61 1127 2423 UB AMSTERDAM



HISTORIE
DER
WISKUNDE
federt haaren oorfprong tot in onzen t>d;
door
den Heere MONTUCLA,
Lid van de Koninglyke Academie der WeetenfcHappM enfraaije Letteren van Pruisfen
Uit last van het Genootfch p detf
MATHEMATISCHE WEETENSCdAPPEN
onder de Spreuk:
EEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TE BOVEN.
üit het Franfch vertaald, en met eenige byvoegfelert en ophelderende aanmerkingen vermeerderd;
D o 0 R
ARNOLDUS BASTIAAN STRABBË, Lid en Secretaris van het zelfde Genootfchap; enz» DERDE DEEL.
Te AMSTERDAM,
By p. G. GEYSBEliK, Boekverkooper in &è Waieifteeg by het ttokin.^
m d t e s c v iy£ „> xv






HISTORIE
DER
WISKUNDE-
DERDE DEEL.
Bevattende de Hiftorie der Wiskunde geduurende de zeventiende eeuwe.
EERSTE BOEK.
Bevattende de vorderingen der Meet en zuivere Wiskunde, op de wyze der Ouden verhandeld, geduurende deeze eeuwe.
KORTE INHOUD.
T. Algemeen Tafereel der Wiskundige ontdekkingen in óezeventiende eeuwe. II. Lucas Valerius maakt in de Theorie der zwaarheids- middelpunten eem groot ere vordering dan Atchimedes. Snelhus bevordert ook door eeni* ge vindingen debénaderde maat descirkels. III. Uitvinding der Logarithmen door den Baron van Neper. Eigenfchap' pen en natuur van die getallen. Hoe Neper dezelve befchouwt. Wie diegeenen zyn die hem in de faamenflelling der Legarithmi Tafelen, welke wy bezitten, geholpen hebben, Andere verrichtingen van Neper. Zyn* Trigonometrifche vindingen. Zyne Stokjes* of Staafjes' Rekening (Rhabdologia \ IV. fc epler brengt in ne Meetkunde der vaste Lighaamen (Stereomeiria) ee' A ni'



a HISTORIE der
nige inzichten en verfcheide werkflukken fProöIeniataï te berde welke op den oorfprong der nieuwe Leerwnen invloed fchynen gehad ie hebben. V. fan de Leerm van Guldinus ; tnepasfing welke derzelver Uitvinder daarvan maakt op de Werkflukken van Kepier. VI Fan de Meetkunde aer Qndeelbaaren (IodivifibiHa^ ■ korte bejchtyving van het leven van Cavalleri. Ferüaarinti zyner Lee<wyze; en haare overeenkomst met die der Ouden. Gebruik dat hy daar van maakt tot de uplosFu.p vaneene meenigte. vuuigftukken. Ontdekking der over* eenkomst van den Spiraal en Pasaüml." 'Vit? De Meet kunde verheft zieh omtrent dien tyd in Franknk m Tnoetjelyker naairingen; men befchouwt 'er de Krom* men op eene algemeenere wyze; de Logariihmïfche Spiraal endeCyclou of Roltrekneemen aldaar hunnen oorfpronir. of houden aldaar de Meetkundigen bcezig. V li) Ver. jtandige Leerwyzevoorde raaHynen de% Krommen, door Kobei val uitgevonden, en haare overeenkomst met dieder ■ttuxicn. IX. Gefchiedenis van de Cyclois en de veJVlullen f welke over dezelve ontjiaan. Vraag (lukken over deeze Kromme door den Heer Pafcal voorhield, en wat by die ze tegenheid voorvalt Verfcheide zo zuiler Meetkunftige, ais Mechanifche eigenfchappen, w4He de Meetkundige» in de Cyclois ontdekt hebben. VerMg der Vernchiingm van verfcheide beroemde MeetKundigen., welken de oude Leerwyze geduurende deeze li enne voortgezet hebben.
I.
Onder de Eeuwen, welke vóór en na tot de bevordering der Weeteni'chuppen iets toegebragE hebben, moet zonder twyffel de laats tverloopeue den eerften raDg houden, en dit voordeel zal haar waarfchynlyk door geen der nog volgende Eeuwen benomen worden, 't Zy verre van ons de paaien van ?t menfchlyk verfland te willen beftemmen , wie weet welke de uiterile grenzen van kundigheden yyn , waartoe hetzelve geraaken kan ? elke dag veegt iets by de ontdekkingen van den voorgaané dea



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek.' 3
den, en zulks niette erkennen zou niets anderszyn, dan veelen onzer beroemde tydgenooten den plichtmaatigen lof weigeren , welke hun toekomt Wanneer men echter gade flaat de verbaazende vlucht, welke de Weetenfchappen, en vooral de Wiskunde» in de zeventiende Eeuwe genomen hebben , zal men moeten bekennen, dat, welke volkomenheid dezelve ook van de volgende Eeuwen ontfangen, echter een groot gedeelte der eere daarvan toekomt aan de Eeuwe , die haare loopbaane zo gelukkig gtöpend heeft.
Alvoorens tot de byzondere gefchiedenïs derWiskundige ontdekkingen, welke tot de zeventieude Eeuwe behooren, over te gaan, achten wy niet ondienltig te zyn, dezelven eenige oogen^likkeu onder een algemeen gezichtpunt te befchouwen. Hoe voortreffelyk fchoon is niet het fchouwconeel 't welk zy ons aanbieden! wat is het bekoorlyk en verwonderlyk voor eei Wysgeerig oog! Als wy ons rot de zuivere Wiskunde bepaalen, vinden wy terftond, in de eerfte Jaaren deezer Eeuwe, de kunftige en nog nuttiger vinding der Logaritlimen; kort daar na zien wy onder de handen van Cavalleri eene nieuwe Meetkunde gebooren worden , en , door verfcheide anderen aangekweekt , zich tot nafpooringen verheffen, welke verre verheven zyn boven diegeenen waarmede de aloudheid zichbézig hieldt. Echter flaat Defcartes eenen geheel anderen weg in, en geeft, door de dnalyfis op de Meetkunde toe te pasfen, aan de Theorie der kromme Lynen eene uitgebreidheid en ongedwongen, heid, welken dezelve nog niet gchadt hade, hy verzint verfcheide Leerwyzen om de moeijelykfte VraagItukken, welke in dat vak voorgefteld kunnen wor« den, door eenen zekeren weg op te losfen. Fermat9 zyn mededinger en tydgenoot , onderneemt den zelfden taak, en geeft insgelyks zodanige vindingen aan de hand ,welke een zeer ontwikkeld keen der nieuwe rekeningen zyn. Wallis, Barrow, Gregori verryken de Meetkunde met eene meenigte nieuwe LeerwyA 2 zen



4
HISTORIE der
zen en Ontdekkingen: Newton eindelyk geeft de geboorte aan die verhevene Meetkunde, voor welke het geen toi daar toe zo veel moeite gekost hadt flegts een fpe] is , en die alleen in ftaat is toegang te verleenen tot de zwaaiwigcige navorlching^n waar mede onze Meet- en Natuurkundigen zich hedendaags bézig houden
Als wy van daar onze oogen flaanóp de gemengde W iskunde, zullen wy niet minder voldaan zvnover de uitbreiding, die wy dezelve zien verkrygen. De Mechanica zal ons de ontdekking van de Wetten der beweeginge en haare mededeelïng, van die derverfnelhng van de zwaare Iighaamen , van den weg der yoorfgeworpene dingen , van de onderlinge werking en de beweeging der Vloeiftoffen aan de hand geeven. Wy zullen haar met verfcheide gronfige Xaeorien zien vergrooien, a/s die der flingerpunren , die van den tegenftand der Vloeiftoffen, der Centraal-krachten, enz. De vorderingen, welkende Gezichtkunde (Optica) geduurende den zelfden tvd maakt, zyn met minder voortreflelyk; de wyze óp welke de ziemng gefchiedt wordt verklaard, de Wet der ftraalbreeking (Refmclio) ontdekt, en eene nieuwe Weetenklvip op dien groadflag gevesugd: de Telefcoop en Microjcuop bieden het gezicht hulpmiddelen aan , welke in de aloudheid onbekend waren: de oorzaak van het verfchynfel des kegenboogs worde aan de reden onderworpen : heu licht wordt ontleed, en de verfchillende breekbaarheid der kleuren ontdekt: de Spiegel-TeWcoop wordt uitgevonden en met een goed "gevolg vervaardigd. üe Sterrekunde eindelyk vertoont ons m den eerllen opllag de ontdekking van de waare gedaante der Loopkringen, welken de Planeeten belcbryven, en van de Wetten die haare beweegingen bellieren: kort daar na ziet men de Sterrekundigen met behulp van den Telefcoop, als 't -ware, naar den hemel fnellen, en aldaar ontdekken de vlekken der Zon, de beweeging van dat Hemellicht om zynen As, defchyngeftaltens (Pha-



WISKUNDE. III. Deel. L Boek. 5
fes') van Venus en Mercurius; die kleine Planeeten, welke, eelyklooftig met onze Mnan zynde, Jupi* ter en Saturnus, met den zonderlingen ring, die deëzen laatften omvangt, vergezellen, verfchynfelen welke over het waare ft. lfel van 't Geheelal een groot licht verfpreiden: de /lardrykskunde ( Geographia ) wordt volgens de Waarneemingen t'eenernaal verbeterd: de Aarde wordt met eene naauwkeurigheid, die der Ouden verre overtreffende, gemeeten, en haare waare gedaante ontdekt: hetgeen 'Kepler uit de Waarneemingen geleerd hadt wordt^, met behulp eener grondige toepasfing van de Meetkunst en de Mechanica op de beweegingen der Hemel-Ligbaamen \ betoogd: de Comeeten worden in den rang der Planeeten geftelJ , en haar loop aan de rekening onderworpen , in weerwil der zeldzaamheid van haare verfchyningen: de Maan, die Planeet welke aan alle de poogingen der Sterrekundigen zo lang wederfpannig geweest is, wordt in boeijen gekluisterd, en de oorzaak van haare ongeregeldheden ontdekt, tin Jelyk ziet men uit de handen van den onfterfiyken 'Newton ten voorfchyn komen een Natuuren Stenekundig Stelfel, een meesterftuk der Meetkunde en Mechanicidat van -dag tot dag uit de verëenigde verrichtingen der Meetkundigen en Waamecmers eene nieuwe bevestiging ontleent. Zodanig is het algemeen Tafereel der Wiskunde geduurende de laatfïe Eeuwe; een Tafereel dat wy met eene meenigte andere trekken hadden kunnen aanvullen, zo wy niet, de kortheid in 't oog houdende, ons (legts tot de belangrykfte bepaald hadden. Laat ons thans overgaan om die verfchillende voorwerpen met de vereischte byzonderheden voor te dragen. Het is natuurlyk mer de Meetkunde, welke haar licht over die Weetenfehappen verfpreidt, een begin te maaken. Om de talryke ontdekkingen van verfcheide foorten, waar mede zy verrykt is, duidelyk voor te dragen, zullen wy dezelven in drie deelen fchiften, A 3 wel-



c
HISTORIE der
welke even zo veel Boeken zullen uitmaakën. In dit ]?oek zullen wy alleenlyk fpreeken over de Meetkunde op de wyze der Ouden behandeld, dat is te zeggen , zoncer Algebraïfche rekening. In het volgende zullen wy ons met de Meetkunde van Defcartes en de Stelkundige Anah/is bézig houden. Vervolgens zullen wy in eenigé Boeken het verhaal doen wegens de vorderingen van de overige declen der Wiskunde, geduurende de eerHe helft der zeventiende Eeuwe; waar na wy, tot de Meetkunde terugkomende , de Hiflorie der nieuwe rekeningen tot in 't begin der tegenwoordige Eeuwe zullen voordragen. Eindelyk zullen wy die der overige deelen van de Wiskunde toe dan den zelfden tyd hervatten.
II,
De Meetkunst maakte vin de eerlte Jaaren der zeventiende Eeuwe af eenige merkwaardige vorderingen buiten den kring, 'waar jjp de Ouden eebleeven waren. Zy hadt dezelve den Italiaanlchea Meetkundige Lucas Vaierius te danken. Deeze Wiskundige, bemerkende dat Archimedes de zwaarheidsmiddelpunten der vaste Lighaamen verwaarloosd hadt, en dat Commandinus, welke getracht hadt dat gebrek te vervullen , flegts de gemaklylfle gevallen hadt kunnen oplosfen , bevlytigde zich om die Theorie verder te brengen. Gelukkiger, of liever meer met den geest der uitvinding begaafd dan Commandinns, flaagde hy in zyn oogmerk, en bepaalde die middelpunten in alle de Conoïdes en Splwroïdes, en haare Segmenten, door Vlakken evenwydig aan den Bofis afgelneeden. Hy gaf deeze belangwaardige, zelfs durf ik zepgen voor zynen tyd zwaarwigtige waarheden Ao. iCo4; in zyn Boek de Centro Cravitatis Solidorum, in 't licht. Lucas Valtrius heeft ons een ander gedenkftuk van zyn vernuft nagelaaten , in eere Quadratuur van den larobooly die ten aanzien der middelen verfchillen-
de



W I S K ü N D E. III. Deel. I. Beek. 7
vJe is van die, welke Archimedes eertyds gegeeven hadt: men vindt hetzelve achter het Werk waar van wy zo even geiproken hebben. Deeze aehtbaare Meakundbe was Hoogleeraar der Wiskunde te Rome', dit is ailes wat wy daar van weeten; en wy moeten bekennen, dat wy, een overvloed van Holle voor ons hebbende, geenszins getracht hebben eene grondiger kennisfe van 't geen hem betreft op te fpooreo.
Wy rullen hier nog plaatfen eenen Meetkundige, welke éCa der ontdekkingen van. Archimedes in fomnn'ge Hukken tot grootere volmaaktheid heeft gebrast; deeze is Sneliius, wiens naam beroemd is door zyne meeting der Aarde en zyne ontdekking van de Wet der Straalbuiging (RefruStio'j. Om van zynen arbeid een denkbeeld te verkrygen, moet men zich te binnen brengen , dat Arclnmedes zyne bej ucute ■proportie van den Diameter tot den Omtrek, des Cirkels gevonden hadt door middel van twee Veelhoeken, ieder van lya zyden, dé eene in en de andere om den Cirkel befehreeven. Lüdol/Jt , het getal der zyden van die Veelhoeken geduurig verdubbelende, was tot eens proportie gekomen, die mec 35 cyffeiletteren werdt uitgedrukt, waarvan alleen de laatüe ornaauwkeurig was, en flegts minder dau eene eenheid van de waare verfchrfde. Deeze handelwyze fcheen Sneliius eenen zeer moeijelyktn arbeid te zyn, -en deeze beweegreden deedt hem daar voor eene andere zoeken, welke minder langwyligwas. Hyvondtin de daad iwec Theoremata (a)t
door
fn) Het eerfte van die Theoremata is dit. Als men. den Diameter eens halven - Cirkels (Fig. i.) naar E verlengt, ziini% dat AE gelyk zy aan den Straal, en door eenig punt G de rechte EGH trekt, dan is het deel der raaklyn, 't welk dezelve affnydt, naamelyk B H, kleiner dan ae boig BG , doch het terfchilt daar mede zo veel te minder als .die boog kleiner is. Zie hier het tweede; Als men uit het zelfde punt G de rechte F G I trekt, zodanig dat DE gelyk zy aan den Straal, dan is het gedeelte der A 4 raak-



8 HISTORIE der
door welken de zyden van tweegelvkvormige Veelhoeken, de eene in en de andere om den Cirke! befchreeven, gegeeven zynde, men veel naauw^re Limeten van den Cirkel bepaalt, als door die Veelhoeken op de gewoone wyze behandeld, aen voorbeeld zal dit gezegde duidelyk doen blyken. ierwyl ArcHmeies zyne proportie van 7 tot 22 of van ico tot 314, flegts doormiddel zyner Veel' hoeken van 191 zyden vindt, komt Sneliius daar toe door twee Zeshoeken te gebruiken, en hv overtreft den ouden Meetkundige het dubbeld, als hy van twee Veelhoeken van 180 zyden gebruik mankt, hy ftaaft desgelyks de proportie van Ludolph met eenen Veelhoek, welke deezen laatften ilegts haif zo veel naauwkeurige Cyfferletteren vcortgebragt zou hebben. In dit Gefchrift van Sneliius, tot Tytel voerende Cyclometricus, zyn no^ veele andere merkwaardige zaaken; doch wy haasten ons om die voorwerpen over te Happen ten einde tot de g-oote ontdekkingen te komen,'wei ke voor de bevordering der Meetkunde zulke sze'. iukkige gevolgen gehad hebben.
I I I.
Eene van die ontdekkingen, en de eerde, welke de voorledene Eeuwe beroemd maakt, is die van de -Logarithmen, van die getallen welke, behalven het voordeel dat zy hebben van de langdradigheid en den omflag der rekeningen zeer te verkorten, van een zo uitgeftrekt gebruik zyn, zelfs tot in de
hoo-
raMyn BI gnoter dan de hoog BG. Maar het is ssmaklyk de grootte van de raaklyn B H te vinden, en Jen opzichte der tweede BI toont men aan, dat dezelve gelyk is aan de dubbelde Sinus van het derdendeel des ooogs meer eenmaal ds Tangens van dat derdendeel.Wanneer dus eenige boog gegeeven is, kan men de Limit, ten van zyne grootte zeer na vinden.



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. p
hooge Meetkunde. Deeze fraaije ontdekking Is het werk van den Baron Neper, een Schot (&), dien zy met recht vereeuwigt. Doch iaaten wy tot omflandigheden overgaan overëenkornltig het gewigt van dat onderwerp.
De Logarithmen zyn getallen, welke nevens die van de natuurlyke Piogresfie in eene Tafel geplaatst en zodanig zyn, dat telkens als men in de laatfte meetkundig-evenredige getallen neemt, de getallen welke in de Tafel der Logarithmen daar mede overeenkomen in eene telkunftige reden zyn. Laat ons van deeze eigenfchap gebruik maaken, zonder ons te bekommeren op wat wyze men tot het faamenftellen van die 'iafel gekomen is, en wy zuilen dan gemaklyk alle de voordeden, welke de Logarith* men zo nuttig en dierbaar voor de Wiskundigen maa* ken , daaruit zien voortvloeijen.
Wanneer men den vierden Term eener meetkunfT;ge Evenredigheid zoekt, vindt men dien door den tweeden met den derden Term te vermeenigynïdigen , en het Product door den eerden te deelen» Integendeel is in de telknnftige Evenredigheid de vierde Term gelyk aan de fom van den tweeden enderden , min den eerlten Term. Wanneer men derhalvtn tot zeer groote getallen eene vierde-evenre* dige moet vinden, heeft men flegts de Logarithmen van den tweeden en derden Term faamen ie tellen, en die des eerflen Terms van de fom af te trekken t het overblyvende zal de Logarithmus van den vierden Term zyn; zo dat men, dezelve in de Tafel opzoekende, het gezochte Product daarnevens zal vinden. Deeze verkortingen der rekening breiden zich uit tot de bloote vermeenigvuldigingen en deelingen; want niemand-is onbewust, dat wanneer men twee getallen faamen vermeenigvuldigt, zulks hec
zelf-
(b) John Neper, Baron van Merchiston in Schotland, ia ióiö overleden.
AS



W HISTORIEder
zelfde is als of men een regel van proportie maakte waar van de eèrfte Tvi de eenheid^S, en de middelftende beide getallen, welke te faamen vermeemgvuldigd moeten worden. Dus moet men de Logarithmen der te vermeenigvuldigen getallen faamentellen, en die der eenheid daarvan af?H Ler het overWyflbl zal de Lcgarnhmus vaJYet jfe zyn. In de Deeling fbat de deeler tot het deeltal als de eenheid tot het Quotic^ derhalven moet mea de Logarithmen van de eenheid en het deeinl f™. rnente len, en die des deeler. H dfbu3 rek ken, het overblyffel zal die van het QjZvtzyr Dit alles zal zelfs nog eenvoudiger zyïf, als men! de Tafel faarncnftellende, dezelve zodanig inrich" dat de Loganthmus van de eenheid o is, zo a s zulks in de gewoone Tafelen plaats heeft. Alsdïn fXta ^^«'gvuldigiog in eene eenvi;Udige °£
Ui I . m1" Lv£arithm*n v™ de te vermeenilvuldigen getallen, en de deeling in eene aftrekkilg dm Ltgmthmus van den deeier van die des defltaï veranderd worden : in beide gevallen zal h AG
nfnSrf^Van ^Product of oitiel zyn. De Worteltrekking, 0f de vorming üïï maS ten, wordt insgeiyks door de vinding dor Lo&arith. men zeer gemaklyic gemaakt: want de teeSiu. ^ een getal, by voorbeeld, is de derde der geduurd evenreaigen tot de eenheid en dat getal; en in '! algemeen is ;de magt n van een getal de geduurige evenredige tot de eenheid en dat getal, weK rang door n wordt aangewezen. Naardien derhalven óe Logarithmen der Meetkundig evenredige grootheden in eene Arithmetifcheproportie ftaan, en die van de eenheid nul is, zal de Logarithmus vtn het v,erkant het dubbeld van den Lo\ar«hZ des getals die van den teerling deszelfs drievoud, en emdelyk die van den Wortel » uit een getal de'/". garttlmus van dat getal, gedeeld door n t zyn. *>? «» ,lg 's de natuur der Logarithmen: thans m0e-
M W"dflg?1.op*at wy*e A^er dezelve voor de eerfte maal befchouwde. Behalfen dat onze Hi.
fto.'



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. i1
ilorie zulks vordert, doen wy dit des te liever, om dat 'er tusfchen de denkbeelden van den Schotfchen Meetkundige, en de wyze op welke Newton zyne rekening der Fluxien befchouwd heeft, eene zekere overeenkomst gevonden wordt.
Laaten wy ons met Nep-.r een punt verbeelden, dat zich langs de onbepaalde lyn PAE (Fig. beweegt; met eene zodanig gemaatigde fnelheid, dat dezelve altoos evenredig zy tot den afftand van, dat punt tot den vasten eindpaal P. Deeze onderfrelling is gemaklyk te verltaan : het beweegend punt zal op eenen dubbelden afltand van P eene dubbelde fnelheid hebben; op eenen afftand, die de helft minder is, zal die fnelheid flegts de helft van de eerfte zyn, enz. Dus zal die fnelheid iri ieder punt van de lyn PAE niet dezelfde zyn ,maar altoos grooter of kleiner, naar reden dat het beweegerid punt verder van, of nader by P zal zyn. Nu is het gemaklyk te bewyzen , dat zo PA, PB, PC in eene geduurige Progiesfte zyn, AB, BC; CD daarin insgelyks zuilen zyn, en dnt die ruimtens in gelyke tyden doorgeloopen zullen worden.
Laaten wyth;>nsonderftellen,dat Vdefnelheidvan hetbcweegendpuntzy, wanneer hetinAis, en dat, uit kracht van die fnelheid, zonder vermeerdering noch vermindering behouden wordende, een ander beweeg. 1'yk punt, uit het punt h' beginnende, de ruimte A' B'o'p de onbepaalde lyn f' A F'<doorgeloopen hadt, in den zelfden tyd als het eerfte A B heeft doorgeloopen. Op die wyze zullen wy twee punten hebben, waar van het eene met eéne geduurig verfn'elde beweeging van A naar E, of met ecr>e geduurig vertraagde beweeging van A naar e, en bet andere met eene gelykmaatige beweeging van A' naar E', of e, gevoerd zal worden. Terwyl dus AB, BC, CO, DE, enz. geduurig evenre* digzyn, zullen A'B', B'C', C D', enz.gelykzyn, en terwyl PB. PC, PD, PE, enz. meetkunftig aangroeijen, Zullen A B', A'C', AT)', enz. telkunftig aangroeijen. Derhalven zullen A'B", A'C', enz;.
de



ia HISTORIE der
de Logarithmen van PB, PC. enz. respeöivelvk zyn. Jiindelyk zal de Logarithmus van eene naar welgevallen genomene grootheid PS de lyn A'S zynwe Jee van den eindpaal A met eene gelvkmaatige beweeging wordt doorgeloopen , terwyl Ai> '"et eene verfnelde beweeging doorgeloopen is. Uit dat denkbeeld is hes gemaklyk alle de eigenichappen der Logarithmen af te leiden; doch alzo deeze omftandigheid, welke den Meetkundigen van groot belang, en zelfs voor hun , welke naar iets meer dan het oppervlakkige van deeze Hierna haaken, noodzaakelyk is, misfehien and«. re Leezcrs verveelen zoude, wvzen wy dezclven iiaar eene Noot, welke de laatften kunnen overHaan. (c)
De
CO Zie hier eenige dtr eigenfehappen v*n de Loei. mimen, cp de wyze van'Neper verklaard J. Als A en A/ de eindpaalen zyn, van welken de beide beweegende punten, het eene met eene verfnelde of vertraagdebeVegirig, bet andere met eene gelyfcoiaatige beweeein^ te gelyk hunner, loep beginnen, za! de Logarithmus van Pa nul zyn. Want wanneer het eerfte beweegentt punt in A is, heelt het tweede nog geen ruimte doorgeloopen.
II. Als de Logarithmen der grootheden PA, Pi] PC enz. pofixif genomen worden, zullen die der afr.ee'mendê grootheden Vb Vc <:nz. al, hibi, hiel, enz. neTJif zyn. "Want zullen A/C/, A/B/, o, A/6/, hl cl in eene Jlritnmetijche Progtesfic zyn, terwyl PC, PB, PA Vb Tc, enz. Ctimetriich evenredig zyn, moeten hl bi ''hu) negatif genomen worden. Indien dus de Loearithmus van de eenheid of P A nul is , en die der natuuilyke getallen pojitif Zyn, zullen die der breuken, kleiner dan de eenheid, negatif zyn. De Logarithmus van i Zal de zelfde zy n als die van 2, doch negatif genomen; die van ï de zelfde als die van 3, enz. Vooris is 'er niets dat ons Jiindert, om de Logarithmen der afneemende getallen, en kleiner dan P A, pofitif te maaken; doch alsdan zouden die der grootere getallen dan PA negatif Zyn.
III. Her is openbaar, dat de Logarithmus van eenige reden, by voorbeeld, van PC tot PB, die van PC min
die



WI S.K U N D E. III. Deel. I. Boek. 13
De wyze op welke Neper zich een denkbeeld van zyne Logarithmen maakt, en hunne teeling bel'chryft,
ftrekt
die van PB, dat is te zeggen, BC of AB, zal zyn." •Maar de Logarithmus der proportie van P E tot P B, die het dnedubt-eld van de eerfte is, zal om de zelfde reden B E of 3 A B zyn, hetgeen aantoont, dat de Logarithmen de maaien der redens zyn, of dat zy zo veel maal en op gelyke wyze veelvoudigen van malkander zyn, als de redens, welke met dezelve overeenltemmen, met malkander vermeenigvuldisd zyn. Daar uit ontleenen zy den naam van Logarithmen, als willende zeg. gen , qui tiumerani rationem.
IV. -Et kunnen zo veel Stelfels van Logarithmen zyn, als men aan de reden van PA tot PB, en tot A/ W, ver. fchillende Waarden kan toecigenen. Want zo PA=i, P B ZZ 10 , en A/B/ZZ 1, f 1. eooooo, is, zal men onze gewoone Logarithmen der Tafeten van Brigzs , Vlacq, enz hebben. 'Doch piets Verpligt ons tot die onderftel" iingj men zou A/B/ zodanige andere Waarde , als men begeert, kunnen toeëiüenen, en alsdan zouden alle de Logarithmen van dat nieuwe Steifel tot de overëenkotnftige Logarithmen van het vooiige zyn, als die waarde tot de andere.
V, De'wyze op welke Neper zyne Logarithmen berekende, volgt natuurlyk uit de wyze op welke hy zich van dezelven een denkbeeld maakte. Om de ruimte A/B/, welke met eene gelykinaatige bcveeging wordt doorgeloopen, ttrwy! AB niet eene verfnelde beweeging doorgeloopen was, ie vinden, onderftelde hy tusfehen PA en PB een 20 groot getal geduurige evenredigen, dat het verfchil , 't welk Pa, de maalte by PA, grooter dan deeze laatfte is, naamelyk Aa, als oneindig klein was, of uitgedrukt door een tienaeeligen bteuk, als o. 0000001. Nu kan in dit geval de ruimte Aa aangemerkt worden, als met eene gelykmaatige beweeging doorgeloopen zynde, zo dat Neper a A zelve voor den Logarithmus van Pa nam.Voort* vondt hy door rekening, dac tusfehen PA, de eenheid en PB, 6031472 van die geduurige evenredigen waren, en dat 'er tusfehen I en to, 22025850 gevonden werden. Derhalven vtrmeenigvuldigde by, volgens de boven ge.
mei-



4 HISTORIE der
Rrekt hem tot een waarborg tegen de, befchuldigintï van niets anders gedaan te hebben dan het denkbeeld van een Duiden Arithnuticus (Michiel Stife/s) die dezelve in 't midden der voorgaande eeuwe ten hal ven ontdekt hadt, tot volkomenheid te brcneen.
In de daad, deeze Wiskundige véreefykt in zvne Anthmetua jntegra de beide Progresfien, naamelvk de Geomeirifche en de Arithmetilche , zo als men hier onder ziet,
i. 2. 4. 8. 16. 32. 64- 128. &c. o. 1. 2. 3. 4. 5. 0. 7. &c.
en maakt de grondftellige aanmerking van de Theorie der Logarithmen; naatnelyfc, dat zo men twee Termen der Arithmetifehe P>ogresfie faamentelt, als 2 en 5, welke met 4 cn 32 overeenftemTien , daar uic eene nieuwe Term zal voortkomen , als hier 7, welke
met
melde Theorie, Aa of c. ocosoot met de getallen 6vuav>
««f^ï5850' 6,1 VWE,We8 °-69^472 voor denLogaritf. «ar van 2, en 2.3025850 voor dien van 10.
Maar er is geen noodzakelykheid on A a voor den Z*. ganllmus der reden van PA tót Pa te neemen. lefrr Multiplex of Submultiplex van A* zou insgelyks dien L^a. mW kunnen zyn, en alsdan zouden alle andere Lo™. ntkmennm evenredigheid vermeerderd of verminderd wor. den. Onze gewoone Tafelen, by voorbeeld, zvn se-
w n? ^ ft' °! het a 434209+?. deel genomen badt. Want, dee23 ondsrlUling do3ndo, onnn >et men de eennetu voor dei: Ltgirith nus van 10. Dus zyn onze gewoone Logarithmen tot die van mpsr ia de reden van o. 4342994- tot 1, of, dat he: zelfde is, in die van 1 tot 2- 3025850; als men derhalveu de ge woone Logarithmen met 2. 3025850 vermenigvuldigt, brengt men dezelve over tot die van Neper, of in tegendeel deeze laatden door o.*,Mi lï enu2-,de8le;lde» of met o. 431-2994 vermeenig. vuldigende, bekoau man de Logaritmen, waarna wjr doorgaans gebruik maaken, *



WISKUNDE. III. Deel. I- Boek. 15
met het product van 4 en 32 zal overëenftemmen. Maar deeze aanmerking bleef onvruchtbaar onder zyne handen, en fchoon hy zegt, dat hy ongaerne verfcheide andere eigenfchappen van die vergeieekene Progresfien voorbygaat, zou het echter zeer ongegrond zyn, als men hem een uitvoeriger denkbeeld van de Logarithmen wilde toeëigenen.
KepIer zegt ook, dat Joost Byrge, een der Sterrekundigen van den Landgraaf van Hes/en, eertyds de Logarithmen uitgevonden hadt. Doch het zy dat Byrge waarlyk dat denkbeeld gehad hebbe, of dat Kepler, door eene nationaale zucht aangevuurd, in de Schriften van dien Wiskundigen meerder gezien hebbe, dan 'er weezenlyk in gevonden werdt, doet zulks echter geen het minfte nadeel aan Neper. Want men weet, volgens het getuigenis smKepler zeiven, dat die ontdekking nooit het licht zag. Wat aangaat Longomontanus, wien men insgelyks de vinding der Logarithmen heeft toegefchreeven (d), zulks is zonder eenigen grond. Naardien deeze Sterrekundige, die eerst in den Jaare 1647 is overleeden, nooit heeft goedgevonden zynerechten op dezelve tedoen gelden, moet zulks een toereikend bewys zyn, dat hy nooit geen aanfpraakop dezelve hadt.
Neper gaf in 1614 zyne ontdekking in't licht, in zyn tioek getyteld : Mirifici logarithmorum canonis defcriptio. Hy gaf in hetzelve eene Tafel van de Logarithmen der Sinuffen vooralle de graaden en minuten van het Quadranf, maar dezelve hadt eenige byzonderbeden, waar in zy van diegeenen verfchilde , welke wy hedendaags gebruiken. Vooreerst hadt Neper, in aanmerking neemende, dat de Sinus lotus doorgaans één der Termen van de proportie was, tot welke de oplosfingen der Driehoeken gebragt werüen, den Logarithmus van de Sinus totus gelyk aan o gemaakt, ten einde in alle die gevallen
ee«
00 Suppl. au Diü. de Bayle, par M. de Chavfepii. op het weerd Henri Briggs.



16 "HISTORIE d|e r "3
eene bewerking te vermyden. Ten tweeden verfchitden zyne Logarithmen van die geenen, welke onze gewoone Tafelen opleeveren , daar in , dac in deeze Iaatflen de Logarithmus van 10 de eenheid of i.booooois, en in die van Neper 2.3025:550 W3s; hetgeen een gevolg was van zyne wyze om dezelve faamen te ftel/en, welke wyin de voorgaande noot hebben voorgedragen. Maar uit die beide onderftellingen vloeiden eenige zwaarigheden, wel« ke hem in 't oog liepen, en kort daar na noopten om zyne Logarithmen in eene andere Ichikking te brengen. Hy draagt dezelve voor in een Gefchrift, na zynen dood uitgegeeven, tot tytel voerende, Appendix de logarithinotu n prajlantiori u/u, 't welk zyn Zoon , eene nieuwe Editie van hec Werk leeverende, in 't licht gaf. Neper onderllek in dat appendix, zo als wy hedendaags doen, den Logarithmus van de eenheid gelyk aan o, die van'.10 gelyk aan i.co;ooo, die van 100 gelyk aan a, ocooco, die van 1000 gelyk aan '3. 000000, en zo vervolgens. Daar door is de Logarithmus van de Sinus totus, dien men onderftek'de eenheid te zyn, gevolgd van tien'nullen, 10,000000. Deeze nieuwe onderfleliing ruimt alle zwaarigheden van de eerfte uit den weg, en verccnigt alle de voordeden der. zelve met verfcheide andere, welke ons bellek niet toelaat hier voor te dragen. Alle de Logarithmen der Sinus/en, Tangenten en Secanten zyn pofnif, en 'er zyn geen negative Logarithmen., als die der eigenlyke breuken , welke kleiner dan de eenheid zyn; wat aangaat de dikwerf voorkomende optelling en aftrekking des Logarithmus van de Sinus totus, dezelve heeft niets dat eenigen arbeid vordert, vermits de Logarithmus, behalyen de eerfte cyfF^rletter, die zelfs de eenheid is, geheel uit nullen is faamengefteld. Men heeft echter de fchikking der Logarithmen van Neper voor de natuurlyke getallen niet t'eenemaal verworpen. Zy hebben hun gebruik in de hooge Meetkunde: want zy verbeelden de Inhouden van den gelykzydigen Hyperbool tusfehen de
/Jfytnp.



WISKUNDE. IIL Deel.il. Bock 17
AJymptoten, warneer de eenheid de waarde der zyüe van het ingelchreeven Vierkant is, om die reden worden dezelve Hyperbolifclie Logarithmen genaamd. Niet dat de andere Logaritmen niet insgelyks Hyperbolijclie Inhouden verbeelden, maar dezelve behooren tot Hyperbolen tusfehen Afymptoten, die fchuins tot malkander zyn, en de geiykzydige Llyperbool, als zynde onder alle anderen de voornaainiïe , heeft aan de Logarithmen van Neptr den naam gegeeven. Wy bepaalen ons hier tot deeze weinige woorden over de overeenkomst der Logarithmen met de Hyperbolifche Inhouden, om dat wy elders gelegenheid zullen hebben dezelve omfiandiger te verklaaren.
Neperhadt naauwlyks het genoegen getuiretezyn van de toejuiching met welke zyne ontdekking van de Wiskundigen werdt ontfangen, en den tyd om dezelve naar zynen wenfeh te volmaaken. Hy ItierF in 1618; maar hy hadt in Henry Briggs een opvolger, die volmaaktelyk zyne oogmerken wist te ontdekken. Neper hadt niet zodra zyn Werk in 't licht gegeeven, of deeze Hoogleeraar van Oxford kwam hem te Edimburg bezoeken , om met hem over die ftoffe te fprecken. Hy deedt zelfs verfcheide Reizen derwaarts, en was aldaar toen Neper ftierf. Deeze maakte hem zyn gemaakt ontwerp bekend , om de fchikking van zyne Logdrithmen te veranderen, en prees hem de uitvoering daarvan met nadruk aan. Briggs bemerkte derzelver nuttigheid, en draalde niet om de hand aan 't werk te flaaU' Hy endernarn, volgens dit nieuw ontwerp, twee uitvoerige Tafelen , waarvan de eene alle de Logarithmen der natuurlyke getallen van de eenheid tot ioo:>oo moest bevatten, en de andere die der Sinuffm en Tangenten voor alle do graaden en hondera ite deelen van graaden de* Qaadrants Deeze yverige Rekenaar voerde een gedeelte vin die ontwerpen uit. .ly gaf in 1624 te Londen in 't licht de Logarithmen der natuur'yke getallen van de eenheid tot aooo®, en van 90003 tot 101003. Zy zyn in dezeire tot 14 cyfferletteren berekend. Dit Werk, B tot



18 HISTORIE de r£2$!
tot tytel voerende Aritlvieticalogarithmica, (in-fol.\ bevat ook eene geleerde inleiding, waar in éeTheo. rie en het gebruik van die getallen breedvoerig verklaard worden. Wat de tweede lafel betreft, Briggs hadt dezelve vry ver voortgezet, maar hy werdt. van den dood verrascht, en daardoor verhinderd dezelve te voltooijen. Henry Gellibrand floeg 'er de laatfte hand aan, en ^af dezelve in 1630 in 't licht, onder den Tytel van Trieonomeiria Britannica (in.fol.)
De vinding der Logarithmen werdt op het Vast. land niet minder greetig ontfangen. Kepkr befpeurde het eerst de gantfcbe waarde van dezelve. Hy gaf daar over in 1624. een Werk in 't hcht e)en vermits hv toen aan de faamenftelüng vim zy' ne Rudolphinifche Tafelen arbeidde, maakte hy jQ dezelve gebruik van de Logarithmifche rekening. Benjamin Urfmus, Wiskundige van den Keurvorst van Brandenburg, berekende Tafelen van Smu[Jen met haare Logarithmen, voor alle de aanwaslt nde boogen van 10 tot loSecunden, tot het" GW (trant. Doch hy verbondt zich, even a!s Kepter iaan het eerüe denkbeeld van den Schotfchen Wis' kundige; hetgeen thans zynen arbeid weinig nuttin maakt. Adriaan Flacq, wiens kleine Tafelen ver^ fcheide maaien herdrukt zyn, is naast Neper en Briggs diegeen, aan wien wy in dat vak de meeste verpligting hebben. Niemand onderlteunde hen met zo veel yver, als deeze Rekenaar der Nederlanden. Door een lixemplaar van 't Werk van Briggs van de ontdekking van Ntper ondeircht begon hy aanflonds naar het zelfde ontwerp te arbeiden, en hetgeen de laatfle onvrlkomen gelaaten hadt aan te vullen. Hy vulde de opening, die tusfehen xoooo en ijoooo gevonden werdt s
ge-
(e) Chilias Ugaritlimorum, cum ipjortm dem. £? tijm Lil zii 1C24. Suypitw. ehil. logarith. Ibid. 1025. ïn-^to» Deeze Werken zyn thans geheel nutteloos.



WISKUNDE. Ul.%Deel.:i, Boek. 19
gelyk Briggs hem hidt aanbevolen, en berekende de Logarithmen voor de Sinujfen, Tangenten en Secanten van her. Oaadrant, door dezelve tot to cyfferletteren te orcngen. Deeze gewigtige byvoeging rot het Werk van Briggs verfcbeen in den nieuwen Druk der Arithmelica Iogarithnica , welke Vluq in ióy-5 in 't licht gaf. Hy lier het echter daar niet by blyven: hy wikkelde zich weldra in eene gewigtiger onderneeming, door zyne Tafelen tot de Sinujjen, Tangenten, en Secanten, en haare Logarithmen van 10 tot iu Secunden uit tö breiden. Deeze nieuwe eu uitvoerige Tafelenwerden, nevens de Logarithmen der natuurlyke getallen van de eenheid tot 20000, in 1633 in'c licht gegeeven. Sedert dien tyd hebben eene meenigte Autheuren, onder andjren die, welke over de Driehoeksmeeting gelciireeven hebben , over de Logarithmen gehanaeld , en Tafelen van dezelve gegeeven. Het zou eenen langwyligen en vercinetigen arbeid zyn dezelve alle te noemen: waarom ik onnoodig oordeele daartoe over te gaan. Het is gemaklyk te befpeuren, dat de wee7enlyke waarde van zodanige. Werken in de naauwkeuiigheid en eene volmaakte zuiverheid van feilen beftaat: De Tafelen welke, wegens de uitgebreidheid en die zo noodige hoedanigheden, thans het meest beroemd zyn, zyn die van Gardmer in-qto ) [Z.o«don 174a., en Avignon 1770]. Die van Sherwin (in-Oct.), te London in 1705 gedrukt, verdienen, uit hooide der voordeeleu, welke zy voor de berekening der Logarithmen van de grootlle getallen toebrengen, desgciyks aangepreezen te worden. By gebrek van die Tafelen zyn die van den Heer Deparcieux diegeenen , welke, onzes. bedunkens, het meest de goedkeuring der Scerre- en Driehoeksmeetkundigen verdienen.
De vinding der Logarithmen heeft aan eene Kromme den oorfprong gegeeven, welke federt dien tyd onder de Meetkundigen berucht is geweest, en welke men de Logarithmijche Lyn (Logarithmi. Ba ca)



se. HISTORIE der
ca) noemt: Zie hier derzelver natuur. Laat in de punten A, B, £, D, enz. (Fig. op ge]yke afltandcn, de Perpendiculairs ha, Bb, Cr, Ud enz. in eene geduurige Geometrifche proportie op'gericht worden: dan is de kromme, welke door de einden van alle die evenredigen , en door die van alle de tusfch-nftaande oneindig in getal, welke men daar tusfehen zou kunnen voegen, gaat, de Lyn waarvan wy fpreeken. Het is klaarbiyklyk, dat die kromme door de deelen van haaren As de Logarithmen zal voorfrellen: als Aa, bv voorbeeld, de eenheid, FfzZ2, Ggr:«,, en de Zogarithmus der eenheid nul is, zullen AF, AG de Logarithmen van 2, 3, enz., en A 13, AC, «D enz die van Bb, Cc, Dd, enz. zyn; desgeiyk'3 zullen AO, AP de Logarithmen der getallen zyn welke door Oo, Pp, enz., die kleiner dan de eenheid zyn, verbeeld worden; derhalven zullen die Logarithmen negatif zyn. Want de Abfciffm aan den kant van G pofitif genomen zynde, worden dezelve aan den tegenövergeftelden kant nis neea* tif befchouwd. Met eeifle denkbeeld van deeze Kromme wordt, zo ik ergens geleezen heb, aan Ldmund Gunther, een Lngelfch Wiskundige en tydgenoot van Briggs, toegelchreeven; dcch ik heb zyn gefchrift niet kunnen bekomen , om te weeten welk gebruik hy daarvan maakte. Dezelve heeft de weetgierigheid der hedendaagfche ^na/i/ïe» opgewekt, welke 'er zeer merkwaardige eigenfehappen in ontdekt hebben, by voorbeeld, dat haare Subtangens eene ftandvastige lyn is, dat is te zeggen, dat, op welke plaats dezelve ook geraakt wordt, de ruimte tusfehen de plaats, alwaar de Raaklyn den As ontmoet, en de Ordinaat, uit het raakpunt, als Gi of A k, getrokken, de zelfde is; dat de ruimte, tot in 't oneindige verlengd aan den kant, alwaar zy haar Afymptotum nadert", e;rdi» is enz. De befchouwing van deeze Kromme verfpreidt een groot licht over de natuur en eigenfehapper der Logarithmen. Om die reden heeft de Heer Kei!lv
van



WISKUNDE. III. Deel. li Boek. 2ï
van den weg, welke de Schryvers over die Theorie doorglans gevolgd hebben, afwykende, achter zyne uitgave der lieginfelen van Euclides eene kleine Verhandeling gevoegd , tot Tytel voerende : de .Nat urd & Arithmeticd logarithmorum, waar in hy de eigenschappen van die getallen verklaart door middel van de Logatithmifche Lyn, welke hy ook tot xle oplosfing van eenige verraaaklvke Voorftellen gebruikt. Wat aangaat de faamenftelling der Logariihmen, die langs den gewoonen weg zo veel arbeids vordert, dezelve is door de nieuwe rekenin* gen ongemeen gemaklyk gemaakt Meetkundigen van den eerften rang, de Heeren Gregori, Mercator, Newton, Halley, hebben verfcheide meer en meer gemaklyke handelwyzen om dezelve te vinden opgegeeven- Voomaamelyk heeft de Heer Halley tot dat einde ('franf. phit. ióorO eene zo faamenloopende reeks gegeeven, dat een zeer klein getal dennen genoegzaam is om de Logarithmen van Neper tot de twintigfte cyfferletter te vinden. Wy verzoeken den Leezer de aangehaalde plaats na te zien. Doch laat ons weder tot Neper overgaan.
't Is voomaamelyk uit de ontdekking der Logarithmen dat Neper zynen roem ontleent: wy oordeelen ecliter niet met ftilzwygen te moeten voorbygaan eenige andere vindingen, welke men hemverïchuldigdis, fclioon dezelve minder voortreffelyk, en van eene min algemeene nuttigheid zyn. Zodanige zyn verfcheide nieuwe wyzen van opïosfing, met het oogmerk uitgedacht orn de Klootfche Driehoeksmeeting eenvoudiger te maaken. Onder die vinding-.m befpeuren wy inzonderheid eenen Kegel voor de oplo:fi.<ig der rechthoekige Klootfche Driehoeken , die, naar her oordeel van alle degeenen welke denzelven kennen, ongemeen kundig en gemaklyk is. In de daad, zy, die de Klootfche Driehoeksmeeting oefFenen , weeten, dat men zestien verfehillende gevallen over de rechthoekige Driehoeken kan voorftellen, en dat van die zestien gevallen'er tenminften twaalf zyn, welkers oplosfing B 3 niet



a. HISTORIE der
niet gemakiyk gevonden wordt; zo dat de Autheulen, welke pvtr dat onderwerp gefchreeven hebben , om het geheugen te hulp te komen, genoodzaakt zyn geworden daar van eene Tafel te maaken, welke men des noods kan nazien. De Regel van Neper brengt alle die gevallen tot eenen enkelen Regel in twee deelen , welke, wegens deszelfs keurigheid, z< er gefch'kt is om diep in 't geheugen gi drukt te worden. Ook blyven de Engelfche Drienoeksmeerkundigen niet in gebreke een veelvuldig gebruik daarvan te maaken , en ik kan myne verwondering niet ontveinzen, da: in verfcheide Franfche Verhandelingen over de Drieboeksmeeting , welke federt weinig jaaren in 't licht gekomen zyn, en daar benevens t'eenemaal de goedkeuring van 't Publiek verdienen, geen fpoor van dien Regel gevonden wordt. Naardien deeze Regel in de Curfus Mathematicus van Wciff , een Boek dat genoegzaam in verfcheide handen is, zeer wel verklaard wordt r ƒ ), zullen wy ons vergenoegen met de •Driehoeksmeetkundigen naar dat Werk te wyzen.
Men heeft nog een gedenkteken van het vernuft van Neper in zyne Rhabdolcgia, Stok-of StaafjerRektning (g), een V\ erk dat by in 1617 in 't licht gaf. fïet voorwerp dat hy daar in bedoeld heeft l is geweest om de vermeenigvuldieingen en deelingen der groo'e getallen op eene andere wyze als door de Loganihmen gemaklyk te maaken. JBy voert
zulks
(ƒ) De Heer Wauduit vindt echter goed te zeggen, dat de Heer fVolff in 2yue Curfus den Regel van Keper verminkt en vervalfcht heeft (Principes (VAfironomie Sp/iérique, Preface p. vm.) Vertaaler.
(g) De Heer Sauslain heeft ir. eenige Hukken de ftaaf. jes van Keper vtite:erd, er. daar over eene Memorie aan de Komt glykeAcaritmie der Weetenfchappen ingeleevtrd, die dezelve waardig gtöcrdeeld beeft, dat in haare Hiflorie csar van aeking gedain weidt. (Zie Mm. de l'Aead. J73S.)



WISKUNDE. III. Deel. I Boek. 23
zulks uit door middel van zekere kleine Stokjes of Staafjes, welke negen vierkanie ruiten hebben, die door eenen Diagonaal, van de linker- naar de rechterhand, en vanboven naar beneden getrokken, in tweeën gedeeld zyn. In deeze ruiten zyn achtervolgens gefchteeven de negen veelvoudigen van het eerfte getal, dat aan het hoofd van ieder ftaafje flaat, ftaande de cyfferletter der tienen in den beredenften driehoek. Deeze toeftel gemaakt zynde, is 'er byna niets anders te doen, als die ftaafjes nevens elkander zodanig te fchikken, dat zy het te vertneenigvuldigen getal aan 't hoofd hebben; en men vindt akdan in de Iwiiontaale ryën elk der gedeeltelyke Producten byna geheel gemaakt, zo dat men flegts de moeite Heeft te doen dezelve over te fehryven en faamen te telh n, om het geheele Product te bekomen Deeze vinding is voor de vermeeniiivuldiginü vry gemaklyk, doch het is noodig aan te merken, dat dezelve de deeling niet merkelyk verkort,-en men moet dezelve byna niet anders dan als eene Wiskundige Vermaaklykheid aanzien, ik twyffele zeer -of ooit eem'g Rekenaar dezelve anders als tot eene vermaaklyke uitfpanning gebruikt heeft.
IV.
Terwyl Neper zyne kunflige vinding der Logarithmen in fingeland in 't licht bragt, gaf Duitschland •de geboorte aan de eerfte zaaden der nieuwe Meetkunde, welke men eenige jaaren daar na onder de handen van Cavallerizag ontluiken. Wy vinden dezelve in een Werk van Kepler. Schoon deeze beroemde man zich niet als in 't voorbygaan op de Meetkunde heeft toegelegd , en om die reden geen merkwaardige ontdekkingen in dezelve gedaan heeft, kan men echter niet ontkennen, dat hy in hetzelve eenige fpranken van dat vernuft getoond heeft, dat men in zyne andere gefchriften ziet uitblinken. Zyne Stereometria doliorum (Lintz 1615. in-fol.) vertoont ons inzichten, welke op die omwenteling, die de Meetkunde B 4 on*



24 HISTORIE der
ondergaan heeft, eenen grooten invloed fchynen gehad te hebben. Dy dorst het eerst in de gewoone taal den naam en het denkbeeld van 't oneindige invoeren. De cirkel is, zegt hy, flegts het faamcnftcl van een onëindig getal Driehoeken , wier toppen in het middelpunt zyn, en wier Bajen den omtrek uitmaaken. De Kegel (Conus) is uit een onëindig getal Piramiden faamengefleld , welke op onëindig kleine Driehoeken van zynen cirkelronden Bafis ftaan , en hunnen rop met dien van den Kegel gemeen hebben, terwyl de Cylinder van gelyke Bafis fn hoogte faamengefteid is uit een gelyk getal kleine Prismata, w elke de zelfde Bafen en gelyke hoogten als de Cylinder hebben. Met behulp van deeze denkbeelden , onder welke zonder twyffel deeze grootheden zich aan de Meetkundigen der aloudheid, vertoonden , doch welke zy niet dorften gebruiken , uit vreeze van de naauwgezetheid hunner tydgenooten te kwetfen; met behulp van die denkbeelden, zeg ik, bewees Kepler op eene rechtftreekfe en zeer duidelyke wyze, de waarheden, welke by de Ouden zulke zonderlinge omwegen, die zo bezwaarlyk te volgen waren, noodig hadden.
Kepler opende in dat zelfde Boek een ruim veld van befpiegelingen. Daar zyne doeleindens zich verder uitltrekten dan die van Archimedes, vormde hy eene meenïgte nieuwe Lighaamen, waar van hy den Inhoud zocht, en welke hy den Meetkundigen, als een voorwerp hunner befchouwing waardig, aanboodt. Jrchimedes hadt zyne Conoïlen en Sphenïdtn op geene andere wyze gevormd , als door de Kegelfneeden om haaren As te doen draaijen; nog hadt hy geen acht geflagen op die welke de Hyperbool, door om zynen toegevoegden As te 'draaijen , zou voortbrengen. Kepler Het de zyne ontflann uit de omwenteling der Kegelfneeden om eenigen Diameter, om haaren Ordinaat, om haare Raaklyn ;n den top, ol eindelyk om een Lyn buiten de Kromme genomen. De oprekening gedaan zynde, vondt hy 'er negentig, behalven diegeenen
wel*



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. aj
welke Archimedes befchouwd hadt, en gaf dezelven naamen , welke meerendeels van hunne overeenkomst met fommige onzer vruchten ontleend werden. Het ware beter geweest die benaamingen , als meest zeer na aan het kinderachtige grenzende, te verzwygen.
Het is waar, en wy mogen het niet ontveinzen, dat Kepler flegts de gemaklyklle van die Voorftellen oploste. Onder diegeenen waar uit hy zich gelukkig redt, is het eenige waar in eenige moeijelykheid plaats heeft, dat waar in het Lighaam , gevormd door een Segment des Cirkels of van eene Ellips, om een Pees draaijende , gemeeten moet worden. Hy ontwondt hetzelve in een ander Lighaam , hebbende de gedaante van een Wig, waar van wy op deeze wyze een denkbeeld zullen geeven. Men verbeelde zich op het voorgcfteldc Segment een rechten Cylinder, en dat deeze Cylinder gelneeden worde door een Vlak, gaande door de pees van het Segment,' zodanig dat de pyl DE (Fig. 4.) tot de hoogte CE zy, als de ftraal tot den omtrek. Hier in is het dat Kepler eene handel wyze gebruikte, welke zeer veel overeenkomst hadt met de Leerwyze der Ondeelbaaren (indivifibilia). Hy bewees de gelykheid van dat Lighaam met dat, 't welk door her Segment, om deszelfs As draaijende, gevormd werdt, om reden dat, wanneer men beiden door een zelfde Vlak, perpendiculair op den gemeenen As, fnydt, de cirkelronde fneede des eenen altoos gelyk is aan den Driehoek, welke de fneede van het andere is: dit beweezen zynde, om alsdan dit laatfle Lighaam te vinden, onderlrelde hy , dat hetzelve het bovenfle deel was van een ander, dat op de zelfde wyze op den halven-Cirkel of de halve Ellips was gevormd, en bekend was als aan den Kloot (Sphera) of de Spheroïde gelyk zynde. Nu is het gemaklyk te zien, dat men, om het Lighaam ACB 5') te verkrygen, van het geheel FCH moet B 5 af"



26
HISTORIE der
aftrekken, 1° tweemaal het Lighaam AFIa. dat gelyk is aan het Segment van den Kloot of Sphe. roïde, door het Segment Fal gemaakt, 2°. het rechtlynig Prifma A«JL*B, 30. het Prifma op den Bafis aeb, of A E B, welks hoogte is,
Wat belangt de andere Voorftellen , waartoe Kepler zich verleedigde, dezelve waren meerendeels voor de Meetkunde van zynen tyd te moeijelyk, zo dat men zich niet behoeft te verwonderen , dat hem dezelve mislukten: het is waar, dat men hem byna niet ontfchuldigen kan wegens de f orten van Ophsfingen, welke hy van verfcheide dier Voorftellen dacht te geeven, fchoon hy zich over dezelven niet verklaard heeft als een man, die van haare gegrondheid overreed was. By gebrek van eene directe Leerwyze, gebruikte hy zekere overëenftemmingcn, zekere redens van gelyk heid, die meer willekeurig dan in de natuur gegrond waren. Ook deedt hy eenige Meetkundigen tegen hem opflran. Een, onder anderen, genaamd /ücxinder Anderfon (h)t verweet hem, dat hy in de Meetkunde op eene zo wonderlyke wyze tewerk ging, en toonde aan, dat de waarfchynlykheden, die hy tot geleidfters genomen hadt, hem tot niets anders dan tot doolingen gebragt hadden-
Wy zullen het tweede deel van dat Werk van Kepler maar even aanroeren; hetzelve betreft de roeijing der Vaten, een onderwerp waar over hy vernuftige denkbeelden voordraagt. Inzonderheid vinden wy in hetzelve eene gelukk'ge aanmerking belangende de Voorftellen de maximis & minimis. Dezelve beftaat hier in, dat wanneer eene grootheid tot den term van haaren grootften aanwas gekomen is, of in tegendeel, dezelve in de nabyheid van dien term flegts by onmerkbaare trappen verandert. In deeze aanmerking is de grond van den
Re-
(g) Vinditice Archimed. jfiiff.



WISKUNDE, III. Deel. I. Boek. ?7
Regel de maximis £f minimis , welke in de hedendaagfche rekening gebruikt wordt, gemaklyk te zien.
V.
De Voordellen, door Kepler voorgedragen, fchynen eenen veel vermogenden prikkel geweest te zyn, welke de Meetkundigen noopte om zich nieuwe wegen te openen, langs welken zy tot de oplosfing konden geraaken; en misfchien hebben wy aan die Voordellen de vinding der beide beroemde Leerwyzen te danken, welke men omtrent 20 Jaa« ren daar na zag ten voorfchyn komen, naamelyk die van Guldinus, en die van Cavaikri. Dit getal Jaaren kan tegen onze gisfing geen zwaarigheid in den weg brengen. De voortbrengfelen der Letteren werden nog zo langzaam in Europa gemeen gemaakt, dat 'er weinig minder noodig was, om het Werk van Kepler aan het Publiek genoegzaam te doen kennen, cn om de Meetkundigen, waarvan wy ipreeken, in Haat te dellen, de L'eerwyzen , tot welker vinding hy gelegenheid gaf, te kunnen ontdekken en aan den 'dag te brengen.
Vóór dat wy tot de verklaaring der Leerwyze van Guldinus (/) overgaan, is het noodig zich eenige
voor-
(/} De Vader Cuhlimis werdt in 1577 te St. GaZ/gebooren, en hebbende den Proteftanfchen Godsdienst verlaa. ten, tradt hy in 1597 in de Order der Jefuiten, als Broeder of Waereldlyke Coadjutor. Doch zyne Overften, door de talenten, welke hy voor de Wiskunde toonde, getroffen zynde, zondt men hem, om dezelve aan te kweeken , naar Rome, alwaar hy de tVysbegeerte en de Wiskunde leeraarde. Hy onderwees dezelve ook teGrdtz en te Weenen. Behalven zyne Centro-Barica, waarvan de eerfte Boeken in 1635, en de overige in 1040 in 't licht kwamen, wederleide hy Calvifius over den Crego. riaanjchen Almanak, in een Werk, ten Tytel voerende:
Eten*



28 HISTORIE der
voorloopige kundigheden indachtig te maaken. De voornaamfte is , dat in elke Figuur een punt is , dat men Zwaarheids-middelpunt (Centrum gravitalis] noemt, zynde van zodanige natuur, dat, wanneer men zich verbeeldt , dat door die Figuur een As loopt welke door dat punt gaat, alle haare deelen rondöm dien As in evenwigt zullen blyven, en de Figuur den ftand zal behouden, dien men dezelve geeft Een der eigenfchappen van het zwaarheidsmiddelpunt, welke wy noodwendig nog in aanmerkirgbehooien te neemen, is dat zomen zich eenige lyn verbeeldt, buiten de Figuur getrokken, en dat die lyn als het fteunpunt of de As zy, rondöm welken die Figuur al vallende poogt te draaijen, het vermeenigvuldigde der geheele Figuur met den afftand van haar zwaarheids-middelpunt tot dien As, gelyk is aan de fom der producten van elk hiarer deelen met den afftand van haar zwaarheids - middelpunt, 't welk dien zelfden As eigen is. Zulks is klaarblyklyk uit de natuur van het zwaarheids-middelpunt. Want de geheele Figuur verëenigd, en tot haar zwaarheids- middelpunt als faamengedrongen zynde, zou trachten te draaijen met eene kracht, die als haare zwaarte, (of de grootheid der Figuur,) vermeenigvuldigd met den afitand van dat middelpunt tot het fteunpunt, zou zvn. Dit leeren de eenvoudigfte beginfelen der Mechmica. Maar de Figuur zelve oeffent eene kracht, welke de fom van alle de krachten haarer deelen is; en ieder van die krachten is het vermeenigvuldkjde van elk deel met den afftand van deszelfs zwaarheids-middelpunt, 't welk het fteunpunt eigen is; dus is de waarheid van het bovengemelde Voorftel openbaar.
De Theorie der zwaarheids-middelpunten van de vlakke Figuuren en Kromme Lynen is eenigermaate het voorportaal der Leerwyze van Guldinus, en wy zullen hem navolgen , door eerst van zyne nafpooringen over dat onderwerp te fpreeken. De
twee
Elenchi Calendarii Greg. refutatio. Hy is in 1643 over.eeden.



WISKUNDE. III. Deel. I- Boel. 39
twee eerfte Boeken van zyn Werk, tot tytel voerende: Centro-baryca , of de centra gravitatis, welke in 1635 in 't lichc kwamen, hebben tot onderwerp het bepaalen van die middelpunten in de Cirkelboogen, de Sectors en de Segmenten zo- van Cirkelen als Ellipfen. Wy behooren echter niet te ontveinzen , dat de meeste dier zaaken eenige Jaaren te vooren(in 1632) in 't licht gebragt waren door een Autheur van de zelfde Order, genaamd de V. de la Faille, in een Gefchrift tot Tytel voerende, De centro gravitatis partium circuit if ellipfis, theor. 40. Daar in toonde die Meetkundige, die zekerlyk lof verdient, hoewel op eene eenigermaate wydloopige wyze, de zwaarheids-middelpunten der verfchillende deelen van den Cirkel en de Ellips. Inzonderheid deedt hy daar in zien het verhard dat tusfehen die bepaaling en die van de quadratuur dier Klommen gevonden wordt, en hoe, een van beiden gegeeven zynde, de andere noodzaakelyk ook gegeeven is. Wat Guldinus aangaat, hy flaat eenen eenigermaate verfchillenden weg in, en breidt die Theorie verder uit.
De voornaamfte ontdekking, die het Werk van Guldinus lofwaardig maakt, beftaat in de toepasliog die hy van het zwaarheids-middelpunt maakt op de meeting der Figuuren , welke door omwenteling voortgebragt worden. Wy hebben reeds op eene andere plaats aangemerkt , dat Pappus die eigenfchap gekend, en flegts in eenigzins verfch'llende bewoordingen uitgedrukt hadt. De oude Meetkundige hadt gezegd, dat de Figuuren, door omwenteling voortgebragt, onder elkander waren in de faamengeftelde reden der teelende Figuuren , en der wegen van haare zwaarheids-middelpunten. Doch wy behoeven tevens aan te merken, dat die plaats van Pappus nog het licht niet gezien hadt, en allereerst in de Editie van dien Meetkundigen, in 't Jaar 1660 uitgekomen, gevonden werdt Het zou, myns bedunkens, enkel kwaadaardigheid zyn te gisfen , dat Guldinus dezelve gevonden hadt,
door



So HISTORIE der f$
mm
door eenig Handfchrifc van dien ouden Au t beur door tefnuffelen, alhoewel zyne ongefchiktheid om dat grond begin fel te betoogen zulks konde doen vermoeden. Wat 'er ook van zy , zie hier het grondftellig voordel van die Leerwyze: „ Iedere Figuur, zegt Guldinus, door de omwenteling van ,, eene Lyn of Oppervlakte. om eenen onbeweeg3, lyken As , gevormd , is het vermeenigvuldigde „ der teelende grootheid met den weg, welke haar 3, zwaarheids-middelpunt befchryft."" Wy zullen deezen Regel door eenige gemaklyke Voorbeelden verklaaren , wtarvan men het bewys door andere wegen ontdekt. Niemand is onbewust, dat de rechte Regel gevormd wordt door eenen rechthoekigen Driehoek, walke om een der zyden, die den rech. ten hoek bevatten, draait; mw men weet ook, dac het zwaarheids midJelnunt vaa dien Driehoek het derde-deel van den Bafis van dien As verwyderd is, en dienvolgens belchryft dezelve eenen omtrek, welke het derde-deel van den omtrek is, die het einde van den Bafis befchryfe. De Kegel zal derhalven, volgens Guldinus, het vermeenigvuldigde van den teeienden Driehoek mee het derde-deel van dien laatften omtrek zyn; waar uit men gemaklyk afleidt, dat dezelve het derde-deel van den Cylinder van gelyke Bafis en hoogte is. Men doet insgelyks door de Helling van het zwaarheids-middelpunt des hal ven-Cirkels zien, dat de Kloot, welken dezelve voortbrengt, door om den Diameter te draaijen, de ï van den Cylinder van gelyke Bafis en hoogte is, en dat haare oppervlakte gelyk is aan de kromme oppervlakte van dien Cylinder; dat de Parabolifche Conoï'ie de helft van den Cylinder van gelyke Bafis en ïoogte is, enz.
Guldinus doorliep aldus verfcheide reeds opgelos. te Vraagltukken, en zynen Regel op dezelve toepaffende, trichte hy die te bewyzen met die volfeatnene overëenlïeinming der Opiosfingen, die de* aelve voortbrengt, matdaouJe. Maar deeze waren flegts InAuctien, welke, hae guntlig ook, niec
vol*



WISKUNDE. III. Deel. II Boek. * 3r
voldoende zyn in de Meetkunde, waar in men het recht heeft zodanige bewyzen te vorderen, welke de toeftemming afperfen. Guldinus deedt , wel is waar, eenige poogingen om denzelven rechtltreeks te bewyzen, doch zulks mislukte hem; en hy hadt zonder twyfFel beter gedaan zich aan zyne Inductien te houden, dan eene redeneering als de volgende op te maaken, welke eenen Wiskundige zo weinig betaamde. Hy zeide, by voorbeeld, dat de afftand van het zwaarheids-middelpunt tot den As van omwenteling een midden hieldt tusfehen alle de afftanden der verfchillende deelen van de Figuur tot dien As; dat dit punt maar één was, en by gevolg, dat, zo één der punten van de Figuur het gemelde voorrecht moest genieten, het zwaarheids middelpunt in dat geval was. Dit toont aan, dat fomtyds in de ontdekkingen, zelfs in de Meetkundige, meer geluk dan fneeaigheid is ; en dit werdt Guldinus door Cavalleri . k) verweeten , geduurende eenen twist, welken zy, by gelegenheid der naauwkeungheid van de Leerwyze der Ondeelbaaren faamen hadden, in de daad het paste den Duitfchen Meetkundige weinig den Italiaanfchen aan te vallen, als zich aan verflapping in de Meetkunde fchuldig gemaakt hebbende. Ook hadt Cavalleri niet veel moeite zich te rechtvaerdigen, en, op zyne beurt van eene tegenbefchuldiging gebruik maakende, toonde hy aan, dat zodanig verwyt niet als op zyne tegenparty kon vallen: hy deedt nog meer: om te be« toogen, dat Guldinus over eene zwaarigheid geftruikeld hadt, die nitt groot genoeg was om eenen Meetkundige tegen te houden, gaf hy hem een zeer eenvoudig bewys van dat grondbeginfel. Hetzelve is in de daad flegts het gtvoig eener eigenfehap van het zwaarheids middelpunt, zo dat het te verwonderen is, dat Guldinus hetzelve niet ontdekt heeft. (I).
Ca.
(*) Exercit. Geom. Bon. 1647. Exer. I. 2. (O Het aanbelang van dit grondbeginfel noopt ons
hier



32 HISTORIE der
Cavalleri eigent de vinding van hetzelve toe aan een van zyne oude Leerlingen', genaamd Antonia Reccha, die, zo als hy 'er by voegt, hem hetzelve
hadt
hier het bewys van 't zelve te geeven, ten voordeele der Leezers, buiten wier bereik hetzelve mogt zyn. Als de Rechthoek Aa (Fig. 6.) rondöm den As G fl draait, zal dezelve klaarblyklyk eenen hollen Cylinder befchry. ven, wiens1 Inhoud het vermeenigvuldigde zal zyn van Aa, met den middelbaaren omtrek tusfehen die welke haare zyden om den As van omwenteling zullen befchryven, dat is te zeggen, met den omtrek welks draal D», de afftand van het .zwaarheids-middelpunt » tot dien As, is. Desgelyks zal het holle Lighaasi, doorliet Tarallelcgram Bb befchreeven , het vermeenigvuldigde zyn van Bb met den Omtrek, welken het zwaarheidsmiddelpunt /3 befchryfr. Liat S nu het zwaarheids-middelpunt der beide Rechthoeken Aa, Bb zyn, dan zal het vermeenigvuldigde van Aa-f-B£ met den afftand van S tot den As (door de eigenfehap van het zwaarheidsmiddelpunt) gelyk zyn aan de fom van het vermeenigvuldigde van A a met den afftand van » tot den As, meer dat van Bb met den afftand van /3 tot dien zelfden As. En neemende dienvolgens, in plaats der ftraa» len , deomtrekken, zal bet vermeenigvuldigde van Aa met den weg van het zwaarheids-middelpunt «, gelyk zyn aan het vermeenigvuldigde van Aa+B& mat den weg van het gemeen zwaarheids-middelpunt J. Zo men derhalven in of om eenige kromme Figuur (Fig. 7.) du Rechthoeken, als A, B, C, enz. bifciiryft, zal het Lighiani dat Z7 zullen befchryven, door om eenigen As te draaijen , gelyk zyn aan het vermeenigvuldigde van hun fom met den omtrek, welke hun gemeen zwaarheids-middelpunt befchryfr. Maar alhoewel deeze Rechthoeken tot in 't oneindige vermeerderd worden, zullen zy zich echter met de Figuur, en hun zwaarheids-middelpunt met dat van die Figuur verëenigen, Dus zal het vermeenigvuldigde der Figuur met den weg van haar zwaarheids-middelpunt gelyk zyn aan het Lighaam, 't welk dezelve in haare omwenteling befciryven zal.



Wiskunde, iii. Deel. i Boek. g$
hadt medegedeeld, lang vóór dat zyne tegenparty zyn Werk in 't licht gegeeven hadt.
Door zich van het grondbeginfel van Guldinus te bedienen, is het gemaklyk veele der Voordellen, welke Kepler voorgefteld hadt, op te losfen. Want io. de Quadtatuur des Cirkels onderfteld zynde, heeft men het zwaarheids-middelpunt van eenig Segment van eenen Cirkel of Ellips, als mede deszelfs grootte: by gevolg, als men dar. Seg? ment om deszelfs Pees, of om deszelfs Raaklyn, of eindelyk om eenige andere Lyn, doet draaijen, zal men en de grootheid der teelende Figuur, en den weg , die haar zwaarheids - middelpunt heeft doorgeloopen , bekomen : het voortgebragt Lighaam zal derhalven niet onbekend meer zyn. Het zal eveneens gelegen zyn met de oppervlakte, gevormd door eenen Cirkelboog , op eenigen As draaijende: men heeft haare grootte en den ftand van haar zwaarheids-middelpunt bekend, by gevolg zal men de beide Factores hebben van 'tProduct, dat de gezochte Oppervlakte is. Een gedeelte van *t Boek van Guldinus is tot de Oplosfingen van die Voorttellen gefchikt.
Jlrchimedes hadt zich eertyds voorgefteld de grootheid van het Lighaam te vinden, dat door de omwenteling van het Parabolisch Segment om deszelfs As gevormd wordt, en getoond, dat hetzelve de helft van den Cylinder van gelyke Bafis en hoogte was. Kepler hadt voorgefteld de maat van het Lighaam te vinden, dat door het zelfde Segment, otn deszelfs Ordinaat, of deszelfs Raaklyn in den top, draaijende, was voortgebragt. Deeze beide Voor* ftellen, benevens verfcheide andere over de Farabolifche Segmenten, behooren insgelyks tot de.Leerwyze van Guldinus. Men weet verders , dat het Parabolifch Segment de twee-derde van den omgefchreeven Rechthoek is, en dat het zwaarheids-middelpunt van dien Rechthoek van deszelfs gemeenen Bafis met het Parabolifch Segment de helft van deszelfs As verwyderd is. Het Lighaam, door den C Recht*



34
HISTORIE Dfia
Rechthoek , om dien Bafis draaijende , voortge» bragt, zal derhalven tot het Lighaam, door den Parabool voortgebragt , in reden zyn als \x\ tot fxf of Tf. Deeze twee Lighaamen daan derhalven tot elkander in reden als * tot x|, of als 15 tot 8. Door eene foortgelyke handelwyze zal men bevinden, dat het Lighaam van den Parabool, om de Raaklyn in den top draaijende, tot den omgefchreeVen Cylinder flaat, als fxf tot ix§, of als f toti, dat is, als f tot 1.
Hetgeen wy over den Regel van Guldinus gezegd hebben , is meer dan genoegzaam in een Werk , waar in men zich eeniglyk voordek den waaren zin en het kort begrip der ontdekkingen voor te dragen. Het is gemaklyk te zien, dat men denzelven meteen goed gevolg kan gebruiken in alle de gevallen, waar in men de grootheid en het zwaarheids-middelpunt der teelende Figuur bekend heeft. Wymeenen echter te mogen zeggen, dat dezelve voor de afmeeting der Lighaamen en Oppervlaktens geenszins den natuurlyken weg is, en dat dezelve niet als door eenen dikwyls noodeloozen omweg tot het doeleinde geraakt, ik wil zeggen, dat dezelve dikwyls kundigheden onderfielt, welke veel moeijelyker zyn dan het Voordel, dat men tracht op telosfen. In 't algemeen is de bepaaling van de Inhouden der Krommen, of van haar zwaarheids-middelpunt, moeijelyker dan die der Lighaamen .welke zy door haare omwenteling vormen; men heeft daar van een voorbeeld in de Hyperbolifche Conoïde, welkers grootheid veel gemaklyker te vinden is, dan die van het Hyperbolifch Segment, of deszelfs 'zwaarheids-middelpunt. De Regel van Guldinus ïchynt zelfs in dit geval daar in tot dooling aanleiding te geeven , dat dezelve het Voordel als van een hooger gedacht, dan het weezenlyk is,voordraagt. De oppervlakte van de Parabolifcbe Conotde verfchaft daarvan alsnog een voorbeeld. De Leer» wyze, waar van wy fpreeken, zou het vinden der lengte (jectificatio) van den Parabolifchen boog, en
de



WI S.K Ü.N D E. III. Deel. I. Boëk. 3 y
de bepaaling van deszelfs zwaarheids-middelpunt verëifchen, fchoon de meeting van de oppervlakte alleenlyk afhangt van de Quadratuur van een afgekort Parabolifch Segment, eu van die des Cirkels, welke noodzaakelyk te pas komt in alle de Voor ftellen, die Oppervlaktens of Lighaamen , door omWenteling voortgebragt, betreffen. Echter moet men, in weêrwil van die zwaarigheden, dat verband, 't welk Guldinus maakt tusfehen de Figuuren, haare zwaarheids - middelpunten , en die welke zy voortbrengen, door om eenen As te draaijen, als een der fraaifte ontdekkingen van de Meetkunde aanzien. Zeker is het dat de hulpmiddelen der Weetenfehap daar door merkelyk vermeenigvuldigd zyn geworden, dat men drie Voorftellen, welke tot in dien tyd befchouwd waren, als geen de min'le overeenkomst faamen hebbende, flegts tot twee gebragt heeft.
V I.
Hoe vernuftig de Leerwyze van Guldinus ook zy, is dezelve echter van geen zo groote dienst geweest, om de paaien der Meetkunde uit te zetten , als die der ondeelbaaren (indivifibilia >. De groote vorderingen , welke die Weetenfchap gemaakt heeft, en door welken zy zich tot den flaat verheven heeft, waarinzy zichthansbevindt, moet van dat tydperk af gerékend worden. Cavalleri gaf dezelve in 1635 in 't licht in zyn Boek getyteld : Geometria indivifibilibus continuorum nova quddam ra' tione promota (Bon. in-qto) Wy zullen het verhaal van 't geen dat gedenkwaardig Werk bevat eenige oogenblikken opfchorten, om deszelfs Atitheur te doen kennen.
Cavalleri (Bonaventura) werdt in te Milaan gebooren, entradt,nog jong zynde, in de Order der Jefuaten of Jeronimiten. Hy toonde in zyne Studiën zo veel vaardigheid en vernuft, dat, na dat hy de Order aangenomen hadt, zyneOverften raadC a zaam



S<5 HISTORIE der
zaam oordeelden hem naar Pi/a te zenden, op dat hy aldaar de hulpmiddelen konde genieten , welke de beroemde Hoogefchool, die aldaar bloeide , aanboodt. Dit was grootelyks tegen den zin van CaVallen. Nogthans heeft hy in zekere opzichten de beroemdheid van zynen naam aan die Kei/e te danken; want in die Stad leerde hy de Meetkunde voor de eerfte maai kennen. Senedictus Cafielli, een Leerling en Vriend van Ga/Heus, hem dezelve aangeraaden hebbende, om hem van zyne kwellingen en de fmarten, welke de Jigt, die fteeds erger wierdt, hem begon te verwekken, af te trekken, maakte Cavalürt daar m zodanige vorderingen, en putte in zyne lesfbn alle de oude Meetkundigen zó fpoedur uit, dat Cajielli en Galileus van toen af aan de groo. te beroemdheid, tot welke hy komen zoude, voorbelden. In de daad hy bedacht kort daarna de Meetkunde der ondeelbaar en \ en was reeds in 't fa-r 1629 in 't bezit van die fcherpzinnige Leerwyze \\ant de ^terrekundige Magino, Hoogleerihr aan de üniverfiteit van Bo/ogna, overleeden zynde, liec Cavalleri, om de opengaande plaats verzoekende, zyne Verhandeling over de Oodeelbaaren , benevens eene andere over de Kegelfneeden, aan eenige Geleerden en de Magiftraatsperfoonen van die Stad mededeelen. Meer werdt 'er niet verëischt: men vondt in die beide Gefchriften zo veel blyken van vernuft, dat men zyn verzoek bewilligde. Cavalleri werdt tot Hoogleeraar benoemd, en begon de pligten daarvan te oeffenen op het einde van't Jaar t6a£..
behalven het beroemde Werk van Cavalleri, wy willen zeggen zyne Meetkunde der Ondeelbaar en\ .heeft men hem veele andere te danken, als eene Verhandeling der Kegelfneeden, getyteld: de fpeculo UJtorio, (fB-4/0. 1632.), eene DriehoeksmeetKunde Q/rigonometria) onder den Tytel van Directorium umverfale urano-melricum (in-$to. i6-ï2.), dac m 1643 andermaal in 't licht kwam, onder den Tytel van Trigonometria piana ac fpherice, Imearis & logarithmica; een Compendium regularum de triangu-
Us,



WISKUNDE. III. Deel I. Beek. 2?
lis, een Centuria problematum afiJronot/ticarum, Wer. ken welke waarfchynlyk tot het ondtrwys van zyi re LeerlingeD bellemd waren. Het aanbiedend verzoek van fommigen zyner Toehoorders deedt hem , hoewel ongaerne , aan een ander Werk de , hand Haan, waarover wy ons met recht mogen verwonderen. Hetzelve is eene Verhandeling over de Jfirologia, waar aan hy den Tytel gaf van Rota Planetaria, en welke hy onder den naam van Sylvius Philomantius in 't licht gaf. Ais een vyand van de Sterrewikkery zynde, zo als de Schryver van zyn leven hem afmaalt , zou hy zonder twyffe! beier . gedaan hebben 3an dat verzoek geen gehoor te gee,wd. Is 'er eenige reden, welke eeD Wysgeer en een liefhebber der Waarheid beweegen kan, om iets, wat het ook zy, te doen, dat eenjgztns behulpzaam kan zyn om een vooroordeel te verbreiden en voort teplaiue»? Wy vinden eindelyk den Autheur van de Meetkunde der Ondeelbaar en weder in zyne Exercitatiams Cemetricce, dieby in 3643 in 't Jicht gaf. Dit Werk, dat wy in het vervolg beter zullen doen kennen, was het iaatfteder Weiken van Cavalleri.
Cavalleri verbeeldt zich het geheel sfs faamengefleld zynde uit een onëindig getal deelen , weïke deszelfs laatfle tümenta of de uiter.'ie paaien der ontleeding zyn, die men >an hetzelve kan doen, door het geduurig in onderling evenwydige Ibeeden te verdeden. Deeze laatffe ilsmentazyn het, weïke hy Ondeelbaaren noemt; en het is in debetrekkieg volgens welke zy groeijen of afneemen, dat hy de maat der Figuuren, of haare onderlinge betrekking, zoekt.
Men kan niet ontkennen, dat Cavalleri zich voor Meetkundige ooren eenigzins te hard uitdrukt. Naar zyne uitdrukkingen te oordeelen, fchynt het dat hy zich het Lighaam verbeeldt als faamengeiteld zynde uit eene meenigte op elkander geftapelde Vlakken ; de Vlakken als uit een onëindig getal desgeJyks opgehoopte Lynen betraande, enz, Dm het C 3 13



38 HISTORIE der
is gemaklyk deeze taal met de gezonde Meetkunde overëentebrengen door eene uitlegging, welke Ca* valkri zonder twyffel aandonds bemerkte, fchoon hy dezelve in het Werk, waarvan wy fpreeken, niet gegeeven heeft. Hy deedt zulks alleenlyk in vervolg van tyd, toen hy door Guldinus in 1640 werdt aangevallen. Hy toonde toen dat zyne Leerwyze niets anders is , dan eene natuurlyker fchikking der Leerwyze van Exhauftio der Ouden. In de daad die Vlakken, die Lynen, waarvan Cavalleri de betrekkingen en de fommen onderzoekt, zyn niet anders dan de in- of omgefchreeven kleine Lighaamen of Driehoeken van Archimedes, tot een zo groot getal voortgezet, dat hun verfchil met de Figuur, die zy omvangen , kleiner zy dan eenige gegeevene grootheid. Doch terwyl Archimedes, telkens als hy de betrekking eener kromlynige met eene andere bekende Figuur onderneemt te bewyzen, eenen langen omtrek van woorden op eene indirecte wyze van betooging gebruikt, grypt de hedendaagfche Meetkundige, door zich eenigermaate tot in 't oneindige te verheffen, in zynen geest de uiterde paal van die geduurige verdeelingen en onderverdeelingen aan , welke eindelyk het vffchd der in- of omgefchreevene rechtlynige Figuuren met de kromlynige Figuur, die zy befluiten, moeten vernietigen. Het is ten naaste by op gelyke wyze, dat, wanneer men de fom van eene Geometrtfch afneemende Progresfie bepaalt, men den laatlten Term gelyk o dek; want fchoon men dien Tetm nooit kan bereiken, ziet de geest echter klaarblyklyk, dat dezelve kleiner is dan eenige bepaalde grootheid, hoe klein die ook zy: by gevolg kan hy dezelve niet als door nul uitdrukken, vermits 'er niets anders dan het niet is, dat kleiner is dan alle mogelyke grootheid. Desgelyks moet men zich de Vlakken, de Lynen, waarvan Cavalleri de eltmenta der Figuuren maakt,verbeelden als de laaide der verdeelingen, waarvan wy boven gefproken hebben; hetgeen toereikende
is



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 39
is om het aanftootelyke en tegenftrydige met de ftrenge Meetkunde, dat in zyne uitdrukking gevonden wordt , te verbeteren. Voorts is in de Leerwyze der OndeeJbaaren geen geval, dat men niet gemaklyk tot de oude wyze van betoogiug kan overbrengen. Dus zou men zicb aan den uiterlyken fchyn moeten vergaapeu, als men over het woord Ondeelbaar en wilde hatrklooven. Het is, zo men wil, oneigen, doch de Meetkunde heeft 'er geen gevaar uit te wachten, en wel verre van ons in dwaaling te brengen , heeft deeze Leerwyze in tegendeel gedieud om ons tot waarheden op te leiden, welke tot in dien tyd de onderwindingen van alle Meetkucdigen ontglipt waren.
De Meetkunde der Ondeeibaaren kan in twee deelen verdeeld worden. Het eene heeft tot onderwerp de vergelykmg der Figuuren onder malkander, met behulp van de gefykheid of de ftandvastige betrekking, welke tnsfcben baare gelykvormige elementa. heerscbt. Hier mede houdt zich Ca. vollers in het eerfte Boek van zyn Werk, en in een gedeelte van het tweede bezig. Hy betoogt daar in op zyne wyze de gelykheid en de betrekkingen der Parallelogrammen, der Driehoeken, der Prismala, enz. op gelyke Bafis en hoogte. Dat alles kan tot een algemeen Voorflel gebragt worden, naamelyk dat alle Figuuren, mtr elemerita van den Bafis tot den top gelykvormig aangroeijen of afneemen, tot de gelykvorm/ge Figuur van gelyke Bafis en hoogte in de zalfde reden fiaan. Het is gemaklyk de waarheid van dit Voorilel te bekeuren; de gevolgen van hetzelve zyn zo tabyk , dat wy noodig oordeelen eenige Voorbeelden daarvan te geeven. Zie de bygevoegde noot (ja).
Het
(in) Het vrachtkaar Voorflel, waarvan wy hier fpreeken , geeft ons aanftonds eene gemaklyke Ouadratuur va» den Parabool. Want laar (Fig. 8.) ABC eéne Pirantiée, en DE F de uitwendige ParabeHfche lunme aya, beg^eepen C 4 j mi



40
HISTORIE der
Het tweede Deel van de Meetkunde der Ondeelfaaaren is gefchikt om de overeenkomst der fcm
van
tusfehen den Parabool, de Raaklyn in den top, en eene evenwydige aan den As. Dan is het gemaklyk te befpeuren, dat die Figuuren zichtbaarlyk afneemende zyn. Want bet element der Piramide f g is in de zelfde betrekking als het vierkant van haaren afftand mt den top, en in de uitwendige Parabool is Hl desgelyks als het vierkant van DH. De uitwendige ruimte DE F van den Parabool zal derbalven het derde-deel van het Parallelsgram van gelyke £ufis en hoogte zyn, even als de Piramide het derde-doel van den overëenkoinm'gen Cylinder is. . Laat wederom [Fig. o.) een Parabool voorgefteld worden . waarvan I de top, 1 K de As, en E F eene Ordinaat is! . Her. is eene eigenfehap van deeze Kromme, dat, trekkende eenige Lyn G H parallel aan den As, men alsdan heeft
G H tot K I, als de Rechthoek E GF tot EK F, of K~K Nu is deeze eigenfehap die der elementa van den Kloot, wiens As EF zou zyn. Wsnt door de eigenfehap van den Cirkel heeft men GM*: £T:*: EG^GF : ÏTf, en dien' volgens zal de Cirkel, befchreeven met de Straal G M, die één der elementa van den Kloot is, tot den Cirkel,die KL tct Straal heeft, in de zelfde reden zyn. Derhal ven KI:GH:: de Cirkel NL: OM. De Kloot en de ParaDool ten aanzien van deszelfs Ordinaat zyn derhalven overËenkomttige Figuuren; by gevolg, naardien de Kloot tot den om2efchreeven Cylinder in reden is, als 2 tot 3, zal de Parabool tot het Parallelogram van gelyke Bafis en hoog. te in die zelfde reden zyn ; of in tegendeel, zo de Quadratuur van den Parabool het eerst bekend was, zou uien daaiuit btfluiten, dat de Kloot de tweederde desCylinders van gelyke Bafis en hoogte is.
Deeze wy*e van den Parabool te befebouwen zal ons cu ook de maat van de Hyperbolifche Contide aan de hand geeven. Want laat de Patabool B AC (Fig. 10 ) benevens de Ordinaat C B verlengd worden; en Iaat H K~B E de dwarfe As van eene Hyberbolifche Cenoide zyn. Indien men de lynen D F EG trekt', zal men in den Parabool hebben bi tot GE, als FCxFBtotGCG Bj maar in de
Hy-



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 41
van dat oneindig getal Lynen of Vlakken, 't zy aangroeijende of afneemende , met de fom van alle de elementa, van de zelfde natuur als die eerften, doch alle onderling gelyk , te bepaalen. Een voorbeeld zal dit ophelderen. Een Kegel ( Conus ) is , volgens de taal van Cavalleri, faamengelteld uit een oneindig getal van den Balts tot den top afneemende Cirkelen, terwyl de Cylinder, van gelyke Bafis en hoogte, faamengelteld is uit een onëindig getal gelyke Cirkelen. Men zal derhalven de betrekking van den Kegel tot den Cylinder hebben, als men de overeenkomst vindt van de fom van alle die in den
Ke.
Hyperbolifche Conoide heeft men den Cirkel van den Diameter N P tot dien van O Q als LKxLII tot MKxMfl, dat is te zeggen, in die zelfde reden. Derhalven groeit de Varabolifche ruimte GBE met de Hyperbolifche Conoide NKP gelykvormig aan. Dus zal deeze Conoide tot den overëenkomfiigen Cylinder zyn, als die ruimte tot den Rechthoek van gelyke Bafis en hoogte.
Het is gemaklyk te zien , dat deeze Leerwyze desgelyks de zwaarheids-middelpunten van eene meenigte Figuuren zal opleeveren. Daar, by voorbeeld, in de Parabolifche Conoide de elementa, welke als de vierkanten der Ordinaten zyn, dienvolgens ook als de Abfcisfen, of haare afftanden van den top zyn, zal de Conoide eene overeenkomst liebben met den rechtlynigen Dfiehosk: dus , bebalven dat men daar door ontdekt, dat de Parabolifche Conoide Aa helft van den Cylinder van gelyke Bafis en hoogte is, ziet men dat haar zwaarheids.middelpunt als dat van den Driehoek geplaatst is. De hier boven aangemerkte overéénkomst tusfehen de Hyperbolifche Coneide en eene zekere Parabolifche ruimte zal ook net zwaarheids-middelpunt van die Ca. tioide aan de hand geeven, en die, welke tusfehen de Segmenten des Kloots, als OEM, en de Parabolifche ruimte EG H is, zal het zwaarheids-middelpunt van den halven. Kloot en deszelfs Segmenten voortbrengen. Doch genoeg hiervan ; de voorgaande voorbeelden zyn genoegzaam ,om hun, welke met eenen Meetkundigen geest begaafd zyn, op den weg te brengen, en hun duizend andere foortgely. ke vergelylsingen te doen ontdekken, C5



4* HISTORIE der
Kegel afneemende Cirkelen, welke onëindig in eetal zyn, met die van alle de gelyke Cirkelen des Cylinder s. la den Kegel verminderen die Cirkelen van den Bafis toe den top, als de vierkanten der Termen van eene Arithmetijche Progresfie. Het algemeen onderwerp der Leerwyze is de overeenkomst dier fom van aanwasfende of afneemende Termen met die der gelyke Termen, waaruit de gelykvormige en bekende F.guur van gelyke Bafis en hoogte faamengelteld is, te bepaalen.
Cavalleri begint derhalven met te onderzoeken, weke de overëenkomst is van de fom der vierkanten van alle de Lynen, welke den Driehoek vullen, met de fom der Vierkanten van alle de Lynen, we ke het Parallelogram van gelyke Bafis en hoogt! vullen, en toont aan, dat de eerde Figuur het derde-deel van de tweede is; waaruit hy het befluic maakt, dac de Piramiden, de Kegels, en alle andere i^uuren, wier elementa als die Vierkanten afneemen, het derde-dee! der gelykvormige Figuuren van gelyke Bafis en hoogte zyn. Van daar giat hy over rot het onderzoek der lommen van de vierkanten
?/rteDVTelke,/%rcheide andere Figu«en, als de Cirkel of deszelfs Segmenten, die der Kegelfneeden , enz. vu len : vervolgens maakt hy zyne Theorie op verlcheide Voorftellen toepasfelyk; en neemt de meeste van Kepler onder handen, welke hy zeer cierlyk oplost. Zie hier daarvan eenige. Kepler hadt de grootheid van het Lighaam gevraagd, dat door een Segment van een Cirkel of Mips' A BE (Fis. u ) om een pees draaijende, gevormd wordt. Laat C daarvan het middelpunt zyn, zegt Cavalleri, BI de pyl, 1 U het overige van den As: en men ftelle voorrs deeze evenredigheid: gelyk de omgefchreeven Rechthoek AF ftaat tot het Segment, alzo3Cl tot DL; dan zal het gemelde Lighaam tot den C+. hnder m den zelfden tyd door A F befebreeven, zyn, als aIL tot 3 1B. Uit deeze bepaaling ziet men de zo bekende betrekking van den halven Kloot ot de halv&.Spherbïde tot den Cylinder van gelyke &,



WISKUNDE. III. Deel. I- Boek. 43
fis en hoogte weder ten voorfchyn komen. Want laat het Segment aBI het vierde-deel van een Cirkel of Ellips zyn, alsdan zal het punt I op het middelpunt C, en het punt L op D vallen; zo dat de rede» van 21 l tot 31 B die van 2 C D toe 3 C B, of van 2 tot 3 zal zyn. ... j . u .
Door de zelfde Leerwyze bevindt men, dat het Lighaam , gevormd door de omwenteling der uitwendige ruimte des vierendeels van een Cirkel of Ellips, als GABH, rondöm GH, of HB, de van den Cylinder is , welke in den zelfden tyd door den Rechthoek GB befxhreeven wordt, onderltellende den Cirkel tot het vierkant des Diameters, als 11 tot 74. ,
Zo deeze Driehoek, uit eene kromme en twee rechte Lynen beftaande, de uitwendige ruimte was van een Parabolifch Segment, om de Raaklyn in den top draaijende, zou het Lighaam, dat dezelve zou befchrvven, tot den omgelchreeven Cylinder zyn, alsj? tot 15; en in tegendeel als 1 tot 6, als; dezelve om de evenwydige aan den As draaide. Om den Leezer niet te verveelen, zuilen wy ons nog uegts tot de aanmerking bepaalen, dat het inwendig Hyperbolifch Segment, als A BE (Fig.12 )> ^ den toeeevoegden As draaijende, een Lighaam maakt, dat de tweederde is van den hollen Cylinder, die door de omwenteling van den Rechthoek A B in den zeilden tyd befchreeven wordt. Alie die waarheden zyn hedendaags gemaklyk te bewyzen, met behulp der nieuwe rekeningen; en zelfs door verfcheide zeer eenvouditre Leerwyzen, en welken den Meetkundigen , die eenigzins geöeffend zyn , hgtelyk in-
Deeze Vraagftukken, en verfcheide andere vergelykingen van de zelfde Lighaamen, houden Ca* falleri tot het einde van het vyfde Boek bézig. VVy vinden in het zesde, dat over de Spiraal handelt, eene fraai je aanmerking, naamelyk, die der gelyk. heid van den Parabool met die Kromme. VVy zullen ons nader verklaaren; men verbeelde zich een



4i HISTORIE der
Cirkel, binnen welken een Spiraal befchreeven is en men ontwmde dien Cirkel in den Driehoek CA a ft\I£JAwa,aïvanJ.de Bafu den Omtrek, en de raak? fniï33 h' d! in '£ middelpnm
Et! uJ i V ?,sdan,allerde tllsrchenftaande om rekken insgelyks m rechte Lynen, evenwydig aan den
£f i on,tVT,°nden worden> zal men bevinden, dat de Spiraak Kromme in eenen Parabolifchen boos veranderd zal zyn. welke zyn top in C heeft? Betden zyn van gelyke lengte, en de Inhoud, tusJthen de Spiraal en den omtrek des Cirkels befloten, ,s gelyk aan dien , welken de Parabod met de Lynen c A en A a influjt. Daar uit ziet men, dat die eigenfchip de bepaaling der Inhouden van Spiraalen zeer gemaklyk maakt. Ook gebruikt Cavalleri dezel ve tot dat einde zeer gelukkig. Een hedendaagscb i>chnver heeft de eere van die ontdekking aan Gegenus a St. Vincentio toegefchreeven; doch het recht dat Cavalleri op dezelve heeft, was hem zonde? twyftei onbekend. Daar benevens, boe vernuftig dezelve ook zy, verdiende zy geenszins zo hoog in top gevyveld te worden; want Archimedes hadt reeds M zyne Qjiadratuur van den Parabool, om zo te tpreeken, net ys gebroken, door by die geWen. heid de eigenfehap te bewyzen, welke dezelve ten grondfl'g dient. u ■ Cavalleri klom weldra tot verhevener en moeifelv. ker befchouwingen op. Zulks was mede by gelegeaheid van éénder Voordellen van Kepler: deeze Wiskundige hadt voorgedeld de grootheid van het Lighaam te vinden , dat door den Parabool, om zyBen Ordinaat, of de Kaakiyn in den top. draaijen. de, befchreeven wordt. Cavalleri zocht dezelve en zag we haast dat het Voordel hier op uitkwam* om naamelyk de betrekking te bepaalen van de fom der vierkants, vierkanten der Lynen, welke den Driehoek vullen, tot de fom der gelyke masten
luue LJ^D',Welke hec P^allelglam vullen! Hy bevondt dat deezè betrekking die van i tot « was. Hy ontdekte insgelyks, dat, ten aanzien
der



WISKUNDE. IIL Deel. V. Boek. 45
der teerlingen van die Lynen, deeze betrekking die van 1 tot 4 zou zyn. De wyze van overëenftemming geleidde hem in het overige, en hy beiloot, dat de Exponent van eenige magt n zynde, de betrekking dier lommen die van 1 tot 7z-j-ï is. Deeze ontdekking bragt hem in 't bezit der meeting van alle de Parahooien van hoogere gedachten, van die der Conoïden, van haare zwaarheids-middelpunten, enz. Hy gaf die zaaken in 1647, in zyne Exercitationes Mathematica , in 't licht. In dit.Werk worden nog eenige gewjgtige en nieuwe onderwerpen gevonden. Cavalleri vestigt in hetzelve zyne Leerwyze op vaste gronden, en verdeedigt dezelve tegen de befch'uldigingen V3n eenige wederpartyen , onder anderen van den V. Guldinus: hy lost daarin verfcheide Voordellen over de Kegelfneeden op: eindelyk bepaalt hy in hetzelve de brandpunten der glafen van ongelyke rondheid , een Voordel dat Kepler niet opgelost hadt, en, zo het fchynt, tot in dien tyd zonder oplosfing gebleeven was.
V I L
Wy hebben ons tot hier toe byna met niets anders bezig gehouden, als met de ontdekkingen en de verrichtingen der Vreemdelingen: het wordt tyd dat wy tor Frankryk overgaan, alwaar 'reeds verfcheide Meetkundigen bloeiden , die voor hun, waar van wy nu gelproken hebben, in geenendteJe behoefden te zwigten, zelfs durven wy zeggen, dat zy hun door de moeijelykheid hunner Dafpooringen verre voorby dreefden. Wy zullen, de bewyzen daarvan als nog niet zoeken in de nieuwe Meetkunde, waarvan Defcanes de vinder is. Zonder buiten het vak te gaan, dat ons in dit Boek moet bézig houden, zullen wy in Frankryk ontdekkingen vinden, welke met de fraaifte der nu voorgedragene in vergelykiug gebragt kunnen worden. '
In de daad, terwyl Cavalleri zyne Meetkunde
toe-



46
HISTORIE dér
toepasfelyk maakte op de nafpooring der Lighaamen, door de Kegelfneeden gevormd , verleedigden de Franfche Meetkundigen zich reeds tot de befchouwing van eene meenigte andere Krommen van een hooger geflacht , tot > de bepaaling van haare Raaklynen, van haare zwaarheids-middelpunten,van de Lighaamen , door haare omwenteling gevormd, enz. Zich met de byzondere Oplosfingen weinig te Vreden (tellende, zochten zy algemeene, en veri'maadende eenigermaate de takken, wendden zy alle poogingen aan om tot den Ham te komen , waarvan dezelve afhanglyk waren.
De briefwisfeling tnsfchen den Heer de Fermat («) en verfcheide andere geleerde Meetkundigen , verfcbaft ons van dit alles de bewyzen. Men ziet daar in, dat reeds in 't Jaar 1736 in Frankryk gefproken wordt van de Spiralen en Parabolen der hoogere gedachten. De Heer de Fermat, in zynen eerften Brief aan den V. Merfenne, die van bet midden des Jaars 1636 is (0), geeft hem te kennen, dat hy eene Spiraal heeft befchouwd, welke van die van Archimedes verfchilt. In deeze nieuwe Kromme zynde Cirkelboogen, van het begin der omwenteling door het einde van den Straal doorgeloopen, geenszins, als in die van den ouden Meetkundige, in dezelfde reden als de ruimtens, welke door het befchryvende punt, door zich van het middelpunt te verwyderen, zyn doorgeloopen, doch in reden der vierkanten van die ruimtens, zulks dat de Cirkelboogen , welke de omwenteling meeten, gelyk mede de vierkanten der Straalen, en niet de Straalen zeiven, gelykmaatig aangroeijen. Fermat geeft aan Merfenne te kennen , datde ruimte , door den eerften omloop befloten,
de
(k) In het volgende Boek zal over den Perfoon en de Schriften van dien geleerden Meetkundige iets meer gezegd worden.
{0) Fermat Op. p. 121.



WISKUNDE. III. Deel I. Boek 4?
de helft is van den Cirkel, die denzelven bevat; dat de tweede ruimte, tusfehen den eerften ea tweeden omloop, het dubbeld van de eerfte is, en dat vervolgens tusfehen de tweede en derde, de derde en vierde, en zo tot in 't oneindige alle die ruimtens gelyk aan de tweede zyn: hetgeen eene zeer merkwaardige eigenfehap is. Kort daar na met Roberval in eene briefwi<feling getreeden zynde, lielde hy hem het Problema voor, om de Inhouden der Parabolen te bepaalen , waar in de Abfcijfen niet meer zyn als de vierkanten der Ordü naten, ("hetgeen de eigenfehap van de oude Para. bool is,) maar als haare teerlingen, vierde, vyfde magten , enz.: hy maakte hem ook bekend de meeting van de Conoide, welke door den Parabool, om zynen As draaijende, gevormd wordt, en van de Segmenten, welke door Vlakken, perpendiculair tot den As der draaijing, afgefneeden worden.
Roberval draalde geenszins om zich hier in met den Heer de Fermat gelyk te ftellen. Hy zondt hem in zyn antwoord de oplosfing van het Problema, dat hem was voorgefteld, te rug. De Parabolen, zeide hy, waar in de Abfcijfen als de teerlingen, de derde, de vierde magten van den Ordinaat zyn , zyn de de f, de § van het Parallelogram van gelyke Bafis en hoogte, en zo vervolgens. De wet des voortgangs openbaart zich gemaklyk. Er bleef nog over het geval waar in eenige magt der Abfcisfe, gelyk het Vierkant, als eenige andere magt, by voorbeeld de derde magt van den Ordinaat, zoude geweest zyn: men vindt daarvan de Oplosfing in een laater Gelchrift van Roberval (p): hy merkt in hetzelve aan , dat , in het bovengemelde Geval , by voorbeeld, de Parabool tot den omgefchreeven Rechthoek in reden is als 3 tot 5; en dat in 't algemeen , als n de magt der Abfcijfe, en m die van den
Or-
(ƒ>) Lettre de Roberval a Torricelli en 1644. Mém. dt VAcad. avant le renouvell. T. VI.



4'&
HISTORIE d è ü
Ordinaat uitdrukt , —j—r de betrekking van den' n-f m
Parabool tot het omgefchree ven Parallelogram aanwyst. Roberval zondt aan Fermat (q) de bepaaling der KaaKlynen van die foorcen van Parabolen, en deeze zondt hem in antwoord hun zwaarheids-middelpunt (f). De aanmerking van Fermit is zo fraai , dat dezelve bier met recht eene plaats verdient. In' alle Parabolen of hunne Conoïden, zegt hy, deelt het zwaarheidf-middelpunt den As in twee deelen,1 zodanig dat het naaste aan den liajis flaat tot het andere, als de Figuur zelve tot het Parallelogram of den Cylinder van gelyke Bojis en hoogte : het is gemaklyk dit te bewyzen in den gemeenen Parabool, zyne Conoide, en den Driehoek, die'eene foort van Parabool is, waar in de Ordinaten als de Abfciffen zyn.
Op het zien van die OplosH-ogen kan men geenszins twyffelen aan heigêen Roberval in 1644 aan'Jbrticelli fchreef ( s N, naamelyk dat in of omtrent den tyd, toen Cavalleri in Italië [zyne Ondeelbaaren in 't licht gaf, de Franfche Meetkundigen in 't bezit van eene foortgelyke Leerwyze waren. Roberval verzekert in den Brief, waarvan wy fpreeken, dat hy, lang vóór dat de Italiaanfche Meetkundige zyne Leerwyze aan 't licht bragt, eene zeer overeenkomftige Leerwyze hadt, die hy na eene aandachtige leezing der Boeken van Archimedes hadt gevonden ; doch opmerkzaamer dan Cavalleri, om de ooren der Meetkundigen niet te kwetfen, hadt hy dezelve ontbloot van het harde en aanftootelyke in de denkbeelden, ten zy dezelve verklaard waren, dat in de Leerwyze van Cavalleri gevonden werdt. Hy vergenoegde zich, zeide hy, met de Vlakken en Lighaamen te bcfchouwen, als faamengefteld zynde uit eene onbepaalde meenigte kleine Rechthoeken
of
(q) Lettres de Fermat, p. 140.
(r) Ibid. p. 147.
(1) Anciens Mém, T. VI.



Wiskunde, iii. Deel i Boek. a$
of kleine Prisma's, welke volgens eene zekere We afneemen: door dac middel en met behulp van eene zekere overëenltemm nï, genoegzaam overeenkomftig met die, welke Wallis naderhand veel verder uitbreidde, geraakte hy tot de Oplosfing der Voorftellen van Fermat, en van verfcheide anderen, als die van den Inhoud der CycLïs, en der Lighaamen , die dezelve , door om haaren As en haaren Bafis te draaijen, vormt.
Roberval vervolgt in dien Brief de Gefchiedenis van zyne Overdenkingen, en van de Leerwyze die hy gevonden hadt. Hy hieldt dezelve, zeide by, in petto, met oogmerk óm zich, wegens de moeijelykueid der Voorftellen, welke hy in Haat was door dezelve op te losfen , onder de Meetkundigen eenen vleijenden yoorrang te verfchaffen. Maar hy ondervondt hetgeen dikwyls diegeenen overkomt, welke een geheim verborgen houden, dat duizend anderen vlytig zoeken. Terwyl hy zich juveniliter, dit is zyne uitdrukking , verheugde , gaf Cavalleri zyne Ondeelbaaren in 't licht, en beroofde hem van de eere, welke zyne Leerwyze, zo hy dezelve het licht hadt doen zien , hem aangedaan zoude hebben ; rechtmaatige ftraffe dergeenen, welke om redenen, eenen Wysgeer zo weinig betaamende, van hunne vindingen een geheim maaken*
Als een deelgenoot van alle die ontdekkingen behooren wv nog gewag te maaken van den beroemden Heere Defcartes. Dezelve kosteden hem zelfs weij nig moeite, als wy uit één zyner Brieven daar over oordeelen (r). De V. Merfenne hadt hem eene Proeve eener Leerwyze van den Heer de Fermat , wegens de vinding der zwaarheids-middelpunten van de Conoïden, gezonden. Defcartes zondt hem by zyn antwoord aanftonds te rug niet alleen de zwaarheids-middelpunten , maar ook de algemeene Qua~ ckatuur van alle de Parabolen, de bepaaling hunuer
Raak-
(0 Deel II, Brief Bp.



j» HISTORIE der
Raaklynen , en die van de grootheid hunner Conoïden.
De Logarithmifche Spiraal en de Cyclois, Krommen welke door haare eigenfchappen in laater tyd vermaard zyn geworden , kwamen in dien tyd onder de handen der Franfche Meetkundigen ten voorfchyn. Dit bevestigt hetgeen wy boven over de natuur der nafpooringen, waar toe zy reeds opgeklommen waren , gezegd hebben. Wy zullen voor alsnog niet fpreeken van de Cyclois, maar dezelve in 't vervolg in een uitgebreid Artikel afhandelen. Thans zullen wy niets anders aanroeren, dan hetgeen de Logarithmifche Lyn betreft.
De eerfte denkbeelden van deeze Kromme worden in de Mechanica van Defcartes, en in één zyner Brieven (m) gevonden. Deeze Wysgeer, over de hellende Vlakken bandelende . merkt aan , dat , vermits volgens de Meetkundige ftriktheid derichtftreeken der zwaare Lighaamen alle in een punt faamenloopen, het hellend Vlak, zal hetzelve altoos gelyke hoeken met de richtftreek der zwaartens maaken, riet meer een Vlak kan zyn , en dat de kracht op eene plaats niet grooter zy dan op eene andere. Alsdan, zeide hy, zou men zich, in plaats van een weezenlyk Vlak, een gedeeite van eene Spiraal, rondöm het middelpunt der Aarde, moeten verbeelden. Het is zeer klaarblyklyk, dat hy van eene Spiraal wilde fpreeken, die niet de lynen, tot haar middelpunt getrokken, altoos gelyke hoeken maakte; doch kort daar na drukte hy zich klaarder uit. De V Metfenne hem eene duidelykere verklaaring over de naruur van die Kromme verzocht hebbende , antwoordde hy (v), dat één van haare eigenfchappen deeze was, dat de Raaklynen in alle haaie punten met de Lynen, uit derzelver middelpunt tot de raak-
pun-
(u) Deel I. Brief 73, gefchreeven in 1638. (i>) Ibid. Brief 74.



WISKUNDE. III. Deeh I. Èbek. jt
punten getrokken, gelyke heken maakceo, als cle hoeken CAS, CBT, enz; (Fig. 14); hy voegde 'er nog by, dat de geheele Kromme ABDC tot de Straa! C A in de zelfde reden was, als het overige B DC tot CB.
De V. Metfenne maakte, volgens zyne gewoonte, den Brief van Fefcartes aan verfcheide Meetkundigen , die zyne Vrienden waren, bekend, en deeze' waren van oordeel, dat die Kromme wel waardig was om zorgvuldig onderzocht te worden. Zy zagen daar in hetgeen Defcartes verzuim 1 badt aan te merken, en dat hy in't eerst enkel uit overhaasting betwiste (w), zy zagen, zeg ik, dat die Kromme rondöm haar middelpunt, alvoorens tot hetzelve te komen, een onëindig getal omwentelingen deedt; dat de Straalen C A Meetkundig aangroeiden of afnamen , terwyl de hoeken van omwenteling in eenen Telkundigen Voortgang of gelykmaatig aangroeiden. By voorbeeld , als men drie Straalen trekt, welke de hoeken DCB, BCA gelyk maaken , dan zyn de Straalen CD,, CB, CA, in plaats van in eenen Telkunftigen Voortgang te zyn , als in de Spiraal van Archimedes, in eenen Meetkundigen Voortgang. Men befpeurde ook van toen af aan deeze voortrefFelyke eigen4 fchap der Logarithmifche Spiraal, naamelyk dat, in weêrwil van dat onëindig getal omwentelingen, die zy rondöm haar middelpunt doet, haare gehaele lengte eindig, en, dat meer is, gelyk is aan eene rechte lyn, die gemaklyk bepaald kan worden. Daartoe is in de daad genceg de onbepaalde KaaVlyn A S te trekken , en in het punt C op de Straal C A een Perpendiculair te laaten vallen , ontmoetende die Raaklyn in S, daa zal de lyn A S de lengte der geheele "Spiraal zyn, tusfehen het punt A en het middelpunt begreepen.
De
Cw) Defcartas Brieven. Deel II.
D 2



52 HISTORIE db*
De Leezers, welke nog weinig in de Meetkunde' geöeffend zyn, zullen zonder twyffel in 't eersc bewogen worden tegen de Meetkunde op te (laan, en deeze waarheid als één der ongelooflykde Wonderfpreuken aan te zien. Hoe, zullen zy zeggen, is het mogelyk, dat eene lyn die geen paaien heeft eene eindige lengte hebbe ? Maar wy zullen deeze Zwaarigheid door eene zeer eenvoudige aanmerking doen verdwynen. Als men een Straal CA trekt, zal dezelve de Kromme in een onëindig getal punten fnyden, als A, a. «, en de lynen CA, Ca, C«, enz., tot in 't oneindige, zullen in eenen geduurtgen Voortgang zyn; de omtrekken der Cirkelen, mee die Straalen befchreeven , zullen derhalven ook in eenen Meetkundigen Voortgang zyn ; waaruit volgt, dat, fchoon hun getal onëindig zy, hun fom nogthans eindig zal zyn. D >ch het is gemaklyk te belpeuren, dat elk gedeelte der Spiraal, tusfehen twee van die gelykmiddelpuntige Cirkelen begreepen, gelykvormig is, en by gevolg eene zekere bepaalde overëer komst heeft met den omtrek des Cirkels, die hetzelve influit. Alle die gedeeltens der Spiraal zullen derhalven zeiven eenen afklimmenden Meetkundigen Voortgang maaken. Na deeze aanmerking verdwynt al het wonderbaare der eigenfehap, waarvan wy fpreeken. Sedert eenen geruimen tyd is men niet meer verwonderd, dat een oneindig getal geduurig evenredige en afklimmende Termen flegts eene eindige fom uitmaaken.
VIII»
Wy zullen voor als nog van de Cyclois niet fpreeken, maar alvoorens eenig verflag doen van eene kundige Leerwyze, welke de Heer de Roberval omtrent den zelfden tyd verzon. Dezelve betreft de Raaklynen der Krommen, en is daar in merkwaardig, dat de Franfche Meetkundige het eerst het denkbeeld ichynt gehad te hebben, om de beweeging



WISKUNDE. III. Deel. Ï4 Boek. S3
'ging tot de oplosfing van dat gewigtig Vraagftuk toepasfelyk te maaken. Hy zegt (x), dat hy reeds iedert her Jaar (636 in 't bezit van die Leerwyze ■was geweest, als wanneer één zynerLeerlingen zyne mondelinge onderrichtingen byëenverzamelde en daar van eene kleine Verhandeling, getyteld over ■de/aamengejtelde beweegingen , maakte. Hy onderhieldt daarover den Heer de Fermat in één zyner Brieven in 1640 gefchreeven (y), zodat, fchoon Torricelh m 1644 iets diergelyks in 't licht gegeeven heeft (%;, nogthans de verdiende van eerfte Uitvinder te zyn geweest aan Roberval niet betwist kan worden. Deeze Leerwyze heeft veel overeenkomst met die der Fkixien van den beroemden Newton. Zy welke in den roem van dien grooten man belang dellen , behoeven zich echter over niyne aanmerking niet in 't harnas te begeeven • jk zal zorg dragen, om het deel dat Roberval aan die voortreffelyke ontdekkinge kan gehad hebben, op den rechten prys te dellen.
De Leere der faamengedelde beweegingen is de -gmndflag der Leerwyze van den Heer de Roberval. t is een grondbeginfel 't welk alle Mechani. ci bekend is, dat wanneer een lighaam gedrukt of geltooten wordt door twee krachten , welke langs de zyden eens hoeks haare werking doen, en men vSorts op die zyden lynen neemt, welke als die krachten zyn, of als de fnelheden, die zy afzonderlyk het lighaam zouden indrukken, de faamengedelde Tichtlrreejc van dat lighaam de Diagonaal zal zyn van het Parallehgram, dat op die zyden gemaakt •is. Maar men kan alle de Krommen zich voordellen, als door eene faamengedelde beweeging befchreeven zynde, in navolging van de Spiraal
van
f>) Epijl. ad Torr. anciens Méau de 1'Acad. T. VL
Ferm. Qper. Lettr. p, 165. {%) Tprricellii op.
D 3



Si
HISTORIE der
van Archimedes, van de Ouadratrix, enz. Kien heeft zich flegts te verbeelden , dat een punt zich op den Ordinaat volgens eene zekere Wet be? weegt, terwyl die Ordinaat zich evenwydig aan zich zeiven, of met eene rondgaande beweeging, zal beweegen: dan zal dit punt eene Kromme befchryven, welkers natuur van de betrekking dier beweegingen zal afhangen. Als, by voorbeeld, terwyl de Ordinaat evenwydig aan zich zeiven met eene gelykmaatige beweeging voortgaat, het befchryvend punt zich van den As verwydert, zo» danig dat de Vierkanten van deszelfs afftand in gelyke tyden gelykelyk aangroeijen, zal de Kromme, die daar uit gebocren wordt, de gemeené Parabool zyn. Men kan zich ook voordellen , dat het befchryvend punt zich, volgens eene zekere Wet, van twee of verfcheide punten te gelyk, of van een ptmt en eene rechte lyn, verwydert. Aldus worden de Ellips, de Hyperbool en de Parabool ten opzichte van haare brandpunten befchreeven: want in de Ellips verwydert zich het befchryvend punt even 700 veel van één der brandpunten, als het nader by het andere komt, en in de Hyperbool nadert of verwydert het zich tot of van de beide brandpunten in tien zelfden tyd even veel: eindelyk in den Peto.boo\ verwydert het zich tevens eene gelyke hoeveelheid nan deszelfs eenig brandpunt en eene zekere rechte lyn , welke men de Directrix noemt.
De Raaklyn tot eene Kromme, vervolg? Rcberral, is nitts anders dan de richtflrtek van het beweeglyk punt, 't welk dezelve befchryfr, tot ieder van haare punten. Dit grondbeginfel is fchier klaarblyklyk, en een gevolg van deeze zo bekende waarheid in de Mechanica, dat een Lighaam, 't welk ccne kromlynige beweeging heeft, als hetzelve aan den indruk , die het in ecnig punt heeft, was r.vcrgelaaten , langs de Raaklyn tot dat punt zou uitwykcn. Voorts was Roberval beter in ilaat dit gtwigtig grondbeginfel zyner Leerwjze te be-.
vat-



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 55
vatten dan te bewyzen ; want in het Gefchrift, waar in hy hetzelve verklaart Ca), vindt men daar over geene andere dan zeer onzekere en verwarde redenen. Naardien hetzelve van eene genoegzaam fcherpe Theorie der verfnelde en vertraagde beweegingen af hangt, zyn wy verpügt het bewys daarvan zo lang te verfchuiven, tot dat wy van de beroemde Leerwyze der Fluxiè'n fpreeken ", als wanneer wy hetzelve den Leezer zullen mededeelen. In navolging van Roberval zullen wy ons hier vergenoe* gen met herzelve te ondeiHellen.
De T oepasfing van dit grondbeginfel op de wyze om Raaklynen tot de Krommen te trekken is gemaklyk': naardien het beweeglyk punt, dat eene Kromme hefchryfc, in ieder van haare punten in eene richt/beek gevoerd wordt, welke de Ka3klyn zou zyn , i-s het noodig die ricbtftreek te bepaalen. Waar dezelve is altoos het gevolg van twee beweegingen-: alles komt derhalven hier opuit, om in ieder punt van de Kromme de betrekking en de richtllreek van die beide beweegingen , met behulD van eenige haarereigenfchappen , te ontdekken. Om dit bevattelyk te maaken, zullen wy édn der eenvoudigfte voorbeelden verkiezen; naamelyk dat van de Ellips, rondöm haare brandpunten befchreeven. Eene der eigenfchappen van die Kromme zynde \ dat de fom van twee lynen , uit eenig punt derzelve tot de beide brandpunten getrokken , altoos dezelfde is , zo is het noodzaakelyk, dat de eene even zo veel aangroeit als de andere afneemt. Dus moet men het befchryvend punt A (Fig. 15.) zich voorftellen, terwyl ƒ A aangroeit en F A afneemt, men moet, zeg ik, het befchryvend punt zich voorftellen , als van twee gelyke beweegingen gevoerd wordende, naamelyk eene door welke het zich, langs /A, van het punt ƒ verwydert , en eene andere door welke het, in de richtllreek AF, tot F nadert.
0) Anciens Mém. de VAcad. T, VL D 4



JA H IjS T O R I E *d er'
dert. Als men derhalven in den hoek F A<p een'Pa-. rallelogram befchryfr, welks zyden gelyk zyn , zal deszelfs Diagonaal eene Raaklyn tot de Ellips zyn; en vermits de Diagonaal in dat geval den hoek , door de zyden gemaakt , in twee gelyke deelen ïhydt, zo volgt, dat de Raaklyn tot de Ellips den hoek, gemaakt door één der lynen tot de brandpunten getrokken, en door het verlengde van de ande? re, in twee gelyke deelen deelt.
Als rren eene Kromme voorgefteld hadt, in welke de lyn ƒ A altoos het dubbeld van F A was, zou men gezien hebben, dat de fnelheid van het befchryvend punt in de eerfte van die richtftreeken altoos het dubbeld van de anderé zou zyn geweest. Alsdan ?ou men de zyde van het Parallelogram in die richtftreek het dubbeld van de andere hebben moeten maaken, en deszelfs Diagonaal zou dan de Raaklyn zyn geweest (b).
Het,
(b) Wy achten ons verpligt eenige voorbeelden van die Leerwyze op te geeven. Wy zullen esn begin maaken mtt de Conehaide, welkers teeling btkend is; laat B (Fig. 16.) het punt zyn, tot hetwelk men eene Raaklyn moet trekken. Als men onderdek, dat de belde lynen PB, Pb oneindig dicht by elkander zyn , en uit hec middelpunt P de kleine boogen Ad, 13e befchryfr, dan is htt klaarblyklyk, dat de beweeging van het befebryverd pur.t op P B uitgedrukt zal worden door c b, en die van omdraaijing, welke uit de rondgaande bewetging van den Straal PB ontltaat, door Bs: eindelyk zal <Je faamengtftelde richtftreek van die beide aangeweezen wordtn door B^; men moet derhalven de betrekking der beide faamenllelleade fnelheden Bc, cb vinden. Tot dat einde zuilen wy terftond aanmerken , dat, vermits BA gelyk san Aa is, ook bcZZad is. Nu ftaat tc tot Bt in faan.cngeftelde reden van bc of da tot Ad, en van Ad tot Bc. Maar ad : dA ::AE:PE, en Ad:Bc: : P A : PB, of PE: PG; derhalven bc:B c: : AExEEPExPG, of AE:PG, Als men derhalven in het punt P een Perpendiculair P F trekt, welke een vierdt-even-
re«



WISKUNDE. III. Deel I. Bock- jr?
Hetgeen nu gezegd is toont genoegzaam de overeenkomst van deeze Leerwyze met die der
Flu-
redige tot A E, P G en P B zy , en voorts uit het punt F de lyn FB trekt, zal 'dezelve eene Raaklyn tot de Conchoide zyn.
Thans zullen wy de Canchaide algemeener befchouwen, en ors voorftellen, dat dezelve zodanig btfchreeven zy, dat haare hellende Ordinaat AB (Fig.17.) fteeds gelyk zy aan het deel PE, begreepen tusfehen den Pool P en de Kromme LEM, waarvan men de Raaklyn kan trekken. Hst is zichtbaar, dat, zo V b oneindig dicht by PB is, en men zich voorftelt, dat de kleine boogen E/, Ad, Bc uit het middelpunt P befchreeven zyn. de aangioeijing cb gelyk zal zyn aan da en fe faamen genomen. Laat co gelyk zyn aan dat dan zal de lyn B» een boog van eene gemeene Conckoide zyn, befchreeven. uit den Pooi P met haare hellende Ordinaten, die ftandvastig gelyk zyn aan B A. Derhalven zal men haare Raaklyn hebben door hetgeen in het voorgaande voorbeeld gezegd is; laat deeze Raaklyn BN zyn, welke den Perpendiculair P K op PB in N ontmoet ; 'er blyfe dus nog overig te vinden de betrekking van bo of fe tot B 0. Nu is deeze betrekking faamengelteld uit die van fe tot ƒ E, van /E tot Be, en van Bc tot Bo. De eer' öe is de zelfde als die van I'Q tot PN, als men door het punt N de evenwydige N Q aan de Raaklyn K E trekt; de tweede is die van PE tot PB, en de derde die van PN tot NB. Derhalven heeft men door faamen(telling deezer redens, ob : 0 B :: P QxP E:PBXN B , of 0 B : 0 b:: PBxN B : P QxP E. Indien men derhalven in den hoek O B N een Parallelegram befchryft, welks zyden deeze betrekking hebben , zal deszelfs Diagonaal evenwydig zyn aan de Raaklyn in her punt B. Doch als men BN voor één van die zyden neemt, zal de ardere,
PQXPE,
in de richtftreek BO, gelyk gevonden worden aan —~-—
waar uit deeze vry fierlyke Conflructie voortvloeit: neem J5 0 een vierde - evenredige' tot PB, PQ en PE, trek ON, en door het punt B eene evenwydige aan N O, deese zal de gezochte Raaklyn zyn.
D 5 Even



53 HISTORIE de»
Fluxien aan: Roberval begreep zelfs deeze overëen komst, en maakte dezelve toepasfelyk tot dko me Lynen, op eene zeer ultknS\gT£z^ waar n geen onderirelling van Oneindig -kfeneS vloeide. Men kan zich daar van verzekeren dool de befchouwing van de verfebeidene Voo beelden zyner Verhandeling. Doch wy denken nieT,S
zulks
Ka.,klyn van de Quadmrix vinden. Want iaat A B F Otg. ,80 eene 0Müfmr« zyn bercnresaenn ƒ BE duurigedrorfnydmgeener lyn , die met eeneVnraaatfae 2™ haarnZdl'e eve™y«^ beweeging langs C l TX 5";^! gevoerd wordt! met dln Straal CB,
hSL£ GSn,e '""^aandeen gelykmaatige bewee»in*elfden ^n halven-omtrek door' L , tee,IDg Zlet men » daf bet befchryvend
eene oWSk? £*• tWee ^S*»*" gevoerd AAt. eene dfc.als fc.f «, en eene andere als AE. Maar E i flaat tot^Ein faamengeftelde reden van Ei of F/co GV *n van tot * E. Nu zyn deeze twee redens ge^eev nt want door de teeling va„ de Kromme (laat F/ tot Ci als de ZW*r tot den halven-Omtrek, of dé Straal foc het Ogadrant; en G * flaat tot ft E , als de Straal tot EC Dus flupE, tot ft E in faamengedelde reden van die dw Straals CD tot fife ^ DB, of van C E tot het tC, met den Stra.1 CE befchreeven, en van die van cg tot CE. Als men nu deeze twee redens taamenftelt. worden dezelve gebragt tot die van CD tot het Onldrant met den Straal CE befchreeven. De ^rulliThtu^ maklyk: men heeft flegts op den Straal C E een PerpendifJX?Ji rVukrtn' ge,yk aan het Ou^rant, dac met fifLl r'n t! bn!fchreeve" wo'd « F* gelyk aan den vt S£ ? f eJnen' daD zuilen de beide lynen KT, VT, refpectivelyk evenwydig aan E F, CE elkander ontmoeten ,n een puntT, waar door deRaakly'n zaigaan Sn 2 nd»,u't.befl«i«n. d"de Raaklyn in het punt D
f£ trtt haaren As °P eenen a^a"d van £t middelpunt ontmoet: die gelyk is aan het Quadrant D B.
2Sp?ud 1s-c-v ge,yk aan dac en de pm>
ten Ten V vereenigen zich dan op den As



WISKUNDE, lil. Deel. I. Boek. 59
zulks de eere van Newton in 't minst kan krenken, tiet is 'er in de daad verre van daan, dat Roberval aan zyne Leerwyze de uitgebreidheid heeft kunnen geeven , waar aan dezelve onderhevig was. De ontdekking van dat giondbeginfel was in zeker opzicht eene niet zeer moeijelyke taak: men moest nog een gemaklyk middel vinden, om in elk punt van eene Kromme de betrekking der fnelheden te vinden , waar uit de middelbaare richtftreek van het beweeg* lyk punt, dat dezelve befchryft, faamengefteld is. Ook bepaalde Roberval de Raaklynen niet, als in zekere byzondere gevallen, waar in die betrekking gemaklyk ontdekt kan worden. Zelfs moest hy in de bekendfte Krommen die van haare eigenfehappen kiezen, welke zich het gemaklykst laaten bemerken : in de Kegelfneeden, by voorbeeld, bepaalde hy de Raaklyn niet door de betrekking van den Ordinaat tot üeAbfcifie; maar hy bediende zich tot dat einde van die der lynen, uit de brandpunten tot de Kromme getrokken, zo als wy boven hebben doen zien. Wanneer men dus in eene Kromme de eigenfehap niet kende, welke die betrekking by. na onmiddelyk aan de hand gaf, dan was zyn Kegel onder zyne banden niet toereikende, en hy konde alsdan de Raaklyn niet vinden.
Wy zullen ons van deeze gelegenheid bedienen, om den perfoon en de Schriften van dien Meetkundige van nader by te leeren kennen. De Heer de Roberval, wiens eigen naam Pcrfonne is, kwam in 't jaar 160a te Roberval, een Dorp in 't Bisdom Beautais, waarvan hy zynen naam ontleend heeft, ter waereld. Hy kwam in 1627 te Paryx, alwaar hy met de Geleerden van die Stad kennisfe maakte., onder anderen met den Vader Merfenne, en begon kort daar na eenen rarg onder de Meetkundigen te houden, zo als blykt uit zyne vindingen, welke wy zo even voorgedragen hebben. Hy hadt hevige gefchillen met Defcartes, tegen wien hy zich altoos als een vyand gedroeg; en, wy mogen het niet ont<veinzen, hy toonde in de meeste van die gefchillen



*° Hïl S T O RJIJE J'd e r
SiShSf ^ dan S^eid en liefde voer Men heeft van den Heer de Roberval verfcheide Schriften, doch geen derzei ven is geduurendezvn leven eer drukpersfe bevorderd. De Heer S r«
gemaakf inr'deendV ^ ^ ^ openbt gemaakt, jfl de \ erzameling van verfcheide We.-
ren vin t ?°N«™*»»4'> dooïde He"" ren van de Konroglyke Academie der Weeten-
EIS „Vn l J -Zel^e °P nieUw in het z^de iJeei van de Memorien der Academie voor de ver
meuwing gegeeven. Men vindc daarin aanLnds
ïicn Sr men/e^s den korten inhoud gezien heeft, eene andere rot tytel voerende. De «.
ff «>»/&•««. mqrxatilmm, een Werk naar
geeitedldnkbeen^a? ^ H^' «? «~ ^«S ff L ' dat geheel met nood'g was in 't lichr
ren^tl^'j J'Ym Veldeling over de OndeeïZ Cnvn i< " Leerwvze overëcnkomftig met die van Cavalleri, waarvan hy de Uitvinder was, en welke
past, eindelyk die van de Trochois of de Cyció£ den dat °,nS zoa3"^s zal béz| hou!
de HePr VfT cA°°rb^aan aanmerken, dat de Heer de Roberval, fchoon hy een ervaren Meet. kundige was, niets minder bezat dan de kunst orn ayne denkbeelden met juistheid en naauwkeurig •fiffld voor te dragen. De Gefchriften , waar vin
^LP 5efcen» 'eeVeren daar van het bewyg. n daage de meest geoefende Leezers in de oude Leerwyze uit, om het tegen fommige van zyne bewyzen ÜIt te houden zo wvd!uf > "W™
zyn dezelve, tot zelfs in de vérklaaring. d A^l wa« ^n der Leden van de
Academie der Weetenfchappen ten tyde van lm? re oprichting in 1665. Hy bezat geduurende bvna veertig jaaren den Leerdoel van het Komnglyk Collegie, door Ramus geflicht, en welke, vol
gens



WISKUNDE. Hf. Deel. I. Boek. 6t
gens de Wetten van deszelfs Stichting, alle drie Jaaren weder vacant verklaard moest worden. Door die reden ontfchuldigt hy zich, dat hy eene meenigte treffeïyke zaaken, welke hy ontdekt hadt, lang verborgen hadt gehouden, en welke hy, zo hy zeide, voorde gelegenheid bewaarde, en om zich iiï zyne plaats te bevestigen. Maar ik denk veel eer dat zulks voortkwam uit zynen inborst, die geheimhoudend , en, zo ik het mag zeggen, eenigzins verwaand was. Hy is in de maand November van het Jaar 1675 overleeden.
I X.
Onder de byzondere' voorwerpen van nafpooring , welke de Meetkundigen in verfcheidene tyden werk verfchaft hebben, zyn 'er weinige die meer vermaardheid gehad hebben dan de Cyclois: haare talryke en t'eenemaal aanmerkelyke eigenfchappen zouden haar dezelve reeds waardig maaken, doch die vermaardheid ontftondt nog uit andere oorzaa» ken. Even als de twistappel was deeze Kromme niet zodra by de Meetkundigen bekend, of zy verwekte gefchillen ; en door eene foort van ongeluk zyn byna alle de ontdekkingen , welke ten opzichte derzelve gtdsan zyn, de gelegenheid tot eenige twist geweest. Om dié redenen denken wy dat onzeLeezers het-'ens dank zullen weeten, dat wy dit gedeelte onzer Historie met eenige uitgebreidheid voordragen (c).
De
(c) De Gefchiedenis van de Cyclois is door tweeSchry» vers fiamengefteld, waar van de Heer Pafcal de eerfte is. Zyn Werk, d3t ongemeen fchaars is, als zynde flegts Z'-stig Kxcmplaaren van hetzelve gedrukt, is niets minder dan eene Hiflorie, maar verleer etn lasterfchrift, faamengt flanst om de drift van Roberval, met wien hy zeer naatiw veibonden was, te begunftigen, tn van wien hy waarfcbvnlyfe alles wist dat hy daar in veihaalt; de andere
Ge-



62 HISTORIE der
De Cyclois is eene Kromme, welkers teeling gemaklyk te. bevatten is. Men verbeeldde zich eeri Cirkel, die op eene rechte lyn en ia een zelfde Vlak omwentelt, terwyl een punt vaD deszelfs omtrek, of algemeener binnen of buiten denzei ven genomen, een fpoor Op dat Vlak achterlaat; dit fpoor zal de Cyclois zyn. Alle dagen hebben wy voorbeelden van die teeling onder de oogen. De fpyker van een rad-, dat ronddraaic, befebryft eene Kromme, diegene volmaakte Cyclois zou zyn, als dat rad en delyn, waarop hetzelve omloopt, een Wiskundige Cirkel en eene Wiskunftige Lyn waren. In 't eerst noemde men dezelve Ttochois, een naam welke fomrnige Meetkundigeu indienvanRoltrek(icow. lette) veranderden; naderhand heeft men dezelve dien van Cyclois gegeeven, onder welken zy nog in onze dagen bekend is. Het is noodig van nu af aan aan te merken, dat de teelende Cirkel op deszelfs rechten Bafis eene meer of min groote lyn dan deszelfs omtrek met eene gelykmaatige beweeging kan doorloopen: jzuiks geeft aanleiding tot de verdeeling der Cycloïden in verlengde en verkorte. Deezs zyn de zelfde Krommen, als die welke befchreeven worden door een punt, binnen of buiten den omtrek genomen, terwyl de teelende Cirkel eene lyn doorloopt, welke aan dien omtrek gelyk is.
Sommige lieden hebben zich verbeeld de eerfte voetftappen van de C,clois by den Kardinaal de Cufa te zien. Deeze Meetkundige Prelaat, we'ke de Qjiadratuur des Cirkels waande gevonden te heb-
ben,
Gefchiedenis, die in 't Lityn is, is in 't Jaar 1701 ia 't Jicht gegeeven door Groninglus; deeze valt in het tegen* gettelde uiterfte. Hy fchync niets anders geraadpleegd te hebben, d3n de Msmorien, door de Italiianeu geleeverd. Wy hebben in de onderfciiaidsne gelchillen, by die gelegenheid ontftaan, de ftukken der beide partyen in acht genomen, en mesnen elk van deaelvea recht gedaan te nebben*



WISKUNDE. JU. Deel. I. Boek. 63
ben , liet in de daad eenen Cirkel op eene rechte lyn omwentelen, tot dat het punt, 't welk dezelve in 't eerst geraakt hadt, weder daar op viel; deeze was ook de handel wyze van zekeren Bovillus uit het Landfchap Fermandois, een gering Meetkundige van het begin der zestiende eeuwe, die zich deor eene gewaande Quadratuur des Cirkels ontëerd heeft. Maar men befpeurt, noch by den eenen, noch by den anderen, eenige befchouwing van de Kromme , welke het fpoor der beweeging van dat punt is. Galileus is het, die van de Cycloii het eerlte denkbeeld gehad heeft, want hy zelf zegt, in eenen Brief aan Torricelli in 1639 gefchreeven , dat by dezelve federt 40 Jaaren befchouwd, endoor haare bevallige gedaante bekwaam geoordeeld hadt, om tot de boogen van een brug te dienen. Hy voegt 'er by, dat hy eenige poogingen deedt om haaren Inhoud te bepaalen , doch dat by daar in niet konde flaagen. De volgende trek fchynt niet zeer loflyk voor dien grooten man; Als wy Tornceili mogen gelooven, viel het Galileus in eene Cyclois, op eene dunne en overal even dikke ftoffe befchreeven, te weegen, om dezelve met dea Cirkel te vergelyken, en dezelve fteeds minder vindende dan het drievoud van dien Cirkel, vermoedde hy in haare betrekking eenige onmeetbaarheid , die hem den moed benam om zich verder daar op toe te leggen- Te vergeefs hebben fommige lieden, welke geen Meetkundigen waren, (d), getracht hem te veröntfchuldigen door het voorbeeld van Archimedes, die, zo zy zeiden, eerst de Quadratuur van üen Parabool door eenen Mechanifchen weg vondr, alvoorens dezelve door eene zuiver Meetkundige handelwyze te vinden. Deeze verö'ntfchuldiging is t'eenemaal belachlyk; de eerfte handelwyze van Archimedes is om geen
an-
(d) Gronjngius. M. Carlo dati, leuera a i Fhiléethi, &c.



