk te bepaalen. Belangende de fidus torpidum , deeze zyn waarfchynlyk de Sterren, welke den NoordPool omringen, en byna zonder beweeging zyn, of, indien men het verklaart, zo als de Heer Weidler doet, doot fidusealidum, zal het de Hondfter zyn , welker opgang oudtyds de groote warmte aaubragt. Die penetvalia of tabemacula auflri, kunnen flegts de deelen des Hemels zyn, welken de daaling van den ZuidPool onder den Horizon voor Arabie onzichtbaar maakte, G ï



ico HISTORIE der
. rrige Werktuigen waren, flegts zeer ruwe Werktuigen hadt. Wat wordt alsdan het bewys, 't welk de Heer Newton uit deezen ftand der Coluren , ten tyde van de reize der Argonauten, waant af te leiden, om daar door het juift tydmerk te bepaalen ? Door middel der dooling, welke men noodzaakelyk moet plaats geeven, kan dit tydmerk gemaklyk te rug gebragt worden tot het midden der dertiende eeuwe vóór de Chriftelyke Jaartelling, waar in de gewoone Tydrekening hetzelve geplaatft heeft.
Maar zie hier eene andere aanmerking, die, myns bedunkens, veel klem fchynt te hebben, ik zeg niet op het lighaam zelf van het Opftel der Tydrekenkunde van Newton, maar op het eerfte bewys, dat hy uit de waarneemingen van Cbiron afleidt. Deeze is dat 'er oudtyds flegts elf Gefterntens in den Zodiak waren. De Schorpioen bekleedde daarin de plaats van twee Gefterntens, en zyne klaauwen, genaamd xJaoj, maakten dat deel uit, 't welk men naderhand de Weegfchaal genoemd heeft; zulks wordt gemaklyk be weezen door de befchouwingder oude befchryvingen van den Hemel, als het Gedicht van Aratus, en de Verklaaringen van hetzelve. Aan den anderen kant is het zeker, dat de beide voornaamfte Sterren der Weegfchaale, waar van de eene, ter oorzaake van haaren ftand, de Zuider-fchaal behoorde genoemd te worden, nooit anders genoemd werden, als de Zuider-klaauw, de ISfoorder-klaauw, zelfs na dat men dit nieuw Gefternte gevormd hadt. Hoe zouden die oude Waarneemers, den Zodiak met een zo naauw toezicht verdeelende, en de verkiezing maakende, om het midden van hunne vier hoofdtekenen juift op de punten der nachteveningen en Zonneftanden te plaatfen, hoe zouden zy, zeg ik, vergeeten hebben, om dien cirkel in 12gelyke deelen te verdeelen? Een zodanig verzuim fchynt my bezwaarlyk om te gelooven , en moet over deeze verdeeling groote twyffelingen verfpreiden.
Dit gebrek van een twaalfde teken in den Zodiak der oude Grieken, doet in myne gedachten opkomen eene gisfing over de handelwyze, naar welke de eerfte. verdeling van dien Cirkel gedaan werdt. Ik denk, dat dé
eer-



WISKUNDE. I. Deel II. Boek. 101
«erften welke de Sterren naamen toevoegden , dezelve gaven zonder zich aan iets meer te verbinden , als dat zy in het midden , of in het lighaam der beelden, welke zy wilden vertoonen, de meeft blinkende. Sterren plaatften. Aldus vormden zy de hemelfche Spbeer, en het is waarfchynlyk,dat zy toen hunnen aan» dacht nog niet op den Zodiak, geveftigd hadden, 't Ware eene te moeijelyke ond-rneeming voor hun geweeft, den weg der Zon onder de Sterren, welke zy doorloopt, en te gelyk met haare ftraalen verdonkert, te bepaalen. Men begon waarfchynlyk eerft daar aan te denken , in den tyd der opkomft van de Wysbegeerte in Griekenland. Na dat aiotoen de eerfte Sterrekundigen aldaar den ftand des wegs van dat Hemellicht waargenomen hadden, befchreeven zy een cirkel aan den Hemel, om dien weg aan te wyzen, en de Gelt.rntens, door welken die Cirkel ging, waren de 12 tekenen van den Zodiak. Zy zyn in denzelven, in der daad, vry onregelmaatig geplaatft, om byna een bewys van onze gisfing uit te maaken. Sommige vervullen in denzelven eene groote uitgebreidheid, terwyl de andere veel enger beperkt zyn. Onder dezelven worden 'er weinig gevonden , welke door de Ecliptica in ten naafte by gelyke deelen gedeeld worden ; in tegendeel zyn fom* migen aan den kant der Poolen; anderen aan den kant van den Equator. Zulks fchynt te kennen te geeven, ó;\t de cirkel na de reeds aangeweezen Gefterntens befchreeven werdt, en niet dat de Gefterntens uitgevonden werden, om deszelfs verdeelingen aan te wyzen.
Maar daar waren twaalf tekens in den Zodiak noodig j en men hadt 'er toen nog niet meer dan elf. Het eerfte denkbeeld was, om het twaalfde teken te vormen uit de klaauwen van den Schorpioen , die dezelve zeer veel naar vooren uitftak, en men noemde hetzelve de klaauwen xïAcsc Eindelyk veranderden de Griekfche Sterrekundigen, welke zich te Alexandrie neergezet hadden, deeze benaaming in die van de Weegfchaal, het zy dat zy in 't oog hadden om de gelykheid der dagen eu nachten aan te wyzen , als om dat zy voorgaven dezelve tot een zinnebeeld der gerechtigheid te fchenken G 3 aan



ioa HISTORIE der
aan de Maagd, die het voorgaande teken uitmaakt, en welke men voor Ajlrea hielde. Men verplaatfte derhalve toen, in de afbeeldingen des Hemels, de klaauwen van den Schorpioen, door hem dezelve achterwaarts en naar de zyden te doen buigen , en men ftelde in plaats van dezelve het nieuwe teken. Men behieldt nogthans het gebruik om de twee blinkende Sterren, weike dat teken voornaamelyk onderfcheiden , de klaauwen te noemen; en zulks is een foort van gedenkteken, dat geenzins toelaat aan de eerfte benaaming van hetzelve te twyffelen.
VIII,
De nafpooring over den oorfprong der Gefterntens tan den Zodiak is een onderwerp, dat een groot getal gevoelens en gisfingen heeft doen ontftaan. Maar wy zouden ons vruchteloos ophouden, wanneer wy die allernet eenige uitgebreidheid wilden onderzoeken. Een eenig gevoelen verdient dat men 'er by ftil ftaa. Wy zullen derhalve flegts in 't voorbygaan aanroeren de voorwending van een naamloos Schryver, die gewild heeft dat de twaalf tekenen van den Zodiak de zinnebeelden der twaalf zoonen van Jacob waren Ci). Schoon hy verfcheide vry uitfteekende overeenkomlten dier Vaders van het Joodfche Volk met die Gefterntens, in zyn voordeel doet gelden, kan men nogthans zyn gevoelen niet hooger als eene met verftand beweerde Wonderfpreuk aanzien. Wat moet men denken over het gevoelen van Olaus Rudbeck , die alle zyne poogingen heeft aangewend (&), om in Scandinavia en Noorwegen den oorfprong van onze Spbeer te vinden; ja zelfs, zo ik het mag zeggen, die van de Sterrekunde en van de meefte der gelukktgfte Sterrekundige vindingen, als de Maancirkel, enz. ? Men moet met eene zonderlinge liefde voor zyn Vaderland ingenomen , en de koude nevelen dier van de natuur onbegunftigde landen wel gewénd zyn om te waanen , dat de bergen van Lapland ea Zweeden
de
(i) Mem. de l'Acad. des Infcript. T. VI. Q) Atlantiea. pan. II & III.



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. icg.
de plaats waren, welke de eerden die Europa kwamen, bewoonen by uitneemendheid tot hun yerblyf verkozen 5 dat aldaar dat vermaaklyk Atlanüca is , waar Van de Griekfche Schryvers met zo veel ophef gefproken heb* ben; dat eindelyk geen landftreek van 't geheel-al voor de bevordering der Sterrekunde gunftiger was. Ik twyf» fele zeer dat een gevoelen, zo ontbloot van waarfchynlykheid, ooit iemand onder zyne landsgenooten zeiven misleid hebbe, ondanks het verbaazend optooifel van Noordfche geleerdheid, welke in dat zonderling werk gevonden wordt.
In het vernuftig opftel van den Heer Warburton, over den oorfprong der Mytbologia of Verdichtfel kun de van de Griekfche Spbeer, is iets dat aanlokkelyker is. De Heer Pluche heeft dat opftel onder ons een foort van vermaardheid bygezet, door de wyze op welke hy hetzelve in zyne Hemel-gefchiedenis (Rifioire du Ciel) ontvouwd en voorgedragen heeft. Deeze beweegreden noopt ons om hetzelve zorgvuldig te verklaaren, en eenige beden* kingen dienaangaande voor te ftellen.
De Heeren Warburton en Pluche vinden den oorfprong der naamen, welken de tekenen van den Zodiak draa. gen in de verfcheiden voortbrengfelen van het land, ten tyde wanneer de Zon dezelven doorloopt, of in fommige omftandigheden der beweeging van dat Hemellicht. Macrobius (O heeft het eerfte denkbeeld van deeze Helling verfchaft, door aan te merken, dat de Kreeft en den Steenbok aangezien konden worden als zinnebeelden, de eene van den teruggang der Zon, wanneer zy tot den zomerfchen keerkring gekomen is , de andere van haare wederkomft naar de bovenfte deelen van ons halfrond, na alvoorens den wïnterfchen keerkring bereikt te hebben. De Keer Pluche heeft zich toegelegd," om dit denkbeeld tot alle de andere tekenen uit te breiden. Dus zyn de drie eerften, de Ram, de Stier en de Tweelingen, zegt hy, hunne naamen verfchuldigd aan de lammeren , de jonge dieren , en de jonge geiten, wier geboorte de Herders in de Lente vénykte. De Cancer of Kreeft, die achterwaarts gaat, toon: de we-
der-
Cl) Salurtia!. L I. c. 17.
S G 4



Ic4 HISTORIE der
derkomft van de Zon, die, op haaren grootteen afftand van den Equator gekomen zynde, te rug begint te loopen. De Leeuw verbeeldt de woede van den Zomer, die alsdan op 't meeft brandende is; en de Maagd is niets anders als eene naleefter der koornairen, een natuurlyk teken van den oogft. De Weegfchaal geeft de gelykheid der dagen en nachten in de nachtevening van den herfft te kennen» De Schorpioen is het zinnebeeld der ziektens van dit jaargetyde; en de Schutter dat van de jagt, de bezigheid der laaifte maanden van 't jaar. De Steenbok betekent de wederkomft der Zon, die weder naar het hoogfte des Hemels begint op te klimmen, even als dit dier, dat altoos de hoogten zoekt, wanneer het in de weide is. De Waterman en de Visfchen kondigen eindelyk de regens aan, waar mede de Winter doorgaans eindigt. Wat aangaat den tyd, waarin deeze verdeeling van den Zodiak gefchiedde, dezelve is niet minder oud, zegt de Heer Pluche, dan die, waar in onze eer. fte Vaders, nog in de velden van Mefopotamie verzaameld, aldaar het herders-leven leidden. Hy doet zelfs de befchryving van de wyze op welke zy zich onderwonden, om den omloop des Hemels te meeten , en den Zodiak in twaalf gelyke deelen te verdeelen. Deeze is ten raafte by de handelwyze, welke Macrobius en Era. pericus, de eene aan de Chaldeërs , de andere aan de Egyptenaaren, toegeëigend hebben, eri waar van op het einde van Art, VI. gefproken is. Zy gaven eindelyk aan die verdeelingen , en aan de Sterren, welke daar in begreepen zyn , de boven gemelde naamen; hunne nakomelingen, voegt men 'er by, behielden dezelve, maar welhaaft werden de redenen, welke die naamen hadden doen geeven, uit hun geheugen uitgewifcht,als een noodzaakelyk gevolg van hunne verhuizingen, of van vunne nieuwe levenswyze. In der daad, teen zy bewnoners waren der Landftreeken, onderfcheiden van die^etner; voor welke die tekenen vaftgefteld waren, befpeurden zy niet meer de overeenkomflen , welke 'er Waren tusfchen derzelver naamen, en het geen 'er inde natuur voorviel, terwyl de Zon dezelven doorliep. Men moeft derhalve verdichtfelen verzinnen, om de plaars der ïedtaen, waar van men de gedgchtenis verloren hadt,
'' te



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 105
te vervullen , en het menfchelyk verftand, in die kindsheid van het geheel-al nog t'eenemaal onkundig zynde, nam dezelve met gieetigheid aan. Toen wierdt de Ram djegeen die Helle en haare Zufter in Griekenland over de baaren gevoerd hadt. De Stier was een vermomde God, die Europa gelchaakt hadt, of de bewaarder van het Vlies, en zo ook met de andere.
Veele der Gefterntens, vervolgt de Heer Pluche, ont. leenen hunnen oorfprong van de onkunde der Grieken in de Oofterfche Taaien, eene onkunde die hen in veelvuldige misvattingen voerde. Hy geeft daar van verfcheide voorbeelden.' Het is, volgens hem, eene misvatting, die aan de beide Gefterntens, welken wy Beeren noemen, den naam heeft doen geeven. De Pheniciërs, die zich van dezelve bedienden , om zich in hunne Scheepvaart daar na te richten, noemden dezelve, zegt hy, de fpreekende Sterren , ter oorzaake dat zy hun de waare koers aanweezen. Maar het Pheniciaanfche en Hebreeuwfche woord QDabba), met eenige geringe veranderingen van vocaalen of klinkers, eene gemeenzaame zaak in de Oofterfche Taaien , betekende desgelyks een Beer; de Arabiërs en de Hebreën noemen hetzelve, in der daad, Dubb. Daar uit kwam het dat de Grieken, welke die Sterren door de Pheniciaanfche Zeelieden, die hunne kuften veelvuldig bezochten, aldus hoorden noemen, de eene betekenis voor de andere neemende , dezelve noemden de tekenen der Beeren. Daar uit kwam naderhand het vermaard verdichtfel van Ca/ifto en Arcas, in Beeren veranderd, en welken Jupiter in den Hemel voerde, waar by de verbeelding der Dichteren,welke die Sterren in het geweftvan Griekenland nooit zagen ondergaan , nog voegde, dat Juno, altoos wraak zoekende te neemen, haar van het voorrecht beroofd hadt, om even als de andere in de Zee te komen ruften. Misfchien zelfs hadt de overeenkomft der beide woorden de Pheniciërs reeds aanleiding gegeeven , om dit verdichtfel op te maaken, zulks dat de Grieken niets anders deeden als hetzelve van hen te ontfangen, en flegts deeze nieuwe omftandigheid der wiaake van juno daar byvoegden. Want het ve'rfchynfel, dat de beweegoorzaak daar van is, heeft geen plaats ten aanzien G 5 der



ioS HISTORIE der
der kuften van Phenicïe en Afrika, of andere zuidelyker landen, welken de Pheniciaanfche Zeelieden voorïiaamelyk bezochten.
Het geftérnte van den Hond, en de naam van de blinkende Ster, die hetzelve onderfcheidt, hebben geen anderen ootfprong. Deeze Ster werdt door de .Egyptenaars de Ster van den Nyl, of Sibor, genoemd; want deeze rivier voerde dien naam, zo als de H. Schrift ons leert (?»)• Men hadt daar door willen te kennen geeven,', dat haare verfchyning de overvloeijing van den Nyl aankondigde. Eene geringe woordbuiging, met den Griekfchen uitgang, maakte daar van z^/os, Sirius; maar deeze Ster werdt nog daar benevens genoemd Tbot of Tabaut, dat is te zeggen , de Hond , zo als verfcheide Schryvers van de aloudheid ons te kennen geeven. Men hadt haar dien naam gegeeven, om dat zy, als een getrouwe Hond, van de opzwelling des Nyls kennis gaf, of ter gedachtenisfe van den vermaarden Tbot of Mercurius ,waar van de Egyptifche gefchie:lenis zo veele wonderen verhaalt. De Grieken vertaalden bet ktterlyk in hunne taal, en maakten daar van hun Arpo-xve», Ajlrocanis, hetgeen hen aanleiding gaf om van de nabuurige Sterren een hond te maaken. Ik zou nog, in navolging Van den Heer Pluche, verfcheide voorbeelden hier van geeven kunnéfl, maar de luft en noodzaakelykheid om kortte zyn, maaken dat ik my vergenoege metdenLeeaer naar zyn werk te wyzen.
Dit faamenftel van verklaaringen geeft eenen zeer verüuftigen, ik mag zelfs zeggen, fomtyds zeer voldoenden oorfprong aan verfcheide trekken der Griekfche Fabelkunde. Maar de Schryver van hetzelve, of liever de Heer Plucbe , die het vooniaamelyk ontvouwd heeft, zou hetzelve mif^chien aanlokkelyker gemaakt hebben, indien hy bet niet te veel gedwongen hadt. ik kan my, by voorbeeld, rikt overreeden, dat de Reize der Argonauten , ontbloot van alle den cieraad, welke de vinding dsar by gevoegd heeft, flegts een verdichtfel zy, getrond op het woord Argoniotb, dat in de Pheniciaanfche taal Werk van bet Schip betekent; dat de Grieken
daar
(ro) Jpf. XIII. 3- Jèrem. II. 18.



WISKUNDE. I. DM, II. Boek.
daar uit hun Schip Argo voortgebrag't, en op dien zwakken grondflag de gantiche gefchiedenis van dien vermaarden krygstogt gebouwd hebben. iMaar 't is hier de plaats niet om in dit onderzoek te treeden. Welke de oor» fprong van die verdichtfelen ook zy, doet echter dezelve geen nadeel aan 't gevoelen , 't welk den Grieken de verdeeling des Hemels in Gefterntens toefcbryft* want het zy dezelve door hunne Dichteren uitgedacht,' of op de reeds verklaarde wyze ontdaan zyn, zal het altoos met waarfcbynlykheid kunnen gezegd worden, dat Griskenland die verdichte voorwerpen aan den Hemel over* bragt. Sommige naamen, als die van den Hond, van Canopus, van de beide Beeren , enz. zullen,zo men wil van de Vreemdelingen ontleend zyn; maar ten aanzien* van het grootde getal geloof ik, dat wy, tot dat wv nieuwe bewyzen daar van bekomen, dezelve als het werk der Grieken zeiven moet aanzien. Ten opzichte der verdeeling van den Zodiak, waar van de Heer P/u. cbehet verhaal doet, en welke een voornaam gedeelte van zyn ftelfel uitmaakt, kunnen wy ons niet onthouden eenige overweegingen te maaken, welke bekwaam zyrt om te toonen, hoe weinig zyne gisfing gegrond is.
In de eerfte plaats is het middel, dat men voorgeeft door die eerfte bewooners van Chaldeain 't werk geiteld te zyn, om den weg der Zon in gelyke deelen te verdeelen, zonder twyffel flegts eene vinding van Sextus Empiricus, van wien Macrobius die ontleend heeft wanneer hy dezelve aan de Chaldeërs toeeigent. Niemand denk ik, zal zich verzekerd houden, dat die Schryvers! noch eenige dergeenen , welke vóór hun gefchreeven hebben, eenige kennis hebben kunnen gehad hebben van hetgeen m eenen zo lang verlopen tyd is voorgevallen. De Heer Plucbe geeft, wel is waar, voor, dat het eene oude overlevering is, welke zy vw ons bewaard heb* bén. Maar zulks is t'eenemaal ongegrond en h*t is veel waarfchynlyker , dat die herftellers van het menlchelyk geflacat, veel nayveriger over den welvaart hunner kudden en de voortreffelykheid hunner weiden .nimmer aan eene zo verhevene Sterekundé dachten
Die eerfte menfehen, zal men zeggen, hadden middelen noodig, om de voortgangen van 't jaar te leeren
ken*



io8 HISTORIE der
kennen , en om de tyden van hunnen verfchillenden arbeid daar na te richten. Wy ftaan zulks toe , maar zy konden, zonder den Zodiak te verdeelen, die verfcheide tekenen, bekwaam om hen tot een richtfnoer te dienen , aan den Hemel vinden. Laat ons oordeelen over diegeenen , welken zy verkozen, met die welken wy zien, dat by alle Volkeren in gebruik geweeft zyn, in de tyden, toen het gebrek van een welgeftelden Almanak hen aanfpoorde , om geduurig met den Hemel te raad- , pleegen. Deeze zyn de achtervolgende bedekkingen en verfchyningeu, of, om ons van het by de Ouden gewyde woord te bedienen, de op- en ondergangen (n), niet van de tekenen van den Zodiak, maar van verfcüeide Sterren of Gefterntens, welke door hunnen glans of hunne gedaante zeer merkwaardig zyn, als de Pkijades, óeHyades, Artturus, Orion , de Kroon, enz. Hefiodus geeft aan zyne Landbouwers het voorfchrift om by
den
(rO Men onderfcheidt drie foorten van op- en ondergangen der Sterren; nasmelyk die welke men Cofmifcbe, Heliafcbe en Acronifcbe noemt. De eerfte zyn hetgeen men gemeenlyk door den op- en ondergang van een Hemellicht verftaat. De Heliafcbe opgang is niets anders als deszelfs Emerjse van de ftraalen der Zon. die zich van hetzelve verwydert, en maakt, dat men het 's morgens by den opgang, kort vóór den dageraad, kan zien. Dezelve is die , waar van het voorfchrift van Hc(iodus fpreekt, om met den opgang der Pleijades te oogden. De He. liafcbe ondergang is het tegenjjeftelde, dat is te zeggen, de lm. vierfie van het Hemellicht in de Zonneftraalen, hetgeen maakt, dat men berzeive 's avonds, na de Zon ondergaande, niet meer kan zien. De Acronifcbe opgang is die welke gefchiedt, wanneer een Ster boven den Horizon ryfl, onmiddelyk of !;ort na dat de avondfchemering geëindigd is, en toelaat dezeive by den opgang te zien. In tegendeel gefchiedt de Acronifcbe ondergang, wanneer een Ster, kort vóór demorgenfchemering, onder den Horizon duikr. Het is van dit foort van ondergang dat He. fioius fpreekt, wanneer hy lalt geeft . om met den ondergang der Pleiiades het land te bouwen. Deeze ondergang der Hyades is het die gemeenlyk de regenachtige tyden wede; in Griekenland bragt. Het is eindelyk deeze foort van ondergang, die Fir gilius in de Verfen der Georgic*, welken wy aannaaien, in 't oog heeft.



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 105
den'opgang der Pleijades te oogften, en by haaren ondergang het land te bouwen Co). Op dergelyke tekenen zyn de onderwyzingen gegrond, welken alle de oude Schryvers geeven, als Mago de Carthaginienzer, in zyne Geoponicce, Ovidius in zyne Vierdagen QFafti^, l?irgilius in zyne Landgedichten (Georgica), Columella in zyn Werk de re RuJIicd, Plinius eindelyk'in de Natuurlyke Hiftorie. Jk zal alle die getuigenisfen niet verzaamelen, maar my alleenlyk bepaalen tot eenige Verfen van Virgïlius, wier fraaiheid my noodigt dezelve by te brengen.
. . . Tam funt Arëluri Jidera nobis, Hcedorumque dies fervandi, 6? lucidus Anguis, Qudm quibus in patriam ventofa per <equora vediis Povtus &ƒ oftriferi fauces tentantur Abydi.
Ante tibi Eoce Atlantides abfcondantur,
Gnofftaque ardentis decedat ftella corona. >
Debita qudm fulcis commütas femina; qudmque
Invite properes anni fpem credere term.
Multi ante occafum Maïte ccepere: fed Mos
ExpeEtata feges vanis elujit avenis.
Si vero viciamque feres, vilemque pbafelum,
Nee Pelufiacce curam afpemabere lentis,
Haud obfeura cadens mittet tibifigna Bootes, Georg. ]. r.
Men kan geenzins twyfl'elen, of die groote Meefters hebben hunne onderwyzingen gefchikt naar de eenvoudigheid dergeenen , welken dezelve betroffen en de natuurlykfte en gebruiklykfte tekenen verkoren. Het is derhalve tot overeenkomftige tekenen , en niet tot de Gefterntens van den Zodiak zeiven, waar toe de eerfte menfehen hunnen toevlugt hebben moeten neemen. Wy merken in der daad aan, dat de meefte weinig aanmerkelyk, weinig bekwaam zyn om tot tekenen te dienen aan lieden , welke niet als door veel in 't 00e loopende voorwerpen getroffen worden. Ook zien wy
by
(e) ipt» x«< liiufttt. Opera S? dies. 1. II.



jïo HISTORIE der
by ons op 't Land, dat men daar de P/eijades, de Hyades, den grooten en kleinen Beer, Orion, ArEturus, de Kroon, enz. kent; maar men kent aldaar niet noch den Ram , noch, den Kreeft, noch den Waterman, en nog minder de Vjsfchen, enz.; en zo iemand dezelve aan onze Herders en Landlieden leerde kennen zou ditzekerlyk eene kennisfe zyn, die tot weinig anl deren overgebragc zoude worden, Want de meefte tekenen , zelfs de glansrykfte, van den Zodiak, hebben niets in hunne gedaante, dat bekwaam zy om die nieuwsgierigheid op te wekken, door we'ke alleen eene overlevering by onbefchaafde menfehen vereeuwigd kan worden»
In de tweede plaats kunnen wy hier, tegen deeze gewaande benoeming van den Zodiak eene aanmerking ge. bruiken, welke ons gediend heeft tegen die,welke men aan Cbiron heeft toegeëigend. Men heeft "doen zien, dat 'er in 't eerft fkgts elf tekenen in dien Cirkel waren, dat de Weegfchaal van eene laatere inftelüng was, ik wil zeggen , van flegts eenige eeuwen vóór de Caristelyke Jaartelling, en dat hnare plaats door de klaauwen van den Schorpioen vervuld werdt. 't Is derhalve eene vergeeffche pooging te willen aanmerken de overeenkomft, die gevonden wordt tusfchen den naam van Weegfchaal en de gelykheid der dagen en nachten, welke voorvalt wanneer de Zon dat teken bereikt. Aan den anderen kant, en dit is eene gewigtige aanmerking, waren in de lang verlopen tyden, tot wolken men de verdeeling waar van wy ipreekeu overbrengt, alk de Sterren, welke de Weegfchaal uitmaaken, vóór het nachtevenings-punt geplaatft. Het was de Schorpioen , door tene Ster van de eerfte grootte merkwaardig teken, welke onmiddelyk daar op volgde; 't is derhalve dit Gefternte dat den naam van Weegfchaal moeft hebben, en 'niet datgeen 't welk thans dien naam draagt.
De Maagd, waar van men eene naleefter, het teken ■ van den oogft, maakt, beantwoord niet aan den rang waar in men haar fti.lt. De Zon was nog zeer ver van de Sterren, welke dit teken faamenftellen, en vooral van de Koornair, de glansrykfte onder dezelven, wanneer de oogft jn de eenigzins .warme landen, als
Grie-



WISKUNDE. I. Deel 1L Boek. m
Griekenland, Chaldea, enz. geëindigd was. De Heer Pluche, heeft ipisgergft, wanneer hy over dan oogft-tyd in die zuidelyke landen oordeelt, door den tyd wanneer dezelve in de uoordelyke deelen van Frankryk voorvalt. De H. Sehrift geeft ons te kennen, dat omtrent den tyd van het Paafchfeeft, dat kort op de nachtevening vaa de Lente volgde, de koornairen zeer naby de rypheid waren; en volgens den zetregel van Hefiodus. rjier boven aaï^ehaald, oogfte men in Griekenland tegen den opgang der Pleijades , dat is te zeggen, tegen het mid* den van de maand April. Deeze gewaande naleefter heeft derhalve den oogft nooit anders als op eene zeer bepaalde wyze kunnen betekenen. Zy zoude veeleer da aanwyzing van den Wynoogft kunnen.zyn, en wy zien in der daad dat zy dezelve in Itaüe was; Want de Latynen gaven den naam van Viniemiatrix, de Wyuoog* fier, aan de Ster die wy de kooru-air noemen; én dien van Provindemitfrix aan eene andere van de derde groot* te, die vóór dezelve kornt.
Wy zuiien eindelyk tot ons laatfte bewys aannaaien het getuigenis van een oud Schryver, die ons te kennen geeft, dat mett ia de Spbeeren der Vreemdelingen niet dezelfde Gefterntens zag als in de Griekfche Spbeer. „ De Egyptenaars., zegthy, hehben noch Draak, noch „ Cepbeus, noch Cafiiopea^enz. maar. hunne hemelfche „ tekenen zyn anders gefchikt, en draagen andere naa„ men; het is.by de Chaldeërs eveneens gelegen. De „ Grieken hebben aan de hunne de naamen gegeeven „ der Helden en Parfoonaadjen, welke zich by hen be„ roemd gemaakt hebben." (p)
■ ■ K i£^Cm*'n-\> 'trnt ■
Het geen Acbilies Tatius ons hier te kennen geeft, wordt vry wel geftaafd door een zeldzaam-ftuk, dat Ja. fepb Scaliger (q) tot ons heeft overgebragt, en uit een boek van den vermaarden Jood Aben Efra, waar van hy een handfchrift .bezat, getrokken is. Dit Werk bevat
eene
(ƒ0 Ach. Tat. Ifag. fjfV.
(?) Ad Manil. Aftronomicon, p. 371.



ii* HISTORIE der
•eene befchryving der drie Spbeeren, de Indiaanfche,■ de Perfiaanfcbe, en die, welke de Grieken, in de Lucht! flreek van Griekenland leevende , Barbaarfch , dat is
^T,^ • °temden; °eeZe laatfte was niets anders dan die der Grieken zeiven, overgebragt tot de Landftreek van Alexandrie, alwaar hunne voornaamfte Sterrekundi. gen zich nedergezet hadden. Scaliger heeft ons ook bewaard f>) een foort van Schildery der oude Egyptifche Spbeer,naar zyn zeggen getrokken uit verfcheide Arabifche Schryvers, welke hetzelve uit oüdeAJiroloeifcbe handfchnften verzaameld hadden. Deeze ftukken treilen ons in ftaat eene vergelyking te maaken van de beelden, welken men in deeze vier Spbeeren zag
Ten aanzien der Egyptifche Spbeer bemerkt men aanftonds, dat 'er naauwlyks één der beelden is, welke in dezelve genoemd worden, 't welk men met de Griekfche Gefterntens overeenbrengen kan. Men ziet in dezelve een man, houdende een zeisfen, een ander met een hondekop, een derde met gekroesd hair. Een ander is er die een beer ombrengt. Men vindt in dezelve een hond op zyn achterfte gezeten, en ziende een leeuw jn de zelfde houding aan,, veele dieren eindelvk in (tanden of plaatfen des Hemels, welke niet toelaaten hun voor de zelfde te neemen, als die welke op onze Spbeer. afgebeeld zyn. Deeze , waar van wv fpreeken, heefc daar benevens eene byzonderheid, hier in betraande dat die Gefterntens ten getale van 36o fchynen te zvn welke zich achtervolgens met ieder der graaden van den Zodiak verheffen. Deeze Cirkel fchynt daar ook verdeeld te zyn m 36 gelyke deelen, waar van ieder een eigen naam draagt, en aan één der Planeeten toegewvd
** a ut T *cin ^/f ^oiden eene Hebreeuwfche of Arabifche afkomft fchynt te hebben, is het een wettig vermoeden , dat zy uit de oude Egyptifche fpraak gefproten zyn; en deeze omftandigheid fchynt mv bekwaam te zyn, om de oudheid deezer verdeeling en het recht der Egyptenaars op dezelve , te ftaaven. Het is waar dat ik bezwaarlyk kan bevatten, hoe zy een zo groot getal Gefterntens aan den Hemel fchikten, en hoe
(r) Ibid, P. 487. de"



WISKDNDE. ï. Deel. II. Boek. ir3
dezelve zodanig geplaatft konden worden, dat 'er met leder graad van den Zodiak één opging. Deeze zyn zwaarigheden, welke ik niet heb moeten bewimpelen.
De V. Monfaucon heeft ons in zyne Oudheden (An-tiquitéi) gegeeven, en in navolging van hem, heeft de Heer Pluche, in zyne Gefchiedenis des Hemels (Hifloiredu Crel)(s), de gedaante van een gedenkteken der Egyptifche Sterrekunde afgemaald. Hetzelve is een oud msn, hebbende om zyn lighaam'een flang geflingerd, in de gedaante van een ktultrek, waar van de tufichenwydte der gangen met de tekenen van den Zo. diak is aangevuld. Men ziet d?ar in voornaamelyk den Leeuw en den Kreeft, of den Schorpioen. Maar niets verzekert ons, dat dit gedenkteken van ouder dagtekening is, als toen de Grieken zich in Egvpte nederfiezet hebben, en zulks is genoeg om alle dé gevolgen welke men tegen ons gevoelen daar uit zoude kunnen afleiden, om ver te ftooten. Men zoude nog z^er weinig grond hebben om tegen ons in te brengen het ftee. nen Planifpherhim, uit Egypte naar Rome gebragt (t) waar in men verfcheide tekenen van den Griekfchen Zodiak, en in de tuffchenruimtens van verfcheide gelvk. middelpuntige cirkelen andere Gefterntens ziet; De Griekfche letteren, welke men daar inleeft, toonen genoegzaam, dat hetzelve na den tyd van Aièxandefi komt; want niemand is onbewult, dat het gebruik van die tekenen eerft na dat tydmerk in Eaypre'werdt ingevoerd.
De Indiaanfche en Perfiaanfche Spheeren zyn minder met beelden belaft, dan de Egvptifche, en byna alken hier in gelyken dezelve naar de Griekfche Spheer. Zie hier fommige der Gefterntens van de eerde. Men vindt in dezelve aanftonds een Hond, die noch Sinus (la Camcule~) noch Procyon kan zyn; zulks wordt pemaklvk beweezen door aan te merken, dat die Gefterntens niet even als die waar van wy hier fpreeken, met de eerfte graaden van den Ram opgaan. Men ziet vervolgens een
£-
0) Tom. I. pl. V. p. 7r. {t) Hifi. de ïAcui. 1708. I. Deel. H



li* HISTORIE DER
Ethiopiaan van een reuzen geftalte.eene vrouw met een mantel bedekt, een ros man in de houding om te vechten, die dezelfde als Perfeiis, fchoon door de andere eigenfchappen, welken de Indiaanen hem toefchryven, mismaakt, fchynt te zyn. Onder verfcheide beelden van mannen en vrouwen, in verlcheide houdingen,vin. de ik flegts één, dat tamelvk wel met den Schutter overeenkomt, doch eene verfchillende plaats houdt met die van dat teken ih de Griekfche Spheer. Men vindt eindelyk aan den Indiaanfchen Hemel een Luipaard, een Oyevaar, iwee Varkens, een grooten boom waar op een Hond zit, enz. eene uitgebreider Optelling fchynt my weinig nuttig te zyn. Derhalve zullen wy dezelve afbreeken, om tot andere voorwerpen over te gaan.
De Perüaanfche Spheer vertoont ons, om de waar heid te zeggen, een vry groot getal Gefterntens , welke de zelfde zyn als die der Grieken. Zodanige zyn in den Zodiak, dat van de Maagd, die aldaar verbeeld wordt door eene vrouw, houdende koorn-airen indehand,zoogende een kind, en hebbende heur man naaft haar ftaan; de Weegfchaal wordt daar in gehouden door een man mét een vergramd weezen, die in de andere hand boeken houdt, een klaar zinnebeeld van een verftandig en ftreng Rechter. Men ziet in dezelve ook Visfchen. Buiten den Zodiak vindt men den grooten en kleinen Beer, het hoofd van Mediifa, Casfiqpea, den Noorder-Driehoek, een gevleugeld Paard, of Pegafus, enz. Maar het fchynt my toe, dat alle die Gefterntens uit Griekenland ontleend zyn; en in der daad, indien men aanmerkt, dat het Griekfche _ Vorften waren , welke na den krygstogt van Alexander in 't Oosten regeerden, zal men befpeuren , dat de Griekfche Sterrekunde noodzaakelyk vede dingen, die haar eigen waren, in die der Perfiaanen heeft moeten invoeren. Men behoort zich derhalve niet te verwonderen, van Griekfche Gtfterr.tens in dezelve aan te treffen, en men kan daar uit geen gunftig gevolg voor het faamenftel van den Heer Pluche afleiden. Daar benevens, indien hrt nognoodig was eene gisfing, die een zo zwakken grondflag heeft, ernftig te beftryden, zouden wy aanmerken, dat men in den Perfnanfchen Zodiak, noch Ram, noch Tweelingen,noch Kreeft, noch
Leeuw,,



WISKUN DE. I. Deel. II. Boek. f115
Leeuw, noch Schorpioen, noch Schutter vindt; en dit is eene aanmerking die deeze gisfing t'eenemaal doet vervallen. Want zo de Chaldeërs de uitvinders der naamen van de Gederntens geweeft waren, zouden 'er, zonder twyffel, meer tekenen derzelven by de Perfiaanen hunne nazaaten, dan by eenig ander Volk, overgebleeven zyn.
Wy zullen derhalve in de Perfiaanfche Spheer de Gefterntens, die voor dezelve vreemd zyn, onderfcheiden van diegeenen welke tot dezelve behooren , eo. waarfchynlyk een grooter oudheid hebben. Zie hier eenige van deeze laatftem Onder dit getal is een Stier, doch onderfcheiden van dien in onze Spheer; want deeze andere gaat met de eerfte graaden van de Ecliptica op , hetgeen de onze, die het tweede teken van den Zodiak is, niet doet. Men ziet in dezelve een harnas, een jongeling zittende op een throon, een Schip waar in een Leeuw is, op welken een man zit, en hebbende onder zich een doode Vrouw. Een man fpeelende op een Speeltuig, twee Wagens door twee jongelingen gevoerd. Een foort van jagthoorn, enz. Ik verzwyge het overige,uit vreeze dat men my te last mogt leggen, dat ik die by. zonderheden te veel aangelegenheid toefchryve. Het zal my genoeg zyn de ftukken aangeweezen te hebben , waar uit hetgeen ik gezegd heb getrokken is, op dac zodanige Leezers, welke naar dezelve nieuwsgierigmog* ten zyn > hunnen toevlugt daar toe neemen kunnen.
X.
Men gelooft, en men zegt het gemeenlyk, dat de Zeevaart haaren opkomst aan de Pheniciërs te danken heeft. Deeze Volkeren genieten zonder tegenfpraakden tytel der eerfte en oudfte handeldryvers van de waereld. De talryke volkplantingen, welke zy op de kusten van de Middellandfche Zee, en op fommige van den Océaan, werwaarts zy door de Straat van Gibraltar gekomen waten, gedicht hebben, zyn hier van bewyzen. Zo veel yver voor die kund, zo veele onderneemingen, door middel van dezelve uitgevoerd, zyn veel vermogende redenen, om hen de eere daar van te geeven. 't fi 2 I*



Ii6 HISTORIE der
Is ten minden noodzaakelyk , toe te daan, dat zy dezelve tot een hoogen top van volmaaktheid bragt'en en dat de meefte beivooneis der kusten van de Middellandfche Zee dezelve van hun kerden. Maar het zy my ten aanzien van deeze eerfte fchets der Zeevaart vergund, dezelve wat van hooger op te haaien, en meer te ontzwagtelen.
Men kan de Zeevaart onder twee oogpunten befchouwen. Onder het eene is zy de kunst om een Schip te voeren , met behulp der werktuiglyke krachten, als de riem, het zeil, enz., weke dknen om hetzelve in beweeging te brengen en te beflieren. Dit is het dat wv door den naam van Scheepswerk verftaan. Onder het ander oogpunt is zy de Weetenichap om dat Schip te bellieren in de noodige ftreek, om van eene plaats naar eene andere te zeilen. Deeze laatfte neemt de Sterrekunde tot hu'p, de eerfte is eene toepasfing een afhan.rkelyk deel der Werktuigkunde.
Ten aanzien van dit eerfte deel der Zeevaart is het moeijelyk zich re overreeden, dat de eerfte fchets derzelve aan de Pheniciërs toegefchreeven moet worden. Zy heeft, zonder twyffel, een ouder oorfprong. De eerfte menfehen, genoodzaakt om rivieren, ofmeireo over te trekken, deeden zulks in 't eerst op Vlotten' voor welke men kort daar na holle Schuiten en daar door bekwaamer om veele dingen te bevatten /in plaats ftelde. De uitvinding van den riem kwam niet lang daar na, en ging vóór alle de andere middelen, om de Schuiten in beweeging te brengen. Deszelfs gebruik wieidt noodzaakelyk, zo dra men zich begon bloot te ftellen aan te diepe wateren, om zich langer te kunnen bedienen van de lanee ftokken, welke men in 't eerft gebruikte om die zwakke fchuiten te voeren. Die ftokken zeiven konden in 't eerft de plaats van riemen be. kleeden, zo als wy zien dat dezelve noch cikwiis onze Schuitevoerders tot dat eindedienen. Eindelyk befpeurde men-, en zulks is gemaklyk te doen, dat, Wanneer men aan het in 't water gedompelde deel meer oppervlakte gaf, men alsdan een grooter tegenftand om het water te doorklieven ondervinden, en by gevolg een grooter beweeging in eene tegengeftelde richting maaken zoude.
Zulfr



WISKUNDE.!. Deel. II. Boek. n7
Zulks gaf aanleiding tot de riemen, zodanig alswvde. zelve hedendaags hebben, het was geenzins noodig tot de Kopten toevlugt te neemen, om dezelve ut te vinden, noch tot de Platei, om dezelven die voordeeligo gedaante, wtLe hunne werking vermeerdert, bv te zetten. J m De Hitvinding van het zeil vereifcht meer redeneering, cn heeft, door een natuurlyk gevolg, laater moeten komen. Ik kan nogthans niet gelooven, dat hetzelve aan de eerfte menfehen lang onbekend is geweest. De werking welke de wind tegtn de lighaamen, die zich tegen deszelfs bewteging aankanten, oeffent, is te groot, om niet haast het denkbeeld te doen verwekken, van deeze kracht, d-e niets koft, en flegts met omzichtigheid behandeld behoeft te worden, te gebruiken; en het is geenzins noodig in de uitvinders van deeze otffening te veel vernuft te onder tellen: want wy z'en volkeren van Ameriknanfche Wilden het gebruik van het zeil kennen, en zelfs, ondanks hunne onkunde en onbefchaafdheid, zich met behendigheid van hetzelve bedienen.
Sommige Schryvers hebben de verdichtfelen van^öius, Dedalus en Icarns, door de uitvinding der zeileo met ernst verklaard. De God der winden'is, volgens hun, de eerfte, die dezelve zo fneedig wist te behandelen, en tot zvn voordeel te richten. Maar de Wysgeeren zullen in liever willen vinden, een werk van de bevallige inbeelding der Grieken, geneigd om de gantfche natuur perfoonlyke eigenfchappen roe te éigenen. Ik heb zulks reeds aangemerkt by gelegenheid van zo veele verdichtfelen, welke men on eene Sterrekundige wyze wil verklaaren. Dat van De. dalus en Icarus moet nog minder als een gedenkteken der uitvinding van het zeil aangezien worden. Zydie zulks gezegd hebben, dachten niet dat het zeil vóór dien tyd bekend was, naardien Thefeus, zo als het verdichtfel zegt, in Crete aankwam, op Scheepen waar van de zeilen zwart waren, en dat de vergeetenheid om dezelve by zyne wederkomst te veranderen, zynen Vader Egeus, die hem den roof van den Mnotaurus pf het Stiermensen dacht te zyn, den dood deedt oaderH 3 gaai



HISTORIE der
gaan. Het is waairfchynlyk dat, zo het verdichtfel van 'Dedalus en Icarus iets weezenlyks bevat, hetzelve zyn oorfprong fchuldig is aan deongemeene;behendigheid, roet welke zyM/;;o^ondanks de v ly t die hy aangewend hadt om hen te wederhouden , ontkwamen. Zulks gaf in 't eerit aanleiding orri te zeggen, dat zy niet als langs den weg der Vogelen hadden kunnen ontvlugten, en kort daarna, dat zy het; weezenlyk gedaan hadden.
't Is niet alleen in de Geneeskunft, waar in, zomen gezegd heeft, de menfehen, belangende zekere oeffeningen, eenigerrhaaten van de dieren lesfen genomen hebben. Een ieder weet den vermeenden oorfprong van de aderlaating, en van een ander hulpmiddel, welks te weinig betaamelyke naam niet als in de boeken over de kunft behoort gevonden te worden. Het is daar mede in de Zeevaart eveneens gelegen. Men wil dat de Zeelieden het roer verfchuldigd zyn aandeWouwe, en aan derzelver handelwyze om zich met depftaaremdelucht te bellieren (u).Typkis, zegtmen, de vermaarde Stuurman der Argonauten, merkte zulks op, en het Schip Argo was het eerfte waar aan .men een roer zag. De gisfing fchynt hier voorvallen bedacht te hebben , bekwaam om voor diegeenen, welke het geheugen ontglipt waren , de plaats te vervullen. De noodzaakelykheid van het roer is te grootom tegelooven, datlerveéleeeuwen .verloopen zyn, eer men hetzelve gekend heeft. De menfeh zou te beklagen zyn, indien de noodige kennis, fen, om hem in zyne bchoeftens te hulp re komen, hem al te diep verborgen waren. De natuur heeft hem gunftiger gehandeld, en de meefte dier uitvindingeffdoen zich op zonder redeneering, of liever met behulp van een zeker ingefchapen gevoel, dat flegts een minder ontzwagtelde redeneering is.
Het roer was, zonder twyffel, in 't eerft flegts een riem, beftierd door een man, die achter in't Schip ftondt. Men maakte hetzelve naderhand, tot een grooter gemak, .aldaar vaft, en eindelyk gaf men 'erdeverfchillendegedaantens aan , die wy hedendaags aan hetzelve zien.
Het
(«) Plinius, Hijl. nat. i. 10»



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 119
Het Schip Argo, met een naauw toezicht gebouwd, als zynde gefchikt om het uitgeleezenfte volk van Gnekenland over te voeren, hadt misfchien een roer, geplaatft cn gemaakt op eene byzondere wyze, hetgeen tot het bovengemelde verdichtfel aan'eiding gegeeven heeft.
De Amerikamen hebben in zekere landftreeken (v) eene handelwyze om hunne Vaartuigen te beltieren, welke verdient dat wy daar van fpreeken, t n aantoont waar toe alleen het ingtfchapen gevoel, doordebehoefteaan-
?[eprikkeld, bekwaam is. De-Wilden waar van wy preeken vaaren niet als op Vlotten, en hun roerisfaa- mengefteld uit platte riemen, welke vóór en achter, in een lyn evenwydig net de lengte, tusfchen klooven, welke met voordacht aldaar gemaakt zyn , Perpendiculair gefteld worden. Willen zy fcherper'by den wind zeilen, of in tegendeel, dan is 'er niets anders te doen als een meer of minder getal van die planken vóór of achter in 't water te dompelen. Een grooter getal aan den boeg doet by den wind draaijen; indien men achter een grooter getal brengt, zal het Vlot afhouden, dat is te zeggen, meer in den ftreek des winds gedraaid worden. Deeze riemen, nevens elkander in 't water gedompeld, maaken een foort van fcherpe kant onder het Vlot, welke, naar maate dezelve dieper is, of minder afwending heeft, inden richt/treek Perpendiculair tot de koers,een grooter oppervlakte tegen het water aanzet, en dienftig is om hetzelve daar in te houden. Nu gaa ik over om de opkomft van het tweede deel der Zeevaart te verklaaren.
De eerften welken zich aan de woede der baaren bloot fielden, zulks nooit in zo verre doende, dat zy het land Uit het gezichtverloren, hadden niet noodig dikwils de oogen naar den Hemel te wenden, om den ftreek , dien zy houden moeften, aan denzelven te leezen. Zy reisden geenzins by nacht, en geduurende den dag hadden zy de Zon om hen te geleideD. Maar toen zy, ftóutmoediger geworden zynde, de ruime Zee hadden durven
f» Voyaee de l'Amêrique Méridionale. £>ar deux QiBciers Efpagnols, &c. T. 1.
H 4



110 HISTORIE dir
ven kiezen, of door de ftormwinden in dezelve eedreeven waren wierdt de kennisfe des Hemels hun noodzaakelyk. Het eerfte beginfe) van eene reize wier ftreek niet gericht is, is het Ooft en Weftteleer.n kennen. Daar is geen vaft teken aan den kant van het Zuiden, van het Westen, en van het Oosten.
PrtnrZ" nfpeüTt ™n detVkanc van '< Noordeneen Geiternte, of eene verzaameling van Sterren, zo treffende door de gedaante van hetzelve, dat bvna alle de Volkeren der Waereld .met eenen byzonderen aandacht op hetzelve gelet hebben. Dit is de groote Beer onder de Geleerden, de Wagen by hei gemeen en de bewooncrs van het platteland. DitGufterate verfchvnt altoos omtrent de zelfde plaats des Hemels, en gaat flegts gedeeltelyk onder, ten aanzien der zuidelvkfte kusten van Europa. Hetzelve was daar door bekwaam om het Noorden te doen kennen, en wierdt in 'teerft daar van het teken, wel is waar onzeker, maar nogthans zodanig , als men het toen van die eerfte fchets der Zeevaart verwachten konde. De Phcniciërs waren, zo als men zegt, de oorzaaken van deeze vinding, welke zy naderhand tot grooter volmaaktheid bragtep , goot acht te geeven op het Gelternte van den kleinen Beer, dat minder dan het eerfte van het Koorden afwykt. Dit is een voorval, dat Strabo ons met nadruklyke woorden te kennen geeft (w) ThaleV wien zyne landgencoten ten onrechte de eere van dee? ze opmerking toeëigenen, hadt dezelve van de Pheniciers. Hy onderwondt zich om het gebruik derzelve m zyn Vaderland m te voeren, maar zyne onderwvzingen waren voor de onbefebaafde menfehen, welke de Zeevaart ,n Griekenland oeffenden, van weinig nut en de befchouwing van den kleinen Beer hieldt aan byzonder te zyn aan de Pheniciërs. In der daad Art tus geeft ons te kennen, dat in zyn tyd de Griekfrhf» Zeeheden het gebruik van den grooten Beer nog niet verlaaten hadden, s c
Dat
(•w) Geegra. U i.



WISKUNDE. I. Deel. II. Boek. 12t
Dat Gratis Helice curfus majoribus aftris,
Phcenicas. Cynofura regit
Ctrtior efl Cynofura, tarnen fulcantibus cequori Qtiippe brevis totam fido fe cardine vertit, Sydoniamque ratem nunquam, Jjje&ata fefellit.
Ovidius betuigt ons zulks desgelyks door deeze twee Verfen:
Magna minorque ferce, quarum regit altera Gra'ias , Altera Sydonias, utraque ficca, rat es.
Laat ons niet verwonderd zyn, dat in de Griekfche Zeevaart het vooroordeel en de gewoonte aldus de overhand hadden, boven eene klaarblyklvke nuttigheid. Het zelfde gebeurt nog zo dikwerf onderons, fchooninveel verlichter tyden , dat wy geen oorzaak van verbaasdheid daar in behooren tc vinden O).
XI.
Men behoort te vermoeden om by deOoden een fchets te vinden van alle de Wiskundigekennisfen, welkemerkelyke nuttigheden aan het menfchelyk geflacht kunnen verfchaffen. De natuur, wy hebben dit reeds gezegd, zou den menfeh met te veel onmedoogendheid gehandeld hebben , indien zy hem in de noodzaakelykheid gefield hadt, om tot lange redeneeringen toevlugt te neemen i
(x) Het zou hier de bekwaame plaats zyn, om van fora» mige der oude Zee-reizen, welke de meefte vermaardheid hadden , te fpreeken. Wy hadden van dezelve reeds een Artikel van eenige uitgebreidheid gemaakt. Maar dit is het eenig ftuk niet, dat reeds gemaakt en in orde gefchikt was, 'cwelk wy ons verpligt gevonden hebben achter'te houden, om ons binnen de paaletf, welke wy ons gefield hebben, te houden. Genoodzaakt om dit offer te doen, hebben wy die Artikelen gekozen, welke niet zo regelrecht tot ons beftek behoorden, «n dit was een van dezelve.
H5



tS2
HISTORIÉ der
men, en de natuur der voorwerpen, welke hem omringen, te doorgronden, alvoorens voor zyne behoeftens gebruik daar van te kunnen maaken. Men behoeft zich derhalve niet te verwonderen, vin in de hoogfte aloudheid fpooren van eene zeer ontwikkelde Mechanica te ontmoeten. Wy zullen ons tot eenige indruk maakende voorbeelden bepaalen. Die geweldig groote brokken ftcens, welke de grootsheid der Koningen vanEgypte in de velden van Memphis op elkander ftapelde, Cie Gedenkpylaaren, welke verfcheide Vorften deeden oprichten, zelfs vóór den Oorlog van Troye, konden niet nalaaten zeer magtige Mechanifch». hulpmiddelen te vereisfehen, om dezelve te vervoeren, en op hunne plaats te brengen. Maar zonder in Egypte te komen, waren 'er by alle befchaafde Volkeren groote enaanzienlyke gebouwen, kunften, welke op elk oogenblik het behulp der Mechanica, als van die aan alle menfehen natuurlyke Meetkunde, vorderden. Indien men eindelyk de opkomftvan deeze kunft eenigermaaten wysgeerjg wil belchouwen, zal men gemaklyk zien , dat de voornaamfte krachten, welke tot de faamenftelling der Werktuigen, als de hefboom, het hellend vlak, het katrol, noodig zyn, den menfehen niet lang verborgen hebben moeten zyn; en om zulks te bevestigen, denken wy niet ondienftig te zyn, de wyze, op welke de eerfte opmerking' van fommige dier Werktuigen gefchiedde , breeder te verklaaren.
Reeds met de eerfte poogingen welke men deedt, om groote lasten op te heffen en te beweegen, moeft men de kracht van den hefboom befpeuren. Laaten wy ons verbeelden een blok fteens, dat op den grond ruft, 't welk men begeert te verplaatfen. Eenenatuur}yke neiging zal ons aanftonds doen trachten, om het einde van eenig lang Werktuig onder hetzelve te brengen , om den Bajis los te maaken. Dit gedaan zynde, zal de zelfde neiging ons beweegen, om of het "andere einde op te ligteu, of wel ender dat Werktuig, zo dicht als mogelyk is by den laft, die% opgeligt moet worden, eenig lighaam tot een üeunfelte voegen, op'c welk dezelve, terwyl men dat ander einde nederdruktzal draaijen. De eerften, welke deeze werking deeden,
moe-



WISK UNDE. I. Deel II. Boek. 123
moeiten, met verwondering zien, dat de grootile lasten dit middel niet wederllonden, en dat hoe langer het, werktuig, en hoe nader het fteunfel, dat zy aan'tzelve gegeeven hadden, by den laft was, hoe minder kracht 'er noodig was, om denzelven op te heffen. Eenelöorcgelyke opmerking kon niet onvruchtbaar blyven, men breidde dezelve aanftonds zo veel uit als mogelyk was tot alle de gevallen, waar in men groote tegenttanden moeit overwinnen, en zodanig was de oorfprong van den hefboom.
De opmerking van het hellend vlak kan niet minder oud zyn. Toen men in de beginfelen der Bouwkunde zwaare lasten tot middelmaatige hoogten moest opvoeren, bedacht men, zonder twyffel , om dezelve daar te brengen over eene hellende ftellaadje of fchuins afloopende aarden grond. Nu moeit men ook bemerken, dat men dezelven met zo veel te minder moeijelykheid opwaarts bragt, naar maate die helling kleinderwas, en van verder af genomen werdt. Dat alles wordt byna door de natuur aangeweezen. Vernuftiger menfehen dan de anderen bedachten naderhand, om, in zekere gevallen, het hellend vlak onder den te verheffen of te beweegen laft te brengen. Daar uit kwam de fchroef voort, die niets anders is dan een hellend Vlak, om een Cylinder gerold. Wat de Wigge betreft, niets is natuurlyker dan haar oorfprong. Wanneer men een lighaam moet klooven, is het eerfte middel datzichopdoet, te trachten een fpleet in hetzelve te maaken, door op eenig fcherp werktuig te flaan , cn die fpleet te verwyden , door hetzelve hoe langs hoe verder in te dringen dit nu doet de wigge, wier hoek bekwaam is om zich in 't eersteen weg te baanen, en de afwyking der zyden, om de deelen, tuffchen welke men dezelve met geweld indringt, hoe langs hoe meer van elkander te fcheiden. Het zou overtollig zyn deeze ontvouwing van den oorfprong onzer Mechanifche krachten meerder uitgebreidheid te geeven. Schoon 'er geen gedenkteken overig is, bekwaam om ons veel licht te geeven over de wyze, op welke men die faamenvoegde en gebruikte, is het nogthans waarfchynlyk, dat de zelfde neiging, welke by haare vinding geheerfcht hadt, vruchtbaar



ia* HISTORIE der WISK. &c.
baar gemaakt van dat vernuft, dat wy fomtyds in menichen zonder Studie zien uitblinken, in de aloudheid Vericheide zeer kunftige Werktuigen voortbragt.
Hetgeen wy over de Mechanica, of de Weetenfchap van ce beweegingen der vaste lighaamen, gezegd hebben , wordt desgelyks op de Hydraulica (WaterloopJuinde) eti Hydroftatica (Waterweegkunde) toegepast, leri allen tyde vorderden de behoeftens der maatlchappy kanaa.en te graaven, cn de wateren, door yerfcheij middf,en » van de eene plaats naar de andere te leiden. Men was derhalve ten allen tyde in fhat om de voornaamile wetten der beweeging van die vloeiltoffe te befpeuren. Men zag, dat dezelve zich altoos op eene zelfde hoogte hielde, en, afvloeijende, die hoogte poogde te bereiken, wanneer zy uit eene opening onder haar Waterpas liep, dat dezelve de lighaamen, weifce zich tegen haare beweeging aankantten, met Kracht te rug dreef. Meer was 'er niet noodig, om menlchen, met een zeker vernuft begaafd, en daar benevens door de behoefte aangeprikkeld, aan te zetten om op vcelerlei wyze gebruik van die vloeilToffe te maaken. Maar de duifterheid, welke alle die uitvindingen bedekt, laat niet toe ons langer over dat onder, werp op te houden.
Einde van het. tweede Boek.
H I.



HISTORIE
DER
WISKUNDE.
EERSTE DEEL.
Bevattende de Hiftorie der Wiskunde, van haaren oorfprong af tot de verwoefiing van het Griekfche Ryk.
DERDE BOEK.
Eevattende de Hiftorie van deeze Weetenfchappen, fa Griekenland overgebragt, tot de ftichting der Schoole te Alexandrie.
KORTE INHOUD.
I. Overweegingen over de onzekerheid der vorderingen van de Chaldeërs en Egyptenaaren in de Wiskunde. IJ. Thales gaat naar Egypte, van waar hy Meet - en Sterrekundige kundigheden medebrengt. Stichting der Jonifche Schoole. II i. Vorderingen welken de Meetkunde onder de eerfte Wysgeeren van deeze Schoole maakt. IV. Sterrekundige leer- • ftukken van Thales. Hy voorzegt een Zon-Eclips, en hoe. V. Vorderingen der Sterrekunde onder Anaximander. Deeze Wysgeer verzint de Sphéera armülaris of Hoepel-Spheer enden Gnomon. Hy meet de fchuinsheidvan de Ecliptica. Uitvinding der Geographifche Kaarten en Zonnewyzers. VI. Verdeediging van Anaximander en verfcheide Wysgeeren, wegens ongerymde gevoelens, welke men hun toefchryft.Oorfprong van die aantygingen, door voorbeeldengeftaafd. Ontftaane vervolging tegen de Wysgeeren, waar van Anax-^goxas het offer is. Verkiaar'wg van eenige Natuur- en Sterft-



126
HISTORIE der
rehmdige gevoelens van dien Wysgeer. Vil. Geboorte en werken van Pythagorasi ftichting der Pyihagorifche Schoole. Vorderingen welken de Meetkunde aan dien Wysgeer en zyne leerlingen verfchuldigd is. VIII. Sterrekundige kenmffen en keringen van Pyttiagoras en zyne aanhangers , over de beweeging der Aarde, de naluur der Comeeten, de fchikking der Ptaneèien en Sterren. IX. Zy geeven opkom ft aan de Rekenkunde. Men eigent hun iets toe, dat overeenkomftig is met onze hedendaagfche Rekenkunde.Misbruik 't welk zy van de verborgene eigenfchappen der getallen maaken, enz. X. Ontdekking van Pythagoras over de fiameuluidingen der Muziek. Hiftorie welke men dn-ir van verhaalt. Dooling der Pythagorifche Muzikanten. Hun verfchil met de aanhangers van Ariftoxenes onderzocht. Verfcheide zaaken belangende de oude Muziek. XI. Gefchiedenis van verfcheide Wiskundigen, uit de Italiaanfche fekte voortgekomen, Empedocles, Philola'us, Arclmas, Democricus, Hipi>ocraies van Chio, enz. Xil. Achtervolgends en verdichte ontvouwing der eerfte Sterrekundige ontdekkingen over de gedaante der Aarde, de cirkelen van de Spheer, de beweeging der Zon en Maan, de fchikking der hemelfche lighaamen, enz. XII/. Hiftorie van den Griekfchen Almanak. Verfcheide Perioden vóór die van Meton bedacht; uitvinding van deezen laatften door Calippus en Hipparcbus verbeterd. Andere werken van Meton. Zonderlinge voorvallen wegens dien Sterrekundigen. XIV. Stichting der Platonifche fchoole. Verpligthigen welken de Meetkunde aan dezelve heeft; uitvinding der Meetkundige Anahfis verklaard en opgehelderd. XV. Ontdekkingen iïer Kegelfneeden. Haar afkomst en fommige van derzelver grond-eigenfehappen. XVL Uitvinding cler Meetkundige plaatfen. Waare zin der handel wyze, welke dezelve tot de oplosfing der bepaalde Voorftellen toepas felyk maakt. Haare verdeelingen, enz. XVII. Pliftorie van het Problema der Verdubbeling van den teerling; oplos fingen door Menechmus gegeeven, en 'by gelegenheid die, welke de Ouden in laatere tyden van hetzelve gaven. Hiftorie van het Problema over het in dr'ièn deelen eens hoeks. X VUL Verfcheide Platonifche Meetkundigen en hunne werken. XIX. Weinig inerkelyke vorderingen'der gemengde Wiskunde onder de Platonici, en welke de reden daar van was. Slerrekundigè
' 0%*



WIS KUNDE. I. Deel III. Boek. 117
Onder/telling van Eudoxus, en de onnatltnrlyke gebreken derzehe. Schets der Optica. Kinderachtige gisfingen der Platonici over de ziening. XX. De Wiskunde wordt na den dood van Plato in de Lyceus by aanhoudendheid bevorderd. Meetkundigen welken uit dezelve fchynen voortgekomen te zyn. XXI. De Wiskunde wordt ook zeer hoog geacht in de fchoole van Ariftoteles; maar wordt in dezelve weinig uitgebreid. Eerfte Schetfen der Optica en Mechanica in de Schriften van dien Wysgeer. Haare uit erft e onvolkomenheid. XXII. Verfcheide Wis-èn Meetkundigen, welke den tuffchentyd tusfchen Ariftoteles en de (lichting der fchoole te Alexandrie vervullen. XXIII. Van Pytheas. Zyne waarneeming der fchuinsheid van de Ecliptica, en de gevolgen , welke men daar uit afleidt, onderzocht. XXIV". Kort vertoog over de vordering der Wiskunde van Thales tot Alexander.
I.
Wy komen eindelyk naby een tvd, waar in menig-' vuldiger lichtftraalen de duiiterheid, in welken wy tot hier toe gewandeld hebben , komen te verdry ven. De gedenkftukken , welken wy van de geleerdheid der Egyptenaaren en Chaldeërs verzaameld hebben, zyn te twyftelachtig, om over de vorderingen, welke zy in de Wiskunde gemaakt hadden, iets zekers vastte ftellen. Men ziet, in der daad, aan den eenen kant de Grieken, geduurende verfcheide eeuwen, hunne toüVlugt naar Egypte neemen, om aldaar onderweezen te worden, en aan den anderen kant die zelfde Grieken, fchoon met een doordringend verftand begaafd, geduurende een geruimen tyd over de allereenvoudigfte waarheden ftamelen. Indien de Meetkundige ontdekkingen, van welke Thales en Pythagoras betuigden zich zeiven zo veel dank te weeten, flun eigen werk waren, kan men bezwaarlyk een zeer voordeelig denkbeeld opvatten van die mannen , met welke men van over de Zee kwam raadpleegen. Ook gclooven wy cat hunne bekwaamheid, zonder die te gering te achten, zich weinig verder dan de eenvoudigfte beginfelen der Wiskunde
' uit-



148
HISTORIE der
uitltrckte, en dat zy, naar het voorbeeld der Chineezen, veel yver hadden, maar dat de fchranderheid der uitvinding zich zelden onder hen deedt zien. Eenige gelukkige, doch flegts aaneengefchakelde, en bynaaanltonds gefmoorde, denkbeelden, eenige kundigheden van de grootheid der hemelfche omloopen, gevolg van eene onnoemelyke reeks waarneemingen, fchynen het uitmuntendlte te zyn, dat zy ons aanbieden, 't Was noodig dat die Weetenfchap onder de handen der Grieken kwam , om- een aanzienlyker aanwas te verkrygen. Begaafd met die fchranderheid , welke hunne meesters ontbrak, bragten zy dezelve in veel minder tyd, en met minder behulp in een Haat, die zo luisterryk was , dat zy z'ch weinig hadden te beklagen, van de eerfte uitvinders dcezer Weetenfchap niet geweeft te zyn.
II.
Thales van Mileto (a~) bragt de Weetenfchappen, en voornaamelyk de Wiskunde, het eerft in Griekenland^ Die man, wiens naam met recht een onfterflyken roem verdient, werdt omtrer.t het jaar 640 vóór J. C. geboren. Geneigd voor de Studie der natuur, cn denoodtge hulp in zyn Vaderland misfende, ginghy, naar men zegt, in eenen tamelyk hoogen Ouderdom, 'by de Egyptenaaren. De otnftandigheid was gunftig; dieVo'keren tot dien _ tyd in hun land beflotèn, als de Chineezen zo lang in het hunne geweeft zyn, kwamen eindelyk hetzelve voor de Vreemdelingen openzetten. Thales reisde fpoedig daar na toe, hy verkeerde met die Priesters , de eenige bewaarders der Weetenfchappen by hen, en maakte onder hun onderwys fchielyke vorderingen. Zelfs wil men, dat hy niet lang draalde om zyne meelters voorby te ftreeven. Men vindt hier van
het
(a) Thales bloeide omtrent het jaar 500 vóór J. C., en ftieif omtrent het jaar 660; men wordt tot dit beflait ge. bragt, wanneer men tusfchen hun, die hem 70 jaaren levens , en die hem 00 jaaren toefchryven , een medium neemt.



WISKUNDE. I. Deel. III. Soek. Ï2Q
het bewys by Diogenes Laërtius (£"), die ons te kennen geeft, dat hy de Piramieden , of liever de Gedenkzuilen , door middel van haare fchaduwe mat. Indien wy Plutarchus (c) daar in gelooven, was de Koning Amafis, getuige van deeze bewerking, van verwondering geheel verbaasd, en roemde de fchranderheid van den Griekfchen Wysgeer. Zulks fchynt in der daad te kennen te geeven, dat de Egyptifche Wiskundigen nog niet in 't bezit van die Meetkundige vinding waren ; want zo dezelve hun bekend was geweeft is het waarfchynlyk, dat dezelve geen zo groote nieuwigheid voor dien Vorst zoude geweeft zyn. Volgens de wyze op welke Diogenes de vinding-van Thales befchryft, verkoos hy het tydftip , waar in onze fchaduwe, door ■ de Zon ontworpen, aan ons gelyk is, en hy befloot daar uit eene overeenkomftige gelykheid tuffchen die van de Piramiede en haare hoogte. Maar zoude men niet meer fneedigheid in dit voorval van het leven van Thales moogen giffen, en vermoeden, dat hy flegts daar toe gebruikte de betrekking der rechtopftaande lighaamen tot hunne fchaduwe, op een'horizontaal vlak vallende, eene betrekking die voor alle lighaamen in het zelfde tydftip de zelfde is ? 't Is ten minften op deeze wyze dat Plutarchus (d) zulks verhaalt. Kn misfehien heeft de Hiftoriefchryver, door Diogenes aangehaald, het flegts verklaard op die wyze, zo als hy dit voorval verftonüt. Want, zo wy de Wiskundigen hier in uitzonderen, hoe weinig perfoonen zullen wy dan vinden welke van eene betrekking, op eene algemeenc en afgetrokkene wyze begreepen , een klaar denkbeeld hebben ? Wat 'er ook van zy, deeze bewerking is de eerfte bekende fchets van dat deel der Meetkunde, dat de. ongenaakbaare grootheden, door de betrekkingen van dezyden der Drieboeken , meet. Proclus {e) geeft ons nog te kennen , dat Thales, op eene Meetkundige wyze, den afftand,
der
O) In vM Thaletis.
(c) In conviv. Sepwn. Sapien, p. 47.
(d) Ibid.
(e) Comm, in Eucl. ai l. i. p. 2ö«
I. Deel. I



»30 HISTORIE der
der Scheepen, welke ver van den oever lagen, mat Deeze zyn, wel is waar, niet meer dan efnvouöÊ kunftgreepen der Meetkunde. Maar hetgeen voo?
uitdrukking , mets is, ]S eene luifterryke vinding voor die welke eerft gebooren wordt. y S Jn Griekenland wedergekeerd zynde, maakte Thales zyne landgenooten de kundigheden bekend, welke hv m zyne reizen, of door zyne eigene ovemeSen verkreegen hadt; en wel haaft boogen zich velenPon-* der hen , van dat nieuw licht getroffen, onto zTneon.
vvysoegeerte,en in t byzonder der Sekte, welke men
SfiZrT' IBaar^nDaam van het vaderland vaï den ttichter derzelve. Wy zullen nu derzelver werken m de verfcheidene foorten, verklaaren, iunde een aanvang maaken. «uibiucjmmwc
III.
.Vóór dat Thales• zyne kundigheden in 't openbaar deedt zien , waren m Griekenland reeds eenige gelukkige Vernuften geweeft, welke hem een gering denkbeeld der Meetkunde gegeeven hadden. Een zodanige was volgens onze gistingen, een zekere EuphorbL S ?hrygia, door Callimachus (ƒ) geroemd, omdThJ^ rwaaifchynlyk Meetkunde) gDe?chry i?gm Va„ ^den Driehoek gevonden en de eigenfchappen de Fijrm befchouwd hadt. De pasrer en her liniaal wa X2 werktuigen, waar mede.de aloudheid tot de fabeach. ngetyden te rug tradt, dewyl men van het eerfte den neef van Dedalus de eere gaf. Men waTa^nfi haak en her waterpas verfchuldigd aan TheodorusvL Samos een der Bouwmeefters van denTempeUe V£ Jen (g). Maar die vindingen zyn flegts het werk van die ingefchapene Meetkunde /natuurlyk aan alle
men-
(f> Diog. Laer. in Tlmlete. inrit Plini^S, HiJl' Nat' h 7' c' '56' Cn Di'°S- in



WISKUNDE. I. Deel III. Bvek. i3t
menfehen, en die niet kan nalaaten zich by een volk, aan de Kunften overgegeeven, te ontwikkelen, 't Is met de wederkomt!: van Thales, dat men by de Grieken moet vastttellen den oorfprong van de waare Meetkunde, van die weetenfchap, welke alleen door de redeneering en het licht der klaarblyklykhéid beflierd wordt, die der maatfehappye zo vee'e hu'pmiddelen verfchaft heeft, welke ter verbaazing ttrekken van hen die in deeze weetenfchap onkundig zyn, (die eindelyk het menfchelyk verftand tot een werktuig'gediend heeft, om de Hemelen te meeten, en duizend natuurlyke verfchynfelen te doorgronden. Indien haare fchreeden altoos van die der eerfte voorgegaan zyn, moet men zich deswegens niet verwonderen; de r>atuur heeft den mensch de ingefchapene neiging gegeeven, om zyne behoeftens te vervullen, zy heeft de traager redeneering tot edeler voorwerpen gefchikt.
Thales leide derhalve in Griekenland de gronden der waare Meetkunde; en deedt, hetgeen Euphorbius niec hadt kunnen doen, zynen landgenooten behaagen daar in fcheppen. Men eigent hem in 't byzonder verfcheide ontdekkingen toe, over de Driehoeken onder elkan. der vergeleeken, en over den cirkel. Een derzelven verwekte voornaamelyk in hem die geweldige verrukkingen , welke misfehien alleen by de Dichters en Meetkundigen bekend zyn, deeze is die van de merkwaardige eigenfehap des cirkels , volgens welke alle de Driehoeken, welke den Diameter tot Bafis hebben, en waar-van één der hoeken den omtrek ltoot, dien hoek recht hebben. Hy voorzag, dat deeze ontdekking van een groote nuttigheid zoude zyn, om tot andere op te klimmen , en was de Zanggodinnen door eene offerhande dankbaar voor dezelve (h). Maar deeze zyn flegts eenige geringe ftoaltjes der werken van dien vader der Meetkunde; in der daad, Prochis zegt ons uitdrukkelyk, dat hy dezelve met een groot getal ontdekkingen verrykte. Het is te beklagen, dat de Hiftorie van deeze Weetenfchap, oudtyds gefchreeven,
niet
(k) Dieg. in Thahts.
X 2



138 HISTORIE der
niet tot ons gekomen zy, en dat dit verlies ons geen middel overig laat om te weeten, in hoe verre hy kennis van dezelve hadt.
Het is waarfchynlyk dar de meefte leerlingen van Thales Meetkundigen waren; maar 'er zyn byna geenen onder dezelven, wier naamen zich door de duifterheid der tyden een weg hebben kunnen baanen. Ameriflus , broeder van den Dichter Stefichores. en Anaximander zyn de eenigcu, welke bekend zyn (i). De eerfte was een fchrander Meetkundige; dit is alles dat men van hem weet. Wat Anaximander betreft, dezelve fchreef een foort van eerftbeginnende Verhandeling, of inleiding tot de Meetkunde (k), een werk dat het eerfte van deeze foort is, waar van melding gemaakt wordt. De Hiftorie geeft ons van de Meetkundige werken van Anaximenes niets te kennen. Wy zouden van die van Anaxagoras niets meer weeten, indien alles wat hem betreft by Diogenes La'êrtius te vinden was. Maar Plato O) zy dank, dat wy niet behoeven te twyffelen, dat hy zich met zeer gelukkige gevolgen op deeze ftudie toegelegd hebbe. Plutarchus (m) geeft ons ook te kennen', dat hy zich in zyne gevangenis bezig hielde, om de quadratttur des cirkels na te vorfchen. Dit (taaltje verdient opmerking, als zynde de eerfte bekende pooging, welke dat netelig Problema, de klip van zo veel goede naamen, tot onderwerp gehad heeft. Het is waarfchynlyk, dat Anaxagoras, die een fchrander Meetkundige was, zich wift te behoeden, om niet op eene fchandelyke wyze op die klip te vervallen ; ik wil zeggen , dat hy het bedrog der zinnen, waar van wy zo veel oude en laatere voorbeelden hebben, wift te vermyden, en niet in de belagchelykheid verviel, omydcle drogredenen als eene waare oplosfing van dit Problema voor te ftellen. Wy hebben nog smVitruvius (»),
dat
CO J« Euclid. comm. 1. Hl, p, 5. (k) Suidas, in vece Anaxim. (I) Zie Procl. in Eucl. 1. II. c. 4. 0») De exil. 00 Arch, l. IX.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 133
dat Anaxagoras over de Optica, en in 't byzonder over de Perfpe&ief, fchreef; maar wy zullen elders gelegenheid hebben, om den oorfprong varj beiden breeder te verklaaren.
IV.
Ik zal hier het verhaal der vorderingen van de Meetkunde een weinig opfchorten, om te fpreeken van die geenen, welke deftudie des Hemels in den zelfden tyd en in de zelfde fchoole maakte. Men heeft in het voorgaande Boek gezien, waar in die foort van ftudie vóór den ouderdom der Wysbegeerte by de Grieken beltonde. Thales maakte hen , byzyne wederkomlt uit Egypte,de waare Sterrekunde bekend, 't Was zelfs door zyne Sterre. kundige kennisfen , dat hy hunne verwondering het meelt opwekte. Indien de Schryvers, die van hem fpreeken , de waarheid zeggen , leerde hy de rondheid der Aarde (0), de waare oorzaak der Maan-, en ZonEclipfen (p) ,• hy deedt zelfs nog meer , hy voorzeide eene Eclips van de laatfte foort, en de gebeurtenis bekrachtigde de voorzegging {q)- Deeze Eclips is die welke voorviel, in hetoogenblik als Cyaxares, Koning der Meden, en Aliathus, Koning der Lydiërs, op het punt (tonden om elkander fiag te leveren. Dit was het jaar 585 vóór J. C., volgens de berekening van Riccioli (r), en overeenkomftig met het getuigenis van Plinius (s), die deeze gebeurtenis in het vierde Jaar der XLVIII. Olympiade ltelt (t). Men kan niet gelooven, dat Thales uit
zich
fo) Plut. de Placit. Philof. 1. II; c. 9. 10.
00 iind. ai. 24. 28.
(?) Herod. /. 1. Diog. Laè'r. (r) Alm. nov. T. 1. p. 363. (s) Hifl. Nat. 1. II. c. 12.'
it) Spreekende van deeze Zon-Eclips, door Thalesvonrzegd, en welke de Lydiürs en de Meden, zo als zy gereed ftisnden om handgemeen te worden, van elkander fcheidde, dachten wy de berekeningen van den V. Riccioli mat zekerheid te mogen volgen. Maar wy hebben naderhand, in de Philefoophifche Trcmfatïien van 1753, twee ftukken, het I 3 em



334
HISTORIE der
zich zeiven tot eene zo moeijelyke voorzegging gekomen zy. Hy gebruikte zonder twyffel eenige kunftige leerwyze, door de Egyptenaars uitgedacht, want de voorzegging van eene Zon - Eclips onderflelt een groot getal beginfelen, zekerlyk onbekend aan dien vader der Sterrekunde, en welke zelfs lang na hem onbekend waren,
De kennisfe van de Spheer (u), dat is te zeggen, de verdeeling van den Hemel in verfchillende Cirkelen, de feiuinshe d van de Ecliptica (v), eene ontdekking aan wier eere men zo veel andere verbindt; de oorzaak zelve der phafes van de Maan waren, volgens Amlem O) , ontdekkingen of leerftukken van den Wysgeérvan Mileio. Sedert mat hy ook de fchynbaare middellyn der £on' en bevondt dezelve het 7aolte deel van haa« ren Cirkel (x), waar in hy weinig van de waarheid af-, week. Deeze plaats van Apulern geeft den waaren zin van hetgeen Diogenes op eene onverftaanbaare en belagchelyke wyze voorftelt, wanneer hy zegt, dat Tha, les bevondt, dat de Zon het 72ofte deel van den loop, kring der Maan was. Hy wilde zeggen van haaren eigen loopkring,- want wie heeft zich ooit verbeeld de grootheid, zo weezenlyke als fchynbaare , van eene Planeet te meeten, door dezelve met den loopkring van eene andere te vergelyken?
Wat
een van den Heer George Cojiard, het andere van den Heer William Stuckeley, gevonden, welke bewyzen , dat deeze Eclips geen andere heeft kunnen zyn, als die welke in het jaar 603 vóór J. C. voorviel. Het laatfte van deeze ftukken is vergezeld van een Kaart der landen, welken de fchaduw der Maan doorliep, en men ziet in dezelve dat, voor het deel van A/ia, dat waarfchynlyk het tooneel des oorlogs was, de Eclips omtrent den Middag en geduurende eenige minuten, totaal was. Dus fchynt deeze gebeurtenis, zo vermaard in de Hiftorie, ifj Jaaren vdór het tydmerk, waarjri de Tydrekenaars dezelve plaatfen , te rug gezet- te moeten worden.
O) De Placit. Pbil 1, \\, q. 31.
(y) Diog. Laer.
(w) In Floriifcs.
(*) Ibid,



WISKUNDE. I. Deel. fll. Boek. 135-
Wat de fchuinsheid der Ecliptica betreft, het is noodig dat wy hetgeen boven gezegd is nader verklaaren. Men kan Thales de kennisfe van dezelve niet ontzeggen , ondanks de getuigenisfen van hun, welke derzelver ontdekking aan verfcheide Wysgeeren, als Pythagoras, OEnopides en Anaximander. toeëigenen. Wy eisfchen dezelve voor hem te rug, in navolging van Plutarchus, welke hem dezelve uitdrukkelyk toeeigent f31), en naar Diogenes, welke zege, dat hy den loop der Zon van de eene omwending, dat is te zeggen, van den eenen Zonneftand tot den anderen, onderwees. Want de Ouden noemden tropee, of omwendina;en, • hetgeen wy Zonneftanden noemen, door in acht te neemen eene verfchillende omftandigheid, naamelyk de foort van ftilftand, welke de Zon, geduurende eenige dagen, dicht by die punten maakt. Kan men, op eene dergelyke aanwyzing, Thales de kennisfe der fchuinsheid van den weg der Zon ontzeggen? Indien het waar is, zo als men zegt (z), dat hy over de Zonneftanden en Nachteveningen gefchreeven heefc,kan men niec twyffelen, of de verklaaring van die verfchynfelen is het onderwerp van dat Werk geweest, en gevolglyk heeft hy de fchuinsheid van de Ecliptica gekend.
Thales bepaalde zich niet alleen tot de bloote befpiegeling: hy deedt poogingen om de Sterrekunde op het algemeen belang toepasfelyk te maaken, door te zoeken om den Griekfchen Almanak, die toen in eene groote verwarring was, tot meerder volmaaktheid te brengen, maar men kende toen nog niet genoeg de grootheid der omloopstyden van Zon en Maan, en wy moeten bekennen, dat wy daar over verbaasd ftaan. Ia der daad, de Egyptenaaren, van welken hy zo veele andere kundigheden ontleend hadt, fchynen omtrent dat tydmerk kundig genoeg daar in geweeft te zyn. Het hing ook niet aan Thales, dat de Zeevaart niet en zeker-
(y) De Placit. Phil. Ibid. (?) Diog Laer.



13^ HISTORIE der
kerder en geleerder by zyne landgenooten was. Hv onderwees hen het gebruik van den kleinen Beer (Vj, dat hy zelf van de Pheniciërs hadt. Maar de Griefcen, aan hunne oude oefeningen verknogt, fchynen dat gebruik niet aangenomen te hebben. 'e^Is misfchien met aat inzicht, dat hy die Verhandeling over de Zee. mans Sterrekunde fchreef, waar van fommigen hem als den Opaelier aanzagen: voorts is 'er over dat ftuk zo veel onzekerheid, dat terwyl fommigen hetzelve als zyn eemg gek hnft aanmerkten, anderen het aan eenen zekeren Phocus van Samos toefchreeven
V.
Anaximander (c), die Thales in het bewind der Toni ■ Iche Schoole opvolgde, bevestigde de Theorie van zyn meefter. Hy leerde, even als hy, dat de Aarde rond was, dat de Maan haaren glans van de Zon ontleende, enz. Cd) Sommige Schryvers hebben hem onder de voorltanders van de beweegbaarheid der Aarde gefteld • zy namen tot hun grond het getuigenis van eene plaats' welke een overgebleeven ftuk van eene oude Hiftorie' der Sterrekunde ons verfchaft (e), en alwaar gezegd wordt, dat, volgens dien Wysgeer, de Aarde om het middelpunt van het geheel-al in beweeging wasr*<»««< *tf/ t, ttt KtcftS fin,,). Maar ik verdenke die plaats grootelyks van vervalfching; het is gemaklyk, dat het woord mur*, aldaar in plaats van dat van 'mrat, meet Jngeflopen zy, en deeze verbetering brengt die plaats overeen, met hetgeen alle de andere Hiftorie-Schrvvers ons van dien opvolger van Thales te kennen geeven. Het getuigenis van Ariftoteles (ƒ) over dat onderwerp is zeker, en moet den voorrang behouden, 't
Was,
(a) Strab. Geogra. I. I. Q>) Diog. Ibid,
(c) Anaximander bloeide omtrent het jaar 570 vóór T. t., by was omfent bet jaar620gebooren , en ftierf in 't jaar 545 ydór het zelfde tydbegin.
(d) IMog. in Anaximand.
(e) Fabricius. Bibl. Grce. Y. UI. p. 278
(f) De ttelo, L. II. c. 13,



WISKUNDE. I. Deel III, Boek. ï3?
Was, zegt hy, een vraagftuk, waar over in de fchooJen der Wysgeeren geredentwift werdc, hoe de Aarde zich, zonder te vallen , in 't midden van het geheel-al konde ftaande houden. Anaximander gaf daar van eene vry verftandige reden voordien tyd. Hy zeide, dat het geen haar belette te vallen, haare overeenkomftfge ftand rondom het middelpunt van hetgeheel-3l was, een ftand die oorzaak was, dat zy daar bleef, als zynde daar niets, dat haar uit die plaats konde brengen.
Men weet niet welke beweegreden Anaximander overtuigde, dat deZon een gloeijende klomp, ten minften zo groot als de Aarde , was (g ). Dit konde wel niets anders dan eene gisfiagzyn; doch, fchoonverre beneden het zekere, was dezelve, voor den tyd waar in hy leefde, zeer vrymoedig, en moet van haaren vinder een voordeclig denkbeeld verfchaffen. Hydie, in deeze kindsheid der Sterrekunde, de Zon gelyk aan de Aarde dorft te maaken, zoude in andere eeuwen weinig moeite gehad hebben , om zich te verheffen toe de verhevene waarheden, in wier bezit wy hedendaags zyn.
Verfcheide merkwaardige uitvindingen werden omtrent dien tyd in dejonifche fchoole gebooren, en fchynen aan Anaximander wegefchreeven te moeten worden. Een zodanige was eerftelyk die van de Spheer, of van dat vernuftig werktuig, 't welk de verfchillende cirkelen , welke de Sterrekundigen zich aan den Hemel ver* beelden, onder onze oogen brengt. Dit is hetgeen Diogenes met deeze woorden, & fpheeram conftruxit, wil te kennen geeven.
De tweede uitvinding, welke Anaximander beroemd maakt, is die van den Gnomon. Diogenes geeft ons te kennen , dat hy een zodanig werktuig te Lacedemonien liet oprichten. Om de waarheid te zeggen, zo was dit oude werktuig, zodanig als het uit de handen van dien Wysgeer kwam, zeer verfchillende van 't geen hetzelve thans is. Hetzelve beftondt flegts in een loodrecht opgerichten ftyl, en welke door de fchaduwe
van
(iO Diog. Laer.
-5



135 HISTORIE de»
van deszelfs top den weg der Zon aanwees, in plaats dat wy hedendaags het fchynfel van dat Hemellicht door een rond gat, welks middelpunt geacht wordt den top van het Werktuig te zyn, laaten gaan. Anaximander bediende zich van dat Werktuig om de Zonneftanden waar te neemen; en misfehien moet aan deeze nog ruwe waarneemmg, zodanig eindelyk alsmen dezelve van de opkomende Sterrekunde verwachten moet, de beerooting toegefchreeven worden, welke de eerfte Griekfche SterreKundigen van de fchuinsheid derEcliptica, opvier-en twintig graaden, of één 15de van den omtrek, deeden. Men kan nogthans een andere reden daar voor beraamen. iNaardien men in die oude tyden den cirkel no* niet in E r ™ in,dee,en va" een graad, verdeeld hadt, deeden de Meetkundigen, welke de grootheid eensboogs wi,den aan wyzen, zulks doordeszelfs overeenkomft met den omtrek: nu is het zeer natuurlyk te denken, dac men, wanneer men denzelven niet naauwkeurig konde uitdrukken, de naafte ronde getallen verkoos. Dus, ichoon men misfehien nog niet befpeurd hadt, dat de Ichumsheid der Ecliptica niet juift vyftien maal in den omtrek begreepen was, nam men echter dit getal om dezelve uit te drukken, om dat hetzelve het naaft daar
dv w3.S.
De Geographifche Kaarten en de Zonnewvzers zvn mede twee uitvindingen , welken de Wiskunde aan den opvolger van Thales verfchuldigd is. Straho (h) en Dlcgenes geeven ons eenpaarig te kennen, dat die Wysgeer den Grieken eene afbeelding van Griekenland, van de landen eu Zeceo, welken de reizigers van dat volk bezochten, voor oogen ftelde. Waarfchynlyk bleef hv daar by: ten minften behoorde hy zulks te doen, indien hy zich met wilde bloot ftellen, omzyneafbeeldingmet veele valfchheden te mismaaken. Zodanig was by de Grieken de opkom ft der Aardrykskunde (Geographia), waar over Hecateus de eerfte bekende Verhandeling fch eef, doch we ke niet tot ons gekomen is. Ik heb voorbedacfitelyk gezegd, dat deeze de oorfprong der Aardryks.
kus-
ih) Geogra. I. 1. verf. fotf»



WISKUNDE, t. Deel. III. Boek. 13$
kunde by de Grieken was; want zo wy Apollonius van Rhodes (i) daar in gelooven, hadt de vermaarde Sefostrh reeds eene diergelyke verbeelding der landen, welken hy onder zyne gehoorzaamheid gebragt hadt, laaten maaken.
Ten aanzien der Zonnewyzers geeft Diogenes daar van de eere aan Anaximander, terwyl Plinius (k) de eere daar van aan Anaximenes toefchryft. De overeenkomft der naamen heeft, zonder twyffel, een van betden doen dwaalen, en wy zouden te vergeefs arbeiden, om te ontdekken aan wiens kant de waarheid is. Wy zullen flegts daar uit befluiten, dat deeze uitvinding aan de eerfte opvolgers van Thales moet toegeëigend worden.
Sommige Geleerden, onder anderen de Heer Saumat-fe% hebben het verhaal van Plinius en Diogenes Laè'rtius, belangende de uitvinding der Zonnewyzers, van valfchheid verdacht gehouden. Steunende op eenige uitdrukkingen van oude Blytooneel-Dichters, hebben zy gewaand, dat deeze uitvinding veel minder oud was, dan die Hiftorie-Schryvers dezelve maaken. Wy zullen ons onthouden, om in een onderzoek, dat ons te verre zoude brengen, te treedenwy zullen ons bepaalen om naar den V. Pet au Cl) en Leon Allatius (m) te wyzen, welke de oudheid der Zonnewyzers in Griekenland op eene zegeryke wyze fchynen herfteld te hebben.
VI.
Anaximander hadt tot opvolger zynen landgenoot Amximenes, en deeze werdt van Anaxagoras gevolgd (n).
Men
(0 Argon. 1. IV. c. 478. ifo Hifl. Nat. 1. II. c. (58. (/) Uranol. Var. Ai ff. (m) De ratione temp.
(w) De juifte ouderdom van den eerften dier Wysgeeren is weinig bekend. Maar het is natuurlyk te denken, dat by omtrent het jaar 545 vóór J. C. van een rypen ouderdom was, naardien het in dat jaar was, dat hy Anaximander opvolgde.' Hy ftierf waarfchynlyk omtrent het jaar 509. Wat Ajiaxa.



H& HISTORIE der
Men kent hunne werken niet zeer omftandig- maar hpt « zeker dat de Studie des Hemels onder hun in de Jomfche Schoole begon te bioeijen. Anaxagoras gaf zich zeiven met veel yver aan dezelve over, getuigehier van dit antwoord, dat hy aan iemand gaf, die hem zvne
ÏÏ^&'W W dC Z3aken van ^n Vaderland je"! weet. Hoelftel' ik daar th niet een groot belang, antwoordde de Wysgeer, naar den Hemel wyzendè, \ s
Z^v^ di°°r ZeggeD^ daC hy denzelven als zyn rechte Vaderland aanzag (o). y
Nogthans fchryft men aan die beide Wysgeeren eevoeV^t0e,7?e,ZT\Wel'nig tot hunne^ie ftrSn Volgens Ariftoteles (p) gaven zy de Aarde eene platte gedaante, welke Thales en zyn eerfte opvolger dezelve benomen hadden. Anaximander h van die aantySn met vry geweeft; men heeft hem doen zeggen (//, dat de loopkringen der Hemellichten groote raderen waren ^l^rT T1' dat door eeWning uSbTrÖe en dat de Eclipfen door eene verftopping van die opening
ZdfsVlevoen^eMhvD Va" ^SSS
Zeirs voegde hy, naar men zegt, nog by deeze on«e.
rymdheden, dat de Hemellichten niet onder de Aardf
maar rondom dezelve, als een muts op het hoofd, draai'-
den (O. Men zoude van ceneongemeeneligtgeloovig-
heid moeten zyn, om deeze verhaalen aan te nee-
Als men de levensbefchryvingen der Wysgeeren maar eemgzins met een verftand, dat met oordeelkunde"be gaafd is, leeft, befpeurt men ligtelyk, hoe zeer de verlieiing dat deel van hunne gefchiedenis verminkt Ik geloof dat die van hunne leerftukken en hunne geleerdt heid
goras betreft, by begon omtrent dien tyd te bioeijen, enftierf m t jaar 46p. vóór J. C. in den ouderdom van 72 jaaren. Dus heeftPene les gemaklyk zyn leerling kunnen zyn want
deeze perfonaadje flierf omtrent het jaa'r%-,o (0) Diog. Laer. *ó (?) De cctlo. 1. II. c. ia.
fopLZ:de Flacitt m Stob- *** w o"s. *üh
CO Orig. Phil.



WISKUNDE. I. Deel. DL Boei. i4t
heid weinig minder van de onweetendheid geleeden heeft,' en zelfs zal ik wat langer eenige bewyzen daar voor inbrengen, ik zal derhalve niet fchroomen zekere daaden, wanneer dezelve al te zichtbaar met de leiding van bet menfchelyk verdand ftrydigzullen zyn, t'eenemaal te verwerpen. Men heeft, wel is waar, in de nafpooring der oorzaaken van de eerfte verfchynfelen lang moeten d waa'cn •, maar de Wiskundige waarheden, waarvan wy hier fpreeken, zyn zodanig, dat zy, eens erkend zynde, niet konden nalaaten de Hemmen van alle fneedige verftanden aan haare zyde te trekken. Indien het derhalve waar is, dat Thales en Anaximanderrechtmaatige denkbeelden over de gedaante der Aarde, de Eclipfen , de verdeeling van de Spheer, enz. gehad hebben, wie zal zich dan kunnen overreeden , dat hunne opvolgers , dat is te zeggen, de beste verftanden van hunne Schoole, dat mannen, welke daar benevens door verfcheide trekken van vernuft uitgemunt hebben, zo aanftonds van hunne leering zyn afgeweeken, en doolingen van eeneaanftootelykeongerymdhfiid voor lichtverfpreidende waarheden in plaats gefteld hebben ? Die Schryvers, welke niets anders zoeken als met waare of valfche ftaaltjes van belagchelykheid te vermaaken, mo« gen deeze verhaalen, die van alle waarfchynlykheid ontbloot zyn, aanneemen. Aangaande ons, wien het belang der waarheid en de eere der Wysbegeerte dierbaar zyn , wy zullen die verhaalen in den zelfden rang ftellen, als de vertelfelen welken men van den dood van Empedocles en Ariftoteles opgeeft, het geduurig lagchen van Democritus, en de lasteringen met welke men Socrates bezwalkt heeft.
Het zal niet ongevoeglyk zyn den oorfprong van die aantygingen hier met eenige byzonderheid aan te merken , en te toonen op welken grond dezelve fteunen. De eerften komen waarfchynlyk voort uit den Dichterlyken of verborgen ftyl, in welken de eerfte Wysgeeren fchrceven; en de anderen uit de onkunde der Verzaamelaars, welke ondernomen hebben ons hunne gevoelens bekend te maaken. Vermits van die der Jonifche Sekte niets tot ons gekomen is, kunnen wyde misvattingen, welke de ongerymdheden, die hun toege-



14* HISTORIE der
gefchreeven worden , hebben kunnen veroorzaakeö» door geen voorbeelden bewyzen. Maar de Pythagori. fche School verfchaft ons dezelve; en naardien dérzelver gevoelens over verfcheide onderwerpen, niet minder dan die der Jonifche Wysgeeren, verminkt zyn , zo zy het my vergund daar van in dit deel onzer Hiftorie te fpreeken, en dezelve in deeze verdeediging in te fluiten.
Een ieder weet, dat de meefte Pythagoriften in Verfen , en op eene zeer dichterlyke en zeer duiftere wyze fchreeven. Men ziet zulks uit hetgeen ons van Empedocks, Xenophattes, enz. overig is; deeze is de voornaamfte bron der belagchelyke gevoelens, met ■welke men hunne nagedachtenis bezwalkt heeft; een Pythagorifch Wysgeer en Dichter hadt, by voorbeeld, verfierd, dat de melkweg den weg was, élanPhaêton, na het rechte pad verloren te hebben, gehouden hadt. Ligtgeloovige lieden namen dit verdichtfel letterlylc aan, en maakten van hetzelve een gevoelen der Pytha. getïfche Schoole. Empedocks hadt zonder twyffel op eene dichtkundige wyze gezegd, dat de Keerkringen (Tropici) de fcheidmuuren van de Zon waren, dat die Hemellicht de Spiegel was, die ons het oorfprengkelyk vuur, dat in 't geheel-al verfpreid is, toekaatfte: men weet van een anderen kant dat zulks ten naafte by zyn gevoelen was. Een onnozele Verzaamelaar doet hem zeggen, dat de Keerkringen de fcheidmuuren waren, welke de Zon verhinderden om verder te gaan, en haar te rug deeden keeren; dat die Hemellicht flegts de Spiegel was van een ander, dat het waare was, enz. Ik merk in't voorbygaan aan, dat deeze belagchelyke aantyging geloochend wordt van Diogenes Laer~ tius, volgens wien Empedocks van de Zon een vuurklomp, gelyk aan de Maan, maakte; misfehien heeft hy de Aarde willen zeggen. Maar het was niet noodig, dat hy zich, om gefchonden te worden , op eene verborgene wyze verklaarde. Zulks is hem gebeurd, zelfs toen hy zich klaar genoeg uitdrukte. Het bewys hier van hebben wy by Achilles Tatius (*). Is 'er iets verftandi-
ger
(s) Ifag. ad Arat. !



WISKUNDE. I. Deel. III. Boel. I43
ger dan dit Vers, waar van dit de letterlyke overzetting van 't Griekfch in 't Latyn is, circulare circa terramvolvitur alienum lumen, zegt hy, fpreekende van de Maan. Achilles Tatius trekt hier uit een bewys, dat Empedocks die Planeet als een van de Zon afgefcheiden ftuk heefc aangezien. Hy heeft niet begreepen, dat dit alienum lumen wilde zeggen ontkend licht, hetgeen zeer overeen» kom big met de waarheid is. Waarfchynlyk hadden Anaximander en Anaximenes, van de hemelfche loopkringen fpreekende, zich bediend van eenige vergelykmgen , welke onweetende Schryvers aanleiding gegeeven hebben, om hen de wanfchikkelyke gevoelens, waar van boven gefproken is, toe te eigenen. Anaximenes hadt reden om te zeggen, dat de Hemellichten niet onder , of boven, de Aarde draaiden, zo als men by Diogenes leeft, maar rondom dezelve. Want naardien de Aarde rond is, zyn zy, in welke plaats zy zich ook bevinden , nooit boven noch onder dezelve.
Ik zal eindigen met een kenbaar voorbeeld van die foorten van misvattingen, welke de gevoelens der oude Wysgeeren verminkt hebben. Wy hebben een Weik van den vermaarden Ariftarchus van Samos, dat over des afïtanden der Zon en Maan van de Aarde handelt; en wy zien in hetzelve dat zyn gevoelen over haare fchikking in niets van dat der hedendaagfche Wiskundigen verfchilde. Wie zal hem echter in deeze woorden van Plutarchus, welke eene getrouwe overzetting van zynen text zyn (», leeren kennen ? Lunam (putavit), zege hy, circa folis orbem verti, umbramque fuis inclinationibus inferre. Wie zal niet fterk genoopt worden om te gelooven, dat hy de Maan rondom de Zon in beweeging IteldeFenditisin der daad hetgeen hem doet zeggen de Schryver van den ouden oorfprong der nieuwe Natuurkwt' de («), een werk waar in wy meer vandienaauwkeurigheid en oordeelkunde, welke in foortgelyke navor-
fchin-
(O De Plac. PUI. 1. II. c. 54.
(u) Origine ancienne de la Phyfique nouvelle, Tom. T. p. £87.



