Boekbinderij Drukkerij
RUSTENBURG Tel.7217 78 Amsterdam



GROND BE GINZELS
»»h HOOGERE
MEETKUNDE;






G JSLOSrX>JBJEGX3SrZMXJS
der HOOGERE
MEETKÜIDE,
bevattend e de
voornaamste EIGENSCHAPPEN
der
XJS GWEX OTJS JEMS &
en van eenige andere
Ot EEN ZEER GEMAKLYCl EN NIEUWE WYZB BEWEEZEN, EN TOT DIENST VAN EEÏCS T— BEGINNENBEN OPGEST ELD»
JACOB " FLORYN,
Mathematicus ff Examinator der Zee-Officieren ty het F.d. Mog. Coll. ter Adm. op dt Maaze , Matbcnaticus van de Stad Rotterdam , Lid.-Correspondent van de Commisfte , tot de Zaaken , bet vinden van de lengte tf Zet en de verbetering der Zeekaarten hetrtfende en Lid van het Bataaf scb Genoetfchap </er Proef endervindtlyke JVyskegeertt.
met Platen.
kunnende dienen tot een VERVOLG, of TWEEDE DEEL, op de GRONDBEGINZELS der MEETKUNST van den H E 22 R
PIBQ STEE NS TRA:
Te ROTTERDAM, B y Dl R K V
MDCCXCI V/^^T^






Voorreden.
De Meetkunde, in haare uitgeftrekfte betekenis , bevat de Wetenfchap der uitgebreidheid en alle derzelver mogeiyke bepaalingcn, die door allerlei foort van Lynen, Vlakken cn Umtrekken .of gedaantens van Lighaamen bepaald en afgemeeten worden. Zy onderzoekt den aart en de eigenfchappen deezer grensfcheidingen en bepaalingen, als mede haare betrekkingen tot elkander: weshalven deeze Wetenfchap in dien ruimften zin genomen, van zulk eene* uitgeftrektheid is, dat men haar veld niet geheel overzien , maar, van tyd tottyd, daarin verder voortgaan kan. Hierom heeft men, te regt, van ouds af, eenige verdeelingen bedagt, of «heldingen gemaakt, in deeze algemeene Wetenfchap, en haar dus in verfcheidene Vakken afgedeeld; om m elk van dezelven afzonderlyk de eigenfchappen te verhandelen, alleen van eenige meer bepaalde foorten deezer Meetkundige grootheden, die een naauwer en onmiddelyker verband tot elkander hebben; enwelzodaanig, dat de kennis van de eene deezer Hoofdverdeellingen als ten grondflage konde én moeste dienen, tot het begrip der anderen.
De



VI
VOORREDEN.
De voornaamfte en algemeen fte afdeeling def Meetkunde fcheidt dezelve in tweegrooteHoofddeelen; naamelyk in eene Eenvoudige en in eene' meer verheevene of Hoogere Meetkunde. In de eerfte deezer Hoofddeelen verhandelt men de eenvoudigfte foorten der Meetkundige Grootheden^ dat is, alleen de regte lynen, de regtlynige platte vlakken en den Cirkel, benevens dz Lighaamelyke Ruimten, die door de omwenteling van eenige deezer vlakken begreepen kunnen worden voort te komen: terwyl men in de Hoogere Meetkunde, de eigenfchappen van de voorgaande eenvoudiger foort van Grootheden ten grondflage leggende, voortgaat met de befchouwing van alle overige uitgebreidheden; naamelyk met de kromme lynen en kromlynige vlakken, benevens wederom de Lighaamen, door de omwenteling deezer laarften voortgebragt. (*) Omtrent ieder deezer Hoofddeelen kan men hetzelfde zeggen, als ik hierboven van de Meetkunde in het algemeen heb aangemerkt.
De Eenvoudige Meetkunde wordt verhandeld in de Boeken van Eücüdes, welke, van den eerften tyd hunner zamenftelling af, tot heden i ten
(») Ik weet we!, dit zommigeWiskunftenaaren , en vooral de Franfchen , gewoon zyn de woorden Iloogcre Meetkunde in een veel ruimer b:teketiis te gebruiken en zelfs de Diferintiaal en Integraal Rekeningen daar onder te brengen , verfhande ooi dooiGeom!tre\niet flegts een Meetkunfienaar, maat zulk eea , die in alle de rakken der zuivere Wiskunde bedreeven is, en weiken men eerder eea Wiskunflenaar kan Boeraen : dan deeze benaamicg zeer oneigen zynde, heb ik my liever aaa de bepaaling van den [naauwkeurig onderfcheidenen Ch Wolff gehouden , die in zyne Elem. dnalyfeos hef. XX zegt: per Qeometriam Sublimiorem intclligo eam Geometriié fartem, $ua de tineis Curvis Sf Solidis inde geniiès trtcttt.



VOORRÉDEN. mi
ten dage," en dus in het verloop van omtrent sr Eeuwen, genoegzaam algemeen, als het eenige Leerboek over de Beginzelen deezer Wetenfchap zyn aangemerkt; welke voorzeker ook een vry volledig zamenltel van deeze Beginzelen bevatten* en wel volkomener dan 'er eenig werk over eenige andere Wetenfchap, door de Ouden vervaardigd., tot .ons is overgekomen ; en welke Boeken, eindelyk, ölfchoon in laatere tyden, door verfchillende Schryvers, op onderfcheidene wyzen verkort, verklaard, en in eene andere orde verhan» deld, échter, in hunne oórfprongelyke gedaante, van wegens den bondigen en ftrikc naauwkeurigen redeneertrant, daarin voorkomende, van alle regüchapene Wiskunftenaaren nog tegenswoordig op hunnen behoorlvken prys gefctiaten m de grootfte waarde gehouden worden. ■ Van deeze Boeken van Euclides, voornaame-
T V « dn Z?S Eerfte' benev«s de Elfde en i waarde Boeken, bezitcen wy, in onze taaie, verfcheideneuitgaaven,waarvan zommige ftipt naar het oorfpronglykegevolgdzyn,terwyl in anderede orde der voorftelling een weinig veranderd, zommige min noodzaakelyke dingen overgelegen en het geheele ontwerp meer naar de vatbaarheid van Eerstbeginnenden isingericht. Onder alle deeze korte Begrippen van de Eenvoudige Meetkundé, of der Boeken van Eüclide s , is dat van wylen den Le&or Steenstra^ mynen hoogge* ichatten Leermeester, zekerlyk het vcornaamft* en zo algemeen, als een nuttig Leerboek, bekend en in gebruik by onze Wiskundige Landsgenooten, dat het geheel overtollig zoude zyn hierover meer breedvoerig uitteweiden. Het - groot vertier daarvan alleen , als men in aanmerking neemt de kleine uitgeftrekihrid van ons ! a Land,



na VOORREDEN;
Land, en de weinige Lieden, welke zig op Wiskundige Wetenfciiappen toeleggen, bewyst deszelfs waarde en toont ten overvloede de nuttigheid aan, waarmede hetzelve, als een handboek , voor de onderwyzing in de Beginzelen van deeze Wetenfchap, gebezigd wordt. Dit Werk wierdt, ouder den Tytel van Grondbeginzeh der. Meetkunst, in den Jaare 1763 voor deeerftemaal uitgegeeven; doch fpoedig uitverkogt zynde wierdt hetzelve vervolgens door den Schsyver merklyk befchaafd, en met eenige zeer nuttige Byvoegzels vermeerderd, andermaal in het Jaar 1770 aan het licht gebragt; volgens welke uitgaave zedert in 1779 de derde en in 1789 de vierde Druk, doch zonder eenige verdere veranderingen, te voorfchyn kwaamen.
Over de Hoogere Meetkunde, en inzonderheid over de KegelJ'needen , die daarvan de Eerfte Beginzelen uitmaaken, bezitten wy, in onze taal 4 veel minder voorraad en in het geheel geen handboek , hetwelk, op dezelfde wyze alsdeGrc»^ jbeginzels van den Heer Steenstra voor de Eenvoudige Meetkunde, tot eene aanleiding en richtfhoer kan dienen voor de Eerstbeginnenden, om zig ook in deezen Tak bekwaam te maaken: en het welk tevens zulk een volledig- zameniTel over deeze en andere voornaame kromme Lyneis bevat, als waarvan de kennis in veele der Toegepaste Wiskundige Wetenfchappen onontbeerlyk is; zodat onze Schryvers over de eene of andere deezer Wetenfchappsn, zig ofopBuitenlandfche Werken beroepen, of anders deeze Eigenfchappen zelve vooraf, by wyze van Lemmata, bewyzen moeten, gelyk zulks met verfcheidene voorbeelden, zo uit de Grondbeginzeh der Sterrekunde, als uit de Meètkunjlige Grondbeginzeh
der



voorreden;' m
per Natuurkunde van den Heer Stïbnstra plyken kan. Behalven eenige oudere Werken van Abraham de Graaf, Gerhard van Kinkhuizen en Weinige anderen, doch die dit onderwérp maar zeer bekrompen verhandeld hebben, en meest Algebraïsch, zoals ook de Véfraalingen van C. VVolfp en Maud.uit; hebben wy, in onze taaie, volilrekt niets, dan het fraaije Werkje over de KegelJ'needen van den Hoogleeraar N. Ypey, waarvan ons dezelfde Heer Steenstra, in het jaar 1769, de 'Uitgaave bezorgd heeft; verrykt met eene uitmuntende Foorreden. in welke de Gefchiedenis van dit gedeelte der Wiskunde, benevens de nuttigheden van de kennis deezer kromme Lynen, met die duideiykheid en bondigheid worden voorgedragen, ais in de Schriften deezes uitmuntenden Mans overal doorftraalen, én dezelven, by onze Wiskunftenaaren, fteeds in de grootfte -achting doen blyven.
Dit Werkje van den Heer Yp ey is doormy, en wordt van veele anderen, zedert, als het ge"woóne Leerboek gebruikt overdeKegelfneeden; by welk gebruik ik ondervonden heb en daarom meen te moeten aanmerken, dat hetzelve, van wegens zyne beknoptheid, zeer veel uit 'egging tehoeft; dat in hetzelve daarenboven zommige ■zeer aanmerkelyke eigenfehappen deezer'kromme lynen, welker kennis in de toegepaste Wiskunde allernoodzaaklykst is, geheel en al ontbreeken; dat ook hier en daar, door eenige verichikking ïh de orde van de voordellen, de geheele leiding bevatlyker en voor" Eerstbeginnenden nuttiger hadt kunnen' gemaakt worden ; en dat 'er eindeiyk geene gelykvormigheid van handelwyze, * 3 voor



X VOORREDEN.
voor elk van de drie Kegelfneeden, in hetzelve wordt in acht genomen.
Om deeze gebreken, welken ik niet twyffel, of zullen ook door anderen, die van dit Werkje w hunne onderwyzingen gebruik.maaken , opgemerkt zyn, zoveel my mogelyk was, te verhelpen , ,en hetzelve daardoor voor mynen Leerlingen vertiaanbaarder en nuttiger te doen worden, fcadt ik eene meenigte van Aanteekenirigen by hetzelve gevoegd., zo tot opheldering van dp duisterheden van den Tekst, als rer verdere uitbreiding van "de. daarin voorkomende zaaken, die daardoor echter niet altyd op de behoorlyke plaats ingevuld, pf op de kortfte en gefchikfte ■wyze beweezen korjdeh werden; zodat het geheel nmiraer een geregeld en wel aaneenhangend zaMnfiel konde worden, maar akyd de gedaante behield van een Gebouw, dat, door veeier .lande Byvoegzelen, wel eenigermaate aan zyn oogmerk konde beantwoorden ,• maar waarin geenzins de onderdeden behoorlyk gerangfehikt en in dieryoege zamengehegt waaren, dat men, langs den kortden en geinakjykften weg, van het eene tot het andere konde overgaan: een vereischte, dat in alle zamenftellen, en voornaamelyk over wiskundige onderwerpen , akyd behoort plaats te hebben.
Zeer lang> dierhalven, heb ik -verlangt naar een^nder ontwerp over de Eerfte Beginzels van de Hoogere Meetkunde, en vooral over de Kegeliheeden,,, dat meer gefchikt zoude zyn, om als -eene handleiding voor Eerstbeginnenden. in deeze .Wetenfchap,te dienen. Zeer difcwyls heb'ik mynen geweezeneu Leermeester en Vriend verzogt,' om . zelfs deêzen taak op zïg te neemen, en onze Landspnootennpg meer aap hem te verpligten, door



voorreden.
.«en zamenftel over de KegeJfneeden en eenige - andere der voornaamfte krommélylien op re ftellen en in het licht te geeven, dat, in denzelfden trant, zo veel mogelyk, vervaardigd, als zyne, hiervooren gemelde. GrondbeginzehderMeetkunde, tot een Vervolg of Tweede Deel van hetzelve {trekken en alleen op de kundigheden, daarin geleerd, beruftende zyn zoude. Dan, het zy door zyne menigvuldige andere bezigheden, het zy wel voornaamelyk door dien hy, de uitgaave van het Werkje van den Heer Ypey bezorgd hebbende, zulks onvoegzaam rekende, ik heb hem nooit hiertoe kunnen overhaalen; en ik befloot dus al voorlang, om zelve hiertoe myne kragten eenmaal te beproeven. De uitvoering eerter van dit oogmerk wierdt door verfcheidene omftandigheden verhindert, tot inden beginne vair-het Jaar 1789; toen ik my eindelyk ging nederzetten, om daadelyk het zamenftel over de Kegelfneeden uittewerken, volgens het plan daartoe reeds lange in gedachten en in het ruwe ontworpen , en daarmede onafgebrooken volharde zo lang, tot ik hetzelve geheel ten einde en in dien ftaat gebragt hadt, dat hetzelve niet meer dan eene kleine overziening nodig zonde hebben, om het in 't licht te brengen, by aldkn ik eens tot de openbaare uitgaave daarvan mogte befluiten, hetwelk toen ter tyd nog geheel onzeker was. Ik noemde dit Opftel het Eer ft e Boek en voegde hier vervolgens , tot een Tweede, by een kort zamenftel, over eenige andere kromme lynen , reeds in vroegere jaaren door my vervaardigd. Beide deeze opftellen dienden zedert voor myne Leerlingen, om zig in dit gedeelte der Wiskunde te oeffenen ; want ik gebruikte dezelven, na dien tyd, als een vervolg op de Grondbegin* 4 zeis



m VOORREDE?1?.
zeis der Meetkunde van den Heere P. Steenstra; Ik heb hierdoor, in den tyd van ruim5jaaren'j, overvloedige gelegenheid gehad , ora deeze opftehen , hier en daar, nogwattebefchaavenenom te ondervinden, dat ze indedaad, met zeerveel voordeel, tot het bovengemelde einde kunnen, gebezigd 'worden. Ik was echter hiermede alleen piet te vrede, maar onderwierp het geheele Werk «an het oordeel van eenige zeer ervaartne en oordeelkundige Vrienden, wier getuigenisfen Vervolgens voor my zeer vleijend waaren, en die my zeer fterk tot de nitgaave aanfpoorden; waanoe myne Leerlingen my desgelyks, var den beginne afaan , hadden aangezogt, en ik zelve my niet ongeneegen toonde; uit hoofde van het vooruitzicht, dat ik hiermede aan onze Wiskundige Landsgeaooten eenigen dienst zoude kunnen -bewyzen, als waarvan veeie, aan den Leertrant van den Heere Steenstra gewoon, gaarn zouden wenfchen, ora hunne oeffeningeu , op hetzelfde fpoor, ; verder te kunnen voortzetten. Verfcheidene toevallige oorzaaken echter, waarmede de Leezer niets te doen heeft, hebben deeze uitgaave tot hiertoe doen veruaagen. ,
Dit zy genoeg, wegens het oogmerk en de aanleiding v.an het tegenswoordig Werk; Ik zal nu nog een en ander moeten opgeeven, aangaande de wyze,' waarop ik het zelve heb imgevöerd. 5 De eerfte bedenking , by het opfiellen van het Eerfte Boek, 'was. op welken grondflag ik de Jeer der Kegehneeden zoude vestigen; dat is, welke Deftniue, of Bepaaiing, ik van dezelven zoude vüorafitellen, om daaruit vervolgens haare eigenichappen afteleiden. '
Deeze eerfte Bepaalingen zyn, by onderfcheidfne &nryvers pverde Keoeüheeden, zeer ver-
fchilj



VOORREDEN. xm
fchillende, en kunnen totdrieèrleyefoortgebragt Worden ; ieder van welke byzondere haadelwyzen haare eigene voor- en nadeelen heefc. De eerfte wyze, om deeze kromme lynen te befchouwen, is die geene, waarvan zig de oude Wiskunftenaars, en voornaamlyk Apollonius Perceus reeds bediend hebben; om naamelyk dezelven daadelyk uit de onderfcheidene fnydingen van den Kegel zei ven te bepaalen, zo als mede dé Heer Ypey voor de Parabola alleen gedaan heeft; en om daaruit vervolgens derzelver Meetkundige en Mechanifche ConftruéKen afteleiden, benevens de voornaamfte betrekking tusfchen deizelver Abscisfen en Ordinaaten. De Tzvcede handelwyze is; om de Befchryving deezer kromme lynen, het zy door punten, of door éene geduurige beweeging, tot een grondflag te leggen, geiyk de Heer Ypey voor de Ellips en de Hyperbola gedaan heeft, en daarna uit deeze befchryving wederom de onderlinge betrekking tusfchen de Coórdinaaten afteleiden en vervolgens aantetoonen, dat dezelfde kromme lynen mede, door éene zekere fnyding van den Kegel„ kunnen voortgebragt worden. Eindelyk is'de derde manier, welke meest door de Schryvers, die dit gedeelte van de Wiskunde Aigebraisch verhandelen, gebezigd wordt , dat men de voornaamfte eigenfchap, of betrekking der Coördifiaaten, in eene Algebraifche Equatie uitgedrukr, ten grondflage legt, en vervolgens, door de behandeling en verdere ontwikkeling Van deeze Equatie, de andere eigenfchappen deezer Lynen oplpoort, en eindelyk wederom aantoont, dat het indedaad de Kegelfneeden zyn, welke deeze onderftelde Equatien opleveren.
* $ Om



.VOORREDE N.
: .Om het oogmerk te bereiken, waartoe dit Werk moest dienen, kwam my de eerfte der ge* meide handehvyzen 'de natuurlykfte en verre weg de gefchikfte voor: i°. Omdat i.etzelve daardoor onraiddeiyk konde volgen op hetX*jBoek vm Steenstra, waarin de Lighaamelyke Meetkunde voorkomt, en de Bepaalihg, benevens •de eigenfchappen, des Kegels worden voorgefteld: a°. Omdat hierdoor de 'benaaming van Kegellueeden aanftonds blykbaar is: 30. Wel voörpaamelyk, dewyl in| deeze befchouwing de voornaamfte eigenfchap dier kromme lynen, op eene zeer eenvoudige en dnidelyke wyze 'aanftonds^ beweezen, en pit de eigenfchappen van den Kegel zeiven, met die der Driehoeken eii des Cirkels, zonder eenige andere Beginzels teonderftel|en, afgeleid konde worden. Ik heb echter dit beginzel alleen maar in zoverre gebezigd, als my nodig was, om deeze voornaamfte betrekking tusfchen de Cööïdinaaten van elk der drie kromme lynen vast te Hellen; en vervolgens dezeiven aangemerkt, als platte Figuuren, om derzei ver verdere eigenfchappen daaruit , met behulp der voordellen van de eenvoudige Meetkunde, te bevryzen ,• in die orde, als dezelve elkander natuurlykst opvolgden, of de eene uit de andere konde afgeleid worden: zonder dat ik het nodig heb geacht,, om, in navolging van eenige Schryvers, vooraf orafiagtig van den Kegel zeiven te Ipreeken, en daaromtrent dingen op te geeven, welke myns bedunkens te eenvoudig zyn, om aan zulken,..die reeds den inhoud van de Boeken van Eüclides yerftaan, nog voorgefteld te worden en die voor het overige ook van geenerhande nuttigheid voor, het volgende zyn. . Ik heb de voornaamfte waarheden ia de Prop&fitien gebragt,
en



VOORREDEN.
en-tevens zorg gedraagen, om zodaanige Eigenfchappen , in de gevolgen voorkomende, welke van meer aanbelang zyn dan de overigen, nog afzonderlyki, behalven in onzegewoone Wiskundige- uitdrukkingen, ook in woorden voorteftelien, omze daardoor voor de Leerlingen meer opmërkelyk te maafeen en hen dezelven des te vaster in het geheugen in te prenten. Voor het overige heb ik overal eene geregelde leiding gevolgd; vooralle de drie Kegelfneeden eene zelfde orde waargenomen en daar by geduurig aangeteekehd, waarin zy onderling met elkander overeenkomen, of welke eigenfchappen aan dezelven gemeen zyn, en waarin zy van elkander verfchillen; het welk men zeer dienstig zal vinden, om den onderfcheiden aart deezer kromme lynen duidelyk te leeren kennen , benepens derzelver zafnenhang en verband met elkander klaarïyk in te zien. Eindelyk: ik heb niets overgefiagen, om dit onderwerp in een behooriyk licht te ftellen en zo volledig te verhandelen, als het, myns wetens, met opzicht tot het zaaklyke en nuttige, kan gedaan worden: want, na dat ik my'n geheele plan hadt afgewerkt, heb ik.met voordagt nog eens de voornaamfte Schryvers over de Kegelfneeden , welke aan my bekend zyn, ingezien , doch, uitvcrgelyking'daarvanmetmyn Opftel, bevonden, dat ik geene'eene voornaame Eigenfchap deezer Lynen hadt over het hoofd gezien, en zelfs eemgen zeergemaklykin myn Zamenftel hadt ingebragt, welken men maar zeer weinig by anderen aantreft; terwyl ik bovendien bevondt, eenige byzonderheden in een geheel verlc illend licht voorgefteld , of uit een gantsch ander oogpunt befchouwd te hebben, dan dezelven doorgaans by andere Schryvew voorkomen: alleenlyk zal men
be-



W VOORREDEN.
bevinden,'dat 'er eenige eigenfchappen, vooraf meiyk van de Hyperbola, by zommigen meey ontwikkeld, of in meer byzpndere omltandigheden en gevallen onderfcheidea, voorkomen, hetwelk ik gemaklyk genoeg ook nog in myn zamenftel hadt kunnen inlaslèn, als daartoe alle de gronden in hetzelve voorhanden hebbende; doch hetwelk ik heb nagelaaten, eensdeels om het getal van Figuuren, hetwelk reeds groot gesoeg geworden was, niet te vermeerderen, en anderendeels uit overtuiging, dat een ieder, welke myn zamenltel zoude beoeffend hebben, genoeg in ftaatmoet zyn, om zelfs deeze by?onderheden daarujt afteleiden.
Het voorgemelde betreft hoofdzaaklyk het 'Eerfte Boek. Op de Verhandeling van de Kegelfueeden pastgevoeglykst, en laat ik doorgaans volgen, dd kennis van eenige andere kromme Lynen, waarvan ik de voornaanulen daarom ih het Tweede Boek hebbyeen'gebragt. Dit gedeelte had ik reeds, zo als te vo.oren gezegd is, in vroegere jaaren zameugéiteld, en'daarin meest gevolgd de ha'ndeiwyze van den Heer W. Emer> soN,in het I. Boek van zyn'Werkje, getyteld The nutvré and properlks af Curve Lines- 3 voort komende ; welk Werkje., «egelyk met zyn Êki menu of the Conic Se&ions en Aritbmetic af Infimtes,\x\ 1767,1e Londen isuitgegeeven. Ik had hier riog verfcheideneandere kromme lynen kunnen byvoegen; doch heb my alleen tot de meest voornaamen bepaald; welke, of reeds door de Ouden bedagt waaren, om daardoor eenige meer zam</nr geftelde en, uit hoofde van de veelvuldige daar* toe aangewende poogingen, zeer beroemde Meetkundige Voordellen op te los fep, of waarvan ée eigenfchappen door delaatere Wiskunftenaaren
meer



VOORREDEN, xvn
meer byzonderlyk zyn naargefpoord, van wegens derzelver nuttigheid in zommige deelen der toegepaste Wiskunde: welk een en ander ik getragt heb in korte Byvocgzelen, by elk deezer kromme Lynen, aantewyzen. Ik heb in alles dtnSymhetifchenLemtmt gevolgd, zo omdat ik begrype, dat deeze de beste is voor de verhandeling van dit onderwerp, voornaaraelyk der Kegeliheeden; als om dat myn Werk tot een Vervolg op dat van den Heere .Steenstra dienen moest. Ook heb ik overal, zoveel my mogelyk w?s, de wyze van voordragten manier van bewyzen eveneens ingericht, als dezelve in de Grondbeginzeh der Meetkunde van mynen Voorganger gevonden worde, i; en my voldrekt van geene andere gronden bediend, als in dit Werk voorkomen; welkers Voordellen ik daarom overal ten duidelykften heb aangehaald , behalven op eenige weinige plaatzen, daar de ruimte zulks niet gevoeglyk toeliet: zodaanig, dat ik my verzekerd houde, en 'er zelfs meer dan eens de proef van genomen hebbe, dat een ieder, welke deeze Grondbeginzeh der Meetkunde behoorlyk verftaar, ook dit Vervolg, door behulp van deeze herinnerende aanhaalingen, zig volkomen eigen maaken en naar genoegen verdaan zal kunnen. Ik was eerst voorneemens, om ook, in navolgeng van mynen Meester, my van Houtfneeden te bedienen, en elke Figuur op de behoorlyke plaats, by den Tekst zeiven, te doen drukken, dat gewisfelyk voor Eerstbeginnenden van [meer nut is, als men gewoonlyk denkt: doch ik heb hiervan afgezien, eensdeels, omdat zommige Figuurea te zamengedeld waaren, om op die wyze te gebruiken, en anderendeels uit overweeging, dat myn Werk alleen zoude dienen voor meergevor-
der-



*vni VOORREDEN.
derden en voor zulken, die reeds door óeffening zig met Meetkundige Figuuren gemeenzaam gemaakt hebben; en daarom beflooten om dezelven op kopere Piaaten te doen brengen. Ik hadt wel gewenscht, om deeze Figuuren merkelykte mogen vermenigvuldigen j om daardoor iedere eigenfchap en elk geval meer afzonderlyk voor te Hellen; dewyl ik by ondervinding weete, dat veele Leerlingen, door de meenigte eo de onduidelykheid der lynen in eenzelfde Figuur, ligtelyk in de war geholpen worden; doch heb zulks , om de kosten te vermyden, moeten nalaaten; hoewel ik my echter vleye, dat deeze Figuuren niet zo te zamen gefield zyn, of men zal gemak'yk genoeg met dezelven te regt kunnen komen: terwyl ik tevens den Leerlingen aanraade, om zelve voor ieder Voorftel een afzonderlyke Figuur te vervaardigen.
Ik heb, eindelyk, aan dit myn Werk den naam van Grondbeginzeh der Hoogere Meetkunde gegeeven, omdat hetzelve indedaad alleen maar de allereerfte gronden en beginzelen, doch die tevens de nuttigfte zyn, van deezen uitgebreiden • trek der Wiskunde bevat; en dat ook in navolging van den Heer Steenstra, die den Tytel van Grondbeginzeh der Meetkunde met regt verkooren heeft, dewyl hy alleen voornemens was de eerfte en eenvoudigfte waarheden, omtrent de eenvoudigfte-der Meetkundige Grootheden, voortedraagen, die gewisfelyk zeer veel verder uitgebreid en met een groot aantal van andere voordellen vermeerderd kunnen worden; zo als de beroemde Hoogleeraar Van Swinden, in zyne_ Grondbeginfeh der Meetkunde, te Amfterdamin 1790 uitgegeeven, op eene zeer voortreffelyke wyze, heeft aangetoond.
Dit



VOORRÉDEN.
xix
Dit is het geeneik gemeend heb mynen Landsgenooten, wegens den aanleg en de uitvoering van het volgende Werk, te moeten onder het oog brengen. De nuttigheid van dekennis der Kegelfneedcn en derzelveronophoudelyk gebruik in alle gemengde of toegepaste Wiskundige Wetenfchappen, wordt by allen, welke daarvan maar de minfte kennis draagen, te algemeen erkend , om hier breedvoerig te worden aangeweezen. En offchoon men geenzius hetzelfde kan zeggen, van alle de kromme lynen, welker eigenfchappen in het Tweede Boek voorkomen , is de kennis van zommige derzelven echter niet min noodzaaklyk; terwyl die van anderen, hoewel tot hiertoe meerendeels alleen gediend hebbende voor de bewerking van' zuivere Meetkundige Vraagftukken, zomtyds bevonden worden ook voor het Werkdaadige van wezentlyktndienst te zyn: zo als, by voorbeeld, voor weinige jaaren de Heer M u l l e r te Groningen , in zyne Proeve van Wynroeikunde, heeft aangetoond, hoe men, door middel van de Conchoide, den inhoud der Vaten naauwkeuriger bereekenen kan, dan men immer te vooren, door eenige andere otfderftelling, heeft kunnen verrichten.
Indien ik, met deezen mynen arbeid, ookby anderen dat nut mogte nichten, hetwelk ik my daarby voorgefteld heb en waarvoor het onderwerp vatbaar is, en dus tot de bevordering en meer gemeenmaaking van nuttige kundigheden, die den echten grondflag van zeer veele Werkdaadige toepasfingen uitmaaken en daardoor vanonmiddelyken dienst zyn voor de Maatfchappy, iets het mir.fte mogt ondervinden te hebben toegebragt, zou ik de moeite, daaraan befteed, rykelyk genoeg beloond achten.
N. B.



N« B. Alle de aanhaalingen, in het volgende Weik voorkomende, zyn uit de Grondbeginzeh der Meetkunde van P. Steenstra: zodat, by voorbeeld, n pr. e,b. of 11. 5 b. beteekend de Elfde Propofitie van het vyfde Boek,
GROND-



GRONDBEGINZELS
der IIOOGERE
MEETKUNDE.
EERSTE BOEKi
OVJÜK JJ Ü<
KEG ELSN EEDEN.
Te weeten:
I. Parahola,
II. Ellips.
III. Hyperbofa,



Qua fit Se&ionum Conicarum utilitas, quique ex iisfruclus percipiantur, nihil opus efi utfufius edisferam, cum id omnibus perfuafum fit, quidquid in Mathp.mat.hss pvimhitn & praclarum, ex iis velut fontibus derivari.
Ph. de la Hire, Seft.Con.fub fine Praf.









Pag.
GRONDBEGINSELS
der HOOGERE
MEETKUNDE.
EERSTE BOEK.
EERSTE HOOFDSTUK. Van de PARABOLA.
ï. DEFINITIE.
§. i. .Als een regthoekige Kegel ABC wordt doorgefiieeden meteen vlak FDG, datevenwydig is aan deszelfs eene zyde AC, of wel evenvvydigaan het vlak, dat den Kegel langs deregte lyn AC raakt; wordt dit vlak van doorfnydimr FDGeeueiWa/tf, oi Brandfncede, genoemd, II. DEFINITIE.
% 2. Als men vervolgens een vlak ABC be^ grypt, dat, door den Top en de As des Kegeh gaande het vlak der Parabola FDG regthoek doorfnydt; wordt deeze doorfneede DE de en derzelver uiteinde D het Toppunt van de Pa! rabola genoemd. r
A * I. PRO*



| I. Boek. I. Hoofdfluk.
Fig. r.
i
en
2.
I. PROPOSITIE.
§. 3. Alle regte lynen, welke, in het vlak der Parabola getrokken, regthoekig door de As gaan, worden van dezelve midden doorgedeeld.
Dat is: als KL en FG regthoekig gaan door DE, fnydende dezelve in O en E; zal KO— ÖL C®.FE—EG zyn.
DEMON S-TRATIE.
Trek door O, evenwydig met AB, de regte Hl en laat door dezelve een vlak gaan, evenwydig aan het grondvlak AFBG, dan is dit vlak HK1L een Cirkel; 2 Def. 10 B. die, benevens den Cirkel AFBG, regthoekig ftaat op den Driehoek ABC. Dewyl nu ook het vlak van de Parabola. FDG regthoekig ftaat op denzelfden Driehoek ABC § 2, moeten derzelver gemeene fnydingen KL en FG mede regthoekig op deezen driehoek ABC zyn; 6 Prop. 9 B. en dus de hoeken LOH en LOI, als mede de hoeken GEA en GEB alle regt: weshalven de regte lynero KL en FG regthoekig gaan door Hl en AB, en daarom KO=OL en FE^EG, 1 Prop. 3 B,
Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
§. 4. Hier uit volgt , dat de beide boogen l of armen, van de Parabola FKD en GLD, ter wederzyden van de As DE, het zelfde beloop hebben, of in alles aan elkander gelyk zyn.
III. DE-



p a R a B ,0 l a;
5
III. DEFINITIE.
5. De ftukken van de As als DO, DE, enz.
'werden Abfcisfen of Afgefiieedenen; en de perpendiculaaren KL, FG Ordinaaten, ook wel Applkaaten of Toegepasten genoemd: weshalven de Ordinaaten alle van de As midden doorgedeeldworden.
IV. DEFINITIE.
$. 6. Als uit het Toppunt D wordt getrokken de regte DW, evenwydig met AB , en men maakt de L DWU=Z EDB, of WU^DW; dan wordt de lyn DU de .frsTtfook wel Z/sr/«f reclum, of de regte zyde, van de Parabola genoemd.
GEVOLG.
§. 7. Hier uïrblykt, dat de Parameter van een Parabola eene ftandvastige iyn is, die, in dezelfde Parabola, altyd dezelfde lengte behoudt, even als de middellyn in een Cirkel; terwyl de Abfcisfen en Ordinaaten geduuriglyk, of van'punt tot punt, veranderen, en dus veranderlyke grootheden zyn.
Verder blykjt hier uit, dat, de Kegel dezelfde blyvende, de Parameter kleinder wordt, naarniaate het punt D, of de Top van de Parabola, tot den Top des Kegels nadert: en omgekeerd,
II. PROPOSITIE.
§. 8. De regthoekvan den Parameter en de Abfcis van eenig pnnt eener Parabola, is gelyk aan het vierkant van derzdvcr halve Ordinaate.
A 3 Dat
Fig, 1
en
2.



l
6" 'I; Boek. I. Hoofdftuk.
Dat is: de f3 UD, DO=OL3
DEMONSTRATIE.
De gelykbeenige driehoeken DWU en ODÏ zyn gelykhoekig^ïj en daarom'
DU: DW=OI: DO 4pr. 6 b.
of DU: HO=OI: DO iZpr. 1 b. Bygevolg □ UD, DO-rziHO, Q\6pr.$b.' maar OL2 □ HO,OI z^pr. 3 b.
Dierhalven ook Q UD ,DO=OLa
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
§. 9. Dewyl de □ UD, DO=rOL2 is,beweezen heeft men DO : OL=OL: DU c>pr. 5 b. Dat is: de Parameter is de derde geduufig evenredige tot de Abfcis en de halve Ordinaate van eenig punt. Dierhalven de chorde DL trekkende, en daar op de perpendiculaar LM, zal OM=rDU of de Parameter zyn. 9 pr. 6 b.
II. G E F O L G.
$. 1 o. Op dezelfde wyze, als □ UD, D 0=0L3 is., heeft men, voor een ander punt G, dat ook □UD,DE-=:EG8
moet" zyn. . ,
Daarom n UD,D O: C3 UD,DE==OLa: EGa En gedeeld door UD^UD.
Ook DO : DEzzOL*:EGai^-.5£.
Dat



PARABO LA)1 f
Dat is: van onderfcheidene punten eener Parabool zyn de Abfcisfen tot elkander, als de yierkantenvan haare halve Ordinaaten.
ïïl GEVOLG.
$. 11. Dewyle de Abfcisfen DO, DE hoe langer hoe meer aangroeijen, naar maate de Kegel begreepen wordt van onderen meer en meer verlengd te zyn, zullen ook derzelver halve Ordinaaten OL, EG en OK, EF allengskens en onophoudelyk grooter worden; waar uit volgt, dat de boogen DLG en DKF zig, hoe langs hoe meer, ter wederzyden van de As en van el? kanderen verwyderen zullen; zo dat elke Parabool met twee gelyke armen tot in het oneindige voortloopt.
IV. G E V O L G.
§.12, Laat de Abfcis DP=| DU zyn; en; door P, getrokken worden de Ordinaate QRj dan is wederom CU UD, DP= PQ* dat is | DÜa = PQa of é DU - PQ en DU rr QR. $ 3;
Dat is: de Ordinaate, zvelke behoort tot di Abfcis, die gelyk is aan \de Parame* ter, is even groot als de Parameter.
F- GEVOLG:
S-13- Als men uit U trekt de perpendiculaarUS, A 4 dan
2.



8
% Boek: f. HpofdftuK
dan. is nogmaals □ UD, DU = US* • dac is UD* = US* en dus UD — US.
Dat is: als de Jbfcis gelyk is aan den Parame ter, zal de halve Ordinaate ook gelyk , met denzelven zyn.
BYVOEGZEL.
%. 14. Als men de Parameter DU noemt p; voorts van eenig punt L, naar welgevallen genomen, de Abfcis DO~x en halve Ordinaate OL~y {telt, heeft men, voor de hoofdeigenfchap der Parabola,
px-y*
Het welk daarom de Equatie op de Parabola genoemd wordt.
Het is ook uit hoofde van deze gelykheid, dat de oude Griekfche Wiskunftenaars aan deeze Figuur den naam hebben gegeeven van n^e^', het welk éene' gelykent's of gelykheid te kenner* geeft,
V- DEFINITIE.
$ 15 Het PuntP, welks Ordinaate QR gelyk is aan den Parameter, wordt het Focus of Brandpunt, ook wel Umbilicus of Navelpunt, van de, Parabola genoemd.
Q E V O L G.
§. 16. Dierhalven is de afftand van het Brand;
punt



parabola; *
punt tot aan het Toppunt eener Parabola gelyk aan i van den Parameter; en dewyl
overal CSUD, DO=OL3 is § 8. zal ook 4 CS PD, DO~OL* zyn.
VI DEFINITIE.
§. 17. Elke regte lyn, als PL, uit het Brandpunt tot eenig punt der Parabola getrokken, heeft den naam van Radius Fecjor, of Foerftraal, deezes punts.
m. PROPOSITIE.
§. 18. De Voerflraal van eenig punt eener Parabola is gelyk aan de Abfcis, met \van den Parameter te zamen genomen.
Dat is: de regte PL—DO+PD.
DEMONSTRATIE.
Trek DL; dan is PL9+a CS PD, DO=DPM-DLa
9 pr. 2 b,
maar DO3 + OL2 = DL* 32 j»r. 1 b.
dus PL2+2C5 PD,DO—DPJ+Ü03+0La en 4 Cl PD, DO^OL2 § 16.
PL3+2d PD,DO=DP3+DOa-j-4apD,DO hieraf 2CPD,DO~ 2CiPD,D0
blyftPL2 =DP-"+D02+a □ PD,5cP ' i endusPLr=:DP+DO. tpr.zb.
Dat te bezvyzen was.
a 5 GE-
Figl 3-



%
n O'
( ] ï
\
v
z d
fd jf.' Boek. I. Hoofdjïuk;
GEVOLG.
§. 19. Verleng PD en maak DQ.=DP. Trek door Q eene onbepaalde regte lyn ZZ, perpendiculaar op QP, en uit de punten L de lynen LR evenwydjg met QP; dan is overal QO = DP+DO=PL en daarom RL ~ PL.
VII. DEFINITIE.
§. 20. De regte ZZ wordt DireBrix of lyn van richting genoemd'.
Hiet uit volgt, dat de afpand eenes punts L van de richt ingslyn even zoo groot is, als deszelf af [land van het brandpunt, of als de Voerflraal.
IV. PROPOSITIE.
%. ar. Gegeevea zynde het Brandpunt en de Parameter, om de Parabola te befchryven?
L constructie. Meetkundig.
Trek door het gegeeven Brandpunt P eene «bepaalderegte lyn. Neem daar in DP=DO~ 1 arameter en trek door Q nog eene onbepaalde egte lyn ZZ, regthoekig met de voorgaande Lrek,_vervoJgens, uit de puntenR, naar welgeallen in ZZ genomen, regte lynen RS, even'ydig met PQ en neem overal RL=LP: dan uilen L punten van de Parabola zyn, waar door ezelve kan befchreeven worden.
II. c 0 n:



PARABOLA.' tt
II. CONSTRUCTIE. Werktyiglyh
Trek, als vooren, door P eene regte lyn, neem DP=DQ= J Parameter, en ftel ZZ regthoekig op PQ. Maak tegens deeze lyn ZZ onbeweeglyk vast een Lineaal MM. Neem vervolgens een Winkelhaak TRS, en leg deszelfs eene zyde RT tegens het voorgemelde Lineaal. Neem eindelyk een draad, even zo lang als de andere zyde RS van deezen Winkelhaak: maak daar van het eene einde vast aan den Winkelhaak in S, en het andere einde in het brandpunt P; en houd daarna, door middel van een pen L, deezen draad ftyf gefpannen. Als men dan de Winkelhaak TRS langs het Lineaal MM langzaam voortfchuift, en de draad geduuriglyk ftrak gefpannen houdt tegens deszelfs zyde RS in L; zal dit punt L, door deeze twecrleye beweeging, den omtrek van de begeerde Parabola befchryven : want overal de draad PL + LS—RS zynde, heeft men ook, voor elk punt L, uithoofde van het gemeene ftuk LS, dat PL~ RL is» Dat te doen was.
V. PROPOSITIE.
5- 22. Gegeeven zyn de het Brandpunt C, benevens ttuee andere punten A en B, mits in geen regte lyn met het brandpunt leggende; om door dezelven eene Parabola te trekken P
CONSTRUCTIE.
Trek, uit de gegeevene punten A en B, tot C
de
Figl 4.
53



Hl I. Boek. I. Hoofdftuh
56.
de regte lynen AC en BC. Befchryf uit het: middelpunt A, met de radius AC, een Cirkel: als mede uit het middelpunt B, met de radius BC. Trek, in den eenen Cirkel, de radius AD naar welgevallen, en in den anderen, daarmede evenwydig de radius BE. Vereenig de punterji A en B, door de regte AB, 'en de punten D en E, door de regte DE; en verleng deeze lynen, tot dat ze elkander on .moeten in F. Trek, volgens de 19 Prop. 3 B., uit F een regte lyn ZZ, welke den eenen Cirkel raakt in H; dan zal deeze lyn ZZ ook den anderen Cirkel raaken in G: want trekkende AG en BH regthoekig op ZZ, zo is FA: FB ™'AD: BErrAG: BH, en daarom AGztADjtAC; en bygevolg zal ZZ de lyn van richting zyn. §.20. Trek, eindelyk, door C de regteIX regthoekig met ZZ, en deel Cl midden doorinK: danzalKhetToppuntenKCn * Parameter zyn; waardoor vervolgens de Parabola kar} befchreeven worden, even als in de voorgaande Propofit|e.
Dat te doen was.
VI. PROPOSITIE.
% £3. Aan een gegeeven punt (M) van eenè Parabola een Tangens, of Raaklyn, te trekken?.
constructie.
Trek, uit het gegeeven punt M, regthoekig op de lyn van richting, de regte MD. Voorts uit het brandpunt B tot D de regte BD. Deel deeze laaide midden door in E; en trek eindelyk
door



Parabola; a
door e en m de regte tm; dan zal deeze de begeerde Raaklyn zyn.
Dat te doen zuas.
DEMONSTRATIE.
Neem, in de lyn mt, of haar verlengde, eenig punt n, naar welgevallen. Trek mb, nb en nd, als méde NG regthoekig op cz. Dewyl bm—dm § 20 en be=ed gemaakt is, zal tm regthoekig gaan door bd, én bygevolg ook bn^dn zyn, maar dn > gn
Dierhalven bn > gn. Nu zonde bn—gn moeten zyn, als het punt n in den omtrek van de Parabola was § 20 Bygevolg is n en alle andere punten van dc regte tm, behalven m, buiten den omtrek, el dus raakt deze tm de Parabola in m.
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
§. 24. Hier uit volgt, dat de Tangens de Para hola niet meer dan in één punt kan raaken.
tl. GEVOLG.
$. 25. Als men uit A, door e, trekt de regti AO, zal deeze evenwydig zyn met cz, vol gens de 2 Prop. 6 B. en daarom regthoekig flaai op de A£, en de Tangens zyn van het Tor. punt A.
III. Gl
Fig 6.
1
1 1



Fig. 6.
i I
ï 1
/
$
i
de C Cr
III- G E F O L G.
$• üS. Verleng DM onbepaaldelyk in F; dan heeft men * FMY = l DMT 2*r , 1 en Z TMB ~Z DMT 4^r. x b. daarom i FMYr=^ TMB~~ Dat is: de regte MF, *mWJ^-^^AX getrokken, en de Foerftraal MB «w**«r wederzyden met de Tangens selyke boeken FMY en TMB.
BYVOEGZEL.
men rf ^td.ceze ^tstgemelde eigenfehapleidt men af dat de Zonnebaden, die, als FM jve„wydlg met de As AX, tegens de holle en [epolyste oppervlakte van een Parabolifchen spiegel invallen, van daar teruggekaatst zynde He m hetzelfde punt B te zamen komen :Velk >unt daarom het Brandpunt en deeze kromme m zelve eene Brandjheede genoemd wordt.
VII. PROPOSITIE.
Mt Ul ee^ë gegeeven punt (N) buiten de arabola, een Tangens aan dezelve te trekken?
INSTRUCTIE.
Trek uit het gegeeven punt N, tot het brandpunt' ïi£gf m' Befchryf' ""N'alsmid. punt, met deeze regte NB, als radius, een mboog, die de lyn van richting^Z doormt m D. Trek uit D, evenwydig met de
As



parabola; 13
As AX, een onbepaalde regte lyn DF, die de Parabola doorfnydt in M, en vervolgens door de punten N en M eene onbepaalde regte lyn YT: dan zal deeze de Parabola in het punt M aanraaken.
Dat te doen zvas.
DEMONSTRATIE.
Trek nog MB en ND; dan is in de driehoeken DMN3 BMN
de zyde DN rr BN Confir. DM ~ BM § 20. en MN — MN
Derhalveh L DMN— i BMN 5pr. 1 b.
of l DMT— L BMT Daarom ook DE tr EB ^pr, 1 b. En dus YT de Tangens van het puut M % 33.
Dat te bezvyzen zvas.
GEVOLG.
$. 29. De Cirkelboog BD fnydt de lyn van richting CZ nog eens in het punt d, waar uit getrokken de regte dm, mede evenwydig met de As AX, ontmoetende de Parabola in m, en voorts door de punten N en m de regte Nw, zal deeze insgelyks een Tangens zyn.
VIII. DEFINITIE.
§• 30. Als uit eenig punt M wordt getrokken de halve Ordinaate MP en de regte MR perpen-
dicu-
Eig. 6.
p



io* I. Boek. I. Hoofdpuk.
Fig. 1-
Blyft PR— 2 ABoféParameter§.i6.
Dat te foïvyzen was,
l GS*
diculaar op de Tangens MT; wordt TP dé
Subtangens of Onderraaklyn en PR de Subnormaïis of Onderperpendiculaar van dit punt M genoemd'.
vin. PROPOSITIE.
$. 31. De Subtangens van eenig punt der Parabola is tweemaalen zo groot als deszelfs Abfcis; en de Subnormaal is gelyk aan den halven Parameter,
Dat: is: TP—2 AP en PR— 5 Parameter.
demonstratie.
t In de driehoeken BET, DEM is BE = ED i BET-= Z DEM= L en^EBT-^EDM 12 pr: r L
Dierhalven BT— DM 21 pr. 1 b.
maar DM — CP 23 pr. 1 b.
Dus ook BT^rCP Hier af BC^BC
Blyft TC~BP Hier by CAzrAB $ 19.
Komt AT —AP of PT—2AP II. Dewyl MR is evenwydig met BD, heeft men BT=DM—BR
Dus TR=2 BT Hier af TP — 2 AT beweesen



PARABOL A. i-
/- GEVOLG.
\. 32. Dewyl BRnBM-^BT isleweezen, zal de Cirkel uit B als middelpunt, met de Voerflraal BM befchreeven, door de punten T en R gaan ; waar door bygevolg zeer gemaklyk de Tangens TM en de perpendiculaar MR, van elk gegeeven punt M eener Parabola 9 getrokken kunnen worden.
IL GEVOLG.
$. 33. Om dat de l TEB regt is, heeft men _TB : BE-BE : AB 8 pr. 6 b.
of BM : BE=BE : AB of * Parameter.
Dat is: de perpendiculaar, welke uit het Brandpunt op de Tangens van eenig punt der Parabola getrokken wordt, is de middenevenredige tusfchen de Voerflraal deezei punts en het \ van den Parameter.
III. G E VO L G.
I- 34. Om dezelfde reden is
BT:ET—ET:AT 8pr.6b.
of BM:ET~ET:AP~$3i.
Dat is: de halve Tangens van eenig punt der Pt*, rabola is middenevenredig tusfchen de Voerflraal en de Abfcis.
B
IV. GEi
Fig. 7-



Fig. 7>
8. 7-
18 I. Boek. I. Hoofdftuh
IV. GEVOLG.
§. 35. Dewyle ET2~EM2~BM X AT § 24,
en AE2r=ABXAT8^.6^
zo is EM2 : AE2 "BM X AT: AB X AT gedeeld door ATzz AT
En bygevolg EM3: AE3 z:BM: AB 1 zp\ 5 k
V. GEVOLG.
§. 36. Laat de verlengde AE de regte DM doorfnyden in I.
Naardien nu PT — 2 AP is §. 31. heeft men A TPMzrl=3 APMI.
VI. GEVOLG.
5.37. ANeen andere Parabola zynde, die hetzelfde toppunt en dezelfde as heeft, zal ook daar in AP—AT, en dus de regte TN de tangens zyn van het punt N.
VII. G EVO L G.
§. 38. Dewyl AB—AC is, §. 19 zal CF de Tangens zyn van het punt F, welks Ordinaate door het Brandpunt gaat.
B Y V O E G Z E L.
^ §. 39. Hoe meer het punt M nadert tot het Toppunt A, des te kleinder worden AT en AP, of zo veel te nader kornen ook de punten T en P by A, terwyl echter de Subnormaal PR altyd
. .' de-



PARABOLA.
r9
dezelfde lengte behoudt: als dierhalven het punt M in A valt, komen ook te gelyk de punten ï en P in A te vallen, en PR veranderd in AR, zo dat AR—PR~ % Parameter blyft. Men noemt, in dat geval, de lyn AR de Kromtestraal (Radius Curvatura) van het punt A: om dat een cirkclboogjc, uit R als middelpunt, met deeze Radius AR, befchreeyen, met het boogje van de Parabola, omftreeks het toppunt A, overeenkomt; en dus de Parabola aldaar dezelfde kromte of kromheid heeft, als dit cirkelboogje: waar uit volgt, dat de Kromte-Straal van het toppunt eener Parabola gelyk is aan den hahen Parameter.
IX. PROPOSITIE.
t 4°- Ah aan het punt F, welks Ordinaate door het brandpunt B gaat, een Tangens wordt getrokken, en uit eenig punt G van dezelve een perpendiculair GP, die de Parabola doorfnydt in M; dan zal deeze perpendiculaar gelyk zyn aan de Voerflraal van dit punt M.
Dat is: overal is GP~BM.
DEMONSTRATIE.
Trek uit het punt C, alwaar de Tangers de verlengde as ontmoet, eene perpendiculaar CZj welke de lyn van richting zal zyn. %. 31 en zo. Trek Uit M op dezelve de perpendiculaar MD; dan is, volgens § i9, BM-DM-CP.
B a Maai
Fig. 8.