6+ HISTORIE der
andere reden Mechanifch genoemd, als om dat de*' zelve gevestigd is op de afgetrokkene grondbeginfeIen van het evenwïgt, welke tot de Weeiealchap van dien naam behooren, en heeft verders geen de minde overeenkomst met die van Galileus. Maar dit is genoeg over dit gedeelte der Gefcbiedenis van de Cyclois; al was dezelve den Kardinaai de Cu/a bekend geweest, zo als Wallis tracht te bewyzen, zou'er nog weinig aan gelegen zyn. 't Is geen groote verdiende dezelve opgemerkt te hebben: dan eerst is 'er verdiende in te vinden, als men de Voordellen, waar van zy het onderwerp is, kan oplosfen.
Tusfehen de'Jaaren ICI30 en 1640 begon men de Cyclois met een goed gevolg te befchouwen, en de Voordellen van hiaren Inhoud en haare Raaklynen werden in dien tusfehentyd voor de eerde maal in Frankryk opgelost. VVy zullen de bewyzen daarvan leeveren, na alvoorens verhaald te hebben, op wat wyze dezelve het voorwerp der nafpooringen van de Franfehe Meetkundigen wierdt. De V. Merfenne hadt dezelve, zegt men, reeds in 't Jaar 1615 befpeurd , door de beweeging van een rad te befchouwen , en getracht, doch zonder te (laageo, dezelve te quadtateeren. Verfcheide Jaaren verliepen vóór dat hy het genoegen hadt zyn Voordel opgelost te zien. In \6iH maakte hy kennis met Roberval, en delde het hem voor; doch deezen ontbrak toen nog de noodige bekwaamheid om het Voordel op te losfen; hy gevoelde dit zelf, zo hy zeide, en zonder zich daar mede vruchteloos op te houden, gaf hy zich over aan eene gegronde dudie der oude Meetkundigen, en in 't'byzonder van Archimedes. Zes jaren verliepen met dien arbeid of andere bezigheden, en het Voordel van de Cyclois was uit zyn geheugen gewbcht, toen Merfenne het hem weder indachtig maakte. 11 y viel hetzelve toen met de nieuwe krachten, welke hy in zyne Studiën verkreegen hadt, aan, en kwam het te boven. Hv bewees, dat de Inhoud van de gemeene Cyclois',
naa-



W IS K U N D Ë. III. Deel. I. Boek. 65
naamelyk die waar van de Bafis gelyk is aan den omtrek van den ceelenden Cirkel, het drievoud van den Cirkel is. Hy vondt insgelyks de meeting der andere verlengde of verkorte Cycloïden. Naardien 'er tusfehen het eerfte voordel van dit Problema en deszelfs oplosfing zes Jaaren verloopen waren , zeiden de Vyanden vin Roberval, dachy dien gantfehen tyd in den zwaaien arbeid gebleeven was, om zyne ontdekking ter waereld te brengen.
De V. Merfenne, in 'tjaar 164.7 fchryvende, geeft aan de oplosïing des Voorilels van den Inhoud der Cyclois de tydltelling van het Jaar if>3i. Msn kan aan de oprechtheid van dien Vader niet twyffeien; doch vermits men zyn geheugen, of zyne ongemeene toegeeflykheid om aan de indrukken zyner Vrienden het oor te leenen, zou kunnen verdacht houden, neemen wy onzen toeviugt tot een ander bewys, dat aan die uitzondering niec onderhevig is. De V. Merfenne heeft in zyne algemeene Overëenftimming {Harmonie univerfelle), een Werk dat in 1Ö37 het licht zag (e) de ontdekking van Roberval over de Cycloïden van alle foort bekend gemaakt. Zo Wallis en de tweede Hiftoriefchryver van de Cyclois die bewyzen gekend hadden, zouden zy Italië de eere van de eerfte te zyn geweest, om den Inhoud van die Kromme te vinden , niet toegeweezen hebben. Want men ziet uit eenen Brief van Galileus, in 1640 aan Cavalleri gefchreeven, dat de Inhoud der Cyclois voor de Italiaanfchc Meetkundigen nog een geheim was (f), en zelfs dac hy de mogelykheid om dezelve te vinden hoopeloos Helde. Dit is eene zaak welke Torrkelhin eenen Brief, in 1646 gefchreeven , insgelyks heeft toegeflemd (g). De V. Merfenne maakte aan Defcartes, in 't begin
van
(e) T. II. nouv. obf. PhyC ob. XI.
(ƒ) Gron. hifl. Cyclaid. p. 13.
(g) Ibid. p. 35. v
&



66
HISTORIE der
van 1638, de ontdekking van Roberval bekend (h); doch dezelve hadt in zyne oogen de zelfde waarde niet, als in die van zynen Correfpondent, en dit is het begin der meenigvuldige gefchiilen, welke de Cyclois tot verfcheide maaien onder de Meetkundigen verwekte. Defcartes antwoordde, dat de opmerking derzelve in waarheid vry fraai was, en dat hy 'er nooit aan gedacht hadt; doch dat men deswegens niet zo veel ophefs moest maaken , en dat elk, die flegts middelmaatig in de Meetkunde bedreeven was, zich in ftaat bevondt datgeen te vinden, waar in Roberval zo veel eere ftelde. Hy zondt in den zelfden met haast gefchreeven Brief een kort bewys der betrekking van de Cyclois tot haaren teelenden Cirkel, 't welk hy in den volgenden Brief verder uitbreidde. Hy wilde door dat voorbeeld toonen, dat het Voorftel ver beneden hem was. Zodanig was in de daad zyne uitfteekendheid boven alle de Meetkundigen van zynen tyd, dat de vraagftukken, welke hen het meest bézig hielden, hem meerendeels flegts eenen middelmaatigen aandacht kosteden. Men kan, door zyne Brieven te leezen, zich gemaklyk daarvan overtuigen.
Roberval, door deeze beöordeeling van Defcartes gehoond, liet niet na te zeggen, dat hy in zyne oplosfing van 't Voorftel geholpen was door de kennisfe der uitkomst, welke hy moest vinden, en dac hy, zo hy dezelve niet geweeten hadc, daar in zou hebben kunnen misfen, of nog meer daar ra belemmerd zyn geworden. Defcartes zulks verneemende, zocht, om zyne uitfteekendheid boven hem door eenen nieuwen trek te ftaaven, de Raaklynen van de Cyclois, een Voorftel waar mede Roberval zich voorlang bézig bieldt, zonder daar in te kun. nen flaagen. Hy zondt daarvan de Oplosfing aan den V. Merfenne , met eene uitdaaging voor Roberval om dezelve te vinden. Het fchynt dat de Heer
de
(7;) Biievea van Defcartes, D. III. Ttief C6%



'IVIS K U.N D Ë. III. Deel. I. Boek. '67
de Fermat, met wien hy toen een vry hevig gefchil hadt, insgelyks in de uitdaaging begreepen was: deeze, wien rcien geenszins een vernuft byna gelyk ain dat van Defcartes kan ontzeggen, loste het Voorftel zeer algemeen op: doch Roberval bleef 'er voor liaan, of kwam niet als met veel moeite de zwaarlgheid te boven, als wy uit de Brieven van Defcartes daarover mogen oordeelen.
De Heer Pafcal. die ecu vriend van Robervalwzs, en' die zyne berichten over de G^fchisdenis van de Cyclois waarfchynlyk alleen van hem hadt , zegt, dac de haHlarrigheid van Defcartes alleen hem verhinderde de handen te flaau aan de oplosfiog via zyne tegenparty; doch als men verfcheide 8 van dien VVysgeer leest, als de een-en-negeutigfte en de twee-en-negentigfte van het tweede Deel» en de vier-en-zestigile, vyf-en-zestigfce en vier-entagtigfte van het derde Deel, zal men byna niet kunnen twyffelen aan de zaak die wy voordragen. Deeze Brieven bewyzen duidelyk, dat Roberval vergeeffche poogingen deedcom het Voorftel optelosien ; dat hy vyf of zes verfchillende üplosfingen van hetzelve zondt, welke hy verfcheide maaien veranderde, even als een man die in 't wild fchermt; dat eindelyk Fermat de zyne gezonden hebbende, die naar allen fchyn onder de handen van den V. ikferfenns ruchtbaar werdt, hetgeen zy, welke den inborst van dien Vader uit zyne Brieven en Schriften kennen, ligtelykzullen gelooven , /ioferva/eeneOplosfing faamenftelde , waarvan Defcartes hem te vergeefs aanmaande het bewys te geeven. Hetgeen de Heer Abt Galois in de LVlemorien der Academie van 1692 gefchreeven heeft, naamelyk dat Roberval het eerst de Raaklyn van de Cyclois vondt, wordt door de voorgaande aanmerkingen t'eenemaal omvergeftoten. Üe Heer Galois, voormaals een vriend van Roberval, fprak zonder twyffel niet als in gevolge hetgeen deeze hem verhaald hadt: nu is het natuurlyk te denken, dat hy verre daarvan was om zyne uitvlugt te bekennen, en zelfs, als men daar van E 3 oor-



«8 HISTORIE de n
oordeelt naar de drift, welke hy altoos in zyne geJchillen met Defcartes mengde, dat hy een man was, die het 'er tleeds op toeleide om zich zelven de overwinning toe te eigenen. Doch niemand van hun, welke de boven aangehaalde ftukken geleezen hebben, zal twyffelen, dat Defcartes en Fermat niet, ten rainften in den zelfden tyd als hy, de Raaklynen der Cyclois- gevonden hebben, en dat de eerfte het Voorftel niet met eene zeer groote algemeenheid heeft opgelost.
In de daad de Leerwyze, door Defcartes voor de Raaklynen der Cyclois gegeeven, (.trekt zich in 't algemeen uit tot alle de Krommen , door de omwenteling van eene andere op eenigen Bafis, het zy rechte, het zy kromlynige, gevormd, en waar ook het befchryvend punt, binnen, buiten, of op den omtrek der teelende Kromme zy. Dezelve is ook zeer merkwaardig dcor haare eenvoudigheid. Defcartes toont aan (i), dat zo men uit het punt (Fig, 19.-), waarvan men de Raaklyn zoekt, een lyn toe dat van den Bafis trekt, 't welk door de teelende Kromme geraakt wordt , terwyl zy hetzelve befchryfr, deeze lyn perpendiculair op de Raaklyn zal zyn. De reden, welke hy daar van geeft, is ligt te bevatten : indien men eenen veelhoek deedt omwentelen , zou de Kromme, welke eenig punt van het zelfde Vlak zou befehryven , uit even zo veel Sectors eens Cirkels faamengelteld zyn, als dezelve hoeken heeft» Maar eene Kromme kan als een Veelhoek van een oneindig getal zyden befchouwd worden. Derhalven zal de Kromme , welke die Veelhoek metéén van deszelfs punten, door achtervolgens op eenigen Bafis te vallen , befehryven zal, eene Figuurzyn , die faamengelteld is uit een oneindig getal Sectors, waar van ieder zyn middelpunt zal hebben in de raaking der teelende Kromme met den Bafis, en de onëindig kleine boog in het punt,
dat
O) Brief 65. D. II.



WISKUNDE. III. Deel. I. Soek.
dat in den zelfden tyd befchreeven wordt: de Raaklyn is derhalven perpendiculair tot den Straal van dien 'Sector, en by gevolg tot de lyn, die uit het raakpunt tot het befchreeven punt getrokken wordt. Dit onderfteit, gelyk men ziet, dat de teelende Kromme op eene lyn, die aan dezelve gelyk is, omwentelt; doch als men onderftelde, dat dezelve in die beweeging een weinig uitglipte, zou het echter gemaklyk zyn den regel daar toe uit te breiden (k).
fin
(«) 'Zie hier de wyze op welke men in het mi voorgeftelde geval de Raaklyn zou bepaalen. Laat ons onderfteilen (Fig. 21), dat de Kromme H D door het punt D be« fchreeven zy, en d«. terwyl de teolends Kromme G A D op de rechte lyn HS valt, dezelve altoos gelykelyk uitwykt, zo dat elke kleine zyde van die Kromme, als AB, in plaats van «p een gelyk gedeelte van den Ba/is kb te vallen, de hoeveelheid cb uitwykt, welke de zelfde betrekking heeft tot den Bafis Aft, als de lyn HK, die aan de geheele Kromme GAD gelyk is, tot KS, welke de boeveelheid is, die zy in haare geheele beweeging uirwykt. Om de Raaklyn der Kromme HD in het punt D te vinden, merk ik aan, dat, zo 'er gcene uitwyking was, de beweeging van het punt D zou plaats hebbent in den boog D/, welke de Bafis is van den oneindig klei. nen feBor DA'F, wiens hoes gelyk is aan den hoek BA#. Ooch dit punt heeft in den zelfden tyd eene he. tizmtaals bewee^ing De, die gelyk aan cb is. Men moet derhalven de betrekking van die beide beweegingen vinden, hetgeen aldus gefchiedt. De betrekking yan Df tot Deofci, is faamengelteld uit deeze drie, naamelyk die van D/totB», van B& tot BA, en van BA tot cb. Maar de eerfte is de zelfde als die van DA tot AB. De tweede is gelyk aan die van B A tot A O. (A O is de kromteftraal in het punt A, hetgeen van eene Theorie afhangt, welke men in't vervolg zal zien). Eindelyk Haat BA totcö in gegeevenereden, naamelyk die van HK totKS; dus zal men, door faamenftelling deezer redens, vinden, D/:De: :DAxHK:AOXKS. Dereden van Df:De is .derhalven gegeeven; en zo men in den hoek EDF een E 3 P«-



7© HISTORIp der
In het geval der gemeene Cyclois ziet men gemaklyk uit het bewys van Defcartes, dat de Raaklyn QT ( Fig. 20.) evenwydig aan de pees AP if, en dat de Raaklyn tot den Cirkel die van de Cyclois ontmoet, zodanig dat PT gelyk is aan PQ, af aan den boog AP. Aldus loste Fermat dit Vooiftel op , en hy voegde 'er nog by, dat, wanneer de Cyclois verlengd of verkort is, het Segment PT üaat tot den boog A P of den Ordinaat PQ, als de omtrek des teelenden Cirkels tot den Bufis. Defcartes maakte ter zeiver tyd eene aanmerkir g, welke men niet behoort te vergeeten: naamelyk dat de verkorte Cycloïden zich binnenwaarts buigen, en dat de verlengde, die in 't eerst aan haaren As naby den top ingebogen zyn, als men nader by den Bafis komt, uitgebogen worden, Ky leerde ook het middel om de plaats te bepaaien , alwaar deeze verandering van kromte of lichtftreek gefchiedt.
Alles wat wy nu verhaald hebben is ten langden in het begin des Jaars 1630 voorgevallen: zulks bewyst zonder tegerfpraak de dagtekening eens Briefs van Defcartes rl). Dus kan de ouder dagtekening der Franiche Meetkundigen, in hetgeen de Oplosfing van die Voorftellen betreft, niet in twyfFel getrokken worden. Laat ons tot Italië overgaan, alwaar wy gezien hebben, dat men in ,i 't
Paral Ulogram befchiyft, welks zyden in de nu gevonde? «ie betiekkiig zyr, zal deszelfs Diagonaal de richtftreek van de Raaklyn 7yn.
JMcn zgu deeze Raaklyn nog op eere andere wyze kunnen vinden, nasn < lyk door te onderftellen, dat de kleine zyde Di der voorgefkk'e Kromme een deel was van eene veilergde tf verkorte Cyclois, welkers middelpunt van den teelenden Cbke) in het punt q zou zyn; maar wy vergercegtn ons n;et dit ander middel, welks veïklaaring var een te IsrjfEtn ct'fm ?ou zyn, flests aan te wyzen.
(ft De 84*. van Deel III.



W ISKUNDE. ÏII. Deel. I. Boek. 71
lt Jaar 1640 nog flegts de geringe kennis der teeÜDg van de Cyclois hadt.
Merfenne, die met de meeste Wiskundigen van Europa Correspondentie hicldt , kwam , zo het 1'chyot, omtrent het Jaar 1639 op den inval om aan Galileus te fchryven, en hem over de bepaaling van den Inhoud der Cycloit, als van een Voorftel 'twelk de FranfcheMeetkundigen bézig hieldt, te fpreeken. Men zou geen den minften grond hebben om daaruit een bewys te trekken , dat dit Voorftel nog niet in Frankryk was opgelost, zo als fommige voorbaarige of kwalyk onderrichte lieden gedaan hebben , vermits wy een Boek, in 16371 gedrukt, bygebragt hebben, waar in men de Oplosling van hetzelve vindt, 't Was eeniglyk uit achting, dat Merfenne, aan Galileus fchryvende, zich in die bewoordingen uitdrukte; de voorgeftelde Vraag zou anders eene uitdaaging gefcheenen hebben, en zulks zou eenen weezenlyken hoon voor dien grooten man zyn geweest, uit aanmerking van de dienften, welke hy der Wiskunde beweezen hadt, en zynen zeer hoogen ouderdom. Galileus fchreef derhalven omtrent het begin des jaars 1640 aan Cavalleri. Men heeft een gedeelte van zynen Brief (m), hy coodigt hem daar in op nieuw tot de nafpooring van den Inhoud der Cy.dols, ik zeg op nieuw, want hy hadt, zo het fchynt, zulks reeds uit eigene beweeging gedaan, door eenen Brief in 1639 gefchreeven. Maar hy hadt het genoegen niet dat Voorftel opgelost te zien, noen zelfs te weeten, of hec ergens opgelost?was geworden; hetgeen hy in een zyner Brieven ernltelyk vraagde. Cavalleri , alhoewel een fchrander Meetkundige, bleef 'er voor ftaan, en Galileus ftierf in 1642. Torricelli en Viviani, zyne laatlte Leerlingen, en zyne Vrienden in zynen hoogen ouderdom, na zynen dood vernomen heb-
ben-
(m) Groning. Hifi. Cvcloid.
J24



72 HISTORIE des
bende de hem gedaane uitnoodigingen om aan dat Voorftel te arbeiden, beproefden hunne krachten aan hetzelve* Torricelli vondt den Inhoud, en Vi. viani de Raaklyuen (n); de eerfte ontfing deswegens m 't begin van 1643 de gelukwenfchingen van Cavalleri, welke bekende, dat hy vergeeffche poogingen hadt aangewend, orn de zwaarigheid van het voorltel te boven te komen (0). Torricelli het toen zyne Werken drukken; hy voegde in hetzelve by wyze van een Appendix hetgeen men in Italië over de Cyclois gevonden hadt. Men kan niet loochenen, dat t orricelli en Viviani aan geene zyde der bergen een Voorftel hebben kunnen oplosfen , dat reeds aan deeze zyde was opgelost, cn wyl Roberval zo jaloers over zyne ontdekking was, was het hem genoeg zyn recht op dezelve door eigengeloofwaardige bewyzen te ftaaven, in plaats van den langdraadigen en beuzelagtigen Brief, welke hy aan Torricelli Ichreef, en waar in hy de bondige redenen, vvelke hy kende bybrengen, als het Boek van Merfenne, in1637 gedrukt, niet heeft weeten te doen gelden. Du bewy* zou krachtiger geweest zyn. dan alle 'ynetcgenftiibbelingen, en de wydloopige geIchiedenis, welke hy van zyne nafpooringen over de Cyclois bybrengt. Niemand is onbewmt , dac men in twjstgedingen op de ftukken, door de partyen \oorgedragen, geen acht flaat, als in zo verre dezelve op bewy/en gegrond zyn.
De Heer Pa/cal zegt, in zyne Gefcbiedenis van de Cyclois, aar <oen Roberval omtrent het Jaar 16-34 den Inhoud van die Krcmme gevonden hadt, Merfenne hem verslaande om zyne oplosfing een Jaar lang verborgen te houden, en dat hy alle de Meetkundigen yanliu.ora aanfpoorde om dien te zoeken. Bei. de die zauken fchynen my weinig naauwkeurig te
zyn.
O) Leitre de Torricelli § Rohtvel, anciens Mém. de 1Acac T. VI. («) G;oning, Bijl. Cycloid.



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 73
zyn. Want vooreerst fc'nynt Defcartes geen kennis aan dat Voorftel gehad te hebben, als omtrent het Jaar 1Ö38, toen Merfenne hem de eerfte maal daar van fprak, en'er is geen de minfte waarfchynlykheid , dat deeze Correfpondent van onzen Wysgeer vergeeten zou hebben, hem in den rang der eerfte Meetkundigen van Europa te ftellen. Ten tweeden fchynt de tydftelling van 1634 my vroeger dan de waare tyd te zyn. Want Merfenne verbetert op het einde van zyne Harmonie univerfelle, welke in 1637 het licht zag, in gevolge de ontdekking van Roberval, hetgeen hy in 't eerfte Deel over de Cyclois gezegd hadt, die hy toen voor eene Ellips aanzag. Het blykt dat hy eerst in 't Jaar 1638 voornam aan eem'ge Meetkundigen te fchryven, ten einde hen aan te fpooren om den Inhoud van die Kromme te zoeken. Pafcal gaat voort, en zegt, zonder bewyzen by te brengen, dat omtrent het Jaar 1638 aan zeker Heer de Beaugrund, een Wiskundige die door Defcartes zeer kwalyk gehandeld werdt , en met recht , fchoon de V. Merfenne hem een zeer fcherpzinnig Meetkundigenocvot, de bewyzen der ontdekkingen , welke men in Frankryk over de Cyclois gedaan hadt, verzamelde, en, na dezelve eenigzins onkenbaar gemaakt tejhebben, aan. Galileus in Italië zondt. Deeze zaak fchynt my ten gevalle der drift van Roberval,\w\ wien Pafcaldie hadt,voorgedragen tu zyn; want Galileus fpreekt, in zyr.e Brieven aan Cavalleri, in 1639 en 1640 gefchreeven (/>), van deOyelois als van eene Kromme, waar van hy niet konde hoopen, dat ooit de maat gevonden zou worden. Niemand zal gelooven, dat deeze groote man, meer dan tagtig Jaaren oud, en met l auweren belaaden zynde, welke hy in de Locpbaane der Wiskunde geplukt hadt, zou hebben willen verbergen hetgeen hy dien aangaande vernomen hadt. Dus denk ik, dat men de Gefchiedenis des Briefs van den Het tde
Beau-
(p) Groning, Hifi. Cyclold.
E5



74
HISTORIE der
Beaugrand als een verdichtte! van Roberval kan aanzien. Pafcal zegt eindelyk, dat Torricelli na den dood van Galileus, zyne papieren doorfnuffelende, daar in de Bewyzen vondt, welke Beaugmncl hem gezonden hadt, dat deeze kort daarna üierf, en dat lirricelh zulks vernomen hebbende, en zich daar door verzekerd achtende van door niemand ontmaskerd te kunnen worden, in een Werk, gedrukt in 164.4, die bewyzen als de zyne verbreidde: de aanmerkingen , welke wy zoaanftonds gemaakt hebben, fchynen my gefchikt te zyn, om tegen deezen Iaatfteu trek des verhaals van Pafcal groote twyffelinp-en op te weipen. üeeze Hiftoriefchryver van delCyclois is niet naauwkeuriger noch minder partydig, wanneer hy, om de plundering van Torricelli te ftaaven van eenen Brief van herroeping fpreekt, welke door dien Meetkundige in i6.\6 gefchreeven is. Men zou zeggen,} dat Torricelli door dien Brief zyne misdaad bekend heeft. Niets is echter minder waarachtig dan dit.- men leest dezelve in de Gefcbiedenis der Cyclois van Groningius, en men ziet daar in niet anders, dan dat Tonicelii, het gefchreeuw van Roberval moede zynde, hem eindelyk fchreef, dat 'er wemig aan gelegen was, of het Voorftel der Cyclois in Frankryk of in Italië zynen oorfprong hadt genomen, dat hy zich geenszins de vinder van hetzelve noemde; dat men tot den dood van Galileus de maat van die Kromme in Italië niet geweeten, en hy dezelve uit Frankryk niet ontfangen hadt: hy voegde er by, dat hy de bewyzen, welke men hem betwistte, gevonden hadt, en dat hy 'er zich weinig aan bekreunde, dat men hem al of niet geloofde, vermits hetgeen hy zeide overëenftemmende was met het getuigenis van zyn geweeten; dat hy voor het overige, als men over die ontdekking zo jaloers was, dezelve aan elk die wilde overliet, als men hem die maar ;niet met geweld poogde te ontrukken. Zie daar een kort verflag van deezen voor gewenden Brief»van herroeping, die als een bewys der plundering van Torricelli is bygebragr.
Maar



WISKUNDE. III. Deel. I. Beek. 75
Maar wy zullen hier de Gefchiedenis eener twisc eindigen , waar in de hedendaagfche Meetkundigen geenszins het zelfde belang zullen Hellen. Het verhaal dat wy daar van gedaan, en met bewyzen geftaafd hebben, toont aan , dat Roberval 'er veel drift onder mengde, en dat Pafcal in de Gefchiedenis, welke hy daar van gegeeven heeft, niet minder partydigheid heeft doen blyken.
Na de Voorftellen over den Inhoud en de Raaklynen der Cyclois, betreffen de eerftenwelke zich alsdan voordoen, de Lighaamen, welke door haare omwenteling om haaren As en haaren Bafis gevormd worden. Roberval fchynt de verdienite gehad te hebben van die beide te vinden. De V. Merfenne maakte in id-U de reden van het eerfte dier Lighaamen tot den Cylinder van gelyke Bafis en hoogte, zynde die van 5 tot 8, aan Torricelli bekend; waarop Torricelli aanftonds antwoorde, dat hy het zeifde eenige maanden te vooren gevonden hadt. Wat het laatfte betreft, dat onvergelykelyk moeijelyker te vinden is, hier in floeg de Italiaanfche Meetkundige den bal mis, en Roberval bleef alleen in 't bezit van deszelfs maat ontdekt te hebben. Torricelli hadt gedacht, dat het tot zynen omf/efchreeven Cylinder ftondt, als 11 tot 18; deFranfche Meetkundige toonde aan dat hy gefeild hadt, en bragt de waare betrekking aan den dag (g).
De Heer de Roberval heeft lang daarna gezegd (>), dat hy in den zelfden tyd de grootheid van den boog der Cyclois gevonden hadt, en dat hy, alle zyne andere ontdekkingen over die Kromme aan den dag gebragt hebbende , deeze verborgen hadt gehouden ,
(5) Het bedoelde Lighaam (laat tot den omgefchreeven Cylinder, als de % van het vierkant des halven-omtreks, min het fderde-deel van het vierkant des Diameters, tot bet vierkant des halven-Ooitreks.
Cr) De Troehcïde.



ff HISTORIE dee
den, tot in den tyd dat Wren aaD zyne zyde daar toe geraakte. Doch ik denk niet, dat men op deeze betuiging eenigzins acht behoort te flaan. In de Waad, waarom heeft de Heer Roberval zyne ontdekking riet aan Pafcal medegedeeld , toen deeze zyne laatfte Voorftellen opgaf, onder welken de bepaaling der grootheid van de Cycloïdale Kromme gevonden wordt? Zyn Vriend zou htm daar mede zekerlyk eere aangedaan hebben ; in plaats dat hy, door dezelve by die gelegenheid niet aan't licht te brengen, zekerlyk afftand deedt van de eere, welke hem daar door ten deel konde vallen. Kon Roberval wel twyffelen, dat het Voorftel, door Pafcal opgegeeven, door hem zeiven opgelost zou worden, zo het door geen ander gedaan was ; en by gevolg dat hy, zo hy halftarrig daar by bleef om van zyne Ontdekking een geheim te maaken, door een ander zou voorgekomen worden?
De Theorie der Cyclois werdt in een tydverloop van omtrent 12 Jaaren, naamelyk van 1646 tot omtrent het Jaar 1658, met geene nieuwe waarheid vergroor. De Heer Pafcal was het , die dezelve toen weder op net toom el bragt. Deeze beroemde Meetkundige en Schryver, zoon van eenen Vader die zelf in de Meetkunde zeer bedreeven was, hndt van zyne tedere jongheid af verbaazende vorderingen in die Weeienlchap gemaakt. .Niemand kan onkundig zyn ten aanzien der weinig geloof baare gefchiedenis, welke van hem verhaald wordt. In den ouderdom van is jaaren was hy, zegt men, zonder Boek, en door de kracht van zyn vernuft alleen, tot de twee-en-dertigfte Propdiltie des eerften Boeks van Euclides gekomen. De Leezers mogen hier van gelooven wat zy goedvinden: wat my belangt, al moest my het zelfde overkomen als Paillet, die door eenige aanhangers van den Heer Pafcal gehekeld werdr, om dat hy over dien trek zyns levens eenigzins getwyffeld hadt, ik kan geenszins ontveinzen , dat ik dien trek verdacht houde van al te breed uitgemeeten te zyn. Hetgeen men echter den
Heer



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 17
Heer Pafcal niet kan ontzeggen is, dat hy reeds in eenen ouderdom, waar in doorgaans de fchrandere vernuften nog niet weeten wat de Meetkunde is, een Meetkundige, en wel een groot Meetkundige was. In den ouderdom van 16 Jaaren maakte hy eene Verhandeling over de Kegelfneeden , waar in alles wat jipollonius beweezen hadt zeer fierlyk uit een eenig algemeen Voorftel werdt afgeleid (r). Deeze Verhandeling werdt aan Defcartes gezonden, die niet konde gelooven, dat dezelve het Werk was vaneen Jongeling van {6 Jaaren, en dus dezelve liever aan de Heeren Pafcal de Vader, en Defarguef wilde toefchryven. Doch behalven dat wy in deeze eeuwe voorbeelden van die vordering in de Meetkunde hebben, zo weinig evenredig aan het getal der Jaaren, zyn 'er in het leven van Pafcal zodanige trekken, welke dit voorval waarfchynlyk maaken. Men kan zulks ligtelyk gelooven van hem, die het Rekenkundig Werktuig in den ouderdom van 19 Jaaren heeft uitgevonden. In de daad de Heer Pafcal was niet ouder, toen hy dat kunftig Werktuig verzon, dat alsnog, door de faamengefteldheid van deszelfs deelen, en de vinding, welke men daar in ziet uitblinken , de verwondering der grootfte verftanden opwekt.
De Heer Pafcal hadt 11 Jaaren vóór zynen dood de Meetkunde eenigermaate laaten vaaren, om zich eeniglyk aan gewigtiger Studiën, als die ran den Godsdienst en de Zedeleer, over te geeven. Maar de V\ iskunde is voor hen, die dezelve eenmaal gekend hebben, eene geliefde Minnaares, met welke veel vermogendebeweegredenen de vriendfchap kunnen doen breeken, doch die men echter niet geheel
(1) Quid de binis Pafcalibus dixera, patre in omnibus Maxhetnaticis apprimè verfoto qui mira de trianguiis de. monflravit, fitio qui unieapropofitiot.e qvndrir.getitis corrollarüs flipaiA omnia Apolhnil conica comprehendit'i MeifeEire, Haim, univ.



73 HISTORIE der.
heel en al vergeeten kan. De Heer Pafcal ondervond t, zo het fchynt, een dergelyk zwak voor dezelve. Men ziet zulks uic zyne Brieven aan den Heer de Fermit, met wien hy in 1654. verfcheide Vraagftukken over de Combinatiën en de Kansrekening onderzocht; hetgeen weldra derwyzc toenam , dat het hem ftofte opleeverde $ot zynen Rekenkunjligen Driehoek (Triangle Arithmétique), een Werk dat na zynen dood, en wel in 'c jaar 16(55, het licht zag. De Cyclois eindelyk , want het is' tyd dat wy den draad onzer Hiltorie hervatten, was een nieuw voorwerp van verftroojjing, ik zou byna zeggen een nieuw voorwerp van afval, voor den Heer Pafcal. Hy begon die Kromme omtrent het Jaar 1658 grondiger te befchouwen. Zy die tot dus verre het voorwerp hunner nafpooringen van dezelve gemaakt hadden, hadden zich bepaald tot den Inhoud der geheele Cyclois , en tot de Ligiiaamsn, om dén As en den Bafis gevormd: de Heer Pafcal befchouwde de zaak algemeener, en trekkende eenigen Ordinaat, als F ti [Fig. 2*.), zocht hy den Inhoud en het zwaarheid;>-midde!punt van die Segmenten, als A H F; de grootheid der Lighaamen die zy maaken, door om den Ordinaat of den As te draaijen; hunne zwaarheidsmiddelpuiten, ,en eindelyk, hetgeen de zwaarigheid veel vergroot , die' der Segmenten van die Lighaamen, door een Vlak, gaande door den As van o'itt<ventèlmg, afgefneeden.
In 't bazit van die Voorftellen, zonder twyffjl de moeijelykfta , walken de Meetkunde zich tot nog toe "had;: voorgefteld, w:lde de Heer P./fcal het vermogen der Meetkundigen zyne cydgenooten ter toetfe brengen. Hy zondt hen eenen Crrculairen Brief, om hun tot da Opiosfiig zyner Voorftellen op, te wakKen. Hy verpoadc zjch om den earftaa , die dezelve zou oplasfen , veertig Pistoolen , en den tweeden twintig Pisrooien te verëerea; hy bepaalde dan eerften OctoWer van het zalfde Jaar als den tyd, w.»r ia de Oplosfin.



WISKUNDE. III. Deel. I- Boek. 79
gen,"met de in acht te neemen omftandigheden, om derzelver afleevering te ftaaven, overhandigd moesten worden. De Heer de Carcavi werdt als dengeenen benoemd , aan wien dezelve gezonden moesten worden. Wat hem betreft, hy verborg zich onder den naam van Dettonville, en het is onder dien naam, dat alle de Hukken, welke die Wiskundige uitdaaging betreffen, het licht zagen.
De door den Heer Pafcal vastgeftelden tyd verfcheenen zynde, zonder dat iemand zyne Voorftellen naar zynen zin hadt opgelost, bragt hy toen zyne Gefchiedenis van de Cyclois in 't licht, en gaf nieuwe Voorftellen belangende die Kromme op. Deezen betreffen de Oppervlaktens der Lighaamen en halve-Lighaamen, waarvan wy gefproken hebben, en de zwaarheids-middelpunten van die Oppervlaktens. Hy gaf, om dezelve op te losfen, tot den eerften January tyd, en verlengde tot zo lang den vergunden tyd voor de oplosfing der eerfte Voorftellen, en onder de zelfde Voorwaarden.
Zy die deeze Voorftellen niet kennen, als door hetgeen de Heer Pafcal daarvan gefcnreeven heeft, zyn in den waan, dat niemand anders dan hy de: zelve oploste. Maar na de befchouwing van verfchillende ftukken, heeft het ons toegefcheenen, dat die beroemde Schryver in het geval der meesten van diegeenen was, welke diergelyke uitdaagingen deeden. naamelyk dat hy geen lust hadt om de uirgeloofde fom te verliezen, en ongegronde zwaarigheden maakte tegens eene Oplosfing, welke men hem zondt. In de daad Wallis loste de eerfte Voorftellen vóór den beftemden tyd op. De Ridder Digby , den Circuiairen brief van Pa-* fcul door de tuslchenkomst van den Heer de Carcavi, omftreeks den 10 Augustus ontfangen hebbende, gaf daar van bericht aan den Heer Wallis. Deeze, reeds in flaat om de grootfte zwaarigheden der Meetkunde te overwinnen , begon aanftonds aan de bewuste Voorftellen te arbeiden, en
zona\



So HISTORIE dek-#3
—
zondt vóór het einde der maand zyne Oplosfing aan den Heer de Carcavi, benevens een Getuigschrift van een Notaris te Oxford, eene omftandigheid welke hy noodig oordeelde, om de dagtekening derzelve te ftaaven, by aldien eenige omfhndigheid de aankomst derzelve te Paryt langer dan den bepaalden tyd ophieldt. Pafcal ontfing dezelve den 23 September, en Wren antwoordende onder den naam van Dettonville, maakte hy hem den ontfang des Gefchrifts van Wallis bekend. Hy prees hetzelve ten hoogften, en zeide hem, dat hy met die Oplosfing voldaan was, dat hy alleenlyk gewenscht hadt, dat hy, in plaats van den daj; des vertreks door eenen Notaris van Oxford te laaten attesteeren, de aankomst en de depofitie in handen van den Heer de Carcavi door eenen Notaris te Parys hadt laaten aankondigen, hetgeen eene der omftandigheden was , welke hy door zynen Circulairen Brief hadt gevorderd. Hec was onder dit voorwendfel dat hy Wallis den prys niet bewilligde, welke hy gewonnen hadt. Maar deeze handel wyze, alhoewel overëenkomftig de Wetten der ftriktfte billykheid, zal, denk ik, de goedkeuring van veele lieden niet wegdragen. In eene zaak van die natuur, welke geheel ter goeder trouw was, was het zonder twyffcl genoeg, dat de Heer Pafcal zelf, zo als hy bekende , de Oplosfing van Wallis ontfangen hadt, om hem den prys te moeten toewyzen. Wallis klaagde mee bezadigdheid en als een onbaatzuchtig man, welke, door aan die Voorftellen te arbeiden, veel meer zyne eere, dan de winst' van eene geringe fom gezocht hadt. My is niet gebleeken, dat hy naar den prys der Voorftellen gedongen heeft , welken Pafcal naderhand in de maand October opgaf, het zy dat hy by tyds geen kennis daar van gehad heeft, of dat hy, afgefchrikt door de ongegronde zwaarigheid, welke men hem tegengeworpen haat, zich de moeite niet heeft willen geeven om aan dezelve te arbeiden. Hy gaf zyne Oplos,
fiOn



WIS.KUNDE. Ut. Deel. I. Boek. 8\
fingen in 1659 in 't licht, in eene byzondere Verhandeling, tot tytel voerende ie Cycloïde ff Cyffuïde, welke men ook in 't eerfte Deel zyner Werken vindt. f
Een ander Meetkuudige, wien de Fleer Pafcal > zo het my toelcbynt, geen recht geioe» deedt, is de Vader Laloubere. Deeze Jefuit van Touloufe, reeds bekend door een Werk, tot tytel voerende: Elementa Tetragonimifca, of Quad- circuï ff Hyp. fegmentorum ex datis ipforum centris gravitatis 'Cl hol. J051. in- 8vo ), dat veel geleerde en gegronde Meetkunde bevat, zondt den Keer Pafcal de opiosüng van zyne Voorftellen over de Ligha'tmen der Cyclois, en hun zwaarheids-middelpunt, vóór het einde des (aars 1658. Het bewys dat wy hier voor hebben fteunt daar op, dat de Heer Pafcal, hem meteenen Brief, gedagtekend den eerften fanuary 1659, antwoordende, over eene vermeende doohng m de rekening met hem in twist zocht te geraaken. Doch Laloubere fchynt mv zich desWegens genoegzaam te rechtvaerdigen, eh aan te toonen , dat het flegts eene misflag van overfchryving is, zo door te verzenden tot zyn gedrukt Gefchrift, t welk den 9january te Touloufe in 't licht kwam, en waaromtrent niet te vermoeden is, dat hy hetzelve geheel zou hebben verbeterd, en in drie of vier dagen laaten drukken, als door de vergelyking van andere omftandigheden. De Heer Pafcal echter met ze«rgeoegen zynde, om aan een Lui vau het Gezelfchap , waar roe Laloubere behoorde recht ce doen, bleef fteeds voorwenden, dathy zich vergist, en zyne dooling niet eerder erkend hadt, dan na dat hem dezelve onder 't oog was gebragt: hv zegt in eenige byvoegfelen tot zyne Gefchiedenis van da Cyclois veeie voor dien Jefuit van Touloufe fchandelyke zaaken, en naardien hy het vermogen bezat, om, zo als hy wilde, de reden naar zyne zyde te buigen, fcbeen zyne tegenparty 011 • gelyk te hebben. Het is wel waar, dat deeze VaF der



8f2 HISTORIE der.
der geen den minften grond hadt om op de Pryfenj door den Heer Pafcal uitgeloofd , aanfpraak te maaken ; hy hadt de eerfte Voorftellen niet vroegtydig genoeg opgelost, om 'er eenig recht op te hebben , maar hy hadt dezelve vroeg genoeg gemaakt, om meer recht te verdienen, dan die beroemde man hem daar voor deedt. Laloubere gaf zyne betrachtingen over de Cyclois in iéóo in 't licht, in een Werk , tot tytel voerende: Geometria promota in. feptem de Cycloide libris. Dit Boek is in alles uitmuntende door eene gegronde en verftandige Meetkunde. Behalven de Oplosfingen der eerfte Voorftellen van den Heer Pafcal, befpeuren wy in het tweede Boek eene zeer vernuftige befchouwiug. Laloubere onderzoekt in hetzelve de afmeeting der Kromme, welke op de oppervlakte eens rechten Cylinders afgefneeden zou worden met een Pasfer, welks onbeweegbaare punt in eenig punt C (Fig. fi3, 04.) zou zyn, en het andere die oppervlakte zou doorlopen. Hy noemt deeze Figuur Cyclc-Cylindrifch, en toont aan , dat zo dikwyls de opening zodanig is , dat de beweegbaare punt het uiterfte van den Diameter D bereikt, deeze Oppervlakte volkomen gequadiateerd kan worden, naamelyk dac dezelve gelyk is aan viermaal den Kechthoek D H G. Maar zo de beweegbaare punt dat uiterfte niet bereikt, zal de Figuur, van de oppervlakte des bewusten Cylinders afgefneeden, aan die van eenen bepaalden fchuinfehen Cylinder gelyk zyn. Voorts zou men veel geduld en veel tyd te verliezen moeten hebben, om op den inval te komen van in dat Werk, als mede in dat *t welk wy boven aangehaald hebben, te gaan putten. De byzonderheid'der Leerwyze, welke de Autheur derzelven gebruikt, en welke Leerwyze doorgaans de zelfde is, waar van Archimedes zich in zyne lVJechanifche Quadrattmr van den Parabool bediend heeft, de Vtrdrietige wydloopigheid , welke uit eene te groote liefde voor de Meetkundige ftriktheid ontltaat,
en



WISKUNDE. III. betU ï. ËoeL 8$
fch verfchëide andere dergelyke zaaken , zyn bekwaam om den onvertzaagiten Leezer daar van af te trekken.
Er waren rtog verfcheide andere Meetkundigen * welke aan de Voorftellen van den Heer Pafcal hunne krachten beproefden. De Ridder ChnfioffellVrert vondt de Rectificatie der Cyclois. Hy toonde aan , dat eenige boog van die Kromme , van den top af genomen, als A F (Fig. 22.) gelyk was aan het dubbeid der pees AD, zo dat de helft AB der Cyclois het dubbeld van den Diameter A C des teelenden Cirkels is. Hy ontdekte ook de afmeeting van de oppervlakte der Lighaamen rondöm den Bafis en den As, en gevolglyk het zwaarheids-middelpunt der Kromme zelve. Hy zondt alle die zaaken aan den Heer Pafcal, in eenen Brief gedagtekend den f2 October, dat is, volgens onzen ftyl4 den 2a. De Heer de Fermat bepaalde ook de grootte der Oppervlaktens , waar van wy zo even gëfproken hebben, en gaf by die gelegenheid, zegt de Heer Pafcal, eene algemeene en zeer fraaije Leerwyze voor de afmeeting der ronde oppervlaktens, waarvan wy op eene andere plaats een woord zullen zeggen. Maar niemand heeft , zo ver ik weet * de' moeijelyklte Voorftellen over de gemelde Oppervlaktens opgelost , naamelyk die welke betrekiy-k zyn tot de Oppervlaktens der Ligliiamen, rondöm evenwydigen aan den Bafis gevormd, tot de zwaar» heids-middelpunten Van die Oppervlaktens, en halVe-Oppervlaktens. Indien dus de Heer Pafcal het genoegen niet hadt zyne eerfte Voorftellen buiten het bereik der andere Meetkundigen van zynen tyd te zien, hadt hy ten minften het geluk te zien , dat hy alleen in ftaat was de Oplosfing van de laaiften te geeven.
Het begin des Jaars 165-9 gekomen zynde, maak. te de Heer Pafcal zich gereed om zyne Ophsfingen in't licht te brengen. Hy gaf dezelve kort daarna uit in een Gefchrift onder den tytel van Lettre dé A» Dettanville 4 M. de CatCavi, Men vindt daar in F 2 eer-



84
HISTORIE der
eerftelyk eene Leerwyze voor de zwaarheids-middelpunten van allerhande grootheden. Dezelve wordt gevolgd van eene Verhandeling , toe tytel voerende: DesTrilignes & de leurs Onglets, zynde eene algemeene inleiding tot de afmeeting der kromlynige Lighaamen. Hy onderzoekt daar in wat men in eenige kromlynige Figuur bekend moet hebben, om de maat te bekomen van de Lighaamen, voortgebragt door haare omwenteling*, zo om den Bafis, als om den As, hunne zwaarheids-middelpunten, en die der halve-Lighaamen, benevens de Oppervlaktens van die Lighaamen en halve-Lighaamen, en hunne zwaarheids-middelpunten. In de volgende Verhandelingen, welke tot tytel voeren, des Sinus du quart de fcrcle, £? des ares de eerde, houdt hy zien bézig om in de cirkelvormige Figuur de verfchiilende dmgen te bepaalen, welke hy betoogd heeft voor de Oplosfing der bovengemelde Voorftellen noodig te zyn. Lindelvk, na aangemerkt te hebben, dat de Ordinaat óevfyclois zich iu twee deelen oplost, waar van het eene de Ordinaat des teelenden Cirkels , en het andere de overëenkomftige boog is, hervat hy alle die dingen, en toont aan, dat by iu de voorgaande Verhandelingen alles gegeeven heeft, wat voor de Oplosfing van zyne Voorftellen over die Kromme noodig is. Het moeit ons, dat de ongemecne vruchtbaarheid onzer ftoffe ons niet toelaat de gehee'e handelwyze van den-Heer Pafcal breeder te verklaaten. Het zou niet mogelyk zyn zulks te doen, zonder verfcheide blad?yden daar mede te vullen, en wy zyn genoodzaakt dit ftuk, fchoon van het uiterfte belang, aan de kortheid op te offeren.
De Oplosfing, welke de Heer Pafcal van zyne Voorftelfen geeft, wordt van eenige andere Meetkundige Cefchriften gevclgd, waarvan het eene by ons tegenwoordig onderwetp te pas komt. Hetzelve betreft de Rectficeermg der Cyclois , zo gemeece» verlengde, als veikone. Pafcal toont
daar-



WIS K U.N D E.TII. Deel. I. Boek. S5
daarin door eene algemeene Leerwyze aan, dat alle die Krommen gelyk zyn aan halvc-omtrekken van eene Ellips, waarvan hy de onderling toegevoegde Asfen bcpaalr. Dit wederfpreekt geenszins de ontdekking van Wren, volgens welke de gemeene Cy ■clois het viervoud van den Diameter des teelenden Cirkels is. Het gebeurt in de daad in dit geval, dat de kleine As der Ellips nul is; bet geen maakt dac haar omtrek op haaren grooten As vair. Dus is hetgeen Wren door eene byzondere Leerwyze gevonden hadt flegts een gevolg van die van deD Heer Pafcal. Deeze overeenkomst der Cycloïdale Krommen met de Ellips wordt met behulp der IntegraalRekening gemaklyk betoogt. Want de Differentiaale uitdrukking, of die van het element dier Kromme, js volflrekt overëenkomilig met die van het element des Elliptifchen boogs-
Schoon de maat der geheele Cyclois van de Q >adraiuur des Cirkels afhangt, kan men echter verfcheide van haare gelyke gedeeltens op rechtlynige tusfchenwydtens vinden. De Heeren Wren en Huyghens hebben daar van het eerfte voorbeeld gegeeven , door aan te merken, dat de Ordinaat, welke de helft des Straals van den top veiwyderd is, een Segment aflhydt, dat gelyk is aan den gelykzydigen Driehoek, in den redenden Cirkel befchreeven. Üe Heer Leibniiz heeft in laater tyd gevonden, dat zo men uit den top eene lyn cot het einde van den Ordinaat, door het middelpunt gaande, trekt het Segment A dl (Fig. 25,) volftrekt geguadratecrd konde worden, en gelylc zou zyn aan de helft van het omgefchreeven Vierkant. Maar dit alles is begreepcn in de volgende ontdekking van den Heer Jan Bernoulli (t). Als men, zegt die geleerde Meetkundige, aan beide zydeo van het punt, dat de naafte Straal aan den top in twee gelyke deelen .deelt, twee Ordinaten op gelyke afftanden neemt,
als
(0 Act Lipf. 1,690. Bernoulli Op. T. I, p. 322. F 3



85 HISTORIE der
als Fe en DS, of Ee en Dd, en de lyn E S of Ed trekt, zal liet Segment eAÜ, of ed, volftrekc gequadrilleerd kunnen worden, dat is te zeggen, hei zal in het eerde geval gelyk zyn aan de fom der Driehoeken F HE, GDH, en in het tweede aan hun verfchil. Als derhalven de punten vaq E en D, geduurig nader tot het punt B komende,' zich met hetzelve verëenigen, zal het Segment eAS dat van Wren en Huyghens worden; zo in tegendeel de punten E en D, zich gelykelyk van ii verwyderende, eindelyk het eene in A,en het andere in C komen, zal men zichtbaarlyk het Segment van Leibniiz hebben. De Heer Bernoulli leert ook op wat wyze men door Stelkundige Vergelykingen een onëindig getal Cycloïdale ftukken, tusfehen twee Ordinaten belloten, welke eene volllrekte Ouadratuur onderhevig zyn, kan vinden. Men kan'achter het Stuk, dat wy aangehaald hebben, fommige andere Schriften zien , welke die (toffe betreffen , en waarvan eenige van den Heer zfacobm Bernoulli zyn. De verlengde of verkorte Cycloïden hebben desgelyks ruimtens, welke volïtrekt gequadrateerd kunnen worden; de heer Bernoulli toont aan hoe men dezelve kan bepaalen, en in welk geval zulks mogelyk is.
Het onderwerp waar over wy ihandeitn eischt, dat wy hier nog, ten minften op eene hiiïorifcbé wyze, eenige andere beruchte eigenfchappen van deeze Kromme te berde brengen. Men kan zegr gen, dat in de Meetkunde weinig Krommen zyn, welke merkwaardiger eigenfchappen hebben. De Heer Huyghens beeft getoond, dat de ontwondene van de Cyclois zelve eene Cyclois was, doch flegts in eene tegenfteide richting geplaatst: wy zullen op eene andere plaats een duidelyker denkbeeld van die eigenfehap geeven , wanneer wy de Theorie der OntwoDdenen zullen verklaaren. De zelfde beroemde Meetkundige heeft insgelyks ontdekt, dat een Lighaam, 't welk langs eene omgekeerde Cyclois rolt, uit welk punt het ook begint



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. S7
gïnt te rollen, in den zelfden tyd beneden komt; waar uit volgt, dat een flinger, welks gewigt genoodzaakt zou worden eene Cyclois te befehryven, volkomen gelyke flingerflagen zou doen. Deeze Kromme is mede die van de fnelfte daaling. Ik zal my nader verklaaren. Als men twee punten heeft, welke noch in de zelfde hotizontaale lyn, noch in den zelfden Perpendiculair zyn, en men den weg begeert te vinden , langs welken een Lighaam met eene gelykmaatige verfnelde beweeg ging zou moeten rollen, op dat het den mogelyk minden tyd daartoe befteedde; dan is deeze weg geenszins eene rechte Lyn, zo als zonder twyffel veele Leezers in 't eerst zullen denken, maar een boog van eene Cyclois, welke door die beide pun* ten gaat.
De Cyclois heeft den oorfprong gegeeven aan eene andere Kromme , welke in 't eerst door fommige Meetkundigen den naam van kleine Cyclois gegeeven werdt, doch hedendaags onder dien van ■Gezellin der Cyclois bekend is. Deeze Kromme is die, weike gevormd zou worden, als men de Ordinaten van den halven-Cirkel verlengde, tot dac dezelve aan de overëenkomftige boogen gelyk waren, by voorbeeld, CD (Fig. 26.) aan den boog AF, cd aan Af, enz.; of wel zy is de gemeene ■Cyclois, waarvan men, na den teelenden Cirkel afgetrokken te hebben, de overblyffelen van Ordinaten evenwydig aan hen zeiven nederwaarts getrokken hadt, tot dat zy op den As kwamen te liaan. Deeze Kromme is hier in merkwaardig; dat de ruimte ACD, door de middelpuntige Cv dinaat CD afgefneeden, volltrekt gequadrateerd kan worden, en gelyk is aan het vierkant van den Straal. Zulks is in de voorgaande eeuwe door verfcheide Meetkundigen aangemerkt , als Roberval, Laloubere , Wallis, enz. Het deel AD der Kromme, waar van wy fpreeken, is het zelfde als de Kromme, welke men de Kromme der Sinujfen noemt, en welkers teeling daar in beftaat, dat men eenen BaF 4 Sc



HISTORIE der
fis gelyk aan een vierde-deel eers Cirkels neemt, en uit de onderfcheidene punten van dien As de Sinuffen der boogen gelyk aan de Abfciffen trekt. De Meetkundigen, welke gearbeid hebben aan de Voorftellen van den Heer Pafcal over de Qy« clois, hebben ook over haare Gezel/in gehandeld, en de afmeeting van haare verfchillen'de deelen, haar zwaarheids-middelpunt, en de Lighaamen , gevormd door haare omwenteling, zo oni haaren As, als om haaren Bafis, enz. bepaald. De Heer jan Bernoulli heeft over deeze Kromme ten naafle' by het zelfde aangemerkt als over de Cyclois, in zo verre zulks derzei ver volftrekte ruimiens betreft, welke gequadruteeri kunnen worden. Alleenlyk heeft hitr dit verfchil plaats, dat men de Ordina, ten, welke het fchuinsch Segment bepaalen, dat volïlrekt geauadrateerd kan worden, op gelyke afpanden van het middelpunt moet neemen, in plaats dat men dezelve in de Cyclois op gelyke afftanden van een punt neemt, 't welk het vierde* deel des Diameters van den top verwyderd is.
In navolging der Cyclois zyn de Meetkundigen, Zich fteeds van zwaarjgheden tot zwaaiigheden verheffende, en hunne denkbeelden algemeen maakende, op de gedachte gekomen om eenen Ci:kel op eenen anderen te laaten rollen, en de eigenfchappen van het fpoor te onderzoeken, dat geduurende die beweeging door eenig punt van den beweegbaaren Cirkel befchreeven zou worden. Men heeft deeze Krommen Epicydoïden genoemd, en dezelve hebben zeer merkwaardige eigenfchappen; het is hier de behoorlyke plaats niet om dezelve te ontvouwen, wy zullen dit in een Artikel van het VI. Boek met eenige uitgebreidheid doen.
Ons blyft nog overig, om niets van ons onder, werp over te fiaan , verfcheide Meetkundigen te Jeercn kennen, waarvan wy nog geen gelegenheid
ge-



WISKUNDE. IU. Deel. I. Boek. 89
gehad hebben te fpreeken, of welken na de>-> tyd geleefd hebben, waar toe wy thans gekomen zyn. De orde der tyden verëischt aanftonds, dat wy melding doen van twee Meetkundigen van verdienfte, welke kort vóór het midden der zeventiende eeuwe in Frankryk bloeiden: deeze zyn de IJeeren Midcrge en Defargues. He eerfte maakte eene byzondere Studie van de Kegelfneeden, en men heeft V3n hem eene Verhandeling in vier Boeken, waar in dit onderwerp op eene" geleerde en gemaklyke wyze verhandeld wordr. Defargues was een vriend van Defcartes, die de nog weinig gemeene knnst bezat, om de voorwerpen onder zeer algemeene oogpunten te befchouwen. Hy gaf daarvan eene proeve over de Kegelfneeden, welke den Meetkundigen van eenen verheventn rang zeer behaagde. Dit Gefchrift is ons nooit voorgekomen , doch wy gisfen, dat Defargues dezelve daarin befchouwde, zo als fommige Meetkundigen in laater tyd gedaan hebben, naamlyk als eene zelfde Kromme, die door de veranderingen vao zekere Ivnen dan een Parabool, dan eene Ellips of Hyperbool wordr. In de daad. een Parabool kan befchouwd worden als eene Ellips, welkers middelpunt, of het andere brandpunt, oneindig verwyderd zou zyn; een Hyperbool is wederom niets anders dan eene Ellips , weikers middelpunt, of één van haare brandpunten aan de tegengeftelde zyde overgegaan, en eenen negativen afftand van den top verwyderd zou zyn. De Cirkel is eindelyk flegts eene Ellips, welkers beide brandpunten zich in het middelpunt verëenigen. Voorts kan men de Afymptoten van de Hyperbool als enkele Raaklynen, doch op onëindig ver afgelegene punten, aanmerken. Deeze wyze om de Kegelfneeden te befchouwen verfchaft by uitftek gemaklyke bewyzen van haare eigenfchappen, en om die reden vermoeden wy, dat de jonge Heer Pafcal dezelve ook op die wyze befchouwde, in die zonderlinge Verhandeling, welke hy in den ouderdom van zesF 5 tien



HISTORIE der
tien Jaaren in 'c licht gaf, en waar in hy, mctbehulp van een eenig Voorftel, gevolgd van vierhonderd Corollaiia, de gantfche oude Theorie van die Krommen betoogde. Ook zeide de Heer Defcartes, die niet gelooven konde, dat zulks het werk eens kinds van die Jaaren was, dat hy de Leerwyze van den Heer Defargues daar in ontdekte.
Denaam van 'j'orricelii, zo gedenkwaardig geworden door de ontdekking der omhooghouding van het Kwikzilver in het ledige, en de Zwaarte der lucht, is by een ieder bekend. De Meetkunde heeft hem ook eenige lofwaardige Werken te danken; dezelve kwamen in Jöt4 in 't licht , onder den tytel: De Solides Sphceralibus Libri 2. de quad. parabolx, de folido hyp. acuto. &c. In deeze Gefchrirten worden verfcheide zeer nadenkelyke zaaken gevonden; zodanige zyn de bewyzen, welke hy geeft over de betrekking van den Kloot tot den Cylinder, van dè Quadratuur des Parabools, enz., welke nieuw en by uitllek fraai zyn. Men vindt in het derde van die Verhandelingen eene aanmerkenswaardige ontdekking, en welke mogelyk veelen onzer Leezeren zal verbaazen: deeze ontdekking beftaat hier in, dat zo men Ce Hyperbolifche ruimte, A B D E (Fig. 27.) om haaren Afymptrmt laat draaijen, het Lighaam , dat daar door voortgebragt wordt, eindig is, fchoon onëindig verlengd zynde, en zelfs, dat nog meer te verwonderen is, fchoon de teelende ruimte onëindig zy. Dit zal echter geenszins eene wonderlpreuk zyn voor hun, welke in eene eenigermaate verhevener Meetkunde bedreven zyn. Zy zullen zien , dat zulks daaruit voortkomt, dat het zwaarheids- middelount der Hyperbolifche ruimte op den Afymptoot zeiven valt. Uewyl dus van de beide Factores des Products, dat het bedoelde Lighaam is, de eene oneindig groot, en de andere onëindig klein is, heeft men geen reden meer zich te verwondeTen, dat dit Product eene eindige groorheid zy.
De Nederlanden vertoonen ons in den zelfden tyd eene Meetkundige» welke zich eenen grooten naam
heeft



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 91
heeft gemaakt, en aan wien wy een Werk verfchuldigd zyn, dat door eene meenigte ontdekkingen gedenkwaardig is, fchoon hy in de voornaamfte, en die welke het eenig voorwerp van alle de anderen was, is blyven fteeken. Als men in de Hiftorie der Meet» kunde flegts eenigzins kundig is, is het gemaklyk te zien, dac wy fpreeken willen van den Vader Gregeriusd S.Vincentio, en van zyn berucht Werk, tot tytel voerende: Quadtatura circuit & hyperbolce. (Antverp. in-fol. 1047.) Nooit heeft een Meetkundige, dwars door alle de doornen der Meetkunde, dit gewigtig Voorftel met meerder fchranderheid en vlyt nagefpoord; en fchoon hy in zyn oogmerk niet geflaagd is, heeft echter de overvloedige oogst van nieuwe waarheden , welke hy van deeze nafpooring wegdroeg, hem eene plaats onder de aanzienlykfte Meetkundigen waardig gemaakt, Dit is het oordeel, 't welk de Heer Huyshens zelf, die hem wederlege! hadt, daarover veide, 't is ook dat V3n den Heer Leïbniu, die zich in deeze bewoordingen uitdrukt; Majora ( nempe Gaiileanis nc Cavallerianis ) fubjiiia ailulêre triumviri ülujbes, Cartefius, ojtenja ratione iïneas Geomnrice communis exprimendi per cequationes, Fertna'ius inventd mcthodo ée maximis ac minimis, ac Gregorius u Sancto Fmcentio, multis praclaris invenlis (u).
Gregtrius a S. Vincenüo geeft ons in zyne Voorreden te kenntn, hoe veele verfchillende wegen hy inlloeg om tot de Quadratuur des Cirkels te genaken. In 't eerst heopte hy iets van de Spiraal, vervolgens keerde hy zich naar de Quadtatrix, over welke hy eene groote Verhandeling hadt faamengefteid, die ter Drukperfe gereed lag, en ten tyde der ïnneeming van Praag door de Saxen, een prooi der vlammen werdt. Eindelyk liet hy die nafpooringen vaaren, en begon de Kegelfneeden, bene•tens de verfcheide Lighaamen , op haare Segmenten ■
(*) Act, Lipf. ann. 1695.



92
HISTORIE der
ten gevormd, met ernst te befchouwen, in hoope dat een derzelven hem zodanige eigenfchappen aan de hand zoude geeven, welke toereikende waren om de oplosfing van dat moeijelyk Voorftel voort te brengen. Door deezen weg te volgen deedt hy een groot getal gewigtige en weetenswaardige ontdekkingen. Zodanige zyn eene meenigte nieuwe eigenfchappen der Kegelfneeden; de meer ontwikkelde fommeering der Termen en Magten van de Termen en ProgreJJien; ontelbaare middelen om den Parabool en deFiguuren, doorde Ouden befchouwd , te meeten; de volftrekte meeting van eene meenigte Lighaamen, als de Cylindrifche Ungula"s, op Cirkelvormige, Elliptifche, Hyperbolifche Bafes, en verfcheide andere. VVy wenschten gaerne in eene omftandiger verklaaring van alle die zaaken te kunnen treeden; doch de paaien van ons Werk laaten ons zulks niet toe. VVy zullen ons hier flegts verledigen om de fraaije eigenfehap van den Hyperbool, door dien Meetkundige ontdekt, voor te dragen. Als men op den Afymptoot van een Hyperboel de geduurige evenredigen CA, CB , CD, enz. {Fig. 28.) neemt, en de Ordinaten Aa, BK Dd, enz. trekt, dan zynde ruimtens Ah, Bd, De, enz. gelyk. Waar uit volgt , dat de ruimtens Ah, Ad, Ae, enz. in eenen Telkun'tigen Voortgang zyn. Eveneens is het gelegen met de Sectors aCb, bCd, enz., want dezelve zyn refpectivelyk gelyk aan de ruimtens Ab, Bd, enz. (Je Hyperbolifche ruimte Ag groeit derhalven gelykmaatig aan, terwyl de Abfcijje CG Meetkunftig aangroeit, en by gevolg is dezelve de Logarithmus van dte Abfciffe. Deeze ei« genfehap is in de Hooge Meetkunde van een grooc gebruik, en heeft het denkbeeld verfchaft om de practicaale Oplosfing van alle de Voorftellen, welke van de Quadratuur eener Hyperbolifche'' ruimte afhangen, tot het gebruik eener Tafel van Logarithmen over te brengen. Voorts zyn wy verre van op ons te neemen de onmaatige lofredenen, welken de Schryver der Voorreden van het Werk van den
.Heer



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. g3
Heer Stone over de Integraal-Rekening Gregorius d S. Vincentio heeft toegezwaaid. Te zeggen dat de hedendaagfche Wiskundigen met hunne rekeningen en hunne dx, dy, welke zy op nieuw doorziften (dit is de uitdrukking van dien Schryver, die meer aan de zyde der inbeelding, dan aan die der rechtmaatigheid begunfligd is) niets anders gedaan hebben, dan hetgeen de Vlaamfche Meetkundige gevonden heeft naauwer uit te pluizen , fchynt een opzetlyk voorneemen te zyn om diegeenen te doen lagchen, welke die Rekeningen en de Voorftellen bekend zyn, tot welken een Newton, een Leibnitz, een Bernoulli, enz. zyn opgeklommen, van de eerfte proeven of5 welke zy daar van gegeeven hebben. Men zou eene gelyke aanmerking kunnen maaken over eiken regel van die Voorreden, welkers Autheur, om zynen held in top te vyzelen, voorbedachtelyk de oogen fchynt gefloten te hebben voor alles dat de Meetkundigen vóór en na hem gedaan hebben. Doch een zodanig onderzoek zou geenszins met de kortheid, die wy ons voorgefteld hebben , overeenkomen. Laat ons nu de gewaande Otiadratuur van Gregcrius d S Fincentio nou met een woord aanroeren.
Het Werk van den Vader d S. Vincentio zag met zodra het licht, of men haastte zich van alle zyden om het te onderzoeken. De tytel die het voerde, de naam van deszelfs Autheur, en de meemgte uitmuntende zaaken welken het bevatte, wjren bekwaam om de nieuwsgierigheid gaande te maaken; maar zyne Quadratuur kon, even als het overige, de toets vau het onderzoek niet dooiftaan. Dtfcartes bemerkte weldra de valschheid dcïztlve, en wees den ooifprong d< i doo. Itng aan in eenen Brief aan den V. Merfenne. Naderhand werdt dezelve in 't openbaar We. derlegd door den beroemden Hecre Huyghenr, toen nog zeer jong zyrde, in een Cefchrift dat een voorbeeld van zuiverheid en naauwkeurigheid



94
HISTORIÉ der
is (v), en nog breedvoeriger door den Vader Léd. tand, een _ ichrander Dauphineefck Meetkundige (w). Beiden toonden met veel omzichtigheid en nadruk, dat het gewigtig Voorftel van de Quadratuur des Cirkels nog niet opgelost was.
De Vader d S. Vincentio vondt niettemin Verdeedigers in twee van zyne Leerlingen, de Vaders Ainfcom en Saraffa, beide fchrandere Meetkundigen. Ainfcom tradt het eerst in 't ftrydperk (*), en ftak uit boven eenige Gelukzoekers in de Meetkunde, als Meibomius, welke, Gregerius d S.Fincentio aanvallende, zeiven in belagche* lyke doolingen gevallen waren. Vervolgens toe fJuyghens en Leotaud komende, gaf hy voor, dat zy den waaren zin van zynen meester niet begree* pen hadden , en gaf van denzelven eene verklaaring, die door den Vader Saraffa in 1663 bevestigd werdt (y). Dit was eenigermaate hetgeen de Vader Leotaud verwachtte, om de gewaande Quadratuur den doodfteek toe te brengen. Zyne Verdeedigers konden zich dus niet langer met uitvlugten behelpen i nu zy zich openlyk verklaard hadden over den zin, in weikeu zekere dubbelzin* nige uitdrukkingen begreepen moesten worden. De Dauphineejche Jefuit toonde derhalven duidelyk aan (z), dat wanneer men zelfs die uitdrukkingen in dien zin opvatte, daar uit echter niets anders dan eene dooling, in plaats van de waare Quadratuur
(v) Exetajis quad. circuit P. Creg, a S. Fine. 16$ 1. in-4to.
(w) Examen quad. circuli hactenüs celeberrimce. Ltagd. 1653 in 4^
Qx) Expofitio & deductio Geom. quad. P. Greg. it S. Fine. 1656. tn-foi.
(y) Solutio probl. de quad. circuli, &c. 1663.
(z) Cyclo ■ mathia , feu de multiplici circuli contempl. l66£. in-410.



W|I S K ü N D E.f III. Deel. I Boek. 95
tuur des Cirkels, voortvloeit. Te vergeefs zegt de Schryver der Voorreden, waarvan boven gefproken is, dac hec nog niet wel beweezen is , dat Gregorius d S- Vincenüo zich vergist hebbe. Wy durven verzekeren dat niets waarachtiger is: zelfs kunnen wy 'er nog by voegen, dat in de verdeedigingen der beide Leerlingen van dien beroemden Meetkundige eenigzins ter kwaader trouw gehan. deld is: want fchoon zy verfcheide maaien verzocht werden die betrekking aan te wyzen,waarvan de Quadratuur des Cirkels afhing, eene betrekking, die zy geduurig voorgaven gegeeven te zyn, deeden zy zulks echter nooit, en zich in hunne duiflere en valfche Theorie der evenredigheden fchuil houdende, even als de Pleiter in de fehuilhoeken zyner bedrieglyke vonden, bleeven zy (reeds halftarrig befluiten, dat die betrekking gegeeven was, zonder die te bepaalen. Zo die betrekking wezenlyk gegeeven was, was 'er dan wel eenig zekerer middel, om hunne tegenfireevers den mond te floppen, dan dezelve aan te wyzen?
De V. Gregorius d S. Vincentio was af komllig van Brugge, alwaar hy in 1*84 ter waereld kwam. Hy onderwees eenen geruimen tyd de Wiskunde in het Roomsch Collegie, en is in 16.'.7 overleeden.
Wy kunnen Vlaanderen niet verlaaten, zonder nog melding te doen van eenen Meetkundige van aanzien, die byna in den zelfden tyd aldaar bloeide. Deeze is de V. Tacquet, een Jefuit. Deeze fchrandere Wiskundige poogde ook" de paaien der Meetkunde uit te zetten in zyn Boek, tot tytel voerende: de Annularihus & Cylindricis. Ik zal echter aanmerken, dat in dat Werk veel meer fmaak gevonden wordt om weinig moeiielyke zaaken ilrikt re bewyzen, dan nieuwe waarheden, vooral na hetgeen Cavalleri en de V. d S. Vincentio reeds beweezen hadden. Men heeft den V. Tacquet verfcheide Verhandelingen te'danken, waar van de meeste na zynen dood verzameld zyn in één Deel in-folio,
on-



96 HISTORIE der.
nftdeLdern SteI Tan .Andrect Taci'-ietVi Anlverpknixs Up. Math. Hetzelve ts eene Verzameling, die door öaare Klaarheid eene byzondere aanpryzing verdient. iJeeze Meetkundige was van Antwerpen, alwaar hy m ifioi gebooren, en in lööo overleeden is.
't Was omtrent dien tyd dat de beroemde Heer Huyghens in ae Meetkunde een aanvang maikte. IJeeie naam aileen bevrydt ons van eene lofreden by hen, w*en de fraaifte ontdekkingen der Stcrrekur.de, en de verhevenfte Vraagstukken der Wiskunde bekend zyn. Hy werdt gebooren in 't Jaar ï020, en maakte zich reeds in het Jaar idft beroemd, door de Quadratuur van den V. a S.FïncenZtoce wederleg^., r in 't zeKde Jaar gaf by zyne Theorerhata de circuli & hyp. qual. in 't licht, een werk waar in hy op een.? nieuwe wyze het verband tusfehen de Qmdratmr der Kegelibeden en de vinding van haare zwurheids-middelpunten be. toogt. Vervolgens verbeterde hv hetgeen Sneliius over de benaderingen van den Cirkel geleerd hadt, en maakte m 1654 zyne ontdekkingen over dat onderwin, bekend, in een Werk tot tytel voerende: de circuli mdgnitudine inventa, Ma:<r (choon die Werken, en vooral het laatfte, hunne waarde wel hebben , kan men echter zeggen, dat ze flegts p-o»ven der jongheid van den Heer Huyghens zyn. Ko<c daarna zag men hem eene hoogtre vlucht neemenin i6ï7 vondc hy Je afmeeting der kromme opp rvlaktens van de Qmïlen en Spherddcn, een Voorftel dat, wegen:, rieszelfs moeije'lykheid, door de IVleeckuidig n n<-g liet beproefd was; hy verzon toen o:jk zyne Leerwyze om de rectificeermgèn der kromme Lynen tot de; Quadratiiren over te brengen, en bepaald.-: da maat der Cisfois , waar doo-- by bevondt, dac, fchoon men dezelve oneinJ'g verIengs nogthans naare uitgeftrekthei d ilegts gHyk was aar. driemaal den halyen teeleu Jen Cirkel."iimdelys b»gon hy van toen af aan de gronden te leggen van zyn bc oemd Werk de Horologio ofciMtt. rio. Dit Werk befhande in eeus mengeling van de
fcherp-



WISKUNDE. III. bul. t. Boek. o?
fchérpzinniglTe Mechanica en eene allergrotjdigftc Meetkunde, vertoont ons onder anderen de nieuwe Theorie der ontwondenen , welke Tedere dien tyd in de Meetkundige en Mcchanifihe nafpoonngen van een zo groot gebruik is. Het zou bier de plaats zyn daar van verfhg te doen , doch onzes bedunkens zal dezelve beter voegen bv de ontdekkingen der nieuwe Meetkunde. Deeze reden doet ons derzelver verklaaring tot het zesde Boek verfchuiven.
De Logarithmifche Lyn heeft den Heer Huyhent ftoffe geleeverd voor een zeer zeldzaam en "zeer geleerd ftuk der Meetkunde. Deeze Kromme wordt gevormd, zo als op eene andere plaats gezegd is, als men op de gelyke verdeelingen eener oneindige rechte Lyn Perpendiculairs trekt, welke aan de eene zyde in eeneu aanwasfenden , en aan de andere zyde in eenen afneemenden Meetkunftigen Voortgang zyn; waar uit aanüonds klaarblyklyk volgt, dat die Kromme haaren As zeiven toe Afymptoot heeft» Het is mede een gevolg van deeze teeling, dat de Abfcijf,n, van een zeker punt als eindpaal genomen , overüenkomflig zyn met de Logarithmen der Ordinaten ; hetgeen die Kromme den naam gegeeven heeft. Maar de Heer Huyghens liet het daar niet by blyven* hy onderzocht van dezelve den Inhoud, de Raaklynen de Lighaamen, de zwaarheids-middelpunten, enz.' en vondt over alle die onderwerpen merkwaardige waarheden, welke hy in 1691, achter zyne Verhandeling De caufd gravitatis, in 't licht gaf. Zie hier eenige derzeiven. 10. De Subtangens, dat is te zeggen de Lyn BC of EF (Fig. 29.), tusfehen de Raaklyn en den Ordinaat begreepen, is overal de zelfde, ao. De inhoud ÜKGrl, oneindig verlengd zynde , is flegts gelyk aan den Rechthoek van DE met EF, dat is te zeggen van den Ordinaat met de Subtangens. 30. riet Lighaam door diezelfde ruimte, om den Afymptoot draaijen!
G de,



S>8 HISTORIE der
de, gevormd, is anderhalf maal den Kegel, die m den zelfden tyd door den Driehoek DEF gevormd wordr, en zo deeze ruimte om DE draait, zal het Lighaam, daar door gevormd, gelyk zyn aan zes maal den Kegel , welke door dien Driehoek om DE gevormd wordt. Ik gaa verfcheide andere eigenfchappen van deeze Kromme, door den Heer Huyghens aangemerkt, voorby. Alle die waarheden, welke de Heer Huyghens zich vergenoegd hadt uit te drukken, zyn betoogd geworden door den V. Grandi, een Italiaansch Meetkundige, die in 1701 daar over een Werk in 'c licht gaf, tot tytel voerende: Demonftratio Hugenianeium Theorematum, in den ftyl der oude Meetkunde. De Uitgeever der Werken van Huyghensheeft het met reden waardig geoordeeld, om achter het Werk, dat daar toe gelegenheid gegeeven heeft, weder te verfchynen.
Onder de Meetkundigen, waar mede Engeland kort na het midden der voorgaande Eeuwe" zich luister byzette, is de Heer Jacobus Gregory een der lofwaardigften. Deeze Wiskundige, in 't algemeen meer bekend als Gezichtkundige dan als Meetkundige , moet nogthans zyne voornaamfte beroemdheid- uit de Meetkunde ontleenen. in de daad, daar hy reeds in de uitvinding vanden Sp.iegeVTeltfcoop een mededinger van Newton was, was hy ook de eerfte om de voetftappen van dien grooten man na te volgen, en iets by zyne Ano iytifche ontdekkingen te voegen. Doch het is hier de plaats niet om ons met die voorwerpen in te laaten: wy bepaalen ons tot die van zyne Meetkundige nafpooringen, waar in hy de oude Leerwyze gevolgd heeft. Zodanig is het Werk, dat hy in 1(64 in 't licht gaf, en 't welk tot tytel voert: Vera Circuli & hyperbola quadratura. Volgens deezen tytel moet men niet oordeelen , dat zyn voorgeeven W3s de volftrekte quadratuur van den Cirkel en de Hyperbool gevonden te hebben. Zyn onderwerp is
ge-



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. 99
geheel verfchillende : want hy onderneemt in tegendeel te bewyzen, dat dezelve onmogelyk is, en dat 'er van dezelve geen andere Ouadraturen als die door benadering aanwezig zyn. HjTgeeft van dezelve zeer kunftige benaderingen, en men kan niet loochenen , dat ze boven die van Sneliius en Huyghens eenig voordeel hebben, niet alleen doer de naauwkeurigheid, maar ook daar door, dat zy gemeen zyn aan den Cirkel en de Hyperbool, Krommen die, zo als men weet, door zo veele overëenkomftige eigenfclnppen aan elkander verbonden zyn. De Heer Gregori betoogt insgelyks in dat Werk eene zeer merkwaardige eigenfehap der Veelhoeken, welke in en om de Kegelfneeden befchreeven zyn; dezelve beftaat hier jn. Als men twee gelykvormige Veelhoeken heeft, de eene in-en de andere omgefchrceven, welke wy A en B zullen noemen; voorts twee andere in- en omgefchreeven, Welke volgen , dat is te zeggen een dubbeld getal zyden hebben, welken wy C en D zullen noemen; dan is de Veelhoek C een Meetkundig Midden-Evenredige tusfehen A en B , en de Veelhoek D een Harmonifch Midden-Evenredige tusfehen C en A, en zo vervolgens tot in 't oneindige. Daar uit ontftaat eene reeks van fteeds faamenloopende Termen, dat is, meer en meer naderende tot de grootte van den kromlynigen Sector. Dit is het dat Gregori eene faamenloopende reeks noemt. Er zyn reekfen van die foort in wel. ken het mogelykis den laacllen 'lerm aan te wyzen Als hier zulks gebeurde, zou men de Quadratuur van den Cirkel, en die van den Hyperbool hebbendoch wel verre van daar: De Heer Gregori meent te bewyzen, dat, uit de natuur der Wet die in dezelve heerscht , deeze laatlfe Term Analytiïch niet te bepaalen is, dat is te zeggen, dat men geene uitdrukking in eindige Termen kan vinden, door welke men dezelve kan aanwyzen. Zyn bewys is verltaudig, en gelyke veel na dat waar G a door



r' ICO
HISTORIE
door men de onmogelykheid bewyst , om eenen hoefc algemeen in eene gegeevene reden te deelen. Hetzelve overtuigde nogtbans den Heer Huyghens; niet, en zulks was tusfehen hem en Gregori het onderwerp van een hevig gefchil. waar van het Dagregister _der Geleerden (Journal des Sgavans) en de fhilofopnijche iranfaciien der Jaaren if 67en 16^3 het flagveld waren. De Meetkundigen fchynen my over dien twist geen uitfpraak gedaan te hebben, eti fdhoon ik geneigd ben het bewys van Gregori ais onloochenbaar te befchouwen, zal ik hun evenwel navolgen. Alle de ftukken van dat geleerd onderzoen worden, nevens de Verhandeling van Gregori, in het tweede Deel der Werken van Huyshent gevonden. 0
De Heer Gregori gaf eenige jaaren daarna (ini663) een ander Werk van eene grondige Meetkunde in ■t hc'it, onder den tytel van Geomeuia pars univerJalis. Hetzelve is, om daarvan kortelyk een denkbeeld te geeyen , eene verzamelmg van voortreffelyke en nuttige Theoremata voor de transformatie en de quadratuur der kromlynige Figuuren , voor de rectificeering der Krommen, de maat van haare Lighaamen van omwenteling, enz. Zo dezelve niet alle nieuw zyn, zyn zy ten minden in dat Werk doorgaans algemeen gemaakt op eene wyze, die dezelve eenigermaate den Autheur eigen maakr. Wy zullen op eene andere plaats van zyne Exercitationes Geometricce fpreeken, vermits dezelve meer rot de hedendaagfche Analyfis, dan tot de oude Meetkunde behooren. De geleerde Meetkundige, waarvan •wy fpreeken, was afkomftig van New-Aberdeen in Schotland , alwaar by in 1636 ter waereld kwam. Hy hielde in Italië een verblyf van verfcheide Jaaren, en omtrent het Jaar 1670 in zyn Vaderland wedergekeerd zynde, bekleedde hy aldaar hetAmpt van Hoogleerair der Wiskunde. Hy gaf de grootfte hoope. als beginnende reeds Newton kon op de hielen te volgen in de Ioopbaane, welke deeze
laaf



WISKUNDE. III. Deel. I. Boek. iOÏ
laaifte geopend hadt, toen een haastige dood hem in 1675 wegrukte.
Thans moeten wy weder tot Italië overgaan, alwaar wy te rug geroepen worden door eenige Meetkundigen, ten aanzieu van welken het onrechtmaatig zou zyn hunne Werken in de vergeeteiheid te begraven. De eerfte, die zich aan ons opdoet, is Stephanus de Angelis. Deeze Leerling van Cavalleri bevlytigde zich om de Leerwyze van zynen Meester aan te kweeken en uit te breiden; hetgeen hy gelukkig volbragt in verfcheide Werken, welke hy tusfehen de Jaaren 1658 en 1602 in 't licht gaf. Dezelve betreffen meerendeels onderwerpen der hooge Meetkunde, als de Inhouden en zwaarheidsmiddelpunten der Kegelfneeden ; de Lighaamen door de omwenteling vfci haare Segmenten op verfcheide wyzen gevormd ; de Kegelfneeden en de Spiraalen der hoogere gedachten , enz. Wy hebben vericheide van die Werken doorgebladerd, welke ons eenen zeer fchranderen Meetkundige waardig gefcheenen hebben. De Angelis was van de Order der Sl. Jeron/mus-Khmemari, doch deeze Order in vernietigd zynde, leefde hv federt dien tyd als een gemeen Burger. Hy onderwees de Wiskunde tePadati, alwaar hy nog op het einde der Eeuwe leefde.
_ De Meetkundige Miehui-Angelo Ricci verdient jns-gelyKs dat wy hier eenig gewag van hem maaken Hy m Autheur eener Difièrtatie onder den tytel de Maximis &M,nimist te Ro ne in 1663 gedrukt, het Komnglyk Genootfchap te Londm oordeelde dezelve belangwaardig genoeg te zyn, om daar van eenen tweeden Druk te bezorgen, welke achter de Loganthmotechnia ran Mercator gevonden wordt Het voorwerp van deeze Difièrtatie is de Raaklynen en de Maxima en Minima der Krommen, door middel yan de zuivere Meetkunde, te bepaalen, hetgeen hy onder anderen over de Kegelfneeden der hoogere geftachten verrichtte. Hy beloofde daar in negG 3 ee-



ïoi HISTORIE oir
eene meenigte andere gewigtige nafpooringen over die Krommen , over de oude Analyfis, over de Meetkundige Conjlructie der Vergelykingen; doch wy zien niet dat die belofte is volbragt geworden.
Wy zullen dit gedeelte van onze Hiftorie met het verhaal der verrichtingen van den Heer Viviani eindigen. Deeze Leerling vap Galileus heeft zich voornaamelyk in de Meetkunde beroemd gemaakt, door twee Werken van een byzonder foort. Het eerfte is zyne gi'-fïng (dhinatio) over het vyfde Boek der Kegelfneeden van Appoüonius, waarvan wy , over de Schriften van dien ouden Meetkundige fpreekende , de gefchiedenis voorgedragen hebben : het tweede betreft een ouden Meetkundige der aloudheid, die ten naaften by een tydgenoot van Euclider was. genaamd Arijlceus de oude. Deeze AriJlceus hadt, volgens het verhaal van Puppus Ca), behalvcn vyf Boeken over de Eeginfelen der Kegelfneeden, eene andere Verhandeling gefchreeven, toe tytel voerende de Locis Solidis, dat is te zeggen, over de plaatfelyke eigenfchappen dier Krommen. De Kegelfneeden van Appollonius geeven" ons geen de minfte reden om het verlies van het eerfte dier Werken te beklagen ; doch het zou voor de Meetkunde vau het uiterfte belang zyn geweest, dat het tweede tot ons gekomen was. Deeze reden noopte den Heer Viviani, naauwlyks drie-en-twintig Jaaren oud, alle poogingen aan te wenden om dat gebrek te vervullen. Hy begon van toen af aan met dac oogmerk bouwftoffen te verzamelen: doch zo vgele verfchillende bézigheden dwarsboomden hem tot verfcheide maaien, en fchoon dat Werk het eerfte dergeenen zy, waarover hy zyne gedachten hadt laaten gaan ,'is he: echter het laatfte dac hv voltooid heeft. Eindelyk door Lodewyk den XIV, van wien hy reeds federtlang bezoldigd werdt, tot bui-
ten-
(a) Coll. Matk. I VII, Frtcf.



!WISKUNDE. III. Deel. ï. Boek. 103
tenlandsch Medelid van de Academie benoemd zyn. de, deedt hy, in weêrwil van zynen hoogen ouderdom , een laatfte pooging om het te voltrekken, en bragt het in 1701 in 't licht. Dit Werk doet te gelyk de geleerdheid en het hart van Viviani eere aan, door de geleerde Meetkunde die het bevat, en. door de gevoelens van dankbaarheid jegens den Monarch zynen Weldoener, en Galilaus zynen beroemden Meester, welke daar in verfpraid zyn.
De Heer Viviani Helde in 11592 een fraai Problema voor, dat volkomen waardig is hier plaats te vinden. Hy geeft het den tytel van Mnigma Geomslricum ü O. Pïo Lifcipufillo Geometra: deeze laatfte woorden , onder welken hy zich verborgen hieldt, zyn de Letterkeer ( Anagramma) van deeze : è pofiremo Galilei difcipulo. Onder de oude Gedenktekenen van Griekenland, zeide hy, is een Tempel aan do Meetkunde toegewyd, welks platte grond de gedaante eens Cirkels heeft, en die met een rond Dak, in de gedaante eens halven-Kloots, ver fier d is. In deeze Koepel zyn vier gelyke Venfters met zodanige kunst gemaakt, dat het overige der oppervlakte van het Dak voljtrekt gequadrateerd kan worden. Men vraast op wat wyze men het wérk hadt aangevat? De Heer Viviani vervoegde zich voomaamelyk tot de beroemde Analiften van den tyd, en voegde 'er bv dat hy geenszins twyffelde, of hunne verborgene kunst (aldus noemde by de nieuwe Anah-
ftellen°U véIdt!L 'D hCC beZ1'C V3D Zyn raadz^ In de daad, dit raad fel was niet lang een eeheim voor hun, welke in de nieuwe Overaipifchc Meetkunde bedreeven waren. In Duitschland traven de Heeren Leibnitz en facobus Bernoulli; in Frankryk de Marquis de IHópital verfcheide oploshngtn van hetzelve, byna zo baast als zv het gezien hadden. Engeland, alwaar bet waarfchynlyk met vroeger bekend werdt dan in 'c volgende G * JaarJ,



104 HISTORIE der
Jaar, Ieevert ons ook eenige Oplosfingen van het= zelve, welke hec werk van de Oü. Wallis en Da~ vid Gregori waren. Maar alle die Oplosfingen, wy moeten het bekennen, moeren in zekere opzichten voor die van Viviani wyken. Als men, zege hy, in den halven-Cirkel ABD (%. 30.), die door den top en het middelpunt van hec gewelf gaat, twee andere halve-Cirkelen op de ftraalen AC, CD befchryft, en van dezelven de Bajes maakt van twee rechte Cylinders, welke aan beide zyden door den halven-Kloot gaan, zullen zy van denzelven vier deelen affnyden, zodanig dac het overblyvende gelyk zal zyn aan twee maal het vierkant van den Straal. Hier in is nog eene merkwaardige zaak gelegen , en die ik Diet weec of Viviani dezelve bemerkte ; dezelve beftaat hier in, dat het gedeelte van eiken halven-Cy/in^r, in den halven-Kloot befioten, insgelyks aan eene volftrekte Quadratuur onderhevig , en gelyk is aan twee maal het vierkant van den Straal des halvenKloots: hy gaf deeze Oplosfing benevens verfcheide andere Meetkundige waarheden in 't licht, in zyne Exercitatio Mathematica de formatione & menJura jornicum\ maar hy bepaalde zich in dezelve tot de eenvoudige uitdrukking, en het de bewyzen onaangeroerd: zulks gaf den V. Guido-Gtandi een Meetkundige, van de Order der witte Monniken, eenige jaaren daarna gelegenheid om dezelve na te fpooreo , en onder den tytel van Vivianeorum problematurn demonftratiom,t licht te geeven. In dat Geichrift, 't welk meer behelst dan de tytel belooft, merkt de V. Grandi ook eenige Meetkundige zeldzaam, heden van de zelfde foort aan , onder anaeren een gedeelte der Oppervlakte eens rechten Kegeis-, dat volftrekt gequadratztri kan worden {bj, en
waar*
(b) De Heer Jan Bernoulli hadt deeze eieenfehap des techtea Kegels reeds in de Acten van Leipzig 1695 bekend



WISKUNDE. III. Deel. I. Beek. los
waaraan hy den naam geeft van ttnlorium of talernaculum Camaldulenfe. Hy hadt, onzes bedunkens, beter gedaan, het in 't geheel geen naam te geeven,
. Er zouden nog veele weetenswaardige zaaken over den Heer Viviani te zeggen zyn, welken wy on^ gaerne verzwygen. In de noodzaakelykheid waar in wy zyn om de kortheid te betrachten, verzenden wy onze Leezers na zyne Hiltorifche Iofre-i den, welke men in de Hiftorie der Academie van het jaar 1703 vindt. Wy zullen ons hier vergenoegen met onzen Leezeren nog te berichten , [dat hy den 5 April 1622 te Florence gebooren], en den 2a September 1703, in den ouderdom van meer dan 81 Jaaren, aldaar overlerden is.
De V. Grandi noemt in eenen Brief, welke op zyn Bewys der 'Iheoremata van Huyghens volgt, verfcheide maaien met lof den Meetkundige Jan Ceva, Autheur van een Werk, tot tytel voerende Gcometria tnotus (1692. in-4to. Bon.) Deeze was de broeder van den V. 'Ihomas Ceva, een Jeiuit, en zelf een fchrander Meetkundige, die door verfcheide Latynlche Dichtkundige Werken bekend is, onder welken een fraai Gedicht over de oude en hedendaagfche Natuurkunde gevonden wordt. Jan Ceva handelde in zyn Werk over de Leerwyze der Raaklynen door de faamenrteiline der beweeging; dit is ten minften hetgeen de nu
aan»
kend gemaakt. Hy hadt daar in aangemerkt, dat, za men op deszelfs grondvlak eenige Figuur heeft, op welke men eeri recht Prifma plaatst, het gedeelte der op. pervlakte, dat bet aan de zyde var, den top affny^t met de voorgetelde Figuur in gegeevene reden is. Zulks is geimklyk te bewyzen, en het is niet minder gemaklyk te zien, dat men door dat middel zo veel volftrekt te quadrateercn gedeeltens van den Kegel kan affnyden, als Eien begeert, ' * *



to6 HISTORIE dèö.
aangeweezetie aanhaalingen doen gisfen. Ik vinds' nog eenige kleine Werkjes van dien Meetkundige óf zynen broeder onder deeze tytels: De lineis reetis conftructio Statica ( 1678): 'de fiexis-lineis, èfc. Maar ik bén genoodzaakt my tot deeze fchraale aanwyzing te bepaalen, als hebbende die Werk4 jes niet te zien kunnen krygen.
Einde van het eerjle Boe fa



HISTORIE
DER
WISKUNDE.
DERDE DEEL.
Bevattende de Hifiorie der Wiskunde, geduurende de zeventiende eeuwe.
TWEEDE BOEK.
Van de Meetkunde en Analyfis, op de wyze van Defcartes verhandeld, tot aan het einde der zeventiende eeuwe.
KORTE INHOUD.
I. Oorzaak der langzaame vorderingen van de Meetkunde, en waar in de. Stelkundige Analyfis haar tot eem grootere bevordering is behulpzaam geweest. 11. Out» dekkingen van Harriot over de natuur der Vergeldingen. Onderzoek van veele der ontdekkingen, welken Wallis hem toeeigent. III. Van Albert Girard. IV. Van Defcartes. Korte ftaahjes van zyn leven. Verhaal van zyne enkel Analytifche ontdekkingen. Zyne verdeediging tegen Wallis. V- Van de Meetkundige ontdekkingen van Defcartes. Hy past de Helkundige Analyfis toe op de Theorie der kromme Lynen, voordeelen van die toepasfing, Oplosfing welke hy van een Voorftel geeft9 waar over de Oudheid gefirurkeld hadt. Zyne Conflructie van de Cubifche, Vierkant-vierkants, en zesde-magts Vergelykingen. Onderzoek van eenige zyner gevoelens belangende de eenvoudigheid der Meetkundige ConfirucHeit. Fan zyne Qvaalen. VI. Van de Leerwyze der H Raak.



io8 HISTORIE der
Raaklynen van Defcartes. Toepasftng van zyn grond-, heginjelop de Leerwyze van Maximis & Minimis, op de vinding der buigpumen, enz. Gebruik van ds Leer. wyze der Raaklynen voor de bepaaling der Afymptoten. VII. Fan den Heer de Fermat. Zyne regel van Maximis & Minimis. Zyne Leerwyze der Raaklynen. Ge. fchtl dat hy deswegens wet Defcartes gehad heeft. Andere Analytifihe vindingen van Fermat. VIII. Hoe de Analyfis van tiefcinesvntfairgen wordt; Rèfcerval waant ''er feilen in te ontdekken. De Heer At Beneis de eerfte die haare geheimen doorgrondt. Oorfprong van het omgekeerd Voorftel der Raaklynen; Problema door den Heer de, Beatine aan Defcartes voorgefteld, en hoe ver deeze daar in flaagt Fan verfcheide andere Meetkundigen, welke de Analyfis van Defcartes voortplanten; van F. van Schooten, van zyn Commentciriim en andere fchrifïeti. Fan aen Heer de Wit. Van den Heer Hudde. Van den Heer van Heuraet; den Heer Huygeiis ,enz. IX. V'Ordering welke de Leerwyze van Maximis & Minimis, en die der Raaklynen onder de handen van ds Tleeren Hudde, Huygens cn Slufius maaken. X. Vm de Corfitticlii der fergelykingen. Leerwyze van den Heer Slufius. Vindingen van eenige andere Meetkundigen belangende dat onderwerp. XI. Over de oplosfing der Fergelykingen; vorderingen van dit gedeelte der Analyfis. XII. Voornaamfte IFerken, welke over de Analyfis van Defcartes handelen.
I.
i nieuwe gedaante, welke de Analyfis onder ck nauden der Meetkundigen van de voorgaande eeuwe heeft aangenomen , is eene der voornaamfte. pprzaaken van cie fneftè vorderingen, welken de Meetkunde in dien ftaat gebragt hebben , waar iii ?y zich. hedendaags bevindt. Zo lang de betrekkingen , wier nafpooring de Meetkundigen bezig Mfidt, RiSÏ niet te veel iaamenioopende omftan-



W18 Ü UNDÈ. t&l M/. II. lorj
'öigiieden verbonden waren, konden de oude Leerwyzen hen tot een hulpmiddel dienen r om dezelve te ontwarren, Mei: behulp vati die Leerwyzen deedeh zy de groote ontdekkingen, welke ons tot hier toe hebben bezig gehouden; ontdekkingen, welke met dies tè meer recht onze achting verdienen, als de middelen, door welken zy tot dezelve geraak» ten'j een grooter arbeid vorderden, en dat zy, dezelve gebruikende, dies te gemaklyker konden feilen. Zy gingen met het doen van ontdekkingen zoo> lang voort, als de werktuigen, men vergunne my deeze uitdrukking, in welkers bezit zy waren, hun konden dienen , en trokken daar uit "dikwerf zoo Veel nut, als mogelyk diegeenen, wien alleen de nieuwe Meetkunde bekend is, niet zullen vermoeden. Maar eindelyk waren die Werktuigen van zódanige natuur, dat zy niet als tot eenen Zekeren trap'er van geholpen konden worden; en wanneer zy, na alvoorens de navorfchingen, welke onder hun bereik waren, uitgeput te hebben., zich tót moeijelyker befpiegelingen wilden verheffen, flruikelden zy over zwaarighedeu, welke eene minder geleerde, doch gemaklyker Analyfis thdns zonder moeite te boven komt.
De voornaamfte oorzaak;, welke de oude Analyfis* ■in Vraagïtukken van eenen zekeren rang ontoereikende maakt, is dat dezelve noodwendig aan eene aanëënfchakeling van ontwikkelde redeneeringen onderhevig is. Zo men dezelve niet als zeer bezwaarlyk kan achtervolgen, dies te minder kan men dezelve doen zonder eene zeer groote infpanning van geest i zonder alle krachten van geheugen en verbeelding daar roe aan te wenden Behoeft men zich dan wel te venvouderen , dat de zelfde- Leerwyze , die in zekere vraagftukkërt eene lichtfb-reidende klaarheid daaf fielt, in andere, Waar*vaii de faamenflelling der betrekkingen veel grooter is< duifter en onuitvoerbaar wordt?
De eerfte flap die "er te doen is , om de Analyfis in ftaat te Iteilen van die zwaarigheden te over'.
H 2 witf*.



H« HISTORIE der
winnen, was derhalven daar in gelegen, dat men haare gedaante veranderde, en den geest onthief van dien drukkenden last van redeneeringen. Niets was tot dat einde van een gelukkiger gevolg, dan het denkbeeld, dat men gehad heeft, om naamlyk die redeneeringen over te brengen tot eene foort van kunst of tot iechnifche handelwyzen, welke na de eerfte flappen byna geen het minfte hoofdbreeken meer verëifchen. De gemeene Rekenkunst en Algebra keveren ons daarvan voorbeelden op. Want wat is eene Rekenkunftige bewerking voor de menfchen anders, dan eene Mechanifche verrichting, maar welke nogthans het tafereel en het gelykwaardige der moeijelyke bewerkingen zyn, waartoe het verftand zonder dat hulpmiddel zou zyn gebragt? De Algebraifche Analyfis van een Voorftel over de getallen is mede niets anders, dan eene aanëenfchakeling van in *t kort gefchreevene redeneeringen, en welke zonder infpanning van geest, en bysa Mechanicè, op het zelfde doeleinde uitloopen, als of het verftand dezelve achtervolgd hadt. Niets is ons in den weg, om in de Meetkunst van eene foortgelyke kunstgreep gebruik te maaken. De grootheden , welke zy be. fchouwt, zyn aan de zelfde berekeningen onderhevig: alle foort van uitgebreidheid kan door getallen uitgedrukt worden; want een lyn, by voorbeeld, is alleen daarom van eene zekere grootte , dat zy eene andere, die tot maat, of als eenheid, wordt aangenomen, een zeker getal maaien bevat: met de Vlakken enz. is het eveneens gelegen. Gevolglyk kan men dezelve, als of het getallen waren, door algemeene tekens voorftellen. Maar alle de eigenfchappen der Figuuren beftaan in niets anders,dan dat zekere afmeetingen tot andere in eene zekere reden zyn. In den Cirkel, by voorbeeld, is het vierkant van den Perpendiculair, uit een punt [van den omtrek] op den Diameter getrokken , gelyk aan den Rechthoek , of het vermeenigvuldigde der beide deelen van dien Diameter: derhalven kan men die afmeetingen ook door haare onderlinge
be-



WISKUNDE. III. Deel IL Boek. tti
betrekkingen uitdrukken , en dezelve aHalyfeereH fdat is, door algemeene tekens voorftellen], zo als men gezien heeft, dat ten aanzien van vraag» -hikken, enkel in getallen, gedaan wordt. Dit is óns de Algcbrailchc Analyfis, en detoepasfing dtt Algebra op de Meetkunde*
I I*
In één der voorgaande Boeken, zyn de verlcheu tle vindingen, mer welken de beroemde Fieta de rykl heeft, voorgedraagen: meh heefc daarin gezien de Leerwyzen, welke hy voor dö oplosfing der Vcrgcïykingen van de derde magt uitvondt, de kunftige Confirutïie welke hy daar vart gaf, dooi- middel van de twee midden-evenredigen, of van het in drieën fnyden des hoeks, de ontleeding der Vergelykingen van de vierde magt door middel van die van de derde magt, de vorming der magten, het begin eindelyk van de ontknooping (Analyfis) der Vergelykingen , welkers* bntdekking Wallis met zo veel drift aan lïarrioi* als zyn eigendom, toëwyst. Zodanig was in 't begin der zeventiende eéuwe de ftaat der Analyfis % Én in welken zy eenen geruimert tyd bleef. De> rheesten dergeenen, welke dezelve oelfenden, be-paalden zich byna tot niets anders , als om het geen Fieta geleerd hadt op te helderen , of in andere bewoordingen uit te drukken. Örtder deezev Analisten zullen wy echter by uitneemendheid gewag maaken vin Wtlliam Oughthred (c), van wier*
mem
, (c) fFilliam Oughtrtd was in T573 ?ebooren, en ftierf" in 1660 aan eene verrukkicg van vreugde, toen hy het befluit, door het Parlement genomen, vernim, om Kabel H. weder in te roepen. Behalv'en zyn Clavis Gem metrica \_fFallis noemt dit Werk Clavis Mathematica, en ze^t, dat het in 16.51 voor de eerfte maai gedrukt is^ (Treatife of Algelra Mh Uifiorical and PtaÏÏical, Chap^ H 3 XV.jj



ïia HISTORIE x> ë.r
men eenige pryswaardigc Werken over die Wee» tenfchap heeft. Hy verklaarde nog duidelyker de; toepasfing der Analyfis op de Meetkunftige Voorftellen, de Cpnftru&ie der Vergelykingen, de vorming der magten , de Fórmukn voor de hoekfneeden, enz. Maar de meeste van die onderwerpen ga?n weinig verder, dan hetgeen men de Analyfis voor Eerstbeginnenden (Analyfis elemeniaris) zou kunnen noemen, of hetgeen men reeds van Fieta bezat. Om die reden zou het onnoodig zyn ons langer daar by op te houden.
Aan Harriot ( d) is'het dat de Analyfis de eerfte vorderingen verfclïuldigd is, welke zy nadiegeenen, die haar in de voorgaande eeuwe door Fieta toegebragt Waren , deedt. Men heeft , hem de gewigtige ontdekking van de natuur en de vorming derVcrgelykingen te danken, eene ontdekking door Fieta ontworpen, en welké hy met veel fchranderheid verklaarde. Het Welk, waarin by dezelve voor. draagt, voert tot Tytel, An'is analyticce praxis, t\\ kwam in 1631 , tien jaaren na d'eu dood des Au* theurs, te j.ondon in '"t licht. Tot ons beftek behoort voor'al, dat wy onzen Leezercn het merkwaardigfte van dat Werk kortlyk voordragen.
De eer.fte ftap van Harriot is dat hy zich geenszins bepaald heeft, om de Vergelykingen onder de gedaante , welke tot in dien tyd gebruiklyk was . te befchouwen, dat is te zeggen, door de Termen, waar in de onbekende grootheid zich bevindt, te yergelyken, of gelyk te (tellen aan dien Term, welke de bekende grootheid bevat. Hattiot brengt by gelegenheid deezen laatften Term, door het tegendeelig
te-
XV.)] heeft men vpn hem verfcheide Werken, in verfcheide tyden in druk gegeeven, en 'welke meerendeels verzameld, en in 1667, onder den tyte! van Upufcula, gedrUktzyn-
(d) Thomas Hirriot, gebooren te Oxford in 15^0, overleedeu in 1621.



WISKUNDE. Ï». Deel. II. Boek. *|J
teken van dat 't welk het in 't eerst hadt 'er vóór te Hellen, aan de zelfde zyde als de andere Termen, en fielt alsdan de geheele uitdrukking gelyk aan nul. Zulks is natnurlyk, en volgens de Regelen van de gemeene: Algebraifche Analyfis; als x "ZZZ b is zal men ook x — b zzzz o hebben : en als ** —. 20 x ~ZZ~ 9 is, dan is het insgelyks waar, dat ac? — co x — 9 ZZZZ o is. Het is eindelyk klaarblyklyk, dat elkepejitive of negative Waarde, welke in eene vergelyking , onder die gedaante gebrast in plaats van x en haare magten gelteld zynde, dezelve gelyk aan nul maakt, de Waarde, of eene der Waarden va,ï * zal zyn, vermits zy aan de condi. tie, door deeze uitdrukking aangeweezen, zal voldoen. >Wy moeten nogthans aanmerken, om, itt hetgeen deeze wyze van de Vergelykingen te befchouwen betreft, niets meer aan Harriot\ot tekeneen dan hetgeen hem toekomt, wy moeten, zeilt, aanmerken, dat by op verre na niet al het gebruik daarvan maakte, dat hy konde doen, noch al het voordeel daarvan befefte. 't Is alleen in 't voorby gaan, en in een eenig Hoofdrtuk van zyn Werk, dat hy van dezelve gebruik maakt: overal op andere plaatfen, en zelfs daar, wanneer by eenè Vergelyking voorftelt, geeft hy aan dezelve de aewoone gedaante, en 't is alleen in den loop van het Bewys, dat hy, alle de Termen aan eene zyde brengende, de geheele uitdrukking aan nul gelyk fielt • maar hy komt zeer lpoedig weder tot de gewoons gedaante, even of deeze andere eenigermaate der natuure geweld aandeedt.
Ik zal zonder twyffel veelen myner Leezeren in verwondering brengen,wanneer ik hier by nogaanmerke , dït Harriot ilegts een oppervlakkig denkbeeld van de negative Wortelen hadt ; doch hoe wonderlyk dit voorgeeven ook fchynen moge voor hun, wien deezen Analist en zyne Werken niet anders kennen, dan door de winderige en opgepronkte lyst der ontdekkingen , welke Wallis hem.toeeigent, zal echfer het Bewys daarvan gemaklyk zyn: want H 4 eerste-



ti4 HISTORIE 011
eerstelyk gaat hy onder de gedaantens van nlgemeéne Vergelykingen, van welke magt htt ook zy, altoos die geenen voorby, welke flegts negative Wortelen voortbrengen; ten tweeden, wanneer hy eene Vergelykinge voordek, welke negative en pofitivt Wortelen bevat, als ** ( a — b) x — ah~o waar in ac te gelyk b of «. a is, volgens de bekende Oplosfing der Vergelykingen van de tweedemagt, fpreekthy alleenlyk van de pofitive Waarde, en handelt daarin op gelyke wyze ten aanzien der Vergelykingen van eene hoogere magt. Pen derden , en dit zal het zegel hangen aan t Bewys van 't geen wy zeggen, wanneer hy de Vergelykingen van de derde magt, en de verfchillende Waarden der onbekende, onderzoekt, komen 'er nooit gee,ne andere dan pofitive Waarden in aanmerkingom die reden zegt hy dat de Vergelyking
»s —3 bbx — — 2 c niet verklaard kan worden als door twee Wortelen, wanneer c kleiner dan b isj in de daad in dit geval en deeze gedaante van Vergelyking zyn flegts twee pofitive waarden, en de derde is negatif. Daar uit komt mede voort hetgeen hy zegt (ƒ), naamelyk, dat de Vergelyking *» —■ 3 bb*J== 2 -3 'liet verklaard kan worden als door één Wortel; in de daad wanneer c kleiner dan h; is, heeft men in dit geval flegts één Wortel, als men eeniglyk op de pofitive Wortelen acht flaat; doch'er zyn ook nog twee ande fe Wortelen, welke negatif zyn, en by den Engelfcnen Analm geheel m geen aanmerking komen. Zelfs verklaart hy zich deswegens Heiliger wVze op eene andere plaats (g), alwaar hy die foorten van Wortelen beroovend (privativa) noemt * doch zulks is alleenlyk om ons te zeggen dat
hy
(e) Art. Andlyt. praxis, feci. 5, prop. 4. (ƒ) Md. rrop. 3. (g) Ibid. pag. 27..



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. lig
hyde Vergelykingen, welke geheel uit negative Wortelen zyn faamengelteld, niet befchouwd heeft, om dat dezelve nutteloos zyn. Daar uit ziet men, dat zo Harriot die Wortelen al kende, hy ons echter ten opzichte derzelven niets meer gezegd heeft dan Cardanus, wien dezelve insgelyks bekend waren geweest, en ze valfchs of verdichte Wortelen genoemd hadt. Dus is dit een artikel, dat men in de wydluftige Lyst , welke Wallis van zyne ontdekkingen gemaakt heeft, over't hoofd moet zienDe voornaamfte ontdekking van Harriot, die welke hem onder de Analisten beroemd maakt, beftaat daarin, dat hy aangemerkt heeft, dat alle de Vergelykingen van hoogere magten [dan die van de eerfte magt] ProduStcn zyn van enkelvoudige of Simpele Vergelykingen.Zulks wordtop deeze wyze getoond.
Men neeme zo veel enkelvoudige Vergelykingen als men wil, als x -|- a ~ o; * -\- b rs 65
x -\-cZZZZo; en met zodanige verbinding van tekens
als men begeert, by voorbeeld deeze ,.v+a~o;a: — i~Z o; x ■+• c ZZ o; men vermeenigvuldige dezelve te faamen, dan zal 'er een ProduSt uit voortkomen, dat in het tegenwoordig geval zal zyn xl -+(a — b + c) xa ——. (ab + bc —■ ac) s — abczzO'. 'twelk eene Vergelyking van de derde magt is, om dat wy drie Faclores gehad hebben. Nu is het gemaklyk zich door de ondervinding te overtuigen, dat zo men in deeze uitdrukking, in plaats van x en haare magten, — a, of b, of-» c ftelt, dezelve geheel gelyk aan o zal worden. Het is derhalven klaarblyklyk, dat x drie Waarden heeft, vermits elk derzelven aan de Conditiën der uitdrukking voldoet. Het zelfde zal nog duidelyker blyken, als men zich van voorbeelden in getallen bedient. Laat
ons neetuen x 1=0; * 4- 9 = o; x —»
7 ~" o: het ProduEt is xs 4- x* —- 6$x + 63 ^: o, of *s -f- x* — 65 x ~zz —— 63. Indien men in deeze uitdrukking x gelyk ftelt aan ï, of aan —?, of aan 7, zullen de Conditiën der Vergelykinge vol.
daan
l



hö HISTORIE der 7
daan worden; want men zal in't eerfte geval heb.
bdn i -;- i 65 4- 63, hetgeen in de daad gelyk
aan nul is. In het tweede geval zal het zyn .... «-729 4- 8' + 585 -f-63— o: dat insgelyks waar is. Het zal het zelfde zyn in het derde geval, zo als gemaklyk beproefd kan worden.
Uit deezen oorfprong der Vergelvkingen vlöeïjen eene meenigte waarheden , welke voor de Anahfn Van liet uiterfte aanbelang zyn De eerfte is, dat in iedere Vergelyking zo veel Waarden zyri, als de magt, welke aan die Vergelykinge den naam geeft, eenheden bevat. Eene Vergelyking van de tweede' magt zal twee, eene van de derde nia?.r drie' Wortelen hebben, enz. (h). Wanneer \yy Waarden zeggen, geeven wy daardoor te verftaan, dat dezelve zo.weezenlyke, dat is te zegge n pofitive of negative Waarden, als ingebeelde \fmasinaria) kunnen zyn. Niets verhindert dat 'er niet in iedere Ver-
• ge-
(h~) Deeze waarheid, weike nu door Induüie bew^s-zen is, wordt ook rechtftreeks door dit raidc, I betoogd. Men ftelle eenise Ver'eiykings voor , als tk-eze , x3 4- Ax& -'r Bx -!- C =0, waarin A, ü, C bekende groothïden, welke die ook zyn, ulidfukken ; laat ons nu zo veele enkelvoudige WrsMykingen nefmen, als 'x -Y- a ~ o, x 4- b ™ o, x 4- c ~ o, ria.ir Pró. 'duel is x5 -h (a +b +c) x1 4- (ab 4- tic J- bc) SC 4" ab c r= O. Inuien men derhalven de Coëfficiënt des tweed n Ter.ns, vsfi een deezer Verp.elykingen , ft it den Coëfficiënt des tweeden Terms van de andere vers?elykr, dien des derden met dien des derden, enz. zal men juist even 'zo veel Vergelykingen hebben. als 'er onbekenden o, b, c zyn; In dé Vergelykingen vsn hoogsre magten zal het even het zelfde zyn. Dus heeft elk der grootheden a, b, c, enz. eene bepaalde waarde: iedere Vergt yking is cfertwlven het Product van zo veel enkelvoud! :e Vergelykingen , als 'er eenheden zyn in den Exponent dut mzgti waar van zy is*



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 117
gelykinge verfcheide van deeze laatfte foort zyn» want eene Vergelyking van de tweede magt kart twee zodanige Wortelen bevatten (i). Eene'zodanige Vergelyking is , by voorbeeld, deeze , *i ~~ 2x 9 ~~ °' waarm x g'elyk is 1 + of
Y - 8. Maar 'er kan eene andere Vergelyking
zyn, faamengefteld uit de voorgaande ,met eene andere enkelvoudige Vergelykinge vermeenigvuldiidl
deeze, by voorbeeld, xs -<r zx* x -_°0
komt voort uit de bovenfhande Vergelykinge vermeemgvuldigd met x -t- 5 ~ o. Dezelve zal derhalven twee ingebeelde Waarden hebben, naamelyk
* ~'r ^ — 8, en 1 — V — en eene weezenly-
ke 5. Deeze befchouwing brengt ons tevens
tot eene nuttige aanmerking, belangende de ingebeelde Wortelen ; naamelyk dat dezelve altoos even 111 getal zyn. Want dezelve moeten altoos zodanig gekoppeld worden, dat hun Produtï eene uitdrukking maakt , waar in niets ingebeelds komt, en zulks kan niet geleideden, als wanneer zy twee aan twee eene weezenlyke Vergelyking van de tweede magt uitmaakeri. Dus zou eene Vergelyking van eene evene magt, welke die ook zy, of eén VoorKei, flat daar op mogt uitloopen, onmogelyk kunnen zyn, als zynde in die Vergelykinge geëneandere dan ingebeelde Wortelen doch iedere Verge*
(!) De Vierkants.Vergelykingen, welke twee ingebeel. de of onmogelyke Wortelen bevatten, kan men in twee foorten onderfchüiden, die beide algemeen aldus *orden uitgedrukt: j- Ax + B ZZ o; echter met die be.
paaling, dat in sik derzelven B grooter dan het Vierkarr van | A moet zyn.
V e R T a a l e ». .■ $.eV°3i,siB V.°7fte' is QllSf» ^tal te vinden, gelah 12 ' U' dm Het Zmi va" dat
VEKTiJlLIJ.



n8 HISTORIE der.
gelyking van eene onëvene magt, als die van de derde, vyfde magt, enz, zal ten minften eene Oplosfing hebben.
Laat ons thans de gedaante van Vergelykingen hervatten, waarin de Wortelen der onbekende door letteren uitgedrukt worden , want dezelve zalonsgemakJykerzyn , om de faamenftelling van eiken 7>rw teleeren kennen,alzo het fpoor der bewerkingen daar in niet, als in de gedaante in getallen, verdwynt. Laat ons derhalven eene Vergelyking van de vierde magt onderftellen, welke faamengefteld is uitdeeze vier, x —— a ZZ o; x — b ZZ o; x — c zz o; , + il-o; haar ProduSt is de Vergelyking —— (tf + i + c — d) x*H- (ah-hac-h-bc—ad-bd—cd) x*~(abc — abd — acd — bed) x — abcd ZZ oDe Wortels van deeze Vergelyking zyna,£,c, — d: nu toont ons de bloote befchouwing deezer Vergelykinge, dat de Coëfficiënt van den tweeden Term de ibm is van alle de Wortelen, met tegendeelige tekens gefteld,dat is met het teken — ,als dezelve/>afitif'zyn, en met dat van -1- als dezelve negatif zyn. De Coëfficiënt van den derden Term is de fom der Producten van de zelfdeWortelen , welke voortkomen, als men dezelve twee aan twee vermeenigvuldigt; de Coëfficiënt van den vierden Term is de fom der Producten van die Wortelen, drie aan drie genomen, doch met tegendeelige tekens gefteld; de Coëfficiënt van den vyfden Term is de fom der ProduSten van die Wortelen , vier aan vier genomen, enz. eindelyk is de laatfte Term het Produel van alle de Wortelen, met het teken daar van genomen, als de rang van dat Lid oneven is, of met het tegendeelig teken, als hetzelve even is.
Het geen tot hier toe over den oorfprong der Vergelykingen gezegd is, geleidt ons tot eene Leerwyze, om niet alleen die van de derde magt, maar ook die van hoogere magten op te losfen. Want naardien de bekende grootheid het Produel; is van alle de Wortelen der Vergelykinge, wanneer deeze Wortelen ratianaate en geheele getallen zyn, zullen
dee«



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. u9
deeze Wortelen noodwendig eenige der Deelers van dit laatfte Lid zyn. Men zal derhalven moeten beproeven, welke van die Deelers , pofitif of nega. tjf genomen, in plaats der onbekende gefteld zvnde, de Vergelykinge gelyk aan nul zal maaken. Zo dit gelukt, zal het eén der waarden van de on. bekende zyn. Laat ons daar van een voorbeeld bybrengen: de voorgeftelde Vergelvkinti zv * _ I7 x* -f- 79 x _ 63 _ c# De De^lersbvaJ 63 zyn 1, 3, 7, ?, 2t 63- by gevol„ der Wortelen van de Vergelykinge^ een heel ge al ^'nm°T ^ezjlv! °nder die Deelers gevonden wor. ^'0InJe M3d' als ,mcn' m Plaa« van x, in deeze uitdrukking i, of 7 , of 9 ftelt, zullen al! ie de Leden elkander vernietigen. De WmrHp., der onbekende zullen derhalven zyn 1 of * nf 9, en de Vergelyking zal deelbaar zyn d'oor *JL " ,"7t 7' °,f * *~ 9* Desge'yks zyn in dl Ve gelyktnge — 24 * - 45 = o de Deelers
Iph n,5!i ' 3'9l1J> 45; a,s men dezelve de een na den anderen beproeft, bevindt men, dat
Tr ; ?.in de Plaats van * gefteld zynde , de
Verge ykmg verdwynt; derhalven is éZ der Wortelen, en deelende deeze Vergelyking door r + 5._verlaagt men dezelve tot deeie ? -1-° £ 9 - o, waar van de Wortels zyn s -\- y
^',-en a TT ^ -IJ*: indien Seene van deeze JW*« gelukt, is het een teken, dat de Wortel der Vergelykinge geen rationaal noch heel geVaf /s-
reemid5efednerhalVen2yn tt^,n«t "eeme" &"nd* re middelen, waarvan wy in 't vervolg zullenfpree-
lPZ^d Aiig uyVun ^aafte bv de vorderingen , wel. is Alzo8?/3^6,^^ aan verschuldigd 1*,. 1 A °ntuekkin8en' we,ke WY nu voorgedragen hebben, het voornaamfte deel daarvan ukmaaken ; want wy plaatfen geenszins in dien rans verfcheide aanmerkingen,waar mede Wallis de Lysf der vindingen van dien Analist vergroot heeft in den zelfden tyd toen hy zyn bes? deedt, om d™
vin«



139 HIS.TO R IE DER
vindingen van Defcartes in een zeer ongunftig dag. licht te ftellen, Ik kan niet zien, dat het eenige verdienfte uitmaakt, het gebruik der kleine in plaats van de groote letteren ingevoerd, en de magten door herhaalde letteren, als aaa,m plaats van Ac, zo als men voor hem deedt, achtervol. gens gefchreeven te hebben. Nog minder moet men als ontdekkingen van Harriot aanzien, de wyze van de Wortelen eener Vergelykinge te vermeen nigvuldigen, te deelen, te vermeerderen ofte verminderen, zonder dezelve te kennen, om het tweede Lid , de Breuken en de irrationaale grootheden te doen verdvvynen : dit alles was Fieta bekend. De Leerwyze waarvan Harriot gebruik maakt, om de Cubifche Vergelykingen tot de Formulen van Cardanus te herleiden, is mede op zeer weinig na die van den Franfchen Analist. Men wist ook reeds voor hem , dat de Cubifche Vergelykingen, welke op het onherleidbaar geval uitloopen, echter weezenlyke Wortelen hebben. Deeze waarheid was reeds in 't Jaar 1593 door Fieta beweezen , vermits hy die Vergelykingen door het in drieën-fnyden van den hoek geconftruëerd hadt, wat zeg ik, dezelve was reeds bekend geweest aan Bombelli, wiens Werk in't Jaar 11573 was uitgekomen. Hoe kunnen wy dus den Heer Wallis van partydigheid vry pleiten, daar hy, ons eene Hiftorifche Verhandeling over de Algebra leeverende, naauwlyks op eenig ander Analist als Harriot het oog fchynt geflagen te hebben, en na alvoorens Defcartes voor een plunderaar uitgemaakt, en, zo veel in zyn vermogen was, zyne vindingen onderdrukt te hebben, de optelling der vindingen van zynen Landgenoot meerendeels doet beftaan in zaaken, die of van weinig belang, of van zyne Voorgangers ontleend zyn. Wie zal zelfs zich van lagchen kunnen onthouden, als hy deezen yverigeri herlteller der eere van Harriot hem ziet toeèigenen, ik zeg niet alleen de oplosfing der Vergelykingen van de tweede



WI S KUNDE- III. Deel. II. Boek. lit
de .magt, door de verdry ving van den tweeden Term, eene vinding van Fieta, maar ook de bekende Leerwyze, volgens welke men, zo als een ieder weet, wederzyds iets byvoegt, om van het Lid, waar in de onbekende is, een volkomen Vierkant te maaken (l). De partydigheid en de verblinding, die gevvooulyk een gevolg van de eerfte is, kunnen niet verder gebragt worden.
I I I.
Wy vinden hier eenen weinig bekenden Holland* fchen Analist, welke door eeuiae omftandigheden wel verdiende meerder bekend te zyn- Zyn naam was Albertus Girard: men heeft van hem een Werk, dat in 1629 in 't licht kwam , onder den Tytel van Nieuwe vinding in de Algebra (m), en 't welk daar in merkwaardig is, dat men 'er eene duidelyker kennisfe van de negative Wortelen in vindt, dan in de meefte Werken der andere Analisten. Het voorwerp van dat Boek is te toonen, dat in de Cubifche Vergelykingen, welke op het onherleidbaar geval mtloopen, altoos drie Wortelen zyn, naame. lyk twee pofitive en een negative, of in tegendeel. Fieta hadt, wel is waar, deeze Vergelykingen reeds geconftruëerd, maar hy hadt zich flegts tot deaanwyzing der pofitive Wortelen bepaald; Girard deeze Conjlrutlie dieper inziende, gaat nog verder! en wyst ook de negative Wortelen aan, welke hy in minus noemt. Voorts is ons onbekend, wat hy deswegens
(O Pecu/iarem, zest hy, tfiendit methodum tequationei quad. refiolvendx cmplendo quadratum in Speciebus. De A|g- c. 53. p. 2C6.
(tn) Ik heb dat Werk nooit gezien , doch van Schooien haalt net aan, en heeft daar uit verfcheide zaaken getrokken, in zyn Lommentarium over de Meetkunst van Defcartes. Zit t- 345 > en volg. J I



122
HISTORIE der
gens dacht: het is zeer waarfchynlyk, dat hy,naar het voorbeeld van Cardanus en andere Analisten, welke die Wortelen ingezien hadden, dezelve als nutteloos befchouwde. Defcartes is het, wien wy, zo als in het vervolg getoond zal worden , de onderfcheidene kennis van hunne natuur en hun gebruik te danken hebben.
I V.
Men kan van hetgeen het tydperk van Defcar* tes in de hedendaagfche Meetkunde geweest is geen gepaster denkbeeld geeven, als door het te vergelyken mét dat van Plato in de oude Meetkunde. Deeze laatlie, de Analyfis uitvindende, deedt deeze Wetenfchap eeue nieuwe gedaante aannecmen; de andere heeft door het verband, dat hy tusfehen dezelve en de Algebraifche Analyfis invoerde, insgelyks eene gelukkige omwen. teling daar in bewerkt. De ontdekking der Analyfis gaf tot verfcheide verhevene Theorien aanleiding; de Meetkunst heeft uit haare verbinding met de Algebraifche Analyfis de zelfde voordeelen getrokken, en, van dat hulpmiddel voorzien, eene meenigte voorwerpen, welke alsnog buiten haar bereik waren, onder haar bereik gebnigt. Eindelyk even als Plato, door zyne ontdekking, die van eenen Archimedes, van eenen Appollonius, enz. voorbereidde, kan men zeggen, dat Defcartes de gronden gelegd heeft tot de ontdekkingen, welke hedendaags eenen Newton, eenen Leibnitz, enz. beroemd maaken.
Wy zyn genoodzaakt ons hier tot een zeer kort verflag van het leven van dien beroemden man te bepaaien. [ Hy was de zoon van een Raadheer in 't Parlement van Bretagne, en van een aanzienlyk gedacht], en kwam den 31 Maart ijqö te la Haye in Toaraine ter waereld. Van kindsbeen af toonde hy zo veel weetgierigheid omtrent alle natuurlyke
ken-



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 123
kennisfen , dat zyn Vader hem , by onderfcheiding, zyn Wygeer noemde. Hy befteedde een gedeelte zyner jongheid, met wysgeerige ooemerken , tot reizen, en eindelyk deedt de liefde tot vryheid en eenzaamheid hem Holland tot zyn verblyf verkiezen. Aldaar gaf hy de meeste zyner Werkea in 't licht. Schoon men 'er niet altoos de waarheid in aantreft, kan men echter niet misfen het daar in doordraaiend vernuft te zien, en hetgeen hetzelve nog meer kenmerkt , die edele vryheid, welke niets wil toeftemmen, dat niet zonder vooroordeelen, en volgens onwrikbaare grondbeginfelen onderzocht is. Daar door heeft Defcams voomaamelyk veel tot de bevordering van de Wysbegeerte toegebragt. Galileus en Baco hadden reeds een begin gemaakt met het menfchelyk verftand van het llaaffche juk, waar onder het gekromd ging, te omhellen, doch het is de Franfche Wysgeer, welke de laatfte hand daar aan gelegd heeft, om het weder in het vol genot der vryheid te ftellen , en die de omwenteling heeft verhaast. Defcartes ftierf, zo als een ieder bekend is, [den ïi february] 1650, aan het Hof van de Zweedfche Koningin Christina, die hem aangezocht hadt om by haar te komen, ten einde het genot van zyne gefprekken te kunnen hebben- Zeventien jaaren daar na werdt zyn Lyk in Frankryk gebragt, en in de Kerk van Genevieva bygezèt, alwaar men hem een Monument heeft opgericht beftaande in zyn Borstbeeld in bas-reliëf, met een Opfchrift, dat, wegens de groote omwenteling, welke zyne Wysbegeerte ondergaan heeft, hedendaags mogelyk al te verheven zou zvn.
Van de Meetkunde is het dat Defcartes heden, daags het gegrondst en minst betwistbaar gedeelte van zynen roem ontleent; en het is ook alleen dat van zyne Werken, 't welk de Meetkunde betreft, waar mede wy ons hier moeten bezig houden: zyne andere Werken zullen I 2 el-



ui HISTORIE der
elders (n) eene plaats vinden. De Meetkunst van Defcartes kwam in 1637 in 't licht, en deeze is de derde der Verhandelingen, welke op zyne Leerwyze volgen, als voorbeelden, welke hy in deeze drie voomaame Weetenfchappen, de Natuurkunde, de gemengde Wiskunde, en de zuivere Meetkunde, daar van heeft willen geeven. Men moet echter de verdienfïe der orde en duidelykheid 'er niet in zoeken; het zyn de denkbeelden van een verfhmdig man, die van het fpoor der gemeene verftanden afwykt, en die, zich vergenoegende met flegts de grondbeginfeleu voor te dragen, den Leezeren de zorge overlaat, om daar van de noodige toepasfing te maaken, en 'er de gevolgen uit af te leiden-
Defcartes begint zyne Meetkunde met de Oplosfing van eene zwaarigheid te geeven, welke de oude en hedendaagfche Wiskundigen ten aanzien der magten boven den Cubus of Teerling opgeworpen hadden. Wat is een Vierkants-Vierkant, vraagden zy, vermits 'er geene uitgebreidheid uit meer dan drie afmeetingen faamengelteld kan zyn? Pappus neemt zynen toevlugt tot de faamengeltelde redens, hetgeen langdraadig en verward is. De Heer Defcartes toont duidelylcer, dat hec flegts geduurige of onderfcheidene even-
re.
( n) Decze andere Werken zyn zyne Mechanica, zyne Dioptrica, en zyne beginfelen of verklaaring zyns ftelfels van 't Geheelal. Wy znllen zyne enkel Natuur- of Bovennatuurkundige Schriften niet aanroeren, de optelling derzelven zou te wydloopig zyn, en behoort niet tot ons onderwerp. Men beeft behalven dat drie Deelen (in-A°.) Brieven van Defcartes, of van verfcheide perfoonen, 'met welke hy briefwisfeiing hieldr. Dezelve bevatten verfcheide zaaken raakende de Meet- en Wiskunde. Men vindt eindelyk in zyne Opera pofihuma, in 't jaar 3701 in 't licht gegeeven, eenige weinige belangwaatdige ftukkea van de Meetkunde of Analyfis.



WISKUNDE. IH. Deel. II. Boek. la5
redigen zyn, tot de eenheid of eene Lyn, die in den loop van het vraagduk altoos als zodanig genomen wordt, en de gegeevene Lynen. Dus is as de vyfde evenredige tot de eenheid en a; desgelyks is ab de vierde evenredige lot de eenheid, a en b; abc is de vierde evenredige tot die een-' heid, ab en c, en zo ook met de overige meer faamengettelde ProduEtm. Wy zouden nog kunnen aanmerken , dat Defcartes de Vinder is van het gebruik , mn de magten met haare Exponenten in getallen te Ichryven: ja wy zonden met meerder grond Defcartes dit als eene verdiende kunnen toerekenen, dan Wallis gehad heeft, om als eene verdiende van zynen Landgenoot op te geeven, dat hy in plaats van de groote letteren, waar van de Analisten voor hem gebruik gemaakt hebben, kleine letteren gelleld heeft; doch wy zullen geenszins , om de verdiende vaii Defcartes op te vyzelen, eenen grooten ophef van die beuzelingen maaken, weike alleen zouden kunnen dienen om iemand anders, minder ryk in kennisfe dan Defcartes, op re tooijen.
Defcartes is het, wy herhaalen het hier, wien wy de kennisfe van de natuur en het gebruik der ■negative Wortelen te danken hebben, en hy is de eerde, die dezelve in de Meetkunde en Anahfis beeft ingevoerd. Begaafd, zo als hy was, met een bovennatuurkundig verdand, bemerkte hy,dat er geene grootheden minder dan nul konden zyn , en dat het geene andere konden zyn dan grootheden, welke ten opzichte van andere, die als pofu tif aangemerkt worden , eene contrarie richtdreek
hebben, in de daad het teken is flegts nat
van de aftrekking,en wanneer men van eene grootheid, in eene zekere richtdreek genomen , by"voorbeeld opwaarts, meer dan die grootheid zelve aftrekt , moet hetgeen meer dan die grootheid zelve wordt afgetrokken, in eene contrarie richtdreek, dat is nederwaarts,genomen, en het teken — daar voor gedeld worden. Om de waarheid te zeggen , de naam van valsch, welke Defcartes aan de hegatiI 3 ve



i2ö
HISTORIE der
ve Wortelen geeft, fchynt aan te duiden, dat hy geen zo juist denkbeeld van dezelve hadt, als wy boven gezegd hebben : maar het byna geduurig gebruik dat hy van dezelve maakt, en wel op eene behoorlyke wyze, floot deeze tegenwerping geheel om ver.
Defcartes verrykte de Theorie van Harriot over de faamenltelling der Vergelykingen met eene zeer fraaije ontdekking, ik zeg eene zeer fraaije ontdekking, ondanks de bepaaling welke men daar in moet (lellen, en de poogingen van Wallis om dezelve verachtelyk te maaken. Het is een Regel om door de bloote befchouwing der tekens het getal der pofitive en negative Wortelen in eene Vergelyking te bepaalen. In iedere Vergelyking, zegt Defcartes, kannen zo veel waare ( dat is te zeggen pofitive) Wortelen zyn, als 'er veranderingen van tekens , of verwis-
felingen van het teken + in het teken , of in
tegendeel, zyn, en zo veel valfche ("dat is te zeggen negative) Worrelen , als 'er opvolgingen van het zelfde teken zyn. In deeze Vergelyking,
by voorbeeld #» 17 x* 4- 79 x — 63 = o
zyn drie Veranderingen van tekens; ook zyn de drie Wortelen pofitif, naamelyk 1, 7, y: wanneer wy nu deeze Vergelyking nog met x 4- 4 vermee-
nigvuldigen, zullen' wy deeze hebben x* ■ 13
x3 4- 11 x* + 253 x 252 — o,waar in wee-
zenlyk drie veranderingen van tekens zyn, welke de drie pofitive Wortelen aanduiden, en eene opvolging van het zelfde teken, uit hoofde van dennega.' tiven Wortel.
De bepaaiing van deezen Regel, waar van boven gcfproken is, beftaat daar in, dat de Vergelyking geen ingebeelde Wortel moet hebben, en dezelve was Defcartes niet onbekend. Men ziet hem niet op eene algemeene wyze zeggen, daar zyn in iedere V..r£telyking zo veel pofitive Worrelen als veranderingen van rekens, maar daar in kunnen zyn; dat is te zeïgen , dat zy 'er niet altoos in zyn, naamelyk wanneer dezelve ingebeelde Wortelen heeft; dus
zou-



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 127
zouden wy zeggen, dat een Voordel, 't welk, by voorbeeld, op eene Vergelyking van de derde magt uitloopt, drie oplosfingen kan hebben: want men wil niet zeggen,dat 'er altoos drie oplosfingen zyn, maar dat het Voorftel die zal hebben, als 'er geen ingebeelde Wortel in de Vergelyking is. Dit was zyn antwoord aan Roberval, die hem eene Vergelyking van de vierde magt tegenwierp, waar in zyn Kegel gebreklyk was, en niet naliet deeze tegenwerping tien jaaren daarna te vernieuwen, met eene ftyfzinnigheid die hem weinig eere aandoet. Wallis , die het ongenoegen heeft van by den Franfchen Meetkundige eene vinding aan te treilen, die hy zich niet kan onthouden eene vry fraaije vinding te roemen, laat niet na aanftonds de verdiende van den Autheur derzelve te vernederen, door voor te geeven , dat de bepaaling derzelve hem onbewust was. Zodanig is eindelyk de onbedachtzaamheid van zekere lieden, dat men nog den Heer Rolle in 't ftrydperk ziet treeden , om Defcartes te veröordeelen. Men zou die hardnekkige tegenftreevers van onzen Wysgeer kunnen vraagen, waarom hy heeft kunnen zeggen, daar in kunnen zyn, in plaats van daar in zyn, zo hy gedacht hadt, dat zyne Regel algemeen, en zonder uitzonderingen was. Wanneer Wallis eene Vergelyking voortitelde, als x* + 6 x3 4- 11 i xl 4- 1993 x 4- :;5fj7S ZZ 0(0), welke vier negative Wortelen fchynt te hebben, zou Defcartes alleenlyk gezegd hebben , dat 'er vier Wortelen van die foort in moesten zyn, zo 'er geen ingebeelde Wortels in waren, en wanneer hy, die Vergelyking met x ■— 18 vermeenigvuldigende, gezien hadt, dat dezelve eene gedaante aannam [naa-
me-
(0) De Autheur geeft eene Vergelyking op, waar in de Coëfficiënten van den tweeden en derden Term tegen elkander verwisfeld zyn, dat zekeriyk eene fchryf- of drukfeil is. Ue Vergelyking, die ik opgeef, is uit het Werk van Wallis ovetgenomen. Veetaalei. ï 4



ia8 HISTORIE der
Oielyk xs ia x* -j- 3 xs —-—- 5 i1 + 4 jt
—— 645804 ^r: o], welke 5pajithe Wortelen te kennen geeft , zou hy daaruit belioten hebben , dat dezelve 4 ingebeelde Wortelen, en zekerlyk één po.' Jitive Wortel hadt. Men kan zelfs den Kegel van Dejcartes volftrekt algemeen maaken, door de ingebeelde Wortelen als dubbelzinnig, of als tevens negatif en pofitif zynde , aan te zien. In de eerfte Vergelyking van Wallis zyn vier negative Wortelen, en in de tweede vyfpofitive Wortelen, dat is te zeggen één weezenlyke en pofitive Wortel, en de vier anderen negativo pofitive, of ingebeelde, Wortelen-
Fene enkel Analytifche en zeer gewigtige vinding, welke Wallis niet in Defcartes heeft willen zien, is die van de Leerwyze der onbepaalden. Dezelve beftaat in de onderftelling eener Vergelykinge met onbepaalde Coëfficiënten, waar van uien vervolgens, door de Vergelyking haarer Termen met die van eene andere, die aan dezelve gelyk moet zyn , de v/aarde bepaalt. Defcartes bedient zich van dezelve voor de herleiding der Vergelykingen van de vierde magt tot twee Vergelykingen van de tweede magt, uit wier venneenigvuldigitig dezelve gevormd worden. Het beloop zyner handehvyze; welke , om het in 't yoorbygaan aan te merken , veel verfchilt van die van Ferrari en Fieta, met welke Wallis dezelve fchynt te vermengen, komt bier op uit. Hy onderdek twee Vergelykingen van de tweede magt, waar van de Coëfficiënten onbepaald, en de Termen zodanig faamengedeld zyri, dat uit haare vermcenigvuldiging eene uitdrukking voortkomt, die in alle haare 'Termen, behalven den laatden, oyërëenkomftig met de voorgeftelde Vergelyking is. Hy ftelt dezelve vervolgens gelyk, Waar uit voorvloei: dat hun verfchil nul is, hetgeen hem eene nieuwe Vergelykinge van de derde magt opleevert. welkers Wortel de waarde van de gezochte Coëfficiënt is. Deeze Leerwyze voor de pplasfing der Vergelykingen van de vierde magt
is",



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. ï2f
is, op eenige veranderingen na, die welke hedendaags in gebruik is. Om die reden zal ik my niet ophouden met dezelve breeder te verklaaren: de gewoone Boeken over de Algebra geeven over dat onderwerp alle noodige onderrichtingen.
VVy kunnen ons niet onthouden hier te fpreeken over de befchuldiging van letterdievery, welke tegen Defcartes wordt ingebragt, om dat hy in zyne Meetkunst gebruik heeft gemaakt van de Leere van Harriot over de faamenfielling der Vergelykingen , zonder hem daarvan uirdruklyk de eere te geeven. Wallis is in dit opzicht onvermoeid, en vaart op eene zo belachlyke als onbetaamlyke wyze tegen Defcartes uit j doch om dat gefchreeuw op den rechten prys te (lellen zullen eenige aanmerkingen genoegzaam zyn. Wallis kon diegeenen, welke niets van de Hiftorie der Aigebra wisten, gemaklyk om den tuin leiden door den voordragt , welke hy van de ontdekkingen van Harriot gedaan heeft, en zyn ftilzwygen omtrent alles wat vóór Harriot gevonden was. Maarzy, welke dat gedeelte van onze Hiftorie geleezen hebben, hebben kunnen zien, dat de ontdekking, waar van wy fpreeken, zoo wel was toebereid, dat zy een man van verftand bezwanrlyk konde ontglippen. In de daad, ten eerften Curdanus en Aibtrtus Girard hadden duidelyk van de negative Wortelen gefproken, en men kan niet ontkennen . dat Defcartes de eerfte is geweest, welke de natuur en het gebruik derzelven ontdekt heeft: ten tweeden Fieta hadt de faamenlielling van de Gëfficitnten der Ver-jrelykingen, in de gevallen waar in de Wortelen pofitif waren, aangeweezen Uit de verêsniging deezer twee opmerkingen nu ontftaat voor het grootfte gedeelte deont» dek king van Hatriot; want men heelt fjeats eene vermeenigvuldiging van twee of drie Binomia te doen, om in her Product te zien gebeuren alles wat men over de Coëfficiënten der Vergelykingen aanmerkt. Er was derhalven flegts écu ftap te doen, om in 't bez.t der ontdekkinge, waar van wyfpree.
1 J ken,



i3o HISTORIE der
ken, te geraaken , en deeze ftap zal voor Defcartes niette groot fchyrien by hun, welken een gepast denkbeeld hebben van hec verftand diens beroemden mans , een verftand zodanig toegerust, dat hetgeen andere Meetkundigen van zynen tyd veele overdenkingen koste, voor hem flegts een fpelwas, zo als veelen zyner Brieven bewyzen.
Laat ons niettemin eens toegeeven, zo als mogelyk is, dat Defcartes het Werk van Harriot , zes jaaren voor zyne Meetkunde in 't licht gegeeven, gezien, en daaruit die Theorie der Vergelykingen ontleend heeft, moet men hem dan daarom vooreen plunderaar unmaaken? Wy kunnen dit niet gelooven, of'er zouden weinig Meetkundigen zyn, welke dien fchandnaam konden ontgaan. Indien Def* cartes, een Boek over de natuur der Vergelykingen noemende, daar in de ontdekkingen van Harriot ouder eene andere gedaante hadt voorgedragen, zonder iets van haaren Vinder te zeggen, zou hy dien naam verdienen; doch het heeft altoos eenenSchryver vrygeftaan eenige denkbeelden van anderen te gebruiken , wanneer dezelve dienen kunnen om zyne eigene ontdekkingen in orde te brengen, of eenig licht over dezelve te verfpreiden, en vooral wanneer mem'er zo veel by voegt, als Defcartes by die van Harriot gedaan heeft.
Maar zo men eens den harden zetregel van WaU lis moest aanneemen, wat zou men dan moeten zeggen van hem zeiven, en van hem dien hy met zo veel yver boven anderen verheft? Heeft Harriot ergens openhartig te kennen gegeeven wat hy aan Vieta verfchuldigd was, die hem in byna alles wat hy leert over de fchikking der Vergelykingen, over de herleiding der Cubifche Vergelykingen tot de.For. tnulen van Cardanus, over de Oplosfingen der Vergelykingen van de vierde magt door middel van eene Cubifche Vergelyking, over de faamenftelling der Termen in de Vergelykingen, welke geen andere dan pofitive Wortelen hebben, enz. was voorgegaan? Doch om weder tot Wallis te komen: geeft
hy



WISKUNDE. III. Deel. II. Boei. 131
fiy zich niet uit als vinder van eeneLeerwyze, door welke hy het onherleidbaar geval waant opgelost te hebben; eene Leerwyze welke reeds federt byna 80 jaaren door Pombelli geleerd is, en welke, volgene den Heer de Aloivre (p ) niets anders is dan eene voorftelling van 't geen betwist wordt QPeti* lio Principii). Wy zouden nog kunnen aanmerken, dat de beide Regelen der Raaklynen, welke hy in 1672 heelt uitgegeeven, geene andere zyn , dan die van den Heer de Fermat, in 't jaar 1644 door Herigonius in zyne Curfus in 't licht gegeeven, en die van den Heer de Roberval, federt het jaar 1636 in Frankryk bekend , en welke mede gevonden worden in de Wei ken van Torricelli, in 't jaar 16^4 uitgekomen. Van eenen anderen kant, als hy Defcartes met zo veel laatdunkendheid befchüldigt van zich in zynen Regel, om de pofitive van de negative Wortelen te onderkennen , vergist te hebben , geeft hy ons dan niet het recht om hem met de zelfde ftrengheid te handelen ? Want behalven den bovengemelden misfiag, begaat hy nog een andere in de ConJtruftie, welke hy van de Cubifche Vergelykingen leert, waarin hy een Parabool van het derde gedacht met eene rechte Lyn gebruikt , hetgeen eene misgreep en eene Petitio Principii is, naardien het onmogtlyk is die Kromme in alle haare punten te condruëeren, zonder de algemeene oplosfing der Cubifche Vergelykingen. Eindelyk Harriot, dien hy in zo veele opzichten boven Defcartes delt, is niet minder vry van dooling. De Heer Halley heeft aangemerkt (q), dat hy in hetgeen de bepaaling der weezenlyke en ingebeelde Wortelen in de Cubifche Vergelykingen betreft zich vergist heeft. Voorts is deeze tegenbefchuldiging geenszins ingericht, om mannen, welke zich in de Wiskunde zo verdiendelyk gemaakt hebben,
te
(p) Tranf. Phil. n«. 451.
(q) Tranf'. Phil. ann. 1687, rj°. 190.



