(Po) — Po (£*) = 0
^^^(v^T)1^
(96) J(Z2f/r) = (V12i))1 Jx è(L3dr) = 0
• J(Z4rfr) = i(V12G)1^X= 0. x
Bei der Verrückung des Feldes q ist nach (12) und (13) ebenso:
•*(**)-o
è(LidT) = Q
(97) S(L2dr)= /x (v * 2M) . q è(L3dT) = /Ap . 2 q
ï\LAdz)-= 0,
und diese beiden Variationen heben sich infolge (16) auf. Es resultiert also die Impuls-Energiegleichung
(98) v ! (2T + 2D) = 0.
H. Weyl b) hat Wohl zuerst ausdrücklich darauf hingewiesen, ' dasz die Impuls-Energiegleichung der Ausdruck dafür ist, dasz das
o) 15. 2.
b) 17. 3 S. 121.
RELATIVITATSTHEORIE.
89
HAMiLTON'sche Prinzip insbesondere bei denjenigen Variationen erfüllt ist, die einer virtuellen Verrückung des Feldes entsprechen. ")
Zusatz, die neuesie WeyVsche Theorie betreffend.
Sind zwei verschiedene Fundamentaltensoren 2ff = a2— a2
und -g = z = Zï =. . . gegeben, und sind die zugehörigen geometnschen Differationssymbole d, V und 'd, 'v, so ist bei Anwen^ dung auf einen Skalar:
(") dp = dp, v p = v'p.
Für die Differentiation eines Vektors gilt aber:
(100) 'dv = 'd(z'iv)z = dyiz' z + vUz' Z =
= dy -f dx' y2 a' v (a< z') z = dy — dx! v2 z' v (z ' a') 'a rfv" = rfF' + £0:' v'2 a v (a'lz) z' == rfr* — dx' v'2 z v (z'1 a) a'
und ebenso:
(101) Vy = vv + T1a'v(a1z')z = VY-v^Z'v(zJa')a 'v y'=vy'4-v,!av(8Mz)z'-vy,-y'!Zv(zMa)a'
Der wegen (II 84) in den beiden ersten Stellen symmetrische Affinor
3
(102) A'" = a y (a'1 z) z' = — z v (z'1 a) a'")
ermöglicht also den Übergang zwischen den beiden Differentiationen:
(103) d) 'dy = dy — A.'"2 y dx'
, 3
dy = dy' -f- dx' y'2A"'
3
<5) 'V y = V y — A "' ' y. c)
f 3
vy' = v y' -f- y'' A'"
a) Die abgeleitete direkte Analysis ist in diesem Abschnitte nnr angewandt auf die* Uerechnung der mechanisch-electromagnetischen Grundgleichungen aus'dem Variationspnnzip. Es ist gerade dieser schwierigste Teil gewahlt um das System'einer Kraftprohe ■ zu unterwerfen. Einfachere Anwendungen kommen als für sich verstandlich nicht zur Sprache, und eme systematische DarsteUung der Einstein'schen Relativitatstheorie ist dann auch nicht angestreht. Der Übergang zu den Koordinatengleichungen wird nicht gemacht, es sind zu diesem Übergange natürlich die Einheiten 10, i,, 1, 1 auf S. 15 zu verwenden.
b) Ein gemischter Affinor sei angegeben durch einen aus Punkten und Kommazeichen zusammêngesetzten Index, der die Stelle der ko- und kontravarianten idealen Faktoren
an giebt.
c) Diese Formeln sind eine Erweiterung der bekannten Formeln (II 61) und gehen in diese über für den Fall dasz 'g zu einer euklidischen Maszbestimmung gehort, ( v a) a = 0 und aUgemein ^ej; £^ = 0 j»J&| , d gewahlt wird.'
90
DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEEEN
. \
lm speziellen Fall, dasz
(104) '2g = 2 a'2 — b a b' a' — a b b' a')
ist offenbar bei der Transformation (104) invariant. Infolge (105)
ist nun: 111111
(108) d) VY = ^-B""?8Y&' ^ffl
4
b) 'vv = vy — B'""2sy. |*1*j
Bilden wir nun bei einem gegebenen Vektor q die Funktionen
4
(109) d) # v = 6?v-|-B'"3 q v <2x'
4
%>i b) v*t = vy4-B""?qv
so sind dies ein Differentialquotient und ein Differential von v in Bezug auf ein mitbewegtes Bezugssystem, dessen Maszeinheiten sich transformieren nach der Formel
4
(110) 'ij = ij—d*ij = 1, — dij + B 3qijdx', j=l...,n.
Die Funktionen (109) haben nun die bemerkenswerte Eigenschaft, dasz sie nicht nur unabhangig sind vom Bezugssystem sondern auch noch invariant bei der Transformation:
(111) 2'g = zu ,esen —
Zeüe 8 von (25) links, steht -i'0, zu lesen f
Zede 10 von (25) links, steht -fe-l'g, zu lesen
Il2 = 1 Jö.
. 26 dritte firvolf^ m_u_n r, ~ . -
V uc' -Laueiie z/eue 2, li und 17, steht c
zu lesen c.
in derselben Spalte Zeile 6, steht fo, zu lesen J) • 43 Fuszn. d) steht iJAvi,, zu lesen L, i,2 v i,.
INHALTSVERZEICHNIS.
Einleitung ï g
Erster Abschnitt.
Das Zahlensystem R°ix der orthogonalen Gruppe in vief
Grundvariablen 7—88
Höhere Gröszen und ihre Zahlensysteme 7
Die allgemeine, symmetrische und alternierende Multiplikation
der orthogonalen Gruppe g
Das Zahlensystem R?k der Lineargröszen 11
Die freien Rechenregeln des Systemes R\ 15
Beispiele einiger Produkte 16
Beispiel der Einführung idealer Vektoren 17
Geometrische Deutung einiger Produkte . . . . 18
Die skalaren Überschiebungen höherer Gröszen 21
Die_ lineare homogene Transformation von Vektoren und
Bivektoren . . . 23
Die Überschiebungsregel 24
Das System R\ und die einfache Relativitatstheorie 25
Die Faltungen 27
Die vektoiïschen Überschiebungen höherer Gröszen 27
; Die Zerlegung eines Affinors zweiter Hauptordnung 28
Das System Sln der Lineargröszen 29
Operatoren und Operatorkerne 83
Linien-, Flachen-, Hyperflachen- und Raumintegrale im j?4. . » 36
Zweiter Abschnitt.
Die Analysis zur allgemeinen Relativitatstheorie 38—74
Die Urvariablen und die Vektoren e und e'. . . 38
Einführung des Fundamentaltensors 39
Orthogonalnetze und Orthogonalsysteme 43
Die Christofferschen Symbole 43
Die geodatische Linie 44
Das geodatisch bewegte Bezugsystem 46
Geodatisches Differential und Differentialquotient 46
Die Maschke'sche Symbolik 51
1NHALTSVERZEICHNIS.
Seite
Die Methoden von L. Jngold und J. B. Shaw 52
Die Hessenberg'sche Methode 52
Die Methode von F. Jung. . . .- 53 Wpm
Geodatische Differentiation von Produkten 54
Die von 2g unabhangigen Differentiationen 55
Die Differentiationsregeln der kontravarianten Bestimmungszahlen von Vektoren und Bivektoren . . . , 56
Geodatische Differentiation des Fundamentaltensors 56
Mehrfache Differentiation 57
Der Affinor K 58
Einige Formeln für mehrfache Differentiationen 59
Linien-, Flachen-, Hyperflachen- und Raumintegrale 60
Eigenschaften besonderer Orthogonalnetze . . 62
Der R iemann-Christoffel'sche Affinor GKAia 64
4
Die geometrische Bedeutung von K * 67
Die geometrische Bedeutung von K 67
Die geometrische Bedeutung von 2K und 2Gr •. . 71
Der zweite Fundamentaftensor 2h. . . .' 7 . . . 72
Dritter Abschnitt.
Anwendung en ' 7 5 9 \
Die Weltfunktion 75
Variation des elektromagnetischen Potentials 77
Virtuelle Verrückung der elektrisch geladenen Materie 77
Andere Deutung der virtuellen Verrückung der Materie. . . , 81
Variation des Gravitationspotentials 83
Die Bewegungsgleichungen abgeleitet aus den Feldgleichungen
der Grayitation ' 87
Virtuelle Verrückung des FeldesA . . . 88
Zusatz die neueste Weyl'sche Theorie betreffend 89
Litteraturverzeichnisz 92 95
BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN
von
Dr. L. E. J. BROUWER
professor an der üniversitat amsterdam.
Zweiter Teil: THEORIE DER PUNKTMENGEN.
Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam (EERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 7.
amsterdam
JOHANNES MÜLLER 1919.
Begründung der Mengenlehre unabhangig vom logischen Salz vorn ausgeschlossenen Dritten.
Zweiter Teil: THEORIE DER PUNKT MENGEN.
1. Die Grenzpunkte..
FÜr die folgenden Betrachtungen wird die Menge „9 der Paare von (nicht notwendig verschiedenen) Elementen einer geordneten Men- der Ordinalzahl , als gegeben angenommen. Diese Menge „ werden wir des kürzeren Ausdrucks wegen durch die'Menge derjemgen Punkte der Ebene, deren rechtwinklige Cartesische Koordinaten endliche Dualbrüche sind, reprasentieren. Dementsprechend wird unsere Terminologie öfters der Vorstellung der Ebene entnommen sein obwohl sie sich begrifflich ausschliesslich auf die Menge >?2 bezieht. 6
ein!^ t6111- QUadmte K VerSt6hen Wh" ^ S^Stem der EckP^kte e nes die Veremigung von -vier (nach S. 8 des ersten Teiles definiëren) Quadraten j + bildenden Quadrats. Die Species der Quadrate A besitzt offenbar die Kardinalzahl a, und kann als eine Fundamentalreihe A , A , A ,. . . geordnet werden.
