is toegevoegd aan uw favorieten.

Terug naar resultaten

Leerboek der stereometrie

met opgaven
-
1901

Permanente URL

Titel

Pagina

Gebruiksvoorwaarden: Auteursrechtelijk beschermd. Op dit object rust auteursrecht.
Titel: Leerboek der stereometrie
Ondertitel: met opgaven
Deel: -
Auteur: Kors, Jan
Jaar van uitgave: 1901
Drukker/Uitgever: Noordhoff
PPN: 407786643
Taal: Nederlands
Omvang: 92 p
Herkomst: Universiteit van Amsterdam (MM01B-003597 - UBM
Bron metadata: OPC

Geen zoekvraag opgegeven
- Ga naar paginanummer (totaal 104 pagina's) / 104
Auteursrechtelijk beschermd. Op dit object rust auteursrecht.
Permanente URL
Titel

Pagina

Gebruiksvoorwaarden

Auteursrechtelijk beschermd. Op dit object rust auteursrecht.

Titel

Leerboek der stereometrie

Ondertitel

met opgaven

Deel

-

Auteur

Kors, Jan

Jaar van uitgave

1901

Drukker/Uitgever

Noordhoff

PPN

407786643

Taal

Nederlands

Omvang

92 p

Herkomst

Universiteit van Amsterdam (MM01B-003597 - UBM

Bron metadata

OPC

■ < » \f*sS tfv ■ • ; ^ \ V V> S^ÈT 95 r-rotfREN. , si , j\ M 1 ■ , r. *\J 1 V N, X 5 ^ » vJ T. NCORÖHOVF. — 1901. — GRONINGEN. J ^ } BESCHRIJVENDE MEETKUNDE, DOOR Dr. j. kors, Leeraar aan de R. H. B. S. te Groningen. Tekst met afzonderlijken Atlas, met 98 figuren. Eerste deel. — Tweede herziene druk. Prijs ƒ 1,50. BEOORDEELINGEN: ,In dit eerste deel worden de beginselen duidelijk verklaard, de verschillende standen vun rechte lijnen en platte vlakken behoorlijk toegelicht, het aannemen van nieuwe projectie vlakken en het veranderen van stand wordt helder uiteengezet, en de behandeling der leerstof voortgezet tot en met den drievlakkenhoek en de snijding van lichamen door vlakken en lipen. De épures zijn zeer net en duidelijk; teekenaar en uitgever komt daarvoor alle lof toe. Een uitnemende collectie vraagstukken in den tekst ter verwerking van het verklaarde en aan het slot tot herhaling van het geleerde, dat alles maakt het boek tot eene aanwinst voor het onderwijs." (Ons Recht.) „Deze Beschrijvende Meetkunde is weder gekenmerkt door de bondige, sobere zaakrijkheid, die allen geschriften van dezen schrijver zoozeer eigen is. Wij achten die eene groote aanbeveling, daar de mondelinge toelichting in de lessen zelve toch hoofdzaak blijft en juist de soberheid de herhaling en het overzicht zoo vergemakkelijkt. Gaarne vestigen wij op dezen tweeden druk de aandacht van belanghebbenden." (Chr. Schoolblad.) Voor de studie der beschrijvende meetkunde zouden we inderdaad geene betere handleiding weten te noemen dan dit uitstekend werk van Dr. Kors. De uitvoering is ook keurig net en duidelijk." (Chr. School.) „Men kent de innerlijke waarde van dit werk uit den eersten druk; wat het uiterlijk betreft, is deze tweede al even mooi uitgevoerd; tekst en atlas beide in groot octavo formaat op zwaar papier gedrukt." (Schoolblad.) Wij wenschen den schrijver toe, dat spoedig een Be druk zal blijken noodig te zijn." {Het Onderwijs.) Uitgave van P. NOORDHOFF te Groningen. vg » i >J f ri h M^U LflERBOEK > vH 1 ? /'fvf" v\? l\vk ' \ " '' C' A> DER ... A| ^ \\ ! ^ 'Oj %P^y V. ;] j M STEREOMETRIE fsl^vJ "T f OPGAVEN J v j T j * ' .V "•'. .1 'i V fes**, r*a i >K \ Ui li 1.1® ■ /3 ^ i J m fflw N ^eraon^rtn tle "/• " iurgAs^chool te Groningen. ^ -c v 4 > \i' U n k tw kïï r^S \ > ''3 O ^ ? , 1 . N5 I i i \v$ te ' ft $ * \ S$ ; „ \\ y ' ? \ S^ET 95 FTGuTREPC. ^ JM tx 5 X 1 KJ ' K Hs X " JvM > 4 V ^P. {SpORÈHOlF. — 1901. — GRONINGEN. § 3 H I INHOUD. Bldz. Stereometrie i • Algemeene Bepalingen i. A. Figuren in de ruimte, die geen deel der ruimte geheel begrenzen 1 • I. Een plat vlak en eene of meer rechte lijnen ... i. II. Projectiën van punten en lijnen op lijnen en vlakken. 10. III. Twee vlakken 13- IV. Drie vlakken 20. a. De drie vlakken zijn twee aan twee en dus onderling evenwijdig 20. b. Twee vlakken zijn evenwijdig en worden gesneden door het derde vlak 21. c. De drie vlakken hebben ééne gemeenschappelijke snijlijn 21 • d. De drie vlakken snijden elkaar volgens drie evenwijdige lijnen 21 • e. Drie vlakken snijden elkaar in één punt .... 22. V. Meer dan drie vlakken, die elkaar in één punt snijden. 30. B. Figuren in de ruimte, die een deel der ruimte geheel begrenzen 32- I. Veelvlakkken • • 32- a. Rangschikking en algemeene eigenschappen ... 32. 1. Het viervlak 32- 2. Veelvlakken in 't algemeen 37- 3. Enkele hoofdgroepen. Prismoïde. Obelisk. Prisma. Piramide 39- Het prisma 4°- De piramide . • 43 ■ b. Inhoud van veelvlakken 45- 1. Het prisma 45- 2. De piramide 5°* Bid'- 3. De prismoïde 5®* II. Lichamen door platte en gebogen vlakken, of alleen door gebogen vlakken begrensd 57* Eenige hoofdgroepen. 1. De cilinder 57* 2. De kegel. . . 61. 3. De bol 65- 4. Omwentelingslichamen 68. 5. Figuren op den bol 76- III. Regelmatige lichamen 82. STEREOMETRIE. Algemeene bepalingen. § 1. Terwijl de Planimetrie zich bepaalt tot figuren, waarvan alle deelen in 't zelfde platte vlak liggen, zonder dat men daarbij op den stand van dit vlak let, behandelt de Stereometrie of Lichaamsmeting figuren , waarvan alle deelen niet in 't zelfde platte vlak liggen. Zulke figuren noemt men figuren in de ruimte. Dit deel der Meetkunde heet daarom ook wel Meetkunde der ruimte. Spreekt men dus in de Stereometrie van een plat vlak, dan wordt daarbij in 't algemeen ook gelet op den stand van dat vlak in de ruimte of op zijn stand ten opzichte van andere deelen der figuur. De figuren, wier eigenschappen in de Stereometrie behandeld worden, kan men in twee hoofdgroepen verdeelen, n.1. die, welke geen deel der ruimte geheel begrenzen, en die, waarbij dat wel 't geval is. A. Figuren in de ruimte, die geen deel der ruimte geheel begrenzen. I. Een plat vlak en een of meer rechte lijnen. § 2. Een plat vlak is, zooals reeds in de Planimetrie is gezegd, bepaald öf door drie punten, die niet in eene rechte lijn liggen, öf door eene lijn en een punt buiten die lijn, öf door twee elkaar snijdende lijnen, öf door twee evenwijdige lijnen. Elk plat vlak, naar alle zijden onbegrensd, verdeelt de onbegrensde ruimte in twee deelen. Een punt buiten het platte vlak ligt dus in een van deze deelen. Bepaling. Als van twee punten 't eene in het eene deel, 'tandere Kors , Stereometrie. I dacht, wordt voorgesteld door eene gesloten lijn in dat vlak gelegen. Men wijst het vlak aan öf door ééne letter öf door twee of meer letters bij die gesloten lijn geplaatst. Zoo wordt het vlak in fig. i aangewezen door de letter V en spreekt men van het vlak V. We nemen nu aan, dat het punt A in dit vlak ligt, en dat B en C aan weerszijden van dit vlak liggen. in het andere deel der ruimte ligt, zegt men, dat die punten aan 'Meerszijden van dit vlak liggen. Elk vlak J), ook als het naar alle zijden onbegrensd wordt ge- 4} 3. Grondeigenschap. Eene lijn, die twee punten aan weerszijden van een vlak gelegen verbindt, heeft één punt met dit vlak gemeen. Dus zal (fig. i) de lijn, die de punten B en C verbindt, met V één punt, dat we door D aanwijzen, gemeen hebben. Eigenschap. Een rechte lijn, die twee punten aan weerszijden van een plat vlak verbindt, kan niet meer dan één punt met dat vlak gemeen hebben. Bewijs. Had die lijn nog een tweede punt met dat vlak gemeen, dan zou zij geheel in dat vlak liggen, strijdig met de onderstelling. bepalingen. Van een vlak en eene lijn , die één punt gemeen hebben, zegt men, dat ze elkaar snijden. Het punt, dat ze gemeen hebben, heet snijpunt van lijn en vlak. § 4. Eigenschap. Als tivee platte vlakken, die niet samenvallen , één punt gemeen hebben, hebben ze ook eene rechte lijn gemeen, die door dit punt gaat. Bewijs (fig. 2). Hebben de vlakken V en V' 't punt P gemeen , trekt men in V' eene rechte lijn AP en daarna door A en een punt B in V', zoodat A en B aan weerszijden van i) Door de woorden vlak en lijn worden voortaan een plat vlak en eene rechte lijn aangewezen. Wordt een gebogen vlak of een kromme bedoeld, dan zal dit er uitdrukkelijk bij vermeld worden. V liggen en B niet in AP ligt, de lijn AB, zoo zal deze laatste V snijden in een punt Q buiten P. De rechte lijn PQ ligt dan in beide vlakken. Eigenschap. Twee vlakken, die niet samenvallen, kunnen buiten eene rechte lijn geen punt gemeen hebben. Bewijs. Hadden beide vlakken buiten die lijn nog een punt gemeen , dan zouden ze samenvallen , strijdig met de onderstelling. In figuren in de ruimte worden lijnen, die door andere deelen der figuur voor 't oog bedekt worden, door gestippelde lijnen aangewezen. BEPALINGEN. Van twee vlakken, die eene lijn gemeen hebben, zegt men, dat se elkaar snijden. De lijn, die ze gemeen hebben, heet snijlijn der beide vlakken. $ 5. Twee rechte lijnen kunnen drie verschillende standen ten opzichte van elkaar innemen. Ze zijn öf evenwijdig, of ze snijden elkaar öf ze liggen niet in 't zelfde vlak. Bepaling. Twee lijnen, dieniet in 't zelfde vlak liggen , heeten elkaar kruisende lijnen. Dus zijn AB en CD (fig. 3) elkaar kruisende lijnen. $ 6. Eigenschap. Door een punt buiten eene lijn kan men slechts ééne lijn trekken evenwijdig aan de ecrst- F'g- 3. genoemde. Bewijs. Zij (fig. 4) a de gegeven lijn en P 't gegeven punt, Han k',in mm pph vla Ir hrpno-pn door a en P en slechts één vlak (§ 2). Zij V dit vlak. In dit vlak kan men door P eene lijn b trekken evenwijdig aan a, en slechts ééne lijn. § 7. Eigenschap. Neemt men in een vlak eene lijn aan en een punt buiten die lijn en ook in dit vlak, dan zal de lijn door dat punt evenwijdig getrokken aan die lijn geheel in dit vlak liggen. Bewijs. Liggen (fig. 4) a en P in 't vlak V en lag b door P evenwijdig aan a getrokken niet in dit vlak, dan zouden a en b niet in 't zelfde vlak liggen en elkaar kruisen, strijdig met de onderstelling, dat a U b is. Daar nu b een punt met 't vlak V gemeen heeft en 't vlak niet kan snijden, moet b in V liggen. 1* § 8. Eene lijn kan ten opzichte van een vlak drie verschillende standen hebben: öf de lijn ligt in het vlak, öf ze snijdt het vlak, öf ze is evenwijdig aan 't vlak. Wanneer eene lijn twee punten met het vlak gemeen heeft, ligt zij geheel in het vlak (zie Planimetrie). Heeft eene lijn één punt met het vlak gemeen, dan snijden zij elkaar 3). BEPALING. Heeft de lijn geen punt met het vlak gemeen, hoever ook de lijn verlengd en hoever het vlak uitgebreid wordt, dan heet de lijn evenwijdig aan het vlak. eigenschap. Eene lijn is evenwijdig aan een vlak, als ze evenwijdig is aan eene lijn in dit vlak. Bewijs. Is (fig. 5) AB een lijn in 't vlak V en PQ // AB en ïz ,l-,., i:„ .1 /> constructie. Door een punt buiten een vlak eene lijn te trekken evenwijdig aan dit vlak. Zij (fig. 5) P het gegeven punt buiten het vlak V. Neemt men in V eene willekeurige lijn AB aan en brengt men een vlak door P en AB, het vlak V', en in V' door P de lijn PQ // AB, zoo is PQ // V. Daar men in een vlak een onbepaald groot aantal lijnen kan aannemen, zal men door P ook een onbepaald groot aantal lijnen kunnen trekken evenwijdig aan V. 1. Door eene lijn een vlak te brengen evenwijdig aan eene andere lijn, die de eerste kruist. 