132
HISTORIE der
te verachten, maar ecniglyk om de onrechtvaerdigheid des gefchreeuws van Wallis tegen Dfcartes aan te toonen. Om het recht te nebben, ik zeg niet van de dooling eens grooten mans aan te merken, maar van hem die te vervvyten , moet men zelf 'er volkomen vry van zyn.
Wy kunnen ons niet onthouden om nog eenige trekken van de zonderlinge partydigheid van Wallis omtrent zynen Landgenoot, en van zyne verbittering tegen Defcartes op te haaien. Vermits het Werk van Harriot het eerst in 't licht gekomen is, befluit hy daar uit, dat de Franl'che Wys. geer het heeft moeten kennen, en daar mede zyn voordeel gedaan heeft. Maar vindt men in fchriften van Analisten, die vóór Harriot geleefd heb» ben, denkbeelden welke deeze gebruikt heeft, dan heeft hy, volgens zyne zucht tot loffpraak, dezelve niet gekend: 't is eindelyk 'zyn Landgenoot, alles is zyn werk, alles komt hem toe, tot zelfs de gewoone oplosfing der Vergelykingen van de tweede magt. Ten aanzien van de Franfche Analisten is her een ander gewigt , eene andere Weegfchaal. Vooreerst gaat hy met ftilzwygen Voorby, of ftelt in een ongunftig daglicht, al het oorfpronkelyke dat in de Meetkunde van Defcartes gevonden wordt. Hy maakt byna geen andere optelling van 't geen dezelve bevat, als van het geringfte in de Algebra, dat daar in gevonden wordt; zelfs rekent hy hem het eenigermaate als eene misdaad toe, dat hy van de eenvoudigfte bewerkingen der Algebra gebruik heeft gemaakt, en het fcheelt weinig dat hy hem niet voor een plunderiiar uitmaakt. Daar hy echter genoodzaakt is dien fraaijen Regel voor de onderfcheiding der pofitive en negative Wortelen te erkennen, ftelt hy denzelven verre beneden dien van Harriot; een gevoelen dat niet geftaafd wordt door de Analisten, welke byna dagelyks van den Regel van Defcartes gebruik maaken, en den anderen vergeeten hebben. Deeze' man eindelyk, zo
ftout-



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 133
floutmoedig als het 'er op aan komt om aan Harriot ontdekkingen toe te fchryven, welke hem niet toe. komen zo hy al aan Fieta, aan Defcartes eenige weinig beduidende vindingen oveilaat, laat niet na altoos te vreezen, dat hy hun te veel zal toeftaan. Deeze twyffelachtige voorfchriftentjforté antêeum atn i nejcio an non ante eum alii, of' andere foortgelyke, worden meest overal gebruikt. Wanneer hy tot de gemengde ontdekkingen van onzen Meet. kundige komt, ontvvykt by op eene behendige wvze dit hem in verlegenheid brengende fluk, onder het yoorwendzel dat dezelve niet tot de zuivere Analyfis behooren, even als of de Algebra, door haare verbindtems met de Meetkunde, nie even zo veel gewonnen hadt als de Meetkunde zelv ™ Undertuslchen wordt zyne haat tegen Defcarfs ou meuwontfloken, hy treedt andermaal in 't ftrvdperk, en fchroomt niet om het Werk van Der cartes met de middelmaatiglte gelyk te Hellen Hv maakt een einde aan zyn gezwets door Harriot tl verge yken met Columbus, die de nieuwe Waereld ontdekte, en wien de gelukzoeker Americus Ves. puctus van de eere beroofde, om zyn naam aan dezelve te geeven, Was 'er ooit een zo onbeïaa"! yk , zo blind gezwets , dat door de algemeene verwondenng der Meetkundigen over het Werk van Dejcartes zo nadruklyk wederfproken wordt? Her lZegImg?er£ ZynC bdP°tte]ykheiden weder-
V.
fcZhanS Sian Wy 0Ve/ tot liet ve^Ml der ontdek-
welke de eerfte plaats bekleedt' üe,°mdekkl«g> die hy van de Al/ebra op d^Meèt uns & me Lynen maakte. Wy zeggen op de Meetkun^
der



134
HISTORIE, dér
der kromme Lynen; want men heeft reeds gezien, dat de toepasfing der Algebra tot de oplosfing der gewoone Voorlieden veel ouder is. Maar zonder die vindingen te verachten kunnen wy zeggen , dat ze flegts de eerfte beginfelen van die van Defcartes zyn ; hetgeen hy 'er byvoegde bepaalt eigenlyk het tydbegin der omwenteling, welke der Meetkunde met fnelle fchreeden verheven heeft tot den trap, waarop zy zich hedendaags bevindt.
Reeds voorlang was de Meetkunde in 't bezit om de natuur eener Kromme uit te drukken doordebev trekking der onderling evenwydige Lynen , ge» trokken uit ieder van haare punten op eene andere vaste en onverSuderlyke Lyn. Dit middel doet zich vry natuurlyk aan 't verdund op; want wat bepaalt eene Kromme om van eene zekere gedaante te zyn ? immers niets anders dan dat tusfehen ieder van haare punten eene zekere overeenkomst van afftand is, ten aanzien eener rechte Lyn, die door dezelve gaat, ett haar tot As verftrekt. In de gemeene Meetkunde is de Cirkel eene Kromme, waarvan alle de punten even ver afftaan van een ander, dat het middelpunt is. Maar eene verhevener Meetkunde befchotiwt dit anders. Onder dit nieuw gezichtpunt is de Cirkel eene Kromme, in welke, als men, na eenige middellyn getrokken te hebban , uit een punt naar welgevallen genomen een Perpend culair op die middellyn laat vallen , de Rechth iel? der deelen van die middellyn, door den Perpendiculair afgefneeden, gelyk zal zyn aan het vierkant van den Perpendiculair , of wel, dat dit Vierkant gelyk zal zyn aan dat van de ftraal, min dat van het deel tusfehen den Perpendiculair en het middelpunt begriepen. Dit is in de Theorie der Kromme Lynen de byzondere en kennelyke eigenfehap van den Cirkel. In den Parabool is het vierkant van eenigen Ordinaat rot den As gelyk aan den Rechthoek van het deel, tusfehen dezelve en den top begreepeiv, en eene zekere ftandvastige Lyn, enz.
Het



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 13y
Het was zonder twyffel gemaklyk deeze betrek, kingen in de Algebraifche taal uit te drukken zo dra dezelve den Meetkundigen bekend was.Maar men moest vooraf voorzien vau wat gebruik deeze wyze om dezelve uit te drukken kon zyn,en zulks werdt Defcartes door zyne fchranderheid , zyn bovennatuurlyk vcrlland,en zyne ! edreevenheid in de Meet» kunde wel ras gewaar. Hy zag dat eene Algebraïfchc uitdrukking een korter cn eenigermaate krachtiger tafereel is van de eigenfehapoen eener Kromme , en dat zy dengeenen , die de Analyfis verftaat, de beste gelegenheid aan de hand geelt', om haare verborgenfte eigenfchappen uit de gemaklykfte af te ..leiden. Hier van zullen wy eenige voorbeelden'op. geeven, *
Men noemt in deeze nieuwe Meetkunde de Vergelyking eener Kromme de Algebraifche uitdrukking" we:ke de altoos overeenkomftige betrekking tusfehen eiken Ordinaat der Kromme en haare Aofcisfe aanwyst. Men heeft, by voorbeeld, gezien, dat men
in den Cirkel altoos heeft AF x FB : *F~p
(F;g. 3!.). Laat ons om deeze uitdrukking in de Algebraifche taai over te zetten, laat ons ze«ik, de middeliyn AB ~ «, AF =ZZ x, en FD SS y ftellen; dan zal FB ~ i a — x zvn.
dus zal ook AF x FB zz FD* zyn iax — „ -• y', en welke ook de grootte van of van AF zy, zal deeze Vergelyking echter altoos de grootte van FD voortbrengen. Indien wy CF, of de afftand des Ordinaals van hec middelpunt, gelyk ,aan * genomen hadden, dewyl dan ~FD
-CA CF is, zpuden wy'gehad hebben
K ^aar.xx> dat mede de Vergelyking van den Cirkel is, doch tot het middelpunt overge» bragt. Op de zelfde wyze zal' men in den Parabool ( tig. 32.) vinden,'als men den Parameter p, het deel A F van den As of een Diameta x, en
de



13* HISTORIE der
de Ordinaat F D, perpendiculair getrokken, als hef öp den As is , of hellende in de behoorlyke fchuinsheid, als het op een Diameter is, men zal vinden , zeg ik, dat deszelfs Vergelyking y% — px is. Als men in de Ellips (Fig. 33.) de helft van één def Asfen, of van één der, Diameters A E , a , de andere halve-As, of toegevoegde halve - Diameter CG, noemt, zal men( door altoos M? Z2 x, en FD 2 b x b b % x
te neemen,) hebben yy = (r).
a aa
Deeze
Cr) Wy hebben boven eenige voorbeelden van de nuttigheid der Algebraifche Vergelykingen beloofd, om de gedaante en eigenfchappen der kromme Lynen gemaklyk te leeren kennen. Thans zuilen wy aan die belofte voldoen. Laat ons eerst met een gemaklyk voorbeeld beginnen, het zal eene Vergelyking van de tweede magt
zyn, even als deeze, ax -;- xx yy, waarin y den
Ordinaat, en * de Abfcisfe uitdrukt (Fig. 34.) en men vraagt naar de Kromme, welke door deeze Vergelykinge wordt aangeweezen ? Tot dat einde moet men eerst de punten leeren kennen, waar in de Kromme haaren As
fnydt. Men zal hier toe geraaken,als men j o ftelt;
hetgeen voortbrengt ax -'r xx . c. Nu moet hier
toe x of nul, of — a zyn. Dit toont reeds aan, dat zo men eene onbepaalde lyn AE voor As aanneemt, en A als den oorfprong der Abfcisjen aanmerkt, welke als pojitif van A naar E gerekend worden, de Kromme niec alleen door A gaat, maar ook door het punt B, dat in eene tegengeftelde richtftreek de hoeveelheid a daar van verwyderd is: men neeme nu x zo klein of zo groot als men wil, doch altoos pojitif, zal de waarde van y weezenlyk zyny want x pojitif zynde, is y (ax xx~) altoos mogelyk. Men zal derhalven den Ordinaat EP hebben; maar deeze Vergelyking yy tZZZ ax+ xx geeft
zonder onderfcheid y y' (ax -\- xx,) of y
\ZTZ.Y (aX ), want de Wortel uit yy is te ge.
Ijk



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 13
Deeze ^eerfte Vergelykingen zyn de eenvoudig, fte , om dat wy den ooriprong der Ahfcisjen genomen
lyk -f of — y;'er is derhalven een Ordinaat Ep , die negatif genomen wordt, dac is te zeggen naar beneden, ea gtlyk aan dien welke bovenwaarts genomen wordt. De Kromme beeft derhalven twee overeenkomftige takken om den As AE, en w4ke geduurig meer en meer daar van afwyken. Doch als men a' negatif, en kleiner dan a fielt, zal alsdan de waarde van / Cax + xx) inge. beeld zyn, waar uit men moe: befluken, dac 'er geen deel van de Krom.ne is, dat aan de gantfche ultgefirektheid AB of a beantwoort. Wanneereindelyk x, nei-aüf genomen zynde, eenigzins grouter dan a is,zal |/ ( ax + x x ) ZZ 4- y niet langer ingebeeld zyn, en 'er zullen, zo naar
boven nis naar beneden, in de gantfehr; uiïgeftrektheid van B naar D tut in 't oneindige Ordinaten zyn. Men bewyst even gemaklyk, dat deeze beide gedeeltens van Krommen ge!yk zyn. Indien men dus nier. wist, dat deeze Vergelyking die van dan Hyperbool is, zou men daar uit leeren, dat de Kromme, welke die Vergelyking uitdrukt, iu twee oneindige en gelyke gedeeltens beSaat, welks hunne uitgeboger.heden elkander toekeeren, en in eene «egenicllelde richtftreek van elkander afwyken, enz.
Wy zullen tot een tweede voorbeeld neemen de Vergelyking ax* —- x3 - y3, welks die van eene Kromme is, wasr in AB QFig. ^5.) a zynde, het vierkant der Abfcisfe AE, vcrmeemgvuluigd met het overige EB gelyü zou zyr: den Cubus of teerling van den Ordi\ naat y. Mva zie: iu den eeifLn opllag, dat men, y~o
{tellende, zal hebben ax' jcs — o, dat is te zeggen,
* Z o, of we! :i: a. De Kromme g;>at d malven door A en^B. Zo lang nu * kleiner d=n a en pofitif is, zal
ook {/ ax* **, en gevolg^jty pofi'if gyfi; want de
teerlings-Wortel uit y' k geen ioder dan y. w«ar uit men bedriten moet, dat de Kromme boves dat deel van haaren As gaat, maar niet beneden hetzelve. Laat ons K nu



133 HISTORIE der
men hebben, dat is te zeggen, dat wy begonnen hebben om dezelven van den waaren top der Kromme te rekenen. Niets verpiigt ons nogthans om dezelve aldus te befchouwen. De natuur van eene Kromme, van de Eclips by voorbeeld, kan insgelyks uitgedrukt worden, fchoon op eene minder eenvoudige wyze, door de overeenkomst van eenen Ordinaat, als KP, getrokken op eenen naar welgevallen genomen As lid,met deAbfcisfe op dien As genomen, te beginnen van eenig punt H , insgelyks genomen waar men wil (s); dus kan de natuur
nu voortgaan met * pofitif, en grooter dan a, by voorbeeld a a, te neemen. Alsdan zal y ax* ——«■ #» worden ... y 4a» 8a', óf o y/L. De Waar-
de van y is dus alsdan negatif, en hy gevolg moeten de Ordinaten onder den As genomen worden , zo als men in de Figuur Ziet. Maar als men x negatif neemt, zal, hoe
groot x ook zy, y ax* - x3 altoos pofitif zyn; dus
heeft de Kromme een tak A ir b >ven haaren A-., die zich tot in 't oneindige uttflrekt. Zodanig is de Figuur der Kromme, waarvan wy de Vergelyking ontleed hebben.
Door een foortgelyk middel wordt getoond , dat de Cubifche Paralooi, welks Vergelyking a~x — yt> is nïec a!s de gemeene Parabool gevormd wordt; man dat ééu van deszelfs takken boven den As, en de anderen beneden denzelven is, zo als men in Fig. 36 ziet. In tegendeel heefc de Parabool, welks Vergelyking isax* ZZ y3, deszelfs twee takken boven den As, en gsen beneden dei;zelven (Zie Fig. 37-).
(O Het is mede van vee! aanbelang een voorbeeld van deeze verandering van As by te brengen, om dat daar uit een groot licèi in de Theorie der kromme Lynen moetontfban. Men tteile zicb voor een Cirkel (Fig. 38.), welks middellyn AU _ a zy, A D ZZ x de Abfcufe, DP ~ y de Ordinaat; en dat men denzeiven wil overbrengen tot eenen anderen As RL, evenwydig aan de Middei'yn
AJJ



WISKUNDE. III. Deel. II. Boei. 139
tuur van eene zelfde Kromme op eene meenigte wyzen uitgedrukt worden , volgens den As en den ooripron» der Abfcisfen, welke men verkiezen zal. Maar het is noodwendig aanremerken, dat, op welke wyze die As ook gefteld worde, echter de hoogtte magt der Vergelykinge niet tot een klei' ner of grooter tröp kan overgaan. De reden daarvan is gemaklyk te befpeuren in de wyze op welke deeze verandering gefchiedt; want het is altoos de magt eener Lyn, met eenige ftandvastige grootheid vermeerderd of verminderd, welke men iu c'e plaats eener overëenkomdige magt in de oorfpronkelyke Vergelykinge fielt. Daar kunnen, wel is waar, in de eene meer of minder Termen eu laagere masten dan in de andere zyn, doch de hoogde magt kan niet veranderen.
De trap rieczer hoogde magt van Lén der onbepaalden in de Vergelykingen der kromme Lynen is derhalven een etgenjyk kenmerk, om dezelve in foorten te onderfcheiden. Dus zal men in eenen zelfden rang fchikken alle die Vergelykingen , in welke de hoogde magt van dén der onbepaalde;'! tot den zelfden trap opklimt. De
rech-
AB, en welke daarvija eene hoeveelheid AG" 6 verwy. des d is : laat ens de Abfcirfe R F ZZ z, en F P den Ordinaat ZZ « (teilen: laat RG gelyk san c zyn: derhalven zai GF, of AD,I x, z ——- c zyn , en D P, of y ZZ FP ——• FD, zal ti — 6 De Vergelyking van den Cirkel,
tot de middellyn AB overgebragt, is yy ZZ ax —— xx. Derhalveiü 2al raen in plaats van y en x haare Waarden moeten ftellen, en men zal verkrygen u u —— 2 b u —1~ bb ZZ (a -'r ac) 5 —>*» zï —-— ac — cc. Die is alsnog eene Vargelylting van den Cirkel, rmar overgebragt toteenen As evenwydig aan de middellyn AB. Men zou des;:e!yks dezelve kunnen overbrengen tut eenen As als Ra, nwakende eenen hoek met den terllen, en zulks zou weinig moeijetyber zyn. De Vergelyking zou alsdan ingewikkelder, doch echter van geene noogere magt zyn,
K 2



Mo HISTORIE der
rechte Lyn, waar in die magt niet boven den eerden trap kan gaan, zal den eerften ran" uit" maaken. De Cirkel en de Kegelfneeden , wa°ar in dezelve met boven het vierkant kan gaan, zullen den tweeden rang uitmaakén, en zo ook'me? de andere De Heer Defcartes fchikte deeze verfdlillende fporten van kromme Lynen eénigzW W ders. Hy verdeelde dezelve L geflachtèn in ie-
men van Z begTP het e",le ^cht de Kruien van den eerden en tweeden rang; het twee-
de geflacht die van den derden en vierden «ne ,
en zo vervolgens van twee tot twee rangen. fiv
gaf daar van deeze reden, naamelyk dat eene
7ot1eye "Ti"6 ViCrde ™V gebragt werdt tot eene Vergelyking ;Van de derde magt, eene Vergelyk.ng van de zesde magt tot eene Verg".
flootng dTJ6 vyHe raagt • waar »ic "y S-
iloot, dat twee Krommen, welke elkander op
denZe,kWnfeHVU,gde"' «toffkJit moesten worP. den als of de eene meer faamengefteld dan de S Maar, dk ?rond'begi'uel van DefcaT-
tes is niet teenemaal waar, en zyne verdeeling der kromme Lynen om die reden "niet meer in ge! brink. Hedendaags houdt men zich aan de eerfte.
Jet fchynt dat men tot den tyd van Defcartes nog geen andere Lynen in de Meetkunde hadt aangenomen, dan de Cirkel en de rechte Lyn. Pappus en de Heer Fieta getuigen ons zulks riuiVny <? . a ' wa.nneer hy zei^e, dat men het
XfnnSrV? lTWee midde»-evenredigen niet Meet.
gi ,adC kUnnf" C0I1^eeren,°ora dat het l.ghaamlyk was; de tweede, wanneer hy vraag, oe (t), of men den Teerling als rvfeetkunft.o' verdubbeld konde b^^nVA^&S s?h l h'^'tc!amaret üuclides & tota Euclideorum fifhoto Zy waren echter beiden niet onbewust v"n de Co?iJt>netten, welke men door middel der
Ke.
(O Resp. Math. 1, Vlft.



WISKUNDE, III. Deel. II Boek. 141
Kegelfneeden daar van gegeeven hadt. Men Helde eindelyk, tot den tyd van Defcartes „ byna in eenen zelfden rang alle de kromme Lynen , welke men niet met eene aanhoudende beweeging, door Liniaal en Pasfer, konde befehryven , en men roemde dezelven Mechanifche Krommen. De Heer Defcartes herltelt in zyne Meetkunde deeze dubbelde dooling der aloudheid. Hy maakt in dezelve een gepaster onderfcheid tuslchen de Meetkundige en Mechanifche Krommen. Hy merkt aan , dat men Meetkundig moet noemen alles wat door eene zekere en naauwkeurige handelwyze verricht wordt, en geeft daar door der Meetkunde terug alle de kromme Lynen, waar van men, door de faamendelling van twee beweegingen , welke onderling eene naauwkeurig bekende overeenkomst hebben, de punten kan bepaalen, of welkers natuur door eene Algebraifche Vergelykinge, welke aan eene ConftruEtie onderhevig is, verklaard kan worden. Deeze conditiën pasfen op de Conchois en Cysftïs; dus keeren dezelve terug in de clasfe der Meetkundige Krommen, even als de Kegelfneeden. Doch roet de Spiraal en Quadratrix is het geheel anders gelegen: de beweegmgen , welke dezelven teelen, zyn zodanig, dat men de be* trekkingen derzelven nog niet kent; want dezelve zyn onder malkander als eene rechte Lyn tot een Cirkelboog. Dus Iaat de Heer Defcartes dezelve in de clasfe der Mechanifche Krommen blyven. Zodanige zyn mede de Cyclois, de Logarithmifche Lyn, enz. Deeze Krommen zouden^Meetkuridig worden, als men de Qiiadraiuur van den Cirkel en den Hyperbool vondt.
Het is niet ondienftig van nu af aan in aanmerking te neemen , dat de Meetkundigen, federt de ontdekking der nieuwe Rekeningen , de verdeeling der Krommen, door Defcartes gegeeven , in zekere opzichten verbeterd hebben. De Heer Leibnitz heeft alle die Krommen in de Meetkunde aangenomen; maar hy noemt fommige derzelven Alge/' K 3 brui-



J42 HISTORIE bek.
iraifche, en andere Transcendentifche Krommen. De eerften zyn die waar van de natuur of de betrekking der Abfcisfen en Ordinaten, door eene eindige Algebraifche Vergelyking wordt uitgedrukt. De Transcendentijche Krommen zvn die welkers Vergelyking een onëindig getal Termen bevat, ten zy men toevlugt neeme tot de betrekking van haare Differentiaalen, of van haare oneindig kleine elementen. In de daad eene oneindige reeks van Termen, in welke de magt van den Ordinaat of de Ahfcisfe geduurig opklimt, moet als eene Vergelyking van eenen onëindigen rang, of die alle eindi^ rang te boven gaat, aangezien worden. Daar uït heelt Leibnitz den naam van Tranfcendentifche ontleen^ welke hy aan die orde van Krommen geeft. Peeze laatfte verdeeling heeft echter die van Defcartes niet t eenemaal buiten gebruik gebragt. Men zegt b^na zonder onderfcheid de Meetkundige Krommen in tegenftelling van de Mechanfche, of de Algebrailclie Krommen in tegenltelling van de TtanfcendenUfche. J
De Heer Defcartes beproeft zvne Avahfis fchier voor de eerfte maal aan een Voordel, 't welk de klip der geheele aloudheid was geweest. Zie i>ier dat Voordel: Verfcheide Lynen, als AB, CD EF, GH, enz. (Fig. 39.) byftellmg, en onëin! dig verlengd, gegeeven zynde, begeert men een punt I, en de plaats van alle overëenkomdige punten, te vinden, uit'welken op ieder van die jLynen andere trekkende, als IK, 1L , IM , IN, enz. onder gegeevene hoeken, de Rechthoek van twee derzelven met die der twee anderen, als 'er vier waren, in eene gegeevene reden zou zyn, of het Lighaam van drie in gegeevene reden met dar der drie anderen, als 'er 6 waren, of zo wy flegts ? Lynen onderdellen, dat alsdan het Lighaam van 3 Lynen in dandvastige reden zou zyn met het Produel der twee anderen, met eene zelfde Lyn vermeenigvuldigd, of met het Product van een der overige met het vierkant van de andere, en zo ver.
vol-



WISKUNDE. III. Deel II. Boek. 143
vnlgcr.s naar alle de faarnenvoegingen, welke men van dezelve kan doen, en welk getal Lynen ook gegeeven mogt zyn. Dit in de daad moeijelyk Voorftel, dat nogthans onder het bereik der Rekening valt, hadt de oude Meetkundigen zeer gekweld. Euclides hadt de oplosfing van hetzelve ontworpen; Afpollonius hadt dezelve verder gebragt,en men was eindelyk zo ver gekomen dat men erkende, dat, wanneer die Lynen flegts 3 of 4 in getal waren, de Kromme, waarin alle die punten gevonden werden, eene Kegelfneede was, waarvan men in fooimige gevallen de foort en de (telling bepaalde (u }. Maar wanneer 'er een grooter getal Lynen was, wist men alleenlyk, dat de gezochte plaats eenige Kromme van eenen hoogeren rang was, waar van men de foort flegts in een enkeld geval, dat Pappus niet uitdrukt, bepaald hadt. Dus kan men, zonder de verdienlie der geleerde Aloudheid te kort te doen, zeggen, dat de oplosfingen ,- welke dezelve van dit Voorftel gegeeven hadt , zeer onvolkomen waren: zyhadt flegts die van eenig eenvoudig geval ten halven doen zien, en was by de moeijelyk. ite geheel en al blyven ftaan.
Defcartes dit Voorftel aan zyne Analyfis onderwerpende, geeft van hetzelve eene voikomene oplosfing. Hy doet op het einde van zyn eerfte Boek zien, vau welken rang het Voordel in de verfchillende gevallen is. Het zal eene eenvoudi» ge rechte Lyn zyn, als 'er flegts twee Lynen zyn; een Kegelfneede, ais 'er drie of vier zyn ; eene Kromme van den derden rang, als 'er vyf of zes zyn, en zo vervolgens. Eindelyk het Voorftel is altoos vlak, als men, zo lang 'er niet meer dan vier Lynen zyn , flegts één der punten, welke aan de vraag voldoen, begeert te vinden: het zal ligbaamlyk zyn, zo lang het getal van die Lynen niet boven agt gaat, enz.
Dit
(«) De Heer Newton heeft de Oplosfing daar van gegeeven in zyne Ptincipia L> I. SeSl, 5 ( Lem:na XiX* K 4



Ï44 HISTORIE der
. Dit Voordel, in het eerde Boek ontworpen , wordt in het eerde gedeelte van het tweede voltooid. Üe lieer Dejcams ontvouwt bv die gelegenheid in hetzelve zyne algemeene Formule van Vèrgelykin? voor de Kegelfneeden, welke ook de Helling L van den As, tot welken men dezelve betrekkelyk maakt-'en toont het gebruik daarvan, door dezelve op het Voorftel, waarvan wy fpreeken, toe te pasfen. Uit Huk, dat waarlyk het vernuft van onzen Wysgeer waardig is, bevat in weinig woorden de srantJehe Ihcorie der Meetkundige plaatfen van de tweede magt. De Heer Defcartes befluit eindelyk hetgeen hy over dit Voordel te zeggen heeft, met eene zeer iiaaye Meetkundige Conftrutlie te geven van één dier byzondere gevallen, welke de tweede ma^te boven gaan. Het is dat waarin men vyf Lvnen heelt, van welke vier evenwydig zyn, en de vvf de hen rechthoekig doorfnydt, en waar in het Lighaam van drie deezer Lynen, welke met rechte hóeken getrokken zyn, gelyk zy aan het Lighaam , dat van de twee overige en eene gegeevene zesde Lyn gemaakt wordt. Alsdan bevindt zich het gezochte punt geduurig in eene foort van Conchois, welke hy Parabolisch noemt ( y), 5
Als
(v) De gewoone Conchois wordt gevormd door de eeduunge doorftyding eens Cirkels, welke zich op den As ACE (Fig. 40,) doorfnydt niet de be*ee^lyke rechte lyn, die geduurig door deszelfs middelpunt en het pu^t P gaat. Men kan derhalven, om deeze ConftruBia airerapen te maaken, in plaats van een Cirkel eenige Kromme onderltellen, by voorbeeld, een Parabool, die zich op de zelfde wyze op den As AE za! beweegen, cn mét zich voeren eene rechte Lyn, gaande door een punt van zynen As, en door den Pool P. Hunne geduurige doorfnyding zo boven als onder den As, zal alsdan eene Kromme befehryven, welke men Parabolifche Conchois noemt, en beHaas zal in verfcheide takken, zo als men in Fig. 41. zier. Het is merkwaardig dat, zo men. in plaats van een Cirkel of Parabool, van eenen rechtlynigen Driehoek gebruik maakt, deeze Conchois niets anders is, dan een Hyperbool tusfehen zyae Afymptoten.



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 14J
Als wy tot onzen taak genomen hadden om de Meetkunst van Defcartes van Hap tot Hap te volgen, zouden wy hier moeten fpreeken van zyne Leerwyze der Raaklynen, welkers verklaaring onmiddelyk volgt op de ontdekkingen , welke wy nu hebben doen zien. Maar Defcartes heeft, zo als wy reeds gezegd hebben, toen hy zyne Meetkunst fchreef, veel meer de fchikking zyner denkbeelden, dan die der Holten, gevolgd, zo dat men onder de hoedanigheden van dat gedenkwaardig Werk die van eene geregelde fchikking niet moet zoeken. Om die reden zullen wy hier van zyne fchikking afwykeri, ten einde te fpreeken van zyne handelwyze om de bepaalde Vergelykingen van de derde en vierde magt te confirmeren. De Leerwyze der Raaklynen zal, wegens derzelver aanbelang, bet onderwerp van een bvzonder Artikefzyn.
Even als een Vooritel, dat op eene Vergelyking van de tweede magt uitloopt, geconftruëerd wordt door de fnyding van een Cirkel of eene rechte Lyn, vercifchen ook de Voorfttlien, welke op Vergely. kingen van eene hoogere magt uitloopen , Krommen van eenen hoogeren rang. Te vergeefs zou men het middel zoeken, om eene Vergelyking van de derde of vierde magt met behulp van Liniaal en Pasfer te confiiueeren; de Meetkundigen zien alsbeweezen aan dat zulks onmogelyk is. Hunne redenen Hennen op de natuur der Vergelykingen; maar wy zouden te wydloopig moeten zyn, om dezelve hier te ontvouwen.
De Heer Defcartes brengt de Conjlruiïie van alle Cubifche of Vierkants-Vierkants Vergelykingen tot eene zelfde handelwyze, welkers veranderingen door de gedaante en de tekens der Termen aangeweezen worden. Tot grooter algemeenheid be. fchouwt hy de Cubifche Vergelykingen onder de gedaante van die van de vierde magt, van welke, één van haa-re Faftores nul zynde, de laatfle Term gelyk aan nul zou zyn ; het geen zeer vernuftig is. ïly onderftelt ook , dat men den tweeden Term K 5 lieb-



i46 H ISTORi E d s Et
hebbedoen verdwynen, (hetgeen altoos gemaklyk is): waar na hy den Paramter des Paraboolsbzpaalt, overëenkumftig met de (lelling van het middelpunt des Cirkels, welke befchreeven moe: worden, en denzelven moet üiyden. In de Vergely. kingen van de derde magt gaat dezelve door den top, en zo 'er drie weezenlyke Wortelen zyn, fnydt hy den Parabool i:i drie punten, uit welken de Ordinaten, op den As des Parabaak getrokken, de drie weezenlyke Waarden der onbekende zyn. Als 'er flegts één weezenlyke Wortel is, de beide anderen ingebeeld zynde, zal de Cirkel, door den top des Parabools gaande, denzelven flegts in één punt ihyden, dat op de zelfde wyze de weezenlyke en eenige Wortel der Vergelykinge zal opleeyeren. In de Vergelykingen van de vierde magt, waar in vier weezenlyke Wortelen, of flegts twee, of «eene moeten zyn , bepaalt de gedaante der Conftruclie den Cirkel, om den Parabool in vier punten of in twee, of in geene te fuyden. Als 'er twee gelyke Wortelen zyn, zal de Cirkel den Parabool llegts raakeu, en denzelven nog één of twee maal fuyden, naar het getal der andere ongelyke Wortelen: want een raakpunt is niets anders dan twee fnydpunten, welke oneindig dicht by elkander en faamenloopende zyn. Du.? zal de Ordinaat, uit d:it punt op den As getrokken, ieder van die beide Wortelen zyn. Het zou ook kunnen gebeuren , dat in eene Vergelykinge van de vierde magt, van de gedaante dergeenen welke Defcartes cmJlrueert, drie gelyke Wortelen waren. Alsdan zou, de Cirkel, na alvoorens den Parabool aan eene zyde ge(needen te hebben, denzelven aan de andere zyde te gelyk in een raak- en fnydount ontmoeten, 't welk van de zelfde waarde is als drie inydpuntem Wy zullen deeze foort van raakiugen der kromme Lynen, bekend onder den naam van kusfing of beroering ( ofculatio), in 't vervolg leeren kennen.



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 147
Na veiTcbeide voorbeelden over de Conflruttie van Lighaarfilyke Voorftellen, gaat de Heer Dejcartes over tot de oplosfing der Vergelykingen van de vyfde en zesde magt. De zelfcte redenen, welke betoogen,dat de eerfte niet geconftruëerd kunnen worden, als door eene Kegelfneede faamengevoegd met een Cirkel, doen insgelyks zien, dat de Cor.Jlruttie van deezen eenige Kromme van de derde magt vereischt. De Heer Defcattes geeft eenen algemeenen Regel voor de Vergelykingen van de vyfde en zesde'magt, om dezelve tot eene Vergelyking van de zesde magt te brengen, waarvan alle de Wortelen pofitif zyn: vervolgens gebruikt hy eene Parabolifche Conchois, eene Kromme van de derde magt, waar van wy boven gefproken hebben, met een Cirkel. Dteze Cirkel fnydt dezelve in zo veel punten , als 'er weezenlyke Wortelen in de Vergelykinge zyn , als men de raakpunten voor twee fnydpunten rekent; en de Ordinaten, üft deeze punten op den As getrokken, zyn de Wortelen der Vergelykinge.
De Heer Defcartes fchynt ten aanzien der Krommen , welke dienllig zyn om de Vergelykingen van hoogere rangen te confirueeren, in een verkeerd denkbeeld te zyn geweest. Plet fchynt dat hy gewild heeft, dat naar maate de Vergelyking twee afmeetingen opklom, die der Kromme, welke by den Cirkel gevoegd moest worden, insgelyks twee magten hooger moest gaan ( w~), zulks dat men, om, by Voorbeeld, een Voorftel van de agtlte magt te confirueeren, eene Kromme van de zesde magt, met een Cirkel faamengevoegd, zon moeten hebben. Zo dit het gevoelen van Defcartes was, kan men niet ontkennen dat hy zich vergiste, en deeze dooling ontglipte den Heer ae Fermat niet. Hy heeft in eenige byzon-
de-
(w) Cart. Geom. ad fin.



»48 HISTORIE dér
dere Geschriften doen zien f», dat bet genoegis , dat het vermeenigvuldigde van de Exponenten der kromme Lynen gelyk zy aan dien der Vergelykinge , welke geconftruëerd moet worden ■ dus tan men eene Vergelyking van de agtlte'magt conftruetren door middel van eenen Cirkel en eene Kromme van de vierde magt. Eene \ érgelyking van de negende magt zou flegts eene Kromme van de vyfde magt met een C irkel of twee Krommen van de derde magt, verëifchen.' De Lieer Jacobus Bcrnouilli, zonder twyffe) de Disfer* latte van Bermat niet kennende, heeft in de Dan. delingen van Leipzig des Jaars ,688, en in zyne aanteekenmgeu op Defcartes, een Gefchrift sevoegd, waar m hy het zelfde bewyst. \h moet echter aanmerken dat het eenigzins onbedachtzaam is dat men Defcartes met de dooiing, waar van wy fpreeken, betigt: want behalven dat de aangehaalde plaats dubbelzinnig is , heeft hv zelf ons een voorbeeld gegeeven, dat ftrydig is met den Kegel, welke men hem toefchryft. In de daad, om de Vergelykingen van de zesde mant te conltrueeren, gebruikt hy flegts een Cirkel,zynde eene kromme van de tweede man mer /«„ Parabolifche Conchof, welke van deö der3e nSt is; hetgeen met den Regel van de Heeren de Eet mat en Etrnomlli overeenkom'.
°% laeer lkJCaLtes heeft gedacht dat de eenvoudigfte ConfiruÜie der lighaamlyke Vergelykingen die is waar in men den Parabool, of één der Kegelfneeden met een Cirkel gebruikt. Doch er zyn zeer krachtige redenen tq|en dit gevoelen
dairde'GS-is de"/"6, t h°Vre
dan de UrkelI is de Parabool, wel is waar, die
waar van de Vergelyking de eenvoudig»! is- mtS
is uit genoegzaam om die Kromme boven aiiean-
de.
(x) Fermat. Op. p. xïo. tff fe%.



WIS KUNDE. III. Deel, II. Boek. 149
dere den voorrang te geevenTzo dat zo was,zeg<dc Heer Newton ( y ), zou men dezelve ook den voorrang boven den Cirkel moeten geeven. Het is derhalven eênigzins tegenltrydig, dat men in de Conftrucïie der vlakke Voordellen den Cirkel by ultneeüiendheid boven den Parabool aanneemt of wel, men zou dan moeten zeggen, dat men zulks om geen andere reden doet, als om dat de Cirkel gemaklyker te befehryven is dan de Parabool. Waarom nu zou men hetgeen men hier doet niet in andere gevallen doen, en wat dient in Meetkundige belchryvingen noodwendige* in acht genomen te worden, dan het gemak der bewerkinge? Deeze redenen, welkers rechtmaatigheid niet ontkend kan worden , hebben den Heer Newton bewogen ( z) om tot de ConjlruSlie der lighaamlyke Vergelykingen aan te neemen de Conchois faamengevoeed met eene rechte Lyn, fchoon deeze Kromme vrn de vier. de magt is; en hy keurt alleszins goed de Cur,(lruMen, welke Nicomedes eertyds van de Voorftellen over de verdubbeling van den teerling, en het in drieënfnyden eens hoeks door dat middel gegeeven heeft. In de daad, van alle de Krommen is de Conchois naast den Cirkel eene der gemakkelykften om te beichryven, en hetWejktuig, door den vinder dezelve voorgedeld, is naast den Pasfer één der eenvoudighe. Nogthans zyn 'er handelwyzen om de Kegellneeden door eene aanhoudende beweegingte befehryven, welke in het ftuk van eenvoudigheid voor de befchryving der Conchois niet behoeven te wyken. Men weet, by voorbeeld, en zulks was zelts de Ouden niet onbekend (aï9 dat eene Lyn van eene onveranderlyke grootte,'wanneer haare twee einden tegen de zyden van dien hoek deunen, niet elk van haare punten een vierde-deel van eene
El-
(y) Arithm. Univ. Append. deMquat,con(lruü. lineari. (z) Ihid.
Procius, Comm. in I. Eucl. ad def. 4,



15°
HISTORIE der
Ellips befchryft, welke tusfehen die zyden, als halve.toegevoegde middeliynen, bcfloteu is. Het is gemaklyk te zien, dat deeze eigenfehap tot een grondbeginfel kan dienen, voor een Werktuig van eene ongemeene eenvoudigheid, om alle foorten van Ellipfen door eene aanhoudende beweeging te befehryven. Zo men echter zwaarigheid mogt maa. ken om eenig ander Werktuig dan het Liniaal en den Paslér in de Meetkunde aan te neemeu, zouden wy aanmerken, dat zulks eene geheel ongegronde naauwgezetheid zou zyn. Want naardien het niet mogelyk is de Voorftellen van eenen zekeren rang anders op te losfen, als door middel der Krommen van een hooger geflacht dan de Cirkel moeten ook de Werktuigen, welke alleen dienftig zyn om dezelve met eene aanhoudende beweeging te befehryven, in de Meetkunde aangenomen worden: want men moet als de waare en Meetkundige Oplosling van een Voorftel aanzien de eenvoudigde welke de natuur van dat Voordel medebrengt.' Zo men echter aanhieldt te zeggen, dat de Pasfer en het Liniaal, als de eenvoudigde Werktuigen zynde, minder aan dooling onderheevig zyn, zouden wy autwoorden, dat een Meetkundig volmaakt Liniaal van aile Werktuigen het zeldzaamde is. Ook is het eeniglyk uit kracht eener onderdeliing, dat men den Pasfer en het Liniaal als volmaakt befchouwt; en waarom zal men clan niet willen toeftaan, dat de Werktuigen, waarvan men zich in de befchryvingen der Krommen van hoogere gedachten bedient, insgelyks volmaakt zyn ?
Wy kunnen niet nalaaten hier een denkbeeld te geeven van één der vernuftigde en diepzinnigde plaatfen der Meetkunde van Defcartes. Het is die alwaar hy zyne Analyfis toepast op de nafpooring van zekere Krommen , welke hy Ovaaieranoemt,en den naam van Ovaalen van Defcartes behouden hebben. Deeze zyn Krommen, welke in navolging van de Ellips en den Hyperbool, tot haare brandpun. ten overgebragt, befchreeven worden. Doch ter-
wyl



WISKUNDE. IH. Deel. II. Boek. 151
wyl in die Kegelfneeden de Lynen , uit eenig punt der Kromme tot de beide brandpunten getrokken, altoos zodanig zyn, dat zy, even als in den Hyperbool, te faamen gelyklyk aangroeijen of afneemen, of dat de eene even zo veel aangroeit, als de Ündëré afneemt, hetgeen het geval van de Ellips Is, zyn in de Ovaalen van Defcartes ciie refpective verminderingen of aangroeijiugen llegts in eene gegeevene reden: dus zyn de Kegelfneeden in die orde van Krommen begreepen , en maaken flègts eene byzondere foort van dezelve uir. De Heer Defcartes bedient zich Van die Oiaakn tot de Oplosfing van een Voorftel der Gezichtkunde, dat even zo fraai als moeijelyk ts. Hetzelve heiraat in de bepaaling der gedaante, welke de Oppervlakte, die twee doorfchynende Lighaamen van verfchillende dichtheid van elkander fcheidt, moet hebben, op dat alle de ftraalen, welke uit een zelfde punt komen, of naar een zelfde punt faamenloopen , door de refractie naar een ander punt te rug gekaatst, of evenwydig gemaakt worden , of zich van elkander verdeelen, even als of zy uit een gegeeven puut kwamen. De oplosfing £ welke Defcartes daarvan geeft, is zo algemeen, dat zy zelfs de gevallen bevat, waar Sn de refractie zich in eene terugkaatfing verandert. Dus is niet alken het, geen de oude Spiegelkunde ( Catoptrica) over de Ellips en den Hyperbool beweezen hadt, maar ook hetgeen hy zelf ever de ftraalbreeking van het licht in de Ellitnifche en Hyperbolifche glafen betoogd hadt , in deeze Oplosfing begreepen, Wy zullen, als wy over de Gczichrkunde handelen, een duidclyker denkbeeld van dit Voorftel geeven.
VI.
Onder de ontdekkingen welke Defcartes in zyne Meetkunde voordraagt", is 'er geene welke tem
meer



152
HISTORIE der
meer vermaak aandeedt, dan die van eenen alge» meeuen Regel voor de bepaaling van de Raaklynen der Krommen. ,, Van alle de Voordellen, „ zegt by, welke my in de Meetkunde bekend zyn, is 'er geen dat nuttiger en algemeener is, en dit is van alle die Voorllellen hetgeen , na ,, welkers Oplosfing ik het meest verlangd heb.' In de daad, dit Voorftel dient tot verfcheide gewigtige bepaaliugen in de Theorie der kromme Lynen. Door middel van hetzelve vindt men haare 4/ymptoten, zo zy die hebben; de richtftreek onder welke zy haaren As ontmoeten; de plaatfen alwaar zy zich het meest van denzelven verwyderen, en die alwaar zy van kromte veranderen, enz. Ik zwyge van het meenigvuldig gebruik der kennisfe van de Raaklynen in de Natuurleerende Wiskunde. Dus kan 't belang, 't welk Defcartes in dat Voorftel ftelt, niet te zeer vergroot fchyn en.
De Heer Defcartes heeft ons twee handelwyzen nagelaaten, om de Raaklynen der Krommen te bepaaien, de eene in zyne Meetkunde, de andere in zyne Ürieven, zy fteunen beide op het zelfde grondbeginfel, en om die reden zullen wy dezelve onder den naam van Leerwyze der Raaklynen van Defcartes vervatten. Wy kunnen niet ontkennen, dat men federt zyn tyd andere verzonnen heeft, welke gemaklyker zyn, doch deeze reden moet eene vinding, welke de eerfte van die foort is geweest, en zeer vernuftig is, in onze oogen niet veiaelniyk maaken.
Het grondbeginfel van de Leerwyze der Raaklynen vnu Defcartes is dit: Men verbeelde z^ch eene Kromme, op eenen As befchreeven (Fig. 42 ), en dat uit een punt van dien As, als middelpunt, een Cirkel befchreeven wordt , die dezelve ten minften in twee punten fnydt, voorts dat uit die punten twee Ordinaten getrokken worden , welke dienvolgens aan den Cirkel en de Kromme gemeen zullen zyn. Laaten wy ons thans verbeelden, dat
de



Wiskunde, iu. Deel. n. Boek. 153
de ftraal van dien Cirkel afneemt, terwyl deszelfs middelpunt onbeweeglyk blyft. Dan is het voof e.m ieder duideiyk te kien, dat de fnydpunten, nader tot elkander komende, eindelyk elkander zullen bedekken, dat alsdan de Cirkel de Kromme zal raaken , en dat de ftraal, naar het raakpunt getrokken, perpendiculair op die Kromme, en op' de rechte Lyn, die haar in het zelfde punt raakt, zou zyn. Dus loopt het Voorftel, om de Raaklyn eener Kromme te bepaalen, hier op uit, naamelyk om de Helling des Perpendiculairs, welke men uit eenig punt, op den As genomen, tot dezelve trekt , te vinden.
'Pot dat einde zoekt Defcartes op eene algemeere wyze , welke de fnydpunten zouden zyn van eenen Cirkel met eene Kromme , befchreeven met eenen bepaalden ftraal, en uit een punt van den As als middelpunt Hy geraakt tot eene
Ver-
{b) Zie hief ten voordeele <?er Meetkundigen, op Wat wyze men de doorfnydingen van twee kromme by. nen bepaalt. Wy zulkn ons hier toe van een Parabool A B b (Fig. 42.) en een Cirkel bedienen. Laat A G rTT a, AD :rZ x, de ftraal CB HZ r zyn; dan zal
CD ZZZ a x zyn. Dewyl nu de Ordinaat BO tot
den Cirkel behoort, zo volgt, dat yy '„ * r4 »
CD, of r* — a — *| )?. Maar deeze zelfde Ordinaat behoort mede tot den Parabool, welks Parameter wy gelyk aan p zullen ftellen. Men heeft derhalven yy —~
px; en by gevolg r" — aa -|- zax xx px,
Laat ons nu alle de Termen, volgens de magten van x, aan eene zyde b-ensen, dan zullen wy hebben deeze Vergelyking: x1 -|- (p —— 2»] 1 + (aa r3) zt o;
eene Vergelyking die twee Wortelen ol ;wee Wiarden'<'an X zal hebben; want wy zouden, door de andere doorfnyding b te zoeken, het zelfde gevonden hebben. Indien men derhalven wil, dat r zodanig zy, dat dee'.ff beide doorfnydingen in één punt vallen, mofcten -Ii3 beide Wortelen gelyk zyn. Om zulks te doen neemt h Def-



*54 HISTORIE oer
Vergelyking, die in her geval van twee doorfnv. dingen twee ongelyke Wortelen moet bevanen waar van de eene de afftand van één der Ordinaten* ™ den top, en de andere die des anderen o£ "*"PVVan/en, t0p 1S' Maar 20 dJe fnydpunten hL 5r i0m-Ve Vallen' zullen alsdan de den t^TZ Z£h verëeniSen, hun afftand van den top zal dezelfde zyn, en de Vergelyking zal twee gelyke Wortelen hebben. Derhalven S fnkJ11^16 V«Belykinge de Coëfficiënten van de onbekende, welke onbepaald zyn, zodanig moeten maaken, dat die onbekende twee gelyke Waarden hebbe. De Heer Defcartes geraakt daar toe op eene zeer kunftige wyze , door de voorgeftel-
verdichte Vergelyking van de zelfde magt, waar '"^e Waarden zyn; hetgeen hem den
afftand des Ordinaals, uit bet raakpunt getrokken, van den top voortbrengt. Dit eens bepaald zynde, ftelt de eenvoudigfte Analyfis hem in 't bezit van al het overige.
De tweede Leerwyze, door onzen Wysgeeruitgedacnt , om de Raaklynen te trekken, is" deeze. Hy verbeeldt zich eene rechte Lyn, die op den
ver-
Defcartes eene Vergelyking, fiamengelleld uit x «
, o, x e ZZZZ o, dat is te zeggen %"* .
aex + ee — o, welke hy Term voor Term met de
voorgaande vergelykt. Zulks geeft hem p 2 „ —
aa, of 2 a p — a«, 2x, vermits x ZZZZ e is.
Waar uit hy eindelyk trekt a _w x ) 0f c D — P
iSl,n Tk , halven"P™«-- I" andere Krommen j TO ,IBseD eenen *">™«en arbeid vorderen, doch dezelve zullen evenwel altoos uittoepen op de uit drukkmg van den Subnormaal, welke gegeeven zynde de Subtangeas gemaklyk doet kennen. y '



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 155
verlengden As der Kromme, om een middelpunt draait. Deeze rechte Lyn fnydt dezelve eerst in een zeker getal punten; doch naar maate zy zich van den As verwydert, of' nader by denzelven komt, naar de omftandigheden, naderen de beide, fnydpunten tot elkander, en verëenigeu zich in een zelfde punt: eindelyk raakt zy de voorgeftelde Kromme. Om den ltand, welken die Lyn alsdan heeft, te bepaalen, handelt de Meer Defcartes ten naaste by even zoo als in de voorgaande Leerwyze. Hy zoekreerstelyk de algemeene Vergelyking, door welke men, deeze Lyn onder een gegeeven hoek hellende, haare fnydpunten met de Kromme zou vinden. Eindelyk bepaalt hy door middel van eene verdichte Vergelykinge, die twee gelyke Wortelen heeft, die helling zodanig als dezelve moet zyn, op dat de Lyn eene Raaklyn zy. Eindelyk leidt hy daar uit af de betrekkiug van de Subtangens tot de Abfcisfe.
Wy hebben in het begin van dit Artikel van veifcheide gewigtige bepaalingen in dc Theorie der kromme Lynen gefproken, welke met de Leerwyze der Raaklynen verbonden zyn. Schoon Dtjcartes daar over niet gehandeld heeft, zou men hem echter niet moeten kennen, als men dacht, dat hem dezelve onbekend waren geweest: het is zeer waarfchynlyk, dat deeze de dingen zyn, waar van hy aan het einde van zyne Meetkunde zegt, dat hy aan zyne Leezers het vermaak heeft willen laaten, van zelf die te vinden. Maar wy zyn van oordeel, dat wy hem hier in niet moeten navolgen: tot ons plan behoort noodwendig daar van een denkbeeld te geeven.
Er zyn weinig nuttiger en fraaijer Vnngfhikken in de Meetkunde > dan die van maximis & minimis. Men geeft deezen naam aan alle die Vraagttukken , in welken eene grootheid, die volgens eene bekende wet verandert, tot eenen zekeren eindpaal'aangroeiende , en vervolgens' afneemende, of wel in tegendeal aangroeijende, na tot een zeker punt atL a ge-



156 HISTORIE der
genomen te hebben , men alsdan dat punt begeert te^PaaJen> waar in dezelve op 't mogelyk grootde of klemde wordt. Behalven de nuttigheid van deeze bepaaling in de zuivere Meetkunde , is haare toepasfing dikwyls onöntbeerlyk in de gemengde Wiskunde. Zo meenigmaal een gewrocht, door eene faamenvoeging van oorzaaken, vermeerdert, en dan vermindert, of in tegendeel, heeft men hec geval van een maximum, of van een minimum, te bepaalen. Dus behoort men deeze Vraagdukken niet als loutere Meetkundige vermaaklykheden, maar a s de gewigtigde in de gantfche uirgeftrektheidder Wiskunde, aan te zien.
Elke veranderlyke grootheid, eene zekere wet opvolgende, kan uitgedrukt worden door den Ordinaat eener Kromme van eene byzondere foort. Dus is de bepaaling van het punt, waar in deeze grootheid haaren unerden trap van vermeerdering of vermindering bereikt, in de oogen van den Meetkundige niets anders, dan die van den grootden of klemden Ordm.mt eener Kromme van eene gegeevene Vergelyking. ' 6 b
Het is gemaklyk te zien, dat, zo M CFig. ) een punt van maximum of minimum is, de Kromme iiaby dat punt noodwendig gefneeden zal worden, door eenige evenwydige aan den As, op twee plaatlen, als C, e. Om zich daar van te overtuigen, is het genoeg de ^Figuur te befchouwen , welke alle de verfchillende foorten van punten van maxi. mum of van minimum vertoont. Daar uit volgt dat als men BC, of den bepaalden Ordinaat, onderdek, de Vergelyking van de Kromme twee WorteJen , of twee ongelyke Waarden van de Abfcitfe bevat, als AB, of Ah, Maar in het punt van maximum of van minimum fmelten deeze twee Ordi. naten tü een, en by gevolg moet de Vergdvkingder Kromme twee aan de Ah/ciste gelyke Waarden voortbrengen. Men zal derhalven , wanneer men BC als onbepaald aanneemt, in deeze Ver<*elvfcinge twee gelyk, waarden moeten onderdellen; hetgeen



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 157
geen op de zelfde wyze gedaan kan worden , als men bier vooren in de Leerwyze der Raaklynen heeft gezien, en men zal alsdan de waarde der slbfcisfe A fi hebben, waar mede de grootfte of kleinlte Ordinaat overëenftemt.
Er is eene gewigtige aanmerking te maaken belangende den Regel de maximis £ƒ minimis, die uit het grondbeginfel van Defcartes ontleend is; deeze aanmerking beftaat hier in, dat c'ie Kegel niet alleen de punten van grootfte en kleinlte Ordinaten eener Kromme opleevert, maar ook die waar in twee takken der Kromme elkander fnyden, wanneer zulks gebeurt; zo als men in N ziet. Dit is een noodzaakelyk gevolg van het grondbeginfel, waar op die Regel ftemit. Want het gebeurt ook in dit laatfte punt, dat twee doorfnydingen van de Kromme met eene evenwydige aan den As faamenloopen , en by gevolg zyn 'er alsdan twee gelyke Waarden in de Vergelyking der Kromme. Doch dit is eene foort van gebrek; want behalven dat een fnydpunt van twee takken eener Kromme van eene geheel andere natuur is , als die der grootfte of kleinlte Ordinaten, moeten deeze laatfte ook in twee foorten verdeeld worden, die men wel van elkander moetonderfcheiden, wanneer men de gedaante eener Kromme wil leeren kennen. Lenige zyn die waar in de Raaklyn evenwydig aan den As is; deeze zyn de waare punten van maximum of minimum. Anderen zyn die waar in die Raaklyn perpendiculair of fchuins op den As ftaat, als de drie laatfte in de bovengemelde Figuur. Deeze punten worden hedendaags terugloopende punten genoemd. De Kegel nu van Defcartes verwart alle die punten onder malkander, en voert ons gevolglyk over de gedaante der Kromme in dooling, ten zy men dezelve naderhand ieder byzonder onderzoekt.
De wyze om dezelve te onderzoeken , als men zich van den Regel van Defcattes bediende, zou beftaan in de wyze, om tot ieder van die punten de richtftreek van de Raaklyn te zoeken, E 3 Want



158 HISTORIE der
Want zo dezelve evenwydig aan den As wierdt. zou zulks een teken zyn, dat de punten, waarin dit gebeuren zou, weezenlyke punten van maximum of mnimw, zouden zyn; doch zo dezelve perpenaiculuir ot ichuins tot den As was, dat is te zeggen, dat de Subtangens nul of eene eindige grootheid was, zouden de punten, welke die eigenlchap hadden, enkele terugloopende punten zyn.. Zo het eindelyk gebeurde, dat dee e Suf* tangens als onbepaald was,dat is te zeggen,dat de Telleren Noemer van den Breuk, die dezelve zou uitdrukken, beide nul wierden, zou men een fnvdpunt van twee takken der Kromme hebben. In de daad zulks moet in een punt van die foort gebeuren,- want de uitdrukking der Subtansens kan flegts eene waarde opleeveren: en echter zyn by eene doorlnyding van eenige takken der Kromme vericneide Raaklynen, vermits ieder tak zyne eigene Kaaklynin dat punt heeft Derhalven moet in dat geval de Anahfis niets antwoorden , en zulks doet
zy, wanneer zy een Breuk als - opgeeft. -
Wanneer eene Kromme, die eerst na haaren As uitgebogen was, ingebogen wordt,of in tegendeel is er een punt, dat de uitgebogenheid van de in*ebogermeid affcheidt, en dat eenigermaate de overgang van de eene tot de andere is; dit punt draagt den naam van fmigpunt, of punt der verandering van kromte, Wy moeten nu nog kortelyk aantoonen . op wat wyze men dezelve in de Theorie van Defcartes kan vinden. J
Om de natuur van een buigpunt te kennen, moet mende volgende aanmerkingen maaken.Wanneer eene Kromme het eene deel uitgebogen en het andere ingebogen heeft, kan dezelve door eene rechte Lyn in drie punten gefneeden, of in één punt geraakten Jn een ander gefneeden worden, hetgeen het zelfde is, vermits één raakpunt gelyk ftaat "met twee fnydpunten. Laat ons nu onderftellen, dat het raakpunt tot het fnydpunt nadert, dan zal 'er een punt
zyn,



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 159
zyn, waar in zy zullen faamenloopen, en de Raak* lyn zal tevens de Kromme ihyden. Nu kan dit punt geen ander dan het buigpunt zyn; derhalven zullen in de Vergelyking, volgens de Leerwyze van Defcartes faamen gefield, als om de Raaklyn tot de Kromme te trekken, ik zeg'er zullen in die Vergelyking drie gelyke Wortelen zyn. Want de drie fnydpunten, welke drie ongelyke Wortelen, of drie verfchillende Abfcisfen voor elk derzelven, als zy van elkander afgefcheiden waren, zouden opleeveren, zullen daar voor drie gelyke Wortelen voortbrengen, als zy zich in één punt verëenigen. Dus zou men, de handelwyze van Defcartes in zyne Leerwyze der Raaklynen volgende,de bewuste Vergelyking moeten gelyk ftellen aan eene andere verdichte Vergelyking, die drie gelyke Wortelen heeft. Waar door men de grootheid der Abfcisfe, met het buigpunt overëeenftemmende, zou vinden.
Er is nog eene andere eenvoudiger Leerwyze, om dit foorr van punt te bepaalen: dezelve fteunt op deeze befchouwing, naamelyk dat de Raaklyn, in een overëenkomftig punt, met den As altoos een kleiner of grooter hoek dan alle de andere Raaklynen maakt. De befchouwing der 45/^ Fi' guur leevert daar van een overtuigend bewys op. De reden van de Subtangens tot den Ordinaat in een buigpunt zal derhalven een maximum of een minimum zyn. By gevolg zal het genoeg zyn eene uitdrukking van die reden faamen te ftellen, (hetgeen gefchieden zal,als men deSubtangens door denOraïnaaS deelt), en dezelve te behandelen als eene grootheid , waar van men het maximum of minimum begeert te vinden. Zulks zal de waarde van d&Abfcisfè voortbrengen, welke met dat buigpunt overëenftemt.
De bepaaling van de Afymptoten der kromme Lynen is mede een der gewigtigfte takken van de Leerwyze der Raaklynen , en wy behooren dezelve niet te yergeeten. De Meetkundigen weeten, dat men Afymptote van eene Kromme noem: ie L 4 Lya



-6o HISTORIE der
Lyn naar welke zy nadert, wy zeggen niet flegts, roet lomnnge weinig naauwkeurige Schryvers hoè langs hoe meer, maar op zodanige wyze, dat'haar rfftand minder worde dan eenige gegeevene grootheid zonder nogthans ooit elkander te ontmoeten. De hedendaagfche Meetkunde befbhouwt deeze Lvnen op eene zeer verllandige wyze. Zy ziet dezelve aan als Raaklynen tot een oneindig ver afgelegen punt van de Kromme, welke nogthans op eenen eindigen afftand van haaren As gaan, of denzelven in een punt ontmoeten , dat flegts eene eindige groothnd van den top verwyderd is. De Kromme van tig. :6. n«. i. vertoont ons een voorbeeld der AJympioten van de eerfte foort, en de Hyperbool tot zynen dwaripn As ovérgebragt, zie Fig.J. „o ,
J«lTr°nf ee!l,vouorlreld (ier Jfjtnptoie» van'de tweede loort. Doch alvoorens veraer te gaan is liet noodig eenige aanmerkingen vooraf te ftfeU
, ^ eerfte is, dar, wanneer men in eene Algebraïsche uitdrukking, als j» + ax ~h », de onbepaalde x onëindig maakt, alsdan alle de Termen ' waar in dezelve niet gevonden wordt, gelyk mede alle die bermen, waar in dezelve in eene lagere magt dan de hoogfte is, zullen verdwynen ■ en de eenige Term of Termen, waar in zy in de hoogde magt gevonden wordt, (taande zuilen bivven De reden hiervan is gemaklyk re befpeuren: een' Vierkant, welks beide afmeetingen onëindig zyn, is oreindig ten aanzien van eenen Rechthoek, "die flests eeneorëindige afmeetiug heeft, en zo ook met "de overige magten. By gevolg vernietigen zich de laagtte magten in vergelyking van de hoogden.
De tweede aanmerking is, dat een Breuk, waar van oe l eller eindig en de Noemer oneindig is nul is, en dat integendeel die, welks Noemer o is, on. enidjg ts. in de daad, naar maate de Noemer vertoeerdert, vermindert de Breuk, en in tegendeel. iJe eenviudigite voorbeelden zyn toereikende om
zich



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 161
zich daarvan te overtuigen. W anneer dus in eene a2 b
gebroken uitdrukking, als , x oneindig
° Ha —xx
gefbld wordt, zal die uitdrukking nu! worden ; doch
zo men dezelve oneindig wilde maaken, zou de
zaak gemaklyk zyn. Men zou flegts aa . xx
ZZ o, óï * ZZ a behoeven te Hellen. Alsdan zou a'b,
de uitdrukking veranderen in -— waar van de o
waarde onëindig is. Eene Kromme, welke tot Ver-
a'b '■
selyking zou hebben —— -y, zou der-
a&—xx
halven haaren Ordinaat, op den afftand a van den top, onëindig hebben.
Door deeze aanmerkingen gerugfteund, is de Leezer in ftaat <-m ons voor te gaan, en uit zich zei ven de bandelwyze te ontdekken, om de sJfymp' toten der kromme Lynen te bepaalen. Vooreerst vereifchen die van de e'erlte foort niets meer dan de Vergelyking der Kromme. Het is genoeg daar in de Abfcisfe oneindig te onderltellen, en, naar de bovengemelde grondbeginfelen te onderzoeken , welke Waarde de Ordinaat alsdan zal hebben. Zo de. Zelve eindig is , zal het klaarblyklyk de afltand der Afymptote evenwydig aan den As zyn. Zo dezelve nul is, zal die As zelf de Afymptote der Kromme zyn. Indien men vermoedde, dat deeze Kromme tot Afymptote hadt één van haare Ordinaten, op eenen eindigen afltand van den top geplaatst,zou'er niets auders te doen zyn, dan den Ordinaat onëindig te onderltellen , dat is, den Noemer des fireuks, die hem uitdrukt, gelyk aan o te ftellen, dan zou dg daar uit voortkomende waarde de overëenkomftige Abjcisfe zyn.
De tot den As bcV.endeAfymptoten vorderen eenigzins meerder toebereiding, en hier in is de bepaaling der Raaklynen noodzaalrelyk. Deeze zyn, wy hebben het reeds boyen gezegd, zodanige Lynen, L 5 • wel.



162
HISTORIE der
welke de Kromme in een onëindig afgelegen punt raaken, en den As op eenen eindigen afftand van den top ontmoeten. Men moet derhalven dien afftand in't algemeen vinden; hetgeen op eene gemaklyke wyze gefchieden zal, als men de Abfcisfe van de Subtangens aftrekt,of dezelve faamen optelt, volgens de gedaante welke de Kromme heeft. Vervolgens zal men de Abfcisfe oneindig moeten onderltellen , en de waarde , welke uit die onderllelling voortkomt, als dezelve eindig is, zal het punt van den As te kennen geeven , waar door de Afymptote gaat. Dus blyft nog over te bepaalen wat hoek dezelve met den As zal maaken. Dit zal niet moeijelykerzyn; het is gemaklyk te zien , dat die hoek bepaald zal worden door de betrekking van de Subtangens tot den Ordinaat, wanneer de Abfcisfe oneindig is. Men zal derhalven de uitdrukking van die betrekking moeten faamenftellen , dat is, de Subtangens door den Ord,mat deelen , en de A'fcisfe in die uitdrukking onëindig onderltellen. De re» den welke daaruit zal voortvloeijen , indien dezelve die van eei e eindige tot eene andere eindige grootheid is, (even als of'er alleenlyk Itandvastige grootheden in den Teller en Noemer des Breuksoverbleeven), zal den hoek van de Afymptote met den As zyn. Zo de Abfcisfe alleen in den Noemer bleef, zou zulks een teken zyn, dat die reden onëindig was; de Afymptote zou alsdan een perpendiculaire Ordinaat zyn. In tegendeel, zo de Abfcisfe m den Teller bleef, zou die reden onëindig klein, en de Afymptote den As zeiven der Kromme zyn.
Wy zouden nog, zo de uitgeltrektheid, tot welke wy bepaald zyn , het toeliet, hier de wyze kunnen opgeeven, om verfcheide andere eigenfchappen der kromme Lynen te leeren kennen, als de hoek welke zy met haaren As maaken, op de plaatfen waar zy malkander doorfnyden ; haare terugioopende punten, 't zy dezelve fchuins of perpendiculair op den As ftaan, enz.; doch dat alles zou ons veel te ver van ons bellek doen afwyken. Naardien die



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 163
bepaalingen met de bovengemelde grondbeginfelen verbonden zyn, laaten wy den Meetkundige Leezeren het vermaak over van uit hun zeiven daartoe te geraaken.
V I I.
Wy fchorten hier voor eenigen tyd op het verhaal der vorderingen van de Leerwyze van Defcartes, ten einde eenen zyner tydgenooten te leeren kennen, aan wien de Meetkunde insgelyks eroore verpligtingen heeft. Diegeenen wien de Hifkrie deezer Weetenfchap een weinig bekend is, zullen wel ras bemerken, dat wy van den Heer de Fermat' willen Ipreeken. Deeze waardige mededinger van Dejcartes flaagde niet minder voordeelig dan hy in liet veld der Analytifche ontdekkingen : men kan zelfs niet loochenen , dat fom mi ge zyner vindingen die van Defcartes in eenvoudigheid te boven gaan, en meer ontwikkelde zaaden zyn van de zo gemaklyke Leerwyzen, welke wy thans bezitten- Zo het menscnlyk verftand Defcartes hadt moeten ontbeeren , zou Fermat in de Meetkunde zyne plaats vervangen hebben,
In de daad, zelfs vóór dar Defcartes zyne Meetkunst in 't licht gaf was de Heer de Fermat in 't bezit der meeste van zyne heerlyklte vindingen, als zyne Leerwyze de maximis &f minimis en der Raaklynen, zyne ConftruSlie der lighaamlyke plaatfen, enz. Het bewys daar van wordt getrokken uit zyne Brievenwisfeling (Commercium Epiflolicum) niet Roberval, achter zyne Werken gedrukt. Men leest daar in een Brief van de maand Augustus 1636; „ik heb veel andere Meetkundige Voorftellen gevonden, als de herflelling van alle de vlakke plaatfen van Appollonius, enz. Maar „ hetgeen ik het meest in achting houde, is eene „ Leerivyze om alle foorten van vlakke en lig. ,,, haamlyke plaatfen te bepaalen, door middel van
„ wel-



i«4 HISTORIE oer t7
„ welke ik de maxima & miaiwe in omnibus proble„ matibus vinde, en zulks door eene zo eenvou" .l'f.y-fSelyking als die van de gemeene Anall$h' u anderen van de volgende maand
Sen ydenll^iat M*9 ^ reeds vo<*
JH 1 .H" dhspagnet hadt medegedeeld.
veel heelfiïJ^Vft K denzelven naderhand Ven tnrf» Hufebreld> dat hy dien heeft doen dienen tot de vinding van de Quadraturen der Krommen J-'gh-amen, tot die d& Raaklynen, der~. heids-m.ddelpunten, tot de oplosfing Van zekere Voorttelen m getallen, eindelyk tot de bepaainp
biykt, dat de heer de Fermat aan zyne Leerwv*e om de Voorftellen te ontleden/ zeer oT|. genlyk den naam van maximis &? minimis gaf* want reen zal bezwaaclyk kunnen beSuen /da't
dt vrZk^WyZ' Va" dien naam in veele van die Vraagftukken van eenig gebruik kan zyn.
H" ie|rw>7fa de "****!' & ^mis van den reeds AmÏT*™1 °P d'[ ^"^eginfel, 't Welk ^rtf, ; Mln/yne toereometria doliorum be. merkt is , naamelyk dat wanneer eene grootheid bv voorbeeld de Ordinaat eener Kromme' tot haar maximum of minimum gekomen is, haare aangroeiJ.ng of vermindering, |„ eenen oneindig ïï, genen ftand, nu is. Als men van dit |rondbegi^ lel, welks waarheid gemaklyk ontdek? kan worden gebruik maakt, zullen wy den Regel van den Heer de Fermat zien voortkomen? wfnt laat ons onderftellen, dat een Ordinaat door eene Vergelyking uitgedrukt, tot zyn mïximuTgtT0. men zy, zo zal daaruit volgen, dat als rr,™ in die Vergelykinge onderftelt,& da dl Abfc Twet eene oneindig kleine grootheid, als fv {mee" derd of verminderd wordt, deeze beide warden van y gelyk zullen zyn. By gevolg zal men ala aen dezelve vergelykt, de gemeene Temend van aftrekt, zo lang het mogelyk is door e deelt,
en



WISKUND E. III. Deel. II. Boek. 163
en eindelyk de Termen, waar in e gevonden wordt, te niet doet, (want dezelve zyn ,"ten aanzien der andere, wegens de oneindige kleinheid van e, niets), eindelyk de waarde van x bekomen, waar mede de grootfte Ordinaat overcenftemt (c). Deeze ongemeen kunftige Regel is, behalven de aanwyzing der grootheden ( notatio) de zelfde als die, welke de Differentiaal- of Fiuxie- Rekening leert. Dezelve moet voor die Rekening zwichten wegens
ee-
Cc) Wy achten niet ondienitig de handelwyze van deezen Regel door eenige voorbeelden op te helderen. Tot dat einde zullen wy de Vergelyking van den Cirkel neemen, zynde ui xx ZZZZ yy, en onderltellen, dat
»en r.iet weet, welke de Ihnd van den grootfkn Ordinaat is. Als men den bewusten Regel volgt, moet men in de voorgemelde uitdrukking x -f- e in plaats van e ftellenhetgeen deeze uitdrukking voortbrengt, sax + lae ~ 2*« ——— ee, welke men gelyk moet ftellen aan 2ax xx. Als men de gemeene Temen
wegneemt, heeft men 2 at —— ixe ee ZZZZ o.
Men laaie mee, wegens haare oneindige kleinheid, weg,
en men zal hebben 2 a; 2xe ZZ O ax ~ 2a 'xzza
hetgeen men reeds weer.
Maar laat ons onderftellen, dat men in de Kromme welkers Vergelyking is y* ~ ax' — x* den giootften Onhnaat, of, dat het zelfde is, het grootfte Produét vsn een der deelen van eene Lyn met het Vierkant van het andere, begem te weeten. Dan zullen wy, volgens her
voorfchrift van dtn Regel, i„ dit geval hebben, ax* .
** _ ax1 + 2axe + aee . x1 zeex e3
Laat ons nu de gemeene Termen wederzyds aftrekken verdokens die waar in e tot den Cubus of het Vierkant verheven is, weglaaten, en eindeiyk door e deelen, dan zullen wy hebben 2a ~ 3*, of x - j a; hetgeen ons te kennen geeft, dat deeze Kromme haaren grootflen Oratnaat • a van den top verwyderd heeft, of dat het gezochte grootfte Vrodutt dat is, \ welk voortkomt, als men het v.erkant van } der Lyn met het overige derde deel veimeenigvnldigt.



16-6* HISTORIE »br
eenige verkortingen in de bewerking, en om dat dezelve belemmerd wordt door eenige irrationaals uitdrukkingen, waar van het niet altoos gemaklyk is eene Vergelyking te ontheffen, daar dezelve in tegendeel geen de minne verhindering in de laatstgemelde Rekening toebrengen.
Kven als de Regel van De/carter voor de VraagHakken de maximis & minimis aan eenige byzondere bepaahngen onderheevig is , heeft die van den Heer de termat ook de zyne. Naardien deszelfs natuur medebrengt, dat dezelve de punten eener Kromme opleevert, waar in twee oneindig dicht by elkander ftaande Ordinaten gelyk zyn, geeft dezelve ook alle die punten, waar in de Raaklyn evenwydig aan den As is. Maar fchoon zulks meerendeels gebeurt in punten van grootfte of kleinlte Ordinaten, zyn deeze punten echter niet de^ eenige welke die eigenfehap hebben. Een buigpunt of terugloopend punt kan zyne Raaklyn evenwydig aan den As hebben, zo als men in Fig. 47. kan zien, en by gevolg, zo in de voorgeftel«e Kromme een punt van die natuur is, zal de Kegel van Fermat hetzelve met alle de punten van waa.rero/mmaof/Kini-rcavoortbrengen.Men zal derhalven na die punten bepaald te hebben, dezelve ieder byzonder moeten onderzoeken, om te zien of aan -/eene zyde van hetzelve de Ordinaat fteeds aangroeit of vermindert; wantin dit geval zouden dezelve flegts buigpunten of terugloopende punten zyn Wy merken hier in 't voorbygaan aan, dat de Heer Huygens gemist heeft in de verklaaring, welke hy van dien Regel geeft. Deszelfs grond, zegt liy, bellaar daar in, dat wanneer een Ordinaattot zyn maximum & minimum gekomen is, !er wederzydf twee nabuurige en gelyke Ordinaten zvn. Dit is wel eene eigenfehap der maxima en minima; doch geenszins die welke het hoofd-onderwerp des Regels van den Heer de Fermat is. Want zo dat waar was, zou dezelve niet alleen de punten voortbrengen, waar in de Raaklyn evenwydig aan den As
is,



WISKUNDE. III. Deel. II, Boek. 167
is, maar ook die punten, waar in zy perpendicw lair op den As ftaat, zo als de Kegel van Defcartes leert, en zelfs de fnydpunten der takken van kromme Lynen : hetgeen dezelve niet doet. De waare grond van zynen Regel is , dat wanneer de Ordinaat eener Kromme tot zyn maximum of minimum gekomen is, haare Raaklyn meesttyds évenwydig aan den As, en by gevolg het verfchd van twee oneindig dicht by elkander ftaande Ordinaten nul is.
Deeze vinding van den Heer de Fermat gaf aanleiding tot eenen zeer hevigen twist tusfehen hem en den Heer Defcartes: doch vermits zyne Leerwyze der Raaklynen mede één der voorwerpen van dien twist wa*s , zullen wy dezelve vooraf bekend maaken. Deeze is niet minder vernuftig, en ten naaste by op de zelfde grondbegini'elcn gevestigd. Zie hier op wat wyze de Heer de Fermat dezelve verklaart. Laat de Lyn BD (Fig. 4S.) de Raaklyn tot eene Kromme, by voorbeeld, een Parabool, zyn: dan is het klaarblyklyk, zegt de Heer de Fermat, dat ieder andere Ordinaat dan BC, als bc, dezelve van buiten zal raaken, en by gevolg de reden van BC tot bc, welke de zelfde is als die van CD tot cD minder zal zyn dan die van CB*1 tot
c b ,of die van CA tot cA. Maar zo men onderfielt, dat deze reden de zelfde zy, en de afftand Cc niets worde, zullen de punten b en B faamen. 1'melteu, en men zal eene Vergelyking bekomen, welke eveneens als in de Leerwvze de maximis £? minimis behandeld zynde, de redén van CD tot CA zal voortbrengen.
Wy kunnen niet loochenen, dat de Regel van den Heer de Fermat, voorgedragen zynde, zo als wy in navolging van hem gedaan hebben, niet onder het vdordeeligst gezichtpunt geplaatst is. Dezelve zou op de volgende wyze eene betere gedaan-



-68
Historie der
daante verkrygen. Iedere Raaklyn, zouden \vf zeggen, is niets anders dan eene fnylvn (fecans) welkers fnydpunten met de Kromme, geduurig tot elkander naderende, eindelyk faamenloopen, of op elkander vallen. Men moet derhalven twee Ordinaten ouderdellen, als BC, bc (fig. 49.), wier afftand e onbepaald zy, endoor de Vergelyking der Kromme de grootheid vinden van de Lyn CO, zynde de afftand der doorfnyding van de «Snylyn en den As tot den Ordinaat BC. Dit zal eene Vergelyking opleeveren, in welke niets anders te doen zal zyn, dan e oneindig klein te maaken*' zo als men in de Leerwyze de maximis ff minimis gedaan heeft; dan zal men eene Vergelyking tusfehen C D en CA hebben, welke *de reden van de Subtangens tot de Abfcisfe zal voortbrengen, (dj.
Thans
Cd~) 2fe hier een voorbeeld van deeze Leerwyze, or> dert jrelyMyï'Ven Hyperbool toegepast. Laat de halve-dwarfe Diameter (Fig. 40., e, de Abfcisfe AC ZZ x, CD Z 2
zyn jdanisBCf (2ax+xx), en Ac I 1 e
zynde, is cb zz V (iaXX - trhx e\"\ Nu
is, wegens de gelykvormigiheid der Driehoeken, B Ctbc .1 CDicD, of BC : bc :i CD:cü; by gevolg 2«x-h XX : zax ■ 2ae -|» *a ■ ■ 2X! + e'x:; z"
s z ———— el , en vermeenigvuldigenJe de uiterfte en middelde Leden , verwerpende vervolgens de gemeene Termen, gelyk mede die waar in e* gevonden wordt, en deelende eindelyk door bekomt men z ZZZZZZ aax-t-x"
"■—•—» 't weik de waare uitdrukking van de Sa^aoa -h x
gens in den Hyperbool is.



F WISKUNDE. Ut bul ll. Bvek. 169
Thans moeten.wy vejllag doen van het gefchil» •dat de Heer de Fermat, by gelegenheid van diebeide Leerwyzen, met Defcartes kreeg. Toen de Meetkunst van Defcartes het licht zag, was dé Heer de Fermat één der eersten om dezelve te onderzoeken, en zonder tvvyffel deedt. hy dezelve, het recht dat zy verdiende. Maar hy was zeer Verwonderd van niets in dezelve te vinden belan* gendede Vraagftukken de maximis & minimis, weikei door hun aanbelang en zwaarwigtigheid in 't by-» zonder den aandacht der Meetkundigen waardig • zyn. Hy fchreef derhalven aan den Vader Mèri fenne, eh zondt hem zyne Leerwyzen voor dé Vraagftukken de maximis 0 minimis, voor dè Raak» lynen der Krommen, voor de ConjïfuBie der lighaamlyke plaatfen, betuigende hem tevens zyné verwondering daarover, dat de fleer Defcartes' de eerften dier vraagftukken over *t hoofd hadt gezien.. Deeze aanmeiking fcheen Defcartes eene. hem hoonende uitdaging te zyn: daar benevens was zyne twist met den Heer de Fermat over dè RefraSiie nog allerhevigst, en hy werdt ligtelyfc vertoornd Op diegeenen, welke te lang draalden, 'om zyn gevoelen te omhelzen. In die omftandigheden, eii met die gemoedsneigingen bezield, outn«~hy het gefchrift van den Heer ds Fermat. Vooringenomen met de begeerte om iets berisplyks daar in te vinden, antwoordde hy den Vader ■Merfenne, dat beide die Regelen niets deugden, en wierp zwaarigheden tegen dezelveu op, welke wy wat laager zullen voordragen.. De Heer dé Fermat vondt twee yverige voorftanders in tfe Heereu Roberval en Pafcal den vader; van eenen anderen kant kozen de Heerén Midwgè.-, Defargues en Hardi de zyde van Defcartes ■, en hiér uit om: ftondt een Letterkundig twistgeding , dat van beide zyden met veel hevigheid en verbittering bepleit werdt. Wy hebben daarvan de ftukken irt het derde Deel der Brieven van DefcaHesi Het gefchil nam met dat, 't welk de Dioftrica betrof, 8 M te



.17© HISTORIE dik
te gelyk een einde. De Heer de Fermat, een vyand van twist, en rechtmaatiger ten aanzien van Defcartes , dan deeze ten zynen opzichte was, deedt de eerfte flappen tot verzoening; de vreede werdt getekend, en van eenige verpligtende Brieven van wederzyden gevolgd.
Wy ftaan geen oogenblik in bedenking om hier Defcartes t'eenemaal in 't ongelyk te ftellen Het is klaarblyklyk in 't geen den Regel de maximis & minimis betreft; in de daad , Defcartes waande, dat de Regel van den Heer de Fermat niet goed was, om dat dezelve niet doorging in een geval, waar in hy eene verkeerde toepasfing van denzelven maakte. Hy wilde dat de Raaklyn uit een uitwendig punt, als C ( Fig. 50.), tot den omtrek van eene Kromme getrokken, ten aanzien der Lynen tot het uitgebogen deel getrokken, een waar Maximum, of ten aanzien van die, welke tot het ingebogen deel gaan, een Minimum was; ingevolge wilde hy, dat de Regel van den Heer de Fermat op die wyze diende, om de Raaklynen der Krommen te vinden • en vermits dezelve zulks niet deedt, verklaarde hy , dat dezelve .niets deugde. Maar de drift alleen, (want de groote mannen zyn 'er niet altoos vry van), konde Defcartes die tegenwerping inboezemen. Op wat wyze mén het ook verftaat, is de Raaklyn CA geenszins een Maximum of een Mi* vdmum, en zy heeft 'er ook geen het minfte kenteeTken van. De eigenlyke Regel van Defcartes voor de Vraagftukken van die natuur; die van de Diffe~ rentiaal- of Fluxie-Rekening, welke, behalven ds aanwyzing der grootheden, de zelfde is als die van Fermat, zouden gebreklyk zyn, als dit voorgeeven gegrond was. Hier is geen Maximum of Minimum, als de reden van CB tot B A, of wel het deel DE van de Raaklyn in het punt D. Wanneer men nu het vraagftuk op die wyze befchouwt ,flaagt de Regel van den Heer de Fermat zeer wel , en geeft naauwkeurig de Raaklyn.
Defcartes hadt eene waarfchynlyker, en in zekere



WISKUNDE. Hl; Deel. II. Boek. i?r
re opzichten gegronder tegenwerping kunnen doen, als hy den grondflag cies Regels beter gekend hadt. Hy hadt flegts eene Kromme te zoeken, zodanig als die welke Fig. 51. vertoont, en welke een terug* loopend punt perpendiculair in B heeft, dat een foort van Maximum is. De bewuste Regel, op de bepaaling van dat Maximum toegepast, zou hetzelve niet voortgebragt hebben, waar uit hy zou hebben kunnen belluiten, dat dezelve gebreklyk was. Doch Fermat zou hebben kunnen antwoorden, dat de natuur van zynen Regel medebragt, om alleen de punten aan ie wyzen, waar in de Raaklyn evenwydig aan den As is, en dat men, wel verre van deeze bepaaling voor een gebrek te houden, dezelve als eene volkomenheid moest be. fchouwen. Eindelyk zo hy eenigzins onderfteuni was geworden, door de inlichting, welke wy he. dendaags in dat vak hebben, hadt hy hem kunnen tarten om eenigen Regel op te geeven. die niet aan eene zodanige of foortgelyke bepaaling onderhevig was. In de daad 'er is geen Regel, zon. der zelfs die van de Differentiaal- of Fluxie-Rekening uit te zonderen, die niet te veel, of te weinig uitgeftrekt is, en om die reden eenige byzondere opmerkingen verëischt. Dit gebrek fchynt volftrekt onvermydelyk te zyn.
In de tegenwerpingen, welke de Heer Defcartes tegen den Regel der Raaklynen van Fermat inbragt, is iets dat meer fchyn heeft; doch het is mede in den grond niets anders dan eene weezenlyke vittery. Fermat hadt zich in het voorbeeld zyner Leerwyze van eenen Parabool, en één van deszelfs eigenfchappen bediend, om de Raaklyn daarvan te bepaalen- Defcartes, dat voorbeeld als algemeen befchouwende, paste den Regel'toe op- 'andere Krommen, door naauwkeurig de zelfde handelwyze als die van het voorbeeld te volgen; eene haadelwyze die niet toepasfelyk was als of> den Parabool: en vermits dezelve niet gelukte, verklaarde hy, dat dezelve valsch, en zo liegt was, dat men Ma i*



172 HISTORIE der
in denzelven niet eens gebruik maakte van de kenlyke eigenfchappen der Kromme, tot welke de Raaklyn moest getrokken worden. Men kan niet vermoeden, dat de Heer de Fermat, die waarlykêen verheven vernuft bezat, tot eene'foor^e ykeongerymdheid veme . Roberval en PafcafJwoordJ« op eene nadruklyke wyze en gaven voor, dat zo Defcartes den zin van den Regel en het bewuste voorbeeld verftaan hadt, hy geen ^fchH m« hJS gezocht zou hebben. De Heer Defcartes hieldt aan zyne zyde hardnekkig ftaande, dat de Heer de fermat zyn Regel niet verftondt, en niets, vnlïn t""6 Ver,zoemnS ni«, heeft hem van ge^ voelen kunnen doen veriuderen. Zelfs ziet men
v\Vre\rnrtyd daar na'in een *S SS
Z^! j eTfeme' V0°WV<» - dat hy het was die zyne tegenparty wegens dat onderwerp de oogen geopend heeft en dat zo deeze daar in geflafgd was om den Regel naauwkeuriger te maaken, hy zulks aan hem zou te danken hebben. Zo hy al ergens deszelfs voortreffelykheid, en het voordeel
w\hP?HehVe 10 ,het Ruk van «nvoudigheid en kortheid boven den zynen heeft, erkent, is zulks om geen andere reden als om zich de verdienlle ervan toe te eigenen. Het is waar, dat men denzelven in eenen zyner Brieven (*) duidelyker verklaard vindt, dan zulks door den Heer de Fermat gedaan was. Doch di: was geen reden om zich de eere daar van toe te fthryven. Zond r Fermat, die met den zynen te vreeden was,dacht
ïiyvfaa",r™tS me-r; e" de verdienlte eener vinding blyft altoos aan nem, die van dezelve de eerfte gronden geDgd heeft, fchoon men 'er naderhand eenige trappen van volmaaktheid heeft bygevoeed.
By die Realen voor de Raaklynen en de vraag! Rukken ae maximxs & minimus voegde de Heer de Fermat nog eenen anderen, voor de bepaaling
Editie. ^ BrieVen' Vli Deel' P' »* Franfch.



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 173
«Ier zwaarheids-middelpunten. Doch vermits dezelve zeer bepaald is, en zien alleenlyk uitftrekt tot de Parabolen en de Parabolifche Conoïden van alle genachten, zullen wy ons daar by niet ophouden. Wy bebooren onzen aandacht meer te vestigen op zyne Gefchriften over de vlakke en lighaamlyke plaatfen, en over de Confiruclie der Vergelykingen van de derde en vierde magt. Men ziet uit die Gefchriften, waar van hy in zyne .Brieven fpreekt, vóór dat nog de Meetkunst van Defcartes het licht zag, dat hy met onzen Wysgeer het zelfde denkbeeld hadt, om de natuur der kromme Lvnen door Algebraifche Vergelykingen uit te drukken. In het eene, dat tot 'l'ytel voert Ifagoge Topica ad loca plana £f Jolida, bepaalt hy de verfchillende gedanntens van Vergelykingen, welke uit de onderscheidene ftanden van den As der Kegelfneede, op welken men de AbPcisfen neemt, en uit het punt van waar men dezelve begint te rekenen , ontftaan. Vervolgens gaat hy over tot de Conjlrudtie van verfcheide lighaamlyke Vergelykingen in het Gefchrift, dat tot 'l'ytel voert: Appendix ad ifagogem Topicam, 't welk de Uitgeevers der Werken vau Roberval zeer te onpas onder die van deezen laatften ingelascht hebben,doch dat buiten tegenfpraak den Heer de Fermat toebehoort. Wy zullen ons hier bepaalen met te zeggen, dat zyne Analyfis zeer veel overeenkomst heeft met die van den Heer Slufius, wien wy in 't vervolg van dit Boek zullen leeren kennen.
De Weer de Fermat maakte nog eenige merkwaardige vorderingen in dat gedeelte der Meetkunde, 't welk de Quadratuur der kromlynige Figuuren betreft. .In een Gefchrift, dat men onder zyne We"-, ken leest, wyst. hy de afmeeting van verfcheide vry faamengeftelde Krommen aan, welke hy door kunftige hervormingen tot die van den Cirkel of den Hyperbool overbrengt. Htt is daar door, dar hy de meeting vau de Cysfois, de volftrekte QuadxaM 3 tuur



m HISTORIE der
tuur van de Hyperbolen der hoogere geflachten enz. vondt. > Wy twyffelen geenszins of de weetgierigheid onzer Leezeren zal belang oW in ftellen, om een zo lofwaardig Meetkundige eenigzins van nader bv te kennen. Wy zullen hen het weinige dat wv 'er van weeten te kennen geeven. De heer de Fermat rras van Toulouje , alwaar hy in 't begin der zeventiende, of het einde der voorgaande eeuwe gebooren werdt. Schoon hy zich eenen groote» naam inde Wiskunde gemaakt heeft, was dezelve nogthans zyne eenige en voornaamfte bezigheid niet. J3y dien fmaak en dat verheven talent, dat hv in dezelve hadt, voegde hy eene groote geleerdheid, en eene volkomene kennisfe der Griekfche en veeIe andere hedendaagfche Taaien. Daar hy no* daar benevens den post van Raadsheer in 't Parlement van louloufe bekleedde, bediende hy dien altoos met vlyt , en verwierf zich den roem van één der ver-
ïn RRKht^ tC T {f)' Hy (tierf in begin des laars 1665. De verzameling zyner Wer-
ken beftaat in twee Deelen ( in-fol.) ' welke na zyn dood in 't licht kwamen. Het een is eene uitgave van Dtophantus, verrykt met zyne aanteekeinngen en ontdekkingen in dat deel der Anahfy t welk door dien ouden Rekenkunftenaar bevorderd, en door hem nog verder uitgebreid is fgV het ander bevat zyne eigene Werken, zo van dè Meetkunde volgens de oude Leerwyze. die hem zeer gemeenzaam was, verhandeld, als van de hedendaagfche Analyfis. Men vindt ook nog in dezelve zyne bnefwisfeling met verfcheide beroemde Meetkundigen van zynen tyd, als Roberval. Pafcal enz.; dit is een zeer belangwaardig ftuk voor dl Hiftone der Meetkunde en Analyfis.
VIJL
: (H Journal des Scav. Fe'v. 1665.
(g) Zie het Artikel van Diophantus, in onsI. Deel. V Tiaet pag. 434. *'.v.u««fc



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek, 175
V I I I.
Men zou bezwaarlyk iets anders kunnen denken, dan dat de Meetkunst van Defcartes algemeen zeer greetig aangenomen zoude zyn. Maar verfche'^e ourzaaken vertraagden eenige Jaaren haare bevordering ür zyri vooröordeelen zeii's ten aanzien der Meetkunde, en het is iets zeldzaams, dat zy, welke reeds lang aan eene zekere wyze van redene'eren gewend zyn, eene geneigdheid roonen om eene oude gewoonte te verhaten, en eene nieuwe te omhelzen. Daar benevens was het Werk van Defcartes met eene zo groote beknoptheid gelchreeven , dat flegts zeer weinig lieden in ftaat konden zyu om hetzelve te verftaan. Defcartes eindelyk hadt zyne vyanden, welke, zo veel hun mogelyk was, zyne vindingen verachtelyk zochten te maaken. Alle die rédenen faamengevoegd bragten de foort van tegenftand te weeg, welke zyu Werk in 't eerst ontmoette. De meeste Meetkundigen maakten weinig werk om het te onderzoeken, en fommige andere bemoeiden 'er zich niet mede als om het te berispen, zonder hem het recht te doen dat hy verdiende, wegens de ontdekkingen zelve, welke zy niet ontkennen konden daar in te vinden.
Onder die verachters der Meetkunde van Defcartes verdriet het ons'den Heer de Roberval te vinden. Wy kunnen niet ontveinzen, dat hy zich ten dien opzichte op eene zeer driftige wyze gedroeg, en die hem weinig eere aandoet. Zyne ontmoeting met Milord Cavendish verdient verhaald te worden. Op zekeren tyd in gefprek zynde met dien Heer, welke in de Wiskunde zeer ervaren was, betuigde hy hem zeer verlangende te zyn om te weeten, waaruit Defcartes het denkbeeld hadt kunnen bekomen, om alle de Termen der Vergelykinge aan nul te vergelyken. Milord Cavendish antwoordde hem, dat hy zulks om geen andere reden) niet wist, als om dat hy een Franschman was, en boodtbemaan hem het Boek te toonen, waar aan Defcartes die vinM 4 ding



17Ó II I S TOR I E b e r
ding verfchuldïgd was. In de daad hy bfaet ben in zyne kamer, en toonde hem de plaats van Har. not, alwaar men het zelfde ziet; waarop Roberval, van vreugde verrukt mtnep, hy heeft het gezien, hy heeft tet gezien', en zulks vervolgens overal verbreidde .Deeze trek vertoont ons, om de waarheid te zeggen , nog niet anders dan een blyk der afgunst van
.JtTf '' d°ru • ï h? het daar by niet berusten. Hy waande verfcheide feilen in de Meetkunde van Bef-
nn^Vf ver,bfteren» en ni« ih is hy t'eenemaal onvericnoonlyk; want zyne tegenwerpingen zyn allen ongegrond en bewyzen niets anders dan zyne jgtt en hardnekkigheid. De eerfte tegenwerping , die hy Defcartes deedt, was dat hy gefeild hadt in zyne ConfiruUie der Vergelykingen van de zesdS fT:JAeen Sedeelte 2yner Parabolifche Conchois hadt voorbygegaan, zonder 't Welk een Cirkel dezelve met m zes punten kou fnyden. Hy hadt zichtbaarlyk onrecht: want Defcartes, zyne Vergelyking tot eene andere herleidende, waar in alle de
)lV ZPfuf T' Wa! dat ^edeelte zy»er Con. mis, ón Roberval waande voorbygegaan te zvn.
denA?^ "utte]™s> vern,!ts ^'ve, als onder den As zynde, negative Wortelen zou opgeleverd hebben. Hy was ook het fpoor byster door voor te geeven dat het bovenfte deel van die Kromme door een Cirkel niet in zes onderfcheidene punten konde gefneeden worden. Defcartes wees hem een gemaklyk middel aan, om zich te verzekeren da" zulks mogelyk is, en dit gebeurt in de daad zo
ffi de AHïSluH"dde ih >' en de Vader RalleuT) betoogd hebben. lichter ziet men hem, niettegenftaande den tyd, welke hy gehadt hadt om zulks te onderzoeken, titn jaaren daar na de zelfde.
i (/O Schoot. Comm. ad fin.



WISKUNDE. III. Dèel. II. Boek. 177
de tegenwerping aan Defcartes vernieuwen (k). In den zelfden tyd maakte by nog eene nieuwe over de natuur der Vergelykingen. Hy bepaalde zich niet meer tot liet voorwendzel, 7.0 als hy in 't eerst gedaan hadt (l), dat Defcartes gefeild hadt in zynen Regel om de pnfidve en negative Wortelen van elkander te onderfcheiden , vermits dezelve geen plaats heeft als 'er ingebeelde Wortelen zyn. Hy wilde dat dezelve valsch was, zelfs als 'er geen ingebeelde Wortelen zyn. De Vergelyking, welke hy tot een voorbeeld opgaf, was deeze , *3 —-
4.x* -h 4« 4==o, waar in, zo hy zeide,
geen ingebeelde Wortel is , en die. nogthans geen drie pofitive Wortelen heeft: men hadt gaerne gezien , dat hy die drie Wortelen, welke den Regel van Dejcartes als ongegrond zouden doen aanmerken, getoond hadt; doch hy doet zulks niet: en in de daad, deeze Vergelyking heeft flegts eene weezenlyke Wortel, die men op zeer weinig na bevindt te zyn 3. 13, en de beide andere, zynde ingebeelde Wortelen, zyn o. 43 -1- V (— 1.0930).
Frankryk zou byna de fchande op zich geladen hebben, van de laatfte te zyn geweest om de Meetkuust van Defcartes met goedkeuring te vereeren, zo niet de Heer de Beaune daar voor gezorgd hadt («O, Deeze geleerde Analist was de
eer-
(J) Lettres de Defcartes. T. IH. p. 454(l) Deeze tegenwerping wordt den Heer de Fermat toegefebreeven in eene uitmuntende Memorie van den Heer Abt de Gua, (Mém. de PAcad. 1743). Hetgeen dien Analist in dooling heeft kunnen brengen, is dat Roberval in. den Brief, waarop hy zich beroept, niet genoemd wordt 1 doch het is zekerlyk van hem, dat in dien Brief gefproken wordt. . .
(m) De Heer d Beaune was Raadsheer in het Regfsgebièd van Bhis. Hy was in 't Jaar ióoi gebooren, enflieif Jn 't Jaar 1651.
MS



178
HISTORIE der.
eerfte die alle haare geheimen doorgrondde, en dezelve hadt nog niet lang het licht gezien, toen hy reeds ondernam de moeijelykfte plaatfen met aantekeningen op te helderen. Hy deelde dezelve mede aan Defcartes, welke die op eene zeer verpligtende wyze goedkeurde, en hem antwoordde, dat hy'er geen woord in gevonden hadt, dat niet overeenkom (hg zyne meening was. Men vindt dezelve in het Commentarium van van Schooten, onder den Tvtel van Florimtindi de Beaune, ih Cart. Ceo'ft. notet breves. De yver met welken de Heer de Beaune zich ten voordeele der nieuwe Meetkunde gedroeg, verwierf hem in 't byzonderde vriendfchap van onzen Wysgeer, die op verfcheide plaatfen zyner Brieven betuigt op zyu oordeel en goedkeuring meerder ftaat te maaken, dan op die van alle andere Meetkundigen , welke toen in Frankryk waren.
Deeze Brieven (n) geeven ons te kennen, dat de 'ieer de Beaune het berucht vraagftuk, om de natuur der kromme Lynen, door de gegeevene eigenfchappen van haare Uaaklynen, te bepaalen, het eerst op her tapyt heeft gebragt. Dit uoemt men de omgekeerde Leerwyze der Raaklynen, om dat dezelve het omgekeerde is van die, welke de Raaklynen door de eigenfchappen der Kromme bepaalt. Zelfs deedt hy op dat onderwerp verfcheide ontdekkingen , waar over de Heer Defcartes hem grootelyks pryst. „ Wat aangaat uwe kromme „ Lynen, zegt hy (0), de eigenfehap, waar van
gy my het bewys zendt, heeft my zo fraai toe^ gefcheenen, dat ik dezelve höoger achte dan de ' Quadratuur van den Parabool, door Archimedes " gevonden; want hy onderzoekt eene gegeevene v Lyn, daar gy in tegendeel de ruimte bepaalt, wel-
ke befloten is binnen eene Lyn, die nog niet ge„ geeven is. ^
(«) Zie de 71e. van 't III. Deeli O) Ibid.



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 179
In die omftandigheden gaf de Heer de Beaune aan ', Defcartes een Voorftel op , dat beroemd is gevvori den , en zynen naam. behouden heeft. Deszelfs on. derwerp was om de Conjlruclie eener Kromme te vinden, zodanig dat de Ordinaat EG f Fig. 52.) in reden was tot de Subtangens E B, als eene gegeeI vene Lyn N tot GF, welke tusfehen de Kromme I en de Lyn AF, met een hoek van 450 overhellen* de, befloten is. ' Dit Voorftel is vry moeijelyk, zelfs als men 'er de Integraal-Rekening toe gebruikt: doch de verhevene verftanden weeten doorgaans i zich wegen te baanen midden door de zwaarïgheden, welke de gemeene verftanden affchrikken- en 1 de Heer Defcartes was over dit onderwerp niet zo kort, als men gemeenlyk denkt, en zo als een beroemd Meetkundige gefchreeven heeft {/>). Hy 1 bevondt ( q) i°. dat die Kromme eene y/J'ymptote : hadt evenwydig aan de Lyn AF, en gaande door het punt C, dat eene grootheid gelyk aan N van i A verwyderd is. 2". Dat, trekkende GI even\ wydig aan CE, en GK als Raaklyn in het punt j G, de Subtavgens IK ftandvastig was : eene eigenI fchap welke genoegzaam is om te befluiten, dat I de gezochte Kromme niets anders is dan eene Logarithmifche Lyn, welkers Ordinaten met een hoek 1 van 45° op den As overhellen. 30. Hy confirw i eerde dezelve door de faamenvoeging van twee be.
I weegingen, of door de geduurige doorfhyding van
II twee Liniaalen, waar van de fnelheden waren, de eene gelykmaatig, de andere veranrierlyk , volgens
1 eene zekere Wet, welke hem toeliet zo veel punten van dezelve te vinden, als hy wilde. Het zou niet onaardig zyn, als de Analyfis, door welke
i, Defcartes tot die kundigheden geraakte, tot ons ge-
I komen was. Maar wy hebben in zyne Brieven geen
!! fpoor daarvan gevonden.
De
I r (p) Het is de Heer Bernoulli in 2yne Lefl. calculï I integ. Leét. II.
(?) Blieven van Defcartes.'^Ibid.



i8o
HISTORIE »er
m % / 04 Be%Tn,e vergenoegde zich niet met de Meetkunde van Defcartes door zyne aantekeningen op te helderen: hy gaf nog in de Analyfis dgeboorte aan eene nieuwe rfcorfe, naamelyk die der X.t»ufM van de Vergelykingen ; eene Theorie ISvl voor derzelver Oplosfing leer „u g^J1 waarde van deeze vinding wel te befeffen, let men Z1cl, te bmnen brengen hetgeen wy boven neb ben doen z.en, naamelyk dat, de Vergelyking van Breuken en trrationaale grootheden gezuiverd zfnde zo dezelve eenige rationaale Wortel heeft, dezelve* noodwendig een deeler van den laatften Termih. maar het gebeurt dikwyls dat deeze laatue ïm
ZZmTT ^ T heeft* Hoe «I ™» nu ten naaste by den deeler onderfcheiden , welke men kiezen moet, om duizend vergeeflche en lastige be" proevingen te vermyden ? De Heer de Beaune kwam deswegens op den inval om de beide getallen k pepaalen, tusfehen welken de grootfte en kleinlte der gezochte Wortelen gevonden worden , heS geen.hy de Ltmtten.der Vergelykinge noemt. Dee. ze vinding vermindert grootelyks den arbeid en brengt dikwerf de deelers, welke beproefd rnoeteS worden, tot een zeer klein getal; zelfs zal men, fomtyds aanftonds daar uit zien, dat.de Vergelvkmg geen rationaale Wortel heeft , gelyk in hefgi val als het gebeurde, dat de Xtotusfchen de. raast op elkander volgende deelers van den laatften Term vielen. De Heer de Beaune gaat alle de "edaantens van Vergelykingen, van de tweede tot de vierde magt ipgefloten, zeer zorgvuldig na, en wyst in a le die gevallen de Limiten der Wortelen aan. Wy zyn de Verhandeling, welke zyne v " dingen bevat, aan den Heer Eramus Bartholinus verfchuldigd. Na den dood van den Heer de Beau. net wien hy te Blois was gaan bezoeken, verkreeg hy van zyne erfgenaamen de verftrooide ftukken zvner handfehnften. Hy verzamelde dezelvevoegde erbyhet geen er nog aan ontbrak, en liet dezelve m t Jaar 1659 drukken, achter de nieuwe Editie
van



WISKUNDE. III. Deel II. Boek. _ï«t
van het Commentarium van van Schoten over de. Meetkunde van Defcartes. Hy beloofde nog eene andere Verhandeling van den zelfden Heer de Beaune, tot Tytel voerende De angulo folido; maar deeze'belofte is niet uitgevoerd geworden.
Na den Heer de Beaune zyn het voomaamelyk vreemdelingen, en byna alle Hollanders , welken de nieuwe Analyfis van Defcartes te danken heelt haare grondvesting, en de eerste vorderingen die zy buiten den eindpaal deedt, tot welken deszelfs vinder haar gebragt hadt. Wy merken nog aan, dat het meerendeels jonge Meetkundigen waren. In de daad, van Schooten, Huygens, Hudde, de fVitt, van Heuraet, Slufius, enz. wier verrichtingen of ontdekkingen in dat vak ons thans zullen bézig houden, begonnen eerst iu de eerste jaaren na de uitgave des Werks van Defcartes zich op de Meetkunde toe te leggen. Wy behoeven ons hier over niet te verwonderen. Wanneer men nog geene vooröordeeien van gewoonte aangenomen heeft, is het verftand veel vatbaarer voor den indruk der waarheid, en gefchikter om eene goede keuze te doen. Ook heeft men meenigvuldige maaien gezien, dat die ontdekkingen, welke de gedaante der Weetenfchappen hoe langs hoe meer veranderd hebben, haare grondvesting alleen aan jonge lieden hebben te danken. De Natuurkunde verfchaft ons daar van bekende voorbeelden; en zonder buiten ons vak te gaan , vinden wy 'er verfcheide. De Leerwyze van Cavalleri, door de oude Meetkundigen van zynen tyd verworpen, werdt door alle de jonge Meetkundigen omhelsd, tot groot voordeel voor de Meetkunde, welke daar door eenen zeer grooten aanwas verkreeg. Jonge Meetkundigen deeden die van Newton en Leibnitz gelden, en vestigden haare overtreffeiykheid boven die van Defcartes, welke de zelfde zwaarigheden ontmoet hadt, om die van Vieta te verdringen, en deeze laatfte hadt waarfchynlyk een foortgelyk lot on« dergaau.
Schot



ï8a HISTORIE der.
Schooten ( Franciscus van ) Hoogleeraar re Leiden. één der eersten die de Meetkunde van Defcartes haare waarde heeft toegekend, heeft zich lofwaardig gemaakt door het Commentarium, dat hy over dezelve gegeeven heeft. Defcartes hadt gefchreeven als een man van vernuft die zich aan gen kleine ophelderingen verbindt: zelfs hadt hy öp verfcheide plaatfen eenigzins duister willen zyn om redenen welke hy in eenen zyner Brieven opgeeft, zulks dat zyn Werk niets minder dan onder elks bereik was. Hy hadt dit zelf bemerkt én keurde om die reden zeer goed het voorneemen van den Heer de Beaune, die gearbeid hadt om hetzelve door aanteekeningen op te helderen. Doch van Schooten ondernam iets, dat van eene grootere uitgeftrektheid was. Hy vertaalde eerst dat Werk in 't Latyn, om het algemeener bekend te maaken, en; gaf het aldus met zyn Commentarium in 't Jaar 1649 ia 't licht: hy gaf m *t Jaar 1659 eene nieuwe grontelyks vermeerderde Editie van hetzelve, en daar achter eene meenigte belangwaardige nukken , als de aantekeningen van den Heer de Beaune. twee Brieven van den Heer Hudde over de herleiding der Vergelykingen, benevens de Maxima en Minima ; een van van Heuraet over de reélificeering der kromme Lynen; de beide Verhandelingen van den Heer de Beaune, na zynen dood uitgegeeven over de natuur en de Limiien der Vergelykingen; de Beginfelen der kromme Lynen van den HesrdeWitt: men vindt eindelyk daar in eene Verhandeling van hem zeiven, na zynen dood uitgegeeven; (want hy ftierf onder het drukken van het tweede Deel). Deeze Verhandeling voert tot Tytel de concinnandis dem. Geom. ex calculo Algebraico.
Het Commentarium van van Schooten heeft, en met reden, de algemeene goedkeuring weggedragen. Hetzelve bevat alles wat tot de kennisfe der Meetkunde van Defcartes noodig is , zonder die verveelende langdraadigheid te hebben , welke de meeste Uitleggers van Boeken ( Commentatores) zei.
den



WISKUNDE. III Deel. II. Baek, 1S3
den weeten te vermyden. Men zou alleenlyk eenige ophelderingen op het einde van het tweede Boek, alwaar Defcartes van zyne Ovaalen (preekt, knnnén wenfchen; hetgeen eene der moeijelykfte plaatfen van zyne Meetkunde is. Wy hebben nog een C*nr tnintarium over Defcartes door den Vader Rabuel, een Jefuit. Dit Werk is zonder twyffel uitmuntend: doch behalven dat het eenigzins te laat gekomen is, dunkt ons dat het te veel met voorbeelden en verklaaringen is opgevuld. Wy denken mer Newton, [en de Vertaaler is hier in met den Heer Newton en den Autheur van dén gevoelen], dat zy , welken zo veele ophelderingen noodig hebben, niet voor de Meetkunst gebooren zyn. De aantekeningen , wel. ken de Heer Jacobus Bernoulli by de Editie der Meetkunde van Defcartes , in 't Jaar 1690. te Bazel uitgekomen, gevoegd heeft,maaken die Editie van het uiterfte belang. Om zich hier van te overtuigen behoeft men flegts den naam van dien beroemden Meetkundige te weeten.
Behalven het Commentarium van van Schooten over de Meetkunde van Defcartes, hebben wy nog van hem een zeer geacht Werk , onder den Tytel van Exerciuitiones Mathematica, Sommige van die Oeffeningen betreffen voorwerpen , welke de grootfte oplettendheid waardig zyn: eene zodanige is die, waar in hy de vlakke plaatfen van Appolknius herftelt. Men moet ook in achting houden zyne Verhandeling de organica fettionum conicarum defcriptione, reeds in 't Jaar 1646 in 't licht gegeeven, waar in hy verfcheide handelwyzen leert, 6m de Kegelfneeden door eene aanhoudende beweeging te befehryven. Men vindt eindelyk in het vyfde Boek van die Oeffeningen verfcheide voorbeelden der Analyfis, op eene kunftige wyze toegepast op verfcheide moeijelyke en fraaije Voorftellen, zo van de Meet- als Rekenkunde. Onder die geenen welke de Analyfis van Def-
car-



1§4 HISTORIE der
êarlês het eerst aangenomen en voortgezet hebbeii> zullen Wy den Heer de Witt (r) den voorrang gee* Ven. Deeze beroemde Staatkundige, wiens droevig èinde zo bekend is,hadt zich, vóór dat hy Staats* manwierdt, met den gelukkigften uitflag aan de Meetkunde overgegeeven. Van Schooten heeft ons een gedenkftuk van zynen arbeid nagelaaten. Het is die Verhandeling, tot Tytel voerende Elementa curvarum, waar Van boven gefproken is* Dezelve bevat twee Boeken, in het eerfte van welken de Heer de Witt de Theorie der Kegelfneeden op eene zeer verllandige Wyze, die hem eigen is» verbandelt. Hy ftelt zich voor, dat die Krommen be* fchreeven worden door de geduurige doorfnyding Van een der zyden eens beweegbaaren hoeks met eene rechte Lyn, die zich evenwydig aan haar zel« ve beweegt, waar uit hy met veel vernuft alle haare eigenfchappen afleidt. Het tweede Boek heeft tot onderwerp de Meetkundige plaatfen , welke hy duidelyker verklaarde dan Defcartes, en voor wel' ken hy byzondere Formulen geeft. Men heeft nogthans federt dien tyd deeze Theorie eenvoudiger gemaakt. De Heer de Witt, aan het hoofd der beftiering van zyn Vaderland zynde, hadt niet langer den tyd om zich, enkel uit weetgierigheid, tot Meetkundige nafpooringen te verledigen. Doch begaafd zynde met een Wiskundig vernuft 4 verleende
hy
(r) De Öeer de Witi (Joan) werdt ih 't jaar gebooren. Hy was aan het hoofd van het Staatsbellief in de angstvalligfte tyden der Republiek. Bezield met eëiien blakenden yver voor de Vryheid vsn zyn Vaderland^ verzette hy zich altoos met nadruk regen de verkiezing van een Stadhouder, en dit was de oorzaak van zyn verderf. Hy wierdt, benevens zyn' broeder Cornelis dg Wht, moorddaadig om 't leven gebragt, en in ftukken gefneeden, in eene Volksberoerte, in 't Jaar 1672 door «en aanhang van het Stadhouderfchap verwekt.



WISKUNDE. IU. Deel. II. Boek. 185
hy zynen aandacht tot nuttige onderwerpen, en wy vinden hem aau 't hoofd der geeneu, welke de waarfchynlyktieid van 's ir.enfchen leven, en den prys», der Lyfrenten onderzocht hebben. Zyne overweegingen over dit Voorltel vau ftaatkundigefpaarzaam. 'heid gaven aanleiding tot eene nieuwe fchikking dien aangaande in de Republiek, en hy gaf daarover een klein Hollandsen Gefchrift in 't licht, tot oogmerk hebbende om de billykheid van die fchikking aan zyne Landgenooten te toonen. De Heer Leibnitz, van wien wy dit ontleenen ( s), hadt groorelyks gewenscht dat Gefchrift te zien , maar ik denk dat het niet meer, zeifs niet in Holland, gevonden wordt (t).
De beroemde Heer Hudde ( u) is mede een van, die mannen, die door de Studie der Wiskunde niet van de Staats-bezigheden werdt afgetrokken, en die, ua alvourens die Weetenfchap door ontdekkingen vau dienst te zyn geweest, ook zyn Vaderland in aanzienlyke posten van dienst was. Wy zien, hein aangehaald
op
(s) Cowm. Philof. T. II. p. 210.
(t) Dat dit Gefchrifc zeldzaam is, zelfs in Hollsnd, komt my zeer waaüchynlyk voor, vermits ik het nooic gezien,noch in veele nagelaaten Bibliotheeken van geteerde Mannen aangetroffen heb. Dat hec echter, alhoewel fc'naars, nog 111 fominige Bibliotbeeken van Hollandfche Geleerden voor handen is, blykt uit de Inleiding tot de als,emsene üeographie van den beroemden Heer Nicolaas Struik, waar in p. 345 dat Gefchrift aangehaald worde onder deezen Tytel: De waardy van dl Lyfrenten na pr»portie der Losrenten door £an de Witt. \ Graveohage 1671.
> Vertaaler.
O") De Heer Hudde is lang één der Raaien en Burgemeester van Amjierdam geweest. Hy is in '1 Ja* 1704 ia esnea zeer hoogen ouderdom overlieden.
N



186
HISTORIE der
op verfcheide plaatfen van het Commentarium van fan Schooten, dat van hem verfcheide vindingen, ais proeven van zyne Jeugd, verhaalt. Naderhand lelde hy zich in 't byzonder toe óp de Analyfis der'Vergelykingen, en maakte over dat onderwerp eene meenigte nuttige aanmerkingen. Hy was yoorneemens een Werk in 't licht te geeven, waar in hy die ftoffe grondig en met uitgebreidheid zou verhandeld hebben: maar zyne bézigheden hem zulks niet langer toelaatende, heeft" hy zich vergenoegd met alleenlyk het licht te doen zien twee Fragmenten, welke van Schooten in 'c Jaar 1059 uitgaf, onder den Tytel van j. Hudde. nii, de reduSlione cequationum, ifjf de maximis & minimis, epijt. II. iLt eerfte van die Gefchriftèh leevert ons verfcheide nuttige Regelen, om te bepordeelen of eene Vergelyking, zo in Ietteren als in getallen, herleidbaar is of niet; of zy het ProduSt is van twee andere Vergelykingen van eene laagere magt, en om in dit laatfte geval haare FaBores te vinden. Dit Gefchrift en het volgende zyn mede lofwaardig door de byzondere vinding van den Heer Hudde, om de Raaklynen der Krommen , en de maxima &? minima te bepaalen. Dewyl wy voorneemens zyn de vorderingen vaji die Leerwyze in een ander Artikel voor te dragen , zullen wy het bericht dienaangaande tot zoo lang uitftellen.
Wy hebben flegts een zeef klein gedeelte der AncdyAfche vindingen van den Heer Hudde. Toen hy zich eens aan Staats bézigbeden hadt overge. geeven, was het hem niet meer mogelyk de noodige orde en verband, om dezelve in 't licht fe geeven, daar lp te brengen. Maar de Heer Leib. ïiüz die, door Amflerddm reizende, hem bezocht, en met hem verkeerde, verzekert ons, dat die papieren eene meenigte uitmuntende zaaken behelsden (v). Hy voegt 'er by, dat de Leerwyze der
Raak-
, (*) Comm. Epift. de Analyfi promoti, p. 87. Ed. in %*.



WISKUNDE- lil. Deel tij Boek. 187
Raaklynen van den Heer Slufius, hem federt lang bekend was, en zelfs dat hy eene betere en uitgebreidere hadt. Arnplior, zegt hy, ejus niethodus tst qudm qua d Slufio fuit publicata. hy hadt ook reeds in 't Jaar 1662, volgens den Heer Leibnitz, de Ouadraiuur van den Hyperbool gevonden, welke Mercator in den Jaare 1667 in druk gaf. Wy leezen insgelyks in eenen Brief van den Heer Leibnilz (w), da: de Heer Hudde in 't bezit was van dat fraai Voorftel der Meetkunde, naamelyk om door zoo veel punten als men begeert eene Kromme te laaten gaan ; waar op de Heer Hüddt hem, waarfchynlyk fcherfende , gezegd hadt, dat hy de Vergelyking konde bepaalen van eene Kromme, welke de trekken des aangezichts van een bekend mensch zoude voorftellen. Hy hadt ook nog over de Lyfrenten , en de waarfchynlykheid van 's menfchen leven gefchreeven i[x). De Heer Leibnitz hadt gaarne gewensch.t, dat zyne Handfchriften in handen van kundige lieden waren gevallen , welke den welftand der Weêrenfchappen behartigende, eenige der belangwaardigfte ftukken , welke dezelve behelsden , het iPubliek mededeelden ; doch zyne wenfchen zyn niet vervuld geworden, en men heeft van alle die dierbaare Gefchriften niets met allen gezien.
De Heer van Heuraet verdient mede een plaats dnder diegeenen , welke de Analyfis van Defcartes met het gelukkigst gevolg voortgezet hebben Fan Schooten geeft van hem eene Oplosfing van hec Voorftel, om het buigpunt in de Conchois te bepaalen, als m'n van de Conchois zelve met een Cirkel gebruik maakt, om de Cubifche Vergelyking, waar op hetzelve uitloopt, te couftruëeren. Maar hy heeft zich vooial een' naam gemaakt door zyne jleerwyze, om de reftificeering eener Kromme Lyri
tot
(w~) Bid. p. oj.
(*) Ctmm. HU. T. II. p. 219.
N 3



*88 HISTORIE di»
rot de Quadratuur van eene andere kmmlynrêe Fi. guur over te brengen. IJet hoofdzaakelyke en by zondere van die Leerwyze, die zeer kunftig iL komt hier op uit. Laat Pü (Fig 53.) de Ordi\ naat zyn. getrokken uit een punt D, AD de Perpendiculair tot de Kromme, en DL de Riaklyn in het zelfde nunt D; eindelyk B eene itandvasti^e L-yu: zo men nu deeze evenredigheid (kit, als PU tot Al), alzo B tot eene vierde-evenredige 1 ' welke men op den zelfden As, en in hec zelf ue pum P, perpendiculair (telt, zullen het punt ü, eii aMe andere op gelyke wyze bepaalde punten, ui eene Kromme zyn, welkers Inhoud gedee d door de Lyn B de grootheid van den overcenkomlbgen boog der eerfte zal zyn: oy voor-
houd FEPH gedeeld door B; waar uit voln, dat, wanneer de Kromme F G één dereeeneiï wordt, welke voKlrekr geauadrateerd kunnen worden, men alsdan eene rechte Lyn kan bepaalen, die gelyk aan den boog H D is. Dit nu gebeurt, als men onderftelt dat de Kromme H D die der Cubifche Parabolen zy, waar van de Vergelyking ax _ y* is. Alsdan wordr de Kromme FEG een Segment van een gemeene Parabool; dus kan dc Cubijche Parabool, waar van wy boven gefproken hebben, votftrektelyk geqmd'atee d vvoröen h veneens is her gelegen m,-t de overige Parabolen, Waarvan de Vergelykingen zyn a x*~ys axa~y7 ■enz Zomen echter onderfteide, dat de Kromme Jd D een gemeene Parabool was, zou de andere I'LG een f/yperbool, tot deszelfs torgevoegden As oyergebragt, worden: wesüalven de- rectificeering des Paraiools van dè Quadratuur eener E-yperboti. fiche ruimte afhangt, (y)
Dee-
(y) liet bewys van dit Theorema is gemaklvk; want als '»en zich eenen Ordinaat pde Fig. 53.) oneindig dicht by de eerste, eri de Lyn dl evenwydig aan dei- As
vei-



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 189
Deeze ontdekking, ik wil zeggen, die van de eertte vullfxekte retlificeering - eener Meetkundige Kromme, is aan Engeland als een eigendom opgedragen door de Heeren Wallis en Brounker, weike den Heer IVüliam Neil daar van de eere geeven: als men aan de omttandigheden , die zy vernaaien , ge. loof mag (laan, kan men wee^enlyk niet ontkennen, dat Neil reeds vroeger dan van Heuraet totnie ontdekking gekomen is: doch, behalven dat de Leerwyze van den Hollandfchen Meetkundige zeer verl'chiilende is van die van den Kngelfcheu, is het zeer waarfchynlyk , dat de ontdekking, waar van wy fpreeken, nog niet over de zee was gegaan ; want men ziet uit, de Brieven van Pafcal, dat men in 't begin des Jaars 1650 op het vaste Land nog geloof floeg.aan deezen gewaanden grondregel, waar toe de re£i:fi~eerin;i? der Cyclois aanleiding gegeeven hadt; naamelyk dar de natuur niet toeliet, dat men eene Kromme reSlificeerde, ten ware men' reeds , even als in de Cycloïf, eene Kromme gelyk aan eene rechte Lyn onderfteld hadt ra zyn. Het is ook zeker , dat Huygens, die met Engeland briefwisfeling hieldt, op het einde des Jaars '658 nog niets van He ontdekking van A'eil wist; hetgeen zeer waarfchynlylc maakt, dat van Heuraet even zo min daar van onderricht was.
Wy vinden nog een derden dinger naar de eere van die ontdekking, naamelyk de Heer de Fermat. Zy.e bewyzen over dat onderwerp, zagen, om da waarheid te zeggen, niet eerder 't licht als in 't begin
verbeeldt, heeft men de beide gelyk vormirre Driehoeken rfJD.ÜPA, en by gevolg dl ; :: OP : DA. Nu is D P : !) A :: II P E; derhalvsn rf/ofPp x PE — d D X E; dus is de oneindig klein - Rfchth.ot.-k Vc geiyk aan d i) X B, en hetzelf'e op alle andere plaatfen gebeurende, heeft men den Inhou7 der Kromme EP gelyk aan den Rechthoek van den boog IID en de ftandvastige Lyn B.
N 3



m HISTORIE der
gin van 't Jaar 1660 ( z ) : maar wy hebben redenen om te ge oven, dat hy reeds eenigen tyd :i" 'tb S van dezelve was, en nit zich zeiven de voortref! lelyke waarheid ontdekt hadt; want fZÏÏ ons te kennen, dat Fermat hem reeds op het eii! de van het Jaar ,*58 gezonden hadt eene'zeer al "eineene Leerwyze voor de afmeeting der Oppervhl. tens welke door omwenteling 2yn vooVS, ïr en fchoon hy ons die niet heeft medeïedd kun. «en wy dezelve echter zonder moeite raaden ™).
Nu
tz) Geom. promsta in 7. de Cyc/. lib. ad finem.
(/») Deeze Leerwyze is zondtr tw ffel d nee, men een.ge Kromme heeft, ais IDB tfig . en dat de OnmPü zodanig verlengd wordeTdatVp *elyk zy aan oen Perpendiculair DA in het punt D der Kromme; d.n zullen dit pua, E, en alle andere óp Jv ke wyze bepaalde punten, eene Kromme maaken Sr
tabooi ,s,FE msgelyks een Parabool is, wiens ton "erS zins achterwaarts *<vut. Zo Hl pen» Jwm1? ■ s" IA tot grocre As heeft, £, [&R^«Jg!
„o ? r), u»creeDragt, zo de Kromme van omwenteling eene op baren kleinen As i„ waar ui? "oig d f
de oppervlakte der verlengde J»Atf,0$ alleen yk af ,\n„
is overligt" de Kromme FF «p't£o*gevoegden As' een PhterhL> u »?.T b' weike ,daar ontftaar,



WISKUNDE. HL Deel. II. Boek. 191
Nu heeft deeze Leerwyze zodanige overeenkomst met die, weke tot de reclificeering der Krommen dient , dat het zeer waarfchyulyk is , dat hy weldra van <ie eene Leerwyze tot de andere overging. Zonder dus het recht van voorrang van Neil en van Heuraet te kort te doen , als hebbende die ontdekking bet eerst bekend gemaakt, meenen wy den Heer de Fermat insgelyks de eere daar van te mogen geeven. . , r .
De Heer Huygerts heeft van zyne jeugd at niet minder uitgemunt door zyne kenmsfe m de Algebraifche Analyfis , als door zyne bedreeyenheid u de oude Leerwyze. Zyne eerfte proeven in de Meetkunde leeveren ons daar van bewyzen op. VVy zien hem verfcheide maaien aangehaald door van Schooten, die verfcheide vindingen van hem opgeett, ■As werken van den tyd toen hy zyn Leerling was. Tot eenen ryperen ouderdom gekomen zynde, vondt hyde Theorie der ontwondene Krommen,eene iheorii welke federt dien tyd onder de Meetkundigen zeer beroemd is geworden. Dezelve maakt het derde deel uit van zyn berucht Werk, tot tytel voerende, Horologium Ofcillatoriiira. Schoon dezelve daar in meerendeels voorgedragen wordt volgens den ftyl der oude Meetkunde, kan men echter niet twyffelen, of de Analyfis van Befcirtes is het voornaamfte werktuig geweest, waar van hy zich bedient heeft. Vvy zullen daarom hier het tafereel van die Theorie den Leezer voor oogen «ellen.
Men verbeelde zich eene Kromme , als A13 (tig. <K ■) omwonden met eenen oneindig buigzaamen In dunnen draad, zonder aan rekking onderhevig te zvn, en dat, van het punt A te beginnen, deeze draad zich ontwindt, door zich op die Kromme uit te ftrekken , dan zal het uiterfte van d"n draad eens andere Kromuu befehryven vien noemt deeze laatfte de Kromme door ontwikkeling of omwinding befchreeven, en de eerfte wordt haare ontwondene genaamd. Zie hier haare voor. paamfte eigenfchappen tg jo. Het



loa HISTORIE der
. l°\He* !sjn d*n eerfle" opflag-gemaklyk te zien, dat de draad, dien zich omwindt, geduurig perpendiculair moet zyn op de Kromme, welke deszelfs uiterlte befchryfr. Jn de daad , de ontwondene ka.i als een Veelhoek van een onöiiidig getal zyden befchouwd worden, en by gevold zal by elke kleine omwinding, boven één van die zyden , bet uiterlte van den draad eenen onëindig kleinen boog van eenen cirkelvormigen Seftor befehryven. Nu is de ftraal van eenen Seilor des Cirkels perpendiculair op den boog; derhalven zal de draad in deszelfs omwinding altoos perpendiculair zyn op den kleinen boog der Kromme, die de draad in den zelfden tyd befchryfr. De lengte van dien draad wordt de ltraal der ontwondene genoemd.
4»; Het is mede klaarblyklyk, dat de draad geduurig eene Raaklyn tot de ontwondene is- deeze is derhalven niets anders dan de Kromme, welke geraakt wordt van alle de Perpendiculairs op de Kromme, die door omwinding befchreeven wordt: of wel anders, het is die Kromme, welke de ruimte bepaalt, waar uit men geen Perpendiculair tot bet deel A.E F der Kromme kan trekken zo als Appollonius, die zeer na tot die ontdekking gekomen was, eerryds hadt aangemerkt. Men kan eindelyk de ontwondene hefchouwen als de plaats der faamenkorost van alle de Perpendiculairs, welke oneindig dicht by de Kromme AEF zyn; want zo die Perpendiculairs op eindige afftanden zyn, zullen dezelve door hunne faamenkomsc eeiien Veelhoek maaken, die om de ontwondene befchreeven is: doch wanneer men dezelve oneindig dicht by elkander, en. onëindig in getal onderlteït te zyn, zal deeze Veelhoek de ontwondene zelve worden.
3°. Zo men uit eenig punt der ontwondene, als B, en met den ftraal BE, een Cirkel befchryfr, zal dezelve de Kromme iu bet punt E te gelyk raaken en fnyden. Deeze zonderlinge eigenfehap is gemaklyk te bewyzen. Want vermits de kleine zv
de



WISKUNDE. III. "Dtd. II. Bod: 193
de Ee der befcVireevene Kromme de boog der on^ eindig kleine Secïsrs is, weike hunne toppen in de ontwondene hebben , zullen de Cirkel, waar van deeze boog een deel is, eit de Kromme AËF eene gemeene KaaUJyn in het punt b hebben. De Ciriel zal derhalven de Kromme in dat punt raaken; maar men bewyst ook . dat hy 'er aan de eene zyde uitkomt, en aan de andere zyde uitgaat (/;)» waar uit volgt, dat hy dezelve te gelyk raakt en fnydt. Dit zal zekerlyk eene foort van wonderfpreuk zyn voor hun , welke niets anders dan de gemeene Meetkunde verihanj doch men heeft flegts de Krommen als Veelhoeken van een oneindig getal zyden te befchouwcn , om al het zonderlinge, dat te gelyk eene raaking en doorfiyding voorllelt, te doen verdwvnen. ' Het is in lig. 56, gemaklyk te zien, dat", zo, CD, DE, EE drie onëindig kleine zyden van eene Kromme zyn , waarvan AB eene fcaakJyn. is» 'er 9Pg ec'lc andere kan zyn , als c I) Hf, die met dezelve de kleine zyde D E gemeen, en by gevolg de zelfde Raaklyn heeft, die aan eene zyde tusfehen de Kromme-en de Raaklyn doorgaat, en aan de andere die beide aan de zelfde zyde Iaat. 'Niets belet zelfs dat eene Kromme, als c D E <p , niet te gelyk eene rechte Lyn raakt en fnjfd*: dit gebeurt in de buigpunten, zo als wy reeds aangemerkt hebben.
a°. Naardien elk oneinuig klein deel Ee eener * Krom-
( b) Wy zullen eerst gennldyk doen zien, dat de Cirkel aan den kant van bet punt A uit de Kromme komt. Want het is <d<mhlvkly!c, dat. trPkken.de eene anlere Raaklyn TH (Fig. 55. J de zyde BT kiener is dan da boog Bil en de rechte TH» Nu zyn deeze beide Lynen? te [aamen genomen, gelvk aan BK; by gevolg BT <; BE: de Cirkel gaat derhalven aan geene zyJe van het punt T. Door eene faortgelvke handelwyze betoogt men, dat dezelve, aan di oveiftiande zyde, binnen hetzelve valt.
NS



m HISTORIE der
Kromme de boog eens Seclors is, waar van liet middelpunt op de ontwondene is, zo volgt, dat de kromte van eene Kromme in elk van haare punten de zelfde is als die van den Cirkel, met den ftraal der ontwondene in dat punt befchreeveu; en dewyl een Cirkel dies te minder krom is, als zyn ftraal grooter is, zo volgt, dat de kromte van eene Kromme in ieder punt in omgekeerde reden van den ftraal der ontwondene is. Deeze eigenfehap is van een zeer groot gebruik in de Mechanica. Want de A, nalyfis der kromlynige beweegingen hangt meerendeels af van de kennisfe der kromte in elk punt der befenreeyene Kromme.
5°. Eenige Algebraifche Kromme gegeeven zynde, kan men de Vergelyking der Kromme vinden , welke dezelve door haare omwinding zou befehryven. Hfer toe kan men eene foortgeiyke Analyfis als die van Defcartes voor de Raaklynen gebruiRen. Als men zich eenen Cirkel verbeeldt, die met eenen bepaalden ftraal befchreeven is, en de Kromme in verfcheide punten fnydt, en dat men door de ge. meene Analyfis de Abfcisfen zoekt, welke met de fnydpunten overêenftemmen, zal men eene Vergelyking vinden, in welke drie gelyke waarden zullen zyn', wanneer die Cirkel den kusfenden Cirkel, of deszelfs ftraal dien van de ontwondene zou worden; 'er zal derhalven niets anders ta doen zyn, daa dezelve te vergelyken met eene andere verdichte Vergelyking, welke drie gelyke Wortelen beeft, en deeze vergelyking zal de betrekking van de ftraal der ontwondene tot de Abfcisfe der Kromme bepaalen. Doch het zal oh* hier genoeg zyn die Leerwyze aangeweezen te hebben, vermits dezelve eenen te grooten arbeid vordert. Zonder nogthans tot de Differentiaal- of Fluxie Rekening toevlugt te neemen, is er noe eene andere eenvoudiger Leerwyze, fteunende op d_e zelfde grondbeginfelen als die van deri Heer de Fermat voor de Raaklynen.
Ia



WISKUNDE, lil Deel II. Baek, 195
In de' daad, eene Kromme gegeeven zynde, kent men ook iaën (land van ieder van haare Perpendiculairs , als EjQ*, FH, welke overëenftemmen inet Ordinaten, die'eenen eindigen afftand van elkander verwydefd zyn. Men kan by gevolg door eene zeer eenvoudige Analyfis den afftand vinden, vau het punt b, waar in die beide Perpendiculairs elkander'fnyden ; hetgeen de grootheid van ëéu der Lynen YLh, of Fb, zal voortbrengen, Maar laat ons ondprftellen, dat de afftand der Ordinaten PE, QF vermindert, en 'eindelyk verdwynt, dan zal het' punt b tot de ontwondene naderen, en eindelyk op dezelve vallen. Derhalven zal men, eve.11 als in den Regel van den Heer de Fermat voor de Raaklynen, moeten onderftellen', dat de afftand PQ verdwynt; of wel, men zal deszelfs uitdrukking gelyk aan nul moeten ftellen, dan zal de waarde , welke de Lyn Eb in dit geval heeft, de ftraal der ontwondene in het punt E zyn. Maar wanneer men, de grootheid van EB bekend heeft, zal niets gemaklyker zyn dan die der Lynen BK, AR, welke de Co-Ordinaten der Kromme AB D zyn, te bepaa]en; derhalven zal men eindelyk de Vergelyking der'ontwondene hebben.'
Tot hier toe hebben wy, flegts een zeer klein getal Krommen gezien, welke gerectificeerd kunnen worden, als de Cubifche Parabool, tn eenige andere van de zeilde foort, welke door van Heuraet zyn aangermerkt OsTheorie der ontwondenen ftelde den Heer Huygens in 't bezit van iets dat oneindig aU gerneener was. Eenige Algebraifche Kromme gegeeven zynde, kan men de Vergelyking der Kromme bepaalen, welke dezelve door haare omwinding zou befehryven: nu kunnen alle deeze Krommen in eenen volllrekten zin gerectificeerd worden , vermits de ftraal der ontwondene gelyk is aan het gedeelte der Kromme dat dezelve raakt, (meer of min eenige bekende Lyn , als de ftraal der ontwondene in 'den top S niet gelyk is aan nul, hetgeen' het geval van de Kegelfneeden , en van verfcheide
an«



j?ö HISTORIE der
andere Krommen is}: dus hebben wy een oneindig getal Krommen, welke volftrekt gerectificeerd kunnen worden. De Heer Defcartes hadt m 't geheel geen hoop, dat het ooit mogelyk zou zyn eenige' Kromme te rectificeer en: hoe groot zou dus zvne Verwondering zyn geweest, als hy getuige van die ontdekking geweest ware ?
Het is der waarheid eigen, dat'men langs verfcheide verfchillende wegen tot dezelve kan geraa. ken: hetgeen Neil en van Heuraet, wegens de Cubijche Parabool, door n v3 uitgedrukt ie ier op zyne wyze betoogd hadden, was de eerfte zaak welke zich voor den Heer Huygevs opdeedt. Dee. ze Parabiol is de ontwondene der gemeene Para. bool, waarvan dezelve den As raakt op eenen af, Hand van den top , die gelyk aan de helft van een Parameter fs , zo als men in Fig. \j. 7\6\ , öeeze 7%so«> geleidde ook den Heer Huysens tot eene fraaije ontdekking over de Cyclois: dezelve be. ftaat hier in , dat de ontwondene van die -Kromme zelve eene Cyclois, gelyk aan de eerfte is , doch flegts in eene tegengeftelde richting geplaatst: en dat m ieder punt, als E (Fig. 58.;, de ftraal der ontwondene E G gelyk aan het dubbeld der pees KF is.- De ontdekking van den Heer Wren over de lengte der Cyclois en haare deelen is Heets een gevolg van deeze waarheid. Want naardien de' Ontwondene der halve- Cyclois AB eene andere halve-OcJw gelyk,AC K en dat de lengte van deeze Cb is,die het dubbeld is van BD.zo volgt dat de lengte van AB het dubbeld is van BD, of van de middellyn des teelenden Cirkels.Even zo gemaklyk ziet men dat ieder deel AG her dubbeld zal zyn van de pees' EF, of haar gelyke A K. Men heeft flegts de Figuur te befchouwen,omzich daarvan te overtuigen.
Wy zouden hier nog gewag behooren te maaken van hetgeen de Heer Huygens by de Leerwyze der Raaklynen van Fermat voegde. Maar de zelfde re denen, welke ons de vindingen van den Heer Hud ie over dat onderwerp tot een byzonder artikel hebben



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 197
ben doen uitftellen, beweegen ons om ook den voordragt der vindingen van Huygens tot daar toe te verfchuiven. VVy zullen op de zelfde wyze bandelen ten aanzien van dié van den Heer Slufius, welke ten deele de Leerwyze, der Raaklynen, en deels de Conflructie der Vergelykingen betreffen. Voor dit laatfte onderwerp zullen wy een byzonder artikel afzonderen.
I X.
Wy hebben in den loop van dit Boek twee Leerwyzen doen kennen, om de Raaklynen te trekken, en voor de vraagftukken van maximis £P minimis ; naamelyk die van Defcartes en Fermat. Doch fchoon die beide Leerwyzen , uit de handen van haare vinders komende, wat den grond aangaat mets meer overlieten te wenfehen, waren zy echter aan eenige trappen van grooter gemaklykheid onderhevig , welke iaatere Meetkundigen haar hebben bygezet. De Heeren Hudde, Huygens en Slufius zyn diegeenen welke wy zulks te danken hebben; en fchoon de Differentiaal Rekening hunne vindingen heeft uitgewrocht, brengt nogthans de natuur van ons Werk ons in de noodzaakelykheid om daar van te fpreeken Laat ons met de vinding van den Heer Hudde beginnen.
Om van hetgeen de Heer Hudde voegde by de Leerwyze der Raaklynen van Defcartes, en by die voor de vraag (lukken van maximis £ƒ minimis, welke op het zelfde grondbeginfel (leunt, moet men zich te binnen brengen, dat het voornaamfte deel der bewerkinge in niets anders beftaat, als om eene Vergelyking van eene zekere gedaante te bepaalen , uelke twee gelyke Wortelen bevat. Defcartes. verrichtte zuiks door dezelve te vergelyken met eene verdichte Vergelykinge, die gelyke "Worrelen heeft; eene handelwyze die arbeidzaam ea langdr-aadig was. Hier in maakte de Heer Hadde



iï>8 HISTORIE Dia
ds die beide Leerwyzen veel eenvoudiger; hy bes merkte dat 'er, om die Vergelyking zodanig re herleiden , dat 'er die béide begeerde Wortelen iiï gevonden werden, niets anders" te doen was, dan dezelve Tem voor Term met die van eene Arithmetifchè Progretfit te vermeenigvuldigen. naamelyk de eerite met de eerde, de tweede met de twee. de , enz. Hy betoogt dien Regel in zyne beide Brieven, welke van Schooten achter zyn Cómméntarium over Defcartes gedrukt heeft. Doch dit is aan grondbeginltlen verbonden, welkers verklaaring ons te lang zou ophouden. Wy zullen ons vergenoegen met de Inductie der Voorbeelden welke wy hier na zullen geeven. Voorts heeft de Heer Marquis de Vflópital daar van een Bewys gegeeven in zyne Analyfe des infiniment- Petits ,waar toe wy den Leezer verzenden.
Het gemak des Regels van den Heer Hudde munt voomaamelyk uit in de vraagftukken de ma* ximis Qr'minimis, vermits in denzelven geene voorbereiding te doen is tot de Vergelyking der Kromme, of tot de uitdrukking der grootheid, waar vau men het maximum of minimum zoekt, Wy hebben om die reden nagelaateu om eenige toepasfing daar van te maaken op de LeerwvZe der Raaklynen van Defcartes, welke, als verfcheide voorafgaande bewerkingen ortderftellende, van geen gebruik meer is. Belangende de maxima & minima is de Kegel van den Heer Hudde zoo gemaklyk , dat dezelve voor die van de Differentiaal-Rekening niet behoeft te wyken, als flegts de te l mandelen uitdrukking rationaal zy. Men heeft in de daad niet<? anders te doen, dan de Vergelyking der Kromme naar de magten van de Abfcisfe te fchikken ; verVolgens daar onder te fchryven de Arithmetifche Progresfie, welke de gemaklykfte is, om die der Termen te doen verdwynen, welks afweezigheid gemak kan bybrengen , om de nieuwe Vergelyking op te losfen; eindelyk de Termen der voorgeftelde Vergelyking , één voor één , met die der verkozene Pro-
gres.