144-
HISTORIE der
fchingen plaats moeten hebben, wenfchten te vinden. Vitruvius (v) is weinig naauwkeunger, wanneer hy zegt, dat Ariftarchus gedacht hadt, dat de Maan een Spiegel was, die zynen glans ab impeiu folis ontfing. Deeze laatfte woorden, de toets van eeo Verzaame]aar ondergaande, zouden niet nalaateta eenige wanfchikkelyke ongerymdheid voort te brengen, waarvan de oude Sterrekundige zekerlyk zeer onfchuldig zou zyn; maar ik befluite deeze uitweiding, oflieverdeeze proeve van redenvoering, welke ik misfehien t' eeniger tyd eene behoorlyke uitgebreidheid zal geeven, en hervatte den draad van myn verhaal.
Anaxagoras bragt, naar het zeggen van PJutarchus (w), door een openbaar gefchrift, de oorzaak der Maan - Eclipfen het eerlt aan den dag; aldus moet verftaan worden hetgeen men by fommige Schryvers leeft, dat hy de reden van dat verfchyniël ontdekte. Wy hebben gezien dat deeze oorzaak'aan Thales niet onbekend was geweeft, en in der d-ïad, men kan niet gelooven, dat dezelve geduurende byna twee eeuwen voor de Wysgeeren een raadfel geweeft is.
Eene omftandigheid van het verhaal van Plutarchus behooren wy niet te vergeeten. Dezelve toonc ons, dat het niet alleen in deeze laatfte tyden is, dat de Wysbegeerte en de waarheid in een geveinsden yver hinderpaalen tot haare bevordering gevonden hebben. Naauwlyks waren 'er Wysgeeren, of men begon dezelven te vervolgen. Men rekende het hen tot een misdaad , dat zy zich lieten vooriiaan 'de werken der godheid teverklaaren. Het was, zeidemen, dezelve krenken , wanneer men wilde toonen, dat zy door eene aaneenfchakeling van algemeene en onveranderlyke wetten werkte. Zy beftreeden eindelyk vooroordeelen, welke aan den godsdienft verbonden waren , of liever, waar toe kwalyk-gezinde lieden het middel vonden , om dezelve daar toe te brengen. Men maakte hen daar door haatelyk by de meenigte; hetgeen hen dik-
wils
(v) Are», f. IX. c. 9; \yt) In Nicia,



Wiskunde, i. Deei. m. Boek i4$
wils tot het geheim en raadzelacbtige fpreekwyzen noodzaakte. Anaxagoras hieldt zyn fchrift over de oorzaak der Maan - Eclipfen lang verborgen; hy dorft hetzelve eindelyk met eenige andere natuurkundige gevoelens aan deh dag leggen , en wierdt de eerfte martelaar der Wysbegeerte. Perkks zyn vriend en leerling konde hem ter naauwernood het leven redden. Hoe zeer vernieuwt ons dit de vervolging en fmaadelyke bejegening, welke Galiküs onderging, om het gevoelen der beweegbaarheid van de Aarde aangenomen te hebben! Men kan niet als met fmerte zien, dat de waereld in haaren ouderdom noch beter, noch wyzer wordt.
Ik kan my niet onthouden te fpreeken van eenige Natuur-en Sterrekundige gevoelens, waar van men by de Wysgeeren der Jonifche Schoole reeds blyken vindt. Het voornaamfte betreft de ftoffelykheid der Hemellichten , en de algemeene zwaarte der lighaamen. Een ieder weet, dat Anaxagoras de Zon als een gloeijendea aardfchen klomp aanzag (x). Maar dit gevoelen was veel ouder, en hy hadt hetzelve van zyne voorzaaten. In der daad, men verhaalt dat Thales de hemelfche lighaamen uit eene vermenging van vuur en aardfche ftoffe faamenftelde (y)t waar inhy niets voordroeg, d3C nicc zeer waarfchynlyk zy. Want indien de algemeene zwaartekracht geen ydele inbeelding is, heeft men krachtige redenen om te gelooven, dat het vuur der Zon geen zuiver vuur is, maar dat de digtheid van hetzelve ten naaften by gelyk is aan die der Aarde aan haare oppervlakte. Toen Anaxagoras nog zeide, dac de Hemel uit fteenen faamengeljeld was, wilde hy, naar alle waarfchynlyk heid, niets anders zeggen, als dat alle de hemelfche lighaamen van eene zwaare ftoffe, en ten naafte by gelyk aan die van onze Aarde, waren. Wit aangaat de gefchiedenis, welke hem den val van een deezer fteenen doet voorzeggen, de wyze op welke dezelve door Diogenes Lae'rtius verhaalt Wordt, maakt dat die gefchiedenis van verfiering verdacht ge-
hou>
(x) Diog. in Anaxag.
(y) De Placit. Phil. I. II. c. 13, j
I. Deel. K



I4<S HISTORIE der
houden moet worden. Want volgens fommigen was het de val van eene foortgelyke verneveling, welke hemzvn gevoelen over de ftoffelykheid der Hemelen deedt omhelzen, en volgens anderen, hadt hy dien val vóór de gebeurtenis voorzegd. Wat 'er ook van zy, dit gevoelen van de ftoffelykheid der Hemellichten was bloot geiteld aan eene krachtige tegenwerping, welke Anaxagoras echter zeer wel beantwoordde. Men vraagde hem, waarom de Hemellichten, zwaar zynde, niet op de Aarde vielen? Zyn antwoord was, dat hunne rondgaande beweeging de oorzaak daar van was, en dat zy anders niet zouden nalaaten zulks te doen <v> Plutarchus, in zyn boek De facie in orbelunz, omhelft deeze denkwyze, behalven dat hy dezelve niet verder als de Maan uitftrekt. Deeze zyn , geloof ik, deoudfte blyken der kennisfe van de middelpuntvliedende kracht, welke de hemelfche lighaamen in hunne loon. kringen houdt. F
VII.
Ik hebbe nu met de uitgebreidheid, welke de paaien van dit Werk my vergunnen, de vorderingen der Wiskunde onder de opvolgers van Thales voorgedragen Maar terwyl deeze Wysgeeren zich in Griekenland beroemd maakten, was 'er een beruchte fchool, in Italië gekweekt, welke met de gelukkigfte gevolgen van de zelfde nafpooringen haare ftudie maakte Ik wil fpreeken van de Pythagorifche fekte, in welke'men de zaaden van zo veeHrfraaije ontdekkingen vindt. Verpbgt zynde van haare werken melding te doen, keere ik tot Pythagoras, het hoofd en den ftichter derzelve te rug. c»
Pythagoras, gebooren te Santos omtrent het jaar <oo vóór de jaartelling der Chriftenen f>j, was in 'c eerfc
on-
t» • Diog. Ibid.
(a) De juifte tyd in welken Pythagoras gebooren werdt en bloeide, 1S ee„ recht letterkundig raadfel? Men kan in de Memoires de JAcadémie des Infcriptions, Tom. X. eene
Dis*.



WISKUNDE. I. Deel. III. Ëöeh 147
önder het beftier van Thales, die* wegens het doordringend verftand van zynen leerling en opvolger, veel hoop van hem hadt; Hy hoorde ook Pherecydes van Scyros, een der zeven Wyzen van Grieken'and, waar van men veele wonderen verhaalt, welke wy niet onderneemen zullen hier te onderzoeken (b). Aldaar behieldthyby aanhoudendheid zyne luft, om de liefde voor de Wysbrgeerte en de kennisfe der natuur in te ademen. Pherecydes geftorVen zynde, volgde hy den raad van Thales; hy reisde naar Egypte, voorzien van veel vermoogende voorfchryvingen by Amafis. Hy verkeerde met de Priefteren, deedt zich tot hunne verborgenheden inleiden, en bleef lang by hun. Geduurende die verblyf befchouwde hy (O de pylaaren van Sothis; die beruchte pylaaren , op welken Mercurius Trifmegifius, naaf men zegt, de grondbeginfelen der Meetkunde gegraveerd hadt. Hy bepaalde zich niet tot die eene reize ; geleid door zyne geleerde ontrufting, drong hy tot op den oever der Ganges, alwaar hy de Brachmannen, anders de Gymnofophiften of Indiaanfche Wysgeeren, bezocht. Om de waarheid te zeggen , indien by niets an« ders als zyn leerftuk van de Zielverhuizing vandaar medebragt, danishet een weg, dien hy zich zoude hebben kunnen befpaaren. Eindelyk wedergekeerd zynde in zyn Vaderland, dat hy der dwingelandy ten roof zag overgegeeven, verliet hy hetzelve, en bragt zyne kundigheden in Italië, alwaar hy zyne vermaarde Schoole {lichtte; eenfchool, waar in alle de kundigheden, welke tot de volmaaking van het verftand of van het hart iets kunnen toebrengen, met veel y ver aangekweekt werden. Zyn roem~van wysheid maakte hem de wetgeever van die gantfche landftreek, en van veelen zyner leer-
lin-
DiJJertatie van den Heer de la Naufe over dat onderwerp zien, welke tot niets anders kan dienen, als om de onzekerheid grooter te maaken; ik heb tusfchen de oudfte era jongfte bepaalingen eene middelbaare tydftellina genomen.
(6) Men heeft over deezen Wysgeer eene Dijjertatie vaft den Heer Heinius. Mém. de Berlin, Tam. X-
(t) Jamblic. In vit. Pyth. & de Myfi. JEgypt. I i. c. a*
Ka



H8 HISTORIE der.
lingen de hoofden en. bewindsmannen der bloeiiende Staaten, welke daar in gelegen waren.
De Meetkunde kreeg een grooten aanwas door de zorgen van Pythagoras; de offerhande welke hy, naar men zegt, aan de Befcherm-Godinnen deedt (d), tot dankbaarheid voor de ontdekking van de zo bekende eigenfchapdes rechthoekigen Driehoeks, is een voorva',dac in de Meetkunde roemruchtig is. Diogenes Laertius ver haalt hetzelve op de getuigenis van een ouden Tydrekenaar. t Is zeer jammer, dat hetzelve niets anders als een verdichtfel is; want hoe zal men dat voorval overeenbrengen met de leere van dien Wysgeer overd" verhuizing der zielen; met dien afkeer welken by hadt o.n het bloed der dieren te ftorten, en welke hem deedt zeggen, dat de menfehen den Goden deelgenooten van hunne misdaaden hadden willen maaken, wanneer zy hun als een vermaak toeeigenden, dat zy zich door bloedige offerdieren geëerd zagen ?
Nee fat is efl quod tak nefas committitur, ipfis Infcripfêre Deos fcekri, numenque fupernuin Ccede laborïferi credunt gaudere juvenci.
Ovid. Metam. 1. X. f. 2.
Dus hadt Cotta by Cicero f» reden om den fpot te dryven met deeze gewaande offerhande, die weinig beftaanbaar is met de bekwaamheden van een Wysgeer, en nog minder met de leeringen van dien van Samps. Volgens Diogenes, wiens text hier zeer vervalscht,en waarfchynlyk verplaatfl is, gaf hy ook een fchets van de weetenfchap der Figuuren van een gelyken perimeter of omtrek, door te bewyzen, datvan alle deFiguuren van den zelfden omtrek, onder de platte Figuuren de cirkel, en onder de lighaamen de kloot de grootfle is.
De Eoepasfing, welke de Pythagoriften aan de Meet-
kuü-
(d) Diog. in Pythag. - •(«■) Di nat. Dsorum, lib. III. >



WISKUNDE. I. Deel III. Boek. 149
leunde gaven, deedt veele nieuwe befpiegelende kundig, heden by hen ontftaan. Zodanig wa$(f) die van de ordaamenmeetelykheid van zekere lynen, als van den Diagonaal van het vierkant met de zyde vergeleeken. Zodanig was nog de Theorie der regelmaatige [of zo genaamde reguliere'] lighaamen, welke zo veele ardere kundigheden in dè Meetkunde onderdek. Dteze Thecrie, welke wy hedendaags, en met genoegzaame billykheid, als een onnutten tak der Meetkunde befchouwen, was, ten aanzien der Pythagoriften, de aanleiding en beweegoorzaak van eene meenigte ontdekkingen. Om de waarheid te zeggen, hunne Natuurkunde was raar door niet volmaakter; dezelve droeg doorflaande tekens der kwalyk begreepen toepasflng, diezy met de verborgene eigenfchappen, welke zy met eene' belagchelyke gemaaktheid in de Figuurenen getallen befpeurden, op dezelve maakten. Maar het belang, dat zy in die nafpooringen ftelden, was voor de Meetkunde een bron van aanzienlyke vorderingen; en dit gelukkig gevolg moet ons hunne ongemeene zwakheid voor die ydele inbeeldingen doen verfchoonen. Hoe veel Wysgeeren zyn 'er, wier werken nooit iets toegebragc hebben, om de paaien onzer kundigheden een ftapver. der uit te zetten!
VIII;
De Sterrekunde hadt een te luiderryk voorwerp: zy bekleedde eene te aanzienlyke plaats onder de Weetenfchappen, welke Pythagoras naar Egypte lokten, om niet in de fchoole, welke hy ftichtte, aangekweekt te worden. Ook zien wy, dat dezelve een byzondcren aandacht daar toe verleende, en dat de gevolgen daar van vry wel met haare werken overeenkwamen. Wanneer men de verfchillende berichten der Schryvers, welke de gevoelens van die Schoole tot ons overgebragt hebben, verzaamelt en overweegt, be-
fpeurt
(ƒ) Pachym. in l. de Infecab. c. 2. Proclus, in I. Eucl, 1. II. c. 4. ed. gr.
K3



150 HISTORIE der
fpeurt men, dat men van de eerfte beginfelen af recht* maatige denkbeelden over de grondpunten der Sterrekunde in dezelve hadr. De verdeeling van de hemelfche Spheer (§•), de fchuinsheid van de Ecliptica (h), de rondheid der Aarde (/), de beitaanlykheid der Tegenvoeters (Antipodes) (£), de klootfche gedaante deiZon , en zelfs der andere Hemellichten (/), de oorzaak van het licht der Maan (m), en van haare Ecliplen, als ook van die der Zon (/;) , werden door Py, thagoras onderweezen Zelfs eigent men hem die ontdekkingen toe, fchoon hy in de meefte door Thales en de Wysgeeren der Jonifche Schoole was voorgekomen. Maar men behoeft zich deswegens niet te verwonderen: niets is de oude Hiftorie-Schryvers der Vv ysbegeerte gemeener, als dat zy dus de eere der zelfde ontdekkingen, aan verfcheide mannen geeven, ongetwyffeld op den grond , dat zy dezelve op verfchei* de plaatfen, en in verfcheide tvden onderweezen hebben. Misfehien was Pythagoras, zo wel als Thales, een gedeelte van die waarheden aan de Egyptenaaren verfchuldigd; ik zeg een gedeelte, want ik maak my geen al te gering denkbeeld van dien Wysgeer, om te gelooven, dat hy flegts herhaalde hetgeen hy van hun geleerd hadt, zonder 'er iets by te voegen. Men wil dathy van de Egyptenaars hadt, de verkiaaring, welke hy van het verfchynfel der morgen- en avond- Ster aan Griekenland gaf; hy leerde dat land het eerft, dat deeze Ster niet anders was dan Fenns, dan eens de Zon voorgaande, en vóór dezelve opgaande, dan wederom dezelve volgende, en na dezelve ondergaande, (o). Men eigent in der daad den Egyptenaaren toe de ken-
nis-
(g) Stob. Ecl. Pby. P/Ut. de Plac, fhil. I. II. c. 23,
(h) Plut. Ibid. & c. ia. O') Diog. in Pyth.
(k) Ibid.
(l) Stob. Ecl. Phy. Tatius. Ifagt ca Arat. c. iS. (m) Diog. Ibid. . (») Stok. Ibid.
■ <«) Plinius, Hifi. N<$, 1. II. c. 8. Diog.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. I51
tiisfe van den loop van Vernis en Mercurius rondom de Zon (p).
De Pythagorifche School verdient vooral geroemd te worden, als zynde de bakermat van veele gelukkige denkbeelden , waar van de tyd en ondervinding de rechtmaatigheid beweezen hebben. Zodanig was onder anderen dac van de beweeging der Aarde. Ariftoteles eigent hem dezelve uitdrukkelyk toe (q), fchoon met eene vermenging van doolingen, welke hetzelve op eene ongerymde wyze fchenden. Maar men weet genoegzaam, dat de gewoonte van dien Wysgeer zodanig is, dat hy de gevoelens van zyne voorgangers niet anders , als vergezeld zynde van eene meenigte omftandigheden, van eene taftbaare ongerymJheid, opgeeft. Wat aangaat het Pythagorifch gevoelen over de beweeging der Aarde, en de onbeweegbaarheid der Zon, men leert hetzelve gemaklyk kennen onder het Zinnebeeld van een vuur, in 't middelpunt van het geheel-al geplaatft, een vuur dat niets anders als dat van de Zon kan zyn, fchoon fommigen voorgewend hebben, dat hier van het middelpuntig vuur gefproken werdt. Wv gelooven eindelyk, dat hetzelve ouder dan dac van Philolausis,fchoon wy in zynen tyd geen tekenen van hetzelve vinden. Men weet dat Pythagoras gewoon was, zyne leerllukken onder duiftere Zinnebeelden te verbergen, waar van de waare zin aan het gemeen altoos onbekend was. Hy handelde daar mede altoos op de zelfde wyze ten aanzien van die gevoelens, welke, al te ftrvdig met de vooroordeelen zynde , zyne Wysbegeerte zouden bloot gefteld hebben , om befpottelyk gemaakt te worden. Zonder twyflèl was dat van de beweeging der Aarde onder dat getal; dus bleef hetzelve tot Philolaus met den geheimen dekmantel van hec raadfel en de verborgenheid bedekt. Deeze Wysgeer dorft hetzelve het eerft voor het grootüe daglicht:
(p) Voorgaande Boek Art. V. (5) Dc ccelo. I. II. c. 13.
K 4



15?
HISTORIE der
Jicht ontdekken, en daar door verdiende hy de eere van aan hetzelve zyn naam te geeven.
Men befpeurt onder die oude Sterrekundigen iets, dat zeer wel overeenkomt met hetgeen wy onder de hedendaagfche Sterrekundigen, welke hun ftelfel hebben deen herleven, hebben zien gebeuren. Sommigen flegts getroffen van de zwaarigheid, om de Zon en andere Hemellichten eiken dag eene ©nmeetelyke ruimte te doen doorloopen, vergenoegden zich met de Aarde in het middelpunt te plaatfen, en dezelve rondom haaren as te doen beweegen. Zy verklaarden daar door de dagelykfche beweeging der Hemellichten, eene beweegirjg, welke van toen af flegts fchynbaar was, terwyl die van de Zon in de Ecliptica weezenlyk plaats hadt. Uit gevoelen hadt een meenigte aanhangers. Hetzelve wordt door Plutarchus O) toegefchreeven aan Heradides van Pomus, aan Ecphantes, aan Seleucus van Erithrea, Schryver eener verklaaring van den vloed en ebbe der "Zee, we'ke na genoeg overeenkomftig is met die van fiefcartes. Cicero (Y), fteunende op het getuigenis van Theophraflus, fpreekt ook van een zekeren Nicetas of fiketas van Syracufa, die deeze denkwyze omhelsde. Anderen gaven de Aarde niet alleen deeze omwentelende beweeging om haaren as, maar ook eene voortgaande beweeging rondom de Zon. Zodanige waren Philolaus van Crotona (t), Archhas en Titneus van Loeres («), en in laatere tyden de vermaarde Ariftarchus van Santos (v). Dit ftelfel werdt ook door Plato in zynen ouderdom omhelsd. Hy hadt toen, zegt Plutarchus (w), naar het verhaal van Theophraflus, berouw van aan de Aarde een plaats gegeeven te hebben, welke baar niet voegde, door dezelve, in zyne eerfte fchriften, ip het middelpunt van 't geheel-al te ftellen. Het
€
60 De Placit. PUI. 1. III. c. 13. 17.
(s) Qucefl. Acad. 1. IV. g. 35.
(?) Diog. in Philol. Pitje, de Plat, PUI. 1. JII. c, I3«. ! («) Plut. In Numa. (v) Archim. In Arenar, (V) gufeji. Plat. 7,



WISKUNDE. I. Deel, III. Boek. If3
gezag van Theophraflus moet hier vsn een groot gewigt zyn; want hy hadt eene Hiftorie van de Sterrekunde gefchreeven , waar van het verlies niet genoeg beklaagd kan worden.
De bewee^ing der Aarde rondom de Zon is flegts een byzondere tak van het waare ftelfel van't géheel-al, maar dezelve is met het overige van dit ftelfel zodania; verbonden, dat men, alhoewel wy in de Pythagorifèhe Schoole geen zeer duidelyVe tekenen van hetzelve vinden, met grond geloovenmag, dat het dit ftelfel was, welke zy omhelsde. In der daad, nawdien men in hetzelve de Aarde rondom de Zon, in het middelpunt geplaatft, deedt draaijen, was het ook noodzaakelyk, dat men daar in de andere Planeeten rondom dezelve in beweeging ftelde. Dit is het dat zy, naar het bericht van fommigen, wilde uitdrukken door het zinnebeeld van een dpollo, houdende een Lier met zeven fnaaren in de hand, en fpeelende op dezelve; men tracht deezen verborgen zin door het getuigenis van fommige oude Schryvers (x) te fterken. Maar zy verklaaren zich op ecrc te dubbelzinnige wyze, om op deeze gisfing eenigzns ftaat te maaken; de Heer Gregori (y), veel verder gaande, heeft zich niet vergenoegd met by de Pythagoriflen tekenen der aantrekkingskracht te vinden; hy heeft gewild, dat ook de vermaarde Wet der omgekeerde reden van de vierkanten der afftanden, volgens welke die kracht werkt, hun bekend was. Maar zyne redeneering, fchoon vernuftig, is voorzeker zo verre bezyden het fpoor , dat'er, door een dergelyk middel, byna niets is, 't welk men by de Ouden niet kan wedervinden.
De Comeeten, die voorwerpen van fchrik voor het gemeen , werden door de Pythagoriflen zonder vervaardheid gezien; zy zagen dezelve aan als Hemellichten, zo oud als het geheel-al, welke hunne omloopen rondom de Zon doen, en zich niet venoonen, dan wanneer
(x) Plin. Hifi. Nat. 1, II. c. 22. Macrob. in Semiu Scip. I. ï. c- 10. _ •*
(j) Mr. Phyf. £P Geom. elem. Prctf.



154 HISTORIE der
neer zy in een zeker gedeelte van hunnen loopkring ge-
eeefi (T'ulf0^ 'S, het die or,s zu,ks * Een geen (z). Maar ik denk niet, dat de vergelvkino-
dezelve re zien ^lbaarer zelden toelaat
Gxzeive te zien, met den zin van d e VVvsgeeren overeenftemt; want de zeer groote afftand, of wX n d ë meefte Comeeten zich van de Zon verwydLn maakt die vergelykmg klaarblyklyk valsch. DeWy^geeT^rxemdorus verklaarde beter, hoe die achtervolgende verghymngen en bedekkingen der Coraeeten^efchiedden Hy zeide n), dat 'er meer dan vyf Planeren waren (hy hoorde van de vyf, behalven 3e Zon en de Maan' fpreekerO maar dat zy alle niet waargenomen waren mt oorzaak van den (tand haarer loopkrS, welkè haar met als in één van haare einden deedt zien Bel *s voor Seneca loflyk van dit denkbeeld aangenomen te hebben, gelyk hy doet met die foort van verrukkL welke het verftand by de befchouwiag va£ eenllulït ryke waarheid inneemt. Hy dorft van toen af aan voSl zien, dat 'er een tyd zoude komen, in welken de Ion, van die zonderlinge Planeeten bekend, « awde reS mng onderworpen zoude zyn, en. waar in men verbanft zoude ftaan, dat die waarheden de oudheid oXot waren. Vernet tempus qm poften noftri nos tam aperta £norafe mirabuntur. Zyne voorzegging wordt van d% tot dag op eene volmaakter wyze bewaarheid g
Een derde gedeelte van bet ftelfel van *t geheel - al fttePphagoriften omhelsden, is de verordening van' de Planeeten, en van die meenigte van Hemellichten welke wy aan den Hemel bepaald en verbeid zien! Zy dorffen gisfen, dat deeze laatften zo veel Zonnen waren, ,n de eindeloosheid der ruimte verfpreid, en rondom welken Planeeten, gelykvormig aaS die'van onze Zon, haare omloopen volbragten (b). Zelfs 2a ven zy aan die Zonnen, even als aan de Planeeten, bt
wee-
■ . (s) Arjft. Meteer. I. i. c. 6.
(a) Seneca, Quceft. Nat.']. VII. c i-
(b) Plut. de piae. Phu„ j. n. c. 13



WISKUNDE. I. Deel. III. Beek. 155
weegingen om haaren as. Tatius getuigt ons zulks (c), en vergelykt, in de armhartigheid zyner denkbeelden, deeze beweeging aan die van een boor, welke m zyn eigen plaats omdraait, 't Was mede een gevoelen, 'c welk in de Schoole van Pythagoras in aanzien was, dat alle de Planeeten bewoond waren door dieren, die noch in fchoonheid noch in grootte voor die van onze woonplaats behoefden te zwichten (d). De Schryver. van het Gedicht, aan Orpheus toegeëigend, was zonder twyffel van deeze Schoole; want men vindt daar in die leering op fommige plaatfen verfpreid. De Pythagoriflen eindelyk gingen zo ver, dat zy , waarfchynlyk naar zekere redenen van overeenkomft, de grootheid van die bewooners bepaalden; maar de meefte van die gisfingen over de natuur, de gedaante en de verftandelyke vermogens van die Wezens, welke hun verblyf in de Planeeten hebben, hebben geen vaften grond, en zonder dezelve al te verachtelyk aan te merken, kan men zeggen, dat zy zeer na aan de kinderlykheid grenzen. Aangaande de gisfing, welke van ieder Ster een Zon gelyk aan de onze, en van ieder Planeet een kloot maakt, welke, even als die wy bewoonen, met bezielde wezens bedekt is, moet men ten minften toeftaan, dat dezelve der goddelyke grootheid en oneindigheid geheel en al waardig is. De overeenkomft der Planeeten met onze Aarde, eene overeenkomft die door het Telefcoop buiten twyffel gefield wordt, de dagelykfche omwenteling, in de meefte ontdekt, als om achtervolgens alle de deelen van dezelve te verlichten; eindelyk die Hemellichten, welke, overeenkomftig met onze Maan, rondom Jupiter en Saturnus heen rollen , als om dezelve de fchrikkelyke verwydering, die zy van den bron des lichts hebben, te vergoeden, geeven deeze gisfing een grooten fchyn van waarheid.
IX,
De Wiskunde breidde zich by de Pythagoriflen uit
met
(O VaS- °d -Arat. c. 18; fa riut, Ibid. Sc c. 30.



I5« HISTORIE der
de'Xziek^Ni ra?f"' Daa^eIuyk' de ^kenkundcen <Je Muziek JNut dat 'er vóór hun geen Muziek noch
Tlir^fr mi#c*>* ^menrchzonatuu?ZÏ'Jit v«iï V00ral ,s zo noodzaakelyk by alle welgefielde Volkeren, dat men zulks niet in twvfFe zoude kunnen trekken, al was 'er geen ftellig beX voor te vinden. Hetgeen deeze Wyfgeeren dieden Vas der halve flegts de WiskundigerbfrcbSwiS?VtoIve" toepasier. en van eenvoudige Kuniten, welL zjwl-
Weetlntfe ^ te
i«5C RekeLknnde*f!s by de Ouden altoos zeer verfchillende van hetgeen dezelve hedendaags is. Men vindt in dezelve byna geen teken der bewerkingen, waai uit dê hedendaagfche Rekenkundigen het grootftè gedeehè van £JTf* faanlenfte,,fn; en het is te vermoeden dat die bewerkingen byna alleen uit het hoofd gedaan werden ■ ten nnnften wy hebben alle de boeken, waar n dezelvrj verklaard waren, verloren. Zodanige waren, zoals wv giffen, eene verhandeling van A^Ur. eD de S eerde boeken der Wiskundige verzaamelingen van Sfus, waar van ons een klein ftuk overig il, in ° welk men de verdrietige handelwyze befpeurt, door we ke men de moeijelykheid, om groote getallen te verrSvuldigen, een weinig verminderde. vcriuenigBoêtius 0) geeft ons te kennen, dat fommigePvtha. gouften negen byzondere merktekenen in hunnfbereke n.ngen mtgevonden hadden , en gebruikten terwvl dê overige zich van de gewoone tekenen, naame]^ de •letteren van bet A ü C, bedienden. Hy ïoemt die merktekenen Aptces of CharaElerh; wy kunnen ons n£ onthouden, om de groote overeenkomft, welkedeeze •byzondere Rekenkunde met die welke wv hedenoSs gebruiken, en van de Arabiërsontleenen, fchynt?eheb ben, in aanmerking te neemen. Dat meêr is/die melk !,ekf\flyketVp eea klein f*«alna, ongèmèraTaa^ de Arabifche cyfferletteren, weTke men in H?nSiftm van drie of vierhonderd jaaren vindt; maar
is
(<?) Df Geometria.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 157
is eene beweeg - oorzaak om de geloofwaardigheid daar van verdacht te houden. In der daad, naardien de Handfchriften van Bc'êtius , waar in men die merktekenen , zo overecnkomftig met de eerften der Arabifchc- Rekenkunde, vindt, ook flegts drie of vier eeuwen oud zyn, is hec vry waarfchynlyk, dat dezelve het werk van den uitlchryver zyn. Voor het overige is zulks van weinig belang'; het komt hier vee! meer aan op den grond van deeze Pythagorifche Rekenkunde , als op de gedaante der merktekenen, welke dezelve gebruikte; en indien hèc verhaal van Bo'èüus, dat niet gelykelyk vervalfcht fchynt te zyn, waar is, zal men moeten toeftaan, dat in dm Pythagorifche Schoole eene wyze om de getallen, even als de onze, te tekenen, bekend was.
Dit Haaltje van Boètius, in zyne gantfche uitgeftrektheid aangenomen, fchynt my niettemin geen genoegzaame beweegreden tezyn, dieonska;i aanzetten, om over den oorfprong van onze Rekenkunde een nieuw ftelfel te zoeken; de talryke getuigenisfen der Arabiërs zullen, my altoos beweegen om te gelooven, dat zy in de Indiën gebooren is; en ik wil veelliever gisfen, dat dezelve één van die uitvindingen was , welke Pythagoras van de Indiaanen ontleende, dan te denken, dat deeze dezelve van de Grieken haalden. Ik beken, dat zo deeze Rekenkunde by deeze laatlten gemeen was geweeft, zulks een groot vermoeden ten hunnen voordeele zoude zyn. Maar eene Leerwyze, die flegts by een klein getal menfehen, welke van alles een geheim maaken, in gebruik is,-fchynt my niet gefchikt om tot in de Indien doorgedrongen 'te zyn.
Hetgeen voornaamelyk die oude Wysgeeren in hunne Rekenkunde bezie; hielde, waren de eigenfchappen en betrekkingen, welke zy in de getallen befpeurden. Zy önderfcheidden dezelve in verfcheide foorten , in volmaakte en onvolmaakte, in overvloedige en gebrekkige ; in vlakke en lighaamlyke ; in driehoekige , vierhoekige , vyfhoekige, enz. begreepen onder den algemeenen naam van veelhoekige getallen, en ia Piramidaal-getallen. Deeze verdeelingen , waar van fommige byna ydele be'chou-. wingen, en andere van eenige nuttigheid zyn , hielden de Pythagoriflen veel bezig , en vermits de nafpooringen"
der



ïj8 HISTORIE der
der vraagftukken , welke die betrekkingen aan de hand geeven voor het meerderdeel eene nuttige Theorie art derftellen, was het niet t'eenemaal zonder vrucht, Jat ^LnCh a\ d«e've verledigden. Men moet eSS toe' liaan , dat de zwakheid , welke zy voor die foort van
StV(!lPd'8-h?id dv"eden b,yken » ongemeen was d tVza? zo veele zmipeehngen, verborgene betrekkingen en gewaande wonderen in die eigenfchappen der Sen vonden , dat zy alle de toegeevendheid der redelyke vertonden noodig hebben. Sommigen fchreeven , zo het
£ny als^,^ V00rwerP.en . welke even zo fchraal zyn , ais Architas , van wien men eene Verhandeline
VS^^^S*™* lf> - en W» de ZoS van Pythagoras, die, naar men zeat (g) , vier boeken over het viertal maakte. Men zoude Van de kinderach-
fcSrv?^hD8m»-welfeinfn huD va° «He kanten toer' een.ze" groot Werk kunnen maaken, en in der * nTTgei Schryvers (*) ^bben de moeite geno* men, om dezelve te verzaamelen: men zal weinig verHezen, mdien ik my daar by niet ophoude
Deeze zwakheid der Pythagoriflen voor d'e eigen fchan. pen der getallen , heeft fommige fchrandere SS voortanden van de eere der VVysbegeerte , zo "El fpoong gefchecner,, dat zy vermoed hebben, datdSl v> flegts zinnebeelden waren , waar van wy den El met meer hebben. De Heer Barrow (/) heeft bvS genheid van deeze TetraSlis , of dit by PythLfraf zo vermaard viertal , t welk zyn Zoon zoveel bSheid verfchafce eene verftandige gisfing gemaakt, ffv he?ft gedacht, dat zy daar door flegts de vier deelen dlr Wis! Mfn* -ïf 1060 iDOg geen grooter uiEgebreidheid hadt. S.d$LWlUen te kennnen ëeeven- Hy verklaart derhal! ve deeze wyze van Pythagoriftken eed aldus, offèmoplr
il.
(ƒ) Bibl. Grcec. S? (g) Ibid.
7 O) J. Meurfius, m Denar. Pythag. feu mm. vfque ad Je. U) Left. Math. II. p. 17,



WISKUNDE. I. Deel. \\t. Boek. 159
Uturn qui aninw noftrce tradidh quaternarium: ik zweer het by dien, die ons in de vier deelen der Wiskunde onderweezen heeft, In deeze ontknooping is eenige waarfchynlykheid
De Pythagoriflen vervaardigden vooral eene wydluftige ftoffe voor de Rekenkundige Voorftellen, door hunne rechthoekige Driehoeken in getallen te verzinnen. Deeze zyn drie zodanige getallen , dat het vierkant van het grootfte gelyk is aan de fom der vierkanten van de beide anderen. Men ziet in der daad , dat dezelve alsdan de drie zyden eens rechthoekigen Driehoeks voorftellen , en dit is het, dat hun dien naam heeft doen geeven. De Pythagorifche School hieldt zich dikwils met dezelve bezig , en die van Plato verwaarloosde dezelve niet. Proclus (/) heeft ons de handelwyze , welke zy beide gebruikten, om een oneindig getal derzelven te vinden , bewaard. De Voorftellen over deeze Driehoeken, aan zekere voorwaarden verbonden , zyn by de hedendaagfche Wiskundigen, geduurende ecnigen tyd, grootelyks beroemd geweeft , en hebben by Meetkundigen van een grooten naam aanleiding tot uitdagingen gegeeven. 't Is niet t'eenemaal zonder reden ; want dezelve zyn zeer bekwaam om bet verftand te oeftenen, en hunne oplosfing vereifcht dikwils zeer verborgene en zeer kunftige greepen der Analyps. Hedendaags fchynen dezelve t'eenemaal in vergetelheid geraakt te zyn,
X.
(£) Ethard Weïgelius heeft zich verbeeld, dat deeze vermaarde TetraBis eene Arithmetica quaternaria was , waar in flegts leden van 4 gebruikt werden, even als wy die van 10 gebruiken. Hy heeft daar over twee Werken gemaakt, het een getyteld TetraBis fummnm tüm Arithm, tümPhilof, compendium , Artis Magnee fciendi gemina radix, Het andere, TetraBis, TetraBi Pythagorica refpondens. 1672. /\to. Jenat. Men ziet uit het eerfte, dat deeze Schryver in de Pythagorifche denkbeelden vallende , uit deeze foort van Rekenkunde groote wonderen geloofde te trekken , maar hy is zondes twyffel de eenige, die een zo voordeelig denkbeeld vau degel ve heeft opgevat.
(i) In I. Eurt. ad prop. 40,



Jöo HISTORIE Din
X.
De ontdekking , welke Pythagoras over het gelui! deedt, is één der fraaiften van dien Wysgeer, en gaf aanleiding tot een vierden tak der Wiskunde , naamelyk , de Muziek ; zie hier waar in dezelve beftaat. Wy zullen by deeze gelegenheid de gefchiedenis van een groot gedeelte deezer Kunst by) de Ouden voordragen.
Niemand is 'er, die niet bemerkt heeft, dat een gefpannen ihaar zo veel te fcherper toonen geeft, naar maate men deszelfs lengte meer verkort * zonder de uitfpanning te vergrooten. Dit gebeurt in alle fnaartuigen, en ik zoude my met eene byelk bekende zaak moeten ophouden , wanneer ik meer daar van wilde zeggen. Zonder twyffel was 'er voor een Wiskundige niets meer noodig, dat hem konde aanzetten , om na te vorfchen welke de betrekkingen der lengten, waar uit die verfchillende toonen ontftaan , moeiten zyn , en waarfchynlyk was dit de beweegreden , welke Pythagoras tot deeze navorfching noopte. Echter wil men liever de volgende Gefchiedenis daar van opgeeven.
Men zegt dan dat Pythagoras, voorby een Smits-winkel gaande, alwaar de werklieden een ftukyzeropeen aanbeeld floegen, verwonderd was van daar uit klanken te hooren voortkomen, welke met de middeltoonen van de quart, qulnt en o&aaf overeenkwamen. Verbaasd traande over deeze byzonderheid, ging hy by die werklieden in, en, het verfchynfel van nader by onderzocht hebbende, zag hy, dat hetzelve niet anders als uit het verfchil van de zwaarte der hamers konde ontftaan. Hy woog dezelve, en bevondt, dat die welke de o£iaafm-it boven gaf de helft van den zwaarften was; dat die welke de qulnt maakte de f daar van was, en eindelyk dat die, welke de quart maakte, de % daar van was. Tot zynent wedergekeerd zynde, en over dit verfchynfel peinzende, viel Pythagoras , zo als men zegt, in het denkbeeld, om een fnaar aan eene onbeweeglykeklamp vaft te maaken, en, door dezelve over een pin te laaten loopen, aan de andere zyde gewichten in die redens
op



WISKUNDE. I. Deel III» Boek. t6i
bp te hangen,om te beproeven, welke toonen dezelve, aldus door die ongelyke gewichten uitgefpannen zynde, zoude geeven; cn dus vohdt hy dèmiddel-toonen, waar Van gefproken is ; op deeze wyze wordt dit voorval door verfcheide oude Schryvers verhaald (rn), en zelfs ook door hedendaagfche Schryvers, die, zonder de zaaken met opmerking te onderzoeken, aar. hun verhaal geloof gegeeven hebben. Maar dat alleen zou aantoonen, dat dit voorval van het leven van Pythagoras een verdichtfel is, of dat zy hetzelve veel verminkt hebben. Want het is geenzins waar, dat 'er gewichten in deeze1 evenredigheid noodig zyn, om de bovengemt 1detoonen te maaken. Men heeft daar toe fnaaren ncodig, die met een zelfde gewicht uitgefpannen worden, en wiet lengten in die betrekkingen zyn; en belangende de géwichten , aan dezelfde fnaar gehangen, dezelve zouden wederkeerïg als hunne vierkanten moeten zyn. Een. viervoudig gewicht zoü 'er noödig zyn, om de oclaaf naar boven te maaken, voor de quint moeft hetzelve de | zyn, en voor de quart de i%. Daar benevens is de gewaande handelwyze van Pythagoras in geenerlei wyze die, welke de redeneering aanwyft. Want naardien hec ongelyke hamers waren, welke, op het aanbeeld floo» tende, verfchillende klanken gaven, was het klaarblyklyk, dat ook de fnaaren, welke men in beweeging moeft: brengen , van verfchillende lengten moeften zyn. Indien 'er in de gefchiedenis , welke men van Pythagoras Verhaalt, eenige wezenlykheid is, was het zonder twyffel de wyze op welke hy redeneerde, en welke hem deedt bevinden, dat de oStaaf door £, de quint door |, ende quart door | , eindelyk de toon, die het verfchil tusfchen de quart en de quint is, door £ uitgedrukt moeft worden. Deeze zyn in der daad de lengten der fnaaren s welke die middel-toonen voortbrengen. Men kan ook gisfen, dat hy de betrekkingen der uitfpanningen, o£ dér noodige gewichten, om aan een zelfde fnaar te hangen , ten einde die zelfde middel-toonen voort te brengen, bepaalde. Zulks valt niet bezwaarlyk te gelooven,
de-
(w) jambL vit, Pph, Nlcomachus Éam. Man, U i* I. Deel, L



I6t HISTORIE der
dewyl men die gewichten flegts hadt te verzwaareri, tot dat dc uitgefpannen fnaaren de bovengemelde toonen gaven.
.Tot hier toe heeft de ontdekking van Pythaeoras mets , dat niet verftandig en waar zy. Maar deeze kwa-
yk begreepen liefde voor de eigenfchappen der getalJen, welke hem en zyne leerlingen tot zo veele weinig redelyke afwykingen vervoerde, wikkelde hem wclhaaft in eene droling f». Hy wilde voor Confonantien of iaamenluidingcn niet aanneemen, als de middel-toonen, welke door ongemeen eenvoudige betrekkingen uitgedrukt werden . zodanige als die, waar van wy eefproken hebben. Neemende dus de quart, de quint, de octaaf, de quint boven de oStaaf, en de dubbelde octaaf, welke wederzyds door f , f, J, f, i uitgedrukt worh™T ga™eDlu]dlDgen aan, verwierp hy d«W> boven de o£taaf, om dat dezelve door I werdt uitgedrukt, fcene dergelyke voorwending is t'eenemaal ftrvdig met het getuigenis der zinnea, welke leeren, dat de toonen in de oftaa f malkander zodanig gelyken, dat Hetgeen van den eenen waar is, ook waar is van den anderen. 13y gevolg , indien de quart eene faamenluidmg isi, moeten haar octaaf en haare willekeurig genomen oSïaven zulks insgelyks zyn. Pythagoras en zvne aanhangers verdienden daar in de berisping, welke zv vm^Irifoxenes en Ptohmeus moeiten ondergaan
&x waren in de Aloudheid twee fecten van' Muzikanten, wier eene Pythagoras , en de andere Jriffoxenes tot hoofd hadt. De eerften, welke, zo als wv hebben doen zien, byna eeniglyk zekere bovennatuurkundige yooroordeelen overwoogen, verwaarloosden teenemaal de gemeene bevatting in hun ftelfel vanMuziek, enm de verdeelirgóeraccoordenmConfonanten^Diffonanten (o). De anderen vervielen in een ü'itcrfte, even zo wei mg waardig het Wyfgterig verftand, dat zelfs in dedingen' welke het meeft onder het bereik der zinnen vallen' zoeken moet om de Theorie en de Prahyk te vereeni'-
gen,
(n) Ptol. Ham. 1. i. c. <;. 6.
W Ibid. 3



WISKUNDE. I. Deel. III. Boei. 1 £>3
gen, en dezelve de eene door de andere te verhelpen. Deezen weigerden om de accoorden uit te drukken door redens, welke hun weezenlyk teken zyn. Hebbende dus eene zekere tusfchenwydte, welke de toon is, bepaald , bragten zy alle de anderen daar toe over, dopr dezelve, als een deel daar van zynde, of dezelve een zeker getal maaien bevattende, daar mede te vergely. ken. De quart was, volgens hun, uit twee en een halve toonen, en de oBaafmt «vyf heele en twee halve toonen, of zes toonen, faamengefteld. Zulks is, wel is waar, oogenfchynlyk zeker, maar niet naauwkeurig, es dit is het dat de pythagorifien gemaklyk tegen hun betoogden.
In der daad, naardién twee fnaaren van gelyke dikte, en door gelyke gewichten gefpannen, overeenkomftige accoorden maaken, wanneer hunne lengten in de zelfde betrekking zyn, moet men noodwendig toeftaan, dac men, om die toonen te meeten, de betrekkingen 'van delengten der fnaaren, welke die toonen voortbrengen , moet befchouwen, Wanneer dus eene tusfchenwydte door een toon in tweën gelyk gedeeld zal worden, moet de lengte des fnaars, welke denzelven voortbrengt , midden-evenredig zyn tusfchen die, welke de beide anderen doen ontftaan. Men heeft daar van een voorbeeld in de O&aaf, welke de tusfchenwydte tusfchen den grondtoon en de dubbelde Octaaf buiten tegenfpraak in twee gelyke deelen deelt. Ook is de lengte, welke de klank der Octaaf'of § voortbrengt, juift een midden» evenredige tusfchen de lengten, welke de andere klanken i en | maaken. Laat ons derhalve eerftelyk zien , of hetgeen men een balven-toon noemt, weezenlyk een 'hal ven-tom is, of den toen in twee gelyke deelen deelt. Men heeft boven gezien, dat de betrekkingen, welke de quart en de quint uitdrukken, % en § zyn : nu is 'er van de quart tot de quint één toon, dus zal de betrekking des toons uitgedrukt worden door de betrekking van twee fnaaren, welke de quint en de quart maaken , eene betrekking die als 8 tot 9 ftaat. by de Ouden, alwaar de groote terts uit twee groote toonen faamengefteld was, was het noodzaakelyk, dat dezelve door 'het vierkant van 8 tot <), of werdt uitgedrukt , einL 2 de-



IÖ4 HISTORIE der
delyk van de groote terts tot de quart is een halvetoon, uitgedrukt door de betrekking van ff tot |, hetgeen de betrekking van ff& voortbrengt. Nu is deeze breuk geen meetkundig midden-evenredige tusfchen i en § , zo als dezelve moeft zyn , indien de tusfchenwydte van den toon door den halven-toon gelykelyk; gedeeld werdt. Het is eveneens gelegen met het hedendaagsch faamenftel, waar in de groote terts in een grooten en kleinen tron, dat is te zeggen, in de beide redens van 8 tot 9, en 9 tot 10, beftaat , hetgeen die van 4 tot 5 of | voortbrergt, waar uit een halve toon vloeit, uitgedruKt door \%, en groote hal ve-toon geDaamd. Het is gemaklyk te zien, dat dit getal gecu midden-evenredige tuffchen 1 en § is, de rekening toont dat hetzelve iets minder is, en by gevolg is de halvetoon hooger dan het iuifte midden van de tusfchenwydte des toons. Het is zelfs onmogelyk, dat 'er een zodanig juift midden zy, naardien het getal | geen uittrekking van den vierkants • wortel toelaat.
Men betoogt op gelyke wyze, dat de oclaaf geenzins in 6 toonen beftaat, zo als de aanhangers van Arifloxenes wilden; want zo dat waar was, zou de betrekking van 8 tot 9, zesmaal met haar zelve vermenigvuldigd , of de zesde magt van g, de betrekking van de oclaaf uitmaaken , of aan \ gelyk zyn; maar dit getal is , dat kleinder dan § is. Indien men
derhalve naauwkeurig 6 maaien achtereen door de tusfchenwydte van een juiften toon opklom, zou men boven de octaaf komen; en de tusfchenwydte, welke men dezelve te boven zou gaan, door de betrekking van 136 tot 137 uitgedrukt worden. De Pythagoriflen, welke dat verfchil bemerkten, gaven aan die tusfchenwydte den naam van kleine eomma. Alle die dingen, indien wy hetgeen over de kleine toonen, welke aan de Ouden onbekend waren , gezegd is daar van uitzonderen , zyn in de Muziek van Euclides beweezen.
Deeze onregelmaatigbeid in de tusfchenwydtens der reeks van natuurlyk afwisfelende toonen, brengt verfcheide verfchynfelen voort; daar uit ontftaat, by voorbeeld , hetgeen waargenomen wordt, wanneer men een fpeeltuig met een groot getal fnaaren, als hetCla-
ve-



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 165
vecimbaal, fielt, door naauwkeurig van de quint naar boven, en van de oEtaaf weder naar beneden te gaan. Het fchynt dat dee/.e handelwyze, inde reeks van natuurlyk afwisfelende toonen,alle de rechte toonen moeft te weeg brengen, en volgens Ariftoxenes zoude zulks niet anders kunnen gebeuren. Nogthans zyn de meefte toont n valsch, en in 't byzondcr die, welke de octaaf van den eerften behoorde te zyn, is merkelyk genoeghooger ; hetgeen, om my van het woord der kunft te bedienen, ons verpligt te temperen, dat is te zeggen, alle die toonen eénigzirs te veranderen, om dezelve in hunne nette uitgeltrektheid tebefluiten. Het ware Pythagoras gemaklyk geweeft , om reden van deeze byzotiderheden te geeven, terwyl Ariftoxenes en zyne aanhangers vergeeffche poogingèn zouden gedaan "hebben , om dezelve te verklaaren. De Pythagorifche handelwyze verfchaft eindelyk eene meenigte fraaije gehoorkundige befchouwingen, welke een zekeren rang van Muzikanten onverfchillig kunnen zyn, doch zulks niet kunnen zyn voor hun, welke by de oeffeniog van hunne kunft een weinig vernuft en wysgeerig verftand voegen.
Men moet aanmerken, dat alle de toonen, in de oude Griekfche Muziek, groote toonen , of in de betrekking van 8 tot 9, waren; daar uit ontftondt eene groote onvolmaaktheid in de opvolging der natuurlyk afwisfelende toonen. Want alle de kleine tertfen waren in de betrekking van 17 tot 32, en de groote tertfen in die van 64 tot 81; de eerften te laag, de anderen een cotnma te hoog. Daar uit komt misfehien, dat de tertfen opder de diffonanten geplaatft waren. In der daad, zo veel veranderde tertfen konden niet als t'eenemaal onaangenaam zyn; het maakt altoos een groot verfchil, hoedanig men dezelve in eenige foort van temperatuur ook verandere ; bekwaame M uzikan ccn hebben my verzekerd, dat dezelve niet verdraaglyk zouden zyn. Maar men behoort zich te verwonderen dat, naardien 'er zo weinig aan te doen is, om dezelve gelykluidend te maaken, de Grieken zulks niet befpeürd, en'niet aanftonds deeze verbetering daar in gedaan hebben. 'tWas Ptohmeus welke deeze gewig-
h 3 ti-



HISTORIE der
tige nieuwigheid invoerde. Ik geef hem, fchoon D'uïymus van Alexandrie hem voorgegaan was (_p ) in de ohderfcheidmg der groote en kleine toonen, voornaameiyk de eere daar van, om dat zyne fchikking de volmaaktfte is. Volgens de handelwyze van Pythagoras, welke de o&aaf of £ in de beide eenvoudigfte betrekkingen, welke mogelyk waren, naamelyk § en f, de quint en de quart, verdeeld hari-t, verdeelde hy de^geJyks de quint of § , in haare eenvoudigfte betrekkingen, naamelyk | en §, en nam dezelve voor de uitdrukkingen der groote en'kjeineterts, we'ke hy in 'c getal der confonanten plaatfte. Hy verdeelde desgelyks de groote terts, in haare beide eenvoudiglte betrekkingen, we'ke het naaffc aan degelykheid waren, -§ en ,§; hetgeen hem de twee foortcn van toonen, de groots en de kleine, gaf. Hy fchikteeindelyk,in zyn faamen» Ifel, de groote en kleine toonen, zodanig, d t'er zo min als mogelyk was veranderde tertfen "waren. Zie hier zyne fchikking. Van de fi tot de ut is 'er een groote halve-toon , of door de . betrekking van 15 tot 16 uitgedrukt; van de ut tot de re is'er een groote toon, welks waarde £ is; van de re tot dc mi een kleine toon, dat is te zeggen . uitgedrukt door T§; van de mi tot de fa een groote halve - toon; van de fa tot de fol een groote toon; van de fol tot de la een kleine toon (q). Men behoort aan te merken, dat men in dit faamenite! , en met deeze waarde der toonen te behouden, de octaaf, noch naar boven, noch naar beneden , niet volkomen kan maaken, zulks dat de byrrevoegde toon met de voorgaande of volgende eene betrekking hebbe, die op de wetten van de harmonifche voortreeling gegrond is (r). Schoon dus in den eerften opflag deeze Diatoni'
(p) Ptol. Ham. 1. I c. 7, 15, (5) Ibid. i. 11. c. 1.
(r) De reilen hier van is, dat de grond -bas'van deezen trap, ƒ ut re mi fa fol la, met de waarden welkenPtolomeus aan dezelve gaf, geen andere kan zyn als, fol ut fol ut fa ut fa; want op dat fol la een kleinen toon zy, moet la van fa, als terts, komen. Nu kan van fa de
grond-
1



■ WISKUNDE. I. Deel. III. Bock. 167
tiifche trap niet boven dien van de hedendaagfche Muziek fchynt te gaan, is zulks echter niet weezenlyk, om dat men de oQmfniet volkomen kan maaken, zonder in dezelve zo veele veranderde tusfchenwydtens te hebben, als in de ocze, hetgeen van alle de zwaarigheden de grootfte en rm'nft veroraaglvkfte zou zyn. Maar dit alles zal nader verklaard worden, wanneer wy van de ontdekkingen van dan Heer Rameau zullen fpreeken. ' Wy zouden niet als op eene zeer onvolmaakte wyze de weetgierigheid der Leezers gelooven te voldoen, indien wy ons flegts bepaalden tot hetgeen wy over de oude Muziek gezegd hebben. Deeze weetgierigheid moet natuurlyk zich over veele andere voorwerpen a.s de enkel Wiskundige befchouwingen, welke ons tot hier toe bezig gehouden hebben, uitftrekken, en fchoon dezelve niet op gelyke wyze tot ons bellek behooren, zouden wy die echter niet kunnen verwaarloozen ,zonder een der gewigtigfte deelen van hetzelve over te fiaan. Wy zullen derhalve eene korte befchry ving doen van hetgeen de Muziek-kunft , en niet de Theorie derzelve, by de Ouden was. Om deeze befchryving, zo klaar als de duifierheid der ftoffe toelaat, te maaken, hebben wy gedacht niet beter te kunnen doen, dan de-
zel-
grond-bas niet tot fol gaan, om fi voort te brengen; maar flegts tot ut of fi B mol. Dar zo men, om tot de ji over te gaan, deeze andere B. f., zo als doenlyk is, maakte, fol ut fol ut fa ut fol re fol, de nooten ut fol tusfchen fa re onder de fol houdende, en dezelve eerft als quint, en naderhand als medeklank voortbrengende, alsdan de la, door de volgende re voortgebragt, niet meer die van Ptolomeus, maar dat f»l la een grooten toon zou zyn. En indien men de 15. f met rj begon, zou de la, welke dezelve zou voortbrengen, niet meer de oïïaaf zyn van die, welke de fa voortbrengt; men kan eindelyk deeze la, in de B. f., niet door fa laaten voortbrengen, dewyl dezelve niet meer tot de Jol kan opklimmen, om de fi te geeven. Dus zou men te vergeefs een geheels oBaaf zoeken, waar in flegts ééne veranderde terts zouJe zyn, en welke met de wetten der harmonifche voortteeung overeenkomftig was. Dezelve zoude flegts willekeurig zyn.
L 4



HISTORIE der
zelve met onze hedendaagfche Muziek te vergelvken ?/ 17° ÓeZeivl bed!"eveö zvn> ten minften in z? ver'. rSaan ri™ ^^l" een, Mi:ziek-fluk, kunnen
?n£ h^'Jei? °°n waar ID hetz^ve is, diegeenen waar toe hetzelve overgaat, en andere omftanoWdenTder
Ztf'\l7 heti?elVe> ZUllen ^y ^nder moeite ver. ftaan. Anderen kunnen zich wel onthouden, om het overige van dit Artikel te leezeh. ' '
cr, defiïTnSS d-Cr ^Uziek by de Grieke°> waren 'er op de Lier flegts vier fnaaren, w er toonen met li ut ra
beï-waamf"P £eeltu,£n > r0m dat dezelve van a,len h<* voor te ftellen' m h,etufaam™«el van hunne Muziek zvn Nafi 'i Z° 3 lby Cns het Clavecimbaal zoude bv wrikf V°egd5- ^en er drie 'ai>dere fnaaren by, welke de toonen fa fol Ja zouden gegeeven hebben. Dus was de eerde Griekfche ZJ/JK Saruit
SmefftS.famengeftdd' dat is te ^" Twee ^/T » 6 aVler t0üncD ^der,«'„/, mi fa fol la waar van de eerfte van het eene, en de laatfte van het andere gemeen waren; van daar kwaVhet da? men dezelve faamengevoegde urtfen noemde. ' ' —A ?ru •tiVervo,g van t0nnen vervulde de geheeleuir-
Klks 'en trMddeh0f7Y Dict' ^merkte zuiks , en nerltelde hetzelve , naar men zeet in Hir
hen riP7pL V zeggen, geen genieenen toon hebfn den toon Ln' ^ al?deon^- een foojtvan vois m den toon van ut; maar terwyl de onze od de noor
£SigSrE' ^V"26 ^ de«lft &te^ den CrS f.m ' Z° aiSWy elders ^Hen aanmerken v rre wv , rKZ-am 18 Seweeft, ten minften in zo S to?Ls LtnJlein 8etal Za«S-ft"^en, welke van
N*nVr£L8 , men Zyn' kunnen oordeelen. •/ani r •» toen meD Roedvondr om uitgeftrekter rnTnofCrJZ d6rLier te maaken' veSrdeiS SdP1n lgfal der fnaarcn van datTpeeltuig. Men leu%l^J^\T, Tl' da3lb?' cn eene andere in $ ut re mi fa fol la, en om de dubbelde ^/volkomen
te



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 160
te maaken, nam men een la in de otïaaf onder die van het midden. Men moet nogthans aanmerken, dat dezelve eenigzins vreemd, en buiten rang mende andere toonen was. Om deeze reden noemde men dezelve^roflambanomene , of vooraan gevoegde toon , zulks kwam 'voort uit de fchikking van deeze andere toonen, welken men in vier tertfen verdeelde, waar van de twee eer?ften en de twee laatften faamengevoegd, en de twee van het midden gefcheiden waren. Men nam deeze la. nnar beneden, liever dan een fi naar boven, welke insgelyks de oSlaaf volkomen gemaakt zoude hebben, zonder twyffel om voor de la van het midden den naam van mefe, of van middel-fnaar, welke men dezelve oudtyds gegeeven hadt, te behouden. Ik zal my niet ophouden , om de naamen. welken ieder der fnaaren van dit faamenftel by de Grieken haddeu, teverklaaren, omdat zulks eene uitgebreidheid zoude vereisfehen, welke ik my zeiven niet kan vergunnen?of die ik voor gewigtiger zaaken bepaale (s). Behalven de faamenvoeging van toonen, welke wy nu befchrceven hebben, was'ereere andere, in welke de derde terts met de tweede faamengevoegd , en la fi bemol ut re was. Ptolomeus (?} hadt onrecht dezelve als onnuttig aan te merken; want het is blykbaar, dat ze dienftig was, wanneer men van den toon van de groote ut tot dien van fa, welke de fi bemol vereifebt, overging, en deeze overgang was in de Griekfche modulatie gemeen. Plutarchus (u) fpreekt nog van eene faamenvoeging, waar in men, door de fa een halven-toon te verheffen, de beide laatfte tertfen fcheidde ; dezelve was waarfchynlyk van dienft , wanneer men van den toon van ut tot dien van fol, welke deeze fa kruis vereifcht, ging.
Een ieder weet, dat 'er in de Griekfche Muziek drie foorten waren, deDiatonifche, d&Chromatifche, en
de
0) Zie de Dijfertatien van den Heer Burette, Mém. de l'Jcad. der Infcript. T. V. (0 Harm. 1. II. c. 6.
(u) Dial. de Muf. Zie les Mém. de VAcid. des Infcript. T, Xlll. P- 265.



17° HISTORIE der
de Enharmonifche. Hetgeen wy r,u gezegd hebben betrof de Diatouifche; een Lier naar de bovengemelde toonen gefield, een gezang, waar in geen andere als deeze toonen gebruikt waren, zoude van de Diatonifche foort zyn; want in een toon of foort te zyn, is flegts de klanken te gebruiken, welke uit de verdeeling van deeze foort, of van deezen toon, voortkomen.
De Chromatifche foort was die, waar in in én naar vervolg halve-toonen gebruikte. Opklimmende naar de opvolging, of de eenvoudigfle vois van deeze foort, maakte men eerft twee halve-toonen, dan een kleine terts. Dus was de eerfte Chromatifche Tafel der Muzieknooten , op de hedendaagfche wyze uitgedrukt, fint ut kruis, mi fa fa kruis la, fi ut ut kruis, enz., en de gezangen, weiken uit deeze klanken alleen faamengeiteld waren, werden Chromatifche genoemd. Men ziet daar uit, dat de Griekfche Chromatifche foort zeer veel van de onze verfchilde. Wy noemen, in de hedendaagfche Muziek, Chromatifche foort elk zangftuk dat met halve-toonen op- of afklimt, hoe groot het getal derzelven ook zy ; maar wy hebben flegts loopen van deeze foort; een Chromatifch gezang van eenige uitgeflrektheid zou aan onze ooren niet verdraaglyk zyn. Want deeze foort is minder natuurlyk dm de Diatonifche, en heeft een foort van hardigheid, welke ons verpligt om dezelve niet als met omzichtigheid te gebruiken; om de waarheid te zeggen, deeze hardigheid zelfs maakt dezelve des te bekwaamer, om zekere aindoeningen uit te drukken: ook maaken de Itafeanen .groote Co'oriften in de Muziek, veel gebruik van dezelve. Men vindt dikwils loopen van dezelve in hunne ciiren, en onze bekwaame Franfche Muzikanten verwaarloozen ze niet.
De Enharmonifche foort, welke, naar het oordeel der Griekfche ooren, de volmaaktfte van alle, maar ook tevens de moiijelykfte is, gebruikte vierendeelen eens toons, even ahdeChromatifche dehalve toonen gebruikt. Indien men het teken * voor die van het Enharmonifche kruis neemt, of welke de noot flegts een-vierde van den toon verheft, zo was de Tafel der Muziek-nooten van deeze foort lafifi*ut mi mi * fa la, enz. en men noemde
ie-



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. ï?i
ieder gezang Enharmonifch, waar in flegts deeze klanken gebruikt waren. Zodanig was de natuur der Chromatifche en Enharmonifche kon; te vergeefs neef t Salinas (v) gewaand, dat deeze beide foorten de geheele octaaf, in halve-toonen, of vierendeelen van toonen, verdeeld, waren; hy was het fpoor bylter, en het is genoeg den eerften Griekfchen Muzikant op te flaan, om zich te verzekeren, dat onze befchryving zeker is. Men zal misfehien ook wel bevatten, 'hoe men in de Chromatifche foort eenig gezang konde maaken; maar ten aanzien der Enharmonifche foort heeft men nog niet kunnen begrypen, dat het mogelyk was in een zo weinig na;uurlyk foort iets verdraaglyks te maaken. 't Is nog een oorzaak van verwondering voor ons, dat'er lieden geweeft zyn, welke bedreven genoeg waren, om zo weinig merkbaare tusfchenwydtens, als vierendeelen eens toons, te beftemmen. Het is nogthans zeker, dat deeze foort, ondanks haare hardigheid en moeijelykheid, in Griekenland lang gewaardeerd w^rdt, en het vermaak van hetzelve was. Maar eindelyk kreeg men allengskens een weêrzin in dezelve, en ten tyde van Ptolomeus was dezelve, zo wel als de Chromatifche foort, inongebruik geraakt: beide zyn hedendaags niet meer aanweezig, als in de boeken der Muzikanten, en ik geloof det wy 'er weinig by verliezen.
Ik kome thans tot een der gewigtigfte deelen van de oude Muziek. Hetzelve is die van haai e zangwy zen ,een duifter onderwerp, en dat veelen der Schryvers, welke ondernomen hebben hetzelve te vcrklaaren, verlegen heeft gemaakt. Ik hoop deeze duilterheid daar uit te verdryven.
De Zangwyzen, of liever de toonen der oude Muziek, zyn de zelfde als die der hedendaagfche Muziek. Om de waarheid te zeggen, men zou haar in de wyze, op welke de Ouden dezelve verklaard hebben, met meer kennen, en zonder de tafelen, welke Ptolomeus ons van de waarden der klanken in elk derzelven gegeeven heeft, zou uit hunne verklaaring volgen, dat zy flegts eene
ZaDg-
(v) De Mupca.



*?* HISTORIE der
Zangwyze hadden- In der daad, de oorfprong welk,» hy daar aan geeft, zal kiaarblyklyk valfch fchvneTaan
De Ouden namen in aanmerking zeven foorten vin nr laven gevormd uit de verfchillende fchftkinïdSSlS, en halve-toonen,zo. al,, deeze zouden zyn,£fi J°re mi fa fol la ,fi ut re m, fa fol la fi- en hadden dezelveferfchS Jende taamen gegeeven, als £>orifcke,Lydifcne, PhZThe vêlaven, enz. dit was, volgens hun, datgeen 't weKSne verfchiliendeZancwvzen afbeeld- fnfZrVQ • ook in de Muziek ^^S^^^S^
verfth llepde Zargwyze, wanneer men zingt fa fol la R.
Z%7&)*ZS oê/iJJutfe
ZiS/a ™h tf ^oxe"es en de ü"den hadden dus een nisfl-ie: maar behoort men zich te verwonderen du
v4fwelked'eSZ1Chr m$8«*P«* «nen heeft ShJ*
£22 eSS^' » -LlykSdeTI;
üy geluk heeft Ptolomeus ons uitvoerige tafelen re. geeven (x), welke bekwaam zyn, om h« v8S
zy-
riïJ" de VerfaameIing derMeraorien, dooruitheemfcha
7an7wS v ^ ' Z°Ud/ hy «weeten hebben, dat de
otdte oSave», elkander volkomen, door de fchikking <Zl toonen en halve-toonen. Wv dmvén han toe ™aA g 7
te maaken met dezelve een weinig te leeren, Mn-be««» l*) ifrnre. 1. IJ. c. u.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 173
zyre verklaaring, en die van zyne voorzaaten, te vergoeden. Deeze iafelen leeren ons, dat alle de Z3ngwyzen voor de opvolging der toonen eenftemmig waren , en flegts in den trap van diepte en hoogte van elkander verfchilden. De Dorifche zangwyze dus, ten, aanzien van de anderen ,tot een trap van vergelyking genomen, en door den Diatonifchen trap, welken wy boven opaegeeven hebben, voorgefteld zynde, was de Phrygifche zangwyze die, van welke de klank van het midden met de fi der Dorifche zangwyze, eene gelykluidigheid maakte, de Lydifche zangwyze die, waar1 van de midden-klank met de volgende ut faamenfmolt , of een kleine terts hooger was dan de midden-klank dec Dorifche zangwyze. Voorts was in ieder van deeze toonen alles op de zelfde wyze gefchikt. In de Phrygifche. en Lydifche zangwyzen,even als in de Dorifche zangwyze, klom men na dëprofiambanomene één toon op, dan een halven-toon, eindelyk twee maal één toon, enz. Men heeft flegts de oogen te laaten gaan over de tafelen, waar van ik gefproken heb, om hier van overtuigd te worden; want men zal in dezelve, tusfchen de fnaaren van dezelfde benaaming, altoos de zelfde getallen zien. Aldus is in alle de groote toonen van onze Muziek de fchikking van de o&aaf de zelfde; opklimmende is de eerfte halve-toon altoos van de terts tot de quart, en de laatfte van de zevende tot de oElaaf.
Deeze zelfde tafelen van Ptolomeus leeren ons, dat de Dorifche zangwyze het midden tusfchen alle de andere zangvvyzen was. Want van de zeven, welke hy flegts wil aanneemen, zyn 'er drie welke hooger zyn, de drie andere zyn laager. Waar uit volgt, dat de la van het midden der Dorifche zangwyze ten naafte by het midden tusfchen de hoogfte toon der bovenfte , endelaagfteder onderfte, was. Dus kwam dezelve ten naafte by overeen met de la van het midden des Clavecimbaals, en de reeks der nooten van de Dorifche zangwyze, door onze nooten uitgedrukt, zou zyn la fiut re mi fa fol la fi ui re , enz. waar uit volgt, dat deeze zangwyze onze zangwyze van «//zoude zyn. Voorts naardien wy niets anders te doen hebben, als de oude zangwyzcn onder malkan-
<<er



$74 HISTORIE des
der te vergelyken, is het van weinig belang naauwkeurig' te weeten, met welken toon van onze Muziek eene zekere zangwyze der oude Muziek overeen (temde. Wy zullen derhalve, ten minften met onderftelling, de Dorifche zangwyze voor ut neemen. Alsdan wasdePA/ygifche, Volgens Ptolomeus, geweelt fi at kruis re mi fa kruis fol la, enz, dus was dezelve in re. De Lydifche^ een kleine terts hooger dan de Dorifche, was in mi bemol $ de Myxolydifche was in fa; de Hypolydifche, een quart laager dan de Lydifche, was in y?bemol; de Hy~ pophrygifche, een drietoon laager dan de Phrygifche, was gevolglyk in la bemol, en eindelyk was de Hypodorifche in fol.
De Ouden waren over het getal der zangwyzen zeer verdeeld. Ptolomeus wilde dat 'er flegts zeven waren, en hy hadt ongelyk. Ariftoxenes hadt reden, om toe dertien, of liever twaalf, zangwyzen aan te neemen, want daar zyn 'er even zo veel noodig , om aan alle de vereifchtens der zoetluidendheid te voldoen. Wy zullen ons derhalve aan hetfaamenftel van den iaatfttn houden ; en zie hier met weinig woorden de betrekkingen van zyne twaalf zangwyzen onder malkander. De Ifpodorifche kwam overeen met onze fol; de Hypophrygifche was la bemol; de Hypophrygifche acutior was la; de Hypolydifche of Hypoceolifche, fi bemol; de Hypolydifche acutior, ft; de Dorifche, ut; aeTaftifche, «/kruis; de Phrygifche, re; defEolifche, re kruis; de Lydifche, mi; de Hyperdorifche, fa; de Hyperyaftifche oï'Mixolydifche, fa kruis. De Hypermixolydïfche, welke hy te vergeefs byvoegde, was fol, of de beantwoording van deHypodorifche zangwyze.
Alle de zangwyzen, welke wy nu hebben doen zien, waren, volgens de befchryving van Ptolomeus en Ariftoxenes, groote zangwyzen; waar uit men misfehien zoude kunnen befluiten, dat de Ouden flegts de groote zangwyze kenden. De Heer Burette heeft dit te berde gebragt in een van zyne Differtatien over de oude Muziek OO; maar hy heeft zich te veel gehaaft, om deeze
(y) Mem. des Infcript, T. V. fut la Mèlopée.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. ï?S
te gevolgtrekking plaats te geeven, en ons, zonder zulks te willen, wapenen tegen hem zeiven in handen gegeeven; want onder de Griekfche airen, welke hy ons heeft medegedeeld, is 'er een dat in mi minor of de kleine mi is.
Om deeze befchry ving der oude Muziek te eindigen, moeten wy thans eenig denkbeeld van haare modulatie geeven. De Heer Burette heeft, door ons eenige Griekfche airen mede te deelen, ons in ltaat gefield, om eenigermaate een oordeel daar over te vellen. Ik denk met hem, dat men, in zekere opzichten, dezelve vergelyken kan met onze Gregoriaanfche zang, en geloof deeze vergelyking 'te kunnen vaftftellen op eeni? ge berichten, welke deeze Geleerde, hoe zeer hy ook in deeze foort van weetenfchap bedreven was, niet befpeurd heeft.
Ten eerften was 'er veel overeenkomft tusfchen de wyze, op welke men daar in van de eene zangwyze tot de andere overging, en die op welke men dienaangaande in de Gregoriaanfche zang'verandert. De Grieken wilden van de zangwyze des toons liever toe die van de quint naar boven, dan tot die van de quint naar onderen overgaan. Wy zien zulks uit dé airen', welke van hun tot ons gekomen zyn, als ook uit de grondregelen, welke'hunne Muzikanten over dat onderwerp gaven. Het is met onze Kerk - Muziek eveneens gelegen. Een toon in ut neemt gemeenlyk haaft een fi bemol, een teken dat dezelve in fa is overgegaan.Nooit ziet men daar in geen fa kruis, welke een overgang tot de zangwyze van fol zoude te kennen geeven. Wel is waar men ziet fomtyds in een toon in fa, dat de fi natuurlyk wordt, hetgeen aantoont, dat de modulatie, in ut, de zangwyze der quint naar boven, is overgegaan. Niettemin hebben deeze loopen myzeldzaamer gefcheeuen; dezelve waren in de .Griekfche Muziek niet verboden, maar 'desgelyks minder menigvuldig.
Ten tweeden zyn de uito;nn<ïcn van de zang in de Griekfche Muziek en in die- van onze Kerken zeer •overeenkomftig, en dezelve verfchillen van die van onze hedendaagfche Muziek. In deeze eindigt men door



i7ö HISTORIE der
weder cp de noot des toons van de air te vallen. In 4é Griekfche eindigde men zeer wel op de terts; twee der airen, door den Heer Burette'm 't licht gegeeven, eindigden dus, en waarfchynlyk waren 'er, die op dequint naar boven of naar onderen uitgingen. Het zelfde worde in onze Gregoriaanfche zang in actit genomen. Menbefpeurt in dezelve een groot getal Hukken , welke met de terts of de quint des toons uitgaan:
Ten derden kende de Griekfche Muziek, even als onze Kerk-Muziek, die meenigte nooten van verfchillende lengte niet, welke wy in de hedendaagfche Muziek bemerken. De houding van iedere klank kwam fiiptelyk overeen met de maatklank: dus waren 'er weinig andere nooten als zulke, waar van de langden met twee der kortften gelykwaardig waren.
Ik ben nogthans wel verre van voor te geeven, dat da oude Muziek zo eenvoudig en zedig was als onze Gregoriaanfche zang. Door een geeft van wysheid heeft de K.erk de te ver gezochte cieraaden, en bekwaamer om de hartstogten gaande te maaken, dan eerbied in te boezemen, uk haaren zang verbannen. Maar de Griekfche Muzikanten gebruikten mee kunft in hunne opitellingerj alles wat de uitdrukking derzelve konde vermeerderen; zy veranderden in een zelfde Stuk van gedacht, door van de Diatonifche over te gaan tot de Chromatifche, toe de Enharmonifche zangwyze , en misfehien van de major tot de minor, dewyl men boven gezien heeft, dat deeze laatdehen niet onbekend was. Zy maakten grootereen vryere aanvallen opdeovereenkomdige toonen, gaande tot dien van de terts,en zelfs, naar de gelegenheid , tot eenen geheel vreemden toon over (2) Zy hadden een zeer kenlyke maat, welke zy ten naalle by als wy floegen. De beweegingen van hunne Stukken waren' doormengd; hunne wyzen van zoecluidendheiot waren vry wel onderfcheiden door tusfeheopoozen van ftilte, even als onze rudtekens en mikken , indien wy uit de airen, waar van gefproken is, daar over oordeelen. Zy hadden cieraaden als de zoetvloeijendheid ent de ftembuigingen; want in deeze airen vindt men fom-
tyds
(s) Euclid. Mujica prcem. de mutat»



WISKUNDE. I. Deel. IIL Boek. 177
tyds twee der letteren, welke in dezelve de plaats der nooten vervulden, op een zelfde woordgreep, zo in 't opklimmen als nederwaarts gaan. Wy ontmoeten, wel is waar, in de Schriften over de oude Muziek, welke tot ons gekomen zyn, geen blyk van de zo gemcenzaame trammeleeriDgen in de onze; maar nogthans moet men daar uit niet volftrektelyk befluiten, dat dezelve onbekend waren ; want 'er zyn verfcheide beweegredenen om te gelooven, dat die ichriften ons niet in alles, wat deeze Kunft by de Ouden betreft, onderwyzen.
Thans kan men bevatten hoe de Griekfche Muziek, fchoon minder volmaakt dan de onze, onder de handen van een bekwaam Componifl groote werkingen konde voortbrengen; want wy hebben voorbeelden welke ons leeren, dat men met'zeer eenvoudige klanken een gezang, zeer bekwaam om de gemoederen te beweegen, kan maaken; en de Griekfche Muzikanten konden, met de veranderingen van toon en geflacht, welke hun zo gemeenzaam waren, de hartstogten met veel nadruk en waarheid fchilderen. Wy kunnen echter alle de byzondere Haaltjes, welke men van hun verhaalt , niet gelooven ; fommige zyn klaarblyklyk verdichtfelen, en de andere ten allerminfte vergrootingen ; door dezelve tot hunne juifte waarde te brengen, zullen wy flegts in de Grieken een volk zien, dat met de bekoorlykheden der Muziek zeer ingenomen wasj en waar op dezelve een byzonderen indruk maakte. Het is vry natuurlyk zulks te denken van een volk, dat met eene levendige verbeelding en een uitmuntend gevoel begaafd was. Wy zouden in deeze tegenwoordige tyden byna foortgelvke voorbeelden kunnen vinden. Een fraai air, in Italië en zelfs by ons gezongen, verwekt in zekere perfoonen verrukkingen van vermaak: in Noord - Holland gezongen wordende, zou hetzelve ten hoogften eene koele verwondering doen ontftaan.
My blyft nog overig van een vermaard gefchilpunt te fpreeken, waar over de Geleerden meer dan eens zyn verdeeld geweeft. Hetzelve beftaat in deeze «raag; hadden de Ouden datgeen, dat wy noemen de tegenzang, of de kunft om verfcheide partyen, onder I, Deel, M elkan-



17"3 HISTORIE der
elkander verfchillende accoorden maakende, te faamen te doen zingen? Het is niet mogelyk hier een vraag, ltuk, ichoon hetzelve maar kortelvk aangeroerd werdt te verhandelen, dat alleen een boekdeel zoude vereisfchen. Ik zal alleenlyk zeggen, dat ik, op de befchouwmg der tot nu toe wederzyds bygebragte redenen, alsnog naar het ontkennende overbelte. Een verftandig man, die, door zyne kundigheid in de oude en hedendaagfche Muziek, zeer wel in ftaat is om dit vraagltuk op te losfen, heeft beloofd daar over te zullen handelen f» My is niet onbewuft, dat hy met my van een ftrydig gevoelen is ; ik verbinde my nogthans van het myne te zullen veranderen, indien zvne redenen de fchaal naar zyne zyde doen overflaan.
De oude Schryvers, welke over de Muziek gefchreeven, en waar van wy de werken hebben, zyn Ariftoxenes, Euclides, Alypius, Nicomachus ,Ariftides Quintdianus, Bacchius Senior, Gaudentius, Ptolomeus, Perphyrusen Manuel de Brienne; de zeven eerften zyn in 'e Gnekfch en Latyn verzameld en uitgegeeven dóór Mèibomiusi A°. 1661, 2 Deelen in 40. Ptolomeus is door Wallis in 't Griekfch en Latyn uitgegeeven in 16S2 in 40., en wordt ook in het derde Deel van zvne Werken gevonden; de uitlegging van Porphyrus over een gedeelte van Ptolomeus, en die van Manuel de Brienne over de drie boeken, vindt men ook in dat derde Deel in 't Griekfch en Latyn. Sommige van die werken waren reeds m t licht gegeeven ; maar myn oogmerk niet zynde om in bibliographifche byzonderheden te treeden, heb ik my vergenoegd met flegts de voornaamfte en befte drukken aan te wyzen.
Xr.
Uit de fchoole van Pythagoras kwam een groot getal doorluchtige Wysgeeren en Wiskundige, waar van m melding te doen heb. Een der vermaardften is Em-
pe-



WISKUNDE. I. Deel. \% Boek. I?9
pedocks, wiens fabelachtige dood zo bekendis* Men geeft onder zyn naam een Gedicht over de Spheer. maar •betzelve Wordt hem door de Geleerden bétwiit (hy aan een anderen kant is het zeker, dat Empedocksm verfen over de Natuurkunde gefchreeven hadt, en Art jloteles haalt verfcheide ftukken daar van aan
Een beroemd Schryver heeft zich laaten voorftaan van m fommige uitdrukkingen van deezen Pythaporifl tè vinden de Newtoniaanfche aantrekking en de middelpuntvliedende kracht, welken elkander wederzyds opweegen 3 en het geheel - al onderhouden (c). Daar in, zeac hy, beftaat die liefde en tweedragt, welken Empedocks met lof verheft, en die ten doelwit hebben, de eene om alles te yereenigen, en de andere om alles te verJirooijen. Het denkbeeld van den hedendanafchen Geleerde: is vernuftig, maar, myns oordeels /meerder vernuftig dan gegrond. Het dunkt my waarfchynlvker
^Zy?A%dat me- in ¥ gevoe!en van den Pythalorl fchen Wysgeer met anders behoort te zoeken/dan die verborgene neiging en tegenheid, aan welken veele der I?hreevene V°mi"g en ontbindinS der lighaamen toe, Philolaus en Architas bekleedden eene aanzienlyke nlaato onder de Pythagoriflen. Zy omhelsden beide de a!2e. meenheia der Wiskunde. Wy weeten, wel is waar weimg byzonderhedcn van Philolaus, ten zy alleen heÉ deel dat hy hadt aan het berucht gevoelen van de beweeging der Aarde, en de onbeweegl< fcheid der Zon. Hy omhelsde het m alle zyne uitgeflrektheid, en was de eerfte die hetzelve ontdekte; Fabriciusgeeft eeneon^ telling van verfcheide tytels zyner fchriften (d\% onder welken wy één over de Mechanica vinden; het-» geen ons aanleiding geeft, om hem, nevens Eudoxut en Architas, deel te ^ even aan de verdiende van, om zo te fpreeken, dat gewigtig deel der Wiskunde eefchapen te hebben. b
Be-»
(b) Èibl. Grcec. T. II. p. 478.
(c) M. Freret. Mém, de l'Acad, des Infcriti T. XVTrr; (<i) Bi». Grccc. T. H. * ' •
M a



180
HISTORIE der
BelaDgende de werken en de geleerdheid van Architas, heeft de gefchiedenis meerder onderrichting voor ons bewaard; hy hadt ook een groot getal Werken over verfcheide onderwerpen gefchreeven, waar van alleen de tytels nog overig zyn (e), eene te onvruchtbaare ftoffe om dezelve hier te verzaamelen. Horatius heeft zonder twyffel zyne groote fchranderheid in de Meeten Sterrekunde willen uitgalmen, door deeze Verfen van zyn XXVIII. Lierzang, boek i.
Te maris ac terr<£ mtmeroque carentis arena Menforem cohibent Architd , &c.
Wy hebben een lofwaardig gedenkteken zyner Meet* kunde in zyne oplosfing van het Problema der twee midden-evenredigen, waar van wy elders (ƒ) breedvoeriger fpreeken zullen. Hy was een der eerften, die van de Analyfis, waar van Plato hem de handelwyze hadt medegedeeld, gebruikmaakte, en van deezen onderlland geholpen , deedt hy talryke Meetkundige ontdekkingen. Men moet eindelyk hem veel dank weeten, van de Meetkunde uit haare afgetrokkene befpiegelingen tot het nut voor de maatfchappy te rug gebragt te hebben ; in der daad , hy poogde niet alleen eene Theorie der Mechanica te ftichten , door van haare gewrochten reden te geeven (g); maar zelfs muntte hy uit in de vinding der Werktuigen. De aloudheid fpreekt met verwondering van een kunttige duive, die hy maakte, en wier faamenftel zo vernuftig bedacht was, dat dezelve de vlugt der natuurlyke duiven nabootfte. De verwydering des tyds heeft, denk ik, het verhaal veel vergroot.
ArchJtas onderging, zo men zegt, de berisping van
Pla-
(e) Ibid.
(ƒ) Art, XVI. van dit Boek. (£) Diog. Laè'r. in Architas.



WISKUNDE. I. Deel. III. Beek. 181
Plato, om de Meetkunde op de Mechanica toegepaft te hebben (h). Wy kunnen bezwaarlyk gelooven, dat die Wysgeer eene zo gewigtige dienft aan de kunIten, en voor de maatfchappy, heeft kunnen wraaken* Zo als Diogenes La'értius ons te kennen geeft, dat Architas de beweeging in de Meetkundige oplosfingen en befchryvingen het eerft gebruikte, zouden wy gaer* ne gelooven, dat die berisping de toepasfing der Mechanica op de Meetkunde betrof, indien wy niet het voorbeeld van Plato zeiven hadden, die zich vergenoegd met op deeze wyze op te losfen het Problema der twee midden-evenredigen. Misfehien zou de ontknooping van dit alles zyn te zeggen, dat het hoofd der Schoole dit middel flegts in een hopeloos geval gebruikte , en dat de Pythagorifche Wysgeer zich in dat opzicht te veel vryheid aanmaatigde, of ten minften dat hy beweegingen voorftelde, welke al te faamengefteld, en te moeijelyk in de uitvoering waren.
Wy behooren onder deeze beroemde Pythagoriflen niet te vergeeten Timeus van Loeres, waar van Plato fchynt te hebben willen befchryven de Natuur- en Sterrekundige leering over de vorming van 't geheel-al, in die van zyne faamenfpraaken, welke dien naam draagt. Maar die verhandeling is zo diepzinnig, en zo weinig verftaanbaar, dat men byna niet anders doen kan,dan gisfingen over den waaren zin zyner uitdrukkingen te maaken. 't Is in dat boek, waar in fommige Schryvers geloofd hebben te zien, dat de Hemellichten in 't eerft eene rechtlynige beweeging naar 'c middelpunt van het geheel-al bekwamen; en dat naderhand, door eene zydelingfche voortftooting, deeze bewceging in een kringswyze bewecging veranderd werdt. Indien het ftelfel der middelpuntige krachten eenigen nieuwen trap van zekerheid verkreeg, om dat van deezen ouden Wysgeer te zyn geweeft, zou de Heer Gregori daar in te verfchoonen zyn, dat hy aan de uitdrukkingen van Plato (?) deezen zin heeft willen
gee-
(h) Plut. In Sympof.
{i) AJtr, Phyf. £f Geom. Elem. Prof.
M 3



?8a H I S T, O R I E der
geeven, en zich verbeeld heeft om de beide krachten s welke de kromlynige beweeging der Planeeten faamenftellen, daar in te vinden. Maar ik durf zeggen, dat de plaats, welke de Heer Gregori tot zyn grondflag neemt, zelfs niet de fchaduwe van den zin, dien hy aan dezelve geeft, voorftelt, en dat hy op geen andere wyze, als door die plaats op eene wonderlyke wyze te verminken, dezelve daar na heeft weeten te buigen. Ik noodige hun, die twyffelingen over dat onderwerp zouden mogen hebben, om het oorfprongkelyk Werk na te Haan. Laaten wy ons te vrede ftellen met aan die oude Wysgeeren de verdienfte toe te ftaan, van de kennisfen ontworpen te hebben, welke de achtervolgende werken van zo veele eeuwen in den ftaat gebragt hebben, waar in dezelve hedendaags zyn; maar laaten wy ons wachten om, zonder krachtige bewyzen, de vcrnufngfte, of de gelukkigfte, denkbeelden der hedenoaagiche Wysbegeerte hun toe te eigenen.
Het verlangen om aan zo weinig fcherpzinnige naIpoonngen een einde te ftellen, beweegt my om de volgende Wysgeeren, waar van veelen ons niet als door eenjge flaauwe trekken bekend zyn, flegts met weinig woorden aan te roeren. Zodanige zyn Heractiiks van Pontas, die over de Meetkunde fchreef, en de beweeging der Aarde voorftondt (k); Ecphantus, en Hicetas cf Ntceias van Syracuja, welke het zelfde gevoelen aannamen (l); Lafm van Hermiona, de eerfte bekende Schryver over de Muziek (m); Hippafusvtm Metapon]a? een ander Meetkundig Muzikant f»- Parmemdes. wien men deel geeft aan de eere, van de rondheid der Aarde, en de oorzaak van het verfchynfel der morgenen avond- Ster omdekt te hebben f»; Leucippus,, van ■wien Diogenes Laërtius verhaalt, dat by de Aarde om
haa-.
(M) Diog. in Herach en Art. VIII. Q) Art. VIL
(m) Suidas, op hst woord Utts. Theon van Smm. laca
^tath. Plat. i. ii. c. 32.
(n) Theon. Ibid, (» Diog. In. Pann.



WISKDNDE. I. Deel, III. Boek, 183
.haaren as in beweeging ftelde (p ). Om de waarheid te zeggen, indien deeze Leucippus zulke ongerymde gevoeiens hadt als die, welke riem over andere Sterrekundige ftukken aangetygd worden, is zulks een getuigenis, waar in het Pythagorifch ftelfel weinig eere behorn te ftellen. Want men doet hem zeggen, dat de Aarde dc gedaante van een trommel hadt, dat de Zrn it verft a^lege-ne der Hemellichten was, enz. Maar indien wy de Werken van deezen Wysgeer hadden , zouden wy mogelyk dit verhaal weinig getrouw beurden. Volgens het bericht van Plutarchus Ca). ftelde de Wysgeer Xenophanes veele andere ongegrondheden voor: hy dacht, zent hy, dat ieder geweft zyne Zon en zyne Hemellichten hadt; dat de Aarde oneindig in .iiepte was, dat de Zon een brandende wolk was, die in de Eclipfen uitgeblufcht werdt, enz. maar wy zullen de ligtgcloovige buigzaamheid van zo veele verzaamelaars niet navolgen, en om dit verhaal op zyne waarde te ftellen, zullen wy aanmerken, dat Xenophanes in verfen fchreef, en dat het zeer wel mogelyk zou kunnen zyn, dat men zyne dichtkundige en verbloemde uitdrukkingen te veel naar den letter hadt opgevat. Wy hebben in der daad groote redenen om te twyffelen, of Xenophanes zo onnozel was, als men hem aan ons voordek. Deeze Wysgeer nam dat deel van het Pythagorifch ftelfel aan, 't welk de Planeeten bewoond maakt. Cicero geeft ons zulks te kennen (V)', en LaBantius (s) verklaart hetzelve op eene wyze, welke ons aantoont, dat deeze Kerkvader minder in de Wysbegeerige ftolfen, als in de Godgeleerdheid en de Zedeleer bedreven was; want na veele ongerymdheden, welke hy naar zyne zinnelykheid in het Pythagorifch gevoelen ftelt, vindt hy in hetzelve eene groote ongerymdheid, om te denken, dat wy ten aanzien •vaneenig hemelfch lighaam zyn, hetgeen de Maan ten
on-
(p) In Leucip.
(q) De Plac. Phil. 1. II. & III. pajf. (r) Acad. Quteft, 1. IV. (s) Injlit. div. 1. III. «3.
M 4



184 HISTORIE der
zen opzichte is. Hedendaags wordt nogthans niemand gevonden dje met weet dat niets waarachtiger is; en cat,orafhangkelyk van alle ftelfel over de natuur en de verordening derPlaneeten, onze kloot, uit de Maan gezien, aldaar den ichyn zoude hebben, welke deeze voor ons heeft. Maar hoe zullen wy d£ gevoelen vS Xenophanes overeenbrengen met het eerfte der ongervmde leerftukken, welken men hem aantygt ? Indien hv volgens Cicero, dacht, dat de Maan eene Aaide me? bergen en fteden bedekt, was, hoe kan zulks dan overeenlremmen met zyn gevoelen over de oneindige diente der Aarde?daar benevens maaktLaclantius hem vooreen zinnelooze uit,om dat hy geloofd heeft, dat de Maan 28 maal zo groot was als de Aarde. Hyhadt hier in,wel is waar, eene groote misvatting; maar deeze misvatting zelve toont nog aan, dat hy niet dacht, dat de Aarde oneind'g in diepte was: deeze aanmerkingen fchynen my bekwaam te zyn, om te beveiligen hetgeen ik elders gezegd heb, hoe weinig men die HiftorVschrvvers moet gelooven, welke ons van de oude Wvseeeren zulke onredelyke gevoelens verhaalen. ™* e,vermuaarde Wysgeer van Abdera, Democritus, zal
SbaDS £ez',g h0Uden,' en verfchaft °"s gewigtVer ftukken. Zynde een d.epzinnig Wiskunftenaarf èS fchrander Natuurkundige, verlicht in de ZedeleeV en hebbende eindelyk kundigheden beide in de vrvë en hanS werks-kunften, verdiende hy, naar het oordeel en Socrates zeiven, vergeleeken te worden met hun, vvelke in de vyf foorten van gevechten der Olympi/cke melen de zegepalm behaald hebben (i). Wat al eernat men ,om hem een plaats te verkenen onder de mannen F?l kk d1 ^eete"rchfPPen de meefte verdiénfte gehad hebben! Maar veele van die voorwerpen zvnt'fe nemaal one,gen voor ons ontwerp. Wy zullen onYde?halve bepaalen tot zyne Wiskundige kennisfen,en tol die zyner natuurkundige gevoelens, welke de merk waardigfte zyn, of waar van de achtervolging deÏÏv den de rechtmaatigheid heeft doen zien' y Democritus gaf zich met veel vlyt aan de Meetkunde over, en het fchynt dat deeze Weetenfchap hert. veel
(t) Diog, in Democr. vet'



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 18*
verfchuldigd was. Wy gisfen uit verfcheide tytels van ■werken {u)> dat hy een der voornaamfte bevorderaars was van de grondftellige leering over de raakingen der cirkelen en klootcn, over de irrationaale lynen en de lighaamen. De PerfpecTief en de Optica waren hem ook fommige van haare eerlte fcheden verfchuldigd, Vitruvius ftelt hem nevens Anaxagoras (y) in de uitvinding van de eerfte deezer weetenfchappen, een onderwerp waar over hy eene verhandeling fchreef, getyteld; A&inographia, cf Radiorum Defcriptio, waar van ook melding maakt de Hiftorie-Schryver der Wysgeeren, dien wy zo dikwils aangehaald hebben. Het is waarfchynlyk, dat daar in mede gefproken werdt van de direcle Optica, dat is te zeggen, van de wyze op welke wy de voorwerpen gewaar worden. Maar wy zullen elders gelegenheid hebben , om tot den oorfprong deezer Weetenfchappen op te klimmen, waar heen wy den Leezer verzenden (w).
Zo wel de Natuur- als Wiskundige Sterrekunde hieldt Democritus veel bezig, en hy fchreef over dat onderwerp verfcheide Werken, waar van alleen de tytels tot ons gekomen zyn (x). Naardien het van weinig vrucht zoude zyn dezelve te kennen, zullen wy ons niet ophouden met dezelve te verzaamelen; wy zullen flegts verflag doen van zyn Natuurkundig ftelfel over de faamenftelling van 't geheel-al. Hetzelve bevat vry merkwaardige denkbeelden, en welke met die van Defcartes eenige overeenkomft hebben.
In der daad, Democritus fchreef de beweeging en dc vorming der hemelfche lighaamen toe aan draaikringen yan ftofdeeltjes, welke, op fommige plaatfen elkander vaftgehouden hebbende, zich aldaar tot klooten vereenigd hadden (y). Deeze zyn de Planeeten, de Aarde en de Zon. Dit was hem gemeen met Leucippus;
hy
(«) Ibid.
O) Arch. /. VII. pr. ' (w) Boek VII. tweede Deel van dit Werk;
lx) Diog. LaHrtius. Fabric. Bib. Crcec. { (y) Diog. Laè'r. Ibid.
M 5



m HISTORIE der
liy voegde 'er nog by, dat de eigenlyke beweeging der Planeetm van het Wetten naar het Ooften flegts fchynbaar was; dat 'er maar een eenige was, wier richtftreek van het Oosten naarbet Westen ging, maarditdenabuurigfte Planeeten aan onzen kloot, het verft van hetprimum mobile zynde, minder aan de beweeging van hetzelve gehoorzaamden, en achterwaarts bleeven, hetgeen maakte dat dezelve naar het Westen fcheenen bewogen te zyn. Dit zou byna zyn hetgeen gebeuren zoude aan een klootfchen of Cylindrifchen draaikring, wiens beginfel van beweeging aan de oppervlakte was. Wat aangaat de helling der Planeeten op de gemeene richtftreek van deeze beweeging, daar in hadt hy ook voorzien; hy hadt foorten van vloeden van fyne hoofdftoife verzonnen, welke dezelve beurtelings van den Equator deeden afwyken, of wederom nader tot denzelven bragten. Het is waar dat Democritus geen acht gaf, dat dit zelfs niet genoegzaam was, en dat deeze afwyking ten aanzien van de Ecliptica moeft befchouwd worden: maar wat Vinder van een ftelfel heeft in alles voorzien ? en om daar van een gedenkwaardig voorbeeld te geeven, heeft de vermaarde Wysgeer, welke de verklaaring der zwaartekracht door de draaikringen uitvondt, in 't eerft acht gegeeven, dat zy de lighaamen flegts tot den as, en niet tot het middelpunt, te rug bragten ? Zodanig was een der eerfte ftelfels van 't geheel-al, dat Lucretius ons , cierlyk in zynvyfde boek befchreven (z), bewaard heeft, 't Is met verdriet dat ik my genoodzaakt zie, om deeze aangenaame befchryving aan de kortheid op te offeren.
Ik ben genegen om te denken, dat wy de eerfte vonken van verfcheide Natuurkundige gevoelens, aan welke de hedendaagfche Natuurkundigen de grootfte waarfchynlykheid toegefchreeven hebben , aan Democritus -verfchuldigd zyn; want men weet, dat Epicurus het grootfte deel zyner leerftukken by hem geput hadt; en verfcheide Schryvers, onder welken ik Cicero (a) en
Mi'
(z) V. 611 en volg.
(a) De fin, Ion. ml. ï, i.



WISKUNDE, f. Deel. III. Boek. 18?
Macrobius flegts aanhaale, hebben gewild, dat zyne Natuurkunde niets redelyks bevatte, dan hetgeen hy, zonder het te veranderen , van anderen ontleend hadt. In dit geval kunnen wy den Wysgeer van Abdera veele zeer rechtmaatige denkbeelden, welke wy by Lucmius vinden, toeëigenen; zodanige zyn deeze, dat het ledige tot de beweeging noodzaakelyk is; dat in het ledige alle de zwaar e lighaamen met dezelfde-[netheidzouden vallen; dat de ligtheid flegts een minder, zwaarte is; dat het licht beftaat in eene uitvloeijing van lighaamtjes uit de lichtverfpreidende lighaamen (c). Wy weeten bovendien door een uitdruklyk getuigenis, dat Democritus zeide, dat de ftofdeeltjes de eenen meer dan de anderen woogen (d), naar evenredigheid van hunne mafta; hetgeen zeer bekwaam is, om onze gistingen te ttaaven. Wat Epicurus belangt, om de achting, die hy der Wiskunde toedroeg, te erkennen, zullen wy hem gaerne de eere laaten van ontdekt te hebben, dat de Zon niet grooter is dan dezelve ons toefchynt, en te hebben gedacht ,datde Hemellichten misfehien als lampen aan den Horizon uitgaan, om den volgenden dag by hunnen opgmg weder ontdoken te worden <ie). Het is ten minden zeer gewis, dat deeze proeven van onweetendheid Democritus niet aangaan. Cicero is hier in onze getuige (f), wanneer hy die ongerymdheden als proeven der onweetendheid van Epicurus verhaalt, en dezelve dele tegen deredelyke gevoelens, welken de Wysgeer van Abdera, in de Wiskunde ervaren, over de zelfde onderwerpen hadt.
Wy zullen hetgeen wy van Democritus te zeggen hebben eindigen, met hem de eere te geeven van de gelukkige gisting,dat de glans van den. melkweg niets anders is, dan het vereenigd licht van eene meenigte kleine Sterren, waar van ieder in 't bvzonder het gezicht ontglipt. Dus is het dat Macrobius (g) en Plu-
tOT'
(b) Saturn. 1. VII. c. 14.
(e) L. I. v. 336.... v. 359...' 1- II. v. 238. 218. l.V. v. 282. en volg.
(d) Arift. de gener. Anim. 1. I. c. 8.'
(e) Lucr- 1, V. v. 564. 640, &c-
(f) De finib. bon. mal. I. I. §. 7. (s) Com, in Som. Siip, 1. I. c. 15.