2. Door een punt een vlak te brengen evenwijdig aan twee elkaar snijdende of elkaar kruisende lijnen. 3. Eene rechte lijn te trekken, die twee elkaar kruisende lijnen snijdt, als die lijn moet gaan door een gegeven punt. 4. Is een lijn evenwijdig aan een vlak, en brengt men door mei 111 v, aan liggen en PQ in eenzelfde vlak V . Nu kan PQ 't vlak 1' niet snijden in een punt van AB, omdat PQ // AB, en ook niet in een punt buiten AB, omdat dan PQ en AB niet in 't zelfde vlak V' zouden liggen, en dus elkaar zouden kruisen. Dus is PQH 1'. opgave n. de lijn een vlak, dat het eerste snijdt, dan is de snijlijn evenwijdig aan de eerste lijn. Bewijs dit. 5. Als gegeven zijn een punt, eene lijn en een vlak evenwijdig aan die lijn, vraagt men door dit punt eene lijn te trekken, die de gegeven lijn en 't gegeven vlak snijdt, zoo dat liet tusschen beide gelegen deel een gegeven lengte heeft. $ 9. eigenschap. Eene lijn, die een vlak snijdt en loodrecht staat op twee lijnen in dat vlak door dat snijpunt, staat loodrecht op elke lijn door dat punt in dat vlak getrokken. Gegeven (fig. 6): BC, BD en BE in 't vlak PQ. AB ± BC, AB x BD. Te bewijzen: AB j_ BE, als BE eene willekeurige door B in dit vlak getrokken lijn is. Bewijs. Verleng AB naar de andere zijde van 'tvlak, zoodat BF ■- AB is. Trek CD, die BE snijdt in E. Trek vervolgens AC, AD, AE en FC, FD, FE. Dan is A ABC = a FBC en dus AC — FC A ABD = A FBI) „ „ AJ) = FD. Dus is A ACD = A FCD „ „ [_ ACD = (_ FCD, •' " A ACE = A FCE „ „ AE = FE, „ A ABE = A FBD en dus L ABE = L FBE — 90°. Bepaling. Eene lijn heet loodrecht op een vlak, als ze loodrecht is op elke lijn in dat vlak door haar voetpunt getrokken. Eigenschap. Als uit een puilt in eene lijn loodlijnen op die lijn in drie verschillende vlakken zijn opgericht, dan liggen die loodlijnen in één vlak. Gegeven (fig. 7): PC, PD en PE loodrecht op AB. Te bewijzen: PC, PD en PE liggen in één vlak. Bewijs. Brengt men door PC en PD een vlak V, dan moet bewezen worden, dat PE in dat vlak lio-f Lag PE niet in V en bracht men door AB en EP een vlak V', dan zou dit vlak 't vlak V snijden volgens eene lijn E'P, die volgens de vorige eigenschap loodrecht zou zijn op AB. Dan zouden uit het punt P op AB twee loodlijnen in t vlak / zijn opgericht. Dit is onmogelijk. Dus zal de snijlijn van V' met V n.1. li'I' samenvallen met EP. Dus ligt EP in l . Gkvolg. I. Door een punt van eene lijn kan men een -willekeurig aantal lijnen trekken alle loodrecht op de eerste. Gevolg. II. Als men het eene been van eenen rechten hoek wentelt om 't andere, beschrijft het eerste een plat vlak. constructiën. i. Door een punt in eene lijn een vlak te brengen loodrecht op die lijn. Breng door de gegeven lijn twee vlakken en richt in elk dezer vlakken uit het gegeven punt in de lijn eene loodlijn op die lijn op. Het vlak door beide loodlijnen gebracht is loodrecht op de gegeven lijn. — Daar verder alle loodlijnen in een punt eener lijn op die lijn opgericht, in 't zelfde vlak liggen, is er slechts één vlak mogelijk door een punt eener lijn loodrecht op die lijn. 2. Door een punt buiten eene lijn een vlak te brengen loodrecht op die lijn. Breng door de gegeven lijn en 't gegeven punt een vlak, en laat in dit vlak een loodlijn uit dat punt op die lijn neer. Breng door 't voetpunt van die loodlijn een vlak loodrecht op de gegeven lijn. Dan is dit vlak het gevraagde vlak. Daar uit een punt slechts ééne loodlijn op eene lijn kan worden neergelaten en door een punt eener rechte lijn slechts één vlak loodrecht op die lijn kan worden gebracht, kan door een punt buiten eene rechte lijn slechts één vlak gebracht worden loodrecht op die lijn. OPGAVE N. 1. Als eene lijn loodrecht is op een vlak en eene andere lijn loodrecht op die lijn , dan is de tweede lijn evenwijdig aan tvlak, of zij ligt in 't vlak. Bewijs dit. 2. Wat is de meetkundige plaats van het punt, dat op gelijke afstanden ligt van twee gegeven punten. 3. In een lijn het punt te vinden, dat op gelijke afstanden ligt van twee gegeven punten. 4. Eene lijn is evenwijdig aan een vlak, als twee evenwijdige lijnen uit twee punten van die lijn naar dat vlak getrokken gelijk zijn. Bewijs dit. 5. De kleinste lijn, die uit een punt, buiten een vlak, naar dat vlak kan worden getrokken, is de loodlijn uit dat punt op dat vlak neergelaten. Fig. 8. worden gesneden, d.i. b en V', dan zal dit vlak 't vlak V snijden volgens eene lijn c, die door 't snijpunt van a en V gaat. De lijnen a, b en c liggen nu in één vlak V' en, daar van de evenwijdige lijnen a en b de eerste door c gesneden wordt, zal ook b door c V zullen een punt gemeen hebben. § 10. E igenschap. Wanneer eene lijn een vlak snijdt, zal elke lijn evenwijdig aan de eerstgenoemde dal vlak ook snijden. Beivijs (fig. 8). Zij a de lijn, die 't vlak V snijdt, en b // a. Brengt men door a en b een vlak eigenschap. Als van twee evenwijdige lijnen de eene evenwijdig is aan een vlak, of in 't vlak ligt, dan zal ook de andere evenwijdig zijn aan 't vlak of in 't vlak liggen. Bewijs. Zij (fig. 9) a // V en b // a. Sneed b 't vlak V, dan zou ook a, die evenwijdig is aan b, 't vlak V snijden. Dit strijdt met de onderstelling. Dus zal b öf evenwijdig zijn aan V, öf in V liggen. Gevolg I. Brengt men door een pnnt van een vlak eene lijn even¬ wijdig aan eene lijn, die evenwijdig is aan dit vlak, dan zal ook de eerstgenoemde lijn in 't vlak liggen. Gevolg II. Evenwijdige lijnen, die eene andere lijn snijden, liggen met deze laatste in 't zelfde vlak. § 11. Eigenschap. Als twee rechte lijnen ieder evenwijdig zijn aan eene derde, dan zijn ze onderling evenwijdig. Bewijs (fig. 10). Is a // e en b // c, dan moet bewezen worden, dat a H b is. In de eerste plaats zal bewezen worden, dat a en b in 't zelfde vlak liggen. Brengt men een vlak V door a en een punt van b, en sneed b dit vlak, dan zou ook c, en dus ook a, dit vlak snijden. Dit strijdt met de onderstelling, dat a in V ligt. Dus kan li 't vlak V niet Fi?- '0. snijden en ligt dus in 't vlak V. In de tweede plaats kan aangetoond worden, dat «en Bewijs (fig. 11). Is AB // DE en BC // EF, en neemt men AB = DE, BC = EF, en trekt men BE, AD, CF, AC en DF, dan is, daar AB = en // ED is, BE = en // yJZ>, en daar BC = en // .£Vr is, />/: = en // £7^. Dus is ook — en // CT*" en dus = DF. Dus is A ABC A DEF en dus L ABC — L DEF. Verder is L GED 't supplement van b elkaar niet snijden. Want als a en b elkaar sneden, dan zou men door 't snijpunt twee lijnen hebben, beide evenwijdig aan eene derde c. Dit strijdt met § 6. Dus liggen a en b in 't zelfde vlak en kunnen elkaar niet snijden. Dus is a // b. Eigenschap. Als de beenen van een hoek evenwijdig zijn aan die van een anderen hoek, zijn de hoeken aan elkaar gelijk of eikaars supplement. L DEF en dus ook van ABC. Na deze eigenschap bewezen te hebben, kan men de volgende bepaling geven. Bepaling. Door hoek van twee elkaar kruisende lijnen verstaat men den hoek, gevormd door twee elkaar snijdende lijnen, evenwijdig aan de beide eerstgenoemden. De vroeger (§ 9) gegeven bepaling van loodlijn op een vlak kan nu aangevuld worden door de volgende Bepaling. Eene lijn heet loodlijn op een vlak als ze loodrecht is op elke lijn in dat vlak. constructiën. i. Uit een punt buiten een vlak eene loodlijn op dit vlak neer te laten. Zij (fig. 12) P 't gegeven punt en V 't gegeven vlak. Neem in V eene willekeurige lijn AB en laat uit P de loodlijn PC op AB neer. Richt in C de loodlijn CD op AB op, in 't vlak V, en laat eindelijk uit P de loodlijn PD neer op CD. Dan is AB loodrecht op PC en DC dus op PD. Ook is CD _l PD. Dus is PD loodrecht op twee niet-evenwijdige lijnen AB en CD van 't vlak V en dus loodrecht op V. 2. Uit een punt D van een vlak V eene loodliin ot> dit vlak op te richten. Zij (fig. 12) D 't gegeven punt in 't gegeven vlak V. Neem in V eene willekeurige lijn AB en laat uit D eene loodlijn DC op AB neer. Richt in C eene tweede willekeurige loodlijn CP op niet in V gelegen. Richt eindelijk in 't vlak door DC en CP bepaald de loodlijn DP op DC op. Dan is DP de gevraagde loodlijn. Want AB is loodrecht op DC en CP dus op DP. Dan is DP loodrecht op DC en AB en dus op 't vlak V. Eigenschap. Uit een punt buiten een vlak kan slechts eene loodlijn op dat vlak worden neergelaten. Beu.'ijs (fig. 13). Is AB loodrecht op V en trekt men uit A eene andere lijn AC naar V, dan is, nadat men de voetpunten B en C heeft vereenigd, [_ ABC — 90 en dus L ACB < qo. Dus is AC niet loodrecht op V. Elke andere lijn buiten AB door A getrokken is dus niet loodrecht op V. Dus is AB de eenige loodlijn uit A op V. Eigenschap. Uit een punt in een vlak kan men slechts ééne loodlijn op dit vlak oprichten. Bewijs (fig. 13). Is PQ loodrecht op V en trekt men uit P een andere lijn PR, dan is, nadat men door PQ en PR een vlak gebracht heeft, dat V snijdt in PS, L QPS = 90 en dus L RPS < 90. Dus is PR niet loodrecht op V. Elke andere lijn buiten PQ door P getrokken is dus niet loodrecht op V. Dus is PQ de eenige loodlijn door P op V. S 12. EIGENSCHAP. Als eene lijn loodrecht is op een vlak, dan is eene lijn, evenwijdig met de eerste, ook loodrecht op dat vlak. Gegeven (fig. 14): AB 1 V, A B' // AB. Te bewijzen : A'B' j_ V. Bewijs. Trek uit />' in V twee lijnen BC en BD niet in eikaars verlengde. Dan is L ABC = L ABD = 90°. Trek B'C' // BC en B'D' // BD, dan liggen B'C en B'D' in F(§ 10). Dan is L A'B'C' = C ABC = 11). Fig. *14. 90= en L A'B'D' = L ABD = 90° Dus is A'li' _L V. Eigenschap. Als twee lijnen loodrecht zijn op 7 zelfde vlak, dan zijn ze evenwijdig. Gegeven (fig. 15): AB cn CD beide loodrecht op 't vlak PQ. Te bewijzen : AB // CD. Bewijs. Was CD niet // AB, dan zou men door C een lijn CE kunnen trekken // AB. Dan zou ook CE ± vl. PQ zijn. Dus zouden uit één punt C twee loodlijnen op PQ kunnen worden neergelaten. Dit strijdt met eene eigenschap , bewezen in § 11. Dus is AB // CD. Fig. 15. OPGAVE N. 1. Te bewijzen, dat men door eene lijn slechts één vlak kan brengen, evenwijdig aan eene andere lijn, die de eerste kruist. 2. Te bewijzen, dat men door een punt slechts één vlak kan brengen, evenwijdig aan twee elkaar snijdende of elkaar kruisende lijnen. 