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 10
gresfie te vermeenigvuldigen , dan zullen de waarde of waarden der Abfcisfe, welke uit de nieuwe Vergelyking ontftaan, de gezochte maxima of minima voortbrengen. Laat ons dit op eenige voorbeelden toepasfelyk maaken; wy zullen tot het eerfte voorbeeld neemen die Kromme, waarvan wy reeds elders , door den Regel' van den Heer de Fermat, het maximum opgegeeven hebben , waar van de teerling des Ordinaats gelyk is aan het lig« haam des vierkants van één der deelen van den As met het andere; dat is van die Kromme welkers Vergelyking is *— x3 tt: y3- Als men deeze Vergelyking fchikt, zo als boven befchreeven is, heeft men deeze xs — ax* -+- o x -j- 31' t— o. Men vermeenigvuldigt aisdan dezelve, Term voor Term, met 3. 2. i. o, het geen dezelve zal brengen tot 3** - ïax* ZZZZ o, of x ~ \ at zo als men reeds gevonden heeft. Men zou nog de zelfde uitkomst gevonden hebben, door zich van de Arithmetifche Progresfie o. 1. 2. 1 te bedienen. Want men zou bekomen hebben vax* - 3 3' — 0} waar uit men , met behulp der eerfte Vergelyking, Zou afgeleid hebben x •— f a. Stellende vervolgens in de Vergelyking der Kromme deeze waarde, bevindt men, dat, wanneer y zo groot is als moges
lyk zy, zy gelyk is szry z%. Laat nu voorgefteld worden de Vergelyking y' —
nby-r-bb + xx ax — o, en dat men de
grootfte waarde van arbegeert te vinden. Men fchryft
aisdan die Vergelyking aldus: x* ax -j- (yy-*
aby -I- bb) = o. Dan vermeenigvuldigt men die Vergelyking, als boven, met 0. 1, o, en de Vergelyking zal gebragt worden totax* —- ax — o, a
of x ZZ : de Abfcisfe, met welke de grootfte of
2
kleinfte Ordinaat overêenftemmen , is derhalven l a. Stellende dus J a, in plaats van x, in de voor.
gefielde Vergelykinge, wordt dezelve yy zby
+ bb — a a zz o, waar door y twee waarden
be-



20O
HISTORIE bkr
bekomt, van welken de eene pofitif is, als y =i a + b, en de andere negatif, als —- y — a — b Deeze Vergelyking is in de daad geene andere als die van eenen Cirkel, tot eene evenwydige aan des. zelfs middellyn overgebragr, en vermits de Ordinaat y daar in algemeen ed of eo is , wordt dezelve de grootfte BO of E A, wanneer de Abfcisfe CE wordt (f/g. jp.); maarzo men volürekcelyk den groot, tten Ordinaat zoekt,, is het gemaklyk dien te keu*, ■en : Men zou in alles het zelfde gevonden hebben, als men de voorgeltelde Vergelyking met eene au. dere smthmetijche Progresfie hadt vermeeuigvuldigd. Men kan zulks zeer gemaklyk beproeven.
De Regel van den Heer Hudde is aan de zelfde bepaahngen als die van Defcartes onderhcevig ■ dat is te zeggen, dat dezelve nier. alleen de waare'punten van maxima en minima, of die der aan den A$ evenwydige Raaklynen voortbrengt, maar ook de terugkeerende en fnydpunten der takken van de Kromme. Dit is noodzaakelvk,- want dezelve fteunt op de zeilde grondbeginfeleu als de Regel van Defcartes, en is in niets anders van denzelven onderfcheiden, als in de middelen om de gelyke Wortelen der voorgeftelde Vergelykinge te vinden. Dus moet alles wat van den eerden Regel gezegd is ook op deeze laatfte toepasfelyk gemaakt worden.
De nu voorgedragene Leerwyze is ook toepasfe. lyk tor de bepaaling van de buigpunten en de (haaien van de ontwondene. Men geraakt in die beide gevallen,als men de Leerwyze van Defcartes volgt, tot eene Vergelykinge, in welke drie gelyke Wortelen moeten zyn. Om dezelve te vinden, moet men, volgens den Heer Huade, die Vergelyking met eene Arithmetifche Prografie vermeenigvuldigen, zo «is boven geleerd is, en ten aanzien der daar uit voortkomende Vergelykinge die bewerking herhaalen, door of de zelfde Arithmetifche Progresfie. of eenige andere te gebruiken: ofwel, dat op het zeilde uitkomt, men moet twee Progresfienaeemen, cezelve'iera aan Term te faamen vermeeuigvuldigen,
,ea



WISKUNDE HL Deel. II. B-jek. aoi
'rü zich van dezelve» bedienen om die der voorgeftelde Vergelyking te vermeenigvuldigen. De Vergelyking, welkedaar uit voortkomt, zal dan één der gezochte gelyke Wortelen bevatten. Indien eeni? Voorftel uitliep op eene Vergelyking, die vier ge'.yké wortelen moes: bevatten , zouden 'er drie vernieenigvuldigingen van die foort noodig zyn , eri zö vervolgens. Wy zullen ons over deeze Leerwyze niet breeder uitlaaten; maar ons vergenoegen met de boeken aan te wyzen, waar in dezelve uitvoerig Verklaard, en op verfcheide Voorbeelden toegepast Wordt, als het Commentarium van den Vader Rabuel over de Meetkunst van Defcartes, en de Verhandeling over de onëindig-Kleinen van den Heer de VH6pital, waaf in meh van dezelve de vergelyking met «de Leerwyze der Differentiaal-Rekening Vindt*
De fleeren Huygens en Slufius hebben eenen ande* ren weg ihgefUgèo als de Heer Hudde, en zich voornaamlyk toegelegd om de behandeling des Regels van den Heer de Fermat eenvoudiger te maaken. Lnat óns dien Regel weder voor ons iieemen, en van na» by onderzoeken, wat in de bewerkingen, die dezelve verëischt, voorvalt; dan zulten wy de verkortingen der Rekeningen, welke die beide Meetkundigen opgemerkt hebben , zien ontfta'an. Wanneer
men deeze uitdrukking heefi xi aa;2, waarvan
rnen het maximum moet bépaalen: dan moet men, volgens het voorfchrift van Fermat, x met dé grootbeid e vermeerderen of verminderen, en in de voorgaan Je uit drukking x + e, of haare magten . in plaats van x en haare magten ftellen, de beide uitdrukkingen vergelyken , de gemeene Termen, en die waar in e boven de eetfte magt is, weglaatcn, en de rest door e deelen. Laat ons dit ren opzichte van xi
doen: dan zullen wy hebben x e, of x* 4 3 e x* 4-3 x e* -'r ei, welke riien met x* moet vergely. ken. De overige bewerkingen nu gedaau zynde, zal 'er niet meer overblyven als de Term 3»' , die klaarblyklyk het Product is van #' verraeeni^vuldigd Ó met



4o2 HISTORIE DER
met haaren Exponent, en gedeeld door x; óesneWU als men a x> vergelykt met a X O2 + a , x + /.j moer 'er niet meer overblyven a/s dë Term * a x' die nogmaals het Product is van a3C> met haaren Extn\ nmt, gedeeld door *. De Regel van den HeeS
iKlfmf t,htl*S hfr°P™« Hebbende eene mtdnuksng, by voorbeeld a;3 —3 a ^ . -
waar van men het maximum minimum begeert te
ïïs 'ILfd Ve,rTgVUlc1,gt:,elken ^ SS' in ;,Si1?"dS,s Exponent, deelt heti>rtó«« door x, ?ü iaa£ 2ue de overige Termen vaaren . venrelvkr du eindelyk aan nul. Deeze zal dan £\\3Sl *y n, waar uit de waarde of waarden van I zuilen SBS?' ü,e .deeze uitdrukking tot een maximum of Mnmum maaken. Dus wordt de bovenwande uit-
Jrukk mg aanftonds 3 *« 6 a x — o; hetgeen '
voortbrengt x— o, en x= 2 a. Deeze zuS fe beide punten zyn met welke Raaklynen'eveW<bg aan den As zullen overëenftemmen. Hieruit ziet ma, dat ar twee maxima zyn, welke met de beidé Abjctsfen x = o, x — ia overeenkomen , en van deeze twee maxima is het een pofitif, en bet ander negatif; zo als in Fig. 60. te zien is.
,«J?f°r/tni.ï0iddeI gClIk aan dat 'twelJ" wy boven verklaard hebben , om den Regel van maximis
mm y te verkorten, gelukte berde Heeren Htng1ns(c\ en (Vj om cue der Raaklynen mede eenvou¬
diger te maaken. Doch alzo deeze Regel eenïzin, riamengeffeld is, en wy ons piet naar onzen zin Kun.
ï% «ï 'Kreld4e?' ZUÜen wy °^ verSenoegen met flegts hunne handdwyze voor te dragen. Een voo» beeld JS genoeg om dezelve op te helderen; fcat voorgefte.d worden de Vergdykmg x'—zxxy + bxx-bbx + *?7-j'=-o, en dat men de Subtangens der kromme, die zy voor.ftelt, begeert te weerei Tndat einde, zegt de Heer Slufius, moet men 'alle de
Ter-
(O Op. T. II.
{rfj Z**»/* /J/f/7. anti. 1672 & 167.3, .



wiskunde. 111. Deel h. Soek. 2Ö3
Termen, waar in y voorkomt, ter zyde ftellen, ais — y 3 + b y y —— 2 x x y, en dezelve röet hunne Exponenten vermeenigvuldigen j het komende zal de Teller des Breuks zyn , die deeze Subtangens zal uitdrukken. De Noemer zal faamengefteld worden uit alle de Termen waar in x gevonden wordt, ver. meeniavuldigd met den Exponent van die letter, en vervolgens door x gedeeld. Men zal derhalven in hec tegenwoordig geval voor de waarde van de Subtangens hebben ;=JUIJl!*Xjz^JL?.;. Dit is in de 0 3 * — 4 * 9 H- 2 £ x — b b
daad hetgeen waar toe men komt. als men alle de bewerkingen, door Fermat voorgefchreeven , ver* richt, of de Z)f^r£«ïj"a^Kekening gebruikt.
x.
De Conjlructie der lighaamlyke en meer dan lig* baamlyke Vergelykingen was ook één der deelen Van de Analyfis van Defcartes, dat van de laatere Meetkundigen eenige trappenvan volkomenheidwacht. te. Defcartes hadt zieh verbonden, om de Cubifche en vierkant-vierkants Vergelykingen, met behulp van eenen Cirkel en Parabool, te conjlruëeren. Niet om dat hy niets volmaakter en algemener bezat. Hetgeen hy zegt laat niet toe daar aan te twyffelenj want hy voeat 'er by, dat men die Vergelykingen altoos kan conjlruëeren door die der Kegelfneeden wel. ke men begeert, en zelfs met een gedeelte van die Krommen, hoe klein hetzelve ook zy. Maar hy hadt den grond Van die Conftructien verborgen ge. houden; en fchoon verfcheide Meetkundigen zyne 'lheorie ten deezen opzichte uitgebreid hadden , was men echter nog niet gekomen tot alle de almeenheid, die men kon de tvenfehen.
De Heer Slufius (e) is het, wien wy zulks te dan»
ken
(«) De Heer Reittier Frattgois IValter Slufius, Kanonpik van de Domkerk te Luik, Abt van Amas, kwam 'ia O a 1621



204 HISTORIE DER
ken hebben. Hy is Uitvinder van eene Leerwyze; door welke men , eene lighaamlyke Vergelyking, welke die ook zy, voorgeiteld zynde, dezelve op een oneindig getal ondedcheidene wyzen, met be* hulp van een Cirkel, en die der Kegelfneeden,welke men begeert, kan conjlruëeren. Hy toonde daar van eene Proeve in een Werk, dat hy in 1659 in 't licht gaf ' f;, maar hy hieldt als nog de Analyfis daar van verborgen, onder belolte van dezelve t'eenigen tyd te zullen openbaaren. Hy voldeedt aan zyne belofte in 't Jaar 1668, toen hy eenen nieuwen Druk van het Werk, waarvan wy gefproken hebben, keverde, nevens een tweede deel, wéar in hy voordraagt op wat wyze hy tot die ConJl> tic tien gekomen is. Het is noodig hier daar van een denkbeeld te geeven.
De Leerwyze van den Heere SluJius befbnt in eene Vergelyking te neemen tusfehen de onbekende van die, welke geconftruëerd moet worden, en eene nieawe onbepaalde , welke eene plaats van de tweede magt zy, by voorbeeld, een Parabool. Vervolgens brengt hy, door fubjlitutien, deeze onbepaalde in de te confirmeren Vergelyking, hetgeen dezelve van bepaald , gelyk zy in 't eerst wis , onbepaald maakt, dat is eene andere plaats uitdrukkende. Hy vervolgt die fubjlitutien, door de Vergelykingen, welke daar uit voortkomen, te deelen, faamen te tellen, of af te trekften, tot dat hy gekomen zy aan eere plaats voor den Cirkel; hetgeen gemaklyk is Dat gechan zynde, geeft hem deeze laatfte plaats, met ieder der anderen, welke aan den Para*
1613 Kr waereld. Ry bovengemeene ralenren voor de Wiskunde , voegde hy veel geleerdheid , en zelfs fmiak voor de franiji; Letterkunde. Hy flieif in 16^5. VVy zul. len in dir Artikel een woord van zyne Werken zesden.
('ƒ) MJolabum , feu dua media prop. per circulum & eïtipfin vei hyp, infinitis modis exhibita, Leod. 1659 4. & iterüin 1661I, cum parlc aiterd de analyfi. & mifcellaneit.



WISKUNDE. III. Deel. II Beek, 305
rabool, aan de Ellips, en aan den Hyperbool ?yn, op de behoorlyke wyze faamengevoegd , even zo veel verlchiller.de C njlructien van het V.oorflel.
Hetgeen wy nu gezegd hebben, zou, zonder het behulp van een voorbeeld , niet zeer verstaanbaar zyn. Derhalven zullen wy vervolgens een voorbeeld bybrengen , dat wy onder de eenvoueigfte zullen kiezen. Laat ons onderltellen de Vergelykinge yz — aab, zynde die geene w^ar toe men g raakt, als men de eerfte der twee midden-evenredigen tusfehen a en b zoekt. Men kan aanftonds voor de eerfte onbepaalde Vergelykinge neemen y ZZZZ a x, hetgeen eene plaats ajn den Parabool is: derhalven y—\/ax; en (lellende deeze Waarde van yin de voorgelrelde Vergelykinge, trekt men daar uit deeze andere x y ab, welke een plaats aan den Hyperbool tusfehen de Jlfymptoten is. Nog vindt men uit de vergelyking van die AZquatien, tiet' ze x* ZZ b }>, welke eene andere plaats aan den Para. hooi is. Wy zyn dus reeds in 't bezit der beide Conjlructien, welke Menschmus eertyds gaf van het Voorftel, dat wy analyfeeren. Want 'er zou, niets anders te doen zyn, dan of die beide plaatfen aan den Parabool, of één derzelven met die welke aan den Hyperbool is faamen te voegen, en de gemeene Ordinaat zou de gezochte midden-evenredige zyn. Doch alzo het hedendaags een gebrek is, dat men twee Kegelfneeden gebruikt , moet men zich by die Oplosfingen niet ophouden ; men moet eene plaats aan den Cirkel zoeken. Daar toe beeft men flegts de beide gevondene Vergelykingen aan den Parabool faamen te tellen ; en men zal bekomen y*~- b y-b x' —ax™o, dat eene plaats aar> den Cirkel is. In tegendeel zal haare onderlinge aftrekking voortbrengen de Vergelykinge y1 — x- -+- by - ax ■po, welke eene plaats aan den gelykzydigen Hyperbool zal zyn. Zo men eindelyk dè Vergelykinge x* — byzzzo door eenig getal, by voorbeeld a, deelt , i, hetgeen dezelve niet vernietigt), en het komende by de eerfte optelt, of daarvan aftrekt, zal O 3 « men



r2o5 HISTORIE DER men bekomen y' — « * -j — Q , dat eene
2 2
plaats aan de Ellips is, of y' _ ax j- _~— o
a 2
dat eene plaats aan den ongelykzydigen Hyperbool is. Andere getallen zouden andere Ellipfen of andere Hy. Ier balen voortgebragt hebben. Aldtis kan men eene meenigte onbepaalde gelykheden maaken, welke alle waar zyn, vermits de oorfprongkelyken , welke daar uit gevormd zyn , waar zyn. By gevolg hebben wy hier een oneindig getal ierfchillende plaatfen , waar in ieder derzelven de gezochte onbekende y een zekere Ordinaat is. Indien men derhalven die aan den Cirkel met ieder der anderen famenvoeat, zal men even zo veei verfchillende Conftructien van het Voorftel hebben; en de gemeene Ordinaat zal de waarde van y zyn. De wyze nu om die plaatfen iaamen te voegen is gemaklyk. Men heeft zich flegts te verbeelden, dat dezelve ieder tri 't byzonder befchreeven, en zodanig op elkander gevoegd worden, dat zy den zelfden As, en den zelfden dorfprong hebben. By voorbeeld , in het tegen, wcordig geval betekent de bovengemelde Vergelyking tot den Cirkel, volgens de bekende Formulen, dat de oorfproi g der Abfcisfen aan het einde van eene Chorda of Pees is, die gelyk is ann b, en * a van 't middenpunt verwyderd is, zo nis men in Fig. 6i, no. i ziet. De Vergelyking y y rzzzz a x wvst eenen Parabool aan, Fig. ói, «b. a, waar van de Abfcisfe, op den As genomen, x, de Ordinaat y, en de Parameter a is. Men verbeelde zich nu, dat deeze twee plaatfen op elkander gevoegd zyn, als in de zelfde Figuur, no. 3, dan zal men zien, du de Conjtrutlie daar op uitloopt, om S T - \ b, TC •5= « a te neeuien, en de Cirkel, uit het'middenpunt C met de Straal C S befchreeven, zal den Pa. rabool in N IVïyd'en, waar uit-de Ordinaat op d m As getrokken de gezochte onbekende zal zyn.' Men
moet



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. ao7
moet niet denken, dat men hier breedvoeriger verklaaringen van deeze Leerwyze zal vinden; de Leezers, welke daar in grondiger onderricht wenfeben te zyn , kunnen hunnen toevlugc neemen tót het Boek van den Heer Slufius, of rot de Verhandeling over de Kegelfneeden en Meetkundige plaatfen van den Heer de 1'Hópital, na deszelfs dood in 't licht gegeeven. Men vindt ook deeze gantfche Theorie np eene zeer voldoende wyze verklaard in de Curfus Mathefeos van den Heer IVolf, I. Deel. Wy zullen nog een weinig bekend, fchoon uitmuntend, Boek aanvoeren, dat over dit onderwerp handelt. Hetzelve voert tot Tytel, Hyacinthi Chriftophori» de cenfiructione equationum. Neap, in-40. 1099.
Wy zullen ons hier eenen kleinen uitflap veroorlooven, om een gedeelte des Werks van den Heer Slufius te leeren kennen , waar van wy nog geen gelegenheid gehad hebben te fpreeken. Hetzelve verfcheen in de tweede Uitgave van zyn Mefolabum, onder den Tytel van Mifcellanea. Deeze Mifcellanea, of mengelftoffen van Meetkunde, zyn zeer gefchikt om haaren Autheur eere aan te doen, en toonen de grondige vorderingen, welke hy in de Analyfis gemaakt hadt. De Heer Slufius handelt daar in over de oneindige Spiralen,'welke hy met Parabooltn van den zelfden graad vergelykt: hy quadrateert daar in verfcheide Krommen , en wyst haare zwaarheidsmiddelpunten aan; hy bepaalt de buigpunten in de Conchois , waar over hy verfcheide voortreffi lyke aanmerkingen maakt; hy maakt daar in algemeen de vorming der Conchois, en onderzoekt de eigenfchappen der nieuwe Krommen, welke daar uit ontftaan , haare Inhouden, haare zwaarheids - middelpunten, en de lighaamen, die zy door haare omwenteling vormen , enz. Wy gaan veele andere weètenswaardige nafpooriDgen, welke dat gedeelte des Werks van den Heer Slufius bevat, ftilzwygert. de voorby , ten einde deezen uitflap niet te veel uitgebreidheid te geeven. Wy komen weder tot ons hoofd-onderwerp.
O 4 De



so8
HISTORIE DER
De leerwyze, welke wy boven voor de Conjtruc tte der ligbaarnlyke Vergtlykingen , dat is, van d0 derde en vierde magien , voorgedragen hebben, Wordt ook tot de hoogere magten toepasfelyk gemaakt, liene Vergelyking van de zesde man, by voorbeeld, voorgelleid zvnde , kan men dezelve herleiden tot eene Vergelykinge aan den ligbnamlyken Parabool oï Hyperbool, en aan eene andere Kiomms, welke één der Kegelfneeden zal zyn. Men moet hier eene eerde plaats trachten te kiezen , die zodanig zy, dat die, welke daar uit voor de tweede zal ontftaan, een Cirkel zy; hetgeen men, zo ik denk, door de Leerwyze der onbepaalden altoos zal kunnen doen, Desgrlyks zal eene Vergelyking van de aetlte magt herleid kunnen worden tot twee plaatlen, de eene van de vierde, en de andere van de tweede magt, of beide van de derde magt. Men vindt van die dineen voorbeelden in de Boeken , welke over de Conpuctie der Vergelykingen handelen f/p.
tiet is hier de behooriyke plaats, om eene vinding te leeren kennen , welke voor de Conftructie der Meetkundige plaatfen van den tweeden rang nuttig is. Defcartes heeft, wel is waar, daartoe eene ren uiterlten algemeene Formule gegeeven, doch welke haare belemmeringen heeft, zo door de voorafgaande bewerkingen, welke zy verëischt, als door de oplettendheid, met welke men de verfcheidenheid der tekenen moet gade floan. De Heer Craig fchynt my dit gewigtig deel van de Conftructie der Vergelykingen gemaklyk gemaakt te hebben door nieuwe Formulen , welke hy in 1694 in 't licht gat tM. Lieeze Formulen zyn niet anders dan de Vergelyking van ieder der Kegelfneeden , zo ingewikkeld
en
fjO Zie: Ie Marquls de HTópital, Traité des Sect. coni. ques & des lieux géom. Ilyscinibi Chriftopbori, de conftructtone equailomm. Ozanam de la conüruction des 4quattons. '
ift.Dt.fig. eurvit. quadraturis, ac locis Geometricis. kond. 1094. in 40.



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. nog
en faamengefteld, als dezelve kan zyn. Om daar toe te geraaken, ftelt hv den Oorfproig der AbfcisJen in een punt als O (.Fig. 62. no.i). dat eene on. bepaalde grootheid, welke pofitif en negatif kan zyn, van den top en den as verwyderd is, en neemt de Abfcisfen op eene lyn O P, die eene insgelyks onbepaalde grootheid op eene evenwydige aan den As overhelt. Het is gemaklyk te zien, dat dit geval alle mogelyke andere gevallen bevat: want naar dat de grootheden O Q , Q S, en de reden van O T tot O V, elkander zullen vernietigen, of 'negatif zullen worden, * zal hetpuntOopden top, of aan de andere zyde van den As, of binnen de Kromme vallen; de hoek van UP met den As zal nul of in tegengellelde richting worden, hetgeen alle bedenkelyke faamenvoegingen be. vat. Vervolgens eenige Vergelyking voorgefteld zynde, vergelykt men dezelve Tcra voor Term met de altremeene 'Formule, en de vergelyking der Coëfficiënten getftden' (tand van denoorfprong der /ibfcisfenen denjAs. Deeze Leerwyze heeft den HeerMarquis de l'Hopital gefcheenen de voordeden te hebben , welke wy aan dezelve toefchryven. Om die reden heeft hy dezelve in zyne Verhandeling over de Meet. kundige plaatfen als de zyne aangenomen. Wy kunnen ook onzen Leezeren, welke begeerig zyn om daar in grondiger onderricht te worden , wyzen naar de Curfus "Mathefeos van den Heer Wolf, waar in zy dezelve met veel zuiverheid en Juistheid voor-' gedragen zullen vinden.
De hier opgegeevene Leerwyze van den l\e$v Craig verdient in veele opzichten den lof, dien wy dèzelve geeven. Echter is ons naderhand eene andere voorgekomen, die beter en gemaklyker is. Het is die welke de Heer Herman iu de Memorien van Petersburg voor 't Jaar 1737 heeft voorgedragen, onder den Tytel: De locis Qeometricis ad mentent Cartefii conftruendis. Dit is het oordeel, dat alle degeerien, wien ik dezelve getoond heb , daar over geveld hebben.
Wy behooren hier niet met ftilzwygen voorby te O 5 gaan



210 HISTORIE DER
gaan zekere ge wigtige befchou wingen in de Ccnftructie der Vergelykingen, waar aan de Meetkundigen niet fchynen gedacht te hebben, als na dat de Heer Rol. /e de noodwendigheid derzelven getoond hadt (i). Niemand twyffelde, dat wanneer men eene bepaalde Vergelyking te conftrueeren hebbende, door eene eerfte: wi! efteunge plaats te neemen , en door middel van dezelve eene tweede onbepaalde in de voortitelde Vergelykinge te brengen , men niet twee Plaatfen hadt , welkers doorfbyding de gevraagde Wortelen moest opleeveren. DochT zulk! gebeurt niet altyd; ,n tegendeel, 'er zyn gevallen, waar in de plaatlen , op deeze wyze gevonden, elkander niet zullep fnyden, en waar in andere onserymdheden zuhen voorkomen, welke de Heer Rolle in zyne Memorie doorloopt. Deeze gebreken moeten nogthans niet aan de Leerwyze, maar eeniglyk aan de ongefchikte toepasfing van den Analia; toeeefchreven worden. Zo hy voor de eerfte plaats eene Kromme verkiest, welkers grootfte Ordinaat minder zy dan de minde der Wortelen van de Vergelykinge, die geconftruëerd moet worden, of dat, zo er negative Wortelen in zvn, hy eene Kromme neemt, die geen andere dan pofitive Ordinaten heeft, moet men zich dan verwonderen, dat de Leerwy-
fG Üe ??rt fcll,et' en aan de onserymdheden, wel. ke de Heer Rolle haar toefchryft , onderhevig is ? Men moet derhalven met oplettendheid te werk gaan in de verkiezing van de eerfte plaats , en zelfs in het onderzoek van de tweede, welke uit dezelve voortkomt. Maar zo men de handelwvze vnn blufius volgt, zo als de Autheur die ontvouwt, of den Heer Wolf, die dezelve naauwkeurig heeft voorgedragen , zal men van de ongcrymdheden % waarvan wy gefproken hebben, niets hebben te vreezen, om dat de eerfte plaatfen der faamenvoeging, uit welke alle de andere voortkomen, uit de
te
(O Mém. de CAcad. 1708, 1700.



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. air
te conftrueeren Vergelykinge zelve afgeleid zyn, en niet gefchikt zyn, om de Wortelen van die Vergelykinge niet te bevatten (k).
Om van dit Artikel een einde te maaken, zullen wy verfcheide Vindingen of' Gefchriften , belangende de Conftructie der Vergelykingen, haastig overftappen. Van dit getal is de algemeene Regel , welke Baker voor de lighaamlyke Vergelykingen gegeeven heeft (1), door middel van een Cirkel en een Parabool, en welke hy centraal noemt. Dezelve verfchilt van den Regel van Defcartes alleenlyk daar in, dat deeze dè verdryving van den twee* den Term verëischt, daar in tegendeel die van Baker dezelve niet onderdek. De Heer Halley heeft naderhand getoond (m), hoe men eene voorgeftelde Vergelykinge door middel van een Cirkel, met een gegeeven Parabool faamengevoegd, kan conftru* è'ersn. Men kan insgelvks, om eene opgegeevene Jighaamlyke Vergelykinge te conftrueeren, zich van zodanige der Kegelfneeden bedienen, als men begeert, en welke in foort en grootheid gegeeven zyn. De Heer Newton congrueert alle de lighaamlyke Vergelykingen (n) op eene zeer cierlyke wyze, door te toonen, dat zy a'le op het Problema uitloopen, om in een gegeeven hoek eene rechte lyn van eene bepaalde grootheid te voegen , die, verlengd zynde, door een gegeeven punt gaat; hetgeen de wyze is, op welke de oude Meetkundige Nicomedes het Voorftel der twee midden-evenredigen geconftruëerd hadt. De Heer Jacobus Bernoulli
heeft
(£) Zie eene Memorie van den Heer de la Hire van 't Jaar 1710; de Inleiding tot de Theorie der kromme Lynen van den Heer Cramer, Chap. IV, en de aanmerkingen van den Heer Herman over het Gefchrift van den Heer Rolle in de Mifcell. Berol. T. III.
(/) Clavis Ceom. Catholica. 1684. in-40.
(m) Tranf. Phil. ann. 1687, ':o. Ii>8.
(n) Arithrn. univ, %pp; de <eqtiat, Conflmct. lintari.



si2 HISTORIEDER
heeft var. de lighaamlyke Vergelykingen eene kunfogcConftructu of eene MeeTkunft.ge en gedt urige benadering, door Liniaal en Pasier, gegeeven. Dezelve kan nuttig zyn, om in de benaderingen in getallen den Wortel der Vergelykinge toteenen zekeren trap van nauwkeurigheid tf bepaafen; hetgeen van zeer veel aanbelang is , om fpoedil tot eene zeer benaderde waarde te komen. Men kan over dit onderwerp ook nazien eenige ff ukken van den Heer frn Bernoulli (0) , die de gronaei" van deeze benadering aan den dag legt.
X I.
Wy komen eindelyk tot één der gewigtïgfte voor. werpen van de Analyfis. tot de oplosfing der vïï. gelykingen in getallen. _ Hier zyn wy gedwongen de vernederende bekentenis te doen, dat dit gedeelte der algebra mets minder dan zeer gevorderd is. Se! dert Tartalea en Ferrari, welke de Vergelykingen van de derde en vierde magt oplosten, dat is, Pdert meer dan twee eeuwen heeft men tot de algemeen" oplosfing der Vergelykingen byna geene vordering gedaan. De beruchte zwaarigheid, onder den naam van het onherleidbaar geval bekend , is zelfs noï met eensuit den weg geruimd, en is dagelyks oor. zaak van de verlegenheid der Analisten, welke zicfi daar door gedrongen vinden, om tot indirecte Leerwyzen hunnen toevlugt te neemen.
Met dit gedeelte der Analyfis is het ten naaffe bleven zogelegen, als met het Problema van de O al dratuur des Cirkels. Alhoewel de grond van het TS Huk nog niet is aangeroerd, laat het echter niet ni ons eene meenigte nuttige vindingen en nalboorin gen voor oogen te ftellen. By gebrek van eene aU gemeene Oplosfing, heeft men"tot de benaderingen toevlugt genomen; men heeft de byzondere geval.
len,
(«; LecS. calculi integ. ad fin. op. T. III,



WISKUNDE. III. Deel. II. Boek. 213
len, welke aan eene oplosfing onderhevig zyn, nagefpoord; men heeft eindelyk Leerwyzen gegeeven, welke in de daadelyke oefFening geheel en al de plaats eener volkomene Oplosfing vervullen, en zelfs gemaklyker zyn, dan misfchien de Formulen, welke het Vraagftus zou opleeveren, zouden zyn.
Fieta is de eerde geweest, die tot de benaderingen, zo voor de Vergelykingen van de derde en vierde magten, als voor die der hoogere magten, toevlugt genomen heeft. Zyne Leerwyze voor de derde magt, wanneer het onherleidbaar geval plaats heeft, is buiten alle tegenfpra:ik de gemaklykfte, en het oordeel, dat wy daar over vellen, wordt door dat van den Heer Halley gellaafd (p). Hy brengt, zo als reeds op eene andere plaats gezegd is, de Uplosfiog der Vergelykinge tot de vinding der drie Chorden of Peefeo van drie boogen, welke uit het in drieën fnyden {trifectio) eens gegeevenen boogs voortkomen; hetgeen met weinig moeite de verfchil. lende Waarden van de Onbekende tot een groot getal Decimaal-plaatfen voortbrengt. Voorts verzenden wy den Leezer tot hetgeen wy in één der voorgaande Boeken over dit onderwerp gezegd hebben* Wat aangaat zyne algemeene Leerwyze voor de uittrekking der Wortelen uit alle de Vergelykingen, welke hy Dxegetice numero/a noemt, dezelve is ook één der kunftiglte. Maar dezelve bevat zwaarigheden en belemmeringen, welke Harriot, die zich fterk daar in gtöeffend heeft, niet geheel heeft kunnen uit den weg ruimen , en' heeft plaats gemaakt voor andere gemaklyker Leerwyzen, welke wy haast zullen aanwyzen.
Vieta, door aan te merken, dat de bekende Term eener Vergelykinge het vermeenigvuldigde van alle de verfchillende waarden der Onbekende is, verfchaft nog een middel van Oplosfing voor alle de Vergelykingen, welke eenige rationaale waarde, en in
een
Cp) Tranf. Phil. ann, 1694, n°* 2ia



ai4 UI S T,Ö R 1 E DER
een geheel getal, hebben. Wy vinden het gebruikt door de Analisten van het begin der zeventiende eeuwe, als Micntel Coignet van Antwerpen, Alber> tus Girard , enz. Deeze foort van oplosfing der Vergelykingen heeft nogthans haaren voornaamfteo oorlprong uit de vindingen van Harriot en Defcartes genomen. Naardien wy dezelve in de eerde Artikelen van dit Boek breedvoerig genoeg verklaard hebben, achten wy niet noodig dit weder te herhaaien , en wyzen daarom den Leezer naar het be. gin van dit Boek.
Maar deeze Leerwyze heeft, in het geval zelf alis de Wortelen geheele getallen zyn, haare belemmeringen. Want het kan gebeuren, dat de laatfte Term zo veel Deelers heeft, dat het uitermaten lastig zou zyn die allen te beproeven; ten anderen heeft hier eene foort van tasting plaats» welke de Wiskundigen altoos voor een gebrek gehouden hebben. Om die reden zyn de Analisten bedacht <*e* weest, om de limieten der Vergelykingen naartevorfchen, dat is, tusfehen welke Termen de grootfte en kleinlte der Worelen begreepen zyn. De Heer de Beaune is de eerfte Autheur van deeze vinding die door den Heer Newton in zyne Ariihmetica univerfalis verder is voortgezet: en dezelve is zeer nuttig in de gevallen, waar in de gezochte Wortelen onderling niet veel van elkander verfchillen. Want men zal alsdan flegts een zeer klein getal' Factores te beproeven hebben; en zo het gebeurt dat geen derzelven de Vergelykinge gelyk aan nul maakt, kan men met zekerheid zeggen, dat zy geen rationaale Wortel heeft. In deeze Vergely. kinge, by voorbeeld, x* - 2 x+ — 10 x3 4. 31 + 63 * — joo = o, waar van de laatfte Term 16 Factotes heeft, zouden 33 bewerkingen te doen zyn , als men dezelve pofitif of negatif beproefde. IVlaar de Kegel, die Newton opgeett, leert dat de Termen, tusfehen welke de Wortelen zyn begreepen 2 en 3 zyn: zo dat 'er geen andere beproevingen te doen zyn, als over 1 of-— i, of — 2;
en



WISKUNDE. III. Deel. II. Bask. 215
en naardien geen van die beproevingen gelakt, moet men zeker zyn. dat de bovenftaande Vergelyking geen rationaale Wortel beeft.
Wy hebben voorbedachtelyk gezegd, dat deeze Leerwyze zeer nuttig zal zyn, alsde gezochte Wortelen onderling niet veel van elkander verfchiüen. Maar zo het gebeurde, dat zy veel van elkander verfchilden, als wanneer de eene zeer na by den grootften Factor des laatften Terms, en de andere zeer na by den kleinllen wgs, zou deeze Leerwyze vgn weinig nuttigheid zyn , vermits ajsdan byna alle de Fac* tores van deezen laatften Term tusfehen de limieten, welke men zou vinden, vallen zoude. In dit geval is derhalven een ander middel noodig, om de meenigte der beproevingen te verminderen. Zie hier een middel, dat zeer vernuftig is, 't welk geleerd wordt door F. van Schooten . q), die daar van de eere geeft aan eenen Heer IVaesjènaer. Hetzelve beftaat in de wyze om de Wortelen der voorgeftelde Vergelykinge met een gegeeven getal , de eenheid , by voorbeeld , te vermeerderen of te verminderen : nu is het gemaklyk te zien , dat zo één der Wortelen van deeze Vergelykinge één der Factores van haaren laatften.Term is, deeze Factor, met de eenheid vermeerderd of verminderd, weder ondef die van den laatften Term der nieuwe Vergelykinge gevonden moet worden. Derhalven zal men alle de Factores van dea laatften Term deezer nieuwe Vergelykinge moeten neemen, dezelve met de eenheid vermeerderen of verminderen, in tegendeel van hetgeen men ten opzichte der voorgeftelde Vergelykinge gedaan zal hebben; dan kunnen alleen de getalSou , welke de zelfde zyn als de Factores van deeze kaifte, haare Wortelen zyn. Men zal daar door een zeer groot getal uitfluiten, en eene tweede bewerkicg zal dikwyls de uitfluiting geeven aan de meeste dergeenen, welke de eerfte niet uitgefloten zal
heb-
(f; Comm. in Qart, Ceom. L. III.



s?S HISTORIE DER
hebben, fomtvds aan alle, zo de voorgeftelde Ver" gelyking geen rationaale Wortel beeft: zulks gebeurt in de boven opgegeevene Vergelykinge x* — ax\ ö?c. Als men den Wortel de eenheid vermindert, vindt men, dat van alle de Deelers van 120 geene andere zyn als —. 2, 3, of 20, welke V\ orteJen van de Vergelykinge kunnen zyn, en als men' deezen Wortel met de eenheid vermeerderd, vindt men geen van deeze laatften, waar uit men befluften moet, dat de voorgeftelde Vergelykinge geen ratio* naale Wortel heeft.
Wanneer men door het bovengemeld onderzoek verzekerd is, dat eene Vergelyking geen rationaale • Wortel heeft, blyft 'er nog overig te beproeven. ot dezelve niet het vermeenigvuldigde van verfcheide faamengeftelde Vergelykingen zou zyn, of in het geval , waar in dezelve van eene evene afmeeting zou zyn , of 'er dan niet eenige faamengeftelde groothei I zou zyn, welke aan beide zyden der Vergelykinge, 0p eene zekere wyze gefchikt , bygeteld zynde , de uittrekking des Wortels uit ieder Lid toeHet. De Heer Hudde heeft de eerfte van deeze twee wegen gekozen m zyn Gefchrift, tot Tytel voeren^ de: de reductione equationum, Hy geeft in hetzelve een groot getal nuttige Kegelen, om te beöordeeJen, of de voorgeflelde Vergelykinge herleidbaar is op de wyze, waarvan wy gefproken hebben, Hy heeft ook Tafelen van de gedaantens van Vergelykingen gegeeven, welke deeze herleiding onderhevig zyn, benevens de. Deelers, zo eenvomvdige, gelyk x -;- a> ais faamengeftelde, gelyk x°+ ax ■¥ b, fjfc. welke dezelve kunnen deelen. en~by gé^ Volg de Factores daar van zyn. De Heer Wallis geeft ons te kennen, dat, terwyl de Heer Hudde zich in Holland tot deeze nafpooriug verledigde, één zynpr Landgenooten, genaamd Merrey, in Engeland het zelfde deedt. Maar zyne Gefchriften hebben hec licht niet gezien, dezelve zyn flegts in de ISoekery van Oxford ter bewaaring gelegd. Wallis heeft eenige Tafelen, veel overeenkomst hebbende met die
van



WISKUNDE. III. Deel. II. Beek. 4i ?
Van den Heer Hudde, uit dezelve getrokken, en in zyne Algebra medegedeeld^
De Heer Newton heeft van de wegen, welke wy boven aangeweezen hebben, den tweeden beproefd; hy heeft gezocht om de Vergelykingen te herleiden, door wederzyds eenige faamengeftelde grootheid by te tellen, welke ieder Lid zodanig gefchikt maakte, dat 'er den Wortel uit getrokken konde worden. De Kegelen, welke hy tot dat einde gegeeven heeft, worden in zyne Arithmetica univerfdtis gevonden. Maar dezelve vorderen zo veel arbeid t zo veel be. proevingen ,en den faamen.oop van zo veele. byzon. dere conditiën, dat men die naauwlyks anders dari als een kunstftuk der Analyfis kan bïfchouwen. Zy hebben nogthans dit voordeel, dat men meesttyds by de eerfte ftappen kan bemerken , dat de herleiding niet mogelyk is; hetgeen eeneu overtoliigcn arbeid befpaarw
De Heer Leibnitz heeft niet minder gearbeid dan de Heer Niwton, om dit gedeelte der Anahfij tot meerder volmaaktheid te brengen, en hetgeen hy in één zyner Brieven, in 1676-gefchreeven ( r),zegt, geeft ons grootelyks reden tot klagen, dat zyne bedenkingen over dat onderwerp het licht niet gezien hebben. Ik heb, zegt hy , my fterk bézig ge,5 houden met de wyze, om in 't algemeen de ir„ rationaale Wortelen der Vergelykingen te vin-
den, of alle de midden-Termen te doen verdwy.
nen, en het is in 't voorleden Voorjaar reeds s, een jaar geweest > dat ik den Heer HuygenS „proeven van Regelen, overëenkomftig met de
Fotmuien van Cardanus, mededeelde. Want ik „ had eene reeks van foortgelyke uitdrukkingen , .(voor alle magten), in welke die Formulen be-
greepen waren. Maar dezelve waren boven de „ derde magt niet algemeen. Ik meen nogthans
de waare Leerwyze om verder te gaan befpeurd
te
(r) tomm. Efift. p. 63, 64, en p. 05.
P



221
HISTORIE DER
te hebben; 'er blyven , om de waarheid te zeggen, nog veel bunstgreepen overig te verzinnen9 f, om daar in te flaagen, hetgeen ik overlaat aan ,, den Heer Tfchirnhaufen, die aan zynen kant tot 3, de zelfde ontdekkingen gekomen , en zelfs nog 3, verder geweest is.... Voorts volgt uit myne bedenkingen over dat onderwerp eene vry zonder„ linge wonderfpreuk: naamlyk, dat alle de Vergelykingen van de agtfle, negende, tiende magten ,, fot de zevende magt, enz. verlaagd kunnen wor-
„ den Zo iemand moeds genoeg hadt, om
den arbeid daar van te onderneemen, zou ik hem eene algemeene en onfeilbaare Leerwyze toonen, om de Wortelen uit alle de Vergelykingen te vin„ den."
Ons is onbewust, of de Heer Leibnitz niet te veel beloofde, toen hy deeze laatfte ontdekkingen bekend» maakte; 'er is eenigzins reden om zulks te vreezenj Het gebeurt niet zeiden, dat bekwaame lieden , vertrouwen Hellende in eene berekening of Leerwyze, welke, zo bet fchynt, moet llaagen, zich reeds verbeelden in 't bezit te zyn van 'c geen zy zoeken j doch onvoorziene en onöverkomelyke zwaarigheden fluiten dikwerf eenen weg, welke open fcheen te zyn. De Heer Leibnitz zou misfehien in dat geval geweest zyn, als hy de laatfle hand aan zyne berekeningen hadt willen leggen.
Wat 'er ook van zy, van alle die vindingen van den Heer Leibnitz is niets tot ons gekomen, als eene zeer kunftige Leerwyze voor het onherleidbaar geval, leder der beide radicaale uitdrukkingen, welke de Formule van Cardanus faamenflellen, lost hy op in eene oneindige Reeks, en het gebeurt alsdan dat de Termen, welke de negative grootheid onder het Wortelteken van de tweede magt bevatten, in de beide Reekfen verfchillende tekens zyn toegedaan, zulks dat, als men dezelve faamentelt, die Termen verdwynen, en 'er geen andere overblyven, dan weezenlyke grootheden, welke eene Reeks, die de waarde der Formule ia, faamenftellea. Hetgeen Leibnitz



WISKUNDE. IIL Deeh ll. Èoek. ar£
Mtz alleenlyk heeft aangeweezen* is nog meer ontwkkeld door den Heer Nicok in de Memorien van de' Academie des Jaars 1738. Deeze Leerwyze, gevoegd by zo veele andere over de benaderde oplosiing-der Cuhfcne Vergelykingen , wanneer bét onherleidbaar geval plaats heeft, ftelt de uïtgeftrektheid der hulpmiddelen van de Meetkunde in een nieuw daglicht.
Wy zyn den Heer de Moivre eene vinding over de Vergelykingen verlchuldigd, welke een gedeelte fenynt uit te maaken van diegeenen , in welkers bezitue Heer Leibnitz, naar zyn zeggen, was. Hv heeft ons voer eenige gevallen der Vergelykingen van alle magten Formulen gegeeven, overöenkom. Ihg met die van Cardanus Cs). Als men, by voorbeeld, deeze Vergelyking heeft m * . \ fin~i nn—i nn~-v>
X nf 4- , x ■ X nf 4- £ff.
2. 3 2. 3 3. 4 »
eene Vergelyking die eindig zal zyn, als n een oneven getal 1$ , zal de Wortel uit dezelve, die alsn
dan eenig is, zyn § V [a 4- V (aa + j ) 1 _ . %/ L — « + V O+ 1 )]-. dus heeft de Vertelykins: 6y + 10 y -'r 16 y' = 4 tot Wortel h
l V [4 + V 17] - J V [— 4 + V 17 7 wel ke men door middel der Logarithmen bevindt te zvn o. 4313: en zo men, in plaats van nn — 1 oL " 1 nn, (fc. hadï, hetgeen de Termen beurteling pofitif en negatif zou maaken, zou men in de Formu. Ie, in plaats van (aa 4. x ), V («-,f££ ben. Hier is eene merkwaardige overeenkomst met het ioortgelyk.geval 111 de Cubifche Vergelykintren In oeeze .aatften kunnen de Wortelen der Verse lykinge, zo de Wortel trekking niet gefemeden kan,
dor
m^7olTf' PM'ann* w n"* 3°9' Act- de Le'P*>z« P a



SJtO
HISTORIE DER
door het in drieën fuyden des hoeks gevonden wcf* den. Met de gedaantens van hcogere Vergelykingen, welke wy befchouwen, is het eveneens .gelegen: sis het onherleidbaar geval plaats heeft, dat is, als a kleiner dan i is, zullen 'er zo veel Wortelen zyn, als de magt der Vergelykinge eenheden bevat, en dezelve kunnen uitgedrukt worden door bet in verfcheiden deelen fnyden ( muhifeSlio ) eens boog*, waar van (i de ftraal zynde ,J a de Sinus zal zyn.
De Heer Tfchirnhaufen heeft zich eertyds verbeeld in 't bezit vau eene algemeene oplosfing der Vergelykingen te zyn. Hy maakte in 1684, 'n de Aaen van Le'pzig, eene Leerwyze bekend, door welke hy voorga? alle de tusfehen - Tetmen eener Vergelykinge, welke die ook zy, te doen verdwynen; hetgeen dezelve tot de eenvouwdige gelykheid der onbekende, tot de hoogfte magt verheven, met den bekenden Term overbragf. 'Niets zou fraayer geweest zyn, dan eene foortgelyke Leerwyze-, maar het is te beklagen, dat die geleerde Meetkundige,door een gevolg van die overhaafting, welke hem vry gemeen was, zich bedrogen heeft. Wanneer zelfs in zyne handelwyze geen valscb.be-* fluit te vinden was, hetgeen de V. Piefiet, die dezelve heeft onderzocht, voorgeeft, is alleen het voorbeeld, dat hy van zyne Leerwy2e over eene Cubifche Vergelykinge geeft, ■ genoegzaam om te toonen, dat dezelve de voordeden niet heeft, welke de Autheur daar aan toefchryftr want eene der grootheden, die hem noodig is te bepaalen , wordt gelyk bevonden aan eene uitdrukking, welke onderhevig is om imaginair of ingebeeld te worden, en die het in de daad wordt, wanneer het onher* leidbaar geval plaats heeft. Ten aanzien der Vergelykingen van eenen hoogeren rang is het hedendaags bekend, dat die Leerwyze geheel niet toereikende is.
De Heer de Lagr.i is één dergeenen , welke aan de algemeene oplosfing der VesgelykiDgen het meest
ge«



W IS K ü N D E. III. Deel. II. Beek. mi
gearbeid hebben- Men heeft van hem een geheel Boekdeel over dat onderwerp, dat'by de oude Memorien der Academie vóór 1609 gevoegd is, zonder eenige Gefchriften, onder de nieuwe Memorien ingeiascht CO» re rekenen. Men kan zich niet onthouden daar in vernuftige inzichten te ontdekken, maar dezelve hebben hem, in 't geen zyn hoofd-onderwerp betrof, niet ver gebragt. Dit is het oordeel dat de Heer Halley daar over velt f«), een oordeel dat, myns bedunkens, door de Analisten ftilzwygende bevestigd wordt. Het zelfde kan ook gezegd worden van het Werk van den Heer Laloubere, tot tytel voerende la téfolution des équations (de oplcsfing der Vergelykingen,). De Heer Rolle is mede één dergeenen, welke zich dat onderwerp voorgefteld hebben. Hy geeft in zyne Algebra, in ióoo gedrukt, eenige Regelen, om de rationaale Wortelen uit de Vergelykingen te vinden, wanneer zy dezelve hebben , "of om meer en meer tot hunne naauwkeurige waarde 'te naderen , wanneer 'er geen van die foort in gevonden wordr. Maar deeze Regelen zyn niet gemaklyk genoeg, om onder zo veel anderen, welke men tot dat einde heeft, eene byzondere oplettendheid te verdienen. Zyne Leerwyze, die hy des Cascades (van 't een op 't andere vallen ) noemt, en waar van hy zich bedient , om de limieten der Wortelen te bepaalen, verdient alleen met opmerking befchouwd te worden. Zy is, ten naaste by, de zelfde als die,welke Newton in zyne Arithmetica unherfalis gegeeven heeft.
Wy moeten eindelyk de Leerwyzen doen kennen, welke de Analisten hebben uitgedacht, om ten minften op eene benaderde wyze de wortelen der Vergelykingen te bepaalen. Dit is het eenig hulpmiddel dat overblyft, wanneer alle de Leerwyzen van herleiding
(/) Ann. 1705, 1706.
(u) Tranf. Phil. ann. 1694,
* 3 "~ .



VI* HISTORIE DER
dmgniit geflaagd hebben. Men is zelfs, om wel te Zeggen, gedrongen tot hetzelve toevlugt teneemen, zo dra men verzekerd is, dat de Wortelen der Vergelykinge irrationaal zyn. Want, zonder een meer faamengelteld voorbeeld, dan dat van de derde magt, te gaan opzoeken, is eenvouwdig de vraag, of men niet een klaarder denkbeeld heeft van een getal in tiendeelige breuken uitgedrukt , dan van eene uitdrukking, zo vermengd met Worteltekens, als de formulen van. Cardanus zyn, zelfs dan wanneer de uittrekking des Wortels mogelyk is V De algemeene oplosfing der Vergelykingen is zonder twyffel tewenfcheo, als men die in de Wiskundige ftriktheid befchouwt; maar het is zeer waarfchynlyk, dat dezeU ve uns niet zoude bevryden van de noodzaakelykheid der benaderingen, zo als de Analisten dezelve geeven.
De algemeenfte Leerwyze van benadeling is die, welke de Heeren Newton, Halley en Raphfion gegeeven hebben. Wy voegen dezelve faamen, om dat zy'er alle drie toe gekomen zyn, of door verfchillende wegen, of zonder dat de een het van de anderen geweetea heeft. Maar de Heer Newton is het wien de eerfte vinding toekomt; want hy maaluede$e!ve reeds in 't Jaar 1669 door D. Barrow bekend, in zyn Gefchrift tot tytel voerende Analyfis per nequa-. jionum numero terminorum irfinitas. Zie hier met weinig woorden den grond en den geest van deeze Leerwyze ( v).
Men
(v) Laaide Vergelykinge zyn y' — iy — 5 — o; laat ook bekend zyn , dat de naaste geheele Wortel 2 is. Men pnderfUlle dan 1 4" Z-1ZZ j, en fubftitueere deeze Waarde voer y in de voorgaande Vergelykinge; dau zal dezelve ■worden 23 ■+■ öz* + 10 !; - 1 » o, Naardien z zeer klein is, verwaario >st men de beide eerfte Terïatn; men heeft dethalven ilegts 10 2 ZZ 1, of 2 ~ of o. i. Daar nu o- I flegts de benaderde Wortel der V crgelvk'ftge a5 J- ós1 -j- fcjV. is, zal men, door o. 1 -|- u Z. z :e
/lel-



WISKUNDE. III. Deel II. Boek. 22$
Men onderftelt, dat men reeds de naaste geheele Wortel hebbe, dat is, die flegts minder dan eene eenheid van den waaren Wortel verfchilt; dit is de grondflag der bewerkinge. Men vergelykt derhalven dit getal meer eene nieuwe onbekende met dat der voorgeftelde Vergelykinge , en ftelt het in deszelfs plaats. Dan bekomt men eene andere Vergelykinge , welkers Wortel datgeen is 't welk men by den eerften Wortel zou moeten optellen , om de nanuwkeurige waarde te verkrygen. Doch alzo men onderftelt, dat dit overblyffel zeer klein, en ten minften onder de eenheid ïs, befluit men daar uit, dat de waarde der hoogere Termen zeer klein is; en men verwaarloost dezelve, hetgeen de Vergelyking brengt tot den bekenden Term, en tot dien waar van de onbekende in de eerfte magt is, ten zy men eenigzins in twyffel trok, dat de eerfte Wortel na genoeg was, In dit geval zou men ook de Term kunnen behouden, waar in de tweede magt der onbekende was; hetgeen eene Vergelyking van de tweede magt ter oplosfing zou overlaaten. Men zoekt derhalven den Wortel uit deeze Vergelykinge in tiendeelige breuken, het komende moet by den eerst gevonden Wortel opgeteld, of daar van afgetrokken worden, naar dat het teken, 't welk die breuken is toegedaan , pojitif of negatif'is. Zo deeze trap van naauwkeuiigheid niet genoeg is, zal men de geheele tweede Vergelykinge moeten hervatten, en met dezelve
han«
ftellen, en als boven te werken , bekomen de Vergelykinge u3 4- 6. 3 «a + 11. 23 « o. 061 3 o, waarvan men flegts de beide laatfte Termen in aanmerking neemt,' welke voortbrengen « ~ — o. 0054. Men ftelle derhalven nog — o. 0054 -j- r ZZ «. Men vindt alsdan door eene foortgelyke handel wyze r ZZ — o. 00004853: men telle eindelyk alle de pofitive deelen te faamen, en trekke daarvan de fom der negative deelen af, dan viadt saen 7 = > °795SI47-
P4



S24 HISTORIE DER
handelen als met de eerlte gedaan is; hetgeen eene derde Vergelykinge zal voortbrengen, welke van do eerfte magt zal worden, als men alle de Termen daar boven verwaarloost. Derzelver oplosfing zal dan nieuwe cyScrletteren voortbrengen, om by den dendeeligen breuk, welke den gezochten Wortel uitdrukt, opgeteld te worden, en zo vervolgens. In drie bewerkingen vindt de Heer Newton , dat de Wortel van deeze Vergelykinge y3 — ry — 5 o in tiendeelige breuken is 2.~c0455i*7 4-, hetgeen tot de negende cyfFerletter toe waar is.
Van de beide Leerwyzen. welke de Heer Halley voor de benaderingen der Vergelykingen gegeeven heeft, heeft de eene zeer veel overeenkomst met die, welke wy zo aanftonds befchreeven hebben5 zy verfchilt met dezelve alleenlyk daar in, dat hy altoos weder tot de voorgeftelde eerfte Vergelykinge komt, door de waarde van den meer en meer benaderden, en meteen onbekend overblyffel vermeerderden Wortel voorde onbekende in plaats te ftellen, hetgeen by iedere bewerking nieuwe uetimaaJen en eene naauvvkeuriger Waarde oplevert (w). Jn de tweede behoudt hy de Termen, waar in de onbekende in de tweede magt is, doch door een kundig middel, waar van hy den Heer de Lagni de eere geeft, brengt hy nogmaals de geheeie bewerking tot eene enkele deeiing. De Heer Jan Bernoulli bedient zich tot het zelfde einde van eene foortge» lyke Leerwyze. (x).
De Leerwyze, welke Raphfon gevolgd heeft, verfchilt mede zeer weinig van die van Newton (31); hy heeft dezelve flegts eenigzins gemaklyker gemaakt door zekere Tafelen, welice, op de bioote befchon» wing eener Vergelykinge van eenige magt, den Teller en Noemer des Breuks doen kennen» welke het
ove-
(w) Tranf, Phil. n°. 210, ann. 1694.
(jc) Lect. ca/end inleg. Lect. 53.
O) Analyfis squat univerf. Lond. /»»4°. 169c,



WISKUNDE, lil. Deel. II. Beek, 535
overige is, dat by den reeds benaderden Wortel op. geteld moet worden. Vermits het Boek van dién Analist in deeze Landftreeken zekerlyk fichaars te vinden is, wyzen wy hun, die zyne handelwyze willen weeten, naar de Werken van Wallis,"li. Deel.
De voorgaande Leerwyze is niet de eenige, wel. ke de Analisten voor de benaderingen der Wortelen van de Vergelykingen bezitten. De vruchtbaarheid der Wiskunde, en de verfcheidenheid van haare hulpmiddelen, is hit'revenals in alle andere gevallen eenerlei. De heer Tailor heeft voor die benaderingen eenen hieuwen Regel gegeeven, welke op de Theorie der Aangroeijingen (incrementa) gevestigd is i.z). Wy zullen eindelyk nog twee Regelen der vinding van den Heer Thomas Simpfon aanwyzen , welke zeer kunflig zyn, en zeer fuel benaderen. De eene onderftelt de Differentiaal- Rekening, doch dezelve is daarom niet minder gemaklyk in 't gebruik, en wordt ook toepasfelyk gemaakt, om de waarden van twee onbekenden, welke door twee Vergelykingen gegeeven zyn , te gelyk te vinden (<?). De tweede volgt uit eene Leerwyze van benadering, welke hy voor de oneindige Reekfen geeft, en insgelyks zeer gemaklyk is (b). Daar het ons onmogelyk is alle die zaaken voor te dragen, verzoeken wy de Leezers tot de Gefchriften van die geleerde Aleetkundigen toevlugt te neemen.
Het is in de ontleeding der Vergelykingen van veel aanbelang het getal der ingebeelde Wortelen, welke zy bevatten, te kunnen kennen, zonder genoodzaakt te zyn tot haare Oplosfing over te gaan, die, zo als wy reeds gezien hebben, aan zo veel zwarigheden onderhevig is. Men kent, in de Cubifche
(a) Tranf. Phil. ann, 1717.
(«) Efiays on feveral curious and ujeful fubjects, p. 81, &c. Cè ) Mathem. Disferfations, p. joa.
f 5



Z5.6 HISTORIE DER
fiche Vergelykingen, dat geen 't welk de ingebeelde Wortelen aanwyst, en vermits dezelve niet meer dan twee kunnen zyn,heeft men alles wat men in datbyzonder geval kan wenfehen. Maar deeze onderfchei. ding is in de Vergelykingen van hoogere masten veel moeijelyker. De Heer Newton heeft alles aangewend om daar toe te geraaken, en tot dat einde in zyne Arithmetica univerfalis eenen vry eenvouwdigen Regel, doch die nog zeer onvolkomen is, gegeeven. Deeze reden heeft verfcheide Analisten opgewekt hunne poogingen aan te wenden, om dat gebrek te verhelpen. De Heeren Maclamin O) en Campbell ( zyn daar toe gekomen, en hebben volkomener Regels dan die van Newton gegeeven. De Heer Abt de Gua heeft ook over dat onderwerp gearbeid (e)ï en eindelyk fchynt de Heer Fontaine alles gegeeven te hebben, wat men als het volmaaktfte over die Heffe kan verwachten (ƒ_). Zyne Leerwyze bepaalt zich zelfs niet tot de eenvouwdige ontdekking der gedaante en foort van wortelen in alle de Vergelykingen : dezelve komt zeer na tot haare voikomene oplosfing ; en wy denken in de daad met den Aüthenr derzelve, dat, wanneer hy ons in 't bezit der Tafelen, welke noodig zyn om dezelve werkfiellig te maaken, getfeld zal hebben,dezelve byna niets meer over die ftoffe zal overlaaten te wenfehen.
Een ander gewigtig ftuk van de Theorie der Vergelykingen betreft den Regel van Defcartes voor de onderfcheiding der pofitive en negative Wortelen. Deeze Regel was niet beweezen, en deszelfs waarheid flegts door induSlie geftaafd. De Heer de Gua heeft van dcnzelven eera Analytisch Bewys gegeeven, dat men in de Memoden der Academie van 1741 leest. Alle die zaaken zyn yan zodanige natuur,
dal
(O Tranf. Phil. ann. i^aó" & 172$.
(d) Ibid. ann. J728.
(e) Mém. de VAcad. ann. 1741, (ƒ) lbid, ann. iy"4f,



WISKUNDE» III. Deel. II. Beek. 22?
dat ze hier flegts aangeftipt kunnen worden; de leezers kunnen hunnen toevlugt neemen tot de bronnen, welke wy hen tevens zorgvuldig aanwyzen.
X I I.
Wy meenen dit Boek niet beter te kunnen eindigen, als door eenige der voornaamfte Werken, in welke men de ftoffen.waar van wy de Hiftorie voorgedragen hebben , grondig verklaard vindt, te leeren kennen. Het Werk dat in veele opzichten den eerften rang verdient, is de Arithmetica univerfalisvm den Heer Newton. Het is genoeg deszelfs Autheur te noemen, om 'er bet grootfte denkbeeld van te doen opvatten. Het zyn de Lesfen, welke die groote man te Camhidge gaf, terwyl hy aldaar Hoogleeraar in de Wiskunde was. Wy zouden, om de waar. heid te zeggen , hun , die tot de Algebra en de Ana* lyfis op de Meetkunde toegepast nog niet opgeleid zyn, dit Werk niet aanraaden. Maar zy, die in andere Boeken over de Beginfelen zich reeds gemeenzaam daar in gemaakt hebben, kunnen niet beter doen, dan de leezing van dat Werk te onderneemen, en wy zullen hen dan met vertrouwen zeggen, noüurna verfate manu, verfate diurud. Men moet echter wel in 't oog houden, dat in dat Werk verfcheide plaatfen van zodanige natuur zyn,dat ze niet als van lieden, welke reeds grondig in de Analyfis ervaren zyn, verftaan kunnen worden: zodanige zyn verfcheide nieuwe Leerwyzen over de vinding der deelers, over de bepaaling der limieten en het getal der ingebeelde Wortelen in de Vergelykingen enz. Derhalven zou het te wenfehen zyn, dat eenig fchrander Analist over die moeijelyke plaatfen een Commentarium ondernam. Êen Italiaansch Autheur heeft, vóór eenige jaaren, een Werk onder dien Tytel gegeeven; maar op hem kan toegepast worden het geen men van veele Uitleggers CCommentatores) gezegd heeft, in re dijjïci'.i mtitus'. dit Commentarium ftaat nog uitgevoerd te
Wor-



*>8 HISTORIE DER
meling van verfcteidrn.lf VC de"utt,> VerZa. Tralie» getokkel Sï^Vï d<? PiiWpm*
ken, doch hebben her Zhr J veele goede zaawydluftisrheid. Dit ek,va? ,eene te S^oote
fcLeeven wo den aan dJ?etgeblrek.k"a,D 0ok Wdémon»ée) vaden V 1 Cp°°S nogthans in veele LdCÏÏ n^^^"' ueen Boek d^c Men heeft hSel^
waarin men meer keurigheic zie-S SS ngen » welke ik liever zou aanr/Jl . L uub]lnken, en gebra van de"bloemden^Unn.*v^T>Zyn de M' 't Fransch verS (in i^'Z^'fODl3n8"
X eeeniS?Undige H-'^W £
Heer C&^tt'fe'/^O van den
heid van dit boekdeS ^ Y-' Wegens de ldeiQ" DoeKüeel, en de uitmuntendheid der
zaa-
Ti/?-?»11 .Z0,daniS Commetttarium is naderhand In { NewtÓ» tEng?'tCb ui^komen, onde ÏÏ'tI,6
WILDER D. D f 5 èy the Rev' Theake*
(u\ t j Ve*TAALEH.



Wiskunde, iii. Dtei. n. Boek. 229
Maaken, niet beter kunnen vergelyken , als met de Arithmetica univerfalis van Newton, verdient aangepreezen te worden aa» alle de geenen , welke,, niet een vaardige bevatting begaafd, grondige vorderingen in de Alaebra wenfehen te doen, en zich weldra met haare grootfte zwaarighedec gemeenzaam trachten te maaken.
De meeste Werken , welke wy dus verre genoemd hebben, handelen eeniglyk over de zuivere Algebra: zie hier eenige welke tot onderwerp hebben de gemengde Algebra, of op de Meetkunde toegepast* Onder deeze laatften geeven wy, in de orde van onderwys, den eerften rang aan dat van -den Heer Guisnéa, tot tytel voerende: Application de i'Algebre d la Geometrie (in 4°. 1704) (O- Van daar kan men overgaan tot de uitmuntende Verhanuelmg over de Kegelfneeden en Meetkundige plaatfen, van den Heer Marquis de i'HÓpital. De naam van derzelver Autheur, en de achting welke alle de Wiskundigen, federt eene halve eeuwe , voor die Verhandeling hebben, zyn alleen genoeg om dezelve met lof te verheffen. De laftitutiones Analyticce ik) van Meïuff.ouw Agneft verdienen ook eene byzondere nlaats in deeze aanwvzhig der beste Hoeken over We Anahfis. De Leezers zullen niet zonder verbaazing zien, dat een perfooii van eene kunne , die zo weinig gefchikt fchynt om zich met de doornen der Wiskunde gemeenzaam te maaken, in alle de deelen der Analyfis, zo gemeene als tranfeendentijche, zo diep heelt doorgedrongen. Zy die de Elementa Mar ■ the-
m Aa^maande het Jaargetal, waar in, volgen den Autheur dit uitmuntend We:k gedruüt zou zyn, fchynt hier eene mistlelling plaats te hebben. Want in de verbeteroe en veel vermeerderde Editie van Ao. 1733* leest men in de Voorreden, dat de eerfte Editie van dit Weri; 10 1/10
het iicht ZSë' Vertaaler.
(*) Inftituzioni analytiche, ad ufo della gioventu Ita. Uana. Mil. in 4°- 2 vol>



öso HISTORIE DEK
thefeos univerfalis van den Heer /Fo//bezitten,kunrieri zich de moeite befpaaren van byna van geen ander Boek gebruik te maaken. Men vindt daarin met kiesch. beid en juistheid byna alles verzameld, wat in de zö zuivere, als op de Meetkunst toegepaste Alg^b-a het -merkwaardiglte en gewigtigfte is, zo dat merï Van daar onmiddelyk tot de leezing der zwaarfle Boeken kan overgaan. Wy zouden nog verfcheide andere lofwaardige Werken over die ftoffen kunnen aanhaalen, zo hier ons oogmerk was in die bvzonderheid te treeden. Wy hebben gedacht ons te moeten bepaalen tot een klein getal, en wel byzon^ der tot die Werken, waar uit men eene algemeenere fsennis van alle de deelen der Analyfis kan verkryen-
Einde van het tweede Boek*



HISTORIE
DER
WISKUNDE.
DERDE DEEL,
Bevattende de Hifiorie der Wiskunde, geduurende de zeventiende eeuwe.
DERDE BOEK.
Vorderingen der Optica, tot aan het midden der zeventiende eeuwe.
KORTE INHOUD.
I. Kepler verklaart de wyze op welke men de voorwet* pen ontdekt. Befchryving van het werktuig des oogs. Verkiaaiing van de voornaam/Ie verfchynfelen der ztemng. Andere trekken der gezicht kundige Sterrekunde van Kep. Ier. II. Vinding van den Telefcoop. Verfchilleude wy. zen op welke dezelve verhaald wordt. Weetenswaardige Hukken over dat onderwerp. Vau de verfcheide foorten van Telefeoopent en wie wy dezelve te danken hebben.
III. Van



*3*{ tl I S ï O R I E D E KI
IIL Pan dè Microfcoopen. e» Aêfgw» we« vjh ^rzsA vinding weet. IV,Kepler Zj„e ZWaofc.
( Dioptnca) m 't licht, waar in hy de brandpunten der Linzen-Glafen, en de oorzaak der werkingen van de TcLfvoopen onderzoekt. Flrklaaring van die werkingen, en van die der Microscopen. V?Ontdekking van de wet der flraalbreeking door Sneilius ' Vf üelcarte? poogt dezelve.te bewyzen. Twist deswegens tasjchen hm en Fermat ontfiaan, en hoe die eindigt. Kort denkbeeld der poogingen door andere Wysgeeren gedaan om van deeze eigenfehap des lichts reden te geeven. Vil. Nieuwe inzichten van Desemen over de volmaaking der Tekfcoopen. Zyne ontdekkingen over de gedaantens der oppervlaktens, welke de eigenfehap hebben van het licht te breeken. VIII. Hy voltooit de ver. klaaring van den regenboog door Antonio de Dominig ontworpen.
r.
\V/y komen eindelyk tot een gedeelte vin ons Verk, dat geichikt is om de Leezers te doen rusten van de fterke inlpanning vari geest, welke de voorgaande Boeken' van hun gevorderd hebben. Voorwerpen van eene aangenaamer en genaakbaarer natuur zullen ons in dit Boek bézig houden. De ons-, dekking der wyze op welke de ziening gefchiedt en haare voornaamfte verfchynfelen, de uitvinding'der Tekfcoopen én Microfcoopen, en de oorzaak van hnnne werkingen, de wet der draal breeking, en de gedaane poogingen om van dezelve reden te geeven de verklaanng Van den regenboog, zyn de voornaamfte ftoften, welke men in hetzelve zal vinden. Dier<*e lyke voorwerpen hebben het récht tot zich over&tê haaien , ik zeg niet alleen de Wiskundigen , maat ook alle de geenen voor welken de natuurlyke kenhisfen eenig aanlokfel hebben.
De wyze op welke de ziening gefchiedt, dat ia te zoggen, hoe men de voorwerpen ontdekt, was
nog



WÏSKÜNDE. Hl Deel ÏIL Soek, *S3
aog een geheim in hettydbegin ( Efiocha^, waar toe ons het voorgaande Deel gebragt heeft. Poria en Maurolicus waren zeer na by de waarheid gekomen ; maar toen zy dezelve byna gevat hadden , waren ey ongelukkig daar in bly v;n fteeken. Deeze gewigtige ontdekking was aan het begin det Zeventien dé^eeuwe, en aan Kepler voorbehouden. Deeze eroote man, alle de lichtllraalen , welke hem die beide Na. tilurkundigen verfchaften, by een verzamelende, bragt eindelyk dit geheim, aan den dag. Hy entdak. te het waar gebruik van het Kristallvn en het Netvlies, de aanweezigheid der beelden, welke op het laatfte gerekend worden, en hunne nmkeerihg, de oorzaaken van de duidelykheid en verwarring , met welke men de voorwerpen ontdekt. Hy verklaarde alle die dingen in zyne J/honomia pats'Opüra een Werk waar in men die naauwkeurigheid niet mo-c zoeken, welke het eigenaartig kenmerk der Werken van onze eeuwe is, doch dat vol is van nieuwe denkbeelden , een man van vernuft waardig. Laat ons alvoorens over de inrichting der ziening in byznnder' heden te treeden, van het hulplid, dat daar van hec Werktuig is, een denkbeeld geeven.
Het oog is een holle kloot, welks bekleedfel of Rok uit drie vlieten of dunne huidfes gevormd is Het eerfte is dat 't welk men het Sc/er otit no^mthetzelve is een voortbrengzel van her harde Herfenvhes , (dura Mater), het uiterfte dergeenen WlIke de herfenen bekleeuen. Het Cnorüies, dat beneden is , komt voort uit het dun HerJeuvlies (pia Maler ) of het tweede dunne huidje ,waar mede de herbenen bekleed zyn. Zy komen uit de herfenpan , en hekleeden het waarlyk zenuwachtig deel van de ee« zichtzenuw, welke zich eenigermaate openende.het binnenfte van het Chortides bekleed met een faamenweeflel van zenuwachtige Vezelen, met bloedvaten vermengd; hetgeen hetzelve de gelykenis geeft van een fyn net,en daar door den naam van het Netvlies aan .hetzelve heeft doen geeven. Dit is het derde der dunne huidjes, welke het bekleedfel des ooga Q uit



23+ HISTORIE DER
ztmaaken, en 't is daar in dat het gevoel der ziening yn verblyf heeft (l).
Het voorde deel van het Sclerotis is doorfchynend, en vormt datgeen 't welk men het Hoornvlies noemt: dit is een gedeelte van eenen kleineren kloot, zo dat het oog, van ter zyde befchouwd zynde, in die plaats eene kleine verhevenheid maakt. Onder het Hoornvlies ontdekt men een klein middelfchot, of een Cirkel, die in zyn midden een rond gat heeft; dit noemt men hetDruivenvlies, of de Regenboog (Iris), uit hoofde van deszelfs koleuren. Het Druivenvlies is gevormd uit eene famenvlech. ting van fpierachtige vezelen, waar van fommige rond en gelykmiddelpuntig, andere recht, en als de ftraalen eens Cirkels gefchikt zyn,door welkers beweegiug de opening, waar van wy zo even gefproken hebben , zich famentrekt of uitzet. Het achterdeel van de Iris of het Druivenvlies is in den
menscli
(/) Twee beroemde mannen der voorgaande eeuwe, da Heeren Pecquet en Mariotte, hebben onderzocht, of het Netvlies waarlyk het hulplid van 't gezicht was. De Heer Pecquet was voor het Heilige; de Heer Mariotte was van een tegengeftéld gevoelen, en gaf voor dac hec Chiroïdes dat huipiid was. Het zou te wydloopig zyn hunne redenen te onderzoeken. Doch ondanks die van den Heer Mariotte, welke zeer vernuftig zyn, is het Nee vlies in 'c bezit gebleeven van het hulplid te zyn, dat den indruk van het licht tot de ziel overbrengt; en ik (laa geen oogenblik in bedenking, om hst tegengeftéld gevoelen als volflrekt onbeweerlyk aan te zien. Wat toch km het gebruik zyn van een deel, dat byna gebeelzenuwachtig is, gelyk het Netvlies, ten zy alleen om den indruk der uiterlyke voorwerpen over tö brengen. Daar over kan geen verdeeldheid zyn onder de Phyfiologisten, welke door duizend beflisfende proefneemingen weeten, dac alleen in de zenuwefi, en de deelen, welke het meest uit dezelve zyn faamengefteld, het gevoel zyn verblyf heeft. Men kan de voornaamfte ftukieii van deezeu twist in de Verzameling der Werken vaa acn Heer Mariotte nazien.



WISKUNDE. UI. Detl III. Boei» 235
mensen altoos geverwd met een zwart flym, hebbende de eigenfehap om het binnenfte des oogs te verdonkeren , door alle de zydelingfche draaien op te florpen. Ter plaatfe alwaar het Druivenvlies zich Van het Sckrotis affcheidt, is het zeer fterk daar aan gehecht door een fcindfel, dat men oogappel -fpier (Ciliaris) noemt, eii 't welk, zo als eenige phyfiologifche Gezichtkundigen gis!en , e?n fpier is, welks famentrekking of uitzetting dient, om de uitgebogenheid van het voorde deel des oogs te vermeerderen of te verminderen, ten einde het naar het verfchil der naby zynde of ver afgelegene voorwerpen te fchikken (m). Wat 'er ook van zy, uit dat bindfel gaan eene meenigte vezeltjes , Procesfus ciliares genaamd, welke dienen, om het Kristallyn, waar van wy aanftonds zullen fpreeken , te onderfchragen. De Gezichtzenuw ;s geenszins, zo als de oude Gezichtkundigen die hebben afgebeeld, recht tegen over het gat des oogappels, maar een weinig binnenwaarts en hooger ingevoegd, zo als de ondervinding en de ftelling van 't gat, waar door dezelve uit de herfenpan in de holligheid des oogs komt, zulks aanio^nen.
Deeze holligheid, welke wy nu befchreeven hebben, is met drie vogteu gevuld, het waterachtig, het kristallyn , en het glasachtig vogt. Het glasachtig vogt, dat de vastheid des wits van een iiy fchynt te hebben, is nogthans een zeer helder en zeer vloeibaar vogt, doch dat in eene meenigte kleine vaatjes {capfulx} befloten is; hetgeen liétzelve dat aanzien geeft. Het beflaat den grond van het oog, en houdt het Netvlies tegen het Choroides. Het Kristallyn is als eene klein lenfenglas, beilnen in eene zeer doorfchynende huid, het Arachnoidei genoemd, en vast gemaakt in eene holligheid van
hec
(f») Zie den Heer Jurin, Dif. on diflintl. and indifiitict vifion. Op het einde der Optica of Gezichtkunde van deu Heer Smith.
Q *



936"
HISTORIE DER
het glasachtig vogt, even als de deen eens rings ia zyne kast. Het waterachtig vogt bellaat de voorde kamer des oogs,welke door het middellchot van 't Druivenvlies in tweeën gefcheiden wordt. Zes fpieren, vier rechte, naamlyk één boven, één beneden , benevens twee zydelingfche , en twee fchui. ne, of waar van de richting Diagonaals - wyze i», omringen dien kloot door 'haare vliezige uitzettingen, en zyn diendig tot deszelfs beweegingen. Het voorde van 't oog is eindelyk overdekt met een zeer dun wit vlies, dat men de Cor.jan&iva noemt, en een aanwas is van het vlies, dat het binnende der holligheid bekleed. Zodanig is de famendelling der deelen van dit verwonderlyk zintuig; thans zullen wy overgaan tot betgeen ons onderwerp meer byzonder betreft.
Het voorbeeld van eene donkere kamer, welkers opening van een bultig glas voorzien is , is ongemeen riiendig om de wyze te verklaaren op welke de ziening gefchiedt. De appel iu 'c oog is de opening van de kamer, het Kristallyn is daar van het glas , en het Netvlies is het kaartpapier of de witte muur, waar op de voorwerpen zich fchilderen. Het oog is flegts eene meer famengeftelde donkere kamer. De lichtdraalen, uit het zelfde punt afvloeijende, ondergaan, wanneer zy op het Hoornvlies vallen, en het waterachtig vogt doordringen, een buiging, welke hun eenigzins doen convergeeren of faamenloopen. Een gedeelte wordt door de opening des oogappels ontfangen, en valt op het Kristallyn. Dit lenzenvormig lighaam breekt dezelve nog meer, en maakt ze meer faamenloopende. Zy komen uic het Kristallyn, en ondervinden eene nieuwe breeking, door in het glasachtig vogt over te gaan: met behulp van alle die draalbreekingen verëenïgen zich die, welke uit een zelfde punt van 't voorwetp komen, zo het oog wel gedeld is, zeer naauwUeurig in een ander, en fchilderen op het Netvlies het beeld Van dat punt. Dus vormen alle de Kegels van draa. len,uit de verfchillende puaenvan het voorwerp komen*



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek, 837
mende, deszelfs beeld op bet Netvlies, en hetzelve is omgekeerd, zo als Kepler ten laatften ontdekte, na zich lang en te vergeefs gekweld te hebben, om het recht te ftellen (»). Men kan zich door procfrieeming van alle die ftukken gemaklyk verzekeren. Men neemt een oog van een pas geftorven dier, en hetzelve van achteren van zyne vliezen ontbloot hebbende,zonder het Netvlies tebefchadigen, houdt men het voor de opering der donkere kamer. Men ziet alsdan alle de uitwendige voorwerpen, met eene verrukkende waarheid, omgekeerd zich daar in fchilderen.
In 't bezit van die zaaken z^nde, zal het ons niet meer moeijelyk zyn verflag te doen van de wyze op welke wy de-voorwerpen ontdekken. Wy zullen met de meeste fchryvers niet ftilftaan by die elkander zo wel gelykende beelden, welke zich op het Netvlies fchilderen. Zulks zou niets anders zyn dan te onderltellen, dat de ziel dezelve daar op even als ineen fpiegel, die haar dezelve vertoonde, zou befchouwen; hetgeen belagchelyk en kinderachtig zou zyn. Men moet de oorzaak der ziening navorfchen in den indruk, welke ieder lichtkegel oeftentop de zenuwachtige vezel, die hy met zynen top bereikt. Men behoeft zich geenszins te verwonderen, dat het licht, in weêrwil van deszelfs ongemeene fynheid, indruk kan maaken op de zenuwen, vermits heizelve, tot eenen zekeren graad van die dichtheid gebragt, bekwaam is, om eene fmertelyke aandoening op de zenuwachtige tepels van het zintuig des gevoels te ve wekken. Men kan dienvolgens in de vezeien van het Netvlies eene zodanige gevoeligheid onderftellen, dat de werking van het licht dezelve kan doen trillen. De ziei, hoedanig ook de natuur van haare verëeniging met het lighaam zy, die trilling opmerkende, zal van eene zekere gewaarwording aangedaan zyn, en de tegenwoordigheid van het licht ontdekken, zo als zy de andere hoedanigheden der lighaamen door die der zenuwen, voor de andere zin-
tui-
(») A/lron. Optica, p 205. soS.
Q 3



s38 HISTORIE DER
tuigen gefcliifct, ontdekt. Men kan ook begrypen , en bet is waarfchynlylc dat zy verwittigd wordt van de verfchillende grootheid der voorwerpen door de afgelegenheid der vezelen van het Netvlies, welke de uiterfte ftraalen ontfangen ; van de fterkte des lichts door de hevigheid der trilling die hetzelve verwekt; van de koleuren door de natuur van die verfchillende trilling , zonder twyffel, naar het verfchil der koleuren; van de gelegenheid of den ftand der voorwerpen door die d«r vezelen, welke het indrukfel daarvan overbrengen. De beruchte vraag, waarom men , daar de beelden omgekeerd op het Netvlies gefchildcrd zyn, nogthans de voorwerpen recht ziet, is, naar myne gedachten , flegts eene kinderachtige vraag. Wy kunnen van het rechte en omgekeerde niet oordeelen, als door vergelyking met den ftand van óns lighaam, en met de gewoone gelegenheid der voorwerpen. Van teen afdatwy begonnen hebben van onze zinnen gebruik ie maaken, hebben wy de gewoonte aangenomen, om aan de trilling van een boven-vezeltje van het Netvlies het denkbeeld te hechten van een voorwerp, dat beneden of nader by onze voeten is. Als men dus vraagt, waarom, daar de beelden in het oog omgekeerd zyn, de voorwerpen ons recht fchynen, is ïulks niets anders dan te vraagen , «vaaröm wy de voorwerpen zien, zo nis wy gewoon zyn dezelve te zien. Ken blind geboorene, wien het licht fchielyk wedergegeeven zou wotden, zou in 't eerst noch van naby, noch van verre, noch hoog, noch laag zien. Dfc was het geval van hem , aan wien Chefelden de ftiar ligtte; hy begon niet eerder over de ftanden en verwyoeringen te oordeelen, als na dat hy de voorwerpen betast hadt. Defcartes bedient zich van de vergelyking eens blinden.die tweekruislings over elkander liggende Hokken houdt, en door den indruk der linkerhand oordeelt, dat het voorwerp ter rechterhand is , en in tegendeel. Deeze vergelyking is vernuftig , en beantwoordt vry wel aae de zwaarigheid , als men flegts in aanmerking
neemt,



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. 239
neemt, dat het niet door de natuur van 't gevoel is, dat die blinde den geoefienden indruk op de linkerhand tot een voorwerp , aan de rechterhand geplaatsr, overbrengt, maar eeniglyk door de gewoonte, die hy aangenomen heeft, om 'er dus over te oordeelen. Zonder deeze gewoonte zou hy, even als de blinde van Chefelden, voelen; doch hy zou geen oordeel kunnen vellen over de gelegenheid van het voorwerp, waar van hy aangedaan zou zyn.
De duidelykheid met welke wy een voorwerp ontdekken , hangt af van die met welke deszelfs beeld in het oog gefchüderd is. Als elk der kegels, door de ftraalbreekingen van het oog gevormd, zynen top naauwkeurig op het Netvlies brengt, zullen alle de deelen van het voorwerp en deszelfs randen n?auwkeurig bepaald zyn; men zal alsdan het voorwerp duidelyk zien. Maar zo die top vóór- of achterwaarts valt, zal dat beeld verward zyn, als wanneer in de donkere kamer de muur, waar op de voorwerpen zich fchilderen, fe dicht by, of te ver van het glas is: in dit geval kan men niet anders dan verward zien. Het is derhalven voor het duidelyk zien van veel aanbelang, dat het oog zodanig gefteld zy, dat de vereeniging der gezichtftraa. len niet te naby, noch te ver, maar naauwkeurig op het Netvlies gefchiede.
Dit brengt ons natuurlyk tot de oorzaak der gebreken, welke men in de verfchillende gezichten befpeurt. 'Er zyn menfehen welke de voorwerpen niet als op zeer kleine afilanden ontdekken, en anderen welke alleen de ver afgelegene voorwerpen duidelyk zien. Dit laatfte gebrek is doorgaans dat der oude lieden, en men geeft om die reden den naam van Verrezienden aan hun,welken hefwerktuig des gezichts dus gefteld hebben: de anderen worden
i>..~:„.*,h,*, ctoriüomr). ' Tn Ap Vprrpzipnrlpn hrppkpn
het Hoornvlies of het Kristallyn , als te plat zynde, j het licht niet genoeg,of mhfehien brengt eenige by{ zondere gefteldtenis het Netvlies te dicht by het Kris-
callyn. Daar door gebeurt het, dat deftraalen van Q 4 een



240
HISTORIE DER
een nabuurig voorwerp komende, en dienvolgens te veel van elkander wykende, zich niet als achter het Netvlies verëenigen,- maar zo het voorwerp ongemeen ver verwydeid is, zo dat de ftraalen, welke Uit ieder van deszelfs punten komen, zichtbaarlyk evenwydig zyn, zal de trap van firaalbreeking, welke zy in dat oog zullen ondergaan, genoegzaam zyn om hun te doen fa menloopen, en zich naauwkeurig op het Netvlies verëenigen. De kunst komt deeze fchikking van de natuur of het voorwerp te baat door middel van een rond verheven glas. Dit glas' ■waar door de flraalen, van de voorwerpen afkomende, minder van elkander wyken,of evenwydig worden , maakt dezelve gefchikt om zich naauwkeurig cp het Netvlies te verëenigen, en zie daar de reden waarom de glafen van deeze gedaante nuttigzyn voor hun, welke men Verrezienden noemt.
Het gebrek der liyzienden is hit gevolg van eene gantsch ftrydige oorzaak. Zo de vogten van het oog de licht flraalen te veel breeken , zo het Hoornvlits of htr Kristallyn te bultig, of het Netvlies te veel verwyderd is, zullen de flraalen zich vereent, gen, alvoorens hetzelve te bereiken, en flegts een verward beeld daar op fchilderen. Dit gebrek ka» verholpen worden met een holrond glas, 't welk die flraalen verdeelende, hunne vereeniging vertraa* gen, en het beeld duidelyk maaken zal.
De verklaaring der wyze op welke dezieningge* fchiedt is niet de eenige verditnfle van het Werk van Kepler. Het vertoont ons nog verfcheide andere voorwerpen , welke waardig zyn aangeweezen te worden. Zodanige zyn de oplosfing van het Problettta van Anfioteles over de rondheid van het licht der Zon , gaande door een gat van eenige gedaante , en op eenen zekeren afltand voortgeworpen; de oorzaak d(t uitzetting van de fchynbaare middellynder Waan en van a'le de lichtende lighaamen, op eenen donkeren grond geplaatst , als mede van haare inkrimping in de Zon- EcJipfen; hrr onderzoek van het dua verre aangenomen grondbeginfel over de plaats
van



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. a4i
van het beeld ïn de bolronde fpiegels, eene plaats welke men in den fainenloop van den Perpendiculair van invalling met den terug gekaatften ftraal ftelde. Kepler toont aan, dat men zich tot in dien tyd bedrogen hadt , en dat dit grondbeginfel eene naauvvere bepaaling noodig heeft. Hy befluit in het zelf. de Werk ö priori ( o) de fchynbaare langrondheid der Zon naby den Hotizen, eene ontdekking die ge. meenlyk aan den V. Scheiner wordt toegeëigend. Men vindt in hetzelve nog verfcheide ongemeene Waarteemingen van de Gezichtkundige Sierrekunde, als over de gedaante van het licht der Zon, door den dampkring der Aarde,en dwars door derzelver fchaduwe voortgeworpen, waaruit eenige zonderlinge verfchynfelen der üclipfen voortkomen, welkers. Ier zeer wel verklaart. Maar hy was in andere opzichten minder gelukkig: men ziet liern veele poogingen doen, en zich op veelerlei wyzen keeren en wenden, om de wet der firaalbreeking te ontdekken. Hy beproeft eene meenigte redens, welke hy vergelykt met de Tafel, door Vüellio gemaakt, en dieder bterrekundige ftraalbreekingen, door Tycho gegeeven. Maar zich altoos vergenoegende met die reden tusfchen de ftraalbreekiug zelve, en dt Sinus of de Secans van den hoek van helling, te zoeken, miste hy de waare reden; en de Heer Plamfleed, die hem van de ontdekking deezer reden de eere geeft (/>), heeft zich zekeflyk vergist. Kepler was niet gelukkiger in de nafpooring van een ander Voorftel der Gezichtkunde, naamlvk dat om de ftraalbreektnde oppervlakte te bepaalen, welke de ftraalen, uit een punt komende, evenwydig, of naar een gegeeven punr. faamenloopende zal maaken. Het voornaamfle grondbeginfel van deeze nafpooring ontbrak hem, gelyk ook de hulrmiddelen der Meetkunde , die dezelve vordert. Dus is het niet te verwonderen, dat hem zyn oogmetk hier in geheel en al mislukt is.
IU
(o) Pag. T3I-
(p) Hifi. ce.'efiis proleg.
Q 5



«4-
HISTORIE DER
I I.
Zo 'er eenige vinding is, welke op onze verwondering recht heêft, is het zonder twyffel dievan den Telefcoop en Microfcoop. Laaten wy ons voor een oogenblik in die eeuwen overbrengen, waar in men nog die verwonderlyke Werktuigen miste; wat zouden toen wel de VVysgeeren zeiven gezegd hebben, als men hun hadt aangekondigd, dat 'er een dag zou komen, op welken men , met behulp van eenige doorfcbynende ftoffe , op eenige kundige wyze bewerkr, de verst afgelegene voorwerpen nader by zou brengen, en de kleinlte in zo verre vergrooten, dat men alle hunne deelen zeer duidelyk kan onderfcheiden. Zonder twyffel zouden zy deeze bekendmaaking als eene herlènfchim aangezien hebben. Dit is nogthans hetgeen 't begin der voorgaande eeuwe gezien heeft, en waarvan wy heden nog dagelyks getuigen zyn. Wat is 'er dus meer gdchikt om het menschlyk veriland te leeren van zyne eigene krachten, die van den tyd en het geval, niet te veel te mistrouwen !
Het is zeer zeker, dat de Telefcoop in de aloudheid onbekend was. Het oudlte &edenk(tuk, dac men heefc aangehaald, om daar van het tydmerk vóór het begin der zeventiende eeuwe te brengen, is een oud Handfchrift, aangehaald door den V. MaMllon, in zyne Keize van Duitschland (Voyage d'Allemagné) (q), waar in men eenen Ptolomeus, door eene Tubus, famengefleld uit verfcheide beweegbaare en in elkander fchuivende pypen, naar een Hemellicht ziet mikken. Men heeft daar uit befloten, dat die Tubus een Telefcoop was, en dat dit Werktuig reeds bekend geweest is in den tyd, waar in dit Handfchrift gefchreeven is; hetgeen omtrent het midden der dertiende eeuwe fchynt te zyn. Echter heeft men, niettegenftaande de waarfchyn-
lyk-
(q) Pag. 46.



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. a43
lykheid van dit getuigenis, zich nog niet kunnen overreeden, dat een zo wonderlyk Werktuig zo lang in de duisterheid begraven geweest hebbe, en n;en heeft liever willen denken, dat deeze Tubus Diets anders was dan eene foort van Dioptra, ge» fchikt om de zydelingfche flraalen te verftrooijen» Daar benevens zou men, om dat getuigenis te onderzoeken, eene getrouwe afbeelding van die tekening moeten hebben. Het is niet zeldzaam Geleerden te zien, die, vooiïngecomen met eene ontdekkinge, welke zy meenen gedaan te hebben, zich verbeelden in eene plaats iets te vinden dat 'er niet in is; desgelyks is het mogelyk, dat de geleerde Benedictyner, hier boven aangenaaid, de overeenkomst van het Werktuig, dat de tekening, waar van wy fpreeken, voordek, met een Telefcoop eenigzins vergroot hebbe.
Zo wy geloof flaan aan het in 't gemeen aangenomen gevoelen, dan hebben wy den Telefcoop aan het bloot geval te danken. Defcartes, die in het Land zelf fchreef, dat denzelven hadt zien geboren worden, was van dat gevoelen. Hy beginc byna zyne Dioptrica met die vernederende bekenteuis: na eene korte loffpraak van den Telefcoop, vervolgt hy in deeze bewoordingen: „Maar, tot ,, fchande voor onze Weetenfchappen, is die zo ,, wonderlyke vinding in 't eerst niet als door proef. „ neeming en geluk te weeg gebragt. Het is omtrent dertig jaaren geleden, dat zekere Jacobus, Merius^een mandie nooitgefludeerd hadt, fchoon ,, hy eenen Vaderen Broeder hadt gchid, welke 3, zich op de Wiskunde hadden toegelegd , doch die „ vermaak fchepte in het maaken van fpiegels en brandglafen , by die gelegenheid glafen van ver, fchillende gedaantens hebbende, op den inval „ kwam, om door twee glafen, waar van hét eene ,, bultig en 't andere hol was, te kyken; en hy voegde dezelve zo gelukkig aan bet einde van een ,, pyp of buis , dat de eerfte der Kykers, waar van wy fpreeken, daar door werdt faamengefteld,"
Som.



44 HISTORIE der
Sommige Scbryvers, weinig in hunnen fchik met deezen oorfprong van den Telefcoop, hebben, zo het fchynt gezocht dezelve nog meer vernederend^ voor de Wcetenfchappen cn het menschlyk verftamd te maaken. De Kinderen van eenen BrllJenmaater te Middelburg, zeggen zy, in den winkel van hunnen vader iprelende, kwamen op den inval om Lt twee glafen, het een bultig, het ander hol, naar den haan van hunnen toren te kyken; en, daar bv- ceS dï ze twee glafen zich oP den behoorlykentfftandhl vonden zagen zy hem zeer vergroot en zéérnabv Zy maakten hunne verwondering bekend aan hunnen Vader,-dje, om de proefneeming gemaklyker emaa
ieefcSVeWPerderf dUUrf,Zaame 4* °P een P™"" je ïcniKte. Weldra voegde een ander dezelve aan de
einden van een Pyp, die", door het zyleZg™^ te verdrooijen, de voorwerpen duidelyk?- deedt. fchynen. Een derde maakte de pypen bewee-baar en in elkander fchuivende. Zodanig was de SnS van den Telefcoop, die kort daar na, na.r?enQ gekeerd zynde, de wonderlvkfte verfchynfelendaar aan deedt ontdekken, welken de Knnfteiars en Ge! leerden met ailen yver poogden te volmaaken, en die men hedendaags eindelyk tot eenen verbaalenden trap van volmaaktheid gebragc heeft. °™zc™en Een Autheur van het midden der voorsaande eeuwe Cr) heeft poogingen gedaan, om op hTw van deeze vinding te komen, en dezelve aan haare weezenlyke Autheuren toe 'te wvzen. Hy bfen« vyf gerechtelyke getuigenisfen by , en eenen Brief van een Gezant der Staaten van Holland! weke over dat onderwerp eenig licht verfpreiden! Van deeze vyf getuigenisfen zyn 'er twee, welke de eer
£ wVï Te,e(C0°,P eenen «keien ZarE Brillenmaker te Middelburg, toeSïgenen Zy veifchnien, wel is waar, in de dagtekeningeni
het
^f r) Pieter Boreel, De vero Tdefcopii invet ore. In 4",



WISKUNDE. III. Bul. III. Boek. 445
bet eerfte, 't welk dat van den zoon van Zacharias is, brengt het tydmerk derzelve tot in 1590 te rug, en dat van de Zuster verichuift dezelve flegts toe het Jaar 1610. Maar de drie anderen zeggen geen woord van Zach.irias, en wyzen de vinding, waarvan wv fpreeken, toe aan eenen zekeren Jan Lap' prey, Brillenmaaker in de zelfde ftad.
De Brief van den Hter Boreel bevat verfcheide zonderlinge ftukken,welke waardig zyn hier plaats te vinden. Deeze Gezant der Staaten verhaalt, dac hy dien Zacharias Jans, waar van wy boven gefproken hebben, byzonder gekend heeft, als hel-» bende in zyne jeugd dikwyls met hem gefpeeld,en meemgmaal in den Winkel van zynen Vader geweest ; dat hy verfcheide reizen heeft hooren zeggen, dat zy de Vinders van den Microfcoop waren; dat hy, in 't Jaar 1Ö19 in üngeiand zynde, onder de handen van Cornelis Drebbel, zyn vriend, den Miaefcoop zelf gezien hadt, dat Zacharias er* zyn Vader den Aartshertog Albert hadden aangeboden, en dat die Vorst aan Drebbel gegeeven hadt; vervolgens maakt hy 'er eene belchryvicg van, welke niet toelaat denzelven voor iets anders dan eenen ftanengeftelden Miciolcoop te neemen: Hy voegt 'er nog by, dat de beide bovengemelde' Brillenmaakers omtrent het Jaar jöio de Telefcoopen uitvonden , en dat zy èén derzelven den Prins Mat:rits aanboden, die dezelve geheim wilde houden, om zich op eene voordeelige wyze daarvan te bedienen in den Oorlog, waarin de veiëenigde Provin. cien toen gewikkeld waren. Maar de vinding raakte bekend, en op het gerucht, dat dezelve maakte, kwam een onbekende te Middelburg, en naar den uitvinder des Telefcoops zoekenüf, vervoegde hy zich by Jan Lapprey, dien hy daar voor aanzag , en gaf hem door zyne vraagen aanleiding, om deszelfs faamenftel, dat hy het eerst ontdekte , te raaden' hetg een hem voor den Vinder deszelven deedt aanzien. Nogthans, voegt de Heer Boreel 'er by, onr. dekte men kort daarna den misflag. VVant Adrianus
Me-



»4ö HISTORIE DER
Metius en Drebbel, kort daar na te Middelburg gekomen zynde, gingen aanftonds by Zacharias fans, van wien zy Tekfcoopen, enz. kochten. Op deezen grond wysc de Autheur van het Boek de vero Te. UJcepn tnventere de vinding van den Telefcoop toe aan Zichartas Jam: de Brief van den Heer Boreel brengt m de daad vry wel overeen de tegeaftrydig. liejd. der getuigenisfen, die wy boven aangehaald nebben. Maar wat zullen wy van den Microfcoop zeggen? moeten wy, tegen alle de tot hier toe aangenomenedenkbeelden , geloven, dat deszelfs oor. Iprong dien van den Telefcoop voorgegaan hebbe? ftgep zon dit nogthans moeten befluïten uit het getuigenis van dien Gezant der Sfaaten, dat, zo het mytoeichynt, ©nmegelyk verworpen kan worden, ten zy misfchien door eenig gebrek van geheugen tegen te werpen. Het zy my genoeg deeze Hukken voorgedragen te hebben, welke my als weinig bekend zyn voorgekomen, fchoon duizend Autheurs gelegenheid gehad hebben, om over de vinding van den Telefcoop te fpreeken. Ik laat het aan den Leezer over dezelve te overweegen, en daarna een befluit te neemen.
Wat 'er van de ontdekking des Telefcoopsookzy, dezelve was te voortreffelyk, om in één gewest van Europa lang befloten te blyven. Het duurde niet lang of zy verfpreidde zich aan alle kanten, en men belpeurt gemaklyk, dat de Geleerden en de Sterrekundigen de laatften niet waren om 'er belang in te ftellen. _ Maar onder die geenen voor weiken die Werktuig geen ydel onderwerp van nieuwsgierigheid was, verdient Gal/leus den eerften rang. Hy was te Venetien, toen het gerucht der ontdekkinge, waar van wy fpreeken, zich aldaar verfpreid. de. Onzeker wat hy gelooven moest, wachtte hy daarvan de bcvestiaing, welke Brieven, uit Parys gefchreeven, hem eindelyk bragten. Daar hy toen verzekerd was van de wonderen, welken de faam van het nieuw Werktuig verbreidde , begon hy , naar zyn zeggen, met behulp van de Theorie der
ftraal-



WISKUNDE. III. Deel. lil. Boek. 247
llraalbreekingeo grondig te onderzoeken, welke deszelfs faamenftelling konde zyn, en hy ontdekte dezelve. Dy voorzag de einden eener pyp van twee glafen,'het een bultig, het ander hol; en dezelve naar de voorwerpen keerende, bemerkte hy, dat dezelve in hunne middellyn driemaal vergroot werden. Dit eerde geluk moedigde hem aan; hy maakte kort daar na eenen anderen Telefcoop, die omtrent agt maal vergrootte: eindelyk, noch moeite, noch kosten fpaarende, voorzag hy zich van eenen Telefcoop, die omtrent drie-en-dertig maal in middellyn vergrootte, en het was door middel van deezen laatlten, dat hy de Satellieten van Jupiter, de vlekken der Zon, enz. ontdekte.
Hetgeen wy hier nu bygebragt hebben, is volgens het verhaal zelf van Galileus. Dus is niets minder gegrond clan het voorgeeven van hun, welke hem voor den Vinder van den Telefcoop gehouden hebben. Hetgeen men hem niet kan weigeren is, dat hy het eerst een Telefcoop van eene zekere lengte gemaakt, en naar den hemel gekeerd heeft. Het is mede waar, dat, volgens het verhaal 't welk hydoet, in zyne ontdekking meer verdiende is, dan in die van den Hollander, die waarfchynlyk flegts by toeval daar toe geleid werdt. Maar moet men Galt* leus op zyn woord alleen gelooven , wanneer hy zegt, dat hy geen kennis hadt van de gedaante der glafen, welke in het famenftel van dat nieuw Werktuig kwamen? Het is tnoeijelyk zich te overreeden, dat hy ten minden niec gehoord zou hebben, dat het bedondt in twee glafen, aan de einden van een pyp gevoegd. Nu was in dat geval het getal der famenvoegingen van te beproeven glafen niet zeer groot, en dit was zonder twyffel het kortde middel, otn deszelfs [weezenlyk famenftel te ontdekken. De Dioptrica was nog te weinig gevorderd, op dat hit mogelyk ware anders als door beproevingen daar toe te geraaken. Hetgeen Galileus ergens zegt, dat hy door zyne Theorie bevondc, dac 'er noodzakelyk een
bul-



35° HISTORIE der
hÊ%7j&lWamSzyn'toont ten minftea dat
,was/eDen ë^nhmn tyd aileeq in gebrok. Men kende nog geen ander in den tyd van
J'aaren daar n« 'dreef. LZyD,6 ÖTW* gcea andere famenvoc ging van glafen, dan die vaneen bultig Objeft . glas met een hol oog-glas. Deeze fchikk.ng heeft nógthans een zeer groot gebrek; hier in beftaande rf£ zyde uitgeftrektbeid der verwerpen, welkenmen met eenen enkelen opflag van het oo» on ! -
nTaTrVrrr1' ** dk ^brS vefmTdt 'naï maate de Telefcoop meer vervroor ™ ,iU ™ • ,
hedendaags bezwaarlyk ka^^Sed" dafdzeive
zulke groote cuenften aan de Sterrekunde he4 Ttm
nen doen, als hy onder de handen van eenen rT
kus, eenen Scheinet, enz. gedaan h ft 1 ?
kers van deeze fchikking zyn Sr ■ Ia* mt w y"
engten bepaald. Zelden ziet men zul ke°Kyk rs 'dfe
langer dan van wftien tot agtien duimen X,f » Je
gemeende zyn flegts vyf 0f zes S" 2y^eu .d«
minder lang. Deeze eerfte foo t va KvkW l^!?
wegens deszelfs oorfprong, ^£%^$l
St^kuXnfZ^ van den
kend te heoben. Deeze is de SSood" 23 SC* int twee bultige glafen is famengeftela ?en £ werpen omkeert, iets dat van weinii « da,Vü0r' heid is voor de Waarneemers w,ilig plegenis daarvan onderricht ^zyn? V ölr Lfhf g/10eg in zyne Z>«p/rfca (0 op eene wvfj b.efchryft hem met kan m.fkennen, en PhïerfcT2rt%£r me7 5™ zelfs werkingen, zo'a.s Sn uf SPoiïSXS ^ wy eerlang in dit Werk zullen doen ! zKien!
Maar
(O /ro*. 8S.



WISKUNDE. 10. DM. 1IT. Boek. «49
Maar hy liet het daar. by berusten. Deeze beroem^ de man, zich eenigiyk daar op toeleggende om de hemelfche beweegingen met naauwkeurigheid te bepaalen , maakte weinig gébruik van den Telefcoop, cn dit is waarfchynlyk eere der redenen, om welken hy verzuimde in praktyk te brengen hetgeen eene-' lichtVerfpreidende Theorie hem geleerd hadt. bene andere redert Van het weinig belang dat Kepler in zyne ontdekking ftelde, zou kunnen zyn, dat hy het voordeel van die nieuwe famenvoegmg van glafen niet kende; naamlyk de zeer groote vermeerdering van het veld der ziening. Misfchien was hy van. oordeel, dat het vry onnoodig was eene fchikking van glafen te beproeven, welke van de reedsbekende eenigiyk daar in moest verfchillen, dat zy de voor* werpen zou omkeeren. ,
Het gemeen gevoelen is, dat de Vader de Rheiiai een Capucyner Monnik, die geen is, welke de eerfte uitdruk!} ke melding van den Sterrekundigen Telefcoop gedaan heeft. Maar dit gevoelen is kwalyk gegrond, en zy, die hetzelve beguulligd hebben, hadden de Rofa urfina van den Vader Schemer, in 't jaar 1630 in 't licht gekomen, niet geleezen. Het is , naar myne.gedachten, die Vader, welke de werking van een bultig oogglas, voor een bol in plaats gefteld, hét eerst door de ondervinding duidelyk heeft leeren kennen («)- ü Zo gy, zegt hy, twee „ gelyke. Lenfenglafen,- naamlyk beide bultig, aan
den Tubus voegt, en op de behoorlyke. wyze het ,, oog daar dicht by brengt, zult gy alle de aardfche ,, voorwerpen, wel is waar, omgekeerd, doch ver,<, groot, en met eene zeer groote helderheid en uit-. ,, gebreidheid zien. Gy zult desgelyks de Hemel„ lichten zien, en naardien zy rond zyn,zal hunrt ne omkeering hunne uiterlyke gedaante niet benaw deelen." ; Wat verder geeft hy de famenftelling van den Telefcoop met drie glafen, welke de voor-
wer*
%f) llo/a urfina, p. 139. & feq'.
11



**5o HISTORIE D'ER
werpen herftelt, en waar van Kepler ook het grorttr» beginfel bekend was. Hy zegt eindelyk op de zelfde plaats, dat hy zich vóór dertien Jaaren, in eene waarneeming, welke hy vóór den Aartshertog Maxi* miliaan had gedaan , van twee bultige glafen bediend hadt. Dus kan men zich niet onthouden den V. Schemer als den eerften te erkennen, die de Theorie "van Kepler, over deeze twee nieuwe Telefcoopen,in praktyk heeft gebragt. Het is waar, dat een Napolitaansch Waarneemer, Fontana genaamd (a),zicft de vinding van den Sterrekundigen Telefcoop, gelyk mede die van den Microfcoop, aanmaatigt. Hy geeft voor, dat hy dien het eerst reeds in 't Jaar 1608 gevonden heeft, en brengt het fchriftelyk getuigenis by van eenen vriend, welke zegt hem daar van gebruik te hebben zien maaken omtrent het Jaar 1614. ivlaar deeze foort van laat aankomende aan» fpraaken op iets vinden altoos weinig ingang, ten zy men zeer overtuigende bewyfen daar voor heeft., In de Republiek der Letteren is, even als inde maat» fchappy, eene foort van verjaaring , tegen welke men niet toegelaaten wordt zich aan te kanten. Zo FontatM reeds in 't jaar 1608 in 't bezit van den Sterrekundigen Telefcoop was, waarom maakte hy dan toen zyne ontdekking niet bekend tot welzyn der Sterrekunde , en om zich de eere daar van te verzekeren? Deeze gierige uitvinders, die van 't geen zy gevonden hebben een geheim maaken, verdienen niet meer daar in geloofd te worden t wanneer anderen, de zelfde zaaken vindende, hun vóórkomen, en dezelve aan de maatfchappy mededeelen.
Wy zyn dan nu reeds in 'r bezit van drie foorten van Telefcoopen; de Bataaffcfie met twee glafen, bet een bultig, het ander hol; de Sterrekundige met twee bultige glafen, en een derde die, met behulp eener zekere fchikking van twee bultige oog.
gla»
^ (») Nova terreplrium £p celeftium oif. Neap, 1646^



WiSKUNDE. fit Deel HL Boek. 25Ï
|*ïafen , de voorwerpen herftelt. Deeze laatfte heeft ,'rogthans het gebrek van de voorwerpen eenigzins krom aan de randen te vertoönen, van aan de koleu • ren des regenboogs zeer onderhevig te zyn, en de' onvolkomenheden van 't eerfte oog-glas in 't oog te doen loopen; om die reden heeft men eene andere 'famenvoeging van, glafen gezocht, bekwaam om, zonder die belemmeringen, de voorwerpen te herdellen, De V. de Rbeita fchynt my daar van de Vinder te zyn. Na ah dorens den Telefcoop met diic glafen, waar van zo even gefproken is, be'fehreeven te hebben, maakt hy eenen anderen be"kend (v) onder verplaatde letteren, welke hy int 't vervolg verklaard heeft. De zin derzelven is 4 ' dat vier bultige glafen de voorwerpen beter herftellen, en dat van die vier glafen drie de oog-glafen* en een ander het object-glas zyn. Rheita hadt reden té zeggen, dat die Telefcoop de voorwerpen beter herftelt: op eenig verfchil na van klaarheid4 geniet hy de zelfde voordeden als de Üterrekundige Telefcoop.
, De Teiefcoopen, welke wy nu befchreeven hebben, voldoen aan alle de oogmerken, welke men zich kan voordellen. De Bataaffche is uitmuntend voor de kleine afftanden; de Sterrekundige is gemaklyker voor de hemelfche beweegingen; de laafde, die men Aardfche noemt, is in alles de beste die men kan wenfehen, om de voorwerpen te befchouwen, welken het voordeelig is in huune na» tüurlyke gelegenheid te zien. Daar zyn echter nog eenige andere foortcn van Telefcoopen, doch die weinig^ opgang gemaakt hebben. Zodanige zyn zekere Telefcoopen met vyf, of meer, bultige glafen, welke men by Defchaies (w) befchreeven Vindt. Zo 'er fomtyds van die foort geweest zyn,
wel-
(v) Oculus Enoch £f Eliee, feu radius jiderto°myfti*
CUSi
4«0 In Diopirica. Mund. Math. T. IIL* R 2



••5* HISTORIE DER
welke om hunne deugd zyn geacht geworden, denk' ik dat zulks voortkomt uit de uitncemendheid deï gl.ifen, waar uit zy faitoengefterd waren, en dat zy liog beter zouden geweekt zyn , als zy even als de Scerrekundige of de Aardfche Telefcoop , eehvouwdiger waren geweest.
Hevelius maakt ook gewag van eer/en Telefcoop met twee bultige objedï - glafen , en een hol oog. glas. D zelve was reeds befchreeven döof Syrturus in zyn Telefcopium (x); maar het is zichtbaar, dat die beide objcct-glafen van de welfde waarde zyn als een enkeld glas, en cfat deeze flegts een Bataafsche Telefcoop is: deeze fchikking kan nogthans in zekere omftandigheden voordeden hebben. De Heer Molyneux (y) gewaagt met veel lof van eenen Sterrekundigen Telefcoop met twee object - glafen , en h/ noemt denzelven nacht' Telefcoop, uithoofde dat men dien voorriaamlyk in de waarneemingen by nacht gebruikte: in de daad, naardien elk der object.glafen alsdan tot eenen kloot behoort, die het dubbeld is Van dien, waarvan het enkeld Objecï-glas een gedeelte zou zyn geweest, kan men hem eene openiug; geeven, die in oppervlakte omtrent het dubbeld van die des laatlien is, hetgeen gemaklyk kan zyn, om weinig verlichte voorwerpen te belchouwen. Daar is nog eene andere famenvoeging van glafen, door eenige Gezichtkundigen vonrgelleld, mét oogmerk «m een middelmaatig objeót-glas te doen dienen, om een veel grooter beeld, dan de lengte van deszelf» brandpunt medebrengt {%-), te fchilderen. Zy wilden, dat men een weinig vóór het brandpunt,
op
C*) 1013- in 4°- Dit is een Werk van zeer weinig belang, en mei ziet gemaklyk, dat Syrturus flegts een offwpeie-.de was, wien zelfs de beginfèlen der Dioptrha niét beker, d waren.
(j) Dioptrick.
k») Vindiagen van den Heer de Hautefeuillu



WISKUNDE. III. Deel, lil. Boek. 355
x>p eene zekere venvydering „ een hol g'as voegde, ;op dat hetzelve, door de verëeniging der Ihaaien te vettraagen, het beeld vau het voorwerp vergrootte. Het oog-glas zou, even als in den Srerrekundjgeu Telelcoop, bultig moeten zyn. Deeze famenftelling is vernuftig, en in de Theorie goed, maar de praktyk heeft 'er gebreken in doen ontdekken, waarom men dezelve verworpen heeft.
Wy moeten hier niet vergeeten den tweeledigen Telefcoop, eene andere vinding van den V.Rheiia, en welke een Gczichtkundige van zyne order (de V. Chf-rubiti van Oriéans) veele jaaren daarna in aanzien heeft trachten te brengen. Dezelve be? ftaat in twee gelyke Telefcoopen, welke zodanig gefchikt zyn, dat men door dezelven te gelyk het zelfde voorwerp ziet. Hier in komt een merkwaardig verfchynfel voor, en waar uit men echter niet moet beftuiten, dat deeze Telefcoop eenig voordeel boven de andereu heeft. Wanneer men door een der beide Telefcoopen een voorwerp befchouwt, ziet men hetzelve als naar gewoonte door een Telefcoop van de zelfde deugd, en de zelfde lengte; maar zo dra men in de "beide Telefcoopen te gelyk ziet, fchynt het veld der ziening zich te ver&rooten, en het voorwerp vertoont zich als dan veel grooter en van nader by. Maar dit is flegts een bedrog van het gezicht: men outdekt door dat middel niets , dat een der beide Te. lefcoopen alleen niet aan een oplettend oog zou vertoonen; 'er zyn flegts eenige trappen van meer. dere klaarheid, hetgeen de werking is van den dubbelden indruk, welke te gelyk in de oogen geichiedt. Voorts ftaat dit voordeel gelyk met hec ongemak,om naar het zelfde voorwerp te mikken, en in weêrwil der lofredenen van den V. Cherubin, ftellen wy grootelyk's in twyffel, cat de Ob/èrvatcria. zich ooit van zodanige Telefcoopen zullen vooïzien.
R 3 Ui.



154
historie der
i i i.
Op de Hiftorie van den Telefcoop moet natuur? lyk die van den Microlcoop volgen.. Hetgeen de eerfte in de Sterrekunde is , is de tweede in de Natuurkunde; zo de een ons eenigermaate in de afgelegenfte hemelgewesten overbrengt , ontdekt ces de ander de kleinlte voorwerpen der natuur: de eerfte heeft ons de verbazendfte verfchyn?elen in de Hemelen doen ontdekken, en voornaamlyk veel toegebrage, om de denkbeelden der Natuurkundigen over het ftelfel van 't Geheel-al te verbeiden. De hatfte heeft, door cns in de innerJyke lamenvoeging der lighaamen te doen dringen» cns eenigermaate eene nieuwe Waereld ontdekt, zo vruchtbaar in wonderen,en zo zeer de verwondering van het menschlyk. verftand waardig.
Daar zyn twee foorten van Microicoopen , de enkelvouwdige en .ie famengeftelde. De eerfte beftaac alleenlyk in eene lens van een zeer kort brandpunt. Een glafen bol van eene kleine middellyn is mede een Microfcoop. Zo dikwyls als men dus dierge'yke Ienfen of glafen bollen gemaakt heeft, heeft men Microfcoopen gehad. Het is waar dat men nog byna niet bedacht is geweest, als omtrent het midden der voorgaande eeuwe, om zeer kleine Microfcoopen te maaken , en in dat opzicht kan men zeggen, dat de viriding' van den enkelvouwdigen Microlcoop niet minder jong is, dan die van den Telefcoop.
De 'famepgeftelde Microfcoopen zyn elk, welke gevormd zyn uit een lens van een zeer kort branipur.t, die men het object-glas noemt, en uit één of verfcheide oog-glafen. Hunne vinding is niet minder onz< ker, "dan die van den Telefcoop. Men gelooft in 't algemeen, dac Cornefts Drebbel (j) de
Vin-
(#) Ureblel, de uitvinder van dea Thermometer, was
gettis-



WISKUNDE III. Deel. IU. Boek. 255
Vinder daarvan is, en dat de eerften omtrent het Jaar i6iS] of 1620 zyn bekend geworden. Maar volgens den Brief, dien wy boven aangehaald hebben , moet men dit Werktuig meer oudheid geeven, en het zelfs het recht van eerstgeboorte boven den Telefcoop toeftaan. De Microfcoop, die Drebbel te Lonrion hadt, was zyn werk nier, zo als de Brief;1 waarvan wy fpreeken, uitdruklyk zegt, en het zou zeer wel kunnen zyn, dat het gerucht, 't welk hem den uitvinder daarvan maakt, geen andereu grond hadt, dan het gebruik dat hy daarvan maakte, en de ongemeene dingen, welke hy door deszelfs middel toonde.
Het zou van veel gewigt zyn, a!e de Gezant der Staaten van Holland, die ons het uitwendige des Micïofcoops van Drebbel befchreeven heeft, ons ook bet inwendige daarvan hadt doen kennen, ik gis dat dezelve , even als de Telefcoopen van deezen tyd, famengefteld was uit twee glafen, het een bultig, het ander hol. In de daad, men kan een Mi. crofcoop met eene lens van een middelmaatig brandpunt maaken, door het voorwerp een weinig achter dat brandpunt te plaatfen , en het oog-gbs tusfehen dat glas en de plaats van het beeld te zetten. Maar deeze Microfcoop heelt het gebrek van den Bataaffchen Telefcoop; deszelfs veld is zeer naauw ; om die reden wordt van denzelven geen gebruik meer
ge-
geenszins, zo als men in verfcheide Boeken, en onder anderen in het Schouwtoonee! der Natuur, leest, een Hoer uit Noord.Hoiland. Hy was gebooren te Alkmaar, en hadr, zeg; de Chroryk van die ftad , eene zeer Keurige opvoeding genad. Hy was zeer weetgierig in fcherpainnïge nieuwigheden, er; naruurlyku geheimen ;hetgeea hem geliefJ maak. te by Jacobus I. Koning van Engeland, aan wiens Hof hy eenigen tyd woonde. De Heer Boreel, Gezant der Staa. ten in Engeland en Frankryk, noemt hem zyn vriend; dit is geenszins de tytel, welke een aanzienlyk man aan een Boer geeft, die eenige ongemeene dingen toont, of uit: gevonden Jaeeft.
R 4



HISTORIE DER
gemaakt, federt de uitvinding der Microfcoopen met bultige oog glafen.
De Microfcoop uit bultige glafen famengefteid is ten aanzien van den Sterrekundigen Telefcoop, hetgeen de voorgaande ten aanzien van den bataaffchen Telefcoop is. Deeze reden doet ons denken, dat deszelfs tydmerk niet hooger dan dat van den Sterre. kundigen Telefcoop opklimt; en in de daad r wy yinden vau denzelven geen fpoor vóór het Jaar 1646, toen het Werk van Fontana, waarvan wy gefproken hebben , het licht zag. Fontana waande daar van de Uitvinder te zyn, gelyk mede van den Telefcoop met een bulüg oog-glas. Wy kunnen daar over niets, vastflellen. De {rukken ontbreekén ons; weshalven •wy dien Italiaanfcnen Sterrekundige gaerne in 't be?it der ontdekkinge van die foort van Microfcoop zullen laaren, vermits niemand anders zich dezelve aanmaatigt.
I V.
De Telefcoop was een te verwor.deringswaardig Werktuig, om niet in alle Wiskundigen eene levendige bekommeiing over de oorzaak zyner werkingen te verwekken; en onder dezelve was zonder twyffel een groot getal, welke arbeidden om die oorzaak te ontvouwen. Maar Kepler was degelukkgfte en de vaardigde van allen. Hy verklaarde dezelve in 't faar 1611, in zyne Dioptrka, een Werk dat hem geen minder eere aandoet, dan die waar mede hy de Sterïekunde yerrykte. De volgende ontleding zal toonen, dat deeze beoordeling zonder de minde vergrooting gefchiedt.
De eeifte (tap, die men in de Dioptrka h?dt te doen, was de Wet te ontdekken, welke het Jicht in 't breeken volgt. Kepler was, wel is waar, hier iu niet gelukkiger, als hy geweest was in zyne Afirow mta Optica, waarin wy hem gezien hebben zich uitputten in nafpooringen en gistingen, om dezelve te bepaalen. Maar door de ondervinding geleid, (telde



WISKUNDE. III. Beel. III. Boek. S5.7
hy daar voor eene 3ndere, bekwaam om in de najpooiingen, we.ke by te doen hadt, dexze] ver plaats te vervullen. Hy bemerkte dat, zo .lang de hoek van helling {b) eens ftraals niet boven 30*.is, de Weeking, welke die ftraal ondergaat, daarvan op zeer weinig na net derde-deel is, en hy nam deeze .betrekking voor de waare Wet. Naardien de klootfche oppervlaktens der glafen, welke men in de l eefcoopeu gebruikt, zelden ao» uirgeftrektheids van hun midden naar de randen hebben, dacht Kef ter zich met zekerheid daarvan te kunnen bedienen; en in de daad, hv geraakte daar door niet op eenen dwaalweg. Zyne bepaalingtm zyn geheel en al overeenkomftig met die, welke de waare Wetdertiraalbrecking aan de hand geeft.
Het licht, van een dikker in een dunner middeti' ftofre overgaande, wykt van de loodlyn af, en wej zo veel te meer als de helling grooter 13 } er is eindelyk eene zodanige helling, dat de gebroken ftraal evenwydig met de breekende oppervlakte wordt. Deeze hoek is van 48. graaden en eenige minuien m het glas, dat is ie zeggen , dat een hchtftraal, die op eene platte oppervlakte van glas zou vallen, om van daar in de lucht te guan, door met dezelve een 'hoek van 42^ te maaken , die oppervlakte by het uitgaan eenigzins zou aanroeren. Maar wjt zullen de ftraaien worden, die dezelve nog Ichmnferontmoeten zullen? Hier gebeurt een merkwaardig; Verfchynfel, dat Kepler met omfnapte. De liraaibrttking alsdan geen plaats mee. kunnende hebben .verandert in eene lerugkaatfiBg, die voorts al? naar ge' woon-
(n De hoek van de helling, waarvan wy dfkVyls geleeenheid zuihn htbben te fpreeken, is die, welk.' de mvaffende ftraal «ét de loodTyn op de breekead« oppervlakte vormt. De hoek.. Welken de gebroken ftraal met die loodlyn vormt, worde de gebroken hoek genoegd. Hot is echter f-detc eenige jweu in gebruik gesaaitt, vac ook deeze' tetdö hosktn hoeken van UvaHing en breektng ts) noemen. R



25? HISTORIE der
woonte gefchiedt, iwamjyfc met eenen hoek die gelyk is aan dien van invaliing.
Deeze algemeene grondbeginfelen over de ftraal. breeking vastgefteld zynde, gaat Kepler over om de eigenfchappen der lenlèn-glalén te onderzoeken. Hy doet aanftonds zien, dat diegeenen welke bultige vlakken zyn, hun brandpunt"hebben , dat is, de flraalen evenwydig aan hunnen As verëenigen', op den afftand van de middellyn des kloocs, waarvan hunne bultigheid een gedeelte is , etf dat diegeenen welke aan beide zyden even bultig zyn, hetzelve op den afftand des ftraals hebben. Wat aangaat de glafen , welke ongelyk bultig zyn , hy "bepaalt den afftand van hun brandpunt niet als door te ze<*« gen, dat dezelve het midden (medium) js tusfehen de beide, bultige vlakken. Sedert heeft men dien afftand nauwkeuriger aangeweezén en het is zo ik denk, Cavalleri, die zulks het eerst gedaan heeft. Alles wat nu van de biïltige glafen gezegd is, wordt ook op de holronde glafen toegepast,met dit onderfcheid, dat de famen.'oop der gebroken ftraalen , in piaats van achter het glas te gefchieden, aan deeze of de zelfde zyde, alwaar de invallende ftraalen komen, gefchiedt; de Analisten zou. den zeggen, dat de afftand van hun brandpunt nega. tifh , terwyl die der bultige glafen ptfitifh.
Het is daar na niet moeijeljk te vinden, welke verandering een bultig glas in de richtftreek der flraalen , welke uit een punt, op zynen As geplaatst, komen, te wege brengr. Vermirs de ftraalen, welke evenwydig zyn, zich in deszelfs brandpunt vereenigen, moeten die, welke uit dat brandpunt ko« men, evenwydig worden. Zo dezelve uit een punt tusfehen het brandpunten het glas komen, zullen zy divergcerende, of zich vau elkander fpreidende, blyven, doch minder als of zy geen breeking on.
der.
(_c) Men moet ficllen , gelyk de fom van de middellyn nen der heide bultige vlakken tot één der peideu, alzo de andere tot den afltand van het brandpunt.



WISKUNDE, III. Deel. III. Soek. 259
dergaan hadden. Eindelyk de ftraalen, welke u:'t een punt achter het brandpunt komen, zullen by het uitgaan van het glas convergeer en o'f famer'oopen, en zich in een punt, achter het tegen overjreftelde brandpunt geplaatst, gaan verëenigen. Kopi Ier merkt in 't byzonder aan, dat de ftraalen komende van eenen afftand, die het dubbeld van dien des brandpunts is, zich insgelyks ver van de andere zyde gaan verëenigen. De laatere Gezicht* kundigen hebben de anderen van nader by onderzochï, en aangeweezén op welken afftand de vereeniging der ftraalen, uit eenig punt van den As komende, gefchiedt ld). Deeze bepaaling was nog eenigzins te moeijchk voor Kepler, wien zyne Sterrekundige en zeer onderfcheidene bezigheden niet toegelaaten hadden, om grondige vorde* ringen in de Meetkunde te doen.
Èen verfchynfel by alle diegeenen helend, welke leulen -glafen behandeld hebben, is dat van het beeld der voorwerpen , welke zy achter hen fchilderen. Men plaatfe m eene kamer een bultig glas aan den muur over een venfter, en men verwydere hetzelve daarvan omtrent zo ver ais de afftand van deszelfs brandpunt, dan zal men op dien muur het beeld van het oveiftaacde venfter zo veel grooter en duidelykcr zien . als het glas van eenen grooteren kloot zal zyn. De verklaaricg van dit verfchynfel is
ge-
(^) Om dit punt van verëeniging te vin Jen , moet men deeze evenredigheid Hellen. Gelyk 't vetfehil, 'c welk de afftand van het voorwerp lot het glas grooter is dan die van het brandpunt, tot den afftand van het brandpunt, alzo deeze afiland tot dien van het punt van Verëeniging achter het glas. Deeze zelfde evenredigheid geeft het punt, waar uit de ftraalen divergceren, wanneer het voorwerp tusfehen het ghs én het brandpunt i?. Want «' dan is het verfchil, *t we!:: Ie «fttand van het vócrwèrp tot het glas gïoótêr dan dié itah ha biardpunt I», negaiif; net-r geen de Mm fte /Wit der Evenredigheid >..■".-.•*•ƒ.•■ •!?'j nu is «sq ■ :■ N? tflMd flegts de zelfde afftand, decb In eenen < ..... aio gajonnal.



»6o HISTORIE DER
gemaklyk;uit elk der punten van liet voorwerp (dat wy in den A1- van het glas of daar omtrent onderfteï. len ) gaat ten bundel linialen, die op het glas vallen, en zich achter hetzelve verëenigen. De ftraalen die van den As zelf komen, verëenigen zich in den As; zy die van de zyden koraen loopen faamen in eer, punt der lyn, door het midden van 't glas getrokken: daar uit komt het, dat de famenloop der Kraaien, uit de laagere deelen van het voorwerp ko« mende, naar boven en in tegendeel is; hetgeen maakt dat het beeld omgekeerd is. Wat deszelfs grootheid aangaat, dezelve flaat tot die van het voorwerp , als deszelfs afftand van het glas tot den atltand van het glas tot het voorwerp. Is dit voorwerp honderdmaal verder afgelegen dan het beeld, zal het laatfte honderd maal kleiner, en integendeel zyn. Wy zeggen niets van den afftand op welken f et beeld zich moet fchilderen. Dezelve is gemaklyk ie bepaalen, zo dra men zich herinnerd zal hebben bergeen vyy over het punt van famenloop der ftraalen, uit den As van een glas komende, hebben gezegd. - Hetgeen wy nu gezegd hebben is de grond der Ineorie van de Telefcoopen en Microfcoopen. Maar \ óór dat wy tot de verklaarins van hunne werkingen komen, moeten wy met Kepler aanmerken, dat men de voorwerpen door convergeerende, of zelfs evenwydige ftraalen, niet duidelyk ziet, ten zy men veneziende is. De natuur onze "oogen gefchikt hebbende om weinig afgelegene voorwerpen te zien heeft dezelve zodanig ingericht, oat, buiten eenig byzonder gebrek, 'er geen andere dan de middelsnaatig dhetgeerende ftraalen zyn, welkers famenloop op bet Netvlies gebragt'moet worden: als dan hetoo» zodanig gefteld is, dat het convetgeerende of fameh. ]nopende Itrcalen ontfapgt, zal men de ziening dui. delyk kunnen maaken, ais men flegts eenig middel beeft om dien famenloop te verbeteren, en in eene middelmaatige dhergeerwg, of ten hoogteen in evenwydigheid te veranderen. Laat ons dit op den Eataaifchen Telefcoop toepasfeiyk maaken.
Als



WISKUNDE. III. 'Deel. III. SoeL a6l
Als men een bultig glas nanr de Zon, of naar een vér afgelegen voorwerp houdt, zal in bet brandpunt van dat ^las een beeld van dat Hemellicht of van dat Neerwerp gevormd worden. Als het oog blootclyfe geplaatst was tusfehen dat brandpunt en .het glas, Zo dat de ftraalen die het zou ontfaDgen convergeerende waren , zou het niet anders dan onduidelyk zien;, maar zo men tusfehen beiden en zeer dicht by'toog, éen hol glas ftelt, 't welk die ftraalen middelmaatig doe dhergeerén, zal het voorwerp duidelyk gezien worden; het zal ook grooter fchynen, om dat cfe ftraalen, van de einden komende, eenen gróoteren hóek zuilen maaken. De Héét Huyghens heeft naderhand getoond, dat die vergrooting gefchiedde in de "reden van de verwydering des brandpunts van het holle glas, tot dat des brandpunt» Van het bultige glas. Zo dit laatfte zyn brandpunt tienmaal verder afgelegen heeft dan het ander, zaï het voorwerp tienmaal zo groot fchynen, als of men hetzelve met het blocte oog befchouwde. Zie tig' 63-
De reden der werking, welke de Telefcoop met bultige ghfen voortbrengt, is ten naaste by de zelfde. Het ObjtQ-glas fchildert by zyn brandpunt een beeld van het voorwerp. Het tweede glas' zodanig gefchikt zynde, dat dat beeld in deszelfs' brandpunt is, zo volgt daar uit, dat de ftraalen^ weike uit ieder der printen van het beeld komen, evenwydig of middelmastig divergeer ende gemaakt worden. Daar uitontftaat de duidelykheid met welke ieder van die punten op het Netvlies getekend wordr. Het voorwerp wordt dilidelyk gezien, en bet fchynt in de reden van de alftanden der brand-
funten van het oog- en object-glas vergroot te zyn, k zeg dat de ftraalen, welke uit ieder der punten van het beeld komen, evenwydig of middelmaatig divergeer ende gemaakt worden. Wat aangaat de richtftreek van ieder der bundels, welken zy farnenftel. len, zy worden gebogen door de breeking, welke ?y in het oog-glas ondergaan, zodanig dat hunne



2-52 fJlSTORIE DER
asfen zich allen by bet overftaande brandpunt doorinyden. De 6^. Figuur \s zéerïgef clfikt, om van.' deezen weg der ftraalen een duidèivk denkbeeld te geeven. Daar uit is het dat de fchynbaare omkeenng van het voorwerp ontftaat; want deeze fnyding of doorkruifing der bundels van ftraalen maakt dat het beeld, t welk zich in't oog fchildert, in derf zeilden Itand is als het voorwerp: het moet derhal. ven omgekeerd verfchynen. Het is ook om die reden, dat men het oog op eenen afftand van het oog. glas moet houden, die ten naaste by gelyk aan' die van deszelrS brandpunt is. Daar door verenigt men de meest mogelyke penceelen der zydelingfche punten van het voorwerp, en het veld der ziening is dies te grooter. s Laaten wy ons thans voorftellen, dat men fö plaats van dit oog-glas naar het beeld, door het object-glas gevormd , een glas van een kort brandpunt houdt, op eenen dubbelden afftand van dien van dit brandpunt. Men heeft boven gezien, dat aan den anderen kant zich een beeld moet fchilderen , gelylc aan het eerfte, en alleenlyk omgekeerd. Wy zul. len derhalven door dit middel het beeld, door het' óbject.glas gevormd, kunnen omiteeren; en zo wv op dezelfde wyze, als men in den bovengemelden ielefcoop gedaan heeft, een oog-glas naar hetzelve houden, zal men het voorwerp gelykelyk vergroot en met de zelfde duidelykheid, doch herfteld zien! Zie Fig, 65.
Men heeft echter in deeze fchikking van glafen eenige zwaarigheden befpeurt , van welken in het tweede Artikel gefproken is, en dit heeft een ander middel doen verzinnen, om de vertooning van het voorwerp te herftellen. Men houdt naar het beeld, oat door het objeét-glas getekend wordt, een oogglas zodanig , dac dat beeld in deszelfs voorla' brandpunt zy. Dit oog-glas maakt de ftraalen evenwydig, welke ieder penceel, uit ieder punt van hec eerfte beeld gekomen, famenftellen. Men plaatst tegen over dezelve een tweede glas gelyk aan het eer-
Se



WISKUNDE. III. ï)eil. III. Beek. a 3
fïè, en op eenen dubbelden afftand Van deïzelfs ■brandpunt, 't welk die evenwydige ftraalen ontfangencfe, dezelve op nieuw doet farnenloopen,en achter hetzelve fchilderen, een beeld gelyk aan het eerfte, doch in tegengeftelde richting. Men voegt !er eindelyk een derde oog-glas by, als iu den Sterrekundigen Telefcoop. Deeze is dan de zo genoemde - aardfche Telefcoop, die de voorwerpen herftelt. Zie Fig. 66'
Hetgeen wy nu over de Telefcoopen gezegd hebben baant ons den weg tot de Leere derfameugeftelde Microfcoopen. Maar in hunse famenftelling is een byzonder grondbeginfel, dat wy aanftondsmoe-
Iten leeren kennen. Wy hebben reeds aangemerkt v dat een vooiwerp, een weinig achter het brandpunt van een bultig glas geplaatst, een veel grooteren verder afgelegen beeld vormt. Men plaatfe eene Lens ,j Van één duim brandpunts op dertien lynen van een klein voorwerp, dan zal op omtrent dertien duimen van dat glas zich een beeld vormen, en hetzelve zal , twaalfmaal zo groot zyn als het voorwerp zelf. Op deeze vergrooting is de werking, welke de Mi1 erofcoop voortbrengt, gegrond. Want als men naar J het bovengemelde beeld een bultig oog-glas houdt: dit beeld in deszelfs brandpunt geplaatst zynde, zal het zyn als of wy met dat oog-glas een voorwerp 1 gelyk aan het eerfte, en twaalf maal grooter befchouwden. De Microfcoop zal derhalven vergrooten in ü famengeftelde reden der vergrooting van het beeld , door het eerfte glas gevormd, en van die welke het ■ Oog-glas zelf vergroot. Het is mede gemaklyk te 2ien. dat hec voorwerp omgekeerd zal fchynen; dit • is een noodzaakelyk gevolg van de orakeering des beelds, door het objecl-glas voortgebragt. Het veld der ziening is ook veel grooter, als of men een I hol oog-gbis gebruikt hadt, zo als men in 't eerst deedt. Zelfs maakt men dit veld nog grooter, als 1 men, in plaats van een eenig oog - glas, twee famengevoegde oog-glafen , of die op eenen korten afftand
van



264 HISTORIE dér
van elkander zyn, gebruikt. Naardien het alsdafj niet noodia; is, dat ieder een gedeelte van eenen zo kleinen kloot zy, kan men daar uit een grooter fi& ment ontdekken, en daardoor verzamelt men in 't'gemeert brandpunt der beide oog-glafen een grooter getal zydelingfche penceelen van het voorwerp.'
" \ V.' ■
Men heeft in bet voorgaande Artikel gezien, dat' Kepler tot grondbeginlelen van zyne nafpoorin^en nam, dat de hoek van breeking het derde deel van dien van helling was, zo lang deeze laatfte nietgroo* ter dan 30° »s. Maar welke ontdekkingen hy ook door middel van deeze benaderde wet der ftnalbreek'ing gedaan hadt, hadden de Wiskunftenaars nogthans grondige redenen, om zich niet met dezelve te vergenoegen. Men moest de waare Wet vinden, eii 't was alleen .door dat middel, dat zy tot de algemeene oplosfing van alle de Voorftellen, welke van' deeze eigenfehap des lichts afhangen, konden geraak'en.
tfet was aan Sneliius (O, een Hollandsen Wiskun-
di-
(e) Willebrordus Sneliius (Snel), zoon van RudoU phus Sneliius, Hoogleeiaar der Wiskunde aan de Univerfiteit te Leiden, en zelf Hoog!ee:iur aan deeze Hooge School, kwam in jgCji ter waereld. Cehaiven de ontdek. Jong, waar van wy fpreeken, is men hem verfchuldiad? de eerfle naauwkeiirige meeting der Aarde, of ten rainflen «fe wyze om daartoe te geraaken. Hy is Autheur van verfcheide gedrukte Werken, als zyne Cyclometricus,waar van wy in 't begin van het eerfte Boek deezts Deels gïfproken hebben; zyn Typhis Batavus; zyn Erato/lenes Batavus; Appollonii, de fecttone rationis &" determinatd libri rejlituti; Obf. Haffiaca; de Com. ann. 1618. (Jc. m ftierf A°. iójö, in eenen nog zeer weinig gevorderd «ten ouderdom.



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek, 065
dige, en in verfcheide opzichten lofwaardig , voorbehouden deeze ontdekking te doen. Het Werk, dat Hy over dat onderwerp en oyer de Gezichtkunde in 't algemeen gereed maakte, heeft, wel is waar, nooit het licht gezien: men weet nogthans, en men (laat toe, dat hy de eerfte is , die de waare wet der ftraalbreekmg gevonden heelt. Men kaD met waarfchynlykheid gi.-fen, dat de ondervinding hem daar toe geleid heeft. Hy ontdekte, dat, als men aan den As van ftraalbreeking ACB (Fis. 68.) eene evenwydige DH trekt, 'er aUoos, in de ftraalbreeking tusfehen gelyke plaatfen, een zelfde reden tusfehen den gebroken ftraal CE, en de verlenging CF van den invallenden, flraal was. By voorbeeld, wanneer het licht uit de lucht in 't water gaat, is deeze reden ftandvastig die van 4 tot 3 : wanneer de ftraalbreeking uit de lucht in 't glas gefchie.it, is het de reden vm 3 tot v. Als men dus enen anderen invallenden ftraal gC ondetftelt, heeft men Cft tot CF, als Ce tot' C/, dat is, dat in de ftraalbreeking, welke tusfehen twee zelfde middenftoffen gelcbied is, de Secans - complementen van den hoek van helling en den gebroken boek in ftar.dvastige reden
zyn- . . ....
Schoon het Werk van Sneliius nooit in t hent gegeeven zy, is evenwel de ontdekking, waar van wy fpreeken, nog vóór den tyd van Defcartes algemeen bekend "geworden. Vosfius zegt ons, in zyne Verhandeling de naturd lucis, dat de Hooaleeraar Hortenfius dezelve in 't openbaar en in 't byzonder hadt onderweezen. Hy voegt "er by, dat de Erfgenaamen van dien Wiskunftenaar zyne handfehriften zeer gemaklyk aan de Geleerden mededeelden , en vermits hy zelf zyne drie Bleken over de Gezichtkunde in handen nadt gehad, gewaagt hy van dezelve met den grootften lof. Wy hebben de voordeeligfte gedachte van die Boeken, doch veeleer wegens" de bekende bekwaamheid van derzelver Autheur, als op den grond der kundigS heid



söó HISTORIE DER
heid van Pbsfius in die ftoffen. Want de hier boven aangehaalde Verhandeling is een zeer liegt Werk, en bewyst niets anders dan zyne eerzucht oih over ftoffen te fchryven, in welken hy naauwiyks onder, weezen was.
Wy ontleenen nog uit Fosfius, dat jzyn Landgenoot &e firaalbreekende lyn hadt nagevorschtj hy gaf deezen naam aan de kromme, welke eene platte oppervlakte, als die des bodems van een bekken, fchynt te vormen, als dezelve, door ftraalbreeking, door het water dat denzelven bedekt , gezien wordt. Volgens den zelfden Schryver hadt de beroemde PenGonaris van Holland , de Heer de Wit, deeze kromme lyn insgelyks grondig onderzocht, en bevonden, dat dezelve van een hooger gedacht was, als kunnende door eene rechte lyn in drie punten gefneeden worden. Zonder twyffel namen beiden tot grondbeginfel aan, dat het punt, door ftraalbreeking gezien, zich in de loodlyn op de breekende oppervlakte vertoonde. Dit voorftel heeft den aandacht van den Heerde Mairan verdient, en ons eene fraaije Memorie over dat onderwerp verfchaft (/'). Deeze geleerde Acadcmist, van het bovengemeld grondbeginfel gebruik maakende , bevindt dat de kromme, waar van wy fpreeken, eece EUiptifche Conchois is, dat is door eene Ellips geteeld, even als de gemeeue Conchois door een Cirkel geteeld wordt (g), en by die gelegenheid treedt hy in weetenswaardige en grondige nafpooringen over deeze foort van kromme lynen. Maar laat ons weder tot Sneliius, en tot de wet der ftraalbreeking overgaan.
Men wil dat Defcartes het eerfte denkbeeld van zyne Wet der ftraalbreeking uit die van Sneliiusontleend heeft, laat ons maar ronduit zeggen , dat hy dezelve van hem heefc, en alleenlyk heeft veran: derd, door dezelve op eene andere wyze uit te drukken.
(/) Mém: defAcad. ann. 1740. (g) Zie de noot van pag. 144.