1«« HISTORIE der
tarchus Qi) zulks verklaaren, en het is natuurlyker hun W^enereeenge 0d°r,J eenen Tffiï
gevoelen nageeft, dat t' eenemaal belagchelv? ™ jet, de eenvoudigfte kundigheden der f S^ydig
«is in de vergetend fe traven"Van"difttalls"
lyk aan een gegeeven hoek te rSien?eïïitïefpuDÏ
neiat zien met verhevener dingen bezig. Hv niiaVr» werk om het gemeen vooroordeel te beflrvdL naa melyk dat de figuren, wier omtrekken iZk Sn' gelyke inhouden hebben (h- maar ««L Jf y ' y » rot Hibtacrntn «an rv;- A A' y haaften ons om
^SSÏ wïï,°S ïoo^Tynê
fch?eSsde> 318 doorde^onLheid%aennzyengde!
Hippocrates was niet geboren om een Wiskundfee te zyn, en zonder den tegenfpoed en het geval S hy misfehien zulks nooit geweeft zvn H„ '
-fwetó
ne ongefcbiktheid 3 zln^anoU*^^5?
open-
(*) Dj PI. PUI. 1. II. c a<
<<) Meteor. L I. c. 8.
(*) Procl. f» I. Eucl. 1. II. c 4.
(J\Bptl ly*-,S' Theon' »W, 1. I {«0 £f£»c<j «4 iBiej». i. vil. c 14



• WISKUNDE. I; Dgel III. Boek. ï8o
ópenbaare rechten te Byzantium namen dit te baat j en bedrogen hem op eene onbehoorlyke wyze; hetgeen Hippocrates misfehien zoude rechtvaardigen is, dat meD, fchoon niet zot zynde, nogthans van foortgelyke lieden wel bedot kan worden. Wat 'er ook van zy, daar door in een Haat gebragt, die hem zynen handel deedt opfchorten, en half bedorven zynde, kwam hy te Athenen, om aldaar zyne zaaken eenigzins te herftellen. Aldaar leerde hy de Meetkunde voor de eerfte maal kennen. De begaafdheid voor de Wiskunde is, zo als wy durven zeggen, in zekere opzichten gelyk aan die, welke de Dichters voortbrengt; dezelve is eene ingeeving der natuur, dieniet nalaat ons by de eerfte gelegenheid als met geweld daar toe over te haaien. Het geval van Hippocrates is daar van een merkwaardig voorbeeld. De nieuwsgierigheid, of de luft om zynen tyd in bezigheiddoor te brengen, hem eens in een School van Wysgeeren gevoerd hebbende, vondt hy zo veel behagen in de Meetkundige lesfen, welke hy daar hoorde geeven, dat hy, van zynen koophandel af ftand doende, aan niets anders als aan deeze weetenfchap dacht. Sommigen hebben, wel is waar, gezegd, dat hy den inborft van zyne eerfte bezigheid niet geheel liet vaaren, en dat hy, de Meetkunde voor geld onderweezen hebbende, uit eene Schoole van Pythagoriflen, in welke hy aangenomen was, weggejaagd werdt.
IPtppocrates een Meetkundige geworden zynde, was welhaaft een der aanzienlyklten onder dezelvtn. Hy is vooral beroemd door zyne ontdekking van hec Maanftuk (lunulla), eene bekende ontdekking, wy zouden bykans zeggen , lippis & tonfiribus; hetgeen ons bevryd daar van iets meerder te zeggen. Men zegt, dat die ontdekking hem de vrymosdigheid inboezemde , om de quadratuur des cirkels te zoeken, en men eigent hem eene zekere redeneering toe, waar van het gebrek hier in beftaat, dat hy Maanftukken van eene verfchillende foort met die , welke hy gequadrateerd hadt, als volkomen gequadrateerd kunnende worden befchouwde. Maar de valschheid der redeneering i§ zo zichtbaar, dat ik niet kan gelooven, dat PBppo-
cra*



J9o HISTORIE Dfca
crates door dezelve is misleid geworden. Men behoor*1 ongetwyffeld zyne redeneering niet anders aan te merken , dan als een middel dat hy, om tot de jgmdmüui des cirkels te komen, voorftelde, eri waarvan zvne ontdekking hem een gelukkigen uitflag deedt hoopen Hy was het die aantoonde, dat de verdubbeling van den teerling van de vinding van tWeegeduurigemiddenevenredigen afhing f». Hy fchreef eindelyk beginfelen der Meetkunde, welke niet tot ons gekomen zvn en om welke te misfen wy ons niet kunnen bekla«eu' als uic oorzaak der nuttigheid, welke zy ons zouden verfchaffen, om den ftaat der Meetkunde in dat tvd» merk te leeren kennen; '
XII.
Het zou een groot genoegen voor ons zyn den Leezer onder het oog te kunnen brengen, langs welke trappen de eerfte Griekfche Wysgeeren tot de Sterrekundige ifennislen, waar van zy, zo als nu getoond is, in'c bezit waren, zyn opgeklommen: dit gedeelte van onze Hiftorie zou ongetwyffeld voor Wysgeeri«e vernuften zeer aangenaam zyn, en fchoon wy vangedenkftukken. bekwaam om ons daar toe op eene zekere wyze te brengeu, ontbloot zyn, behooren wy hetzelve nogthans niet t' eenemaal te verwaarloozen. Met dat inzicht zullen wy fommige redeneeringen, welke die oude Sterrekundigen in hunne ontdekkingen konden beftieren ter neder ftellen. Indien dit de waare leiding van het menfchelyk verftand niet is, zo is dezelve ten minften zo natuurlyk, dat wy mogen gelooven, dat ze zeer veel daar na gelykt.
De menfeh is van eene grootte, welke met die van den wyduitgeftrekten kloot,dien hy bewoont,zo weinig veigeleeken kan worden; dat hoe ver hy zyne oogen laat gaan, dezelve flegts een zo klein gedeelte daar van omvatten, dat alles wat hy 'er van ziet, nietmerkelyk van de platte oppervlakte verfchilt; eindelyk naar
wel-
(n) Procl. ad Euclt l, III. ad pr. r. v, med.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. I91
welken kant hy zyne oogen wendt, fchynt de Hemel, gelyk aan eene onmeetelyke tent, op de Aarde te ruften. Alle menfehen hebben derhalve, in de kindsheid van hunne denkbeelden, zich hunne woonplaats als eene onmeetelyke vlakte, op welke de Hemel ruftte, moeten verbeelden. Zodanig is ook de gedaante, welke alle volkeren, by welken de Wysbegeerie nog niet is dooreedrongen, aan dezelve geeven. Eindelyk de meefte menfehen zien met zo weinig oplettendheid het heerlyk Schouwtooneel van 't geheel-al,dat wy ons niet behoeven te verwonderen, dat dit vooroordeel zo lang over alle verftanden geheerfcht heeft.
Na veele eeuwen van eene onweetendheid , welke dringender voorwerpen voor die eerfte menfehen zeer verfchooclvk maaken, waren 'er eindelyk gelukkige vernuften , wélke op de natuur een oog van nieuwsgierig, heid begonnen te tlaan. Toen konden zeer eenvoudige verfchynfelen dienen , om rechtmaatiger denkbeelden over de gedaante van 't geheel-al te verwekken. Men zag de Zon, de Maan en de Sterren, aan den kant van het Wellen verdwynen, vervolgens weder in 't Ooften te voorfchyn komen: het natuurlykft gevolg van deeze waarneeming is, dat de Hemel niet op de Aarde ruft, maar dezelve aan alle kanten omringt. Zy die uit verre landen kwamen,konden hun nog ten aanzien der gemeene dooling uit klaarder oogen doen zien. Overal hadden zy de zelfde uiterlyke vertooning gezien; welken afftand zy ook doorgetrokken waren, nooit waren zy nader by de randen van dat onmeetelyk halfrond, dat ons fchynt te overdekken, geweeft. Men moeft uit deeze voorvallen befluiten, dat zulks niets anders dan - ene verbyftering van 't gezicht was, en dat weezenlyk de Aarde aan alle kanten van den Hemel, in 't midden van welken zy ftaat, afgefcheiden is.
Zelfs was 'er weinig meer noodig, om de rondheid der Aarde te vermoeden. Want zo de Hemel, als eene onmeetelyke klootfche oppervlakte , dezelve aan alle kanten omringt, is 'er een foort van gelykvormigheid om te onderftellen, dat zy zich aan dezelve overal op gelyke wyze vertoont. De eerfte eenigermaate rede■ neerende verftanden moefcen dit denkbeeld met veel ge-
noe-



ip* HISTORIE DÉit
noegen omhelzen , en misfehien was zulks de eerfte beweegreden , die hunnen aandacht veftigde op de verfchynfelen, welke deeze rondheid aanwyzen.
De Reizigers, en zy welke aan de ftranden van de Zee woonen, fchynen de eerften in ftaat te zyn geweeft, om op die verfchynfelen acht te liaan, en anderen daar van te onderrichten. Zy zagen dat, wanneer Scheepen de haven verlieten, de laagtte deelen het eerft, vervolgens de middelfte, en eindelyk de toppen der maften verdweenen. Aan den anderen kant, zy die naar land kwamen begonnen den top der bergen, dc torens, de gemcene gebouwen, en eindelyk den frrand te ontdekken. Zy die veel naar het Zuiden of Noorden voortgegaan waren, zagen met verwondering Hemellichten verfchynen , welke zy in hun land nooit gezien hadden, of andere verdwynen, welke zy daar altoos ontdekt hadden. De Grieken, by voorbeeld, welke te Alexandrie de Ster Canopus zagen , op de hoogte van zeven en een-halve graaden, wanneer zy aan den Meridiaan was, zagen dezelve een grooter hoogte bereiken , als zy naby Syena kwamen, of laager komen als zy naar Rhodes gingen, alwaar dezelve niet meer als van den top der bergen zichtbaar was. Laat ons derhilve iemand onderftellen , die, zo door zyne eigene waarneemingen, als door het bericht van iemand anders , van deeze verfchynfelen onderricht is. Indiende Aarde plat was, zoude hy zonder twyffel zeggen,zouden de zelfde Hemellichten zich noodzaakelyk aan de oogen van alle menfehen vertoonen. Derhalve moeten de Aarde en de Zee eene kromme gedaante hebben , op dat derzelver uitgebogenheid de eenen van de voorwerpen bcroove, welke anderen zullen ontdekken. Maar zullen wy, zal hy vervolgen, deeze gedaante zo wel van het Ooften naar het Weften, als van het Noorden naar het Zuiden, uitbreiden ? Ja , buiten twyffel zal hy antwoorden, dewyl hetzelfde verfchynfel, dac de kromheid der Zee of der vlaktens te kennen geeft: zich zo wel in de eene als in de andere richting vertoont. °
Eens met dat denkbeeld ingenomen, zal dat vernuft met draaien om veele andere voorvallen, welke
da



WISKUNDE. 1. Deel. Hl. Éoek log
dat denkbeeld ohderfchrangen zulleri , op te rnerkerli Hetzelve zal verneemen, dat eene Maan.Eclips, tegetl het midden van den nacht in een land voorgevallen, eerft verfcheide uuren vóór Of na dien tyd in een ander1 land is gezien geworden. Hetzelve zal weeten, dat, in de zuidelyke landen, de Zon byna loodrecht over de hoofden gaat, als te Alexandrie op den dag des Zonneftands, terwyl dezelve in de coordelykegeweftenzeer veel van dien ftand afwykt; dat men in die eerfte landen Sterren ziet ondergaan , welke in noordelyker luchtftrec ken nooit onder den Horizon duiken; dat eindelyk die Ster, die in een landftr.eek tot eene zekere verwydering van den Horizon fchynt bepaald te zyn , in een ander land nader by of verder van dien zelfden Horizon verfchynt. De oorzaak van alle deeze gewrochten, zal gemaklyk uit de kromheid der Aarde afgeleid worden s en 'er zal alsdan geen twyffel meer over dat onderwerp overblyven. Ten aanzien der foort van kromheid zal de eenvoudigfte zich het eerft vertoonen, en naardien dezelve de cirkelvormige is, zal het deeze zyn, welke men zal aanneemen. Men zal zich de Aarde voorftellen even als een kloot, die in het middelpunt van'c geheel - al geplaatft is.
Geduurende een fchoonen nacht fchynt de Hemel bezaaid te zyn met eene meenigte glinlterende punten, van verfchillende groottens,en waar van fommige,doof hunne gedaantens of andere omftandigheden, merkwaardige verzaamelingen maaken. Zodanige zyn de groote en kleine Beer, de Pleijades, het gefternte van Orion, de Hond-Ster, door alle volkeren ontdekt. 'Er waren geen langduurige waarneemingen noodig om te bemerken, dat alle die Sterren, op fommige na, (wanc in de beginfelen moeft men de Planeeten voor Sterren even als de anderen neemen) altoos onderling de zelfde fchikking hielden, en flegts gehoorzaamden aan eene algemeene beweeging, die haar van 'c Oosten naar 't Westen voerde. Wanneer men naderhand met meerder oplettendheid de omftandigheden van deeze beweeging betrachtte, zag men , dat fommige Sterren groote cirkelen, welke de Aarde omvingen, befchreeven, dac andere nooit onder den Horizon daalden, en dat deeza
I. Deel. N Ster-



194
HISTORIE der
Sterren cirkelen doorliepen van verfchillende grootte,deeenen in de anderen befloten, even als die zouden zyn, welke men door verfchillende punten op ongelyke afltanden van den aaf eens rads, om zynen as draaijende, zou Zien befchryven. Een Ster, wel is waar van dje van den derden rang, maar nogthans merkwaardig, om dac zy, in eene taarcelyke groote uitgeftrektheid des Hemels , de grootfte is, fcheen nooit van plaats te veranderen. Door deeze verfchynfelen met elkander te verbinden , ftelde men zich den Hemel voor als een kloot, waar door een as gaat, rondom welken dezelve oriöphoudelyk draaide, en geduurig alle die Sterren mee zich voerde. Men gaf den naam van Poolen of aspunten aan de beide einden van dien as, waar van het eene, dichc by die bykans onbeweeglyke Ster zynde, in onze geweflen zichtbaar is, en het andere,in een rechc daar tegen over ftaande punt geplaatfc zynde, door de bolrondheid der Aarde voor ons verborgen wordt.
De verfchynfelen welken wy nu gezien hebben, de gemaklykfte zynde, waren waarfchynlyk de eerfte, welken de Sterrekunde verklaarde. 'Er waren meer faamen verbonden voorvallen en redeneeringen noodig,om de natuur en de omftandigheden van de beweegingen der Planeeten, vooral van die der Zon, fchoon op 'c minit faamengefteld , te leeren kennen. In der daad naardien dat Hemellicht alle de Sterren, welke te gelyk met hetzelve boven den Horizon zyn, door deszelfs glans voor ons verbergt, laat hetzelve ons niet toe die Sterren te zien, die het op een kleinen afftand voorbygaatj men moeft derhalve andere middelen ter hand neemen, en dezelven doen zich niet zo gemaklyk op Zie hier op wat wyze ik begryp, dat men in 't eerft daar toe kwam.
Men heeft boven gezien, dat de vafte Sterren, onderling onbeweeglyk zynde, altoos eene gelyke fchikking verwonen ; maar dan eens van het licht der Zon beneveld, dan wederom van hetzelve ontwikkeld - het zyn ook niet altoos de zelfde Sterren die men ontdekt. Het tafereel verandert dagelyks ongevoelig, en wordt niet als by de wederkomft van het zelfde faifoen vernieuwd. Die Ster of dat gefternte, dat in 't begin van
den



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 195
den Zomer, by voorbeeld, zich tegen het midden van den nacht boven aan den Hemel vertoont, zal by 'c aannaderen van den Herfst ondergaan, of dicht by den ondergang zyn: de Ster die in een faifoen te middernacht opgaat, is zes maanden daar na in het zelfde uur dicht by den ondergang ; eindelyk een Ster , die nog kort na den ondergang der Zon verfchynt, alvoorens zelve onder den Horizon te duiken, verdwynt wclhaatt door den glans der Zonneftraalen, welke haar bedekt, en omtrent veertig dagen daar na, meer of min naar heuren glans, ziet men dezelve aan den kant van her. Ooften, kort vóór den opgang der Zon, zich boven den Horizon vertoonen. Deeze verfchynfelen waren zonder twyffel die, welke deeden zien, dat de Zon eene voorwaartsgaande beweeging aan den Hemel hadt, en dat zy, terwyl zy dagelyks, met het gantfche hemelfche faamenftel, van het Ooften naar het Wetten fcheen vervoerd te worden , langzaam in eenen tegengeflelden richtftreek voortliep. Dc wederkomft der zelfde verfchynfelen, ik wil zeggen de bedekking, of de verfchyning van de zelfde Ster, leerde dat de Zon weder op de zelfde plaats gekomen was; wy zien in der daad , dat de Egyptenaars den opgang, dat is, de verfchyning van Siriusy buiten het bereik der Zonneftraalen komende, voor het begin van hun jaar namen (0); en vóór dat de Schryfkunft een volftrekt algemeen gebruik geworden was, en men eene genoegzaame kennisfe van het Zonnejaar verkreegen hadt, waren foortgelyke verfchynfelen vooral van dien ft voor de bewqoners van het Land, om de wederkomft van de zelfde faifoenen,en van de zelfde foorten van arbeid, te kennen te geeven (p). Dit middel leerde eindelyk, dat de Zon omtrent driehonderd - vyf en zestig dagen noodig hadt, om weder aan het zelfde punt des Hemels te komen.
Indien de Zon by den op ■ en ondergang altoos met het zelfde punt van den Horizon, en met het midden der tusfchenwydte, welke tusfchen het Zuiden en Noorden
(0) Zie voorg. Boek Art. VI. (p) Zie voorg. Boek Art. VIII.
N a



196
HISTORIE der
den is, overeenftemde; indien alle de dagen gelyk en overeenkomende waren, zou men daar uit moeten befluiten, dat de weg van dat Hemellicht een cirkel is, die overal een gelyken afftand van de beide Poolen heeft. Maar zulks is niet hetgeen gebeurt: geduurende eenen omloop , ziet men hetzelve beurtelings naar het toppunt boven onze hoofden naderen, en wederom van hetzelve afvvyken; in 't begin des Winters zyn de punten van den Horizon, met welken dezelve by den open ondergang overeenltemt, zeer dicht by het Zuiden, en zy verheft zich dan flegts tot eene weinig aanmerkelyke hoogte; aan deeze zyde is een paal dien zy niet overtreedt, en na denzelven bereikt te hebben, fchynt zy achterwaarts te wyken ; ook noemden de Ouden tropee of omkeeringen, hetgeen wy hedendaags de Zonneftanden (Soifllitice) noemen. Kort daar na komen de punten van den op- en ondergang nader by het Noorden , zulks dat zy, by de wederkomt! van het aangenaam jaargetyde , en wanneer de dag gelyk aan den nacht is, juilt het midden tusfchen het Noorden en Zuiden houden, en de Zon op den middag alsdan hooger boven den Horizon verheven is, dan in den tyd der koude. Deeze punten komen (leeds nader by het Noorden tot in de langfte dagen , wanneer zy het naaft by hetzelve zyn, en de Zon op den middag haare ftraalen veel meer in een loodrechten itreek tot ons zendt. Dit Hemellicht komt eindelyk, door de zelfde graaden, nader by het Zuiden, tot in de kortfte dagen, om alsdan weder een gelyken weg als de voorgaande af te leggen.
Door deeze verfchynfelen met aandacht teoverweegen, moeft men daar uit belluiten, dat de cirkel, dien de Zon befchryft, tot den cirkel van den dagelykfehen omloop een fchuinen ftand hadt; en het onderzoek nog verder vervolgende, was het even zo natuurlvk daar uit het gevolg te trekken, dat dezelve gelykelyk naar het Zuiden en Noorden overhelde. Men weet in der daad door waarneeming, dat het Ooften van den Zomer even zo veel van 't Noorden afwykt, als dat van den Winter van 't Zuiden, en dat de tusfchenwydte van beiden door die van de Lente en den Herfst gelykelyk
ver-



WISKUNDE. I. Deel. III. Soek. i$7
verdeeld wordt. De fchuinfe ftand van dien cirkel.door de Zon doorgeloopen, deedt by de Ouden aan denzelven den raam geeven van a»'|« *vx,tet, fihuine cirkel, en het was deeze naam welken uezelve lang droeg, alvoorens dien van Ecliptica, welke dezelve aan eene andere omfcandigheid verfchuldigd is, te ontfangen.
JVlaar langs welken weg leerde men den ftand van dien cirkel, ten aanzien der vafteSterren, kennen?hoe ontdekte men door welke gefterntens dezelve ging? Dit is een der ftukken van de Theorie der Zon , 't welk de meefte fchranderheid vereifchte, en wy denken niet, dat men, vóór den tyd der Sterrekundigen van Alexandrie, geraakt zy om denzelven met eenige nauwkeurigheid te bepaalen; maar men konde in~'t eerlt, op eene ruwe wyze, daar toe door dit middel geraaken.
Wanneer men bevonden hadt, dat de duuring van eenen omloop der Zon van omtrent driehonderd vyf en zeftig dagen was, deedt men, of men behoorde te doeu, deeze redeneering (q). Dewyl de Zon in dien tyd zyngeheelen loopkring doorloopt, zal dezelve derhalve in de helft van dien tyd, tot een recht daar tegen overftaande punt komen, en het- punt, waarin dezelve zes maanden te voeren was, zal te middernacht aan den Meridiaan , en op de zelfde hoogte zyn, waar in men de Zon zag, toen zy met dat punt vereenigd was. Toen derhalve Anaximander en zyne opvolgers, met hunne Gnomons, de zonneftanden en de nachteveningen waargenomen , en zich daar door, op eenige dagen na, van beiden verzekerd hadden, wachtten zy misfehien, by voorbeeld, het midden van eenen Zomerfchen Zonneftands-nacht, en namen doormiddel van den Gnomon waar, welk gefternte zich in dat tydftip op de hoogte bevondt, waar op de Zon, zes maanden ge-
le-
(?) Deeze redeneering is, wel is waar, daar in onvolkomen, dat men toen de oneffenheid van de beweeging der Zon nog niet kende. Maar dezelve heeft kracht, indien men flegts in aanmerking neemt de kundigheden, welke uieu toen bezat.
N 3



iqs
HISTORIE der
leden, was. Zy bekwamen derhalve daar door de plaats, welke rechtftreeks met die van de Zon overee.nftemde, naamelyk het Zonneftands - teken van den Winter, dewyl wy de Zon in den Zomerichen Zon* neftand onderftellen. Maar het was gemaklyk te befpeuren, dat de beide tekenen, welke in den zelfden tyd by den op-en ondergang van den Herfst en de Lente verfcheenen, die waren, waar in de Zon in den tyd der nachteveningen was; de twee of drie vry merkwaardige Sterren van den Ram vertoonden zich aaD de eene zyde, en men zag aan den anderen kant de twee Sterren, waar van de naam was Aeklaauwen vanden Schorpioen,en welken men federt in dien vanWeegfchaalsexanderd heeft. Men maakte van dezelve de twee nachtevenings - tekens , cn men gaf ter zeiver tyd acht op tie andere tekens, waar van twee tuffchen den Ram en den Steenbok, naar den kant van het Ooften , en twee tusfchen den zelfden Steenbok, en de klaauwen van den Schorpioen of de Weegichaal, naar den kant van het Weden, zich uitftrekten; om de andere helft van den Zodiak te leeren kennen, wachtte men misfehien honderd twee en tagtig dagen na deeze eerfte werking, en men nam,door middel van den Gnomon, het gefternte waar dat op de hoogte was, welke de Zon in den zomerfohen Zonneftand bereikte, hetgeen het punt aanwees, waar in de Zon op dien tyd was. Met dit punt en de beide tekens van den Ram en de Weegfchaal, toen aan den Horizon zynde, konde men,zonder veel moeite, den richtftreek der Zon tusfchen de vafte Sterren befpeuren, en, zo niet met naauwkeurigheid, ten minften ten naafte by , bepaalen , welke tekens zy doorliep. Men vondt 'er drie aan den kant van het Ooften, en even zo veel aan den kant van het Wellen, waar uit men, nevens de zes andere,de twaalf tekens van den Zodiak faamenftelde.
Op dit oogenblik komt my een middel in den zin, door 't welk Waarneemers, die eenigzins op denaauwkeurigheid gefteld waren, miffchien, in deeze kindsheid der Sterrekunde,geraakten, om den Zodiak met meerder naauwkeurigheid te verdeekn, en de paaien van elfee verdeeling te leeren kennen. Men onderftclle een
hal-



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 190
halven - cirkel in gelyke deelen verdeeld, en hebbende een foort van wyzer- pf beweegbaar liniaal met vizieren, draaijende om deszelfs middelpunt; ik onderhol daar benevens, dat men de punten van den Horizon, met welken de Zon in de dagen der nachteveningen over. eenftemde, en haare middaghoogte in de Zonneftanden , wel opgemerkt hadt; dit gedaan zynde, zo laat, in het midden van een Zonneftands-nacht, het werktuig zodanig gericht worden, dat de middellyn van hetzelve in den richtftreek van den nachtevenings- op - en ondergang zy, en dat het oog, zich in het middelpunt van hetzelve bevindende, door het midden van den halvenomtrek op de hoogte van den voorgaanden Zonneftand mikt, dan zal het werktuig in een ftand zyn, die volkomen overeenkomftig is met dien van den Zodiak In dat tydftip; en de waarneemer zal, door fteeds langs ieder van deeze verdeelingen te mikken, de Sterren, welke met die verdeelingen overeenftemmen, en by gevolg de paaien van elk teken zien. Zelfs zal hy de Sterren zien, welke boven of onder de Ecliptica zyn * en met een foort van naauwkeurigheid in vergelyking tot de eerfte bepaaling, welke men boven gezien heeft, kunnen bepaalen, tusfchen welke Sterren de Ecliptica doorgaat. Dit zeer eenvoudig Werktuig fchynt my een der eerften van de oeffenende Sterrekunde te moeten geweeft zyn ; 't was ten minften met veele andere cirkelen , welke men'er byvoegde, één van de Werktuigen der Sterrekundigen te Alexandrie. Want de Ringen, welken Eratoflhenes liet maaken, en aan den ingang der vermaarde fchoole van die ftad plaatfte, waren flegts een faamenftel van verfcheide hoepels, welken men, door de waarneeming, in het vlak der over•eenkomftige hemelfche cirkelen bragt.
De beweegingen van de Maan, en de oorzaak van haarephafes, moeiten een voornaam onderwerp van ontrufting zyn voor hun, die, zich eenigermaate boven het gemeen der menfehen verheffende, hunnen toeleg hadden om de hemelfche verfchynfelen te befchouwen. Dan eens van licht beroofd, verdween die Planeet uit hunne oogen; vervolgens zagen zy,dat dezelve aan eene zyde weder verlicht begon te worden, en dit licht, N 4 heb-



HISTORIE der
hebbende een boogswyze gedaante, kwam geduurigverder op het donkere deel, tot dat de fthyf der Maan t eenemaal glansryk was.
Dit Hemellicht zynen loop vervolgende, en wederom *?c de Zon beginnende te naderen, zag men het licht zich aan den kant, van waar hetzelve gekomen was, verliezen, en eindelyk t'eenemaal verdwynen. Somtyds deedt in 't midden der volle Maan een zwarte en ronde ichaduw haar geheel of ten deele verdwynen en eenige uuren daar na zag men, dat zy haarên gewoonen glans by trappen weder verkreeg. Het was vooral merkwaardig, dac dit laatfte verfchynfel nooit gebeurde, als wanneer zy vol was. Zo wonderlyk als zy naar ichyn in haare beweegingen was, dan eens veel meer dan de Zon op haaren middag, en in de verfchillende laifoenen, ryzendeen daalcnde, fcheen zy groote uitwykingen naar den kant van het Zuiden en Noorden te doen, dan wederom deedt zy veel kleindcr uitwykingen. Jk bepaal my tot deeze verfchynfelen. De overige onregelmaatigheden van de beweeging der Maan, zich niet als aan een volmaakter Sterrekunde hebbende kunnen openbaaren, behooren no» niet tot pns onderwerp.
Een zeer gemeen verfchynfel, ik wil zeggen dat van den geheelen fthyf der Maan in haare laatftequar* peren, en zelfs geduurende haare Eclipfen , te zien, was zonder twyffel de eerfte aanwyzing, dat deeze Planeet dat levendig en fchitterend licht, dat zy in haare Qppofitien tot ons zendt, niet in eigendom bezat. Deeze ftap eens gedaan zynde, was het vry gemaklyk den tweeden te doen, en te ontdekken dat zy dien glans van de Zon ontleende. In der daad, behalven dat dit Hemellicht alleen bekwaam moeft fchynen, om haar pen zo levendig fchynfel mede te deelen, konde men met nalaaten in acht te neemen, dat het verlichte deel altoos naar haare zyde gekeerd was; deeze omftandigJieid fchynt my zeer bekwaam als een middel, waar door men den bron van haar licht heeft kunnen onu dekken.
Een opmerkend waarneemer, en met een fchrander doorzicht begaafd, zal derhalve aldus hebben kunnen
re



WISKUNDE, I. Deel. III. Boek. ?ci
redeneeren. De Maan is, of een ronde en platte fcbyf, zo als zy ods toefchynt, of wel zy is rondom, rond, in de gedaante eens kloots j want deeze figuren Zyn de eerde en eenvoudigfte van die, welke van verre den fchyn eens cirkels kunnen vertooncn. Wat het eerfte geval belangt, hetzelve is zo weinig bekwaam, om aan de overige verlchynfelen der Maan te voldoen, dat het zonder twyffel welhaaft verworpen werdt. Maar wanneer men het tweede aanneemt, ziet men aanftonds zonder moeite dat, onderftellende de Maan het naait, by ons, het verfchynfel van haarephajes een noodzaakelyk gevolg van haare rondheid is. Deeze waarneemer zal derhalve welhaaft befpetuen, dat zy, wanneer zy in haare Conjun&ie zal zyn, haar verlicht deel altoos gekeerd zynde naar de Zon, die aan geene zyde van haar in de zelfde lyn of daar omftreeks is, flegts de zyde, welke de Zon met haareftraalen niet verlicht, aan de Aarde zal vertoonen. Dus zal zy niet gezien kunnen worden. Door aldus haare beweeging te ontleeden, zal hy nog zien, dat, naar maate zy zich van de Zon zal vcrwydeTen , de aanfehouwer op de Aarde aan den kant een gedeelte van den verlichten halvenkloot zal ontdekken, en dit gedeelte moet zich onder de gedaante van een halvemaan vertoonen, zo als' de ondervinding eens half-zwarten en half witten kloots zulks kan doen zien. In de Oppofitie , wanneer de Aarde en de Zon aan de zelfde zyde zyn, zal de halvc-klooc der Maan, door deeze laatfte verlicht, rechtftreeks naar de Aarde gekeerd ftaan; de Maan zal alsdan vol fchynen. Eindelyk naardien, in de laatfce quartieren, de bewooner der Aarde flegts in eene fchuinfe richting het verjicht half. kloots gedeelte gewaar wordt, zal hy, ais in de eerlte quartieren, flegts een deel daar van zien. Zy zal dienvolgens, tot haare Conjunclie, by trappen verdwynen.
De ontdekking van de oorzaak der Zon-Eclipfen is zodanig met de voorgaande verbonden, dat zy waarfchynlyk zeer kort daar op volgde. In der daad, in den zelfden tyd als de Maan voor onze oogen verdwynt, ziet men in de nabyheid der Zon, die zy woorby gaat, fomtyds de Zon, als door de tusfehenN s komfl



HISTORIE der
komft van een rond en ondoorfchynend lighaam, verduifteren. De gedaante der uitfnyding, en de duuring van de Eclips, toonen zelfs aan, dac het lighaam 'c welk het lichc van dac Hemellicht onderfchept, fchynbsariyk ten naafte by even zo groot is. Zo dra men bevonden hadt, dat de Maan nader by ons was dan de Zon , dat zy ondoorfchynend was, en ten naaüe by haaren richtftreek volgde, door alle maanden voorby de Zon te gaan, koude het niet lang verborgen blyven , dat zy het was, wier tusfchenkomft ons dus van het licht der Zon beroofde,- men konde daar benevens, om deeze verklaaring te ftaaven, opmerken , dat de Maan van den kant van het Wellen kwam, en, de Zon bereikende, dezelve aan den kant van den wcllelyken rand begon te bedekken, en aan den ooftelyken rand van dezelve ging. Ook is dit hetgeen men in dit verfchynfel waarneemt.
De verklaaring der Maan-Eclipfen, fchynt met deeze eerfte ontdekkingen, naamelyk die van haare natuur en haare phafes, niet minder verbonden te zyn. Nogthans, indien wy Plutarchus daar in gelooven (r), bleef men lang zonder dezelve te kennen, om dat men niet zag, waar door dat Hemellicht dus voor onze oogen verborgen konde worden. Wat 'er ook van zy, want ik zou voor deeze oude Wysbcgeerige gefchiedenis niet te veel durven inftaan, hy die het eerft de oorzaak van dat verfchynfel ontdekte, deedt zulks waarfchynlyk op de volgende wyze. Hy bemerkte dat, vermits de Maan het licht verloor, dac zy van de Zon omring, zulks niet anders konde gefchieden , als door de tusfchenkomft van eenig lighaam, dac haar van hetzelve beroofde. Hy onderzocht derhalve, welke de lighaamen konden zyn, die zich in deeze omftandigheden tusfchen dat Hemellicht en haar hevonden. Het onderzoek nu is gemaklyk te doen; want vermits de Maan nooit verduifterd wordt, dan wanneer de Aarde zich , ten haaren opzichte , rechtftreeks tusfchen haar en de Zon bevindt,- zo is
het
(r) InNMa.



WISKUNDE. I. Deel III. Boek. Ü03
het de Aarde, welke deeze uitwerking fchynt voort te brengen; zelfs moet zy de oorzaak daar van zyn, ten zy men zich eenig ander onzichtbaar lighaam, aan den Hemel rollende, en bekwaam om haar van de Zon te bercoven , verbeelde. Maar waarom, zoude men tot hun, welke deeze gisling ondernomen hadden, hebben kunnen zeggen , waarom verheft de Maan niet juift haar lich', dan wanneer zy zich in een ftand bevindt, om door de Aarde overfchaduwd te worden i dit nieuwe wezen, dat alleen verzonnen is met inzicht, om van het verfchynfel reden te geeven, is derhalve t' eeneroaal overtollig, vermits de tusfchenkomll der Aarde de omftandigheden, die hetzelve vergezellen, genoegzaam verklaart- Hier moet de Eclips beginnen aan de tegengeftelde zvde van die, alwaar de Zon-Eclipfeneen begin neemen. "Naardien dit Hemellicht flegts eene zeer traage beweefing, met die van de Maan vergeleeken, heeft, en de"fchaduw der Aarde niet fneller kan loopen, dewyl zy altoos recht tegen over haar ftaat, zo is het derhalve de Maan , die dcor rnare eigenlyke beweeging. en van het Weften naar het Ooften gaande, deeze fchaduwe bereikt; derhalve moet zy dezelve aan den ooftelyken rand het eerft raaken, en aldaar zal de Eclips een aanvang neemen , de waarneeming ftaaft het gevolg, uit de onderftelling afgeleid, en beveftigt de zekerheid van hetzelve.
Wat aangaat de beweegingen der Maan, de zelfde waarneemingen, welke ons "gediend hebben, om de fchuinsheid van den loopkring der Zon te leeren kennen, gaven aanleiding tot de ontdekking van defchuinsheid des loopkrings van de Maan. Deeze loopkring, zeiden niettemin de fchrandere Wysgeeren , is niet de Ecliptica zelve. Want zo dezelve het was, zouden 'er alle maanden twee Eclipfen, en zelfs totaale Eclipfen , de eene aan de Maan, de andere aan de Zon, zyn. De Maan kan de Zon niet voorbygaan, zonder dezelve te bedekken, en zy kan niet tot haare Qppofitie komen, zonder recht tegen haar over te ftaan, en in de fchaduw der Aarde te vallen. Deeze verfchynfelen niet gebeurende, gaven zy deezen loopkring eene helling, op dat de Maan in Conjun&ie en Oppofttie konde zyn,
r zon-



m HISTORIE der
zonder anders, als in zekere byzondere omftandigheden , onmiddelyk in de zelfde lyn te zyn. Maar mtn bcipeurde ter zeiver tyd, dat deeze loopkring niet veel van dien van de Zon afweek; want zo deeze afwyking zeer groot, als van één teken of daar omtrent, was geweeft, zou de Maan, die alsdan in haare Oppofitien van het ïecht daar tegen overftaande punt te veel verwyderd zoude geweeit zyn, niet vol hebben kunnen zyn. hetgeen mede ftrydjg met de waarneeming is. Van een anceren kant zag men de Maan zich geduurg beweegen tufl'chen de Sterren, welke op eenige graaden afftands den jaarlykfehen weg der Zon omvangen. Haar loopkring helt derhalve een klein getal graaden op de Ecliptica. Geene andere dan moeiielvker waarneemingen hebben de Sterrekundigen de iuiftehoeveelheid van deeze helling, en de beurtelingfe verandering, welke zy ondergaat, kunnen te kennen geeven.
Indien de knoopen, dat is te zegeen, de doorfnydingen van den loopkring der Maan met dien van de Zon, nooit van plaats veranderden, zoude men de Eclipfen altoos op de zelfde plaatfen van den Hemel naamelyk die alwaar deeze knoopen geplaatft zouden gevonden worden, zien gebeuren; maar men bemerk' te welhaaft , dat geen plaats aldus aan die verfchvnfelen verbonden was. Men weidt in tegendeel gewaar dat zo er m een jaar een Maan-Eclips, by voorbeeld' 10 t gefternte van den Ram, was voorgevallen, wanneer een andere Maan-Eclips omtrent een jaar daar na gebeurde, dezelve in een punt van den Zodiak, dat omtrent éen teken minder gevorderd was, bv voorbeeld, 111 de Visfchen, voorviel, en zo veTvdgens naar den Schutter te rug gaande, enz. Zulks vvasK Mykbaare aanwyzing, dat de knoop, die de eerfte maal in den Ram was, zich toen in de Vjsfchen bevondt, en van daar in den Schutter overging, enz. Ivlen zag eindelyk, dat deeze omloop volbragt werdt m omtrert negentien jaaren, ten einde van welken de Eclipfen m de zelfde tekens gebeurden Zodanig zyn de trappen, welken men Left beklimmen, om de gronden van de Theorie der Maan te veftigïï" LaS
ons



WISKUNDE. I. Deel III. Boek. 205
!■ ons nu overgaan, om de eerfte fehetfen van die der » andere Planketen te verklaaren. :! Men heeft flegts van het eeue faifoen in het andere 8 zyne oogen naar den Hemel te wenden, om haalt te 8 bemerken, dat onder die meenigte Sterren, welke s een eerfte opflag van het oog alle gelykfoortig geöor'• deeld heeft, fommigen zyn, welke daar van uitgezon( derd moeten worden. Want terwyl dat byna alle die . Sterren onveranderlyk de zelfde fchikking onder elkan■ der houden, doorloopen deeze andere, eenigermaate» : dwaalende Sterren, achtervolgens de gantfche uitgc• ürektheid des Hemels. De Ster Mars, by voorbeeld, 1 die door haar ros of roodachtig licht, en haare febyn» : baare grootte, zo bekwaam is om zich te doen gade 1 ftaan, heeft eene vry fnelle beweeging, dewyl zy in 1 twee jaaren een geheelen omloop volbrengt. Men zag haar derhalve, zonder veel opmerking, van de eene maand tot de andere oogenfchynlyk verplaatlt, ten ware zy ftilftaande was. Het geen zulke naaft gedaane waarneemingen in Mars deeden opmerken, deeden andere, een weinig laatere waarnceminger, in Jupiur befpeuren, die, door haaren bepaalden glans en gemeene grootte, naaft de Zon en Maan het merkwaardigfte is der glansryke lighaamen , die om den Hemel rollen, j Eenige Saifoenen, ten hoogften een jaar, waren genoegzaam om haare beweeging aan den dag te brengen. De Planeet Satumus eindelyk, de traagfte van allen, konde echter niet lang met de t'eenemaal vafte Sterren vermengd worden ; een klein getal jaaren , als twee of drie, zyn genoeg, om dezelve van bet een naar het ander teken over te brengen. Dus moeiten de opmerken de Waarneemers, wien zy door haaren doffen en , als 'c ware, loodverwigen glans hadt kunnen treffen , wel haalt gewaar worden, dat zy eene eigenlyke beweeging hadt.
Na de ontdekking der beweegtng van deeze Planeeten, was de ontdekking, welke de weetgierigheid der Waarneemers het meeft gaande moeft maaken , de ftand van haaren cirkel, In dat opzichc liet de ongemeene gemaklykheid, om dezelve na te gaan en met de vafte Sterren te vergelyken, niet lang onbewufc zyn, dac



206 HISTORIE DER
zy ten naafte by de zelfde richtfrreek als de Zon volg. tien. Men zag ter zelyei tyd, dat ieder van dezelve haaren eigen loopkring hadc, welke de Ecliptica'va. twee recht tegen over eikander fcaande punten doorineedt; het was eindelyk zo natuurlyk te denken, dat de traagfte zulks om geeu andere reden was, als om dat de weg, dien zy te doorloopen hadt, dc langde was, dac die eerfte Waarneemers weinig moeke behoefden te doen, om te gisfen dat Satumm het verft van ons was, vervolgens Jupiter, en daar na Mars. Men moeft ook tevens het befluit opmaaktn, dat, vermits deeze laatfte twee jaaren befteedt, om eenen omloop te doen, dien de Zon in één jaar volbrengt, zy derhalve verder van ons was dan de Zon zelve, en den loopkring der Zon binnen de haare beQoot. Hier ever was in de aloudheid nooit eenige tweefpalt. Wy zullen elders fpreeken van haare ftilftanden en achterwaartswykingen, welke voor die eerfte Waarneemers een onnafpeurlyk raadfel moeften zyn ; 't was niet dan in laatere tyden, wanneer de Sterrekunde van dat Verfchynfel eenige reden begon te geeven.
Wy hebben tot hier toe flegts van de drie Planeeten gefproken, welke men boven - Planeeten noemt, ter oorzaake dat zy boven de Zon ftaan, volgens de verdeeling van 't geheel - al, by de Ouden aangenomen. *Er zyn nog twee andere, _welke minder dikwils zich vertoonen, en dac Hemellicht in deszelfs omloopen fchynen te volgen, doch waar van de beweegingen veel moeijelyker te ontdekken zyn. Deeze twee Planeeten zyn Mercurius en Venus. Deeze laatfte, de oogfchyniykfte van beide, om dat zy, meer van de Zon afwykende, minder dikwils door haaren ongemeenen glans beneveld wordt, deeze laatfte, zeg ik, gaac dan eens vóór den opgang der Zon, en dan eens volgt zy haaren ondergang. Wanneer zy zich van de ftraaleu der Zon begint te ontwikkelen, en zich 's avonds vertoont, wykt zy aanftonds ylmgs van de Zon af, volgeus de orde der tekenen, tot op den afftand van omtrent 480; aldaar fchynt zy, geduurende eenige dagen , ftil te ftaan, men ziet haar vervolgens langzaam te rug gaan, en zich in den glans der Zon verliezen.
Om-



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 107
Omtrent een maand daar na, indien men alsdan, vóór den opgang van dat Hemellicht, de oogen naar het Ooften windt, wordt men Venus gewaar: alsdan gaat zy langzaam voort, en loopt tegen de orde der tekenen; tot een zekeren paal gekomen zynde, na zich als ftil gehouden te hebben ,• hervat zy haaren rechtftreekfenloop, en, met fnelheid in den Zodiak v.iortgaande, keert zy weder, en dompelt zich in de Zonneftraalen. De zelfde verfchynfelen openbaaren zich in de andere Planeeten , behalve dat, de afvvykingen van deeze minder zynde, men haar met meer moeite en veel zeldzaamer ziet.
Deeze verfchynfelen zyn zo wonderlyk, wy moeten het bekennen, dat men niet behoefde verwonderd te zyn, dat de oude Sterrekundigen lang vergeeffche poogingen gedaan hadden, om dezelve te verklaaren, en het is waarfchynlyk, dat men niet, als na veele ongerymde gistingen, tot iets verftandigs kwam. Het was in 't eerft iets bvzonders te bemerken, dat dit Hemellicht, dan eens He/per, of de avond-Ster genoemd, wanneer het de Zon volgde, dan wederom Phofphorus, of de Ster die het licht brengt, de morgen- Ster, genoemd, wanneer hetzelve voor den Dageraad verfcheen , dat, zeggen wy, dit Hemellicht het zelfde was. De Vinder van deeze grondftellige ontdekking was ongetwyffeld daar toe geleid, door de waarneeming welke hy deedt, dat die beide Sterren nooit in den zelfden tyd verfcheenen , en dat, wanneer de eene, die v-m den avond, by voorbeeld, op die van den morgen volgde, zy alsdan eene beweeging hadt, die het vervolg was van die beweeging, welke deeze laattte hadt, korc vóór dat zy verdween; eindelyk zy gelyken elkander zodanig, zo wegens de koleur, als wegens den glans , dat het t'eenemaal natuurlyk was te vermoeden, dac het de zelfde Ster is; hetgeen wy nu van Venus gezegd hebben, is mede toepasfelyk op Mercurius, die aan de zelfde fchynbaarheden onderhevig is.
Ten aanzien der beweegingen van deeze Planeeten dunkt my, dat het eerlte denkbeeld, 't welk zich moeft opdoen, is, dat zy, ondanks die fchynbaarheden van terugging (retrogradatio), niet nalieten loop-
krin-



&Ó3
HISTORIE der
kringen te hebben*, welke in hun zei ven wederkeer» den. Want her zou belagchelyk zyn te dénken, das een lighaam op die Wyze te rug keerde , zonder dat eenig beietfel hetzelve daar toe noodzaakte j daar benevens vergunde het denkbeeld, dat de Ouden van de hemelfche lighaamen hadden, hun niet, om eenige van haare onregelmaatigheden anders als fchynvertooningeu aan te zien. Doch op dat een lighaam , dat zich in eene in zich zelve wederkeerende kromme beweegt, beurtelings in twee tegenftrydige richtingen fchyne te' gaan, is het noodig dat de aanfehouwer buiten de ruimte, die zy bevat, geplaatft zy. De kringen van Fenüs en MèrCuriüs befluiten derhalve de Aarde nietï en naardien de af wy kingen van deeze twee Planeeten aan beide zyden van de Zon, ten naafte by altoos gelyk zyn, moet het middelpunt van haaren loopkring met dat Hemellicht altoos faamengevoegd zyn, dac is te zeggen,met hetzelve gaan. Deeze twee ftukken zyn de eerfte gronden, welke aan alle de Theorienwn haare beweegingen gemeen zyn.
Eindelyk bleef 'er nog overig te vraagen, welke den ftand van dat middelpunt was. Het natuurïykft antwoord was, zo het fchynt, dat men hetzelve in de Zon moeft plaatfen, en dus was het, zo men zegt, dat_ de Egyptenaars het vraagfiuk oplosten. Maar de Griekfche öterrekuodigen wilden dat middelpunt zeiven liever om de Aarde doen draaijen, in een cirkel dien zy de deferem noemden. De beweegreden welke deeze dooling veroorzaakte, is ons bekend; 't is het vooroordeel waar in zy waren, dat de Aarde het eenig middelpunt van de omloopen der Hemellichten moeft zyn. Men moet zich met reden verwonderen, dat eene zodanige reden hun tot eene zo ongerymde onderftel. ling heeft kunnen brengen , door welke men het mid. delpunt eens loopkrings op den omtrek van een denkbeeldigen cirkel doet plaatfen. Wel is waar de verftandigfte vergenoegden zich, met deeze onderftelling als enkel Wiskundig, en niet Natuurkundig, aan te zien; maar zelfs op deeze wyze * befchouwd zynde heeft dezelve zo veel andere gebreken, dat men altoos reden heeft om zich te verwonderen, dat de ondev-
ftel-



WISKUN DE. I. Deel. ïlf. hoek. ~ m
Itélling van de beweeging dier Flanëeten om da 7oi' niet den voorrang gehad hebbe.
Dit verkeerd gevoelen van Griekenland over de "edaante en den ftand der loopkringen van Merèurius ë& Venus, bragt hetzelve in eene verdeeldheid over d» plaats, welke men- haar in dé orde der hemelfche ihr> haamen moeft geeven Naardien het middelpunt van elk der/elven met de zelfde fnelheid als de Zon, om de Aarde draaide, wift men geen middel meer te bedenken, om te bepaalen, of zy bóven of onder waren. Ook maakten fommige van Mercurius ehVemi bovenPianeeten , andere fielden Verras boven de Zon, en Mercurws onder dezelve; eindelyk een derde fektë ftelde haar beide onder de Zon, door Mercurius her naaft by de Aarde re plaatfen, en'dit mfcXeWkK& van den tyd van 'Plato af den voorrang. Als men f wel inziet is de zaak onverfchillig, want de drie ftelfels zyn alle even flegt. Laat ons derhalve weder roe dat der Pythagoriflen of der Egyptenaaren konien, welke zomen zegt, redelyker gevoelens gehad hebben zv maakten van de Zon het middelpunt der beweegen van die Planeeten, en ontgingen daar door de onze^r heid der GriekfcheSterrekuade, wegens de orde in wel" ke men dezelve moeft plaatfen. Inderdaad b~h»i ven dat men hier van de ongerymdheid bevryd 'is eeni weezenlyk lighaam rondom een ingeheeki puot ,\t zelf eene beweeging op eendenkbeeldigen cirkel Heeft m bewcoging te Hellen, wordt-alles zonder éeni» "r-I fchikt CD S ZGlVe' in deeenvou^e orde |> „ Zp^n'g.is de byzondere hoedanigheid van het waare ftelfel van 't geheel-al; terwyl men in ieder ander fte? fel de verfchynfelen niet, als met behulp der onnatuurlykfte onderftelhngen verklaart. De grootheid der af wykingen van Mercurius , welke kleinder dan die vfiï /Wzyn, wyfteen kleinder cirkel ,Trondotn d belchreeven, aan; en de dauringen der ömloopen vaï deeze Planceteri beveiligen deeze fchikking; dizZ* boeten niet anders b-groot worden als door den tvT Fi 'Dm/ B tWCC hoe afw.vkiaSea» veil * * v<y&



aio HISTORIE der
volg aan de zelfde zyde, verloopt (s). Nu leert dït middel, om de geregelde omloopen van Venm en Mercurius te vergelyken, welhaaft, dat de omloop van deeze laatfte Planeet veel kleinder is dan die van de eerfte. Dus ftemmen deeze beide redenen overeen, om Mercurius de naafte plaats by de Zon te verzekeren. Men befchreef derhalve om dat Hemellicht den loopkring van Mercurius, en om deezen loopkring dien van Venus. Men gaf eindelyk ieder eene helling op de Ecliptica, om van haare verfchillende afwykingen van die lyn reden te geeven.
't Was waarfchynlyk deeze ontdekking van den omloop van Fenus eh Mercurius om de Zon, gevoegd by eenige verfchynfelen der boven-Planeeten, welke toe de eerfte fchecs van het waare ftelfel van 't Geheel • al aanleiding gaf. In der daad, zo dra men deeze andere Planeeten met oplettendheid in haaren loop nagaat, zal men zien, dat men moet afiaaten haar de Aarde tot een middelpunt van omloop te geeven. Want wanneer zy in haare Oppofitien met de Zon zyn, vertoonen zy ons ftandvaftiglyk een veel aanmerkelyker grootheid. Die verfchil is vooral merkwaardig in Mars\ de middelbaare af ftand, op welken hy van de Zon is, omtrent als 5 tot 8 ftaande, zo vloeit daar uit, dat hy in zyne quadrafuren byna tweemaal zo ver van de Aarde is, als in zyne Oppofitien, en in dit laatfte geval fchynt hy byna tweemaal 'zo groot te zyn, als in het eerfte. Dit verfchynfel konde fommige fcherpzinnige verftanden gelegen-
(s) Dit moet met bepaaling zodanig verftaan worden. Deeze manier, om de duuring der omloopen van de beneden-Planeeten te begrooten, zou naauwkeurig zyn, indien de Zon geen fchynbaare beweeging hadt. Maar uit oorzaak van deeze beweeging is de tyd, tufTchen twee afwykingen naar vervólg en aan de zelfde zyde, zo veel groo. ter dan die van eenen omloop, als de tyd, dien de Planeet zou befteeden, om in haaren loopkring een boog, overeenkomftig met dien, welke de Zon in de Ecliptica doorgeloopen heeft, door te loopen. Dit is eene reduiïie, waar op de Ouden, in hunne onderftelling der bykringen, niet naieten acht te geeven.



WISKUNDE, t. Deel, III. Boek. 2lt
genheid geeven, orrl in het verfchil van verwydering der Planeet van de Aarde de oorzaak van hetzelve na te vorfchen, en te bevatten, dat deeze verwydering met zo veranderlyk was, als om dat dezelve dan eens deri afftand der Aarde van de Zon korter, dan wederom een gedeelte van dien afftand langer 5 was. Men zal eene taftelyke afbeelding hebben van de verfchillende Afpe&en der boven - Planeeten, uit de Aarde befchouwd, wanneer men zich een cirkel voorftelt, waaf in ^e.Zon het middelpunti en de Aarde een der punten tusfchen het middelpunt en den omtrek zal zyn. Een lighaam d3t denzelven doorliep, zou dan eens zeer dicht by de plaats1 zyn, welke wy aan de Aarde geeven, dan wederom zoü het veel verdervaridezelve zyn;deszelfs kleinfte afftand zou de ftraal min de verwydering der Aairje ^an de Zon zyQ' de §roocrte afftand zou de zelfde ftraal meer die verwydering zyn, en de middelbaare afftanden, zouden aan deeze ongemeene onge* lykheden deel hebben.
De Griekfche Sterrekundigen, welke deeze onderftellmg verwierpen, en deeze Planeeten rondom de Aarde in beweeging ftelden, gaven, wel is waar, eene algemeene reden van dit zeer groot onderfcheid van fchynbaare grootte. Zy gaven aan haare loopkringen zeer groote uitmiddelpuntigheden, en zulks niet genoeg zynde, voegden zy nog bykringen daar by, dat is te zeggen, Cirkelen, wier middelpunten op den omtrek van andere cirkelen gedraagen werden, om haaren afftand van de Aarde meer veranderlyk te maaken. Miar het is geenzins uit deeze algemeene verklaaringen , uic welke men gevolgen voor eèn ftelfel moet afleiden; "c is uit de wyze op welke hetzelve aan de byzondere omftandigheden voldoet; en in dat opzicht gelukt ieder ander ftelfel, behalven dac 't welk de Planeeten om de Zon in beweeging ftelt, daar in zo weinig, dat het noodzaakelyk is geweeft tot dit laatfce ftelfel toevlugt te neemen.
Wyzyn dan eindelyk, met de navorfching det he« melfche verfchynfelen, zo ver gekomen, om e n aanmerkclyk gedeelte van het ftelfel van't Geheel.al te veltigen. Alle zo beneden • PlaneeteD, gelyk Venus O 2 ea



aI2 HISTORIE der.
en\ Mercurius, als boven-Planeeten, gelyk fubiter Mars en Saturms, draaijen om de Zo. DeMaar" fchynt.tedraaijen, en kan niet anders draaiien als om de Aarde.dewyl zy die alfeen in haare orrAmp^omilnl? derhalve blyfc 'er niets meer overig, als deriaatIer Aarde te beraamen. Zullen wy de Zon, en daf kntfche ftelfel van lighaamen, welke me^haa^erbonderi zyn om onzen kloot in beweeging ftellen - of zullen wy deezen onderwerpen, om zyne omloopen rondom de Zon te doen, even als die aridere PlaneSen welkè vm geen geringer hoedanigheid dan onze klooJfcSn te zyn? Indien men ten allen tyde zondV vooröoï aeelen geweeft ware, indien men, altoos onmerkzaani op den waaren gang der natuur, onder hafrewe?ken geen andere gefteld hadde als die, in welkS men de eenvoudigheid de orde en de algemeenheid zïVt-
wéeftnzvnZ0R?t* T'r W verdeeldhjfd ge. weeit zyo. Het laatfte ftelfel, dat onbetwifthaar eemg waare, het e.nig natuurkundige,'en a£ JS Godheid waardig», zou alle fcemmen verësmgd heb ben; en wy denken dat, zonder de begeerte om her hoofd van eene gezindheid te zyn, welk-e wL°£h lyk een der beweegredenen was, die flrl XI' yD" hetzelve deedt afwyken , deeze groote Van ^Tr ^ dacht zoude hebben, om het NltuufLn™ oTpvmd
brengen^1 *?? -yn ^ geeft> ^ aanlLTte XIII.
Om de Wiskundige Hiftorie van deeze tw«», « r. eeuwen te eindigen, blyfc my niets meer o7'V«*g
dete?^^^
in den Griekfchen J^J^J^f^J^ ding, die in zekere opzichten het meeftèrftukderslér" rekunde is. In der daad, indien wy eenia verhoringen daar van u.tzonderen, heeft men „g niets be* ters gevonden, om de beide beweegingen van de Maan en de Zon overeen te brengen. n?V f™™t an om van des** Almanak, S JSbfeg-jg
fchej.



W;IS K ü N D E. I. Deel. III. Boek. 2,3
fcheide Sterrekundigen , maar met weinig ge'tik ?pir beid hadden eene korte gefchiedenis voor te draaVn Het is roodeloos ons over de noodzaakelyk eid van een wel geregelden Almanak veel uit te breiden De eerfte zorg van ieder w. Jgeftelde maatfehappy, na alvoorensin de dnngtndfte behoeftens voorzitn te hebben, was altoos eene vafte handelwyze, om dm tvd te rekenen m te ftellen. 'tl. alleen daar 'door datW gemaklyk de wederkomft der zelfde werken, der zelf de plegtigheden, enz. kan aanwyzen, eindelyk benaaen en voor de nakomehngfehap bewaaren de dagftelhng der gebeurteniflèn, wier gedachtenis w.ardi s tot het rageftacht overgebragt te worden
De eerfte verdeeling van den tyd, welke de natuur den menfehen aan de hand geeft, en het eerft "gebruik was, is die der omloopen van de Maan: men vindt in dezelve vooral een koftebk voordeel voor nnbefchaafdc menfehen , welke tekenen noodig hebb-n die te gelyk eenvoudig en fchynbaar zyn. Hetzelve beftaat hier in, dat de Phafes zelve ^an deeze P aneer tot verdeelingen van haaren omloop dienen. Ook ziet men ren groot getal volkeren de wederkomft van de nieuwe of volle Maan , tot aanwyzing van hunne ftaatkundige of godsdienftige vergaderingen, gebruiken! Zulks was de gewoonte der Jöoden, Griekeri,Ara' biers, enz. De Gaulers en de Saxen hielden hunre foorten van algemeene Verzaamelplaatfen bv het vernieuwen of vol worden van een zekere Maan. De
wfb^a"^ ™ *
Deeze verdeeling is echter niet de voordeeligfte Pe wederkomft van de zel'de faifoenen en de zelfde gefteldheid van lucht geeft eere andere , die veel ratuur lyker is, en door de Zon alleen beheerfcht wordt Men trachtte derhalve die verdceling aan te neemen en naardien twaalf Maanefchynen ten naafte by de 'dun ring van het jaar uitmaaken, verdeelde men het^eC m twaalf gelyke deelen. Men roemde dezelve Maan den: een naam die in alle taaien van den naam der Maan afftamt, of uit eenige andere taal, in welke de zelve dieafkomft heeft, ontleend is. e" 0 3 Nos-



«T4 HISTORIE der
Nogthans is 'er, op eenige uuren na, een verfchil van ii dagen, dat twaalf omloopen van de Maan, van de eene Conjunclie tot de andere, niet aan eenen omloop der Zon gelyk zyn- Men bemerkte zulks welhaaft, en de zwaarigheid, om deeze beide byna faamen onmeetbaare beweegingen overeen te brengen, bragt eene groote verlegenheid aan. Sommigen loften de zwaarigheid op, door zich alleen aan de beweeging der Zon te houden. Zulks deeden de Egyptenaars, De Arabiërs in tegendeel verbonden zich eeniglyk aan die van de Maan. Maar de Grieken, fteunende op het antwoord van een zeker Orakel (t)t wilden op eene halftarrige wyze de beide beweegingen overeenbrengen , en zulks was by hen de gelegenheid van eene meenigte beproev;ngen, welke hunne Sterrekundigen geduurende verfcheide eeuwen bezig hielden.
Men geloofde in 't eerft, dat twaalf en een halve Maan-maanden gelyk waren aan eenen omloop der Zon, en daar op bedacht men eene Periode van twee jaaren, ten einde van welke men een maand inlafchte Men eigent, ik geloof ten onrechte, deeze uitvinding aan Thales toe; maar de dooling was grof, en bleef niet lang verborgen. Solon eindelyk, mogelyk doordeken.» Dille van Thales geholpen , bemerkte hetgeen waar van men, zo het fchynt, niet zo lang onbewuft behoorde geweeft te zyn, naamelyk dat de Maanefchy» rien van omtrent 2Qi dagen waren. Want de nieuwe Maan, in 't begin van den eerften dag van een maand voorgevallen, fcheen hem tegen het midden van den joften dag vernieuwd te worden. In gevolge hier van ftelde hy de beurtelings holle en volle maanden in, en noemde den 3often der volle maanden «W» O «'*», laatfte en èerüe, om dat deeze dag de laatfte van de Maanefchyn, die eicdigde, en de eerfte van de volgende was.
Het Jaar werdt, doordat middel, tamelyk wel naar den loop van de Mfan gefchikt, 'er bleef derhalve nog pverig, om hetzelve met dien vap de Zon overeen te
bren?
(j) Gerninus. Jfag. AJlren. c, 0.



. WISKÜNDF. I; Deel. III. Beek. 215
brengen. Men kwam daar toe ten naafte by, door v er Perioden van twee jaaren te neemen, in welke nen fiegTSemaal inlafcnte. Want begroetende het Zoïne- jaar op 365 dagen 6 uuren, en de twaa\f Maanefchynen op juift 354 dagen, bemerkte men , dac twee van die jaaren 73°i ^^tx^^S*S^ •«^l-MS^S ïïï e'enple ^Xta^ftM derhalve een1 volternaand van vier Perioden van twee jaaten, m welke men, m ene tweede jaar heeft ingelatcht, zou daar mt vo^to eene fmtó van agt aaren, waar in men i eats dr e maal behoefde in fe laffchen. D«« dew^ bBaëteridos genoemd , en men geeft daarw1 de eere aan een zekeren Cleoftrates van Tenedos^u)1, een öter rekundigedie, zo als men gelooft, weinig laater- am tSj Beleefd heeft. Dezelve bevatte 1912 dagen, in prMafnefchynen verdeeld , naamelyk de 96 der ;agt Semeene jaaren, en drie ingelafchte , we kc op het einSe v?n hS derde, vyfde en agtfte jaar ingevoegd wer-
tkDeeze fchikking zoude zeer gelukkig geweeft zyn, indien het Maan- jaar naauwkeurig van 354 dagen , 4 uuren , 18' bevonden was: maar hetzelve is omtrent 4f uuren langer, hetgeen in agt jaaren 36 uuren mtmaakt. Dus rnaSken'de fo Maanefchynen weezenlyk,^3 öaeen 12 uuren en eenige minuten, zulks dat de Maan, SSNen einde der zgt Zonne-jaaren, zoude hebben moeten vernieuwd worden, nog een en één halven-dag van de nieuwe Maan was. Daar uit kwam eene nieu^ Periode voort, welke wy, fchoon dezelve nooit Z crphruik aebragt is, behooren te verklaaren. m& heeft gezien , dat 99 Maanefchynen een-en een halven dag grooter waren, dan agt Zonne-jaaren. 7mks maakTderhalve in 16 aaren een verfchd van drie en hi iöo jaaren een verfchil van 30dagen. Men ftelde , derhalve voor om eene nieuwe Periode tc maa-
(„) Cenforin. De die Nat. c. 18. rjt) Gemin. Ubi fupra.
r A



m HISTORIE des
ken, welke uit 20 octaèteridos, min een ingelafehta Maanefchyn, faamengefteld zou zyn. DeezfpS zon tarne yk volkomen geweeft zynfwantmen, vindt door de berekening, dat ,öo Sen van
deeze Som van Maanefchynen flegts omtrent 10 of 12 uuren yerfch.llen, hetgeen, ten aanzien van ae lengte
KrdTi'vT ^ bel3ng^ M^r d.t voóS worct te veel verzwakt door nee ongemak, van niet fs na een zo langen tyd de Maan en° de Zon weder tot het zelfde punt des Hemels te brenaen Deeze aanmerking bewoog de Athecers en andefe Gr 4en nnfre,fVCh va1 ^kridps bedienden, om dezelve ondanks haar gebrek, by aanhoudendheid te gebruiken Men vergenoegde zich om, geduurende een geruimen lr\n£bZïlTQ ^aar JD te, doen' om dezelve na" £n M , H*\ deS„ Hemc'? te doen overeenftemfnen. Maar eindelyk floop 'er eene ?o groote verwar mg in den Almanak, dat zy, die het muTft eenig iT''%^r ^ fadden'- Van d<^Ive getroffen wer? den 4' ftmeS ^ram iD, daar mede
J 0-peeIfpeeler,die,te Athenen Komende, Diana of de
zich met anger naar heuren Joop fchikte; zy hadc fLÏh.b!tMr!yk hy b^'aagd, van dat, alles 't ondeifte boven gekeerd zynde, de Goden met meer wisten waar aan zy zich moeften houden, en fomtyds zich verjaatende, om op een beftemden da* goed cier te mM*en zy, alsdan komende, h, t verdriet hadden dat zy verphgc waren om mot een leê-e buik, én zon der. hunne avondmaaltyd gehouden te "hebben, weder teen te gaan. Arirtophan.es gaf aldus op eene fciïZ fende wyze te kennen de offerhanden, welke op zekere beftemde dagen moeiten gedaan worden , en? we. gens de verwarring van den Almanak, dan eens vroS ger, dan eens laa'er gefchiedden. *
Eene zo zichtbaare wanorde moedigde aan, of om beter te zeggen, vóór dat dezelve zo groot was, nS Je Sterrekundigen reeds aangemoedigd, om hunne pogingen ter wegneeming vin dezelve, aan te wentiep. Veelen hadden reeds nieuwe kringen voorgcfteH,
aJs



WISKUNDE. I, Deel. III. Boek. 217
afe Hat f alm, Nauteles, Mnepflrates, Philolaus, O^Ewo. fides, Democritus, enz. (w), maar dezelve werden niet aangenomen, en verdienden niet zulks te worden. Men moet nogthans die Ouden , over de grootheid der Maan- en Zon - Perioden, zulke grove doolingen niet toefchryven, als Scaliger doet (x). Naardien wy sleets weeten, welk het getal der ingelafchte Maanefchynen van die kringenmaar niet welk het getal der holle en volle maanden was, welke zy daar toe gebruikten, is de gantfche berekening van Scaliger t'eenemaal vergeefs (y). indien wy van den kring van Meton niets meer willen, als dat hy in 19 jaaren zeven ingelafchte Maanefchynen hadt, zou men, met op de zelfde wyze, als Scaliger doet, te redeneeren, hem over de grootheid van het Zonnejaar, en de omloopen der Maan, eene grove dooling toefchryven.
Meton en EuElempn kwamen ten laatften voor den dag, en fielden hunne vermaarde enneadecateridos, of kring van 19 jaaren, voor. Deeze was eene Periode van 19 Maan-jaaren, waar van 12 gemeen, of van 12 Maanefchynen, en de zeven andere van 13 Maanefchynen waren, hetgeen in alles 235 Maanefchynen uitmaakte; de jaaren, in welken men inlafchte, waren de 3de, fide, 8fte, nde, 14de, i^deen 19dejaaren.Men moet aanmerken, dat Meton ook iets in de verdeeling der holle en volle maanden veranderde. In 't gemeen gebruik hadt het gemeen jaar zo veel volle als holle maanden. Door dat getal te behoud n, en alle ingelafchte maanden vol te maaken, zou dit flegts 121 volle, en 114- holle Maanefchynen ui'gemaakt hebben. Meton wilde, dat 'er 125 van de eerde, en flegts 110 van de laatlie waren. Door dat middel worden de beweegingen van de Maan en de Zon zeer gelukkig overeengebragt; en deeze beide Hemellichten ontmoeten elkander, op zeer weinig na, in de zelfde plaats des Hemels, van waar zy zich in 't begin op weg be-
gee»
(w) Cenf. De die Nat.
(x) De Emendatione Temporum.
(y) Petau Rat, Temp> p. 11. 1. 1, c. 3.
OS



al8 H I S T O R I E der
geeveD hadden; deeze kring werdt ingefteld in 't 4331*8. Juliaanfche jaar vóór J. C. den 16 July, op den negentienden dag na den zomerfchen Zonneftand, en de nieuwe Maan, welke op dien dag ,• ten zeven uuren 43' 's avonds, voorviel, was het begin van denzelven, de eerfte dag der Periode van den ondergang der Zon des voorigen dags gerekend zynde. Meton verkoos opzettelyk deeze nieuwe Maan, fchoon dezelve verder dan de voorgaande van den Zonneftand was , ten einde niet verpligt te zyn van het eerfte jaar af in te lasfchen. Want het Griekich jaar was zodanig, dat de volle Maan van deszelfs eerfte maand laater dan de Zonneftand moeft zyn , ter oorzaake der Oiympifche fpelen, wier viering in het midden van deezen eerften maand na den Zomerfchen Zonneftand was vaftgefteld. Meton vertoonde aan Athenen, en waarfchynlyk voor Griekenland, by die vermaarde Spelen verzaameld, een Tafel, waar in de fchikking van zyne Periode verklaard was, en de toejuiching met welke dezelve van de mee* ite Griekfche volkeren ontfangen werdt, deedt aan de* zelve den naam van kring of gulden-getal geeven, een naam die aan dezelve beveiligd is, door de algemeene toeftemming van alle volkeren, welken zich van een Maan-en Zonne-jaar bedienen, en hetzelve aangenomen , of naar hunne gebruiken gefchikt hebben.
Welke lofredenen deeze uitvinding moge verdienen, zou men nogthans een verkeerd denkbeeld van dezelve opvatten, indien men haar als volmaakt befchouwde. Dezelve hadt een gebrek, dat kort daar na eene verbetering vereifchte; de 235 Maanefchynen, welken dezelve bevat, maaken 6940 dagen uit, maar deeze tusfchentyd is eenige uuren langer, dan dezelve moet zyn, om, zo met de beweeging der Maan, als met die van de Zon, volmaaktelyk overeen te komen. Want 19 Juliaanfche Zonne-jaaren maaken flegts 6939 dagen, 18 uuren uit, of, ueemende het jaar naauwkeuriger, 6939 dagen, 14 uuren, 32'. Aan een anderen kant maaken de 235 maandelykfche omloopen der Maan flegrs 6939 dagen, 16 uuren, 32'; dus kwam de Periode byna tien uuren vóór de juifte omloopen der Zon, en zeven en een half uuren vóór die van de Maan. Be-
fchou-



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek.
fchouwende derhalve eeniglyk de laatften, welkende thafc van dat Hemellicht de fchynbaarfte maaken, ziet Wr> dac de Maan , welke, juift in het oogenblik ais de Periode begon, zoude hebben moeten vernieuwd worden, bevonden werdt reeds zeven- en een half uur voor uit te zyn, en deeze vermenigvuldigde dooling konde l ec misten om by den vierden, en zelfs by den derden orSoop deskrin|s merkbaar te zyn. Het wierdt derSe van toen af noodzaakelyk één dag over te ftaan, om de volle Maanen weder op haare waare plaatfen
teDeeSterDrekundige Calippus ondernam deeze verbeterins omtrent een eeuw daar na (z),en vatte zulks aan op de volgende wyze. Hy vermenigvuldigde den kring vau Meton met vier, waar uit hy een nieuwen kring van ,6 iaaren maakte, en ten einde van dien tyd floeg hy dien overfchietenden dag over, dat is te zeggen,dat zyne Periode faamengefteld was uit vier Perioden van Meton > waar van 'er drie van 6940 dagen, en eene van 69.39 Sen, waren. Het was daar toe genoeg om van vier tot vier Perioden één der maanden van 30, en één van ao dagen te veranderen. De uitwerking van deezeverbetSg was, om den vooruitgang der nieuwe Maanen meer dan 300 jaaren te verachteren, en te gelyk de aantfche Periode beter met de beweeging der Zon te doen overeenkomen. Want het tydverloop van vier Maan.kringen, één dag verminderd, maakt 27750 dagen, en de 940 Maanefchynen, waar uit dezelve zyn faamengefteld, maaken naauwkeurig 27758 dagen, ij* uuren 8'. Eindelyk 76 nnauwkeunge omloopen der Zon bevatten de fora van 27758 dagen, 10 uuren, 4. Dus was de beweeging der Maan op de geheele Periode Ss 5 uuren, 5*'. « dienvolgens na vier van die orntoonen, of 304 jaaren, omtrent een geheelen dag vooX. Haare3 afieyking van de beweeging der Zon Tas wel is waar, veel grooter, dezelve ging in 15* ïaaren dat is te zeggen in twee omloopen, tot één dag & eenige uuren. laar het was toen zo natuurlyk.
(«; Cèminus. IJag. Sr- c' G'



|ï* HISTORIE der
ten ^rTrfA1" °P 3<?J daSen> 6 «wen te begoten, dat men zulks niet konde voorzien. Deeze de werdt Cahppifcke Periode genaamd" naar den naam van haaren vinder, en begon in 'c jaar w f vóó, r n in 't zevende jaar van de zesde MeLifc£ peSi' De'
ee mer onzen Maankring, faamengevoegd met onze
3c d™voXl^V^ °" w*° "^aLSc met rfi»„ J ^ dt' dc«it kooien, en «.elke, te celtic
&?™ndf58"fatS!S-,tK * ~deVr-
te hetzelve met aan het doordringend vernuft van Hh ■parehus, die dezelve ondernam te veSerer? Etl enXr-Dgen haddeD,hem ^Ieerd, dat het Zofne! mteSJZ^ kleind.er Waren' dan CaliPP™ *SS^
was. Hy vermenigvuldigde derhalve den kring van n} &e\ïee,rkdnt flo°^tD)dagD
SS%Thaffbumeé,§ def-Maan' ^ in derdaad •„S I "alt-uur m 304 jaaren zoude verachten
,»Mt, ae Dewcegmg der Zon vooruitgegaan zyn, het,
geen
00 Seal. de Em. Temp, I. I|,



WISKUNDE. I. DetU III. Boek. tór
geen een dooling was, die flegts aaö die van Calippus in een dübbeld tydverloop gelyk zoude zyn. Maar deeze uitvinding kreeg het lot van zo veele andere, welke even zo nuttig waren, en met even zo weinig dank ontfangen werden. Griekenland, de kringen van Meton en Calippus gewoon, nam dien van Hipparcbus t fchoon volmaakter zynde, niet aan.
De kring, waar van ik kome te fpreeken, is het voornaamfte gedenkteken, dat Meton en Eu&emon de beroemdheid , welke zy hebben, heeft aangebragt. Beiden zyn nog gedenkwaardig door eene waarneeming, welke de eerfte is die Griekenland aan de Sterrekunde verfotiafte (b). Deeze is die van den zomerfchen Zonneftand van het jaar 432 vóór J. C. Deeze beide Waarneemers waren ook byzonder oplettend op die op- en ondergangen der Sterren, welke een gedeelte der Griekfche Ephemerides uitmaakten. Zy gaven dezelve in 't licht, in navolging van verfcheide Sterrekundigen, welke hun voorgegaan waren, en Ptolomeus haalt dezelve ia de Ephemerides, welke' wy van hem hebben (c), dikwils aan.
Een Vers van een cuden Griekfchen Dichter (d) kan ons doen giffen, dat Meton in "de kurtft om de wateTen te leiden zeer erv.aren was ; ik eindige hetgeen hem betreft, dooreen merkwaardig en weinig bekend voorval. Hy hadt, even als Socrates, het ongeluk orn "aan Ariflophanes te mishaagen, die hem in zyn Tooneelfpel van de Vogelen als belagchelyk ten toon voerde. Naardien de vryheidvan dat opkomend Schonwfpel zonder paaien was, werdt zelfs zyn naim daar in niet bedekt gehouden;een Tooneelfpeeler komt voor den dag, en na gezegd te hebben, dat hy dien in Griekenland zo bekenden Meton is, voert hy de belagchelykfte redenen over de Meet-en Sterrekunde. Hy geeft voor den cirkel te quadrateeren, en verfcheide zinnelooze . TTa. .. beCfc) Alm. 1. III. c. 2.
(c) App. fixarum.
(d) Meton Lvuconsus, novi eum qui Jcntutigints duiïU Phrynicus.



HISTORIE dek
bewerkingen uit re voeren. De andere Tooneelfpeelöf deezeongefchikte redenvoeringen moede zynde.zoekt zich van dezelve te ontftaan, en komt daar toe niet, als door hem met den ftok te dreigen. Ik heb nog ergens eene byzondere geheime aantekening over dien ouden Sterre. kundigen geleezen. Men zege dat hy, om niet naar den Sicihaanfchen kryg te vertrekken , eene lift in 't werk ftelde, even als die welke Ülysfis gebruikte, om niet naar dien var\Troye te gaan. Hy hielde zich als uitzinnig, eene lift die hem gelukte, en hem, fchoon ons dezelve geen groot denkbeeld van zynen moed geeft, zeer heilzaam was. Want men weet genoegzaami, dat Athenen nooit geen ongelukkiger krygstogt deedt, dan dien vanSicilie, en dac byna geenen van hun, welke naar denzelven gingen, te rug kwamen. Het zoude wel die weinig loflyk voorval van het leven van Meton kunnen zyn dat Arijiophanes in 'c oog hadt, wanneer hy hem op het tooneel brengt, en den rol van een onzinnige doet fpeelen.
Mettn hadt in de Sterrekunde een Meefter, waarvan ik billyker wyze melding moet maaken, dewyl Theophraflus {e) met lof van hem fpreekt. Zyn naam was fhainus, en volgens het getuigenis van dien Wysgeer, was hy een yverig Waarneemer, en die zelfs aan de uitvinding van zynen leerling eenig deel hadt. Theophraflus fpreekt nog van een zekeren Matrketa, die op het Eiland Metymnos, en dat daar door alleen bekend is, waarneemingen deedt. Geminus Cf) voegt by Euctemon een Sterrekundige, dien hy Philippus nöemt, en, hetgeen t eenemaal verwonderingswaardig is , zegt hy niets van Meton, die altoos als het voornaamfte deel aan de herftellmg van den Griekfchen Almanak hebbende werdt aangezien. 'Er is waarfchynlyk eenige misilag in de handfehriften, welke tot hec drukken van dien ouden Schryver gediend hebben.
XIV.
(e) De Sig. Temp. Init. (ƒ) 'fa Afin c. 6.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. aaj
XIV.
De ftichting derPlatonifche Schoole maakt een der gedenkwaardiglte tydmerken van onze Hiftorie, door den fnellen aanwas dien zy aan de Meetkunde te weeg bragt. Hoe bloeijend deeze Weetenfchap in Griekenland ook geweeft ware, kan men nogthans zeggen, dat Plato haar eene nieuwe fterkte byzette, en eenigennaate van gedaante deedt veranderen. Zy hadt zich, zo het fchynt, tot dien tyd toe flegts met de eenvoudigfte befchouwingen beziggehouden; zy kwam in de Lyceus uit dien ftaat van kindsheid, en begon toen een hooger vlugt te neemen. De uitvinding van de Analyfis, de ontdekking, der Kegelfneeden, die van verfcheide nieuwe Leerwyzen, waren de vruchten van den vlyt, met welken Plato en zyne leerlingen, zo door het voorbeeld, als door de vermaaningen van hun hoofd aangemoedigd, zich op de Meetkunde hadden toegelegd. Alle die verfchillende voorwerpen zullen zorgvuldig verklaard worden j maar wy moeten eerft iets zeggen van den beroemden Wysgeer, aau wien wy zo veele verpligtingen hebben.
Niemand is onkundig ten aanzien der voornaamfte Haaltjes van het leven van Plato, a's van de eerbewyzingen, waar mede de aloudheid zyne nagedachtenis vereerde. Zulks bevrydt my om my met dat verhaal in te laaten; dus zal ik my flegts bepaalen tot hetgeen myn onderwerp in 't byzonder betreft. Alhoewel Plato de leerling en opvolger van een meefter was, die der Wiskunde weinig achting betoond hadt, dacht hy ten opzichte derzelve nogthans op een betaamelyker wyze; de Wiskunde hadt deel aan de beweegredenen der reizen, welke hy, in navolging der eerfte Wyzen van Griekenland, om onderweezen te worden, ondernam. Hy was in Egypte om daar met de Priefters te verkeeren, in Italië om te raadpleegen met de beroemde Pythagoriflen, Philolaus, Timeus van Loeres, en Architas, met de laatfte van welken hy eene byzondere vriendfehap maakte. Hy reisde naar Cyretien, om aldaar den Wiskunftenaar Theodorus te hoeren



HISTORIE der
ren (£); een zodanige yver doet deezen Meetkundenaar, die anders weinig bekend is, veel eere,* Plato geeft hem , in eenige van zyne Schriften, getuigenisien van erkentenisfe. en hoogachting; In Griekenland wedergekeerd zynde, toen hy zyne beroemde Schoole ïhchtte, maakte hy van de Wiskunde, en vooral van de Meetkunde, den grondflag zyner onderwyzingen Hy het, zegt men, nooit een dag voorbygaanj zonl der zynen leerlingen eenige nieuwe waarheid derzelve te toonen. Een ieder kent het beruchte opfchrift door 't welk hy hen, die der Meetkunde niet verftonden , den ingang van zyne gehoorplaats vérboodt. Hy zeide eindelyk^ dat de Godheid zich geduurig met de-; zelve bezig hicldt, als willende zonder-twyffel daar mede te kennen geeven, dat alle de wetten, door welken de Godheid het geheel-al beftiert, Wiskundige wetten zyn; hoe meer de Natuurkunde met nieuwe ontdekkingen verrykt wordt, hoe meer deeze waarheid zich openbaart, en met nieuwe bewyzen geftaafd wordt.
Het blykt niet, dat Plato eenig zuiver Wiskundig werk gefchreeven hebbe; maar eene uitvinding, welke men hem toeeigent,moet hem ten onzen opzichte den roem als hebbende het uitgebreidfte' Werk gemaakt, doen verdienen (k). Ik wil fpreeken van de Meetkundige Analyfis\ dat eenig en ten hoogften noodzaakelyk middel, om ons in de nafpooring der Wiskundige vraagftukken, van eene zekere zwaarwigtigheid, toe een richefhoer te dienen. Deeze leerwyze heeft, toe de volmaaking der Meetkunde, zulke gelukkige gevolg* n gehad, dat het van veel belang is een klaar denkbeeld van dezelve te geeven.
Men kan in de Meetkunde op twee wyzen te werk gaan, door middel van de Synthefts, of door middel .van de Analyfis. De voorbeelden van de eerfte zvn de gebruiklykfte, en byna de eenige, welke men ia de boeken der oude Meetkundigen aantreft, 't Is deeze
» (g) Diogenes Laërtius.
(li) Proc. In I. End, 1. III. p. i. Diog. in Ptdt.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek.
ze Leerwyze waar van men zich bedient, wanneer men alleeniyfc waarheden, wier verband mee de beginfelen men reeds befpeurt, aan anderen wil verklaaren Men begint mee die beginfelen, of met [eenige reeds bekende waarheden, en door dezelve faamen te voe gen, en van gevolg tot gevolg voort te gaan, geraakt men eindelyk tot het befluit van hetgeen men voorgedraagen heeft. 6
De leiding der Analyjls is verfchillende. Deeze Leer. wyze is noodzaakelyk, wanneer het op de nafpcorine van eenig Meetkundig vraagftuk, 't zy een Problema* of een Theorema, aankomt. Hier begine men met als waar aan te neemen hetgeen het vraagftuk vordert ot men merkt het Problema, dat opgeloft moeft won den, ais reeds opgeloft zynde aan. Men trekt daar uit de gevolgen, welke uit het Problema vloeijen, en uit deeze gevolgen wederom andere, tot dat men gekom"n zy tot iets, dat klaarblyklyk waar of valfch is, indien het vraagftuk een Theorema is; of tot iets dat mogelvk of onmogelyk.uit te voeren is, indien hetzelvf een Problema is. De natuur van dit laatfte gevolg beflift de waarheid of mogelykheid van het VooFftel, dat men onderzoekt. Om eindelyk deeze twee Leerwvzen te vergelyken, in de eene verzaamelt en verbindt men eenigermaate verfcheide waarheden, uit wier verband eene nieuwe waarheid voortkomt. Daar uit bekomt zv haaren naam; want Synthefls betekent faamenflelling. \h de andere Leerwyze in tegendeel ontleedt men een Voorfte! dat in zyne deelen nog onzeker is, en die alle noodzaakelyk waar en faamen verbonden zvn. indien het Voorftel waar is, of valfch en tegenftrydig onder malkander zvn, indien hetzelve valfch is, Van daar beeft deeze Leerwyze den naam van Analyjls, die omleeding of ontknooping betekent, verkreegen. In de eer ftegaat men van het eenvoudige tot het faamengeftelde van het bekende tot het onbekende, van den ftam tot de takken. In de tweede gaat men van het faamengeftelde tot het eenvoudige, van het onbekende tot het bekende, van de takken tot den ftam. Eenige voorbeelden zullen hetgeen ik over deeze uitmuntende Leer. wyze gezegd heb verftaanbaar maaken. L Deel. p w



aaÖ HISTORIE DER
Wy zullen onderilellen?datmen ditVbbrftèl moet op." loffen. Een Vierkant AC '.{Tig. El) gegeeven , éü de zyde, CO verlengd zynde, begeert men in den hoek. FCB een lyn, als Ei1', van een gegeeven grootheid te trekken, wet' ke, ierlengd zynde, door den hoek A gaat (i).
Wanneer men zegt, dat de Anahjfis otifeilbaar den weg baant tot de oplosfing van een Problema, onderftelc men altcos in hem die hetzelve onderneemt, een zekere fchranderheid, welke hem doet gewaar worden „ tien weg dien hy moet houden, en de voor af te maaken Conftructien, bekwaam om de betrekkingen, welken hy onderzoekt, te ontwarren, Dus bemerkt men hier, dat, gefield hebbende dat AEF de ftelling der gezochte lyn js, het voordeelig kan zyn, den Perpendiculair FH op dezelve tot het verlengde van AB, en FG perpendiculair op BH te trekken. Dat gedaan zynde, ziet men, dat AB : BE :: FG : GH is. Nu is FG z=z AB, en gevolglyk GH z~~'. BE. Daar benevens CF:CE:: AB of CB : BE; derhalve is de rechthoek van CF en BE, of de rechthoek van BG, GH, die aan denzelven gelyk is, gelyk aan dien van CE en CB. Hetgeen pas tot de oplosfing van het Problema zal dienen. t Laat ons derhalve nu onderftellen, dat hetzelve opgelost zy, dat is te zeggen, dacEFdegegeevenegrootheid gelyk zy. Derhalve zal alsdan het vierkant van
EF, en dienvolgens ook de Som van CË en CF, gegeeven of bekend zyn; laat hier bygeteld worden het jnsgelyks bekende vieikantvan CB, dat gelyk is aan
<CF.3+ 2 C E X EB + E B , dan zal men de fom,
€F"-{- 2 CË24- 2 CE x EB 4-~ËB bekend heb.
ben. Nu is BG CF, en 2 CE/+ 2 CE x EB [ -=2, <x CE x CE + 2 CE x EB = 2CE
v CE + FBI = 2 CE x CB; derhalve isBG 7- + 2 CE
(0 Zie ook wegens dit Voorftel myne Toepasfng der Algebra op de Meetkunde. N. 31. p- 45» alwaar hetzelve $joor Algebra ofgeloft te.vinden is. Vertaald e.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boeit. 2S?
4- 5 CE x CB 4- ËTf bekend. Maar a CE x C B z^z. a GH x BG, zoals men boven heefc doen
zien, en Eif=z GH; dus zal BG + 2 GH x BG
—— K
•f G H gegeeven zyn: nu maakt deeze fo n het vierkant van B H uit; derhalve is het vierkant van BH gegeeven, naamelyk gelyk aan de ióm der vierkanten van Ei7 en CB (k). Het Problema is derhalve opgeloft ; want men heeft flegts B H zodanig te neemen, dat haar vierkant gelyk zy aan het vierkant van Cl), en het vierkant der bepaalde grootheid EF, faamen genomen, waar na men op A Heen balven - cirkel befchryft, fnydende de lyn ü C F in het gezochte punt F. Het Synthetifth bewys is gemaklyk; want men heeft niets anJeiS te doen, als langs deezen nu aangeweezen weg te rug te keeren, weshalve wy ons daar by niet zullen ophouden (J).
Het-
(fcl Want BH is, door in plaats ftelling, voortgekomen
a a a
uit CE 4- CF + CB. Maar vermits de Driehoek CEF
rechthoekig is. zo is CE ^ CF* EF*Derhalve Bli*
: -~ËF2 +~~CB. Vertaaler.
(/) De vreeze om, door een te groot getal moeijelyke voorbeelden, zulken onzer Leezers, welke weinig belang in de Meetkunde ftellen, te verveelen, heeft ons aan^e. fpöord, om tot voldoening der Meeckundigen, welke begeerig zyn om de oude Analyfis volmaaktelyk te kennen, die voorbeelden, welke wy gedacht hebben nog tot dat einde te moeten voordraagen,.in deeze noot te vervatten. Het eerfte van die voorbeelden zal eene fraaije eigenfehap van den cirkel betreffen, en dienftigzyn om aan te toonen , hoe deeze Leerwyze tot de nafpooring van een Theorema, toepaflolyk gemaakt wordt. Zie hier hetzelve. De lyn A B (Fig. 2) de Bafis van een oneindig getal Driehoeken, wier %yden, als AD, BD, of Ad, Bd, altoos eene bepaalde betrekking hebben, welke is de kromme, waar in de toppen van alle die Driehoeken zich bevinden ? of in eene Meetkundiger
taalg
P a



HISTORIE der
Hetgeen wy nu gezegd hebben toont aan, hoe Weinig de Meetkunde der Ouden bekend was by hun, welke in twyffel gefteld hebben, of zy eene Anakfts hadden, Deeze Meetkundigen hadden Archimedes, die
.de.'
«aal, welke is de plaats van die toppen? Ik befpeur ten eerften, dat wanneer men AB in E zodanig verdeelt, dat AE- tot EB in de gegeeven reden zy, en het punt F zodanigineemt, dat AF en BF ook in de zelfde reden zyn, alsdan de punten E, F tot de gezochte kromme zullen be-
fani 4EB is fle8rs ^ laatfte ftomphoekige, en AïE de laatfte fcherphoekige Driehoek in d, wanneer zy zich met de rechte lyn vereenigen. Men ziet eindelyk dat deeze kromme gefloten, en met een halven - cirkel of eene halve -Ellips overeenkomftig moet zyn. Dus: is het natuurlyk aanftonds te onderzoeken, of dezelve een halven-cirkel is: laat ons derhalve onderftellen dat zulks alzo is; want ko wy ons in onze gisfing bedriegen, zal de Analyfis ons zulks te kennen geeven, door ons tot ftrydigheden te brengen. ■ "Laat derhalve de Figuur EDF een balvcn-cirkel zyn; dan is de Driehoek DEC gelykbeenig; ten anderen zal de hoek A D B, door de lyn E D, in rwee gelyke deelen gedeeld worden, dewyl AD:DB::AE:EBis Derhalve zullen de hoeken EDC + EDA gelyk zyn aan DEC + EDI3. Nu zyn deeze laatften gelyk aan den ïiitwendigen hoek DBC. Derhalve is de hoek B, in den Driehoek B D C, gelyk aan den hoek D , in den Driehoek ADCi maar deeze Driehoeken hebben den hoek C gemeen. Dienvolgens zyn dezelve gelykvormig, en dus hebben wy, door de vergelykmg der overeenkomftige zyden , CB:CD, pf pE, CD, of CE, : CA. Derhalve hebben wy éerftelyk doorfaainenftelling, CB + CD, of BF,: CE:: CA + CE of AF, CA; vervolgens door deeling CE-^ CB, of BE, ; CE :: CA ~~ CE, of AE,: CA. Derhalve , ex cequo, BE : AE :: BF : AF. Nu is (door de Conftr.) BF : AF :: AD : DB, hetgeen juift de' onderftelling is. 't Is derhalve eene eigenfchap, en wel eene zeer merkwaardige eigenfchap, des cirkels, dat de lynen DA, D B, uit een naar welgevallen genomen punt in deszelfs omtrek, tot de punten A, B getrokken, altoos in de 'selfdc reden zullen zyn.



WISKUNDE. I. Déél. JU. Boek. 220
dezelve fomtyds gebruikt, waarfchynlyk nooit doorbladerd, nog minder Pappus, die nooit nalaat, zich hy
de
Het Problema, dat vry thans door de Analyfis zullen oplosfen, is dit. Een cirkel gegeeven zynde, met een lynbuiten of binnen denzelven (Fig. 3.4). begeert men het punt D te vinden, zulks dat, trekkende de lynen DA, DU, welke den cirkel in E en F Jnyden, de lyn EF parallel met AB zy.
Laat ons eerfcelyk het geval (Fig, 3) verkiezen, waar in de lyn AB buiten den cirkel is; en laat gefteid Worden, dat het Problema opgeloft zy. Dewyl EF parallel met AB Is, heeft men, BD i DE :: AD : DE, en BD : BF •: AD : AE. By gevolg zyn de rechthoeken BD x BF, AD x AE overeenkomftig. Nu zyn dezelveopzichtelyk gelyk aan de vierkanten der raakïynen, BI* ~&~G>. Dienvolgens BI : AG :: B D : A D. [Want boven is beweezen, dat B D : D F :: AD : DE, en BD : B F :: A D : A E is. Derhalve, altemando, BD : AD :: DF • D E , en BD : A D :: BF : AE. By gevolg DF : DE : : BF : AE. Derhalve BD x DF : AD x DE :: Ti D x BF : A D x AE. Wederom B D : AD :: B F : AE. Derhalve
BD: AD :: BD x BF : AD x AE. Gevolglyk BD x
DF : AD x DE :: BD3: AD*: Hu: AG; en derhalve BI: AG :: BD : AD] Nu is de reden van BI tot AG gegeeven ; by gevolg zal die van BD tot AD insgelykS gegeeven zyn, en derhalve zal men door de voorgaande reden de plaats van alle de punten hebben, waar in de lynen , welke in die reden zyn, faamenkomen. Nu is deeze plaats een cirkel, die gemaklyk te befchryven is, by gevolg zal deszelfs doorfnyding met de voorgeftelde kromme het gezochte punt D aanwyzen.
Men behoort in acht te neemen, dat deeze cirkel den eerfren in een ander punt d zal fnyden , dat de tweede op. losfing van het Problema te kennen geeft. Want het is klaarblyklyk, dat 'er twee punten moeten zyn. Ik verbinde iny niet om de verfcheide gevallen, welken dit Problema kan uitleveren, te onderzoeken. Ik zoude zulks niet kunnen doen, zonder deeze noot eene zeer groote uitgebreidheid ïe geeven. Ik zal my alleenlyk tot de aanmerking bepaa-
F., *



eso HISTORIE der
-de oplosfing der Problemata, welken hy zich vooriMr; van dezelve te bedienen. Het zou hun genoeg geweeft
zyn
fen, dat, zo de lyn AB (Fig. 4) binnen den cirkel was, de Ahalyjis niet verfchillende zou zyn, maar dat wy alsdan, in plaats dat de rechthoeken BD x BF, AD x AE gelyk waren aan de vierkanten van BI, AG. en BD: AD :: B I : AG was, hier de rechthoeken AD x AE, BDX R F gelyk hebben aan de gegeeven rechthoeken R A x A s» RB X BS (door de eigenfchap der lynen, welken elkander 'binnen den cirkel Jnyden) , of wel aan de vierkanten der Perpendiculairs AG, BI, wanneer men op de peesRS den halven-cirkel RGIS befchryft. Weshalve de reden van AD tot BD die van AG tot BI zal zyn. Befchryvende dus den cirkel, waar in de vereenigingen van alle die lynen -ineen gegeeven reden gevonden worden, zal dezelve door zyne doorfnydingen de beide punten D, d bepaalen, en deeze zullen aan de beide oplosfingen van bet Problema voldoen.
Men zal gemaklyk op deezen weg te rug komen, wanneer men flegts de Synthetijche Leerwyze gebruikt. Want hebbende de vereitcbce Conjlruüie gemaakt, eal men zeggen, naardien hec punt D, in den cirkel, of de plaats der top. pen van alle de Driehoeken is, wier zyden de reden van AG en BI hebben, zullen de lynen AD , BD ook onderling deeze reden hebben. Maar AD x AE, BD x BF zyn opzichtelyk gelyk aan de vierkanten van AG, B l; dienvolgens AD : BD :: AE : BF. [Want, zoals getoond is, AD : BD :: AG : BI; gevolglyk AD :"ÏÏD*:: — 3 2
AG : B1; of Hellende voor deeze laatfte vierkanten de gelyke grootheden AD x AE» BD x BF, AD : BD*AD x AE : BD x BF. Derhalve AD : BD :: AE r BF] Dus zyn AB, EF parallel.
De oude oplosfing van het zelfde Problema, welke Pappus (Coll. Math. 1, VIL Prop. 107, &c.) ons heeft nagelaaten» zal een nieuw voorbeeld van de Analytifche Leerwyze verfchaffen, en aantooneu, dat men door verfcheide wegen tot de zelfde waarheid kan komen. Laat ons onderftellen, datr het Voorftel opgeloft zy, en dat de punten E , F (Fig. 3)^ die geenen zyn, door welken AD en B D getrokkea hebben.