3. De middens der zijden van een vierhoek, waarvan de hoekpunten niet in 't zelfde vlak liggen, zijn de hoekpunten van een parlgr. Bewijs dit. 4. Punten in een vlak op gelijke afstanden gelegen van een punt buiten dat vlak liggen op een cirkelomtrek. Bewijs dit. 5. De loodlijnen uit een punt neergelaten op vlakken, die elkaar snijden volgens ééne rechte lijn, liggen in een vlak, loodrecht op de gemeenschappelijke snijlijn. Bewijs dit. II. Projectiën van punten en lijnen op lijnen en vlakken. $ 13. bepalingen. Projectie van een punt op eene lijn noemt men het voetpunt van de loodlijn, die uit dat punt op die lijn kan worden neergelaten. Projectie van een punt op een vlak noemt men 't voetpunt deiloodlijn , die uit dat punt op dat vlak kan worden neergelaten. Projectie van eene lijn op een vlak noemt men de meetkundige plaats van de projectiën van de punten dier lijn op dat vlak. EIGENSCHAP. De projectie eener rechte lijn op een plat vlak is eene rechte lijn of een punt. Fig. 10. zoo liggen AA' en BB' in één vlak. De loodlijn uit een derde punt C op V neergelaten is evenwijdig aan AA' (§ 12) en daar C een punt van 't vlak door AA' en BB' is, ligt de loodlijn CC' in dit vlak. De projectie C' ligt dus met A' en Bewijs. Zijn A' en B' de projectiën van twee punten A en B der gegeven lijn op 't vlak V, B' in de snijlijn van 't vlak V en 't vlak door AA' en BB'. De doorsnede van beide vlakken is dus de projectie van AB op V. — Is AB _L V, dan vallen de loodlijnen , uit punten van AB op V neergelaten , samen. De projectie van AB op V is dan een punt. Bepalingen. De loodlijn uit een punt op een vlak neergelaten heet projecteerende lijn, het vlak projectievlak. Het vlak, waarin alle loodlijnen liggen uit punten eener lijn op een vlak neergelaten, heet projecteer end vlak, en het vlak, waarop die loodlijnen zijn neergelaten, projectievlak. Afstand van een punt tot een vlak noemt men de lengte der loodlijn, die men uit dat punt op dat vlak kan neerlaten. Eigenschap. Als eene lijn evenwijdig is aan een vlak, dan liggen alle punten dier lijn op gelijke afstanden van dit vlak. Bewijs (fig. 17). Is AB // V en laat men uit twee punten A en B van die lijn de loodlijnen AA' en BB' op V neer, zoo is A'B' U AB, daar beide in 't projecteerend vlak liggen. Verder is AA' // BB'. Dus is AA'B'B een parlgr. en dus is AA' — BB'. bepaling. Door afstand van eene lijn en een vlak, waarmee die lijn evemvijdig is, verstaat men de lengte der loodlijn, die men uit een willekeurig punt dier lijn op dat vlak kan neerlaten. Fig. 17. $ 14. Eigenschap. De hoek, dien eene lijn, niet evenwijdig met een vlak, maakt met hare projectie op dit vlak, is kleiner dan de hoek, dien deze lijn maakt met elke andere lijn in 71 vlak die niet evenwijdig is met die projectie. Bewijs (fig. 18). Zij AB de gegeven lijn en V 't gegeven vlak. Ligt A in V en projecteert men B in B, zoo is AB' de projectie Fig. 18. men AE // CD; neemt AE= AB' en verbindt daarna E met B, zoo verkrijgt men twee driehoeken, nl. A ABB' en A ABE. Van dezen is AB = AB, AB' = AE, maar BB1 < BE. Dus is /. BAB' < L BAE en dus kleiner dan de hoek, dien AB maakt met CD. van AB op V. Is CD eene lijn in V, niet evenwijdig met AB' maar overigens willekeurig, trekt Bepaling. Door hoek van eene lijn met een vlak verstaat men den hoek, dien die lijn maakt met hare projectie op dat vlak. Eigenschap. Zijn gegeven een vlak, eene lijn, niet in dit vlak gelegen, en hare projectie op dat vlak, dan zal eene lijn in dit vlak en loodrecht op die projectie ook loodrecht staan op de eerstgenoemde lijn. Fig. 19. Bewijs (fig. ig). Zij A B de lijn niet in V gelegen en A'B' hare projectie op dat vlak. Is CD in V gelegen en loodrecht op A'B', dan is CD ook loodrecht op AA', eene loodlijn op V. Dus is CD loodrecht op 't projecteerend vlak en dus op AB. eigenschap. Is in een vlak eene lijn gegeven, loodrecht op eene lijn, niet in dat vlak gelegen, dan is de eerste lijn ook loodrecht op de projectie der tweede lijn op dat vlak. Bewijs (fig. 19). Is CD 1 AB, dan is, daar CD ook loodrecht is op AA', CD ook loodrecht op 't projecteerend vlak en dus op A'B'. OPGAVEN. 1. In een vlak door een punt eene lijn te trekken loodrecht op eene lijn, niet in dit vlak gelegen. 2. Als twee rechte lijnen elkaar rechthoekig snijden of kruisen, zullen hare projectiën op een vlak, dat evenwijdig is aan een dier lijnen, elkaar loodrecht snijden. Bewijs dit. 3. Heeft men uit een punt P eene loodlijn PP' op een vlak V neergelaten, en uit P' een loodlijn P'Q op een lijn RS in dat vlak, dan zal de lijn, die een punt van PP' verbindt met een punt van P'Q, de lijn RS loodrecht snijden of kruisen. Bewijs dit. I Twee vlakken. § 15. Twee vlakken kunnen öf samenvallen, óf evenwijdig zijn, of elkaar snijden. Wanneer twee vlakken drie punten niet in eene rechte lijn gelegen gemeen hebben, zullen ze samenvallen. Wanneer twee vlakken naar alle zijden onbegrensd geen punt gemeen hebben, noemt men ze evenwijdig. Wanneer twee vlakken één punt gemeen hebben, zullen ze elkaar snijden in eene lijn door dat punt. Eigenschap. Twee vlakken loodrecht op dezelfde lijn zijn evenwijdig. Bewijs (fig. 20). Zijn de vlakken V en V' beide loodrecht op AA', en hadden ze een punt P gemeen, dan zou in v en /vr in V' liggen. Daar dan PA ± AA' en PA' ook j AA' zou zijn, zou men p# uit één punt P twee loodlijnen op AA' kunnen neerlaten, wat met een vroeger bewezen eigenschap strijdt. Uus kunnen V en V' geen punt gemeen hebben, en zijn dus evenwijdig. Eigenschap. Als twee elkaar snijdende lijnen evenwijdig zijn aan twee lijnen in een vlak, dan is 't vlak, door de beide eerste lijnen gebracht, ook evenwijdig aan dat vlak. Bewijs (hg. 21). Zijn a en b twee elkaar snijdende lijnen buiten 't vlak V, a' en b in 't vlak V, zoo dat a // a' en b // b' is, dan kan men uit het snijpunt van a en b eene loodlijn op V neerlaten en door 't voetpunt van die loodlijn Pig- 21. P II a' en q // b' trekken. Dan is ook ƒ H a, en q H b (§ 11). Daar de loodlijn nu loodrecht is op p en q, is zij ook loodrecht op ti en b. Dc loodlijn is dus loodrecht op V en op t vlak door a en b bepaald. Dus zijn beide vlakken evenwijdig. EIGENSCHAP. Door een punt buiten een vlak kan slechts een vlak gebracht worden evenwijdig aan dit vlak. Bewijs (fig. 20). Zij A' het punt buiten t vlak l , dan kan men uit A' eene loodlijn en slechts ééne nl. A'A op J neerlaten. Verder kan men door A' slechts één vlak brengen nl. I , dat loodrecht is op A'A. Daar het volgens een der vorige stellingen noodig en ook voldoende is, dat twee vlakken beide loodrecht op dezelfde lijn staan om evenwijdig te zijn, zoo is l t eenige vlak door A' evenwijdig aan V. EIGENSCHAP. Zijn twee vlakken evenwijdig en wordt het eene door eene lijn gesneden, dan wordt ook V andere door die lijn gesneden. Bewijs. Is VU V' (hg- 22) en wordt V door de lijn a gesneden, dan kan men een vlak brengen door a en een punt P van V'. Dat vlak snijdt V in eene lijn en l "i eene lijn c door P. Daar a, b en c nu in één vlak liggen, en b door a wordt gesneden, zoo zal ook C door a worden gesneden. Dus wordt ook 1 door a eesneden. EIGENSCHAP. Zijn twee vlakken evenwijdig en 'wordt het eene door een vlak gesneden, dan 'wordt ook het andere door dit vlak gesneden. Bewijs (fig. 23). Is V // V' en wordt V door een vlak y gesne¬ den . dan kan men in 1 eene lijn a aannemen, niet evenwijdig met de snijlijn. Daar nu l door a wordt gesneden , zal ook (zie vorige eigenschap) V' door a wordt gesneden in een punt P. V" en V' hebben dus een punt P gemeen en snijden dus elkaar. Eigenschap. Als twee evenwij¬ dige vlakken door een derde vlak -worden gesneden, dan zijn de snijlijnen evenwijdig. . Bewijs (fig. 24). Is V // V' en wordt V door V in a en V' door V" in a' gesneden, dan liggen a en a' m t zelfde vlak V" terwijl ze elkaar niet kunnen snijden, daar a in V ligt en ^ ... . < TT/ Tr T v • • a in liet viaK v // v. uus zijn a en a' evenwijdig. Eigenschap. Zijn twee vlakken evenwijdig, dan zullen twee loodlijnen, uit punten van 't eene vlak op 't andere neergelaten, gelijk zijn. Bewijs (fig. 25). Zijn AA' en BB' beide loodrecht op l" en brengt men door beide loodlijnen t ig. een vlak, dan wordt V volgens AB en V' volgens A'B' gesneden. Dan is AB // A'B' en jj '///?«' F)ns is AA'B'B een parlgr., en dus AA' — BB'. bepaling. Door afstand van twee evenwijdige vlakken verstaat men de lengte der loodlijn, die men uit een punt van 't eene op 't andere vlak kan neerlaten. $ l(i. Twee elkaar snijdende vlakken, in alle richtingen onbegrensd , verdeelen de oneindige ruimte in vier deelen. BEPALING. Elk der deelen, waarin de ruimte wordt verdeeld door twee elkaar snijdende vlakken, heet tweevlakshoek (tweevlh.). De lijn, die twee vlakken, die een tweevlh. begrenzen, gemeen hebben, heet ribbe van den tweevlh. De vlakken heeten de zijden. De hoek gevormd door de beide loodlijnen in de zijden door 't zelfde punt der ribbe op deze opgericht heet standhoek van den tweevlh. Het vlak door de beenen van den standhoek gebracht heet standvlak van den tweevlh. Een tweevlh. kan men aanwijzen door vier letters, waarvan de beide middelsten bij de ribbe en elk der overigen bij eene deizijden zijn geplaatst. Zoo wijst men den tweevlh. in fig. 26 aan door de uitdrukking de tweevlh. A(BC)D, of eenvoudiger de tweevlh. AD. Tweevl.hoeken noemt men Fig- 26. gelijk, als ze zoo kunnen wor¬ den geplaatst, dat de zijden van den eenen samenvallen met die van den anderen. Men noemt een tweevlh. kleiner dan een anderen, als de eerste zóó kan worden geplaatst, dat, terwijl eene zijde en de ribbe van den eenen met eene zijde en de ribbe van den tweeden samenvallen, de andere zijde van den eersten binnen den tweeden tweevlh. valt. Eigenschappen, a. Gelijke tweei'l.hoeken hebben gelijke standhoeken. Bewijs. Daar de tweevl.hoeken kunnen samenvallen, kunnen ook hunne standhoeken samenvallen. b. Tweevl.hoeken met gelijke standhoeken zijn gelijk. Bewijs. Daar de standhoeken zoo kunnen geplaatst worden, dat ze samenvallen, zullen ook de tweevl.hoeken samenvallen. c. Is een tweevlh. grooter dan een andere, dan is ook de standhoek van den eersten grooter dan die van den tweeden. Bewijs. Daar de eene tweevlh. met een deel van den anderen kan samenvallen, zal te gelijk de standhoek van den eersten met een deel van den standhoek van den tweeden samenvallen. d. Is de standhoek van een tweevlh. kleiner dan die van een anderen, dan is ook de eerste tweevlh. kleiner dan de tweede. Bewijs. Dit volgt daaruit, dat men den eenen tweevlh. zóó kan plaatsen, dat zijn standhoek met een deel van den standhoek van den anderen kan samenvallen. § 17. bepalingen. Een tweevlh., waarvan de standhoek een hoek van één graad is, heet tweevlakshoek van één graad. Een tweevlh., waarvan de standhoek recht, scherp of stomp is, heet rechte, scherpe of stompe tweevlh. De zijden van een rechten tweevlh. heeten loodrecht op elkaar te staan. eigenschap. Zijn de zijden van een tweevlh. beide evenwijdig aan dezelfde lijn, dan is ook de ribbe evenwijdig aan die lijn. Bewijs (fig. 26). Is A H a en D // a en trekt men door een gemeenschappelijk punt B van beide vlakken eene lijn evenwijdig aan a, dan ligt die lijn zoowel in A als in D en is dus de snijlijn van beide vlakken. Dus is a // BC. Eigenschap. Elk vlak gebracht door eene loodlijn op een ander vlak is loodrecht op dit vlak. Bewijs (fig. 27). Is AB ± V en V' een vlak door AB, dan zal, als eene loodlijn AC op AI) opricht, Fig. 27. men door A in 't vlak l L BAC = 90° zijn , daar AR _L V is. Daar nu [_ BAC de standhoek van beide vlakken /' en V' is, is dus J i J Eigenschap. Door eene lijn, die niet loodrecht is op een vlak, kun altijd slechts één vlak worden gebracht loodrecht op dit vlak. Bewijs. Zij V 't gegeven vlak en AR de gegeven lijn. Trekt men nu AA' ± V, zoo is 't vlak V', door AA' en AR gebracht, loodrecht op V. Daar elke loodlijn uit een punt van AR op V neergelaten in dit vlak V' ligt (§ 13), is er dus slechts één vlak door AR mogelijk, dat loodrecht is op V. Eigenschap. Eene loodlijn in eene der zijden van een rechten tweevlh. op de ribbe is ook loodrecht op de andere zijde. Bewijs (fig. 27). Zijn V en V' de zijden van een rechten tweevlh. en is RA _L AD en in V gelegen, zoo kan men in V door A eene loodlijn AC op AD oprichten. Daar dan L_ RAC de standhoek is van den tweevlh. en dus !