Boekbinderij Drukkerij
RUSTENBURG Tel.7217 78 Amsterdam
'Bibliotheek Universiteit van Amsterdam
01 2768 0163



MENGELWERK
van
UITGELEEZENE en ANDERE
WIS- en NATUURKUNDIGE
verhandelingen;
DOOR HET GENOOTSCHAP der MATHEMATISCHE
WEETEN S CHAPPEN,
ONDER DE SPREUK;
EEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TE BOVEN.
EERSTE DEEL.
Te A M S T E R DA M9
Gedrukt voor Rekening van't Genootschap, en zyn te bekomen by P. G. Geysbeek , in de Waterfteeg by 't Rokkin.
UDC O X C ¥ I.






BLADWYZER
der
VERHA ND ELINGEN,
Welke in dit eerste Deel voorkomen.
Algemeene Manier oib Tovervierkah.
ten te maaien , door den Heer Saüveur, getrokken uit de Memorien van de Koninglyke Academie der Weetenfchappen te Parys, en uit het Fransch vertaald door A. B. Strabbe.
Eladz. 1,02,230,087.
De Beginfelen der Werktuigkunde (Mecha« . nica Rationalis), of befchouwing der Wetten, welke bewoogen Lichaamen in hunne beweegingen vol» gen. Door A. Vryer. • Bbdz. 9>43.
Aanmerking over Schut/luifen of fVaterkëeringen.' Door j. Bolt en. . Bladz. 13,33.
Verhandeling over de Leerwyze om de Wortels der Vergeldingen te veranderen. Door j. de Gelder. . . . Bladz. 4$.
* a Ver-



li BLADWYZER;
Verhandeling over de Kans - Rekening , voorgeleezen in eene ordinair* Vergadering van het Gtzelfchap te Hoorn, onder de Spreuk: De Wiskunst 'ons doel} den 3 September 1788. Door C. Breevilt.
Bladz, 81.
Lesjen over de Werktuigkunde; voorgeleezen aan-het Phyfisch Gemoifehap te Wormerveer, door A. Vryer. . • Bladz. 1&6,043.



MENGELWERK
v A S
ïhtgeleezene en andere
WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz.
Al'jemeene Manier om Tovervierkan ten te maaken, door den Heer Sadvkür* trokken uit de Memo uien van de Konin'ivke Acndemie der Weeten fchappen te Parys, fnul het Fransch vertaald door A. B. SxrabbÉ.
N3 dat veele lieden van eene bekende verdienste m b£l°P hll^Maken der Tovervierkanten coegeP^lïn bCD' Si* °P het driDgend verzoek van Perfoonen, welken ik eerbied toedrage, eenige bv. zondere overweegiogen over die ftoffe gemaakt, wel ke ik thans het Publiek mededeele. Defelve beva«en zodanige eenvoudige en algemeene grondbeginfelen, dat men, myns bedunkens, geen andere noodig heefc om deeze ftoffe die met meer dan een vermaaS tydverdryf ls, geheel uit te putten. Om de uicgeftrektheid der grondbeginfelen , welke ik daar toe heb vastgefteld,, te wonen, heb ik'er nog bygevoegd de faamengeftelde Vierkanten , de Omtrekken , de Kruisien , de Raamen en de Tover-Teerlingen.
I. Algemeene bepaalingen.
t. Wy noemen hier Tovervierkant een Vierkant, dat m vierkante perken verdeeld is, om in ieder een getal' te plaaifen.
A In



, MENGELWERK van
In een Toverwterkant moet men acht geeven op de Rvën, de Perken en de Vierendeelen.
2 Dt■ horaontaale Ryën beftaan (zie het eerfte Tovervierkant van Art. 4.) in de Perken t, 2, 3, 7 c of 6, 7, 8, 9, lö, enz. De verticaals Ryen beftaan in de Perken 1, <5, n, 16, 21, of 2,7» »*>
l''bV'eerfte'Diagonaal is 1, 7, 13» i°> 25 » en de tweede Diagonaal 5, 9, 13, 17, ai.
De jR^ën > evênwjidfg met den eerjten Diagonaal, zyn 2, 8, 14, ac, 21; 3» 9, I5> «*» 225 4, io> «• 17 2^; en 5, 6j 12, 18} 24» _.
De Ryën, evtnwydig met den tweeden Diagonaal % zyn 4, 8, 12,16, 25; 3. 7. 1 h *j. 24; .enz.
De over'êenkomftige Ryën zyn de Ryen, die evenver van de uiterlten ftaan als 1, 5 en 21, 25, ala mele 2, 22 en 4, '24.
De niet-overëenkomftige Ryën zyn twee Kyen, cue niet evenver van de uiterlten ftaan, als 1, 21 en
*' In'de onëvéne Vierkanten zyn twee midden-Ryën, naanelyk, de horizontaale Uï 15» en de verticaale 3> 23 , en het midJenperk 13 is aan de beide midden Ryën, en aan de b-ide Diagonaalen gemeen.
In elke Ry zyn overëenkvnftige Perken , en niet' overëenkomjlige Perken. en in de Ryën der ongvene Vierkanten is één middenperk.
Elk Tovervierkant is in 4 Vierendeelen verdeeld} naamelyk in de cvene door 2 lynen , welke door het middelpunt gaan , en in de onëvene door de twee midden-Rye". * , _ ,
3. De Wortel eens Vierkants is het getal Perken van eike Ry , en men is gewoon de Tovervierkanten door hunne Wortelen te benoemen ; dus is het Vierkant van 9 een Tovervierkant , dat 9 Perken in eene Ry , en 81 in zyne oppervlakte heeft; indien men derhalve den Wortel van een Vierkant
r noemt



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 3
f noemt, zal rr het getal Perken van dat Vierkant uitdrukken.
Een Wortel is even, als 4, 6, 8, 10, ia, enz. of oniven, als 3, 5, 7, 9, 11, 13, enz.
Een even Wortel is evenlyk even , als 4, 8, ib, 16, 20, 24 , enz. wanneer deszelfs helft even is, en dezelve is onSvenlyk even, als 6, 10, 14, 18, 22, 26, enz. wanneer deszelfs helft oneven is.
E< n oneven Wortel is evenlyk inëven , als 5, 9, *3i "7* 11, 25, enz. wanneer, na 1 afgetrokken te hebben, de helft van het overblyvende even is, en dezelve is onlvcnlyk oneven, wanneer deeze helft pnëven is, als 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, enz.
4. Een naïuurlyk Vierkant is een zodanig, 't welk getallen bevat, die in elke Ry in eene gefchikte orde opklimmen.
1 ? 3, ,4 S
Ó|_L|_L JL|_t|.i.
5| _6 7 81 9 I iq
tol 'n| ia 13 14 15
J5 18 J9 ao
soi 2t I 22 23 I 2* I 25
1 3 4 7 8
1 I 3 4 7 I 8 I
81 9 i ü 21 _Ii 17 18 20 2i 24 25
29 30 3a 33 3<5 37 38I 39! 41 I 42} 45I 4ö!
Deeze getallen ftaan doorgaans in eene eenvoudige Arithmetifche Progresjie, of wel in eene afgebrokene Proportie.
A 2 J. Dee-



4 MENGELWERK r/Aw
m Ï3cczg ■ ■ ii *^ ^ ^ - .f.
geraUen zullen °| J^l J^/^ljW I J^J I als uit twee 8. 8. i ( 8.3 8.4 8.7 8,8
getallen faa- 1 -— -\
mengerteld l7\l7J±\llll lll±\lJll\Il±\ zynde be- 29 U>. r ï0; 3 2p.4 [ a9.7 29.8 fchouwJ wor- „0 —-— —■—I denjnaauv.lyk
uit kleioe getallen , die ik tweede getallen noem9 welke in iedere verticaale Ry de zelfde zyn, en uic groote getallen, die ik eerfte getallen noem, welke in iedere horizontaale Ry de zelfde zyn, zo dat het genoeg is , de getallen van een natnurlyk Vierkant eenmaal met de eerfte en tweede getallen aan te duiden»
6. Om de faamenftelling dfer Tovervierkanten algemeener te maaken, zullen wy de tweede getallen aanduiden met de letteren p, q, r, s, t, u, enz. die wy tweede letteren zullen noemen , en de eerfte getaliën A, IV, G, D, E, enz. die wy eerfte letteren zullen Loemen.
& * r * t ^ -t o r 2 AjAp|AglArjAx'A/li aJrT\"f -a4^*HAl
B [ Bp' Ba ! Br I Bx [ B»! | ~^ |"!A _IA! ""IA ^
| j L_l -IA|a -1 o | I 2
C Cp'Cff'Crlc/Jctf 0 0 ~i~ö~ ~o"
JjLlL-J Lf c\— ZL _°JJ_
diDp]Dg[DrJDjJDtj IA ,A| i*| ia/ ia
EfKp'ËfJl'rjKr'E/l „ \ 2AI 2A *a 2AI 't ' 1 ' i ƒ 2*j-» I-' I 0 | t | a J
7.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 5
7. Wy zullen de tweede getallen ook door het middenfte n, met de verfchillen, welke negatief en pfitüf zullen zyn , uitdrukken ; en om de waarde van n in de onëvene Vorkanten tebepaalen, neemt men de lom der tweede getallen r, 2, 3, 4, 5, zynde 15, en deelt die door r zz 5, dan heeft men 3 r »y en deeze getallen zullen zyn « — 2, jj—i, n-±o, m-hi, m + 2, welke wy llegts door de bloote verfchillen — a, —1, o, 1, 2, zullen uitdrukken; want de hoeveemeid der middenfte is onverfehillig als dezelve het grootlte negatief verfehil op het minst
1 te boven gaat.
Indien bet Vierkant even is, als dat van 6, moet men, m plaats der tweede getallen r, 2, 3, 4, 5,6. hun dubbeld 2, 4, 6, % 10, 12 neemen. Alsdan il nz~7 s en de verfchillen zyn de onëvene getallen "*5) "*3t - i) i> 3» J- De hoeveelheid van n moet oneven, en grooter dan het grootfte negatief ge,, "~5 zyn, op dat de daar uit voorkomende getallen , die ik valfihe getallen zal noemen, door
2 kan deelen, en dus de getallen van het Vierkant tot de eenvoudiglien zal kunnen brengen, die ik als de waare getallen zal aanziet).
8. De eerfte getallen zullen uitgedrukt worden door de middenfte m, met dergelyke verfchillen. yermeenigvuldigd met a. Dus zullen in het Vier! kant van 5 de verfchillen zyn—2a —ia o ia 2a , en in het Vierkant van 6 zullen dezelve zvn ~5a, —ja, -ia, ia, 3A, 5a. 3
De hoeveelheid van a moet ten minsten gelyk zyn aan het grootfte der tweede getallen, en inde evene Vierkanten moet dezelve ten minsten de helft daar van zyn. Zy kan pok kleinder zyn, als fleets geen der wederkeerige verfchillen van de eerfte fe. getaÜef ^ MD ^ verfcbilien vaQ de tweede
De hoeveelheid van het middenfte m moet pofitief, A 3 en



6 MENGELWERK van
en tefi minsten gelyk zyn aan het grootfte negitief getal.
By de eerfte verfchillen der eerfte getallen kan men tweede verfchillen voegen, met deeze voorwaar* den, io. Dat dezelve gelyK of ongelyk kunnen zyn* o». Dat hun fom gelyk aan nul moet zyn. ge. Dat men dezelve in orde by de eerfte verlchillen moet optellen, naamelyk de grpotfte tweede verfchillen by de grootfte eerfte verfchillen, de kleinfte by de kleinfte; dus kunnen by het Vierkant van 6 de eerfte en tweede verfchillen zyn — 5A — 4, —3A— 1,
— IA —I, O—I, lA-t-O, 3A + 3i\5a.+ 4.
9. Een Tovervierkant is eene zodanige lchikking
der getallen van '
een natuurlyk Vier- ±1 * 9 20 23
kant, dat de fom 8 ,6
der getallen, welke * 0 .
in elke horizontaale 19 25 13 1 7
Ry, en in elke —»
Vertlcaale Ry, en 10 18 21 12 4
in eiken Diagonaal r*—
ftaan , altoos de 3 6 I7 g4 *S
zelfde zy , als in ' '
hetnevet ftaande Vierkant, waar in diefomfteedsösis, TO. De getallen van het Tovervierkant worden
faamengefleld uit de fom-
men der eerfte en tweede *• _45_ j _4*_ getallen van Art. 5. Nog- f fe ,
thars kan er eeue reeks Jj_ _^
van getallen zyn, die in „«5 l8 aI 26> .
de getallen van dit Arti-
kei niet begreepen kun- 39 \ 8. | 6 48
nen worden, en evenwel
een Tovervierkant uitmaaken: doch dezelve kunnen daar roe gebragt worden, als men by of van één der getal'en, welke in iedere Ry zyn, een zelfde getal optelt of aftrekt, als hier nevens, wanneer men by de getallen , naast welken een punt of ftip ftaat, 1 optelt. Zie Art. 83.
11. Een



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 7
11. Een Geometrisch mtuurlyk Vierkant is eene. reeks van getallen in eene eenvoudige Geometrifche Progyesfie, of in eene afgebrokene Geometrifcheproportie , welke in eiken rang in orde toeneemt. _
De getallen van een zodanig Vier- 1 I t a . 1
kant moeten als de producten der | — | 1
eerfte getallen i, 8, 64 met de twee j 8 J t6_
de getallen 1, 2, 4» of in 't algemeen 6 g 2<-6l
als de producten der eerfte letteren J—Z_! i__L
A, B, C met de tweede letteren p, q. r, befchouwd worden; echter ten opzichte der gemeene Vierkanten, welke Arithmetifche Vierkanten zyn, met dit onderfcheid, dat men daar in de fom der eerfte en tweede letteren moet neemen.
Een Geometrisch Tovervierkant is een Vierkant, dat met zodanige getallen is aangevuld, dat het produEt der getallen , welke in elke horizontaale en verticaale Ry , en in eiken Diagonaal zyn , altoos het zelfde is , als in de onderftaande Vierkanten, waar in het product 4096 zz B3 q* is.
p q r 124
v Mlf_ j'jfol A 1 j W^\^£j01
fèijfel [ï B 8|C_^|B«_|a£|
Li Jililli 0641 ^ll^JiL I
Dit Geometrisch Tovervierkant kan even als het gemeen Vierkant gemaakt worden , met dit onderfcheid, io- Dat men, in oi'aats van de getallen in eene Ari<hmetifche, Pro°resJie of Proportie te neemen, daar voor eene Geometrifche Progresfie of Proportie moet kiezen. 20. Dat men , in plaats van op te tellen of af te trekken, vermeenigvu'ciigen of deelen moet; derhalve zullen wy van de Geometrifche Toveryierkanten niet meer fpreekeq.
Wy



ï MENGELWERK ekz.
Wy zullen in 't vervolg de faamengeftelde Vier. kanten, de Omtrekken, deKruisfen, deRaamenen de Tover-leerlingen verklaaren.
11. SaamenftelHng der onevene Tovervierkanteit, met algemeene lette* en,
12* ta0em akeme'fie letteren de eerfte letteren A, B, C- D, E. enz. en de twe dep, q, r, s. ty enz. in onderlcneiding van de overëenkotnsiige letteren, waarvan wy in de IV. Afdeeling zullen fpreeken.
De onëvene Vierkanten worden met de algemeene letteren faamengefteld: i. door Diagonaalen, a. d >or aanwyzers, 3. door de gemengde Leer wy^e, 4. door de ongefchikte Leerwyze.
Deeze faamenftellingen zullen Tovervk-rkanten voortbrengen, vermits alle de letteren in elke horizontaale en verticaale Ry, als mede in eiken Diagonaal zyn; en zo lommige in de Diagonaalen by herhaalirg gevonden worden, moetende herhaalde gelyk zyn aan die, waar van zy de plaats vervullen.
13. Om een onëven ïovervieikant door Diagonaalen faamen te iMlen, *V ' "U- "7—ÏT~~^—" ftelt men 10. in de eerfte A? **g Cr 1 Dj i horizontaale Ry, volgens Eq 1 Ar Bs \Ct Dfl '
orde, de eerfte en tweede ?r~" ~rT~ 1— ~—
letteren, 20. Stelt men £l 51 \SL A ih dei perken van den Cr Dt \-Ep\Aq I Br eerften Diagon al, en de 177" ITTT n _ p " 7— overige eerite letteren in 1 ^ 1 ? 1 tr ae perken der Ryën, die met den eerften Diagonaal cvenwydig zyn. 30. Scelt men de laatfte tweede let. ter t in den tweeden Diagonaal, en de overige tweede letteren in de perken der Ryën , die met den tweeden Diagonaal evenwydig zyn, en men zal alsdan een Vierkant bekomen, dar. een Tovervierkant zal zyn , als flegts de in de Diagonaakn herhaalde letteren Tr.iddenëvenredig msfehen de anderen van banne foort zyn.
Het vervolg in een volgend Stukje»



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 9
De Beeinfelen der Werktuigkunde (Mechanica Rationalis), of bejchouwing der Wetten, welke be~ mogen Lichaamen in hunne beweegingen volgen. Door A. Vryer,
De eer hebbende Lid te zyn, van een Gezelfchap van Liefhebbers van Weetenfchappen, 'twelk gemeenlyk eenmaal 's weeks byëenkomt, om zich in de Natuurkunde te oeffenen, en, betreffende verfcheidene takken van dezelve , Proefneemingen te doen, heb ik, om den arbeid van 't gemelde Genootfchap voor my en anderen van te meerder nuttig heid te doen zyn, van 't begin af, ofzedert iSMaart 1783» wanneer dit Genootfchap de eerftetnaal byëenkwam aantekening gehouden van deszelfs voornaamtte verrigtingen, en byzonder van meest alle de aedaane Proefneemingen. Eenigen tyd geleden heeft men goedgevonden nu en dan ook proeven te doen, rakende de Werktuigkunde, of over de werkingen en kragten van Lichaamen , die, op de eene of andere wyze, in beweging gebragt zyn, en met geen minder naauwkeurigheid en genoegén heb ik deeze proeven, met den uitflag daar van, mede in myne aantekeningen van tyd «ot tyd ingevlogten. Ik heb gemeend dat eene Verhandeling over dit onderwerp gevoeglyk geplaatst zou kunnen worden in het Mengelwerk van de Kunst - oefeningen, uitgegeeven wordende door het Mathematisch Genootfchap, onder de fpreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven. Des ben ik te rade geworden myne aantekeningen hier over in diervoegen te verfchikken en aantevullen, als my toe* fcheen vereischt te worden, om dezelve, narnelyk met voorkennisfe van myne veel geachte Medeleden van 't bovengemelde Phyfiseh Collegie, en bewilliging van de Heeren Beftierders van het ülathematifch Genootfchap, in't ftraks gemelde Mengelwerk plaats te doen geven.
B Hier



lo MENGELWERK van
Hier volgt een klein gedeelte daar van, zo men goed mpgt vinden dit te plaatfen, dan ben ik voorueemens deeze itoffe te vervolgen. Vindt men 'er ondertusfchen niet veel nieuws in, veelligt zal evenwel over het een of ander ftuk nog eenig nieuw licht verfpreid worden , en ongetwyffeld zal deeze Verhandeling, voor eenige Leeden van ons Mathematisch Genootfchap, en ook voor andere Leezers, van eenige nuttigheid kunnen zyn. Ik zal ter zaake komeu,
Van de verfnellende heweeging der vry vallende Lichaamen.
' %. i. Een Lichaam , vryelyk vallende, heeft geduurende den val eene verfnellende beweeging» zo« danig , dat, wanneer de afgeloopene ruimte in de eerfte feconde gelyk i is, dan zal dezelve in de tweede feconde 3, en in de derde 5 zyn, enz.; dat is, een vallend lichaam loopt in één feconde één fpaatfie door, in twee feconden 4, en in 3 feconden 9 zulke fpaatfien, enz. Overzulks zyn de doorgeloopene ruimten tot malkanderen als de vierkant ten der tyden.
OPHELDERING:
§, 2. Het lichaam, aan zig zeiven overgelaten en door geen ander lichaam verhinderd zynde, word, door zyne zwaattekragt , naar beneden gedreeven 9 verkrygende dus eene fnelheid , maar welke gedunrende den geheelen val geftadig toeneemt, ftellen wy dat het lichaam , na ééne feconde gevallen te hebben , eene fnelheid verkregen heeft, welke wy één graad van fnelheid zullen noemen , en dat nu de zwaartekragt ophield te werken , dan zou het lichaam voortgaan zich met één graad fnelheids te bewegen tot aan het einde van zyn val toe; maar 't Js zo niet de zaak niet gelegen , de zwaartekragt plyft werken zo lacg de val duurt , en geeft in de
twee*



WISKUNDIGE VERHANDELINGENEfcz, lt
tweede feconde aan het lichaam, boven de reeds vertregene fnelheid, wederom een graad van ftel-
S3L u d3.C £" °a 2 feConden z''ch met 2 g!a den hctïrï nf1oreWeg,en' on\d<*elve reden heeft he? S , o D 3 fec,onden gevallen te hebben eene fnel-
ïn 1« ? 3. Sriade.n* °f zy°e fnelneid is nu driemaal zo groot als dezelve was na de eerfte feconde van den val, en zo vervolgens.
S. S. Hieruit volgt, „ dat de fnelheden van een j, vallend Lichaam, na korter of langer vryelvk se4, vallen te hebben > tot malkanderen zyn , als de „ tyden der duuring van den val." Eene waarheid , welke door proefneemingen, en dus door de ondervinding ook bevestigd wordt.
§. 4. Was de fnelheid van het lichaam, gedn'arende de geheele eerfte feconde zynes vals, gelyk als op t einde van die feconde, en geduurende de tweede leconde gelyk als op 't einde van de tweede feconde, dan was het zeker , dat het lichaam in de tweede feconde een ruimte of weg zoude doorloooen tweemaal zo lang als die welke het in de eerfte feconde van zynen val doorliep, maar dit is geenszins het geval, t lichaam, welks fnelheid in elk tvdftio des vals gelykelyk toeneemt, heeft, na één feconde gevallen te hebben, ééne graad vaQ fnelheid, maar beginnende te vallen , kan men het aanmerken als nog geene fnelheid hebbende ; en daar het 2 feconden gevallen hebbende, 2 graaden fnelheids verkregen heeft i heeft het in 't begin der tweede feconde maar een fnelheid van ééne graad (§. 2.).
§• 5-. DelynAB verbeeldt de ruimte, welke A
een vallend lichaam in ééne feconde, 't zy in >n
de eerfte 't zy in een der volgende van deszelfs >b val, doorloopt, men verbeelde zich degemel- -e de lyn in een menigte kleine deeltjes Aa, ab. hc, enz. verdeeld te zyn, zo dat ieder deeltje de ipaatfie afbeeldt, door 't lichaam in elk mal- -d kander volgend klein gelyk tyddeeltje door- >e
gegaan; wyl nu de Inelheid van 't lichaam, vaa B
B 2 'S te



,s MENGELWERK vi»
>r begin des val» tot wbaé«k«»iiat^*'^
ftaan in eene ^"'^f'fc^STé famen genomen
JS.%' lichaam doorgegaanS loopen was; wy mogen dos hier uit K""'™ >f de liehaam, van een hoogte ^d™e,ve „ezen
i^elfe' ^eS^K«SmMden v»„ de feconde.
«■ <d ÏÏ^WeTnefie^van0 h'etffiat! n'a
$. ». op 't midden de' ««**> J^J,,. feeonde ,| held ii graaden, °e,ïS„ierde feconde daalt, het graaden, onoP„V™;5d van"i eraaden, enz. Hier-
^ begintfi'vfde van va, reeJj* Lnderen. asdegmhen^, -J^-. ft
ï» 3» 5> 7 ,en 20 v0°":, rJL in de Werktuigkunde van vleie my deze waarheid, die inde £*r | rf-
niet weinig gebruik "» dus «u™ |heiderd en
geleid, en °ï^^ffleS ondertussen»er over



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 13
kunde, pag. 90, 100. Desa guliers, Natuurk. Uit ondervinding opgemaakt, I. D. p. 346 enz. Als mede Esdró, Inleiding tot de Natuurl. frysbegeerte, II. D. p, 102 enz. Met ons Phyfisch Gezelfchap hebben we dit ftuk met twee onderfcheidene Proefneemingen nader bevestigd, welke beide proefneemingen ik waardig oordeele om hier bygevoegd te worden.
Het vervolg hier na.
Aanmerking over Schutsluizen of Waterkeeringen. Door J. Bolten.
"Dy het doorbladeren van het derde Stukje des JLJ Eerften Deels onzer Kunst ■ oefeningen , lieten wy onze gedagten" een weinig bepaald blyvcn by het 1 ïofte daar in geplaatfte Voordel, 't welk aldus luidt : ,', De wydte AC van een Canaal of grage
waarin een Schutiluis zal gemaakt worden, gegee", ven zynde, vraagt men naar den hoek ABC,
welken de twee Huisdeuren AB, BC te faamen ',' moeten maaken. op dat hunne tegenftand aan de
perfing van het water de mogelyk grootfte zy." flet gemelde Voorftel oordeelden wy een van de nuttigfte onderwerpen te behelzen , dat ooit een onderwerp van onderzoek was geweest; hetzelve eischt het Maximum, of het grootfte vermogen, dat de deuren onzer waterpoorten kunnen oeftenen toe ftuiting van den allergeduchtften vyand, wanneer deszelfs krachten op onze Kusten aanvallen ; een vyand die niec als door de lluiting deezer deuren is tegen te houden, en wanneer deszelfs kracht grooter is, dan de fterkte deezer geflootenedeuren, alsdan geweldiglyk op een oogenblik ons Land zoude Hellen tet «enen Zoutenpoel, en alle onze geB 3 wensch-



i4 MENGELWERK van
wenschte dingen zoude vernielen, en ons doen ontkomen , zonder Redding te vinden : de Getuigen daar van behoeft men niet verre te zoeken. De voorige dagen van onzen Leeftyd flegcs nagaande, zal men overvloedige bewyzen kunnen vinden : en veele zullen mogelvk ooggetuigen van die rampfpoedige Gebeurtenis zyn geweest, daar andere zulks üit Nieuwspapieren, of uit de naarjwke-urige befchryving der overftroomingen , benevens derzelver gevolgen, zulks zal zyn bekend geworden. De Macht tusfchen den 14 en 15 November des Jaars 1775 heeft een allerakeligst tooneel vertoond , en doen zien, hoe noodig het is, dat men, om zo eens te fpreeken, in tyd van vreede, om een tyd van oorlog moet denken , daar een geweldige Watervloed op de Dy ken is aangekomen, daar de Provinciën van Holland , Utrecht, Gelderland , Overysfel, Vriesland, enz. en alle die aan de Zuider-Zee belend zyn, de droevige ondervindinge van hebben gehad; en na dat de hand des Almagtigen, die toen als nog maar van verre toonde , hoe tiy de wateren konde gebruiken, om een Land en Volk te verdelgen, de wateren hadt doen te rugge keeren; toen heeft men bevonden, hoe noodig het is , om ten allen tyden zorge te dragen, dat Dyken en Dammen niet alleen in eenen goeden ftaat van Refiltentie waren, maar öok welk geweld op de fleutelen der poorten onzer Steeden, ik bedoele de Schutfluifen of Waterkeeringen , fbmwylen konde gefchieden, — en hoedanig men fbmwylen door verzuim of onachtzaamheid derzelven (daar fomwylen kwaade directie door Siuiswagters by kan komen) de oorzaak van de treurigüe Lotgevallen van een geheel Land met deszelfs Inwooners kan zyn. Het toen gebeurd: op fomraige plaatfen gaf ons de volgende opmerking.
Wanneer men de gelegenheid der Zuider Zee nagaat, met het aangelegen Ye; zal men gewaar worden, dat dezelve aan haare boorden tusfchen een goed gedeelte \Dyken bepaald is, -— dat in dezelve Dyken een groot aantal Waterkeerineen zyn > dewelke het water , wanneer het op een
be-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. i,
deePsSdenPenfghk0men ''S',dan verhindert, verder in deMeeden, of binnen ae landen in te dringen eelyk ook een groot getal Schntfluizen e? gSke flut
Sr' i°u é^f'ykH einde>aldaa' W te vindeufS: neer nu één van deeze allen maar in een fWtcn ftaar
dê"by SJtoïS T P te^«.e'Xnt
en kaf hïr *ant beêeeft delelve zich,
ïïdelï° Si! ze?tthrJldT lndringen > w« zullen de
SST dï
in Sla d'in ^T' maar al,e de Sluizen
Welhwaar F°ï lfi.ca0eneen Magazynen zorge draagt. ^tïlyl^&^g0™* ftaan onder eene cfenaarmaafe dela K'n SnSeVhé
Oiec gewoon i«»eel vloS„',?llW1S,ieC,,°e11
overftroomingen heeft geS *rfar ,etTD di£? moesten wy hebben df dtt akelig geZ)Cht
noodige middelen?S JieSen iraampn'CdM ^ CD de len Dvkbreuken «. P men • °«n de geval-
fitóedigffcïïherftPlI ^tramP.ünj?rde Sluizen, te0 4yueuigiieq teherflclleo; en uit deeze ondervindinge
Qor/j



iö MENGELWERK van
oordeelden wy, dat deeze Vraag in Met gemelde Voorftel geheel noodig en nuttig is. . Umt
üe Oplosfing van dit Voorftel vindt men in het Zevende Stukje van dat zelve Eerfte Deel , en aldaar wordt de wydte des Kanaals, daar de deuren te faamen de watetkeerende kracht tusfchen moeten doen, gefield gelyk o, en de hoek , die de twee Schut, deuren te faamen maaken, is ZlABC gelyk 109° aa bepaald, wy hebben hier over onze gedachten meene ruwe fchets ontworpen, en konden met nalaaten dezelve, doormiddel van dit Mengelwerk, aan_deUethebbers medetedeelen op dat die geenen , die immer met de directie over de bouwing van Sehntlluizen ot Waterkeeringen, hoe ook genaamd, gelast worden, hunne gedachten zodanig mogten leiden , dat nun werk geduurzaam, en ten nutte van den Lande worde bevonden , wyl van de kunde van zodanig een Bouwmeester fomwylen de goede uitflag van dit werK afhangt, ja geheel van hem afhangt; want men bevindt, dat weinig kunde van zodanige bouwinge van diegeenen, onder wiens beheering dezelve ltaan, te wachten, en ook niet te vergen is; alzo net on. mogelyk is, dat alle die Leeden BouwKunftigen, veel minder Waterbouwkundigen kunnen zyn.
Wanneer wy ons by deezen eens bepaalden , tot een Schutfluis welke tusfchen deszelfs boorden of wanden eene breedte van a of 30 voeten nadde, of meer of minder, naar de gelegenheid van plaats, en het noodig gebruik (zo als wy dezelve dan, tot een voorbeeld , deeze wydte maar eens veronderftellen) zal men echter in alle gevallen, alvoorens dien aanleg der bouwing begonnen wordt , op alle omftandigheden der plaats en gronden , enz. moeten letten. „ , • Men zal ernftelyk wel obferveeren moeten , hoe hoog het water , dat afgekeerd moet worden , met de hoogfte Vloeden aldaar ooit is opgeloopen, ten minften hoe hoog de peil der Dyken is , om er de hoogte van de waterkeering na te reguleeren.



wiskundigeverhandelingenemz. 4
Ten 2den hoe hoog het water by de laaefte Ebbe aan de binnenzyde der deuren blyft, of hoe Iaaï het water door. de Kbbe aldaar ordinair w0rdt aï gevoerd; want m fommige Waterkeeringen worden ook met alleen deuren voor den Vloed naTr nnt voor de Ebbe vereischt, wil m°ö niet hébS, Stt al het water door een laag Ty geheel van binnen onbekwaam tot gebrmk van Vaartuigen worde
Het eerstgemelde is geheel noodig om te kunnen weeten de zwaarte der watercolom f we ke ten de■ Vloeddeuren en de wanden der Sluizen kan pffi om welke Colom wel te berekenen / men ook zou kunnen in acht neemen de zwaarte van een Cubï voet water, het zy zout of zoet, Zee. óf S'. water, dat eenig verfchil in zwaarte heeft.
fla?d?uSs i^r°Hkig,eheeI n°0diS' °P ^t men de mgdrumpels, daar de deuren tegen aanflaan. nie'te |oog legge , ten einde men by laag water met"de Scheepen, die door zulk een Sluis moeten pLSen^ over deezen flagdrumpel kan heen vaaren. * Wel is waar, dat men in fommige Waterkeerinean op dit laatfte geval niet behoeft re letten wanneer het alleen Duikers zyn , /welkers V loXurïdooï den Vloed van zelf worden toegedaan, en door de Ebbe geopend ?- maar wanneer de flagdrumpel van deeze met diep genoeg wordt gelegd,VSe d? hoogte van 't binnenwater geen persflng genoeg gee! ven, om deeze deuren, na het afloopen van den Vloed, van zelfs te openen; en dus verhinderen dat het binnenwater zich niet behoorlyk onXewaar
iTvordol.DUlkerSalSdan 3311 het -g'^rk SêtToï: Wy (tellen eens, dat het ordinaire binnen- en huf ten-water op eene hoogte ftaande, de peil"wrekend Js op o dat het water met een ordinafre Ebbe ZÏ mag en kan afloopen de hoogre va v er Voet??8 wanneer dan, om de voorgemelde fcheeps naS"
d?ng£rdVe°n.ten ^
fltn worden ; — voorts dat met den hooefrer VineH het water aldaar 7 Voeten boven dien oXTren pel ^ van



18 MENGELWERK van
Van o kan opgevoerd worden, dan zo zal het Water ,i _i_ 4 -5. 7 Voeten of Voeten boven den bovenkant des Slagdrempels ftaan; hier by moet men acht geeven, dat ceeze Slagdmmpels \\ Voet boven het ftortbed (voor de deuren der Sluis te leggen ; zal moeten zyn, welke gedeeltelyk dient, in zyn hoogte van % Voet voor den aanilag der deuren tegen den Slagdrempel, en de ande.-e | Voet voor her geen deeze deuren met den onderkant deszelven van het ftortbed moeten vry draaijen , om, in gevalle dat er iets van fteen of zand, of andere vuiligheden op dit ftortbed kwarn te vallen, of te blyven leggen, de deuren daar over zouden kunnen pasfeeren , en de open en toegangen deezer deuren daar met door verhinderd konden worden, op dat men, by onverhoopte hooge Vloeden , alsdan, in het gebruik deezer Sluizen , niet in de onaangenaamfte gevallen werdc éefteldi en dit is de reden., dat men, onder eene goede direótie over Sluizen, altoos op bepaalde tyden daar de behoorlyke vifitatie toe doet.
Volgens dit voorengemelde zal men dan moeten rekenen, dat de Watercolom de hoogte van m ■+■ ï\ = ao Voeten kan hebben, en dit is de Watercolom , die op de deuren en wanden van deezen veronderftelden Sluis zoude persfen, tegen welken hier het Maximum der deuren het effect moet
d°Wy hebben dan by het voorgemelde onderfteld, dat het binnen- en buiten-water op o gelyk zal ftaan, en dat, by aanwas van buiten - water de bchutdcuren zouden behooren toegedaan te worden i derhalve, wil men de waare Refiftentie, die de deuren moeten doen, op 3t naauwkeurigfte berekenen, men zal dan de Watercolom, die dus binnen deeze Sluis zoude ftaan , van de buitentte quantiteit moeten aftrekken, en dan zal de rest de waare zwaarte dei persfing van het buiten-water opgeeven : wy zuilen waagen hier deeze perflng, op de voorgemelde maaien op zodanige deuren eens te berekenen. Stellende



Wiskundige verhAndelingenenz, i$
een Cubic-Voet water op 64 ponden, bet hoogfte water zoude dan kunnen ftaan op 20 voeten de halve hoogte is 10
— verin* 200
Dit dus met de breedte der Sluis, zynde 30, Vermeenigvuldigd , zo komt voor den Inhoud der buiten, ite Watercolom 6000 Cubic - voeten , welke met 64 vermeenigvuldigd, zo komt voor deszelfs zwaarte 354000 ponden.
De hoogte der Binnencolom is dan i£ Voet Slag.
I "Toet Cn D°g 7i V°et "**4' Zyn^e
Dus is de hoogte van 't binnenwater 13 Voeten, traande aan den peil op o; dit nu vermenigvulüigd met <ji de halve hoogte, komt 84!
Dit met de breedte der Sluis, zynde 30 , vermeenigvuldigd , komt voor den inhoud des binnenColoms 2535 Cubic- Voeten, welke weder met 64 vermeenigvuldigd, komt voor de zwaarte des binnenColoms 168240 deeza van de 384000 afgetogen« Komt as5760 fg, voor het geen deeze deuren komen te refifteeren.
Intusfchen moet men wel acht geeveö, indien het binnenwater laager dan op o gehouden wordt, dar. dan de zwaarte des binnen -Coloms ook merkelvk vermindert, en daar door die van buiten merkel-k vermeerdert, en dit gefchiedt gemeenlyk om zorg te draagen, dat de binnen-boefem bekwaam blyft, om eene quantiteit water te kunnen ontfangen, welke de deuren door de doorlekking zouden doorlaatcn, wvl dezelve altoos eenige Lekking onderheevig zyn; et» hoe naauwkeung men deeze zwaarte van 't buren perfende zoude kunnen berekenen, zo moet men wc! aanmerken, dat de perfing merkelyk grooter zal zyn, naarmaate dat het weeder gunstig of ongunstig, bv de aanvoeriig van den Vloed, is; want met een ltora pi Harde wind zal het water met veel meer geweld C a op



' *o ' MENGELWERK van
cp deeze deuren aanvallen, als met ftil weeder; ën dus zal men best doen de geheele Retiftentie van binren niet in rekening te brengen: maar zelf, die nog meer te verzwaaren , om zekerder in deezen te zyn.
By de voorgemelde Oplosfing is de hoek ABC bepaald op 109° 28'; doch gemeenlyk wordt dezelve op deeze wyze gereguleerd. B Laat AC de wydte der Sluis
• zyn ; dan deelt men AC in twee
gelvke deelen in D , uit D
A C Heft men DE gelyk AD of
D DC, en verlengt dezelve: toe
jn B, zo dat EB gelyk AE of Ec is, en dan is AB = BC, en E de hoek ACB de ftand , die
deeze Schutdeuren verkrygen. Wyl AD = DE is, zo is Z.DAE = 45°, en dewyl EB = AE is, zo zullen de hoeken EABen EBA gehk zyn; dus in A AEB, Z.AED ook 45° zynde, is Z.EAB of ABE ieder gelyk 670 30'; en gevolglyk zal de hoek ABC = 135» bevonden worden. Veele omftandigheden doen deeze Helling der Schotdeuren boven andere verkieslyk zyn: hoewel men fbmwylen dien hoek ook wel iets kleinder maafet : doch wy melden alleen, hoe men dezelve meesttyds aanlegt; dit zy genoeg hoe men veeltyds handelt.
Wy merken echter nog aan, ieis het geen voorramelyk in acht moet genomen worden: de perfing gefchiêdt daD, zo men meent, op de deuren AB, BC; maar dezelve gaat, in haar zelf wel befchouwd, toe de punten A en B over, en dezelve moeten zowel gegrondvest en gebouwd worden , dat dezelve onwrikbaar vast blvven; want wanneer dezelve aldaar kwamen te wyken, zoude door de perfing de wydte der Sluis AB grooter worden, en de geheele kracht worden weggenomen, en ten gevo'ge hebben, dat de geheele Sluis onnut en genoegzaam onherftelbaar gemaakt worde. Nu gaat niet alleen de perfing op de deuren over tot de punten A en B; maar oe wanden
of



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz* at
of muuren , daar de Schutdeuren tusfchen bepaald zyn, hebben op haar zeiven ook eene diergelyke perfing van het water, dat tegen dezelve ftaat; derhalve zullen de punten A en B zodanig dienen' aangelegd te worden, dat zy de perfing van 't water tegen deszelfs wanden, meer die der deuren zullen wederftaan$ waarom men tegen de punten A en B zulke zwaare Muurwerken of Contraforten legt* dac men daar omtrent voor in alle te vreezene gevallen bevryd blyft, van dezelve niet te ligt te hebben genomen; want in dergelyke bouwing al te fpaarzaam te zyn, zoude eene verkeerde zuinigheid zyn^
Veel zoude men kunnen zeggen over het aanleggen der fondeeriag, hetflaanvan baard of fponning plan. ken, het leggen van ilikbalken, fchuifhouten, enz het leggen van ftortbedden: en al wat in hec maaken van Sluizen dient in acht genoomen; doch het hier gemelde is genoeg, om een fchets te geeven van onze gedachte betreklyk tot het genoemde Voorfiel.
C3 Ver-



22
MENGELWERK vak
Vervolg der Algemeene Manier om Tover vier kan ten te maaken , door den Heer S aovenu, getrokken uit ds Memorien van de Koringlyke Academie der Wcetenfchappen te Parys, en uit het Fransck vertaald door A. B.
S,t r A b b e.
Vervolg op Bladz, 8.
14. Om een oneven Tovervierkant door aanwyzers faamen te ftellen, Helt
men 10 in de horizon- 01234
deletteren. 2° Schrvft 2. 31 Cs '.Dt 1 Ep 1 Aq 1 Br . men bovendeéerfteft* Ë7 Ar" B? O L>
nzontaaleRy 0,1,2,3, 1 — ——
enz., welke ik de aan- 1.4I Bf I Cp I % Er Ax I wyzers der eerlte en | ^ | £71 ^ | |
tweede letteren noem , J J J_ ! £_ *_L
die in de eerfte horizontaale Ry ftaan; zo dat 3 de aanwyzer van D en * is. 30 Stelt men vóór het tweede perk der eerfte vtrticaale Ry twee aanwyzers a. 3, welke niet zyn o. 1. r— i ZZZ 4, noch aliquotet of aliquantes van den Wortel 5 des voorgeftelden Vierkants (Zie Art, 15 ). 49 Neemt men de veelvoudigen van a, welke zyn 2, 4,'6, 8, of 2, 4, r, 3, als men den Wortel 5 aftrekt, en men plaatst dezelve in de eerfte Colom. 5? Neemt men de veelvoudigen van 3, welke zyn 3, ö', 9, 12, of 3, t, 4, 3, als men insgelyks 5 aftrekt; dan heeft men de twee le Colom. 6° Schryft men m de eerfte verticaale Ry de eerfte letteren, welkers aanwyzers in de eerlte Cclom liaan, en de tweede letteren, welkers aanwyzers in de tweede Colom ftaan. In plaats
van



MENGELWERK enz. Tegen over pag. 22.
o 1 ft 3 4 5 6 7 8 9 'o 11 12 13 14
°-0 cr T>s~E~T\¥u\Gx \Hy Iz Ka^ Lb I Mc N_d Oe Pf
2. 4 cT |~Du 25* ïy £z |S W §£ |{S ^7MJ fï ^ #7
4- 8 S* t^Fa | Gb Hc TJ^lllf L4ff #3 f fi« Cx I)^
6.21 Gd h7|17 ^ Mr W 21 Él tl Si Ël ^.1 ?c
8. l lq~\~Kr \Ls_ M_J_ ÏVÜ , 07 Py ^ Z)^ |§ |V G/
10. 5 Z7~ ' Mjc l ÏV^ Öz Ta ' 717 D^ i> G^ Hr_ h_ Kt
12. 9 ATa ÖTI Pc f j* ~Öe cj ~Dp Eq Fr Gs_ Ht Ia Kx £y m7
14.13 P7~ ^Af Bp °X W ?ï Gw 1- Ï5 L- ---i^f Öf
1.2 #7 c7 57 Eu Gy Hz 77 Kb Lc_ Md Jfe. 0£ ^
S* 6 ®5 S 5 -1 ïï St S EI c«
5.!o ~Fh Gc tfd 5«_ JTjf Lp Mq Nf 0s_ Au Bx Cy Dz £~ '
7.14 W IJ Kq Lr Ws Nt Ó* J7 Ay_ Bz Ca Db_ Ec^ P£
9. 3 Ks Lt_ Mu Nx Oy Pz la Tb Cc &d Ee W &p f'q Ir u. 7 \~~My Nz Öa ~Pb~ "ScfWI C7,57 Ep Fq Gr Hs ~It_ Ku 'Zy
13.11 cic I 7d 77 5/ \ "c7 | d# ! eV I 77 gT h7 77 >?7 36^JnT



(j) S C (2>) E F (G) H. I (K) V M (N) O P
.7A "6A «5* -4A "3A -2A -IA O IA 7* 3A 4A JA 6A IK
,It>5 -90 -75 -60 -45 -3° -15 o- IS* I05- 4J-. 60. 75. 90. 30.
0. 15» .30. 45. 6o. 7^ >g<"- a»p- *5P- T65. Igo. 195. IW-,
17 33 49 1 65 J^_._p^j^3 1-9 2:5 161 177 193 a°9 14T
~S1 "öï ?~8~3 J99 12O; 131 202 163 190 20ï 137 ^3 _2I
Tg 90 101 Tl? 133 224U60 172 182 198 139 5 jt3 31 53
7o3 ïTv 13© 217 IS2 168 184 200 141 l 25 39 60 71 _8j
Taa 213 154 170 186 196 143 9 3a 41 57 73 _££ Jf^ H2
756 Ï66 ÏB8 ööï 150 Tï 29 "43 "59 _7Q _£2_ ^4 2^5
7p7 IÖ6 147 ,~Ï3 "3T ~4Q "52 ]7T 7^ J±\llo 126 211 15» 17J
Zi9 To ö~4 1*32 _4» "04" "Üö I96 106 128 219 165 176 19a 208
"aö 34 "5o"}-*66 ~7~6 "9ÏÏ 114 135 *2i 16a 178 194 205 142 _2 "46 ~68 "84,105 »6 73a 223 164 11S »87 197 ]3^j_4 36
"86 1Ö2 7Ï8 >Ï34 aso 157 167 f»3 W 140 __6 j8J_38 J[4 _75
717 127 212 153 169 I8f 201 1361 8 ^26 ^56 72 J88 1C4
214 155 T7Ï ïaT 203 Ï44 j£ Ji _ii JÜ _91 I°Z
Ï33 389 210 146 Jj* J°_ _44 _55 _67 J7 _93 i°9 1125 «lö 15Ï la^luS 17 25 1 37 47 «3 70 91? "i tal'siB'MQ i& '91
(«3 5 [r] ï t * o» L*J a tïïW 2 « C/]
*i -6 -5 .4 -3 -a .7 017 3 4 5 6 2
7 2 34 56 1 8 9 15 11 12 13 14 10



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz, 23
van aanftonds de eerfte t . M , /-v , n , « , r~~ horizontaale Ry te vul- u 4 i^L|^L|2l|±ÏL|ii len , konde men een 3.21 Dr Ex Ai Bji | Cg andere horizontaale Ry _ ITT p? 7^7 i n. 'ttt vullen, en de:aanwy- °'0\At &f£r. I£LB_ zers o, o vdór die Ry 2.3 Cj Di £p Ag ' Br r
(tellen; en als bovea 4. t "ËT1 aT HdT Ii D^"! vervolgen. 70 Schryft ^ ' " 1
men in de perken van
elke horizontaale Ry , volgens orde , de eerfte en tweede letteren; dan zal men een oneven Toverv ieri kant door aanwyzers hebben, mits dat , zo in de Diagonaalen eenige letteren by herhaaling voorkomen , de herhaalde letteren gelyk zyn aan die, in welkers plaats zy ftaan.
15. Als men de aanwyzer van de eerfte of tweedé letter, welke vóór het tweeie perk der eerfte vertieaale Ry, na o. o, gevonden wordt, n noemt, zullen 'er verlcheide eigenfchappen ontdaan.
10 n zal aantoonen het verfchil der aanwyzers ert der letteren van elke verticaals Ry, h+i het verfchil der aanwyzers van de letteren des eerften Diagonaals, n—i dat des tweeden Diagonaals.
1° Men kan geen Tovervierkant rnaaken, zo n een evenmaatig of onëvenmaatig deel van r is , of zo n - 1 een evenmaatig of onëvenmaatig deel van » + i is, of zo het verfchil der beide aanwyzers, welke na o. o komen, een evenmaatig of onëvenmaatig deel van r is; derhalven kan men geen even Tovervierkant coor aanwyzers rnaaken.
30 Zo n-'r 1 (Zie het eerfte Vierkant van Art. 14) ~z o is, dat is te zeggen, zo «~ r— ï is, zal A of p zich alleen in den eerften Diagonaal bevinden; en zo n- 1 — o., ofra_iis, zal de laatlte letter alleen in den tweeden Diagonaal gevonden, en bet Vierkant door Diagonaalen, of door de gemengde Leerwyze {Art. 13 of 16) gemaakt worden.
40 Zo»+i (zie het volgende Vierkant) éen even. maatig of onëvenmaatig deel van xr is, zullen in den eerften Diagonaal verfcheide letteren by herhaaling
ge-?



MENGELWERK van
gevonden worden, als hier ADGKN, en put>\ en zo n — i een evenmaatig of onëvenmaatig deel van r is, zullen vei fcheide Ietteren in den tweeden Diagonaal herhaald zyn, als/r#zc.
ió. Om een oneven Tovervierkant door de gemengde Leerwyze faamen te ftellen , ftelt men i. in de eerfte horizontaale Ky, volgens orde, de eerfte en tweede letteren. 2.
Stelt men de e'-rfte let- 01234
men de tweede lette- 31 Ex 1 A£ \Bp.i Cq 1 Dr ren door aanwyzers T^'"^'!— "57" FT I (Art. 14) Dan zal 1 ELI*!.\?L\T> n en een oneven To- 4 Ct Ejl Ar '.Bx I
vervierkant door de 77~ T>~~ 777 1 7TT TTI genengde Leerwyze 4£Ll?I_Eil^_£ti bekomen.
Of wel, men kan ook de eerfte letteren door aanwyzers , en de tweede letteren door Diagonaalen Héllen.
17. Om een Tovervierkant door de ongejehikte Leerwyze faamen te Hellen , fielt men ("als in Art. 14.) de aanwyzers op de eerfte horizontaale Ry, en vóór de eerfte verticaale Ry in zodanige orde , als men goedvindt, zulks dat twee zelfde aanwyzers zich niet te faameu ontmoeten, en men voltooit het Vierkant; als in Art- 14.
III. Saameuflelling in getallen der onëvene Tovervierkanten , die met de algemeene letteren gemaakt zyn.
18. Wanneer in den Diagonaal, even als in het Vierkant 5 van Art. 14 , eeen Ietter by herhaaling gevonden wordt, neemt men i° tot waarde van de tweede letteren p, q, r, x, t zodanige getallen, als 1. 2« 3« 4« 5> in zodanige orde, als men zal goed-
vin-



WISKUNDIGE VERHANDELINGENeNz. a5
vinden , onder die letteren geplaatst. 2o Neemt
men desgelyks naar wel- si1"4"1- 2. ^eemt
gevallen de getallen o. A B C D E
5- to. 15. 20. voor de o 1? 10 00 c
eerfte letteren AECD —~- 1~Ü—?1_ 5_
E, echter zodanig, dac I 4 I 16 l 13 I 25 1 7 |
hnn kleinfte verfchil ten 77" 27" T T T1
minsten gelyk zy aan het l-J- — — — —
grootfte getal 5. 30 Stek J?_i 3 ia 24
men jD hec eerfte perk I i7 i JT 7n~T T
A+p, welke in het eer- ]_f3 • 20 | 2 Iiy | n |
fte perk des Vierkants p a Z 1 ;
van Art. r4. ftaan. 40 J f ' ' ftelt men in het tweede J ö 2
perk i6 = i5 + i = B + g, en zo vervolgens• dan™? men een Tovervierkant in getallen hebbln , dat nJaJ m^tf roveïvlerkant * létterên yan^S^
den9'n,-Iannef een 2-e Ictter alIeen by herhaaling in kant faS ,fV0Dden WOrdt' als M !'» het WeS verfchif/en - ^3 %T ? me" 1? naa^ welge™"en de ït r P'-2»0' i»4. waar van het middelden en de fom gelyk aan nul zy. ao voegt men by d?è Verfc uÜen een pofitief gcta!, dat gróotw dan h« groot!e.y,/ verfchil - 3, by voorbad, 4 Ey dan zal men 1, 2,4 5, 8 voorde waarde der 2rie létteren p, ?) r, s, [t] bekomen, als men tzzï ftelt
/.o geen der eerfte letteren in den Diagonaal bv herhaai™. gevonden, wordt , zal men df wïï van
ïr, D b ais !n ArU 1 8 vinden.
Maar zo eene eerde letter alleen in den Diaeonaal by herhaalmg gevonden wordt, als (A) in hefvierkant van Art. 13 of van 16, zo neem 10 naa welgevallen de verfchillen - 3A,- 2A ,, f n"f Voeg, zo gy wild de tweede verfchi7le„1\>t\' o, o, 3 by dezelve, dan zal 'er komen - kKL 2 '
ZnveTrchüVehik'^n OA, + °' 6A-'L3> ^ welken een vencnii gelyk aan nul moet zyn. 2o Neem a
ten minften gelyk aan bet grootfte tweede geta?8 D dan



26 MENGELWERK va»
dan zult gy de verfchillen in getallen - *6, - 17» 8, o, 51 bekomen. 3? Kindelyk vergaart by die verfchillen 26, een getal dat ten minsten gelyk is aan het grootfte negatif ver- r D E
fchil, dan zult gy beko- (A) B C iJ ^
men o, 9, 18, 26, 77, ^ö^L__£l--2—ïi-
voor de waarde van (A) 1 28 I 82 I 10 I 8 I 21 I
BCDE, {tellendeAge- |—| TT TT'~t'
lykaan 26. liL ^L !il I3- I —
2» Indienverfcheide 2<je 1 x 26 30 79 14
letteren meenigmaal by I ~ TT TiT
herhaaling gevonden wor- 17 |_4_ fO_ 12L Z_
den (Zie de Vierkanten TTfj IX | 5 1 19 | 34 I
pag. 22) in den eerften 1 ■ p-—
Dmgonaal, dien wy door jf> 3 *" JQ L'J
( ), en in den tweeden 1 5 1 0 4
Diagonaal, dien wy door .
r 1 zullen ouderfcheiden , even als in het Vierkant
van 15, Art. 15, waar van de tweede letteren zyn
(P), q> [>]> t» [(«03» *» 5' tc> d, ï. I H • onder weiken n aan de beide Diagonaalen gemeen is, zo geeft men, }r een naar welgevallen genomen verfchil - 2 aan de letter L(W)J; 2° .de naar welgevallen genpmene verfchillen - 1,-2 3, wier fom gelyk nul zy , aan de letteren (s) , U«)J , (b): insgelyks aan de letteren [r], [(m)J> L2J.» W, I/I de verfchillen - 5» - *rfa 4, f h 3? geeft men ooi aan de overige letteren de verfchillen - 6, . o _ 7, o, 7» 5, 6, zulks dat de fom van alle de ietteren insgelyks aan nul gelyk zy; 4? versaart men by die getallen het pofitif getal 8, datgrooter dan het negatif - 7 zy; dan zal men 7, 2, 3, 4, 5 tot tweede getallen bekomen. , »
Indien de eerfte letteren niet nerhaald zyn, zo dcet als in /fr». 18, en zo wanneer verfcheide letteren herhaald zyn , als CA), (D), (G>, (K), (N) in^het Vierkant van 15, zo geeft .0 aan die letteren de naar welgevallen genomen verfchillen - 7A, - 4a, -ia, 7A,%a, wier fom gelyk aan nul zy; 2? geeft mei» ook aan de aadere leturen verfchillen, wier fom \m-
ge-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 07
gelyks gelyk nul zy : 39 ftelt rrien a gelyk aan het grootlte tweede getal if , dan zal men bekomen - 105, - 90, - 75, - 60, enz. Eindelyk zal men door de bytelling van het pojitif getal 105, gelyk aan het grootfte negatif 'getal — 105, bekomen de eerfte getallen o, 15, 30,45, óo, enz. Vervolgens maakt men het Vierkant in getallen, als in Art. 18;
ai. Indien het Tovervierkant door de ongefchikte Leerwyze {Art. 17 ) gemaakt wordt ; zal "men ten naaste by op gelyke wyze de verfchillen vinden der tweede letteren />, o : q, 1 : r, a : s, — 2 : t, —■ 1, en der eerfte letteren A, —ia., B, oa, C, 1 a : D, — 2 a : E, 2a.
22. Hier by dient aangemerkt te worden, dat zo men , volgens Art. 14, begint met de middelfte horizontaale Ry te vullen , en aan de letteren, die even ver van het middelperk ftaan , de zelfde Verfchillen geeft, het Tovervierkant in getallen alsdan de eigenichap zal hebben, dat de fom der getallen , welke in twee perken gevonden worden , die even ver van het middelperk ftaan , en in een regel geplaatst zyn , die door het middelperk gaat, altoos bet dubbeld is van het getal, dat in het middelperk ftaat.
23.. Daar benevens zal men in een Tovervierkant altoos een Ry met een andere , die daar aan even* wydig is, kunnen verwisfelen, wanneer de fom der getallen , welke in de tweede perken van den eerften Diagonaal ftaan, gelyk is aan de fom der twee getallen, welke daar in moeten geplaatst worden, en wanneer het zelfde in den tweeden Diagonaal gebeurt ; waar door het plaats heeft, dat in zekere gevallen verfcheide- Ryën verwisfëld kunnen worden,, het geen men ligter zal bemerken, als het. lover vierkant, ih plaats van de getallen, met de verfchillen wordt faamengefte!d.
D » IV.



28 MENGELWERK van
IV. Bepadinpen van de Toveryierkanten door overëeenkomftige letteren.
De tweede algemeene handelwyze on Tovervierkanten te rnaaken, en door de overëenkomftige letteren , welke insgelyks tot de faamenftelling der evene en onëvene Vierkanten toepasfelyk zyn.
24. Twee letteren zyn overeenkom/lig, wanneer zy, gelyk zynde, de eene klein en de andere groot is, als aA en pP, zulks dat haare waarden in getallen hec zelfde verfchil hebben , naamelyk het een nega* liften het ander pofitif; by voorbeeld anwz —2a, A_m-i-2a, desgelyks p~n—i, p-«-j-i, zo dac de lom van twee eerfte overëenkomftfge letteren altoos gelyk aan 27», en de fom van twee tweede overëenkomftige letteren altoos gelyk aan in, en by gevolg de fom van twee eerfte overëenkomftige letteren altoos aan de fom van twee andere eerfte overëenkomftige letteren gelyk is; dus a -i- A~b -f-B = Qm, desgelyks zyn twee tweede overëenkomftige letteren gelyk aan twee andere tweede overëenkomftige letteren, dus p-hP—r-'-iL — m.
25. De onêvene Vierkanten hebben , behalven de overëenkomftige letteren, de middelfte letteren M, », wier verfchillen o zyn.
De verfchillen der letteren zyn of gefchikte getallen in eene geduurige Progrefie, als 1, 2, 3, 4, S) &c. of ongefchikte getallen , als 1, 2, 5, 7, u, &c.
De evenlyk onëvene Vierkanten hebben de kleine letteren , en by gevolg ook de groote letteren, even in getal, als in het Vierkant van 9 (zie Art. 3, 7 en 8).
ijle letteren ö^cdMDCBA. 'cmiddeljte in m in m m <m m m m. Ien verfchillen -4A-3A-2a-jk o ik 2a 3a 4A. Verfch. inget.-^6-27-18 — 9 o 9 18 27 36. eerfte getallen o 9 18 27 36 45 54 63 72.
stde



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 29 nde letteren pqrsnSRQp Smiddelfte n n n n n n n n „' <-en verfchillen -4-3-a-i 0 , 2 * tweede getallen 1234567 g 0.'
-?'?,.d\t7eede getalIen te bekomen, zo ftel -1 : üerhalven P~p, enz 4
1 Om de eerfte getallen te bekomen, zo ftel *-Pdan zd men de verfchillen in getallen lort ?-, ? verkrygen; vervolgens ftelt min „ 1 balven M of «-3Ö; en aro, enz 3 ; der" De onëvenlyk onêvene Vierkanten hebben de H,;„a letteren oneven in getal, ais in' het Vierkant v a n 7!
ijle letteren a b c M C B A fm^//Je m m m m n m m\
< verfchillen -5a-2a_,a [.enideverfch. -2 -, 01,'
geheeleverfch.-47 -19-10 0 10 ,o 47.'
-Jfcg«a/to» o a8 37 47 57 6694.
ode /e««re» /> g r « R q p Smiddelfte n n n n n » „* den ow/êA. —4 —3 0 t 3 7'
1 de getallen 12456 89.'
26. De év£«« vierkanten hebben eeenzins d^ «liu
ongefchikte, als 5\ ir, .j.ïx,5'^ *z"' eüz' <*
De ««afyiwM hebben de'kleine Ie*
teren even 111 getal. Zie ^rï. 3. C
ifte letteren a b c d D C B A
verfch.mget. -28 -ao -i2 _4 4 ji2 ^ <j Wegetaüen O 8 16 24 3240 4* Jé;
D 3 a4



3o MENGELWERK van
2de letteren p q r s S R Q P.
^middelfte n n n n n n n n.
\enverfch. -?—S~3—r 1 3 5 7*
valfchs getall. 2 46 8 10 12 .14 16.
2de getallen 1 2 3 4 5 6 7 13.
Om de valfche getallen (zie /fï. 7) te bekomen * zo ftel n-7~a : der hal ven n~9. Vervolgens zal men de vaifche getallen hebben, wier helften de 2?e getallen 1, 2, 3, enz. uitmaaken.
Om de eerfte getailen te bekomen, zo ftel Airi P—o , dan zult gv de verfchillen in getallen bekomen': eindelyk ftel m— 7* of m — 281:0. Dan zal 'er komen-m~i\], waar uit de waarde der eerfte getallen, o, 8, 16, 24, &c. wordt afgeleid.
De onëvenlyk evene Vierkanten hebben de kleinfte letteren oneven in getal, als fa het Vierkant van 6, afccCBA : pgrRQP.
27. Een Tovervierkant is by overeenkomst, wanneer in elke horizontaale, verticaale en diagonaaleWy, ieder letter zyne overëenkomftige, of elk pofitif verfchil zyn gelyk negatif verfchil heeft: in de or.ë^ene Vierkanten moet elke horizontaal* er verticaale liy de middelden M en n éénmaal, en elke Diagonaal dezelve één maal, of onëven in getal hebben.
28. Een Tovervierkant by overeenkomst is met dborloop^nde of toegevoegde Ryën, wanneer.de zelfde kleine en groote letrer, of het zelf de negatif en pofitif verfchil alleen twee Ryën vult, welke ik toegevoegde Ryëö noem.
In de onëvt;ne Vierkanten dienen de perken der middelde Ryën voor de letteren, wier plaats met een middelfte letter gevuld is, tot toegevoegde perken, en voor de letteren, met welken deRy gevuld is , waar in zy zich bevinden , tot directe perken.
De toegevoegde middelfte Ryën der eerfte letteren worden 'horizontaal, en die der tweede letteren verticaal gevonden.
Een



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 31
Een Vierkant is met afgebrokene Ryen, wanneer dezelfde letter of het zelfde verfchil in meer als twee Ryën is.
29. Een Tovervierkant met toegevoegde Ryën is met overëenkomftige R\ën (zie Art. 1.), wanneer de toegevoegde Ryën evenver van het midden of de uiterften ftaan. Dat Vierkant is met niet-overeenkomfiige Ryen, wanneer de toegevoegde Ryën niet even ver daar van ftaan; eindelyk is dit Vierkant met ge • mengde Ryen, winneet fommige overëenkornftig, en andere niet overëenkornftig zyn,
In elke Ry zullen pok ovsrsenkomjtige en niet-oyereenko aftige perken zyn.
30. In de perken van twee toegevoegde Ryën van één letter, noem ik toegevoegde letteren de beide letteren, welke de een in het perk van eene Ry, en de andere in het perk der andere toegevoegde Ry, dat tegen over het eerfte is, ftaat, en welke den zelfden iften en 2den ]etter hebben. Dus zyn twes eerfte toegevoegde letteren verticaal, en twee tweede toegevoegde letceren horizontaal getteld.
Ik noem direëie letteren, de twee letteren , welke in twee perken van een der toegevoegde Ryën van één letter ftaan, en welke van een zelfde letter verge ■ zeld zyn. Dus zyn twee ifte directe letteren horizontaal, en twee ade directe letteren verticaal.
Ik noem eindelyk tegenöverftaande Istteren zulke, die noch direét noch toegevoegd zynde, van een zelf. de letter vergezeld zyn: dezelve ftaan doorgaans in de hoeken van een Vierhoek. -~
31. Een Vierkant is by wederkeering, wanneer in eene horizontaale, verticaale of diagonaa'e Ry letteren zonder overeenkomftigen zyn, in plaats van welken andere gevonden_ worden, die ik irederkeerige noem, wier (hm gelyk is aan de fom der overëenkornftigen, wier plaats zy vervullen, of eenvoudiger, wanneetde fom van de verfchillen der letteren, die geen overëenkornftigen hebben, gelyk nul is.