WISKUNDE. I. Deel Hl. Soek. SM-
zvn de oogen te flaan op de Voorreden van het zeven» de beek zyner Colle&iones Mathematica, om hunnetwyffeüngen dienaangaande te verdry ven, want in dezelve -wordt de Analyfis zeer zorgvuldig verklaard. Wy hebben nog een werk van Appallonius % getyteld de SeElione rationis, dat geheel volgens deeze Leerwyze verhandeld 'is, en 't welk de Heer Newton, een rechtmaatigwaardeerder der oude Meetkunde, zeer hoog achtte (m). Voorts drukt men zich op eene zeer oneigenlyke wyze bit, wanneer men, zo als men hedendaags doet, Synthetische Leerwyze of Synthefisnoemt, die Leerwyze, welke geen rekening gebruikt, en, volgens de gemeene taal, door Figuuren en ontwikkelde redeneeringen tothet verftand en de oogen fpreekt. Het zounaauwkeurigerzyn dezelve de Leerwyze der Ouden te noemen; want de ,Algebra'ifche rekeningen, waar van wy gebruik maaken, zyn niet datgeen waar in de Jnalyfis beftaat; zy zyn flegts eene handelwyze, om eene redeneering in't kort uit te drukken, en een bewys zou tot de Synthefis kunnen behooren, fchoon men zich in hetzelve van de AU gebrdifche rekening bediende. Zonder de voorbeelden
, hier-
bende, de lynen AB, EF parallel zyn. Men trekke in het punt E een* raaklyn EH, ontmoetende AB, die, zo hec noodig is, verlengd moet worden, in H. Men heeft eerftelyk de hoeken DFE, DEC, of AEH, gelyk, derhalve
DFE ' * AËH. Maar wegens de parallele lynen AB,
EF, zyn de hoeken DEF, EAH ook aan malkan.ler gelyk. Derhalve zyn de Driehoeken DBA, HEA gelykvor' mig. Derhalve is, door de vergelyking der overeenkomftige zyden, AD : AH :: AB : AE; gevólglyk AD XAE»
of A C (A G is de raaklyn uit het punt A getrokken) ZZZZ AB X AH. Derhalve AB : AG :: AG : AH, by gevolg . is het punt H gevonden; en de raaklyn H E zal de op• losfingjöf liever een der oplosfingen, van het Problema aan■ wyzen. Want naardien men uit het punt H een tweede . raaklyn II e kan trekken, zal het punt e de tweede oplosfing verfchafFen. Deeze wyze, om het Problema op te' los' fen, is zeer eenvoudig; maar men zal misfehien bevinden^ dat de eerfte. welke van myne vinding is, geleerder,ifj (???) Vitn Newt. in 'Opufc. T. i.
P 4



*3a HISTORIE der
hiervan heel ver te zoeken, kunnen wy ons beroepefS op de bewyzen, welke fommige Schryvers van het tweede Boek Euclidis geeven.
By gelegenheid der lichtfpreidende klaarheid, welke deeze Leerwyze der Ouden doorgaans vergezelt, kan ïrmy u ei ontnouden eenige overweegingen te maaken. JViyns bedunkens zoude het te wenfchen zyn dat dezelve eemgermaate minder verwaarloosd werdt van de hedendaagfche Wiskundigen, wien de ongemeene gemaklykheid der Stelkundige Analyfis, hoe langs hoe meer, tot een gebreklyk uiterlïe fchynt te doen vervallen. Dit misbruik heeft reeds het ongenoegen van veele Meetkundigen van den eerften rang (n) doen ontdaan, welke geklaagd hebben over het nadeel, dat deeze Leerwyze, om alles tot het rekenen over te bren» gen, de Meetkundige cierlykheid toebragt. Inderdaad, de oude Leerwyze heeft zekere voordeden, welkehaa? niet ontzegd kunnen worden, door allen wien dezelve flegts eemgermaate bekend is. Altoos voorlichtend zynde, venpreidt zy de klaarheid ter zeiver tyd als zv de overtuiging te weeg brengt; daar in tegendeel de Stelkundige Analyfis, door het verftand te overtuigen hetzelve geenzins verlicht. In de eene befpemtmen duidelyk alle de ftappen welke men doet, geen verband tusfchen het grondbeginfel en het laatfte dlr gevoken welke men daar uit afleidt, ontglipt het verftand- in de andere worden alle de tusfchentreeden od e-nieerlei wyze met bemerkt, en men is in dezelve niet overtuigd, als door de wettige aaneenfchafceline, welkfmen weet , dat in het kunftig faamenftel der béwerkingen, welke een groot gedeelte der oplosfing uitmaken, heerfcht. Ten anderen is 'er een tamelyk groot getal Voorftellen, op welken de Stelkundige" rekening^ et gemaklyk toegepaft kan worden; ander! Voorftellfn zvn er , in welken de Stelkundige uitdrukkingen, die uit dezelve voortkomen dermaate faamengefteld zyn, dat de onverzaagdfte Stelkunftenaar daar mede verlegen is m zoude tot een voorbeeld kunnen bybrengen één'der
Voor-
(») Ftrmat, Newton, Maclaurm,



WISKUNDE. I. Deel Hl. Boek. b%$
Voorftellen, in de voorgaande noot opgegeeven, naa* melyk dat van den cirkelen de twee punten, enz. of dat, om drie in flelling gegeeven cirkelen door een vierden te doen raaken. Al wie du fraaije Oplosfingen, welken Fieta. (o) en Newton (_p) van dit laatfte Voorftel gegeeven hebben, vergelykt met de oplosfing, welke de Stelkundige rekening aan de hand geeft, en die van Defcartes [q) , zal verpligt zyn toe te ftaan, dat de laatfte eenig onrecht hadt, om de oude Leerwyze , zo als hy deedt, te verachten.
Ik ben 'er echter verre af om den voorrang der hedendaagfche Analyps, in andere opzichten, boven die der Ouden , niet te erkennen. Ik heb eeniglyk willen afkeuren het misbruik , om de rekening toe te paffen op gevallen, in welken een weinig meer opmerking, of meerder kennisfe in de Meetkunde, oplosfingen zoude verfchaffen, welke voor het verftand aanneemelyker zyn. Want gelykerwys men het Quadrant niet ge-' bruikt, om een voorwerp, dat men onder zyne hand heeft, te meeten, zo moet men ook de Stelkundige rekening in vraagftukken, waar in dezelve overtollig; is, niet gebruiken. Maar men zoude zich als onkundig in de verhevene ontdekkingen der hedendaagfche Meetkunde aanftellen, indien men de volftrekte noodzaakelykheid van deeze rekening,in de nafpooringen van een zekere natuur, wilde betwiften. Zodanige zyn de meefte van die, welke hedendaags onze Meetkundigen bezig houden. Te vergeefs zou het werkzaamfte verftand , het bekwaamfte tot opmerking en overweeging, poogingen aanwenden om dit hulpmiddel te ootbeéren; de betrekkingen, welke in die nafpooringen ontdekt moeten worden, zyn zo ingewikkeld, dat'er, om dezelve, zonder het behulp der nieuwe Leerwyzen, te fchifcen, kundigheden van een verhevener ftaat als de onze, zouden noodig zyn. Laat óns derhalve, om de waarheid te ontdekken, gebruik maaken van de veel vermogen»
(o) In Apoll. Gallo.
(p ) Arith. Univerf. Princ. Phil. Nat. 1. 1. Lemm. 16V (q) Lett. de Defcart. T. III. lett. 80. 81.



«34 H t S T O R I E der
gende hulpmiddelen, welke ons aangeboden worderi m die Leerwyzen, tot wier volmaaking men niet te veel vlyt kan aanwenden. Zy zyn de eenige van wiên de Meet • en Natuurkunde voortaan haare bevordering te wachten hebben. Wanneer dus zekere perfobnen de zo genaamde brabbeltaal, met welke , naar hun zeggen , de Wiskundigen van onzen tyd pronken, befpottelyk trachten te maaken, wanneer zy uitvaaren tegen het misbruik j om eene verhevene Meetkunde op de Natuurkundige verfchynfelen toe te pasfen, doen zy niets andei;s dan zich zeiven by allen, welke eenige weezenlyke vorderingen in deeze weetenfchappen gemaakt heb-ben, belagchelyk maaken. Om deeze fcheisferyen of dat geroep op 't naauwkeurigfte te waardeeren, heeft men flegts aan te merken, dat dezelve niet voortkomen ■als uit lieden, welken in de Meet-en Natuurkunde t'eenemaal vreemd zyn, of uit fommige oppervlakkige vernuften, wien het onvermogen, om de zelfde leiding te volgen, het veel gemaklyker befluit doet neemen, om met verachting te fpreeken van hetgeen zy nies veiftaan.
XV.
, De tweede merkwaardige ontdekking, welke de' Meetkunde aan de Platonifche fchoole verfchuldigd is , is die der Kegelfneeden. Sommigen fchynen dezelve aan Plato zeiven toe te eigenen (>) , maar zulks is op eene te duiftere wyze, om 'er eenigzins ftaat op te maaken. 'Er zyn eenige woorden in een gefchrift van Eratofthenes (Y)> welken dezelve aan Menechmus zou, den kunnen doen toewyzen. Negue Menechmeos neceftè erit in cono fecare ternarios, zegt hy, van deeze krommen fpreekende. Maar dewyl men weet,, dat deeze Platonijché Meetkundige de Kegelfneeden gebruikte, tot de oplosfing van het Problema der twee midden- evenredigen, waar van Eratofthenes in dat ftuk fpreekt, is
het
(f) Prodlus. In Eucl. 1. II. p. 4.
{s) In Mefohht. Eutoc. ai Arch. J. IE de Spk. &



WISKUNDE. I. Deel. III. Beek, 235
het te vermoeden, d>t dit alles is, dat hy met deeze woorden heeft willen zeggen. Wy zullen derhalve daar uit niets ten voordeele van Menechmus befluiten 5 wy zullen alleenlyk aanmerken, dat men in de Platonifche Schoole de blyken van eene vry grondige kennisfe der Kegelfneeden ziet. De twee oplostingen , welken de Meetkundige, waar van wy komen te fpreeken, van het Problema der twee midden - evenredigen gaf, zyn hier van een bewys. Want de eene gebruikt twee Parabolen, de andere een Parabool, faamergevoegd met een Hyperbool tusfchen de Afympioten. Deeze laatfte toont zelfs, dat men in dat tydbeftek iets meer dan de eerfte flappen in deeze Theorie gedaan hadt.
Tot deeze verlokkende plaats van onze Hiftorie gekomen zynde, kunnen wy ons niet onthouden, om van deeze krommen , welke federt dien tyd zo berucht in de Meetkunde geworden zyn, met eenige uitgebreidheid te fpreeken. Met dat oogmerk zal ik verklaaren haare afkomfc, en eenige der eigenfchappen, welke, zo als wy met recht mogen gelooven, by de Meetkundigen der Schoole van Plato, of by hen die kort na hun volgden, zyn bekend geweeft.
De Kegelfneeden zyn, zo als baar naam genoegzaam te kennen geeft, kromme lynen, welke uit de doorfnyding van een Kegel door een vlak ontfiasn^ Het is gemaklyk te bemerken, dat dit lighaam op vyf verfchillende wyzen kan gefnee !en worden; de rjwjae eerfte en eenvoudigfte wyzen -zjn, om hetzelve nanc een vlak te fnyden , dat door den top g&atj of eveuwy-dig met het grondvlak is. De eerfte geeft een Driehoek, die meer of minder geopend is, naar dat hetfnydend vlak meer of minder naby den As is; de tweede •brengt een erkel voort,- deeze twee lynen, onder dac oogpunt befchouwd, zyn Kegelfneeden. Niettemin s worden de drie volgende doorgaans bedoeld, wanneer men van de krommen van deezen naam fpreekt.
Lait ons het Vlak GL (Fig 6.) neemen, dat wy evenwydig met hét grondvlak onderlleld hebben, en ons een cirkel gegeeven hee-t, en laaten wy ons verbeelden, dat hetzelve overgaat toe eenen op dac grondvlak;



*$6 HISTORIE dër
Vlak hellenden ftand G FI, waar in hetzelve den Keeel altoos teenemaal doorfnydt. Hetzelve maakt alsdan eene verlengde fneede, als GKHI, Ellips genaamd, en welke mets anders dan een langwerpige cirkel is! Wy kunnen geen gepafter denkbeeld van dezelve eeeven, als met te zeggen, dat de Ellips ten aanzien van den cirkel is, hetgeen het langwerpig vierkant ten op. zichte van het volkomen vierkant is; en gelyk deeze twee laatfte Figuuren eigenfchappen hebben, die gemeen, anderen die verfchillende, maar altoos overeenkomftig onder malkander, zyn, zo hebben ook desgelyks de cirkel en de Ellips gemeene en andere el* genfchappen, tuffchen welken altoos eene merkwaardige overeenkomft heerfcht.
Laaten wy ons nu verbeelden, dat het fnydend Xlak,,g^Ung h0e lan§s hoe meer overhellende eenen ftand GM neeme die zodanig is, dat hetzelve niet
mutT vUUe^d5n K?gel Saac> maar evenwydig met het v knVn Wn ldTdve? lmZ$ de zYde SA rïakt, bevonden woidt, dan zal daar uit eene nieuwe kromme ontitaan, die altoos geduurig wyder zal worden, en «ergens gefloten zyn; 't is deeze kromme welke men Parabool noemt: men zou dezelve zeer wel met eene oneindig verlengde Ellips kunnen vergelyken; en in der daad, veele hedendaagfche Meetkundigen, van dit denkbeeld gebruik maakende, hebben de ebenfchaDnen van deeze kromme zeer gemaklyk beweezen. Wv zullen, wanneer het de tyd daar toe zal zyn, van deeze handelwyze om de Kegelfneeden te befchouwen verflag doen. u Laat ons eindelyk onderftellen, dat het fnvdend Vlak zyne beweeging vervolgende, van den evenwydigen ftand, dien hetzelve met het raakend vlak des Kefeïs hadt, op denzelven, in eene tegengeflelde richting met den eerften ftand van hetzelve, hellende wordt zulks dat hetzelve den tegen over geftelden Kegel komt te fnyden , zo als Gg doet, dan zal 'er een kromme ontitaan , waar van de gedaante vry wonderlyk zal fchvnen aan hunwelke in de hooge Meetkunde weinig ervaren zyn; in plaats dat de beide helften van de E* ltps%oi van dencirkeLhunne holligheden, aan de beide
ein



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. £37
iden van hunnen as, naar elkander toegekeerd hebben, zyn het in deeze de uitgebogene einden, welke naar elkander gekeerd fbjtan. De kromme, in haar geheel genomen, is faamengefteld uit twee deelen E G F, egf, welke ieder oneindig in uifgeftrektheid zyn. Dit is het dat men een Hyperbool noemt,indien men flegts één der beide deelen beichouwt, of de tegen elkander overgeftelde Hyperbolen, indien de beide deelen te faamen in aanmerking genomen worden.
Zodanig is de afkomft der Kegelfneeden, krommen welke, federt haare uitvinding, van het grootfte gebruik in de eenigermaate verhevene Meetkunde geworden zyn. Men denke niet dat men deeze afkomft op geen andere wyze, en onafhangkelyk van den Kegel, bevatten kunne. Maar wy volgen hier den oorfprong, volgens welke die krommen zich in 't eerft aan de Meetkundigen opdeeden, en welke haaren gellacht-naam aan dezelve heeft doen geeven. Zie hier nu een kort beprip van haare voornaamfte eigenfchappen, en welken den Meetkundigen der aloudheid het eerft bekend waren; wy hebben getracht om in hetzelve de geduurige overeenkomft, welke onder dezelve heerfche, met de grootfte klaarheid voor te ftellen; wy twyffelen geenzins of zy, die eenigermaate met een Meetkundig verftand begaafd zyn, zullen behagen daar in vinden. Ik verzoeke de Leezers, voor wien deeze plaats te zwaar mogt zvn, zich het verdriet derzelve te befpaaren, door aanftonds tot het volgend Artikel over te gaan.
L Bepaaling. Men moet vooraf bewuft zyn, dat men Diameter eener Kegelfneede noemt, de lyn, welke alle de parallellen, in de kromme getrokken, onderling in tweën gelyk deelt; als de lyn Sa Aas (Fig. 7,8,9), ten opzichte der lynen pq, PQ_, pq, enz., welke men de Ordinaten noemt. De Diameter, die zyne Or? dinaten perpendiculair fnydt, als Dd, wordt den /Is genoemd. Dit gefield zynde, bewyft men ,
10. Dat in elke Kegelfneede een oneindig getal Dia* ■meters zyn, welke in den Parabool alle onderling paral, lel zyn, als S s, D d (Fig. 7), maar in de Ellips en den Hyperbool, of de tegen elkander overgellelde Hyperbo*
leii



■
2^3 füSTORIE DEft
kn, (Fig. 8, 9, io), lcopen zy alle faamen in een eenig punt, dat men middelpunt noemt.
2°. In den Parabool ftaat het vierkant eens halvenOrdinaats P A tot het vierkant van eenigen an Jeren Ordinaat pa, in de zelfde reden als de AbfciJJen SA, Sa: maar m de Ellips (Fig. 3) zyn deeze vierkanten onder elkander, als de reenthoeken van de overeenkomftige deelen des Diameters, S A X As, Sa x as. In den Hyperbool (Fig. g) zyn dezelve als de rechthoeken van de AbfciJJen met de faamengevoegde lynen van AbfciJJen en den Diameter, naamelyk SA x Ar, Sa x as. Derhalve zyn zy in beide als de reenthoeken der AbfciJJen, Wc,nt naardien in dezelve twee toppen zyn, zyn 'er tot ieder Ordinaat twee overeenkomftige Abfcijfen.
3°. Indien een rechte lyn, een Kegelfneede raakende, haaren verlengden Diameter in T ontmoet, zal, wanneer de Ordinaat PA getrokken is, dat punt zodanig in den Parabool geplaatft zyn, dat S A (Fig. n, 12 , 13)» gelyk aan S ï zal zyn. Maar in de Ellips en den Hyperbool zullen CA, GS, CT in een geduurige evenredigheid zyn, zulks dat in de Ellips Sï altoos grooter dan SA, en in tegendeel in den Hyperbool, zal zvn. De lyn AT wordt de Subtangens of Onderraak» lyn genoemd. Dezelve is gevolglyk het dubbeld van de Abfciffe in den Parabool, meer dan het dubbeld in de Ellips, en minder in den Hyperbool.
II. Bepaaling. In de Ellips en den Hyperbool heeft ieder Diameter, als Sr (Fig. 8. 9, 10.), een overeenkomttigen Diameter Tt, welke de lynen, parallel met den eerften, ieder in twee gelyke deelen fnydt, zoals ook de eerfte de lynen, parallel met den anderen , op gelyke wyze fnydt. Men noemt denzelven toegevoegde Diameter; dus zyn zy beide wederzyds toegevoegd aan elkander. In de Ellips zyn zy wederzyds bepaald,
enTTs*: CT*:: SA x As : PA. Indien men inden
Hyperbool ook fielt SA x As : ~P~A : : CS*. CT* ?al deeze grootheid C T zyn hetgeen men in 't byzonder den toegevoegden Diameter van CS noemt; eindelyk indkn men een derde - evenredige tot CS en CT peemt, zal deeze den Parameter des Diameters CS zyn,
dac



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 239
dat is te zeggen, de foort van zetraaat (modulus), wel» 'ke de betrekking van het vierkant van eenigen halven -Ordinaat, tot den rechthoek van deszelfs overeenkomlli^-Ab/cifen, zal meeten. In den Parabool,waar in de''Diameters flegts aan eene zyde bepaald zvn,. js de Parameter de derde «evenredige tot eenige Abfcijje. S A , of S a j en den overeenkomftigen halven - Ordinaat PA of pa. De Ouden noemden deeze zetmaat latus reclum, ter oorzaake dat zy dezelve dikwils plaatftenop het einde van den Diameter,tot welken dezelve behoorde, 4°. In den Parabool is het vierkant van den hal venOrdinaat gelyk aan den rechthoek van de Abfcife met den Parameter; in de Ellips is hetzelve altoos kleinder, in den Hyperbool grooter. 't Is deeze eigenfchap, welke naderhand deeze krommen de naamen gegeeven heeft. Want Parabool wil zeggen gelykheid, Ellips, mangel, en Hyperbool, overmaat.
111. Bepaaling. In elke Kegelfneede wordt het punt yan den As, alwaar de halve - Ordinaat gelyk is aan den halven -Parameter, brandpunt (ficus) genoemd, door de redenen welken men in 't vervolg zal zien ,• de Ouden noemden hetzelve pun&um comparationis. Hetzelve heeft de volgende eigenfchappen.
50. In den Parabool is hetzelve het vierde-deel des Parameters van den top verwyderd; in de Ellips is 'er een dicht by ieder einde van den As, en deszelfs afftand van het middelpunt is een lyn, waar van hec vierkant selyk is aan het verfchil der vierkanten van de halve-Affen CS, CR. (Fig. n. 12. 13O In den Hyperbool h het vierkant derzelye gelyk aan de fomvan die vierkanten.
6°. In de Ellips en den Hyperbool deelt de raaklyn den hoek, gevormd door de twee lynen, uit de beide brandpunten tot het raakpunt getrokken, of door een van die lynen en het verlengde van de andere, in twee gelyke deelen. In den Parabool is het de hoek, gevormd door de lvn uit het brandpunt getrokken, en de lyn, die parallel aan den As is. Waar uit men gemaklyk dit gevolg afleidt, dat alle de ftraalen , welke parallel met den As des Parabools zyn , en op des?elfs holrondheid vallen, in het brandpunt te rug fluiten. In de Ellips fluiten de ftraalen, uit het eene komende, in ■ ■ hec



A40 HIST0R1 E der
het andere te rug; in den Hyperbool vereenigen zich de ftraalen, welken naar het brandpunc van den tegengeftelden Hyperbool gaan, in dat van den eerften. Hier uit hebben deeze punten den naam van brandpunten bekomen.
7°. In de Ellips is de fom der lynen, uit eenig punt der kromme tot de beide brandpunten getrokken, altoos dezelfde, en gelyk aan den grooten As; in den Hyperbool is het verfchil van die lynen altoos gelyk aan den grooten As.
8°. Indien men in den Hyperbool (Fig. 14) tot den top S een lyn dSD trekt, welke denzelven raakt, en elk der deelen SD, Sd gelvk aan den halven ■ toegevoegden As neemt, zullen de" lynen CD, Cd den Hyperbool nooit ontmoeten, fchoon zy hoe langs hoe meer tot denzelven naderen. Deeze lynen worden de Afymptoten des Hyperbools genaamd.
0°. Indien men tuifchen de Afymptoten eenige lynen K1GH, kigh trekt, zullen dezelve altoos zodanig g .fneeden worden, dat de deelen derzelve, tuffchen de kromme en de AJymptote, als KI, GH, of ki, gh enz., gelyk zullen zyn. '
io°. Indien men twee parallele lynen KH, LN trekt, zyn de rechthoeken LM x MN, en KI v IH gelyk. r X
n°. De raaklyn tot den Hyperbool, tuffchen de Afymptoten, wordt door het raakpunt in twee gelyke deelen gedeeld.
i Eindelyk zyn de Parallelogrammen , in den A/ymptotifchen hoek gevormd, als F ft, fe (t) , waar van een der hoeken in den Hyperbool is, onder malkander gelvk, als mede alle de Driehoeken, als' C D d, wier Ba/Is een raaklyn tot den Hyperbool is.
13». In elke Kegelfneede, indien een lyn , als A C de kromme in twee punten B, C (Fig. 14, n°. 1,2'
3, 4.
(t~) Men moet hier niet uit het oog verliezen, dat onze Autheur, nevens veele andere Wiskundigen, gewoon is een Parallelogram doorgaans met twee letteren van twee «vexftaande hoeken uk te drukken. Ve eïaalü e.



,W IS K ü N D E. I. Deel. III. Boek. Mi
.3. 4.) fnydt, en dat men andere lynen ADE, ade of F H G, fkg , parallel onder malkander , en de zelfde kromme fnydende, trekt,zullen de rechthoeken ADx AE, enABx AC, of ad X ae, aR X a C onder malkander in de zelfde reden zyn; naamelyk die der vierkanten vsn de Diameters, welke parallel met die lynen zyn, of, by gebrek derzelve, die der vierkanten van de raakïynen, welke met die zelfde lynen parallel zyn. Men ziet daar uit, waarom die rechrhoeken in den cirkel altoos gelyk zyn; want de reden daar van is, dat alle de Diameiers in den cirkel onder malkander gelyk zyn. | Deeze eigenfchap der Kegelfneeden, in alle haare gevallen ontleed, zou ons te ver brengen. Wy zullen ons flegts tot de aanmerking; bepaalen, dat wanneer een der lynen, by voorbeeld af, de kromme raakt, alsdan de rechthoek ad x ae in het vierkant der raaklyn * i
verandert , zulks dat alsdan *i* tot «B x <*C in de hier boven gegeeven reden flaat. Maar zo een der lynen, BC (Fig. 14. n». 4.) by voorbeeld, en haare parallelen de kromme ieder flegts in één punt ontmoeten ; indien alsdan de andere, als D E en haare parallelen , dezelve ieder in twee punten ontmoeten, zullen
de rechthoeken AD x AE, ad x ae, «' onder el. kander in reden zyn, als A B, ab, • B, en de lynen
«B, zullen als de vierkanten «3, «Jzym
Deeze zyn de voornaamfte eigenfchappen der Kegelfneeden , en die welke aan de Platonifche Meetkundigen, or kort na hun, bekend waren. De oplosfing van het Problema der verdubbeling van den teerling, waar in Menechmns een Hyperbool tusfchen de Afymptoten gebruikt, fchynt my zulks te bêwyzen; want men kan niet anders als eene reeds genoegzaam geleerde Theorie van die krommen in dezelve befpeuren. Daar benevens geeft Appollonius ons te kennen, dat de vier eerfte boeken van zyne Kegelfneeden, waar van de voorgaande
• Voorftellen eenigermaate niers anders dan het uittrek- fel zvn. op weinig na in mets anJers als in de reeds
• vóór hem bekende Theorie beftonden. 't is derhalve < l» Di.Et. ' Q niet



&4» HISTORIE der
niet zonder reden, dat wy een groot gedeelte der bo. f ven gemelde kundigheden aan de Schoole van Plato toe- 1 eigenen. Maar dit is over dit onderwerp genoeg: laat i ons tot de derde ontdekking der Platomfche Schoole 1 overgaan.
XVI.
■
Deeze ontdekking is die der Meetkundige plaatfen, j en haare toepasfing op de oplosfing der onbepaalde ! Voorftellen. De twee oplosfingen, welken Meneckmus van het Problema der verdubbeling van den teerling gaf, l vertoonen ons voorbeelden van deeze Leerwyze, wier uitvinding, als van deezen tyd gehouden wordende, de , Heeren Defcartes en Slujius veel eere heeft aangedaan; I Men vindt ook, kort na Plato , een Meetkundige, \ die zeer breedvoerig over dat onderwerp fchreef. naa- i melyk Arifteus den ouden, waar van Pappus de vyf boe- : i ken over de ljghaamlyke plaatfen aanhaalt. Ik voeg i, opzettelyk dit nieuw bewys hier by, op dat men niet i genegen zy te denken , dat ik die grondige kennisfen op losfe gisfingen aan die oude Meetkundigen toefchryve. ï Zie hier een kort vertoog van deeze verftandige Leer-;1 wyze.
Men noemt plaats in de Meetkunde, een reeks pun- 1 ten, waar van elk op gelyke wyze een Problema öploft, E dat door deszelfs natuur een oneindig getal oplosfingen l( onderhevig is. Laat ons dit door eenig gemaklyk voor- '] beeld ophelderen. Indien men voorftelde, om op een ?' gegeeven Bafis een Driehoek te maaken, waar van de B aan deezen Bafis overftaande hoek aan een gegeeven $ hoek gelyk ware, is 'er geen Meetkundige die niet aan- 01 ftonds befpeurt, dat 'er een oneindig getal zodanige Driehoeken is; maar de eerfte beginfelen der Meet» J kunde alleen leeren ons, dat alle die Driehoeken hunne i toppen in een cirkelboog hebben. Deeze boog wordt, in de taal der verhevene Meetkunde, de plaats van v' alle die hoeken genoemd. Desgelyks is een rechte lyn " de plaats van alle de toppen der gelyke Driehoeken, c welke den zelfden Bafs hebben; eene Ellips is die der toppen van alle de Driehoeken, opeen bepaalden Bafis,
en



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. a4$
, m waar van de beide andere zyden een zelfde fom uit, maaken; dus is ieder kromme eene Meetkundige plaats, t en byna op even zo veel wyzen, als zy verfchillende s eigenfchappen heeft.
De Ouden ondcrfcheidden de Meetkundige plaatfen in verfcheide loorten. Zy noemden die van de eerfte foorc Wakke plaat Jen \ deeze waren de eenvoudigfte lynen, als de rechte en de cirkelvormige. Men noemde lig* haamlyke plaatfen de krommen van een faamengeftelder S foort, als de Kegelfneeden, om dat men zich dezelve. , als m het lighaam gevormd wordende, voorftelde, tervvyl men zich de vorming der eerften op een vlak ver, beeldde. De krommen van eenen nog boogeren fan?. e werden bovenlighaamlyke, of eenvoudig lineare plaatfen (loca hneana) genoemd. Men begreep onder deeze algemeene benaaming byna alle de krommen, buiten da l Kegelfneeden, zodanige als de Conchotde, de Ciffbïde * < de Qimdratnx, de Spiraal, enz. Maar federt dat dé , Meetkunde nieuwe lichten verkreegen heeft, heeft men t «efpeurt dat de vinders van deeze verdeeling misgetaft hebben. Want de laatften der krommen, welken wv f zo even genoemd hebben, zyn van een rang en foort, :j we ke geen vergelyking tusfchen dezelven en de eerften toelaat. Wy zullen een gevoeglyker verdeeling van de« _ zelve opgeeven, wanneer wy over de Theorie der krommen handelen. De Ouden maakten nog eenige andere Jiverdeelingen van plaatfen. Zy noemden de eenen plaat' Ifen aan de lyn, om dat ieder van dezelve eene eenvou( digelyn was; dit is het gemeenftegeval: deeze foort j is die, waar over eeniglyk tot hier toe gehandeld is. Zy J; gaven aan andere den naam van plaatfen aan het vlak\ _ om dat deeze reeks van punten, allen van een zelfde eigenfchap voorzien, in der daad een vlak maakten. Zo» danig zou die van een Sphera of Kloot, van een Conoï\de, van een Spheröide zyn, ten aanzien van het vlak 'i: dat aan dezelve tot Bafis zou dienen. Alle de punten < van een foortgelyk vlak zouden tot de oplosfing van een onbepaald Voorftel, van een zekere natuur, kunnen | dienen. Euchdes hadt over deeze foort van plaatfen ge» _ fchreer
Q *



844 HISTORIE dei
gefchreeven («). Die plaatfen eindelyk, welke men ■aan het lighaam noemde, kreegen deeze benaarningdaar door, dat alle de punten, in de uitgebreidheid van een lighaam befloten, aan de vraag voldeeden. Maar in deezen tyd maakt men niet m-er die onderfcheidingen; derhalve zal ik my niet langer daar by ophouden. Ik kome nu tot iets dat gewigtiger is.
De groote nuttigheid der Meetkundige plaatfen beftaat in haare toepasfing op de bepaalde Voordellen. Wy zullen thans een voorbeeld, uit de eenvou Jigfte Meetkunde ontleend, daar van geeven. Laat ons onderftellen , dat men, op een gegeeven Bafis, een Driehoek van een bepaalden inhoud moet befchryven, en waar ■van de tophoek gelyk zy aan een gegeeven hoek. De Meetkundige, die dit Voorftel begect op te losfen, moet eerftelyk aanmerken, dat aHe Driehoeken,welke •den zelfden Bafis en den zelfden Inhoud hebben, hunne toppen in een rechte lyn , parallel aan den Bafis, hebben. De Inhoud van den Driehoek derhalve bekend zynde» zal hy, door eene zeer gemaklyke bewerking, den afftand van deezen Parallel tot den Bafis vinden: deeze is de eerfte plaats. Hy moet verders aanmerken, dat alle Driehoeken, op een zelfden Bafis, en waar van de tophoek de zelfde is, hunne toppen in een cirkelboog hebben, welke men mede door de beginfelen der Meetkunde bepaalt: deeze is de tweede plaats. Beide deeze plaatfen befchreeven zynde, moet haare doorfnyding de oplosfing van het Voorftel te weeg brengen, en de reden daar van is klaarblykelyk. Want dit doorfnydings-punt, in zo verre hetzelve tot den cirkelboog behoort, waar in alle de hoeken, die aan den gezochten hoek gelyk zyn, komen, zal een Driehoek voortbrengen , waar van de tophoek aan den gegeeven hoek gelyk is; en als tot de aan den Bafis parallele lyn behoorende, zal hetzelve een Driehoek
van ae gegeeven groocneia Depaaien. jl>e Driehoek,
door
00 Papput Ctll. Matlf. I. VII. Prctf.



WISKUNDE. I. Deel. Ut. Boek. 2<tf
door dit middel gevonden, zal derhalve aan de beide opgegpevene voorwaarden voldoen; inden 'er geen doorfr,yding was, gelyk wanneer de Parallel aan den Bafis te veel verwyderd zal zyn, om den cirkelboog te fnyden, zal alsdan het Voorftel onmogelyk zyn. Indien dezelve den cirkelboog raakt, zal ';.r maar eene oplosling zyn. Indien dezelve den cirkelboog fnydt, hetgeen flegts in twee punten gefchieden kan, zullen 'er ! twee Driehoeken zyn, welke aan de voorwaarden van het Voorltel voldoen. Wel is waar, de tweede is hier i| flegts de zelfde, in eene tegengeflelde richting ftaande, ll maar in andere gevallen zyn de oplosfingen, wanneer t| 'er verfcheide zyn, t'eenemaal verfchillende. t Wanneer nun het beleid van deeze Leerwyze ont, leedt, ziet men, dat de kunft-, om een bepaald Voori ftel door de Meetkundige plaatfen op te losfen, gelegen is in hetzelve eerft van eene zyner voorwaarden te berooven, hetgeen maakt, dat hetzelve onbepaald, dat I is re zeggen, een oneindig getal oplosfingen onderhe, vig is. Dit is het dat wy zo even gedaan hebben, door : den gezochten Driehoek eerft flegts als een bepaalden , j inhoud hebbende te befchogwen, waar uit wy eerftelyk ; Jeene Meetkundige plaats afgeleid hebben. Vervolgens , fielt men deezp voorwaarde weder in hec Voorftel, en i jmen berooft hetzelve alsdnn van eene andere, zo als , j| wy gedaan hebben, door flegts de voorwaarde in achc i j te neemen, van den tophoek gelyk aan een bepaalden ; hoek te maaken ; waar door wy de tweede plaats beko: f men hebben. Op dat nu het Voorftel aan de beide 11voorwaarden voldoe, zo is het klaarblyklyk, dat het 1 jigezochte punt te gelyk in de beide plaatfen moet zyn. . iDerhalve zal naare doorfnyding, of doorfnydingen, dac 1 |punt bepaalen. Indien 'er geen doorfnyding is, zo is : jidaar van de reden, dat de voorwaarden onderling te; Igenflrydig en onbeftaanbaar zyn. Een der voorbeelden van de oude Analyfis* welke wy in de noot / op iiipag. 227 gegeeven hebben, kan daar toe voor de Meetkundige plaatfen, en haar gebruik in de bepaalde Voorftellen dienen. Zelfs hebben wy dat voorftel opzette-
lyk



*4« H IS T O R I E de r
Jyk van die natuur gekozen, en wel met het inzicht om de nooten of voorbeelden niet re veel te vSSn vuldigen. Wy wyzen onze Leezers nade bo™n bvgebragte noot. fjj. oven Dy*
XVII.
O) Alhoewel het voorbeeld, waar van de Autheur hieï
v°°m he? in de noot 1 °P PaS' 227 kun"''g is opgeloft, kan ik echter niet voorbygaan, om ten dienfte van zodanige Leezers, welke meer dan een oppervlakkig denkbeeld van de Wiskunde wenfchen teverkrygen, hier nog by te voegen, hoe de cplosfing van dit Voorftel, volgent moet worden0 hedendaagfche Wiskundigen, verricht
rJkr Za' d?l einde het Voorftel andermaal opgeeven. n,- Jni B (^ 5-} is de ËaSls van em ^eindig getal Dnehoeken, wier zyden, als AD, BD, altoos in de gegee. ven reden van m tot n tot elkander Jlaan. Welke is de pllats aer toppen van alle die Driehoeken 9 *
Gefteld zynde, dat het Voorftel opgeloft zy, laat uit het punt D op AB den Perpendiculair DP getrokken worden. Laat de gegeevene lyn A b — a; en de onbepaalde lyl nen AP ~ en DP ^ y zyn; dan zal PB ~Z
°_Z^fliD = V + y2,en BD — V^—iai + + r zyn. Derhalve heeft men, door de bepaalingen van het Voorftel, y r?7: V^^Tx'^f? n m i n, en by gevolg » x V ~+T ™ n x
+ *» + y2,of B»x»+ n>y-m>a**-2m*ax + » X> + y». Onderfteliende nu,dat» grooter dan »
zy.en door w* — n> deelende, heeft men . aM' a*
«,» „* 083 ~ a*
ib a
+ "^"Z^."1" 5,1 S °*zynde de v«ge3yWng van dea cirkel.



WISKUNDE. I. Deel, III. Boei. a4jf XVII.
Het was eerft omtrent den tyd van Plato, dat hec Problema der verdubbeling van den teerling den roem
verkei, waar van de oorfprong der onbekenden x en j hec middelpunt niet is, uit oorzaak van den tweeden Term ——
2 m* ax m*a ■ . Stel derhalve * — - ...... — z, om
m% — ns »* — n*
m1a,
den tweeden Term te doen verdwynen.dan is ar =r z +
m1—»*»
en wy hebben alsdan
a m»a z m4 o*
am*a3c awi1 az 2m* a»
ril* — n» ja* —n* n»l* n1 a* m*aa—m2n'a*
+ - = : : . . +——-
+ »■ = .;..+**
Derhalve wordt de vergelyking in deeze veranderd:
m1 w* a1
2'.— , -j- — o, waar in de onbekende» y co
m' — nA
z haaren oorfprong hebben in het middelpunt des cirkels,' dien befchreeven moet worden. Om dit middelpunt te vin»
m*a
den, moet de uitdrukking van ss, » —— ■••■», ge*
m



24* H I S T O R I E der
verkreeg dien hetzelve onder de Meetkundigen W behouden heeft. Hetzelve was hun, weliswaar,reedf
be-
c^mrA worden, hetgeen men op de volgende wyze ver-
Naardien x — " _ — „ . ,
» • —— « is, en dat men AP
ffl2—— Tl2
door x heeft uitgedrukt, zo laat AC 2 —11— gefield
!»*• 7i2
worden; dan isCP-j;-*., ÏL.^ Derhalve
. _.( m2 n2
C P -f- DPr: CD ~ z* + j2 ; en vermits z2
— + ï2 ~ o is, zo is s2 -f- ~ CD —
en dus CDr , de uitdrukking van den halven-
m2—n2
Diameter. Indien men nu by de uitdrukking van A C ~
m*a 9
die yan den halven -Dimeter vergaart, en ook daar
van aftrekt, zal men hebben:
« "Ts + ma
»}' - f}2 Hl' ?1
w2a —. mna ma AE = . - .
»* ■ w2 ■
Dienvolgens is AF een vierde-evenredige tot nt. „
wen a., en AE een vierde-evenredige tot m 4-n, m ena* waar door derhalve AF en AE bekend zyn. *
In-



WISKUNDE. I. Deel. III. Beek. 249
bekend, naardien Hippocrates van Chio hetzelve hadt overgebragt (h') tot de nafpooring der twee geduurige midden-evenredigen ; maar het fchynt ,'dat zy in hetzelve nog niet zo veel belang gefield hadden, als zy toen deeden. Een oud Schryver (x) verhaalt de gelegenheid, welke hun hetzelve op nieuw onder het oog bragt, op de volgende wyze.
Hy zegt dat, toen depeftin Griekenland woedde, men Gezanten naar Delos zondt, om by de Godipraak te rade te gaan wegens de middelen om den toorn des hemels te ftillen. De God, die aldaar voorzitter was, bepaaelde zich tot eenen zeer maatigen eifch: hy be geerde veniglyk, dat men zyn Altaar, welke de gedaante an een teerling hadt,verdubbelde ;zulksfcheèngemaklyk aan onkundige onderneemers , welke, de zyden van en Altaar verdubbelende, een anderen maakten, diedgeenzins het dubbeld, maar het agtvoud van den eerften was; echter Haakte de peft haare woede niet, want de eigenzinnige God wilde denzelven naauwkeurig verdubbeld hebben: men deedt hem eene nieuwe bezending, die tot antwoord bekwam, dat men zynen eifch in geenen deele voldaan hadtj men begon toen in deeze verdubbeling meer verborgenheid te vermoeden , dan men gedaan hadt, en men fmeekte den Meetkundigen,. welke zeiven zeer verlegen waren, om hulp. Plato, die als de beroemdfte onder hun gehouden werdt, hec eerft geraadpleegt zynde, bemerkte
de
Indien men derhalve de gegeeven lyn AB verlengt, en via ma
AF ZZ ■■ , als ook AE ZZ ■ neemt, dan'; s
ra — n m-\-n E F de Diameter des cirkels. Deel E F in twee gelyke deelen in C.en befchryft uit C met CE of CF a/s ftraal,een hal ven-cirkel; deeze zal de plaats der toppen van alle de Driehoeken ADB zyn. Vertaaler. (w) Procl. in I. Eucl. 1. III. p. i. (x) Philopponus. Comm. in anal, poft. 1. i. Eratofi. in mefolabo. (jj Val. Max. I, VIII. c, 13.
Q5



*5o HISTORIE der.
de moeijelykheid van het Problema (y); zelfs verbleekte hy op *t zien van hetzelve, indien wy een hedendaagfch Schryver, wien wy deeze onbekende gebeurtenis der Platonifche Schoole verfchuldigd zyn, daar in gelooven, en hy trachtte de oplosfing van hetzelve te ontwyken , door de Afgevaardigden naar Euclides te zenden. Maar dit voorval kan niet overeengebragt worden, met hetgeen ons van den leéftyd van deezen laatften Meetkundigen, die meer dan een halve- eeuw na Plato geleefd heeft, bekend is. Ook hebben de Onderzoekers der Schriften {Critici) vermoed, dat de Latyufche Hiltorie - Schryver'eene nisvatting gehad hebbe, en dat hy Eudoxus}en geenzins de zo bekende Schryver van de Beginfelen der Meetkunde, heeft willen noemen. Het is buiten twyffel zekerder, om de gefchiedenis, door Valerius Maxiinus verhaald, als een verdichtfel te houden. De beweegreden, welke hy Plato toefchryft, om de Afgevaardigden van de Godfpraak af te wyzen, toont dat dezelve weinig weezenlyks bevat. Want hy zegt, dat hy dezelve naar Euclides, als zynde een man van die Studie, wees; maar behalven dat Euclides van Megara in zyn beroep niets minder dan een Meetkundige was, wie is 'er die niet weet, dac Plato zelfs een der eerfte plaatfen, om niet te zeggen de eerfte plaats, onder de Meetkund'gen van zynen tyd hieldt?
Wat aangaat de Gefchiedenis der Godfpraak, dezelve kan niets anders zyn dan een verdichtfel, verzonnen door den eenen of anderen Wiskundigen, die het Problema der twee midden • evenredigen een glimp van aangelegenheid heeft willen geeven. Eratofthenes verhaalt den oorfprong van hetzelve op eene andere wyze, die, naar allen fchyn, niet minder fabelachtig is. Maar het was niet ncodig tot diergelyke vertellingen toevlugt te neemen , om van hetgeen den Meetkundigen tot die nefpooring aangezet hadt, reden te geeven. Na dat het hun gelukt was, om de gelykvormige vlakke Figuren, in een gegeeven reden, te verdubbelen of veelvoudig te maaken, konden zy niet nalaaten, om zich aangaande de lighaamen de zelfde vraag voor te ftellen, en naardien zy reeds wiften, dat de gelykvormige lighaamen als de teerlingen van hunne eveneensftaan-
de



WISKUN DE. I. Deel. IJl. Boek. a51
de, óf overeenkomftige zyden waren, bragten zy het Voorftel tot dit,om een teerling in een gegeeven reden tot een ander te maaken, en vervolgens, om tusfchen twee lynen tweegeduurige midden - evenredigen te vinden. Zodanig was de oorfprong van het Problema; c was genoeg dat hetzelve moeijelyk, en op eenigerlei wyze onoplosfelyk was, om onder de Meetkundigen berucht te worden. Want zodanig was altoos hunnen inbortt, de gemaklyke dingen itreelen hun weinig, de zwaarigheid heeft voor hun beltoor lykheden, en wordt hunnen aandacht waardig.
Het Problema der twee midden-evenredigen, aan de Platonifche Schoole opgedraagen zynde, fpoorden veele Meetkundigen van dezelve aan, om hunne krachs ten aan hetzelve te belteeden, en zy verfchaft ons verfcheide oplosfingen van hetzelve, welken Eutocius heeft bygebragt (z); ik verftaa hier door zodanige opIosüDgen, als de natuur van het Problema toelaat , dat is te zeggen, in welken men eenige andere. lyn als de rechte en cirkelvormige, of eenig ander werktuig als de liniaal en den pafl'er, gebruikt. Want men betoogt hedendaags, en de Ouden waren zulks niet onbewuft, dat men hetzelve, alleen door het behulp der gemeene Meetkunde, niet kan oploffen. Plato gaf eene oplosfing van de laatfte foort; hy gebruikte daar toe een Werktuig, faamengefteld uit twee liniaalen, waar van de eene evenwydig van de andere afwykt, door tusfchen de keepen van twee ftylen, loodrecht op het werktuig fcaande, te fchuiven. Deeze oplosfing is gemaklyk in de oeffening. Architas verledigde zich ook tot dit Problema, en zyne oplosfing is tot ons gekomen. Hy verzon een kiomme, door eene byzondere beweeging, op de oppervlakte van een rechten Cylinder befchreeven, en welke door de oppervlakte eens Kegels, op eene zekere wyze ftaande, ontmoet wordende, een der middenevenredigeu bepaalde. Maar dit was flegts eene Meetkundige weetluft, eeniglyk bekwaam om het verftand
te
(s) Ad Arch. I. II. de Sph. fcf Cyl,



*J* HISTORIE der
te voldoen , en welke de of ffening geen hulp kan verkenen. De beroemde Eudoxus gaf mede een oplosfing, in welke hv zekere kromme van zvne vinding gebruikte. Eratofthenes (a) fchynt die oplosfing zeer hoog te achten, terwyl Eutocius dezelve als eibarmelyk uitmaakt, en zich niet verwaardigd heeft om ons dezelve mede te deelen. Nademaal die Oplosfing niet meer aanweezig is, kunnen wy over hunne verfchillende gedachten dienaangaande geen uitfpraak doen. Het getuigenis van Eratofthenes, nader aan den tyd van Eu. ■ doxus, en daar benevens een groot Meetkundige, fchvnt »iy nogthans boven dat van den Uitlegger van Arcbimedes gewaardeerd te moeten worden.
Menechmus eindelyk ftelde de twee geleerde oplosfingen voor, waar van wy reeds gefproken hebben (b). Dezelve zyn daar in lofwaardig, dat ze de eerfte bekende toepasfing der Meetkundige plaatfen en Kegelfneeden toe de oplosfing der lighaamlyke Voorftfllen, behelzen. Wy denken de weetgierigheid det Meetkundige Leezers, door dezelve by te"" brengen, te voldoen. Zy voor wien eene zo verhevene Meetkunde te weinig aanlokfelen heeft, kunnen zich het verdriet derzelve gemaklyk befpaaren.
E, F de twee gegeevene lynen zynde (Fig. r<t)bepaalde Menechmus op den onbepaa!d~n As A Bh een Parabool ACK, hebbende rot Parameter de lyn E en op den As ADJeen anderen Parabool AC», waar van F de Parameter was. Hunne doorfnyding C bepaalde de beide Ordinaten CD, CB, voor de beide midden - evenredigen. Het bewys is gemaklyk, want naardien het punt C tot den eerften Parabool behoort heeft men E: C B :: CB : BA of CD, en vermits' hetzelve ook in den tweeden is, heeft men A D of CB : CD :: CD : F; gevolglyk zyn deeze vier lynen in geduurige evenredigheid.
De tweede oplosfing heeft voor een gedeelte eene handelwyze even als de voorgaande. Menechmus be-
fehreef
fa) In Mefol. Zie Eutoc. aangéli. Stek itidenGr.text. 0) Ibid.



WISKUN DE. I. Deel. III. Boek. 2$j
fchreef eerft een Parabool met e of F als Parameter. Vervolgens maakte hy in den hoek dab den rechthoek a G der twee gegeevene lynen, en eindelyk befchreef hy door het punt g den Hyperbool tuffchen de Afymptoten DA, ab. Het punt C, waar in dezelve den Parabool fneedt, gaf hem de twee Ordinaten CD, CB, welken de gezochte midden - evenredigen waren. Want uit kracht van den Hyperbool is CB X CD ss Ex.F. En wegens den Parabool, Ex Cl)
s=' CbI ofFxCBrrCD; waar uit men het befluit opmaakt, dat de reden tuffchen E, C B, C D en F geduurig is. Men moet echter bekennen, dat deeze twee oplosfingen een gebrek hebben. Want in dezelve worden twee Kegellheeden gebruikt, niet tegenftaande een eenige, met een cirkel gepaard gaande, genoegzaam zoude hebben kunnen zyn. Maar behoorc men te denken, dat eene uitvinding, zo kort na haare geboorte, reeds de volmaaktheid, 'welke zy konde hebben, bereikt hadt? de vordering van 's menfehen verdand is zo traag, dat de belle verftanden dikwils niets anders doen, als den weg tot eene uirvindih'g baanen, en echter moet men hun zelfs het klein getal Happen, welke zy tot dat einde gedaan hebben, dank weeten.
Om de order der tyden ftiptelyk te volgen, znuden wy hier moeten opfchorten hetgeen ons nog overigis^ om over het Problema der twee midden - evenredigen onder de Ouden te zeggen. Maar eeGe zo Hipte uaauwkeurigheid is dikwerf niet bekwaam, als om verwarring voort te brengen, door ons te verpligten, om voorvallen, welken elkander natuurlyk volgen, te fcheiden. Deeze beweegreden noopt ons otn hier dac laftig juk af te fchudden; dus zullen wy nu de oplosfingen van verlcheide Meetkundigen, fchoon na den tyd van Plato geleefd hebbende, bekend maaken. Men bleef in de aloudheid waarfchynlyk lang, op eene hardnekkige wvze, by het voorneemen , om de oplosfing van het Problema der twee midden-evenredigen door de gemeene Meetkunde, de eenige weg welke men toen meende geöorlofi te zyn, te zoeken. Maar
ein*



2J4
HISTORIE des
eindelyk moeft .men erkennen, dat dit Problema yaö een verhevener rang was, dan de hulpmiddelen welken hetzelve aan de hand geeft. Men lier derhalve af, of de bekwaame Meetkundigen lieten ten minften af, zich met vergeeffche pnogingen af te matten; zy bepaalden zich om, of Werktuigen, bekwaam om het gebrek van den liniaal en pasfer te vergoeden, uit te vinden, of andere krommen dan de cirkel, op de eenvoudigfte wyze, te gebruiken.
Na de Platonifche Wysgeeren is Eratofthenes de eerfte Meetkundige, die ons, belangende dit Problema, iets nieuws aanbiedt. Om hetzelve op te losfen ftelde hy een Werktuig voor, faamengefteld uit verfcheide plankjes, welke onderling in eene evenwydige richting beweegbaar waren; zyne oplosfing ftrekt zich zelfs uit tot zo veel midden - evenredigen, als men begeeren kan. Hy was met zyne uitvinding zeer in zyn fchik, want hy maakte by gelegenheid van dezelve fraaije verfen: hy droeg die uitvinding op aan den Koning Ptolomeus, en ftelde een model van zyn Werktuig in een openbaare plaats ten toon (c). Wy keuren nogthans goed de berisping van Nicomedes welke dat Werktuig verfmaadde, door zelfs met den Vinder • van hetzelve den fpot te dryven. Zyne vinding heeft in der daad het dubbeld gebrek, van te gelyk eene tasting en een ander Werkcuig dan de pasfer en liniaal te gebruiken; zonder te rekenen, dat de dikte van zyne plankjes, in de oeffening, de naauwkeurigheid der oplosfing zoude benadeelen. Vermits de natuur van het Problema ons verpligt, om een der Wetten, welke de Meetkunde zich heeft voorgefchreeven, eenigermaate met in acht te neemen, moet men ten minften de andere niet overtreeden, dan zo min als mogelyk is. Nu kan men de tafting ontgaan, wanneer men een byzonder Werktuig gebruikt.
De Meetkunftenaar Nicomedes lofte het Problema op eene gelukkiger wyze op. Hy bragt hetzelve door eene kundige ontleeding over tot het geval, om in een ge-
gee-
(c) Ibid.



WISKUNDE. L Deel. III. Bock. 1^
geeven hoek een rechte lyn, van een gegeeven lengte, te voegen, zodanig dat dezelve, verlengd zynde, door een bepaald punt zoude gaan. Dit Problema, van den zelfden rang als het voorige, bragt hem tot de uitvinding van zyne Conchoide, eene kromme, federt dien tyd in de Meetkunde berucht geworden. Haar natuur bettaat daar in, dat de As b 13 b (Fig. \6.) zo wel als het punt P bepaald zynde; alle de lynen, welke in dat punt faamenkomen, ah ba, BA, ba, enz. onder elkander gelyk zyn. Nicomedes befefce,dat het noodig was dezelve door eene verknochte bewecging te befchryyen, en hy Helde tot dat einde het Werktuig voor, dat in Fig. 17. afgebeeld is, waar van het gebruik en de befchry ving gemaklyk te verftaan zyn. Hec is openbaar , dat deeze kromme aanftonds de oplosfing van het bykomend Problema, waar toe Nicomedes dat der twee midden-evenredigen bragt, te weeg brengt. Want, laat a E b den gegeeven hoek zyn, P het voorgeftelde punt, waar door de lyn, om in dien hoek te voegen, moet gaan, A B de lengte van die lyn; dan heeft men niets anders te doen , als op den As EBb de Conchoide a Aa te befchry ven, waar van P den Pool is; dezelve zal de zyde C E in a fnyden, waar uit trekkende ab P, zal hec deel derzelve ab van de begeerde lengte zyn, en, verlengd zynde, door het punt P gaan.
Dit gefield zynde, zie hier hoe de Mei-tkundige, waar van wy fpreeken, het Problema der twee midden evenredigen oploftc. In den onbepaalden rechten hoek NAL maakte hy den rechthoek B O, wiens zyden B A, A D gelyk waren aan de gegeeven uiterften. Hy deelde dezelve in twee gelyke deelen, in F, G, en maakte AH gelyk aan AD. Waar na hy den Perpendiculair GI trok, zodanig dat I D gelyk aan AF / ; vervolgens trok hy I H, en daar aan parallel O K. Ein. delyk befchreef hy in dien hosk L D K de lyn K L gelyk aan AF, en faamenloopende in hec puntl; hetgeen hem aanwees het punt L, door 'c welk LCN trékleende, waren delynen L D, BN de twee gedochte middenevenredigen. Men vindt het bewys van cL-eze oplosfing, dac redelyk lang en moeijelyk is, op verfcheide
plaat.



256 HISTORIE der
plaatfen 0/jj ik gaa hetzelve hier, om kort te zvn. voorby (e). 3 *
Wy
debph. Cyl. Htft. de la Chiad. du, Cercle , &c
(e) Van dit bewys zegt onze geleerde Autheur on d»boven aangehaalde plaats (Hifi. de la Qmd. du Cercle, paft 255); „ a ïégard de la demonftration de Nicomede, i'ii „ cru devoir la rapporter ici, paree qu'elle eft affez com„ pofee pour ne pas fe préfenter facilement, même i des ,, Géometres habdes-" Dat is te zegSen: Wat aanraat h% beWy Van Nicomedes, ik heb noodig geoordeeld hetzelve hier
1 %lre''f,f' °mrf ^^SemegzaamfaamengefteUis, L J ' zelf* ^S^randere Meetkundigen, niet gemakhk op te doen. De fraaiheid der oplosfing f en de moe'ielvk hetd van het bewys, fchynen my derhflve van zo ve f ge " Zf, v°orAde" weetgierigen Leezer te zyn, dat de korthdd welke de Autheur h.er zorgvuldig i„ acht neemt, hem het misfen van dat bewys, dat elders , behalven in onze taal voorhanden is, kan doen beklaagen. Ik zal daarom we' clerom de kortheid aan de roemwaardige pooging, om nuttig voor een ander te zyn, opofferen, door da bewys™ deeze noot mede te deelen; en zie hier hetzelve. . de iyn ad, dus redeneerde Nicomedes, in liet Dune r in twee gelyke deelen gedeeld zynde, geeft den rechthoek d L X AL, meer het vierkant van DG, gelyk aan her vierkant van GL : vergaarende derhalve wederzyds het vierkant van GI, heeft men DL x AL + dV+~g]"
of DL X AL ="GL+"GI*= iVmaarBN:
f B :: AD : DL; derhalve BN : § AB, 'of BF, •• 2 £}?.' °{rPn< : DL- Gevolglyk is door faamenfteiline N* : BF :: HL : DL :: IL : KL, waar uit volgt, da! xn_F_gelyk aan IL is, vermits BF gelyk aan KL is. Nu
is_NF = AN x BN +1F.2 Derhalve AN x BN -f Blr = AL x DL -f- Dl, om dat men boven getoond
heeft, dat deeze laatfte rechthoeken gelyk waren aan~ÏL; trekkende derhalve af hetgeen zy wederzyds gemeen hebben, naamelykTF^lDÏ' welke door de ConpuUie ge.
lyk



Wiskunde, i. neet. in. mek. asz
Wy ?.yn aan Appollonius een der fïaaifte en eenvou« digfte oplosfingen van dit Problema verfchuldigd. Deeze Meetkundige gebruikte daar toe den Hyperbool, doch op eene künftiger wyze dan Menechmus, óm dat hy daar benevens ïlegts een Cirkel gebruikte. Hy bragc het Problema aanftonds tot het geval, om den recht-* hoek AL x LD gelyk aan den rechthoek AN x BN te maaken. Hervattende tot dat einde het begin der Conjlructie van Nicomedes, befchrcef hy op BD als Diameter een halven -cirkel, vervolgens door het punt C een Hyperbool tusfchen de Afymptoten AN, AL, Welke denzelven op nieuw in M fneedt. De lyn door de punten C en M gaande, bepaalde, als vooren, de twee midden - evenredigen DL, 11N (f).
Indien men, in plaats van deezen Hyperbool te be.' fchryven, om het punt M op den hal ven-cirkel te bepaalen, de ftelling van NL, door tafting, zodanig bepaalt, dat NC en ML gelyk zyn; of wel, indien men, BD in twee gelyke deelen in e gedeeld hebbende, uit dat punt als middelpunt een cirkelboog N e befchryft, zodanig dat deszelfs pees NL, door hec punt C gaat, hetgeen men door tafting kan doen, zal men twee zeer gemaklyke ConftruBien voor de werkdaadige öefïenmg hebben. Deeze waren het, welke Philo en ïiero (g), beide fchrandere Meetkundigen, aannamen
oi
lyk zyn, zal 'er överblyven AN x BN — AL X DL; waar uit men de evenredigheid afleidt AN: AL :: DL; BN; of AN : AL :: D C of AB : DL; derhalve AB : DL :: DL : B N; maar AB : DL :: BN : B C. By gevolg zyn deeze vier lynen gêduurig evenredig. Vij.
T A A L E R.
(ƒ) Wegens de eigenfchap van den Cirkel is LA jr LD = LC x LM, en NM X NC — NA X NB; maar door de eigenfchap van den Hyperbool is N M x N C r= LC x LM, by gevolg LA x LD =2 NA x NB. Dus AN : AL :: DL : B N; nu is A N : AL • • BN i BC, of CD : DL; derhalve CD : DL •• Dl'- fiN Maar CD of AB : DL :: BN : BC of AD. Derhalve j'yn deeze vier lynen in eene geduurige evenredigheid.
(g) PaPP«s en Eutocius. Ibid, '
r



258 HISTORIE der
of bedachten; maar zy wiften, dat men in de Kunften fomtyds van eene te groote Meetkundige geftrengheid moeft afwyken. My is niet onbewuft, dat Eutocsüs de oplosfing, waar van wv Appolhnius de eere gegeeven hebben, aan Hero toeeigent. Maar deeze Uitlegger Jieeft eene misvatting, en men ziet zulks klaarblyklyk uit de plaats der ColleEliones Mathematica, welke wy aangehaald hebben, en zelfs uit het boek van Hen over de Krygstuigen.
Zie hier eindelyk de Oplosfing van Pappus en Diodes ik noem deeze beide Meetkundigen te gelyk om dat,myns bedunkens, de eerfte den vinder van die oplosfing was, en de tweede dezelve flegts, door middel van zyne CiJJoide, voltooide. Pappus bragt hec Problema. tot deeze zeer eenvoudige handelwyze. De lynen AC, CL (Fig. \<))t de voorgeftelde uiterften, rechthoekig op elkander ftaande, zynde , befchreef hy [mee AC als ftraal] den halven - Cirkel ABD; vervolgens trok hy de onbepaalde lyn AL I; waar namen Dl F zodanig moeft trekken, dat de■ deelen IO, OF gelyk waren; alsdan was de lyn CO de eerfte der gezochte midden ■• evenredigen.
Deeze handelwyze, om het Problema der twee midden-evenredigen op te loffen, &i Diodes het denkbeeld van zyne CiJJoide. Hy verzon by die gelegenheid het middel, om de kromme te befchry ven, waar in zich alle de punten I bevinden, welke het Problema. in de verfchillende ftelbngen der lyn AI, oplosfen; deeze kromme Di lt, welke hy CiJJoide noemde, iszodamV, dat, zo men eenige lyn DIM trekt, de deelen F M D l altoos gelyk zyn ; hetgeen klaarblyklyk is, vermits'l O, OF, als mede OM en DO, gelyk zyn. Daar uit volgt deeze andere eigenfchap, dac, zo men eenig
punt
(70 Want naardien 10 = OF is, heeft men CE =■ Ce, Ae ss DE, en EF — ef. Daar benevens zyn de Driehoeken DEF, Del, FEA of feD gelykvormig, waar uit volgt, dat DE : E F, of Ae : ef :f FE • E A. of/e : eD, en fe : eD :: eQ : el is. Dus zyn Ae, ef eo, el geduung evenredig.



WISKUNDE, t. Deel. III. Boei. 259
punt I neemt^n den Ordinaat des Cirkels fle trekt; de lynen Ae, ef, eD, el geöuurig evenredig zyn (h). Wanneer men derhalve eene CiJJoide befchVeeven heeft, moet menA<?, el in de zelfde reden als de twee gegeeven uiterften neemen, en ef, eD zullen alsdan de midden - evenredigen tusfchen Ae, el zyn, Waar uit het ciemakiyk zal zyn, de waare midden evenredigen tusfchen de voorgeftelde waare uiterften te bepaalen , vermits zy in de zelfde reden zyn.
Aan de oplosfing vanZ%/<« ontbrak nog het middel, om de Ciffoide door eene verknogte beweegiog te befchry ven ; deeze volmaakiog is aan dezelve gegeeven door den Heer Newton, die aangemerkt heeft, dat men dezelve, dodr middel van een eenvoudigen Winkelhaak , op eene zekere wyze bewegen wordende , konde befchry ven. Men kan zyne Arithmeiica univerfalis daar over nazien,
'Er is nog een ander Problema van de zelfde foort, en van den zelfden trap van moeijelykheid als dit, waar mede wy ons nu hebben bezig gehouden, en dat, zo wy gelooven, ook de poogingen der PlatonifcheUeetkundigen heeft opgewekt. Dit is het' Problema van het in drieën deelen eens hoeks, een niet minder beruchte klip» als die van de verdubbeling des teerlings, en de quadratuur des cirkels. Wy hebben, wel is waar, geen uitdrukkelyk getuigenis, dat het eene zo groote aloudheid hebbe: maar" de fchikking der vorderingen van 't menfchelyk verftand laat byna niet toe daar aan te twyffelen. Na den rechtlynigen hoek in twee gelyke deelen gedeeld te hebben, was hec eerfte vraagftuk, dat men zich moed voorftellen, dac, om denzelven in drie gelyke deelen te verdeelen. Het is zelfs waarfchynlyk, dat men van toen af het vraagftuk veel algemeener befchouwde,>dat is te zeggen, dat men zich voorfcelde, om denzelven in een gegeeven reden te deelen. Want de Quadratrix, eene kromme die ten minften zo oud als de School van Plato is, fchynt tot dat oogmerk uitgevonden te zyn. Dus kan men het Problema van het in drieën deelen eens hoeks, eene ten minften gelyke oudheid niet weigeren.
R 2 Dee*;



3<5t> HISTORIE BER
Deeze beweegreden doet ons denken, dat eenige der oude oplosfingen van dit Problema, welke tot ons gekomen zyn, wel tot de Platonifche fchoole, die zich zo zorgvuldig met de nuttige Theorien voor de Meetkunde bezig hielde, zouden kunnen b-hooren. Wat 'er ook van zy, wy zouden nergens een bekwaamer
f;elegenheid vinden, om de gefchiedenis van dit Prolema voor te draagen. Derhalve zullen wy ons bedienen vaü de gelegenheid, welke zich thans aanbiedt.
Men moeft welhaaft bemerken, dat het Problema om een hoek in drie gelyke deelen te deelen tot een van deeze twee Conflru&ien gebragt werdt. In de eerfte, den boog BD(Fig. 20.) gegeeven zynde, en den halven-Cirkel voltooid hebbende, is 'er niets anders te doen, dan de lyn DEF zodanig te trekken, dat het deel E F, befloten tusfchen den omtrek en den verlengden Diameter, aan de ltraal gelyk zy. Want alsdan is de Driehoek C E Fgelykbeenig,- waar uit volgt dat de hoek CED het dubbeld van EFC is, en de Driehoek DEC mede gelykbeenig zynde, is de hoek CDE = CLÏD, en de uitwendige hoek DCB ~ CDE + DFC = 2 D FC + DFC = 3 D F C: pus is de hoek DFC het derdendeel van den voor* geftelden hoek DCB.
In de tweede Conjlruclie is DAB (Fig. 21.) de gegeeven hoek. Men voltooit hetParallelogtam D C AB en de zyde CD verlengd zynde, moet AGF zodanig getrokken worden, dat GF het dubbeld zy van den Diagonaal DA; alsdan is de hoek AFC, of GAB, het derdendeel van den hoek DAB.
Te vergeefs zoude men een van deeze Voorftellen door de vlakke Meetkunde trachten op te losfen. Van de zelfde natuur als dat van de verdubbeling des teerfings zynde, vereisfehen dezelve het behulp van eene ■verhevener Meetkunde, of het gebruik van eenigander Werktuig dan de liniaal en pafler. Na Veele beproevingen bemerkte men deeze noodzaakelykheid, en zie hier eenige der oplosfingen, welke men vondt • De eerfte gebruikt een Cirkel en een Hyperbool op eejje wyze, die door haare eenvoudigheid merkwaardig
is.



wiskunde. i; Deel iii. Boiï. 2f5£
is. Wy zullen wederom van Fig. 11. gebruilc maaken. Men befchryvedoor het punt Been Hyperbool, tuffchen de Jfymptoten CH, C F, en uit dit zelfde punt B,als middelpunt, een Cirkelboog, wiens ftraal het dubbeld van A D zy. Eindelyk trekke men, uit het punt van hunne doorfnyding E, EF perpendiculair op Cf, dan zal de lyn A F de gezochte lyn zyn (J).
De Conchdide van Nicomedes, welke het Problema der twee midden - evenredigen zo gelukkig oploft, wordt met eene ongemeene gemaklyk heid ook op die Problema toegepalt. Want het is klaarblyklyk, dat zo men, in de laatfte Figuur, uit A als Pool. op DB, onbepiald verlengd zynde, als As, een Conchdide befchryft , wier faamenkomende Ordinaten het dubbeld van AD zyn, dezelve de lyn CUF in het punt F zal Ihyden, 't welk de gezochte oplosfing zal te weeg brengen, 't Was zonder twyffel dit Problema, dat Nicomedes in Tt eerft het denkbeeld gaf van deeze kromme, welke hy naderhand op het Problema van de verdubbeling des teerlings poogde toe te paffen. Hetgeen men hier door middel der boven (te Conchdide doet, kan men desgelyks doen door middel van de onderfte,wanneer men dezelve uit den zelfden Pool onder den As C F befchryft; het punt G, waar in dezelve de lyn DB zal fnyden, zal irsgelyks de Helling van A G F te weeg brengen; eindelyk zal deeze zelfde onderfte Con. choïde dienen tot de Con/lruSlie van Figuur 20, waar in men de bewerking daar heen moet richten , dat de lyn EF, tuffchen den omtrek en het verlengde AF van den Diameter B A befloten, gelyk aan den ftraal zy. Het is klasrblyklyk, dat de onderfte Conchdide, befchreeven uit den Pool D, onder den As D F met de faamenko-
men-
(:*) Want door de eigenfchap van den Hyperbool is EF X FC = CA x AB; maar de gelykvormige Driehoeken FCA, GA Ti, geeven deeze evenredigheid, AB : BG :: pF : CA. Derhalve CA X AB — BG X CF. En gevolglyk BG = EF; BF is derhalve een Parallelogramjn^ f.s BE =n AD, by gevolg ook GF = 2 AD. -
R3



96* HISTORIE der
mende Ordinaten, die alle gelyk aan den ftraal zyn, den Cirkel in hec begeerde punt E zal fnyden (k).
My blyfc nog overig om hier ter plaacfe melding te doen van eene fraaije en t'eehemaal merkwaardige handelwyze , volgens welke fommige oude Meetkundigen het Problema van het in drieën deelen eens hoeks op. loftcn, zonder hetzelve toe de beide voorgaande Confiru&ien te brengen (/); dezelve is gegrond op d< eze fra;dje eigenfchap van den Hyperbool. Wanneer de A/ymptoten, welke een Hyperbool be fluit en, een hoek van 120 graaden maaken, en dat men op den As : B A, het deel B A gelyk aan den halven-kleinen ij CB neemt, zal de hoek in A < uit welk punt van den Hyperbool F B ^ men tot de punten A, B ook lynen t rekke, altoos het dubbeld zyn van dien, welke in D gemaakt wordt. Hec gebruik van deeze ' igeefehap, voor het in drieën deelen des hoeks, is gemaklyk te befpeuren. Indi-n men op de lyn AD eenigen Cirkelboog AFD befchryft, zal dezelve altoos door den Hyperbool, by voorbeeld in F, zodanig gefneeden worden, dat de boog AF de helft van F D zal zyn. Hebbende dus eenigen voorgeftelden boog in drie gelyke deelen te deelen, zal men deszelfs pees A D in drie gelyke deelen D C, C B. B A verdeelen, vervolgens de Afymptoten CE, CH trekken, maakende den hoek E C H van 1200; dan zal :de Hyperbool, tuffchen dezelve door het punt B befchreeven, deezen boog in het punt F fnyden, en AF een der gezochte derdendeelen zyn.
Eene opmerking, welke wy hier niet moeten voorbygaan, is, dat niet alleen de Hyperbool F B $ aan de eene zyde den boog A F gelyk aan het derdendeel van
AFD
(fc) De onderfte Conchdide heeft de zonderlinge eigenfchap, dat zy fomtyds op haar zelve in malkander kron. kelt, zo als jmen in de twintigfte Figuur ziet. Zulks gebeurt, wanneer de lengte der met den Pool faamenkomende lyn grooter is, dan de afftand des P«iols van den As. Zulks is gemaklyk te befpeuren, en maakt het geval van fig. 20 uit, waar in de ftraal noodzaakelyk grooter dan de Sinus DG is.
(0 Papp. Coll. Matk. I. IV. pr. 34.



WISKUNDE. I. Deel III. Boek. a<5g
AFD, en aan de andere zyde den boog A <f> gelyk aan het derdendeel van het overige des Cirkels fnydt, maar dat de tegengeftelde Hyperbool, wiens top in D is, alsnog den Cirkel in een punt ƒ zodanig fnydt, dat de boog A Ff het derdendeel is van den omtrek meer den boog AFD, en A<pf het derdendeel van dien zelfden omtrek meer den boog A<f>D. Dit is een foort van wonderftuk, waar over de Ouden zekerlyk verbaasd geftaan zouden hebben, indien zy hetzelve befpeurd hadden. Maar het is geenzins een wonder voor de hedendaagfche Wiskundigen, welke niet alleen de reden, maar zelfs de noodzaakelykheid, daar van weeten.
XVIII.
Een School, waar in de Meetkunde zo hooglyk geëerdt werdt, konde niet nalaaten een groot getal Meetkundigen voor onze Hiftorie te leeveren. Proclus maakc van dezelve een tamelyk wydloopige optelling (Vb), en geeft ons eenige fchetfen van hunne Werken te kennen. Sommigen, hooger bejaard dan Plato, of zynsgelyken, bezochten dikwerf zyne Schoole, als zyne vrienden , en uit genegenheid voor zyne leeiing. Veele anderen kwamen'er als zyne Leerlingen, of werden aan zyne opvoeding toevertrouwd. Ons onderwerp vereischt, dat wy van dezelve fpreeken, en aantoonen, welke vordering de Wiskunde aan ieder van hun verfchuldigd is.
Onder de eerften waren Laodamas, Architas en Theaetetus. Laodamas was een der eerften, wien Plato zyne Leerwyze van Analyjls mededeelde, alvoorens dezelve t'eenemaal in 't openbaar bekend te maaken,' en hy trok, naar het zeggeh van Proclus (n), ras voordeel van dit behulp, om een groot getal ontdekkingen te doen. Architas en Thecetetus onderfteunden hem op eene gelukkige wyze, en ftrekten de paaien der Meetkunde nog veel verder uit. De eerfte van deezen was een ryk
Bur-
(fü) In I. Eucl. 1, II. c. 4. Ibid. & 1. UI. p, 1.
R 4



Só4 H I S T ORIE deq
Burger van Athenen, een vriend'en medeleerling van Plato onder Socrates en Theodorus den Meetkundigen. Men gelooft dat hy de Theorie der regelmaatige lighaarnea in 't byzonder begunftigd hadt. Wat Aas belangt, ny was, gelyk men weet, een Pythagorifl van eene uitgebreide kundigheid, met wien onze Wysgeer eene naauwe verbmdtenis van vriendfchap gemaakt hadt: en die,.waarfchynlyk in de tyden, toen hy zich te Athenen bevondt, zyne Schoole bezocht.
De andere Platomfihe Meetkundigen, welke ons bekend zvn, zyn de volgende. Neoclis of Neoclideswordt ooor Prod^ opgegeeven, als den Vinder van eene meenigte ontdekkingen; zyn leerling Leo deedt ook veele ontdekkingen, en fchreef Beginfelen van de Meetkunde. Ik zal fommigen van hun die volgden flegts ter loops aanroeren TheuMsvzn Magnefia verzaamelde nieuwe Beginfelen der Meetkunde, en vermeerderde dezelve met veele nieuwe Voorftellen. Cyjicm van Athemn, Hemwtimus^van Colophona, Amiclas Van Ileraclea, waren msgelyks Meetkundigen, welke zich door ontdekkingen beroemd maakten. De beide Phllippi. de een van Mcdtnea, de andere van Opuntlum, handelden de eerfie over de Wiskundige Vraagftukken , welke om de boeken van Plato te verftaan noodzaakelyk zyn , de tweede over verfcheide onderwerpen, als over de Me. diemis, (zodanig is de naam, welke de Ouden gaven aan de verichillende foorten van betrekkingen, die wv in t algemeen evenredigheden noemen), over dè Rekenkunde, de overvloedige getallen en den Cirkel.
Ludoxus, Menechmus en Dinoflrates verfchaffen ons ftoffe, om ons langer met hun op te houden. De eerfte hadt, volgens Proclus, veel deel aan 'de beverdering der Meetkunde. Hy bedacht verfchillende nieuwe toorten van betrekkingen , behalven diegeenen welken men reeds kende; doch alhoewel fommige Rekenkundiger! zich met dezelve bezig gehouden hebben gyn zy echter genoegzaam onnuttig, en hebben, in dei- daad, in de Wiskunde weinig voorfpoediggeweeft Men gelooft dat hy de-Theorie der Kegelfneeden met een gelukkig gevolg beöefFende; zelfs heeft men hfm S Ü&n Vinder van dezelve gehouden, het zy dat zyne na-
fpOO-



'WISKÜNDE.I. Deel. III. Boek. 2<?j
ibooringen en zyne ontdekkingen daar in tot dit gevoelen aanleiding gegeeven hebben, of dat de weinigervaren Hiftorie-Schryver, deezen naam aan eenige andere byzondere krommen gegeeven hebbe hetgeen my waarfchynlyker voorkomt, 't Is door een foortgelyk gebrek van kennis in de Meetkunde, dat Diogenes La'ertius ons zegt, dac hy de kromme lynen uitvondc. Hy wilde zonder twyffel zeggen, dac hy zekere krommen van een byzonder foorc bedacht, om hec Problema van de verdubbeling des ceerlings op ce loffen, hetgeen wy in 't voorgaande Artikel aangemerkt hebben.
Menechmus, een byzonder Leerling van Eudoxus,Wet niet na de Schoole van Plato, met zynen broeder Dl' nofirates, dikwerf te bezoeken. Hy breidde de Theorie. der Kegelfneeden in zo verre uit, dac Eratofthenes hem de eere van derzelver vinding fchync toe te fchryven, en zyne beide oplosfingen van het Problema der cwee midden-evenredigen zyn een merkwaardig gedenkteken van zyne bekwaamheid in de Meetkunde. Wat Dinoftrates betreft, hy volgde de voetftappen van zynen broeder na, en men eigene hem in 'c algemeen veele Meetkundige ontdekkingen toe. Hv is vooral bekend door de uitvinding van de Qitadratrix, die zelfs zyn naam behouden heeft. Laat ons nu eenige woorden van deeze in de Meetkunde beruchte kromme zeggen.
De Qitadratrix fchynt met het oogmerk uitgevonden te zyn, om te dienen tot de oplosfing van het Problema, om een hoek in een gegeeven reden te deelen. Deeze eigenfchap is het eerfte gevolg dat afgeleid worde uic haaren oorfprong, die wy nu zullen voordragen. Men verbeelde zich, dat een ftraal, als CB (Fig. 23.) zich eenpaarig cirkelvormig beweegt, gaande door de ftanden CE, CE', enz. tot dien van CA; en dat, geduurende dien zelfden tyd, een lyn KP, zich evenwydig aan haar zelve , en met eene eenpaarbe beweeging, beweegende, zich van CP toe in A L° verheft, dan zal de geduurige doorfnyding van deeze ftraal en de evenwydige lyn, waar van wy fpreeken, de kromme Dï»A, welke de Quadratrix is, faamenftellen. Uit kracht, van deeze aanteéling bemerkt men aanftonds, R 5 da



165
HISTORIE der
dat als men naar welgevallen een lyn et evenwydig KP trekc, en door het punt waar in zy de Quadratrix fnydt, als s, de ftraal Iaat gaan, alsdan de boog AE in reden is tot hec Qiiadrant, als Aetot AC. Dus zal het Quadrant altoos in de zelfde reden als de ftraal gedeeld worden, of algemeener, een naar welgevallen genomen boog zal altoos in de zelfde reden gedeeld worden, als het overeenkomltig deel van den ftraal.
Thans zullen wy tot de eigenfchap, welke aan de Quadratrix den naam gegeeven heeft, overgaan. Men be'wyft, dat het laatfte punt D, waarin dezelve op den ftraal CD B eindigt, zodanig gelegen is, dat CD ftaat tot C B, als C B tot hec Quadrant. Deeze kromme zou derhalve de Quadratuur dës Cirkels te weeg brengen, indien het mogelyk was, dit punc door eene Meetkundige bewerking te vinden, en om die reden heeft men dezelve by de Ouden Quadratrix genoemd, als willende zeggen , kromme bekwaam om den Cirkel te quadratteren. Wy ver aioeden, en Pappus fchynt zulks te zeggen (>)> dat Dinoftrates het was, die deeze merkwaardige eigenfchap befpeurde, en ik denk dat veeleer uic deeze ontdekking, als uic de vinding van de kromme zelve, de gewoonce ontftaan is om te zeggen de Quadratrix van Dinoftrates, zo als men zegt de Spiraal van Archimedes. Want 'er zyn eenige redenen om te gelooven , dat zy ouder is, en uitgevonden was door Hippias van Elea, een fchrander Wysgeer en Meetkundige, tydgenoot van Socrates. Ik giffe zulks uit de plaats van een ouden Schryver O); welke zegt, dat men het deelen eens hoeks in verfcheide gelyke deelen door de Qiiadratrices van Hippias beproefde. Ik geloof niet dac de aloudheid ons eenige andere Meetkundige van dien naam, als dien waar van ik Ipreek, aan de hand geeft (q).
XIX.
(o) Coll. Math. I. IV. (p) Procl. ai I. Eucl. p. g.
O) De geheele Ojiadratrix is niet in het Quadrant A CB begreepen, want men kan zich voorftellen, dat de ftraal blyft aanhouden zich cirkelvormig te beweegen, en den an-
des



WISKUNDE, h Deel. III. Boek, 267 XIX.
De gemengde Wiskunde werdt by de Platonifche Wysgeeren naar evenredigheid niet zo veel bevorderd als de Meetkunde. Naar het voorbeeld van hun Hoofd, meer tot afgetrokkene bespiegelingen, ais tot de befchouwing der natuur genegen zynde, waren die Wysgeeren weinig gezet, om de waare gronden der Natuuren Wiskundige Weetenfchappen magtig te worden. De Sterrekunde bleef by hun ten naafte by in den zelfden ftaat, waar in zy dezelve verkreegcn hadden. Wy zullen ons niet ophouden met aan te merken, dat zy over de gedaante der Aarde, de oorzaak der Eclipfen , enz. rechtmaatige en naauwkeurige denkbeelden hadden. Zulks was reeds geen verdienfte meer voor eene Schoole van "Wysgeeren; en men vindt, federt den tyd van Socrates, deswegens geen verfchilmeer onder dezelve.
Hetgeen wy nu over de Sterrekunde der Platonifche Wysgeeren gezegd hebben, bevrydt ons om over hunne Sterrekundige gevoelens breed uit te weiden. Wy zullen flegts aanmerken, dat het ftelfel der fchikking van 'c geheel-al, dat zy in 't algemeen aannamen, dat geen is 't welk de Aarde in 'c middelpunt plaatft, en rondom dezelve de Planeeten doet draaijen in deeze orde, de Maan, Mercurius, de Zon, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus. De fchriften van het Hoofd der Schoole vertoonen ons niets merkwaardigs , dan ongerymde of onverftaanbaare gevoelens, over de vorming van't Geheelal, en de betrekkingen der afftanden van de hemelfche lighaamen. Men zegt nogthans dat Plato in een bedaagderen boog AK doorloopt, terwyl de lyn AL zich geduurig, evenwydig met KP, zal verheffen. De geduurigedoorfnyding van deeze evenwydige lyn met den verlengden ftraal, zal uitmaaken het overige der kromme A Gg, dat eene Afymptote F H, die tweemaal den ftraal van het middelpunt verwyderd is, zal hebben. 'Er zal eindelyk aan de andere zyde van den As PK, een met DAG overeen, komftig deel zyn; zulks dat de geheele kromme begreepen zal zyn tusfchen twee evenwydige Jfjmptoten, welke viermaal den ftraal van elkander ftaan.



36$ HISTORIE der
daagden ouderdom, en na een ryper onderzoek, het i*y. thagorifch gevoelen, 't welk de Zon in 't middelpuntvan 't Geheel-al plaatft. omhelsde (r). Zulks ichynt op het gezag van Theophraflus te fbunen, en het7elve moet ais van eene groote aangelegenheid zyn ie gehouden worden; want hy hadt eene zeer breedvoerige Hi. ftorie der Sterrekunde gefchreeven.
De Platohifche Schoole, fchoon in Sterrekundigp ontdekkingen weinig gelukkig zynde, vertoont oi s echter eenige Sterrekundigen. Helicon van Cyflca, een van hun, gaf, zegt men, een voorbeeld van fchranderheid die toen weinig gemeen was, door eene Zon - Eclips bekend te maaken , welke, zo als hy voorzegd hadt gebeurde (V), Ook ontfing hy eene belooning naar evenredigheid van de zeldzaamheid der voorzegging indien het waar is, dat Denis, Koning van Syracufa, hem een latent het geeven. By ongeluk duldt dit voorval der geleerdheid van Helicon, en der ede'moedigbeid van Dents, groote zwaarigheden. Want men vindt, omftreeksden tyd der .Regeering van dien Vorft, geene Eclips, welke den Platonifihen Wysgeer heeft kunnen voorzeggen.
Onder de Sterrekundigen, welke uit de Schoole van Plato zyn voortgekomen, \sEudoxushet meeft beroemd geweeft. Hy hieldt lang zyn verblyf jn Egypte, en zo wy Seneca daar m gelooven (t) , bragt hy van daar mede de lheone der beweegingen van de vyf Planeeten welke de Grieken nog niet befchomvd hadden Maar zulks fchynt my weinig naauwkeurig, dewyl 'er nog byna vier eeuwen verliepen, vóór dat de Grieken flests het ontwerp van dat gedeelte der Sterrekunde gemaakt hadden. Hipparchns dorfl, ondanks zyne bekwaamheid by gebrek van waarneemingen hetzelve niet oiidernee' men, en bepaalde zich om zyne opvolgers ftoffe tot waarneemingen te verfebaffen,
Men
0) Plut, Qucefl. Plat. 7. (s) Plut. In Dion, ,(f) Quafi. Nat. 1. VII.



WISKUNDE. I. Deel. III. Bpeh 269
Men eigert aan Eudoxus 00 een foort van Natuur en Sterrekundige onderltelling toe, welke met die groote achting, die hy by de Ouden hadt, ■ kwalyk ov reenftemt. Het is noodig dat wy dezelve verklaaren, era dat die onderfteüing de eerfte oorfprong fchynt te zyn, van die meenigte ïn,elkander gefloten Spheeren, welke n en, geduurende de tyden van onweetendheid, zich in t'e Hemelen verbeeldde, 'en door kwalyk onderrichte Schryvers ten onrechte aan Ptolomeus en ÏUpparchus toe' geëigend worden.
Ieder Planeet hadt, volgens Eudoxus, een foort van afzonderlyke hemel, faamengefteld uitgelykmiddelpuntige Spheeren, wier beweegingen, de eenen door de anderen bepaald wordende, die van de Planeet uitmaakten. Om , by voorbeeld, den loop der Zon te verheel-, den, verzon hy drie van die Spheeren. De rcrlte draaide van het Ooften naar het Weiten in 24 uuren ,' en bragt haaren dage'ykfchen omloop te weeg. De tweede draaide op 'dé Poolen ven den Zodiak, in $65 dagen, 6 uuren ; en diende om van de eigenlyke be-' weeging reden te geeven. Hy voegde 'er nog een derde Spheer by, om eene Aberratie der Zon buiten de Ecliptica te verklaaren, welke men gedacht hadt te befpeuren, en deeze draaide op een As, loodrecht Haande op een Cirkel, welke de hoeveelheid van deeze vermeende Aberratie tot de Ecliptica overhelde. Eudoxus gaf deseelyks aan de Maan drie Spheeren, voor haaren dagelykfehen omloop, haare beweeging in Lengte, en die welke zy in Breedte heeft. Want naardien men niet wilde, dat de beweeging van den eénen hemel op die van een anderen invloed hadt, moeftieder van dezelven eene Spheer hebben , welke tot de dagelykfche beweeging gefchikt was. Wat de vyf andere Planeeten betreft, hy gaf aan ieder van dezelve vier Spheeren, om de dagelykfche en de eigenlyke beweeging , benevens die van Breedte, en de teruggangen, waar aan zy onderhevig zyn, te verklaaren.
Ee-
(m) Arifl. Metaph. I. XII. c. 8. Sifflpl. In l. II. da tak, com, 46.



aro HISTORIE der
Eene onderftelling, die zo ongerymd , en zo weinig overeenkomftig met de hemelfche verfchynfelen was verdiende, zo het fchynt, niets anders, als van deverl Handige Wiskundigen met verfmaading verworpen te worden; maar zodanig was toen de zwakheid der Natuurlyke Sterrekunde, dat dezelve niet naliet goedkeurders, en zelfs van verdiende, te vinden. Ariftoteles was met eene groote genegenheid voor dezelve bevangen gelyk mede Calippus, de Uitvinder van de Calippifthe Periode, en een zekere Polemarchus (v). Deeze twee laatlten begaven zich opzettelyk nsar Athenen, om met het Hoofd der Peripatetifche Schoole daar over tefpreeken, en befiooten aldaar tot eenige verbeteringen, of liever eenige byvoegfelen, welke dezelve nog belagchelyker maakten. Want zy vermeerderden het getal van die Spheeren tot 56, in plaats van 26, welken 'er, volgens Eudoxus, noodig waren. Zulks was niets anders, dan de ongerymdheid van zyne onderftelling in de zelf. de betrekking grooter te maaken.
Men zegt nogthans van Eudoxus, dat hy een groot Waarneemer was, en men toonde lang ra hem, 'mCnxdus zyn vaderland, den toren, op welken hy waarneemingen deedt f». Zulks is verftandiger dan hetgeen Petronius zegt, dat hy op den kruin eens bergs grvs wierdt. Maar wy kunnen bykans verzekeren, dat de werken van Eudoxus, in die foort, weinig anders tot onderwerp hadden, dan de vafte Sterren, en de faamenfteiling der Ephemerides van haaren op-en ondergang , zo gebruikelyk by de Ouden. In der daad, men noemt van hem twee Werken, het eene getyteld «, de Spiegel, als willende zeggen den Spiegel des hemels ; hetzelve was , volgens Plipparchus (x), eene beichryving van de Gefterntens, en nunne opzichtelyke ftanden; het andere voerde tot tytel de Phmomenis, en befchre. f nuftne op - en ondergangen. Deeze twee Werken verfchaften naderhand ftoffe tot het vermaarde
Ge-
(v) Simpl. Ibid.
(w) Strab. Geogr. 1. II.
(x) ln Arat. Phen* paftim.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. ■
Gedicht van Aratus, die byna niets anders gedaan heeft, dan dezelve in Verfen te brengen. Eudoxus fchreef ook over de Aardrykskunde en de Muziek, maar geen van die Werken is tot ons gekomen (;y). Men hadt hem een foort van Zonnewyzer te danken, die Aranea genoemd werdt, ongetwyffeld wegens het groot getal lynen, welke elkander daar in doorfneeden (z). Wy zullen niet onderneemen om dit raadfel tc ontknoopen; zelfs zullen wv veele andere dingen , welke wy nog van deezen Wysgeer zouden kunnen zeegen, aan gewigtiger voorwerpen opofferen. De zelfde beweegreden noopt my om my te vergenoegen, met in 't kort aan te wyzen de Sterrekundige Werken der beide Phiïïppl, waar van wy in het voorgaande Artikel als Meetkundigen gefproken hebben. Die van Medmea maakte Ephemerides, welken Ptolomeus dikwils herinnert (a), en de andere fchreef over de Planeeten,over den afftand en de grootheid van de Zon, de Maan en de Aarde.
De andere deelen der gemengde Wiskunde, ten minften in zo verre zy aan de Natuurkunde verbonden zyn, hadden by de Platonifche Wysgeeren zulke luilterr-yke gevolgen niet, als de Sterrekunde. Zy miften hier t'eenemaal den waaren weg. Ik bepaal my tot een voorbeeld, 't welk de vorderingen der Optica by hun betreft; na dikwils overwogen te hebben op wat wyze de ziening gefchiedde, of zulks was door eenen ingang van eenige foorten, of lighaamtjes, uit de voorwerpen komende, of door eene uitdry ving van iets , uit het oog korrfende, bepaalden zy zich, door de beuzelachtigfte redenen (b~), ten voordeele van het laatfte gevoelen , dat buitengemeen ongerymd is. Niets bewyft beter hoe zeer het menfchelyk verftand met de dwaaling overeenftemt, als te zien, dat de verftandigfte mannen van hunnen tyd, ondanks hunne liefde voor
de
(y) Zie Stanl. Hifi. PUI, (z) Vitr. Arch. I. IX. c. 9, (a) App. Fixar. (£) Euclid. Optica, Prcef.



HISTORIE der
de waarheid, een zo weinig redclyk gevoelen aarMmen.
Wy giffen nogthans, dat het niet t'eenemaal zonde? vrucht was, dat de Platonifche Wysgeeren zich mee deeze Weetenfchap bezig hielden ; het is genoegzaam waarfchynlyk, dat de uitbreiding van het licht in een rechte lyn, de gelykheid der hoeken van invalling en terugkaatfing , aanmerkingen waren, welke, by hun gedaan werden; want men ziet dezelve kort daar na bekend, en als grondbeginfèlen aangenomen. Wy gelooven zelfs, dat zy van toen af veele der gezichtkundige Theoremata vonden, welke eeniglyk op die gronden geveftigd zyn. Wy zullen elders gelegenheid'hebben, om van deeze eerfte proeven der Optica nader te fpreeken; weshalven wy ons desvvegens hier niet verder bullen uitbreiden.
Sj^"u — r?/" • rolfeS r.
De Schoole van Plato werdt., na den dood van het Hoofd derzelve, in twee andere verdeeld, welke,fchoon over verfcheide punten verfchillende gevoelens hebbende , echter daar in overeenkwamen, datzy der Wiskunde achting toedroegen. Men liet niet,'na dezelve als eene onnalaatelyke voorbereiding tot de Studie der Wysbegeerte aan te zien; getuige hier van hec antwoord van Xenocrates, waar van wy elders gefproken hebben (V), getuige hier van de meenigte voorbeelden, uit de Meetkunde ontleend, waar mede Ariftoteles zyne fchriften vervuld heeft. Dus leedt de M eetkunde, met zo veel yver onder Plato aangekweekc, terwyl hy het Hoofd der Schoole was, weinig door het verlies van hem, en de Theorien, welke in dezelve oncworpen waren, namen toe en werden verfterkt, door de naarftigheid van verfcheide Wiskundigen, waar van fommige ons bekend zyn. Xenocrates de opvolger van Plato, na Speufippus, fchreef over de Meet- en Rekenkunde
(c) Boek I. Art. I.



WISKUNDE. Ij Deel. III. Ëèek. £73
irte (d). De Platonifche Schoole bleef eindelyk by aanhoudendheid die, waar uit de voornaamfte Meetkundigen voortkwamen. Men weet dat Euclides een Platonifch .Wysgeer was, en men kan uit den tyd Waar in hy leefde giffen, dat hy zyne bekwaamheid in de Meeckunde onder de eerfte opvolgers van Plato verkreegen hadt. Wy vermoeden zulks insgelyks van Arifteus, een beroemd Meetkundige der aloudheid, Ichoon hedendaags weinig bekend wegens het verlies van zynefchriften. Maar Pappus geeft ons te kennen (e) , dat hy een der Ouden was, welke aan de bevorderingen der verhevene Meetkunde het meeft deel hadden. Hywas de Schryver van twee uitmuntende Werken in die foort* Het een was eene Verhandeling over de Beginfelen der Kegelfneeden in vyf boeken, bevattende een groot gedeelte van hetgeen Appollonius in de vier eerfte boeken van zyn Werk verzaameld heeft. Het tweede handelde over de lighaamlyke Plaatlen, en was ook in vyf boeken begreepen: Pappus plaatft hetzelve aanftonds na de Kegelfneeden van Appollonius, in de orde van ftudie welke hy zyn zoon voorfchryft; hetgeen genoegzaam te kennen geeft, dat het eene geleerde Theoris was, welke die der Kegelfneeden zelve onderftelde. He zal tot deeze ftaaltjes niets toedoen; zy zyn genoeg» zaam om een zeer voordeelig denkbeeld van deezen Meetkundigen te geeven. Euclides droeg hem eene gantfch byzondere achting toe (ƒ), welke my doet giffen, dat hy zyn leerling of zyn boezemvriend was geweeft.
XXI.
De zuivere Wiskunde hadt by de Aanhangers varJ Ariftoteles een minder verheven lot, als in de Schoole van Plato; men moet nogthans niet gelooven, dat zy I in dezelve verwaarloosd werdt: zeeronderfcheiden van
de
(d) Diog. in Xenocrat. ' (e) Coll. Math. I. VII. Pr af. (/) Ibid.
S



674 HISTORIE der
de hedendaagfche Peripatetifche Wysgeeren, welke de studie derzelye wraakten , waren deeze oude Aanhangers van Ariftoteles in dezelve zeer bedreven en deeden daar m niet anders dan zich te fchikken naar het voorbeeld van hun Hoofd, wiens fchriften, voornaamelyk de Bovennatuurkundige, met een groot getal voorbeelden, welke tot.de Meetkunde behooren vervuld zyn. Deeze plaatfen waren echter niet gew'igtig genoeg, dat zy verdierden om ten voordeeleder Meetkundigen verzaameld te worden; en wy zouden den ivd als verloren rekenen, welken een Wiskundige der voorgaande eeuw beueed heeft, om dezelve te verzaamelen, en uitleggingen daar over te maaken fVü De Heer Heilbroner heeft zonder twyffel gedacht een zeer gewigtig ituk te geeven, door derze overblyffelen van Ariftóteles op nieuw, in zyne Hiftorie der Wiskunde, aan den dag te leggen. Maar wy raaden hem door de zelfde beweegreden, om op de erkentenis der Wiskundigen weinig ftaat te maaken.
De Sterrekundige leering van Ariftoteles is bekend genoeg , om my te bevryden daar over met veel wvdloopigheid te fpreeken. Dezelve is byna geheel verzaameld in de twee eerfte boeken de Calo, in welke men benevens eenige verftandige redeneeringen over grond! punten der Sterrekunde, veel ongegronde Natuurkunde, over de beweeging, over de zwaarte, over de natuur en fchikking der heme'fche lighaamen, vindt •x Was nogthans met zulke flegte wapenen, dat Ariftoteles \\et Pythagonfch ftelfel, over de onbeweeglykheid der Zon, den doodfteek toebwgt. Ik ben geenzins verwonderd, dat een nog zo kwalyk geveftigd ftelfel, in den tyd van dien Wysgeer, weinig aanhangers hadt. De fchikking der vorderingen van de reden eifchte. dat men op eene hardnekkige wyze de Aarde als onbeweeglyk bleef houden, totdat 'er een genoegzaam groot getal voorvallen waren, bekwaam om tegen dit gevoelen te getuigen. Men heeft zeer krachtige bewyzen noodig, om van eene waarheid, als die van de be weeging,
(S) Blancanus, loca Arift, Mathem.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek» a/S
ging der Aarde, welke zo zeer met hec getuigenis der zin» hen ftrydig is, overtuigd ce worden; en waarfchynlyk gaven de Pythagoriflen die bewyzen niet. Men moet alleenlyk veranderd zvn, dac zulke zwakke cegenwerpingen, als die van Ariftoteles; hec menfchelyk verüand, geduurende eene lange reeks van eeuwen, in de flaverny hebben kunnen houden. Wy zullen de herhaaling van die teger Werpingen uit ftellen, coc dac Wy in den tyd van Copemicüs gekomen zyn.
De Schriften van Ariftoteles vertoonen óns eenige fchetfen van twee vöornaame takken der gemengde "Wiskunde; ik wil zeggen van de Optica en de Mechanica. Om de waarheid te zeggen, dezelve zyn nog zodanig door de dooüng mismaakt, dat men dezelve niet hooger a's een ruwe fchets van die Weetenfchappen kan aanzien. Zyne Qjtaftiones Mechanica , een werk dac hem zo veel eere heeft aangedaan in een cyd , toen het hem genoeg was gefproken te hebben, om de üemmen op zvne Zyde te brengen, zullen hem by de hedendaagfche Werktuigkundigen den zelfden lof niec bewerken. Zy zullen zorder twyffel bevinden, dat de rneette verklaaringen, welke hy geeft,t'eenemaal vahch, en de voornaamfte en eerfte gantfch belagchelykis. Wy zullen de Leezers in ftaat ftellen, om daar over te Oordeelen. Het komt hier aan om reden te geeven , waarom de hefboom, of de balans met ongelyke armen, ongelyke gewigten of krachten in even. wigt brengt. Ariftoteles, zoekt dezelve in de wonderbaare eigenfchappen des Cirkels , welke hy op eene kinderachtige wyze alle opnoemt; waar na het, naar zyn zeggen, niet verwonderenswaardig is, dat eene Figuur, zo vruchtbaar in wonderen, een wonder voortbrenge, door onge'yke krachten in evenwigt te brengen. Zodanig is de redeneering, met welke de Me. chanica van Ariftoteles' aanvangt, eene redeneering, die, ondanks haare belagchelykheid , door verfcheide van haare Uitleggers naar vereifch verklaard en ontvouwd (h),
niet
O) Monantholius. In qiiaft. Mech. Arift. Leonicus Tho. Hiseus, Blancanus loca Arift. Math. Septalius, &c. S a



2?6 HISTORIE der
niet nagelaaten heefc zich te doen verwonderen.
Wy behooren nogthans aan te merken, dat Ariftote* les elders een, beginfel voorgefleld hadt, dat zeer bekwaam was, om van het verfchynfel, 't welk hy ondernomen hadt te verklaaren, reden te geeven. 't Is in zyne Natuurkunde (i), daar hy duidelyk genoeg zegt, dat zo twee krachten zich met fnelheden , welke wederkeerig evenredig zyn, beweegen, zy alsdan gelyke werkingen oeffenen. Dit grondbeginfel fchynt uit zich zeiven niet alleen tot den hefboom, maar ook onmiddelyk tot ieder foort van Werktuigen, toegepaft te kunnen worden. Want zo twee gewigten, of twee krachten, zodanig te faamen verbonden zyn, dat zy zich niet kannen beweegen, zonder fnelheden, in eene wederkeerige reden van hunne krachten, te neemen zullen 'er noodwendig wederzyds gelyke werkingen! en dienvolgens ook het evenwigt, zyn, naardien het anders gebeuren zoude, dat eene werking eene andere, die naauwkeurig gelyk en tegengefleld aan dezelve is, zoude te boven gaan. Ariftoteles befpeurde dat verband, fchoon oogfchynlvk genoeg zynde, niet; en dit grondbeginfel, dat hem in 't bezit der oorzaak van alle de verfchynfelen der Mechanica moeft ftellen bleef onvruchtbaar onder zyne handen. Defcartes, meer doorzicht hebbende, maakte van hetzelve in laater tyd den grondflag en den algemeenen fleutel zyner Mechanica
Ik kan geen voordeeliger oordeel vellen over de Optica, welke men in de Schriften van Ariftoteles vindt Zyne redeneeringen over den regenboog, over de wyze" op welke men de voorwerpen gewaar wordt, de oplosfingen, welke hy van verfcheide gezichtkundige verkhynfelen in zyne Problemata geèft, hebben niets dat van eemge aangelegenheid isj alles vertoont in de! zelve eene opkomende Weetenfchap, en die flegts tot de eerfte flappen gekomen is. Echter kan ik niet Joodienen,dat men, ondanks die gebreken, niet nalaat een overtreffelyk vernuft in Ariftoteles te erkennen.
Men
(0 Lib. I. c, uk. ,



WIS K UN D E. I. Deel. III. Boek. 277
Men moet hem vooral eenigzins dank weeten van een der eerften te zyn geweeft, welke over die ftofFe gehandeld heeft, en zyne Natuurkunde, fchoon byna overal gebreklyk zynde, is veel verftandiger, dan de verborgene overeenkomften , van welken Pythagoras en Plato den grondflag van de hunne maakten. Ariftoteles heeft eindelyk, ondanks zyne donlingen, recht tot de achting van alle verftandige Wysgeeren. De verfmaading en lafter, hem zo dikwils aangedaan in de tyden, toen het menfchelyk verftand,het juk van zyn gezag affchuddende, deszelfs overwinnaar eenigermaate befchimpte, moeten niet vallen als op die meenigte van Uitleggers, of voorftanders zonder vernuft, welke, op eene Üaaffche wyze aan zyn voetfpoor verbonden, nooit eenen flap buiten de zyne dorften te doen.
Schoon de Wiskunde in de Schoole van Ariftoteles weinig bevorderd is, verfchaft zy ons nogthans eenige Schryvers van die foort, welke wy niet behooren te vergeeten. Theophraflus is de voornaamfte, Deeze opvolger van Ariftoteles fchreef verfcheide Werken, welke over de Wiskunde handelden (k), en onder dezelve zyn 'er fommige , waar van wy het verlies niet te veel kunnen beklaagen. Zodanig is de volkomene gefchiedenis van die Weetenfchappen tot zynen tyd; dezelve beftondt in vier boeken over de Hiftorie der Meetkunde, zes over die der Sterrekunde, en een over die der Rekenkunde. Welke dierbaare onderrichtingen zouden die Schriften ons niet verfchaft hebben, over haaren oorfprong en ontvouwing, een onderwerp, waar van eenige kleine fpranken, nu en dan vcrfpreid, niet ge noegzaam zyn, om de duifterheid te verdry ven! De Wiskunde hadc nog, omtrent den zelfden'tyd, een Hiftorie-Schryver in Eudemus, een anderen leerling van Ariftoteles. Men hadt oudtyds van dien Schryver zes boeken over de Hiftorie der Meetkunde, en even zo veel boeken over die der Sterrekunde. Aan die boeken zyn wy verfchuldigd, hetgeen wy thans van. den oorfprong dier Weetenfchappen weeten; en het is in deezen
(k) Diog. in Theophr.
S 3



m HISTORIE der
Zsl^tT™^ gefcheP£ hebbe"' welkeS heeft nn^^an hebben nagdaocer,. De Heer j^r/c/w <7;
Siee Hifli8-?" OVrb Vffd °f Cen Plaats der Sterr*oïSenêfkfrh 1 T eenige regelen, van den
ouden Lisfchop Anatohus ontleend, gegeeven. Maar het zal genoeg zyn dezelve aan te zien! fis een ko't beffiïïW h0°f^i* deeze HiSie: wïnt frhr?if« tlv? ,,D Zes boeken begreeptn was, belr„w1„^ "S^, met-meerder on^ndigheid de ontdïo7i5S?t^kUDd|P kenn!^en>danëdit vermeenfleoverblyffd, in 't welk men alle de vorderingen der
£& D,t u°rt ^ fc^nt «V zelfs reinig
EhelTaIi Zyn ' CD hrtzelve wederfpreekt byna sant! önderwern ' Tat WJ V3D een and^en kant over dat vt zvZPZu eüm i ^°°rtS gaf 00k bewyzen
vnn^ bekwaamhe>d >n cie Sterrekunde; want hy weetenfrL'n hetgeeD p0e?, het meClterftuk van deeze weetenfchap was, eene Zon-Eclips r>). £Vn werk over den hoek is niet als door den tytel bekend? Dicearchus van MecenaVwam uit de zelfde Schoole : hv was een Meetkundig Aardrykskenner, die de hooS van yerfcheide bergen MeetLnfcig mat. Hrbepaafde naauwkeurig hetgeen eene onkundige vermaaïdhefd wan
£n ? Jdken hv bevondc Diet meer dan a5o fchrS-" Clen perpendiculaire hoogte te hebben; hetgeen met om.
Voeten, 8 Duimen] overeenkomt (»;. "uu*«-ne XX!I,
De Stad i&f/Sx^ is hedendaags beroemd, als zynde de geboorteplaats van een ouden Sterre-en Aardryks-
kun-
(0 Bibl. Gr. T. HL p. 178.
(m) Simpl. in II. de cteh Com. 46,



WISKUNDE. I. Deel. III. Beek. m
jkundigen, die ten naafte by een tydgenoot was van hun, waar van wy nu melding gemaakt hebben, 't Is Py? theasvan wien ik fpreeken wil. Ik plaatfe hem hier met zekerheid; want men kan, door een plaats van Strabo (o)t als beweezen aanmerken, dat hy niet laater als omtrent den tyd van Alexander leefde. In der daad Strabo berispt Eratofthenes, van aan de berichten van Pytheas welken Dicearchus, ondanks zyne ongemeene ligtgeloovigheid, verworpen hadt, geloof gegeeven te hebben. Dus is Pytheas ouder dan Dicearchus, die een leerling van Ariftoteles was geweeft, en by gevolg was hy ten minften een tydgenoot van deezen laatften.
Pytheas werdt, zo als men gelooft, door . den Staat van Marfeille gezonden, om nieuwe landen naar het Noorden te zoeken, terwyl Euthymenes dezelve in het Zuiden ging ontdekken. Men weet van deezen laatften niets meer. Maar belangende Pytheas, dezelve drong door tot aan de uiterfte grensfcheidingen van Europa, en kwam tot op het eiland Thulé, hedendaags Ysland genaamd. Het verfchynfel dat hy waarnam, naamelyk dat de Zon in den zomerfchen Zonneftand flegts den Horizon raakte, en aanftonds weder begon teiyzén, is daar in een bewys der waarheid van zyn verhaal, dat hy zegt in die Noordelyke landen geweeft te zyn. Want dat eiland is juift een der plaatfen, alwaar men een zodanig verfchynfel begint waar te neemen. Strabo, een gezwooren vyand van verre reizen, en Polybius hebben hem voor een leugenaar (p), en zyn verhaal voor eene onwaarheid verklaard; maar beiden worden gemaklyk beantwoord. Eenige onverftaanbaare uitdrukkingen, of van den verbloemden ftyl, welke in dat verhaal"gevonden worden, zyn niet genoegzaam , om hetzelve geheel te doen verwerpen; en aangaande Polybius, dien zich verwonderde, dat een man zonder rykdommen airdus gereisd hadt , zulks is eene nog krachteloozer tegenwerping. Wie weet niet dat by een Volk, waar van de koophandel ter zee de magt uitmaakt, niets ge-
mee-
(o) Geogr. 1. II. CP) Ibid.
S 4



S8c
HISTORIE des
meener is dan dje onderneemingen van ontdekkingen, het zy.dat dezelve aangelegd worden door de regeerin" zelve, of flegts door ryke ingezeetenen, welken zich gelukkig achten van weetgierige en onverfchrokken lieden te vinden, om hunne oogmerken te begunftigen ? Gafjendi hadt eertyds eeneomftandigerverdeediging van zynen ouden landgenoot gefchreeven (q), voor welke de Schryvers van de letterkundige Hiftorie dei Gaulen, meerder achting zouden moeten gehad hebben. De Heer de Bougainville heeft over Pytheas eene wydioopige Difertatie gegeeven, (r) naar welke ik voor het overige, hetgeen hem als Aardrykskundige betreft, den Deezer verzenJe. Ik gaa nu over tot eene gewigtiger Sterrekundige fchifting, waar toe die oude Sterrekundige aanleiding gegeeven heeft.
Pytheas is in de Sterrekunde beroemd, door eene waarneeming van de hoogte der Zon in den zomerfchen zonneftand, gedaan te Marfeille met een Gnomon van eene aanmerkelyke hoogte. Dezelve wordt ons met deeze omftandigheid door Cleomedes verhaald (s), en de hedendaagfche Sterrekundigen, voorftanders der vermindering van de fchuinsheid der Ecliptica, hebben gedadht een krachtig bewys van hun gevoelen daar uit te kunnen trekken. Dit is het dat wy thans met naauwkeurigheid en onpartydigheid behooren te onderzoeken.
Strabo (t) geefc ons, naar het bericht van Hipparcbus,\.e kennen, dac 'er te Byzantium de zelfde betrekking tusfchen den Gnomon en deszelfs lchaduwe in den Zonneftand was, welke Pytheas te Marfeille hadt waargenomen; en wat verder zegt hy,dat men die betrekking te Byzantium van 120 tot 41*, of in heele getallen van 600 tot 209, bevonden hadt. Daar uit befloot men. d^t de.Sterrekundige van Marfeille die zelfde betrekking by hem hadt waargenomen; waar uit men, na de noodige aftrekkingen voor den fchynbaaren halven - middellyn der Zon, en de RefracTte, de hoogte des middelpunts van dat Hemellicht in den zomerfchen
(q) Op. T. IK p. 53r. ZW1*
(r) Mém- des Infcript. T. XX.
(f) Cyciica Theor. I. ƒ. c. VII,
(t) Qeog. I, II.