_ RAC = 9° en AR tevens loodrecht is op AD, is AR X V. eigenschap. Is gegeven een rechte tweevlh. en trekt men door een punt der eene zijde eene lijn loodrecht op de andere zijde, dan ligt die loodlijn geheel m de eerste zijde. Bewijs (fig. 27). Heeft men door een punt A van V' de loodlijn AR op V opgericht en tevens door dat punt eene loodlijn AC op AD in V, zoo is L BAC = 90° daar AB ± V is. Lag nu AB niet in V', zoo zou men door AB en AC een vlak kunnen brengen, dat V' in eene lijn door A sneed, zoo dat deze lijn ook loodrecht was op AC, daar de standhoek van beide vlakken recht is. In het standvlak zouden dan door A twee loodlijnen op AC zijn opgericht, wat met eene vroeger bewezen eigenschap in strijd is. Dus kan men niet aannemen, dat AB niet in I 'ligt. Dus ligt AB in J '. OPGAVEN. 1. Als twee elkaar snijdende vlakken loodrecht zijn op een vlak, dan is ook hunne snijlijn loodrecht op dit vlak. 2. De lijn te construeeren, die twee elkaar kruisende lijnen loodrecht snijdt. 3. De lijn te construeeren, die twee elkaar kruisende lijnen snijdt en loodrecht is op een gegeven vlak. 4. Te bewijzen, dat de afstand der punten, waarin twee elkaar kruisende lijnen gesneden worden door de gemeenschappelijke loodlijn, kleiner is dan de lijn, die twee willekeurige punten deibeide lijnen verbindt. 5. Een vlak loodrecht op eene lijn in een ander vlak is loodrecht op dit laatste. Bewijs dit. kors, Stereometrie. 2 6. Als een vlak en eene lijn beide loodrecht zijn op een ander vlak, dan zijn het eerste vlak en die lijn evenwijdig. Bewijs dit. 7. Zijn in een vlak gegeven twee evenwijdige lijnen, en is door de eene lijn een vlak gebracht loodrecht op 't eerste vlak, dan zal het vlak, door de tweede lijn evenwijdig aan het vlak, door de eerste lijn gebracht, ook loodrecht zijn op het eerste. Bewijs dit. 8. Te bewijzen, dat twee vlakken evenwijdig zijn, als ze beide loodrecht zijn op een derde vlak en dit laatste snijden volgens evenwijdige lijnen. 9. Wat is de meetkundige plaats van het punt in een gegeven vlak en op gegeven afstand van een gegeven punt buiten dat vlak? 10. Als een vlak gewenteld wordt om eene lijn in dit vlak, beschrijft elk punt van het vlak een cirkel, waarvan 't middelpunt op die lijn ligt. Bewijs dit. 11. Is eene lijn loodrecht op een vlak, dan is zij ook loodrecht op een vlak evenwijdig aan 't eerste. Bewijs dit. 12. Evenwijdige lijnen tusschen evenwijdige vlakken zijn gelijk. Bewijs dit. 13. Te bewijzen, dat wanneer twee vlakken ieder evenwijdig zijn aan een derde, die twee vlakken dan ook onderling evenwijdig zijn. 14. Wat is de meetkundige plaats van het punt, dat op een gegeven afstand ligt van een vlak? 15. Wat is de meetkundige plaats van het punt, dat op gelijke afstanden ligt van twee evenwijdige vlakken? 16. Dezelfde vraag, wanneer die afstanden eene gegeven verhouding hebben. 17. Is eene rechte lijn evenwijdig aan een van twee evenwijdige vlakken, dan is zij ook evenwijdig aan 't andere vlak of ligt in dit vlak. Bewijs dit. 18. Uit een punt buiten een vlak eene lijn naar dat vlak te trekken evenwijdig aan twee gegeven vlakken. 19. Door eene gegeven lijn een vlak te brengen, dat op een gegeven afstand ligt van een gegeven punt. Welke is de grootste waarde, die deze afstand kan verkrijgen? 20. Door een gegeven punt een vlak te brengen, dat op een gegeven afstand ligt van eene gegeven lijn. 21. Gegeven twee elkaar kruisende lijnen en een punt. Door dit punt eene lijn te trekken, die op den afstand a van de eene en op den afstand b van de andere dier twee lijnen ligt. 22. Gegeven een punt, eene lijn en een vlak. Door het punt eene lijn te trekken evenwijdig aan het vlak en op een gegeven afstand van de lijn. 23. Wat is de meetkundige plaats van het punt, dat op gelijke afstanden ligt van twee elkaar snijdende vlakken? 24. Dezelfde vraag, als de afstanden eene gegeven verhouding hebben. 25. De standhoek van twee vlakken is het supplement van den hoek van twee loodlijnen uit één punt op beide vlakken neergelaten. 26. Eene lijn te construeeren, die op gegeven afstanden a en b ligt van twee elkaar snijdende vlakken. 27. Kene lijn te construeeren, die op gelijke afstanden ligt van drie evenwijdige lijnen niet in één vlak gelegen. 28. Gegeven twee vlakken en een punt. Door dit punt een vlak te brengen loodrecht op beide vlakken. 29. Door 't hoekpunt van een hoek eene lijn te trekken, die niet de beenen van den hoek gelijke hoeken, en met 't vlak van den hoek een hoek maakt gelijk aan een gegeven hoek. 30 Twee vlakken zijn evenwijdig, als men uit drie punten van 'teene vlak, niet in eene rechte lijn gelegen, drie gelijke en evenwijdige lijnen kan trekken naar 't andere vlak. 31. Als gegeven zijn twee evenwijdige lijnen, en een tweevlh. zoo wordt geplaatst, dat het eene zijvlak gaat door de eene, en 't andere door de andere lijn, zoo is de ribbe van den tweevlh. evenwijdig aan elke der evenwijdige lijnen. Bewijs dit. 3"> Fene lijn maakt gelijke hoeken met de zijvlakken van een tweevlh. als zij de zijvlakken snijdt in twee punten gelegen op gelijke afstanden van de ribbe. 33. Eene rechte lijn te trekken, die twee elkaar kruisende lijnen snijdt, a. als die lijn evenwijdig moet zijn aan eene gegeven lijn, b. evenwijdig aan twee elkaar snijdende vlakken. 34. De projectiën van twee gelijke en evenwijdige lijnen op 't zelfde vlak zijn gelijk en evenwijdig. Bewijs dit. 35. Welke is de projectie van een trapezium op een plat 36. Welke figuur verkrijgt men in een plat vlak, als op dit laatste een parlgr. wordt geprojecteerd? 37. In welk geval is de projectie van een rechthoek op een plat vlak weer een rechthoek, en in welk geval die van eene ruit weer eene ruit? . . 38. De verschillende gevallen na te gaan, waartoe de projectie van een willekeurigen hoek op een plat vlak aanleiding geeft. 2 39- Wat is de meetk. plaats van het punt, dat op gelijke afstanden ligt van drie punten, die niet in eene rechte lijn liggen? 40. In een vlak een punt te vinden op gelijke afstanden gelegen van drie punten, die niet in eene rechte lijn liggen. 41. De punten van een vlak, die op gelijke afstanden liggen van een punt buiten dat vlak liggen op een cirkelomtrek. 42. Als in een plat vlak gegeven zijn drie punten, niet in eene rechte lijn, en buiten dit vlak twee punten, zoo dat elk der laatste op gelijken afstand van de eerstgenoemde drie punten ligt, dan staat de lijn door die twee punten gebracht loodrecht op dat vlak. IV. Drie vlakken. § 18. Drie vlakken kunnen ten opzichte van elkaar de volgende standen hebben: a. Ze zijn twee aan twee evenwijdig. b. Twee vlakken zijn evenwijdig en worden gesneden door het derde vlak. c. Ze snijden elkaar twee aan twee en hebben eene gemeen¬ schappelijke snijlijn. d. Ze snijden elkaar twee aan twee in drie evenwijdige lijnen. e. Ze hebben slechts één punt gemeen. a. De drie vlakken zijn twee aan twee en dus onderling e v e n w ij d i g. S 19- EIGENSCHAP. Eene lijn, die één van drie onderling even¬ wijdige vlakken snijdt, snijdt ook de beide anderen. Bewijs. Zie § 15. EIGENSCHAP. Worden twee lijnen door drie evenwijdige vlakken gesneden, dan zijn de deelen der eene lijn, tussehen die vlakken gelegen, evenredig met die der andere lijn in dezelfde orde genomen. Bewijs (fig. 28). Zijn P, 0 en R de evenwijdige vlakken, die de lijnen AB en CD snijden, en wel AB in E, F en G en CD in H, J en A", Fig- 28. dan kan men door H eene lijn trek¬ ken evenwijdig aan AB en die Q in J' en R in K' snijdt. Trekt men dus de lijnen EH, FJ', GK', J'J en KK', zoo \s HJ: JK = HJ': J'K' en, daar EF = HJ' en FG — JK' is, EF: FG — HJ: JK. b. Twee vlakken zijn evenwijdig en worden gesneden door het derde vlak. § 20. bepaling. Op dezelfde wijze als in de Planimetrie in geval twee evenwijdige lijnen door eene derde gesneden worden, spreekt men bij de snijding van twee evenwijdige vlakken door een derde in de Stereometrie van overeenkomstige hoeken, verwisselende binnen/toeken, verwisselende buitenhoeken, binnenhoeken en buitenhoeken aan dezelfde zijde van 't snijdende vlak. eigenschap. Worden twee evenwijdige vlakken door een derde vlak gesneden, dan zijn i°. twee overeenkomstige hoeken gelijk, 2". twee verwisselende binnenhoeken (buitenhoeken) gelijk en 3°. is de som van twee binnenhoeken (buitenhoeken) aan dezelfde zijde van 't snijdende vlak gelijk aan 180° Bewijs. Door een vlak aan te brengen loodrecht op de eene snijlijn en dus ook loodrecht op de andere blijkt uit de Planimetrie, dat de eigenschap waar is ten opzichte van de standhoeken der drie vlakken. Daardoor is ook voor de tweevlakshoeken, waarbij die standhoeken behooren, de eigenschap bewezen. c. De drie vlakken hebben ééne gemeenschappelijke snijlijn. § 21. eigenschap. Als drie vlakken elkaar in dezelfde lijn snijden, ontstaan tweevlakshoeken, waarvan elk paar overstaande aan elkaar gelijk zijn. Bewijs. Breng een gemeenschappelijk standvlak aan, dan volgt de eigenschap door toepassing van eigenschappen uit de Planimetrie. d. De drie vlakken snijden elkaar volgens drie evenwijdige lijnen. § 22. eigenschap. Wanneer een vlak gesneden wordt door twee andere vlakken volgens evenwijdige lijnen, dan is de snijlijn der beide laatste evenwijdig aan elke der eerste. Bewijs (fig. 29). Wordt het vlak AD door 't vlak Ah gesneden in AB en door 't vlak FC in CD, en is AB // CD, dan zal ecnc lijn door E in 't vlak AF en evenwijdig aan AB getrokken geneel in t vlak AI' liggen 7). Die lijn door E zal dan ook evenwijdig zijn aan CD (§ 11) en daarom ook geheel in 't vlak FC liggen. Die lijn, die te gelijk evenwijdig is aan AB en CD, is dus de snijlijn EF van de vlakken AF en FC. Eigenschap. Als drie vlakken elkaar snijden volgens drie evenwijdige lijnen, vormen se drie tweevl.hoeken, die samen l8o° zijn. Bewijs. Breng een vlak