3- MENGELWERK van
32. Een Vierkant is met overtreffende en te kort komende getallen , wanneer, de fom der eerfte letteren in eene Ry grooter dan rf»is (zie^r. 3, 7, 8), terwyl de fom der tweede letteren de zelfde hoeveelheid kleinder dan rn is; zulks dat de fom van alle de getallen van die Ry altoos gelyk aan rm +rn zy, of we! omgekeerd, wanneer de' fom der ïfte letteren dezelfde hoeveelheid kleinder, en die der tweede letteren de zelfde hoeveelheid grooter is.
33. Een Tovervierkant is met vreemde letteren, wanneer men , eerftelyk zo veel ïfte en 2de letteren genomen hebbende a!s noodig is , om dat Vierkant te rnaaken, en welke ik natuurlyke letteren noem, 'er nog andere hyvoegt, welke men in plaats van fommige der natuurlylte letteren ftelt. By voorbeeld, wanneer men , om een Vierkant van g te rnaaken , in plaats van de enkele letteren abcdD CBA 'er nog <E by voegt, zullen deeze letteren als vreemd aangezien worden.
34. Een Vierhoek beftaat in vier perken , welke fiegts een zelfde ïfte Ietter en een zelfde 2de letter met hunne oveiëenkomftigen hebben, op alle verfchillende wyz.n faamengevoegd, als ap , aP, A?iAP.
In een Vierhoek , uit vier toegevoegde Ryën faamengcfteld, zyn toegevoegde letteren , directe letteren , en tegecovergeiielde letteren in de hoeken (Zie Art. 30.)
35. In 'de Vierkanten met toegevoegde Ryën xullen wy ons van aanwyzers bedienen , welke de negative en pofitive gefchikte getallen I, 2, 3, 4, 5, enz. zyn: en in de onëvene Vierkanten zal men 'er o byvoegen (Zie de Vierkanten van Art. 4£>0«
Hst vervolg in een volgend Stukje.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 33
Tweede Aanmerking over Schutsluizen of Waterkeeringen. Door J. Bolten.
Vervolg op bladz, i3.
Wy hebben in eene vooiïge aanmerking op het i2ofte Voorftel des eerften Deels van onze Genootfchaps - Oeffeningen eenige gedachten opgegeeven , over de bepaaling der grootte van den hoek, welke de twee tegen elkander ftaande Sluisdeuren, in eene Waterkeering te faamen zouden moeten rnaaken , wanneer dezelve m haare rigting tot derzelver werking waren gefield — namentlyk om de kracht van het daartegenftaande buiten-water te kunnen dragen , waar van in het bovengemelde Voorftel het maximum gevonden is,
Wy gaven by deeze gemelde aanmerking eene fchetfe der berekening , die men moet rnaaken om te kunnen weeten, hoe veel ponden gewigt op zodanige fchutdeuren zouden kunnen aacperfen, wanneer de hoogte van 's waters oppervlakte, gemeeten uit den bodem der Sluis, bekend was, als mede de wydte der Sluis, of de distantie der wanden of boorden , waar tusfchen deeze gemelde Sluisdeuren bepaald zyn , echter zonder alstoen de gronden waar op dezelve berekeningen gefchiedden, daar by te hebben aangeweezen. Wy moeten derhal ven de. zelve eenigzints melden , en uit de proeven der Hydroftatica, of Water-weegkunde aanftippen , zo als dezelve breedvoeriger by veele voornaame Natuurkundigen in hunne proef-ondervindingen zyn bevonden en befchreeven.
Het is een algemeene , en door Proeven bevestigde , en door verfcheide Mannen befebreevene waarheid, dat alle de vloeiftoffen derzelver perfing bepaald word na de maate van haare hoogte en E de-



14 MENGELWERK val?
dezelve hair Diet reguleeren na de uitgebreidheid naarcr lengtens of breedtens, maar hoe de perpendiculaire hoogte, het zy in een Bak, Vat, Buis, of* "yp ook zyn zal , hoe meerder derzelver perfing, ook zal vermeerderen ; en daar uit moet dan volgen , dat hoe hooger het water tegen de Sluisdeuren zal aanvlocijen s noc veel te meerder ook derzelver perfing zal aanwinnen , en daarentegen hoe laagcr het door de Ebbe wegvloeit , hoe veel te meer de perfing derzelve zal verminderen , wyl dezelve afgeloupen zynde toe de by onze voorige aangemerkte, en daar by gefielde hoogte van o, de perfing in 't geheel zal ophouden , wanneer de hoogte des binnen- en buitenwaters zoude gelyk ftaan, en dc perfing van het binnenwater gelyk in vermogen tegen dc perfing van het buitenwater zal ftaan, en dus de perfing gelyk o zoude zyn.
De Proeven over de aanpeifing, of dc Wet derzelve in _ho->gte, door veele kundige Mannen geno,rnen , hier mede te deelen , was mogelyk; maar de aftekening der werktuigen in Plaat als dan ook onvermydelyk: om dit laatfte echter te ontgaan, zullen wy alleen dit volgende melden; de groote Nieuwentyd heeft over de Wetten der vloeiftoffen al geheel breedvoerig,in zyn Wae>eldbejclmiwing&ehzwidd, daar hy de proeve ecner zydelingfe perfing ons aan de hand geeft; en welke zydelingfe perfing ook tegen de deuren én wanden of muuren, in alle Schutfluizen of Water? keeringen, en dus ook in't geval, daar wy thans in die Voordel ons ook bevinden,plaats heeft; deeze groote Natuuronderzoeker bedienende daar toe zich in deeze proeve van een vierkante bak, wiens breedte, lengte en hoogte aüe gelyk wareu, en dus deszelfs forma, zynen inhoud als een Cubic was; en derhalve was hec oei c ftelligc waarheid, dat, alle de zyden des baks gelyk zynde, oc,k alle dc perfirgen op ieder der vier puftaarde zyden even zwaar zullen zyn , wanneer dezelve Bak met wa;er gevuld was.
Voerder liet dezelve in een zydedes gem?lden Baks een Luik maaken, welks hoogte aan de binnerjzyde
écq



wisk ündige vMKBAmmimm énz. &
één Voet Rhynlandfehé mast was, gelyk ook des« zelfs breedte,- hetwelk met een fponnin'g in die Bak wel digt fluitende was, zynde in de gemelde fponning met leer bekleed, om de digtheid, zo veel niooglyk js, te bevorderen:, voorts wist dezelve dat Luik aan den bovenkant te doen opdraaien, zo dat de klap ftf het luik naar binnen en naar boven moest onfiaan; nier na wist dezelve Autheur aan een der buitenfte zyden een Arm van een Balans te hegten, ook de iangte van een voet Rhynlands hebbend.?, aan welker emde dezelve het gewigt konde hangen , en deezfi arm, die in forma was gefield van het voorgenoemde Luik, of klapje, als een winkelhaak, was juist zo geplaatst, dat door het aanhangen des gewigts de natonnen perfing van deszelfs klap juist gefchiede op het punt, alwaar het middelpunt der grootfte aanperfing aan de binneczyde tegen hetzelve gefchiede j waarin hy bevondt, dat het gewigt 3 c a 32, ponden moest zyn , cm deeze klap naar binnen te beweegen ; waar ui; dan bleek, dat daar de hoogte des klaps 1 Voet was, en de breedte 1 Voet, dat de aanperCng was t xirr de geheele hoogte met derzelve" heift _ §3 welke, met de zwaarte van een Cubicvoet waters _ 63 ponden vermeenigvuldigd, de aanperfmg op deezen klap circa 31.j pond was.
Wanneer deeze bak nu hooger gemaakt, met water gevuld zynde, en dus dan de perfing moest'vermeerderen, zo wierdt deeze voorgemelde arm opgefchoven, om de nabinnen-perfinge juist te beproeven op dat punt, daar de grootfte aanperfing des waters gefchiedde , -- en werdt bevonden , dat na die hoogte de zwaarte des gewigts ook vermeerderde* en na dat men dit water des baks vermindert, ook het gewigt verminderd moest worden, wanneer die gemelde Luik, de breedte op een Rhynlandfe voet bepaald blyvende, dan hoog was 2 voet; dan was de perfing 2 x r — fl voet; was de hoogte 3 voet, dan was de perfing 3 X h r. 4i voet ; of was dezelve 4 voet, dan was de perfing 4x2 = 8 voet, welke e % voe-



36 MENGELWERK van
Voeten dan met de zwaarte eens Cubic-voets water» op 63 ponden gefield, vermeenigvuldigd, de aanperfende kragt in ponden opleevert. Diverfe proeven meer zyn door dien kundigen Befchouwer gedaan, en raadpleegen wy andere Mannen, dezelve bevestigen ook dit alles.
Musschenbroek meldt ons, wanneer men onderftelt een Bak of Vat; in een vierkante gedaante, in forma als een Cubic , wiens hoogte wy ftellen ZZ a, en deszelfs lengte zz a, en ook deszelfs breedte ~ a, zoo zullen ieder zyde deezes Baks, geperst worden a xkazziaa, vermeenigd met de breedte a, en dus 2 a3 voor de perfing ; en dewyl deeze Bak 4 zyden heeft, en alle deeze zyden een gelyke perfing ondergaan, zal deeze perfing in alle deeze zyden of •wanden des Baks te zamen gelyk lasX4 gelyk 2 «s zyn , maar dewyl de bodem van deezen Bak alleen gedrukt word door de water-Colom of dc water Bak zyn geheele inhoud, die gelyk axaxazza3 is, zo blykt ten klaarfle, dat de zydelingfe perfing in dit Vat tweemaal zo groot is als de perfing die op deszelfs bodem gefchied.
Om nog een Exempel hier by aan te haaien , uit dewelke de voorgemelde Nieuwkntyd in zyn 27fte Befchouwing eens de wysheid van den Albe1'tierdcr wil doen opmerken: zo merkt dezelve aan, dat wanneer men de Bafis of grond des waters zo groot neemt als deszelfs hoogte van een regt opflaande dyk, die wy ftellen hoog te zyn a Voeten , dat dan tegen deezen Dyk, tegen elk flip derzelver lengte aanperst, den inhoud van eenen regthoekigen driehoek, wiens fcherpe hoeken 45 graaden zyn — en deszelfs inhoud dan is § aa: wanneer men nu deezen inhoud met de lengte des Dyks, die wy op b Voeten ftellen, vermeenigvuldigde, zo komt den inhoud van het geheele aanperfende gedeelte tegen deezen geflelden Dyk te zyn zz ï-aab, zynde deszelfs water - Coloms Lighaamelyke inhoud, welke dan met het gewigt in ponden, die een Cubic-voet water bedraagt, vermeenigvuldigd



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 3?
digd wordende, de aanperfende gewigten tegen zodamgen Dyk in de ponden zal opleeveren; indien men hier van meerder proeven begeert, kan men Desaguiiers, sGravefande, Marktte, Stevin en anderen daar over nagaan — welke alie bevestigen, dat de aanperfende kragt der vloeiftoffen zig fchikt naar maate haarer hoogte , en niet na de uitgebreidheid haarer breedte of lengte: ons wierd voor eenigen tyd zulks als een proef verhaald van de geweldige perfing, die de hoogte van een gering gedeelte water op een veel grooter quantiteit kon uitwerken. Een voornaam Man willende de proeve neemen van de aanperfende kragt in deszelfs hoogte, nam daar toe een groot ordinair Vat met yzere hoepels beflaagen , en in alles m de juiste fierkte, welke zulk Vat behoorde te hebben, leggende het zelve op de grond, zo dat de mond of het fponsgat boven was , daar op vulde dezelve het vat met water, zo dat het geheel vol was ,• voorts ondernam dezelve dezelfde proeve , met op de mond des Vats of het zogenaamde fponsgat te zetten een buis van eenige voeten hoogtes zynde die buis rond, en circa de wydte van 2. duim diameter , welke hy van boven met water vulde, maar tot zyn verwondering eer hv het dagt zo fprongen de hoepels des Vats aan ftukfcen en het geheele Vat van eikanderen zynde , wierd het water weggedreeven, en het Vat, dat wel ^Emmeren inhoud bedroeg, door een geringe quantiteit water dat den inhoud der perpendiculaire buis vervulde , geheel aan Rukken geperst. Deeze proef ging een vriend met my by gelegenheid ook eens onderneemen ; wy naamen daar toe een ordinair Bor daux Vat of Wyn Oxhooft, genoegzaam nieuw, in alles wel en fterk, en als voor een groot deel met Franfche houte hoepelbanden belegd, ditplaastenwv 10 dezelve ngting als het hier voorgemelde yzere bandsVat - en heten het zelve daar toe geheel met zuiver
mond of fponsgat m een perpendiculaire rigtin! een E 3 leg.



3$ MENGELWERK V & 0
leedcre buis of flang zittsn, en, dezelve rhet wate?' van boven lieten invullen, dog dezelve circa 10 Voeten boven net mond gats hoogte , gevuld zynde, wierd hetzelve Vat zodanig door de aanperfing uitgezet, dat het aan alle de zyden, zo wel in de bodem als by de haaden van het Vat, met een ontelbaare meenigto fprongetjes het water uit het Vat werd uitgeperst, zo dat men onophoudelyk de gemelde buis van boven aanvullende het, na maate uien het aanvulde, de peiling in kragt aanwies, en de fprongetjes 3 van water aanwies en vergroote, en naarmaate hec water in de buis nederdaalde de aanperfing verminderde, en de uitperfende waterdeelen of lprongen verIniuderden en verdunden , en wy derhal ven toen een volkomen proeve hadden bekomen, dat na maate de buis gevuld was , dat daar na de aanperfende kragt. Vermeerderde of verminderde. ■
Wy zouden in deeze proeve dezelfde uitwerkfelen gevonden hebben als in het voorgemelde yzere bandsvat gefchied was, indien wy niet bevonden hadden, dat de bodem van dit Öxhoófd met zoogenaamde Rylen , die v< or elk bodem des Vats gelegt waren, voorde peifiog ware belegd geweest, dat ook in deeze proeve des Vats , franfche boute hoepelbanden meerder rékbaarheiu hadden gelceden, als men in yzere hoepelbanden zoude ondervinden, en hier uit bleek ons volkomen, dat de proeve op dat eerstgemelde vat met onze proeve een en dezelve waarheid bevestigde, dat de aanperfende kragt der vloeiftoffen zig bepaalde na de maate haarer perpendiculaire hoogte.
Dit voorgemelde dan zy genoeg ter aanwyzing der gronden , waar op wy de perfing tegen de deuren der Schutfluizen of Waterkeeringen berekenden.
Wel is waar dat wy alleen niet moeten denken op de aanperfende kragt tegen deuren, maar dezelveaanperfing werkt ook op ieder zyde of muuren of wanden der Sluis , daar deeze deuren tusfeheu geplaast worden, welk beiden ook in de bepaaling, voor heü aanleggen derzelver Sluizen, moet in rekening ko<<
men,



WISKUNDIGE VERHANDELINGENünz. 39
men, dog de nederperfing der water-Colom hef 7«
S;nn T;, y !f' , W51 dan de Perfende kragt alleen ^npi°den? drUkt' en men veronderftelt dat in een goede aanleg van zodanige Sluinredfa deeze 'ho dein zo wel vast zal gefondeerd zyn, da":hetgTootuV vermogen der nederperfing deeze Vloer- of S
te°n - wTtT eCDïfzintS%aI ko™e» "oen ontzt -en — want zo ras daar eenige verandering in kwam te gebeuren , zoude alles zich uit eikand" Lgeeven en de geheele Structuur deezer Sluis onhefS?*r worden, waarom de vloer of bodem der Sin rf tot eenige Voeten voor de mond of het e nde S Sluizen word u tgeftrekt , welk hmW, „f? . word genaamd hef buitenst ed ' n"ffi gedeelte het binnen-ftortbed. lnnen Volgens dan dit voorgemelde zal men od dee™ grond aüedeperüngc op de wanden of muuren be reekenen, gelyk ook tegen de deuren, aTs voren is gernelu , egter ,n agt houdende. dat de pêrfinge ZVn
pun?enUïïar8deCdledCOde' woiaii"die
punten daar de deuren m hangen, of ter phatfedJr de zogenaamde holle doelen Haan, v^-lke wv aan toonden byonze eerfte aanmerking dir ,W„„ door de refiftentie van of fcS£g^g»
en verfterkt om dat elk dezelver kan tegenftaS de aanperfende kragt die op elke deur za! gefc deden deeze zwaarte des muurwerks dient men ook ^ rnaaken op het binnen einde der Sluis agte? de bin ncnfte deuren; want wanneer de perklw 1 d'n' ren de muurwerken al niet zoude kinnen"veïzetteri door haar behoo.lyk hebbende wederftandSde Vcrmoogen z0 Züude dit hcc)e mmZt]^ f
op het einde der Muis met de boveneinden der Den ren „aar het binnmeinde, en in de lengte, als voer
fcheer„-,ng.eZet konnen r°rden > eo daa8r kannen ^ £"fni"ï zeggen het boveneinde; want de per fing der deuren wordt door bet onrtfluk d-,? £ oen bodem der Sluis ligt, nog meByk van o^S Jen gefteund, zodanig geval hebben wy bevonden,
dat



4o MENGELWERK van
dat in den vloed van Anno 177 5 in een voorname Noordhollandfche Stad was gebeurd; dat, doordien de buiten - deuren vee! meer doorlekking hadden als de binnen-deuren (wyl daar 2 paar vloed-deuren jn waren) daar door de binnenboezem tusfchen de deuren zo hoog met water was opgevuld , als hec water tegen de buiten-deuren ftondt; waar door dan de buiten - deuren buiten werking geraakten , en, hoewel digt ftaande, geen effect deeden, om dat het water daar binnen en buiten gelyke hoogte hadt, en dus de binnen-deuren zo veel moesten dragen, dat het muurwerk der lengte, daar de deuren tegen persten, voor over gezet, en van de Sluis circa by de holle ftylcn , daar de deuren in draaiden , was nfgefcbeurd. Men zal nu ca dit voorgemelde, wel de bereekeninge op alle perfingeu in alle plaatzen van zulke Sluizen kunnen bepaalen ; dog die alle worden gefield met een ftilftaand water , dat egter niet genoegzaam toereikende zal zyn; wyl de aanvoering van het buitenwater veeltyds met wind en ftorm gepaard zal gaan ; want na maate de ftreek des Winds, die op de plaatfing der deuren het regtftreekst werkt, en die daar dan de hoogfte vloed geeft en derzelver kragt veeltyds met veel geweld aanvalt, na die maate zullen de Vloeden de geweldiefte kragt in de aanvoering des wate-s tegen deeze deuren doen, en derhalven zullen deeze deuren veel meer moeten reftfteeren, als het gewigt van het aanperfende water bedraagt; fbmwylen word dit water zo geweldig aangevoerd by ftormen, dat het verbazend is hetzelve daartegen te zien aanbotfen, en als dan kan men de kragt zien, en 't vermoogen, welke dat Element in heeft. Het zal derhalven voorzigtig gehandeld zvn, wanneer de bouwmeester van zodahige Sluis of Waterkeeringe alle deeze onderzoekingen gedaan heeft, van de omftandigheden, gelegenheden , en vereischtens, de plaats, de grond, en ai wat hy nog noodig heeft te weeten, in geenen deele roekeloos te werk te gaan, het voornaamite dat
veel-



Wiskundige verhandelingen enz.' 4»
veeltyds wórdt aarlbevdoleo is om dog iri *c zs* heel de fpaarzaamheid te betragteD in de kosten , en dit zyn de vereischtens $ die een eerlyic kundig Man, zelfs zonder die aaübeveeling altoos in 't oog moet houden. Maar voor 't allermeest nog noodigcr hem abntebeveelen, zoude beter' zyn, dat dezelve niet te roekeloos handelt en te onagtz-iam op zyn aan hem bevoolen werk , met de zaaken te ligt te (tellen, om wat penningen té be« fpaaren , veeltyds het werk te ligt am te leggen, denkende 't zal kunnen gaan want door zodanige, fpaarzaamheid zyn de gevolgen van zo een ver vooruitzicht, dat eib geheel Land en deszelfs inwooners daar van afhangen; wyl het te ligt aanleggen, zo van de fondeeringe als van de andere vereischtens de treurigfte gevolgen zoude kunnen oplet-verejrj; beter dan dat dezelve zodanig wordt behandeld, dat zy 111 haar te oefenen Reüftentie» de aanperfende krachten verre overtreffen , op dat men gerustelyk vertrouwen kan, dat by onverhoopte hooge watervloeden zulkö waterkeeringen zullen voldoen aan het oogmerk, wyl bet verzwaaren van zulke muurwerken alleen aan de aehterzyde en onder des gronds oppervlakte gefchieden moet, en dus door metfelfteenén, d^e* hoewel vast eh weldoorbakken, echter niet .noodig heeft zo fraai van kleur of form te zyn $ als of die geplaatst moesten worden aan Buitenmuuren of Geevels, of voor het oog zichtbaare plaatfen, en dus zal men door geringe kosten zulke waterkeerende Sluizen eene groote maate van fterkte kunnen toe» brengen, — fvlen zal, wanneer men fommige Wa. terkeeringen en Zeeafkeerende Sluizen, infpec'r,eerdea fommigen mooglyk vinden, welke de noodig zynde iterkte ontbreekeni de redenen zyn ligt te viDden van zulke gefteldheden. Toen in voorige Eeuwen ■ de Zeegaten deezer Provintien die .uitgebreidheid nog m'et hadden , die dezelve nu hebben , was de toevoer van Water by de vloeden zo rneenigvuldig niet, en de vloeden gingen op veele plaatfen zoo hoog niet., als men d!e thans in de Zuiderzee en el.
E das



49
MENGELWERK van
ders ondervindt te loopen; derhalven behoefden alstoen de Waterkeeringen ook zoo hoog niet te zyn; derhalven was de kracht van de toen gebouwd wordende Sluifen op verre na zo groot niet noodig als in deeze Eeuw; en dus was de aanleg met ligter of dunner Muuren toen ook beftand tot het einde wa3r toe dezelve in dien tyd gebouwd wierden echter na dat de vloeden van tyd tot tyd aannamen in hoogte, moesten de Sluizen, Dyken, enz, ook verhoogd worden, en men heeft dan de Muurwerken van zulke Sluizen al van boven op maar opgemetzeld en verhoogd, zonder zulks uit de fondee. ring te beginnen , ja zomwylen de Muurwerken van boven eerder zwaarder gemaakt, als dezelve bene« den den grond waren, en dus hebben fommige Sluizen, wanneer men die befehouwt, een uiterlyk aanzien gekrecgen van een het oog voldoende fterkte, daar dezelve in haare waare gelteldheid geen kracht genoeg hebben,om te kunnen voldoen in deezen tyd; en derhalven zyn in zulke Sluis-werken , daar die zoo mogten gefield zyn, zorgelyke gevallen te wachten ; wy zyn ooggetuige van zulke Waterkeeringen, doch die door onze gedaane voordragt als toen zyn herfield, of door nieuwe Sluizen vervangen.
Hier moeten wy nog aanmerken, dat wanneer zodanige Sluis-muurwerken berekend worden naar de aanperzende krachten van de hoogte der hoogde Watervloeden , die naar dc geleegene plaats der Sluis aldaar gaan , men dan ook dezelve gelecureerd zal vinden voor de aanperfende kracht van den achtergrond, daar deeze Sluizen mede worden aangevuld ; want wyl alle Sluizen als tusfchen Dyken zyn inge. flooten , zo hteft derzelver achtergrond oc k een vermoogen , hetwelk op deeze Muuren werkt, en in geval dezelve ook te ligt aangelegd wierden, zouden «iezelve door dat vermoogen*ook binnenwaarts naar de Sluis kunnen worden overge7et. Het blykt dan naar onze eerwachten volkomen, dat men in de houding "n ""ike Waterwerken in alle opzichten met dc regelen, oer Hyaroiogica moer raadpleegen.
Wt



■WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, wr*. 43
Wy zullen in t vervolg eenige korte aanmerkingen over het verdeden van 's Waters hoogte tusfchen de Schutdeuren in de Kolken der Sluizen rnededeelen» met eenige berekeningen op dezelven, en andere nog hoodige aanmerkingen daar by voegen.
De Bèginfelen der Werktuigkunde (Mechani. ca Rationaüs), of befchuwing der Wetten, welke bewoogen Lichaamen in hunne beweegingen volgen. Door A. Vryer.
Virvolg op bladz. 13. EERSTE PROEFNEEMING.
§. 7. Aan 'tbord ABCD, (taande loodregt op de kant AB op eene waterpasfe grond, is aan een van deszelfs zyden gehegt een ander ftuk Hout EF, in de boogswyze holge-
van dit Hout, is, van E tot F, een Sleuf of Goot gemaakt, welks bodem by F een klein Rukje warerpas loopt. Men liet van 't punt E in gemel e Goot een Yvooren Klootje rollen, 't welk, in F gekomen zynde, door deszelfs verkregene fnelheid voorwaards voorliep, en te gelyk door de zwaartekragt begon te daalen, zo dat het in K in aldaar geplaatste weeke klei neêrkwam; van 't punt F, Fa regrftandig op AB getrokken zynde, was het klootje de lengte aK voorwaards voorgeloopers, in den tyd dat het door zyn zwaarte de lengte van F tot a, dat is, van de bodem der Sleuf totde Waterpa&fe lyn AB , gedaald was. aK nu in drie gelyke deelen gedeeld, en van de Deelpunten b en c de loodregten bd en ce geF 2 trok
c
B



44 MENGELWERK van
trokken hebbende , verder Fa zo in drieün hebberde gedeeld, dat Ff, fg en ga tot malkanderen waren als de getallen i, 3 en s , en, van de punten ƒ en g, fh en gi evenwydig met AB getrokken , dan moest de onderkant van 't Klootje, 't zelve wederom van E als vooren laatende rollen , door de fnypunten h en i gaan, zynde dan, van F af, de voorwaardfclie beweeging gelykmaatig zynde, de daaling door de zwaarte in gelyke tyden als de getallen 1, 3> 5» Men plaatfte- by de genoemde punten ft en i, zo gelyk vereischt wierd, ringetjes, waardoor het Klootje eenigzins ruim konde pasfeercn, en 't zelve liep indedaad ettelyke ma'en (wy herhaalden deeze proef verfcheiden keeren ) door de beide ringetjes , en viel by K in de Klei neêr. — Na deeze eerfte aan 't oogmerk wel beantwoordende proef, deedcn we ook over 't Stuk de volgende
TWEEDE PROEF NEEMING.
§.8. Debo; venkant FL van een ff.uk Houtis waterpas gefield , BK de eene kant eener Plank ABKL, üaat loodregt op FL, EK, Dl en CH zyn blokken,op mal-
krtnrïprpn f»n r>r%
FK geliapeld, de enden raaken aan BK , en de bovenkanten El, DH en CG zyn waterpas of evenwydig met F K Wy lieten van het hoogfte punt A, in de Goot AB, (zynde genoegzaam even eens eefebikt als in de voorgaande Proefneeming de Goot EF,) een Yvooren Klootje róllen, dat in 'tpuntC in weeke Klei ceêrviel; was 't blok CH alvorens weggenomen, dan viel 't Klootje in D; was 't Blok



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 45
Dl mede weggenomen, dan viel het in E; en als de blokken CH, Dl en fcKalvoorens alle waren weggenomen , dan kwam 't Klootje in F in de Klei neêr. De bodem der Goot by li was één Duim loodregt hooger als 'tpunt C, 4 Uuitn, boven 'tpunt D, 9, boven E, en 16 Duimen boven 'tpunt F, numoest ( de vooruitgaande vordering van 't Yvooren balletje gelykmaatig zynde) da.rom DH tweemaal, EI driemaal, en FK viermaal zo lang zyn als CG, 'c welk vry naby zo bevondnn wierd ; zynde gevolgelyk het Klootje, in zekeren tyd één Uuim gedaald zynde, in tweemaal die tyd 4, in driemaal die tyd 9, en in viermaal zo veel tvd »6 duimen gedaald, overeenkom (tig het gefielde in §. 1, dat ons te onderzoeken Hond.
De beide voorfhande Proefneemingen . van welke wy de eerfte ontleenden uit de Natuurkundige LesJen van den Abt Noleet, if. D. pas. 37', gaven aan ons Gezelfchap genoegen, en zy bevestigen hec geene wy , betreffende de verinellende beweeging
van vallende lichaamen, beredeneerd hebben.
Met weinig woorden zal ik nog iets zeggen van de Vertraagde beweeging van Lichaamen, die , met een zekere kragt , naar boven geworpen worden. r
§ 9- Zulke lichaamen zouden met de eens verkregene fnelheid altoos opklimmen, zo 'er geen vertraagende oorzaak aanwezig was: maar zulk eene oorzaak is 'er , en die is ramelyk de Zwaartekracht, welke nu even eens werkt, als dezelve werken\zou wanneer het lichaam neêrdaalde. Heeft een lichaèm , Joodrcgt naar om hoog geJreeven wordende , ebn fnelheid gelyk aan die, welke het hebben zou, wao\ neer het by voorbeeld 3 Seconden vry gevallen had] of van 3 Graaden, na eene Seconde geklommen t| hebben, zal het van zyne fnelheid door de Zwaarcelkragt ééne graad verlooren, en dus nog maar 2 graaiden fnelheids overbehouden hebben. Ik agt het onnoodig dit verder uittebreiden , uit al het tut hier toe F 3 voor-



4$ MENGELWERK v A s
voorgemelde kan men met weinig overdenking dit befluit opnamen: „ dat een lichaam, gevallen en „ io een zekere tyd /yn val voleind hebbende, en „ daarna loodregt beginnende op te klimmen , met „ die fnejheid, welke het aan 'c einde des vals verkreegen hul, in evenveel tyd, als het tot den val beüeedde het pui t bereiken zal, waar uit het be,, gon te vallen, en dat het dan ook Diet hooger kan opryzen ; dat de klimmende beweeging van het „ lichaam een vertraagde beweeging is, die in gely„ ke tyden gelykel\k verminderd." De beweeging van vallende en regt opwaardskümmendc lichaa* men tot hier toe befchouwd hebbende , zou ik nu overgaan ter befchouwirg van de verminderde z vv a a r i % en b u w e e c; i n o eens lichaamf, wanneer het op een hellend vlak geplaatst is, doch ik zal hier eens afbreeken, en deze befcUHiwing tot een andere gelegenheid uitftellen.
Verhandeling over de Leerwyze om d9 Wortels der VergelyUngen te veranderen. Door J. de Gelder.
k i. Nimmer dacht ik by het Voordellen van Vraagstuk L. aan ons Genootfchap, waar in ik voornam de Leerwyze, om de Wortels eener Vereelvkinge te veranderen, algemeen te rnaaken; dat mvre handelwyze my na een korte overweeging in 11 aar zou gefield hebben, die lloffe byna geheel uit te
pUtten. De yver om nuttig te zyn, heeft my,
ondanks myne wen ige lédige uuren , aangefpoord, om 'er een foort van kleine Verhandeling over te fchrvven, waar in ik mynen Kunstgenooten aantoonen wil, hoe verre ik in myne (*) Leerwyze ge* * vor-
(*) Men veïgeeve my deezen uitflap , indien buiten mm wetten de handelwyze, die ik bier zal voorftellen 3 ï?eds dc-pr anderen voor my is vporgefteM geworden.



WISKUNDIGE VERHANDELINGENenz. 47
vorderd ben,- in vertrouweo, dat deeze myne geringe arbeid den Beminnaaren der édele Wiskunde niec onaangenaam zal zyn.
I. BEPAALING.
§. 2. Wy verflaan door de Leerwyze, om de Wortels der Vergelykingen te veranderen , de Leerwyze, om uit de bepaalde Coëfficiënten der gegeevene Vergeïyking Czonder de Wortels in waardy te kennen,) die van eene andere te vinden, waar in de Wortels tot de Wortels van de gegeevene eene bepaalde betrekking hebben.
§. 3* Dus zuilen in ons Voorftel uit de bepaalde Coëfficiënten A,B,C, D, E enz. der gegeevene Ver-
B n—l 72—2
gelyking x - A x -~r B x - enz. zr o de onbekende Coëfficiënten A?, ti', C', D', E' enz. van de
» «—i n-2 n—3
gezogtevergelykingy -A'y +B'y — Cy + enz. ~ o moeten bepaald worden, gegeeven zynde de betrekking waar in x tot y ftaat, zynde in ons
l m p g voorgefleld geval yzz- O + ax +bx + enz.
m h -r e ) .
LEMMA.
§. 4. Zy gegeeven eene uitdrukking X (*), die niet aan de onbekende x met Mende grootheden in zich behelst :
(") Ik gebruike hier de kundigheid van uitdrukking boven die van Funltie, welke ik in het voorftellen van de 50 Vraag gebezigd heb, om dat ik deeze befchouw mees overeenkomst met den aart der zaaken te hebben.
F 4



4« MENGELWERK vah
helst: Ste? y ~ x: Indien dan onderscheidene waarden aan x gegeeven worden, zal y door de Subltitutie yan 'alle die waarden voor X in de uitdrukking van X , éven zoo veel veranderingen van waarde ondergaan, als aan & onderfcheidsne waarden gegeeven zyn.
B E W Y S,
Want indien y meer of min waarden dan * ver» kreeg, zou x meer of min waarden moeten hebben, dan zy waarlyk heeft, tegen deonderileiiiog. Derb. en?. Q. E. D.r
GEVOLG.
§. 5. Het is bekend ., of liever wy onderfteliert beweezen te zyn, dat het aantal der Wortelen van eene Vergelyking van een zékere magt , gelyk is aan de hoogite exponent der onbekende in die Vergelyking , ('t zy d;e Wortelen of alle wezentlyk, cd? gedeeltelyk wezentlyk en gedeeltelyk ingebeeld zyn): zpp is in deeze Vergelykipg x* — 9X* -h 26^-24 — 9 het aantal der Wortelen dne; om dat de exponent van de hoogttemagt, tot welke de onbekende opklimt^ gelyk 3 is, en zo ook met de overige.
Hjer uit en uit het bevveezene in §. 4. volgt, dat n n — i n - 2 Indiende Vergelyking ï s-Aï +Ba; —* »— 3 n n-1
,C# -h enz. 3=0 ineepe anderey -rA'y
n^.2
JfWy —C^ -j- enz. ™ o moet verarderd Worden: zodanig; dat y = X is, de gezochte Vergelyking éven zoo veele Wortelen als de gegeevene flinet hebben, en dus; dat beide Vergelykingeq van
^ejglfde a/meetirg zyn.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, ïnz. 49
6. Reeds is door ons Genootfchap hier en daar aangetoond, hoe men de Wortelen eener Verge ving veranderen kan, zonder derzelver waarde te Kennen , in gevallen die eenvoudig zyn. Zie Voorstel 68, 1. Deel der Kunstoefeningen pair. qo - 71, Slotauestie IJ. Deel. _ j& ü0f V0S el&n by A in zyn Zinnen-ConfecT; van Vooröel 107 tot
verictieidene opgelost zyn. iüfcwZBer geeft in den Aanhang van zyn Kunstkéten, van Voorftel 44 ot we'rr/nn ^en ^'lellen betrekkelyk dit onderwerp op. ^ De fchoone kunstgreepeft, waar van Zich die Wiskundigen bediend hebben, om tot hun voorgefteld oogmark te geraaken , zyn nie!: alge" meen, of bever onder geen gefchikte Leerw\ze eebragt. Men zou zelfs in zommige voorkomende gevallen verleegen zyn : hoe de üplosfing in ?e
lïiiin iTT, 0ns 00Smerk is thans alle deeze gevallen, behalven nog verfcheide anderen, waar van t' l uy bekeDde Schryvers geen voetfpoor gevon«Impn ' aa° eene al^meene Leerwyze te onder- . weipen» en zoo vepl ons mogelyk is aan de Oplosfing van deeze algemeene vraag paogen te voldoen.!
Hoe zal men, eene Vergelyking x " *-Ax "~1 _j.
n —2 n—2 Bx -Cj +enz.= o gegeeven zynde, , . . n n-11 n—2 n-i eene andere vinden y —A'y -j-B'^ — Ov
"ti03,*,^ °' waar in y = X is? x is h'er eene uitdrukking , waar in de Wortel x der gegeevene Vergelyking met bekende grootheden bevat is, van £in^etr. ene 8edaanten' fielyk uit deeze tafel
F 5 lyz



5o MENGELWERK van
m p q *
I. yzXr* +«ï +6* +cx +eDz.-|-ff.
I m p q r I
II. rX:-x(* -*-a,x +bx +cac +enz.+ej
«
III. 7=--
IV. y-X-—
xn
i a b
V. y=X= 1 i h enz. -i- e
m p q
r a b c \l
VI. 9=X-ëx ( ——-r-enz. + e)
* * *
m p b c d
VII. -yrXr* -ha* +-+-+- + enz.+*.
q r s
xxx
(3
VIII. ' - .
/ m p q v
ï(x +ax +bx +enz.+e J
IX. J-X=- —» *'en x" onderfcheidene uitdruk-
*1 kingen van x zynde, van de gedaante als in het Ilte geval.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. Ji
§.7 Wy zullen alle deeze gevallen in vier byzondere hoofdklasfen verdeelen. 1''. Waar in de onbekende x in de uitdrukking van X niet dan tot ftellige magten opklimt. a°. Het geval waar in x in de zamenftelling van X niet dan tot negative ontkennende of wederkeerige magten gaat. <]°. Waar in x gedeeltelyk tot ftellige magten, gedeeltelyk tot ontkennende verheven is.- 4». Eindelyk het geval, waar in a:1
D>= — gelyk in Formula IX. Maar op dat wy te x"
béter tot ons oogmerk komen, en te duidelyker onze zaak open leggen, zal het noodig zyn eenige bepaalingen van zaaken te geeven , en eene voornaame eigenfchap der Vergelykingen uit den grond op naar te fpeuren, door behulp van welk wy tot ons oog* snerk zullen koomen.
I. HYPOTHESIS.
§. 8. Het is eene bekende zaak, dat indien x 1 — 1 n — i n—3 n-4 —Ax +Bx -Cx tDï -enz.—o
eene Vergeiyking is, de Coëfficiënt A van den tweeden term gelyk is, aan de lom der Wortels, B gelyk de fom der ProduEien van de Wortels twee aan twee genoomeo, C de fom der Producten van de Wortels drie aan drie genoomen , enz. — Dit is eene waarheid, die wy onderdeden beweezen te zyn.
II. HYPOTHESIS.
§. 0. Insgelyks ook, dat uit de Coëfficiënten A, B, C, D • E enz. de lommen der eerlte, tweede, derde, vierde magten enz. der Wortelen van de Vergeiyking kunnen gevonden worden, gelyk zulks is aangetoond, Voorjl 248 derKunstoeff. II Deel.
II. BE-



5« MENGELWERK va»
II. BEPAALING.
o
§. 10. Zyn de Wortelen der Vergeiyking *
» —i 2 ft —3
+Bï -Cac + enz. zo, a, &, e, e, f, enz.: dan zal §.8. a + ö + c-r^-i-e + enz. ~ A. ab + ac + ad + ae + af + bc -'r bd -hbe + i/ cd -h enz.~B, <z&c -r- abd -H-enz»
~ C, n.hnrt.-\- pnz. -I) en zo ook met de overige.
Wy noemen derhalven a, b, c, d, enz. de deelen of termen der Coëfficiënt a, a& , ac, ad enz. de deelen of termen der Coëfficiënt B, abc, a&d, enz. die der Coëfficiënt C. enz. met de overige.
III. BEPAALING.
§. ii. Door de afmeeting (dimenfio) eenigerCtó/ficient van eene Vergeiyking verdaan wy het getal der Wortels, die in derzelver deelen of termen on. derling vermenigvuldigd zyn, welk getal altyd gelyk is aan de hoeveelfle der termen van de Vergeiyking, die met die Coëfficiënt is aangedaan, min één: zoo is A de Coëfficiënt van de tweede term der Vergeiyking van éene, B de Coëfficiënt van den derden term van twee, C van drie, D van vier afmeetingen.
GEVOLG.
§. 12. Hier uit volgt, dat de laaide of het lédige getal eener Vergeiyking met de Vergeiyking zelve eeue gelyke afmeeting heeft.
IV. BEPAALING.
§. T3. Een deel of term van eenige Coëfficiënt C zeg ik gelykvormig te zyn aan een deel of term van eene andere Co fficient E, wanneer alle de Wortelen,
die



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 53.
die bet deel of den term van de Coëfficiënt C te za™™.f.ïel!c°« °°k ^ het deel of den ferm van de Loeffictent fc, te vmden zyn: dus zyaaic. en ak<j? gelykvormige deelen of /*ra*B van de Coëfficiënten G enK, en zo ook met de overige.— Wy noemen in tegendeel ongelykvormige deelen, welke alle de Wortels waar u;t zy beiden te zamen gefield zyn niet gemeen hebben: zo zyn ab en def ongelykvormwe deelen van de Coëfficiënten B en C, en zo ook met de ove. N &' MeD ,mtrke wél °P> dat de term van eene Coëfficiënt van zékere afmeeting gerigt wordt aait dm term van een Coëfficiënt van hooger afmeetina gelykvormig te zyn. °
GEVOLG.
S' '4- Hier uit volgt , dat de term van eenige Coëfficiënt aan welken de term van eenige andere Coëfficiënt gelykvormig is, akyd deelbaar is door da term waar aan zy gelykvormig is, en omgekeerd.
I. VOORSTEL. I. THEOREMA.
§ iv. Elk één der deelen van eenige coëfficiënt eener Vergelyking is aan den laatften term of het ledige getal deezer V"".rgelyking gelykvormig.
B E W Y" S.
§ 16. Want naardien het ledige getal aan hetpro> duel: der Wortelen gelyk is, en de deelen der overige coëfficiënten van de termen der Vergeiyking altyd uit het producl van een minder aantal Wortels, dan hec ledige getal zelve zyn te famen gefield, ( § 8.) zyn elk één der termen van die coëfficiënten in het ledige
ge-



54 mengelwerk vah
getal deelbaar, derhalven met of aan het ledige getal gelykvormig, volg. (§ 14-)
q. E. d.
II. VOORSTEL. II. THEOREMA.
S 17. Indien men het ledige getal eener Vergeiyking door de termen van de ccëfficiert van zekeren term der Vergeiyking dee't, zullen de quotier+ten de termen of deelen van de coëfficiënt eens anderen terms van die zelfde Vergeiyking uitleveren: zodanig, dat de exponent van de afmeeting der coëfficiënt, welker termen tot deelers vertrekt hebben , met de exponent van de coëffici nt, welkers deelen of termen verkreegene quotiënten zyn , aan de exponent van de afmeeting tan het ledige getal , dat is aan de exponent van demagt der Vergeiyking gelyk zy.
n n-i n-s w"3, §18. Laat* - A* + B * —Ca; +
Dï - enz. - Pat + Qï - R * + S _ O eme Vergeiyking zyn, waar in de exponenten van de afmeeting van A en R, zynde 1 en «r ., te famen eel vk zyn aan de exponent van S, welke nis; de exponenten1 van B en Q gelyk de exponent van S; C en P te zarnea gelyk die van S, enz.; uit zo zynde is de zin van het Lemma , dat S, door alle de deelen van A gedeeld zvnde, alle de deelen van R, S, door alle de deelen van B gedeeld zynde , alle de deelen van Q, S, door alle de deelen van C.alle de deelen van P,enz. zal opieycren.
B E W Y S.
« 10. Wanneer S door alle de deelen van de (ient A, die aan de fom der Wortels g^w»^^



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 55
wordt, zullen, de quotiënten aan deproduclen van «-1 Wortelen der equatie gelyk zyn,\ § b "ZlyZl deeze quotiënten zullen de p/odudn? der' ivS eten n - 1 maai genomen op alle mogelyke wvzen £vn° want indien 'er minder termen in R gevoJdeS wier-
fedd Z,°vn - °f mee;dei\de^" van!jnS nje!£ deeld zyn : 'er zouden dus nog Wortelen famenle Reld zyn, die op die wyze j„ g nicï gcVidw ï£
£hh„daC on8erJnidlS: en meer termen kan hebben j want dan zou twee meer maaien het ze f! de deel van A m S moeten gedeeld Ivo dat dn. quotiënten zou voortbrengen die aaTelkander gelik zyn: er zou dus twee of meer maal het zelfde8deeï in R gevonden worden: dat ongerymd is; -I Der. haiyen alle de deelen vao A in het ledige getal ge" deeld, hebben alle de deelen van R tot quoSSet
lZ? l Worcelen °P a,le mogelyke wyzen twee aan
halven, indien alle de deelen van tecoëffcient b L het ledjge geta! S gedeeld worden, zullende dee! len van Q deeze deelingen tot quotiënten hebben.
§. 21. Op dezelfde wyze betoogt men dat in^,, bet ledige getal S door de deelen van de ctóS c gedeeld werden, te quotiënten de deelen Zf £ CoS ficient P zullen unieveren, en zo ook met de overige^"
I. GEVOLG.
JicientelnR "o^ ' ^''ndjeP de d^!en van de eoejpcienten R, Q,P, enz. m het ledige getal S gedeeld
wor-



56 MENGELWERK VAN
worden , de quotiënten de deelen van de coëfficiënten A, B, C, enz. zullen zyn.
II. G E V O L G.
r ,3. Dat in eenige Vergeiyking de coëfficknten der termen; die even verte van dé unerftens afftaan, eeö gelyk getal van deelen hebben.
III. GEVOLG.
S Dat de coëfficiënten R, Q. P, enz. dooi■het leLe4 getal S gefeeld , de quotiënten meen geta Seefen «rij. beten, du: aan het jt 1de dee
, r „ 1 , _[ j t- enz. —
zynde, zal - - - -p &. f f rf S
iii
gelyk de fom der /rotó» van-, - enz. twee aan „~.0r, pnr - Eene waarheid, waar S^i^SJ f£rS word afgeleid,
III. VOORSTEL. III. THEOREMA.
« as. Indien men heeft de Vergeiyking o ZZ - A -r 2 r-t 4— J^H" n"a B^C^D^-H^Fï ""f B?ï - , — Q " 1 + * : dan zat in de Vergeiyking y ~ -31
C n • a Dn-3 En-4 +P
. M — — -v -1 ■) — enz, 1
+ A* A A A
2 - Q + 1 1
A A . GE-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 5? B E W Y S.
.. i ''*'.'v;>
§. 26. Want door in y zt — alle de waarden van x
x te ftellen, zal y n onderfcheidene waarden verkry. gen volgens § 4.Lemma; de fom van alle deeze waarB
den zal gelyk zyn aan —, de fom der Produften twee A C
aan twee genöomen = — ,de fom derProdücïen drié A
D »
aan drie génoómeh == — ènz. § 24. Derhalven y
A
B n-i C n — i D 71 — 3 *- -7 y -\— y -— y + enz. = o A A A
t
heeft tot Wortels — , dat is dë eenheid, gedeeld door x
n n-i B-a de Wortels der Vergeiyking *-Q* +Px
+ &c. T E *s + E a;4 "r ,
+ _ + enz. zzz: o*
I. SCHOLION.
§ 27. Hier door hebben wy dus een Theorema ©ntdekt , waar door men eene Vergeiyking als
72 ?2-1 «-2 x —Ax 4-Ex — enz. E o in eene an<*
72 n— 1 « — 2 dere y —A'y -t-B'j -enz^z:o veranderen 1
kan, zodanig; dat y~>— is. — D't Taeorema oor-
deeien wy niet ongegrond te kunnen noemen: Theo* G tt*



53
MENGELWERK van
rema om de Wortels eener Vergeiyking om te keeren» Wy zullen hetzelve op eenige Voorbeelden in ge« tallen toepasten. —— Dan eer wy hier toe overgaan, zal ik eere Aanmerking rnaaken, die men niet uit het oog verliezen moet: zy is deeze.
aanmerking.
% 23. Men moet wel oplettende zyn of de coëffitienten van de termen eener Vergeiyking Jlellig of ontkennend zyn: want alfchoon een coëfficiënt het téken plus of minus voor zieh heeft , volgt daar alléén niet uit, dat zodanig een coëfficiënt in haar waarde befchouwd ftellig of ontkennend is. Het is bekend, dat indien alle de Wortels eener Vergeiyking ftellig zyn, de coëfficiënten der agterë en volgen de termen geduurig van tékens verwisfelen , terwyl de waarden van alle die coëfficiënten in de daad ftellig zyn. in eene cequatie, waar van alle de coëfficiënten ftellig zyn, is de tweede , vierde, zesde enz. term met het téken —, en de eerfte, derde, vyfde enz. met het téken + aangedaan: Wy noemen dan den coëfficiënt eens terms ftellig, wanneer zy, de verwisfeling der tékenen in acht neemende, het behoorlyke téken voor zich heeft; maar dit behoorlyke téken niet voor zich hebbende , noemen wy het ontkennend: Zoo zal in deeze ceguatie x3 + 3 X* — jj — 16=0, 16 een itellige coëfficiënt zyn, terwyl de overige 3 en 5 beide ontkennend zyn. Daar bet nu te pas komt om de coëfficiënten eener Vergeiyking door elkander te deelen, moet men ongetwyffeld hier op letten ; want de quotiënten deezer deeling zullen ftellig of ontkennend zyn , naar de régelen in de deeling der grootheden opgegeeven — deeze quotiënten, die de coëfficiënten der termen van de gezogte Vergeiyking zyn , moeten dan met plus of minus aangedaan worde'n, naar de plaats daar zy liaan moeten", en naar maate zy ftellig of ontkennend zyn. Al dit gezegde zullen de volgende voorbeelden duidelyker ophelderen.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN* enz? si
; §• 20. I. Voorbeeld. De Wortels van de Vagehhng ^~i9 ^^ina — xt9 — o 0% % keeren ?
Hier zyn alle de coëfficiënten der termen ftellig: dus de quotiënten van de eerfte en tweede dóór nee
in 27 19 fédige getal: dat is —- = — en insgelyks ftel-
189 63 i89
lig, eh de begeerde Vergeiyking ys ^.llly*
189 JBfi
1 1
—■-■ ~ o waarin y zz - is. 189 x
Dat dit waar zy kan door de proeven Bevestigd worden, Wy hebben voörbedagt eene Vergeiyking genoomen, waar van de Wortels zyn 3,7 en 9; dus
k —3 . x — i , w—9 ~ o, en men zal vinden dat
| t t —t 37 19 1
y-l- y-7 • y-9 = y3 y+—y-—
63 189 jos r—~ ö, waar van de Wortels f, f en ^ de omgekeer* de van 3, 7, 9 de Wortels der voorgeftelde Vergeiyking zyn.
§ 30. II. Voorbeeld. De Wortels van de Vergely. King x* -'r »3 — 29 x* — 9 x -r I80 — o ojjj ?é'
Hier zyn niet alle de coëfficiënten der termen fteüig, gelvk m het eerfte Voorbeeld: wy zullen daardm de" coëfficiënten met hunne behoorlyke tékens aan hec hoofd aldus tékenen.
** -h a3 —• 293c2 — $x + iSo 3 o
G a <feës



& MENGELWERK van
deelende nu + 9, - =P» - 1» + 1 door het ledi*s
9 _ 1 29
eetal + 180, zyn de quotiënten -i - ——> »
to 180 20 180
en -' de coëfficiënten der termen van de
180 . 180 begeerde Vergeiyking, welke is
* 29 1 1 -~
-,— <f + —y-' ! 0
20 lüO IÖO 18O
Indien iemand hier wcêr de proef wil opmaaken T zal hv bevinden, dat de Wortels van de gegeevene Vergeiyking zyn 3, 4, - 3 > - 5> en dat die van de verkreegene f, t, — 3 en ~ ? zvn#
K <?i III. Voorbeeld. De Wortels van de Vergeiyking i» - 1 i *a - ai * + * ~,° 3?» *"»B? Hier van zyn 1, 2 e« - | de #Vtefr.
Hier is men, éven al* in het voorgaande voorbeeld , in het geval daar de coëfficiënten der termen niet alle Heilig zyn, dus
+ -1- <*• 4ï3 — ita;' —2 f * -fc- 3 — 0
Wanneer men nu de coëfficiënten — 2 -f li en I door het lédige getal - 3 deeldt, zyn de quottenten .;_ - x en - t; de begeerde Vergeiyking zal dan zyn
}'3 - % r - f y + I = 0 Waar in 1, £ en - f_de Wortels zyn^dat men beprreven kt» door y^-Tx y -ï X y+! te vermenigvuldigen, g ^



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. $r
§ 3?. Dus ziet men nu door de> ondervinding de deugdzaamheid van het Theorema om de Wortels
eener Vergeiyking om te keeren bevestigd. -
Meer voorbeelden zou ik hebben kunnen bybrengent dan wy willen ook iets voor den Leezer hier omtrent overlaaten. Het Theorema is eenvoudig en van die natuur, dat, indien men het eens op twee of meer voorbeelden toegepast heeft het zich va?t in het geheugen prent, de meeste oplettenheid heeft men ondertusfchen in het bepaalen der tékens , die de coëfficiënten voor zich moeten hebben, te gebruiken Laat ons nu zien wat wy door dit Theorema verder in Raat zyn te doen.
II. S H O L 1 O N.
§ 33/ Hieruit leeren wy hoe men de fommen van de wederkeenge magten der Wortelen van eene: Ver" In?, lWD.ilal ' (wy verüaan h™ namelyk
TeZti7fttel{t m3gT fe d,eWelktr
riegaiiej is, ) W^m men heeft in dit geval niéts nn-
ren, en van de Wortels deezer nieuwe Vergeïvkinï de fommen der eerfte, tweede, derde enz. magten, gelvk in het bekende Theorema, zie §9m geleerd is 'tl bepaalen, welker fommen; de fommen der wederkee. nge magten van de Wortels der voorgeftelde Vergeiyking zullen zyn.
§ 34- Dewyl het bepaalen van de fommen der wéderkeenge magten van de Wortels eener Vereelyking, in het vervolg van veel gebruik zal zyn,
ophddeTeyn "* k°" V0°r"edd in Sm'len
Jjlx^nfd\^/eSeeven de ^rgelyking vn„ ,u ,u ■ ~~ — °' mw?f men Ae /ommen van de wederkeenge magten der Wortels te vinden?
$ 3*5' Indien men de Wortels der Vergeiyking om<j 3 keert,



MENGELWERK v ah
keert, verkrygt men s' - ^ z' + * - * = o eeea
i
Vergeiyking, waar in 2 = - § 26. Verge»
« «—— i
lykende deeze met de Vergeiyking z -«z
n-a «-3 » —4 n_5 : _ + 6% -yz -** +enz._o,
die wv in het vervolg deezer Verhandeling altyd de Vergeiyking noemen zullen , die uit de omkeenng
n
der Wortels van de gegeevene Vergeiyking *
71-1 »-2 »—3
_ Ax +R"X -Ca? + enz. ar o ont-, ftaat, noem de fommen van de eerfte,tweeae, derde , vierde enz. magten van de Wortels der «quant,
»*_"i»-r enz. =0, s, s\ s', sl", enz. dan
' 6
is#= 6= is 7 = -> S)ê,^enz.= o,en dop*
6 6 het bekende Theorema § 9. aangehaald, is;
it 5
S = «= — =1 —
6 6
ii i' 1349
9 6 6 3Ö 36
1 11 ii
S" =: -ï y - 6 f + «* x r' = 3 x - -ït — X 1 +■?
■•■ ** * 6 6 0
/ 49_25I_ 35_ \ aió aió



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 63
1 11 49 11 S,y/ =yXJ-eX!' + *x/--x IX —-1
6 6 36 6
/ 251 1393 _^ _97
V. 216 1296 1296
1 40 251
S'-'' -yxf'-exï//+«x/'' —- x ix —
6 36 216
/ li 1393 __8o5I_ 27f
\ 6 1296 7776 7776 I 251 1393
S""[ ZZ y X t"~ e X i«"+«X xry"£:** lx-—
6 216 1296
(+ 11 X8°SÏ"- 47449 — 743 V 6 7776 46656 46656 enz. enz.
En op dezelfde wyze voortgaande , kan men de fommen der wederkeerige magten van de Wortelen eener Vergeiyking tot in het oneindige bepaalen , gelyk uit dit ééne bygebragte voorbeeld genoegzaam blykt.
III. S C H O L I O N.
§ 37» Wy leeren hier uit nog hoe men uit de fommen der wederkeerige magten van eenige groothéden de groothéden zeiven vinden zal , hetwelk byna op gelyke wyze te werk gefield wordt als in
Voorftel 248. II, Deel der Kunstoeff. geleerd is. ■
Dan dewyl dit thans zo zeer tot ons onderwerp zelve niet behoort, zullen wy daar van niets meer zeggen , maar dit tot eene nadere gelégenheid befpaaren.
G 4 § 38.



$4 MENGELWERK van
§ 38. Tot hier toe hebben wy ons bezig gehou-, den met eenige noodzaakelyke voorafgaande kundigheden en eigenfchappen der Vergelykingen, die ons fiVchts tot ons voorgenoomen onderwerp inleiden, en welke men niet uit het oog verliezen moet; wy gaan nu daadelvk over om te zien: hoe men do Wortels van eene gegeevene Vergeiyking zonder derzelver waardy te kennen veranderen zak
IV. VOQRSTELj I. PROBLEMA.
n ,
§ 39. Om de Wortels van de Vergeiyking x -—■
n-ri «-2 °"^3 , ,
Ax +Bx -Cx + enz. ~o te herleiden
n »- 1 «-2 n— 3
in eene andere y s-A*J -l-B/y -C'y
m p q r
* enz = o, y zzx +ax -'rb* -hc.x. +enz, -h e zynde, waar in m, p,g,r enz pojilief zyn.
OPLOSSING.
S AO Hier moeten u.it de bekende coëfficiënten der gêgecv.ne Vergeiyking de coëfficiënten A". V' £• D' K' enz. enz., den gezoente Vcrgeryfiog behaald WPrden §, 3- — Om hier toe to ko. men , merken wy aan, dat S, i , b , 0 , -> enzde fommen der eerfte, tweede, derde, enz. Magten der Wortelen, (waar voor wy m tvervolg a^tvd deeze uitdrukking zullen bézigenj, uit de bekSde coëfficiënten A, B, C, D enz. der gegeevene Veraelykmg bekend worden. Oe geheele Kunstgreep, waar van wy ons bedtenen, b om uit deeze bekende fommen. de fommen van de eerfte, tweede, derde enz magten van de Wortelen der gezochte Vergely-
V.ing tot de magt ingeflooten te bepaalen - en rj^eUpaald *He, i^hfj ligt de coëfficiënten flg



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, mz. <fr
B', C', D', ej>z. van deeze Vergeiyking door het bekende Theorema te vinden.
§41. Indien in y :=r* + ax -i-bx +cx + enz. -f- e voor *■ begreepen worden, alle de Wentelen der gegeevene Vergeiyking afzonderlyk geplaatst te zyn, zal men de waarde van alle de Wortelen der gezochte Vergeiyking door deeze Sybftüutie volgens § 4 en 5 verkrygen, en dan merken wy aan. i°. Dat het lédige getal e in alle die Waarden zal begreepen zyn. a". Dat in elk der Waarden van y de grootheden a, bs c, in dezelfde rang zullen geplaatst blyven , vermenigvuldigende al tyd eene Waarde van A-tot demagt, p, q,r, enz, verhéven. — 3°. Dat de fom van alle die Waarden gelyk is aan
de de de fom der m magten van », met a maal de p de
magten van x,metl/ maal deq magten van x3 met cmaal
de
de r magten van x enz. met ra maal e gelyk aan de fom der Wortelen van de gezochte Vergeiyking.
m p j § 42. Indien wy verder y — x -\-ax +bx r
rj-c* -'r enz. -h e tot de tweede Magt verheffen; '
2»!
dan verkrygen wy j2 ZZ x -\- enz. -\- ee, waar x noodzaakelyk tot ftellige magten opklimt: indien wy nu als boven voor x alle deszelfs waarden begrypen geplaatst te zyn, zal men de Quadraaten van de Wortelen der gezochte Vergeiyking verkrygen, eri haar fom zal, even als in § 41. opgemerkt is, bepaald worden.
43. Op deeze wyze voortgaande zal men de feminien der derde, vierde, vyfde, zesde enz. magG 5 ten



66 MENGELWERK van
* de
ten der gezochte Vergeiyking, tot de n magt ingeilooten, kunnen bepaalen, gelyk uit de voorbeelden, die wy zullen bybrengen, allerduidelykst blyken zal.
5 44. Wy merken aas: t". Dat de fommen der Magten van de gegeevene Vergeiyking tot zoo verre moeten bepaald worden, als het product van de exponent van den hoogden term der Vergeiyking met de exponent van dien term, die de hoogfte afmeeting
in •v-a; +a* + enz. -f-e heeft. 20. Dat in het\~rvolgS, S', S", S'", S"'' de fommen dei■ eerfte, twee Te, derde magten van de gegeevene Verge. lykiPg, en f, k i\ s'% s"" enz. de fommen der eerfte, tweede, derde,magten enz. van de gezochte
zullen voorftellen. Dit onder het oog houdende,
«al het niet moeijelyk vallen de bewerking van de volgende voorbeelden te verdaan, en zelfs op andere voorbeelden toe te pasfeu,
I. VOORBEELD.
<X 45. De Vergelding *♦ - »*3 + 3 *a -4 * + 5^o eezeeven zynde, eene andere te vinden, waar m deWortelen de Heptagonaalen van de Wortelen der gegeevene Z'jn ( f ).
« 4tf. De Wortel der gegeevene Vergeiyking x 5xx-$x
zynde, is haar Heptagonaal ; = ii xx —
'3 2 m-ilxt dus in dit voorbeeld sy
Cf) Zie Vmfel<& I- D"l derKnnsteeffeningen.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, eks. 67
y ~ af**— 1 f y*zz6lx* — ilx*-{-2\xx y3zzi$ix's-2%lxs -;- I6^a;+-3la;,
Hier uit blykt nu dat van de gegeevene Vergeiyking der fommen der magcen van de Wortelen tot de' agtfte magt ingeflooten bepaald moeten worden.
Indien men nu de gegeevene Vergeiyking met de n n-i n—2 «-3 algemeene» -Ax -\-Bx -C* + «-4
D * — enz. vergel ykt, is s—4, A ~ 2, B ~ 3, C r^, Drzr ƒ, E, F. G enz. ZZZZ o, en volgens j. 44 en het algemeene Theorema, § 9, aangehaald, is
S =A = 2
S' =-2B + Af = -6-f-2X2 = -2
S" 5= sC-Bf-i-Aj'-12-3X 2-2X23+2 =-4D + Cj-Bj'-;-ilj" = -4X5 + 3
Sw =-Dj + Cf^Bf'/+Aj,"=-5X2-4
( X 2-3X 2-2'X 2 —-S8.
S'V»' =-Df/+C^'-Bj'" + Aj^'Jr-:-5X2
( -1-4 X 2-1- 3 X 2 — ax 2 8 = -32. 3'"J" r=-Di" + Ciy/'r - Bs/J"-'rAs"'"zz— 5 (X2-4X2 + 3X 28-2x32 — 4-2. $*W D^'+Cr"" — Br'""+ Ax""J":r (-r-J X, a - 4 X 2 8 4-3 x 3 2-1-2 X 2 = — 2.
Nu is volgens § 41, 42 en 43.
s =2iS/-ijS=:-2-;x2-§x2=:-s
4.' == 61S - 7i S'; + 2 5 S'= — 6 i x 2 —- 7k (X 2 —2ix2 —— 32.
r/? —;



68 MENGELWERK van
f" = i6|S"/-a8fS"'"+i6|S«'-3|S"=-i5* (X 32+ 28I X28— 16£x 2-31x2^+247. ,"'=^^S""/'-93^ S""/'+84f5S'"'"-33{S "* CS""+5f5S//'=-3f«Xa-93}|x 2-84^ ( X 32 + 5öi*X 28 - 5t* X 2 = - 20 30I.
cn door het algemeene Theorema, A'
A'x —x' -8X — 8 + 32
2 2 B'x —AY+x" —48x8—8x32+247 C' = =
3 3
( = -i3t.
C'x —B'x +AV'-x"' 131 x 8 — 48x32
V = =
4 4
(— 8x247 -1-20304 --'659 ij.
en derhalven is^i4 + 8 + 48 + '3' y + ^JPrl —o.
de begeerde Vergeiyking, waarin y~ ikx* -i*A-is.
Z)flt te vinden was.
II. V O O R B E E L D.
§ 47. Gegeeven zynde de Vergeiyking x3 -* ix^-h 0" £ — to ~ o, eene andere te vinden waar in de Wortel y zz x* + 6**+ 8*+ 4. is? (ft;.
§.'48.
Cit) Dit is het 203 uip Ualkens Zinnen.' Confeiï.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN , ENZ. €9
§ 48. In dit voorbeeld is y == x$ + 6x' + 8^+4
jy^rz: a;s-|-i2xi + 5ix4-f-lo4*s-r-ïi2 tf4+64#
(+iö.
31' == x* -f- ig *8 + 132 a:7 -p 5-16 x6 + 1200 (+1776*4 + 1712 k8 -h ioy6*, + 348x-r-64, dus blyfet het, dat van de gegeevene Vergeiyking de fommen van de Magten der Wortelen, tot de ne« gende toe, moeten bepaald worden.
Door het algemeene Theorema is ^ S =zA~i
S' = - 2B + A szz— 2xÓ -r 3 x 3 = - 3 S" =3C — Bx4-Ai'=3x io — 6x3-3x3=5 =;Cj-Bx'-!-Ax"-3x 10 + 6x3+3x3=57-
Sf' = c s'- b s"+ A t#£;*i 3 x 10 - ö x 3 -:- 3 x 57
( 123«
==C*'P Bs"'+A = 3 x 10-6 x 57 + 3 x C»*3 =3 57»
S"""=C/'-Bi"'+ A;^= iox 57-r.x I23T+
(3x57 = 3»
S"'""= C x""—B x ""'+ A x'1"" —10 x 123 - 6 x (57+3x3 = 897* S""""r C x'""- B x"""+ A x"">"= 10XS7 - 6 x 3 (+3X 897= 3243* Nu is volgens %■% 41, 42, 43, 44 enz,
x = " + 6xS'-i-8S + 3X4=-3-ï-Sx-3+8
(x 3-1-12 = 21
x' = S""'+i2S"" + yaS'" + to4S"+n2S' + f54 (S+3X iö — 57 +12X 123+ 52X 57 + I04 (x 3- H2X3 + Ö4X3 + 3X I6 = 47r3.



$0 MENGELWERK v aè
,» = S"'"" + i8S!"""+132 S""" + 5ï6 S""'41200 S"" + 1776 S"* + 1712S" + 1056 S' + 384S + 3X 64 = 3243 + 18x897-4-132x3 + «ci6Xf7 l-iaoox 123-K1776X57+17'* X3+1056X-3 + 384x3 +3x64=301341.
Èiüdelyk is door het algemeen Theorema.
A' = X = 2I
^ A's—s' 21x21 — 4713 m ^
2 2 B'x — As'+s" —213^x11-21x47^
~~" 3 * 3
/-+301341
V. ■—=52504
en dus i$ de begeerde Vergeiyking y1 — 2131* —21365 «— ^2504 = o.
J)at te vinden was.
§ 49. Deeze twee voorbeelden achten wy génoegzaam voldoende, om onze Theorie met voorbeelden opiehelderen en béter toe te lichten. Men ziet nu door deeze Leerwyze, hoe men te handelen heöbe, om de Wortels van .eenige Vergeiyking tot eene zékere magt te verheffen, tot Polygonaalen van welk gellacht het ook zy te herleiden; gelyk zulks uit vergeiyking van het gezegde, mee de formules van dc geflagten der Polygonaalen in Voorftel 345 Ct) opgegeeven, blykt, Maarwy kunnen verder gaan , en aantoonen , welke-meer zamengeftelde gevallen uit de Oplosfing van ons Problema voortvloeijen , gelyk wy daadelyk in de volgende Scholia gaan doen.
I. SCHO.
(t) II. Deel der Kunstoefeningen.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 7t
I. S C H O L I O N.
S 5°- tttf de Oplosfing van dit Voorftel Jeercrl wy, hoe men de Wortels * van eene Vergeiyking veranderen zal in eene andere, waar van de Wor-
l C m p q telsjzyn: zoodanig,dat 3? zz -xVx +a* + bx
/;
+cx +enz. + ej zy. — Hoe dit gefchiedt, valt klaar onder het verftand: want men heeft flechts eene Vergeiyking te vinden, waarin ( de Wortels %
m p q f noemende) zzz: x +a* + bx 4-c* +enz.+e zy; en hoe zulks gefchiedt, leert ons de Oplosfing van het voorgaande Voorftel — deeze gevonden ,
zoek eene Vergeiyking, welks Wortels «=2 ; d.u insgelyks op dezelfde wyze opgelost wordt als het Voorgaande. Van deeze nieuwe Vergeiyking heefc l
men flechts de Wortelen met — te vermenigvuldig h
gen; — waardoor dan alles verricht is, dat ver* eischt werdt, om de Wortels der gegeevene Vergeiyking de bepaalde verandering te doen ondergaan. Derhalven, enz.
II. SCHOLION.
§ ƒ1. De Oplosfing van het Voorftel leert ons is
de tweede plaats: hoe men eene Vergeiyking x " — n
enz. — o in eene andere y —enz. zzzz o veran-
tic*



7a MENGELWERK van
Cm p x +xx ■+■ enz. -H
+ a / 4- enz. + ej + enz. + ƒ. Want na dat men eene Vergeiyking gevonden heeft, waar van de
m p . Wortel z zzzzz x + ax + enz. + e zy, zal men op gelyke wyze eene tweede vinden , waar in de
s t u Wortel y~*z -r-ez + yz + enz. -i- f- Welke de begeerde zal zyn.
$ <2 Wv hebben nn in dit Voorftel, met de Scholia uit dezelve afgeleid, het eerfte geval van ons
algemeen Problema volledig afgehandeld. Lp
dezelfde gronden, waar op wy het geval, nu vooreefteld , gebouwd hebben , zal het met moeiielyk zyn de twee volgende gevallen, met al wat daar toe betrekking heeft, te boüwen.
V. VOORSTEL, li'. PROBLEMA.
n n—i n-i § 53. De Vergeiyking x —Ax -\-Bx »-3
+ qx + enz. : o gegeeven zynde, eene ar.'
n k-i »—2 n-3 Jerey+A'y +B'y +C'y +enz._ofa
lab vinden, waar in y zz- +- -r- + enz.+* is.
OP-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN , enz, ff
OPLOSSING.
§ 54. Keert de wortels van de gegeevene ajquatie n n-i n—2 om , dan verkrygc men x -<zz 4. g z 72-3 71-4 ** k -f Sz — enz. zz o. § 36. waarin z s£
.... m I P 1 q 1 * nier uit is % = , z Zz ~ 7. — - pn»
dus moet nu alleen maar de vergeiyking z «*-* «~3 ra «-1 »-a
"-«z -hëz — enz. in y — A'ji *f B'v 72—3
— «p enz. s= o veranderd worden; zodaa*
m p q toig, dat y zz z + az + &3 + enz. -|- tfzy,ea noe zulks gedaan Wordt , is in Voorftel 4 geleerd, terwyl het overige , dat in aanmerking kwam , ook alhier in aanmerking moet genomen worden. —« Alleen merken wy nog aan , dat de fommen der eerfte, tweede, derde, enz. wederkeerige magten zullen uitgedrukt worden door 3', S", S'", enz.
I. Voorbeeldt
§ 55* Gegeeven zynde de vergeiyking x* — 7*4- 12 t=o, eene vergeiyking te vinden waar in de wortel y
X X*
§ 56. De wortels x van de gegeevene vergeiyking 7 I
omkeerende , heeft men z* — — z + ~ ö, waar 12 12
door men de fommen der eerfte , tweede, derde, enz. der wederkeerige magten (welke hier t<öt de Vierde moeten gevonden worden) vinden kan ; want de H Ver*



74 MENGELWERK va» 7 I
vergeiyking za H = o met de algemee-
12 12
7 1
ne vergelykende,is nzzi, & —,y, &
12 12
enz. = o; derhalven S' r=«=l
12
i 7 7 25 S* =-2e+*xS'= +-x-z:—
6 12 )2 i44.
I 7 7 25 S7 =-ÊxSJ/+«xS"'= x ! x •
12 12 12 i44
(— 91 1728
S/w=-Cx'sv+#xS'/':=-- -x—+-x
12 144 12 91 337
1728 20616
ï 1
Nu is z+z*
1 a i y'ZZ--\ h~zzz* + 2z3 + z*,
X* X3 X*
7 25 ïoo. dus i=S'rS'';—| n —
12 144 144
•*5



wiskundige verhandelingen, ènz, ?$
aS 18a
f'=S" + aS»' + S'»'z:—--!
144 1728 20616 Ö121
"~* ao73<$'
Eindeiyk is door het algemeen Theorema
A' 109 144
, AV-f* 1 ƒ109 109 Ó"rai\
P~ =-X (-—X —) 3
2 2 X144 l'H 20736'
5 3«
, ■ 109 s
nier door is — — y 4- — zz o de begeerde verge«
144 36 t 1
lyking, Waarin y zz — 4- —*
Wil iemand de proef opmaakert\ hy zal bevinden * dat de wortels van de gegeevene Vergeiyking * zz 3
I 1 4,5 of 4 zyn, die van de gezochte y ZZ -4-—z:-of — 4
x x* 9 16
waar uit de Zekerheid van de Leerwyze doordeproe> Ven blykt.
II. Voorbeeld.
§ 57* Gegeeven zynde x* ■» 6 x* 4.11 * 6 zz o,
3
zebe in eene atóere te veranderen, waan» 31 ZZ *• 4*



16 MENGELWERK van
§ 58. De wortels x van de gegeevene vergeiyking it 1
omkeerende,heeft men zJ - —z2+z Ho,deeze
6 6
met de algemeene formulaa vergely kende, heeft men 11 1
Sri, yiz-t i enz. ~o, derhalven
6 «
li 5
S' _«__
6 6
11 ii 49
S*-- ae-i-ax S'--2xi+-x-=:-
6 6 36 13
(=1 —
36
3 »t
S'^xy-CxS'+axS''-—-xi +
6 6
(.1Ix49_a5I_I 35
6 36 216 ajó
enz., voortgaande, vindt menS""-i ,$'""
1096
2J7 793 tl i ——, S""" zz \ ——, en voor het overige op de-
7776 4665 zelfde wyze werkende als in het voorgaande Voorbeeld , zal men voor de gegeevene asquatie verkrygen
19 55 127
y%— 10— 3ia + 27—;y—21 —zo. 72 7a 288
SC HO-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 77
SCHOLION.
§ 59. Uk de twee laatst voorgaande Voorfteli™ leeren wy , hoe men de equatie Lar^ren zal , ij
Jet geval, waar y van deeze gedaante is x\«/ +
-4- -+ enz.; in dit geval moeten , behalven de
fommen der wederkeerige magten , ook dip «an ^ magten zelve gevonden worden: eSdfe JLiSd£ zynde, wordt de bewerking voor het ovèrife Qp S zelfde wyze verngt als in de overige Voorhielden. I Sloegen" "* °vervioe^°°S een Voorbeeld
HL VOORBEELD.
§ 60*. Gegeeven zynde »» -9*l + 26ar-24ro, en
3>-*» + -Di»-A'3(4-rB'oi-C'-o te vinden'? x
§ 6i.Inx« - Ax' + B *-C=ois A Z9, B~26> C_24, D, E, enz. zo, derhalven: ' S ZAZ9-
S' Z-2B + ASz-52 + 8ir + 29.
S'' =3C-BS-rAS'Z72-2r3x9 + 9X29Z99
S"' _ C S -B S' + A S" z 24 x 9- 2ÖX2Q + 9 x
S"'z CS' — BS'«+ AS- = 24X29-26S C+ox 353 z 1299. S"'"zCS"-B $'» + AS^-m x 99 - 26 x 3,3 (-t9Xi299Z48S9.
H 3 In-



?g MENGELWERK van
Indien men nu de Wortels der gegeevene verge, lyking omkeert , verkrygt men ss» +~z~'
» n-l
- o; deeze met de algemeenes -«« + *
8n-2 13 - 3
* * enz. 5= o vergelykende, is €-* g
i
en y =: —: derhalven 24
i3 i
S* =•»=—=« —
12 12
3 13 I3_ 6*
s-'n-ae-r-otxa; + -x---—'
4 12 12 144
13 »3 '3
/6i_ 307 \ó4 1728
3
Êfu is gegeeven y-X*-l—
9
derhalve» y*~x*+6x+—
X*
27
en 5'i:xs + 93C, + a7 4-— * x*
I3_ *
Welven * ~ S'+3XS, -29+3X--3a~
?