Fig.
a.
a© ï. BoEfe. I. Hoofdfluk.
Maar CP:GP=CB:BF ^pr.6b.
en CB— BF§i2.eni$.
dus ooTcP-GPrrBM Dat te bewyzen was%
I. G E V O L G.
§.41. Hieruit volgt,dat ook AH=AB—ACis";
en^ACH=:iL~450.
//. GEVOLG.
§. 42. Laat GP, verlengd zynde, andermaal de Parabola ontmoeten in L; dan is
□ LG, GM+PM2—GP2 6 pr. 2 b. en BM2=:BP2+PM2 = GP2^zpr.ib.
dierhalven □ LG,GM -f PM2 ~ BP2 + PMa hier af PM2=r PM2
blyft QLG,GM
X. PROPOSITIE.
J. 43. Als TM de Tangens is van Tiet punt M en AI van het toppunt A, ontmoetende in I de lyn IM, door het punt M evenwydig met de As AX getrokken, en voorts uit eenig ander punt F van de Parabola evenwydig met deeze Tangenten getrokken worden de lynen CF en KHj dan zal A CHF~ □ AMKI zyn.



PARABOLA. fg
DEMONSTRATIE.
Dewyl A TPM: A CHF^PM2:FH2 npr.6b. en AP: AH =PM2: FH2 § i o.
is ook A TPM: ACHF—AP: AH 11pr.gb. maar □ APMI :.P AHKIrrAP: AH i pr. 6 b.
4ierh. A TPM: A CHF— E APMLCjAHKI doch A TPM APMI § 3(5.
Daarom ook A CHFrrCAHKI. Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
,$. 44. Laat de lvn CF, verlengd zynde, de verlengde 1M doorfnyden in O, en -de Parabola
andermaal ontmoete ï in F, ,en door dit nieuwe
punt F wederom getrokken worden de regte DG, evenwydig met AI; dan is, op dezelfde wyze,
deeze ACHF = !Z!AHKI Hier afgetrokken de voorige A CHF— AHKI
zo blyft HHFFiz □HHKK nog eens hier af HFOKH rr HFOKH
dan heeft men A FKO = A FKO Dewyle tiu deeze driehoeken ook gelykhoekig zyn, blykt hier uit, volgens het 3-* gev. 14pr. 6 b. dat
FOrOF is.
B 3 IX. DE-
Fig. 9>



Fig. 9-
tS.% I. B'O-EK. I. Hufdfiuh
IX. DEFINITIE.
%. 45. Elke regie lyn, als MY, die uit eenig punt M van de Parabola wordt getrokken, evenwydig met derzelver As AX, wordt Diameter of Middellyn; en haare uiteinde M het Toppunt van deeze middellyn genoemd.
X. DEFINITIE.
§. 46. Elke regte lyn FF, welke in de Parabola getrokken wordt, evenwydig met de Tangens TM van het Toppunt M eener middellyn MY? wordt eene Ordinaate deezer middellyn, en het ftuk MO derzelver Abfcis genoemd.
Uit %. 44. blykt dierhalven, dat de middellyn alle haare Ordinaaten midden doordeelt: en gevolglyk dat ze ook het geheele Parabolisch vlak
FMFF midden doorfnydt; en daarom te regt een middellyn genoemd wordt.
XI. PROPOSITIE.
§.47. Alles het zelfde gefield zynde, als in dé voorgaande Propofitie, zal ook
A KFO a CD MOCT zyn.



•PARABOLA. £3
demonstratie,
Van a CHF = AH KI §. 43. trek AHFL =: AHFL
blyft a CAL - LFKI of LFDE + EDKI Iiierby TCLE = TCLE
komt a TAE =1TCFD + EDKI
of a EIM ~ TCFD -I-EDKI §. 23, trek af EDKI — EDKI
blyft a DKM-TCFD hier by FOMD FOMD
ikomt a FKO == :_j MOCT
Dat te bewyzen ivas.
XII. PROPOSITIE.
% 48. Als uit eenig punt D, buiten de Parabola , wordt getrokken de Tangens DM, en de regte DHperpendiculaar door de vis AX, die de Parabola fnydt in Fe« G; zal het vierkant deezer Tangens tot den regtboek van de deelen der fnydende lyn ftaan, in de Jlandvastige reden van de voerflraal, tot den affland des Toppunts van het Brandpunt.
Dat is; DMa:EUDF,DG = MB:AB.
B 4 d e*
9-



1$ I. Boek. I. Hoofdftuk.
demonstratie.
a THD : a CHF - DH3 :FHa i4pr.6b. a THD- a CHF: DH -FH — a THD:DH*
of TCFD :DDF,DG- a THD:DH*6>.1*. maarATAE: AE2 ~ a THD:DH2i4^r.6£.
dierh.TCFDi=iDF,DG- a TAE:AE-iipr.5b.
of a KDM:□ DF,DG— aIËmI: AE3 §.47. maar a KDM: DM2 zz. a EMI:EM3i4£r. 6 b.
bygev. DM': □ DF,DG^: EM-: AE21 i^r.5 b. eindelyk MB : AB ~EM* :AE'§.3£.
daarom DMa:QDF,DG--MB :AB npr.gb. Dat te bewyzen zvas.
I. GEVOLG. %. 49. Als nog eene andere lyn RN evenwydig met DG getrokken wordt, die de Parabola feydt in S en N, heeft men, om dezelfde reden, RM3:CRS,RN-MB : AB maar DMa : □ DF, DG~ MB : ABbeweezen
bygev. RM2: □ RS, RN -rDM*:ClDF, DG ofRM2: DM^ □RS,RN:GDF,DG.
21 GEVOLG.
§. 50. Als dan RM-DM is, zal Q RS,RN - □ DF , DG; en als RM—EMis, zalook; □ RS, RN-rrAE- zyn.
m. ge%



PARABOLA. *s
III. G EVO L G.
§. 51. Volkomen op dezelfde wyze, als in de Demonftratie van deeZe Propofuie gedaan is, kan men aantöonen, dat ook op de Tangens van het Toppunt dezelfde eigenfchap plaats heeft: naa«
melyk AL3: FL, LF—AE2: EMa = AB: MB. XIII. PROPOSITIE.
§. 52. Op een ieder middellyn is 4 maaien de rpgthoek van de voerflraal met de Abfcis, gelyk aan het vierkant van de halve Ordinaate.
Dat is; 4 O BM,MO —FO2
demonstratie.
£=?MOCT-MOXMP=a KFO« 47 1 □ AHKI-AHXMP-a CHF I.43
dierh.MO:AH— a KFO : a CEFiapr.sb maarF02:CF^r a KFO : a CHFi4^-.6*.
daar.FO;:CF-- MO : AH 11^.5*. doch CF2:FH2=TE2 of EM2: AE*—MB: AB § 35.
byg. FO-FH —MBxMO: ABx AH 19pr.^b. of FO >:FH2=4 MBxMO:4 ABXAH10pr. 5 k. maar FH'= 4ABXAH§x6.
dus ook FO2— 4MBXMO.
Dat te bewyzen was.
B 6 GE'



M I. Boek. I. Hoofdjluh
Sb
I
i j
i
oi
GEVOLG.
§. 53. Een andere halve Ordinaate SQ trekkendej .■heeft men ook SQ2~ 4 MBXMQ.
Maar FO> = 4 MBXMO. §. ga.
Bygevolg FO3 : SQ> ~MO:MQmpr.sb
Pat is: Op een ieder middellyn, zyn ook de onder, fchèidene Abfcisfen tot elkander, als de vierkanten van derzelver halve Ordinaaten.
XI. DEFINITIE.'
S- S4-- Viermaalen de Voerflraal BM vaneen niddellyn, of viermaalen de afftand van derzelver Toppunt tot aan het Brandpunt, wordt de larameter van deeze middellyn genoemd.
GEVOLGEN.
§. ss- l DewyI4[=lB!yI,MO-iZ]4BM,MO i, heeft men hier uit, dat, even eens als op de lS, §. 8. ook op een ieder middellyn, de regt-
oek van den Parameter en Abfcis gelyk is aan het. ierkant van de halve Ordinaate.
II. Naardien MB~AB-f AP is § 18. . 2° vofet, dat 4MB — 4 AB+4 AP is :
de Parameter van eene middellyn is gelyk aag den Parameter van de As, met 4!maaien de Abfcis van het toppunt te zaamen genomen.
III. De-



parabola; u;
III. Dewyl 4 mb : 4 AB = mb : AB is, zo blykt hieruit, dat de Parameters van onderfcheidene middellonen tot elkander zyn, als de voerftraalen baarer toppunten.
IV. Dewyl q3 4 BM, mo — of2 is: §. 52. alsdan mo ~ 4 bm wordt gefteld
zal ook of — 4 bm zyn.
Of: de halve Ordinaate van eene middellyn, zvelkes Abfcis gelyk is aan den Parameter deezer middellyn , zal mede aan deezen Parameter gelyk zyn: even als op de As. §. 13.
v. Laat de halve Ordinaate vy door het Brandpunt B gaan, dan is-my~ bt zspr.ib.
maar bt~bm §. 32.
bygevolg my^bm. Naardien nu □ 4 bm,mY ~vy2 is, beweezen
zo heeft men 4bm2 , VYa
' en 2bm ===== vy = 2 my.
Dat is: op een ieder middellyn zal de Ordinaate, die door bet Brandpunt gaat, gelyk zyn aan den Parameter deezer middellyn: even als op de As. §. 12.
XIV. PROPOSITIE.
% 56. Van een gegeeven Parabola de As, het Brandpunt en den Parameter te vinden ?
con-
9*



i
sS I. Boek. 'I. Hoofdfluk.
constructie.
Trek naar welgevallen, door de Parabola, twee evenwydige regte lynen FF en SS. Deel dezelven midden door in O en Q. Trek door O en Q eene onbepaalde regte lyn, die de Parabola ontmoet in M; dan is deeze MY een middellyn en M derzelver Toppunt45. TrekdoorM eene regte MT, evenwydig met FF en SS, die de Parabola zal aan raatten in M. Trek nog de regte MM,_ regthoekig met MY. Deel MM midden door in P, en trek door dit punt P eene onbepaalde lyn, evenwydig aan MY; die de Parabola doorfnydt in A; dan zal deeze AX de As en A het Toppunt zyn. Stel, eindelyk, uit Mop MT eene perpendiculaar, ontmoetende AX in Z; dan is PZ de halve Parameter §. 39; en bygevolg AB = 3 PZ neemende, zal B het Brandpunt zyn. §, 12.
Dat te doen was.
XV. PROPOSITIE.
§■ 57- Als, uit eenig punt F van de Parabola; eene Perpendiculaar getrokken wordt op een Ordinaate van de As MN," die dezelve óf haar verlengde ontmoet in E, zal de regthoek der deelen van de Ordinaate tot het vierkant vdn de halve Ordinaate zyn, als deeze perpendiculaar, tot de Abfcisfe.
Dat is; EZ3NE,EM : PM2 == FE : AP?
DE»



PARABOLA. &9
DEMONSTRATIE.
Trek FH perpendiculaar op de As AX, dan is PM^FH'ofEP2 - AP : AH §. 10.
DusPM^-EP^AP-AH? ™T " of EP2-PM=:AH-AP i~PMC:ARl4^^^-
dat isC=!NE,EM:HPof FE nPM2:AP.5en6pr.zb. of QNE,EM: PM3 —FE : AP. 8pr.gb.
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
§.58. Eene andere perpendiculaar IK trekkende, is ook □ NK,KM : PM2-IK:AP maarlZ!NE,EM : PM2~FE:APbeweezefc
dierh. □ NK,KM:a NE,EM—IK:FE
II. GEVOLG.
§. 59. Dew. CD NE,EM:PM2 =FE: AP' beweezeri en PM2=4ABXAP§.8.
zoo is !ZlNE,EM:4ABxAP=:FE:AP deel door AP~ AP
komt □ NE,EM:4AB=FE: 1. 1 zpr. 5 U of □ NE, EMr=4 ABX FE 6pr. 5 bs op dezelfdewyzeONK,KM=4 ABXIK.
Dat is: de regt boek der deelen van dé Ordinaate is gelyk aan den regtboek van den Pa' rameter der As met de perpendiculaar, die uit eenig punt van de Parabola op de Ordinaate, of baar verlengde, valt.
UI. GE-
Fig. 10,



3<* 1 B.'oek. I. HoofdfiuL
Fig. io.
j
III. G E FO L G.
5- 6b. Door hetzelfde punt E nog eene andere lyn mn trekkende, die de Ordinaate is van eenige middellyn lp, zal men eveneens kunnen bewyzen, dat I. n »E, Em : ^w-=FE : lp en II. É3 «E, Era=4BIX FE.
IV. G E V O L G.
§.6i.DewyinNE,EM=4ABXFB1 en □ »E?E^4 BI XFE
zo is □ NE,EM: EZ5 «E,Ë m=% AB:4BI enookiZ!NE,EM:tZ3«E5E« = AB: BI
Op dezelfde wyze toont men, dat dezelfde' evenredigheid ook plaats heefc als de lyn ^getrokken wordt door het punt E, buiten de Parabola: en hieruit volgt, in 't algemeen, als door hetzelfde punt, het zy binnen of buiten de' Parabola genomen , twee regte lynen naar welgevallen getrokken worden, die elk de Parabola :weemaalen doorfnyden, dat de regthoeken der deelen van deeze lynen tot elkander zyn, ah de Varameters van de middellynen, iuaartoe dezelve %h Ordinaaten behooren.
XVI. PROPOSITIE.
%. 62. Ah ■ MT de Tangens en MN de Ordinaate ™yn van een punt M naar welgevallen, en lit eenig punt D van deeze Tangens , of van haar verlengde, wordt getrokken een perpendiculaar op
de



PARABOLA. si
de Ordinaate, die dezelve ontmoet in E en de Parabola in F; dan zal deeze perp. door het punt F in dezelfde reden gefneeden worden, als de Ordinaate door het punt E.
Naamelyk DF:FË ~ ME: EN.
DEMONSTRATIE.
Dewyl DM— OF en DF=OM is, zo is DM2 : TM2 = DF: AT of AP § fa maar DM2 :TM" — DE-1: TP2 Apr.6b.
dus DE3 :_TP^=DF :AT \1pr.5b.
of DE2:4 AT' — DF : AT §. 51. deel door AT ~ AT
komt DE2 : 4AT~DF : 1. 12.pr.5b.
of DE : 2TP = DF :DEao^.5te§3i maar DE j 2 TP — ME: 2 MP of MN \pr.6b.
bygevolg DF : DE =ME :MN 11 pr.Sb.
en DF : FE —ME: EN 13 es 14pr. 5b.
Dat te bezvyzen zvas.
XVII. PROPOSITIE.
§.63. Als hQde Tangens v, van eenigpunt'F, ontmoetende de vet lengde middellyn MZin Qj dan is MQ =MO» of de Subtangens QO op de midr dellyh nveemaalen zo groot als de Abfcis MO.
PE;
Fig. 10.



'ga I. Boek. ï. Hoofdfluk.
Fig. demonstratie.
ia Laat LQ de Tangens TM van liet punt M doorlbyden in U en trek UW evenwydig met de As AX; m danisAT^APT
en AL—AH/ 3f-
dierhalven LT-HP—FE
nu is DF: FE—ME; EN § 6a,
dus ook DF: LT=ME: EN maar DF: LT^iDU: TU=WE:WP. 4pr. 6 b.
daarom ME: EN=WE: WP iipr.5 b.
en EN-ME:WP-WE—ME:WE 14.pr.3b.
dat is 7ËP :~ÊP r=ML:WE dierhalven ME —2, WE ofMW = WE bygevolg ook Mü = UDl
QU = UF ^Pr'6beri DF = MQ 3/>r. 1 maar DF — MO i^pr. 1 b.
daarom MQ — MO ' enQO rr 2 MO.
<te bewyzen was. I. GEVOLG.
$. 64. Hier uit volgt, dat de Tangenten DM enFQvan twee onderfcheidene punten der Parabola in U elkander midden door deelen.
II. GE.
i



parabola: ég
II GEVOLG.
5- 65. Als men MR trekt, evenwydig aan de Tangens FQ , fg dezelve een halve Ordinaate van de middellyn FE, en men heeft ook aldaar DF^RF of DR=a FR.
///. G E V O L G.
S- 66. TrekdeVoerftraalenBM en BF, dan is" FO- = DMa = 4 BMxMOl
enjga= P Q2-4 BF X FR ƒ S' 52*
bygev. DM-:FQ>=BM : BF 12 *r * *
Dat is: als uithet^elfdepunt Vtwee Tangenten UM OT UF <fc
sy» <fe vierkanten deezer Tangenten tot elkander, als de voerftraaien van de raakpunten.
IV. GEVOLG. £Z? FRMQ zyn. 28pr. 1 b.
XVIII. propositie.
,5; 6^ls IMren AI ^ * ,
M m A, ,/W,r /Vï £ en J
moetende de verlengde middellynen MY m AX m I en T,en door eenig punt F van de Parabola Wtnwydig met deeze Tangenten, getrokken wor* * Q den
19.



Fig. ii.
c
g4 I. Boeic I Hoofd/luk.
den de regte lynen CO en GK ; dan zal de a CHF — CD AHKI zyn.
Het bewys hiervan is volkomen eveneens als van de X Propofitie, en behoeft daarom niet herhaald te worden.
/. GEVOLG.
§. 69. Even als in de Xïde Propofitie blykt3 dat ook hier de a FK0=O MOCT is.
II. G E VOL G.
§. 70. Even als in de XIF* Propofitie- blykt, dat ook hier DM2: □ DF,DG=ME*: AE2 of, dewyl BM : AB =MEZ: AE - §. fa
dat DM2:QDF,DG-BM :ABis%
TIL G E V O L G.
§. 7r. Nog eene andere lyn RN evenwydig met de Tangens AE trekkende, heeft men ook
DM1: RM' ~ □ DF,DG: □ RS,RN, even als in <J. 49.
IV. G E VO L G.
§. 72. Als de Chorde AM en door E nog eeü middellyn UZ getrokken wordt, dezelve fny« dende in Q; zoo is
AE : EI^AQ : QM zpr.ób.
maar AE~EI § 64.
Dierhalven AQ—QM









parabola;
33
En bygevolg deeze Chorde AM eene Ordinaate van de middellyn UZ. §. 46.
V. GEVOLG.
%. 73. Nog eene regte lyn vw, tusfchen de verlengde Tangenten AI en TM, evei,wydig met AM, trekkende, die de Parabola doorinydc in a en m en de middellyn UZ in q: Zo is ÊQ: E?_QA: qw—QM: qv maar QA —QM %. 72.
daarom ook qw =^qv
hier af qa ==- qm §. 46.
blyft aw =mv.
XIX. PROPOSITIE.
5. 74. Als AC en MC de Tangenten zyn van twee punten A en M der Parabola naar welgevallen, en aan eenig ander punt F van den boog AM nog een Tangens ivordt getrokken, zal deeze van het raakpunt in dezelfde reden gedeeld worden, als dezelve de beide voorige Tangenten verdeeld.
Dat is: fw: FU—aw: Cw=CU: UM.
DEMONSTRATIE.
Laat de Tangens AC verlengd worden, tot dat ze de verlengde middellyn van het pi;nr M ontmoet in IN, dan is AC = CN §. 64. Trek docr het raakpunt F eene middellyn FG, die de C 2 Tanr
Fig. 11.
12?



Fig.
12.
II. GE-
$6 1 Boek. I. HoofdfiuL
Tangenten CM en AC doorfnydt in D en E; zo dat MU =UD en AW-WE is, §. 64. Nu is CE : CD == CN : CM
ofAW^CW:CU--UM=AW+CW.CU+UM dat is, AW : CW == CU : UM
Trek nog door U de regte HU, evenwydig met NM en EG;
dan is DU : UM=EH : HN 2 pr. 6 b. maar DU^UM
daarom ook EH=HN=|iNE< en 2 HN=NE getrokken van 2 CN—AN
blyft 2 CH=:AE
dus CH — IAE=EW
en EII CW
Maar FW : FU~EW : EH zpr.üh
Dus FW : FU = AW •; CW.
Dat te bewyzen was.
ï. GEVOLG,
%. 7$. Op dezelfde wyze, aan eenig punt/ van de Parabola, in den verlengden boog AFM naar welgevallen genomen, een Tangens trekkende, die de verlengdens van de Tangenten AC en CM doorfnydt in w en », zal men kunnen bewyzen, dat
uf yfw=z<uM : öC = wC : wA is.



PARABOLA. 37
//. GEVOLG.
h %' 7$. Als de Tangens UW evenwydig valt met de chorde AM, die de punten A en M vereenigd, gaat de middellyn FG door het punt C $ 72. en als dan is UF=FW en bygevolg ook AW=WC en CU=UM.
LEMMA.
§• 77' -dis van een gegeeven grootheid zuordt genomen het ± gedeelte, van dit Stuk wederom het n gedeelte, en zo vervolgens telkens het * ge~ dselte van het laatstgenomen Stuk; zullen alle deeze \ gedeeltens te zamen gelyk zyn aan het -*— gedeëlte van de gegeeven grootheid.
Laat de grootheid verbeeld worden door de ïegte lyn AB, en AC het-*-gedeelte van dezelve zyn, of AC=~nB" Voorts AD wederom het k gedeelte van AC, of AD— ^ Op dezelfde 'wyze ook AE—^2; AF=r~ enz: dan, zeg ik,
zullen alle deeze deelen AC, AD, AE, AF enz. te zamen genomen het „* ,* gedeelte van de gefoeele lyn AB uitmaaken; of AC-HAD4-AE+AF &e. : AB =1 : n-i.
P 3 DE-
Fig12.
r3-



Fig.
3$. L Boek. I. Hoofdflüh
demonstratie.
Dewyl ACrABis, heeft men AC :AB —i : n bygevolg AC ■ CB = i : n-1.14pr.5i>, op dezelfde wyze AD: DC = 1 : n—1 AE : DE — 1 : n-i AF : EF - 1 : n-i &c. &c.
Dus ook AC+AD+AE+AF-fxkc : CB+CD+
DE+EF+&c. r—= 1 : n - 1. 16 Kpr. 5b. Maar nu ïs het klaarb'yklyk , dat de doelpunten C,D,E,F &c. allëhgskens tot A naderen, naarmaate men de deeling verder voortzet, en dus dezelve tot in het oneindige- vervolgende, zal let laatfte deelpunt eindelyk juist in A komen, en de f m van alle de (tukken BC-f CD+DE-f EF &c. aan de geheele lyn AB gelyk worden. Waaruit dan volgt, dat AC+AD+AE+AF+ &c. : AB~ 1 ; n-iis.
Dat te bewyzen was. VOORBEELDEN.
I. Als n=2is, of telkens de helft genomen wordt, heeft men AC+AD+AE+&C. : AB - 1 ! 1
dat is AC+AD+AË+&C. = AB.
■ pfi AB+IAB+ÏAB+ &c. = AB.
II. Als n~3 is, of telkens een derde deel ge* npinen wordt, fleeft men
AC



parabola: &
AC+AD+AE+ftc. : AB=i : a Mt is |AB+iAÊ+^B+&c.== g AB.
III. Als n—4 is, of telkens een vierde deel genomen -wordt, heeft men AC+AD+AE &c.: AB = i: 3 dat is AC+AD+AE+ &c.z=zz I AB.
of | AB+fVA^XAB+icc^lAB^ En zo vervolgens.
XX. PROPOSITIE.
§. 78. De Inhoud van het Parabolisch Vlak AUMP is gelyk aan % 'van het Parallelograjn APMI, op deszelfs Abfcis AP en halve Ordinaate PM befchreeven.
•DEMONSTRATIE.
■ Laat MT de Tangens zyn van het punt M,; fnydende AI, of de Tangens van het punt A, in E, en door E getrokken worden de middellyn UZ. Trek nog de Chorden AM, AU en UM; dan is AQ = QM $ 72 en EU=UQ % 63. bygevolg is a AQU ~ a UQM— a EUM ayp.xb. en dus aAUM=aEQM
maar a-EQM= j a TAM=ia APM
Dierhalven a AUM = \ a APM. Op dezelfde wyze toont men, dat de driehoek in het Segment UM befchreeven, gelyk is aan* a: UQM, en dat de driehoek in het Segment ALT befchreeven, gelyk is aan \ a AUQ; en dierhalven deeze beide driehoeken te zamen gelyk C 4 aan
Fig,
n-
14
en 15-



m
en IS-
\ } l
' I. Boek. I. thofdfiuf.
aan | a AUM=&aAPM. Dit heefc telkens eveneens plaats met de driehoeken in de volgende Segmenten befchreeven: Weshalven het geheele Parabolisch Vlak AUMP gelyk is aan de fomvan
a APM+1 a APM+^t AAPM-f&c. of,dew.£ aAPM+ is^APM-f'&c. -Ia APM is$ 7?
20is dit vlakAUMP—aAPM-HaAPM=|aAPM maart? APMI =2AAPM
gevolglyk AUMPrr?o APMJ. Dat, te bewyzen was. ï. G E V O L G. \ 79. Het Parabolisch Segment AUMA is <= | A APM=s CD APMI. '
II. GEVOLG.
%. 3o. Dewyl a AEM~ I- a APM is, zö olykt dat het Parabolisch Segment AUMA ook ^ f % AEM/ is,
III. G E V O L G.
§. 81. Als UW de halve Ordinaate is van he^ »unt U, heeft men, dat ook
het Vlak AUWA=f£? AWUE is maar AMPA==*Q APMI bew,:
DaarAUWA rAMPA^r^AWUE r^APMI m i^?AWUE:oAPMlzrAWXWU:APXPM ' " i$pr 6b.
ïygev. AUWA : AMPA-AWXWU:APxPM OacIQVU2i_PMa=AW : APgio*53.
Herh. AU WA: AMPA =WU*: PM* !
Dat



PARABOLA. r4j
Dat is: onderfihcidene Parabolifche vlakken zyn tot elkander in de ' driedubbel de reden van hunne bepaalende halve Ordinaaten.
XXI. PROPOSITIE.
S. 82. De inhoud van een Parabolisch Lighaam? of Paraboloïde, is gelyk aan de helft van den Cilinder, welke dezelfde Bazis en hoogte heeft.
Dat is: ABD een halve Parabola zynde, welke, om haar as AD rondwentelende, hetLighaam ABC befchryft, en ECBF een Cylinder van dezelfde hoogte, dim zal Paraboloïde ABC : Cyl. ECBF= 1 : 2 zyn.
DEMONSTRATIE.
Laatcn beide Ligbaamen, ergens naar welgevallen, met een vlak, regthoekig door de As gaande, gefneeden worden; dan zyn de vlakken van doorfnyding Cirkels, als MN en IL. Befchrvf op AD het quadraat ADGH, en trek deszelfs diagonaal AG, die PI fnydt in K; terwyl GH en PI elkander doorfnyden in O. * ' DewyI © BD: 0 PM =BD2: PM2 27 pr 6b en AD: AP=BD2:PM2 is f10.
»eeftmen0BD:0PM==AD :AP'7ij)r 5b. of 0PI :©PM=PÖ:PkT Dat is, het vlak van doorfnyding in den CvImder is overal tot het daarmede overeenkomend vlak van doorfnyding inde Paraboloïde, als PODewyl nu beide Lighaamen dezelfde hoogte" C 5 AD
Fig: 16:



i6.
£6 en 17.
jjp . V Boek. I. lioofdflak:
AD hebben, moet de fom van alle de Cirkels PI, of de geheele Cylinder ECBF, ftaan tot dè fom van al de Cirkels PM, of de geheele Paraboloïde, als de fom van alle de lynen PO tot de fom van aile dé lynen PK; dat is, als het vierkant ADGH tot den driehoek AD G, of als)
3 tOt I.
Dat te bewyzen was. GEVOLG.
§. 83. Dewyl de omtrek des Cirkels PI tos den omtrek des Cirkels PM is, als PI:PM;zö blykt, op dezelfde wyze, dat de fom van allé de eerfte omtrekken, of de oppervlakte des Cylinders, tot de fom van alle de tweede omtrekken, of de oppervlakte der Paraboloïde'is, als de regthoek ADBF tot het Parabolisch vlak ABD, of als 3 tot 2,, volgens § 78.
XXII. PROPOSITIE.
§. 84. Alle Parabolen zyn gelykvomlge Figuuren.
Dat is: als Q en q de Brandpunten zyn van de Parabolen AMB en amb, en mén neeme de Ab^ fcisfen AP en ap zodaanig, dat
AP : ap ===== AQ ; a'q'is; zal ook PM: pm ==. AQ : aq zyn.



PARABOL A.
DEMONSTRATIE.
In de Parabola AMB is 4 AQX AP~PM2 T
en in amb is 4 aq x ap — pm 1 '
Dierhalven AQxAP: x ap^=-VM-: pm2
maar AQ :aq =AP : ap,onderfl,
bygevolg AQ-:aq2—AP*: ap '=PM
enAQ :«gr mAP :ap Z-PM-.pm18pr.5b. Dat te bezvyzen was.
I. GEVOLG.
§. 85. Trek de Chorden AM,öi% en Voerfiraalen QM,qm, dan zyn APM en apm gelyk* vormige driehoeken; als mede AQM en aqm; en dierhalven AM : am ~ QM : qm=AQ : aq. Dat is: de gelykftandige lynen, in onderfcheidtne Parabolen, zyn tot elkander als de Para-' meters.
II. GEVOLG.
§.86. Dewyl Parabola AMBD—§□ ADBF t en ambd—^dadbf is j
heeft men AMBD: ambd— GA DBF: □ adbf < ftel nu AD :ad — BD:bd
zo is AMBD: ambd—AD -: adl—AQ*: aq\
Dat is: de gelykvormige Parabolifcbe Vlakken zyn tot elkander in de vet dubbelde reden hun. tier Parameters.
UI. GE-
Fig,
16 en 17.



Fig.
f : l. Boek. I. Hoofdfluk),
III. G E VO L G.
16 17.
TWEEDE
% 87. Dewyle Paraboloïde
ABC™* Cyl. ECBF T en abc = 1 Cyl ecbf is ƒ$* 8zl
heeft men ABC: <z& — Cyl.'ECBF : Cyl. ecbf. maar in dezelfde onderftelling, is
Cyl. ECBF : Cyl. ecbf-AD* : ad\
bygevolg ABC : abc^_AV>^: ads ==. AQ) : aq3.
Dat is: de gelykvormige Paraboloïden zyn tot elkander in de 'driedubbelde reden van hunne Parameters.
IV. GEVOLG.
§. 88. Eindelyk blykt, op dezelfde wyze, uit §8 3,
3at de oppervlakten deezer gelykvormige Paraboloïden tot elkander zyn, in de verdubbelde reden der Parameters.



TWEEDE HOOFDSTUK. Van de ELLIPS.
I. DEFINITIE.
ls een regthoekige Kegel ABC wordt doorgefneeden met een vlak EFDG, dat deszelfs beide zyden AC en BC onrmoer in D en E; wordt dit vlak van doorfnyding EFDG een EL Ups, of Langrond, genoemd.
H. DEFINITIE.
$. 90. Als men vervolgens een vlak ABC begrypt, dat, door den Top en de As des Kegels gaande, het vlak van de Ellips EFDG regthoekig doorfnydt; worden deeze regte lyn DE van doorfnyding de Eerfte of Groote As en derzel. ver uiteinden D en E de Toppunten genoemd.
I. PROPOSITIE.
§. 91. Elkeregtelyn, als FG, die, in het vlak wn de Ellips getrokken, regthoekig door de groote As gaat, tvordt van deeze As midden doorgedeeld.
Naamelyk: overal is OF~OG,
Fig]



'Figt
i
\
18 en 19-
46. I Boek. II. Höofdftuh
demonstratie,
Trek door O de regte Hl, evenwydig met AB, en laat door dezelve een vlak gaan, evenwydig aan het grondvlak van den Kegel, fnydende denzelveu in een Cirkel HFIG, die regthoekig zal zyn op den driehoek ABC. Dewyl hu het vlak EFDG mede regthoekig ftaat op deezen driehoek ABC § 90, moet, volgens de 6 Prop. 9 B., derzelver gemeene doorfneede FG mede regthoekig op den diiehoek ABC zyn; eri daarom de hoeken DOG, GOE, GOI en GOH alle regt. Bygevolg gaat de chorde FG des Cirkels HFIG regthoekig door deszelfs middellyn Hl; en is OF:=OG. 1 pr. 3 B.
Dat te hewyzen was. GEVOLG.
§. 955. Hier uic blykr, dat de Ellips binnen twee. elkander in alles gelyk zynde en ter weder* zyden te zaamen loopende armen of boogens DGE en DFE beflooten is; en dat de groote As de Ellips midden doordeelt,
III. DEFINITIE.
§. 93. De beide Stukken DO,OEvan degroote As worden Alfcisfen of Afgefiieedenen, en de per. pendiculaarFG derzelver Ordinaate oïApplicaate, dat is Toegepaste, genoemd.
Hieruit volgt, dat de groote As eener Ellips alle haare Ordinaaten midden door/nydt.
IV. DE*



ELLIPS. 4?
IV, DEFINITIE.
§. 94. Als men de groote As DE midden doordeelt in Q, wordt dit punt het Centrum, of middenpunt, en deszelfs Ordinaate RS de kleine As± ook wel de toegevoegde As, van de Ellips genoemd.
II. PROPOSITIE.
§. 95. De Ordinaaten, die ter wederzyden evenverre van het middelpunt, of van de toppunten, afflaan > zyn aan elkander gelyk.
Dat is: DO-EP en dus ook DP=EO zynde, zal FG=MN zyn.
DEMONSTRATIE.
Laat door het punt P, evenwydig met het grondvlak des Kegels, een' Cirkel KMLN gaans in welks vlak zig de Ordinaate MN zal bevinden; zo is deeze MN evenwydig aan FG, en KL evenwydig aan Hl. 15 pr. yb-
Naardien dan de driehoeken DOI en DPL gehoekig zyn, als mede de driehoeken EKP en EHO, zoo heeft men
DO :_DP_— 01 : PL 4 j&r. 6 b.
ofËTzÊoboi : PL onderfl. maar EP : EO— PK: OH 4 pr. 6 B.
daarom01 : PL —PK: OH 11 pr. 5 h. en □ 10,OH =□ LP,PK 6 pr. 5 h. dat is OG2 = PN2 ^pr.^h. of OG — PN en FG — MN % 91. Dat te Bewyzen was.
I. GE-
Fig;. 19.
xftj



4S
I. Boek. II. HoofdfluL
Fig. 19.
18.
I. GEVOLG.
§. 96. Hier uit volgt, dat de kleine As RS de beide halve Ëllipfen DRE en DSE wederom midden doorfnydt; en dat dus de geheele Ellips, door de beide asfen DE en RS, in vier Hukken verdeeld wordt, die in alles aan elkander gelyk zyn.
//. GEVOLG.
§. 97: Als uit F en G, door de kleine As,' "Worden getrokken de perpen diculaaren GN en FM, welke insgelyks Ordinaaten van de kleine As genoemd worden, zullen deeze ook aan elkander gelyk zyn; weshalven ook op de kleine As dezelfde eigenfchappen, als op de groote As % 91 en 95, zullen plaats hebben.
V. DEFINITIE.
§. 98* Als DW wordt getrokken, evenwydig metAB, en voorts WUzodaanig, dat de ZDVVLJ = 1 EDB is- wordt DU de Parameter, ook wel Latus reclum, of de regte zyde, van de Ellips genoemd.
III. PROPOSITIE.
%. 99. De regthoek der heide Abfcisfen van eenig punt der Ellips is tot het vierkant van de halve Ordinaate, als de groote As tot den Parameter.
Dat is: van éenig punt G, naar welgevallen in den omtrek van de Ellips genomen, is QDO.OE : OGJ~DE ; DU.



ELLIPS. 49
demonstratie.
De driehoeken DOI en DlVÜ gelykhoekig zynde, heeft men DO: ÜI - DW: DU 1 ook is OE: OH = DE : hWjWr,6b-
Bygev. □ DO,OE: □ 10, OH^DE:DUi9 pr.5 B.
maar iZ! IO,OH=OG' 23pr. 3 B.
Dierh.CJDO,OE : OG^TdÊTduT
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG,
$. 100. Eene andere Ordinaate MN neemende* waar van de Abfcisfen zyn DP en PE, blykt op gelyke wyze,
dat □ DP, PE: PN2 DE • du is ttaar DDOj0E:OGJ = DE.DU beweezen. Bygev.aD0,0E.0G2— □DP^PN^ij^ ^ of □ DO,ÜE:QDP,PE- OG2: PN2 8pr 5b'. Dat is: van onderfcheidene punten eener Ellips zyn , de regthoekèn der AbfcisJ'en tot elkander, als de vierkanten van derzelver halve Ordinaaten.
tl. GEVOLG.
5- ioi. Als de eene Ordinaate, door het middelpunt gaande, de kleine As wordt, heeft men wederom
□ d03OE:OG2 = tlDQ,QE:QR- Cioo. ofUDO,OE:OG*= dq* iQR'rrDE2:RSa
D Dai
Fig: ik
18
en 19.
m



50 t. Boek. II. Hoofdfluk.
Fig19-
18
en 12
heeft
Dat is : de regthoek der Abfcisfen van eenig punP der Ellips, is tot het vierkant der halve Ordinaate, als het vierkant van de groote As, tot het vierkant van de kleine.
III. G E FO L G.
§. 102. Dew.rZ!DO,OE:OG' =DE!:RS0§ioi en □DOyOE:OG'=DE :DU$9Q.
heeft men DE2 :RS rrDE:DUiipr.§k. en deelende door DE —DE
ook DE :RS^=i -.DUizprSb. of DE : RS - RS: DU zopr. 5 *.
Dat is: de Parameter is de derde geduurig evenreredige tot de beide asfen.
Als men dierhalven trekt de Chorde DR en daar op de perpendiculaar RX, die de groote as ontmoet in X, zal QX de halve Parameter zyn.' ' Want DQ: QR - QR : QX 8 pr. 6 k.
BYVOEGZEL.
g. 103. Als men de Parameter noemt p de groote As a en de kleine As b
Voorts eenige Abfcis DO—r en dus de andere Abfcis OE—en de halve Ordinaate OG^OF—^ ftellende:



ELLIPS. * 5*
heeft men uit $99 DOXOE: OG2 DE: DU
of ax—xx \ yy a : p
en dus yy =.(aX-xx')X-7 En uit 101. DOXOE : 0G2r: DEa:RS2 of ax—xx : yy ~ aa : bb
en dus yy zzz(ax—xx)X—
- ét
Hetwelkbeide Equatiè'n op de Ellips genoemd worden; om datze derzelver hoofdeigenfchap, algemeen'yk, uitdrukken.
Dewyle verder yy~(ax^-xx^X--is, zo is yy <axX-^0f px of OGJ<dDO,DU Dat is: Ut vierkant eener halve Ordinaate Van de Ellips is altyd kleinder dan den regthoek haarer Abjcisfe met den Parameter. Om welke reden de oude Griekfche Wisfcunftenaaren aan deeze Figuur den naam van Bwf„|.,f gegeeven hebben; het welk eenig gemisy of iets ontbreekende, te kennen geeft.
Als de beide Asfen van de Ellips evengroot zyn, of a=.b en oók=.p iSj § I02? veranderd de Ellips in een cirkel, en de Equatie wordt yy—ax—xx*
Zomtyds reekent men de Abfcisfen van het middelpunt, en ftelt men den affland OQzz.x Waar door de Equatie van de Ellips wordt '
y^=. ('I aa~xx ) X ~-—(| aa-xx)X &
D 2 JV. PRO»
Fig,
18 en 19.



Fig19-
5a I. Boek. II. Hoofdftuk.
IV. PROPOSITIE.
§. 104. De regthoek der Abfcisfen op de kleine as, is tot het vierkant van de halve Ordmaates als de Parameter, tot de groote as.
Dat is: de □ RT, TS: TG2 - DU: DE.
demonstratie.
Volgens §. 101. heeft men
□ DO.OE: OG ofQT-"~DQ/: QR* dus DQ - □DOiOE:QR"-QTg- DQ2: QRa
dat is OQ~of~TGa :!=5RT7TS=:DQ QR» maar DQ' : QR*~DE :RS —DE : DU
Bygevolg TG •□RT,TS—DE: DU upr.5 of'□ & T,TS: TG2 ~ DU: DE 8pr. 5 K Dat te bewyzen zvas.
I. G E V O L G„
§. 105. Dewvle ook
de U RT, TS: TG2~QR4:DQ2is,bezveezen; volgt hier uit: dat ook op de kleine as, de regtboek der beide. AbJ.üfen is tot het vierkant van de halve Ordinaate, als het vierkant van de kleine as, tot het vierkant van de groote.
tl G EVO L G.
§. 106. Eene andere halve Ordinaate ZV trekkende , is ook
DRVj



ELLIPS. 53
□ R V.VS: ZV1 — DU: DE maar □RT,! S: TG — ÜU: DE beweezen.
drerh.tZlRT,TS:TG2 .-.[ZiRV,VS:ZVai \pr.$b. of □RT,TS.aRV,VS ~ TG^ZV ttpr.5b.
Dat is: op de kleine as, zyn ook de regthoeken der Abjcisjen tot elkander als de vierkanten van haare halve Ordinaaten,
VI. DEFINITIE.
\ 107. De beide punten Hen I van de groote As AB, welkers Ordinaaten FG en KL gelyk zyn aan den Parameter» worden Foei, of Brandpunten, genoemd.
Dierhalven ftaan , volgens § 95, deeze Brandpunten ter vvederzyden evenver van het middelpunt en van de toppunten.
VII. DEFINITIE.
§. i-o8. De beide regte l\nen MH en MI, die, uit eenig punt M van de Ellips, tot aan de beide brandpunten getrokken worden, noemt men Radii Fe&orcs, of de Foerft raaien, deezes punts.
V. PROPOSITIE.
§. 109. De regthoek der deelen van de groote As, waarin dezelve door elk der Brandpunten gedeeld •wordt, is gelyk aan het vierkant van de halve kkine as.
Dac is: de □ AH, HB=□ AI, IB = CD*
D 3 DE'
Fig. 19.
20.



Fig-
£0.
34} L Boek. II. Hoofdftuk.
d e m 0 n s t r a t i e.
De □ AH, H B: HF2=AC: HF § 99 en 107. maar,w/g. 28>r. 5^.ct§ 102, AC:HF=Cir:HFJ
Bygev. □ AH, f'.B HF ~ CD2 : HFa 11 pr-$b% En dust3AH,HB = CD-
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
%. 110. Dew.Ci AH, HB—□ AI,IB—CD4 isjewl
zal ook □AH7AlE:ÖHBJlB-CD2zyn.
pat is: de regthoek der afftanden van elk Toppunt tot de beide Brandpunten is ook gelyk aan het vierkant van de halve kleine as.
II. GEVOLG.
§. 111. Trek de regte lynen DH, Dl, EHen EI.
By dAH,HB—CD1 beweezen voeg HC^HC8
komt □ AH.HB.+HC *=CD-+HC2
of AC2 == DrF 5pr.2b.en
%ipr. 1 b.
en AC = DH-DI=EH-EI.
Dat is: de Voer ft raaien, uit de Toppunten van de kleine as getrokken, zyn gelyk aan elkander en aan de halve groote as. Als dierhalven, uit D of E als middelpunt, met een radius, gelyk aan de halve groote As,
«en



ELLIPS. SS
een Cirkelboog wordt befchreeven, zal deeze de groote As in de brandpunten doorfnydei : welke daarom, de asfen gegeeven zynde, gemaklyk kunnen gevonden worden.
VI. PROPOSITI E.
§. 112. Ah men trekt de Chorde AD en Voerftraal HD, en uit eenig punt P van de groote As, evenwydig met AD, de regte PN, ontmoetende de kleine As in N, en voorts NO wederom evenwydig met HD, ontmoetende de groote As in O; dan zal OCde vierde evenredige zyn tot AC, HC en PC.
Dat is: AC:HC-^PC : OC.
DEMONSTRATIE.
Dewyl AC : PC r- CD: CN1
en ook HC: OC - CD: CN ƒ 6 B'
zoo-is AC : PC — HC: OC 11 prop. 5 boek of AC : HC- PC : OC 8 prop. 5 boek. Dat te bewyzen zvas. I. G E F O LG.
§.113. Dewyl AC : HC~PC: OC is, beweezen heeft men □ AC,CO=ïZ] HC,CP.6^.5£.
//. GEVOLG. §. 114. Dewyl de driehoeken AHD en PON gelykhoekig zyn, heeft men
HD:AC~ON:PC gev. 4pr.6b. maar HD-. AC $ in.
dierhalven ook ON PC
en ON2" OCM-CN- =PC2 32^. 1 i of OC-PC'-CN2
D 4 UI. GE-
Fig. 20.
21.



31.
'56 l Boek. II. Hoofdftuk:
III. GEVOLG.
§. 115. Trek uit P de halve Ordinaate PM. Naardien AC :PC ~ CD :CNis 4pr}6K is ook AC2: PC2 — CD2: CN* 1 Spr. 5 b. en ACa-PC4: CD*- C.\ J —AC2:CD 14.pr.5b. maarQAPjPB : PMa~ACa:CD^ipi.
dierh.lZlAP,PB : EM*-=AC?--PCi:CD1--CN* Hu is □ AP,PB =AC'-PC2gev.gpr.zb.
Dierhalven PM" — CD"—CN4 VII. PROPOSITIE.
§. 116. Als OC de vierde evenredige tot AC.HC en PC is en de Voer'ftraalen HM en Ml van het punt M worden getrokken; 'zalde eene Voerflraal HM±£AO en de andere Voerflraal MI ~ÖB zyn,
demonstratie, ï. HM1 = PM* + HP2 3 2pr. I b.
maar PM2 = CDV-CN2 § 115 en HP2- HC3-hPC2-2DHC,CpV^. ab.
DüsHM2^CDa-fHC2+PC2-CN2~2aHC,CP
ofHMf-ACf +00^-^0^ §111,114^113, en HM - AC-OCof AQ 7prop. 2b.
U



ELLIPS. 57
II. MI2rzPM*+PI^ ^pt.ib.
maar PM2—CDa CN2 § 115.
en PP --CIa4-PCa+arZ!CI^CP4j>r.a^.
Dierb. MI2—CD2+CP+PC--CN°+2Öci,CP
of MI*— BC2" 4. CK> +2aBc7)C Sin , 114en 113. en MI = BC 4. OC of OB 4pr. s, b.
Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
§.117. Dewyl HM—AC-OC^AOI
en MI-BC+ OC~<J&jbeweezen
heeft men MH + MI —AB
Dat is: de fom der beide Voerflraalen van het zelfde punt eener Ellips, is altyd gelyk aan derzelver groote as.
VBX PROPOSITIE.
§. 113. Gegeeven zynde de groote As en de brand' punten in dezelve, om de Ellips te befchryven.
L constructie. Meetkundig.
Laat AB de gegeevene groote as en HJ de beide brandpunten zyn. Verleng AB, en neem AE—AH, waar door IE=AB wordt % 107. Befchryf uit het andere brandpunt I, als middelpunt, met IE als radius, een Cirkel, en trek daarin de radiën IG. Neem overal GM-MH;
D 5 waar
Fif 21.
22I



58 I Boek. IL Hoofdfluh
Fig.
2,2. 22.
waar door HM+MI=GI~AB wordt: dan zullen M punten van de Ellips zyn; door welken dezelve kan befchreeven worden.
II. constructie. Werktuiglyh
Neem een draad, van dezelfde lengte als de gegeeven groote as AB, en maak zyn uiteinden vast in de beide brandpunten H en I. Span vervolgens den draad ftrak, door middel van een pen M, en draai dezelve, den draad altyd ge. ipannen houdende, rondom de brandpunten om; dan zal deeze pen den omtrek van de Ellips beiehryven.
Dat te doen zvas.
I. GEVOLG.
% 119. Als de beide asfen, of één derzelven ffiet den Parameter gegeeven zyn, kan men door §111 de brandpunten vinden; en dus ook, in deeze gevallen, de Ellips befchryven.
II. GEVOLG.
§. 120. Gegeeven zynde de brandpunten Ff en I, benevens eenig punt M, naar welgevallen, buiten de lyn Hl, kan men, door dezelfde Gonftructien, de Ellips befchryven.
BYVOEGZEL.
%. xai. Aisde as AB dezelfde blyvende, de brandpunten ^H^en Ltot elkander naderen, zal de
Ellips



ELLIPS. 59
Ellips allengs ronder worden; en als eindelyk deeze beide punten H en I in het middelpunt C te zaamen komen , wordt overal HM~ MI—AC of CB; dat is de Ellips zal veranderen in een Cirkel, waar van C het middelpunt en AB de middellyn is.
En als de punten A en H dezelfde blyvende, het ander brandpunt I meer en meer van H afwykt, zal de Ellips allengskens langwerpiger worden; en op een oneindigen afftand alle de lynen GI evenwydig aan elkander en aan AB, wanneer de omtrek des Cirkels G,G,G enz. in eene regte lyn en de Ellips in eene Parabola zal veranderen; waar van deeze regte lyn GG de lyn van richting is. § 20 en 21.
VIII. DEFINITIE.
§. 122. Als men in de verlengde as AB neemt bet punt Q, zodaanig dat AQ: AH = AC: HC is, en door Q trekt de onbepaalde perpendiculaar ZZ wordt deeze Dire&rix of Lyn van Richting genoemd.
I. GEVOLG.
§.123. Dewyl AQ: AHjuAC : HC is, onderji. heeft men AQ+ 'VGAH+HC^ACiHCi5pr.5 b.
of QC : AC =AGHC en □ QC, CH =AC ■■■ 6pr. 5 b.
Dat is: de halve groote As is middenevenredig tusfchen de af/landen der lyn van richting en van het brandpunt tot aan het middelpunt.
II. GE-
Fig. 22.
21.



6ö 1 Boek. II. Hoofd/luk'.
■ Fig. si.
1
)
IX. PRO:
//. GEVOLG.
§. 124. Dewyle QC:AC = AC:HCis§i23
of QC:BC^BC:HC isook QC+BC:BC+HC -AC-.aC15pr.5b.
of ~BQ~ : BH~ = AC:HC
UI. G E VO L G.
% 125. Naardien AQ: AH = AC: HC § 123 en BQ BH = AC:HC$i24
Zo is ook AQ: A H = BQ BH 11 pt 5 b. en AQ:BQ=Ati:BH Qpr.5b.
Dat is: de Afpanden der Toppunten van de lyn van richting zyn evenredig met derzelver afftanden van het Brandpunt,.
BYVOEGZEL.
10.6. Deeze verdeeling van de lyn QB in 3e punten A en H, zod anig dat AQ :BQ = AH: BH zy, wordt de Harmonifche fnyding van :ene regte lyn genoemd; om dat als dan de drie ynen AQ, HQ en BQ in eene Harmonifche :ve,<redigheid zyn : uit de eigenfchappen van velke verdeeling, de Heer Ph. de la Hire, n zyn groöte Werk, Secliones Conica Par. 1685, :n na hem, verfcheiden anderen , de eigenfchap>en van alle de drie Kegelfneeden hebben afgeeid.