aan loodrecht op eene der evenwijdige lijnen, dan is dit vlak 't gemeenschappelijk standvlak der drie tweevl.hoeken. Zie verder de Planimetrie. e. Drie vlakken snijden elkaar in één punt. 23. bepalingen. Als drie vlakken één punt gemeen hebben , verdeelen ze de ruimte in acht deelen, waarvan elk deel drievlakshoek heet. De drie lijnen, volgens welke de drie vlakken elkaar snijden en die één punt gemeen hebben, heeten ribben van den drievlakshoek (drievlh.) De hoeken, waarvan de ribben twee aan twee de beenen zijn, heeten zijden van den drievlh. De tweevl.hoeken, door de zijden twee aan twee gevormd, heeten hoeken van den drievlh. De zijden en de hoeken noemt men de elementen van den drievlh. Het snijpunt der ribben heet hoekpunt van den drievlh. Een drievlh. wijst men aan door eene letter bij 't hoekpunt geplaatst, al of niet gevolgd door drie letters, waarvan elke bij eene der ribben. Evenals in de Planimetrie de elementen van een driehoek worden aangewezen, wijst men in de Stereometrie de zijden aan door kleine letters bijv. a, b, c en de tegenoverliggende hoeken door de hoofdletters A, B en C. eigenschap. Verlengt men de ribben van een drievlh. door 't hoekpunt, dan zijn die verlengden de ribben van een drievlh., waarvan de elementen gelijk zijn aan die van den eersten, maar in tegengestelde volgorde. Bewijs (fig. 30). De hoeken en de zijden van den tweeden drievlh. zijn de overstaande van die van den eersten, en dus gelijk aan deze. Uit T gezien volgen de ribben TA, TB en TC op elkaar in eene orde overeenkomende met de cijfers op de wijzerplaat van een uurwerk, terwijl de verlengden TA', TB' en tv*» -r ..:4. : j J. U Vdll 1 uil huiuv.ii 111 UV- tegengestelde volgorde. Bepaling. Een drievlh., waarvan de ribben de verlengden zijn van die van een gegeven drievlh., heet de tegendrievlh. van den eersten. Eigenschap. De loodlijnen uit het hoekpunt van een drievlh. op de zijden opgericht naar den kant der tegenoverliggende ribben, zijn de ribben van een drievlh., waarvan de zijden en de hoeken de supplementen zijn van de hoeken en de zijden van den gegeven drievlh. 73/yfl.»*<* ! rc t r \ \t nnivi f «yiah v\m_ Fier. 30. v- A . — nen den gegeven drievlh. TABC een punt T' aan, laat men loodlijnen neer op de zijden, n.1. T'A", T'B", T'C" en brengt men door twee dezer loodlijnen, i tv nu tv /—!! _ .1 _ 1_ L).v. I jy CIl 1 Ls CCI1 V ItlK, dat TA snijdt in een punt P, zoo wordt door dit vlak de zijde ATB gesneden in PC" loodrecht op TA, en de zijde ATC in PB" eveneens loodrecht op TA. Dus is B"PC" de standhoek aan B de ribbe TA. Daar /. B" T'C" _ i8o° — / B'PC' is, is dus een zijde van den drievlh. T A"B"C" het supplement van een hoek van den drievlh. F'g- 31. TABC. Hetzelfde kan men bewijzen van de overige zijden van den drievlh. T'A"B"C" en de hoeken van den drievlh. TABC. — Daar verder de ribben van TABC loodrecht zijn op de zijden van T'A"B"C", zijn de zijden van den eersten de supplementen van de hoeken van den tweeden drievlh. De zijden en de hoeken van den drievlh. T'A"B C' zijn dus de supplementen van de hoeken en de zijden van den drievlh. 7 ABC. Richt men nu uit T loodlijnen T/l', TB', TC' op de zijden van den drievlh. TABC op, naar den kant der overstaande ribben, dan zijn die loodlijnen evenwijdig aan de ribben van den drievlh. T' A" B" C" , en kunnen door evenwijdige verplaatsing den tegendrievlh. van T'A"B"C" vormen. Dus zullen de zijden en de hoeken van den drievlh. TA'B'C' gelijk zijn aan die van den drievlh. T'A"B"C" en dus de supplementen van de hoeken en de zijden van den drievlh. TABC. Bepaling. De drievlakshoek, waarvan de ribben loodrecht zijn op de zijden van een gegeven drievlh. en gericht naar den kant der overstaande ribben, heet de pooldrievlakshoek of supplementaire drievlakshoek van den gegeven drievlh. Noemt men de zijden en de hoeken van den drievlh. a, l>, c, A, B, C, en die van den pooldrievlh. a', b', e', A', B', C', dan geeft onderstaande tabel aan, hoe de laatste uit de eerste worden afgeleid. Drievlh. Pooldrievlh. Zijden a, b, c a', b', e' 180 -A 180-B 1S0-C, Hoeken A, B, C A', B', C' 180 -a 180-/; 18o-<\ * 24. Eigenschappen van de elementen van een drievlh. In de Planimetrie worden eigenschappen van de elementen van een driehoek behandeld, die men terugvindt in de Stereometrie, als gelijkluidende eigenschappen der elementen van een drievlh. Tot die eigenschappen behooren de volgende: a. In een drievlh. is elke zijde kleiner dan de som en grooter dan 't verschil der beide andere zijden. Bewijs (fig. 32). Is L ATB of c de grootste zijde, dan hebben we te bewijzen, dat L A TB <.' L BTC+ L A TC, of cc—b. b. In een drievlh. is de som der zijden kleiner dan twee gestrekte hoeken. Bewijs (fig. 32). Brengt men het vlak ABC aan, dat de drie ribben in A, B en C snijdt, dan ontstaan bij deze punten als hoekpunten drie nieuwe drievl.hoeken. Van den drievlh. bij A is L BAC < L BAT -\- L CAT. Stelt men dergelijke ongelijkheden op uit de zijden der beide overige drievl.hoeken bij B en C, dan volgt na samentelling l_ BAC -f- L ACB -f- L CBA < 3 X 180 — (a -f- b -r e), als a, b, c de zijden van den gegeven drievlh. zijn. Dus is a b -\- c < 2 X 180. Daar de som der drie zijden willekeurig klein kan zijn, heeft men tevens a + b + c > o. c. In een drievlh. staan tegenover gelijke hoeken gelijke zijden. * Be-wijs. Zij B = C (fig. 33). Laat men uit A de loodlijn AB neer op OB, en de loodlijn AC op OC en richt men in de zijde a uit B en C loodlijnen op OB en OC op, die elkaar snijden in D, dan is L ABD = L ACD. Daar AD loodrecht is op a, zoo is £\ABD ^ A ACD, en dus AB = AC. Dus is A AOB ^ A AOC en dus /_ AOC = L AOB of b — e. d. In een drievlh. staat tegenover een grooteren hoek eene grootere zijde. Is A > B, dan kan men een vlak A TI) aanbrengen zoo, dat is / n i A 'r\ v> — Fig. 34. is \jn J. / -L-f — L D(BT)A is. Dan is LBTD= L ATD (zie e) en daar A TC < L CTD -f LA TD is (zie a), zoo is L A TC < L B TC en dus b < a of a > b. $ 25. Door verwisseling van zijden en hoeken in de Fig. 33. Bewijs (fig. 34). vorige drie eigenschappen verkrijgt men drie eigenschappen, die bewezen worden door middel van den pooldrievlh. Men past daartoe de eigenschappen van ^ 24 toe op den pooldrievlh. EIGENSCHAPPEN, a. In ccn drie-sik. is een hoek vermeerderd met i8o° grooter dan de som der beide andere hoeken. Bcivijs. Stellen we de elementen van een pooldrievlh. voor door a', b', e', A', B', C', zoo is b' + c' > a' (§24, a), of 180 — B -f- 180 — C > 180 — A of A -f 180 > B + C. b. In een drievlh. is de som der hoeken grooter dan een gestrekte koek en kleiner dan drie gestrekte koeken. Bewijs. In den pooldrievlh. is a' -f- b' c' < 2 X 180 en > O. Dus is 180 — A -f- 180 — B + 180 — C < 2 x 180 en >0 of A + B -f C > 180 en < 3 x 180. c. In een drievl. staan tegenover gelijke zijden gelijke hoeken. Be-wijs. Is in den pooldrievlh. A'— B', zoo is a' = b' (§ 24, e), of, zoo 180 — a — 180 — b, d.i. a = b is, is 180 — A = 180 — B of A = B. d. In een drievlh. staat tegenover eene grootere zijde een gr 00tere hoek. Bewijs. Is in den pooldrievlh. A' > B', zoo is a' > b' (§ 24, d). Men heeft dus ook, dat, zoo 180 — a > 180 — b is, 180 — A > 180—B is; of zoo a . Als twee zijden en een overstaande koek van een drievlh. gelijk zijn aan die van een anderen, terwijl de andere overstaande hoeken in beide gelijksoortig zijn, dan zijn de beide drievl.hoeken congruent of symmetrisch, naarmate die elementen in beide in dezelfde orde, of in den eenen in eene orde tegengesteld aan die in den anderen op elkaar volgen. Bewijs (fig. 35). Zijn a, b en A drie elementen van den drievlh. T en a', b', A' die van den drievlh. T' zoo, dat a = a', b — b', A — A' is, en de volgorde dier elementen in T tegengesteld aan die in T', dan plaatst men den tweeden zoo naast rig. .-!o. den eersten, dat a met a' samenvalt, terwijl TA en TA' aan weerszijden der gemeenschappelijke zijde liggen. Brengt men dan het vlak ATA' aan, dan ontstaat de drievlh. TAA'C, waarvan L A TC = L A'TC is {b = b'). Dan is de tweevlh. A(TA')C — de tweevlh. A'(TA)C. Trekt men den eersten af van A, en den tweeden van A', dan zullen, daar A — A' is, de resten gelijk zijn. De drievlh. TAA'B heeft dan twee gelijke hoeken en dus tegenover deze hoeken twee gelijke zijden , n.1. LA TB = LA'TB, of in de gegeven drievl.hoeken c = c'. Dus hebben de beide drievl.hoeken 7"en T' b = b', c = c', A = A' en zijn dus symmetrisch (zie a). Hadden de elementen a, b en A in T dezelfde volgorde als de elementen a', b' en A' in T', dan zou men den tegendrievlh. van den Iaatsten tegen den drievlh. T kunnen leggen en daaruit besluiten, dat die tegendrievlh. en de drievlh. T symmetrisch , en dus T en T' congruent zijn. Zijn b en b stomp, dan kan men op dezelfde wijze aantoonen, dat de drievl.hoeken, verkregen door AT en A'T' te verlengen naar den kant van T en T', congruent of symmetrisch zijn. Hieruit volgt dan weer de eigenschap met betrekking tot de oorspronkelijke drievl.hoeken. Zijn twee zijden en dus de overstaande hoeken recht, dan gaat de eigenschap niet door. Ken drievl.hoek is door deze elementen niet bepaald. c. Als de drie zijden van een drievlh. gelijk zijn aan die van een anderen, dan zijn de beide drievl.hoeken congruent of symmetrisch, naarmate de volgorde dier elementen in den eenen gelijk of tegengesteld is aan die in den anderen. Fig. 36. Bewijs (fig. 36). We nemen eerst aan, dat de gelijke elementen in beide drievl.hoeken in tegengestelde orde op elkaar volgen. Legt men den drievlh. T' zoo naast T, dat a en a' samenvallen, maar TA en TA' aan weerszijden van die gemeenschappelijke zijde liggen, en brengt men dan een vlak door TA en 'TA', dan ontstaan twee nieuwe drievl.hoeken, n.1. 