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 79
*' = S'" + 6S-r9S"=353-i-6x9+ / 61 13 ( 9X —Z410 — V 64 iS
f"-S"'" + dS"+3 X 27 + 27 xS'" (-4889 +9X 99 + 81 + 27X / 307 51
( =5855-
\ i?28 64
Eindelyk isA'=xz=32— 4
,ii 13
As-s' 32-X32 410 —
P,_. 4 4 16 S
* =3»4-
2 2 8
B'j-AV + j" 3i4-X32i-.4io— c,_ 8 4 16
3 3
r 1 51
I x 32 -+5805-
*| 4 64 i
I 1 = 920-
U 4
en de begeerde vergeiyking is y — 3a—ya +314J?
4 8
1 3 7—92ó-=Oj waarin yzzx'+-— is. 4 x
H 4 § 6a;



80 MENGELW. van WISK. VERHANDEL, ,enz«,
§ 62, Tot dus verre hebben wy ons voorgenomen onderwerp afgehandeld. — Veele andere gevallen kunnen 'er nog uit worden afgeleid, die wy aan het onderzoek onzer Leezeren overlaaten. Nublyftons nog hetlaatfte geval ter behandeling over, naamlyk,
waarin yzz—: dan dewyl de tyd ons nu niet toege» x"
laaten heeft dit aftehandelen , hebben wy goedgevonden dit tot een volgend Stukje te fpasren.
VER.



VERHANDELING
OVER DE
KANS-REKENING,
Voorgeleezen in eene ordinaire Vergadering van het Gezelfchap te Hoorn, onder de Spreuk:
DE WISKUNST QNS DOEI;
Den 3 September 1788.
DOOR
CORNEL1S BREEV1LT,
MTNE H E E R E N!
Alles wat immer op deeze wentelende Aarde den Werveling gebeurt , alles wat onder bet bereik zyuer zintuigen gefchiedt, en door hem wordt od. gemerkt, geeft hem (tof tot nadenken; bepaalt zyn ziel tot het nafpoorcn der oorzaken en gevolgenhy gist en yoorfpeld die, uit gronden , hem doo? de ondervinding, of door de natuur der zaaken geleerd , hy gist en voorfpeld die met een grootere of klemdere mate van zekerheid , ca de meerdere of mindere bepaaldheid der voorwerpen, en pyniet zich veelal door eene reikhalzende hoop, of zielknagenae vrees; met welk een dankbre vreugde zal hy, zo hy hoopende een ftreelend genoegen te eemoete ziet, de middelen zegenen, die hem de juiste waarde zyner hoop bepaalen ; hoe ftreelend zal hem de wetenfcbap zyn , die hem de grootheid der waarfchynlykheid dat zvne wenfchen vervuld zullen worden verklaart, Dit nu Myne Heeren, leert ft 5 on»



8a MENGELWERK VAM
ons de Moeder aller Weetenfcbappen, de geheiligd de Wiskunde, in dat deel haarer oeffening, dat wy deze nademiddag zouden behandelen; ik bedoele de berekening der Kansfen ; een ftoffe van zulk een luisterryke fchoonheid, dat wy ons niet behoeven te verwonderen, dat zo veel groote en beroemde maneen dezelve hunnen aandagt hebben waardig gekeurd: maar óok tevens een flof van zulk een onuitputbaare grootheid en onberekenbaare moeite , dat ik my van vermetelheid niet vry kan pleiten, dat ook ik my onderwinden durve, derzelver buiteufte fctiors in eenige weinige gevallen ÜL. voor te dragen ,het gewigt der ftofTe echter , derzelver noodzakelykheid in veele voorvallen onzes levens , UL. vriendelyke geneigdheid myne fouten met het floers van kunstmin te overdekken , geeft myn iever kragten, en verkleint de wederfland die myn bekrompen vernuft ontmoet.
Zeer onderfcheiden zyn de Gevallen , die ons by het berekenen der Kansfen kunnen voorkomen, het eenvoudigfte van alle is di::
De grootheid der waarfchynlykheid te vinden, . 'jat zeker voorval zoo en niet anders gebeure , de ! onderfcheiden mogelyke gevallen bekend zynde. ' Het is een algemeen bekende waarheid , dat in ieder voorval de waaTfchynlykheid dat hetzelve op een bepaalde wyze uitvalle , tot deszelfs zekerheid in dezelfde betrekking ttaat, als het aantal gevallen die hetzelve op de bepaalde wyze doen uitvallen, tot het aantal mogelyke gevallen die by hetzelve plaats
kUOmditedoo?'een voorbeeld optehelderen: laat het een Hiflorifche zekerheid hebben , dat een onzer, zonder bepalinge wie, binnen eenige bepaalde oogenblikken,zekere gelukkige gebeurtenis zal ontmoeten , l'e aantal gevallen die in 't geheel hier kunnen plaats hrbben. is even zo veel als het aantal perfoonen, m 'twelk ons tegenwoordigGezelfchapbeflaat, dathet



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, ekz. 83
echter my en geen uwer gebeure , hier toe heeft maar een geval plaats; derhalven ftaat de waaifchvulykheid dat het my en geep uwer gebeure, tot deszelfs zekerheid, gelyk de Eenheid tot het aantal perfoonen , uit welk ons tegenwoordig Gezelfchap beftaat.
Hier uit kunnen wy voorde waarfchynlykheid eener zaak , zo het aantal mogelyke gevallen bekend is, de zekerheid gelyk de Eenheid' Hellende, eene algemeene uitdrukking bekomen ; Want laat het aantal mogelyke gevallen a, het 'aantal gevallen in welke hetzelve na begeerte moet uitvallen, door b worden uitgedrukt, dan is de waarfchynlykheid , dat
b
hetzelve zoo en niet anders zalgefchieden, gelyk — , b a dewyl «■ : ï <; 8': a is,
- a • ";<*•< 3!j■ ; . ,
3-
Het komt derhalven in de berekening der Kans» fen voornamelyk aan , op het bepaalen van de menigte gevallen , die in zeker voorval kunnen plaats hebben, en der menigte gevallen, op welke hetzelve na begeerte kan uitvallen, om de waarde van deszelfs waarfchynlykheid te bepaalen ; deeze nu zyn zeer onderfcheiden, na de aart der zaaken , en wel zo meenigvuldig in onderfcheidenheid, ais dezelve meenigvuldig zyn in voorwerpen, welke in zekere zin van een oneindige verfcheidenheid genoemd kunnen worden, om ons ten voorbedde by eenige ftoffe te bepalen, zal de dobbelfteen , by het Lot zoo dikwerf in gebruik , ons een gefchikt voorwerp opleeveren.
, 4.
Zeer gemakkelyk kunnen wy de eenvoudigfte gevallen derzelven onder dit voorftel brengen. ?, Hoe groot is de waarfchynlykheid, om met «
„ dob-



«4 MENGELWERK van
„ dobbelfteenen , ieder hebbende a vlakke zyden,
een gegeeven menigte oagen te werpen?"
Het eerlte , waar op ons te letten ftaat, zyn de menigte van onderfcheiden worpen , die wy met n dobbei fteenen kunnen hebben.
Het is zeker dat wy, met een fteen werpende, even zoo veel gevallen kunnen hebben als de Üeen zyden heeft, dewyl alle zyden even gereed kunnen boven vallen , en voor ieder byzonder getal zich een byaondere zyde moet aanbieden ; derhalven zal de menigre mogelyke gevallen, zo de Heen a zydgn heeft, gelyk a zyn.
Geheel anders is het gelegen wanneer men met twee fteenen we-pt; want terwyl de eerfte fteen d.zelfde zyde beftendïg aanbiedt , kan de andere in de wo>-p a veranderingen rnaaken ; dewyl nu de eerfte fteen zelve a veranderingen ondergaan kan , en op ieder derzelve door de tweede a veranderingen gemaakt kunnen worden , is het aantal mogelyke gevallen, die met het werpen van twee fteenen kunnen voorkomen, axo —«»■
üp dezelve wyze kan men met drie fteenen werpende , terwyl de eene fteen bellendig dezelfde z\de aanbiedt, door de twee andere aa veranderingen hebben ; dit op gelyke wyze op ieder geval der e< rfte fteen , en hy zelve aan a veranderingen onderworppn zynde , is het aantal mogelyke verandcrirgen n x ^ a zzzzzra3. ' ....... ^
Op deeze wyze voortredeneerende, bevinden wy dat het aantal" mogelyke gevallen met 4 dobbslft.eenrn a4, niet vyf ZZZZ. as , enz. is, waar uit wv dit bt fluit kunnen opmaaken, dat het aantal mo. g. lyke gevallen uitgedrukt wordt, duor een magtvan de merygte zyden die ieder fteen heeft , welkers " Exponent gelyk is aan het aantal fteenen, waarmede geworpen wordt, of dat het aantal mogelyke geval, len van » dobbelfteenen, ieder hebbende a vlakk» «
zyden, zpz « is.
5.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. gj 5.
Dit nu gevonden hebbende, hebben wy in de tweede plaats te letten op de menigte van gevallen , die het begeerde aantal oogen aanbieden , het welk zich niet zoo gemakkelyk algemeen laat uitdrukken, öewyl du voor de byzondere gevallen zeer verfchil. lende is.
Laaten wy om dit te onderzoeken, onzegewoone Jemen ' hebbende 6 vlakke zyden, ten voorbeeld
Het is van een onbetwistbaare zekerheid, dat men met een fteen voor ieder byzonder aantal cogen even veel , en flegts een Kans heeft, dewyl alsdan die zyde moet boven vallen, op welke het begeerde aantal oogen getekend ftaat. 6
Geheel anders is het gelegen , wanneer men met meer als een fteen werpt; want met twee fteenen zal er geen mogelyk geval zyn om de eenheid te werpen dewyl daar toe de fteenen van blinde zyden zouden
gevï^niétT101 ^ ' ^in de ordinaire fteenen hec 2 Of .2 te werpen zal niet anders kunnen gefchie.
den, als met tweeAazen, of twee Zesien , derhal
ven is hier toe maar een geval mogelyk. Om 3 of ii te werpen, kan de eene fteen i en a
ot 6 en 5 aanbieden, wanneer de andere in tegendeel
,TJ* °JV ' of metr; of,6 moet boven vallen, waar toe derhalven twee Kansfen zyn.
Om 4 of [o te werpen, kan de eene fteen i, a of 3, ot met 6, 5 of 4 boven vallen; wanneer de andere 3» a or 1, of 4, 5 oftf moet aanbrengen; derhalven zyn bier toe 3 mogelyke gevallen.
Desgelyks kan de eene fteen, om 5 of o oogen te <• *,3of4, of6, 5,4of3oogefiaan! bieden, wanneer de andere met 4, 2 , 2 of 1, of mee 3, 4» 5 of 6 moet boven vallen, het welk derhalven Vier Kansfen oplevert.
Wederom om 6 of 8 oogen te werpen, kan de eene "een met i, 2, 3, 4 of 5 boven vallen, wanneer
de



86 MENGELWERK vil
de andere in tegendeel j» 4» 3> 2 of i, of 2, 5,4* 5 of 6 moet aanbieden , het welk dus vyf mogelyke gevallen uitmaakt. A
Eindelyk om 7 oogen te werpen, kan de eene Keert al zvn zyden aanbieden, wanneer de andere telkens met de tegenoverltaande zyde moet boven vallen, waaf toe derhalven zes mogelyke gevallen zyn.
Desgelyks zullen wy, met drie dobbelfteenen wer* oende , buiten ftaat zyn de twee kleinfte getallen te bekomen, ten zv de fteenen blinde zyden hebben.
Om a of 18 te werpen, moet ieder fteen met een Aas of zes boven vallen , het welk een geval uitmaakt.
Doch om 4 of 17 te werpen, kan de eene fteen rreT r of 2 , of met 6 of 5 boven vallen, wanneer de béide andere met hun beide 3 of 2; of n of 12 moeten opleveren , waar toe volgens bet voonge a en 1 Kansfen zyn, derhalven is het aantal mogelyke gc«
VaWederomkar7d7elne fteen, om 5 of 16 te hebben , met 1, 2, of 3, of met 6, j of 4 boven valulï wanneer de beide andere 4, 3. of 2, of 10, n of ia moeten uitleveren, waar toe 3» 2 en 1 kansfen zvn, makende te faamen 3 + a +1 == 6 gevallen. Om 6 of 15 te werpen, kan de eene fteen 1, a, 3 c nf/5 %, 4 of aanbieden, wanneer de fom l4oo"en op'de'beide3 andere 5, 4, 3 of 2, of 9, f* n of 12 moet zyn , waar toe 4, 3. *» & J Kansfen zyn , zynde in 't geheel 4 + 3 + 2 + 1-—
IODesle!yS Sn de eene fteen, om 7 of ,4 te Jn ml 1, 2, 3, 4 of s, of met 6, 5 » 4, 3 °f *
Ken kagen , wanneet de beide andere fteenen 6,
0 10 11 of 12 moet zyn , waar toe 6, 5,,4 , 3.
1 en i Kansfen zyn, gevolglyk in 't geheel © + 5+4 + 3 + a +1ZZZZ 21 gevallen mogely *. „



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. fSj
Nog eens om 9 of 12 te hebben, moet, terwyl de eene fteen al zyn zyden kan aanbieden, het aantal oogen op de beide andere 8, 7, 6, 5, 4 of 3, of °> 7» 8, 9, joof 11 zyn , maakende te faamen 5 +°+ƒ +4 + 3 -5-2^^:25 mogelyke gevallen.
liindelyk moeten de beide laatfte fteenen, om 10 ot 11 oogen te werpen, terwyl de eerfte al zyn zyden aanbiedt , 9 , 8 , 7, 6, 5 of 4, of 5, 6, 7. 8,9 ot 10 oogen hebben, waar toe het aantal Kansten 4, 5, e, 5, 4 en 3 is, zynde te faamen 4 + 5 + o + 5 -h 4 -+- 3 =s 27 mogelyke gevallen.
6.
Op gelyke wyze zouden wy voort kunnen gaan met het naipooren der byzondere Kansfen niet 4, &c. fteenen; dan Myne Heeren/ om 01. geduld niet langer te rekken , zullen wy ons vergenoegen met dit volgende 0
Tafeltje der Kansfen voor de byzondere WorDen met 1, 2, 3, 4 enS dobbelfteenen, welke met de grootfte of kleinstmogelyk/ie worp een se. geeven verfchil hebben,
Verfchillen der byzondere worpen met Aantal Kansfen met de grootst of kleinst
ïïfiï Mi IJ ML* Ste«en.
0 1 I 1 1 1 1
1 1 U 3 4 I 5
2 M 3 ' 6 10 15
3 x 4 110 20 35
4 M 5 15 35 70
5 1 I 6 21 56 126 o — I 5 2J 80 [205
7 - 4|a7 104 I305
8 — 3 |27 125- 420 9l- l 2 las 140 Isw



S8 MENGELWERK van Verfchillen enz, | Aantal Kansfen met |
Ü _» _3_| _4 | _5 _ Steene?1
lOl— 2 211 »46 6jl
lij 15 14° 735
12 - - 10 i«5 78o
13 _ - ö| i04| 780 14L - 3( 801 735
Ijl t\ 561 651
16 1 SS | 540
17 1 ao[ 420
18 j 10! 305
,p 4i 2OJ |
*o — j 1! 126
21 ' ! 70
- '« — 35
33 —I 15
34 • 1 5
ttSl— — —I 1 te faamen I 6I36I2 i61i296|7776 of |6l|ö» I 6'| 6+ | ós
7'
Wanneer wy op het voorige en deze Tafel het oog vesten, ontdekken wy:
I. Dat het kleinst mogelyke aantal oogen , mee ieder menigte van fteenen geworpen, gelyk is aan derzelver menigte, en het grootst mogelyke aantal gelyk het Produft van de menigte der fteenen met het aantal zyden van ieder fteeü.



WïsküNdïge verhandelingen, ér*.
ÏI. Dat derhalven dé menigte worpen, ieder van %en bilondér aantal oogen, de eenheid meerder is, als het product dat voortkomt, indien men de menigte der fteenen , rhet het aantal hunner zyden min de eenheid vermeenigvuïdigti
III. Dat indien wy een reeks van Eenheden, al» ten reeks van het eerde geflagt, een reeks vannatüuriyke getallen, als èen reeks van het tweede, een reeks van tngouaalen, als eene van het derde , een reeks Van derzelver Aggregaten , als eene 'van het vierdö geflagt, enz. aanmerken i ieder reeks van Kansfen* voor de agtereenvolgende menigte van oogen, zyn ootfprong heeft uit eene reeks, welkers geflagt door de menigte van Steenen wordt uitgedrukt.
ÏV. Dat wanneer wy de »xa-1 +1 eerfte termen eener reeks van het rade geflagt ter nederftellen, en
met de a-i-ide term beginnende, van de Volgende) termen , dezelve reeks, ieder term met het Coëffii eient der tweede term van de wde magt eener tweeledige grootheid vermeenigvuldigd, aftrekken; en. met de a-f-ide term der biyvende reeks weder beginnende , by dezelve de termen der reeks, ieder met: het Coëfficiënt der derde term van gezeide «de maga Vermenigvuldigd , byt'elleh; wederom met de a+i de term der komende reeks; beginnende op nieuws dé reeks zelve, iéder term met het Coëfficiënt der vier* de term van gezeide Éde magt vermeenigvuldigd, aftrekken, en zo ten einde voortgaan , beurtelings af» trekkende en bytellende, de a eerfte termen def reeks j, en van ieder voortkomende ry van getallen de bizondere Kansfen voor de agtereenvolgende worpen, met n Steenen , hebbendé ieder a vlakke zyden J züU len opleeveren, by voorbeeld:
De 2 x 6 -1 +1 c 11 eerfte termen eener reeks vaii het 2de geflagt,
Eyn I* a» 3» 4, 5, 6, 7j8, o, 10, li I Sub.



po MENGELWERK var
Sub. 2 maal dezelfde reeks 2,4» 6» 8, 10
Rest 5, 4, 3, », 1
Dus de agtereenvolgende Kansfen met 2 Steenen
1,2,3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, *J *> deu3X6-I + 1 = 16 eerfte termen eener reeks van het derde geflagt zyn
1,3,6,10,15,21, a8, 36,45,55,66,78,91,105,120,136 Sub. het 3 vout der reeks 3,9,18,30,45,63^,108^135^165
Rest .... 25,ft7,27,25i2«,i5,7,-3»-i5,-a9 Addeert het 3 voud der reeks . . . 3, 9, 18, 30
Komt 10, 6, 3, 1
Gevolelvk de agtereenvolgende Kansfen met drie Steenen ,^3,6,10,15,21,25,27,27,25,21,15,1 0,6,3,1 de 4x6-1 + 1 = 21 eerfte termen eener reeks van het 4de geflagt
zvn i,4,io,20,35,56184,l2o,l6?,22o,a86,364,4S5. * (56o,68o,8i6,969,n40,i330>»540,i77l Sub. de reeks X 4 • • • 4,16,40,80,140,204,336,480, öu ( 660,880,1144,1456,1820,2240,2720
Rest . . . 80,104,105,140,146,1 i9,8°.*o,~64» (-175,-316,-490,-70°, -949 Add. dezelvereeksx6 6,24,6o>iio,aio,33^40T>7ao,99Q
Komt 125,104,80,56,35,20, i4,»o, 41
Sub. dezelve reeks x 4 • • 4>Ï6",4Q
Rest I0'4'.1
Gevolglyk de agtereenvolgende Kansfen met vier
Steenen *
I,41io,20,35,56,8o,l04,i25,i40,i46,I4o,«5>ï04»
80,56,35,20,10,4,1.
Op



WÏSKÜNÖIGÉ VERHANDELINGEN * ene. j>ï
Op geïyke wyze van een reeks van het vyfde gèïlagt, beurtelings het 5, 10,10 en 5 voud der termen aftrekkende,en bytellende, zouden wy die agtereenvolgende Kansfen bekomen voor alle de worpen mee 5 Steenen , dat wy om de moeijelykheid zullen ag* terlaaten.
i.
Dewyl nu, volgéhds het ópderwys van den Heer 4. 13. Strabbe , in zyn 'Meid. tot de Matbem. Weetehfchappen, a Deel, png. 93 ; de Coëfficiënten der termen van de nde magt eener tweeledige grootheid van de ade tot de «de term , en dus van.
« «xn—1
»—I termen .uitgedrukt worden door — j s
1 ixa
«x n—txn—2
1 ■'» enz*.: en dé Verfchillen tusfchen
ix 3x3
üe begeerde worp, en de grootst of kleinst: mogelyke altoos een meerder is, als de rang die deszelfs toebehoorende Kans in de geheele ry van Kansfen heeft , of als de .Wortelen van de termen der reeks , waar uit de Kansfen hun oorfprong hebben , zal de Kans, om met » Steenen, ieder van a zyden, een getal te werpen, dat met dé grootfte of kleinfte werp m —1 verfchilt, voortkomen ; indien wy van een reeks van het riie geflagt, van de mis term, agtereenvolgende beurtelings hec
n x n — .1
* voud der m—atle term, het ——- —— voud det
* ix a
hxn-ix»-a
m üaade term, het —— voud der»—3ade
1x2 *3 term, enz. aftrekken, en bytellen,
I & Nu



92 MENGELWERK van
Nu is de algemeene uitdrukking voor de mde terra
«iXW+ixm-Hx&c.tot m+n—2 van het nde geflagt, ■ ■ '
ix 2x 3X&c.tot«—1 en indien'wy voor m agtereen volgend m - a, m-iajn - 3 a &c. dellen, zullen hun refpeétive termen worden uitge.
drukt door
ïn—ax m — fl-l-iX»»—o-H-ax &c# totra—a-f-w—2
IX 2X3 X &c. tot n — I
OT^2a x in-» a+ixm-a a+2x &c. tot »t-a a+n-a , . — —— enz.
1 x * x 3 X&ctot n—1 Gevolglyk hebben wy voor de Kans om met «dobbelfteenen ieder van a zyden, een getal te werpen, dat van de grootfte of kleinfte worp m- t verfchilt, dit formula:
mxm+ iX.m + vx &c. tot m + n-2. n m-ax IX ax 3 x&c.tot »-1 *i IX 77j —a -\^xm^a~+7x &c. nxn-i ^m-aax x 3 x &c. ' 1 x * ix
^2fl ■+■' I X &C.
^ 1- en zo vervolgens, tot zo lange
2 x 3 x &c.
het veelvoud van a meerder als m is. Dewyl nu de waarfchynlykheid dat zeker voorval na begeerte uitvalle, gelyk is aan het gedeelde van de meenigte gevallen die hetzelve na begeerte doen uitvallen, door die, die in "tgeheel mogelyk zyn, en het aantal mogelyke gevallen, die met n fteenen, ieder van a zy-
den , kunnen plaats grypen, door a" worden uitgedrukt . zo is derhalven de waarfchynlykheid om mee
n



WISKUNDIGS VERHANDELINGEN, mz, $3
«Steenen ieder van a zyden ti+m — I of an-trPi oogen te werpen:
1 . m+i . 7»+ 2 . &c.totf»+n-2 n m^a. an *• 2- 3 • &c.totn — 1 * 1 X 1 .
m-a+I.Bi-a + a.&c, m — 2a.m — aa+i . a 3 .&c. 1.2
t»-»2fl + 2.&C. r.fl —I
— x —j-&c.
3 . &c> 1.2
Om dit op onze gewoone dobbelfteenen toetepaslen, hebben wy fie«ts a = 6te ftellen, wanneer de waarfchynlykheid wordt uitgedrukt door
1 m.m+i.m-'r 2.dcc.totm+n^i n m^6. 6« 1. a . 3 .&c. tot n-i 1 * TT"*
fB—5. m—4. &c. n.n-i j»-ie. «^Tï.&c.
7- + x -i-&C.
2 . 3 . &c 1.2 1.2 .Sec.
Zo wy nun=5 ftellen, dan zsldewaarfebvnlykheid worden uitgedrukt om met 5 Steenen een getal te werpen dat van 5 of 3o,jb-i verfebile, door
1 ^».m-M.w» + 2,w4-3 m~6. m~--~5. m~Z4. *'\**- * '4 5A 1 . a ~~3~7 1 $ m



94 MENGELWERK va m
— — +*x ' ~~n—7^
a.3.4 I . a • 3 • 4
Om*dit ter toetfe te brengen, zo Uat de waarfchvnlvkheid begeert worden om met 5 Steenen 17 of 18 cehle?pen , dagn zyn de verfchillen, met de hoogfte of laagfte worp m-izzj$^^^^^4™n
780"
" " 7776*
0 ,X 1.2.3.4 1.2.3.4 1,2.3.4
rr- _ZÜ, dat met ons gefielde in de voorgaande
Tafel vSkomen overéènflemt. Het is betzelfde of met ï Steenen eenmaal , of met een Steen « SaalerwerptTdit maakt alleen onderfcheid in de 7yzl? van Stvoericg, niet in het wesen der zaak.
9,
r>e Gevallen der tweede foort die wy met het ^^en Sfdobbelfteenen ontmoeten , en van een



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 95
enkele faamenftelliog zyn, kunnen gevoeglyk onder dit voorftel gebragt worden.
Hoe groot is de waarfchynlykheid om met n dob» belfteenen, ieder hebbende a vlakke eyden, boven of beneden een gegeeven getal te werpen ?
Het is zeker dat, om boven of beneden een gegee? ven getal te werpen, de Kans even zo veel is als alle de Kansfen faamen genomen, die mogelyk zyn voor ieder aantal oogen dat aan het begeerde voldoet, dewyl nu de Kansfen voor de getallen die even veel, of van de kleinfte, of van de grootfte worp verfchillen, volgens het voorgaande gelyk zyn, zal ook het aan* tal Kansfen gelyk zyn, of men beneden of boven twee getallen begeert te werpen , welke met de kleinfte of grootfte worp gelyke verfchillen hebben.
Het is zeker dat men, om met een Steen boven de 5, of beneden de 2 te werpen, maar een Kans heeft, als 6 of 1.
Boven de 4 , of beneden 3, zyn a Kansfen, als 5 en 6, of a en 1.
Desgelyks zyn, om boven de 3 , of beneden de 4 te werpen, 3 Kansfen, als 4, 5 en 6, of 3,2 en 1, en zo vervolgens.
Om met twee dobbelfteenen boven 11 of beneden 3 te werpen, is flechts een Kans, als 12 of 2.
Boven 10 of beneden 4 zyn, volgens de voorgaande Tafel , 2+1 = 3 Kansfen, boven de 9 of beneden de 5, 3-1-2+1=6, enz. altoog de fom van alle de Kansfen die voor alle mogelyke getallen, boven of beneden het gegeeven getal gevonden worden , waarom wy ons hier mede niet zullen ophouden, maar enkel het volgende Tafeltje, uit het voorgaande famengefteld, zullen voordraagen.
I 4 Ta.



*S MENGELWERK van
Tafel der Kansfen» om met i, a, 3 , 4 , of 5 Stetnen boven of beneden een getal te werpen , dat, met de grootfte of kleinfte Worp een gegeeven verfchil heeft.
Verfchillen derby- I
ssondere worpen met Aantal Kansfen met J de grootst of kleinst
mogelyke ^ jrjj _3_ |_4 [ 3 j Steenen»
1 ii~ï 1 1 5
a 2 3 4 5 6
3 3 61 10 15 41
4 4 10 ao 3S 56[
5 5 15 35 70, 126'
6 6 21! 56 i26| 2521
7 - a6[ 81 206; 457 (
8- 30 108 310 7rt*r
9- 33 '35 435 Il8*f io -'35 160 575 1722j 31-36 181 721 2373!
12 - — IQ6 86i 3i©8[
13 -1— 206 986 3888 { 14 -212 1090 4668 f
15 „ — aij H70 5403(
16 - — 216 1226 6054 f
17 — I2Ö1 6594I
18 - -r- 12ÜI 7014
19 —~ ü9i 73I9|
ao _ -\— i29j 75341
BI I— I29Ö 76jöj
2« —i—- •—r 77201 23 — 7755I
*4 • 7770
25 - 7775
8t|. -|-— mm 7776J



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, wz. 97
io.
Deeze Tafel toont ons dat het aantal Kansfen, om met » Steenen boven of beneden een getal te werpen,
S r^?.tude*groo,fte of k,einüe worP een gegeeven verfchil heeft, op gelyke wyze als i„ het voorige kan gevonden worden , mits men in plaats van een Reeks te neemen, welkers geflagt door de meni?te der Steenen wordt uitgedrukt, zich thans van een Reeks bedient, welkers geflagt de Eenheid meerder i., ?effens Jn aanmerking neemende , dat daar de'verfchillen der worpen met de grootfte of kleinfte worp in de voor. gaande, telkens de Eenheid minder als de rans die deszelfs toebehoorende Kans in de geheele ry van SSSt!?™' deZdVe verfchillen ^ rangenthans Om dit weder met eenige voorbeelden aantetoonen. m^0^^ eerfte termen eene' ^ van
I»3Aio,i5,2i,i8,36,45,f5,66 bubfa maal dezelve reeks ... 2, 6,12,20,30
ReSt» 20,30,33.35>3<5
Derhalven 1,3,6,10, i5,*r,a6,3o,33,35,36 de Kansito om met twee bteenen boven of beneden een getal te werpen , dat met de grootfte of kleinfte worp 1. 2,3, &c tot 11 verfchilt. F '
De13 x 6 —-1 +■ 1 = jö eerfte termen eener Reeks van het vierde geflagt zyn:
i?4,10*20,35,56,84,120,i6/,220,28ö,3d4,455, (560,680,^16'
Sub,3maal dezelve Reeks 3,12,30,60, ior,i68,*s2, (360,405,660
Rest , f . 8l3io8,i35lIöo,iSj,iö6,203,aco,i85-,7j6 1 5 Add,



9I MENGELWERK van
Add. 3 maal dezelve Reeks ^, 3,18.30» tto
206,212.115,416
Derhalven i,4,10. «o, 35,56,81,xo8,T35>I io6Vto6,*w,aiS.»i6 de Kansfen om met 3 Steenen boven of beneden een getal te werpen, dat met de grootfte of kleinfte woip 1, 2, 3, &c. tot 16 verichilt.
Wederom de 4 x 6 - 1 +1 = ai eerfte termen eener Reeks van het 5de geflagt zyn:
'5' (238o,3o6o;3870,4845,5985,73i5,8855,»oö.6
Sub. 4 maal de Reeks 4,20,60,140,280,504,840,132°» * (-1980,2860,4004,5460,7280,
(9520,12240
Rest 3o6,2io,435,57S,7»i,86l>98°»
*ra Oo6o,io8o,ioi6,84i,5a5,
(35,-665,-iöH
Add. 6 maal de Reeks . . 6,3o,9o>*io*W56grio*
Komt 986^o^oTu70,i226,i26i,i28i5ii95,i3»5,i356
Sub. 4 maal de Reeks j 4, °o» 60
I29i,i295,196'
Gevolglyk ^^T»^^5JJ^*6i
lrfPtï Vevonden Tafel overeenkomt.
n «lvkrre"oudfn wydeKansfenbekomenom rr,SP/steerJny boven of beneden getallen te werpen
fchillen hebben , indien wy een Reeks van net ooe



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 99
geflagt gebruikten, en derzelver 5, 10, 10en5vond op gelyke wyze beurtelings aftrokken of bytelden.
n.
Het formula, zo even gevonden, is derhalven ook op ons tegenwoordig geval toepasfelyk , mits men
tn . m -\- 1 . m -\- 2 . dcc. tot m+n— a
de grootheden - - ~. ~ — ■ a
1 • 2 • 3 • &c. tot n-1
7»-a . m-a -f- 1. m-za+ 2 , &c. tot m-a+n-2
1 • » • 3 • &c. tot »-1 ' m - 24 . m - 20-}-1. &c tot f»- ia+«7^
— —— enz,
t . 2 . &c. tot n - \
ieder met een term vermeerderd , dewyl de uitdrukking van een Reeks van het "n"+~~ide geflagt
m. m + r . m + 2. &c, tot m+n - 1
voor de moe term
1.2. 3 . &c. tot n
m-a.m^a+ r.m-a+2.&c.tot
voor de m*ade term
* «3 .&e.toË
(W-20+B-1 n
«H-?a,fB-2fl + I ,f»-2a-f-2,
Yooraeea*2ajeterm .
» . 2 . 3 ,
(&c. totfB-2a-4-n-i &c, tot n
De^



ico MENGELWERK van
Derhalven is de algemeene uitdrukking om met « tiobbelfteenen, ieder van a zyden, boven of beneden een getal te werpen dat met de grootfte of kleinfte worp m verfchilt.
*».*»+ i .*»+2.&c.totwj-!-«-i n m-a.m-a+x. i. a . 3 . &c tot 72 I 1.3.
wi-a-j-a.&c. n.n-i «j-2a.«-aa-r-i.m-3a-ba.&c.
'-I- -X — —— -enz.
3 . &c. i. a i . a . 3 . &c.
Zo lang het veelvoud van * minder als m blyft. En voor de grootheid der waarfchynlykheid
i m.m-f-i .ra-r-2.&c.tot»j+b-1 « m-a.m-a-r-i.
- X X —
a« 1.2.3 .&c.tot b 1 1.2.
m-a-M.&c. ».»-! m-2a.m-2a+i-m-2a->r2. &c.
■ 1——-x— i-enz.
3 . Sec 1.» i.» . 3 • &c'
of zo wy met 6 voor a te ftellen dit formula op onze gewoone fteenen a toepasfelyk rnaaken.
I tb.m+i .TM-f-a.&c. totm+n-I n m-6.m-j.
- x '--x
6» I.3.3. &c.tot 7» I 1.2.
771-4 &c. m.b-i m-ia.m-11. m-10. &c.
3 . &c. 12 1 . a . 3 • &C
Stellendenu »=5, en m =13, dan hebben wy voor de waaifchynlykheid om met j Steenen boven 30—



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. lö?
w^S^q 5+ i3==i8-te "°p« — x——lil?-- Sx—9'10 5,4
7776 1.2.5.4 T'i.2.~+,rr
(x *»2.3-4»5 3888 r 1.2.3.4 " 7776 2 12.
Indien wy meer voorbeelden op de gefielde wPr toepasfelyk wilden bybrengen, zouden wy daar de ftof zo rykis, de paaien eener Gezelfchaps-VoorJerainge te verre ovcrfchryden; wy zuIIe/i ons derhalven met dit weinige vergenoegen, en thans overgaan tot een tweede geval der Kansrekening
„ Om naameiyk de grootheid der waarfchynlykheid „ te vinden , dat een voorval eenige maaien , of een „ ry van bepaalde voorvallen agter den anderen na „ begeerte uitvalle. c" UA
Laat de waarfchynlykheid dat zeker voorval nabeb
geerte uitvalle , door - worden uitgedrukt, dan zal a
de waarfchynlykheid dat het twee maal agter den an deren na genoegen uitvalle, na dat het reeds eenmaal
gelukt is =2 - zyn ; dan vooraf was 'er een waarfchynlykheid dat het eenmaal zoude gelukken = -
a
derhalven was doen de waarfchynlykheid -, om een
andere waarfchynlykheid te bekomen, welkers waarb
de mede=r- is; en gevolglyko&algerneeneuitdrukking



loa MENGELWERK van
king dat zeker voorval op een bepaalde wyze tweê
b b »I maal agter een gebeure - x - == -I *
Op gelyke wyze is de waarfchynlykheid na dat het teeds tweemaal gelukt is -, dat het ook de derde reis gelukke , maar dat het de twee^eerfte reizen ge*
lukke, is de waarfchynlykheid = *j , dat het derhalven driemaal agter een gelukke , daartoe heen marfchynlykheid, welke uitgedrukt wordt door -|
' 13
t *l t
a 01
t>> „^-rrpdeneerende, bevinden wy dat de waarop de bepaalde wyze voorkomt, -j »• enz. *
eens gebeure, tot eenJ?" reize'n dat hetzelve ponent gelyk is aan de
agter een op de bepaawe w,ze id der waari
, uHiC,r SS°m ^^i& ^S^n^i»^ agter een fchynlykheid, dat zeKer yuurv
of in » bepaalde reizen, twelk^ «e a B
fchil maakt , zo en niet ^^"j^ reis door



WISKUNDIGE VERHANDELINGENjENz. 103
doen uitvallen, door b worden uitgedrukt, deeze al« ~b\n
gemeene uitdrukking — j .
ai
Op gelyke wyze redeneerende, zal, indien de Kansfen voor de agtereenvolgende reizen ongelyk zyn, de waarfchynlykheid dat dezelve alle agter den anderen in de gegeeven orde voorkomen , het Produel: zyn , van de grootte der waarfchynlykheden » die ieder byzonder eigen is : dus zal men de waarfchynlykheid , dat n voorvallen agter den anderen of in een bepaalde orde gefchieden, waarvan de waar-
a c fchynlykheid voor het eerfte-, voor het tweede-»
e b d*
voor het derde — enz. is, uitdrukken door ——I ƒ bdf &c.
»3-
Beide deeze gevallen kunnen by het werpen der dobbelfteenen plaats hebben, by voorbeeld: Laat de Kans om met n Steenen m oogen te wer-
b
pen, door — worden afgebeeld, deeze zal in de 0
ade en 3de Worp even veel zyn , derhalven is de waarfchynlykheid om hetzelve p maal agter een te
doen = — | , of zo de agtereenvolgende Kansfen.
a I ' om met b Steenen alle de oogen van de kleinfte tot
de grootfte te werpen, worden uitgedrukt door---9
ede
""» —i —1 &c.» tot «xa-i+i termen; zozalde « .» n
* a « waar-



io4 MENGELWERK vam waarfchynlykheid om dezelve alle in een agtercenvoU
gende orde te werpen, gelyk zyn aan — x — x -
H i% w a a a
i
«
Op gelyke wyze zyn de Kansfen agtereenvolgérid verfchülende om met m kaarteblaaden , waar onder* r rooden, o ro >de blaaden agter elkander »e trekken, want de eerfte reis is het aantal blaaden ~ m, en de meenigte rooden =r, dus de waarfchynlykheid om
uit hetzelve een rood blad te trekken — —. Dan dit
m
gelukt zynde, blyven 'er m-1 blaaden , waar onder r- i rooden over, dus de waarfchynlykheid voor de
ade reis zzzzz ; voor de derde reis blyven er, zo
m— t
het tot nu toe gelukte , m-a blaaden over, waaf onder r—2 rooien, dus de waarfchynlykheid.^ r-«
"öp gelyke Wyze is de waarfchynlykheid voof de
f-3 r-4 r-s volgende reizen ———» ———» •—"" enz*» en 8e" n»-4 w»-y
r.r-i.
volgfyk om het « maaien agter een te doen —------
m.m-1 *
7^ . 7T3 . &c. tot r • « -1 in^a . *»~3 . &c tot t» - fl ' 1
14'



Wiskundige verhandelingen, enz, 105
Mi
Zo wy dit géval met nog een conditie vermeerdei ren, zal hetzelve een deel der Kansrekening opleveren , welke wy gevoeglyk Voor ons derde geval kunnen ftellen, namëlyk:
n 0m,de Grootheid der waarfchynlykheid te vin. „ den, dat zeker voorval in een gegeven menigte rei„ zen een ander gegeven menigte reizen, op een be3, paalde wyze uitvajle."
In dit geval hebben wy voor. eerst te letten op de menigte veranderingen die 'er plaats kunnen hebben i in welke reizen het begeerde geval voorkomt.
Laat ons, om deszelfs orde na te fpeuren ,"■ veren• derfteüen, dat net begeerde voorval in 2 reizen, 2, 1, of o maal moet plaats hebbea , voor het eerfte en laatfte zullen flegts een geval plaats hebben, maar het ade zal tweemaal kunnen gefchieden, namelyk 4 of in de eerfte, of in de tweede reis.
Zo het m drie reizen 3,2, iofo maal moet gelukken. zullen de mogelyke gevallen voor de eerfte en laatfte begeerde 1, vobi- de tweede drie zvn namelyk, m de eerfte en tweede, in de eerfte en derde of in de tweede en derde reis; voor het derde zullen mede drie gevallen plaatshebben, namelyk, of in dé eerfte, of in de tweede, of in de derde reis
Desgelyks zoo liet 4, 3, a, 1 of o maal in de 4 reizen moet plaats hebben, zyn de mogelykesevallen voor het eerfte en laatfte i, voor het tweede vier, a's ln. d? «r"^ tweede en derde of vierde, de eerfte of tweede met de derde en vierde reis; voor het derde zes, als-in de eerfte tnet de tweede , derde of vierde; in de_tweede met de derde of vierde, öf in de derde en vierde reis; en voor riet derde vier, als in de eerfte, tweede, derde of vierde reis;
Desgelyks bevindt men dat de mogelvke gevallen i met welke zeker iets 5, 4, 3, a, föf 6 maal indé InzTvoorkomen> l> 5» 10$ io, 5 en izyn, K De



io6 MENGELWERK vah
De mogelvke gevallen zyn derhalven agtereenvolgends de Coëfficiënten voor de agtereenvolgende termen van een gegeven Magt eener tweeledige grootheid , van welke het Exponent even zoo veel is als de menigte reizen in dewelke dezelve gefchieden moeten ; dus zyn de mogelyke gevallen , in welke zeker iets in m reizen m, jb-i, «1-2, m-3,
m m<m—i m»m- \ .m-i maal kan voorkomen ï, —, —> ————— 3
l 1.2 1.2*3
m . wi-i . m-2 . m — 3
, ,en derhalven de mogelyke ge*
1 . 2 . 3.4 vallen, dat zeker iets in m reizen £ maaien met verande-
wz.wi — t . ?»■*2. &c. totp-'r 1
ring kan voorkomen zz— —7" —— '• •
1 . 2 . 3 . &c. tot m*-p
15*
Indien nu de waarfchynlykheid dat zeker voorval gebeure door - word uitgedrukt, dan is de waarfchyn* lykheid dat hetzelve p maal agter den anderen, of in
p bepaalde reizen telkens gebeure —j , dan dit kan
m.m-1.7»-2.&c. totp-f.1
in m reizen op ■ • «onderfcheiden
1. 2. 3.&c.totm-p • wvzengefchieden, derhalven is de waarfchynlykheid dat zeker voorval p maaien in de mreizen na genoegen uitvalle.voor welkers waarfchynlykheid voor iedere by-
zon«



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN», tof
zondere*eis-is, gelyk- x ■
a «I, i X 2 x 3 X &c. tot
m'-p
Het is hetzelfde of rrien p rriaal het zelfde geval begeert, dan of men in een gegeven orde p gevallen, fosgeert, welke onderling in waarfchynlykheid verfchillen ; want in gevalle die door —, —, —, &c.
b d f
worden uitgedrukt, is de waarfchynlykheid ,dat de- ) zelve in p bepaalde reizen in de gegeven orde voorace &c.
komen, —
bdf &c.
Derhalven de waarfchynlykheid dat dezelve in m
- .. flec &C. 7b.jm-t.wj-2.
reizen zullen voorkomen*— x x -
hdf &c. 1.2.3,
'm - 3. &c. tot p + i 4 . &c: tot tn-p
Indien men nu in plaats van p maai in het zelfde yoorval de waarfchynlykheid begeert, dat * bvzon« dere gevallen in de m reizen zouden voorkomen, wel»
, . , - . ace
kers byzondere waarfchynlykheden , —, _ ZyD
b d ' ƒ' "
zal het dezelfde verandering als in het voorige geval maken, of de rang, in welke dezelve moer ".->orkomen, bepaald of onbepaald zy; want m t et ïfte Geval js de waarfchynlykheid dat dezelve alle agfcr een & 2 0f„



ï08 MENGELWERK van
ace
ofte p bepaalde gevallen voorkomen —-, en in
hpt laatfte ïfte; dat dit nu in m reizen gefchiedenkan ten opzichte der reizen in welke zy voorkomen m veraX ingcn gefcbieden ; derhalven als waarfchynlyk op het eerlte Geval en op het 2de p maaien met
m.ffTï .7«-2.&C.tOtp+I
verandering kan voorkomen -— ' _1 1.2.3. &c.totm-?
Indien nu de enkelvoudige waarfchynlykheid, dat
Beker voorval gebeure door - word uitgedrukt, dan
i. de waarfchvnlykheid dat hetzelve p maal agter den anderen ot mypybePaalde reizen voorkomt, volgens
7\*
dau dit kan in m reizen op
§. 12,— ^
^uCT-a.&c.totp+i onderfcheiden wyzen ge.
1.2 .3 • Sctotm-p fchieden; derhalven is de waarfchynlykheid, dat zeker voorval in de m reizen p maal na genoegen u t^tT%&£™*^*^ vooriederebyzondeb
ie reis - is, gelyk
a , 1
TjP m.m.i.ro-t.iw 3. fastot j> + l
«I 1. 2 . 3 • 4 • &c. tot »-j> ^



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz 109
Indien nu, in plsats van p maal een zelfde voorval, men de waarfchynlykheid begeerde, dat p byzondere gevallen zouden voorkomen , welkers byzondere ace
waarfchynlykheden — , -, &c. zyn, zal het bdf
dezelfde verandering als ki het voorige geval maken, of de rangen, in welke dezelve moeten" voorkomen , bepaald of orbepaald zyn; want ia het eerde geval is de waarfchynlykheid , dat dezelve^alle agter een of ace Sec.
m p bepaalde reizen voorkomen — , en in het
bdf &c. ace &c.
tweede IX2X3X &c. tot^x ; dat dit nu
bdf Sec.
in m reizen gefchiede, kan, ten opzichte der reizen in
m. m-i . m-2 . &c. tot
welke zy voorkomen , met
1.2 . 3 . &c. tot
p+i
-— veranderingen plaats hebben ; derhalven is de
Vl-p
r , , ace &c.
waarlchynlykheid in het eerfte geval -— ■«
bdf &c.
m.m-x.m-2. &c. totp-f-r
X • ■, en in het tweede
i.a. 3 . Sec. tot m p
ace &c. m . m — 1
geval iX2X3X&c.tot/x x —— ■ ■ *
t bdf Sic. i . a
,m-i. Sec. totp+"r
• 3 • &c. tot m -p
K 3 Cm



|f#, MENGELWERK v a ïf
Om derhalven met een Steen in vyf worpen twee» mail en niet meer een Aas te werpen, waar voor de «kdwudige waarfchynlykheid volgens §. 8. telkens
_,, 5-4-3
j is, is de waarfchynlykheid èl X ^7^— 2l6
5
' 18*
Of om met 1 Steenen in 6 reizen 0, W. nen ra te weipan? waar toe de byzondere waartchynlykhe-
den * , 1 , - en 5§ zyn, en de waarfchynlyk-
beid36 zoefde rÏng in welke zy moeten voorkomen
6x5_ 720 _ bepaald is, v| X ,1 X i| X T5 X — - 33592^
— s • en zo de rang onbepaald is, 1 X 2 X 3 """T 3 a 1 6X£ _ JJ2^ ?4Xr6X36X3^X3^^ 'X* 3359*3* 5
Ti-fc vnlffende Cfval dat ons in de berekening dee KaïLVSfheSt oog .alt, kunnen wy gevoeglyk
^VwheÜ r'wSynlykheid te vinden
&■«? zekSe geduurig voorkomende voorvalV £ ,7n het een! eerde? als in het ander zeker;
hebben, als; Waii.»



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. ut
Wanneer alle de voorvallen tèlkens gelyk voorkomen, of
Wanneer dezelve in een bepaalde agtereenvolgende orde voorkomen.
Laat de waarfchynlykheid , dat in ieder voorval het begeerde geval kan plaats hebben, worden uit-
a b c d gedrukt door — &c; dan is de waar»
m m m m fchynlykheid dat in ieder voorval het begeerde ge-|
m-a m — b m — c
val geen plaats zal hebben — ,, 1 — ,
m m m
m-d
, &c.; dat derhalven wanneer alle de voorval-
m
len eens voorkomen , het eerfte alleen na genoegen uitvalle, daar toe is de waarfchynlykheid volgens §.
a m — b m—c m—d 13» — X -— X —— X t&m X &c.
m m m m
En dat ieder volgende voorval alleen na genoegen uitvalle, daar toe zyn de waarfchynlykheden
b m-a m—c m—d
m m m m
c m—d m—b m—d
— X — X — x ——• x en*.
mm mm
d m-a m—b m—c m m m m *
£n zo vervolgens.
K 4 Of



W MENGELWERK vm
Of liever zoo de menigte van voorvallen door «. word uirgedrukt, zal de waarfchynlykheid dat ieder hunner alleen na begeerte uitvalle uitgedrukt wors den door
0. wi—■&.m — c.m — d. enz,
1. wj — (ï.w — &.f?t — d. «jïz^
n m
c.m — a.m — b.m —d. enz. ~~~ & ~~
Dewyl nu deeze uitdrukkingen voor ieder volgende reis dezelfde blyven, zullen de Kansfen, dat ia ieder voorval het. begeerde geval het eerfte plaats nebbe, in dezelfde orde blyven , en derhalven
tot elkander in reden zyn, als axm-bXm-cxm-d
X &c. bxm^~aXm-cxm-dx (Sec. cxm-axm-bx
Sic. dxm-axm-bxm-cx&c
Dewyl het nu een volkomen zekerheid heeft,dat van alle de voorvallen een derzelven het eerfte na begeerte uitvalle, moet de fom der waarfchynlyk-, heden voor dé by'zondere voorvallen, te faamen de. Eenheid opleveren, en derhalven de Eenheid zodanig verdeeld worden, dat de deelen tot elkander in de gegeven reden zyn; gevolglyk zullen de byzondere uitdrukkingen voor de waarfchynlykheden, dat in ieder der bvzondere voorvallen het begeer^ de het eerlte plaats heeft, uitgedrukt worden door. deeze formulen:



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz, ïr5
. a.m-b.m-c-
^a. m-b.m-c .m~^~d. &c. b. m~^a .: m~-~c *»-d x &c.
• w - d. &c. + c . m~7a . nlTb . m~Td . &c. + &c.
„ b.m-a.m-c-
a^m- b .m-c:.m-d. &c. + m~7a . m~c
* m-d . &c,
. » - g . &c. + c. ni-~a . „~b . .&C.-T-&C,
, . e.m-a.m-b
q^m -b.m-c.1n~d. &c. + b , «Ta . tn~vk
. m-d . &c. + c . m~^a . m^~b . ffl^.&c.+&c,
, d.m-a .m-b
O^m-b.rn^c. m~-~d . &c. -h b . m~-~a . m~b .m-c . &c.
.m-d .' &c. -r- c . m^7Tn~Tb7m~777&~lIrZ
Zynde,ieder een Breuk, welkers noemer uit even zoo veel termen beft™ als 'er voorvallen plaa!s gry! pen, en waar van de termen agtereenvolgenddeProK S duc-



n4 MENGELWERK vam
dutten zyn van de Kans in ieder voorval, dat in het zelve het begeerde geval plaats hebbe, en de Kanslen van alle de andere dat in dezelve het begeerde geen Dlaats hebbe , en welkers Tellers altoos die termen Ses Noemers zyn, die met het zelfde geval overeen*
k°üus*is, by voorbeeld, wanneer A, B en C telkens celvk met a Steenen fpcelen, A 7, B 9 en C 11 moet werpen, en die van hun het fpel zal winnen, die het eerst zyn begeerde getal geworpen heeft.
Daar de waarfchynlykheid om 7,9 of Iite werpen, volgens §. 8. ?g, en T|, of door verkleining „, li en r{ is, de waarfchynlykheid om te winnen
3.18-2.18-1
•fan A r: ■—— •—- ■ _ • ' _T
3.18-2.18-1 -f 2.18.3.18-i + 1.18-3.18 - 2 s 130
\ a6r
2.18-3.18- 1
van B — - .1 —
o.ig-2,i^i-i-2.i8-3''8-H-i.i8-3-18- a
(=-
\ 361
I.i8^3->"8-2 van C ZZ iu.1.1 '—»*•_ _ — L- —
3,18-2, i8-I + 2.18-3.18-1 + I-l}i-3 • l8"a \ 26I 17»



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, Eiiz. nj 17?
Dan indien de voorvallen telkens in een agtereen yolgende orde gebeuren, dan is in de eerfte reis de waarfchynlykheid, dat het begeerde geval by her.
a
eerfte voorval plaats heeft = - , en dat hetzelve m m—a
hier geen plaats heeft, —• ..
m
Derhalven is de waarfchynlykheid dat hét begeerde geval by het eerfte voorval niet, maar by het m-a.b
tweede voorkomt = , en dat hetzelve
m. m
m — a m<~b
ook daar niet gelukt, 5= —— x ,T m m
Hier door hebben wy voor de waarfchynlykheid, dat het begeerde geval eerst by het derde voorval m—a m—b c
voorkomt = x — x —, en dat het-
m m m
m—a m—b
zelve ook daar geen plaats hebbe = - x .
n m
m—c
m ,
Op gelyke wyze hebben wy voor de waarfchynlykheid, dat het begeerde geval by de drieeeifte voorvallen geen plaats, heeft, maar by het vierde na ge-
m-a m-b m-c m-d d joegen uitvalle, = — x — x — x — x —,
5?J m m m m '



n6 MENGELWERK van
m-a
en dat het by geen der vier voorvallen gelukke zz
m-b m-c m-d
x 2 . x ■ ■ X ; de waarfchynlykheid
m m m
dat het by de eerlte voorkominge eens voorvals gelukke, is derhalv. n voor ieder het vermeemgvuldigde van deszells Kans , om het begeerde geval te beko* men, met de Kansfen van alle de overige, om niet na begeerte uit te vallen, gedeeld door een magt van alle de mogelyke gevallen , welkers Exponent uitgedrukt word door de rang des voorvals.
De waarfchynlykheid dat alle de voorvallen eens voorkomen, zónder dat by een derzelve het begeer-
m- a m-b.m-c
de geval plaats heeft, is derhalven ———■———
, , gefield de menigte der voorvallen zzp is.
Hier door is de waarfchynlykheid dat het begeerde geval plaats zal hebben , wanneer het eerfle voorval
a m-a.m-b.m-c.&c. voor de tweede keer voorkomt — x ———— ——-,
771 P
of wanneer het tweede voorval voor de tweede reis
m-a.b m-a m b. m-c. m-d.&cc,
voorkomt x ■■ > . 1 »
7»» mü af wanneer het derde voorval voor de tweede reis
voor-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN ENZ. I»?
ma.m-b.c m-a.m-b;m-c.m~d. &c voorkomt ——»—- x ■ — ■ —
»i3 mp en zoo vervolgens.
Op gelyke wyze bevinden wy voor de waarfchyn* lykheid, dat het begeerde geval by dezelve plaats zal hebben, wanneer zy alle voor de derde reis voorkomen
a m a .m-b.m-c.m-d.&.c.\
voor het eerfte . . . — x —■ ■
m p nv
m-a.b m-a. m-b,m-c.m-d. &c.■ voor het tweede—'— x ——•— - ■ •
m* p m
m-a. m-b.c m-a. m-b. m-c.m-d.&c.\
voor hetderde — x .
ml p
en zoo vervolgens, 't welk op die wyze tot in 't oneindige zal voortgaan.
m-a.m-b.m'C.m-d. &c. Indien wy derhalven -- ,
mP
q
ZZ2Z — ftellen, zullen de waarfchynlykheden voor de r
byzondere voorvallen in de agtereenvolgende reizen uitgedrukt worden door deeze volgende formulen:
het



il& MENGELWERK vam
a aq aq*
het ïfte voorval — , —: s ~*7 &c«
m mr tnr*
'w7a.* m-a.bq m-a.bq* het tweede —— , ———- » &c tn* m*r m*r*
tnra.m b.c m-a,mb.c.q m-a.m-b.cq1
het derde i— » ] » ~~ &c*
tb» «i3 r m3 r2
TTamb.m'C d m-a m-b.m-c d.q m-a.m-b m-c.dq*
het vierde - - "—" * ~~ '
m* ra* r m4 r"
tot in 't oneindige.
De waarfchynlykheden derhalven dat in de byzondere voorvallen het begeerde geval het eerfte plaats heeft, worden uitgedrukt door deeze oneindige reekien
1 9 4' 9* f .
— x i + —h- + - + — +&c. ra r r» r3 r4 , ^
"ra^ï.fr 4 4S 9+
_- X 1+-+- + -+-+ &c. ra m r r2 r' y4
X 1+- + - + - + -+ &c'
mt r r* r* r*
~a.m~7'm~c.d q q2 I5 ?+
_ x I + - + - + - + - + &c-««&»
* r r* r» r<
En



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. W
En ftaan gevolglyk tot elkander in reden als —
m
m-a.b m-a.m b.c m-a.m-b .m-c ,d\
mm m* tn*
Dewyl nu hun aller fom de Eenheid moet opleveren, zo moet de Eenheid zelve zodanig verdeeld worden, dat de byzondere deelen tot elkander de eeeee. ven reden hebben. * 8
Derhalven zullen de waarfchynlykheden agtereen. volgende uitgedrukt worden door deeze formulen
, , arrt^
amf~~l +m-a.bmP~2+m^a~.mZT.cmp~'3
-J-m-fl. m-b.m-c.dmp~^-\- ^
amp~~I + m-a.bmP~~2 + m — a.m~-"Tt cm?"* m?-*
+ m- a.m-b.m — c.dm ^""4 +
_ m—a-m—b amp~~l + m-a.bmp~*2 + 7^T"a. w7&
* c mP""^+. m-a . m-b . m-c . dm}'~+ &c.
m- a



k» MENGELWERK v A ft
m-a.m-B
amp- i + mTla".èrnp"2 + m-a-«»-&
m-c.dmr — ■ ■-
iC)Sf"3 -j-m^a .m-b • m-c.dmp ^+ &c.
Zvnde ieder een Breuk, welkers Noemers uitgedrukt warden door de fom der agtereenvolgende afklimmende Magten van de generaale Noemer der Breuken, die de waarfchynlykheid van ieder voorval op zich velfs bepaalen, beginnende met de menigte der voor. va en min de Eenheid, en henbende ieder term ten Coëfficiënt het Produft dat voorkomt, indien men de Teller der bevestigende waarfchynlykheid van het Selvk in rang zynde voorval , met de Tellers der Sennende waarfchynlykheden van alle de voorSde voorvallen vermenigvuldigt, en welkersleb fis die termen der Noemers zyn, die met het voor, val zelve in rang overeenkomen; waar uitblykt, dat de waarfchynlykheid , dat het begeerde geval in het * vooJval het eerst zal voorkomen, veronderftellende
1 .
deszelfs Kans op zich zeiven = - »♦
m-a. m-b.m- c
ümP-l.[-n7-~a.bmp"1 + m~-~~a.m-b . cmp'3 . p-n
iTn^.&c . gm . ■ .
+ m-~a*nï-~b . m-c . dmp"* + enz.
In-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz, is»
. Indien derhalven wierd voorgefteld , dat A , B , C en D zarnen fpeelden mee eèn dobbel fteen, dat A, die het eerst moest werpen, boven de" 5, B, die de tweede beurt hadde, boven de 4, C,,diè de volgen,de beurt hadde , boven de 3, en D, wiens beurt h2t laatite was, boven de 2 moest werpen; dat zy beurtelings zouden fpeejen ; tot dat een van hun zyn begeerde worp bekomen hadde , die alsdan het geheele ipel zoude Winnen.
™i5fV°i?d? daIar 'ede"waarrch'yiflykheidomopz:i'ch
iZmTiïz?rd°'°'»• * - * "*
' T.Ö* 0 voorA ——■miiüh. ; ■ —
t.6t+6-i.2.6'+6-i,6-2.2.6+fa.l^.&2.4 49 voorB —i -JU ' - ■ • ; - ■ ■ _ 5
voorC- — . ■ 1S.
voorD ■£i±F^jf±-:_^^g
Zo fin de Kansfen dat het begeerde geval vnnrWi



jas MENGELWERK vak
; v^l
+ &c. p — a
p~i*y_ ^
p?-1 +^7Ix/>p"*-yp^i \'xpp'3-r-pTTl x/"4
4- &c.
pP-ï+^XpP^+pTl^/^-r-^^xp^'4 -+- &c. enz.
Derhalven zo vier perfoonen, A, B, C, en D ia deze orde beurtelings fpeelen, om het eerst aan een gegeeven conditie te voldoen, zal de waarfchynlykheid tot winst
4' . 64
voor A —*» 1 '■ ■—■
4»+ 3X4* + 9X4-+-27 '75
3X4' 48
voor B r" " *— '
43 + 3X42 + 9X4 + s7 *75
9X4 36
voor C ——— ' "**-tt
43-t-3X4' + 9X4 + 27 *75
27 27 en voor D — > == — zyn.
43+3X4a + 9X4 + 87 J75
30.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,.ek. i?3;
,aéB^^X.:^-fó^trfi*lfe57r na» 10 * ' np^
Het laatfte geval dat ons onder het oog valt is wanneer de mogelyke gevallen nog den een no» den anderen bekent zyn , maar de grootheid der waarichynlykheid bepaalt moet worden door reeds gedaane proefneemingen, uit welke men dpor gevolgtrekking de waarfchynlykheid voor ds volgende geval'en moet opmaken; dit geval laat zich gevoeglvk onder dit vöorltel voordragen-
„ De Grootheid der waarfchyrjlykheid te Vinden „ dat zeker voorval zoo en niet-anders uitvalle 'be-' „ kend zynde t hoe hetselve ju eenige voorgaande „ reizen is voorgekomen,"
Wanneer zeker voorval n maaien agter een op een bepaalde wyze is voorgekomen , en men de waarfchynlykheid voor een volgende reis begeerd te bepaaien, dan is de menigte gevallen die wy ia aanmerking kunnen nemen zzn-hi, ra nu deezer gevallen zyn bekent, en voldoen aan bat begeerde - het ande ré alleen is onbekent, derhalven ftaat de wa^rfcbvulykheid dac het ook de volgende réis gelu'kke 'vol geus §. 2., tot de zekerheid, gelyk «: ra-f-1 ,'ep js n
dus deszelfs uitdrukking =
n+i
Wanneer derhalven het voorval van de n reizen m maal op de bepaalde wyze, en h-m maal op :een andere wyze is voorgekomen , dan is op dezelve wyze als in het voonge geredeneerd, de waarfchynlyklreid dat het in de volgende reis ook op de bepaalde wyze i < ::-;!:jj-;ï.'i"fï'gV m ' ;'[ '' "';
•zal uitvallen = —— ; maar dat het op de andere » +1
manier, daar het n-m maal mede voorgekomen is
. n — in
zal uitvallen i is de waarfchynlykheid — ——; der. n-i-i n a half



«4 MENGELWERK van
i
halven rest er een waarfchynlykheid r= — da*
nH -„hP wVZe zal voorkomen, die tot nog toe Set /eluicf is Edoch wanneer het voorftel zekere be< ffinSn iSiaatrdie de laatfte waarfchynlykhe.d dat het zïlve voorval in een volgende re» op de bepaalde wyze voorkomen , tot het tegendeel m reden
n • «f het aantal proefneemingen d.e gelukt zyn, tot de menigte proefneemingen d.e ons in t geheel bekenten! en derhalven zal de waarfchynlykheid
voor het begeerde = -, «n voor het tegendeel fi
n-m
m
Laat ons dit door een voorbeeld ophelderen. De? ondervinding heeft my in n agtereenvolgende proefneemingen geleert,dat de zeilfteen het yzer aantrekt, ik befluit derhalven met een waarfchynlykheid =s
_ "... 5 dat dezelve Zeilfteen ook de volgende reis n+ i
het Vzer zal aantrekken; hoe grooter aantal nu van Sroefreemingen my hier van, of door eigen ondervindiS,of door die van andere bekend zyn; des te erSoter óokis de waarfchynlykhe.d, tot zy ten laatften een volkomen zekerheid wordt.
Nog eens uit een zak met boonen hebikina + fe reizen a zwarte en 6 witte boonen getrokken, dat ik nu de volgende reis een zwarte zal trekken, daar
toe is de waarfchynlykheid = en om een
wit»



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN3enz. 125
b
witte te trekken = ——— , en om eene a+b + i
te trekken, die met alle de anderen in couleur ver-
fchilr, is de waarfchynlykheid == 1— ; Edog
a-{-# + 1
zoo my bekent is dat er geen andere als zwarte en witte in gevoDden worden, zal deze laacfte waarfchynlykheid verdwynen , en gevolglyk de waarfchynlyk-
a
heid om een zwarte te trekken = ~—, en om
a-hb
b
een witte te trekken s= —— zyn. Deze wyze a-rb
egter om de groote der waarfchynlykheid te bepaa. len, is aan veel misflagen blootgefteïd, daar deszelfs gronden op geen zekerheid , maar enkel op waarfchynlykheden rusten; dau deze zullen, fchoon aan. merkelyk genoeg' zynde , wanneer men op weinig proefneemingen het befluit wil vesten > van zeer weinig aanbelang zyn , wanneer men in tegendeel een genoegzame menigte proefneemingen voorhanden heeft.
Zie daar, Myn Heeren! het geen ik van de Kansrekening meende UL. te moeten voordragen; weinig ik beken het , heb ik afgedaan; ve*l, zeer vee! ' blyft er overig, de ftoffe ook is te uitgebreid, myne vermogens zyn te bekrompen »om dezelve in eenige weinige oogenblikken uitteputten. Zoo deze ruwe fchets het geluk heeft UL. te voldoen; zoo die UL. over deze ryke ftof eenig ligt mag geven zal ik myne moeite rykelyk beloond agten; het zal my een nieuwe fpoore zyn, om by iedere gelegenheid te toonen , dat waarlyk de Wiskunst myn doel is.
& 3 LES'



LESSEN WERKTUIGKUNDE (a)\
Voorgeleezen aan het Phyfisch Genootfchap te
WORMEBVEER, O O O U-
A. V R TER.
I. LES. Inhoud van deze Lei.
ï Inleiding. II. Bepaling en verdeeling der WerkSS. WX.Vanhet zwaarheids-middenïunt ■ IV. Van t'zamengeftelde beweeging. V 'Van de verfnelde beweeging van vallende , en de vertraagde beweeg'.ng van regt opgeworpen Lichaamen.
I. INLEIDING.
MYNE HEEREN! VEEL GEACHTE MEDELEDEN VAN DIT PBTSISCH GENOOTSCHAP!
t % Tolgens gemaakte fchikking is de beurt nu aan '* V mv gekomen, om een ftuk der Natuurkunde ,nr dit Genootfchap voortedragen ; niet in de hoeSniBheid van een Meester , die aan zyne minderen ?f Srwyzelingen lesfen geeft, ver van daar; ik zal "Ken Medelid de natüurlyke verfchynfels opje-
fj. voor een eeruimen tyd is in dit Mengelwerk ge,C ?.t t>te Tri o en Itn fluk eener Verhandeling, Pove di iUV^« iet Werktuigkunde, ^or my ren dien einde gewnden. De verlichtingen van ons Vhjfnch Col-