ELLIPS. m IX. PROPOSITIE. Fig:
§. 127. Ah, iiit eenig punt M van de Ellips, 21. op de lyn van richting wordt getrokken de perpendiculaar MR; zal deeze ft aan tot de Voerflraal HM, ah de groote as, tot den af ft and der brandpunten van elkander.
Dat is: MR:MH ~ AB: HL
DEMONSTRATIE.
Naardien QC : AC = AC:HC is §123:
is ook QP+PC": AÖ+ÖC ~ AC: HC maar PC: OC = AC: HC § ïis.
Dierhal v Q P+PC: A O+OC — PC:(JC~i 1 pr. 5 b. °f_°Jl : ^9. —PC:0C *5pr-5&' dat is MR : MH zz PC:OC § 116. dochA3:HI — AC:HC r_PC:0C§ii2.
Bygevolg MR: MH — AB:HI 11 pr. 5b. Dat te bewyzen zvas.
GEVOLG.
§. 128. Eenig ander punt m neemende, en daaruit trekkende mr, mede regthoekig op de lyn van rich ing ZZ, is ook wr:«?H-MR:MH_ AQ:AH-AB:HI§i22 maar AB> Hl
Derh.«r> wH,ookMR> MHenAQ> AH. Terwyl in de Parabola MR-MH en AQ=AH zyn
X. PRO;



6% I. Boek. II. Hoofdfluk.
Fig. X. PROPOSITIE. **
2.2,.* §• 129. Gegeeven zyndeteene brandpunt H, benevens drie punten M, N en L naar welgevallen, mits in geene regte lyn met elkander leggende, om. door dezelven een Ellips te trekken P
constructie.
Trek de Voerftraalen MH, NH en LH en maak HDrr HE^HN de kïeinfte derzelven. Trek ND en NE, en uit H daarmede evenwydige lynen, die de verlengde MN en LN cnrmoeten in F en G. Trek door deeze punten F en G eene onbepaalde regte lyn ZZ, dan zal deeze de lyn van richting zyn. Trek verder uit M op deeze ZZ de perpendiculaar MR en uit li de perpendiculaar HQ Neem eindelyk in HQ het punt A en in haar verlengde, aan den kant van H, het punt B, zodaanig dat AQ: AH en BQ: BH zy, als MR: MH; dan zal AB de groote As zyn, waar door vervolgens, met behulp van de VIII Prop. de Ellips kan befchreeven worden. Dat te doen was,
demonstratie.
Trek nog op ZZ de perpendiculaaren NS en LT: dan is MR: NS = MF: NF 4 pr. 6 b.
en MF: NFziMH: DH 2pr. 6 b.
Bygevolg MR: NS = MH: DH 11 pr. 5 b.
dat is MR: NS - MH: NH Conjlr. Of MR:MH~NS :NH 8 pr. 5 b.
We-



ELLIPS. 65
Wederom LT: NS=LG: NG-LH. EH of NH Fig.
en LT:LH=NS:NH Dierhalven MR: MH—NS: NH = LT: LH = 23* AQ: AH —BQ: BH. En daarom M, N en L punten van de Ellips, waarvan AB de groote As is, § 127.
Dat te bewyzen was. XI. PROPOSITIE. §. 130. Aan een gegeeven punt M van de Ellips een Tangens of Kaaklyn te trekken.
CONSTRUCTIE.
Trek de beide Voerftraalen MH en ML Ver- 24. leng de eene daarvan, als MI, zover dat ME — MH zy. Trek EH, en deel dezelve midden door in G. Trek eindelyk, door G en M, eene onbepaalde regte lyn TZ; dan zal deeze de Ellips in het punt M aanraaken.
DEMONSTRATIE.
Neem, in de lyn TZ eenig punt N naar welgevallen en trek de regte lynen JNE, NH en NI. In de driehoeken EGM en HGM, is EM = MH1 EG^GHjCo^ enGM—GM
Daarom L EGM == L HGM = L 5pr. 1 b. En dus ook EN =NH 3 pr. 1 b. En EN+NI = NH+NI Maar EN+NI> EI ispr.ib.
Bygev.liï+M>"ËI
m



64 I. Boek. II. Hoofd/luk.
Fig. Nu zoude NH+NI-EI of AB moeten zyn; ■ § 117, als het punt N in den omtrek van de* * E1,iPs was': dierhalven is elk punt N van.de regte TZ, behalven M, buiten deezen omtrek, en raakt deeze lyn TZ de Ellips m KL'
Dat te bewyzen was. I. GEVOLG.
& 131. Hier uit volgt; dat de Tangens TZ de Ellips met meer dati inéén punt kan raaken.
£L GEVOLG.
§. 132. Als het punt M in A valt, komt ook het punt G in A en de regte GZ regthoekig op AB. &
Als het punt M in D valt, wordt de regte HE evenwydig aan de kleine as CD en komt GZ regthoekig op CD.
Dierhalven zyn de Tangenten van de Toppunten der as/en regthoekig op deeze asfen.
III. G E VO L G:
i 133. Dewyle i TMH^TME
_en^TME — i ZMI 2pr. 1 b. is ook i TMH = ZZUl.
Dat is: de Tangens maakt ter wederzyden met de Voerftraalen gelyke hoeken.
BY.



ELLIPS. 6$ BYVOEGZEL.
Fig.
§. 134. Hieruit leidt men af, dat de lichtftraa- 2,, len, die uit het eene brandpunt I tegens de holle en gladde oppervlakte van een Elliptifchen Spiegel aanvallen , van daar te ruggekaatst zynde, alle wederom in het andere Brandpunt PI vergaderen;
IV. GEVOLG.
% »35f' AIs MR getrokken wordt perpendrcu- 2*; laar op de Tangens TZ, zal dezelve den hoek der Voerftraalen HMftnidden doordeden, of l HMR ~ ZRMl zyn.
Bygevolg MH:MI = HR: Rl zpr.6b. en HM+MI.-HR+RI=MH: HR 13pr. 5 h
datisAB : HÏ =MH: HR —MLRHur of AC : HC — MH. HR =r Ml: RL
V. GEVOLG.
5- 136. Als uit I ook een, perpendiculaar IK op de Tangens TZ wordt getrokken,'zyn de «driehoeken HMG en IMK gelykvormio- en HG:IK_HM:IM-TH:TL.
Dat is: depetpendiculaaren, die uit de handpun'. ten op d^Tangens van eenig punt van de Ellips ghrokken worden, zyn tot elkander als de Voerftraalen; en ook als de Jfftanden der Tangens van de brandpunten.
E VI. GE^



66 I. Boek. II. Hoofd/luk.
Fig. VI. GEVOLG.
§. 137. Maak ook MF—MH en trek Wi dan is L EHF~ L 18 pr. 3 *. en dus HF evenwydig met de Tangens TZ, Trek nog, door het middelpunt C, eene regte lyn, evenwydig met deeze Tangens, die de eene Voerflraal ontmoet in O, en het verlengde van de andere in S ; danis FO:OI ~HC : Cl zpr. 6 h maar HC — CI
daWom FO=:OInHS ert MO=MS=ïEfc=AC
XII. PROPOSITIE.
§. 138. Uit eenig gegeeven punt (N) duiten de Ellips, een Tangens aan dezelve te trekken?
CONSTRUCTIE.
24 Trek uit hét gegeeven punt N, tot de beide ' brandpunten H en I, de regte lynen NH en NL Befchryf uit N, met de kortfte deezer lynen NH, een CÏrkelboogje, en uit het andere brandpunt I, met een radius gelyk aan de groote as AB, no£ een ander Cirkelboogje, dat het voorige doorfnydt in E. Trek de regte EI, fnydende de Ellips in M; en door de punten N en M de onbepaalde regte lyn TZ: dan zal deeze de Ellips in het pnnt M aanraaken.
■Dat te doen was<



È"L L I P S. 6>
DEMONSTRATIE.
Trek nog NE en MH; dan is in de driehoeken EMN,HMN a4« NE = NH Conpr. EM = HM $. n8. en MN = MN
Dierhalven l EMN = i HMN 5 pr. 1 b. of ZEMT = 1 HMT geyolglyk EG = GH 4 pr. 1 b. En TZ de Tangens van het punt M § 130. Dat te bewyzen was.
G EV o L G.
§• 139- De bside Cirkeiboogen elkander nog in een ander punt e doorfnydende, kan men, door hetzelfde punt N, nog eene andere Tangens aan de Ellips trekken.
XIII. PROPOSITIE.
$. 140. De regthoek der perpendiculaaren, die uit de brandpunten op de Tangens van eenig punt der Ellips getrokken worden , is gelyk aan het vierkant van de halve kleine as.
Dat is: de Q HG,IK = CD2
DEMONS TRATIE.
Trek, uit het middelpunt C, op de Tangens TZ de perpendiculaar CN,
dan is HC : Cl =GN:NK 2pr.6b. en HC=CI §107.
daarom ook GN=NK
E a Trek



'69 h Boek. II. Hoofd/lak.
■Fig. Trek verder uit' G en K, door het middelpunt C , regte lynen, die de verlengde perpendicülaaren IK en GH ontmoeten in F en in L, dan is:
GN ; NK=GC j CF=LC: CK apr. 6 bygev. GC=CF=LC-CK Voorts GF = EI = HM + MI =:AB | n/"f> Bygevolg uit C, met de halve groote as als radius, een Cirkel befchryvende, zal dezelve gaan door de punten G, K, F en L, en GH = IF> als mede HL ~ KI zyn.
Nu is D AH,HB = Cl HG,H.L 23 pr 3' *•
of □ AH,HB — □ HG.KIMaar !Z!AH,HB = CD* § 109.
Dierhalven ÜHG,KI — CDa
Dat te bewyzen was.
i. gevolg.
§. 141. Laat de Tangens van het punt M dé
verlengde as ontmoeten in T; dan is
TC: HC = TK: MK*V
■ }> zpr.6b.
en TC:CI=TG:GMJ
Daarom ook TG:GM=TK:MK 11 pr.gb. of TG:TK=GM:MK Spr.$6.
Ïl gevolg.
5.142. Wederom TH TC = TM: TK 1
en TH: TC - TG: TNj*4^
Daarom ook TG: TN - TM: TK upr.g b. en □ GT, TK ^CJNT^TM 6pr. 5 b.
XIV. PRO.



ELLIPS,- o>
XIV. PROPOSITIE. • - -
§. 143. Als PM de halve Ordinaate is, zullen .de Abfcisfen AP en PB tot elkander zyn, als de a ' .afflanden TA ra TB der Tangens 'vande Toppunten,
Dat is: AP:PB—AT: TB.
DEMONSTRATIE.
Dewyl TMP, en TCN gelykvormige Driehoeken zyn, en TM : TP = TC: TN is \pr. 6 b. heeft men □ MT, TN = □ PT, TC 6pr. 5 b. maar □MT,TN=S=1GT,TK $ 142.
Dierhalven □ PT,TC =QGT,TK
en U GT,TX = 5=3AT,TB 24pr. 3 b,
Bygevolg fa PT, TC = □ AT,TB
en TC : TB — AT : TP8pr.sk waaruit_CB_ : AP = TC : AT 14^.5$.
en ook AC : PB = TC : BT ispr.gb.
Daarom AP : PB = AT: BT upr.$b.
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
S. i44.Dew.n AT,TB=nPT,TCisfcw*«fl» en CT« = nPT,TC+aPC,CT2|>r.ai.
zo is CTa- Q AT,TB=□PC,CT~ maar CTa-QAT,TB = AC2 6pr,zb.
daarom nPC,CT—AC2 en PC : AC = AC : TC.
E 3 Dat



7& I. Boek. II. Hoofdftüh
Tig. Dat is: de-halve groote As is middenevenredig tusl , fchen de af (tanden der Tangens en Qrdi*
■ * ' naate van het middelpunt.
II. GEVOLG.
% 145. Dewyl {Z3PC,CT =AC2 is heweezett trek af PC =PC2
blyft □PC,CT_- PC2=AC2—PO
of □ TP,PC = □ APjPB
%en$pr. iV>
Dat is: de regthoek der af (landen van- de Ordinaate tot aar, de Tangens en tot aan het middelpunt is gelyk aan den regthoek det Abfcisfen.
ig. G E VO L G.
%. 146. LaatMR getrokken worden , regthoekig op deTangens TM, dan isOTP,PR=PM2 %pr.6h. NuisDAP.PB:- PM2 = AC2: CD'§ 101*
Dierh. □ TP,PC: □TP,PR=aTc7cP:CD2
§ 145 en 144:
En 1: PR=TC:CD2i2*r.5^ cfaTCJPR=CD2 6pr.5b, • En TC : CD = CD : PRr
Dat is: de halve kleine As is middenevenredig tusfchen de' fubnormaal en den affland der Tangens van het middelpunt.



ELLIPS,
BYVOEGZEL.
:f. 147. Indien het punt Min A valt, komen 26. pok de punten T en P in A, waar door PR •^eranderd in AR, en men zal hebben AC : CD = CD : AR] of AR=-gf
jDat is: de Kromte-Straal (zie % 39) van het Toppunt der groote As eener Ellips h de derde evenredige tot de halve groote en kleine As, of gelyk aan den halven Parameter. § 102.
IV. G E V O L G.
g. 148. Dezelfde eigenfchappen zullen ook flaats hebben op de kleine As Dd: want trek MQ perpendiculaar op Dd, en laat MR, verlengd zynde, de kleine As Dd ontmoeten in S; dan is
CO: QO-CT: QM of CP 4pr. 6 b. pochCT:PC=AC»:CP*ofQMa§i44e« 28^.5*.
PierfLC0.:Q0 = AC2:QMa upr.$b.
Nu is AC*: QM3 = CD*: jp DQ,Q</§ 105.
Daarom CO:00=.CDa:ODQ,Qd 1 '1 pr.$b.
of CO: QO^CD»: GD—CQï spr.zb. en CO:CQ-CDa:CQa 13^.5*. of CO: 1 —CD9:CQ 12pr.sk Bygevolg I. □ OC,CQ—CD* 6pr.$ k als in § 144
E 4 Dewyl



fi. J.~Bó ek. II. Hoofdftuk.
Fig. Dewyl CO S CD — CD: CQ Zpr.$b.
zo is CO-CD: CÜ+CD-CD-CQ: CD+CQ
2 ' dat is II. OD ; ~Qd~ = DQ ? ""ÏJT
als in $ 143.
En om dat □ CO, CQ = CD"- is, -beweezen en CQ'^CQ1
Dierh. E3 CO,CQ-CQ2 ~~CD —CQ2
of III. □ OQ,QC = ÖD^^^r. 2 *. als
in § 145-
Ook{_iDQ,Qf/:MQa = CDjVAC' § 105.
of □0Q,QC:D0"ï^S=tI30CiCQ:AC*Acw.
en 1: QS ~ CO :ACizpr.gb. waar uit IV. □ QS,CO = AC2 1
of OC:AC^AC:QS/aIsinSHÓ.
Hieruit vplgt wederom, dat, het punt M in D vallende, nien zal hebben
CD : AC=AC : DS en BS==-££
Dat is: V, de Kromte-Straal van bet toppunt de?
kleine As ts de derde evenredige tót' db halve kleine en groote As/en.
V. GEVOLG.
5. 149, Dewyl altyd □ TP,PC — □ AP,PB is; W' § 145 zal de Subtangens TP dezelfde blyven voor alie de. verfchillende Eliipfen AMB, ANB enz. dje dezelfde groote As AB hebben, als mede ■ • voqï



ELLIPS, 7j
voor den Cirkel AEB, waarvan AB de middel- ry_. jyn is: of de Tangenten ET, MT,NT enz. zul- S' len elkander alle in hetzelfde punt T van de yer- 27. lengde groote as ontmoeten, even als in de Parabola §. 37.
VI. G E V O L G.
§. 150. Als het punt P valt in het brandpunt g. H, zal het punt T komen in Q, alwaar.de lyrt 'van lichting de verlengde As doorfnydt: want, - volgens$. 123, is ook n QC, CH === AC Het welk dezelfde eigenfchap is, als ook in de Parabola § 38 plaats heeft.
XV. PROPOSITIE.
$. 151. Als aan het punt F, welks Ordinaate door het eene brandpunt gaat, een Tangens wordt getrokken, en uit eenig punt M van de Ellips naar -welgevallen eene Voerflraal HM, en halve Ordinaate PM, die verlengd zynde, deeze Tangens ontmoet Ut, N; zal altyd PN=HM zyn.
DEMONSTRATIE.
Laaten, uk M en P, op de lyn van richting 1 _£Z, getrokken worden de perpendiculaaren MR en FKj
dan is KF of QH: HF-QP of RM: HM §. 128.
en QH: HF—QP :PN4/r.6*.
Bygevolg altyd PN=HM.
Dat te bewyzen was.
E 5 l. G£<



?4 l 'Bo;ek. II. Hoofdpluh
Fig. I. G E VO L G.
§. 152. Als uit de Toppunten A en B worderi getrokken de perpendiculaaren AE en BG, zal ook AE—AH en BG—BH zyn.
II. GEVOLG.
5. 153. Dewyl AQ> AH J 128.
en AH — AE is,
is ook AQ > AE, en de i AQE <45° of $ Ü welke hoek in de Parabola juist | Lof 45° is. §41;
III. GEVOLG.
§. 154. Als de perpendiculaar NP verlengd] worde, tot dafie.de Ellips wederom ontmoet in L; dan is
HP3 +PM2 =^HM2 —PN2 32pr. 1 k en §i$zl maar PJN2 = !ZlLN5NM+PM26/)r.2^
dus HP2+PM2=1=1LN,NM+PM2 en HP2 =QLN,NM :' als in de Var. % 42;
IX. DEFINITIE.
%. igg. Elke regte lyn, als MN, door he^ 29- middelpunt C van een Ellips getrokken, wordt Dtamcter of Middellyn van dezelve genoemd; en derzelver uiteinden M en N haare Toppunten.
XVI. PROPOSITIE.
§. 156". De Middellyn wordt van het middelpunt midden doorgedeeld.
Dat is: MN een middellyn zynde,isMC—CN.
de;



ELLIPS. H
DEMONSTRATIE. Jf^
Trek de halve Ordinaaten MP en NQ, dan zyn de driehoeken PCM en QCN gelykhoekig,en daarom
MP2: QN2 =CP2: CQ2 \pr. 6 b. en 18 pr. 5 doch MP2: QN' = □ AP,PB: □ AQ,QB § 100.
bygev.DAP,PB:OAQ»QB=CPfl:CQa npr.5$.
datisAC2-CP^BCaT:CQ^=CP2:CQ2 5pr. zb.\ en AC3 : BC2 :nCP2:CQai5^.5$. of AC : BC ~CP:CQ iipr.$b.
Gevolgelyk CP — CQ cn dus ook MC ^~CN 21 pr. 1 b. Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
§. 157. Laaten TZ en YS de Tangenten zyn van de punten Men N, ontmoetende de verlengde
groote as in T én S;
dan is □ TC,CP=ACa1
ennSC,CQc=BC1/ $I44;
dierh. [DTC,CP=L1SC,CQ
maarCP= CQ beweezen,
daarom TC = SC
en dusZCTM = i CSN 3pr. 1 b.
of, de Tangenten TZ en YS aan elkander evenïvydig,
XVII. PRO.



t Boek. TI. Hoofd/luk.
Fig. XVII. PROPOSITIE.
30, S- Ï58. Z?<? groote As is de langfte en de Heint As de kortfte van alle de middellonen eener Ellips.
DEMONSTRATIE.
Trek de Voerftraalen MH, MI en NH,NI;danisHM-NIeri HNrrMIs^r. 1 b. Voorts is altyd HM + HN> MN igpr.i b.
dus ook HM+ MI > MN maar HM+ MI = AW% 11.7.
"dierhalven altyd AB> MN.
Hoe nader dan de punten M en N by A en B komen, dés te gfooter wordt de middellyn MN; en dus is AB de grootfte en DE de kleinfte midi dellyn van de Ellips.
Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
§. 159. Als dierhalven, uit het middelpunt C,' 3°- met de radien AC en CD, cirkels worden getrokken, zal de eerfte om de Ellips befchreeven zyn , dezelve.alleen aanraakènde in de punten A en B; en de tweede zal in de Ellips befchreeven zyn, ert dezelve aanraaken alleen in de punten D en E.
XVIII. PROPOSITIE.
§. 160. Als getrokken wordt de middellyn KL^
31, evenwydig met de Tangenten van de toppunten
eener,



'ELLIPS. 7f
eener middellyn MN, en aan het punt K de Tan- Fig. gens FY) zal deeze wederom evenwydig zyn met „ de laatfle middellyn MN. $*«
DEMONSTRATIE.
Trek de halve Ordinaaten MP ^KG, dan zyn TPM en KCG gelykhoekige driehoeken, en dewyl
□ TP,PC = aAP,pb-» st en □ FG,GC— nAG,GB I * 45*
zo isn TP,PC: 3 FG,GC—□ XpJb: - AG,GB maar PM2: KG2 = CAP,PB:CAG,GB§ioa
daar.□ TP,PC:Sfg,gc =PM4:KG1 up .$&. ged. door TP : CC = PM : kg 4pr. 6 h.
komt PC: FG ~PM :K.Gi7~pr~5&.
Bygevolg zyn de driehoeken PCM en FGK mede gelyk vormig 4 pr. 6 b. en de L PCM=^ KFG, of FY evenwydig met MN, 12.pr. 1 b.
Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
§. 161. Als door het andere toppunt L van deeze middellyn KL, een Tangens ZX wordt getrokken , zal dezelve ook evenwydig met MN enimet de Tangens WY zyn; en dus WZXY een pa? rallelogram, om de Ellips befchreeven.
X. DEFINITIE.
§. 162. Twee middellynen, als MN en KL; waarvan de eene evenwydig loopt met de Tangenter}



78 1 È o É K. II. Hoofdfiuk.
Fig. ten van de Toppunten der andere, worden Diametri Conjugatae, of aan elkander toegevoegde. 31- middellynen genoemd.
, tl. DEFINITIE.
§. 163. Als uit de punten M en K, welke elkan* der toegevoegde pinten genoemd'worden, op de asfen worden getrokken de perpendiculaaren MP, MO, KG, KR noemt men MP en KR, alsmede MO en KG elkander toegevoegde halve Ordinaaten
XIX. PROPOSITIE.
S- 164. T)e Jffianden der Imlve elkander toegevoegde Ordinaaten van het middelpint zyn evenredig met de beide halve asfen.
Dat is: CP:CR = CG:CO = CA:CD.
DEMONSTRATIE.
Dewyl AC2 — TC, CP —FC, CG § 144.' zo is TC : FC = CG: CP 8 pr, 5 h. maar TC: FC =PM. KG 1 gev. 4pr. 6 B.
daarom CG:CP~ PM:KG 11 pr. 5 B.
of CG:CP — CÖ:CR cn CG:CO=rCP:CR weder. TC: FC = CG: CP zynde
en TC: FCcz TP: CG 1 gev. 4pr. 6B.
zo is CG:CP-=TP:CGn pr. 5 B. en CGa =aCP,PT=^AP,PB5i45.
Maat



ELLIPS. 79
Maar □ AP, PB: PM2 = AO: CD2 $101. Fj&
dierhalven ookCG- : PM2 — AC1: CD2 „ j
en CG :PM_=AC : CD
ofCG :C0 =AC :CD als mede CP : CR = AC : CD Dat te Bewyzen was.
I. GEVOLG.
$. 165. Dewyl CG: CP — PM: GK is beweezen heeft men CGXGK= CPXPM 6pr. 5 B. bygevolg cn CGKR E-ésCPMö of A KCG — A PCM.
II. G E VO L G.
§. 166. Dewyl CG8— O TP,PC = □ AP,PB bae\
zo is ook KR2=b TP}PC= O AP,PB op dezelfde wyze OM " =1Z3FG,GC — AG,GB. Dat is : bet vierkant van de eene halve Ordinaate is gelyk aan den regthoek der Abscisfen van de toegevoegde.
lij. G E FO L G. %. 167. CG : CO of PM — AC : CD § 164, muit. met AC=AC
komt CG: PM =AC2: ACxCD 1opr. 5 b'.
of CGi PM =FCXCG: ACXCD$144. en i:PM=FC : ACxCDia^r.5*, dusFCXPM = ACxCD Óp dezelfde wyzeTCxGK=ACxCD.
IV. GEi



Sö 1. Boek. II. Hoofdftuk.
'Fig. IV. GEVOLG.
8ï. 5. 168. By CG*~U TV,VCbeweezen addeer PC2 == PC2
' komt CG2-f-PC2 == □ TP,PC~f-PC2
maar □ TP,PC+PC* = QTCCP 3 jfc. 2
Dus CG*+PC2 = 5 TCVCP~AC^i44.
of I. k¥^ÏÜ2-AC-
Dewyl CG2:PM2-CP2:KG2=AC2:CD2§ 164.: zoisCG*+CP2:PM2+KG2-AC2:CDai5^.5£ en dus II. PM2-r-RG*=CD2
Dat is: als uit twee elkander toegevoegdepunten op de eene as perpendiculaar en worden getrokken, zal de Jom der vierkanten van deezeperpendiculaaren gelyk zyn aan het vierkant van dé andere halve as.
V. GEVOLG.
%. 169. Als de punten P en G in elkander vallen, of CP=-CG wordt, vallen ook de punten T, W en F in elkander, en is CM~CK of MN-KL.
En naardien CPa+CGa=" AC2 is § 168. zo.heeft men CP2= CG2~2 AC2 Als mede, om dat PM2+KG2 —CD2 is S léB:
zo heeft men PMa =KG2 n l CD2
■ Waardoor de punten eener Ellips, welkers efc kander toegevoegde middellynen even lang zyn gemaklyk kunnen gevonden worden.
XX. PRO;



ELLIPS. 8r
XX. PROPOSITIE. - Fig
§. 170. Het Parallelogram, op twee elkander '3I, toegevoegde middellonen befchreeven, is even zo groot als de regthoek van de beide as/en.
Dat is: Ö WZXY = □ AB,DE.
DEMONSTRATIE.
trek VM evenwydig met AB, tot datzede Tangens WY ontmoete in V, dan is
CJ WMCK = C7 VMCF 24 pr. 1 b. maar ^VMCF =^FCXPM==ACXCD§ 167. •
Dierhalven CD WMCK = ACXCD En CJ WZXY — ABXDE. Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
$. 171- Hier uit volgt, dat alle Parallelogrammen FGHI, KLMN, OPQR enz. om dezelfde 3a" Ellips befchreeven, denzelfden inhoud hebben.
XXI. PROPOSITIE.
5- 172. De fom der vierkanten van twee elkander toegevoegde middellonen, is even zo groot als de 3 fom der vierkanten van de Beide asfen.
Dat is: MN24-KL2ABa+DE»
M DE-



8a t Boek. II. Hoofdftuk.
Fig> demonstratie».
\\* WantCP*+CGa=AC31
en PM2-f-KG2=CD2.f § l68*
dus CP=-r™=+CG^KG2=AC=+CD2
dat is CM2 -f. CK2 =AC2+CDa %npr.tè, of MNa + KLa = AB2+DE2
Dat te bewyzen was.
XXII. PROPOSITIE.
33» §. 173. Als AI de Tangens van het Toppunt der As en TM de Tangens van eenig ander punt M is9 zullen de driehoeken, welken zy met de verlengde as en middellyn maaken, aan elkander gelyk zyn. Dat is: de A TMG = A ACI.
demonstratie.
Trek de halve Ordinaate PM, dan is TC: AC=AG: PC §144.
en AC:PC—AI:PM 4^.6^. ï
daarom TC: AC = AI: PM 11 pr. 5. en TCXPM= ACXAI6 pr. 5 *. of A TMC = A AGI 34 en 36pr. 1
Dat te hewyzcn-was, ■ *
/. GE<



ELLIPS. 83
/. GEVOLG. Fig.
§. 174. Van A TMC r=A ACI beweezen 33. afgetrokken L PMC ~ A PMC
blyft I. A TPM— Trap. APMI Hier nog af APME = APME
komt II. AATE=A EMI.
//. GEVOLG.
§. 175. De lyn AQ trekkende, evenwydig aan TM,
en van a TMC~ a ACI § 173. afgetrokken a AQC = a AQC
blyft Trap. AQMT == a AQI.
XXIIL PROPOSITIE.
§. 176. Als door eenigpuntV\ naar welgevallen -in den omtrek van de Ellips genomen, getrokken worden de regte lynen GK en VF, evenwydig met de Tangenten AI en TM; dan zal altyd A VFH-Jr^. AHKI^y».
demonstratie.
Om dat a AIC: a PMC—AC2:PC214.pr.6b: iSAAIC-APMCACe-PCa=AAIC:AC214^.5^
of Trap APMI: [Z1 AP,PB=a AIC: AC* 5pr. 2 b. pp dezelfde wyze AHKI: CAH,HB=aAIC : AC2
ADienv. APMI:AHKI=cAP5PB:LlAH5HB "
F 2 maai



84 I. Boek. II. Hoofdjïuk.
Fig. maar PM2: HF- = □ AP,PB:GAH,HB § ioa.
o o Dus ook APMI: AHKIzr PM» : HF2
ó*' doch a TPM:aVFH= PM^ : HF' upr. 6b.
Dierh. APMI: AHKI = a TPM: AVFH Nu is APMI = a TPM \ 174.
Dus ook Trap. AHKI ~ a VFH. Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG,
%. 177. Laat dé lyn VF verlengd zynde de middellyn in O en de Ellips wederom ontmoeten in F en door dit nieuwe punt F mede worden getrokken eene regte lyn FJU, evenwydig aan AI, dan heeft men, om dezelfde reden,
a VÉfcAHKI
dat is, in deeze Figuur $ a VFH=aACI-aCHK bier afgetrok.,de voorg. a VFH—AHKI
blyft HHFF-aCHK-aCHK Nog eens afgetr. HCOF=HCOF
komt CmO~ aFOK-aCHK hierby a CtiK — ACHK
Zo is aF'oK = aFOK En dewyl deeze driehoeken gelyk vormig zyn, ook
FQ=FO 3 Gevolg 14.pr.6 A Dat



ELLIPS, 85
Dat is: elke middellyn deelt haare Ordinaaten en Figl dus de geheele Ellips midden door.
II GEVOLG.
§. 178. Dewyl a VFH - AHKI is 5 i76. zo is ook a VAL = LFKI afgetr. van a ATE— aEIM $ 174.
blyft TVLE — aKDM-EDFL HierbyLOME == LOME
komt Trap. MOVT =a KFO—KFO.
XXIV. PROPOSITIE, ^. 179. Van een gegeeven Ellips het middelpunt, de beide Asfen, de Brandpunten en de Parameter ie vinden ?
constructie.
Trek, naar welgevallen, ergens in de Ellips,
pree regte evenwydige Lynen FF, en Ka. Deel dezelven midden door in O en Q. Trek door O en Q eene regte lyn, die den omtrek van de Ellips ontmoetinMenN; dan is MN eene middellyn §. 177. Deel MN midden door in C; welk punt C het begeerde middelpunt van de Ellips zal zyng. 156. Befchryf verder uit C een cirkelboog, die den omtrek van de Ellips doorfnydt in de beide punten M en m. Vereenig deeze punten door de regte Mm en deel dezelve midden door in P. Trek door P en C eene regte lyn, de Ellips fnydende in A en B; dan zal AB éene van de F 3 Asfen



W' I, Boek. E Hoofdfluh
Fig. Asfen zyn: waaruit vervolgens de andere As 5.9 ft de Brandpunten §. 111 en de Parameter § 103 33* kunnen gevonden worden.
Dat te doen was, GEVOLG.
5. 180. Als niet de geheele Ellips, maar alleen een boog van dezelve gegeeven is, moet men nog eene andere lyn MC trekken, door de
middens van twee andere evenwydige lynenFF^Aa-7 en het punt, alwaar deeze de voorgaande MC door*, fnydt, zal het begeerde middelpunt zyn; waardoor men vervolgens de Asfen, brandpunten en; Parameter bekomen kan.
XXV. PROPOSITIE.
§. 181. Op een ieder middellyn zyn de regthoeken der Abfcisfen tot elkander, als de vierkanten yan de halve Ordinaaten.
Dat is: Q, MO,ON: □ MQ,QN— F02:AQa
demonstratie.
A TMC: A AQC —MC2: QC214.fr. 6b ^TMC-AAQC:MCa-QC2~ATMC:MC*i.q,^
Of AQMT :nMQ^QN=ATMC:MCs«r.a*zo ook tVOMT:[ZlMO,ON=ATMC:MCa
dusAQMWoMT^^^^M^p"^ 1
of a AQI:AKF0=nMQ,QN:GM0,0NSi7r; maarAAQI:aKFO — AQ2 : FO! Hfr.óbï
Bygevolg □ MQ,QN:OMO,ON =^AQ2: FO2 \ Dat te bewyzen was.
L GS









ELLIPS. H? I. GEVOLG. Fig,
$. 182. De Ordinaate RS, door het middel- 33. punt C gaande, is de toegepaste middellyn § 160, §n men heeft dan ook
C1MQ,QN:C]MC,CN=AQ2: RCa dat is □ MQ,QN: MO =AQ!: RO «faMQ,QN:AQ2=nM0,0N:0F—MO:RCa
Dat is: de regthoek der Abfcisfen is tot het vier* kant der halve Ordinaate, als het vierkant van de halve middellyn, tot het vier* kant van de halve toegevoegde middellyn. Hier uit volgt verder,
als MC = RC is, zal ook □ MQ,QN=AQ2
en aMO?ON = OF2 zyn.
II. GEVOLG.
|. 183..Dewyl TC:ACr=AC:PCis5i44 en TC:AC=MC:QC4^.6&.
is ook AC: PC =MC :QC 11 pr. $K wederom AC:PC=IC -MC4.pr.6b.
Daarom IC :MC r=MC -.QCupr.sb. of[HIC,CQ=MO j
Waar uit men vervolgens, even als in $ 145 gedaan is, kan afleiden,
dat ook D IQ, QC - □ MQ, QN is.
F 4 ///. GE-



3* I. Boek. II. Ihofdftuk.
Fig. ffl< G E VO L G.
33- §. 184. Naardien IC: MC — MC: CQ is % 183.1 zo is ook IC-MC:IC+MC-MC-C Q:MC+CQ
13 en 14.pr.5b. dat is, IM : IN = QM : QN
XXVI. PROPOSITIE.
64 §• 1B5. Als door eenig punt F, het zy binnen en of buiten de Ellips genomen, getrokken wordt eene 35' middellyn DE en nog eene andere regte lyn GH, ontmoetende de Ellips in Genüen evenwydig zynde aan eene tweede middellyn AB; dan zal de regthoek der deelen van de middellyn tot den regthoek der deelen van de fnydende lyn zyn, als het vierkant van de halve eerfte middellyn, tet het vierkant van de halve tweede. Datis: □DF,FE:t=]GF,FH=CDï:AC!!
DEMONSTRATIE.
Laat Cl de halve toegepaste middellyn van AB zyn, fnydende GH midden door in N. Trek DM evenwydig met AB en DL, GKevenwydig met Cl, welke DL en GK halve Ordinaaten zyn van de middellyn AB.
Nu is ÉN ,DM=CN :CM =CF :CD Apr.6b. En FN2:DMa^rCN~:CM2—CF2:CDai 8pr.5b, of FN2:LO— GK*: ÖÏ7* ©aar volg.§i8i.GK*:DL2~I3AK,KB:CZ!AL,LB
dus



E L L I P s.
dissFN^LC^trnAKjKBöALjLBrrCF^CD1 Fig: en DAK,KB+ FN2:QAL,LB+LC2—CF2:CD*
ofAC2l:GN2+FN2: AC7 :_CF :CD2 M enGNa-FN2:CDï-CF21_ar2.rnj ' of FN^-GN2: CB-CD'J ~%„Z,Sl. dat isüjGF^FH: □ DF,FE=AC2:CD2 5tn6prT2b> Dat te Bewyzen was.
L GEVOLG.
$. 186". Door het zelfde punt F nog eene andere fnydende lyn gh trekkende en evenwydig daarmede de halve middellyn aO heeft men, volkomen om dezelfde redenen,
CP gF,F£:!=lDF,FE= ÖC2:CD2 dewyl nuaGFjFHaDFvFE-AC^OD2 bew. zal ook □ gF, Fb: □GF^fÏÏ^C^AC2 zyn.1 Dat is: als twee regte lynen , door of uit het zelf de punt getrokken, ieder de Ellips tweemalen doorfnyden, zullen de regthoeken der deelen op deeze lynen tot elkander ft aan, als de vierkanten van de [halve middellynen, evenwydig met dezelve getrokken.
II. GEVOLG.
$. 187. Als door of uit een ander punt O, nog twee fnydende lynen PQ en pq, wederom evenwydig met AC en öC worden getrokken, heeft men, eveneens als
E $ GgF,



m i. M 9* kJ iq Haofdjïuh
■ m 5—igFs pfi; c3 GF, FH jft «c*: ac* is
34 '00l£ ^o, o^n po, oq me*; ac*
^ 4us ^gKFh: aGF,FH != □^Ö,0^:C]PO,OQ
III GEFQLG. I
3°« "$. 188.' Een deezer fnydende lynen een Tangens wordende, vallen de Snydpunten in elkander en wordt de regthoek der deelen van deeze fnydende lyn verandert in het vierkant van de ÜÊèWfëé 'en daarom ook ,
DF-: □ GF, FH :~ bc2: ac2,
'IV. GEVOLG.
,5-, 189,. Trekkende fh evenwydig met FH heeft men op dezelfde wyze *
Df 2: Ugf,f h = bg2: ac2 en daarom ook D/2: Ugf,fh =DF2 :CGF,FH of D/2: DF2 = Cgf0;UGF,FÜ
V GEVOLG.
%. 190. Uit F nog een andere Tangens FE trekkende en daar mede evenwydig de halve middellyn Cl zal eveneens als
DF2:□ GF,FH— bc*: ac2 is $ l88 fook EF2: CGF,FH --ci2 : ac2 zyn
weshalven DF2 ■ EF*=bc2:cp 11 pr k b\ enDF :EF=bc :ci
Pa?



ELLIPS. 91
Pat is: de beide Tangenten■, die 'uit- het zelfde punt p-^ aan de Ellips getrokken worden,.zyn evenre. dig met haare halvéevenwydige middellynen- %6. VI. G É V O L G. §. 191. Als,:eindelyk, AB:een middellyn is 37. naar welgevallen en CX haare halve toegevoegde; voorts AE en BZ de Tangenten van haare Toppunten, ontmoetende in E en Zde Tangens van eenig ander punt M; waarvan CM en Ca 4e halve elkander toegevoegde middellynen zyn j dan is AE: EM =CX: aC 1
en BZ: MZ=CX:cC igö'
Bygevolg AE: EM =BZ :MZ 11 pr. 5 b, of AE: BZ =EM: MZ 8 pr. 5 h
XXVII. P.ROPOSITIE. %. 192. Als TM de Tangens is van eenig punt M naar welgevallen, ontmoetende eenige middelly?t
AB in T en PM eene halve Ordinaate, zullen der-
zelver Abfcisfen AP, PB evenredig 'zyn met de af/landen TA en TB der Tangens van de beide toppunten, ■ Dat is: TA:TB —AP:PB.
demonstratie.
Dewyl AE:BZ=EM:MZ is§ i9i.v en AE:BZ = AT:BT 4pr. 6b.
zo is EM:MZ=AT:BT n pr. 5 b. maar EM :MZ= AP: PB 2 pr. 6 b.
&arom AT: BT=AP: PB n pr. 5 b.
Dat te bewyzen zvas.
I. GE-



l Boek. II, Hoofdftuk.
Tig. I GEVOLG.
37. $. 193. Dewvl AT: B T ~ AP: PB is bewezen* is ook BT-AT:PB-AP=AT:AP 14.fr.5b,
of 2 AC : 3 rc— AT:AP : insgelyks AC : PC -=AT:APi2*r. 5 h. WederomAC+AT:PC+AP-AC:PCi5^.5^ of TC : AC -AC:PC
Dat is: de halve middellyn is midden evenredig tusjchen de afjlanden der Tangens en 0% dinaate van het middelpunt.
II. GEVOLG.
$ 194. Naardien TC: AC=AC :PC bew. heeft men C2 TC, CP ~ACa 6pr. 5b. maar volg. de 5pr. 2 b. AC2 = □ AP,PB+PC»
dierhalven □ TC,CP=□AP,PB+p"c2" trek af PC2 = pc»
blyft Q TP,PC^aAP,PB3^r.3^
Dar is1: de regthoek der Abfcisfen is gelyk aan den regthoek der Subtangens met den afjland van de Ordinaate tot aan het middelpunt*
HL G E VO L G.
§. 195. Den AT,TB+AC2=TC* 6>. 2 K
hieraf AC3=iZ3 TC,cp$i93S
blyft □ AT, TB — t=!CT,TP 2pr-2Ï of TA : TP=TC : TB 8pr. 5 b\
Dar



E L L I P & 93
Dat is: de vier lynen TA, TP, TC, TB zyn al- jr/gj tyd evenredig.
IV. GEVOLG. 37'
J. 195. Laat CX, verlengd zynde, de Tangens ontmoeten in Y.
DewylPMa:CX3-CZiAP,PB:ACais$ 183*
heeft menPMi;CX: =LT3TP,PC:"CTC, CP
$ 194 en § 193 dus ook PMa: CX2=TP : TC 12pr. 5 b. maar PM : CY = TP : TC 4pr. 6 b.
daarom PMa: CX3 ~ PM :CY npr.$b.
en PM :CX*= 1 \CH i2.pr.5b.
of PM : CX = CX : CY 20 pr. 5 b. en □ PM,CY= CX2 6pr. 5 *.
V. GEVOLG.
. J. 197. Omdat AT:TP=-TC:TBis$i95.
en AT: TP - AE : PM 4 ƒ>/•. 6 b.
is ook TC: TB =AE:PM~n pr.^b: maar TC: TB == CY: BZ 4pr. 6 b.
daarom AE: PM ~ CY: BZ r 1 pr. 5b. en de □ AE,BZ=C=iPM,CY^CX<»$I9& Dierhalven, waar ook het puik Min den omtrek van de Ellips genomen worde, blyft een. ter de regthoek der Tangenten AE en BZ altyd even groot, en gelyk aan het vierkant van de halys toegevoegde middellyn CX,
XXVIII. PRf>



94 l' Bójïk. ii. Hoofdftuk.
xxym. propositie.
37» §• IQ8'. Als de verlengde middellyn van hetputti M de verlengde Tangens AE ontmoet in I, zul* len de driehoeken welke deeze verlengde middellonen en Tangenten met elkander maaken, evengroot zyn.
> Dat is: de A TMC=aaic.
de monstratie.
Dewyl tc r ac—ac : pc is § 193.'
en ac : -pc^ic: mc 4pr. 6 &\
Zo is tc : ac=ic : mc 11 pr. 5 b. ■ en a TMGn a aic i^pr.ób.
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
%. 199. Door eenig punt F, naar welgevallen genomen, trekkende de lynenVOenhk, evenwydig met de Tangenten tm en AI heeft men, volkomen op dezelfde wyze, als in § 176 en -S 178 volgens Tig. 33, van de As beweezen is: i dat Trap. ahki=a vhf ii. eriTrap.MOVT—a kfo is.
4L GEVOLG.
206.'Trek'uit E, alwaar de Tangenten . van de beide punten A en M elkander ontmoeten , eeii middellyn GQ en vereenig de punten A en M door de Chorde AM.
-OÜ t .nivxx . De*



ELLIPS. 95i
Dewyl TC s AC=AC: PC=IC: MC is § 193. pte* zo is ook TA:A'C=ÏM: MC 14 pr. 5 b. en daar. a TAE: MEC= AEIMAËMC 4gw. 37' , • . . .", ij>r.6b.
maar A TAE: ' =AEïM even als § 174.
dierhalven A AtC-AÈMC' Dewyl nu deze driehoeken dezelfde bafis EC hebben, zyn ook hunne hoogten gelyk en'mede AN—NM 21 pr. 1 b. of AM een. Ordinaate van de middellyn GQ en evenwydig met de Tangens van hec punt G*
///. G E V O L GJ : g
%. 201. De regte RS. trekkende, evenwydig met AM, fnydende de Ellips in R en S en de middellyn GQ i» W ; 'dan is
EN : EW=AN : RW—NM : WS^pr^K maar AN =NM S '200.
dierhalven RW- WS
hieraf rW— -W/§ ï77;r
'i " 1 f, ,1 ,,
blyft altyd Rr— Sf
'ÏOA iteMl '»;. : •!•.••.» • i • iv'h nA vn f-?» (f -» IV. G EVO L G.
§. 202. Uit het middelpunt C tot Z trekkende de regte lyn CZ, die den omtrek van de Ellips doorfnydt in'g, zal Cg de'halve toegevoegde middellyn van CG zyn h
>Vant



1 B o è k. Ut HoofdftüL
'fig. want TA : TP—TC : TB zyn de §19'^
is ook TP-TA: TB-TC=TP : TB 14.fr. 5 b. 37- of AP : CB-TP : TB
maar PM : BZ=TP : TB 4. pr. 6 b.'
daarom AP : CB=PM : BZ of AP : PM—GB : BZ
Dat is, de Driehoeken APM, CBZ zyri gelykhoekig 6p . 6 en dus CZ evenwydig met AM, of met de Tangens van het punt G..§ 200.
XXIX. PROPOSITIE,
$8. §• De inhoud eener Ellips, istot dienvanzyn omgejchreeven Cirkel, als de kleine As tot de groote* Dat is; de Ellips ADBE: 0 AB —DE; AB.
demonstratie.
Trek de halve Ordinaaten PM, dié, verlengd Zynde, den omtrek des Cirkels ontmoeten in N. Dew. overal C3AP,PB :PM-—AC2:CD - Is § 101 enC3AP,PB —PN2^^. 3fc
20 is ook PN2 : PM2~AC2:CÏ>
en PN : PM =AC:CD~AB:DE Dewyl nu het vierde gedeelte des Cirkels ACF even zo veele lynen PN bevat, als 'er lynen PM in het vierde gedeelte van de Ellips-kunnen getrokken worden, moet ook
i Ellips ACD: J 0 AB=DE: AB 16 pr. 5 b, of Ellips ADBE: 0 AB=DE: AB zyn Dat te bewyzen was.
I. GEI



ELLIPS. 97' I. GEVOLG.
Fig.
$. 204. Op dezelfde wyze blykt, dat
Ellips: 0 DE ===AB:DE is. 3' Dat is: de inhoud van de Ellips is tot dien van zyn ingefchreeven Cirkel, als de groote as tot de kleine.
II. GEVOLG.
$. 205. Dewyl 0 AB: Ellips=AB: DE § 203. e" ElliPs QDErrAB: DE §204. zo is 0 AB: Ellips^Ellip?:© DE 1 ipr. 5 b Dat is: de inhoud eener Ellips is midden evenredig tusfchen haare om-en-ingefchreeven Cirkels.
Of, dewyl de Cirkels tot elkander zyn als de vierkanten van hunne middellynen, 27 pr. 6 b. ■
de inhoud eener Ellips ts gelyk aan dien van een Cirkel, wiens middellyn de midden evenredige is van de beide asfen.
III. GEVOLG.
% 206. Dewyl Ellips: © AB=DE: AB is § 2c 3; muit. met AB=AB
zo is ook Éllips:0AB^BXDE^AB9l0.^ of Ellips :ABXDE~ © AB: AB: 8pr \i Dat is: de Ellips is tot zyn Omgefchreeven regthoek, als een Cirkel tot zyn cmgefchreeven vierkant: en dus in eene G Hand-



93 I. Boek. II. Hoofdftuk.
Fig. ftandvastïge reden; welke, in ronde getallen, ' nagenoeg is als van n tot 14.
VOORBEELD.
Gegeeven zynde de groote As AB~501 en de kleine As DE^S^J zo is 14 : 11—50X36" : Ellips
5°_
1800
f14147 □ Voeten
19800J
voor den Inhoud van de Ellips ADBE.
ïtf. G E V O L G.
S- 207. Hieruit volgt verder, dat onderfcheidene Ellipfen tot elkander zyn in de Zamengefelde reden van derzelver Asfen.
XXX. PROPOSITIE.
%. 208. De inhoud eener .SpUzioïde, of van het
Lighaam, door de omwenteling eener Ellips rondom haare groote as befchreeven, is tot dien van een fpheer, welke deeze groote as tot middellyn heeft, als het vierkant van de kleine as tot het vierkant van de groote.
demonstratie.
Laaten beide Lighaamen, ergens naar welgevallen , door een vlak worden geiheeden ; dat regthoekig door de groote as gaat ; dan is overal © PM : 0 PN = PM3 : PN> r= DE»: ABS
by-



Ë L L I P S. 99
bygevolg ook alle de Cirkels van PM tot alle de Cirkels van PN als DE-: ABa 16 pr. 5 /;. En S' dus de geheele fpheroïde ADBE tot den gehee- qQ len Bol AFBG, ook als DEa: AB* Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
§. 209. Als;P de Parameter genoemd wordt, zo is AB : DE—DE: P $ ioa. en ABZ : DE —AB : P 28^.5^ Dat is : deSpheroïde is tot den ömgefchreeven Bol, als de Parameter tot de groote Js.
II. G E V O L G.
% 210. Op dezelfde wyze toont men, flat de Spheroïde >. door de omwenteling der ELips om haare kleine as befchreeven. tot den Bol van dezelfde Middellyn ftaat, als het vierkant der groote as tot bet vierkant der kleine j of als de groote as tot den Parameter.
III. GEVOLG.
§.2ii.SphADBE:BolAFBG-DE2-AB»$2o8. en 0 DE : GFG —DE*:FG-2?pr.6b.
zo isSph.ADBE : BolAFBG^eDE GFGi 1.5b vermenigv. met AB~AB
Sph. ADBE :Bol AFBG-0DEXAB.-0FGXAB.1 Sph. ADBE :ODEXAB-Boi AFBG:OFGXAB. maar volg. zipr.iob Bol AFBG- '©FGXAB
daar om ook Spheroïde ADBE = 5 © DE x AB.
G 2 Dat



ïoö' I. Boek. II. Hoofdftuk.
Fig. Dat is: de Spheroïde is gelyk aan twee derde deelen van den ömgefchreeven Cylinder. 39- VOORBEELD.
Ge geeven zynde, de groote As AB—5° "l, yoej;erj
en de kleine As DE ~36 J zo is 14:11—36" X 36' ® DE 27pr. 6 b.
-36 1296"
,—ll\ 1018?= o DE 14256J
muit. met 331 === f AB
komt 33942 r Teerlingiè Voeten , voor den Inhoud van de Spheroïde ADBE.
XXXI. PROPOSITIE. §. 212. De oppervlakte eener Spheroïde, doofde omwenteling eener Ellips om haar groote as be* fchreevm, is tot den regthoek van de beide asfen , als de omtrek eenes Cirkels tot zyn middellym
demonstratie.
De OPM:0PN=PM:PN=DE:FG 22.6b. en § 203. dierh. opp. van ADBE t opp.van AFBG—DE ? FG maar oppervl. van AFBG=4©FGfö)
Dus
(<0 Dat de oppervlakte van een Bol gelyk is aan viermaalen dtn inbeud zyiti grotten Cirkels, [blykt uit de al Pnpofitie X Boek: want een Bol aanmerkende als de verzameling van een oneindig getal Kegels, die alle hun toppunt ia hst middelpunt van den Bol hebben,
zo is Bol AFB&r^rüpp. ABFGxf^F 18 pr. i© b. ook Bol AFBG^© FP X f C£ ai pr. 10 b.
Dierh. upp. AF^GXf CV—QVG XÏCS' ea dus Opp. AFBti^-7-^ 4 Q FG.