1 AA B en 1 AA C. Beide hebben twee gelijke zijden en tegenover deze twee gelijke hoeken. Dan is dus tweevlh. A(A'T)B — tweevlh. A'(AT)B en „ A(A'T)C= ■„ A'(AT)C. Na samenvoeging heeft men L_ C{A 1 )B — L. C(A7 )B, of in de gegeven drievl.hoeken A = A'. Dan heeft men dus b = b', c = c' en A — A' en zijn dus de beide drievl.hoeken symmetrisch. Volgen de gelijke elementen in beide drievl.hoeken T en T' in dezelfde orde op elkaar, dan vindt men, dat T symmetrisch is met den tegendrievlh. van T' en dus congruent met T'. § 27. Door verwisseling van zijden en hoeken in de vorige drie eigenschappen 26) verkrijgt men drie eigenschappen, die bewezen worden door die van § 26 op den pooldrievlh. toe te passen. a. Als van een drievlh. één zijde en de beide aanliggende hoeken gelijk zijn aan die van een anderen, dan zijn beide drievl.hoeken congruent of symmetrisch, naarmate de volgorde dier elementen in den eenen gelijk of tegengesteld is aan die in den anderen. Bewijs. Als twee drievl.hoeken één zijde en de beide aanliggende hoeken gelijk hebben, zullen de pooldrievl.hoeken twee zijden en den ingesloten hoek gelijk hebben, en dus congruent of symmetrisch zijn 26 a). Dus zullen de gegeven drievl.hoeken dan ook congruent of symmetrisch zijn. b. Als twee hoeken en een overstaande zijde van een drievlh. gelijk zijn aan die van een anderen, terwijl de andere overstaande zijden in beiden gelijksoortig zijn, dan zijn de beide drievl.hoeken congruent of symmetrisch, naarmate de volgorde dier elementen in den eenen gelijk of tegengesteld is aan die in den anderen. Bewijs. De pooldrievl.hoeken hebben dan twee zijden en een overstaanden hoek gelijk, terwijl de andere overstaande hoeken gelijksoortig zijn , en zijn dus congruent of symmetrisch (§ 26 b). Hieruit volgt, dat ook de gegeven drievl.hoeken dus congruent of symmetrisch zijn. Hieruit geldt dezelfde opmerking, als die aan § 26/> is toegevoegd. c. Als de drie hoeken van een drievlh. gelijk zijn aan die van een anderen, dan zijn beiden congruent of symmetrisch, naarmate de volgorde dier elementen in den eenen gelijk of tegengesteld is aan die in den anderen. Bewijs. Zijn de drie hoeken van den eenen drievlh. gelijk aan die van den anderen, dan zullen de zijden van den pooldrievlh. van den eenen gelijk zijn aan die van den pooldrievlh. van den anderen. De pooldïievl.hoeken zijn dus congruent of symmetrisch 26 c). Dus zullen dan ook de eerstgenoemde drievl.hoeken congruent of symmetrisch zijn. OPGAVEN. De volgende eigenschappen te bewijzen : 1. De vlakken, die de hoeken van een drievlh. middendoor deelen, snijden elkaar in één lijn. 2. De vlakken, die door de ribben gebracht zijn en de overstaande zijden middendoor deelen, snijden elkaar in één lijn. 3. De vlakken, die de zijden van een drievlh. loodrecht middendoor deelen, snijden elkaar in één lijn. 4. De vlakken, gebracht door de ribben van een drievlh. loodrecht op de overstaande zijden, snijden elkaar volgens één rechte lijn. [Breng door twee der ribben vlakken loodrecht op de beide overstaande zijden, daarna een vlak loodrecht op de snijlijn dier vlakken, enz.]. 5. Het vlak, dat den tweevlh. tusschen de gelijke zijden van een gelijkbeenigen drievlh. middendoor deelt, staat loodrecht op de derde zijde. 6. Als twee drievl.hoeken eene zijde gemeen hebben en de overstaande ribbe van den eenen binnen den anderen drievlh. ligt, dan is de som van de beide overige zijden van dezen kleiner dan die van de beide overige zijden van den anderen drievlh. 7. Trekt men door 't hoekpunt van een drievlh. binnen dezen eene lijn, dan is de som der hoeken , die deze met de ribben maakt, kleiner dan de som der drie zijden en grooter dan de halve som. 8. Een punt te vinden, dat op gegeven afstanden m, u en p ligt van de drie zijden van een drievlh. 9. Als een drievlh., waarvan een der hoeken recht is, gesneden wordt door vlakken, ieder loodrecht op eene der ribben, dan zijn de doorsneden rechthoekige driehoeken. 10. De loodlijn uit het hoekpunt van een drievlh. met drie rechte hoeken neergelaten op een vlak, dat de drie ribben snijdt, gaat door het hoogtepunt van den driehoek, die door de zijden van den drievlh. van dit vlak wordt afgesneden. 11. Men snijdt een drievlh. met drie rechte hoeken door een plat vlak niet evenwijdig aan eene der ribben. Te bewijzen, dat de driehoek op elk der zijvlakken afgesneden middenevenredig is: tusschen zijne projectie op de doorsnede en deze doorsnede. 12. De som van de kwadraten der oppervlakken van de drie rechthoekige driehoeken afgesneden op de zijvlakken (zie vorige opgave) is gelijk aan 't kwadraat der doorsnede. V. Meer dan drie vlakken, die elkaar in één punt snijden. § 28. Bepalingen. Als vier of meer vlakken elkaar in één punt snijden, ontstaan vlakke hoeken, die op elkaar volgende twee aan twee een been gemeen hebben en een deel der ruimte begrenzen , dat veelvlakshoek heet. Evenals bij een drievlh. spreekt men bij een veelvlh. van ribben, zijden en koeken (elementen), tegenveelvlh. en poolveelvlh. EIGENSCHAPPEN, a. Elke n-vlakshoek kan men door vlakken , gaande door eene der ribben, verdeelen in n—2 drievl.koeken. Bewijs (fig. 37). Men komt tot deze eigenschap op dezelfde wij ze als waarop men in de Planimetrie besluit, dat elke «-hoek door diagonalen uit één hoekpunt in n—2 driehoeken wordt verdeeld. b. De zijden en hoeken van een veelvlh. zijn de supplementen van de hoeken en zijden van zijn poolveelvlh. Bewijs. Zie § 23. e. Eene zijde van een veelvlh. is kleiner dan de som der overige zijden. Pig 37 Bewijs. Zie § 24 a en verder het bewijs voor de gelijklui- tot een veelhoek in de Planimetrie. d. De som der zijden van een veelvlh. is kleiner dan twee gestrekte hoeken. Bewijs. Brengt men een vlak aan (fig. 37), dat de ribben snijdt in de punten A, B, C, D en E, dan ontstaan er evenveel drievl. hoeken , waarvan die punten de hoekpunten zijn. Past men dus toe § 24 a en verder de eigenschap, dat de som der hoeken van een «-hoek gelijk is aan n—2 gestrekte hoeken, dan is de eigenschap bewezen. § 29. Na verwisseling van zijden en hoeken komt men tot de volgende eigenschappen, die met behulp van den poolveelvlh. worden bewezen. Eigenschap, a. In een veelvlh. is een der hoeken vermeerderd met (n — 2) X 18o° grooter dan de som der overige hoeken. Bewijs. Past men de eigenschap § 28 c op den poolveelvlh. toe, en vervangt de zijden van dezen, n.1. a', b', enz., door 180 — A, 180 — B, enz., waarin A, B, enz. de hoeken van den gegeven veelvlh. voorstellen, dan is de eigenschap bewezen. b. In een veelvlh. is de som der hoeken grooter dan n — 2 en kleiner dan n gestrekte hoeken. hpnrlp PifTPncrlian mpf hptrpl*l*inf Bewijs. Past men § 28 d toe op den poolveelvlh., waardoor men heeft a' -f- -f- >0 en < 2 X 180, zoo is 1 A -h 1S0 — B -f- >0 en <2 X 180, -4 + B + < n X 180 en > (n — 2) X 180. B. Figuren in de ruimte, dik een deel der ruimte geheel begrenzen. § 30. Algf.MEEXE Bepalingen. Een deel der ruimte, geheel begrensd door een of meer vlakken, heet meetkundig lichaam. Ken meetkundig lichaam kan begrensd zijn öf alleen door platte vlakken, óf door platte en gebogen vlakken, of alleen door één of meer gebogen vlakken. Ken lichaam, dat geheel door platte vlakken begrensd wordt, heet veelvlak (polyeder). I. Veelvlakken. a. Rangschikking en algemeene eigenschappen. § >J1. Van de verschillende soorten van veelvlakken geeft men gewoonlijk bepalingen, door vermelding van 't aantal begrenzende vlakken , soms met opgave van den onderlingen stand dier vlakken. Kr zijn minstens vier platte vlakken noodig, om een deel der ruimte geheel te begrenzen. Men onderscheidt daarom viervlakken, vijfvlakken, enz. De behandeling van de veelvlakken beginnen we met die van 't viervlak. 1. Het viervlak. S 32. Een viervlak (fig. 38) wordt verkregen door de ribben van een drievlakshoek te snijden door een plat vlak. Het aldus verkregen lichaam is begrensd door vier vlakken, die zijvlakken heeten. De zijvlakken snijden elkaar in zes lijnen, die de ribben heeten. Ze vormen aan die ribben zes tweevl.hoeken en aan de punten, waarin de ribben elkaar drie aan drie snijden, vier drievl.hoeken. Ribben, tweevlakshoeken en drievlakshoeken noemt men de elementen van een viervlak. Als men drie ribben, die in een hoekpunt samenkomen, door dit hoekpunt verlengt, tot de verlengden gelijk zijn aan dié ribben, en daarna de uiteinden door rechte lijnen verbindt, verkrijgt men de ribben van een viervlak, waarvan de elementen gelijk zijn aan die van 't gegeven viervlak, terwijl ze in tegengestelde orde op elkaar volgen. BEPALINGEN. Een viervlak, welks elementen gelijk zijn aan die van een ander viervlak, heet congruent of symmetrisch met dit laatste, naarmate de volgorde in 't eene lichaam gelijk of tegengesteld is aan die in 't andere. Eigenschap. Als de ribben van een viervlak gelijk zijn aan die van een ander viervlak, en die ribben aan ieder hoekpunt in dezelfde of in tegengestelde orde op elkaar volgen, zijn de viervlakken congruent of symmetrisch. Bewijs. Uit de gelijkheid der ribben volgt de congruentie der zijvlakken, daaruit de gelijkheid der vlakke hoeken, d. i. de gelijkheid van de zijden der drievl.hoeken, verder de gelijkheid van de hoeken der drievl.hoeken, d. i. de gelijkheid van de tweevl.hoeken der beide viervlakken. Alle elementen van 't eene zijn dus gelijk aan die van 't andere viervlak, zoodat beide viervlakken congruent of symmetrisch zijn. Met toepassing van deze eigenschap en de eigenschappen, die bij de congruentie en de symmetrie van drievl.hoeken behandeld zijn , vindt men de bewijzen voor de volgende Eigenschappen, a. Twee viervlakken zijn congruent of symmetrisch, als ze een zijvlak congruent hebben en de aanliggende tweevl.hoeken in dezelfde of m tegengestelde orde gelijk zijn. Bewijs. De drievl.hoeken aan elk der hoekpunten van de congruente zijvlakken hebben eene zijde en de twee aanliggende hoeken gelijk en zijn dus congruent of symmetrisch. Hieruit volgt de congruentie der overige zijvlakken, dus de gelijkheid der ribben , en dus de congruentie of symmetrie der viervlakken. b. Twee viervlakken zijn congruent of symmetrisch, als ze twee zijvlakken congruent en den ingesloten tweevlh. gelijk hebben, en deze in gelijke of in tegengestelde orde op elkaar volgen. Bewijs. De drievl.hoeken aan de uiteinden der gelijke ribben hebben twee zijden en den ingesloten hoek gelijk en zijn dus congruent of symmetrisch. Hieruit volgt de congruentie der beide andere paren zijvlakken en dus de gelijkheid der overige ribben. c. Als men uit een der hoekpunten van een viervlak eene loodlijn neerlaat op het overstaande zijvlak en die loodlijn aan de andere zijde van dit vlak verlengt, tot het verlengde gelijk is aan de loodlijn, daarna het uiteinde verbindt met de drie overige hoek- kors, Stereometrie. 