MENGEL W. vak WISK. VERBAN 13,,, enz. u7
ven, ophelderen, door te, doene proefneemingen die verlchynfHs voor het oog tragten zigtbaar ce maken, ten einde om dan alles onderling' nader te overwe«en ik heb op my genomen de Werktuigkunde ( Mechanica), ia eemge op malkander volgende LesJen te verhandelen, en naar myn vermogen optehelde:en ; denkt iemand dat dezen arbeid voor mv te zwaar zal zyn , hy denkt met reden: ik zelfben 'er, meer dan een ander zyn kan, van overtuigd, my bekruipt waarlyk eene halvering, wanneer ik in aanmerking; neeme, aan de eene zy het gewigt en de belangrykheid vsn t onderwerp , en aan de andere kant myne geringe vermogens ; niectegenftaande die alles wil ik mvne kragten beproeven, en zien hoe ver ik 't, met beiiulp myner geleerde Voorgangers, brengen zal: als £ t°';l>TeD& W3t ik krin i dan zullen myne geëerde Medeleden en waardige Kunstvrienden myne te kortko. rningen wel gunftiglyk willen Verfchoonen. — Mvn betrek vorderd kortheid ; maar hierom echter zal ik my met veröorlooven groote fprongen te dóen, of iets wezenlyks , dat nuttig is geweeten te worden ,
over-
legie hadden my diestyds daar toe aanleiding gegeeven myne aantekeningen van die verrichtingen had ik"alleen' iyk gebragt in zulken orde, als ik meende dat het vorr ons Mengelwerk gefchikst was. Myn voornemen was toen wel het te vervolgen , maar dewyl het al wat verwylde eer het gezondene kon geplaatst worden, en dewyl andere dingen my verhinderden , is 'er van dat vervolg, tot heden toe, niet aekómen. Zedert is in d» viv ze , op welke wy in 't Phyfisch Collegie de natuur onderl zoeken, een merkelyke verandering gekomen; het Huk dat wy willen befchouwen , word nu gewooniyk door het voorleezen van eene Les of Verhandeling , daar toe oppeIteld , opgehelderd en verklaard , terwyl cUn daar op de noodige proefneemingen , ter meerdere bevestiging gedaan worden. My is ten deel gevallen voorlezingen te do-'ii over de Werktuigkunde QMsckanica-) , over de befpiegelende beide en beoeffenende Werktuigkunde , hier mede
, bsn
L 4



^aS MENGELWERK va?
overteflaan. Ik zal tragten myn onderwerp, hoewej met alle mogelyke beknoptheid, volledig te verhandelen; uit eene welgeitaafde waarheid, zaï ik, door fioede redenkavelingen , anderen pogén afteleiden , èn riet ztl^en zal het gebeuren dat ik de Wiskunde dienen zal dienstbaar te maken, zal ik al niet altoos öevoeclyk kunnen zeggen hoe ik geredeneerd heb, Öe uitkomst daar van evenwel zal ik niet in gebreke blyven kort en duidelyk, zo veel my mooglyk za| zyn, optegeven. Nu ter zaake,
II. Bepaling ej» verdeeling der Werktuigkunde.
2. De Werktuigkunde word begrepen in twee deelen te beftaan , te weeten , in eene betegelende, (Mechanica rationalist en beoeffenende Werk^u g. kunde ( Mechanica proEtica ). In het eerlte gedeelte befchouwd men de wetten en regels, mitsgaders de uitwerkfels ,van de beweeging der Lichaamen , wanneer hen , op de een of andere wyze, eene kragt, ( vis iwpresfa) cm zich te bewegen is ingedrukt Het andere gedeelte, de beoeffenende Werktuigkunde^,
ben ik aireede een aanmerkelyfc ftuk gevorderd, en 't overige ftaat volgens een gemaakt plan , by leven en. welzyn, «volgen. Deze Lesfen , zoo die reeds voorgelezen zyn als dilnog zullen volgen, heb ik gedagt dat konden d.enen ten vervolge van myne afgebroken* Verhandeling, baven gemeld ; ik befioot te gereeder om ze daar toe aantebieden , om dat ik hoopte dat ze, dus gemeen gemaakt, zynde, van eenig meerder nut zouden kunnen zyn, du wLeer ze flegts in een klein gezelfchap waren voorgelere".Ik heb '/genoegen , dat de Heeren Bestierders. van het MathematischGenoo'fchap, voor deze myne Lesfen over de Werktuigkunde, wel eene plaats hebben willen inrnhnen in hun Mengelwerk , en de Leezer ziet nu alhier het begin daar van. ' , ,
De Leïfen , welke te futnen ik wd aangemerkt bebben »ls eene Beknopte Schets der Werktuigkunde, ter aanleiding voor zulke die zich in die Weëtenfchap willen oerTeneni



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. ï2Q
zpmtyds by uitnemendheid, met uitfluiting van 'e eerfte gedeelte, de Werktuigkunde ( Mechanica j genoemd, dit gedeelte, zeg ik, behelst in >t algemeen de leer van 't evenwigt. Het leerd de leer der beweeging in 't befpjegeiend deel der Mechanica be. icriouwd , ten nutte en tot gebruik der Maatfchappv toetepasfen; 't leerd verfcheidene foorten van Werktuigen te vervaardigen, en met nut te gebruiken, Werk» tuigen, waar mede men verbazend zwaare Lichaamen en lasten tillen en vervoeren, en dat geene verrieten Kan , waar toe anders de krsgten van menfehen of lastdieren zeer ver te kort fchieten.'—— Dit onder, werp, myn Heerenl de befpiegelende beide en beoeffenende Werktuigkunde, zal ons nu eenigeCollegie-avonden onledig houden ; juist kan ik niet bepalen hoe veele avonden, ik heb wel een plan ontworpen , en daar in alles in tien Lesfni vervat, maar veelh>t zal de rykheid der ftoffe my zomwylen noodzaken om af, tebreken , en 't overige der les voor eene volgende byeenkomst te befpareo; ook weeten de Ijeeren dac wy in 't doen van proefneemingen niet aityd voorIpoedig flagen ; dit alleen kan ik belooven, dat ik de ftof met tragten zal te rekken, dat ik geene proef neemingen , die ik aanmerke weinig nuttig te zvn " pm te doen zal opgeven, en ook de nuttige niet ver' mcenigvuldjgen. Wanneer echter eenige proef, iv}
g<-s
de Lesfen, wilde ik zeggen, geve ik zonder eenige veran; dering, woordelyk zo als ik dezelve, aan 't Collegievoorlas; de nadere ophelderingen, die ik mogt goedgevinden 'er byl tevoegen. en welke dan voornaamlyk 't Maihematifche zullen betreffen, zal ik onder den text, by wy^e van Ntoten plaatfen. '
De eerfte Les bevat wel het ftuk, 't welke ik in de Verhandeling , waar van ik b.oyen fprak ,' befchonwde, en 't welke in dit Mengelwerk reeds is geplaatst, doet! de voordrant daar van , behalven dat ze koit is, is in deze Les zodanig, dat het juist niet als eere loutere herhaling Kan aangemerkt worden , des heb ik gemeend het in zyn verband te kunnen laten liaan, L 5



,5p MENGELWERK van
gefield om ons van eene waarheid, die van belang is, f overtuigen, niet wel, pfOegts half wel uitvalt, dan zot ik gaarne zien dat men dezelve herhaalde, al meest het op eene andere avond zyn; anders zou deTehandeling\-anonsbe!angryk onderwerp, door mvne Sbreklyke voordragt van zaken reeds onvol™«kt: ffenoeff , nog onvolmaakter worden. " Dk/^etreffèndemyn oogmerk, gezegd hebbende
«1 iL tot de byzondere zaken overgaan . Eerst
ia k fpreeken van het Middenpunt van zWaar e {Cm?romiraviWt«)vaneen Lichaam Dit ftuk heef te vefl betrekking tot de leer der beweeging, waar van wy handelen, om 'er geheel van te zwygen.
III. Fan hei zwaarheids-Middenpunt.
. in ieder lichaam is binnen in hetzelve zeker & Sodanis . dat , wanneer dit punt regtftandig S"erW" o d , het Lichaam dan nietnederwaards tl dS maar a s in evenwigt word opgehouden, Sr word alleen een ander als da punt onderShraaStdan daald eerstgemelde punt tot dat het doör een g beletzel niet meer kan dalen , even als ? in dit Dunt de gantfche zwaarte van 't lichaam of in dit punt s zwaarte was;
ÉÏSnoemt men m°et «gt het Middenpunt van ÜJrU varhet lichaam. De lyn, welke men loodzwaarte van n verbeeld getrokken te zvn,
KgliSm nPevenwi|t zynde, §heet de flreeklyn ÏS zwaarU, en 't is volgens de nctmnp dezer lyn dat hTlichaam , alleen Soor zyn zwaarte zich vry K^OTPfrende . naar beneden daald. b r gln lichaamen welke eene regelmatige form v»KKpn nis in een kloot, in een teerling,, cn derKe ' en wanneer ook alle deelen van het lichaam lelvkfóonig en van dezelfde digtbeid *yn, vale het Sewunt van zwaarte in 't juiste midden van luik een lichaam ; maar 't is 'er ver af dat men du van alle lichaamen kan zeggen, in zeer vele is het Sddenpunt van zwaarte een ander punt als bet



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 131
middenpunt van grootte. t Vet middenpunt van zwaarte is nader aan die zyde van het lichaam , welke of meene gelyke uitgebreidheid, meerderftofsheeft ' de form regelmaatig zynde, of dikker is, als de ande. re zyde, de deelen in 't laatfte geval overal gelvk" foortig zynde, 3
5- {k heb gezegd (|. 3,), dat het P"nt van zwaar, te behoorlyk moet onderfteund worden , zal het Lichaam in de hoogte worden opgehouden, én dat anders dat punt en het gancfche Lichaam noodzaaklyk moet dalen. Dit zuilen we door proeven be vestigen. r c"
I» Proefneeming
Neem een langwerpig ftukje hout, aan 't ondereinde lchum afgefneden ; zet het op hét fchuine end neder , _ dan moet by gevolge het lichaam icheef ftaan ; indien nu het middenpunt van zwaarte niet zo hoog is , dat de loodlyn van dat punt buiten de grondvlakte van het Lichaam vald , dan zal het Lichaam ftaan blyven ; maar zoo men 't langer maakt , waar door het zwaartepunt ryst, en zoo dat de loodlynige lyn van dat punt komt buiten dl grondvlakte, dan moet 't Lichaam omvallen dewyl het punt van zwaarte in dit geval niet naarbehooren onderfteund word.
Men
(b) De proeven , in deze lesfen opgegeeven, worden in 't Colligit alle gedaan, en, tot heden, of zo ver ik alreê roet rnyne voorleezingen gevorderd ben, hebben ze alle ook aan de verwagting wel voldaan, Doch in Werktuigkundige proefneemingen moet men gemèenlyk verwag, ten, dat de ondervinding niet ten vollen aan de befpiegeling zal beantwoorden , 't zy de wryving der Lugt, of eenig ander beletzel.'er de oorzaak van isj dikwyls heeft het wel meer dan eene oorzaak.



J3» MENGELWERK van
Men vind groote gevaarten m de waeteld,zwaare en hoogopgetrokkene Toorens, welke gehoon ze eene verbalende overhellende ftand hebben, nogtans op hun voetfteun ftaande blyven. De Natuurkundigen, handelende over het onderwerp waarvan ik nutpreeke, maken wel gewag van twee aanmerkelyk hellende Toorens in Italië. Eene namelyk te Pifa, welke rond en 138 voeten hoog is, en welkers top , volgens de loodlyn, wel 15 voeten buiten het grondvlak overfteekt; de andere Toorcn is te Bolonje, is vierkant en 130 voeten hoog . hellende de top 9 voeten buiten de grondvlakte, k Heb, betreffende deze beide Toorens, gevolgd de opgaave >,an den Heere EsDRé, Natuurl. Wysbegeerte t I, Peel, pag. 45».
II. proefneeming.
f, Een ftuk hout, van het midden naar ieder end tot een punt toeloopende, hebbende dus de gedaante van een dubbele Kegel , legge men over twee lades of lineaalen , deze lineaalen zyn aan dit einde zeer naby malkacderen, leggende men de Ke£3 zo <P dezelve , dat het dikfte des Kegels, of het midden van 't hout, juist kome in 't midden tusfchen gemelde lineaalen ; dezer andere einden zyn van rralkander merkelyk verwyderd, en verheffen zieh ook een weinig boven 't waterpas , dat is, de bovenkanten der lineaalen loopen van de Kegel at allengs-kens opwaards. De Kegel zal fchyneu by de hoogte opterollen ; ik zeg, 't ?al zo ichynen, waat eietrlyk daald defzelfs zwaartepunt ofwel c geheele Kegelvormig Lichaam, 'tzelve word naar de uiteinden gedurig dunner, cn vind, voortrollende, zyn fteunfel, op de van een wykende latjes ot lineaalen, geftaêg nader by zyne punten,
7<



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN en*, is*
7. Gelyk ieder lichaam zyn middenpunt van zwaarte heeft (c), zo is 'er ook, wanneer twéé of meer lichaamen met malkander verbonden zyn , een punt tusfchen dezelve, 't welk men als 'tgenieene zwaar, tepuöt dezer lichaamen moet aanmerken. Dan hier zal ik nu niet verder intreden , 't zal beter pasfënals de grondbeginfels van de weegkundige Werktuig, kunde (Mechanica Statica) ontvouwd zyn, als wy1 over de Balans handelen. Het dan tot dien tyd uitltellende, zal ik nu tot iets anders, namelyk,tot de befchouwing der famengejlelde beweging een* hchaams overgaan*
IV. Van i'zameógefteide beweeging.
8. Wanneer maar ééne kragt op een Lichaam werkt, en het uit zyne rust tot beweeging brenet • dan word zulk eene beweeging enkeld, eene eenvoudige beweeging , genoemd , en volgd de ftreek . waarm de beweegkragc , de kragt , welke dé beweeging veroorzaakt , werkt. Maar 't kan gebeuren dat meer kragten dan ééne , in verfchillePnV richtingen, te gelyk np een lichaam werken 1 t zelve voortteftooten ; de beweeging die zidken lichaam verkrygt , word t'/amengelteld genoemd ais veroorzaakt door de faamgevoegde werking van verfcheide, in verfchillende richtingen werkende kragten. Een Schip by voorbeeld, zeilende op een fterk ftroomend water, en wordende door de
ftrooni
(c) Te vinden of te bepalen het middenpunt van zwaarte, in lichaamen van een verfchillende fohrri ofte' dunte, was geen ongefchikte of nuttelooze uoffe om in Voorftellen optegeven. Hier, in eene Verhandeling over de Werktuigkunde , zou het wat te grooten mtftap zvn en twas veel te omlkgtig in een Noot, gemerkt dt lichaamen op zo veelerlei wyzen gevormd zyn!



J34 MENGELWERK vak
ftroom zydwaafds afgevoerd , heeft eer.e Garage, ftelde beweeging, twee vermogens (wind cn Aroom name'vk; )ibrengen het in onderfcheide ftreeken m bewSini; wat g. beurd 'er nu? de dadelyke voort-gang van ?t Schip is niet in de leiding des «rooms, ook niet in de ftreek in welke men ftuurt, maar in een ftreek tusfchen die beide in gelegen;
o De kennis, rakende de t'famengeftelde beweeging eens lichaams is van niet weinig aanbelang, wanneer men zich in de Werktuigkunde begeerd te oeffenen , in dé volgende Les za dezelve ilreede te ftaade komen , als wy namelyk de beweeging eens lichaams langs eene helling gadellaan. Ik zal bieronr de faamgeftelde beweeging , of de beweeging van een lichaam , k Welke door twee vermogens in onderfcheide richtingen word voortgeduurd , door eene Figuur of Af beelding, (i) nog een weinig meer tragten optehelderen.. Het lichaam in A
° r a Annr trnep kragten te
uitgedrukt door de ongeiyKiau^ ,ymu ^ «... » d t Hchaam zal dus, nog in B nog « O, maar ,n T komen. Wanneer het, volgens de leiding ab, de K|^,n a tot 13 voorwaards gevorderd is, is t ter LX tvd /volgens de leiding AD, van de ftreek. fvn 1b lyd^aardlgeweken, de lengte AD, gevolgdyk zal het CBC evenlang en evenwydig met AD
fd\ Onder 't voorlezen m 'tPhyfisch Collegie, fUan de "et kryt op een zwart bord getekend, voor ieders oog ten toon.
gelyk aangedaan , door de eene word het Lichaam gedreeven in de leiding AB, en de tweede kragt werkt in de leiding A D , de fnelheden door deeze onder cheiden beweegkragten aan het lichaam gegeeven i worden



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. i35
getrokken zynde) in C zyn, op 't oogenblik ais 'tin li ot ü zou geweest hebben, wanneer alleenlvk ééne van de bode beweegkragten had gewerkc. Indedaad word nu het lichaam bewogen langs de geflipte lyn AC, de hoeklyn (diagonaal) van 't evenwvdig raam ABCD, waar van AB en AD zyden zvn. Met welken hoek de beide flreeklynen, in welk éde beweegkragten werken , ook aan malkanderen liggen, als men die flreeklynen A£ en AD, zo als ze met een de fnelheid van *t bewogen Lichaam in elke ftreek of leiding uitdrukke n , aaamerkt als zyden van een evenwydig raam, za! 't Lichaam altyd de hoeklyn van dat raam afloopen, en wel in de tyd welke het noodig zou hebben om van A tot B te komen, wanneer namelyk de andere beweegkragt, werkendeinde leiding AD, buiten werking was'gebleeven.
Myn meening, en 't geene ik gezegd hebbe in de laatfte aanmerking ontvangt misfehien eenie meerder hcht door de volgende af beddingen , waar mede ik twee gevallen vertoone, in ieder van welke de flreeklynen der beweegkrachten geen rechte hoek mee elkander maken, of niet in de winkelhaak aan malKander liggen. Zie hier die afbeeldi
De beweegingeeüs Lichaams, waar van ik nu géiproken heb, zal ik ditmaal door geene proeven trasten aantetoonen , 't zou nu te veel tyd wegneemen en ik vleie my ook dat het ftuk, door'teeëne 'er over gezegd is, tamelyk wel zal begrepen zyn. Geluste het ondertusfehen iemand der Leden de proefneemingen na te zien , door dit Collegie een geruimen tyd geleden, rakende de t'famengeftelde beweeging,
ge-
by ik, na al het voorzeide , niets meer terophelderingebehoeve te voegen.



135 MENGELWERK v a H
gedaan , die kan in myne Jantekeningen (e ) van onze 58de byecnkomst te regt raken: —- Van een geval tot ons onderwerp behoorende, moet ik , eer ik 'er van af (lappe, egter nog fpreeken; en 't Zelve zal ik door éene proefneeming ophelderen.
in A beweegt zich «it dat punt, met zekere fnelheid , langs dé horifontaale ftreek AB , op 't 00genblik dat Het door zyne zwaartekracht, begint vry neder•waards te dalen , volgens de loodlynige lyn AC; nu zal het volgens 't voltige nog in B nóg in C komen, maar zich dadelyk beweegen in
fchen A B en A C in leid, en in dit geval zal het lichaam voortgaan niet in eèn regte maar in een gebogen lyn , zo als in de Figuur door de geftippeldekromjne lyn AKLM word aangewezen,. De fcelheid in de wa'erpasfe rigting AB blyft dezelfde, maar die in het rieêr alen word geftadig grooter, hier door moet de waare ftrtèk van beweeging geduurig meer naar de loodlyn heUen , en 't zich beweegecd lichaam een kromme lvn in de lucht befchryveri. Ik zal de natuur eu eigenfehappen dezer kromme niet, immers
ui
( e) Aanwyzingen gelyk deze, zyn alleen diénftig vodr de Leden van 't Pkyjitch Gezelfchap ; myne aantekeningen van hunne verrigiingen heb ik,in een boek byeentevoegd,' aan '1 CoUegie overgegeeven , wiar heen ik in deze Lesferi aomtyds wyze.



Wiskundige verhandelingen,ttw. i3?
nu niét meetkundig ontvouwen Cf)» dit zou rnvwat ver buiten myn bellek voeren , maar ik zal nog door eene proef aantoonen, dat zulken lichaam indedaad laDgs eene kromme lyn voortfnelt.
il proefneeming.
Op een bord of plank, ioodregt ftaande zeer kort agter t zich beweegend lichaam , is het regthoekirf
keri,
(/) Het is een Parabool, of èeh halve Parahóoï, san dé tene zyde der As ; A de Top des Parabools, en A C des^ zélfs As zynde, zyn AG en AH Abfcisjen, eh GK, Hlï
derzelver Ordinaten, van deeze Kromme, want ciT^fhat
tot HL :: AG : AHj volgens de ConftruUie de? figuur i Zo als in de opgaave der aanftonds volgende proefneecnin? blvkt, welke evenredigheid een eigenfchap des Parabools is. lVlyn Lezers kunnen over deeze kromme lyn nazien, in t I. Deel der Kunst-Oeffeniv gen 3 van de koégé Meetkuttlunde, pag, 89. enzen byzonder ,over de gemelde •ren* ledigheid, $ 2j aldaar.
m
tekend s waar van de zyde AFhorifontaal ligt, en A 1 daald gevolglyk loodregt naar beneden ; A F is in D en E in drie gelyke deelen gedeeld, AI is ook in drieën gedeeld , maar zo dat de deelen AG, GH en Hl tot malkanderen zyn als de getallen 1, 3 en 5; uit D en E zyn de evenwydige lynen met AI getrok-



ï38 MENGELWERK vam
ken, gelyk als uit G en H evenwydige met A F getrokken zyn. Laat men nu een yvooren of dergelyk klootje rollen langs een holgebogen goot, zo dat het, by 't punt A gekomen zynde, daar 't ook door zvn zvvaartekragt vry begint te daalen , volgens de leiding van de horifontaale lyn AF zich beweegt, met eene fnelheid , waar door het van A tot D vorderd, ïn den tyd dat het volgens de loodlyn uit A tot (j door zyn zwaartekragt daald , dan zullen de punten by K L en M, daar de evengemelde evenwydige lynen malkanderen doorfnyden , den krommen loopftreek afbakenen, welke het zich beweegend klootje befchryft. Ik heb, ten voorbedde, de'zyden Ah eo.A.1 ieder Üegts in drie deelen gedeeld , wanneer men die zvden in meer deelen deeld, zorg dragende dat de deelen van AI, van 't punt A af, tot malkanderen zyn als de oneven getallen i , 3 > 5 ■> 7 » 9 enz.' * dan kunnen we, in maoiere als'voren, meer plaatien bepaalen, van den weg in welke t klootje, van A af, zich beweegd. . .
Om ons te overtuigen dat het klootje indedaad dien' afaebakendtn loopftreek volgd , plaatst men iti opgemelde punten, welke dien weg bepaalen, ot in den weg van 'r klootje, ringetjes, zo dat het klootje daar, en wel eenigzins ruim, door kan gaan; nu zorg dragende dat het klootje in A de vereischte fnelheid en richting heeft , dan zal het gebeuren, dat hec door alle deze ringetjes heen loopt; de plaat ürig nu der rin^etjts toond, dat de loopftreek van tklootje geen re?,re, maar een kromme loopftreek is. Dat. te bewyzen was.
V Van de verfoeide beweeging van vallende, en ' de vertraagde beweeging van regt opgeworpen Lichaamen.
% n Om alléenlyk te bewyzen dat het klootje, |„ 't geftelde geval, zich volgens eene kromme k>op-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,èm. ï3Jj
ftreek beweégd , zm ik zo veel omflag nier gemaakt: hebben, maarde gedaane proefnee ming dif nd rnec een , om de Wet der verfhelling Van een vry vai£5 lichaam, geduurende deszelfs val,aaotetoonen- Mee daar van nog een kort woord te zeggen, en van de vertraagde beweeging eens regt opgeworpen Lichaams zal deze myne i. Les -afloopen. H}1 °,ns °J deze proefneemtag gebleeken dat het klootje door de punten K, L, M Inz. liep , (men houae het oog nog op dezelfde Figuur, ) als wy nu opmerken dat dat lichaamtje in K evenveel voorwaards van A gevorderd was, als in L zyne vootwaardfche vordering Van K af bedraagd, en zo vervolgens, dan begrypenwy, gemerkt de voorwaardfche beweéeinttyo gens de_richting van de horifontaale lyn A F, el! lykmaatig is, dat het klootje evenveel tyd hefteed heeft om van A in K te komen , als om van K in L, of van LraMte komen, enz. Dus is 'tklootie in een zekere tyd, volgens de loodlvn, van A. (daar t begint vry te vallen; tot G , in twee iuike■tydefl van A tot H, en m drie tyden van A tot 1, gedaald s herinneren we ons nu dat de deelen van 3e loodlvn AI, namelyk AG, GH, Hl, enz. tot maïïde! ren zyn als. de oneven getallen i, 3, <■, 7 enz dan blykt ons, dat een lichaam , vry door zyn zwaartekragt neerdalende, en in een tyd,ik zal maarzeggeii jn eene feconde, doorloopende! of zakkende een foaatfie die gelyk 1 is, in a feconden door zal loopen eet* fpaatfle die gelyk 4 , in 3 feconden een fpaatfle die gelyk 9» in 4 feconden een fpaatfle die gelyk 16 ie en zo voort, zo lang als 't Lichaam blyft vallen; Zrt dat door de proefneming gebleken is: „ dat de „ ruimten , door een vallend Lichaam doorgelooj» pen , tot malkanderen zyn als de vierkanten der 5i tyden, daar toe hefteed." Eene proef kundig fieftaafde waarheid, die van Zeer veel gebruik is in de •leer der beweeging.
§ 12._ Deze natuurwet, betreffende de geftadiara Verfneiling van een vryvallend Lichaam , kan men ook aantoonen, door wiskunftige redeneringen, ge-



i4o MENGELWERK vak
bouwd op natuurkundige in 't algemeen aangenomen? erondftellingen (g) ; maar daar zal ik nu met intreden, 'k heb misfchien de attentie der Heeren reeds te lang vermoeid, 't is genoeg, wy hebben tituK proefkundig bevestigd gezien. Voorbeen hebben we het, in dit Collegie, door nog eene andere proerneeming bewezen, Zie myne aantekeningen van onze 102de byeenkomst, pag. 232, No. 582 (»)•
K 13. Ten aanzien van de vertraagde beweeging van Lichaamen die naar de hoogte worden opgeworpen , zal ik alleen aanmerken , dat die beweeging m elk oogeDblik gelykelyk afneemd , in gelyke maate als de fnelheid , van een vallend Lichaam , in ellt oogenhlik aangroeid ; de zwaartekracht 9 die zo wel in 't eene geval de vertraaging, als in t andere de verfnelling veroorzaakt, werkt gelykmaatig. Uverzulks zal ik hier uit als eene waarheid afleiden: „ dat „ een Lichaam , van zekere hoogte vry gevallen ,, zynde, en met de fnelheid welke het aan t ein,, de zyner val verkreegen heeft, weder regt op„ waards geworpen wordende, in zo veel tyd als de „ val geduurd heeft, genoegzaam tot dezelfde hoog,, te waar van 't gevallen is zal opklimmen , en „ dan ook niet hooger zal kunnen opryzen." De Heer Esdró handeld, in 'treeds aangehaalde Werk over de Natuurlyke Wysbegeerte, II. Deel, pag. 111 enz vry uitvoerig , en, volgends zyne gewoonte , duidely k, van de vertraagde beweeging eens Lichaams 't welke loodregt word opgeworpen , die daaromtrent meerdere opheldering mogt begeren, kan dus by dien Heer, ter gemelde plaats, te regt raken. — Ik zal van dit onderwerp nu afftappen, om ter befchouwing over te gaan van de beweeging eens Lichaams, neêrdalende langs eene hellende vlakte ; doch met dat onderwerp is myn voornemen de volgende Les aantevangen.
(e) Zie in dit Mengelwerk, pag. 10 enz. (h) Deze Proef ii, in dit Mengelwerk fag. 44» de Twee dt Proefneemivg.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 141
II LES.
Inhoud van deze Les.
f. De beweeging eens Lichaams op een hellend vlak. II. 't Gebruik en 't nut eener hellende vlakte. III. De beweeging eens Lichaams op een hellend vlak, toegepast op den loop eens Lichaams langs de fpanlynen van een Cirkel, als een grond van de leer der Slingers.
I. De beweeging eens Lichaams op een hellend vlak. Myne Heeren!
§ 14. By t fluiten myner voorgaande Les zeide ik. dat ik deze zou aanvangen met de beweeging eens Lichaams te befchouwen, 't welk zich op eeve bellende vlakte bevind, en op hetzelve trage neêr te dalen: eer ik evenwel de kragt en hoedanigheid dier beweeging voordraage , moet ik vooraf kortelyk iets zeegen , wat ik door een hellek d vlak verft! Alle vlakken , die fchuins van deszelfs hoogte ge' deelte naar beneden afdaalen , noemd men hellende vlakten ; ais wy aanmerken dat B C in de driehoek
ucciu, Duiten r waterpas neiiende aileeDiyk ten aanM 3 zien
"£>^, een lyn is, die waterpas om laag op de grond leid, en dat AC loodregt op B C ftaat , en verder dat de fchuine AB eene vlakte ver-



14* MENGELWERK van
zien der lengte van A tot B, dan ftellen we ons een hellend vlak voor. Door zodanig een Drjehoek, in C winkelrecht, ons voor te (lellen, kunnen we alles aanwvzen , wat omtrent een hellend vlak is waartenemen; de fchuine of hellende lyn AB noemd men de lengte des hellenden vlaks, en de te lood ftaande
AC de hoogte van het zelve.
« 15. In de gewoone menschlyke bezigheden worden zulke hellende vlaktens dikwyls gebruikt, en zyn van groote nuttigheid, om eenige voorbeelden llegts op te noemen: Een plank welke men tegen eene hoogte oplegd , om 'er tegen op te loopen, of zwaare lasten , door menfchen of paarden , langs dezelve naar de hoogte te voeren , is als een hellend vlak aantemerken; zo zyn ook de Overtoomen, cm fchuiten of klein flag van vaartuigen over een Dykor Dam te trekken, de Hellingen aan de Scheepstimmerwerf ven , de Opritten aan Dyken cn andere verheven gronden , alle, en welke 'er meer mogen zyn , bel. lende vlaktens, gefchikt om, door minder kracht als men" anders daar toe -noodig zou hebben , zwaare dingen uit de laagte in de hoogte over te brengen. Wy moeten nu onderzoeken hoe een Lichaam zich gedraagd, wanneer 'top dusdanigen hellende vlakte aan zich zeiven word overgelaten.
ft 16. ik zal bewyzen, „ dat de kragt. waar me. de een Lichaam, by voorbeeld een kloot of een " rolronde ichyf, langs een hellend vlak tragt neêr te dalen, is tot de volle zwaarte van dat Lichaam, " gelvk de hoogte van het hellend vlak is tot deszelfs " lengte." Dat is te zeggen : de kragt van neêrdaïi'ng op de helling, zal zyn zulken gedeelte van de geheele zwaarte des Lichaams,als de hoogte van de helling is van deszelfs lengte. . ,
< 17, De kloot A word gelegd op het hellend vlak BD, en aan zich zelve overgelaten; dezelve tragt, volgens de ftreekly'n der zwaarte L F, door zyne zwaarte regt neêr te dalen, maar word daar in verhinderd door het hellend vlak, 't welk de kloot on& rueypd ; dc kloot kan het vlak alleen in één punt



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. J41
. *, a , , op - v,aIC 13 °' ln 't gemelde puntG drukt de kloot op 13D volgens de ftreek EG alleen met een gedeelte zyner volle zwaarte, wy]'er nu geene drukking kan begrepen worden, zonder eene gelyke tegendrukking, zo volgd , dat het vlak eene wederkeerige kragt oefend op de kloot, in dezelfde ftreek a s waar in 't vlak door de kloot geperst word ;
er werken dus twee vermogens op de kloot om de. zelve voort te dry ven, eene in de ftreek E F, en de
vnh3wJBTi,de EI • daar nu> de kloot op
,tlvi i5«Vlak vo™rol,e"F>, ö**«fa middenpunt de lyn ER evenwydig met het vlak B D voled- ËH
ri?Hi0ekyn (¥ag°mal) vaD hete ven wy^gra^m EFHI, zal, volgens de leer der tTaam*eftek% beweeging , 't middenpunt des kloots komen uit E in H, in den tyd welke de kloot zou behoeven otri vrv door zyn zwaarte van E tot F te dalen. y De grootheid eener beweegkragt word afgemeeten naar de fnelheid welkeer bewogen Lichaam omvangt
£ Zaa5 r.U,mCe Wflke dat ,Lichaam in e™ ^Paalde tyd doorloopt ; by gevolge ftaat de kragt, met
Tol en l^T °3 de tragt nedemïa d?S
rollen, tot deszelfs volle zwaartekragt in dezelfde Se if %CAh f FH tot Ë F, of, dat het It i7 n a \ c de ho°2te zynde van de helling BD )
vl.fr h% \O0m? m B£ >de le°8te VJD bet bellend viafc, dewyl, volgens Wiskundige grondbeginzels de kleme driehoek E HF gelykformif is ZSgrooM 4 ta
G raken, er. de lyn E G ,uit het midi den des kloots tot dit raakpunt getrokken , is icgthoer



,44 MENGELWERK van
of n fiv .— Dus heb ik getragt aantetoonen, ?eeene ik my voorftelde te bewyzen; en al wat. geS hebbe, ziet men ligt, is toepasfclyk op alle Engen, fc'hoon ze ook eene meerdere of mindere Se mogten hebben. Is'er eene helling wiens hoóete 4, en wiens lengte 16 voeten is, dan zal een Kot of rol, weegende 16 ffi, op deze helling, door een kragt van 4 I, het neêrdalen belet of tegenge-
^.ÏÏÏShee, myn Heeren! ik heb in het bjtoog tellingen, beide van eene Wis - en Natuurkundfef a r gebruikt , omtrent welke, hoe waar en Segrond zeook zyn,'iemand nadere opheldering zou Sn vragen ; dan daar in te "eden zou wat zeer nm&g zvn , zo ik al gelukkig Haagde, ik zal my n?vergo?de ondervinding beroepen, en de op geneiïrSSffiSU gebouwde waarheid nog bevestigen, door" deze eenvouwige, dog egter overtuigende
IV. PROEFNEEMING. Op 't hellend vlak BD plaatst men de metaalen
rol A , dezelve zou , aan zig zeiven overgeven
rf\ want FF is evenwydig met BC , daarom £ EFQ DBCÏ vó isVi. **** I. maar_Dm deze.ve



- - ; x - ■ j
WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 145
zynde , door zyn zwaarte benedenwaards voortrollen, langs het hellend vlak naar 't laagfte punt D; maar men heeft de rol verbonden met het gewigc W, door de draad EKW , loop'ende over de katrol K , zorg gedragen hebbende dat het gedeelte der draad van E. tot K evenwydig loopt met het hellend vlak. — Als men 't gewigt W zo zwaar neemt, dat die zwaarte ftaat tot de volle zwaarte van de rol A , als de hoogte van 't hellend vlak BC tot deszelfs lengte BD, dan zal men de rol in evenwigt bevinden , hy zal nog 't gewigt overhalen , nog door 't gewigt overgehaald worden, overëenkornftig 't geen wy beredeneerd hebben.
Indien onze toeftel met geen de minfte wryving belemmerd was, zou men 't gewigt W maar iec zeer weinig behoeven te verzwaaren , om te zien dat het zelve de rol naar boven haalde ; nu evenwel , 't gewigt wat zwaarder makende , zal de rol over- of opgetrokken worden , maar zo men van t gewigt zo veel afgenomen had , dan zou het tegendeel gebeuren.
r i II. 't Gebruik en 't Nut eener hellende Vlakte.
§ 19. Ik heb nu redeneerkundig beide en proefkundig getoond, niet alleen, dat men zeer veelminder kragt behoefd om een Lichaam langs een hellend vlak naar boven te werken ,• maar 't is met een gebleken dat men weeten kan, de hoogte en lengte eener helling bekend zynde , met hoe grooten kragt men eene bepaalde last langs die helling zou kunnen ophalen; 't is waar, ik heb myne bewyzen eeniglyk toe.
ge-
DBC, en L EHF is - l. BCD beide regt zynde; dus zyn ae driehoeken EHF en BCD gelykboekig of gelyk. formig, en datron de zyden, welke gelyke hoeken begrV fe«, evenredig, gevolgelyk E H : E F ;; B C : BD.
M 5



ï4<5
MENGELWERK vam
gepast op sonde of rollende Lichaamen , wier bewee. ging zekerlyk door de wryving op het vlak mm belemmerd word, als de beweeging van Lichaamen welke eene andere form hebben , overmits een rond Lichaam liet vlak maar met een punt, immers üegts met weinig punten kan raken; men kanegter t voorgemelde mede toepasfen op niet ronde Lichaaraen, men kan ook de meerdere wryving van zulke i^haatnen des noods zeer aanmerkelyk veranderen, door middel van rollen dwars op het vlak tusfchen hetzelve en zulken Lichaam, geplaatst. Omtrent tgebruik van 't hellend vlak , heeft men nog op de vol-
1? toÏÏfa» en vUXcre.no helling is, hoe voordeeliger dezelve ook is voor tge-
brïkTen tweeden* dat men aan de zyde deir Arbeiders, welke eenige last langs een hellend vlak zullen optrekken, eenige meerder kragt moet veronderüellen, als 't evenwigt en de opgegeven regel vcreiscnt, men moet de tegenwerking van de last door een fterker vermogen overwinnen , welke tegenwerking aanmerkelyk word vermeerderd door de wryving, die men niet in ftaat is geheel wegtenemen.
9 Eindclyk en tel derden, dat men wel zorg draagd, dat het touw, waar aan men een zwaar Lichaam itegen een hellend vlak optrekt, evenwydig loopt met he? vlak, en ten naasten by ligt debeweegftreek van het midden des Lichaams ; dit hebben we in Onze voorgaande proefneeming ook in agt genomen. Indien het touw van die evenwydige richting merkelvk afweek , dan zou men meer kragt noodig heobeu, om 't bedoelde uit te werken. Dit zal ik met 'een proef aantoonen»



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 147 V. Proefneeming.
Geeft de katrol K (zie op de voorgaande FU guur) zulken ftand, dat de draad, waar mede het gewigt W met de rol A verbonden is, van E tot K met evenwydig loopt met het hellend vlak DB, maar van die evenwydige richting vry merkeiyk afwykt, men zal dan bevinden , dat 't gewist W zwaarder moet zyn om de rol optehalen, ais noodig is daar toe, wanneer 't deel der draad EK met de helling evenwydig loopt. Dus is 't in 't gebruiken van een hellend vlak van belang, dat men toeziet dat het touw £ aan 't welke men een Lichaam of zwaare last optrekt, een evenwydige richting heeft met het vlak.
III. Be beweeging eens Lichaams op een hélend vlak toegepast op den loop eens Lichaams langs de fpanlynen van een Cirkel, als een grond van de leer der Slingers.
$ ao. Ik heb § i7, getoond, dat de kloot A, (zie ep de Figuur aldaar, pag, 143,) op 'c hellend vlak BD. zou voortgaan dediflantie EH, of, dat hetzelfde is, van G tot F, in dezelve tyd dat hy, vry vallende, zou neêrdalen van E tot F; en op wiskundige gronden heb ik gezegd, dat de driehoek EHF gejykvormig Js met de grootere BCD, zo dat de hoogte BC van t hellend vlak, zo veelmaal de lyn EH bevat, als de lengte BD van 'tzelfde vlak de lyn EF; hier uit volgd dat de kloot, op het hellend vlak nederwaards rollende , daar op zo veel vorderd als de hoogte van 'c vlak bedraagd, in den tyd waar in dezelve, vry door zyn zwaarte vallende, een weg zou door oopen , die gelyk is aan de lengte vaa t vlak. Dit houd ftand hoe groot men zich 't hellend



i48 MENGELWERK v A n
leöd vlak ook verbeeld; wy hebben, 'c is waar, ondervonden , dat een vallend Lichaam m elk vJgend oogenblik een grooter ruimte doorloopt, maar men ondervind ook dat de ruimten , door een Lichaam op een hellend vlak doorgegaan, in de op elkander volgende oogenblikken , mede geduung vergrooten , en wel in dezelfde proportie vergrooten als die van een vallend Lichaam. Ik zal 't Gezelfchap niet op. houden met dit laatfte proefkundig te toonen, ik ben aan de kortheid bepaald, wy hebben eens door eene proefneeming bevonden dat een Lichaam , langs een helling neêrdalende , zyn beweeging in de zelfde orde vermeld als een vry te lood neervallend Lichaam ; die 't lust kan dat in myne Aantekeningen nazien, in de 115de byeenkomst, proef N°. 610. . , ,
De grondregel , welke ik tot hier toe heb aangetoond, namelyk, dat twee Lichaamen, het een langs een hellend vlak, en 't ander geheel vry neêrdalende. ruimten zullen afloopen in dezelve tyd , welke tet elkander zyn als de hoogte des hellenden vlaks tot deszelfs lengte ; een grondregel, toepasfelyk op alle hellingen, wat tteilte ze ook mogen hebben; deze grondregel , zeg ik , is van meer belang m de Werktuigkunde als 't in den eerften opflag zou kun. ben fchynen , dezelve legt den grond, hoe vreemt het ook 1'chyrit, tot de leer der Slingers; ik moet dat nog kortelyk aanwyzeu. ;
% 21. Ik geef de driehoek BCD , (zie nog op de laatstgebruikte Figuur, pag. 144,) met welke driehoek we ons een hellend vlak voorltelden, een andere ftand , gelvk hier nevens , zo dat BD, voor heen de helfit g nu te lood of regt op en neêr ftaat, en dat 't ouat B , in de vorige ftand 't hoogfte punt , nu >t Lgfte is ; dan heeft BC , te voren de hoogte der helling. in deze nieuwe ftand dezelfde Ichuinte of ncêrhclling, als de helling BD had in de oude ftand des driehoeks? dit fteund , (zynde deze driehoek volkomen dezelve gebleven, en alleen in ftand ver-
sn*



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 149
driehoek ( als men dezelve zo als voren in ftand veranderd heeft) BK D; en een klootje rold langs KB,
m 1 vaDr^ tot B' in den tvd waar in net' vry vallende , DB zoude afloopen. Dit heeft plaats welken hoogte men zich 't hellend vlak ook verheeld te heboen. Zo dat C B , KB, enz. ieder in even veel tyd afgeloopen worden, namelyk, ieder in den tyd, dat het klootje vry uit D tot in B vallen zou.
§ 22. De omtrek van den Cirkel, waar van ÜB de middenlyn is, gaat door de punten C, K, enz. wvl die hoeken, in de driehoeken BCD, BKD, enz alle regte hoeken zyn; dat des Cirkels omtrek in dl daad door de gemelde punten loopt, is gemaklykgenoeg
00 De driehoek BCD, 2ie defig. pag, 143 en de bovenftaande.is ntatals alleen fn ftand veranderd, men moet nu bewyzen dat C.LBC (zynde BL horifontaal getrokken, en dus L. DL 13 een regte hoak,) even groot is als l_ BDC H- OP f*g- 143; want dan ligt BC in den nieuwen Hand even icbuin op den horifon als te voren de helling DB. Ditbewvs is met moeilyk, wyl c DBC in de beide ftaïden van eenen regten hoek afgetrokken, overlaat, fig. hier boven, de
by gevolge gelyk zyn. Dat te bewyzen was.
anderd) op meetkundige gronden 1^.). Dus zal een klootje, langs de helling C B rollende, in gevolge het te voren betoogde , uit C in B komen , in even veel tyd als het zou behoeven , om uit D tot in B vryelyk regt nederwaards te vallen. Heeft het hellend vlak, dezelfde lengte behoudende , een grooter hoog-



jSo MENGELWERK v A
Boeg meetkunftig te bewyzen maar 'tzal, denké ik in cie gelegenheid waar w ik ben , niet zq ligt 2yn, zulken bewys met vrugt hier m f Jrt«|ll, ik yal mv fleets beroepen op den onvert-elyklyken 4t> ca J,; of deszelfs Werk van de Andante* def Wiskunde , nog niet ten t.nrechtede fl^el der W**Ergenóemd; men kan nazien het ifl. Bock.pA XXXI fn. CB, KB,.enz. zyn derhalven fpanlyben, uit het laagfte punt des Cirkels tot eenig ander punt in den omtrek getrokken. Dus mogen wy de volgende Hellingen als waarheden aantcmen, du-iK, m ze voorgefteld te hebben, ook nog proef kundig zal bewyzen.
h Een fpanlyn, korc of lang, in een Cirkel uji deszelfs laaPgftepunt getrokken, word door eer, kloot!e af?eloaoen , n evenveel tyd als een dergeiyK EichafmtieP noodig heeft , om uit het hoogite punt vaS dien? Cirkel rot deszelfs laagfte punt langs den middenlyn vry neèr te dalen.
II. Elke fpanlyn, in een en dezelve Cirkel uit desz4fs laagfte punt getrokken , word door een klootje fn dezelfde t?d afloopen; of het klootje befteed even veel tvd tot het afloopen van een korte als van een lange fpanlyn in dezelve Cirkel, mm dat die fpanlynln eindigen in des Cirkels laagfte punt.
Deze hellingen zal ik nu nog door proefneemirgea bevestigen.
VI, PROlFNEtMIHG.
« 2<i. Aan een Cirkel van hout of andere ftoffe. verbinde men een lineaal, waar in een goot of fleuf
Iti deeze trmfitie flegts te noemen, is voor hen, die da grondÏÏ IJ Let kunde gelegd hebben, een voldoend bewys.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. ,n
gemaakt is, welk lineaal een fpanlyn van den Cirkel verbeeld, eindigende aan 'sGrAe//laagfte punt Nut laat men twee gelyke klootjes op 't zelfde oogenblik aan zich zeiven over, het eene in 't hoogde gedeelte des fpanlyns , en 't ander in 't hoogfte punt van den Cirkel; en de baHetj^s zullen ookgelyktydigin't laagfte punt komen, het eene heeft de fpanlyn afgéloopen, terwyl het andere van 't hoogfte einde des middenlyns tot aan deszelfs laagfte einde vry nefirwaards gevallen is.
NB. Men kan, om dit waartenemen, ieder dezer kiootjes m 't laagfte punt tegen 't plat van een me. taaien plaatje, laten aanfluiten, wanneer men dan den flag der beide klootjes tc gelyk hooren zal.
VII. Proefneeming.
§ 24. Voegd aan den Cirkel twee zulke lineaalen gelyk dat m de vorige proefneeming, aan elke zyde des middenlyns een , komende het laagfte der lineaaL , als *Pai,lvnen ^yn , in 't laagfte punt des middenlyns of van den Cirkel. Latende nu twee gelyke balletjes , van elk hoogfte einde der genoemde fpanlyneo een, gelyk los, deze zullen de fpanlvnen die zeer ongelyk van lengte moeten zyn , in dezelfl de tyd afloopen.
§ 25. Nu blyft nog overig dat ik kortelyk zegge, hoe deze laatfte ondervindingen in betrekking liaan met deleer der Slingers; maar myn onderwerp eischt dat ik eerst evenwel nog de volgende ftefling door eene beflisfende proefneeming bcwyze; de Helling is deeze: „ Twee gelyke klootjes, ieder over een hellend vlak van t hoogde tot het laaafle punt zich „ onbelemmerd bewegende, hebben,in 'tlaagflepunt „ gekomen zynde, eene gelyke fnelheid verkregen ; i, fchoon de vlakken zeer ongelyk van lengte zyn . sj'-wanneer ze maar dezelfde hoogte hebbeD "
VflJ.



i5a MENGELWERK vak VUL Proefneeming. AC en BC zvn twee hellende vlakken, ter zyde
.ii,,m,wn even hoos, maar ongelyk van fteilte, malS AC langer a s B C , de laagfte punten, dSr de vlakken Sweinig boogswyze loopen, ftaan nf malkander in C, en van C tot D loopen de vlakken een kiline fpaatfie horifontaal. Latende twee felvke klooties , het eene in A en 't ander m B, gelyKe kiooij« » h kloot]e B zal
SS A in rzynfmalrTdaar.'en gevolglyk ook
ta f) zullen de twee klootjes evenveel fnelheid
hebben • ?èn bewyze hier van , zullen deze baliet*
Sr het nunt D doorloopende, alwaar ze beginnen
]tlS 'n5êrwPaards te dalen, in E by malkander op de vrv neerwaarrjsiwi u , j
Snfkan SeK^S - -eke klei laten neêr
k°Ti6. Of zulken Lichaamtje langs eene regte hellinl óf het langs eene holgebogen of boogswys Snènde helling nefirrold , dan of het vry, loodly1 - P nSerdaald, het zal in elk geval, wanneer het Sr de Myn evenveel gedaald is, eene gelyke rnrfheid verkregen hebben ; maar 'k zal my niet langerWei? mede ophouden, 'k zal my haasten^m



WISKÜMDIGB VERHANDELINGEN, enz. ^3
deze Les ten einde te brengen, die 't lust kan hier «ver uarfen, ïn myne Aantekeningen, onze proeven N". 59/ en 598.
§. 27. Kortelyk' moet ik nog aanwyzen, dat het Verhandelde in deze Les ons opleid ter verklaring, van de verfchynfels in de beweeging eenes 'Slingers.
». Ais een Lichaam , flingerende aan «an fyne draad firn een vas>t punt, in Zyne bëweeging tot aan 'tlaagfte punt, niet de boog van een Cirkel, maar de fpanlyn van dien boog befchrèef, dan zou eene fiinge. ring ïtt dezelve tyd ge'lchieden , 't zy men 't iïiage«
icuu L.iuiiiiaui uy vuuru^eiu in D, dan of men *t zelve in C los liet ; vvnüt wy hebben bevonden , in deze Les VII. Proefneeming , dat dé fpaidyu D ö in juist even veel tyd wordt afgeloopeb als de ïpanlya CB. 3Nü evenwel beweegd zich 't 'flingerend Lichaam niet volgens de fpanlyn , maar 't befchryft, in C of Ü los gelaten zynde, de boog C Bof de'boog DCB. Egter mag fneti, zonder veel te zullen misfen , önderftellen , dat het Lichaam
den boog zal doorloopen , in dezelfde tyd die het bededen zou tot het doorloopen van 'sboogs fpanlyn , als, ten rninften, die boog niet groot is. Dus kan men als eene Waarheid of Regel aannemen t s> dat twee gelyke Slingers éven lang zynde, eene „ flingering genoegzaam in dezelfde tyd zulh-n vol„ brengeu, fchoon zy bogen van ongelyke grootte „ befchryven, als die bogen niet gtoot zyn." Doch deze Regel wordt niet .opgegeven, als, in een Mathematifche zin, volkomen of juist, maar als Mechanisch aanneemlyk ; daar 't kleine of onmerkbaars verfchil mag, en, zonder belemmering, kan verwaarloosd worden.



ij-a MENGELWERK van
2. In 't vorige van deze Les, VI. Proefneeming, bleek ons , dat een rollend Lichaam een fpanlyn alsC B of , dat bet zelfde ïs , ( gelyk zo aanftonds is beredeneerd, ) een flingerend Lichaam de boog C B zal afloopen , in den tyd welke 't Lichaam bedeed om langs den geheelen roiddenlyn des Cirkels , waar van de boog C B een gedeelte is , dat is van E tot B vry te vallen , zynde E B het dubbel van de lengte des Slingers of van AB; gevolgélyk , zo de middenlyn EB, of de Slinger A B langer is, dan zal ook de tyd welke eene flingering duurd langer zyn, zo dat de duuring van eene flingering afhangd van , of bepaald wordt door, de lengte van den Slinger.
S 28. Ik zal hier nu niet meer van zeggen , m de eerstvolgende Les is royn voornemen van den Slinger en deszelfs fchommelingen omltandiger en bepaald te handelen ; ik heb deze dingen hier kortelyk willen aanflippen, om aantewyzen, dat veele Mechimfche verfcbynfelen met malkanderen verknocbt zyn , en dat men uit eene welgeflaafde waarheid, menigmaal verfcheide andere, door goede redenkaveling, ksn afleiden. Van deze Le* maake ik nu een einde.
HL



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN» enz» rjy
III. L E S.
Inhoud yan deze Les.
1. Bepaling of befchry ving van het Werktuig, 't welk men een Slinger noemd. Ii. Van de: fchoramelingen eens Slingers. III. De fchommelingen van twee ongelyk lange Slingers met malkander vergeleken,
I. Bepaling of befchryving van' het Werktuig 9 't welk men een Slinger nmrrid... ..-
Myne Heeren!
§ 29. In myn eerfte Les heb ik gezegd, dat ik een plan gemaakt had , om de Werktuigkunde in tien Lesfen geheel aftehandelen, maar in myn tweede of de voorgaande Les heb ik al bevonden , dat hét, ten minden in tien Collegie- avonden, niet zal kunnen lukkeni dus zal deze derde Les alreó minder onderwerpen of Hukken bevatten, als 'er, naar'r. gemelde gemaakte plan, in moesten komen. Liefst wil ik myn ftuk zonder 't uit zyn verband te rukken be. handelen , en niet * door al te kort te zyn, duister of wel onverltaanbaar worden : de kortheid zal ik blyven behartigen, maar evenwel diend het eeniger» maate zo te zyn, dat men 'er wat aan hebbe, en düt , 't gene ik 'over myn onderwerp op 't papier gebragt heb, van kundigen kan gezien worden. Myne geëerde Medeleden zullen my hierom wel eenige avonden meer toeftaan, en, hoopeik, met genoe. genteeitaan , ligtelyk zullen ze 'er by winnen. —— N a Vs.



l56 MENGELWERK van
Ik zal nu tot de befchouwirjg van den Slinger za» nu [^ . ze2Sje° Waar in zalken Werk-
overgaan, en eerst iets zey^n wa/" D
nd!» 't welk zeer eenvouwig is, beltaat^ uoor
een ver ftaat men een Lichaam, hagende aan
een fy"! draad , zynde het ander end der draad in een onveranderd punt v st Slaakt om welk punt dat Lichaam beweeglyk ra. BgUJg- ^
't punt A , het opnangpunt genoemd, vast gemaakt; en in deze zeer eenvouwige tbeftel beftaat het geheele Werktuig , welk men een enkelvouwige Slinger noemc. Als de draad AC reet op cn neêr of volgens de loodlyn hangt , en 't Lichaam in C in rust is , dan zal 't ook alri^r in nisr hlvven: maarzo
men 't Lichaam uit C tot m B ophaald de d aad regt blyvende, en daar aan mg zelv overlaat, zal het f wel tragtende door zyn zwaarte te Jood neer te dalen, maar daar in door de draad verhinderd) BC, de boo^ van een Cirkel welks middenpunt A »> befchrvven Tin C gekomen zynde, zal 't Lichaam dan Sir niet n rust blyven, maar, door de verkregene Sheid , «1 het 't punt C doorgaan , dodere kant van C , een gelyke boog als BC befchiyS — Als net fungerend Lichaam van B af eerst «Srrfaald en . 't laagfte punt C doorgeloopen zynSftfn de andere kant van C zo hoog geklommen Sf \ls het kan ryzen , dan zegt men dat het eene JhnIrtngSthornleling gedaanWt; ? I "ng voibragt word , door eene daling en eene ry
»pS rimd als AC, fpreekt, dan verbeeld men zig Ce"eï ntt anders als 'eene Mathemaüfche^ ^ ■ aïs of dezelve zonder zwaarte, en met iet ftoflyks waS; 'cis waar, men vertegenwoordigd zig dan iets



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN",enz. ,57
onmooglyks, het flingertuig, waar van wy fpreken , eznenkeWoumgJlingertuig, vereischt ondertusfchen, om er nauwkeurige proeven mede te doen, een draad als t waare zonder zwaarte. Hierom maakt men gebruik van een zeer fyne draad, en die ook zomin mooglyk .aan kronkelingen onderhevig is , welks zwaarte , in vergeiyking der zwaarte van 't flingerend Lichaam, indeoaad zo gering is , dat dezelve.
™ ™tKan Pr°Cfnef m-ingen' ^t belemmerd of geene merkbaare verandering baart. De Heer I Es. DRé fchryfc, dat hy gewoon is, tot zulk eene draad, gebruik te maken\an dat foort var! Lreri dat by de Franfchen kil de piTE genood én gemaakt word uit de vezels van een gedroogd'blad eener Ahe- plant. „ Dit draadwerk" (zegt die Heer verder) „:1S by uitnemecheid ligt; wast een draS „ van 4 voeten lengte is door weging niet ywaar
der bevonden dan . grein.» Z*eYsÜRéXtuurl. Wysbegeerte, II. Deel, p igo.
k Heb dus de hoedanigheid van een enkelvouwige Slinger voorgefteld , van andere SlingerpeSn zal m de tegenwoordige Les niet gehandeld wórden , ik zal nu overgaan om de befchreevene in beweeging en werking zynde,.te befchouwen.
II. Vm de fchommelingen eens Slingers.
§ 31. Ik heb zo even gezegd , (§ 2p.) dat hec flmgerend Lichaam fmen zie nog\p de vorSS Figuur, pag. i56.) uit B in 't laB|ae punt C ge! komen, van daar af aan de andere:kant zal opkifm. men eri, een gelyke boog als UC, befchryver1 • en mdedaad, het Lichaam zal aan deze kant "n C genoegzaam tot de" hoogte van B, waar uit het gedaa d is , wederom opryzen. Ook zal het in e£n yeel tyd u,t het laagfte punt tot dez? hoogtè 3
SVe Si™*81 -tyd beft^dde °* tot nft larglfe f™' f-f™' .invoegen de tyd, van ryzing even lang is als de tyd van daling, hk, zal .my niet opN 3 hou.



i53 MENGELWERK va»
houden met deze ftellingen door redeneeringen r gebouwd op reeds gelegde gronden, te ftaven, ik zal S door^ene Proeve, de waarheid bevestigen .dg een flingerend Lichaam tot die hoogte, van welke men 't laat dalen, weêr opftygt.
IX. Proefneeming.
CD is eene op zyn kant flaande plank, voor welke de Slinger AB, om het ophangpunt A,zig beweegt, CU, de bovenkant der plank is waterpas. Haalt nu het Lichaam B tot C, de hoogte der plank , op, en 't van daar latende flinceren , zal het 't laagfte
* tj J^.r^ir. . pn aan
de'andere kant 't punt D , gelyk hoog mei de waterpasfe bovenkant der plank, genoegzaam bereiken. V l oa. Wanneer de draad der Slinger in zyne bewcegmg in zeker punt een hinderpaal ontmoet, dan Tal delelve aldaar buigen, en 't flingerend Lichaam zal evenwel tot dezelfde hoogte opklimmen.
X. Proefneeming. De toeftel is gelyk in de vorige proefneeming, alleen
heeft men nu inl< een beletfel voorde draad, als die in beweeging is,gefield. Menlualt het flingerend Lichaam B tot de hoogte van de plank of tot C op • het aldaar los latende, ftuit de draa4 tegen 't beletfel in F; *t Lichaam , door de



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 1,9
buigzaamheid der draad , gaat egter in zyne beweeging^ voort, maar beweegt zig vau nu af niet meer om t punt A, maar om F, als om een nieuw opHangpunt, het zal nu niet in D maar in E komen , en de hoogte van de waterpasfe lyn CD of van de plank evenwel ten naasten by bereiken.
De oorzaak van deze opklimming eens Lichaams aan een biinger, zo hoog en niet hooger, (dit zal ik ra t voorbygaan nog aanmerken,) zal niet moeilvk te bevatten zyn, als men zig de oorzaak der vertraa-öe opklimming eenes te lood opgeworpen Lichaams Herinnerd ; waar van ik gefproken heb § 13, in myn eerlte Les. — Nu zullen we de werking van een blinger aan eene andere kant gade liaan. . § 33. ]n de voorgaande Les heb ik reeds voorloopig beredeneerd en getoond , dat twee gelyke Slingers, in even veel tyd, ieder eene fchommeling volbrengen , zelfs wanneer dc bogen die zy befchryven ongelyk zyn van langte , immers zo die bogen niet groot zyn. Door de volgeede proefneeming zullen wy zien dat er ten minften geen verfchil in de tyd kan waargenomen worden.
XI. Proefneeming.
Twee gelyke Slingers aan eene pen regt voor malkanderen opgehangen hebbende, haald men de Lichaamen, aan deze Slingers hangende, niet hoog,maar egter het eene wat hooger als het andere, naar dezelfde kant op, ze nu gelyk los latende , zo dat ze op t zelfde oogenblik beginnen te flingeren, dan zal men zetegelyk in 't laagfte punt zien, en ze zullen ook te gelyk aan de andere het hoogfte punt bereiken, tot het welke ieder dezer Lichaamen kan opklimmen; zo dat ieder eene flingering, in dezelfde tyd zo veel ie merkee is, volbragt zal hebben, fchoon ze ongelyke bogen hebben -befchreeven.
$ 34- De lucht Bied aan den Slinger eenigen weêriïn * >al? ^gCer het flin2erefld Lichaam van eene vry aanmerkelyke zwaarte is, dan overwint het zelve N 4 dien



MENGEL W K R K van
dien weêrftand in zo verre, dat dezelve van weinig Sin i,• de volgende proefneeming zal ons Sonen dat èen zwaar Lichaam de tegenwerking der Ktfanger zal wederftaan, als een Lichaam datveel minder zwaarte beeft.
XII. Proefneeming.
Hanu aw eene pen twee evenlange Slingers regï ?r mnlkanderen op, laten de Lichaamen.. aan dezelve 1?^lerende, % genoegzaam even ,roote Stelles 't eene van yvoor en 'c ander van lood1 ot lt J metaal zo dat deze Lichaamtjes, onder de. and/lSeLeidheid, vry ongelvk van zwaarte zyn. H at dë Ses, «aar dezelfde kant even boog op, Si laat ze dan1 gelyk los en aan zig. zeiven over 5 het 'nX hSletfe zal fchielyker kleiner bogen befehry. vfn^en veefcerder als 'I ander, in 't laagfte punt, ftil hangen.
UI De fchommeltngen van twee ongelyk lange Slingers met malkander vergeleken.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. ióï
haam zal, flingerenc befchryven,in zo veel tyd als het vry vallende zou behoeven om een ruimte doortegaan, 2 maal zo lang als de langte van den Slinger AB, of 'czou, flingerende om 't punt C , den boog GDbefchryven, ia den tyd waar in het vry zou kunnen neórdalen , een ruimte gelyk
tweemaal ae langte des SJingers CD. Nu zyn de ruimten, door een vallend Lichaam afgeloopen, tot malkanderen als de vierkanten der tyden van elke val, gelyk ons in de eerfte Les ( § r r. ) gebleken is; of, dat het zelfde is , de vierkantswortelen uit de ruimten zyn tot malkanderen als de tyden zelve. Dus volgd, dat de vierkantswortel uit de lengte, geKk 2 mral de lengte van AB, ftaat tot de vierkantswortel uit de lengte, gelyk amaal delengte van C D, als de tyd eener halve flingering van de Slinger AB, tot de tyd eener halve flingering van de Slinger CD; waar uit wederom vloeit , dat de vierkantswortelen uit A B en CD , de lengten der Slingers, tot rcalkanderen ftaan , als de tyden , waar in elke flinger eene fchommehng volbrengt, befchryvecde de bogen EBF en GDH. - Wy kunnen nu uit het beredeneerde als eene bewezene waarheid vast ftellen ; dat de tyden van eene flingering , van twee ongelyk'lange, maar anders gelyke Slingers, tot malkanderen zyn als de vierkantswortelen uit de lengten dezer Slingers, als men ten minften zorg draagt , dat de Slingers in geen zeer groote bogen werken. Hebben we de lengten van twee Slirgers bekend , dan kunnen de vier/kantswortelen uit die lengten de tyden uitdrukken, die ieder Slinger tot eene fchommeling noodig heeft; is , by voorbeeld , de lengre van de eene Slinger gelyk 4, en van de andere gelyk 9, de vierkamsworteN 5 iec



i6a MENGELWERK van
len oit deze getallen zyn a en 3, dan is de tyd, in welke de kortfte Slinger eene flingering dc-ed , gelyk a , laat het a feconden zyn, en de tyd eener ilingcring van de andere flinger gelyk 3 feconden; of 3 flingeringen vau de eene duuren even lang, als 2 flingeringen van de aodere Slinger. _
§ 36. Ik heb hier ettelyke keeren van vierkanten en vierkantswortelen moeten fpreeken, zulke kunstbenamingen zouden eenige duisterheid over myn geheele voorftel kunnen verfpreiden , voor ztilken, wien die benamingen ongewoon zyn , ik zal hierom, of 'er misfchien zodanige hier tegenwoordig waren, met een kort woord tot opheldering zeggen: dat men de uitkomst , wanneer men zeker getal met zig zelf multipliceert , een vierkant noemt, en 't getal, het welk men met zig zelf gemultipliceert heeft , is de vierkantswortel uit 't gemelde vierkant. By voorb., «i met zig zelf of met 3 gemuit, maakt 9 » en dan is o een vierkant, en 3 deszelfs wortel. Word hierom eenige lengte door 't getal 9 uitgedrukt, dan is 3 de vierkantswortel uit die lengte , en zo met alle
andere. , . . - •
S 37. Na deze kleine uitftap, is my ru nog overig de zo aanltonds beredeneerde ftelling, dat,namelyk, de tyden eener flingering van twee Slingers tot mal kanderen ftaan , als de vierkantswortelen uit de lengsen dier Slingers, proefkundig te bevestigen.
XIII. Proefneeming.
Laat twee Slingers de eene regt voor de andere fjingeren, laat dc lengte der eene 4 , en der andere Slinger 9 zyn , de vierkantswortelen uit deze lengten zyn 2 en 3 ; men zal bevinden dat de kortfte flinger 3 flingeringen doen zal , in de tyd dat de andere a flingeringen doed.
XIV.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, Enz. 163
XIV. Proefneeming.
Maar Iaat een der twee Slingers viermaal de lengte van d'ander hebben; dan zal men bevinden, dat de langde juist een flingering y.al doen, terwyl de kortfte Slinger doed twee flingeringen.
§ 38. 't Vonrnaamüe , dat bv de fcbommelim* eenes enkelvouwigen Slingers op te merken valt', heb ik nu kort, en zo duidelyk my mooglyk was, voorgefteld , en door proefneemingen aangetoond; deze waarneemiagen egter zouden weinig betekenen, indien men ze niet wist tot meer of min nuttige einden toetepasfen , of, als men 'er geen nut uit konde trekken, voor de dagelykfche bezigheden en de beoeftening van Kunsten en Wetenfchafpen. Ik meende aan 't einde van deze Les nog te fpreeken van eenige dingen, waar in men zig de gelykmaatige beweegingen des Slingers heeft weeten ten nutte te maken , maar, daar ik ditaangaande nog al wat te zeggen heb, zal dat voor dezen avond wat te lang zyn , dus' zal ik dit liever tot de vol. gende Les uitftellen , en nu van deze een einde maken.
ÏV.