WISKUNDE. I. Deel. III. Boek. 281
zonneftand, 70° 31' 35", afleidt. Maar de hoogte van den Equator is te Marfeille 4(5° 42' en eenige^Secunden, dienvolgens blyft 'erover voor de helling van de Ecliptica, in den tyd van Pytheas, 23° 49' en eenige Secunden. Dezelve is hedendaags flegts 230 Q8' <?o' naby; dus, zegt men, is de vermindering oogfchynlyk, en van omtrent eene minuut in een eeuw. De Heer de Louville heeft niets verzuimd, om deeze redeneenng de grootfte kracht by te zetten» en mea moet bekennen, dat dezelve beflegtend zou zyn, indien men verzekerd was, dat Pytheas zyne waarneeming met eene groote naauwkeurigheid gedaan hadt. Hy waant zulks , om dat die f deelen eene byzondere zorgvuldigheid te kennen geeven, en aantoonen, dat men de kieinfte breuken daar in niet verwaarloosde. Maar om deeze reden wel te waardeeren, zo is dezelve van geen gewigt. In der daad, dezelve zoude ook aantoonen, dat de waarneeming van hun, welke te Byzantium de zelfde betrekking vonden, zeer naauwkeurig was. Niets minder dan dat heeft plaats: het is zeker, dat zy grovelyk feilden; want Byzantium , hedendaags Con/tantmopolen , en Marfeille zyn niet onder den zelfden Parallel: wat zeg ik, die fteeden verfchillen byna twee graaden in Breedte. Dus kan men uit de waarneeming van Pytheas niets befluiten. Te vergeefs zullen wy ons onderwinden, om op eenigerlei wyze de toekomende eeuwen te overtreeden, dezelven komt alleen het recht toe, om over dit gefchil een beflegtend oordeel te vellen.
Wy zullen dit Artikel met den Sterrekundigen , genaamd Autoltcus, eindigen. Hy bloeide omtrent den tyd van Alexander, en wy hebben zyne beide wer-
j h5c £e,n Se^eh! de ortu £f occafu flderum, en het ander de fphara mobili. Deeze twee werken zyn daar in pryswaardig, dac de leering van de Spheer, en die der verfcheide verfchynfelen van den op- en ondergang der vafte Sterren, op het ftrengfte door de Theorie der klootfche Figuuren in dezelve beweezen zyn. Maar hedendaags bevatten dezelve niets, dat meer van eenige aangelegenheid is («
XXIII.
(«0 Verfcheide Schryvers hebben deeze Werken ver.
taaid,



48* H l 5 T ó R I é deü
XXILL
Wykunnrn dit gedeelte van onze Hiftorie niet" beur eindigen , a's door de Leezers konelyk voor oogen te ftelJ n, hetgeen wy nu met meerder uitgebreidheid hebben voorgedragen. De zuivere Wiskunde was die Weetenfchap, welke, in dat eerfte tydperk der Gjiekiche Wysbègeerte, de fnelfte en ftoutmoedigfte flappen' deedr. De Meetkunde, door Thales in Griekenland overgebragt, breidde zich aldaar uit door zynen vlyt, en dien van zyne leerlingen, welke op hem volgdefi; maar het waren voornaamelyk de PythaeorïJ?en, wien zy, zo wel als de Rekenkunde, haare rnerkwaardigfte vorderingen te danken hadt. De meefte ontdekkirgefi der Beginfelen van de Meetkunde hebben geen laater tydftelling, en behooren toegefchreeven te worden aan die Wysgeeren, of aan hun, welke de tusIchenruimte, die tusfchen die Wysgeeren en Plato verliep, aanvulden, in dit tydperk was de Meetkunde irf itaat, om zich tot luifterryker en verhevener befpiegelingen te verheffen. Dit Hoofd der Schoole verfchaf te daar toe het middel, door de Jnalytifche Leerwyze te ontdekken en te onderwyzen, eene Leerwyze, die byna het enkel en eenig werktuig is, om zich tot nieuwe waarheden een weg te baanen. Geholpen van dit krachtig hulpmiddel,overtraden de Meetkundigen van zynen tyd welhaaft de paaien, binnen wel. ken de Meetkunde tot dien tyd was befloten geweeft Men zag een geleerder en uitgebreider Theorie der kromme lycen opkomen. Men hadt nog niets anders' dan den Cirkel en de rechte lyn gekend en befchouwd: men bedacht toen de Kegelfneeden > en de nafpooring welke men van haare eigenfchappen deedt, gaf weU haast de opkomst aan eene grondige Theorie van die krommen. Ik fchryf aan een zelfden tyd toe de uitvinding der Meetkundige plaatfen, en die van haare toe.
pas-
taald, en in 't licht gegeeven. Dafypodius heeft dezelve, m 1572. in-8°, in 't Griekfch en Latyn gegeeven. Jan Auna heeft het eerfte in 1587, en hét tweede in 15K8 in- 8°. uitgegeeven. Men vindt dit laatfte in de Synopfis Math. van den V. Mcrfetine.



WISKUNDE, I. Deel. III. Boek, a8:j
pasfing op de bepaalde Voorftellen, de laatfte ontdek* kiog, die in de hedendaagfche Meetkunde zo nuttig,ea met zo veel recht hoog gewaardeerd is. Alle die geleerde Leerwyzen, door de eerfte leerlingen van Plato ontworpen, en door hunne opvolgers aangekweekt, werden in weinig jaaren zo ver uitgebreid, dac zy ltoffe leverden tot veele zeer voornaame Werken. Zodanig was ten naafte by den ftaat der Meetkunde ten tyde van Alexander, twee en een-halve eeuwen nadat de Wysgeer van Mileto dezelve aan de Grieken hadt bekend gemaakt.
Maar de gemengde Wiskunde nam op verre na geen zo fnellen en vaardigen vlugc. Dezelve bleef lang tot de allereenvoudigde kundigheden bepaald. • De Sterrekunde, fchooa dezelve het luifterrykfte lot onderging, is daar van een voorbeeld : haare vorderingen, in die twee of drie eerfte eeuwen, beftaan byna eeniglyk daar in, dat toen de voornaamfte waarheden der klootfche Sterrekunde gevestigd waren; ik wil zeggen de rondheid der Aarde, de fchikking der Cirkelen van de Spheer t en de verfchynfelen, welke het gevolg daar van zyn. Deeze kundighcjen begonnen zelfs niet eerder algemeen verfpreid te worden, en buiten twist te zyn, als omtrent den tyd van Socrates. Wat aangaat de Theoretifch» Sterrekunde, die Sterrekunde, welke de gelegenheid en de omloopen der Planeeten bepaald, die haare ontmoetingen en ftanden voorzegd, dezelve was toen eenigermaate flegts rot de eerfte ftappen gekomen. De verkreegen kennilfen, in dat gedeelte der Sterrekunde,be.
Ëaalden zich bykans alleen, tot die van de oorzaak der Iclipfen, en den ftand der voornaamfte Planeeten ten opzichte van de Aarde: de Pythagoriflen hadden het waare ftelfel van 't Geheel - al bemerkt; maar de waarheid, wiarfchynlyk kwalyk gevestigd, werdt door het vooroordeel gefmoord, en verkreeg ter naauwernood de verdienfte van eene vernuftige wonderfpreuk. Onafhangkelyk van dit ftelfel, waar van de aloudheid nooit de rechtmaatigheid bemerkte, bleef 'er nog overig, om de omloopen der hemelfche lighaamen naauwkeuri. ger te meeten, en vooral die van de Zon en Maan, welke het voornaamfte onderwerp der Sterrekunde zyn ; waat men kende die omloopen nog niet als op eene
wy-



*?4 HISTORIE b e ft
wyze, die zeer onvolkomen was: eindelyk bleef'ernog overig, om haare betrekkingen van grootheid en aflcand* met eenige overeenkomst tot de verfchynfelen, vast te ftellen, om de oneffenheden van haare beweegingen te leeren kennen, om onderftellingen, bekwaam om dezelve te vertoonen, en met eenige naauwkemigheid te berekenen, te vinden. De laatereSterrekundigen, en yoomaamelyk die van Alexandrie, waren de eerften , welken zich, met een gelukkig gevolg, met die voorwerpen bezighielden.
De Optica en de Mechanica, deeze twee aanmerkelyke takken der gemengde Wiskunde, vertoonen nog een min :er vergenoegend tafereel. Dezelve vertoonden voornaamelyk de ongegronde Natuurkunde der Ouden. De kinderachtige redeneeringen der Platonifche Wysgeeren over de ziening, en die van Ariftoteles over de Mechanica, zyn daar van voorbeelden. Het Natuurkundig deel fcont nog gebooren te worden, en zelfs zullen wy niets waagen met te zeggen, dat de Ouden in 't geen hetzelve betreft altoos in de kindsheid bleeven. Wat het enkel Wiskundig deel van die zelfde Weetenfchappen betreft, dat deel, dat het meeft afgetrokken , en het naaft met de Meetkunde verbonden is, wy denken, dat men hetzelve moet uitzonderen van hetgeen wy nu gezegd hebben. Het ïs zeker, dat de Ouden in dat tydperk in fommige van deszelfs grondbeginfelen, als de rechtlynige voortteeling van het licht, de gelykheid der hoeken van inval ling en terugkaatfing , de wederkeerige gelykheid der zwaartens in evenwigt, in de Balans of den Hefboom benevens haaren afftand van het rustpunt, niet onkundig waren. Zelfs hadt men toen reeds bedacht, om alle de andere foorten van Werktuigen tot die eerften te brengen. Met behulp van die grondbeginfelen wordt een groot gedeelte van die Weetenfchappen tot de zuivere Meetkunde gebragt; fchoon wy dus geen zeer zeker bewys daar van hebben, denken wy nogthans, dat dezelve onder hunne handen niet onvruchtbaar bleeven; de fchranderheid met welke zy de overige Meetkundige nafpooringen vervolgden, maakt onze gisfing vry waarfchynlyk. °
Ewde vm kt derde Beeh



HISTORIE
dér
WISKUNDE.
eerste deel.
Bevattend: de Hiftorie der Wiskunde, van haaren oor, fprong af tot de vermefting van hetGrieklfch?Ryk!.
vierde boe k.
Bevattende de Hiftorie van dee7P r u,
ftdert de Richting der SctoSfS aSSSK' Jaartelling der Chriftenen. nanet0£ de
K "rte inhoud.
»»« Euclidrsf /iZ/lf mden' e" in * hinder fipfi. Andere «M^d? gf
ken hy m zyne nafpooringen over dr nfïff f- j ? ' wel' ge grootheden Jbmikt g JW m % UAS der *™»b«iHiftorie van zyTsptgels Srle&^S^V^
0»:



fi8<5 HISTORIE Des
andere Wiskundige vindingen. VII. Fan Appollonius^» Meetkundigen. Hy fchryft agt Boeken over de Kegelfneeden. Denkbeeld van dat Werk, en voornaamelyk van de vier laatfte boeken; Hiftorie van die boeken, welke geduursnde een gerulmen tyd verloren geweeft, doch, behalvenhet laatfte , in t midden van de voorgaande eeuw wedergevonden zyn. Andere fchriften van Appollonius; kort vertoog van fommige derzelven , en verfcheide byzonderheden daar over. VIII. Van eenige Wiskundigen, van verdienfte, tydgenooten der voorgemelden, Conon , Nico nedes, Hunne werken en uitvindingen. IX. Hi¬
ftorie van Hipparcbus en zyne Sterrekundige werken. Zyne ontdekkingen over de Theorie van de Zon, over die van de Maan, over de beweeging der vafte Sterren, over de Driehoeksmeeting en Aardrykskunde, enz. X. Wiskundigen welke federt d.n tyd van Hipparchus tot mntrent de jaartelling der Chriftenen bloeiden, als Geminus, Ciefibius, Heron, öofigenes, Theodofius, enz.
I.
Wy konden geen bekwaamer tydperk uitkiezen a om dit gedeelte van ons Werk, aan te vangen, als met de oprichting der Schoole van Alexandrie. Hoe gedenkwaardig dezelve in de Letterkundige Hiftorie ook zy, fchynt het nogthans dat dezelve voornaamelyk in die der Wiskunde plaats moet hebben. Inderdaad, hetgeen de Schoole van Plato voor de Meetkunde geweeft is , was die van Alexandrie voor de Wiskunde in *t algemeen, 'c Is in haaren fchoot, waar in wy nn voortaan alle de mannen, welke voornaamelyk beroemd geworden zyn, d >or de uitbreiding welke zy der Wiskunde hebben toegebragt, zullen zien bioeijen of befchaafd worden, 't Is vooral in bet tydperk van deeze oprichting, dat men de Sterrekunde uit den ftaat van kindsheid, waar in de eerfte Griekfche Wysgeeren haar gelaaten hadden, ziet te voorfchyn komen, om haare bevordering met meerder zekerheid te bewerken ; dat men, in plaats van zien aan onnutfe gistingen over te geeven, beter de noodzaakelykheid der waarneemingen begon te befeffen, tn voor het gebruik der nakomeling.
fchap»



WISKÜN DE. I. Des/. IV. Soek. 28|
fchap te verzaamelen. "t Is eindelyk deeze beroemde Schoole, welke men het eerlte ftelfel der Sterrekunde , geveftigd op eene wel overwoogen vergelyking der hemelfche verfchynfelen, en bekwaam om dezelve met eenige waarheid voor te ftellen, te danken heeft.
De eerfte jaaren, welke op den dood van Alexdnder volgden, waren tyden van onlalt en verwarring. Het uitgebreide Ryk i door dien Overwinnaar gefticht , en waar van hy zo weinig het genot hadt* werdt door zyne voornaamfte Krygsoverften verdeeld, en Lagus kreeg Egypte tot zyn deel. Hy was niet zo dra in 't vreedzaam bezit van den fcepter, of hy keerde zyne oogmerken naar de zyde der Weetenfchappen. Door zyne minzaame bejegening en zyne weldaaden nam hy de harten in Van een groot getal Geleerden van Griekenland , en welhaaft wierdt zyne Hoofditad , door de Weetenfchappen en. de talencen, een tweede Athenen. Hy bepaalde zich niet flegts tot deeze aanmoediging: maar om hun daar voor altoos te veftigen $ maakte hy het ontwerp van die Schoole, welke men daar zo lang zag bioeijen, en die, zo zy den fchat der Weetenfchappen niet altoos vergrootte, ten minften dezelve bewaarde. Maar wy zyn aan zyn zoon en opvolger Ptolomeus Philadelphus voornaamelyk de voltooijing van deeze ftichting verfchuldigd. Deeze Vorft gaf den Geleerden , welke hy in zyne Hoofdftad gelokt hadt, nieuwe bewyzen van zyne befcherming. Hy gaf hen htiisvefting in een pragtig gebouw, dat, zo als Strabo ons bericht (a). een gedeelte van zyn Paleis uitmaakte, en bragt door zyne milddaadigheid veel toe tot de koften der onderneemingen , welke de volmaaking der Weetenfchappen tot onderwerp hadden. Eindelyk begon hy die pragtige Boekery te verzaamelen, waar in alle de rykdommen van het menfchelyk verftand waren opgefloten.
lh
(<0 Lib. XVII.



m HISTORIE der
II.
Onder de Geleerden, wien de minzaamheid der Ptolomet het eerft naar Alexandrie lokte, onderkent men Euclides den Meetkundigen , en de twee oude Sterrekundigen Ariftillus mTimocharis, welke in veele opzichten gedenkwaardig zyn. Wy zullen eerftelyk fpreeken van Euclides, de beroemdfte der Wiskundigen van dien tyd, en die door zyne fchriften het meed bekend is.
Men neemt thans niet meer den Euclides, waar van wy hier fpreeken, voorden zelfden als die van Megara* de Grondlegger van eene fekte die meer vermaard was door haare geneigdheid om te twiften, en door de verzinning van verfcheide drogredenen, als door haare vorderingen in de nafpooring der waarheid. Men heeft dien misflag nier kunnen begaan als in die tyden, toen men, de disputeer, kunft eene zonderlinge verdienfte toefchryvende, Euclides den Meetkundigen eene groote eere dacht te bewyzen, door hemden uitvinder van die bedrieglyke Redeneerkunft te maaken- Maar behalven net onderfcheid der kentekenen, welke de Schrvvers ons van beiden gefchetft hebben, is de dwaaling waar m men valt, door hen niet wol van elkander te onderfcheideni, zeer groot. Euclides van Megara was een der eerfte Toehoorders van Socrates, en toen de Athepers dien eerwaardigen Wysgeer ter dood bragten, keerde Plato, flegts 30 jaaren oud zynde, bv hem in met eenige van zyne medeleerlingen, welke over het lot van hunnen meefter verbaasd waren (b). Deeze gebeur» tenis nu behoort tot het jaar 393 vóór J. C. Onze Meetkundige was in tegendeel een tydgenoot van den eerften Ptolomeus (e), en leefde gevolglyk byna een eeuw daar na. Men moeft die voorvallen in 't geheel niet weeten, om twee mannen, welke zo onderfcfieiden zyn , voor een en den zelfden te neemen. . Men weet niet welk het Vaderland van Euclides was (d),
co
(2>) Diog. Lier. in Plat.
(e) Procl. in I Eucl. I. H. c. 4,
00 De Schryver der Bibliotheek van Sicilien wil dat£«.



WIS KUN DE. I. Deel. IV. 'Boek. a8o
en men is byna even zo onkundig in de gefchiedenïsfen van zvn leven. Hy hadt, zo als men gelooft , te Athenen onder de Leerlingen van Plato geftudeerd, en vestigde zich vetvolgens te Alexandrie, waar toe hy waarfchynlyk door de weldaaden van den eerften Ptolomeus genoopt werdt. Pappus (e) fchildert ons zynen inborft rret de voordeeligfte trekken. Zagtzinnig eh zedig van aart zynde, zegt hy,droeg hy altoos eene byzondere genegenheid toe aan hun, welke tot de bevordering der Wiskunde jets konden toebrengen, en zeer onderfcheiden van Appollonius, die met vermaak de gelegenheden waarnam, om zyne tydgenooten in minachting te brengen, zag men hem nooit hunne werken verachten,noch eenige pooeirg doen om hun voor te komen , ten einde hun de lauweren, welke zy verdienden , te ontrooven , of dezelve met hen te deelen. Wy kunnen uit het volgend voorval giffen, dat Euclides geen al te vhijende Geleerde was. De Koring Ptolomeus hem gevraagd hebbende, of *er, behalven de gewoone weg om de Meetkunde te leeren, geen andere was, die minder moeijelykheid vereifchte, ,, Neen Vorlt, antwoordde hy, daar is geen weg die voorbed3chtelyk voor de Koningen gemaakt is"; non efl regia ad Mathematicam via (ƒ).
't Is voornaamelyk aan de Beginfelen van Euclides, waar aan hy de beroemdheid van zyn naam verfchuldigd
is.
elides van dat Eiland afkomftig is, en maakt hem geboortig van Gela. Maar hoe veel aanhaalingen van Schryvers, die zulks gedacht hebben, deeze Geleerde ook mooge doen, is dit voorgeeven nogthans daar op eeniglyk gegrond, dat Diogenes Laé'rtius, van Euclides van Megara fpreekende, zegt dat hy, volgens fommigen , van Gela was, juxta quojdam, Gelons. Is het nu redeneeren, of in eene grondige gevolgtrekking bedreeven zyn, als men daar uit het gevolg afleidt, dat Eüclides de Meetkundige uit die Stad was ? De Arabiers hebben goed gedacht hem een Tyrier te maaken; op welken grond is my onbewuft.
(e) Coll. Math. 1. VII. Proem.
(f ) Proclus. Ibid.
T 3



3*>Q HISTORIE der
is. Hy verzaamelde in dat Werk nKnrw h** u n. van alle: de Werken van die fo^Tde'gSSI,^ ^
Hv Erï; i^eHtku?dea-Wdke VÓÓr ^ wïet Hy bragt in dezelve die aaneenfcnakeling, door de bel minnaars der Meetkundige ftriktheid zo zeer bewonderd" en welke zodanig is, dat in dezelve geen VotR
V™rfMiWOrdt' datJmet de voorgaande of vogelde Voorftellen geen noodzaakelyke overeenkomftenSe
fchikking van Euclides mishaagd heeft, dezelve getracht te yerbetertn, zonder de kracht der bewvzen efniï 2£
rtt QG tC bKrcnguen- Hunne z^akke pS^n hebben doen zien, hoe bezwaarlyk het is, om voor den keten
ü^even0 T^^f™ 8^^™ d e'S \ oie even zo hegt en vernuftig is, in plaatste ftellen
LelS "wieis^r0^11 A0"1 beSden H e?ê tZT, * gezaS m die ft°ffcn van eene groote
te PCDDen, nebben altoos zodanig gedacht; en FurisJ*? gnfejen, en echter ontbreeken ^J^7m£^1
assissfigsass
de
(f) &ement* Math. T. V. c. 3, art. g.



WISKUNDE. I. Deel. IV. Soek. 391
de Beginfelen voor alle andere verkiezen, en over de zwaarigheden, welken hec gevolg daar van zyn. Kan men ais eene weezenlyke fchikking aanzien eene zodanige, welke ons verpligt te fchenden de hoedmigheid, die in eene Meetkundige redeneering niet ontbeerd kan worden, ik wil zeggen, die üriktheid van betroging die alleen bekwaam is om een vtrnuft, gefchikt om zonder eene bovennatuurkundige klaarblyklykhéid niets toe te itaan, de toeftemming af te perflen ? Nu is by de Schryvers, waar van wy fpreeken, niets gemeener, dan aldus de Meetkundige ftriktheid te krenken. Wil. len zy betoogen, dat elk punt van een Perpendiculair, op een l\n ftaande, van de punten dier lyn, ter wederzyden op gelyke afftanden genomen, gelykelyk ver. wyderd is, zullen zy u gelooven te overtuigen met te zeggen , dat zulks klaarblyklyk is, om dat die Perpendiculair niet meer niar de eene als naar de and<.re zyde overhelt (h). Indien 'er beweezen moet worden, dat alle de gelyke peezen in een cirkel gelyke boogen bevatten , zullen zy zich vergenoegen met te zeggen, dat zulks een noodzaakelyk gevolg van de eenvormigheid des cirkels is (/), zy zullen uwe oogen tot hulp verzoeken , om u te verzekeren , dat twee cirkelen elkander niet als in twee punten kunnen fnyden, of dat hoe meer eene lyn, tot eene andere getrokken, van den perpendiculairen ftand afwykt, hoe grooter dezelve is (k). Zyn dan Meetkundigen verfchoonlyk, als zy dergelyke redeneeringen gebruiken ? Zulke redeneeringen zyn ten hoogften goed by die buigzaame verftanden, welke gereed ftaan om op den minften fchyn van waarheid, of op het getuigenis hunner zinnen, toe te geeven. Maar zy moeiten noodwendig in zo verre van de Meetkundige ftriktheid afwyken, of van een zeker foort van uitgebreidheid beginnen te handelen, vóór dat zy hetgeen van een ander eenvoudiger foort te zeggen was hadden uitgeput, en zy hebben liever flegts ten halven willen
be-
(h) Lamy. Elem. de Gcom. (f) Ibid.
(k) Rivard Elem. de Géom.



m HISTORIE d,er
bewyzen , dan eene vermeende orde, met welke zv ingenomen waren, te kwetfen. y i Zel[s.is.'ejj.naar myne gedachten, een foort van kinderachtigheid.in die gedwongene Leerwyze, om naamelyk van geen foort van grootheid, bv voorbeeld van de Driehoeken, te fpreeken, alvoorens omfiandig van de lynen en hoeken gehandeld te hebben: want als men, zich aan die fchikking verbindende, de Meetkundige ftriktheid eenigermaate in acht wil neemen, moet men tot de bewyzen de zelfde moeite aanwenden' als of men met die faamengeftelde foort van uitcebreidheid begonnen was. Ik durf nog verder gaan. er, fchroome niet te zeggen, dat die gedwongene fchikking ftrektom den geeft te verdopven,en denzelven te gewennen aan eene leiding, welke met die van de begaafdheid der ontdekkingen ftrydig is. 't Is niets anders als met veel moeite en arbeid veele byzondere waarheden voordraagen, terwyl het niet rnoeijelyker was om eensklaps den ftam te omvatten, van welken zy flegts de takken zyn. Wat zyn in der daad de meeite yan die Voorftellen over de rechtftandige en ïchmnfe lynen, welke verfcheide Afdeelingen derWer Ken, waar van wy fpreeken, uitmaaken , anders als zo veele eenvoudige gevojgen der eigenfchap van den gelykbeemgen Driehoek? Het ware veel verftandiger en zelfs korter dat men in 't begl di Tekenfchap bewets, om naderhand alle die andere VoorftelJen daar uit af te leiden. voontetDe Beginfelen van EucHdes behooren te gelvk tot de Meet- en Rekenkunde, 't is om dierede?, dat zy eenvoudig de Begwfekn (Eleménta) genoemd worden. Zodanig als dezelve uit de handen van hunnen Opfteller kwamen, begreepen zy flegts"dertien Boeken, van welken tien de Meetkunde, en de drie andere de Rekenkunde betreffen. Onder die Boeken zyn 'er agt naamelyk de zes eerfte, het elfde en twaalfde, wier Jeenng teenemaal noodzaakelyk is,- dezelve is ten aanzien van het overige der Meetkunde, hetgeen de kennisfe der letteren voor de kunft van leezen enfefervlll?' ?e .0verige Boeken worden als minder nuttig ?ynde gehouden, federt dat de Rekenkunde van gedaan-



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 293
daante veranderd is, en dat de Theorie der onmeetbaare grootheden, en die der regelmaatige lighaamen, weinig meer den aandacht der Meetkundigen opwekken; zyzyn nogthans uitmuntend in hun foort, en het tiende is vooral een meefterftuk, door de wyze op welke daar in van de leering der onmeetbaare grootheden gehandeld wordt. Men vindt in de Beginfelen van Euclides dikwils een 14de en ijde Boek, waar in de Theorie der regelmaatige lighaamen, in het 13de Boek ontworpen, verder voortgezet wordt. Zy zyn het werk van Hypficles van Alexandrie, zo als de Brief, die aan het hoofd van 't eerfte is, te kennen geeft. De byvoeging van deeze twee Boeken was niet zeer noodzaakelyk, en dezelve behoorden flegts eenige byzondere Verhandeling uit te maaken. Nogthans heeft een Uitgeever van Euclides (de Heer de Foix de Candalle) gedacht, om by dezelve nog drie andere Boeken te kunnen voegen, waar in hy alles, dat over de vergelyking der regelmaatige lighaamen gezegd kan worden, grondig afhandelt. Vooral onderzoekt hy in dezelve nieuwe regelmaatigonregelmaatige lighaamen,welke gevormd worden, als men de regelmaatige wederom op eene zekere wyze fnydt; een onderwerp 't welk weinig verdiende , dat een Meetkundige zich ernftelyk daar toe verledigde. Deeze Theorie der regelmaatige lighaamen zou Ie hedendaags vergeleeken kunnen worden by die oude mynen, waar in men niet alleen niet meer graaft, maar waar van het voortbrengfel byna t'eenemaal zyne waarde verloren heeft. De Meetkundigen zien dezelve ten hoogften aan als een voorwerp van tydverdryf, of bekwaam om eenig byzonder Voorftel te verfchaffen (/).
Hoe-
(/) Een zodanig Problema is dat, om in een Teerling een gat te maaken, door 't welk een andere gelyke Teerling geftoken kan worden; hetzelve is voorgefteld en opgeloft door den Prins Rupcrt, Broeder van Karei den tweeden, Koning van Engeland, en men kan in de Werken van Wallis, 11. Deel, de oplolfing daar van zien.
T 5



294
HISTORIE der
Hoedanig ook de wanorde zy, welke men Euclides te lafte lege, geloove ik nogthans door beroemde voorbeelden en getuigeniüen getoond te hebben, d c men nog niet gevonden hadt het middel, om eene volmaakter fchikking met de Meetkundige ftriktheid te verbinden. Maar is deeze wanorde zo geweldig groot, als ibmmige fchryvers voorgeeven ? Wy durven zeggen neen. Indien men het faamenftel van het eerfte Boek, dat aan dit verwyt het meeft blootgefteld is, flegts eenigermaate befchouwt, zal men haaft zien, dat hetzelve in drie deelen verdeeld is; het eerfte heeft tot onderwerp de eenvoudigfte eigenfchappen der Driehoeken , en haare vergelyking; hier over handelen de 16 eerfte Voorftellen, op fommige na, welke of voorbereidende Leerftukken voor het bewys der volgende, of foorten van Gevolgen (Corollaria) zyn, welken hunne aangelegenheid onder de voornaamfte Voorftellen h( efr. doen plaatfen. Het tweede handelt over de Parallelogrammen, en wel eerftelyk over de parallels of evenwydige lynen; eindelyk hec derde vereenigt de onderwerpen der twee voorgaande, door de Driehoeken en Parallelogrammen onderling met malkander te vergelyken. Dit Boek wordt befloten met de vermaarde eigenfchap van den rechthoekigen Driehoek, die met de hoog. fte aangelegenheid, zo dra het mogelyk zoude zyn, gekend moeft worden. Zodanig is de algemeene fchets van het eerfte Boek, een bewerp waar in zondertwyf. f el eene geregeldheid , doch ondergefchikt aan de Meetkundige ftriktheid, heerfcht, eene hoedanigheid die zo noodwendig tot een Boek over de Meetkunde vereifcht wordt, als de bevalligheid in een Werk dat gefchikt is om te behaagen.
De onmogelykheid om alles te zeggen , ten zy wy dieWerk al te zeer vergrooten , verpligt my om veele zaafeen, welke eenige praats daar in zouden verdienen, achter te houden. Zodanig is het onderzoek der begeerte welke Euclides doet, dat men hem toeftaa, dac zo twee lynen, door een derde gefneeden, de inwendige hoeken te Jaamen minder dan twee rechte maaken, deeze lynen zullen Jaamenkomen. Men moec aanmerken 3 dat hy komt te
be-



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 395
bewyzen, dat dezelve niet zullen faamenkomen,wanneer die hoeken gelyk aan twee rechte hoeken zyn; en ik ben verzekerd, dac deeze de plaats was, welke Euclides aan dit Voorftel gaf, dat men ten onrechte verfchikt heeft, om hec laatfte der begeertens van hetzelve te maaken. Wac 'er ook van zy, verfcheide Meetkundigen hebben gedacht, dat Euclides hier van die ongemeene ftrikcheid, die op alle andere plaacfen zo wel waargenomen is, was afgeweeken, en de begeerte om deeze plaats eenigermaate te recht te brengen, heeft de poogingen van veelen onder hun verwekc, als van Ptolomeus , van Proclus by de Ouden (»?), van den Perfiaanfchen Meeckundigen NaJJir■ Eddin, die daar in het beft geflaagd heeft (n), van Clavius (0), van Wallis (ƒ>) , enz. Wy zouden ook te onderzoeken hebben zyne bepaaling dor evenredigen, door fommigen als duifter, en door anderen als valfch verworpen. Het zou ons gemaklyk zyn te toonen, dat dezelve zeer goed , en met de gemeene wyze om de evenredige grootheden te bevatten zeer overeenkomftig is. De duifterheid welke dezelve in den eerften opflag vertoont, komt flegts daar uit voort, dat Euclides dezelve voor alle foorten van grootheden, zo meetbaare als onmeetbaare, algemeen heefc willen maaken, eene hoedanigheid, welke veelen der hedendaagfche Schryvers over de Beginfelen zich niet bekreund hebben aan de hunne te geeven. Maar ik bepaal my toe hecgeen ik zo even gezegd heb, en om in de volgende nooc (q) fommige der verdeedigers van Euclides ce doen kennen.
Welken voorrang ik aan de Beginfelen van Euclides
bo-
(1») Proclus, in 1. Eucl. Prop. 29. («) Comm. over Eucl., in 't Arabifch. (0) Comm. in Eucl. Lib. 1. p. 29. (pj Opp. Tom. II.
(q) De Ridd. Savile in zyne prelett. in Eucl. De D. Barrow in zyne LeB. Geom. De V. Saccheri in zyn Eucl. ab omni navo vindicatus. Keil in zyne Voorreden tot den druk der Elementa van 1708. David Gregori in dï voorreden van zynen heerlyken druk van Euclides. Clavius en Wallis op de aangehaalde plaatfen.



aoó
HISTORIE der
boven de hedendaagfche Werken van die foort ookgee-' ve, kan ik nogthms de nuttigheid van deeze laatlten niec loochenen. Men kan hun het voordeel niet b. twisten, van de itudie der Meetkunde gemaklyker gemaakt, en zelfs den fmaak derzelve verbreid te hebben. Alle die zich inde Meetkunde oeffenen, hebben geen voorneemen om dezelve zeer diep te doorgronden. Sommige doen zulks om geen anderereden, als om eene weetenfchap, die in een groot aanzien is, te kennen; anderen om dat de ftaat dien zy omhelzen Wiskundige kenniifen vereifcht; maar veelen zyn niet bekwaam tot den trap van opmerkzaamheid, of met de vrymoedigheid van geeft begaafd, welke noodig zyn om de zwaarigheden van zekere plaatfen van den ouden Meetkundigen te boven te komen. Het was derhalve noodzaakelyk den toegang tot de Meetkunde gemaklyker te maaken, en zulks hebben veele der Werken, waar van wy fpreeken, zeer gelukkig gedaan. Indien ik de Meetkunde moeft onderwyzen, zou ik geen zwaarigheid maaken om my van dezelve te bedienen; indien ik nogthans een verftand aantrof, begaafd met eene groote vaardigheid,met die geneigdheid eindelyk, welke den toekomftigen Meetkunftenaar aanwyft, zoude ik hetzelve geen ander boek dan Euclides aanraaden. Myne denkwyze is my bekrachtigd door een bekwaam Meetkundige, die in de iunft van onderwyzen ten hoogften ervaren is, en dien ik roemen zonde, zo ik dacht dat hy zulks konde goedvinden.
Ik zou ftoffe hebben om een arcikel van eene onge■meene uitgebreidheid te maaken, zo myn toeleg was, om van de uitleggingen, de uitgaaven en vertaalingen zonder getal, welke de Beginfelen van Euclides gehid hebben, eene volledige aantekening te geeven. Ik vergenoege my met flegts de merkwaardiglle aan te wyzen; de Leezer, die naar deeze BihlhgrapHfche byzonderheden nieuwsgierig is, kan voor het overige zynen toevlugt neemen tot een gefchrift van den Heer Bofe van Wittemberg, welke dit onderwerp in alle deszelfs uitgebreidheid heeft afgehandeld (V).
On-
(r) De Fariis Eucl. editionibus. Sched. Litter. Lipfue, 1737- in 4°. '



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 297
Onder de Ouden verklaarde Theon van Alexandrie het eerft de dertien Boeken van Euclides door aantekeningen, en maakte eenige geringe veranderingen in dezelve. Na hem ondernam de Wysgeer Proclus eene zeer uitvoerige uitlegging over dat Werk', men kan door zyne voorafgaan 'e verklaaringen, en hetgeen hy over het eerfce Boek alleen gegeeven heeft, daar over oordeelen: echter, ondanks de ongevoeglyke wydloopigheid van die U'tlegging, doen de talryke trekken, welke men daar in vindt, belangende de Hiftorie der Meetkunde, en de Bovenn ituurkun Ie der Ouden over deeze Weetenfchap, ons, ten minften aangaande dit onderwerp, beklaagen, dat dezelve niet verder is voortgezet. Koit te voeren was het zelfde Werk door Eneas van Hierapolis verkort vo. rgefteld.
De Arabiërs zouden ons een groot getal Schryvers van dezelfde achting verfchaffen ; Thebith ben Corrak vertaalde, of ten minften overzag de Beginfe'en in den loop van de negende eeuwe. Maar de voornaamfte Uitgeever van Euclides by de Oofterfche Volkeren, is Najfir-Eddin van Thus, een beroemd Perfiaanfch Meetkundige, die omtrent het jaar 1250 bloeide. Zyne geleerde uitlegging is in 't jaar 1598 in 't Arabifch in de prachtige Drukkery der Medicis te Florence gedrukt. Dit Werk, dat onder die van zyne Natie in achting gehouden wordt, zou miffchien ook onder ons geacht zyDgeworden, indien eene meer gemeene taal hetzelve bekwaam gemaakt hadt om verftaan te worden, Wy zullen elders breedvoeriger van hetzelve fpreeken (Y).
Onder de Wefterfche Chriftenen arbeidden AthelarcL in Engeland, Campanus van Novarre in Italië, ten naafte by in den zeilden tyd, om Euclides naar Arabifche overzettingen op te helderen en te vertaaien. Toen eerft was het, dat de Latynen dien Schryver begonnen te kennen: want toe dien tyd toe hadden zy tot Meefters in de Meetkunde geen andere gehad, dan Boëtius en den H. Auguftinus, of de Schryver, wie by 00K
() Tweede Deel van dit Werk, I. Boek , aan het einde.



298 HISTORIE der
zy, van het Boek getyteld deprincipiis Geontetriee. Het Vverk vin Athelard \s flegts in een Handfchrift bewaard, in de rJoekery van Bodky en die van Neunmberg, Maar de arbeid van Campanus is in 't jaar 1482 in 'c licht gebragt, door de zorgen, Zo ik denk, van Lucas de Burgo, die zelf een nieuwen Latynfchen druk van Euclides m tjaar 1489 m 't licht gaf. Zamberti gaf in 't jaar 150S een anderen druk, die in 't jaar 1516 herdrukt is. Men verwyt hem, dat hy zyn oorfprongkelvk Werk met altoos verftaan heeft.
Alle die uitgaaven waren flegts naar dikwils gebrekJyke Arabifche overzettingen gedaau. De Hervages, vermaarde Drukkers te Bazel, gaven eindelyk in 't jaar -533» "aar oude handfchriften, den Griekfchen text van de vyftien Boeken der Beginfelen, en in gevolge zag men haaft op verfcheide plaatfen naauwkeuriger en geregelder overzet! ingen ten voorfchyn komen. Onder hun welke zich tot die ftoffe verledigden, roemt men voornaamelyk Commandinus: zyne vertaaling der Be» ginlelen, met aantekeningen, in 'tjaar 1572 in 't licht gegeeven, is zeer goed. Het groot getal Latynfche uitgaaven van Euclides, naar deeze overzettin» in Engeland, en door bekwaame Meetkundigen, gedaan, bewyft de rechtmaatigheid van dit gevoelen. De V Clavius heeft geleerde uitleggingen over Euclides gemaakt. Men heeft geacht, en men acht als nog zyne uitlegg,D§i Commentarit*m), die klaar, wel ingericht, en wier wydloopigheid voor het onderwys van den Leezer niet t eecemaal te vergeefs is. Echter zou het hedendaags nu het menfchelyk verftand in 't algemeen meerder kloekmoedigheid fchynt verkreegen te hebben, voor een aanvanger in de Meetkunde een weinig gelukkig voorteken zyn, wanneer hy noodig hadt tot deeze Uitlegging toe» vlugt te neemen. Ik eindige deeze korte aantekening met aan te pryzen den Euclides van Barrow'm 1659, dien van Keil, voor de eerftemaal in 1708 gedrukt, en waar van men achtervolgens een groot getal uitgaaven gezien heeft, welke de hoogachting, die de Engelfche Meetkundigen dit Werk bewyzen, doenblyken Eindelyk zal ik nog noemen de heerlyke Griekfche en La» tynicne Druk van alles wat ons van Euclides overig is,
door



WISKUNDE. I. Deel. IV. Bedt. 290
door den Heer David Gregori in • 't jaar 1703 uitge. geeven, en van geleerde aantekeningen op ieder Verhandeling vergezeld (f). Dezelve is een duurzaam gedenkteken, tot roem van dien ouden Meetkundigen opgericht. De Heer Robert Simpfon, een Schotfch Meetkundige, heeft onlangs voorgefteld eene nieuwe Engellche en Latynfche Uitgaave der Beginfelen , waar in hy herltellen zal veele bewyzen , welke hy, in de gewnone uitgaaven, met den waaren zin van Euclides riet overeenkomft'g bevindt (u).
Welke beroemdheid Euclides door het Werk, waar van wy komen te fpreeken , ook vemeegen hebbe, hebben wy hem echier nog niet anders als van de minit voordeeiige zyde leeren kennen. Indien het als eeue verdienfte moet gerekend worden, dat men de Aanvangers den weg tot de Meetkunde gebaand heeft, dat men haare grondltellige waarheden op zekere gronden heeft vaftgefteld, is het zonder twyffel een veel grooter verdienfte iets toegebragt te hebben, om haare paaien uit te zetten. Zulks fchynt Euclides gedaan te hebben dorr verfcheide andere Werken , doch waar van de bekwaamfte om hem eere aan te doen niet tot ons gekomen zyn. Men heeft zyne data of gegeevene grootheden; dit Werk is een vervolg van zyne JBegmlèlen, en de eerfte ftap naar de hooge Meetkunde (v).
hei-
(t) Eucliais omnia quce fuperfunt. Oxon. in f.
(k) Ds Engelfche en Latynfche Euclides, door den Heer. Simpfon beloofd, is federt dit bericht in 't licht gekomen» Maar ik heb dezelve nog niet kunnen verkrygen, om van de verbeteringen, welke hy in de voorige drukken maakt, verflag te doen.
(v) Men noemt gegeevene grootheid, hetgeen door de conditiën van het Problema bepaald, en te gelyk bekend en bepaalbaar is. Zodanig is de Inhoud eens Driehoeks, zyne hoogte en Bafis bekend zynde. Daar zyn gegeeven» grootheden in foort, als een Driehoek, waar van alle de hoeken, of de betrekkingen der zyden, bekend zyn, een Kegelfneede wier As en Parameter bepaald zyn; da3r zyn gegeevene in grootheid, als de Inhoud eens Driehoeks,
waar



3cö HISTORIE der
hetzelve is verfcheide maaien gedrukt, onder anderen* in 't Griekfch en Latyn in 1625, in deeze-uitga ave leeft men ook de Inleiding tot die Verhandeling, door Ma. rinus de Neapolis. Wy noemen nog die welke doorD. Barrow in 't Jaar 1659 is uitgegeeven. Men hadt eertyds twee Boeken van Euclides over de plaatfen aan het vlak, vier andere over de Kegelfneeden, waar in hy die Theorie uitbreidde; eindelyk drie anderen over hetgeen de oude Meetkundigen Porifmata genoemd hebben (w). Pappus heeft ons een kort begrip van deeze laatfte Boeken gegeeven, in welken de Heer Halley, fchoon zeer ervaren in de oude Meetkunde, bekende niets te begrypen (x). De Heer Robert Shrpfon heeft ons doen hoopen, dat hy gelukkiger dan de Heer Hal. ley zoude zyn (y); maar in den ftaat, waar in de Meetkunde hedendaags is, weet ik niet of dit raadfel wel verdient, dat men veel moeite aanwendt om hetzelve op te lollen (2),
Pro-
waar van de zyden gegeeven zyn; eindelyk zyn 'er in ftellinggegeevene grootheden, als lynen, wier helling met eene andere bekend is; punten, welke in de doorfnyding van twee rechte lynen, wier ftelling bepaald is, gevonden worden. Deeze taal was in de oude Meetkunde zeer gemeen , en de Heer Newton maakt ook zeer dikwerf gebruik van dezelve in de eerfte afdeelingen van zyne Principia. Men kan dat Werk nazien, om van den zin en het gebruik van dit woord in de Meetkunde een klaar denkbeeld te bekomen.
O) Pappus ColL Math. 1. VII. Prsf.
(x) Appol. de feStione rationis, p. 37,
(y) Tranf. Phil. No. 357.
(z) Sedert het afdrukken van dit blad heb ik bevonden, dat Alhert Girard, een Vlaamfch Meetkundige van de voorgaande eeuwe, in zynen Franfchen druk der"' Weegfomjl van Stevin beloofde, om de Theorie der Porifmata van Euclides, in wier bezit hy, naar zyn zeggen, was, te ontdekken. Deeze belofte is, in zo verre ik weet, niet uitgevoerd. De Heer de Fermat hadt ook eenige vorderingen in deeze Theorie gemaakt. Eindelyk heeft de Heer Simpjon meer gedaan dan ons de hoope te geeven, dat hy den text van Pappus over de Porifmata zoude raaden. Hy heeft in de Tranf. Vhil. van 1723 twee Voorftellen van die foort gegeeven, naar welke wy den Leezer verzenden.



WIS K U N D E. I. Deel. IV. Boek. 3oi
Produs noemt een ander Werk van Euclides, dat getyteld was de divifionibus. Men denkt, met eenige reden, dat hetzelve betrof hetgeen wy hedendaags de Geodefie, dat is, de verdeeling der Figuuren,noemen. Men heeft over het zelfde. onderwerp eene fraaije Verhandeling van een Arabifch Meetkundige, genaamd Meliemet van Bagdad, die, naar het vermoeden van fommigen, die van Euclides zoude zvn. Maar ik denk dat men hier door den Arabfchen Schryver, op een te zwakken grond, voor een TJitfchryver van eens anders Werk verklaart.
'Er zyn weinig deelen der Wiskunde, waar over Euclides niet gefchreeven heeft. Wy hebben zyne Verhandeling^ Phenomenis, bevattende de Meetkundige bewyzen der verfchynfelen van de verfchëide open ondergangen der Sterren, waar mede de oude Sterkunde zich veel ophieldt. Zyne Muziek, een werk waar in hy over de Theorie van die Kunft by de Ouden handelt, is ook tot ons gekomen (a); dit is een deWerken, waar in men op de gémaklykfte wyze eene kennifl'e van die Kunft kan verkrygen. Aangaande de twee Boeken over de Optica, welke men onder den naam van Euclides fielt, kan ik bezwaarjyk gelooven, dat hem dezelve met recht toegeëigend worden; want dut Werk krielt van grove feilen en doolingen , welke t'eenemaal ftrydig zyn met die naauwe toezicht die in den Schryver der Beginfelen uitblonk. Hy hadt' wel is waar , over dat onderwerp gefchreeven; Proclus en Theon (b) geeven ons dit te kennen : maar daar uit te befluiten, dac het Werk, 't welk wy hedendaags hebben, het zyne zy , is, myns bedunkens, eene te voorbaarige gevolgtrekking. Indien men in de Letterkunde oordeelt, dat een Werk ten onrechte aan een oud Schryver wordt toegefchreeven, omdat men in hetzelve een ftyl en feilen vindt, welke men m zyne andere fchrifcen niet ziet, behooren wy dan
van
O) Eucl. Muftca, g. I. 1557.410. Zie ook de Verz. der fflujici veteres van Meibomhis, Tom. I. (b) In I. Eucl. 1. 1. c. 5. Inl. Almag.
V



302 HISTORIÉ DER
■van dé Werken der Wiskundigen niet volgens de zelfde regelen te oordeelen? Een bekwaam Meetkundige is 'er zo ver af om de grove feilen te begaan, welke men in de Optica, die aan Euclides wordt toegefchreeven, vindt, als een voortreffelyk Schryver om grovelyk en veelvuldig tegen zyne taal te zondigen. Daar benevens merken wy aan, dat men in dat Werk leeft den naam van Pappus, een Meetkundige die meer dan 700 jaaren laater geleefd heeft ; hetgeen aanleiding geeft om te gelooven , dat die Verhandeling, zo dezelve het werk van Euclides is, door hun welke na hem gekomen zyn vervalfcht is , en dat het ongegronde, welke daar in gevonden wordt, niet op zyne rekening gefteld moet worden.
III.
Wy hebben reeds in 't begin van dit Boek te kennen gegeeven, dat de Sterrekunde in 't byzonder de tekens droeg van de ftichting der Schoole van Alexandrie, en dat men het gewigt der waarneemingen daar in beter erkende, dan men alsnog gedaan hadt. De Sterrekundigen Ariftillus en Timocharis waren die geenen, welke volgens dat nieuw bellek begonnen te werkte gaan; en het is te beklaagen , dat wy niets daar van weeten als het weinige, dat de aanhaalingen van Ptolomeus ons daar van te kennen geeven. Dezelve zyn nogthans genoeg om ons aan te toonen, dat zy de Sterrekunde met yver voorftonden, en dat hunne waarneemingen van eene merkwaardige nuttigheid voor hunne opvolgers waren. Zy fchynen de eerften te zyn geweeft, welke den ftand der vafte Sterren ten opzichte van den Zodiak bepaald hebben, door haare Lengten en Breedten aan te wyzen. Indien wy zelfs door een vry groot getal waarneemingen, ons door Ptolomeus (c) indachtig gemaakt, daar over oordeelen, moeten wy denken, dat zy het eerft het ftout
ie) Alm. 1. VI. c. 3.



WISKUNDE. I, Die!. IV. Boek. 303
ontwerp begonnen te maaken, dm eene naamlyfl. der Sterren op te ftellen; want men vindt op de aangehaalde plaatfen bepaalingen der ftanden van Sterren, welke zeer ver van den Zodiak ftaan; waar uit men het befluit kan opmaaken, dat zy zich niet flegts bepaalden tot de Sterren, welke dicht by dien cirkel zyn, en wier aangelegenheid het meeft vereifebt haare plaats te kennen. Ten minften. deeden zy waarneemingen federt het jaar 295 vóór J. C., den dag hunner eerfte bekende waarneeraing, tot in het 13de jaar van Ptolomeus Philadclphus , hetgeen een tydverloop van 2ö jaaren uitmaakt. De ftand der Sterren was niet het eenige dat hun bezig hielt, zy verfchaften Ptdfotneus een groot gedeelte der grondftellige waarneemingen vaq zyne Theorie der Pluneeten j en 't fchynt dat zy het zyn, wien hy dikwerf door den naam van oude Waarneemers benoemt. De dagtekeningen zyn gunItig tot deeze gisfing, en ten anderen wordt Timochafis dikwils in 't byzonder genoemd.
Wy verneemen uit eene naamlyfl: der Uitleggers van Aratus (d), dac 'er twee Meet- of Sterrekundigen
van
(d) Aratus, de Schryver van het Gedicht over de Ferfchynfelen, is te beroemd om hem hier onder ftilzwygen voorby te gaan, fchoon men hem niet onder de Sterrekundigen kan ftellen. Hy was, zegt men , een Geneesheer van het Hof van Antigonus ; deeze Vorft leide hem den taak op van het Dichtftuk waar van wy fpreeken, zynde eene befchryving in Vaerferi van de hemelfche Gefterntens, en van hunne op- en ondergangen voor het gewed van Griekenland. Aratus, die geen Sterrekundige was, *bragc de Verhandeling van Eudoxus over de Verjchjnjelen, en de andere getyteld Enoptrón, in Vaerfen. Dit Gedicht, waar vari de beryming zeer fraai is, doch waar in geen yver doorftraalt, om dat Aratus, die geen grooter Dichter dan Sterrekundige was, den indruk, dien hetzelve konde hebben, daar in niet heeft weeten te-brengen, hadt nogthans onder de Ouden een zeer uitneemend geluk. Eeö ■meenigte Schryvers maakten, door aantekeningen, uitleggingen of ophelderingen van he^elve. Men heeft van hetV 2 gglvg



304 HISTORIE der
van den naam van Ariflillus waren, welke broeders fchynen geweeft te zyn; want zy worden in dezelve genoemd Arifiilli duo Geometrce, major minorque; daar door weeten wy , dat hy, van wien wy gefproken hebben, uitleggingen over Aratus maakte; maar van den anderen weet men niets dan den naam. Ik zal maar een woord zeggen van den Sterrekundigen Dio> nyfius, een anderen tydgenoot van Ariflillus en Timocharis. Hy was de Vinder van eene byzondere tydrekening , in welke de naamen der maanden van die der tekenen van den Zodiak afgeleid waren; en Ptolomeus fpreekt van veele waarneemingen van Planeeten, welke aan deeze foort van tydrekening verbonden waren, hetgeen ons aanleiding geeft om te gisfen, dat ze het Werk van dien Sterrekundigen zeiven waren.
IV.
In dien zelfden tyd bloeide Arifiarchus van Samos* die zich door zyne Sterrekundige werken , en vooral door zyne denkbeelden over het ftelfel van 't geheelai beroemd maakte; Ptolomeus brengt van hem by eene Zonneftands-waarneeming,in het 50^, jaar der eerfte Periode van Calippus, dat is het 28lfte. jaar vóór de jaartelling der Chriftenen , gedaan. Eene zo juifte dagftelling laat my niet toe de verwondering , welke de verfcheidenheid van gevoelens, die men over den leeftyd van dien Sterrekundigen vindt (e), in my doet opkomen, te bewimpelen. Arifiarchus was een geöef-
fend
zelve drie Latynfche overzettingen, door Cicero, Avienus en Germankus Ce/ar, in Vaerfen gehad. Van het eerfte zyn flegts eenige Stukken overgebleeven, welke den dichtader van den Romeinfchen Redenaar niet veel eere aandoen. De beide andere Overzettets Haagden veel beter, en hunne Werken zyn tot ons gekomen. Men kan wegens de verfcheide drukken en overzettingen yan dit oude Gedicht nazien , den Heer Fdbricius in zyne Griekjche Bibliotheek , H, Deel.
(e) Vosfius {de Scientiis Mathematicis,p. 157) onderzoekt iksze gevoelens zeer breedvoerig, en eindigt met zich te
ver-



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 305
fend en fchrander Waarneemer , volgens Vitruvius (f), een van die uitmuntende mannen, welke de nakomelingfchap met eene meenigte nuttige en aangenaame vindingen verrykt hebben. Zyne handelwyze om den afftand der Zon van de Aarde, door de verfchyning der halve-Maan ('Dichotomiaj, (eene handelwyze door welke hy de paaien van 't Geheel-al zeer wyd uitbreidde) te bepaalen, is een gedenkteken van zyn vernuft. Wy zullen dezelve nu met weinig woor* den verklaaren.
Niemand is onbewuft dat de Pbafes der Maan voortgebragt worden door de verfchillende (tanden van haaj-en verlichten halven-kloot ten onzen opzichte. Wanneer derhalve een van die ftanden zodanig zal zyn , dat het vlak des cirkels , die het verlichte van het donkere deel affcheidt , door onze oogen gaat, zal alsdan de fcheiding van het licht en de fchaduwe op haaren fchynbaaren Diameter een rechte lyn zynjmaar ter zeiver tyd is het gemaklyk te befpeuren, dat de lynen, getrokken uit het oog van den aanfchouwer tot het middelpunt der Maan, uit dit middelpunt tot dat van de Zon, en uit de Zon tot het oog van den Waarneemer der Aarde, een rechthoekigen Driehoek zullen maaken, waar van de hoek in het middelpunt der Maan den rechten hoek, die aan deZon een zeer fcherpen hoek, endederdeaan de Aarde zeer naby een rechten hoekzal zyn. Derhalve,zegt Arifiarchus, neeme men waar hes tydftip,waar in de Maan hx°fOjAYi, dat is te zeggen gelykelyk door het licht en de fchaduwe verdeeld, is, en in
dat
verzinnen. .Men zoude zeggen dat de dagftelling van deeze waarneemïng den Heere Weidler ontvallen is, door de wyze op welke hy van Arifiarchus fpreekt. Ik ben voor al gebelgd , dat die Geleerde hem eene zo grove ongerymdheid, als die van de fchynbaare middellyn der Zon het 27fte deel van den Zodiak gemaakt te hebben , heeft toegeëigend. Men leeft -zulks, wel is waar, fn de Latynfche overzetting der Arenariusvan Archimedes van 1543; maar de Griekfche: text jecbtvaerdigt Arifiarchus, en zegt het 720fte, deel. Wanneer men een bclagcbelyk gevoelen aan een manvan eene groote verdienfte toefchryft, moet men zodanige hewyüenr' daar van hebben, welke onwederfpreekelylt zyn. (ƒ; Arch. I LC I.
v V 3



goe" HIS T O R I E der
dat zelfde oogenblik de.grootheid van den boog, tus> ïchen de Zon en de Maan begreepen ("hetgeen gemaklyk gefchieden kan, als zynde niets gemeener aan dezelve in die omftandigheden te gelyk boven den Horizon te zien), dan zal men dien derden hoek, welke zo als-gezegd is, in het oog van den aanfchouwer gevormd wordt, bekomen. Niets meer is 'er voor een Meetkundige noodig, om de betrekking der zyden Van dien Driehoek, waar van de eene den afftand der Maan van de Aarde is, aan te wyzen. Gevolglyk zai men daar door weeten hoe veel maaien de afftand der Zon dien van de Maan bevat, en deeze laatfte in halve-middellynen van den Aardkloot bekend zynde, zal men, naar die zelfde maat, ook dien der Zon van de Aarde hebben.
t driftarchus, deeze handelwyze werkftellig maakende, bevondt, dat die hoek niet kleinder dan 870 was; en daar uit beflóot hy, dat de afftand der Zon van de Aarde 18 pf 20 maaien dien der Aarde van de Maan bevatte. Zulks was het Geheel-al verre uitbreiden buiten de paaien, welke de Pythagoriflen, door hunne^vereènftemmende redenen geleid, of zy die dezelve in den lëtterlyken zin opnahoen, aan hetzelve gegeeven hadden. Hy bevondt ook, naar zekere rédsrieeririgén,, om werken- te onderzoeken wy al tè ^ydloopig zouden moeten zyn, dat de middellyn van de Maan tot die van de Aarde in een grooter reden dan die van 4.? tot 108, en'in een kleinder betrekking dan die van 19 tot <5o, was; zulks dat de middellyn der Maan, volgens'hem, iets kleinder dan een derdendeel yaü die der Aarde was; hetgeen genoegzaam naauwkeurigis. Wy zullen nie& het zelfde zeggen van de onderftelling die hy maakte, dat de middellyn der Maur; aan., het 15de. deel van een teken selykwas, «erwyl dezelve naauwlvks het 6ofte.>: deel daar van is Indiert hy eenige'totaafe, of byna maak , èon-Eclips gezien hadt, zo konde hy niet twyffelen of de fchynWare middellynen- van de Maan en de Zon waren ten nSfifL by aan elkander gelyk, en, volgens het getuigènis van Archtiinédes (g), maakte hy de fchynbaare
(£) In arenarjo', jjkroot*



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek.
30?
grootheid der Zon flegts het 72ofte deel van den Zodiak, of 30' Wy weeten niet hoe wy dien oudeti Sterrekundigen kunnen ontfchuldigen over eene bepaaling, die zo verre van de waarheid afwykt, en, 7.0 door 't bericht van Pappus, als door den text van zy n Boek, de difiantiis & magnit. Solis, £? Luncs, dat tot ons gekomen is (h), klaar aan den dag gelegd is,
Arifiarchus heeft zich voornaamelyk beroemd ge-> maakt door de poogingen die hy aanwendde, om het Pythagorifch gevoelen van de beweeging der Aarde te doen herleeven. Wy hebben zulks uitdrukkelyk van Archimedes, die in een zyner Werken (/) van zyne onderftelling fpreekt, en ons te kennen geeft, dat Arifiarchus een gefchrift over dat onderwerp vervaardigd hadt. Hy plaatfte $ zegt Archimedes, de Zon or> beweeglyk in het midden der vafte Sterren, en liet geen beweeging als aan de Aarde in haaren loopkrng rondom dat Hemellicht. En naardien hy voorzag, tutmen zoude tegenwerpen, of reed s tegengeworpen hadt, dat de vafte Sterren , in die fchikking, aan eene verfcheidenheid van ftanden, volgens de verfchillende plaatfen alwaar de Aarde zich bevon.lt, zouden onderworpen zyn , antwoordde hy, dat haar geheele loop» kring, met haaren?afftand van de vafte Sterren vergeleeken zynde, flegts een punt, eene opmerkbaare grootheid, was. 1
Wat aangaat de befchuldiging van ongodsdienftigheid, door Cleantes tegen Arifiarchus ingebragt, dezelve is een trek die flegts op eenige kwalyk begreepen woorden van Plutarchus (k) gegrond is, Cleantes hadt, wel is waar, in een gefchrift tegen hem, door Diogenes La'értius aangehaald, gezegd, dat hy by die
ge«
(6) Arift. Sam. de dift. Solis £? Lunet, Druk van 157». 4to. en in Wallifis opp. T. III. Gr. Lat. Pappus heeft onseen kort begrip van dezelve bewaard in zyne Coll, Mathens. 1. VI. Pr. 33.
(i) Ibid.
(k) De facie in wie L«n%
V 4



30$ HISTORIE der
gelegenheid verdiend zoude hebben van öngodsdien« ftigheid befchuldigd te worden, als hebbende dc ruft' van Vefla , of der Haart-goden van 't Geheel-al, durven verftooren. Maar zeide Cleantes zulks met ernft, of flegts op eene fchersfende wyze? Zulks weet men niet. Doch geen fchryver heeft ons te kennen gegeeven, dat de opvolger van Zeno deezen voorftander van het Pythagorifch gevoelen voor de Gerichtzctels betrokken hëbbe. Hedendaags is men eenpaarig van begrip, dat ?erin de plaats van Plutarchus, alwaar men Cleantes in plaats van Arifiarchus leeft, eene misvatting is. En deeze misvatting moet ook verbeterd worden op fommige andere plaatfen, alwaar die HiftoriefchryVer dezelve herhaalt, door aan dien ftoïfchen Wysgeer toe te fchryven, van de beweeging der Aarde aangenomen te hebben.
" Het overige van hetgeen men aangaande Arifiarchus •weet is van weinig belang. Hy verzon, zeet Vitruvius, den Zonnewyzer , Scaphé genaamd: dezelve was het Segment eens Kloots, op welken een ftyl was opgericht, wiens top met het middelpunt overeenflemde, en welke de uuren aanwees. Men heeft in fommige Boekeryen eene Griekfche Verhandeling, onder den naam van Arifiarchus, getyteld: Predictiones Mathem de Planetts (t): deeze is waarfchynlyk geen andere als die, waar van wy boven over de affta'n Jen en de groot heden van de Zon en Maan gefproken hebben. Voor het overige móet men zeer wéinig ftaac maaken op die n&mlyften van handfehriften, dikwils gemaakt door heden wier weetenfchap zich weinig verder uitftrekc als tot de kundigheid om tytels te verZaamelen.
■f8/ .;. i'. y.
.'Terwyl de Sterrekunde dus te Alexandria bloeide gaf Sicihen de geboorte aaneen Meetkundigen, wiens' rernuft de verwondering der nakomelingfchap moeft
zyn
f,J) Labbe Bibl. nov. tnamif.p. n6,ug.



WISKUNDE. I. Deel. IV. Beek. 50$
zyn. Deeze beroemde man is Archimedes > wiens naam by allen, die eenige kenni,slé van de Hiftorie of de Weetenfchappen hebben , gedenkwaardig is. Zyn leven was oudtyds door een zekeren Ileraclldes befchreeven; maar dit ftuk, zo bekwaam om onze nieuwsgierigheid uit te lokken, is niet tot ons gekomen , en wy weeten hedendaags niet meer van hetzelve , dan eenige Haaltjes , welke wy nu zullen verzaamelen.
Archimedes wierdt geboren te Syracufa, ontrent het jaar 287 vóór J. C., en volgens het verha-ïvan Plu'tarchus (ni) was hy een bloedverwant van den Koning Hienn. Naardien Archimedes geen het minfte deel van zynen roem ontleent van uit een aanziealyk geflacht geboren te zyn, een voorrecht dat hem van de vergeetenheid niet bevryd zoude hebben, indien hy eeu gemeen man was geweeft, zullen wy op deeze omHandigheid niet aandringen, gelyk wy ook niet zullen onderzoeken, op wat wyze Cicero van hem gedacht heeft, als hy hem humilis homo noemde (»). Al was het waar, dat de Romeinfche Redenaar, in een dier oogenblikken van opgetogenheid voor zyne Kunft , die hem piet zelden overkwamen, met eenige kleinachting van Archimedes gefproken hadt, zou zulks nogthans eene vry onverlchillige zaak zyn, weinig bekwaam om de rechtmaatige waardeerders der talenten daar toe te bepaalen. Maar hy betuigt op verfcheide andere plaatzen wegens hem 'zo veel verwondering, dat wy ons kunnen verzekerd houden, dat hy hem door deeze woorden niet heeft willen verachten. Indien hy Archimedes als een gemeen man hadt aangezien, zoude hy dan de moeite genomen hebben, om in de omleggende plaatzcn van Syracufazyn graf te zoeken ?
en
Cm) ija Marcello.
(») Tufcul- 1. v. Veele Schryvers hebben onderzocht in welken zin deeze woorden van Cicero moeiten genomen worden; onder anderen de Heer Fraguier in een gefchrift, dat onder de Mém. de VAcad. des Infcriptior.s is inge? JÜSCht.
V5



3io HISTORIE der
en hetzelve gevonden hebbende, zoude hy dan, zo ais hy deedt, hetzelve getoond hebben aan zyne landgenooten, hen verwytende hunne vergeetenheid en onverfchilhgheid voor een man, die hunne Stad beroemd maakte?
Schoon Archimedes zich met alle de deelen der Wiskunde heeft bezig gehouden, zyn nogthans de Meet* kunde cn de Mechanica die deelen in welke zyn vernuft yoorn&amelyk uitblonk. Hy hadt eene zq fterke geneigdheid voor die Weetenfchappen, dat hy, naar men zegt, door dezelve de zorg om te eeten en te drinken vergat, en zyne huisgenootenverpligt waren, hem zulks indachtig te maaken, en byna hemtedwingen om de behoeften^ dermenfchheid te voldoen.Wy hebben voorbeelden, fchoon zeldzaam zynde, van deeze foort van verbyftering des verftands,te weeg gebragt door een fterken aandacht op een onderwerp. Plutarchus verhaalt van hem veele andere voorvallen, welJee ik verzwyge, als zynde fabelachtig,; enpekwaarner om deezen grooten man belagchelyk te maaken, als om zyne achting te doen uitblinken. Schoon de meeite zyner 'nafpooringen tot een nuttig doelwit ftrekten, zag hy nogthans altoos de daadelyke oeffening als eene verachtelyke flaavin der Theorie aan; en alle die kunftige Werktuigen, welken de verdeedigingvaii zyn Vaderland, of andere omftandigheden, hém deeden uitvinden, waren, volgens hem,flegts Meetkundige verluftigingen, waar van hy zelfs zich niet verwaardigde de befchryving in gefchrift na te laaten. Deeze naauwgezetheid, waar voor wyhem geen dank gunnen weeten, is het die ons van eene meenigte vindingen, waar van geen fpoor meer overig is, beroofd heeft. Voorts verfchaft ons dit een antwoord aan die perfoonen, welke men dagelyks tegen de Theorie hoort uitvaateti, en dezelve bykans eene vruchtelooze nieuwsgierigheid noemen. Wat is 'er, om hun met befchaaming te overtuigen, meer noodig dan dit voorbeeld, dat hun in den zelfden man de oorzaak der verwónderfykfte vindingen, en het diepzinnigfte verftand in de Theorie, aanwyft.
Naap-



WISKUNDE. I Deel. IV. Beek. |fl
• Naardien de Meetkunde het voorwerp geweeft is, <jat Archimedes in het grootfte gedeelte zyner overweégingen ten doelwit hadt, zullen wy met de vcrklaaring van zyne ontdekkingen in die Weetenfchap' een aanvang maaken. Als een ongemeen vernuft was zyn eenige toeleg om de paaien van deeze Weetenfchap verder uit te breiden. De meeting der Jcromïynigegrootheden -was een .nieuw onderwerp, en dat door de nafpooringen der Meetkundigen nog wéinig doorgrond was. Archimedes ondernam die meeting door een byzondere lufï tot dezelve. Hy '"opende zich nieuwe wegen in dat fchfer onbeploegde veld der Meetkunde, en deedt in hetzelve een zo groot getal'ontdekkingen, dat de aloudheid hem eenpaariglyk de eerfte plaats onder de Meetkundigen toewees. De Leerwyzen, door Archimedes uitgedacht, worden.ook erkend voor de eerfte zaaden, en genoegzaam ontwikkelde zaadéh, van die Leerwyzen, welke de Meetkunde in deeze laatfte tyden zo hoog verheven hebben. ' Wallis, een goed oordeelaar over die ftoffen , geeft zyne verwondering over dien grooten man met deeze woorden té kennen, virflupende fagacitatis, zegt hy ergens, van hem fpreekende,quiprima fundameniapofiiitiuventionum ferè omnium, de quihuspromovendis 'at a's noftra gloriatur.
'De Schriften van Archimedes over de Meetkunde zyn Vry menigvuldig. Men heeft eerftelyk zyne beide Boeken over den Kloot en den Cylinder: hy meet daar in die lighaamen, zo ten aanzien van hunne oppervlakte, als ten opzichte van hunnen inhoud; het zy dezelve geheel, of door vlakken, perpendiculair tot hunnen gemeenen as, gefneeden zyn. Dezelve eindigen met deeze fraaije Meetkundige ontdekking, ik noem dezelve fraai, fchoon ze echter hedendaags gemeen, en overvloedig bekend is, dat de Kloot het twee-derde deel, zo naar de oppervlakte als naar den inhoud, van den omgefchreeven Cylinder is; wel verftaande dat in de oppervlakte van dien Cylinder ook die van de boven- en ondervlakken begreepen zy. Doch als fnen flegts in aanmerking neemt de geboogen oppervlakte van den Cylinder, dan bewyft Archimedes, dat
die



$19 HISTORIE der
dje van ieder■ Segment des Cylinders, begreepentuffchea vlakken, welke perpendiculair door den Asgaan.geivk is aan die van het overeenkomftfg Segment fa Kloots, JJeeze ontdekkingen over de betrekking tuffchea den Kloot en den Cylinder gaven Archimedes een zodanig genoegen, dat hy wenfchte, dat na zyn dood deeze Figuuren op zyn graf befchreeven werden: hetgeen ter uitvoer gebragt werdt, zo als wy wat laager zullen zeggen (o). J 1 6
Het Boek over de meeting des Cirkels is een foort van vervulling tot die van den Kloot en Cylinder, welke de kenniffe van deeze meeting onderftellen , dat ieder cirkel en SeBor eens cirkels gelyk is aan een Driehoek, wiens Bafis den omtrek of boog des Seclors, en wiens hoogte de ftraal is Van daar gaat hy over o.n de federt dien tyd zo bekende limieten der betrekking tuffchen den omtrek en de ftraal te bepaalen. Hy doet ziendat, de ftraal de eenheid zynde, de omtrek kleinder dan of q en |i en grooter dan 3fj is. Zulks dat men de waarde van deezen omtrek zeer naby vindt, als men den DiaTteIu3fn tma?) nerfnK- Deze've is voor de benoo. digdheden der Kunften toereikende, en dit is het eenig onderwerp , dat Archimedes zich voorftelde Anders ware het hem gemaklyk geweeft zyne benadering verder voort te zetten; hetgeen naderhand gedaan
(o) Archimedes is niet de eenige, die zyne ontdekkin gen door een foortgelyk graffchrift aan de nakom elinefchao heeft willen te kennen geeven. Ludolfvan Keiden wenkh te, dat de beruchte getallen, welke hy tot limieten van den omtrek des cirkels bepaald hadt, op zyn grafzerk wer den uitgehouwen. Zulks werdt ook uitgevoerd, en dit Meetkunftig gedenkteken is nog aanweezig, zo a'ls ik er gens geleezen heb. De Heer Jacobus Bernonlli, insrenojnen met de ontdekkingen, welke hy over de Logaritkmü fcae Spiraal gedaan hadt, wilde dat men een zodanige Fi guur op zyn graf fchreef, met deeze woorden, eadem mu~ tatarefurgo, welke zinfpeelen op eenige merkwaardige eigenfchappen van deeze kromme, die in 't vervolg verklaard zullen worden» ^



WISKÜNDE. I. />«/. IV. A**. 3*3
tfaan werdt door Appollonius en een ander Meetkundige, genaamd Philo van Gadara (p).
Het middel dac Archimedes gebruikte, om tot deeze bepaaling te komen, is bekend genoeg, om my byna van de moeite te bevryden van hetzelve hier te verklaaren. Een ieder weet dat hetzelve hier in beftondt, dat men in en om den cirkel twee Veelhoeken, ieder van 96 zyden , befchreef. Hy berekende de lengten van hunne zyden, tuffchen welkende omtrek des cirkels zicbtbaarlyk gevonden moet Worden. Maar het is van veel belang op eene byzondere kunflgreep acht te geeven, waar van hy gebruikmaakte, om zyn bewys voor alle uitzondering te beveiligen. Vermits in zyne berekening veele onvolkomene worteltrekkingen plaats hadden, voorzag hy wel, dat men hem zoude kunnen tegenwerpen, dat de verwaarloosde kleine breuken hem voor den ingefchreeven Veelhoek een grooter, of voor den omgefchreeven Veelhoek een kleinder dan de waare waarde gegeeven hadden. Alsdan zoude het riiec meer zeker geweeft zyn, dac de omtrek tuffchen die paaien begreepen was. Ookfchikte hy zyne berekening, om die zwaarigheid voor ce komen, zodanig, dat die kleine onvermydelyke_afwykingen van de waarheid tot geen ander einde dienen, als om zyne gevolgtrekking zekerder te maaken , om dat dezelve hem klaarblyklyk voor den ingefchreeven veelhoek een kleinder, en voor den omgefchreeven veelhoek een grooter waarde voortbrengen, dan dezelve weezenlyk hebben. Hy zegt geenzins dat, de Diameter 1 zynde, de omtrek van den ingefchreeven Veelhoek 3 en |? is, maar hy zegt en bewyft, dat dezelve grooter dan dit getal, en die van den omgefchreeven Veelhoek kleinder dan 3f is; dus kan men niet af zyn zyne gevolgtrekking toe te ftaan, dat de omtrek zelf tuffchen die twee limieten is. Ik heb noodig geoordeeld deeze aanmerking te maaken, om te beantwoorden de fchynbaare tegenwerping, welke fommige, die naar de Quadratuur des Ciricels ftaan,
#"
rp) Eutoc. in Arek. de dim. circ



314 HISTORIE oer :
ingebragt hebben, om het befiuit, dat menté?enhua opmaaktej van dat hunne vermeende waarden van den omtrek niet LuflcHeh de limieten van Archimedes gevonden werden", om ver te fto'ocen.
Na eenigermaate de nafpooringen, welken de regelmaatige en reeds bekende lighaamen aanbieden, uitgeput te hebben, opende Archimedes zich een nieuw veld van befpiegelingen, in zyne Verhandeling over de Conoiden eri Spheroiden. Dus noemde hy de lighaamen , gevormd door de omwenteling der Kegelfneeden om hunnen as. Hy onderzoekt in deeze Verhandeling de betrekkingen van die lighaamen; hy vergeiykt dezelve, zo in hun geheel, als door Segmenten, gefnecden, met de Cyliuders of Kegels van den zelfden Bafis en hoogte. Alle die bepaalingen zyn hedendaags ,.en Meetkundigen gemeenzaam: wy zullen derhalve, om'kort te zyn, ons niet ophouden om dezelve, gelyk mede veele andere Voorftellen, welke hy in die Verhandeling beWyft, te verklaaren. Maar wy kunnen niet vooubygaan om aan te merken, dat de kunftgreep, welke Archimedes gebruikt, ongemeen diepzinnig en vernuftig is. Om de waarheid te zeggen, dezelve is teffens zomoeijelyk, dat ik verzekerd ben, dat in deeze eeuwe, in welke de oude Leerwyze weinig meer gevolgd wordt,- meer dan een Meetkundige afkeeng zoude zyn om dezelve te- volgen
Onder de Meetkundige ontdekkingen van Archimedes zvn 'er geene, die hem, naar 't oordeel derhc • dendaagiche Wiskundigen, grooter eere aandoen, dan die van de Quadratuur des Paraboois, en de eigenfchappen der Spiraal - lynen. Archimedes kwam tot de eerfte .op twee verfchillende wyzen; de eene is werktuiglyk, met zo als zulks begreepen wordt van fommigen , in de Meetkunde geheel onervaren, hedendaagfche Schryvers, welke zich verbeeld hebben, dat Archimedes ia der daad een Parabool met eene rech'rlynigp tuffchenwydte vergeleeken hadt, door dezelve tegen elkander te weegen. Wy willen daar. door flegts te kennen geeven, dat een der beide handelwyzen, volgens welke Archimedes tot zyne ontdekking kwam, geveftigd
is



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 315
is op de grondbeginfelen der Weegkunde, doch van eenegantfch oordeelkundige Weegkunde, doorwelkè' hy oncdekc hec geen gebeuren zoude, indien die tusfchenwydten met behulp van een Weegfchaal, zodanig als de Wiskundigen dien bevatten, gewogen werden. Deeze handelwyze, welke die was, waar door hy aanftonds de betrekking van den Parabool tot den ingefchreeven Driehoek ontdekte, rhoet hem zo veel te meerder eere aandoen, als dezelve wydloopiger en zeldzaamer is. De andere Leerwyze van Archimedes is enkel Meetkundig, en omhelft meer onmiddelyk de bedoelde eigenfchappen. Hy gebruikt daar in de optelling van eene afklimmende Geometrifche Progreffie: hy befchryfc een Driehoek ln den Parabool, en vervolgens in elk der overblyvende Segmenten een anderen Driehoek. Hy ftélc zich voor, dat men op gelyke wyze handelt in de vier, agt, zeftien anderen, enz., welke uic deeze foort van geduurige in tweeën fnyding ontftaan, en bevindt, dat de eerfte Driehoek, de twee, welke in de ovnrblyvende Segmenten befchreeven zyn, de vier volgende, enz. eene Progrejjte, als 1, J, T£, enz. uitmaaken. Hy zoekt de fom van deeze Progrejjie te bepaalen, en vindt door eene handelwyze, die gemaklyk op alle andere Progrefijen kan toegepaft worden, dat dezelve \\ is; dus, is de Parabool, welke de fom van alle die Driehoeken is, de | van den ingefchreeven Driehoek, of de f van het omgefchreeven Parallelogram. Die is het eerfte voorbeeld van de waare Qurdratuur eener kromme; Want die van het Maanftuk van Hippocrates, en veele andere van die foort, zyn, zo als een Wiskundige van veel verftand gezegd heeft, flegts een foort van eene fpitsvindige greep, doorwelkè men aan de eene zyde even zo veel by voegt, als men aan de andere zyde wegneemt.
De Spiraal was een Kromme, welke een Meetkundige, Conon genaamd, die een vriend van Archimedes was, hadt uitgevonden. Men verbeelde zich een punt, dat op de ftraal eens cirkels, uit het middelpunt naar den omtrek, eenpaarig voortgaat, terwyl
d'.e



3iö H I S T O R IE ces
die ftraal zelve een rondgaande en eenpaarige bewéèging beeft. Het fpoor, dat dit punt zoude achterlapten , zou de Spiraal C ABDB (Fig. 23)zyn, welke, gelyk men ziet, zo veel omgange°n kan doen als men begeert. Maar Conoii hadt zich tot daar toe bepaald : t was Archimedes die de eigenfchappen van deeze Jvromme, als dc betrekking tuffchen derzelver inhoud en dien des cirkels, die dezelve befluit, de Hand van derzelver raakïynen, enz. ontdekte. Hy deedt zien, dat ieder SeBor eens Spiraals, ais CA F, het derdendeel is van den Sector des cirkels GCF, die dezelve müuit: düspsde Spiraal, die een geheelen omgang doet, het derdendeel des cirkels die dezelve bevat;
welke-twee omgangen doet, de Tf van haaren fonkel, die, welke drie omgangen doet, de\f, enz. Wat de raakïynen betreft,om ons tot het eenvoudigfte geval te bepaalen , zo fnydt de raaklyn aan hec einde L van den eerften omgang van den Perpendiculair GK, op de ftraal CE getrokken, een lyn af, gelyk aan den omtrek des cirkels; de raak/yn aart het einde van den tweeden omgang, een Jyn gelyk aan het dubbeld des omtreks van haaren cirkel, en zo vervolgens in de zelfde veelvoudige reden, als het getal der omgangen, 'c Is derhalve niet zonder rede!, dac deSraal den naam Van Archimedes behouden heefc Hv die heel ver in een land dringt, verdient met meer recht zyn naam aan hetzelve te geeven dS hv rfS dac land eerft leert kennen. Niet ongev^glSkunnen wy hier aanmerken dat de bewyzen varf ArchZeZ over de raaklvn des Spiraals een rtW ■• \ \1 plaatfen van zyne fchriftenzynDHeZV;^ fcelf een bekwaam Meetkundige' L d%fu/iaU/ttS> dacht te hebben, cwyffekle nooofL f ? °V£r; begreepen hadt \ln dlrSdS ^vïreScS eene meer dan gemeene infpanning S hoe moeijelyker hec ons fchync den lö, fr wonderbaar vernuft gehouden" hees te7%$™ <jg
dan
(q) De Spira/lbusi



WISKUNDE. I. Deel IV. Boei, 317
dan als hy ons tot een leidsman verftrekt, hoe meer beweegredenen wy hebben over hem verwonderd te zyn, van dat hy dien weg het eerft gebaand heeft, en niet van denzelven verdoold is.
Het onderwerp van dit Werk vereifcht, dat wy hier den Leezer een denkbeeld geeven van de Leerwyze, welke Archimedes en de Ouden gebruikten in de gevallen, waar in wy van de befchouwing van 't oneindige gebruik maaken. Want, veel minder vrymoedigheid dan wy hebbende, vermydden de Meetkundigen der aloudheid altoos dat woord, bekwaam om geichillen in de Meetkunde te doen ontftaan, zo als men heeft zien gebeuren , federt dat men hier toe gekomen is. Om de waarheid te zeggen, ik twyffe. Ie niet of zy dachten hier over ten naafte by even als wy; zy zagen, by voorbeeld, dat een cirkel aange» zien konde worden als een Veelhoek van een oneindig getal zyden, een Kegel ais een oneindig getal afneemende Cylinders van eene oneindig kleine hoogte, of als eene regelmaatige Piramide van een oneindig getal zyden, enz.; maar de beweegreden, waar van wy boven gefproken hebben, deedt hun denken, dat zy altoos omfpraak moeften gebruiken , en daarom namen zy hunnen toevlugt tot een niet onmiddelyk bewys, dat geen oorzaak tot eenige zwaarigheid overlaat. Zie hier daar van twee voorbeelden, waar van het een' uit de gemeene, en het ander uit eene verhevener Meetkunde ontleend is.
Laat ons onderftellen dat men bewyzen wilde, dat de cirkel gelyk is aan den rechthoek der helft van den omtrek door den ftraal. Men ziet zulks aanftonds,als men den cirkel als een Veelhoek van een oneindig getal zyden, of als de laatfte der in-of omgefchreeven Veelhoeken, befchouwt, en zulks ontglipte de oude Meetkundigen niet; doch deeze handelwyze was niet voldoende; zy moeften die waarheid voor alletegenfpraak beveiligen. Tot dat einde ftelden zy aanftonds vaft, dat men in of.om den cirkel een Veelhoek befchry ven kan, zodanig dat deszelfs verfchil mee dien cirkel minder is,dan eenjge gegeeven groot» X heid.