ELLIPS. ïor
Bus opp. van ADBE s 40FG— DE: FG Fig:
of opp. yan ADBE:OFGXFG-DE:FG a.%pr. 6h. 39. deel door FG= FG
komt opp. van ADBE; OFG=DE :i. ia pr.$b.
muit. met AB~FG .
geeft opp. ADBE; OFG=[=!ABJDE:FGio.55: of opp. van ADBE;CS AB,DE=0 FG:FG Zpr. 5b. Dat te hezvyzen was.
I, GEVOLG.
§. 213. Op dezelfde wyze toont men, dat ook
de oppervlakte van de Spheroïde, ontftaande uit de omwenteling eener Ellips rondom haare kleine ds tot den regthoek van de heide as Jen is, als de ómtrek eenes Cirkels tot zyn middellyn.
II. GEVOLG.
§. 214. Hieruit volgt weder, dat de heide voor gemelde Spheroïden eene gelyke oppervlakte hebben.
xxxn. PROPOSITIE.
■5. 215. Als van onderfcheidene Ellipfen de Asfen evenredig zyn, zyn deeze Ellipfen gelyhor- en mi'é- 41.
DEMONSTRATIE.
Laaten AB, ah de groote Asftn; DE, de de G 3 klei-



ïos I. .BoSk.: II.- Hoofdf uk.
Fig., kleine; FG, fg de Parameters zyn: indien dan gefield wordt, dat 4° , AB : 't$épÉ;; i? is, zal ook
AB s ub~üs r fife — FO\/g zyn § 4 ' Voorts neem AP : ap ~ AB;«5
zo is ook AP : ap = VB:pb 15 pr. 5 als mede AP : ^ — PC;^>c DewylClAP,PB :PM* = AC~:CD31
en □ ö/>,p5 ; pm* — ac&: cd*3* l0l>
zo is Q ^BiS/p*: PM2; /ot3 11 5 -5. dierh. AP. ; ap = VB:pb zynde.
is ook AP*:öjSa :=:PB :pb ■ — PM^: pm*
of AP : ap ~ BP = PM :pm — AB; ö5. Vervolgens de middellynenMN, «strekkende, zyn de driehoeken MPC, mpc gelykhoekig en gelykvormig en daarom ook MC: tnc — PM: pm — AB: ab>
Welke evenredigheid men verder van alle overige gelykftandige lynen kan bevvvzen; wes: alyen de beide Ellipfen gelykvormige Figuuren zyn, Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG-,
%. 2,16. Dewyl ieder Ellips tot den regthoek haarer asfen in een ftandvastige reden is en deeze regthoeken gelykvormig zynde, tot elkanderftaan als de vierkanten hunner gelykftandige lynen i6pr. 6b, volgt hieruit: dat de inhoud van gelykvormige Ellipfen tot elkander zyn in de verdubbelde reden haarer asfen of parameters
II. G Et



ELLIPS. iog
7/. GEVOLG. Fig.
§. 217. Dewyl, volgens §211, de inhoud eener 40 Spheroïde tot dien van den ömgefchreeven Cy- en linder is in de ftandvasuge reden van 2: 3 en de 4*gelykvormige Cylinders tot elkander ftaan in de driedubbelde reden hunner middellynen of hoogten 11 pr. 10 b.', heeft men hieruit: dat gelykvormige Sphtroiden tot elkander zyn in de driedubbelde reden haarer asfen of Parameters.
Hl. G E VO L G.
%. 213. Eindelyk, volgens § 210, de oppervlakte van eene Spheroïde tot den inhoud van den regthoek der beide asfen mede in eene ftandvastige reden zynde, volgt nog; dat de oppervlakten van gelykvormige Spheroïden tot elkander zyn in de verdubbelde reden van haare asfen of Parameters.
XXXIII. PROPOSITIE.
§. 219. De Ellipfen, die, door evenwydige vlakken, uit denzelfden Kegel, ge/needen worden, zyn gelykvormig.
DEMONSTRATIE.
Laat ABC de Kegel zyn, en DE, de de groote asfen van de beide evenwydige Ellipfen §90, dan zyn ook deeze lynen evenwydig met elkander 35pr. gb. Trek de regte DW en dzv, evenwydig met AB], en nog Wü en zvu, zodaanig dat i DWÜ = i dwu-l EDB is; dan zyn DU, du de Parameters van deeze Ellipfen, § 98 en dedrieG 4 hoe-



ió$ I. Boek IL Hoofd/luk.
Fig. hoeken CDW, • 'Gdw; als meede DWU, dwu zyn gelykvotmig: dierhalven DE: de=zDC'-dC~
42. DW,: tU~.T)b: J« en dus ook DE: DU —de • <ƒ«.
En bygevolg de Eilipfen gelykvormig § 21 $ Dat te bewyzen was.
XXXIV. PROPOSITIE.
43. %. 220. Als een regthoekige Cylinder met een vlak wordt, doorgefneeden, dat fcheejboekig door de as gaat, zal dit vlak van doorfnyding eene Ellips zyn.
demonstratie.
Laat ABCD de Cylinder en EF deszelfs as zyn; voorts H1GK het vlak van doorfnyding, gaande regthoekig door het vlak ABCD, het zelve fnydende langs de lyn GH, die de as ontmoet in L; dan is GL — LH. Laat verder door dit pimt-L, en eenig ander punt O van de lyn GHnaar welgevallen, de vlakken MINK en PSQR begteepen worden, evenwydig met de grondvlakken des Cylinders, fnydende hetvlakABCD langs de evenwydige lynen MN, PQ, en het vlak HIGK langs de evenwydige lynen KI en RS; dan zyn deeze vlakken MINK en PSQR beide Cirkels, welker gemeene doorfneeden KI RS bygevolg regthoekig zullen gaan door het vlak ABCD , én dus zal KI met de lynen MN en HG en RS met de lynen PQenHG regte hoeken maaken. Dierhalven is LI =s LK en 05 - QR ipr,
Voort?



E L L I P S. io<
Voorts GO : OQ=GL : LN1 Jjfr en OH : OP=LH : LM ƒ 6 B'
dus Q GQ,OH:DQO,OP~GLa iLN'i^r. 5£. ^
of ï=]GO,OH; 0S2=GLa; LP 23 pr. 3 B.
Bygevolg is het vlak GIHK eene Ellips § ioi; waarvan GH de groote as is, KI de kleine en L het middelpunt.
Dat te Bewyzen was.
L GEVOLG.
§. 221. Laat uit O worden getrokken de regte Oo perp. op MN, en door dit punt 0 wederom de regte rf in het vlak MKNI en mede regthoe. kig door MN j dan zal deeze rf met de voorgaande lyn RS evenwydig zyn en in het zelfde vlak Rt/S leggen 7 Prop. 9 B. en om datOQ-^ oN en OP—oM is, zal ook OS~of zyn 23pr. 3 B. Verder LO : OG=Lo : oN of LO : LG=Lo : LN Als dan LO=:a LGis, zal ook Lo = l LN zyn.' Of als LO=r iLGis, zal ook Lo =r| LNzyn; En zo vervolgens.
II. GEVOLG.
§. 222. Hieruit heeft men een gemaklyk middel, om de Ellips door punten te trekken, het welk voor de Praktyk een der beste handelwyzen zynde, hier nog bygevoegd zal worden.
Laaten AC de halve groote en CD, regthoekig ^ op dezelve, de halve kleine As, gegeeven zyn.
G 5 Ver-



jo&" 1, Boek. II. Hoofdftuk.
?jg. Verleng AC, en maak ABrrCD. Befchryf uii'B als middelpunt met de radius AB een $ Rond.
44. Verdeel ACen AB beide in evenveel gelyke deelen, by voorbeeld, in 4,in de punteni,2,3,4.Trek uit alle deeze deelpunten perpendiculaaren, waarvan die van den Cirkel den omtrek ontmoeten in 5,6,7,8. Trek eindelyk uit deeze laatfte punten 5,6,7,8, evenwydig met AC, regte lynen, die de andere perpendiculaaren doorfhyden in 9, 10, 11, 12; dan zullen deeze doorfnydingen punten van den omtrek der Ellips zyn, waardoor dezelve kan getrokken worden.
DERDE



DERDE HOOFDSTUK. Van de HYPERBOLA.
L DEFINITIE,
S- -Ajs een regthoekige Kegel ABC jru wordt doorgefneeden met een vlak FDG, dat deszelfs eene zyde BC doorfnydt In D, en het 45. verlengde van de andere zyde AC ontmoet in d; wordt dit vlak van doorfnyding FDG eene Hyperhola, oïwasfende Kegelfneede, genoemd.
ïï. DEFINITIE.
§. 224. Als'men nog een anderen Kegel abCbe. grypt, welks oppervlakte het verlengde van die des eersten Kegels ABC is, zal deeze ook door het verlengde vlak van FDG gefneeden worden, en eene tweede Hyperbola fdg maaken; als dan worden deeze beide Figuuren FDG en fdg Hyperbolae Oppofitae, of over elkander flaande Hyperbolen, genoemd.
III. DEFINITIE.
§. 225. Als men vervolgens een vlak begrypt, dat, door den Top en de As deezes Kegels gaande



m I. Boek. III. Hoofd/luk.
Fig' ^ *eSthoekiS ftaat op het vlak der Hyperbolen: hDG, fdg, het zelve fnydende in de regte lyn
45- Ee; dan wordt het gedeelte Dd„ tusfchen de beide overftaande Driehoeken ABC en abC gelegen, Axis Transverfus, of Dwars-as, ook wel de Eerste , derzelver beide uiteinden D en d haare Toppunten; en het punt M, in het midden van Dd, het middelpunt van de beide Hyperbolen se* noemd,
I. PROPOSITIE.
§. 226. Alle regte lynen, als KL, kl, die, in het vlak van de Hyperbolen getrokken, regthoekig gaan door de verlengde Ai, worden van dezelve midden doorgedeeld.
Dat is; overal zal OK — OL en ok == ol zyn
demonstratie.
Laat begreepen worden, dat door de lyn KL; een vlak HKIL gaat, evenwydig met het grondvlak des Kegels; dan zal dit vlak regthoekig ftaan op den driehoek ABC en op de as van den Kegel 1 gev. 13 def. 9 h., en gevolgelyk zal dit vlak een Cirkel zyn, waarvan Hl de middellyn is.
Dewyl nu KL ook regthoekig is op den driehoek ABC, 6pr. $h. zal dezelve regthoekig gaan door de middellyn Hl en bygevolg van deeze middellyn worden midden doorgedeeld
of KO zal—OL zyn. ipr. 3 h. Op dezelfde wyze toont men, dat ko—olis. Dat te bewyzen was.
G E:



HYPERBOL A. 109GEVOLG.
45
§. 5.17. Hieruit blykt, dat de Hyperbola FDG, en en ook haare overftaande fdg, door de verlengde 46. As wordt midden doorgefheeden, en dat elk deezer Hyperbolen uit twee, in alles aan elkander gelyk zynde, armen of. boogen DKF, DLGen dkf, dlg beftaan, die zig hoe langs hoe meer van de As verwyderen.
IV. DEFINITIE.
§. 228: De regte lynen, welke regthoekig door de verlengde as van eene Hyperbola gaan, worden Ordinaaten, of Applicaaten, en derzelver afftanden van de Toppunten Abfcisfen genoemd.
Zo is KL de ordinaate en zyrt DO, dO de beide Abfcisfen van het punt K of L: en kl de ordinaate en do, Do de beide Abfcisfen van hec punt k of /.
Flieruit volgt, dat de eerste as der Hyperbolen alle derzelver Ordinaaten midden doordeelt.
II. PROPOSITIE.
§. 229. De Ordinaaten, welke, in de overftaande Hyperbolen, evenverre van bet middelpunt, of van de toppunten ft aan, zyn evengroot.
Dat is: als DO=dbis,zalook LK~lk zyn.
DE-



I. Boek. III. Hoofdfiuh
Fïg' DEMONSTRATIE.
45. Dewyl DO-=do is, uit de onderfteWng. is ook Od=oD.
en □ DO,Ód^Sdo~i0D maar DO : OI=^oD : oH
en O^ :OH~do : oh] 4?r' 6 h'
dasnDo,o./:aiaoH^5^L/-0,0i&ti 5k
dochgPQ^rf =Q/0,0p to*^*.
Bygevolg □ 10,QH
dat is 0La == a3*r,3*. en OL r= 0/ of LK =: /* $ 226. *tf Bewyzen Was.
'gevolg.
$■ 230. Hieruit blykt, dat de beide tegen over elkander ftaande Hyperbolen FDG, fdg volkomen in alles aan elkander gelyk zyn, maar een tegengeftelde ftrekking hebben.
V. DEFINITIE.
5.231. Als DW wordt getrokken evenwydig met AB en men de i DWU~^ EDB maakt, wordt de regte DU Parameter, ook wel Lams reclum of regte zyde, van de Hyperbolen genoemd.
BYVOEGZEL. 5- 23*. Uit deeze Definitie, vergeleeken met ^ 6 en § 98, blykt, dat de Parameter in alle
de



hyperbola: in
de kegelfneeden op dezelfde wyze bepaald wordt: Figi doch in de Parabola , de i EDB—Z ACBof den Tophoek des Kegels zynde, is ook i DWU— 1 £ ACB; 10 terwyl, in de Ellips, de l DWU> l ACB en, in de Hyperbola, de l DWU <Z ACB is.
Dewyl vervolgens van de driehoeken DWU enEDB
is i DWU-i EDB onderft. en £ WDU—Z DEB izpr. i g.
zo is ook £ DUWEBD of £ ABC i ipr. i B.
En dus deeze hoekDU W altyd dezelfde, zo lang de kegel dezelfde blyft en het vlak van doorfnyding door het zelfde punt D gaat. Bygevolg op DW 45* als chorde een cirkelftuk befchryvende, dat een hoek bevat gelyk aan den £ WDC 2.1 pr. 3 B. zullen de chorden deezes cirkelftuks, uit D getrokken , de Parameters bepaalen van al de kegelfneeden; naamelyk DX, evenwydig met AC, zal de Parameter zyn van de ParaBola; elke chorde DY, in den hoek WDF getrokken, zal de Parameter zyn van een Ellips; en eindelyk elke chorde DU, in den £ FDB getrokken, die van een HyperBola.
VI. DEFINITIE.
§. 233. Als door het middelpunt M eene onbepaalde perpendiculaar getrokken, en daarin genomen worde MR=Mr zodaanig,dat Rr de midden evenredige zy tusfchen de eerfte as Dd en de Parameter DU; dan wordt deeze Rr Axis
Con-



ii2 li Boek. III. Hoofdftuk.
Fig. Conjugatus, of toegevoegde As, en ook ét tweede 46. As van de Hyperbolen FDG, fdg genoemd.
III. PROPOSITIE.
§. 234. De regthoek der ABfcis/en van eenig pmt der HyperBolen naar welgevallen genomen, is tot het vierkant van haare halve Ordinaate, als de eerste as tot den Parameter.
45. Dat is: de □ DO, Od : OL' = Dd : DU.
Demonstratie..
In de driehoeken ODI en DWU is l ODI=s=tf DWU J 23I
daarom l OIDc=^7rjUw73^. 1 h.
' Bygevolg is de driehoek DWU gelykhoekhr met den driehoek ODI ftn dus ook met dendrie!
L5f , !ns§'eIyks zy° ^ driehoeken ^H0 en dWD gelykhoekig.
Dierhalven DO : OI~DW : DUl
en Od : OEkr Dd : DWj 4Pr>6b-
Daarom nDO,0^: Um^DdlDU ^ ^
of 0)0,0/: ~ÖU~=zDd:DU23pr.ZB. Dat te Bewyzen was.
/; GE-



HYPERBOLA. **§ /. GEVOLG. Fig.
$. 235. Eene andere Ordinaate EG neemende 46. heeft men op. dezelfde wyze
□ DE.Êd : EG*=Dd : DU maar^ DO,Od : OL2—Drf : DU beweezen.
dus □ DE,Eó? : EG2=.pDO,0^:OL* 1I.5Ï. of □ DE,E^: PDO,0<* — EG': OLa 8.5 b.
Dat is: van 'onderJcheidene pinten eener Hyper, hola zyn de regthoeken der Abfcisfen tot elkander als de vierkanten van derzelver
halve Ordinaaten.
. Dl ~i ■ ■ joB . t ;>.>= j *.<-' \ v*b Vlh
H. GEVOLG.
1236. DewylC!D0,0i:0L* = Bd-.DUis § 234.
muit. met Dd^rDd
komt 1=1 DO,Od: OL2 ~ Di2 -.DixDUio
datistZ3DO,Otf: OI> =Drf-': R^lS 233. of QDO,0^: OL2—MDS: MR2 i^pr.'sb.
Dat is: de regthoek der Abfcisfen van eenig punt eener Hyperbola is tot het vierkant haar er halve Ordinaate, als het vierkant van de eerjle as tot het vierkant van de tweede.
BYVOEGZEL.
$. 237. Als men de Parameter noemt p de eerfte As a en de tweede As b Voorts eenige Abfcis DO— x,- en dus de anti dere



iH I. Boek. III. Hoofdftuk;
Fig. dere Abfcis dO~ a+x, en de halve Ordinaate
OL=y fielt; heeft men uit § 234. 4 ' DOXOd: OL*=zDd : DU
of ax-hxx : yy ~ a : p
en dus yy = (ax+xx) X -7En uit §236 DOXO/: OLa ~ Dd : Rra of aa+xx : yy — aa : bh
en dus yy = (ax+xxj X -siHet welke beide Equatiën op de Hyperbola genoemd worden; omdatze de hoofdeigenfchap daarvan in het algemeen uitdrukken: zynde van die der Ellips § 103 alleen door het teken + in plaats van — onderfcheiden.
Dewyl verder yy —(ax-hxx) X ~j
zo is yy > axX °f P%
of OL2 > □ DUaDO. Dat is: bet vierkant van de halve Ordinaate is, in eene Hyperbola, grooter dan den regthoek van de Abfcis met den Parameter: Om welke reden de oude Griekfche Wiskunftenaaren aan deeze kromme lyn den naam van r'^ifSo^» gegeeven hebben; hetwelk eene vermeerdering of vergrooting te kennen geeft.
Als de Abfcisfen van het middelpunt worden afgereekend, en MO=^ wordt gefteld, is de Equatie op de Hyperbola
y* ~ (xx~\aa)X'ir En ook yz = (xx~-\ aa) x 4r
yn. de.



hyperbola; \ï5 vil definitie. ^
§. 438. A's omgekeerd óp Rr als eerfte en d^ ^ öls tweede as twee andere tegen over elkander ftaande en dus mede asn elkander gelyk zynde, Hyperbolen PRQ, prq befchreeven worden, worden deeze Hyperbola Conjugata, of de toegevoegde», van de beide eerften genoemd.
Ifivlfi ' iawrtyl^Jo u :«jKI
viii. definitie.
S- 239. Indien de beide Asfen Dd en Rr en dus de vier Hyperbolen alle aan elkander gelyk zyn, worden dezelve gelykzydlg genoemd.
GEVOLG.
5- 240. Dewyl in 't algemeen
□ DO,Od : 0L2= Dd* : Rfa § 236. en in deezen D^~ is
Zo is cok p DO,Od — ÖL7 Als mede5ZlRT,Tr-TS2. Dat is: in de gelykzydige Hyperbolen is overal de regthoek der Abfcisfen gelyk aan het vierkant van de halve Ordinaate. En de Equatie op de gelykzydige Hyperbolais yy-=zax + xx Welke Equatie dezelfde is, als die van den Cirkel, alleenlyk in het teeken verfchillende; waaruit de overeenkomst van de gelykzydige Hyperbola met den Cirkel kan afgeleid worden,
h 2 iv. p R 0:



ixC V Boek.' III. IJoofdjluk. Tig., IV. PROPOSITIE.
46. §. 241. Als uit eenig punthvan.eene Hyperbola een perpendiculaar door de verlengde tweede as getrokken wordt, die de toegevoegde Hyperbola in N en .S ontmoet, dan zal de regthoek deezer afflanden LS, LN gelyk zyn aan het halve vierkant van de eerfte as. Dat is; Q SL,LN~I Dd2 =r a DM3
demonstratie.
DewylnD0,0J:0L2 rDM2 :MR"is$^6.
of M0~DM2:fM2"=:DMa: MRJ 6 pr. nb. zo is M02-2DMa:TM3~MRa™DM2:MR2i 5.5*. of TL2-2DM2:dRT,Tr ~ DM2:MRM.2£. maarTS2 :Z=IRT,Tr — DMa:MR*§236'.
■dierhalven TL2-sDM!:=TS! igev. 6. 5 b. ofTL3~TS2 -2 DM2 doch TL2 - TS2 =.□ SL,LN 6. 2
Bygevolg □ SL,LN = 2 DM2
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
§. 242. Uit eenig ander punt G nog de regte GP, wederom evenwydig met de eerfte as Dd3 trekitqnde, heeft men
eveneens alsEZ! SL,LN=:2DM2 dat ook Q QG,GP r= 2 DM* is.
daarom altyd □ *SL,LN = □ QGjGP,
Dei









hyperbola: h>
Dewyl nu de Ordinaaten NS, PQ aangroeijen, ftg naarmaate.zy zig verder van het toppunt r verwydereni zullen de lynen SL, QG, tusfchen de 4^» armen RSQ, DLG van elkander toegevoegde Hyperbolen getrokken, allengskens kleinder worden ; wes-.alven deeze armen geduuriglyk tot elkander naderen, zonder elkander te ontmoeten, veelmin doortefnyden.
II. GEVOLG.
§. 243. Als, op dezelfde wyze, de Ordinaate LK verlengd zynde, de toegevoegde Hyperbola ontmoet in W, bewyst men eveneens, dat □LW,WK-^aMRa is. Bygevolg is!Z3SL,LN:
□ LW,WK=i DM2 : 2 MR2 = DM" : MR? En, in de gelykzydige Hyperbola, □ SL, LN =
□ LW, WK §. 239.
lil. G E V 0 L G.
§. 244. Als de fnydende lyn LN begreepen wordt, evenwydig aan zig zelve te beweegen, tot dat ze de Hyperbola raakt in haar Toppunt R, veranderdt de £Z5 SL, LN in AR2 en bygevolg is AR2 =2 MD»
Op dezelfde wyze blykt, dat DB2rr 2 MRa is. En, in de gelykzydige Hyperbola, is AR—DB.
IX. DEFINITIE.
§. 245. De punten H en I van de eerfte As > /\.f. welks Ordinaaten FG, KL gelyk zyn aan den Parameter, worden Foei, of Brandpunten, genoemd.
H 3 X. DE-



"s U'oek; m. Hoofdftui:
Fig. X. DEFINITIE.
$. H6. De beide regte lynen MI, MH, welke uit eenig punt M der Hyperbola, tot aan de , brandpunten getrokken worden, noemtmen&tóW Vgctores, of Voerftraalen, van dit punt.
V. PROPOSITIE.
$. 247. D* r^tóoff* der afftanden van let eene brandpunt tot aan de beide toppunten, is gelyk aan het vierkant van de halve toegevoegde as. Dat is: de P AH,HB =rp AI,IB==CD2
demonstratie.
De □ AH HB : HF2 = AC: HF $ 234 en 245; deel door HF = HF
komtP AU^m^~~A~i~pr. 5 h. en P AH,HB ~SZJAC,HF 6pr. S b.
maag PAC,PIFr:CD2 § 333;
dierh. PAHiHBr: OD3, Zto if<2 bewyzen was.
I. GEVOLG.
$. 248. Muit AH = BI met BH = BH
komt P AH,HB = PIB,BH^ Dus ook P16, BH = p HA,AI=CD2;
Da*



HYPERBOLA? u^.
Dat is: de regthoek der afftanden van het eene Fig* toppunt tot de beide brandpunten, is ook gelyk aan het vierkant van de halve toe* 47* gevoegde as.
U. GEVOLG.
$. 249. Trek de lvnen AD en BD. By den □ AH,HB = CD2 beweezen '. tel ACa= AC9
komtaAH,HB+ACa ~AOf CDa
dat is CHa — AD2 6p. ab.32p.1b. en CH = AD Als dierhalven de beide asfen AB en DE gegeeven zyn, kan men hier door de brandpunten vinden: want AD of BD trekkende, en neemende CH = CI= Ch — Ci~AD of BD, zullen H en I de brandpunten van de elkander overftaande en h ea i die van de toegevoegde Hyperbolen zyn.
VI. PROPOSITIE.
§. 250. Als getrokken worden de regte HD en de halve Ordinaate PM; voorts PN evenwydig met AD, ontmoetende de verlengde tweede as in N, en uit N wederom de regte NO, evenwydig met HD, ontmoetende de verlengde eerfte as in O • dan zal OC de vierde evemedige zyn van AC, HC en PC.
Dat is: AC : HC = PC : OC.
H 4 DK-



I Boek. III. HooföpV
jpfSj DEMONSTRATIE.
A? Want AC : PC = CD : CN1
enHC : OC=CD : CN/ ^r'6K
dierh. AC : PC = HC : OcTiT^.~. of AC : HC=PG : OC 3 'pr. 5 b. Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
5- 251. Dewyl AC: HC = PC: QC is, beweezen, heeft men □ AC, CO — ÜPC^CH 6pr. 5 b.
21. GE VO L G.
5-252.DedriehoekenDAH,NPÖ zyn gelykvormig; en bygevolg AD: CH-PN: COgev. \pr.6b. ' maar ADr;CH % 249.
dus ook PN=CO
en PNa =CPa ~b CN'^CO*
III. G E VO L G.
$. 253. Dewyl CP:AC=CN:CD4/jr.6X of CPa:ACa=CN3:CD2isi8fir.5^' zo is CPs-AC2:CNa-CDs^AC2:CDa i^pr. 5 k maariZ3AP,PB:PMa =rACs:CD2 § 236.
dus CPa-AC,:CNi-Cb"=nAP,pJpM* dochCPa-ACa =□ AP,PB 6pr, 2 b;
bygevolg CN3-CDa — PM*
VII. PR 0^



hyperbola: ïaz vir. propositie. J%
Jclg.
§• 254. Het zelf'de gefield zynde, ah in de voor' gaande Propojitie, zullen de afftanden des punts ^ O van de beide toppunten gelyk zyn aan de voerflraalen.
Dat is; AO-hm en bo=im
DEMONSTRATIE.
I. DewylHMa^PMa-r-HPaisj32^.i^.
maar PM3=cna-cd3§a53 HP3--CP3+CHa-aap'c,ch#r.afc
dus hma-cna+cp3+ch^cda -aQPC,ch of hm*- co3 -f- ac3—- scJaQCO
§ 2<2, 24Q if» 251,
en hm— co u. AC — AO
ii. Wederom im3 =pma + IP3 32^r. 15.
maar pm3 ~cn3—CD3 § 253.
en IP3^rPC3 + CP + fl □ IC,CP 4pr. s*.
dus im3=cna +PC2 + cF^cd3+aaiC,cp
datisIM3^ coa- + BC3+s[=1böc0
$252,249 e» 2^1. enIM~ co + BC == BO
Dat te bewyzen was.
GEVOLG. % 255. Van im=BO T
getrokken HM=AQ ƒ bewee^
blyft altyd im — hm = AB.
H 5 Dar



i22 [2. Boek. IIL Hoofdftuk»
Fig. Dat is: het verfhil der beide voerftraalen van eenig punt der Hyperbola is overal gelyk 'aan de eerfte As : even als in de Ellips van derzelver Som beweezen is § 117.
VIII. PROPOSITIE.
5. 256'. Gegeeven zynde de eerfte as (AB) en de brandpunten (I en H), om de Hyperbola te befchryven %
L constructie. Meetkundig.
48. Befchryf uit het eene brandpunt I, als middelpunt, met de radius IE — AB, de gegeeven eerfte as, een Cirkel. Trek. in denzei ven de radiën IG, en neem, in het verlengde daarvan, overal GM = MH; dan zullen M punten van de Hyperbola zyn, door welken dezelve kan getrokken worden: want overal is IM — HM = IM — GM ^ IG AB.
II. constructie. Werktuiglyk,
40> ^ Neem een Lineaal IK en maak deszelfs eene einde aan het brandpunt I vast, zodaanig dat hetzelve Lineaal om dit punt, als om een middelpunt, kan worden rondgedraaid. Neem'vervolgens een Draad, zo veel korter dan het Lineaal IK, alsde as ABis; maak deszelfs eene einde vast in K, en het ander in het brandpunt H. Span dan deezen draad, door een pen M, cegens het Lineaal> en draai hetzelve om, houdende onder deeze beweeging, met de voornoemde pen, den
draad



HYPERBO LA; Ï33
draad altyd {bralt gefpannen; dan zal het punt M Fig, daar door eene Hyperbola befchryven: want, om dat IMK — HMK — AB genomen is, 4-8• zo is ook overal IM — HM — AB.
Dat te doen zvas,
I. GEVOLG.
§. 257. Dewyl, de asfen gegeeven zynde, ook de Paramerer § 233 en de brandpunten § 249 bepaald zyn, kan men, door dezelfde handelwyzen, ook uit de gegeevene asfen, of eene derzeivenmet den Parameter, de Hyperbola befchryven.
//. GEVOLG.
§. 258. Gegeeven zynde de brandpunten H en I en eenig punt M naar welgevallen, kan men daar door ook eene Hyperbola befchryven: want trekkende de regte lynen HM en IM, zo is AB — IM — HM § 255 en dus de eerfte As gegeeven.
BYVOEGZEL.
§. 259. Als, de punten A en H dezelfde blyvende, het ander brandpunt I zig meer en meer verwyderdt, wordt de radius IE van den Cirkel GG hoe langs hoe grooter; en als het punt I komt op een oneindigen afftand van A, wordt GG eene regte lyn, en de Hyperbola veranderd in een Parabola, waarvan deeze regte lyn GG de lyn van richting is. § 20.



124 ï. 'Boek. III. Hoof aft uh
Fig. In dit geval worden alle de regte lynen IM evenwydig met AB: en als dezelfde lynen naar 43. den anderen kant overhellende, elkander ïn een punt aan de regter zyde van A-of aan denzelfdetï kant met H, ontmoeten, verkrygt men de Ellips § X2i.: Zo dat, in alle de Kegelfneeden, overal GM — HM is, en het onderfchèid derzei ven alleen afhangt van den verfcr illenden ftand dee-, lynen GM met betrekking tót de As AB.
XI. DEFINITIE.
£o. §. 260. Als .in de eerfte As AB wordt genomen een punt Q, zodaanig, dat AQ:AH = AC:HC is, en door Q eens onbepaalde perpendiculaar ZZ wordt getrokken; wordt deeze Directrix of Lyn van Richting, van de Hyperbola genoemd.
/. GEVOLG.
$. 261. Dewyl AQ: AH~ AC:HC is, onderflelling is ook AC—AQ :HC—HA—AC:HC 1 $pr. 5 b\
of CQ~ : ~AC~ i=AC:HC en É HC,CQ=AC*
Daï is: de halve eerfte as is midden evenredig tusfchen de afftand'en der lyn van richting en het "brandpunt van het middelpunt.
II. GEVOLG.
% 262. Dewyl CQ: AC—AC :HC is beweezen. zo is ook CQ-fAC ;AC+HC-AC:HC 13. $b.
of BQ ; BH =AC:HC.
' III. G E-



H Y P E R BOL A; HL G E V O L G. Fig.
§. 263. Omdat AQ: AH~AC; HC 5 260. *0 en BQ: BH^AC: HC § 262.
zo isAQ;AH-BO :BHn pr.$bi of AQ: BQ-AH : BH 8 pr. 5b. Dat is: de afpanden der Toppunten van'de lyn van Richting zyn evenredig met derzelver Afpanden van het eene Brandpunt: even als in de Ellips § 125.
IX. PROPOSITIE»
§. 264. Als uit eenig punt van de Hyperbola op de lyn van richting wordt getrokken eeri perpendiculaar MR, zal deeze paan tot de voer-1 Praal MB., als de eerpe as tot den af ft and det_ beide brandpunten.
Dat is: MR:MH= AB: Hf=AC: HC.
DEMONSTRATIE.
Want het punt O bspaalende, als in § 250, zodaanig, dat AC : HC=PC : OC is, heeft men CQ : AC=AC : HC § 261.
of PC-PQ:OC-AO=AC ; HC maar PC; OC =AC : HC
dus PC—PQ : OC-AO=PC : OC n pr.Sb ' enookJPQ: AO =PC : OC i$pr.si
datisMR: MH =PC :OC=AC:HC
S 254.
Dat te bewyzen was.
G &



iso" 1 Boek. III. Hoofd/luk
'&g> G E V O L G.
5°" S- Een ander punt ^ ïn dezelfde, of in de tegenoverftaande Hyperbola neemende, is ook mr: mlï=ML\: MH—AQ: AH=AR :HI§ 260.
maar AB <HI
im ■ ■ i_— Nn— „, . 1 1 — .
derh. <«H,ook MR <MH, en AQ < AH Terwyl in de Par. MR~MH en AQ^AH is $ 19." en, m de £//#f, MR> MH en AQ> AH $ 128.
X. PROPOSITIE.
• §. 266. Gegeeven zynde hit eene brandpunt (H), J ' benevens drie punten (M, N e« L), mits in geen regte lyn met elkander leggende; om door dezelven eene Hyperbola te trekken?
cpSTRÜCTIEi
Trek de voerftraalen MH, NH en LH, als mede de regte lynen MN en LN. Neem in het verlengde van MN een punt F en in het verlengde van LN een punt G,
zodaanig dat NF: MP " NH: MH.
en NG : LG == NH : LH is.'
Trek door de punten F en G eene onbepaalde regte lyn, welke de lyn van richting zyn zal5 en uit het brandpunt H door dezelve een onbepaalde perpendicnlaar HQ, als mede uit M de perpendiculaar MR. Neem eindelyk in HQ het punt A en in haar verlengde aan den kant van Q, het punt B, zodaanig dat AQ: AH en BQ: BH=MR : MH zy; dan is AB de eerfte as,
waar-;



HYPERBOLA; ïa?
waarmede de Hyperbola, volgens §. 256", kan befchreeven worden.
Dat te doen was. 51»
D EM ONSTRATIE.
Trek nog de perpendiculaaren NS en LT. Dewyl NF: MF~~NH: MH Conftr. en NF:MF—NS : MR ^pr.6b.
zo is ook NSrMR—NH :MH npr.sb. en NS: NH=MR : MH %pr. $b.
Wederom NG: LG=NH: LH Conftr. en NG:LG = NS:LT4pr.6£.
bygevolg NS:LT=NH:LHn^r.5^ en NS: NH= LT : LH=MR: MH. Daarom M, N en L punten eener Hyperbol»; waarvan AB de eerfte as is. § 265.
Dat te bewyzen was.
XI. PROPOSITIE:
§. 2.67. Aan een gegeeven punt M van de Hy* ^ perbola éfn Tangens of Raaklyn te trekken?
CONSTRUCTIE.
Trek de voerftraalen IM en MH; maak MEr: MH; trek EH; deel dezelve midden door in G; en trek, eindelyk, door Gen Meene onbepaalde regte lyn TZ; dan zal deeze de Hyperbola in M aanraaken.
Dat te doen was.
PE:



ïsS 1. Boek. III. HoofdftuU
^g' demonstratie.
Neem in de lyn TZ, aan den een of anderen kant van het punt M, eenïg ander punt N naar welgevallen; en trek de lynen NI, NE en NH; dan is NE =NH 4pr. xb.
Nu is NI < 1E+ NE 15 pr. \ b. hieraf NH — NE
blyft NI — NH < IE ofAB. § 255. Maar als N een punt van de Hyperbola was, dan zoude NI — NH ëè IE of AB moeten zyn §255 : bygevolg zyn alle punten N van de regte TZ, behalven M, buiten de Hyperbola; en dus deeze TZ de Tangens, raakende de Hyperbola inM.
ï)at te fawyzen was.
I. GEVOLG.
$. 268. Hieruit volgt, dat de Tangens de Hy< perbola niet meer dan in één punt zal aanradken.
II. GEVOLG.
f. 269. Als het pnnt M in A valt. komen ook de punten G en T in A en de regte TZ perpenA diculaar op AB; waaruit blykt, dat de Tangens van elk Toppunt regthoekig ftaat op derzelver as.
III. G E VO L G.
$. 270. Verleng IM onbepaald in L, dan is i IMT— i TMH gpr.ib. en i Vm-lZML.2pr.xb.
daarom ook l ZML= l TMH
Dat



HYPERBOLA; xag
Dat is; de Tangefis maakt met de eene Voerflraal Figl denzelfden hoek als met het verlengde van de andere. 5^-
B Y V O E G 2 E L.
$. 271. Uit deeze laatfte eigenfchap leidt men af, dat de Lichtftraalen zodaanig tegens de hoh'e en gepolyste oppervlakte van een' Hyperbolifchea fpiegel aanvallende, datze, verlengd zynde, in het brandpunt 1 zouden te zamen komen, van deeze oppervlakte te ruggekaatst wordende, alle in het brandpunt H vergaderen.
IV. GEVOLG.
%. 2*2. Als ook uit I, het andere brandpunt, <*; een perpendiculaar IK op de Tangens wordt getrokken, zyn de driehoeken HGM,IIV1K, als mede THG, TIK gelykvormig; en daarom HG : IK=MH : MI=TH : Tl4.pr.6h. Dat is: de perpendiculaaren, die uit de brandput ten van de overflaande Hyperbolen op de Tangens van eenig punt getrokken worden, zyn tot elkander als de Voerftraa~ len'; en ook als de afflanden der Tangens Van üe beide brandpunten.
V. GEVOLG.
§. 273. Maak ook MF = MH en trek HF; die evenwydig zal zyn aan de Tangens TZ. Trek door het middelpunt C eene regte lyn , mede evenwydig aan deeze Tangens, de eene voer.
I tol



130 l Boek. III. Hoofd/luk.
Fig. ftraal MI doorfnydende in O, en de andere, verlengd zynde, ontmoetende in S; dan is IOr= OF
Ö3" apr. 6b.
dus OF— l IF= § IM+sMF hieraf MF =r MF
komt MO^lIM - iMF
of MO=MS=rlïM—ÏMË^UE-ACSzSS'
■ VI. GEVOLG.
%. 274. Ais uitG, door het middelpunt C, eene regte lyn wordt getrokken, die IK ontmoet in Q; dan heeft men
HG : GE = HC : Cl daarom GQ evenwydig met IM en GQ=IE—AB.
Op dezelfde wyze zal de regte lyn, uit K door C getrokken, evenwydig zyn met de voerftraaï . HM; en CK"=iMS= AC §273.
XII. PROPOSITIE ,
52. §. 275. Uit eenig gegeeven punt (N), buiten de Hyperbola, een Tangens aan dezelve te trekken ?
CONSTRUCTIE.
Trek uit N tot de brandpunten Hen I de regte lynen NH en NI, en belchryf met de kleinfte NH, alsradius, een Cirkelboogje. Befchryt uit het andere brandpunt I, met een radius gelyk aan de eerfte As AB, een ander Cirkelboogje, dat het voorgaande doorfnydt in E, en trek uit I door E de onbepaalde regte lyn IL, ftydende
de



HYPERBOLA. i3f
de Hyperbola in M: dan zal de regte TZ, door Fig'. de punten N en M getrokken, de begeerde Tangens zyn. 50, Dat te doen was.
DIMONSTRATIE.
Trek nog NE;dar> is in de driehoekenEMN,HMN
ENrrr HN Confir,
EM=HM5 255, en MN—MN
Dus l EMN—i HMN 5pr-1 b. en L EMT= l HMT1 pr. 1 b. dierhalv.ookEG=rrGH $pr. 1 b. En de regte TZ de Tangens van het plint MJ 267. Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
%. &?6. De beide Cirkelboogen fnydefi elkander nog in een ander punt e, waardoor men nog een Tangens door hetzelfde punt N aan de Hyperbola kan trekken.
XIII. PROPOSITIE.
§. 277. De regthoek der perpendiculaaren, uit ^ 'de brandpunten van de over elkander jlaande Hy ** perbolen op de Tangens van eenig punt getrokken 9 is gelyk aan het vierkant van de halve toegevoegde as.
Dat is: de □ GH,IK=CD*
I % DE»



ï32 ï. Boek III. Hoofdftuk.
Fig. demonstratie.
54. Trek, uit het punt G, door het middelpunt C, eene regte lyn, ontmoetende IK inQ, alsmede uit K, door het zelfde middelpunt C , eene regte lyn, ontmoetende de verlengde HG in h; dan is IC : CH=QC : CG-KC : CL 4pr.6b. maarIC=CH
dierhalven ~" QC—CG, en KC=CL alsmede IQ=GH Doch QG ol KL —AB §. 274. Bygevolg zal de Cirkel, die, uk het middelpunt C, met de radius AC of BC, befchreeven wordt, ook door de punten Q,K,G en L gaanV Nu isQ QI,IK — E5 ALIB1 gev. %\pr. 3 £.j enaAI5IB-CDaS247.
daaromH QI,IK== CD2
of nCHJlfeCD^.
Dat te bewyzen was.-
I. GEVOLG.
§. 278. Trek HM, welke evenwydig zal zyn met KL en IM, die evenwydig is met GQ, § 274. Dan is CT; TH—KT : TM 4pr. 6 b, of CT : CH-KT : KM i5pr. 5b. ~ maar CT : Cl — TG : GM apr.6b.\
bygevolg TG: GM- TK : KM 11 pr. 5 bi en TG : TK=GM: KM 8pr. 5 b.
11. G Et



HYPERBOLA. f33
II. GE VOLG. Fig,.
5. 279. Uit C trekkende de perpendiculaar CN, die evenwydig is met GHerilK, deelende GK midden door in N: dan is TH : TC=TM : TK1
en TH : TC=TG ; TNJ ^Pr*6h
daarom TG: TN=TmTtK upr.5b. ' en □ GT,TK=DMT,TN.
XIV. PROPOSITIE.
. %. 280. Als PM de halve Ordinaate en TM de Tangens van eenig punt M van de Hyperbola zyn, zullen de Abfcisfen tot elkander ft aan, als de afftanden der Tangens van de beide Toppunten, in de as gereekend. Dat is: AP : BP=AT : BT.
DEMONSTRATIE.'
Dewyl CT:TN=TM : TP^r.ó"*. zo is □ CT,TP~ □ MT,TN 6pr. 5b.
maar!=!MT,TN~CGT/TK § 279.
. 'dus □ CT,TP=PGT,TK~'
p GT,TK=CAT,TB 23.3*.
bygev. □CT,TP~!Z!AT, TB
en CT ; AT=TB : TP $pr.$b. waaruit AC : BP=CT : TB i%pr.$b:
enookBC : AP=CT : AT i5pr.$b.^
daaromAP : BP—AT : BTi7pr.$b., Dat te bewyzen zvas.
I3 I. GE-



134 ï. Boek UI. Hoofdftu\.
l GEVOLG,
54- 5- a8i. Dewyl AT: BT —AP:BP hbezveezett
en AP <BP
Zal ook AT < BT zvn. Waaruit volgt, dat wel altyd AT kleinderdan BT is, maar echter hoe langs hoe meer aan dezelve gelyk zal worden, naarmaate het punt M zig van den Top der Hyperbola verwydert; dierhalven zal de Tangens MT de As der Hyperbola altyd tusfchen Aen Cdoorfnydcn, maar het punt van doorfnyding T zal allengskens tot het middelpunt C naderen, zonder immer in het zelve te komen.
//. GEVOLG.
§. 282. Naardien AT :BT=AP : PB$28o.' zo is BT—AT : BT+AT-BP AP : PB+AP
datisaCT •> AB ~ ab : Tc? ofCT : AC — AC : CP en □ TC , CP — AC2 6pr.5b.
Dat is: de halve eerfte as is midden evenredig tusfchen de afftanden der Tangens en ordi* naatevan het middelpunt: even als inde Ellips. %, 146.
■ • HL G E VO L G.
f, 583. VanCiAP,PB+ACa~CPa6>.^: trek AC2=CjTC,CP §282.
blyft ES AP,PB -□Ciy^ïl 2b
■ Pat



HYPERBOLA. |^
Dat is: de regthoek der Abscisfen is gelyk aan den ,
regthoek der Subtangens met den afftand ;«'
der Ordinaate van het middelpunt: even g^ als in de Ellips §. 145
IV. GEVOLG.
%. 284. Hieruit volgt, dat de Subtangens PT dezelfde zal blyven voor alle de verfchillende Hyperbolen, die op dezelfde eerste as befchreeven zyn; en dat dus de Tangenten TM van de punten M, welke in dezelfde perpendiculaar gelegen zyn, alle elkander in hetzelfde punt T van de as ontmoeten zullen : eveneens als in de Parabola $$7 en in de Ellips S149. beweezen is.
V. GEVOLG.
§. 285. Als het punt P valt in het brandpunt H, 5^
zal het punt T in Q in de lyn van richting vallen: m
want, volgens § a6i. ^* is ook □ HC,CQ =AC*=z□ TC, CP
VI. GEVOLG.
§. 286. Laat MR worden getrokken regthoe" 54: kig op de Tangens TM, ontmoetende de verlengde As AB in R, dan is □ TP, PR - PM* 8pr. 6 b.
Maar □ AP,PB : PM = AC* : CDa 5236.'
dusaCP,PTaTP,PR=cTcP,CT: CD»
§§283,282:
of 1 : PR == CT : CD212pr.sK dat is, CT : CD = CD ; PR
I 4 Waar-



ï$B l Wek. ITI. Haofdjïuki
Fig. Waardoor de Subnormaal PR kan bepaald wor-"
den, even als in de Ellips § 145. 54; Als het punt'M in A vak, komen ook depmv* ten T en P in A, en PR veranderd m AR: weshalven als dan AC 5 CD"CD: AR enAR = ££is. ' Dat is: de kromte fraai (zie % 39) van het top* punt eener Hyperbola is de derde evenredige tot de beide halve As/en, of gelyk aan den halven Parameter: even als in. de Parabola §39 en in de Ellips § 147.
XV, PROPOSITIE.
§. £87. Als aan het punt F, welks Ordinaate HF door het eene'brandpunt H gaat, een Tangenswordt getrokken, en uit eenig punt N van dezelve een perpendiculaar NP, die de Hyperbola door^ fnydt in M, dan zal deeze perpendiculaar NP gelyk zyn aan de voerflraal' HM.
Pat is: NP^=?FJM.
DEMONSTRATIE.
Want uit F en M op de lyn van Richting ZZ trekkende de pérpendiculaaren FK en MR zo is KF : HF-MR : HM $ 265.
of QrT: HF^QF: HM doch QH : HFrrQP : NP 4pr.6bl
Pierhalven NP=HM igev.6 pr.5 6. Dat te bewyzen was,
h G &



hyperbola; \&
I. GEVOLG. Fig.
§. 288. Uit de toppen a en B trekkende per- 56", pendiculaaren, welke de Tangens ontmoeten in E en g: dan is AE = AH en BG = BH.
II. GEVOLG.
$. 289. Dewyl AQ: AH=rAC : CH is$ aóo;
en AC<CH.
is ookAQ <AH of AE, en dus/HQF> |Lof 45°,' Terwyl in de Parabola, de ^HQF~i L J41'. En in de Ellips, de ^HQF<£ L$i$3,
III. G E V 0 L G.
§. 290. Verleng NP, tot aan de Hyperbola in L.1 Omdat HP^+PM^HM0—pn*32pr. 1 b. ««$287en □ LN,NM + PM2 —VN* 6pr. 3 b.
zo is HPa 4-PMa = □ LN,NM-+-PMa ofHP? — EZ! LN,NM Eveneens als in de Parabola §41 en Ellips § 14.4.,
XII. DEFINITIE.
§. 291. Elke regte lyn als MN, die; door het middelpunt C gaande, de overftaande Hy- ^* perbolen ontmoet, wordt Diameter, of Middellyn, en derzelver uiteinden M en N de Toppan* ten daarvan genoemd.
I S. XVI. PRO-;



jfjf; l Boek. IIL Hoofdjluk]
fjfa XVI. PROPOSITIE.
. è7- , }• 292- Een ieder middellyn wordt van het middelpunt midden doorgedeeld. Dat is: MN een middellyn zynde, isCM-CN
demonstratie.
Trek de halve Ordinaaten MP, NQ; dan zyn de driehoeken PCM,- QCN gelykhoekig, en daarom
PM :' QN=CP : CQ4pr.6b.
mar 3^Ür^ AP,PB :a A$'Q B s
dusookcp: ^SH^^arJ^t—,^
Cn ^P;_a_^B:CQ^-bAQ,QB=CP":CQa
. is AC» : - BC«=CP*;CQ»<5.2*.
en AC a BC =CP : CQiO.^. - nu is AC == j3C , V1 ö
dierhalven ook CP—CQ en CM=CN Dat te bewyzen was.
L GEVOLG.
%. 29?. Laaten TM en SN de Tangenten zvn van de punten M en N;
dan is p3 PC ,CT^AC21
en^aQCCSrrBC»-/ S g82-
bygevolg aTc^CT^a"nc7cs
daar*



hyperbola: ,13?
daarom ook CT = CS Fig en l CTM = i CSN^pr.ib. of TM evenwydig met SN, 3 gev. mpr.i b. 5?v Dat is: de Tangenten der beide Toppunten van een middellyn zyn evenwydig met elkander.
II. GEVOLG.
§. 294. Dewyl altyd CM> CP
en CP>AC is
isook~CM>AC en MN> AB Waaruit blykt; dat de eerfte as de kortfte is VCtA alle de middellynen.
XVII. PROPOSITIE.
f. 295. Als aan de toegevoegde Hyperbolen ook eene middellyn KL getrokken wordt, evenwydig met de. Tangenten TM, SN, en aan derzelver toppen K en L wederom de tangenten KF, LG, zullen deeze laatste wederom evenwydig zyn met de mid. dellyn MN.
DEMONSTRATIE.
Trek uit K op de tweede as de halve Ordinaate KH,
dan is □ AP,PB: PM* = AC9: CD* \ enKHa:n'EH,HD=AC":CD"J> * 23
daar-



*4* TBc-ek. III. Hoofdfiuk; f-ig< daaromOAfiPB: PM* -IIIC QEH^HDn.gfc
^ ^ 0^CP^T:PMa =HK";ÖGSHF § 283. gedeeld door PT: PM--PIK j CH 4pr 6b.
komt-CP : PM—HK : HF i7pr.5b. Dierhalven zyn de driehoeken CPM, FHK gelykvormig 6pr. 6b. en is l PCM= Z FKH en /DCM= ZHFK en jdaarpm FK evenwydig roet CM. ' Dat te bewyzen zvas.
GEVOLG.
5. 296. De Tangenten TM en FK verlengende^ tot datze elkander ontmoeten in Z, zal CMZK een parallelogram zyn, op de beide halve iniddeilynen CM en CK befchreeven.
XHI. DEFINITIE.
i
J. 297. Twee middellynen, als MN en KL ^ Waarvan de eene evenwydig loopt met de Tan* genten van de toppunten der andere, worden' Diametri Conjugatie, of elkander toegevoegde middellynen, genoemd.
XIV. DEFINITIE.
%. 298. De naaste uiteinden M en K van elkander toegevoegde middellynen worden elkander toegevoegde punten eh: derzelver Ordinaaten MP, HK elkander toegevoegde halve Ordinaaten genoemd.
XVIII. P4ROi



hyperbola; 141
XVIII. PROPOSITIE. Figl,
§. 299. De afftanden der balve elkander toege- 57, voegde Ordinaaten tot aan het middelpunt zyn evenredig met de halve as/en der Hyperbolen.
Dat is; CP : CH=AC : CD.
DEMONSTRAT IE.
De driehoeken TPM,CHK, alsmede CPM,FHK zyn gelykhorkig § 293 en 295: daarom PT : PM=HK : CH1
en PM : CP=HF : HR/ ^T-6h
gevolglykPT : CP=HF : CH igpr-Sb. „ muit. met CP == CP en CH = CH
komti=?CP,PT:CPfl-aCH,HF r'cH* iopr. 5b,
of □ APJPB: CPa-nËH^HD: CH* § 283. of CPft-AC*:CPa—CH*-CDa: CH*6^>r. zb. dus CP» :CH*=AC* : CD* 14 pr.$b. enCP :CH ~AC :CDiQpr.sb.
Dat te bewyzen was,
I. GEVOLG.
S. 300. Dewyl PT: CP—HF: CH is beweezen^ heeftmenPT:HF=CP : CH
maar cp : CHrrACiCD&w.'
dierhalven PT: HF—AC : CD Dat is: de Subtangenten van elkander toegevoegde punten zyn tot elkander, als de halve asfen. 1
II. GE-



143 l Boek. III. Hoofd/luk.
Fig. II. G RVO L G.
sr> §.301. Dewyl CP: CH=AC : CD§ 290, en PT;HF= AC : CD §300.
zo isnCRPT: C1CJ,HF^AC*:CD* 1 rpr'sb.
of QAP» PB :EZ3EH,HD=AC3 :CD3 § 284. Dat is: de regtheeken der Abfcis}en van elkander toegevoegde punten zyn tot elkander als de vierkanten van de halve Asfen.
lil G E F O L G.
$. 302. Dewyl AC2:CD*=n AP,PB:PM2 § 23Ö. en ACa:CD*—OAP,PB:OEH,HD S301.
zo is PM*-aEH,HD~aCH,HFT en ook HK*^QAP,PB—□CP.PTj" Sa83»' Dat is: het vierkant der halve Ordinaate van eenig punt der Hyperbola, is gelyk aan den regthoek der Abscisfen van het daar aan toegevoegde punt.
IV. GEVOLG.
%. 303. Dewyl AC':CDa=aAPtPB :PM*Sa3&
zo is ACa:CD'~ HKa :PMa$ 302. enAC:CD= HK:PM=CP:CH § 299.
Dat is; de halve Ordinaaten van twee elkander toegevoegde punten zyn in de omgekeerde reden van de beide halve asfen.
, V. GE.