!<54 MENGELWERK va»
IV. LES. Inhoud van deze Les.
I. '/ Gebruik dat men van eene eokelvouwige Slinger , in Kunsten en Wetenfchappen maakt. II. Fan de t'faamgeftelde Slinger.
I. 'r Gebruik dat men van eene enkelvouwige Slinger, in Kunsten en Wetenfchappen, viaakt.
Myne Heeren!
& qo. Voor deze Les fpaarde ik, gelyk ik by 't fluiten van de vorige gezegd heb, aantewyzen, wat eebruik men gemaakt heeft in Kunsten enz. , van de beweègin™ eenes Slingers, tot welke befchouwmg ik
nu ten èeïlten komen zal. Hik weet dat onze
èewoone Klokken en ftaaode Hordugien , behalven door eewigc, door eenen bygevoegden Slinger aan de ÏÏng gebiagt en geregeld gaande gehoucen worden. Sand zal van my verwagten eene volled.ge be. fchrvving van het famenllel eens Uurwerks, welke Konsttuigen zeer verfchillende zyn , jen fommige , HoT konftiee byvoegfelen, van verfchillenden aart, ^eer te Kgefteld; eene befchryving hier van hier fn te Ssfchen is buiten myn beftek , dezelve zou ook kort en te gebrekkig moeten zyn , om t vereischre licht te verfpreiden. Alleen zal ik maar traden aan te toonen, den gunstigen invloed welke de Sim«e?heeft op de werking der raderen en 't gantfebe werktuialyk sellel des Uurwerks, welks gang door de gelykmaadge beweeging van den Slinger wordt SerSeld, mee? el min , als een welbeftierd MuziekSg de itemmen der zangers regeld en bedwmgd.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 16$
Wie de eerfte geweest is , die den invaJ gehad beeft, om de Uurwerken een betere gang te geven , door het byvoegen van eenen Slinger, late ik daar, niemand evenwel zal willen betwisten , dat onze beroemde Landgenoot, de groote Wiskonftenaac Chris tiaan Hüigens, de konst om SlingerHorologien te maken zeer veel heeft toegelicht, en dat zyne ontdekkingen daar aan eene grootere volkomenheid gegeven hebben. Dat een Slinger, aan een Uurwerk gevoegd, het zelve geregelder doet gaan, is genoeg blykbaar: word het radergeftel van een Horologie alleenlyk door gewigt omgedreven , dan .moet het ongeftadig en ftootende omgaan., de minfte onnaauwkeurighèid in het famenftel (door de bedrevenfte hand des Konstenaars niet te 'verhoeden ) veroorzaakt, dat het nu tasfer dan trager zich be. weegen , en dat de wyzer geene even gelyke tyden aanftippen zal; welke onregelmaatigheid , zeer veel ten minften.word voorgekomen, door de gelykmaatige fchommelingen des Slingers; we zagen, in de voorgaande Les, dat de beweeging van een Slingergelykma-tig is, dat de eene fchommeling zo lang duurt als de ander, en de beweeging en gang van 't Uurwerk verkrygt eene geregelde richting , door des Slingers beweeging , waar naar de beweeging van 't geheele werktuiglyk geftel zich richt.
§ 40. Dat de fchommeling des Slingers veel invloed heeft op den gang van 't gantfche radergeftel eens Uurwerks , blykt mede uit het volgende verfchynlèl ; wanneer men de draad des Slingers een weinig verkort of verlangd, zal het Horologie aanftonds rasfer of trager omgaan ; we hebben in de voorgaande Les getoond, dat hoe langerde draad eener Slinger is, hoe meer tyd de Slinger tot een fchommeling bèfteed en aan dezer rasier of langzamer fchommeling gehoorzaamd ftraks het geheele radergeftel van 't Horologie. Dit is van gebru-'k in de Horologie - makers kunst; gaat het kunstgeftel een weinig te traag, men heeft dan flegts het gewigt aan den Slinger aan de
dun-



ï&6
MENGELWERK van
dunne ftaaldraad des Slingers wat hooger optefchroeven en daar door des draads lengte wat korter te mskên of een vereischte maat te geven , daar dcor zal aanftonds 't geheele geitel rasfer loopen en een behoorlyke gang nemen. Maar di t Ja te bekenden zaak om 'er hier langer op ftaan te blyven.
K ai Maar fchoon een Horologie net gemaakt >s, fchocVde raderen, malkanderen omdryvende, juist zyn afgemeeten , en alles zuiver en effen toebereid is fchoon het geheele famenftel zo naauwkeur glyk is'in een gevoegd, als de hand des ervarenften Kon. ftenaars bet by mogelykheid weet t'zaam te brengen, moet men nogtana niet verwagten dat het op den duur of eenen langen tyd geregeld zal werken; want, beïialven de onnauwkeurigheden in het lamenftel, Se altoos in de beste werken van korist nog plaats v nden, zvn 'er ook andere oorzaken, louter natuurlvke oorzaken, die van den Maker niet afhangen, welke de duurzame gelykmaauge beweegmg van
Uurwerk beletten. Eene dier natuurlyke cor-
zaken , als van myn tegenwoordig onderwerp met vreemd zynde . zal ik , met voorbygang van meer andere, kortelykaanftippen. Men weet dat de warmte 5e Lfchaamen; en by zonder ook de Metaalen , u itzet 7 en dat dé koude dezelve doed inkrimpen dus moét de draad eenes Slingers aan een Uurwerk by eïrfe heete zomerlucht verlangd, en door de koude des winters verkort worden ; Revo *elyk kan het Uurwerk , 't gantfche Jaar door, met gelyksnaatig lnooen of evengelyke tyden aanwyzen, *t moet om dTreden , al het overige gelyk gelteld zynde , des z mers trager, en 's winters fneller gaan. 't Is waar, de ve enging van den Slinger alleen door de warmte Is dambkrings,'en de daar door ontflaane vertratngo f 5e rigïering van een Uurwerk in een kort beüek van tyd , kan maar weimg zyn, maat evenwel groot genoeg om 't, na eenig tydyerloop , te konSn ontdekka'. De middelen, welke door fchrandere Konltenaars zyn uitgedagt, om de ongelykneid
van den gang eens Uurwerks , veroorzaakt door de



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. i6>
natuurlyke verandering van de lengte des Slingers, of geheel of ten jnmften groocdeels voortekomen,, zvn indedaad zeer vernuftig, en doen eer aan derzelver Un vinders ; ik kan er evenwel niet intreden om gemelde uitgedagte middelen hier voortedragen , of dezelve omftandig te befchryven, dit zou mv wat al te lang ophouden,men kan daar over lezen Esdré, Natuurl. Wysbegeerte, II. Deel, bladz. 227 en eeni' ge volgende. ' u
§ 4». Om de regelmaatige fchommeling des Slingers te. meer nuttig te doen zyn, en van dienst te maken, in onderfcheidenenatuur.Vundigenafpeuringen, heeft men naauwkeung onderzogt de langte vaneen blmger welke ,n ééne Seconae juist eenmaal fchommeld. De Heer Johannes Lolofs, Prof. te Leiden, heeft dit in gemelde Stad met de uiterfte voorzigtigheid onderzogt, en zyn arbeid daaromtrent, met de uitkomst aan de geleerde Weereld medegedeeld, in eene uitgewerkte Verhandeling, welke teplaatst. is onder de Verhandelingen, uitgezeeven door de Hollandfche Maatfchappy der WeetenfchapZ , Z Haarlem , UI Deel pag. 4,9 enz. Volgers die Verhandeling, heeft de Secunde-Slinger te Lnden dè engte van 3 voeten 1 duim en 11,063 lynen Rhyn. landt. —- Ik zal met zeggen dat de Secunde-Siinger op alle plaatfen van onzen Aardbol niet even latïgjs; ik zal de oorzaak van deze verfchillendheid niet onderzoeken ; ik zal niet aanwyzen, welkeen gebruik men m de Natunrkunde van de Seconde. Slinger al gemaakt heeft, of zou kunnen maken : deze dingen zouden ons te diep in Mathematifche befchouwingen brengen , en inwikkelen in Natuurkun. dige befpiegelingen , waar van de gronden jn dit Ullegie nog niet algemeen genoeg of by allen ge. legd zyn (m). Alleen zal ik hier by voegen , dat
de
A*ZÏV* A\e?enW00Tdig een uifgem<»kte ziak , dat de As des Aardkloois een weinig korter i* sis de mlddenlyn
vin



ld8 MENGELWERK va»
d Heer Lülofs , uit de ppgegevenc lengte van de Secunde-Slinger, door eene gemakkelyke rekening benaald. dat een Vallend Lichaam, in de eer fte fecunde van zyn val, 2al doorloopen een ruimte van 15 voeten 7 duimen en lynen, RJmUmd-
tche maat , als namel. het Lichaam door de lucht niet belemmerd word. - Nu ga ik tot wat anders over. jj#
van 'sAardkloot* Evenaar, zo dat onze Aarde. men kloowrond , maar eenigalna knolrond , is. Hm^uit volgd , dat men onder den Evenaar verder van bet middenpunt der Aarde af is, dan wanneer rffén zitn by eene derPpolen bevind ; wyl nu de «ntrékkings^agt verminderd, wanneer men verder van het middenpunt der Aarde afwvkt , zo moet dan de «mrekkingskragt minder fteik werken onder den Evenaar , dan op een merkely.ien af. ftand van dezelve af, en een Slinger moet Ugwi on. oer den Evenaar, dan elders flingeren Een Slinger, by aevol-e, welke in ons Vaderland in ééne fecunde eenmaal fchomtneld , zal onder den Evenaar .verko.t moeten worden, om ééne fchommeling in ieder Secunde te doen, zo dat de Secunde-Slinger onder den E.enasr «orter ,s dan hier te Laade of elders. De ondervinding beeft M ook edeerd. De Heer BougueR vond de lengte van de Secunde-Slinrer, aan het Peruaanfche !lran 1, 439 07 , en ce Heer Lol of a vond dezelve te Leiden 440,7»83 P«£ ftfc/lynen, verfchillende dus 1,64183 lynen .Men heeft (iTdk verfchil gezogt te bepalen de rade »^ JJ^ te van des Aardkloocs As en dtfHbgce van den midueniyn des Evenaars; welke rede men bevord te zyn , na genoeg • lis 168 tot 169 i dezelfde evenredigheid byna heeft men ook gebonden, door vergeiyiting van de metingen van een graad8deS middagcirkels, in Lapland en ^«»jj£e** van Vrankryk gedaan. Zie Lu lof s, ferhandehng , zo 7L aangehaald", in den text; .lw»r die mgfijg** van 't gebruik, 'c welk men van de Secunde-Slinger verder maken kan.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, Enz.
, „, r"; ^» * tTaamgeftelde Slinger 9üLi3; handt;ide tot hier toealfeen over deehkeUé Slingers, nu eischt myn onderwern dn \k • enKclde
iteia word, vastgemaakt in en b
"M'UP cPUiK een Lichaam A gehecht is, dan is zulken toelteleen eukeL de: Slinger, waar van, en van deszelfs ichommehngen, wy jD 't voorgaandehebben gehandeld. Maar waiintCr aan dezelve draad, by voorbeeld inB, een tweede Lichaam gedaan is, dan noemt men het een t'faamgeftelde Slinger. Deezen toeliet, mee de beide Lichaamen ot gewigten A en B, latende flingeren, zal de beweeging rasferzynalsdie van de enkelde Slinger CA, en trager al, wanneer een enkelde Slinger, hebbende de langte CU, ilingerde. De beweeging van het Lichaam A wordt door B ve£
vertraagd wordt, ^ruh^lgtrd '1rVfus^;? J en Bergens een punt moet zyn, laat het in n tl danig dat een enkelde Slinger, de JeS rnfti de in dezelfde tyd eens fchommeld"ïs d^-ftSeï
de mpten dnLaan,,T'rkflen de ™werkfel3 Vaö oe magten, door welke A verfoeid en B vertrad word, gelyk zyn aan malkanderen, en da do fc, wigten A en B als aan de Hefboom» q a en ëö "ept^OdaookrUd^Cn d°°r ^^^rêdenivehngt
vePbaïS m«f^> gende evenredl'Sheid bepalen te^hoe l, ? h S g J00,gr D,et wel hier in te vlech' ten hoe men hier meetkundig redenk-ïwM 11 Jit maar zeggen dat het punt O zo mo, t gJnom'n wo?
tï CA^ geWLgt A' g^"Wrfm?d^E ^ CA, ftaat tot bet gewigt B, met de lengte Cg D „„



i?0
MENGELWERK vaii
gemultipliceert, als BO ftaat tot AO, of zo de gewigten A en B van één zwaarte zyn , dan üaat eenvouwig CA tot CB als BC tot AO(wi). Door deeze evenredigheid kunnen wy bepalen de plaats van 't fiingerpunt O, of de lengte van de enkelde Slinger CO , welke met de t'faamgellelde Slinger CCA m even veel tyd eenmaal fchommeld. 'k moet m
deeze regels prcefkundig bewyzen.
§ 45. Eersc ,zal ik een i'faameefletde Slinger beproeven, san welke twee even zwaare gewigten fchommelen , cd dan eene, welkers twee fchommclende gewigten ong lyk van zwaarte z^n.
fmï Om dat de Lïchaamsn aan een onbuigzaame draad flffen . daarom liggen de wegén ..-elke zy befchryven DA en IIB , even fc&tn op den Horifm, (wy kannen deeze wegen aanmerken als regte lynen, wyl we ons flegts S bogen voorttelen) , de Lichaamen «ouden, dus , ieder op Zich zelf, even fnel voortgaan ; maar de Sl.nger van Daf zich tot\ laagfte punt bewesgeode, vordera A de leng e DA . en 11 niet meer dan de lengte BW, zo nat A door D verGieTd , en B door A vertraagd moet wo i„. Wy ftellen dat'A zo vee! als de lengte DE vsrfneld ™Vd terwyl dat Lichaam anders de lengte EA zou vordïïS-. *2 moet B in die tyd zo vee. als GH opgehouZn zyn, want GB is —EA, om dat GE (welke^CD m *i parit F fnyd) eve^yüg .net de Slinger CA, als dezelve te looi of ilil hangd, getrokken ». Nu is, op grondtvan * Leer der beweeging, DLxCAX de zwaar e van A-GHXCBX de zwaarte vun B; en dienvolgens,
Hértvount F, overeenkomende met het punt O , is •t btSl fchommelpunt; want een Lichaam, n.ngerendVaVn een enkelde Slmger CO ol CF, zal de lengte K>,



WISKUNDIGE VÉRffANDELINGEN,ëNZ, tfi XV. Proefneeming; De gewigten A en B, fz'ie nog on dezelfde
|?8fif onbuigzame dS CA
vast, zyn van eene zwaarte,- >t punt O , tusfchen
CA Io^rT60 \0 'f^cfC men gnomen, Vo da5 v m flaat ?is b0 tot AO. Nu zal een en-
van iedergSS fl,nSere^ dac is > eene fchomSehrg van ieder zal even veel tyd duureii.
XVI.' P r o e f ft e è m i s o.
't Sj/W raen gew?Kt A zwaarder als B en t punt O daar ,■ dat A gemuit, met CA fhnr r r
£ISft a's BO tot AO; Een ènkc de S in ge., hebbende de lengte van CO ümvnr-i „.L. 1 even ras als de Slinger CBArnJt' de SSl?
§ 40. In de laatfte proefneeming was het onderft gewigt aan de draad CA 't zwaarst, als ie Se«
om
even fchuiii liegende eri even larie zvmlf ai. va ■ j
aelfdetyd afloopen, a,s Achfa Ja izyl
K»g de lengte DA ; de enkelde Slinger vL dffeSfe
S?delanÏÏe^d:ïnA:d ^ ft^«2 ^ Boven vonden wy dat CAx A- CR v R -.rrt ni/ -j
GH : GF :: DE : EP, of verwisfsld GH : DE :: GF : EF en wyl BO~GF.en AO~ EF is GH : DE :: BO : AO. Daarom CAXA :' C«xB :: EO : AO; ën wanneer A ~B is,
CA:CB;:BO:AO; Dat te tewyten wii O »



1?a MENGELWERK vaw
om nemen, en maken het bovenfte gewigt, aan de a ,j pa kimmelende, zwaarder ais 'tonderfte, m ft ?R ï ï ' hmgeipunt O te vinden, dez ïde Dewyl' dc ondervUrg de beste Leermenster is, zal ik dit nog met de proef aantoonen. XVII. Proefneeming.
't Gewist B is zwaarder als A, 't punt O is wederom™ genomen, dat, als voren, de zwaartei van A met CA gemdtiplUeert , tot de zwaarte van B mer CB ftaat , als BO tot Aü. De enUv.1ÖgS ïo tog als CO doet al weder in even veel ?yd een fchommeling, als CBA de t^mgeftelde
Zf^të*?^** t'faaligeftelde , ieder een
tettfÏÏ^. in gevolge deleer fakende de t'faamgeftelde Slinger,zyn flmgennig ÏS een Uurwerk gevoegd, een zeer aanrnerkelyke Sao meerder fnelheid geven , zonaer de draad des SUöeeTs eigenlyk op te korten ; als hy namelyk aan diezelfde Sraai noveen tweede ge dat 'c welk 'er reeds aan is , begt, hier door zal de Slinpc! fneller zich beweegen, en 't gantfche rader-
^flffk kon 'hïïCïfrieA* van t'faamgeftclde SliUrs waar mede dfieV meer byzondere gewigfen fan ééne draad ichommelen, maar de regels om derze ïer beweeging te bepalen door vergeiyking met de beweeging eens enkelden Slingers, zyniderma>re SfanTento i« myne Verhanaelmg ,als
Jnw Shikt kon geoordeeld worden; ik zal des ^l£?T^flJie flingertnigen geen meer ze,apn Je meer, wyl dezelve aangemerkt kunnen worden' fleffa voorwerpen van loutere befpiegcbng te
, in als nooit , ten minften zeer zeldzaam, tot



WISKUNDIGE VER HANDELINGEN,enz. i73
raadplegen mee den Heer Mosschenbroek., in zyne lieginfels der Natuurkunde, § 41 %, 416. Men kan ook nazien onze eigene proerneemmg, N°. 651 ia myne Aantekeningen ijl).
$ 40.
(») Voor zedanigen myner Lezers die begeerig zyn de wyze te weeten , op welke men het flingerpunt bepalen kan , aan een Slingsr, waar aan verfcheidene gewigten, ten minden meer dan twee, fehommelen, zal ik hier plaatfen, alwaar het niet onvoegzaam kan geagt worden, om zulken de fnosite te (paren het zo even in den texr. aan. gehaalde Werk van den Heere Müsschenbrojtk in te zien, eene Oplosfing van dit navolgende
Vraagstuk.
Aan de zeerligte, dunne, maar onbuigzaame draad eener t'faamgeftelde Slinger, hangen, op ondcrfebeide plaaifen , vier even zwaare gewigten, A , B, C en D, die aan gemelde draad flingeren; de alitand van't punt vaa beweeging, of 't ophang, punt, van 't gewigt A, is «, van B, b, van C, c, en van D, d. Men vraagd nu naar de plaats van 't fchommelpunt , of hoe lang een enkelde Slinger za! zyn, welke in even langen tyd als de gegevene eens zal fchommelen ?
Oplossing.
Uit het beredeneerde , in de laatstvoorgaande anntekening, is gereedclyk afteleiden, wanneer men van ieder gewigt de afftandeu van 't punt van beweegingen van'tfchommelpunt te famen multipliceert, dat dan de fom der Produüen, die voortkomen uit de afflanden dier gewigten die .boven 't fchommelpunt zyn , gelyk is aan de fom der overige Prodiitïen. Ik ftel de afftand tusfchen de punten van fchommeling en van beweging" x,en onderftelledat de gewigttn A en B boven, en C en D onder 't fchommelpunc
aan
O 3



rag MENGELWERK van
« 40. Als een Roede of Staaf, vnn yzer of eer.ige andere ftoffe, aan een einde aan een onverander-
hn de draad zyn, A is van 't laatstgemeldepunt x — a, B , I— b, C, c —x en D, d-r*» en dus is
ax — pa +te — 66 — cc — cx + ^ ~ ^
Als wy van de vier gewigten eene meer of eene minder S>oven Yichommeipunt aan de draad vooronderftellen , dan rooet wei 't Product der bovengemelde afftanden van dar, gewigt in deeze Vergeiyking aan de andere zyde komen, dog ff et verandering van de tekens -!- en —, zo dat de Vergeiyking eigenlyk geene verandering, ten aanzien van da waarde van x, ondergaat; dezelve bepaalt dus in dit geval algemeen de waarde van je, en de phats van t fchommcl'punt. Men brenge nu al de grootheden, die met x vermenigvuldigd zyn , aan. een zyde der Vergeiyking, en men heeft,
ax+bx+cx+dxnaa+bb+ccjrdd
gedpeld door a+6-K+d— ■
aa + bb + cc + dd komt x — .... ■ ■1 ■
a + b-hc-'rd
De vierkanten der afftanden van 't punt van beweegicg van ieder gewigt by malkanderen geteld , de fom gedeeld door de fom dier afftanden, geeft dus de waarde van x, of de; affland van liet fchommelpunt van "t punt van bewee-
„ing. Deeze Regel is algemeen, hpe veele Lichaamen
of gewigten van gelyke zwaarte 'er ook aan de draad zyn. ïk neb my bepaald by gewigten van een zwaarte , om dac de gevondene Formule ons aanftonds zal te Oade komen, by tle befchouwit g van een Staaf-.Slinger. Uit het voorgaande is genoegzaam openbaar, hoe men het fchommelpunt, jn een't'faumgcftelde Slinger, vinden zal, wanneer versheide gewigten van verfchillende zwaarte aan de draad, fjn^eren; ik zal 'er my daarom niet verder over uitbreiden»



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 175
hk punt verbonden is , om wei!: punt de Staaf kan flmgeren of beweeglyk is , dan noemd men zeik een toeitel mede een t'famengeftelde Slinger, ook, wel een Staafi'lmger, in welke men ook een flingerpunt of middenpunt van fchommelinge heeft optemerken. Wy merken deeze Slinger aan als een t'faamgeftelde, waar aan de fcbominelende gewunjes zo m<-nigvuldig zyn, dat ze de draad als 'c ware van boven tot beneden geheel bedekken. Als de deelen ftofs der Staaf alle eenfoortig en van dezelfde dikheid zyn, en de Staaf is van onder tot boven overa! van een gedaante en dikte, dan vind men door rekening' gebouwd op hier voor reeds gelegde gronden, 't middenpunt van flingering in zuiken Staaf van 'tpunt van beweeging of 't ophangpunt verwyderd, juist 3 van de lengte der Staaf, dat is, twee derde deelen der Staaf zyn boven, en een derde deel is beneden 't punt van fchommeling. Dit notabel ftuk verdient wel dat we het proefkundig aantoonen, 't welk we voor 't Gezelfchap zulien tra'gden te doen met ae volgende
XVIII. Proefneeming.
Neem zuiken Staaf, van yzer, hout of andere ftoffe, 3 a 4 voeten lang, maafc de draad eener enkelde Slinger zo lang ais de f der lengte van de Staaf, laat dan beide, de Staaf - en de enkelde Slinger, gelyk jfliogëren, men zal bevinden dat eene fchommeling van ieder in dezelfde tyd gedaan word (0),
§ 5°.
(0) Wy ftellen dat zulkeu Staaf lang is » menigte-zekere kleine deelen, en merken aan dat ieder deezer afdeè'ingen bevat een klein Lichaamtje, welke Lichaam-ges, all« even zwaar, met maikandeien de Staaf formeeren , en als aan een draad fchoramelen. Dus zyn de afftanden der Licbaamtjes van 'tpunt van beweegijpg, als de Staaf febom.
•mefd,
O 4



i76 MENGELWERK van
« so Toen de beroemde Heer Huigens, in '£ begin deezer Les alreê mee lof gedagt, arbeidde om de Horolopien of Uurwerken te verbeteren, engeiyfcmaatigerloop te geven , bedagt hy een midde orn een flingerend Lichaam zyne fchommehngen te laten Len in°de boog eenes Roltreks (Cyclnde) > orn dit flin^ertuig.aan een Uurwerk gevoegd zynde,dqs nog gelykmaatiger te doen zyn, dan wanneer dezelve ge, regeld word door een gewoone Slinger, welkom den boos eenes Cirkels fchotnmeld. Menigmaalen gebeurd
meld i. 2, ?, 4. &c. tot «; en, volgens de leer in de laTtstvoorgaandenoot, is d_eafftand tusfchen'tfchommelpunt en 'tpunt van beweeging _
i-i-2 + 3 + 4-t- &c. tot n' i + 2 + 3 -1- 4 + &c. tot n De Formule op de fom der Quadraaten is
«+ r X3+— xa-^'+t»'***
2 2X3
En op de fom der getallen J«J + §n.
!_ = =£«+!♦
Maar wy ftellen de eenheid , of een deeltje varlengte ■WStaafs zeer klein, of, zomen wil,als oneindig klein, ft Wfmen i« de We uitkomst f verwaarlooze.j en nU etn va<te Regel aannemen , dat, in een Staafflinger , ¥ punt van fchommeling en dat van beweeging vari malkanderen zyn verwyderd, juist twee derde deelen van des Staats Jengte. .Dat te vinden ms.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. i77
het, dat de dingen ons in befpiegeling fchoon voorkomen , maar dat we te leur gefteld worden wanneer we ze m praktyk brengen; de befpiegeling beloofd dikwyls veel meer als de praktyk geeft, zo ging het ook met het gemelde konfiige Slingertuig van. den Heere Huicens, de uitkomst beantwoordde niet aan de verwagting, hoe fchrander en vernuftig de uitvinding ook was : 't Konstwerktuig moest meer t'iamengefteld zyn, en dit veroorzaakte nieuwe zwarigheden, nieuwe onregelmaatigheid; men heeft, zo 't fchynt, van zulke Slingers aan de Uurwerken weinig gebruik gemaakt. De berugte kromme lyn
die men niet oneigen een Roltrek genoemd heeft, is evenwel, wegens deszelfs natuur en gebruik te merkwaardig, om dezelve te verwaarloozen ; myn voornemen is hierom, om, niet nu, maar by welzyn in de eerstvolgende Les, den oorfprong, eenige eigenfchappen, en 't gebruik in de Werktuigkun. de en leer der beweeging van deeze kromme voor te dragen, makende van de tegenwoordige Les nu een einde.
0 5 y;



I78 MENGELWERK vam
V. LES, Inhoud van deze Les. i nrrpronR en voortbrenging van de gebogen
in* torfcr beweging, "a'^eigenfchsppendes Roltreks
f De oorfprong en voortbrenging van de gebogen l'Lyn, Jelke men een Roltrek (Cycloide) noemt.
Myne Heeren!
« er Deezen avond moet ik (preken, in gevolge § 5 ' i^frl fn't flot mvner IV Les,van een krommyne belofte m t nor. my» namur en eigen-
me Lyn; een ^^^^l^^l dienst febappen al zeer merk**™^ in 'cnaarrpeure.1, van ^^^^JLdelen, wetten van die ^aVuuTvk uit hoofde van deszelfs ke men , met onna^u u oorfprong, de Rol^kKJwjzen waar door zoVooraf zal ik korte y f\oonkomt, endnn damgen Lyn of 0Dlu veel tot 0ns oogmerK dewelft «g«JJjPRf 'Zo veïftaanbaar en klaar ten miüften nooai0 i>> ontvouwen. De
my mogelyk za zyn , ttjg.» » °*rond w5e, of Roltrek wordt geboren qo r q ecnQ
ren rol, voortrollende, in een £ te y , h zulk effene en ««erpasfc^vlakje. ^ ïq iuste^ tm regte Lyn ot weg 9 en de



Wiskundige verhandelingen, enz. m
2£ rol iidar E toe voortrold, dan ryst het ondcrlle
purit in deszelfs omtrek A, de rol blyvende voortrollen, klimt dat punt nog hooger, tot dat het in C op 'c hoogst is; wanneer dan de rol op den weg tot m G is gevorderd, hebbende de midden!vn dei rols nu een omgekeerden ftand; het punt in den omtrek deezer rol, 'z welk in A het laagfte was, heeft dus in zyne beweeging van A tot C een gebogen Lyn m de lucht belchreeven, als de Lyn ABC en deeze kromme is het welke een halve-Cw/^Ae. noemd word. De rol nog verder naar E op voorgaande wyze voortgaande, daalt dat punt, tot dat het m E op tlaagst, en weder aan de grond komt hebbende aan deeze kant van C ook een boog CDE gemaakt, volKomen gelyk aan de voorgaande CBA en de geheele kromme Lyn , op de befchreevene wyze voortgebragt namelyk de Lyn ABCDE 39 een Ro/trek of Cycloïde, welks geboorte en oorfprone wy nu hebben aangewezen. "F'-'ng § 52. Ieder punt in den omtrek van een voortrol lend Wagenrad, of in 't algemeen van elke Si oD d.e wyze beweegende cirkel, befchryfteene Cvctoïd?' m den tusfehentyd van dat dat punt op *t laagfte int dat het op nieuw weder aandegronWop'tlaap,? komt. IVaar, Ichoon duizend punten indfoS k™ van dus omwentelende raderen daaglyksoKa" re Cycloïden voortbrengen, wat nut kunnen ze on, doen? zal men vee ligt vragen wv 7;J a „ as brengfels niet, die puntenS ZuTj^
hun»



l8o MENGELWERK van
v>nnnpr beweeaing agter zich ; 't is zo, maar wy Ken d natuur naarbootfen, de bogen, door geSe punten befchreeven , naauwkeurig genoeg afekenen in hout en andere (tof graveeren, eu zo wen w ons zulke kromme Lynen voorftellen, en derScTdgenfchappen naspeuren. Als ik de eer ïhnd heb óm eenige der voomaamite eigcnfchappen gdï CySHoor tl dragen, dan hoope ik de Heeren fe zullen overtuigen , dat die berugte kromme Lyn
dezelve den Liefhebberen der Natuurkunde, m hunH naarvorfchingen toelicht en behulpzaam «• —De voortkomst deezer kromme aangetoond hebben de, zal ik ter befchouwing van deszelfs eigenictiappen overgaan.
II. Eigenfchappen eenes Roltreks.
g „ Uit 't gene van den oorfprong der Cycloïde Jegdis blykt, dat 'tpunt van deszelfs boog, ¥welk bet hoogs boven de waterpasfe grond AE cZ nog op de vorige Figuur) is verheven, zo veel llven AE is a!s de lengte van de middenlyn des au ffdoo7wVlS omwenteling de Cycloïde is voortge'ifLr óf de Lvn GC , wordende deeze Lyn wel uc 5f ge^alsT^ter'pasfe AE deGrondftcun (BafirVdls Rolt eks geheten. Verder begrypt men ook ftmakkelvk dat de uiterfte punten A en E der Cy. êi ^? in een regte Lyn van malkanderen zo veel ve wvderd" vn óf dat AE juist zolang is, als
57Ste van den omtrek des cirkels door welke de rJhïde geteeld is, welke dromen daarom noemt ^dfe%r%nerator) , als we flegts n aanmerking nemen de naruur der rollende beweeging van den wKn cirkel AF, zien wy duidelyk , dac AE noch nge noch korter zyn kan . als de omtrek diens «r, ÏÏ?ia; dus ftaat, in alle Cycloïden , de As GC tot fJnaks AE, als de middenlyn eens cirkels tot desSliS fiittek'. dat is, volgens de bekende proport^



WISKONDIGE VERHANDELINGEN,enz. iBl
als 7 tot 22. Door deeze eveDredigheid kan men gemakkelyk, nwt fchaal en pasfer de boog van eene Cycloïde, vry naauwkeurig, afrekenen.
§ 54. Ik geef nu de Cycloïde eenen omgekeerden ftand, de Bafis Ad naar'omhoog, welke Lyn men zich als waterpas verbeeld, en het toppunt der boog C is nu het 'aagtte, de middenlyn der cirkel, door welke de Cycloïde voortgebragt wierd , ligt op den As derzelver DC. Men heeft bewezen , zo men
van eenig punt in den boog der Cycloïde een raaklyn trekt, en van dat punt een evenwydige met AB, tot dat deeze den omtrek dar telende cirkel ÜMNC doorfnyd, en dan van 't punc der doorfnyding tot het punt C een fpanlyn of pees inden cirkel trekt, dat deeze fpanlyn altyd evenwvdig loopt met de getrbkkei.e raaklyn; in deeze Figuur zyn, uit de punten •H en I in den boóg raaklynen getrokken , en van die punten, evenwydig met AB, de Lynen HK en IL , foydende des cirkels omtrek in M en N; nu is de fpanlyn MC evenwydig met de raaklyn MP, gelyk ook de fpanlyn NC met dq raaklyn 10. Voorts be-
wyst



182 MENGELWERK van
wyst men , wanneer een lyn , by voorbeeld HK < evenwvdig met AB getrokken word , fnydende de Cycloïde in H en de omtrek des cirkels in M, dac dan de boog der Cycloïde van 't punt der doorfnyding tot her pure C. juist tweemaal zo lang is als de fpanlyn in den Cirkel, getrokken van 't punt daar de omtrek door de evenwydige word doorgefneden tot het laagfte punt C ; dus is dc boog HIC gelyk tweemaal de ipanlyn MC, en de boog IC gelyk tweemaal NC* gelvk de halve Cycloïde AGHIC tweemaal zo lang is als 'de middenlyn DC van den telenden cirkel
§ 55. 't Dus ver gefielde waar zynde, gelyk het op onwrikbaare meetkundige gronden rust (jt>), zo volgd
wan-
(p) Hier is 't de gevoeglyke plaats, om de alhier in den text zonder bewys opgegevene Hellingen voor myne Lezers te betoogen; daar toe zal ik vooraf bewyzen ,• dat de regtë lyn HM (zie de laatsreoorgaande Figuur > even lang is als de boog des cirkels MNC , uir wat punt van de halve Cy. cloide AHC de evenwydige 11K ook geirokken is. Of ia
moet bewyzen , dat,in de nevenftaandeFiguur, de lyn a G zo lang is al3 de
ooog — IA
GD. i ■
AoD is een halve omgekeerde Cycloïde, door de omwenta. lina van het Rad CD, van A tot C,op óeIwrifotitaa/eAC,■ Beweid- het Rad to: K gevoiderd zynde, is 't punt in desZelfs omtrek, 'twelk in A het laagfte waé, nu in a, en de middenlyn des Rads, welke, toen de omwenteling begon, in A legiftandig op AC ftond, is in dezen ftand aü; men



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,KHz. 183
wanneer men een Lichaam op eenig punt der halve Cycloïde AHC lege, dac dan de kragr. van neerdaling
langs
trekke uit a, evenwydig met AC, de lyn aH, Ihydende de omtrek des ronds CD in G, dan, zeg ik, is aG even 20 lang als de boog GD. Want,
de boog oK is —de boogCG, afgetrokken van cKFfi :z CGD, ieder een halve-cirkel,
rest de boogKFB^de boog GD. Maar de boog KFB is — de lyn KC~ EH, om dat KCHE een regthoekig Raam is; dus is EII — de boog GD.
GH - oE EG = EG
-add.
EH ~ aG, en EH — de boog GD, daarom aG ZZ de boog GD. Dat te bewyzen tran.
Tn AafVf. npwn. A f
flaande Fiquur is ABD een halve Cycloide ,\a een ftand gelyk in de esen voorgaande Figuur, de middenlyn der te. lenleoVfcf/ligtop de as der Cycloïde CDj BF is, evenwydig AC, getrokken van ó-iOicloide tot den
omtrek des cirkels CD in 't punt F; uit de punten B en F zyn de raaklynen BG en FE getrokken , de laatfte on-moet DE, des cirkels raaklyn uit 't piint D, in E; voorts is bf, van «,'e Cycloïde tos den cirkel CD, evenwydig en oneindig
naby



i?4 MENGELWERK van
langs de Cycloïde akyd is naar maate van de lengte der boog, tusfchen 'c Lichaam en 't punt C; en dat
een
naby BF getrokken, en de fpanlyn of pees DF, welke verlengd is tot o in de lyn bfi Wyl b B en ƒ F oneindig klein worde» onderfteld, kunnen wy ze als regte lynen aanmerken, en dat, wanneer ze verlengd worden, de raaklynen BG en FE voortkomen. FE en DE, beide raaklynen uit een punt E tot den cirkel getrokken , zyn even lang, en , om dat de kleine driehoek af F gelykformig is met de driehoek DEF, en wel L. aflï — Z_ E, is ook fF — af. fP ~af, 't verfchil der lengte van de bogen DF en DF/, is ' ook' 't vetfchil der lengte van de lynen BF en b f ; want, volgens 'tbovenftaande bewys in deze noot , is BF~_ de boog DF, en bf— de boog DF/. Hierom is dan baZZ. BF; gevolglyk , wyl deeze lynen evenwydig zyn, is bti evenwydig aF, en de raaklyn BG evenwydig met de fpanlyn FD. Dit wordt op alle punten in de Cycloïle op deeze wyze bewezen, en dit is 't dat, boven in den texc gefteld zynde, ik my alhier voorftelde te bewyzen.
Nu is nog te bewyzen de Helling, dat de boog der Cycloïde BD tweemaal zo lang is als de fpanlyn FD, en dat op alle punten, waar ook BF, de evenwydige met AC , ge.
tiokken wordt. Men trekke nog in 'tlaatfte Figuur
de fpanlynen Df en Cf, de laatfte verlengende tot 't punt i in de lyn aF. —- De Z_D/c, als flaande in een halve cirkel, is regt, Prop. XXXI. Euc. III. B., rasar de IL D«'C kunnen wy als regt aanmerken , gemerkt L iDf oneindig klein onderfteld word, dus is fi perpend. op den Ups aF in den kleinen gelykbenigen driehoek a/'F , ge-^ volglyk Fi—ai , zo dat Fi , het ondeifcheid der twee fpanlynen DF en D/, is — de helft van «F, of van de kleide boog der Cycloïde 6B. Veibeelden wy ons nu, dat f de punten in de Cycloïde B en b oneindig naby 't punt D, in dezen omgekeerden ftand 't laagfte punt der 'Cycloïde, genomen zyn, dan mag men wel veilig de kleine boog b BD aanmerken , als tweemaal zo lang als Dij — de fpanlyn D^i trekt men een evenwydige oneindig ntby 6/, tn verder'van 't punt D af, de boog der Cycloïde verlangd dan gelyk. bewezen is , tweemaal zo veel, *ls de fpanlyn,



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. r8j
een lichaam dus even fchielyk in C zal zyn, waar het op de Cycloïde zyne beweging ook moge beginnen.
§ 56. Ik heb, myne Heeren l ik beken het, rakende de eigenfchappen der Cycloïde, (tellingen opgegeven, waar van ik hier 't bewys heb terug gehouden; maar die bewyzen zyn van zulk eenen aart, dat men ze, al zyn ons meetkundige bewyzen niet vreemd, op eene enkele voorlezing niet gereedelyk zou vatten, dus kon ik die bewyzen niet met vrugt voordragen; ïk heb die Hellingen niet opgegeven, my verlatende op sisfingen, of enkel (leunende op 't gezag van anderen , neen , ik durf voor derzelver waarheid borg te ftaan; ik heb my voorgefteld niets voortedragen, het Mathematifche ten minften betreffende, waar van my de waarheid niet klaar gebleken was; de genoem-
in den cirkel CD, langer word, 't welk zo van punt toe punt voortgaat; des 'tbefluit is, dat, waar bf de evêüwydige met AC ook getrokken word, de boog bBD altyd tweemaal zo lang is als de fpanlyn D/, en dat gevoiglyk dg halve Cycloïde ook tweemalen de lengte heeft van de middenlyn des telenden cirkels CD. Dat te bewyzen Was.
Uit het gene tot hier toe in deeze noot beweezen is, volgd wettiglyk, 't gene in den text of de Les ztlv § 55 , als een gevolg 'er van, gefteld is; want (men zie op 'tFi. guur van § 54 in den text, welk Figuur van $j 54 — 58gebruikt word,) een klootje loopt de fpanlyneu MC en NC in even veel tyd af, gelyk te voren getoond is , en beeft eene kragt van neêrdaiing in de punten Men N, naar rede van de lengte van elk deezer fpanlynen ; en, wyl de raaklynen der Cycloïde HP, 10 evenwydig loopen met de fpanlynen MC , NC, en de boog HIC tweemaal de lengte van de fpanlyn MC heeft, enz. zo is met weinig nadenken wel op te maken , dat, wanneer men een klootje op de Cycloïde in eenig punt H legt, waar men dat punt ook neemt, de kragt van n<êrdaling zyn zal naar maate van de lengte der boog tusfchen dat punt en 't laagfte punt C, en dat hec Mootje even ras in C zal komen waar men 'töok op de Cycloïde legt, gelyk aanftonds ook proef kundig zal bewezen worden.
P



i86 MENGELWERK van
noemde edele Weetenfchap lag my altoos te na aan »t harte , om haren roem door loste onderftellingen te ontluisteren. Maar heb ik het bewys van 't gefielde hier niet met vrugt kunnen by voegen, 't geen 'er wettiglyk uit volgd , namelyk dat een lichaam, waar het ook op de Cycloïde AtiC zyn loop begint, jn evenveel tyd in 't laagfte punt C komt, zal ik eveuwel met de daad en proef kundig aantoonen, mee de volgende
XIX. Proefneeming.
Laat AHC de bovenkant eener plank verbeelden , loopende volgens de boog eener halve omgekeerde Cycloïde, waar op twee kleine klootjes naast malkander kunnen rollen , de Cycloïde is in zuiken ftand dat de lvn AD , verbeeldende de grondfteun , waterpas loopt; men late nu twee gelyke klootjes, de een van veel grooter hoogte als de ander, gelyk m C komen, en gelyk tegen de aldaar geplaatfte ftuitplaatjes aan-
ftT?7*. Als men eene Cycloïde volkomen gelyk aan ACB in C midden doorfnyd, en dan de twee helften AC en BC zo plaatst, dat de beide mterfte punten A en B by malkanderen komen in de Figuur welke wy nu gebruiken in E, en de enden by de doorfnede C, C (laan in A en B, dan is, wyl de Bafi AB watero-s ligt, 't punt E loodlynig boven D, LD is gely tPDC; dus is de regte ^^C, volgas Vvorige even lang als de boog der halve Cycloïde EFA. Als nu EC de draad eenes Slingers is, vast gemaakt m 't punt E als ophangpunt, en hangende in C een gewffiaan de draad , en men haald het gew»gtje uit C naar A op, zo dat de draad EC volgens de kromte der b 102 EFA gebogen word, dan komt het gewigtt iuist iD 't punt A f dewyl EC even lang is als gemelde boog; 't gewigtje, in A zynde, nu aldaar los lTtende zal hef, terwyle de craad van de Cycloïde EFA all'engskens ontwonden word naar maate c gewigtje lager daald, al de punten fn de boog AC, als



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 187
G, H, I, enz. , doorloopen , en dus in zyne beweeging de boog eener Cycloïde befclirwen. Dat die indedaad zo moet zyn , is men in ftaat meetkundig te betogen , dit meetkundige beivys bier moetende wegiaten (q) , zal ik het evenwel door eene proefneeming auntoonen.
XX.
(?) Ik moet dat meetkundige bewys, volgens myn plan egter hier in eene noot opgeven, waar toe ons deze nevenftaande Fiir. dienen
zal. De gelyke baN ve Cycloïden AFC en DEA zyn even eens aan malkanderen gevoegd , als AHC en EFA in 't Figuur § 54, zo als 5 57 verklaard word; AB hier nevens is de Bafis, en BC de As der eerst genoemde Cy. cUide AF/C, en BGC de helft der telende cirkel van dezelve, welkers middenlyn BC ligt op den As der Cycloide ; voorts is AH, regthoekig
nn ar trprrnblron
en even lang als BC de As, en AIH de telende cirkel van de CychUe DEA, DH deszelfs Bafis loopt dan evenwydig met AB. De Slinger DC is naar A opgehaald en de draad gebogen volgens de kromme DEA dus komt dan C in t punt A ; want DC — 2 maal BC is — de Cycloide BKA zo als in de voorgaande mot bewezen is Nu fteld men dat het flingerend lichaam weêr uic A toe" F gedaald is , de draad behoud dan van D >ot E ^iine kromte, maar is van 't punt E af tot het einde F reet,
dit
Pa



J88 MENGELWERK v a h XX. Proefneeming.
Men vervaardigde een toeftel gelyk de Figuur, die we tot hier toe gebruikt hebben, aanwyst, ACB is een op zvn kant ftaande plank, boven uitgehold naar
de
dit deel der draad EF is aantemeiken als een raaklyn, uit 't punt E in de Cycloïde naar F getrokken , en is even lang als de boog LA. Wy moeten nu bewyzen dat al de punten F, /, welke 't flingerend lichaam in zyne beweging van A tot C, by de omwinding der dnad, doorloopt, in de Cycloïde AC vallen, of dezelve befchryven. Men trekke nog uit F, evenwydig met AB.FM, fnydende den Omtrek BGC in G, en uit E de evenwydige met DH ot liA, EL, fnydende den omt.ek AIH in I; voorts trekke men de fpanlynen GB en IA.
Bewys.
De raaklyn EK is evenwydig met de fpanlyn IA in de vorige noot bewezen, de lyn EI is evenwydig KA getrokken, ergo is AKE1 een evenwydig raam, dus EK ~ IA, en EI — KA; EI is ZZ de boog Al, zie mede de vorige noot, gevolglyk is ook KA Z2 de boog AI. Wvders is, gelyk bewezen is. de boog EA — EF tweemaal zo lang als de fpanlyn IA,
EK = IA,.
daarom is onk KFr:IA_EK. Om dat EK — KF is, zyn de evenwydigen LE, AB ea FM even ver van malkander, ergo AL-KM,
dus ook IA ~ GB, en de boog IA ZZ de boog GB, KFflA)— GB zynde, en tusfchen twee evenwydigen liggen^e, zyn ook evenwydig ,
daarom is FGBK een evenwydig raam, enFGZlKB. ftfi



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 189
de kromte eener Cycloïde, de bogen EA en EB zyn platte platen, zo geplaatst als ik tevoren hebbefcbreeven, .in E hangt men een Slinger, welks -raad juist zo lang is als EC of de halve Cycloïde EFA; het gewigt C naar A ophalende en van daar latende flingeren, de draad EC zig buigende naar de bogt der Cycloïde EFA, zal 't gewigt, zo in 't opklimmen als in 't neerdalen , zig bewegen in de leiding der boog of Cycloïde AC.
§ 58. Met deze toeftel is. EC een Slinger, welke m een boog van eene Cycloïde fchommeld. ; Eene flingering van zulk eene'duurd altyd evea lang, 't zy de befchreven boog groot, of 'c zy dezelve klein is; dit zal ik nog met de proef bewyzen.
XXI. Proefneeming.
Hang in 't punt E twee gelyke Slingers, van de langte EC, haal ze elk naar een byzondere kant zeer ongelyk hoog op, laat zé te gelyk flingeren, ze /.uilen in dezelfde tyd ongelyke "bogen van de Cycloïde afloopen - en gelyk fluiten tegen 't ftuitplaatje iu 't laaglte punt C geplaatst^....
§ 59- Deze gelykheid m tyd is eigen aan de Cycloïde-Slinger, 't is waar, wy hebben gezien, toen we van de gewoone enkelde Slinger handelden, dat de tyd van eene fchommeling eens gewoonen Slin .ers niet merkbaar verfchilde, fchoon de eene befchreeven boog wat langer was ais de ander, wanneer 't kleine
be*
AB is ~ de boog IÏGC,
AK ZZ de boog AI SS de'boog BG,
— ■—— . ' ■ afgetr,
rest KB ~FG~ de boog GC.
Maai: de-lyn FG = de boog GC zynde, zo volgd , door «et eeifte bawezpne in de voorgaande noot, dn het puit F in de Cycloïde AFC ligt; en dit op, ai ie punten F, ƒ toepas» fclyk zynde, volgd 'er uit, het gene te bewyzen was.
P3



i9o MENGELWERK van
bngen waren , maar die gelykheid van tyd zou ophouden, als de eene boog vry groot en de ander veel kleinder was ; gelyk de volgende proefi.ejrning uitwyst»
XXII. Proefneeming. In 't punt A zyn twee in alles gelyke Slingers AB
opgenangen , zy werden, elk'naar een byzondcre kant eu tot ecu zeer ongelyke hoogte, by voorbeeld tot Cen D, opgehaald,' en aldaar op 't zelfde óogetïblik los gekten ; zo "nu de flingerende licbawriien in bogen eener Cycloïde moesten fchom-
mp>fn' crphrk donr
',c vorige füngenui» , dan zuüaev ze gelyk in t laagfte punt komen, 't welfc;nu, zo als blyken zal, niet zal gefc bieden.
. Ik zal van de cigenfehappen des Roltreks nu alitappen, begeert ieo.gnd daar van wat meer te weeten; hy kan met den geleerden musschenbrobk raadplegen; die Heer handeld, § 400 en vervolgens, ra zyne Begin/els der. Naluurkuiide, van dié merkwaardige kromme lyn en den aatt van deszelf* boog, bewyzende meetkundig de eigenfehappen, die wy alkénlyk' moesten zeggen in de Cycloïde plaats te hebben, , My is nog'overig, volgens gedane belofte te fpreken, van het nut dezer kromme, en van 't gebruik, 't welk men 'er van in de Werktuigkunde gemaakt heeft, of zon-kunnen maken.
' c 4 m.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 191
III. 'f Gebruik 'J welk men, in de Leer der beweging , van de eigenfchappen des Rolcreks kan maken.
§ 60. In myn voorgaande Les heb ik reeds gezegd, dat de ichrandere Wiskunstenaar Christiaan Huigens de Slinger-Uurwerken dagt geregelder gang te geven , door den Slinger in den boog eener Cycloïde te doen fchommelen; zyn Slingertuig, daar toe uitgedacht, was op die wyze ingericht gelyk wy befchreven hebben , maar 'ik heb gezegd, dat de meerdere t'famenftelling van'tkonsttuig nieuwe ongelykheden en zwarigheden baarde, en wel zo groote, dat men van de Cycloïde-Slinger aan de Uurwerken heeft afgezien, üe uitvinding heeft dan eigenlyk geen nut gedaau; dog men fcliynt zedertevenwel meer bedagt geweest te zyn, om de gewoone Slingers aan flaande-Horologiè'nlanger temaken, en maar kleine bogen te laten befchryven; men weet dat een kleine cirkel - boog veel overeenkomst heeft met een boog van eene Cycloïde ; heeft dan de vinding van den grooteu Huigens aanleiding gegeven om de flingers der Uurwerken beter in te richten , dan is zyne poging ter verbetering niet geheel vrugtclóos geweest. Men geeft veel aan de Horologie" Slingers de lengte van 38 duimen Rhyn. lands , genoegzaam overeenkomende met de maat eener Seconde-Slinger, hier te lande.
§ 61. De Cycloïde-trek fteld ons in ftaat om door eene gemakkelyke proefneemiog aan te tocnen, dat de fnelheden van twee gelyke lichaamen, verkregen door langs eene helling neêr te dalen , tot malkanderen zyn als de vierkants-wortelen uit hunne doorgeloopeoe ruimten, naar de loodjyn gerekend» De proef is .deze:
F 4 XXIII.



192 MENGELWERK vak XXIII. Proefneeming.
ADEBC is de bovenkant eener op zyn kant {taande plank, in welke bovenkant zyn twee gelyke
groeven, naast den anderen loopende van A tot C, waar in kleine klootjes kunnen rollen , de bodems de/er gToeven van A tot B zyn halve -Cycloïden, welkers grondfteun door de lyn AH verbeeld word, loopende AH, gelyk cok de bodems der groeven, van B tot C wnterpas. Men laat uit D, negen duimen boven 't waterpas van b , een klein- klootje rollen , en , op't zelfde oogenblik in de andere groev, een gelyk klootje uit E, vier duimen loodlyhig bo. ven B ; de klootjes komen , dewyl ze neêrrollen langs de boog eener Cycloïde , gelyk in *t laagfte punt B, en door de verkregene fnelheid voortrollende , zul'ei, ze gelyk fluiten, 't klootje ü in G, en 't ander klootje in F ; men heeft^ in G , 3 voeten van B, in de groev voor 't klootje uk D een ftuitplaatje geplaatst, en een ander in de andere groev, in F, 2 voeten van Ypunt B. De fnelhedeu welke de klootjes D en E in 't punt B hebben, blykt dus, zyn tot malk^inderen als de lynen BG en BF, zynde als de vierkants-wortelen uit hun doorgegane loodlynige ruimten. Dat te bewyzen was.
§ 62. Dit is een fraaie proef. Zeer ligt kan men de Uvllicg die nu bewezen *s met behulp der Cyckïde
be«



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. m
bewyzen, ik wil niet zeggen dat men het zonder de Cycloïde met doen kan, neen, maar evenwel.zou her, zo ik denk, moeite in hebben, die waarheid zo min oraiiagtig, zo eenvouwig proef kunditr te bevestigen, zonder gebruik te maken van de Cycloïde. De lust bekruipt my oadertusfchen om die zelvewaarheidnog te bewyzen met eene andere proefneeming, die ook met zeer omflagtig is, zonder de Roltrek te gebruiï^l r ??akt ons ce zekerer als we een waarheid op onderlcheide wyzen bevestigd zien , 't ftuk is ook Rewigtjg genoeg; egter zal ik dit nu uitftellen, en, y ul1^ ' de vo'§ende les met het opgeven van de bedoelde proefneeming aanvangen. — 'tOnderwerp , waar over ik thans gehandeld heb , zal ik beflmten met nog te zeggen, dat bogen eenes Roltreks ons gelegenheid geven , om, op een gemlfclyke en zekere wyze, twee lichaamen malkanderen te doen ontmoeten , met zulke verfchillende trappen van fnelheden als men wil; dit kan van nut zyn in de leer der Aanbotzingen ; maar ik zal 'er dezeies.meer V3D Zi^cii* ea een eir<de ^ken van
P S VI.



iH MENGELWERK van
VI. L E S.
Inhoud van deze Les.
U Eene Proefneeming rakende de meiheden, lot mlkanderen in betrekking , van twee hchaa* men op een helling. H. Van de middenpuntfchuwende kragt der lichaamen.
I. Eene Proefneeming rakende de fnelheden, tot malkanderen in -betrekking, van twee lichaamen op een helling»
Myne Heeren!
x 11. in eevolee van myne belofte aan
* liSe ïer ^gLgde°legs gedaan* tegenwoordig L • !„ «Fr het opgeven eener proefneeming, die beginnen met ne: opg v u r
LïSeïeming , beïreSe de fnelheid welkê IZ ifchaam' vSkrygt, terwyle het langs eene helS SermSd'ne'êrdaald! De beoogde proefneeming is als volgd:
XXIV. Proefneeming.
rie bovenkant der plank ABCD loopt van A of V .„ 'r Wfte punt af tot C als een helling, wel van t ^ogne: pum waterpas, en verder een klein uuKje vju v, heilins v« 'r wat langzaam boogswyze , m deeze neuint,, bv C wai i*S"« i„n[»r^ der d ank AD , is een



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 155
holt, om 'er een klootje in te doen rollen. Als men nu uit verfchillende hoogten , by voorbeeld
uit A en B, op dé helling een klootje Iaat dalen, dan moeten we aantoonen , dat de fnelheden in 't punt C of in D tot malkanderen zyn , als de vierkantswortelen uit de loodlynige hoogten AH en BI;
t welk blyken zal waarheid te zyn. Men laat uit A, 16 duimen boven 't waterpas van C, een klootje rollen , 't moet met een fnelheid van 4 graden
t punt D, alwaar het dcor zyn zwaarte ook vry begint te vallen , doorloopen , en 't komt op de waterpasfe grond EG in weeke klei in G ; uit B, 9 duimen loodlynig boven C, laat men vervolgens een klootje rollen , dit moet 't punt D doorgaan met eene fnelheid van 3 graden, vallende in de klei in F; de klootjes zyn, in de tvd dat ze de lengte van-de loodlynige lyn DE door hun* zwaarte vry ncêrdaalden, dus in evenveel tyd, horifontaal, voorwaards van D gekomen, 't klootje A de lengte EG, en 't klootje B de lengte EF. Indien 't nu waar is , gelyk wy fielden , dat bun' fnelheden in V tot malkanderen zyn als 4 tot 3 , dan moeten ook hunne voorwaardfche vorderingen in evenveel
tyd,



ï95 MENGELWERK van
tvd , of de lengten EG en EF , tot malkanderen zyn als 4 tot 3, 't welke men door meting zo bevinden zal. Wy zullen dit beproeven :
l. Met gelyke klootjes, en ook l 1 Met klootjes die niet gelyk aan malkander zyn. s'ru Uit deze proefneeming blykt dus .op nieuw ten klLrften, wanneer twee klootjes, ieder van een verfchillende hoogte, als uit A en B, op een heli lend vlak neêrrollen , dat ze , in" t laagftqpflnt ^ cekomen zynde, dan fnelheden hebben die tot malkanderen ftaan, als de vierkantswortelen uit.de loodIvniee hoogten AH en BI; ook dan , waime r da klootjes van ondêrfcheide zwaarten zyn. Als wy aanmerken-dat een klootje , op 't hellend vlak uit eenig. punt neerdalende , in C by voorbeeld, even veel fnelheid heeft,-' als *t hebben zou, wanneer het uit het delfde punt door zyn zwaarte loodrecht 'neêrdaalde, en-even laag, dat is, tot het waterpas van C gekomen was , gelyk ik dit reeds in myn tweede les (§26) op aldaar gelegde gronden deed opmerken , dan hadden de klootjes in C dezelfde fnelheid , als ze zouden hebben in H en 1, uit A en B reat neé> gevallen zynde; zo dat uit de laatfte proefneeming mede blykt, dat de fnelheden van vry vallende lichaimen tot malkanderen zyn als de vierkamsworttlcn uit hnune doorgeloopene ruimten; maar de vierkantswortelen uit die ruimten ftaan tot malkander als de tyden zo lang ieder gevallen heelt, aelvk les I. pioefontServindelvk is. getoond, ergo de fnelheden " der vallende lichaamen zyn tot malkan-ler, a!s de tyden'of duurioKen van clks val._ — Dit brb ik, als een eanhaugfef op de in de vorige les afgehandelde ftof, lust gèhad 'er by te voegen; en 1 ■ bbeu we de leer der Slingers tot hier toe be?cir'uw3 we zuM. n nu tot een ander onderwerp Av/lPapB*n, iia„eiyk, ter befchouwing van.'t geen 'er o. 'te mer'-en valt, wanneer een lichaam om een middenpunt uord omgevoerd.
II.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,Enz. 197
II. Van de middenpuntfchuwende kragt der lichaamen.
§ 65. Wanneer een lichaam om een vast pnnt of middenpunt bewogen word , dan hebbers we twee onderfcheide beweegkragten aantemerken , door welke het lichaam word aangedaan; eene, name. lyk , waar door 't lichaam zig van 't middenpunt poogt te verwyderen, en door de andere word het naar het middenpunt toe gevoerd Deze kragten noemen de Natuurkundigen middenpunts - kragten, ( vires centrales) , en wel de eerlte midaenpuntfchuwende- of biedende- en de andere middenpuntzoeke»de kragt,
§. 66. De aanwezigheid van die kragt, waar door een lichaam , om een middenpunt rond gevoerd wordende, van dat punt poogt af te wvken, word ons gekert door daaglykfche verfchynfels en wel aangelegde proefneemingen , zuiken lichaam zou, wanneer geene andere kragt het belette , zig met de daad van *t punt om welke het zig beweegt gedurig verwyderen; zo zou by voorbeeld onze Aarde, die, met de andere Dwaalftarren van ons PlaKeef-geitel in onderfcheide kringen, rondom de Zon gevoerd word , van dezelve 1'chielyk wegvliegen in de ongemeten ruimte van 't Hee!-Al , indien de Aantrekkings - of middenpuntzeekende kragt de gemelde groote Aard- en Waterbol niet aan deszelfs kring bepaalde, of zo deze kragt ten eenigen tyde eens ophield te werken; in tegendeel zou de Aarde door laatstgenoemde kragt naar de Zon vallen, wanrieer deszelfs middelpuntvliedende kragt ophield. Wie moet , die deze dingen befchouwd , de groothe-'d yin den oorfprong van 't Heel-Al niet bewonderen'«> Wie moet dc almagt, de wysheid , des oneindipen Scheppers niet eerbiedigen, die ontelbare VVaereldbollen in de onbegrensde ruimte , in bepaalde kringen, deed omwentelen, die hunne beweegkrag. ten zoJuist heeft afgemeten, dat die verbazend groote Stol klompen zo veel duizenden van jaren in hun'geitel.:



193
MENGELWERK van
{telde wandelkringen volharden , en nimmer buiten dezelve afwyken? Vergun my, myn Heeren' deze kleine uitweiding! de herinnering moet hoogactiting en ontzag voor den grooten Bouwheer der Waereid
in alle harten verwekken. Maar laat ons nu
voortgaan. Ik zal , door gepaste proefneemingen, 't beftaan eener middenpantvliedende kragt tragten aan te toonen ; ik zal doen blyken dat die kragt fterker is in zwaare , als in ligter lichaamen ; verder zal ik ook onderzoeken, in welk eene richting of Itreek de gemelde kragt werkt.
§ 67. Dat een lichaam , om een middenpunt omeevoert wordende, zich vau dat punt tragt te verwyderen, of door eene middenpuntfchuwende kragt word aangedaan, zal door de volgende verfchynlels blyken waarheid te zyn.
XXV. Proefneeming. A is een houten rond bord, in deszelfs midden¬
punt B op eene loodregt ftaandefpil geplaatst, kunnende zo 't bord, blyvende in eene waterpasfe (tand, om 't punt B in 't ronde omgevoert worden; CenDzynkrytballen , ieder door een draad of touw aan de pen in B , het middenpuntvan 't bord, verbon-
BC 'liet op 't bord onuitgerekt, en de bal D hangt aan deszelfs draad BED een weinig buiten t bord
neer,



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. ioq
neêr, alzo die draad over des bords rand heên reikt Wanneer nu het bord, door een daar toe bekwaam werktuig , rnd om >£ unt B rond gedraai™a£™ dan zal het volgende gebeuren: de beide kryïïeo* zullen mede een beweging bekomen om 't punt EI als een middenpunt, zy zullen van dat punt, door een middenpuntv iedende kragt, welke ze ver! rygen zo veel mooglyk is afwyken , de draad van de ee'ne namelyk BC zal uitgekt worden , en de kïytbal 1> zal ot de waterpasfe hoogte van 'e bord A opryzeQ zo dat dezelve de draad BEO mede regt uit t?ek? '
§ 68. Deze proeven toonen ten klaarden de mid. denpuntvhedende kragt aan. Ik zal nu , door n et min overtuigende proefneemingen , trag en te doen zien, dat d.e kragt grooter of fterker is in zwaare Jchaatnen, die van een groote ftoffelyke inhoud zyn als in lichaamen die Jigter zyn. y *
XXVI. Proefneeming.
Men legge op het ronde bord, in de vonw^n^ proef gebruikt, een krytbal, en eenigen Snd van deze, een ander, die veel zwaarder ,s, byVoorbeeld van metaal, ieder door een draad verbondS aan de pen B, men neme de draden even Jang en zS veel mogelyk even fterk, leggende dezelve Kek? op het bord; zo men nu de draden maar pas derf*? noeg genomen heeft om de Jigtfte bal te beletfea door zyn middenpuntfchuwende kragt weg t» v|i« den, dan zal 't gebeuren, 't bord als voren foei in V* ronde draaiende, dat de draad van de zwaarde bal door dezer grooter kragt om van 't midderpunt af te
van t bord af begeven. y a
§ 69 De zwaarde bal heeft in deze proefneming gelyk bleek,, een grooter middenpuntvJledSde ki?r als de andere. Men heeft een zeïr f aa e p?oef om te toonen dat van twee vloe^ffen van V^MllZ de foortlyke zwaarte, die welke foorüyk zwa rder ' de Srootr^ midderpuntviiedende kragt heeft; als
men



200
MENGELWERK van
men zulke vloeiftoffen by malkander in een kiem minder - vlesje , in een hellende ftand zynde, gedaan heeft, zal, wanneer ze, gelyk in de voorgaande Droeven 't bord, in 't ronde bewogen worden, de zwaarfte vlot iftof de plaats des ligteren innemen; deraelvk verfchynfel ziet men, wanneer een vast lichaam met eene vloeiftof, in foortlyke zwaarte verfchillende, in het vlesje is. De proefneeming, die zekerlyk genoegen zal geven, moet ik met weglaten.
XXVIf. Proefneeming.
AB is een lat, op welks bovenkant twee andere, in een fchuine
ftand, gelyk deze Figuur aanwyst , geplaatst zyn, op de bovenkant van ieder der laatften CO en EF bind men een dun CyZiwier-vlesie, wel¬
ke vlesjes dus een
hellende ftand hebben; in het eene vlesje is een weinig kwik en wat water gedaan , en in i ander vlesje doed men water, eenige korrels hagel, en on het vogtlaat men ftukjes kurk of ligt hout dryrven. Deze toeftel plaatst men in t punt G , of *t midden der lat AB in plaatfe van-'c ronde bord (Proef XXV en XXVI. )T op de te lood ftaande fpii, de lat AB waterpas, en de beide hellende CD en de beide hellende CD en EF naar boven gekeerd. De toeftel nu om 't ount G fnel in 't ronde bewegende, zal alles wat in de vlesjes gedaan is naar 't hoogfte van dezelve wyten - de kwik , de grootfte middenpuntfchuwende kragt hebbende , zal de bovenfte plaats innemen Ï3vk in 't ander vlesje de hagel; en de ftukjes kurk lullen zich onder aan het water, nader aan t middenpunt, plaatfen. g ^



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. aoi
' §. 70. Wy hebben dus met overtuigende proeven aangetoond, dat lichaamen , om een middenpunt draaiende, pogen van 't zelve zich te verwyderen, en dat die poging in zwaare lichaamen 't fterksc ia; maar nu is de vraag, in wat richting of (treek de kragt, die het lichaam van het middenpunt traefr af te voeren werkt? in ' wat richting, of met we.ken hoek, de beide beweegkragten, de middenpunt zo kende- en vliedende kragt , tegen malkankanderen werkzaam zyn ? op deze vraag moét ik antwoorden, dit ftuk ftaat ons nog te onderzoeken. Als wy ons in den kring, welke cenig lichaam doorloopt, twee punten voorftellen, die zeer nabv den ander zyn , dan kunnen wy de kleine fpaatfie tusfchen die beide als eene regte ]y„ aanmerken wanneer nu 'c lichaam in die lyn zich beweegt
™L j Z°- ug?en ander ve™ogen het belette' volgens de richting van die lyn voortgaan ; ge vol! gelyk zou een lichaam , in een rond omgevoerd wordende, wanneer eens die kragt, welke 'tlichaam -naar 't middenpunt trekt, op 't oogen blik : SeH vermengd wierd dan voortlopen in de r aklyn den cirkel. Zo dat de middenpuntfehuwende kra2? werkt _m de richting van de raaklyn des rond? waar m een licbaam zich beweegt , en dus me? eenen regten hoek tegen de andere beweegl™C zynae de grootheid dezer beide kragten % telen malkanderen afgemeten, dat het lichaam op e?ne gelyke afftand van 't middenpunt blyfe, en 1 d zaakt word in een rond zich te bewegen. geD00d" Met een fraaie proef oewyst men, dat een in een rond ach bewegend lichaam eene neiging ?eeft l" d£ r/aklyn ,wl's te bieden, en^vaf' middenpunt af te wyfcen. De proef is deze:
XXVIII. Pe-oefneeming.
in °tmehl PRn vA draaid -he£ armtie of ««*™' AB,
balletie brvr Z WCJ-'g bek!emd een ftuk's °* Balletje kryt, du lichaamrje beweegt zich in denV-
Q hl-



ao3 MENGELWERKvan
u u™* RC. wanneer het armtje om A als midden-
punt bewogen word, als dit gefchied van B naar C, ftuit het armtje tegen de pen E , zynde dan de krytbal in C J wanneer men nu het armtje fnelomdraaid, en tegen de pen E laat aanflaan, zal de krytbal zyne beweging vervolgen, zich van zyne beklemming los rukken, en
TL 1,1«ion 'r
ÏÏ bevmaen6dat de lynen AC en CD een regten foe^ maken, of in den" winkelhaak liggen.
I 7/ Ik heb nu kortelyk voorgedragen, t geene allem nyk vak op te merken , omwent|de nnd-
feéaT£«^^ SdTPr van Ten beweS ng die in een langwerpig ronde: loophaan gefchied, en wat daar by gebeurt, zal ik nirt nfZderlyk fpreken, myn plan vorderd korthe d frf aUeen de eenvouwige beginfels , de beide middenp Stapten zyn dSn ook werkzaam en al wa it oe/ead heb, genoegzaam, geld ook, lcnoon ae £SSSk volbragt word in een langwerpig ronde 5Sg Onze Aarde en de andere Dwaalfterren, Sgóns om de Zon , als hun gemeen middenpunt, woeen wordende, wentelen om, volgens HarreSitewramemingen, in zodanige langronde oopSei doch £ ftarreloopkundige bebouwingen S ik my niet inlaten. Het bygebragte geeft ons ten mto eeuig denkbeeld, dat, en boe, de Aard-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 203
kloot of een Dwaalftar door twee beweegkragten , verkrygende eene t'faamgeftelde beweeging, in een kring en om de Zon word omgevoerd.
§ 72. Met een woord zal ik maar aanmerken, dat men zich de middenpuntfchuwende kragt kan ten nutte maken in Water-Werktuigen, doende het water, 't zelve in 't ronde bewegende, in 'tonderfte gedeelte van een Tregcer, langs de buicenwaards hellende wanden des Tregters opklimmen, waar door men het in de hoogte kan opbrengen. —— Ook zal ik flegts even reppen van een Werktuig, in oude tyden tot een Krjgstuig, maar tegenwoor. dig wel tot een Speeltuig voor kinderen gefchikt, ik meen de Slinger; het wegvlieden van de fteen volgens de raaklyn van die boog waar in hy bewogen was, kan men uit het vorige ligtelyk verklaren.
§ 73* Nog eene aanmerking, en daar mede zal ik myn tegenwoordig onderwerp, en ook deze Les befluiten. Myne aanmerking betreft de nadeelige gewoonte van zommige kinderen, van fnel in 't ronde om te loopen , en daar mede een aanmerkelyke tyd aan te houden; 't valt ligt te begrypen, dat, door zulk een beweging van het lichaam, de zagte deelen van het zelve, en byzonder het bloed en andere lappen , eene kragt om zydlings weg te vlieden verkrygen , ik wil zeggen , dat ze uit het midden van t lichaam naar alle zyden met geweld zullen tragten af te wyken; wy zagen dezen avond in een proefneeming hoe fchielyk de vogten en de andere lichaamtjes in de Cylinder- vlesjes, toen ze in 'trond bewogen wierden, van 't middenpunt weg vloden en zich in 't hoogfte der vlesjes plaatften , zal dan niet, wanneer iemand gezwind zich rondom draaid, het bloed zeer ras een ongeregelde beweging verkrygen , moeten de wanden der vaten en aderen waar door het bloed htên ftroomd , niet fchromelyk geperst en gedrukt worden , zal dat geen ongemene verwarring en orgefteldheid in het lichaam veroorzaken, moeten de teedere deelen in het hoofd, 20 aandoenlyk, zo ligt geraakt, niet beroerd, en
moet



2o4 MENGELWERK van
moet de fpyze, die in de maag vervat is , door de ronddraaiende beweging, niec opwaards gewerkt worden; ais wy dit bedenken , dan zullen we ons met verwonderen, dat de gevolgen dier fchadelyke Beweging» zyn , behalven de zogenaamde dronkenfchap, walging, braking, ylhoofdigheid, en wie zat zeggen , welke doodelyke uitwerkingen , byzonder in zwakke geitellen , het al meer zou kunnen hebben? Hierom is 't wel degelyk elks pligt, den kinderen, zo als men maar best kan, te beletten, gemelde gewoonte, om zich door in 't rond te loopen dronken te maken , gelyk men 't noemd , naar te volgen , om dus de doodelyke gevolgen , daar uit kunnende fpruiten, te voorkomen.—- De volgende Les zal behelzen een befchouwing van de beweging van roortgewcrpen lichaamen; deze heeft een einde.
VII.