Unter einem Punkte der Ebene verstehen wir eine unbegrenzt
SsT , g, tadraten A' dGren i6deS im In-ngebiete des
nachstvorangehenden enhalten ist.
iedi'n Z7i/Unkte/1 ™d ^ Eigenschaft besitzen, dass in jedem Quadrate von P, ein Quadrat von P2 und in jedem Quadrate von P ein Quad t ^ enthalten .st; go dagg
und P2 zummmenfallen. Eme Punktspecies, von der je zwei Punkte zusammenfallen, heisst eine punktierte Species
PunltT QUa(lra^1 PUnktCS P* UDd das Quadrat 92 des lunk es P ausserhalb voneinander liegen, so heissen P, und P or titelt verscheden. 1 2
M,eng!' VOn der J'ede« Element einen Punkt der Ebene Fhet V 7 KeinCDie Species der Punkte der Ebene ist offenbar eine ebene Punktmenge; ihre Kardinalzahl ist c. In derselben Weise, wie Punkte der Ebene und ebene Punkt-
Gr V
4
BEGEÜNDUNG DEE MENGENLEHEE UNABHANGIG VOM
mengen, können Punkte des n-dimensionalen Baumes und n-dimensionale Punktmengen definiert werden.x) Weil dieselben aber irn folgenden ausser Betracht bleiben, so werden wir einen Punkt der Ebene auch kurz als Punkt und eine ebene Punktmenge auch kurz als Punktmenge bezeichnen.
Wenn für jedes » nach jeder ungehemmten Folge von n—1 Wahlen die Species derjenigen Ziffernkomplexe, die, als «-ter Ziffernkomplex gewahlt, nicht die Hemmung des Prozesses herbeiführen, entweder endlich oder abzahlbar unendlich ist, so heisst die bezügliche Punktmenge numeriert.
Wenn für die Elemente der Species M die Eigenschaften ctx und a2 einander kontradiktorisch gegenüberstehen, d. h. wenn jede dieser beiden Eigenschaften mit der Ausschliessung a priori der anderen aquivalent ist, wahrend die Species derjenigen Elemente von M, welche die Eigenschaft ct^ bzw. at2 besitzen, mit Mx bzw. M2 bezeichnet wird, so sagen wir, dass M sich kontradiktorisch spaltet in Mx und M2, und nennen Mx und M2 konjugierte Spaltungsspecies von M.
Die Species M der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge spaltet sich kontradiktorisch in die Species Mx derjenigen Wahlfolgen, bei denen von einer gewissen Wahl an "jedesmal nur für einen einzigen Ziffernkomplex keine Hemmung des Prozesses stattfindet und die Species M2 derjenigen Wahlfolgen, bei denen unendlich oft für wenigstens einen von dem gewahlten verschiedenen Ziffernkomplex keine Hemmung des Prozesses stattfindet.
Wenn die Species der ungehemmten endlichen Wahlfolgen von M in solcher Weise in die Species der M und Mx, nicht aber M2, und die Species der M2 angehörigen ungehemmten endlichen Wahlfolgen zerlegt ist, dass jede der Species Mx und M2 mit der Species der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge identisch ist, so sagen wir, dass M eine innere Abbrechung erster Ordnung zulasst und nennen Mx die innere Appendix und M2 die innere Koharenz von M. In diesem Falie setzt M sich auch aus Mx und M2 zusammen.
Sei M die Species der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge und /3 eine wohlgeordnete Ordinalzahl. Alsdann definierén wir die mit M((2) zu bezeichnende fi-te innere Kohdrenz, die mit (/3)Jf zu bezeichnende fi-te innere Adhdrenz und die mit \fi]M zu bezeichnende
1) Die Bezeichnung „Punkt der geraden Linie", bzw. „Punkt des n dimensionalen CartesiscTien Eaumes" ist schon S. 10 des ersten Teiles einmal gebraucht worden, aber in einem von dem hier deflnierten verschiedenen Sinne.
6
BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM
uniformen Punktspecies Q erzeugten Quadrate und vx, v2,. . . eine
solche Fundamentalreihe, dass mv < tg-. Alsdann erhalten wir eine
mit Q zusammenfallende gleichmassige Punktspecies R, indem wir zunachst in Q nur die i^-ten, v2-ten usw. Quadrate beibehalten, und sodann jedes v„-te Quadrat q von Q durch ein solches Quadrat A3n_1 ersetzen, dessen Mittelpunkt zunachst dem Mittelpunkte von q möglichst nahe liegt, und im übrigen möglichst grosse Koordinaten besitzt.
Wenn je zwei verschiedene Wahlfolgen einer Punktmenge zu örtlich verschiedenen Punkten führen, so heisst die Punktmenge örtlich individualisiert.
Wir sagen, dass zwei Punktspecies Q und R örtlich übereinstimmen, wenn weder ein von jedem Punkte von R örtlich verschiedener Punkt von Q, noch ein von jedem Punkte von Q örtlich verschiedener Punkt von R existieren kann.
Zwei Punktspecies Q und R heissen örtlich kongruent, wenn weder ein Punkt von Q, dessen Zusammenfallung mit einem Punkte von R unmöglich ware, noch ein Punkt von R, dessen Zusammenfallung mit einem Punkte von Q unmöglich ware, existieren kann.
Wenn kein mit einem Punkte der Punktspecies S züsammenfallender Punkt der Punktspecies R existieren kann und <2>(i2, S) mit der Punktspecies Q örtlich kongruent ist, so sagen wir, dass Q sich aus R und 8 örtlich zusammensetzt und nennen R und S örtliche Komplementarspecies voneinander in Q.
Die Species der mit Punkten der Punktspecies <2 zusammenfallenden Punkte heisst die erganzende Punktspecies oder kurz die Erganzung von Q. Eine mit ihrer Erganzung.identische Punktspecies heisst eine ganze Punktspecies.
Wenn ein Quadrat des Punktes P im.Innengebiete des Quadrates q enthalten ist, so werden wir sagen, dass P in q enthalten ist.
Wenn alle Punkte der Punktspecies Q in einem bestimmten Quadrate q enthalten sind, so nennen wir Q eine geschrankte Punktspecies. Die im folgenden in Betracht kommenden Punktspecies und Punktmengen werden ohne ausdrückliche Erwahnung des Gegenteils als geschrankt vorausgesetzt werden.
Der Punkt P heisst ein Limespunkt der Punktspecies Q, wenn in jedem Quadrate von P ein Quadrat eines Punktes von Q enthalten ist.
Der Punkt P heisst ein Grenzpunkt der Punktspecies O, wenn in jedem Quadrate von P zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate von Punkten vou Q enthalten sind.
LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DE1TTEN.
9
der Ableitung von Q. Auf Grund der letzteren Eigenschaft ist die Ableitung einer Punktspecies eine abgeschlossene Punktspecies und lasst eine perfekte Punktspecies sich auch als eine Punktspecies, deren Ableitung und Erganzung identisch sind, definiëren.
Die Species der Kondensationspunkte der Punktspecies Q heisst die Koharenz von Q. Eine in sich dichte Punktspecies lasst sich auch als eine init ihrer Koharenz identische Punktspecies definiëren. Eine in sich dichte Punktspecies ist in ihrer Ableitung als Teilspecies enthalten, und diese Ableitung ist perfekt.
Die Species der isolierten Punkte der Punktspecies Q heisst die Appendix von Q. Die Punktspecies Q spaltet sich kontradiktorisch in ihre Appendix und ihre Koharenz. Die Abschliessung der Punktspecies Q spaltet sich kontradiktorisch in die Ableitung von Q und die Erganzung der Appendix von Q.
Sei /3 eine wohlgeordnete Ordinalzahl. Wir definiëren die mit Q(/3) zu bezeichnende fi-te Koharenz der Punktspecies Q auf Grund der folgenden Festsetzungen: Q(0) ist identisch mit Q ; Q{\) ist identisch mit der Koharenz von Q ; wenn /3 = j81 -j- /32 auf Grund der ersten erzeugenden Operation, so ist Q(/3) = jQ{^)\ (/32); wenn
P —2/3, auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, so ist
K=l
Q(/3) = S) {£(&), Qifr -(-/32), Q(/3X -f /32 + /33),. . . |. Diese Definition ist offenbar unabhangig von der Erzeugungsart von (2. Weiter ver-, stehen wir unter der (2-ten Adharenz (/3)Q von Q die Appendix von 0(/3)_und wenn eine willkürliche wohlgeordnete Ordinalzahl < (2 mit /3 bezeichnet wird, so verstehen wir unter der (2-tenAppendix [fi]Q von Q die Vereinigung aller (fi)Q-
Mittels der induktiven Methode beweisen wir leicht die beiden folgenden Satze:
Für jedes (2 spaltet Q sich kontradiktorisch in Q((2) und [@]Q. Sei namlich /3 = E^„ auf Grund der zweiten erzeugenden Operation;
wir nehmen an, dass für jede Punktspecies Q und für jedes v bewiesen ist, dass Q sich in Q(/3V) und [/3„]Q, mithin auch inej^jQ, [ft] Wit- ■ ■, [A] (QCft +/32 +... +/3V_1)|J und 003,+... + ft) kontradiktorisch spaltet; um sodann weiter einzusehen, dass Q sich ebenfalls in Q((2) und © j [ftjQ, [/32] | QOj)), [/33] j -[- /32)],. . .| kontradiktorisch spaltet, bemerken wir, dass zu jedem Punkte P von Q, für den die Zugehörigkeit zu Q(/3) a priori ausgeschlossen ist, ein solches 'v angegeben werden kann, dass die Zugehörigkeit
10
BEGRÜNDUNG- DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM
zu Q(/3X -J- /32 -j- . . . -f- /3„) ebenfalls für P a priori ausgeschlossen ist, so dass P notwendig zu einer der Punktspeciesf/SJQ} [/32] jQ(/3,)j,. . ., f/SJ '\Q{^ + /32 +. . . + gehören muss.