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. 267
keD. Wy kunnen niet ontveinzen, dat in die be»
fehuldiging eenige fchyn vau waatheid is. Behalven de boven bygebragte nukken op het getuigenis van p'osfius, zegt ons de Heer Huyghens, dat hy zeker wist, dat Defcartts de handfchriften van Sneliius gezien hadt. Hy trekt echter daar uit niet voiltrektelyk het gevolg, dat Defcartes die ontdekking aan dezelve verl'chuidigd was. Hy vergenoegt zich mee zulks te vermoeden, en wy denken niet, dat men op eene rechtmaatige wyze verder kan gaaD.
V I.
Zo wy al aan Defcartes de ontdekking van de wet der ftraalbreeking niet verfehuldigl zyn, kan men hem ten minften de verdiende niet betwisten van de eerfte vernuftige verklaaring, uit de grondbegmfelen eener gezonde Natuurkunde afgeleid , daarvan gegeeven te hebben.- Dit was één der voorwerpen, welke hy zich voorftelde in zyne Dioptrica, die in 1637 het licht zag. Ik zeg één der voorwerpen , want Defcartes handelt iu dat Werk, ten deele Natuur- en ten deele. Wiskundig, over veele andere vraagftukken, als de natuur van het licht, de wyze op welke de ziening gefchiedt, de oorzaak van den regenboog, de inrichting der Lenzen-glafen, welke tot de volmaakt/Ie Telefcoopen dienftig zyn. vVy zullen van die voorwerpen die geenen doorloopen, welke ons de nieuwfte en rechtmaatigfte denkbeelden opleveren.
Niemand is onbewust, dat Defcartes het licht doet beftaan in de drukking eener dunne vloeiftoffe, door het lichtend lighaam in beweeging gebragr. Naardien hyde verbreiding van het licht oogenblik]yk oordeelde, onderfteide hy, dat dedeelen van die vloeiftoffe geheel onbuigzaam waren, op dat de druk. king, door het lichtend lighaam geoeffend , op het oogenblik tot het verst afgelegen uiterfte ging. De aanhangers van dien Wysgeer hebben daar in delee. je van hunnen meester verbeterd, door die vloeiftofS 2 fe



a6§
HISTORIE DER
fe veerkrachtig te maaken, en daardoor hebben zy dezelve meer overëenkornltig met eenige verlchynfelen gemaakt; maar zy hebben dezelve niet ontheven van eenige hoofdzaakelyke tegenwerpingen. De eene is, dat zo het licht in eere gelyke drukking bedondt, het zich altoos zou doen gevoelen in alle de punten van die vioeiltoffe, zonder dat de tusfchenftelling van een donker lighaam zich daartegen aankantte. — Want in het Itelfel van Defcartes is het noodig de geheele vloeiftoffe, die het beginfél van *t licht is, te onderltellen als befloten zynde in een vat, welks wanden dezelve verhinderen daar uit te loopen. Laat ons derhalven eene vloeiftoffe onderltellen , welke in eenen bel bclloren is, en dat een lighaam, in deszelfs middelpunt geplaatst, door zyne heen en weêr beweegingen op dezelve werkt, dan zullen alle de deelen van die vioeiltoffe in alle richtingen gedrukt worden; want het is eene eigenfehap der vloeiltoffen, dat zy den indruk, dien zy zy ontfangen, in alle richting overbrengen. Dus zou de tusfchenftelling van een donker lighaam den indruk van het licht geenszins benadeelen; men zou «midden inden nacht daar in even zo klaar Zien, dan Wanneer de Zon boven den Horizon is. Dus ook wordt het geluid, in eene heen en weêr beweeging , of eene wederzvdfche drukking van alle de deelen eener veerkrachtige vioeiltoffe, beftaantie, in alle richtingea overgebragt. Omtrent her licht heeft zulks geen plaats, waar uit men moet belluiten, dat de inrichting der beweeging van het licht van eene andere natuur is. Maar het is hier mede genoeg over dit onderwerp, dat in zeker opzic'tt niet tot'ons Plan behoort. Het ftiat aan de Na. tuurkunde om deeze groote vraag te onderzoeken. Laat ons weder overgaan tot de wyze op welke Defcartes de Wet der itraslbteeking verklaard, eti getrrcht heeft te betoogen.
Defcartes doet de 'Wet der ftraalbreeking niet , even als Sneliius, beftaan in de ftandvastige reden der invallende en gebroken ftraalen, tot eene even-
wy-



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. aCp
wydige aan den As van ftraalbreeking verlengd. Hy drukt dezelve uit door de ftandvastige overeenkomst der Sinus van den hoek van belling AIID (_Fig. 69) met die van den overeenkomltigen gebroken hoek CRB. Neemende dus eenen anderen invallenden ftraal aR, en zynen gebroken ftraal Rb, is 'er altoos de zelfde reden van AD, tot BC, als van ad tot bc. Deeze reden wordt uit die van Sneliius (h) gemaklyk afgeleid, doch zy verdient den voorrang boven dezelve, wat ook Fosfius daar van zegt, of liever zy hebben beide haar gebruik naar de voorvallende gelegenheden.
Defcartes voerde deeze Wet niet in door proef* neemingen. Ha zy dat hy 'er gedaan hadt, orn zich van de waarheid te verzekeren, of dat hy aan die van Sneliius kennisfe hadt, hy heeft'er niets van aangeroerd, en hy draagt ons dezelve eenigiyk voor, als het gevolg van zyne navorfchingen over de natuur der terugkaatfing en ftraalbreeking.
Naardien, volgens Defcartes, de verklaaring der terugkaatfing dient, om die der ftraalbreeking te bereiden, zullen wy hem navolgen, door van daar af te beginnen. Men kan, zegt hy, van betgeen aan het te rug gekaatst licht gebeurt tot voorbeeld neemen, hetgeen een volmaakt harde bol, tegen een volmaakt hard en onbeweeglyk vlak gedreeven, ondergaat. De beweeging van dien bol is famengefteld uit twee bewcegingen; de eene volgens de
lood-
(h) Want in den Driehoek ROB (Fig 69) heeft msa de zelfde reden van RB tot RO, ais van de Sinus des hoeks ROB, of ROG, die gelyk aan den hoek van helling is, tot die van RBG, of BRC, welke de gebroken boek is. Maar deeze twee zelfde lynen UB en RO zyn ds Secanten der hoeken GRO, GRB, welke k/aarblyklyk dè Complementen van-den hoek van invalliug en den gebroken hoek zyn. Derhalven zyn RB en RO wederkeerig als die Secanten.
S 3



«70 HISTORIE DER
loodlyn AF, en de andere volgens de evenwylige met het rerugkaatfend vlak AU. Zodanig zou in de daad zyne riclnftreelt zyn, zo hy te gelylc in die beide richtingen gcdreevén werdt door twee krachten, wélke hem in die betrekkingen fnelheden indrukten. Maar deeze bol in het raakpunt R gekomen zynde, ondergaat het gedeelte van zyne 'beweeging Al) geene- verandering ; want het vlak Helt hem in die richting geen hinderpaal; jefnelBerd AD, of in de richtltreek AD, zal derhalven geheel, en uit kracht van die fnelheid, beltaan, de bal zou dus de evenwydige HE, die van KD even zo ver als AF is, in "den zelfden tyd achtérhaalen , dien hy heeft noodig gehad om van A in R te 'komen. Van eenen anderen kant, zegt Defcartes, moet de bal, als niets van zyne beweeging mededeelende, zich even zo fnel als te vooren beweegen, en by gevolg eenig piint van den Cirkel bereiken, dié uit het middelpunt R met den ftraal RA befchreeven is, in den zelfden tyd dien hy belteed heeft, om de lyn AR te doorloopen. Hy moet derhalven in het gemeen punt van dien Cirkel en van de evenwydige Hli gaan, dat is te zeggen, in het punt E. tiet overige is gemaklyk, en het is klaarblvklyk, dat de hóek ERG^ARF, of KRD—ARU, dat is, dat de hoek van invalling gelyk aan dien van te rug ftuiting is.
Defcartes zou zich korter en duidelyker op deeze wyze hebben kunnen uitdrukken. De richtllreek AF van de bal A, in welke het vlak zich rechtftreeks tegen denzelven aankant, en die bal Zouden met de zelfde fnelheid en in de zelfde richtftreek te rug wyken, zo hy geen andere dan die beweeging hadt: Maar hy heeft tevens de beWii ging AD, welke geen veracdering ondergaat: de beweeging van deezen bal in R zal derhalven famen-efu-Jd zyn uit de twee RH, RD, gelyk aan de twee AD, AF, of RF, RÜ,- by gevolg zal RE de lameDgeiteide richtltreek zyn, en uit
hoof-



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. 371
hoofde der gelykheid van de Driehoeken RHE , RFA, zal de hoek ERH gelyk aan ARF zyn. Op deeze wyze is het dat wy dezelve hedendaags verklaaren. Maar Defcartes hadt zyne redenen, om den voorrang te geeven aan de wyze, welke wy nu voorgedragen hebben, en zulks alleen op dat dezelve tot eene voorbereiding diende van zyne verklaaring der ftraalbreeking, waar in men noodzaa* kelyk de zaak op die wyze moet befchouwen.
Laat ons thans met hein onderltellen, dat men, in plaats van een hard en ondoordringbaar vlak, flegts eene oppervlakte hebbe, als een uitgefpannen laken, dat de bal A de helft van zyne fnelheid zou beneemen. De beweeging van dien bal zal dan nog famengefteld zyn uit de twee AF en AD, of DR en FR, waarvan de laatfte geen verandering der oppervlakte zal ondergaan, vermits zy niet tegen elkander overgefteld zyn. Maar deeze oppervlakte brengt de fnelheid van den bal A tot de helft; derhalven zal dezelve niet tot een punt van den Cirkel» uit het middelpunt R met den ftraal R befchreeven, geraaken, als in het dubbeld van den tyd , dien hy befteed heeft om van Anaar R te gaan. Nu zal in het dubbeld van dien tyd het lighaam in de richtftreek RG eene lyn, die het dubbeld van FR is, doorloopen. De nieuwe richtftreek RB zal derhalven zodanig zyn, dat RH, of BC, het dubbeld van AD zal zyn, en zulks in alle de verfchillende hellingen. Dit voldoet aan de ftraalbreekmgen, welke gefchieden door zich van de loodlyn te verwyderen. Maar zo men, in plaats van te onderftellen, dat het bewogen lighaam, de oppervlakte FG doorloopende, een gedeelte van zyne fnelheid verliest, in tegendeel onderftelde, dat het vermeerderd werdt, als met de helft, het derde-deel, enz., zal men alsdan, de zelfde handelwyze volgende, met Defcartes bevinden, dat de nieuwe richtftreek zodanig zal zyn, dat BC de helft, het derde-deel kleiner dan Ai) zal zyn, en dat by gevolg de Sinus, fen AD, AC van den hoek van helling en den ge. ' S 4 bro»



«7* HISTORIE DER
broken boek altoos in de zelfde reden zullen zyn , naamlyk het omgekeerde der fnelheden in de verfchillende middenftoffen.
Alvoorens te vernaaien tot welke gefchillen deeze verklaaring aanleiding gaf, is het no.xlig dat wy eenige overweegingeu daar overdoen. Men moet in 't eerst wel acht geeven op de wyze, hoedanig Defeartes v/il dat de vermeerdeling of vermindering der fnelheid van het bewogen lighaam in de tweede middenftoffe gefchiedt. Het is in deszelfs geoeele richtftreek RB, zo dat by onderftelt, dat, onder wat helling ook het licht uit de lucht in 't water gaat, by voorbeeld, zyne fnelheid de helft vermeerderd zy. Deeze eerfte onderftelling is wel gegrond; want zo wy toeltaan. dat, door de verfchillende natuur der niiddenftüffen, het licht zich meer of min ge maklvk in de eere dan in de andere beweegt, moet de fnelheid in eenige richtftreek, welke die ook zy, grooter of kleiner zyn. Om de waarheid te zeggen, het voorbeeld waar van Defcartes zich bedient, om die verandering van fnelheid zichtbaar te maaken, naamlyk dat van een uitgefpannen doek , fchynt my daar 10e niet gelchikt te zyn. Die doek zou geen vermindering toebrengen als in de loodrechte fnelheid, zodat, wanneer men onderftelde, dat hy die altoos de helft, by voorbeeld, verminderde, zou niet meer tusfehen de Sinusfen van den hoek van helbug en den gebroken hoek, maar tusfehen de Tangenten hunner Complementen, eeneftanavastige reden heerfchen. 'Er zou eene andere inrichting noodig zyu, om te maaken, dat die verandering in eene ftandvastige reden eenigiyk op den geheelen richtftreek gelchiedde. Hier aan voldoet volmaaktelyk het ftellel van eenige aantrekking, door de ftraal. breekende uiiddenftoffe op het lichtdeeltje geoef. fend: in dat ftelfel wordt betoogd, dat het licht zich m de tweede tniddenftoffa meei of min fnel dan in de eerfte beweegt, volgens eene betrekking die altoos de zelfde is, welke deszelfs nieuwe richtfireek ook zy.
De



WISKUNDE. III. Deel, III. Boek. 273
De tweede onderftelling van Defcartes is, dat de fnelheid in de richting, evenwydig aan het ftraalbreekendvlak, geen verandering ondergaat. Deeze is, alleen met behulp der grondbeginlelen, welke Defcartes gebruikte, niet zo gemaklyk aan te neemen , noch te bewyzen als de voorgaande; en dit is de bron der gegrondfte tegenwerpingen, welke men tegen zyne verklaaring doet. Zulks is wel waar in de te rug kaatliug, om dat het bewogen lighaam niet in de tweede middenftoffe dringt, cn dat, zo de loodrechte richting vernietigd was, hetzelve zich evenwydig aan die oppervlakte , alleen met zyne fnelheid r>R, zou beweegen. Maar zo dra het zich eenigermaate daar in dompelt, moet zyne beweeging daar door tegenltand , of eene grootere gemaklykheid in die richting als in de andere, ondervincen , en dienvolgens verandering ondergaan. Deeze onderftelling is niettemin op eene ftoffelyke wyze waar, men versunne my dit fchooiwoord, dat is, dat fchoon Defcartes geen bondige reden daar van kan geeven, dezelve nogthans plaats heeft. Want zo wy ons over de waarheid van het New'.oniaansch ftelfel niet vergisfen, werkt de aantrekking, welke het ltraalbreekend lighaam op den lichtftraal o^ffent, en die de oorzaak der ftraalbreeking is, alleenlyk loodrecht op de oppervlakte van dat lighaam , en maakt dienvolgens geen de mir.fte verandering in de fnelheid van dien ftraal in de evenwydige richting.
*Er is nog eene noodige onderftelling in de yerklaaring van Defcartes, om reden te geeven van de nadering des ftraals naar de loodlyn, wanneer hy van een dunner in een dikker middenftoffe gaat. Defcartes geeft voor, dat net licht deeze laatfte middenftoffe gemaklyker dan de eerfte doordringt, en hy geeft daar van eene meer vernuftige dan gegronde reden. Hy fchryft die. werking toe aan den verfchillenden famenhang der dikkere lighaamen , welke maakt, dat hunne luchtgaten meer van hinderpaaleu bevryd zyn, dan die der dunnere ligS 5 haa-



274 HISTORIE der
haamen; zulks, zegt hy , dat even als een kloot met meer gemaklykheid op een zeer hard en zeer effen vlak zal rollen, dan op een tapyr, alzo ook het licht zich met meer gemaklykheid door de luchtgaten van een hard en vast lighaam zal voeren, dan door die van een ander, dat minder hard en vast is. Defcartes heeft zich hier wederom alleenlyk vergist Ih de verkiaanng , en niet in de zaak. De hedendaagfche Natuurkundigen denken even als hy, dat het licht zich in de dikkere middendoffen rasfer beweegt, doch om verfchilieude redenen. Het is om dat deszelfs beweeging by het naderen der oppervlakte van die lighaamen verfneid wordt, door de aantrekking die zy op dezelve oeffenen.
De overweegingen, welke wy nu gedaan hebben , toonen aan , dat als men eenigiyk de Mechanifche grondbeginfeien , die Defcartes gebruikt heeft, volgt, zyne verklaaring aan groote zwaa. righeden onderhevig was. Dus behoeft men zich geenszins te verwonderen ,. dat , behalven zy* welke voorgaven zyne leerlingen te zyn, die verklaring , lcheon in den grond waarheid zynde, weinig voorflanders gevonden heeft. Zy was het onderwerp van eene oneenigheid , welke byna eene twist tusfehen hem ter eener zyde, en Fermat en Bobbes ter andere zyde, zou geworden zyn. Deeze laatfte wierp aanftonds tegen de grondbeginfeien van Defcartes eenige betere tegenwerpingen op, dan men met grond zou kunnen verwachten van een man, die naderhand de Quadratuur des Cirkels vondt , en de Meetkunde toe in haare jlxiomata ondernam te hervormen. Het is , by voorbeeld, met reden, dat hy voorgaf, dat de terug kaatfing niet gefchiedde, als door de veerkracht van het bewogen lighaam, of die der oppervlakte waar tegen het bottte; zo dat, wanneer men beiden volmaakt hard ouderllelde, 'er geen terug kaatfiog zou zyn. Deeze zyn waarheden, welke de verlichte Cartefiaanen niet verzuimd hebben
toe



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. 075
toe te (laan, en zy hebben in de onderftellingen van Defcartes de behoorlyke veranderingen gemaakt , gelyk do'ir aan de lichtdeeltjes weerkracht te getven. Wat de llraalbreeking betreft, de voornaamfte zwaaligheid vau Balbes kwam daar op neêr, dat, naar zyn voorgeeven, de verandering van de fnelheid des lichtftraals in de loodrechte richtftreek, en niet, zo als Defcartes waande, in zyne geheele richtftreek, genomen moest worden. Hobbesvrns daar in kwalyk gegrond: hy fchreef verfcheide brieven aan Defcartes , die hem ovcreenkomftig zyne grondbeginfelen antwoordde. Maar Robbes aitoos nieuwe zwaarigheden ophoopende, brak onze 'Wysgeer die brielwisfeling af, door geen vau zyne Brieven meer teontfan gen.
Wy hebben met Robbes begonnen, om dat het veifchil van Fermat met Defcartes na den dood van oen laatften, met zyne opvolgers hervat, en van andere gebeurtenisfen gevolgd werdt, welke wy niet van elkander hebben willen fcheiden. Ferwat was het eerst in 't ftrydperk getreeden , en hadt door middelen, welken onnoodig zyn te verhaalen, een Exemplaar der Dioptrka vau Defcartes in handen gekreegen , buiten weeten van den Autheur , die dezelve nog niet in 't licht hadt gegeeven Hy haastte zich zodanig om hem aan te vallen , dat hy zelfs niet eens afwachtte, dat dezelve het licht zag; hetgeen Defcartes zeer nioeijelyk maakte. Hy vergeleek de handelwyze van Fermat met die van een man, die zyne vrucht vóór haare geboorte hadt willen verflikken , en hy behieldt daar uit altoos eene foort van wraakzucht, welke men in de Brieven, na hunne verzoening gefchreeven, nog ziet uitblinken.
De eerfte tegenwerpingen van Fermat, men moet het bekennen, doen hem niet veel eere aan, en dezelve bewyxen alleenlyk, dat hy, fchoon een groot Meetkundige zynde, een zeer flegt Natuurkundige was. Men ziet hem in de daad aanftonds het grondbeginfel vau de fcheiding of ontleding der bevvee.
gin-



*?6 HISTORIE DER
ginge betwisten; maar by liet naderhand die te°en. werping vaaren, en vergenoegde zich met aan Defcartes te ontkennen, dat de verandering der beweeging van zyn bewogen lighaam in de geheele richtftreek genomen moest worden; Defcartes, aan zyne zyde, vestigde dit hoofdpunt zyner verklaaring vry wei: eindelyk floeg de twist tot verbittering over, toen hunne gemeene vrienden ondernamen hen te verzoenen. Fermat deedt de eerfte voorllagen van vree Je; en dezeive werden door Defcartes aangenomen. .Zy fchree\en elkander wederzyds zeer beleefde Brieven, doch zonder vau meening te veranderen. Fermat bleef o verreed, dat de verklaaring v,<n Defcartes, gebreklyk was, en deeze, dat zyne tegenparty in het geval was van een man, die weigert de oogen voor het ücht te openen.
Aldus werdt het eerfte onderzoek, dat de Cartefiaanfche verklaaring van de ftraalbreeking verwekte, geëindigd, Qf liever opgefchort: ik zeg opgefchort, want het werdt omtrent no jaaren daar°na hervat, tusfehen den zelfden Heer de Fermat en eenige aanhangers der leere van onzen VVysgeer. De Heer C/erfe/ier, een beroemd Cartefiaan ,°aan Fermat over eenige zyner oude Brieven, belangende zyn gefchil over de ftraalbreeking, gefchreeven hebbende, nam deeze die gelegenheid waar, om de zwaarigheden , die hem altoos van de verklaaring van Defcartes vervreemd hadden, weder i"d een nieuw daglicht te ftellen. Hy voegde 'er deeze by, naamlyk, dat men niet kan zeggen, dat de beweeging in de evenw.ydige richting met het ftraalbreekeiul vlak onvcriLnderlyk is. Het antwoord van den Heer Clerfelier is daar in overëenkomftig den zin van zynen meester, dat hy' ftaande houdt, dat de vertraaging of verinelling van het bewogen üghaam in de geheele richtftreek genomen moet worden. Maar ik vinde daar in niets, dat ten opzichte der nieuwe tegenwerping voldoet. Kort daarna begaf zich Fermat tot andere onderzoekingen, waar in hy dan eens ongelyk, dan wederom gelyk hadt, en de
twjst



W I S'K UNDE. III. Deel. III. Boek. m
twist liep eindelyk op eene wezenlyke woordentwist uit. Fetmat beef meer dan ooit van de ongenoegzaamheid van het Cartefiaausch bewys overreed , en om den ftryd te eindigen, bekende hy, dat hy hem niet verftondt, vermits dat bewys, 't welk zyne tegenpartyen overtuigde , geen licht in zynen geest bragt.
(Jndertusfchen hoorde hy aan aile zyden, dat de wet der ftraalbreeking, door Defcartes voorgefteld, waarheid was. lien Natuurkundige van dien tyd , de Heer Petit genaamd, eeu man van veel verdienfte , hadt dezelve met de ondervinding overeenkomftig bevonden. Dit noopte eindelyk Fermat om gebruik te maaken van een grondbeginfel, dac hy voorlang den Heer de la Chambre hadt medegedeeld, en dat hem eigenaartig fcheen om den weg, weiken het licht in 't breeken moet neemen, te bepaalen. Dit grondbeginfel is overëeokomftig met dat 't welk de ouden hidden uitgevonden, om de gelykheid der hoeken van invalling en terugkaatfing te betoogen. Zy hadden onderfteld, dat het licht, zo lang het in eene zelfde middenftoffe b'.yft, den korrften weg neemt. Fermat, die natuurwet op eene algemeenere wyze bevattende, breidt dezelve uit tot het geval van twee middenftoffen , welke verfchillende in dikte zyn. Hy onderltelt, dat het licht altoos van het eene punt tot het andere in den minften tyd gaat, hetgeen den kortften weg geeft, wanneer het "in de zelfde middenftoffe blyft; maar zo men ouderftelt, dat het van de eene middenüoffe in eene andere overgaat, gaat het, volgens den Heer de Fermat, in "de minst dikke middenftoffe rasfér, en het maatigt dan zynen weg zodanig, dat , in de dikfte middenftoffe minder ruimte doorloopende, de geheele tyd minder is dan in ieder anderen weg, dien het genomen zou hebben. Dit grondbeginfel toegeftaan zynde, ziet men reeds, dat het licht gebroken moet worden by de aannadering der loodlyn, als het in een dikker middenftoffe overgaat. JVÏaar wat waarfebynjykheid, dat uit twee zo tegengeftel-
dq



&?S HISTORIE DER
de grondbeginfelen, als dat van Defcartes en deezen Jaatlteii de zelfde waarheid moest voorvloeiien ? nic is nogthans hetgeen gebeurde, Na de zwaarigiteden van eene arbeidzaame rekening te boven gekanien te zyn, bevondt Fermat, dac de Sinusfen van den hoek van helling en den gebroken hoek in eene itandvastige reden waren; naamlykhet omgekeer. de der tcgenfb.nden in de beide middenftoffen.
Eene zo weinig verwachte gebeurtenis overtuigde den ri^t de Fermat, dat het gevolg van Defcartes wettig was, maar dezelve maakt hem met buigzaanier over den grond van zyn bewys: in tegendeel dezelve maakte hem dien nog meer verdacht. Hy leide inde aaad de zelfde waarheid af uic eene oHderllelhng die geheel waarfchynlyk, en ftrydig met uie van deezen Wysgeer was. Welke reden om te den. ken , dar deeze laatfte valsch, en dienvolgens 'de redeneenng, aan welke dezelve ten grondflagdiet.de, gebrekkig was? Hy onderrichtte den Heer de la Lnambre van dit onverhoopt gevolg, en deeze maakte zudcsi den Heer Qerfelier bekend; deeze Ieerlin» van Defcartes deedt by die gelegenheid eene Units pooging, om den Heer de Fermat tot de Cartefiaanfcbe verklaaring over te haaien (ƒ> Hy toonde hein op eene yerflandige wyze , dat het bovengemelde grondbeginfel niet natuurlyk was, en dat het ^eenszins als oorzaak van eenige natuurlyke werking befchouwd kon worden. Hy opperde ook vermoedens tegen deeze verklaaring , welken het vervolg be.' waarheid heeft, naamlyk, dat dezelve twee vahche ondsrfteliingeu bevatte, welke door een gelukkie toeval elkander herftelden. De Heer de Fermat die dit onderzoek moede was , zo dra hy dacht ! dat de waarheid daar by geen nadeel meer hadt wilde liever een einde daar aan maaken , dan 'er op antwoorden. Hy ftondt den Heer Clerfi/ier alles toe
waf
(i) Brieven van Defc. D. IU. B. 5a, 53.



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek,
war. hy eischte (k)t hem toeftemmende , dat het bewys van Dejcartes voor goed gehouden mogt worden, ichoon het hem nooit overtuigd hadt, en niets voor zich houdende, dan het gering bezit van zyn Meetkundig Voorftel. Hy vergunt ook , oat men zyn grondbeginsel eene dwaalmg noemt, mits dat men het ten mi aten naasc die dwaalingeo ftelt, welke meer waarfch.ynlykb.eid dan de waarheid zelve hebben, en hy eindigt door hem deeze vernuftige vaerfea'van de Tasje toe tc voegen.
Ouando fata il vero Si bello chejfpoffa a ti preporrel
In de daad, niets bewyst beter dat de Heer de Fermat gegrond was om zich aan zyn grondbeginfel te houden, en om met de Cartefiaaniche verklaaring der ftraalbreeking weinig voldaan te zyn, dan de talryke beproevingen der Natuurkundigen, om dat verfchynfei te verklaaren. Onder dezelven is'er byna geen een, die van de eerfte flappen at niet eenen weg, van dien van Defcartes verlchillende, inflaat, door te onderltellen, dat het licht de dikfte middenftoffe het bezwaarlykst doordringt. Wy kunnen geen gunftlger gelegenheid hebben, om van deeze verfchillende beproevingen verflag te doen ; derhalven zullen wy dezelve hier onder een zelfde gezichtpunt verzamelen.
Onder de Wysgeeren welke de Wet der ftraalbreeking getracht hebben te verklaaren of te betoo. gen, hebben fomtnigen , naar 't voorbeeld van Fermat , tot de eindöorzaaken toevlugt genomen , anderen hebben getracht dezelve uit louter natuurlyke oorzaaken af te leiden. Onder de eerften vinden wy den Heer Leibnitz. Deeze beroemde Meet- en Bovennatuurkundige onderftelt, dat het licht vau het eene punt naar het andere gaat, niet in den
kort-
(k) Ibid. Brief 54.



ü8o HISTORIE de*
kortfren tyd, gelyk de Heer de Fermat onderftelt, maar langs den gemaklykften weg (l); en hy meet de gemaklykheid van dien weg door de famengeftelden reden van zyne lengte en van den tegenltandin de midden Itoffe , waar in het licht zich beweegt. Hy gebruikt vervolgens zyne Differentiaal-Rekening , om te bepaalen welke de gemaklykfte weg is, en hy bevindt, dat de Sinusfen der hoekeu, welke de ftra?l met de loodlyn op de breekende oppervlakte maakt, wederkeerig tot elkander zyn als de tegen» itanlen. Inde vcrklaaring van den Heer Leibnitz is dit aai merkelyk, dat hy voorgeeft, dat de fnelheid naar reden van den tegenftand vermeerdert, zo dat hy met Defcartes overëenftemt, door het licht in de dikfte middenfroffe meer fnelheid te geeven. Maar zyne redenen fchynen my te fcherprinnig om overtuigende te zyn. Wat het groncibeginlël van den Heer Leibnitz aangaat, het is aan de zelfde zwaarigheden als dat van den Heer de Fermat onderhevig; het fchynt hedendaags wel beweezen te zyn, dac het licht, in 't breeken , noch den kortfteu tyd, noch den gemaklykften weg kiest, zo als men zal zien, wanneer msn de inrichting ([mechanifmus) der ftraalbreeking, volgens den Heer Newton, zal hebben doen kennen. Wy gaan nu over tot de loutere Natuurkundige verklaaringen van deeze eigenfehap des lichts.
'Fr zvn Natuurkundigen geweest, welke een lichtftraal befchouwd hebben, als famengefteld zynde uit langwerpige deeltjes, welke zich evenwyoigaah hen zeiven, en in eene richtftreek loodrecht op die van den ftraal, beweegen. Deeze onderftelling aangenomen zynde, redeneerden zy aldus. Wanneer, by voorbveld , een lichtftraal fchuins op de platte oppervlakte van een dikker en meer tegenftand biedende fijiddenftoffe valt, begint het einde van een klein langwerpig deeltje van dat licht, dat het eerst
aan
(I) AU. Lipf. ann. 1682.



WISKUNDE. III. Deel. lU^Boek. &2i
san die oppervlakte komt, eenen tegenftand te ondervinden, terwyl het ander, dat in de eerfte middenftoffe is, geen tegenftand ondervindt. Dit laatfte zal altoos met de zeilde fnelheid gaau, en eenen kleinen boog befehryven, terwyl her andere, dat zich in de tweede middenftoffe dompelt, eetsen ge. Jykmiddclpuntigen, doch kleiner 4 boog befchryft, om dat deszelfs beweeging. vertraagd wordt. W anneer eindelyk alle de beide^ einden in de tweede middenftoffe gedompeld zuilèn zyn, zal alsdan de rondgaande beweeging ophouden , en dit lichtdeeltje zal zich evenwydig aan zich zeiven blyven beweegen. Pm is hec gemaklyk te zien, dat in het geval waar in de tweede middenftoffe de dikfte zal zyn, de ftraalbreeking by de loodiyo zal gefchiedeti, de boog a b (Fig. ?o) kleiner dan AB zynde: en dat zulks het tegendeel zou zyn, als de tweede middenftoffe de dunfte was. Maar, voegt rneu 'er by, niets is natuurlyker dafl de betrekking der gemaklykheden van de bei 'e middenftcffen door uie der noogen AB, ttb te mecien. Want het zyn deeze boogen, welke de opzichteiyke wegen meeten, die van de bewogen lighaamen A en a in gelyke tyd in die beide middeuftoffen doorloopen worden. Dus welke helling men in den ftraal onderftelt, als flegts die zelfde betrekking aanhoudt, betoogs, men gemaklyk , dat de Sinmfm van den hoek van hel. iing en den gebroken hoek in ftandvastige reden zyn. Het eerfte denkbeeld van die verklaaring zyn wy, zo ik my niet bedrieg, verfchuldigd aan ütsn Vader Maignan; Hobbes heeft hem gevolgd in een Gefchrift, dat de V. Merfenne rot ons heeft ever» gebragt, (m) De Heer Bmow heeft dezelve ook aangenomen in zyne Gezichtkundige Lesfen, en het is zyne voordragt die wy gevolgd hebben. Maar in weêrwil van het gevoelen van dien beroemden Meetkundige, febjoomen wy niet te zeggeu, dat die
ver*
(«) Syn. univ.^Mtith.



28a HISTORIE der
verklaaring weinig gelukkig is. Behalven de weinig gegrondheid der eerfte onderftelling, op welke dezelve gevestigd is, is 'er niets minder beweezen dan die, welke men in den loop der redeneering gebruikt. De Heer Rizetti heeft, vóór weinige jaaren («), poogingen gedaan, om aan die verklaaring eenige waarfchynlykheid by te zetten, en om die onderftellingen te betoogen. Maar het is, naar myne gedachten, van geen zeer gelukkig gevolg geweest. Niets is minder een Bewys, dan de redeneering aan welke hy dien naam geeft.
Eenige andere Natuurkundigen, aan het hoofd van -welken de Heer David Gregori is (o), hebben eenen verfchillende weg ingeflagen. Zy laaten zich voorftaan, dat het licht, van eene middenftoffe in eene andere overgaande, zich daar in zydelings uitzet of inkrimpt, naar reden dat het meer of min gemakIvk daar in vloeit. Zy onderltellen vervolgens in die uitzetting of inkrimping eene zekere betrekking, waar uit zy de bekende Wet der Straal breeking afleiden. Deeze verklaaring is zo min voldoende als de voorgaande. Want deeze betrekking, die zy vastftellen, fluit zelve in hetgeeu in verfchil is. Dit is het gebrek van verfcheide andere beproevingen van verklaaringen, als die van Herigonius, welke onderftelt,, dat een lichtftraal op de breekende oppervlakte weegt, en dezelve poogt door te dringen, even als een gewicht zou doen, dat op een gelykelyk hellend vlak zou trachten te rollen. Ik zeg niets van een gewaand Bewys , door een Engelsch Wiskundige, genaamd Guaïterus Werner, gegeeven, waarvan de Vader Merfenne ons het Gefchrift met loffpraak aankondigt. Hetzelve is niets anders dan eene valiche redeneering (parahgifmut), en eene voorftelling van 't geen betwist wordt ( Petitie- Principii),
Het
(») Acï. Lipf. ann. 1716. (0) Catoptr, ac Diopt. Elein.



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. ag*
* Het denkbeeld van Herigonius, fchoon weinig gelukkig, fchynt den Heer Betnoulli dat van een ander Bewys gegeeven te hebben, dat insgelyks uit een beginfel der Wsegkunde , ( Statica ) wordt afgeleid. Men ftelle zich voor twee gegeevene en ongelyke magten, welke een beweeglyk punt langs eene 'lyn van eene gegeevene Helling trekken- Zodanig is, volgens den Heer Bernoulli , het geval van twee lichtftraalen, de een invallende, de ander gebroken; hetgeen hy vastftelt door eene redeneering, welke ik. beken niet wel te bevatten. Maar zo men onderzoekt, welke ftand het beweeglyk punt, waarvan wy fpreeken, in de bovengemelde.onderftelling zal neemen, zal men bevinden dat dezelve zodanig zal zyn, dat de Sinusfenrdet hoeken met de loodlyn op de lyn, langs welke dat punt beweegbaar is, in gegeevene reden zyn, naamlyk, die der krachten met welken dat punt ter wederzyden getrokken wordt ; waaruit hy befluit, dat de zelfde ftandvastige overeenkomst in de ftraalbreeking moet heerfchen.
'Onder de Mechanifche verklaaringen der ftraalbreeking is my geen eene bekend die verftandiger is, dan die van den Heer Huyghens (ƒ>). Dezelve is een zeer natuurlyk gevolg van zyn ftelfel over het licht, het waarfchynlykst en meest voldoende ftelftl van allen, zo men geene krachtige redenen hadt 'om tot dat van de ukftraaling over te hellen. De'Heer ■ Huyghens doet, zo als een ieder weet, het licht be. ftaan in de golvende beweegingen van eene zeer fyne veerkrachtige vloeiftoffe, welke zich rondgaande en wet eene ongemeene vaardigheid om het lichtend middelpunt verfpreiden. Maar dit is niet alles: ieder van die rondgaande golven,, rondom het lichtend punt verfpreid, is flegts het gevolg van een oneindig getal andere byzondere golvende beweegingen, wier middelpunten in alle de deelen der bewogen vloeiftoffe zyn, en welke alle famenloopen
om
(p) Traft. de lam. c. 3.'



«84 HISTORIE DER
de voornaamfte te vormen. Dus hangt de loodrechte richtftreek van ieder dier golven af van de opcichtelvke fnelheid dergeenen welke dezelve vormen , zodanig dat zo door eenige omftandigheden defnelheden van deezé laatfte ongeiyk worden, de richtftreek van de voor.naamlte zal veranderen. Dit nu, zegt de Heer Hutghens, is hetgeen in de ftraalbreeking gebeurt Een ftraal als LAD (Fig. 7,). vallende , by voor^ beeld , fchums op eene middenftofFe, waar in het Jicht bezwaarlyker dringt,en waar in het by gevohr zich traager beweegt, komt het deel A der golf, AU, die loodrecht op de richtftreek LA ftaat. het eerst j aldaar verwekt zyne botfing in de ftoffe, waar mede de tweede middenftoffe doortrokken is! tene golvende beweeging , welke zich rondgaande omA, in 1, 2, 3-4, uitftrekt, terwyl de punten ff S i achtervolgens in t>, c% d komen, en aldaar de golvende beweegingen £ 1, £ a, £ 3: c 1, c z; d 1 verwekken. Dus is G H de geheele gob vende beweeging en A H de richtftreek van de lichtl.raal, die loodrecht op dezelve ftaat. Maar, door oe onderftelling, beweegt zich het licht,, by voorbeeld eene helft, .traager in de tweede middenftoffe, dan in de eerfte. Derhalven is de uitgeftrefctheid van de golf A «-de helft kleiner dan die van de golf h b,en by gevolg is A 3 in de zelfde betrekking met D d. isuzyn A 3 en D r/opzichtlyk als de Sinus fin van den gebroken hoek en dienjvan helling. Derhalven zullen óieSinusfen onder elkander zyn ,atade gemaklykheden. welke het licht ondervindt, door zich inde verfchilLnde midoenftoffen te verplaatfen. Wy hebbenons hier vergenoegd met een fchets der verklaarirar van tien Heer Ht>ygbens $wy zouden dezelve bieder ontvouwd hebben, zo wy niet vreesden daar door al te wydlobpig te zullen zyn. Zy, voor wien het geen nu gezegd is niet genoegzaam mogt zyn, kunnen hunnen toevlugt reemen tot zyne Verhandeling De lumine. Wy gelooven niet dat men iets meer voldoende in de/ftelhng (hypothefis) kan bedenken, dan dat het ucht beftaat in e<ne vloeiftoffe , die döor het lichtend lighaam ia werking gebragt is» De



WISKUNDE» III. Deel. HL Boek. 285
De gegronde zwaarigheid die Fermat tegen Defcaries opwierp, in hetgeen de beweeging van het licht in de met de breekende oppervlakte evenwydige richting betreft , eene beweeging welke hy onderftelde niet veranderd te zyn, heeft aanleiding gegeeven tot eene beproeving om de ftraalbreeking te Verklaaren, waar van wy een woord moeten zeggen. Men heeft zich de breeking van 't licht voorgefteld gelyk hetgeen aan een kloot zou gebeuren, die uit eene middenftoffe , als uit de lucht in 't water, by Voorbeeld, zou overgaan. Deeze klcot zou,in het oogenblik als hy de oppervlakte, die de lucht van *t water fcheidtj raakte, in de loodrechte richting tegenftand beginnen te ondervinden;. maar hy zou in de evenwydige richting nog zyne gantfche fnelheid hebben. Laat ons onderltellen , dat hy , by voorbeeld,een-vierde van zyne middellyn , ingedompeld zy: dan zal hy tegenftand ondervinden, en Zyne beweeging in de beide richtftreeken veranderd zyn; doch minder in de evenwydige dan in de loodrechte richtftreek. Het zal even het zelfde zyn, wanneer hy de helft, het drie»vierde van die middellyn za' ingedompeld zyn; dus moet hy, terwyl hy naar beneden zinkt, eene Kromme befehryven, die naar de loodlyn uitgebogen is: eindelyk wanneer hy geheel ingedompeld zal zyn , zal hy, door alsdan van alle zyden eenen gelyken tegenftand te ondervinden» zynen weg vervolgen door den raaklyn in het laatfte punt van die Kromme, welke hy befchreeven heeft, en hy zal eene meer afgelegene richtftreek van de loodlyn hebben. Het regendeel moet zichtbaarlyk gebeuren, wanneer die Kloot van eene meer tegenftand b edende middenftoffe in eene andere, die minder tegenftand biedt, overgaat: de ftraalbreeking zal dan in het naderen tot de loodlyn gefchieden»
Tot hier toe heeft deeze verklaaridg eenett zeef góeden voortgang, maar dezelve is aan zwaarigheden onderhevig, welke niet toelaaten deze've aan ie neemen. Wanneer men , met behulp van eene V gron*



286 HISTORIE der
grondige Dynamica, de loopbaan van dien Kloot, van de eene middenftoffe in eene andere overgaande, en de beide richtftreeken met welke hy dezelve begint en eindigt te befehryven , onderzocht heeft, heeft men bevonden, dat zy niet dezelfde wet als het licht in 't breeken volgen , welke onderftelling van tegenftand men ook neeme. Daar benevens is, de zelfde middenftoffen blyvende, de loopbaan verfchillende volgens de gedaante, de fnelheid,en zelfs de masfa van het lighaam, dat dezelve doorloopt. Wanneer 'er dus eenige gedaante van een lighaam was, dat de betrekking der Sinusfen van den hoek van belling en den gebroken hoek ftandvastig maakte, zou men, uit hoofde dat men niet dan op eene zeer ongegronde wyze kan onderftellen, dat alle de lichtdeeltjes van die gedaante zyn, zich weinig met die verklaaring kunnen behelpen.
Het is hier de plaats nog niet, om de wyze op welke de Heer Newton de ftraalbreeking verklaart te ontvouwen. Naardien dezelve met zyne Theorie der aantrekking verbonden is, zyn wy van gedachten dezelve niet te moeten voordragen, dan na alvoorens kennis gegeeven te hebben van de Hukken, welke die Theorie vestigen. Dus verzenden wy onze Leezers tot bet Boek, waarin wy de gedenkwaardige ontdekkingen van dien grooten man over het licht zullen voordragen. Wy ftellen ook tot zo lang uit om over eene foort van wonderfpreuk te fpreeken, waar aan defze verklaaring, vergeleeken met die van Fermat, den oorfprong geeft. Wy zullen hier van aftrappen met nog aan te merken, dat de Heer de Maupertuis dezelve heeft doen verdwynen door de ontdekking van eene nieuwe wet der natuur, die zeer fraai en zeer uitgeftrekt is.
V I I.
Het onderzoek, waar in wy, by gelegenheid der eerfte ftappen van Defcartes in zyne Dioptrka, getreedeu zyn, heeft ons den draad van onze tfiftorie
doen



WISKÜNDË. til. Deel. Hl. Èoeh ïfy
doen verliezen. Wy zullen dien weder gaan Opvat* ten door verlhg te doen van eenige nieuwe inzichten van dien Wysgeef, om dat gedeelte der Gezichtkunde tot grootere volmaaktheid te brengen. Schoon dezelve in de praktyk het geluk niet gehad hebben, dat hun Autheur zich daar van beloofde * verdienen zy nogthans hier eene plaats, ten minfte als ontdekkingen in de Theorie.
De klootfche lenzen'■glafen verëenigen niet alle de flraalen, welke met hunnen as evenwydig zyn* in een zelfde punt. In de bepaalingen, welke men hier boven van de brandpunten van die glafen gegeeven heeft, werdt niets anders bedoeld dan ftraalen , welke onëindig dicht by den As zyn; want naar maate zy daar van afwyketij gefchiedt hunne ontmoeting met dien As in een nader punt dan het brandpunt. Dit verfchil is , wel is waar, weinig merkbaar, zo lang de klootfche óppervlakte , die dezelve ontfangt, ftegts een zeer klein gedeelte eens kloots is| maar eindelyk het is weezenlyk, en daar Uit volgt, dat een klootsch lenzen-glas geen volmaakt duidelyk beeld in zyn brandpunt fchilderc.
Dit gebrek der klootfche glafen is waarfchynlyk hetgeen Defcartes het eerfte denkbeeld inboezemde t om na te vorfchen, of 'er niet eenige oppervlakte Van zodanige gedaante v/as , dat de evenwydige ftraalen zich daar op juist in een zelfde punt veröenigdeni Daar benevens kon deeze navorfching» als men dezelve van den zuiver Theoretifchen kant befchouwt, niet misfen van bekoorlykheden voor' eenen Meetkundige te hebben. Ook hadt dezelve reeds de poogingen van Kepler gaande gemaakt , die door overëehllemming gegist hadt, dat de Kegel* fneedett aan het Voorltel konden voldoen.
Deeze gisfiug Van Kepler wiefdt iets weezenlyks OUdef de handen van den Heer Defcartes: hy betoogde dat zo in eene Ellips, als AD ti D (Fig. 72.)* de afftand der brandpunten ƒ F en de groote As tot elkander in reden zyn , als de SmusCen van den hoek $>an helling en den gebroken hoek in de middenHof-1 Va fsrtj



a38
HISTORIE der
fen , tusfehen welken de ftraalbreeking gefchiedt, by voorbeeld ais n tot 3, zo het lucht en glas is, de Itraal ED evenwydig aan den As, de glafen Spheroïde JJiJ ontmoetende, gebroken zal worden, en in het brandpunt F zal famenloopen. In tegendeel, zode ruimte AHB vervuld is met de dunfte middenftoffe, als lucht, zal de ftraal GD, de holronde oppervlakte ontmoetende, aldaar gebroken worden alsofhy uit het punt F kwam. Zo men dus in het eerfte geval uit het middelpunt F eenen Cirkelboog Dl beichryft, en dat men zich een lenzen-glas verbeelde, welks doorfneede zy DA IK , zal hetzelve alle de ftraalen, die evenwydig aan zynen As zyn, in zyn brandpunt F vereenigen. In het tweede geval moet de Cirkelboog uitwendig zyn , en men zal 'er een hebben, dat alle de ftraalen, welke evenwydig met zynen As zyn, en op zyne holroudheid vallen, als uit het punt F dhergeerende zal maaken, of in tegendeel, dat alle de ftraalen, naar F corner geer ende, en op zyne uitgebogenheid vallende, evenwydig zal maaken. De Hyperbool geniet de zelfde eigenfehap , zo 'er tusfehen zynen As en den afftand zyner brandpunten de bovengemelde betrekking is. De ftraal, komende evenwydig aan den As uit één der Hyperbolen, waar in wy de dikfte middenftoffe onderltellen, zal gebroken worden, en in het brandpunt des overftaanden Hyperbools iamenloopen ; en men zal op de zelfde wyze bultige of holronde Hyperbolifche lenzen-glafen knnnen vormen, welke de evenwydige ftraalen cornergeerende , of de convergeerende ftraalen naar een gegeeven punt evenwydig zullen maaken.
Dit Problema brengt ons natuurlyk tot een ander , dat algemeener is, waar in verëischt wordt de gedaante eener oppervlakte te bepaalen, zodanig dat de ftraalen , uit een gegeeven punt komende, naar een ander gegeeven punt convergeer ende gemaakt worden, of divergeerende, als of zy uit hetzelve kwamen. Defcartes loste het insgelyks op; maar zich in zyne Dioptrka vergenoegende met de
be-



WISKUNDE. UI. Deel. III. Boek. 289
befchouwing der gevallen, welke het meest van gebruik kunnen zyn, en der oppervlaktens, welke het gemaklykst befchreeven kunnen worden , verzendt hy zyne oplosfing van hetzelve naar de Meetkutt't Hy betoogt daar in , dat zo het punt A (FiY 7-0 dat geen is, waar uit de lichtftraalen komên , B het punt waar in zy zich moeten verëenigen en dat het punt S genomen worde voor den top dér oppervlakte of der teelende kromme, die men zoekt, dezelve zodanig zal zyn, dat, trekkende tot eenig punt G de lynen AG, GB,, het verfchil van AG boven AS tot dat van BS boven BG in gegeeven reden zal zyn, naamlyk , die der ftraalbreeking tusfehen de middenftoffen A en IJ (q). Déeze foort van kromme , die wy nu befchreeven hebben , is die welke de Heer Defcartes de eerfte van zyne Ovaalen noemt. Zo men echter, in plaats van den top S der Kromme tuslclien A en b te onderftellen, dien aan de andere zyde onderltelde, zouden alsdan verfchilleudc andere krommen geooo-
(a) Zie hier het bewys van deeze fraaije eigenfehap. Laat ons onderftellen een punt g orëindig dicht by O, en de lvnen Ae, Bg, benevens de Cirkelboogen Ge, gf, punten B en A, als middelpunten befchreeven, zo dat ge het verfchil van GB, 5 B, en Gf dat van GA, gA is. De kleine kromlynige zyde Gg, verlengd zynde, is, de raaklyn tot de kromme, en haare loodlyn CO verbeeldt den A» van ftnalbreeking. Dewyl nu overal het verfchil van GA en AS tot dat van GB en BS in gelyke reden is, zo volgt, dat de verfchillen der oneindig dicht by elkander zynde lvnen GA, Ag, en GB, Bg, dat is Gf, ge, in gdyke reden zullen zyn; maar het is zichtbaar, dat de hoeken feG, gGe reibeftivelyk gelyk zyn aan de hosken AGL, BGD , welke de hoek van helling en de gebroken hoek 2Vn. Naardien derhalven Gf en ge, zynde Sinusfen der hoeken feG en gGe, in ftandvastige reden zyn, naamlyk die welke de ftraalbreeking tusfehen de midden ftoffen A en B bepaalt, zo volgt, dat de Sinusfen der hoeken AGC. en BGD in die zelfde reden zyn, en dat dienvolgens GBde waate ftand van den gebroken ftraal is. Derhalven, ena. V 3



290 HISTORIE der
ren worden, welke de andere foorten van Ovaalen uitmaaken , die de Heer Defcartes in zyne Meetkunde befchouwt, en dienftig zyn om de flraalen op onderfcheidenc wyzen te rug te kaatfen, het zy door breeking, of door wederftuiting, zodanig dat zy die uit een punt kómen , of daar in convergeer ren , naar een ander te rug gekaatst , of divergeerende gemaakt worden, even als of zy uit hetzelve kwamen. Het zou ongemeen langwylig zyn alle de gevallen te doorloopen , welke uit de verfchil» lende opzichtelyke Handen der gegeevene punten S, A, G ontdaan. Maar dit dient in aanmerking genomen te worden , naamlyk , dat die krommen zich naar de omftandigheden in kegelfneeden veranderen. Zomen, by voorbeeld, in de eerfte foort het punt A onëindig ver afgelegen onderftelt', wordt het Ovaal de gemeene Ellips , hebbende tusfehen haaren grooten As en den afftand haarer- brandpunten de reden der ftraalbreeking: hetgeen ons zou te kennen geeven, zo wy^het niet reeds wisten, dat de Ellipüfche gedaante^Sfle bovengemelde conditien hebbende, de met haaren As evenwydige ftraalen naar één van haare brandpunten zou-te rug kaatfen. Zo men , in tegendeel , het punt B on^ eindig ver afgelegen onderftelde , zou de kromme een Hyperbool worden, die de ftraalen, uit het pdnt A komende , evenwydig zou te rug zenden. De overige eigenfchappen der Kegelfneeden zyn , in het geen de terugkaatfing van het licht betreft, op gelyke wyze flegis bloote gevolgen van het alge, meen Problema van Defcartes. Men heeft flegts de verfcbillen der lynen , uit de punten A en B tot de punten G getrokken , in reden van gelykheid te onderftellen, dan zullen de ftraalbreekingen veranderen in terugkaatfingen met gelyke hoeken aan die yan invalling, en men zal, volgens den ftand der punten A, B, S , een Parabool, eene Ellips, of een Hyperbool hebben, Deeze Theorie, welke de Heer Defcartes niet met de noodige ophelderingen
vopr alle keezers heeft voorgedragen? }s naderhand
deer



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. acji
door den Heer Huyghens in zyne Verhandeling de lumine duidelyker verklaard. Men behoort zynen toevlugt te neemen tot dat Werk, of wel tot het geleerd Commentarium van den V. Rabuel over de Meetkunde van Defcartes.
De eigenfchappen, welke wy nu, met den Heer Defcartes , in de Ellipüfche en Hyperbolifche glafen aangemerkt hebben, bragten hem in het denkbeeld, dat zy niet konden misfen van eene groote nuttigheid te zyn, om de Dioptrifche Werktuigen tot grootere volmaaktheid te brengen. In de daad , vermus glafen van die gedaante de evenwydige ftraalen in een eeniu Wiskuuftig.punt verëenigen , hetgeen de bolronde glafen niet doen, fchynt het t eenemaal natuurlyk te zyn daar uit te befluiten, dat de beelden der ver afgelegene voorwerpen onvergelykelyk duidelyker zullen zyn. Defcartes geeft derhalven den raad, om aan de glafen der Telefcoopen eene Elliptt* fche of Hyperbolifche kromte te geeven, en in t byzonder de laatfte, welke hy oordeelde den voorrang te verdiénen. Tot dat einde geelt hy op het einde van zyne Dioptrka verfcheide Werktuigen op. Zyne Brieven geeven ons ook te kennen, dat hy alies wat moeelyk was aanwendde om daar in te ftaagen. In den laare 1628 te Parys zynde , verbondt hy een Maaker van Wiskunftige Werktuigen , Ferrier genaamd, om in zyne oogmerken te treeden , er. hy fchreef hem naderhand uit zyneeenzaauie woonplaa-s verfcheide Brieven vol onderrichtingen, om hem op den weg te helpen. Het gelukte in de daad deezen Kunftenaar, zegt Defcartes, om een tamelyk goed bultig Hyperbolisch glas te fuyden, doch in het holronde kon hy niet llaagen, en naardien hy eindelyk een walg kreeg vsn dien moeijelyken arbeid, hadt die onderneeming geen ander gevolg. 'De beloften van Defcartes. die niet minder behelsden, dan om jn de Hemellichten de kleinfte voorwerpen te ont. dekken, en de aanfpooring van den Heer Huyghens van Zuilichem , de vader van den beroemden Heer Huyghens, met wien hy in vriendfehap verbonden V 4 waSj



HISTORIE der
was, bewogen ook fommigeHollandfche Kunftenaars hunne poogingen aan .e wenden , om twl itS* gen ter uitvoer te brengen (r) maa/de Zw a ig heden deeden hen waarfchynlyk daar van afzie? en dien arbeid verlaaten. Wy i«n niet, dat D™car\
heefranglHd'r^Weg e^3perhoIisch ^ bekoïïi heeft. Sedert dien tyd hebben eene meenigte andere Wiskundigen of Kunftenaars nieuwe vindingen tot het zelfde einde voorflagen. De Heer Wren ónder anderen, heeft 'er eene voorgefteld foT dTe'opeene nieuwe eigenichap van den Hyperboel en, zo het my toefchynt, één der geenen i w a van men op de rechtmLtigfte wyze feTg^d gevoï zou kunnen wachten. Men vindt ook in de Memo. nen der Academie vau Berhn (t) de bef^r™?™ Van een Werktuig, door Óen'hIS&Mv^Ï* einde uitgevonden. Nogthans zyn, niet tegenftaan de alle die poogingen, de Hyperbolifche glaföalsn0B ingebeelde wezens , en zy wien de wyze bekend if op welke men de Lenzen-glafen bewerkt , Tu?len daar over met verwonderd zyn. Men heeft, we is waar , fomtyds in de Journaalen zien aankondfcen dat men eindelyk daar toe gekomen was om éfafen van die gedaante te maaken. Men leest in de Philo. fophfche Tranfaetien («) dat een zeker Heer du Son goede, Parabolifche glafen gemaakt hadt, (men beef?
f^'iï ^P^olifche willen zeggen; wanPa. raboltfche glafen zouden het onderwerp, dat men zich
ÏSSSL' ni£- rrvu,!enO maar *> fchoone EeToï ten hebben zich tot deeze bekendmaaking bepaakJ. Voorts zou men zich veel moeite befpaard hebben als men eene overweeging gedaan hadt, welke zich vry natuurlyk opdoer; deeze is, dat zo een Sas van eene Wpfche of Hyperbolifche kromte alle dé ftraa"
len,
Hr;ef8r' 82'?5, 86, po. u) tranf Phil. ann. 1668, i<5<5q. O) T. JU. ad. ann. i?iq, ?



WISKUNDE. III. Deel. III. Boek. 393
len, welke evenwydig aan zynen As zyn, naauwkeuriger verëenigt dan een bolrond glas, het echter verre beneden het laatfte zal zyn in 't geen de ltraalen betreft, welke met dien As eenigen zichcbaaren hoek maaken. Want de klootfche kromte vertoont aan alle zyden eerie gelykformige gedaante, hetgeen de Mipttfchc of HyperboliCche kromte met doet. Um die reden zullen deeze laatften de itraalen , uit de zvdelingfche deelen van het voorwerp komende , minder naauwkeurig verèenigen. Eindelyk de oorzaak welke hedendaags niet meer toelaat zich tot het maaken der Glazen van deeze gedaante te verledigen, is de ontdekkin?, der verfchillende breelung van de lichtftraalen. Uit deeze verfchillende breeking ontftaat de voorraamlte hinderpaal in de onderfcheiding van het beeld; en de aberratie, die dezelve veroorzaakt , is onvergelykelyk grooter dan die , welke uit de bolronde gedaante van het glas ontltaat. Wanneer men deeze laatfte door de Ryperbolifche gedaante wilde verbeteren, zou de eerfte met minder ftand houden , en de onderfcbeidirg van het beeld daar door niet grooter zyn. Thans vindt men nergens een kundig man, die in de Hyperbolijche Wazen eenig belang ftelt, en het zyn geen andere dan hoogvliegende Kunftena„rs , die , om hun werk in top te vyzelen, voorgeeven, dat zy het geheim gevonden hebben , om dezelve te bewerken.
VIII.
Wy zyn eindelyk eene volkomener verklaaring van den Regenboog, welke Antonio de Dominis eertyds gegeeven hadt , den Heer Defcartes verfchuldied. "Men heeft op het einde van het voorgaande Deel gezien , dat deeze Italiaanfche Natuurkundige meer door een gelukkig toeval dan door zyn verftand beftierd, tot het wezenlyk grondbeginsel van die verklaaring gekomen was: maar om dezelve volkomen te maaken, hadt hy nog veele zaaken, welke gedaan moesten worden , voorbygegaan. Ten eer* V s ftea



294 HISTORIE der
ften hadt hy die van den uitwendigen Regenboog geheel overgeflagen. Ten tweeden bleef hem rog overig reden te geever, , waarom die verlichte boogen fiegts van eene zekere grootheid fchynen, nasmlyk de inwendige van omtrent 42.0 itraals , en ae uitwendige van 54°* Hy moest eindelyk rog verklaard hebben, van waar de koleuren komen, die zy ons vertoonen , en haare fchikking. Van dee^e drie zaaken werden door Defcartes twee ontdekt. , De derde bepaalde zich tot de verfchillende breekbaarheid van het licht, en was den Heer Newton voorbehouden.
De inwendige of voornaamfte Regenboog wordt gevormd, zo als wy gezegd hebben, toen wy van Antcnio de Dommis fpraken , door eene eenige terugkaatfing van den Zonneftraal tegen het achterfte deel van de waterdruppelen of dampen, eene terugkaatsing , die , by den in- en uitgang van deezen druppel, van eene ftraalbreeking voorgegaan en gevolgd wordt. Hier by was de Italiaanfche Autheur blyven ftaan, als hebbende, zich verbeeld > dat hy op gelyke wyze den uitwendigen Regenboog konde verklaaren , dóór fiegts in fomaaige omuandigheden eenige verandering te maaken. Defcartes ^ met een doorusingender verftand begaafd, ontdekte en verzekerde zich door de ondervinding (v), dat de uitwendige Regenboog voortgebragt wordt door twee terugkaatfingen in het inwendige der druppelen van dampen, zo als men in Fig. 73 in B ziet. De lichtftraal, uit de Zon komende , neemt zynen weg do r het benedenöe deel des druppels, en ondergaat daar eene breelung; hy kiatst tweemaal te rug tegen zyne opjerviakte, en ondergaat einde'yk, uit dezelve komende, eene tweede breeking,die hem te rug kaatst naar een punt van den As , uit de Zon door het oog van den Aanfchouwer getrokken. Zodanig is de weg van ieder lichtttraal, die een punt van den tweeden Regenboog uitmaakt.
Maar
(v) Mettor. Difc..8.



WISKUNDE. III Deel. III. Boeh S95
Maar waarom zyn het alleen de ftraalen als AO en BO , hellende tot dien As , de eene 420, de andere 540 , welke in het oog des aanfchouwers eenen indruk van licht maaken: want het is klaar* blyklyk, dat 'er geen druppel is , het zy beneden A, het zy tusfchen A en B, of ejndelyk boven B, die niet insgelyks eenige lichtftraal naar het oog zendt. Echter befpeurt men geen glans als in A en B; volgens den Heer Defcartes..is de reden daar van deeze. Het is niet genoeg, dat een lichtftraal tot onze oogen kome, om eenigen indruk in dezel» ve te verwekken ; daar toe wordt eene zekere in« gedrongenheid (derifitas) in deuzelven vereischt, geëvenredigd naar de gevoeligheid van ons zintuig: nu vindt de Heer Defcartes door rekening, dac van alle de bundels Zonneftraalen, welke evenwydig op eenen druppel damps vallen, fiegts eene eenige is, (naamlyk die welke tusfchen-de 85 en 86 honderdfte deelen des flraals van het bolletje van den middelpuntigen ftraal verwyderd is) welke na de breeking en terugkaaifïng, die hy endergaat , nog uit evenwydige ftraalen is lamengefteld, Derhalven js deeze bundei lichts alleen bekwaam, om op een afgelegen oog eenigep indruk te verwekken- Nu maakt deeze met den As, uit de Zon-tot het recht daar tegen over üaande punt getrokken, eenen hoek van 41" 30', onderftellende de reden der Sinus van den hoek van in valling tot die van .den breekenden hoek in het regenwater, als 257 tot 180. Derhalven moet men den verlichten rand des eerften Regenboogs flegts op eeneh afftand van omtrent 41° 30' van het recht over de Zon ftaande punt zien. De Heer Defcartes betoogt, door eene foortgelyke handelwyze , dat van alle de kleine bundels ftraa* len, welke op dezelfde bolletjes vallen, en na twee terugkaatfingen daar van afwyken, 'er fiegts één is, wiens famenfttllende ftraalen hunne evenwydigheid behouden, en dat hy met den zelfden As als boven eenen hoek van 510 57' maakt. Dus kan de verlichte rand aan het zelfde oog niet verfcriynen, als
op



fla6 HISTORIE-de-r
op omtrent 52° van het overftaande punt der Zon De tasfchenwydte tusfchen den druppel A en den druppel B kan geenen rand opleveren , waar van een evenwydige bundel tot het zelfde oog kan ko-
?eiï' ..Va2 daar de afbreeking des lichts tusfchen de beide Regenboogen.
Ons blyft nog overig reden te geeven van de iroleuren, welke die beide verlichte boogen verfieren. De volkomene verklaaring van dat Verfchynlel Itaat, zo als wy reed? gezegd hebben , in verband met de Newtoniaanfche Theorie der koleuren. Defcartes geeft niettemin daar van eene reden, die in zekere opzichten voldoende is , door het klein gedeelte van het bolletje, waar uit de Itraaien van den evenwydigen bundel komen , als eene kleine ™ aan te zien, die, zo als men weet, gekoleurde ftraalen af kaatst; de verfchillende ftand van die kleine Prismata, teH opzichte van het oog des aanlenouwers, maakt dat de koleuren in de beide boogen in eene omgekeerde orde fchynen. Wy zullen thans niet meer daar van zeggen; hetgeen hier nog over dat onderwerp overblyft te wenfehen, bewaaren wy voor het Boek, waar in wy de fraaije ontdekkingen van den Heer Newton over de natuur der koleuren moeten leeren kennen. Wy zullen daar in ook verflag doen van de vernuftige befchou'vingen des Heeren Balley, over de Regenboogen van verfchillende ordens.:
Einde van het derde Boek.



HISTORIE
DER
WISKUNDE-
DERDE DEEL.
Bevattende de Riftorie der Wiskunde, geduurendt de zeventiende eeuwe.
VIERDE BOEK.
Hiftorie en vorderingen der Sterrekunde , van het begin tot aan het einde der zeventiende eeuwe.
KORTE INHOUD.
1. De Sterrekunde wordt in 't begin deezer eeuwe door Kepler aangekweekt. Korte levensbefchrying van dien Sterrekundigen. Hy ontdekt de waare gedaante van de 1 oophingen der Planeeten, en ae Wetten die zym naare beweegingen volgen. Verfcheide gelukkige gisfïngen van Kepler. Beknopt denkbeeld van zyne vindingen. II. Yan de nieuwe Sterren, welke in de jaar en 1600 en 1604 ver/cheenen zyn. Andere diergeiyke verfchynfelen , na dien tyd waargenomen. III. Van Galileus. Zyne Sterrekundige ontdekkingen in de Maan en de vaste Sterren.



a$8 HISTORIE der
Die van de Satellieten van Jupiter, en van de Vlekken der Zon. Gevolgen die hy daar uit trekt. IV, Fan dé Sterrekundigen, welke Galileus de eere van die ontdek* kingen betwisten i van Jan Fabricius. Fan Scheinet-, théorie der vlekken van de Zon verklaard. Van Marius. V Van de verrichtingen van verfcheide Sterrekundigert vó6r de meeting der Aarde, in dit eerfle deel der zeventiende eeuwe. Over de meeting van Snellius, en zyné handeiwyze; over die van Blaeuw en Norwood. Over die van de Vaders Riccioli en Grimaldi. VI. Waartieeming van Mercurius onder de 2bn, in V Jaar i6qi gedaan, en door wien. Nuttigheid die men daar uit getrokken heeft. Andere diergelyke Waarneemingen, na dien tyd gedaan. Venus desgelyks onder de Zon waargenomen in *t Jaar 1639. Over den Sterrekundige Horoccius, die deeze Waarneeming gedaan heeft. Voordeel dat men van eene gelyke aar neeming, die in't Jaar 1761 plaats zal hebben , verwacht. VII. Natuur- en Sterrekundig Systema van Defcartes. Zwaarigheden waar aan hetzelve onderhevig is. VIII. P~an eenigi Sterrekundigen, mar van nog niet gefproken is. Denk* beeld van hunne Werken.
h
D e ontdekkingen, waar mede de onfterflyke Kep* Ier in 't begin deezer eeuwe de Sterrekunde verrykte, maaken één der gedenkwaardigfte rydperken van de Gefchiedenis deezer Weetenfchap uit. Zo Copernicus, het juk van een oud vooroordeel afichuddende, de waare fchikking der Hemellighaatnen wist te ontwikkelen ; zo Tycho-Brahè de werkdaadige öterrekunde tot volkomenheid bragt, ontelbaare Waarneemingen verzamelde , en de denkbeelden van zyne voorgangers in verfcheide ftukken verbe. terne , was hst echter Kepler voorbehouden den waaren loop der Planeeten, de gedaante der Loopkringen , waar m zy zich beweegen, en de Wetten volgens welken die beweeging gefchiedt, te leeren Kennen. Om deezen beroemden Sterrekundige wel
af



WISKUNDE. Hf. Dee!. IV. Boei. 299
af te maaien , verkiezen wy hier eenige van zyne ontdekkingen , die het meest bekend zyn. Want men zou eene wydluftige optelling der dingen kunnen doen, welke de Sterrekunde hem verfchuldigd is. Wy zullen zekerlyk onzen Leezeren eenen aangenaamen dienst bewyzen, docr hun eenige levenstrekken van dien beroemden man mede te deelen.
Kepler werdt den 27 December 1571 te Weit in 't Hertogdom Wurtemberg gebooren, uit edele Ouders , doch door den dienst en het liegt gedrag tot eene foort van behoeftigheid vervallen. De zucht om kundigheden te verzamelen deedt hem de middelen daar toe vinden , en het gelukte hem eindelyk , om in de jaaren I589 en 1591 aan de Univerfiteit van Tubingen tot eeretrappen bevorderd te worden. Kepler 1'chikte zich toen nog nier tot de Wiskunde: vol eerzucht en eene brandende begeerte om zich poem te verwerven , zag hy dezelve toen nog niet als toereikende aan , om zyne oogmerken te voldoen. Echter hadt hy dezelve met een goed gevolg onder den Sterrekundige M<tft~ linus geóeffend. Het Hoogleeraarfchap der Wisi kunde te GrSiz, door den dood van Stadius, opengevallen zynde, bezorgde de Hertog van Wurtemburg hetzelve aan Kepler, die het niet aannam, als 1 om zynen Souverein en zynen Befchermer niet te1 gen hem te verbitteren. Toen alleen was het, dat I de vermaaningen van Mafllinus, die in hem een le) vendig vernuft zag, dat tot de grootfte ontdekkingen bekwaam is, hem tot de Sterrekunde overhaalden. Hy begon dezelve met fmaak en yver te oefj fenen, en gaf iri 't jaar 1593 zyn Mylïerium Cosmo* gtaphicum in 't licht. Nitttegenftaarde de verborgene overëtnkomften der gL'allen en figuren, welke Kepler daar toe gebruikte, om de betrekkingen der ar'ltanden van de Planeren te bepaalen , ontdekte Tycho hel vernuft van den jongen Autheur, en oordeelde hem waardig weder op den rechten weg gebragt te worden. Hy vermaar.dt hem tot het doen van waarneemingen, een raad dien Kepler volgde,
doch
IJ met een goea gevolg uuuer ucii cicncnuuuigc j.rja/t-



300
HISTORIE DÊfc
doch die hem van zyn zwak voor die Pythagorifchi herfenfchimmen niet ten vollen genas. Verl'cheide plaatfen van zyn Epitome Aftronomice Copernkana, ea zyne Barmonia Mundi, zyn daadelyke bewyzen van dat zwak, dat hy den mees/en tyd met de rechtmaatigfte en verhevenfte denkbeelden verbondt.
Kepler ging in 't Jaar 1598 Tycho, die zich te Praag ophieldt, bezoeken, en deeze Sterrekundige bezorgde hem den eernaam van Keizerlyk Wiskunftenaar, benevens een Jaarwedde, die hem byna altoos vry flegt betaald werdt. Daar nu deeze Waardigheid hem geen genoegzaam beftaan opleverde, verzocht en verkreeg hy in 'tjaar 1613 het Hoogleeraarfchap te Lintz, dat hy bekleedde tot in »t Jaar 16-6, toen hy tot het Hoogleeraarfchap van Sagan, en vervolgens tot dat van Roftock beroepen werdt ; eindelyk naar de Ryksvergadering van Regenburg gegaan zynde , om aldaar de achterftallige Jaargelden, welke hy nog moest hebben, te verzoeken , ftierf hy aldaar op den 15 Novene ber 1631. Men heeft hem een groot getal Werken te danken, waar van fommige ons reeds bezig gehouden hebben. Wy zullen in dit Artikel eenige andere van dezelve ontleden , en men zal de op* telling derzelven in de volgende Noot (w) vinden.
Een
o) Prodomus dijff. Cosm6grat>hicarUm , &c, Tubingaï, I596, in -4.0. Defundam. Afhologia certioribus, differta. iiur cula. Prag. 1602, tD-40. Paraiipomcna ad Viteüiowm, feu Ajlron.pars Optica, Francof. 1604, in -40. Epïffl. ad rerum cel. amat. de folis deliquio anni 1605. Prae\ 1605. De JlHld tiovd in pede ferpeniarii, &c. Cui accejpt nat', ratio de llellA incognitd cygni, Prag. 1606, in -40. Metcurius tn Sole, &c. Lipf. 1609, Aflrontmia nova, feu Phyfica ede/lis de motihus Jlella martis, &c. Prag. 1609, in fol. Diopttica. Prag. r6n, in -40. Ephem. nova mótwm caleftium ah anno ï6n ad 1636, panes III. LfbèÜ ac Sag. in - 40. Epitome'Afkon. Coptrn. i6j8 & lóaz, In -8°. Linz. Hatmonices, L. V. Linz 161Q, in-fol. De Cometis, lib. III. Aug. Vind. f619, in -40. Hypera/pi/iis
Ty.



W ÏS KOND Ë. Ül. DtsL IV. Ëoek. 3oI
Len geleerde Dniffcher f de Heer XSbtttieï Hansch }^ die in 'tjaer 17*8 eene Verzameling der Brieven vari Kepler heeft üitgègèeven , beloofde ons in 't Jaar" 1714 eeiië vólkomene uitgave van zyne Werken ia twee-eri-twintig Dëeleri in-folió (x). Hoe groot de achting ook zy, welke wy dien beroemden Sterrekündigé toedragen, geloóven wy nogtbd-is, dat eene zodanige Verzameling thans weinig aftrek' zoti vinden. De riaatn van Kepler zal zonder tWyfFa! zo lang in leven zyn , als de Srerrekünde geöeffeud woidt: miar zyne te fiegr in.orde gebragte Schriften , te zeer vervuld mee gewaagde denkbeelden, weike de_ toegevendheid der Leèzeren noodig hebben, en in weêrw'il der uitmuntende ontdekkingen, Welke daar in verfpreid zyn, kunnen in qéne eeuw ais deeze niet herdrukt worden., Wat voordeel zou inen kunnen beöogeii, door ons zyne geleerde my^ Weringen over de eenflemmigheid der Waereld, enz. mede te deeleh? Op het einde der voorgaande eeuwe zou men eene uitgave van die Werken door eenen man, die ih üaat was het geen waardig was het Pu-i bliek voorgelegd te worden, van het geen men behoorde achter te houden, behoörlyk te ondeifcbeiden, toegejuicht hebben. Maar hedendaags zoü bet te laat zyn, om zelfs die Verzameling te onderfieemeiii
De beide ontdekkingen welke hét 'meest toegebrbgt hebben, om Kepler eenen grooten naam te maakeii j zyn die van de gedaante der Loopkringen van de Planeeten , en van de beide Wetten haarér beWee-
gin-
Tychonis contra fdp. Ciaramcfitiüm. Francof. 1^25 , in-4» Tab. Rudolphina, &c. Ulm 1627, in - fol. Refp. ad Epvf tfac. Battchii, &c. Sag. 1629, in -4°. Admon. ad Aft/on. de mms ac raris, 1631. Phctiomenis , nempe Mereur. ac Ven. in Solem incurfu. LipC 1Ó29 , in - 40. Somhium Kepleri,feu de Aflron. lunari. &c. Opus pofthumum. Francof. 1634 , in-49. Ëpili. Kepleriana quxd cum refhonfis. hioh 1718, in -fol. Ster. dol. Linz 1Ö05, in -fol. (#) AS, Lipf. ann. 1714,
%



302
HISTORIE der
gingen. Wy gaan hem volgen in zyne Commentaria over de beweegingen van Mars, waar in hy zorg gedragen heeft ons wegens de proeven en gisfingen , welke hem eindelyk tot de eerde van die gedenk» waardige ontdekkingen aanleiding gaven, te onderrichten.
Het was een foort van toeval, dat de navorfchingen van Kepler over de Theorie van Mars verwekte; en het was een gelukkig toeval, om dat die Planeec, alséénderuitmiddelpuntigftetizynde,één der geenen was, welke hem gemaklyker tot de waare oorzaak van haare onëffenheden kon de brengen. Hy was naar Praag gegaan, om Tycho te bezoeken, die, by gelegenheid eener aanftaande Oppofitie van Marst arbeidde om zyne Theorie over die Planeet in orde te brengen. Tycho was met Copernicus overtuigd, dat de Apfiden van de Loopkringen der Planeeten door de middelbaare plaats der Zon moesten gaan, en met behulp van eenen grooten toeftel van Cirkelen daagde hy vry wel, om de beweeging van Mars'm Lengte voor te ftellen: maar zyne onderftelling miste geheel en al in 't geen de Breedte betrof. Kepler, die reeds natuurkundige denkbeelden hadt, welke hem overtuigden, dat de Zon geenszins een middelpunt zonder werking, maar de beheerschter vau de beweeging der Planeeten was, vermoedde aanftonds, dat de onderftelling van Tycho in dat opzicht valsch moest zyn. Van denkbeelden tot denkbeelden (want wy zouden te langwylig zyn, als wy de achtervolging derzelven hier wilden befchryven) kwam hy ten laatften tot de ontdekking, dat het noodig was de uitmiddelpuntigheid in tweeën gelyk te deelen. Hy werdt waarfchynlyk geholpen door de befchouwing, die Ptolomeus reeds gedaan hadt, naamlyk dat de eerfte oneffenheid der Boven-Planeeten ten deele wezenlyk, ten deele gezichtkundig was, eene reden die hem het middelpunt van haare gelyke beweeging buiten dat van haaren uitmiddelpuntigen Cirkel hadt doen ftellen. De laatere waarneemingen hadden hem ook van die noodwendigheid overruigd, cn men hadt
flegts



VVlSKÜNÖËi 111. ,£W. IV. Èosk. 303
fiegts de Aanfe alleen van die gemeene Wet uitgezonderd; maar Keplèr, die by overeenkomst recienkavelde, oordeelde dat men die Wet des^elyks op de Aarde, die gelyk aan de andere Planeeten is, moest toepasten* Hy toonde aan, dat men het middelpunt des Loopkrings de helft der uitmiddelpuntigheid , die men hem eertyds gaf, nader by moest brengen; en dat men, door te onderfteüen , dat da gelyke beweeginggefchiedt rondom hjt punt, dat van het middelpunt aan de andere zyce even ver 'verwyderd is, aan de waargenomene oneffenheid der beweegingen van de Zon veel beter, aan door o.'th 'eenvoudigen uitmiddelpuntigen Cirkel voldoet. Dit is hetgeen men de in tweeën Ihyding der uitmidöéU puntigheid noemt ; zynde de eerfte (tap van Kepler tot zyne groote Ontdekking. ÜHder andere bewy« zen der noodwendigheid om de uitrnHnelpuntigheid aldus te deelen, en de beweeging van de Zon, of liever van de Aarde, wezenlyk ongelyk te maaken, gaf hy dit. Zo de Zon eenpaarig rondo n liet middelpunt van haaren Loopkring liep , zou de ffaelh'eïd Van haare beweeging naöuwkeurig de betrekking van liaare fchynbaare middellynen volgen ; dat echter zo niet is. In de daad, de midddlyn der Zon is in haaf Apogeum fiegts byna een 3ofte. kleiner, dan in haar Perigeum; hetgeen aanwyst, dat haar afftand, in hec eerfte van die punten , byna een softe, grooter dan in het tweede is. Doch haare beweeging is in het Apogeum een - vyrtiende langzaamer : zo men derhalven aan het verlchil van afgelegenheid toefchryft de werking die zy moet voortbrengen , naamlyk een-dertigfte vertraaging, zal het ander dertig^ fte-deel eene wezenlyke vertraaging Zyn. Nu voldoet men aan beide die voorwaarden, ais men het middelpunt van den Loopkring der Aarde de heift der oude uitmiddelpuntigheid naar de Zon te rug brengt, en de Aarde, ten aanzien van het overftaande punt, en even ver van de andere zyde des middeipunts, gelykmaatig doet beweep.en. Kepler paste dit ook toe op de beweeging van Mars $ en bevondtj X a das



3°4
HISTORIE der
dat zyne uitmiddelpuntigheid , op de zelfde wyze verdeeld , zyne beweeging beter zou voordellen, dan eenige onderftelling die men alsnog gemaakt hadt.
Deeze onderftelling zou veele Sterrekundigen voldaan hebben, en wy bevinden inde daad, dat veelen daar by gebleeven zyn ; maar Kepler, die naar eene grootere volkomenheid haakte , bemerkte dat zy nog niet t'eenemaal aan de beweegingen buiten de Apheiien en Peuhelien voldeedt. Geruglteund door eene meer gelukkige dan naauwkeurige en dringende redeneering, beproefde hy om, in deeze cirkelvormige onderftelling, de Seclors rondöm het uitmiddelpuntig punt S ( Fïg. 74. ; gelykmaatig te doen aangroeijen. Dit bragt hem in de daad veel nader tot de volmaaktheid: alleenlyk vondt hy in deeze onderftelling het gebrek van de berekende plaatfen in het eerfte Quadrant des dpheliums te veel, en in het laatfte te weinig voorwaarts op te geeven; hy bevondt ook, dat, bui 1 en het yjphelium en Perihelium, de berekende afftanden grooter dan de waargenomejie afftanden waren, en wel dies te meer naar dat de Planeet nader by de middelbaare plaatfen was. Deeze beide waarneemingen gaven hem te kennen, dat de uitmiddelpuntige Cirkel, die hy in 't eerst verönderiteld- hadt, fiegts het gebrek hadt van naby de middelbaare aiftanden te veel uitgebogen te zyn , en dat de waare Loopkring in de gedaante van een Ovaal binnenwaarts keerde , en den zelfden As badt.
Maar welke foort van Ovaal zal men in plaats van den Cirkel moeten kiezen? want men kan od den zelfden As zich een oneindig getal kromme Ly« nen verbeelden, waar van eenigen meer geplat dan anderen, en door zekere Meetkundige handelwyzen befchreeven zyn. Dit gaf Kepler niet weinig gelegenheid om te arbeiden. Vooringenomen met zekere faamengeftelae beweeging , door welke hy dit Ovaal dacht befchreeven te zyn , verzon hy een Ovaal, dat verfchillende was van de gewoone El~ Ups,,waar op zyne gedachten nog niet gevallen waren.



WISKUNDE. UI. Deel. IV. Boek. 305
ren. Hy meende Mm in zyne magt te hebben, toen hy bemerkte aar dezelve hem op nieuw ontfnapte. De woorden van Kepler zyn merkwaardig, en verdienen bygebragt te worden, als aan den dag leggende eene lev^ndi^e verbeeldingskracht, die van hem gemaklyk een Dichter gemaakt zou hebben, zo hy geen Scerrekundige ware geweest. At diim de motilms mm lis in hmc modum triumpho, eigue ut planè devitio tabularum caweres eequativnumque compedes mcto, diver/is numir.tur locis, jutiltm viclo>iam, ac helium tctd mole recrude/cere ; nam domi guidcm captivus, ut contemptus, rupit omnia eequatiomtm vtncula, carcercfque tabularum ejfregit. Jarnque pariim obfuit quin hollis fugitivus fefe cum rebellibus fuis conjungeret. meque in defperationem adigeret, tiifi raptim nova rationum Phyjicarum fubftdia, fufts & palantibui vetetibus, fubmififf'em , S? q^O' fefe captivus p>oripuiffü^ vestigiis ipfius , nulld mo>d interpofitd inhafijfèm, t$c In de daad , om my van de figuurlyke uitdrukking van Kepler te bedienen, hy liet niet af om zynen ontfnapten gevangene zo lang te vervolgen, tot dat hy hem achterhaald en geheel t'ondergebragt hadt. Hy bemerkte dat het gebrek van zyn Ovaal hier in beftuiidt, dat het te veel in den Cirkel liep, en te plac was; hy belloot daar uit, dat de gewoone Ellips, die tusfchen dat verdicht Ovaal en den Cirkel het midden hielde, het waare fpoor der beweeginge van de Planeet was. Zyne gevangene , zegt hy-, met deeze capinilatie te vreeden, gaf zich goedwillig over, en deedt verders geene poogingeii om hem te ontfnnppen. Sedert dien ty.1 hou.ït men voor een grondbeginfel der hemelfche bewecgmgen, dat de Planeeten EUiptifcht Loopkringen doorloopcn, waar van één d^r brandpunten de plaats van de Zon of Hoofdplaneet is, en dat zy zich op zodanige wyze daar in beweegen, dat de Inhouden, doordeLyn, uit het brandpunt, waar in de middelpuntige Planeet is, befchreeven, evenredig'tot de tyden zyn. Wanneer de Loopkring eener Planeet door de Ellips AFPG (Fig. 75) t waar van AP de Lyn detApfiden is, verbeeld wordt, X 3 zal



306
HISTORIE per
zal' de Zon S in één der brandpunten zyn, en zich daar in zodanig beweegen , dat de Schors AST, AS/, AFPS'0 als de tyden zyn , welke hefteed worden , om tot de plaatfen T, t, © te komen. Naar dit grondbeginftl zyn de Tafelen berekend, welke de Sterrekundigen hedendaags gebruiken. IVlen heeft den geheelen Inhoud van de Ellips, of dien van den Cirkel A DPA, voor 3600 genomen; voorts heeft men onderfteld , dat de Sedors ÜSA in het brandpunt S van graad tot graad , dat is van 3600 tot 360^ des geheelen Inhouds , gelykmaatig aangroeijen, en vervolgens bepaald, welke de hoek TSA was , dte met ieder van die Secïors overè'enftemde; waar door men gevonden heeft de waare Anomalie , die met iedere middelbaare Anomalie , van graad tot graad aangroeijende , over» ëenftemt (3O; want het is klaarblyklyk, dat de Sec
tor
(31) Dit ProUema om de waare Anomalie te bepaalen 5 de middelbaare gegeeven zynde , is, wegens deszelfs móeijelykheid, onder de Meetkundigen berucht geworden. Kepler lóste het fiegts op eene indirecte vvyze op, door den boog AD (dien hy de Anomalie van het excentrum noemt) meer of min groot te neemen , zulks dat voor den Seïïor A S D de grootheid der gegeevene middelbaare Anomalie voortvloeide; vervolgens leidde hy daar uit gemaklyk de waare Anomalie AST af. Maar na dat de Meetkunde in krachten was toegenomen, heeft men haarer onwaardig geoordeeld, dit Pnblema niet anders dan op eene indirefie wyze op te losièn: men heeft directe Oplosfingen gezocht, en verfcheide Meet- en Sterrekunuigen hebben zich geoeffend om dezelve te geeven
' De eerfte van .deeze fcort is die van den Ridder Wren, die tot ons is overgebragt door oen Heer Wallis (rfe cycl. ad fin, ) ,' en door den Heer Newton ( Princ. I. I. ). Zy is zuiver Meeikunfiig, en heeft tot grondflag eene ianewerpige Cycloïs. Doch zulks is niet voldoende als in de Theorie. Üin die reden laat ce Heer Newton aanftonds eene andere daar op volgen , welke in eene reeKs van afneemende hoeken beftaat, zynde de verbetering, welke men in de middelbaare Aturaii'ii Rtöfêt deeu, om de waare te bekomen.



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 307
tor ASD, in graaden gebragt, de middelbaare Anomalie verbeeldt, en dat de overëenkomüige
hoek.
Naardien deeze Oplnsfing vry faamengefteld is , hebben de Heeren Keil en Gregori eene andere voorgedragen, de eerfte in zyne LeB. Afiron., de andere in zyne Elem. Ajlron. Het boofdzaakelyke uerzelve komt hier op uit. Het bewust Problema beftaat, zo als men weet, hier in, om van eenen Cirkel eene ruimte ASD af te fnyden, geiyk aan eene gegeevene ruimte , door eene lyn uit een ander punt S dan het Centrum getrokken. Wanneer men nu van de hedendaagfche berekeningen gebruik maakt, vindt men eene reeks, die de waarde van den Seiïor, in 't punt S gemaakt , uitdrukt, en met den onbepaalden Ordinaat DE overëenftemt. Men vergelykt alsdan deeze reeks met de gegeevene ruimte, en vindt door de wederkeeving der reekten DE uitgedrukt door eene nieuwe reeks , die zeer (aamenloopende is, wanneer de uitmiddelpuutigheid niet zeer groot is; zulks dar een klein getal Termen genoegzaam is, om de waarde van DE te bekomen. Deeze Oplobfing is den Heer Newton niet onbekend geweest. Men vindt dezelve in de Comm. Epiji. p. 53-
Deeze vericheidene oplosfingen hebben de bekommeringen der Wiskundigen niet weggenomen. Aan den eenen kant hebben de Srerrekundigen enkel Trigonornctrifche benaderingen gezocht. Zodanige zyn die welke de Heeren Horrebow (Aft. Lipf. Suppl. T. VI.) en Casfini (Mém. de VAcad. 1719) gegeeven hebben. Aan eenen anderen kant hebben de Meetkundigen nieuwe Geometrifcne of Analytifche Oplosfingen gezocht. De Heer Hermann heeft QMèm. de Petersb arm. 1726) eene Memorie gegeeven , waar in hy twee oplosfingen voordraagt, de eene Geometrisch door middel der Quadratrix van den • Heer Tfihirnhaufen , de andere Arithmeusch, en die zeer gemaklyk ter uitvoer gebragt kan worden. Men heeft ook QTranf. Phil. arm. 1738} een geleerd Gefchrift van den Heer Machin, waar in hy reekfen opgeeft, die op eene ongemeene wyze convergeeien, en daar uit eene zeer vaardige en uitvoeriyke handelwyze afleidt. Men vindt eindelyk in de Werken van den Heer Simpjon (Esfays on feveral curious and ujeful fubjeëts in fpeculative and mix' d Mathematicks, p. 41} eenige nieuwe üplosfingen van dit Problema.
X 4



S°8 HISTORIE der
hoek AST de waare Anomalie is. Eindelyk heeft men de waare van de middelbaare Anomalie afgetrokken , of daar by gevoegd , en by het verichil het behooriyk teken van optelling of aftrekking nevens de middelbaare Anomalie aangetekend ten einde volgens de fchikkjng der oude lafelen, de vereffening te bekomen, naamlyk het deel dat by de middelbaare plaats opgeteld, of daar van afgetrokken moet worden, om de waare plaats te verkrygen (z). v
Zo-
(z) Aangezien betgeen hier over de Anomalie gezegd wordt eenigzins re kuit is, zuilen wy het in deeze noot uubreiden en ophelderen. In de oude Sterrekunde heeft men Anomalie genoemd , de afftand van de Zon of eenige Planeet tot haar Apogeum. De middelbaare Anomalie was die ai(fand,_ uit het middelpunt van den uitmiddeipnntigen Cirkel gezien , of de hoek die gevormd wordt door de lyn, die uit dat punt tot het Apogeum getrokken is, met de lyn, uit het. zelfde punt tot ue Planeet getrokken. De waare Anomalie was die affiand . uit de uitmiddelpnntige plaats, waar m zich de Aaide bevindt , gezien, of de hoek gevormd door de beide Jynen, uit de Aarde tot het Apogeum en de Planeet getrokken. Het verfchil van die beide hoeken was hetgeen men de proftapherefis noemde , die men dan eens by de middelbaare plaats moest optellen, dan wederom daar van aftrekken , om de waare of fchynbaare plaats te bekomen. Jn de hedendaagfehe Sterrekunde is de Anomalit eemgzms anders. De waaie Anomalie is wel de hoek AST, gevormd door de lyn der Apfiden, en de lyn , uit het brandpunt tot de Planeet getrokken; doch de waare Anomalie wordt door een Seïïor ASTA gemeeten, om dat het alleen die Setlor is , die evenredig met den tyd aangroeijende, desgelyks in gelyke tyden aangroeit. Om derbalven de oude (chikking der Tafelen te behouden , heeft men den geheelen Inhoud der Edips gelyk aan 360° onderfteld, en den Innöud van ieder SeSox ASTA in graaden en deelen van een graad berekend. Maar vermits, als men den Ordinaat I h tot den Cirkel verlengd, 'er de zelfde rede van de geheels Ellips tot den Cirkel is, als van den Se&or AST tot m.wm ASD, komt het daar uit voort, dat men de betref



WISKUNDE. UU Deel. IV. Boek. 309
I Zodanig is de eerfte wet van de beweeginge der 1'ianeeten, door Kepler ontdekt ; 'er is nog eene tweede belangende de opzichtelyke beweegingen van verfcheide Planeeten, welke om het zelfde punt draaijen. Deeze beitaat hier in dat , in dit geval de vierkanten der tyden , die zy in haare omloopen befteeden , als de teerlingen haarer afftanden van dat punt zyn, of, dat het zelfde is, dat die afftanden als de vierkanten der teerlingswortelen uit de omloopstyden zyn. Kepler merkt zulks aan in zyne Epitome Ajlronomiae Copernicance («j, en bewyst dit in de eerfte plaats door de vergelyking der beweegingen van de boven-Planeeten. In de daad , wanneer wy de Aarde met Saturnus vergeJyken, bevinden wy , dat de omloopstyd der Aarde tot dien van Saturnus (baat, als 1 tot 29I, waar uit de teerlingswortelen zyn 1 en 3T^; wanneer wy deeze tot het vierkant verheffen, zullen wy vinden
; 1 en 9 + ïlé. Dit is in de daad de betrekking haarer afstanden van de Zon, afgeleid uit de Theorïèn, welke met haare beweegingen het best overcenftemroen. Zo men nogthans de omloopstyden van twee Hoofdplaneeten naauwkeuiiger neemt, zal men de betrekking van haare afftanden met grootere
{ naauwkeurigheid vinden, en nader by die, welke de
li waarneemingen der beste Sterrekundigen opleveren.
Het-
trekking van den Seiïor ASD tot den Cirkel voor de middelbaare Aiomalie genomen heeft. Wanneer dus de middel, haare Anomalie gegeeven is, heeft men in 't eerst, om de I waare Anomalie te vinden , niets anders te doen , dan den | $eiïor ASD te bepaalen , welke tot den geheelen Cirkel' I itaat, ais het. gegeeven getal graaden ftaat tot 3600. Dit gejdaan zynde, is alles verricht; want men zal alsdan den hoek ASD he'>ben , en deeze hoek gevonden zvnde, zal men AST, of de waare Anomalie, hebben, dewyl de betrekking ivan ED tot ET gegeeven is, zynde deeze betrekking de zelfde , als die van den grooten tot den kleinen As des I Loopkrings.
O) Epit. AJlrou. Cop. p. 500, 530, 554.
X5



3io
HISTORIE der
Hetgeen wy onder de Hoofdplaneeten opgemerkt hebben , wordt ook onder de vier Satellieten van Jupiter waargenomen, zo als Kepler aanmerkt, die daar uit een nieuw bewys voor zyne ontdekking afleidt. Men ziet eindelyk deeze wet onder de vyf Satellieten van Saturnus heerfchen. Indien wy, even als die twee Planeeten met verfcheide Maanen bevoorrecht waaren, zouden wy zonder twyïel het vermaak hebben, van die Wet onder dezelve te zien heerfchen.
Zo wy ons hier naar onzen wensch konden uitbreiden , zouden wy ons gaerne willen verledigen, om van de Natuurkunde van Kepler eenig denkbeeld te geeven. Want hy bepaalde zich niet fiegts tot de zaaken zelven , hy poogde ook de oorzaaken daar van aan te toonen, en hy doet de Sterrekunde byna altoos van de Natuurkunde vergezellen. Maar, wy willen het niet ontveinzen , dit gedeelte der Schriften van Kepler is op verre na het verhevenfte riet, eu fchoon de man van vernuft daar in doorftraalt, heeft het nogthans de toegeefiykheid der Leezeren grootelyks noodig. Zy die echter daar van een denkbeeld wenfchen te hebben , zonder tot zyne Werken toevlugt te neemen, kunnen daar over nazien the Elements ofAftronomy van den Do&orGregory, waarin zy een zeer kort en zeer wel lamengeiteld Uittrekfel daar van zullen vinden.
Nogthans zyn in de Natuurkunde van Kepler verfcheide gelukkige gisfingen, welke geheel en al overëenkornftig met de hedendaagfche ontdekkingen zyn. Men ziet hem, in zyne Commentaria over Mars, vermoeden, dat de onregelmaatigheden, welke de Maan byzonder eigen zyn, het gevolg zyn der werkingen, welke de' Aarde en de Zon gezamentlyk op haar oefenen (b). Hy gist daar in, dat de Aphelkn der Planeeten dan eens voorwaarts gaande, en dan wederom te rug gaande zyn, maar dat zy, als zynde
in
(6) c. 37. Epit. AJiron, Cop. L. IV, $. 5, 1. VI.



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek, 311
Ha iederen omloop langer voorwaarts dan te rug fgaande, na een zeker getal omloopen voorwaarts jigegaan fchynen te zyn. Dit wordt ten aanzien der tMaan bevestigd, en het is zeer waarfchynlyk, dat izuiks ten opzichte der Planeeten plaats heeft, weljjce om de Zon draaijen , fchoon de traagheid der beweeging van haare Apjiden niet toelaat zich daar jivan te verzekeren. De algemeene aantrekking der |ftoffe wordt in het zelfde Werk duidelyk uitgedrukt (c). ,, Dé zwaartekracht , zegt Kepler , is „ fiegts eene lighaarnlyke en onderlinge neiging ,, tusfchen gelykformige Ijghaamen , om zich te L, verëenigen. De zwaare lighaamen , voegt hy L 'er by , neigen geenszins naar het middelpunt j„ der waereld , maar naar dat van het rond ligL, haam, waar van zy een deel uitmaaken; en zo |„ de Aarde niet rond was , zouden de lighaamen I,, niet loodrecht op haare oppervlakte nedervallen. fl„ Zo de Maan en de Aarde niet in haare opzichj„ telyke afitanden gehouden werden , zouden zy Ij, op elkander vallen , vermirs de Maan omtrent IL, §* van den weg, en de Aarde het overige af. L, legt , onderftellende dat zy even ingedrongen L, zyn." Hy denkt ook, dat men het verfchynfel jrvan den vloed en ebbe der Zee aan niets anders , dan aan deeze aantrekking der Maan moet toefchryIven. De aantrekking der Maan, zegt hy, ürekt L, zich tot op de Aarde uit. Zy trekt de wateren |„ van den Oceaan in de gezengde Luchtfireek aan, L, onder de plaats waar zy in het Zenith itaat, enz. L, De Maan, gaat hy voort, zeer fnel door het Zenith gaande, en de wateren haar niet met de L« zelfde fnelheid kunnende volsen , ontftaat daar uit
L een geduurige (Lroom van het Oosten naar het „ Westen , die cnöphoudelyk op de overftaande ,, oevers aanvalt, en aan de knsren te rug.fluit. „ Van daar de oorfprong van den geduurigen lucht-
„ fltoom,
(p) Ibi$. in Introd,.



3I2
HISTORIE der
„ ftroom, welke zy, die onder de gezengde Lucht» ftreek zeilen, ondervinden , en de oorzaak van ,, de opkomst of den ondergang van verfcheide Zandbanken of Eilanden, enz, van de uitholling ,, der Golf van Mexico en der Oostkust van Alia." Hy fchynt ook de zwaartekracht der Planeeten naar de Zon duidelyk te bemerken Qd); want hy vergelykt met dezelve die der zwaare lighaamen cp de Aarde, en fchoon hy in zyn Kort begrip der Qopernicaanfche Sterrekunde niet wil, dat de aantrekking van de Planeeten en de Zon wederkeerig zy, uit vreeze dat de Zon uit haare plaats gerukt worde , laat hy echter niet na zulks op eene andere plaats te erkennen. Want hy voorkomt deeze tegenwerping, door te zeggen , dat de masfa en de dichtheid der Zon zodanig zyn , dat 'er geen reden is om te vreezen , dat dezelve door de verëenigde werking van alle de andere Planeeten zou kunnen verplaatst worden (e). Kepler hadt eindelyk de beweeging der Zon om haaren As vermoed, en daar van één der grondftellingen van zyne hemelfche Natuurkunde gemaakt (ƒ); ieder weet dat zyne gisfing kcrt daar na, door de ontdekking der Zonnevlekken, bevestigd is, Hy maakt hier eene aanmerking , die onze oplettendheid waardig is, naamtyk dat de Lsopkringen der Planeeten tot den Equator der Zon . of tot den Cirkel , welke die Equator , verlengd zynde , onder de vaste Sterren aantoont, en niet tot onze Ecliptica, behoorden overgebragt te worden: in de daad, onze Ecliptica is een Cirkel tot weiken die LoopKringen geene natuurlyke betrek' ing hebben , en om die reden moet het noodwendig gebeuren,, zo als Kepler insgelyks aanmerkt (g) , dat hunne helling tot de
Eclip-
(d) Epit. 4/lron, Cop. 1. V, §. i.
(e) Comm. de Mot- Mart. Tbid.
(ƒ) Comm. de Mot. ftelle Martis. P. IV. cap. 34 , # tiibi pajfim, (g) lbid. c. 60.



W IS K U N D F. III. Deel. IV. Boek. 3*S
Ecliptica veranderlyk is , ten zy de knoopen van den Loopkring der Aarde en van die der andere Planeeten . ten aanzien van den Equator der Zon . eene naauwkeurig gelyke beweeging hebben. Naar' dien nu deeze beweeging in dc daad ongelyk is , moeten wy eeniglyk aan haare on;;emeene traagheid toefchryven , dat wy die verandering nog niet befpeurd hebben.
Na zo veele trekken van vernuft behoorda men, zo het fcbynt, te verwachten, dat Kepler het waare Systema der Comeeten gekend zou hebben, een Systema dat zo voldoende is , en hem met recht in zo veele opzichten moest behaagen. Maar de meest doorziende mannen zyn het niet desgelyks in alles, en deeze verhevene waarheid ontfnapte hem. Wel verre van te vermoeden, dat die Kemell'chten zeer uitmiddelpuntige Planeeten zyn , zo als de hedendaagfche waarneemingen zulks meer en meer fchynen te bevestigen , maakt hy van dezelve nieuwe genachten , en befchouwt hun als verdikkingen der lucht, welke bekwaam zyn het licht tot ons te rug te kaatfen (A). Hy geeft hun eene rechtlynige beweeging , en eenigermaate in weerwil der waarneemingen ; want dezelve moesten hem in tegendeel beweegen, om hunne looppaden uit verfchtide deelen van rechte lynen , op eene onderfcheidene wyze hellende, en achtervolgens hoe langs hoe meer in eene zelfde richting, famen te ftellen; hetgeen eenen kromlynigen Loopkring aanduidde, in plaats dat hy, ten einde zyne Onderftelling niet te Iaaten *vaaren , aan die Hemellichten eene vertraaging van fnelheid toefchryft, naar maate zy zien van hun Perihelium verwydcren. Aangaande de ftaarten der Comeeteti hadt Kepler een gevoelen, dat verfcheide hedendaagIche Natuuikundigen als waarfchynlyk is voorgekomen. Hy dacht, dat dezelve een gedeelte van hunnen Dampkring,door deZonneftraaien weggevoerd,
en
(Zr) De Com. lib, 3.



p4 HISTORIE bek
en tot ons te rug gekaatst, konden zyn. Nogthans zyn 'er krachtige redenen , om dat gevoelen te verwerpen.
Wy zouden Kepler alleen een voornaam gedeelte der plaats moeten inruimen , die wy voor verfcheide andere lofwaardige Sterrekundigen noodig hebben , indien wy onderneemen wilden alle zyne ontdekkingen, met de zelfde uitgebreidheid als de voorgaande , bekend te maaken. Wy zullen ons om die reden bepaalen tot eene korte optelling van het overige, dat hem de Sterrekunde verfchuldigd is: zodanig zyn vooreerst verfeheide handelwyzen voor de bepaaiing van de Loopkringen der Planeeten, haare afmeetingen en flauden; eene meenigte waarneemingen welke hy deedt, om by die van Tycho te voegen ; de waarneeming des Elliptifche gedaante van de Zon en Maan in de nabyheid van den Horizon, eene waarneeming waar van men doorgaans den Vader Sckeiner de eere geeft , doch welke Kepler vóór hem , en d priori uit de Theorie der Refraftien afleidde (/). De handelwyze waar van de Sterrekundigen hedendaags gebruik maaken, om de Zon-Eclipfen te berekenen, is insgelyks van hem: dezelve beftaat hier in, dat men die foorten yan Eclipfen als Eclipfen der Aarde, door de fchaduwe van de Maan, befchouwt, en zy heeft niet al* leen het voordeel van eene meenigte belemmeringen uit den weg te ruimen , waar aan de oude handelwyze onderhevig was, maar ook dat van als in een fchildery te vertoonen, in welke gewesten der Aarde eene Eclips zichtbaar, en hoe groot dezelve zal zyn, enz. Wy hebben hem reeds de eere gegeeven van eenige gewigtige Natuur- en Sterrekundige aanmerkingen (k) Eiudelyk hadden hem de Sterrekundigen de beroemde Tabul<e Rudolphina, die hy in 't Jaar 1626 in 't licht gaf, te danken. Dezelve zullen
(O AJir. pms Opt. p. 13ï* (k) Voorgaande Boek Art. i.



WISKUNDE. III. Deel. IV, Boek. 315
len voor altoos gedenkwaardig zyn , als zynde de eerden, welke naar de waare ondei Hellingen der he. meliche beweegingen berekend zyn , en de nyverheid der laatere Sterrekundigen heeft geene veranderingen daar in behoeven te maaken , als in eenige byzondere (lukken , gelyk de uitmiddelpuntigheden, de (tanden en beweegingen der Apftden, enz. De toeftaud der werkdaadige Sterrekunde in den tyd van Kepkt liet hem niet toe nader tot de waarheid te komen , dan hy gedaan heeft.
I I.
Het zou zeer natuurlyk zyn te denken, dat niets minder aan verandering onderhevig is, dan die onmeetelyke gewesten , waar in de vaste Sterren verllrooid zyn. Het fchouwtooneel , dat zy ons vertoonen , is federt zo lang het zelfde, dat het bezwaarlyk is zich van dat gevoelen te weêrhouden j maar dat fchouwtooneel is, zo als de Heer de Fon* tenelle aanmerkt, niet volmaakt het zelfde, als voor weinig verlichte of weinig oplettende oogen. Sedert dat 'er allerwegen Waarneemers zyn, welke de oogen naar de Hemelen gewend hebben , bevindt men , om niy alsnog van de uitdrukkingen diens beroemden Schryvers te bedienen, dat zy hun deel hebben aan de veranderingen , welke men fiegts ondermaansch dacht te zyn.
De verfchyning eener nieuwe Ster, die in 't Jaar 157a in Casjwpea voorviel , was reeds een gedenkwaardig voorbeeld, dat hetgeen wy zo even gezegd hebben bewees. In 't Jaar 1Ó04 zag men dit Verfchynfcl zich vernieuwen. In het Geuernte van den Slangendrager verfcheen eensklaps eene Ster van de eerfte grootte , die, na eenige Jaaren zich vertoond te hebben , verdweenen , en naderhand niet meer gezien is. Het was den 10 Oclober van dat Jaar, toen de Leerlingen van Kepler dezelve ontdekten » en het is zeer zeker , dat zy eenige dagen te vooren nog niet verfcheen ; want zy zou Kepler', die toen
bè-



3i<$ HISTORIE dek
bezig was om de beweegingen van Saturnus, tutter en Mars, welke zeer dicht by die plaats in Conjunctie waren , waar te neemen , niet ontmant hebben. Zy werdt door vericheide andere Sierrekundigen waargenomen, als Justus Byrghs, FabrU cms, (jaltleus, die, fchoon op zeer groote afftanden van eacander geplaatst zynde , haar nogthans on weinig na den zelfden (land onder de vaste Sterren gaven, waar uit men befloot, dat het geenszins een ondermaansch luchtverfchynfel was , maar dat men het onder t getal der Sterren moest rangfchikken. Haare verfchyning duurde Omtrent vyftien maanden: ha trapswyze verfiaauwd te zyn, verdween zy geheel en al in 't begin des Jaars 1606 ( / 1. ■ Het Jaar 1600 vertoont ons een veifchynfel, dat insgelyks onze opmerkingen verwondering waardiis. Het is dat van eene geregeld omloopende Ster! in de borst van de Zwaan geplaatst, die achtervolgens verfchynt en verdwynt. Zy was door Tycho, die zyne Naamlyst der Sterren van dat Gefternre waarfchynlyk geduurende den tyd van eene haarer bedekkingen gemaakt hadt , niet befpeurd Men ontdekte haar, zo als wy gezegd hebben , voor de eerfte maal in 't Jaar 1600, en Bayer tekende haar aan in zyne XJranometria, of de Hemelkaarten, di*
1605 0e 1606, van de derde grootte; naderhand verminderde zy geduurende eenige Jaaren, en verdween ten katleen geheel en al. De Heer CatRni zag haar wederom in 't Jaar 1Ó55 , van de zelfde grootte, en zy verminderde trapswyze tot in 't laar 1662, toen men haar uit het gezicht verloor. De Heer Hevelius nam haar op nieuw in 't Jaar 1666 waar, toen zy zich weder begon te vertoonen, üit deeze waarneemingen en andere, die men vervolgens gedaan heeft, heeft men beiloten , dat deeze
Ster
in ^4" Ke21&' de fleU& novA in pede Serpentarii, 1606,



WlSRÜNDÈ. hl. Öeet. IV. Boek. $if
Ster eenen geregelder) omloop van omtrent vyftieü Jaaren heeft, dat zy omtrent tiénjaafen fchynbaar en vyt Jaaren onzichtbaar blyft.
Het tweede verfdhynfel van die natuur, (wahtdè Hemelen vertoonen ons verfcheide zodanige verfchynfelen) is dé veranderlyke Ster in den hals van den VValvisch. Dand Fabricius hadt haar in 't Jaar 1596 gezien , zonder haar voor 't geen zy was fe jceniu-n, en vervolgens uit het oög verloren \ zondef haar te kunnen wedervinden (?»>. Bayer ontdekte haar omtrent het Jaar 1600, en rekende haar In zyBe UranoiKetria aan,als door Tycho overgellagen zynde. limdeiyk zag Phocylides Holwarda haar in 'tïaar 163c! verdwynen , en 9 Maanden da«r na weder teil Voorfchyn komen; eo veele andere rieeden,in voorbeeld van hem , in de volgende Jaaren de zélfde Waarneeming. Sedert dien tyd heeft-men opgemerkt, dat zy alle Jaaren ten voorfchyn komt en verdwynttekens omtrent een Maand vroeger komende O). en dat/y, in haaren grootften glans zynde, fomtyds, doch zelden, de Sterren van de tweede grootte, en doorgaans die van de derde grootte evenaart. L)e Heer Bouillaud ( Bulialdus ) ( 0 ) bepaalt de duü'an naaren om'oop, tusfchen haare cwee grootite Phafes, op 333 dagen; hetgeen eene Jaarlybfche vervroeging van omtrent 33 dagen uitmaakt: de Heer Casfim, eene grontere reeks van waarneemingen tot een grondflag hebbende , heeft dezelve op 35J dagen bepaalt.
Her Gefternte van de Zwaan zou reeds daat in vry merkwaardig zyn , dat hetzelve eene S'er bevat van de foort, die wy zo aanftonds befchreeven hebben* Maer het is zulks nog in een ander opzicht; .
(«O Kepl. AUr. part Optica, p. i^é.
C*Ü J° Hevelii, hijloriola mirte flelta in collo ceti. ■
Co) Ad Aflron. menita duo. Primurn de novd ftelid in
collo ceti. Secundum de nebulofd in cinguto Andromeda ante
henmum iterum ortd. Par. 1665.
Y /



3-8
HISTORIE der
zicht; want men heeft in't Jaar 1670 eene tweede daar in ontdekt. Men is, zo het fchynt, den Heer Hevelius, en den V. Anthelme, Karthuizer Monnik en Waarneemer van Dijon , deeze ontdekking verfchuldigd. De veranderlyke Ster , waar van wy fpreeken, ftaat in den hals by den bek. Zy verdween in 't zelfde Jaar, en verfcheen weder in 't Jaari67i, waar na zy zich op nieuw verborg, en men verwachtte verfcheide Jaaren achtereen eene nieuwe verfchyning. Zy is nogthans in *t vervolg weder ten voorfchyn gekomen, en men heeft ondervonden dat, op eenige onregelmaatigheden na, haar omloop van dertien Maanden is. De Heer Kirch heeft denzelven naauwkeuriger op 404Ï dagen bepaald (p).
De Heer Maraldi heeft in 't Jaar 1704 eene diergelyke Ster als de voorgaanden in de Hydra ontdekt (^). Zy was, wel is waar, door Hevelius en Montanari in de Jaaren 1663 en 1672 gezien , doch zonder dat zy dachten eene byzondere Ster te zien. Hetgeen deeze merkwaardigs heeft is , dat de tyd van haare verfchyning niet veel langer dan vier Maanden is; zy is byna twintig maanden onzichtbaar , zonder te verfchynen , zo dat haar geheele omloop juist twee Jaaren is. Wanneer zy in haaren grootlten glans is , overtreft zy geenszins de Sterren van de vierde grootte.
Het Geflernte van Andromeda heeft ook zyne byzonderheden. Men ontdekt daar in eene nevelachtige Ster, van een verfchillend geflacht als die der andere van deeze foort, welke, zoals men weet,, fiegts verzamelingen van kleine en zeer dicht by el kander flaande Sterren zyn. Deeze gelykt op het bloot gezicht naar eene kleine fchynbaare wolk, in welkeïs midden men, met behulp van den Telefcoop, een meer verlicht deel ontdekt. Simon Marius ontdekte deeze Ster omtrent het Jaar 1612, en de be-
(p) Mifcell. Berol. T. III, ad ann. 171a (j) Mem. de i'Acad. 1706, 1709.



WISKÜNDE. Ut Deel. IV. Boek gi?
j fchryving, die hy daar van geeft, is zeer overëeh> | komftig met cie waarheid. De Heer Bulialdus ( r) i geeft ons nogthans te kennen, dat Marius de eerfte I üiet is die dezelve gezien heeft. Hy haalt een naamI loos Handfchrift aan , door den Heer de Thati uiÈ 1 Holland medegebragt, en welks Aucheur, die byna ] eene eeuw vóór Marius leefde, getuige van dat verj fchynfel was geweest. De Heer Bulialdus merkt in I dat Gefchrift aan, dat vermits die Ster niet is aan* I getekend, noch in de oude Naamlysten , noch iri die van Tycho, noch in de Üranometria van Bayer, en evenwel in tüsfchentyden is gezien geworden, het zeer waarfehynlyk is, dat zy aan geregelde verfchyDingen en verdwyningen onderhevig is ; hetgeen de ! Heer Godefroi Kirch door zyne toeffemming en waarneemingen bevestigd heeft. Aangaande de oorzaak van deeze nevelachtigheid kunnen wy geene, dié waarfchynlyker is » opgeeven , dan die welke dé Heer de Mairan vermoedt (f> Hy denkt, dat die flaauwe glans Wel zou kunnen veroorzaakt worden j door eenen onmeetelyken dampkring, even als dié I Welke onze Zon omringt, en die het Zodiakslicht ^Verwekt, waar van de ontdekking, zo men weet, fden Heer Casfini toekomt: deeze gisfing fchynt my I volkomen gelukkig en voldoende te zyn*
Na dat men aan den Hemel Sterren gezien heeft 4 i welke na haare verfchyning weder verdweenen Zyn* | andere welke geregelde tyden van verdwyningen en verfchyningen hebben, zal men zich flegrs op eeiié j middelmaatige wyze behoeven te verwonderen, als j wy onder dezelve fommige vinden , welke in dé IIOudheid onbekend fchynen geweest te zyn, en anó dere welke federt eenige eeuwen haar licht verloren
fchy.
(f) Ad Afiron. monita duo, &a
(s) Traité de CAurote Boréale, nouv. idtt. SeS. V\ p* |{ agy. Men vindt in de aangehaalde afdeeling verfcheide 4 Voorbeelden van nevelachtige ruimceng , aan den Hemel I Verftrooid, en onder anderen dat van eene Ster^ die fedefï I den Heer Huyghens nevelachtig fchyat geworden te zfrn V a



HISTORIE der
fchynen te hebben. Men heeft, wel is waar, geen I zeer volkomene bewyzen van deeze laatfte gebeur- ] tenisfen; maar zo men alle de gisfingen, welke verfcheide Sterrekundigen daar over gemaakt hebben , door oude Naamlysten met de onze te vergelyken^ 1 overweegt, zal daar uit een famenftel van bewyzen voortvloeijen , welke die gebeurtenisfen vry waarfchynlyk maakt. Naardien het eenen arbeid van ] eenen langen adem zou zyn, zullen wy ons verge- h noegen met den Leezer te verzenden naar de Naamlyst der Zuidelyke Sterren van den Heer Balley, 1 d'*e veele van die nieuwe verfchyniagen of van die j verduisteringen van Sterren vermoedt. Nog moet j men over dit onderwerp nazien eene Memorie van den Heer Maraldi, onder die van de Academie in 'tjaar 1708 gegeeven, als mede verfcheide Gefchriften, in de Philofophifihe Tranfadien ingelascht (/)» welke verfcheide zodanige waarneemingen bevatten. Eindelyk moet men, om in alles wat die verfchynfelen betreft ten vollen onderrichtte worden, de Gefchiedenis der nieuwe Sterren leezen, welke men in de Tranfadien van 'c Jaar 1715 vindt , rf wel die welke de Heer Casfini in zyne Beginfelen der Sterrekunde (E/émens cf Aftronomie) gevoegd heeft.
Om de gantfche uitgeftrektheid van ons onderwerp te vervullen, zou men hier iets moeten zeggen over de gisfingen , welke de Natuurkundigen gemaakt hebben , om die zo zonderlinge verfebyningen en verduisteringen te verklaaren. My is over dit onderwerp niets, dat vernuftiger en waarfchynlyker is , bekend , dan hetgeen de Heer de Maupertuis in zyn Boek over de gedaante der Hemellichten (/«r la figure des ajlres) gezegd heefr. Hy gist, dat 'er welZonnen zouden kunnen zyn, welke door de fnelbeid haarer omwenteling ongemeen geplatte Spberoïden waren. Ivu zouden Hein el-
(/) Zie Tables des Tranf. p. 140, 150.



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 321
mellichten van die gedaante , welke ons dan eens hunne fchyf, dan wederom haaren fcherpen kant vertoonden, in het eerfte geval verfchynen , en in het tweede verdwynen. Maar uit welke oorzaak zullen de Hemellichten die veranderingen van Hand ondergaan: men vindt die oorzaak in het zelfde mechanismus, dat de mttalie van den As der Aarde, en verfcheide andere zodanige onregelraaatigheden in de hemelfche beweegingen bewerkt. Een der Zonnen , waar van wy fpreeken, zou desgeiyks door de werking der Planeeten, die om haar loopen, van plaats kunnen veranderen. Zelfs merk ik hier iets aap, dat de Heer de Maupertuis ontglipt fchynt te zyn; naamlyk dat de nutatie van den As der Aarde, de terug gang der nachtöveningen, enz. flegrsvoortgebrngt worden door de verplatting der Aarde, of door de werking der Zon op dien hollen ring, welke buiten de Sp'heer gaat. Hemellichten , weike ongemeen plat zyn, zouden derhalven,om zo te fpreeken , veel meer gelegenheid geeven aan de werking der lighaamen, welke rondom hun zouden draaijeri, om dezelve van plaats te veranderen; waar uir. volgt, dat zy aan veele veranderingen onderhevig zou ien zyn. Deeze aanmerking fchynt my dienftig te zyn, m de bewuste gisfing eenen nieuwen trap van waarfchynlykheid by te zetten.
I I I.
Terwyl Kepler in Duitschland de ontdekkingen deedt , welke boven zyn voorgedragen, bloeide de beroemde Galileus in Italië, en bragt door bezigheden van eene andere natuur tot de bevordering der grondige Sterrekunde niet minder toe. Van den Telefcoop geholpen , ontdekte hy aan den hemel nieuwe verfchynfelen , en fchoon hy zich in een Land bevondt , alwaar zekere omftandigheden het vermogen der vooröordeelen verdubbelen, trok ny echter uit die verfchynfelen wettige gevolgen , ten voordeele van het waare Syftema des Oehtelals.
y 3 Wy



|t* HISTORIE peb
Wy zullen, alveorens in het verhaal der ontdekkin, gen van Galikus te treeden , van zyn perïbon en zyne geboorte nog een woord zeggen,
Galikus kwam den 18 February 1564 te Pi/a ter waereld, van Vincenzio. Galilei, een Florentynsch Edele, tn Julia Ammatiati, oorfprongkelyk uiteen oud en edel Gedacht van Pifloja. Zyn Vader was in de Wiskundige Weetenfchappen bedreeven , en voornaamlyk in de Theorie der Muziek, waar over hy een Werk gefchreeven heeft, dat wy nog heden bezitten ftt). Galikus kreeg eene opvoeding geëvenredigd Daar zyne geboorte en de kundigheden zyns Vaders, Hy was tot de Geneeskunst voorgefchikt, maar de inblaazing der natuur maakte van hem een Wiskunftenaar, en hy werdt reeds in 'tiaar 1589 tot Hoogleeraar te Pi/a bevorderd. Hy bleef daar niet laDg: eenige proeven, ftrydig met de Leere van Arijloteles over den val der zwaare lighaamen, deeden den geheelen aanhang van Ariftoteles tegen kern opftaan, en noodzaakten hem Pifa te verlaaten ter bekleeding van het Hoogleeraarsampt te Padua\ waar zyne verdienfte hem deedt wenfcben. Hy bekleedde aldaar dien post tot in 't laar 1609 of 1610 toen zyne voortreffelyke ontdekkingen hem te Pifa deeden te rug roepen door den Groothertog van Tofcane, die niet wilde gedogen , dat een vreemde Staat e;én van zyne onderdaanen bezat, die zo gefchikt was om den zyeen beroemd te maaken. Hy frelde hem aan als Hoofd en Beftierder der Studiën te Pifa, alwaar hy het overige van zyn leven doorbragt, om alle foorten van wysgeerige dwaalingen uit te roeijen, en om de Wis- en Natuurkunde door verfcheide entdekkingen tot grootere volkomenheid te brengen.
Schoon de jeugd van Galikus, even als zyne Types ouderdom, door verfcheide trekken van vernuft ge-
te-
^W^PMeghi della. ASuJico, anlicA è nwa% flor.



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 33.3
|,t«kend is, moet men echter het tydperk van zyne i beroemdheid eerst in 't Jaar 1609 bepaalen. In dat i Jaar te Venetien zynde, hoorde hy daar, door het : algemeen gerucht.de uitvinding van den Telefcoop; en Da verfcheide proefneemingen maakte hy 'er een, 1 die omtrent 33 maal in middeüyn vergrootte. Zyne \ eerfte zorge was hem naar den Hemel te wenden, en \ het eerfte voorwerp, dat hy befchouwde, was de ■ Maan. Zy was toen even in CenjunQie geweest, en ' hy bemerkte , dat de fcheiding van het licht en de fchaduwe zeer onregelmaatig was , en als getand : fcheen te zyn ; hy befpeurde desgelyks op eenigen ! afftand van het licht reeds verlichte deelen. Aangezien hy de vooröordeelen der Schoole over de I natuur der hemelfche lighaamen niet zeer was toeget\ daan , was 'er niets meer noodig om hem te ovcry Teeden, dat de Maan een foortge'yk lighaam als de 1 Aarde , en van opryzende oneffenheden voorzien 'i was, die men niet beter dan by bergen kan vergelyj ken. Hy deedt nog meer, hy viel in het denkbeeld '■ om de hoogte van één dier verhevenheden te meeten , en betoogde door eene Meetkundige handelwyze , dat zy veel honger was dan één der bergen van onzen Kloot. De vaste Sterren vertoonden hem geen minder nieuwe verfchynfelen. Hy zag den Melkweg met eene meenigte ten uiterften kleine Sterren bezaaid, zo als oude Wysgeeren gegist hadden. Hy ! vondt 'er meer dan veertig in de Daauwe ruimte van de Groep der Pleyades, tn meer dan vyf honderd in Orion. De nevelachtige flip van dat Gefternte fcheen hem uit één en twintig zeer dicht by elkander ftaah: de Sterren famengefteld te zyn , en dat van den ! Kreeft (Cancer), onder den naam van Prefepe Can\ cri bekend, vertoonde hem meer dan veertig Sterren. De ontdekking der Satellieten van Jupiter volgde zeer kort op de voorgaanden. Toen Galikus den 8 January des jaars 1610 Jupiter waarnam, ontdekte i hy dicht by hem drie Sterren , waar van twee aan de eene zyde, en de derde aan de andere zyde wa' ten. Hy nam dezelte in't eerst, dat zeer natuurlyk Y 4 was,



3*4 HISTORIE der
was, voor eenige van die vaste Sterren , die men met als met behulp van den Telefcoop kan ontdek. Ken Gelukkigerwyze kwam hy den volgenden dag op den inval, om die Planeet op nieuw te belcnou* wen, en hy zag toen duidelyk, door haare nieuwe cmfiguratie en de onhandigheden der beweeginae van Juptter, dat zy noodwendig van plaats veranderd moesten zyn. Hy ontdekte kort daar na de vierde, die nera dus verre ontfnapt was, en vervolgende zyne waarneemingen geduurende twee geheele Maanden, betoogde hyzich, dat Jupiter van vier kleine Planeeten omringd was, welke' haare omloopen rondom hem doen , even a>s de Maan rondom de Aarde. Hy noemde dezelve Hemellichten van Mcdifit , ter eere van het doorluchtig Huis dat hem beIchermde, In 't begin der volgende maand Maart gat hy die ontdekkingen en waarneemingen in't licht, onder den Tytel van Nuntius Siderus; een gedenkwaardig tydmerk, en dat men als dat der zegepraal der gezonde Natuur- en Sterrekunde, over de vooröordeelen der oude Wysbegeerte, kan aanzien, Ca, Itkus liet het, ten aanzien van die nieuwe Planeeteo, daar met by blyven: nieuwsgierig om de wonderlyke omftindigheden haarer beweeeingen te leererj kennen, nam hy dezelve in de volgende Jaaren zo veelmaalen waar als hy konde. Hy maakte zich daar *)ii eene loort van Theorie, en dorst in 't begin des Jaars 1613 haare cor.jjguratien voor twee achteiëenvolgende maanden te voorzeggen
Galikus moest een te groot genoegen daar in ge(maakt hebben , dat hy zynen Telelcoop naar de Maan en Jupiter hadt gewend, om niet insgelyks de andere Planeeien te befchouwen. De waarneeming van Venus vertoonde hem een fchouwfpel, dat een met minder boudig bewys tegen de oude Wysbegeerte oplevert. Hetgeen Cipernicus eertyds gezegd hadt noodzaakelyk te zjn , «aamlyk dat Venus Piiafes
hadt*
{t) detU 3* S. VelferetK



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 325
hadt, gelyk aan die van de Maan, werdt Galüeus door den Telefcoop getoond. Hy zag haar aanwasfende in de nabyheid van baare benedenfte Conjunc» tie, half-vol by haare grootfte elongatkn van de Zon, eindelyk vol of byna vol in de nabyheid der bovenfte Conjun&ie. Naardien hy dit verfchynfel tegemoet zag, was hy deswegens meer voldaan, dan verwonderd; maar het verfchynfel, dat hy in Saturnus ontdekte, bragt hem in de uiterfte verwondering. Naardien zyn Telefcoop de voorwerpen niet genoeg vergrootte, om de ooren des rings, welke, zo als men weet, die Planeet omvangt,teonderfcheiden,fcheen zy hem van twee klootjes vergezeld te zyn, welke hy voor twee onbeweeglyke Satellieten hieldt. Zyne verwondering was nog veel grooter, toen hy,na de waarneemingen van twee Jaaren , die gewaande Planeeten zag verdwynen. Het was Galikus niet mogelyk de oorzaak van dat vreemd verfchynfel te hevroeden. Wy zullen deswegens verflag doen, als wy de ontdekkingen van den Heer Huyghens over dat onderwerp verklaaren.
De ontdekking der vlekken van de Zon heeft nief minder dan de voorgaanden tot de beroemdheid van Galikus iets toebragt. Zy is hem , wel is waar, door den V. Scheiner betwist, en zelfs, zo men in eenen volftrekten zin over den dag eenerontdekkinge moest oordeelen, door dien der Schriften , welke dezelve publiek gemaakt hebben, zou men de eere daar van moeten geeven aan Jan Fabticius, die reeds in de maandJuny desjaars ióii dit verfchynfel dooreen klein Werk aankondigde. Maar Galileus fchynt my door verfcheide aangehaalde plaatfen (w) vry wel geflaafd re hebben, dat hem ten minften met de ouditen van hun , welke de Zonnevlekken waargenomen hebben, een gelyk recht toekomt. Wy zullen in 't volgende Artikel ons omftandiger uitlaaten over de gefchillen , welke hy deswegens met den V.
Schei*
(w) Op. T. II, p. 152. & Seq.
Ï5



3a6
HISTORIE der
Scheifier hadt, en tevens de gevolgen , welke men uit dat verfchynfel afleidt, ontzwagtelen.
Galikus was te weinig vooringenomen met de vooröordeelen der oude Wysbegeerte, om niet uit die ontdekkingen de fterkfte bewyzen af te leiden, welke zy ten voordeele vaD het waare ftelfel des Geheeiais opleveren. Hy ftelde vast de overeenkomst der Hemellighaamen met de Aarde, door de veranderingen welke men op de oppervlakte der Zon ontdekt, en door de Satellieten van Jupiter. Deeze vier Planeeten, aan eene andere ondergefchikt, en welke haar in haaren gantfchen omloop vergezellen , verfchaften hem een antwoord zonder tegenfpraak aan hun, welke daar in eene ongerymdheid vonden , dat hy de Maan om de Aarde deedt loopen, terwyl zy zelve om de Zon loopt. De Phafes vaD Venus dienden hem om vast te ftellen, dat zy haaren omloop om de Zon doet. Hoe groot zou niet de verrukking van Copernicus geweest zyn, zo hy diergelyke bewyzen voor zyn Systema hadt kunnen bybrengen! Hoe groot zou niet de verrukking van Galikus zelf geweest zyn, zo hy van volmaaktere Werktuigen voorzien , de omwentelingen van alle de andere Planeeten , op Asfen die naar het vlak van hunne Loopkringen overhellen, zo als die van de Aarde tot de Ecliptica in het ftelfel van Copernicus is , hadt kunnen befpeuren ? zo hy de talryke vlekken, waar mede zy bedekt zyn , de nieuwe Satellieten van Saturnus, enz. hadt kunnen zien?
Wy zullen de gefchiedenis der vervolging, welke Galikus, by gelegenheid van zyne nieuwe ontdekkingen , en van de gevolgen welke hy daar uit afleidde, onderging, hier niet herhaalen. Wy heb. ben dat onderwerp wydluftig genoeg verhandeld, toen wy de tegenftribbelingen , welke het ftelfel van Copernicus ondergaan heeft, voordroegen. Het verontwaardigd Europa zag in het vonnis tegen den Italiaanfchen SterrekUDdigt uitgebragt , 'fiegts het werk vaa eene onkundige ea onwettige Rechtbank,
en



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 32,7
en de Proteftantfche Landen zegepraalden daar in, dat zy Rome op eene zo zichtbaare wyze zyn gezag in de waagfchaal zagen ftellen. Dit was de gantfche vrucht van die onbezonnene veröordeeling, welke de zegepraal der waarheid geen oogenblik te rug hieldr.
Maar het is hier genoeg over die gebeurtenis des levens van Galikus ; wy zullen dus liever weder tot zyne Sterrekundige verrichtingen overgaan. Een der voornaamften, en waar mede hy zich een groot gedeelte van zyn leven onledig hieldt, was de waarneeming der Satellieten van Jupiter, en de grondlegging eener Theorie van hunne beweegingen. Men weet niet naauwkeurig welke vordering hy daar in gemaakt hadt. Hy hadt zich een denkbeeld gemaakt , om dezelve tot de oplosfing van het Voorftel der Lengten toepasfelyk te maaken. De Staaten van Holland, die in de volmaaking van de kunst der Zeevaart een groot belang fielden, beloofden hem eene aanzienlyke vergelding, zo hy daar in mogt flaagen. Zy zonden hem in den jaare 1636 Hortenfius en Blaeuw, om met hem waarneemingen te doen, en hem in de berekening der noodige Tafelen te helpen. Doch naauwlyks waren zy aangekomen, of eene zinking, op de oogen van Galikus gevallen , beroofde hem van 't gezicht, en zy keerden van daar weder te rug, zonder iets gedaan te hebben. Na dit toeval werdt één van zyne Leerlingen, met naame Vincento Reyneri, Auttieur der Tabula Medicea, door den Groot-Hertog gelast, om met de waarneeming der Satellieten van Jupiter voort te gaan , en Tafelen van hunne beweegingen te maaken. Reyneri werkte in de daad aan dezelve, en ftond tien jaaren daar na , naamlyk in 1647, °P het punt om dezelve op de pers te brengen, toen een onverwachte dood de Sterrekundigen van dat Werk beroofde; alle de papieren van Reyneri, gelyk mede de waarneemingen van Galikus, welke hem toevertrouwd waren, verdweenen, zonder dat de navorfchiDgen van den GrootHer-



3*8
HISTORIE der
Hertog daar van iets hebben kutinen doen wedervinden (*).
Galikus was bezig om de verfchynfelen der waggelende beweeging (libratio) van de Maan , welke hy het eerst ontdekt hadt, te ontknoopen , toen hy het gezicht verloor (31). Een zo droevig toeval, en dat nog dies te droeviger is voor een weetgierig Waarneemer der natuur , dan voor een man zonder kundigheden , benam hem niets van zyne gewoone vrolykheid. Van eerige Leerlingen , onder anderen van Viviani en Torricelli, geholpen , waar van de eerfte de drie laatfte Jaaren van zyn leven met hem doorbragt , ging hy voort om de Weerenfchappen, die hy altoos geliefkoosd hadt, zo veel zyn gezicht hem konde toelaaten , aan te kweeken. Hy ftierf in 't Jaar 1642 te Aicetri op het grondgebied van Florence, dat de Inquifuie hem tot eene gevangenplaats hadt aangeweezen. De beroemde Meetkundige, de Heer Piviani, heeft voor den roem diens grooten mans eenen onvoorbeeldigen yver getoond. De teêrhartigfte Zoon betoonde nimmer meer genegenheid en dankbaarheid voor zynen Vader, dan deeze Leerling van Galikus voor zynen beroemden meester. Ky Helde aitoos eene eere daar in, dat hy zich zynen laatiten Leerling noemde , en toen Lodewyk de veertiende hem eenejaarlykfche wedde gaf, en tot buitenlandsch Geasfocieerde van de Academie der Wectenfchappen benoemde, liet hy te Florence een huis bouwen, dat, behalven het voornaamfte opfchrift, 't wdk zyne dankbaarheid jegens den FranfchenMonarch aantoont,een gedenkttuk is, dat hy, aan den roem van Galikus heeft toegewyd. Men ziet daar zyn borstbeeld in metaal, naar zyn afbeeldfel, in 'tjaar 1610 uitgehouwen, gemaakt, en de meeste zyner uitvindingen worden daar by in verheven beeldwerk, vergezeld van voortreffely-
ke
(x) Riccioli, Alm. n*v. T. I, p. 489. (y) Zie Lett. al Sig. Anionini, Op. T- II.



WISKUNDE. Hl. Deel/ IV» Boek. 3*9
ke opfchriften, vertoond (z). My is onbewust od- dat gedenkftuk nog in wezen is (a). Het ttrekt die van Florence tot eere het in eenen aoeden Haft te houden, uit vreeze van zich het verwyt waardig te maaken dat Cicero eertyds aan die van Syracufa deedt, naarrlyk dat zy de nagedachtenis van eenen hunner beroemdfte medeburgeren verwaarloosden. Jje Werken van Galikus zyn verzameld en in drie Boeferieelen in -40, gedrukt. Vinani heeft zyne leven.-geichiédénis zeer breedvoerig befchreeven. Men vindt dezelve in de fafli confolari dell' Acad. Fiorèniina (h ). Hy liet eenen Zoon na, genaamd Vmcenüo Galilei,die in de Wiskunde bedreeven was, en wien de-'italiaanen de eere geeven, dat hy den slinger aan de Utirweuken gevoegd heeft. Maar dit is een voorgeeven ,dat op niets grondigs gevestigd is.
I V.
Byna alle uitfteekende vindingen hebben het lot, dat zy betwist worden door verfcheide lieden , die op dezelve aanfpraak maaken, van welken ieder zelfs dikwyls het zo verre brengt, dat hy zyne zaak zodanige koleuren byzet, welke het zeer moeijelyk nuaken te ofiderfcheiden aan welke zyde de waarheid is. Die, Welke wy nu voorgedragen hebben, zyn van die byna algemeene Wet niet uitgezonderd geweest; en Galikus heeft verfcheide mededingers gi vonden, van welken fommigen zich de ontdekking der Zonnevlekken, anderen die der Satellieten van Jupiter toegeëigend hebben. Maar onder die
me-
(3) Men ziet <te tekeningen vao dat huis, en deop^riften, waar van hier gefproken wordt, in Ae Divinatio in Ariflaum van den Heer Ptviani.
(a Volgens den beroemden Heer de la Lande 'Foyage d un Frangois en Italië, fait dans les annèes 17<J§ & l?66, Toni. II. p. 312.) was dit gedenkftuk, in den tyd toen hy zich in c\e Stad bi v< rdr, nf" in wi zen. V.
(6) Zie ook Heumann, dït. PM. T. III.



33°
HISTORIE der
mededingers tot de eere der eerfte ontdekkingen, met den Telefcoop gedaan, vinde ik geenen, wiens recht op betere gronden fteunt, dan Jan Faèricius. In de daad zyniGefchrift, tot tytel voerende: de tnaculis in fole vifis , & eartm cum fole revolutione narratio, kwam in de maand Juny des Jaars \6u\zWittenberg in 't licht. Zo men aan de dagtekening der gedrukte Schriften eenig geloof kan flaan, kan men hem niet betwisten, dat hy op die wyze het verfchynfel der Zonnevlekken het eerst ontdekt heeft.
De tweede mededinger van Galikus in de ontdekking van dat Verfchynfel is de V. Scheiner, een Jefuit (c); doch onzes bedunkens zyn zyne rechten niet zo wel gevestigd als die van den voorgaanden. Laaten wy hem zelf hooren in zynen eerden Brief aan Marcus Velfer, die als het eenvoudigst en naauwkeurigst verhaal van het deel dat hy aan die ontdekkinge heeft, gehouden moet worden. In deezen Brief, gedagtekend den ia November jóu , zegt hy, dat hy , vóór zeven of agt maanden de Zon door eenen Telefcoop ziende, op haaren fchyf eenige zwartachtige vlekken befpeurde, dat hy 'er toen
wei.
O) Chriftoffel Schtiner, in 't jaar 1575 gebooren, tradt in 't Jaar 1595 in de Sociëteit der Jefuiten. Hy was eenen gtruimen, tyd Hoogleeraar der Wiskunde te Ingolftait, te Gratz en te Rome. Hy was Biegtvader van den Aartshertog Karei, en flierf in 't Jaar 1650. Behalven zyne Re/a Urdna, waar van wy in dit Artikel fpreeken, heeft men van hem verfcheide Wiskundige Werken ; naamlyk zyne OcülUs of Fundam. Opticum, dat eene Verhandeling over de rechtftreekfs; Gezichtkunde is; Sol Ellipticut, waar in hy over het verfchynfel van de fchynbaare Elliptifche gedaante der Zon en Maan naby den Horizon handelt; RefraUionei Celejlesi Exeg. Fund. Gnom.-, Pantographia: in dit Iaatfrs Werk toont hy het gebruik van den ïeltenaap, een Werktuig dat naderhand zeer bekend is geworden , en dienltig is om eene tekening van 't groot in 't klein, of ïn tegendeel, na te maaken, zonder eenige kennis van de Tekenkunst te hebben.



WISKUNDE. III. Dtel. IV. Beek. 331
weinig acht op floeg, dat het eerst in de volgende maand O&ober was , wanneer, na eene herhaalde befchouwing der Zon , die vlekken hem en zynen medewaarneemer in 't oog vielen, en dat zy, na veele redeneeringen en navorfchiDgen, bedoren,dat die vlekken niet als op de Zon of daar omftreeks konden zyn. Zy herhaalden die waarneeming, te beginnen van den at Oclober, geduurende het overige van die maand en de volgende , waar door zy bevonden, dat die vlekken eene voorwaartsgaande beweeging hadden naar den rand der Zonnefchyf, waar zy achtervolgens verdweenen.
Iemand, die zich zonder twyffel ten kosten der wandelende Wysgeeren verlustigde , heeft de volgende vertelling gedaan: De V. Scheiner zyne ontdekking aan zynen Overfte medegedeeld hebbende, gaf deeze hem tot antwoord, dat zulks niet kondè zyn. „ Ik heb, zeide by tot hem, verfcheide maa„ len mynen Ariftoteks geheel doorgeleezen, en ik ,, kan u verzekeren , dat ik 'er niets dtergelyks in „ gevonden heb. Gaa heen myn Zoon, voegde hy „ 'er by, ftel u gerust, en weest zeker, dat het ge,, breken van uwe glafen of oogen zyn , die gy „ voor vlekken in de Zon houdt." Hoe het met dien trek ook moge zyn , de Overfte van den V. Scheiner wilde hem niet toeftaan, dat hy zyne ontdekking onder zynen naam ruchtbaar maakte ; hy ■ liet hem flegts de vryheid om zynen Vriend , den Raadsheer Marcus Velfer, Magiftraatsperfoon van Augsburg) daar van kennis te geeven. Scheiner deedt zulks met drie Brieven , welke Velfèr in 't volgende Jaar 161a liet drukkeD, waarfchynlyk met toeftemming van den Schryver , die daar by zynen naam verzweeg , of zich onder den naam van Appelles post tabulam verborgen hieldt.
Fel/er maakte Galikus reeds in de eerfte dagen des Jaars 161a de ontdekking van Scheiner bekend, en verzocht hem zyn gevoelen daar over te zeggen. De volgende woorden van zynen Brief zyn merkwaardig , en toonen aan, dat in den tyd der ontdekking
van



33* HISTORIE der
\zn Schatter, reeds eerjig gerucht, uit Italien komende, over de Zonnevlekken liep. „ By aldien„ zo als ik denk, zeide Velfer, het voor u geen „ geheel nieuwe zaak is, hoop ik ten minften dat „ gy met genoegen zult zien , dat hier aan geene „ zyde de bergen lieden zyn , welke uwe voet,, ltappen navolgen." Galikus antwoordde hem, dat in de daad dit verfchynfel niet, nieuw voor hem was , dat hy het reeds agttien maanden te vooren gekend , en aan verfcheide aanzienlyke lieden getoond hadt; hergeen, naar de dagtekening van dat antwoord te oordeelen, in de eerde maanden des Jaars 1611 moet geweest zyn. Wy zullen dit ftuk, als bezwaarjyk te bewyzen zynde , overftappen: doch hetgeen men Galikus' niet kan ontzeggen is dat hy met meer oordeel dan de V. Scheiner o'ver dat onderwerp redeneert. Deeze Vader houdt in de daad in de Schriften, waar van wy zo even gefproken hebben, de Zonnevlekken voor kleine Planeeten, welke om dat Hemellicht draaijen , aan malkander blyven hangen en zich' verëenigen, en vervolgens van elkander fcheiden Cd). Hy was nog, zo het ichynt, verkleefd aan de vooröordeelen van Ariftoteks over de natuur der Hemellichten , en daar uit kwam waarfchynlyk voort zyne afkeengheid , om die vlekken als veranderingen welke op de oppervlakte, der Zon voorvallen , aan te zien. De Brieven van Galikus aan Velfer zyn' yoornaamlyk ingericht, om de weinige gegrondheid des gevoelens van Scheiner te toonen, en verfcheide
an«
(<0 Dit Syftema over de Zonnevlekken, fchoori weinig vernuftig, en naderhand door Scheiner verlaaten , is omhelsd door^ den V. Malapertitis, die dezelve in een Werk , dat hy in 't Jaar 1627 over dat onderwerp uitgaf, Sidera duftriaca genoemd heeft. Het was reeds eenige jaaren geleeden, toen een Kanonnik van Sarlat, genaamd Tarde ia het zelfde denkbeeld was, en een Werk in 't licht hadt'gegeeven, waar in hy baar den naam van Borbonia Sidera gaf'.'