Wiskundige verhandelingen ,gN*. 205
VIL L Ê Sé
Inhoud van deze Lesi.
I. V%n de beweging van Horifontaal voorigewotpeii lichaamen. II. Van de beweeging van voortgeworpen liihaamen , in een ftreek , fchuins' op den Horifon.
I. Van de beweging van Horifontaal voortgewor* pen lichaamen.
Mynè Heeren!
§ 74' Wy hebben nu befchouwd de beweging van lichaamen, die door hun' zwaarte vry neêrvallen, en die loodlynig in de hoogte worden opgeworpen ; wy hebben de beweging gade geflagen van een lichaam , dat, of langs eene helling neêrdaalde, of fchommel' de aan een Slinger; ook hebben we gezien door welke beweegkragten een lichaam om een middenpunt in een kring word bewogen ; 'er is nog overig de beweging van lichaamen na te gaan, welke in de lugfc worden voortgeworpen , beide, wanneer de werp* ftreek evenwydig met, en wanneer die fehuins op den Horifon ligt. Met het eerfte geval, als de werpftreek evenwydig met den Horifon of waterpas is, zal ik beginnen , maar daar mede zal ik te kortrf kunnen zyn , nademaal ik reeds , in myn I. Les, (§ 10. ) heb aangetoond, en met eene proefneeming nader bevestigd , toen ik van de t'faamgeftelde beweging handelde, dat een lichaam , door zekers1 kragt in de lugt horifontaal voortgedreven, door zyn zwaartekragt uit de horifontale richting getrokken



2o(S MENGELWERK van
word, en een t'faamgeftelde beweging heeft, dar het lichaam een Kromme of boogswyze lyn in de lugt befchryft, tusfchen bet waterpas en de loodlvn in gelegen, ik tnoet evenwel, nu wy eigeniyk tot dat onderwerp gekomen zyn , het een en ander 'er nog by voegen.
$ 75. Als wy ftellen dat het lichaam A, (Fig. 1.) met.zulk een fnelheid langs de hurifontale lyn AB in de lugt kan voortfnellen, dat het in de tyd van één Secunde uit A in 13 komt, dan zóu het, geen zwaarte hebbende , de even groote diftantien DE, EF, FB, in elk volgende Secunde doorloopen, en na 4 Secunden in B zyn; maar het heeftzwaarte, en door zyn zwaartekragt daald het van 't punt A af loodlymg geftadig benedenwaards , kunnende dus in de turaterpasfe ftreek AB geenzins blyven. Wy ftellen dat het lichaam in de eerfte Secunde door zyn zwaarte, volgends de loodlyn AC, de fpaatfie van A tot G daald, dan daald het, volgens de wet der verfnelling van vry vallende lichaamen, te voren bewezen , in de volgende Secunde drie zulke fpaatfien, of zo veel als van G tot H, in de derde Secunde 5 zulke fpaaifien , van H tot I, irr de vierde Secunde 7 fpaacfien, dn is de lengte van I tot C, enz.; dus daald bet lichaam in 4 Secunden, in welke tyd het, zonder zwaarte zynde, of wanneer zyn zwaartekragt niet werkte , in B konde zyn, volgens de loodlyn van A tot C.
Men merke aan dat uit D, E, F en B, de lynen DR ES, FT en BN, evenwydig met de loodlyn AC, en uit G, H, I en C, de lynen GK, HL, IM en CN , evenwydig met de waterpasfe AB, getrokken zyn , fnydende malkander in O, P, Q en ISf. In gevolge het geftelde nu, komt het lichaam, volgens de leer der t'faamgeftëide beweging, uit A, jn ééne Secunde in O, in twee Secunden in P, in 3 Secunden in Q, en na 4 Secunden zal 't zich ih N bevinden, 't Lichaam doorloopt, door ds twee beweegkragten, een kromme loopftreek AOPQN, tusfchen 'c waterpas en de loodlyn, en komt loodlynii»
be-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,a«z. zo7
beneden B de lengte BN ; de loopftreek van bet
ïm Tr lT^ë °f -kromme lyn,
om dat de fnelheid , in de loodlynige bew-gW door de zwaarte, elk ooguibük gelykelyk toeneemt* welke kromme lyn , door de Natuurkundigen , de Parabool genoemd word (s). " '
hnlltnl eenen Wiskundigen zin,kan een lichaam, horifontaal voortgedreven , terwyl het te celvk dor>? zyn zwaarte- vry kan neêrdalen" , zyï loopftreek met behouden , het kan nimmermeer >t punt B m die ftreek bereiken ; evenwel , wanneer wy de waterpaste beweging ais zeer fnel voor! onderftellen, dan zou 't lichaam uit A al " VD°aby B kunnen komen , en , in zyne beweging volhardende de loodlyn van 't punt B getrokken , zeer naby dat punt, doorkruist. Stellende in <t voorgaande vooroeeid de horifontale voortgang van het ichaam 't welk zich uit A begint te bewegen^ tweemalen zo ftel, dan zou het , de zwaaSagt mede m aanmerking nemende , in ééne-Secunde in in fyiW! a..Secunden in de loodlyn onder B, in L. ta de horifontale fnelheid nog eens verdubbeW%< zo da^ het lichaam de ruimte van A tot B iQ één Secunde kan afloopen, dan komt het in die tydin k, fnydende aldaar de loodlyn onder 't punt B
r&\™ ÜUV,e kragC *an beweging in de
richting uit A naar B al grooter en grooter ftel..
ountV 2n l*1 hTTn lichaam iD 4'ne vlagt 56 punt b geftaêg nader komen, en zelfs zeer na of genoegzaam bereiken. »
tJnnnhï ^'^.K berede"eerde, zal een Schut, ter nooit zy„ doel treffen, wanneer hy juist op hetzelve aanlegt, de kogel, door de kragt van 't ontJoken buskruid uit de loop des fnapLns vl egenhnfr* J de gedraal, gericht volgens de binrL-
gen, maar door zyn zwaarte 'er van afwyken. Een
goed
0) Zie hier voor pag. 137, fn de Noot.
R 2



208 MENGELWERK van
goed Schutter zal hierom de kogel richten , waÉ hooger als het doelwit, 't Welk hy begeerd te treffen; zyn ervarenis en opmerking zal hem dat leeren. — Doeh het maakzel van den loop eens gewonen fnaphaans geeft natuurlyk aanleiding , dat de lichting des kogels een weinig boven 't beoogde doel is , waar door zelfs onkundige Schutters, diedat nimmer opmerkten, kunnen doel treffen, 't Kan dienstig zyn, dit, ten beteren verft ande, nog wat op te helderen.
§ 7^- lk zal dit best doen door byvoeging eener afbeelding van den loop eens fnaphaans. AB ( Fig. 2.) verbeeld de loop, CD deszelfs binnenholte, overal in 't midden der loop en evenwydig , de loop is uitwendig eenigzins kegelvormig, dat is, dikker by A, cf het laadgat, als by den tromp B; men maakt het fchiettuig by A zo dik, op dat het metaal de uitzettende kragt van *t buskruit, 't welk aldaar ontftoken word, te beter zou verduren; aan 't voorfte eind by B en tusfchen beiden in heeft het minder kragt te wederftaan, dus geeft men 't aldaar minder dikte, waar door de uitwendige gedaante der loop kegelvormig word , en 't Werktuig te handel, baarder; en ook, gelyk ik gezegd hebbe , werkt deze form mede om te wisfer doel te treffen, gevende aanleiding dat min bekwame Schutters dikmalen hun oogmerk bereiken ; want, terwyl men mikt op het doelwit in F, volgens de leiding van de bovenkant der loop AB , leid men eigenlyk aan op *t punt E naar de richting van de binnenholte CD, de kogel wordt voortgedreven in de üreeklyn CDE, loopende boven het punt F, en treft dikwyis in zyne parabo* lifche loop 't laatstgenoemde punt. Men begrypt wel dat dit evenwel niet vast gaat, de omftandigheden maken verandering, als de meerdere of mindere fnelheid, welke de kogel ontvangt, de meer of mindere afftand van 't doelwit, enz.
§ 79. Een Waterftraal, met zekere fnelheid waterpas in de lugt voortgedreven, befchryft ook eene parahlifehe kromme lyn. Wanneer men een Vat
tot



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 200
tot boven toe met water vult, en ergens in de zyde van het Vat een pypje met een naauwe opening in een horifontale ftand plaatst, zo zal de colom water , welke boven 't pypje in 't Vat is, 't water door gemelde opening uirpersfen, 't welke dan, horifontaal voortgeduwd, en door de zwaartekragt nederwaards dalende, in zyn loop een Parabool befchryfr. lVlen kan de verheid van zuiken waterfprong bepalen, uit de plaatfing van 't nauwe pypje in de zyde van het Vat. De ondervinding bevestigd, dat het water uit het pypje geperst word met een fnelheid , welke een lichaam heeft verkregen, 't welk vry gevallen is van de oppervlakte des waters in het Vat tot aan de opening in het pypje. Met eene proefneeming zullen we toonen, dat de fnelheden van 't water, uit pypjes op verfchillende diepten fpringende, tot malkanderen zyn, als de fnelheden van lichaamen, van de hoogte des waters in 't Vat tot dezelfde diepten vry gevallen ; eene proefneeming, die ik ontleene van den Heere desaculierSj Nutuurk. uit ondervindingen opgemaakt. II. Deel , pag, 135, en die ik te fraai gevonden heb om hier niet in te vlechten; doch met een andere proefneeming zal ik tragten te betogen, dat <le fnelheid van 't uitfpringend water indedaad even groot is, als de fnelheid van een vallend lichaam, even diep gedaald zynde ; dit bewezen zynde , zal *t niet moeilyk zyn zuiken waterfprong te verklaren,
XXIX. Proefneeming.
AB (Fig. 3.) is een Vat of Buis , tot de hoogte A met water gevuld , in de zyde in C en D zyn nauwe en even wyde pypjes , waar uit het water, wanneer ze geopend worden, horifontaal uitfpringt; men opent het pypje C en vangt he: water in 't glas li , C weder gefloten hebbende , laat men 't water even langen tyd door 't pypje D in 't glas F loopen, NB. Mep draagd zorg dat het water in de Buis AB, wanneer het door de pypjes uitloopt, door 't ingieten van ander water geftadigop dezelfde R 3 hoog*



ho
MENGELWERK van
hoogte blyft. Nu za! men bevinden dat de veelheden water in de glazen E en F tot malkander traan', als de vierkants-wortelen uit de hoogten AC tn Ai ; is, by voorbeeld , AC 4 en AH 16 duirren, waar van 2 en 4 de vierkants-wortelen zyn, dan zal de veelheid water in E geloopen tot de veelheid in F zyn, als 1 tot 4, ot, in 't glas F zal tweemalen zo vee! water zyn als in Ë.
De fndheid van het uitloopend water is als derzelver veelheid, ergo blykt uit deze proef, dat dé fnelheden van 't water, uit de pypjes C en l) fpfmgen* de, tot maikanderen zyn, als de vierkants-wortelen wit de hoogten AC èn AL), dat is, gelyk te voren getoond is, als de fnelheden van een lichaam in C en D, wanneer 't uit A vry gevallen is.
§ 80. Ik heb d "7e proef juist niet opg- geven, gelyk men wel zal hebben opgemerkt, als een bewys, dat het water, in C, by voorbeeld, uitfpringende, evenveel fnelheid heeft, als bet zelve, of een ander lichaam, zou hebben uit A rot C door de zwaartekragt gevallen zynde; dit zal, hoop ik, blyken door de volgende proefneemi: g; de verheid van dc waterfprong kon deze waarheid bevestgen (tj, maar ik zal 't liever nog op eene andere wyze aantoonen, de verheid der waterfprong zal 't beantwoorden.
XXX. Proefneeming.
De helling GHI , (Fig. 4.) by H een weinig boogswyze , en 't kleine Itukje van H tot I waterpas loopende, plaatst men zo, dat het einde I. even boog als, en by het einde van het pypje C kome, ( zie te gel\k op de voorgaande Figuur). Ai en laat
langs
(f) Namelyk, als men uit de vetheid der fprong, door ce Rekenkunde, de fnelheid der waterftrsal bepaalde. Dat, ch hoe, men door rekening de fnelheid van 't uitfpringend water uit de verheid vsn den fprong bepaalea kan, zal ia 'ï vervolg wel blyken,



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. str
langs de beüirg mt G een klein metalen klootje rollen; 't punt G is zó boog boven 't waterpas vaa i, als de oppen Lk;e van 't water in de Buis AB boven *t pypje C; de warerftraal uit C fpringemie , en 't klootje uit 't punt G ncerroUciide,' bdenryven van C.tn l af ieder een parabool in de lugt, de fnelheid van het klooi je in I , is, gelyk voorheen getoond is, zo veel als deszelfs fnelheid wezen zou, gevallen zynds van A in C ; zo nu de waterflraal uit C , er, Vklooije, by malkander op de lager grond in K neerkomen, gelyk gefchieden zal, dan volgd dat het water met zuiken Jhelheid uit C gefprongen is, als 't klootje had tot I, of uit A tot C vry gedaald zynde. Dat te bewyzen was.
§ 8i.-$Ju wetende dit de fnelheid van een waterflraal, uit een pypje in de zyden van een met water gevuld Vat, is als de vierkants-wortel uit de hoogte van 'c water boven 'i pypje (v), kan de Rekenkunde gemakkelyk de verheid der waterfprong bepalen ; de vierkants-wortel uit de hoogte van 't water in 'tVat boven 't pypje, gemultipliceert met den vierkants-wortel uit de diepte, zo veel het uitfpringend water lóodlynig tot aan de grond moet dalen, de uitkomst verdubbeld , geeft de verheid van de waterfprong, wanneer "t water horifontaal uit het pypje word gedreven; is, by voorbeeld, de hoogte boven 't pypje 9, en de diepte bereden 't zelve 25 duimen, de vierkants-wortelen uit die getallen zyn 1 en 5, 3 maal 5 is 15, en deze uitkomst verdubbeld geeft 30 duimen voor de verheid der waterfprong, of zo ver de waterflraal horifontaal voorwaards van het pypje op de grond valt,
§ 82. De Meeikunde bepaald deze afftand door eene lyn; hoe dac gefchied zal ik nu toonen: Men
fteli
<V) Of wel eigenlyk, dat de fnelheid van zodanig een watetflraal is, juist even groit als de fnelheid van een vallend lichaam, gevallen zynde van de oppervlakte des wa* ters en gedaald tot aan het fpringpypja in het vat.
R 4



si?_ MENGELWERK van
fteld de lyn AB (Fig. 5.) regtftandig op de waterpaste vlakte BK, het einde A even hoog als de op« pervlakte van 't water in de Buis; op AB befchryft men een halve cirkel AFGHB; uit C, dat is van een fpringpypje,trekt men regthoekig op AB de lyn CF, fnydende de omtrek der halve cirkel in F; als men nu BI op de waterpasfe grond maakt gelyk tweemaa* len de lengte CF, zal I de plaats zyn daar de waterftraal, uit het pypje C fpringende, op de grond zal neêrkumen. Op dezelve wyze vind men hoe ver?t water zal fpringen, wanneer het uit pvpjes , op de hoogte van D of E geplaatst, komt (w). Men
ziet
f» Om deze opgegevene regels, ter bepaling van de verbeid eener horifontaale waterfprong uit de zyde van een vat, op Natuurkundige gronden wiskunstig té bewijzen, ftel ik (zie het laatfte Figuur) de hoogte van 't water boven het fpringpypje, of de lengte AC gelyk a1, en de diepte van C tct aan den grond , of CB ~ b%. Het water heeft in C, in gevolge de lengte AC, a graaden fnelheid, vorderende dus, uit C gefprongen, volgens de horifontaale richting, roet eene eenparige fnelheid van a graaden; buiten C zynde, daalt het water door zyne zwaarte loodlynjg met eene toenemende fnelheid, en 't heeft, van C tot den grond, pf de lengte CBCIfc' gedaald ?ynde, eene fnelheid verkregen in de loodlynige richting van b graaden; doch op de helft der tyd, befleed om van C tot de laagte van B te dakn , was de fnelheid van het water in de loodlyn ift gra den; dus is deszelfs fnelheid in '1 regt nederwaards dalen, even sis of het, van 't pypje C tot de laagte van 't punt B , met een eenparige fnelheid van i b graaden daalde. Zie hier over myne Verhandeling in dit Mengel-? werk, pag. 11, 12, g. 5. Wyl nu de doorgeloopene ruimte, van een zich beweegend lichaaa» is als deszelfs fnelheid, zo volgd, dat de diepte CB ftaat tot de afftand tusfchen 't punt B en de plaats alwaar ds waterftraal uit 'f pypje C op de grond kamt, of, ] die plaats zynde, dat Cp.ftaat r.qt BI, ais ib tot<?, maar CB is gefteld 3.*»., ergo is, BI, de verheid van de waterfprong, Z~2aè, overeenkomende met het" in dea text gefielde, want \f#% ylTK*? !? r= D,e raeetkundige regel komt'hiér-
iDfc



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. ai;
ziet hier uit9 wanneer het fpringpypje op 't midden der iyn AB, als in D, is, dat dan de fprong van 'c water onder allen 't verfte zal zyn , dewyl DG de langfte lyn is , die men regthoekig op AB tot aan den omtrek des ronds trekken kan; en de waterfprong zal even ver zyn uit de pypjes in C en E, alsC even veel beneden A als E boven B is , om dat de lynen CF en EH dan even lang zyn. — Deeze meetkundige bepaling van de verheid der waterfprong, komt volmaaktelyk overeen met die, welke wy zo even door berekening vonden, uit hoofde van de eigenfchappeu der lynen in den halven cirkel getrokken. Nu is nog overig dat proefkundig blyke de waarheid van dè opgegevene ftelling , hoe ver hec water fpringt, op de befchreevene manier voortgedreven wordende.
XXXI. Proefneeming,
Men opene een fpringpypje in de zyde der Buis in de laatfte Figuur, door welk pypje 't water in eene horifontaale richting uitgedreven word, zynde de Buis tot de hoogte A met water gevuld; neemt men, by voorbeeld, 't pypje in C, dan fpringt 't water tot in I op de grond, en men zal BI 2 mafen zo lang vinden
insgelyks mede overeen ; want CF, als middenevenredig tusfchen AC en CB , is — a b , gevolgelyk BI z: 2 CF 2 s a b , naar vereisch.
't Spreekt van zelv dat de opgemelde regels mede van dienst zyn , om de verheid des worps van eenig ander lichaam te bepalen, Wanneer het, door van zekere hoogte peêrgedaald te zyn, eene fnelheid verkregen heeft, en met die fnelheid horifontaal in de lucht wqrcl voortgedreven. — Na al het voorzeide, zou ik zekerlyk de bekwaamheid myner Wiskundige Leezers te zeer beledigen, wanneer ik rrier nog byvoegde, hoe men de fnelte van het nitfpringend wa» ter by C kan bepalen, wanneer de verheid van den water.» fprong of BI bekend gegeven is; dit valt elk van zelv gsj* pueg in 't oog.



Aft MENGELWERK van
den als CF, of tweemaal zo lang als 't gemultipliceerde van de vierkants-wortelen uit AC en uit CB met imalkandereu.
§ gj. De Natuuikundigen , die immers welke in dit Coilegie meest gebruikt zyn, handelende van deze waterfprong, Hellen 't ftuk zo voor, of beelden 't ten minden in Figuur zo af, dat de waterpasfe grond, waar op de waterftraal valt, met het onderfte des waters in de Buis gelyk f f even hoog zy, gelyk 't in onz2 vporgaande Figuur mede voorkomt.; men zou hier door kunnen vallen in het denkbeeld,, dat dit een noodzaaklyk vereischte is , om 't beproefde verfchynfel voorttebrengen , maar 't is zo niet; de persfmg van 't water, boven 't fpringpypje ftaande, geeft aan de uitfpringende waterflraal zyne fiielheid in de horifontaale richting, en de diepte van de grond (niet van 't water in de Buis) beneden 't pypje, doed mede rot de verheid der fprong. De volgende proefneeming , vertrouw ik, zal 't nader ophelderen.
XXXII. Proefneeming.
De Buis AB (Fig. fi.) tot boven toe vol water, js op een voet of tafeltje geplaatst, DE is de grond, die waterpas ligt, waar op locdregt ftaat de lyn CD, *'t punt C zo hoog zvnde als de oppervlakte van 't water in de Buis ; óp CD is btfehreeven de halve cirkel CHD, op de hoogte van P word het water door een pypje in een waterpasfe richting uit de Buis geperst, en fpringt tot in E, daar de ftraal op de grond valt. Men zal nu ook DE tweemaal zo lang bevinden als de lyn PH , getrokken van het pypje P , en regthoekig op CD , tot aan den omtrek des halven cirkels.
II, fan de beweging van voortgewerpen lichaamen, in een ftreek, fchuins op den Horifon.
S 84. De befchouwing van horifontaal voortgewor* pen



WISKUNDIGS VERHANDELINGEN,,enz. aij
pen lichaamen , en byzonder van de horifontaale vva-. terfprong, heefc ons veel langer opgehouden als ik my in den b-einne vnorfteide; ik kon mv ze!v niet voldoen met flegts de verfchynfels dier waterfprong op ie geven , en door proeven te bekragtigen , ik ■wilde liefst de gronden V3n die verfchynfels "wat dieper naarfporen , anders kunnen wy óns alleen verwonderen over 't geen wy zien, maar oppervlakkig' zien, dat gebeurt, zonder dat onzen Geest wezenlyk met eenige nuttige kennis verry.kt worde; vorfchen wy de grondbeginfels der natuurlyke verfchynfeis een weinig naar; dan befpeuren wy ras dat de wetten, door de hand der Aimagt zelve aan de natuur in hare werkingen voorgefchreeven, beftendig en overal dezelve zyn; wetten, waar van de natuur nimmer afwykc, of ,kan afwyken, ten zy de eeuwige infteller dier wetten het mogt willen ; wetten, die wy ons, wanneer we dezelve kennen , in veel gevallen kunnen ten nutte maken. Dit als in 'tvoorbygaan.
Myn onderwerp leid my nu ter befchouwing van da beweeging van lichaamen , die , in een 'ftreek, Ichuin op den Horifon worden opgeworpen; zagen wy de waterpas voortgefeboten lichaamen in haar beweeging een halve Parabool in de lucht befchryven , nu zullen wy de lichaamen eerst zien in de hoogte fteigeren, dan weder dalen , en dus ryzende en aaiende zullen ze de kromme lyn, die men een Parabool noemd, voltooien. Ik zal tra'gten de kromme loopftreek van zulke lichaamen te verklaren, de wetten , welke zy in hun beweeging volgen , zal ik', beneffens de uitwerkzelen daar van , zo duidelyk als myn gering vermogen zal toelaten, amwyzen, en onze befpiegelicgen daaromtrent met proefneemingen tragten te fterken; met proefneemingen? Ja! wy zullen deie tafel wel tot geen battery maken, wy zullen wel geen buskruit aanfteken, geen kanonpen affchieten , of kogels , vaak zo doodlyk voor duizend flagtofters der heerschzugi,rondom ons door de lucht laten vliegen , neen , maar een wel ingericht



316 MENGELWERK van
ric te traterflraal, fchuin opgedreven, welke, zo ik vertrouw, niemand zal kunnen befchadigen, zul» ïen wy gade flaan, en deze zal ons het ftuk, waar over wy handelen, genoeg voor oogen ftellen. — Dit evenwel zal ons 't beperkt beftek van tyd nu niet wel toelaten , wy zullen 't des tot de volgende gelegenheid uitftellen, en ditmaal eindigen.
VIII. LES. Inhoud van deze Les,
I, De beweging van fchuins opgeworpen lichaamen. II. Algemeene aanmerkingen, rakende de kragten van bewogen lichaamen.
I. De Beweging van fchuins opgeworpen lichaamen.
Myne Heeren!
§ 85. In myn voorgaande Les heb ik afgehandeld de beweging van een lichaam, 't welk in een horifontaale richting in de lucht word voortgeworpen; 'er bleef overig te befchouwen hoe een lichaam zig dan gedraagd , wanneer het, in een fchuine richting, met zekere kragt word naar om hoog gedreven, dit zal ors onderwerp in dezen avond zyn.
Stellen wy dat het lichaam in A ( Fig. 7.) van daar word voortgedreven in de fchuin opgaande ftreek AE, makende met den Horifon AP een hoek EAP, en dat dit lichaam een fnelheid heeft waar door het in zekere tyd van A tot B , ftel 8 roeden , kan vorderen, dan zal het ook in zo veel tyd ieder der
ge-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. Uf
gelyke Iengtens BC, CD en DE doorloopen , eiï 't zou, geen zwaarte hebbende , in 4 zulke tyden met de gemelde fnelheid in E komen, en een weg afloopen van 32 roeden ; maar dewyl het lichaam zwaarte heeft, kan het in de ftreek AE niet blyven , het daalt door zvn zwaartekragt geftadig loodlymg naar beneden. Nu Helle men dat het lichaam, in de tyd dat het uit A in B zou zyn, één roede, of van B tot F door zyn zwaarte daalt, dan komt het, in plaats van in B , in F; zo nu aldaar de zwaartekragt ophield te werken, en 't lichaam volhardde m zyn klimmende beweeging, zou het in de volgende gelyke tyd in L komen, maar het daalt in die tyd loodlynig , volgens de wet der verfnelling van vallende lichaamen, 3 roeden van L tot G, en komt dus in G ; in de derde tyd komt het op gelyke wyze uit G niet in M maar in H; en in de vierde tyd uit H niet in N maar in K; zo dat het in zulke 4 tyden loodlynig door de zwaartekragt uit de beweegftreek AE geweken is de lengte EK, dat is 16 roeden , hebbende de Parabolifche lyn AFGHK in de lucht befchreeven. Het lichaam, in zyne beweeging dus voortgaande , zal de Parahole (x) voltooien, en 't zal, daar het in den beginne
klom,
O) Al meermalen heb ik gezegd, dat de kromme lyn, door een lichaam uit eenig punt in een ftreek fchuin op den horifon opgeworpen, in de lugt befchreeven, een Parabool is; vootheên heb ik aangetoond, dat, wanneer het lichaam in de lugt horifontaal word voortgedreven, 't zelve dan een Parabolifche lyn, of wel een halte Parabnl, befchryftj doch als het fchuin opgaat, eerst klimt, daar na daald, tot dat het wederom op de waterpasfe grond komt, dat dan de geheele weg, door 't lichaam doorge. gaan , zuiken kromme lyn is , welke men een Parabool noemt, valt elk nog zo gereedelyk niet in 'toog. Ik aal ait derhalven hier op de eenvoawigfte manier tragten i@ bewyzen, en daar toe gebruik maken van Figuur 8.
Men Held dat *iet lichaam in A van daar , met een
ze-



ai8 MENGELW'EUK van
klom', en naderhand door zyne toeneemende fnelheid in de loodlynige bewegirg wcêr daalde , eerlang op de waterpasfe grond AP neêrkomen.
§ 86.
zekere fnelheid, in de fchuine ftreek AS word opgeworpen, de lyn AH de gezichteinder verbeeldende; en men llelie wyders dat het , wanneer 't, geen zwaarte hebbende, na een kleine tyd in 't punt g zou zyn , dan r| gedeelte van de loodlynige hocgte van dat punt, door zyn Zwaane uit de ftrsek'lyn AS gèw eken, of beneden g tot iu B gedaald is ; dan is het in die tyd 11 deebn in de lóoJlyn opgeklommen , dat is GB, terwyl het door zyn zwaaite één zuiken deel van g tot B is gebaald, HeE lichaam, *t punt B dco sïaaLde , zou, zo het nu ophield zwaar te zyn , na de tweede even larlge tyd in i zyn, Bi gelyk eu evenwyt ig Ag zynde , maar nu daald het, ▼olgens de wet der v^rfneiling van vallei.de lichaamen, 3 deelen van /' iot C j dus is 't op 't einde van de tweede tyd maar 9 deelen boven B, zynde de loodlynige lengté IC, ea 't is nu reeds 4 deelen uit de fireeLiyn AS in de loodlyn van 7/ tot C gédaa'd; doch deszelfs htrifontale vordering is in iedt r tyd even veel , dit is BI is — AG. Wanneer wy 't lichaam op dezen voet in zyne beweging verder volgen , beü'rypen we" gereedelyk , dat het in de volgende gelyke tyden na malkanrieren 7,5.3»! deelen zal klimmen, gaande na elke tyd door de punten, D, E, F, ei bereike. ds wn einde van de resde tyd zyn hoogfte p'untT; van daar af begint het wederom te dalen', namelyk, geduurer.de de zevende tyd één deel tot/, zo als, uit de geftadige verfnelling van het lichaam in 'tneêrwaards dalen, voig i.
Dat dit lichaam na zes tyden juist zyn hoogfte punt ba. reikt, of dat T het ware toppunt is van de kromme lyn welke het befchryft, zelfs in een?n Wiskundigen zin, behoeft, myus dunkèns , g^en omllagtig of nader betoog, 'e hïöeï eifmet weing nadenkens genoeg in 't oog vallen; wanneer wy de tyden tot in 't oneindige verdeelen, dan vallen de punten F, T en f oneindig naby malkanderen,en
wy krygen dezelvde uitkomst. Als wy de tyden,
in welke het lichaam van A tot T opklom, omkeeren,
dan



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz, 219'
§ 86. Gegeven zynde de grootheid van de hoek; RAP of de fchuinheid van de worp, en de fnelheid van 't lichaam A in de fchuine richting AE', in ver» «Hyking van de fnelheid eens lichaams , 't welk door zyn zwaarte vry van een bepaalde hoogte is' gevallen, dan kan daar dcor de Reten- en Wiskunde, zig grondende op wel beproefde Natuurkundige grondlecringen, aen krommen weg bepalen, welke b het;
dan daald Let van T af, naar de loodlyn in ieder gelyke tyd juiit zo veel, als, bet te voren in zuiken tyd geklommen was, in gevolge de meergedagte wet van verfnelüngs, ik wil zeggen , het lichaam daald in de zevende tyd zo veel, als het in de zesde, tqen het den top T bereikte,, klom, namelyk ée\i deel, en in de achtftè tyd zo veel, a«'s.' 't klom in de vyfde , 3 deelen , en zo vervolgens, HH vald , na dat het van T af op 't einde van elke tyd daf punten ƒ, e, d, c en b is doorgegaan , na twaalf-ztrlke tyden, van A of't begin af te rekenen, op de'horifontale grond in a neder; en de kromraa lyn ABC &c, dodr'tófcf lichaam-befchreven , is die , welke, in de Natuur- en Wiskunde, de Parabool genoemd word. Dit zal nu fgStft makkelyk te bewyzen zyn. Want: O T is de top.
a) TK, dalende uir het punt T perpendiculair, de As.
3) De regte lynen Bi, Cc, Dd enz., welke alle , dewyl de punten B en b enz. even hoog zyn , horijontaai: loopen, zyn Ordinaten; ze worden door de As,: in de punten k, /, m enz., regthoek'ig niet alleen,maar ook intwta gelyke deelen doorfoeden, ooi dat de horifontaale vooruitgang van het lichsam, in gelyke tyden, e-en gioot waf.
4) En, uit de conjlruBie van het Figuur valt van zeiviri 't oog, dat de vieikanten der Ordinaten of der haive Ordinaten tot malkanderen ftaan, als hunne Abfiisfen; by voor«'
5) Dewyle nu dit laatfte eene kenmerkende eigenfehapi» des Paraèools, zo volgd, dat de kromme weg, wetee een fchuin opgeworpen lichaam in de lugt doorloopt, een Parabool is. Dat te lewyxin was.



ito MENGELWERK vil
het lichaam in de lugt zal doorloopen, en hoe ver vaö A af het op de horifontaale vlakte AP zal neêrkomen. Ik moet dit nog wat nader aanwyzen , en, mer de volgende Figuur , myn geëerde Medeleden onder 't oog brengen. ' ,
Van de waterpasfe vlakte AB, (Fig. 9;) word üit het punt A een lichaam in de fchuine ftreek AD opgeworpen , met eene fnelheid , welke het lichanm zou hebben, wanneer 't uit C tot A, langs de rcgtftandige lyn CA, door zyn zwaarte vry gevallen was. Men heeft op de lyn CA de halve cirkel CE A getrokken, van 't punt E , alwaar de omtrek den ftreeklvn AD doorfnyd, is regt hoekig of haaks op CA "getrokken een lyn EH. Nu is EH aantemerken als eene algemeene maatflok, in alle gevallen van fchuinte des worps, om de verheid des worps AB , op de waterpasfe grond , af te meten: want:
Ten eerften, wanneer men op dc grond van A af meet 4 maal de lengte EH , tot B , dan is B de plaats alwaar het opgeworpen lichaam , na in de lugt de geheele Parahole AFB befchreven te hebben , op de grond zal komen. Voorts , wanneer men, ■ '\
Ten tweeden, de lyn EH naar de kant van E verlengd , en men field op 't midden van AB de lyn GF loodlynig, fnydende de verlengde in F, dan is F de plaats alwaar 't bewogen lichaam zyn hooafte punt bereikt , of van 't opperfte punt der Parabolifche weg; 't volgd dat dan EF gelyk EH is , erf AH gelvk GF rjelyk de hoogte der Parabool.
Ten derden heeft bet lichaam , 't punt F bereikt hebbende, de helft van zyn weg afgelegd; tot dat punt toe klimt het geftadig hooger, en van daar af daalt het wederom , komende geftaêg nader aan de ttrond AB ; ook bedeed het evenveel tyd in 't klimmen van A tot F, als 'tjn 't dalen, van F tot B , noodig heeft.
Eindelyk zal ik ten vierden nog aanmerken, dat* wanneer de fchuinherd des worps een hoek DAB
maakt



WISKONMGE VERHANDELINGEN,k»z. sat
maakt van 45 graden, dan de verheid des worps AB de grootfte zal zyn, als de fnelheid namelyk^ waar mede het lichaam word voortgeworpen , dezelfde, of de lyn CA evenlang, blyft ; want dan, de hoek DAB 45 graden zynde, is EH , het vierde deel van de verheid des worps, de langde lyn die van den omtrek des halven -Cirkels regthoekig op C/1 getrokken kan worden; maar is de hoek DAB eenige graden minder, of even zo veel graden meer als 45, by voorb. van 30 of 60 graden» in deze twee gevallen zal bet geworpen lichaam even ver van A weder op de grond komen , dewyl in beide deze gevallen de lyn , getrokken van 't punt alwaar de ilreeklynAD den omtrek des hafven-ronds doorfnyd regthoekig op CA , even lang is.
§ 87. Ten voorbedde in getallen, gegeven zynde de lyn CA, voorftellende de fnelheid des voortgeworpen lichaams , lang te zyn 160 duimen, en da hoek DAB zo veel graden dat men AH lanc bevind 25 duimen ; CH is dan 144, en EH ( vólgens de leezing in de voorgaande Les) 60 duimen; vier maal 00 is 240 duimen , of 20 voeten van 12 duimen , voor AB , of de verheid des worps op de waterpasfe grond; 't hoogde punt der Parabak F is dan boven de grond verheven 25 duimen , zynde de lyn GF (de As der Parabool genoemd), even lang zynde als AH. Maar is boek DAB van 4$ graden, 't overige als voren , dan is EH gelyk § CA 84! duimen; zo hoog boven de grond zal dan ook 'topperst punt der Parabole of GF zyn, en de verheid van de worp AB is 4 maal 84 J, dac is 338 duimen, of 28 voeten en 2 duimen, 't verfte 't welk het geworpen lichaam, behoudende de gegevene fnelheid % gelyk gezegd is kan bereiken.
§ 8». Nog eene aanmerking Zal ik hier evenwel nog byvoegen , en deze is: dat , hoe fchuiner de worp, dat is, hoe grooter de hoek DAB (zie nog op dezelfde Figuur) is, hoe meer tyd 'er verloonen zal eer het geworpen lichaam, de fnelheid dezelfde zynde, weder op de waterpasfe grond neêrfcomc,-



922 MENGELWERK van
of hoe langer tyd de geheele worp dnuren zal. Wiskundig bewyst men dat de tyd, welke een lichaam noodig heeft om uit C tot A vry te vallen , Haat tot de tyd, die 'er geduurende de worp verloopt, als de vierkants-wortel uit GA, tot de vierkants-wortel uit 4 maal de lengte AH; uit deze evenredigheid volgd met zekerheid, dat, hoe grooter de werphoek DAB is, en hoe langer daar door AH, hoe langer de worp moet duuren ; 't welk dan , wanneer gemelde evenredigheid waar is , gelyk dezelve wiskundig zeker is , geen verdere opheldering noodig heeft.
§ 89. Indien ik, myn Heeren i myne voorlezingen deed voor een Mathematisch , gelyk nu voor een Phyfisch, Collegie , dan zou ik niet nalaten de nu aangevoerde ftellingen, die ik , zonder bewys , alleenlyk heb opgegeven, Mathematisch te bewyzen; de bewyzen zyn ondertusfchen van zuiken aart, dat ik niet zie, dat ik ze gevoeglyk in deze Verhandeling kan inlasfchen (y). In vergoeding zal
ik
(j) Hier is 't eene bekwaame plaats , om de ftellingen, welke ik § 86 en 88 zonder bewys heb ter neder gefteld, voor de Lezers van dit Werk te bewyzen. Ik zal daar toe gebruik maken van het Figuur § 86, das wy nu laatst gebruikt hebben. Ik ftel de hoogte^uit welke het lichaam A gevallen is, of de lengte CA_*', ea AH — p"7 dan is CHzZx' — p", en men vind voor AE px,
en voor EH yp^x'—p4. Nu. moet ik aan de eerfte plaats toonen dat B , het puot alwaar het fchuin opgeworpen lichaam wederom op de grond valt, van A afgelegen is
4XV^P1*2—P*> zynde 4 maal de lengte van EH.
De langte van CA is gefteld x2, de vierkantswortel daar uit, namelyk x, drukt de tyd uit door 't lichaam hefteed om uit C tot A te vallen, dus in x tyden, ik zal maar zeggen x Secunden ; volgens voorheen gelegde gronden is de fpaatfle, door 't lichaam in de eerfte Secunde zyner val uit C dogrgeloopen, gelyk 1; ik noem wyders de trap van
fee*.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 423
ik myne (tellingen proefkundig tragten te bevestigen , immers bet voornaamfte ; door proeven z-al
ik
fnelheid, -welke 't lichaam, na 1 Secunde gevallen te hebben, heeft verkregen, één graad fnelheid, wanneer dan deszelfs fnelheid in A van * graaden is. Op de helft der eerfte Secunde was de fnelheid J graad, en met zuiken eenparige fnelheid zou 't lichaam ook in eene Secunde een ruimte zz 1 doorgaan, zo als te voren ineermaalen is aan. gemeikt.
Men field dat s de plaats is , waar het lichaam, geen zwaarte hebbende, na één Secunds zyn zoude, uit A in de ftreek AD mee een fnelte van x graadeu vaortfnellende; de lengte van sA vind men nu aldus:
| fnelh. geeft 1 vordering, wat x ftrelh.? komt 2X voor de lengte sA. sv perpendiculair op AB getrokken zynde, zyn de Aen Avf en KHA gelykvormig, hier door 2 ,
visd men AvZZ—j/p'ï1 — p*, ensvZZup. Het lichaam P
klimt dus door zyn fchuine opgang in elke Secunde, volgens de loodlyn 2 p, gevolgelyk met eene eenparige fnel» beid van p graaden; op 'toogenbük nu, wanneer de fteeds aanf.roeijende fnelheid in 't loodlynig neêtdalen mede p graaden is, kan het lichaam niet hooger komen, dan heeft het zyn hoogfte punt bereikt, tot dat oogenblik klimt het en 't begint dan te dalen, en dit gebeurt, van A af, na p Secunden; na één Secunde is 't loodlynig gedaald van s '01 t, en heeft daar een fnelheid in 't dalen van één graad, na 2 S§cit;;den van 2 graaden, overzulks ca p Secunden daald het met eene fnelheid van p graaden.
Wy weeten nu dat het lichaam van A af na p Secunden het toppunt F zyner parabolifche weg bereikt heeft, en na de volgende p Secunden-komt het in B op *ie. wuerpïsfa grond neêr, want in *t bewys in de vóortap-nde aanHksning is gebleken, dat 'er joist zo veel tyd verloopt in 't dalen van het lichaam als in 't klimmen; dus befkeci het ip 7.\U ke tyden , die wy Secunden noemden, om, eerst Mi-omen» de van A af dan dalende tot den grond in B, zyne Patabole
af
S 2



*?4 MENGELWERK van
Ik bewvzen , dat de verheid dór worp van fchuin opgeworpen lichaamen zodanig, en dat het opperst
punt
af te loopen; en wyl de horifontaale vordértng in elke ge» lyke tyd even veel ie, is BG^ AG, en ap maal Af, de vordering in één Secunde, is ZZA.Ü. Av vonden wy bo-
• _
ven ZZ — {/p'x2— p*, dit met 2p, 't getal der Secunden,
P
vermenigvuldigd komt AB ZZ4\/P*X* — p4, zynde ~ * maal EH, 't welk, in den text gefteld zynde, bier mede nu blykt waar te zyn.
Het hoogfte punt des Parabools door 't lichaam befchreeven, valt in de verlengde HE, of GF, de As des Parabools is ZZ AH. Dit, §, 86 mede gefteld, vereischt aan de tweede (.'laats ook eenig bewys, welk bewys egter niet veel moeite kosten zal. Het lichaam daalt loodlynig buiten zyn " ftreek, in ieder der malkander opvolgende Secunden van A af» f , 3» 5 enz., tot p leden, dan komt bet aan'tboog. fte punt F; de fom dezer progrts , uit p leden en de oneven getallen beftaande , (gelyk zynde aan de loodlynige 1y gF» zo veel het lichaam in *t hoogfte punt uit zyn ftreek geweken is,) gelyk het quadraat van 't getal der leden , dus gF zz p*.
maar gGis~2/>a~2Eeof2 AU.
Jubjl.
Ergo GF ~ p%, zynde dus — AH. Of, men kan dit bewys nog korter en eenvouwiger inrichten , aldus: Ff is getrokken evenwydig met , en ia even lang als gD.
gFZZ Dƒ is ~ ïDB, volgens de verfnelling van
vallende lichaamen. gG ZZ ïDB, volgens 't bovenftaande.
- fubftr.
rest GF — |DB;
maar E#~ AH is ZZ jDB, om dat EH~A<*~ f AB Is, zo als bovsn is bewezen, Ge-
I



WISKUNDIGE j VER HANDELINGEN, ïnz. k5
punt van hunne parabolifche beweegflreek daar is, gelyk door Wis- en Rekenkunde bepaald word. Die zouden de proefneemingen volkomen beantwoorden, konden de Werktuigen, die wy gebruiken moeten, volmaakt zyn, en hadden wy met generlei -tegenft3nd te worftelen; maar, dewyl 'er beletzelen van,yerfchillenden aart zyn, die wy riet, immers'nier volkome; , kunnen wegnemen , zullen de Heeren ook wel verwagten, dat, ook in dit geval, de endervinding minder geven zal,als de befpiegeling, gebouwd op natuurwetten , buiten de gemelde beletzelen , beloofd,
Ik
Gevolglyk Js GF~AH, en dus 't hoogfte punt der Parrabele F in de verlengde HE. Dat te bewyzen was.
SCHOLIUM. „ Uit het bewys blykt, dat een lichaam, fchuin opgeworpen, in 2yn hooglte punt zynde, dan loodlynig'even zo veel uit zyn fchuiae loopflreek is gedaald , als 't op dat ©ogenblik boven de waurpasfe grond verheven ii;
dat is , gF zal altyd gelyk GF zyn." De verdere
ltellingen in J86", zyn, of in 't voorgaande reeds bewezen , of ze hebben voor Lezers, flegts weinig in de Meetkunde bedreven, geen bewys nodig. En dat dan, wanneer de worp in fchuinte toeneemt, of de hoek DAB grooter word, dezelve langer duuren zal, de fnelheid of de lengte van CA onveranderd blyvende, 't geen 5 83 is gezegd, zal nu ook door het bovenftaande ligtelyk in *t oog vallen. Want, wanueer de hoek DAB grooter word , word ook AH grooter, en p krygt eene grooter waarde ; de tyd, welke de geheele worp duurt, is gevonden ge/yn %p Secunden of tyden, ergo Unger, wanneer p meerder waarde heeft. Of, AH grooter wordende , word ook D15, —4 maal AH, grooter; het lichaam, eer het weder op de grond komt, daald door zyn zwaarte zo veel als de lengte DB ; 'er moet dus meer tyd verloopen eer 't weêr beneden komt, wanneer DB langer is; de tyden, die vallende lichaamen tot hun' val bededen , zyn , als de vierkantswortelen uit hunne doorgeloopjne tuimten , overéénkomftig de evenredigheid, welke in den text is opgegeven* S 3



225
MENGELWERK vak
Ik wenschte nu wel mee eenig vast lichaam deze proefneemingen te kunnen doen, maar bekwaam© werkmigen daar toe ontbreken ons tegenwoordig, fcen fraai werktuig, daar toe dienende , (dit zal Ik in 't voorbygaan zeggen,) word 'er opgégeven, in de Naamljstvan Wis en Natuurkundige Werktuigen, by één vèrzameld door den Wel Ed. Heere Mr. E. h teling, op pag 30, IVb. Iï8. Wy zullen ons dus van eene voortgedrevene waterftraal moeten bedienen, gelyk gezegd is aan 't einde myner voortaande Les , en zuiken ftraal zal ook wel aan ons oogmerk voldoen, terwyl dezelve ons de boog eener geheele Parabool natuurlyk voor oogen field.
XXXIII. Proefneeming.
§ 90. Beneden in de zyde van de buis B ( Fig. XCVfJa is, in een waterpasfe Hand , een foott van kraanltuk K , hebbende in de zyde en buiten de buis eene naauwe opening C , waaruit het warer, de buis met water gevuld zynde, fpringt, in zul» ken fchuinen richting als men beaeerd, dewyl 't gemelde kraanftuk omgedraaid kan worden ; van C, of de caauwe opening in het kraonftuk, loopt CQ,, de grond op welke de waterftraal weêr nederkomt, horifontaal, tn op dezelve ftaat te lood , in 't punt C, AC , 't einde A even hoog zynde als de oppervlakte van 't water in de buis B ; dan fpringt, gelyk in de voorga nde Les getoond is, het water ui, C , met eene fnelheid , welke 't zelve of een ander lichaam hebben zou , wanneer het uit A tot C vry was gevallen. Op AC trekke men de halve cirkel A1HGC; is nu CG by voorbeeld de ftreek, in welke 't water uit de opening C gedreven word, en men ftelle uit G, het punt alwaar gemelde ftreeklyn CG den omtrek des halven-ronds doorfnyd, GD, reethockig op AC, dan zal, gelyk gezegd is, deze lyn GD een maat zyn , met welke men de verheid der waterfprons? kan bepalen. Te weeten: S. Sehiki eerjlehk het kraangeftel K zo, dat de
ftreek-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 227
flrwkhoek, als boek HCC-S van 45 graaden of ge. lyk een halve regte hoek is, dan is HE de maatfrok van de verheid der waterfprong; neem CQ gelyk 4 maal de lengte HE , dan is Q de plaats alwaar de waterftraal op de grond zal vallen, de verfte fprong van 't water die , volgens vorige leer , met de gegevene fnelheid mooglyk is; draai het kraanftuk een weinig om, zo dat de ftreek CH maar iets hooger of lager loope, in beide gevallen zal de ftraal nader am C op de grond komen. Het hoogfte punt, welke de waterftraal bereikt, is, als de ftreekt-oek 45 rraaden is, in M, even hoog als 't fnypunt H en tiM gelyk HE zynde.
2. Ten tweeden,draai de kraan K zo, dat de ftreekhoek eenige graaden minder, en daar na zo. dat die hoek even zo veel graaden meerder is als 45, dat is in de Figuur, dat hoek GCQ zo veel minder is als 45 graaden ,als hoek 1CQ 45 graaden te boven gaat; in beide deze gevallen zyn de lynen GD en IF , de maaten van het vierde ceel der verheid van ieder dezer waterfprongen, volgens meetkundige gronden even lang, gevoiglyk zal '1 water in die twee gevallen even ver fpringen , en op dezelfde plaats, ftel in 't punt P, cp de waterpasfe grond rieêrkomtn. De Paraboelen, door deze waterfprongen ge« formeert, zyn egter zeer ongelyk van hoogte; met de kleinfte der gemelde ftreekhoeken , als met de hoek GCQ, fteigerd het water maar tot de hoogte L, welk punt de waterpasfe hoogte van G heeft, en GL zal gelyk GD zyn ; maar is de ftreëifiocfc ICQ, dan klimt het water tot de waterpasfe hoogte van 1 op, tot het punt N, en men zal dit punt loodregt boven L, en IN even lang als 1F bevinden.
NB. RS in de Figuur verbeeld een fchut of fcherm, ftaande kort agter de waterftraal, waar op men de parabolifche beweegftreek van 't water heeft afgetekend, om, by het doen der proeven de waterfprong te beter te kunnen waarnemen.
§ 91. Ik heb dus den krommen loopftreek van een fchuin -voortgeworpen lichaam verklaart, met S 4 die



#aS MENGELWERK van
die duidelykheid welke my mooglyk wps , eH wy hebbeD 't voomaamite dier leere proef kundig, door eene voortgedrevene waterftraal, bevestigd gezien, 't Voorgedragene is van gebruik in de praktyk van óeArtillery, om, by voorbeeld, een Bom uit een Mortier tot een bepaalde afftand te werpen, en op te;i begeerde plaats te doen werken. Doch ik kan ir.y bier in niet inlaten, wilde ik hier de Busfchietery afhandelen, op een wyze dat men 'er wat aan had, ik zou my dan een nieuwe loopbaan openen, al te groot voor myn beftek,ook zou myne kunde te kort fchittcn,om het naar behooren te doen. Hier van afziende, zal ik des tot een ander onderwerp overgaan,
1 F, Algemeene aanmerkingen, rakende de kragten
vau bewogen Lichaamen. § qj. Tot een ander onderwerp , myn Reerenl
maar een onderwerp 't welk my eene huivering aanjaagd, 'er wagt nu opmy, een ftuk, waar omtrent onder de Wysgeerco nog verfchil is, 't welk de ge. Jeerde Waereld tot nog toe in twee partyen verdeeld houd; ik moet, volgens de leiding van myn plan , nu handelen van de maat der kragten van Lichaamen die in beweeging zyn, Tot den tyd van den Heere Leibiuïz waren alle Natuurkundigen en Wiskundigen eenparig van gevoelen, dat de kragt van een lichaam, in beweeging zynde, uitgedrukt word door de uitkomst, als men de masfa of 't gewig1- van het licbnam vermenigvuldigd met deszelfs fnelheid; maar in den jaare r68<5 deelde de gemelde Heer Leibnitz een Gefchrift aan de geleerde \\ a'. reld mede , waar in die beroemde Wysgeer tragtte aan te toonen, dat men tot die tyd toe , algemeen gefeild bad, in 't bepalen van de genoemde maat der kragt, bewerende dat de kragt van in beweeging zynde lichaamen moest berekend worden , door de masfa, niet met de fnelheid, maar met het vierkant van de fnelheid te multipliceer en. Men meent, evenwel dat Leidnitz aanleiding gekregen heeft
ttn roinlUoj om pver die ftuk te denken, door een
Ge*



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. sno*
Gefchrift van de groote Wiskundige, de Heer Huigens, ten dien tyde in een hevige pnnneftryd zynde met de Abt Catalan, over de bepaling van het Shngerpunt (Centrum Oscillationis) , en handelende by die gelegenheid, van ter zyde ten minften, over de maat der kragt van bewogen lichaamen.
Hoe dit ook zy ,het gevoelen van Leibmtz , zedert het meuw gevoelen.genoemd, verkreeg verfcheide begunstigers, mannen, die grooten roem behaald hebben, naar verdiensten behaald hebben, in 't veld der letteren, hebben dit nieuw gevoelen veideedigd: ik zal maar noemen de ftraks genoemde Huigens, onzen beroemden Landgenoot, en 'er by voegen de vermaarde Wolf, en vooral de Hoogleeraaren 'sGravesande en Musschenbroek. Aan de andere kant bleven groote mannen voorftaan *t gevoelen der oude Wysgeeren, genoemd het oude gevoelen, na dat het nieuwe was op de baan gebragt; onder hen die de kragt van bewogen lichaamen berekenden, gelyk de Uuden, door de mat/a met.de eenvouwige fnelheid te vermenigvuldigen , teld men het onfterflvk vernuft de groote Newton, de geleerde Desaguliers' en zeer veele ten minften der Engelfche en Franfche W yigeeren. Dit meende ik vooraf te moeten zeggen, eer we 't voorzeide ftuk tragten te onderzoeken , 't welk in de eerstvolgende Les , die ik zo ras mooglyk in gereedheid zal tragten te brengen, het onderwerp moet zyn. Maar zal het geen vermetelheid van my zyn, dat ik onderneeme een ftuk te verhandelen, waar over de grootfte Wysgeeren onzer eeuw 'onderling getwist hebben, en waaromtrent men 't nog riet eens geworden is? 't Is 'er ver af, myn Heeren! dat ik my verbeelde aaD de wy^geenge Waereld lesfen te zullen kunnen geven , dit edel Ituk kan ik met ftilzwygend voorby gaan, maar ik zal my wel wagten iets te beflisfen, dat, door web ingerichte proefneemingen , en dus door ondervindingen, niet duidelyk blykt waarheid te zyn.
Het vervolg hier na.
S 5 VER-



a3o MENGELWERK vAS
VERVOLG der ALGEMEENE MANIER ow» TOVER VIERKANTEN te rnaaken, door den Heer Sauveur , getrokken uit de Mejiorien van de Koninglyke Academie der Wetenfchappen te Parys, en uit het Fransch ver* taald door A. B. Strabb.e.
Vervolg op Bladz. 3a.
- y. Grondregelen voor de faamenftelling der Tb- > vervierkanten met toegevoegde Ryën.
•hs Om te bewyzen dat een Vierkant met toegevoegde Ryën een Tovervierkant is, moet betoogd worden, dat in elke horizontaale, verticaale eadiagotiaale Ry iedere letter haare overeenkomstige heeft, en dat in de onëvene Vierkanten de middenften M en n eens in de horizontaale en verticaale Ryen, en in oneven getal in de diagonaale Ryen zyn; daar benevens dat geen grootheid tweemaal herhaald wordt, dat is te zeegen, dat in twee perken twee overëenftemmendeVan geen twee andere overëenltemmende
vergezeld zyn. _
37. Om-een Tovervierkant met toegevoegde Ryen in getallen te veranderen, moet men, volgens Art. 35 en a6, waarden in getallen aan de letteren toe-eigenen, en deeze waarden in getallen onder de letteren in zodanige orde fchikken , als men begeert . mifs dat de lom der twee overëenkomftigen altoos gelyk zy aan am of au; vervolgens moet men de letteren van het Tovervierkant, als in Art. 18, in getallen ver'anderen.
Doch om een Tovervierkant in letteren met toegevoegde Ryen faamen te ftellen , moet men de voteerde grondregelen vast in 't geheugen hebben, en dezelve in acht reemen zo haast de gelegenheden zich daar toe opdoen. •58. Zo haast men eene letter in een perk ftelt,
moet



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, mz. 231
moet men haare toegevoegde overëenkomftige iü het toegevoegde perk plaatfen (*). •
Wanneer in de onëvene Vierkanten de plaats van eene toegevoegde ietter door eeue middenfte letter vervuld wordt, moet men die toegevoegde ietter in het middenfte toegevoegde perk ftellen.
29 Zo dra men in eenen diagonaal eene Jetter gefteld heeft, moet men in den zelfden diagonaal ftellen zyne overëenkomftige, die in de andere toegevoegde Ry van die letter moet zyn ; hetgeen door Art. 38 in iedere toegevoegde Ry twee overëenkomftigen voortbrengt.
Wanneer in de onëvene Vierkanten de plaats van die overëenkomftige door eene middenfte bezet is, moet men dezelve in het raiddenperk plaatfen.
40. Zo haast men in de onëvene Vierkanten in eene middenfte Ry eene letter gefteld heeft, moet men haare overëenkomftige in de zelfde Ry tegen over de middenfte der toegevoegde Ry van die letter ftellen, en vervolgens moet men door Art. 38 de toegevoegde overëenkomftige van die laatfte letter plaatfen.
41'. Zo dra men de helft der perken van eene Ry met eene kleine (etter gevuld heeft, moet men de overige perken met haare kapitaale letter aanvullen, en omgekeerd.
4a. Zo haast men in een Vierhoek , die twee overftaande letteren overëenkornftig heeft, een van die overëenkomftigen eene letter heeft toegevoegd, moet men haare overëenkomftige by de andere ftellen ( anders zou men het zelfde getal hebben), en vervolgens moet men door Art, 38 haare overëenkomftige toegevoegden plaaïfen.
43- Zo haast men in een Vierhoek, die twee direEle overëenkomftigen heeft, één derzelven eene letter toevoegt, moet men de overëenkomftige van die letter by haare toegevoegde ftellen, anders zoude»
. (*) Zie Art. 38 en 30.



33* MENGELWERK van
den de overftaanden gelyk zyn , en vervolgens moet men by overeenkomst door Art. 38 de toegevoegden van die nieuwe letteren plaatfen.
44. In de onëvere Vierkanten kan men de mid. denften M en n verfcnillend plaatfen; maar op welke wyzen men dezelve ook plaatst, moet 'er altoos éénmaal M n in een perk zyn; daar benevens moet fiegts eene M en eene n in iedere horizontaale en in ieder verticaale Ry, en in een onëven getal in eiken diagonaal zyn.
iQ, In een Vierkant met overëenkomftige Ryen, ftelt Mn in 't middenperk, en M, M, «, «, in de vier perken eens Vierhoeks van iedere letter.
20. Zo men in het middenperk getn middenfte fielt, moet men dezelve in elktn diagonaal brengen, in plaats van eene zelfde letter, welkers toegevoegde Ryen niet overëenkornftig zyn.
3°. Buiten de diagonaalen kan men de middenften In de overftaande hoeken van eenen Vierhoek ftellen.
4°. In de groote Vierkanten kan men dezelve in tzodanige orde ftellen, als men begeert , volgens Art. 44.
,45. Zo dra men by eene middenfte een letter plaatst, moet men by de andere toegevoegde middenfte haare overëenkomftige ftellen , en haare tfirefte overëenkomftige in het middenfte perk plaatfen : ( zo de middenften M, M, n, n in -overftaande perken van eenen Vierhoek zyn, kan deeze direSte middenfte overëenkornftig zyn); eindelyk moet men de gelykvormige toegev> egden van alle die vergezellende letteren plaatfen, hetgeen in iedere toegevoegde Ry a, 3 of 4 overëenkomftigen voortbrengt.
46. Na dat men aan de voorgaande conditiën voldaan beeft, moet men, eere nieuwe letter Hellende, welkt in haare Ry overëenkomftigen te wege moet brengen, dezelve doorgaans gelykvormig ftellen aan die, welke in die Ry 'het meest herhaald wordt.
VI. AU



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN^. a3%
VI. Algemeene faamenftelling der TovervierkanUn met toegevoegde Ryen.
47. Een Vierkant met zyne ledige perken gemaakt zynde, fielt de aanwyzers boven en ter zyde van het Vierkant, volgens Art. 35.
Voegt de letteren by de aanwyzers, hebbende elke letter haare overëenkomftige , «ellende de tweede letteren boven het Vierkant , en de eerlte letteren ter zyde in zodanige orde als men begeert, dan zullen iedere letteren en haare overëenkomftige haare toegevoegde Ryen aanwyzen.
Zo iedere letter en haare gelykvormige een zelfden aanwyzer hebben , zal het Vierkant met overëenkomftige Ryen zyn , anders zal het met niec overëenkomftige of gemengde Ryen zyn , welke yóor de daadelyke oeffening verfchillende veranderingen onderhevig zyn, naar dat twee gelykvormige letteren de zelfde of verfchilleHde aanwyzers hebben , het zy dat de eerfte letteren de zelfde aanwyzers hebben als de tweede letteren , of in de zelfde orde, of m verfchillende orde, of dat zy verfchillende aanwyzers hebben.
De gemaklykite Vierkanten Om faamen te ftellen zyn de Vierkanten met ovérëerjkomftige Ryën, en de moeijelykfte zyn de Vierkanten , waar van de eerfte en tweede letteren, in verfchillende ordens, de zelfde aanwyzers hebben.
48. Plaatst in de onëvene Vierkanten de middenften M, n. i°. Als de Ryen overëenkornftig Zyn, ftelt M« in 't middenperk, en M, M, «, %1 in de vier perken eens Vierhoeks van iedere letter 2" Moet in 't algemeen Art. 44. in acht genomea worden.
49* Vul* den eerften diagonaal en zyn vervolg.



23*
MENGELWERK van
p q r R ƒ S t Q T P
.g >4 .3 -2 -i o l___2__3 4 5
a-5 Mp ±j\-If-* b-4ë'p tTq M£ B_n *>S |7 22 L'S^i* c ■ y? ƒ éjfcj cjr GJl MS c_ ƒ|é_ n c^J C.j'c'^C'P d-2 Tp" S q df 1 d R D./ ^jdsjDjjMQ Dn <^P c.,rPMq £._r e__f f_Qksje_T e__d £t £'P o a. Jeg iffc|J cj? Mnf ƒ et. DQ a\u A.P D 1 D~P ï~~q Ü_r |Kf AtIdS d__n Mt_ £ P C 2 C'P ^2 cTr cTL c_n C SIM) Cj Üj c^T
£3Ir-Mr-£ e^ Bqj££ mt£Q
b 4 Bfi » _p m> |£'/ JN £ j^bt iT J>
>tf 5 Ar> « 2 >iR 'A ra S Ap'df A'ta gé T mp
p q r R f S t Q, T P
-5 -4 -3 -2 -* 1 2 3 4 5,
fl- sla pi ?:/* R Ar ±1 'tJ tl fc-JlT/) b~q è'ft fi' r 2 5 tMjl £t* c -3 7~f> Cg c/_r cji CS Cf {T C.q- cj_ £P d-2?p!Bf3 ö'rd R A/d SDT ÖQd'l SP e - ; Ï~P Erq ITr f^R ti 13 *J? Ll S D 1 £P £Oj££ D_r MM &I\L± 5Ü SI C ü C P <?' fi C j; c^R £ƒ c_ _£ Cjti C t Cj
£ 3 ?'ü Li ÜLZ L£ 5-? —
j5 4 b_P B fi| fl'r 6_'_r b_S bj\Ét_ 'Ó q BJ bp_ A 5 A p A'q]a Rfi r & S\'d f\At d Q AT\A p
Om



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,bnz. 235
Om»den eerften diagonaal te vullen, moet men in ieder perk de twee letteren der aanwyzers plaatfen , welke daar mede overkomen; zyn vervolg it Art. 38.
Als het Vierkant oneven is,moet men de plaatfen, waar in geen middenfte ftaan, vullen ; en zo eene middenfte in de plaats van eene overëenkomftige toegevoegde gevonden wordt, moet men deeze overëenkomftige, volgens Aru 28, in haar toegevoegd middenst perk plaatfen.
Wy tekenen in de voorgaande Vierkanten en ia het volgende de letteren van de eerfte diagonaals toe» gevoegde en haar vervolg met Romeinfche letteren.
50. Vult den tweeden diagonaal met eerfte letteren en haar vervolg.
Als twee overëenkomftige eerfte Ietteren de zelfde aanwyzers hebben, zullen haare toegevoegden twee perken van den tweeden diagonaal gevuld hebben,
en in de onëvene Vierkacten kunnen 'er Mf. in andere perkon zyn; doch ftelt in de ledige perken de eerfte letteren overëenkornftig met die van den eerften diagonaal, of met die der aanwyzers: men kan, dezelve door gelyk vormigheid in de groote Vierkanten ftellen, het vervolg is desgelyks Art. 38, en in het Vierkant van 4 en 5, Art. 41.
5r. Vult den tweeden diagonaal met tweede letteren en haar vervolg.
Als de overëenkomftige tweede letteren de zelfde aanwyzers hebben, zullen in den tweeden diagonaal perken met tweede letteren gevuld zyn , en in de
onëvene Vierkanten kunnen n*. in andere perken zyn.
Als twee eerfte en twee tweede Ietteren de zelfde aanwyzers in eene verfcbilleDde orde hebben., naame)yk de eenen de zelfde letter pofiiif en negwif, en do anderen alle beide negatif, ot alle beide pofitif, moec men Art 42 in acht necnien. In de overige'perken, die als in Art. 50 gemaakt zyn, zyn het vervolg Art» 38, 42 en 43.
Wy



a36 MENGELWERK van
Wy tekenen de letteren van den tweeden diagonaal en haar vervolg met curcyffche letteren , met een punt aan de rechter zyde.
54. Vergezelt de Middenften M , n en haar vervolg , volgens Art. 45, 40"» 4a en 43. Het Vierkant zal gemaklyker zyn, als men M, M, tl, n in de vier perken 'der Vierhoeken plaatst; en nog meer als men ze alle m de beide diagonaalen ftelt. Deeze letteren zullen met een punt boven dezelve geplaatst getekend worden.
53. In de onëvenlyk evene , en onëvenlyk onëvene Vierkanten , vult men ten minften een maal door gelykvormigheid ieder paar toegevoegde Verticaalen van twee direSle eerfte letteren, naamlyk om verzekerd te zyn van twee directe tweede letteren by overéénkomst te kunnen ptaatfen: men kan zich daar van onthouden in de Verticaalen, waar in MM»nde overftaande perken eens Vierhoeks vervullen, en wanneer de direBe middenften overëenkorastig zyn me: die, welke de middenften M of n, volgens Art. 45, vergezellen.
Wy zullen de gelykvormige direfte eerfte letteren ieder met twee punten , daar boven geplaatst, tekenen.
54. Vult de eerfte horizontaale Ryen met eerfle let' teren en haar gevolg; en g?at tot dat einde voort met in iedere Ry de zelfde groote en kleine letter te plaatfen, zulks dat 'er van beiden even veel zyn»
Deeze fchikking van kleine en groote letteren is zodanig, dat de direÜen by gelykvormigheid,die wy met twee punten zullen tekenen, ftaan, of by overeenkomst, die wy met een accent zullen tekenen. In de evenlyk evene of onëvenlyk evene Vierkanten, kan men alle de direften by gelykvormigheid plaatfen. Het vervolg is Art. 38 , om de tweede horizontaale toegevoegde Ryën te vullen.
55. Puit de vierhoeken, waar van de diretlen, volgens Art. 43 , overëenkornftig zjn, met tweede letteren , en tot dat einde moet men de letteren met
ac»



WISKUNDIGS VERHANDELINGEN, enz. 237
accenten (Art. 54) van iedere toegevoegde verticaale Ry, in hairen rans doorloopen.
56. Vult de eerfte verticaale Ryën en haar vervolg Viet tweede letteren. Doet als in Art. 54 , dan zal het Tóvetvierkant in letteren volkomen 'zyn.
57. Het Tovervierkant wordt in getallen aldus gemaakt. i°. Door op de letteren , in zodanige orde als men begeert, de getallen, door Art. 25 en a6 gevonden , toe te pasfen , zülks dat de fom der getallen , op twee eerfte overëenkomftige letteren toegepast, gejyk zy aan 2»i, en de fom der,getalJ len, op twee overëenkomftige tweede letteren toegepast, gelyk zy aan 2 n. a"0. Neemt in ieder perk, in plaats der beide letteren, de fom der getallen, welke haare waarde als in Art. 18 aanwyzen.
Het is klaarblyklyk dat de kleine Vierkanten niet met zo veelè veranderingen als de groote faamengefteld kunnen worden ; dus moet men dezelve met overëenkomftige Ryëfi , ert met omzichtigheid met miet overëenkomftige Kyèn rnaaken , vooroaamlyk de onëveue Vierkanten.
VII. Byzondere faamenftellingen der Vierkanten met toegevoegde Ryën» vJgens Art. 28.
58. S namenftelling van een evenlyk even Vierkant Wiet overëenkomftige Ryën. Art. 2.
i°. Stelt de aanwyzers eu de letteren der aanwyzers Art. 47 boven en ter zyde van het Vierkant* De overëenkomftige letteren moeten de zelfde aan* wyzers hebben.