Für jedes /3 ist eine willkürliche in Q als Teilspecies enthaltene in sich dichte Punktspecies ebenfalls in Q(/3) als Teilspecies enthallen.
Wenn eine solche wohlgeordnete Ordinalzahl /3'q bekannt ist, dass Q(/3'q) in sich dicht ist, so heisst Q(/3'q) die finale Koharenz von Q.
Sei /3 eine .wohlgeordnete Ordinalzahl. Wir definiëren die mit zu bezeichnende (3-te Ableitung der Punktspecies Q auf Grund der folgenden Festsetzungen: Q(0) ist identisch mit der Abschliessung von Q; Qm ist identisch mit der Ableitung der Abschliessung von Q, d. h. mit der Ableitung von Q; wenn /3 — ^ -\-fi2 auf Grund der ersten erzeugenden Operation, so ist (f® =\QfPd\(fid.
wenn /3 = Sft auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, so
ist ^)=©(Q(ft), QÖ»i + « Qft + fe + fW . . .j. DieSe Definition ist offenbar unabhangig von der Erzeugungsart von /3. Jedes OS® ist eine abgeschlossene ganze Punktspecies. Für jede kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl /3 ist Q((3) mit Q(1)(/3—1) identisch.
Die induktive Methode liefert unmittelbar den Beweis der beiden folgenden Satze:
Für jedes /3 ist Q(/3) «/* Teilspecies in OS® enthalten.
Für jedes /3 ist eine willkürliche in Q als Teilspecies enthaltene in sich dichte Punktspecies ebenfalls in Q(® als Téilspecies enthalten.
Wenn eine solche wohlgeordnete Ordinalzahl /3"q bekannt ist, dass OSi 0> perfekt ist, so heisst Q^'o) die finale Ableitung von Q.
Wenn eine Punktspecies sowohl eine finale Koharenz, wie eine finale Ableitung besitzt, so ist erstere in letzferer als Teilspecies enthalten, wie unmittelbar daraus folgt, dass die finale Koharenz in sich dicht ist. .
Wir sagen, dass die Punktmenge t eine Abbrechung erster Ordnung zulasst, wenn die zu t gehorige Wahl menge in solcher Weise in eine Menge von Punkten von (0)tt, nicht aber Punkten von fl-(l) angehörigen Wahlen, eine Menge von Punkten von tt(1) an'gehörigen Wahlen und eine überfiüssige Wahlmenge 'p (dies soll besagen, dass jeder Punkt von w mit einem von nicht zu p gehörenden Wahlen erzeugten Punkte von x zusammenfallt, wahrend jede auf eine Wahl von p folgencTe Wahl ebenfalls zu p gehort) zerlegt ist, dass (0)t mit einer von der ersten Wahlmenge erzeugten Punktmenge (0)x
LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DEITTEN.
15
Wir sagen, dass die katalogisier.te Punktspecies Q eine Katalogisierung erster Ordnung zulasst, wenn cr\, r'-n nur diejenigen Quadrate aus s'n fortzulassen, welche, ebensowenig wie die angrenzenden oder von ihnen teilweise überdeckten Quadrate A^, ein Quadrat von s'n+m in ihrem Innern enthalten.
'Wenn Q eine Katalogisierung erster Ordnung zulasst, so kann die Ableitung als Abschliessung einer katalogisierten Punktspecies
dargestellt werden. Man findet namlich eine entsprechende Quadratmenge tnw in der Menge aller Quadrate von *'n ganz oder teilweise überdeckenden Quadrate A^n.
Wenn Q eine isolierende Katalogisierung erster Ordnung zulasst, so lasst überdies die entsprechende Punktmenge SQ eine Abbrechung erster Ordnung zu. Das Verfahren welches die kvw unter den qvm und die kv unter den q, auswahlt, bestimmt namlich die k„{i) ausschliesslich unter den kv. Wenn wir weiter zu jedem qv noch ein viertes konzentrisches Quadrat qv"" konstruieren, dessen Seitenlange ff- der Seitenlange von qv betragt, und einé ein kv, nicht aber ein k„0)
Wenn m, .. und o^, r2,... solche Fundamentalreihen von nicht abnehmenden endlichen Zahlen sind, dass [j.n und enthalten sind, identisch.
Die Abschliessungen zweier in bezug auf einander katalogisierter Punktspecies besitzen gemeinsame Punkte oder nicht, je nachdem die entsprechende Quadratmenge t^3) ein Element besitzt oder nicht.
Eine Punktspecies Q heisst zusammenhdngend, wenn zu je zwei beliebig vorgegebenen Punkten i\ und P2 von Q für beliebiges n eine endliche Folge Px, P\, P'2,.. .P'k, P2 von Punkten von Q bestimmt werden kann, von denen je zwei aufeinanderfolgende in einem gemeinsamen Quadrate A„ enthalten sind.
l) Diese Quadratmenge braucht nicht jeden Punkt zu,enthalten, der sowohl in t'n wie in t"n enthalten ist; sie enthalt aber diejenigen Quadrate a^„, welche sowohl ein Quadrat (jgjvon wie ein Quadrat von s"n ganz oder teilweise überdecken. Jedes Quadrat von ®(*')i + i' ('n + i) ist im Innem eines Quadrates von £>(«'„, t'n) enthalten.
LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN.
19
Eine Species von Quadraten A heisst zusammenhdngend, wenn zu je zwei beliebig vorgegebenen Quadraten qx und q2 der Species eine endliche Folge qx, q\, q'2,. . .q'h, q2 von Quadraten der Species bestimmt werden kann, von denen je zwei aufeinanderfolgende einander teilweise überdecken.
Zu jedem grössten zusammenhangenden Bestandteile /3 der zu einer katalogisierten Punktspecies Q gêhörigen Quadratmenge tn lasst sich entweder ein solches m angeben, da.ss kein Quadrat von tn + m in Innern eines Quadrates von tn liegt, oder es lasst sich feststellen; dass für jedes positive m ein Quadrat von tn + m im Innern eines Quadrates von in liegt. Im ersteren Falie nennen wir /3* einen unwesenilichen, im letzteren einen wesentlichen zusammenhangenden Bestandteil von tn.
Der Zusammenhang einer katalogisierten Punktspecies Q ist deiEigenschaft aqui valent, dass für jedes n die entsprechende Quadratmenge tn nicht zwei wesentliche zusammenhangende Bestandteile aufweist und hieraus folgt unmittelbar'weiter, dass der Zusammenhang einer katalogisierten Punktspecies der Eigenschaft dquivalent ist, dass ihre Abschliessung nicht in zwei je wenigstens einen Punkt enthaltende, in bezug aufeinander katalogisierte Abschliessungen von katalogisierten Punktspecies zerlegt werden oder sich aus solchen zusammensetzen kann.
Eer Durchschnitt Bk") einer induziblen Fundamentalreihe E', B",. . . von zusammenhangenden Abschliessungen von katalogisierten Punktspecies ist ebenfalls zusammenhdngend. Wenn namlich irgend ein 4 mehr als einen wesentlichen zusammenhangenden Bestandteil enthielte, so könnte üKv nicht zusainmenhangënd sein. Weil mithin V - für jedes n nicht mehr als einen wesentlichen zusammenhangenden Bestandteil enthalt, so ist die Species jSH der für jedes n in tj-v") enthaltenen Punkte zusammenhangend.
Eine Punktspeoies Q heisst zusammenhdngend zwischen zwei ihrer Punkte Px und P2, wenn für beliebiges n eine endliche Folge Px, P\, P'2,. . .P'.k, P2 von Punkten von Q bestimmt werden kann, von denen je zwei aufeinanderfolgende in einem gemeinsamen Quadrate A(l enthalten sind.
Eine Species von Quadraten A heisst zusammenhdngend zwischen zwei in ihr enthaltenen Punkten 1\ und P2, wenn eine solche endliche Folge qv q\, q'2,. . .q'h, q2 von Quadraten der Species bestimmt werden kann, dass Px in qx und P2 in q2 enthalten ist, wahrend je zwei aufeinanderfolgende Quadrate der Folge einander teilweise überdecken.
Gr 2*
L0G1SCHEN SATZ VOM ATJSGESCHLOSSENEN DRITTEN.
23
die Ziegelquadrate von (22 her und definiëren die wesentlichen Ziegelquadrate-von (22 in analoger Weise, wie für ft. In dieser Weise fortfahrend, bestimmen wir der Reihe nach für jedes n zünachst die modiji'zierten Quadrate und sodann die Ziegelquadrate und wesentlichen Ziegelquadrate von ft. Die Menge vrj derjenigen Punkte, welche erzeugt werden, indem der Reihe nach für jedes n ein solches wesentliches Ziegelquadrat von ft, gewahlt wird, dass jedes dieser Quadrate im Innern des vorangehenden liegt, fallt mit I zusammen. Sei namlich die Quadratfolge qu q2,. . . ein Punkt P von I, so können wir eine möglichst kleine derartigé Zahl *, bestimmen, dass qni im Innern eines wesentlichen Ziegelquadrates a^ von ft liegt und vom Rande von at eine wenigstens T\ des Massstabes von betragende Entfernung besitzt. Sodann können wir eine möglichst kleine derartigé Zahl n2 bestimmen, dass q„ im Innern eines Wesentlichen Ziegelquadrates a2 von ft liegt und vom Rande von a2 eine wenigstens -\ des Massstabes von a2 betragende Entfernung besitzt. Indem wir in dieser 'Weise fortfahren und überdies der eindeutigen Bestimmtheit" wegen für jedes v die Koordinaten des Mittelpunktes von a„ möglichst gross wahlen, erzeugen wir eine Quadratfolge^, a2, a3,. . ., welche einen mit P zusammenfallenden Punkt von ir, darstellt.