HYPERBOL Ai m
V. GEVOLG. Fig;
S. 304. Omdat AC:C D~ CP: C H -HK; PM § 303. 57> zo isOCP,PM—□C'H,HK6pr.5*. en a CPM «c aCHK aZpr.ib.
XIX. PROPOSITIE.
305. Het Parallelogram, op twee halve elkander toegevoegde middellynen befchreeven , is gelyk aan den regthoek van de beide halve asfen. Dat is: CJ CMZK - E3 AC,CD.
DEMONSTRATIE.
Trek uit het middelpunt C, op de verlengde Tangens TM, de perpendiculaar CR; dan zyn de driehoeken CRT, TPM en CHK gelykvormig.
Nu is CP : CH=AC: CD § 299. muit, metCT=CT en AC=AC
zo is CPxCT:CHxC T=ACa:ACxCD 10.5^ maarCPXCT = AC3 §282.
dierhalven CHxCT= ACXCD
enCH:CD =? AC : CT ■ pr.$b. doch CK :CH = CT : CR 4pr.6b.
daarom CK :CD = AC : CR 19^. 5 b. en CKXCR = ACxCD 6pr.$b. datis,£7CMZK - tz;AC,CD 35^.1 b. Dat te bewyzen w<w,
G E-



Ï44 % Bóek. III. Hoofdjïuh
'Fig. G E F O L G.
58. 5« 30& Hieruit volgt, dat alle de Parallelogrammen FGHI, KLMN, OPQR, tusfchen dezelfde Hyperbolen befchreeven, denzelfden inhoud hebben.
XX. PROPOSITIE.
$7' § ?>°7- Het verfchil der vierkanten van twee halve elkander toegevoegde middellynen, is gelyk aan het verfchil der vierkanten van de beide halve asfen.
Dat is: CM*—CK* — AC*—GD*.
DEMONSTRATIE.
Dewyl Ó AP,PB=HK* $ 302.
en D AP,PB=CPa-AC» 6><flfc
zo is HK3 =CFa-AC*. Op dezelfde wyze is CHa-CDE—PM*
dus HK3+HCa-CDa—CP +PM^*AC*
dat is CK2 — CD'-=CM2-AC3 s2/>r xt, tff CM2— CKa = AO - CD*3 P Dat te hewyzen was.
GEVOLG.
J. 308. In een gelykzydige Hyperbola AC=CD zynde, % 239. zal ook CM=CK zyn en MN=KL,
Dat



hyperbola: ï4$
Dat is: in eene gelykzydige Hyperbola is elke mid- Tig. dellyn gelyk aan haare toegevoegde.
XXI. PROPOSITIE.
§. 309. Als in het parallelogram cmzk, op twee halve elkander toegevoegde middellynen befchreeven, diagonaalen cz en mk worden getrokken , zullen deeze evenwydig zyn , met de lynen BD en AD, die de Toppunten der asfen vereenigen.
Dat is: KM evenwydig met AD en CZ evenwydig met BD.
DÉMONSTRATIE.
Laaten de beide diagonaalen elkander fnyden in O, dan is CO^OZ en KO=om. Trek de halve Ordinaaten MP en KH, als roede de regte hp, die evenwydig zal zyn met AD, omdat pc : CH=ac : CD is § 299.
Verleng pm en HK tot datze elkander ontmoeten in R:
dan is HK : cp=pm : CH § 303. of HK : HR=pm : pr enHR—HK : pr-pm=HK : pm lAtr.ïb of KR : rm=HK : pm ' Daarom MK evenwydig met HP, apr..6b, en bygevolg ook mk evenwydig aan ad tn::jhet punt R valt in de hoeklyn' cz. Trek, door het middelpunt C, eene onbepaalde regte ]yn wx, evenwydig met AD, fnydende BD midden door in N, zpr. 6b. Voorts zyn de driehoeken MKR,ACD gelykvormig, en daarom
K MO



"14* l Boek. III. Hoofdftuk.
Fi„ MO : OK=AL : LD 4pr.Sh.
maar MO — OK
5c 1 •
dus ook AL=LD=DN—NB en de regte CZ evenwydig met BD.
Dat te Bewyzen was.
I. GEVOLG.
§. 3io- Hieruit volgt, dat de hoekpunten, als QenZ, van alle de parallelogrammen, welke op twee halve elkander toegevoegde middellynen befchreeven zyn, alle zullen vallen in dezelfde regte lyn CZ, welke tevens de overige hoeklynen MK, evenwydig met AD getrokken, zal midden doordeden.
II.-G E V O L G.
§. 311. Verleng MK ter wederzyden, totdatze de asfen ontmoet in I en G; dan is
AL^LD— 01 : OG /\.pr. SB. maar AL—LD beweezen.
bygevolg ook 01— OG hieraf OM=OK
blyft Mfc^GK - dierhalven PM= GH en PI-HK.
XV. DEFINITIE.
§. 312. De onbepaalde regte lynen YZ en WX1 welke door het middelpunt der Hyperbolen en
door



H Y PE RE OL A. 14?
door het midden van de lynen AD en BD ge- pjg trokken worden, noemt men Afymptoten oïMiskopers: en de helft der lynen AD of BD, dat 59,' is AL of CL, de Polent ia, of de Magt, van deeze Hyperbolen.
GEVOLG.
$. 313. Dewyl AD2 ===== 4 AL*gev. qpr. 2 b.
en AD* = AC2 +CD3 32pr. 1 b<
zo is 4ALa=^AC2+CDa
en AL2 == ^±cDf 4
Weshalven van eene Hyperbola de beide asfen AB en DE gegeeven zynde, zal oo.kde Potentia daarvan bekend zyn.
En in de gelykzydige Hyperbola AC=CD zynde § 239.
zal AL*-2-^*-:^ AC* worden. XVI. DEFINITIE.
b
%. 314. Elke regte lyn als MK, tusfchen dé toegevoegde Hyperbolen, evenwydig met de eene Asymptote WX getrokken, wordt eene Or. dinaate en derzelver afftand CO van het middelpunt C de Abscis op de andere Asymptote YZ genoemd..
/• GEVOLG.
I
§. 315. Dewyl overal MO - OK is, voigt hieruit; dat alle de ordinaaten van de Asymptote mrden midden doorgedeeld.
Ks " II. G Ei



W l Boek. HL Hoofdf uk.
fig, II. GEVOLG.
gp. S- 3I(^ I" een gelykzydige Hyperbola zal de hoek der Asymptoten regt zyn, en elke Ordinaate regthoekig door de Abscis gaan.
///. GEVOLG.
.'f. 317. Dewyl altyd OZ — OC is, kan men Werdoor , op eene zeer gemaklyke wyze, de Tangens ZU aan een bepaald punt M van de Hyperbola .trekken i'( want CZ en CX de Asymptoten zynde, trek MO evenwydig met CX; maak OZ~ OC, en trek uic Z, door M, de begeerde Tangens ZU.
IV. G E VO L G. .
§.318. Dewyl AQ = AF -CD en MZ
CK — MU is 23pr. ib. blykt hieruit, dat de Tangens van eenig punt, tusfchen dit punt en de Asymptote bevat, gelyk en evenwydig is met de halve toegevoegde middellyn.
En verder; dat elke Tangens van de Hyperbola} tusfchen haare Asymptoten getrokken, van het raakpunt zvordt midden doorgedeeld.
XXII. PROPOSITIE.
S. 319. De regthoek van de Abfcis en halve OrdL naate, op de Asymptote genomen, is gelyk aan het vierkant van de Potentia.
Dat is: deQCO, OM of □ CO, OK=AIA'



hyperbola; m9
demonstratie. Fig:
Trek MS evenwydig aan CZ, dan is COMS ^ een parallelogram, het welk even zo groot is als de drieh. ^ek CKM 28pr. 1 b. ' ofOCOMS=a CKM
nu is aCKM=aACD§ 3°5.
dus cj COMS- aACD
en a ACD=£2ALCV a»pr. ib.
bygev.C "cOMSrr£=7ALCV. en CO : CL = AL : OM 12pr.6b. of LZS CO,OM~ÏZlCL,LA=ALa Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
$. 320. Dewyl □ CO, OM =? ALa is, en
deeze AL, voor dezelfde Hyperbola, ftandvastig blyft, zal OM = OK hoe langer hoe kleinder worden, naarmaate CO aangroeit, of het punt O zig meer en meer van het middelpunt C verwydért; weshalven de beide armen AM, DK der toegevoegde Hyperbolen geduuriglyk meer en meer tot de Asymprote CZ naderen, zonder immer aan dezelve te komen; en de Asymptoten als de grenzen kunnen worden aangemerkt, waardoor de Oneindige armen der Hyperbolen van elkander afgefcheiden zyn, zodaanig, dat deeze Asymptoten de laatsten zyn van derzelver Tan-' genten. Zie 5. 281.
K 3 IL G £;



W f. Boek. Hf, Hoofdlij Fig' . //• GEVOLG.
■ ^ ku?' Bv ee"-g ander Dnnr N no£ twpp nen NK, NI mede evenwydig aan dé Asym& toten trekkende, is oók Cy CKNI -rj rj \y>
en daaromoCLAV ~£D COMS~rj?KNl enz. . — -i^j-NA
Öat is: ^ Parallelogrammen, welke tusfchen de Asymptoten en de Hyperbola k nnen befchreeven worden, zyn evengroot.
III. G E VO L G.
§. 322. Dewyl CO^M^AL^nCK.KN C 000 zo is C.O:CK=kn ; OM. S?°9'
Dat is: op de Asymptoten zyn de Abscisfeu tot elkander in de omgekeerde reden van derzelver halve Ordinaaten.
IK GEVOLG.
f. 3?3. VanCJCKNI=r^COMSS32i. trek £i7COGI=OCQüI
blyftO0KNG^SteM~ hierby MGN— MGN
tornt Trap. OKNM= TrlpTÏNMS' eveneens Trap. LOMA= Trap. SMA V e» Trap. LANK = Trap. VANI.
V. GE-









hyperbola; m
V. GEVOLG. Fig!
§, 324. Als dan de Boog AM= den Boog AN 60] gefteld wordt, of CO=CIen OM—NI is, zal bok
LÜMA-SMAV-ANKL— VANI zyn. Als mede,omdatCOXQM—AL° of AV*is, § 319.
zal,in dit geval, M6X NI ~ALa of AVa zyn. of MS : AV=AV : NI En eveneens MO : AL—AL ; NK
VI. GEVOLG.
§. 325. Laat de de Tangens zyn van het punt A en HF die van het punt Mj dan is AD~AE en MF=MH § 318. dierh. A CDE = 2 C? CLAV.
en a CFH = ZCJ GOMS
Daarom a CDE = a CFH § 321.
Dat is: de driehoeken^ tusfchen de Asymptoten en de Tangenten van onderfcheidenpunten eener Hyperbola beflooten, zyn alle evengroot.
byvoegzel:
§. 326. Als men de Potentia AL a
de Abfcis CO=x en de halve Ordinaate OM—-y fielt j heeft men altyd xy—^r.aa. Het welk de Equatie van de Hyperbola op haare Asymptoten genoemd wordt.
K 4 XXIII. PRO!



#5» t. Boek. III. Hoófdjlufo xxm. PROPOSITIE.
'fi' $• §27- -dis binnen den hoek der Asymptoten ' ZCX 'naar welgevallen worden getrokken twee evenwydige regte lynen LR ,GT , die de Hyperbola doorjnyden in M en N; dan zullen de regthoeken der deelen van deeze lynen aan elkander gelyk zyn' Dat is: de □ LM,MR=DGN,NT.
demonstratie.
Trek, uit M en N, de regte lynen MO enNK evenwydig met de Asymptote CX, als mede de regte lynen MS en NI evenwydig met de an-> dere Asymptote CZ: dan is
CO : CK-KN : OM § 322.
of MS : NI—KN : OM^spr.ib. maar MS : NI—MR : NT 4 pr.6b,
, bygevolgKN : OM—MR : NT \ipr,$b. wederom KN: OM-NG : LM 4pr.6L
derhalv. MrT~NT—NG : LM 11 pr.gb. en □ LM,MR— dGN,NT ópr.gb.
Dat te bewyzen was.;
I. GEVOLG.
% $a8. Laaten de regtelynen LR,GTdeHyperbola nog eens fny^.en in H en F; dan is, op dezelfde wyze, O LH,HR—nGF,FTenook-=r □ LMjMR^-jjNjNT.
//. G E-



hyperbola:
II. GE FO L G. pJgi
$. 329. Dewyl de □LM,MR=ÏZ3LH>HR is $328. <su
zo heeft men LM:LH=HR : MR 8pr. 5 b. dusook LH-LM:MR-HR—LM : UR.15pr.sb. of MH : MH -LM : HR gevolglyk LM—HR en op dezelfde wyze gn—ft Dat is: de deelen eener regte lyn , binnen den hoek der Asymptoten getrokken , ter weder zy-. den tusfchen dezelven en de Hyperbola begreepen, zyn altyd aan elkander gelyk-
III. G E VO L G.
$. 330. Uit M en n twee andere evenwydige lynen mp en nq trekkende , bewyst men eveneens, dat ook de □ MP,MR—□ nq.nt is.
IV. GEV OL G.
§. 331. LaatRS de Hyperbola raaken in M; danisookMR=MS$3i8en eveneens als in §3 28
□ pn,nq ~ □po,oq-= □ RM,M5 of □ pn,nq = □po,oq-^ MR* of ms"
Dat is: tusfchen den hoek der Asymptoten eenige regte lyn trekkende evenwydig met een Tangens, zal deeze regte lyn van de Hyperbola zodaanig gefneeden worden, dat de regthoek van derzelver deelen gelyk is aan het vierkant van de Tangens.
K 5 V. G E-



ï'S4 l Boek: III. Hoofdp.uk.
Tig- V. G E VO LG.
62. §• 33a. Omdat NQrrOPenNP-OQLs §329. zo heeft men ook □NP,PO^GOQ,QN=MRa
VI. GEVOLG.
§. 333. Trek, door het punt M, de middellyn GM, die, verlengd zynde, de regtePQ (nydt in H; dan is CM : CH—MR : HP=MS : HQ 4pr.6b. maar MR —MS § 318-
f . " .
daarom ook HP—HQ hieraf NP—OQ §329.
blyft HN-1ÏÖ "~ Laat nu CK de halve toegevoegde middellyn zyn, dan is CK gelyk en evenwydig met MR § 318 en daarom ook evenwydig met PQ, weshalven NO de ordinaate is van de middellyn GM: en hieruit volgt, dat een. ieder 'middellyn haare Ordi' naaten, en gevolglyk het geheele Hyperbolisch vlak NMON midden doordeelt.
XXIV. PROPOSITIE.
§■ 334- Van ee^ gegeeven Hyperbola het middel, punt, de beide Asfen, de Brandpunten en de parameter te vinden?
constructie.
Trek in de Hyperbola, of ook inde tegenoverftaande, ergens naar welgevallen, twee regte
even-



HYPERBOLA.'
evenwydige lynen NO, no. Deel dezelven mid- Fig den door in H en 'h en trek door deeze punten H en h eene onbepaalde regte lyn, die de Hy- 62* perbolen doorihydt in M en G; dan is MG eene Middellyn § 333. Deel deeze middellyn midden door in C; zo is C het middelpunt $ 292. Befchryf uit C als middelpunt een cirkelboog, die de Hyperbola doorfnydt in D en d. Trek de regte Dd en deel dezelve midden door in E. Trek eindelyk, door CenE, een onbepaalde regte lyn, die de Hyperbolen ontmoet in A en B; dan is AB de eerste As § 226: waaruit vervolgens door S 236 de tweede As, door § 249 de Brandpunten, en door § 245 de Parameter kunnen gevonden worden.
Dat te doen was.
XXV. PROPOSITIE.
§■ 335- Gegeeven zynde de hoek der Asymptoten ZCX eener Hyperbola, en eenig punt M binnen denzelven; om hierdoor de Hyperbola te befchryven?
C ONSTUUCTIE.
Trek, door het gegeeven punt M, naar welgeval- , leii1 eenige regte lynen, als LR en PW,en neem daar 6l' m RH—LM en V W ~ PM, dan zyn H en V punten van dezelfde Hyperbola § 329, door welken, op gelyke wyze, wederom andere punten kunnen gevonden,.en dus de Hyperbola kan getrokken worden. ö
Dat te doen was.
XXVI. PRO-



35^ I. Boek III. Hoofdfliik'.
Fig. XXVI. PROPOSITIE.
$• 33^ Op een 'e^er middellyn is de regthoek der Abscisfen, tot het vierkant van de halve Ordinaate 9 als het vierkant van deeze halve middellyn, tot het vierkant van haare halve toegevoegde middellyn. Dat is; de □ GH.HM : HNa-CM» : CK*
demonstratie.
Dewyl CM : CH—MR : HP is 4pr. 6b. isöokCM* :CH*-MR*: HP* iSpr.gb. en CH*-CM*.HP*-MR»-CM2:MRa 14.pr.5b..
ofCH3-CM« HPg-QNP,PO—CM2:MRj33a-
dat isH3GH,HM: HN2 =CMa:MRa 6. a of□GHjHM: HN* ~CMa:CK3 §318. Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
§. 337. Nog een andere Ordinaate »o trekkende, in dezelfde of tegenoverftaande Hyperbola, is op dezelfde wyze, SZ1GMM :hni —CMe :CK* als dat □ GH,HM :HN* —GM2: CKa
en bygevolg tl GH,HM: HN a = □Gè,*M:5aa of D GH,HM: □ G^M-HNa :4«2
Dat is: de regthoeken der Abfcisfen op een middellyn zyn tot elkander als de vierkanten yan derzelver halve Ordinaaten.
II. G E V O L G .
% 338. In eene gelykzydige Hyperbola een ieder middellvn aan haare toegevoegde gelyk zynde % 239. heeft men als dan, van de proportie
O GH,



HYPERBOLA.
□ GH,HM : HN3 =CMa : CK2 § 335. Jfa»
dat CM2 - CK* is. —-. —p—. 62.
daaxom ook!Z!GH,HM=HNa enGGA, hM—hn*. Dat is: z# gelykzydige Hyperbola is oyeral de regthoek der Abscisfen gelyk aan het vierkant van haare halve Ordinaate.
III. G E F O L G.
%. 339. Trek NL ,nl evenwydig met GM; dan is □ GH,HM : HN2 — CM : CK«§ 336"-
of CH*-CM* : HN'=CMa: CK' 6.2b. dus ook CH': HN'+GK» =CM*: CKai5.5 b.
of LNVCL'+CK' =CMa: CK* En als CM—CK is, zal ook LN3 =• CLa+ CK* zyn.
IV. GEVOLG.
$. 340. Op dezelfde wyze is van eenig ander punt n, in dezelfde, of in de tegenoverltaandeHyperbola,.
;„a . Cl' + CP = CM2: C¥L\ bygev. LN*: CL+CK2 = /»3 :C/2+ CP. of LN2 : /«a = CLa+CKa:C/'+C£*
XXVII. PROPOSITIE.
$. 341. Als, evenwydig met eene middellyn AB, tusfchen de beide overflaande Hyperbolen, eene regte ^3 lyn GH wordt getrokken, zal deeze van de toege- ™ voegde middellyn Cl worden midden doorgejneeden. ^'
Dat is: GN=NH.
DE-



158 l Boek. III. Hoofdf uk.
Fig' demonstratie.
63 Trek uit de punten G en H, evenwydig rfief en Cl, de lynen GK en HR; dan zyn deeze halve 64. ordinaaten van de middellyn AB, en gelyk aan elkander 23 pr. 1 b.
NuisD AK,KB: □ AR,RB=GK»: RH2 % 337. - bygevolg □ AK,KB=dAR,RB.
of AK : AR=RB : KB 8 pr.gb. en AK+AR :' RB-f-KBzrAK : KB i$pr. 5*
dat is RK i RK~~AK ■ RB daarom AK-—RB hierby AC=CB^ op2.
komt CK—CR
of GN=NH aspr.ib. Dat te Bewyzen was.
GEVOLG. _ §. 342. Als de regte GH de toegevoegde Hy°4* perbola fnydt in W en V, is deeze WV eene Ordinaate van de middellyn Cl en daarom WN=NV J 333. maar GN——NH beweezen.
dierhalven WG=\ H
Dat is; eenige regte lyn naar welgevallen tusfchen twee over elkander fiaande Hyperbolen getrokken wordende, die de toegevoegde Hyperbola doorfnydt, zullen de deelen deezer lyn. ter wederzyden tusfchen de Hyperholen begreepen, aan elkander gelyk zyn.
XX VIII, PRO-



HYPERBOLA. 159 XXVIII. PROPOSITIE.
Fig.
§■ 343- Als door eenig punt F, in eene middel- $ lyn DE, of baar verlengde, genomen, eene regte lyn £ getrokken wordt, evenwydig met eene andere mid- ^ déttyn AB, fnydende de Hyperbola in G en H; en dan zal de regthoek der deelen van de middellyn 66. tot den regthoek der deelen van de fnydende lyn zyn, als het vierkant, van de halve eerste middellyn tot het vierkant van de halve tzveede.
Dat is: de □ DF,FE: □ GF,FH— CDa: AC*
DEMONSTRATIE.
t. GEVAL. Als AB en DE beide middellynen
van dezelfde Hyperbola zyn. ^
Laat Cl de halve toegevoegde middellyn van ^ AB zyn; fnydende GH midden door in N§34^ Trek DM evenwydig met AB en DL, GK even* wydig met Cl;
dan is FN: DMr=CN: CM=CF: CD 4pr 6b en FN3; DM*^CNa:CMa- CFa:CDfl18.5^
of FN3 : CL3 =GK* DLa maarQ AK,KB : □ AL,LB=GKa:DLa % 337;
dusFN*:CL^BaK,KB;QALjjB11 foSj
ofFNa: CL3 ~ CK^AC'.CL^AC* 6.6b. en FN* -CK'+AC>:ACa =± FN*:CLS 15.5b.
maar FNS: CL3 == CF3: CD*
daarom



ióo ï. Boek. III. Hoofdjïuh
'Fig. daarom FN - CK* +AC*: AC*—CF* : CD2 dusf%.63CK«-FN":CD;-CF*7 . el en Fig.6&W- CK3:CF -CD* j ~AU ' ^U 64. dat is CjGF,FH; □DF,FE=AC*:CD2 5 en 6.2 h
II. GEVAL. Als AB en DE middellynen zyn van toegevoegde Hyperbolen.
^5 Dewyl CN;CM-NF: DM—CF: CD^r. 6b' ™6 zoisCNB:CM2 = NF*.DMa"CF*:CD* 18.5b.
of GK*: DL* =NFs:CLa en GK2: DL* ^AC*+CKa : AC3+CLa § 340.
bygev. AC*+CK*:AC2+CL* =:NFa:CL* 11M, en AC3+CK2-NF2: AC2~NFa iCL^CF^CD3 dus Fig. 65 CK2-NF*:CF3-CD31 cnFtg. 66 NF3-CK3:CDa-CF»/ACa:C1)a
dat is □GF,FH :!ZlDF,FE=AC*:CDa 5 en 6.2b. Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
, §. 344. Door het zelfde punt F nog eene an. ^ dere regte lyn gh trekkende en daarmede even6^ wydig de halve middellyn Ca, heeft men op deen zelfde wyze,
66. ClgF,F£ : □ DF,FE=r#Ca : CDa
maar □GF,FH: □DF,FE=ACa : CD"
dierh. □ gF,F£ : □GF5FH=*Ca : AC*.
ft GE<



hyperbola; t6*
II GEVOLG. Fig. §■ 345- Door een ander punt o, naar welge- ^ vallen genomen, nog twee regte lynen pq , PQ J trekkende evenwydig met de halve middellynen fo, AC,öC, of met de voorige lynen GH,g£, heeft menooka^O,0^ : CT PO,OQ=AC* : aCz en □ GF,FH : □ gF,Fh=AC* : aC*
dus Q pO,0^: □ PO,0 Q ~ □ GF,FH; "OgF,Fh. Hetzelfde heeft plaats in de overige Figuuren.
III. G EV O L G.
\. 346- Als een der fnydende lynen Fh een 66: Tangens wordt, vallen debeidefnydpuntengen A in elkander, en de CgF,Fft verandert in Fg* en daarom Fga : □ GF,FH=Ca» : CA*
IV. GEVOLG.
§. 34^- Als de andere fnydende lyn FH ook eene raaklyn FG wordt, heeft men , eveneens als te vooren
Fg* : FG* = Ca* : CAa ofFg : FG =Ca : CA. Dat is; de beide Tangenten, uit het zelfde punt tot aan de Hyperbola getrokken, zyn tot elkander ah derzelver halve evenwydige middellynen.
xxix. propositie.
% 348. Als tm de Tangens is van eenig punt <9j M? ontmoetende de middellyn AB in t, en mp de h. halve



i4z ï. Boek. III. Hoof elftuk.
Fig. halve Ordinaate deezer middellyn is; zullen de deelen AT, BT, in welken de middellyn door de Tangens 7' gefneeden wordt, evenredig zyn met de Abscislen AP, PB. Dat is: AT; BT =a AP : BP.
demonstratie.
Laaten AE en BZ de Tangenten zyn van de punten A en B, ontmoetende de Tangens van het punt M in E en Z. Trek de halve middellyn Ca evenwydig met TM, en de halve middellyn Cb evenwydig met AE of BZ $ 293. Dan is AE ; EM=C£ : Cal
en BZ : ZM~Cb : Caj *347'
daarom ookAE : EM =BZ : ZMnpr.gb. of AE : BZ — EM: ZM Spr.gb. maar AE : BZ = AT : BT 4pr.6b.
dus AT : BT = EM: ZM~iTpr.$b. nu is AP : BP — EM : ZM 4pr. 6b.
dierhalven AT : BT^AP : BP upr.$b. Dat te bewyzen was. I. GEVOLG.
§. 349. Dewyl AT: BT =AP:BPis,te^ zal ook AT-frBT: AP+BP-AT:AP 13^.5*.
dat is a AC : 2 CP =rAT:AP
of AC : CP =AT:AP iapr.gb. dierh. AC - AT: CP-AP~AC:CP i$pr.$b,
ofCT : AC =AC-CP en □ PC,CT =ACa
Das



HYPERBOLA. 263
Dat is: de halve middellyn is midden evenredig Fjgl tusfchen de afflanden der Tangens en Or. dinaate van het middelpunt', even als in de Ellips % 193.
II. GEVOLG.
$. 350. □ PC, CT—AC* 5 349 getrokken van n PC,CTfaCP,PT=PCa 2 pr.zb.
blyft □ CP,PT-PC*-AC» maar3 AP,PB-PC*-AC3 6pr.ab.
dusS CP,PT=CAP,PB.
Dat is : de regthoek der Abscisfen is gelyk aan den regthoek der Subtangens met den affland der Orainaate van het middelpunt: zo als ook in de Ellips plaats heeft. § 194.
III. G E VO L G.
5. 351. Van O PC,CT^AC* $ 349. trek af CT*=CT*
blyftDPCCT-CT* — \C2-CTa
' dat is n CT,TP — G AT,TB 3 5.2 K en AT: TP =TC : TB.
IV. GEVOLG.
5. 35a. Laat Cb verlengd worden, tot aan de Tangens in Y: dewyl
L s PM"



Ï64 I. Boek, III. Haofdjluk.
Fig. PM* : Cb* =DAP,PB: AC* § 336.
6>. dus PM3: Cb* =CCP~PT :ÖCP,CT:§350^349. ofPM*:C£3 = PT : CT iapr.5b. maar PM : CY= PT : CT 4pr.6b.
dierh.PM3: Cb* — PM ; CY 11 "pr. 5b.
ofPM:G£3— 1 :CYi2^r.5£. en SPM,CY— Cb*
V GEVOLG.
§• 353- Dewyl AT: TP—TC : TB is $351: en AT : TP=AE : PM 4pr. 6 b.
is ook TC : TBzrAE : PM 11 pr.gb. maar TC : TB=CY : BZ 4pr. 6b.
daarom AE : PM==CY; BZ \ \pr.$b. enCAE,BZ~aPM,CY-C£*" §352. Bygevolg, waar ook het punt M in de Hyper* bola genomen wordt, blyft echter altyd de regthoek der Tangenten AE, BZ evengroot, en gelyk aan het vierkant van de halve toegevoegde middellyn Cb.
XXX. PROPOSITIE.
§. 354. Als CA en CM tzvee: halve middellynen zyn, AI en TM de Tangenten van derzelver toppen, zullen deeze lynen met elkander gelykedriehoeken maaken.
Dat is: de A. AIC^=A CTM.
PE:



HYPERBOLA. ï5ö-
demonstratie. Fig.
Dewyl CP : ACzrrrAC : CT §349. 67. en CP : AC=CM : Cl \s4pr. 6b,
zo is ook AG ; CT—CM : Cl 11 pr. 5 b. en daarom A ACI= a CTMi3j5r. 6 b. Dat te bewyzen was.
I GEVOLG.
5. 355. Van a ACI=ACTMfow««Ca. trek CTEI= CTEI
blyft a ATE= AiEM
//. GEVOLG.
%. 356. By A ATE= a IEM beweezen. tel AEMP=AEMP
komt a TMP=rTrap. APMI. III. GEVOLG.
$• 357- Door het puntE, alwaar de beide raaklynen AI en TM elkander fnyden, een middellyn QG trekkende, zo heeft men,
omdat AC : CT—CM : Clis beweezen §354;
endusAC : AT=CM:MI i^pr.gb. ook a ACE: a ATE^aCEM : a IEM 1 pr. 6 b. maarA ATE— aIEM §. 355.
bygevolg a ACEZTa CEm7~"
L 3 Nu



Ï66 1 Boek. III. HoofdftuL
Fig. Nu (laan deeze gelyke driehoeken op dezelfde bafis CE, en| hebben bygevolg ook eene gelyke 67« hoogte; daarom de punten A en M vereenigende door de regte AM, die de verlengdeQGfnydtin N, zal AN — NM en deeze AM eene Qrdinaate zyn van de middellyn QG § 333.
IF. GE VOLG.
§. 358. Eene andere ordinaate r/van de middellyn GQ trekkende; die bygevolg evenwydig is aan AM, en welke, verlengd zynde, de verlengde Tangenten AI en TM ontmoet in R en S; dan is,
EN : EW-NM : WS=NA : WR Apr. 6 bmaar NM —NA % 357.
dierhalven WS — WR
hieraf W/~ YV> g 333.
F. G E F O L G,
§. 359. Uit het punt Z door het middelpunt C rrekkende eene regte lyn, die de toegevoegde Hyperbola ontmoet in g, zal Cg de halve toegevoegde middellyn van CG zyn: want
TB : TC-TP: TA zynde § oSl; isookTB-TC:TP-TA—TB :TP 14.fr.gè. " of BC : AP =TB : TP
doch TB : TP^=BZ : MP
derhalvenBC : AP = BZ:MP ofBC: BZ =AP:MP
By



HYPERBOLA! rx67
Bygevolg zyn de driehoeken BCZ, APM geiykhoekig 6 pr. 6 h. en daarom i BCZ=z" ACg= , l PAM en de lyn Zg evenwydig met AM, en ** dns ook met de Tangens van het punt G. § 358.
XXXI. PROPOSITIE.
§. 360. Als door eenig punt F van de Hyperbola naar welgevallen genomen, evenwydig met de beide Tangenten Alen TM, voorden getrokken de lynen HK en OV, zal men hébben
A HFV= Trap. AHKI. en A KFO= Trap. MOVT.
DEMONSTRATIE.
Want a CMP : A ACP=CP»: ACa i4pr.6b. bygev. ACMP-AACI:CP3-AC»=AACI:ACa of Trap. APMI: ïz!AP5PB=AACI : AC3 6pr. a b. zo ook AHKI: □AH,HB=AACI: AC3
daaromAPMI:AHKI— □AP,PB:!=!AH,IIB doch MPS: FHa=aAP,PB.!=lAH,HB§337
dusTpMLAHKI— MP3 : FHa nuisATMP:AHFV= MPa : FH'i4^,6^
dierhTAPMI: AHKI= A~TMP : A HFV. maar APMI = A TMP §356.
daaiöm ook AHKI= A HFV. Op dezelfde wyze toont men, dat MOVTrr— A KFO is.
Dat te bewyzen was.
L 4 B Y"



r'6S l Boek. HL HoofdftuL
Fig- BYVOEGZEL.
$• 96i. Alle deeze eigenfchappen van de Hyperbola , in de vier voorgaande Propofitien en haare gevolgen beweezen, zyn dezelfde als van de Ellips in § 185 tot % 202 getoond is.
XXXII. PROPOSITIE.
68. _ 5. 362. De inhoud'vaneen Hyperbolisch vlak APM ts tot dien APN van eene gelykzydige Hyperbola met dezelfde as befchreeven, en op dezelfde abfcis AP ftaande, als de halve tweede as tot de halve eerfte as.
Pat is: APM : APN=:CD : AG.
demonstratie.
Dewyl PMa: □ AP,PB—CDa: ACais §236. en O AP,PB—PNa § 240.
fceeft men PM3: pn* —CDa: AC" en PM : PN =CD :AC Dat is, overal is PM tot PN indeftandvastige seden van CD tot AC; en naardien 'er nu even veele lynen PM in APM, als lynen PN in APN begreepen zyn; moet de fom van alle de eerften tot de fom van alle de laatftenookindeezezelfde reden van CD tot AC zyn, lópr.gb. En daarom het vlak APM tot het vlak APN mede a!s CD tot' AC.
Dat te hewyzen was.
xxxm. pro-



HYPERBOLA. ,<?9
XXXIII. PROPOSITIE. Fig; §. 363. De inhoud eener Hyperboloïde, of van
het Kegelvormig Lighaam, door de omwenteling van het vlak APM rondom AP gemaakt, is tot dien van de Hyperboloïde, op dezelfde wyze■> door de gelykzydige Hyperbola APN befchreeven > als het vierkant van de halve tweede as tot het vierkant van de halve eerfte as. Datis:LighaamAMLA:Ligh.ANOA=CDa:AC*
DEMONSTRATIE.
Want overal is wederom, als in § 362. PM* : PN*=CD" : AC" maar PM' : PN* =oML : ®N027pr.6b.
dus ook overal © ML : 0 N0=CD2: AC*
Maar beide Lighaamen beftaan ieder uit even. veele deezer cirkels; daarom het Lighaam AMLALighaam ANOA=CD* : ACa i6pr.gb. Dat te bewyzen was.
XXXIV. PROPOSITIE.
§. 364. De oppervlakte van eene Hyperboloïde is tot die van eene gelykzydige, als de halve tweede as tot de halve eerfte as.
Dat is: oppervl. LAM: oppervl. OAN=: CD: AC
DEMONSTRATIE.
Wederom PM : PN~CD : AC beweezen §362. maar PM : PN-oML: O ON 22pr.6b.
dus O ML :oNO=CD :'aC
L 5 • Nu



i7o I. Boek. III. Hoofdftuk.
'Fig. Nu beftaan de beide oppervlakten uit eene gelyke menigte van omtrekken, en zyn bygevolg
68' ook tot elkander in diezelfde reden van CD; AC ï6 pr. 5b.
Dat te bewyzen was.
BYVOEGZEL.
§. 365. Uit deeze drie laatste Propofitiën, vergeleeken met de XXIX, XXX en XXXI1^ pro. pofitien van het voorgaande Hoofdftuk, blykt dier« halven, dat de berekeningen der Hyperbolifche Figuuren volkomen eveneens van de kennis der gelykzydige Hyperbola afhangen, als de berekeningen der Ellipfen van die des Cirkels; welke ook als eene gelykzydige Ellips kan aangemerkt worden; dewyl daarin de beide asfen mede aan elkander gelyk zyn. Doch evenmin als de inhoud eenes cirkels volftrektlyk te bepaalenis, kan men den inhoud van eene gelykzydige Hyperbola naauwkeurig uitdrukken; en moet men zig, in het werkdaadige, met eene nadering behelpen, welke echter, eveneens als in den cirkel, naar welgevallen kan voortgezet worden: zo als in de volgende Propofitie nader zal blyken.
XXXV. PROPOSITIE.
70. §. 366. Ah CY en CZ de Asymptoten zyn van eene gelykzydige Hyperbola VAX, waarvan AC de halve as is, en op de Asymptote CZ de ordinaaten AB, DE en FG getrokken voorden, zodaanig dat derzelver Abscisfen GB, CE, CG geduur ig



hyperbola: 171
^duurig evenredig zyn; zullen de vlakken, tusfchen Figi deeze Ordinaaten bejlooten, aan elkander gelyk zyn. ^Q Dat is: het vlak ABED=DEGF.
DEMONSTRATIE.
êb- ■
Volgens j319, is CBxBA —cexed - cgxgp of CB : ce ^-ED j BA en ce : cg =;GF s ED Maar, volgens de onderftelüng, cb iCE— ce^cg zynde, zo heeft men
CB: CE-ce : CG—GF: ED=ED:BA en ook BEs eg^GB : ce enz. 14.fr. 5 b.
Laaten nu BE en eg ieder in evenveele gelyke deelen, waarvan Bb en Ee de eerften zyn, verdeeld worden; en trek de Ordinaaten ab en de: dan is wederom
Bb: Ee—BE EG-CB CE enz. 1 npr. 5b. alsmedeCfCe=de :ba =CB.CEenz. i%pr. $b. 'en dus de :ba=T)E: BA=B£: Ee daarom dexEe=ba XBb\
en DEX Ee=BAXB£j 6P'-Sb.
dus ook (DE+de) X Ee= (AB+abJ xBb enD-5±l' xEê= *5±-» XBb.
Hoe meerder deelen nu in BE en EG genonen , of hoe kleinder deeze deelen Bb en Ee gefteld worden, des te meer naderen de vlakjes ABba en DEed tot regtlynige Trapeziums, welker 'inhoud door ^±£-4 x Bb en 2£±* X Ee worden uitgedrukt, 37 prof. ib. en worden eindelyk
aan



t Boek. III. HoofdftuK
*%• aan dezelve en dus aan elkander gelyk. Dit zelf.
de van de vlakjes, op de overige deelen van BE ' ' en_EG ftaande, eveneens plaats hebbende, ende beide ruimten ABED en DEGF uit even veele van deeze vlakjes zamengefteld zynde, moeten deeze ruimten ABED, DEGF ook aan elkander gelyk zyn.
Dat te bewyzen was. I GEVOLG.
[ btfr- Nog eene Ordinaate Hl trekkende ■ m Diervoegen dat mede Cl : CG~ CG - CE = CE: CB is, zal ook het vlak FGIH aan de beide voorigen ABED, DEGF gelyk zyn.
//. GEVOLG.
§. 3°"8. De lynen CD, CF en CH getrokken zynde, waarvan de eerfte de lyn AB doorfnydt m K» zo is ook
aCBA=aCED=taCFG- ACH Saai hieraf aCBK=aCBE S
blyft aCKA^KBED hierby AKD= AKD
komtCAD=ABRD. Op dezelfde wyze heeft men CDF==DEGF CFH=FGIH.
nrS de HyPerh°Whe Seïtors CAD,
'-Ut' ,GFH &c. alle evengroot.
LIL GE-



HYPERBOLA. 173
///. G E F O L G. Figl
§. 369. Dewyl, volgens §. 367, 7°'
ABED—DEGF=FGIH &c. is; heeft men ABED—1 ABED ABGF-a ABED ABIH ^3 ABED &c. &c. Dierhalven, als de lynen CB, CE, CG, Cl &c in eene Meetkundige reeks genomen worden, zyn de vlakken ABED, ABGF, ABIH &c. in eene daarop toegepaste Rekenkundige Reeks: en bygevolg de lynen CB, CE, CG, Cl &c. Getallen of Numeri verbeeldende, zyn de vlakken ABED, ABGF, ABIH &c. derzelver Logarithr men. Zie 1, 2 en 3 Def. 11 b.
BYVOEGZEL.
§. 370. Deeze Logarithmen worden, ter onderfcheiding van de gewoone, of die in de Tafelen van Briggs voorkomen, de Hyperbolifche genoemd; hoewel eigenlykalle foorten van Logarithmen Hyperbolisch zyn, en het onderfcheid daarvan alleen afhangt van den hoek, welken de Asymptoten met elkander maaken. Men noemt dezelven ook de Natuurlyke Logarithmen; om datze het natuurlykste en gemaklyker, dan alle andere foorten van Logarithmen, te bereekenen zyn; en uit dezelven alle andere foorten afgeleid kunnen worden: want de Logarithmen van eenzelfde getal, in onderfcheidene ftelzels, zyn tot elkander in «ene ftandvastige reden. Van alle Iborten van Logarithmen



i74 I. Boek. III. Hoofdftuh
Fig. rithmen zyn echter de gewoone , of die in de gewoone Nummer - Logarithmi Tafelen voor-
7°« komen, voor het werkdaadige de gemaklykste; en men kan uit dezelven ook wederom de Hyperbolifche Logarithmen afleiden, en daar door den inhoud van een Hyperbolisch vlak vinden; in aanmerking neemende, dat de gewoone Log, eens getals, tot de Hyp. Log. van dit zelfde getal is, als. i: 2, 30258509 &c. (f)
By voorbeeld: Hellende AB=BC=i en CE=2; om den inhoud te vinden van het Hyp. vlak ABED.
Muit: de Log van 2—0,30103
met 2,30258509
690775527 2302585090 | 6907755270
komt 0,6931471896427 voor de Hyp: Log: van *, of voor den inhoud van het vlak AÊED, in zulke deelen, waarvan het vierkant van AB doet 1: zo dat het vierkant van AB — 100 zynde, is het vlak ABED = 691 nagenoeg.
Voorts uit D, door de verlengde As AC, de Ordinaate DM trekkende, zal men ook gemaklyk den inhoud van het Hyperbolisch Segment DAMD kunnen bereekenen:
Want
(t) In het V. Httfifiuk van het II Bobk zal van dit alles en yaa de manier, om de Logarithmen te bereekenen, onsHandiger gehandeld worden.



HYPERBOLA. 175
Want CE : CB=AB : DE zynde § 322. Fig. is 2 •* 1 = 1 ' DE
dus DE= 0,5 7°' Trek nu nog de Ordinaate MN,
dan is MABN=ABED §324. en MADEN=2ABED als mede DE : AB—AB • MN § 324. of 0,5 : 1 = 1 i MN dus MN— 2 Wederom CE : CB=:CB : CN §324. k of 2 : 1=1 : CN dus CN—0,5 en NE= i,5 Vervolgens by MN~ 2 geteld DE= 0,5
en van de Som = 2,5
de helft =£ 1,25 vermenigv. met NE= 1,5
komt Trap. MDEN- 1,875 hieraf MADEN - 1,386
blyft MADM-= 0,489.
XXXVI. PROPOSITIE.
S- 371. Als van onderfchtidene Hyperbolen de 58; asfen evenredig zyn, zyn deeze Hyperbolen ge- en lykvormig. 69.
DEMONSTRATIE.'
LaatenAB,ró de eerfte asfen j CD,cd de halve {weede asfen i en FB/b de halve Parameters zyn:
de«



\j6 I. Boek. III. Hoofdfluh
Fig. dewyl AC : CD—CD : fh1
en ac : cd — cd : }h J § 23 3' m als mede AC : CD=^- : cdük de onderft.
69' zo is ook FH : fh — CD : ^=AC : ac Voorts neemendeAP: ap~AC'.ac=zAB: ö£. zo is ook BP : bp ~ AC :ac igpr-gb.
en □ AP,PB:□ AC : ac* \7pr.$b.
dew. nu □ AP,PB : PM2 —AC2: CD2 1
en □ öp,p£ : ƒ— ac* : cJ* ƒ ^ 23 "
zo is PM* : pm% —CD2 : c^3 1 1 pr.$ h. en PM : pm =CD :cd=AC:ac. Eindelyk CM, «0 de halve middellynen zynde van de gelykftandige punten M en m, zyn de driehoeken CPM en cpm gelykvormig, 6p\ 6b. en daarom CM : cm — PM : pm ~ AC : ac.
Het welk verder van alle andere gelykftandige lynen eveneens plaats hebbende, blykt hieruit, dat de beide Hyperbolifche vlakken APM, apni gelykvormig zyn.
Dat te bewyzen zvas.'
L G E F O L G.
§. 372. Hieruit volgt, eveneens als van de£/ïips, in § § 216, 217 en 218, omftandiger beweezen is, dat de inhoud deezer gelykvormige Hyperbolen APM, apm, als mede de oppervlakten der Lighaamen, uit derzelver omwenteling ontftaande, tot elkander zyn in de verdubbelde reden en de inhoud deezer Lighaamen zelve inde driedubbelde reden haarer Asfen, of Parameters.
II. GE-.



HYPERBOLA. 17? M GEVOLG. Fig.
§. 373. Maak op AC, CD denregthoek AC DE, 63 " als mede op ac, cd den regthoek acde,-_ en trek uit *fl C door E, en uit c door e de onbepaalde lynen °9' CZ, cz, dan zullen deeze Asymptoten zyn §310: en dewyl de driehoeken ACE, ace gelykvormig zyn 6pr. 6b. zo heeft men L ACE =^ ace; weshalven in gelykvormige Hyperbolen de Asymptoten gelyke höéken met elkander maaken : of alle Hy* perbolen tusfchen dezelfde Asymptoten befchreeven, zyn gelykvormig.
En naardien de hoek der Asymptoten in de gelykzydige Hyperbola regt is § 313, volgt hieruit verder, dat alle gelykzydige Hyperbolen gelykvormige Figuuren zyn: eveneens als alle Cirkels.
XXXVII. PROPOSITIE.
§. 374. De Hyperbolen, die, door evenwydige Vlakken, uit denzelfden Kegel, gefnteden worden9 zyn gelykvormig.
DEMONSTRATIE.
Laat ABC de Kegel zyn, FDG en fdgde beide 71} Hyperbolen, welke van den driehoek ABC regthoekig doorgelheeden worden in de lynen DE, de ; dan zyn deeze lynen en haare verlengden DH, dh evenwydig 15pr. 9 b. Trek de lynen DW, dw evenwydig met AB en WU, wu zodaanig , dat l DWÜ TS L dwu ss l EDB Itdbïs, wanneer WU en wu ook evenwydig aan M 9h



17$ I. Boek III. HoofdfluE
Fig' elkander, en DU, du de parameters deezer Hyperbolen verbeelden § 231. waarvan DH, dh de 7 ' eerfte asfen zyn § 225.
Nu is DH . dh = DC : dG — DW: dw — DU : du, en daarom de Hyperbolen FDG, fdg gelykvormig § 371.
Dat te bewyzen was.
Einde van het I. Boek. ,
GROND.



GR ONDBEGJNZELS
der H O 0 G E R E
MEETKUNDE.
TWEEDE BOEK.
over eenige voornaame
KKOMME LTNEN.
Te weeten:
I. Concloide. V. Linea Logiftical
II. Cisfois. VI. Linea Spiraïis, llLQtiadratrix. VII. SpiralisLogaritl. IV. Cyckis. VIII. Spiralis Hyperbt



Ex his principiis via ad majora ftcrnitur.
I. Newton. Quadr. Curv.