238 MENGELWERK van
pqr/SRQP "4 "3 *2 *I 1 2 3 4
a- JÏlTÏ 4* £f ?Z JE tl iL
J,. 3 £ ƒ> b q BR ^ƒ ?[« ^ b_Q j_f c-aC'P C'Q cr_C/ C ófc_R c_'j c> d-1 Dpd'Öd' rd_f_d s TyRD'g'DP D » dP D'pj ü'r D£ ö S d/q '<h_ C &c~'Pc'Q\Cr_ cS_ fj CR C'j C'j> ^ 3 b P B qjfc R B s¥f br< B Q bp_ AaA~p'A ga PJaS af a r AO A P
a°. Stelt in den eerften diagonaal de Ietteren der aanwyzers, welke daar mede overëenftemmen, en vervolgens haare toegevoegde overëenkomftigen , Art. iti, welke den tweeden diagonaal zullen vullen.
Vult de horizontale Ryën met de eerfte letteren. In iedere Ry moeten zo veel kapitaale nis kleine letteren zyn^ maar men kan dezelve zodanig fchikken, dat al'e'de direüen by gelykvormigheid, of fommige by gelykvormigheid, en andere by overeenkomst geplaatst worden. ,
Na dat de eerfte horizontaaale Ryen gevuld zyn, moet men haa-e toegevoegde by overeenkomst, voleens /:rt. 38 , aanvullen. ,
40. Onderzoekt in iedere toegevoegde verticaale Ry , of twee eerfte letteren by overeenkomst zyn (wy hebben dezelve met accenten getekend,) en a>dan moet men hunne toegevoegden met twee tweede lederen by gelykvormighdd vergezellen.
e°. Gaat voort in het vullen der verticaale «yen mét tweede letteren, zulks dat ever- zo veel kapitaale als kleine letteren in dezelve gevonden worden.
59. Saamevftdltng der evenlyk evene Vierkanten met niet overëenkomftige Rfén* ^



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN ,-iinz. 2,39
Wy oiKlerfielIen dat geen letter en haare overëenkorhftige de zelfde aanwyzers hebben , én das twee tweede letteren de zelfde aajiw.yzers niet hebben dan twee eerde letteren; want in dit geval beroepen wy ons, op de VI. Afdeeling. Men behoort in aanmerking te neemen, dat de kleine Vierkanten niet aan zo veele veranderingen als de groote onderhevig zyn. n R &
t P a r O R f S
-4 -?. -2 -I 1 ,a 3, ^4. a-4'a plrt e& OARnq A r AS Af i>-3\B~]~i b~P|r^ W* B~q bR b~~S ~8f e - 2\c~P: G~p c~q CR\ c7Q C 7 ëf_ <Ts d'id~pDPdq~ d^SgfiR èƒ D 5 A 1 a| S? A~q ÏR\ AQ a 7 a~S af B a VP.'Üj^J Ms !^<2 BR B~sVf I> 3 DP rf^j PÖ ËTjdY |^ D? ^"5 C 4'c"? 7fCQ cRÏC~q 77 cT CS
i°* Plaatst de aanwyzers als boven, en de letteren in de voorgaande oroüandigbeden.
,&. Vult den eerften diagonaal met de letteren der aanwyzers, en plaatst alsdan haare toegevoegde overëenkomftigen,.
30. Vult den iwedden diagonaal, door letteren te plaatfen welke overëenkornftig zyn met haare direclen van den eerften-diagonaal (men kan dezelve in de groote Vierkanten gelykvormig ftellen) i ftelt ver* Volgens de overëenkomftige toegevoegdeo.
40. Voltooit.het Vierkant sis in Art\ 5$.
60. Saamen/Ielling der evenlyk evene Vierkanten met gemengde Rfën.
Volgt de'Regelen van de algemeene faarnenfreüing, VL Afdeeling.
61. SaamenjitUing der onëvenlyk evene Vierkanten met toegevoegde Ryn.
T a Volgt



24o MENGELWERK van
Volgt de Artikelen 58, 59, 60, en voegt by dtV zelve Art. 53.
63, Saamenjlelling der evenlyk onëvene Vierkanten met overëenkomftige Ryen.
r°i Plaatst de aanwyzers en hunne letteren volgens Art. 35 - of 47, of 58.
Pi n & P -2 -1 o 1 a O - a MppT? a Pl^g a n
ft - 1 B P|b n boJjMg B p
M o ap £ Mnjb g AP
B 1 b p|moJb g'|B n b p
A aanlag ^p!«Q MP
o°. Plaatst de middelften M, M, «, n in de hoe. ben eens Vierhoeks, zulks d3t t°. M, m, even als », », in de overftaande perken van eenen zelfden Vierhoek zyn. 2°. Dat in iedere horizontale en in iedere verticaale Ry een m en een n zy, de diagonaalen kunne» alle de middenften of geheel of ten deele, maar het middelperk moet M n hebben.
p q n Q P - 2 -1 o f 2 a-s. a p MQ~A qA na P
b-i Bnb q B P |b Q m p
obPAQ Mn a q B p
B iMPBqbpBQbn
A üApan a oj Mq AP
3°. Vult



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 241
30. Vult de perken van den eerften diagonaal, ftellende de letteren der aanwyzers op de plaatfen, welke niet met de middenften bezet zyn; plaatst vervolgens haare toegevoegde overëenkomftigen , welke geplaatst gevonden worden in den tweeden diagonaal, of in de middelfte Ry , indien haare plaats in den tweeden diagonaal met M of n bezet is.
4°. Vult den tweeden diagonaal met de letteren die daar aan ontbreeken , en plaatst haare toegevoegde overëenkomftigen als boven.
5*. Vergezeld de M , M der toegevoegde Ryen, volgens Art. 45 , met tweede overëenkomftige letteren , plaatst vervolgens haare toegevoegden by overeenkomst, en haare middelften by gelykvormigheid; men kan zulks ook by overeenkomst do;.n; doet het zelfde met de middenften «, «. Wy hebben de eerfte en tweede letteren, welke M, n vergezellen , en haar gevolg met een punt getekend.
6°. Voltooit het Vierkant als in Art. ?8.
63. Als het Vierkant onëvenlyk onëven is, zo voeat 'er by Art. 53.
64* Ais het onëven Vierkant met niet overëenkomftige Ryen is.
i°. Plaatst de aanwyzers als in Art. 59 , en de middenften als in Art. 62 , alsdan worde de faamenftelling gemaklyk , en komt met de kleine onëvene Vierkanten overëen.
PI P Q
-2 -1 o 1 2
a - 2 Mp a Q AP An a~q~ i-i BPb n b 4 B p Mg!
o^pB q Mn a P b O A 1 a n AQ^a p MP A q B 2 b P MqlKQjb p|B n|
T 3 2'. Cf



D4a MENGELWERK van ekz.'
óo 'Of plaatst de aanwyzers volgens Art., 60, etrdó middelften volgens Art. 4-1, alsdan vereischt de faameöftelling eene groote: oplettendheid, om er de Regelen van de VI. Afdeeling op toe . te pas. lfnfbènevens de gronden der V. Afdeeling, waar in vfeele gevallen onmogelyk zyn.
Bet vervolg hier na.
VER"



VERVOLG der LESSEN
OVER DE
WERKTUIGKUNDE;
Voorgeleezen aan het Phyfisch Genootfchap te
WORMIiRVEEK. DOOR
A. VRYER.
Vervolg op Bladz. 229.
IX. LES.
Inhoud van deze Ler.
I. Van de zogenaamde Doode en Levende kragten. II. Redenen voor het Oud gevoelen, van de maat der kragten van bewogen Lichaamen.
I. Van de zogenaamde Doode en Levende kragten.
Myne Heeren!
§. 93. Tot nof! toe hebben wy alleen befchouwd op wat wyze een bewogen lichaam in zyne beweging volhard, wy hebben nagefpeurd de ftreeken, welke zuiken hcnlafn , met eene meerdere of mindere trap van fnelheid , doorloopt, naar dat de beweegkrasten, ten opzigte van de richting en dirkte-, werkzaam zyn ; maar bewogene lichaamen zvn niet alleen bewegiDg ingednikt, maar te gelyk ook T 4 eene



$44 MENGELWERK van
rene kragt , waar mede 2y op tegenflandbiedende beletzelen, welke ze ontmoeten, aanvallen, welke dan , wanneer de kragt van 't zich bewegende lichaam maar niet te klein is , mede in beweging gebragr, of verbroken worden. Hoe zwaarder hec bewogen lichaam is , en hoe grooter de fnelheid, waar mede het bewogen word , des te grooter is ook de kragt of 't vermogen om tegenftanden te overwinnen en weg re ruimen; de ondervinding heeft geleerd, welke verwoestingen zwaare lichaamen, met een verbazende fnelheid voorrgeworpen , kun* ren te wege brengen. De Ouden , die het buskruit niet kenden , gebruikten , in het belegeren van Vestingen , ontzachlyk zwaare lichaamen, genoemd Rammen, Muurbrekers , aan 'c voorde einde met een metaalen hoofd, het Ramshoofd, voorzien j de-, ze lichaamen wisten zy in beweging te brengen , en alzo door dezelve de muuren der vyandelyke Vestingen te beuken, op die wyze trachtten zy de fterkfte vestingmuuren , welke eeuwen in duurzaamheid fchenen te tarten, te verbryzelen en uit malkanderen te rammeien; en wie weet nu het vermogen niet van een kogel, cm verwoesting aan te regten, wanneer dezelve uit een Kanon, door de kragt van ontdoken buskruit, met een verbazende fnelheid is voortgedreven, -r- N-3rt?fpooren de grootheid van de maat dezer kragt teD& bewogen lichaams , de wyze hoe die maat te berekenen , is het werk van den onderzoekenden Wysgeer ; én deze Les is tot dat onderzoek bepaald, gtlyk op 't einde van de vorige is be«. loofd, maar, myn Heerenl een zorgelyk onderzoek, zo a's toen ook gezegd wy zullen 't ftuk met alje moctlyke enzydigheid tragten te onderzoeken, en ditmaal alle gezach van beroemde Wysgeeren ter zyde zetten , moeten ter zyde zetten, en . na gedaan onderzoek, zullen we zien welken befluit wy, pit onze ondervindingen en daar op gebouwde rede? peringen, moeten en kunnen maken. §, 04. Ik noem kragt, die eigenfehap of poging
eens.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 545
eens lichaams, waar door het zich beweegd of voortloopt , en in zvn? beweging tegen eenig beletzel werkzaam is, om dat beletzel weg te ftooten , ten einde om in de beweging te volharden. Zuiken kragt moet men niet alleen toeëigenen aan een bewogen en tegen een beletzel aanvallend lichaam , maar ook aan een lichaam dat in rust ligt, dat. door zyn zwaarte, perst of drukt dat gene wa3r door het onderfehraagd word.
§• 95- De kragt, waar van ik fpreeke, is niet eigen aan de lichaamen, ten zy dezelve daar in door zekere msgt verwekt worde; een lichaam, in rust zynde, zou altoos in die Raat blyven, zo niet een werkend vermogen het uit de ftaat van rust tot die van beweging overbragt. De tegenftand, wctke een lichaam bied om niet tot beweging over te gaan, noemen de Natuurkenners eene kragt van traagheid.
§. 9r>. Hoe meerder ftofdeeltjes een lichaam dat in beweging is bevat, hoe meerder beweging kan men zeggen is 'er, want ieder ftofdeeltje, kan men zich voordellen , beweegd zich afzonderlyk met die fnelheid, waar mede de gantfche klomp of *c geheele lichaam zich beweegd ; we&halven men, wanneer men 't getal der ftofdeelen van een lichaam of deszelfs gewigt multipliceert met de graaden der fnelheid waar mede 't lichaam zig beweegd , deze uitkomst noemd, de veelheid van beweging (quantitas motus)» Is , by voorbeeld , een lichaam zwüar 10 , en men onderfteld dat het zelve voortfneld met in graaden fnelheids, dan drukt loxioztoo de veelheid van beweging van dat lichaam uit.
§. 97. Als twee magten door eene oogenbliklyke drukking, ieder in een byzonder lichaam, kragt om zich te bewegen verwekken , dan zyn die magten altyd in dezelfde rede als hun* uitwerkzels, dat is , als de veelheden van beweging door ieder bvzonder veroorzaakt, Ik weet niet dat deze grondfteltiog, door eenig Wysgeer, betwist word.
$. 98. Men heeft de kragten, waar mede de lichaamen bezield kunnen zyn , onderfcheiden is ï 5 »o©<



Ö46" MENGELWERK vah
doode en levendice kragten. Door eene doode kragt verftaat men die kragt, welke, flegts door drukking of persfing tegen eenig beletzel, geoeffend word;* gelyk wanneer een gewigt drukt den grond waar op het zelve rust, of ook wanneer een man een flede of fchuit voortduuwd, in welk geval het werkend vermogen mede gezegd kan werden, met betrekking tot het gedrukt wordende lichaam, niet van plaats tè veranderen. Door eene levendige kragt bedoeld men die, welke eenig bewogen lichaam oeffend , wanneer het, in zyne beweging, tegen een beletzel aanloopt. — Wyl men evenwel, door de kragt in een lichaam verwekt, niet wel iets anders verftaan kan, a;s eene poging of neiging om voort te bewegen, als een vermogen om aan te dringen tegen een beletzel, dat de beweging van 'tlichaam wederftaat, om dat beletzel weg te ruimen , fchynt de uitoeifening van die kragt. in alle gevallen niet anders te zyn &\s~~drukking (pres/io), of aandrang (impetus ), hoe men de kragt ook noeme, een doode of een levende kragt; ik kan indedaad hier geen wezenlyk onderfcheid zien tusfchen kragt en kragt, als alleen eere meerdere of mindere grootte of aandrang.
§. 99. Ik kome nu tot de groote vraage , hoe moet men deze kragt in lichaamen bepalen ? op welken wyze de maate daar van berekenen? Vooraf, myne Heeren'. moet ik zeggen, dat ik, ten opzichte van 't wysgeerige verfchil 't welk zich hier opdoet, voor lang al overhelde tot het denkbeeld van den Heere Desaguliers, dat namelyk meer over woorden dan wel over zaken getwist word. Ik zag , om zo te fpreken , Natiën tegen Natiën ftryden ; ik zag ieder party zyn gevoelen' met Mathemati/che betogingen en met Proefneemingen ftaven ; ik zag.proeven tegen proeven ftellen, om wederzyds een tegen het ander ftrydig ftelfel, rakende een natuurkundig leerftuk dat zo gereedelyk "onder onze proefneemingen valt, te bevestigen; ik zag onder elk dezer partyen agtingswaardige naarnen, beroemde Wysgeeren; ik kon by gevolge dit
al-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. H?
allervreemdst verfchynfel niet oplosfen , daar de twist een zo langen tyd voortduurde, of't moest hier haperen , dat men door de woorden niet dezelfde zaken verftond, zo dat men, terwyl men onderling twistte, beide gelyk konde hebben. Dat men in dc zen indedaad het woord kragt niet in dezelvde betekenis genomen heeft, geloove ik nu , na dar ik de redeneringen en proeven van de beide partyen meer opzettelyk heb nagegaan en overwogen, vry gerust, en ik vertrouw dat myne geëerde Medeleden 'er mede van overtuigd zullen "zyn, wanneer ik vborgeltcldzal hebben 't geene ik denke te laten volgen.
II. Redenen voor het Oud gevoelen, van de maat der kragten van bewogen Lichaamen.
§. 100. Een lichaam, in beweging zynde, dringd naar rede zyner fnelheid op een beletzel, dat zyn beweging tegenftaat, aan, en field men de ftofiyke inhoud van het lichaam grooter, naar die maate is ook de aandrang, het geweld, de kragt, welke het oeffend op een beletzel, om 'c zelve weg te ftooten, (lerker. Dus fchikt zich de kragt van aandrang naar de fnelheid vermenigvuldigd met de inhoud of zwaarte eens lichaams, of naar de veelheid van beweging, gelyk men dat-noemd. Hoe zou deze grondftelling met reden betwist kunnen worden? Als ik wel zie, dan kunnen , dan moeten wy als waarheid aannemen: dat de kragt eens bewogen lichaams, name„ iyk, de momentkragt, de oogenblikiyke drukking „" of kragt van aandrang tegen eenig beletzel , is, „ als 't gémultipliceerde van de masfa of inhoud des t, lichaams met de fnelheid (%)." 't Is waar, dit I v komt
(2) Voor eenige Legers zal 't misfcMen dieriTisr zyn aantemerken, dat, als men hier fteld dat het produB van dê zwaarte' en fnelheid eens bewogen lichaams Heszeiïs kragt , of ook deszelfs veelheid van beweging (§ ofi). Uitdrukken, dat ( zeg ik) raen den niet aicent eene (leili-



948 MENGELWERK van
komt overeen met bet leerftelfel der Ouden ; doch ik geloove niet dat eenig verftandig Wysgeer , al plaatst hy zich by de andere party. het wederfprcken zat ; wel verftaande , als men kragt neemt in de betekenis van momentkragt. De proefneemingen ,zeer cevouwige proefneemingen, welke nu volgen, Haven deze waarheid zo ik meen ten klaarden.
XXXIV. Proefneeming.
§. iot. In'tpuntD (Ftg. u) zyn twee Slingers opgehangen, de fungerende lichaamen zyn ballen van zagte klei ; kort agter dezelve ftaat de boog van een cirkel, welks vlak loodregt ftaat, en 't middenpunt is Ü , gelyk deszelfs laagfte punt is C , en even hoog als de middenpunten der kkiballen , wanneer deze neêr- of ftilhangen. Gemelde cirkelboog ACB is van C af ter wcderzyde in deelen of graaden zo gedeeld, dat, trekkende de fpanlynen Ci, Ca, C 3 &c. , dan deze fpanlynen tot malkanderen zyn als de getallen 1,3,3 enz.
Trek
Hge of bepalende uitdrukking van de trap dier kragt of van die veelheid, maar alleen eene betreklyke, opzichtelyk die van een tweede bewogen lichaam. Zo, by voorbeeld, zeker lichaam A 6 oneen weegt, en een fi elheid van 3 graaden heeft; en geeft men een ander lichaam B, zwaar zynde 12 onct n , eere fnelheid van 6 graaden; dan houd zich de krsgt (momentkragt') , ook de veelheid van beweging, in het lichaam A lot die in het lichaam B, als ï8 tot 72, of als 1 tot 4 ; dat is, de kragt en veelheid van beweging van *t laatfte lichaam is viermaal zo groot, als beide is van het eerfte lichaam. Had het lichaam B 9 oneen zwaarte en 2 graaden fnelheid», dan zouden de kragt, en de veelheid van beweging, in de beide lichaamen, ve;mits 3x6 en 2x9 even veel uitbrengen, even groot ryn — Een zekere bepaalde trap van fnelheid, naac willekeur genomen, k:.u men één graad fnelheid noemen;, een fnelheid die tweemaal zo groot is, is dan %. graaden, fnelheid, enz.



wiskundige vérhandelingen,enz. 249
Trek nu de eene bal, die wy onderzeilen 6 oneen te wegen , op , toe dat zyn middenpunt 't getal 4 op de boog bereikt, en de andere bal , 4 oneen zwaar, naar de andere kant tot het getal 6 ; de ballen dan gelyk los latende, zullen, de befchreeve bogen niet groot zynde, malkander genoegzaam in 'c laagfte punt C ontmoeten , aldaar malkanders beweging vernietigen en by een blyven hangen.
Opheldering van deze Proefneeming.
§. ro2. De kleiballen , flineerende aan de draaden , zyn ieder van zekere hoogte tot het laagfte pnnt C, daar ze in rust geraken, gedaald, en voorheen hebben wy gezien dat hun' fnelheden in 't punc C, alwaar ze malkander ontmoeten, zyn als de vierkantswortelen uit de lengten zo veel ieder loodlynig gezakt is ; ik zal dit met Fig. 12 bevattelyker voorftellen: men ftelle dat de Slingers aan de pen A hangen, men heeft de eene AD tot het punt O opgehaald , en de andere tot het punt C , B is het laagfte punt, en op AB verbeeld men zich DB en CF regthoekig te ftaan; de bal D, de boog DCB befchreven hebbende, is in B loodlynig gedaald de lengte EB , en de bal C is in B gedaald de lengte FB, dus zyn de fnelheden der ballen D en C, wanneer ze malkander in de proefin B of "t laagfte punt ontmoeten , als de vierkantswortelen uit KB en FB. Maar nu zyn de vierkantswortelen uit EB en FB, gelyk men meetkundig bewyst. tot malkanderen als de fpanlynen of peefen DB en CB , zyude de fpanlynen der befchrevene bogen DCB en CB ; dez2 fpanlynen kunnen by gevolg de fnelheid , of maat der fnelheid , \m ieder bal by de ontmoeting, af. beelden ( a ).
Hier
C«) Meetkundig Bewys.
Dat |/EB ftaat tot j/FB, als DB tot CB. Waar door
dan



25© MENGELWERK va»
Hier uit volgd nu dat in de proefneeming de bal, 6 oneen wegende, mee een fnelheid van 4-graaden aanliep, tegen de andere bal, die, 4 oneen zwaar, een fnelheid had van 6 graaden; want. de eerfte bal had men toe het getal 4, en de ander tot het getal 6 op de boog, opgehaald , welke getallen de lenate der fpanlynen C 4 en C6, in de Figuur van § 101, aanduiden..— De beide ballen hebben na den ftoot geene beweging meer, de kragt om zich te bewegen, de kragt van aandrang of momentkragt, zo als men dezelve noemen wil, des eenen, doet die des anderen te niet4 dit konde zo niet zyn, indien deze kragt in de ballen riet even groot was. Deze proef beantwoord dus aan het ftelfel , dat de momentkragt eens bewogen lichaams is als de zwaarte met de fnelheid gemultipliceerd, alzo , volgens dien regel , de kragt van ieder bal by de ontmoeting 24, en dienvolgens gelyk is*
XXXV.
dan de maat der fnelheid eens lichaams flirtgerende uit eenig ' pijnt , D by voorbeeld , en tor het laagtte pont B gekomen zynde. door de fpanlyi DB «ank uitgedrukt.
De A, in de halve cirkel, hbd is gelyltformjg met de A DBS, geKjtk ook de A f'EC met da A CBF ; hierom ftaat
KB : DB :: DB i EB, en HB : CB :: CB : FB,
ergo is HBx EBZTfjDB, en HBxF3~QCB.
□'CBrzFIB X FB . ■ — muit.
HBX EBX □ CBrrHBx F!?x □ DB HB "Ëb x □ CB = fb x □ DB
1/—1 —
l/EB x CB ~ i/FB x DB. By gevolg
is t/rÏB : yFS :: DB : CB. Dat te bewezen was.



WISKUNDIGS VERHANDELINGEN,enz. 351
XXXV. Proefneeming.
§. 103. Bang in D , 't Werktuig van de vorige proef gebruikende, wederom twee zulke Slingers op, laat nu ieder kleibal van 2 oneen zyn. de eene hangt in 't laagfte punt C in rust, en de andere haare men op toe het getal ö op de boog; deze nu lds latende, ftoot de bal, die in rust is, met eene fnelheid van 6 graaden, en ze gaan- tiaar de andere kant gelykelyk voort tot het getal 3 op de boog.
Opheldering.
§. 104. De aanftonds gemelde regel om de kragt, te berekenen komt hier'wederom met de ondervinding overeen; de twee ballen , te famen 4 oneen wegende, gaan met de fnelheid van 3 graaden voort, de ftootende bal van 2 oneen had by de aanbotfing eene fnelheid van 6 graaden , de kragt is voor en na den ftoot dezelve, en de rekening geeft ook dezelve kragc, want 4x 3 is ~ 2 x "> ~ ia. — Moest men in dit geval de kragt berekenen door 'e vierkant der fnelheid niet de masfa te multiplic'seren, dan hadden de twee ballen moeren klimmen, 'c welk ze niet doen, zelfs tot bóVen het getal 4 , alzo 2x6 X6 na genoeg ZZ X 4t x # kli Zegt men dat 'er kragt verloren gaat, by den ftoot door de indeuking? nademaal de ballen van zagte klei gevormd zyn, en, door de botfing, van form en gedaante veranderen ; de volgende proefneeming, meen ik-, zal beflisfend zyn, dezelve zal een uitkomst als de voorgaande geven , en ik weet niet wat men 'er wezenlyks kun tegen inbrengen ; ik rigte de proef in grootdeels naar de opgave van den Heere Dgsaguli-ers.
XXXVI. Proefneeming.
§. 105. De plaat of platte Slinger ABCD (Fig, 13) aan alle hoeken in den haak , hangd aan vier even lange draaden , elk aan een byzondere hoek
der



352 MENGELWERK va»
det plaat gehegt, boven z\ö de dramden twee by malkander in het horizontaal-: dwarsftuk EF, in dc punten H en G, vast, zo gtjyk de Figuur aanwyst, de punten H en G zyn de lengte van de zyde der plaat DC van malkanderen verwy:ierd ; de bovenkant der plaat of gemelde platte Slinger is dus waterpas ; de cirkelboog, in de twee voorgaande proeven gebruikt, of eene dergelyke op één wyze in graaden verdeelde boog , ftaat kort agter de Slinger, evenwydig met de zyde van de plaat AD, komende het midden dezer plaat, wanneer dezelve ftii hangd, nevens, en even hoog als, het laagfte punt der cirkeU hoog, welks halve middenlyn is de loodlynige hoogte van EF boven 't gemelde laagfte punt. Regt boven *t middenpunt der plaat hangd de weeke kleiklomp K , zo hoog, dit de plaat 'er maar even onder vry kan flingeren, de draad, waar aan de klei hangd, gaat door een gat in het dwarsftuk EF , en word by [ door iemand met de hand vast, en op de regte hoogte, gehouden.
De toeftel aldus bereid zynde, hale men de plaat of platte Slinger AC op, zo ver dat deszelfs midden de hoogte van 't geta! fio op de cirkelboog bereikt, hem van hier latende fiingeren , zal hy , door de kleiklomp niet bezwaard wordende, en zo ook jreenig beletzel hem belemmerde, aan de andere kant tot de ocfte graad opryzeu ; maar indien hy , die de klei houd, de draad los laat op 't oogecblik als de Slinger aan 't laagfte punt komt, zo dat de klei op 't midden der plaat neêrkome, dan ryst de Slinger, van 20 graaden gedaald , wanneer de klomp klei even zwaar weegd als de fjingereude plaat, niet hooger als tot 10 op. Maak de'klciklomp 2 maal zo zwaar als de plaat, laat deze van 't getal 18 flingeren; dezelve zal dan , in *t laagfte punt met de klei bezwaard , maar tot 6 opklimmen.
NB. 't Zal eenige behendigheid vereisfchen , de kleiklomp, by 't doen dezer proeve, juist op 't midden der plaat te doen neêrkomen , doch herhaalde keeren de proef doende , zal men 't juist genoeg
tref»



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN» enz. 253
'treffen; .ai treft: men ook niet zeer net of volkomen het Mathematisch midden der plaat ,' de proef zal egter genoeg beantwoorden (b).
'§. ibö. Deze proefneeming gééft dus volkomen het zelfde befluit als de voorgaande, ik zou nu ncodeloos woorden en tyd verfpilien met eene verdere opheldering der iaatst gedane proeve , 'de 3 proeven bu gedaan , meen ik , bevestigen overtuiglyk , dat de momentkragt , de kragt van aandrang , eens bewogen lichaams, is, als 'i proiücl; wanneer men dé mas/a vermenigvuldigd met de fnelheid , 't welk ik my voorftelde proefkundig te bewyzen ; andere proefneemiogs,- die 't zélfde bevestigen, Zal ik voorby gaan, om niet te lang te worden, die ik voorgefteld héb beWyzén genoeg 'e geene te bewyzen was. . . ...j
§. 107. Denk niet, myne Heeren! dat ik ten voordeelè* van 't gevoelen der Ouden voo'ingenomeh ben; ik heb, pl-'hUn* zaak vërdeedigd, ik lieb juist zulke proefneemingen opgegeven die hunne berekening van de maat der kragt eenes lichaams, in beweging zynde, regtveerdigen, maar ik heb door kragt verftaan het geen zy 'èr door verftonden , namelyk 'momentkragt; en zo zal geen redelyk Wysgeer vaü deu tegenwodrdigeh tyd; dié op zaken let en min aan woorden hangt , met my twisten , gelyk myne gedane en andere proefneemingen 't ftuk ook overtuiglvk aantoocen» Ondértüsfcheu wil ik geensziris te rüg houden 't geerie voor het zogenaamde Nieuwe gevoelen pleic , wy zullen dok eenige der gewigtigfte proeven, waar medé het bevestigd Word, nadoen, in 't oog houdende 't geen de voorftanders van üit
(b) Dö , vier draadeh ; aan welke ónze platte flinger of (ie plaat AC by 't doen dezer proeve fcbomineide, waren ieder circa 8 voeten lang. Wy. deedeo de proef in öris PhyJiscA Collegie de eerftémaai 13 April 1790 , en de uitvoering flaagde zeer gelukkiglyk; zedért hébben wy deze" proef rriéer gedaan , én telkens heeft déuitflag juist aan de berekening beantwoord,
V



854 MENGELWERK van
ï V 3 , I 1 ......
gevoelen door kragt verftaan ; en als wy dit gedaan hebben j myne Heeren! niet nu maar by eene andere .gelegenheid, dan zullen wy 't befluit opmaken , hoe men de maat der kragten van bewogen lichaamen zal bepalen, en wat men van 'tzo luidklinkende verfchil daaromtrent hebbe te denken.
X. LES.
Inhoud van deze Les.
I. Redenen voor het Nieuw gevoelenvan de maat der kragten van bewogen Lichaamen. II. Befluit van dit onderwerp , en Oordeel over het zo luidrugtige verfchil daar omtrent.
I. Redenen voor het Nieuw gevoelen, van de maat der kragten van bewogen Lichaamen.
Myne Heeren'!
§. 108. Wanneer een lichaam , in beweging , te.gen een beletzel 't welk niet wykt aanloopt, wanneer men zeg,-:en kan dat het beletzel genoegzaam geheel onbeweeglyk blyft, en geene verandering ondergaat by den ftoot, dan verliest het bewogen dichaam óogenbliklyk,zyne kragt, en de grootheid van den ftoot is naar rede van de veelheid van beweging , namelyk, 't vermenigvuldigde van de fnelheid met de hoeveelhëid ftofs des , bewogenen lichaams.
§. ïoo. Maar anders is't wanneer de ftóffè, waar uit het beletzel beftaat, wykt, als daarin eene holligheid gemaakt word door't bewogen lichaam, en 'er eerfe indeuking plaats heeft; gelyk,by voorbeeld, wanneer een vast lichaam , een kloot, of een ander
lichaam



WlSKfJNDiGË VERHANDëUNGËN,ê5ïz. 0§$
lichaam met een V'óofuifcftekend punt of dergelyk,met zekere fnelheid tegen weeke klei aanloopt, en in dë klei eene holligheid of kuil maakt. In dit geval verliest het bewogen lichaam zyne beweeging en kragt hiet in eens, maar allengskensi de'holligheid in de klei word geduurende een zekere tyd daar ic gemaakt, en is het uitwerkfel van herhaalde, op malkarjder volgende drükkingen.
§, iiQ. Wanneer wy nu 't woord kfagt bepalen naar deze geheele Uitwerking , dan verftaan wy door kragt baarblyklyk wat anders als de momentkragt, de aandrang, welke de Ouden bedoeld hebben , en Welke zy berekenden , door de fnelheid des lichaams met deszelfs zwaarte te vermenigvuldigen, gelyk wy deze hunne berekening, in de voorgaande Les, doof de ondervinding ook hebben bekragtigd gezien', met drie welbeantWoorderde proefneemingen, Kragt nemende, gelyk veele latere Wysgeeren gedaan hebben , naar de gantfche uitwerking , niet Van êeiiö enkele drukking , maar van een menigte malkander volgende drukkingen , dan is 't ook geen wonder? dat de berekening der kragt door de Ouden geert fteek kan houden , dan zullen de proeven, die ïtc zal laten voigen, ons leeren, dat de kragt eens bewogen lichaams (km^t genomen in laatstgemeldert zin) is, als 't produel: het vierkant der fnelheid meê de hoeveelheid dofs multipikeerendè. Als onze volgende proefneemingen dit bevestigen , dan zal ons gebleken zyn, dat parcyeo, over dit önderweFp zo lang maar noodeloos getwist hebbende, beide gelyk hebben, dat elk zyn ftuk, maar byzonder ftuk4 Wel bewezen heeft , en dat de ondervinding beider Hellingen bekragtigd» Wy zullen nu tot de proö* Ven overgaan.
XXXVII. P ft OEFNEB Kt ING.
§i ui. Twee balleh, zo rond als mooglyk isj eVen groot, de eene is hol, waar door der zwaarten ongelyk zyn ; men laat ze , ieder op een byV 2 zon-



256 MENGELWERK v a w
zondere plaats , van zekere hoogte vry vallen in weeke klei of potaarde, die welgekneed en overal eenfoortig dient te zyn , ze zullen in de klei ieder een kuiltje maken. Indien de hoogten van welke de ballen neêrdnlen tot malkanderen zyn als de zwaarten der ballen omgekeerd , dan zullen de gemaakte kuiltjes in de klei even groot zyn.
Zyn , by voorbeeld , de zwasrten der ballen als 2 en 3 i dan-kan men de zwaarlto van 3 , en de ligtfte van 4^ voeten hoogte laten vallen.
Opheldering.
§. 112. De hoogte waar uit een lichaam gevallen is, is als 't vierkant der fnelheid door 't lichaam verkregen; de zwaarte vao ieder bal , in deze proef, met de hoogte zynes vals, of, dat bet zelfde is , met het vierkant zyner fneliieid, ge multipliceert, is gelyk » want 2x47 is ~3X3 — 9» fin ieder doet ook in de klei dezelfde werking , de kuiltjes bevind men even , groot; overzulks bevestigd de proef den ree;el, dat het vermenigvuldigde van de zwaarte met bet vierkant der fnelneid uitdrukt, de gantfche kragt eens> bewogen lichaams, dat is , 't geen het zelve in weeke aarde vermogend is uit te werken.
XXXVIII. . P r o e f n e e m i n g.
§. 113. FG (Fig 14,) is een rol van hard houtr aan het einde G kegelswys, of, rolrond blyveode, in een punt uitloopenne , dezelve haDRt waterpas aan 4 evenlange draaden zo als het Figuur aanwyst,- de draaden zyn boven vast aan de waterpasfe plank A, of aan de zolder, de punten in welke, de drartden vast zyn, namelyk B, C,*D, E, vormen een regthoekig raam. By H ziec men een doos gevuld mee weeke klei , fluitende deze doos in eene holte, gemaakt inde flyl K, welke Ityl op de vloer onbeweeglyk vast ftaat; de doos met klei kan men. in de hoite hooger en lager fchuiven» de oppervlak. ,
te



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. aj?
te der klei in de doos, wel v!ak en effen zyrdrt Ibrat loodlynig en regc voor 't punt der ro! FG. Kort agter deze toeftel ftaat, evenwydig met de rol, de in graaden verdeelde cirkelboog, in de laatfte proef der voorgaande Les, proefneeming XXXVI, gebruikt, zb , dat het midden der rol nevens , en 't midden,. harer dikte ten naasten by even boog als, 't laagfte punt des boogs konie, als de rol vry neêrhangt.
Dus is de toeftel gereed. Men ha!e nu de rol naar de linkerhand op , zo hoog, dat deszelfs middenpunt de aoüe graad op de boog bereikt; hem van daar latende llir.geren , loopt hy , in 'c laagfte punt zynde, op de klei in , en het punt maakt in de klei een kuil of put van eene kegelagtige gedaante. Men hale ten tweedenmaal de rol op, en men laat dezelve, de klei verfchoven hebbende, op 10 graaden los, de put op een andere plaats daar door in de klei gemaakt zal veel kleinder zyn. De rol wederom ophalende , laat men die van 17} graaden met het punt juist in de laatst gemaakte put op nieuw inloopen ; deze put zal dus vergroot nu even groot bevonden worden als die , welke dooi de rol de eerftemaal , met ao graaden fnelheid namelyk, gemaakt is.
§. 114. Deze ondervinding komt wederom overeen met den regel, dat de kragt eens bewogen lichaams , of deszelfs geheele uitwerking in weeke klei, is, als 't vierkant der fnelheid vermenigvuldigd door de masfa, of, de Zwaarte bepaald zynde, als 't vierkant der fneUieid ; l2jD< l<§ geteld by iox 10 is na genoeg ~ ad x 20 '~ 400.
XXXIX. Proefneeming.
$. 115. De toeftel dezelvde blyvende, haalt men ds rol op tot de hoogte van 8-g graaden fchaars, hem daar los latende , maakt hy" een kuiltje in de klei ; de rol daar op van 24 graaden op de klei' latende inioopen , wel verftaande op een andere plaats van de klei, zal de kuil welke nu gemaakt V 3 word



»5S MENGEL» WERK van
word juist tweemaal zo diep zyn , als die , welks zo even met de fnelheid van 8£ giaaden gemaakt is.
XL. Proefneeming.
%. ii<5. Met een ftuk lood de rol verzwaard hebbende, het lood heeft f der zwaarte van de rol te voren , laat men de verzwaarde rol van ruim 30^ graaden flingeren ; de put of kuil die dezelve dan maakt in de klei, is even groot als die, welke in de vorige proef gemaakt is, toen de rol de fnelheid van 94 graaden had.
§, 117. De uitkomften in de twee laatfte proeven bevestigen al mede den ftraksgemelden regel, om de geheele kragt of' uitwerking eens bewogen lichaams re uerekenen; in de eerlte van dezelve, proefneeming XXXIX, vind men de eene put in de klei tweemaal zo ditp als de ander, en, wyl de putten de gedaante van gclykforrhige kegels hebben , is de eene 8 maal zo groot als de ander, en 24 x 24 gedeeld door 8 is nagenoeg even veel als 8y,-x&g> in de laatfte proef moeten de putten naar den regel even groot zyn , de zwaarten van dc rol verzwaard en onver-, zwaard, zyn als 4 tot 3 , en 4X2o|x-o| is — 3 X24x24= 1728 naby.
II. Befluit van dit onderwerp, en Oordeel over het zo luidrugtige verfchil daar omtrent,
§. 118. Ik heb nu , myn Heerenl in deze én de voorgaande Les , door voldoenende proefneemingen meen ik bewezen , dat de kragt van een bewogen lichaam , als men door kragt verftaat de momentkragt, de kragt van aandrang, moet berekend wordeD , door de zwaarte flegts mee de fnelheid des lichaams te multipliceeren; maar neemt men kragt voor 't geene een lichaam in beweging zynde in ftaat is, in weeke potaarde by voorbeeld, uittewerken, dat men dan de. ëwaane moet, vermenigvuldigen met het vierkant



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. stfQ
van de fnelheid. Onze gedaane proefneemingen hebben ten klaarden aangetoond , dat deze berëses» nmgen wettig zyn en met de ondervinding, wel Itrooken , en , zo veel ik merken kan , komen de Wysgeeren 'er ook , wat bet zaaklyke betreft ten minften , in overeen , immers in den tegenwoordigen tyd (c). Maar, waarom twist men dan langer?
Daar deze (tellingen en berekeningen . en met de na'.uurlyke reden, en met de ondervinding, zo,wel overeenkomen, daar derzelver wettigheid dcor zo vele welingerichte proefneemingen klaar en overtuigend gebleken is, kan het overtollig fchynen, nog iets meer tot ftaaving daar omirent aan të voeren;doch men zou nog kun:en vragen, hangt het een niet het ander behoorlyk te famer? of, wanneer men als eene bewezene waarheid aanneemt dat momentkragt eens bewogen iicbaams is als deszelvs fnel. heid, kan men dan wel, door eenig bondig bewys, asritoonen, dat de gantfche kragt of gehee>'e uitwerking sis 'tvierkaut der fnelheid moet zyn , dan , wanneer het lichaam, te^en eene wykende ftofTe, by voorbeeld, tegen weeke aa.fde, waar in het eene indeuking maakt, 'aantöopende, zyne geheele kragt uitocffend? Ik kan van dit gewigtig onderwerp niét aiftappen, zonder zodatiigen bewys nog in te lasfchen, waar toe deze plaats, denke ik, de regte za! zyn. ïndicri iemand ondertusfchen al mogt denken, dat myn. volgende bewys niet volkomen juist ware, in eenen Mathematifcheh zin, hy zal 't nogtans, zo ik vertrouwe, ten toinilen ia Mechanifcht befchouwingen , wel als voldoende iatea gel.
den. Zie hier myn bewys:
Men Helle dat het lichaam A (Fig. 15), met eene fnel. heid door de lyn AB verbeeld, in weeke klsi inloopt, en dat zelvde lichaam, of een daaraan gelyk, met de fnelheid AD , in gelykfoortige klei ; en laat de momentkragt van het lichaam In 't een ep ander geval , of deszelfs werking ep de klei in 't eerde oneindig kleine tyddeeltje , dooide lynen BC en DE uitgedrukt worden ; deze lynen ftaan dan tot malkaaderen als de fnelheden AB en AD. Dewyl de fnelheid der lichaamen, en daar door derzelver kragt, door de tegenftand welke de klei daar aan bied, gefladig V 4 ver-



aöo MENGELWERK van
ger? waarom hebben de woorden Oud en Nieuw Ge*, voelen dit ftuk betreffende, woorden die dc protondervindelyke Natuurkunde tot onëer itrekken, niet voor lang al uitgediend? 't mag zyn, en 't was zo vreemd niet , dat de dubbelzinnigheid van 't woord kragt den Wysgeeren piet terftopd in 't oog viel, nu, beeft men 't zints eenen langen tyd ingezien, waar toe dan nog getwist ? men mag het onderfcheid van
doo«.
verminderd, zullen, in het volgende «neïndip kleine tyd* deel:!e, by voorbeeld de lynen bc en de 8e uitwerking in de klei afbeelden, en zo vervolgens; men bcgfypt gereedelyk dat door de lynen BC, bc, enz. en DE, de, en?, de gelykvormige driehoeken ABC en ADE gemaakt worden, en dat gemeICe lynen, daar ze begrepen worden oneindig saby meanderen te liggen, deze driehoeken aangemerkt kunnen worden geheel te vullen. Zo dat de driehoek ABC de geheele uitwerking in de. klei voorfteld , wanneer 't lichaam eene fnelheid AB heeft, en de driehoek ADE die, als de fnelheid AD is; maar de driehoeken ABC en ADE zyn tot mdksnderen als de vierkanten der zyden AB en AD. Ergo zvn de gantfche kragten of uitweikingen in de klei, als de vierkanten der fitheden van de lichaamen, Dat te bewyzen uat>
't Is aangenaam, waaneer wy zien, gelyk hier gefchied, dat uit eene waarheid eene andere, door goede redenKavtjing; voortvloeit 't bewys in deze noot voorgeteld geeft aan de Leer der kragten, zo als ik die hebbe voorgedragen, niet weinig tterkte, gelyk dj proeven die gedaan zyn 'er ook ten vollen aan beantwoorden. Ik heb my over dit onderwerp te breedvoeriger uitgelaten, om dat ik de proef• ondervindelyke Natuurkunde gaarne ontheven zag, van den blaam, dat men twist voert over een gewigtig ftuk van dezelve, en wel over een ftuk, 't wtlk zo ligt door proeven fchynt onderzogt te kunnen worden, Heb ik al geen eiéenlyk nieuws voorgedragen , ik vleie my nogtans , dat het. voor eenigen van myne Lezers ten minften, eenig nadenken verdienen zal ; ondenusfehen onderwerp ik 't aeen'e ik g'-zegd hebbe aan 't befcheiden oordeel der Wysgeeren, heb ik 'hier of daar in te kort gezien, gaarne wit ijk''er d.3a ¥?n onderrecht zyn,



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. $
doode en levende kragten meerder of minder wèzerjlvfc agten, men mag 'c woord kragt verfchillend bepalen men mag de diDgen onderfcheidenlyk benoemen.' maar indedaad zie ik niet dat 'er van belang verfchil wezenlyk en zaaklyk verfchil namelyk, overig is. '
t Geene de Heer Des&guusks bier omtrent getchreeven heeft zal myn gezegde kragt byzctten, ■ ZJl nierom de vryheid nemen een gedeelte van 't geen die Heer 'er over zegd, volgens de NtderduitJche vertaling, hier woordeiyk te laten volgen. Zie Desaouliers , Natuurkunde uit ondervindingen opgemaakt, Ij. Deel, bladz. 60. „ Evenwel kwam het my zeer vreemd voor," (zegt hy'J „ dut 'er wiskunstige Betocinffen en zeer duideiyke Proeven yoor en tegep dezelfde zaak zouden zyn, het welk my het verdere onderzoek van dat onderwerp byna aan een zyde deed zetten; maar vindende , dat ik in vele onderzoeken van de Beweegkunde redeneren moest tegen het geen ik wist waar te zyn , wanneer • i1^, nlet*we of gevoelen aannam , heb ik eindelyk gevonden.dat beide de gevoelens waar zyn, en dat velen van. dezelfde Verfciiyi.felen opgelost Kannen worden door Uitrekeningen , uit beid* de gevoelens opgetnaikt, en dat het geheele aefchil aleen een Woordenftryd is. Het woord Kragt uamenlyk, welker maat wy op een verfchillende wys beichouwd hebben , wordr niet in denzelfden zin genomen van onze Tegenpartyen en van om. , en dewvl e:n legelylc de vryheid heeft, om van de z^a", waar over hy"handelt , een Bepaling [Definitia\ te geven, mits hy in alle zyne redenkaveiiugen by die Bepaling blyft, zoo kan het wel zyn, dat wy door het zelfde, woord onderfcheiden zaken verftaan de beide gelyk hebben ; en dewy! elke party zig ver! beeldt, dat de andere het woord in denzelfden zin
lyTTeêft'''^'' ZC de"ken ' dat dC 3ndtTS onse" Zo fchreef de fchrandere Natuurbefchouwer Desa. £uuers reeds omtrent een halve eeuw geleden'; 'e V % " Boek,



afia MENGELWERK van
Boekdeel, waar io 't voorkomt, is in onze taal sedrukt in den Jaare I74«- E" al vroeger, volgens de aanhaling van den. gemelden Heere Desaüülirrs, erkende de Hoogleeraar's Gr a vesande, dac „ het woord Kragt dubbelzinnig is. Zeggende oók: „ Men geve aan 't woord Kragt een anderen zin, men zegge, dat die zin natuurlyker is, ik fpreek dat niet teeen. Alles, wat ik heb willen ftaande houden , is, dat het geen ik Kragt genoemd heb, gemeten moet worden door de Uitkomst Itre. duft] van de Masfa vermeenigvuldigd door 't Vierkant van de Snelheid."
«. 110. Heb ik , naar de gedagten van fommige Heeren, wat te ftellig gezegd dat 'er over 't ftuk, wsar van we handelen, geen wezenlykverfchil ovtrblvft en dat men overzulks niet meer te twisten heeft of behoorde te twisten, en zulke kunnen dit te gereeder denken, die.gelezen hebben het 111. Deel'van de Natuurt. Wysbegeerte, door den Heere 1 Esoiié, een Werk by velen onzer Leden, en ook'bv my' veel gebruikt en in groote achting. Ik heb" maar dit willen zeggen , dat men , toen men •malkardrren over den zin van 't woord kragt niet regt verftond , wel aanleiding had om te twisten, maar dat het nu anders is. " Neemt men kragt als de geheele uitwerking, wie is dan party? en als men ooor kragt verftaat , aandrang , momentkragt, kan men ook dan wel over de maat der kragt iwisteD ? de genomene proeven fpreeken té klaar. Ik meen dus dat geen redelyk Wysgcer, de zaken behoorlyk onderfcheidende , thans reden tot luidrugtig twisten vind of met Oud en Nieuw Gevoelen meer zwetfen zal; heeft men in de befpiegeling nog eenig verfchil, of in de benoeming, 't heeft myns bedunkens te Heringen invloed op de dadelyke Werktuigkunde, om 'er veel gewigt in te ftellen. Ik wenschte wel dat de aanftonds genoemde geleerde Heer EsnRé, dit wysgeerige verfchil meer onderfcheidenlyk en naauwke'urker voorgedragen had, \ zou zicb. dan in
zya



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 263
»yn Werk niet zo wydgaapende en verwardelyk (d) hebben opgedaan. Men zie byzonder, in het aangehaalde Boekdeel, bladz. 85 enz. Maar ik zal dat daar laten; alleen zeg ik, dat ik het anders verwagt had van den naauwkeurigen Schryver, en in een Werk 't welke ik anderszins hoog waardere , waar uit ik ook veel geleerd hebbe. —. Nu agte ik aan myn plan, betreffende de maat der kragten van bewogen lichaamen, voldaan te hebben ; vergun my, myn Heeren'. dat ik ten beiluite zegge, dat ik meene aangetoond ce hebben, dar dit gewigtig gedeelte der befpiegelende Werktuigkunde ontheven is van twyffelagtigheid en dubbelzinnigheid , voor my althans zyndezaaken, onder 't bearbeiden , ongemeen opgeklaard. — By de naaste gelegenheid, ga ik nu tot de Leer der Aanbotzingen over.
XI,
(d) Dergelyke onnaauwkeurfgheden , by mangel van eene behoorlyke onderfcheiding van zaafcen, zyn my meermaal voorgekomen in dit anderzins geleerde en doorgaans by uitftek duidelyk gefchreeven Werk. In 't byzonder is rhv ook tets van dien aart in 't oog gevallen , op bladz. 36: van 't II. Deel, alwaar de Schryver eene bepaling geeft van de plaats van *t Centrum ofcillatimis of 't fchommelpunt in een i'faamgeftelde flinger; 't is waar dat de afftand tusfchen dat en 't ophangpunt in e?n Staafflinger, overal van een dikte en zwaarte zynde, gelyk is aan tvee derde van des ftaafs lengte, maar dit gaat gteazins door, als we fpreken van zislken Slinger, aan welks 01 buigzame draad twee lichaamtjes op verfehiilende plaarfen vast zyn en te gelyk fchommelen, 't welk evenwel in de aangehaalde plaats fchynt geleert te wora'eti. — Ik heb deze aanmerking hier geenzins geplaatst , met oogmerk.' om da achting, die men bülyk voor het Werk des Heeren EsBRé beeft, te doen verminderen, neen , dit Werk is myns agtens van zeer veel waarde, 't 'zou jammer zyn indien de geagte Schryver verhinderd was 't zelve te voltooien. Schryvers die groote-en nu'tige Werken adn 't Ucnt brengen, kan men eene kiene misllag re gereeder vergeven , wyl zy de tyd niet hebben , of zf'oh r/fet wel kinnen geven , om alles met de uiteifte oplettenheid na te. deaksn.



2«4 MENGELWERK ï An
XI. LES.
Inhoud van deze Les.
\. Van de onderfcheiden aart en hoedanigheid der Lichaamen , byzonder van veerkragtige en niet veerkragtige Lichaamen. II. Proeven van Aanbotzing, van veerkragtlooze Lichaamen.
I. Van de onderfcheiden aart en hoedanigheid der Lichaamen , byzonder van veerkragtige en niet veerkragtige Lichaamen.
Myne Heeren!
§. ico. De lichaamen, welks natuur en werking wy gadeflaan, zyn zeer verfchillende van hoedanigheden, van eigenfchappen, 'er zyn algemeene eigenfchappen, die aan alle lichaamen , immers aan alle die wy kennen, eigen zyn, by voorb. Uitgebreidheid, Beweegbaarheid, Kragt van traagheid, Vormbaarheid , enz. ; maar 'cr zyn ook eigeefchappen die fommige lichaamen al, en andere niet hebben, en welke in het zelfde lichaam nu in een roeerder dan in een minder trap gevonden worden, die door tyd en toeval veranderlyk zyn, en wel eens geheel worden vernietigd; zo zyn warmheid en koudheid, vogtigheid en droogheid, vastheiden vloeibaarheid, en andere. Ik fpreek van deze dingen niet met oogmerk, om thans van de eigenfehappen , die de lichaamen of gemeen of byzonder hebben, te handelen, dat is buiten myn taak , en 't is voorheên,
• door



wiskundige verhandelingen*km. ss&
door een onzer Medeleden, alrcó met roem in die Collegiè gedaan. s
§. 121. üoch daar ik, volgens belofte in de voorgaande. Les gedaan', voor hebbe'nu over te gaan, tot de leer der Botzïngen. en om de verfchynfels te belcbouwen die by' de aanbotzing der lichaamen plaats hebben , en daar die verfchynfels zeer veel verfchillen, en afhangen, van de byzondere gefteldheid en eigecfchappeB der botzende'lic,haamén; daaros zal het evenwel noodig' zyn van de veerkragt (Eiajlicitas) van fommige vaste lichaamen vooraf" iets te zeggen, men diend daar van meer of min kennis te hebben, zal men jn ftaat zyn.de verfchillende uitwerkzelen der botzingén eenigzins te ver-! klaren.
§. 132. Wanneer een lichaam door drukking lig,telyk tot een andere form of gedaante gebragt kan worden , en het vermogen niet heeft om, de"drukking ophoudende', zyne vórige gedaante wederom aantenemen, behoudende het teken van de op 't zelve geceffende drukkinge, dan noemt men het een, zagt of wéék lichaam, een lichaam zonder veerkragt; zo is, by voorb., zagteklei, Boter, en dergelyke». drukt men 'daar in met de vinger eene holligheid, die blyft 'er in, de ingedrukte deelen keeren niet te rug, tot hun' voorige plaats. Maar als de deelen die ingedrukt zyn zich aanftonds herftellen, hebbende 'er geene van een fcheuring plaats, als zy hun'vorige plaats weder inneemen, als 't lichaam zyne oude gedaante weêr aanneemt , die kragt , waar door het, lichaam zich berlteld , noemt men veerkragt , een lichaam , deze kragt bezittende, zegt men een veerkragtig lichaam te zyn
§, 123. Men zal ouder alle vaste ftofklompen 'er ongetwyffeld weinige, zoal eenige, vinden, die geheel van veerkragt ontbloot zyn, maar zulke )ichaa-; men, in welke die kragt of .niet of genoegzaam niet merkbaar is, mag men als ;veerkragtlooze aanmerken. Lichaamen, met veerkragt bezield „ hebben, die kragt niet in een gelyke'graad, in eenige is de-
zei-



S66 MENGELWERK var
Zelve fterker, in andere zwakker; 'er zyn'er, wel* ke men, fchoon niet volmaakt veerkragtig, als zodanig houden kan, zonder dat men in 'c doen van proefneemingen van aanbelang zafl misfen. Onder de lichaamen die de meeste of veel veerkragt bezitten , teld men Edele gefteenten, Glas, Yvoor, het Staal, Marmer, enz'.
§. T24. Eeu uitgefpannen fnaar , van metaal of Van darmen vau eenig Dier gemaakt, is een veer* kragtig lichaam, 't welk zich laat uitrekken of lan^* ger maken, en dan, aan zich zelv weêr overgelaten Zynde, door deszelvs veerkragt wederom inkrimpt, en tot de vorige lengte wederkeerd. Zuiken lichaam levert "verfchynfelen "op, der opmerkmge van een ratuurbefchouwer waardig. Ik zal het daarom procfkundig tragten aan te toonen.
XLI. Proefneeming.
AB (Fig. 16) is zuiken fnaar van darmen tcü. bereid, ftyf gefpnnnen tusfchen de punten A en-B, 't midden is C ; men brenge het punt C. d.-or de fnaar uitterekken, in D, blvvende de beide uitem* den A en B onveranderd od haar plaats , 't zy dat men de fnaar ter zyde, of 't zy dat men dezelve naar boven of mar beneden trekt. In dezen gerekten ftand is de fnaar langer geworden, want AD en DB zyn te famen langer als de regte AB. Nu de fnaar los latende, wat gebeurt'er dan? 1. Hy zsl al krimpend- tot zyn eerfte ftand te rug keeren, 't mid* den, in D gebragt, zal weer in C komen , en de weder ingekrompen fnaar zal tusfchen de punten A en B in een regten ftand zyn. Maar, 2. 't midderi C zal nu in dat punt niet rusten, 't zal naar de andere kant door de verkregene fnelheid tot E voortgaan, zo dat men CE. niet ten voüen maar byna, zo lang bevinden z?l als CD, beide regthoekig op AB; ik zeg, niet ten vollen, dewyle de fnaar in zyne beweging belemmerd word door de tegenftand der lucht, byzonder ook door de wryving in dé
pun*



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. È?
punten A en B. 3. Vervolgens za! 't midden der fnaar uit E weêrkeeren tot omtrent D , ,dan weêr tot E, enz.; deze flingeringen zuilen gcftaêg kleiner worden, dog dezelve en de trillingen der fnaar zullen nog al wat aanhouden, eö eindelyk zal dezelve tusfchen A en B in rust en regt hlvven; gelyk, als 'in zyn allereerfte ftand. —■• Dat de fnaar uit D tot -E en niet verder komt , just op' eene foortgelyke grond als de vertraagde beweging van een regt opwaards geworpen lichaam, waar vau.ik, in de eerjte Les §.,13, gefproken heb.
XLII. Proefneeming.
§. 125. De fnaar als in de vorige proef gefpan» nen, zo dat hy tusfchen A en B waterpas,ligt, en noog genoeg boven de grond, dm,' door een daar op vallend lichaam in 't midden neêrgedrukt wordende, de grond niet te raken ; laat dan op 't midden der fnaar yan zekere hoogte een y vooren of andere bal vallen, het middenpunt der bil moet, als dezelve begint te vallen, loodlynig boven 't midden der fnaar zyn, de vallende bal zal de fnaar in 'c midden neêrdrukken , dezelve zal dus rekken, en wanneer de bal al zyne beweging verloren heeft, ' zal de fnaar door zyn veerkragt zich herftellen, en met een gelyke kragt op de bal werken , die dan te rug zal fpringen , en genoegzaam de boogte waar van dezelve gevallen is weêr bereiken. — Dit verfchynfel rust mede op de wet der vertraging , van regt opgeworpen lichaamen.
$. 126. Dunne , fmalle , metaalen plaatjes zyn veerkragtig, zy laten zich buigen, en, als men ze los laaf, herftellen ze zich door hun' veerkrast.; dit kon door proeven,zeer gemakkelyk getoond worden, 'maar 'cis zo bekend, dat ik 'er my niet me'de zal ophouden , om deze Les buiten noodzake niet te rekken, niemand cwyffeld dat zulke iichaamtjes veer* kragt bezitten. §. 127. Neen! zal iemand zéggen > dat uitgerekte
me-



m MENGELWERK v A *
tnetaalen en andere fnanren ,.dat gebogen of gekrute de (taaien plaatjes ', eigenlyk o6k Fêereh genoemd s veerkragt bezitten , zien wy duidelyk , de ondervinding leert dat dagelyks'; maar zouden harde en zwaare ftofklompen , als Metaalen , Steenen , en dergelyke, ook die eigehfehap hebben, zouden derzelver deelen , geftooten of gedrukt Wordende, wyken, inbuigen, en zich na den 'iïoot aanftonds Wederom herftf llen ? dat zoü waarlyk vreemd zyn , dat is al* thans Voor 'toog niet zo merkbaar; ja, myn Heereni ik zal h< t tragten merkbaar tc maken ; men beeft een fraaie, hoewel zeer eenvotiwige,proefneeming, welke oübecwistbaar bewyst, de veerkragtigneid dezer üofklömpen; ik zal die proefneerriing lateö volgen. , ~
XLIII. P R Ö E F N E É M I N ó.
Een ftuk Marmer, aan een zyde wel vlak en effen, met de vlakke zyde naar bóven zo neêrjgëfeg$j dat deze zyrle juist kcfifontaal' ligt, Welke men mee oly dun beftrykt ; op dit marmer laat men-nu een wel gerond yvooreri balletje, van zekere hoogte, vallen. Deze lichaamtjes .kunnen, uit hoofde hunner form, malkander flegts ih 'één p'tint' raken, dogna den val ziet men dat ze malkander in meer punten geraakt moeten hebben, v/yl zich op 'c marmer, t<r plaatfe daar 't balletje is r.eêrgekomcn , een cirkeltonde vlek vertoond; dit toch wyst aan dat de deelen van eene dezer lichaamtjes ,' óf wel van beide, binnenwaards geweken zyn", waar dóór' de aanraking in meer dan één punt is gefchied. De ingedrukte deelen zullen zich op 't oögenbük'weêr herftelleri, en de lichaamen hun' oude gedaante aannemen , waar' door het klootje zal naar om hoog geworpen worden , én *t zal omtrent tot die hoogte opklimmen, Waar uit men het in dé proefneeming val'en liet. Laat mén 't klootje van eene grootere hoogte vatten, men zal bevinden dat de ronde vlek op t marmer ook grooter is. XL1V*



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN» ene* SB(f
XLIVè Proefneeming*
§. 128. Hervat de laatfte proefneeming , nèëtii alleenlyk, in plaats van *t marmer, eeü Huk greenen hout, anders dóet men gelyk té voren. Wanneer het Zelfde yvooreri balletje öp 't hout vald« van gelyke hoogte als 't op 't marmer gevallen is s dan zal wel de ronde vlek grooter zyn , maar 'Ê balletje zal , by de Wëderopftuiting , veel minder hoogte bereiken, dewyle dé veerkragt van het gteë* hen hout minder fterk is als van 't marmer.
II. Proeven van aanbotzing van veérkrdgitöozë Lichaamen»
§. iig. Uit hét tot hier toe bygebragte is gereëdclyk afteleidën, dat de verfchynfels zeer veel moéten verfchillen, of dë lichaamen, welke tegen rhalkandefen aanbötzen, Veerkragt hebben of niet hebben: wy zullen elk géval afzonlerlyk befchouwènj éérst zullen -we gade ftaan de botzing van twee weeke of veerkragtlooze lichaamen , en dan naargaad wat 'er gebeuren moet, Wanneer twee veerkragtigé lichaamen tegen malkandërën. aanloopen of botzen* In 'c eerfte geval zullen dé lichaamen niet, en in't tweede 4 als de lichaamen vèerkragtig zyn , al vaa malkanderen afwyken na dé botzing. Ik weet niet bf het noodig is te zeggen, wanneer twee lichaamen 3 waar van 't' eene een , by voorbeeld , metaalen * yvooreri of dergelyken ftof klomp, veërktagt bezit--» tende, en 't andere eeri wëek veerkragtloos lichaam is, malkandereri botzen* dat dan de uitwerking, zó veel betreft de op den ltoot volgende beweging der lichaamen, genoegzaam niet anders is, als" wanneer* de beide lichaariieri zonder veerkragt zyn ^ men zal dit, zo my dunkt, zónder verdere opheldering, genoeg bezeffed.
§. 130. De lichaamen, dié wy gebruiken' in pröê-t ven, rakende de botzing, mérkéri We a'arij of xtöU Sïrekc zonder vëerkragt, of. volmaakt ygerkragtig te



*7o MENGELWERK va*
zyn; eigenlyk , *t is waar, zal men waarfchynlyk zulke lichaamen, welke die eigenfchappen in des volkomenften zin bezitten , nergens vinden , gelyk ik §. 123. aireede heb aangemerkt; doch ballen van zeer zagte klei gemaakt kunnen wy veilig voor veerkragtlooze lichaamen gebruiken, gelyk als klootjes van yvoor de volmaakte veerkragtigheid naby genoeg komen , om 'er onze proeven mede te doen ; de pr< efneemingen met deeze lichaamtjes zullen, als wy flegts een weinig toegeeflyk zyn, wél beantwoorden en voldoening geven. De Heer Dusagüliers zegt, ( Natuurk. uit ondervindingen opgemaakt, II. Deel, bladz. 55.) dat de veerkragt van yvoor tot eene volmaakte veerkragt ftaac, als omtrent 14^ tot iö.
§, 131. In onze proefneemingen over de botzing, zullen wy de lichaamen , aan draaden hangende als gewone flingers, tegen malkanderen aan Uien looper ; ik zeide, by het fluiten der V. Les, dat de Roltrek (Cycloïde), in 't beproeven van de leer der aaiibotzing, nuttig zoude kunnen zyn; wy konden ons indedaad hier met vrugt bedienen van een flingertuig , belchryvende de boog eener Cycloïde , maar nademaal een gewone flinger aan ons oogmerk genoeg voldoen kan, zullen wy 'er, als min omflagtig, gebruik van maken. Als wy nu gebruiken dezelve of foortgelyke in graaden afgedeelde Cirkel-boog, §. 101. befchreeven , kunnen wy dc lichaamen mal. kander doen ontmoeten, in 't laagfte punt namelyk , met een begeerden trap van fnelheid; 't zal ten minften genoeg voldoende zyn, voor de waarnemingen die we voor hebben te doen. Wy zullen nu de onderfcheidene gevallen van aanbotzing , met ballen van zagte klei, onderzoeken.
§. 132. Eerfte geval. Wanneer een der ballen in *t laagfte punt ftil hangt, en de andere met zekere fnelheid 'er tegen aan botst; de ballen gaan naden ftoot met malkanderen voort; de veelheid van beweging is voor en na de botzing dezelfde, du3 vind men de gemeene fnelheid na de botzing volgens deezen Regel: Vermenigvuldig 't gewigt en de fnelheid



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN en2. <xft
heid van het botzend lichaam met malkander, dê uitkomst, door de fom van beider gewiat gedeeld, is de gemeene fnelheid.
XLV. Proefneeming.
Hang twee llingers, gelyk het Werktuig §. tor» vereischt, de flingerende lichaamen ballen van zag* te klei zynde, in één punt op ; laat een derzelve HU hangen, en laat de tweede, tweemaal zo zwaar zynde als de eerfte, van het getal 6 op den boog, ert dus met 6 graaden fnelheids op de ftilhangende aan. loopen, ze zullen na de botzing met 4 graaden gemeene fnelheid voortgaan, en tot het getal 4 op dett boog opklimmen, zynde 2x6—12, en 'Jz:4*
Of de ballen gelyk of ongelyk van zwaarte zyn, of de ftilhangende zwaarder of ligter is dan de andere , de ondervinding komt in elk geval met de opgegeevene Regel overeen. Myn iX. Les bevatte eea proef van gelyke natuur, Proefneeming XXXV, met een byzonder oogmerk gedaan : in deeze proef hadden de ballen één zwaarte»
§. 133. Tweede geval. De beide ballen bewegen zich nu in dezelfde ftreek, de agterfte met grooter fnelheid als de voorlte; men vind de gemeene fnelheid na de aanbotzing, of na dat de bailen malkan* der hebben ingehaald,dat in 't laagfte punt gefchied, volgens deezen Regel: Vergaard de veelheid van beweging (dat is, de zwaarte gemultipliceerd met de fnelheid) van ieder bal; de fom deeld door de fom van beider zwaarte , dan is 't quotiënt de fnelheid waar mede de ballen na de botzing gezamentlv'c Voortgaan. *
XLVI. Proefneeming.
Haald de beide ballen van de voorgaande proef» de eene tweemaal zo zwaar als de ander, naar één kant op, de zwaarfte tot 7 , en de ligtfte tot 4 graaden ; ze gelyk los latende , botzen ze malkan.
X a der



nja MENGELWERK van
der in 't Jaagde punt, en gaan met een gemeene fnelheid van 6 graaden naar de andere kant voort, klimmende op tot 6 graaden op den boog. De veelheid van beweging van ieder 14 en 4 vergaard, de fom 18, gedeeld door 3, lom van beider 2waarte, komt 6 graaden gemeene fnelheid na de aanbotzing.
§. 134» Derde geval. Beide ballen bewegen zich in tegenftrydige ltre'eken , en botzen malkander in 't laagfte punt. Regel: 't Verfchil van de veelheden van beweging deeld door de fom der zwaarten, komt de gemeene fnelheid, naar den kant daar de minfte beweging was.
XLVII. Proefneeming.
Haald dezelfde ballen ieder naar een byzondere kant op, de zwaarlte tot 7, en de andere tot g graaden op den boog, laat ze gelyk flingeren, na de botzing gaan ze gelykdyk naar de kant van de ligtfte bal , alwaar de minde beweging was , en bereiken de 3de graad op den boog; 5 van 14 afgetrokken blyfï 9, deeze rest door 3 (fom der zwaarten) gedeeld, geeft 3 gtaaden voor de gemeene fnelheid.
§. 135. Ik heb gezegd (§. 129.) dat de bewe» ging der lichaamen , na de botzing , genoegzaam even eens zoude zyn, wanneer een der ballen (de zelve zwaarte namelyk behoudende) van metaal, yvoor of dergelyke "ftof was, Ik heb in twyfel gellaan , of ik dit met de proef nog zoude aantoonen , daar het genoegzaam ?ls van zelve fpreekt; doch , daar de proef weinig moeite kost, en daar de ondervinding onze redenering akyd kragt byzet, zal ik 'er de proef nog by voegen. De Heer w. v an Barnevelü noemd, in zyne Geneeskundige Electriciieit, L Deel, pag. 91, de Natuurkunde niet ten onregte Verfchynzelkunde.
XLVI11. Proefneeming.
Herdoe de laatfte proefneeming; het ligtfle balletje is nu yvoor, maar even zwaar; men doed even
eens,



WISKONDIGE VERHANDELINGEN ,enz. 273
eens, en 'c y vooren balletje .zal, gelyk te vooren bet ligtfte, na den ftoot te rug gaan, en, met het ander te gelyk, tot 3 graaden op den boog opklimmen.
'k Zal nu van de regtftreekfche botzing van kleiballen, of van veerkragtlooze lichaamen, afftappen, en ook deeze Les eindigen. Myn voornemen is, in de naastvolgende Les, te handelen over de verfchynzelen, welke de botzing van veerkragtige lichaamen oplevert; verfchynzelen, die niet minder onze opmerking waardig zyn , zo wel de verfchynzels welke uit eene regtftreekfche, als die, welke uit de fchuine botzing geboren worden.
XII. LES. Inhoud van deze Les.
I. Aanbotzing van veerkragtige lichaamen, waar van het eene tegen een beweeglyk beletzel, in rust zynde , aanloopt, ook als ze beide in beweging zyn. II. Aan. botzing van veerkragtige lichaamen , wanneer 't eene tegen een onbeweeglyk beletzel Jluit.
I. Aanbotzing van veerkragtige lichaamen, waar van het eene tegen een beweeglyk beletzel, in rust zynde, aanloopt, ook als ze beide in beweging zyn.
Myne Heeren!
§. 136. Toen wy de proeven, rakende de botzing met de kleiballen in de voorgaande Les . deedCn, zagen wy dat 'er eene indeuking plaats greep; dat de deelen dier zagte lichaamen binnenwaards weken , en dat de gedaante der botzende lichaamen veranX 3 derd