Unter einer aussern Grenzspecies verstehen wir die Vereinigung A einer solchen Fundamentalreihe kA,k2,... von Komplementen von Bereichen ft, /32,. . ., wo kv = <£)(MH) Mv,,. . .) ist, dass jedes MV+HJ. ein Mvr als Teil enthalt. Wenn dabei jedes kv mit der Abschliessung einer katalogisierten Punktspecies identisch ist, so heisst Akonsolidiert. Gleichzeitig mit der aussern Grenzspecies A wird eine innere Grenzspecies 1= /32,. . .) definiert, welche wir das Komple¬
ment K{A) von A nennen werden. Ebenso wird A als das Komplement K{I) von I bezeichnet werden.
Es existiert kein Grund zu behaupten, dass die Vereinigung einer endlichen Menge von inneren Grenzspecies wiederum eine innere Grenzspecies oder die Vereinigung einer endlichen Menge von ausseren Grenzspecies wiederum eine aussere Grenzspecies, nicht einmal sogar, dass die Vereinigung einer endlichen Menge von Bereichkomplementen wiederum ein Bereichkomplement sei.
Sei t eine vollstandig abbrechbare Punktmenge. Wir dürfen annehmen, dass x uniform ist. Die Punktmenge ^(/3V) bezeichnen wir kurz mit^, die auf Grund von S. 12 Z. 19—17 v. u. mit bzw. [fi'*—7]k(7)| zusammenfallende zahlbare, örtlich indivldualisierte Punktmenge mit tt2 bzw. 7tt2. Zu jedem Punkte P eines Q0)x kann nach einem bestimmten Gesetze ein solches nP, ein solches
24
BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM
vP und ein solches ftP gefunden werden, das jedes von einer vP-ten Wahl von x(/3) erzeugte Quadrat entweder zu einem mit P zusammenfallenden Punkte gehort oder eine" Entfernung > 2~lip vom n,Aen Quadrate von P besitzt. Die Species der je in einem «P-ten bzw. (/?.,, -\- ?«)-ten Quadrate ^ bzw. i>qm±\ eines Punktes P von ?r2 enthaltenen Punkte bildet einen Bereich (2\ bzw. /3"m + 1. Die Species der je in einem Quadrate pqm + i eines. Punktes P von 7t2 enthaltenen Punkte bildet einen Bereich r/3',)1+1. Die Species der je in einem »-ten Quadrate eines Punktes von 7rt enthaltenen Punkte bildet einen Bereich ft„. Den Bereich (©(ft,,, ft'J bzw. • 1 ware, so würde ein messbares Bereichkomplement positiven Inhaltes existieren, das sowohl zu A'Q wie zu A"Q gehorte, von dem mithin ein willkürlicher Punkt einerseits zu Q gehorte, andererseits unmöglich zu Q gehören könnte. Aus diesem Widerspruche folgt also, dass °i' = i und °i" = 1—i ist..
Umgekehrt folgt aus der Definition der Messbarkeit in ihrer ursprünglichen Form unmittelbar: Wenn zu einer Punktspecies Q zwei derartige messbare aussere Grenzspecies A'n und A"Q der Inhalte i und 1—i existieren, dass ein willkürlicher Punkt von A'q zu Q gehort und ein willkürlicher Punkt von A"& unmöglich zu Q gehören kann, so ist Q messbar und besitzt den Inhalt i.
Seien XQ und 2Q zwei messbare Punktspecies. Sei 3a"v der Durchsqhnitt von und 2a"v, b'v eine solche zu 2dv gehorige und xa'v nicht berührende endliche Quadratmenge, dass die Differenz der
Inhalte von ©(.,«'„, 2dv) und 3a'v = &ba'v, b'v) weniger als i
betragt, 3jSv die Vereinigung von 1/8„ und 2/3„, 3kv das Komplement
von 3r3„. Alsdann ist der Inhalt 3iv von 3/3v kleiner als —— und
die Summe der Inhalte 3i'v und 3i"v von 3a's und 3a"v grösser als
1 , wahrend ein willkürlicher Punkt des Durchschnittes Qd'v
bzw. 3d"v von 3a\ bzw. 3«"„ mit 3kv zu ©dö, 2Q) gehort bzw. unmöglich zu <2>dQ, 2Q) gehören kann. Hieraus folgt auf Grund der Messbarkeitsdefinition iu ihrer ursprünglichen Form, dass auch ©dQ, 2Q) messbar ist. Mithin gilt der Satz:
logischen satz vom ausgeschlossenen dritten.
33
Inhalt mpi' von mpd' grösser als i —. Andererseits würde für mH' ~> i
in mQ ein messbares Bereichkomplement mit einem Inhalt grösser als i enthalten sein, was unmöglich ist. Mithin bilden für jedesp die Inhalte lpi', 2pi',. . . eine limitierte Folge, welche gleich i ist.
Hieraus folgt, dass für jedes p auch die Inhalte von ipd, 2pa',. . ., sowie die Inhalte von lpa", 2pa",. . . limitierte Folgen bilden, so dass zu jedem p ein solches mp und ein solcher messbarer Bereich pft'
mit einem Inhalt kleiner als ^ bestimmt werden kann, dass jeder
Punkt des Durchschnittes von mppa" mit dem Komplement pk" von pft' zu © van" gehort. Wenn wir weiter © vft mit pft
v>i,n>p+v v>1,n>p+v
und ©(''ft, pft') mit p/3 bezeichnen, so ist der Inhalt von pft kleiner
als ——7, der Inhalt von p/3 also kleiner als —^-5.
Weiter kann zu jedem p eine solche zu mtpd gehorige endliche Quadratmenge _"W0 bestimmt werden, dass die Differenz der
Inhalte von mtpd und Va' weniger als -—: betragt und ein will-
kürlicher Punkt des Durchschnittes von mpvdQ mit dem Komplement pk' von pft zu '"pQ gehort.
Nunmehr sind für aQ alle Messbarkeitsbedingungen erfüllt, denn für jedes ^7—2 sind ein solches "'ppa0', ein solches "'ppd' und ein solches p/3 bestimmt, dass ein willkürlicher Punkt des Durchschnittes von "Vpö!0' bzw. mppd' mit dem Komplemente pk von p/3 zu "Q gehort bzW. unmöglich zu "Q gehören kann, wahrend der Inhalt von p/3
kleiner als —— und die Summe der Inhalte von mppa0' und mPvd'
grösser als 1 ——^ ist. Wir sind also zu folgendem Résultat gelangt:
We?m F eine solche Fundamentalreihe von messbaren Punktspecies ist, dass die Inhalte der Vereinigungen ihrer Anfangssegmente eine limitierte Folge i bilden, so ist auch die Vereinigung von F messbar und ihr Inhalt gleich i.
In analoger Weise wird bewiesen:
Wenn F eine solche Fundamentalreihe von messbaren Punktspecies ist, dass die Inhalte der Durchschnitte ihrer Anfangssegmente eine limitierte Folge i bilden, so ist auch der Durchschnitt von F messbar und sein Inhalt gleich i.
■
62
DIE DIREKTE ANALYSIS ZUE NEUEREN
nicht mehr, da wohl Skalare in verschiedenen Punkten vergleichbar und zusammenzahlbar sind, höhere Gröszen aber nicht. (I 117) korrespondiert mit dem STOKEs'schen Satz im dreidimensionalen Raum. Für einen allgemeinen dreidimensionalen Raum ist dieser Satz zuerst bewiesen von Ricci. "*) Aus (133) laszt sich in einfacher Weise ein Satz ableiten, welcher Lorentz 2) seinen Betrachtungen zu Grunde gelegt hat. Nach» (I 57a), (I 68) und (133) ist namlich:
(136) j^HTn). e*rf« =—jn . (2Mie,)dcc =—jv.^HiV.eJch,
(a ® r
wahrend nach (I 1075):
(137) v . (2M1eA) = (vl2M>. e* — (vXe.)22I = (v^M) • e*.
da V X Ga nach (84) identisch Null ist. Es geht daraus der bewuszte Satz hervor:,
(138) - f (2M 111) . Ca da = — ƒ (V » 2M) • eA dr.
Die Integrale enthalten die Einheit eA und stellen also keine invarianten Gröszen dar.
Eigenschaften besonder er Orthogonalnetze.
Für jedes Orthogonalnetz gilt, wie oben gezeigt wurde:
(139) afl a,. = — a) akl.
Ist die Hyperkongruenz j überall normal auf eine Hyperftachenschaar, so kann für i, geschrieben werden
(140) - \j = q^p,
wo q und p Funktionen der xK sind. Es ist dann :
(141) vi = VgVp-^q^p
eine in allen Indizes k,h^j symmetrische Grösze, da V2;j symmetrisch ist und V p die Richtung von i, hat. Demzufolge ist:
(142) ifc ih 2 v | = i;i ifc 2 v i,..
oder:
(143) . «ft ajk = «fc ajh.