3ï8 HISTORIE dsr
heid, hoe klein dezelve ook zy : zulks was hun gemaklyk; waar na zy aldus redeneerden. Naardien men wil , dat de cirkel niet gelyk zy aan den halven-recbthoek des omtreks door de ftraal, zo is dezelve derhalve grooter of kleinder, en wel eene zekere hoeveelheid, die wy A zullen noemen. Laat ons eerft onderftellen dat by kleinder zy. Men befchryve dan zeiden zy, m dien cirkel een Veelhoek, die minder dan ae hoeveelheid A van denzelven verfchilt. Naardien de rechthoek des halven - omtreks door de ftraal de hoeveelheid A kleinder is dan de cirkel, en dat de cirkel den Veelhoek niet overtreft, als eene grootheid die kleinder is dan deeze hoeveelheid A, zo is derhalve de rechthoek des hal ven-omtreks door de ftraal kleinder dan de ingefchreeven Veelhoek. Maar deeze ingefchreeven Veelhoek is de rechthoek van twee lynen, die kleinder zvn, dan de zyden van den voorgaaoden rechthoek. 'Derhalve is deeze onderIteJing ongerymd, en gevolglyk kan de cirkel niet Klemder zyn, dan de rechthoek des halven - omtreks door de kraal.; Op gelyke wyze worde beweezen dat dezelve niet grooter kan zyn; derhalve is die rechthoek gelyk aan den cirkel. D. T. B. W.
Het volgend voorbeeld is getrokken uit het Boek,. getyteld: de Comid. & Spluroidibus. Archimedes bewylt caar in onder anderen, dat de Parabolifche Covoide de f i.s des Kegels van den zelfden Bafis en den ze tden top, of, dat op het zelfde uitkomt, dat dezelve de helft is van den Cylinder van den zelfden Bafkea de zelfde hoogte. Tot dat einde ftelt hy voorat^djt Lemma voor. . Indien men eene reeks van ArithmeItjch opklimmende grootheden heeft, waarvan het verfekil gelyfe zy aan de kleinfte, en dat men een gelyk getal grootheden t alle gelyk aan de grootfte, neemt, dan zal de Jom.van aeeze hatfte grootheden kleinder zyn dan het dubbeld der fom viin de 'eerfte; maar dezehe zal grooter. zyn, aan het dubbel van deeze fom min de grootfte grootheid: vervolgens :toont hy dat, eene Parabolifche Co?md3 voorgefteld zynde, men in dezelve altoos eene ïeeKs-van Cylinders, als VE, TG, enz. {Fig. 24), V ' •: -. ert



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 313
en om dezelve andere, als DB, FE, enz. bèfchry> ven kan, zulks dat het verfchil van de ibm der ingefchreevene met die der omgefchreevene Cylinders kleinder zy dan eenige gegeeven grootheid. Zulks is kiaarblyklyk; want alle de verfchillen j welke de omgefchreevene Cylinden grooter zyn dan de ingefchreevene, zyn oogfchynlyk gelyk aan den eerften omgefchreeven Cylinder DB, welke men kleinder dan alles wat men begeert kan maaken. Eindelyk is het gemaklyk te zien, dac alle die Cylinders elkander rekenkundig overtreffen; wanc vermics zy gelyke hoogten hebben, zyn zy tot elkander in reden, als hunne Bafes, of als de vierkanten der halve - Ordinaten XO, VM, die als de Abfciffen SX, SY zyn, welke elkander gelykelyk overtreffen, en waar van het verfchil gelyk aan de kleinfte is.
Dat gefield zynde, laat de Cono'ide niet de helft des Cylinders AZ van den zelfden Ba/is en de zelfde hoogte, maar, zomen wil, de hoeveelheid A grooter zyn; men befchryve dan in en om de Cono'ide de reekfen van Cylinders, welke wy boven bcfchreeveh hebben, waar van het verfchil kleinder dan A is, dan zal de Condide de fom der ingefchreeven Cylinders minder dan A te boven gaan; en naardien dezelve den halven - Cylinder van de zelfde hoogte en den zelfden Bafis A overrreft, zo volgt dat deeze halveCylinder kleinder is dan de fom der ingefchreeven Of. Vinders. Maar de halve-fom van alle de gelyke Cylinders, Welke dén Cylinder AZ uitmaaken , is groo» ter dan de fom van alle de omgefchreevene Cylinders■* mm den eerften D B, en deeze fom der omgefchreevene Cylinders, min den eerften DB, is gelyk aan alle dej'ngefchreevene Cylinders; derhalve is de helft van den Cylinder A Z grooter dan alle de ingefchree* vene Cylinders: nu heeft men , uic kracht der onderftelling ' getoond, dat dezelve kleinder is % dus is deeze onderftelling valfch $ en de Condide kan niet grooter dan de helft van den Cylinder AZ zyn. Mets kan door eene 'gelyke fecleneering gemaklyk bêwyX a zen)



T-o HISTORIE der
«en, dat dezelve niet kleinder is; dezelve is derhalve gelyk aan de helft des Cylinders van de zelfde Bafis en de zelfde hoogte.
De Schriften van Archimedes en de oude Meetkundigen verlchaffen ons eene meenigte voorbeelden van deezen bewystrant, maar de voorgaande zyn ons genoeg om het beleid deszelven aan den dag teleggen. Men ziet dat hetzelve beftaat in het onderzoek van de eigenfchappen der rechtlynige grootheden, welke de kromlynige influiten, en geduurig nader tot dezelve komen, als tot haar limiet, waar mede zy zich ten laat ten vereenigen. Hetgeen bepaalt dat eene grootfieid de limiet van twee andere grootheden is, is wanneer zy zodanig tot dezelveknnnen naderen, dat zy minder dan eenige gegeeven grootheid van dezelve verlcrnllen. Vervolgens wordt gemaklyk beweezen, dat de eigenfchap welke met die grootheden overeenkomt, ook tot haar behoort; om deeze reden riebben fommige hedendaagfche Wiskundigen deeze leerwyze die der limieten genoemd; fommige andere : Hebben dezelve den naam van Methodus exhaufiionum gegeeven, om dat het fchynt, dat men de rechtlyni-ge grootheden, in welken de kromlyniee figuur, die men meet, opgeloft wordt, uitput. Het bewys ah -abjurdum, dat is te zeggen, door 't welk men aantoont, dat er eene ongerymdheid zoude zyn, wanneer het Voorftel anders was dan men hetzelve uïr> ■drukt, is zeer merkwaardig, zelfs durf ik zeggen zeer vernuftig; dit was het eenig middel om niets tegenzeggelyks over te laaten; maar echter maakt hetzelve geenzins den grond der Leerwyze uit. Om hun fds voldoen, welke gaerne meerder byzonderheden Wet van zouden wenfehen te weeten, wyzen wy dezel•ven naar de inleiding tqt de Verhandeling over deFluxien van den Heere Maclaurin. Deeze geleerde Meetkundige ontvouwt met veel uitgebreidheid in dat Werk de natuur van deeze oude Leerwyze. Die welke l\ewton in. zyne Principia gebruikt heeft, en in de eerfte afdeeling-van 'c eerfte Boek verklaard wordt,, is
ee-



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 32r
eene gelukkige navolging van dezelve, en niet aan de zelfde langwyligheden onderworpen.
Onder de Werken van Archimedes , welke enkel Theoretifch zyn, is 'er geen ander overig dat wy nog bekend moeien maaken, dan het Werk waar van de tytel is: de Numero Arena, of Arenarius. Eenige perfoonen, welke in de natuur der getallen en Progresfien weinig geoeffend waren, verlchaften hem daar toe het onderwerp. Zy zeiden dat geen getal, hoe groot hetzelve ook was, genoegzaam zoude zyn, om het getal zandkorreltjes, op de oevers der zee verfpreid, uit te drukken. Archimedes ondernam te toonen, dat zy hier in eene misvatting hadden; en in der daad hy doet in dat Werk zien, dat als men zelfs de paaien van 't Geheel-al veel wyder uitbreidde, dan men tot nog toe gedaan hadt, de vyftigfte Term van eene tienvoudig opklimmende Progreffiemeer dan genoegzaam zoude zyn, om het getal zandkorreltjes, die hetzelve bevatten zoude, uit te drukken.
Archimedes heeft de Mechanica geen minder luiftcr dan de Meetkunde bygezet; zelfs kan men zeggen dat hy de eerfte Vinder van dezelve was; want vóór hem was niets zwakker dan dit gedeelte der Wiskunde; en hetgeen ons door het gefchrift van Ariftoteles over dat onderwerp wordt voorgefteld, kan flegts als een ruwe fchets van eene opkomende Weetenfchap aangemerkt worden, 't Is Archimedes wien wy de waare gronden der Weeg-en Water - Weegkunde te danken hebben. Hy velligde dezelve in zyne beide Verhandelingen, de eene getyteld Iforropica, of de ALgui ■ ponderantibus ^ In twee Boeken; de andere getyteld Kift ö»sfAiviav, de iis qutz vehuntur inmede in twee Boeken. Zyne Weegkunde is op het vernuftig denkbeeld van het zwaarheids-middelpunt gegrond; een denkbeeld waar van hy de eerfte Vinder is, en van *t welk het gemeenzaam gebruik in de Mechanica een der middelen van de algemeenft'e nafpooringen gemaakt hebben. Door deszelfs behulp, en dat van eenige grondftellingen welke niet hetwift kunnen worden, betoogt hy het beruchte grondbeginfel van X 3 de



S» HISTORIE des
de wetofceerige prereenkomllen der frewfater, m«-
aantygmgen van eenige Meetkundigen? bv elkeen
zvn wnrf erD zwaare lighaamen evenwydig c&edl ï IeZelve verdlei]en geen opmerking. ^ Sldpf ^ f g.eTgpndemc£ dit eei'fte grondbefort d£ fff bet0°gd ^ hebben, begWtzich zwaarheids l £5 i™6™6 De^ouwingen, door he" eflrnd'S,pMtvan verfchillende Figuren na
rjepaait , jS zyn vernuft waardig, en doer 7i™ de in° vyan'et V^der gin^' zuIks ^ dooï JeK
«^^aïKse1,ever mareenige ande-
field ZTgllük\Ó00t den Koni"g voorge. lteldy gaf gelegenheid tot de Waterweeekundieeom
Deaiog, en naardien men een Werk, dat andp« ïrlf felyk was uitgevoerd, niet wildefchenden werdt X geraadpleegd over het miïdelomèThLeeZ ontdeJ-Sn u ' J°°,r 5et S°ud in Plaats .gebralt f te
S?&?fS^T^'? W^^ene ze|KJ' ^^derc dien tyd vermaard geworden is^Men
voegt



WISKUNDE. L Deel, IV. Beek. &3
voegt 'er by, dat hy, onder het uitroepen van deeze woorden, dus naakt langs de ftraatea van Syracufa liep. Het gemeen, deeze verdichtfelen aanneemende, fchvnc, door de belagchelykheid, waarin groote manhen door dezelve gebragt worden, zich te trooften wegens de overtreffelykheid, die zy boven hetzelve hebben; doch de verflandige oordeelkundigen neemen noch de al te wonderbaare gebeurtenisfen, noch de al te belagchelyke trekken, in mannen van een zekeren rang aan.
Vitruvius f» verhaalt, dat Archimedes het Problema, waar van wy fpreeken ,opiofte,door eerft den Kroon, en vervolgens twee klompen, de een van goud en de andere van zilver, en even zo zwaar als de Kroon, in een vat vol water te dompelen; dat hy in aanmerking nam de betrekkingen van de hoeveelheden waters, welke ieder van die klompen uit het vat dreef, en daar door de vermenging van den eerften vondt. Wy moeten bekennen, dat deeze handelwyze goed zoude zyn, indien men de hoeveelheid waters, die uit een vol vat gedreeven wordt, met naauwkeungheid konde weeten; maar al was dit zelfs gemaklyk, •zoude die handelwyze in geenerlei wyze tot roem van Archimedes verftrekken. Men vindt in zyn Boek de infldentibus in fiuido de gronden van eene vernuftiger oplosfing. 't Was waarfchynlyk dit voorftel, _ dat de geweldige verrukkingen van dien Meetkundigen te weeg bragt, naamelyk dat een lighaam, in eene vloeddof e gedompeld, daar in even zo veel van zyne zwaarte 'verheft, als eene uitgebreidheid waters, gelyk aan de ruimte van dat lighaam, weegt. In der daad, wanneer men in gevolge van deeze ontdekking redeneert, zal men zien dat het goud, als zynde het dichtfte, het minft van zyne zwaarse verheft, het zilver meer, en een klomp van goud en zilver vermengd minder, dan wanneer dezelve geheel van zilver was geweeft, e-n meerder, wanneer dezelve van zuiver goud was ge-
weeft*
M Archit. 1. IX. c. 3-
X4



3M HISTORIE der
-^a' Archimedes derhalve genoeg de Kroon
en de beide Jdompen gouds en zilvlrs in't water en in de lucht te weegen, om te bepaalen wat ieder van zyne zwaarte verloor: daar na heeft het Problema geen zwaarigheid meer voor een Analyfi; hy zal gemaklyk Zien dat men den gemengden klomp in twee deelen moet deelen, welke onder elkander in reden zyn, als a\L ka VaD de zwaarte die dezeIve verheft, met WnCI tdezeIve,JgeheeI van S°ud zynde, zoude verloren hebben-, en de zwaarte die dezelve, geheel van
fZfY- Td,S' Z0^e- verIoren hebbe»- Het eerfte ?eiIS ge hoeveelheid zilver, die in de vermenging
Si; s W3S ?mder twYffeI de handelwyze, Archimedes in die oplosfing volgde. Dezelve deedt hem m 't gemoed des Konings zo veel eere aan, zvndeytP eJU;gde gen^gen te g alles als mogelyk Hut 1 ge'00Ve£', dat ^chimedes hem als zodanig zoude zeggen. Nihil, non dicenti Archimedi, eredam; Voortaan zalmen gelooven alles dat Archimedes zegt. riep ny uit, op net zien van deeze ontdekking (n.
1L7^ -tbaar grondbeginfel verfchafte Archimedes Sn ïeSk''\g TaVee,e Waterweegkundige waarheden, welke hedendaags zodanig bekend zyn, dat het onnpodig is dezelve hier voor te ftellen. Dezelve maaken net eerfte Boek van zyne verhandeling uit. In het weede onderzoekt hy veele zeer moeijelyke vraagftukken, over den ftand en onbevveegbkrheld van
wofden gtemen \ Wdke in vloeift°^n gedompeld woiden. De meefte van zyne upIosfingeS verfchaffen nieuwe beweegredenen, om over de diepzfinfen Von 7n Vernuft verwonderd te ftaan epZlnn]g De Uuden eigenden Archimedes veertig Mechanifchr uitvindingen toe; maar men vindt van deze ve ikt
de"ZhZ 0mm,ge,' Wdke °P eene duifte^ wyzedoor de Schi y vers worden aangeweezen. Zodanig is onder anderen de hellende fchroef, een zondcrE Werktuig, en in 't welk zelfs de neiging der zwfarte om
te
(?) Proclus, L. II. in Eucl. c. 3,



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 32 J
te vallen fchynt gebruikt te worden, om dezelve te doen verheffen, hetzelve draagt mede den naam van Archimedes. Hy vondt dit Werktuig uit, zegt Diodorus (t), toen hy in Egypte was, omdeinwoonersvan dat land het middel te verfchaffen, van hec water,dac na de overltrooming op de laage plaatfen bleef ftaan, met meerder gemak af Ce tappen. Volgens Akheneus (u) gaven de Zeelieden ook Archimedes de eere van het Werktuig, dat zy gebruikten, om het water uic de durken der fcheepen te loozen. De fchroef zonder einde, de vermenigvuldiging der katrollen, worden ook als uitvindingen van Archimedes aangezien, en misfehien was hy de eerfte, die hec beweegbaar katrol bedacht; want men vindt in de Werktuigkunde van Ariftoteles nog geen zodanige fchikking.
Een ieder weec wac Archimedes zeide tegen den Koning Hieron, die verbaasd ftondc over de wonderen, welke hy door zyne Mechanifche vindingen te weeg bragt: Da mihi ubi conftftam, & terram loco dimovebo. Men kan in der daad naar zyne grondbeginfelen een zodanig Werktuig verzinnen, dat, in de Theorie, de gegeeven minfte kracht bekwaam zoude maaken, om den grootflen tegenftand te overwinnen. Dit was, volgens Pappus (v), de veercigfte zyner vindingen. Hy toonde, naar men zegt, hier van eene proeve aan Hieron, toen hy alleen, met behulp eens Werktuigs van zyne vinding, een febip van eene ongemeene grootte vlot maakte (w). Maar dit is een ftaaltje waar aan men naauwlyks geloof kan flaan: zy die wecten, hoe veel kracht de wryvingen in eenig Werktuig, hoegenaamd, verfpillen, zullen'oordeelen, dac zulks niets anders dan eene verfiering kan zyn. Daar benevens is het een grondbeginfel der Mechanica, dat men even zo veel, als men in kracht wint, in tyd offnelheid
verCO Bibliotk. Hifi. 1. x, (u) Bcipnofoph. 1. V. O) Coll. Math. 1. VIII. p. IQ. (w) Ath. Deipncf. t. V.
X5



HISTORIE der
verliest. Wordt een man door een Werktuig in ftaaï gefteld te doen, hetgeen honderd menfehen flegts toet hunne natuurlyke krachten zouden hebben kunnen uitvoeren, zal hy dit nies dan honderdmaal langzaatner verrichten. Naar dit grondbeginfel redeneeren. de, is het gemaklyk te zien, dat Archimedes eenen zeer merkeiyken tyd zoude noodig gehad hebben, vóór dat hy dien geweldig grooten laft iets van belang verplaatfl: hadt. ö
De Spheer van Archimedes, een Werktuig waar door Hy de beweegingen der Hemellichten vertoonde, is een der vermaardften; dezelve isdoor verfcheide Dichters met loffpraaken verheven, en 'er is niemand dien met bekend is het beroemde Puntdicht van Claudianus, dat met deeze Vaarfcn begint.
Jupiter, in parvo cim cerneret cethera vitre ,
Rifit, ad fuperos taiia verba, dedit. Buccine mortaüs progrefa potent ia cur<z%
Ecce Syracu/ii ludimur artejemsi *
Cicero fpreekt met geen minder verwondering van dezelve (xi, en hy ziet dezelve aan als een der bekwaamde uitvindingen, om het menfchelyk verftand eere aan te doen. Dit Werk was ook datgeen waar in Archimedes het grootfte behaagen hadt; want hebbende verzuimd zyne andere vindingen te befchryven, het hy van deeze eene befchryving na, onder den komen311 p<B'ia Deze!ye is niet tot ons ge-
Tertullianus (z) fchynt Archimedes de faamenftelling van een waterkunflig orgel toe te eigenen, waar van men doorgaans Cteflbius de eere geeft. Maar behoort men veel ftaat te maaken op het getuigenis van dien kerkvader, dat in andere opzichten zeer veel achting
— - ..... ver-
00 Tufcul. I & I. de Nat. Deor. ( y) ColL Math. 1. VIII. pnemt (zj De anima, c. 14.



WISKU N DE. I. Deel. IV. Boek. 3*7
verdient, doch in die ftoffen niet van het zelfde gewigt is. De Spraakkunftenaar Atilius Foriunatianus fpreekt (a) van eene zekere uitvinding, waar vanwy niet onderneemen zullen een ander denkbeeld te geeven, als met zyne eigene woorden , weike wy bekennen niet te begrypen. Nam fi loculus Me Archimedeus. zegt hy > quatuordecim lamellas, quarum angidi varii funt in quadratam formam inclufas kabens, componeniibus nobis aliter atque aliter, modo ftcam,. modo galeam, alids navem, alias columnam figurat, & fnnumeras efficit Jpecies, fohbatque nobis putris bic loculus, ad confirmandam memoriam, quam plurimum prodejfe, quantb maj'orem voluptatem, &c. Ik wenfch dat hec een Uitlegger van onzen tyd gelukken moge dit raadfel te ontknoopen, fchoon,om de waarheid te zeggen , hetgeen hetzelve fchynt te betekenen my weinig hec vernuft van Archimedes fchynt waardig te zyn.
Ons blyft nog overig om Archimedes. als verdeedi? gende zyn Vaderland met behulp van zyne Mechanica. ten toon te voeren: want het was voornaamelyk by dié gelegenheid, dat hy het vermogen van zyn vernuft en dat der Wiskunde deedt uitblinken. Dit voorval gelchieddein 't Jaar £12 vóór J. C. De opvolger van Hieron zonder oorzaak de vriendfchap mee de Romeinen verbroken hebbende, namen deeze laatften die gelegenheid waar om Sicilien te bemagtigen, en belegerden, na verfcheide voordeden behaald te hebben, de ftad Syracufa. De inwooners, verbaasd over de fnelheid en den naam der Romeinfche Wapenen, zouden weinig tegenftand gedaan hebben; maar Archimedes wekte:hen den moed op, en wierdt de beweegoorzaak van een der dapperfte verweeringen , waarvan ooit de Hiftorie gewaagd heeft. Verfcheide Werktuigen, de eenen krachtdaadiger dan de anderen, Verydelden welhaaft alle de aanflagen der Romeinfche Ingenieurs; de Soldaat hielde, in weerwil van zyne onverzaagdheid, geen ftand op het zien van 't geen.een
dee-
O) Gram. Vet, p. 3684. Fabric. Bibl. Graca. T. IL



3?» HISTORIE der
deeze»Werktuigen voorfpelde.en deinsde, vanfchrik ontroerd, te rug, of weigefde voort te trekken.Xcellus geen hoop meer hebbende om de plaats met geweldte neemen, veranderde het beleg in eene blokïfnTDg' ^ d'e van deeze Werktuigen eene befchry-
ï32rT^fcÏS? te?!en' kTen te raade 8aan metii T d-Ü' T'*"s CO» en Plutarchus (d), of met
Sn 5- dcer. in ^e uitlegging over den eerften
yan die Schryvers. Deeze Boeken zyn in elks handen, waarom ik, wegens den ongemeenen overvloed haaien my ophouden om dezelve te her-
't Is natuurlyk hier de plaats om de beruchte Gefchiedenis der Brandfpiegels, met welken, zo als gezegd wordt, Archimedes de Romeinfche Vloot verbrandde, te onderzoeken. Dezelve is op het verhaal If Zonnras (e) en 7zeizes (ƒ) gegrond: de eerfte Kerkt zich met het getuigenis van Dion, en de andere met dat van Diodorus, Dion en veele anderen. Nog. thans is deeze gefchiedenis, indien dezelve met aandacht overwogen wordt, aan zo veele zwaarigheden onderworpen, dat men zich niet behoeft te verwonderen , dat de geleerden , ondanks die getuigeniffeu dien aangaande verdeeld zyn. s '
Men heeft in der daad flegts eene geringe Theorie van de Catoptrica of Spiegelkunde noodig, om te. befpeuren éat Archimedes dat gewrogt niet konde voortbrengen door eene enkele Spiegel, van eene onverdeelde, zo klootfche,alsP^o///cfe,bultigheid. De afftand op welken de Romeinfche Scheepen moeften zyn, al waren deze ve flegts eenigzins buiten hec bereik desfchoots, of zelfs nader by geweeft, zoude een kloots gedeelte van eene fchnkkelyke grootte vereischt hebben; want het
brand.
(b) Hift. 1. VIII. 00 Decad. III. I. IV.
Cd) In Marcello.
(e) Hifi. T. III. Sub. Anaft.
(ƒ) Ckil. II. Hift. 35,



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boei. 32$
brandpunt van een klootfcben Spiegel is op het vierdedeel van den Diameter des Kloots, waar van dezelve een gedeelte uitmaakt. 'Er zouden geen minder zwaarigheden zyn in eenen Parabolifchen fpiegel: te vergeefs zoude men met fommigen eene faamenvoeging van Parabolifche fpiegels voorftellen, met wier behulp zy gewaand hebben, in de uitgeftrektheid eener lyn van eene groote lengte, een onverdeeld brandpunt voort te brengen,zulks is flegts een kwalyk begreependenkbeeld, waar van de uitvoering, om veele redenen, ondoenlyk is.
Op deeze gronden begon men de gefchiedenis der fpiegels van Archimedes als verdicht aan te zien , toen de V. Kircher ondernam de mogelykheid van dezelve te toonen. Deeze Geleerde, meer acht geevende op de befchry ving, welke Tzetzes van het Spiegelkiïndig Werktuig van Archimedes geeft, dacht, volgens den zin van den Griekfchen Hiftoriefchry ver, dat een groot getal vlakke Spiegels, welke het licht der Zon in een -/.elfde plaats te rug kaatzen, bekwaam zouden zyn om aldaar vuur te ontfteeken. Hy deedt daar van de 'proeve, welke hy flegts zo ver voortzette, dat hy een zeer groote hitte te weeg bragt (g). De Heer de Buffbn is verder geweeft. Hy liet, nu weinig jaaren geleden,een foortgelyken Spiegel vervaardigen: dezelve was faamengefteld uit omtrent 400 vlakke glanzen van een-half Voet in 't vierkant; en de vereeni•ging der Zonneftraalen, tot een gemeen brandpunt terug gefluit, bragt aldaar eene hitte voort, die groot genoeg was, om lood en tin op byna 140 voeten afftands te fmelten, en op een veel grooter afftand hout. in brand te fteeken (h).
Zie daar dan nu de gefchiedenis der Spiegels van 'Archimedes als mogelyk zynde beweezen. Het is zeker dat hy de Romeinfche Vloot door dit middel 'heeft kunnen in brand fteeken; maar behooren wy . . . • .. . ckrat
(g) Ars magna lucis & umbrte, aan het einde. Ck) Mém. de l'Acad. an. 1746.



33°
HISTORIE der
daar Uit te befttiiten, dat het voorval gebeurd zy? Dit is eene nieuwe vraag, over welke men nog verdeeld kan zyn. Men kan aan den eenen kant doen gelden het ftilzwygen van Polybius, een geleerd Ingenieur en Wiskundige, die de gefchiedenis van dit beleg eene halve-eeuw daar na fchreef. Dat van 77ius-Livius en Plutarchus, welken zich in de befchrvvingen, die zy van dat zelfde belei* doen, met een foort van gedienfhgheid over de wonderbaare verrichtingen van Archimedes uitbreiden, en nogthans niets van zyne Spiegels zeggen; Zouden voornaamelyk deeze twee laatfte Schryvers een voorval, zo bekwaam om Mn verhaal te vercieren, Vergeeten hebben .wanneer flegts het mmfte teken daar van in de gedachtenis der menfehen overgebleeven was? Daar benevens zyn er veele hmderpaalen in zulk een vinding. Men zou moeteni onderftellen dat de Romeinfche Scheepen, naar welken Archimedes zich gericht zoude hebben, hem, door ftil op hunne ftandplaats te blyven , den tyd Gegeeven hadden, om zvn Werktuig, dat een langduurigen arbeid vereischte om in ftaat gebragt te worden, Mi' orde te ftellen. ' Op de minfte beweeging van dié Scheepen om af te wyken, zouden 'er geheele uuren noodig geweeft zyn,om hen in dien nieuwen poft te bereiken. Eindelyk Zonaras en Tzetees fchreeven zo lang na den tyd van Archimedes, dat men recht heeft om niet veel geloof aan hun verhaal te geeven Men weet hoe veel de faam by de gebeurteniffen toedoet, hoe veelzy dezelve vergroot en verminkt. Galianus, die.nader aan den tyd van Archimedes geleefd heeft fpreekt, we is waar, van het verbranden der Ro' meiniche fcheepen (i), maay hy zegt niets van de Spiegels; en het woordpyria, waar van hy zich bedient,- ichynt flegts een vuurvverktuig, of d*t gefchikt is om mee brand-ftoffen te fchietcn, aan te duiden, «nwaar van de uitwerking veel zekerder zoude geWeeft zyn, dan die der Spiegels, waar van hier gefprooken
wordté
(O De temper. L. Hl. c. 24



WISKUNDE. ï. Deel IV. Boek. 33*
wordt. De oorfprong van dit gerucht is misfehien. deeze, dat men aan den eenen kant zag, dat Archimedes over de brandfpiegels gefchreeven, en aan den anderen kant de Romeinfche Scheepen verbrand hadt. Door de beide voorvallen faamen tê voegen ,• zal .mogelyk iemand gezegd hebben, dat hy door deeze Spiegels dien brand te weeg bragt, en alles dat wonderlyk is, is zodanig wegens het goed onthaal van 't gemeen verzekerd, dat 'er niets meer noodig was, om deeze gefchiedenis geloofwaardig te maaken, en van mond tot mond te doen verfpreiden.
■ Deeze zyn de redenen met welke zich diegeencn verdeedigen, welke, de mogelykheid van hec voorval, waar van wy fpreeken, toeftaande, de weezen<lykheid van hetzelve weigeren aan te neemen: maar de redenen, welke men hun tegenwerpt,fchynen niet minder krachtig te zyn. 't Is geenzins op hetonmiddelyk gezag van Zonaras cn Tzetzes dat men zich vestigt, dat vmTzetzes zou van weinig belang zyn ;maar 't is Dien, 'C is Diodorus Siculus, Heron, Pappus , Anr themius, welke men als waarborgen van die voorval bvbrengc. De Vaarzen van Tzetzes zyn in veele opzichten merkwaardig, weshalven wy de overzetting derselven zullen mededeelen.
Cüm at/tem Marceïïus removijfet Mas (naves') ad faStttè, arcus,
Eaucens quod fpeculum fabricavit fenex, A diflantia autem comniemofatijpeculi, Tarvo cjufmodi JpeciL'a cüm pofuijfet angulis qy$. drupla
Qua movebantur fcamis, & quibufdam •yuvyhifAus'? Medium Mudpofuit radiorum folis. Refraclis, (refiexis) deinceps in hoe radiis Exarfio Jublata efl formidabilis ignita navibus, Dion dtque Diodorus (jè) fcribunt hiftoriam ;
* ' Charnieres, ■ >
(*) Wy hebheh hïst rKeèr het geJsë'te van het werk
* V2T?i



33^ HISTORIE der
Et citm ipfis multi meminerunt Archimedis, Anthemius quidem imprimis, qulparadoxa fcripRt. Heron, Philon, Papptifquê, ac omnis mechanographus,
Ex quibus Jegimas & fpecukrum ineenfiones, Umnemque alwm defcriptionem rerum mechanicarum f onderum traclricem, pneumaticam ac hydrofcopia, idque ex fenis hujus Archimedis libris.
Daar uit ziet mefj dat Tzetzes zyn verhaal met veele voornaame plaatfen, die men bezwaariyk wraaken kan, verfterkt. Daar benevens, en dit is eene gewigtige aanmerking, bepaalt hyzich niet tot een eenvoudig verhaal van het voorval: hy geeft een foort van befchryving van de gedaante des Spiegels van Archimedes; en dezelve is weezenlyk de eenige met welke het mogelyk geweeft zy de daad, die men verbaalt, te verrichten. Men kan, myns bedunkens, geen dringender bewyzen begeeren, om aan te toonen, dat dit Itaaltje geenszins eene loutere inbeelding
is.
yan Dion, dat Zonaras en Tzetzes aanhaalen , als ook niet de plaats van Diodorus'. op welke zich nog de laatfte vestigt. My dunkt dat Diodorus ergens eene wydluftiger befchryvmg van de uitvindingen van Archimedes beloofd en
ge^rak ^ °P p!a3tS' daarhy Van zyne SPie"
betreft> dezeIve was een Ingenieur van den Keu-er Juftimanus, die een Werk gefchreeven hadt onder den tytel u^%tX) &Cm paradoxa machinamenta, yan hetzelve berurten nog eenige gefchreeven ftukken in de Loekery des Konings, en elders. Uit het gering Profpecïus, 't welk de V. Labbe in zyn Bib/, nova manuPcriptorum. üm van geeft, blykt, dat hy in hetzelve over de brandfpiegels handelde, en daar uit heeft Tzetzes waarfchynlyk .zyne befchryving ontleend. Anthemius wordt ver. ders aangehaald door Fitellion COpt. L. F. p 6<\ als hebbende uitgevonden of befchreeven een brandfpiegel van verfcheide vlakke Spiegels gemaakt, die zodanig waren faamengevoegd, dat ze hunne ftraalen in ds zelfde plaats te rug kaatften. 1



WISKUNDE. L Deel IV. Boeh m
is. Ik laat den Leezèr over om de wederzyds bygebragte redenen te onderzoeken, en daar uit een befluit op te maaken. Ikkome weder tot het beleg van Syracufa, en den dood van Archimedes.
Wy hebben gezegd dat de tegenftand der Syracufers 20 hevig was, dat Marcellüs zyne aanvallen Haakte. Hy veranderde hec beleg in eene blokkeering, terwyl hy ondertuflchen eëne gunftigegejegènheidafwachtte, om de plaats door verrafïïng in te neemen. Hec vertrouwen der Syracufers OD hunne krachten verfchafte hem welhaaft die gelegenheid. Wanc als zy zich ob zekeren dag onledig hielden, om een feeft van Diana te vieren, en waanden dat de Romeinen, door hunne verhezen, al te zéér verzwakt Waren, om aan eenige beweeging te denken, lieten zy hunne muuren van yolic ontbloot. De Romeinen, zulks gewaar wordende, maakten aanftonds gebruik van de ftormladders, waar toe zy alles in gereedheid hadden gebragt, en drongen door tot in de ftad, die genomen en geplunderd werdt. Men verhaalt dat Archimedes, ongevoelig op het gerucht, door een dergelyke gebeurcenis veroorzaakt, zich aan zyne meeft geliefde ftudie overgaf, toen een Romeinfch Soldaat in zyn vertrek kwam (/). Marcellus, met achting voor dat ongemeen
ver-
(/) ValeriusMaximus zégt , dat Archimedes op dat óogenblik zyne oogen en gedachten naar de Aarde keerde, om over eenige in 't zand befchreeven Figuren te peinzen; toen Hy op t onverwachtft den op roof beluften foldaat. met het blanke zwaard aan zyne zyde zag, hem vraagendè w»e hy was? Dat de begeerte, om het gezochte te vinden, hem zodanig opgetogen hieldt, dat hy, zyn eene 5™ ÏP 2and te ruS hogende, met denzelven
den foldaat afhielde, zeggende: Ik bid U befchadigt deeze Figuren met: Hier op zinfpeelen ook de woorden van
££■ n -f™ An Zln Werk' SetyteId Archimedes Kunjt-Bucher, daar hy Archimedes aldus, door ons inNederdmtfche Vaerfen nagevolgd, fpreekende invoert:
Ds
Y



'334
HISTORIE der
vernuft bezield, had bevel gegeeven, dat men hem het leven zoude fpaaren. Maar deze bevelen werden kwalyk ter uitvoer gebragt, en ofwel de Ongelukkige Wiskundige, in zyn gepeins te zeer verdiept, het geduld van den Soldaat ten einde gebragt, of het ongeluk gehad hadt van hem te verblinden door de rykdommen, welke in een Koffertje, dat hy wegdroeg fcheenen beOoten te zyn, hy wierdt gedood, en overleefde Zyn Vaderland niet (in). Dit gebeurde in't jaar 542 na de ftichting van Rome, en 212 jaaren vóór de Jaartelling der Chriftenen. Marcellus betuigde, zegt Valerius Maximus (»), een groot leedweezeu over den dood van dien grooten man. Kunnende hem niet behouden, betoonde hy zyne milddaadigheid aan zyne maagfchap. Hy overlaadde diegeenen met weldaaden, welke de woede van den foldaat ontkomen waren: hy gaf hen hunne goederen weder, en het lighaam van dien grooten man, om hetzelve eene grafftee-
de
, De woede /paarde my; de Kunft nam my het leven ,
Die anders V leven my en mynen Vrienden gaf. 6 Zoete weetens/ujl, daar in ik pleeg te zweeven
Toen ik my ftervend groef in *t zand myn eigen graf; Toen ik, my zelf ontrukt , my met gedachten vleidde ,
En als een fpraakloos beeld in diepe denking zat; Toen bykans V levens ziel uit't logge lighaam fcheidde,
En eet en , drinken, ja het leven Jchier vergat. Maar hoe ! hoe konde ik doch het leven gantsck vergeeten
IVyl denken leven is , en ik ook ftervend dacht ? Heeft reeds de fpitze my te dooden zich ver meet en,
Zy heeft doch maar het Lyf, de Ziel niet, omgebracht, Myn Geeft leeft heden nog, myn Roem is nooit gejïorven.
Sicilien my begroef; in Duitschland ryz' ik wéér. Myn Graffchrift toont elk een, wat Kunft my heeft verworven ;
In drie en twee beftaat myns levens eeuw'ge eer. enz, VERTAALEBr»
(m) Plut. in Marcello. («) Lib. VUL Ex. 7.



WISKUNDE. L Deel. IV. Bót»; S3|
de op te richten. Archimedes hadt begeerd, dat op dezelve een Kloot in een Cylinder- befchreeven werdt uitgehouwen. ,Zulks werdt ook ter uitvoer gebragt; en 't was aan dit teken, dat. Cicero, Schatmeefter in Sicilien zynde, dit gedenkftukmidden onder de {[ruiken en doornen, dit het gezicht daarvan benamen, wedervondt (o).
Ik heb nog van geen andere Werken van Archimedes eenig gewag gemaakt, dan alleen van die welke tot ons gekomen, en in elks handen zyn. Hy.hadteeri ongemeen groot getal Werken gefchreeven, zo het waar is, gelyk een-Arabifch Hiftorie-Schryver zegt., dat de Romeinen vyftien vragten van dezelve verbrandden O); maar zulks heeft geen de minde overeenkomft , én kan niet anders aangezien worden, dan als een géwaagd verdichtfel van dien Schryver, die niet altoos genoegzaam van den fakkel der oordeelkunde wordt voorgelicht. Wy hebben nog in verfcheide Boekeryen, die een overvloed van Handfchriften bezitten , Verfchillende Verhandelingen, welke den naam van Archimedes draagen, en meerendeels inOosterfche taaien gefchreeven zyn. Wy wyzen den Leezer naar de Griekfche Bibliotheek van den Heer Fdbricius, die de tytels van die Werken zeer zorgvuldig verzaameld heeft, maar dezelve zouden waarfchynlyk tot een zeer klein getal gebragt worden, indien dezelve met andere Qbgen als diedergewpone Bibliographiften befchouwd werden. Men heeft Archimedes eene kleine Verhandeling over den Brandjpiegel toegefchreeven, welke in 't begin der voorige eeuwe vertaald, en in 't licht gegeeven is (q). Ik zie hier in geen anderen grond, dan de vermaardheid, welke de Spiegels van Archimedes gehad hebben , en hetgeen ons Theon te kennen
geeft
Co) Tufcul. L. Ve
(/>) Abulph. Hift. Dyn.
(?) De prob. parab. & fpec. uft. lib. 2. Jo. Gegava ia* terp, 1613, Lovan. in 40.
y 2



334
HISTORIE der
' geeft (r), dat hy over dat onderwerp gefchreeven hadt. Maar zo die Verhandeling van dien grooten man was, zon dezelve zonder twyffel'iets grondigers bevatten: want het voornaamfte van die Verhandeling beftaat in het betoogen der eigenfchap, welke de Parabolifche Spiegel heeft, van alle de ftraalen , evenwydig met den As, in deszelfs brandpunt te vereenigen ; hetgeen flegts eene grondftellige waarheid van de Theorie der Kegelfneeden is. Ook vergenoegt zich de Uitlegger van die Verhandeling, met ons dezelve als het werk van een ouden Schryver te geeven, en hy is 'er zeer ver af van hetzelve aan Archimedes toe te eigenen. De Heeren Greaves en Fofter hebben ons een Werk medegedeeld, 't welk de Arabiërs ook aan dien ouden Meetkundigen toefchryven, en den tytel van Lemmata heeft. De Heer Borelli heeft hetzelve ook gevoegd achter de drie Boeken van Apollonius, welke hy ons in 't jaar 1661 Wedergegeeven heeft: maar deeze Meetkundige en fchrandere Oordeeler laat niet na aan te merken, dat het zeer twyffelachtig is of hetzelve een herffenvrucht van Archimedes is.* Hy geeft daar van verfcheide redenen , onder welken de voornaamfte js, dac dit Werk flegts zaaken bevat, verre beneden diegeenen, welke ïfl zyne andere fchriften
•gevonden worden, en zelfs dat het niet vry is van gebreken en valfche redeneeringen.
Alvoorens dit Artikel te eindigen, moet ik nog fpreeken van de merkwaardigfte Uitleggingen (Commentaria) en Uitgaven der Werken van Archimedes. Onder de Ouden heeft Eutocius een deel van dezelve verklaard O) : zyn arbeid is nuttig, fraai, en verfchaft eenige enderrichtingen tot de Hiftorie der Meetkunde. Om-
' trent het midden der zeftiende eeuwe (in 1643) Z3g men te Bazel in 't licht komen eene Griekfche en Latynfche uitgave van alles dat van die Werken in hunne oorfprongkelyke taal was wedergevonden, benevens
^' ■ 0' ^ ' w >%w s, «H»^ i;0 de
(r) Comm. in Alm. L. 1.
(0 £>e Boek. de fph. &, cit. De dim. Circ. & de Equi?..



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 357
de vei'kiaaring van Eutocius. De overzetting zoude met meerder oordeel hebben kunnen gedaan worden, doeh in weêrwil van derzelver gebreken, is men hem verpligt, die dezelve toen vervaardigde. Commando nus gaf in laater tyd een beter overzetting met korte aantekeningen, benevens de Boeken de infidentihus in fluido, welke niet als in 't Arabifch zyn wedergevonden. Geduurende dien tyd befloot Maurolicus, een ichrander Meetkundige van Mesfina, tot een Druk van die Werken, welken zyne erfgenaamen in 't jaar 157a in 'dichtgaven: dezelve hadt een ongelukkig lot; wanc hy raakte geheel verloren door de fchipbreuk van liet fehip, waar in dezelve gefcheept was, en 't was toen met den Archimedes van Maurolicus gedaan, indien Borelli, de eere van zyne twee Vaderlandeis ter harten neemende, geen nieuwen druk in 't jaar 1685 van denzelven gegeeven hadr. Men kan van Maurolicus zeggen, dat de uitlegger zodanig is, als een oorfprongkelyk Werk van die voortreffelykheid verdiende. De Archimedes van Rivauit de Fleurances is een vry fraaije Griekfche en Latynfche druk; een werk dat voor 't overige veel beter zoude zyn, indien hy zyn grondtext altoos wel verftaan hadt. De Heer Midorgius heeft hem het tegendeel verweeten door hem verfcheide maaien infellx Commentator te noemen. Nogthans is deeze druk geenzins te verachten. Engeland, dat nog in de eere der oude Meetkundigen belang fielt, zal ons mogelyk C eeniger tyd een fraaijen druk hier van geeven, welke met die van Euclides en Apollonius, die wy aan hetzelve verfchuldigd zyn, in gelyken rang kan ftaan. De Ardhimedes van den D. Barrow is een uitneemend Werk; hetzelve is vooral dienftig voor die van onze hedendaagfche Meetkundigen, welkezich de oude Lee'fwyze wenfchen bekend te maaken, om dat dezelve daar in onder eene verkorte gedaante, zonder krenking van den zin, wordt voorgefteld. Borelli heeft zich het zelfde onderwerp voorgefteld , in een Boek , getyteld: Archltd. opera compendiaria, en zulks ïs hem zeer wel gelukt.
y 3 Wat



33* HISTORIE eer
Wat aangaat de gewigtige gefchiedenis van Archimedes K zyne uitvindingen en gefchriften, 'dit onderwerp is met veel geleerdheid en uitgebreidheid verhandeld, door den Graaf Maria Mazuckelli, een Sicihaanfeh Edelman (t). De Heer Melot heeft in de Memorien van de Academie der fraaije Letteren («), het begin eener Levensbefchryving van Archimedes gegeeven , welke ons doet beklaagen, dat die geleerde Academift zyne onderneeming niet ten vollen heeft uitgevoerd.
VI.
Een zo beroemd man als Archimedes verdiende de Uitgebreidheid, welke wy aan hetgeen hem betreft gegeeven hebben. Indien fommige Leezers het voorgaande Artikel eenigzins wydloopig gevonden hebben, zullen wy in de overvloedigheid der (toffe, welke zich voor ons opdeedt, eene billyke verfchooning vinden. Laat ons thans te rug keeren naar Egypte« 3 fer zeIver tyd Ewofthenes bloeide, aan wien de Wiskunde verfcheide verpligtingeri heeft, welke, als tot ons onderwerp behóorende, wy thans zullen yoordraagen. ■ *
1 Eratofthenes was een van die uitmuntende mannen, wier uitgebreid vernuft alle foorten van kundigheden ?#5flftV» Als Redenaar' Dichter, Oudheidskenner, Wiskunftenaar en Wysgeer, werdt hy van fommigen genoemd 5rê„r*S-A©-, een toenaam, die aan hen gegeeven werdt, welke in de vyfoeffeningen derOlympiicrie bpeelen de overwinning behaald hadden Deetee uitgebreide geleerdheid maakte hem de eere waardig, van door den derden Ptolomeus verkoren te wor' et °Pzicht over zyne Boekery te hebben;
eene bediening welke hy waarnam tot in den ouderdom,
hifl' intr>Tn° allavita, *Ui fcritti, tinven* Stoni dArchimede. 1735, in -fol. • O) Tom, XV.



WISKUNDE. I. Beel. IV. Boek. ^9
i
dom van tagtig jaaren, toen hy, een zwak en kwynend leven moede zynde, een einde van hetzelve maakte, door zich van honger te laaten fterven.
Onder de Wiskundige Weetenfchappen waren de Aleet- en Sterrekunde de voornaamfte, in welken Eratofthenes zich geacht maakte. Hy verdiende gefield te worden nevens de drie beroemde Meetkundigen der aloudheid, Arifteus, Euclides en Apollonius, welke over de Meetkundige Analyfta gearbeid hadden. Pappus f» haalt van hem een Werk aan, dat gefchikt was om deeze Leerwyze tot meerder volmaaktheid te brengen, en tot tytel voerde de locis ad medietates. Het ware te wenfchen, ten minften voor onze nieuwsgierigheid, dat hy ons den korten inhoud van hetzelve hadt nagelaaten, zo als hy van fommige andere gedaan heeft; maar alles dat hy van hetzelve zegt, beftaat in dien tytel. De oplosfing, welke Eratofthenes van het Problema der verdubbeling van den teerling gaf, was eenigermaate beroemd: wy hebben van dezelve gefproken in het voorgaande Boek, toen wy de gefchiedenis van dit, by de Ouden, berucht Probtema verhaalden, waarom wy den Leezer daar heen ■wyzen. Bdètius geeft in zyne Rekenkunde eene handelwyze van dien Wiskundigen, om de eerfte [van de faamengeftelde] getallen te onderfcheiden : dezelve werdt de zeef van Eratofthenes genoemd, om dat hy, in plaats van dezelve rechtftreeks te vinden, zulks langs een omweg deedt, door op eenigerlei wyze die getallen uit te fluiten, welke geen eerfte getallen zyn.
De Sterrekunde was aan Eratofthenes op verfcheide wyzen verpligt, Hy was het die Ptolomeus Evergeies noopte om, voor de waarneeming der Hemellichten, groote Werktuigen te laaten maaken, en in de galdery van Alexandria te plaatfen. Deeze zyn de .vermaarde Ringen (Armillce); ik noem dezelve vermaard, om dat de voornaamfte waarreemingen der
Griek-
O) Coll. Math. Ldb. VII. Pr*f.
Y 4



349 HISTORIE der
Griekfche Sterrekunde door middel van dezelve gedaar, werden. Deeze Ringen waren eene faamenvoï ging van verfcheide hoepels, welke de cirkelen van de Hemelfche ^verbeeldden, en die, n deï behoor yken ftand geplaatft zynde, tot een groo? Si t^al Sterrekund.ge oeffeningen dienden. Naardien wy ons voorftellen, om van de oeifenende Sterrekunde der Ouden elders een denkheeld te geeven (w) zul-
genoden"8 ^ aanV™ ™'
AP?ËA p°°SinSen van Eratofthenes, om de grootheid
mird ?n rV^T' ,Zyn * de Sterrekunde ve maaid, en fchoon dezelve weinig naauwkeurig zvn verdienen zy nogthans, in zekere opziXn, fi|be: roemdhe.d, als zynde de eerfte proeven, van zekere Jewerfangen welke d menfehengedaiïhSb^lS daar toe te komen. Tot in dien tyd hadt menVirh vergenoegd met vry onzekere gTdS^aL^^
h*tl?l Tnt/ri&e[es Aen alderen naam aan ïnd^fl ^ ü df Wiskundigen, welke in zynen tyd onderftekien, dat de Aarde 400000 Stadiën omtreks hadt. De waarneeming van Eratofthenes, fchoon ruuw zynde, bragt onze woonplaats tuffchen veel enger paaien; zie hier hoe hy daar in te werk ging (ï)
'Er was te Syenaeexi diepe put, die od der7d*VV»h den zomerfchen Zonnefta^A 'mTddagPS geheef v? hcht was. Eratofthenes hadt zulks bemerkt als ook
fn'da^tvdSn CfëD ft ^ticaal hoogtens
m dat tydftip geen fenaduwe hadden. Deeze waarneem, ng overreedde hem, dat Syëna juift onder den Kreefts. Keerkring lag; hy onderftelde vei volgens dat Syena en Alexandria beide onder den zelfde?X' ntkaan waren. Derhalve bleef'er niets anders 0veaL L k Weetenrr u'dk dee'vanden Meridiaan der Aarde de boog, tuffchen Alexandria en Syëna begreepen, was. lot dat einde wachtte hy in de. eerfte
van,
f» Zie het volgende BoeV.
(*) Cieom. Cycl. Theo, Liè. I. c. t%



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 541
van die Steden den middag van den Zonneftands-dag, een oogenblik waar in de Zon loodrecht boven Syëna ftondt, en mat door middel van een ftyl , in 't midden van een Klootfch .Segment opgericht, en wiens top deszelfs middelpunt bereikte, den boog, tuffchen de Zon, die toen in het Zenith van Syëna was, en het Zenith van Alexandria befloten. Hy hevondc cenzelven een vyftigfte deel van den omtrek, waar uit hy befloot; dat de grootheid van een Meridiaander Aarde van 250000 ftadiën was.
De V. Riccioli heeft deeze meeting van Eratofthenes verftandiglyk overwogen (y), en aangetoond, dat dezelve, om verfcheide redenen, door overmaat gebreklyk was. De eerfte is deeze: toen die Sterrekundige, zegt hy, den afftand der Toppunten (Zenithi) tuffchen Syëna en Alexandria door de fchaduwe van een ftyl mat, is het waarfchynlyk, dat hy flegts op de fterke fchaduwe acht gaf; dus nam hy de hoogte des bovenrands der Zon tot zyn Zenith voor die van het middelpunt. Men moet derhalve 15 of 16'by den afftand tuffchen Syëna en Alexandria optellen, en dezelve zal dan, in plaats van een vyftigfte deel des omtreks, of 70 12', welke hy vondt, 7027 of 28', of 7°| zyn, hetgeen het agtenveertigftedeel des omtreks is. Derhalve zoude men de meeting van Eratoflhenes reeds een vyfentwintigfte deel moeten ver-> minderen ; en, door andere omftandigheden te onderzoeken, doet men zien, dat men dezelve nog meerder zoude kunnen verminderen; maar hedendaags nu wy eene meeting der Aarde hebben , welke door haare naauwkeurigheid zo verre boven die der Ouden uitmunt, is het onnoodig den geleerden Jefuit in zyne overweeging te volgen.
De waarneeming welke Eratofthenes van de fchuinsheid der Ecliptica deedt, is inde Sterrekunde niet minder vermaard, en dient, benevens die van Pytheas, waar van in het voorgaande Boek gefproken is, tot
een
CiO Gtog. &? Hydrog. reform. Alm, nov. I. III. c. lf.



342
HISTORIE der
een grondflag des gevoelens van hen die voorgeeven dat deeze fchuinsheid hedendaags minder is, dan dezelve eertyds was. Geen oud Schryver heeft de handelwyze van dien Sterrekundigen tot ons overgebragt: alleenlyk weet men, dat hy bevondt, dat de afftand der Keerkringen f} deel eens grooten cirkels was, dat is te zeggen 47" 42'26". De V. Riccioli, deezewaarneeming onderzoekende f», heeft onderfteld, dat Eratofthenes van zyne eerfte bepaaling afweek, naamelyk dat Syëna onder den Keerkring lag, en éénvyftigfte deel, of 70 12', van den Meridiaan verwyderd was. Naderhand nam hy de Breedte van Alexandria, door middel van den afftand der Zon van het Zenith, 's middags op den dag der nachtevening, waar, en trok van dien afftand dien, welke hy wift dien van Syëna tot Alexandria te zvn ; waar door hy den afftand van Syëna tot den Equator, of de afwyking der Ecliptica yan de grootheid, waar van wv nu gefproken hebben, vondt.
Door de meeting der fchuinsheid van de Ecliptica, op deeze wyze genomen, te onderftellen, merkt de V. Riccioli aan, dat men in dezelve eene verbetering moet doen, op welke de oude Schryver geen achtgaf, en met behulp van welke hy flegts 230 35 of 36' gevonden hadt, zo dat hy zelfs daar uit een bewys wil afleiden, dat dezelve tot in onze dagen niet verminderd is. Deeze verbetering is de zelfde als de voorgaande: Eratofthenes, zegt hy, neemende de hoogte van den bovenrand der Zon voor die van het middelpunt, maakte de verwydering der Toppunten van Syëna en Alexandria 15 of 16 minuten te groot. Laat ©ns dezelve by deeze verwydering optellen, zo zal men derhalve die van Syëna tot den Equator even zo veel moeten verminderen: dus zal dezelve niet meer dan 23° 35 of 36'zyn; hetgeen de afwyking van de Ecliptica, zo als dezelve hedendaags is, flegts een klein getal minuten te boven gaat, eene dooling,die men waarfchynlyk aan de ruwheid der waarneeming
K . van
Cz) Alm, t/ov. I. III. e. 17.



WI SKUN DE. I. Deel. IV. Boek. 343
yan Eratofthenes moet toefchryven.
Zodanig is de redeneering van den V. Riccioli, maar zy, welke de verandering der afwyking van de Ecliptica ftaande houden, zyn in ftaat een krachtig antwoord hier op te geeven. Zy kunnen zeggen , dat het waarfchynlyk is, dat Eratofthenes insgelyks de Breedte van Alexandria mat, en gevolglyk dezelve 15'minuten te klein maakte. Trekkende dus van de Breedte yan Alexandria, 'met 15'vergroot,den afftand tuffchen Syëna en Alexandria, desgelyks met 15'vergroot , zal het overblyvende alsnog 230 51' zyn. Ten anderen, indien Eratofthenes den afftand der Keerkringen door twee onmiddelykc waarneemingen der Zon in de Zonneftanden gemeeten heeft, kan de verbetering van den V. Riccioli geen plaats hebben; want hy zal dan ieder van die afftanden der Zon van zyn Zenith kleinder dan dezelve behoprde te zyn gemaakt hebben; doch deeze dooling zal in 't geheel geen invloed hebben op den opzichtelyken afftand der beide plaatfen van de Zon. Indien men eindelyk onderftelde, hetgeen vry waarfchynlyk zoude zyn, dat Eratofthenes zich naar Syëna begeeven hadt, om aldaar, op den dag vaneen winterfchen Zonneftand, den afftapd der Zon van zyn Zenith waar te neemen, een afftand, welke dien der Keerkringen zoude geweeft zyn, zouden wy bevinden , dat hy denzelven 15'te klein hadt gemaakt. "Wanthyzoude, in 't waarncemen der Zon, flegts den afftand des bovenrand? van zyn' Zenith genomen hebben: dus zou de waare afftand een fchynbaare halve-middellyn van dat Hemellicht grooter zyn. De redeneering van den V. Riccioli befluit derhalve niets tegen de beweegbaarheid van de Ecliptica: maar ook kan men uit de waarneeming van Eratofthenes geen andere dan zeer zwakke gevolgen, ten vöordeele van dit gevoelen, afleiden. Zelfs kan men geen grondig onderzoek van hetzelve onderneemerj, vermits de wyze, op welke die waarneeming gedaan werdt', niet tot ons gekomen is.
Van de talryke Schriften van Eratofthenes zyn flegts eenige ftukken meer voor handen. De Schryver der fraaije Griekfche uitgave over de Verfchynfelen van Aratus , te Oxford in ifez gedaan, heeft dezelve, met
by-



$44 HISTORIE der
by voeging van eenige aantekeningen, achter dit Dichcftuk geplaatft. Men vindt daar in zyn gefchrift over de Gefterntens, veeleer een Letterkundig, dan Wiskundig Werk, zyn Mefolabium, zyne meeting van de grootheid der Aarde, zo als dezelve door Cleomedesvzvhaald wordt, en zyne harmonifthe verdeeling.
VII.
Omtrent den tyd toen Archimedes zynen levensloop eindigde,_ zag de School van Alexandria haar tydperk beginnen in een Meetkunftenaar, dien zich door zyn vernuft en talryke ontdekkingen niet minder beroemd heeft gemaakt. Deeze is Apollonius Pergeus, wien de Ouden den toenaam vau groot Meetkunftenaar, den Meetkunftenaar by uitneemendheid, gaven. My dunkt nogthans, dat Archimedes tot dien eernaam eenige voorrechten heeft, welke men hem niet betwiften kan; wat ook het vernuft zy, dat Apollonius in eenige van zyne nafpooringen doet blyken, kan men echter niet ontkennen , dat de SicUiaanfche Meetkundige een veel verhevener vlugt neemt, en zich door de buitengewoone wegen,, welken hy zich weet te baanen, verwonderlvker vertoont. .Indien 'er onder de laatere Wiskundigen maar één Newton is, kan men met even zo veel recht zeggen, dat 'er in de aloudheid niet meer dan één Archimedes gevonden wordt.
Apollonius was van Pergen in Pamphylien: hy kwam ter waereld onder de regeering van PÜlameüs Evergetes den eerften, dat is , omtrent het midden van de derde eeuwe vóór de Jaartelling der Chriflenen (a), en bloeide onder Ptolomeus Philopator, of tegen het einde der zelfde eeuwe (b). Pappus geeft ons te kennen, dathv zyne vorderingen maakte te Alexandria onder de opvolgers van Euclides, en aldaar die overtreffelyke be« kwaamheid in de Meetkunde, welke hem beroemd . . miRik-
. (d\ Eut. ad Appol. con. (ft) Ph'ot. Btblioth. cod. 190,



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boei. 345
maakte, verkreeg. De zelfde Schryver maakt ons van •de overige hoedanigheden van Apollonius eene weinig voordeelige afbeelding: hy vertoont hem ons (c) als een verwaand man, afgunitig wegens de verdienfte van anderen, en gaerne de gelegenheid aangrypende, om dezelve in kleinachting te brengen. Is het niet te beklaagen, dat de volmaaktheden van den geeft door de gebreken van het hart zo dikwerf bezwalkt worden ?
Apollonius was een der vruchtbaarfte en grondigfte Schryvers, welken de Wiskunde ooit gehad heeft. Zyne Werken alleen maakten eertyds een aanzienlyk gedeelte dergeenen uit, welke de Ouden als den bron van het Meetkundig verftand aanzagen (d); zyne Verhandeling over de Kegelfneeden is nogthans het merkwaaxdigfte, dat zyne beroemdheid het meeft heeft bevorderd. Door deeze reden moet hetzelve onzen aandacht het eerft opwekken (e).
Men gelooft, volgens het verhaal van Eutocius, dat Apollonius de eerfte is, die aan de Kegelfneeden de naamen gegeeven heeft, welken zy hedendaags hebben; maar dit verhaal fchynt weinig naauwkeurig te zyn; ■want Archimedes heeft den naam van Parabool gekend, en zelfs zich daar van bediend in den tytel van het Werk, waar in hy die Kromme quadrateert. Wel is waar hy fchynt die van Ellips en Hyperbool niet gekend te hebben. Apollonius heeft dezelve miflehien, in navolging van de eerfte, ingevoerd: wat 'er ook van zy, zyne Kegelfneeden zyn een der koftelykfte Werken van de aloudheid; dezelve begreepen eertyds agt Boeken , waar in hy alles verzaamelde, dat in zynen tyd over die Krommen bekend was, zo wel de ontdekkingen der
Meet»-
O) Coll. Matk. 1. VII. Proef, (d) Ibid. init.
. (e) Wy hebben in het voorgaande Boek de afkomft en fommige der eigenfchappen van de Kegelfneeden verklaard; weshalven de Leezers, welke daarin nog onkundig zyn, bunnen toevlugt tot die plaats kunnen neemea, om van dezelve een denkbeeld te bekomen.



346
HISTORIE be*
Meetkundigen, welke vóór hém geleefd hadden, als diegeenep welke hy 'er hadt bygevoegd. De vier eerfte Boeken, deèènige, welke wy tot in't midden der voorgaande èeuwe gehad hebben , vervullen het eerfte van die voorwerpen: Apollonius verklaart zich aldus' over dezelve in een foort van Voorreden, waar in hy zich alleenlyk de verdienfte toeeigent, van deeze vóór hem reeds ver gevorderde Theorie, uitgebreid en verklaard te hebben. Zy die geen andere dan deeze vier Boeken hébben kunnen zien, hebben derhalve dien Meetkundigen byna niet gekend, en zagen fchier niets anders, dan hetgeen men aan de Schoole van Plato, aan Arifteus, aan Euclides, enz. verfchuldigd was, dat is te zeggen, de Beginfelen der Kegelfneeden. Dus is het niet te verwonderen, dat Defcartes, opdebefchouwing van dit begin des Wêrks van Apollonius , over hetzelve met zo gunftig als de aloudheid dacht. Hier by kwam nog eene andere beweegreden 5 deeze is, 'dat de hedendaagfche Meetkundige over de moeijelykheid der ontdekkingen van den ouden niet oordeelde als door de middelen, welke hy zelf bezat, om daar toe te geraaken. In deeze denkwyze legt èenige onbillykheid ópgefloten. Zoude men eenigen grond hebben, om over de bekwaamheid van een ouden Krygsoverften te oordeelen, door den tegenftand, welke een plaats hem zoude geboden hebben, die men hedendaags ftormenderhand zoude inneèmen? de Heer Newton, die meer redelykheid bezat, velde een oordeel, 't welk van dat des Meetkundigen, waar van wy fpreeken, veel' verfchildè (f).
De vier laatfte Boeken der Kegelfneeden zyn de verhevenfte, en bevatten de eigene ontdekkingen van Apollonius, Onder dezelve zyn 'er voornaamelyk twee, naamelyk het vyfde en zevende, welke hem onder deMeetkundigen altoos veel eere zullen aandoen. Men kan dezelve niet leezen, zonder van den Schryver derzelven zich het denkbeeld te maaken van een man, dié
met
(f) Fit. Newt. in opufc. T. i„



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 347
met eene verwonderenswsardige fterkte van geeft begaafd is, om, zonder in dooling te vallen, zich aan nafpooringen te hebben kunnen verbinden, waarvan de meefte zelfs eenige bekwaamheid vereifchen , onï met onze hedendaagfche Analyfis om te gaan.
Om een denkbeeld te geeven van 't geen de Meetkunde aan Apollonius verfchuldigd is, zullen wy het onderwerp van die beide Boeken kortelyk voordraagen. Dezelve handelen beide over eert der moeijelykfte onderwerpen van de Meetkunde, naamelyk de vraagftukken de maximis & minimis over de Kegelfneeden. In 't vyfde onderzoekt Apollonius in 't byzonder, welke de grootfte en kleinfte lynen zyn, die uit elk gegeeven punt tot aan heuren omtrek kunnen getrokken worden. Men vindt daar in wederom alles dat onze hedendaagfche Analytlfche Leerwyzen ons over dat onderwerp leeren ; men ontdekt daar in eindelyk de bepaaling van onze ontwondene Krommen: want Apollonius merkt zeer wel aan, dat 'er in de ruimte boven den as eener Kegelfneede een reeks van punten is, waar uit men tot het overftaande deel flegts eene lyn kan trekken', dié perpendiculair op dezelve ftaat. Zelfs bepaalt hy die punten, welke by de hedendaagfche Wiskundigen onder den naam van kuffende middelpunten (Centres d'osculation) bekend zyn, en hy merkt aan, dat hunne verknochtheid twee ruimtens van malkander fcheidt, waar van de eene zodanig is j dat men uit ieder van haare punten, tot het overftaande deel der Kromme, twee perpendiculaire lynen kan trekken, en de andere in tegendeel deeze eigenfchap heeft, dat men uit dezelve geen zodanige lyn kan trekken. De eerfte van deeze ruimtens ig klaarblyklyk die, welke tuffchen den as der Kromme en haare ontwondene begreepen is. Alle de vraagftukkeH, welke tot dergelyke nafpooringen behooren , worden in dit vyfde Boek verhandeld met een zo naauw toezicht, dat 'er naauwlyks één Voorftel, zonder hetzelve op te loffen, wordt voorbygegaan.
Het zevende Boek, (want ik gaa het zesde Boek, dat geen zwaarigheid influit, en over de gelykvormige Kegelfneeden handelt, met ftilzwygen voorby) het zevende



348
H I S T O R I E der
de Boek, zeg ik , bevat verfcheide merkwaardigs eigenfchappen van die Krommen : zodanige zyn deeze: Dat in de Ellips, en de aan elkander toegevoegde Hyperbolen, de Parallelogrammen, gevormd door de raakïynen op de einden der toegevoegde Diameters ,flandvaftig de zelfde zyn: Dat In den Hyperbool het verfchil der vierkanten van twee aan elkander toegevoegde Diameters, en in de Ellips hun fom, altoos de zelfde is. Ik zoude een groot getal andere foortgelyke Voorftellen kunnen verzaamelen, waar van veele zeer merkwaardig zyn, en tot grondbeginfelen van oploffingen der Problemata de maximis & minimis van eene zekere zwaarwigtigheid dienen; zie hier by voorbeeld, een van die Voorftellen: In een Hyperbool den Diameter te bepaalen, wiens Parameter de mogelyk kleinfle is, of wel den Diameter wieni vierkant met dat van deszelfs Parameter de mogelyk kleinfle fom uitmaakt. Deeze. vraagftukken, en veele andere van de zelfde foort, werden verhandeld in het agtfte Boek, dat niet tot ons gekomen is; maar men kan daar over oordeelen door de befchouwmg der Theoremata, welke begreepen zyn in het zevende Boek, 't welk den grondflag' van het agtfte was. Onder dezelve zyn 'er fommige, welke bekwaam zouden zyn om ons verleden te maaken, door de bezwaarlykheid om de hedendaagfche Analyfis op dezelve toe te paffen. Om eindelyk van het werk van Apollonius het denkbeeld te geeven dat hetzelve waardig is, zal ik aanmerken, dat wy i'n de Franfche taal, en in den ftyl der Algebra, eene verhandeling over de Kegelfneeden hebben, die met recht zeer hoog geacht wordt; ik wil fpreeken van de Verhandeling van. den Heere Marquis de l'Hópital: echter i'chroome ik niet te zeggen, dat 'er by den ouden Meetkundigen eene ten minften zo uitgebreide en volkomen Theorie van die Krommen, als by den hedendaagfehen Meetkundigen, gevonden, wordt.
De Kegelfneeden van Apollonius hebben , even als alle de beroemde Werken der aloudheid, een groot getal uitleggers en aantekenaars gehad. Zelfs onder de Grieken werden dezelve door Pappus van Alexandria opgehelderd, met voorafgaande Lemmata of Voorftellen
aan



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 34S
aan 't hoofd van ieder Boek. De geleerde Hypathia, dochter van Theon, hadt over dat Werk eene uitlegging gegeeven, welke niet tot cns gekomen is. Wy hebben die van Eutocius, van Aftcalon, die desgelyks' over de fchriften van Archiinedes gearbeid hadt. Deeze uitlegging betreft alleenlyk de vier eerfte Boeken, of" ten minften is van dezelve niet dan dit deel voorhanden.
Toen de Arabiers de Wcetchfcbappën, welke in 't overige vsn 't Geheel-al byna verbannen waren, eenige achting begonnen te bewyzen, waren de Kegelihéeden van Apollonius een der eerfte Werken, waar van zy de overzetting ondernamen. Dezelve werdt begonnen onder den Calif Almamon in, 't jaar 2^o(g)i en Thehit Ben-Cora droeg zorg van dezelve, in den loop der zelfde eeuwe te overzien, en met de overzetting der laatfte Boeken te vermeerderen. Abalphat deedt eene nieuwe overzetting onder den CkWïAbucalighiar in 't jaar o».; 't is deeze welke den Heer Boreilt in handen viel, zo als wy wat laager zullen zeg-» gen._ De Perfiaanfche Meet - en SterrekundigeNaftlrEddin maakte, in 't midden der dertiende eeuwe,aantekeningen op dat Werk; en Abdolmelec van Schiras, een ander Perfiaan, verkortte hetzelve. DeEuropeërs bezitten alle die overzettingen.
Onder de Weflerfcfie Chriftenen heeft men Apollonius eerft omtrent het midden der vyftiende eeuwe beginnen tekennen, toen Regiomontanus voorneemens was eene uitgave van denzelven te doen. Zyn fc-hielyke dood deedt dit ontwerp mislukken, en men zag deezen Meetkundigen eerft in 't jaar 1537 in 't licht komen, in eene Latynfche overzetting, door Memmus, een Venetiaanfch Edelman , gedaan, en na zyn dood door zyn zoon uitgegeeven. Deeze druk, het Werk van een weinig verftandig Overzetter, en van een Ditgeever dre nog minder oordeel bezat, heeft flegts
de
(g) Abulph. Hift. Dynaft. D'Herbefot, Bibl. ori. op 'e woord Abolloniouu
Z



350 HISTORIE der
de verdienfte van de eerfte te zyn. Commandinus gaf daar van eene betere overzetting in 't jaar 15C6, benevens de uitlegging van Eutocius, en de Lemmata van Pappus. Ik gaa een groot getal andere voorby, met oogmerk om deeze Bibliographifche aantekeningte verkorten.
De Europeërs hebben een geruimen tyd geen andere dan de vier eerfte Boeken van Apollonius gehad, en '8 is eerft federt het midden der voorgaande eeuwe, dac men de drie laatften heeft wedergevonden. Hun verlies hadt reeds eenige Meetkundigen opgewekt, om over de onderwerpen, welke men wift dat in die Boeken begreepen waren, te handelen. Maurolicus, een Siciliaanfch Meetkundige van de zeftiende eeuwe , hadt de Theorie van 'c vyfde en zesde Boek met een goeden uitflag ontworpen, en daar van een vervolg van Apollonius gemaakt, dac Borelli in 'c jaar 1654 in 't licht gaf (h). De Vader Richard, een Jefuic, beloofde in 'c midden der voorgaande eeuwe een Werk van de zelfde natuur, dat, fchoon hetzelve als onder de pers zynde werdc bekend gemaakt (/), nooic hec licht heeft gezien. De Heer Piviani, een der beroemdfte leerlingen van Galileus, en der bekwaamde Meetkundigen van Italië, ftelde zich byna in den zelfden tyd deeze nafpooring voor j hetgeen aanleiding gegeeven heeft tot hec geleerd Werk van dien Schryver, getyteld: Divinatio in F Apollonii conicorum, waar van wy nu de gefchiedenis verhaalen zullen.
Terwyl de Heer Fiviani langzaam en ftilzwygende bouwftorfen verzaamelde, om Apollonius te doen herïeeven, kwam de vermaarde Golius uic het Ooften te rug, voorzien van een groot getal Arabifche Handfchriften, onder welken de zeven eerfte Boeken der Kegelfneeden waren. Naardien hy kundig genoeg in de Meetkunde was, om de waarde van deeze on:-
dek-
Ui) Viviani, Divin. in Apol. p. 53. CO Labbe, Bihl. nov. mff. ■



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 351
dekking te befpeuren, haastte hy zich bm de Meetkundigen van zynen tyd bericht daar van te geeven» en ik vinde dat de V. Merfenne in 't jaar 1644 gewag daar van maakt (£), eri zelfs eenige Voorftellen uic dezelve aanhaalt. My is onbewuft, wat het ontwerp, door Gallus gemaakt, orri eene overzetting van dezelve te geeven, deedt mislukken; men dacht niet meer aan heczelve, en in weerwil van die berichc volhardde men, om het overige van Apollonius als verloren aan té zien, toen de Heer Borelli, in 't jaar 1G58 door Florence reizende, en de Boekery der Medicis befchouwende, daar in een Arabifcb Handfchrift vondt,waar van de Icaliaanfche tytel de agc Boeken van Apollonius voorftelde. Door eene fterke genegenheid voor de oude Meetkunde, konde hy zich op dat oogenblik niet van vreugde wederhouden; hy doorliep het'Handfchrifc, en oordeelde, door de vergelykingder ren, dat hetzelve weezenlyk het Werk van den Griekfche n Meetkundigen was, doch veel volkomen:ï dan hetgeen men reeds hadt. Hy liet zich door een Maronitijcheiï Geeftelyken den tycel van hec vyfde Boek, dat, overeenkomflig met de verdeeiing van Apollonius , de maximis & minimis handelde, overzetten. De Hertog van Tofcane verrrouwde hem op eene edelmoedige wyze die Handfchrift, dat hy ce Rome bragt: genietende aldaar de hulp van Abraham EccellenfiSy een geleerde in de Oofterfche Taaien, gelukte het hem, om hetzelve in 't Latyn te vertaaien, en hy gaf heczelve in 'c jaar 1661 in 't licht met geleerde aantekeningen , welken de ongemeene naauwkeurigheid van den Overzetter, of liever van den Arabifchen Verkorter, noodzaakelyk maakten. Men moet aanmerken, dat dit Handfchrift het zelfde gebrek als dat van Golius hadt: het agtfte Boek werdt in hetzelve niet gevonden, ert waarfchynlyk is hec voor alcoos verloren. _Wanc hetzelve ontbrak nog aan de verkorce overzetting van Abdolmelec, welke Ravius uit hec Oosten
(k) Synop. M.ith. pref. ad con. Appolh '/i ia



35* HISTORIE der
ten gebragt hadt, en in 't jaar 1669 in een Latyn, dad de Heer Halley met reden bafbaarich noemt, overgezet in 't licht gaf.
Ondertuifchen maakte de Heer Viviani, doof zyne vrienden aangeraden, om zich, door deeze gebeurtenis , de vrucht van veele jaaren arbeids niet te laaten ontrukken, zich gereed, om het gevolg van zyne overweegingen op het vyfde Boek van Apollonius in 't' licht te geeven. Hy verkreeg een Getuigfchrift van den Groot-Hertog, die alle zyne Handfchrtften, in den ftaat waar inzywaren, ondertekende. Borellikresg bevel van niets mede te deelen van hetgeen hyvondt, naar maate hy in zyne overzetting vorderde. Viviani eindelyk, die in de Arabifche taal onkundig was, arbeidde met allen mogelyken Vlyt,en gaf een jaar daar na zyne voorfpelling (divinatio) over Apollonius in 't licht. De vergelyking welke men van dezelve, eenigen tyd daar na, met het Werk van deezen laatften konde doen, was niet ongunftig voör den It'aliaanfchen Meetkundigen: dikwils even zo diepzinnig als de Oude in de vraagftukken, welke zy gez"aamentlyk verhandelen, begeeft hy zich in een veel ruimer veld. Hy maakt zich nieuwe Theorien, hy vindt eene meenigte nieuwe eigenfchappen der Kegelfneeden, zo dac zyn Werk als een vervolg der oude Theorie van die Krommen aangemerkt zoude kunnen worden.
De gefchiedenis van die Werk van Viviani heeft my eenigermaate van myn onderwerp doen afwyken; ik kome weder tot hetzelve, en befluite met weinig woorden hecgeen my over de Kegelfneeden van Apollonius Ce zeggen overig blyfc. De druk, welke de Heer Halley van dezelve gegeeven heeft (/), is, door alle de hoedanigheden, welke eene uitgave van veel waarde kunnen maaken, aan te pryzen. Deeze beroemde Wiskundige heefc niets vergeeten, om ons den Griekfchen text, en de laatfte Boeken waar Van wy gefproken hebben, volkomen te maaken. Hy heeft
het
(/) In 1710, in-fol



WISKUNDE, f. Deel. IV. Boek. 353
het agtfte naar de aanwyzingen van Pappus herfteld; en zyne bekwaamheid in de oude Meetkunde Jaat ons niet sneer toe, om over het verlies van 't oorfprongkelvk Werk te kiaagen. r
De andere Schriften van Apollonius * fchoon veel in getal , zullen ons-minder dan zyne Kegelfneeden bezig houden. De meefte derzelven hadden de Meetkundige Analyfis tot onderwerp, als de Verhandelingen , de feBione rationis, de feBione fpatii, de feBione determtnatd, de taBionibus, de inclinationibus, ieder in twee Boeken verdeeld. Deeze zyn eenjge Voordellen, welke een groot getal gevallen en byzondere bepalingen onderhevig zyn, waar in Apollonius de geheet Je kunft der oude Analyfis doet blyken. De Verhandeling de loclsplanis is eene zeer nuttige verzaameling der plaatfelyke eigenfchappen van den cirkel en de rechte lyn, onder welke zeer merkwaardige eigenfchappen gevonden worden. Geen van die. Werken is tot ons gekomen, als alleen de Verhandeling de■feBionerationis, welke in 't Arabifch is wedergevonden: de Heer Halley heeft dezelve in 't jaar 1708 in druk gegeeven , met de Verhandeling de feBione fpatii, die met dezelve overeenkomftig is, en welke hy, naar de befchryving, die Pappus daar van geeft (m), herfteld heeft. De Jcorte inhoud van alle die Boeken, welke die oude Meetkundige tot ons heeft overgebragt, hadt reeds de poogingen van eenige hedendaagfche Wiskundigen tot herftelling derzelve, verwekt. In 't beginner voorgaande eeuwe arbeidde Snellius over de drie Verhandelingen de feBione rationis, fpatii, ^determhmtd f»" Doch alhoewel de Problemata, welken Apollonius zich daar mivoorftelde, in dezelve opgeloft zyn, is echter het Werk van den hedendaagfchen Meetkundigen od verre na met dat van den Ouden niet te vergelvken De eerfte van die Verhandelingen, welke wy bezitten *, ltelt ons heden in ftaat om de vergelyking van beiden
te
(m) Coll. Matb. I VII. prof.
00 Zie Herigonius, Curf. Math. t. I,
Z3



SM HISTORIE der
tg doen. In den zelfden tyd herftelde Marinus Gethaldi vmRagufa, een bekwaam'Analifl en Meetkundige , de Verhandeling de inclinationibus. De. Heer Vieta heeft ons het Boek de taBionibus, onder den tytel yan Apollonius Gallus, gegeeven (o). Een gefchildac hy met Adrianus Romanus, een bekwaam Nederlandfch Meetkundige, hadt, gaf hem gelegenheid om het voornaamfte Problema, en het eenige in dit Boek dat yan eenige'zwaarwigtigheïd is, voor te ftellen. De inhoud van dit Problema is: Drie Cirkelen gegeeven zynde, vraagt men naar een vierden, welke alle deeze drie cirkelen raakt (/>). Romanus lofte hetzelve kwalyk op, door te bepaalen, hetgeen met een opflag van betoog befpeurd yyordt, het middelpunt des gezochten Cirkels door de doorfnyding van twee Hyperbolen; want het Problema is vlak, en kan dienvolgens met behulp der gemeene Meetkunde opgeloft worden. Piëta lofte hetzelve op deeze wyze, en zeer cierlyk, op; zyne oplosfing is de zelfde als die, welke in de Arithmetica vniverfaiis van Newton gevonden wordt. Men vindt Van hetzelve eene andere oplosfing in het eerfte Boek der Principia Philofophice. Naturalis, alwaar dit vraagftuk "voor eenige bepaalingen der Nar.uurïyke Sterrekunde, noodzaakelyk is. Newton brengt hier, met eene merkwaardige ktmftgreep, de twee lighaamlykc plaatfen van Romanus tot de doorfnyding van twee rechte lynen. Dit Problema, zynde een dergeenen
(o) Viet£B, oj>i p. 32fJ.
(p) De Heer de Fermat heeft een foortgelyk Problema als dit opgeloft, doch hetzelve is veel moeijelykér. Men jnoet in hetzelve den Kloot bepaalen, welke vier anderen, die in grootheid en ftelling gegeeren zyn, zoude raaken. Dit was een vnagttuk, dat Defcartes hem, by wyze van uitdaaging, hadt voorgeftell (Zie Lett. de Defcartes, t. II. j. 104 & 91). Hp heeft van Hetzelve eene uleine Verhandeling gemaakt, weike men in de Verzaameling zyner Werken vindt. Defcartes zegt ook, dac hy hetzelve Stelkundig , en met behulp der gemeene Meetkunde, heeft opgelet!.



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 355
op welken de Stelkundige Analyfis niet gemaklyk toegepaft kan worden, hieldt Defcartes bezig, en van twee oplosfingen, welke hy voor hetzelve vondt,bekent hy zelf (q), dat de eene hem eene zo faamengeftelde uitdrukking gaf, dat hv nietdorft onderneemen dezelve in een maand tyds op te loffen. De andere, fchoon dezelve niet zo veel belemmering aanbrengt, is echter nog moeijelyk genoeg, dat Defcartes dezelve niet heeft durven aanvatten. Laat ons eindelyk, by gelegenheid yan dit Problema, een geheim bericht, dat hetzelve eenigermaate beroemd maakt, in aanmerking neemen. Hetzelve beftaat hier in, dat de Vorftin Elizabeth van Boheemen, die, zo als men weet, onzen Wysgeer met haare brieven vereerde, zich verwaardigde om zich tot dat Problema te verledigen; zy zondt hem eene oplosfing van hetzelve, maar zynde uit de Stelkundige rekening afgeleid, heeft deeze de zelfde zwaarigheden als die van Defcartes.
De Verhandeling de locisplanis heeft "desgelyks veele Meetkundigen bezig gehouden. Fes-mat (r) heeft de-
zel-
(q) Lettres, t. III. Lett. 80. gi.
(r) Naardien wy over dit Werk van Apollonius zaake'n te zeggen hebben, welke bekwaam zyn om de weetgierigheid der Meetkundigen op te wekken, zullen wv hier een uittrekfel van eenige der merkwaardigile Voorftellen mededeelen.
1. Dat zo uit een punt, als P (Fig. 2$), verfcheide paaren lynen PA, PB; Va, Vb, enz. getrokken worden, maakende ftandvaftige hoeken APB, aPb, enz. en dat de reden van die van eik paar, of haar rechthoek onverander lyk zy, indien alsdan de einden A, a in eene vlakke plaats zyn, zullen de andere einden B, b, enz. desgelyks in eene vlakke plaats, dat is te zeggen, in eene rechte of cirkelvormige lyn, zyn.
2. Indien men zo.veel in ftelling gegeeven lynen heeft, als men begeert, en dat men uit een punt P {Fig. aó)* onder gegeevene hoeken, lynen tot dezelve trekt, en dat de fom van twee tot de derde, of de fom van twee tot die der twee overige, enz. in gegeiven reden zy, zal het
Z4



356 HISTORIE der
zelve herfteld, en men vindt dezelve in zyne Wer. 'Ken, welke na zyn dood uitgegeeven, en in 'fjm
P.un£, P i" eene vlakke plaats zvn, dat is te zeggen, dat alle de punten, uit welke lynen onder deeze bepaalineengetrokken worden, jn eene rechte of cirkelvormige lVn zullen zyn. ° 1
3. Indien uit twee gegeeven punten A, B (Fig. 27) tot een derde punt E, twee lynen AP, B P getrokken worden, welke in eene reden van ongelykheid zyn , dan is die punt P in den omtrek eens cjrkels, of alle de punten P, p, v, «c., waar in lynen in deeze reden eindigen, maaken den omtrek eens cirkels uit. Dit punt zal'desgelyks in een cirkel vallen, indien het vierkant van de eene lyn, meer pf min een ftandvaftig vierkant, ftaat tot het vierkant vaft de andere in gegeeven reden; dezelve zal flegts een weim'2 verfchillende geplaatft zyn; 6
4. Indien uit zo veel punten als men begeert tot een parit P (tig. 28) even zo veel lynen getrokken worden,' en dat de fom der vierkanten van die lynen on veranderlyk zy, dan zyn dit punt P en alle overeenkomftige punten in een cirkel, waar van men het middelpunt op deeze wyze bepaalen kan. Laat A, B, C, D , E, F de gegeevene punten zyn. wy zullen 'er 6 onderftellen; hebbende de lyn NO getrokken, die alle dèeze punten aan eene zyde laat ' zt> laat p- Perpendiculairs È.G., B H getrokken worden' en PJ het 6de deel der lynen ÜH, GI, enz, tbc G'M in. gefloten, of NT het 6de deel der zes lynen NG, NU NI» enz. zyn; voorts trekke men den Perpendiculair P o' die pok het 6de deel der zes lynen AG, BH, enz zV dan zal het punt Q het middelpunt des Cirkels, en zyn
ftraal QR zodanig zyn, dat 6 QR +AQ-f BQ*, enz. aan
het gegeeven Vierkant, of aan de zes vierkanten AP B P* enz. gelyk 'zyn'. ■ - ' ■ '
, Daar uit is gemaklyk te zien, dat het punt Q het zwaarheids-middelpunt der punten A, B , C, enz. is, en zomen onderfttlde, dat het dubbeld van het vierkant van A P, meer liet drievoud van BP, meer het vyfdedeel van CP te fai men een ftandvaftig vierkant uitmaakten, zoude alsnoê het middelpunt 'des Cirkels , waar in de punten'p zouden



WISKUNDE. ï. Deel. IV. Boek. 357
Ï675 gedrukt zyn. Hetzelve was den Meetkundigen ïeeds in 't jaar 1637 medegedeeld(s), fchoon het eerft ca zyn dood gedrukt is. Deeze vertraagïng gaf van, Schooten aanleiding om oyer het zelfde onderwerp te arbeiden. Hy gaf zyn Werk in 't jaar 1659 in 't licht: maar fchoon hec de zelfde Voorftellen als die van ^50/lonius zyn, want Pappus drukt ze klaar genoeg uit,
wor«
zyn , het zwaarheids - middelpunt der punten A, B , C, enz. zyn; doch in de onderftelling, dat in het punt A een dubbeld gewigt, in 't puntB een drievoudig, en in 't punt C een vyfdedeel van een gewigt hangt. De Heer Huygens is het die dit gevolg uit de bepaaling van Apollonius heeft aangemerkt.
Merkt. Dit laatfle Voorftel komt ons duifter en onverfiaanhaar voor, te meer daar het punt P niet in de Figuur Wordt aangewezen, en dus ^ Perpendiculair PQ daar in niet te vinden is. Wy hebben alle moeite aangewend, om hetzelve te verbeteren of op te helderen, doch zyn tot ons verdriet daar in niet geflaagd; alzo wy les Oeuvres pofthumes de Fermat niet bezitten. Wy moeten derhalve deeze verbetering tot, eene andere gelegenheid mtfiellen; terwyl wy endertuffchen de kundige Leezers verzoeken, kunnen aandacht hier op te veftigen, en, zo sy dit Artikel eenige Opheldering kunnen byzetten, waar door de zwaarigheid uit, den weg geruimd wordt, hoopen wy, dat zy ons dezelvegunT ftig zullen mededeelen, om naderhand gebruik daar van te kunnen maaken. Vibtaalhs.
5. Men weet federt lang, dat alle de Driehoeken, waar in de fom der vierkanten van de zyden AP, PB(2%.2p.) gelyk aan het vierkant van den Bafis AB is, hunnen top P in den omtrek eens Cirkels hébben; zulks is insgelyks waar, als flegts de fom van die vierkantsn ftandvaftig, fchoon kleinder of groote.- dan dat van den Bafis, is. Maar alsdan zullen de einden van dien Bafis binnen of buiten denhalvencirkel vallen; naamelyk binnen den halven • cirkel, als de vierkanten der zyden een grooter fom dan dat van den Bafis uitmaaken, en buiten denzelven in het tegengefteld 'ge. val. Dit is flegts een gevolg uit het voorgaande Voorftel.
{ƒ) Herigonius. Ubi fupra.
Z $



358 HISTORIE j)ES
worden ze nogthans in dat Werk door Algebra beweezen; hetgeen niets anders is dan de eèwietiefte voorwaarde van die foort van voorfpellingen t<?overtreeden. Deeze beweegreden fchynt een Engelfchen Meetkundigen (de Heer Robert Simpfon) ' die van de oude Leerwyzen eene byzondere ftud'ie gemaakt heeft aangefpoord te hebben, om ons dat Werk indenftvi' waar ip hetzelve in 'c eerft gefchreeven was, te geeven. Hy heeft dit zonderling ftuk der Meetkunde in t jaar 1746, onderden tytel van Apollonii loca plant» refiituta,^.40., in 't licht gegeeven. De Voorreden verdient bovenal geleezen te worden, wegens de uitmuntende overweegingen over de Analyfis der Ouden, weiken dezelve bevat. W Ik vergenoege my met eenige andere min gewigtlger Werken van Apollonius aan te wyzen; als zvn Boek de Cochlea, een ander de perturbatis rationibus, een derde over de vergelyking van het Icofaëdrum, en Dodecaedrum, m den zelfden Kloot befchreeven; het laaiftÈ voerde den tytel van wro/3o®., een woord dat niet meer verftaan wordt, zulks dat men niet weet wat het onderwerp van dac Werk was. Eutocius geeft ons alleenlyk Ce kennen, dac Apolknius daar in d" benadering van de grootte des omtreks, door ArchïvoorczettSeeeVcn (0> tot een grooter naauwkéurigheid
VIII.
Vóór dat wy tot laatere tyden overgaan is het noodig , dat wy een weinig te rug keeren, om eentge Wiskundigen, tydgenooten van de voorgaande met ce vergeeten. Conon van Samos, de vriend van Archimedes, is een der vermaardften. Hy moeft een Meetkundige van eene uitmuntende verdienfte zvn indien wy daar over oordeelen door het verdriet, dat die groote man over zyn verlies betuigde, en door
hei
(0 Comm. in Arch. de dim. Circvli,



WISKUNDE, I. Deel. IV. Boei. 359
hel denkbeeld, dathy ons van zyne fchranderheid geeft O). Apollonius geeft ons te kennen (v), dat hy over de Kegelfneeden, en in 't byzonder over het onderwerp, dathy in zyn vierde Boek verhandelt, gefchreeven hadt. ' Hetzelve gaf hem gelegenheid tot een ge-' fchil met een anderen Meetkundigen van dien tyd, genaamd Nicoteles, die tegen hem fchreef, voorgeevèndedathy gefeild hadt, hetgeen Apollonius toeftemt, zonder echter zynen tegendinger de zaak volkomen gewonnen te geeven. Deeze Nicoteles is niet als door deeze omftandigheidbekend; men plaatft hem gemeenlyk onder diegeenen, welke de'Theorie der Kegelfneeden uitgebreid hebben. Wat aangaat Trajideus, dien de meefte Schryvers in gelyken rang ftellen, om dat Conon hem zyne Verhandeling hadt opgedragen, ik zie niet dat dit eene gegronde reden is. Zulks is even zo weinig gegrond, als de eernaam van Meetkundige, die de Vader Merfenne (w) aan een zekeren Hercules geeft, wiens naam men in de Voorreden van eenige Verhandelingen van Archimedes leeft, en die waarfchynlyk flegts den overbrenger van dezelve geweeft is.
Conon was ook een Sterrekundige, en hy maakte Ephemerides over zyne waarneemingen, dié hy in Italië gedaan hadt. Ptolomeus haalt hem in een van zyne Werken aan (x). Deeze Ephemerides gaven hem naar allen fchyn eene groote beroemdheid in datgeweft, naardien firgilius zyn naam in den mond van een zyner herders legt.
In medio duo flgna Conon, & quis fut't alter, Defcripfit radio totum qui gentihus orbem, Tempora qu<e mejfor , quce curvus arator haberet t Eclog. 3.
'tWas
(u) Pref. ad quad. parab. O) Pref. ad 1. IV. (V) Syn. Math. in de Tafel. (je) Phafesfixarum. Pajfim»



56» HISTORIE der
't Was Conon t die van het hairvan Berenice een nieuw Geftemte m.aaktp,een voorval't welk buiten twyffel fchynt te ftellen, dat hy de Sterrekunde te Alexandria vSrï zette. Seneca geeft ons ook aanleiding om zulks te denken door ons te kennen te geeven, dat hv de waarneemmgen der oude Egyptenaaren verWmcla hadTS Wy behooren het verlies van een zo koftelyk Werk cn zo nuttig,voor de_ Sterrekunde, zeer te oeklaagen!
Dofitheusym Coloma was mede een vriend van Archimedes die eyen als Conon, waarneemingen gedaan en^Ephemerides gemaakt hadt. Archimedes drfag de meefte zyner Werken aan hem op; hetgeen een be vvs opleeyert.yan de goede verftandLudiqf, Welke onder ï^ nA' Gn t£ geIyk d^ Dofitheu'-m de gegronde Meetkunde ervaren was. Wy hebben niets bvzonders te zeggen wegens ^/«J/wicn A^AvJZl Boeken over de Kegelfneeden opdraagt, als a£n dat hy waarfchynlyk pen Meetkundige was , die de be
iWa,Sld ïf" 0?" dezdyfi teverftaan: Hy zoude de zelfde wel kunnen zyn als de Uitlegger der verfchyn-
f;^^\HipparchuSm%m inleidingtot dat Gedicht zo dikwerf berispt. Voor het overige is zulks van weinig aangelegenheid '
ft wPl0nf °mtlArnt dee/en tyd te moeten Plaatfen den Meetkunftenaar Nicomedes, uitvinder der Conchdide die men tot hier toe als veel minder oud zynde' erfzeift als veele eeuwen na het tydbegin der Ch Wen geleefd hebbende, heeft aangezien. Ik veftige rayopSe iaamengevoegde getuigemffen van Proclus en Eutociul He eerfte geeft ons uitdrukkelyk te kennen, daUV comedes de uitvinder van de Conchdide was (z) eene kromme over welke Geminus naderhand fchreef (a) een Schryver van wien men met zekerheid weet, dat
£Lwi?mf\? een eeuw vóór 0,18 ^begin se eefd heeft f». Van een anderen kant leefde deeze Meetkun»
O) Quaft. nat. VII. 3. (3) Ad. I. Eucl. prot>, g. O) Ibid. 1. II ad fin. Wj Zie Art. X. van dit Roek:



Wiskunde, i. Dut. iv. Boek, 36i
kundige in een laater tyd als Eratofthenes, die mogelyk zyn tydgenoot was, naardien hy, volgens het verhaal Van Êutocius (c), hem over de uitvinding van zyn Mefolabium befchimpte. Uit deeze1 faamengevoegde ftuk-4 ken moet men befluiteri, dat Nicomedes tuffchen de eerfte en derde eeuwe vóór het tydbegin der Chriftenen geleefd heeft.
Het eenig gedenkftuk, dat ohs van de werken van Nicomedes overig is', is de uitvinding van zyne Conchdide, en het verftandig gebruik dat hy, voor de oplosfing van het Problema der verdubbeling van den teerling, van dezelve maakt. Wy hebben deeze Kromme reeds doen kennen, benevens de wyze op welke de uitvinder dezelve op dit Problema toepaffelyk maakte(W). Daar door alleen kunnen wy ons van dien oxiden Meetkundigen een zeer gunftig denkbeeld maaken. Want het is eeniglyk door een zeer geleerden omtrek van Analyfis, dat hy het doelwit konde bereiken, om het Proilema der twee midden-evenredigen tot de Conftrutlie, die hy van hetzelve geeft, te brengen, naamelyk om in een gegeeven hoek een lyn van eene gegeeven grootheid te voegen, en welke verlengd zynde, door een bepaald ptnt gaat. Het is gemaklyk het doelwit, dat Nicomedes zich voorftelde, te leeren kennen. Hetzelve beftondt Waarfchynlyk hier in, om de twee vermaarde Problema. ta van de verdubbeling des teerlings en de driefnyding des hoeks tot een zelfde Conftru&ie te brengen. Hét Was niet zeer moeijelyk geweeft te befpeuren, dat de laatfte op de Conftruhie, welke wy nu befchreeven hebben, uitliep, maar men moeft veel fchranderheid be« zitten, om te ontdekken, dat de eerfte ook van dezelve afhing. Deeze toepasfing der Conchdide tot de lig. haamlyke Voorftellen is hoog geroemd door den doorluchtigen Heere Newton , die op eene foortgelyke wyze alle de vergelykingen van de derde en vierde magt conftruëert (ƒ).
LX.
O) Eutoc. ad Arch. Y. II. de Sph. & CU.
(d) voorg. Boek Art. XVII, ea noot k pag. affs,
ie) Arithin. Univ. in append.



m HISTORIE der
_ Iridien de voorgaande eeuw door de vorderingen der Meetkunde merkwaardig is, zo is deeze het niet minder door de ontdekkingen, waar mede dezelve de Sterrekunde verrykte. Deeze ontdekkingen waren het werk van den Vermaarden Hipparchus, dien men als den voornaamften herfteller.van die Weetenfchap by de Grieken moet aanmerken, 't Is in zynen tyd dat men in de Kunft van waarneemeu meer weetenfchap, eene klaarder kenniffe der verfcheide omftandigheden van de beweegingen der Hemellichten, verftandlger en meer verklaarde onderftellingen, om van dezelve reden te geeven, de zaaden eindelyk van een groot getal ontdekkingen, welke de arbeid der laatere eeuwen heeft doen ontluiken , begint te befpeuren. Wy zullen ons aan deeze verfcheide voorwerpen meer verbinden", na alvoorens een woord over dien beroemden man gezegd te hebben.
Hipparchus was van Nicea in Bythinien (f): hy gaf zich lang over aan de Theorie en Praktyk der Sterrekunde op verfchillende plaatlèn, daar hy achtervolgens zyn verblyf hieldt, als in zyn Vaderland, te Rhodes, en vooral te Alexandria. Ptolomeus verhaalt ons veele van zyne waarneemingen, federt het jaar 160 vóór J. C. tot in 't jaar 125 gedaan; hetgeen den leeftyd, waar ui hy gebloeid heeft, bepaalt. Hy geeft op verfcheide plaatfen loffpraaken over zyne vaardigheid in de waarneeming, over zyn vernuft, en zyne liefde voor den arbeid. Het verhaal dat wy van zyne werken zullen doen, zal deeze lofredenen volkomen beveftigen. Voorts is het eene misvatting, om mctRic cioli twee Hipparcheu te onderftellen, de een van RJmdes, de ander van Nicea. 't Zyn flegts eenige heden, daagfche Sterrekundigen, welke hem den toenaam van de eerfte dier Steden gegeeven hebben, om dat zy hem
door
(ƒ) Strabo, Geog. L Xil. Suidas, op V woord fairst*



Wiskunde, i. Deel. iv. Beek $fg
door Ptolomeus dikwils zagen aangehaald (g), als hebbende aldaar waarneemingen gedaan: deeze onderfcheiding fchynt my geenzins op het getuigenis van een oud Schryver gegrond te zyn.
Sommige Sterrekundigen, by voorbeeld Riccioli Rebben Hipparchus een tweeden naam gegeeven, naamelyk die van Abrachis, welke daar op gegrond is, dat hy in eenige overzettingen van Ptolomeus, naar het Arabïfch gedaan, aldus genoemd wordt. Maar indien zy eenige kenniffe van de Oofterfche taal gehad hadden, zouden zy die misvatting niet begaan hebben. Zy zouden gezien hebben, dat de naam van Abrachis geen andere is dan die yan Hipparcos, door de Arabiërs verminkt. In der daad, naardien dit volk geenp heeft, was hetzelve genoodzaakt dien naam in Ibbarcos te veranderen, welke zonder klinkletteren, op de wyze der Oofterfche Handfchriften, gefchreeven zynde, onder de pen van een Overzetter , aan wien Hipparchus niet bekend was, naderhand in Abrachis verbafterd is. Dus is het dat het zelfde volk van Ptolemaios, Batalmious gemaakt heeft. Hetzelve kon dien naam niet anders fc'hryven, noch uitfpreeken.
De eerfte zorge van Hipparchus was, om de duuring der omloopen van de Zon met meerder naauwkeurig^ heid te bepaalen, dan men nog gedaan hadt. Met dat oogmerk nam hy de wederkom (ten van dat Hemellicht tot de nachteveningen en de zonneftanden, geduurende een langen reeks van jaaren, met alle naauwkeurigheid, die hem mogelyk was, waar. Naardien hy nogthans befpeurde, dat zyne waarneemingen niet genoeg van elkander verwyderd waren, om uit dezelve iets zekers eu naauwkeurigs te kunnen befluiten, verkoos hy liever dezelve met de oudfte waarneemingen, welke hy vóór hem vondt, te vergelyken. Tor dat einde nam hy één zyner waarneemingen van den zomerfchen zonneftand, en vc-geleek dezelve met eene andere, welke 14J jaaren te vooren door Arifiarchus van Somos gedaan was, * waar
(g) Almg. /. v. c. 5.



364 HISTORIE d Éii
waar in hy het eerfte voorbeeld van die fcherpzhmigê' Leerwyze gaf, welke, de feilen der Waarneeming over' een groot getal omloopen verdeelende, dezelve daar door onmerkbaar maakt. De eerfte vrucht van deeze Leerwyze was het Zonne-jaar omtrent vyf minuten te verkorten. Want Hipparchus bevondt, dat de Zonneftand, welke in dat honderdvyfenveertigfte jaar op een zeker uur van den dag zoude hebben moeten gebeuren,' indien het jaar van 365J dagen was geweeft , een halven-dag te rug gegaan, of 12 uuren laater voorgevallen was. 't Was derhalve een teruggang van een halven-dag, welke in honderdvyfenvèertig omloopen verdeeld, en het quotiënt van driehonderdvyfenzeftig dagen en zes uuren afgetrokken moeft worden. Deeze Leerwyze is ook die , waar van men zich bedient, om de grootheid van hec Zonnejaar te bèpaalen. Hipparchus fchreef over dat onderwerp eene Verhandeling, getyteld de magnitudine anni (h), waar in hy zyne ontdekking door andere bewyzen ftaafde.
Indien de beweeging der Zon volkómen gelyk en eenpaarig was, zoude men daar uit moeten belluiten, dac zy in een Cirkel rolt, waar van de Aarde het middelpunt vervult: maar men zoude eene misvatting begaan, indien men zich verbeeldde, dat geen der hemelfche be* weegingen met die regelmaatigheid volbragc werdt; de Zon zelve, de beheerfchcer van den tyd, is aan merk* baare ongelykheden van fnelheid onderhevig. Wel is waar dat de waarneemingen der Ouden niet volkomen genoeg waren, 0111 hen zulks onmiddelyk te doen gewaar worden; maar zy geraakten daar toe op de volgende wyze. Zy merkten aan dat 'er tuffchen de tus> fchentyden der nachteveningen en zonneftanden een zeer groot verfchil was, tuflchentyden , die gelyk zouden hebben moeten zyn, indien de beweeging der Zoiï eenpaarig was geweeft. Hipparchus, by voorbeeld, nam 94A dagen tuffchen de nachtevening der Lente en den zomerfchen zonneftand, en flegts qs£ dagen van
de#«
Ui) Alm. I. III. e. 2.