Pag. l3ï
GIL ON DE EG IN ZELS
per H O O G E R E
MEETKUNDE.
TWEEDE BOEK.
EERSTE HOOFDSTUK. Van de CONCHOIDE van NICOMEDES.
L DEFINITIE,
%. i. HLaat AB eene regte lyn en P een punt pjj buiten dezelve zyn, waaruit PD regthoekig door fa' AB getrokken is,dezelve fnydende in C. Indien i. men dan begrypt, dat de regte lyn PD rondom het punt P, als Pool of middelpunt, omdraaije, en allengskens verlengd worde, zodat derzelver gedeelte MN, boven de regte lyn AB bevat, altyd van dezelfde lengte als CD blyve; dan zal het uiteinde D van deeze lyn eene kromme lyn MMMM befchryven ,welke, naar derzelver eerften uitvinder, de Conchoide of Scbulptrek van Nico« medes genoemd wordt.
M 3 II. DE-



m TI. Boek. I. Hoofdftuk,
Fig. II. DEFINITIE.
x. $.2. Wanneer het punt D in d, beneden de lyn AB , of tusfchen deeze en het punt P genomen, en dan begreepen worde, dat de lyn PC rondom het punt P omdraaije, zo dat derzelver gedeelte Nw beneden AB, altyd gelyk zy aan Cd; zal het punt d wederom'eene Conchoide tnmmm befcnryvèn; welke, ter onderfcheiding van de voorgaande, de benedenfie Conchoide genoemd wordt,
IH. DEFINITIE.
&. S. 3. En als, dC grooter dan PC zynde, het punt P tusfchen C en d valt, zal de Conchoide een knoop Pm dm hebben ; en wordt daarom een geknoopte Conchoide genoemd.
§• Eindelyk als ¥G=Cd is, of het punt d in P zelve valt,zal de knoopP»? dm wederom verd wynen, en de Conchoide de gedaante van mVm aanneemen; hebbende in P een punt, het welk Cwpis of Spits genof nd wordt.
IV. DEFINITIE.'
I §• 4. In alle gevallen wordt het punt P de Pool, % de regte AB de Lyn van Richting en CD of Cd ^ de As van de Conchoide genoemd.
GEVOLG.
%. 5. Hieruit volgt, dat, in een ieder CotsehQ^e, cje regte lyn MN, uit eenig punt M van
de



CONCHOIDE 283 -
de kromme lyn naar welgevallen, tot 'aan de Fig. richtingsdyn AB getrokken, zodaanig dat dezelve, verlengd zynde , door de Pool P zoude loopen, I. gelyk is aan de As der Conchoide: naamenlyk a overal is MN—CD. m
l PROPOSITIE.
§. 6. Gegeeven zynde de As, de Lyn van Richting en de Pooi, om de Conchoide door punten te befchryven ?
CONSTR.ucxj.1S.
Laat AB de lyn van richting en P de pool zyn.' Trek uit P door AB eene onbepaaldeperpendiculaar, en neem in dezelve, boven of beneden AB, naardat men debovenfte of benedenfie Conchoide begeert te befchryven, een ftuk CD of C^gelyk aan de gegeevene As. Vervolgens trek uit P eenige lynen PO, die AB fnyden in N: en neem, in ieder van deeze lynen, een ftuk MN—CD, of mN~Cd; dan zullen de punten Mof m de begeerde punten der Conchoide zyn, waardoor dezelve kan befchreeven worden: zo als van zelven blykt uit de eerfte, tweede en derde Definities Dat te doen was.
II. PROPOSITIE.
J. 7. De lyn van richting is eene Asymptote van de Conchoide.
M 4 DE' •



j84 II. Boek. I. Hoofd[ïuhl
fig' demonstratie.
4. Laat, uit eenig punt M der kromme lyn, tot de lyn van richting AB, worden getrokken de perpendiculaar MQ, als mede tot de Pool P de regte MP, fnydende AB in N; dan zyn MQNen PNC gelykvormige driehoeken, naardien de l MQN-^PCN— L en de L MNQ— L PNC is.
Bygevolg is
PN : PC=MN : MQ 4pr.6&. of PN : PG=CD : MQ§5en MQ-=
Van deeze uitdrukking is PC en CD en dus ook PCXCD ftandvastig, zodat de verandering van MQ alleen afhangt van de verandering van PN. Als dierhalven het punt M zig van D verwydert, zodat PN boe langer hoe grooter wordt, zal MQ, of de regthoekige affiand vanfhetpunt M tot de lyn AB, geduurig kleinder worden, en PN oneindig groot zynde, zal MQ oneindig klein zyn. Weshalven AB de Asymptote is van de kromme lyn DMM.
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
§. 8. Dezelfde lyn AB is tevens een Asymptote van de benedenfte Conchoide: zodat de beide kromme lynen, fchoon in het oneindige verlengd, elkander egter niet zullen kunnen ontmoeten.
II. G



conchoide: 18*
II. G E FO LG. Fig:
$. 9. Een ieder andere regte lyn, 'c zy even- 4, wydig mee AB of daarop hellende tusfchen dezelve en de kromme lyn getrokken, zal dierhalven de kromme lyn ontmoeten.
XIX PROPOSITIE.
§. 10. Indien uit C op CD befchreeven worde het quadrant CDE, en uit eenig punt M der Conchoide ojj CD getrokken worde de perpendiculaar MF, fnydende den Cirkelboog in G : dan zal de regthoek van CF en FM gelyk zyn aan den regthoek van PF en FG. Dat is: CFXFM=PFXFG.
DEMONSTR AT I E.
Trek CG: dan is in de driehoeken CGF en MQN de^ CFG= l MQN= L CG= MN en CF= MQ
dierhalv. i CGF=zl MNQ upr.i b. maar l CGF=/ ECG mpr.i b.
bygevolg l ECG= l MNQ en de lyn CG evenwydig met MN.
Vervolgens CF : FG=TF : FM 4pr.6b. en CFXFM=PF X FG 6pr. 5 b. Dat te bewyzen was.
M 5 /. GE-



i%6 ïï. Boek. I. Hoofd/luk. Wig. I. GEVOLG.
S- ïï. Alles hetzelfde blyvende is QN=FG en NC—MG.
II. GEVOLG.
> i s. Dewyl CF: FG—PF : FM is beweezen ; ' heeft men CF* :FG* ~PF*: FM4 x%pr. $b> maar FG* ~CGa-CF* —CD1 -CF* 32/v. ib.
dus CF* : CD*—CFa-=PF9 : FM' BYVOEGZEL.
5- 13. Laat de As CD~«; de afïïand der Pool 2C=b, de Abfcisfe CF— MQ-* en de Applicaate FM—CQ—y zyn.
Dewyl CF1: CD3-CF*-PFa : FM" is §12 heeft men x* : c? - x% ■=. (b+x)1 :y*
en #V X (>K>*
of ** ƒ =«* £s-f 2 a9 fce+j* x*~-zbx3 en de termen, volgens de afmectingen vans in orde gefchikt hebbende *4+2&c"-hrV—tfa-f-yaJ x*—&a*bx—u%ba: hetwelk de Equatie der bovenfte Conchoide is.
Zo men 0 en x negatief neemt, verkrygt men F ^-a^s+f**~»3+v*J«*+a«m&c=tf* voor de Equatie van de benedenfie Conchoide; welke een knoop zal hebben, als a>b is 5 3Maar az=b zynde, heeft men
*"* ~ zax 3+y* #B4" 2a3x~a*.
Dewyl



CONCHOIDE. i8?
Dewyl alle deeze Equatien tot de vierde Magt F/>. loopen, zo behoort de Conchoide tot de lynen van de vierde order of tot de kromme lynen van 4. bet derde Gejlagt: want de Kegelfneeden, waarvan de Equatien niet hooger dan tot de tweede Magt gaan, maaken het eerfte of het eenvoudigfte Geflagt der kromme lynen uit.
IV. PROPOSITIE.
§• 14. Om uit een gegeeven punt (P) door de 5, beenen; van een' gegeeven boek (BAC> eene regte lyn (FM) te trekken, zoduuuig dut het gedeelte CMN) van dezelve], tusjchen de beetien deezeshoeks bevat, gelyk zy aan een gegeeven lyn (D) ?
CONSTRUCTIE.
Trek uit P, op een der beenen AB van den hoek BAC, de perpendiculaar PE. Verleng dezelve eu neem daarin een ftuk EF=D Bafchryf dan uit P, als de Pool, met EF ais As", eene Conchoide, welke het ander been AQ,volg[ §9, noodzaaklyk moet doorfnyden, als . in M* en trek PM; dan zal PM de begeerde lyn zyn' want nu is MN=EF=D. § 5 en Conft. Dat te doen was.
V. PROPOSITIE.
§. 15. Om tusfchen twee gegeevene regte lynen twee meetkundig midden-evenredigen te vinden ?
CON-



i8S II. Boek. I. Hoofdftuk.
' Fig. constructie.
g Laaten AB en AC de beide gegeeven regte lynen zyn, welke men regthoekig heeft te zamen gevoegd. Voltooi den regthoek ABDC. TrekuitD door E, zynde het midden van AC, eene regte lyn, die de verlengde AB ontmoet in G. Deel AB midden door in F, en ftel uit F op AB een perpendiculaar, welke van den Cirkelboog, uit B als middelpunt, met een radius BH — AE = * AC befchreeven, wordt doorgefneeden in H, en trek de lyn GH. Trek vervolgens BI evenwydig met GH en verlens AB naar K : en door de voorgaande propofitie uit H de lyn HK, zodat derzelvee gedeelte IK, tusfchen de beenen BI en BK van tien l IBK begrepen, gelyk zy aan AE ofÈ AC. Wanneer men dan nog door K en D een lyn trekt, die de verlengde AC ontmoet in L, zullen CL en BK de begeerde raidden-evenredigen van AB en AC zyn:
'of AB : CL-CL : BK=BK : AC.
demonsts tratte.
In de driehoeken ECD en GAE
is^ECD=4GAE—X L CED~^AEG zpr.iB. CE- AE Conftr.
dierhalven CD— AB ~AG 21 pr. 1 h. en BG.-aCD= aAB dus AB : aAB= CE : oCEzynde,
is AB : BG = CE : AC en ABXAC='BGXCE
Voorts



CONCHOIDE. i3o
Voom CD : CL=BK : BD^r.tf*. Fig*
of AB : CL=BK : AC* 6. en AB X AC=CL X BK 6 ^r. 5 b. maar AB XAC=BG X CE Beweezen.
bygevolg CL X BK=bg1TcË" daarom CL : CE=BG : BK Bpr.gB. en LE : CE-GK : BK \%pr.$B.
nu is GK : BK-HK: IK4. 6B.
dus LE: CE-HK TlK ~
»«ar CE= IK Conjir.
dierhalven ookLE-=HK VervolgenaAKXBK+FB*=FK* 6pr. 2B. hierby gedaan FH*=FH*
komt AKXBK+BH* = HK' 32^. 1 b.
of AKXBK + CE* = LE* beweezen.
doch LE* =ALXCL+CE» 6pr. ai
bygevolg AKXBK+CE* — ALXCL+CE* en AKXBK—ALXCL dus AK : AL-CL: BK maar AK : AL^CD of AB : CL
dierhalven AB : CL—CL ;BK=BK:BD ofAQ.'
Dat te bewyzen was.
L BYVOEGZEL.
$. 16. Het voorgaande vraagftuk, wegens het vindén van Twee Midden-evenredigen, is zeer beroemd in de Gefchiedenis^ der wiskunde. Ver-
fchei-



190 II. Boek. ï. Hoofd/luk.
Fig. fcheidene oude en hedendaagfche Wiskunsten ren hebben hetzelve opgelost: zo door de fny ö- ding der kegelfneeden, als door het befchryven van andere kromme lynen, ten dien einde uiigdacht. Wy hebben nu gezien, hoe Nicomedés d vraagftuk, door zyne Conchoide, heeft opgelost e het volgende Hoofdftuk zal ons de Cisfois leerei kennen, waardoor Diocles ditzelfde heeft ter uit voergebragt.
. Di<: waagftuk heeft ook veel betrekking, ol liever komt op hetzelfde uit met een ander, mede zeer beroemd, Voorftel; naameiyk 'om den Teerling te verdubbelen: want, dewyl de lynen AB, CL,BK en AC geduurig evenredig zyn, zo is:
AB : AC = AB3 : CL3 28pr. $b. En daarom AC == 2 AB zynde
zal ook CL3 == 2 ABs zyn; of CL de zyde van een Teerling, die den dubbelen inhoud heeft van den Teerling, op de lynAB befchreeven.
De gemaklykste handel wyze, om deeze vraagftukken door de Kegelfneeden uit te wecken, be. 6*. ftaat m het lhydpunt te zoeken van twee Parabolen; aldus. Trek twee onbepaalde regte lynen AX en AY, regthoekig met elkander; neem daar in de ftukken AB en AC, gelyk aan de beide gegeevene regte lynen, tusfchen welken de twee \ Midden evenredigen moeten gevonden worden ' Befchryf, volg. § 21E e r s t e B o e k, op AX al As, met den Parameter AB, de Parabola AD je op AY als As, met den Parameter AC, de Rrabola AE; die de voorgaande doorlhydt in IV; uit .welk punt M op AX en AY getrokken zyn je
k



CONCHOIDE. 191
de perpendiculaaren MP enMQ, dan zullen deeze Fig. de begeerde Midden-evenredigen zyn; want dewyl □ AB,AP=PMa—AQ'1 6*' en nAC,AQ=QMa = AP» J § 8*L BoEK' zo is AB: PM—PM: AP—AP : AC c,pr. 5b.
II. BYVOEGZEL.
j. 17. Men kan de befchryving van de Con- '■ choide veel algemeener maaken, door te begrypen, 3 dat de lyn van richting AB eenige kromme lyn m en ook dat MN, in plaats van het verlengde van 3. PN te zyn, eenigcu hoek naai welgevallen met deeze PN maakt. Over de eigenfenappen deezer Conchoiden, in het algemeen, vindt men eene uitmuntende verhandeling van Ph. de la Hire in dé Mem. de Vac. Roy. des Sciences, i7o8.
TWEE-



TWEEDE HOOFDSTUK. Van de CISSOIS van DIOCEES.
I. DEFINITIE.
aat CQ pptip reste lyn of Lineaal zyn, P een punt buiten dezelve en HFG een regte hoek of winkelhaak, waarvan dé eene zyde FG == CP is, of gelyk aan den afftand van het punt P tot aan de lyn CQ: wanneer dan deeze winkelhaak wordt bewoogen, zodaanig dat deszelfs eene zyde KF, naarmaate het nodig is verlengd zynde, altyd tegens het vaste punt P blyve aanleggen, en het uiteinde G van deszelfs andere zyde FG altyd langs de lyn CQ worde voortgefchooven ; dan zal het punt I, in de midden van FG, door deeze geduurige beweeging df verfchuivirtg van het Lineaal, eene kromme lyn ADI befchryven, welke men de Cisfois of Klimtrek van Diocles noemt; om dat deeze de eerfte uitvinder van dezelve is.
II. DEFINITIE.
g. 19. De lyn CQ wordt de Lyn van Richting genoemd.
I. PRO.









C I S S O I S; m l PROPOSITIE. Fig,
5- 20. Ah men CV midden doordeelt in Ken in 7 de lyn van richting neemt CD—CA, zal de Cis- ' fois door de beide punten A en D kopen.
DEMONSTRATIE,
^"l^?0* dan is C2=FG: dierhalven" door de beweegmg van den winkelhaak, het Pun? Gmg komende, moet het punt F in C en I in
voig cDipr1 FI altyd geiyk ig is>CD hW
En, ten tweeden, als het punt G in C komr moet de winkelhaak den ftand van KPC aannee' men, dus het punt F in P en het punt I in a Vallen.
Bygevolg zullen A en D punten van de Cislois zym
■Dat te bewyzen zvaSi III. DEFINITIE.
r §. 21. Het punt A wordt het toppunt van de /Cisfois genoemd: en als men uit C ais middelpunt, met de radius AC-CD,een' cirke! befchryfr heeft deeze den naam van maaktnden Cirkel-en deszelfs middellyn AB is de As van de Cisfois.
GEVOLG.
§. 22. Hieruit volgt, dat de Cisfois van zvn maakenden Cirkel een vierde des onuieke, of een boog AD van q0o affnydt.
N JI, PRO*



194 If. Boek. II. Hoofdftuk.
^Fig. II- PROPOSITIÉ.
§. «3. Als, uit eenigpuntï van de Cisfois, een perpendiculaar IK op de middellyn van den maam kenden cirkel wordt getrokken, fnydende deszelfs omtrek in L ; dan zal de Abscisfe AK middeneven' redig zyn, tusfchen de applicaaten van den Cirkel en Cisfois.
Dat is: KL : AK = AK: KI.
DEMONSTRATIE.
Trek CL, als mede IM regthoekig op CG; dan is, in de beide driehoeken CKL,IMG, de i CKL= i IMG—L
CL= IG §. flo. * en CK=r IM
dus L KCL— i MIG npr.i h. maar i MIG=tf FOG—/COP 13 en &pr. 1 b.
dierhalv. L KCL^MIG~2FOG^i COP maar L CKL=^ IMG-/OFG—i PCO^l
en de driehoeken KCL,M1G,F0G, OPC alle. gelykvormig aan elkander en daarenboven de Aei KCL en MIG, als mede de Ae" FOG en OPC in alles aan elkander gelyk.
fCLl fPOl Voorts KL:< KC/—Pc : ^COf <\fr.6b.
dusKL ;CL+KC=PC :PO+CO 15 pr. § ¥. of KL: KA =PC : CG
Vei-



C I S S O I S. 195
, Vervolgens: trek AlenPG, welke van de verlengde IM wordt. doorgefneeden in N; dan zyn g de AenPFG en PCG mede in alles gelyk, en ' daarom de 4 FGP-^CPG
maar LCPG^/ING nzpr.i b.
bygevolg de i FGP=Z ING
en ook IN—IG=AP: weshalven de iynen Ai cn PG aan elkander evenwydig zyn 22 pr. ib.
en bygevolg PC : CG=KA : KI 4pr.6b. doch PC ; CG—KL : KA beweezen.-
dus KL : KA—KA : KI wpr.gb.
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
§. 24. Als men LK verlengd tot aan den om« trek des Cirkels in Q,
is QK=KL=MG en QI=CG
//. GEVOLG.
§. 25. Dewyle BKXK A—KL3 is 23 pr. 3 b. heeft men BK : KL~ KL : KA
maar KL : KA—KA ; KI beweezen,
dierhalven BK : KL-KL : KA=KA:Klj Of de vier lynen BK , KL, KA en KI geduurig evenredig.
8 * b y«



ïpp* II. Boek. II. Hoofdftuk
Fig BYVOEGZEL
g
J. 26. Laat AK —x, KI~y en de radius vart den maakenden Cirkel AC-^a zyn; dan is BK-=2 a -x en KL— v' zax—xx:
Nu is KL : KA=KA : KI $ 23. of \l 2,ax—xx : %—x : y dus ook 2 ax—xx :x*—x*ty* iQpr.gb.
0Ï2.a~x : x—x": y* izpr.gb. enx'i'=^(<ia--x)y%=2.ay%—xy* hetwelk de Equatie van de Cisfois is.
Daf is i de Teerling van de Abfcisfe is gelyk aan een Lighaam, waarvan de bafts is bet vierkant der Applicaate en de hoogte het verfchil der Abfcisfe met de middellyn van den maakenden Cirkel. Vervolgens: van eene andere Cisfois, de Abfcis z, de Applicaate v en de radius van den maakenden Cirkel b ftellende, zo heeft men ook
s,b—z : z za : v*
Indien dan x : y=z : v is zal ook 2 a— x : xz=2b—z : z
en 2a ; 2é= x : z i^pr.gbl of a : b—r x : z~y : v zyn. Waaruit blykt, dat alle Cisfoidengelykvormige Figuuren zyn.
III. PROPOSITIE.
0- §. 27. Als men, uit eenig punt 1 der Cisfois, tof hjt toppunt, de lyn IA en op de jniddellyn van den
maa-j



C I S S O I S. 19/
maakenden Cirkel de perpendiculaarJK trekt; zul- Fig. len deeze lynen gelyke boogen van den Cirkel affnydtn. 9' Naamlyk boog AH~ den boog BL.
DEMONSTRATIE.
Want; trekkende AL, en verlengende IK tot aan den omtrek in Q;
dewyle KL : AK—AK t KI is S 23. en i AKL- ^AKI=L
Zyn de A«" AKL en AKI gelykhoekig 6pr.6b.
en dus Z ALK— i KAI
Of de boog AQ-=. den boog BH lopr.^b.] Deeze afgetr. van boog AQB=AHB
blyft boog BQ—den boog AH maar boog BQ—den boogBL ipr. 3^
dierhalven ook boog AH=den boogBL. Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
§. 23. Als men van boog AD— den boog BD § 22. aftrekt de boog AH=den boogBL bew.
blyft 'er boog DH= den boog DL.
//. GEVOLG.
§. 119. Uit H de regte HM perpendiculaar op AB trekkende, fnydende AL in N; dan is N 3 AM



i$8 IL Boek. Iï. Hoofdftuk.
Fig.' AM=BK enMH-KL en BM—AK.'
Voorts BM : MB=MH : AM 23pr. 0 b. 9' ■ el^Jll^ ~KI:KA— KA:KL—AM;MN § 23.' Dus ook BM: MH — MH : mT=MaTmN of de lynen BM, MH, MA en MN geduung evenredig en bygevolg N een punt van den omtrek der Cisfois.
III. GEVOLG.
§.30. Dewyl AM:AK-MN:KL-MH:Kr4. 6b, of MN X KI - MH X K L is 6 pr. 5 b. maar MH —KL § 29
dtisMNXKI=MH3^La=AMXMB^AMXAK
Dat is: de regthoek der applicaaten van twee overeenftemmende punten der Cisfois is gelyk aan het vierkant der applicaate in den maakenden cirkel; of gelyk den regthoek der Abfcisfen van deeze zelfde punten.
IV. PROPOSITIE.
%. ^Gegeeven zynde de middellyn van den maakenden cirkel, om de Cisjois door punten te befchryven ?.
constructie.
10. Befchryf den maakenden Cirkel ADBE, waarvan AB de middellyn is en neem, ter wederzyden van het middelpunt, CF=.CG. Trek uit F en G op AB perpendiculaaren, die den omtrek des Cirkels fnyden in H en Kj en uit A tot H
en



C I S 5 O I Si' xp
en K de regte lynen AH en AK, die de voor- Fig. gaande perpendiculairen, verlengd zynde indien bet noodig is, zullen doorfoyden jin de punten IO? I: dan zyn deeze punten in den omtrek der CisIbis, volgens de voorgaande propofitie> dewyl overal de boog DH^den boog DK is: en door deeze punten kan men de begeerde kromme lyn ïrekken.
Dat te doen was.
V. PROPOSITIE.
§. 32. Als uit B, het uiteinde van de middellyn des maakenden Cirkels, op dezelve wordt gefield een perpendiculaar BZ, zal deeze een Asymptote van de Cisfois zyn, of de kromme lyn niet als op een oneindigen afftand ontmoeten.
DEMONSTRATIE.'
Laat, uit eenig punt Ivan de Cisfois,op BZ getrokken worden de perpendiculaar IL, dan is IL—BF, zodat de kromme tot de regte lyn BZ zal naderen, eveneens als het punt F tot B. Wanneer nu F tot B nadert, worden de boogen BH—AK geduurig kleinder, en het punt I verwydert zig hoe langs hoe meer van AB. En op het oogenblik als het punt F in B zoude vallen, valt ook K in A en dan zoude de lyn AI evenwydig aan BZ zyn, dat niet anders kan plaats hebben, of het punt I moet op een' oneindigen afftand van AB zyn: weshalven de kromme lyn de regte BZ niet, als op een' oneindigen afftand kan ontmoeten.
Dat te bewyzen was.
N 4 VI. PROr



IL B'o e k. ïï. Hoofdftuk;
VI. PROPOSITIE.
IO' $• 33- Als> door eenig punt I van de Cisfois, uit derzelver toppunt, eene regte lyn wordt getrokken, fnydende de Asymptote in M en den omtrek des maakrnden Cirkels in K, dan is het gedeelte deetien lyn, tusfchen de Cisfois en de Asymptote bevat* gelyk aan de Chorde van den Cirkel. Dat is: IM=AK.
demonstratie,
Want de driehoeken IML en AGK zyn gelyk-' hoekig, en daarenboven is IL=BF=AG, dierhalven ook IM^AK. 2.1 pr. i b.
Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
$. 34- By IM=AK beweezen., geteld IK=IK
clan is ook MK==AI
VII. PROPOSITIE.
11 • §• 3 5' Om, door behulp der Cisfois, tusfchen twee gegeevene regte lynen Pen S, twee meetkundig mid< fin-evenredigen te vinden ?
qonstructie.
Befchryf een Cisfois naar welgevallen, en neem in derzelver lyn van richting GD, volgens de lopr.6b\. een ftuk CF, zodaanig dat CF: CB=
* : B



C I S S O I S. sol
S : Pzy. Trek uit B door F eene regte lyn, Figi die de Cisfois ontmoet in I, en uit I op AB de perpendiculaar KI, fnydende den omtrek van "« den maakenden cirkel in L; dan zyn BK: KL 5 KA : KI geduurig evenredig, 5 25 en bygevolg KL en KA de meetkundig midden-evenredigen van BK en KI: wanneer men dierhalven neemt volgens de 10 pr. 6 b.
Q : P=:KL : BK en wederom R : S=KA : KI; zullen ook de lynen Q en R meetkundig raidden-evenredig tusfchen P en S zyn.
Dat te doen zvas%
N 5 DER-



DERDE HOOFDSTUK, fan de QUADRATRIX van DINOSTRATES.
I. DEFINITIE.
'jpy* $■ 3°*- Is ACB een quadrant, of vierde geö' deelte eenes Cirkels is, en ACBD een vierkant,
12. op deszelfs radius befchreeven, en men dan begrypt, dat de radius AC, met eene gelykmaa. tige beweeging , rondom het middelpunt Cronddraaije , terwyl de regte lyn AD te gelyk langs AC voortbeweege, blyvende altoos evenwydioaanzigzelven, ofaanCB, zodaanig, datzebeide beginnen te beweegen in A en te gelyk wederom eindigen in CB; dan zal het punt I, alwaardeeze beide beweegende lynen elkander geduuriglyk doorfnyden, eene kromme lyn AIKE befchryven welke men de Quadratrix van Dinostrates noemt; omdat men doorgaans deezen voor den eerften uitvinder van dezelve houdt, hoewel anderen daarvoor Nic omedes neemen.
II. DEFINITIE.
%■ 37- De cirkel, waarvan ACB een quadrant & is, wordt de maaiende Cirkel genoemd: derr zeiver



QUADRATRIX. jjoj
zeiver radius AC de As en het punt A het top- Eigl pust van de Quadratrix. ^
III. DEFINITIE.
§. 38. De lyn CE, of de grootfte applicaate^ heeft den naam van Bafis of Grondlyn van de Quadratrix.
I. PROPOSITIE.
§. 39. Indien men, uit eenig punt'I'van de Quadratrix , een perpendiculaar 1G op de As trekt, benevens een radius CF; dan zal de As ACjlaan tot de Abfcisfe AG, als de boog van het quadrant AFB, tot den boog AF, door de radius dfgefneeden.
Dat is; AC : AG= boog AFB:boog AF.
DEMONSTRATIE.
Dewyle, volgens de gegeevene bepaaling § 36, het punc G in de lyn AG en het pum F in den boog AFB met een eenpaarige beweeging voortloopen, en, in denzelfden tyd, het eerfte de geheele lyn AC, en het tweede den geheelen boog AFB befchryven, moetenze, in denzelfden tyd, altoos ieder eenzelfde gedeelte van zyn' weg afleggen; zodat altyd AG hetzelfde gedeelte is van de geheele lyn AC, als de boog AF van den geheelen boog AFB, en dus
AG : AG= boog AFB : boog AF. Dat te Bewyzen was.
I. GE-



ftö* II. Boek. III. Hoofdftuk.
Flë' I. G E VO l G.
is- $.40. Dewyle AG: AG=boog AFB i boog AF is, en AC-AG:AC^boog AFB- boog AF:boog AFB
of GC rACrrboog FB : boog AFB, <JpsookAG:GC=boogAF : boogFB.
IL GEVOLG.
§• 41. Op dezelfde wyze door het punt K de lynen CM en KL trekkende, is ook
AG : AL~ boog AF : boog AM en dus AL-AG:AG=boogAM-boogAF:boogAF
dat is GL :AG= boog MF : boog AF. en ook GL :LC~ boog MF : boog MB. Zodat de radius AC , 'of de As, in de punten G en L, tn dezelfde reden is gedeeld, als de boog van het quadrant, in de punten F en M.
LH. GEVOLG.
% 42. Als bygevolg AG=^GL — LC is, zal ook boog AF —den boog FM—den boog MB zyn: en wederom, als deeze boogen gelyk zyn, zullen ook de daarmede overeenftemmende deelen van de As evengroot zvn; en zulks zal moeten plaats hebben, in hoeveele gelyke delen ook de As, of de boog van het quadrant, verdeeld zy.
II. PROPOSITIE.
' $• 43- Gegeeven zynde de As, om de Quadra\ trix, door punten, te befchryven 9
con-



QUADRATRIX. 205
CONSTRUCTIE. Fig,
Befchryf, op de gegeeveneAs, het vierde gedeelte des maakenden Cirkels ACB. Deel de As AC en den boog AB ieder in hetzelfde getal van gelyke deelen, by voorbeeld in 8. Trek, uit ieder deelpunt van den boog, een radius CF, en uit de punten G van de As perpendiculaaren op dezelve;, welke de voorgaande radiën doorfnyden in I; dan zyn I punten van de quadratrix, § 42 door welke dezelve kan getrokken worden,
FJat te doen was. III. PROPOSITIE.
§. 44. Om, door middel van de Quadratrix, een gegeeven hoek, of cirkelboog, in twee of meer deelen te ver deelen, die een gegeeven reden tot elkander, of tot een regten hoek hebben ?
Laat ACD de gegeevene hoek, of AD de ge- , geeven Cirkelboog zyn, welke ih drie deelen moet gedeeld worden, zodaanig dat deeze deelen tot elkander zyn, als de gegeevene lynen P,Q,R.
CONSTRUCTIE.
Op eene willekeurige lyn AC, als As, zy befchreeven de Quadratrix AFE, § 43 fnydende CD in F, en uit F op AC getrokken de perpendiculaar FG. Men trekke vervolgens uit a eene onbepaalde lyn aO, naar welgevallen, en neeme daarin AS—P, ST=Qen TU=R. Voorts
trekke



206" II. Boek. III. Hoofd/tut.
Fig. trekke men UG en daarmede evenwydig, uit S Cn Tf deIvnen SHen TI, ontmoetende de As AC in H en I, en uit II en I perpendiculaaren, die de quadratrix fnyden in Ken L; wanneer men dan door Ken LdeftraaJenCMenCN trekt, zullen deeze den hoek ACD, of boog AD, in de gegeeven reden verdeden.
demonstratie.
Want AS : ST: TU == AH: Hl: IG 2 pr. 61
of P : Q : R = AH: Hl: IG conftru&ie maar AM:MN:ND=AH: HI:IG§ 41.
dus ookAM:MN:NDr= P : Q : R of i ACM:iMCN.^NCD=P: Q: R. Dat te doen was.
GEVOLG.
§. 45- Als P= q-=zR gefield wordendieeft men ook AH==:EII=IG; en dus volgt hieruit, hoe men een gegeeven hoek, of cirkelboog ,door behulp eener quadratrix, in een gegeeven getal van gelyke deelen verdeelen kan.
BYVOEGZEL
§. 46. De Quadratrix is van Dinostrates uitgevonden, om het x'raagftuk, in de voorgaande § voorgefteld, op te losfen, of eigenlyk alleen maar, om een gegeeven hoek in drie gelyke deelen ■te verdeelen; 'hetwelk een van de voornaamfte yraagftuKken uitmaakt, waarmede de oude Wis*
kuas>



QUADRATRIX. ao?
kunflenaars zig hebben beziggehouden. Doch Fig.hiermede is die Vraagftuk niet meetkundig opgelost, dewyl deeze kromme lyn béhoort tot die x4* geenen, welke men Curvce Mechanica oitranfeendentes noemt; omdat de betrekking der Abfcisfe tot de Applicaate, voor ieder punt naar welgevallen , door geene eindige of Algebraifche Formule, welke niet anders dan regte lynen bevat, kan uitgedrukt worden; of anders, omdat de Abfcisfe of Applicaate, of alle beide zelfs krommeljnen, of van eenige andere kromme lyn afhanglyk zyn.
By voorbeeld: in de Quadratrix de Abfcisfe CH=# Hellende, kan mende Applicaate HK—v niet in het algemeen door eenige eindige Formule uitdrukken: want CH : HK=:Rad. : Tang. I HCK en neemende AC — a voor radius, zo is x : y—a : Tang. i HCK en dus y- * x \l HCK '
Doch men kan de Tangens eenes hoeks, of van een boog, niet anders dan door een oneindige Reeks in het algemeen bepaalen.
Zo mende lengte der cirkelboogen bekendflelt^ kan men wel, voor ieder punt, eene algemeene Equatie vinden; maar de léngte eenes Cirkelboogs kan wederom, in het algemeen, alleen door een oneindige Series worden uitgedrukt.
Laat AH—x, de boogAM~y , deAsAC=vj en de boog van het quadraat' AMB=£zyn; dan heeft men x : y——a ; b % 99.
en dus ^=<7v voor de Equatie van de Quadratrix.
j[V. PRO-



208 IL Boek III. Hoofdftuk.
Fig. IV. PROPOSITIE.
15- §. 47. De As van de Qiiadratrixis demeïtkun: dig midden-evenredige, tusfchen zyn bafis enden boog van het Quadraat des maakenden Cirkels.
Dat is: CE: AC—AC: boog AB.
demonstratie*
De 'Quadratrix ftaat in het punt E regthoekig
Op CB . want indien dezelve beneden CB begree-
pen wordt verlengd te zyn, zal ze aldaar eveneens loopen als boven deeze lyn. Laat nu CD zeer digte by CB worden getrokken, fnydende de Kromme lyn in F en uit F de perpendiculaar FG; dan kan men CG—FE, en CEF als de Sedor eenes Cirkels aanmerken, waarvan CE de radius is: bygevolg
CE : CB—FE : DB maar CGofFE; DB — AC: boog AB g. 40:
en dus GE : CBrrAC : boog AB. Dat te bewyzen was.
I GEVOLG.
$. 48. Hieruit volgt, dat de boog aB;=^l is: zodat, indien men de Quadratrix meetkundig konde befchryven, of maar het punt E konde bepaalen, zoude men ook de lengte van den boog AB en
dus



QUADRATRIX. .209
dus van dengeheelen omtrek des cirkels weeten: Fig. waaruit dan vervolgens ook de juiste inhoud dtezes cirkels bèreekend zoude kunnen worden, a^pr. 6 b. .15. Maar dit punt E kan niet anders als by nadering gevonden worden, dewyle aldaar de beide lynen GF en CF $ 36 op elkander vallen, zonder el. kander in een punt duortefnyden.
II. G E V O L G.
%. 49. Als men, door eenig punt I van de Quadratrix, de radius CH en Applicaate IL trekt, heeft men AL - AH—AC: boog AB§ 39.
maar AC:boog AB:=rCE:AC$47,
dierh. AL: AH=CE : AC.
V. PROPOSITIE.
§. 50. Als uit het middelpunt C, met de ba fis CE van de Quadratrix^ een quadrant wordt befchreeven, 1 zal deszelfs boog DE gelyk zyn aan de As AC.
DEMON S T RAT IE.
Want CED en CAB zyn gelykvormige Sectors en bygevolg boog DE: boog AB^- CE: CB
maar CE:CB=:CA: boog AB $ 47.
dierhalven boog DE: boog AB—CA: boog AB en dus boog DE CA4
Dat te bewyzen was.
C
l G£.



sio II. Boek. III. Hoofdftuk.
Fig. /. GEVOLG.
i6- 5- 51. Als men, door eenig punt F van de Quadratrix, de radius CH trekt, is de ablcisfe AG tan dit punt altyd gelyk den afgefneeden cirkel■loog Dl:
Want AG: AH=CE: AC § 49.
maar CE: AG^DIE:AHB=DLAH
dus AG:AH=DI :AH en AG= den boog DL
II. G E VO "fit.
§. 51. Van AC= den boog DIE § 50. getrokken AG^= den boog Dl § 51.
zo is CG= den boog IE. VI. PROPOSITIE.
§. 53. Indien de radi s AC verlengd tuordt in l7' D, zodat AD--AC zy, en de halve cirkel BA£ befchreeven wordt en men neeme vervolgens AF : AD — (AG : (Ab, trekkende dan uit F de perpendiculaar FH, die de verlengde radius CG ontmoet in H; dan zal H een punt zyn in de verlengde Quadratrix, buiten den cirkel.
Dit volgt van zelfs uit de gegeevene bepaaling van de Quadratrix, $ ?6 dewyl het gedeelte AH door dezelfde beweeging befchreeven wordt, als AE.
Ö : £ J
BI









Q. U A D R A T R I X. aIr
GEVOLG. F;gi
wordt FH hoe langer noe grooter en G in * Val' ?
Ï"fe 7nn * °' da" ^ de ^ CH' en t H of DQ evenwydig en het punt H bevindt zig op een oneindigen afftand van DC; weshalve» te regte DQ , uit D perpendiculaar op DC getrokken, een Asymptote van de Kromme is.
I. BYVOÊGZEL $. 55. Behaiven de voorgaande heeft de Heer Ichirns-haüsen, (f)een andere0«^atrix bedagt, welke aldus befchreeven wordt.
Laat ACB wederom een quadrant, of het i& vierde gedeelte eens cirkels zyn. Deel deszelfs boog AB en radius AC ieder in het zelfde getal, by voorbeeld van 8 gelyke deelen, in de punten D en E. Trek uit alle de deelpunten D evenwyr dige lynen met AC, en uit alle de deelpunten E evenwydige lynen met CB, die de voorgaanden geduung fnyden in F : dan bepaalen alle deeze punten F de begeerde-kromme lyn AFB
De voornaamste eigenlchap deezer Quadratrix IS, dat de Abscisfen AE evenredig zyn aan deboogen AD en de overeenkomende appUcaaten EF aan de Jmus deezer boogen.
II. B Y-
Ct) Zie deszelfs Medicina Msntis & Corttris Part ir P. 114 of de Nedentaicfche Veru.l.g dJZ*" £
O 2



sra II. Boek. III. Hoofdftuk.
Fig. II. BYVOEGZEL.
§. $6. De laatere Meetkunstenaaren hebben by iedere kromme lyn een quadratrix gevoegd, welke dezelfde As met de kromme lyn gemeen heeft, en welker apphcaaten tot den inhoud dervlakken» tusfchen de kromme lyn, haare As en Appli" caate begreepen, eene zekere betrekking heeft, zodat men de lengte der Applicaate van de qua-, dratrix weetende , ook den inhoud deezer kromlynige vlakte bekend heeft. 19. Zo, by voorbeeld, AM een kromme lyn, en AB derzelver As is, en men dan eene andere kromme lyn AN begrypt, zodaanig dat het vierkant van PN, of de regthoek van AP, PN, of de regthoek van PN met een ftandvastige lyn, altyd gelyk zy aan de vlakte APM; dan wordt AN, in het algemeen, de Quadratrix van AM genoemd»
VIERDE



1Ï3
VIERDE HOOFDSTUK, j de CYCLOIS of ROLTREK.
I. DEFINITIE.
Fig.
S- 57- Als men heeft eene regte lyn AB en 2°' een Cirkel DECF en begrypt, dat deeze Cirkel, langs de regte lyn rollende , voortbeweege; dan zal ieder punt van deszelfs omtrek, als D, eene kromme lyn DDD befchryven, welke men C$clois of Roltrek noemt.
H. DEFINITIE.
§. 58. De cirkel DECF wordt de maakende Cirkel en de regte lyn AB de Baf s van de Cyclois genoemd.
IH. DEFINITIE.
5. 59. Als men uitC, het midden van AB, een perpendiculaar ftelt op AB, die de kromme lyn in D ontmoet; is DG de ^fren D bet Toppunt van de Cyclois.
O 3 I. PRO-]



■&}4f II. Boek. IV. Hoofdftuk.
Fig. l PROPOSITIE.
2,0.
§. 60.., De Bafis van de Cyclois is gelyk aan den omtrek def maakenden cirkels. Dat is: AB :Q DECF.
demonstratie.
Laat, in den maakenden cirkel, worden getrokken de middellynen CD en EF, regthoekig door elkander, en het punt D van den omtrek des cirkels zig in het punt A van de regte lyn AB bevinden, op het oogenblik, als de beweeging begint. Als dan de cirkel langs de lyn AB voortloopt," plaatst zig geduurig een ander punt van den omtrek op een ander punt van de regte lyn AB; en het punt C van den omtrek des cirkels in het punt C van de lyn AB gekomen zynde, zodat CD, doch omgekeerd, wederom regthoekig op AB is, zullen alle de punten van denhalven omtrek DEC agtervolglyk geraakt hebben, of gelegen zyn geweest, op alle de punten van de lyn AC, en dus deeze lyn AC gelyk moeten zyn aan den hal ven omtrek DEC. Op dezelfde wyze de cirkel voortrollende, tot dat het punt D in B valle, of de cirkel wederom denzelfden ftand, als in A, hebbe aangenomen, zal de regte lyn CB=r zyn aan den halven omtrek DFC. Weshalven de bafis van de Cyclois AB gelyk is aan den omtrek van den maakenden cirkel DECF.
Dat te bewyzen was.
C E-



cyclois; %i$
GEVOLG. Fig,
J. 6*1. Hieruit volgt, dat, in ieder anderen 2°« ftand van den maakenden cirkel DECF, by voorbeeld, alwaar dezelve in het punt G de bafis AB raakt; het overige gedeelte GB van de bafis gelyk moet zyn aan den boog GD van den maakenden cirkel; dewyle zig alle de punten van deezen boog GD agter elkander moeten plaatzen op alle de punten van de lyn GB, alvoorens het punt D in B kome.
% PROPOSITIE.
§. 62. Als men, uit eenig punt HL van de Cyclois, trekt de perpendiculaar EK., op de As DC, fayden- 2I' de den omtrek des maakenden cirkels in 1; dan zal de regte EI — den Cirkelboog Dl zyn.
DEMONSTRATIE.
Laat EHFG de ftand des maakenden cirkels zyn, waarin het punt E van de Cyclois befchreeven wordt, en G het raakpunt deezes cirkels met de Bafis AB. Trek uit G op AB de perpendiculaar GH. die door het middelpunt van den maakenden cirkel loopen en evenwydig met de As CD zyn zal:
dan is CBr=den halven omtrek HEG § 60. en GB — den cirkelboog GE § 61.
bygevolg CG = den cirkelboog HE.
P 4 JVlaar



aio" II. Boejc. IV. Hoofdftuk:
Fig. Maar EK evenwydig zynde met CB, is de boog Cl = den boog GE en de boog Dl —
21. den boog HE, bygevolg de lynen Cl en GE trekkende, is ook Cl z=mz en parallel met GE en dierhalven EI —-CG 22pr. 1 b.
Bygevolg EI == den cirkelboog HE=den ck* kelboogDI. 1:
Dat te bewyzen'was.
GEVOLG.
%. 63. Dewyle EK = EI+IK
en EI=r den boog Dl is
heeft men EK = den boog Dl + IK.
Of de Applicaate in de Cyclois gelyk aan de applicaate in den cirkel, met den boog te zamen genomen.
BYVQEGZEL.
§. 64. Dierhalven hebben de lynen IE onder elkander dezelfde réden, als deafgeiheedene cirkelboogen Dl; zodat, indien men de lengte van den halven omtrek, of vsn eenig ander gedeelte des cirkels, dat tot dengeheelen omtrek eene gegeeven reden heeft, konde bepaalen, zoude men ook de Cyclois meetkundig kunnen befchryven : maar dit geen plaatshebbende, behoort de Cyclois wederom onder de werktuiglyke kromme lynen 5 46, welker kennis van die van eene andere kromme lyn afhangt.
Zo men, by voorbeeld, de Abfcisfen van de Cyjois op den omtrek des cirkels neemendé,
de



CYCLOIS. *if
de boog DI=r* ftelt en IE=^, heeft men y-x voor de Equatie van de Cyclois.
Maar EK=j> ftellende, 21. is y=. Boog x + Sin. x.
III. PROPOSITIE.
§. 65. De Tangens of Raaklyn van eenig punt E der Cyclois is evenwydig met de chorde Dl van den overéénkomenden hoog des maakenden ci, kels.
DEMONSTK.AT Ip3.
Laat LM de Tangens zyn van het punt E, of het verlengde van een oneindig klein gedeelte der Cyclois, en HEGF de maakende cirkel, als het punt E, of dit oneindig klein gedeelte der Cyclois, befchreeven wordt ; dan kan men, voor een oogenblik, terwyl dit oneindig klein ge' deeke befchreeven wordt, het punt G in rust begrypen, en dus aanmerken als of dit oneindig klein gedeelte van de Cyclois, door de omwenteling van het punt E, rondom G als middelpunt, befchreeven wierdt; weshalven GE regthoekig ftaat op dit oneindig klein gedeelte van de Cyclois en dus mede op de Tangens LM $pr. 3 b. of de l GEL = l. Maar de hoek HEG, in een hal ven cirkel ftaande, is mede regt iSpr.^b bygevolg zal LM op HE vallen, en dus evenwydig zyn met de chorde Dl.
Dat te bewyzen was.
O 5 /. GE-



fff U. Boek. IV. Hoofdftuk.
/. GEVOLG.
•fe §• 66. Hieruit volgt, dat de Tangens van het Toppunt D evenwydig zal zyn met de bafis AB, en de Tangenten van de punten A en B evenwydig met de As DC.
II. GEVOLG.
§. 67. Als men ook, uit eenig punt E, evenwydig met de Chorde IC , de lyn EG trekt, zal dezelve, in dit' punt E, regthoekig ftaan op de Cyclois.
IV. PROPOSITIE.
22. 5. 68. De Lengte van ieder boog DE der Cyclois, van het toppunt D afgerekend, is gelyk aan tweemaalen de lengte van de chorde DF des maakenden cirkels. Dat is: de boog DE 2 DF.
demonstratie.
Laat Ee een oneindig klein gedeelte van de Cyclois zyn, waarvan de Tangens LM het verlengde is. Trek uit e, evenwydig met EG, de regte eg, fnydende den omtrek des cirkelsin/; dan is Ff een oneindig klein deeltje van den omtrek des cirkels , het welk , verlengd zynde, maakt de Tangens LK van het punt F of ƒ. Trek nog de chorde Df, die GF doorfnydt 'ma, en uit D als middelpunt,met de radius DF,
een



CYCLOIS. zip
een cirkelboogje, dat D/ ontmoet in b, zodat Db = DF en bygevolg bf het verfchil der chorden DF en Df zy, of de chorde DF in den- az. zelfden tyd het ftukje bf zy aangegroeid, als de boog DE den aanwas Ee gekreegen heeft. Nu is de i D/L ~ \ boog DF 20 pr. 3 b. en de hoek GFD - i Gaü—L Föjfo\ boog DH xopr.ib, die zo groot is als de boog DF, en dierhalven, in het driehoekje Faf is de L Faf= i F fa, bygevolg ook aF — ƒ F, of dit driehoekje gelykbeenig; weshalven Fb regthoekig op af zynde $pr. 3 b, zo is ab-bf 4 pr. 1 b. of tf= ï «ƒ- ï Ee, om dat aE evenwydig met fe en af met Ee zynde, § 65. ö/eE een parallelogram is: dat is, de aangroei van den boog DE is gelyk aan tweemaalen den aangroei van de Chorde DF. Als nu twee veranderlyke grootheden te gelyk beginnen, en telkens, in gelyk en tyd, de eene tweemaalen zo veel grooter wordt dan de andere, moet de eerfte altyd gelyk zvn aan tweemaalen de laatste; en dierhalven de boog DE -—: 2, DF.
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
& 69. Als het punt E in B.komr, valt het punt F in C, en dus is de lengte van de alve Cyclois DEB == 2 maal de middelyn DC, en
de lengte van de geheele Cyclois gelyk aan 4 maaien de middellyn DC van den maakenden cirkel.
II. GEVOLG.
$. 70. A Is men de C horde FC trekt, zynDGF en DFC gelykvormige driehoeken, en dus
DG



22o II. Bpbk. IV. Hoofdftuk.
&g- DG : DF= DF : DC 8pr.6b.
en DG X DC= DFS of4DGXDC=4DF* j maar 4 DF* ~DE* $ 68.
dierh. 4 DG X DC-= DEa. ~"
Dat is: het vierkant van een ieder boog der Cyclois als eene regte lyn aangemerkt, is gelyk aan viermaalen den regthoekzyner Abfcisfe, met de middellyn van den maakenden cirkel.
III. G E V O L G. S..7i. Een andere Applicaate OQ trekkende, is ook DO'— 4 DQ X DCl maar DE* = 4 DG X DC ƒ ?o.
dierhalv. DE*; DO? = 4 DGXDC : 4DQXDC door 4DC=4DCdeelende
is DE*: DO1 •= DG : DQ i2pr. $b. of; de vierkanten der boogen van de Cyclois, van bet toppunt afgerekend, ft aan tot elkander alshunz ne Abfcisfen.
IV. GEVOLG. %. 72. Laat L het punt zyn, alwaar de beide Tangenten ML en KL elkander ontmoeten; dan is iHFD=^DFL 20prop. %b. maar L HFD^=^ i FEL % 65 en 12pr. 1 b.
dierhalven i FEL= l DFL
ook is l FLE= l DFL % 65 en\2pr.\b.
bygevolg & FEL i FLE
en dus ook FL ==FE~(DF 1 appr.ib*cn§62.
B Y-



C Y C LOI Si uzi
BYVOEGZEL. Fig.
■5- 73- °P dezelfde wyze aan de punten P en O de 22* Tangenten trekkende, die elkander ontmoeten in eenander punt L,zois wederom PL—PO=:(DP: en deeze werking van punt tot punt vervolgende, zal men een reeks van punten L bekomen, die alle leggen in eene kromme lyn DLLB, door de punten D en B gaande, welke men de ontwikkelde of ontwondenelyn van den Cirkel noemt: want begrypende, dat om den boog DFC een draad gefpannen zy, waarvan het eene einde in C is vastgehegt, terwyi het ander einde D van den omtrek wordt afgewonden, dan zal, de draad «ltyd gefpannen blyvende, het punt D, door deeze geduurige omwinding, de kromme lyo DLLB befchryven.
Indien de Cyclois DEB zelve ontwonden wordt, door overal EL — den boog ED ~a DF te neemen, zo blykt gemaklyk, dat deeze ontwondene kromme lyn wederom eene Cyclois zal zyn, die in alles aan de voorige gelyk is.
V. PR. O POSITIE.
$. 74. Als men, uit eenig punt E van de Cyclois, trekt de applicaate EFG, als mede evenwydig met 25de As de regte EH, ontmoetende de Tangens van bet punt D in H; dan zal de uitwendige ruimte DEH, tusfchen de Cyclois en Tangens beflooten, gelyk zyn aan het cirkelfluk GDF.
DE-



323 II. Boek. IV. Hoofdftuk
Fig.
demonstratie.
23. Laat LE de Tangens zyn van het punt E ontmoetende de verlengde As DC in L, en flel het punt e zeer naby E te zyn; zodat men het ftukje van de Cyclois Ee als eene regte lyn en als het verlengde van LE kan befchouwen. Treknit <j, evenwydig met EG, de regte efg en evenWydig met EH, de regte eb, welke de verlengde GE doorfnydt in i. In denzelfden tyd nu, dat de ruimte DEH verandert in Deh, zal het cirkelrtuk DGF in Dgf veranderen S en bygevolg geeven de regthoekige Trapezia EHhe en FCgf de gelyktydige aangroeizels van de ruimten DüH en DGF te kennen.
Vervolgens de chorde DF trekkende, is deeze evenwydig met LE § 65. en dus zyn de driehoeken DGF, LGE in Eei gelykhoekig,
en daarom DG : GF=LG \ GE~ei . £* en_DG_xEf^GF Xef_
ofH E H^=GFXGg op dezelfde wyze he X Bb~ gf XGg
dierhalven ^±^XH^= GF+g/ xGg
of Trap. EHfo- Trap. FGgf37pr. xh Bygevolg verkrygen de ruimten DEH en DGF die te gelyk beginnen te ontftaan, telkens in geIyken tyd gelyke aanwaaien, en moéten dierhal-
7! tldJm flkander ^k zyn ; en daarom het vlak D£H~het Cirkelftuk DGF.
Dat te beyvyzön was.
I G £,



CYCLOIS» zz2
I. GEVOLG. Mg,
$ 75. Als men vandDOEH Ö DGEH
aftrekt DEH= DGF beweezen.
blyft 'er DGE=DFEH=DGXGE-DGF,
II. GEVOLG.
§. 76. Als het punt E in B of A komt, valt het punt F in C, en bygevolg is de ruimte DBN — DAM = den hal ven maakenden cirkel DFC.
III. G E VO L G.
'g. 77. Dewyl CB=: den halven omtrek DFC is § 66: "is fZ!CBND-CBXCD= 1 omtr. Xmiddellyn CD olCJCBND^ 4 halve cirkels DFC 23pr. 6 b. hierafgetr. DBN—den halven cirkel DFC.
blyft DCBD=. 3 halve cirkels DFC~" en AKDEBA- 3 cirkels CIDF. Dat is: de 'geheele inhoud van de Cyclois is gelyk aan driemaalen den inhoud van den maa; kenden cirkel.
IV. GEVOLG.
$. 7t. Van CDEB= 3 halve cirkels DFC getrokken DFC= den hal ven cirkel DFC
geeft CFDEB= 2 halve cirkels DFC— dengeheelen cirkel CIDF.
Dat



224 n. Boek. IV. Hoofdftuk:
Fig. Dat is: de ruimte, ter wederzyden tusfchen de Cyclois en den omtrek des maakenden cirhl beftooten, is gelyk aan den maakenden cirkel zeiven.
V. GEVOLG.
§. 79 Als men trekt de regte AD, dan is A ACD= A AMD=. 5!=!ACDM= 2 halve cirkels DlC: §77.
dierhalv. van AKDCA= 3 halve cirkels DIC § 77. getrokken A ADC=2 halve cirkels DIC
blyft'er AKDA— den haïven cirkel DIC:
■ Dat is: het Jegment AKDA van de \ Cyclois is gelyk aan de helft van den maakenden cirkel.
.L' lztJl:\J iV.'.'.UiAU >**id (Jt l^tlJ
VI. GEVOLG.
§.80. Volg. § 76 is AKDM = den halv. cirkel DIC en volgens § 79 is AKDA = den halv. cirkel DIC
bygevolg is ook AKDM=AKDA
Dat is: de Cyclois AKD deelt den driehoek AMD midden door.
VIL G E VO L G.
§. 81. Laat de Applicaate QO door het middelpunt O van den maakenden cirkel gaan, fnydende deszelfs omtrek in P;
dan



CYCLOIS. 225 dan is □ 0QRD=0DX0P 4. ODxPg 1 pr. 2 b. Fig.
of □ OQRD= 2 A POD+ ODXboügPlD<62. o » maar ODXboogP1D = 2 Sector OPD. 23pr.6b,
dierh. O 0QRD~2AP0D+2Sect OPD. * hier afget RQD— den Sect. OPD § 74.
zo is QDO~a APOD+ Sect. OPD ' en nog OPD- Seét. OPD
blyfc QKDIP- 2 aPOD^Tdo* '
/7/7. GEVOLG,
$. ?2. Als het punt G in het midden van DO valt, en dus DG—'Radius = \ middellyn van den maakenden cirkel is, heeft men
D KSDG~ES ^G+IGXDGi pr.ab. ofDKSDG— boog DIXDG+IGXDG §62.
ofGKSDG—Sect. OlDfaAlGD. hieraf KSDs= Segm. IGD § 74.
komt KDG~= A IGO + 2 aIGD.
maar A IGO^= a IGD 27pr. 1 b.
dierhalven het ftuk KDG= 3^ IGD. '
I. BYVOEG2EL.
$. 83. De Cyclois is, naast de Kegelfneeden' de voornaamfte kromme lyn, welker kennis & *le wiskundige Natuurkunde noodzaakljk is; deE wyl



Safï E Boek. IV. Hoofdftuk.
wyl daarop de gantfche Theorie der Slingers be rust. Men fchryft derzelver eerfte vinding doorgaans toe aan den beroemden Italiaan Galil/eus. Naderhand zyn derzelver eigenfchappen door verfcheideWiskunftenaars naargefpoord. Onze Landsgenoot, de Heer Christiaan Huigens, heeft hier uit zyne uitmuntende uitvinding der flinger-uurwerken, die zo naauwkeurig den tyd afmeeten, afgeleid: en de groote Wiskunftenaar Johannes Bernouilli was de eerfte, welke ontdekte, dat de Cyclois de weg is, dien een Lighaam moet afleggen, pm in den kortst mogelyken tyd, door zyne zwaarte, van het eene punt naar het andere te loopen.
II. BYVOEGZEL
23. §. 84. In plaats van AC=CB—den halven omtrek DIC, of KI— den boog Dl van den maakenden cirkel te neemen, kan men ftellen, dat AC tot den halven omtrek en KI tot den boog Dl, in het algemeen, in eene gegeevene reden van m tot n is: indien nu m grooter dan n is, wordt het eene uitgerekte Cyclois; maar «zkleinder dan/zzynde, eene ingekorte Cyclois genoemdj hoewel deeze van weinig nuttigheid zyn.
20. Indien men den cirkel DECF behoudt, en langs de regte AB begrypt te blyven voortrollen, zal eik punt van de radius DM een uitgerekte en ieder punt in het verlengde van deeze.radius, genomen, eene ingekorte Cyclois befchryven.
JU BY-



CYCLOIS. ai?.
IE BYVOEGZEL.' Fig;
§• 85. Men heeft naderhand de befchryving der Cyclois teel wyder uitgeftrekt, door te begrypen, dat de maakende Cirkel, in plaats van langs eene regte lyn, over den omtrek zelf eenes cirkels, of algemeener over eenige andere kromme lyn, voortrolt; én aan de kromme lyn, uit deeze beweeging ontftaande, den naam van Epicyclois gegeeven. Over derzelver eigenfchappen, en het gebruik deezer kromme lyn in de Werktuigkunde, kan men, onder anderen, raadpleegen met de Verhandeling van den Heer de la Hire, te vinden in zyne Memoires de Maté. et de Phy- ' [ique3 Paris 1694.
Pa
FfFi



22Ö
VTFDE HOOFDSTUK.
Van de LINEA LOGISTICA of LOGARITHMICA.
É DEFINITIE,
$. 86. JLndien men, in eene onbepaalde regte lyn,1 24- neeme de gelyke deelen AB,BC,CD,DE enz. en uit alle deeze punten, op dezelve, trekke de perpendiculaarenAF,BG,CH,DI enz., welkers lengten zyn in eenige meetkundige Reeks, naamelyk AF:BG^BG:CH=CH: Dl enz.en zulks van alle overige punten in de lyn AE eveneens begrype; zal de kromme lyn, welke door alle deeze punten F,G,H,I enz. loopt, deLineaLogiflica of Logarühmica zyn; waarvan de regte lyn AE de As genoemd wordt.
/. GEVOLG.
$. 87. Dewyl AB-BC=-CD—DE enz. is," maaken de Abfcisfen AB,AC,AD,AE enz. eene Rekenkundige Reeks , en zyn bygevolg de Logarithmen van hunne overeenkomende ordinaaten, die in eene Meetkundige Reeks loopen: dus is AB de Log. van BG; AC van CH enz.