W1S KU N DÉ. Ut Deel. ÏV. ËocL 333
andere even zo weinig rechtmaatige denkbeelden te" beftryden. Hy ftelt daar in vast , dat de vlekken, der Zon haare oppervlakre raaken, of i.eer dicht by
: dezelve zyn, en beflüit uit de geregelde beweegihg Van die vlekken , dat dit Hemellicht eéhe omwente*
i lende beweeging rondörn zynen As heefti
Zo men GalUeus den lof niet kan weigeren i dat hy" sllereerst met het meeste oordeel over de Zonnevlek* ken geredeneerd heeft, moet men ook den V. ScheiHer voor die geen erkennen, die door zynen Onver-
i moeiden arbeid het meest heeft töegcbragt, om dé
>. Theorie haarfcr beweegingen te vestigen. Hy deedt eene verbazende meenigte Waarneemingen van die foort, eh maakte dezelve in het Jaar 1630 bekerid in ZvnBoek, op eene wohderlyke wyze getyteld Kofd Urfina, uit hoofde dat hy hetzelve aan eenen Hertog Orfini opdroeg. Hy ontwikkelt daar in met Veel fchefpzihnigheid de zonderlinge veranderingen
1 Van haare beweegingen. Wy moeten hier een denkbeeld vatj die Theorie geeVen.
! De altoos in de zelfde richting voörwaartsgaaiidé beweeging der Zonnevlekken j heeft aanftonds dé eerften, die zulks waarnamen, geleerd, dat dit HeImellicht eene beweegiflg rondom eenen As heefh Zo wanneer die As perpendiculair tot de Ecliptica was 4 ijzou de beweeging der vlekken altoos rechtlynig j eti 'zelfs evehWydig Zyn met de lyn, welke op denfehyf ider Zon de Ecliptica aanwyst. Maar 'er zyn fiegts Itwee Saifoenen van het Jaar, Waarin zulks gebeurt? 1 deeze zyn het einde der maanden February en Au^ igustus. Kort daar na wordt dat fpoor kromlynigj en drie maanden laater is het gelyk aan genen boog jdie eenefl met de Ecliptica evenwvdigen Cirkel tot jpees heeft: op het einde van May'ftaat de bolronde Jltant van dien boog naaf het Zuiden , en op het einjde van NoVember naar het Noorden*
De aandachtige befchouwing van dat verfdhynfet Sheeft geleerd j dat de omwenteling der Zon gefchiedt pp eenen As, die tot het vlak dei- Ecliptica overhelt* jjln de daad, wanneer men onderftelt, dat die As 2> ka*



334 HISTORIE o e k
zodanig geplaatst zy, dat hy op het einde der maanden Fcbruary en Augustus aan den rand van den fchyubaaren fchyf der Zon is, zal alsdan het fpoor der vlekken rechtlynig zyn , vermits het oog van den befchouwer der Aarde zich in het vlak van den verlengden Equator der Zon zal bevinden. Maar drie maanden daar na zal hy boven den Equator verheven, of beneden denzelven gedaald zyn, zo dat alsdan alle zyne Parallelen kromlynig moeten fchynen. Met behulp eener groote meenigte waarneemingea heeft men ontdekt, dat de As der Zon van de loodlyn op het vlak der Ecliptica 7* graadeu afwykt , en dat het Vlak van haaren Equator den Loopkring der Aarde by den tienden graad van de Visfchen en deMaasd doorfDydt, zulks dat de Poo- jJ len, om welken de Zon zich omwentelt, tegen over | twee punten zyn, welke zeven en een halve graaden van die der Ecliptica Haan , en zich in den Cirkel bevinden , welke door die Poolen en den tienden i graad van de Tweelingen en den Schutter getrokken is. Wat aangaat de tyd van de omwenteling der Zon , de zelfde waarneemingen toonen , dat | hy , ten aanzien van den befchouwer der Aarde, omtrent 27* dagen is ; doch alzo de Aarde be- y. weeglyk is , en naar den zelfden kant gaat waar I de omwenteling der Zon gefchiedt, moet hier eene II vermindering gemaakt worden, en men bevindt dat i die omwenteling , ten aanzien der vaste Sterren, > of zodanig als zy zich aan de onbeweeglyke Aarde zou vertoonen , fiegts omtrent dagen is.
Ons blyft nog overig van eenen derden , die naar de eere der voorgaande ontdekkingen geftaan j heeft, te fpreeken. Deeze is Sitnon Marius, Wis- h en Sterrekundige van den Keurvorst van Brandenbu|g> Marius gaf in 't Jaar 1614 zyne Mundus Jovialis anno 1609 deteEtus, Êfc. in 't licht: Hy voegt i 'oaar in by die gelegenheid eene gefebiedenis, over de waarheid van welke hy den Heer Fuchs te Bim- i bath, geheime Raad van den Keurvorst, tot getuige roept, en geeft daar benevens voor,, dat hy de
Sa-



WISKUNDE. III. Deel. IV» Boek gtf
Satellieten van Jupiter reeds in de laatfte d?gen ivan December des Jaars 1609 gezien heeft. Men ikan over dat onderwerp niets mee zekerheid be;paaien; doch zeer zeker is het, dat de onderftel* ,ling in de Tafelen welke hy geeft, om de beweegingen van die kleine Planeeten te berekenen , in : geenerlei wyze met het wezen der zaak overeen» 1 Remmen. Galikus nam daar uit gelegenheid om j in twyffel te ftellen , of Marius , wel verre van hem in haare ontdekking voorgekomen te zyn > ! dezelve ooit gezien hadt. Nogthans vindt de Heer iCasJtni deeze gevolgtrekking gedwongen, en merkt aan, dat zekere omftandigheden niet toelaaten te twyffelen , dat Marius dezelve waargenomen heb* be, fchoon hy in zyne poogingen, om naare be* weegingen voor te ftellen , niet zeer gelukkig ii geweest. Deeze Sterrekundige heeft insgelyks ge* iftaan naar de eere der ontdekkinge van de Zonne» vlekken , welke hy , naar zyn zeggen, reeds den. |«j Augustus 1611 gezien hadt. Dit is een voorgee* iven waar omtrent het desgelyks onmogelyk is jets Evast te ftellen.
V.
j| Al was 'er niet anders dan onze weetgierigheid, die by de meeting der Aarde belang hadt, durft jmen zeggen , dat zodanige beweegreden zeer wet» tig en fedelyk zou zyn. Wat is voor het denkend |wezen, dat deezen Kloot bewoont, natuutiyker, jjdan de begeerte om de uitgeftrektheid van dat ge« ïdeelte des Geheelals te kennen, dat hem tot eene :woonplaats is aangeweezen. Maar wy zullen ons liaan deeze beweegreden niet verbinden , om de ! zorgvuldigheid te billyken , welke de Sterrekuttdi: gen getoond hebben, voornaamlyk federt anderhaï* ve eeuw, om de Aarde met naauwkeurigheid te i meeten. Men moet in de Aardrykskunde fiegts ngeoeffend zyn , om te befeffen , dat die meeting nvan de grootfte nuttigheid, en eindelyk den grond» iflag eener volkomene Aardrykskunde is. Welke % a do»*



S.36 HISTORIE r> e r
dooÜDgeD zou men in de afftanden van een onëindig'getal plaatfen, wier onderlinge liggingen llegts door Sterrekundige waarneemiiigen bepaald worden, niet begaan, als men niet wist, welke uitgeftrektheid met een zeker getal graaden op de Aarde overëenftemt. De Zeevaartkunde maakt ook een byna geduuiig gebruik van die meeting. Op deeze is de gis/ing gegrond , welke één der voornaamfte beginfelen van die Kunst is.
Men beeft reeds, op de behoorlyke plaatfen, verflag gedaan van de poogingen, welke eertyds de Grieken en Arabiërs in 't werk ftelden, om de Aarde te rreeten. Maar de bepaalingen, welke zy tot ons hebben overgebragt, waren met bekwaam om in tyden , waar in men naar eene groote naauwkeurigheid begon te haaken, te voldoen. Al ware 'er niets ai ders geweest, als de onzekerheid der overeenkomst van onze maaten met de hunne, zou die reden alleen gevorderd hebben, dat raen die bewerkingen herhaalde. Met nog krachtiger reden was zulks noodzaakelyk , toen men door bet onderzoek hunner bandelwyzen verzekerd was, dat zy tot die bepaaling niet alle de naauwkeurigheid en zorge, welke dezelve verëischte, aangewend hadden.
. De beroemde Femel, Arts en Wiskundige der zes» tiende eeuwe, is de eerfte der hedendaagfche Wiskundigen , welke ondernomen heeft de grootheid der Aarde op nieuw te bepaalen. Uy ging van. Patys naar Amieris, meetende den weg, dien hy afleidce, door het getal der omwentelingen van een Wagenrad , en ging op die wyze zo lang voort, tot dat hy naauwkeurig bevonden hadt, dat de Pools hoogte eén graad meerder was; en daar door bepaalde hy de grootheid van den graad op 56746 Paryfche zesvnetige Roeden (Toifes')* Deeze naauwkeurigheid zou Femel veel eere aandoen, zo dezelve een gevolg was van de gegrondheid zyner handelwyze ; want 'men weet thans, dat die graad omtrent 57060 zodanige Roeden lang is: maar wie ziet niet, dat het flegts etc gelukkig toeval was, dat hem zo na aan
de



WISKUNDE. 1U. Deel. IV. Boek. 337
de waarheid bragt, en als men de handelwyze , die hy volgde, op de rechte waarde (telt, wie zou dan zulks hebben durven vermoeden ?
Men was dus tot in 't begin der voorgaande eeuwe zonder meeting der Aarde, op welke men eenigen ftaat konde maaken. Deeze reden noopte toen verfcheide Sterrekundigen , om daar in op eene Meetkundiger en naauwkeuriger wyze te handelen. Snellius maakte het begin, en gaf her voorbeeld, Hy is de Vinder van eene uitmuntende handelwyze, om de lengte van eenen grooten boog des Merultaans in Roeden te meeren. Naardien dezelve, als den grondllag dier gantfche bewerkinge, gebruikt is door de Franfche Academisten, welke in de voorgaande en tegenwoordige eeuw de grootheid en de gedaante der Aarde bepaald hebben, zullen wy dezelve thans verklaaren.
Men verbeelde zich in de nabyheid van de Middaglyn eene reeks van verhevene plaatfen, als bergen, torens, A, B, C, D, enz. (Ftg. 76). Men neemt alsdan met een zeer naauwkeurig Werktuig de hoeken op, welke de lynen, uit die voorwerpen tot elkander getrokken, onderling maaken, en men vormt door dat middel eene reeks van aanëengebondene Driehoeken (naamlyk zodanige, welke eenige zyde gemeen,en alle hunne hoeken bekend hebben), die aan de uiterlte einden van den te meeten afftand ten einde loopt. Men draagt ook zorg om by het begin den ftand van één der zyden van die Driehoeken ten opzichte van de Middaglyn te bepaalen , waar uit die van ieder der andere zyden gemaklyk beiloten kan worden. Dit verricht zynde, meet men werkelyk , naamlyk met de Roede, in eenige gemaklyke plaats, als in eene vlakte, eenen langen Bafis L M, en men befluit dan daar uit de lengte eener zyde, als AB, van éénder nabuurige Driehoeken in Koeden. Deeze eenige zyde bekend zynde, is het gemaklyk de lengte van alle de zyden der reeks van Driehoeken te bepaalen , en door haaren bekenden ftand met de Middaglyn, de deekn van d*e Z 3 Mki«



358 HISTORIE der
Middaglyn hb, Bc, Cd, enz. begreepen tusfchen de evenwydigen. welke doorA, B, C, enz. gaan. Men bekomt alsdan, door de famentelling van alle die deelen, de lengte van den boog des Meridiaans, tusfchen de Parallekn der uiterfte plaatfen begreepen. Daar blyft dus niets anders overig, dai/haar verfchil van Breedte te meeten , dat gemaklyk is, en men weet daar door met welk deel van den Meridiaan de gevondene lengte overëenftemt, zo dat men de lengte van den graad, en die van den omtrek, daar uit afleidt.
Deeze is de handelwyze die Snellius volgde. Hy vondt tusfchen de Parallekn van Alkmaar en Bergen ep Zoom, welke zyne uiterfte plaatfen waren, 34018 Rhynlandfche Roeden, en een verfchil van i° n'$o'' in Breedte ; waar uit hy opmaakte , dat de graad 38473 Rhynlandfche Roeden lang is, Hy nam ook de Breedte van Leiden waar , eene plaats ter halverweg tusfchen Alkmaar en Bergen op Zoom ,en vondt door deeze bewerking 28510 Roeden ; weshalven hy, een medium neemende, den graad der Aarde op 58491 of 38500 Roeden begrootte, overeenkomende met 55021 Paryfche zesvoetige Roeden. Het byzondere zyner bewerkingen wordt in zyne Era. Ulihenes Batavus voorgedragen , een Werk dat hy over dat onderwerp in 't Jaar 1Ó17 in 't licht gaf.
De Heer Picard, in 't Jaar 1671 de Aarde gemeeten, en door bewerkingen, welke het kenmerk van de grootfte naauwkeurigheid dragen, den graad tus. fchen Parys en Amiens 57060 Toifes lang bevonden hebbende, heeft men ontdekt, dat Snellius gefeild hadt (e); Maar de Heer Musfchenbroek, nayverig over de eere van zynen Landgenoot, heeft ons byzoaderheden medegedeeld, welke hem rechtvaerdi$e« (ƒ). Snellius hadt zyne dwaaling befpeurd, hy
hadt
(*) Mémoires de F Académie 1702. Zie ook het Boek van grootheid der Aarde, Part, II, e. 8. (/) ttjf' & Magnit. tttm. Onder zyne Dij]'. Phyficas.



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boei. 339
hadt zynen Ba(is en de hoeken zyner Driehoeken op nieuw gerneeten, en zelfs zyne Middaglyn aan den kant van het Zuiden door Antwerpen tot Mechelen verlengd. Hy was voornc-emens zynen Emtofthenet Batmus, met de behoorlyke verbeteringen, op nieuw in 't licht te geeven, toeo een haastige dood hem wegrukte, en zyn ontwerp deedt mislukken. Zyne handfchriften daar na in de handen van den Heer Musfchenbroek gevallen zynde, heeft deeze geleerde Leidfche üooglceraar alie de Driehoeken van Snellius, naar de verbeteringen welke hy daar in gemaakt hadt berekend, en door dat middel 29510 Rhynlandfche Roeden, of 57033 Tou fes, voor de lengte van den graad gevonden; hetgeen fiegts 30 Toifes met de meeting van Picard verfchilt.
Snellius hadt nog niet lang zyne meeting volbrai>t, toen Blaeuw (g) eene diergelyke ondernam. Wy weeten niet welke redenen hem daar toe bewogen, alzo het werk, 't welk hy over dat onderwerp vervaardigde, nooit het licht heeft gezien. JVlogelyk vermoedde hy de dooling, die in de meeting van Snellius geflopen was. Hoe het ook zy, zeker is het, dat na de meetiogen van den Heer Picard en de Academisten, welke het beruchte vraagftuk van de gedaante der Aarde beliegt hebben , 'er niets naauwkeurigers gedaan is. Blaeuw mat door de Driehoeksmeetkunde eenen zeer grooten boog van den Meridiaan, en bepaalde het verfchil der Breedte van de uiteinden, met eenen Sector van twaalf graaden, zynde het gedeelte eens Cirkels van veertien Voeten ftraals Chj. Ook be^nt-
woort
f (g) Willem Janjon Blaeuw (in 't Latyn Cafius), een Leerling van Tycho, heeft zich eenen beroemden naam gemaakt door zynen Geographifchen arbeid. Hy flierf in 't jaar 1638, in den ouderdom van 77 jaaren. Hy heeft verfcheide nakomelingen gehad, welke de groote achting, die hy zich verworven hadt, in Holland lang ftaandc gehouden hebben. (JO Vosfius, de Scient. Math. p. 263.
Z 4



S4P HISTORIE ueh
woort de naauwkeurigheid zyner meeting aan zvno aangewende vlyt. Dit is het getuigeDis dat de Heer Picard daar van gaf (»}: deeze naauwkeurige Waar* ueemer naar Uranienburg reizende, en door sfmlïcrdam trekkende, zag daar het Handfchrift van Blaeuw onder de handen van eenen zyner nakomelingen, en geeft ons te kennen, dat zyne meeting flests zestig Rhynlandfche Voeten van zyne eigene ver* fchiide. ■ Dit moet ons van de behendigheid van Blaeuw m het doen V3n waarnesmingen, en van de oplettendheid welke hy by die verrichting hadt, een groot denkbeeld inboezemen.
Wy vinden omtrent den zelfden tyd eenrn En» geifchen Sterrekundige, die, voor de derde maal, aan de weeting der Aarde met eenen goeden uitflag arbeidde (T). Rkhard Narwood, dit is de Daam van dien Sterrekundige, hadt den moed om den afJiand van London tot Tork, naamlyk meer dan zestig Mylen, met de keten in de hand te meeten' Zyne handelwyze beirondt hier in. Hy mat de lengte der wegen, door zo veel by koude de zelfde richtftreek re houden: te gelyk was hy bedacht cm door middel van het Kompas den hoek van den weg of de geroeeten lyn met den Meridiaan, gelvk mede de hoeken yan hellmg tot den Hmzon, telkers als hy naar de hoogte ging of .nederwaarts daalde, te bepaalen; waar na hy de gevondene lengtens tot het horizontaal vlak en den Meridiaan pverbragt. Hy mat eindelyk, ia twee dagen van .den zomerfchen Zonneftand, de hoogten van de Zon te Umdon en Totk, met een Sedor van wf voeten ftraals, en hevondi dat die beide Steden 2° oÖ ?n Breedte verfchilden. Waar uit hy be, floot, dat de graad 376176 Engelfche Voeten lang wr;S, welke 57300 van onze Toifes uitmaaken.
VYy behooren mede den V. Riccioli en zynen mede waarnee uier den V. Grimaidi onder die geenen
. (O Reize van Uranienburg.
(&) Seamqm PraSice, London 1655.



WISKUNDE, IIT. Deei. IV. Beet. 341
« rangfchikken, die tot de meeting der Aarde alle minne zorgen aangewend hebben; doch wy kunnen tevens niet ontveinzen, dat zy minder gelukkig waren dan één der geenen, welke hun in de zelfde eeuwe voorgingen. Waut daar Snellius eenen mis» flag van twee duizend Tdfes beging, was de dooling van Riaioli, door verlcheide opgehoopte kleine misrekeningen, meet dan 5000 Toi/ès. Wy meenen de oorzaak daar van te befpeuren; niets is eenen Waanieemer nadeeliger dan de voorïnneeming, dat hy eene zekere uitkomst moet aantreffen. Riccioli, na aivoorens op eene geleerde wyze de oude meetingen onderzocht te hebben, hieldt zich verzekerd, dat hy den graad van omtrent 81000 Romeinfche Schreeden moest vinden. In gevolge ziet men hem altoos by voorkiezing de waarneemingen omhelzen, welke hem eene grootere maai. opleveren. Daar benevens vindt men de oorzaik der grove dwaaling van Riccioli in de natuur der handelwyze, die hy gebruikt heeft. Wel verre van de eenvoudigfte te kfezen, die van alle onzekere of bezwaarlyk te bepaalen beginfelen het meest ontheven was, is de handelwyze, waar van hy zich bediend heeft, de meest famengeftelde die bedacht kan worden. Het zyn, by voorbeeld, waarneemingen der hoogten van Sterren, in eenen zekeren Verticaal, en naby den Horizon genomen, in welke de Refra&ie verwaarloosd, en de Declinatie uit de Naamlyst van Tycho getrokken is, waar in men, zonder dien grooten man onrecht te doen, eenige dooling van één of twee minuten mag onderftellen. Nog komen in de bewerking van Ricvioii Pools hoogten, waar in hy zelf verfchillig isj eindelyk zie ik ongemeene fcherphoekige Driehoeken, in welke eene geringe misflag in eenen hoek, eenen zeer grooten in één der zyden kan doen ont» ftaan. Deeze onzekerheid, gevoegd by de voonnneeming waar in hy was, dat de graad omtrent 81000 Koraeinfcbe Schreeden, of 64 tot 65 duizend Schreeden van Boulognt moest bevatten, verZ 5 fchaf.



34*
H.IiS T O R I E der
fctoafte hem in de daad het middel om zyne maat zodanig te verlengen, dat hy eindelyk de graad op 64368 Schreeden bragt, welke met 63650 Paryfche Totfes overéénkomen, dat is te zeggen, meer dan 5000 Toifes boven zyne waare grootheid. Men kan in het Boek over de grootheid en de gedaante der Aarde {de la grandeur £? de la figure de la Ter re)» door den Heer Casfim, een wydluftig onderzoek van deeze meeting zien. Zy bevestigt volkomen hetgeen wy zo aanftonds gezegd hebben, en dat fiegts het gevolg is van het oplettend onderzoek, dat wy zelf deswegens over het werk van Riccioli gedaan hadden.
VI.
Weinig waarneemingen zyn zddzaamer dm die', waar van wy in dit Artikel te fpreeken hebben. De eene, naamlyk die van den voorbygang van Mercurius onder de Zon kan flegts een klein getal maaien in eene eeuw plaats hebben. Sedert het jaar f631, toen de eerfte waarneeming van die foort gedaan werdt, heeft men dezelve fiegts tienmaal kunnen hervatten. Maar die van den voorbygang van Venus onder de Zon is veel zeldzaamer. Eene eeuw is een te kort tydperk om dezelve te zien herhaalen, en federt het jaar 16-59, toen men die waarneeming voor de eerfte maal deedt, hebben 4de Sterrekundigen het genoegen niet gehad dezelve te hervatten. Zy wachten met ongeduld het jaar 1761 af, dat hun op nieuw dat zeldzaam verfchynfel moet vertoonen (l). Laaten wy eerst een denkbeeld van de nuttigheid dier foorten van vooTbygangen geeven.
De waarneemingen van Mercurius zyn zo zeldzaam , en worden op zulke ongelegene plaatfen f.edaan, dat men, Zo laDg men geen ander middel
• (i) Zie over dien Voorbygang de la Lande Aftrono-mia of Sterrekunde, III. Deel, Boek XI, §. 2140 & feq. V.



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 343
del dan de gewoone wyze om hem waar te neemen gehad beeft, in de gepastheid der Theorie van die Planeet niet te veel mistrouwen konde gehad hebben. Maar zyn yoorbygang onder de Zon geeft het middel aan de hand, om twee der voornaam» jfte beginfelen van die Theorie. naamlyk de ftand der knoopen en de helling van den Loopkring tot de Ecliptica, met veel naauwkeurigheid te bepaalen. In de daad, het is zichtbaar dat Mercurius niet als in de nabyheid van zyne knoopen, onder den fcnyf der Zon kan voorbygaan. Maar terwyl hy onder dien fchyf doorgaat, en denzelven onder de gedaanre van eene zwarte vlek fchynt over te loopen, kan men in ieder tydftip, en voornaamlyk by zynen in- en uitgang, zynen ftand ten aanzien van de Ecliptica, naamlyk zyne Lengte en Breedte, bekomen. Deeze zaaken nu gegeeven zynde, , is niets gemaklyker, dan op de Ecliptica het punt te bepaalen, waar in het verlengde van zjjnen weg dezelve ontmoet, en den hoek, dien zy onderling te famen maaken. Men zal derhalven de naaste knoop by de plaats der waarneeming, en den hoek van de Ecliptica met den Loopkring der Planeet bekend hebben.
Het groot aanbelang der Waarneeming, welke wy nu befchieeven hebben, hadt Kepler reeds in 't begin van die eeuwe aangezet, dat hy, om zo te fpreeken, Mercurius onder de Zon wilde befpieden, en. hy verbeeldde zich, dat hy hem dén 28 May des jaars 1607 aldaar ontdekte. Toen hy op dien dag het beeld der Zon iu de donkere kamer ontfangen hadt, hadt hy daar in eene zwarte vlek gezien, die hy, overëenkoaiftig de berekening, welke hy naar eene valfche ftelling der knoopen hadt gedaan, voor Mercurius genomen hadt. Hy hadt zyne waarneeming in 't jaar 1609 aangekondigd; doch zo dra hy de vlekken der Zon ontdekt hadt, zag hy dat hy in eene dooling was gevallen, en hy bekende toen , dat hetgeen hy voor Mercurius in de Zon hadt genomen, ftegts eene vlek
was,



344 HISTORIE der
was, die zich toen by geval op den fcbyf van dat Hemellicht bevondt (m). Op de zelfde wyze moet rren ook oordeelen over eenige andere zodanige waarneeminyen, in vroegere eeuwen gedaan, als die welke Lycifthenes tot hec jaar 178 overbrengt, die van d n raamloozen Historiefchryver vaD Lodewyk den zagtmoedigen, in 't jaar 807 gedaan, en eene derde aan Averrhocs toegefchreeven. Kep» Ier zynf dwaaiing ontdekt hebbende, verbeterde »yne Theorie naar nieuwe waarneemingen, en gaf eindelyk in 't jaar 1629 den Sterrekundigen bericht, dar zy zich gereed moesten maaken, om den 7 November d>s jaars 1631 Mercurius onder de Zon waar te neeroen. Hy maakte eenen geiyken voorbygang van Venus voor den 6 December des zelfden jaars btkend. Deeze laatfte moest, om de waarheid te zeggen, ten aanzien van Europa "s nacht? voorvallen; maar Kepler hieldt zich van zyne berekeningen niet genoeg verzekerd, om openlyk te durven zeggen, dat hy in dat gedeelte der Aarde niet zichtbaar zou zyn.
Een groot getal Sferrekundigen bielden zich tot de waarneeming var Mercurius gereed; maar weinigen waren gelukkig genoeg om dezelve te doen. Alle die geenen welke zich daar mede versenoegden, dat zy het beeld der Zon in de donkere kanier bragten, in verwachting van daar in Mercurius te zullen ontdekken, werden in hunne verwachting bedrogen. Geen anderen dan zy, die zich van den Telefcoop bedienden, om de Zon onmiddelyk te befchouwen, cf haar beeld in iets anders te zien, befpeurden die kleine Planeet. Zodanige waren Gasfendi te Parys, de V. Cyfatus te Infpruck, Joan Remus Qtiietanus, Arts eu Wiskundige van den Keizer Matthias, in de Elfas, en een Onbekende te Ingoljiadt. Van de waarneemingen der drie laatften zyn ons geene omüandigheden bekend;
C«a) Mercurius in Sok, &c. Lipf. 1609. in -4°.



WISKUNDE. III. Deel, IV. Boek. 345
kecd; wy zullen ons derhalven tot het verhaal van
die van Gasfendi (n) bepaalen.
Het fchcelde weinig of het flegte weêr hadt den Franfchen Sterrekundige van het vermaak eener zo zeldzaame en zo nieuwe waarnecmiog berooid. De hemel was alle de voorga.nde dagen donker; eindelyk die, welke door Kepler aangekondigd was, gekomen zynde, hieldt de beneveling op. Gasfendi die het tydltip befpiedde, waar in hy de Zon
zou
(n) De beroemde Gasfendi kwam in 't jaar 1592 ter wae* reli, op het grondgebied van Digne, van eene.i Vader die fiegts eenen eenvouJigen boer was, en niet zonder bekommering zag, dat hy zich in de loopbaan der Weetenfchap" pen begaf. Na een verblyf van verfcheide jaaren te Ais en te Digne, alwaar hy eene Kanonikaale Ptebende ftadt, kwam hy te Parys, alwaar hy ideh eene groote achting verwierf. De Kardinaal de Richelieu noodzaakte hem, in weérwil van zyne weigeringen, den Post van Koningtyfc Hoogleeraar aan te neemen, dien by tot in 1655, dat het jaar van zynen dood was, bekleedde. Ieder weet dat Gasfendi arbeidde, om de Wysbegeefte van Epicurüs uit het ftof op te beuren, niet die ongodsdienftige Wysbej-eerte, die den oorfprong van het Gebedal en ven affe Wezens aan het bloot geval toefchryft, maar die Wysbegcerte, welke de ondeelbaar» lighaamtjcs, het ledige, enz. aanneemt, waar van verfcheide leerfteliingen met die der hedendaagfche Natuurkunde genoegzaam fehynen oveiëza te komen. Maar het is hier de plaats niet over dat on> der.verp meer te zeggen. De voornaamfte Wis- en Steryekundige Schriften van Gasfendi zyn de volgende. De Apparente magnit. folis humilis & fublimis, Epift. 4. Op. ï. III. Inflituiio Aflron. ann. 1647. edita. Op. T. IV. De rebus celeftibus 'comm. feu ohf. ah. anno 161%. ai urm. 1652. liabitte. Ibid. De Mercurio in fole vifo & ven. invifd, epift. ad Schik- cum refponfo 4,031. Par. in-4'. Op. T. III. De fiovem fiellit circa Jovein vifis a P. Rheiti. IbiH. Prop. Gnom. ad urnbram foljiit. Masfitta ohf. Ibitf. Ad P. Cafraum de accelerat. gravturn epift. 3. T. IV. Fitte Purbachü, Tycbdnis, Copetnici £? Regiomontam, 1655. Hag. in-40. Op. T. V. Êpijiel* varia. T. VI.



34° HISTORIE ser
zou kunnen ontdekken, keerde aanftonds zynen Telefcoop naar dat Hemellicht, en zag op hetzelve fiegts eene kleine zwarte en ronde vlek, die reeds tamelyk ver op zynen fchyf gevorderd was. De ongemeene kleinheid van die vlek deedt hem in 'e eerst gelooven, dat het Mercurius niet was; want men was in de verwachting te zullen bevinden, dat hy eene fchynbaare middellyn van ée'n of twee minuten hadt: maar weinig tyd daar na liet de fhelheid van haare beweeging hem niet langer toe de Planeet te miskennen, die hy onder de Zon verwachtte, en hy haastte zich, om haaren weg over de fchyf van dat Hemellicht, benevens het tydftip en de plaats van haaren uitgang, te bepaalen. Hy bevocdt dat haar middelpunt ten tien uuren agt en twintig minuten 's morgens op den rand van die fchyf was, en bepaalde de Conjunctie ten zeven uuren agt en vyftig minuten, in den veertienden graad zes en dertig minuten des Schorpioens. Hy Helde het oogetoblik van den ingang op vyf uuren agt en twintig minuten 's morgens,'en de plaats van den nabuurigen knoop op den veertienden graad twee en vyftig minuten van het bovengemelde teken, in plaats van den vyftienden graad en twintig minuten, waar op Kepler dezelve ftelde. Gasfendi mat eindelyk de fchynbaare middellyn van Mercu. riust en begrootte dezelve flegts op twintig fecunden. Van toen af aan giste hyv dat die van Venus niet veel grooter dan één minuut was; hetgeen door de uitkomst in 't jaar 1639 bewaarheid is. Ten opzichte van Venus, waar van wy gezien hebben , dat Kepler den voorbygang voor den 6 December van het zelfde jaar aankondigde, kan men zeggen dat dezelve niet gebeurde, of ten minften in die Gewesten niet zichtbaar was. Gasfendi verwachtte dien verfcheide dagen te vergeefs, om die reden gaf hy aan het verhaal, dat hy van die waarneeming deedt, den tytel van de Mercurio in fole vifo 6f Veneie invifd. Dit Gefchrift kwam in den jaare 1633, mat een geleerd antwoord van
Schic-



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 347
Schickard (o~), in 't licht. Men zal misfchien. verwonderd zyn van Kepler niet ouder de Waarneemers van Mercurius te vinden. Deeze beroemde man hadt zelfs het genoegen niet van te weeten ,. of zyne berekening naauwkeurig was. Hy was twee dagen vóór den dag, dien hy voor die waarneeming had aangekondigd, overleeden. Welk een verdriet voor eenen Sterrekundige, wien zyne kunst ter harte gaat, om in zodanige omftandigheid het leven te verlaaten!
-Het verfchynfel, waar van wy zo annftonds gefproken hebben, gebeurde op nieuw in den jaare 1651; maar het werdt fiegts van een eenig Sterveling waargenomen. Men zag by die gelegenheid een voorbeeld van eenen grooten yver voor de bevordering! der Sterrekunde. Jeremias Skakerley, eea Engelschman, het oogenblik des voorbygangs va» Mercurius onder den fchyf der Zon berekend, en bevonden mebbende, dat dezelve niet aan in Afia zichtbaar zou zyn, begaf zich fcheep, om derwaarts te gaan, en nam dien in de daad waar te Suratte den 3 November ten zes uuren veertig minuten 's morgens, naamlyk ten 1 uur 58 minuten na middernacht, voor den Meridiaan van Parys. Hy gaf de vrienden, die hy in Europa hadr, bericht van zyne waarneeming, eu van deezen is het, dat wy dit verhaal ontleenen. Want hy ftierf in de Indien, en wierdt dus het flagtoffer van zyne liefde voor de Sterrekunde. Sedert dien tyd zyn de Sterrekundigen getuigen van veele andere zodanige voorbygangen geweest: dezelve hebben plaats gehad in de jaaren 1661, 1677, 1690, 1697, 1707,,
(9) Sehhkard, Hoogleeraar in de Wiskunde en Oosterfche Taaien te Tubingen, was een behendig en kundig Waarneenier. Hy ftierf in 't jaar 1635; zyre waarneemingen zyn door Lucivs Barretus. of Alben Curtius, verzameld, en in zyne Hifi. Celeftis, adiiter. die van Tyeb** 913 gevoegd.



84* MISTORIË Dfei
verdient geleezen te worden. Deeze geleerde tekundige heeft ons daar in eene volLmene Ver. ^deling over de foorten van Voorbygwgen be Jrofe , waar in hy alle de waarneem ingen, welke
Men kan d,t voorneemen geen goedkeurin* r ,.geren, en met nalaaten te wenfchf n, dat hel feoedig uitgevoerd moge worden.
De zelfde redenen welke de Sterrekundigen deeden wenlehen, om Mercurius onder de Zon te zien, maakten ook eenen voorbygang van renut onder dat Hemellicht zeer gewigfig. hadj dien voor het jaar ,631 aangekondigd <£rzo als wy reeds gezegd hebben, dezelve hadt geen P T *a °{ VS 10 ■ bUr°Pa niet zichtbaar. Deze! vö khiS ? waargenoi"en, en JEpfer ver-
kl-ard hebbende, dat geduurende het overige der e-uwe geen andere zou plaats hebben, lieten de Sterrekundigen het vermaak van dat zeld/aam fcbbuwfttel aan hunne Opvolgers over ZÊldzaaia
Kepler vergiste zich nogthans, en het Was een ong Sterrekundige, in het binnenfte van Engeland befloten, byna van hulpmiddelen en Werktuigen ontbloot, die zulks bemerkte, en deeze waaS-
S iCt m °nZe d/geD n°S de «nige is, deedt. Zyn naam was Horcccius. I0 het Graaffenap Lancaster uit niet zeer rvke Ouders gebooren, hadt hy omtrent het jaar fmaak in de
Sterrekunde gekreegen Doch van hu]pmiddelen en Boeken ontboot, begon hy moedeloos te worden, toen hy kennis maakte met eenen anderen ^igen Sterrekundjge uit zyne buurt, met naame milwm.Crabtree, die byna de zelfde zwaarigheden ondervondt. De Briefwisfeling, die zy over SÏer" lekund.ge Itoffen hielden, gaf hun Edeneenen nieuwen moed. Zy verfchaften zich Boeken S
Werk-



WISKUNDE. III. Dêel. IV. Boek. 349
Werktuigen , en van niets anders geholpen , dan van de inlichtingen die zy zich wederzyds mededeelden, maakten zy gewigtige verbeteringen in de Theorie der Planeeten. Horoccius was in 't eerst door de grootfche beloften van Lambergen, en de prachtige lofredenen van fommige vleijers, die men aan 't hoofd van zyn Werk leest, misleid geworden. De eerfte vrucht van zyne vriendfchap met CrabtrU was, dat hy een groot mistrouwen tegen dien Scerrekundige opvatte, die wel dra in zekerheid veranderde: hy zag dat zyne onderftellingen gebreklyk, en de waarneemingen , waar op hy dezelve vestigde , of vervalscht, of op eene wy?e , die byna trouwloos genoemd mag worden, gebogen waren i eindelyk dat hy Kepler en Tycho-Brahé op eene onrechtvaerdige en onwaardige wyze in hunne eere hadt te kort gedaan. Hy kwam weder tot die beide herftellers der Sterrekunde , w.iar van hy eene uitmuntende verdeediging tegen Lansbergen maakte O), en de denkbeelden van Kepler omhelzende, verbondt hy zich aan niets anders, als om zyne Theorie in de deelen, waar in zy nog gebreklyk was , te verbeteren. Onder anderen maakte hy verfcheide zeer gewigtige aanmerkingen over de Theorie der Maan, en het ftelfel dat hy opgaf, om aan haare beweegirgen te voldoen, heeft den Heer Flamfteed het naauwkeurigfte gefcheenen , dat alsnog verzonnen was; zo dat die beroemde Sterrekundige zich wel heeft willen verwaardigen , om de Tafelen te berekenen , welke Horoccius den tyd niet hadt gehad naar zyn ftelfel op te maaken Cf). Wy zullen daar
Van
(p) Zie Horoccii opera ptjlhuma, viel. Mronomia Keppliriana dtfenfa fcf promota. Excerpta ex epiflolis ai öab. traum. Obfer\ationum Catalogus: lune theoria nova; utii cumCrahtrei objervalionibus, t.ec non JoannU Flomfieedii de Mquat. temporis diattiie, £5? numeris tunaribus adnoyum luna fystema Horoccii. Lond. 1678. in .4°.
(f) Zie het voorgaande Werk.



35«
HISTORIE der
van fpreeken, als wy verflag doen van de poogingen der Sterrekundigen , om die Theorie te volmaaken. Thans komen wy te rug tot de beroemde waarneeming, welke wy boven aangekondigd hebben.
Het was een louter toeval, dat Horoccius aanleiding gaf om te bemerken, dat de benedenfte Conjunctie van Venus, die op het einde des jaars 1639 moest plaats hebben, zichtbaar zou zyn. Befpeurd hebbende, dat de Tafelen van Lansbergen, fchoon in andere opzichten zeer gebreklyk, dezelve als zodanig aankondigden, wilde hy onderzoeken, wat die van Kepler voortbragten; en hy bevondt tot zyne groote verwondering,dat zy dezelve insgelyks als zichtbaar voor den 4 December, nieuwe ftyl, aankondigden. Door eenige verbeteringen, welke hy noodig gevonden hadt, in acht te neemen , bepaalde hy het oogenblik der Conjunctie ten vyf uuren zeven en vyftig minuten 'savonds van den 4 December, met eene Zuider-Breedte van tien minuten. Hy gaf aanItonds zynen vriend Crabtree kennis van deeze ge» wigtige ontdekking, en hem aangaande begon hy reeds één dag vóór den tyd, die door de berekening voorzegd was, de Zon waar te neemen: den avond van dieD dag, zo als hy van den Kerkdienst te huis kwam, welks gevoegelykheid, zo hy zeide, hem niet toeliet, zich om eene zodanige zaak afwezig te houden, zag hy eindelyk Venus, die eerst op den fchyf der Zon kwam, waar van zy den rand raakte. Het was toen drie uuren vyftien minuten *s avonds. Hy mat aanftonds den afftand van Venus tot het middelpunt der Zon , hetgeen hy geduurende den tyd, dien hy dat fchouwfpel konde genieten, verfcheide maaien herhaalde. Want de Zon ging ten drie uureD vyftig minuten onder, zo dat de waarneeming flegts vyf en dertig minuuten duurde. De vriend van Horoccius deedt dezelve insgelyks , en deeze zyn tot hier toe de eenige ftervelingen, welke Venus in die omftaiidigheuen gezien hebben.
Alhoewel de plaats, alwaar Horoccius zyne waarneeming deedc, hem niet heeft toegelaaten, om het
fchouw-



WISKUNDE. Hl. Deel. IV. Boek. 351
"fchouwfpel van Venus onder de Zon langer dan eenen zeer korten tyd te genieten, heeft de Sterrekunde echter niet nagelaaten, om uit die waarneeming eene groote vrucht te trekken. Hy bepaalde in de daad door middel van dezelve, met veel meer naauwkeurigheid dan men tot nog toe gedaan hadt, den Hand der knoopen , en verfcheide andere beginfelen der beweegmge van die Planeet. Hy bevr.ndFaanfronds, dat de Conjunctie voorgevallen was ten vyf uuren vyf en vyftig minuten 'savonds, in plaats van vy' uuren zeven en vyftig minuten, welke men door rekenen vondt, en dat de Breedte van Venus in datoogenblik flegts agt minuten een en dertig fecunden, in plaats van 10' was geweest , waar uit hy befloot, dat men de knoopen op 13» 42'45" van deh Schutter en de iweelihgen, in plaats van 130 31'ia" waar öp Kepler dezelve plaatfte, moest ftellen ; dat de helling van den Loopkring tot de Ecliptica 30 24' of 25' was• eindelyk dat van alle de toen bekende Tafelen de Tabula Rudolphinte het naast aan de waarheid kwamen. Horoccius fchreef over dat onderwerp eene uitmuntende Verhandeling, tot tytel voerende: Venus tnfole vifa, waar toe wy voorde verdere gevolgen, welke hy uit zyne waarneeming afleidt,den Leezer verzenden. Hy hadt het genoegen niet deze ve in t licht te geeven; naauwlyks hadt hy dezelve geheel in orde gebragt, toen hy den 15 January des Jaars 1641 byna onverwacht overleedt. Dit kostelyk Werk, en verfcheide andere Schriften van Horoccius, bleeven byna twintig Jaaren in de Vergeetelheid begraven, tot dat zy in de handen van iemand kwamen, die bekwaam was dezelve te waardeeren. Huyghens verfchafte zich een affchrift van de bovengemelde Verhandeling, en deelde het mede aan Heveltus, die het in den Jaare 1661 liet drukken, benevens zyne waarneeming van den voorbygang van Mercurius, in dat Jaar voorgevallen. Hetgeen men voorts uic die kostelyke Schriften heeft kunnen trekken, heeft, door de zorgen van den D. Wallis, en de Koninglyke Maatfchappy vmLondon tii\ het Jaar Aa a i07^



35*
HISTORIE der.
1678 het licht gezieu. Wat Crdbtree aangaat, hy volgde zynen vriend kort daar na , insgelyks in den bloei zyner Jaaren. Hy is^ naar men gist, even als Gascoigtie, wien de Engelfchen de eerlte uitvinding van den Micrometer toeëjgenen, in de burgerlykè oorlogen, welke Engeland omtrent dien tyd verwoesteden, omgekomen.
Sedert het Jaar 1639 is 'er geen zodanig verfchynfel geweest, dat de Sterrekundigen hebben kunnen waarneemen. Maar over weinig Jaaren , naamlyk in 't Jaar 1761 (den sójuny) zal men dat fchouwfpel andermaal genieten; en naardien hedendaagsch op de gantfche oppervlakte der Aarde Waarneemers verfpreid zyn , kan men zich verzekerd houden , dat die voorbygang van Venus onder de Zon op een groot getal plaatfen gezien zal worden (r). Behalven de nuttigheid, welke dezelve zal hebben , om eenige beginfelen der Theorie van die Planeet met nog grooter naauwkeurigheid te bepaalen , zal dezelve dienen, om met eene naauwkeurigheid, welke geen andere handelwyze kan bereiken, de Parallaxis der Zon en haaren afftand van de Aarde te bepaalen. De Heer Halley heeft daar toe in de Ttanf. Phil. (ann. 1716) eene handelwyze gegeeven , waar van het hoofdzaakelyke hier op uitkomt.
Ieder weet dat de afftand van Venus tot de Aarde, in haare benedenfte Conjunctie, flegts omtrent het vierde-deel van dien der Zon is; waar uit volgt, dat haare Parallaxis alsdan het viervoud der Parallaxis .van dat Hemellicht is. Men onderttelle nu eenen aanfehouwer, die den voorbygang van Venus waarneemt, op eene zodanig gelegene plaats, dat de in- en uitgang ten naaste by op den zelfden afftand van het Zuiden gefchieden; dan zal de beweesing van dien aanfehouwer, door de omwenteling
der
(r) Zie wegens den voorbygang van Venus des Jaar» 1761, ns la lande Aftronomie of Sterrekunii, XI. Mui. V.



WISKUNDE. IJl. Osei. IV. Boek. 353
der Aarde veroorzaakt, en welke in eene tegenftrydige richtftreek van die van Venus zal gefchieden, de duuring van haar verblyf op de fchyf der Zon iets minder verkorten , dan her dubbeld van den. tyd, dien Venus zou befteeden, om door haare eigene beweeging eenen boog gelyk aan haare Parallaxis door te loopen. De Heer Halley bevindt dat, als men de Parallaxis der Zon van twaalf fecunden onderftelt , die verkorting van duuring omtrent elf minuten zal zyn. Zo men, integendeel, den voorbygang van Venus op eene zodanige plaats waarneemt, dat men haaren ingang by Zonnen ondergang, en haaren uitgang by het opkomen derzelve ziet, hetgeen op fommige plaatfen van NoordAmerika kan plaats hebben , zal de beweeging van Venus op de Zon ten aanzien van den Waarneemer der Aarde, wiens beweeging naar den zelfden kant zal gefchieden , vertraagd worden , en deeze vertraaging zal den geheelen voorbygang zes minuten langer doen duuren, dan wanneer die Waarneemer, in het middelpunt der Aarde geplaatst, onbeweeglyk ware geweest. Dus hebben wy hier zeventien minuten verfchil tusfchen de duuringen van den waargenomen voorbygang dier beide plaatfen ; zy wien de naauwgezetheid der hedendaagfche Waarneemers bekend is, hebben niets meer noodig om te zien, dat men door dat middel, op eene zeer geringe dooling na, de Parallaxis der Zon kan be. paaien. Wy verzenden den Leezer , die hier omtrent meerdere byzonderheden wenscht te weeten, naar het Gefchrift van den Heer Halley.
De redeneering, die nu ten opzichte van Venus gedaan is, kan desgelyks ten aanzien van Mercurius gedaan worden, behalven dat, vermits de Parallaxis van deeze laatfte Planeet veel minder, en haare be weeging fneller is, 'er op verre na geen zo groote ongelykheid tusfchen de duuringen haarer voorbygangen voorby de Zon , op verfchillende plaatli n der Aarde waargenomen ,kan zyn. De Heer Del'Jle •naakte nogthans ftaat, toen hy zyn bericht over Aa 3 dea



354 HISTORIE der
den laatftcn voorbygang van Mercurius in 't licht gaf, dat hy zig van dezelve konde bedienen, orn de Parallaxis der Zon te bepaalen , in afwachting dat die van Venus zou dienen, om zulks met nog grooter naauwkeurigheid re doen. Maar hy heeft natuurlyke hinderpaalen daar in ontmoet, waar van de Waarneemers vóór het verfchynfel, dat men in >tjaari76i verwacht, behooren gewaarfchouwd te worden. Naamlyk dat de waare fchynbaare middellyn der Zon geduurig vergroot fchynt te zyn met eene verlichte kroon, die naar de koleuren de ondoorfchynendheid der glafen , waar van men zich bedient, verHnderlyk is, terwyl die van de Planeet, welke haar doorloopt, in tegendeel met eene gelyke verlichte kroon, die op haar voorwaarts gaat, verminderd is; hetgeen aanleiding geeft tot eenige byzondere verfchynfelen , welke den in- en uitgang van die Planeet, geduurende eenigen tusfehentyd, onzeker maaken. Wy zyn den Heer de Barros, een Portugeesch Edelman, de waarneeming en verklaaring van die verfchynfelen verfchuldigd, welke hy heeft medegedeeld in een Gefchrift, door hem aan de Academie der Weetenfchappen voorgeleezen, en in 't Jaar 1753 in 't licht ^gegeeven. Waar uit volgt, dat, voor de naauwkéürige waarneeming der duuring van die voorbygangen , eenige oplettendheden noodwendig zyn, waar over die fchrandere Waarneemer, zo als ook de Heer Delifle , nog niet ten vollen voldaan zyn; en thans zyn zy bezig om die onzekerheid te bepaalen. Het bericht dat de Heer Delifle wegens den aanftaanden voorbygang van Venus zal bekend maaken, en eerstdaags het licht üaat te zien, zal de Sterrekundigen het noodig onderricht mededeelen wegens de voorbehoedfelen , die zy in dat opzicht behooren te neemen.
V I I.
Men kan de Sterrekunde in twee deelen verdeelen, naamlyk in een zuiver Wiskundig, en in een
Na-



WISKUNDE. IIL DeeU 17. Boek. 355
Natuurkdndig deel; ftrekkende het eene om de hemelfche beweegingen te vertoonen, en aan de rekening te onderwerpen, het andere om de oorzaaken en het Mechanismus daar van aan te wyzen. Het eerfte behoort eigenlyk alleen tot ons Plan, en om die reden zouden wy ons met recht kunnen onthouden, om in het onderzoek van het Natuur - en Sterrekundig Systema van Defcartes te treeden, dat geheel en al tot het tweede behoort. Maar de beroemdheid van dat Systema fchryft ons op eenigerlei wyze de Wet voor, om daar van te fpreeken, en hetzelve te onderzoeken.
Om niet in het byzondere van den natuurkundigen Roman van Defcartes te treeden , ik noem dus de wyze op welke hy de vorming van zyne drie hoofdftoffcn bevat, zal ik alleen maar zeggen, dat hy van ons Planeetgeftel eenen wyd uitgeftrekten draaikring maakt, in welks midden de Zon is. De verfcheide deelen van dien draaikring beweegen zich met ongelyke fnelheden, en voeren met zich de Planeeten, die in deDzelven gedompeld zyn, en daar in zwemmen in laagen van gelyke dichtheid (denfitas) als de haare. De Planeeten , welke Satellieten hebben, ! zyn zelve in het middelpunt van eenen kleineren draaikring, die in den grooten zwemt, geplaatst. 1 De lighaamen, in deezen kleinen draaikring gedom! peld, zyn die Satellieten, en beweegen zich in denzelven volgens de zelfde Wetten, als de Hoofdplaneeten rondöm de Zon.
Zodanig is met weinig woorden het Hemelsftelfel van Defcartes: niets is in den eerften opllag eenvoudiger , verftandiger, en meer voldoende; zo'dat men zich niet behoeft te verwonderen, dat het denkbeeld van hetzelve zynen Vinder ongemeen behaagd hebbe, eH dat het zelfs nog heden aanhangers heeft, welke moeite hebben, om zich daar van lós te maaken. Maar men moet zich niet altoos op dat eerfte gezicht ten voordeele van een natuurkundig gevoelen bepaalen. Eene onderftelling moet aan de verfchynfelen voldoen; dit is de toetsfteen waar aan men deAa 4 tel.



3*8
HISTORIE der
aanzienlyke plaats onder de Sterre- en Wiskunde gen van de zeventiende eeuwe, Hy gaf in 't Jaar 1645 zyue Aftronomia PhiloLïca in t licht, een Werk waar in hy de hemelfche beweegingen door eene nieuwe onderftelling waaut te verbeelden. Hy rieemt de Ellipfen van Kepler aan , maar keurt zyne handelwyze niet goed, om de Planeeten daar in te laaten beweegen. üe Heer Bulialdus verbeeldt zich zyne Ellips in eenen fcheeven Kegel overgebragt te zyn , zodanig dat de As van dien Kegel door het brandpunt gaat, waar in de Zon zich niet bevindt; vervolgens verbeeldt hy zich, dat de Planeet zich in- die Ellips zodanig beweegt, dat zy in gelyke tyden gelyke hoeken befchryft, niet ten aanzien van dit brandpunt, maar rondom den As des Kegels. Dit is de onderftelling die hy als Natuurkundig opgeeft, waar uit blykt, dat hy geen groot Natuurkundige was ; want ten hoogden zou hy dezelve als Wiskundig hebben kunnen opgeeven , indien zy de hemelfche beweegingen volkomen hadt afgebeeld , vermits hy geene oorzaak , geen natuurlyk en mechanisch middel aanwyst, om eene zodanige beweeging voort te brengen. In de handelwyze van Bulialdus is nog dit aanmerkelyk, dat zyne Tafelen naar die onderltelling niet gemaakt zyn. Hy verzint kort daar na eene handelwyze, om de Ellips te befchryven door de famenvoeging van twee beweegingen, die van eenen by-
kring
Verhandeling de Natura lucis, ( 1638.)» d'e eene fleet<? Na" tuurkundeis; zyn Philokus, of DiJJertatio de vero fystemate mundi (16.-9O; zyne Aftronomia fhilolaïca, waai van wy in dit Artikel fpreeker. M n heefi hop van hem He volgende Scbrifien , Cahulus duarum Ecl. ann. 1652. Exercit. Geom. de irfcr. rjf circumjcr. figuris , conicis Jeü. &porifmatinus. IÓ5V- De tinei; Jpiialtbus. 1657. Ajlr. Phil. fund.metita clariits ajjerta. 1657. Ad Aftron.monita duo, &c. 1667. Opus novum de Arith. infinit. lib. VI , compreh. in - fo'. 1683. De Heer Bulialdus llierf in 't Jaar 1694, aan Otatorium, waar van by 't Inftitut omhelsd hadt.



37° HISTORIE der
de tyden, Het aangroeijen. De beroemde Heer Casfini zelf, in een gefchreeven kort begrip der Stemkunde, dat ik in handen heb gehad, dedliptifche onderftelling befchryvende , vergenoegt zich met te zeggen , dat men , in die onderftelling , van het tweede brandpunt der Ellips het middelpunt der gelyke beweeging maakt, en om die onderftelling te verbeteren, flaat hy eene nieuwe Ellips voor, waar in de producten der lynen , uit de brandpunten tot eenig punt getrokken, ftandvastig zyn. Maar Iaat ons weder tot de eenvoudige elliptifche onderftelling overgaan. Deeze onderftelling heeft veele Sterrekundigen behaagd, en hun misleid door het gemak dat zy aan de hand geeft, om de waare uit de middelbaare Anomalie af te leiden. Zy is gebruikt door den Doctor Ward in zyne Aftronomia Geom. in 't Jaar 1656; door den Graafje Pagan, in zyne Theorie der Planeeten en zyne Tafelen, in de jaaren 1655 en 1658 uitgegeeven; door Street, in zyne Aftronomia Carolina, die hy in 't Jaar 1661 in 't licht gaf; door John Newton en Vincent Wing, in hunne Aftronomia Brittannica, die zy, de een in 't Jaar 1657, en de andere in 't Jaar 1669 in *t licht gaven. Maar deeze onderftelling is niet voldoende, dan wanneer de uitmiddelpuntigheid van weinig belang is. Dit hadt Kepler getoond , en de Heer Bulialdus, de befchuidiging van den Doctor Wari met eene tegenbefchuldiging beantwoordende, toonde zuH's op nieuw in 't Jaar l657 (#)> om die reden maakte Nicolaas Mercator naderhand eene verbetering in dezelve (hy Hy deelde den afftand tusfchen de brandpunten der Ellips in de middenfte en uiterfte rede , zodanig dat het fnydpunt, ten aanzien der middelpuntige Planeet, buiten het middelpunt viel, en dit punt nam
hy
(g) Aftron, PhiM. fundamenta adverfus Wardi impug. êfferta,
(h) Hypoth. nova Aftron. 1(564. Lond. in-fol. InftituU Aftron. Ibid, 1666. in-89.



WISKUNDE. lil Deel. IV. Boek. 371
by voor 't middelpunt der middelbaare beweeging. Dit viel eenigzins beter uit , dan de eenvoudige elliptifche onderftelling , wanneer de uitmiddelpuntigheid zeer groot is ; maar men moet van daar altoos weder tot de waare onderftelling te rug komen , waar in men de Inhouden rondöm de middelpuntige Planeet in de zelfde rede als de tyden laat aangroeijen.
Ik eindige dit Artikel en dit Boek, door nog gewag te maaken van de Vaders Riccioli (i) en Grimaldi, die verfcheide achtereenvolgende Jaaren gearbeid hebben , om de Sterre- en Natuurkunde aan te kweeken. Men heeft den eerften van die geleerde Jefuiten verfcheide merkwaardige Werken te danken , onder anderen zyn Almageftum novum, waar in hy, naar 't voorbeeld van Ptolomeus , alle de gedachten der Sterrekundigen tot in zynen tyd, benevens zyne eigene, verzameld heeft; hetgeen daar van eene wezenlyke fchat van Sterrekundige kennis en geleerdheid maakt. Doch wy meenen de verdienfte van dat Werk ten naaste by daar toe te moeten bepaalen. De Vader Riccioli gaf in 't Jaar 1665 zyne Aftronomia reformata in 't licht, waar in hy nieuwe onderftellingen voordraagt, welke de Sterrekundigen niet voldaan hebben. Men heeft eindelyk van hem eene Chronologia en eene Geographia reformata , welke ten opzichte van die beide Weetenfchappen zyn , hetgeen zyn Almageftum ten aanzien der StèWkunde is. Wat den V. Grimaldi betreft , wy hebben hem , behalven een gedeelte der Werken van den V. Riccioli, waar
aan
(O De V. Riccioli (Jan Baptist), gebooren te Ferrara in 't Jaar 1598, tradt in 't Jaar 1614 in de Sociëteit der Jefuiten, en na eenen gerutmen tyd de Godgeleerdheid onderwezen te hebben , kreeg hy vryheid om zich aan zynen fmaak voor de Sterrekunde over te geeven, welke hy het overige van zyn leven inet eenen brandenden yver bevorderde. Hy if in 't Jaar 1671 overleeden.
Bb 4



373 HISTORIE der WISKUNDE, enz.
aan hy deel gehad heeft, eene byzondere befchryVing van de Vlekken der Maan , en haare benoeroinff , die hedendaags onder de Sterrekundigen in gebruik is, te danken. Reeds hadt de Heer Hevelius < k) vóór eenige Jaaren zyne Selenographia in 't licht gebragt, waar in hy de naamen der bergen en plaatfen van de Aarde aan de vlekken der Maan geeft. Maar de benoeming, door Grimaldi ukgedacht , heeft de overhand behouden , en de Sterrekundigen hebben met hem raadzaamst geoordeeld, om, in gezelfchap van de voornaamfte Wysgeeren en Wiskundigen dér Aloudheid, in die Planeet hun verblyf te neemen.
(k) Wy zulke in het volgende Deel II Boek van den Heet Hevelius fpieeken.om dat hy voornaamlyk in de tweede helft der zeventiende eeuwe gebloeid en geleefd heeft.
Einde van het vierde Boei.



HISTORIE
DER
WISKUNDE-
DERDE DEEL.
Bevattende de Riftorie der Wiskunde, geduurende de zeventiende eeuwe.
VYFDE BOEK.
• Vorderingen der Mechanica tot aan het midden deezer eeuwe.
KORTE INHOUD.
I De Mechanica wordt in verfcheide flukken door Ste'vin aangekweekt en tot grooter volkomenheid gebragt. II. Over de ' Mcchanifche ontdekkingen van Galileus. Over zyn grondbeginfel der Weegkunst (Statica). Hy berhpt eene grove dwaaling van Ariftoteles en de Aloudheid over den val der zwaare lighaamen. Hy ontdekt de wet, volgens welke die val verfneld wordt; verklaaring van die Theorie. Hy leert welke de kromme ts , die door de lighaamen, op eene fchuinfe wyze voortgeworpen, be* Jchreexen worden; welke betrekkingen van duuring de fchommelingen der ongelyke flingers hebben. Hj onder-



374 HISTORIE des
zoekt op eene Wiskundige wyze den tegen/land der vaste hghaamen om gebroken te worden, lil. Van de onderftelling van» Balwni over de verfnellirtg der waare lighaamen. Twist van Gasfendi met den V Cafrée over clat onderwerp. Ongerymde gevolgen welke uit die en* derflelkng voortvloeien Proefneemingen welke die van Galileus'.bewyzen. IV. Leerlingen van Galileus welke de Mechanica aankweeken. Benediétus Caftelli handelt zeer wel over de beweeging der hopende wateren. Torncelh vermeerdert de Theorie van Galileus, over de verfnelde beweeging en die der voortgeworpen lighaamen met eene meenigte nieuwe waarheden. Hy handelt ook ever de beweeging der wateren, en bemerkt het gewoon grondbegmfel over de fnelheid der fpringende wliteren. Aanmerking over dat grondbeginfel. V. Ontdekkintr van de zwaarte der lucht, en dloorzaak welke het 3 tn de ledige buizen om hoog houdt. Wat deelde Heer
Pae£?/teS Ir,Um haft' Pr"efi^gen van den Heer PafcalUrn dezelve te/laaven. VI. Part verfcheide FraZ fike Werktuigkundigen, en de nieuwe Tkeoüen die Zy ontwerpen. Van den Heer Defcartes in '/ byzonder. Hy onderwyst op eene duidelyke wyze de wetten der be-
EET?' T^tVm de 4« UghaTmen te
bepaalen. Onderzoek deezer laatften. Zyn Systema ever de zwaarte, en onderzoek van hetzelve.
I.
A-Je eerfren der hedendaagfebe Wiskundigen, die by het weinige , dat de oude Mechanica inhield iets gevoegd hebben, zyn Guido übaldi, en Ste'. vut (/ > Men heeft reeds in het voorgaande deel
dee-
(0 Simon Stevin van Brugge ftierf in 'tiaar i6«*. De Zltr? geb0?rue'i 0ns onbekend. Men heeft van dien Wiskundige verfche.de Werken, welke in den beginne verzameld, en te Le.den A°. 1Ö05 i„ 'tNederduitach gedrukt zyn; vervolgens zyn dezelve in 't Latyn vertaald, en iu 1608 gedrukt. Men heeft daar van eindelyk eeneFranfche,
of



WISKUNDE» IU. Deel. V. Boek. jflf
deezes Werks van den eerften gefproken. Om dè ; orde der dagtekeningen naauwkenrig te volgen, zou ; het daar ook de plaats geweest zyn, om den arbeid van den Vlaamfchen Werktuigkundige te doen kennen. Maar zyne ontdekkingen fcheenen my eene zo voordeelige inleiding tot de hedendaagfche Mechanica | te zyn, dat ik tot hier toe uitgefteld heb, om daar i van verflag te doen, te meer daar hy laat genoeg ia I de zeventiende eeuwe geleefd heeft, om geacht te 1 worden tot dezelve te behooren.
Stevin, Wiskunftenaar van den Prins van Oranje, en Opziener der Dyken van Holland, liet wel voor1 naamlyk zyn vernuft in de Mechanica blyken. Hy giDg veel verder dan Ubaldi, in het Werk dat hy in 't Jaar 1585 over dat onderwerp uitgaf; en hy verrykte de Statica en Hyclroftatica met een groot getal nieuwe waarheden. Hy fchynt ons aanftonds de eerfte te zyn , die de waare proportie der kracht tot het gewicht in het hellend Vlak gekend heeft; eene proportie, die by de Ouden niet bekend was , als ook niet by Guido Ubaldi , die hun daar in flegts was nagevolgd. Stevin bepaalde deeze proportie zeer wel in alle de onderfcheidene gevallen, en welke ook de richtftreek der kracht moge zyn. Zelfs bepaalt hy zich niet om van de gewrochten der eenvoudige Werktuigen reden te geeven. Hy handelt in dat Werk over eene meenigte andere Mechanifche vraagftukken , als de betrek-
kin-
i of liever Oud-Franfche Overzetting, die in 't Jaar I6"24 ln« | fol. in 't licht kwam. Van alle die Schriften van Stevin I is eigenlyk geen ander dan zyne Mechanica , waar in j nieuwe zaaken te vinden zyn. Zo het oorfpronglyk Nej derduitsch in alles overëenkomftig is met de Latynfche of j Franfche Uitgave , dan h het voor den tyd een voortref. ] felyk Werk. Zyne Stemebouvt door Sluifen is mede eett Werk, dat, myns bedunkens, opmerking verdient. MeB eigent Stevin de uitvinding van zekere Wagens met Zeilen ij toe, die fneiler voortgingen, dan de best ingefpancene 1 Ry tuigen.



37* , HISTORIE du
kingen der lasten, welke onderfchraagd worden doof twee krachten , die een gewicht op ongelyke afftanden dragen ; welk vermogen een gewicht, aaa verfcheide touwen opgehangen, tegen de krachten oeffent, welke het door middel derzelve ophouden.. In de oplosfing van deeze en verfcheide andere vraagftukken maakt hy veelal gebruik van het berucht grondbeginfel, dat de grondflag is der nieuwe Mechanica van den Heer Varignon. Hy maakt eenen Driehoek , wiens drie zyden evenwydig zyn met de drie richtftteeken; naamlyk die van het gewicht en der beide krachten , die het om hoog houden , en hy doet zien, dat die drie lynen wederzyds dat gewicht en die krachten, uitdrukken.
Stevin toont zich niet* minder oorfpronglyk in zyne Hydroflatica ,. die een gedeelte van zyne Mechanica uitmaakt. Hy onderzoekt daar in onder anderen.de drukking dtr vloeiftoffen op de opperylaktens, die dezelve onderfteunen, en doet zien, dat zy altoos als het vermeenigvuldigde van den Bafis met de hoogte is: wy onderfteilen hier eene horizontale oppervlakte, als de bodem van een Vaas ; want zo men dezelve verticaal of hellende onderftelde, zou alsdan de bepaaling moeijelyker zyn« Zy ontglipte nogthans Stevin niet j hy toont op eene zeer verftandige wyze, welke de hoeveelheid en het middelpunt van het evenwicht deezer drukking is. Deeze. beruchte wonderfpreuk , naamlyk dat eene Vloeiftoffe , in eene naar boven fteeds naauwer wordende buis befloten, tegen den bodem de zelfde kracht oeffenc, als of die "buis overSl geJykvormig was , was mede eene ontdekking van dien Werktuigkundige. Hy ftaafde dezelve op twee wyzen , zo door proefneeming als door eené tedeileering, op de natuur der vloeiftoffen gegrond, die vernuftig is. Het moeit ons, in de Latynfche en Franfche Ediiien der Mechanica van Stevin twee deelen, welke hy in 't begin van 't zesde Boek aankondigt , onder den tytel: over de aantrekking van *t water en het gewicht, of over de Statica dtr lucht,
niet



WISKUNDE. HL Deèh V. Boek. gfig
niet te vinden; wy hebben ons de Nederduitfché uitgave niet kunnen verichaffen, om te weeten wat die twee deelen van zyn Werk inhielden. Een vaii die opfchriften fchynt te kennen te geeven , dat dié Wiskunftenaar de zwaarte der lucht kende. Ik geloof nogthans , dat veeiligt daar in over niets anders gehandeld wordt, als over de werking van die vloeiÜoffe op de Zeilen * de Molenwieken, enz.
De naam van Galileus is in de Mechanica niét mfn* der beroemd, dan in de Sterrekunde. Koe uitmuntend zelfs de ontdekkingen zyn, waar medé hy de laatfte verrykte, zouden zy hem echter geetl zo aanzienlyke plaats by de nakomelingfchap verzekeren, a!s die waar van wy hier te fpreeken hebben. Zekerlyk was 'er minder vernuft noodig ^ ooi eenen Telefcoop naar den hemel te wenden,"en aldaar de verfchynfelen te bemerken j waar van meö hem de ontdekking verfehuldigd is, als om de wetten der natuur te ontwarren in den val der zwaarë lighaamen, de foort van kromme, die zy,.fchuins vallende, befchryven, eindelyk de oplosfing vart Verfcheide andere Mechanifche vraagftukken 4 die hy piet veel fcherpzinnigheid behandelde. Ook merken wy aan^ dat de eere van zijne Sterrekundige bütdekkingen hem door verfcheide mededingers betwist is * waar over wy geen te nadeelig- oordeel meenen te vellen , als wy zeggen , dat zy ten aanzien der natuurlyke bekwaamheid ver beneden hem waren. Met zyne Mechanifche ontdekkingen is bet niet eveneens gelegen. . Hy zal, als eenige bezitter van het uitmuntendfte, dat in dezelve gevon-s den wordt, altoos als dengeenen aangezien worden 4 die dat zo belangwaardig deel onzer kundig, heden voprnaamlyk ontwikkeld heeft. . De.eerfte bezigheden van Galileus in dat opzicht betreffen de Statica en Hylroflatica. In zyne Verhandeling over de Mechanica, een Werk van \ £ * jaar



3?S
HISTORIE DER
jaar 1592, fchoon het veel laater in 't licht gegeeven is, brengt hy de Statica tot dit eenig en alge. meen grondbeginfel, waar uit alle de eigenfchappen der Werktuigen , als zo veele gevolgen, voortvloeien. Eene kracht, zegt hy, heeft altoos den zelfden tyd noodig, om een gegeeven gewicht tot eene zekere hoogte op te haaien, hoedanig zy het ook doet, het zy dat zy het in eens ophaalt, of, door het in deelen evenredig met de kracht te verdeden, in verfcheide tusfchenpoozen doet. In de daad, van welke famenvoeging van werkers wy ook gebruik maaken, kan de natuur, zo wy aldus mogen fpreeken , niets van haare rechten verliezen. Eene bepaalde kracht is flegts tot een bepaald gewrocht bekwaam, en dit gewrocht is dies te grooter, naar maate de masfa, die in eenen zekeren tyd door eene grootere ruimte gevoerd wordt, grooter is, of dat, de ruimte de zelfde zynde, zy in eenen minderen tyd kleiner is, Zal derhalven het gewrocht het zelfde blyven, zo moet dan de tvd wederkeerig evenredig met de masfa zyn. Dus beftaat al het voordeel der Werktuigen daar in , dat men door middel derzelven in eene eenige werking kan verrichten, hetgeen men door de bloote toepasfing der kracht niet als in verfcheide keeren zou hebben kunnen doen. Zo men het voordeel der Werktuigen op eene andere wyze befchouwt, beftaat het daar in, dat vermits wy meer meesters van den tyd, dan van de grootheid der te gebruiken magten zyn, zy ons in ftaat ftellen om in langer tyd en met minder krachten te doen, hetgeen grootere of meer vermeenigvuldigde magten fpoediger ter uitvoer gebragt zouden hebben. Eindelyk hetgeen men in de befpaaring der magtwint, verliest men in den tyd, en wel naauwkeurig in dezelfde betrekking, waar uit men met Galileus moet befiuiten, dat de voordeeligfte Werktuigen altoos de eenvoudigfte zijn. Want hoe meer een Werktuig famengefteld is; hoe meer kracht 'er verloren gaat om de wryvinden te overwinnen, enz. De tiytlroflatica hadt Galileus insgelyks veele nieuwe



WISKÜNDE. ïlï. Deel. V. Boek. m
we waarheden te danken. ïn zyn Boek, DeÏÏe cofe the flanno fuli aegtta, onderzoekt hy de natuur der vloeiftoffen beter, dan één dergeenen, welke vóóf hem over dat onderwerp gefchreeven hadden, be« halven Stevin. Hij betoogt daar in ook de Hydrofta, tifche wonderfpreuk, Waar van wy boven gelproken hebben, als ook verfcheide andere foortgelyke by» zonderheden. Ma'ir wy zullen dit onderwerp, gelyk mede zyne Bilanceta of Balans, zonder de minfte bedecking overftappen, om zonder rekening de vermengingen der meiaalen te vinden, door dezelve, zo als men weet, in de lucht en in het water te weegen. Wy haasten ons om tot zyne ontdekkingen te komen, welke de beweeging betreffen.
Men heeft in het laatfte Boek van het voorgaande Deel gezien, hoe weinig licht men hadt tot op het einde der zestiende eeuwe over de eigenfehappen der beweeging. Dit deel der Natuurkunde hadt eene geheele verbetering noodig: Galileus maakte roet hetzelve een aanvang, en wel in dien ouderdom, i hetgeen hem dies te meer tot eere ftrekt, waar in ï fchrandere geesten weinig anders als door de oogen i van hunne meefters zien. In den tyd toen hy te Pi| fa in de Wysbegeerte ftudeerde, was hy reeds zo
Iweinig voldaan over de toen aangenomen Leere , dat hy altoos ftellingen , ftrydig met die van zyne meefters, beweerde ; en hy was niet zo dra tot Hoogleerajr aan die Univerfiteit benaemd, of hy verklaar» de zich openlyk tegen byna alle de leerftukken van hunne Leere. In de eerfte plaats viel hy dat gewaand Axioma van de wandelende Wysgeeren over den val der zwaare lighaamen aan, naamlyk dat de fnelheden in de zelfde rtden als de zw aartens waren. Door lighaamen van eene ten uiterften ongelyke Zwaarte van het dak eener Kerk te laaren vallen, i loonde hy aan, dat in den tyd hunner nederdaalin* i gen byna geen verfchil was , wanneer de ftoffen i van d<e lighaamen in dichtheid weinig van elkander i verfchilden. By die proefneeming was een groote ! famenloop van Volk, die alle de oude HoogleerCc a Saren



38o HISTORIE DER
aaren fcgen Galileus deedt opftaan, zo dat hy, om hunne flegte kunstgreepen te ontgaan, genoodzaakt was Pifa te verlaaten, en zich naar Padua te begeeven , waar men hem een Hoogleeraarsanipt aanboodt. In laster tyd ilaafde hy deeze waarheid door veele andere proefneemingen (m), onder anderen door die van twee flingers van gelyke leng!e, en welke , fchoon aan dezelve gewichten hangende, waar van het eene zwaarder dan het andere is, niet ralaaten hunne fchommelingen ten naaste by in den zelfden tyd te doen.
Zonder twyffj- zullen hier veele Leezers 2yn, die hetgeen wy zo even gezegd hebben als éénder OBgelooflykfte worjderfpreuken zullen aanzien. Het zal hun ten uiterfttn klaarblyklyk fchyaen, dat een lighaam, tienmaal zo zwaar als een ander, tienmaal zo veel fnelheid moet verkrygen. Het zou zekerlyk waar zyn, dat een tienmaal zwaarder lighaam eere tienmaal grootere fnelheid zou hebben, zo het met die tienmaal grootere zwaarte niet tienmaal meer masfa hadt. Maar vermits de zwaarte evenredig is tot de masfa , is het flegts eene tienmaal grootere kracht, welke hefteed wordt, om eene masfa in de zelfde betrekking te beweegen. De fnelheid moet derhalven de zelfde zyn; de dwaaling van Arifloteles en zyne aanhangers komt daar uic voort, dat zy op die omftandigheid geen acht floegen.
Nog is 'er eene andere eenvoudiger wyze, om te bewyzen hetgeen dus verre gezegd is, naamlyk door eece redeneering, die ik eertyds deedt, en welke ik naderhand by Galileus gevonden heb. Men laate san de eene zyde een Once Looi vallen, aan de andere zyde tien afzonderlyke Looden, en eenvoudig op elkander gelegd. Zonder tegenfpraak zullen de fnelheden aan beide zyden gelyk zyn. Maar deeze tien Oneen Lood flegts elkaneer raakende, of
eene
(«0 Dijc. £?' dem.intornaduo novefcienze, &c. Dial. 5.



WISKUNDE. Hf. Deel. V. Boek. 581
eene zelfde masfa uitmaakende, kunnen niet met on. derfclieidene fnelheden vallen. Want men kan niet zeggen, dat de aankleeving van die tien Oneen, ten opzichte van eikander, in eecigerlei wyze iets moet toebrengen, om dezelve te verfnellen, vermits zy Uit haare natuur alle met de zelfde fnelheid voortgaan, en dat dienvolgens de hovende niet op de ondtrde drukken , noeh door dezelve medegefle^pt worden. Dus te willen zeggen, dat tien ponden Lood fneller dan één pond vallen, is even het zelfde als of men wilde zeggen, dat tien mannen, die het zelfde vermogen hebben om te loopen , rasfer gaan sis zy te (amen loopen, dan één van hun.aileen zou doen. Voorts, wanneer men zegt, dat alle lig- • haamen met eene gelyke fnelheid vallen, moet zulks zodanig verftaan worden, dat zy het zonder den tegenftand van de middenftoffe, waar in zy zich beweegen, zouden doen. Want het is klaarblyklyk, dat de lucht de ligte lighaamen veel meer fnelheid beneemt, dan de zwaare lighaamen, om dat de verplaatfte masfa luchts eene grootere overéénkomst heeft met het ligt, dan met die van het zwaarder lighaam. Maar in het ledige zouden alle lighaamen, die in zwaarte het meest verfchilien, als een fluk gouds en een veêr, in den zelfden tyd nedervallen; en zulks wordt door de Proefoeeming met de Luchtpomp bevestigd.
Ik ben eenigzins breedvoerig geweest over de redenen van deeze mechanifche wonderfpreuk, om dac ik verftandige lieden gezieu heb, welke zich van de waarheid derzelve bezwaariyk konden overtuigen. Ik hervat den draad der ontdekkingen van Galileus , door zyne Theorie over de verfnelüng der zwaare lig. haamen te leeren kennen.
Niemand is 'er die niet waargenomen heeft, dat een vallend lighaam dies te meer fnelheid verkrygt, naar maate het van 't begin zyns vals verder af! wykt. Een zo natuurlyk gewrocht, en dat wy zo dikwyls voor oogen hebben, was de overweegingen der Wysgeeren wel waardig. Ook waren 'er reeds Cc 3 ver-



WISKUNDE. III. Deel. V. Boeh 383
len. Hy begint met deeze wet van verfnelling te onderftellen; hy ("poort daar van de eigenfchappen na, en toont door de ondervinding, dat zy met den val der zwaare lighaamen overëenftemmen, waar uit hy befluic, dat deeze wet die der natuur is. De handelwyze , die wy gevolgd hebben, gaat rechtftreeks tot de zaak; die van Galileus is beter gefchikt orn te
j overtuigen, en de hairkloveryen en zwaarigheden
; te verftrooijen.
Galikus, dit denkbeeld der verfnelde beweeging dus tot eenen grondflag leggende, doet zien,dat het lig-
1 haam op het einde van eenigen tyd, welke die ook zy, van het begin van den val te rekenen, door zy-
1 11e verfnelde beweeging de helft der ruimte doorgeloopen zal hebben, die het, wanneer het zich geduurende den gantfchen tyd met de op het einde verkreegene fnelheid bewogen hadt , zou hebben doorge-
: loopen. Hy verbeeldt den tyd, federt her begin van
j den val verloopen, door de Abfcisfen eens Drie. hoeks, als AB, Kb, enz. (Fig. 77.), en de fnel-
I heden , op het einde van die tyden verkreegen, door
| de Ordinaten van dien Driehoek , welke tot dezelven evenredig zyn, waar uit hy befluit, dat de reden of
j betrekking der doorgeloopene ruimtens uitgedrukt wordt door die der Driehoekige Inhouden , als
,| ABC, Abc, enz., welke met de Abfcisfen, die de tyden aanwyzen, overeenkomen. Nu groeijen dee-
1 ze Inhouden aan als de vierkanten d^r overëenkomftige Ab: de ruimtens, zegt Galileus, groeijen derhalven aan als de vierkanten der tyden, van het be-
ij gin des vals afgerekend. In tyden, als 1. 2. 3. 4.
j 5, zullen de ruimtens als 1, 4. 9. 16. 25 zyn. Wanneer dienvolgens de doorgeloopen weg in het eerfte
t tydftip 1 is, dan zal dezelve in het tweede 3, in het derde 5, in het vierde 7, in het vyfde 9, enz. zyn, dat is te zeggen, dat als men den tyd des vals in gelyke tusfchenwydtens verdeelt, de ruimtens, welke daar mede overëenftemmen, als de onövene getallen , met de eenheid beginnende, zullen zyn.
C c 4 'Er



g84 HISTORIE DER
'Er bleef nog overig te bewyzen, dat deeze eigenlcnappen die van den val der zwaare lighaamen zyn. 1 ot dat einde toont Galileus door eene vernuftige proeve, dat een lighaam, 't welk langs een hellend vlak, of eenige kromme, rolt, de zelfde graaden van fnelheid verkreegen heeft, als het de zelfde hoogtens in de loodlyn doorgeloopen heeft: waar uit gemaklyk te befluiten is, dat de zelfde betrekking plaats heeft zo tusfchen de ruimtens, langs hellende vlakken, in ongelyke tyden, doorgeloopen als in de loodrechte nederdaalingen. Galikus (laafde nog deeze waarheid door de betrekking der krachten, met welken het zelfde gewicht in de loodlyn . en langs het heliend vlak weegt. Hy nam derhalven een lang (tuk houts, en maakte daar in eene zeer gladde en effene groeve. Hy plaattte het vervolgens jn eemaklyke hellingen, ten einde het bewogen lig hai:m, in die groeve rollende, niet te fnel mogt loopen , en hy den tyd benevens de doorseloopere ruimte koude meeten: by bemerkte fteeds, dat het Jighaam, in eenen dubbelden tyd, eene viervoudige ruimte hadt doorgeloopen; dat die ruimte in eenen drievouuigen tyd negenmaal zo groot was, enz. * waar uit hy belloot, dat de val der zwaare lighaamen in de loodlyn de zelfde wet volgt.
Dit grondbeginfel eens vastgefteld zynde, leidt Gahkus eene meenigte nuttige en weetenswaardiae waarheden daar uit af. hy doet zien, dat zo men Uiteemg punt der verticale of loodrechte lyn op het hellend vlak een Perpendiculair, als BD ■ ƒ>>. 78.) trekt, het lighaam loodrecht vallende, of lan's het bellend vlak rollende, in den zelfden tyd in de punten B of D zal komen; dat in eenen cirkel welks middellyn AB loodrecht (iaat, een lighaam 6&chord<z of peezen AB, AE, of FB, GB, in den zelfden tyd zou doorloopen; dat een lighaam, 't welk langs verfcheide ongelyk hellende lynen, of langs eenige kromme, rolt, altoos ten einde van deszelfs V3I de «JWe fnelheid heeft, vyelke het van de zelfde lood-.
ïech^t



WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 383
rechte hoogte verkreegen zru hebben (»); dat een. lighaam fpoedigcr langs het Quadrant eens Cirkels, dan langs de pees, of twee poezen, welke die ook zyn, fchoon korter dan de boog zynde, zou rollen. Echter befloot by daar uit ten onrechte , dat van al. Ie de krommen her Qiwdrant die lyn was, welke het beweegend lighaam van haaren top in den konden tyd naar beneden zou brengen,. Hedendaags weet men , dat deeze kromme een boog van de Cyclois is. Galikus ftelde zich eindelyk eenige zonderlinge vraagftukken voor , by voorbeeld dit , welke zou de helling van een vlak moeten zyn, langs welk een jighaam uit een gegeeven punt tot eene rechte, in
ftel-
(«) Deeze waarheid is zeer gemaklyk te betoogen, onderftellende, zo als Galileus doet, dat het lignaam van een hellend vlak tot een ander, dat minder helling heeft, overgaande, geen fchok ondergaat, die deszelfs verkree* gene Helheid vermindert. De Heer Varignon heeft deeze onderftelling onderzocht , (Mem. de l'Acad. ann. 1704) en heeft bevonden dat dezelve niet doorgaat, ten zy de hoek, welke de achtervolgende vlakken onderling maaken, oneindig ftomp zy. In dit laatlte geval is het verlies van fnelheid, b'y elke verandering van Vlak, flegts een oneindig klein deeltje der verkreegene fnelheid. Maar in eene Kromtne is een oneindig getal veranderingen van richtftreek: men zou derhalven kunnen zeggen, dat 'er een on-r eindig getal oneindig kleine deeltjes der fnelheid is , welke verloren gaan, hetgeen het voordel- van Galileus otn vet ftooten zoude. Min antwoordt hieiöp, "'at dit oneindig klein flegts van den tweeden rang is. Dus heeft in eene Kromme, by iedere verandering van oneindig klein vlak>, flegts een verlies van fne'heid plaats, dat een oteindig klein van den tweeden rang if; het bewogen lighaam kan derhalven een oneindig getsl dergelyke verliezen ondergaan , zonder meer dan een oneindig klein deeltje verloren te hebben van de fnelheid, die het gehad zou hebben , warneer het langs een enkeld vlak gerold hadt. De Heer d' Alembert heeft in zyne Verhandeling over de beweegende krachten (Dynamique") een ander zeer fraai bewys van die zelfde waarheid gegeeven.
Cc 5



386 HISTORIE DER
Helling gegeevene, lyn zou rollen, orn in den mogelyk kortften tyd tot dezelve te komen va„ wel ke hoogte zou een lighaam moeten vallen, opdat wanneer het van daar horizontaal langs èenelvn
rn,!-hD-ir001theid1 gegeeVen is> de verkreeeSe fneiheid rolt de tyd van den val, en diwelke het zou befteeden om die lyn door te loopen! tl zlTvi tyd "'"^^en, enz P Deeze
Thl^tl^9 Waa^° de joDge Analisten, welke ^^^n™****™'** begree^ ^bben > hrid°L^T omdekki°gen , welke tot de beroemdS.J68 :?aHams vai\ G^ het meest heeft toegeoragt, is die van de natuur der kromme, welke
Hv £nLtV0°rtgeW?rpen ]ig,iaamen befchryven. Hy bevondt, zo als een ieder weet, door de fchumle beweeging, het gewrocht van den indruk
rechten' vST med,ef d'eld> met deszeffsloodrechten val te vergelyken , dat die kromme e-n Parabool is: Het bewys is by de WerktSundi gen te zeer bekend, om daar by /lil teAftaan dus wv. .»» kort te zyn, het geheel overflaan Gahkus het het daar by niet blyven: by onderKïr' Hf Z^t 0»*.ndigbed.y„ van dïe bewe g.ng. Hy deedt, by voorbeeld, zien, dat de hoog. te van welke een vallend lighaam de noodige ftelherd zou verkrygen, om, door horizontaalm*dïe inelheid z.ch beginnende te beweegen, een eLeevenen Paraboe AC (Fig. 79.) te befchryven derde evenredige is tot de hoogte van den\ Parabool AB, en de halve-uitgeftrektheid BC, dat is fe zeggen, gelyk aan het vierde-deel des Parameter lm dien Parabool- vervolgens toonde hy aan, dat de beweegmgen der voortgeworpene lighaamen, onder glLkelf Tn 45° verfchillende hoeken door de
bezuS"darT6^' gel,yke ™*ft«feoedÏÏ hebben, zulks dat de worp, die den mogelyk verften afftand bereikt, dien rs welke onder den hoek van £ gefchiedt , eene waarheid welke ïeeds door Tartalea, en hun die de Artillery oeffenden, was op.
ge.



WISKUNDE. III. Des!, V. Boei. $8?
gemerkt, doch waar van zy geen bondige reden kon. den voordragen. Men heeft in 't vervolg getoond, dat de horizontale uitgeftrektheid des worps evenredig is tot den rechten Sinus, en de hoogte tot de Sinus verfus des dubbelden hoeks, welken de worp met den Horizon maakt. Galileus maakte eindelyk Tafelen, waar in gevonden worden de opzichtelyke verheden welke met eiken hoek overëenftemmen, en de hoogtens tot welken het voortgeworpen lighaam komt , in de onderftelling dat de kracht de zelfde zy: wanneer men dus door proefneeming onderzoekt, op welken afftand eene gegeevene lading eenen kogel van eene gegeevene zwaarte , onder eenen zekeren hoek, voortdryft, dan heeft|men aan* ftonds, door eene eenvoudige evenredigheid , de overëenkomltige verheden onder andere hoeken van helling. Nademaal Galileus niet verdergegaan was, als om de horizontale uitgeftrektheid der worpen te bepaalen, ging naderhand Torricelli nog verder, en hy bepaalde die uitgeftrektheid, wanneer men dezelve op tot den Horizon hellende lynen neemr. Hy vondt ook over dat onderwerp een ongemeen fraai Voordel, dat wy zullen mededeelen, als wy van dien beroemden Leerling van Galileus fpreeken. Sommige Geleerden hebben na dien tyd deeze Theorie nog verder uitgebreid, en breedvoeriger verklaard. Wy maaken deezen in de volgende noot bekend (o).
'Er is nog een derde tak van de Theorie der verfnelde beweegingeu, die niet minder gewichtig dan
de
(o) Zie het Boek van den Heer Blondel, tot tytel voerende: CArt de jetter les Bombes. (1683. in-4°.> De lVfemorien van de Academie van de jaaren 1700 en 1707, in de laatfte van welken men eere zeer fierlyke Analytifche Memorie over die ftoffe vindt, famergefteH door den Heer Guisnée- Men moet eindelyk nazien le Bombardier Frargois, door den Heer Betidor, wiens werken in alle de takken , welke den Ingenieur uitmaken, zo bekend zyn, eu met zo veel recht gewaardeerd worden.



S88 HISTORIE DER
de voorgaande is: het is die van de beweeging der Slin. gers, welke ons hedendaags zo gelukkig van dienst zyn, om den tyd met naauwkeurigheid te meeten. Wy hebben het eerfte denkbeeld daar van insgelyks aan Galikus te danken (/>). Van zyne tederfte jeugd af aan met den geest van waarneeming begaafd,hadt hy van toen af hunne gelyke beweeging Qftdhrtnismus) waargenomen , dat is te zeggen, dat de zeltde flinger zyne groote en kleine lchommelingen in den zelfden tyd volbragt. Hy hadt ook re^ds aangemerkt, dat twee ongelyke flingers, in beweeging 'gebragt zynde, in eenen zelfden tyd getallen van fchommeiingen volbragten , welke wederkeerig als de vierkantswortels uit hunne le.-gtens zyn, en-deeze waarheid toepasfelyfe gemaakt, om de hoogte der gewelven van Kerken te meeten, door het getal der flingeringen van de daar aan opgehangene Lampen tc verge. lyken.met die, welke een flinger van eene bekende lengte in den zelfden tyd volbragt. De reden van dit gewrocht wordt uit de voorgaande Theorie over de verfnelling der lighaamen gemaklyk afgeleid : want twee ongelyke llmgers, welke gelykvormige en zeer kleine boogen befchryven, zyn-in het geval van twee gewichten, welke langs twee ongèlyke, doch gelykeiyk hellende, vlakken zouden rollen. JNju heeft men hier boven gezien, dat de tyden, die zy, om langs dezelven te loopen, zouden befteeden, als de Vierkants - Wortelen uit-de hoogtens zouden zyn; de tyd, welken die flingers zullen befteeden om eene halve-fchommeling te doen, of tot de loodlyn te vallen, zullen derhalven als de vierkants-wortelen uit de hoogtens van die boogen zyn, of, om dat deeze laatften geiykvormig zyn, als*de vierkants-wortelen uit de ftraalen of lengtens der flingers. Maar het getal der fchommelingen, in een zelfden tyd, is in wederkeenge reden der duuring
van
' Cp) Ibid, DiaU 1°, Zie Vita di Galilet, del Signor yiviani.



WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 380
van elk derzelven. Om die reden zullen de gstallen van fchommelingen, welke twee flirgers'in den zelfden tyd volbrengen, als de vierkants-wortelen uit hunne lengtens,of de vierkanten van die getallen als de lengtens zeiven zyn.
Men heeft eindelyk aan Galikus te danken, dat hy de eerfte grónden van eene nieuwe Theorie gelegd heeft, naamlyk die van den tegenfiand der vaste lighaamen Qf). Wy zullen eerst den ftaat van het vraagltuk voordragen; vervolgens eenige aanmerkingen over deszelfs nuttigheid maaken, en voorts Galikus volgen in eenige der vernuftige gevolgen, welke hy uit zyne oplosfing afleidt. Laaten wy ons een houten Prisma, in eet» muur vastgemaakt, verbeelden, en dat eene kracht, op deszelfs uiiöinde drukkende, dien tracht te breeken, welke zal dan dó overéénkomst der kracht zyn, die daar toe het vermogen zou hebben , met die welke zulks zou kunneri doen, door haar horizontaal te trekken, als het ge\ wicht R (Ëïg4 8o), welke, over de katrol S gaande, t dezelve rechtftreeks poogt uit te rukken? Zodanig I is het Voorftel: Zie hier de redeneering, welke Ga1 bléus deedt om het op te loSfen. Terwyl de voorgemelde Prisma in de richtftreek van haaren As getrokken wordt, biedt elk van haare vezeltjes eenen gelykeil tegenftand- Maar wanneer een gewicht de : neiging heeft om dezelve fchuins te breeken , worde de lyn ha een fieunfel, en ieder vezeltje getrokken én wederftaan door den arm eens hefbooms, die zo veel te korter zal zyn, als hy nader by dat fteunfel is. De tegenftand welke ieder tegen de breekiug doet, is dienvolgens als de afftand van dat fteunfel; j waar uit volgt, dat haar fom ftaat tot hetgeen dezelve zou zyn, wanneer zy alle gelyk aan de groo:fte waren, als de afftand tusfchen het zwaarheids-middelpunt der Figuur ACa en het fteunfel Aa ftaat tot den as van die Figuur. Indien dus het lighaam een 1 rechthoekige balk is, dan ftaat de fchuine tot den
rech-
(S) Difc. £ƒ dim. Math. &c. Dial. 2'



39ö
HISTORIE DER
rechten tegenftand, als i tot 2. Het is desgèlyk* gelegen met eenen Qylinder, om dat het zwaarheidsmiddelpunt van zyn grondvlak in het middelpunt of in 't midden der hoogte is. Men heeft hier een lig. haam onderfteld, dat door eenen gelyken arm des hefbooms AP, gelyk aan de hoogte AG, fchuins trekt, en het is dit gewicht, dat wy, om eenen langen omtrek van woorden te vermyden, voor de maat van den fchuinfen tegenftand genomen hebben. Zo echter de kracht, aan het lighaam gevoegd om het te breeken, verder af was, zouden de wetten der Mechanica leeren, dat men die in de zelfde reden behoorde ie verminderen,
Galileus trekt uit zyne Theorie eenige gevolgen, welke wy niet behooren voorby te gaan. Het eerfte is , dat gelykvormige lighaamen geen evenredige Jkrach:en tot hunne masfen hebben, om hunne breeking te wederftaan: Want de masfen groeijen als de cuben der overèenkomftige zyden aan; de tegeoftanden, cateris paribus, doen zulks niet als naar reden der vierkanten van die zyden: Waar uit volgt, dat 'er een eindpaal van grootheid is, buiten welken een lighaam gebroken zou worden by den minften fchok, die deszelfs eigen gewicht werdt toegevoegd, terwyl een ander kleiner en gelykvormig lighaam de zyne, en zelfs eene vreemde kracht, zal wederftaan. Daar uit komt het, zegt Galileus, dat een Werktuig 't welk zyne werking in 't klein doet, onvoldoende is wanneer het in 't groot vervaardigd wordt, en onder zyne eigene masfa dreigt in te Horten, De natuur, voegt hy 'er nog by, kan geen onmaatig groote boomen of dieren maaken, zonder aan een dergelyk toeval blootgefteld te worden, en daarom leeven de grootfte dieren in eene vloeiftoffe, welke hen een gedeelte van hunne zwaarte beneemt. Wy zouden hier by nog kunnen aanmerken, dat dit ook de reden is, waarö n kleine bloedeloozi diertjes, ten aanzien van hunne grootte, zonder gevaar van breeking, van eene zo onmaatige hoogte kunnen val. len, terwyl groote dieren, als de mensen, dikwyls
ge-



392 HISTORIE DER
het vlak, 't welk door de fteunlyn gaat. Volgéns het ftelfel van Galileus ftaat de fchuinfe tegenftand eens rechthoekigentfalks tot zynen lynrechten tegenftand , als i tot a. Volgens dat van den Heer Mariotte, is hy flegts deszelfs derde - deel; hetgeen meer met de ondervinding overeenkomt. De Heer Vaiignon heeft, nier eene zeer v.-ldoende algemeenheid, over deeze ftoffe gehandeld in eene Memorie 4 wdke men onder diender Academe van het Jaar 170a leest. Ik gaa., om kort te zyn, een oneindig getal byzonderheden van deeze Theorie voorby, en verzende den Leezer naar de fchriften van verfcheide Wiskundigen , welke dezelve verhandeld hebben (r),
III.
Alhoewel de Theorie van Galikus over de vér* fnelling der zwaare lighaamen even zo wel beweezen ware, als eene Matuur- en Wiskundige waarheid betoogd kan worden, heeft zy echter verfcheide te. genkantingen moeten ondergaan. In 't eerst waren 'er Natuurkundigen die dezelve verwierpen, en eene andere daar voor in plaats fielden; hetgeen geduurende eenige jaaren twist verwekte, en tot verfcheide Schriften aanleiding gaf. Wy hebben noodig ge; Öordeeld, om, alvoorens verder te saan, hier van verfiag te doen. Wy zullen ook eenigermaate fpreekeu over de proeven, met welken de hedendaagfche Natuurkundigen de'waarheid deezer Theorie van Ga» Uleus ftaaven.
Het ftelfel van Baliani is het voornaamfte van die* geenen t welken men Galikus heeft tegengeworpen*
Ba*
. (r) Alex. Marchetti, de refist. folid. L. ft. Mém. dé VAcad. "óór de vernieuwing T. Vl. en ann. 1702, 1705, 1709. Mouv. des Eaux, Part. V, Dis. 2. De coherentia eorporum, Dif- auth. Petr. van Musfchenbroek, inteï Dif. varias. Deeze laatfte Disfertatie behelst voornaamlyk een groot getal proeven over den tegenftand der lig. haamen.



WISKUNDE, lij. Deel. V. È'osL
dat valfche ftelfel. Een zodanig was ohdej* ahdê* ren de V. Casrèe, wiens wederlegging men in dé Werken van Gasfendi (T. IV) leest. Na veelö ongegronde redeneeringen tegen het ftelfel van Galileus, redeneeringen welke eenen man verraaden* die van eene grondige Natuurkunde weinig weet, en nog minder kennis van de Wiskunde heeft * poogde hy dat van Baliani door de volgende proe» ve te ftaaven. Hy liet een bolletje ter hoogte van deszelfs middellyn op één der fchaalen van èene Weegfchaal vallen , van welke in de andere een gelyk gewicht lag , en befpeurde dat het dat gewicht opligte. Vervolgens nam hy dat gewicht twee, drie, viermaal zwaarder, en, laatende het, bolletje van eene twee-, drie en viervoudige hoog*' te vallen, bemerkte hy dat het gewicht daar door opgeligt werdt. Hy befloot daar uit, dat de krachten als de hoogtens waren, en dat die krachten als; de fnelheden zynde, deezen desgelyks als de hoogtens of de doorgeloopene ruimtens waren. Einde, lyk gaf hy voor, dat zo men de in eenen gegeeven nen tyd doorgeloopene ruimte in gelyke deelen verdeelde, en alsdan het eerfte in eenen zekeren tyd werdt doorgeloopen, het tweede in de helft* het derde in het dsrde-deel van dien tyd, enz. zou doorgeloopen worden.
Gasfendi verzuimde niet de zaak der waarheid té verdeedigen, en beantwoordde de Verhandeling Van den V. Castte. Hy deedt zien, dat zyne proeven niets tegen het ftelfel van Galikus beweezen. Irt de daad, hy hadt moeten toonen, niet alleen dat :en bolletje, van eene hoogte vallende, die tweey driemaal, enz. deszelfs middellyn was, het dubaeld, drievoud enz. van deszelfs zwaarte opligt» maar ook dat hetzelve klootje, hoe weinig minder" jok de hoogte ware, van welke het mogt vallen 3at gewicht niet zou hebben kunnen verheffen! Nu is het geenszins twyffelaehtig, dat hetzelve zulks insgelyks gedaan zou hebben , alleenlyk met lic verfehil, dat het gewicht door hetzelve niet zd Cd q hoog



3q5 historie de»
hoog opgeligt zou worden. Indien men eene Wiskundige Weegfchaal onderftelt, dan leeren ons de bekende Wétten der beweeging, dat 'er geen gewicht is, hoe klein het ook moge zyn, dat van de kleinfte hoogte op één der fchaalen vallende, het grootde gewicht, dat in de andere Zou zyn , niet zou opligten. Gasfendi toonde desgelyks verfcheide ongerymde en tegendrydige gevolgen, welken uit het ftelfel, waar van wy fpreeken, afgeleid kunnen worden, en aantoonen, dat die goede Vader, van de inlichtingen der Meetkunde ontbloot,, geen het minfte denkbeeld hadt van de wyze, op welke men de tyden, de fnelheden en de ruimtens moet vergelyken. Want die betrekking die hy tusfchen de tyden ftelt, welken het lighaam befteedt , om gelyke ruimtens, in de loodlyn genomen, door te loopen, is op eene belagchelyke wyze ongerymd, om dat, naar het getal der gelyke deelen, in welken men die ruimte verdeelt, bevonden wordt , dezelfde deelen in t'eenemaal verfchillende tyden doorgeloopen te zyn : ook is deeze betrekking der tyden geenszins die, welke uit den aanwas der fnelheid naar reden van de ruimte volgt. Men bevindt integendeel, dat, als men de doorgeloopene ruimte in geduurig evenre. dige deelen verdeelt, het eerfte van het begin des vals genomen zynde, die deelen in gelyke tyden doorgeloopen worden (vj. En daar uit is gemaklyk
00 Zie hier het bewys van 't geen wy hier voordragen. Laten wy onderfteHen, dat CB (Fig. 8 O de loodlyn zy, in welke de val van het lighaam volbragt wordt, en laat deeze loodlyn, of de gantfche doorgeloopene ruimte, in een oneindig getal gelyke deelen verdeeld worden , op zodanige wyze, dat men ieder deel, als met eene gelykmaatige beweeging doorgeloopen wordende, kunne befchouwen. Laat B b één van die deelen zyn : naardien, volgens de onderftelling, de fnelheid in B als de doorgeloopene ruimte CB is, en dat de tyden, in welken gelyke ruimtens doorgeloopen worden, wederkeerig als de foei.
he-



|98 HISTORIE der
de andere fchaal geplaatst te zyn, het flegts een oneindig klein of niets weegend gewicht zou kun» nen opheffen, dat is te zeggen, dat het zonder zwaarte zou zyn , eene nieuwe ongerymdheid , die de. yalschheid van het grondbeginfel op eene klaarblykJyke wyze aantoont.
Galikus vondt in den Heer de Vermat eenen anderen verdeediger, Deeze fchrandere Meetkundige bemerkte de bondigheid der redeneering, welke de Italiaanfche Wysgeer tegen het ftelfel der verfnelling, naar reden van de ruimte, gedaan hadt, en ziende dat dezelve betwist werdt, ging hy, ten einde 'er geene uitvlucht, om dezelve krachteloos te maaken, mogt overblyven, die redeneering nog verder uitbreiden, en ftaafde dezelve, door van de Léenvyze der oude Meetkundigen gebruik te maaken. Hy openbaarde zyn bewys aan Gasfendi .die zich van hetzelve bediende, om het valfche uelfel, waar van wy fpreeken, den laatften flag toe te brengen (w). * Terwyl Gasfendi over de wet van verfnelling, door. Galileus vcorgefteld, met den V. Casrée twistte, was de V. Riccioli in Italië werkzaam, om dezelve door proeven, welke met veel zorgvuldigheid fchynen gedaan te zyn, te ftaaven (V). Om den tyd te meeten, en met grooter naauwkeurigheid te verdeelen, maakten deeze Sterrekundige en de F. Grimaldi, zyn amptgenoot, gebruik van eenen flinger, welks, fchommelingen flegts her zesde-deel van eene fecunde duurden, Vervolgens deezen flinger in beweeging brengende, lieten zy klootjes van potaarde, weegende agt Oneen, van verfcheide hoogtens, die zy gemeeten hadden, vallen, en bevonden verfcheide maaien achtereen, dat die lighaamen, in tyden door 5* 10, 15, 20, 25 fchommelingen uitgedrukt, hoogtens doorliepen , welke opzichtelyk van 10, 40, 90, 160, 250 voeten waren, en dat, in de
tUS-,
(«0 Zie Op. Ferm. p, 201. Op. Gaf, T. VI. verf. fin,
i*l 4Jw>. Nqy* 4« 11, q. tg,



4oo HISTORIE der
Voeten, liet vallen, zy die ruimte in 5 of $\ fecunden zouden doorloopen, daar integendeel keifteentjes 7 of 8 fecunden zouden belteeden om zulks te doen, hetgeen overëenftemt met de proef» neemingen, door den Heer Desaguliers op de St. Paulus -Kerk te London gedaan.
Het is om de bovengezegde redenen niet mogelyk. zich door de tyden der loodrechte nederdaalingen van de waarheid des ftelfels van Galikus volkomen te verzekeren. Daarom hebben de Natuurkundigen, welke deeze waarheid door proefneefiung hebben willen ftaaven, naar het voorbeeld van uien beroemden man , tot andere bewyzen toevlucht genomen. Het zekerst en meest betoogend bewys js dat? 't welk uit de beweeging der fliDgers wordt afgeleid. Want uit bet ftelfel van Galileus, en uit dit iteifel alleen, volst onwederfpreeklyk, dat ongelyke en gelykvormige flingers in den zelfden tyd getallen van fchommelingen moeten doen, welke we* derkeerig als de vierkanten van hunne lengtens zyn; en zulks wordt met de uiterfte naauwkeurigheid waargenomen, mits dat de fchommelingen zeer klein zyn, zo als het bewys,. uit het grondbeginfel van Galileus afgeleid, verëischt. Ons is zyn ftelfel, met Uiïfiuiting van alle ander, het eenige dat met de waarheid overëenftemt. Men vindt in de Boeken over de proeföndervindeiyke Natuurkunde verfcheide andere middelen, om de waarheid van dat ftelfel duidelyk voor oogen te ftellen. Maar één der fcherpzinniglteis dat van den beroemden F.Sébaftien («), dat wy noodig oordeelen bekend te maaken: men verbeelde zich eene Parabolifche Conoïde : rondom welke eene /pitale goot loopt, die eenen ftandvastigen hoek maakt, by voorbeeld het vierde-deel van eenen rechten hoek, met het vlak van ieder der teelende Parabolen. Men betoogt, dat, zo het ftelfel Vün Galikus het waare is, ieder omkring des Spiraals
in
(a) Mijl* de VAead. awt. 160.9*



403 HISTORIE der
• as ?lnóet ,fnifrmaate de W'tw'oder van een nieuw deel der Waterloopkunde (Hydraulica), naamlyk, de meting der kopende wateren. j)e meenievnldiel oneemgheden, welke in Italië over den loop der Ri vieren ontftaan , en de noodzaakelykhcid , in welke rtien zich tn dat Land bevindt, om tegen haare na. deelen fteeds op zyne hoede te zyn , waren oorzaak , dat de Paus ürbanüs VllI, die hem te Rome be' roepen hadt, om aldaar de Wiskunde te ouderwv *e"' hem gelastte over die ftoffe na te denken. Ca/tellt arbeidde om de inzichten van zyne Heiligheid te voldoen, en hy maakte de vrucht zyner navorJchingen en overweegingen bekend in eene Verhan. deling, tot tytel voerende, della mifura dell' acaue correnti; een Werkje, dat ten aanzien van deszelfs grootte van weinig belang, doch uit hoofde der grondige en fcherpzinnige lèere, die het bevat, van groote waarde is. Wy zullen 'er iets meer van zeg. gen, als wy van de laatere Schryvers over de beweeging der wateren fpreeken.
De andere leerling van Galileus, wien de Werktuig, en Waterloopkunde bevorderingen verfchuldigd zyn, is de beroemde Torticelli (d). Hy leerde
de
dezelve ook in de Itsliaanfche Verzameling der Schryvers welke over de beweeging der wateren handelen. De daa van de geboorte en het overlyden diens fchranderen mans is ons onbekend.
00 Torricelli werdt in 'c Jaar 1618 te Faenza gebooren. Hy werdt in den ouderdom van ao jaaren naar Rome gezonden, om aldaar de Wiskunde te leeren; hetgeen hv onder Benediêtus Castelti deedt. Na den dood van Galileus tam de Groot-Hertog hem als één van zyne Wiskund.gen aan. Torricelli hadt met Roberval hevige gefthil en over de Cyclois: men kan in 't eerfte Boek van dit Deel de gefchiedems daar van vinden. Hy ftierf in 't laar 1647: hy het eene meenigte in 't ruw ontworpene Schtif ten na, welke het Jicht niet gezien hebben. Men vindc derzelver lytels in 't Journal van Venetië, T XXX alwaar men ook zyne ievensbefchryving leest. '



WISKUNDE. 111. Deel. V. Boek. 403
de Wiskunde te Romt onder Caftelli, toen de Schriften van Galileus over de beweeging hem in handen vielen. Van toen af aan maakte hy eene Verhandeling over het zelfde onderwerp, die aan Galileus gezonden werdt, en welke deezen zo veel achting voor den Schryver derzelve inboezemde, dat hy hem wenschte te kennen , en by zich te hebben. Maar Torricelli hadt flegts eenen zeer korten tyd het genot van dat voordeel, alzo Galileus drie maanden daar na overleedt. Hy vermeerderde naderhand d'.e Verhandeling, waarvan wy fpreeken, en na dat hy een Deel over de beweeging der Vloeiftoffen 'er hadt bygevoegd, gaf hy dezelve, nevens zyne andere Wiskundige Werken, in 't jaar 1644 in 't licht» Wy vinden daar in het eerfte denkbeeld van een kunftig en in de Werktuigkunde zeer nuttig grondbeginsel. Het is dit. Wanneer twee gewichten zvdanig te /amen verbonden zyn, dat, zy naar welgevallen geplaatst zynde, hun gemeen zwaarheids - middelpunt met ryst noch daalt, dan zyn zy in alle die ftanden in evenwicht. Het is met behulp van dit grondbeginfel dat Torricelli de betrekking der gewichten betoogt, welke langs hellende vlakken elkander opweegen; en fchoon hy het niet als in dit geval gebruikt, is het evenwel gemaklyk te zien , dat men het op alle andere gevallen der Weegkunde, die men bedenken kan, gelyk mede op eene meenigte andere Mechanifche navorfchingen, zou kunnen toepasfelyk maaiken. Torricelli gaat vervolgens over tot het onderzoek der verfnelde beweeging, gelyk mede tot dat der voortgeworpene lighaamen, en voegt by (le Theorie van Galileus eene meenigte merkwaardige waarheden. Wy zullen onder eene meenigte andere eene eenige van dezelve uitkiezen. Deeze is eene zonderlinge eigenfehap van 't fpoor aller lighaamew, welke uit een zelfde punt onder verfchillende hoeken , doch mét de zelfde kracht, voortgeworpen worden. Torricelli toont aan, dat alle de Parabolen, welke zy befchryven, in eene Kromme befloten ?yn, die zelve een Parabool is, en hen raakt. By
voor-



404 HISTORIE dï«
voorbeeld, laat A (Fig. 82,) het brandpunt eens Patabools zyn, waar van C de top is, dan zullen alle de lighaamen, welke uit het punt A , onder eenige helling welke die ook zy, met eene kracht voortgeworpen worden, welke vermogend is dezelven loodrecht tot de hoogte AC te verheffen, Parabolen befchryven , welke den eerften zullen raaken. Torricelli befluit zyne Verhandeling met de verbetering van den gewoonen Winkelhaak der Bombardiers; hy geeft daar voor een nieuwe , die zeer eenvoudig is, welks famenftelüng op het waare grondbeginfel flteunt, en welks gebruik zeer gemaklyk is.
Het tweede Boek der Verhandeling van Torricelli heeft tot onderwerp de bewecging der vloeiftoffen Hy neemt tot een grondflag van zyne gantfche Theo', rie, dat het water, 't welk uit eene opening, in een Var gemaakt, wegloopt, daaruit met eene fnelheid vloeit, gelyk aan die van een lighaam , dat ter hoogte van liet vlak des waters boven die opening gevallen zou zyn. Hy tracht dat grondbeginfel te Itaaven door verfcheide redenen, waar van de beste die der proef neeming is, welke aantoont, dat het water byna dat vlak bereikt, zo dat het te vermoeden is , dat het, zonder den tegenftand der lucht, hetzelve naauwkeurig zou bereiken. Wy zullen echter reeds ^ter deezer plaatfe aanmerken, dat zulks niet in t algemeen waar is, en dat de zo genaamde bewyzen, welke de gemeene Boeken over de Waterloopkunde (Hydraulica) daarvan geeven, ruet voldoende zyn. Sedert dat men over dit deel der Mechanica, volgens deszelfs waare grondbeginfelen, heeft gehandeld, heeft men bevonden, dat de hoogte, tot welke het water, verticaal door de opening van een Vat vloeijende, zou fpringen, niet gelyk is aan de hoogte van het waterpasfe vlak, als in het geval waar in deeze opening geene merkbaare overeenkomst heeft met de grootheid der oppervlakte van de vloeiftoffe, die in den zelfden tvd zakt. Wy zullen hier over breedvoeriger hande len, wanneer wy van de ontdekkingen der heden.
daag.



WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 405*
daagfche Hydrodynamica verflag doen. _ Wy gaan eene meenigte nuttige en weetenswaardige voorftellen, welken Torricelli uit zyn grondbeginfel afleidt, voorby, om tot de gedenkwaardige ontdekking van de zwaarte der lucht te komen.
V.
Alhoewel de ontdekking van de zwaarte der lucht van den tegenwoordigen tyd zy, waren nogthans de verfchynfelen, waartoe zy aanleiding geeft, reeds voorlang bekend. Men wist federt veiicheide eeuwen , dat als men de lucht, begreepen in eene buis, waar van bet einde in eene vloeiftoffe gedompeld is, ophaalt, deeze vloeiftoffe zich tot boven haar waterpas verhief, en de plaats der lucht innam. Naar deeze waarneeming hadt men de zuigpompen , en veele andere Waterwerktuigkundige vindingen , verzonnen, als de hevels, welke Heron in zyne Luchtkunde (Pneumatica) befchryft, en die foorten van gieters, ten tyde van Arifloteles onder den naam van Clepfydrte bekend (e), welke uitloopen of ftilftaan, naar dat men den ingang open laat , of met den vinger flopt. De reden, die men van dat verfchynfel gaf, was de volgende. Men gaf voor dat de natuur eene zekere afkeerigheid van het ledige heeft, en dat zy, liever dan hetzelve te dulden, verkoos een lighaam te doen opklimmen , of tegen de neiging van zyne zwaarte te onderfteunen. Galileus zelfs hadt, 'ondanks" zyne fcherpzinnigheid, niets dat meer voldoende was gevonden. Hy hadt flegts aan die afkeerigheid der natuur van het ledige paaien geftel*. Hebbende opgemerkt, dal de zuigpompen het water niet boven de hoogte van 10 vademen of 32 voeten ophaalden, hadt hy die kracht der natuur bepaald, om voor die, welke gelyk zou liaan met het gewicht van eene kolom waters, ter hoogte van 33 voeten boven den Ba fis der ledige ruimte, het ledige te
verCO Phyfic. IV, c. 6.



40Ö HISTORIE der
vermyden. In gevolge hadt hy geleerd om eene 1c» dige ruimte te maaken, door middel van eenen hol* len en omgekeerden Cylinder, van welken men den zuiger van genoegzaame gewichten voorziet, om hem van den grond los te maaken. Dit vermogen werdt de maat der kracht van het ledige genaamd, en hy maakte van hetzelve gebruik, om de tarnen, binding van de deelen der lighaamen te verklaaren (ƒ).
De zwaarte der lucht was nogthans aan Galikus niet onbekend. Hy geeft in zyne Samenfpraaken twee handelwyzen op , om dezelve te betoogen. De Hap van de eene ontdekking tot de andere was ge» maklyk te doen: maar de gefchiedenis der Weeten-' fchappen leert ons , dat wy ons niet behoeven te verwonderen, als wy uitneemende vernuften te kort zien fchieten in het doen van ontdekkingen, welke reeds onder hun bereik waren.
Torricelli hadt eindelyk het gelukkig denkbeeld van te vermoeden, dat dit tegenwicht, 't welk de vloeiftoffen boven haar waterpas houdt, wanneer niets op haare binnenfle oppervlakte drukt, de masfa luchts is, die op de buitenfte oppervlakte onderfteund wordt. Zie hier langs welke trappen hij daar toe geraakte. Toen in 't jaar 1643 deeze leerling van Galileus de proefneeming van het ledige, dat in de pompen boven de kolom waters gevonden wordt, wanneer dezelve meer dan 32 voeten verheven is, in 't klein ter uitvoer poogde te brengen, kwam hy op den inval om van eene vloeiftoffe zwaarder dan het water, als het kwikzilver, gebruik te maaken. Hy vermoedde, dat, welke ook de oorzaak ware die eene kolom van 32 voeten boven haar waterpas onderfteunde, deeze zelfde kracht eene kolom van eenige vloeiftoffe, welke die ook zy, die even Zo veel als de kolom waters op denzelfden Bafis zou drukken, zou onderfteunen; waar uit hy befloot, dat het kwikzilver, als zynde byna 14 maal zo zwaar als het water, niet als ter hoogte van 27 of
28 duf
I Cf) Dife. c? dim. Matth. &e. Dial. ie.



WISKUNDE. III. Deel. V. Eeek. 407
28 duimen ocderfteund zou worden. Hy ram derhalven een glazen buis van verfcheide voeten lengte, en aan één van haare einden hermeiich gefloten» Hy vulde dezelve met kwikzilver, vervolgens dezelve verticaal omkeerende, met de opening naar beneden , welke hy met den vinger gefloten hielde, dompelde hy de buis in een ander vac vol kwikzilver en liet dezelve uitloopen. De uitkomst bekrachtigde zyne gisfiug: het kwikzilver, getrouw aan de wetten der liydroftatica, daalde zo lang, tot dat de kolom, boven het waterpas van het vat verheven, omtrent 28 duimen hoog was.
'De proefneeming van Torricelli werdt in korten tyd beroemd; de V. Merfenne, die met de meeste Geleerden van Italië briefwisfeling hjeldt, werdt in 't jaar 1644 daarvan onderricht, en maakte dezelve bekend aan die van Frankryk, welke dezelve binnen kort herhaalden. De beroemde Heer Pa/cal, en de Heer Petit, weetgierig Natuurkundige van dien tyd, waren onder de eerflen, die deeze proefneeming deeden , en op verfchillende wyzen verandering daar in maakten. Zulks gaf aanleiding tot de fcherpzinnige Verhandeling, welke de Heer Pa/cal in den ouderdom van 23 jaaren in 't licht gaf, onder den tytel van expériences tiouvelles touchant le vuide (nieuwe proefneemingen over het ledige}, en welke hem van toen af aan in gantsch Europa zeer beroemd maakte.
Ondertusfchen nam Torricelli de oorzaak van dat verfchynfel in overweeging, en het gelukte hem eindelyk te raaden, dat de zwaarte der lucht, op de oppervlakte van het Vat drukkende, datgeen was, 't welk de vloei ftoffe, in de buis befloten , opwoog. Dit denkbeeld is zo overëenkomflig met de wetten der Hydroftatica, dat het genoeg is hetzelve vermoed te hebben , om 'er de waare oorzaak van het voorhanden zynde verfchynfel in te leeren kennen. Torricelli zou zonder twyffel nieuwe proefneemingen verzonnen hebben , om zyne ontdekking te ltaaven. Maar byna by den ingang zyner loopbaa-
ne



4o8 HISTORIE der
ne door den dood daar in gehinderd wordende, was hy genoodzaakt deeze zorgs aan anderen over te laaten.
Ia de daad, de Heer Pafcal, die, in de eerfte verhandeling waar van wy gefproken hebben, het grondbeginfel der afkeerigheid van het ledige gebruikt hadt, fchoon hy, naar zyn zeggen, reeds eenig vermoeden van de zwaarte der lucht hadt, viel in het denkbeeld van Torricelli, en bedacht verfcheide proeven om dezelve te ftaaven. De eene was om zich boven den bak van het kwikzilver éene ledige ruimte te verfchaffen. Men zag toen de kolom op de waterpasfe hoogte vallen; »aar vermits zulks hem nog niet krachtig genoeg fcheen te zyn, om de vooröordeelen der oude IVysbegeerte te bedwingen, liet hy door één van zyne^ Schoonbroeders (De Heer Perier, Raadsheer aan 't Hof der Onderftandgelden van Clermont,) de beruchte proefneeming van Puy-de-Dóme doen. Derzelver beroemdheid laat riet toe, dat ik over dat onderwerp in eene groote uitgebreidheid treede. Een ieder weet, dat de Correspondent van Pa/cal bevondt, dat de hoogte van het kwikzilver ter halver-zyde des bergs eenige Duimen minder dan aan den voet, en nog minder op den top was, zulks dat het klaarblyklyk was , dat het kwikzilver door de zwaarte van den Dampkring opgewogen werdt. De Heer Pa/cal vernam daar door tevens, dat hy te Parys het genoegen konde hebben van de daaling des kwikzilvers te zien, naar maate hy zich in den Dampkring verhief. Hy koos één der hoogde Torens van die Stad, naamlyk die van 5 -Jacgues de la boucherie, die o.ntrent 25 Toifes hoog is, en bevondt in de booste van het kwjlzüver een verfchil van meer dan twee Lynen. Wy meenen niet noodig te hebben hier in de byzonderheden der verklaaring van verfcheide verfchynfelen te treeden, welke een gevolg van de zwaarte der lucht zyn. Behalven dat zulks ons in eene te groote wydioopigheid zau voeren, zyn
de.



410
HISTORIE der
zelfde reden, fchoon.op eene min uitfluitende wyze, van het omhooghouden des waters in de pypen der pompen. Eindelyk wordt in eenen Brief (i), die kort op den voorgaanden volgt, van die gieters gefproken, welken men, door de bovenfte opening geflopt te houden, vol water houdt. „ Het wa„ ter, zegt hy, blyft niet in de Vaten uit vreeze „ voor het ledige, maar uit hoofde van de zwaarte „ der lucht, enz." Hec is bier mede de plaats om aan te merken, dat de Heer Defcartes, in één zyner Brieven (&), zich het denkbeeld der proefneeming van Puy-de-Ddme toeëigent. Na den Heer de Carcavt verzocht te hebben den uitllag van die proefneeming te onderzoeken, welke, zo als hy by ge. ruchte gehoord hadt, door den Heer Pafcctl was gedaan, zegt hy: „ Ik zou recht hebben zulks eerder „ van hem dan van u te verwachten, om dat ik „ diegeene ben, die hem vóór twee jaaren bericht „ daar van gegeeven, en verzekerd heb, dat ik, alhoewel ik dezelve niet gedaan hadt, geenszins „ aan den goeden uitflag twyflèlde; maar om dac „ hy een vriend van Robsrval is , die voorgeeft den mynen niet te zyn, heb ik reden te gelooven, dat hy de gemoedsneigingen van denzelven volgt." Wy kunnen over de rechtmaatigheid dier klagten van Defcartes, en over het recht, dat hy tot de bewuste proefneeming meent te hebben, geen zeer zeker oordeel vellen; maar hetgeen wy uit zyne Brieven alhier bygebragt hebben, zal voor zvue ge. maakte aanfpraak zeer gunltig kunnen fchynen.
VI.
Frankryk reeds de mededinger van Italië, in zo verre zulks betreft de eerfte Meetkundige ontdekkingen, welke den weg tot de nieuwe rekeningen het eerst hebben gebaand , fchynt zulks ook geweest
CO Ihid Lett. 94. 00 T. IH, Lett. 54.



WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 413
ij zwaarheids -middelpunt in de lighaamen , onderI ftellende de richt ft reek en der zwaare lighaamen I famenloopende te zyn, over hetgeen aan een lighaam, in eene tegenftandbiedende middenftoffe val1 lende , zou gebeuren , waaröver Defcartes eene 1 zeer welgepaste aanmerking maakte, Wy bepaaI len ons hier tot deeze aanwyzing, en gaan over I om verflag te doen van de poogingen welke die I Wysgeer aanwendde, om de weetenfchap der beI weeginge tot volkomenheid te brengen. Deeze poo| gingen waren, wel is waar, niet alle even gelukJ kig ; zelfs kunnen wy niet ontveinzen, dat die 1 man, welke aan de zyde van hetverltand zo ruim bedeeld was, in dwaaling viel op eene wyze, die ; ons wegens zyne beroemdheid verlegen maakr. Maar ons bellek vordert, dat wy zo wel zyne dwaalingen als zyne ontdekkingen bekend maaken.
Defcartes volgde Galileus na, door de Weegkunst tot een algemeen en eenig grondbeginfel te bepaalen. Men heeft van hem eene Verhandeling over de Mechanica in weinig bladzyden, een Werkje dat ; hy op aanzoek van den Heer van Zuylichem, Vader van den beroemden. Heer Huyghens, welke in die ftoffen behagen fchepte, in ,t licht gaf. Het grondbeginfel tot welk de Heer Defcartes die gantfche
IWeetenfchap bepaalt, is dat 'er even zo veel kracht, dat is te zeggen de zelfde hoeveelheid van vermogen» noodig is, om ee» gewicht tot eene zekere hoogte op te heffen, als om het dubbeld tot eene hoogte die de helft minder is te verheffen. Want, zegt hy, honderd ponden tot de hoogte van een voet, en op nieuw honderd ponden tot de zelfde hoogte te verheffen, is het zelfde, als tweehonderd ponden tot de hoogte van één voet, of honderd ponden tot die van twee voeten op re heffen : dus is het gewrocht het zelfde, en dienvolgens is ih betij de gevallen de zelfde hoeveelheid van werking noo1 dig. Wy zouden dit grondbeginfel nog nader kun-
Inen verklaaren, zo als wy ten opzichte van dat van Galileus gedaan hebben, dan de noodige kortheid en Ee 3 be-



414
HISTORIE der
belangwaatdiaer voorwerpen noopen ons die verkiaaring ftilzwyxende voorby te gaan.
Men is voormamlyk aan den Heer Defcartes verfchuldigd, dat hy de eigenfchsppen der beweeging duideiyker geleerd heeft, dan men tot nog toe gedaan hadt. Ik zeg alleenlyk duideiyker; waDt men kan den beroemden Italiaanfchen Wysgeer niet betwisten, dat hy dezelve gekend, en in verfcheide Schriften, zo in zyn Systema Cosmicum, als in zyne Samerfpraaken over de beweeging , gebruikt heeft. Wy geiooven nogthans niet, dat Defcartes dezelve van hem ontleend heeft, nademaal het Systema van onzen Wysgeer reeds grootendeels vastgefteld was. vóór dat de Schriften van Galileus het licht gezien haiiden.
Defcartes neemt tot een grondbeginfel van zyne geheele Mechanifche Natuurkunde aan, i°. dat de beweeging in een lighaam met de zelfde fnelheid en de zelfde richtftreek biyft ftand houden, zo lang g>en beletfel dezelve vernietigt, of die fnelheid en die richtftreek vetandert, 2°. Dat alle beweeging liit haare natuur niet als in eene rechte lyn gefchiedt ; zulks dat 3°. een iighaam zich niet in eene kiomme ,lyn beweegt, als om dat deszelfs richtftreek geduurtg veründerd wordt door eenig beletfel, zonder't welk hetzéive langs de raakiyn wyken zoude naar het punt, alwaar dat beletfel zyne werking ftaakte.
Om deeze regelen te bewyzen, maakt men doorgaans gebruik van bet denkbeeld der beweeging, dte men.als eenen toeftand van het lighaam befchouwt; waar uit men befluit, dat, vermits ieder ding iri zynen toeftand blyft, zo lang geene uitwendige oorzaak het daar uit trekt, een lighaam, dat in beweeging is , in die beweeging moet volharden, tot dat het eenig beletfel ontmoet. Het is met de richtftreek en de fnelheid evenë-ns gelegen: dezelve moeten, Zegt men, om eene gelyke reden de zelfde blyven; want die fnelheid en die richtftreek zyn ten aanzien der beweeging, hetgeen eene grootere of kleinere kromte, of eene kromte
in



WISKUNDE. III. Deel. V. Boet, 4*5
in eene zekere richting, tot den ftaat van kromheid is. Dienvolgens zyn het wyzen van beweeging, welke ftand moeten houden, zo lang geene oorzaak haar verandert. Zodanig zyn ten naaste by de, redeneeringen van Defcartes, om die regelen te bewyzen. Maar wy zullen met den Heer d'Alemben aanmerken ff»), dat zo men geen andere dan diergelyke redenen badt, dezelve weinig gefchikt zouden zyn om eene volkomene overtuiging te bewerken. De natuur der bcweeging, wy kunnen het niet ontveinzen , is alsnog voor ons een raadfel; dus kan ieder bewys, dat op dien grondflag tteunt, niet anders dan zwak zyn. Wy hebben van dezelve geen beter bewys dan dat der ondervinding, die op honderd onderfcheidene wyzen ten voordeele van die wetten getuigt. Ieder lighaam, vry Van eenig beletfel,' neemt flegts eene rechtlynige beweeging aan, en zo lang het geenen merkbaaren tegenftand ontmoet, biyft het met de zelfde fnelheid zich beweegen. Een Slinger van eene zekere zwaarte, welks beweeging zeer vry is, doet fchommelingen geduurende vier en twintig uuren, en het is gemaklyk hier de oorzaak de* ftaaking van zyne bcweeging aan te wyzen, naamlyk de tegenftand derluchc, die hy te doorklieven heeft: want is deeze tegenftand grooter, gelyk die van het water, dan is de beweeging veeleer gefmoord; is zy kleirider, even als wanneer de beweeging in de Luchtpomp gefchiedt; dan houdt de beweeging langer aan , dan zy anders gedaan zou hebben. Eindeiyk ieder lighaam , dat eene Kromme befchryft, doet zalks niet als door middel van een beletfel, tegen 't welk het eene kracht oeffent, die men niet miskennen kan. Houdt dit beletfel op , dan beweegt zich het lighaam langs de raaklyn: dit wordt in alle kromlynige beweegingen ondervonden. Dus is geene Natuurkundige waarheid beter beweezen, dan die der wetten welke boven voorgedragen zyn.
Wy
(»») Traité de Dynamique. Voorreden.
Ee 4



416 HISTORIE der
Wy vver.schten gaerne voor de eere van Defcartes, in welke wy, als landgenoot, belang moeten «ellen, het zeilde te kunnen zeggen van de regelen, die hy voor de mededeeling der beweeging waande vast te ftellen. Maar hier in werdt hy, door zyn te groot vertrouwen in zekere bovennatuurlyke denkbeelden, en een fleg* beftierd Systhematisch yerltand, in eene meenigte te weinig verichoonlyke dwaalmgen gevoerd. Wy vinden in die regelen waarlyk allerhande gebreken, gewaagde grondftellingen, tegenflrydigheden, gebrek van overëenftemming en verband ,• het is, om het met één woord te zeggen, een famenweeffel van dwaalingen, die, zonder de beroemdheid van haaren Auteur , niet verdienen zouden onderzocht te worden.
Defcartes vestigde zyne wetten van de botfing der hgnaameu op twee grondftellingen, waar van het eene genoegzaam, het andere te weinig verleidend as, om ons niet verwonderd te doen zyn, dat hy door het laatfte heeft kunnen bedrogen worden. De eerfte van die grondftellingen is, dat in de botling der lighaamen altoos de zelfde hoeveelheid van beweeging overblyft. Defcartes grondt zyn voorgeeven op de goddelyke onveranderlykheid. God, zegt hy, de waereld gefchapen hebbende met eene zekere hoeveelheid van beweeging, die hy als de veêrkracht van alle de werkingen der natuur heeft vastgefteld, fchynt zyne onveranderlykheid daar in gelegen te zyn, dat hy de zelfde hoeveelheid daar van behoudt. Zou het ten anderen zonder dat niet te vreezen zyn, dat de waereld in eene ioort van logheid viel, die voor alle wezens rampzalig ware? De tweede grondftelling, door De/car. tes gebruikt, is dat het lighaam eene kracht heeft, om in den ftaat waar in het is, het zy van beweeging, het zy van rust, te volharden. Men behoort nog aan te merken, dat, volgens dien Wysgeer eene beweeging in eene tegengeftelde richtftreek geenszins eenen tegenövergefteiien ftaat is: zodat de eenige reden van deszelfs beweeging niet te kunnen



WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 417
nen voortzetten, eene andere is om ?n eene tegengeftelde richting met de zelfde fnelheid te rug gedreeven te worden. Wy zullen alle die voorgeevens ondetzoeken, na alvoorens bygebragt te hebben eenige wetten der botfing» welke de Heer Defcartes daar uit afleidt voor de lighaamen , die in den volftrektften zin hard zyn , als zynde de eenigen welken hy befchouwt. Zie hier dezelve.
tA Als twee gelyke lighaamen met gelyke fnelheden tegen elkander aanbotfen, zullen zy, ieder met zyne fnelheid, achterwaarts gedreeven worden.
i°. Als één van beiden grooter dan het andere is, en dat de fnelheden gelyk zyn, zal het kleinfte alleen te rug gedreeven worden, en zy zuilen beiden, met de fnelheid die zy vóór de botfing hadden, naar de zelfde zyde gaan.
30. Als twee gelyke lighaamen, welke in eene tegengeftelde richting ongelyke fnelheden hebben, tegen elkander komen aan te botfen , za! het traagfte medegevoerd worden, zo dat hunne gemeene fnelheid gelyk zal zyn aan de helft der fom van die, welke zy vóór de botfing hadden.
40. Als één der beide lighaamen in rust is, en dat een ander kleiner lighaam tegen hetzelve komt aanftooten, dan zal dit laatfte, zegt de Heer Defcartes, te rug loopen, zonder het eerfte eenige beweeging in te drukken.
50. Als een lighaam, dat in rust is, door een ander geltooten wordt, zal het door dit laatfte medegevoerd worden, en zy zullen beiden naar den zelfden kant gaan, met eene fnelheid, welke tot die van het ftootend lighaam zal zyn, als de masfa van dit laatfte tot de fom der masfen van beiden. Wanneer het lighaam, dat in rust is, 1 , en het ander 2 tot masfa heeft, zal hunne gemeene fnelheid na de botfing de § van die des botlënden lighaams zyn. Deeze regel is de eenige , waar in Defcartes de waarheid getroffen heeft. Ik gaa met ftilzwygen voorby de overige gevallen, welke die zyn, waar in een lighaam een ander achterhaalt, Ee 5 door



4i3 HISTORIE de*
door het met eene grootere fnelheid dan het zyne te volgen, om dat hy daar in, even als in de voorgaande, mistast. Beter is het tot het onderzoek der grondbeginfelen over te gaan, op welken die bepaahngen gevestigd zyn.
len eerften, dat de hoeveelheid der beweeging altoos de zelfde moet blyven, is een voorftel, dat door de ondervinding beweezen is valsch te zyn: ™« hkecubewvs aa"gaat 't welk Defcartes daar voor bybrengt, het is wel waar dat de Godheid op eene onverënderlyke wyze werkt: laat ons mede toe ft aan dat het zeer waarfchynlyk is, dat het Gcheelal door eenige aigemeene wet onderhoudt; maar het is eene zeer vermetele daad, oie gewaande onveranderlykheid in de hoeveelheid der beweeging voor het kenmerk der goddelvke onveranderlykheid te neemen. Er zyrl duizend andere algemeenere, noodzaakelyker Wetten welke de Godheid heeft kunnen kiezen, zou eenig tegenftander van Defcartes hebben kunnen zeggen! en in de daad, men weet thans, dat niet de hoeveelheid van volftrekte beweeging, maar die van de beweeging naar een zelfde zyde, onveranderJyk is, ot anders ook, dat, in de botfing der veerkrachtige lighaamen, die onveianderlykheid ten aanzien van de fom der produSkn van iedere masfa met het vierkant haarer fnelheid plaats heeft.
Ten tweeden, Defcartes hadt zich een zeer valsch denkbeeld van de beweeging gemaakt. Zonder twyrrel zou hy anders geredeneerd hebben, wanneer hy niet al te toegeeflyk was geweest ten opzichte van het grondbegjnfel, dat hy tot zynen wegwyzer genomen hadt. Want te zeggen dat twee gelyke beweegingen, doch in tegengeftelde richtltreeken, geen twee tegenftrydige ftanden van het lighaam zyn , is een voorftel dat zeer bezwaarlyk toegeftaan kan worden. Men begrynt zeer duidelyk, dat 'er iets meer noodig is om eene beweeging in eene ftrydige beweeging te veranderen, dan om dezelve eenvoudig te vernieti.
gen,



WISKUNDE. III. Deel, V. Boek. 419
gen, en het beweegend lighaam regen re honden: even als 'er, om eene kromte in eene te^enaeftelde kromte te veranderen, iets meer noodig is, dan om dezelve tot eene rechte lyn te maaken.
Ten derden, Defcartes viel in eene dwaiding, zeer weinig voegende aan eenen Bovennatuurkundigen, toen hy aan de rust en beweeging eene kracht toefchreef, om haare verandering van toeftand te kunnen wederftaan. Hy was nog wel verre van dat gevoelen, toen hy fchreef tij; ,, Ik ken in cie lighaamen geen onwerkzaamheid, of imuurlyke langzaamheid, en ik geloof, dat ais eenig mensen wandelt, hy de gantfche Aarde, ,*, hoe weinig het ook zy , doet beweegen; maar „ ik ftem echter toe, dat de grootfte lighaamen, „ door een zelfde kracht gedreeven zynde , zich „ lar.gzaamer beweegen; hetgeen misfehien ge„ noeg zou zyn, zonder tot deeze natuurlyke on', werkzaamheid , die geenszins beweezen kun wor' den, toevlucht te neemen:" wy zullen 'er nog byvocgen , dat die natuurlyke onwerkzaamheid reenemaal ftrydig is met het denkbeeld, dat wy van de ftoffe behooren te hebben. In de daad, wy kunnen dezelve niet aanzien, dan als eene enkel lydende zelfftandigbeid, die tot eenige werking onbekwaam is. Die nu kracht noemt, die noemt ook werking; dienvolgens vermits de ftoffe voor hei laatfte onbekwaam is, zo is zy het desgelyks voor het eerfte. De geheele onwerkzaamheid der li, haamen beftaat in niets anders, dan dat 'er eene kr-cht noodig is, om een lighaam eene beweeging in te drukseii, naardien het uit zich zeiven geenszins van toeftand kan veranderen; en dat 'er eene grootere kracht noodig is, om het eene grootere fneiheid by te zetten. Wat aangaat het bewys, dat de Heer Defcartes van zyn gevoelen meent te geeven, een bewys, dat hy uit de goddelyke onveranderlykheid afleidt, welke eeniglyk ftrekt om de dingen in den toeftand ie laaten waar in zy zyn, wanneer
mets
00 Lett. 94. T. II.



420 HISTORIE der
mets dezelve daar uit poogt te rukken, hetzelve is yoütrekt zonder eenige kracht; want die on. veranderlykheid is zeer beftaanbaar met het tegengefteld gevoelen Het is genoeg, dat 'er eene botfing piaats hebbe, op dat 'er oorzaak tot etme vetandenng zy.
_ Na de gemaakte aanmerkingen over de grondftellingen, waar van Defcartes in zyne nafpooring der wetten van de botfing gebruikt heeft gemaakt, is net gemaklyk daar over te oordeeleo. De eerfte , betreffende twee gelyke en volkomen harde lighaamen, die met gelyke fnelheden tegen elkander aanboten, is valsch. Deeze twee lighaamen moeten met te rug fluiten, maar in eensftil blyven ftaan• want de kracht van ieder wordt eeniglyk befteed om de beweeging van het andere te vernietigen • en nademaal men dezelve niet veerkrachtig onderftelt Js er geene oorzaak bekwaam de vernietigde bewee' ging te herftellen. Daar benevens wanneer die beide lighaamen, elkander te gemoet loopende , te rug gedreeven werden, zou de veêrkracht volftrekc nutteloos zyn.
De tweede regel is desgelyks valsch , door een gevolg oer beide valfche grondftellingen, welke JJeJcartes hadt aangenomen. Door eene meer met de rechtzinnige denkbeelden der beweeging overeenkt mftige redenkaveling zou hy bevonden hebben dat de beweeging van het kleine lighaam bv dè Botfing vernietigd zou zyn geworden , en even zo veel in het groote vernietigd zou hebben, en dat zy , wanneer het overige op de masfa van beiden verdeeld werdt, in de richtftreek van het grootfte zouden hebben moeten loopen. Ik gaa den derden regel voorby, om my eenigzins op'te houden bv den vierden, die klaarblyklvk valsch, en één van
aluisfchen!1<e ^ dC ondervinainS ™'
ln deezen regel wil Defcartes dat, zo een lighaam, 't welk in rust is, door een ander meer of min kleiner lighaam geftooten wordt, dit laatfte het-
zel-



WISKUNDE. III. Deel. V. Boet. 421
zelve niet in beweeging kan brengen, en dat het alsdan genoodzaakt is met zyne geheele fneiheid te rug te wy ken. De eerfte Cartefiaanen moeten zekerlyk lieden van eene zonderlinge toegeeflykheidgeweest zyn,om een zodanig voorftel te omheizen. Ook werden door één der verftandigfte Cartefiaanen (de Heer Clerfelier) zwaarigheden daar tegen jngebragt,- en Defcartes waagde het hem daarop te antwoorden (0); hetgeen hy deedt met eene redeneering, die my zeer weinig verftaanbaar is voorgekomen. Wat 'er ook van zy, het is hedendaags bekend, dat een zeer groot lighaam , een kanonkogel, by voorbeeld, aan een touw hangende, door de aanbotfing van een piftoolkogel in beweeging gebragt zal worden. My is niet onbewust, dat Defcartes van dat gewrocht reden tracht te geeven. Hy zegt, dat een lighaam, in erne vloeiftoffe gedompeld, met de deelen van die v|oe;ftofte, die het, fommige aan de eene, andere aan de andere zyde ftooten, in een volkomen evenwicht is; zulks dat de ftoot van een ander lighaam,. hoe klein het ook zy, die zich daar by kwame te voegen, niets anders te wege brengt, dan dat hy het evenwicht wegneemt (p ). Maar, ondanks de hoogachting die wy den Franfchen Wysgeer verfchuldigd zyn, durven wy zeggen, dat dit flegts eene armhartige uitvlucht is.
Ook wordt in de regelen van Defcartes een gebrek van overëenftemming en verband gevonden, waar van wy hier een voorbeeld zullen bybrengen. Wanneer twee lighaamen , met eene gelyke fnelheid bewogen , elkander ontmoeten, worden zy , zegt Defcartes, beiden te,rug gedreeven; maar zo men één van beiden iets, hoe weinig ook, vermindert, zal alsdan, volgens hem, het kleinfte met zyne geheele fnelheid te rug loopen, en het grootfte met zyne geheele fnelheid zynen loop vervolgen. Ondenusfehen zyn wy door de reden overtuigd, dat
eene
O) Lett. 117, T- I.
(/>) Princip. p. 11, art. 56.



422 HISTORIE DER
eene zo geringe verandering niet bekwaam is een zo tegengeweld gewrocht ter uitvoer te brengen: want de natuur werkt doorgaans niet op deeze wyze. De wetten der botfing, hedendaags onder de Werktuigkundigen aangenomen, beboen een zodanig gebrek niet; men ziet in dezelve, daude beweeging altoos in rust, of trapswyze in tegengeftelde beweeging veranderd wordt. In die van Defcartes geldiieat alles fprongswyze, even als of tusfchen dezelve geen het miufte verband , geen de minde af hangkelykheid van een zelfde grondbeginfel was. Wy gaan, om kort te zyn, veele andere overweegingen, welke over de gebreken van die regelen, die aan alle kanten misfen, zich aan onzen"geest vertonnen, met ftilzwygen voorby. Hoe is het mogelyk, dat een zo groot Meetkundige dat voorwerp niet onder een meer Meetkundig gezichtpunt befchouwd heeft!
Uit de Brieven van Defcartes blykt, dat hy fomtyds over de wetten der botfing verdandiger geredeneerd heeft. Want in den vierënveertigften Brief des tweeden Deels wyst hy de waare wet aan, in het geval waar in een lighaam tegen eenig ander, dat in rust is, aanbotst. Hy wil hier, dat de beweeging van het botfend lighaam over de masfa dér beide lighaamen verdeeld wordt, vermits de fnelheid m de zelfde reden vermindert, als de masfa vermeerderd wordt; hetgeen met de waarheid overëenkomftig is, Wy twyffelen in geenerlei wyze, of Defcartes zou volkomen gedaagd hebben in dé ontknooping der waare wetten van de mededeeling der beweeging, zo hy niet vooringenomen ware geweest met het denkbeeld om dezelve met zyn algemeen Systema te doen overeenkomen. Men kan niet genoeg daar over klagen, dat hy een zo wyd uitgeftrekt plan omhelsd heeft. Zo hy zich eeniglyk hadt toegelegd, om verfcheide takken der Natuurkunde tot grootere volmaaktheid te brengen, dan wordt onder dezelven geen gevonden , over welken hy niet een helder licht verfpreid . zou hebben ; want de
eeni-



WISKUNDE. III. Deel V. Boek. 423
eenige bron zyner dwaalingen is de fysthematifche geest, aan welken hy zich mee te veel vertrouwen, en zonder genoegzaam met de ondervinding te raadpleegen, overgaf. Maar wy hebben reeds genoeg over dit onderwerp gezegd; laaten wy dit artikel eindigen met eenigen trek, die het vernuft van Defcartes grooter eere aandoet.
Een der verftandigfte denkbeelden van Defcartes is getracht te hebben, om de middelpuntvliedende kracht der luchtftoffe op de verklaaring van dezwaarte der lighaamen tcepasfelyk te maaken. Schoon het onderzoek van dat Systhema meer tot de Natuurdan tot de Wiskunde fchyne te behooren, heb ik nogthans gedacht , uit hoofde dat Defcartes Mechanifche grondbeginfelen daar toe gebruikt , dat dit onderzoek niet onëigenlyk by myn onderwerp zou voegen. Daar benevens wordt deeze foort van uitweiding door de beroemdheid van het vraagfr.uk alleszins gebillykt.
Zo als een ieder weet, laat Defcartes eenen draaikring van hemelfche , dat is te zeggen van ongemeen fyne (toffe, zichrrondom de Aarde en iedere Planeet beweegen. Maar ieder lighaam, voegt hy 'er by , dat eene omloopende beweeging heeft, doet eene pooging , om zich meer en meer te verwyderen van het middelpunt, om welk het loopt; alle de deelen van den aardfehen draaikring hebben derhalven eene geftadige neiging, om zich van de Aarde te verwyderen, en deeze draaikring zou verflrooid worden, als hy in de pooging van het overige der hemelfche ftoffe geen genoegzaamen tegenftand ontmoette. In deeze aangenomerse fteiling QHypothefis') moet nog daar benevens toegeftaan worden , dat de aardfche lighaamen minder dan de hemelfche ftoffe tot de beweeging gefchikt zyn, en dat zy dienvolgens flegts eene mindere middelpuntvliedende kracht hebben. Deeze onderftelling aangenomen zynde, bemerkt men ligt, dat zy in die vloeiftoffe zyn bétgeen een lighaam , in een vocht van mindere byzondere zwaarte gedompeid, is, en dac even als
het



4^4
HISTORIE der
het door dat vocht gedreeven worde na den overItaanden kant van dien, naar welken het door zyne zwa.irte helt, desgelyks de aardfche lighaamen, in 't midden des draaikrinss, waar van wy fpreeken, geplaatst, naar het midden, waar van dezelve zich tracht te verwyderen, te rug gedreeven zullen worden. Ziedaar, volgens Defcartes, de oorzaak van de zwaarte en den val der lighaamen naar het middelpunt der Aarde.
Het is met dat denkbeeld ten naaste by even zo gelegen, als met dat der draaikringen, welken de zeilde Wysgeer gebruikt om de hemelfche beweegingen te verklaaren; het is in den eerften opflag verleiuend , het is verlokkend door het voorkomen van eene zeer verftaanbaare en zeer waarfchynlyke inrichting. Maar het is onderhevig aan groote zwaarigheden, en welke zodanig zyn, dat het groot(le getal Natuurkundigen hedendaags bekent, dat men, om de zwaarte te verklaaren, tot eenig ander middel toevlucht moet neemen.
De Heer Hmehens , alhoewel een leerling van Defcartes, heeft der verklaaring, welke wy nu'voorgedragen hebben, allereerst gevaarlyke ilagen toegebragt. In zyn Boek De caufd gravitatis merkt hv aan, i°. Dat vermits de middelpuntvliedende kracht der deelen van vloeiftoffe, in de evenwydigen aan den Equator gelegen, in de richting der ftraalen van die evenwydigen geöeffend wordt , de wederwerking, welke de zwaarte veroorzaakt, ook in die •richting moet gefchieden: dienvolgens zal een lighaam, dat ergens elders buiten den Equator geplaatst is , naar den as van den draaikring, en niet naar het middelpunt neigen. z°. Dar, ten einde de hemel, fche ftoffe de aardfche lighaamen, met de kracht die wy ondervinden, konde-voortftooten, haar omloop zeventienmaal zo fnel dan de dagelykfche beweeging der Aarde zou moeten zyn. Maar een draaikring van die fnelheid en vaD die dicht- of gedrongenheid, zou alle lighaamen met zich voeren, en niet nalaaten de omwenteling van onzen Kloot
al.



WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 425
allengskens te verfnellen. 30. Dat uit de onderftelling van Defcartes zou volgen, dat de minst ineen» gedrongene lighaamen het meest zouden weegen, even als de minst inëengedrongene lighaamen meerder kracht fchynen te oefFenen, om zich boven de oppervlakte der zwaardere vloeiftoffen te verheffen; hetgeen klaar en duidelyk tegen de ondervinding aanloopt. De Heer Huyghens heeft niet gedacht, dat het mogelyk ware op die zwaarigheden te antwoorden , en zich om die reden verplicht gerekend aan de hemelfche ftoffe eene andere beweeging te geeven, die, zo als hy zich voorftelt, in verfcheide bolronde laagen, en in alle bedenkelyke richtingen gefchiedt. Men zou daar door in de daad fommige hinderpaalen van den eenvoudigen draaikring van Defcartes uit den weg ruimen; maar het hulpmiddel is erger dan het kwaad , en deeze inrichting, door den Heer Huyghens uitgedacht , wordt met reden voor onmogelyk gehouden.
Men is derhalven van daar te rug gekomen tot den draaikring, zo als Defcartes dien hadt voorgefteld, en men heeft getracht op de tegenwerpingen van den Heer Huyghens te antwoorden. De Heer Saurin heefc zich verbeeldt, dat by de eerfte op eene gelukkige wyze hadt opgelost: hy zeide , dat, wanneer eene vloeiftoffe altoos loodrecht werkt op de oppervlakte, die zy drukt , een draaikring, in eene bolronde oppervlakte befloten , haare drukking in de richting van den ftraal zou oefFenen, en dat, vermits de wederwerking van die drukking , welke de zwaarte uitmaakt, in eene tegengestelde richting gefchiedt, daar uit moest volgen , dat de lighaamen naar het middelpunt zouden neigen (q). Hy redeneerde hier over nog op eene andere wyze, waar van wy, om derzelver wydloopigheid, niet zullen fpreeken; maar het fchynt, dat behalven hun, wier belang medebragt deeze oplosfing goed en voldoende te vinden, niemand anders dan hy dezelve zo gunftig heeft be-
oor-
(q) Journal des Scavans ann. 1703.
Ff



42Ö
HISTORIE der
ëordeeld. In de daad, men zou door eene dergelyke redeneering kunnen bewyzen, dat een lighaam' t welk men in een Vat vol water, hebbende de gedaante van eenen halven-kloot, zou dompelen, weder loodrecht tot de oppervlakte van dat Vat, en niet tot den Horizon, zou moeten opklimmen. Wat de tweede zwaarigheid van den Heer Huyghens betreft, de Heer Saurin bekent openhartig , dat hy niets heeft dat voldoende is om daar op te antwoorden (r). Ten aanzien van de derde zwaarigheid zie ik n rgens geen de minfte pooging om dezelve op te losten. r
Men heeft niet verzuimd proefneemingen te doen , om op eene zichtbaare wyze te weeten, of de verfchynfelen der zwaarte met de onderftelling van de draaikringen overëenftemmen. Men leest daar van fommige in de Memorien van de Koninglyke Acade. mie der Weeterfchappen, van de jaaren 1714, 1715 en 171Ó. Maar de Autheur derzelven (de Heer Sauimon) kan niet ontveinzen , dat daar uit geheel her tegenltrydige voortvloeit , van 't geen noodig zou zyn om deeze onderftelling te bevestigen. Be. halven dat een lighaam door den draaikring weggelleept wordt, merkt men aan, dat de meest ingedrongene lighaamen, wel verre van zich in het middelpunt te dompelen, in tegendeel naar den omtrek afwyken. De Heer Büfinger, de zelfde oogmerken hebbende als de Heer Saulmon, en begeerende dooide onaervinding het gefchil te beflegten, of een lighaam, in eenen kloorfchen draaikring gedompeld, in het middelpunt, of naar den as zal vallen, heeft zich eenen zodanigen draaikring verfchaft, door een glazen bol vol water fnellyk rondom zynen as te doen draaijen O). Hy heeft opgemerkt, dat luchtbolletjes , welke in cien bol elkander ontmoetten, weldra eenen Cy'.inder rondom den as vormden, en
niet,
CO Mem. de V Acad. ann. 1709. (s) De Direcl. g>av;um in vortice Spharico. Mem. de Petersb. T. i. ann. 1726.



WISKUNDE. III. DeeU V» Bóeh $tf
niet eenen kloot, zo dat hy gemeend heeft daar uit te mogen befluiten , dat een klootfche draaikring de lighaamen naar den as, en niet naar het middelpunt, zou te me brengen.
De Academie der Weetenfchappen voor de PrysVraag des jaars 1728 voorgefteld hebbende, de oorzaak en de inrichting; der zwasrte te onderzoeken» drueg de Heer Bufinger eene nieuwe handelwyze voor, om dat verfchynfel te verklaaren (V), Hy verbeeldde zich eenen draaikring, die te gelyk rondom twee tot elkander loodrechte asfen draaide, hoppende daar uit den recl'tftreekfchen va' der zwaare lighaamen naar bet middelpunt af' te leiden. Men ziet ook in dat Gefchrift de tekering van een Werktuig, dienftig om daar van de proefneeming re doen, door aan eenen kloot vol waters die beide bewegingen te geeven. Wy zien niet, dat de Geleerde van wien wy fpreeken die proeve heeft uitgevoerd; wy twyffelen zeer of df zelve eenen goeden uitfi ag zou gehad hebben, of liever wy houden het tegendeel als zeker. Want zou een draaikring van die natuur de lighaamen naar het middelpunt te rugftooten, dan moesten alle de punten der vloeiftoffe groote Cirkelen befchryven, en dit is het voorwerp, dat de Heer M'fifiger zich met die dubbelde beweeging voorlidde. Maar 'er zyn geen andere punten dan die even ver van de Poolen der beide asfen afftaan , welke groote Cirkelen befchryven. Alle andere befchryven flegts Krommen met eene dubbelde kromte, welkers locdlynen riet in het middelpunt des Kloots famenloepen; hergeen noodig zi>ude zyn, wanneer de lighaamen naar dat middelpunt gedreeven konden worden.
Veele andere handelwyzen, om de zwaarte re verklaaren, gaan wy ftilzwygende voorby ; naardien dezelve by de Natuurkundigen geen ingang gevonden hebben, achten wy onnoodig ons daar mede op te houden. V\ y bepaalen ons tot eene aanmerking .
die
CO De taiifd gravit. dif. Prix dé 1'Acad. T. III. ff 2



4*8 HISTORIE der WISKUNDE, enz.
die alle verklaaring van dit verfchynfel, door middel des ftoots van eenige vloeibaare ftoffe , fchynt vruchteloos te maaken. Deeze is, dat zode zwaarte der lighaamen van eene zodanige inrichting af hangkelyk was , zy niet meer evenredig tot de masfa zou zyn. Een lighaam zou, naar maate deszelfs oppervlakte grooter was, zwaarder moeten zyn, door dat alsdan minder deelen voor dien ftoot beveiligd zouden zyn. Dit nu ftrydt tegen de ondervinding. Men kan mede in het Werkje van den Heer Bouguer, tot tytel voerende, Entretiens fur la caufe de l'ixclinaifon des orbites des Planetes («), verfcheide andere aanmerkingen zien , welke veel vermogende redenen tegen die inrichting opleveren.
(«) Remarques, p. 62, 82, &c.
Einde van het vyfde Boeh
H I.



HISTORIE
DER
WISKUNDE-
DERDE DEEL.
Bevattende de Hiftorie der Wiskunde, geduurende de zeventiende eeuwe.
ZESDE BOEK.
Waar in men yerilag doet van den aanwas der Meetkunde, en in 't byzonder van de opkomst en vorderingen der nieuwe rekeningen, geduu. rende de laatfte helft der zeventiende eeuwe.
KORTE INHOUD.
ï. Wallis past de rekening toe op de Meetkunde der ondeelbaar en, en doet door dat middel verfcheide ontdekkingen. Wyze op welke hy de quadratuur des Cirkels befchouwt, en uitdrukking welke hy daar uit afleidt. II. Ontdekkingen tot welken de Leerwyze van Wallis aanleiding geeft. Eerfte rechtmaaking (recflficatio) eener kromme Lyn door Neil. Uitdrukking welke My.
Ff 3 lord



43<3 HISTORIE der
lord Brouncker voor de meeting van den Cirkel geeft. Eerfte reeks voor de quadratuur van den Hyperbool, door den zelfden Meetkundige ontdekt. Mercator geeft daar van ook eene reeks, welke hy hadt gevonden vóór dat die van Brouncker het licht gezien hadt. II1. Fan den D. Barrow,-#« in 't byzonder van zyne Leo wyze der raaklynen. IV. Fan aen Heer Newton. Kot te levensheCchryving van d;en beroemden man. Zyne eerfte Meetkutfiige ontdekkingen. Hy ontdekt de algemeepe Theorie der reekfen, de ontleeding der magten, en zyne Fluxie-rekening, op het vaste Land Differentiaal- en Integraal-rekening genaamd. V. Ferklaaring van het Meetkundig grondbeginfel der Fluxien, en van de eerfte gronden kaar er rekening en torpasfitg. VI. De Meetkundige Jacobus GreeorV vet heit zich het eerst tot het grondbeginfel van den Heer Newton', én voegt dom dat tnidael verfcheide ontdekkingen by de zyne. VII. Hiftorie van 'i geen omtrent dén jtare \6i6, over die Analytifche ontaekkingen, tusfenen de Heeren Newton en Leibnitz is voorgevallen; verhaal van den twist, die naderhand over de uitvinding van de Differentiaal-reke. ping oUtftdan is. VIII. Vetklacring van eenige byzondere Theotien, welke haare opkomst aan dien tyd verm fchuldigd zyn, als die der kromme Lynen, welke door den Jtmetnoop der lichtftraalen, van eene andere kromme lyn te rug gekaatst wordende, ontftaan (CauIHcae) van den Heer Tfchirnhaufen , en der Epicycloïden. IX Voortgang van de Differentiaal-rekening op het vaste Land, te rekenen van den tyd waar in de Heer Leibnitz dezelve in 't licht gaf. Opkomst van de fntegtaa!-rekening onder de handen van den zelfden Heer Leibnitz en den Heer Jacobus Bernoulli. De Heer Ja" Bernoulli treedt in de zelfde loopbaane, en maakt in F anktyk aanhangers van de nieuwe rekening, onder dt '"ren den Heer de ï Hópital, die haare grondheginfefen in zyne Analyfe des Infit irnent- Petits openbaart, y. Onweer tegen de Different aal- rekening opgekomen. Ifafi den Heer Nieuwen tyd, . Schryver van een Boek ie*en die rekening- Twist tusfchen kolft en den Heer S,aur,n ever dat- zelfde onderwerp. Andere tegtnftr eener s



WISKUNDE. III. Deel. VI. Beek. 43t
vers van die vinding, en antwoorden met wulken men hen te keer gegaan is.
I.
D e nieuwe Meetkunde, waar mede wy diegeene beuoelen, welke in haare nafpooringen de Algewaïfche rekening gebruikt, kan in twee deelen verdeeld worden : het eene heefc tot onderwerp de oplosfing der Vergelykingen, en de eigenfchappen der kromme lynen; wy zouden dit deei de eindige ontleeding (analyfis) der kromlynige grootheden kunnen noemen: het andere houdt zich mer de afmeeting van die grootheden bezig, en maakt gebruik van de befchouwing haarer onëindig kleine deelen (eletnenta). Wy hebben ons in het voorgaande ' tweede Boek van dit Deel onzes Werks voornaamlyk met het eerfte onledig gehouden, en deszelfs vorderingen naauwkeurig voorgedragen. Wy hebben ons voorbehouden , om in dit Boek van de vorderingen des tweeden verflag te doen, en thans zullen wy aan dat oogmerk beantwoorden.
Het tydbegin van de Rekenkunst der onëindigen van Wallis (v) is dat, waar toe men den aanvang der
merk-
(y) Wallis (John) werdt geboren re Ashford. in *t Graaffcbap Kent, den 23 November 1616. Na zyne eerfte ftudien leide hy zich beurtelings toe op de Godgeleerdheid , de Zedeleer en de Wiskunde , in welke laatfte hy voornaamlyk blyken van zyn vernuft toonde. Hy werdc in't jaar 1649 benoemd tot den zetel der Meetkunde, door den Ridder Savile aan de Univerfiteit van Oxford gelticht, en bekleedde die plaats tot den jaare 1703 (28 Oétober), welke de dag van zynen dood is. Hy heeft in verfcheide tyden een groot getal Wiskundige Werken in 't licht gegeeven , welke in drie Deelen in fol. zyn verzameld geworden , waar van het laatfte in 't jaar 1699, onder den tytel van "f. Waltifti Op. Math., werdt uitgegeeven. Men vindt van hem eene meenigte Hukken in de Ttanf. Philof. van de Koniriglyke Sociëteit te London, waar van hy één Ff 4 der



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 435
ten die der volgenden zyn — i, —2, — 3> &c«
1 —1 1 • —m.
Dus is~ niets anders dan ac" , en —j 's x
Deeze gelukkige aanmerking telde Wallis in 't bezit der meeting van alle, zo vlakke als ligbaatnlyke, ruimtens, wier elementa wedeikeerig als eenige magt van de Abfcisfe zyn; in den geroeenen Hyperbool, by voorbeeld, is de Ordinaat wederkeerig als de Abfcisfe, en in die der hoogere geflachten is hy wederkeerig als eene magt van die Abfcisfe, dat is te zeggen, dat de Vergelyking van alle die Krommen
1 — m
js y — —~, of y ~ x . Nu heeft men geat
zien, dat in de Krommen, waar van de Vergely,-
m
kinge y zr x is , de algemeene betrekking van den Inhoud tot het Parallelogram van gelyke Bafis en hoogte 1 : m + 1 is; en zulks is waar, welke ook de grootheid van m zy. Dit zal derhalven mede, volgens de wetten van de Anal)fis en de geduurzaamheid, waarheid zyn, zelfs dan w.'nneer m negatifof—m zal worden. Dus zal de bovenftaande betrekking in dit geval die van 1 : — m 4- 1, of in 't algemeen van 1 : m H- 1 zyn, neemende m met het teken dat haar is toegedaan, in den Hyperbool, waar in de Ordinaten wederkeerig als de Vierkants-wortelen uit de Abfcisfen zyn, is m _ \. en dienvolgens — m ~ — \. Dus ftaat de Hyperbolifchc ruimte A H (Jig. 83) tot den Rechthoek CU, als 1 tot — £ -{• 1, of 1 tot Als m _ 1 is, zynde het geval van den gemeenen Hyperbool, is deeze betrekking 1 : — 1 + 1, of I : o; hetgeen aantoont, dat de gemeene Hyperbool eene oneindige Afymptotifche ruimte heeft.
Hier doet zich eene zwaarigheid op, welke Wallis, in weêrwil van zyn fchrander doorzicht, niet konde oplosfen. Wanneer de negMtive Exponent m een geheel getal, dat de eenheid te boven gaat, by voorbeeld 3, is, dan is de bovenftaande betrekFf 5 king



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 435
den boven gegeeven regel, de Inhoud uit verfcheide deelen Lmengefteld zyn, waar van het eerfte
mx, het tweede jr en het derde - zal zyn.
Wallis orjderzoekrdesgelyks de meeting der kromme Lyren, welkers Ordinaten als de driehoekige, piramidale FunStien (w) enz. van de Abfcisfe zouden zvn. Deeze FunBien zyn niets anders dan 'famenitelfelen van magten der Abfcisfe: derhalven vallen zy onder de boven gegeevene regelen. De erge paaien, binnen welke wy befloten zyn, laaien ons niet toe hier over breedvoeriger te handelen. Wy verzenden den Leezer naar het Werk zelf, waar van wy hem een denkbeeld trachten te geeven.
Wallis trok uit deeze aanmerkingen eene zeer kundige handelwyze om de quadratuur des Cirkels te befchouwen, die, weinig jaaren daar na , de kèen van verfcheide vindingen van Newton werdt. Hy merkte aan , dat men de volftrekte quadratuur hadt van alle de'Figuren, wier Ordinaten uitgedrukt zouden worden door (1 — xx)°; O ;
(1 _ xxy-i Ci - **)3« &c- CA> De eerftevJJ:
O) Wy noemen hier, met de Meetkundigen van onzen tyd, FunQie, iedere uitdrukking, die, op eemgerlei wyze, uit ftandvastige en veianderlyke grootheden is tarnen gefield; dus zyn Y («« + «• + »>* + »;. Vb- 1 . 'xx, &c. Funétien van x.
(x) Wy hebben, om de eenvoudigheid te betrachten, vat, de uitdrukking i—xx, in plaats van aa-xx, gebruik gemaakt; onderftellende, dat de waarde van a de eenheid is, Men moet in dit geval, om zich naar de wet der ge'ykflagtige grootheden te fchikken, ar met als eene Lyn, maar als eene waarde in fetallen van x befchouwen , ten opzichte van de Lyn a, die voor de eenhüd genomen wordt; en hetgeen hier gezegd wordt mret ook toepasfelyk gemaakt worden op alle andere gevallen, waar in mer. eene uitdrukking heeft, die uit verfcheide magten van door optelling of aftrekking te ftmen verbonden, betlsat.
me i^ytcu» weirdo - - ,,r., ~
\piramidale FunStien (w) enz. van de Abfcisfe zou-



43« HISTORIE der
volgens de regelen van de Rekenknnst der onemdhen gelyk aan het omgefchreeven ParallelogrdmTdI tweede ,s daar van de?f; de derde de Tf f de^ierd? de T48, wanneer , f is< ^ vierae
ven eene reeks van Termen i, - 48 °%"ai
waar van ieder de betrekking ui drukt' die'de F? guur welkers uitdrukking 4 den Or^L f„ de
reeks der grootheden i -—x*)°; f, «i- w-
eenen overëenkomftigen rang bekleedt, tothet'%*. w&fo^w van gelyke Ba/u en hoogte heeft. Maar de Exponenten der IV™*» van deeze laatfte reeks zyn ,„ Anthmetfche Progresfie, o, l, 9&c In! dien men derhalven tusfchen iede van deezen een
FST.^s?6 rbrngen' f°tu die' s" s
ïtnen t1 a;*; , (i - kwatne te vallen, (i - xxy- zyn, zynde de ukdrukking van den Or^ des C/ke s, Men zou dienvolgens tot de J£. dratuur des Cirkels geraaken, als het even JA. maklyk was, in de reeks l ,'f, TJ, ,44, &c Si midden -7Jr« tusfchen i en f te 'vinden? 'Deeze wy" ze van redeneeren in de Meetkunde is tusfchenvoefiing (wterpolattoj genaamd geworden. Dezelve beftaat daar ,n, dat men in eenen voortgang van grootheden, welke eene zekere wet volgen, één of meer tusfchen- Termen inlascht, welke, zo'veel mogelyk is, zich daar na fchikken. Zulks is gemaklyk in de Anthmenfche en Geometrifche Progresfien, en n die van alle figuurlyke getallen; maar het is'zo niet gelegen met het geval, dat Wallis zich voorfte t, en de wyze, op welke hy dien Term navorscht, ver' tocht veel vernuft en fcherpzinnigheid. Wy zullen ons vergenoegen met te zeggen, dat hy, de gemelde quadratuur m geen eindige Termen kunnende vinden, dezelve uitdrukt door eenen breuk, wiens teller en noemer oneindig zyn, en gevormd worden uit eene reeks van multiplicanten, welke eener. zeS fierlyken voortgang volgen. Die uitdrukking is deezf ax4x4xóx6)c8x8x&c.
3x3x5x5x7>c7K9Ï&c:, 2UlkS dat de betrekking
van



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 437
van het vierkant, om den Cirkel befchreeven, die van de eenheid toe de bovenftaande uitdrukking is, of van de eenheid tot f X §| x || X ff» &c. of wel tot f X 1| X ff X |f, &c. fjO, hetgeen dies te nader aan de waarheia komt, naar maate men een grooter getal Termen neemt.
Eene ruime inzameling van ontdekkingen is doorgaans de belooning der vinding van eene nieuwe Leerwyze. Dit geluk was aan Wallis voorbehouden : zyne Rekenkunst der on'èindigen bevatte veele Meetkundige nieuwigheden; dezelve zyn nogthans flegts een zeer klein gedeelte van die, welke hy, door van zyne Leerwyze gebruik te maaken, in laater tyd ontdekte. De beruchte Voorttellen over de Ojcloïs van den Heer Pafcal leggen daar van een bewys aan den dag. De Heer Wallis gaf van allen, en in korten tyd, de oplosfing, zo als wy by de mededeeling der gefchiedenis van die Kromme ge- , zegd hebben. Kort daar na gaf hy de meeting der oppervlakte van de Cys/oïde en Conchdide, gelyk mede van de lighaamen, welke door haare omwentelingen gevormd worden; hy betoogde de gelykheid van den Parabool en de Spiraal, en dat hunne rechtmaaking van de quadratuur des Hyperbools afhing; hy bepaalde ook vlakke ruimtens, die gelyk zyn aan de bultige oppervlaktens der Parabolifche, Elliptifche en Hyperbolische Conoïden. Deeae navorfchiogen, en eene meenigte andere, maaken het onderwerp uit van zyne Verhandeling De curvarum reclificatione & complanatione, dat, benevens zyne Verhandeling over de Cycloïs, in den Jaare 1659 het licht zag.
In
C y) Deeze reeks, in eene andere fchikking gebragt, is deeze: | + r} A + sr B + sf C, &c., waar in A, B, C, enz. fleeds de fom vau alle de voorgaande Termen verbeelden. De Heer Euler toont in de Memorien van Petersburg (T. IX, ann. 1737.) aan, dat zy gebragt wordt tot de zo bekende reeks voor het vierde-deel des Cirkels 1 — f + J — 7+5» &c.; hetgeen een zichtbaar bewys van de waarheid der uitdrukking van Wallis is.



438
HISTORIE DEft
In het Jaar 1669 gaf hy de Verhandeling De centro gravttatts in 't licht, welke alles fchvnt te bevatten wat de Meetkunde over dat onderwerp kan zeggen" Alle de Figuren, wier befchouwing den Meetkundigen tot m dien tydt hadt bezig gehouden , en vericheide andere, worden daar in ter toette gebragt Hunne inhoud, hunne lighaamen van omwenteling, hunne zwaarheids-middelpunten , en die van hunne deelen worden daar in bepaald. Eindelyk ieder hoofdftuk bevat den inhoud van een gantsch boekdeel* Laat ons nog aanmerken , dat Wallis daar in zeer dikwyls van uitdrukkingen en rekeningen gebruik maakt, die, beha!ven de fchikkmg, de zelfde als in de hedendaagfche Leerwyzen zyn. Wy zien ons met tegenzin genoodzaakt ons te bepaalen tot eene zo bekrompene aanwyzing der uitmuntende zaaken, welken die verfchillende Werken bevatten.
H.
Het (trekt Wallis tot eenen zeer grooten roem, dat de meeste Analyiifihe ontdekkingen, welke omtrent dien tyd gedaan werden , in lommige opzichten flegts ontwikkelingen zyn van de talryke inzichten, welken hy in zvne Rekenkunst der onèindi. gen hadt voorgefteld. Dit Werk gat aanftonds aanleiding tot de eerfte rechimaaking eener kromme Lyn, welke gevonden is. Wallis hadt de gronden van deeze ontdekking gelegd, door aan te merken, dat Zo men het vierkant van ieder verfchil der achterëenvolgende Ordinaten van eene Kromme met die yan den gemeenen aftiand tusfchen die Ordinaten famenvoegde , en uit hét komende den vierkantswortel trok , daar uit eene uitdrukking ten voorfchyn kwam* welke overëenkomftig zou zyn met die van den Ordinaat eener andere Kromme , welkers Inhoud de zelfde betrekking tot den Rechthoek van gelyke Bafis en gelyke hoogte hadt, als de lengte van de eetite Kromme tot eene gegeevene reente
Lyn.



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 439
Lyn. Hy hadt het toen daar by laaten berusten; echter waren die weinige woorden niet vruchteloos ter neder gefield. lien jong Meetkundige , genaamd William Neil, dit (luk dieper doordenkende , ging nog verder: hy merkte aan, dat, ingevalle de tweede Kromme, die wy nu befchreevtn hebben» volfirekt gequadrateerd kon de worden , de verfchillen der Ordinaten van de eerfte als de Ordi~ tinten van eenen gemeenen Parabool zouden moeten zyn; en dat alsdan de nieuwe i\romme , welke daar uit voortkwam, een afgekorte Parabool was ; waar uit volgde, dat de eerfte Kromme volftrekt gerectificeerd konde worden.
Deeze ontdekking, aan de ichranderfte Meetkundigen van Engeland, zhWren, Brouncker, enz. medegedeeld, bragt hen in groote verwondering, en zy ftaafden dezelve als om ftryd door nieuwe betoogingen. Echter hadt geen van hun de natuur van die merkwaardige Kromme bei'peurd. Het was billyk dat Wallis, die met de ontdekking het eerst zyn hoofd gebroken hadt, zich meer dan anderen ten dien opzichte in 'c openbaar verdienftelyk maakte. Hy ontdekte dat de bedoelde Kromme één der Cubifche Parabolen was, naamlyk die waar in de teerling van den Ordinaat altoos evenredig is tot het vierkant van de Abfcisfe. Kort daar na ontdekte de Heer Wren de rechtniaaking der Cycloïs, d'ich op eene wyze, onafhangkelyk van die van Wallis, welke daarop niet toepasfelyk gemaakt kan worden. Dus hebben wy dan twee Krommen, de eene Geomerrisch, de andere Mechanisch, welke aan eene volftrekte rechtmaaking onderhevig zyn, alhoewel een groot Meetkundige, de beroemde Defcartes, niet hadt durven denken, dat men ooit iets diergelyks zou kunnen vinden- üit was voor eenen Wysgeer een te overhaasten ftap, om de hulpmiddelen van 't raeufchelyk verftand hoopeloos te ftellen.
Men deedt kort daar na op 't vaste Land de zelfde oiudekking, welke Neil in Engeland gedaan
hadc.



440 HISTORIE der
hadt. De Heer Van Heuraet was hier van de eerfte Vinder, en ging zelfs verder dan de Engelfche Meetkundigen; want hy bepaalde verfcheide andere Parabolen, die volftrekt gerectificeerd kunnen worden. Men kan in het tweede Boek, Art. VIII. van dit Deel, de Leerwyze van Fan Heuraet zien, benevens de redenen welke ons doen gelooven, dat hy zelfs niet eens onderricht was van 't geen kort te vooren in Engeland was voorgevallen.
De wyze op welke Wallis de quadratuur des Cirkels befchouwd hadt, gaf mede aanleiding tot eene merkwaardige ontdekking. Wy hebben gezien, dat, toen hy in eenen zekeren voortgang eenen Term poogde te voegen, welke hem den Inhoud des Cirkels moest, opleeveren, hy flegts eene oneindige reeks van Termen gevonden hadt, welke fteeds nader tot de waare waarde zou komen. Over deeze uitkomst weinig voldaan , en geenszins de hoop verliezende om iets beters te vinden, nam hy raad met Mylord Brouncker (z), wien hy verzocht hem met zyne krachten te willen onderfteunen. Deeze Heer, die voortreffelyke talenten voor de Meetkunde bezat, vondt wezenlyk iets, dat in zekere opzichten volkomener was, dan hetgeen Wallis gevonden hadt. Het is eene foort van reeks, die de gedaante van eenen Breuk heeft, en wel van eenen Breuk welks noemer een geheel meer eenen Breuk is, deeze laatfte desgelyks, en zo tot in 't oneindige; hetgeen daar aan den naam van geduurige Breuk heeft doen geeven.
Wan-
(z) William Brouncker , Burggraaf van Cast el- Lyons in Ierland, kwam in 't Jaar 1620 ter waereld. Hy was Kancelier van 't Hof der Koninginne, haar Zegelbewaarder, en in de laa.fte jaaren zyns levens één der Commisfarisfen van den Tower. Toen de Koninslyke Maatfchappy haaren oorfprong nam, werdt hy tot Voorzitter van dezelve aangefteld, en geduurende omtrent vyftien jaaren van jaar tot jaar in dien post gelaaten. Hy is in *t jaar 1684 overleeden.



WISKUNDE. lil. Deel. VI. Boek. 459
Deeze ontdekking ftelde Newton in 't bezit van eene andere, die niet minder belangwaardig was, en natuurlyk die, waar van wy nu gehandeld hebben, hadt behooren voor te gaan,indien het vindend vernuft altoos den gemaklyk ften weg volgde. Desze is de ontbinding der magt 1— xx\m (ra eenig getal zynde) in eene ratimaale uitdrukking. Hy merkte aan, dat men in de voorgaande Formule flegts de noemers 3,5,7 weg te laaten, en elke magt eene
eenheid te verlaagen hadt, enz. Dus is i + xx\m
niets anders, dan 1 + mxx-\- ™'.m"~1 *4—(—. 1.2 —'
™'J!'irl:m~~!1x6 &c. hetgeen ook de algeraeene
1. 2. 3
uitdrukking van a + b\m voortbrengt; want«-f-£)m
xQ-D"1' Maar 0-Dm is 1 ~^m'h-a
-V m'™E±. - -r £™-^J^ZÏ. -!: men heeft I. 2 "2 1. 2. 3 a3
derhalven, door dat alles met am te vermeenigvul»
digen , men heeft, zeg ik , ^a + b^mZZa tim»
am~ 1 b -f- n2l-JlL am~ V, &c Dit klein geit 2
tal Termen is genoegzaam, om de wet van den voortgang aan te wyzen. Dezelve zal geheel afloopen, als »? een geheel en pofitif getal is; want ahdan zal het gebeuren, dat m min een getal van den natuurlyken voortgang nul wordt, hetgeen dien Term, als mede ieder der volgenden , nul zal maaken. Als m negatif, of een gebroken getal is , zal deeze reeks een onëindig getal Termen hebben. Deeze is de beroemde Regel, die gemeenlyk het Binomium v3n Hh a New*



460
HISTORIE der
Newton genoemd wordt, een Regel van een onëindig gebruik in de gewoone Analyfis, ten aanzien van de benaderde en vaardige uittrekking der wortelen, gelyk mede in de Integraal-Rekening.
De Heer Newton was reeds tot deeze en verfcbei» de andere ontdekkingen opgeklommen, veele Jaaren vóór dat Mercator zyne Logarithmotechnia in 't licht gaf, een Werk dat flegts een byzonder geval van de bovengemelde Theorie bevat. Doch door eene onmaatige ingetogenheid , gevoegd by zyne ODverfchilligheid ten aanzien van die vruchten zyns ver» nufts, haastte hy zich niet om zich bekend te doen worden, door dezelve in 't licht te geeven. Middelerwyl kwam het Werk van Mercator voor den dag: dit zou voor iemand anders eene krachtige aanprik» keling geweest zyn, om met allen fpoed deel te neemen aan den roem , welke met die voortrefielyke ontdekkingen verbonden was; doch geheel in tegendeel diende zulks tot niets anders, als om New ton in zyn befluit te verfterken. Hy dacht dat Mercator, die, zo als gezegd is, de reeks voor den Hyperbool gevonden hadt, ook eerlang zyne Leerwyze tot den Cirkel en andere kromme Lynen zou uitbreiden, of dat, ingevalle Mercator zulks niet deedt, deeze vinding anderen niet zou onglippen. Het is in de daad verwonderenswaardig, dat Mercator, die, door de gewoone deeling, de uitdrukking 1:1+* in eene onëindige reeks hadt'opgelost , niet op het denkbeeld is gevallen , om ten aanzien der uitdrukkinge \/ i-f- xx de worteltrekking te beproeven. De Heer Newton eindelyk verbeeldde zich, dat hy nog geen genoegzaam rypen ouderdom bereikt hadt, om iets in openbaaren druk te durven uitgeeven (0), een zeldzaam voorbeeld van ingetogenheid , en dat wel waardig is vergeleeken te worden met het vertrouwen van die Schry-
vers,
(9) Néwt, Epift. poft, comm. Epi/l.



464 HISTORIE deu
den As, of het uiterfte van dien Ordinaat, verwy-, dert. Om de denkbeelden eenvoudiger te maaken onderftelt men, dat de eerfte gelykmaatig is; maar de tweede is veranderlyk, anders zou de Kromme in eene rechte Lyn veranderen, zo als gemaklyk te zien is. Zo dezelve verfneliende is, zal die Kromme naar haaren As uitgebogen zyn, en het tegendeel zal plaats hebben als de heweeging vertraagende is. Doch in ieder punt, waar toe de beweegende oorzaak C (Fig. 87) gekomen is, zal de fnelheid, met welke dezelve vloeit,of zich langs EC beweegt, het geen de Heer Newton de Fluxie van den Ordinaat noemt, uitgedrukt worden, niet door de ruimte Ee. die dezelve doorloopen zal in den tyd, geduurende welken de Ordinaat B b zal doorloopen, maar door de ruimte Ee, welke dezelve met de in het punt C verkreegeue fnelheid , zonder vermeerdering noch vermindering behouden, zoude doorloopen. Want dit befchryvend punt komt niet in e, als uit kracht der verfnelling of vertraaging, welke het ondergaat geduurende den tyd, dien de Ordinaat befteedt om Bb te doorloopen, nadetbaal, indien het niet verfneld of vertraagd was, de ruimte, die het doorgeloopen hadt, geweest zou zyn de Lyn Ee, tusfchen de evenwydige CE en de raakiyn in het punt C befloten.
Hetgeen wy zo even gezegd hebben toont reeds het grondbeginfel van den Regel der raaklynen in deeze Rekening. Zonder eenige harde onderftelling te doen, als deeze, dat de oneindig kleine deelen eener Kromme rechte Lynen, en de raaklynen haare verlengfelen zyn, kan men de wydte tusfchen twee Ordinaten, naar welgevallen genomen, BC, 4c, zo groot neemen als men begeert; en zo F Ce eene raakiyn m het punt C, en CE evenwydig aan den As is, zal CE de Fluxie van de Abfcisfe, en Ee de overëenkomftige Fluxie van den Ordinaat zyn, zulks dat het klaarblyklyk is, dat de Fluxie van den Or4waat ftaat tot die van de Abfcisfe, als dtOrainaat |6t de $.ubiangen$ of Onderraaklyn, Vervolgens zal
men



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 463
men zien, boe men, door de Analytifche uitdrukking der Kromme, de betrekking van die beide Fluxien vindt. Desgelyks is de Lyn Cc de Fluxie der kromme Lyn AC; dus ziet men nog daar benevens, dat het vierkant van de Fluxie der Kromme gelyk is aan de fom van die der Fluxien van de Co-Ordinaten, hetgeen het grondbeginfel der recïificeeringen (reetificatior.es) is.
Het is niet veel moeijelyker, met behulp der bo» ven voorgedragene grondbeginfelen , te bepaalen welke de Fluxie van eenen kromlynigen Inhoud is. Dezelve is geenszins de ruimte CRbcCFig. 88), met welke die Inhoud wezenlyk aangroeit , maar den Rechthoek BE, gevormd van den Ordinaat door de fluxie van de Abfcisfe Want, om bet eenvoudigfte voorbeeld te neemen, in den Driehoek, waar inde Abfcisfe gelykmaatig vloeit, groeit of vloeit de Inhoud met eene verfnelde beweeging , naardien in gelyke tyden de aangroeijingen hoe langer hoe grooter zyn. Nu is het klaarblyklyk, dat het Driehoekje CEe datgeen is, 't welk uit kracht van die verfnelling wordt voortgebragt. Derhalven moet men hetzelve verwerpen; en de waare fnelheid van den aangroeijenden inhoud ABC, wanneer dezelve tot die grootte gekomen is, is de Rechthoek CBfec. Hetgeen wy nu van den Driehoek gezegd hebben, wordt gemaklyk op andere kromme Lynen toegepast. Dus is de Fluxie van eenigen Inhoud het vermeenigvuldigde van den Ordinaat met de Fluxie van de Abfcisfe. De Fluxie van een Lighaam is het vermeenigvüldigde van de Fluxie des Abfcisfe met de teeleDde oppervlakte , die, by voorbeeld , den Cirkel, met den ftraal BC befchreeven, zal zyn, als dat Lighaam den Kegel (Conus} of de Conoïde is, welke door de omwenteling der Figuur ABC rondöm AB wordt voortgebragt.
Deeze wyze, om den aanwas der Figuurcn te be. fchouwen, geleidt ons natuurlyk tot de Fluxien der Fluxien, en tot de Fluxien van alle rangen, zonder dat men daar tegen eenige der zwaarigheden kan inHh 5 bren-



466
HISTORIE der
brengen, welke men tegen de tweede, derde verfchillen, enz» van de Differentiaal- Rekening heeft opgeworpen. Want laaten wy ons op denzelfden As AB (Fig. 89J eene Kromme DdO verbeelden, waar van elke Ordinaat BD als de Fluxie zy van BC, of de fnelheid, die het befchryvend punt Cop BC heeft. Is die fnelheid gelykmaatig, dan zal de Lyn DdD flegts eene evenwydige aan den As zyn, en by gevolg zal BD geene Fluxie hebben; ook zal 'er geene tweede Fluxie voor den Ordinaat BC zyn. Maar is de fnelheid van het punt Cgeduurig verfneld of vertraagd, dan zal de Ordinaat BC aangroeijen of afneemen. Deeze Ordinaat zal by gevolg eene Fluxie hebben, welke klaarblyklyk de tweede van den Ordinaat BC, of deszelfs Fluxie van Fluxie zal zyn. Dit voorbeeld kan ons desgelyks dienen, om aan te toonen wat de Fluxien van verdere rangen zyn. Want zo de Kromme Dd geen eenvoudige rechte Lyn, tot den As overhellende, is, zal de Ordinaat BD zelf eene tweede Fluxie hebben, die by gevolg de derde van den Ordinaat BC zal zyn. Men kan desgelyks de Fluxien der vierde, vyfde rangen enz. betoogen en tastbaar maaken. In 't algemeen kan eene Kromme van eenen trap m geen Fluxien van een hoogeren rang hebben , dan van dien welke met m benoemd is ; maar eene Mechanifche Krom. me kan dezelve van alle trappen tot in 't oneindige hebben. Zulks heeft plaats in de Logarithmifche Lyn, om dat de Kromme op den zelfden As, welke de betrekking der eerfte Fluxien aanwyst, zelve eene Logarithmifche Lyn is; waar uit klaarlyk blykt, dat de Kromme, welke de betrekking der Fluxien van deeze zou aanwyzen, desgelyks eene Logarithmifche Lyn zou zyn, en zo tot in 't onëindige.
Na den Leezer bekend gemaakt te hebben waar in de Leerwyze der Fluxien beftaat, moeten wy thans tot eene korte verklaaring van derzelver rekening overgaan. Want het zou ons weinig baaten in 't bezit te zyn van de grondbeginfelen , welke wy zoeven hebben voorgedragen, als ons het middel



WISKUNDE. lil. Deel VI. Boek. 4C7
del ontbrak om de betrekking der Fluxien van de verfchillende foorten van grootheden , in de verfcheide gevallen , en , volgens de onderfcheidene Vergelykingen der kromme Lynen, te vinden. In den beginne moet men de Fluxie vau eene eenvoudige grootheid, alsx, door eenig teken aanwyzen. De Heer Newton doet zulks dan eens door x, dan wederom door ox, fomtyds door X, of door eenige andere letter, als ƒ>. Doch het eerfte teken is dat 't welk in Engeland voor het gemeen gebruik is aangenomen , terwyl de meeste Meetkundigen van 't vaste Land zich van het teken dx bedienen. Wanneer men derhalven eene eenvoudige en veranderlyke grootheid heeft, als ac, zal het gemaklyk zyn haare Fluxie te vinden , en in tegendeel, wanneer men eene Fluxie als x heeft, zal men aanftonds zien , dat haare Fluent, of de grootheid waar van zy de Fluxie is, X is. Desgelyks is de Fluxie van mx, (m eene ftandvastige of onverënderlyke grootheid zynde) mi. Na dit geval, het eenvoudigfte en eerfte van allen, volgt dat waar in men het vermeenigvuldigde van twee grootheden heeft, als xy* Om haare Fluxie te verkrygen, verbeelde men zich een Rechthoek, als AC {Fig. 90), waar van x en y de zyden zyn. Even als men getoond heeft, dat de Fluxie van den Inhoud eens Driehoeks, als ABC, eenvoudig BE, en niet den geheelen Inhoud BCc£, is, is het ook gemaklyk te bewyzen, dat de Fluxie van den Rechthoek AC flegts de fom is van de Fluxien BE, DF, dat is te zeggen y'x + x'y , en vice verfd, als men eene Fluxie van die gedaante heeft, zal men kunnen zeggen, dat de grootheid, waar uit zy voortkomt, xy is. Hier uit is, door de Analyfis alleen , en zonder eenige onmiddelyke befchouwing van het grondbeginfel der Fluxien, gemaklyk af te leiden de betrekking der Fluxie» van alle andere foorten van grootheden , welke haare gedaante en famenftelling ook zy. In de volgende
noot



4?» HISTORIE der
rug, waar aan Newton niet gedacht hadt (t). Onder dezelven is vooreerst die , welke den boog door de raakiyn bepaalt. Wanneer de ftraal r, en de raakiyn f is, dan is de boog, zegt Gregory t
t——-\—■—t &c» tot in ft oneindige; zulk3 dat.
Rellende de ftraal ei, en de raakiyn gelyk aan de ftraal, de boog, die alsdan van 450, of J van den omtrek, is, zal zyn 1 —|-h|—* + *» &c. Dé Heer Gregory geeft in den zelfden Brief de raaken fnylyn door den boog , waar uit blykt, dat hy zich reeds in 't bezit der Leerwyze van de wederkeering der reekfen gefteld hadt. Wat meer ist hy geeft desgelyks twee reekfen, om, de boog gegeeven zynde , onmiddelyk de Logarithmus van de raak- en fnylyn te vinden of integendeel, ea eene derde' voor de reStificeering; van de Ellips „ waar by hy zeer wel aanmerkt, dat 'er ilegts eeni. ge tekens tè veranderen zyn, om die te verkrygen, welke op den Hyperbool toepasfelyk is. Hy hadt eene Verhandeling over die Leerwyze gefchreeven: doch alzo Newton in dien tyd voorneemens was zelf zyne ontdekkingen in 't licht te geeven, wilde hy , uit hoogachting voor zyn perfoon, hem niet Voorkomen. Naderhand liet Newton zyn ontwerp vaaren, zo dat het Werk van Gregory een faand« fchrift gebleeven is.
VII.
Men moet bekennen , en het is eene zaak waar van bet Comtn. Epift de bewyzen oplevert, dat alle die luisterryke nieuwigheden van Analyjis en Meetkunde in Engeland haaren oorfprong namen: 't was niet dan eenige jaaren daar na, toen het vaste Land aan dezelven begon deel te neemen. Wy komen bier tot het onderzoek van den beruchten twist over
he|
(O Cmm. Epift. p. 35»



WISKUNDE. III, Deel. VI. Boei. 479»
het aandeel, dat Leibnitz aan de uitvinding van zyne Differentiaal-Rekening gehad heeft. Wy zullen nu een omftandig verfiag daar van doen, en de wederzyds bygebragte ftukken zorgvuldig onderzoeken.
In 't begin des Jaars 1673 was de Heer Leibnitz te London, in 't gevolg van eenen Afgezant. Het fchynt, en hy zelf ontkent zulks niet, dat hyeich toen nog niet veel op de Meetkunde had: toegelegd , en zich eeniglyk met de Rekenkunde onledig hieldt: men kan zelfs niet ontkennen, dat de beide uitvindingen, welke hy in eenen Brief, uit London za.n Oldemhurg geïchieeven, opgeeft, niet reeds vóór hem bekend waren. Maar men behoort tevens aan te merken, dat de Heer Leibnitz veel verder was geweest dan zy, die hem voorgegaan waren; wanc hy zegt in dien Brief, dat hy de fom kan bepaalen van alle de oneindige reekfen van breuken, waar van de tellers de eenheid zynde, de noemers de driehoekige, of piramidale, of driehoeks-driehoekige getallen zyn; zo als deeze zouden zyn: i-r-f
^-r-Tê + xS+s?, &C. Of I+l-r-ïl + sè, tyc.
In de daad, de eerfte, tot in 't oneindige voortgezet, is gelyk aan i§, de tweede aan 2, enz. Dee. ze vernuftige vinding zuivert den Heer Lcibnitzvza de verdenking van geleerde diefftal, waar mede de Uitgeever van het Comm. Epiftolicum hem betigt.
De Heer Leibnitz keerde, na eenige maanden verblyfs ee London, naar Parys terug, 't Was eerst in dien tyd , dat hy zich aan de hooge Meetkunde begon over te geeven. De verkeering met den Heer Huyghens, wien hy dikwyls bezocht, deédt den fmaak voor dezelve in hem gebooren worden ; en naardien hy de Logarithmotechnia van Mercator uit Engeland hadt medegebragt, begon hy dat Werk te kezen, als mede dat van Gregorius d S. Pincent™, H welk de Heer Huyghens hem hadt aangepreezen. Eensklaps, zegt hy, werden zyne oogen geopend: nieuwe denkbeelden deeden zich voor hem op, en hy vondt, op het einde des Jaars 1673, zyne QuaJi 4 dra»



48<* HISTORIE die
dratuur van den Cirkel, door eene rationaale reeks£ welke hy den Heer Huyghens mededeelde, die dezelve ten hoogften goedkeurde. Zyne Leerwyze beflondt, zo als men uit één van zyne brieven, in den Jaare 1676 gefchreeven, ziet, in eene vervor» jning door welke hy den Cirkel veranderde in eene andere gelyke Figuur, waar van de Ordinaat een rationaale Breuk was, zulks dat hy op dezelve in 't werk ftelde hetgeen Mercator op den Ordinaat des Hyperbools deedt. Deeze opvolging van denkbeelden is geheel waarfchynïyk, en het Boek van Mercator verwekte natuurlyk deeze onderwinding.
De Leerwyze van den Heer Leibnitz is ons door fommige üchryvers nagelaaten, naamlyk door den Abt de Catelau, die hem dezelve uitdruklyk toeeigent (u) , en door Ozanam {?), die niet zegt van wien hy dezelve heeft, doch zekerlyk 'er den uitvinder niet van was. Nademaal dezelve kunftig is, en dienen kan om fommige aantygingen der tegenpartyen van Leibnitz in een helder daglicht te ftellen , zullen wy dezelve hier voordragen, Eene Kromme, welke die ook zy, voorgefteld zynde, hy voorbeeld, een Cirkel AHB CFig. 02); zo men alsdan op den Ordinaat PH eene Lyn neemt gelyk aan de Raakiyn Al, gefneeden wordende door de Lyn , welke dien Cirkel in H raakt, en dat men die Confirufyie in alle andere punten verricht, zal men eene nieuwe Kromme bekomen, welkers Inhoud APG, door den Ordinaat PG afgefneeden , het dubbeld yan het Segment ALHA zal zyn. Door dat middel vindt hy eene Vergelykinge tusfchen de Co-Ordinaten AI, IG, zulks dat de Ordinaat \G door eeneu rationaaien Breuk wordt uitgedrukt. Hy herleidt den. zeiven , door deeling , in eene reeks; vervolgens deeze reeks, naar de regelen van de Rekenkunde der mïindigcn- behandelende, vindt hy de waarde van
den
00 Logifi. univ. #» Méthode pour les mgentes. Paris 1692, in 4U. p. 68 & 112. (y) Geetn, Prat.



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boeki +8r
den Inhoud AGI, welke van den Rechthoek GA afgetrokken, en het overige door 2 gedeeld zynde, het Segment ALHA voortbrengt. Men voegt hier by den Driehoek HPA , en alsdan is het Segment APK door eene Reeks uitgedrukt. Zo men nu onderdek, dat AI gelyk wordt aan AF, of aan den ftraal, en deezen ftraal =1 neemt, vindt men voor het vierde-deel des Cirkels de reeks 1—f + f — êfc. Zo men in tegendeel by het Segment ALH, in » gegeeven, den Driehoek ACH optelt, en alles door a deelt, zal men den Se&or ACL , die met de Raakiyn AI overëenftemt, bekomen; en zo men deezen SeQor door | deelt , zal men de waarde van den boog AL gefyk aan deeze reeks hebben x—f ar3 -I- f *«•—;#7, êfc. Dat alles wordt even gemaklyk op den Hyperbool toegepast, en men bevindt alsdan den Hyperbolifchen Setlor, wiens Raakiyn * is, gelyk aan de helft van deeze reeks x + \-x3 + jx5, ÊrV.
Leibnitz deelde , zegt hy , den Meetkundigen van Parys zyne ontdekking mede, in 't begin des Jaars ÏÓ74, en eenige maanden daarna maakte hy dezelve met twee Brieven aan Oldemburg bekend; in de tweede fpreekt hy met veel ophefs van zyne reeks, dezelve befchouwende als de eerfte, welke voorden Cirkel gegeeven is. Hy voegde 'er nog by, dat hy door de zelfde Leerwyze den boog konde bepaalen , de Sinus gegeeven zynde: eindelyk merkt hy aan, dat zyne quadratuur eene zeer merkwaardige overeenkomst tusfchen den Cirkel en den Hyperbool oplevertf
Oldemburg beantwoordde deezen Brief op eene wyze, welke ten voordeele van Leibnitz veel afdoet. Hy geeft hem alleenlyk kennis van de vorderingen van Newton en Gregory in dat gedeelte der Meetkunde. Leibnitz verzoekt, dat hem dezelve medegedeeld mogen worden. Collins en Oldemburg beiden zenden hem de verfcheide reekfen, door de beide Engelfche Meetkundigen gevonden, en onder anderen die welke den boog door de raakiyn uib-J drukt. Maat zo Leibnitz die reeks van Oldemburg of li 5 Cciz



483
HISTORIE der.
Collins ontfangen hadt, zou dan wel één van beiden «agelaaten hebben hem zulks indachtig te maaken 9 Jvlag men Leibnitz van eene zo groote vrymoedigheid verdacht houden , om op eene ontdekking te roemen by hun, die hem dezelve medegedeeld zouden hebben?
Deeze briefwisfeling tusfchen Leibnitz en Oldemhwg duurde toe in 't midden des Jaars 1676, toen Newton, op beider aanzoek, zyne Leerwyze voor de quadraturen der Kromme Lynen in twee lanedraadige Brieven befchreef. In de eerfte verklaart hy zyne Formule voor de Worteltrekking, en past dezelve op verfcheide voorbeelden toe. Hy geeft tevens verfcheide reekfen voor den Cirkel, voor den Hyperbool, voor de rectificeering van de Ellips de quadratuur van de Quadratris , enz. Eindelyk befluit hy zynen Brief met zekere Leerwyzen, om gemaklyke benaderingen uit de oneindige reekfen af te leiden,
Leibnitz beantwoordt deezen eerften Brief van Newton , met hem de Leerwyze mede te deelen door welke hy eene Kromme met irrationaale Ordinaaien in eene andere verandert, waar in zy ratio, naai zyn, hetgeen hem in ftaat ftelt om de deeling volgens de handelwyze van Mercator, daar op toe te pasfen, ten einde dezelve in eene oneindige reeks te veranderen: voorts is deeze Leerwyze, fchoon kunftig, verre beneden die van Newton , en zelfs kan zy, in zekere gevallen, onöverkomelyke zwaarigheden opleveren, zulks dat men dezelve geenszins als algemeen , noch als voldoende, kan beschouwen. In deezen Brief merkt de Heer Leibnitz in 't byzonder aan, de overeenkomst van den SeElor des Cirkels met den Hyperbolifchen SeSlor, hier in beftaande, dat t de raakiyn in den top, en 1 den
t3 ts'
hzlven-LVameter zynde , de eerfte is t 1~—»
*i 3 f> * t3 ts fa , grV. in plaats dat de laatfte is / + 1
7 3 5



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 495 '
van de RekeniDg der verfchillen van hoogere graaden kende; het is waar, dat hy door overhaasting zich vergist hadt, in eene der wyzen om die verfchillen ce befchouwen ; maar men ziet uit eenen Brief, in den Jaare 169a aan Wallis gefchreeven, dat het waare grondbeginfel hem bekend was. Keil verdeedigde Newton in de zelfde Tydfchriften: men beantwoordde hem, en *er werden wederzyds fcheldwoorden of fchampere verwytingen gebeezigd, zo als in dergelyke gevallen de gewoonte is» Het gevolg van dien twist was merkwaardig door de voorftelling van een Problema, dat Leibnitz van ter zyden aan Newton deedt. Dit Problema, dat hy , na alvoorens met Bernoulli geraadpleegd te hebben, gefchikt oordeelde om zyne tegenttreevers in verlegenheid te brengen, is het volgende. Laat 'er, by voorbeeld, zyn een onè'indig getal kromme Lynen van de zelfde fóort, zo als zyn zouden Hyperbolen van den zelfden top en het zelfde middenpunt, van de meest geplatte af, die met zynen As famenloopt, tot de meest geopende, die niets anders is dan de Lyn, welke perpendiculair op den gemeenen As ftaat; men vraagt naar de Kromme, die hen allen rechthoekig zal doorfnydeti. VVy haasten ons met aan te merken, dat dit flegts één der eenvoudigfte gevallen is , dat niet boven het bereik van een middelmaatig Analist gaat. Het Problema is wel anders moeijelyk, als 'er gefproken wordt van eene reeks van kromme Lynen, by voorbeeld, van Hyperbolen, van den zelfden top en den zelfden Parameter, doch met veranderlyke middenpunten ; zo de middenpunten en Parameters veranderlyk zyn; zo de kromme Lynen , in plaats van Meetkundig , Tranfcendentisch zyn, by voorbeeld, een oneindig getal Logarithmifche Lynen, door het zelfde punt gaande, enz. Het algemeen denkbeeld van het Problema bevat eene meenigte andere gevallen , waar van fommige ten uiterften moeijelvk zyn. De gefchiedenis van dit Problema, reeds" door Viviani ontworpen , vervolgens in de Aften van Leipzig des Jaars 1697 voorKk 4 ge-



4?6 HISTORIE der
gefield , en door den Heer Jaccbus Bernoulli afgemeener opgelost, zou te wydloopig zyn. Wy zullen alleenlyk zeggen, dat Newton, naar het ons toefchynt, in de fchets van oplosfmge, die hy van 't zelve gaf, eenigermaate onbedachtzaam te werk ging ; niet dat wy denken , dat hy hetzelve niet op eene volkomene wyze hadt opgelost : maar zo hy het recht ingezien hadt, zou hy in 't zelve bvzondere zwaarigheden ontmoet hebben, voornaamIyk m t geval door den Heer Bernoulli voorgelteld. Wat 'er ook van zy, dit Problema heeft achtervolgens het fchrander oordeel opgewekt van den Heer Jan Bernoulli van zynen Zoon Ntcolaas Bernoulli, en van zynen Neef van den zelfden naam, van den Heer Tailor, die onder de Engelfchen aan hetzelve voldeedt, en van den Heer Herman. Alle hunne nayorfchmgen over dat onderwerp worden in de Werken van den Heer Bernoulli gevonden f»
Een gemeen vriend van Leibnitz en Newton fde Abt Conti, een Venetiaansch Edelman) ondernam
n len,J,lar« 'V5 om hun beiden te verëenigen. Uoch zulks ftrekte tot niets anders als om hen nos meer te verbitteren , alzo Leibnitz by aanhoudendheid bleef voortgaan om Newton zyn recht van voorrang , aangaande de Rekening in gefchil te betwisten , en Newton aan Leibnitz bleef weigeren 't geen hy hem eertyds hadt toegeflaan r». Eindelyk maakte de dood van Leibnitz, omtfënt 1iet einde van den Jaare 1716 voorgevallen, een einde aan dien twist. Om denzelven met weinig woor! den kortelyk te herhaalen, zullen wy zeggen, dat buiten tegenfpraak de Heer Newton de eerfte uitvinder van de Fluxie-Rekening is: wat den Heer Leibnitz betreft, het fchynt oös toe , dat de ftukken van welken men bewyzen kan, dat ze hem mede-
ge-
0rSiS,dC aIgemeene Tafd' °P h" W°°rd **** {«) Zie Newt. Opufcula. T. 1. p. 379 en vojg>



WISKUNDE. 111. Deel, VI. Boek. 497
gedeeld zyn geworden > niets bevatten dat aanleiding geeven kunne, om hem aan te zien als hebbende die Rekening van Newton ontleend , maar flegts als dezelve geraaden hebbende naar de belchryving, welke Newton hem van haare voordeelen deedt. Indien men voorts in aanmerking neemt, hoe weinig 'er te doen was , om van de Rekeningen van Barrow en Wallis tot de Differentiaal-Re* kening over te gaan , zal het, onzes bedunkens , overtollig fchynen den oorfprong van deeze laatfte elders te zoeken» in de daad , hetgeen Barrow door e en a aanduidde; was niets anders dan de oogenbliklyke en onëindige kleine aangroeijingen (incrementa) van de Abfcisfe en den Ordinaat» Door nu deeze Vergelykinge, by voorbeeld, *3 = by*, te onderftellen, gaf de berekening van Bar» row, van de overtollige bewerkingen ontdaan , %x2eZZa.bya; de Vergelyking x* — b3y gaf desgelyks $x3e~baa. De overeenkomst gaf derhalven aanleiding tot de aanmerking , dat zo men xn ZZJ
hadt, men behoorde te vinden nx ezza , welk ook het getal » ware , geheel of gebroken, pofitif of negatif. Van eenen anderen kant hadt Wallis de eletnenta der Inhouden van kromme Lynen aangeduid door den rechthoek , gemaakt van den Ordi. naat, en een oneindig klein gedeelte van de Ab. fcisfe, 't welk hy A noemde , zulks dat het element van den Inhoud des Cirkels, volgens hem , was
hy/ aa—xx. Hy hadt ook de elementa der lengtens van de kromlynige boogen tot eene zodanige uitdrukking overgebragt, naamlyk door eene overeenkomst, gegrond op de gelykheid van den fcleU sen kenmerkenden Driehoek met dien van de Onderraaklyn, de raakiyn en den Ordinaat. Laat ons hier nog byvoegen , de aanwyzing van het incre* ment eener grootheid op eenigerlei wyze, welke aantoont tot welke grootheid het behoort, als door de zeefde letter voorgegaan van een byzonder teken , Kk 5 (Leib-



498
HISTORIE der
(Leibnitz heeft de letter d verkozen , welke differentia of verfchil betekent); Zie daar den overgang van de Rekening van Barrow , en van die van Waf lis, tot de Differentiaal- Rekening. Maar fchoon'er zo weinig te doen ware , om van de eene tot de andere over te gaan , zou het echter eene groote onrechtvaardigheid zyn , als men Leibnitz van de eere deezer vinding wilde berooven, nademaal zo veele Meetkundigen de Boeken van Barrow en Wallis gezien, en dezelve overwogen hadden , zonder verder gekomen te zyn. Het vernuft beftaat in die gelukkige vaardigheid van inzichten en middelen, welke van achteren eenvoudig en gemaklyk fchynen, doch niettemin buiten het bereik blyven van bun, welke met die gelukkige gave der natuur niet bevoorrecht zyn,
VIII.
Wy moeten hier het verhaal der vorderingen van de Rekening van 't oneindige voor eeaige oogenblikken opfchorten, ten einde verflag te doen van eenige byzondere Theorien der hooge Meetkunde, welke omtrent dien tyd haaren oorfprong namen. De eene is die der Brandlynen (Caujlicce) een nieuw lbort van kromme Lynen, door den Heer van Tfchirnhaus uitgevonden, en aan zeer merkwaardige eigenfchappen onderhevig: de andere die der Epicjcloïden , welke desgelyks belangwaardige eigenfchappen hebben , 't zy men dezelve van den kant der Theorie befchouwt, of dat men dezelve ten aanzien der Werktuigkundige nuttigheden in aanmerking neemt. Wy zullen met de Brandlyuen van den Heer van Tfchirnhaus (b) een begin maaken.
* Een
(&) De Heer van Tfchirnhaus (Ehrenfried Wakher), Heere van Kieslingswalda en Stoltzenierg, werdt den 10 April 1651 te Kieslingswalda, in Opper-Lausnitz, gebooren. Na dat hy , omtrent het Jaar ï6j% , onder de Hollandfche
ïrou-



£ja HISTORIE de»
tervolgende verfchiilen uitmaakt: nu verfchillea deeze twee anëindig.kleinen onderling eene onëin. dig kleine grootheid ten hunnen opzichte: zie daar dan , volgens den Heer Leibnitz, een onëindig klein van den tweeden rang; dit is het 't welk aan deeze Rekening den naam van oneindig-kleinen heeft doen geeyen: maar hetgeen dit gronbeginfel en des. zelfs denkbeelden, in den eerften opflag, voor Meetkundige ooren aanftootelyks in zich bevatten, is eemglyk in de uitdrukkingen. Het is flegts eene wyze van uitdrukking, welke aangenomen is om omfchryvingen te vermyden , en ons geenszins in dool.ng kan voeren. Wy zullen dit nader aantoo. nen , na alvoorens den Leezer een denkbeeld gegeeven te hebben van de wyze, op welke men in de Dt^er<?».'/*ff/-Rekening redeneert.
Eene veranderlyke grootheid x voorgefteld zynde, wordt haare oneindig kleine aangroeijing, of ten Differentiaal, door dx aangeweezen. Dit onderfteld zynde, zo laat, by voorbeeld, naar de oneindig kleine aangroeijing van gevraagd worden: terwyl dan x wordt *+ dx, is het klaar, dat x* za worden (x-t-dxy, of x* + sxdx + dx'. De aangroeijing van x* zal derhalven zyn zxdx + dx"" Trd'x ze^^..^ Leibnitz* rfxS\ergeleekèn met sxdx, is oneindig klem, vermits het eerfte een Rechthoek van twee oneindig kleine afmeetingen is, terwyl het tweede flegts eene van die foort heeft Men kan derhalven, zonder een misdag te begaan d* j verw^arlozen 5 de aangroeijing van x- js dus °P 8elyke wyze wordt betoogd , dat de Dfrentjaal van xy is ydx+xdy, en niet ydx-ï xdy + dxdy. Want dxdy is, ten aanzien vanydx «5.^/S-B oneindig klein. Dat alles, alhoewel*? fchyn ftrydig met de Meetkundige ftriktheid laat nrctna met de waarheid overëen e komen', zo als wy vervolgens zullen doen zien. '
w7» ttt 1?or *e,kere grootheden te verwaarlozen heeft de Heer Leibnitz niets anders gedaan dan hetgeen by de Analisten en Meetkundig£rX
ge.



WISKUNDE. 111. DM VI. 513
gebruiklyk was. Iedere grootheid , die in zekere omftandigheden minder dan eenige bepaalbaars grootheid wierdt, hoe klein dezelve ook ware, werdt in die omftandigheden als niets geacht. Wanneer men dus het getal der zyden van eenen Veelhoek, in den Cirkel befchreeven, geduurig verdubbelde , befchouwde men den Cirkel en den Veelhoek als ten laatften elkander bedekkende , zonder acht te geeven op de kleine Segmenten, welke het ver. fchil van beide uitmaaken. Want men betoogde, dat de fom van alle die Segmenten deruiaaie vermin, derde, dat zy kleiner dan eenige bcpaalbaare grootheid wierdt. Dit is juist het geval der onëindig» kleinen van den Heer Leibnitz. Naar maate, in het voorgaande voorbeeld, dx vermindert, vermindert ook de redeD van dx* tot axdx. en wordt eindelyk kleiner dan eenige bepaalbaars reden, wanneer dx kleiner dan eenige gegeeven grootheid wordt. Men kan derhalven dx niet anders befchouwen, dan als nul vergeleeken met ixdx% en by gevolg drukken dx en zxdx refpeclivelyk uit de aangroei* jingen van x en %- , wanneer die aangroeijingen onëiudig klein zyn, dat is te zeggen, in het tydftip waar in zy vernietigd worden.
Maar wat zullen, volgens dat Systema* de verfchillende rangen van oiiëindig-kleinen, of verfchillen van verfchillen, zyn? Wy moeten recht uit bekennen , dat het denkbeeld . 't welk hy daar van geeft, niet zo duidelyk en van zwaarigheden ontheven is, als dat van den Heer Newton. Welke pooging een fchrandere Geest en Meetkundige, de beroemde Secretaris van de Academie, ook aangewend hebbe, om het beilaan van die verfchillende rangen van onëindigen en onëindig-kleinen te vestigen, is hetzelve echter, naar ons gevoelen, meer een ftout dan vast gebouw. Om dat deel der Rekening van den Heer Leibnitz voer alle zwaarigheid te beveiligen , is het noodig toevlucht te neemen tot de denkbeelden, welke de Heer Newton daarvan gieft, qn welke wy in één der voorgaande Artikelen verLl 5 klaard



5t6
HISTORIE der
loopende , te bepaalen. Deeze proeve werdt van eene andere gevolgd over de Logarithmifche Spiraal, over de Loxodromifcht Kromme , cf die welke een Schip, dat geltadig de zelfde kompasftreek houdt, op de oppervlakte der zee befchryft , over de Inhondrn der klootfche Driehoeken, enz. Van de zelfde hulpmiddelen gerugfteund, wikkelde hy zich eerlang in andere diepzinnige nafpeuringen , door de K rommen te befchouwen, welke uit haare rolling op elkander gebooren worden , en door de Theorie der Brandlynen, eene nieuwe ontdekking van den Heer van Tfchirnhaus, verder uit te breiden. Gaande weg ontmoette hy eene merkwaard., ge eigenfchap van de Logarithmifche Spiraal; nasmlyk, dat niet alleen haare Ontwondene, maar ook hergeen hy haare Tegen-Ontwondene noemt, haare Brandlyn, zo door terugkaatfmg, als door ftraalbreeking , het draaiend punt in het Centrum zynde, nieuwe Logarithmifche Spiraalen zyn, gelyk en gelykvormig aan de eerfte. Deeze foort van geduurige voortplanting der Logarithmifche Lyn behaagde hem even zo zeer, als de ontdekking der overeenkomst van den Kloot met den Cylinder voormaals aan Archimedes behaagd hadt; en even als de oude Meetkundige gewenscht hadt, dat men, ter gedachtenis van die ontdekking, in plaats van een graffchrift , een Kloot in eenen Cylinder befchreeven op zyn graf mogt plaatzen, begeerde de Heer Bernoulli, dat op het zyne uitgehouwen mogt worden eene Logarithmifche Spiraal met deeze woorden , Eadem mutata refurgo , eene voortreffe. ïyke zinfpeeling op de hoop der Christenen, welke door de eigenfchap van die geduurig weder ontilaande Kromme eenigerma3te verbeeld wordt. De Heer Bernoulli gaf blyken zyner bedreevenheid in de nieuwe Rekening door verfcheide andere ftukken, welke in de Acfen van Leipzig zyn ingelascht, en de moeijelykfte vraagftukken der Meet- en Werktuigkunde betreffen. Zyn naam zal om die reden,
op



WIS K Ö N D E. III. Deel. VI. Boek. 5! 7
op verfcheide plaatfen van deeze Hiftorie, nog meenigmaal genoemd worden (»).
De Heer Jan Bernoulli, de beroemde broeder van dengeenen van wien wy zo even gefproken hebben , draalde niet om in de zelfde loopbaane te
tree-
(n) De Heer Bernoulli (Jacobus) werdt den 37 December 1654 ts Bazel gebooren. Hy hadt de tegenkantingen van zyne Familie, die hem tot geheel iets anders dan tot de Wiskunde beftemde, te overwinnen, maar zyn fmaak overtrof de zwaarigheden, en was, zo als de Heer de Fontsnelle zegt, zyn eenige Leermeester. Na gereisd te hebben, keerde hy in zyn Vaderland te rug, alwaar hy in 't Jaar 1681 in 't licht gaf, zyn Conamen novi fystematis planetarum, een Werk dat zynen naam niet t'eenemaal waardig is; en in 't Jaar 1682 zyne Verhandeling De gravitate ceiheris. Maar het is voornaamlyk de Wiskunde, waar van de Heer Bernoulli zynen luister en zyne beroemdheid ontleent; het is noodeloos hier te herhaalen hetgeen wy reeds gezegd hebben over de verplichtingen, welke de Meetkunde en de nieuwe Rekeningen aan hem hebben. De Academie der Weetenfchappen liet, ten tyde van haare vernieuwing, niet na een man van eene zo uitfteekende verdienfte als buitenlandsch Medelid aan te neemen. Zyn Vaderland hadt hem ook aan hetzelve verbonden , door hem den post van Hoogleeraar der Wiskunde aan de Univerfiteit van Bazel op te dragen. Hy ftierf den 16 Augustus des Jaars 1705. hebbende nog flegts 50 jaaren en eenige maanden bereikt. Behalven de Veraameling van zyne Werken, dat is te zeggen, van de verfcheide ftukken, in de Aften van Leipzig ingelascht, of in zyne papieren gevonden, eene kostelyke Verzameling voor alle de beminnaars der Tranfcendentifche Meetkunde; heeft men nog van den Heer Bernoulli eem Werk, dat na zynen dood is uitgekomen, getyteld: De Arte conjeiïandi, benevens een ftuk over de onëindige reekfen. Men heeft de uitgave daar van te danken den Heere Mcoiaas Bernoulli, zynen neef die deztlve in 't Jaar 17,3 in 't licht bragt. Wy zullen op eene andere plaats met meer uitgebreidheid, en met den verdunden iof, van dat Werk fpreeken.



5i8 HISTORIE der
treeden , en daar in met de zelfde fnelheid voort te gaan. Hy hadt, zo wel als zyn broeder deel aan de oplosling der fraaifte Voorftellen, welke in dien tyd onder de Meetkundigen verhandeld wer. den, en hy zelf gaf ook verfcüeide Voorftellen op . A7en ??n Le,Pzi& zvn vol gefchriften van dien geleerden Meetkundige , welke eene meenigte ontdekkingen en kunftige handgreepen bevatten, waar door de /«/^^/-Rekening tot eenen boogen trap van volkomenheid gebragt wordt. VVy zullen in t vervolg gelegenheid hebben, om den Leezer een gedeelte daar van voor oogen te ftellen. Thans zu.len wy ons bepaalen, om hem een denkbeeld te Verfchaften van eene nieuwe lbort van Rekening waar van hy in den Jaare 1Ó97 de eerfte proeven in 't licht bragt.
Deeze Rekening is die welke men ExponentiaaU Rekening noemt. Wy hebben tot hier toe magten gezien, waar van de Exponent ftandvastig was, als •f, » een willekeurig en onveranderlyk getal zynde. Maar men kan zich grootheden verbeelden waar van de Exponent zelf veranderiyk zy. Niets ftaat ons , by voorbeeld , in den weg , om eene Kromme van zodanige natuur te verzinnen dat ieder Ordinaat BC (Fig. 95. b), ofy, gelyk zy aan x , dat is te zeggen, aan de raagt van de Abfcisfe. waar van1 de Abfcisfe zelve den Exponent verbeeldt. Onderftellende alsdan AB;i, zou de Ordinaat B C = 1 zyn; m het punt b, of A B = 4, zou dezelve zyn. In /3, alwaar de Abfcisfe st is, zou die Ordwaat aa zyn. Zelfs zou men , om meer alge. meen te zyn, eene Kromme dD8 kunnen onderftellen, welkers Ordinaten bd, BD, enz. waren 2 en dat die van de Kromme AcC uitgedrukt werden
door deeze Vergelykinge y~xz. Welke zullen de eièenlchappen der Krommen van deeze natuur haare raaklynen, haare Inhoud, enz. zyn? Zie daar het onderwerp der Rekening , waarvan wy
fpree-



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 510
fpreeken. De Heèr Bernoulli noemde dezelve in 'c eerst doorkapende , uit hoofde dat de grootheden van die foort eenigzins alle rangen doorloopen. Maar de naaui van Exponentiaal, door den Heer Leibnitz aan dezelve gegeeven, heeft den voorrang behouden , en dezelve is hedendaags alleen in gebruik. De gantfche Exponentiaal-ti ekening is gegrond op
deeze befchouwing, dat dt: Logarithmus van x" i» n Log. x, en dat de Differentiaal van eene Loga-
dx
rithmus, by voorbeeld van de Log. van *, is ——.
x
Dit gefteld zynde , zo men alsdan eene grootheid
als XZ rrj» heeft, en haare Differentiaal, of de waarde van dy, zoekt, heeft men fleg:s op te merken, dat naardien die grootheden gelyk zyn, haare Logarithmen ook geiyk zullen zyn - dus z Log. x — Log*y, en neemende de verfchillen, dzLog.x
dx dy
-\-z———, waar uit men, door met y, ofhaax y
re waarde xz, te vermeenigvuldigen, afleidt dy=z
xzdz Log. x + zxz~~l dx. Het laatfte deel van deeze Vergelykinge toont aan wat men doen moet,
om de Differentiaal van eene grootheid als xz te bekomen. Het is desgelyks gemaklyk te zien, dat, wanneer men, door in plaats van dz haare waarde in * en dx te ftellen, de waarde van z in x heeft, men niets meer zal hebben, als eindige en gegeevene grootheden , vermeenigvuldigd met dx; zo dat men alle de gewoone regelen der Differentiaal-Rekening, voor de vinding der raaklynen, der Maxima en Minima, enz., op die krommt Lynen zal kunnen 10epasfen. Wy zouden daar van , als mede van de wyze om de Inhouden van die kromme Lynen te bepaaien, gaerne voorbedden.willen geeven, maar wy zyn gedrongen urn ons aan deeze ichets van die re.
ke«



5*° HISTORIE der
kening te houden. Wy verzenden daaröm den Lee* zer naar de Gefchriften van den Heer Bernoulli, en naar zyne bnefwisfeling met Leibnitz , welke zeer belangwaardige zaaken over dat onderwerp bevat.
brankryk heeft de eerfte denkbeelden van de Differentiaal-en Integraalrekening den Heere Jan Ber. noulli te danken, in den Jaare 1691 kwam nv te Parys, en maakte, geduurende het verblyf dat hV aldaar bieidt, kennis met den Marquis de 1'Hó/iial die, met yver en achting voor de nieuwe Meetkunl de vervuld, in dat nieuw ontdekt Land zeer diep wenschte door te dringen (o). De Heer Bernoulli verftrekte hem tot een leidsman , en het was voor zyn gebruik, dat hy de Lesfen over de Differentiaal, en Integraal-Rekening fchteef, welke men in het
derCO De Heer Marquis de l'Hópital werdt in't Jaar jdöi gebooren. De aanloklykheid der Meetkunde alleen maak. te hem een Meetkunftenaar, en hy gaf reeds in den ouderdom van vyfrien iaaren blyken van zyne fchranderbeid , door de oplosung van eenige Voorttellen over de Cycloïde. Hy was geduurende eenigen tyd in den krygsdienst: doch alzo de zwakheid van zyn gezicht hem aan geduunge ongemakken bloot ftelde, deedt hy afftand van een beroep, waar in hy, naar 't voorbeeld van zyne Voorouders, eene roemwaardige loopbaane hadt kunnen voleindigen. Hy gaf zich toen met meer vryheid aan zynen fmaak voor de Meetkunde over, en weldra pronkte zyn naam onder die der voornaamfte Meetkundigen van fcuropa. Hy tradt omtrent het Jaar irjpo in de Academie der Weeienfchappen, en heeft zyne Memorien, als made de Aclen van Leipzig, met verfcheide belanewaardige ftukken Verrykt. Hy ftierf in de maand Fobruary des Jaars 1704, in den ouderdom van flegts 43 jaaren. Rehal. ven zyne Analyfe des infiniment petits, liet hy een Werk na, dat voor de drukpers gereed was . naamlyk zyne Verhandehng over de Kegelfneeden enz. getyteld: Traité Anatytque des S&ims Cmiques, & de la conftrumon des Iteux geoméiriques. Dit Boek kwam in den jaare 1707 irt t licht, en wordt met reden, voor één der besten over o*c deel van de Malyfis gehouden.



WISKUNDE, III. Deel VI. Soek. 521
«Jerde Deel van zyne Werken leest, Hy hadt het genoegen van zyne onderwyziogen vruchtbaar te zien worden : de Heer de ÏRipital wierdt weldra één der eerfte Meetkundigen van Europa, en men zag zyn naam in achting houden onder hun, welke de beruchte Brohlemata , van de kortfte nederdaaling, van de ophaalbrug, enz. oplosten. De Heer Bernoulli maakte in den zelfden tyd een nieuwtn kwet.keling in de nieuwe Rekening, naamlyk den Heer Varignon, die federt , tot eene meenigte der moeijelykfte navorfchingen , met eenen gelukkigen uitflag van dezelve gebruik maakte- wy zul. len htm eerlang het geding van deeze Rekening, op eene geleerde wyze , zien verdeedigen tegen hun, welke zich onderwonden om haare zekerheid aan te tasten.
C'nderrusfchen was de Differentiaal* en Integraal» Rekening voor de meeste Meetkundigen nog een foort vsn geheim. Men zou hun, weike op het vaste Land eenige kennis van dezelve hadden, gemaklyk hebben kunnen tellen. Zy beftonden byna alleen in den Heer Leibnitz , de beide broeders Bernoulli, den Marquis de l'Hépital, en den Heer Varignon; eindelyk was 'er, behalven eenige ftukken , in de Aéten van Leipzig verftrooid , geen Werk , waar door men die Leerwyze magtig kon worden. De Heer de l'Rópital befefte , dat het befang der Wiskunde vorde-rie, dat die foort van verborgenheid inet langer een geheim bleef. MeC dat oopmerk gaf hy in dm Ja?re t ipó in 't licht zyne jlnaiyfe aes ii.fir.iment petits, een Boek dat te geiyk tfotd en wel fameBgeftë'ld is, eene tot in dien tyd , en zelfs nog tegenwoordig , vry zeldzaame hoedanigheid in de Wiskundige Werken , waar in het gebrek van orde en leerwyze dikwerf voor de verdienfte van het grondftelügr nadeeiig is.. Men zcu eeniglyk daar in reden tor berbping kunr-;n viiu'eu , dat de Heer de ïUóphal niet fenoeeza^m te kennfn geeft, welke ve:piirhingen hy heeft aan den Heer Bernoulli, vai* wiens vinding niet alieen M m de



HISTORIE der
de meeste Leerwyzen zyn, welke in dat Boek gevonden worden, maar ook het fcherpzinniglte, 't welk het in dat vak van Analyfis bevat, lie Heer Bernoulli was deswegens eenigermaate misnoegd, toen het Werk van den Heer de l'Höpiial in "t licht kwam, en het waren eeniglyk redenen van achting en erkentenis voor de wyze , op welke hy deswegers te Parys onthaald was geworden, welke zyne klagten (moorden, en welke hy zich vergenoegde den Hcere Leibnitz te doen (ƒ>). Het ware te werfchen geweest, dat de Integraal Rekening van dien tyd af door de zelfde, of eene even zo bekwaame hand , vrrnandeld ware geworden : doch alzo de Heer Lcihtiitx federt lang voorneemens was geweest een Werk, getyteld : de Scientid infiniti* waar van deeze Rekening het voornaamlte gedeelte moest uitmaaken, in \ licht te brengen, weder» hieldt zulks de pen van den Heer de rHópital, Aan de verwachting van 't pubnek werdt eerst in *c Jaar 1707 voldaan, toen de Heer Gabriel Manfredi in 't licht bragt zyne Verhandeling, De cenflrubtione cquationum differentialium primi gradds, een Werk waar in men met veel oordeel verzameld vindt, alles wat tot in dien tyd over de Integraal Rekening gedaan was. Het zou hier de plaats zyn om verflag te doen van de eerfte vorderingen deezer Rekening; doch alzo dezelve haare metkwaardïglte uitbreidingen in oeeze e> uwe bekomen heeft, zullen wy, ten einde alles wat dezelve betreft onder een zelfde gezichtpunt voor te dragen, dit verhaal tot het volgende deel van onze gefchiedenis verfchuiven.
X.
Terwyl de meeste Meetkundigen met vfyt ar. beidden, om zich in de nieuwe Rekening bekwaam te maakei, waren 'er anderen die haar den oorlog Verklaarden, en alle poogingen in 't werk Relden»
0333
Cf) Comm. Epijl, Leibn. fcp Bern. T. I, p, 350»



VV l S K Ü Ü D E. Üï. Dal. VI. Éeek. fft|
om haar in 4t niet te doen wegzinken. Misfchien 2al het voor fommige lieden eene oorzaak vaa verwon* dering zyn, onöenigheden te zien oiuftaan in den fchoot eener weetenfchap, welkers natuur haar daar van gantschlyk zou moeten bevryden. Maar die. geenen welke de gefchiedenis van 't menschSyk veritand kennen, weeten dat'er weiöig voortrefFelyke vindingen zyn, welke geene tegenttribbdingen ondergaan hebben, en dat dikwerf de nayver, door een weinig vooringenomenheid geholpen» zeer ach* tingswaardige mannen tegen zeer nuttige nieuwig. heden heeft doen opftaan. Daar benevens durven wy zeggen, dat, als wy van dien twist verflag gedaan zuiien hebben, dezelve alleen voor lieden, welke onbekwaam zyn cm de tegenwerpingen en beantwoordingen op prys te ftellen, eene oorzaak van'ergernis, en eene reden om de zekerheid der Meetkunde verdacht te houden , zyn kunne.
In st eerst waren 'er Meetkundigen, welke, zon" der de nieuwe Leerwyze rechtftreeks aan te tasten, haare voortrefTelykhetd poogden te verdonkeren. Een zodanige was onder anderen.de Abt de Catelan, een yverig Cartefiaan tot de aanbidding toe, en die zich reeds berucht hadt gemaakt door eene ongegronde twist , welke hy met den Beer Huyghens gezocht hadt, by gelegenheid zyner Theorie van het llingerpunt, Centrum Qscillationis genaamd, Deeze Abt gaf in den Jaare 169a een Boek in 't licht, getyteld i Logijlique univerfelle, en Methode pour les ianeentes, enz. Hy zeirie in een kort bericht voor hetzelve, dat die proeve dienftig was om te toonen, dat het beter was zich toe te leggen om de grondbeginfelen van den Heer Defcartes over de Meetkunde verder voort te zetten, dan nieuwe Leerwyzen te zoeken. Maar men kan zich bezwaarlyk van eene foort van verontwaardiging onthouden, als men ziet dat die geheele Verhandeling niets anders is dan de Differentiaal-Rekening, op eene ongefchikte wyze, onder eene minder gemaklyke en minder voordeel!ge bepaaling, vermomd. Ook doet oie Schryver Mm a gesn



-14
HISTORIE dü*
geen andere (lappen, als in 't midden van ontelbasre hin<l< rraa'en, en hetgeen, volgens de Leerwyze der ZJi/Ir.W/W-Rekening verhandeld, duidelyk is9 en flegts etnige regelen verëischt, is volgens de zy» r.e clmster en .verward, en beflaat geheele bladzyden. Daar benevens is het Boek niet zonder gebreken, en de Heer Marquis dt l'Hó'pital wreekte de Dif eren/«'««/-Rekening, door dezelve aan te wyzen; hetgeen eenen twist verwekte, waar van Je Journal des Sca* fans van 169? herhaalde reizm weêigalmde.
Onder de reftryders der Differentiaal-Rekening zyn de Heeren Rolle en Nieuwentyt die geenen, welke het meest uitgemunt hebben. De laatfte tradt het eerst in '1 ftryiperk, en gaf in 't Jaar 1594 een Boek in 't licht, waar in hy die Rekening te keer ging (q). Hy beweerde dat zy valsch was, om dat men in aezelve als gelyk befchouwt zodanige grootheden, die, wel is waar, flegts een oneindig klein verfchil hebben, doch dat niettemin wezenlyk is. Naar zyne meening moesten die verfchillen volftrfkt nul zyn, cn naardien alsdan tusfchen dezelve geene betrek, king meer kan zyn, verwierp hy t'eenemaal de tweede verfchillen , en die der hoogere rangen. Kort daar na gaf hy een ander Werk in 't licht, waar in hy zich liet voorftaan de Rekening van Leibnitz te ftaaven. Hy gebruikte daartoe een nieuw bovennatuurkundig grondbeginfel, waar uit hy zeer zonderlinge gevolgen afleidde, welke hem aanfpoorden om de verborgenheid der Sclieppinge te verklaaren.
Leibnitz beantwoordde Nieuwentyt (r). Men meet bekennen, dat zyn antwoord niet aanft;nds eene volkomene oplosfing der zwaarigheid daarftelt. W ant door zyoe verfchillen , of orëindig kleinen ,
als
Cq^ Confv.kraHcncs circa Anaiyfeos cd qnantitates infiniti parvas appiicetee ptivcipi;. Amftei. 1694. in-8". Analyfis infivhorum , Jeu Cut\ü Pryrietatis ex Polyg. natura deduüte, Ibid. 1095.
(r; AÜ. Lipf. 1694.



WISKUNDE. III. Deel VI. Boek. 525
als onvergelykelyk te befchouweo , zo als een zandkorreltje met de Spheer der vaste Sterren vergeleeken zou zyn, krenkte hy de zekerheid zyner Rekening. Maar het byvoegfel , 'c welk hy erlang op dat antwoord liet volgen, is meer voldoende. Hy toont daar in aan, dat hetgeen hy da op. zichtelyke verfchillen van de Abfcisfe en den Ordinaat noemt , in niets anders beftaat als in betrek, kinken tusfchen eindige grootheden, betrekkingen vveike door de Ordinaten eener Kromme verbeeld kunnen worden ; en naardien deezen, (als deeze nieuwe Kromme niet in eene aan den As evenwydige Lyn verandert) haare verfchillen zouden hebben, zullen die verfchillen de tw:.ede dei Ordinaten van de eerfte Kromme zyn, en zo ook met de derde en vierde, enz. als dezelve door de natuur van deeze eerfte Kromme plaats hebben. Ondertusfchen nam Nieuwentyt hier in geen genoegen. Hy antwoordde door een nieuw gefchrift (s), dat, even als de voorige gefchriften , niets anders dan een famenweeffel van ongeryrndheden is. Dezelve werden gegispt door de Heeren Bernoulli en Her» man, welke aantoonden, dat die beftryder van de Diferentiaal-Htkening niet wist wat hy zcide.
Üe Heer Bolle (t) zou voor de DifferentiaalRekening een geduchter vyand geweest zyn , als de gevolgen van zyne onderneeming aan zyne Jrjft beantwoord hadden. Hy was, om zyne afbeelding met weinig woorden te fchetfen, een bekwaam
Al—
Cr) Conjïd fecundce circa calculi diff. ufum. Amflel. 1696.
i" 8°. ,"' . «
O) Rolle (Michel) gebooren teAmbsrt in Neder Auvergne in 16-2, is in 1719 overleden. JVlen heef. van hem eene Verhandeling over de Algebra ;.i6y2 in-40.), eene Leerwyze voor de oplosfmg der onbepaalde Voorjleikn (1609 in-4».), Memorien over het omgekeerde der raaklynen (1704"), ea eeniae andere gefchritten welkers duisterheid dezelve ia de vergeetelheid heeft doen vallen. Zie zyne levensbefchryving in VHift. de tA^ad- Roy- des Sciences, ann. 1710. Mm 3



534 HISTORIE der
om onze uitdrukkingen te verzagten , wy alleen zullen zeggen , dat Rolle zich by verftandige Meetkundigen wei lig eere verworven heeft. Het is waar dat hy, in zekere opzichten, zyne vergiffenis by 't nagedacht verdiend heeft. Men leest (z), dat hy zich kort daarna bekeerde, en dat , toen hy zyne geloofsbelydenis in handen van de Heeren de Fontenelle, Farigtion en Malebranche gedaan hadt, hY hun beleedt, dat hy niet ondernomen hadt om aldus de ZW^nwtfW-Rekening aan ta tasten, als op de aandryving van fommige perfoonen. De eene is bekend genoeg , men weet dat het de Aot Galais was; de andere was waarfchynlyk de V. Gouye, die, inéén der Dagregisters van Trëvoux, de tegenwerpingen van Rolle ten fterkften onderfteund hadt. Na deeze afzondering van Rolle, die, zich niet kunnende onthouden om met iemand te twisten, zich ophieldt met de Analyfis van Defcartes te berispen, bleef de Abt Galeis alleen de openbaare tegeuftreever van de Differentiaal Rekening. Doch ontbloot van de hulpmiddelen van zynen kampvechter, en misfchien eindelyk door de zegeprsalende antwoorden van de Heeren Varigmn en Saurin aan 't wankelen gebragt, begon hy den moed op te geeven toen hy door den dood werdt weggerukt. M^n kan zyne eigenzinnige opvattiDg van dat onderwerp on geen verftandiger wyze bewimpelen, dan de Heer de Fontenelle zulks in zyne hiftorifche Loffpraak doer. „ De fmaak der Aloudheid , zegt hy, die fmaak „ welke zo fcezwaadyk binnen de behoorlyke paa. „ len te houden is, was oorzaak dat hy der Meet» „ kunde van 't onëindige weinig achting toedroeg. „ Zelfs kan men het niet ontveinzen, nademaal onze „ Hiltoriefchryvëis zulks gezegd hebben, dat hy „ dezelve openlyk aantastte : in 't algemeen was « hy geen beminnaar van het nieuwe, en verhief „ zich door een foort van ballmgfchap tegen alles
„ wat
O) Comm, Epi/l. Leilnitü ac Bernoulli. T. II. p. 170.



WISKUNDE. III. Deel. VI. Beek. 535
wat in eenen vryen Staat, als in dien der Let* ,, teren, te fchitterend was. De Meetkunde van
het onëindige hadt die beide gebreken, en veor,, naamlyk het laatfte." Deeze verftandige trek is den beroemden Secretaris der Academie waardig , maar hy veröntfchuldigt geenszins den Abt Galeis. Men is nimmer verfchoonlyk, als men in de Meetkunde onrecht heeft, en zich door drift en afgunst verzet tegen ontdekkingen, welke dienftig zyn om de bevordering der Weetenfchappen te verhaasten. De dood van den Aot Ga/tw maakte ten voüen een einde aan den twist. De Rekening vmLeibr.hzis in 'talgemeen aangenomen, en het is nu [A°, 1758] reeds meer dan eene halve-epuw, dat de Meetkundigen dezelve tot alle foorten van navorfchingen gebruiken, zonder dat ooit in eenig ftuk haare zekerheid ftrydig bevonden is. Wel verre van daar, 'er is byna geen ontdekking, met behulp van dezelve gedaan, die niet op duizend verfchillende wyzen is geftaafd geworden. Dus kunnen voortaan geen andere dan onweetenden, of eigenzinnige lieden , gewoon om over alle zekere Weetenfchappen duisterheid te verfprr iden , bekwaam zyn om de gegrondheid van deeze Leerwyze verdacht te houden. Bovendien , zo de grondbeginfelen van de Rekening, onëindig kleinen genaamd, van zodanige natuur zyn, dat zy voor eenige zwaarigheden bloot ftaan, kan het hedendaags niemand onbewust zyn, dat deeze Rekening in den grond dezelfde is als die, welke Newton .F/wz/e-Rekening genoemd heeft. Nu wordt in de laatfte niets gevonden , dat niet met de ftrengfte grondbeginfelen der Meetkunde overëenftemt, zo als wy reeds breedvoerig genoeg getooud hebben. Derhalven mceten beiden den zelfden trap van zekerheid genieten. *
Einde van het VI, Boek, en van het
DlRLE DEIiJU









Hl 2)*eZ <&Ïs6t7~z'& de?- Wiskunde _ ■ II.






III Deel. J&tvrie, der 'Ms£u?uk ■ Tl. Hl






'" ),,/ Hi^'roRii: j)i:n wisk i npr;. ,,,






mJJwL ms torIE der, wesktjnd e. p[y
























356
HISTORIE der
zelve moet beproeven , en , wy moeten bet met leedweezen zeggen , die van Defcartes kan deeze toets niet uitftaan. De volgende aanmerkingen zu'len dit toonen.
Men weet dat de beweegingen der Planeeten elliptisch zyn; derhalven moeten de laagen der draai» kringen het insgelyks zyn. Maar wat zal daar van de oorzaak zyn? Defcartes fchryft dezelve toe aan de persfirg der nabuurige draaikringen. Als dit zo was , mot sten alle de Loopkringen der Planeeten aan de zelfde zyde verlengd zyn, dat zo niet is. Wat nog meer is, het fchynt dat de Zon zich in het gemeen middelpunt van alle die Loopkringen, en niet in één van hunne brandpunten, fcoest be.vinden Eindelyk is het klaarblyklyk , dat zo die verlenging der draaikringen het gevolg was van de zydelingfche persfing der nabuurige draaikringen, alsdan de hemelfche ftoffe, die by het middelpunt zou ronddraaijen, daar van het minst aangedaan zou zyn; zo dat de Loopkring van Mercurius de minst uitmiddelpuntige van allen zou zyn ; dus is het noodzaakelyk dit mechanismus geheel te verwerpen.
ü°. Schoon Defcartis zich niet ftellig verklaart over hetgeen die beweeging van draaikrirjg onderhoudt , is het genoegzaam klaarblyklyk dat hy gedacht heeft, of dat de omwenteling der middelpuntige Planeet daar van de oorzaak was, of dat in tegendeel die beweeging de oorzaak des omloops van die Planeet was. Doch wy zullen doen zien, dat men geen van beiden kan zeggen. Het is in de daad aanflonds gemaklyk te befpeuren , dat alle de Planeeten haaren omloop in den Equator, of evenwydig aan den Equator der middelpuntige Planeet, zouden moeten doen. Nu weet men , dat onder de Hoofdplaneeten 'ergeeneis, welkers Loopkring niet tot den Equator der Zon overhelt-; de Maan loopt ook rondom de Aarde, zonder dat zy eenige natuurlyke betrekking tot den Equator der Aarde fchynt te hebben. Ten tweeden, zo de omwenteling der middelpuntige Planeet de beweeging van
de*



WISKUNDE. Hl. Deel. IV. Boek. 357
draaikring voortbragc, of door den zei ven voort gebrast werdt, zou de laag des draaikrings, welke hec naast by de Planeet is , de zelfde fnelheid als zy hebben: hetgeen met de vermaarde Wet yan Kepler niet overëengebragt kan worden. De berekening daar van is gemaklyk te doen: men vindt, by voorbeeld, dat wanneer deeze Wet plaats zal hebben, de fnelheid der naast by de Zon zynde laag haaren omloop in byna één-derde dag zou moeten doen; echter doet de Zon den haaren niet dan in s7ï dagen; haare omwenteling moest derhalven yerlneld zvd , tot dat zy eene beweeging , overeenkomftig met de wet van den draaikring, hadt aangenomen, of wel dezelve vernietigd zou hebben. De Planeeten , welke Satellieten rondöm haar hebben, als de Aarde, Jupiter en Saturnus, verfchaffen nog onöplosbaarer tegenwerpingen , om dat zy geen plaats laaten voor eenige uitvlugt, welke een hardnekkig aanhanger der draaikringen zou kunnen verzinnen, om de Zon van die mededeeling der beweegmge te ontheffen. „ , , .
3°. De Natuurkundigen welke, met behulp van de Meetkunde en eene groniige Theorie der Hydrodynamica, de beweeging onderzocht hebben, welke een draaikring zou kunnen neemen, hebben dezelve nooit met den regel van Kepler kunnen overeenbrengen. De Heer Newton heeft op het einde van het tweede Boek zyner Principia Philofophia naturalis over die ftoffe gehandeld, en bevondt, dat in eenen Cylindrifchen draaikring , naamlyk eenen zodanigen welke geteeld wordt door eenen Cylmder, die om zyn middelpunt fnellyk ronddraait, de omloopstyden der laagen als de alftanden tot den As zouden moeten zyn, en dat in den klootfchen draaikring , naamlyk die welke geteeld wordt door de beweeging van eenen middelpuntigen kloot, de omloopstyden der laagen als de vierkanten der afftanden tot de middelpunten zouden zyn, terwyl zy, volgens de wet van Kepler, behoorden te zyn als de vierkants-wortelen uit de teerlingen van die afftanAa 5 den.



358 HISTORIE der
den. De Heer Bernoulft heeft, wel is waar, in 't vervolg aangemerkt (,), dat de Heer Newton in die bepaaling geen acht geflagen hadt op eenige beginfelen, welke daar toe verëischt werden , en meende te bevinden , dat de laagen van eenen klootfchen draaikring, m welken men de dichtheid in omgekeerde reden van den Vierkants-wortel uit den afftand van het middelpunt onderftelde , zodanige beweegingen zouden hebben, dat de vierkanten der omloopstyden als de teerlingen der afftanden zouden zyn. Hy verklaart ook de uitmiddelpuntigheid der Planeeten door eene flingerende beweeging, gepaard met.de rondgaande beweeging van den draaikring Maar de Heer d'Alembert, de berekening van dS Heer Bernoulli zorgvuldig onderzoekende . heeft bevonden (r), dat die groote man gefeild hadt, door een ftandvastig deel van eenen integraal, dat de uitkomst geheel verandert, te verwaarloozen. Nu toont hy, door deeze ftandvastige grootheid in acht
cylindrtfche of klootfche gedaante heeft , niet kan beftaan, zo niet alle zyne laagen haare omweBtelingen m den zelfden tyd doen, en hy niet oneindig zy , of wel door ondoordringlyke paaien befloten is, even als de wanden van een vaas zouden zyn. Men kan mede het gantfche gebouw van den Heer Bernoulli om ver werpen door «ene aanmerking, welke de Heeren Daniël BernoulR en d'Akmbert gl daan hebben. Naamlyk dat ten einde een draaikring van vloeibaare ftoffe beftaan kunne, de middelpunt! vliedende kracht van eenig deel van eene segeevene uitgebreidheid, m eenige laag, welke die ook zy, genomen , niet grooter zy dan die van een gelvk deel, m de bovenfte laag genomen. Het zou geenszins genoeg zyn, zo als fommige Wysgeeren, aan-
han-
(ƒ) Nêuvelles penfies fur le Sy/ïême de Defcartes, eene
( n°ï?aït IVm .fM\la 'c J"' '730 bekroond. {,tj traite iet Flutdes, p. 385 en volg.



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 359
hangers der draaikringen, gedacht hebben, dat degeheele kracht eener laag de geheele kracht van de daar op volgende niet te boven ging; want als men vloeiftoffen van verfcheide foorten famengemengd in een Vaas déedt, zou het dan, ten einde die orde geduurzaam zy, genoeg zyn, dat de geheele zwaarte eener laag die van de benedenfte niet overtrof? zonder twyffel, neen! Geen Waterweegkundige zal ontkennen, dat zo 'er op eenige plaats ongelykheid is, het overtreffend deel der bovenfte laag dé onderfte zal nederdrukkc", en niet ophouden zal te daalen, tot zo lang het eenen gelyken tegenftand gevonden hebbe. Dus moet het in de onderftelling der draaikringen eveneens daar mede gelegen zyn. Zo wy nu de ongelykheid van dichtheid ( denfitas) verwaarloozen , zullen wy in de onderftelling van den Heer Bernoulli bevinden , dat de middelpuntvliedende kracht wederkeerig als het vierkant des ftraals aangroeit, en zo wy acht geeven op de dichtheid, die hy in wederkeerige reden van den wortel uit den afftand van het middelpunt onderftelt, bevindt men , dat die middelpuntvliedende kracht in omgekeerde reden is van de magt des ftraals, wiens Exponent \ is. Waar uit klaarlyk blykt, dat die kracht van den omtrek tot het middelpunt fteeds zal aangroeijen. Het is even het zelfde, als of men verfcheide vloeiftoffen van ongelyke byzondere zwaarte in een Vaas zodanig wilde fchikken, dat de ligtfte op den bodem was. Wanneer zelfs de laagen fteeds in uitgebreidheid afnamen, op dat de geheele kracht van iedere die van eene andere niet overtrof, zou echter niets de menging verhinderen. Die welke de grootfte byzondere zwaarte hadt, zou naar den grond gaan, ten zy het vloeiftoffen van eene zeer groote verkleefdheid waren.
De Heer Bouguer (u) verfchaft ons twee andere krachtige tegenwerpingen tegen het gevoelen van
den
(u) Entretiens fur l'inelinaifon det orbites des Planetes. Éclair, p. 89.



jöo HISTORIE der
den Heer Bernoulli. De eerfte is deeze. Als men eene klootfche laag des draaikrings , naar zyne onderftelling , laat ronddraaijen, (telt men een foort van evenwicht tusfchen de verfchillende deelen des draaikrings, in de richting van den ftraal des evenwydigen Cirkels, of, zo' men wil, van den ftraal zelf des draaikrings. Maar in de perpendiculaire richtftreek tot dien ftraal is geen evenwicht. Alle de deelen hebben eene neiging om weder naar den Equator op te klimmen , zonder door eene ftrydige en gelyke kracht opgewogen te worden ; hetgeen niet misfen kan dien draaikring in verwarring te brengen, en te vernietigen. Zelfs fchynt daar uit te volgen , dat een klootfche draaikring volftrekt onmogelyk is. Ook fchynt dit het gevoelen van den Heer cTAlembert te zyn in het Werk, dat wy boven aangehaald hebben. De tweede der tegenwerpingen , waar van wy zo even gefproken hebben, betreft de wyze op welke de Heer Bernoulli zich voorftelt, dat de Planeeten elliptifche Loopkringen bcfchryven. De Heer Bouguer toont in eene Memorie , onder die van de Academie in 't Jaar 1731 ingelascht, dat de beide deelen der Kromme, welke de Planeet door haare llingeringen van het Aphelium naar het Perihelium zou befchryven, niet gelyk en gelykvorrnig kunnen zyn.
Men heeft nog van den Heer Bernoulli een ander Huk als dat, 't welk wy boven aangehaald hebben, en waar in hy de Cartefiaanfché draaikringen, benevens de veranderingen , in het eerfte verzonnen, aanneemende , de helling der Loopkringen van de Planeeten tot den Equator der Zon , alleen uit de Wetten der voortdryving, door den draaikriDg aan die Planeeten medegedeeld , waant af te leiden. Doch alzo hy daar by toeftaat, en het zelfs noodzaakelyk is,dat hy tot eene grondftelling aanneeme, dat iedere Planeet, de Aarde by voorbeeld , eene verlengde Sphero'ide is, hetgeen met de hedendaagfche waarneemingen ftrydig is, achten wy onnoodig ons daar by op te houden.
' De



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boei. &i
' De Heer Leibnitz beproefde in een Gefchrft, dat in de Aöen van Leipzig is ingelascht, en tot tytei voert Tentamen de motuum celeftmm caufis, om de draaikringen op eene andere wyze m^e verIcbynfelen overeen te brengen. Hy onderiteide in uc Verfchillende laagen des draaikrings , eene fnelheid sV «rpHerkeeriee rede van de afftanden, en verven SnT dTronTgÜnde verplaacGng der Planeet, in die fe ilhiUende laagen, met haare middelpuntvliedende Lacht en eene middelpuntige kracht, die haar naar de Zon drong of aantrok, verbindende, gelukte het S£m e toonen dat zo deeze laatfte in omgekeerde fede van hetv erkant des afftands was, de Planeet in Llvke tyden gelyke inhouden , en eene «#r, de fin in haar brandpunt hebbende, zou belchryven M ar tegen dit ftelfel kunnen even zo vee rwa'arighedei lïs tegen het voorgaande ingebragt
"vooröem kan een draaikring, zo als de Heer llbniu dien bevat, niet beftaan; want de middelRedende kracht van ieder flofdeeltje zou daa in aangroeijen, naar maate men tot het niddelpunc naderde. a°. Dit mechanismus voldoet, wel is waar, aan de beweeging van eene Planeet alleen, in de verfcheide deelen van haaren Loopkring befchouwd. Maat zo men twee verfchillende Planeeten met elSer vergelykt, zal men bevinden , J| •«
van Kepler eenen omloop vfor.dert»/elrciin^pddr2£ dien welken de Heer Leibnitz onderftelt. De draaikring zou dan als in verfeheide laagen van eene zeer Se dikte, ep ieder op zich zelve ftaande, ver. dPPld moetenlzyn, in ieder van welken de middelhaare fnelheden wederkeerig als den vierkants-woruit den afftand zouden zyn, terwyl de verfcheide laagen van ieder met de afftanden zelve wederkeerge fnelheden zouden hebben. Dit nu kan niet LSomen worden, ten ware men de onbetamelykeTyïïdDder willekeurigfte ond"ftfklinmeenkinn2 Natuurkunde w 1de invoeren. 3°.. Ik merk nog Sr beneven. aan, dat de draaikring, doorben



S6a
HISTORIE bik.
Heer Leibnitz onderfteld , t'eenemaal nutteloos is. Want alleen de middelpuntvliedende kracht, die hy gebruikt,benevens hetgeen hy de paracentrifchekracht der Planeet noemt, doch in de daad niets anders is als eene verbloeming der Newtoniaanfche aantrekkingskracht , is genoegzaam om elliptifche Loopkringen te doen befchryven.
Wy zullen tegen het Systema der draaikringen geene aanmerkingen meer verzamelen. Die welke wy nu gedaan hebben fchynen ons den aanhangeren van dat Systema gaen antwoord over te laaten. Welke fchikking men zich in de laagen en fnelheden van die draaikringen verbeelde, kan men echter niet fhagen , om dezelve met alle de Wetten van de Bydroftatica en Mechanica overëen te brengen. Te vergeefs hebben de Heeren Fillemot f>), de Motie ra O) , de Gamaches (*) , en byna onlangs de Schryver van de Theorie der draaikringen (Théorie des Tourbilions) (t), beroemde aanhangers van dat Systema, hunne gantfche kunst uitgeput, om haare deelen fnmen te voegen , om nieuwe beweegingen te verzinnen , om elkander te verbeteren, om eindelyk de tegenwerpingen voor te komen, en daar öp te antwoorden ; het is een gebouw dat door de gantfche bekwaamheid van zyne Bouwmeesters niet ftaande gehouden kan worden. Terwyl men het aan de eene zyde herftelt, wordt het aan eene andere zyde bouwvallig, en dreigt daa. delyk in te ftorten.
5°. Maar Iaat ons voor eenige oogenblikken toeftaan , dat het Systema der draaikringen overëenkomftig was met de verfchynfelen , "die wy waarneemen, en de bekende Wetten der Mechanica,
dan
(r) Nouvelle explicathn du mouvement des Planeter. Lyon 1700.
(w) Lef ons de Phyfique, Paris 1733, ia ra0, (x) Aflron. Phyfique, &c. Paris 174®. fn -4». (y) Pari», 1753.



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 363
dan zon echter deszelfs Oorzaak daar door weinig verbeteren. Wy hebben Heilige bewyzen, dat men in de bemelfche ruimtens geene, ten minften geene zeer merkbaare, wederftand biedende ftoffe kan aanneemen. Thans is het zeker, dat de Comeeten die ruimtens in alle richtingen doorloopen, zonder in haare beweeging eenige fchynbaare verandering te ondergaan; wy zullen dit ftaaven , als wy verflag doen van het hedendaagsch Systema over die Hemellichten van eene zonderlinge foort; en dit is zo wel bekend , dat byna federt het begin deezer eeuwe alle de voorftanders der draaikringen niets vergeeten hebben, om de ftoffe, waar uit zy dezelve famenftellen , allen wederftand te beneenden (z). Tot dat einde hebben zy verzonnen, fommigen eene oneindig weinig dikke vloeiftoffe, anderen eene oneindig verdeelde vloeiftoffe, en zy hebben gedacht daar door aan de tegenwerping ten vollen te voldoen. Doch , naar ons gevoelen, is niets krachteloozer en flegter ingericht , dan dat antwoord. Als men hunne onderftelling aanneemt, naamlyk dat die vloeiftoffe geen of oneindig weinig tegenftand zal bieden , van welk gebruik kan dezelve dan zyn , of om de Planeeten de beweeging m te drukken , welke zy daar van ontleenen , of om de oorzaak der zwaarte daar uit af te leiden? Eene vloeiftoffe die geen of oneindig weinig tegersftand biedt, is flegts tot eene oneindig kleine werking bekwaam. Wat aangaat het voorgeeven van hun die willen , dat eene onëindig verdunde vloeiftoffe geen tegenftand zal bieden aan de lighaamen, die dezelve doorloopen, wy kunnen, zonder ons aan het boven gegeeven antwoord te binden , ons met onthouden aan te merken, dat niets minder gegrond en ftrydiger met de Wetten der
Me-
(* ) Zie den Heer Bernoulli,in de aangehaalde Hukken; deoiHeer de MoUere, Lepons Phyfiques, Lec.V; den Hees de Gamaehet, Aflron. Ph^f. gV. Ve. Diiï.



364
HISTORIE.oek
Mechanica is. Deeze Wetten leeren ons , dat de tegenftand, alle het overige gelyk zynde , evenre» dig is tot de te verplaatien Masfa, welke ook haare gedaante en verdeeling zy. Wy zullen , om kort te zyn , hier toe aanwyzen de uitmuntende aanmerkingen van den Heer Bouguer in zyne Gefprekken over de oorzaak der helling van de Loopkringen der Planeeten (Entretiens\fur la caufe de l'in. clinatfon des Qrbites des Planetes).
VIII.
Vóór dat wy dit Boek eindigen, moeten wy gewag maaken van eenige Sterrekundigen, waar van wy dus verre nog niets gezegd hebben. Wy zul. len een begin maaken met Longomontanus (a), wiens naam beroemd is door het "gedeeld Systema van die van Copernicus en Tycho, waar van men hen ten onrechte als den Vinder aanmerkt j want dat Systema is ouder , en fchynt het Werk van Raymata Urfus Dithmarfus te zyn , zo als wy op eene andere plaats gezegd hebben. Longomontanus is Schryver van verfcheide Wiskundige Werken, onder anderen van de Aflronomia Danica, voor de eerfte maal in 't Jaar 1621, en op Dieuw in 't Jaar 1640 gedrukt. De onderftellingen, welke hy daar in gebruikt, zyn eigenlyk die van Tycho, zo dat men aan hem de verpligting heeft van de denkbeelden van dien beroemden Sterrekundige tot ons overgebragt te hebben. Maar dit is zyne voornaamfte verdiende; want hy toont vry weinig oordeel te bezitten , door die onderftellingen hooger te achten, dan die welke Kepler zo grondig en vast gevestigd hadt: ook is dat Werk onder de Sterrekundigen niet lang in achting geweest.
Jan
(a) Gebooren in 't Ja»r 1562 te Langberg in Deneajar" ken, waar van hy zyn naam ontleend heefr, en als Hoogleeraar der Sterrekunde te Kopenhagen in 't Jaar 1647 overeeden.



WISKUNDE* III. Deel. IV. Boek. 365
Jan Bayer van Aügsbwg bewees,, in 't begin Van deeze eeuwe, eenen grooten dierst aan de Sterrekunde , door de uitvoering van een gewigtig Werk. Hy gaf in 'c Jaar 1603 , onder den tytel van Uranometria , in 't Jieht eene befchryving der hetnelfche Gefterntens in verfcheide Plaaten , benevens hunne verklaaring , en de Naamlyst der Sterren, die zy bevatten. Bayer tekent daar in iedere Ster met eene Griekfche of Latynfche letter, eene henaaming die naderhand onder de Ser-> rekundigen ais eene Wet gehouden is* Men vindt op dit Werk, dat anders de greetigheid, met welke het gezocht werdt, waardig is, niets anders te zeggen, dan dat de beelden daar in verkeerd ftaan, even als of zy, recht zynde voor hun, die binnen de Hemelglobe waren» buiten dezelve gezien werden» De oorzaak van dat gebrek is gemaklyk te befpeuren voor hnn, die van de graveerkunst kennis hebben. Bayer nam niet in acht, dat als men een beeld, zodanig als het gezien moet worden ,op eene' kopere plaat graveert, als dan op het papier, waar op men het drukt, de rechter in de linker zyde verandert. Maar dat gebrek is van geen belang, en zulks belet niet, dat de Uranometria van Bayer alsnog zeer greetig door de Sterrekundigen gezoebt wordt, en dat zy het voor een kostelyk Boek houden.
Eenige jaaren daar na was 'er een Landgenoot van Bayer , die eene zonderlinge onderneeming in den zin kreeg. Zyn naam was Julius Schiller* Deeze godvreezende Uranographm was daar over gebelgd , dat hy den Hemel vol perfonaadjen en voorwerpen zag , welke tot de Verdichtfelkunde (Mythologie) behooren; eu hy ftelde voor om die te veranderen, en beelden, uit het oude en nieuwe Testament ontleend , daar voor in plaats te ftellen* Hy plaatfte de twaalf Apostelen in den Zodiak; de naamen der zuidelyke Gefterntens ontleende hy uit het oude , en die der noördelyke uit het nieuwe Testament. Zyn Boek is om dïe reden getyBb teld*



3*5: HISTORIÉ Ht
teld i Qklemn Sullatum Chriftianum , en kwam in 't Jaar 1647 in 't licht. Maar de Sterrekundigen hebben geen deel willen neemen aan dat wonderlyk ontwerp, dat tot niet anders gediend zou hebben, als om de Sterrekunde in verwarring te brengen.
Lambergen ( Philippus) (b) bloeide omtrent dien tyd in de Nederlanden. Men kan bem geen talenten weigeren, en hy zou der Sterrekunde meer dienften hebben kunnen bewyzen, zo hy, in plaats ran de eerzucht te hebben , om op zyne eigene onderftellingen een volkomen famenftel van die Weetenfchap te bouwen , en , zo als hy doet, Tytho en Kepler in hunne eere te krenken , over die beroemde mannen en hunne Sterrekundige gevoelens beter geoordeeld hadt. Hy gaf in ''t Jaar 163a zyne Uranomettia, en in 't volgende Jaar zyne eew wigduurende Tafelen in 't licht ; maar zyne groote beloften , en de hoogdravende loffchriften, die men aan het hoofd van dit laatfte Werk leest, hebben de Leezers van hetzelve niet lang misleid. Men hf eft weldra befpeurd , dat die Tafelen, als eeuvvigduurend opgevyzeld, niets minder dan dien Tytel waardig waren: zelfs heeft men trekken van kwaade trouw ontdekt in 't gebruik , dat hy van de waarneemingen maakt, om zyne onderftellingen te ftaaven, en in 't verhaal van die, welke hy bybrengt, om dezelve te bevestigen. Horoccius heeft hem , in zyne verdeediging van Kepler en Tycho, onder den Tytel van Aftronomia Kepleriana defenja £f promota , zeer mishandeld. Hy toont daar in aan , dat Lansbergen , uit zucht om die twee beroemde mannen tegen te fpreeken en in migacbting te brengen , zelf in eene meenigte vruchtelooze ongerymdheden, tegenftrydigheüen en verwarringen valt.
Molt) Gebooren te Gent in *t Jaar 1560, en als Predikant te Goes in Zeeland in '1 Jaar 1655 overleeden. De geheele Verzameling zyner Wtrken kwam in *t Jaar 1663 in -fof.
in *tiicht.



WISKUNDE. Ui. Deel. IV. Boek. 36;
Morin (Jean Baptifle) (c) heeft zich meer be« roemd gemaakt door zyne belachlyke (tellingen, dan door zyne talenten , fchoon hem dezelve niet ontbraken. Maar zyne verkleefdheid aan de Ster. revoorzegkunde en aan het Systema van de onbeweeglykheid der Aarde , dat hy mer de armhartig* fte redenen , en met een beléedigend vertrouwen verdeedigde, maakten hem byna even zo veel tegenftreevers en vyanden , als' 'er lieden van verdienfte waren; en naardien Morin in zyne aanvallen niets minder dan heusch was, werdt hy door fom* mige van zyne tegenpartyen op den zelfden toon beantwoord , hetgeen aanleiding gaf tot eenen twist, die meer naar ftraattaal geleek, dan dat de* zelve zou voegen voor lieden , die voor geleerd gehouden wilden worden. Morin verbeeldde zich de oplosfing van het Problema der Lengtens, door middel van de beweeging der Maan , gevonden te hebben, en hy verzocht den Kardinaal de Richelieu om Commisfarisfen , die hem dezelve liet benoemen. Maar zy veroordeelden hen*; en in de daad , fchoon zyne handelwyze in de Theorie goed was, ontbraken hem nog te veel kundigheden over de beweeging der Maan , en over verfcheide andere Sterrekundige punéten , om eenig nut daar uit te kunnen trekken. Hy verdeedigde dezelve in zyne Aftronomia jam d fundamentis rejlituta , die hy in 't Jaar i640 in 't licht gaf: dit Werk is geenszins te verachten ; de handelwyze, welke Morin voor de vereffening des tyds daar in geeft, is de waare, fchoon de Heer Bouillaud hem deswegens op eene geheel onwaardige en belachlyke wyze gehandeld heeft. De Heer Bulialdus (Bouillaud) Cd) bekleedt eene
aan-
(O Gebooren te Villefrmche in Beaujolois in *t laar 1535, en in 't Jaar 1656 te Parys overleeden.
(d) Ifmael Bouillaud werdt in 't Jaar 1605 te Loudun gebooren. Hy reisde in zyne jongheid, en te Parys gekomen zynde, gaf by daar verfcheide Werken in 't licht, als zyne
Ver-
Bb a



WISKUNDE. III. Deel. IV. Boek. 369
kring op zynen uitmiddelpuntigen deferens, en die van het hemellicht op dien bykriug , m eer.e tegengeftelde richting, en met eene hoekbeweegmg, die het dubbeld is van die des middelpunts van den bykring. Dus is de berisping, welke de Doctor Seth Ward van Oxford dien aangaande deedt, alleszins rechtmaatig («)> en Bulialdus doet vergeeffche poogingen om zich te verdeedigen. Wy zullen over de Aftronomia Philolaïca, dat anders een geleerd en achtingswaardig Werk is , in geene andere byzonderheden treeden. De Heer Bulialdus ging geduurende het overige van zyn leven voort, Sm eene meenigte waarneemingen te verzamelen, waar van het famenftelfel thans onder de handen van den Heer le Mannier is.
De Dr. Seth Ward (ƒ), waar van wy, by gelegenheid van Bulialdus, zo even gefproken hebben, wordt als den uitvinder der onderftelling, die men eenvoudig elliptisch noemt, aangezien, zo men echter hem die niets anders doet, dan een om bondige redenen verworpen denkbeeld te gebruiken, uitvinder kan noemen. De onderftelling, waar van wy fpreeken is die waar in men de Planeet in eene Jillips doer'omloopen, maakende in het brandpunt, waar in de Zon of de Hoofdplaneet zich niet bevindt, gelyke hoeken in gelyke tyden. Wy merken als iets zonderlings aan, dat een groot getal Sterrekundigen, en zelfs fommige van de eerfte verdieDfte, eenen geruimen tyd in de elliptifche onderftelling van Kepler niets anders gezien hebben, dan de beweeging die wv zo even befchreeven hebben. Riccioli, die alle de Sterrekundige onderftellingen , welke vóór hem gedaan zyn, verhaalt, fchynt flegts met eens vermoed te hebben, dat Kepler de Inhouden rondom de middelpuntige Planeet, in de zelfde betrekking als
Ce) InquifitioinIfm.BullialJi. Aftr. 1653. in-4^ 0*°". (ƒ> Gebooren in't Jaar 161 b; overleedeam ijaariotfö, zynde Bisfchop van Salisbury.
Bb 3 de



$8a HISTORIE DER
verfcheide vóór Galileus geweest „ welke getracht hadden de wet van die veffnelling te bepaalen; maar vermits zy geen waare denkbeelden van de beweeging hadden, misten zy in hun oogmerk, terwyl zy niets dan belachlyke zaaken voorgedragen hadden. Sommigen onder hun hadden, by voorbeeld , gegist, dat de ruimtens, in gelyke tyden doorgeloopen, als de deelen eener lyn, die in de middenfteen uiterfte reden gedeeld is, aangroeiden, zulks dat de ruimte, in eenen eerften tyd doorgeloopen, als het Kleine deel zynde, de ruimte, die met het tweede oveiè'enftemde, als het groote was,en zo vervolgens geduurig, Dit was op niets anders gegrond , als op de ingebeelde volmaaktheid, welke men aan dien voortgang toefchreef. Het gemeenftegevoelen was, om dat ha zich 't eerst opdoet, zonder twyffel, dat de aacgroeijing der fnelheid evenredig met de reeds doorgeloopen ruimte gefchiedde; maar dit gevoelen, fchcon in fchyn verftandig ,is niet minder ongerymd, Zo als wy wej dra zuilen doen zien. mm Galileus ftelde in tegendeel vast, dat de aangroeijing der fnelheid naar reden van den tyd gefchiedt » dat is te zeegen, dat, by voorbeeld, na eenen dubbelden tyrt de fnelheid dubbeld is, enz. Zonder twyffel werdt by do;r de volgende redeneering aangezet , om deeze wet van verfnelling te vermoeden. Als men de zwaarte gelykmaatig onderftelt, hetgeen in de kleine afftanden , waar in wy zulks kunnen ondervinden , waar is , is zy eene magt of kracht, die geduurig aan het lighaam gehecht is; wat zou nu aan een lighaam gebeuren, dat, na van eenige kracht in 't begin van een eerst tydftip eenen floot bekomen te hebben, in het tweede tydftip eenen nieuwen en gelyken bekwam, desgelyks iu het derde , en zo vervolgens ? Zodanig zal derbalven de beweegingderzwaare lighaamen zyn: dus zal de fnelheid evenredig zyn tot di-u tyd, die federt het begin van den val verlopen is. Dit is echter niet geheel en al de ban<klwyz.e yau Gaiikvs, om zyne Theorie vast te ftel-



WISKUNDE. III. Deel. V. Boek, 30*
gekwetst worden , wanneer zy van hunne eigene hoogte vallen. Eene andere zonderlinge waarheid, welke uit deeze Theorie volgc, is dat een holle Cylinder, en in oppervlakte den zelfden Balïs hebbende, meerder tegenftand biedt, dan wanneer hy een vast lighaam was. Het is, myns bedunkens, om deeze redeu, en om tevens de ligtheid en vastheid te verëenigen, dat de natuur de beendereD der dieren , de vederen der vogelen, en de (lammen of fteelen van verfcheide planten hol gemaakt heeft, enz. Wie hadt immer kunnen gelooven, dat de Meetkunde op eene foort van Natuurkunde, zo ver van dezelve onderfcheiden. zo veel invloeds zou kunnen hebben?
Sedert den tyd van Galileus heeft men eenige veranderingen in zyne Theorie gemaakt, waarvan wy thans verflag behooren te doen. Alle zyne gevolgtrekkingen zyn rechtmaatig, in de onderftelling dat de tegenftand van ieder vezeltje evenredig is tot deszelfs afftand van het fteunpunt. Dit zou in de daad plaats hebben , wanneer hetzelve lchielyk brak, zonder alvoorens eenige rekking te ondergaan. Maar men heeft reden om te denken,, dat dit het waare ftelfel niet is. Het is wasrfchynlyker, zo als de Heeren Marktte en Leibnitz aangemerkt hebben, dat de kracht van ieder vezeltje flegts evenredig is tot deszelfs afftand van het fteunpunt; want ieder vezeltje rekt zich in de zelfde reden als die afftand uit, en het is een aangenomen grondbeginfel in de Mechanica, dat, behalven de uiterfte rekkingen, de wederftand der veerkrachten ten naaste by evenredig aan derzelver uitrekkingen is. De tegenftand, welke ieder vezelt je aan de breeking doet , zal derhalven als het vierkant des hefbooms, waar mede herwerkt, zyn: dus zal men, in plaats van het zwaarheids - middelpunt van den Bafis der^ breeking, welke in het ftelfel van Galikus dient, om de betrekking van den fchuinfen tot den rechten tegenftand te bepaalen, hier gebruik moeten maaken van het zwaarheids-middelpunt der Cylindri/che Ungula, op deezen Bafis gemaakt door
het



WISKUNDE. III. Deel V. Boek. 393
Baliatii was een Genueesch Edelman, een vry fchrander Natuurkundige, die eenigzins deel fehync te hebben gehad in de verdienfte, van zyne tydgenooten wegens de vooiöordeelen zyner eeuwe over de beweeging voor te lichten. Het komt my onbegryplyk voor, hoe hy in een Werk, in 't Jaar 164Ö in 't Jicht gegeeven fV), een Werk dat over 't algemeen eene grondige en verftandige leere bevat, 11a zeer goede zaaken over de beweeging gezegd en zelfs een fcherpzinnig en t'eenemaal verftaan* baar bewys van de wet van verfnelling, door Ga* iileus ingevoerd, gegeeven te hebben, heeft kunnen daar ftellen , dat het zeer mogelyk was , dat de verfnelling zodanig gefchiedde, dat de verkreegene fnelheden aan de doorgeloopene ruimten* evenredig waren. Sommige Natuurkundigen , die denkbeeld greetig omhelzende, hebben 'er gebruik" van gemaakt, en diar door deszelfs vinder eene ongelukkige vermaardheid toegebragt. Ik zeg ongelukkige vermaardheid; want zynen naam te geevert aan een gevoelen, dat, van nader by befchouwd zynde, flegts eene ongerymdheid is, kan, myns oordeels, tegen geene eerbaare- vergeetelheid öp. weegen.
Deeze foort van ftelfel over de verfnelling der zwaare lighaamen was aan Galileus niet onbekend ge. weest. Hy laat zich hetzelve door één der fpree* kers van zyne Samenfpraaken voordragen, en be* kent zelfs (f), dat het hem in den beginne als zeer waarfchyulyk was voorgekomen. Maar hy wederlege het aanftonds door eene zeer verftandige redt kavtling , welke aantoont , dat zo men het aannam, de beweeging in inflanti zou moeten ge»
fchte.
0) De motu rtaturali gravium flvid. ac fol. Gemi» in 40. Men h<ef noa ;an Batiani eenige kleine Werk. jes, in *t Jaar -656 gedrukt, die vat; weinig belang zyn.
(0 Difcorji & dim. Math. tntorno d due nuove jcienZt, &c. Diai. 3.
Dd



394 HISTORIE der
fchieden. In de daad, zegt Galileus, wanneer de fnelheden eens lighaams tot de doorgeloopene ruimtens evenredig zyn, dan zyn de tyden, waar jn zy doorgeloopen zyn geworden, gelyk. Indien men derhalven onderftelt, dat de fnelheid geduurig als de ruimte aangroeit , zulks dat, na eenen val van vier voeten, de fnelheid het viervoud zy van die, welke na den val van één voet verkreegen was, dan zal het lighaam die vier voeten in den zelfden tyd als den eerden doorgeloopen hebben. Het zou derhalven drie voeten doorgeloopen hebben , zonder eenigen tyd daar toe te befteeden; eene tastbaare ongerymdheid, en welke aantoont , dat de verfnelling geenszins volgens die betrekking kan plaats hebben. Te vergeefs zou men zynen toevlucht neemen tot het verfchil, dat tusfchen de verfnelde en de gelykmaatige beweeging gevonden wordt. Want zo men de geheele ruimte, en haar eerfte vierde-deel, by voorbeeld, in een zelfde getal gelyke deelen verdeelt, en welke zo klein zyn , dat men elk derzelven als met eene gelykmaatige beweeging doorgeloopen zynde kan befchouwen, zal het gemaklyk zyn te toonen , dat die geheele ruimte en het vierde-deel in gelyke tyden doorgeloopen zullen worden. Dus is het bewys van Galileus, fchoon bet door den Heer Èlondel («_), die, naar zyn zeggen, het nooit heeft kunnen bevatten, als eene drogreden befchouwd wordt, alleszins wettig en onloochenbaar.
Deeze ongerymdheid, welke Galileus in het ftelfel van den aanwas der fnelheid, naar reden van de ruimte, toonde, hadt hetzelve eenftemmig moeten doen verwerpen. Maar 'er zyn in alle tyden voorbaarige meiifchen geweest, welke de bondig< fte redeneeringen weeten te bezwalken. On&angezien het bewys van den Italiaanfchen Wysgeer, ondernamen echter fommigen de verdeediging van
dat
C») Mem. de PAcad. avant 16QQ. T. VIII.



WISKUNDE. III. Deel. V. Beek. 397
fyk het gevolg afteleiden, dat dit ftelfel valsch is ; want niets is gemaklyker als te toonen, dat 'er een onëindige tyd noodig zou zyn, om de kleinfte gegeevene ruimte door te loopen.
Gasfendi hadt nog cp eene andere wyze kunnen ■1 doen zien, dat de door den V. Casrée bygebragte proefneeming niets bewees. Want zo de maat der fnelheid, welke het lighaam in zynen val van eene 1 zekere hoogte verkreegen heeft, het gewicht was, j welke het in ftaat is om hoog te trekken, eu dat
i die gewichten evenredig tot de hoogtens waren, , dan zou daar uit volgen , dat dit lighaam, van eene
ii hoogte vallende, die de helft kleiner is dan die, van ' waar het een aan zich zelf gelyk gewicht om hoog ! zou heffen, flegts de helft van dit gewicht om hoog
zou trekken; en van eene bonderdduizendmaal klei-/ nere hoogte vallende, flegts een honderdduizendmaal 1 kleiner gewicht zou ophaalen; eindelyk, dat het van
eene hoogte, die nul of oneindig klein is , vallende, : hetgeen gelyk ftaat mee het geval van eenvoudig in
de
heden zyu, zo volgt, dat de tyd, welke hefteed wordt om Bi door te loopen, wederkeerig als C B is; wanneer 1 dus BD den tyd uitdrukt, zullen het punt D, en alle andere op gelyke wyze bepaalde punten, in eenen Hyper-
Ibool tusfchen de Afymptoten CA, CH zyn, en naardien ieder Ordinaat, of ieder onëindig klein Rechthoekje, als D£, het tyddeeltje uitdrukt, dat bedeed wordt om B5 door te loopen, zal de geheele Inhoud der Kromme den gantfehen tyd verbeelden, welke befteedt wordt om van C naar B te daalen. Nu weet men, dat in den Hyperbool tusfchen de Afymptoten gelyke Inhouden met geduu. rig evenredige deelen van den As overëenftemmen; wanneer derhalven de tusfchenwydte CB van B naar C in geduurig evenredige deelen verdeeld wordt, zullen die deelen in gelyke tyden doorgeloopen worden. Waar uit gemaklyk te befluiten is, dat het lighaam eenen oneindigen tyd noodig zou hebben, om de kleinfte ruimte, van den val te beginnen, door te loopen, dat is te zeggen, dat de beweeging onmogelyk zou zyn.
Dd 3



WISKUNDE. III. Deel. V. Beek. 399
tusfehentyden van 6, 12, 18, 24» 26 fchommelingen, die hoogtens 15, 60, 135, 240, 280 voeten waren. Ik kan echter niet ontveinzen , dat die proefneeming weinig afdoet, en dat wanneer de zaaken eenigermaate op eene andere wyze ingericht waren geweest, dezelve niet zou nagelaaten hebben, om ten naaste by op de zelfde wyze te gelukken. Want het was zeer bezwaarlyk te bepaalen, of het tydftip der komst van het klootje op den vloer naauwkeurig dat van het einde der fchommeling was, en de fnelheid van den val is zoo groot, dat het lighaam, in een gedeelte van eene zeer kleine fchommeling, eene vry groote ruimte konde doorloopen. Ook zien wy, dat eenige andere waarneemers geenszins eene uitkomst, zoo volmaakt overëenkomftig met die der Theorie, gevonden hebben. De V. Defchales (y) zegt onder anderen, dat hy de doorgeloopene ruimtens, geduurende de fchommelingen eens flingers van eene halve-fecunde , onderzocht, en bevonden heeft, dat fteenen, welke hy in putten van ongelyke hoogte of diepte liet vallen, in 1, a, 3, 4, 5, 6 fchommelingen ruimtens doorliepen, welke van 4£, i6£, 36, 60, 90, 123 voeten waren; in plaats dat zy, volgens de Theorie, van 4^, 17, 38^, 65, 106^, 153 Voeten hadden moeten zyn. Jvlaar deeze Wiskundige merkt zelf aan, dat zulks aan den tegenftand der lucht moet toegefchreeveu worden, en het is waarfchynlyk, dat zo hy, in plaats van die proefneemingen met keifteentjes te doen, dezelve met innerlyk zwaarder gewichten, als looden kogels, gedaan hadt,haare uitkomst veel nader by die der Theorie zou zyn geweest. Want de V. Merfenne heelt aangemerkt (z), dat als men looden kogels van eene plaats op het ronde dak der $t. Pieters-Keïk te Rome, ter hoogte van 300
Voe-
(?) In Mecan. Mund. Math. T. II. («) Refiea. PAyf. Math. c. 9.
Dd 4



WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 401
in eenen zelfden tyd doorgeloopen moet worden. Dit nu gebeurt in de daad. Zo men in het tydftip, waar in een kloot, van den top beginnende, den eerften omkring doorloopt,een tweeden, en vervolgens een derden laat loopen, wanneer de tweede deezen eerften omkring heeft afgelegd, en zo vervolgens, dan ziet men met genoegen, dat zy zich allen zichtbaarlyk in den zelfden tyd op den zelfden boog des Parabools bevinden. Laaten wy hier met den Heet Varignon (V) nog aanmerken, dat in 't algemeen, zo men eene kromme heeft, waar van de Abfcisfe de ruimte, en de Ordinaat te overeenkom ftige fnelheid verbeeldt, en dat men, deeze kromme rondom haaren As hebbende doen omwentelen, rondom dat lighaam een Spiraal, als die van het voorgaande werktuig, laat loopen, ieder omkring in den zelfden tyd doorgeloopen zal moeten worden, by aldien de wet van verfnelling, door de vergelyking der teelende kromme aangeweezen, de waare is. Dit verfchafe nu een middel, om eenig ftelfel, welk het ook zy, op eene foortgelyke wyze, als wy nu getoond hebben, te beproeven. In die van Baliani, by voorbeeld , zou het een eenvoudige Kegel moeten zyu. Maar wy meenen te kunnen voorzien , dac als men daar van de proef nam, zulks tot niets anders zou dienen, als om van de valschheid van dit ftelfel een nieuw bewys op te leeveren.
IV.
De Theorie», aan welken Galileus den oorfprong verleend hadt, bekwamen haare eerfte uitbreidingen van twee zyner leerlingen. De eene is BenediStus Caftelli (c). Deeze Werktuigkundige is lofwaardig,
als
Ci) Hifi. de PAcad. ann 1702.
(c) Benediüus Castelli, Monnik van Monte - Casfino, was één der eerfte Leerlingen van Galileus. Zyne Verhandelinf'4wam in 't Jaar 1639 in '£ licnt> en is iD 't Jaar 1664 ia 't Fransch vertaald geworden. Men vindt Dd 5 de-



WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 409
dezelve by alle diegeenen, welke in de Natuurkunde bedreeven zyn, zoo bekend,- dat wy ons daarby te vergeefs zouden ophouden. Wy vergenoegen ons derhalven met den Leezrr naar de Boeken over de proefcndervindelyke Natuurkunde te verzenden , waar in die itofFe meerendeels breedvoerig verhandeld wordt.
Wy moeten hier niet vergeeten melding te doen van eenige trekken der fcherpzinnigheid van den Heer Defcartes, by gelegenheid van het verfchyniél waar van wy komen te fpreeken. Wy henben bewyzen in handen, dat die Wysgeer, eer dan Tor'ricelli, de zwaarte der lucht kende, gelyk mede haare werking, om het water in de pompen en pypen, die aan één einde gefloten zyn, om hoog te houden. In de verzameling zyner Brieven is 'er één , welke de dagtekening van't jaar 1631 draagt (g), en waar in hy het verfchynfel van het omhooghouden des kwikzilvers in eene pyp , die van boven gefloten is, verklaart, door zulks toe ie fchryven aan de zwaarte van de kolom luchts , die tot boven de wolken verheven is: 't is daar'door o.>k dat hy in dien zelfden Brief de drukking van een glas vol warme lucht verklaart, dat men, na dat alle de toegangen der buitenlucht wel geflopt zyn, op een lighaam omkeert. Wy vinden nog in verfcheide andere Brieven blyken van het gevoelen van Defcartes over dat onderwerp. In één derzelven, die kort na de uitgave der famenfpraaken van Galileus gefchreeven is, en welke eene eenigzins bittere, en in verfcheide Hukken weinig rechtmaatige beöordeeling van dat Werk bevat (h), verwerpt Defcartes de zo genaamde kracht van het ledige, door den Italiaanfchen Wysgeer uitgedacht, en fchryft de aan« kleeving van twee lighaamen, welken elkander met zeer gladde oppervlaktens raaken , alleen toe aan de zwaarte, die daar boven drukt, hy geeft nog de
zelf-
fe) T. III, Lett. in, p. 602. h) T. ü, Lett. 91.
Ee



WISKUNDE. III. Deel. V. Boek. 411
weest te zyn ten aanzien van fommige der Meenam, fche ontdekkingen , welke wy nu hebben voorgedragen. Omtrent den tyd , waar in Galileus zyneloopbaan eindigde, werdt de Mechanica door verfebeide Franfche Wiskundigen voortgezet, zo door de reeds bekende waarheden met nieuwe wyzen vin betoogingen te ftaaven, als door onderiing verfcheide geichilftukken te onderzoeken , welke in laater tyd tot belangwaardige takken van die Weetenfehap aanleiding gegeeven hebben. ■ Dë alge-meene overëenftemming {Harmonie umvcrfelle) van den V. Merfeime, een Werk in 't jaar 1637 gedrukt, verfchaft ons bewyzen van *t geen wy hier gezegd hebben. Men ziet dar.r in Mechanifche proeven van den Heer Rcberval, welke zeer vernuftige betoogingen over verfcheide Hukken der Weegkunde bevat» ten. Hy maakt in dat Werk gebruik van dit grondbeginfel, dat in laater tyd zo meenistvuldig gebruikt, en zo bekend geworden is, naamlyk, dat 'er evenwicht is tusfchen twee krachten , wanneer zy in wederkeerige reden zyn van de loodlynen, uit het fteunpunt op de richtlynen getrokken. Alhoewel de ontdekking van dit grondbeginfel niet zeer zwaarwichtig fchynt, laat zulks echter niet na, dat 'er eenige verdienfte in gelegen zy hetzelve befpeurd te hebben, te meer daar het aan fommige lieden van verdienfte niet zo klaarblyklyk fcheen te zyn, als de Heer de Fermat, die by gelegenheid van fietzel. ve ongegronde zwaariglieden opperde. Om de waarheid te neggen, de meeste der Mechanifche nafpooringen, waar toe de Heer de Fermat zich verleedigde, toonen aan, dat hy geen zo fchrander Natuurals Meetkundige was. Dit is vooral het denkbeeld 't welk verwekt wordt door de vorderingen, welke men in zyne briefwisfeling met Roberval leest, en die veel overéénkomst hebben met die van eenen Heerafe Beaugrand, Schryver van een Werk tot tytel voerende Geoftatique, waar van Defcartes niet dan met verachting fpreekt, en 't welk die beöordeeling verdient.
Ee 2 De



41a HISTORIE der
De V. Merfenne (7) bewees voornaamlyk dienst aan de Mechanica door een groot getal proefneemingèn , als over den tegenftand der lighaamen, over den afloop der vloeiftoffen , en het verlies door de mocdftukken veroorzaakt, over de flingeringen der lighaamen, en over eene meenigte andere onderwerpen. Men vindt dezelve verfpreid in zyne Harmonie univerfelle, en zyne verfcheide Mechanifche Schriften. Men zou dezelve een zee van allerhande waarneemingen kunnen noemen, onder welken een groot getal vry beuzelachtig zyn. Merferme bragt, zo als een ieder weet, de Geleerden in 't (pel door de geduurige vraagftukken, welke hy hun voorftelde, en, overreed dat de waarheid uit de twist gebooren wordt, even als het licht voortkomt uit den boezem van den keifteen en het yzer, die tegen elkander ftooten, bragt hy dikwyls zyne Correspondenten onderling in woordentwist. Aan deeze door d-n V. Merfenne voorgeftekie vraagftukken hebben wy de Theorie der middelpunten van ftooting of flingering te danken, een onderwerp by gelegenheid van hetwelk Defcartes en Roberval in eenen hevigen twist geraakten, zonder één van beiden gelyk te hebben, ten minften in 't geen de moeijelykfte gevallen betreft. Wy zien ook uit de Brieven van Defcartes, dat toen onder de Franfche Werktuigkundigen gefchil was, over den ftand van het
zwaar-
(/) Merfenne (Marinui), de beroemde Correfpondent van Defcartes, kwsm in 't jaar 1588 ter waereld. Hy voibregt zyne ftudie te la Flêche, en tradt in 't jaar 1612 in de order der Minderbroeders. Men heeft van deezen geleerden Minderbroeder verfcheide Natnur- en Wiskundi£e Schriften, als zyne Harmonie univetfelle, eene Lalytifche Verhandeling over de Mechanica, eene andere, tot tytel voerende dgitata Pbyfico- Mathematica , met fST) Appendix of Asnhar.gfel; eene Syvopfs univerfa Mathe. itos, £fc- Hy ttierf in 't jaar 1648.



43* historie der
merkwaardige vorderingen van dat deel der hedendaagfche Meetkunde moet bepaalen. Dit Werk, dat in den jaare 1655 het licht zag, is eene meer byzondere toepasfing van de Rekenkunst op de Leerwyze, welke door Cavalleri de ondetlbaaren, en door fommige Franfche Meetkundigen het oneindige genaamd wordt. Ik zeg eene meer byzondere toepasfing van de Kekenkunst op die Leerwyze; want men heeft gezien , dat Cavalleri, Fermat, Defcartes en Roberval reeds voorbeelden van die toepasfing gegeeven hadden, door de Parabolen van alle geflachten op eene algemeene wyze te quadrateeren; doch deeze waren flegts ftraalen van een grooter licht, dat Wallis in het boven aangehaalde Werk ten toon fpreidde. Met behulp van eene met oordeel beftierde induStie, en van den draad der overéénkomst, waar van hy zich fteeds met een goed gevolg wist te bedienen, maakte hy eene meenigte voorwerpen, welke hem tot in dien tyd ontglipt waren , aan de Meetkunde onderhevig. Het was, by voorbeeld, de overeenkomst die hem tot deeze zo nuttige vinding bragt, om naamlyk de noemers der breuken als magten met negative Exponenten te befchouwen. In de daad, zo men deeze reeks van magten neemt,
x', x2, i1, ï°, of 1, - , &c. welke in eene
geduurige Geometrifche Progresfie zyn, dan zullen de Exponenten in eene Arithmetifche Progresfie ftaan. Wanneer dus die dereerften 3, a, 1, o zyn, moeten
der Stichters, en één der eerfte Leden was. Ik zwyge van zyne godgeleerde of zedekundige Werken, welke mede in groot getal zyn. Wallis bezat een byzonder vernuft, om de brieven , in cyher gefchreeven, te ontcylferen, hoe famengefteld ook de Heutel ware, waar van men zich bediend moge hebben. Men kan in het laatfte Supplement van Bayte, door den Heer de Chaufepied, een zeer beiangwaardig en voortreffelyk Stuk over dien Geleerde vinden.