Sind samtliche Hyperkongruenzen eines Orthogonalnetzes flachennormal, so bildet das Netz ein Normalsystem. Wird zu den Kurven
: %
') 97.1.
2) 16.4 S. 1401.
RELATIVITATSTHEORIE.
63
und Hyperflachen einer flachennorma'len Hyperkongruenz eine Urvariable a?A gewahlt, so ist:
(144) eA' = q \ p , eA' "'• fÊ = 0 , ■lyé p. In derselben Weise wie oben wird dann gezeigt:
(145) a-f «a, == av aMJ. , fi, v ^ X, und ebenso■
(146) ; ^ ,
Sind samtliche Kurven einer Hyperkongruenz i geodatisch, so ist nach (42) r
(147) ' ak cc-, = — akj dj = 0.
Wird zu den Kurven einer geodatischen und zu einer bestimmten Hyperflache normalen Hyperkongruenz eine Urvariable xK gewahlt so dass x* — 0 die Gleichung der Hyperflache ist, so ist auf dieser Flache:
(148) = a™ a» + ö*= o -f- «* <Ö = V2 8* = o.
" ^ dx* Da aber die yA^, X^> auf der Hyperflache a>* = 0 Null sind, sind sie stets Null, und die Hyperflachen von x* sind daher überall normal auf die'gegebene Hyperkongruenz. Daraus folgt der Satz: Bilden die Parameter linien einer Urvariablen eine geodatische and normale Hyperkongruenz, und f allen die Parameter hyperflachen mit den normalen Hyperflachen dieser Hyperkongruenz zusammen, so bietben die Parameter hyperflachen erhalten, wenn man diese Urvariable durch die entlang der Parameterlinie von einer bestimmten Parameterhyperflache aus gemessene Bogen lange ersetzt. ")
a) Ist überdies ve'A = o, d.h. geht die Richtung der Tangente an einer A-Kurve durch geodatische Bewegung stets wieder in eine solche Richtung über, so ist:
eV e'v 2 Y e'A = e>K e', a v (a. eA>) a = afi aAv = o, und infolgedessen:
~T A — aAft «v + V aA> o. Das Linienelement laszt sich also schreiben: d«2 = *A2+s glivx*xv, in welcher
Formel p und » über alle Indizes auszer A zu summieren sind und ata von x* unabhangig ist. '
64
DIE DIEEKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN
Der Biemann-Christoffel'sche Affinor Gevist ein Vektor V als stetige ; Funktion der Urvariablen xK gegeben, so nennen wir die Aenderung dieses Vektors beim Fortsehreiten langs einer Kurve s, beurteilt von einem geodatisch mitbewegten Koordinatensystem aus, die geodatische Aenderung von V in Bezug auf s. Diese Aenderung von A bis B ist offenbar das Integral des geodatischen Differentials:
B :
w
A'
Ist s geschlossen, so sind im Allgemeinen die beiden zu den zwei verschiedenen möglichen Wegen von A nach B gêhörigen geodatir schen Aenderungen nicht gleich:
B ' B
(151) fdYT+fdY
Sind sie für irgend eine Wahl der Punkte A und B auf der Kurve gleich, so sind sie es für jede Wahl, und das Integral von dY über die geschlossene Kurve verschwindet. Verschwindet dieses f Integral für jeden Vektor V, so nennen wir die Kurve eindeutig orientiert. Jede geschlossene geodatische Linie auf einer Flache ist offenbar dieser Art. Wird durch eine geschlossene Kurve eine Flache gelegt, und das Flachenstück in beliebige Teile zerlegt, so ist die Kurve offenbar einde,utig orientiert, Wenn samtliche Begrenzungskurven der Flachenteile es sind.
Wir betrachten also zunachst ein Flachenelement mit den vier Eckpunkten x\ x* \ \ x\ xf 4- dt f + d.2 m x* -\-d0x\ X = a,. . . ., d. Das Integral von dy vom ersten bis zum dritten Eckpunkt ist über die eine Seite:
A V + do Y + d2 dt Y und über die andere Seite.-:
d.2 V + dt Y + di d2 Y Die beiden Endstellungen unterscheiden sich also um:
(152) D12 V = diK' d2x' 22V Ya) =
= ^x'<4x':(2v.a)(ii.Y)'0
- = di X X d.2 X' 2 K 1 Y ' ) = 2f2 K 1 Y der,
a) Nach (117).
b) Nach (120).
c) Nach (119) und (I 56).
68
die dieekte analysis zur neueren
Orthogonalnetz & i2, i3, i4, ausgebreitet, sodasz er mit einer 1, 2-Flache zusammenfallt. Beim Fortscbreiten entlang der Differentialstreche d$ dreht sich it in Bezug auf das geodatisch mitbewegte Bezugssystem, und die geodatische Aenderung von ix betragt:
(173) - d\x = ds1 V ir
■ Der Vektor d\ liegt im allgemeinen nicht im 1, 2-Büschel, seine Projektion auf die L, 2-Flachenrichtung hat aber die Richtung von i2 und ist gleich i2 multipliziert mit
(174) Jf. (fte1 vi1) = i2rfs2vi1.
Dieser Ausdruck stellt also die Projektion des Winkels zwischen \t und i, -f- d\{ auf der dar. Wir nennen diese Projektion die auf er projektierte geodatische Drehung bei der Verrückung dn. Von der naheren Wahl von U und L ist sie nur scheinbar abhangig. Denn für das gedrehte System i, -f- d% lasst sich nach (I 48) stets schreiben:
(175) i, -f di, = % + i,1 (av dep -f,w dP) ,j = l,..., 4,
worin 2V dep -j- 2W dip der Bivektor der infinitesimalen Drehung ist. Die projektierte geodatische Drehung ist dann gleich:
(176) i2. | h 1 (2V dep +-2W d$) | = (i2 X it)2 (2V d ©6* resultiert der bekannte Ausdruck für die Krümmung:
nft «> /;=i ,«'•=/"«'.,
4) v. = v + e,A^ -c) 2g * a' = a.
Mit jedem Wert von xe korrespondiert eine andere Mannigfaltigkeit X4 und die ghil, A, /* = «,... d, sind also als Punktionen von x" auf zu fassen. Die zu X4 bez. Y:< in Punkten von X4 gêhörigen RiEMANN-CuRisTOFPEL'schen Affinoren sirid nach (158):
(188) k = 2 j v (a.c) X v (b.e) ] (a X b)
(189) i' = 2 j y' (a'.c') X v' (b'.c') | (a' X b')
Die in X4 liegende Komponente von K' laszt sich in vier Teile zerlegen (vergl. (1875) und (187c)):
(190) abcd2cba4K' = 2 j v(a'.c')Xv (b'.c') J (a X b) =
= K -K2 f v {dece) X v (b.c), -f + v(a.c) X v (b'ece) + + v (dec'e) X v (b' 2 den eventuell vorhandenen Vektortensor im Allgemeinen eindeutig bestimmt, folgt der Beez'sche Satz, dasz ein Xn sich in einem euklidischen Yn+l, für »>2 im Allgemeinen nicht verbiegen laszt.
Setzen wir dagegen voraus, dasz die yAft, //. = «,...., d, von xe unabhangig sind, so wird 2h = 0, und Xs ist also euklidisch wenn Y5 euklidisch ist. Nur ein euklidischer Xn kann also in einem euklidischen Yn+l eine Bewegung ausführen, die in jedem Punkte senkrecht zu Xn gerichtet ist und bei der die Massbestimmung erhalten bleibt a).
a) Für n = 3 folgt daraus, dasz „der Raum" bei einem statischen Uravitationsproblem euklidisch ist, wenn keine Materie vorhanden ist. Serini') hat das Theorem bewiesen für diesen Spezialfall, bei welchem auch g'M von unabhangig wird.
') Vgl. z. B. 99.2 S. 602.
•) Vgl. z. B. 99.2 S. 603.
') 18. 5.
EELATIVITATSTHEOEIE.
83
der Welt innerhalb der Hyperflache co, auf welcher 3 X' Null wird, aufeinander abgewickelt werden und es besteht dann vollstandige Gleichheit. Die beschriebene Anderung von 2g,. 2g' und q ist also nur eine andere Art die virtuelle Verrückung der Materie zu beschreiben, und zwar als eine virtuelle Verrückung der Felder über — 3x' bei ruhender Materie.
Variation des Gravitationspotential ").
Die Variation sei-gegeben durch den Zuwachs 32g' des kontravarianten Fundamentaltensors. Das Differential dx.', die Weltlinien der Massen und der Ladung und das Potential q bleiben konstant. Der Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Gröszen stellt sich ein, und die Maszbestimmung andert sich. Da
(58) ^^ = lkd= „ ■ und:
(59) 2g'2g:=4j
ist:
(60) 3 (_ ff) = _ g 2g. 2 è 2g = g 2g 2 § 2g)j und infolgedessen:
(61) 3dr = 3 )/~g dx\ . . . da,4 = — i/2 2g 2 J 2g. ^
Für den speziellen Fall, dass 3 2g' eine virtuelle Verrückung des Gravitationsfeldes über — 3 x' vorstellt, geht dieser Ausdruck über in:
(63) '' | j dr. Zur Bestimmung des ersten Teiles bringen wir Podr in die Form:
(64) Podr = mds.