LINEA L O G AR, fts$
en o de Log. van AF, e-f van i ; dewyl men AF willekeurig neemen kan, en deeze bygevolg, ten Opzichte van alle de volgenden, BG,CH enz. Q4, als de eenheid kan worden aangemerkt. Zie verder $ 110.
BYVOEGZEL
$. JJ8. Het is om deeze reden, dat men de voorgaande kromme lyn gewoon is de Logarithmifche tyn te noemen; dewylze alle zoorten van Logarithmen kan verbeelden / naarmaate men de reden van AF : BG verfchillend neeme.
De eigenfchappen deezer kromme lyn zyn het eerst ontdekt door den Heer Ch. Huigens: doch deeze dezelven , zonder eenig bewys, agter zyn Disfertatio de Caufa Gravitatis A° 1690 uitgegeeven hebbende, heeft naderhand, in het jaar 1701, de beroemde Italiaanfche Wiskunftenaar Guido Gra ndus een geheel boekdeel hierover gefchreeven, ónder den rytel van Geometrica Demonflratio Theorematurn Hugenianorum circa Logisticam Sive Logdrithmicam Lineam ; d at in den trant der oude Wiskunftenaaren is opgefteld, en alle de eigenfchappen deezer kromme lyn op het volkomenfte bewyst. Men vindt deeze Verhandeling ook in de Opera Reliqua van den Heer Huigens, in 1728 door den Hoogleeraar 'sGravezandi uitgegeeven. Ook kan men hierover naarzien een Byvoegzel op de Inleiding tot de waare Natuur en Sterrekunde van J. Keie, door den Heer J. Lulofs in het Hollandsch uitgegeeven.
P 3 G E-



330 • lï. BöeV V. Hoofdftuk.
Fig.' II. GEVOLG.
34. %. 89. Trek FL, GM , HN , 10 evenwydig met de As AE
dan is EK : Dl-Dl : CH § 86\ dus EK-T^I: DI-CH=EK : Dl 15pr. 5 b.
of KO~ : ON =EK : Dl Op dezelfde wyze is QN:NM—EK : Dl enz.
Dierhalven zyn de verfchillen KO^ONjNM enz. in dezelfde geduurige evenredigheid, als de Ordinaaten KE,DI,HC enz. 1
I. PROPOSITIE.
5. 90. De As AE is eene Asymptote van dt \ Logarithmifche lyn FGHIK.
demonstratie.
Laat de kromme lyn aan de andere zyde van A verlengd worden, door Kb ~bc~'cd enz.— AB te neemen, en de Ordinaaten bg,ch, di enz. geduurig in de reden van BG tot AF te verkleinen. Stel dat men n termen hebbe, of anders dat Ae~nX AB zy;
dan is AF: ek == AF" ; bgn 28 pr. gb.
Nu zyn AF en bg gegeeven. Dierhalven zal j gereden van AF": bg», en dus ook van AF : ek aangroeijeq, naarmaate dat n grooter worde, en «oneindiggroot zynde, is de reden van AF": bg» 1 en van AF: ek oneindig groot en dus ek, ten opzichte van AF, oneindig klein; weshalven de lyn AE niet, als op een oneindigen afftand, aan de
krom-



LINEA LOG AR. ï$t
kromme lyn komt, en dus eene Asymptote van dezelve is. , Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
$. 91. Dewyl de kromme lyn ook naar K verder toe in het oneindige kan verlengd worden t vo gc hieruit, dat deeze kromme lyn geen bepaald toppunt of begin heeft, maar dat ieder punt van dezelve naar welgevallen, als F, daar voor genomen kan worden.
II. PROPOSITIE.
§. 92. Als AF,BG,CH en Dl vier ordinaaten zyn, hebbende denzelfden afftandAB~CD van el' 5' kander, en men dan trekt de regte lynen FGen Hl, die, verlengd zynde, de As ontmoeten in M^N; dan zal AM—CN zyn.
DEMO NSTRATIE.
Trek FK en HE, evenwydig met de As AD, ontmoetende BG en Dl in K en E$ dan is, om dat AB~CD wordt gefield,
AF : BG=CH : Dl §86, en AF:BG-AF=CH : DI-CH i4/>r. 5%
of AF: GK =CH : IE maar AF: GK =AM : FK1 enCH: IE =CN : HEj* 4 ^' 6
dus AM: FK =CN: HE doch FK=rAB-CD—HE onderft-
dierhalven AM—CN.
Dat te bewyzen was.
P 4 GE-



ÏJ3 II. Boèk. V. Hoofdftuk.
Fig, GEVOLG.
25. §• 93* Het zelfde heeft plaats, waar ook de punten F,G en, H ,I genomen worden, mits AB~CD bly ve.' Laaten dan dè punten F,G en H,I geduurig tot elkander naderen, zodaanig dat altyd AB=GD zy, en laaten deeze punten eindelyk in elkander vallen, wanneer MFG enNHI Tangenten of Raak lynen worden, teiwyl altyd AM=CN blyft: weshalven de Subtangens AM of CN in een Logarithmifche lyn altyd dezelfde grootheid heeft, of tene ftandvastige lyn is.
IIL PROPOSITIE.
S.6. §• 94- De ruimte, tusfchen twee ordinaaten AF en BG bevat, ts gelyk aan den Regthoek van de Subtangens met het verfchil deezer Ordinaaten. Naameiyk ABGF= Subt. X~BG^AFr~
demonstratie.
Trek FE evenwydig met AB en de Ordinaaten OH„Di enz. óp gelyke, doch zeer kleine, afftanden van elkander, a!s mede Uh, lik enz. evenwydig met AB. Laaten GN, HM enz. deraaklynenzyn van de punten G,H,enz.dan isBN~CM § 93 en de driehoeken GHh enGNB, alsmede Hl/' en HMC zyn gelykhoekig: dierhalven
GB : BN=Gh : Hh $pr. 6 b, en GB x Bh=Gh X BN . >'
of BCtib =GèXBN Op dezelfde wyseisCDÏ/.=H/XCM:=MXBN
en



LINEA LOGAR; 033
«n eveneens met alle de volgende: dierhalven de Fig; fom van alle de regthoeken BCHh, CDL'enz. gelyk aan de fora van alle de regthoeken G&xBN, MXBN enz. Naarmaate nu de punten C ,D enz. nader by B, of H,I enz. nader by G genomen worden, naderen ook de regthoeken BCHA,CDI« enz. tot de vlakjes BCHG, GDIH enz. en dus wordt eindelyk de fom van alle deeze vlakjes, dat is de ruimte ABGF,, ook gelyk aan de fom van alle de regthoeken G#xBN» MXBN enz. of gelyk aan een regthoek van de fom der lyntjes Ghjtk enz. met BM, dat is, gelyk aan den regthoek van GE met BN.
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
$, 95. Als het punt E naar B nadert, verwydert zig het punt F van de lyn BG, en E in B komende, valt FE op de Asymptote AB : wesha'ven de geheele ruimte, tusfchen de Logarithmifche lyn, haare Asymptote en eenige Ordinaate bevat, gelyk is aan den regthoek deezer ordinaate met de fubtangens; of, gelyk aan tweemaalen den driehoek , tusfchen de Ordinaate > Tangens en fubtangens befloten: te weeten
de Ruimte BGOP = BG X fubt. ~ 2 A BGN.
II. G E V O L G.
$.9^. De Ruimte BGOP is = BGxSubt. beweezen op dezelfde wyze AFOP = AFxSubt,
dus BGOP:AFOP=BGxSubt.:AFxSubt. enookBGOP:AFOP=BG :AF io.fr.gb.
P 5 Dat



*34 $ Boek V. Hoofd/luk:
Fig. Dat is : de ruimten BGOP, AFOP tusfchen é s Logarithmifche lyn en haar asymptote
begreepen, zyn tot elkander als haare bepaalende ordinaaten BG, AF.
///. G E VO L G.
&7' §• 97' Laat IM, evenwydig met de As AD getrokken zynde, van de verlengde ordinaaten CH BG, AF ontmoet worden in K, L, M; 'dan is CDIH~(DI—CH)XSubt.*t
BDIG = (DI— BG)XSubt. J-C 94. ADIF—(Dl— AF jXSubt. J
Dierhalven zyn deeze ruimten CD1H, BDIG,, ADIF enz. tot elkander, als de.verfchillen Dl—CH, Dl BG, Dl—AF enz. of als de lynen HK, GL, FM enz.
IV. GEVOLG.
§. 98. Trek GN evenwydig met AB. Dewyl CDIH=(DI-CH)XSubt.1
en ABGF=(BG-AF)XSubt./ $94-
dierh.CDIH:ABGF=DI^CH:BG-AF^HK:FN Dierhalven DI-CH=BG—AF of HK — FN zynde, zal ook de ruimte CDliL~de ruimte ABGF zyn.
V. GEVOLG.
% 99- De ruimte CDIH ~HKX Subt. § 94. de oneindige ruimte CHOP=HCX Subt. § 95.
dier-









LINEA L O G A R.' 235
dierhalven CDIH : CHOP=HK : HC ^ als dan HK=HC is
is ook CDIH= de oneindige ruimte CHOP.
IV. PROPOSITIE.
§• ioo. Als, uit eenig punt A van de Logarith- 28. mifche lyn, de regte AM evenwydig meten AB regthoekig op de As worden getrokken, en, door eenig ander punt D naar welgevallen, de lyn EC evenwydig met AB, fnydende de Tangens AQ van het punt A in F; dan zal de ruimte ADE gelyk zyn aan den regthoek van de fubtangens met DF,
demonstratie.
De driehoeken ABQ en AEF zyn gelykvormig, daarom AB : BQ=EF : AE 4. pr. 6 b. en ABxAE=BQ X EF 6 pr.gb.
of Q ABCE —Sabt. x EF hlW afSetrokkeH ABCD = Subt. XDE§q4. blyft ADE =Subt. XDF
Dat te bewyzen was.
L GEVOLG.
3. ioi. Een andere ]yn GI evenwydig met AB trekkende, heeft men ook AHI= Subt. x HK.
maar ADE= Subt. x DF beio.
dierhalven ADE : AHI—DF : HIC
//. G E-



£3^ H- Boek. V. Hoofdftuk. Fig. M GEVOLG.
aS. % 102. Laat de ordinaate door het punt Q gaan_, alwaar de Tangens AQ de As ontmoet, dan is, volgens het beweezene,
de ruimte ALN—Subt. X LQ maar de oneind. ruimte QLOp-~Subt. X LQ
dierhalven is alsdan de ruimte ALN—de oneindige ruimte QLOP.
///. G RVO L G.
!0. S- i°3- Op dezelfde wyze QK de Tangensvan het punt H zynde, ontmoetende eenige Ordinaate AB in K, en uit H trekkende HL evenwydig met QB en HG evenwydig met AB, zo as de ruimte AHL^Subt-X AK:
Want QG : GH=HL : KL of Q GHLB—Subt.XKL. maar ABGH=Subr. X AL §94.
bygevolg AHL—Subt, XAK
IV. GEVOLG.
J. 104. Nog eene andere Ordinaate CD trekkende, die HL fnydt in N en HK in F; zo is ook DHN= Subt. X DF *
maar AHL—Subt. X AK beweezea
dus AHL : DHN=: AK : DF.
V. G Ei



LINEA L OC AR. 237-
V. GEVOLG. Fig.
105. Aan de andere zyde van H de lyn OP 2^ mede regthoekig op de As trekkende, die de verlengde HL fnydt in P, de ktomme lyn in R en de tangens HQ in S; dan is HRP-Subt.xRS§ 100. maar HDN == Subt. X DF§ 104.
bygev. ook HRP: HDN=RS : DF.
Dierhalven RS^- DF zynde, het welk plaats heeft, wanneer de chorde RD evenwydig is met de Tangens QF, zullen de ruimten HRP en HDN evengroot zyn.
V. PROPOSITIE.
$. 106. Alf>de Logarithmifche lyn begrttpenwordi rondom haar As omtewentelen, zal het oneindige Lighaam, waarvan de bafis de Cirkel is van eenige ordinaate AB, gelyk zyn aan den halven Cylinder, welke deeze zelfde bafis c« de hoogte van de fubtangens heeft.
DEMONSTRATIE.
Laat £=s. 14159 enz. of 1 : e—de middellyn tot den omtrek eens cirkels zyn; dan is de inhoud van ieder Cirkel, waarvan de radius * ge. field wordt, = cxx 25 Prop. 6 Boek. Laat AQ de Tangens en BQ de fubtangens zyn, ea CD, EF enz. oneindig kort by AB begreepen worden, zodaanigegter, dttAa — Db~a enz. zy. Indien dan de kromme lyn ADFO rondom
Pi$



«38 B. Boek. V. HoofdfiuE
Fig. PB omwentelt, zullen de lynen AB, C D, EF enz, alle cirkels befchryven, en het oneindige Lighaam
3°> AOPB zal in een oneindige menigte van Cylinders verdeeld zyn, welke deeze cirkels tot bafis hebben en de oneindig kleine hoogten Da, Fb enz,,
Nu is AB :BQ=Aa : Da dus ABxDa=BQXAa dit vermenigv. met c XAB = c XaB
_ geeft e XABj X Da - e X BQ XABx Aa
of © AB x Da = c XBQX ABx Aa
Op dezelfde wyze is © CD X Fb =r ê X BQ X CD X Db, enz. en dus de fom van alle de producten 0 AB X Da, 0CDXFi &c.^de fom van alle de producten c X BQ X AB X ha, e.X BQ X CD X Db'&c. of — het vermenigvuldigde van de ftandvastige grootheid c X BQ met de fom van alle de producten van AB X ha, CDX Db &c. Maar de producten 0 ABXDa, G> CDx Fb &c. zyn de inhouden van de oneindig kleine Cylinders, en derzelver fom maakt het geheele oneindige Lighaam AOPB uit: dierhalven is dit Lighaam AOPB = c X BQ x met de fom van alle de producten ABX ha, CD XD#&c. Om deeze laatste fom te vinden, trekke men AG^ AB evenwydig met PB, en de lyn BG; voorts verlenge men Da, Fb&c, ontmoetende BG in g, b &c.; dan is CD~Ba—ag, \\F~~Bc~-.ch. &c, bygevolg AB X ha = AG X ha~hagG, CDXDb-agX®c-acbg &c, en dus de fom van alle de producten hBxha, CDXDb &c.= de
fom



LINEA LOGAR, 232
fom van alle de vlakken AögG, acbg&c. dat F*&* is,= A ABG— i AB". Gevolglyk is het Lig- «0m haam AOPB= c XBQx l AB* = l BQXc XAB* Doch c X ABa = © AB
daarom het Lighaam AOPB=tBQX0AB=den Cylinder, die de cirkel van AB tot bafis en de halve Subtangens tot hoogte heeft.
Dat te bewyzen was*
I. GEVOLG.
§. 107. De Kegel, die, door de omwenteling des driehoeks AQB, rondom QB, gebooren wordt, is —| BQ X 0 AB 18 Prop.ioB* en dus
hetLigh:AOPB:Kegel AQB—S BQ:$BQ=3:2J
'-.«91 •■» ,"i •-, .- 1 t .". lotof fiü.;. '"!•'• irjhOi'li
II. G E VO L G.
§. 108. Het oneindige Lighaam IOPH, doot den cirkel van eene andere ordinaate IH bepaald, is gelyk aan deezen cirkel X, fubtangens; en bygevolg zyn de oneindige Lighaamen AOPB, IOPH tot, elkander, als hunne bepaalende cirkels, of als . de vierkanten hunner grootste ordinaaten: naamlyk9
AOPB : IÖPH=©AB* : QIH=ABa : IH*
UI. G EVO LG.
§k 109. Van het Lighaam AOPB= ■ Subt. x 0 AB afgetrokken IOPH—I Subt. X@IIÏ.; , - ,, ■ "i
blyft'er hetLighaam AIHB= iSubt. X©ABr©IH.
Of



240 Ut Boek. V. Hoofd/luk
Fig. Of.- het Lighaam, tusfchen de cirkels van twéé 50t ordinaaten AB en IH beflooten, is gelyk aan
denhalven cylinder, waarvan de bafis is het verfchil deezer cirkels en de hoogte defubtangens.
VI. PROPOSITIE.
24. S.-iio Als de Ordinaaten AF, BG, CH enz. getallen verbeelden van eene Meetkundige progresftè' zullen de overeenkomende Abscisfen AB, AC AD enz. derzelver Logarithmen zyn. '
demonstratie.
'Want de lynen AF, BG, CH enz. gedurig meetkondig evenredig zynde, zyn derzelver aff7 An-I^elk oter °Veral eve"S'°ot, naameïn-^n0"00 enz' * 86' dus AC = C AB5 AD-3 AB enz. of de lynen AB, AC. AD&c iri eene geduurige rekenkundige progresfie. Dewyl nu de eerste term AF der nwtkündige'reeks ' onbepaald is, § 9r. kan men deeze AF~i en * BG- a, of anders de reden vanAF:BG=r -a ' ftellen waartoe dezelve altyd kan gebragt wor£05 dan is verder AF : BG - BG : CH en dus o-; op dezelfde wyze DI^5 enz. Voorts A^ dternede willekeurig is, = * neemende, is AU — 2 £,AD = o£ &c. * DierlUsdereeks der ordinaaten 1,0,**r* **&c.', n derovereenftemmende ^cisdJjXbZ t W deeze Abseisfen de Lo^ti fmtnvm
Vat te bewyzen wast
GE.



LINEA LOGAR. 241
GEVOLG. Fig.
S. in. Hieruit volgt, dat men de Logarith- 24.
men van zoveele verfcbillende zoorten kan neemen, als men goedvindt, door telkens verfchillende waardyen.aan de grootheden «, en b te geeven: doch, dewyle £,~gehed en al willekeurig zynde, — 1 kan genomen worden, hangt de bepaaling van de verfchillende zoorten der Logarithmen enkel af van de grootheid 0, welke men gewoon is de bafis van de Logarithmen van die zoon, of van dat zamenftel, te noemen. De Wis- i kunstenaaren bepaalen zig voornaamelyk tot twee .deezer zoorten : vooreerst, wanneer a — 10 is, 1 en dus de ordinaaten AF, BG, CH enz. de reeks der getallen 1, io, 100, 1000 &c. uitmaaken» waarvan dan de Logarithmen zyn o, 1,2,3&c?' en deeze noemen zy de gewoone of BRiGcs-Zogartthmen , behoörende tot eene Logarithmifche lyn, welkers Subtangens is o, 43429448 enz. dat is, waarvan de Subt :AF=o, 43429448 enz.: 1 is. Zie § 117. Ten tweeden bepaalenze zig tot de Logarithmen eener Logarithmifche lyn, waarvan de fhbtangens is 1 of— AF en in welk zamenftel dan de bafis a, of de ordinaate BG, waarvan de Logarithmus AB = 1 is, gevonden wordt te zyn 2, 71828919&c En welke Logarithmen men gewoon:is Nep er s of de Hyperbolifche te noemen; omdat de eerste Logarithmen van Ne3?er deeze gedaante hadden, en men dezelve ook door de Hyperbola kan bereekenen. Zie § 3/0 wan het Eerste Boek.
Q B



S4» E Boek. V. Hoofdftuk.
Fig- I. BYVOEGZE L.
34. S. 112. Zo men in het algemeen AE~#, of^^XABftelt, en de ordinaate EK—y, heeft men AF* : BG* =AF : EK 28 pr.$b.
of 1 : ax 1 : y
en dus y c*
het welk de Equatie of vergelyking is van de Logarithmifche lyn, waarin alleen a ftandvastig is: hoedaanig zoort van kromme lynen men gewoon is curva exponentiales, of exponentiale kromme lynen te noemen.
Voorts x de Logarithmus van y zynde, is ook x de Logarithmus van «*, of #=Log. ax: hoewel eigenlyk hiermede bedoeld wordt, dat xde Logarithmus is van dereden van 1:y, of van x: a**
II. B Y V O E G Z E L.
§. 113. Door behulp der Logarithmifche lyn kan men alle de eigenfchappen der Logarithmen gemaklyk bewyzen, even als in de vyf eerftepro' pofttien van Tiet XI'e boek der Meetkunst. By voor" beeld :by AC = Log. CH geteld AB — CD=Log. BG
komt AD~Log. Dl, die de vierde even; redige is van AF, BG en CH, en dusAF=i zynde, het vermenigvuldigde van BG met CH verbeeldt.
Indien men de As naar de andere zyde van A verlengd en Ab~bc=cd&c.=AB fielt, zyn de ordinaaten AF, bg9 ch9 di enz, mede geduurig
even»



LINEA L O G A R. a43
evenredig § 90 en dus de Jynen Ab,Ac\ A</&c. FM de Logarithmen deezer getallen bg,ch,di enz. Maar deeze Logarithmen, naar den anderen kant £4< van A met de voorgaanden geftrekt zynde, zyn negatief, en de getallen bg,ca,di &c. allekleinder dan AF of de eenheid zyndè, zyn gebrokens j weshalven de breuken negative Logarithmen hebhen. Zie de 10 prop. \\b,
VIL PROPOSITIE.
$. 114. De afftand van twee ordinaaten in eene Logarithmifehe - 'lyn is de Logarithmus van derzelver meetkundige Reden tot elkander.
Dat is: DE=Log. van
DEMONSTRATIE.
Van AE=deLog. EKT
afgetr. ADz=de Ivog. Dl ƒ § II0«
> w .. „.
blyft DE= Log. EK—Log. Dl.
maar Log. EK—Log. DfcLog.^J
dierh. DE=Log. -M- rrLog. van (EK: Dl)
6 Def. 5 b.
Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
%. 115. Op dezelfde wyze, als DE=Log. JLL. js
heeft men BC—Lo^. -££L _ bG
en dus DE : BC=Log. -** : Log. -£*L
G_ 9 1 VUL PROj



844 11 Boek. V. Hoofdftuk:
Fig. VIII. PROPOSITIE.
$. ii 6. Van een gegeeven Logarithmifche Lyn de Subtangens te bereekenen ?
oplossing.
31» Laat AB rzi, CD =ö en AQ de fubtangens zyn; Deel AC midden door in E, en trek de ordinaate EF, danisEF midden-evenredig tusfchen AB en CD, § 8 6 en dus £F= Va. Deel AE wederom midden door in G; en trek de «rdinate GH, die wederom de midden-evenredige van AB en EF,'
en dus = Sf \]a=z=Ma is. Op dezelfde wyze
8
voortgaande, is nogmaals IK= V V Va-=^Va: en dus in het algemeen, de Abfcisfe AM het <** gedeelte van AG, ofte de eenheid zynde, of
ac a"
AM= -r^—zal de ordinaate MN^^v^of de wortel van 2" afmeetingen uit net gegeeven getal a zyn: dat is AM de eerfte van n rekenkundig midden-evenredigen tusfchen o en 1 zynde, zal MN de eerfte der «meetkundig middenevenredigen tusfchen de getallen 1 en a zyn.
Indien nu n zogroot genomen worde, dat AM, als mede het verfchil van NM en AB of Na zeer klein zyn, zodatze, ten opzichte der deelen, waar, in men de overige lynen rekent, kunnen verwaarloosd worden, kan men het driehoekje BN» als regtlynig en deszelfs fchuinfe zyde BN, als het verlengde van de Tangens QB aanmerken : weshaïven men dan zal hebben ,
m



. LINEA L O G A R. a45
N« : B»=AB : AQ Fig. of MN—i:AM= i : Subtangens, en bygevolg de Subtangens = 31'
Dat te vinden was.
VOORBEELD. $. 117. Laat a=io zyn, zo als in de gewoone Logarithmen plaats heeft, dan is CD=no, EFV 10=3, 1622776- &c. GHrrv'3, 16227 &c f> 778279 &c. en zo vervolgens deezen wortel 54 maaien trekkende, zal men eindelyk vinden . dat MN gelyk is aan
1,00000.00000.00000.12781.91493.20032.&C. waarvan AB—M» = 1 afgetrokken hebbende,
isN» — 0,00000.00000. oeooo. 22781.91493. &c. ^Voorts AC=I, duSAEr=o55j AG=o,25; AL_o, 125 &c. en deeze gedumige halveering ook 54 maaien vervolgende, of de eenheid AG door de 54^ magt van het getal2, dat is, door 18014 39850 94819 84 deelende, vindt men AM— 0,00000. uoooo. ooaoo. osyj-r. nji2. 31257 &c.
Gemakshal ven kan men evenveel? naamelyk 15, nullen in de getallen voor N» en AM weglaaten! en men heeft dan
12781.91493 &c.:05551.11512.&c.==i:Subt.
en de Subt= 3M*7 &c.
12781.91493.20032 &c. > dat is, gelyk 0,43429.44819.03251. &c. zynde de Subtangens van de gewoone of Briggs Logarithmen.
Q 3 Wy



©4^ K. Boek. V. Hoofdjïuk.
Fig. Wy hebben, in dit voorbeeld, oaderfteld, dat men 54 maaien halveert en den vierkants-wortel trekt, om de volgende rekeningen tot 15 letters der tientallige breuk naauwkeurig te hebben,
of om geen _ _ ! teverwaar-
1,00000. ooeoo. ooooo verwaar lozen. Zo men mindere getalmerken in de tientallige breuk begeerde, zou men ook met veel minder worteltrekkingen en halveeringen volftaan kunnen. In de gewoone Logarithmi-Tafelen bepaalt men zig doorgaans tot 7 getalmerken, in de tientallige Breuken.
I. GEVOLG.
5. ii8. Hieruit volgt, als een getal MN zeer weinig van de eenheid AB verfchilt , is deszelfs verfchil met de eenheid, tot deszelfs Logarithmus AM= 1: fubtangens. Of algemeener: indien twee getallen (AB en MN) zeer weinig van elkander verfcmllen, is hun verfchil (Nn) tot het verfchil hunner Logarithmen (AM), of de Logarithmus hunner reden (S)§ii4,als het klein, fte deezer getallen tot de fubtangens; zodat de beide getalien, de Logarithmus van een derzelven, benevens de fubtangens van het zamenftel gegeeven zynde, de Logarithmus van het andere getal kan gevonden worden.
//. GEVOLG. f. ?||. Als IK een ander getal is, mede zeer
kort



LINEA LOGARi 24?
^ort by AB, zal ook Kk:Bk = AB: AQ zyn Fig.
maar N»: B« = AB : AQ bew.
31.
dierhalven Kk : Bk = N« : B« of K*:N« = Bk : B« Dat is: de verfchilïen der getallen, die zeer weinig van eikanderen af ftaan, zyn evenredig aan de verfcbillen hunner Logarithmen. Hoe grooter nu de getallen AB, MN, IK worden, blyvende op dezelfde afftanden van elkander, dies te kleinder worden hunne verfchilïen ten opzichte deezer getallen; en bygevolg zal de voorgaande regel naauwkeuriger zyn, naarmaatede getallen grooter worden.
III. G EF O L G.
§. 120. Als de Subtangens eener Logarithmi« fche Lyn gegeeven is, kan men wederom de bafis van het zamenftel van derzelver Logarithmen berekenen: wantAQ: AB=B»:N« zynde,heeft men N« ~ en.dus bekend 9 waarby
M« = AB =i gevoegd zynde, heeft men MN: voorts AB» : MN" = AB : CD § 112. of 1 : (14.^*)»= 1 : *
en a===.(i+^y
Waarvan «bekend is, zynde naamelyk het getal der rekenkundig midden-evenredigen tusfchen 0 en AC of 1, waarvan AM de eerfte is.
Zo men de Subtangens AQ==i ftelt, gelyk plaats heeft in de Hyperbolifche Logaritmen, Q 4 is



H$ H. Boek. V. HoofdfluF:
Fig. is ö=(i4,AM)« en dan voor n neemt a5* of ■■ 18014398509481984, als inhetvoorb. van §117,
is AM~o,oocx30.ooooo.ooooo.ojj jr.r 1 yi 2. &c. 14- AM=:x,coooo,cocoo.oooao.ojjji!ii5i2 &c*
én«=(i,oopoacoocoooopo Qjfj-i.iij-ii )lS* doch waarvan de verdere uitwerking genoegzaam onuitvoerlyk zynde, zal zulks hierna op eene andere wyze geleerd worden.
IX. PROPOSITIE.
$. iar. Om de Logarithmus van eeniggeseeven getal te vinden ? ëwven
OPLOSSING.
Laat wederom BED, eene Logarithmifche lyn zyn, waarvan AC de As, BQ de Tangens en dus AQ de ftandvasrige fubtangens is; en laat AB=i en CD het gegeevene getal zyn, wiens Logarithmus AC moet gevonden worden. Deel AC midden door in E en trek de ordinaate EF, die de meetkundig midden-evenredige van AB en CD $.86 en dus gelyk <FZEx~CD=:VCD Zynde, be! reekend kan worden. Deel wederom AE in twee gelyke deden in G, en trek de ordinaate GH,
dan is GH— <J AB XEF"— vV CD—- ^ CD en dierhalven mede bekend. Op dezelfde wvzé gaat men voort, met telkens de meetkundig midden-evenredige te zoeken tüsfehen AB, of de eenheid, en de laatst bereekende Ordinaate, of den laatst gevonden vierkants-wortel, tot dat men fWdelyk eene ordinaate MN verkryge, die flegts
zeer



LINEA LOGAR; 240
zttx weinig van de eenheid, of van AB verfchille, Fig: en wc! minder dar; een van die deelen, tot welke men de Logarithmus naanwkeurig begeert teheb- 31. ben: by voorbeeld, zomsn de Logarithmus wil weeten in eene tientallige breuke' van 14 getalmerken agter de geheelen, moet men de rekening zoverre voortzetten, dat MN minder dan
i.ooqoo.oo'ooo.00000 of dan 0,00000.00000.00001 van 1 verfchille, dat is, in de laatfte vierkantswortel moet de eenheid van 15 nullen gevolgd worden.
Van deeze gevondene ordinaate MN trekt men vervolgens AB of x af, en men behoudt N«-
en dan ABofi .de Subt. AQ N»; B»of AM
waardoor men heeft AM= NcX Subt. AQ Deeze AM is de zo raeniïfte rekenkundig midden-evenredige tusfchen 0 en AC, als MN de meetkundig midden-evenredige van AB en CD is; en moet dus evenveel maaien verdubbeld worden, als men de vierkantswortel uit CD getrokken heeft; dat is, indien men AM zoveel maaien agter elkander niet a, of in eens met de zoveelfte raagt van 2 vermeenigvuldigd, als men de vierkantswortel getrokken heeft, zal men AC of de begeerde Logarithmus verkrygen. Dat te vinden zvas. 5
EERSTE VOORBEELD.
5- 122 Om de gewoone Logarithmus van ht getal 2 te vinden ?
Q 5 Hier



. II. Boek. V. Hoofdftuk.
ip Hier is dus EF~ Vu =: 1,414213 &c.
Gxi=: VY2= ^414213 &c. =1,1891 &C IK= V V V2— Vi,i39i &c.=:i,09 &c- en zo vervolgens.
Doch dewyl deeze werking veel moeite in heeft, kan men dezelve eenigzins verkorten op -de volgende wyze. Men zoete de Logarithmus van .102a
1000 'Yö^ = i5o24, naamelyk men
neeme zodanige magt van het getal 2, als door io,ïoo,iooo &c. gedeeld zyndè, het naafte by een^eid k°nie, en Helle dit quotiënt 1,024=1 CD. Men trekke hieruit den vierkantswortel, om EF te verkrygen en zo vervolgens, wanneer men voQrde4?ftf rnaal, of voor MN zal bekomen i.coooo.00000. ooooo. 16851.60570.5-3949.77 &c. waarvan 1 voor AB of M»afgetrokken zynde, blyft er N«_ 0,00000.00000. oooco. 168j 1.60570. &c. Hiervan de rsnullen weglatende is AM-16851 &c. Xo,434a9.44819.032*1. &c.=73 ï85-5-9?69o6239&c. doch voor welke men begrypen moes i6 nul. te ftaan Dus isAM.—o occco. 00000.00000.073jc.jj^ö&c. 2 AM—0,00000. 00000.00000J4Ó37.U873&c. 4 AM~o,ooooo.00000.00000 29274.23747&c» en du moet wederom 47 maaien herhaald, of anders AM in eens met 247—14073748 83553^8 vermeenigvuldigd worden, hetwelk zal geeven
Log. van -0,010*$. 99566.39811.95 maarLog.1000-3, $m; dus Log. 1024—3,01029.99566.39811.95
en Log. 2=0,30102.99956.63081.195.•
TWEE-



LINEA LOGAR: igi
TWEEDE VOORBEELD, Fig]
§. 123. Om de Hyperbolifcbe Logarithmus van £*è het getal 10 te vinden?
In de Hyperbolifche of Neper's Logarithmen is de fubtangens AQ = i=AB en dus ook AM— B«=«N. Laat dierhalven uit 10 rr CD worden getrokken de vierkants - wortel, welke i» EF=3, 16227 &c.: uit EF wederom de vierkants-wortel, zynde GH = 1, 77 &c.: en zo vervolgens 54 maaien, wanneer men eindelyk ver. krygen zal, MN =
1,00000.00000.00000.12781.91493.20032. &c.' waarvan AB — Mc ~ 1 afgetrokken
blyftN«=o, 00000.00000.00000.12781.91493&C; zo groot is nu ook B« of AM, welke bygevolg 54 maaien verdubbeld, of in eens met 23\ datis, met 18014. 39850.94819. 84 vermenigvuldigd zynde, zalgeeven 2,-30258.50929.94045 &c. ds AC, de begeerde Hyperbolifche Logarithmus van het getal 10.
AANMERKING.
§• 124. In deeze en de voorgaande Propofitie o2. hebben wy, alleen gemakshalven, AB of de eenheid genomen, om daar door de zyden van het zeer kleine driehoekje BN» bekend te krygen; dewyl men anders ieder ordinaate IK naar welge. vallen, welkers Logarithmus AI gegeeven is, neemen kan. In dit geval moet men tusfchen de beide gegeevene getallen IK en CD een meetkundig



&5i XF. Boek. V. tbofdfluk.
Fig. dig midden-evenredige EF zoeken : voorts wede?om tusfchen IK en EF de meetkundige midden3 a» evenredige GH en zo vervolgens, zo lange tot dat men eindelyk een middenevenredige MN verkry. ge, welke zo weinig van IK verfchilt, als te voo~ ren van AB ofte i; en door welk verfchil Na men dan K« of IM vinden kan, zeggende IK:IQ—N»:K». Deeze K» of IM gevonden zynde, moet wederom zoveel maaien verdubbeld worden als men midden-evenredigen tusfchen lK en CD genomen heeft; waardoor men zal verkrygenlC by welke geteld zynde AI, of de Logarithmus' -van het kleinste IK der gegeevene getallen, zal geeven aC zynde de begeerde Logarithmus van het getal CD. - *
X, PROPOSITIE.
§• 125. In onderfcheidene Logarithmifche Lynen zyn de afftandtn der gelyke ordinaaten tot elkander gis de fuhtangemen deezer kromme lynen. 33» Dai is: aIs BKD en FOH twee Logarithmifche lynen zyn, waarvan DM en HN de Tangenten en CM, GN de lubtangenten zyn, en waarvan AB — EF, als mede CD=GH isdan zal men hebben ' AC : EG =s= MC : NG.
DEMONSTRATIE.
Laaten AC en EG worden midden door gedeeld in Ien L, dan is de ordinaate IK de meetkundig midden-evenredige van AB en CD, en
de



LINEA LOGAR.
253
de Ordinaate LO van EF en GH§ 86; en dier- Fig'. halven is IK=LO en AC : EG=IC:LG. Op dezelfde wyze zal de midden-evenredige van 33* van IK en. CD wederom gelyk zyn aan de midden-evenredige van LO eri GH: en dit altoos eveneens plaats hebbende, zal altydPQ=RS
zyn, mits maar AC i EG PC : RG zy.
Laaten dan PQ en RS dezelfde midden-evenre. digen tusièhen haare wederzydfche ordinaaten AB,CD en EF, GH verbeelden,zodat AC: E G— PC : RG en PQ—RS zy, en laaten dezelve zo naby de ordinaaten CD,GH vallen, dat men de boogjes DQ en HS als regte lynen, waarvan de Tangenten DM en HN de verlengden zyn, kan aanmerken. Trekt Q# evenwydig met AC en Sx evenwydig met EG, dan is ookD^srHx en men heeft _D? : DC=Q? : MC
of Hf : HG-Q? : MC maar Hx : HG=Sx : NG
dus Qq : MC=Sx : NG of_Q£_: __Sx==MC: NG
en PC : RG=AC : EG
""bygevolg AC : EG=MC: NG Dat te bewyzen was.
L GEVOLG.
§. ia6. Als AB=EF=i wordtgefteld, is AC de Logarithmus van CD en EG de Logarithmus 'vanGH~CD §110; waaruitvolgt, datinonder-
fchei-



H. Boek. V. Hoofdftuk.
Fig. fcheidene zamenftellen van Logarithmen, da Logarithmen yan een en hetzelfde getal tot elkanw der zyn, als de Subtangenten.
By voorbeeld: in de gewoone of Briggs Logarithmen is de Subtangens 0,43429 &c. en in de Hyperbolifche 1, volg. § 117-.
Bygevolg ftaat Briggs Logarithmus van eenig getal, tot de Hyperbolifche Logarithmus van dit zelfde getal,in deftandvastige reden van 0,43429 &c: 1
IL GEVOLG.
§. 127. Als men de Logarithmen van eenig zamenftel gegeeven heeft, en de fubtangens van een ander zamenftel, kan men derzelver Logarithmen ook berekenen.
EERSTE VOORBEELD.
$. 128. Gegeeven zynde de getvoone Logarithmus van het getal z, zynde 0,3010300; om de Hyperbolifche Logarithmus van dit getal te vinden ?
Dewyl Briggs Logarithmus : Hyp. Log.ass 0,43429448 &c. : i is,
heeft men Hyp. Log. == Briggs Log.
0*43429448 &c. en dus Hyp. Log. » = «I^o
Oj4342945 *ó 4/
TWEEDE



LINEA. LOGAR. 255
TWEEDE VOORBEELD. ug-
$. 129. Gegeeven zynde de Hyperbolifche Logarithmus van het getal 7—1,9459101; om we* 33' derom de gewoone Logarithmus te vinden ?
Dewyl Briggs Log.: Hyp. Log.=o,43429&c: 1 is heeft men Briggs Log.^Hyp. Log. X 0,43429 &c.
en dus Briggs Log. fss1,9459101 X Oj4342$45 of Briggs Log. 7= 0,8450980.
III. GEVOLG.
$. 130. Nog volgt uit deeze Propofitic, als men de Logarithmen van een en het zelfde getal in onderfcheidene zamenftellen gegeeven heert, dat men dan ook de betrekking der fubtangenten weete, en dus mede de ftandvastige reden der Logarithmen van alle andere gelyke getallen.
By voorbeeld: de gewoone Log. van 10 is 1 en
de Hyp. Log van 10 is 2, 30258509 &C.5.123
en bygevolg zyn de fubtangenten tot elkander als
1:2, 30258 &c. en dierhalven
•n • T — Hyperb. Log. Briggs Log. —^gj-
en Hyp. Log. *s Briggs Log. X 2, 30258 &c.'
AANMERKING.
§. 131. Door deeze laatste Formulen kan men; eveneens als in § 148. en 129, als een der beide' Logarithmen bekend is, de andere berekenen. Ook komen dezelve met elkander overeen; dewyl O, 43429 ÓEC.'M«£t;a, 30258 &c .pf o, 43429 &c. X 2, 30258 &c. = 1 is.
ZESDE



356
ZESDE HOOFDSTUK.
Van de LINEA SPIRALIS van ARCHIMEDES.
I. DEFINITIE.
§. 13a. A.is men heeft eene regte lyn AB, welke met eenegelykmaatige beweeging rondom e'én g4> haarer uiteinden, A, ronddraait, befchryvende daardoor den cirkel BCDE; en men bovendien begrypt, dat het punt A tevenc met eene gelykmaatige beweeging in deze omdraayende lyn AB voortgaat, komende in denzelfden tyd in B, als de lyn AB eene geheelè Omwenteling volbragt heeft, en wederom in den ftand gekomen is, waaruit dezelve begon te beweesen; dan zal dit punt Aj, door deeaie dubbelde of zaniengeftèlde beweeging, eene kromme lyn APQRB befchryven, welke men de Linea Spiralis, Spiraal-of Krullyn van Archimebes noemt; en ook wel Helix of fchroeflyn.
II. DEFINITIE.
§. 133. Als de lyn,in haar eerften ffond AB ter tuggekomen zynde, nog eene omwenteling maakt,' terwyl het punt A voorgaat met zig, op dezelfde wyze, van Ageduurig te verwyderen, zal'er nog
eene



LINEA SPIRALIS. i#
eene kromme Jyn Bp q r b befchreeven worden FM welke men de tweede Spiraal-lyn noemt. Op de.' zelfde wyze maakt de derde omwenteling de derde 34. Sptrael-lyn : en zo vervolgens.
HL DEFINI TIE.
$. 134. De cirkel BCDE wordt de maakende Cirkel genoemd; de cirkel bede de tweede maakende Cirkel: en zo vervolgens.
t PROPOSITIE.
J. 135. Ieder regte lyn, ah AP, uit net mid* delpunt tot eenig punt van de Spiraal-lyn getrokken , is tot de radius AB van den maakenden cirkel, als de overeenkomstige cirkelboog BC, tot dengelt^ ien omtrek.
Dat is: AP : AB = (BC : O BCDE.
DÉMONSTRA TIK.
In denzelfden tyd, dat de lyn AB eene geheele omwenteling volbrengt, of het punt B den geheelen omtrek BCDE befchryft, loopt het punt A door de gantfchelyn AB; bygevolg zal ook, wan. neerde lyn AB haar halven omloop volbragt heeftof het puntB in D gekomen is, het punt A zig in de mxdden van AB of AD, in het punt Q bevinden; en dus zal, in het algemeen, in denzelfden tyd, het puntB door een evengroot ^edeelte van den geheelen omtrek des cirkels loopen. als het punt A van de lyn AB. Dewyle nu het punt ü m Ca of de lyn AB in den fland van AC ko.
& raende,



-S5* E Boek. VI. Hoofdfluh
f ig. mende, bet punt A gefteld wordt tot in P bewogen te zyn, zal de boog BC hetzelfde gedeelte van den geheelen omtrek BCDE zyn, als AP is van de geheele lyn AB, en daarom
AP; AB=(BC : q BCDE. Dat te Bewyzen was.
I. GEVOLG.
$. 136. Dewyle APi AB of AC=(BC: gBCDE dus AC—APrAB — OBCDE—(BC :o BCDE
of PC : AB™ (CDEB :oBCDE Dat is; de lyn PC, tasjehen de Spiraal én den omtrek des maakenden cirkels hemt , is tot\ de radius van denzelven, als de andere hoog CDEB, tot den geheelen trek.
II. G E VO L O]
%. IZ7- AP : AB=(BC: OBCDE §135 zynde is AP:fBCr= AB :©BCDE maar PC : (CDBE= AB : o BCDE § 136.
dierh. AP: (BC™ PC: (CDEB of AP: PC~(BC: (CDEB Dat is: eenige lyn AC trekkende, die de Spiraal fnydt in P, en den omtrek des cirkels in C, dan wordt de radius AC in het'punt P in dezelfde reden gedeeld, als de omtrek des maakenden cirkels in het punt C.
[IL GEn



LINEA spiralis, *59
W. GEVOLG. m
^ $. 138. Een andere lyn AD trekkende, die a, ue Spirwi fhydt in Q, heeft men op dezelfde wyze 34' AQ : AB==(BCD : O BCDE. maar ABj_AF±=qBCDE : (BCJ135.'
dierh AQ : AP=(BCr7; (i^. &K ot AQ : Ai?=/BAQ: £ BAP Dat is: *lynen, AQ,AP ^* ^ tf/w„ ™ ***!f<k redeA% als de hoeken BAQ, BAPeaa. scte^ fifc radius AB manken,
IK GEVOLG.
t 5. 130. Even als in het eerfte gevola is ook wederom DQ : AB=r(DEB : © BCDE
"fifj8 / PC~°ECDE-CgpEB§ 136. dierhalv: DQ : PC=(DEB ; (CDEB 15,5^ £ GEVOLG.
kenden cirkel,™ de punten CJD,E enz., in eeni. g; gelyke deelen gedeeld wordt , zodat fBCD = fc*^ * 3 (BC enz. s ook / ~~7Z \r\ ^AR=r3 AP enz. 2yn, bf A
Si^Q'AR opklimmen! Anthmetifche progresfie zyn.
In het zelfde g.vai, 2uUen de ; AB . DQ ^ mede in eene Amhmeti/che progresfie gaande aanwast.
11. pro*:



ss6o II. 'Boek. VI. Hoofdftuk.
Fig, II. PROPOSITIE.
34. §• I4« middelpunt van den
maakenden cirkel, eene onbepaalde regte lyn AM trekt, Jnydende de onderfcheidene Spiraaien in P, p, p\ enz. zullen de afftanden deezer pun ten van eikander overal gelyk zyn aan de radius van den maakenden cirkel. Dat is: Pp—pp* enz. = AB. :
DEMONSTR AT I E.
Als de eerfte Spiraal-lyn APQRB befchreeven, en de lyn AB wederom'in haar voorgaanden ftand AB gekomen zynde, de tweede Spiraal-lyn Bpqrb door de tweede omwenteling van AB gemaakt wordt, bevindt zig eerst het punt A in B en verwydert zig vervolgens geduurig eveneens van dit punt B, of van den omtrek des maakenden cirkels, als te vooren van het middelpunt A; zodat overal
Cp— AP is hier by gedaas PC = PC
komt Vp — AC—AB. Op dezelfde wyze de tweede Spiraal-lyn Bpqrb .befchreeven zynde, zal zig het punt A, dat nu in b is, in de derde omwenteling, wederom eveneens van den omtrek des tweeden cirkels verwyderen, als in de eerste omwenteling van het middelpunt A, en in de tweede van den omtrek des .eersten maallenden cirkels BCDE : en bygevolg zal wederom overal
- i ii < 1 m