3 punten van 't viervlak, verkrijgt men de ribben van een viervlak, dat symmetrisch is met het eerstgenoemde. Bewijs. Verbindt men (fig. 39) het voetpunt der loodlijn met de hoekpunten van 't zijvlak, waarop die loodlijn is neergelaten, dan verkrijgt men drie paren congruente rechthoekige driehoeken, waaruit volgt, dat de ribben van het tweede viervlak gelijk zijn aan die van 't eerstgenoemde, maar in tegengestelde orde op elkaar volgen. $ 33. Bepalingen. Twee viervlakken noemt men gelijkvormig of symmetrisch gelijkvormig, als de ribben van 't eene evenredig zijn met die van 't andere en hare volgorde in 't eene gelijk of Fig. 39. tegengesteld is aan die in 't andere viervlak. De ribben, waartusschen dezelfde verhouding bestaat, heeten gelijkstandige ribben, de tweevl.hoeken aan de gelijkstandige ribben gelijkstandige tweevl.hoeken., en de drievl.hoeken , wier ribben gelijkstandige ribben van 't viervlak zijn. gelijkstandige drievl.hoeken. Daar de ribben evenredig en dus de zijvlakken van de beide viervlakken gelijkvormig zijn, zijn de vlakke hoeken, d. i. de zijden der drievl.hoeken van 't eene viervlak gelijk aan die der drievl.hoeken van 't andere. De drievl.hoeken zijn dus congruent of symmetrisch en dus de gelijkstandige tweevl.hoeken in beide viervlakken gelijk. Eigenschap. Als een viervlak sresneden wordt door een vlak even- O wijdig aan een der zijvlakken, ivordt van dit viervlak een viervlak afgesneden, dat niet het eerste gelijkvormig is. Bewijs (fig. 40). De ribben van het afgesneden viervlak zijn even- redig met die vaa 't gegeven viervlak. Beide zijn dus gelijkvormig. Met behulp van de voorgaande bepalingen en de eigenschappen, die betrekking hebben op congruentie of symmetrie van drievl.hoeken, bewijst men de volgende Eigenschappen, a. Twee viervlakken zijn gelijkvormig, als een zijvlak van 't eene gelijkvormig is met een zijvlak van 't andere, en de aanliggende tweevl.hoeken twee aan twee gelijk zijn. Bewijs. De hoeken van 't eene zijvlak zijn gelijk aan die van 't andere. Zie verder ^ 32, Kig. a. b. Twee viervlakken zijn gelijkvormig, als twee zijvlakken van 't eene gelijkvormig zijn met die van 't andere en de ingesloten tweevlh. in beide gelijk is. Bewijs. Zie $ 32, Eig. b. c. Twee viervlakken zijn gelijkvormig, als een drievlk. van 't eene congruent is met een drievlh. van 't andere en de ribben van den eenen drievlk. evenredig zijn met die van den anderen. Bewijs. De drie aangrenzende zijvlakken van 't eene viervlak zijn gelijkvormig met die van 't andere, waaruit volgt, dat de ribben van 't eene evenredig zijn met die van 't andere. d. Wanneer men uit een punt lijnen trekt naar de hoekpunten van een viervlak en op die lijnen afstanden neemt evenredig met de afstanden van dat punt tot de hoekpunten, dan verkrijgt men de hoekpunten van een viervlak, dat gelijkvormig of symmetrisch gelijkvormig is met het gegeven 'viervlak, naarmate het gegeven punt aan dezelfde zijde van of tusschen 't eerste en het tweede viervlak is gelegen. Bewijs (fig. 41). Zij O 't gegeven punt en A BCD 't gegeven Fig. 41. viervlak. Nu is 't viervl. OABC gelijkvormig met 't viervlak * O ABC' (zie ^ 33) en 't viervl. OABD gelijkvormig met 't viervl. OA'B'D'. Dus zijn de ribben van 't viervl. ABCD evenredig met die van 't viervlak A'B C'D' en beiden zijn dus gelijkvormig. Om dezelfde reden zijn de ribben van 't viervl. ABCD evenredig met die van 't viervl. A"B"C"D", maar ze volgen in beide lichamen in tegengestelde orde op elkaar. Deze beide viervlakken zijn dus symmetrisch gelijkvormig. Bepalingen. Wanneer twee gelijkvormige viervlakken zoo zijn geplaatst, dat de verbindingslijnen van elk paar gelijkstandige punten elkaar in één punt snijden, dan heeten ze perspectievisch geplaatst. Het snijpunt van die verbindingslijnen heet dan gelijkvormigheidspunt. Ligt het punt aan dezelfde zijde der beide gelijkvormige lichamen, dan heet het uitwendig, ligt het tusschen beiden, dan heet het inwendig gelijkvorinigheidspunt. opgaven. 1. Welke doorsnede verkrijgt men a. als men een vlak aanbrengt , dat evenwijdig is aan twee elkaar kruisende ribben , b. als het evenwijdig is aan drie ribben? 2. Welk vlak ontstaat, als het snijdende vlak op gelijke afstanden ligt van twee elkaar kruisende ribben? 3. Welke vlakken verkrijgt men in de genoemde gevallen, als twee overstaande ribben elkaar loodrecht kruisen ? 4. Bewijs, dat de lijnen, die de middens van twee paren elkaar kruisende ribben verbinden, elkaar middendoor deelen. 5. Wat volgt uit de vorige eigenschap, als men de middens van de drie paren elkaar kruisende ribben verbindt? 6. Bewijs, dat de lijnen, die twee hoekpunten van een viervlak verbinden met de zwaartepunten der overstaande zijvlakken, elkaar snijden. 7. Welke is de verhouding der deelen, waarin die twee verbindingslijnen elkaar verdeelen ? 8. Wat volgt uit het antwoord op Opgave 7, als men de vier hoekpunten verbindt met de zwaartepunten der overstaande zijvlakken ? 9. Het snijpunt der lijnen, die de middens der drie paren elkaar kruisende ribben verbinden, valt samen met het zwaai tepunt van het viervlak. Bewijs dit. 10. Welke eigenschap bezit het snijpunt van drie vlakken, die drie ribben, die in één hoekpunt samenkomen, loodrecht middendoor deelen? 11. Wat volgt hieruit ten opzichte van de zes vlakken, die de zes ribben loodrecht middendoor deelen? 12. Welke eigenschap bezit het snijpunt der drie vlakken , die de drie tweevl.hoeken aan eene der zijvlakken middendoor deelen ? 1 3. Wat volgt hieruit ten opzichte van de zes vlakken , die de zes tweevl.hoeken middendoor deelen ? 14. Als twee zijvlakken van een viervlak congruent zijn, dan zijn de daarbij behoorende hoogtelijnen ook gelijk. 15. Als van de drie paren elkaar kruisende ribben, tweeparen elkaar loodrecht kruisen, zullen de ribben die het derde paar vormen, elkaar ook loodrecht kruisen. [Projecteer een uiteinde van eene der beide laatste ribben op het overstaande zijvlak, enz.] 16. Als twee hoogtelijnen van een viervlak elkaar snijden, dan zullen ook de beide andere hoogtelijnen elkaar snijden. (Als twee hoogtelijnen elkaar snijden, dan zal de ribbe, uit wier uiteinde die hoogtelijnen zijn getrokken, de overstaande ribbe rechthoekig kruisen. Enz.) 2. Veelvlakken in 't algemeen. $ 34. Terwijl men, evenals bij een viervlak, ook bij een veelvlak spreekt van zijvlakken, ribben, tiveevl.hoeken en drtevl.hoeken, kunnen bij een veelvlak ook nog veelvlakshoeken voorkomen. Daarenboven heet elke lijn, die twee hoekpunten verbindt en niet in een zijvlak is gelegen, lichaams-diagonaal of eenvoudig diagonaal , en elk vlak door een of meer lichaams-diagonalen, en ribben of diagonalen van zijvlakken diagonaalvlak. Een veelvlak kan soms door diagonaalvlakken in viervlakken worden verdeeld. Soms is daartoe noodig, dat men in het veelvlak een of meer punten aanneemt als hoekpunten van nieuwe veelvlakken, die dan m viervlakken kunnen worden verdeeld en samen het oorspronkelijk veelvlak vormen. Ten opzichte van 't aantal begrenzende zijvlakken , dat der hoekpunten , ribben, enz. heeft men de volgende algemeene eigenschappen. a. Het aantal vlakke hoeken der begrenzende zijvlakken is gelijk aan tweemaal 'taantal ribben. Bewijs. Telt men de vlakke hoeken en dus ook de zijden van de zijvlakken, dan wordt elke ribbe van 't lichaam tweemaal geteld. b. Het aantal zijvlakken (Z) vermeerderd met het aantal hoek- printen H is gelijk aan 't aantal ribben (R) vermeerderd met twee, of Z + H=R + 2. Betvijs. Men kan 't oppervlak van een veelvlak opbouwen door van een zijvlak uit te gaan en de overige zijvlakken er een voor een aan toe te voegën. Voor één zijvlak heeft men de vergelijking Voegt men er een zijvlak bij , dat n zijden heeft, en daaronder n' gemeen niet het eerste zijvlak, dan wordt het aantal zijvlakken vermeerderd met één, 't aantal hoekpunten met 11 —«' — 1 en 't aantal ribben met n — //', zoodat na toevoeging van het tweede zijvlak dezelfde vergelijking geldt. Dit heeft telkens plaats na toevoeging van een nieuw zijvlak. Ontbreekt nu nog het laatste zijvlak, dan zal door toevoeging hiervan 't aantal hoekpunten en 't aantal ribben onveranderd blijven, maar 't aantal zijvlakken wordt met één vermeerderd. Daardoor verkrijgt men de vergelijking c. De som van alle vlakke hoeken op t oppervlak van een veelvlak is gelijk aan zooveel rechte hoeken, als 'tgetal bedraagt, dat verkregen wordt, als men viermaal 't aantal hoekpunten vermindert met acht. Bewijs. Heeft het veelvlak als zijvlakken een «/-hoek, //-hoek, /-hoek, enz., zoo is de som van alle vlakke hoeken [2 (/// — 2) -)■ 2 (//—2) -f- 2{p—2) + .] X 90°. Daar 2 (/// — 2) -4- 2 (« — 2) -f- 2 (p—2)-f... — 2 (/// + //+ƒ> + ...) —\Z ~ 4 R — 4 Z is, en Z H = R -f- 2 of R — Z — H — 2, zoo is de bovenvermelde som = 4 (H — 2) X 9°° of (4^—8) X 9° • Fig. 42. S :J5. Bki'AI.ingen. Twee veelvlakken noemt men congruent. Z H — R 1. Z+ H=R + 2. als ze door vlakken in viervlakken kunnen worden verdeeld, die twee aan twee congruent zijn en in beide lichamen op dezelfde wijze aan elkaar sluiten. Twee veelvlakken noemt men gelijkvormig, als ze door vlakken in viervlakken kunnen worden verdeeld, die twee aan twee gelijkvormig zijn en op dezelfde wijze aan elkaar sluiten (fig. 42). EIGENSCHAP. Wanneer men uit een punt lijnen trekt door de hoekpunten van een veelvlak, en men op dte lijneti afstanden neemt evenredig met de afstanden van dat punt tot de hoekpunten, dan verkrijgt men de hoekpunten van een veelvlak, dat gelijkvormig is met het gegeven veelvlak. Be-wijs. De viervlakken, waarin men 't gegeven veelvlak kan verdeden, zijn dan gelijkvormig met die van 't gegeven veelvlak 33 d) en sluiten op dezelfde wijze aan elkaar. Dus zijn de veelvlakken gelijkvormig. OPGAVEN. 1. Het aantal vlakke hoeken der zijvlakken van een veelvlak is altijd een even getal. 2. Wordt een veelvlak begrensd door p vlakken met een oneven , en door q vlakken met een even aantal zijden, dan is ƒ> een even getal. Enkele hoofdgroepen. Prismoïde. Obelisk. Prisma. Piramide. 45 36. Onder de veelvlakken onder¬ scheidt men eene groote groep, die der prismoïden. Afzonderlijke groepen tot deze behoorende bevatten de obelisk, het prisma en de piramide. Door prismoïde (fig. 43) verstaat men een lichaam, dat begrensd is door twee evenwijdige vlakken, grond- en bovenvlak geheeten , en door driehoeken als zijvlakken . die met het een dier vlakken eene zijde en met het andere een hoekpunt gemeen hebben. De doorsnede van eene prismoïde met een vlak evenwijdig aan Ficr 't grond- (ABCDE) en 't bovenvlak (FGHK) en op gelijke afstanden van dezen heet middendoor snede A'B'G C'D'' H'E A E . De lengte der loodlijn uit een punt van 't eene der beide evenwijdige vlakken op 't andere neergelaten heet hoogte van de prismoïde. Onder de prismoïden onderscheidt men die, waarvan de zijden van grond- en bovenvlak twee aan twee evenwijdig zijn. Het lichaam heet dan obelisk. De zijvlakken zijn dan in 't algemeen trapeziums. Zijn van een obelisk grond- en bovenvlak congruente veelhoeken, dan noemt men 't lichaam prisma. De zijvlakken zijn in dit geval paralleiogrammen. Gaat van eene prismoïde een der evenwijdige vlakken over in een punt, dan ontstaat een lichaam, dat piramide heet. De zijvlakken zijn dan driehoeken, die een hoekpunt gemeen hebben , dat top van de piramide heet. We zullen de meest voorkomende dier lichamen achtereenvolgens behandelen, en daarbij van bepalingen uitgaan, waarbij niet op het onderling verband van bovenvermelde groepen wordt gelet. Het prisma. § 37. BEPALINGEN. Prisma (fig. 44) noemt men een lichaam, begrensd door twee evenwijdige vlakken als grond- en bovenvlak en door paralleiogrammen als zijvlakken. De snijlijnen der opstaande zijvlakken heeten opstaande ribben. Een prisma heet recht, als de zijvlakken loodrecht, scheef, als alle of sommige niet loodrecht op 't grondvlak staan. Als men een scheef prisma snijdt door een vlak loodrecht op de opstaande ribben. dan heet