9 ,Da nach (55) und 06) "2g = -2g!JV12g ist und M von g unabhangig ist, folgt unter Berücksichtigung von (3) und (43):
o) Hilbert 15. 2. Einstein 16. 2; 16. 7 S. 43; 17. 1 S. 151. Lorentz 16 4 S 47015. 1, S. 1086; Fokker. 17. 2, S. 1072. . ' '
F 6*
84
DIE DIREETE ANALYSIS ZUE NEUEREN
) ' U)
= — V4r*(Hlll)22g' j2,
daher:
(71) 31, = — V2^{(iiiii)22g'| [mn)?J2g'| =
= — y2 /* [ 1 (m n)2 2g') m 11]2 tdr=_LX(h
2 K
bestimmen wir zunachst für den besonderen Fall, dasz d2g' eine virtuelle Verrückung des Gravitationsfeldes über —3x' darstellt. Es ist dann:
(76) 3K-=3x'i.vK Da aber nach (II 168):
(77) v (2g'12K) — 72 v K = v 1 (2g'12G) = v ? 2G = 0,
ist :
3 K= 2 J x"! {v ? (2g'? 2K) J =
(78) =2v!fgM2K!Jx')-22K2!2gM(Vu(lx,)| « = 2 v!(2g'12K1cJx') + 2K2<"2g'.
Der bei der Integration nichtverschwindende Teil von 3K ist
also in diesem speziellen Falie gleich 2|£ 2 3:2g'. Das namliche rilt,
wie in derselben Weise gezeigt wird, wenn 32g' die Form hat:
(79) j-2g> = __£(2g,iv) w Jx>j
worin e eine beliebige stetige Funktion des Ortes ist.
Zu irgend einer beliebigen Variation J2g' können nun aber in einem Gebiet, in welchem 2g', als Funktion des Ortes betrachtet, nur „gewöhnliche" Stellen aufweist, stets IQ Variationen 3,x' und 10 Ortsfunktionen £j,j = l, , 10 gefunden werden,'so dasz
(80) 32g' = — ^£jCg'i.v)^3jx'.
Unter diesen Voraussetzungeu gilt also allgemein, dasz der bei der Integration nicht verschwindende-Teil von 3 JC gleich 2K 2 3 2g' ist.
Man kann diese Tatsache noch in einer anderen Weise zum Ausdruck bringen. Da
(81) 3K= 3(2K22g') = 3*Ka.*g' -f2K 2 32g',
kann man sagen, dasz 32K 2 2g' derjenige Teil von 3 K ist, der bei der Integration verschwindet.
RELATIVITATSTHEORIE.
91
Auf diesen GrundlageU erhebt sich nun die neueste WEYi/sche Relativitatstheorie x). q wird mit dem elektromagnetischen Potentialvektor definiert. Aus (1095) ergiebt sich dann z.B. sofort die zweite MAxwELi/sehe Gleichung:
v* X v* X q *= v x v X q = o.
Bei einem Problem, welches bei geeigneter Wahl von cr rein mechanisch aufgefasst werden kann ist d*y = dy, bei Anderung von cr stellt sich aber ein elektromagnetisches Potential ein. Karakteristisch für die neue Theorie ist, dasz das geodatisch bewegte Bezugssystem beim durchlaufen einer geschlossen Kurze nicht nur seine Richtung sondern auch seine Grösze andert, da d*\- in (110) im Gegensatz zu d% im allgemeinen nicht mehr senkrecht zu \j ist.
^ Die erste Aufgabe der direkten Behandlung dieser neuesten Theorie ist die Erforschung der formalen Gesetze von d* und V*.
') 18. 7.
LITTERATUR-VEKZEICHNISZ.
1897. 1. Riccr G. Del teorema de Stokes in uno spazio qualunque a tre dimensioni ed in coordinate generali Atti de R. I. 'Ven. 25'. 2 (96—97) 1536—1539.
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2. Bianchi. Vorlesungen über Differentialgeometrie (99)
le Aufl. Dtsch. von M. Lukat.. 1901. 1. Riccr. G. und Levi Civita. T. 'Méthodes de calcul
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3. Lewis. G. N. On four dimensional vectoranalysis, and its application in electrical theóry. Proc. Am. Acad. 46 (10) 165—181.
LOGISCHEN SATZ TOM AUSGESCHLOSSENEN DEITTEN.
5
(2-te innere Appendix auf Grund dér folgenden Festsetzungen: M(0) ist identisch mit M; wenn M(0) eine innere Abbrechung erster Ordnung zulasst, so ist M(l) mit der innern Koharenz von M{0) identisch; wenn M((2) eine innere Abbrechung erster Ordnung zulasst, so ist {$)M mit der innern Appendix von M(/2) identisch; wenn eine willkürliche wohlgeordnete Ordinalzahl < /3 mit @ bezeichnet wird, so ist [@]M mit der Vereinigung aller <$)M identisch; wenn Z3 = Pi + /32 auf Grund der ersten erzeugenden Operation, und M eine innere Abbrechung ft-ter Ordnung und M{^) eine innere Abbrechnng /32-ter Ordnung zulasst, so sagen wir, dass Meine innere Abbrechung /3-ter Ordnung zulasst und bezeichnen [M^)] (/3„) mit wenn /3 = E /3„ auf Grund der zweiten erzeugenden Opera-
tion, und M((2t -f. . .-f für jedes » eine innere Abbrechung ft-ter Ordnung zulasst in solcher Weise, dass die Species der ungehemmten endlichen Wahlfolgen von M in die Species der M und [Pi\M> nicht aber M{^\ die Species dér M{^) und [/32] \M{^)\, nicht
aber -f- /32), und die Species der ©(JfQ^), -f /32)',
) angehörigen ungehemmten endlichen Wahlfolgen zerlegt ist
und ©(J/jft), J/fft -f /32), ... .J mit der Species der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge identisch ist, so sagen wir, dass M eine innere Abbrechung /3-ter Ordnung zulasst und bezeichnen ©{üf^), ^1 + • • • - | mit Jf(/3). Diese Definitionen sind offenbar unabhangig von der Erzeugungsart von /3. Wenn M eine innere Abbrechung @-ter Ordnung zulasst, so setzt M sich aus M((B) und [fi]M zusammen.
Wenn zwei Punktspecies Q und B die Eigenschaft besitzen, dass jeder Punkt von Q mit einem Punkte von B und jeder Punkt von B mit einem Punkte von Q zusammenfallt, so sagen wir, dass Q und B zusammen]"allen.
Wenn wir eine Punktspecies, in welcher nur Quadrate, deren Seitenlange unterhalb eines ge wissen Maximums bleibt, auftreten, als uniform bezeichnen, so leuchtet sofort ein, dass jede Punktspecies mit einer uniformen Punktspecies und jede Punktmenge mit einer uniformen Punktmenge zusammenfallt.
Wenn wir weiter eine Punktspecies, in welcher für jedes v die v-ten Quadrate von allen Punkten die gleiche Seitenlange besitzen, als gleichmdssig bezeichnen, so gilt der Satz, dass jede uniforme Punktspecies mit einer gleichmassigen Punktspecies und'jede uniforme Punktmenge mit einer gleichmassigen Punktmenge zusammenfallt. Sei namlich mv die maximale Seitenlange der von den v-ten Wahlen der
/
LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DEITTEN.
7
Ein Punkt von Q, der gleichzeitig Grenzpunkt von Q ist, heisst ein Kondensationspunkt von Q.
Wenn das Quadrat q des Punktes P kein Quadrat eines Punktes der Punktspecies Q in seinetn Innern enthalten kann, so heisst P ein von Q freier Punkt.
Wenn das Quadrat q des Punktes P die Eigenschaft besitzt, dass je zwei in q enthaltene Quadrate von Punkten von Q nicht ausserhalb voneinander liegen, so heisst P ein von Q unbearenzter Punkt. J
Ein zu Q gehöriger, aber von Q unbegrenzter Punkt heisst ein isolierter Punkt von Q.
Wenn jeder Punkt der Ebene von der geschrankten Punktmenge t unbegrenzt ist, so fallt tt mit einer solchen Punktmenge zusammen, zu deren Kardinalzahl h eine endliche Kardinalzahl k>h gefunden werden kann. Sei namlich K das Quadrat, in dem die Punktmenge t, welche wir als gleichmassig voraussetzen dürfen, enthalten ist. Wir betrachten die Menge p derjenigen Punkte, deren erstes Quadrat qt ein willkürliches von K ganz oder teilweise überdecktes Quadrat \, deren zweites Quadrat q2 ein willkürliches im Innern von q enthaltenes Quadrat A3, deren drittes Quadrat q3 ein willkürliches m q2 enthaltenes Quadrat A5 usw. ist. Wenn jeder Punkt'von p von t unbegrenzt. ist, so muss man bei der Erzeugung der Punkte von p nach einer endlichen Wahlfolge M fester Kardinalzahl m die Sicherhek erlangt haben, dass nach einer weiteren endlichen Wahlfolge der von M abhangigen Kardinalzahl mx ein Quadrat q erzeugt wird, innerhalb dessen je zwei Quadrate von .Punkten von *- nicht ausserhalb voneinander liegen. Mithin liegen, wenn wir das Maximum von mx mit m und m-\-m\ mit m' bezeichnen, je zwei im selben von JTganz oder teilweise überdeckten Quadrate A^ enthaltene Quadrate von Punkten von w nicht ausserhalb voneinander. Wir bestimmen nun eine solche Zahl v, dass die Seitenlange der von
den v-ten Wahlen von x erzeugten Quadrate q\< g^iat, lassen von
den Quadraten q\, (welche offenbar von einer zahlbaren Wahlspecies erzeugt werden), diejenigen fort, welche nicht ausserhalb aller vorhergehenden liegen, und weisen jedem der mit q\ zu bezeichnenden ubngen zu: erstens ein solches Quadrat A,m._1, dass zunachst die Mittelpunkte der beiden Quadrate einander möglichst nahe liegen wahrend im übrigen der Mittelpunkt des letzteren Quadrates möglichst grosse Koordinaten besitzt, so dass je zwei verschiedenen Quadraten qv zwei verschiedene Quadrate A,,,^ zugewiesen werden; zweitens denjenigen Punkt P" von x, der erhalten wird, indem wir nach
8
BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM
der g"v erzeugenden Wahl immer wieder den erstmöglichen Ziffernkomplex von £ wahlen. Die Kardinalzahl der Punkte P" bezeichnen wir mit h, die endliche Kardinalzahl der von K ganz oder teilweise überdeckten Quadrate A2m»_1 mit k. Alsdann ist h _h gefunden werden kann.