»74 MENGELWERK vH
derd wierd; hadden nu gemelde lichaamen veerkragt bezeten, dan zouden de ingebogene deelen zich terüond herfteld hebben , en de uitwerkirg van den ftoot zou ook vry veel verfchild hebben; de genoemde zagte lichaamen bleven by malkander en gingen met malkander voort, maar veerkragtige lichaamen wyken, na dat ze gebotst hebben, van malkander af.
§. 137. De beweging van twee beweeglyke veerkragtige lichaamen , na dat ze gebotst hebben , kan men bepalen, ten grond leggende *t geen 'er gebeuren zou, indien de lichaamen geen veerkragt hadden , door deeze
Algemeene Regel.
„ Fen derbotzende lichaamen zyn beweging verfnellende, als de lichaamen geen veerkragt hebben, zal dat lichaam, beide veerkragtig zynde, door de botzing tweemaal zo veel verfneld worden: —1 En indien eene van de veerkragtlooze lichaamen, ca de botzing , van zy" fnelheid verliest, zal dat Verlies dubbeld zyn, by aldien de botzende hchaa* mtn met veerkragt bezield zyn."
't Zal niet ondienstig zyn de mening van deeze Regel, of deszelfs zin, door een en ander voorbeeld op te helderen: Gefteld dat een lichaam A , met een fnelheid van 9 graaden , een ander lichaam B, tweemaal zo zwaar en in rust zynde , botst, ze zuÜen, indien ze geen veerkragt hadden , met een gemeene fnelheid van 3 graaden voortgaan, volgens §. 133 , 't lichaam B verkrygt dan 3 graaden fnelheid, terwyl A 6 graaden van zyne fnelheid verliest; zo nu de lichaamen veerkragtig zyn, zal, in gevolge de gegevene Regel, na den ftoot B hebben 6 graaden fnelheid, en A zal ia graaden verliezen, dat is, B zal met 6 graaden fnelheid in den ftreek vrelke A had voortgaan, en A, die 9 graaden fnelheid had, en 'er 12 by de botzing verliest, za! dus met de fnelheid van 3 graaden te rug fpring-Mi. — Hier by «al ik nog één voorbeeld voegen: Het * hchaa»



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 275
lichaam A loopt, met een lbelheid van 6 graaden, tegenzet lichaam B, van dezelfde zwaarte zynde, aan, 't welk met 2 graaden fnelheid voor uitging; niet veerkragtig zynde, zouden de lichaamen met 4 graaden fnelheid gelyklyk voortgaan , in gevolge §.133; maar als de lichaamen veerkragt hebben, zullen aa de botzing hunne fnelheden verwisfeld zyn , dat is, het lichaam B gaat met 6 graaden fnelheid voort, en A volgd met een fnelheid van 2 graaden.
§. 138. 't Geene in deeze voorbeelden gefield word, zal ik aanffonds proefkundig tragten aan te toonen. De grond deezer verfchynfelen is deeze: Wanneer een der botzende veerkragtige lichaamen, door de aanbotzing, gedrongen word zyne beweging te verfnellen, bied het, door zyn kragt van traagheid, tegenffand, en naar die maate worden deszelfs deelen binnenwaards ingedrukt; de ingedrukte deelen fpannen zich nu terftond wederom uit, met gelyke kragc, als waar mede ze in waards gebogen wierden, en hier door verkrygt het gebotst wordende lichaam eene dubbele maate van verfnelling. Men kan dit ook toepasfen op het botfend lichaam, 'c welke in zyne beweging vertraagd word.
§.139. Nu zal ik het beredeneerde met eenige proefneemingen bevestigen, gebruik makende van ioortgelyk fkngertuig en van den Cirkel-boog, als door ons, §. 101, gebruikt en befchreeven is.
XL1X. PfiOEFNEEMl ng.
Laat een yvooren of metaalen bal, met 9 graaden fnelheid, aanloopen tegen een andere veerkragtige bal , die tweemaal zo zwaar is , en in 't laagfte punt in rust hangt; de uitwerking zal zyn , dit de ftilhangende met 6 graaden fnelheid 'zal vooruitgaan, en de botzende bal zal met een fnelheid van 3 graaden te rug keeren. Zie n7, het I. Voormui. JSB. Het is meermalen gezegd, maar ik moet het nog eens herinneren, dat de proeven nift X 4 vol-



*?p MENGELWERK va»
maakt zullen beantwoorden, dewyle wy geen volmaakt veerkragtige lichaamen hebben , daar voormoeten we wat aftrekken,
L. Proefneeming.
§.140. Een yvooren bal loopt met zekere fnelbeid tegen eene andere, van dezelfde zwaarte, aan; de laatfte hangt ia rust, en deeze zal na den ftoot niet de fnelheid van de eerfte.voortgaan, terwyl de 'bptfende bal in 't laagfte punt in rust blyft.
LI. Proefneeming,
§. 141. Een veerkragtige bal loopt , met 6 graaden fnelheid , aan , tegen een andere , welke met een fnelheid van 2 graaden vooruit liep , de ballen zyn even zwaar; na dat ze gebotst hebben, houden ze beide hunn' ftreek , maar met een verwisfelde fnelheid. Zie §. 137, H. Voorbeeld.
LIL Proefneeming,
S. 14a. Men laat een yvooren of dergelyke bal, a Oneen zwaar, met 4 graaden fnelheid, aanioopen tegen'eene van 1 Oneen, welke met 8 gr?aden fnelheid , in een ftrydige ftreek zich bewegende, de eerstgemelde tegenkomt; hadden deeze ballen geen veerkragt, ze zouden dan na den ftoot by malkanderen in 't laagfte punt ftil blyven hangen , maar BU zal elk na de botzing met zyn eigen Inelheid te rug fpringen. — Nog eene proef van deeze natuur ?af ik laten volgen.
LUI. Proefneeming.
«■ Twee yvooren ballen , A en B, hebben één zwaarte; de bal A beweegt zich met een ftel, leid van e. graaden , B heeft 9 graaden fnelheid, fin loopt in een ftrydige ftreek tegen A ia; na dat



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 277
ze gebotst hebben, (luiten de beide ballen te rug met verwisfelde fnelheden, namelyk, A met 9, en B met 5 graaden.
§, 144. Het ftuk 't welke we nu verhandelen, levert nog meer verfcheidenheid van proeven op,, maar ik zal 't by de gedane laten, alle rusten toch op dezelfde grond; maar 'er is nog een verfchynfel, dat in den eerften opflag verwondering baart, dog dat zich echter op de gelegde gronden gemakkelyk genoeg laat verklaren; hier zal 't nu de plaats zyn om 'er iets van te zeggen. Hangt men aan een balk ABCFig. 17.) eenige yvooren ballen, 1, 2, 3, &c. die even zwa*r zyn , aan draaden op, zo dat de middenpunten der ballen in een regte en waterpasfe lyn zyn, en dat de ballen malkander even raken , en men haalt de agterfte , met 1 getekend , tot zekere hoogte op, deeze dan los latende , en tegen de overige aan latende botfen, zal alleen de voorfte, pf, ip deeze Figuur, de bal 6 voortfchieten, en alle de andere zullen ftil blyven hangen; de voortfchietende bal zal omtrent tot die hoogte komen, tot welke men de bal 1 had opgehaald
De botfende bal 1, tegen de bal 2 ftoofende, geeft aan deeze de kragt om met de fnelheid, welke de bal 1 had, vooruit te gaan, terwyl de bal 1 , gelyk te voren geleerd is, in rust moet komen; de bal 2, nu met gemelde kragt bezield , ftoot de bal 3 , deeze verkrygt dus dezelve kragt, eq dit gaat zo voort, tot dat eindelyk de iaatfte, alhier de bal N°. 6, vooruitfchiet, met de fnelheid, met welke de bal i tegen N°. a aanliep. We zullen 't nu met de proef bevestigen.
LIV. Proefneeming";
Laat de bal 1 op 8 graaden op de boog les, èn tegen de andere ballen botfen , alleen de voorfte, of N°. 6, zal voortgaan , met de fnelheid van 8 graaden; hy zal aan de andere kant des boogs omtrent tot de hoogte van het getal 8 opklimmen, X 5 m*



*7* MENGELWERK van
cmtrent zeg ik, niet ten vollen, om meergemelde reden.
§. 145. Dit verfchynfel is nog aanmerkelyker in de volgende proefneeming.
LV. Proefneeming.
Trek twee of meer namelyk de agterfte van de opgehangene yvooren ballen tot zekere hoogte op, dezelve voor malkanderen gelyk los latende, en tegen de andere latende aanbotfen , dan zullen na den ftoot de voorfte , en wel juist zo veel ballen als men ophaalde en botfen liet, voorwaards gaan, de overige blyven alle ftil hangen. — De voorlte der botfende, of, als men by voorbeeld 2 ballen ophaald, de bal a werkt het zelfde uit dat in de voorgaande proef de botfende bal uitwerkte, en de bal N°. 6 , in de vorige Figuur gaat voorwaards; terftond op *t oogenblik werkt de bal 1 even eens, waar door ook de bal 5 vooruitfehiet. Men ziet nu ligt wat 'er gebeuren moet , wanneer men een grooter getal ballen ophaald , en gelyk tegen de overige laat aanloopen.
§. 146. Ik zal met nog eene proef de botfing van veerkragtige beweegbaare lichaamen befluiten; een proef waar van de verklaring mede op de gelegde gronden rust.
LVI. Proef neeming.
A, B en C QFig. 18.) zyn ballen van yvoor; A weegt 1, B 2, en C 3 Oneen; ze zyn aan draaden, even als in de laatstvoorgaande proeven, opgehangen. Men laat de bal C met 10 graaden fnelheid tegen de middelfte B aanloopen , dc uitwerking zal zyn dat de drie ballen alle, maar met ongelyke fnelheden, zullen voorwaards gaan; A zal vooruitfebieten met 16 , B zal volgen met 4, en C met flegts a graaden fnelheid. — Wanneer wy de bal A , de ligtfte zynde, in de plaats van
G>



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. s?o
C, tegen de middelfte B laten botfen, B en C in rust hangende, dan zal 't gevolg zyn, Hellende dat A met 15 graaden fnelheid tegen B aanloopt , dat de bal C voortgaat met een fnelheid van 8 graaden, maar A en B zullen te rug gaan, A met 5, en B met 3 graaden fnelheid.
Dit zal, als al het vorige wel begrepen is, geen verdere opheldering noodig hebben. Vergelyk met onze laatfte proef, Desaguhers Natuurk. uit ondervindingen opgemaakt, II. Deel, pag. 51.
II. Aanbotzing van veerkragtige lichaamen, wanneer ,t eene tegen een onbeweeglyk beletzel Jiuit*
§. 147. Nu zullen we befchouwen de botzing van veerkragtige lichaamen , als een van dezelve tegen een onbeweeglyk beletfel aanloopt. Hier doen zich twee gevallen op, namelyk, het botfend lighaam vald I. Regtstkeeks , of II. Schuin op *t onbeweeglyk beletfel aan. Beide deeze gevallen zullen we kortelyk onderzoeken.
§. 148. Wanneer de ftreek van beweging, of de lyn , getrokken , als 't botfend lichaam een kloot is , door 't middenpunt des kloots tot het punt van aanraking, met het vlak van 't beletfel een winkelhaak maakt, dan noemt men het een regtjlreekfche botfing; maar maakt het gemelde geen winkelhaak, dan is 't een fchuinfe botfing.
§. 149. Wanneer een lichaam door zyn zwaartekragt vry op een waterpasfe vlakte neêrdaald , dat lichaam volgd dan de richting van de loodlyn , en botst dus regtttreeks de onderliggende waterpasfe vlakte. Is het botfend lichaam een veerkragtig klootje , by voorbeeld yvoor, en vald het op een mar-' mere of dergelyke grond, de deelen deezer veerende lichaamen, door den val ingedrukt, herftellen zich , waar door het vallend lichaam, in zyn eigen ftreeklyn , dat is te lood, wederom opwaards geworpen word ; verkrygende dit lichaam door deeze te rug werking dezelve fnelheid naar omhoog, als waar
mede



OlSo MENGELWERK van
mede het tegen den grond botfte,en dus klimt het ook weêr op genoegzaam tot dat punt, waar uit het viel. — Als het botfend lichaam in een hort' fontaalé ftreeklyn zich beweegd, en alzo regtftreeks tegen 't onbeweeglyk beletfel aanloopt , heeft het dezelfde uitwerking ; 't lichaam ftuit, met dezelfde fnelheid, ook weêr te rug.
§. IfO. Wy hebben deeze waarheid in de voorgaande"/^ , hoewel met een byzonder oogmerk, beproefd , latende een yvooren klootje op marmer vry vallen, 't is pnze XLI1I. Proefneeming; fchoon die proefneeming niet ten vellen aan onze verwagting beantwoordde, 't welk wy toefchreven aan de gebreklykheid van 't ftukje marmer dat wy toen, by gebrek van beter , moesten gebruiken , zullen we "er echter in zo ver in berusten , dat we die proef niet herdoen, maar evenwel zullen we 't ftuk op een andere wyze proefkundig tragten te beves. tigen, door de volgende
LVH. Proefneeming.
Hang een yvooren klootje aan een fyne draad op als een gewoone flinger; laat het, wanneer het flingert, in 't laagfte punt fluiten tegen een vlak en wel gepolyst fteenen of wel marmeren beletfel, aldaar, wel vast en onbeweeglyk, zo geplaatst, dat het flingerend klootje 'er regtftreeks tegen aanloopt; laat nu 't zelve, by voorbeeld, van 8 graaden op den boog , flingeren , 't zal na de botfing te rug Ipringen , en tot omtrent 8 graaden weêrkeerec,
Van de fchuine botfing,
§. 15r. Als een lichaam , niet regtftreeks maar fchuins, tegen een onbeweeglyk vlak aanloopt, zal het ook, wanneer de lichaamen veerend zyn , te rug ipringen, maar geenszins in zyn zelfde ftreeklyn. Het yvooren klootje , welks middenpunt is



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN4 ësz. zit
Q (Fig. 19.)» valt of word geworpen van het punt D, volgens de fchuiue ftreeklyn DCE , op het marmeren blok AB, welks bovenliggende kant horifontaal en wel vlak en effen is ; het klootje zal, na de fteen gebotst te hebben , terftond weêr opwaards fluiten, maar niet in de vorige ftreek ED. Als 't middenpunt C van 't klootje van D naar E ('t punt E op de oppervlakte van 't marmer zynde) voortloopt, ftoot het klootje 'c marmer in H, loodlynig onder C; de wederwerking van 't marmer dryft het klootje nu regt opwaards in de ftreek HCI, terwyl het in zyne vooruitgaande beweging volhard , dus zal het middenpunt voortgaan uit C naar G in de ftreek FCG; men bevind dat de hoek EFG, dat is (zynde de lyn KCL evenwydig met EF, of de op. per vlakte van't marmer) cKCG, de jtuithoek (angulus refleclionis) genoemd, even groot is als de ftoothoek (angulus incidentie?) DEF , of £ DCL. Dat dit zo is bewyst men aldus: Terwyl het klootje , in zyn beweging van D naar E, voorwaards vorderd.de lengte Dl of LC (DICL een regthoekig raam zynde), daalt het in de loodlyn zo veel als DL of IC , en in die richting alleen perst hetzelve 't marmer; 't word nu door een gelyke tegenwerking met dezelve fnelheid opwaards uit C naar I gedreven, zo dat het tot de hoogte I weêr ryst, in den tyd dat het de lengte CK, even lang als LC, voor* waards voortgaat, 't fluit dus op in de leiding CG , de hoeklyn van 'c evenwydig raam CÏGK , in ge. volge de leer van de tfaamgeftelde beweging ( Zie l. Les, §. 9.), en 't komt uit C in G in zo veel tyd als het befleedde om van D tot C te komen ; daar nu GK —DL, en KC = LC is, is de hoek GCKrr den hoek DCL, of de Jtuithoek is gelyk den Jioothoek* Vat te bewyzen was.
§• '52* Dit heeft evenwel plaats , fchoon 't gebottte vlak zich niet in een horifontaale ligging bevind, gelyk door eene foortgelytce betoging bevestigd word. — Wy zullen dit beproeven, latende 1
bot-



a8a MENGELWERK van
botfend lichaam loodlynig neêrvallen op eene buiten 't waterpas hellende vlakte*
LVIII. Proefneeming.
§. IJ3« Tegen 't einde AB (Fig. 20.) van de waterpas ligeende plank ABCD (welks bovenvlakte een regthoekig raam maakt) , ftaat regtop of in de winkelhaak een andere plank BE, en op deeze ligt het waterpasfe dekftuk EF, zo als de Figuur uitwyst; HG vertoont eene kant van een vlakke marmeren plaat, van H tot G beneden het waterpas hellende, en in dien ftand op de plank AC onbeweeg» lyk gefteld. In 't dekltuk EF is by K , loodregt boven 't midden van de vlakte des marmerfteens, een rond gat gemaakt , even groot genoeg om 'er een klein yvooren of dergelyk klootje onbelemmerd door te laten vallen. Men laat nu zuiken klootje door 't gemelde gat K op het marmer vallen; in 't punt I op 't marmer reórkomende , zal het in de richting IL te rug (luiten, en door 't gat L fpringen: ten dien einde in de opftaande plank BE ter behoorlyke plaats gemaakt, zvnde de ftukhoek GIL evengroot als de ftoothoek KIfl (e), overëenkornftig het beredeneerde.
JV2Ï. Het fcherm MNC is agter de fteenen pliat
te
(e) Als wy den ftand deezer Figuur flegts een weinig veranderen, zo da: de vlakte van 'tmarmer HG, waarop het klootje neêrkomr, eene horifontaale ligging verkryge, en dat dus de ftreeklyn KI een fchuine richting hebbe, dan doet zich volkomen het zelfde geval op gelyk in §. 1515 de uitwerking moet gevolglyk even eens zyn, 't bewys is eenerlei. Men begrypt ondertuêfchen wel, dat het re rug (tuitend klootje in de ftreeklyn IL niet blyven zal; by den (toot neemt bet die richting, maar 't moet, door zyn zwaarte, dezelve ras verlaten. Men weet dat een fchuin opgeworpen lichaam eene Parabolifche kromme lyn in de lucht befcbryft.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 283
te lood gefteld, op welk fcherrn de beweegftreeken van het klootje KI en IL, als ook de gelyke hoeken (ftoot- en ftuitboek) KIH en GIL getekend
ftaan. Met nog eene proef zal ik het ftuk der
botftng , en de geheele befpicgelende Werktuigkunde, eindigen; een proef welke bewyzen zal, wanneer een kloots Mchaam fchuin tegen een onbeweeglyk vlak aanloopt, dat dan (de lichaamen veerkragtig zynde) niet alleen de ftuithoek gelyk den ftoothoek zal zyn , maar dat ook het botfend lichaam , met dezelfde fnelheid welke het voor den ftoot had, te rug fluit.
LIX. Proefneeming.
§. 154. Een yvooren klootje A (Fig. 21.) is aan de draad BA m 't ophangpunt B opgehangen; tegen t klootje ftaat onbeweeglyk en loodregt de marmeren plaat CD , zo dat het klootje vry neerhangende, 't midden der plaat by A even aanraakt Op een waterpasfe vlakte even hoog met A is getrokken de lyn EF, evenwydig met bet vlak der marmeren plaat, op EF ftaat regthoekig AG, en in È en F, even ver van G, zyn de merken HE en KF regtftandig of te lood ftaande gefteld. Laat nu het klootje uit L van het merk KF flingeren , het zal tegen de plaat by A fchuin aanbotfen , terftond weer affluiten, en byna 't punt M , in het merk HL » bereiken. Hier uit volgd , gemerkt den gemaakten toeftel, dat de ftuithoek CAE gelyk den ftoothoek F AD is; en dat de fnelheid van het klootje voor en na den ftoot even groot is,- want het gaat zo ver weêr te rug , als 't, van A af, begon te flingeren.
Besluit van de befpiegelende Werktuigkunde.
%. 155. Ik heb nu in XIL Les/en het befpiegelend .gedeelte der Werktuigkunde afgehandeld; of liever,
ik



ê84 mengelwerk vah
ik heb de beginiels van dat ftuk der proefondeN vindelyke Wysbegeerte fchetswyze aan dit geëerd Collegie voorgedragen ; ik heb het echter met die klaarheid getragt te doen , welke my in het kort bellek mooglyk was; 't heeft langer geduurd, ik beken het, dat de taak die ik op my genomen iicb tot dus verre af raakte, als vele gaarne zagen, en als ik zelf ook wel gewenscht had; maar, myn Heeren! geloof my, 't is evenwel geene laakbaare traagheid van my , welke dat lang verwyl Veroorzaakte. Neen: het ftuk dat ik verhandele is voor my geen zeer gewoon onderwerp , om het zonder wezeDlyke misdagen te doen ; om alles zo wel duidelyk als beknopt voor te ftellen , dat yereischre voor my veel naarfpeuring , veel overden* king, veel omzigtigheids ; heb ik hier of daar gefeild , myn oogmerk was toch nooit te misfen; dit een en ander, en dat ik niet altoos meesier van myn tyd ben, was de oorzaak dat myne Les1fen fomwvlen zo langzaam malkanderen volgden; ik hoop dat het aan geen traagheid of verzuim aaü myn zyde zal toegefchreeven worden. Ik moet nu overgaan tot de bêoeffenende Werktuigkunde (Mechanica praclica); vraagd men of 't werk nd fpoediger zal voortgaan? ik durf 't Wel hoópen , liever als het beloven ; dit bélove ik, dat het buiten goede redenen, zo veel 't van my afhangt, niet vertraagd zal worden. Ondertusfchen vertiouvre ik, dat 'er gelegenheid zal zyn , wanneer men met de Werktuigkunde niet voort kan , om dan evenwel iets nuttigs , iets aangenaams , té verrigten ; 'k wil ook het myne naar vermogen daar toe toebrengen. De Heeren , hoope ik, zullen niet te Vergeefs herwaarts komen. Nu zal ik in die ver* wagting eindigen.
Mit-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 285
Mistellingen en verbeteringen, in het tot hier toe geplaatfle gedeelte der Werktuigkunde.
pag. 12, reg. 7 en 8, doe uit: ~ de lengte der twee uiteffte fpaatfien ts famen genomen Aa+eB.
pag. 129, in de Noot, r. 3, ftaat, goedgevinden, lees, goedvinden.
pag. 131 > !'a de Noot, r. 3 van onder, moet, na 'twoord . wryving, ingevuld worden : der werktuigen, de tegen ftand.
pag. 137, r. 5, ftaat, I[. Proefneeming.
lees, III. Proefneeming.
pag. 145, r. 26, moet agter 't woord werken gefteld worden het teken , waar op moeten volgen of ingevuld worden deze woorden; dan men zoude noodig hebben om 't zelfde lichaam te lood op te trekken ;
pag. 149, in de Noot r. 4, ftaat, L. DLB lees, Z_ DBL
pag. 159, r. 8 van onder, ftaat, de andere
lees, de andere kant pag. 170, r. 4, Haat, BC tot AO lees, BO tot AO
pag. 176, r. 7, vul, agter 't woord zynde, In de woorden: den gang des uurwerks.
— — in de Noot. Laat na de Formule op de fom der getallen, namel. In' + ln , deeze woorden volgen : Dienvolgens zyn de punten van fchommeling en van beweeging van malkanderen.
pag. 183, in *t Figuur. Men verbeelde zich de fpanlyn Cf verlengd te zyn tot <, in de lyn Da; en dat in t punt, alwaar de regte lyn uit B getrokken den omtrek des citkels CD ftoot, de letter F ftaat.
Y pag.



486 MENGELWERK van
pag. 1S6, r. 17. Agter de woorden: als de ander, zynde volgende woorden by verziening uitgelaten: op deeze Cycloïde gelyk neérwaards rollen, ze zullen, fchoon de een veel grooter weg afloopt dan de ander,
pag. 200, r. 9 van onder, doe uit; en de beide hellende CO
pag. 221, r. 21, ftaat, leezing lees, leering
pag. 224, in de Noot, r. 15 van onder, voeg na het teken ) *t woord: it.
pag. 247, in de Noot, laatfte regel, ftaat, uitdrukken
lees, uitdrukt,
pag. 151, n 13 van onder, ftaat, CZX4§ ltes, ZZ4X4*1-
Ver.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 387
Vervólg der algemeene manier om Tovérvierkanten te rnaaken, door den Heer Saüveur, getrokken uit de Mem o. rien van de Koninglyke Academie der Weetenfchappen te Parys , en uit het Fransch vertaald door A. B. Stuabbe.
Vervolg op Bladz. 242.
VIII. Saamenjlelling der Tovérvierkanten niet overeen, komstige letteren en afgebrokene ryen.
65. Saamenjlelling der onëvene Tovérvierkanten doot aanwyzers en door de gemengde Leerwyze (Art. 13. 14. ió.) met de overeenkomstige letteren.
Stel in plaats der algemeene letteren van de IL Afdeeling de overëenkomftigen MaAbB en npP qQ, en in de Art. 13 en 16 moet men M en n in de diagonalen , in plaats der herhaalde letteren ftellen; dus zal men, in plaats van het Vierkant van Art. 14, het volgende Vierkant hebben.
0123 4__
O. o ap bP Ma BQ Ah
2. 3 MQ Bn Ap aP bq 4. 1 AP aq bQ Mn Bp H 4 bn Mp BP Aq aQ
3. 2 Bq AQ an bp MP
66. Saamenflelling der Tovérvierkanten by overeen* komst, en met afgebrokene ryën.
Men moet, i°. in de beide diagonaalen by overéénkomst zodanige letteren ftellen , als men zal goedvinden.
2°. Moet men de eerfte letter a A zodanig plaats Y 2 fen,



o88 MENGELWERK vak
fen , dat 'er in 't gantfche Vierkant zo veel letteren gevonden worden , als *er in twee ryën perken zyn; ook moet van die letteren de eene helft groot en de andere klein zyn, zulks dat, in elke horizontaale en verticaale ry, iedere ah haare overeenkomftige heeft: om deeze fchikking gemaklyk te maa. ken , moet men in 't eerst één punt voor a , en twee punten voor A ftellen , en wanneer de fchikking gemaakt is, moet men, in plaats van die pun« ten, a. A ftellen.
3°. Moet men, na vier aa AA, volgens ArU «54, j&pPP, vervolgens ftellen, en zo ook met
de anderen , beginnende met de tweede letteren , welke reeds het meest herhaald zyn, moet men die tweede letteren met deeze voorbehoedfelen ftellen, I9. dat men dezelve, zo veel men kan, in iedere horizontaale en in iedere verticaale ry by overeenkomst ftelie , en , naar maate men eene overëenkorhüige in eene horizontaale ry ftelt , de beide tweede overëenkomftigen in iedere verticaale ry met een accent daar boven tekent.
4°. Moet men na de overige eerfte letteren het zelfde doen, door de algemeene regelen te volgen.
67. De overige handelwyzen, om een Tovervierkant by overeenkomst famen te ftellen, zyn de volgende.
i*. By verwisfelitig van evenwydige ryen. i°. Men moet een Tovervierkant hebben , dat door één der voorgaande letrwyzen gemaakt is, 20. In plaats 1 van in de perken letteren of getallen te ftellen, moet men hunne verfchillen plaatfen. 30. Neem, in twee evenwydige ryen , twee Vierhoeken of Vierkanten van perken in acht, waar van die der diagonaalen de overftaande perken zyn : indien de fom der verfchillen van de overftaande perken eens Vierhoeks gelyk is aan de fom der verfchillen van de twee andere perken des zelfden Vierhoeks, en dat het zelfde in den anderen Vierhoek gebeurt, kunnen alsdan de twee evenwydige ryen , als in Art. 23, verwisfeid worden.
2°. By



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN ENZ. a8o
2°. By verwisfeling van perken of letteren. i°. Als twee perken van eene ry de 4 letteren by overéénkomst hebben, kunnen zy tegen twee andere'perken van eene andere evenwydige ry, doch in de zelfde i°° Ste fy™A welke insgelijks 4 letteren by overeenkomst hebben, verwisield worden 20. Twee dire£ie overëenkomftige letteren kunnen tegen twee andere direcle overëenkomftige letteren, in de zelf de loodrechte ryen , verwisfeld worden, mits dat de" Jetteren van de andere foort de zelfde zyn. vJ^Ta ?eez.e verfchillende verwisfelingen kan men verandering in de Vierkanten rnaaken.
v£n-Met Vnemie l,ettere1l> Als men 4 overëenkomftige vreemde Ietteren in de plaats ftelt van 4 natuurlyke letteren, welke in ééne ry, of in twee toegevoegde ryen, overëenkornftig zyn, hetgeen op verichillende wyzen kan gefchieden. Men kan ook dit Vierkant door Art. 66 rnaaken.
IX. Saamenjlelling der Tovervierkanten door de ave. rige handelwyzen.
69 Boor wederkeering (Art, 31). ,0. Neem VQ ee" tovervierkant, volgens ééne der voorige faamenfteilingen , by overeenkomst gemaakt; doch ftelt, m plaats van letteren, haare verfchillen, welken wy onderftellen gerangfchikt te zyn: by voor. beeld een Vierkant van 8 met overëenkomftige rven volgens Art. 58 , waar van de eerfte directe ImTrea gelykvormig, en de tweede diretle letteren meerendeels overëenkornftig zyn. "«-wen
*3



290
MENGELWERK van
-7a 7 a - 7A| 7 Al 7A 1-7^1 | 7*1-7 A
-7 5 - 3 1 r1 yj by 7 j_ j__ _3_'-_l! -±_-j_
_L"_LfJL JLli.-—
ia-ia i#|-ia-ia ia-ia IA
j_-s j_ _^ "_L _Lil_
-ia Ta-ia ia u" !a ia-ia
_7_ - 5_ _3_ "_L J_ -_7__
3A.3A 3A-3A-3^ ? A f^l 77>A -_7_ J_|-_3_ J_ -j_ £_ bJ ÜJ
- 5* 5V5* 5*, 5A- 5* 5A-5*
- 7 _5_-_3 ]_ X IL 7
7A-7A 7a - 7^-7^ f?*1 FF»] 7*
- 7 1-5 3 - i | i l_l_i|isj_7_
2°. Verkiest twee horizontaale perken — 7 A + 3 en 7A —5, benevens twee andere overëenkomftige in de zelfde verticaale ryën , in welken de fom der verfchillen van de eerfte letteren — 7*> + 7 * •> welke horizontaal en verticaal tegen over elkander ftaan, gelyk aan nul zy , 'en die van de tweede letteren 3, —5, 4.5, welke verticaal tegen over malkander ftaan, insgelyks gelyk zy aan nul; en waar van hunne fommen, horizontaal genomen, 3 —5 —-3» en —3 + 5 = 2 onderling gelyk zyn; doch de eene Vofitief en de andere negatief. ■ V. Verkiest 4 overëenkomftige perken ,als 3 A + 5» -^A-7, en -3A-5» 3* + 7, wier verfchillen in de zelfde omftandigheden zyn; doch men moet seene perken uit de diagonaalen neemen.
a°. Verwisfelt de a. eerfte perken tegen de 4 laatften, dan zal het Vierkant een Tovervierkant bly • ven 9



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 391
ven, en de 4 horizontaak ryën zullen wederkeerige letteren hebben, of zonder overëenkomftigen zyn»
Men kan dusdanige verwisfelingen doen , welke onbepaaldelyk kunnen veranderen, het zy i°. Door het zelfde Vierkant met niet overëenkomftige ryën > of met gemengde ryën, faamen te ftellen; en zo de beide fommen der tweede letteren in elk opzicht gelyk aan nul zyn, maakt men een Vierkant met afgebrokene ryën, zo als wy in Art. 66 gezegd hebben. u°. Men kan desgelyks twee perken in verticaale ryën neemen. 30. In plaats van in elke horizontaale ry twee perken te neemen, kan men 'er drie of meer met de zelfde voorwaarden neemen. 4Q. Na eene verwisfeling gedaan te hebben, kan men, volgens orde, verlcheide andere dergelyke verwisfelingen doen. 50. In plaats van te onderftellen , dat de fommen der verfchillen van de eerfte letteren gelyk aan nul zyn, kan men dezelve onderling gelyk neemen; doch de eene pofitief en de andere negatief, en ten aanzien der fom van de verfchillen der tweede letteren desgelyks doen.
Men kan deeze Vierkanten faamenftellen , door wederkeerigen in de diagonaalen te plaatfen.
70. Met overtreffende en te kort komende getallen (Art. 32> Men moet in eene ry het overtreffende der eerfte letteren gelyk aan het te kort komende der.tweede letteren rnaaken, of wederkeerig het te kort komende der eerfte letteren gelyk aan het overtreffende der tweede letteren , op 'dat de fom der eerfte en tweede letteren van die ry gelyk zy aan rm+rn, Het is genoeg de wyze te onderzoeken, om het overtreffende der eerfte letteren gelyk aan het te kort komende der tweede letteren te rnaaken, om dat men het omgekeerde heeft, als men de tekens der verfchillen verandert; daar benevens zullen wy onderftellen, dat de verichillen gerangfchikt zyn (Art. 25 en 26).
i°. Het overtreffende der eerfte letteren is ten hoogften in de onëvene Vierkanten , en i'r\ Y 4 «



292 MENGELWERK van
in de evene Vierkanten, en alsdan moet^r een even
getal zyn.
2°. Qm het overtreffende der eerfte letteren te bekomen , zo neem één of verfcheide verfchillen , wier fom aan dat overtreffende gelyk zy: by voorbeeld, als in de onëvene Vierkanten het overtreffende i a is, zo neem ! a of 2a- i a of 3A-2a, enz. als het 'overtreffende 2 a is, zo neem 1 a of 3 a- l a enz. In de evene Vierkanten moeten de verfchillen , welke men neemt, even zyn ; neem dus, als het overtreffende 2Ais, 2A of4A-2a of 6A-4a: ais het overtreffende 4a is, neem 4A of 6A —2a of 8A-4A: als het overtreffende 6a is, neem 6a
Of Of ioa—4A Of 6a + 4a-2a — üa.
30. Om het te kort komende der tweede letteren te bekomen , zo neem een negatief getal gelyk aan het overtreffende der. eerfte letteren, verdeel dit getal in verfcheide deelen ; als men dus in het Vierkant van 8 genomen heeft 2a~8, moet men -8 in — 7 — s, of in —6-2, of in — 5 — 1 — 1 enz, verdeelen.
4°. Om eene ry met overtreffende en te kort komende getallen te bekomen , zo neem verfchillen van de eerfte en tweede letteren, wier fommen gelyk zyn aan de overtreffende getallen der eerfte, en aan de te kort komende getallen der tweede letteren, voeg deeze verfchillen by die welke in die ry zyn , dan zult gy nieuwe verfchillen hebben, welke die ry met overtreffende en te kort komende getallen gelyk aan rm-^-rn zullen rnaaken.
5°. Als men fiegts de tekens der verfchillen van eene ry wil veranderen, zo verdeel de overtreffende en te kort komende getallen in evene getallen, die het dubbeld zyn der verfchillen , welke in die ry zyn; voeg deeze dubbelde verfchillen by de enkelde , welke een tegengefteld teken hebben, dan zult gy bekomen de zelfde verfchillen, welke llegts van tekens veranderd zullen zyn.
6°. Hebbende eene ry met overtreffende en te kort komende ffetallen, kan men eene evenwydige



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 293
ry der overeenkomfiigen met de letteren van de voorgaande ry vullen, en men zal eene tweede ry met te kort komende en overtreffende getallen verkrygen.
7°. De verandering welke men gemaakt heeft, om eene ry en haar toegevoegde met overtreffende en te kort komende getallen te rnaaken , heefc nieuwe letteren ingevoerd , en de oude weggenomen, welke men weder in plaats van de nieuwe moet ftellen, door andere ryën by overeenkomst, by wederkeering, of met overtreffende en te kort komende getallen te rnaaken, hetgeen hier. eenen te grooten omflag vordert.
ju Door de gemengde Leerwyze der overeenkomstige letteren, als men de wederkeerige letteren met de overtreffende en te kort komende getallen ftelt; maar 'er zullen altoos ryën zyn, in welke letteren haare overëenkomftigen hebben. '
7a. Door een faamengefleld Tovervierkant. De wortel van dit Vierkant moet het vermeenigvuldigde van verfcheide getallen grooter dan 2 zyn, als 3X 3—9, 3x4=12. 3X35= 105, of 7x15= 105. Dat wy ons voorftellen het Vierkant van i«~3X5, waar van de letteren zyn ABC. DE F. GHI. KLM. NOP. pqr- stn. xyz abc. def,
s". Ik verdeel die letteren van 3 tot 3, (men kan het van 5 tot 5 doen ) en neem. de eerfte letteren na de verdeelingen ADGKN, psxad, welken ik de Aanwyzers der kleine Vierkanten noeme.
2y. Ik maak met die aanwyzende letteren een Tovervierkant van 5, dan zal ik .een aanwyzend Vierkant hebben.
3°. Ik verdeel het Vierkant van 15 in 25 kleine Vierkanten, door de verticaalen en horizontaaien van 3 tot 3 fterker te tekenen. Dit groote Vierkant zal dan verdeeld zyn in aj kleine Vierkanten , welke overëen zullea komen met de 25 perken van het aanwyzend Vierkant, waarvan de perken de aanwyzende letteren van ieder klein Vierkant, dat in het groote daar mede overëenftemt, zullen bevatten.
Y 5 4°. Neem



MENGELWERK van
4?. Neem de aanwyzende letteren Ap uit bet eerfte pecfc van het aanwyzend Vierkant; dezelve too. nsn aan , dat men de letteren ABC, pqr moet neemen , om het eerfte kleine Vierkant te maakc-n ; desgelyks zullen Dr aantoonen , dat mea DEF, stu voor het tweede kleine Vierkant moet neemen, en zo voorts met de overige.
Het aanwyzend Vierkant en de kleine Vierkanten worden naar de voorgaande Leerwyzen gemaakt.
5°. Om een Tovervierkant, in letteren famengefteld, met getallen uit te drukken, moet men de III. Afdeeling en de Art, 2j en 26 in acht neemen.
X. Van de Tover- Omtrekken, Tover-Krui/en, en Tover - Raamett.
73. Een Tover-Omtrek (zie de Vierkanten der Art. 66 en 77) is één of meer ryën, welke een Tovervierkant omvangen, zodanig dat de omtrek met het binnenfte Vierkant een geheel Vierkant rnaaken, dat insgelyks een Tovervierkant is.
Het Kruis is eene verzameling van twee of verfcheide verticaale ryën, en even zo veel horizontaale ryën, famenkomende naar het midden van een Tovervierkant, dat zy in vier vierendeelen fcheiden, zodanig dat het Kruis met de vier vierendeelen mede een Tovervierkant uitmaaken.
Het Raam is desgelyks eene verzameling van twee of verfcheide verticaale ryën, en even zo veel horizontaale ryën, doch welke van elkander afgefcheiden zyn , en waar van de horizontaale ryën door de verticaale in de diagonaalen gefneeden worden, zodanig dat het Tovervierkant, 't welk zich door dit Raam afgefcheiden bevindt, met hetzelve een geheel Vierkant maake, dat insgelyks een Tovervierkant is.
74. Een Omtrek kan gevormd worden door eene enkelde ry van iedere zyde van het ingefloten Vierkant, of door verfcheide ryën. Wy zulten dezelve Omtrek met eene enkelde, dubbelde, drievouwdige ry, enz. noemen. Eca



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 255
Een Tovervierkant kan befloten wordeD door eenen enkeldeu Tover -Omtrek , of door verfcheide Tover - Omtrekken , welke zodanig zyn, dat als men één of meer der buitenfte omtrekken wegneemt, het overblyvende Vierkant altoos een Tovervierkant is: ieder van die Omtrekken kan met eene enkelde, dubbelde ry, enz zyn.
Een Omtrek heeft horizontaale en verticaale ryën, welke geheel zyn, en horizontaale, verticaale ryën ea diagonaalen, welke gebroken zyn.
Het Vierkant, in eenen Omtrek befloten , kan gevormd worden door zyne natuurlyke letteren, zonder vreemde letteren , welke wy oude letteren zullen noemen; maar 'er zyn andere noodig om den Omtrek te vormen , welke wy nieuwe letteren zullen noemen j en in dit geval bevat de Omtrek even zo veel eerfte en tweede nieuwe letteren , als 'er horizontaale ryën boven in het Raam zyn; daar benevens is het getal van elke nieuwe 'etter met haare overëenkomftigen gelyk aan het getal der perken van twee geheele ryën, en het getal van elke oude letter met haare overëenkomftigen, welke dienen moeten om den omtrek te vormen , is g lyk aan het getal der perken van twee afgebrokene ryën ; eindelyk moet elke oude letter van eene nieuwe vergezeld zyn.
Als men zo wel van nieuwe als van vreemde letteren gebruik maakt, om het befloten Vierkant ([Art. 67 ) te vormen, moet men dezelve in den Omtrek door de oude letteren, wier plaats zy beflaan, aanvullen.
De fom der verfchillen van de letteren , welkè eene geheele of eene afgebrokene ry van eenen Omtrek vullen, moet aan nul gelyk zyn; derhalven hebben, in eenen Omtrek met eene enkelde ry, de overftaande perken van eene afgebrokene ry hunne overëenkomftige letteren.
Men fchikt de letteren van elke geheele ry cn van elke afgebrokene ry , als die der beide Vierkanten met overëenkomftige Ietteren, welke hunne wortelen gelyk zouden hebben aan het getal der perken van ■ eene



.296 MENGELWERK v A s
eene geheele ry, en van eene afgebrokene ry. De kleine wortel is altoos even , en by is evenlyk of onëvenlyk even, als het getal der ryën van iedere zyde van het Raam even of onëven is. Wat den groocen Wortel betreft, dezelve is even of onëven, als het befloren Vierkant eveb of onëven is; derhalven bepaalt men de famenftelling van een Raam door die der beide Vierkanten, welke de getallen der perken van eene geheele ry en van eene afgebrokene ry des Raams tot wortelen zullen hebben , en men maakt aldus verfcheidé Raamen rondöm een Vierkant, te beginnen met de binnenlte, en te eindigen met de buitenfte Raamen, en door de reeds gemaakte Raamen, met het befloten Vierkant, zodanig te belchouwen, als of zy te famen flegts één Vierkant uitmaakten.
75. De Omtrekken kunnen in 't algemeen door overeenkomst, door wederkeering, en met overtreffende en te kort komende getallen gemaakt worden. Onder dezelven zyn 'er, die niet door over. ëenkorost, als de Omtrekken met eene enkelde ry, gemaakt kunnen worden , en waar van de groote wortel onëvenlyk even is; anderen met overtreffende en te kort komende getallen , als de Omtrek met eene enkelde ry, waar van de groote wortel 5 is.
Ten aanzien der afgebrokene ryën kunnen de horizontaale , zo wel als de verticaale ryën , tegen elkander verwisfeld worden , om dat zy aan den kant der diagonaalen niets te vermyden hebben.
76. In eenen Omtrek met eene enkelde ry moet men alleenlyk acht flaan op de bovenfte horizontaale ry, en op de eerfte verticaale ry , welke te famen een winkelhaak rnaaken, die het hoekperk Ccq) met de beide ryfin gemeen heeft, en waar van gevolglyk de letteren voor de beide ryen overeen. Hemmende zyn, en de uiterjle perken [CRI [cr l waar van de letteren overëenkomltig zyn de ove' rige perken der afgebrokene ryën, ais CQ, «R, AR, Br, zyn de middenften van hunne ry. Wat
aan.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 297
aangaat de twee andere overëenkomftige ryën van den Omtrek , dezelve! hebben haare letteren overëenkornftig met die van de Winkelhaak, welke diagonaals - wyze , horizontaal of verticaal met dezelve overëenftemmen.
Om eenen Omtrek met eene enkelde ry, als van 6, rondöm een Vierkant van 4 te maaken, waar van de oude letteren ab, pq, en de nieuwe c, r zyn.
Omtrek.
cq CP eP Cr br CR
cQ | a p AQ ~Tq Jp"! Cq
aR | BP bq 6q Bp \ Ar
AR I b P Bq BQ bp] at
I Br i A P aQ AP | bR
f cr Cp Cp cR B R CQ
Horizontaale ry. Ia-r a-1 aia~3a1a C (e) c [C] /; C P (?) P [R]rr 5-3 5 1-1-1
Verticaale ry.
— ia—ia—5a5a 3 a — i a
(O f « A B [c] (?) Q R R r [f]
— 3 3 l 1 —1 —1
Vormt de beide ryen van de Winkelhaak op deeze wyze. 1". Stelt de nieuwe letteren met haare overëenkómïligea cccccc, rrrrrr, en de oude letteren aa, bb,pp, qq in de horizontaale ry, en in de middenfte perken van de verticaale ry. aQ. Zo gy de horizontaale ry niet overtreffende en te kort komende getallen wild maaken , verkiest dan onder de etille letteren die geenen, waar van de fom der verfchil-



bq8 MENGELWERK van
fchillen — 2.K, en gevolglyk het ontbreekende — 2A ~ — 6 is: en vergezeld de eerfte van tweede letteren, waar van de fom der verfchillen + 6 is. 3°» Stelt het overige der eerfte en tweede letteren in de vier middenfte perken der verticaale ry, en voegt 'er by twee perken van de horizontaale ry, naamlyk het hoekperk cq by overéénkomst, en het uiterfte perk cr by gelykheid. Alle die letteren moeten zodanig gefchikt worden, dat de fommen der verfchillen van de eerfte en tweede letteren gelyk zyn aan nu!, of dezelve moeten met overtreffende en te kort komende getallen zyn, en alsdan zal men twee ryën van den omtrek hebben , naamlyk eene horizontaale en eene verticaale', en men zal de overftaande ryën bekomen , door de overëenkomftigen der letteren van de voorgaande ryëa te neemen.
Ip de voorgaande fchikking der eerfte en tweede
letteren moet men in acht neemen, om altoos twee overëenkomftigen met twee gelyken, en twee gelyken met twee overëenkomftigen te vergezellen.
77. Een Omtrek gemaakt zynde, kan men een Kruis of een Raam maaken, door altoos de perken der diagonaalen van den Omtrek in de diagonaalen te ftellen, en de andere perken zodanig te fchikken,dat, na de verandering , de horizontaale en verticaale ryën altoos haare zelfde perken behouden.
Kruis.
ap AQ cQ Cq | Aq aP
BP bq aR Ar I hQ Bp
~C F ~cP~ cq CR ^Cr'~b7~
cp Cp cr CQ cR BR
~Jë Bq~\ AR ar l"5~^ bp~
I Ap aQ I Br bR \aq AP
Raam



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. m Raam.
ap cQ _A_Q _AfJ Cq l_a_P_
CP cq TT CR~ Cr ~br~
TÊI aR |17"ÏQI Ar rB>"
ftPl AR |_Bj_ ÏÏqT ar \Tp
cp c r C p c R CQ Br
"ATI Br üq~ 7q"| bR |tf
XI. Para de Tover-Teerlingen, en van de Vier» kanten met verfcheide foorten van letteren.
78. Een Toverr Teerling is een Teerling in teerüngsvormige perken verdeeld, welken ieder een getal bevatten , dat zodanig is , dat de fom van alle de getallen, welke in elke vierkante laag evenwydig met de drie grondvlakken, of in ieder der zes vlakken of iaagen zyn, welke de diagonaalen der overftaande grondvlakken fnyden, altoos de zelfde is.
79. Eene Meetkunstige Tover - Teerling is ten aanzien van den voorgaanden Teerling, die Rekenkunftig is, hetgeen het Meetkunstig Tovervierkant ten aanzien van het gewoon Tovervierkant, zynde desgelyks Rekenkunstig, is ; derhalven komt hier de aanmerking van Art. tl te pas.
80. In een Tover-Teerling zyn drie fooi-ten van letteren; naamlyk, de eerfte letteren ABCDE &c. en haare middenfte M, de tweede letteren p\q,r, j, t &c. en haare middenfte «, en de derde letteren TT, p o- r v &c. en "haare middenfte welke, even als in de Tovérvierkanten , algemeen of by overéénkomst kunnen zyn»
81. De getallen , welke met de derde en tweede stèren der Tover-Teerlingen overëenftemmen,
zyn



3oo MENGELWERK vam
zyn de zelfde als die, welke met de tweede en eerfte letteren der Tovérvierkanten overéénkomen, len opzichte der getallen, welke met de eerfte letteren der Tover-Teerlingen overeenftemmen, is het kleinfte getal ook gelyk aan nul; maar het tweede getal en het verfchil der overige getallen is ten minften gelyk aan de"fom van de grootfte der tweede, en van de grootfte der derde letteren.
82. Ik zal my vergenoegen met de faamenftelling over den diagonaal van den Teerling van j te geeven, om dat men, in navolging van deeze faamenftelling, de anderen kan uitvinden.
Eerfte letteren A B N C D
Eerfte getallen Jo 1* 2* 3* 4*
io 25 50 75 100
Tweede letteren p q n r s
Tweede getallen JoK 1 a 2 a 3 a 4 a \, o 5 10 15 ao Derde letteren ir » p <r r
Derde getallen 1 a 3 4 5
De dei-de en tweede getallen zyn hier de zelfde als de tweede en eerfte, welke door de Art 7 8 18, 19, 20 &c. gevonden zyn. '
In de eerfte getallen van den Tover - Teerling is Arzo, B of jxzzs + r -4a-1-5=25. By deeze eerlte kan men, even als by de tweede getallen der lovervierkanten, tweede verfchillen voegen.
i°. In de drie vlakken, welke eenen lighaamlyken hoek van den Teerling faamen ftellen, lchryft men in orde de eerfte, tweedeen derde letteren, zodanig dat de middenften M, n, p het verst van dien hoek itaan.
20. Stelt men de middenften in de perken van hunne diagonaalen, en de overige ietteren in orde. als in Art. 13. *
3".



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN,enz. 301
0° Stelt elke eerfte tetter in de vyf binnenfte TeeVingT-perken, die loodrecht Se" ëenkomen; doet nsgelyks met de twcjcie en oerae leueren! Ieder binneVe Itergg-P"* drie letteren hebben, naamlyk «dei za 1 een eerste , een tweede en een derde etter hebben en de Teerlinir zal in letteren een Tc^r- Teerling zyn.
Dezelve zal m een Tover-Teerling in getallen veranS worden , * nien de getallei, welke op de letteren toegepast zyn, even als in Art. 18, in plaats der letterefl ffe'u , _ . T ..„. _,«_
Om de 125 perken van den Tover-Teerling van * dies te beter te bevatten, heb ik den leerling afgedeeld in 5 vierkante laagen, evenwydig aan het Kak Ter eerfte letteren, en welke ieder aS perken en ieder perk 3 letteren^vatten. De fom der getallen van elke laag is m+n + ptxrr, en de fom van alle de getallen des Tover-leerhngs is . . .
" Om delgen, welke met één van die drie vlakten des Teerlings evenwydig zyn, te onderfcheiden, neemt men vyf ryën, welke allen de 25 lieren van dat vlak hebben, en in ieder van welken ééne letter der andere foorten herhaald zy»
1 3 L
~~z r"j cf s I ! | 6
s M«P Ajf^BjjCjjDJj^ Wï\ — \B2Z C31\^
5 6 5 n 6 L Dnc Mp*Aq<rBre Cfc a Dfr\Mnr]Apr Bq ri • r r g
J%W — Tc
CnrDprMgr Arr Bfr C/u Dnv Mpv Ajv \Brj\
6 , " I«" I 5 . I Bnv CpuDqv Mr»\A£u\ 4 BJja Cnp DpjA^Mg*Arp 1
4 aIia Bpfjcjt* DrVM/J,2 \A ft Bnf Cp ? DqJ Mr?
1 3 z 1 3



SOS MENGELWERK van
hj.
5 '
MttA/t BtlrCp r Dqr
' 5 I 6 D_r^MfbAnvBp vCq»
„ \ 5 6
2 Crj^D/jA Mn/AA p ^ B q p 2
4prp ?ƒ, Dnply/pPjq?*
\~6 — \A r , Cf, Cn e Djl* m\ «t i. 3.
3 -5 _9 6
Mp» Af» BjjcmJ^u 4 MpJ^Br^Cf^D^
«61 I
11! £l! Q«r D9r Mrff Af, Bn, fig^^^Ej? BprCqrDrrM^Anr
téA?j}sJ^^Mpr z^jsqy Crv DfljilL
3 i 3 h
4 ♦ V\y hebben de zes vlakken , welke door de Diagonaalen gaan , met de getallen n .-22: <?q: 44: 55555:c6565 getekend.
lpS;„?en kan °£k drie' en ze,fs meer foorten van Jetteren op een Tover-Vierkant toepasfen , en zie nier eene handelwyze om dezelve te gebruiken.
Laa.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 303
Laaten ,wy ons .voorftellen een Tover.Vierkant van 7 door algemeene ietteren te maaken, met drie foorten van letteren ABCDEFG : pqrstux :
o i s 3 4 5 6 O.O. p. Apir.Bq f Cr er Dfr Etv Fu4> Gx<%
2,3.4. Cf u Z)ïJV f*5T Gp? Aq<r Brr
4, 6.1. E#p Fp<r Gqr Ar u fl/j/ Ct% Dmtt
6.2.1. Grd/ Z?f tt C« p Dxa- Epr Fq v
1.5.2. Bua-lCxr Dpv Eq^ Fr% Gfir At? 3. u6t D(i%Jlrir F'J,'p Gïr Ar öjcu Cp4>
5.4.3. Ft Jgm u'/£fJ/ BpxCqir Br? Efe\
Stelt de Aanwyzers boven het Vierkant, en drie kolommen van Aanwyzers ter zyde. Voltooit ein« delyk het Vierkant volgens Art. 14.
Men behoort hier by aan te merken, i°. dat men, in gevalle men niet zo veel kolommen van Aanwyzers kan ftellen, als 'er letteren zyn, men alsdan, voor één of twee foorten van letteren, de handelwyze der Diagonaalen, Art. 13 of 16, of eenige der handelwyzen door de overeenkomstige letteren, moet gebruiken; of èindelyk gebruik maaken, voor alle foonen van letteren, van de verfchillende handelwyzen door overeenkomstige letteren» ' 2°. Als in de Diagonaalen herhaalde letteren zyn, moet de fom van hun verfchil aan nul gelyk zyn (Zie Afo. III.).
3?. Ten aanzien der waarden van letteren, moet men twee klasfen van letteren onderfcheiden : de ïfte. klasfe der in rang gefchikte letteren zyn foorten van letteren, wier waarden naar.die der eerfte of tweede gewoone letteren geregeld zyn: de tweede Z 2 klas-



304 MENGELWERK van
kksfe der niet in rang gefchikte letteren is die der foorten van letteren, in ieder van welken de letteren of hunne verfchillen gelyk of ongelyk, of fommige gelyk aan nul, kunnen zyn.
4*. Doch op welke wyze men die. klasfen ook fchikt, moet de laatfte foort van letteren uit kleine getallen beftaaü ; de op één na laatfte foort moet een veelvouwd van Azyn, ocderftellende a ten minften gelyk aan het grootfte getal der laatfte klasfe, a's 'er geen nul in is, of grooter dan i, als 'er nullen in zyn ; de op twee na laatfte foort moet een veelvouwd van x zyn, onderfteüende x ten minsten gelyk aan de fom der grootfte getallen van de voorgaande foorten , en zo vervolgens.
Voor het overige moet in één van die foorten geen nul zyn , het zy door middel der veelvouwdigeD A of jc> als daor de tweede verfchillen.
Dus zal men in .het voorgaande Vierkant van 7 de waarden der letteren volgens deeze Tafel hebben*
• Soorten van in f A B C D E F G rang gefchikte^ o 1*2* 3* 4* 5* 6* Jetteren. o 21 42 63 84 ioj 126*
Soorten van P p q r s t u x niet in rang ge \ o o o o I a 2 a 2 a fchikte letteren. (_ 7 14 14
Soorten van in f , rang gefcltikteJ % ? 7 r v % 2 letteren. (_ 1 3 3 4 5 6 7
Tot dit Artikel kan Art. 10 overgebragt worden» XII. Veranderingen der Tover - Vierkanten.
In 't algemeen zyn 'er twee foorten vat veranderingen , de eene van getallen , en de 1 nderw» van handelwyzen.
84. De verandering van getallen. Deeze gefchiedt, wanneer men, volgen? oe UI. Afdeemng, en
A%%.



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz3 30$
Art. 25 en 26, op de letteren hunne waarden in getallen toegepast hebbende , vervolgens de waarden der letteren op alle mogelyke wyzen verandert, volgens de regelen der verwisfelingen (permutationes) en famenvoegingen Qtombinationes).
Gm alle de verwisfelingen der getallen van verfcheide verfchillende letteren te verkrygen , moet men de hatuurlyke getallen 1. 2. 3, 4* 5> 6- enz. toe dat, *t welk het getal det te verwislelen dingen aanwyst, te famen vermeehigvuldigen. Dus is iaO bet getal der verwisfelingen van vyf letteren.
Om de verwisfelingen van een getal letteren aart te wyzen, zuilen wy P vóór dat getal zetten; dus is P5r-.n0, en Pr =:I x*X3X4*>'» dat is te zeggen, dat Pr gilyk is aan het Vermeenigvüldigdó van alle de getallen van i tot r, welke den Wortel des Vierkants uitdrukt.
Om alie de Veranderingen der eerlte en tweede letteren te bekomen, moet men het getal der verwisfelingen van de eerfte letteren met het getal det verwisfelingen van de tweede letteren vermeenigvul* digen, als P 5 X P 5, of P 5' r 14400.
85. De verandering van handelwyzen. Ueeze zyn de verfchiiiende handelwyzen , volgens welke men Tover-Vierkanten kan maaken, in ieder van welken de getallen, welke de waarden der letteren , op allé mogelyke wyzen, aantoomn , zodanig veranderen 4 dat men niet in dé zelfde fchikkingen van getallen valt, als in die van eene andere handelwyze
AaDgezien deeze verfchillende handelwysett , of inrichtingen om Tover-Vierkanten te maaken, onbepaald zyn , is het moeijeSyk, alhoewel mogelyk t dezelve in ieder Vierkant, en nog meer in de Vierkanten in 't algemeen, te bepaalen. Wy zuilen ons Vergenoegen met hier de voomsamfte handelwyzen t benevens haare veranderingen van getallen, terneder te Rellen.
j*. Door de Diagonaalen QArt. 13;) De veran*
dericgen van getallen zyn -—■ « Want
Z 3 4 heg



3o6 MENGELWERK van
het getal der eerfte veianderlyke Jetteren is Pr— t ( wanneer de herhaalde letter in den Diagonaal niet verandert), en der tweede letteren is insgelyks Fr— i; derhalven is de verandering der eerfte en tweede letteren Pr-^i x Pr —i zz Pr"—~i| *■ 2o. Er zyn vier foorten van veranderingen welke dé zelfde zyn. Want onderftellende in het Vierkant van Art. 13 , dat men der letteren waarden hebbe toegeëigend, zo men alsdan aan E de waarde van B, of aan s de waarde van p geefc, en dat men de andere getallen naar hunnen rans; verandert, zal men een tweede Vierkant verkrygen, dat het zelfde als het eerfte , en waar van het boveneinde zydwaarts gekeerd zal zyn. Men zal de derde verandering bekomen, als men, gelyk hier boven te j»elyk de eerfte en tweede letteren verandert en deeze drie veranderingen met het eerfte Vierkant maaken vier Vierkanten uit, welke dezelfden zyn;
by gevolg moet Pr-i|a door 4 gedeeld worden.
Waar uit volgt, dat het getal der veranderingen van het Vierkant van drie is i, van vyf 144, van zeven {29500, van negen 406425600, en van elf 3262047360000.
20. Door Aanwyzers (Art. 14). Als de letteren in de Diagonaalen niet herhaald zyn, is de veraodeIV
ring der getallen — , en als r een eerst getal is, 8
is de verandering dar beide Aanwyzers; welke vóór
de tweede horizontaale Ry ftaan , r-^3 x r — 4 zz rr — 1 r-h 12: en de geheele verandering der lettel
Pr2
ren door Aanwyzers is — xr—sxr—4. Dus
- 8 ■ is de ve-andering van vyf 3600; van zeven 38102400; van elf 546510366328320000. , Als r geen eerst getal is, moet men eerst de
ver-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 307
veranderingen onderzoeken, welke na 0.0 zvn (ArU 15;» >n weken men T>. de gevallen moet uitfluiten , waar in die twee Aanwyzers , of hun ver. Ifn' fttV£?maf!ge of. ocëvenmaatige deelen van r IVl'nni fe ov,er,gc, gevallen moet men in 't byzonder onderzoeken de veranderingen, welke e??'* " + ' en «^éne fo'ort van
Jetter, en n+i en »-i van de andere foort, af. zonderlyk of twee aan twee, of drie aan drie, even, maatige of onëvenmaatige deelen van r zvn' ver-
IlhS? mCn de f0m der veranderingen van
alle die gevallen neemen. b
• 30. Door de gemengde Leerwyze (Art, i6\ AU r een eerst getaljs, dan is het getal der veianderin-
Pr x Pr-i gen x r~3. Dus is het getal der
veranderingen van het Vierkant van vyf U40- van zeven 362880; van elf 289700167680000. 44 '
4 • Door de ongefchikte Leerwyze (Art. 171 Men moet m 't byzonder alle de handelwyzen doorlS Pen waar van de letteren, hunne geregelde waaï den hebbende zodanig gefchikt kunne? woS t JT^ t0ela3ten ' dat de Aanwyzers op eene* ongefchikte wyze gerangfehikt worden. Men zal deeze gevallen door Art. 23 vinden, of I ever als men z,ch van.de overeenkomstige leuerL bed en?
getal der kleme letteren q noemen, zulks dat in de evene Vierkanten q ± ir\ en in 'de onëvene" 2t— zy. 1 —
De veranderingen der getallen van ieder Vierkant by overeenkomst is Pa2 v2.2^~3 n„0 ;« ■ L Vierkant van drie helder veraSing£ van f88getv n" 1 l V3D VÜr «V^i van ™?n zelen
Vervolgens moet men onderzoeken de veranderin. gen van Leerwyzen door overöenkomstige%Tn;
z 4 door



8°8
MENGELWERKviü
door niet overeenkomstige Ryen .door gemengde «van door afgebrokene Ryën , door de omtrekken en door de famengéftelde Vierkanten, by overëenkomst gemaakt; de fom aller Jmenvoegingm van iedere wyze neemen, en die lom met
XlH. Overeenkomst der Leerwyze». welke'tot HU toe opgegeeven zyn, met de onzen.
87. Alle de Schryvers komen daar in overeen» dat zy zich van de natuurlyke getallen 1, 9,3 > 4» 5 enz. bedienen, om van dezelve Tover-Vierkanten te maaken; naar my voorflaat is de Heer 4e la Bire de eerfte, die andere getallen gabrniitt heett j ik bepaal alle diegeenen, welke tot de famenUeiling van die Vierkanten kunnen dienen.
88. Om te weeten tot welke van onze Leer wyzen een Tover-Vierkant in getallen overeenkomt, dat volgens de Leerwyze van eenig Autheur gemaakt is, als het Vierkant van 4, dat het eerfte van den Heer Frenicle is, zo ftelt lp. onder de tweede letteren pqQ? de getallen 1234 i^rt 2°. Stelt in plaats der getallen van het eerfte Vierkant de letteren , die door het omgekeerde van Art. 18 aan dezelve gelyk zyn; dan zult gy een Vierkant in letteren héoben , en door hunne fchikking weeten , dat het betrekking heeft tol
1 13 I 8 12 16 4 | 9 5 U 7 14 2
6 10 % '5
n * B A
o 4 8 12
ap Ap bP BP
aP aP Bp b p
l& bü AP aP
bq\Bq aQ AQ p q Q P 12 3 4
c onze Leerwyze by overgen-



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN enz. 309
ëenkomst, en by Ryën, die'ten deele doorgaande, en ten deele afgebroken zyn.
89. Aldus zal men ook weeten , dat de eerfte handelwyze van Manuel Moscopulus, waar van de Heer de la Hire verflag doet (Mém, de VAcad. 1705, pp, 212,213), door de Aanwyzers is, en het tweede door de Diagonaalen , als ook de Vierkanten van den Heer Bachet in zyn vermaaklyke Voorftellen (Problêmes plaifans), in 1624 gedrukt.
90. De Vierkanten van den Heer Frenicle , gedrukt in de Wis- en Natuurkundige Werken der Heeren van de Academie der Weetenfchappen , Bladz, 4?4, zyn tot onze verfchillende Leerwyzen betreklyk.
91. De Schryver van de Nieuwe Beginfelen der Meetkunst (Nouvedux Élément de Géometrie), en de ,V» Prestet, Priester van het Oratorium , in zyne JNouveaux Elémens des Mathimatiques, maaken een Vierkant van 3, en een ander van 4, rondöm welken zy herhaalde omtrekken , met een eenige Ry , ftellen, welke tot onze Leerwyzen Art. 74, 75 en 7Ó betrekking hebben,
02. Het 'lover-Vierkant, 't wélk de Heer de la Loubere, buitengewoon Gezant by den Koning van Siam , in het Verhaal van zyne Reize , in 't Jaar 1687 gedaan, gefteld heeft, is door de gemengde Leerwyze Art. is.
03. De Heer Psignard, groot Kanonnik van Brusfel, heeft in 't Jaar 1704 laatën drukken een Verhandeling over de verhevene Vierkanten (Traité des Quarrés füblimes'), in welken , i°. Zyne by Voortgang herhaalde, Vierkanten betrekking hebben tot de onzen, waar uit men de eerfte leiteren weggenomen heeft. 2°. Zyne onëvene Vierkanten worden door de gemengde Leerwyze, volgers Art. 16 , gemaakt. 30. Zyne eerfte en evenlyk evene Vierkanten zyn met overëenkomftige Ryën , in welke de directen by gelykvormigheid, volgens Art. 58, en beurtelings met kapitaale en kleine letteren zyn. 40. Zyne onëvenlyk evene Vierkanten (welken



Sio MENGELWERK van
ken hy evenlyk onëvene noemt) zyn een Geval van Art. 61. 5". Zyne veranderingen zyn Gevallen van onze veranderingen van getallen Art. 78.
94. De Heer de la Hire heeft zyne nieuwe iamenfteliingen en aanmerkingen ever de Tover-Vierkanten, benevens de bewyzen, in de Memonen van de Academie der Weeteuichappen des Jaars 1705 medegedeeïd, hergeen hy op eene algemeenere wyze dan zyn voorgangers gedaan heeft. Hy neemt tot een grondbeginfji twee eerfte Vierkanten, waar van ieder getal van het eene vergaard by ieder, getal van het a-dere, dat daar mede overëenftemt, een volkomen Tover-Vierkant uitmaaken. Deeze eerft.e Vierkanten worden algemeener'famengelleld door onze eerfte ! en tweede letteren , welke op eere eenvoudiger en algemeener wvzc voldoen aan alle de zwaarigheden , welke by verplicht is door byzondere Voorftellen uit den weg tè ruimen.
In zyn eerde deel, dat met Bladz- 167 begint, handelt hy over de onëvene Vierkanten , waar van de faamen (tellingen begreepen zyn onder die der Aanwyzers (Art. 13, 14, en 16), welke de famenftellingen door Diagonaalen bevaj, en door de gemengde Leerwyze, in welke hy de zwaangheden der herhaalde getallen in de Diagonaalen, waar van ik de oplosfing in de HL Apuiseling gegeeven heb, befpeurd heeft.
De evene Vierkanten, wa3r over hy in het tweede Deel, Bladz. 48c, handelt, zyn byzondere Gevallen van onze zesde en zevende Afdeelingen, •welken zich ook tot de famenltelliogen der onëvene Vierkanten van eene nieuwe handelwyze uitftrekken. Eindelyk zyne Omtrekken zyn in onze X. Afdeeling begreepen , in welke onze Kruifen en Raamen aanleiding geeven tot nieuwe handelwyzen, om de Tover-Vierkanten te veranderen.
05, Om niets over te 'fl.ian, zal ik hier nog byvoegen, dat de grondbeginfelen, welke ik heb vastgefteld, genoegzaam zvn voor de famenftelling van alle de Tover-Vierkanten en Tover-Teerlingen, en
dat



WISKUNDIGE VERHANDELINGEN, enz. 311
dat de Leerwyzen, welke ik voorgedragen heb, ten eenemaal duidelyk ontwikkeld zyn voor de onëvene Vierkanten met algemeene letteren, voor de evene en onëvene Vierkanten met doorloopende Kyen, en voor een gedeelte der veranderiugen • de tyd heeft my niet toegelaaten het overige breeder te verklaaren ; ik Iaat dus anderen het vermaak over, om deeze ftoffe verder te voltooijen.
Einde van het eerste Deel.






crisis:. T3<:ugAXi> » ' p/. T.