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 355
deezen laatften tot de nachteveningen van den Herfft, waar. Dus waren 'er 1437 dagen hefteed, om de Noor delyke helft van de Ecliptica door te loopen; derhalve bleeven 'er flegts 178 en byna een-vierde dagen over, vqor den tyd welken de Zon in het Zuidelyk gedeelte bleef, en deeze tyd was door den Wintcrfchen Zonneftand ook ongelyk verdeeld. Deeze verfchynfelen toonden aan, dat de Zon deeze laatfte helft fnellerdan de eerfte doorliep, en dat haare minfte fnelheid in het * vierde - deel des cirkels, tuflchen de nachtevening van de Lente en den Zomerfchen Zonneftand,was. 't Was een Problema, dat reeds federt lang was voorgefteld, boe men het oogmerk bereiken zoude, om van deeze onregelmaatigheid, welke men onderftelde flegts fchynbaar te zyn, door eene cirkelvormige en eenpaarige beweeging reden te geeven. Want men was overreed, dat het de waardigheid der hemelfche lighaamen ïiiec betaamde, anders dan met een zeer gelyken gang te loopen. Alle de Sterrekundigen waren miffchien aan dit beuzelachtig gevoelen niet fchuldig; men zoude een redelyker oorzaak van deeze wet, welke zy zich voorgefteld hadden, naamelyk van de Hemellichten niet als in cirkelen, en op eene eenpaarige wyze, te doen beweegen, kunnen vinden. De cirkel was de «senvoudigfte Kromme, en die welke voor de berekening der hemelfche beweegingen het meefte gemak aanboodt: deeze reden was genoeg om de opkomende Sterrekunde te beweegen van denzelven te gebruiken. Men hadt derhalve bedacht om de Zon in eenen uit* middelpuntigen cirkel, dat is, wiens middelpunt niet door de Aarde vervuld werdt, te doen beweegen.Laat ons, by voorbeeld, onderftellen, dar de Zon den cir.kelvormigen omtrek A D B E (Fig. 30) eenpaarig doorloopt, en dat de aanfchouwer der Aarde, in plaats van in haar middelpunt C geplaatft te zyn, in T zy, Dan is het gemaklyk te zien, dat dit Hemellicht, fchoon altoos met eene gelyke fnelheid bewogen zyncle, in het afgelegenfte deel A traager, in het naafte deel B rasfer, en in de tuffchendeelen met eene middelbaare beweeging zal fchynen te loopen. Maar men hadt nog Aa wei"



HISTORIE der
weinig gedaan, toen men deeze oploffing voorgefteld hadt. Men moeft om de beweeging der Zon, en haare kornft in ieder punt van haaren loopkring, te berekenen, men moeft, zeg ik, bepaalen de hoeveelheid van die uitmiddelpuntigheid, enden ftand van de lyn der Apfiden, dat is te zeggen van die lyn, welke de «iterfte paaien der grootfte en kieinfte afwyk;n;4 aan den hemel beftemt. Zulks deedt Hipparchus door de ongelyke tuffchen tyden tuffchen de nachteveningen en de zonneftanden faamen te voegen. Door dat middel bevondt hy de hoeveelheid van die uitmiddelpuntigheid een-vierentwirtigfie van den ftraal des loopkringSj en het Apogeum , of het punt des grootlten afftands van de Zon, in den vierentwintigften graad der Tweelingen. Ptolomeus komt met hem in deeze beide ftukken overeen. Maar men heeft naderhand bemerkt, dat zy beide , ten opzichte van de uitmiddelpuntigheid gefeild, en dezelve omtrent een zesde te «root gemaakt hadden.
Hipparchus maakte ook een ontwerp van de Theorie der Maan, door eenige der talryke beginfelen, welke dezelve faamenftellen, te ontdekken en te berekenen. Hy mat eerft de duuring van haare omloopen , onger twyffeld het onderwerp van het Boek, getyteld de inenftruo revolutionistempore (/). De handelwyze, welke hy daar in gebruikte, was even als die, welke hem gediend hadt om de jaarlykfche beweeging der Zon te meeten. Hy vergeleek oude waarneemingen van Eclipfen met de zyne, en deelde vervolgens den verloopen tufTchentyd door het getal Sjnodifthe omloopen. Hy bepaalde de uitmiddelpuntigheid van den loopkring der Maan, en haare helling op de Ecliptica, welke hy tot 5° bepaalde, een onderwerp waar over hy de Verhandeling; de motu lun& in htitudinem fchreef. Hy mat ook naauwkeurigr-r, dan men nog gedaan hadt, debev-eegii.g van de Apflden der Maan, welke de orde der tekens volgt, en die der knoopen, welke in tegenge-
(i) Suidas, in Hipparcko»



WIS K U N D E. I. Deel. IV. Beek. 567
Helde richting gefchiedt. Belangende de tweede oneffenheid van deMaan,welke niet van de uitmrddelpuntigheid van haaren loopkring, maar vanheur^ztó met de Zon afhangt, fchynt Ptolomeus te zeggen, dat dezelve aan Hipparchus onbekend was (ft), hetgeen my voorkomt, als bezwaarlyk met de fchranderheid , waar van hy zo veele blykeh gaf, te kunnen overeengebragt worden. Hipparchus eindelyk berekende de eerfte Tafelen der beweeg.'ngen van Zon en Maan, waar van in de Sterrekunde melding gedaan wordt, 't Zyn waarfchynlyk die Tafelen, waar van Plinius fpreekt (/), wanneer hy zegt, dat die Sterrekundige den loop van die Hemellichten voor 600 jaaven voorzeide; doorwelkè woorden fommige S -u-rekundigen Ephemerides, voor die reeks van jaaren berekend, verftaan hebben. Jn dit gezegde heeft zekerlyk eene breede uitmeeting plaats, en hetzelve komt niet wel overeen met die omzichtigheid , om welke Hipparchus verfcheide reizen door Ptolomeus gepreezen wordt.
Een der voorwerpen van de Sterrekunde is de afftanden der hemelfche lighaamen , en de grootheid van 't Geheel-al, te leeren kennen. Hetzelve was ook een dergeenen aan welken Hipparchus zich met veel naarftigheid overgaf, en fchoon hy in zyne bepaalingen nog ver van de waarheid afweek, moet men ten minften bekennen, dat hy de paaien van 't Geheel-al veel verder dan iemand van zyne Voorgangers uitbreidde- Bv gebrek van eene dire&e Leerwyze bedacht, hy eene indire&e, die zeer vernuftig is, welke in de Sterrekunde onder den naam van het Diagramma van Hipparchus bekend is. Dezelve beftaat in eene handelwyze om de fchynbaare middellynen,de horifontaale Parallaxen van Zon en Maan, haare opzichtelyke affïanden en grootheden, als ook de middellynen van de fchaduwe der Aarde, op de plaats alwaar de Maan in haare Eclipfen over dezelve gaat, te vergelyken. Hipparchus
Qt) Alm. I. V. c. 2. imit. (/) Hift. Nat. I. II. c. 12.
Aa 3



368 HISTORIE der
thus hadt, naar het bericht van Theon f», eene byzondere Verhandeling daar over gefchreeven, welke tot tytel voerde de magnitudine Q? diftantidfollsRIun<e* en y om die verfchillende betrekkingen te bepaalen, zich van eenige verfchynfelen der Eclipfen bediend. Er is m der daad een zodanig verband tuffchen dezelve, dat wanneer fommige eens bepaald zyn, alle de andere daar uit noodzaakelyk volgen. Door dat middel vondt Hipparchus voor den afftand der Zon van de Aarde omtrent moo halve-middellynen der Aarde, voor haare honzontaale Parallaxis 3', en voorden middelbaaren afftand der Maan van de Aarde 59 van die halve- middellynen ; waar uit hy befloot dat de middellyn der Aarde gelyk was aan 3f maal de middellyn der Maan, en dat de middellyn der Zon vyf en een half maal dio yan de Aarde bevattefw). Ptolomeus komt in zyne meetingen met hem overeen, en maakt gebruik van de zelfde middelen, om daar toe te komen. Maar de hedendaagfche Sterrekundigen, het vernuft van Hipparchus naar billykheid waardeerende, hebben niet gedacht dat zyne handelwyze bekwaam was, om tot zulke fcherpe bezaaiingen te komen: zy hebben eeniglyk zyne Figuur en redeneering behouden , als een der voornaamfte beginfelen van de berekening der Eclipfen
Hipparchus was genoodzaakt by de Theorie van Zon en Maan te blyven. Hy dacht geen genoegzaam talryke waarneemingen te hebben, oin van die der an** ' dei
(») Com. in Alm. 1. VI.
(») lk kan my niet onthouden om deezen ouden Stersekuncligen te zuiveren van eene aantyging van den Heer Weidler, welke hem in zyne Hiftorie der Sterrekunde doet «eggen dat de Zons middellyn ioso maalden ftraal de. Aarde bevatte. De Schryver, op wien de Heer Weidler iirfi1 veft.gt. zegt alleenlyk 10. 50, dat is te zeggen 10 rnÏÏ *i H TT™?? hy Zdfs die ong«ymdheid aan Hipparchus hadt toegefchreeven, zoude men hem daar inniethehben moeten gelooven. Ik begryp niet, hoe een mar, van verdienfte , als de Heer Weidler was , op veele plaatfen zo reinig oordeelkunde heeft kunnen toooer-. Piaatl^zQ,



WISKUNDE. I. Deel IV. Boek. 36>
dere Planeeten den grondflag te leggen. Naardien hy een te groot beminnaar van de waarheid was, om on« derftellingen op te peeven, waar van hy de zeer groote onvolmaaktheid zoude bemerkt hebben, liet hy aan zyne opvolgers de zorge over om deeze Theorie te vestigen , en vergenoegde zich met hen tot dat einde de bouwftoffen na te laaten: met dat inzicht bragt hy de waarneemingen over die Planeeten, Welke vóór hem gedaan waren, in orde, en deedt 'er zelf een groot getal met het naauwfte toezicht dat hem mogelyk was. Ik verwondere my dat Ptolomeus, die ons dit te kennen geeft (o), van de waarneemingen van Hipparchus geen gebruik heeft gemaakt, toen hy zyne Theorie der vyf Planeeten veftigde. Het fchynt dat de naauwkeurigheid, om welke hy hem zo dikwerf roemt, haar den voorrang boven die van Timocharis, welke meeft* tyds gebruikt worden, behoorde te verzekeren.
Een nieuwe Ster, die in den tyd van Hipparchus vexfcheen, noopte hem om een der grootfte ontwerpen j Welken de Sterrekunde ooit heeft durven maaken, te onderneemen, en gaf tot eene fraaije ontdekking aanleiding. Ten einde de nakomelingfchap in ftaat te ftellen om te kunnen oordeelen, of de vertooning des Hemels altoos de zelfde was, of 'er aan denzelven fomtyds nieuwe Sterren ten voorfchyn kwamen, of andere verdweenen , ondernam hy dezelve te tellenDe moeijelykheid en uitgeftrektheid van 't ontwerp vervaarden dien onvermoeiden Sterrekundigen niet. Hy bragt hetzelve vry ver, en maakte eehe uitgebreide naamlyfl: der voornaamfte vafte Sterren, welke naderhand dien van Ptolomeus tot een grondflag diende. Plinius, van deeze onderneeming opgetogen * verklaart zich daar over niet dan met verrukking (p). Hipparchus, zegt hy, nunquam fatis laudatus, ut quo ttemoma* gis comprobaverit cognationem cum homine Jy der urn, ani* mafque noflras partem ejfe Cceli. . . . auftus'rm etiatri Deo
lm*.
(<0 Alm. !. IX. c. 2.
f» Hift. Nat. I. II. c. s6.
Aa 3



07
HISTORIE der
improham annumerare pofterh ftellas. . . . C<elo in hcereditatem cunEtis relicto, &c. Wy vermoeden dat Hipparchus de Gefterntens met de Sterren, waar uit dezelve beftaan, op eenen lighaamlyken Kloot befchreef, en dit gedenkftukinde Schoole te Alexandria naliet. Want Ptolomeus, willende bewyzen dat de ftand der vafte Sterren onder malkander federt Hipparchus niet veranderd was, bereert, dat men denzelven met dien van den lighaamlyken Kloot van dien Sterrekundigen vergelykt (g). 't Was waarfchynlyk by die gelegenheid, dat hy bedacht om de Spheer opeen Vlak te ontwerpen, eene uitvinding waar van de Wiskundige BisfchopSynefius hem de eere geeft (r). In der daad naardien hy het ontwerp, om den ftand des hemels in zynen tyd tot de nakomelingfchap over te brengen, gemaakt hadt, konde hy niets beters doen, dan de Globen, welke door haare uitgebreidheid weinig gefchikt zyn, om met hetzelfde gemak vervoerd te worden, in eene zo gemaklyke fchikking te veranderen.
De arbeid van Hipparchus over de vafte Sterren is vooral gedenkwaardig door de ontdekking, waar toe dezelve aanleiding gaf. Door zyne waarneemingen met die van Ariflillus en Timocharis, welke één en een halve eeuw vóór hem gedaan waren, te vergelyken, bemerkte hy, dat alle de Stenen van plaats veranderd, en in de orde der tekenen omtrent twep graaden voorwaarts gegaan waren; zulks dat de hoofdpunten fcheenen te rug gegaan te zyn. Om die reden gaf hy aan het Boek, waar in hy over dat verfchynfel handelde, den tytel de retrogradationepun&orum folfiicialium&cequitwiïiaïium. Deeze tytel zoude kunnen doen vermoeden, dat de waare oorzaak van die fchynbaare beweeging der vafte Sterren, die weezenlyk flegts eenen teruggang der nachtevenings- en Zonneftands punten is, aan Hipparchus bekend was; en men zou dus over zyne gevoelens, belangende het waare ftelfel van 't
Geil) Alm. i. vii. c. r. (r) De dono Aflrtl. int er cpp, Syp,.



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 3n
Geheel-al, eenige gisflngen kunnen maaken. Maar dezelve zouden op eenen te zwakken grond {leunen» om veel opmerking te verdienen.
Ptolomeus geeft ons te kennen, dat Hipparchus in 't eerft vermoedde, dat alleen de fterren, welke in of dicht by den Zodiak ftaan, verplaatft waren, als of zy, als nader by den Cirkel zynde, die eenigermaate den grooten weg der Planeeten is, bloot gefteld waren geweeft > om aan haare beweeging deel te neemen. Maar dit denkbeeld werdt welhaaft verdreevett door de vergelyking der plaatfen van de andere Sterren, en Hipparchus erkende, dat die beweeging algemeen was, en rondom de Poolen van den Zodiak gefchiedde. Naardien hy echter altoos omzichtig was, cn zich op de ruwe waarneemingen zyner voorzaaten niet ten vollen dorft betrouwen, dacht hy, dat hy zyne ontdekking met geen te groote vrymoedigheid moeft bekend maaken Ten einde evenwel de nakomelingfchap in ftaat te ftellen, om haar oordeel hier over Ce vellen, liet hy dezelve een groot getal waarneemingen over de vafte Sterren na. Dezelve dienden Ptolomeus naderhand, om tevens de volkomene onbeweegbaarheid der vafte Sterren ten opzichte van elkander, en de beweeging der geheelegefternde Spheer rondom de Poolen van den Zodiak, te verzekeren.
Het vernuft van Hipparchus bragt in de Geographia de zelfde klaarheid als in de Sterrekunde. Hy bedacht het eerft van de Lengtens en Breedtens gebruik te maaken , om de ligging der plaatfen op de oppervlakte der Aarde te beftemmen (x), en bediende zich van de Maan - Eclipfen, om de eerfte te bepaalen. Wy ftaan de weinige naauwkeurigheid der bepaalingen van Hipparchus gereedelyk toe; doch het grondbeginfel was uitfteekend : De oeffenende Sterrekunde ontbrak flegts volkomenheid, om vrucht uit hetzelve te treKken.
De
(s) Strab. Geog. I. I. p. f» Edir, Per* Aa 4



372 HISTORIE der
De talryke berekeningen, tot welke die arbeidzajme Sterrekundige door zo veel werken verbonden was, deeden eindelyk de Driehoeksmeeting, zo rech t lymge als Klootfche, van onder zyne banden ter* yoorfchyn komen. Theon noemt van hem eene Ver handeling over de Peezen der Cirkelboogen in twaalf Boeken (t) welke niets anders dan eene Verhandeling over de Dnehoeksmeeting konde zyn. Want men weet dat de Ouden de peezen der dubbelde boni gen gebruikten, ;n plaats van deSinufen, welke heden daags in gebruik zyn. "euen-
Ik zal dit Artikel met weinig woorden eindiVen door de tytels van eenige andere Werken varS' parchus op te geeven. In het Werk de intercllribts retbfrl dp°- f**" fngehaa^, verbeterde hyde Cahpptfche Periode- wy hebben in het twaalfde Artikel des voorgaanden Boeks van deeze verbetering eefnro ken. Zyne beöordeeling der Verfehynfekn vln%S: het eenig Werk yan dien Sterrekundigen Ztt Zl gekomen is, heeft niets gewigtigs voor ons, fecfeit dat d e foort van Sterrekunde niet meer in £ebruik is 00- Het is eveneens gelegen met Zyne aan me r kingen op de Aardrykskunde van Eratofthenes wie," aanbelang dikwerf door Strabo verdeedigd vvordt' (V)
X.
Theodoftm, welke allen aan de bevordering der vSn-
de*
(t) Comm. in Alm.-]. j. c. 9.
00 Enarrat. ad Arati £f Eudoxi Phenöm i tti „'O) Geog. ƒ. n.



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 373
de eenig deel hebben, en waar van fommige beroemd geweeft zyn. Thans zullen wy dezelve doen kennen.
Geminus was een Wiskunftenaar van het Eiland Khodes, en de Schryver van twee Werken, het een Meetkundig, het ander Sterrekundig, waar van alleen het laatfte tot ons gekomen is. Het eerfte was getyteld Emrrationes Geometrie-a, en bevatte zes Boeken. De veelvuldige aanhaalingen van Proclus (w), dieallesdat hy over de Hiftorie en het Bovennatuurkundig deelder Meetkunde zege, uit hetzelve fchynt getrokken te hebben, verfchaffen ons het middel om ons een denkbeeld van hetzelve te maaken. Hetzelve moet eene Hiftorifche uitbreiding, een foort van Wysbegeerigeverklaaring der Meetkundige ontdekkingen geweeft zyn. Men kan het niet te veel beklaagen, dat een zo fraai en leerzaam Werk niet tot ons is doorgedrongen. Het ander, dat wy bezitten, is eene Inleiding tot de Sterrekunde, bevattende eene rechtzinnige leere, en verfcheide gewigtige trekken voor de Hiftorie van deeze Weetenfchap. De Vader Petau heeft den leeftyd van Geminus omtrent het jaar 77 vóór de Jaartelling der Chriftenen gefield (x). Hy heeft zyn gevoelen hier op geveftigd, dat men in zyn Werk leeft, dat het 120 jaaren geleden was, dat het feefl van Bis juift in den winterfchen zonneftand ;gevierd werdt. Een ander Geleerde heeft daar uit befloten, dat Geminus omtrent het Jaar 137 vóór dat Tydbegin leefde; hetgeen aanleiding zoude kunnen geeven om te denken, dat men op die bepaalingen niet veel ftaat behoort te maaken. Maar men heeft een ander zeker getuigenis der oudheid_ van dien Schryver by Simplicius: die Pojjidonius iets in navolging van hem doet zeggen (y~). Hy heeft derhalve vroeger geleefd dan die Wysgeer, welke omtrent het jaar 63 vóór J. C. in een hoogen ouderdem ftierf. Ik gaa verder, en ben bewogen om te denken,
dat
(w) Comm. in I. Eucl. palfim.
{x) Uranol. in notis ad Gem. p. 33,
0 L. II, Phyf. f. io,
Aa 5



374- HISTORIE der
dat hy niet vóór Hipparchus geleefd heeft: ik vefhetf myn gevoelen hier op, dat hy niets zegt van dien beroemden Sterrekundigen, en van zynegedenkwaaidige ontdekking van de eigenlyke beweeging der Sierrem ' Ik kan my niet overreeden, dat hy, met zo veel kundigheid als hy van de Sterrekunde doet blyken' geen kenniffe van deeze ontdekking gehad, en van d'ez-ive geen melding gedaan zoude hebben, indien Hipparchus vóór hem geleefd hadt.
Ctcftbius en Heron zyn leerling, beide van Alexan* dria, maakten zich beroemd door hunne bekwaamheid in de Tuigwerkkunften. De eerfte leefde onder Pto. lomeus Evergetes den tweeden, of in 't midden der tweede Eeuwe vóór het Tydbegin der Chriftenen, /\ndè gebooren in een ftaat, die hem van de Weetenfchappen afhielde (want hy was de zoon eens Baardfcheer* ders van Alexandria', was hy alles aan zyn vernuft verfchuldigd. Eens dat hy in de winkel zyns vaders was merkte hy op, dat, een fpiegel nederlaatende, het gewigt dat denzelven in e-enwigt hieldt, en in eene Cylindervormige fponde befloten was, door de persfifig der lucht, in de naauwe ruimte, welke de beweeging van hetzelve moeft bevorderen, met geweld te rug gedreeven zynde, een geluid maakte. Ctefibius * met dm geest van opmerking begaafd , bekwam daar door het denkbeeld van een Waterörgel, door middel van de lucht en het water. Hy flaagde daar in en maakte deeze vernuftige vinding toepaffelyk op Water -Uurwyzers, over welke hv veel arbeid"befteedde Vitruvius, wien wy dit gefchiedkuhdig ftaaltje over Ctcftbius verfchuldigd zyn z), befchryft veele van zy* ne Werktuigen zeer breedvoerig. Hy was, zegt men, de uitvinder der Pompen, en wy hebben in derdiad eene zeer kunftige Pomp, die zyn naam draagt; dezelve is faamengefteld uit twee deelen van een Pemp, welke beurtelings gaan , zulks dat terwyl een de- zuigers opgaat en na zich trekt, de andere nederdaalt,
en.
(«) Archit. 1. IX. c. p. i. x. c, 12.



WISKUNDE. I. Beet. IV. Boek. 375
en, het water drukkende, hetzelve in een gemeenen pyp doet opryzen. De Ridder Morland heeft zich fterk toegelegd om deeze Pomp, in welken hy groote voordeden heeft gevonden (a), en die dezelve weezenlyk heeft, tot meerder volmaaktheid te brengen.
Heron maakte zich , even als zyn meefter, door zyne bekwaamheid in de Werktuigkunde, hoog beroemd, en hy was een der Ouden, welke over dien tak van Weetenfchap het meeft fchreef. Men hadc oudtyds van hem een Werk, ten minften in drie Boeken, in 't welke hy over de verfchillende tuigwerkelyke krachten breedvoerig handelde; hy bragt dezelve tot den hef* boom over, volgens het reeds aangenomen denkbeeld der Wiskundigen, en vereenigde dezelve op verfcheide wyzen, om ze tot de behoeftens van hei leven toepaffelyk te maaken (£). Gelius bragt, in 't midden der voorgaande eeuwe, een Werk uit het Ooften, waar in die Tuigwerkkundige het Werktuig van Archimedes, om geweldig groote laften te trekken, herftelde: Pappus fpreekt van hetzelve (f), en noemt het fixfxAKov, onerum tracïor. Hetzelve was een Werktuig zeer overeenkomftig met onze Dommekracht, dat is, faamengefteld uit verfcheide getande raden, welke inrondfels omgaan , enz. De berekening, die hy over de kracht van hetzelve maakte, is in alles met de onze overeenkomftig.
't Was voornaamelyk door zyne Water-Uurwyzers, door zyne zelfroerfelen en zyne Wind-Werktuigen, dat Heron de verwondering der aloudheid verwekte. Wy hebben zyne Verhandeling over de Wind-Werktuigen, onderden naam van Spiritalia of' Pneumatica, benevens een gedeelte van zyne zelfroerfelen Cü). De eerfte van die Verhandelingen is een zeer pryswaardig gedenkteken
(ö) Elevat. des Eaux, c. 4. 01 Papp. Coll. Math. 1. V1IJ. pappm. (c) Papp. Ibid. prop. 10.
(V) Heronis, Spiritalia. curd fed. Corrunandini. 1575, in-4',iter&mi6tf. curd N. Alleafü



S7« HISTORIE der
ken yan het vernuft van Heron: int byzonderbemerk? men in hetzelve dat, fchoon de veerkrachtigheid der lucht m zynen tyd onbekend was, dezelve echter bvna altoos gelukkig wordt toegepaft, om haar gewroet voort te brengen; deeze zyn vernuftige TujVwerkkundige vermaakelykheden. Wat de zelfroerfelen betreft, ik twyffele zeer of hungewrogt hedendaags wel xyonderlyk zoude fchynen. Heron fchynt mV in die tTI T£n ,kundl'Sheid beneden hetgecrr hy in zyne Wind-Werktuigen is. Men heeft nog van dien 1 uig! werkkundigen eene Verhandeling, getyteld Behpetca, of van deConJlruBie der trekken, welken de Üitgee' vers der Mathematici veteres in 't licht gebragt hebben
fjZntge,-her^en hem betrefc mec aan & merken dat hy by die fchranderheid in de Tuigwerkkundige Weetenfchappen, veel kundigheid in de Meetkunde voegde._ Hy wordt dikwerf door Proclus aangehaald! als Uitvinder van nieuwe bewysgreepen van verfcheide Voorftellen der Beginfelen van Euclides.
PMon van Byzantium was mede een beroemd Tuigwerkkundige der aloudheid: hy leefde, niet omtrent den tyd van Alexander, zo als de üitgeevers der Ma ihematici veteres gedacht hebben, maar ten vroeefterï kort na Heron, dien hy in zyne Verhandeling Iver defaamenftelling der Jlingertuigen en Jchietboogen noem" Hy was zeer ervaren in de Meetkunde, en zvne ooi Iosfing van het Problema der twee midden-evenredigen, fchoon in den grond hetzelfde als dat vznApolh. mus, heeft in de daadelyke oeffening zyne verdien' fee Philon fchreef ook eene Verhandeling over de Mechanica, waar van het onderwero ten naafte bv het zelfde als dat van Heron was: maar dezelve is niet ror ons gekomen, en niet als door de aanhaalingen van Pappus (<?) bekend. b 11
PoJJldonius is een bekend Stoïcijn, door de vriendfehao welke Cicero hem op verfcheide plaatfen van zyne fchrff ten betuigt: de tekenen van eerbiedigheid, welken
de
CO Ibid, l. VIII. pajjlm.



WISKUNDE, h Deel IV. Boek. 37l
de groote Pompeus hem eens bewees, doen den Roraeinfcben Burgermeefter en de Wysbegeerte gelykelyk eere aan. Door het Eiland £-W«trekkende, en dien Wysgeer, welken hy voormaals gehoord hadt, willende bezoeken, verboodt hy zynen Gerechtsdienaars om aan zyne deur te kloppen. Fores, zegt Plinius, percuti de more è Lictor e vetuit, ac fa/ces lictoris januce fuhmiftt, cui fe oriens occidenfque ftuhmifterant (ƒ).
PcJJidonius was een Meet-, Sterre- en Tuigwerkkundige. Hy heeft de Meetkunde groote dienften gedaan , door de aanvallen van een zekerenZeno van Sidon,eex\ hpicurift, die ondernomen hadt haare zekerheid en grondbeginfelen te krenken, afgekeerd te hebben(g). Ltcero fpreekt {h \ met verwondering van eene beweegende Spheer, even als die van Archimedes, welke hy gemaakt hadt. Hy was nog in de aloudheid bekend door eene waarneeming, uit welke hy de grootheid der Aarde bepaalde (/): bemerkende dat te Rhodes de i>ter Campus flegts even aan den Horizon kwam, in plaats dat zy te Alexandria zich tot 7°± boven denzelven verhief, befloot hy daar uit, dat die beide fteden dat getal graaden , of het 4f]fte deel van den Meridiaan der Aarde, van elkander gelegen waren. Vervolgens gifte hy haaren rechtftreekfchen afftand, en onder den zelfden Meridiaan, op5000 Stadiën: gevolglyk moeft de omtrek der Aarde 240000 Stadiën lang zyn. Maar wy zullen Poffidonius geenzins het onrecht doen van te denken, dat hy die meeting anders dan als eene vry ruwe benadering aanzag: wy zullen hem de belagchelyke gevoelens, welke Plinius hem over
1 n. 1 nd der Hemeli;chten toeeigent, ook geenzins te laft leggen, en verkiezen liever te zeggen, dat die Hiftonefchryver, fomtyds weinig naauwkeurig, zich daar in aan flegte berichten gehouden, of grovelyk
ge*
(ƒ) Hift. Nat. I. VII. c. 30.
O) Proclus, in I. Eucl. axiom. 1,
(A) De nat. Deor. 1. II.
[f) Cleomed. Cycl Tkeor. 1. I, c. 16,



37* HISTORIE di*
gefeild heeft, dan te gelooven dat een Wysgeer, een fchrander Meetkundige, en die na HippJhSilïlf de Maan flegts 2000 en de Zon 5000 Stadiën van dè Aarde verwyderd hebfae (*). Daar benevens v^rfchS ons Ueomedes, die dikwils' redeneeringen van Poiïdonl m gebruikt, een groot getal bewyzen, dat dieWvs
^IbSenVS.0^^ '< ^£*£8fc
Ik geloof den Schryver, dien ik zo even genoemd
& £TdJeIy£ na Po^*w ^ kunnen plaS. Men heeft van hem eene kleine Verhandeling, ge?y
DeeL?vJ7a^T SP* in ^ee loeken.
kunde %H nnn y, e,Be#miden Van Klootfche SterreS»r &Fboon d~ leeftyd van tot hier toe
zeer onzeker gefcheenen hebbe, twyffele ik echte?
feTeefd • fJl^ vóó;h«Tydbpgiï der ChrifteS geleeid het fhlzwygen dat hy houdt over alIedeSter-
^JtëFiJiï^n™ P°Fid0nT g^efdheLbet dSt d Jbv vLSH !, n' e-° het h?m geJuurig gebruik, ceeftVv re<Lanee«ngen van dien Wysgeer maakt, geeft my de vrymoedigheid, om hem een van zvne Leerlingen te maaken. yQ
r iPfi?£orrekundjSe is zyne beroemdheid ver¬
fchuldigd , aan de onhandigheid der verbeteSvan den Almanak, door JuliusCefar gedaan. Deeze S memfche Dictator, die zeifin dl Weetenfchan*d?r Hemellichten ervaren was, raadpleegde Sfioveï deeze Sterrekundige zaak, en men gelooft dat hy hec was, die hem over de wyze van inlasfching, welke
hy
C*jI De Heer TVeidler, in zyne Hiftorie der Sterrekunde ïl'rK"! li6"" \*H 0IW^heidte laft, „aamelyk vVn de middellyn det Zon van 300000 middellynen des Aard kloots te maaken. Hy haalt ' ClèoMedeï, / j ƒ maar men vind- by denzelven niets dat daPr' na'gelykt';men' keft daar flegts eene zekere redeneering van Poffd^fu" doorwelke hy toonde, darde middellyn der Zon vïtS Stadierj konde zyn, htreen flee's r? nf ,« Ini 11 der Aarde uitmaakt. S 37 ° 38 "Wk"^"!



WISKUNDE, I. Deel. IV. Boek. 379
hy ontwierp, en over de grootheid van het Zonnejaar, dat hy tot 365 dagen 6 uuren bepaalde, het befluit deedt neeroen. Indien wy Plinius daar in gelooven (ƒ), was hy lang in bedenking, alvoorens tot een befluit te komen, niet door de beweegredenen, welke die Hiftoriefchryver hem toeeigent, maar waarfchynlyk, om dat hy wegens de juifte grootheid van het jaar onzeker was, en zich niet konde ontveinfen, dat Hipparchus hetzelve eenige minuten te kort gevonden hadt. Sofigenes hadt eene Verhandeling, getyteld de revolutionibus, gefchreeven; deeze tytel is alles dat van dezelve tot ons gekomen is.
Dionyfiodorus, waar van Plinius (m' als van een bekwaam Meetkundige fpreekt, was het in der daad, indien eene zekere oplosfing van een moeijelyk Problema van Archimedes, welke men by Eutocius leeft (»J,van hem is. Want deeze oplosfing is zeer geleerd , en de vinder derzelve is niet als door eene grondige enlangwylige Analyfis tot dezelve gekomen, Plinius verhaalt van deezen Wiskundigen een zeer weinig geloofbaare gefchiedenis: hy zegt, da: men na zyn dood een gefchrift in zyn graf vondt, door 't wellc hy zeide tot in 'c middelpunt der Aarde geweeft te zyn, en bevonden te hebben , dat van daar tot aan deoppervlakte een afftand van 42°oo Stadiën was. I linius noemt dat een merkwaardig gedenkftuk der Griekfche verwaandheid: maar ik geloof dat men deeze gefchiedenis kan aanzien als een Verdichtfel, door Plinius met wat te veel ligtgeloovigheid aangenomen.
Theodofius de Meetkundige, Schryver der Spherktz, en eenige andere minder bekende Verhandelingen; welke wy in handen hebben, heeft my gefcheenen omtrent den zelfden tyd geplaatft te moeten worden. Sttabo en Fiiruvius (oj fpreeken beide van een Wiskunftenaar
The-
(J) Hift. Nat. I. XVIH. c. 25. (m) Hifi. Nat. 1. XVIII. c. 25. (n) Hift. Nat. 1. II. c. uit. {e) Geogr. 1. II, Arch. 1. IX, c; 3.



38o HISTORIE der
Theodofius, die waarfchynlyk dengeenen is waar van wy hier fpreeken. Ik houde my weinig op met de tegenwerping welke men kan maaken in navolging van Suidas (p), die de Verhandeling over de Spkérkts toeeigent aan eenen Sceptifchen Theodofius, welke na de tweede eeuw van de Jaartelling der Chriftenen leefde. Het is blykbaar dat die Woordenboekfchryver gefeild heeft, en 't verwondert my dat die zwaarigheid bekwaame lieden heeft verlegen gemaakt: want hy fpreekt kort daar na van don Theodofius van Tripoli, welke de naam is die de onze aan het hoofd van zyne Sphericce aanneemt. Suidas heeft derhalve onder het artikel van den Sceptifchen Theodofius gebragt, hetgeen dat van den Wiskundigen moeft uitmaaken, en gevolglyk kan zyn getuigenis hier van geen gewigt zyn.
De Sphericce van Theodofius zyn een pryswaardig werk der oude Meetkunde. Het onderwerp, 't welk die Wiskundige zich daar in heeft voorgefteld, is geweeft om de Meetkundige grondbeginfelen der Klootfche Sterrekunde, en der verklaaring van de verfchynfelen, welken men daarin befchouwt, faamen te ftellen. Theodofius deeik in dat opzicht hetgeen Euclides over de Beginfelen der Meetkunde gedaan hadt. Hy verzaamelde tot een lighaam de verfchillende Voorftellen , welke door de Sterre- en Meetkundigen vóór hem gevonden waren; want men behoeft niet te twyffelen, of deeze Theorie, die voor het grootfte gedeelte vry eenvoudig is, is hen welhaaft gemeenzaam geweeft. Die Werk, dat men in de Sterrekunde als een Schoolboek kan aanzien, werdt eerft door de Arabiërs vertaald, en zy waren het die ons hetzelve bezorgden, toen do Weetenfchappen onder ons begonnen wortel tefchieten. Hetzelve werdt, in 't begin der zeftiende ' eeuwe, naar één van hunne overzettingen vertaald, en is naderhand, door verfcheide Uitgeevers (g),
in,
(j>) Op "t woord <S)to$o?iot.
( q) Theod. Spheric. I. IIL lat. Viennc*, 1759. 4. cum feol, edente Vogelino. ïidem. Cr. Lat. ex tdit. Tenue, Par,
fa



WISKUNDE. I. Deel. IV. Boek. 381
in 't Griekfch en Latyn, of alleen in 't Latyn, ukge* komen.
De twee andere Verhandelingen, welke men van Theodofius heeft, zyn de Meetkundige bewyzen der verfchynfelen, welken de bewooners der verfchillende plaatfen van de Aarde moeten befpeuren. Zy zyn getyteld de habitatiouibus en de diebus & nollibus: dezelve zyn hedendaags niet zeer gewigtig meer; want deeze leere is zo gemaklyk, dat men, met eene geringe kundigheid der Klootfche Meetkunde, aanftonds de bewyzen befpeurt. Vttruvius eigent den Theodofius, waar van hy fpreekt, een Zonnewyzer toe, dien hy noemt irgor nxv z^i/ax, hetgeen betekent voor alle Klimaaten. Wy gisfen hier uit, dat dezelve een foort van algemeene Zonnewyzer was, even als eenige dergeenen welke fommige Liefhebbers onder ons vervaardigen; en zyn van gedachten dat wy ons hier over niet moeten ophouden.
H I-
in 4to. T557. lidem, Latinè, Londini 1(175. 4. edente faaco Barrow. lidem Latinè, ex trad. Penee. Oxon. 1700» 8vo. edent J. Hunt. &c.
Einde van het vierde Boek.
Bh



382
HISTORIE
DER
WISKUNDE.
EERSTE DEEL.
Bevattende de Hiftorie der Wiskunde by de Grieken ■van haaren oorfprong af tot de verovering van ConJlantinopolen.
VYFDE BOEK.
Bevattende het overige van deeze Hiftorie, federt de jaartelling der Chriftenen tot de verwoefting van het Griekfche Ryk.
KORTE INHOUD.
I. Algemeen denkbeeld van dit Boek. II. Van de Wiskunflenaars Agrippa, Menelaus en Theon van Smirna. III. van Ptolomeus den Sterrekundigen. Kort begrip der ontdekkingen en onderftellingen, welke hy by die van Hip. parchus voegt. Verklaaring der verfchynfelen van de beweeging der Maan, welke by de Ouden bekend waren, en op wat wyze Ptolomeus aan dezelve voldoet. Zyne onderflellmgen voor de beweegingen der andere Planeeten. Denkbeeld der oefenende Sterrekunde by de Ouden. Bibliographifche aantekening over den Almageftum. TV. Andere Werken van Ptolomeus, zyne Aardrykskunde, enz. Verfcheide overgefagen ftukken van zyne Optica, welke aantoonen, dat de Sterrekundige Refra&ie, de oorzaak van de ongemeene grootheid der Hemellichten, aan den Horizon



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 383
zon gezien zynde, enz. hem hekend was. V. Van verfcheide Wisküudigtn , welke in de eerfte eeuwen van dl Jaartelling der Chriftenen leefden, als Serenus, Porphyrus, Nicomachus en veele anderen. VI. Van Diophantus in 't byzonder. Hy is de uitvinder , minfteti hy handelt het eerft over de Algebra. Soort van vraagftukken welken hy zich voorftclt, en op wat wyze hy de. zelve oploft. Graffckrift van dien Analift in een Rekenkundig Problema. Hedendaagfche Schryvers, welke zich op de Analyfis van Diophantus toegelegd hebben. VII. Verfcheide Rekenkundige Voorftellen, uit de Verzaameling van Griekfche Puntdichten getrokken. VIII. De Wiskunde begint by de Grieken te vervallen. Pappus is onder hen byna de laatfte oorfprongkelyke Schryver in dien tak van Weetenfchap. Gewigtige ontdekking, ivelke hy doet. Van Theon en zyne dochter Hypathia. IX. Van Proclus en. verfcheide andere Wiskundigen, tot in 't midden der zesde eeuwe. Van Anthemius, Ingenieur en Bouwfneefter van Juftinianus. Merkwaardig Staaltje over de Brandfpiegels f welk hy ons verfchaft. Van Diodes den Uitvinder der Cyftiïde; verdienfte van dien Meetkundigen , enz. X Ondergang der Schoole van Alexandria, brand van haare Boekery , en geheel verval der Wiskunde in Griekenland. Van eenige Wiskundigen van weinig aangelegenheid, welke in de zevende en agtfte eeuwen geleefd hebben, Vergeeffche poogingen van Leon den wyzen en zynen opvolger , om de Weetenfchappen in hun Ryk te her/lellen. Laatfte Wiskundigen welke, tot de verovering van Conftantinopolen , in hetzelve bloeiden. Van Eraman tel Mofcopulus , die over de Tovervierkanten ge* fchrecven heeft. 'Korte Hiftorie van deeze foort van Rekenkundig tydvcrdryf.
I.
Indien het getal der ontdekkingen cn oorfprongkelyke Schryvers over de Wiskunde met dat derf e!iWen , welke wy in dit gedeelte van ons Werk te doorloopen hebben, overeenflremde, zoude hetzelve niets voor eenige der voorige deelen behoeven te Bb 2 wy-



384 HISTORIE dek
wyken. Maar de Weetenfchappen hebben, even aïs de Letterkunde, haare tyden van voorfpoeden verval. Te vergeefs beftaan de zelfde voordeelen , de zelfdê grondveften, om haar te begunftigen; de Natuur na Vernuften van een zekeren rang voorcircbragt te hebben, fchynt tot zwakheid te vervallen, en ienelanee rufte noodig te hebben om zich van dezelve tehe?' ftellen. Niet dat wy willen zeggen, dat die lange reeks van eeuwen onsi met eenige, door de hoedanigheden van het vernuft, lofwaardige mannen, en welk toe de bevordern . der Wiskunde iets toegèbragt hébben
va"n h nVnïJr Zy Zya W^ itt^ en men zoude van hen kunnen zegden, apparent rari nantes invite vajio. Daar komt een tyd, in welken men defSderfte zich tot de kenniffe der beroemde Schry vers ziet bepaalen, en eindelyk wordt de glans der Wiskunde zodanig verdoofd, fchoon in eenW by 't w lï de ge eerdhe-d noch onbekend, noch in verachting was? dat men onder hetzelve ter naauwernood eenigel-nnen vindt, welke verder dan haare beginfelen hebben doorgedrongen: zodanig is het algemeen tafereel van dit gedeelte onzer Hiftorie.
II.
De Studie der Wiskunde, welke, geduurende de eerfte eeuwe van de Jaartelling der Chriftenen, in't verval Ichynt geweeft te zyn, bekwam in 't begin der tweede eeuwe weder eenigen nadruk, 't Was voornaamelyk de Sterrekunde, welke de bly ken daar van toonde My vinden omftreeks het tydperk, dat wy komen aan te wyzen, drie Waarneemers, Agrippa,Menehus enhe.
VnZt e diCZ-e WfetenfchaP nuttige bouwftoiTen bTzorgden. Agrtppa deedt waarneemingen in Byhinien en men heeft f*) van hem eene waarneeming van dè
i^wDoïZ™'^00^ Maan' ^hetfwaaU jaar van Dommanus, of het drie en negentigfte van onze
£*) Alm. i. vii. c. 3.



WISKUNDE. I. Deel. V. Beek. 3g5
ze Jaarrelling, gedaan. Dit is alles dat men van dien Sterrekundigen weet; men kan daar uit vermoeden, dac hy arbeidde om de ontdekking van Hipparchus over de beweeging der vafte Sterren te onderzoeken of te ftaaven. Ptolomeus haalt ook verfcheide waarneemingen over de vafte Sterren aan, welke door Menelaus den Sterrekundigen, eenige jaaren daar na, gedaan zyn (b). Deeze Wiskundige was de Sterrekunde op meer dan eene wyze van dienft: want hy fchreef over de Driehoeksmeeting, een voor den Sterrekundigen zo noodig deel der Meetkunde. Men hadt eertyds zyne zes .Boeken over de Peezen. een Werk waar in by waarfchynlyk over de faamenftelling der Trigonometrifche Tafelen handelde. Wy bezitten nog zyne Verhandeling der Klootfche Driehoeken in drie Boeken, die zeer grondig en zeer uitvoerig is. Geleerde Engelfchen hebben een fraaijen Griekfchen en Latynfchen Druk, waar van de Exemplaaren zeer fchaars zyn, van dezelve gegeeven.
Ten aanzien der gefchiedenis van Menelaus behoort nog aangemerkt te worden, dat hy één der Meetkundigen was, welke zich aan de Theorie der kromme lynen overgaven (c). Voor 't overige wordt zyn naam verminkt, wanneer men hem Mileusnoemt, zoals eenige Schryvers, die in flegte overzettingen, naar het Arabifch gedaan, zyn naam aldus hadden geleezen, gedaan hebben. Deeze dooling is gegrond op de misgreep van een Letter die, met twee punten van onderen, een /, en met één punt van boven een n maakt. Zy die de Arabifche taal een weinig verftaan, zullen gemaklyk zien, hoe men in een handfchrift zonder klinkletteren, en kwalyk gepunteerd, het een voor het ander heeft kunnen leezen.
'Theon zette de Sterrekunde voort onder de Regeering van Adrianus, en Ptolomeus gebruikt, om zyne Theorie van Venus en Mercurius teveltigen, verfcheide van zyne
(b 1 Ibid.
(O Coll. Matb. U 4. pr. 30.
Bb 3



380 HISTORIE der
ae waarneemingen. Wy maaken geenzins bedenking, om deezen Theon voor den zelfden te houden als die van Smirna, en die aan wien Plutarchus . op fommige plaatfen van zyne faamenfpraak de facie in orbe lunce, den eernaam van bekwaam Sterrekundige geeft. Men bewyft, dat Theon van Smima omtrent dien tyd leefde, en niets is meer gegrond, dan van drie mannen van den zelfden naam, welke tydgenooten en de zelfde foort van Studie toegedaan waren, één en den zelfden perfoon te maakr n. De Heer Bulialdus heeft een gedeelte van een Werk van Theon, betreffende de Rekenkunde en de Muziek, in 't licht gegeeven (/), Men zegt dat het overige, 't welk de Sterre-en Meetkunde betreft, in de Boekery van hetKlooftervanó>.^«hrofius te Milaan gevonden wordt. Dewyl Theon een Waarneemer was, zoude dit gedeelte van zyn Werk het gewigtigfte voor ons geweeft zyn. Wy zouden van deezen Wiskundigen veele andere tamelykgewigtige dingen kunnen zeggen ; maar wy haaften ons om tot Ptolomeus, die onze Hiftorie een ruimer veld aanbiedt, te komen,.
III.
Het ontwerp dat Hipparchus zich hadt voorgefteld, en met een goeden uitflaggedeeltelyk ter uitvoer bragt, ik wil zeggen, dat om een volkomen faamenftel der Sterrekunde te veftigen, werdt voltooid door Ptolomeus , wien de Aloudheid den eernaam van den eerften der Sterrekundigen heeft opgedragen. Alhoewel wy deeze beöordceling niet ten vollen kunnen aanneemen, (want het fchynt ons dat dezelve de rechten van Hipparchus tot dien eernaam geen achting genoeg toedroeg) kunhen wy Ptolomeus ten minften geenzins één der eerfte plaatfen onder hun, welke in alle tyden dat fpoor betreeden hebben, weigeren. Het is waar dat'er in het
Stereo) Expoft. eorum quce ad Plat. leüknem utiHafunt.Par, 4644» 401



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 38?
Sterrekundig gebouw,, 't welk hy {lichtte, veel, en zelfs byna alles, heeft moeten herffeld worden : maar door alle die gebreken heen befpeurt men in hetzelve te veel kunft, om het vernuft en de fchranderhe'd van den Bouwmeefter geen recht te doen. Men behoort de gebreklyke plaatfen der oude Sterrekunde minder aan hem, als aan de kracht der vooröovdeelen van zy« nen tyd, en vooral aan de weinige naauwkeurigheid der waarneemingen, welke hem tot leidflerren dienden, toe te lchryven.
Ptolomeus was , niet van Pelu/tum, zoals men tot hier toe op het getuigenis der Arabiërs geloofd heeft, maar van Ptolemaïs in Egypte. Wy weeten zulks van twee Griekfche Schryvers, waar van de BeerBulialdusliukJken over de Sterrekunde in 't licht gegeeven heeft [e), en zy zyn in dat ftuk geloofwaardiger dan de Arabiërs, welke in hetgeen niet tot hunne eigene Hiftorie behoort altoos zeer verdacht zyn. Een van die Schryvers zegt, dat Ptolomeus te Canopus, dat flegts eenige mylen van Alexandria lag, zyn gewoon verblyf hieldt, en aldaar, geduurende veertig jaaren,boven op een Tempel waarneemingen deedt. Maar ik weet niet, of men aan dit verhaal wel veel geloof moet Haan; want het fchynt, dat daar van in den Almageftum eenige bewyzen moeiten voorhanden zyn: echter fchynen alle de waarneemingen van Ptolomeus te Alexandria gedaan te zyn. Wat 'er ook van zy, hy veftigde de gronden van zyn groot Sterrekundig Werk, getyteldMey^Atj 'Zwru^n^Magna Compofitio, onder de Keizers Adrianus en Antoninm, federt het jaar 125 tot in 't i4ofte van onze Jaartelling, 't Is zonder eenigen grond dat eenige Schryvers hem uit het Koninglyk geflacht der Ptolomei hebben doen afftammen (ƒ). Dit ftaaltje moet in den zelfden rang gefield worden , als de vermeende Koninglyke
waar-
(e) Olympiodori & Theodori Meliteniotcc; frag. Ajlrojiom. cum Ptolefn. de Jud. Facult. Gr. Lat. rC6$.
(f) JJïd. van Sevilien, Georgius van Trebizonde , Gryn&us,
Bb 4-



388 HISTORIE der
Waardigheid , met welke anderen (g) de geleerde ft. lebben ' ^ Wysêeei'Theon* opgefchifa
Naardien het onderwerp, 't welk ik my in dit Werk voornaamelyk heb voorgefteld, geweeft is de vorderingen der Wiskunde te verklaaren, kan ik hetzelve niet beter vervullen, als door haaren toeftand in zekere tydmerken voor te ftellen. Het tydmerk van Ptofo. mem is een der merkwaardigfte in de Sterrekunde: derhalve neeme ik de gelegenheid, die hetzelve my aanbiedt, waar, om een. kort tafereel van deeze Weetenlchap, zodanig als hy ons dezelve heeft nagelaaten,te ontwerpen, Ind.en men by dit ftuk nog voegt hetil Artikel van het derde Boek, waar in wy de eerfte denkbceldeij der menfehen over de kennifle der Spheer, en de fchikking van 't geheel-al, ontvouwd hebben be-
ïaene^^C/Varlhetreedf Boek' 'C weIk de merken r J^f Z * betJreft' zal meri een zeer groot gedeelte van de Hiftorie der oude Sterrekunde hebben?
ue eerlte ftap welke men, om een volkomen faamenttel der Sterrekunde te veftigen, moet doen, is te bepaalen In welke orde de lighaamen, welke wy aan den S^/'l?,1'0"!?' Sefchikt^; voornaamelyk welke plaats de Kloot die wy bewoonen in 't geheel-al heeft • of hy in *t middelpunt van hetzelve ftaat, of jn tcgendeel rondom dat middelpunt, of eenig ander li», haam , in beweeging is: an vehciorem , gelyk Seneca ergens zegt, fortiti fimus fedem, an plgerrimlm. ZZ weet dat het grootfte getal der Ouden het beftuft t rarde in 'c middelpunt van "et Ge heel-al te plaatfen, en alle de hemelfche lighaamen rondom dezelve te doen rollen ; 'er waren eS verdeeldheden over de orde , in welke men dezehfe moeft plaatfen; doch naderhand werden zy SS zaam eenpaarigeens, om dezelve, van de Aarde al
Maan, Mercurius, Knus, de Zon, Mars, Jupiter,
S*«
(#) Iftdorus. Stevin, vporr. van Dicph.



WISKUNDE. L Deel. V. Boek. 380
Saturms en de vafte Sterren. Dit is hetgeen men het Stelfel van Ptolomeus noemt, om dat die Sterrekundige hetzelve aannam, en door zyne toeftemmin. een foort van aanzien byzette,dat niet weinig heeft toegebragt, om het vooroordeel , geduurende een gcruimen tyd, te verfterken. Niemand is onbewuft , dat hetzelve hedendaags in alle ftukken door de waarneemingen geloochend wordt, en zo hetzelve geen ander lteunlen, dan het getuigenis der zinnen, hadt, zoude het bezwaarlyk zyn, om de aloudheid in dat opzicht te verdeedigen. Maar men behoort aan te merken, dit veele verfchynfelen in den eerften opflag ten voordoele van deeze fchikking fchynen te getuigen. Indien de Aarde niet in 't middelpunt was, zeiden de Ouden, en Ptolomeus met hen, zoude men niet altoos juist de helft des Hemels zien, en van twee recht tegen over elkander ftaande Sterren , zoude dan eens noch de eene noch de andere boven den Horizon verfchynen , en dan wederom zoude men die beide boven den Horizon zien. De Poolen der Waereld , voegden zy 'er by , zouden geen twee onbeweeglyke punten zyn ; maar , geduurende eene omwenteling der Aarde om het middelpunt van 't Geheel-al, verfcheide plaatfen van de Spheer der Sterren doorloopen ; eindelyk de zelfde Sterren zouden dan eens nader by,dan eens verder van ons af fchynen te zyn , naar maate zich de Aarde verder van of nader by dezelve zoude bevinden. Deeze waren vry dringende bewysredenen der onbeweeglykheid van onze woonplaats, en bekwaam om zelfs perfoonen te misleiden , welke anders zeer gefchikt waren om het getuigenis hunner zinnen te mistrouwen. Niets anders als een groot getal vruchtelooze poogingen, om alle de omftandigheden der hemelfche beweegingen over een te brengen , konde ons leeren deeze bewysredenen te verwerpen. Laat ons hier nog by voegen, dat de talryke hulpmiddelen en voorvallen , welke de laatere Sterrekundigen zo nuttig zyn geweeft;, om het waare Stelfel van 't Geheel-al te vestigen, in de Aloudheid ontbraken. Deeze beweegredenen zullen dezelve ontfchuldigen van Bb 5 in



SS» HISTORIE dik
in eene dooling,uit welke zy zo bezwaarlyfcgeholpen konde worden, zo lang gebleeven te zyn. ëen°ipen -■Hipparchus hadt de ontdekking van de beweegmg der vaste Sterren ontworpen. Ptolomeus voltooid! el vestigde dezelve op eene onbetwiftbaare wyze , door de vergelykmg van zyne waarneemingen niet die vin Hipparchus Hy bediende zich eerft vanTbefchi'v ving, welke Hipparchus van den opziXly\en ft nd der voornaamfte Stenen onder elkandergegeeven hadt, om te bewyzen dat dezelve niet veranderd was.
Ster?eenylntedrirV°,S^S deL,eIWen van verfchdi Menen met de Lengten , welken die Sterrekundige gevonden hadt bewees hy dat dezelve na hem evénwydig aanideEcliptica, ,«Vveranderd warem'S nit Irr2H6^aaren.™nverloopen, befloot hy dïï?n hnïn S bewee^,ng der va"e Sterren van één graad L^Z S Jaa]ien VS> doch eene nauwkeurige!-oeffenende Sterrekunde, en eene vergelyking van oudere waarneemingen hebben de hedendaagfchf SrekunFdeer5' dat Ptolomeus ^eze beweeging ïe traag maakte, en dat dezelve van één graad in 72 jaaren is.
^ hCt cgtfte Boek van den ^ageflum de naamlyfl der vaste Sterren, welke Ptolomeus uit zyne eigene waarneemingen en die van Hipparchus , tot zy. nen tyd overgebragt, opmaakte. Hy geeft in denzdven de Lengten en Breedten van 1022 Sterren op" hv telde 'er niet meer, fchoon 'er een veel grooterPgeS zy , zelfs van diegeenen, welke men op het bloo gezicht kan ontdekken. Wy zullen nogthans in °t yoorbygaan aanmerken, dat dit getal veel minder is dan het gemeen zich verbeeldt. '
van Xrfbe" 'netveene S/noegzaame uitgebreidheid van de Theorie df r Zon gefprooken , toen wy van de werken van Hipparchus veiftag deeden. Naardien Ptolomeus de bepaalingen van dien Sterrekundigen aannam, zoi der eenige verandering daar in te maaken, zouden wy onnoodige herhaalmgen moeten doen, zo wy weder tot dat onderwerp wilden komen. Wy zullen der-
dfe eigenK-k3^/0' f ^ der fhneeten .
Qie eigenlyjs liet werk van Ptolomeus is.
Aan



WISKUNDE. I. Deel. V. Beek. 39t
Aangezien de Zon eene weinig merkelyké'uitmiddelpuntigheid heeft, en dat haare beweeging, of liever die van de Aarde, door de natuuriyke oorzaaken , wier ontdekking wy aan de hedendaagfche Sterrekundigen verfchuldigd zyn , weinig ontruft wordt, is de onderftelling van eene eenvoudige uitmiddelpuntigheid bekwaam genoeg, om die beweeging voor oogen te ftellen ; en de Sterrekunde zoude welhaast haare volkomenheid bereikt hebben, indien de beweegingen der andere Planeeten even zo weinig , als de beweeging van dat Hemellicht, aan andere beweegingen verbonden waren. Maar het is niet alzo daar mede gelegen; alle die andere Planeeten zyn een groot getal onirgelmaatigheden onderhevig , waarvan fommige gezichtkundig, andere wezenlyk zyn; en de Maan, fchoon zy het naaft by ons is, is ten allen tyden de Planeet geweeft, welke den Sterrekundigen de meefte moeite heeft aangebragt. 'tls eerft weinig jaaren geleeden , dat men deeze wederfpannige Planeet heeft begonnen te beteugelen, door met behulp van eene grondige Meetkunde, de Theorie, waar van Newton in zvne Grondbeginfelen der Natuuriyke Wysbegeerte den grond gelegd heeft , voort te zetten.
De eerfte en merkbaarfte der oneffenheden van de Maanvis van dezelfde natuur als die van de Zon. Dezelve wordt door haar verfchil van afwyking van de Aarde, in twee recht cegen elkander overftaande punten van haaren loopkring, veroorzaakt. Maar indien men flegts deeze oorzaak van onregelmaatigheden in acht nam, zoude men de waare plaatfen, door de berekening , flegts omftreeks de ConjunSlien en Oppofltien hebben. In alle de tusfchenpuntcn van haaren loopkring heeft de Maan eene tweede oneffenheid , welke uit eene andere oorzaak ontflaat, naamelyk uit haare Configuratien met de Zon , of haaren afftand van dat Hemellicht. Deeze oneffenheid maakt de eerfte dan eens grooter, dan wederom kleinder; en dan eens meer, dan wederom minden wy zullen haast van haare byzondere verfchynfelen verflag doen.
'£ Wras geenzins het werk eens Sterrekundigen van
eene



392
HISTORIE ut
eene middelmaatïge bekwaamheid , om deezen nieuwen bron van onregelmaatigheden in de beweegingen der Maan te ontwarren, en aan de rekening te onderwerpen. Men moeft een groot getal plaatièn van dat Hemellicht, door de rekening gevonden, met de waargenomen plaatfen vergelyken, en zulks in verichiilende punten van haaren loopkring, en in een groot getal Maanefchynen. Dit alles onderftelt veel inzichten, arbeid en overweeging; en weinig anders was 'er meer noodig, om het oordeel, dat ik over Ptolomeus, (die de Wet, welke die oneffenheden, ondanks haare zeer &^Tt Y_ermenging> volgden, wift te ontdekken) geveld heb, te bevestigen: want het was zo gemaklyk niet dezelve te ontwarren, gelyk wy nu zullen doen zien, en men kan hem, die zulks gelukkig ten einde hragt, geen vernuft ontzeggen.
Indien men de Maan , geduurende een Synodifchen omloop, aan den Hemel befchouwt, en heur waargenomene plaats, in de onderftelling der eerfte oneffenheid alleen, met de berekende plaats vergelykt, bevindt men, dat haare grootfte afwyking in deQuadraturen is, en van daar, naar de Oppofitïe of Cohjunt'tie , hoe langer hoe minder wordt. Doch als men verfcheide omloopen onder malkander vergelykt, zal men bevinden , dat die afwyking , in overeenkomftige plaatfen van die omloopen, niet altoos de zelfde is. Dat meer is: men zal bemerken, dat die afwyking niet altoos in dezelfde richting gefchiedt, dat is te zeggen, dat de Maan dan eens meer , dan eens minder , dan haare berekende plaats gevorderd zal zyn. 't Was zonder twyffel eerft na veel beproevingen, dat Ptolomeus, of de Maaker, wie hy ook zv, der verklaaring van die verfchynfelen, bevondt, dat zy van de faamenvoeging der plaats van het Apogeum met die der ConjunSllen afhingen. Men bemerkt in der daad, wanneer de Conjun&ien in het Apogeum der Maan gefchieden, alsdan de tweede oneffenheid de mogelyk grootHe, en de plaats van die Planeet in de Quadraturen omtrent 20 40' veranderd is. Men merkt ook aan, dat zy in dit geval in den eerften halven-cirkel van haaren
om-



WISKUNDE. I. Deel. V. Poeh m
omloop afgetrokken moet worden, dat is te zeggen dat de Maan in denzelven minder gevorderd is, dan zy behoorde te zyn , als men flegts op haare eerfte oneffenheid acht geeft : het is het tegendeel in de tweede helft van dien omloop, of van de volle Maan tot de Conjiinftie; want dan komt de waargenomene plaats der Maan vóór de berekende plaats. Deeze oneffenheid is alsnog de grootfte, wanneer de ConjmStenin het Perigeum gefchieden ; alleenlyk is 'er dit verfchil in, dat de tweede oneffenheid in den eerften halven-cirkel bygeteld, en in het overige van den Synodifchen omloop afgetrokken moet worden Is aar maate de Conjunclien het Apogeum of Perigeum yoorbygaan, vermindert de tweede oneffenheid! zo dat dezelve nul is , wanneer de Quddraiuren in het Apogeum en Perigeum gefchieden. Na deeze paaien voorbygegaan te zyn, vermeerdert zy op nieuw, tot dat de\ Comm&tm in de lyn der Apfiden gefchieden. Zy is eindelyk aftrekkende in de eerfte helft der Maane. fchyn, en byrellendein de andere , geduurende den gant chen tyd dat deCmjunSiienm het eerfte Quadrant, van het Apogeum of het Perigeum af te rekenen, gefchieden, en het tegendeel heeft plaats, als zy, van die paaien af te rekenen, in het tweede, dat is in de Quadranten ,. welke vóór het Perigeum of Apogeum gaan, voorvallen.
Laat ons thafis de onderftelling befchouwen , door welke Ptolomeus aan alle de hoedanigheden der beweegingen van de Maan voldoet. In plaats van een enkelen ui tmiddelpuntigen cirkel, als in de Theorie der Zon, verzint hy een bycirkel,die op een uitmiddelpuntigen cirkel ruft; hetgeen hy elders aantoont gelykwaafdig te zyn, mits dat de uitmiddelpuntighe;d, en de ftraal des bycirkels te faamen een lyn maaken, die gelyk is aan de uitmiddelpuntigheid van den enkelen uitmiddelpuntigen cirkrl(£). Dit zoude genoeg zyn om aan de eerfte oneffenheid te voldoen: om de tweede voor te ftellen verzint Ptolomeus^ dat die uitmiddelpuntige
(/;) Alm. 1. IV. c. 5. Ur*



4 HISTORIE dé»
cirkel, waar van wy fpreeken, in plaats van onbeweegJyk te blyven, zelf eenen omloop hebbe, die zodanig js dat, zyn Perigeum den bycirkel te gemoet komende, zy elkander altoos in de Qtiadraturen aantreffen zulks dat het middelpunt van den bycirkel,in den tyd der Qtiadraturen, altoos in het Perigeum , en in den tyd der Conjunclien of'Oppofitien in het Apogeum is. Daar uitmoet het gebeuren, dm de Conjunclie in het hoogde van den bycirkel, by voorbeeld in L (Fig. 31), gefchied zynde, wanneer het middelpunt des bycirkels naby de volgende Quadratuur is , de Maan alsdan in L' zal zyn , in plaats van in L, alwaar zy zoude zyn, byaldien deDeferens onbeweeglyk ware geweeft. Dus zal de afftand der Maan van de Quadratuur onder den hoek «TL', die grooter is dan de hoek ATL,gezien werden; de Maan zal derhalve minder gevorderd fchynen, dan zy geweeft zoude zyn in de onderftelling van de eerfte oneffenheid alleen, in welke men deDeferens onbeweeglyk zoude gelaaten hebben ; en zulks zal plaats hebben tot aan de Oppofitie, waar in dit verfchil verdwynen zal. Van de Oppofitie tot de CónjuhSiiè is h°t gemaklyk te zien, dat hec tegendeel gebeuren zal; de Maan zal naby de volgende Quadratuur in L" zyn, in plaats van in L, daar zy, in het geval van de bcweeglyke Deferens en eene enkele oneffenheid, zoude geweeft zyn: zy zal derhalve het geheel verfchil , dat dc hoek «TL"grooter dan ATL is, meer gevorderd zyn. Men ziet eindelyk dat, in de middelbaare plaatfen, dit verfchil kleinder zal zyn dan in de Ouadraturen, zo wegens de grooter verwydering, als wer gens de grooter fchuinsheid , onder welke de ftraal des bycirkels zich aan de oogen van den aanfehouwer vertoonen zal.
Het is mede gemaklyk te befpeuren, dat het tegendeel gebeuren moet, als de Conjun&ie gefchiedt, terwyl de Maan in het laagfte punt van haaren bycirkel is; de tweede oneffenheid zal de Maan naby de" eerfte Quadratuur meerder, en naby de tweede Quadratuur minder gevorderd doen fchynen. Zy zal in de eerfte 'helft der Maanefchyn bvgeteld, en in de andere helft
af.



wiskunde. i. Deel. v. Boek. sq$
afgetrokken moeten worden. Wanneer eindelyk de Qjiadraturen met het Apogeum faamenkomen, of wel de Conjun&ie gefchiedt, wanneer de Maan in een der zydelingfche punten , a of a (Fig. 33), van haare» bycirkel is, moet 'er in de Quadraturen, en in den geheelen omloop, geen oneffenheid zyn. Men zal eindelyk bemerken, dat wanneer de Maan, in den tyd der CanjunBle, zich in middelbaare plaatfen, tusfchen het laagfte punt, den top of de zydelingfche punten van den bycirkel, bevindt; deeze oneffenheid veranderlyk, en meer of min grooter zal zyn, fchoon dezelve, geduurende een Maanefchyn, naby de Quadraturen altoos de grootfte zy.
Men kan niet ontkennen , dat dit eerfte ontwerp van de Theorie der Maan niet vry vernuftig zy , ten minften wanneer men hetzelve als eene zuivere Wiskundige onderftelling befchouwt. Hetzelve voldoet vry wel aan de algemeene verfchynfelen van de beweegingen der Maan; doch is, om de waarheid te zeggen, niet even gelukkig in hetgeen de byzonderheden van die beweegingen aangaat, en deeze zyn nogthans den toetsfteen van alle onderftellingen. Daar benevens is hetzelve aan verfcheide gebreken onderworpen : een der voornaamfte is dat, volgens de afmeetingen, welke Ptolomeus verplicht is aan de uitmiddelpuntigheid van zynen beweeglyken loopkring, en aan de ftraal yan zynen bycirkel, te geeven, de Maan zich in de Quadraturen fomtyds op eenen afftand van de Aarde die de helft kleinder is dan in de ComunEiien of Oppofitien, zoude bevinden. Doch zulks is t'eenemaal ftrydig met de waarreeming; men bemerkt in de fchynbaare middellynen der Maan geen verandering, welke aan dat verfchil van verwydering evenredig is.
Het is hier de plaats om aan te merken , dat wy om onze verklaaring eenvoudiger te maaken , op 'de beweeging van het Apogeum der Maan geen acht gegeeven hebben. Het is gemaklyk dezelve voor oogen te ftellen, als men deeze Planeet op haaren bycirkel, geduurende eenen Periodifchen omloop, flegts een weinig minder dan haaren geheelen cirkel doet doorloo-
pen



S06 HISTORIE DER s
pen. Daar door zal zy niet als na iets meer dan eenefi omloop zich in het hoogfte punt van dien bycirkel bevinden , en het Apogeum op het einde van eiken omloop voorwaarts fchynen gegaan te zyn. Wy hebben ook geredeneerd als of de loopkring der Maan in hec Vlak van de Ecliptica was. Wy weeten dat zulks niet t'eenemaal naauwkeurig is; doch behalvendatwy verpligt zyn de kortheid te betrachten , meenen wy , door het voorftellen eener onvoldoende beproeving , niet verpligtte zyn indezelfde byzonderhedente treeden , als wanneer wy van eene waare ontdekking verflag doen. Eene geringe fchets moet in het eerfte geval genoegzaam zyn.
Indien de uitgebreidheid van ons Werk zulks toeliet , zoude het hier de plaats zyn, om van de verfchynfelen te fpreeken, welke uit de beweeging der Zonen Maan ontftaan, als de Eclipfen, en de wyze op welke de Ouden dezelve berekenden. Het zoude ook de bekwaame plaats zyn,om van de middelen, door welken zy de Parallaxis der Maan, haaren afftand van de Aarde, even als die van de Zon, enz. maten, verflag te doen; doch het zoude ons onmogelyk zyn zulks met eenige verfcheidenheid te doen, zonder haast buiten de paaien, welken wy ons voorgefchreeven hebben, te gaan. Wy zullen derhalve overgaan, om de beweegingen der andere Planeeten, en de onderftellingen door welke Ptolomeus aan dezelve dacht te voldoen , voor te draagen.
Indien men een der boven-Planeeten, Mars, Jupiter ef Saturnus, geduurende een zelfde jaar nagaat, bemerkt men zeer wonderlyke beweegingen. Wanneer zyde Zonneftraalen begint te on twy ken, vermindert haare fnelheid, die alsdan middelmaatig is, allengskens van. dag tot dag , tot in een zeker punt, alwaar zy fchynt ftil te ftaan. Na eenige dagenbegint zy te rug te gaan, in 't eerft langzaam , vervolgens door haare beweeging, tot naby de Oppofitie, te verfnellen. Aldaar begint haare fnelheid weder te verminderen, en eenigen tyd daar na ftaat zy oogfehynjyk voor de tweedemaal ftil; zy hervat eindelyk haare
be-



WISKUNDE. ï. 'Deel. V. Boei.
pcweeging volgens de orde der tekens, gaande in 't eerft zeer langzaam, en vervolgens rasfer , tot dat de aannadering. der Zoq , welke haar achterhaalt , haar voor onze oógen doet verdwynen. Mars ondergaat die verfchynfelen tweemaal, in één van haare omloo. pen-, jupiler twaalf maal, én Saturnus dertig maal.
Hetgeen wy hier .gezegd hebben , is hetgeen een, der boven-Planeeten in een zelfde jaar gebeurt; doch zo men dezelve ,. geduurende verfcheide jaaren , by aanhoudendheid waarneemt, zal men andere onregelrhaatigheden in dezelve befpeuren: om zich een klaar denkbeeld daar van te maaken, moet men aanmerken, dat'er vóór en na elke Oppofitie.ceh ftjlftand is, en dat deeze Oppofitie elk jaar in een vérfchillend deel des Hemels gefchiedt. Indien men nu van iaaren tot jaaren de afftanden tusfchen de punten van Oppofitie meet, bevindt men dat dezelve niet gelyk, maar aan de eene zyde van den Zodiak grooter, en aan de overftaande zv Je kleinder zyn. Injupiter, by voorbeeld, moeften deÓppodtienvvi jaar tot jaar op omtrent één eeken afftands gefchieden ï maar by het gefternte van den Ram is deeze afftand meer dan één teken, en wanneer Jupiter in het recht daar tegen .over ftaande gefternte is, is dezelve minder. Het is eveneens gelegen met den'boog, welke; tusfchen de twee nabuurige ftilftanden der Ofibofitis begreepén is_: dezelve groeit, tot eeri'zekeren paal , ' van jaar tot jaar aan , en wordt vervolgens geduuiig kleinder. Ik zwyge van het verfchil van fchynbaare grootheid, dat een verfchil van afftand te ken nen geeft. Mars is de Planeet, in welke de onregehnaatighedé'n die wy nu befchrëeven hebben, de grootfte zyn, en wel die , welke de Sterrekundigen het meeft ontruft hebben. Plinius betuigde zulks eertyds met deeze woorden, Marlis curfus maxime inobfervabüis, &c. (;'). Hy wilde daar mede zeggen , dat de beweegingen vari deeze Planeet de Waarneemers en hunne gistingen gebreklyk maakten. De beneden - Planeeten , Fenüs en Mercurius, zyn
(r) Hifi. Nat. 1. ii. c. 17, ^ Cc



398
HISTORIE der
onregelmaatigheden onderhevig, welke oogfchynlyk niet minder wonderlyk zyn. Men weet reeds dat men deeze twee Planeeten nooit met de Zon in Oppofitie ziet, zy maaken flegts wederzyds uitwykingen, naamelyk Pernts de grootfte, Mercurius de kleinfte. Doch de uitwykingen van ieder zyn onderling niet gelyk:dan eens zyn die van de Ooftzyde grooter dan die van de Weftzyde, dan wederom heeft het tegendeel plaats, en fomtyds zyn dezelve aan elkander gelyk. Het verfchil is byna niet merkbaar in Vernis, doch in Meren- rins is hetzelve zeer groot. Wanneer zy beide, de' Zonneftraalén ontwykende,in 't Wcften verfchynen, gaan zy zeer ras, en haare beweeging vermindert alsdan van dag tot dag, tot dat zy ftilftaan.-, waar na zy te rug gaan , door meer en meer haare..beweeging te verfnelien, en In den glans der Zon duiken, om eenige weeken daar na , vóór haaren opgang, weder te verfchynen. Deeze beweeging, met welke zy geduurig te rug gaan, vermindert van dag tot dag: zy zyn op nieuw ftilftaande , en hervatten eindelyk hunnen loop volgens de orde der tekens , door denzelven. tot hunne nieuwe bedekking te verfnelien.
Om aan de fchynbaare beweegingen der boven-Planeeten te voldoen, onderftelde Ptolomeus vooraf, dat zy op bycirkelen gevoerd werden. In der daad, naardien hy met het vooroordeel ingenomen was, dat zy om de Aarde draaiden, konde hy haare ftilftanden enteruggangen niet anders verklaaren. Hy bedacht der. halve om dezelve in haare bycirkelen te doen beweegen, zijlks dat, terwyl de middelpunten van deeze laatften in de richtftreek DAB (Fig. 34.) gevoerd werden, zy alsdan in de richtftreek AEFG rondliepen , en elkander altoos, in het tydftip der middelbaare Oppofitie met de Zon , in het laagfte punt van den bycirkel ontmoetten. Wat het middelpunt van den bycirkel betreft, hetzelve: moeft flegts eenen omloop op de Deferens afleggen , in den middelbaaren tusfehentyd van eenen omloop der Planeet, welke voor Saturnus dertig , voor Jupiter twaalf, envoor Mars twee jaaren is. Daar uit moeft het gebeuren,
dat



Wiskunde. % Deel. v. Boek. 309
dat de Planeet, wanneer zy in het bovenfte deel van haaren bycirkel was, eene beweeging, overeenkomftig ma die van het middelpunt des bycirkels, en met de orde der tekens , hadt ; Wanneer zy overging in het benedanfte deel, waar van zy, omtrent den tyd der Oppofitie , het laagfte punt hielde , hadt zy eene ftrydige beweeging met die van het middelpunt, en naar dat deeze beweeging van teruggang , uit de Aarde T gezien , grooter , gelyk , of kleinder. dan de rechtftreekfche beweeging van het middelpunt was, fcheen de Planeet te rug te gaan, ftil te ftaan, of de orde der tekens te volgen. Men ziet ook dat ieder teruggang voorgegaan en gevolgd moeft worden van eenen ftilftand, en dat deeze omtrent de zydelingfche deelen des bycirkels gebeurde , eindelyk 'dat op den laatften .ftilftand eene, tot de Volgende bedekking, geduurig verfoeide rechtftreekfche' beweeging moeft volgen.' Ptolomeus onderzoekt (k), naar eene Meetkundige bepaaling van Apollonius, de plaatfen alwaar de Planeet ftilftaande, teruggaande, of rechtftrceks moet zyn:hy berekent ook de duuringen den tusfehentyd van die Handen , en zyne uitkomften verfchillen niet veel van de waarheid. Men moet nogthans daar uit niets ten voordeele van zyne onderftelling beduiten; zulks komt eeniglyk daar uit voort, dat hy zorg gedragen heeft, om de grootheid van zyne bycirkelen naar de uitgeftrektheid van die teruggangen te bepaalen.
Maar wy hebben aangemerkt , dat de jaarlykfche voortgangen der boven-Planeeten, by voorbeeld van de eene Oppofitie tot de andere, niet gelyk waren: het is even zo gelegen met den afftand, tusfchen haare beide ftanden begreepen , of de uitgeftrektheid van haare teruggangen. Ptolomeus werdt door de befchouwing van dit verfchynfel genoopt , om de bycirkelen van die Planeeten, niet in eenen cirkel, die met de Aarde een zelfde middelpunt heeft, maar in eenen uitmiddelpuntigen cirkel te. doen beweegen.
Daar
(*) Alm. lib. XII.
Cc 2



400 HISTORIE der
Daar door gelukte het hem haare beweeging in zekere deelen van haaren loopkring te verlhellen, err in andere deelen te vertraagen. In het Apogeum moeiten de wydte tusfchen de ftanden, en de afftand der achtervolgende Oppoptien kleinder dan in het Perigeum, en van eene middelbaard grootheid in de deelen van den loopkring, tusfchen die paaien gelegen,zyn. Pto~ lomeus begint hier die volmaakte regelmaatigheid, welke de Ouden in de hemelfche beweegingen dachten te moeten behouden, te krenken. Want om- aan verfcheide verfchynfelen , tot welken de eenvoudige uicmiddelpuntigheid niet genoegzaam fconde zyn, te voldoen, was hy genoodzaakt den bycirkel met eene gelyke beweeging te doen draaijen, niet om het middelpunt van den uitmiddelpuntigen cirkel, maar om een punt M, dat even zo veel aan geene zyde van dit middelpunt naar A verwyderd was , als de Aarde T aan deeze zyde. Dus was 'er in de beweeging van het middelpunt des bycirkels eene , ten deele weezenlvke, ten deele fchynbaare ongelykheid; en mogelyk "is dit denkbeeld de eerfte gelegenheid geweeft," welke heeft doen denken, om de ongelykheid der Planeeten in twee deelen, het een gezichtkandig, het ander weezenlyk , te onderfcheiden. Hetzelve heeft ook aanleiding kunnen geeven tot' de onderftelling van hun, welke de Planeeten in Ettipfm zodanig hebben doen beweegen , dat haare hoekbeweeging , gezien zynde uit het brandpunt, tegen over dat van de middelpuntige Planeet ftaande, eenpaarig fcheen.
De onderfteljingen van Ptolomeus voor de beneden-' Planeeten verfchillen weinig van die der boven -PlaHeeten. Een bycirkel op eenen uitmiddelpuntigen cirkel maakt den grondflag van dezelven uit, maar in de byzonderheden is eenige verandering. Hier volgt het middelpunt des bycirkels de middelbaare plaats der Zon, terwyl de Planeet denzelven doorloopt met eene fnelheid, overeenkomftig met den tyd, dien zy van eene afwyking tot de volgende, aan de zelfde zyde-, beiceedt. Naardien dit zelfs niet genoegzaam was voor Mtrcunusy bedacht Ptolomeus omaan zynen loopkring
eene
/



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 401
eene heweeging te geeven, overeenkomftig met die, welke hy aan de Deferètis der Maan gaf. Hy moeft ook tot middelpunt der gelyke beweeging van den bycirkel een middelbaar punt,tusfchen de Aardeen hec middelpunt van den uitmiddelpuntigen cirkel,neemen. Eindelyk, om de verfchynfelen der Breedte van Ferms en Mercurius te verklaaren, washy genoodzaakt, om aan haaren uitmiddelpuntigen cirkel eene zeef wonderlyke en zeer faamengeftelde bewecging van 11hratie te geeven. Ik verzuime om verfcheide andere omftandigheden, welke de faamenftelliitïg veel vergt 00ten, te verhaalen. Dezelve is zo groot, dat zy het weinig godsdienftig, en zo bekend , gezegde van den Koning Alphonfus den Sterrekundigen (1) byna rechtvaerdigt. Ptolomeus zelf kan dit gebrek niet on veinzen , en poogt hetzelve te bewimpelen (m). Men moet, zegt hy, de Hemellichten niet met de aardfche lighaamen vergelyken , noch over het verfchil van hunne beweegingen oordeelen , door het verfchil dat wy vinden, om dezelve tc bevatten en af te beelden. De eenvoudigheid des werks van het Geheel-al is van eene andere foort , als dat van de werken der menfehen: men moet, wel is waar, de onderftellingen , welken wy de eenvoudigfte oordeelen te zyn, beproeven , doch zo dezelve niet genoegzaam zyn, moet men die onderftellingen gebruiken , welke de verfchynfelen , hoedanig dezelve ook mogen zyn , naauwkeurig afbeelden , en dezelve als de waare onderftellingen aanzien. Ptolomeus zoude zich zeiven meer eere hebben aangedaan , wanneer hy zyne Theorie voor niets anders gegeeven hadt, dan als eene verciering, door welke hy beproefd hadt de hemelfche beweegingen af te beelden, verwachtende dat gelukkiger Vernuften, door de ondervinding der eeuwen geholpen, de waare fchikking van 't Geheel - al zouden ontdekken. Men kan zelfs hem niet ontfchuldigen van de roekeloosheid
geCO Zie het volgende Deel, III. Boek, art. 4. Cm) Alm. 1. XIII. c. 2.
Cc 3



402 HIS T OilIE der
gehad te hebben , om te gelooven, dat hy dezelve geraaden hadt, terwyl zyne onderftellingen zo verre yerwyderd zyn van de eenvoudigheid, welke men in de handelwyzen der Natuur op elk oogenblik ziet uitblinken. Maar wy zullen hem aan den anderen kant vryipreeken van de misdaad, die men hem gemeenlyk te laft legt, van in het ftelfel des Hemels die vafte en doorichynende ronden , welke men in de Boeken der Sterrekundigen van de zeftiende eeuwe ziet afgebeeld, ingevoerd te hebben. Nooit leerde Ptolomeus eene zo onbefchaafde Natuurkunde ; men ziet niets ciergelyks in zyne Werken, en zonder de plaats.,welke wy nu aangehaald hebben , zoude men genoopt worden te denken, dat hy zyne onderftellingen flegts ais enkel Wiskundig, en noodzaakelyk om de hemelu i keweegingen te berekenen, aanzag. Het belagchelyk denkbeeld van die ronden is ouder, zo als wy aangemerkt hebben, toen wy van Eudomsxn Ariftoteles lpraken; het zyn de Arabifche Sterrekundigen, en i f\ ee.u^en van onkunde, als Sacro-Bofco, enz. onbefchaafde Natuurkundigen , en zonder vernuft , welke dêeze ongerymde Natuurkunde tot den Hemel overgebragt hebben.
. de Sterrekunde zyn.twee deelen, het een beftaat in de verklaaring der hemelfche verfchynfelen, en het middel om. dezelve door de rekening te voorzien : het ander is de kunft om dezelve waar te neemen , welke men de oeffenende Sterrekunde noemt. Wy hebben ons nog niet als met het eerfte deel bezig gehouden, doch 'er zoude aan hetgeen wy gezegd hebben ics ontbreeken, indien wy nalieten een denkbeeld te geeven van 't geen het tweede by de Ouden was. Met dat inzicht zullen wy eenigen hunner Werktuigen , hun gebruik en trap van volkomenheid leeren kennen.
Een der eerfte Werktuigen , waar van de Sterrekunde zich bediende , is de Gnomon. De uitvinding deszelven wordt aan Anaximander toegeëigend. DeeWysgeer, zegt Diogenes Laèriius (»), nam de we& ..' • ' •.' d?r-
Oj) In Anaxï'm.



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 403
.derkomften der Zon , dat is te zeggen de Zonneftanden, meteen Gnomon waar, en waarfchynlyk mat hy de fchuinsheid van ét Ecliptica op den Equator, welke zyn Meefter reeds ontdekt hadt. Dus kan men hetgeen men van Thales weet overeenbrengen met hetgeen Plinius zegt, n'aamelyk ; dat Anaximander het eerft de fchuinsheid yan den Zodiak kende, en daar door eenigermaate de deuren der Sterrekunde opende. Deeze zyn de eigene uitdrukkingen van Plinius, die, zo als men weet , zich dikwils met opgetogenheid, en cp eene verbloemde wyze, verklaart. Wat den Gnomon betreft , dezelve was by de Ouden een Styl, die aan het einde fcherp, en loodrecht op een horizontaal Vlak opgericht was. Men mat de fchaduwe, welke dezelve op de middaglyn maakte , en door de overeenkomft van deszelfs hoogte met de lengte van die fchaduwe kreeg men den hoek bekend, dien de Zonneftraal, door den top gaande, met den Horizon maakte. Vóór dat men , om dien hoek te vinden , Trigonometrifche Tafelen hadt, waar van de eerften door Hipparchus en Ptolomeus fchvnen gemaakt te zyn, verrichtte men zulks op eene Meetkunftige wyze, en men trachtte door vergelyking te ontdekken, welk evenmaatigdeel van den omtrek dezelve was, of hoe veel maaien die hoek in denzelven begreepen was. Want1 de verdeeling van den cirkel in 360* komt laater dan de eerfte tyden der Sterrekunde : om die reden zeide Eratofthenes, dat de afftand der Keerkringen \\ van den omtrek uitmaakte, en niet dat dezelve 470 42' aó" was.
De Gnomon is., zonder tegenfpraak , van alle de Werktuigen datgeen , met 't welk men de fcherpfte waarneemingen der Zon kan doen. Maar de Ouden gebruikten niet alle de noodige opmerkzaamheid, om zich met zekerheid daar van te bedienen. De fchaduwe die een punt tegen de Zon maakt, is niet duidelyk genoeg bepaald, om wegens het einde derzelve zeer zeker te zyn , en de oude waarneemingen der Zons hoogten , op deeze wyze gedaan , fchynen omtrent een fchynbaare halve-middellyn der Zon verbeterd ce Cc 4 moe-



4«4 HISTORIE der
lTllnr7°neï',A3nI het is ^rfchynlyk, dat de ?,ltl C ïerk, f$:iaduwe voor de waare fcbaduwl aannamen: dus hadden zy flegts de hoogte van den boven .wnd der Zon , en geenzins die van hetmidt P7 & l,?°et n,0§tbans bekennen, dat wy gTen zekerheid hebben , dat zy, ten minften in delS eeuwen vóór dc jaartelling der Chriftenen, diierbï tering met maakten. Het fchynt in der daad dat zy^ om die zwaarighe.d voor te komen, aan het einde van den Gnomon een klopt voegden , wien T midddpnnc
der &;°i\0Vrer,ee;jftcmde' 0P d3C men> Sden dei mpttjche fchaduwe van deezen kloot reemer.de de hoogte yan het middelpunt der Zon zonde verklagen. Deeze uitvinding was voor de Gnomons Ze]L tegen dep klaarên dag geplaatft waren, ^elukkta ïedACbkr ^0dlni6 ^as de gedaante éa Gmmms welke de Wiskunftenaar Mmjius onder de^Sige tó-
daagiche Wiskundigen hebben dat gebrek noe «-dukkiger verholpen , door gebruik te maaken vfn& eene yjJtcml? oï hmzontaah plaat, in welke een rond gat ^^^^^"^^ - eDe hel™™^piaSJ w De G»« gaf aan het Werktuig, Scttthè Penaamd den oorfprong. Hetzelve was wftn^RfiS wiens top het middelpunt van Jn Kioorfch gteg** raakte. Een cirkelboog, door den voet deï (lyls gaande, was in deelen verdeeld, w men had? eensklaps den hoek, welken de Zonneftraal met den P»W maakte ; voorts was het aan de zelfde zwm yigheden onderhevig, en vereifchte dezelfde verbe ter.ngen: het was eindelyk minder tot fcherpe wa? neemingen gelchikt dan "de Gnomon, om dat heT be". zwaarlyker was, een zodanig Werktu g van een zeer groote. hoogte te bekomen* Nogthans belette zulks
fZfSZeTl*™ hTeÏVe dienen om d? giootneid der Aarde, en de hellmg van ée Eclhtira pp óenfyuator, te meeten ; daarom wo, den die waar neemmgen met reden verdacht gehouden ên duTSn ?nen haare geypigen piet hooger achten* <£als bS
na>'



WISKUNDE. ï. Deel. V. Boek. 405
rederingen , welke vry veel van de waarheid afwyken.
't Was, naar allen fchyn, Eratofthenes, die de Ringen (Armülct) uitvondt, welke men lang in de galdery Van Alexandria geplaatst zag , en aan Hipparchus en Ptolomeus van dienft waren. Deeze laatfte heeft ons hec volgend denkbeeld van dit Werktuig gegeeven. Hetzelve was , volgens zyne befchryving, een faamenftel van verfchillende hoepels , welken hetzelve vry wel naar onze Sphara armillaris deeden gelyken. 'Er was eerftelyk een groote hoepel, die het gebruik van den Meridiaan vertoonde; men verbeelde zich vervolgens eenen Equator met de Ecliptica, en de beide Coluren, maakende eene vafte faamenvoeging , en van eene minder afmeeting dan de inwendige middellyn aes voorigen hoepels, om binnen denzelven gemaklyk bewogen te kunnen worden; men plaatfte die faamenvoeging daar in zodanig , dat zy daar in op de Poolen, welke die van den Equator waren , draaide. Vervolgens was 'er een hoepel , draaijende op de Poolen van de Ecliptica, en van recht tegen elkander overgeftelde vizieren voorzien, waar van het holrond deel byna aan de Ecliptica raakte, of een Wyzer voerde, om de verdeeüng te weeten, alwaar dezelve bleef ftaan. Zie hier nu het gebruik van dit Werktuig. Het diende eerftelyk tot de waarneemingen der nachteveningen, zo als Ptolomeus ons te kennen geeft, wanneer hy die van Hipparchus verhaalt f 0). De Equator van het Werktuig met een naauw toezicht , gelyk altoos gefchieden moeft , in het vlak van den Equator des Hemels gebragt zynde , wachtte men het tydftip af, in *t welk de onderfte en bovenfte oppervlakte niet meer door de Zon verlicht weiden. of wel, 't geen zekerder was , dat waar in de fchaduw van het voorfte uitwendig rond deel des hoepels, op het holrond deel geworpen , hetzelve geheel bedekte. Het is klaarblyklyk, dat dit oogenblik dat van de nachte-
ve>
(») Alm. I. III. c. %.
Cc 5



4ofS HISTORIE jje&
vcning moeft zyn. Wanneer zulks niet gebeurde, het, géén aanwees dat de nachtevening in den nacht wa? voorgevallen, verkoos inen twee waarneemingen, in welke die ichaduw , op het holrond deel des hoepels geworpen, in eene verfchillende richting zich op gelyke wyze vertoonde, en het midden van den afftand tusfchen de waarneemingen , werdt alsdan voor het tydftip der nachtevening gehouden. ■ 'De Ringen dienden nog tot verfcheide Sterrekundige oeffemngen, voornaamelyk om de Lengte en Breedte van een Hemellicht onmiddelyk en zonder re-, kenen te bepaalen; een nuttige uitvinding in tyden, toen de Klootfche Driehoeksmeeting nog ftondt ge booren te worden, of in de kindsheid was. Men deedt zulks op de volgende wyze. Wilde men de plaats van een Ster , by voorbeeld , waarneemen, draaide men het Werktuig op de Poolen van den Equator zodanig, dat de plaats der Ecliptica, in welke de Zon zich toen bevondt, ten aanzien van den Meridiaan in een gelyken ftand , als die van de Zon zelve, was. Zonder te vertoeven mikte men naar de Ster door de vizieren des hoepels, welke op de Poolen der Ediptica beweegbaar was; het punt waar in die hoepel de Ecliptica doorfneedc, of de verdeeling, welke de wyzer aanwees, gaf de plaats van de Ster in Lengte, cu de verdeeling, op welke de vizieren van den beweegbaaren hoepel ftonden, gaf ter zeiver tyd haaren afftand van de Ecliptica, of haare Breedte. Deeze wyze-van waarneemen was yoornaamelyk van dienft ten, opzichte van eene Planeet, welke men ter zeiver tyd als de Zon boven den Horizon konde zien , als de Maan en Venus in zekere omftandigheden; want men konde te gelyk mikken naar de Zon, door de plaats der Ecliptica, alwaar zy in 'c oogen blik der waarneeming was, en naar het Hemellicht, door de vizieren van den beweegbaaren hoepel , hetgeen veel zekerder was. lp alther , de vermaarde leerling van Regiomontanus, deedt zyne waarneemingen op deeze wyze, en Tycho hadt Ringen in zvn Obfervatorium van Uraniburg. Doch alhoewel dit Werktuig zeer
kun-



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 407
fcunftig zy, kan men nogthans zeggen, dat het verre beneden de Werktuigen der heaenitaagicfie Sterrekunde , en geenzins den zelfden trap van volkomenheid onderhevig is.
Ptolomeus heeft ons in zyn Almageflum(p) eenige andere Werktuigen befchreeveh, waar van het een zeer veel naar ons Afirolabium gelykt, en-waar over ik my dus niet zal ophouden ; het ander was het Werktuig s dat men de ParallaBïfche Ryen genoemd heeft, pm dat die oude Sterrekundige hetzelve oorfprongkelyk tot de waarneeming van de Parellaxis der Maan gebruikte. Hetzelve beftondt in drie vlakke liniaalen, van welke twee altoos voor de gelyke zyden eens gelykbeenigen Driehoeks , en de derde, waar op de verdeelingen waren, voor den Balts dienden, or wel de pees van den tophoek was. Êen der gelyke zyden was voorzien van vizieren, door welken men het Hemellicht waarnam, terwyl de andere verticaal geplaatft was , zulks dat men , een Tafel der1 peezen te hulp neemende , den afftand van het Hemellicht tot het Zenith bekwam. Ptolomeus, met eene groote naauwkenrigheid de hoogte der Maan willende waarneemen vervaardigde zich een zodanig Werktuig, van eene zeer groote afraeeting; want de gelyke ryen waren vier Cubiti lang, op dat derzelver verdeelingen meer in 't oog zouden vallen. Hy (telde hetzelve met een riaailw toezicht, door middel van een Loodlyn, in den behoorlyken ftand. De Sterrekundigen van de 55v*S eeuwe , Purbach^ Regiomontamis, Walther, gebruikten veel deeze wyze van 'waarneemen , welke niet te verachten is. Ook worden de waarneemingen van Walther, die alle noodige oplettendheid daar toe bybragt, by dé Sterrekundigen in achting gehouden 3 en hebben tot fcherpe bepaaïingen gediend.
Deeze Werktuigen, met een zeer naauw toezicht gemaakt, zouden wat de ftoffe en de verdeelingen
aan-
(f) L. I. p. 11, en L. V. c. 12.



AoS HISTORIE der
aanbelangt, van een vry goed gebruik hebben kun* nen zyn, zulks dat de gevolgen vry naauwkeurig waren; maar hetgeen de oude Sterrekunde voornaamelyk ontbrak, was eene handelwyze om dentydmet eenige juiltheid te meeten. 'Er waren Sterrekundigen welke rot dat einde Water - uurwerken voorftelden • maar Ptolomeus verwerpt dezelve (0), als kunnende ons zeer gemaklyk iq dooling doen vervallen, en dit middel is in der daad aan veele zwaarigheden en onregelmaatigheden onderhevig, welke bezwaarlyk voor te komen zyn. Naardien nogthans de meeting van den tyd de ziel der Sterrekunde is , nam men toeylugt tot een ander hulpmiddel, 'c welk zeer vernuftig is. Hetzelve beftondt hier in, dat men in 't oo, genbhk van een verfchynfel, waar van men het uur wilde weeten, de hoogte der Zon, indien het by dag was, of die van een vafte Ster, indien het bv nacht was, waarnam; want de Zons plaats, op eenige minuten na, in den tyd der waarpeeming, benevens de Breedte der plaats, bekend zynde, kan men het uur daar uit afleiden. Men kan zulks ook doen uit de hoogte vaneen Ster, wier Declinatie en rechte klimming gegeeven zyn: wanneer men dus,by voorbeeld , eene Maan-Eclips waarnam, moeft men zorg draaien om, in elke Phafis der Eclips, vooral by 't begingen het einde, de hoogte van eenige merkwaardige Ster te neemen, om daar uit het uur te kunnen afleiden • en dit is het 't geen de Sterrekundigen gedaan hebben , tot dat men den flinger op de meeting des tyds heeft toegepaft. Maar het is gemaklyk te bemerken , hoe arbeidzaam die oude handelwyze was en dat nog erger is, hoe weinig zekeren gebruikbaar dezelve in zekere omftandigheden was. Wat is de Sterrekunde niet verfchuldigd aau den uitvinder van het gemaklyk en zeker Werktuig, waar van wy ons hedendaags voor die meeting bedienen! My is bewust dat 'er, belangende de oeffenende Sterrekunde by.
- de
(j) Alm. I. V. c. 14,



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 40$
de Ouden, veele andere zaaken zouden te zeggeri zyri ; doch alzo de paaien van die Werk my zulks niet vergunnen, laat ik den toekoniftigen Hiftoriefchryvef der Sterrekunde de zorgeover,om dit onderwerp mee meerder uitgebreidheid te verhandelen.
De Almageftum van Ptolomeus heeft, even als dé meefte beroemde Werken der aloudheid, verfcheide Uitgeevers en Uitleggers gehad. Onder de Öuderi waren Theon van Alexandria en Pappus, Welke dezelve verklaarden. Het Werk van Theon is tot ons gekomen, maar hetzelve gaat niet boven het elfde Boek. Hetzelve heeft het licht gezien in 't jaar 1538, toen Simon Grymeus hetzelve in 't Griekfch, achter den texc van de Almageftum , welke hy in de zelfde taal overbragt, in 't licht gaf. Deeze uitlegging is nooit in 't Latyn uitgekomen , behalven het eerfte Boek, 't welk door Porto, vertaald, en in 160. in 't licht gegeeven is. Wat de uitlegging van Pappus aangaat, van dezelve is flegts een ftuk, aangaande het vyfde Boek, voor handen, dat Theon onS heeft nagelaaten, In laatere tyden maakte Nlcolaas Cabaftlla, Aartsbis. fchop van Thejfalonica , desgelyks uitleggingen over de Almageftum, of mogelyk flegts over een gedeelte derzelve. Het gefchrift van dien Sterrekundigen Kerkvoogd is in de uitgave , waar van wy nu gefproken hebben , irigelafcht. Hetzelve betreft het derde Boek.
Toen de Arabiërs de Weetenfchappen begonnen te befchermen, was de Almageftum een der Werken, dat zy met de meefte greetigheid vertaalden. Zy deederf zulks in 't jaar 212 der Hegira, of 827 van de jaartelling der Chriftenen , onder de regeering en gunftige befcherming van Almamon. Volgens een handfchrift van den Heer de Peireftc (t) waren de Schryvers van deeze overzetting de Arabier Alhazen Ben J'ofteph en de Chriften Sergius. Voorts moet men deezen Alhazen niet gelyk ftellen met den Gezichtkundigen, gelyk ik in 't vervolg zal aantoonen. 't Was in dien tyd toen
het
CO Gaffendli, Vita Peirefc, V.



4io HISTORIE der
het Werk van Ptolomeus den naam van Almageftum, dien hetzelve federt behouden heeft, aannam. Dezelve is gemaakt uit het Griekfche woord uZ,'fS • zeer groot, en het Arabifch vvoordleedje «/, 't zy dat men heeft willen zeggen het zeer groot Werk, het Werk hy uitneemendheld, of dat men dien naam gemaakt heeft yan het eerfte woord des Griekfchen tytels, uSW4 or wey/s-©- «fow^f , welke de Sterrekundigen der fchoole van Alexandria , die na Ptolomeus geleefd hebben, aan hetzelve gaven. Eindelyk maakten veripheide andere Wiskundigen van het zelfde Volk uitleggingen over de Almageftum, als Thebit - Ben - Co ■ rah, JSaftlr-Eddtn, enz.
Zo dra de Weetenfchappen zich in het Weftclyk deel van Europa begonnen te veftigen, ,haaftte men zich om Piolomeus te vercaalen. Men maakte reeds m t jaar 1230 eene overzetting van dezelve naar het Arabifch , onder de gunftige befcherming van den Keizer Irederik den tweeden, die een voorftander der Sterrekunde was.. Gerard van Cremona maakte eene nieuwe overzetting van dezelve, omtrent het midden der veertiende eeuwe, waarvan het handfchrift in eenige Jboekeryen voor handen is. De uitgave van de Almageftum, te Venellen in \t jaar 1515 gedaan, fchynt ook eene Arabifche overzetting tot oorfprong gehad te hebben. Na den val van hec Griekfche Ryk,maakte Georgius vart Trehlzonde , een der Grieken welke naar Italië getrokken waren , eene overzetting van Ptolomeus uit zyne natuuriyke Taal in 'c Latyn, eu ondernam zelfs de uitlegging van dat Werk. Maar' deeze Geleerde, weinig in de Sterrekunde bcdreeven zynde, beging een groot getal misftellingen, waar van de berisping, naar men zegt, den beroemden Kegtomontanus het leven koftte; want men geefc voor dac de Zoonen van Georgius , over deezen hoon, hunnen vader aangedaan , verbitterd , zich door vergif over hem wreekten.
Regiomon'tanus bemerkte ten vollen de aangelegenheid eener goede vercaaling van Ptolomeus, en verftoutte zich om het Griekfch te leeren ,,om de geleerde
me-



WISKUNDE, h Deel. V. Beek. 4». i
•waereld eene overzetting van dat Werk te bezorgen. Hy vertaalde derhalve de Almageftum, zo als eennaamlyit van zyne Werken, door hem zeiven gefchreeven, ons te kennen geeft {s). Maar zyn fchielyke dood beroofde de Sterrekunde van deeze overzetting. In weerwil der rechtmaatige beriipingen van Regiomontams, en het aanbelang van het onderwerp, is de overzetting van Georgius van Trebizondealsnog de eenige die my bekend is, welke naar het Griekfch is gedaan.Dezelve kwam eerft in 't licht in 't jaar 1541, en men gaf in 't jaar 1551 een nieuwen en eenigzins verbeterden druk, met eenige aantekeningen vermeerderd, van dat Werk. Maar het byna barbaarfch Latyn, waarin hetzelve gefchreeven is, de duifterheid en 't weinige vernuft, welke daar in heerfchen, laaten myniet toe te ontveinzen, hoe zeer ik verwonderd ben, dat een zo gewigtig Werk, ten minften in de voorgaande eeuwen, nooit beter ter uitvoer gebragt is.
IV.
De Aloudheid heefc weinig zo arbeidzaame Wiskundigen als Ptolomeus voortgebragt; Het ruim ontwerp van zyn Almageftum, een ontwerp waartoe het geheele leven van een menfch naauwlyks genoegzaam fchynt Ce zyn', zoude byna alleen hem dien lof waardig maaken. Wy kennen evenwel nog verfcheide andere Werken van hem, welke eene groote algemeenheid van kundigheden in de Wiskunde te kennen geeven, en een van die Werken wykt weinig voor het voorgaande , ten minften in uitgebreidheid van kundigheden en arbeid ; hetzelve is zyne Aardrykskunde (Geographia) in agt Boeken. De bouwftofftn tot hetzelve werden hem door eene meenigte Schryvers, Reisbefchryvers en Reizigers bezorgd, welke hy noodzaakelyk moeft overweegen, en tegen elkander
ver-
(ƒ) Zie Doppelmayer, in Math. Norinhergsnfibus. WeRU> Bijl. Aftrm, Heübroner, Hifi. Math.



412
HISTORIE der
vergelyken. Het is gemaklvk de byna emdelooze<aff>' geftrektheid van die onderneeming te befefFen , maar hetgeen dat Werk in de Wiskunde vooral merkwaardig maakt, is dat Ptolomeus ia hetzelve de Meetkundige? gronden legt van de faamenftelling der Geograpkifché Kaarten, en Van verfcheide Projeclieh, bekwaam ow den Kloot der Aarde , of deszelfs deelen, af te beelden. Men ziet in hetzelve ook Voor de eerfte maalde' liggingen der plaatfen, door Lengte en Breedte aangeweezen. Dat middel, dat wy Hipparchus te danken hebben, is zonder tegenfpraak het gemakiykfte, om den geeft van de ligging der verfcheide landen een rechtmaatig denkbeeld te geeven, om dezelve op hunne behoorlyke plaats, zo op de Globe als op de Kaarten , voor te ftellen, eindelvk om de verfcheidf-nhêden der Sterrekundige verfchynfelen, welke in elk derzelven voorvallen, te leeren kennen. Men moes nogthans niet gelooven, dat Ptolomeus onmiddelykfwaarneemingen, bekwaam omdieilanden te bepaalen, gehad hebbe, noch zich gelaaten heeft te hebben: in tegendeel hadt hy flegts een zeer klein getal yan die waarneemingen. Want in hoe weinig plaatfen was de Sterrekunde nog doorgedrongen? Gevolglyk was hv genoodzaakt dezelve te bepaalen door berekeningen" gegrond op de duuring der langfte dagen; de lengte der wegen en hunnen richtftreek, zódanig als de bericht ten der Reizigers hem dezelve aan de hand gaven Dus moet men zich niet verwonderen over de talrvkc misgreepen, welke men in zyne Aardrykskunde aam treft. Hoe doch konde hy, met zo weinig hulpmiddelen om zich uitdien doolhof van onzekerheid te redden, vermyden om eene meenigte misflagen te begaan 1 vooral in den tyd toen bvna de geheele Aarde, dat is te zeggen, beha! ven een'klein gedeelte van A/ia, Afrf. ka en Europa, Weinig meer bezocht Werdt en genaakbaar was, dan hedendaags het inwendig deel vaa Amerika?
Zie hier eenige andere kleine Sterrekundige Schriften, of die met de Sterrekunde verbonden zyn, welke men aan Ptolomeus verfchuldigd is.- Hec een voert
tot



WISKUNDE. l.Deel vlBoei. 4t3
tót.tytel, Complanatiofiiperficielfpherce, of van het mjpherium; hetgeen genoegzaam deszelfs onderWem te kennen geeft. Een ahder draagt den tytel van het Analemma, dat een genoegzaam bekend foort vaneen AJlronomifch en Gnomonifch Werktuig is (t). Het Boek over de onderjlellingen der Planeeten («) is een uittrekfel dergeenen ,. welke hy In zyn
te Stenen, en haare betekeniffen Q>y hetzelve bevat Pphemerides, welkein navolging van fWSen zo veel andere Sterrekundigen , waar van wy dikwilsg °
75r^ J1nhfb^' -gemaakt z?n- Zy«e ChroiJJche Tafel van de Koningen der»^, Mfc SS Grieken, en van de Rorneïn& Keizers / federt de Jaartelling van Nabonaffar tot in zynen tyd , dat is te
t.gen , is m de Tydrekening van groote waarde
Men eigent .Ptolomeus verfcheide AffroloPifche Verhandelingen toe, als de Tetrabiblos, óf vier Boeken welke een foort van faamenftel der Stêi revoo zegkundè zyn, en e «&, welke eeneverzaaSg van zetregelen deezet ydele Weetenfchap bevat, ïIK genegen te gelooven, dat die Boeken verd cht zvn een zaak die by de Grieken vry gemeen It $ yD-' ge onzydige Aftrologiften hebbebluSSgSt "Sr rk wenfehte wel krachtiger bewyzen Xe hebben om
SyS! Pt°ImeUS ™n diÈn K
De Werken van deezen ouden Schryver, welke on< overig zyn te doen kénnen, betrelfen de ande e dee len der Wiskunde, in welke hy ook veel Sndet
heid
Dd



4f4 HISTORIE der
heid liet blyken. Wy vinden eerftelyk zyne Muziek j eene zeer nuttige verhandeling, om de Theorie van die Kunft, en haare gefchiedenis by de Ouden, te leeren kennen (w~). Wy hebben elders (x) van de verfcheidene ontdekkingen van Ptolomeus in deezen tak van kundigheid gefproken: wy beklaagen het om zyne eere, dat hy zich niet aan de]twee eerfte boeken der drie, welke dat Werk bevat, gehouden hebbe; want het laatfte is flegts eene aaneenfchakeling van de beuzelachtigfte verbeeldingen der Ouden, over de betrekkingen der Harmonifche midden - toonen met de loopkringen der Planeeten, hunne helling tot de Ecliptica, enz. Pappus en Eutocius (y) doen melding van de Mechanifche Boeken van Ptolomeus, welke niet tot ons gekomen zyn. Proclus (z) noemt nog een ander, dat tot tytel voert h minoribus quam duo recïi produc~ tas coincidere. Het onderwerp van dit Boek was te bewyzen de foort van grondflag der Beginfelen (Elementa), waar over men Euclides van nalaatigheid befchuldigd heeft. Ik eindige deeze, mogelyk voor meer dan een Leezer, verdrietige optelling, met de Verhandeling van Ptolomeus over de Optica, de uitgebreidfte en volkomenfte Verhandeling, welke de Ouden in die weetenfchap gehad hebben., Schoon dezelve niet tot ons gekomen zy, hebben echter fommige Schryvers, in wier tyd dezelve nog in weezen was, ons verfcheide zeer merkwaardige trekken van dezelve nagclaaten.
Een van die trekken betreft de Sterrekundige RefraElie. Zal men ons niet als een wonderfpreuk voordraagende aanzien, als wy zullen zeggen, dat Ptolomeus
(w) Deeze Verhandeling,getyteld Ptolemei harmonicorum 1.3, is eerft in 't Latyn uitgegeeven, in 't jaar 1624, in 4°., daar na door Wallis in 't jaar 1684 , in-40. in 't Griekfch en Latyn, en op nieuw in zyne Werken, III, Deel, benevens de Uitlegging van Porphyrus over een gedeelte.
(x) L. III. art. 0.
Cy) Coll. Math. Lib. VIII. Comm. in Arch. de equipond, (z) Comm. in I. Eucl. prop. 26.