Es existiert kein Grund zu behaupten, dass diese Eigenschaft auch für andere geschrankte Punktmengen bzw. Punktspecies, für welche kein Grenzpunkt existieren kann, ihre Gültigkeit behalte. Ebenso ware die Aussage, dass jede unendliche geschrankte»Punktspecies notwendig einen Grenzpunkt besitzen müsse, vollstandig unberechtigt. ■
Eine, Punktspecies Q, von der jeder Pünkt Kondensationspunkt ist, heisst in sich dicht.
Wenn jeder Limespunkt der Punktspecies Q mit einem Punkte von Q zusammenfallt, so heisst Q abgeschlossen. Der Durchschnitt einer Species von abgeschlossenen ganzen Species ist wiederum eine abgeschlossen e ganze Species.
Eine Punktspecies, welche sowohl in sich dicht wie abgeschlossen ist, heisst perfekt.
Eine Punktspecies Q heisst im Bereiche /3 überall dicht, wenn in jedem von /3 vollstandig überdeckten Quadrate A ein Punkt von Q enthalten ist.
Eine Punktspecies Q heisst im Bereiche /3 nirgends dicht, wenn innerhalb jedes von /3 vollstandig überdeckten Quadrates A ein weiteres Quadrat A liegt, in dem kein Punkt von Q enthalten sein kann.
Die (offenbar ganze) Species der Limespunkte der Punktspecies Q heisst die Abschliessung von Q. Jeder Limespunkt der Abschliessung von Q gehort zur Abschliessung von Q. Eine abgeschlossène Punktspecies lasst sich auch als eine Punktspecies, deren Abschliessung und Erganzung identisch sind, definiëren.
Die (offenbar ganze) Species der Grenzpunkte der Punktspecies Q heisst die Ableitung von Q. Jeder Grenzpunkt der Abschliessung von Q, sowie jeder Limespunkt der Ableitung von Q ist ein Punkt
LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN.
11
oder [l]x, und x(l) mit einer von der zweiten Wahlmenge erzeugten Punktmenge x(l) zusammenfallt.
Wenn die Punktmenge x eine Abbrechung erster Ordnung zulasst, .so setzt sie sich aus (0)x und x(l) örtlich zusammen. Wenn wir namlich die von den nicht zu p gêhörigen Wahlen von x erzeugte Punktmenge mit r bezeichnen, so fallt jeder Punkt von x mit einem Punkte von r zusammen und muss deshalb, wenn er mit keinem Punkte von (0)x zusammenfallen kann, mit einem Punkte von x(l) zusammenfallen. Mithin kann kein Punkt von x existieren, für den sowohl mit einem Punkte von (0)x wie mit einem Punkte von x(l) Zusammenfallung unmöglich ware, d. h. für den Zusammenfallung mit einem Punkte von ©j(O)x), x(l)| unmöglich ware.
Weiter sagen wir, dass jede Punktmenge eine Abbrechung O-ter Ordnung zulasst und wenn /3 eine wohlgeordnete Ordinalzahl ist, so sagen wir, dass die Punktmenge x eine Abbrechung (2-ter Ordnung zulasst: erstens wenn -f /32 auf Grund der ersten erzeugenden Operation und x eine Abbrechung /3rter Ordnung und jüne Abbrechung /32-ter Ordnung zulasst, in welchem Falie wir k(/3;)!(/32) mit x(/3) und ©jföjï, [/32] mit'[jS]ï bezeichnen; zweitens wenn /3= S/3„ auf Grund der zweiten erzeueenden »=i ö
Operation und ?r (ft-f . . .-f ft^) für jedes * eine Abbrechung ft-ter Ordnung zulasst in solcher Weise dass die zu x gehorige Wahlmenge in eine Menge von Punkten von x und von [ftjx, nicht aber Punkten von x(/3x) angehörigen Wahlen, eine Menge von Punkten von x(/34) und von [/32] [x(/3x)J, nicht aber Punkten von
""(ft+ft) angehörigen Wahlen, , eine Menge von Punkten
von x(/3) angehörigen Wahlen und eine überflüssige Wahlmenge zerlegt ist, wahrend [/3Jx mit einer von der ersten Wahlmenge erzeugten Punktmenge [ftjr, [/32] (x(^)j jnit^einer von der zweiten Wahlmenge erzeugten Punktmenge [/32] . . ., und x(/3) mit
einer von der vorletzten Wahlmenge erzeugten Punktmenge x(/3) zusammenfallt, in welchem Falie wir ©jfjSJx, [fa -f-/32]^,... J mit [/3Jx bezeichnen.
F" /x„v -|- 4 und konstruieren zu einem willkürlichen ^Quadrate qv von t„v zwei konzentrische Quadrate q'v und q"v, deren Seitenlange | bzw. -| der Seitenlange von qv betragt. Alsdann können wir nach einem durch die -j- 5, bestimmen p = /*nv ~\~ ^ und ö"„p ~> pn,, ~\~ 6, konstruieren noch ein drittes mit qv konzentrisches Quadrat q"\, dessen Seitenlange \\ der Seitenlange von qv betragt und rechnen qv dann und nur dann zu den kv, wenn s„f teilweise innerhalb q"'y liegt.
Dieselbe Schlussweise liefert den Beweis des folgenden Satzes:
Wenn für jedes n eine endliche Menge sn von Quadraten A^ definiert ist in solcher Weise, dass jedes Quadrat von sn+1 im Innern eines Quadrates von sn enthalten ist und wie jedes Q}^ als Abschliessung einer katalogisierten Punktspecies dargeslellt werden.
Wenn Q eine isolierende Katalogisiefung (3-ter Ordnung zulasst, so lasst überdies die entsprechende Punktmenge 8Q eine Abbrechung
(3-ter Ordnung zu. -Wenn namlich (3 = ±(3V auf Grund der zweiten
erzeugenden Operation, wahrend jedem n ein solches 3-„*entspricht, dass ,„(ft + ••■ + %„+für jedes positive mit ■ ■ • + 41 identisch ist und v|/„ die grössere der beiden Zahlen und S-„ darstellt so ist die Menge der Quadrate + + Mr jedes positive
f* mit der Menge der Quadrate k^1 + ■ ■ • + fy,) identisch.
Es kann vorkommen, dass eine katalogisierte Punktmenge x eine vollstandige Abbrechung zulasst, ohne dass für eine mit ihrer Abschliessung zusammenfallende Punktmenge dasselbe zutrifft.'Sei z. B. cr eine solche auf einem Liniensegment / der X-Axe liegende, katalogisierte und abgeschlossen e Punktmenge, dass, keine vollstandige Abbrechung einer mit cr zusammenfallenden Punktmenge existiert, und tt die Menge der Mitten der oberen der X-Axe parallelen Seiten der Quadrate der zu cr gêhörigen Quadratmengen sn. Alsdann ist x katalogisiert und lasst eine vollstandige Abbrechung zu; eine mit ihrer Abschliessung @(o-, x) zusammenfailende Punktmenge lasst aber keine vollstandige. Abbrechung zu. Umgekehrt kann es vorkommeil, dass die zu einer katalogisierten Punktmenge x gehorige Punktmenge 8„ eine vollstandige Abbrechung zulasst, ohne dass für eine mit x zusammenfallende Punktmenge dasselbe zutrifft. Sei z. B. cr eine solche auf einem Liniensegment / der X-Axe liegende Punktmenge, dass keine vollstandige Abbrechung einer mit cr zusammenfallenden Punktmenge existiert, und p die Menge der Mitten deioberen der X-Axe parallelen Seiten derjenigen Quadrate A, deren ' Mittelpunkt auf / liegt. Alsdann fajrt dass y», im Innern eines Ziegelquadrates a2 zweiter Ordnung * von (2 liegt und vom Rande von a2 eine wenigstens | des Massstabes von a2 betragende Entfernung besitzt. Indem wir in dieser Weise fortfahren und überdies der eindeutigen Bestimmtheit wegen für jedes v die Koordinaten des Mittelpunktes von av möglichst gross wahlen, erzeugen wir eine Quadratfolge au a2,. . ., welche einen mit P zusammenfallenden Punkt voli darstellt.'
Sei H ein willkürliches Quadrat ^. Der Einfachheit halber wollen wir im weiteren je zwei Quadrate k der gleichen Seitenlange wie E, samt den zu ihnen gêhörigen Punkten der Ebene, deren rechtwinklige Cartesische Koordinaten endliche Dualbrüche sind, ihrer Kongruenz entsprechend identifiziert denken, worin, weil die von uns betrachteten Punktspecies als geschrankt vorausgesetzt werden, keinerlei Beschrankung liegt.
Sdien k', k" , x!",. . . die Quadrate des Bereichs (2. Sei /„ das
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BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE üNABHANGIG VOM
Minimam der Seitenlangen von x', x",. . . x^ Und Mv die Mènge derjenigen Teilquadrate von E der Seitenlange /„, welche von keinem der Quadrate x', x",. . . x^ überdeckt werden. Die Species der fiir iedes v zu M, gehörigen Punkte bildet eine abgeschlossene ganze Species k — X(/3), welche wir das Komplement von /3 nennen werden. Ebenso werden wir /3 als das Komplement K(k) von k bezeichnen. Wenn wir die Species der Punkte der Bbene kurz als E bezeichnen, so sind /3 und k Komplemen tarspecies voneinander in E.