434 HISTORIE de»
hel tor/.TrT „2; if '1S \e Z^en' die van de een. beid tot een negatif getal. Nu weet men. en zulks
bedekking ui drukt: men kan derhalven ?ich de vraag voorftellen, wat zal dan die and e uitdrukking betekenen? IVallii verbeeldde zich ! da? de "elve eene meer dan oneindige ruimte te kennen gaf • eene zonderlinge wonderfpreuk, waar van m^den ^lw7rgmn de °pl0£fin^ verfcholdlgd if.' Hetgeen Wallis voor eene meer dan oneindige ruimte geSe hlt^S eCne «ndige L bepaafde rujm.e, negatif of m eene tegengefielde richting berchouwd. In dit geval beeft We omftaiidfgheid plaats, waar van de Analyfis meenigvuldige voorbeelden opleevert. Men vindt de |rootheid n°et van de ruimte CABGHC, we!*e S™ Weerdê,' maar d,e van bet overige der Hyperboli^ruZl
ricfad'31'evrV!et bC"eerde' Het ^gemaklyk zich daar van te overrulen; want als men dP
maat van dat deel CLBK," dóór deszelf Vergely-
nen £\ ïïïn? £Lt ove'Sebragt, zoekt, ^indt men het zelfde als te vooren, doch op eene uR. tive wyze. Wy bemerken by deeze Gelegenheid eene eigenfchap van alle de .Hyperbolen v!h0ogere magten; naamlyk dat zy %n de eene zyde binnen den gemcenen Hyperbool gaan, dat is te zeggen, tusfchen de Kromme en de ^jwj en Cnf ry/e d3ar buiten' a,s ^dfda zy
ré;Slïïy°k'hebl"n.andere ^ MB W De Leu wyze van /jFWff, kan gemaklyk op meer fonengeftelde gevallen toegepast worden, by voorbeeld op die, waar in de Ordinaat der Figuur door eene veelledige magt wordt uitgedrukt, als aa +
klaarbTvkltk^**' ^T^A &c' ^aut het is kl^iMykiyk, da< men dien Ordinaat als de fom van verfcheide Ordinaten kan befchouwen, vS van de eene ftandVastiglyk aa, de andere + 2fl*, en de derde 4- « ZOu zyn. Dus zal, Volgens
den



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 44,
Wanneer, volgens Mylord Brouncker, het Vierkant l is, dan is de Cirkel gelyk aan deeze uitdrukking 1
3+9 2+25
n+49
2+ &c.
tot in 't oneindige voortgezet. Maar wanneer men, dezelve afbreekt, zal men beurtelings limieten by overïreffing en by ontbreeking verkrygen. Voorts merkt Mylord Brouncker aan , dat men , om , by het af breeken der reeks, eene naauwkeuriger benadering te hebben , den noemer des Breuks , waar mede men eindigt, met den Vierkants-wortel uit den teller moet vergrooten; door dat middel vindt men reeds by de zevende en agtfte Termen naauwere limieten, dan die van Archimedes. Wallis, ons deeze vinding mededeelende, heeft ons tevens be* kend gemaakt de wyze , op welke Brouncker toe dezelve gekomen is. {d)
De Meetkunde is aan Mylord Brouncker eene andere merkwaardige vinding verfchuldigd ; naamlyk de eerfte oneindige reeks, die gegeeven is om den inhoud van den Hyperbool uit te drukken. Hy was reeds in 't jaar .1657 in het bezit van dezelve; want Wallis maakte dezelve toen , in de Opdragt van een Gelchrift tegen Meibomius, bekend. Brbunc* ier, door andere bezigheden verhinderd, verwylde
mee
(«) De Heer Eulér heeft in de Metnorien van Petersburg (van 't jaar 1737) over deeze foort van Breuken eene voortreffelyke Memorie gegeeven, welke hy op by* zondere onderwerpen toepast.



442 HISTORIE der
met dezelve in 't licht te geeven toe in den jaar®1668, toen Mercator, die aan zyne zyde eene foortgelyke reeks gevonden hadt, en op het punc Rondt om zyne Logarithmoteckma in 't licht te brengen , hem zyn geheim ontfutfelde. Hy ontdekte hetzelve in de Philofopkifche transactiën n°. 34. Zie hier deeze reeks: c (Fig. 84} het middelpunt .zynde van eenen gelykzydigen Hyperbool, en ca het ingefchreeven Vierkant tusfchen zyne Afymptoten ~ 1 , laat BDz:cb zyn; dan toont Mylord Brouncker, dat de ruimte ABDEGA gelyk is aan deeze oneindige reek* 1 1 1 1
van afneemende Breuken, -— + — -\ 1 h
1.2 3.4 5.6 7.8 x 11 —— , &c.; dat de ruimte agef — j- h
9*10 2»3 4-5
1 1
—, &c, en eindelyk het Segment agea —
6.7 1 1 2.3.4
+ 1 , wc. is. De wyze op welke
4.5.6 6.7.8 Brouncker dit betoogt, is te eenvoudig , om met ftilzwygen voorbygegaan te worden. Hy neemt eerst den grootften Reehchoek BE , in de Hyperbolïfche ruimte befchreeven; vervolgens deelt hy den Bafis BD in tweeën gelyk , en berekent de waarde van den Rechthoek 2. Hy gaat voort om desgelyks ieder der beide helften BH, HD in tweeën gelyk te deelen, gejyk mede de deelen BI, IK, enz., waar door hy de Rechthoeken 3, 4,5,6,7, 8,enz. bekomt. Nu
11
vindt men gemaklyk, dat de Rechthoek 1 is — ~—j
2 i.a
IX 1
dat de Rechthoek 9 is —x—» of —; dat de 1.2 i.ó 3.4
I I
twee volgenden 3, 4 refpe&ivelyk zyn —, ——;
5.6 7.8 dat



WISKUNDE. III. Deel VI. Boek. 443
dat de Vier Rechthoeken 5, 6, 7, 8, die hier na volI 1 1 i
gen j zyn , > » 7s enz«s
9.10 II. ia 13. 14 15. 16 Derhalven zal deeze reeks van Breuken, tot in 't onëindige voortgezeti alle de Rechthoeken, zodanig ingefchreeven, als wy nu hebben doen zien, influiten, en by gevolg de Inhoud der Hyperbolifche ruimte AEGDB zyn. Door op de zelfde wyze de rechthoeken , welke in de ruimte AFEG geduurig ingefchreeven wörden, of de Driehoeken, in het Segment AEG befchreeven, te berekenen, vindt hy de beide laatfte reekfen. Men kan, met behulp van elk der zei ven, de waarde van den Hyper belifchen Inhoud tusfchen de Apympmeh in verfcheide tiende-deelen berekenen s Brouncker geeft daar van voorbeelden, en vindt, door deeze Leerwyze, de Hyptrbolifchi Logarithmeti van 2 en 10.
Eindelyk zyn wy s in zekere opzichten , aan de RekeniuHst det onëindigen van Wallis de voortreffelyke ontdekking verfchuldigd, met welke de Meetkundige Nicolaas Mercator ib\ Zich eenige jaaren daar öa beroemd maakte. Want terwyl hy zich onledig
hielde
(b) Mcokas Mercator (In't Hoogdiiitsch Kauffmantt) was afkomstig uit het Hertogdom Holftein. Hy kwam zich omtrent het jaar 1660 in Engeland nederzetten: woonda aldaar geduurende het overige van zynen leeftyd, en was één der eerfte Leden Van de Koninglyke Maatfchappy» De juiste tyd van zyne geboorte en van zynen dood is ons onbekend. Men heeft van hem verfcheide Werken, waar van dö volgende de voornaamften zyn. Ilypoth, Afiron. nova. Lond. 1664. Van deeze onderftelling (Hypothejis} is op het einde van het IV. Boek deezes Deels gefproken. Logarithmoteclmia, &c. Ibid. 1668 » in 4°- Inftit. Afiron* Ibid. 1678, in 8°. Het moeit ons , voor de eere vari dien bekwaamen Wiskunftenaar, dat men na zynen dood, onder zyne papieren, eene Verhandeling over de SterrenWichelaary gevonden hebbe. Zie le SuppUmtnt * Ba^lt^ f ar M, at Ghwffepiéê
Gg %



444
HISTORIE der
hielde met de navorfchiog, om de regelen van die Rekenkunst op den Hyperbool toe te pasfen, vondt hy eene reeks om den Hyperbolifchenlnhoad tusfchen de Afymptoten uit te drukken. Zie hier op wat wyzre hy daar toe geraakte.
Uit hetgeen Wallis in het zo meemgmaal aangehaalde Werk betoogd hadt, volgde, dat zo de Ordinaat van eene Kromme uitgedrukt werdt door eenige xeeks van magten der Abfcisfe, als i -hx+x2 + x3 + ar4, £fc. de Inhoud van die Kromme zou zyn ar-t*a ac3. ar*
— 4 \—, &c. Wallis hadt desgelyks bemerkt,
a 3 4
dat als men den oorfprong der Abfcisfe op de Afymptoot, op eenen afftand gelyk aan BC (Fig. of de eenheid, neemt, zulks dat Bdzzxzy, de Ordinaat l
" zal zyn; maar deeze uitdrukking viel niet on1 -hx
der zyne regelen , en hy hadt te vergeefs beproefd dezelve daar aan te onderwerpen (c).
Mercator was het, die dit oogmerk bereikte: hy viel op het gelukkig, en niettemin zeer eenvoudig denkbeeld, om, door de gebruiklyke Leerwyze, I door i -fa: te deelen, en vondt, in plaats van etn eindig Quotiënt, deeze oneindige reeks i — x + x*— x* + x*, &c. De waarheid van deeze uitdrukking, en haare natuurlyke overgenkomst met de eerfte, is
ge-
: (c) Men leest in het Supplement van Bayie, op het Artikel Newton, eene aanmerking, waar by de vinding van Mercator aan Wallis toegeëigend wordt, om dat , zegt men, Wallis in zyne Opus Arühm., in 1657 gedrukt, reeds de ontwikkeling van de uitdrukking i:(i-fx) getoond hadt. Doch wy kunnen verzekeren, dat de Schryver van die aanmerking, welke de Ridder Jmes fchynt te zyn , misgezien heeft, en dat men in het aangehaalde Werk niets diergelyks vindt, ten minften niet in den druk van 1657.



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 445
gemaklyk aan te toonen, wanneer * kleiner dan de eenheid is; want alsdan is de reeks, waar van wy fpreeken, het verfchil der beide afloopende Geome* tfifche Progresfien l-hx* + x4 + x6, Êfc. en x-hx3 + x5+x7, &c., welke, door de gewoone Leerwyze gefommeerd,en de eene van de andere afgetrokken zyn.
I
de, zeer naauwkeurig voortbrengen . De reeks x —«
ata x3 at* 1 + jc
1 , &c. zal derhalven, zo als men boven
a 3 4
gezien heeft, gelyk zyn aan den Hyperbolifchen Inhoud tusfchen de Afymptoten , overëenftemmende met de Abfcisfe x. Zo men echter in tegendeel x negatif Rdt, dat is te zeggen, van B naar i genese2 x3 ■ x*
men, zal de voorgaande reeks zyn x-\ -*->—(—>
2 3 4
&c. Mercator maakte zyne ontdekking bekend in zyne Logarithmotechnia, die op het einde van 't jaar 1068 het licht zag, Hy gaf deezen tytel aan zyn Werk, om dat hy daar in voornaamlyk zyne reeks toepasfelyk maakt op de famenftelling der Logarithmen, welke, zo als meermaalen gezegd is, van de Quadratuur des Hyperbolifchen Inhouds tusfchen de afymptoten afhangen.
De vinding van Mercator verfchïft in de daad een gemaklyk middel, om de Hyperbolifche Inhouden te berekenen, zo lang x kleiner dan de eenheid is. Want onderfiellende dat xzzj, zy, zal alsdan de reeks, waar van wy fpreeken, veranderd worden in deeze ;
1 1 1 1 , „, r-. ii..— , &c., waar van de Ter-
5 2,25 3-125 4-^5
tnen fnellyk afneemen , zodanig "dat zy weldra tot eenen trap van kleinheid zullen komen, die hen, als van geen aanmerking meer zynde, moet doen befchouwen. Het zal derhalven genoegzaam zyn een zeker getal van die Termen famen te tellen, hetgeen op eene zeer gemaklyke wyze kan gefchieden door Gg 3 mid-



446 HISTORIE des
middel van de tiendeelige Breuken, waar van wy de Leere, als den Leezer bekend zynde, onderftellen. Dus zal men door de bovenftaande reeks bevinden, dat de HypefboHfche Logarithmus van f is 0,1823215, Desgelyks zal men die van alle zodanige getallen vinden, welke de eenheid weinig te boven gaan, en door hunne onderlinge famenvoeging kan men die van de meeste geheele getallen afleiden (4),
Wy hebben gezegd, dat men in de bovenftaande reeks x kleiner dan de eenheid moest onderftellen. In de daad, naar maate x nader by die waarde komt, is de berekening van de reeks moeijelyker, om dat zy langzaamer convergeert„ dat is te zeggen, dat haare Termen minder fchielyk afneemen. De zwaa* righeid wordt nog grooter, als * de eenheid te boven gaat; want alsdan zullen de Termen der reeks, in plaats van afneemende te zyn, hoe langer hoe meer aangroeijen, hetgeen dezelve nutteloos maakt. Doch daar toe zyn verfcheide hulpmiddelen, onder anderen dit: by voorbeeld, als A d veronderftehj wordt 17 te zyn, en men reeds den Logarithmus van 3, en dienvolgens die van 4, van 8, van 16 hebbe, heeft men flegts 17 door 16 te deelen; waar door wy zuU len hebben ff, of 1 Wanneer men alsdan Ti
Relt,
Cd) Want, by voorbeeld, hebbende den Logarithmus van |, en dien van f, zal mèn dien van 2 hebben, door by dien van § het dubbeld van dien van f op te tellen, of wel dien van Jff. Want § X Jff~ »• Wanneer nu de Logarithmus van 2, en die van % bekend is, zal men gemaklyk die van 10 bekomen ; want |x8, aff X 2'z: 10: dus moet men by den Logarithmus van § het drievoud van dien van 2 optellen. Met den Logarithmus van f en dien van |, of het dubbeld van dien van §, zal men dien van 3 hebben; want f x £ —3» Wanneer men die van j© en J.J famentelt, heeft men dien van 11. Met behulp van deeze Voorbeelden is het gemaklyk te bevatten, hoe men de La-
fqritfatKn der geheele getallen, door middel van die der reuken, weimg verfchillende yan de eenheid, kan her§.



WISKUNDE. ÏIÏ. Deel. VI. Boek. 447
fielt, zal men, door de bovenftaande reeks, den Logarithmus van 1,5, of $£, bekomen; en zo men daarby den Log. van 16 , die het viervoud van dien van 2 is, optelt, zal men dien van 17 verkrygen. Deeze is de handelwyze volgens welke men tot het oogmerk kan geraaken , om de Logarithmen der eerfte getallen te vinden, mits men die der 10 eerften van de natuurlyke reeks bekend hebbe.
Het is noodig aan te merken , dat de Logaritkmen, welke men volgens deeze Leerwyze vindt, geenszins die der gewoone Tafelen zyn. Om die reden worden dezelve Hyperbolifche Logarithmen ge« noemd ; maar zy Haan tot die der gewoone Tafelen in eene ftandvastige reden , naamlyk die van 2,3025850 tot r.oooocoo, De reden hiervan is, dat men in de famenftelling der gewoone Logarithmen by den aanvang onderfteld heeft, dat die van 10 was 1.0000000, doch door de berekening, op de voorgaande Leerwyze gegrond, vindt men voor denzei ven 2.3025850. De Logarithmen, welke men Hyperbolifche noemt, zyn die welke uit de berekening der Inhouden van den gelykzydigen Hyperbool tusfchen de Afymptoten onrftaan: de Logarithmen der Tafelen vertooneu de Inhouden vau een Hyperbool* wiens Afymptoten onderling eenen hoek van 540 161 maaken. Doch even als de Inhouden van die ueide Hyperbolen op gelyke Abfcisfen onderling ftaan in eene ftandvastige reden, welke die van hun grootfte Parallelogram , tusfchen de Afymptoten befchreeven, is, zyn desgelyks de Hyperbolifche Logarithmen en die der Tafelen in eene ftandvastige reden , naamlyk van 2.3025850 tot 1.0000000 , of van i.ooooqoo tot 0.4342944: dus kan men de eene foort van Logarithmen gemaklyk tot de andere overbrengen; naamlyk de Hyperbolifche tot die der Tafelen, als men de eerften door a,3025850 deelt, of, in tegendeel, die der Tafelen tot de Hyperbom lijche, als men de eerften met 2.3025850 vermee» nigvuldigt, of door 0.4342944 deelt,
Gg 4 III.



448 HISTORIE der
III.
Onder de gelyktydige Meetkundigen van Wallis* en die kort vóór Newton geleefd hebben, welke voornaamlyk tot de bevordering der Meetkunde het hun. ne hebben toegebragt, is men den D. Barrow O) eene plaats verfchuldigd. Deeze beroemde Wiskundige gaf in *t Jaar 1669 zyne Meetkundige Lesfen in 't licht, een Werk vol grondige nafpooringen over de afmeetingen en eigenfchappen der kromlynige figuuien. Wy zullen ons tot deeze loffpraak bepaalen: want, zonder in wydloopiger byzonderheden te treeden, zouden wy geen duideiyker denkbeeld van dat geleerde Boek kunnen geeven. Niets minder dan de
nieu-
CO Barrow (Ifaac) werdt omtrent het Jaar 1630 te London gebooren. In zyne vroege jeugd beloof de hy weinig: doch toen hy tot eenen eenigermaate rypereu ouderdom gekomen was, ontwikkelde zich zyn vernuft, en hy maakte fnelle vorderingen in byna alle weetenfchappen. In den Taare 1660 werdt hy tot een Hoogleeraars-ampt der Griekfche taaie te Cambridge benoemd. Kort daarna verwisfelde hy hetzelve met een Hoogleeraars-ampt der Wiskunde in 't Collegie van Gresham, en eindelyk kwam hy, in 't Jaar 1668, weder bezit neemen van dat der Meetkunde, 't welk men Lucafiaansch noemt, om dat het door den Heer Lucas gefticht is. Alstoen gaf hy zyne uitmuntende Gezicht- en Meetkundige Lesfen, welke in't Jaar iö6p gedrukt •werden. In dit Jaar ontfloeg D. Barrow zich van zynen post, ten voordeele van Newton, en met oogmerk om zich voornaamlyk aan de Godgeleerdheid over te geeven. Hv ftierf in 't Jaar iö?8 te Cambridge , als Rector van het Collegie der Drieëenheid. Behalven zyne LeB. Optica fc? Geometrica, heeft men van hem verfcheide andere Wiskundige Werken, als: NoUinEucl. Elem. Cant. 1655, in 4", Euclidis data fuccintè dem. Ibid. 1^59, in-40. jbch. opera Appol. Conha, ac fheod. Spherica , methodo novd illuflrata. 1675. Lond. in-4». Le&. Math. Cant. 1684, in 8". De beroemde Tilktfon gaf, in 't ïaar 1683, zyne Godgeleerde, Zede- en Dichtkundige Werken in 't licht. Men kan over hunne verdienste uit die van den üitgeever oordeelen.



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 449
nieuwe rekeningen was 'er noodig, om zo veele uitfteekende vndingen te overtreffen. Wy zullen ons flegts tot ééne bepaalen, naamlyk zyne Leerwyze der raaklynen, uit hoofde van haar verband met de Differentiaal- of ifez'e-Rekening.
riet is noodig, dat men zich hier te binnen brenge hetgeen wy over de Leerwyze van Fermat gezegd hebben; want die van Barrow is niets anders dan die zelfde Leerwyze op eene eenvoudiger wyze voorgedragen. DeEngelfche Meetkundige befchouwt den kleinen Driehoek , welke gevormd wordt door het verfchil der beide Ordinaten, die oneindig dicht by elkander ftaan, hunnen afftand en de oneindig kleine zyde der Kromme. Deeze Driehoek is gelyk» vormig aan dien, welke door den Ordinaat, de raak-, lyn en onderraaklyn gevormd wordt. Hy zoekt daaröm, door de Vergelyking der Kromme, dereden welke die twee zyden ba, aB (Fig. 86) van den Driehoek Bba onderling hebben, wanneer het verfchil der Ordinaten oneindig klein is (ƒ;,- vervolgens ftelt hy deeze evenredigheid : gelyk ab ftaat totBtf, alzo ftaat de Ordinaat tot de gezochte Onderraaklyn. Deeze Regel, zo weinig verfchillende vau die van Fermat, is, zo als gemaklyk te zien is, van dien der Z)/^r<»»r/W-Rekenirig in niets anders o:iderfcheiden, als in de wyze van bevatting. Hetgeen Barrow e, a noemt, wordt in de DifferentiaalRekening, de Coördinaten x cn y zynde, (tx> dy genoemd.
(/) By voorbeeld, als de Vergelyking \syy~px, zal men , onderftellende, dat x wordt x + e, en de Ordinaat in den zelfden tyd y -\-a, deeze andere Vergelyking hebben yy + 2ay-\-aa~px+pe. Wanneer wy nu hiervan yy-px aftrekken , zal 'er overblyven 2031 -\-aa~pe, of, om dat aa oneindig klein is, iayZZpe. Derhalven a; e: :p: 3 y '• P: 21/ p r. Maar a ftaat tot e, als de Ordinaat tot de Onderraaklyn ; derhalven a: e, of p : 2 {/ p x \t:p\/ px-.zpx']:: \/px:ix\ by gevolg is de gezochte Onderraaklyn gelyk aan 2 x.
Gg S



450 HISTORIE dee
ïioetnd. Ook is 'er eene groote overeenkomst tusfchen de handelwyze, op welke men den Differentiaal, of de Fluxie, van eene Grootheid neemt, en die welke Barrow gebruikt, om de betrekking der letteren e, a te vinden, Het was hem zelfs niet onmogelyk zyne Leerwyze op de irrationaale uitdrukkingen toepasfelyk te maaken, zo dat hy byna tot de vinding der Differentiaal-Rekeniog gekomen was, eq het dus niet noodig is tot iets anders, dan tot zyne Werken , toevlucht te neemen , om 'er den oorfprong vaa deeze Rekening in te vinden.
IV.
Zodanig was de ftaat van de Meetkunde en Analyfis, toen de Heer Newton ten voorfchyn tradt. Deeze, in zo veele opzichten , onfterflyke man werdt den sS December 1642 (oude ftyl) te Woolfirop, ia het Landfchap Lincoln, gebooren uit een edel Geflacht, dat federt twee eeuwen de Heerlykheid van dien naam bezat, en van New-Town, eene ftad van bet Landfchap Lancafler, afkomstig was. Hy nam zyne eerfte ftudien waar in het Collegie van Grantham , waarheen hy in den ouderdom van twaalf jaaren gezonden, werdt. Toen deeze volbragt waren , rekende zyne Moeder het haar tot eenen plicht hem in het huis zyns Vaders te rug te roepen, ten einde een begin te maaken om voor zyne zaaken te zorgen; doch Newton bragt van de Hooge Schoole niets anders terug , dan een verftand dat van die foort van bezigheden zo verre vervreemd was , en tot de Studie eene zodanige geneigdheid toonde, dat men hem naar dezelve te rug meest zenden, om in ftaat gefield te worden zynen fmaak te volgen. Alstoen begon hy zich op de fludie der Wiskunde toe te leggen. Een zo verheven vernuft hadt niet noodig den gewoonen weg te volgen; Newton deedt, zegt men, niets anders dan de Beginfelen van Euclides met een vluchtig oog te doorloopen; op ftaande voet ging hy tot
Boe-



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek* 451
Boeken van de Hooge Meetkunde over , ate de Meetkunde van Defcartes, en de Rekenkunst der oneindigen van Wallis, Toen hy deeze Werken las, bepaalde hy zich niet flegts tot het oogmerk otn dezeiven te verdaan; maar, daar hy zyne inzichten verre buiten die des Schryvers uitbreidde, deedt hv, als by gelegenheid, eenen ruimen oogst van ontdekkingen. Aldus kwamen hem zyne eeifte Analytifche vindingen voor den geest , zo als men zien zal uic het verhaal, 't welk wy daar van zullen doen. ■■ , •" ,
Het leedt niet lang of de verdienste van dep Heer Newton werdt alöaime bekend. De D. Barrow , een zo goed kenner van zodanige ftoffen, leerde hem kennen , bewonderde hem , en hielp hem in zynen Post van Hoogleeraar te Cambridge, na alvoorens zelf afftand daarvan gedaan te hebben. Hy hadt toen nog flegts zeven-en-twintig jaaren be. reikt; maar hy was reeds in 't bezit, en zelfs federt eenige jaaren , van twee zyner fchoonfte ontdekkingen , naamlyk zyne Theorie van het licht, en zyne Fluxie-Kekemng. Hy begon toen de eerfte te verklaaren in zyne Gezichtkundige Lesfen , een verheven Werk, zo door de Davorfchingen der Gezicht- en gemengde Meetkunde , welke daar ij) verfpreid zyn, als door die nieuwe Theorie, welke het hoofdonderwerp daar van is. In den zelfden tyd bragt hy zyne Verhandeling, getyteld Leerwyze der Fluxien, in orde, mei voorneemen om dezelve, te gelyk met de voorgaande, ten eerften in 't licht te geeven. Macr de voorbaarige tegenwerpingen» welke van verlcheide zyden tegen zyne Gezichtkundige ontdekkingen ingebragt werden, zo dra hy den korten inhoud derzelven in de Tranfa&ien aangekondigd hadt, deeden hem van zyn voorneemen afzien. Meer bevalligheids vindende in rust dan in eere en roem , hieldt by ze beiden verborgen. Ontelbaare ontdekkingen, en verfcheide Gefchriften ?yn het werk van dien tyd, toen hy te Cambridge de Wiskunde leeiaarde , onder anderen zyne Wit->
kunst



45a
HISTORIE der
kundige Grondbsginfelen der Natuurlyke IVyslegeerte, dat onfterflyk Boek , 't welk altoos de verwondering van alle de verlichte eeuwen zal zyn. Wy zullen op eene andere plaats een zo uitgebreid verflag daar van doen-, dat wy hier, om in geene noodelooze herhalingen te treeden, ons bepaalen zullen tot deeze loffpraak , eene nog te flaauwe uitdrukking van de achting, welke men aan dat verheven voortbrertgfel des menschlyken verftands verfchuL digd is.
Eene verdiende als die van den Heer Newton* was een ander tooneel waardig dan dat, waarop wy hem tot hiertoe grzien hebben. Men toonde zulks in den Jaare 1696. Mylord Montague, Graaf van Hallifax, hielp hem aan den Post van Opziener der Munthuizen te London. Newton bekleedde denzelfren als een man van vernuft, en deedt, in zekere moeilyke omftandigheden , zodanige verrichtingen, welke even zo geleerd als nuttig waren. In den Jaare 17^5 werdt hy door de Koninginne Anna tot Ridder verkooren. Deeze Vorftin bepaalde zich niet flegts tot deeze gunst: zy deedt zelfs hem dtkwyls de eere van met hem over de geleerdfte doffen te fpreeken , en men hoorde haar meer dan eens zich zelve gelukkig achten , van eenen zo grooten man tot haaren tydgecooc en onderdaan gehad te hebben.
De Heer Newton leefde tot in den ouderdom van byna 80 jaaren in eene voorfpoedige gezondheid. Alstoen begon dezelve af te neemen, en in 't begin des Jaars 1727 werdt hy van den deen aangetast. In die omdandigheid toonde hy even zo veel ftandvastigheid, als hy, geduurende den loop zyns levens, ichranderheid getoond hadt. In 't midden der finartelyke toevallen, welke aan zyne dagen een einde maakten, hooide men hem nimmer eenige klagte ttitboezemen, en zo de zweetdruppelen, welke langs zyn voorhoofd afbiggelden, geen tekenen waren geweest van de hevige fmarte, welke hy inwendig gevoelde, zou men gecfacht hebben, dat hy
zich



WISKUNDE. III. Deel. VI. Beek. 433
zich in eenen bedaarden toeftand bevondt. Eindelyk ftierf hy den 20 Maart 1727 rj>ude l\y\), in den ouderdom van 84 jaaren. en drie maanden. Groot-Brittan je dacht te moeten toonen, dat het gevoelig was over de eere van een zo bovengemeen man voortgebragt te hebben. Zyn lyk werdt naar de Abtdy van IVestminfter gebragr., en aldaar op een praalbed ten toon gefteld. Van daar werdt het naar de plaats, ter zyner begravinge gefchikt, met een tahyk gevolg der grootfte Heeren gevoerd. De Groot-Kancelier van Engeland , de Hertogen van Monirofe en Roxbury, de Graaven van Pembrock , Sus/ex en Macksfidd rekenden het zich tot eene eere, dat zy het rouwkleed droegen. Naderhand lieten zyne naastbeftaanden hem een gedenkteken oprichten, waarop men dit Graffchrift leest: H. S Ë. Isaacüs Newtomjs, eques auratus, qui anitni vi propè divind, planetarum motus , figuren , cornet'aturn femitas, Oceanique aftus, Jud Mathefilucetn pieferente, primus demonfiravit. Radiorum luds disfitnilitudines , colorumque inde nafcertium proprietates , quas nemo aniè fuspicatus erat, pervefligaut..Nature, jontiquitatis, 5. Sctipt, fedulus* fagax, fidus, inter» pres , Dei O. M. Majeftatem Philofophid aperuit, Evangelii fimplicitatem monbus expresfit. Sibi gratu. ien,ur mortales tak tantumque extitisfè humani generis dccus,
Natus XXV. Decemb. A, D. MDCXLII: obiit Martii XX. MDCCXXVI (j).
De Werken van den Heer Newton zyn meenig» vuldig in getal : zie hier dezelv.; kcirtelyk byëea verzameld , naar den tyd waar in zy gedïukt zyn. Wy gaan eenigzins ftilzwygende vdorby de tante-
ke-
(g) Dar, is te.zeggen 1727 , om dat in Engeland het Jaar eerst met Prsfchen begint (*).
(*) Of .dit voormaals heeft plaats gehad, is onze narpooring ontglipt. Zïlwr is het, dst in ringelend rceas federt veele Jaaren den nieuwen of Gregoriaanfchen U/1 gevolgd wordt. Vertaaler.



454 HISTORIE dér
keningen, waar mede hy de Editie der Aatdtïki* kunde van Varenius , in den Jaare 1672 in 't licht gegeeven, verrykte, om ons by zyne Grondbëginfelen der Natuurlyke Wysbegeerte op te houden. Dat verheven Boek kwam in 't Jaar 1687 in *t licht (A), en is naderhand verfcheide maaien herdrukt. De Vaders Jacquier en le Sueur, van de Order der Minderbroeders, en fchrandere Meetkundigen, heb. ben hetzelve van geleerde uitleggingen en ophelderingen voorzien (O 5 en 'er zal binnen kort (k) eene Franfche overzetting van hetzelve, benevens eene opheldering der gewichtigfte plaatfen, in 'é licht verfchynen; een Werk van Madame de Mark* graavin du Chdtelet, waarover de Heer Gairaut , die, te gelyk met veele andere beroemde Meetkun* digen de bouwftoffen daar toe geleeverd heeft, het opzicht heeft gehad. In den Jaare 1704 gaf de Heer Newton in 't licht zyne Gezichtkunde O), benevens de beide Latynfche Verhandelingen, De Öuadraturd curvarutn, fcp Enumeratio curvarum term ordinis, naderhand, en wel in den Jaare 1711, met twee andere Latynfche Schriften van den Heer Newton, naamlyk zyne Analyfls per <squau numero terminoruni infinitas, en zyne Methodus differentialis, herdrukt* De twee eerfte van deeze Verhandelingen zyn met ophelderende aantekeningen voorzien, naamlyk de
eer*
(h) Cantahrig. in-4°. 1687. ibid, 17*3, & Amfiel 1714, tand. 1726. Van dit Werk is eene Engeifche Overzetting, door den Heer Machin met aantekeningen verrykt, welke in den Jaare 1729 in 2 Deelen in-8a. het licht zag.
CO PML Nat. principid Math. perpetuis Comm, illuftrattS. Geneve 1742. 3 vol. in.4».
(k) Deeze Franfche Overzetting is , onder den tytei Van Principes Mathématiques de la Philofiphie naturelle, twee Deelen in 40., in 't Jaar 1759 in druk gegeeven.
Vertaalêr.
(0 In 't Engelsen Lmd. in.40. Ibid. 1717 en 1721, in 8?. Latini Lond. 1706, 1719, in-40. fa 't Fransen, Amfitrd. 1720, en Parys 1722, ia-S°.



WISKUNDE. III. Deel VI. Seth. 4$$
eerfte door den Heer Steward, de andere deor den beroemden Meetkundige den Heer Stirling Cm). Wy komen voor eenige oogenblikken tot het voorige terug, ten einde niet te vergeeten de ArithmeSka univerfalis, die in den Jaare 1707 het licht zag j wy hebben reeds op eene andere plaats eene gepaste befchryving van dat Werk gedaan, waar na wy den Leezer verzenden. Na het overlyden van den Heer Newton zyn nog verfcheide Werken van hem uitgekomen, welke hy, zo by gebrek aan tyd, als door onachtzaamheid, niet in 't licht gegeeven hadt: zodanige zyn zyne Gezichtkundige Lesfen, een Werfe meerendeels verfchillende van zyne Gezichtkunde, in 1718; zyn Boek de Syftemate Mundi, in 1731; zyne Leerwyze der Fluxiün en oneindige reekfen , in 2 736 in 't Engelsch uitgegeeven, en waarvan wy eene Franfche Overzetting hebben, welke de Heer de Buffert In 't Jaar 1740 in 't licht gebragt heeft. Wy moeten niet verzuimen te fpreeken van zyne Verbeterde Tyd* rekenkunde der oude Koningryken, een Werk dat insgelyks na zynen dood, naamlyk in \ Jaar 1738, het licht zag, en waar van reeds heimelyk in 't Jaar 1725 het kort begrip te Parys was uitgegeeven. Zo het tydrekenkundig ftelfel, 't welk de Heer Newton in hetzelve tracht in te voeren , al geen waarheid zy, is het ten minsten aanlokkelyk, en bewyst de groote geleerdheid, welke deszelfs Autheur by zyne Wiskundige weetenfehappen voegde. Wy zullen flegts in 't voorbygaan aan flippen zyne Aanmerkingen betreffende de voorzeggingen van Daniël en de Apocatypjis, of de Qpenbaaringe Joannis. in andere plaatfen dan Geneve en London zou men het, voor de eere van den Heet Newton, van 't grootfte belang gerekend hebben, dat die Aanmerkingen nimmer het lient gezien hadden. Alle die> Schriften eindelyk , behalven de Grondbeginfelen der Natuurlyke Wysbegeerte, de Arithmetica univerfalis, en de Gezichtkunde .
zyn
Cm) Illujiratio traü. D. Newtoni, de sr.umeratim cmtr rum tertii ordinis. Oxon. 1717.



456
HISTORIE on
zyn onder den tytel van Opuscula verzameld, en te Geneve in drie Deelen in 40. uitgegeeven. Men vindt daar in ook eene meenigte ftukken , uit de Transactie», het Commercium Epifiolicum, en andere Werken getrokken. De optelling van alle die ftukken zou te wydloopig zyn ; wy verkiezen liever tot den voordragt der Analytifche ontdekkingen van den Heer Newton overtegaan.
De denkbeelden van Wallis óver de rusfchenvoegingen (interpolationes) waren de aanleiding tot de eerde ontdekkingen van Newton. Toen hy zich de eerfte maal in de loopbaane der Wiskunde begaf,' hetgeen op 'c einde van 't Jaar 16Ó3 gebeurde, was één der eerfte Boeken, welke hy las, de Rekenkunst der onêindigen, waar van wy zo dikwerf gefproken hebben. Men herinnere zien, dat Wallis daar in de handelwyze toonde , om alle kromme Lynen te qua» drateeren, waar van (ac de Abfcisfe zyndej de Ordinaat, zo lang m een geheel,poftif getal of nul was» uitgedrukt werdt door7---~^l'w; en dat, wanneer men m achtervofgens gelyk aan o, 1, 2» 3. enz. onderftelde, de Inhouden, welke met de AbfcUfe x overéénkwamen, refpeclivelyk zouden zyn x, x— \x\ x— |*2-hf*s, x—*s + f*s —Jx^Jjjfc. Dus,
zeide hy, even als de Exponent van 1—xx\*, welke de uitdrukking van den Ordinaat des Cirkels is, de tnidden-7m» tusfchen oen 1 is, zo is ook in de reeks x,x—~lx*, 6rV. de waarde van den Cirkelboog, dié met de Abfcisfe x overëenftemt, de midden -Tem tusfchen de twee eerften x, x — fx3. Doch in het vinden van dien Term kon Wallis zyn oogmerk niet bereiken; deeze ontdekking was voor eene der eerfte poogingen van den Heer Newton befpaard. Wy zullen, in navolging van hem zeiven, den Leezer de gefchiedeqis zyner overdenkingen van dat onderwerp mededeelen (»>
Om
C») Comm. Epift. de Analyfi promoti, p. 67. Newtoni Opw> fcula. T. 1. p. 328.



WISKUNDE. III. Deel, VI. Boek. 45?
Om hetgeen wy hier te zeggen hebben klaar voor Oogen te ftellen, moeten Wy de reeks der uitdrukkingen , tusfchen de twee eerften van wel* ken eene andere gevoegd moet worden , op eene duideiyker wyze voordragen. Tot dat einde zullen wy dezelve overbrengen tot eene foort van Tafel ; welke de vier of vyf eerften zal bevatten. Deeze zyn:
x.
x — %x3.
»—f x3 + f xs.
x — fa;3 + f at5 — f x7 -h \ %\
Indien wy nu deeze Tafel met aandacht gade flaan, zullen wy befpeuren, iQ. Dat alle de eerfte Termen x zyn. a°. Dat de tekens beurtelings pofitif en negatif zyn. 30. Dat in dezelve de magten van * by onëvene trappen aangroeijen. Deeze moeten derhalven voorwaarden zyn , welke de gezochte uitdrukking , benevens de voorgaanden gemeen hebben; en naardien het gemaklyk is zich daar na te richten, blyft 'er niets meer overig dan de Coëfficiënten, welke nog eenige zwaarigheid kunnen opleveren. Tot dat einde zullen wy nogmaals met den Heer Newton aanmerken, dat de noemer van eiken Breuk , welke de Coëfficiënt van eiken Term uitmaakt, de Exponent zelf der magt van x in dien Term is. Ten opzichte der tellers in de tweede kolom befpeurt men , dat dezelve met gelyke verfchil» len aangroeijen; in de derde kolom zyn ze de driehoekige getallen 1,3,6, enz. In de vierde de piramidaale getallen 1, 4, 10, enz.
Deeze befchouwing bragt den Heer Newton ongetwyffeld tot de ontdekking, dat, m de Exponent van I—xx zynde, de reeks van die tellers in 't algemeen zou zyn i,m, ^fll, m' w~1'w~2,£rY.
1. 2 1. 2. 3 Indedaad, wanneer m eenig geheel getal uitdrukt Hh dars



45»
HISTORIE desi
dan is mlll I de algemeene uitdrukking van de
reeks der driehoekige getallen ; — 2
i. 2. 3
is die der piramidaale getallen. Het is gemaklyk met bekende Termen de proef daar van te neemen; nademaal derhalven deeze uitdrukkingen ten opzichte van m waarheid zyn, zo lang m een geheel getal is, zullen zy het desgelyks zyn , als m een gebroken getal, by voorbeeld £ in het tegenwoordig geval, is. Dus zyn de gezochte tellers voor den midden-Term, tusfchen den eerften en tweeden van de bovenftaan-
i —i i —5 de reeks, i, —, —,—, —, welke refpedtivelyk
z 8 16 128 vermeenigvuldigende de Termen, die, zo als wy ge.
—x3 +xs —x7 zien hebben , moeten zyn jc, , , ,
+ 3 5 7 , &c voor de gezochte reeks voortbrengen
9111
x— |*3 — ■.—x5 x7 x9 &c. Deeze
8.5 16.7 128.9 is de Waarde des Inhouds van het Segment eens Cirkels, dat met de Abfcisfe x, van het middelpunt te beginnen genomen, overëenftemt. De Heer Newton befpeurde niet lang daarna, dat 'er eene eenvoudiger handelwyze was , om de zelfde reeks te vinden; naamlyk, om, door de gewoone Leerwyze, uit 1—xx den Vierkants*Wortel te trekken, en debe* werking zo lang voort te zetten, tot dat men een genoegzaam groot getal Termen hebbe, om de wet van den voortgang te befpeuren. Langs deezen weg
_ xx x* x6
bevindt men, dat t/i—xx is 1——-— ———
. 3 8 16
ïïs x8t £fV. hetgeen naar de regelen van de Rekenkunst der onéindigen behandeld zynde , de zelfde reeks als boven voortbrengt.
Dee-



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 401
vers, welken wy zo dikwyls over ftoffen zien fchryven, vóór dat zy zich in dezelven geöeffend hebben. .
De Heer Newton geraakte alstoen in kennis met den D. Barrow. Deeze geleerde Meetkundige bemerkte aanftonds de groote verdienfte van dien voortreffelyken man ; hy vermaande hem om toch niet langer zo veel lchatten in de aarde te begraven, en verwierf van hem de vergunning, om een gefchrift, *t welk den korten inhoud van fommige dier ontdekkingen bevatte, aan één zyner vrienden te London te zenden. Dit Gefchrift is het zelfde dat naderhand is uitgekomen, onder den tytel van Analyfis per aquationes numero terminorum infinitas. Behalven de vinding der wortelen uit alle Vergelykingen, en de Leerwyze om de gebrokene of irr rationaale uitdrukkingen in oneindige reekfen te herleiden, bevat hetzelve de toepasfing van alle die vindingen op de quadratuur en de reElificeering der kromme Lynen, benevens verfcheide reekfen voor den Cirkel en Hyperbool. Men vindt daar in ook de Leerwyze van de wederkeering der reekfen, dat is te zeggen , de handelwyze om de onbepaalde, welke in alle de Termen eener reeks komt, te ontwikkelen, en derzelver waarde door eene andere te vinden , die flegts bekende grootheden bevat, of wel de handelwyze om weder tot de Abfcisfe of tot den Ordinaat te komen, als men eene reeks heeft , welke den Inhoud of den Boog door die Abfcisfe , of dien Ordinaat, uitdrukt. Newton bepaalt zich daar in niet flegts tot de Meetkundige kromme Lynen, maar hy geeft ook eenige voorbeelden van quadraturen van Mechanifche Krommen. Hy fpreekt in dat gefchrift ook van eene Leerwyze der raaklynen, in welkers bezit hy was; eene Leerwyze die door geene irrationaale grootheden belemmerd werdt, en even zo wel op Mechanifche als op Meetkunstige Krommen toepasfelyk gemaakt konde wor» den. Men ziet daar in eindelyk het grondbeginfel der Fluxien en Fluenten op eene vry duidelyke wyHh 3 ze



46a HISTORIE der
ze verklaard en betoogd, zo dat het onbetwistbaar is, dat Newton van toen af aan in 't bezit van die verwonderenswaardige rekening was. Want de uitgeevers van dat gefchrift getuigen , in het Comm, Epiftolkum , dat het getrouwelyk is uitgegeeven naar de Copy, welke Collins, naar het handfchrift door Barrow gezonden, daar uit getrokken hadt. Kort daar na verledigde zich de Heer Newton, door Barrow daar toe aangezocht, om 't geen in dat ge. fchrift flegts kort en met eene ongemeene keurigheid voorgedragen wordt, verder uit te breiden; hetgeen aanleiding gaf tot het Werk , getyteld: Methodus Fluxionum , & Serierum infinitarum. In den Jaare 1671 kwam hy tot het befluit, om het, als een vervolg op de Algebra van eenen zekeren Kinckhuyfen , welke hy met zyne aantekeningen verrykt hadt, te laaten drukken. Dit ontwerp hadt geen plaats, uit hoofde van eenen brand, die een gedeelte van zyne papieren verteerde, en onder anderen ook deeze Verhandeling, achter welke hy de zyne wilde voegen. Vervolgens ftondt hy op" het punt om dezelve met zyne Geziehtkundige Lesfen in 't licht te geeven; doch in aanfchouw neemende de vitteryen, welke hy, by gelegenheid van zyne ontdekkingen over het licht, reeds moest verkroppen, nam hy het befluit om die beide Verhandelingen niet vit te geeven: deeze zyn de oorzaaken waaröin die uitmuntende Verhandeling, door den Autheur, tot groot nadeel der Meetkunde, eenen zo geruimen tyd in ?t ftof der vergeetelheid is begraven geworden.
V,
Wy mogen niet langer uitftellen om den Leezer een duidelyk denkbeeld te geeven van het grondbeginfel , op 't welk de Leerwyze, waar van wy fpreeken, gevestigd is. Want fchoon zy ten aanzien van het gewrocht de zelfde zy als die der Differentiaal. Rekening , is nogthans de wyze op welke Newton GS zyne befchouwt in alle opzichten veel verilaan-
baa.



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 463
baarer. Wat meer is, deeze handelwyze heeft het voordeel van alle de zwaarigheden te voorkomen , welke men tegen de Rekening van Leibnitz heeft opgeworpen , ten minften in 't geen de tweede ver. fchillen betreft. Deeze zwaarigheden zyn, wel is waar, flegts hairklooveryen; maar het is altoos eene verdienfte de zaaken onder een zo helder gezicht* punt voor te dragen , dat de vittery niets vinden kunne, om zich aan te hechten.
De Newtoniaanfche Leerwyze der Fluxien en Fitten, ten is op de duidelyke denkbeelden der beweeginge gegrond. Wanneer een lighaam zich gelykmaatig beweegt, is de fnelheid, die het in elk oogenblik heeft, dezelfde; maar het is anders gelegen met een lighaam, dat zich met eene verfnelde beweeging beweegt , dat , by voorbeeld , uit kracht van zyne zwaarte valt. Dit lighaam heeft in elk oogenblik eene verfchillende fnelheid , en deeze fnelheid is die met welke het zich zou biyven beweegen, indien de zwaarte of kracht, die het verfnelt, ophieldt haare werking op hetzelve te oetfenen. Het is even zo gelegen met de vertraagde beweeging; de fnelheid in ieder punt der , met eene gelyke beweeging, doorgeloopene ruimte, is die met welke het lighaam volharden zou zich te beweegen, indien de vertraagende oorzaak haare werking (taakte. De fnelheid eens lighaams, met eene , 't zy verfnelde of vertraagde, beweeging bewogen, zou gemeeten kunnen worden door de ruimte , welke dat lighaam in een zekeren gegeeven tyd zou doorloopen , indien zyne beweeging ophieldt veranderd te worden door de werking der oorzaake, waar van boven gefproken is.
Dit nu wordt met eene lichtfpreidende klaarheid op de Theorie der Fluxien toegepast. Iedere kromme lyn kan begreepen worden met twee beweegingen befchreeven te zyn: de eene is die van den Ordinaat, evenwydig met zich zeiven langs de Abfcisfe verplaatst, de andere die van een punt dat den Ordinaat doorloopt, terwyl het zich fteeds van Hh 4 den



468 HISTORIE der
noot O) worden hier van eenige voorbeelden bygebragt.
Het
(/>) In de daad , naardien de Fluxie van xy \syx + xy, kan men gemaklyk bewyzen, dat die van xyz zal zyn yz'x + xzy + xyi. Want (lellende xy gelyk aan u, zal men hebben xyz — uz , waar van de fïarï'e zal zyn uz + zu, en men heeft ü^yi + xy. Stellende dus in plaats van u en u haare waarden, zal men de bovenftaande uitdrukkinge hebben; waar uit gemaklyk den algemeenen Regel voor alle foortgelyke gevallen af te leiden is. Hier door wordt desgelyks getoond , dat de Fluxie van een Vierkant xx is ar at. Want, dewy! alsdan yzzx is, heeft men yx + x'y=:xx + xx-2*x'. Desgelyks zal de
Fluxie van x3 zyn 3*»x ,' en eindelyk die van xm
m—i • ' mx x. En vice verfd zal de Fluent van 2xx zyn xx,
en by gevolg die van xx, —. die van x*x' zal zyn — 2 3'
en eindelyk die van x\, xn+Ii; dat is te zeggen,
W + I
dat men den Exponent met de eenheid moet vergrooten het Fluxie-teken wegneemen, en door dien aldus vergrooten Exponent deelen. Uit den zelfden algemeenen Regel kunnen ook de Fluxien der radicale grootheden afgeleid worden; want \/z is niets anders dan z\ Derhalven zal haare Fluxie zyn fa^"".1*, of 'i'sT**, of2:21/2. In. dien men aan dit gevolg eenigzins moge twyffeien, zullen wy het op deeze wyze betoogen. Laat i/zry zynézmsz-yy, dz~2ydy, endz:iy, of dz: 2}/z~dy~
de Fluxie van i/2. Desgelyks is van i/z de Fluxie . "—'t
*;B~~"' Alles wat wy zo even gezegd hebben is des.
ge-



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 469
Het geen wy nu over de natuur der Fluxien gezegd hebben is de korte inhoud van het uitmuntend Werk van den Heer Maclaurin, die wel byzonder zorg gedragen heeft om het denkbeeld van Newton op te helderen en te verklaaren ; en alle zwaarigheden , welke men deswegens zou kunnen opwerpen, uit den weg te ruimen. De Heer Newton maakt zich rog op eene andere wyze een denkbeeld van zyne Fluxien, naamlyk als de uiterfte redens der gelyktydige aangroeijingen van twee grootheden, die van
el-
gelyks waarachtig van de veelletterige grootheden, als Qaaxx')". Haare Fluxie is 2nxxX (aan)" . Ein-
y
delyk als men eene grootheid heeft, gelyk deeze — , zal
haare Fluxie zyn — — — ; hetgeen betoogd wordt, zo zz
y , <1
door — als yz aan te zien, of door —Ca te ftel-
z - z
Jen; hetgeen voortbrengt yZzu, en y~zw + KZ, waar uit, door de gemeene regelen der Algebra, de Fluxie van
y
—, gelyk aan de bovenftaande uitdrukking, wordt afge-
2
leid.
De rekening der Fluxien van den tweeden rang is volftrekt eveneens. De Fluxie van x is x , die van y is y, die van yy is 2 y y, en, vice verJA, de Flueut van 2y y is yy. In de Vergelykingen van kromme Lynen, welke in y en x gegeeven zyn, onderftelt men doorgaans één van beiden, meesttyds de Fluxie van de Abfcisfe of x, ftandvastig en onveranderlyk, zulks dat x geen Fluxie heeft; dus is de Fluxie van xx flegts*1. Eindelyk alle de Re* gelen, om de Fluxien der gewoone grootheden te vinden, zyn de zelfde om de Fluxien van Fluxien te vinden.



47° HISTORIE der
elkander afhangen. Wy zullen ons thans verledigen om dit op te helderen: men verbeelde zich eene Kromme als ACc (Fig. 9I), en twee Ordinaten op eenen onbepaalden afftand Eb, benevens de evenwydige CD. De zyden CD, Dc verbeelden de re* ■ JpeBive en gelyktydige aangroeijingen van de AbJcisje Ah , en den Ordinaat BC, Laat cb tot BC naderen, en de Snylyn (Secans) Cc om het punt C draaijen, zulks dat dezelve geduurig nader by de Kaaklyn komt; dan is het openbaar, dat het Driehoejcje C Dc meer en meer zal naderen tot de «eJykvormjgheid met den Driehoek; welke door de Raakiyn CF, en de Lynen PB, BC gevormd wordt. Derhalven is de reden der zyden FB, BC de limiet. naar welke die der zyden CD, Dc geduurig nadert' en die zy bereikt in het oogenblik waar in dezelve vermengd worden. Om dus deeze reden te vinden, zo laat ons de Abfcisfe gelyk aan *, en den Ordinaat, als door eene functie van x, of x" ver. beeld wordende, onderftellen. Laat de aangroeijing van x uitgedrukt worden door x ; terwyi dan ar wordt x + 'x, zal*" worden (x+xf, of, volgens de bekende Formule, xn-hnxn~l 'x 4- n~f1 a at2, £fc. De refpeEtive aangroeijingen zullen derhal. ven zyn als*, en n ar"""1 xA-n' n—'%«—^}
of als i, en nx"'1 -h^Zlx *-3,, 9e. Derhal-
1.3 -
ven zal in het oogenblik, waar in i nul wordt, deeze reden zyn , die van i tot nx"*1, of eindelyk die van 'x tot nxn~ïx, welke de zelfde is. Dus zal de Fluxie of de verdwynende aangroeijing
van



WIS K ü N D E. III. Deel. VI. Boek. 471
van *3 zyn axx; die van *3, %xx, enz., zo als in de voorgaande noot gevonden is.
Men ziet daar uit nog, op eene andere wyze als hier boven, wat de Fluxien van Fluxien, of de aangroeijingen van aangroeijingen zyn; want volgens de verfchillende punten der Kromme ACf is de reden der zyden van den Raaklyns-Driehoek F15G veranderlyk; by gevolg, naardien deeze reden de zelfde is als die der laatfte aangroeijingen van de Abfcisfe en den Ordinaat, is ook deeze reden veran* derlyk: men kan derhalven deeze reden uitdrukken door den Ordinaat eener Kromme , die zelve aan aangroeijing of vermindering onderhevig is. De Fluxien van die Ordinaten zullen de tweede fluxien, of, volgens Leibnitz , de tweede verfchillen zyn. Het zou overbodig zyn meer te zeggen van de natuur der Fluxien, welke wy, onzes bedunkens, genoegzaam opgehelderd hebben. Thans zullen wy overgaan, om van haare toepasfing den Leezer een denkbeeld te geeven.
De eerfte toepasfing van de Theorie der Fluxien betreft de handelwyze, om de raaklynen der Krommen te vinden. Uit al hetgeeu hier boven gezegd is kan men gemaklyk zien, dat in iedere Kromme met evenwydige Ordinaten de Fluxie y van den Ordinaat ftaat tot die van de Abfcisfe 'x, als de Ordi> naat y tot de Onderraaklyn, zulks dat deeze gelyk y x
is aan ——. Indien men derhalven, door de Ver-
y
gelyking der Kromme, de waarde van y zoekt, het geen altoos gemaklyk is , zal daar uit eene Vergelyking voortkomen , die , in plaats van y gefteld zynde, een noemer en teller, geheel met 'x aangedaan, zal voortbiengen. Wanneer men dus beide door *• deelt, zal 'er eene uitdrukking in gewoone Termen overblyven, en welke dienvolgens aan eene Conftruclie onderhevig is. Deeze zal de betrekking vaa de Onderraaklyn en de Abfcisfe zyn.
De



47* HISTORIE der
De Leerwyze der Fluxien wordt zeer gemaklyk op de nafpooring der grootfte en kleinfte Ordinaten van kromme Lynen toegepast. Wanneer de Ordinaat van eene Kromme , na aangroeijende te zyn geweest, afneemende wordt, of in tegendeel, keert het befchryvend punt, dat op den Ordinaat overgebragt wordt, eenigermaate te rug; deszelfs fnelheid , of de Fluxie van den Ordinaat , wordt derhalven, van pofitif, negatif, of in tegendeel. Dus moet dezelve, in het oogenblik van den overgang, nul zyn; want eene grootheid kan van pa. fitif geenszins negatif worden, of in tegendeel, ten zy dezelve den ftand van nul doorgaa. Om derhalven de maxima en minima te vinden, moet men de Fluxie neemen van de grootheid, waar van men het maximum of minimum zoekt, en dezelve met nul vergelyken. Deeze onderftelling zal altoos toelaaten , dat men het Fluxie - teken x of y, waar mede alle de Termen aangedaan zyn, wegneeme, zulks dat 'er niecs anders zal overblyven dan eene Vergelyking in eindige Termen, die de waarde van de Abfcisfe, met welke de grootfte Ordinaat overëenftemt, zal voortbrengen. Daar door zal men de punten, als M, m, hebben, waarin de Raakiyn evenwydig aan den As is. In tegendeel zullen de punten , waar in de Raakiyn loodrecht op den As Raar, gevonden worden, als men de Fluxie van de Abfcisfe gelyk aan nul fteit, of, dat op het zelfde uitkomt, als men alle de Termen, welke met de Fluxie van dea Ordinaat, of y , aangedaan zyn , met nul vergelykt. Alle die dingen zyn zeer gemaklyk, zo dra men de grond begin fel en van deeze , Rekening wel begreepen heeft. Wy zullen hier over flegts eene gewichtige aanmerking maaken , na alvoorens over de buigpunteu gefproken te hebben.
Wy hebben de natuur der buigpunten , in het tweede Boek van dit Deel, reeds genoegzaam verklaard. Hetgeen dezelven natuurlyk aanduidt is, dat de Kromme daar in te gelyk door eene rechte
Lyn



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 473
Lyn geraakt en gefheedeh wordt; en dat die Lyn den mogelyk groötfren of kleinften hoek met den As maakt. Door van het grondbeginfel der Fluxien gebruik te maaken , wordt hier uit befloten, dat, in een punt van die natuur, de tweede Fluxie van den Ordinaat, of y, geiyk aan nul is. In de daad, nademaal alsdan dè betrekking van den Ordinaat tot de Onderraaklyn een maximum of een minimum, en die betrekking de zelfde als die van y tot 'x is, y
zo volgt daar uit, dat — een maximum of een mi»
x .
Htmum is. By gevolg is y gelyk aan nul, wanneer men x onver3nderlyk fielt. Zulks wordt nog anders op deeze wyze betoogd; Wanneer eene Kromme ; die naar eeöe zekere zyde uitgebogen is, hol= fond wordt 4 dan verliest zy meer en meer haare kromte, en zy is in den overgang der uitgebogenheid tot het holronde eene rechte Lyn, die, in eene oneindig kleine ruimte, met de raakiyn famenloopti Zy heeft derhalven in die plaats iets van de natuur der rechte Lyn. . Nu zyn in eene rechte Lyn, naar eenen As overhellende, de tweede Fluxien nul., Dus moet zulks in 't buigpunt gebeuren. Men zal derhalven van de waarde des Ordinaats de tweede Fluxie moeten neemen: wanneer men i ftandvastig fielt, zal daaruit eene uitdrukking voortvloeijen, die geheel met x- is aangedaan, en welke men aan nul gelyk moet ftellëri. De x* zullen, als gemeehe vermeenigvuldiger, wegvallen , en 'er zal flegts eene uitdrukking in eindige Termen overblyven. Üe aanmerking, welke wy hier boven béloöfd hebben » is deeze: om een maximum of een minimum te hebben i9 het niet genoeg, dat de eerfte Fluxie y vart den Ordinaat nul zy; maar de tweede Fluxie moet in dat punt geenszins rul zyn. Want zo dit gebeurde, zou dat punt, wel ié waar, zyr.e raakiyn evenwydig aan den As hebben, maar het zou tevensli een



474 HISTORIE deê
een buigpunt zyn, en de Kromme zou zich by aanhoudendheid van dien As verwyderen, of toe denzelven naderen.
Wy zouden hier desgelyks de handelwyze kunnen verklaarenf, volgens welke de fïwx/e-Rekening op de Theorie der ontwondene Krommen wordt toegepast : doch alzo wy zulks niet kunnen doen , zonder in byzonderheden te treeden, welke by de natuur van dit Werk te weinig zouden voegen, verkiezen wy liever tot het onderwerp over te gaan, om den Leezer een denkbeeld te verfchaffen van het gebruik deezer Rekening voor de meeting der Inhouden van kromme Lynen, voor haare rechtmaaking, en de afmeeting der kromlynige Lighaamen.
Door de natuur der Fluxien te onderzoeken # hebben wy de gronden gelegd van 't geen wy hier te zeggen hebben. Want wy hebben getoond, dat de Fluxie van eenen Inhoud het vermeenigvuldigde is vau den Ordinaat met de Fluxie van de Abfcisfe* dat is te zeggen, dat zy y'x is. Nu geeft de Vergelyking van de Kromme altoos de waarde van y in *. Men zal derhalven eene Fluxie geheel in
x en x hebben : indien men derhalven tot haaren Fluent te rug komt, eene handelwyze waar van wy in de Noot van pag, 468 eenige voorbeelden gegeeven hebben, zal men den Inhoud der Kromme bekomen. In den Parabool* by voorbeeld, is yzz
(jaxy* Dus zal yx zyn a"- xsx, waarvan deFlu* ent, door hetgeen boven pag. 468 gezegd is, ge.
I 3
lyk is aan fa2*5, of f y x. Maar dewyl in den
Cirkel y~{/aa — ac* is, zal men hebben y'x'Zix 1
(aa—-xx)-. Nademaal men den Fluent van deeze uitdrukking niet in eindige Termen kan vinden , trekt men den vierkantswortel uit aa—xx, door
de->



WISKUNDE. III. Deel. VI Beek. tf§ dezelve te herleiden in eene reeks, welke is a—.
XX X* X6
. , — 9 &c. VermeenigvOldigende
aa Ba3 l6a5
dus ieder van die Termen met *, en vervolgens den Fluent van eiken Term neemende, heeft men voor de waarde van den Inhoud, die met de Abfcisfe x överëenftemt, men heeft, zeg ik, de reeks ax— a3 xs x7
'—— — , gfc. welke, naar maate men
6a 40a3 naas
een grooter getal Termen neemt, dies te nader by de waarheid komt.
Het grondbeginfel der rechtmaakfngen (retïifica* tiones) is desgelyks vervat in 't geen wy boven gezegd hebben. De Fluxie van den boog Cc is den Vierkants-wortel uit de fom van de vierkanten der Fluxien van de Abfcisfe *, en van den Ordinaat y. Deeze zal derhalven zyn yCx^-'r'y2)', maar de yergelyking der Kromme geeft de waarde van y in * en i, zulks dat, deeze waarde in plaats van 'y gefield zynde , het teken * uit het wortel-teken verdwynt; en men heeft alsdan eene uitdrukking^ welkers Fluent, zo men denzelven in eindige Termen kan vinden, de grootheid van den boog is. Zo men eene oppervlakte van omwenteling zoekt, dan is de Fluxie van die oppervlakte de kleine riem, ■welke door de Fluxie van den boog , rondom den As draaijende, gevormd WGrdt; deeze Fluxie zal
derhalven zyn C*2+?a)5 vermeenigvuldigd met den omtrek, wiens ftraal is y. Wanneer dus r en c de itraal en den omtrek aanduiden, zal de Fluxie van
die oppervlakte zyn — y(*a -r-j2)*, of ftellende in r
plaats van y en j haare waarden in * en * , f al men eene uitdrukking geheel ia x en x' bekomen s ii « wefó



476 HISTORIE de*
welkers Fluent de gezochte oppervlakte zal zyn. Het is niet minder gemaklyk te zien , dat zo men den Cirkel, welken een Ordinaat befchryft, met de Fluxie van de Abfcisfe vermeenigvuldigt, hec pröduft de Fluxie zal zyn van het Lighaam, dat door de omwenteling der Kromme worde voortge-
cy*x
bragt. Dus zal deeze Fluxie zyn ■, en ftellen-
2ir
de in deeze uitdrukking, in plaats van y2, haare waarde in x, zal de Fluent van het komende de grootheid van het Lighaam zyn. Maar wy moeten ons hier tot deeze geringe fchets van het gebruik der Fluxien in de Meetkunde bepaalen. Wy verzenden de Leezers, welke daar in grondiger onderricht wenfehen te worden, naar de Boeken welke over die Rekening handelen. Thans zullen wy den draad onzer Gefchiedenis hervatten.
VI.
De eerfte der Meetkundigen, die by de vindingen van den Heer Newton iets voegde , was Jacobus Gregory, van wien wy reeds op een andere plaats (q) met lof gefproken hebben. Hy was zonder tegen* fpraak één der beste vernuften, welke Engeland toen bezat, een man bekwaam om Newton te hulp te komen, zo hy nietbykans in den bloei zyner jaaren door den dood was weggerukt. Hy was hem, in de daad, reeds voorgekomen in de uitvinding van. den Spiegel-Telefcoop: wy zullen hem zyne voetftappen van naby zien betreeden, en zelfs hem fomtyds vooruitloopen in de nieuwe loopbaane, die hy het eerst geöpend hadt.
In den tyd toen Newton gereed ftondt om zich aan het dringend aanzoek van Barrow over te geeven , bragt Jacobus Gregory zyne Exercitationet in 't licht,
ij»
(5) I. Boek van dit Deel, pag.



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. ffi]
ïn welken hy over verfcheide onderwerpen der hoo« ge Meetkunde handelde. Hy betoogde daar in, op eene nieuwe wyze, de Quadratuur van den Hyper* hooi* door Mercator meaegedeeld; hy bragc in de» zelve de gedaante der fnylynen, van welke de waare aangroeijing der deelen van den Meridiaan in de Kaarten met wasfende Graaden afhangt, tot die Quadratuur over, Hy gaf daar in eindelyk eene reeks, om den omtrek eens Cirkels uit te drukken, welke wy, als te moeijelyk voor 't gebruik zynde, vermeenen niet te moeten voordragen.
Toen de ontdekkingen van Newton aan Collins waren medegedeeld, maakte deeze dezelven bekend aan verfcheide Meetkundigen, onder welken ook; Gregory was. Hy zondt hem ééne der reekfen, welke Newton voor den Cirkel gevonden hadt. Dezelve weidt, wel is waar, in *e eerst door Gregory verdacht gehouden, die, met de zyne vooringenomen , van gedachten was, dat dezelve behoorden overëentekomen , en de eene uit de andere zou kunnen afgeleid worden. f>) Maar niet laqg daar, na deedt hy Newton het recht, dat hy verdiende; eu door deeze ftoffe gEondig te overweegen, gelukte het hem den oorfprong der uitdrukkinge, die hem was medegedeeld , te ontdekken, Behal» ven de aanmerking, welke daar van in het Commer» dut» Epiftolicum gemaakt wordt heeft men 'er bewvzen van, welke niet toelaaten daar aan te twyffelen. Want by zyn antwoord aan Collins wraakt hy het kwaad vermoeden, dat hy hem over de reeks van Newton hadt doen blyken , en zendt hem van dezelve.het vervolg, benevens die welke den boog door de Sinus uitdrukt, die hy uit zich zei ven gevonden hadt. Toen Collins* kort daar na, liern eenige andere reekfen gezonden hadt , zond't Gregory; hem, iq antwoord , verfcheide reekfen te
rug?
(O Comm, Epift. P' 22, 23 Ed. in-4?. <0 Ibid.p, 39,48,71.
11 3



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 4S3
, fifV. tot in 't oneindige, Waarfchynlyk
7
hadt hy deeze laatlte reeks in 't oog, toen hy 01dembur'g de merkwaardige eigenfchap bekend maakte, welke hy tusfchen den Cirkel en den Hyperbool ontdekt hadt. Het overige van den Brief wordt gebruikt om eenige nieuwe befchouwingen over de oplosling der Vergelykingen voor te dragen.
Newton beantwoordde dien Brief door een anderen , welke eene meenigte merkwaardige zaaken bevat; zodanige zyn de wyze op welke hy in 't perst tot de Leerwyze der reekfen geraakte , de toepasfing die hy van dezelve , reeds in 't Jaar 1665j op de quadratuur van den Hyperbool, en op de famenftelling der Logarithmen maakte; verfcheide algemeene Theoremata voor de quadraturen, welke dezelve voortbrengen in eindige Termen, wanneer zy mogelyk zyn, of in oneindige reekfen, al}een door vergelyking der Termen van de Vergelykinge; de rectificeering der Cysfuïde , tot de quadratuur V3n den Hyperbool overgebragt. Hy maakt daar in zyne Leerwyze bekend , om den Inhoud eener Kromme door benadering te vinden, wanneer de reekfen , die denzei ven uitdrukken , te omflagtig, of te weinig corner geer ende zyn. 't Is deeze vinding , welke hy in zyne Verhandeling , ten tytel voerende Differentiaa/e Leerwyze, verklaard heeft. Men ziet daar in ook Formulen van uitdrukkingen yan Ordinaten der Kromme Lynen, wier Inhouden tot de quadratuur der Kegelfneeden herleid worden; verfcheide reekfen voor den Cirkel, en haar
S;ebruik om benaderingen in een groot getal cyfferetteren te vinden ; het gebruik van zyn Parallelo*
fram voor de oplosling der Vergelykingen ; twee .eerwyzen voor de wederkeering der reekfen, benevens eenige algemeene Theoremata daar toe ftrekkende.. Hy eindigt met te zeggen, dat hy in *C bezit is van 't omgekeerd Problema der Raaklynen,
eo



$4 HISTORIE der
en andere nog moeijelyker Voortellen; dat hy daar toe gebruik maakt van twee Leerwyzen, welke hy niet wil openbaaren: weshalven hy dezelve verborgen houdt onder verplaatfte letteren , waarvan naderhand , in het Commercium Epiftolicum, dö verklaaring is medegedeeld.
In gevolge de uittrekfels, welke wy dus ^erre van die Brieven hebben voorgedragen, behoort men wel in aanmerking te neemen , dat in dezelven byna eeniglyk gefproken wordt van de Leerwyze der reekfen en de quadratuur der kromme Lynen, zo dat Leibnitz eenigermaate reden hadt zich daar over re beklagen, dat, terwyl over de DiferentiaalRekening gehandeld werdt, zyne tegenftreevers onöphoudelyk van battery veranderden , en zich bepaalden tot de Séries of Reekfen, waar in hy niet ontkende dat Newton hem was voorgegaan. In de daad, de zaak daar 't op aankomt is zeer verfchillende. Een Meetkundige zou in 't bezit hebben kunnen zyn van de Leerwyze der reekfen, en zich van dezelve kunnen bedienen, om alle kromme Lynen te quadrateeren, zonder in 't bezit van de Rekening der Fluxien en Fluenten te zyn. Want de uitdruk, king van den Ordinaat eener Kromme in eene Séries herleid zynde , indien het geval zulks verëischt, de Leerwyzen van Wallis, Mercator, wat zeg ik, van Cavalleri en Fermat* zyn toereikende genoeg om den Inhoud te vinden. Wat aangaat het grondbeginfel der Fluxien, alleenlyk drie plaatfen van het Commercium Epiftolicum hebben, op eene vry duidelyke wyze, daar toe eenige betrekking, om te bewyzen , dat de Heer Newton het vóór Leibnitz ge. vonden hadt, doch op eene te duistere wyze, om den laatften van de verdienste der ontdekkinge te berooven; de eene is een Brief van den Heer Newton aan Oldemburg, die hem bekend hadt gemaakt, * dat Slufius en Gregory onlangs eene ongemeen eenvoudige Leerwyze der raaklynen gevonden hadden: Newton antwoordt hem , dat hy wel vermoedt wat bet is, ea geeft daar van een voorbeeld, dat we»
zen*



wiskunde, hi. DuU vu Boet 48$
zenlyk het zelfde is als hetgeen die beide Meetkundigen gevonden hadden. Hy voegt'er nog by, dat zulks flegts een byzonder geval is, of liever een gevolg van eene veel algemeenere Leerwyze, die zich ao verre uitftrekt, om, zonder eene moeijelyke berekening, de raaklynen van alle foorten, zo Meetkundige als Mechanifche, kromme Lynen te vinden4 en zonder verplicht te zyn om de VergelyRinge van de irrationaale uitdrukkingen te ontheffen. In zynen tweeden Brief, waarvan wy boven gefproken "hebben, herhaalt hy het zelfde, zonder zich nader te verklaaren , en verbergt het grondbeginfel onder verplaattte letteren. Het eenig gefchrift, waar in de Heer Newton iets van zyne Leerwyze heeft aan den dag gebragt, is zyne Analyfis per aguationes nu» mero term, infinitas, Hy ontdekt daar in op eene zeer beknopte en vry duistere wyze zyn grondbeginfel der Fluxien; hy noemt daar in momentum de oogenbliklyke aangroeijing van den Inhoud , welke hy evenredig tot den Ordinaat maakt, terwyl dat van de Abfcisfe door eene ftandvastige Lyn, gelyk aan de eenheid, verbeeld wordt. Voorts maakt hy dit grondbeginfel toepasfelyk, om de uitdrukking van het momentum eens Cirkelboogs , welke hy door 1
uitdrukt, te vinden, waar uit by, door
X/s.x — xx
eene reeks, de waarde van den Boog zeiven afleidt. Wat verder noemt hy de Abfcisfe x , haar momentum o, en dat van den Boog oy, en betoogt door eene handelwyze , overeenkomstig met die welke Fermat in zynen Regel der raaklynen gebruikte, dat, zo de Inhoud z uitgedrukt wordt door 3
deeze Vergelykinge f *, de Ordinaat y gelyk moet t
zyn aan*1. Waar uit hy vice-ferfa befluit, dat zo
1 3 y — ac2is, de Inhoud -1ac2 zal zyn. Men kan, bui. jen allen twyffel, niet ontkennen, dat het grond-
be-



48é HISTORIE Dtii
beginfel en de leerwyze der Fluxien in die plaarJ van net gefchrift, waarvan wy fpreeken, voorgedragen worden ; maar men heeft geene zekerheid dat Leibnitz het gezien hebbe. Nimmer is het hen! door Brieven medegedeeld geworden: zelfs hebben zyne tegenftröevers zulks niet te berde gebraet en zich vergenoegd met Leibnitz ohder dei verden! king te brengen, dat hy in de faraenkomsti welke *y, volgens zyne bekentenis, ten tyde van ZVne tweede reize naar London * met Collins hadt, van dat gefchrift kennis hadt gehad. Hier toe alleen bepaalt zich de twist. Om de waarheid te zeggen, deeze argwaan zal genoegzaam de waarfchynlykneid tot grondflag kunnen hebben, te meer daar Leibnitz Mede toeftaat, dat hy by die gelegenheid een gedeelte der briefwisfeling (Commercium Epiftolicum^ van Colhns zag. Ik geloof nogthans dat het eene onbezonnen daad zou zyn daar over eenig oordeel te vellen; men veroordeelt geenszins op bloote verdenkingen, alsfchuidig aan eene haatlyke misdaad an de Republiek der Letteren, een man ah Leibnitz* die zulke doorflaande blyken van vernuft getoond
Wy achten ons verplicht hier eenige aanmerkingen te maaken over de Voorreden van de Verhandeling der Fluxien* door den Heer de Buffon Tin 'i Fransch] vertaald, om dat bet ons heeft foegefcheenen, dat die geleerde Academist zich eenipermaate te veel gehouden heeft aan de bedriefflvke aantygmgen van Keih Zo alles wat men daar leest naauwkeurig was, zou Leibnitz even zo belagchelyk zyn als de meerkol in de Fabel. In de daad. toen leest iri het Voorbericht, waar van wy fpree. ken, dat door het Commercium Epiftolicum* en doof de Brieven van Leibnitz beweezen wordt, dat hy van de Leerwyze der reekfen kennis heeft gehad, alvoorens de zyne voor den Cirkel te geeven en dat zelfs deeze hem door Oldemburg was toegezonden ; dat Leibnitz 'er geen bewys van hadt dewyl hy 'er naderhand om verzochts dat hy in den
Jfaaf-



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 487
Jaare 1677 eene Leerwyze der raaklynen in 't licht gaf, die, behalven de aantooning der tekenen (notatio), in niets van die van Barrow onderfeheiden, en waar van de rekening de zelfde is als die, welke Newton reeds in *t Jaar 1669 aan Collins hadt medegedeeld. Vier of vyf bladzyden verder leesc men desgelyks, dat de rekening der tweede, derde Verfchillen, enz. in het eerfte Voorftel van de Verhandeling over de Quadraturen , reeds in 't Jaar 1675 aan Leibnitz medegedeeld, is voorgedragen.' Dit is het hoofdzaakelyke der aanmerkingen van Keil in het Commercium Epiftolicum; maar dezelve zyn alle valsch, of ten minften bedrieglyk , zo als de volgende befchouwingen zullen toonen. i°. Welke oplettendheid ik ook hefteed hebbe om het Comm. Epift. te leezen, heb ik daar in nergens gezien, dat de Theorie der reekfen aan Leibnitz ontdekt zy geworden, noch dat hy eenige reeks voor den Cirkel ontfangen hebbe, vóór dat hy de zyne aan Oldemburg hadt bekend gemaakt, benevens de byzondere overeenkomst, welke dezelve hem tusfchen den Cirkel en den Hyperbool deedt ontdekken. Met wat fchyn zou Leibnitz zich beroemd hebben op eene ontdekkinge, die hy niet gedaan hadt? Wy denken niet dat iemand onzer Leezeren dien beroemden man van eene zo onzinnige handelwyze verdachc zal houden. o°. De reeks, waarvan hy Oldemburg om het bewys verzoekt, is deeze, »-{-§*3 +5|a;?, &e. , welke den boog door de Sinus x aanduidt; maar deeze reeks is geenszins die, welke naar dq Leerwyze van Leibnitz, hier boven Voorgedragen ^ gevonden wordt. Dus flaat Keil den bal geheel en al mis in de aanmerking, welke hy tegen hem. maakt, naamlyk, dat hy hadt voorgegeeven, dat hy den Boog door de Sinus kon vinden , en nogthans , na de mededeeling van eene zodanige reeks, om het bewys derzelve verzocht hadt. 30. De Leerwyze der raaklynen, door Leibnitz in den Jaare 1677 gegeeven, is zeer zeker de Differentiaal-keke. aing, en geenszins de Leerwyze van Barrow; Keil
hadt



438 HISTORIE dér
hadt waarfchynlyk vergeeten,dat Barrow zyne Leei? wyze nimmer tot de kromme Lynen met irrationaal* Vergelykingen uitbreidde; Leibnitz in tegendeel om de voordeden der zyne beter te toonen, pasc dezelve toe op eene uitdrukking, die alleszins met irrationaale grootbeden vermengd is* zo dat wy niet weeten waar Keil aan dacht, toen hy eene zodanige daadzaak opperde. Daar benevens is het eene belagchelyke tegenftrydigheid te zeggen, dat de Rekening van Leibnitz, in den Brief, waar van wy fpreeken, befchreeven, niets anders is dan de Rekening van Barrow, en de zelfde als die, welke Newton reeds in den Jaare 1669 hadt medegedeeld, en welke, zo men voorgeeft, in de daad zyne FluxieRekening zou zym 40. Men zal nergens zien, dat het Voorftel van de Verhandeling der Quadraturen, dat, zo men zegt, het grondbeginfel der Fluxien van de verfchillende rangen bevat, aan Leibnitz medegedeeld zy geworden. Dit is eene aantyging van Keil, welke dies te minder grond heeft, om dat daar uit juist geheel het tegendeel van 't geen hy voorgeeft volgt; want die zo genaamde Leerwyze voor de Fluxien van alle rangen is gebreklyk, en geeft ze allen valsch, behalven de eerfte (w). Dit
is
(w) Newton zegt in zyne Verhandeling de Quad. curvarum, dat, om de Fluxien van verfcheide rangen der grootheid xm te bekomen, 'er niets anders te doen is, als ora « + x tot de magt m te verheffen. Hetgeen voortbrengt
x +m.x x + xm V, &tmt en dat de
i. a
cweede, derde, vierde Termen refpeftivelyk de eerde,
tweede, derde Fluxien, enz. van zullen zyn. Dit is alleen waar van den tweeden Term, om dat de noemer de eenheid is. De overige drukken de Fluxien der hoogere rangen niet uit, als door de noemers weg te laateiv



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 489J
is eene zaak die Keil niet krachteloos kan maaken f èn al te wel beweezen is: men heeft flegts de oogen te flaan op de Editien van'de Verhandeling de Quadraturd curvarum , der Jaaren I704 en 1711; óm daar van overtuigd te worden. Ik gaa tet loops voorby eenige andere aanmerkingen van Keil; aanmerkingen welke klaarblyklyk het werk der drift zyn. Eene zodanige is deeze: Toen , zegt hy , Newton zeide, dat de Kromme , welkers Ordinaat
1 s was , haaren Inhoud gelyk hadt aan f , is zulks het zelfde als of hy gezegd hadt , dat de
3 1 ,
Differentiaal van *zaj z*dz zynde, haare Integraal
is §2 2 ; waar uit de Heer Leibnitz , voegt hy 'er by, heeft kunnen befluiten, dat de Differentiaal van 3 1
Iz^'isz'dz. Het gevolg is eemgermaate .vergezocht. Wist de Heer Keil dan niet, dat, zonder eene andere rekening als die van Wallis, van Fermat zelfs, en van Cavalleri, dit Theorema voor bewys vatbaar was? Daar benevens is 'er geene ontdekking, waar van men niet, door eene bedrieglyke voorftelling der trapswyze opklimmingen , welke tot dezelve hebben kunnen cpleiden , de verdienste verzwakt, en zelfs vernietigd heeft. Na deeze aanmerkingen hervat ik den draad van myn verhaal.
Leibnitz, na zich eenige dagen te London opgèhouden te hebben, vertrok naar Ranovtr. Te Am» jterdam aangekomen zynde , fchreef hy aan Oldemburg. Men ziet uit zynen Brief, dat hy nog niet in 't bezit was van zyne Leerwyze voor de raaklynen, uit de /)/^re»«W-Rekening afgeleid; want hy Helde voor, om naar die van Slufius eenen zekeren arbeid te doen. Eindelyk maakte hy, dooi: eenen Brief van den dl JuDy 1677, zyne Ontdekking aan Collins bekend. ,, Ik ben, zegt hy, het „ met den Heer Newton eens , dat de Regel vart „ Slufius niet volkomen is , en ik heb reeds vooru lang het Problema der raaklynen op eene a'lgeK k ,; mee-



490 HISTORIE der
meenere wyze behandeld." Onmiddelyk daar na verklaart hy de regelen van zyne nieuwe Rekening, en maakt dezelve toepasfelyk , om de raaklynen van Krommen met irrationaals Vergelykingen te vinden , gelyk mede op verfcheide andere bepaa. lingen , welke ik, om kort te zyn, voorby gaa.
De dood van Oldemburg , welke kort daar na voorviel, maakte een einde aan deeze briefwisfeliug. De Aclen van Leipzig kwamen in 't Jaar 1682 in 't licht, en Leibnitz gaf in dezelven zyne Rekenkundige Quadratuur van den Cirkel en den Hyperbool. Dezelve werdt ook in de Philofophifche Tranfatï. van dat Jaar ingelascht, zonder dat iemand op de rechten van Engeland aanfpraak maakte , zelfs niet David Gregory, een neef van Jacobus, die in 'c bezit van alle de papieren van zynen Oom was geweest, en in een gefchrift, in 't Jaar 1684 in 't licht gegeeven f», deeze reeks aan Leibnitz toeeigent. Dit fchynt my groote twyffelingen te verfpreiden over die ruchtbaarheid der AnalytiCche Ontdekkingen van Newton en Gregory* waarvan de tegenftreevers van Leibnitz zich met zo veel voordeel tegen hem bedienen. .Het is verwonderenswaardig, dat zelfs niemand in de Koninglyke Maatfchappy van London onderricht was van het recht, dat Gregory hadt op de uitvinding waar van wy fpreeken. Eindelyk gaf Leibnitz, in den Jaare 1684 , in de Aéten van Leipzig eene proeve van zyne Differentiaal- Rekening, dezelve toepasfende op fommige voorflellen van zodanige natuur, dat ze door andere Leerwyzen niet opgelost konden worden. Niemand was in Engeland nog daar over gebelgd. Newton zelf, die het grootfte belang daar by hadt, en het best wist tot hoe ver zyne Brieven Leibnitz op den weg hadden kunnen brengen, gaf van hem in zyne Grondbeginfelen der natuurlyke Wysbegeerte ..y) een allerloflykst getuigenis. Toen ik
róór
(*) De dim. fig, Edimb. (3) Lib. II. Ltmm, II.



WISKUNDE. IÜ. Deel. VI. Boek. 4$t
viór tien jaaren, zegt hy, briefwisfeling hield met deri Heer Leibnitz, en hem bericht gegeeven had, dat ik in 't bezit was van eene Leerwyze om de raaklynen té bepaalen, en voor de vraagftukken van maximis en minimis , eene Leerwyze die door geene irrationaale grootheden belemmerd werdt, en welke ik onder verplaatfie letteren had verborgen gehouden, gaf hy my tot ant. woord, dat hy eene der gelyke Leerwyze gevonden hadt, en deelde my die Leerwyze mede, welke van de myne in niets anders verfchilde als in de Termen en tekens, gélyk mede in het denkbeeld van de teeling der grootheden. Dit wofdt nog in de Editien der Jaaren 1713 en 1714 geleezen, maar men heaft het in die vau 172Ó weggelaaten, misfchien zonder de toeftemming vart Newton , die weinige maanden daarna ftierf. Dé verdeedigers van Leibnitz zullen zich altoos kunnen beroepen op dat getuigenis des geweetens van Newton , wien de tweede reize van Leibnitz naar London, en zyne famenkomst met Collins, de bewaarder van zyne papieren, niet onbekend was; want Collins hadt hem daarvan kennis gegeeven , zo als men uit eenen Brief van het Commercium Epiftolicum ziet.
Het is waarfchynlyk , dat de Heer Leibnitz de Vreedzaame bezitter van een gedeelte der eere , wegens de ontdekking van zyne nieuwe Rekening, gebleeven zou zyn , indien hy ten aanzien vaö Newton meer billykheids getoond hadt. Wy kunnen hier niet ontveinzen , dat hy in eehen hoogen graad ongelyk hadt, en dit haalde hem zyne foort van ongunst op den hals. Reeds hadden eenige Brieven, in Engeland gefchreeven, en waar in hy, met te veel uitfluiting , zich die vinding toeeigende » hem onaangenaame aanmerkingen , over het recht dat Newton vóór hem op die ontdekking hadt, toegcbragt. De Heer Fatio hadt zelfs in 't openbaar gezegd , dat de Heer Leibnitz zich- niet moest verbeelden, dat hy hem 't geen hy van die Rekening wist verfchuldigd was ; dat hy verplicht Was Newton voor den eerften virtder der FiuxiéKk 1 Re*



493
HISTÖRIE der
Rekening te erkennen, en dat, wat aangaat het deel 't welk Leibnitz daar aan hadt, hy deswegens de beöordeeling overliet aan hun, welke hunne wederzydfche Brieven, en verfcheide papieren, by de Koninglyke Maatfchappy bewaard wordende, konden leezen. Leibnitz, zonder reden gehoond, antwoordde met nadruk, en beklaagde zich by de Koninglyke Maatfchappy ; doch de zaak hadt toen geen ander gevolg, 't Was eerst eenige jaaren daarna toen de twist ruchtbaar wierdt. ïoen de Verhandeling van Newton over de Quadratuur der kromme Lynen, en zyne Optelling der Lynen van den derden rang in 't licht waren gegeeven, maakten de ïydfchryvers van Leipzig geen te voordeeiig uittrekfel van die Verhandelingen» Na eene weinig belangwaardige voordragt van de natuur der Fluxien wordt in dat Tydfchrift onder anderen gezegd, dat Newton zich, in plaats van de Leibnitziaanfche verfchillen, van ie Fluxien bediende, en altoos bediend badt , even als de V. Fabri, in zyne Synopfis Geometrie, voor de ondeelbaaren van Cavalleri de beweeging in plaats hadt gefield. Zo het fchynt, was dit niet anders dan te zeggen , dat Newton niets anders gedaan hadt, dan de Fluxien voor de verfchillen in plaats te Hellen, fchoon deeze woorden, en zich altoos bediend heeft, voorbedachtelyk fchynea jngelascht te zyn, om dien zin te voorkomen. Welk ook het voorwerp geweest zy van die Tydfchryvers , welke zich duideiyker hadden kunnen uitdrukken, en Newton zonder dubbelzinnigheid het recht doen , dat hy verdiende, dit artikel ergerde zyne landgenooren. Keil plaatfte in den Jaare 1708 een gefchrift in de Philofophifche Tranfailien, waar in hy uitdruklyk zeide, dat Newton de eerfte uitvinder van de Fluxie-Rekemng was , en dat de Heer Leibnitz, toen hy dezelve in de Adfen van Leipzig gemeen maakte, niets anders gedaan hadt, dan van dezelve den naam en de bevatting te veranderen. Leibnitz hieldt deeze woorden voor eene befchuldiging van letterdievery, waar mede zy in de daad
veel



WISKUNDE. III. Deel. VI. Beek. 493
veel overeenkomst hebben, en eischte door eenen Erief, gefchreeven aan den Heer Hans Sloane, Secretaris van de Koninglyke Maatfchappy, dat Keil zyn woord zoude terug trekken. Keil, in plaats van zulks te doen , antwoordde den Heer Hans Sloane door eenen langwyligen Brief, waar in hy alle redenen, zo veel hy kan, byëenbrengt, om te toonen , dat Newton niet alleen Leibnitz is voor • gegaan, maar ook dat hy hem zo veele blyken van zyne Rekening gegeeven heeft, dat dezelve een man, zelfs van een middelmaatig verftand, geenszins konde ontglippen. De Brief werdt aan Leibnitz gezonden, die aan de Koninglyke Maatfchappy verzocht, dit gefchreeuw van de zyde eens mans, die te weinig ervaren was , om te kunnen weeten wat tusfchen Newton en hem was voorgevallen, te doen ophouden. De Koninglyke Maatlchappy oordeelde , dat men met de oorfpronglyke ftukken te raade moest gaan, en benoemde Commisfarisfen om dezelve uit te kiezen en te onderzoeken. Zy verzamelden die, welke men in het Commercium Epiftolicum leest, en deeden hun verflag op deeze wyze: Dat uit die ftukken bleek, dat de Heer Collins den geleerde lieden zeer gulhartig de fchriften mededeelde, welke onder zyne berusting waren ; dat de Heer Leibnitz van zyne Rekening geen kennis fchynt gehad te hebben vóór de maand Juny 1677, een jaar na de mededeeling eens Briefs , waar in de Leerwyze der Fluxien voor elk kundig perfoon genoegzaam befchreeven was. Wy merken hier aan, dat wy, na dien Brief geleezen en herleezen te hebben, daar in die Leerwyze flegts befchreeven vinden ten aanzien van haare gewrochten en voordeelen, doch geenszins ten aanzien van haare grondbeginfelen; hetgeen van veel aangelegenheid is om in aanmerking te neemen, ten einde dat woord niet op te vatten in eenen zin , dien het niet moet hebben, en volgens welken iemand, die de ftukken niet in handen hadt, zonder te aarfelen, den Heer Leibnitz zoude veröordeelen» Maar Kk 3 laat



494
HISTORIE der
laat ons weder tot het verflag der Commisfarisfen van de Koninglyke Maatfchappy overgaan. Zy voegen 'er by, dat uit Brieven van Newton, van 't Jaar 1669 tot in 't Jaar 1677, biykt, dat hy in 't bezit van de Leerwyze der Fluxien was ; dat de Diffisrcntiaale Leerwyze van Leibnitz, op de Termen en tekens na, de zelfde was als die der Fluxien; zy zeggen eindelyk, dat zy den Heer Newton als den eerften vinder van die Leerwyze aanzien, en van gedachten zyn, dat de Heer Keil, door zulks te zeggen, den Heer Leibnitz geenszins veiöngelykt heeft Voor het overige vellen zy in 't geheel geen uitfpraak over de blyken, welke de briefwisfeling , die Leibnitz met Newton gehouden hadt , hem heeft kunnen verfchaffen. Zy laaten de uiifpraak hier van aan de Leezers over, en om hen in (raat te ftellen van te kunnen oordeelen , beval de Koninglyke Maatfchappy, dat de ftukken, waar over dat verflag gedaan was, gedrukt zouden worden. Dezelve kwamen in 't Jaar 1712 in 'dicht, onder den tytel van Commercium Epiftolicum de AnaJyji promotd, in-40.
De twist, aangaande de uitvinding van de Fluxieof Pffirentiaal-Rekznmg, bleef daar by geenszins berusten. Het Commercium Epiftolicum in 't licht gegeeven zynde, beklaagde de Heer Leibnitz zich deswegens groot/yks, en dreigde daar op te zullen antwoorden op eene wyze, die zyne tegenftreevers befchaamd zoude maaken. Het ware bezwaarlyk geweest de zaaken om ver te ftooten, welke den voorrang van Newton boven hem, in 't geen de uitvinding van die Rekening betreft, bewyzen : dit ftuk ?al nooit betwist kunnen worden. Wat het overige aangaat, hetzelve is ons niet onbeantwoord voorgekomen. Echter loopt dat alles op niets anders uit, dan op eenige naamlooze gefchriften , werken van zyne vrienden, waar in hewton veel. eer belcedigd, dan Leibnitz verdeedigd werdt. Onder anderen werdt daar in voorgegeeven , dat de ipfgr Newton geenszins het waare grondbeginfel
van



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boei. 499
Een ieder weet, dat de lichtftraalen, door eene holronde oppervlakte teruggekaatst, zich verëenigen jn een zeker punt, dat men brandpunt (focus') noemt, uit hoofde van den brand , welke die verëaniging doorgaans in hetzelve veroorzaakt. Maar dat brandpunt is flegts zelden een ondeelbaar punt, endoorgaans niets anders'dan de plaats, naar welke de meefte terug gekaatfte ftraalen zich begeeven. 'Er ontftaat eene foort van onverdeeld brandpunt, waar van men zich gemaklyk het fchouwlpel kan ver. fchaffen. Hebbende een Cylindervormig Vac, welks
bin-
Troupen eenige veldtogten hadt bygewoond, begaf hy zich tot reizen, en doorreisde, als een weetgierig waarneemer , de meeste Gewesten van Europa. In Jt Jaar 1683 kwam hy voor de derde maal te Parys, en werdt in de Koninglyke Academie der Weetenfchappen tot Medelid aangenomen. Vervolgens begaf hy zich naar zyne Landgoederen, alwaar hy, zich met de Studie en de Wiskunde bezig houdende, het grootfte gedeelte van zyn leven doorbragt. In de Aften van Leipzig zyn eene meenigte van door hem famengeftelde ftukken: dezelve toonen aan, dat de Heer van Tfchirnhaus een man was van groot vernuft , doch tevens van eenen driftigen inborst , welke hem meer dan eens in dwaaling wikkelde, 't Is ook met verdriet, dat men hem onophoudeiyk de voortreffelykfte ontdekkingen ziet belooven , zonder zyn woord te houden , en zich gelaaten weinig achting voor de Differentiaal Rekening te hebben. Het fcheelde nogthans veel, dat zyne Leerwyze, welke eigenlyk geen andere dan die van Barrow is, dezelfde volkomenheid zou hebben, wel verre van den voorrang boven dezelve te verdienen. De Heer van Tfchirnhaus ftierf op het einde des Jaars 1708. Het eenig Boek, dat men van hem heeft, is zyne Medicina mentis & corporis, een werk , in den fmaak van dat over de navorfching der Waarheid (Ja Recherche de la Vérité) van den Vader Malebtanche, doch uitgebreider, zo als deszelfs tytel aankondigt. Het kwam in den Jaare 1687 voor de eerfte maal in 't licht, ea in 't Jaar 1695 werdt 'er eene tweede vermeerderde Druk van uitgegeeven. Zie. Mijl. de VAcad, de tannée 1709.



50o HISTORIE dei
binnenfte oppervlakte zeer glad zy ; zo men dan met eenen brandenden fakkel tot hetzelve nadert, ziet men, dat zich op den bodem twee kromlynige h'chtftreepen tekenen , welke dies'te blinkender zyn, naar maate de fakkel fchuiofer gehouden wordu Deeze is de Brandlyn der van boven deeze oppervlakte terug gekaatfte ftraalen. Het eigenlyk gezegd brandpunt in de brandfpiegels is niets anders dan de nabyheid van het punt , waar in de beide takken der Brandlyn elkander raaken ; hetgeen maakt, dat de meeste ftraalen elkander in de kleine ruimte, dicht by dat punt, doorfnyden, en aldaar eene aanmerkelyke hitte voortbrengen.
Om de teeling van die kromme Lynen te bevatten, moet men zich (Fig. 03) eene reeks van evenwydige ftraalen, op gelyke afftanden van elkander ftaande, verbeelden. Men zal gemaklyk zien, dat ieder terug gekaatfte ftraal den volgenden zal fnyden, en dat uit alle die fnypunten, en uit de deelen van terug gekaatfte .ftraalen , welke zy befluiteu, een Veelhoek ontftaan zal, even als men, in de Theorie der ontwondenen , daar uit heeft zien vormen één der deelen van de Perpendiculairs tot de Kromme , wanneer dezelve eindig in getal waren. Maar als men de invallende ftraalen in grooter ge» tal, en nader by eikanderen ftelt , zal men zien, dat die kleine zyden korter worden , en eindelyk de Veelhoek in eene Kromme verandert , welke van elk der terug gekaatfte ftraalen geraakt zal worden. Ieder punt van de Brandlyn kan desgelyks befchouwd worden als het brandpunt van twee oneindig dicht by elkander ftaande ftraalen , even als wy geaien hebben, dat ieder punt der ontwondene de famenloop is van twee Perpendiculairs tot de Kromme, welke oneindig dicht by elkander ftaan.
De D. Barrow hadt reeds, in zyne Gezichtkundige Lesfen, die foorten van famenloopende ftraalen befchouwd j en het is verwonderenswaardig, dat hy, die genegen was de zaaken van eenen zuiver Meetkundigen kant in te zien, het denkbeeld niet gehad
heb»



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 501
hebbe , om te onderzoeken welke kromme Lynen door die punten van famenloop , naar de onderfcheidene gevallen , gevormd worden. Dit denkbeeld viel den Heer van Tfchirnhaus het eerst in, die daar van (in den jaare 1682) e^n ruuw ontwerp over de Brandlyn van den Cirkel, door evenwydige invallende ftraalen gevormd , aan de Academie der Weetenfchappen overgaf. Deeze Kromme, waar van men in Fig. 94 de afbeelding ziet, wordt befchreeven , als men den terug gekaatften ftraal EG overal gelyk neemt aan de helft van den invallenden ftraal EU; zulks dat zy teneinde loopt in het punt F , dat den ftraal AC in tweeën gelyk deelt. Zy is voor eene volftrek'.e reöificeering vatbaar; ieder deel, als BG, is gelyk aan de fom van den invallenden ftraal DE en den terug gekaatften ftraal EG ; eene eigenfchap die voorts gemeen is aan alle de Brandlynen, door evenwydige ftraalen gevormd , en zich , op eenige wyzingen na , tot alle de overigen uitbreidt. Eindelyk is de Kromme BGF niets anders dan die, welke befchreeven zou worden door een punt van den omtrek eens Cirkels, welke op eenen anderen, als FK, met den ftraal CF befchreeven, zou rollen. Dit is eene nieuwe aanmerking, welke de Heer van Tfchirnhaus in den Jaare 1690 maakte, gelyktydig met deeze: naamlyk , dat die Kromme de eigenfchap heeft , van zich door haare ontwinding op nieuw voort te brengen , zo als men weet dat ten aanzien der Cycloïde plaats heeft. Nogthans is 'er dit verfchil, dat de Cycloïde eene naauwkeurig gelyke Cycloïde tot ontwondene heeft, terwyl de Kromme, waar van wy fpreeken, wel eene geiykvormige Kromme tot ontwondene heeft , doch die flegts de helft minder groot is. Wy behooren hier den Heer de la Hire het recht te doen van aan te merken, dat hy eenige der bovengemelde eigenfchappen vóór den Heer van '1 fchirnhaus ontdekte. Want deeze eenigzins driftige Meetkundige hadt zich in iets vergist, toen hy zyne ontdekking aan de Academie
der



£c2
HISTORIE de*
der Weetenfchappen bekend maakte. Hy liet 2icfa voorftaan, dat, om ieder punt van de Brandlyn te vinden, 'er niets anders re doen was , dan op den firaal CB een halven-Cirkel te befchryven, en het overblyvende van eiken Ordinaat , als HE , in tweeën gelyk in I te deelen , waardoor alsdan het punt I in de Brandlyn zou zyn. Dit voorgeeven werdt door den Heer de la fiire euvel opgenomen, doch de Heer van Tfchirnhaus, zyne gevoelens met hardnekkigheid ftaande houdende, na alvoorens hevig daar over getwist te hebben, gaf de zaak niet op. Eerst verfcheide jsaren daar na bekende hy zyne dwaaling, op de nieuwe aanmerking, welke de Heer Bernoulli hem dien aangaande onder 't oog bragt. Ondertusfchen bevondt de Heer de la Hire, door de befchouwing van deeze Kromme, dat de terug gekaatfte ftraal de helft was van den invallende ftraal, en hy betoogde desgelyks, dat zy eene Epicycloïde was, welke door de omwenteling van een Cirkel op eenen anderen wordt voortgebragt Cc).
De gelyktydige Meetkundigen van den Heer van Tfchirnhaus hebben zyne Theorie verre overtroffen. Zy kwam naauwlyks uit zyne handen, of zy breiddeden dezelve uit, zo door zich niet meer tot de evenwydige invallende ftraalen te bepaalen, maar door dezelve, naar welgevallen, famenloopende of van elkander wykende te onderftellen, het zy door op de llrsalbreeking toe te pasfen , hetgeen de Heer van Tfchirnhaus flegts in de terugkaatfing hadt aangemerkt; of eindelyk door de Brandlynen der Mechanifche Krommen te onderzoeken, op welken de Heer van Tfchirnhaus, het gebruik der Differentiaal-Rekening verachtende, de zyne niet Konde toepasfen. De voornaamfte trekken van die gantfche Theorie is men aan twee beroemde broeders, de Heeren Jacobus en Jan Bernoulli, verfchuldigd. De
eer-
(0 Hifi. de tAcad. avant le renouv. ann. lóSS.édlt. Franfoife.



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. JöJ
èerfle gaf in 't Jaar 1691, in de Aften van Leipzigi zeer weetenswaardige zaaken over dat onderwerp (d), onder anderen maakte hy, by die gele-
fenheid, de aanmerking, dat de Brandlyn van de jogariihmifche Spiraal, het lichtpunt in 't centrum zynde , eene gelyke Spiraal was. In den zelfden tyd gaf de Heer Jan Bernoulli, die toen te Parys was , in zyne Letïiones calculi integralis, Firmulen uit de Diferentiaal-VLekemag afgeleid, om de Brandlynen van alle foorten te bepaalen. Wy verzwygen ongaerne eene meenigte weetenswaardige zaaken, welken wy hier te zeggen zouden hebben, zo wy ons naar onzen wensch konden uitbreiden. Wy verzenden dus den Leezer naar de Schriften der Meetkundigen, welke over die Theorie gehandeld hebben, onder anderen naar de Lesfen over de Integraal-Rekening van den Heer Bernoulli, of naar de Verhandeling over de oneindig kleine grootheden van den Heere Marquis de l'Hópital. Men kan ook nazien eene Memorie, welke onder die der Academie van *t Jaar 1703 te leezen is (e), Dezelve is eene foort van Verhandeling over die ftoffe, waar in men al het belangwaardige , dat dezelve oplevert, verzameld vindt.
De teeling der Epicycloïden zal voor hun , wien de Cycloïde bekend is , gemaklyk te verftaan zyn. Want dezelve is niets anders dan die van deeze beruchte Kromme, eenigermaate algemeen gemaakt. De Cycloïde wordt geteeld als men een Cirkel op eene rechte Lyn laat voortrollen. De Epicycioïden worden op de zelfde wyze gevormd, behaiven dat de Hufis , in plaats van eene rechte Lyn te zyn , een anderen cirkelvormigen omtrek is.
De
Cd) Lines cycloid. cauftica, perkaufticee, t§c.
(e) Deeze Memorie is van den Heer CARfié, en voert tot tytel: Rettification des Caujliques par Reflexion, formées par le Cercle, la Cycloïde ordinaire, C3* l<* Parabole , fcf de leurs Développées, avec la Mefure des Efpaces qu'ellts renferment. Vertaaler.



54
HISTORIE der
De eere der vinding van de Epicycioïden wordt toegefchreeven aan den Heer Roemer, een beroemd Deensch Sterrekundige , die geduurende zyn verblyf te Parys, omtrent het Jaar 1674, tot deeze ontdekking geraakte. Dezelve was onder zyne handen geenszins eene bloote Meetkundige befchouvving. Deeze kromme Lynen fcheenen hem toe die geenen te zyn , wier gedaante tot de tanden der raderen voegde , om hunne onderlinge wryving te verminderen , en de werking der kracht gelyker te maaken ; deeze was de beweegreden welke hem Doopte om dezelve te bcfchouwen. Nogthans houdt de Heer de la Hire, in zyne Verhandeling over de Epicycioïden, in den Jaare iög4 gedrukt, een diep ftilzwygen over den Heer Roemer, en fchynt zich de verdiende van die Meet- en Werktuigkundige vinding toe te eigenen. Maar behalven de openbaare uitroep , welke den Heer Roemer de eere daarvan geeft, heeft men het uitdruklyk getuigenis van den Heer Leibnitz (ƒ), die , in 1674 en de twee volgende jaaren te Parys zynde , zegt, dat de vinding der Epicycioïden, en haare toepasfing op de Werktuigkunde, het werk van dien Deenfchen Wiskundige waren , en dat hy by den Heer Huyghens voor den Vinder derzelven gehouden werdt zonder dat op eenigerlei wyze de Heer de la Hire daar by te pas kwam.
Ik vinde niemand die vóór den Heer Newton over de Epicycioïden iets in 'c Jicht gegeeven hebbe. Deeze groote man geeft, in het eerfte boek van zyne grondbeginfelen , haare reclificeering op eene zeer algemeene en zeer eenvoudige wyze. Na hem bevlytigde zich de Heer Bernoulli, geduurende zyti verblyf te Parys, om, met behulp der Differentiaal' en Integraal Rekening, die toen nog in de geboorte was, haaren inhoud, haare reduföeering, haare Oin. wondene, enz. te bepaalen ; verfcheide van zyne
Les-
(/) Comm. Phil Leibnitii fcf Bernoulli, Tom. 1, p. 347.-



Wiskunde, iii. Deel. vi. Boeit. 505
Lesfen over de Integraal-Rekening handelen over dat onderwerp. In den Jaare 1694 gaf de Heer de ld Hire zyne Verhandeling over de Epicycioïden in_ 't licht, waar van hy de voornaatnfte waarheden voor federt lang gedaane ontdekkingen wil gehouden hebben. Dit Werk is ten uiterften verward; maar men heeft in de Memoden der Academie van het Jaar 1706 een Gefchrift van denzelfden Heer de ld Hire over de Epicycioïden, dat eene volkomene Verhandeling over die Krommen uitmaakt, en zeer voortreffelyk en fraai is.
Wy zouden uit de nu aangehaalde Schriften eenen overvloedigen oogst van zonderlinge waarhe. den kunnen voordragen; maar wy zullen ons flegts tot fommige bepaalen, welke het meest den aandacht waardig zyn. Voorëerst is het eene merkwaardige eigenfchap der cirkelvormige Epicycioïden, dat zy dikwyls Meetkundig zyn, terwyl de gemeene Cycloïde, in fchyn dies te eenvoudiger, als de rechte eenvoudiger dan de kromme Lyn is , flegts Mechanisch of Tralifcendentisch is. Dit geval waar in de Epicycioïden Meetkundig zyn, is dat waar in tusfchen de omtrekken van den Cirkel, die tot Ba* fis dient, en van den teelenden Cirkel eene betrekking is als van getal tot getal. Doch zo die be> trekking onmeetbaar mogt zyn, dan is de Êpicycloïde mechanisch» De reden hier van is ligt te befpeuren: in het laatfte geval, waar in de teelende Cirkel tot in 't onëindige volhardt op zynen Bafis te rollen , kan nimmer het befchryvend punc weder op één dergeenen vallen, van waar het in 't begin van eenigcu omloop gekomen is ; dus zal de Kromme nimmer in zich zelve terug keeren i maar een onëindig getal verfchillende omloopen en draaijingen doen. Zy zou dienvolgens door eene rechte Lyn in een onëindig getal punten gefn^eden worden , hetgeen in eene Meetkundige Kromme niet gebeuren kan. Dit verfchaft ons de oplosling van de ioort van wonderfpreuk, w-lke wy boven aangemerkt hebben. De gemeene Cycloïde is fleer» LI eens



5oö HISTORIE der
eene Epicycloïde, gevormd door eenen eindigen Cirkel , die op eenen onöindigen Cirkel voortrolt. Maar het eindige en onëindige zyn onmeetbaar. Dus is zy in het geval der Epicycioïden, op eenen met den teelenden Cirkel onmeetbaaren Bafis, en zy moet, even als deezen, Tranjcendentisch zyn.
Het is desgelyks eene merkwaardige eigenichap der Epicycioïden, zo Meetkundige, als Tranfcendentifcke, dat zy volkomen gerectificeerd kunnen worden, ten minden in het g«val waarin het befchryvend punt op den omtrek des teelenden Cirkels is. Men betoogt, dat de omtrek van de Epicycloïde GEF (Fig. 95. a) daat tot het viervoud van de middellyn des teelenden Cirkels BE, als de ftraal van den Bafis tot de fom der ftraalen van den Bafis en den teelenden Cirkel. Indien de Epicycloïde inwendig was, zou alsdan, in plaats van de fom hier boven, het verfchil genomen moeten worden. Wil men hier weder ten voorfchyn zien komen de gemeene Cycloïde en haare beruchte eigenfchap, van haaren omtrek geiyfc aan viermaal de middellyn van den teelenden cirkel te hebben , heeft men flegts den Cirkel van den Bafis onëindig te onderftellen; alsdan zal de bovenftaande reden in eene reden van gelykheid veranderd worden. Want het onëindige met eene eindige grootheid vermeerderd of verminderd wordende, is altoos het zelfde. Wanneer het befchryvend punt der Epicycloïde binnen of buiten den omtrek des teelenoxn Cirkels genomen wordt, is de lengte der Epicycloïde gelyk aan den omtrek van eene Ellips, die gemaklyk te conftruëeren is. Wat de Inhouden der Epicycioïden betreft, zy worden door de volgende evenredigheid bepaald: als de ftraal des Cirkels van den Bafis ftaat tot driemaal dien ftraal, meer tweemaal dien van den teelenden Cirkel , alzo ftaat hec Segment bti des Cirkels tot den Epicycloïdaaien SecJor b H F , of de geheele teelende Cirkel tot den geheelen Inhoud der Epicycloïde FEGB. Ik zwvge van de raaklynen: men weet federt den tyd van "Defcartes, dat de Lyn Hb,
ge-



Wiskunde, in. zw. vi. Boek. sof
getrokken uit eenig punt H, tot dat van den Bafis *t welk de Cirkel taakt, terwyl dat punt befchreeven wordt, loodrecht op de Kromme, en by gevolg ook op de Raakiyn, ftaat. Ik eindige dit Artikel met den Leezer een denkbeeld te geeven van de kunftige Leerwyze, welke de Heer de Maupertuis, in 't behandelen van dit onderwerp t gevolgd heeft (g). Hy ftelt zich voor, dat een Veelhoek op eeheri anderen rolt, wiens zyden gelyk aan de zyne zyn. Het fpoor van één der hoeken befchryft alsdaö eene Kromme , welkers omtrek famêngefteld is uit Cirkelnoogen, en de Inhoud uit Cirkelvormige Sectors, en rechtlynige Driehoeken. Hy bepaalt de overéénkomst van den Inhoud en den Omtrek Vart die Figuur, met die van den teelenden Veelhoek» Vervolgens onderftelt hy, dat die Veelhoeken Cirkel w< fden , waar door de befchreevene Figuut eene Epicycloïde wordt , en de bovengemelde overeenkomst, gewyzigd zo als door deeze onderftelling behoort ie geleideden, geeft hem alsdan den Inhoud en den Omtrek der Epicycloïde,
IX.
Engeland, alhoewel het geboorteland der Reke^ ningen welken wy Differentiaal, en Integraal^eke* ningen noemen , is echter geenszins het Land, waar ih zy het eerst haaren aanwas bekomen hebben. Wy maaken eene uitzondering ten voordeele van den Heer Newton , die dezelve van dien tyd af, mét eenen zo gelukkigen uitflag, op de ontdekking der verhevenfte waarheden toepaste, en in 't bezit vari eene meenigte voortreffelyke Leerwyzen was. Maar behalven hetgeen hy daarvan, in den Jaare 1687, in zyne Grondbeginfeien ontdekte; en hetgeen, naar zyne brieven en handfehriften, daarvan Rónde uitlekken, was het een kostelyken fchat, dien hy flegts' alleen, als zyn eigendom, in bezit hielde; zo dat
Q) Mém. de YAcad, am. 1727.
Ll *



So8 HISTORIE dek
Engeland de kennisfe van die Rekening eenigermaate van het vaste Land ontfing. Craig , die dezelve het eerst voortzettede , en op de afmeeting der kromlynige grootheden toepaste (6) , was dezelve verfchuldigd aan de ftukken, door Leibnitz in de Aften van Leipzig ingelascbt. Hy bekent zulks op verfcheide wyzen , zo door deeze Leerwyze de Rekening van Leibnitz te noemen , als door zyne benoeming der grootheden aan te neemen. 't Is dus in het tydperk der kennisfe, welke Leibnitz der geleerde waereld daarvan gaf, dat men, in zekere opzichten , haare geboorte en ontvouwing behoort t» bepaalen. Wy zullen weldra de gefchiedenis van dezelve in 't breede voordragen; maar eenige trekken van 't leven eens mans, aan wien de Wiskunde zo groote verplichting heeft, kunnen niet dan op eene genoeglyke wyze de verwachting van onze Leezers ophouden.
De' beroemde Heer Leibnitz {Godfried Wilhelm) kwam den 23 Juny O- S. des Jaars 1646 te Leipzig ter waereld. Hy volbragt zyne eerfte ftudien in zyn Vaderland , en begon reeds in den ouderdom van vyftien jaaren, met eenen ongelooflyken yver, alle vakken van kundigheden te omhelzen. Dichtkunst, Hiftoriekunde, Oudheden, Wysbegeerte, Wiskunde , Rechtsgeleerdheid , zo Burgerlyke als Staatkundige , alles viel binnen weinige Jaaren in zynen fffiaak, en 'er is geen van die vakken, waar in hy zyn vernuft of zyne geleerdheid niet heeft doen uitblinken. Wy zouden de paaien, welke de uitgebreidheid van dit Werk ons voorfchryft, weldra te buiten gaan, als wy wilden onderneemen den Heer Leibnitz ondèr alle die verfchillende gezichtpunten te Ieeren kennen De weetgierige Leezer houde het ons ten goeie, dat wy ons bepaalen, om hem hier flegts als Wiskunftenaar voor te dragen.
De
(A) De fig. curvil. quad, ö* loeit Getm. Lond. 1693, in-4?.



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 509
De Wiskunde was onder het getal der Weetenfchappen , welke de Heer Leibnitz, belust op alle foort van geleerdheid, zich in zyne jeugd verwierf. Toen hy tot Doctor in de Wysbegeerte bevorderd werdt, beweerde hy eene (telling over een ten halven Wiskundig onderwerp, en betrekkelyk tot de kunst der famenvoegingen. Deeze delling was de eerde keen van eene Verhandeling de Arte combinatorid, welke hy in 't Jaar 1Ó68 in 't licht gaf, en in 1690 herdrukt is. Men behoort deezen nieuwen druk niet op de rekening van den Heer Leibnitz te dellen. In tegendeel zag hy dien met misnoegen, als dat Werk zynen naam niet meer waardig achtende , fchoon het hem voormaals eere hadt aangedaan. Hy gaf ook in 't Jaar 1671 een Werk in *t licht, tot tytel voerende: Hypothefis Phyfica nova* &c. of Theoria tnotus, waar van hy de leering wraakte, toen hy tot eenen ryperen ouderdom gekomen was.
De Heer Leibnitz kwam in den Jaare 1673 te Parys, en deedt zich aldaar op eene loffelyke wyze kennen by den Heer Huyghens, en andere Leden van de Academie der Weetenfchappen. In dien tyd deedt hy verfcheide Analytifche ontdekkingen, onder anderen die van zyne reeks voor den Cirkel , een onderwerp waar over hy toen eene Verhandeling famenttelde, welke hy lang voorneemens was in 't licht te brengen; maar in 't vervolg zag hy daar van af. Omtrent den zelfden tyd verzon hy zyn Rekenkundig Werktuig, een volmaakter en gemaklyker Werktuig dan dat van den Heer Pafcal (/). Het denkbeeld van hetzelve werdt den Heere Colbert medegedeeld, en verwierf den Heer Leibnitz de eere, van tot Medelid van de Academie der Weetenfchappen aangenomen te worden.
Op het einde des Jaars 1676 keerde de Heer Leib' ttitz, door den Keurvorst van Hanover, aan wien hy verbonden was, teruggeroepen, weder naar Duitsch-
land,
(i) Zie Mifcell. Berol. T. 1.
LI 3



gio HISTORIE des
land. De veelvuldige verrichtingen, welke die Vorst hem opdroeg, lieten hem toen byna niet meer toe zich op de Wiskunde toe te leggen. Toen echter de Aéten van Leipzig in 't licht kwamen, lier hy niet na dezelve roet eene meenigte gefchriften, zo Natuur- als Wiskundige, te verryken; gefchriften, welke allen het kenmerk van vernuft dragen , en ons doen beklagen, dat de Aurheur van dezelven den tyd niet gehad hebbe, om meer zyne denkbeelden te volgen , en zich aan eenen meer geregelden arbeid over die ftoffen over te geeven. De Heer Leibnitz was zulks meenigmaal voorneemens, en 'er is geduurende veele jaaren gefproken over een Werk de Scientid infiniti, waar van zyne nieuwe Rekening, en vooral de Integraal.Rekening, het voornaamfte deel uitgemaakt zoude hebben ; maar door arbeidzaame onderneemingen geftoord, en nog meer door zyne neiging tot de fcherpzinnigfte Bovennatuurkunde , vondt hy nimmer den tyd om te voldoen aan de verwachting, met welke hy der geleerde waereld gevleid hadt.
De Heer Leibnitz was opmerkzaam op alles wat tot den aanwas en de voortplanting der Weetenfchappen iets kan toebrengen. De oprichting van eene Academie in Duitschland fcheen hem daar toe gefchikt, en hy deedt deswegens aanzoek by Fredejuk I, Koning van Pruisfen en Keurvorst van Brandenburg. Deeze Vorst, die zich met zyne inzichten verëenigde, (lichtte in den jaare 1701 te Serfyn, zyne hoofdftad, die Academie, mededingfler van die van Parys en London, welke men 'er hedendaags ziet bloeijen. De Heer Leibnitz werdt tot Voorzitter van dezelve benoemd, en bekleedde dien post tot zynen dood toe. Dezelve gefchiedde den t4 November 1756 , en werdt veroorzaakt door een aanval van ingeflagene jicht , die hem fchier op eenmaal verflikte. By was één der buitenhmdfche medeleden, welke de Academie ten iyde der nieuwe keuren, welke zy in 1699 ontf ng , yerkoos, Sedert onderhieldt hy verfcheide
jaa-



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 51 ï
jaaren met den Heer Jan Bernoulli eene briefwisfeling, die in den Jaare 1745 in 't licht is gebragt, onder den tytel van Leibnitii ac Bernoullii Comm. Phil. ö* Math. a Deelen in.40. Men kan niet afzyn om den hoogften dank te betuigen aan de uitgeevers van dat ftuk, 't welk ten uiterften belangwaardig is door de geleerde onderwerpen, waar over hetzelve handelt, en door de talryke berichten, welke ons door hetzelve worden medegedeeld. De ongemeene overvloed van onze ftoffe noodzaakt ons , dat wy ons tot deeze zeer flaauwe fchets van het leven en de werken van dien beroemden man bepaalen (k); wy haasten ons om weder tot ons hoofdonderwerp te komen, naamlyk de gefchiedenis van de Differentiaal-Rekening.
De Heer Leibnitz heeft zyne Rekening op eene minder Meetkunftige wyze dan de Heer Newton begreepen. Hy onderftelt, dat 'er onëindig kleine grootheden ten opzichte van andere grootheden zyn, zulks dat men de eerften, met opzicht tot de tweeden, zonder merkelyke dwaaling kan verwaarloozen. Hy laat het daar by niet berusten ; 'er zyn, in dat Systema , onëindig kleinen van oneindig kleinen, of van den tweeden rang, welke desgelyks , ten aanzien van die van het eerfte , verwaarloosd kunnen worden. Wanneer men dus in eene Kromme drie Ordinaten onëindig dicht by elkander neemt, dan is het verfchil van ieder met zynen naastgelegene een onëindig klein van den eerften rang; hetgeen twee onëindig kleine en ach-
ter-
00 De Leezers welke een omftandiger bericht van het leven en de talryke Werken van den Heer Leibnitz verlangen , moeten hunnen toevlucht neemen tot de Gefchriften, welke over dat byzonder onderwerp handelen , als zyne Gefchiedkundige Lofreden, door den Heer de Fontenelle, de Aften van Leipzig des Jaars 1717, en eindelyk het Artikel van Leibnitz in het Supplement vanBoyle, door den Heer de la Chmffepiê.
LI 4



5H
HISTORIE der
klaard hebben. Voorts is, zo in de Differentiaal' als ^««-Rekening, alles hetzelve. Zy verfchillen eeniglys in de aanduiding {notatiö), en in de wyze op ,velke haare Uitvinders haar grondbeginfel be. fchouwd hebben. Dus moet alles wat in Art. V. gezegd is, over de toepasfing van de FJuxie-Reke. nii)g op de Leerwyze der raaklynen, op de uit. vinding der maxima en minima, op de Quadratuur en de reEtificeering der kromme Lynen, enz. desgelyks van de Rekening van den Heer Leibnitz verftaan worden. 'Eris niets anders te doen,dan de x, "y, ï, enz. in dx, dy, ddx, er\z. te veranderen, en men zal de zelfde gevolgen, de zelfde regelen van be. rekening hebben.
De Heer Leibnitz gaf in de Aften van Leipzig des Jaars 1684 de eerfte' openbaare proeve van zyne nieuwe Rekening (/); en hy toonde derzei ver ge. bruik orn de Raaklynen, de maxima en minima, en de buigpunten te vinden. Eén der Problemata welke hy zich ten voorbedde voorftelde, was zeer gefchikt om de voordeelen van zyne Rekening aan den dag te leggen. Hy onderftelt eene Kromme, welkers natuur zodanig is, dat de fom der Lynen uit ieder van haare punten tot zo veele andere, als men begeert, genomen op haaren As, te trekken, eene zelfde fom maake, en hy vraagt naar de handelwyze om raaklynen tot dezelve te trekken. Dit Prcbkma, dat, in zekere gevallen , alle de hulpmiddelen der Leerwyzen van Fermat, Barrow, enz, krachteloos zoude maaken, ontleent eene gemaklyke oplosling uit de DifferentiaaUKtïkcnmg, welk ook het getal der gegeeven punten of brandpunten zy.
De zaaden van deeze nieuwe Rekening, door den Heer Leibnitz uitgeworpen, wierden in 't eerst niet vruchtbaar, en 'er verliepen eenige jaaren, eer men de waarde van die voortreffelyke Leerwyze be-
fpeur-
(/) G. G. L. Nova methodus pro max. & mis, itemque tangent., fc? ac Jingulare pro his cakuli genus.



WISKUNDE. III. Deel, VI. Beek. 5-5
fpeurde. De meeste Meetkundigen , zelfs de be« kwaamfte, befchouwden in 't eerst dezelve niet anders , dan als die van Barrow, tot grooter volkomenheid gebragt. Zy hadden daar in niet geheel en al ongelyk, maar hun onrecht beftondt daarin, dat zy niet bemerkten, dat het juist die trap van volkomenheid was , welke Leibnitz aan die Rekening hadt gegeeven , die dezelve tot vraagftukken uitbreidde, op welken zy anders geen vat gehad zoude hebben. , ,
De eerfte der Meetkundigen, die van zyne dwaaling begon terug te komen, en den Heer Leibnitz behulpzaam te zyn, was de Heer Jacobus Bernoulli. Het was, zo het fchynt, het Problema eener kromme Lyn, welke men Curva Ifochrona (m) noemt, en in den Jaare 1687 door Leibnitz was voorgefteld , waar door hem de oogen geöpend werden. Want zyne eerfte proeve van de nieuwe Leerwyze betreft dit Problema , waar van hy in den Jaare 1690 de Analyfts in »t licht gaf. Zyne vorderingen in dat vak waren in dien tyd reeds uitfteekend, naardien hy op zyne beurt dorst voorstellen het berucht Problema van de Kettingiyn, dat is te zeggen, om de kromte te bepaalen , welke een ketting of een zwaarwichtige en onëicdig buigzaame draad , die san zyne beide einden opgehangen wordt,aanneemt. Kort daar na, naamlyk in 't begin des jaars 1691, gaf hy in de Aften van Leipzig eene proeve van Differentiaal' en /«/rgr«a/-Rekening. Het is, eenigzins, eene kleine Verhandeling over die Rekening, waar sn hy , by gelegenheid van eene byzondere foort van Spiraal, alle de regelen geeft, om de raaklynen, de buigpunten, de ftraalen van de ontwondene , de Inhouden, en de reSlificeeiingen, in alle Krommen met Ordinaten, zo evenwydige als famen-
loo-
(m) Cwva Ifochrona is eene kromme Lyn , op welke een zwaar lighaam zodanig nedervalt, dat het in gelyke tyden gelyke hoogtens doorloopt. Vertaaler.



53Ö HISTORIE dek
Algebraïst, en één der onverfchrokkenfte Rekenaars, maar tevens een haastig man, en, naar men gisien kan, eenigermaate nayverig over eens anders vindingen. Hy hadt eenige gefchriften uitge* geeven, in welke men, midden door de duisterheid, die hem fteeds vergezelde, vry fcherpzinnige Leerwyzen ontwaarde. Behalven dat bragt hy zyn leven door met Defcartes en de DifferentiaalRekening te hekelen. In den Jaare 1701 begon hy rich tegen dt eze laatfte te verzetten. Hy tastte dezelve niet flegts aan de zyde der ftrikte zekerheid van haare grondbeginfelen aan, maar hy waande nog daar benevens door verfcheide voorbeelden te toonen , dat zy ons tot dwaaling deedt vervallen , en ftrydig was met de bekende en aangenomene Leerwyzen , als die van Defcartes, van Fermat , enz.. Deeze voorwendfelen waren met het grootfte vertrouwen fmaaklyk gemaakt, en met eene groote toerusting van rekening ten toon gefpreid, zo dat zy ten vollen gefchikt waren om die geenen te misleiden , welke flegts het oppervlakkige van dien twist in aanmerking namen, zonder zich verder over iets te bekommeren.
Maar de Differentiaal-Rekening vondt in den Heer Varignon een zoo yverig en verïtandig verdeediger, als Roile driftig en oploopend was. De Heer Varignon beantwoordde op ftaande voet, met veel nadruk, de tegenwerpingen welke de grondbeginfelen der nieuwe Rekening betreffen. Hy gaf het waare denkbeeld van de Diffcrentiaalen , en toonde aan , dat zy noch volftrekte nullen, noch onvergelykelyke grootheden waren, maar wel de uiterfte redeiis der opziclitelyke elementa van de Abfcisfe en den Ordinaat, wanneer deeze, geduurig afneemende, eindelyk vernietigd worden. Wat de doolingen aangaat , welke Rolle aan de nieuwe Rekening toe» ichreef, bier in zegepraalde wel voornaamlyk de Heer Varignon. Hy deedt zien, dat alle zyne aantygingen niets anders dan de vruchten van zyne verhaasting en onbedachtzaamheid waren» Wy zulkft
OtiS



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek. 517
ons bepaalen tot eenige voorbeelden , getrokken uit een gefchreeven antwoord vau den Heer farignon, dat wy in handen gehad hebben. Bolle nam eene Kromme welkers Vergelykinge was y — b~(xx —
aax+aa —-bbp-.a*. Hy zocht daar van de grootüe en kleinfte Ordinaten, doos dy — o te ftellen, en bevondt dat het gezochte Maximum met de Abfcisfe gelyk aan a overëenftemde. Óndertusfchen , zeide by, is het zeker, dat deeze Kromme drie Ordinaten heeft, welke Maxima en Minima zyn. in de daad, de Regel van den Heer Radde geeft drie zodanige Ordinaten, welke met Abfcisfen gelyk aan a — b, at en a + b overëenfteinmen.
Een ander voorbeeld , dat Rulle aanleiding gaf om zich openlyk de overwinning toe te fchryven , was dit. De Vergelykinge zy y=:a-f-(/4*-|-
«/4+ajf, Als men dy~o ftelt, vindt men —4» e;ne waarde met welke flegts een irtgebeel ie Ordinaat overëenftemt, zo dat in deeze Kromme geen grootfte of kleinfte Ordinaat is. Doch als men de Worteltekens doet verdwynen, wordt de Vergelyking tot deeze herleid: y*— 8y3+ ióyy—myyx-'r^ yx—6a x+4xx~zo : zo men nu den Regel van den Heer Hudde daaröp toepast , zal men , zeide hy, een Maximum vinden, dat met de Abfcisfe gelyk aan a overëenftemt. Hy voegde 'er no6 by, dat de nieuwe Rekening met haar zelve tbydig was: want, vervolgde hy, deeze Rek^nng, op de bovenftaande brationaale Vergelykinge to.gepast, geeft geenszins dat Maximum, en tot-gepast ~>nde op de rationaale Vergelykinge, die flrg-s in de gedaante daarvan verfchüt, gteft zy Hetzelve
Ondertusfc1 en zyn , noch e Diffeter tiaal-"ekening, noch de Regel van den Heer Hudde gebreklyk ; 't is de Heer Rolle die op verfcheide wyzen mistast. Zyne eerfte ciwaaii g beftaat daHrin , uat by den Kegel van de ö.^rf«M<//-Rekeiiii'!f Liet in zyn geheel neemt; want 1 en moet niet alleen dy, maar ook dx~o llehen. Doch zo hy zulks gedaan Mm 4 hadt,



528 HISTORIE der
hadt, zou hy in het eerfte voorbeeld de drie Maxim», Mitiima welke de Regel varj den Heer Hudde geeft, gevonden hebben. Ten tweeden vergiste zich ReU le, door aan de Kromme, waar van wy fpreeken, de gedaante te geeven , welke in Fig, 96, n°. 1 gezien wordt, daar zy ïd tegendeel die van n°.a is, waar in de punten S en V' hunce raaklynen niet evenwydig, maar perpendiculair tot den As hebben. Om d;e reden gaf de onderftelling van dyzzo niets anders d?n het Maximum* dat met de Abfcisfe AQ overëenftemt: want deeze onderftelling ls van zoda^ nige natuur , dat zy alleen de punten van raaklynen welke evenwydig met den As zyn, oplevert. Ten derden toonde Rolle, dat hy geen grondige kennis hadt van de natuur tn het grondbeginfel des Regels van den Heer Hudde: want dat punt , *t welk bv jn het tweede voorbeeld vooreen punt van Maximum hieldr, is-'er geen. De gedaante der Kromme var» dit vomeer is, wanneer de Vergelyking van de itrationaale uitdrukkingen ontheven is , die welke men in Hg 97 ziet, en het punt D, 't welk de Regel van den Heer Hudde bepaalt, is flegts een fnypunt van twee takken, anders een knoop der Kromme De Heer Rolle zou deeze tegenwerping niet te berde gebragt hebben , als hy in acht genomen hadt, dat de Regel, waar van wy fpreeken met alleen de Maxima en Minima voortbrengt ' maar ook de ft ypunten van de takken der krouTmê Lynen, om dat deszelfs natuur is alle de punten der hromme, waarin twee gelyke wortelen zyn te bepaalen, en dat zulks zo wel in de fhypunten als in die van Maxima of Minima gebeurt, 'J en vierden was de Heer Rolle op een dwaalweg toen hy waande dat de Vergelyking y~2~\-v/^x+
de zelfde Kromme aanduidde, als de Ver. gelykmg 3,4-83,* fcrY. , tot welke zy herleid wordt sis men de radicaaie grootheden doet verdwvnen* Onder de eerfte gedaante drukt zy flegts één der rkken van de Kromme, als LS, uit j want dit is at.
lts



WISKUNDE. III. Deel. VI. Boek.^ 529
les wat men uit dezelve kan trekken, als men verfchillende bepaalde U aarden voor * ortferftelt. Maar wanneer de radicaale tekens verdreeven «yn, alsdan heeft y vier waarden, naamlyk 2 + 1/4* +
I/4 + 2*; 2 + J/4X—1/4+ix; 2 — i/4x-r-
I/4 + 2*; 2 — f/4*— f/4 + 2x; en de rationaale Vergelyking, uit de vier wortelen fainerigefteld, betekent de Kromme met vier takken van Fig < 97 » waar van twee elkander'in D fnyden. De Differentiaal-Rekening is derhalven niet Itrydig met haar zelve: zy geeft in de eerfte gedaante van Vergelyking het punt D niet, om dat het daarin niet aanwezig is, en zy geeft hst in de tweede. Voorts is het in de Differentiaal-Rekening gemaklyk de natuur van dat punt te leeren kennen: want n.demaal , om zich van alle de Muxima en Minima te verzekeren, de Regel van uie Rekening eischt, dat men achter volgens dyZZQ. en dx — n ftelle; wanneer dan uit die beide onderftellingen eene zelfde waarde der Abfcisfe voortkomt, moet men daar uit befiuiten, dat het punt *t weik met dezelve overëenftemt, flegts een fiypunt van eenige takken der Kromme, en geenszins een wezenlyk Miximum of Minimum is, en zulks gebeurt in het vooibeelüdat wy thans overweegen. Dit middel om de waare Maxima en Minima van de fttypunien te onderfcheiden, is, myns bedunkens, bet eerst door den Heer Guii.ie opgegeeven (u~), Het is daarop gegrond, dat, in de punten van deeze laatfte foort, dx en dy eene eindige betrekking hebben, naardien de raaklynen tot die puntco noch perpendiculair op den As Haan, noch evenwydig met denwel ven zyn: dy kan derhalven niet gelyk aan nul gefteld worden , ten zy dx'het desgelyks zy. Ce overige tegenwerpingen van den Heer Rtdle waren van den zelfden ftempei: misvattingen op misvattingen, fom-
tyd»
(b) Mém. de VA:ad. 1706.
Mm 5



5$o HISTORIE der
tyds dwaalingen in de rekening, en eene zeer groote vrymoedigheid; dit was alles wat zyne Memorien opleverden, Zy zyn nier alle gedrukt geworden : men vindt 'er flegts ééne onder die van de Academie des Jaars 1703. Natuurlyker wyze zou men op het denkbeeld moeten vallen, van daar in de fchynbaarfte tegenwerpingen te zullen ontmoeten, welke tegon de Differentiaal- Kekening ingebragt kunnen worden, Niets echter van dat. Men ziet den Heer Rolle de tegenwerping, welke wy zo even onderzocht hebben, daar in weder ophaa' len, en fïerke poogingen doen om te bewyzen , dat eene Vergelyking order haare irrationaale gedaante voitlrekt de zelfde is , en de zeilde Kromme aanduidt , dan wanneer zy van de radicaale tekens ontheven is. Maar zyne redenen zyn erbarmelyk, en flegts op eene dubbelzinnigheid gegrond. Het eenvoudigfte voorbeeld zou genoegzaam zyn om h m den mond te floppen. In de daad. hoe verblind by, door zyne drift tegen de Differentiaal Rekening , ook ware , zou hy wel hebben durven zeggen, dat yy^ax, en y~\/ax volkomen de zelfde Kromme aanduiden ? zonder twyffel , neen. De middelmaatigfte Analist ziet met den eerften 'opflaz van 't oog , dat de eerfte een geheelen Parabool aanduidt, en de tweede flegts één der takken uitdrukt. Hier in wordt niets gevonden, waar over wy ons hebben te verwonderen ; deeze tweede Vergelyking bevat flegts één der wortelen van de eerfte, welke zyn y~\/ax, y~\/ax.
Hoe zeer Rolle ongelyk hadt , liet deeze twist echter niet na , dat zy der Academie geduurende een aanmerkelyk gedeelte des Jaars 1701 bezig hieldt. Zy beftondt toen voor het groottte gedeelte uit bejaarde Meetkundigen, die reeds lang aan andere Leerwyzen gewend waren , en om die reden der nieuwe Leerwyze weinig achting toedroegen. Dus zagen fommigen dien tweefpalt wegens eene vinding, welke hun niet behaagde, met geBoegen aan, en haasteden zich niet om dien te ftil.
len.



WIS K U N D E. III. Z)e«/. VI. Bask. 531
IeD. Andeien, op welken de driften en vooroordeelen meer vermogen hadden , verkla rden zich tegen de nieuwe Rekening: in deeze omftandigheid dacht men den twist een vryen loop te moeten laaten, en, om zo te fpreeken, geene tegenwerping te ftnooren. De Academie was derhalven een geruimen tyd het flagveld. Rolle ftapelde tegenwer. pingen op tegenwerpingen , en fchoon 'er byna geen aanval gedaan werdt, welke de Heer Varigncn niet weder op hem deedt nederkomen , vleidde hy zich nogthans fteeds met de overwinning. Toen eindelyk, door de fcheldwoorden van Rolle , de twist in een wezenlyk krakkeel veranderde , benoemde de Heer Biguoti Commisfarislen om daarover te oordeekn. Deeze waren de V. Gouye, en de Heeren Casfini en de la Hire. Zy deeden geen uitfpraak, erimisfehien zou hun gewysde voor Rolle gunftig geweest zyn; want onder die Rechters waren 'er twee, naamlyk de V. Gouye en de Heer de la Hire » welken de aanhangers der DifferentiaalRekening zouden hebben kunnen verwerpen. Maat het Publiek, of ten minnen de Meetkundigen neb. ben uitfpraak gedaan, door den Heere Varigmn al het voordeel, en zynen tegenttreever al het ouiecht toe te wyzen.
Deeze eerfte twist fcheen , in afwachting van een vonnis, geëindigd, of ten minften by gelegd te zyn. Maar de tegenttreevers van de nieuwe Rekening konden niet befluiten om haar die foort van vreede lang te zien genieten. Rolle, hun kampvechter, vernieuwde kort daar na de vyandelykheden , en bragt over den Regel der raaklynen eene nieuwe zwaarigheid ten voorfchyn. Hy gaf in het Journal des Sfavatis van 't Jaar 1702 daar van op zyne wyze een Regel, en paste denzelven toe op zekere byzondere gevallen, welke hy, by wyze van uitdaging, den aanhangeren der nieuwe Leerwyze voorftelde. Voorts waren die gevallen op eene listige wyze uitgekozen De vraag was, om tor punten , waar in takken eener kromme Lyn elkander
fny-



53» HISTORIE du
inyden, de r.iafc'ynen re trekken. Nu gebeurt hier iets dat zonderling en moeijelyk is : men vindt, als naar gewoonte , gemaklyk de onbepaalde uitdrukking van de onierraaklyn, die alsdan eene gebroken uitdrukking is ; maar wanneer men in deeze uitdrukking aan de Abfcisfe , of aan dtn OrdU noat, de behoorlyke waarde in dat byzonder fnypunt toeëigeut, worden de teller en noemer des breuks op eenmaal gelyk aan nul. Zulks gebeurt, by voorbeeld, in den breuk (ax—x\/ax): x—a,
o
Ah men daar in x~a ftelt, wordt dezelve —.
o
Wat raad in dergelyte omftandigheid ? Men is de aanmerking van deeze zwaarigheid verfchuldigd aan den Heer Jan Bernoulli, die d.iarvan fok het eerst de oplosling vondt, en dezelve den Meetkundigen van Parys mededeelde, onder anderen den Heer de l'Hdpital, die ze in zyne Ana/y/e des infiniment petits, Art. 163, heeft ingelascht (v).
Het was de Heer Saurin die hier de zaak der Differentiaal Rekening verdeedigde. Hy beantwoordde Rolle met aan zyne uitdaging te voldoen , en toonde aan, dat de zwaarigheid in gefchil naauwkeurig voorzien en opgelost was in het Boek, waar tegen hy zich met zo veel drifts aankantte (w>), Hy deedt desgelyks zien, dat de Regel van Rolle zeive niets anders was, dan de Regel der raaklynen
van
f» Zie J. Bernoulli , perfeSio regula fua, pro determu nando valare fraiïionis , cujus numerator ac denominator certo eaju evanefcunt Aft. Lipf. ann. 1704- Bernoulli Op. T. I. p. 401.
O) De Heer Saurin heeft dit byzonder geval der raaklynen naderhand breedvoeriger verhandeld in eene Memorie, onder die der Academie van de Jaaren 1716 en 172.5 iügelsscht. Men vindt 'er ook eene onder die van 't Jaar I7i5. welke de vraagftukken van Maximis en Minirn's betreft , en eene zegepraaleude wederlegging va» •üe van Rolle des Jaars 1703 is.



WISKUNDE. Hf. Deel. VI. Boek. 533
van de Diferentiaal-Kekemug, en die van Are. 16} der Analyfe des infiniment petitst met behulp van een vtrward en omflagtig mengelmoes van rekening vermomd. Rolle antwoordde door een langdraadig gefchrift, in het Journal des Spavans van 1703 ingelascht, een gefchrift vol hoonende uitdrukkingen. De Heer Sawin verzuimde daaröp te antwoorden, doch bemerkende dat zyn tegenftreever dat ftilzwygen aan eene volkomene nederlaag toefchreef, vondt hy in den Jaare 1705 raadzaam dat uitermaaten groot vertrouwen te verminderen , door zyne hoonende uitdrukkingen af te weeren, en hem met nadruk tot den grond van 't vraagfiuk te wyzen. Rolle antwoordde op nieuw met een lamenweeffel vau fcheldwoorden, van gewaagde Hellingen, welke door de Hukken ten vollen gelogenftrafc werden, en fchreef fteeds zich zeiven de overwinninge toe op een toon en met een vertrouwen , welke verontwaardiging verwekken. De Heer Saurin ging hem van zyn kant te keer met een gefchrift , dat veeleer een fattum, dan een Wiskunftig onderzoek was. Eindelyk beriep hy zich op de uitfpraak van de Academie. De Heer Bignon wilde zelf kennis van de zaak neemen , en benoemde zich tot By» zitters CAs/èsfores) de Heeren Galois en de la Hire, twee Rechters welke de zaak van den Heer Saurin niet zeer toegedaan waren. Nogthans dorsten zy geen uitfpraak doen, of, om beter te zeggen, zonder zich over den grond te verklaaren, konden zy zich niet onthouden om den Heer Rolle in 't ongelyk te ftellen. Door de wyze van vonnis, dat zy op het einde des Jaars 1705 velden , werdt hem aanbevolen zich beter naar de keuren der Academie te fchikken, door de dingen met meer omzichtigheids te zeggen , en de Heer Saurin werdt naar zyn goed hart verzonden, dat is te zeggen , aangevuurd om hem zyne flegte gedragingen te vergeeven (y). Zodanig was het einde van dien twist, in welken,
om
rj) Nouv. de la Republ. des Leute;. Janv. 170&



III Deel Jnstórve' der Wühin,dv. T PI I.