LINEA SPIRAL1S, *é*
cprr-Cprr-AV zyn Fii: waarby pc— pc~VC gevoegd ^
geeft pp~Cc—AC
En dierhalven Vp—pp enz. — AB.
bewyzen was,
I. GEVOLG.
§. 142. Hieruit volgt, dat de tweede , derde Spiraalen enz. evenwydig met elkander en met de eerfte loopen, en dus alle te zamen eene enkele krullyn maaken, die zig van het punt A' geduurig verwyderd, en door evenwydige flingeringen tot in het oneindige uitftrekt,
II. GEVOLG.
§. 143. DewyleCj5-=c/=AP, Dq-dq'—AQ is enz. zal alles het geene te vooren van de betrekking der lynen AP,AQ enz.in$$ 135,138, en 140 beweezen is, ook eveneens met deeze lynen CpJDq enz. ^)',%'ei}z.shegreepen tusfchen eenige Spiraal-lyn en den omtrek van den laatstvoorgaan--. den maakenden cirkel, plaats hebben.
III. G E VO L G.
§. 144. Insgelyks zal het geene wy inSjioó", *39j 140 van de betrekking der lynen PCjDQjRE enz. gezegd hebben, eveneens plaats hebben,
met de gelyke lynen^:,<^,reenz pctctq\ réenz.
R 3 IV. G E-



sü» II. Boek. VI Hoofdfiuh ¥ë\ IV. GEVOLG.
' §. 145. Dewyl Vp—pp' enz. is» maaken de lynen AP, Ap, Ap enz. of de afftanden van het punt A tot de onderfcheidene Spiraalen, met el' kander eene Arithmeüfche progresfie, waarvan do gemeene redeü gelyk is aan de radius des maakenden cirkels^ _
V. G E V O LG.
i 146. Dewyl AP : AVj~(hC: o BCDE is § 135. is ook AP+AB: AB=(BC-f o BCDE: o BCDË
of Ap, :AB=r(BC-f-OBCDE:OBCDE 'en A£+AB: AB~(BC4-2 o BCDE:-o BCDE
of Ap' : AB=(BC+2 O BCDE: O BCDE En dus in het algemeen voor de nd' Spiraal-lyn Ap : AB=(BC+«—1 Omtr. : Omtrek.
VI. G E V O L G.
§. 147. AlsdefaoogenBC,CD,DEenz.aneaan 'elkander gelyk zyn, zullen de lynen AB, Ap,Aq, Ar enz. als mede Ab ,Ap'',Aq' enz. ineeneArithmetifche progresfie zyn, waarvan de reden gelyk is aan de radius van den maakenden cirkel.
Bygevolg zullen, in alle de Spiraalen, de lynen AP,AQ,AR, AB , Ap, Aq enz* met elkander vpde eene Jrithmetifche progresfie tnaaken,
VIL GE-









LINEA SP IRA LIS. *<3
VIL GE VO L G. Fig:
f. 148. Nog volgt uit deeze Propofitie, dat 54, AB — Bbrrbb' is, en dus Ab == 2 AB, Ab*^ AB enz. of de radius van den tweeden cirkel is tweemaalen, van den derden cirkel driemaalen enz. dera* ^jus van den eerften : en dat dus deeze cirkels, Jlie als de vierkanten hunner radiën vergrooten, *7pr.6i. tot elkander zyn, als de quadraaten der natuurlyke getallen 1, 4, 9, 16 enz. Bygevolg zyn de eerfte cirkel, en voorts de ringen, tusfchen de eerfte en tweede, tweede cn derde cirkels begreepen enz. tot elkander, als de verfchilïen deezer vierkanten, of als de onevene getallen 1 - 3 > 5> 7 enz-
BYVOEGZEL.
$. 140. Deeze Spiraalen behooren tot die krorame lynen, welke men Transctndentes of werktuiglyke noemt $ 46.; om dat de betrekkinghaarer ordinaaten of lynen AP, AQ, AR enz. afhangt van cirkelboogen, welker lengten onmeetbaar zyn tot regte lynen.
Laat AB = r, de omtrek BCDE=c, de boog BC, naar welgevallen genomen, — x en de lyn AP— y gefield worden,
dan is y : r -==.x : c § 135.
of cy == rx de Equatie van de eerfte Spiraal-lyn.
Voorts alles hetzelfde blyvende, maar Ap^y ftellende, is y : r=c+x : c $ i4öen cy—cr+rx de Equatie van de tweede Spiraal-lyn.
R 4 Op



£04 II. Boek VI. Hoofdftuk.
Fig. Op dezelfde wyze is cy — zcr-i-rx de Equatie . van de derde en in het algemeen cy ~:~ (»—• ï ) er4*rx de Equatie van de nds Spiraal-lyn.
III. PROPOSITIE.'
§. 150. Om de Spiraal- of Krullyn van ArcL^ medes door punten te befchryven, als de radim van den maakenden cirkel gegeeven is ?
constructie.
35»
Laat AB de gegeeven radius van den maakenden cirkel BCDE enz. zyn. Deel dezelve, als mede den omtrek des maakenden cirkels, ieder in evenveele, by voorbeeld, in 8 gelyke deelen; de lyn AB in de punten 1,2,3,4 enz. en den om. trek in de punten C,D,E enz. Trek uit alle de deelpunten des omtreks tot het middelpunt A de lynen AC, AD, AE enz. Maak dan AP—Ai, AQ^A2,AR=A3 enz. dan zullen P,Q,R enz. volg. $ 140, punten van de eerfte Spiraal-lyn zyn, door welke dezelve kan getrokken worden. 1 Om de tweede Spiraal-lyn te trekken verlengd men de lynen AC, AD, AE enz. en men maakt Cp-=AP,Df~AQ enz. Of anders de verdeelingen van AB verder voortgezet hebbende, in de punten 9,10,11,12 enz. maakt men Ap= Ap, A^—Aio,A*~A 11 enz. wanneer p>q,r enz. punten in de tweede Spiraal zullen zyn § 14 r en 143; van welke men op dezelfde wyze nog meerdere punten kan vinden, om daardoor ook de tweede Spiraal-lyn te befchryven.
Pp



LINEA SPIRALIS. i6>
Op dezelfde wyze wordt de derde Spiraal-lyn, en zo vervolgens, door punren befchreeven. Dat te dom was.
IV. D E F IN 1 TI E.'
5- 151. Als uit het middelpunt A van denmaa. 36; kenden cirkel, door eenig punt P van de Spiraal naar welgevallen, een radius AC wordt getrokken, noemt men de cirkelboog BC de Abfcisfe en de regte AP de Ordinaate, of Applicaate, van dit punt P.
Voorts AT perpendiculaar op AC trekkende, welke de Tangens PT van het punt P in T ontmoet, wordt deeze AT de fubtangens van dit punt P genoemd.
IV. PROPOSITIE.
§. 152. De radius va» den maakenden cirkel ftaat tot de Abfcis van eenig punt der eerste Spiraal-lyn, als deszelfs ordinaate tot de fubtangens-
Dat is: AB of AC : (BC~ AP : AT.
DEMONSTRATIE.
Laat de radius Ac, fnydende de Spiraal inp, zeer digte by AC zyn getrokken, zodat men het kleine (tukje Vp als eene regte lyn, en wel als het verlengde van de Tangens PT, mag befchouweoen vervolgens uit A, als middelpunt, met de radius AP, het kleine cirkelboogje Pr worden getrokken, fnydende Ap regthoekig iar:
R S dan



i »66 II. Boe k. . VI, Hoofdftuk
Fig. dan heeft men AP: (BG=AB: o BGDB 1 36. en insgdyks A^ :(BCg=AB: p BCDB ƒ $ 'ffi dierhalven AP: (BC=A^: (BCc en APtBC^ ~ (BC ^AP: (BC 15^. 5 ft
dat is ^ : 'tt =AP:(b.C fi m:ar. Gc : pr —AC: AP
»^ J IV —AP; AT 4,6 |
dierh. ac : (bc =Ap7aT~" jDö; ife Bewyzen was.
I. GEVOLG.
5- 153- Als AC het verlengde van AB is heeft men. AP= i ac = i AB § «*. en bygevolg m dat geval ook at—!(bc—| o BCDB, of de fubtangens gelyk aan bet vierde gedeelte: van den omtrek des maakenaen cirkels.
IL GEVOLG. Als het punt P in B vak, wordt ap=* AC — AB en de boog BC den geheelen omtrek* bygevolg is als dan de fubtangens gelyk den gehel ,kn omtrek van den maakenden cirkel.
III. G E V O L G.
. %. 155. Dewyl AC:(BC=AP:ATis,Wz<* heeft men AC: AP^=(BC : AT
maar AC: AP~QBCDB:(BC§i35-
dierhalven O bcdb :■( bc^r(bc : at
~ Of:



LINEA SPIRALIS. *6>
Of: de fubtangens van eenig punt is de derde ge- Fig2 duurige evenredige , tot den geheelen omtrek des maakenden cirkels en de Abfcis van ditpunt.
m O E VOLG.
§. 156. Uit A als middelpunt, met de radius AP, een cirkelboog PEF befchryvende, is AC : AP=(BC : (PEF maar AC : AP—(BC : KX beweezen'.
dierhalven is AT=(PEF Pat is; de Subtangens van eenig punt is gelyk aan den cirkelboog, welke met de Ordinaate deezes punts als radius befchreeven wordt.
V. PR OP O SI TI E.
J . 157. Als met eenige Ordinaate AV wordt befchreeven de cirkelboog PEF, zal deeze boog PEF tot den geheelen omtrek des maakenden Cirkels zyn, in de verdubbelde reden der Ordinaate tot de radius.
Dat is: (PEF: o BCDB==AP* : AB1.
DEMONSTRATIE.
DeSeétors APEF, ACB zyn gelykvormio-, en daarom (PEF ; (BC=AP ■ AB
maar (BC : o BCDB=rAP : AB $ i%5. dierh. (PEF : o BCm—AT^ I9,3i>, Dat te bewyzen was.
G E-



i£% II. Boek. VI. ''Hoofdftuk.
Fig. GEVOLG.
36. §• *58- Een anderen boog QGH trekkende ) heeft men insgelyks
(QGH r0BGDB=rrrAQs : AB* of (QGH : AQ*= O BCDB : ab* maar (PEF : AP*^_^ oBCDB:abatetf
bygev. aq* : "ap^^TqGH ï (PEF.
En, dewyl de Subtangenten der punten Q et P gelyk zyn aan' de boogen QGH en PEF § 156. blykt hieruit, dat de Sub tangenten van onderfcheiden punten Q en P der Spiraal tot elkander zyt, in de verdubbelde reden der Jppllcaaten AQen AP\
VI. PROPOSITIE.
J. 159. Indien men, met eenige ordinaate AQ naar welgevallen, een cirkelboog QGH befchryve, zal dé Spiraal-ruimte ARPQ gelyk zyn aan het derde gedeelte van den feclor AQGH.
dem'onstratiï.
Trek AC naar welgevallen, fnydende de Spiraal-lyn in Pen den cirkelboog in G, en Ac zeer digte by AC}fnydende de Spiraal in pm. den cirkelboog QGHing; danbeftaat de Spiraal-ruimte ARPQ uit evenveele, ftel n, huikjes APp, als'er kleine feétors AGg in . den feétor AQGH begreepen zyn, of gelyke boogjes Gg in den geheelen boog QGH, en de kleine ftukjes AVp en AGg kunnen als gelykvormige feétors worden aangemerkt,
dier-



LÏNEA SP IRA LIS, *6>
•dierhalven AVp ? AGg- AP* :AG* of AQ%27-6b. ^ of APp: «XAGg—AP*:«XAQ'iqfr.5*. Dat is APfl: fedt AQGH = AP*:« X AQ* 3&
»tf - f a. AQGH v Ap5
cn APp ~ »xaq_»" a ajr
Bygevolg is de fom van alle de {tukjes APp der Spiraal, dat is , de geheele Spiraal-ruimte
ARPQ — Se„vaq?n vermenigvuldigd met de fom van alle de AP*; zodat men alleen maar deeze laatfte fom heeft te bepaalen.
De lynen APzynineeneArithmetilcheprogresfie $ 140. dierhalven kan men begrypen, dat alle de AP* evenwydige vlakken zyn van eene vierhoekige Piramide, waarvan AQ* de bafis is, en welkers inhoud, dat de fom van alle de AP* is, gevonden wordt, als men deeze bafia AQa met l van de hoogte of van de meenigte n derzelven vermeenigvuldigd. igpr.iob.
Dierhalven blykt hieruit, dat de Spiraal-ruimte A^PQ-Si^AQ^x |AQ*= iSect.AQGHis, Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
§. 160. Als het punt Q in B valt, veranderd de Spiraal-ruimte ARPQ in ARPQB en de Sector AQGH in den geheelen cirkel BCDB; weshaiven de inhoud van de geheele eerfte Spiraal ARQBA gelyk is aan het ï gedeelte van den maa% kende» cirkel.
IL G Eg



*7o II. Boek. VI. Hoofdftuk.
Fië' H. GEVOLG.
&$ $ rft-DewyIderuimteARPQ=;se<ft.AQGHis: is de ruimre AHGQPRA=»Se<3.AQGH en op dezelfde wyze, de'geheele'ruimte AQBDCff tusfchen de eerfte Spiraal-lyn en den omtrek des maakenden cirkels beflooten, gelyk aan ! van den maakenden cirkel.
UI. G E V'O L G. g. 162. Dewyl ARPQA=fSefl. AQGH en op dezelfde wyze. ARPA—JSeér. APEF
dus ARQA: ARPA= SeftTAQGHÏSecl APEF
^^^?i^?ï3S£t]><AQ :(pÊFX AP
bygey. ARQA '■ARPA^QGll^A^r^XA^ cnvolg.5i58isde(QGH : (PEF-aQ* : AP*
dierhalven ARQA : ARPA= AQ»: AP? ' Dat is: de Spiraal-ruimten ARQA, ARPA, ban
het begin afgereekend, zyn tot elkander in de verdriedubbelde reden van haare bepaalende of laatste ordinaaten AQ, AP.
AAN MERKING. 34: S- l63« Men houde wel in 't oog, dat al het geene in deeze Propoftrie en derzelver gevqlgen geleerd is, alleenlyk plaats heeft in de eerfte Spi raal-lyn APQRB, of met de ruimten, die tusfchen eemgen boog van de eerfte Spiraal-lyn en derzelver bepaalende ordinaate beflooten zyn : want als men de beweeging van de lyn AP verder «15 tot den ftand van AB begrypt voort te gaan,
H



LINEA SPIRALIS. *?$
by voorbeeld, tor Ap, befcbryft het gedeelte AP Fig: vari dezelve nog eens de Spiraafruimte AP, die dus tweemaalen befchreeven wordt. Hierop moet 34'* toen wel agt geeven in de volgende $§, waarin wy echter alleen maar de geheele omwentelingen zullen befchouwen.
V. DEFINITIE.
$. 164. De ruimte APQRB, tusfchen de eerfte Spiraal-lyn en de radius AB bevat, noemen wy het eerfte Spiraal-vlak; de ruimte BpqrèB, tusfchen de tweede Spiraal-lyn Bpqrb en de'lyn Bb begreepen, het tweede Spirdal-vlak; de ruimte bp'q'r'b'b, tusfchen de derde Spiraal-lyn bp'q'r'b* en de lyntó' beflooten, het derde Spiraal- vlak enz.
VU. PROPOSITIE.
$. z6$. Indien men de inhoud van den maakenden eirkel noemt A, dan zullen de eerfte, tweede, derde, merde enz. Spiraal vlakken zyn
| A, JA, %A, VA, £A««.
DIMONSTÏATII.
Om het tweede Spiraal-vlak [te befchryven*1 moeten 'er twee omwentelingen gefchieden, en in dezelven wordt bygevolg het eerfte Spiraal-vlak tweemaalen en insgelyks de tweede Cirkel tweemaalen befchreeven. Desgelyks terwyl het derde Spiraal-vlak gemaakt wordt, worden het eerfte Spiraal-vlak driemaalcn, het tweed* tweemaalen
en



*7» IL Boek. VI. Hoofdftuk.
Fig. m de derde Cirkel driemaalen befchreeven. In het befchryven van het vierde Spiraal-vlak wor-
84* den het eerfte viermaalen, het tweede driemaalen, het derde tweemaalen, en de vierde Cirkel viermaalen befchreeven: en zo voorts.
Laaten dan het eerfte, tweede, derde, vierde, enz, Spiraal'vlak worden genoemda, b, c,d, enz; ,de eerfte, tweede, derde, vierde enz. Cirkels A, B, C, D,Eenz. zodatB^A, C=qA, D~ 16 A, E~25 A enz. $ 148: dan heeft men, uit het geene gezegd is en uit de voorgaande Propofitie,
a—\ X A~| A a+b~iXiB~ | A fl+5+c=r-f X3C-=f A a+b+c+d^^x^- fA a+b+c+d+err f x 5 E— ^f-A &c. &c. r3cc.
Trekkende nu ieder term van zyn volgenden dan is a— \ A
b=\ A-|A=|A c— f2 A— | A~¥A J-^A~^A=4fA e-^M-^A-^A &c. &c. &c.
Dat te bewyzen was,
L GEVOLG.
%. 166. Dewyl de getallen 1, 7i IQ} n? c deeze overeenkomst hebben, : .rf*
dat



LINEA SPIRALIS. m
dat 7 = 3k ü-f 3XtX2.fi
37 == 3X12 + 1-^-3X3 *4 + 1 3* 61 — 3X20+1-3X4X5 + 1.
eovolgt,dacdeterm Van de reeks 1,7,10,37,61
enz. zal moeten uitgedrukt worden, door 3 n X »—x"+ ü
en düs dat de inhoud van het éi* Spiraal'vlak
ral zyn (3 n X »—1 + i) x * A«
//. O È VO LQ,
%„ 167. In plaats van de Spiraal vlakken uittedrukken door den eerften maakenden cirkel, kan men ieder door zyn eigen maakenden cirkel vinden: want dib9cid,e enz. wederom de eerfte. tweede , derde enz. Spiraal-vlakken en A,B,C,D,E enz. de eerfte, tweede, derde enz. maakende cirkels Zynde, heeft men wederom
rf— I A
b= \A B; omdat A—i B is c=fA =|fCJ omdat A= 5 C i» d—^-A = H D; omdat A^= is e=*j A—fzE^ omdatA=^E is en zo vervolgens. In het algemeen de n'* cirkel P zynde, is d« n Spiraal= (3 «Xa^i+i) x » A=
3 »Xa-i+i^ p .. ,. ' x f S
omdat A= ^Sss^L X p j3.



274 H. Boek. VI. Hoofdftuk.
fig. HL G E V O L G.
$4 $• 1^3. Dewyl*— IA is b—a~a A b= I A c—b—e^A c—HA d—c—6A dzz3-£-A e—d—SA >e=&lA &c. &c.
of de Spiraal-ruimten,tusfchen twee volgende evenwydige Spiraal-lynen bevat,zyn n A,4 A, 6 A, 8 A enz. naamelyk ABpqrbB=<xA,Bpqrbb'r'q'f'b=: 4A enz.
En in 't algemeen, de ruim.e, tusfchen de e en *+i SpiraaUyn beflooten , is gelyk aan a n A



ZEVENDE HOOFDSTUK. Van de SPIRALIS LOGARITHMICA.
I DEFINITIE.
5- 169. Jndien men, uit eenig punt M, trekt eenige r regte lynen, MA, MB, MC, MD enz. maa- F& kende gelyke hoeken met elkander, naamelvk a7 l AMB =/BMC==; CMD enz. en zodaanig, 37' dat deeze lynen eene Meetkundige progresfie maaken, of dat MA:MB = MB :MC=MC: MD enz. en zulks van punt tot punt begryptj zal de kromme lyn, welke door alle deeze pun. ten A, B, C, D, E enz. loopt, de SpiralisLo. garithmica, of de Logarithmifche Spiraal of kruL lyn zyn.
II. DEFINITIE.
S- 170. Het punt M wordt het middelpunt x en de lynen MA, MBenz., uit het middelpunt tot de kromme lyn getrokken, wordende Ordinaaten genoemd.
/. GEVOLG.
A&j**' memit vo]&' aIs de hoeken AMB' AMC enz. aan het middelpunt, van eenige Ordi!
S a naate



*l6 II. Boek." VII. Hoofdftuk.
Fig. naate AM naar welgevallen te beginnen, in eene Arithmetifche progresfie zyn, zullen de Ordinaa3?' ten eene Geometrifche progresfie uitmaaken.
II. G EF O LG.
17a. Dewyl de ordinaaten MA, MB, MC enz. in eene geduurige opklimmende meetkundige progresfie zynde , hoe langer hoe grooter worden , zal zig de kromme lyn hoe langer hoe verder van het middelpunt M verwyderen.
En [MC voor de eerfte ordinaate neemende * worden de volgende MB, MA enz. in eene geduurig, op dezelfde wyze afklimmende, meetkundige progresfie zynde, hoe langer en tot in het oneindige kleinder; zodat de kromme lyn wel geduurig tot het middelpunt M nadert, maarniet, als na een oneindig getal omwentelingen, he* zelve bereiken zal.
///. G E FO L G.
%. 173. Dewyl, na ieder geheele omwenteling » de hoeken op dezelfde wyze wederom beginnen te ontftaan, zullen de ordinaaten, in alle de volgende omwentelingen, dezelfde betrekking tot elkander behouden, als in de eerfte:
naamelyk AM ; BM = MI: MK dierhalven ook AM : MI = BM: MK
En dit laatste wederom in alle de volgende omwentelingen eveneens plaatshebbende, blykt hieruit tevens, als eene regte lyn MI deeze Spiraal in haare onderfcheidene omwentelingen doorfnydt,
zullen



SPI RA LIS LOGAR. a7?
zullen de afïlanden deezer fiiydpunten van het Fig. middelpunt eene Meetkundige Reeks maaken, van welke de gemeene reden is MA : MI, of 37MB: MK.
IV. GEVOLG.
§• 174. Als men, door het middelpunt M, trekt twee regte lynen IE, FK, de Spiraal fnydende in A, B, E, F enz. en dan de fiiydpunten vareenigt door de lynen AB ,EF, IK zullen deeze evenwydig met elkander zyn : want in de driehoeken AMB, EMF, IMK zyn
^AMB~iEMF =^IMK en AM:MBr=rEM:MF=IM:MK dierhalven z"ABM~z*EFM=lIKM 6pr 6 b en dus de lynen AB, EF, IK evenwydig i*pr. 1 b.
I. PROPOSITIE.
J. 175. De hoek, welken de Ordinaate met de Spiraal maakt, is overal even groot.
DE MOMSIRATIÏ,
Laaten getrokken worden de Ordinaaten MA en MB naar welgevallen, en aM, bM op gelyke 3 afftanden van dezelven, dat is zodaanig, dat de *AMs=i BM* zy. Trek voortsde regte lynen ha, Bb; dan zyn de driehoeken A*M en BéM gelykvormig : want de i hMa ~ l BM* en
f Mnf l7mJm***9, endusisde^MA^
L MS>b. 6 pr. 6 b. •
-S 3 Dit



a?8 32.' Boek. VII. Hoofdftuk.
Fig% Dit zelfde heeft altyd plaats, hoe digt ook de punten A, a en B, b by elkander vallen: als 38. dierhalven de hoeken AMa en BM* oneindig klein zyn, komen de regte lynen ha, Bb met de Spiraal overeen; en dus maakt de Spiraal met de Ordinaaten MA^MB gelyke hoeken MA<z,MB*« Dat te bewyzen was.
I GEVOLG.
§. 176. AIs.de boogjes ha,Bb zeer klein zyn, komen zy overeen met de Tangenten of Raakly* nen der punten .A en B; en bygevolg maakt dt Tangens van de LogaritJmij'che Spiraal over al denzelfden hoek met de Ordinaate, of met de lyn uit het middelpunt getrokken; dat is, overal is de i MAT of MBS even groot.
II. G E VO L G.
%. 177. Als MC het verlengde van AM is, of AC eene regte lyn, die door het middelpunt M loopt, en AT, CR de Tangenten der punten A en C zyn, zjfU MAT~^ MCR en AT evenwydig met CB. zyn;' zo dat de Tangenten der tegenoverftaande punten A en C evenwydig hopen.
IIL G E VO L G.
§. 178. Indien men uit M op AM en BM trekt deperpendiculaaretiMT, en|ilS, welke de Tangenten ontmoeten in T en S, zyn de driehoeken AMT en]BMS gelykhoekig en gelykvormig >
en 6.üz
m1' ï S AM



SPIRALIS LOGAR. 37$
AM : AT : MT = BM: BS : SM Fig.
Cf: de Ordinaate, de Tangens en Subtangens zyn overal tot elkander in eene ftandvastige reden. 38,
II. P R O POSITIE.
S' 179* Indien BS de Tangens is van het punt B, zal dezelve gelyk zyn aan de geheele lengte van de Spiraal BA... M.
DEMONSTRATIE.
Laat het punt b zeer digt by B genomen, en uit hetzelve op BM de perpendiculaar bc getrokken worden, dan zyn de driehoeken BfoenBSM gelykvormig en derzelver hoeken van eene ftandvastige grootheid, volg.§.i75en 176: dierhalven Bb : Bc=rBS : BM=Rad: Cos. I SBM=i : c als men de Cosinus van den hoek, welken de Tangens met de Ordinaate maakt, c noemt; en "bygevolg is c X B* = Bc. Dit heefe in alle de punten eveneens plaats, en daarom ook de Som van alle de cXBb, of, om dat c ftandvastig is c X de fom van alle de,B* gelyk aan de fom van alle deBc . Maar de fom van alle de kleine boo<r-
J«S4 B* maakt de leD&* van de SeheeIe Spiraal BA... M en de fom van alle de ftukjes Bc maakt de geheele ordinaate BM; en bygevolg is c X de geheele lengte gelyk aan de geheele BM. Doch BS : BM = 1 : c zynde, is ook BM ~ c x BS ■ dierhalven c X BS =: c X de geheele lengte van de Spiraal, of BS =de geheele lengte van de Spiraal BA...M.
Dat te bewyzen was.
S4 I. GE-



£8o ÏI, Boek. VU, Hoofdftuk: Pb l O E VO f g.
38. S- 180. Dewyl BM == c X de geheele lengte van BA „. M is, heeft me» BA... M; BM~ r c— Rad, ; Cos, l MBS-
Of: de lengte van de geheele Spiraal is tot de Ordi* dinaate, in de ftandvastige reden van de Radiut fgt de Cofinus'vah den boek der Spiraal,
if gevolg:
%. 18 ï , Trek uit M op de Tangens BS de perpen* diculaav MD, dan is BS ; MB =2 MB: BD "''
m dus ook; hoog BA...M: MB~MB;BD IJL GEVOLG,
% 182. Indien AT de Tangens van eenig an« der p,unt A is, en. MT perpendiculaar 'op' AM, IS op dezelfde wyze AT== de lengte der Spiraal A.,,M? van A aftereekenen èn de lengte van A.. M : AM= 1 ; q snaar deboogBAt.\M. \ BM=i \ e %. 180,
4ierh. de boog A,,,M: boog BA.. .M^AM;BM Pat. is: de lengten der geheek Spiraal, telkens tot aan het middelpunt, zyn melkmidet ak haat befaalende. Ordinaate^
IV, GEVOLG, §, ï83. Dewyl, volgens het■ bezveezepz
|Qog^r.,M; bQogBAS5eM=AM ; BM
10 it



SPIRALIS LOGAR. a8*
zo is BAM-AM:BM-AM~boQgAM:AMni e Fig
of boog AB : BM-AM-i:C. Op dezelfde 9a wyze is BC:GM-BM-=i : c 3 '
dus boog AB : boog BC-^BM-AM : CM-BM Dat is: de toog, tusfchen twee ordinaaten bevat, is ■ tot het verfchil der ordinaaten, mede in de ftandvastige reden van de radius tot de Cosinus van den hoek der fpiraal: ert daarom de boogen in het algemeen tot elk' ander als de verfchilïen hunner bepaa lende ordinaaten.
V. GEVOLG,
%. 184. Als de hoeben AMB, BMC, CMD $r\ enz. evengroot zyn, iriaaken de. Ordinaaten AM, BM,CM,DM enz. § 169, en dus ook haare verfchilïen BM-AM,CM-BM enz. eene meetkundige progresfie; en bygevolg zullen dan ook de boogen van de Spiraal AB, BC, CD,DE enz, die aan deeze verfchilïen evenredig zyn, te zamen eene meetkundige progresfie maaken, waarvan de gemeene reden dezelfde is, als die der Ordinaaten, naamlyk van AM : BM.
IIL PROPOSITIE,
%. 185. De inhoud van de Spiraal-ruimte BAE. ...M, befchreeven door een oneindig getal 38omwentelingen, is gelyk aan den halven driehoek BMS, of gelyk aan den regthoek van de halve Ordinaate BM met de halve Subtangens SM,
S $ DE-



£8* II. Boek. Vfl. Hovfdjlufc
demonstratie.
. S8. « Laat M* oneindig digt by MB worden getrokken en bc {perpendiculaar op MB zyn, dan kan men begrypen, dat de geheele Spiraal-ruimte beftaat uit eene oneindige meenigte driehoekjes, als MB*, waarvan de inhoud is MB><ig; zodat men alleen de fom van alle de producten ï£5H*f heeft te zoeken.
De driehoeken Bbc en BMS zyn gelykvormig en derzelver hoeken van eene ftandvastige grootheid, Si 75 en daarom ook derzelver zyden tot elkander in eene beftendige reden; want ftellende de Tang. I MBS—/, zo heeft men
Bc : *c=Rad. : T. i MB&=i 1t Dus *c==BcX* en AMB*— Mi^f— JL X'MBx&.
Zo men hu begrypt, dat MB gedeeld is in een onemdiggetal vangelykedeelen,iedergelyk aan Bei zal de fom vanallede producten MBXBc gelyk aan • MBa zyn, even als in § io6 omftandiger in de Logarithmifche Lyn beweezen is; en dierhalven de fom van alle de driehoeken MB*, of de geheele Spiraal-ruimte—|X MB3
Maar MB : MS = Rad: Tang. i MBS= i: t bygevolg MS ai tXMB en dus ook de inhoud der Spiraal gelyk aan gg * Mp: - IMS XiMBen=U MBS.
4
Dat te Bewyzen was.
I. GE-



SP IR AL IS LOG AR.
»83
l GEVOLG. Pigl $- r86. Ltat BM de Spiraal wederom fnyden in F, dan is de Spiraal-ruimte, van de Ordinaate 38* MF afgeretekend, ook gelyk *xMF% en deeze van de voorgaande aftrekkende, behoudt men voor den inhoud van het bepaalde vlakBAFMB tusfchen de Spiraal en de regte lyn BF beflooten* $X (MB*—MF*) =4-^x (MB' - MF')
Op dezelfde wyze is het vlak, of de ruimte BAFËB, tusfchen de Spiraal BAFE en de regte lyn BE begreepert
\ (MB2— ME*)= ~t X (MBa—ME*).
En desgelyks de Spiraal-ruimte BAMB, tusfchen dë Spiraal en twee ordinaaten bevat, === -|X (BM'-AM*) =jgj (BM» —AM3Jhet halve verfchil der driehoeken MBS en MAT. //. G E F O L G. $• 187.- Dewyl de Spiraal-Seétor
AMB =^X(BM*—AM*) cn de Spiraal Seft. BMC= £X(CM*—BM*) is
heeft men AM3:BMC=:BM*-AM*:CM*—BM*
Of: de Spiraal-Seêlors zyn tot elkander, als het verfchil der vierkanten van hunne bepaalende ordinaaten.
HL G E FO L G. S. 188. Als hoeken AM3,BMC,CMD %7 enz. aan het middelpunt evengroot zyn, maaken de ordinaaten AM,BM,CM enz. eene meetkundige progresfie $ 169, dierhalven zuilen ook
der-



"384. JL Boek. VII. Hoofdftuk:
Fig. derzelver quadraaten iBpr.sb. en hunne verfchillen 14 pr. 5 b. mede eene zodaanige progresfie
37' maaken; en bygevolg zullen alsdan de Seérors AMB,BMC,CMD enz. insgelyks met elkander in eeneGeometrifche progresfie zyn, maar waarvan de gemeene reden, het vierkant is van die der Ordinaaten, of der Boogen. 5 18a.
m GEVOLG.
38. $• 189.Dewyl BAE...M i$— |XBM* T
en AE...M =|xAM»J 5 185.
zo is BAE... M: AE... M-| XBM'ixAM* of BAE...M:AE...M— BM*: AM* Dat is: de inhouden van de oneindige Spiraalruimten zyn tot elkander in de verdubbelde reden van haare laatfte, of bepaalende Ordinaaten.
AANMERKING.
§. 190. De Inhoud, waarvan in deezePropofitte en het laatfte Gevolg gefprooken wordt, is. die geene, welke ontftaat uit de oneindige omwentelingen der radius rondom M, waarvan ieder volgende een gedeelte van de voorgaande bedektzodat op die wyze dezelfde ruimte verfcheidene maaien over elkander befchreeven wordt; endierhalven is de ruimte, welke in de drie eerfte Gevolgen bedoeld wordt, de waare ruimte der Spiraal, tusfchen derzelver omtrek en de ordinaaten beflooten,
IV. PRO-



SPI RA LIS LOG AR. a«5
IV. PROPOSITIE. Fig.
%. 191. Als de Ordinaaten AM,BM,CM enz. 39. in eene Meetkundige progresfie zynde, getallen verheelden, zullen de hoeken aan het middelpunt BMA, CMA, DMA enz. van de eerfte ordinaate AM afgereekend, derzelver Logarithmen zyn.
DEMONSTRATIE.
Dewyl AM,BM,CM enz. in eene meetkundige progresfie zyn, kan mende eerfte ordinaate AM, ten opzichte der volgenden, voor de eenheid neemen ;<en dan zyn de hoeken AMB,BMC,CMD enz. alle evengroot § 169. en bygevolg zXMArz
2 i BMA, de £ DMA= 3 £ BMA enz. of de hoeken BMA, CMA, DMA enz., die met nu! beginnen, in eene Arithmetifche progresfie, welke evenveel termen heeft, als de Geometrifche der ordinaaten. Doch het is de eigenfchap der Logarithmen, om te zyn in eene Arithmetifche progresfie. als derzelver overeenftemmende getallen eene Geometrifche progresfie uitmaaken
3 Def. 11 B.: en dierhalven zyn de hoeken aan het middelpunt de Logarithmen van de ordinaate».
Dat te bewyzen was.
I. GEVOLG.
%. 192. Laat, uit het middelpunt M, met de Ordinaate MA = i, als radius, een cirkelboog worden befchreeven, die de volgende Ordinaaten doorfnydt in b, c, d, e enz; dan zyn de boogen
Ab,



*86 IL Boek. VII. Hoofdftuk
Fig ^b,hcA Ad enz' evenre<% aan de hoeken BMA, CMA DMA enz. en kunnen daarom
00k voor de Logaritnmen van de ordinaaten ffCno „ , men worden. ö
//. GEVOLG.
%. 193. Als van Ac==Log. van CM, wordt afgetrokken A*=Log. vah BMbeiv.
komt 'er bc =Log. CM -Log.BM= Log. g zo ook^=Log.EM-Log.DM"=Log. g|j
dus bc: jfcs^ CMB:^ EMDr=Log^Log. ^
i//. G E VO L G.
$. 194- Laat AT de Tangens enMTdeSubrangens zyn, dan is MT~MA=i in het zamenftel van Neper, of in de Hyperbolifche Logarithmen , § 111. cn dierhalven de i MAT, welken de Spiraal overal met de ordinaate maakt, — » L-450
IV. GEVOLG.
$. 195. Maar MT no,43429 enz. zynde, terwyl MA—1 is, §1 u .verbeelden A*,Ac, Ad enz. de Logarithmen van Briggs , of de gewoone en dan is de Tang. I MAT~o, 43429=de Tangens van £3° 28' 30'' zeer naby; zynde nu de hoek, dien de Spiraal overal met de Ordinaate maakt, 33* 28' 30".
JGT-



'&88 IL Boek. VIII. Hoofdftuk
'Bg. wydig met de As MN; zal deeze GH eene Asytnf tote van de Spiraal zyn.
demonstratie.
Tfek, door eenig punt B van de kfomme lyn naar welgevallen, de regte IK evenwvdig 1 met MG, dan is IK = MG = den boog AB. NMaar BK de Sinus zynde van den boog AB, zo is BK altyd kleindef dan deezen boog AB; dierhalven is BK ook altyd kleinder dan IK; en dewyl de boog AB, altyd dezelfde volftrekte lengte behoudende § 196. geduurig een kleinder hoek AMB afmeet, en daarom, ten opzigte zyns geheelen cirkels, kleinder wordt, naarmaate hy zig verder van het middelpunt M verwydert, zal deeze boog AH hoe langer hoe minder van deszelfs Sinus BK verfchilïen; en bygevolg zal ook de lyn BK hoe langer hoe meer gelyker aan IK worden, of het punt B hoe langer hoe meer tot de regte lyn GH naderen, en niet als op een oneindigen afftand aan dezelve komen : weshalven GH eene Asymptote is van de Hyperbolifche Spiraal* Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
$. 199. Hieruit volgt» dat de afftand van de Asymptote tot aan de As gelyk is aan eiken cirkelboog AB, met eenige radius naar welgevallen befchreeven, en tusfchen de kromme lyn en derzelver As bevat.
II. PRO-



SPIRALIS HYPERB. a8j
II. PROPOSITIE, Fig,
i » 20°- Indien, met eenige ordinaate MB ah 41. fflAw» decirkelboog GBA befchreeven, en voorts
getrokken wordt eene andere Ordinaate MD, *«, verlengd zynde, den voorgaanden cirkelboog ontmoet ih G ; dan zal
MBXCAB-MDX(AG^«.
DEMONSTRATIE.
Befchryf met MD, als radius, den boog CD,' welke gelyk is aan den boog AB $. 196; dan zyn de Sectors AMG en CMD gelykvormig» en bygevolg MG \ MD ~(AG ; (DG
of MB : MD=(AG :(AB~ en MBx (AB~MDX(AG. Dat te bewyzen was,
GEVOLG.
J. 201. Laat MB den boog DC doorfnyden m Hi dan is MEP : MB=(HC : (AB
of MD ; MB =r(HC : (DC en MDx(DC=MBxCHC.
BYV0E.G2EL
ff. 20a, Indien men flelt de radius MA=MB ^f' de boog AB=:CD enz.=*, de Ordinaate MD-v en de boog AG»*, heeft men ar~xyi het welk de Equatie van de Hyperbolifche Spiraai is. *
^ Het



figf Het is uit hoofde van de overeenkomst, welke deeze Equatie heeft met die van de Hyperbola
4?« tusfchen haare Afymptotèn'§326 Eersté Boek, dat men deeze Kromme lyn den naam geeft van ■' Hyperbolifche Spiraal.'
III. PROPOSITIE.
J. 299, De ordinaaten MB,MD zyn omgekeerd ■evenredig met de hoeken AMB, AMD, die %§> fnet de Js tndakciï. 1
Pat is: MB : MD ■== 4 AMD : £ AMB,
D(EMQNSTRATÏE,
* ,W*nt MB ; MH====( AB: (HC
of MB : MD==(DC: (HC Maar de boogen DC, HC meeten de hoeken AMDen.AMB aan het middelpunt, en zyn daarian evenredig; bygevolg is oqk
MB : MD^= £ AMD : 4 AMB, Dat te bewyzen wat,
l Q E FQ l G. |, 204. Als dierhalven de 4 AMB—4BMDS
of "de è AMD^= 2I AMB is, zal ook ' MB == 2 MDt of MD—\ MB zyn.
II. GEVOLG.
§, 205- Als de £ AMFrr 3 4 AMB is, zal MF-iMBzyn,
Al? de 4 AMF = 4 4. AMB is, zal
MF | MB zyn1.
En in \ algemeen , als de l AMF^XMMB i«, £»! MF-^XMBzyn»
in?



SP IR AL IS HYPER B. spi
Indien bygevolg MA, of MB, voor de eenheid wordt genomen , en de ordinaaten MB . t MD, MF enz. alle gelyke hoeken met elkander x maaken, en welke gelyk zyn aan den hoek AMB, zullen deeze ordinaaten zyn, als de reeks «der getallen i, *, J, |; 1, 4 enz-» die de jweérkeerigen zyn van de natuurlyke getallen* Het is hierom , dat de Hyperbolifche Spiraal ook wel de tveérkeerige genoemd Wordt.
IV. PROPOSITIE»
§. 206. Gegteven zynde de As, benevens de radius en de lengte van den Jlandvastigen boog AB; tm de Spiraal door punten te bejchryvcn ?
Constructie»
Befchryf met de radius MA éen cirkel; maak 46* de boogen AB, BC, CD, DE» EF enz. alle gelyk aan elkander en aan den gegeeven boog; en trek de radien MB, MC, MD. ME enz. Laat MA voor As worden genomen, dan is MB 4e eèrfte Ordinaate —1. Maak vervolgens MN — JMCi=£; MOrr|MD~|; MPr^ME^*, MQ=*, MRr: § enz. dan zal de kromme BNOPQ enz., die door alle deeze punten loopt, de Hyperbolifche Spiraal zyn j. nö$.
Dat te doen -u-as.
GEVOLG.
$. 2©r- Dewyl de Ordinaaten BJM.NM.OM, ? M, QM, RM enz. geduurig verini&dercn, als T a éê



iS>2 ü. Boer. VIII. Hoofdftuk.
Fig. de getallen i, 5, f, «, I, *, f, enz. zal deSpi. raai hoe langer hoe meer tot het middelpunt naderen, en niet als na een oneindig getal omwentelingen in het zelve komen.
V. PROPOSITIE.
43. S. 208. Indien, met eenige Ordinaate MB als radius, wordt befchreeven de cirkelboog AB; voorts TB de Tangens en,MT de fubtangens van dit punt B zyn; zal deeze fubtangens gelyk zyn aan den cirkelboog AB.
DEMONSTRATIE.
Laat Mb, ontmoetende den boog AB in C, oneindig digt by MB worden getrokken, zo dat men de Tangens BT als het verlengde van het kleine boogje Bb raag aanmerken, en het driehoekje BbC als gelykvormig met den driehoek M*T, dewyl de i 1W>~ l BCb—Y. en de
^T*M^B£Cis. Veivolgens MBx(AB=M*X(AC zynde $ 200.'
is MB : M6—(AC .-(AB en MB—Mè:(AC—(AB=M£:(AB u\.pr. 5b. of£C :(BC =Mb:(AB maar bC t (BC =Mb: MT 4pr. 6b.
en daarom MT =(AB 1 Gevolg 7pr. 5 b.
Dat te bewyzen was.
I. G E VO LG.
$.209. Hieruit en uit $.199 volgt, dat de fubtangens MT_ MG is, of gelyk aan den afftand der Afymp
tote.



SPIRALIS HYPERB. 25*5
tote van de As; en dus. dat de fubtangens in de p. Hyperbolifche Spiraal eene fiandvastige lyn is, °* welke in alle de punten dezelfde lengte heeft. ^
IL GEVOLG.
%. 210. Dewyl MT gegeeven is, of overal'dézelfde lengte behoudt, wordt de hoek MBT grooter naarmaate MB kleinder wordt; dierhalven wordt de hoek, welken de Ordinaate met de kromme lyn, of wel met de Tangens maakt, hoe langer hoe grooter, naarmaate men nader by het middelpunt komt. En dewyl in de Logarithmifche Spiraal, die een oneindige menigte omwentelingen heeft, de hoek van de Ordinaate met de Tangens overal dezelfde blyft §. 176. moet deeze laatfte Spiraal altyd binnen de eerfte loopen; en dus moet de Hyperbolifche Spiraal mede een oneindig getal omwentelingen volbrengen, voor datze by het middelpunt kan komen: zoo als in §. 207 reeds, op eene andere wyze, is beweezen.
VI PROPOSITIE.
f. au. Delengte van de Hyperbolifche Spiraal, tusfchen twee ordinaaten begrepen, is gelyk aan de lengte van de Logarithmifche lyn, tusfchen twee evengroote Ordinaaten bevat; als de betde kromme lynen gelyke fubtangenten hebben.
Dat is; als in de Spiraal en Logaritroifche lyn gefteld wordt, dat MB-DE, MC=iFG en de ' fubtangens MT—de fubtangens DS is, zal de boog BC=denbooaEG zyn.
rr 3



SPIRALIS HYPERB. a9s
telingen tot het middelpunt naderende, gelyk is aan de lengte van de geheele Logarithmiiche lyn, als, de jlaatste ordinaaten van beide 44»' kromme lynen even lang zyn : en dat bygevolg de lengte van de geheele Spiraal oneindig'is, desvyl de lengte van de Logarithmifch» lyn, eene 1 Asymptote hebbende , welke zy eerst op een , oneindigen afftand ontmoet, § 90 en 91. nood- '> zaaklyk oneindig is.
VU PROPOSITIE.
§. «i 3. De geheele inhoud van de Hyperbolifche Spiraal BCDE... M, door een oneindig getal'onvwentelingen befchreeven, is gelyk aan den halven regthoek van de fubtangens,: met de bepaalende ordinaate MB.
DKMONJTRATIÏ.
Laat BT de Tangens en MT,regihoekig op MB, de Subtangens van het puntB zyn, en de ordinaate Mb zeer ,naby aan MB worden getrokken, zodat de Tangens BT als het verlengde van het boogje, of de regte lyn Bb mag aangemerkt worden. Befchryf uit het middelpunt M het boogje bc, fnydende MB in c; dan is het driehoekje Bbc regtlynig en regthoekig : en men kan begrypen, dat de geheele Spiraal-ruimte BCDE....M zamen gefteid is uit eene oneindige meenigte -driehoek* jes MB*, waarvan de inhoud is
T4 De



\&96 11. Boek. VUL Hoofd/luk.
Fig. De driehoeken B*c en BMT zyn gelykhoe-
kig; daarom BM : MT~Bc : Bc 45- of BM X Bc —MTXBc
en™a*>< =rjMTXBC maar 5üx»? — a MB*
daarom A MBbzr *MTXBc.
En dewyl hetzelfde overal plaats heeft, zal de Som van alle de driehoekjes MB*, of de geheele Spiraal-ruimte, ook gelyk zvn aan de fom van alle de produéten van iMTXBc, 0f omdat ï MT ftandvastig is, gelyk aan *MT x de Som van alle deftukjes Bc, welke te zamen de geheele Ordinaate BM uirmaaken: dat is, de geheele inhoud van de Spiraal is gelyk aan t MTX MB * of gelyk aan den halven regthoek van de Subtangens met de Ordinaate.
Dat te Bewyzen was.
L GEVOLG.
$. 214. Eveneens als wy beweezen bebben, dat de Spiraal-ruimte
BCDE...M= jMTXMB is, zal de Spir.-ruimte CDE... M= iMT XMC zyn
dierh. BCDE...M:CDE.. ,M = MB: MC
Of: de oneindige Spiraal-ruimten zyn tot elkanderals haare bepaalende Ordinaaten.
U. GE-



DRUKFOUTEN.
BtADz. 13 RegeI 26", ftaat de, hes de Ai
—•62 — 2 — «»e — het eene
— 63 — ï — C — G
: 7t • «* «3 — GD* — CD'-
127 i—• 19' 4- — een
'— J55 25 LK — LR
— 9 -CE-CG-GE:CG
202 —- 22 — A is —; is
1-224 ~a —^.32-^.23
— 259 — 19 srïAQ" — f«XAQ«









A GTS TE HOOFDSTUK. Van de SPIRALIS HYPERBOLICA.
I. DEFINITIE.
&g-
S- i^.Jüaat MN eene regte lyn zyn, en uit 4o. M als middelpunt worden befchreeven eenige cirkelboogen AB,CD,EF enz., die alle dezelfde lengte hebben, en zulks van punt tót punt begreepen worden; dan noemt men de kromme lyn welke door alle deeze punten B,D,F enz. loopt' de Spiralis Hyperbolica , of de Hyperbolijche Spiraal of Krullyn.
II. DEFINITIE.
§. 197. De regte lyn MN wordt de As; het punt M het Middelpunt; en de lynen MB,MD, MF enz. worden de Ordinaaten van deeze Spiraal genoemd.
I. PROPOSITIE.
§. 198. Als, uit het middelpunt M, op de As MN wordt getrokken de perpendiculaar MG, welke zo lang is, als >éo der gelyke boogen AB,CD, EF enz. en dan wordt getrokken de regte GH, evenwydig



'*94 n. Boek.' VUI. Hoofdjtukl
Fit.
* DEMONSTRATIE.
4+* Laaten, in de Spiraal en Logarithmifche lyn,. oneindignaby de Ordinaaten MB, DE, worden getrokken de lynen Mb,de, zodaanig datze gelyk zyn aan elkander, en uit b en e op MB en DE de perpendiculaarenfcen ef. Dan van MB—DE afgetrokken Mc— Df
blyft 'er Bc=zEf Voorts in de driehoeken MBTen DSE is l BMT=ri EDS— L BM— DEI ■ , ' MT= DSj 0nd&#-
dierhalven i MBT—i DES ^pr.ïïT' en dus in de driehoekjes Bbc en Eef de l bBc—leEf beweezen. IbcB—lefE—L en Bc~ Ef beweezen.
Weshalven ook B£= Ee is 21 /r. 1 b.
En ditzelfde vervolgens overal eveneens plaats hebbende, blykt hieruit, dat de fom van alle de •ftukjes B* in de Spiraal gelyk is aan de fom van alle de deeltjes Ee van de Logarithmifche lyn; of de geheele boogBC=den geheelen boogEG. Dat te bewyzen was.
GEVOLG.
§• 212. Hieruit volgt, dat de lengte van de geheele Spiraal, door een oneindig getal omwen-
te



SP IRA LIS HYPER B. m
II. GEVOLG. Fig.' 215. Als men van BCDE.. .M == l Subt. X MB
aftrekt CDE... M~ I S„ubt. X MC *5*
blyft 'er BMC= \ Subt. X(MB—MC) Dit is: ie inhoud van eenigen Seclor der Spiraal is gelyk aan de halve Subtangens vermenigvuldigd met het verfchil der-beide Ordinaaten.
III. G EV O LG.
%. 216. Laat de regte lyn BM de Spiraal wederom fnyden in E, en dan getrokken van de oneindige ruimte BCDE... M=jJ S X MB de oneindige ruimte EF... M=r * S X ME
blyft BCDEB= * S x BE hetwelk de waare inhoud is van het vlak, of der Spiraal, tusfchen de kromme lyn BCDE en de •regte lyn BE bevat.
IV. G E V O L G.
5. 217. De Spiraal-ruimte tusfchen twee ordi- Afmaten bejlooteny is gelyk aan de helft van de ruimte der Logarithmifche lyn, tusfchen twee gelyke ordinaaten hegreepen; als beide kromme lynen dezelfde Subtangens hebben.
Want de Logarithmifche ruimte is, volg.§94, gelyk aan de geheele Subtangens vermeenigvuldigd met het verfchil der Ordinaaten; en de Spiraalruimte is, volg.$ ai5, gelyk aan de halve Subtangens vermeenigvuldigd met het verfchil der Ordinaaten.
EINDE»