Wenn X(/3) mit einer katalogisierten Punktspecies zusammenfallt, so nennen wir /3 komplementar katalogisiert. Insbesbndere ist also iedes Gebiet ein komplementar katalogisierter Bereich.
Die Vereinigung einer endliclven Menge some einer Fundamentalreihe von Bereichen ist wiederum ein Bereich.
Die endliche Bereichmenge B heisst durchsichtig, erstens wenn ein Quadrat x angegeben werden kann, das von jedem Elemente von ' B überdeckt vvird, zioeitens wenn kein Quadrat x existieren kann, das von jedem Elemente von B überdeckt wird.
Der Durchschnitt einer durchsichligen endlichen Menge von Bereichen fallt enhoeder fort, oder ist wiederum ein Bereich.
Unter einer innern Grenzspecies verstehen wir den Durchschnitt J einer Fundamentalreihe /32,. . . von Bereichen. Wenn I wenigstens einen Punkt enthalt, so dürfen wir annehmen, dass jedes Quadrat von /3v+1 von /3v überdeckt wird.
Jede mit einer katalogisierten Punktspecies susammenfoliënde innere Grenzspecies fallt mit einer Punkimenge zusammen. Urn dies zu beweisen, konstruieren wir isff der oben angegebenen Weise die Ziegelquadrate von /3a und zu einem willkürlichen Ziegelquadr'ate ql von /3t zwei solche konzentrische Quadrate q\ und q\, dass die Entfernung des Randes von q\ bzw. q\ vom Rande von ql} ^ bzw. yL- des Massstabes von q^ betragt. Alsdann können wir nach einem bestimmten Verfahren mit Sicherheit feststellen, entweder dass alle P\inkte von I ausserhalb q\ liegen, oder dass zu I in q'\ enthaltene Punkte gehörert. Im ersteren Falie bezeichnen wir qt als unwesentliches, im letzteren Falie als wesentliches Ziegelquadrat von fa. Sodann zeïlegen wir die Quadrate von /32 in solcher Weise in als modifizierte Quadrate von fl2 zu bezeichnen de, von keinem Ziegelquadrate von & zerlegte Quadrate x, dass die Seitenlangen der innerhalb eines willkürlichen Ziegelquadrates % von /3t liegenden modifizierten 'Quadrate von /32 höchstens ^ des Massstabes von st betragen, im übrigen aber möglichst gross sind. Aus den modifizierten Quadraten von /32 leiten wir in der oben angegebenen Weise
LÓGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN.
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in sich dichte innere Grenzspecies. Sei q ein Quadrat eines Punktes P von I. Alsdann ist innerhalb q ein in ft enthaltenes Quadrat z von P bestiinmt*. innerhalb z zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate qQ und ^ von Punkten P0 und Pt von I, innerhalb jedes qv (v = 0, 1) ein in ft enthaltenes Quadrat zv von Pv, innerhalb jedes zv zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate qv0 und qvl von Punkten Pv0 und Pn von ƒ, innerhalb jedes qyfl(v,fjL = Q,\) ein in ft enthaltenes Quadrat zvfl von Pv/i, usw. Die ,Menge der Quadrate zVi. . . v, (as eine willkürliche ganze positive Zahl, jedes v für jedes m und jedes v zu Mm(") gehort und dürfen weiter annehmen, dass [*,n+AW —■ iir^Y\
<; — für jedes m, jedes v < m und jedes positive A. Wir bezeichnen
das vereinigende Bereichkomplement ©(Z^M, D2W,...) von k', k",. . .k(v) mit /<(") und nehmen an, dass die Inhalte I±, I2,. . . von h', h",. . . eine limitierte Folge bilden. Weiter verstehen wir unter N„y) eine nach irgend einem Gesetz für jedes m und jedes v bestimmte endliche Quadratmenge, welche zu Mm(") gehort und LJy-^ nicht berührt, wahrend die Differenz der Inhalte von ZmW und ©(Z,,/"-1),
Nnjy)) weniger als ^ betragt und der Durchschnitt von 7Vrm(") und
MIH+i(v) für jedes m und jedes v zu /V^1+ïW gehort. "Wenn wir den Durchschnitt von 'Nm(') und kiv) mit pm(v) und die Vereinigung von Pm> P'm>- ■ •Pm™'* mit y(m) bezeichnen, so sind Ax = ©(/*', h",. . .) und. A2 = ©(ƒ, y",. . .) zwei inhaltsgleiche 'aussere Grenzspecies, von denen die erstere, welche die vereinigende aussere Grenzspecies der Fundamentalreihe k', Tc',. . . genannt wird, die Vereinigung von k', k",... als Teilspecies enthalt und die letztere in der Vereinigung von k', k",... als Teilspecies enthalten ist. D. h. wir haben bewiesen:
Die Vereinigung einer Fundamentalreihe F von messbaren Bereichkomplementen, welche die Fhgenschaft besitzt, dass die Inhalte der vereinigenden Bereichkomplemente ihrer Anfangssegmente eine limitierte Folge bilden, enthalt eine mit der vereinigenden aussern Grenzspecies von F inhaltsgleiche aussere Grenzspecies.
Eine Fundamentalreihe F von ausseren Grenzspecies bestimmt eine Doppelfolge von Bereichkomplementen. Wenn wir diese Doppelfolge als eine einfache Fundamentalreihe lesen, so ist einerseits die Definition der vereinigenden aussern Grenzspecies von F ohne weiteres klar, andererseits lasst der vorstehende Satz sich unmittelbar wie folgt erweitern:
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BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM
Die Vereinigung einer endlichen Zahl von messbaren Punktspecies ist wiederum eine messbare Punktspecies. In analoger Weise wird bewiesen:
Der Durchschnitt einer endlichen Zahl von messharen Punktspecies ist wiederum eine messbare Punktspecies.
Im Falie der Vereinigung zweier elementefremder messbarer Punktspecies XQ und 2Q kann der Inhalt des Durchschnittes von und
/ . 1 N W i
0a v nicht grösser als , mithin „*'» nicht kleiner als A\ -I- ai'
2 ° 2V_1 21,-2
sein. Weil somit 3i\, 3i'2,. . . und A\ -j- ,z'2 -)- 2/„,. . . gleiche
limitierte Folgen'sind, so besteht der Satz:
Der Inhalt der Vereinigung einer endlichen Zahl von elemente-
fremden messbaren Punktspecies Q', Q",. . . ist gleich der Summe
der Inhalte von Q', Q",. . . Oj-n\
"lm Falie des Durchschnittes von 1Q und 2Q = C^T), wo Teine
messbare Teilspecies von ,Q ist, können wir dafür sorgen, dass jeder
Punkt von 2d'\ zu T gehort. Als dannkann der Inhalt des nicht von
jö'v überdeckten Teiles von 2«"„ nicht grösser als p mithin 3i'v nicht
grösser als ,(n — j^Vd—-— und nicht kleiner als A\ —2i"v sein. Hier2
aus folgt, dass 3i\, 3i'2,. . . und A\— 2i'\, A'2 — 2i"9,. . . gleiche limitierte Folgen sind. Wenn wir mithin die Species derjenigen Punkte von tQ, welche unmöglich zu T gehören können; als die Differenz von tQ und T bezeichnen, so besteht die Eigenschaft:
Wenn die messbare Punktspecies Q" eine Teilspecies der messbaren Punktspecies Q' ist, so ist auch die Differenz von Q' und Q' messbar und ihr Inhalt gleich der Differenz der Inhalte von Q' und Q":
Sei ,Q, 2Q,. . . eine solche Fundamentalreihe von messbaren Punktspecies, dass die Inhalte H, 2i, %. . . von iQ = iQ, ^Q — ^^Q, 2Q)> 3Q = ©dQ, 2Q, 3Q),. . . eine limitierte Folge i bilden. Wir bezeichnen ©GQ, 2Q,. . .) mit "Q, die Vereinigung derjenigen „«'„, für welche v — 1, 2,. . . m und n = p -\~ v, p v -\- l,. . . p -f- v -j- m — 1, mit mpd, den Durchschnitt derjenigen yan", für welche v = 1,- 2,. . . m und n = p -\- v, p ~\~ v -\- \,. . . p -\- v -f- in — 1, mit mpa", das vereinigende Bereichkomplement derjenigen vd'H, für welche v = 1, 2,. . . m und" n = p-\- v,. . .
p -f- v -f- m — 1, mit mpd'. Wenn mi > i —' ^—— und r 1 1 2^-f-1
p~\-ui^fjt, -\- 2, so ist der Tnhalt des vereinigenden Bereichkom-
plementes von id'p+m, 2d'p+»i+i> ■ • ■ md'P+2m—i> also erst recht der
Berichtigungen zum ersten Teile.
S. 3, Z. 19 v. ü.: statt „für jedes n" lies „für jedes n > 1" S. 3, Z. 15 v. u.: statt „von der Menge" lies „von einer unbegrenzten Wahlfolge" S. 5, Z. 20 v. u.: statt „eines gewissen" lies „eines gewissen
eventuell foTtfallenden" S. 8, Z. 10: statt „von Quadraten" lies „von einander nicht
überdeckenden Quadraten" S. 34, Z. 9 v. u.: statt „>" lies „> (und gleichzeitig <)" S. 40, Z. 12 v. u : statt „>" lies „> (und gleichzeitig <)"