WISKUNDE. I. Deel. V. Boei. 4rj
Trieus kenniffe van dit verfchynfel gehad hebbe? Doch wy ontleenen daar voor het bewys van den vermaarden Rogier Bacon,en den Arabifchen Gezichtkundigen Alhazen, welke men met reden verdacht houdt, fchoon hyzich deswegens verdeedigt, van byna zyne geheele Optica aan Ptolomeus verfchuldigd te zyn. Bacon (aj, na alvoorens aangemerkt te hebben , dat men wegens de plaats der Hemellichten naby den Horizon feilde, na zelfs beproefd te hebben, om. zulks door de waarneeming te bewyzen, voegt 'er nog deeze woorden by , fic autem Ptolemceus in lib. V. de opticis, & Alhazen in VIL Deeze laatfte onder wyft inderdaad, op de aangehaalde plaats, de zelfde leere: hv verklaart op wat wyze men zich door de waarneeming daarvan verzekeren kan, en geeft als oorzaak van deeze Refra&is op, het verfchil van doorfcbvnendheid tuffchen de lucht, die ons onmiddelyk omvangt, en de lucht (Aïther), welke daar boven is.. Deeze leere is mede die van Vitdlio, welke byna niets anders gedaan heeft dan den Arabifchen Gezichtkundigen na te fchrvven. Zie daar dan de ontdekking der Sterrekundige Refractie, zo ik my niet bedrieg, verre buiten het tydmerk, waar in.dezelve doorgaans geplaatft wordt, te rug gezet. Maar men behoort tevens aan te merken , dat deeze kenniffe t'eenemaal onvruchtbaar by de Ouden was, en dat zy van dezelve geentoepafiing op de Sterrekunde maakten. Men ziec niet dat Ptolomeus, noch een van zyne opvolgers, ooit het denkbeeld gehad hebbe om daar uit te befluiten, dat alle de genomene hoogtens, ten minften naby. den Horizon, eene verbetering . vereifchten.
Eene tweede aanmerkenswaardige befcbouwing over de Optica van Ptolomeus, is dat hy in deeze eene vry gegronde reden gaf van de ongemeene grootheid deiHemellichten, als men dezelve aan den Horizon ziet. Hy deedt dezelve niet afhangen, zo als eenige hedendaagfche Natuurkundigen onbedachtelyk gedaan heb-
(d) Specula Math, p. 37.
Dd 2



4iö HISTO RIE der
ben, van de Refra&ie welke zy aldaar ondergaan iwarrtf hy bewees in tegendeel, dat het gevolg van die Refra&ie moeft zyn, hunne fchynbaare middellyn in den verticaalen richtftreek te verkleinen. Hy gaf voor reden van dit verfchynfel, het heimelyk oordeel der ziele over de fchynbaare grootheid van het Hemellicht,' een oordeel dat verwekt wordt door het groot getal tuffchenftaande voorwerpen, welke, wanneer hetze!-* ve naby den Horizon is, het denkbeeld van een grooten afftand geeven, daar in tegendeel het ontbreken van die voorwerpen, wanneer het Hemellicht aan den Meridiaan is, hetzelve veel nader by doet oordeelen. Rogier Bacon is het die ons nog dit te kennen geeft, door het derde en vierde Boek van Ptolomeus aan te haaien. Doorgaans geeft men de eere van deeze oplosfing aan Malebranche, die wegens dezelve eene zeer hevige twift hadt met den Heer Regis, welke voorgaf, dat dit verfchynfel door de Refraftie veroorzaakt werdt Maar dezelve is, zo als wy nu hebben doen zien, van en veelgrooter aloudheid: men leeft dezelve ook by Alhazen en Vitellio. Wy zullen niet oordeelen of die oplosfing de waare ontknooping van het vraagftuk is. Maar alleen diegeenen, welken geen klaar denkbeeld hebben van de wyze op welke de Refraclie wei kt, kunnen van het gevoelen van den Heer Regis zyn. Deeze anders lofwaardige Natuurkundige toonde in dien twift, dat het niet genoeg is, om in eene Natuurkundige beflisfing Wiskundige fpreekwyzen en befchouwingen te gebruiken; maar dat de Wiskunde, welke gefchikt is om de Natuurkunde op te helderen, als men zulks op eene onzekere wyze, en zonder dezelve te doorgronden, doet, tot niets anders dient, als om ons te verblinden, en op een doolweg te brengen.
Deeze beide lichtftraalen, uit de Optica van Ptolomeus gevloeid, geeven ons aanleiding om te denken,
dat
(V) Zie la Rech. de la viritê, h L en T. III, p, 391. Syjl* dt Phil. van den Heer Regis, T. IV. U 8.



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 417
■dat het in zekere opzichten een zeer lofiyk werk was, fchoon dat men, wanneer men naar dat van Alhazen over hetzelve oordeelt, verzekeren kan, dat hetzelve veel ongegronde Natuurkunde bevatte. Wat het enkel Meetkundig deel van dat zelfde Werk aangaat, wy gelooven grond te hebben om te denken, dat hetzelve zeer uitgebreid, en zeer geleerd was. Men vondt daar in, by voorbeeld, de oplosfing van een fraai Problema der Optica, dat omtrent het midden deivoorgaande eeuwe verfcheide hedendaagfche Meetkundigen van den eerften rang bezig hielde Hetzelve beftaat hier in, om op een bolronden Spiegel het ftuitpunt te bepaalen, als de plaats van het oog en die van het voorwerp gegeeven zyn. De oplosfing van Alhazen ,die waarfchynlyk uit Ptolomeus getrokken is, komt voort door middel van een Hyperbool, en is eenigzins langwyiig. Doch behalven dat de moeijelvkheid van het Problema deeze wydluftigheid verfchoónt, is dezelve misfehien flegts het Werk van den Arabifchen Schryver?
V.
Dit artikel is gefchikt om verfcheide Wiskundigen te verzaamelen, wier tyd weinig bekend is, of welke in den tuilchentyd der drie of vier eerfte eeuwen na de Jaartelling der Chriftenen geleefd hebben. Ik zal een aanvang maaken met den Meetkunftenaar Serum van Antmja, dien zich, door zyne twee Boeken over de fileeden der Cylinders en Kegels, een foort van beroemdheid verworven heeft. Een der voorwerpen van deeze Verhandeling dient om het vooroordeel weg te neemen, van hun die zich verzekerd houden, dat de El* Ups, door de doorfnyding van den Kegel gevormd, verlchillende is van die, welke uit de doorfnyding van den Cylinder ontftaat. Men befpeurt ligtelyk, dat als men flegts eenigermaate een Meetkunftenaar is, de zaak niet zeer moeijelyk was, en aan Serenus geenzins ftoffe tot twee Boeken zoude verfchaft hebben,indien hy zich. met haaft aan verfcheide nafpooringen, belanD d 3 gen-



4x8 HISTORIE dek
gende de fnyding des Kegels door den top, waar yan fommige vry ongemeen zyn, hadt oyergegeeven. Hy onderzoekt, by voorbeeld, welke den grootftenDriehoek is, die gevormd wordt als men den Kegel op deeze wyze fnydt, en welke de gevallen zyn, waar in dit Problema kan plaats hebben; hetgeen voorts door onze hedendaagfche rekening zeer gemaklyk te bepaalen is. Maar hy onderzoekt niet, welke Driehoek in 't algemeen in eenen fcheeven Kegel de grootfte is. Dit Problema, dat lighaamlykis, is door den Heer Halley opgeloft in den druk, welke hy van het Werk van Serenus, achter dat der Kegelfneeden yan Apollonius, gegeeven heeft. .
Hypficlus van Alexandria, een genoegzaam bekend Meetkundige, was een tydgenoot van Ptolomeus, of volgde kort op denzelven; want zyn MeefterIfidorus, dien Suidas, wegens zyne bekwaamheid in de Wiskunde, met grooten lof verheft; bloeide onder de regeering der Antonini (c). Toen wy van de Beginfelen van Euclides fpraken, hebben wy van de twee Boeken van Hypficlus over de regelmaatige lighaamen gewag gemaakt. Hy hadt nog een ander Boek over de klimmü]gen der Hemellichten gefchreeven, welke deeze, in zekere opdichten, vry zonderlinge leering bevat, doch waar by de Sterrekunde hedendaags geen belang meer heeft (d). Hetzelve maakte eertyds een gedeelte uit der Boeken, welke in de Schoole yan Alexandria gebruikt werden.
De vermaarde Porphyrus muntte in den zelfden tyd pit door zyne menigvuldige kundigheden. Men heeft nog de tytels van eenige Werken, welken hy over de Wiskunde fchreef, Werken die voorts van weinig belang zyn, en over wier verlies men zich ligtelyk trooften kan. _ Zodanige waren eene Inleiding tot dè Sterrekunde, die fommige gelooven te hebben in eene felendige Uitlegging over de Tetrabiblos, welke aan
Ptoz
(c) Suidas Lexic. op het woord Ifidorus,
(d) Hypficlis Alex. de Afeenjionibus liber, G. L, 1057,



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 410
Ptolomeus wordt toegeëigend , een Kort begrip der Rekenkunde, eene verhandeling over de verborgenheden der getallen , enz. (e). De Heer Wallis heeft zyne uitlegging over het eerfte Boek der Muziek van Ptolomeus in 'c licht gegeeven (ƒ;.
Omtrent het einde der zelfde eeuwe bloeide de geleerde Kerkvoogd Anatolius van Alexandria. Eufebius (g) fpreekt van zyne Inleiding tot de Rekenkunde jn tien Boeken, welke wy niet meer hebben. Wy bezitten zyne Verhandeling over den Paafch-cirkel Qi), een Werk dat, naar het my toefchynt, de heerlyke loffpraak niet beveiligt, welke de Heer Weidler daar over doet, door hetzelve te noemen luculentum eruditionis Aftronomica. fpecimen. Want behalven dat 'er geen groote verdienfte zoude geweeft zyn om te bedenken, van den cirkel van Meton op den Almanak der Christenen toepaffelyk te maaken, gaat Anatolius daarin op eene verkeerde wyze te werk. De cirkel die hy voorfielt is, wel is waar, een cirkel van negentien jaaren; doch echter zeer verfchillende van dien van Meton, en komt met geen der beide beweegingen overeen, welke te faamen vereenigd moeften worden; in dei daad, hy maakt van zyne negentien Zonne-jaaren flegts twee, in plaats van vier fchrikkel • jaaren, welken 'er zouden moeten zyn, zonder de agttien uuren der drie laatfte jaaren te rekenen; dus fcheelde het drie dagen en eenige uuren, dat hy de nieuwe Maanen niet weder tot het zelfde punt van het Zonne jaar bragt.
De tyd van den Meetkunftenaar Perfeus, uitvinder van zekere lynen, Spiricce genoemd, welke het onderwerp eener grove misvatting zyn voor alle degeenen, welke vóór ons van dezelve gefproken hebben
0") Zie de Bihlioih. Qrttc. T. IV.
(f) Wallis Op. T. III.
(#) Hift. Ecl. p. 287. Ed. Par.
(//) Zie Bucherius en den V. Petau , de dttt. temp.
Dd 4



4?o HISTQRIE der
ben (;), is ons t'eenemaal onbekend. 7v hPhh,»™ g* verbeeld, dat aldaar van de ^S- lyn^n ^feleen werdt, en waren des te minder verfcïoonKk om dat zy, van deezen Perfeus eenen zeer ouden MeeV kundigen maakende, de uit vinding van deeze?Kro£
tTeeiS~ne^
toeeigenden. Wy hebben bv Proclus Ct') gevonden wat die - lynen wareri. DeezeSjugger b-
SryftdaetZehPerklaarge?10eg; hy geeft °ns??e kennen , dat het krommen waren, ■ welke gevormd werden als men het lighaam, door de omwlnleling eens cirkels rondom een pees, of een raaklyn, of een! «'twendige lyn; gemaakt, doorfneedt. Daïuitontftondt een lighaam van gedaante als een geopend n of gefloten ring, of in de gedaante van een Valhoed; en dit lighaam door een Vlak gefneeden zynde, gaf vol" gens de omftandigheden, Krommen van eene'zeer wonderlyke gedaante, dan eens langrond inde gedaan-
£nVf"ameen,e ËlUp\> ?n eens geP,at' enin halr Sden faamenloopende,dan wederom elkander fnydende, jn de gedaante van een knoop of ff rik. Perfeus belchouwde die Krommen, en dacht eene zo gewigtige ontdekking gedaan te hebben, dat hy dezelve aanzvnen goeden gelei - geeft opdroeg. 3 Philon van Thiana was een lofwaardig Meetkundige indien wy door de natuur van zyne fchriften over hem oordeelen. Dezelve betroffen het verhevenfte deel der oude Meetkunde, de befchoüwing der kromme Jynen, en m t byzonder van die lynen welke ontftaan als men zekere oppervlaktens, door Pappus U) pk£ ioides of complicat<e genoemd, doorfnydt. Het is niet gemaklyk uit zulke geringe blyken te giffen, welke die oppervlaktens en die krommen waren; alleenlvk felykt uit het verhaal van Pappus, datzy in 't byzonder den aandacht der Meetkundigen opgewekt hadden;
een
(»') Blancanus, Voffius, Defchales, 1 (fc) Comm, in T. Eucl. ad def. 4 fc? 7. (0 Cül. Math. 1. iv. poft prop. 30.



WISKUNDE. I. Beef. V. Boek. 4 a ï
een onder anderen werdt, door Menelaus van Ale% xandria, verwondcrtyk genoemd; hetgeen ons te kennen geeft, dat Philon vroeger geleefd heeft, of een tydgenoot van deezen laatften was. Pappus voegt "by deezen Meetkundigen eenen Demetriu:> van Alexandria, die over de krommen een Werk gefchreeven hadt, waar van de tytel is Lineares aggrcjjioncs. Dit zoude het vermoeden dergeenen kunnen vèrfterken, welke gedacht hebben, dat de Ouden over dat onderwerp eene uitgebreider Theorie hadden, dan wy doorgaans denken. De Heer Newton ging verder, en dacht dat alles 't welk van hun tot ons gekomen is, flegts een geringe fchets van hunne ontdekkingen is. Maar deeze achting voor de oude Meetkunde fchynt my onmaatig en al te zeer vergrootende. Pappus fpreekt ons nog van een Meetkundigen, Ericemes genoemd, diq een Boek pefchreeven hadt, waar van de tytel is, Paradoxa Mathematica; hy haalt verfcheide Voorftellen uit hetzelve aan, welke my niet al te wonderlyk fchynen.
Achilles-Tatius, naar men denkt de zelfde als de Schryver van den beruchten Roman van Theagenes en Caricleus, naderhand Bisfchop, is Schryver van eene Inleidinge tot Aratus. Ind'en het geoorloofd was over de verdienfte eens Schryvers, die veertien of vyftien eeuwen oudheid heeft, te oordeelen, zouden wy zeggen» dat hy flegts een Letterkundige van eene zeer bepaalde kenniffe, ten minften in de Sterrekunde, was; ik oordeele dus door de weinig naauwkeurfgheid, met 'welke hy fpreekt van de gevoelens der Sterrekundigen over verfchynfelen , wier oorzaak , in den tyd toen hy fchreef, reeds federt verfcheide eeuwen bekend was. Als hy, by voorbeeld, onderneemt te verhaalen wat men over de Phafes der Maan dacht, doet hy niets anders dan onnutte woorden op te hoopen, en de waare reden, welke men daar van gaf, te verminken, zodanig dat dezelve daar in t'eenemaal onkenbaar is. Hy die de Hiftorie der Sterrekunde naar foorrgelyke berichten moeft fchryven, ;zoude den Sterrekundigen, tot Ptolcmsus toe, nog Dd j niets



424 HISTORIE dek
niets anders dan ongerymdheden over dat verfchynfel doen zeggen. Dit toont aan hoe noodzaakelyk men op zyn hoede moet zyn, als men zekere óchryvers leest, ten einde de Ouden geen gevoelens aan te t'ygen, welke zy nooit hadden. Tatius is zeer gewoon om de rechtzinnigfte gevoelens verkeerd uit&te leggen, en dezelve eene belagchelyke glimp te gee ven Wy hebben reeds elders («O1 een merkwaardiavoorbeeld hier van gegeeven,belangende Empedocks, wien hy een Natuurkundig, ongerymd enwanftaltig gevoelen toeeigent, terwyl dat van dien Wysee-r zeer redelyk, en met de waarheid overeenkomiti* is Schoon Nicomachus eene groote roernruchtigheicfonder de Ouden gehad hebbe, is echter de tyd waar m hy leefde daar door niet minder moeijelyk te bepaalen. Men kan alleenlyk verzekeren, dat hy leefde tuffchen Eratofthenes, waar van hy eene uitvinding aanhaalt, en Jamhlicus, de eerfte van zyne Uitleggers. Hy fpreekt, weliswaar, in zyne Schriften, van een zekeren Trafillus; maar was het de Sterrekundige, of veel eer de Jftrokgift van dien naam, die-aan 1 iberius verbonden was, of de oude Muziekmeester toegenaamd van Philiaftal zulks is moeijelyk te befliflen, fchoon het door de natuur van zvne fchnften, veel waarfchynlyker zy, dat aldaar van den laatften gefproken wordt. Ik denk niet, dat 'er veel zwaarigheid zal overblyyen, wanneer wy de zaak onbeflift laaten.
Van Nicomachus is eene Verhandeling over de Rekenkmde, volgens de Leerwyze der Ouden, tot ons gekomen, dezelve is eene Verhandeling over de eigenfchappen en verdeelingen der getallen, volgens de F/atoniaen de Pythagoriflen. Dit Werk, getyteld, [jagoge Jnthmetica, is niet als in de Griekfche taal in c licht gegeeven: doch de Rekenkunde van Boecius is van hetzelve een foort van vrye overzetting, welke hun, diem deeze Taal onkundig zyn, in plaats van
het-?
(m) B, III. Art. 6.



WISKUNDE. I". Deel. V. Boek. ^3
hetzelve kan dienen. Nicomachus heeft verfcheide Uitleggers gehad, als Jamblicus, van wien'wy het Werk hebben (»):, Proclus, Afclepius enPhiloponus(0): de Werken der laatften zyn, of verloren, of, flegts ïn handfehriften beftaande,in Boekeiyen voorhanden, waar van men niet weet dat ze daar te vinden zyn. Deeze Schryver nam de moeite, om de verborgene betrekkingen der getallen, welken de Ouden zo greetig, én met zo veel ligtgeloovigheid, opgemerkt hadden, te verzaamelen. Hy maakte daar over een Boek, getyteld Theologumena Ar'ithmetica, dat wy nog hebben. Photlus fpreekt van hetzelve in zyne Bibliotheek en waardeert het rechtmaatig, als hy hetzelve eene verzaameling van armhartige verbeeldingen noemt. De verftandige lieden zouden weinig luit hebben, om het verlies van dat Werk te beklaagen , byaldien hetzelve een gelyk lot, als dat van Porphy rus over het zelfde onderwerp,ondergaan hadt. Soortgelyke fchriften kunnen tot niets anders, als tot de Vernederende gefchiedenis van 't menfchelyk verftand, dienftig zyn; de ttoffe is ten,anderen overvloedig genoeg, en ftaat niet ligt te ontbreeken. Het zoude veel nuttiger geweeft zyn, dat zyn Werk, getyteld Praxis Arithmetica, tot ons gekomen was. Het zoude ons waarfchynlyk eenig licht verfchaft hebben, over de wyze op welke de Ouden hunne bewerkingen over de getallen verrichtten; want zy hadden, naar alle waarfchynlykheid, een foort van oeffenende Rekenkunde, om, in langwylige en moeijelyke rekeningen, der inbeelding veriigting toe te brengen: doch van dezelve is geen teken meer overig.
Van zyne Inleiding tot de Muziek heb ik flegts een woord te zeggen. Dezelve is my voorgekomen als een der Schriften over dat onderwerp, waar uit men gemaklykft een denkbeeld van de oude Muziek konde
be-
(«) Jambl. comm. in Arith, Nicom. (a) Fabr. Bibl. Gr. t, IV. (p) Cod. 187.



414 HISTORIE der
bekomen. Voorts is Nicomachus in die Verhandeiins Arjjioxemaanfchi iets dat voor een Meetkundigen zeer verwonderenswaardig is. Hy fchreef, weliswaar voor eene Vrouw, en heeft, miffchien om die reden! het faamenftel dat gcmakjykrt te bevatten was, gevolgd. Ik eindige met aan te merken, dat Meihonïius die Verhandeling heeft uitgegeeven, in zyne fraaiie en geleerde verzaameling der Mufici veteres.
Wy zyn den Heere Bartholin eene oude Verhandeling over de Gezichtkunde verfchuldigd, waar van de tytel is,DamianiVhilofophi Heliodori LarifkiOpticorunu 1 2. Men kan bezwaarlyk uit deezen tytel oordeelen , wie de Autheur van dat gefchrift is; of het Hdiodomsof Dammnus is; of de een de zoon of de leerling des anderen is; voorts is zulks van weinig belanHet is veel gewigtiger aan te merken, dat dit Werk"
Sr gemeen iT^ * de G™kh*^e
, VI.
Wy zullen in eenen zeer verfchillenden rang plaatfen den VViskunftenaar, welke ons in dit Artikel zal bezig houden. Deeze is de vermaarde Diophantusvm A/exandna, de uitvinder der Algebra, of ten minften de eerfte Schryver der Aloudheid, in wiens Schriften men blyken van die kunftige vinding aantreft Zvn Werk voert tot tytel Arithmetijche Fraagfiukke'n De tyd waar in hy leefde is nietzeernaauwkeunVbekend" Volgens Abulpharage(q), tot wien wy, by gebrek van Griekfche of Latynfche getuigfehriften, toevluet neerpen, bloeide hy onder den Keizer Julianus, of omtrent het jaar 365 van onze tydrekening. Dit getuigenis is, om de waarheid te zeggen, nier zeer befleg. tend; maar het is ten minften zeker, dat 'Diopkantus weinig laater dan in dien tyd geleefd heeft; want de geieerde Hypatha hadt zyn Werk met Uitleggingen
Yoqr-
lq\ Hijtt Dymft.



WIS'KCNDE. f. Deel. V. Bek. '43 j
voorzien, en men weet, dat deeze beroemde dochter' omtrent het begin der vyfde eeuwe ftierf.
Het is niet mogelyk te bepaalen, of Diophantus de uitvinder der Algebra was. Eenige woorden, welke: men in zyne Voorreden leeft, fchynen zulks te zeggen; doch met aandacht overwogen zynde, fchynen zy op gelyke wyze betrekking te hebben totde byzondere Leerwyze, welke men in zyn Werk ziet heerfchen; zo dat dezelve ons geen het minfte licht geeven, om onze onzekerheid over dat ftuk te bepaalen. Wat 'er ook van zy, men kan zich naar dat Werk een denkbeeld maaken, van 't geen de Algebra in den tyd van Diophantus was, en wy zullen nu het tafereel derzelve voorftellen.
Het zoude onbillyk zyn zich te laaten voorftaan, dat de oude Algebra zich tot hetzelfde toppunt als de oiize verheven hadt. Doch het Werk, waar van wy fpreeken, geeft ons te kennen, dat zy zich ten minften tot de vergelykingen van de tweede magt verhief. Want fchoon de Griekfche Rekenkundige geen vergelyking van die foort oploft, belooft hy nogthans (r), om in een ander gefchrift zulks te leeren-doen, en daar benevens toonen de bepaalingen, welke hy fomtyds in zekere Voorftellen maakt, zeer duïdelyk", dat de Formule van die vergelykingen hem bekend was. Wat aangaat de tekenen, van welken Diophamm zich bedient, dezelve gelyken volmaakt naar diegeenen, waar van de hedendaagfche ftelkundigen, vóór de invoering der letteren in de Algebra, gebruikmaakten. Het onbekend en gezocht getal wordt door Diophantus met «• 'aangeweezen; deszelfs vierkant noemt hy Suvxutf, potentia, en wyft hetzelve doorgaan. De teerling of derde magt, noemt hy kuG@>, en wyft dezelve door k" aan. Het vierkants-vierkant wordt door aangeweezen. De Surfolidus, of de vyfde magt, door S*". Wat aangaat de tekens der bewerkingen, Diophantus gebruikt dezelve ook, doch eeniglyk
(r) Def. XI. Edit. 1670.



4zS HISTORIE» kr
Iyk voor de aftrekking, en hetzelve is een omgekeerde f. 7 hans kome ik tot hetgeen de voornaamfte voortreffelykheid van 't Werk van Diophantus uitmaakt.
Hetgeen voö'maarrieiyk onzen aandacht in dat Werk moet bezig houden, is deverftandige toepasfing, welke Diophantus in hetzelve van de Stelkundige Anahfii op de onbepaalde Voorftellen maakt. In deeze, "zo genaamde, Voorftellen, om dat dezelve eene meenigte oplosfingen onderhevig zyn, in deeze Voorftellen, zeg ik, is het doelwit om de irrationaak waarden, tot welken de gewoone Leerwyze ons brengt, te vermyden. Diophantus weet deezen klip zeer behendig te ontwyken, door middel van zekere vercierde of onderftelde Vergelykingen, wier kunftgreep ten vollen waardig is, om met onderfcheiding verklaard te worden. Derhalve zullen wy eenige van die Voorftellen mededeelen, en op het voetfpoor van den ouden Analifl twee der eerfte vraagftukken, welken hy zich voorHelt, oploffen (Y). Wy hebben dezelve in de byge-
voeg-
(s) Men legeert, by voorbeeld, een gegeeven vierkant in twee andere vierkanten te deelen. Laat tot dat einde hec voorgeftelde vierkant 25, en één der gezochte vierkanten xx zyn, dan zal bet tweede 25 — xx zyn; hetgeen een vierkant getal moet zyn. Op dat zulks noodzaakelyk plaats hebbe, zo maakt, zegt Diophantus, eenig vierkant van den wortel-des gegeeven vierkants, meer of min een getal maaien de onbekende x, welke gy aan het voorgaande vierkant 25—-xx moet gelyk ftellen. Dit getal is willekeurig, als flegts de vergelyking geen ongerymdheid influir. Laat ons derhalve voor dit getal 3 ftellen, dan zal de wortel van het verdicht vierkant 5 — 3 x zyn, [men kan ook 5 -f 3 x neeneemen, doch men heeft opgemerkt, dat het ontkennend teken de algemeenfte oplosfing te weeg brengt] ,• dus hebben
wy deeze Vergelykinge 25—2ox -f-os' : 25 — xx,
waaruit men vindt, io.x 2T± 30; x — 3: degezochte 'vierkanten zullen derhalve 9 en t6 zyn. Maar als men het verdicht vierkant op eene andere wyze faamenftelt, door, by voorbeeld, 5 —4* te neemen, zoude men de vergely
: ' kin-



wiskunde. l.Deel.V. ÉoeL 427
vöegde noot geplaatft, ten einde toegeevendheid cc gebruiken omtrent de viesheid van zodanige Leezers,
voor
kinge 25 * x . j<; — 40* -f-16 x2 gehad hebben, en alsdan vinden x ' ' Jy, waar van het vierkant is ï|||* wanneer men nu dit vierkant van 25 aftrekt, is het overblyffel 5ï5J een volkomen vierkant, want deszelfs wortel is \\, Dus hebben wy wederom twee vierkante getallen, welke te faamen het vierkant 25 uitmaaken. Om eene meenigte andere oplosfingen te hebben, zoude het genoeg zyn voor den Coëfficiënt, welken de onbekende grootheid inden wortel van het verdicht vierkant toegedaan is, andere getallen te neemen.
[Doch alzo reeds aangemerkt is, dat de vergelykinggeen ongerymdbeid moet influiten, is de handelwyze der hedendaagfche Analiften boven die van Diophantus te kiezen. In der daad, naardien zyden Coëfficiënt, welken de onbekende grootheid in den wortel van het verdicht vierkant toegedaan is, algemeen uitdrukken, ontgaan zy daar door de zwaarigheid , om in eene ongerymde Vergelykinge te vervallen; vermits het dan altoos mogelyk is, om uit de vondene Formule voor x de limiet van dien Coëfficiënt te bepaalen. By voorbeeld, Hellende voor den wortel van het verdicht vierkant -9—- ax (of liever 5^2 ax, waar in het teken zo te kennen geeft, dat 'er twee gevallen knnnen zyn, naamelyk dat 5 grooter dan ax, of ax gr00t«r dan 5 kan zyn, 't geen het zelfde is als of men J3t 5 — ax voor den wortel onderftelt), dan is 25 — xxZTZ-'-ï
—- 10 ax + «a X1 ;waar door wy vinden * .
a'-b- 1
geevende dus te kennen, dat, welk getal men voor a ooit neeme, de vergelyking nooit geen ongerymdbeid zal influiten. Wjszouden andere gevallen kunnen bybrengen , Waai in die waarde van a tuffchen zekere limieten zoude begreepen zyn, en in welke dus de handelwyze van Diophantus raadselachtig fchynt; doch om niet te verre in eene beöordeeling te treeden, welke voor een Hiftorifch verfraai te omftandig zoude zyn , wyzen wy den Leezer naar zo danige Schryvers, welke ovsr deeze ftoffe gehandeld hebben,]
Maar



#8 HISTORIÉ der
voor wien de nafpooringen van een zekere foort, êfi
SenV " d£ SteIkund'"Se' iets te'n^dyïï
niX°°de^g/^ck^hebbende leezers' weike mg m te Analyfis bedreeven zyn, den wal^ van die
Stelkundige Voorftellen te moeten befnaaren °Snen wy ons echter niet onthouden om aan te merken tS hoe ver zyne Leerwyze heeft voortSzec
en welke derzelver kunftgreep is. Men behoeft Se' ne zeer grondige kennis van[dezelve te hebïS/S
zochte vierfcanT ? aldus daar toe geraaken. Het se-
't wefk êe„ volif^ ^' Z°Ude het andere 3 + **zyn . i«E taSeïtoTden Zf"^ ^ > vergeieL» fpi ... "".,JIJC" w°ruen met het vierkant, dat uit den wo--
vtkaWTan6?^ g6ta; maa,e" 3 ukaat,UofdmetWhe't "itdrukO. Men
Cnx+gn'; hetgeen voort zoude brengen « ~^-Zl'



WISKUNDE. I. Deel. V. Soek. 439
te zien, dat die kunftgreep hier in beftaat, om het werk zodanig in te richten, dat eene zekere, van bekende en onbekende grootheden , faamengeftelde uitdrukking een volkomen magt uitmaakt, zulks dat,als men de onbekende grootheid eenige waarde toeeigent, de uitkomft een wortel hebbe, welke met die magc overeenltemt; by voorbeeld een vierkants - wortel, zo dezelve een vierkant is; een teerlings- wortel, zodezelve een teerling is, enz. Wanneer men flegts het werk zodanig moet inrichten, dat eene zodanige uitdrukking een vierkant zy, dan is zulks het geval van 't geen men in die Analyfis enkelvoudige gelykheden, of Vergelykingen, noemt. De voorgaande noot bevat daar van voorbeelden; maar 'er zyn andsre, welke faamengeftelder zyn. Want men kan een Voorftel zodanig opgeeven, dat, om hetzelve op te lollen, twee verfchillende, en van elkander afhangkelyke,uitdrukkingen , te gelyk twee volkomen magten moeten zyn. Deeze zyn dubbelde gelykheden, of'vergelykingen.Diophantus lolt dezelve ook zeer kunftig op. In den zelfden zin kun nen 'er ook drievoudige, viervoudige gelykheden, enz. zyn, wanneer drie of vier, of zelfs meerder uitdrukkingen, welke op eene zekere wyze van elkander afhangen, te gelyk magten moeten zyn, welke wortelen van haare foort hebben. Men vindt geen Voordellen van die natuur in 't geen wy van Diophantus hebben Miflchien was hy tot zo verre opge-
klom-
(t) Om van dïeze foort van Voorftellen een voorbeeld by te brengen, en tevens deovertreffclykheidder Leerwyze, welke de hedendaagfche Anallften opvolgen, voor oogen te ftellen, zal ik uit de verzaameling van kunftige, enwaarlyk cierlyke, oploffingen van Voordellen, meed te Analyfis nn. Diophantus betreffende, my door mynen overleden Kunftvriend den Heeie C hri s ti a a n Kroeze, een man in die ftofFe boven veelen zyner tydgenooten uitmuntende, ter zyner gedachteniffe nagtlaaten, de Oplosfing vaneen Voorlid , belangende eene zesvoudige gelykheid, den Leezer mededeelen. Zie hier hetzelve. Men begeert drie getallen
tl
T7«



43<? HISTORIE du
klommen in de zes Boeken, welken de ongunftigheid der tyden ons ontweldigd heeft, doch zonder dit te
jw- ' ? f';'; ,.:-o-,t> nhnoii^dno n3/S*"B5ö{
te vinden, van zodanige eigenfchap, wanneer men geduurig twee derzelven te faamen vergdari, of van elkander aftrekt, dat 'er zes rationele Qisdraaten komen. Om dit Vuoritel op te . loflen, zo ftel voor de getallen x, y en z, dan htqft men
ytzx = Stel deeze — Pm* -±ïlmn -+-n', 2 ïi = □. en deeze = "± 2 lmn +l1. z-±y=z □.
Laatx = i/?»«zyn; 'anisjir= l'm* + n*, eoz=
Derhalve 2+31= m1 n*~V lz -\-Pm* + »J ~ n*~+~Fx
m*-i-1 =□, =:?»' »2-:- /2 — /'ra2 —• — »» — P x »; * — x = □.
— ; n2—/*
Stel : □ p*
m* — 1 r
kcmt »* = /2 -f- m* — e□. Stel e y/>-+-/l*
Derhalve/—
en^-h/~«r^?-:~TxjL
i •
By gevolg ?r+/- x i rr^-h/B? — 1 l*X2»*Hr'<8 x/>', alles gedeeld door 4a2Z, Q.
Stel-f maZT\h Dr~— q' \
Komt



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 43c
Onderftellen , is 'er in de eerften ftoffe genoeg óiïag door de inoeijelykheid van fommigeder Voorftellen.welke hy daar in opioft, zyn vernuft te doen bemerken.
Een Griekfch Dichter heeft zorg gedragen, om het graffchrift van Diophantus in de zelfde kunft, welke hem zo dikwerf hadt bezig gehouden, te maaken; ik wil zeggen dat di t graffchrift een Rekenkundig Voorftel is; i\ien vindt het in de verzaameling van Griekfche
Punt.
r*—■— 11 Komt (,* s
1 str
Am*
StelfEW + I, zo ïsg* ~2 ~ Q.
2 ff?4 +2
Dienvolgens 2 m* + 2 ~ □• Stdm~s+ i, zo is i mz -+• 2^2^ + 4*4*4 En + 4* + 4 = □.
Stel den wortel ts — 2; dan is 2X* + 4.j + 4:r:rV —4rj--r-4. Deeze Vergelyking opgeloft zynde, vinden wy:
t + 1X4
f — 2
Neemende tzo is* — 6, m (±; + O —7*
9t = -nmr-r Ïe ?, r0=500 >• (/a «3 + 2/
Neemende verders/) =70; dan is/~ 1151,»:*: 1249» Derhalve xzzz 20126386^
3) — 6647^50Sde begeerde getallen, x~:777ó485o^
VERTAAtERs



432
HISTORIE der
Puntdichten; zie hier hetzelve volgens de vertaalin^ van den Heer Bachet de Meziriac (ju).
Hic Diophantus habet tumulum, qui tempora vitce
Illius mird denotat arte tibi. Egit fextantem juvenis, lanugine malas
Veftire hinc ciepit pat te duodecimo. Septante uxori poft hac ftociatv.r, & anno
Formoftus quinto naftcitur indé puer. Semiftem at at is poftquam attigit ille paterna,
Inftelix Jubitd morteperemptus obit. Quatuor aftates geniior lugere ftuperftes
Cügitur; hinc annos illius aftequere.
Deeze Vaerfen willen zeggen, om my aan den zin van he= Voordel te bepaalen , d3t Diophantus het zes. de-deel van zynen ouderdom in de kindsheid doorbragt, een twaalfde-deel in de jongeüngfchap; dat hy, na een zevende-deel van zyn ouderdom, tot een onvruchtbaar huwelyk overgegaan zynde, en daarenboven nog vyf jaaren, een zoon kreeg, die, mdat hy de hetft van den ouderdom zyns vaders bereikt hadt, ftierf, en dat deeze hem flegts vier jaaren overleefde. Dus moet men een getal vinden, zodanig, dat deszelfs 6de deel, ude deel, 7de deel meer j, de helft en 4 te faamen het geheel getal uitmaaken. Het Yooiltel is een der gemaklykfte, en men vindt 84.
iVen hadt eertyds 13 Boeken der Rekenkundige Vraagftukken van Diophantus; en de geleerde Hypathia hadt op het einde van de vierde, of io 't begin der vy: de eeuwe, uitleggingen over dezelve gemaakt (v). Hedendaags is ons niets anders van dezelve overig, dan de zes eerfte Boeken met de aantekeningen van den Mcnnik Maximus Flanudes, die omtrent het midc en van de dertiende eeuwe leefde.' In deeze eerfte Boeken geeft ons Diophantus, die van zwaarighcden
tot
(u) Diophanti Alex. qureft. !. V. p, 270. Ed. 1670; t^v) Suidas, op 't woord Hypathia.



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 433
tot zwaarigheden opklimt, billyke redenen , om het verlies der laatfte Boeken te beklaagen. Dezelve zyn doorgaans van een zevende gevolgd, dat waarfchynlyk oudcyds het dertiende was: Diophantus handelt daar in, op eene zeer geleerde wyze, over de veelhoekige getallen. Theon (w) haalt een ander Werk van deezen Analifi aan , 't welk over het gebruik der Rekenkunde handelde. Ik zoude vermoeden , du hy daar in de regelen van zyne nieuwe Rekenkunde, over welke hy zich in 't begin van zyne vraagftukken niet genoeg uitgebreid hadt, breedvoeriger verklaarde.
Toen Diophantus, omtrent het midden der zefHen le eeuwe, in de Boekery van het Vatikaan gevonden werdt, werdt dat Werk door Xylander vertaa'd, en met u tleggingen voorzien. Doch aizo hy een Rekenkundige van middelmaatige bekwaamheid was, viel hy in veele misvattingen. Deeze overzetting kwam in 't jaar 1575 in 't licht. De geleerde Heer Bachet de Meziriac, een der eerfte Leden van de Frarfche Academie, heeft ons een beteren druk met eene uitleggingbezorgd O). Men zoude hem, ten minften hedendaags, kunnen verwyten, van fomtyds.al te ge'eerd en te wydluftig te zyn. De Hiftoriefcfiryver der Franfche Academie geeft ons te kennen, dat de Heer Bachet geduurende den loop van eene derdendaagfche koorts aan dat Werk arbeidde, en zelf zeide, dathy, door de moeijelykheid van dien arbeid afgefchrikt, hetzelve, zonder de zwaarmoedige eigenzinnigheid, welke zyne ziekte hem inboezemde , nooit voltooid zoudehebben. De Heer de Fermat geleerde aantekeningen op deeze uitgave gemaakt hebbende, gaf zyn zoon in 'tjaar 1670 van dezelve een nieuwen druk, welke met die aantekeningen, en de ontdekkingen van zyn vader in die foort van Analyfis, vermeerderd was. De Vader de Bitly, die zelf zeer ervaren in die foort van Analyfis was, bevlytigde zich om dezelve te vereenigen, on'aer
den
(w) Comm in Alm. \. V, (s; Dioph. Alex. Quccfi. Arhhm. PariJ. ï62U Ee 3



414 HISTORIE d ï ï
tytel van Doctrine Analytici inventum novum, Col', ex epifi. D. de Fermat.. -Deeze geleerde Verhandeling over de Analyfis van Diophantus is zeer bekwaam om de weetgierigen te voldoen, en doet den Heer de'Fer. mat eere aan.
Diophantus heeft door zyne Vraagftukken een taak begonnen, welke verfcheide hedendaagfche Anallften omhelsd hebben. Mogelyk zullen wy nergens eene
funftiger gelegenheid hebben, om van dezelve te fpreeen, Om die reden zullen wy zulks hier ter plaatfe doen. Wy vinden eerftelyk den Heer Vieia, die, in $e Zeteticne of Vraagftukken, eene meenigte Voorftellen van die foort, voornaamelyk over de rechthoekige Driehoeken in getallen,opgeeft. De Heer Bachet verdient nevens hen, welke deeze Analyfis bevorderd hebben, geplaatft te worden. 'Als een bekwaam Overzetter heeft hy by zyrjen text en de Theorie van Diophantus verfcheide byvoegfelen gemaakt. Defcartes beeft, ook in eenigen zyner Brieven (y) zyne bedrevenheid in die foort van Analyfis getoond ," door van Verfcheide voortreffelyke Voor/tellen, welke hem voorgefteld waren, de oplosfing te geeven; doch hy heeft zyne Leerwyze niet ruchtbaar laaten worden. Hy was fenigen tyd deswegens in eene foort van Briefwiffeling met den Heer Fténicle,en eenen Heer de Sainte Croix, welke zich met zeer voortreffelyke Vraagftukken bezig hieldt.
Onder hun , welke zich op deeze foort van Analyfis toegelegd hebben , waren de Heeren^e Fermat en Fiéyicle-de- Befft het meeit beroemd. De eerfte heeft eene meenigte zeer kunftige Analytifche vindingen, om zwaarigheden, welke boven die der Vraagftukken van den Gnekfchen Analift zeer veel verheven zyn, tehoyen te komen, aan den dag gebragt. Diophantus was niet vérder gegaan dan tot de dubbelde gelykheden , ?en minften in 't geen van zyn Werk tot ons gekomen i%\ de Heer de Ferma^ breidt zyne Leerwyze uit tot •' ' ' ■ ',; \ 'Ae
f.|) T. II, 10. 88, 95. f. Ilb Lttt, 6i, 66, 70, 74.



WI S K U ND É. ■ I. ■ Deel. V. - Boek. 4 J f
«le drievoudige, viervoudige gelykheden, en/.; en lofl eene •meenigte Voorftellen op, waar in de Heeren Piëta en Bachet niet geflaagd waren. Men is hem ook eene meenigte nieuwe, en, óver de getallen , merkwaardige Pheorem'ata verfchuldigd, welke men op de au aarfgehkalde plaatfen kan nazien (z). Wat den Heer Frénicle betreft, hy maakte zich eene eigene en teCï voortreffelyke Leerwyze, waar van weinig Voorfrellén il getallen "uitgezonderd. waren. De Heer de Fermat verwonderde zich 'meenigmaal"over. de vaardighdid, met welke hy, door muidel van dezelve , de moeijelykfte Voorftellen oplofte.' Dezelve beftondt hier in bm, door de conditiën .van het Voorftel, te ontdekken , welke de eigenfchappen dér getallen zyn, waar mede -dezelve kunnen overeenkomen, en die welke dezelve dit/r cbeonbekwaam maaken: daar na was 'er niets ahdèVs te doen, dan alle die getallen te verveerpén, welke de laatfte eigenfchappen hadden, alsmede diegeènen Tn welkén de eerften niet gevonden werden, hetgeen flegts een klein aantal ter onderzoeking overliet. Dceze'Xeerwyze, dié flegts ëene bepr-oe'ving, doch zeer kufiftig is, is de Leerwyze'der Uitfluitiugen 'genoemd, om dat rhen, in piaats van'regelrecht het begeerde getal onder een oneirdig getal 'an'deVe te zoeken, alle die getallen uitfluit, weike het begeerde niet kunnen zyn. . Dezelve wordt in het vyf. de deer dér Memorieh van 'dé'."Academie vóór 'f jaar T699, cn in de verzaameling der Werken van deAca■clemiflcn , in 't 'jaar 1.693 in,'t,licht gegeeven , verklaard, Ik vermoede dat'de D. Peil, een Engelfch Stelkundige,- in ,'t bezit van'iets dïergclyks was, en zulks 'hadt uitgedacht in .navolging eener LeeiVyze van Eratofthenes, om de eerfte getallen te vinden , welke eenige overeenkomft met die van Frénicle hadt , en Om die reden de zeef van Eratofthenes genoemd werdt. .nal^OTw-Kot 3J p.nfM' 1 Men
(2) Zie tien Druk,-die ln 'tiaar 1670 gegeeven is, en de pfievin van den Heer ds Fermat, ;mn het einde van zyne "Werker:. —• ■'•'•



436 HISTORIE dek
M-n leest in een Brief van Leibnitz (a), dat de D reu deeze uitvinding verder hadc voorrgezet.
Frankryk levert ons ook eenige mannen, "welke zich met een goeden uitflag aan de Analyfis van Diophantus hebben overgegeeven. De Vader de Billy heeft in dit vak der Weetenfchappen een grooten roem aehad en fchreef over dat onderwerp verfcheide Werken' onder anderen een, tot tytel voerende Diophantus 'redmvus, vol Vraagftukken, welke veel moeijelyker zyn , dan die van den ouden Analifi. Dezelve handelen meerendeels over de rechthoekige Driehoeken in getallen. De Heer Ozanam gaf zich omtrent den zelfden tyd aan die ftoffe over; en nam daarin, naar het oordeel van den V. de Billy, eene buitengewoone vlugt. Hy hadt eene Verhandeling over de Analyfis van Diophantus gefchreeven, waar van niets dan het Handfchrift in weezen is, en 't welk, naar 't geen ons de Hiltoriefchryver van de Academie der Weetenfchappen, in de lofreden van dien Schryver, te kennen geeft, de Heer DagueJJeau in 'tjaar 1717 bezat. Dit Werk zoude zynen roem meer vergroot hebben , niet by het gemeen der Wiskundigen, maar by fchrandere lieden (b), dan de meefte dergeenen; welken men van hem heeft.
De
(d) Comm. Epijl. de analyfi promotd. p. 65. ed. in- 4to.
(b) Deezs onderfcheiding tuffchen het gemsen der Wiskundigen en fchrandere lieden , welke onze Schryver hier maakt, zoude misfehien fommige Leezers eeuigzins onver, ftaanbaar kunnen voorkomen, waarom ik het my tot pligt rekene dit ftuk, naar myne bevatting, op te helderen. Door de eerfte foort verftaat onze Schryver, zonder twyffel, die heimelyke verachters der Algebra, die alles op Meetkundi. ge gronden willen gefchoeid hebben', om dat dezelve mst hunne bevatting beft overeenkomen, en hunne traaghsid niet toelaat het ruim veld der Algebra te doorwandelen. Geen wonder dan dat zodanige Wiskundigen van de Analyfis van Diophantus, om welke grondig te verftaan hunne kennifle te naauw beperkt is, als van eene nuttelooze oeffsriiHg, met verfmaading fpreeken. Zy die in deeze Analyfis
ba-



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 437
De overige Schryvers, welke de Analyfis van Diophantus bevorderd of verklaard hebben, zynde V. Brefiet in zyne nouveaux Elémens de Mathématiques; Kerfey'm zyne Elements of Algebra, 1 Vol. Schooien in zyTteExercitationes Mathematica [waar van wy in 't Nederduidch eene overzetting hebben]; de Heer de Lagni heeft, in zyne Elémens (TArithmétique& d'Algèbre, eene Leerwyze voor de oplosfing van zekere onbepaalde Voorftellen geeven. Men kan mede verfcheide andere WTerken, welke nafpooringen in deeze foort van Analyfis bevatten, nazien, als de Brieven van Wallis, van Fermat en Frénicle, in het Comm. Epiftolicum van Wallis , enz.
VIL
Het zonderling graffchrift van Diophantus is niet het eenig ftuk van die natuur, 't welk de Aloudheid ons verfchaft. Waarfchynlyk was deeze foort van raadfelen ,geduurende een tyd vermaard; en 'twaren Dichters, welke zich verbonden om dezelve voor te ftellen, of in Vaerfen te brengen. De Verzaameling van Griekfche Puntdichten (Anthologia) heeft ons veele van die gedenkftukken der Griekfche Rekenkunde bewaard
bedreeven zyn', kunnen beft oordeelen, hoe veel tyden vlyt 'er vereifcht wordt, cm de voornaamfte kunftgreepen derzelve magtig te worden , en van welk een aanbelang dezelve voor hun zyn, om in Wiskundige nafpooringen nooit verlegen te ftaan. Deeze zyn derhalve die fchrandere lieden, welke de Schryver hier becogt. De nuttigheid van deeze Analyfis openbaart zich onder anderen duidelyk in de Theorie der Kromme lynen, als men een Kromme door punten moet befchry ven; en, 0111 alle benaderingen onnauwkeurigheid voor te komen, naar de Lterwyzen van Diophantus, rationaale Abfcijfen en Ordinaten moet zoeken. Zie VHifl. de l'Acad. 1712. pag. 55, en G. Cramer IntroduSion « \ Analyfe des lignes courbes Algébriques, pag. 31.
Vertaaler,
Ee 5



438' H I S.T O R I E uzi
waard , en de Fleèr Bachet hééft dezelve ih zvne UitI legging over Diophantus aan het gemeen mede^edec;,'. 'tls hier de rechte plaats om eenige van die ftukken te doen kennen: wy zullen zuiks in navolging van den Schryver, dien wy'zo even aangehaald hebben,doen * door ons nogthans tot een klein getal, en tot fommige dergeenen, welke verfchillende Vraagftukken uitmaaken, te bepaalen; want van de 45 Vraagftukken, welke men in het Werk van den Heer Bachet vindt, is het grootfte aantai flegts'het zelfde Voorftel, op verfcheide wyzen omgekeerd r wy Vullert ook zyne overzetting in Latynfche Vaerfen volgen ,* en, wegens hunne duifterheid, eene korte vefklaaring yan het Vraagftuk daar , by voegen, laatende onze Leezers het vermaak, om de oplosfing van hetzelve te vinden,
1. Die Heïkoniadum Decus 0 fuhlime fororum, rj Pphiigara, tüa quot tirones tefta fnquentant, : Qjdfnh te, fsphiji judant in agme', magifiro.
pkan , tua;ïe animo mea dicla, 'Pöiycrhtès, haüri., .Dimidia-horwnparspraeclara Mdthemata dijcit'. ' (pjjarta immortalem naturam nojjè laborat. a , ^pthna , fed t,?c::j . .fedet, aique audita revohit. . .„• 2>« fitnt femimi.fexüs; -at primvThsano. • Pjeridum arcanis tot'rates ihduo ..Cutó...'
. Zeg my, doorluchtige. Prthager^lrsip. tfeeb teerlingen Uwe fchool bezoeken ,' en' i!Wr> pnderwvzingen aanhooren. Zie hier het getal derzelv*v, antwoordde, de Wysgeer: Oe héWt z'ch rn'd- Wiskunde,- een vierde-deel in'de Wl&ëf:? een revende deel bewaart het frHzwy£*<m, en dWenbovcnzyn'er drie vrouwen. Dus moetricn een getal vinden., waar van de helft, hét vierde-'deal, nel z& ende-deel, én 3 het getal zelf uitmaaken.
2. Au.



WISKUNDE.!. Deel. V. Beek. 439
2. Aurea mala fertint Charites, aqualia cuique Mala infunt calatho: Mufarüm kis öbviaturba Mala petunt; Charites cunclis cequalia donant.
Die quantum dederiht, numerus fit ut omnibus idem?
De drie Bevalligheden, evenveel met vruchten beladen, ontmoeten de negen zanggodinnen, en geeven heur daar van ieder het zelfde getal: waar na elke Bevalligheid en elke Zanggodin.gelykelyk bedeeld is. Hoe veel hadden de eerften vóór deeze verdeelmg ?
3. AEquo fequentem cum trien te tertii AEquat fequeus me, junclus &primi triens , Superb trientem primi ego decem minis.
Daar zyn drie getallen, waar van het eerfte by het derdendeel van het derde vergaard zynde, de lom aan het tweede gelyk is; het tweede met het derdendeel van' het eerfte gelyk aan het derde, en het derde tien grooter dan het eerfte is. Men vraagt welke die getallen zyn.
4. Die quota mme hora efi? fuperejl tantum, eccè diei Quantum bis gèmini exactd 'de luce trientes.
Hoe laat is het, vraagt men? men antwoordt, dat de uuren, welke van den dag nog overig zyn,de vier-derde der reeds verloopen uuren zyn,
5. Totum implere locuni, tubuïïs è quatuor, uno Efi pot is ifie die, binis hic, 'af tribus ille, Quatuor at quartus: die quojpatio fimul omnesfi ..
Een waterbak ontfangt het water door vier pypen, waar van de eene dezelve in één dag kan vol maaken, de andere in twee dagen, de derde in drie dagen, de vierde in vier dagen. In hoe veel tyd zal dezelve vol zyn, wanneer de vier pypen open ftaan V ^ ^



44Q HISTORIE der
6. Una cum mulovmum geftabat. afella,
Atque gravi nimiitmfub pondere pre fa gemebat, Talibus at dicïis mox increpat Uk gementem. Mater, quid quereris tenera de morepuellaï Dupla tuis, ft des menfuram , pondera gefio; At fi menfuram capias, aqualia porto. Optimè menfuras difiingue, Geometer, ifias.
De Ezelinne en de Muilezel te faamen op reizezvn de, begon de Ezelinne te klaagen. Waar over kbagt gy, zeide de Muilezel? Zo gy my één van uwe maaten gaaft, zou ik eens zo veel dan gy hebben: en zo ik er U één van de myne gaf, zoud gy 'er even zo veel als ik hebben. Hoe veel maaten hadden zv ieder? '
7. Als, ftrrum, fiannum mifcens, aurique metallum, Sexaginta minas pendentem effinge coronam. ^ ALs aurumque duos efpeiunto trient es;
Ternos quadrantes ft anno mixtum pendeat aurum: Aft totidem quintas auri vis addita ferro. Ergo agè, die fuhi quantitm tibi cenjkis auri Mifcendum, quantum ceris ftannique requiras?
Men moet een Kroon van zeftig marken maaken , met goud, koper, yzer en tin. Het goud en het koper maaken de f uit, het tin en het goud d° * het goud en het yzer de f. Men vraagt hoe veel men van elk deezer metaalen moet neemen?
4}. OBo drachmarum & drachmarum quinque cxmit Quis chceas famulis vina bibenda fuis Pro cunclis pretium numerum prxbet tetragonum Qui prefinitas fufcipiens monadas,
Di-



WISKUNDE. - I. Deel. V. Boek. %\t
[Dherfitm dat quadratum; fed Jumma choarum
Blius exaquaty conftituitqut latus. Die agè quot chceas drachmarum qulnque. quotocio Drachmarum chosas, emerat Uk priüs?
Dit Vraagftuk is uit de Verzaameling van Griekfche Puntdichten niet getrokken, hetzelve is het 33de van het V. Boek van Diophantus: zie h;er den zin van hetzelve, die niet gemaklyk te ontknoopen is. Een meefter heeft twee iborten van Wynen gekocht, waar van de eene foort hem vyf, en de andere agt Drachmen de maat koft Hy heeft voor 't geheel betaald een zeker getal Drachmen, dat een vierkant getal is, en 't welk , met een gegeeven getal (60) vermeerderd zynde, een ander vierkant getal wordt, welks wortel de meenigte der in alles gekochte maiten is. Hoe veel maaten z\n 'er van de beide pryzen ?
VIII.
Wy zyn nu eindelyk tot tyden gekomen, welke men, met recht, de laatfte oogenblikken van het heldere daglicht, waar in wy de Weetenfchappen geduurende eenige eeuwen gezien hebben, zoude kunnen noemen. In plaats van de oorfprongkelyke Schryvers, wier ontdekkingen ons tot hier toe hebben bezig gehouden , doen zich fchier geen andere meer voor ons op, dan Uitleggers en Aantekenaars. De Schryvers van deeze orde, wanneer zy in eene eeuw de eenige zyn, geeven doorgaans de naaftkomende wederkeering van een tyd van duifierheid en onweetendheid te kennen.
Pappus en Theon van Alexandria waren op deeze wyze der Wiskunde van dienft: de eerfte verdiert nogthans in eenen veel verhevener rang dan de andere geplaatft te worden; want hy geeft in zyne Collecliones Mathematica blyken van eene weinig gemeene kenniffe in de Meetkunde, en men vindt in dezelve op verfcheide plaatfen tekenen van vernuft.
Het



44*
HISTORIÉ der
Het voorwerp van Pappus fchynt geweeft te zyn/ om veele verfpreide ontdekkingen tot één lighaam te verzaamelen, om de voornaamfte fchriften der beroemdfte Wiskundigen op te helderen, en op veele plaatfen aan te vullen. De Hiftorie der Wiskunde is Pappus veel verfchuldigd, om dat hy dit ontwerp gemaakt en ter uitvoer gebragt heeft. De Voorreden van zyn zevende Boek is voornaamelyk een onwaardeerbaar ftuk in die foort, dewyl dezelve een groot getal Analytifche Werkèn, wier tytels zeiven zonder dat niet tot ons zouden gekomen zyn j voor de vergeetelheid bewaard heeft. De korte inhoud, welke hy van verfcheide yan die fchriften geeft, want dit is alles dat ons yan de meefte overig is, laat ons ten minften toe, om van tyd tot tyd den dikwerf afgebroken draad van de Hiftorie der Meetkunde weder faamen te knoopen. Eene andere verdienfte van het Werk van Pappus is, dat hetzelve ons een klaar denkbeeld geeft van de Leerwyze, welke de Ouden in hunne nafpooringen gebruikten. Hy gebruikt zelf zeer dikwils dee« ze Leerwyze, en om die reden verdient zyn werk onder de pryswaardigfte Werken der oude Meetkunde geplaatft te worden.
Men vindt in het Werk van Pappus het eerfte denkbeeld, en wel een genoegzaam opgeloft denkbeeld, van eene ontdekking, welke den hedendaagfehen Wiskundigen, die dezelve onder ons vernieuwd heeft, beroemd heeft gemaakt. Deeze is het gebruik van het zwaarheids.middelpunt voor de afmeeting der Figuuren. Pappus zegt uitdrukkelyk op het einde van zyne Voorreden , dat de Figu uren, door de omwenteling van eene lyn of oppervlakte voortgehragt, onder elkander in faamengeftelde reden zyn van de voortbrengende Figuuren, en de omtrekken, welke door haar zwaarheids - middelpunt befchreeven worden. Het is den Meetkundigen gemaklyk, om het verband Van dit grondbeginfel met dat van Guldin te bemerken, naamelyk dar elke Figuur * ■door omwenteling gevormd, het vermenigvuldigde is van de voortbrengende Figuur met den weg van haar zwaarheids middelpunt. Doch, om den V. Guldin te reehtvaer»
di^



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek, 443
digen, behoort men aan te merken, dat dit ftuk dei* Voorreden yan Pappus in de Latynfche uitgave der Colk&hnes Matliematicss van 't jaar 1582 niet was. Het -" zelve is voor de eerfte maal ten voorfchyn gekomen in die van 'tjaar ióóo, welke als veel naauwkeuriger dan de eerfte zynde- wordt opgegeeven, fchoon zy weezenlyk vol gebreken is. Ik behoore aan te merken , dat de twee eerfte Boeken van dat Werk, behalven een klein ftuk van het tweede, dat de Heer Wallis. heeft in 't licht gegeeven, niet tot ons gekomen zyn.
Ik zal my met geen andere Werken van Pappus ophouden , als zyne uitlegging overde Almageftum, waar van flegts een ftuk is overgebleeven, om tot Theon,zyn Medegenoot in de Schooie van Alexandria over te gaan. Wy hebben de twee voornaamfte Werken van deezen laatften, naamelyk zyne Scholia of aantekeningen over Euclides, en zyne uitlegging over de Almageftum. Dezelve kwamen , alleenlyk in de Griekfche taal, in de jaaren 1533 en 1538 voor de eerfte maal in 't licht. De Scholia zyn door Commandinus in eene zyner Latynfche Uitgaven van Euclides medegedeeld. Maar de uitlegging oyer de Almageftum is, behalven het eerfte Boek, nooit vertaald geworden. Het is te verwonderen dat een Werk, 't welk in de voorgaande eeuwen van zo veel aanbelang voor de Sterrekunde moeft zyn, en zelfs ons nog wegens verfcheide gewigtige voorvallen , belangende deeze Weetenfchap, zoude kunnen onderrichten, nooit in een gemeen er Taal in 't licht gegeeven is.
De School van Alexandria zag op het einde van deeze eeuwe een van die verfchynfelen, waar van Italië alleen het voorrecht heeft, om menigvuldige voorbeelden uit te leveren (c). Hypathia, dochter van
The-
(c) Onder deezegeleerde vrouwen van Italië zyn 'er voornaamelyk twee, welke boven alle andere uitgemunt hebben. Zy waren beide nog in leven, toen de beroemde Heer dg la Lande, in de jaaren 1765 en 1766, in Italië ïeisde. De eerfte is Madame Iiuja Bassi, die, van het jaar 1733 *" af.



HISTORIE der
Theon, maakte zulke groote vorderingen in de Wysbegeerte en de Wiskunde, dat zy verdiende die beide Weetenichappen te onderwyzen. Zy verrykte dezelve roet eenige fchriften, als met eene uitlegging over Apollonius, eene andere over Diophantus, en met Aflronomifche Tafelen. Geen van die Schriften is tot ons gekomen. Het droevig lot van die beroemde dochter is by alle diegeenen bekend, wien de Kerkelyke Hiitorie gemeenzaam is.Zy werdt in ftukken gefcheurd door eenige oproermaakers, welke haar verdacht hielden van de oorzaak te zyn van het misverftand, dat tuffchen den Patriarch van Alexandrie S. Gyritlus.en den Gouverneur Orefius heerfchte.
Hy
af, te Bologna een Hoogleeraars-ampt bekleed heeft. Zy gat tot haarent lellen in de proefondervindelyke Natuurkunde, en de bovengemelde Heer heeft het vermaak gehad, cm naare proeven by te woonen. De tweede is TuffrouwMan* Oaetena Agnesi, Lid der ftichting van Bologna, welke naare Vaderftad Milaan eere heeft aangedaan, door een uitmuntend werk over de Algebra en Analyfis, dat zy in t jaar 1748 in druk gegeeven beeft, onder den tytel Jnflitu* ziont Amlytiche, ad ufo ddla Giovcntu Italiana, in twee deelen ra 40., waar van het voornaamfte deel, handelende over de Differentiaal-en Integraal-rekening, in't jaar 177? om desze.ts voortreffelykheid, in de Franfche taal in 't hcht gegeeven is. Zy heeft, volgens het getuigenis van den Heer de la Lande, de Weetenfchappen laaten vaaren, om m godsdienftigheid een afgetrokken leven te leiden ; zelfs heeft zy het zwak om de Vreemdelingen en Wiskundigen te veimyden, wien het een groot vermaak zoude zyn ha„r te kennen; men heeft veel reden om een perfoon, die zo gefchikt was om het cieraad van de JVlaatfchappy uit te maaken, te beklaagen. Reeds in den ouderdom van twintig jaaren (Ao. 1739) was zy in de Wis- en Natuurkunde grondig ervaren, en fprak zeer ongedwongen en zuiver de Latynfche, Franfche, Oofterfche en andere taaien, zulks dat zy de verwondering der Redenaars en Geleerden tot zich trok (de la Lande Voyage d'un Francais en Italië T. J. p. 370» T. II. p, 117.)
V ERTAALE8»



W ISKÜNDE. I. Deel. V. Bóeh 44;
ëlypathia hadt tot leerling Synefius, naderhand Bisfchop van Piokmah in Lybien, welke kundigheden in de Sterrekunde bezat; Ons is nog eene Voorreden of Op-i dracht oVergebleeven (d), van een Sterrekundig Werk van dien Bisfchop , 't welk de befchryving en het gebruik eener Sterrekaart van zyne vinding bevatte, welke volkomener was dan die van Hipparchus en Ptolomeus^ Zyne befchryving 5 welke te langdraadig zoude zyn om hier të plaatfen cY)j geeft ons het denkbeeld van een Werktuig, dat met onze hedendaagfche platte Hemelkaarten zeer veel overeenkomft heeft. Een Brief van dien Kerkvoogd aan Hypathia, waar van de Heer de Fermat alleen den zin verftaan heeft, geeft ons het gebruik te kennen ; dat men toen reeds van de Areometer , of Vogtmeeter, maakte (f). Voorts heefc zulks niets verwonderlyks in, naardien Archimedes reeds voorlang het grondbeginfel van dat Werktuig ontdekt hadt.
IX;
De Wysgeer Proclus, het Hoofd der Platónifchi Schoole, welke te Athenen geveftigd was, bragt aldaar omtrent het midden der vyfde eeuwe, eenigermaate den zetel der Wiskunde. Naar het voorbeeld van het Hoofd zyner fekte, waren deeze Weetenfchappen hem dierbaar, en zo wy hem geeneontdekkingen te danken hebben, bragt hy ten minften door zynen arbeid en zyne onderwyzingen veel toe, om haartn glans nog eenigen tyd in weezen te houden. Zyne uitlegging over het eerfte Boek van Euclides is, wel is waar, een Werkvaneene onmaatige langwyligheid; doch wy zyn hem eene meenigte voorvallen , belangende de Hiftorie en het overnatuurlyk deel der Meetkunde, verfchuldigd, en dit is eene verdienfte, welke
Ons
(d) Syn. Opera. ed. Paris, p. 306.
(e) Zie Hifi. Afiron. van den Heer Weidler. p. rol, (ƒ) Fimatii op. ad fin.
Ff



44«
HISTORIE der
ons meer dan eens oprechtelyk heeft doen wenfchen 9 dat hy desgelyks over de volgende Boeken gearbeid hadt. De andere Wiskundige fchriften van Proclus, als zyne Ver klaaring der Sterrekundige onderftellingen van Ptolomeus, welke eene korte befchryving van de Almageftum is, en zyn Spheer, die flegts het kort begrip van Geminus uitmaakt, zyn van zeerweinigaangelegenheid. Men verhaalt van deezen Wysgeer eene Hiftorie, even als die van Archimedes, welke de Romeinfche Vloot met brandfpiegels verbrandde. Vitalianus houdende Conftantinopolen belegerd, maakte Procltis, naar het zeggen van Zonaras (g), Spiegels, met welken hy de belegerende Scheepen inbrand ftak, ende-ftadverlofte»Doch een ander Hiftoriefchryver (h) geeft ons den rechten zin van .dit voorval, zeggende, dat Proclus deezen brand verwekte met brandende zwavel, die waarfchynlyk uit krygstuigen gefchoten werdt.
Proclus hadt tot opvolger in zyne Schoo\e>Marinus van Neapolis, die, met Ifidorus van Milete, een foort van opvolging maakt, welke ons tot den Keizer Juftiftianus opleidt. Marinus is de Schryver van een Inleiding tot de gegeevene '■ grootheden van Euclides. Zyn leerling, Ifidorus van Milete, was een bekwaam Mechanicus, Meetkunftenaar en Bouwmeefter, die met zynen vriend Anthemius Trallianus doör ^ufiinianus in verfcheide onderneemingen gebruikt werdt. Eutocius (i) fpreekt van een Werktuig, 't welk hy uitgevonden hadt, om den Parabool door eene-verknogte beweeging te befchry ven, en het Problema van de verdubbeling des teerlings op te loffen. Doch'zulks verdient weinig , dat wy ons daar by ophouden. Zie hier belangende Anthemius-iets dat gewiëstiger is. Deeze laatfte muntte ook uit inde'MechaniftcheWeetenfchappen: men heeft in verfcheide Boekeryen een gedeelte van zyn Boek,tot tytel voerende: ^KwrijAXT»»
de
(g) t. iii. fub. Andfi Diofcoro.
(k) Malalas, Chrónic.
(?) Comm. in Arch. i. //, de Sph. Cyl.



WISKUNDE. ï. Deel V. Boek. 44?
de machinh admirahilibus Vitcllio (/) verhaalt onss naar Anthemius, een der zonderlinge vindingen, welken dat Werk bevatte, en zyn verhaal wordt beveiligd door de Vaerfen van Tzetzes, welke wy bygebragt hebben, toerï wy van Archimedes fpraken. Deeze vinding beftondt in een brandfpiegel, uit verfcheide vlakke fpiegels faamengefteld,. welke het licht der Zon iri een zelfde plaats te rug kaatfende, de hitte aldaar zodanig vermeerderdendat 'er brand door ontftondt. Indien wy Vitellio daar in gelooven, hadt Anthemius bevonden j dat vierentwintig fpiegels tot dat einde genoegzaam waren. Men weet hedendaags dat het eeniglyk op,', deeze wyze is, dat Archimedes en Proclus deeze wonderen, waar van de Faam fpreekt, hebben kunnen uitvoeren. Indien het Werk van den Griekfchen Mechanicus geheel tot ons gekomen was, zou hetzelve ons waarfchynlyk doen oordeelen, wat wy daar van'moeten gelooven. Zelfs zoude miifcbien hec ftuk , dat wy bezitten, bekwaam zyn, om over dat voorval een groot licht te verfpreiden,
Eutocius, een leerling van Ifidorus en vriend vari Anthemius, heeft zich een naam gemaakt door zyne uitleggingen over de Werken van Archimedes en Apollonius (m). Deeze zyn grondige Werken, en aan welken de Hiftorie der Meetkunde eene meenigce gewigtige en fraaije trekken verfchuldigd is.
Diodes de Meetkundige en de Uitvinder der Cyffoïdei heeft my gefcheenen omtrent dien tyd, of kortte vooren, geplaatft te moeten worden; Want Pappus, welke de verfchillende wyzen, om het Problema van de verdubbeling des teerlings op te lolfen, doorloopt, maakt geen gewag van die van Diodes, welke eender fraaiften is; waar uit ik met grond gelooven mag, dac hy laater dan Diodes geleefd heeft. Eutocius is deeer»
ftei
(k) Rib. Reg, num. 2370, 2440, 287T, Labbê", bibïJ mor. mff.
(0 Öpt. 1. V. prop. uit. \m) Zie de Artikelen van die Meetkundige*. Ff i



443 HISTORIE der
fte, en de eenige onder de Ouden, welke van dien Meetkundigen, waar van hy tweeoplofïïngenbybrengt, gewag maakt. Een van die Oploffingen is die van hec beruchte Problema, waar van wy zo even gefproken hebbenik wyze den Leezer te rug naar hetgeen ik deswegens in het derde Boek gezegd hebbe. De andere betreft een Voorftel uit het Boek van den Kloot en den Cylinder, waar van Archimedes de oploffing elders belooft te geeven, welke men echter nergens vindt. Dit Voorftel beftaat hier in, om een Kloot door een Vlak in gegeeven reden te deelen; hetgeen een vry moeijelyk lighaamlyk Voorftel uitmaakt. De oplosfing, welke Diodes van hetzelve geeft, is zeer bekwaam , om van zyne fchranderheid in de Meetkunde een voordeelig denkbeeld te doen opvatten. Men vindt in dezelve eene geleerde en grondige Analyfis, welke aantoont, dat hy die Leerwyze met eene groote vaardigheid behandelde. Voorts is deeze oplosfing niet; vry van het gemeen gebrek, 't welk die der Ouden hadden, naamelyk van twee kegelfneeden te gebruiken, niet tegenftaande een eenige, by een Cirkel gevoegd, genoegzaam hadde kunnen zym Deeze Wiskundige was waarfchynlyk een Ingenieur, want het Boek, waar uit Eutocius die oplosfing ontleende, voerde tot tytel de Pyriis, dat is te zeggen, over de vuur* werken.
Wy zullen ook omtrent dien tyd plaatfen den Meetkunftenaar Sporus, en zynen meefter Philon van Gadarct. De eerfte is niet bekend als door zyne oplosfing van het Problema der twee midden-evenredigen, doori?«tocius bygebragt, eene oplosfing van welke voor het overige die Uitlegger zich hadt kunnen onthouden, om zyn Boek 'er mede te vergrooten: want dezelve verfchilt naauwlyks van die van Pappus. Wat Philon aangaat, de zelfde Schryver geeft ons te kennen dat hy de benadering, welke Archimedes oudtyds van de reden van de middellyn des cirkels tot den omtrek,
(n) Comm. in Arcb. de dim. circ.



WISKUNDE, h Deel. V, Boek. 440
trek gegeeven hadt, tot ioooofte deelen hadt voortgezet.
Wy zyn den HeereBulialdus verfchuldigd de kennisfe van een Atheenfchen Sterrekundigen, Thius genaamd, die eene genoegzaame lange reeks van jaaren, omtrent het einde der vyfde, en het begin der zesde eeuwe, waarneemingen deedt. Het gebrek van Sterrekundige overblyffelen, van 'Ptolomeus af tot Albatenius toe, heeft den hedendaagfchen fterrekundigen, dien ik aangehaald heb, gen oopt, om eenige zyner waarneemingen in 't licht te geeven. Hy hadt dezelve uit een Handfchrift van de Boekery des Konings getrokken; en zy zyn hem van eengroot behulp geweeft, om zyne Theorie van de bo ven-Planeeten te veftigen en te herftellen (0).
X.
De werken der Wiskundigen van het yoorgaande Artikel, waar van veelen niet t'eenemaal van vernuft ontbloot waren, zyn als de laatfte lichtftraalen, welke <le Wiskunde in Griekenland verfpreidt. De ruime tuffchentyd, welke van hier af tot devei woefting van bet Griekfche Ryk verloopen is, vertoont ons geen andere ? dan zodanige oppervlakkige Schryvers over de beginfelen, dat zy in gelukkiger eeuwen ter naauwernood den naam van Wiskundigen verdiend zouden hebben. De School van Alexandria bleef echter nog in weezen, en daar zoude eenig» hoop geweeft zyn , om, zonder de onluften welke het Ooften beroerden, en den inval der Arabiërs, de gelukkige tyden der Apollonius, der Hipparchen, enz. te zien herleeven. De verovering van Alexandria door de Arabiërs was de doodfteek. Welke de kundigheden , niet alleen in die vermaarde' Hoofdftad, maar zelfs in 't geheele Griekfche Ryk,t'eenemaal uitroeiden. Dit ongelukkig voorval gebeurde in 't jaar 641; die rampfpoedige ftad, tot in dien tyd de verblyfplaats der Weetenfchappen , begaf zich onder bet jok van de Kalifs, en van een uitzinnig volk, wier
eer*
ie) Zie Ajlron. Philolaïca.
Ff 3



45©
HISTORIE djï»
eerfte werken der heerfchappyë waren, alle de gedenktekenen der geleerde Aloudheid te vernielen. De Boekery van Alexandria, die fchat van eene oneindige waarde, werdt ten vuuregedoemd. Te vergeefs poogde de Wysgeer en; Taalkenner Philoponus dezelve te behouden, hy was in tegendeel de onl'chuldige oorzaak van haar verlies. Want hebbende den Stadvoogd des Kalifs verzocht, dat dezelve gefpaard mogt worden, fchreef deeze, die buiten het bevel zyns meefters niets dorft doen, den Kalif hier over. Maar Omar gaf hem dit antwoord, dat door deszelfs onbefchaafdheid merkwaardig is. De Boeken, zeide hyhem,waar van gy fpreekt, zyn of overeenkom/lig of'flrydig met dete Alkoran. In het eer/Ie geval moet men dezelve als noodeloos verbranden, in het tweede gevalzyn dezelve,'■ als ver'foeijelyk zynde, het vuur waardig. ' Het vonnis werd uitgevoerd, en men zag deeze dierbaare verzaameling, bet werk van veele eeuwen, geduurende byna een jaar dienen, om de badftooven van Alexandria warm tc maaken. 1
Zodanig was het einde van die beruchte Schoole, die geduurende byna tien eeuwen in de weinig geftoorde bezitting, van tot de gewigtigfte bevorderingen van het menfchelyk verftand veel toe te brengen, geweeft is.' Van dat rampfpoedig tydftip af te rekenen, vinden wy in het Griekfche Ryk flegts een klein getal mannen, welke der Wiskunde begunftigd hebben; en nog zvn dezelve zo bepaald tot het allereenvoudig-' ïle van die Weetenfchap, dat weinig bladzyden ons genoeg zouden zyn, om hen met de behoorlyke uitgebreidheid te doen kennen.
'"Wy vinden eerftelyk in de zevende eeuwe Leontius de Tuigwerkkundige, van wien eene Verhandeling óver de toerufling der Spheer van Aratus overig is. Hy verklaart daarin het gebruik van eene hemelfche , pp welke hy de Gefterntens zodanig gefchikt hadt,als dezelve befchreeven worden door dien Dichter, well'e hy op veele plaatfen gebreklyk vondt. Herwi, toegenaamd de Tuigwerkkundige, om hem van dien van dlemndria te ooderfcheiden, is van eenen vry onzeke-
ren



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 45»
ren Ieeftyd; men denkt dat hy omtrent het midden der agtfte eeuwe leefde. Wy hebben van hem eene Verhandeling over de Krygstuigen, welke voor de Krygskunde iets zonderlings en van veel belang is. Doch zyne Geodefte, dus noemde men oudtydsde werkdaadige Meetkunde, is van geen belang.
Leon deWyze , die op het einde der negende eeuwe regeerde, deedt eenige poogingen, om de Weetenfchappen in het Griekfche Ryk te heritellen. Deeze Vorft, van wien wy eene Verhandeling over de Krygskunde hebben,' bemerkte de waarde der Wiskunde, en flichtte te Conflantinopoleneene Schoole, om dezelve te doen bioeijen. De Hiftoriefchryvers hebben hem ons als zeer ervaren in die Weetenfchappen, en voornaamelyk in de Sterrekunde, afgebeeld. De School, die hy flichtte, verfchaft ons echter niet dan de naamen van eenige Hoogleeraars in de Meet- en Sterrekunde, welke onder zyne regeering, en onder die van. Conftantinus Porphyrogenetes zynen opvolger, leefden (p). De vereenigde poogingen van deeze twee Vorften konden het geheel verval der Weetenfchappen flegts voor eenigen tyd opfchorten. Welhaaft verledigden zich de Verftanden tot niets anders als tot Godsdienftige gefchillen, waar van de meefte even zo verachtelyk waren als de Wysgeerige vraagftukken, welke oudtyds onze Schooien ontruflten. Eindelyk van ConJlantinus af tot in de veertiende eeuwe ontmoeten wy geen ander dan Pfellus, die der Wiskunde gekend heeft. Ik gebruike opzettelyk deeze zegswyze; want hetgeen hy, in zyne Verhandeling de quatuor difciplinis mathematicis, over dat onderwerp gefchreeven heeft-, is zo eenvoudig, dat hetzelve de koften der uitgave, welke men in 't jaar 1556 van dezelve gedaan heeft, niet waardig was.
De veertiende eeuw was vruchtbaar in beminnaars der Wiskunde, doch even zo weinig als de voorgaande eeuwen in mannen, welke bekwaam waren,om de paaien van
die
(j) Script. $cft 'Iheephanem Biï/lkth, Qrec. T. X» Ff 4



45? HISTORIE de*
die Weetenfphappen verder uit te zetten. De Monnik Barham maakte omtrent het jaar nqouitlezeinjren pver eenige der eerfte Boeken van pjüdes. m!nSeft van hem eene kleine Verhandeling over de zeftigdeelige rekening, waar van de Sterrekundigen gebruik maaken (a). Joannes Pediafimm fchreef een kort het gïip der Meetkunde, waar yan in veeleBoekeryeneen pandlcnnft is. Il-Zaximus Planudes maakte over Diophantus eenige aanmerkingen; doch dezelve zyn, naar Jet oordeel der bekwaame lieden, weinig gefchikt om dat Werk gemaklyker te doen verftaan. Hy verklaarde ook zynen landgenooten de grondbeginfelen van onze hedendaagfche Rekenkunde. Zyn Werk, waar yan flegts het Handfchrift in weezep is, voert tot tytel Logijkca fecundüm Indos; want het zyn de Indiaanen van wien, zo als wy in 't vervolg zullen aanmerken , die kunftige vinding tot ons gekomen is. Georgius Ori* fococca is lofwaardig wegens de groote genegenheid, welke hy voor de Sterrekunde toonde. Naa?dien hy by de Grieken geen hulpmiddelen genoeg vondt, om ïn dezelve onderweezen te worden, reisde hy naar Per|ien, alwaar die Weetenfchap bloeide, en gaf by zyne terugkqmft eene Verhandeling over de Perfiaanfche Sterrekunde in 't licht. Het handfchrift van dezelve £ m £e„?°?kery de/„ Konings» onder den tytel vaa Qeorgit Chrifocccca Aflronomica. De Heer Euüaïdus heeft de Voorreden van dat Werk doen kennen, en eenige verkorte Tafelen uit hetzelve getrokken (r\ Ik ver genoege my met eenige andere fchriften van dien Schrvyer aan te wyzen, als eene Verhandeling om de koppelingen in ieder maand te vinden, eene faamenflèliing van het Affroiahium, enz. Men bezit de handfehriften derzelve in fommige Boekeryen f». Wat aangaat Co/mosIndopleufius, of de Schryver, wie hy ook zy, van eene Chris, telyke Aardrykskunde, dezelve is flegts een onnozele
U) Gr. Lat. 1572. 8°.
(f) Afiron. Phikl. Verf. fin.
{f) Fabric. fijbl. greec, T. X.



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek. 453
reiziger, die in eene reisbefchryving duizend Sterreen Aardrykskundige ongerymdheden op een geltapeld heeft (t).
Nicephorus Gr egoras, Nicolaas Cabafilla, en Argyrus zyn mede Wiskundigen van de zelfde eeuwe. De eerfte nam op zich de verdeediging der Sterrekunde tegen eenige van haare vyanden, en maakte eene verhandeling over het Aftrolabium, welke Palla in 't licht gegeeven heeft (#). Cabafilla, Aartsbisfchop vanTheftalo* vica, maakte uitleggingen over de Almageftum. Men heefteen gedeelte van het Werk van dien Sterrekundigen Kerkvoogd in de Griekfche uitgave van Ptolomeus en Theon; hetzelve betreft het derde Boek. Argyrus gaf eene Verhandeling over de Geodefte, dat is te zeggen, over de Werkdaadige Meetkunde, eene andere over de overbrenging der niet rechthoekige Driehoeken tot rechthoekige; en van de Scholia over de zes eerfte Boeken van Euclides, welke onder ons in 't Jaar 1579 in 't licht gegeeven zyn. Ik wyze hun, welke van de fchriften van Argyrus eene uitgebreider kenniffe wen? fchen te hebben, naar de Griekfche Bibliotheek.O). Dezelve hebben my niet gewigtig genoeg gefcheenen, om met dezelve dit Artikel grooter te maaken.
Wy zullen eindelyk, om dit Boek op eene aangenaamer wyze te eindigen, een Griekfchen -Schryver ontmoeten, die ons het eerfte denkbeeld verfchaft van een Wiskunftig tydverdryf, dat verfcheide bekwaame lieden waardig geacht hebben tot een van hunne bezigheden aan te neemen. Deeze Schryver is Emmanuel Moftcopulus, en het tydverdryf, waar van wy fpreeken willen, is dat der Tover-Vierkanten (w). Moftcopulus heeft over dezelve eene Verhandeling gefchreeven v
waar
(f) Bibl. Gr. ï. III.
(u) r498, cum. Niceph. logici, f.
fv) T. X. p. 176.
fw) Daar zyn twee Emmanuels Moftcopulus geweeft, de een In 11392 » en de ander in 1450. Men weet niet wien van beiden de Verhandeling, waar van wy hjerfpreeiken, twekc>mt.
Ff 5



454 • HISTORIE »E»
waar van een handfchrift in de Boekery des Konings is, en uit 't welk de Heer de la Hire iets getrokken heeft. Wy neemen deeze gelegenheid waar, om hier te verzaamelen hetgeen de hedendaagfche Wiskundi? gen over dat onderwerp gedaan hebben, en wel zo veel te liever, om dat wy zeer bezwaarlyk daar toe elders plaats zullen vinden.
Tover ■ vierkant word genoemd een vierkant, verdeeld in gelyke perken, in welken men de leden van eene Arithmetifche Progresfie zodanig fchryft „ dat de fom van elke, zo verticaale als borizontaale, ry, en van ieder der Diagonaalen, dezelfde zy. Deeze vierkanten zvn, naar alle waarfchynlykheid, hunnen oorfprong aan'het jbygeloof verfchuldigd, of ten minften, zo zy al eene verftandiger afkomft gehad hebben, heeft de Sterrevoorzegkunde (Afirologid) niet gedraald om zich dezelve toe te eigenen. Niets is onder hen, welke aan die befpottelyke Kunft gelooven, roemrüciitiger, dan de loverplaaten der Planeeten, welke niets anders zyn dan de vierkanten der zeven getallen 3, 4, 5, enz., an een Tover-vierkant geplaatft, en aan ieder der Planeeten toegeëigend. De Heer de la Loubere heeft de kenniffe derzelven in Indiën, en vooral te Surate, ver. fpreid gevonden f» HY verhaalt zelfs de Leerwvze, waar van de Geleerden van dat land gebruik maaken, om de onëvene vierkanten te fchikken. Zulks geeft aanleiding om te denken, dat de Tover - Vierkanten veelligt hunnen oorfprong by de Indiaanen zouden kunnen genomen hebben; hetgeen hun die weeten, dat wy hen de kunftige vinding van onze hedendaagfche Rekenkunde te danken hebben, niet verwonderlykzal fchynen.
Wat ook het lot van onze gisfing zy, hetgeen in den eerften oorfprong flegts eene ydele en bygeloovige oeffening, of een eenvoudig tydverdryf, was, heeft met nagelaaten den aandacht van veele Wiskundigen van verdienfte op te wekken. Niet om dat zy eenige
nuts
(*) Relttim de Ssam,



WISKUNDE. I. Deel. V. Boek.
451
nuttigheid in dezelve befpeurd hebben: men ftaat toe dat dezelve in 't geheel geen nuttigheid hebben, en zo als de Heer de Fontenelle\eri\ar\de\yk zegt (yft, toonen de Tover - Vierkanten in dat ftuk nog tekenen van hunnen oorfprong; 't is flegts een fpel, waarvan de moeijelykheid de verdienfte uitmaakt, en 't is op dien voet dat de Wiskundigen dezelve befchouwd hebben. De beroemde Heer Leibnitz verontwaardigde zich niet het fpel te fpeelen, dat men du Solitaire noemt, en heeft in de Mifcellanea van Berlyn (z] een klein gefchrift, vol kunftige vindingen en Wysgeerige aanmerkingen over de fpeelen van faamenvoeging {combinatio)gegeeven. Dezelve verontfchuldigen de toepafïïng, welke de Wiskundigen op dit Rekenkundig Voorftel gemaakt hebbens
Daar zyn twee foorten van Tover • Vierkanten, waar van de trap van moeijelykheid zeer verfchillende is; de eerfte zyn de onëvene Vierkanten, of die waar van de wortel oneven is, als y, 25, 49» enz., deeze zyn de gemaklykfte om te fchikken. De andere zyn de evene, welke veel moeijelyker zyn. Zelfs onderfcheidt men dezelven in cvenlyk en onëvenlyk evene vierkanten, naar dat hun wortel door 4 , offlegtsdoor 2deelbaar is. De handelwyze, welke voor de eerften dient, is verfchillende van die welke de anderen ver» eiffchen.
Mofcopulus is de eerfte bekende fchryver, welke over de Tover-Vierkanten gefchreeven heeft. De Heer de la Hire, die zyn Werk hadt doorgeloopen, verhaalt ons (a) zyne beide handelwyzen, om de onëvene Vierkanten te fchikken: dezelve zyn beide zeer kunftig. Hy voegt 'er by, dat hy voor de onëvenlyk evene Vierkanten eene handelwyze gaf, en heeft eenige voorbeelden van evenlyk evene Vierkanten uit zyn Werk getrokken.
De
(y) Hift. de l'Acad. 1705.
(2) Eerfte Deel.
0») Min. is \'4soA* *7os»



456 HISTORIE der
De bygeloovige, en tevens ongeloovige Am'pMCh) J-™ myne gedachten, de eerfte, weikef gelegenheid der loverplaaten, van de Tover-kieren heeft gewag gemaakt. De Beer Bachet, welke dezelven by dienSchryver bemerkte, zocht de handelwyze om
vnnr^^makken: hy,flaagde,'n^e onëvene vierkLLn™ voor welken hyeenealgemeeneLecrwyzevondt, en gaf fi £ f m C jaar, ,l624 in zyne Wiskundige Vermaakhyvte?enf5 ge,TeLd ^^P^fim.m't licht. Doch fiy bekent zelf dat hy, om de evene Vierkanten te maaken, niets konde vinden dat hem voldeedt. liefdn™" de Fr.é.f\ek zo bekend door zyne vaardigiieid om de moeijelykfte Rekenkundige Voorftellen op *eploffen, ging verder dan de Heer Bachet. Hy vond? SSr ÏTfU n'euw"eSe,en voor de onëvene Vierkanten; ?n KÏZeiS^0k,een regel voor ^ evene vierkanten,
anderen M^T f^QP eeDC meenigt:e wvzen te ver! 16 lr h\r^ hdeft daar,van een voorbeeld in dat van delin?vJn ph s80Hwvze" CO veranderde. Deeze VerhanmniïlJ f dad ?ecr wordt in de oudeMe-
moiien der Academie, V. Deel, en in dc Verzaame%eit) f \a3T lG»3 w 't ïi^tit gegeeven is, gevonden. Eindelyk, vermits het Voorftel naar zvn zin niet moeijelyk genoeg was, maakte hy zich nieuwe zv/aarigheden, om bet vermaak te hebben van de zelve te overwinnen. Hy voegde by degewoone el" genfchap van die Vierkanten nog deeze, dat zJ van zodanige natuur waren, dat zy, lis men dezelve achtervolgen* van hunne uitwendige ryën beroofde, altoos
To-
(i) Agtippo. heeft, gelyk men weet, een Boek vol vdele Z wT'ft* k,inftenaarye". ^ een ander cmdeydlfeid der Weetenfchappen. mtgegeeven; dit is ten naafte bye ven als de vermaarde Hobbes die geduurende den dag «Ift nieï vreefde ' " ' donkerheid de «^velln en fpo"
(e) De Heer N. Struyck was van gevoelen, dat dit aetal verkeerd opgegceven is e„ 7040 moet zyn. Zie zynr volg van dt befchryving der Siaartjierrcn; pag. i8i en 182.
VÉÏT A Ah Jtj. ,



WISKUNDE. I. Déél. V. Boek. 4ƒ7
'Tbver-Vierkanten bleeven; en hy leerde om zodanige' Vierkanten te vinden, welke die eigenfchap hadden* Men zoude dezelve Toverkunjiige Tover-Vierkanten kunnen noemen, uit hoofde van de byzondere kunft. • greep, en, om zo te fpreeken, noodige toverkunde, om dezelve faamen te ftellen.
De Heer Poigrtard, Dom-Heer van Brufel, gaf m 'tjaar 1703 eene Verhandeling over deTover-Vierkanten, welke hy verhevene Vierkanten noemt, in't licht. Men vindt in dezelve veele kundige nieuwigheden. Dit Werk heeft den Heer de la Hire aanleiding gegeeven, om deeze (toffe zeer breedvoerig te verhandelen in twee Memoden * welke in de Academie der Weetenfchappen in 'tjaar 1705 voorgeleezen, en in de verzaameling van dat jaar gedrukt zyn. De Heer Saurin heeft desgelyks zyne overweegingen over dac Voorftel in de Memorien van 't jaar .1710 medegedeeld; en de Heer d'Ons - en - brai heeft in 't jaar 1750 eene nieuwe Leerwyze voor de evene Vierkanten gegeeven. Deeze zyn de (tukken, tot welken wy hen, die in dcCz^ fo0rt van tydverdryf vermaak vinden , verzenden. Zy behooi on ook de Hiftorie der Acade* mie van diejaarente leezen,en vooTnüamelykdievan 't Jaar 1705 , uit welke wy een gedeelte van hetgeen wy komen te zeggen ontleend hebben. Belangende de overige fchriften over dat onderwerp, vergenoegen wy ons met dezelve in de bygevoegde noot aan te wyzen (d), ten einde in beuzelingen van die natuur geen tyd te befteeden, dien wy met meerder recht voor gewigtiger doffen bepaald hebben.
(d) Act. Lipf. I68f>. Stifels in zyne AritJtmetica.ScJtwenter in zyne Delicia Phyfic* -Math. De V. Kircher in zyne Arithtnologia. De V. Prejiet in zyne Nouveaux Elémens de Mathématiques. Qianam in zyne Recréations Mathématiques. De Heer Meerman. Specim. calcul. flux. ad finem.
Einde van bet V. Boek, en van het EERSTE DEEL.



KORT SAAMENSTEli
der Wiskunde en haare verdeelingen.
SSSSSSSSSSSSSSSSSSS?SSSSSSSSSSS3SSSSS!
ZUIVERE WISKUNDE. I. A rithmeïica, of de Weetenfchap van de XI betrekkingen der getallen. Bewerkingen .over de getallen. Weetenfchap der Combinatiën of faamenvoegingen, enz. ik Geometru, of de Weetenfchap der betrekkingen van uitgebreidheid, j. Gemeens Meetkunde. Beginfelen der Meetkunde. Werkdaadige Meetkunde. Rechtlynige en Klootfche Driehoeksmeetkunde. %t Hooge Meetkunde.
Eindige. Theorie van de bepaalde eigenfchappen der Krommen. Kegelfneeden. Theorie der Krommen van hoogere genachten.
Oneindige. Methodus. exhaufiionis der Ouden. Leerwyze der ondeelbaare grootheden. rik . Quadraturen, rechtmaakine^en, enz. UI. Algebra, of de Wep^^nap van de afgetrolskene grooth<?Jcn.
1. Eindige.
Eenvoudige of grond/eggende. Bevattende de op ■ losfing der eenvoudige Vergelykingen, en die van de tweede magt,haaretoepasfingopMeet, en Rekenkundige Voorftellen. Tranfcendentifche. Bevattende de Analyfis der, kromme lynen, de Confiructien en oplosfingen der gelykheden van hoogere magten, enz.
2. Oneindige.
Differentiaal- ofFluxie- Rekening. Leerwyze der raakïynen, de maximis ff^tmtmis-i, van de ontwondene Krommen, Caufiiae, enz. Integraal- of Fluent-Rekening.' De quadraturete en rechtmaakingen der Krommen. De meeting van de lighaamen en hunne oppervlakte. De vinding der zwaarheids . middelpunten, Ihngerpunten, enz. Exponentiaal-Rekening. •
De



CA59 )
GEMENGDE WISKUNDE.
2. Mechanica ,of de Weetenfchap derbeweéging. ï* Statica, of de Weetenfchap van het evenwigt.
Statica, eigenlyk zo genaamd, of Weetenfchap van het evenwigt der vaste lighaamen.
Hydroflatica, of befchouwing van het evenwigt der Woeiftoffen, of yan de vloeiftoffen en vaste lighaamen onder malkander. 2. D ynamica, of Weetenfchap der daadelyke beweeging.
Dynamica, eigenlyk zogenaamd, of Weetenfchap van de beweeging der vaste lighaamen. Wetten van de beweeging eri botfing der lighaamen. 'Theorie der middelpuntige krachten, enz. Schiet - of Werpkunde (Baiijiica). Theorie der flingerende beweegingen. ^'^"'hnamica, of Weetenfchap van- de beweeging üte. vloeiftoffen.' Hydraulica of -Theorie van de Waten0oPknnde en de beweeging des waters. Zeevaart, of hec werk op de Scheepen. Tegenftand der ■ vloeiftoffen aan de beweeging der lighaamen, welke door dezelven gaan. II. A s t r 0 n ó m ia, of Weetenfchap der hemelfche Verfchynfelen. i. K i» ó ot s che Sterrekunde, of befchouwing der algemeene verfchynfelen, welke uit'de fchynbaare gedaante van derf hemel en.de-aarde volgen, Geographia, of befchryving van de Aarde» ten aanzien van de verfchynfelen, welke haare verfchillende deelen ondergaan. Navigatie, Stuurmanskunst, ofde.kunfr.! om, door de befchouwing des hemels, de fcheepen door zee te brengen. ;
/s»n*.ft Chro*



Qhronohgia j Tydrekenkunde, of fchikJcmtf der tyden, overeenkomftig met de he melfche omloopen; ile"
Gnomonka, Zonnewyzerskunde, of verdee hngdes tyds, welke verloopt, door d: beweeging der Hemellichten. e
3. I HEORETISCHE S TE RE F ir rmin* c
fpooring der fcbikking^aV'ÏSb^fSpaaling der lengte van de hemelfche omloo" pen. Theorie van de Zon, de Maan E u ^:«benedea-I^eet^:eönif_te Echpfen en andere verfchynfelen.TheorSvan
Natuur- » igrvvs
1. Optica, eigenlyk zo genaamd, of Weetenfchap der rechtftreekfche zieninY
2. Catoptrica, of Weetenfchap van het te rug gekaatfte licht. V
3. D10PTRICA, of Befchouwinc d*r uitwerKingen van het gebrokt >»-cnt.
4. P.erspec t1É- » or dc kunft om de VCnr
rnlgS^SebV1^^^0-^
IV' AfchaVpen deAs'getdïeetCnrChaP «* de «fc*
1. Acoustica, eigenlyk zo genaamd, of befchouwing der eigenfchappen van het ge luid als voortgebragt wordende door eene veerkrachtige vloeiftoffe.
2. Muziek, of befchouwing der klanken ,*„ hunne betrekking met andere. CD 10
~' indl«n men hunne achtervolging;
belchouwt. ° °'
Harmonie, indien men hunne *ccosnh»m ■ . . acht neemt. V. Pneumatologia, of befchouwing van de eifSSSg.0' ^ veerkrach">> -waare, enz.









Ï.JPed. „ ^yfisto-rie de-r 7/r'shindi'. Pl.ïï.






CH&torit der ~)fak<KÜ...
Tx.III.






ï. Deel.
Ctéftvrül' <fer 'Msfacnde,






1.3>eel. jtéstorie der Wiskunde- . d'Z. K






Aan de
BIBLIOTHEEK DER UNIVERSITEIT
van
DROOGHOUDEN
AMSTERDAM
Franco Afgezonden door









L