de doorsnede loodrechte of recute doorsnede van net prisma. Een recht prisma, dat een regelmatigen veelhoek tot grondvlak heeft, heet regelmatig prisma. Is 't grondvlak een parallelogram , dan heet het prisma parallelepipedum (prlpd)■ Een recht prlpd. met een rechthoek tot grondvlak heet rechthoekig prlpd. Kubus noemt men een rechthoekig prlpd. , waarvan drie in één hoekpunt samenkomende ribben gelijk zijn. De kubus, waarvan de ribbe gelijk is aan de eenheid van lengte, wordt als maat aangenomen om de lichamen te meten. In 't algemeen verdeelt men de prisma's in drie-, vier-, //-zijdige prisma's, naarmate 't grondvlak een drie-, vier-, «-hoek is. Een «-zijdig prisma wordt begrensd door n -f 2 vlakken. S 38. Eigenschappen, a. Het aantal lichaamsdiagonalen van een n-zijdig prisma is n (n — 3). Bewijs. Uit elk hoekpunt van 't grondvlak kan men naar n — 3 hoekpunten van 't bovenvlak diagonalen trekken, 't Geheele aantal is dus n (n — 3). b. Een n-zijdig prisma wordt door n — 3 diagonaalvlakken verdeeld in n — 2 driezijdige prisma's. Bewijs. Trekt men in 't grondvlak uit één hoekpunt de 11 — 3 diagonalen, en in 't bovenvlak de gelijkstandige en dus met die van 't grondvlak evenwijdige, dan kan men door elk paar evenwijdige diagonalen een diagonaalvlak brengen. Daar grond- en bovenvlak in n — 2 driehoeken worden verdeeld, wordt het prisma in « — 2 driezijdige prisma's verdeeld. c. Elk scheef prisma is gelijk aan een recht prisma, 'waarvan grondvlak en hoogte gelijk zijn aan de rechte doorsnede en ecne opstaande ribbe van het eerste. Bewijs (fig. 45). Is AD' het scheef prisma en PQRST zijne rechte doorsnede en wordt het deel tusschen deze rechte doorsnede en 't grondvlak AD, n.1. het deel AS zoodanig verplaatst, dat daarbij A in A', en B in />" komt, dan zal het grondvlak AD met 't bovenvlak A'D' en de rechte doorsnede PS met de rechte doorsnede P'S' samenvallen. De deelen van het scheef prisma AD' zullen dus die van het rechte prisma PS' bedekken. Heide prisma's zijn dus aan elkaar gelijk. d. De middetidoorsnede van een prisma deelt de lichaamsdiagonalen middendoor. Bewijs (fig. 44). De middendoorsnede deelt volgens de bovenstaande bepaling de opstaande ribben en dus alle lijnen , die een punt van 't grondvlak met een punt van 't bovenvlak verbinden, middendoor. *. De diagonalen van een n-zijdig prisma snijden de midden- doorsnede in n (n — 3) : 2 punten. Be-wijs De diagonalen uit de uiteinden eener diagonaal van 't grondvlak naar die van de gelijkstandige diagonaal van 't bovenvlak getrokken, liggen in één vlak en deelen elkaar middendoor. Dit snijpunt ligt dus in de middendoorsnede. Daar dus de lichaamsdiagonalen bij paren de middendoorsnede in 't zelfde punt snijden, zal 't aantal snijpunten, verkregen door de 11(11 — 3) diagonalen, n (ti—3): 2 zijn. « Bepaling. Het deel van een prisma gelegen tusschen t . 111 — ..1nU o 11 A t gronaviaK en ccn via*, uac aui, opstaande ribben snijdt en niet evenwijdig is aan 't grondvlak, heet afgeknot prisma (fig. 46). De zijvlakken zijn in 'talgemeen trapeziums. Het oppervlak van een prisma of ccn afgeknot prisma is gelijk aan de som der oppervlakken van 't grondvlak , 't bovenvlak en de opstaande zijden. 't Zijdelings oppervlak van een recht prisma is gelijk aan den omtrek van 't grondvlak vermenigvuldigd Fig. 46. met de opstaande ribbe. Hierbij voegt men nog de oppervlakken van t grond- en t bovenvlak. Is het prisma regelmatig, dan verkrijgt men zijn oppervlak door den omtrek van 't grondvlak te vermenigvuldigen met de som eener opstaande ribbe en 't apothema van 't grondvlak. t Zijdelings oppervlak van een scheef prisma is gelijk aan t pro duet van den omtrek der rechte doorsnede en de opstaande ribbe. OPGAVEN. 1. Het kwadraat van een diagonaal van een rechthoekig prlpd. is gelijk aan de som van de kwadraten der drie ribben, die m één hoekpunt samenkomen. 2. Een kubus door een vlak te snijden zoo, dat de doorsnede een regelmatige zeshoek is. 3. De diagonalen van een prlpd. snijden elkaar in één punt. 4. De som der afstanden van de hoekpunten van een prlpd. tot een willekeurig vlak is gelijk aan achtmaal den afstand van 't snijpunt der diagonalen tot dat vlak. (Liggen er hoekpunten aan weerszijden van dat vlak, dan worden de afstanden in tegengestelden toestand genomen.) 5. Als twee diagonaalvlakken van een vierzijdig prisma elkaar middendoor deelen, is het prisma een prlpd. 6. Als de vier diagonalen van een vierzijdig prisma elkaar middendoor deelen, is het prisma een prlpd. 7. De 6 tweevl.hoeken van een viervlak zijn samen grooter dan 4 en kleiner dan 6 rechte hoeken. 8. Als gegeven zijn drie lijnen, niet in een plat vlak gelegen, vraagt men een prlpd. te construeeren, waarvan drie ribben gelegen zijn op die drie lijnen. 9. Van elk prlpd. is de som van de tweedemachten der ribben gelijk aan de som van de tweedemachten der diagonalen. De piramide. 8 40. Bepalingen. Een lichaam, dat begrensd wordt door een veelhoek als grondvlak en door driehoeken als zijvlakken, die met het grondvlak eene zijde gemeen hebben en in één punt samenkomen, heet piramide. Het gemeenschappelijke punt van de zijvlakken heet top van de piramide. Eene piramide noemt men regelmatig, als het grondvlak een regelmatige veelhoek is en de projectie van den top op 't grondvlak met het middelpunt van dit laatste samenvalt. Hoogte der piramide noemt men de lengte der loodlijn, uit den top op 't grondvlak neergelaten. De hoogtelijn in een zijvlak eener regelmatige piramide heet apothema der regelmatige piramide. § 41. eigenschappen, a. Als men het voetpunt der hoogtelijn uit den top in een zijvlak verbindt met het voetpunt van de hoogtelijn der piramide, dan is de verbindingslijn loodrecht op de basis van dat zijvlak. Bett'ijs. Zij AB eene zijde van 't grondvlak, TR de hoogtelijn van 't zijvlak ABT en TP die van de piramide, dan is AR X. TR en AR ± TP, dus AR ± PR. b. De opstaande ribben van eene regelmatige piramide zijn onderling gelijk. Bewijs. Elke opstaande ribbe is de schuine zijde van een rechthoekigen driehoek, die tot rechthoekszijden heeft de hoogtelijn der piramide en den straal van 't grondvlak. c. Eene doorsnede evenwijdig aan 7 grondvlak is gelijkvormig met dit laatste. Bewijs (fis?. 47)- Bewijs (fig. 47) De zijden van de doorsnede FGHK zijn evenwijdig met die van 't grondvlak BCDE. Verder is de verhouding eener zijde van den eersten veelhoek tot de gelijkstandige zijde van den tweeden als Af : AB. Deze verhouding is standvastig voor alle opstaande ribben. Dus is de eerste veelhoek gelijkvormig met den tweeden. d. Als men eene piramide snijdt door een vlak, evenwijdig aan t grondvlak, dan is de afgesneden piramide gelijkvormig met Ufp»i i rt mpn diaconaal vlakken aan door den newijs \iig- — o top en de diagonalen van 't grondvlak uit één punt getrokken, rlan wnrrit elke der beide piramiden daar¬ door verdeeld in viervlakken, die twee aan twee gelijkvormig zijn. Dus zijn de beide piramiden gelijkvormig. e. Doorsneden evenwijdig met ' t grondvlak eener piramide zijn evenredig met dc tweedemachten van hare afstanden tot den top. Bewijs (fig. 4-S). A BCD : A l-FG = BC2 : EF* = AC2 : AF2 = AH2 : AA'2. ƒ Worden twee piramiden met gelijke tig. 4». grondvlakken en gelijke hoogten gesneden door vlakken op gelijke afstanden van den top, dan zijn de doorsneden gelijk. Bewijs (fig. 49). Is G 't oppervlak en h de hoogte der beide piramiden en zijn D en D' de doorsneden, dieopdenzelfden afstand h' van de toppen liggen , zoo is G : D h2: h'2 en G :D' = h2 : h'8• Dus is D = D'. $ 42. Bepalingen. Het gedeelte van eene piramide Fig. 49. gelegen tusschen "t grondvlak en eene doorsnede evenwijdig aan t grondvlak. heet b afgeknotte piramide (fig. 49). Grond- en bovenvlak eener afgeknotte piramide zijn gelijkvormige veelhoeken (zie c). De zijvlakken zijn trapeziums. Is de afgeknotte piramide een deel van eene regelmatige piramide, dan heet zij regelmatige afgeknotte piramide. De zijvlakken zijn dan gelijkbeenige trapeziums. De hoogtelijn in een zijvlak heet apothema van de afgeknotte piramide. Het oppervlak eener piramide is dat van 't grondvlak vermeerderd met dat der zijvlakken. Is de piramide regelmatig, dan verkrijgt men haar oppervlak, door de som van 't apothema van 't grondvlak en dat der piramide te vermenigvuldigen met den halven omtrek van 't grondvlak. Het oppervlak eener afgeknotte piramide wordt verkregen, door dat van 't grond- en van 't bovenvlak te vermeerderen met dat der zijvlakken. Is de piramide regelmatig, dan verkrijgt men haar zijdelingsch oppervlak door de som der omtrekken van grond- en bovenvlak te vermenigvuldigen met het halve apothema. b. Inhoud van veel vlakken. $ 44. Lichamen worden gemeten met de ruimte-eenheid, d.i. de kubus, waarvan de ribbe gelijk is aan de lengte-eenheid. Den inhoud van een lichaam te meten heet ook wel „zijn inhond bepalen". 1. Het prisma. § 45. We bepalen eerst den inhoud vaneen rechthoekig prlpd. uit zijne lengte, breedte men nu en hoogte, die men de drie afmetingen van het prlpd. noemt. Daartoe dienen de volgende Eigenschappen, a. De verhouding van twee rechthoekige parallelepipedums niet congruente grondvlakken is gelijk aan de verhouding der hoogten. Bewijs. Zij h (fig. 50) de hoogte van 't eene prlpd. P en h' die van 't andere Fig. 50. prlpd. P' en h' < li. Zet h' af op h en brengt door de deelpunten vlakken even- wijdig aan 't grondvlak, dan ontstaan prlpd. s congruent met 1 . Ingeval er bij de afpassing van h' op li een rest kleiner dan li overblijft, zal na 't aanbrengen der evenwijdige vlakken er ook een prlpd. overblijven kleiner dan P'. Men vindt dan, in geval h : li een geheel of gebroken getal is, h:h' — P : P'. Is de verhouding h : h' onmeetbaar, en benadert men die in decimalen, dan zal de verhouding P : P dezelfde decimalen bevatten, hoever de benadering ook worde voortgezet. Men noemt dan de verhouding h : h' gelijk aan die van P: 1 , zoodat ook in dit geval h : li — P : P' is. b. De verhouding der inhouden van twee 'willekeurige rechthoekige prlpd:s is gelijk aan 't gedurig product van de verhouding der 'lengten, van die der breedten en van die der hoogten. Bewijs. Stellen /, /, b, h, inhoud, lengte, breedte en hoogte voor van 't eene, /', /', b', li die van 't andere prlpd., dan kan men zich voorstellen, dat er nog twee bestaan, waarvan inhoud, lengte, breedte en hoogte door /, , b, li en I, b, h zijn voorgesteld. Nu is /:/, = /:/' of / = /( X /, b r l b , /, : /a = b : b' of /, = X /2, dus I — -- X ^ X 11, h rlbh eindelijk l,\ I' — h : li of /2 = X /, dus / = — X -7 X X I l b h °f /' - 7 X b' X li c. De inhoud van een rechthoekig prlpd. is gelijk aan 'tgedurig product van lengte, breedte en hoogte. Re-wijs. Zijn (zie b) i, b' en li ieder gelijk aan de lengteeenheid, dan is /' de ruimte-eenheid, en dus gaat de vergelijking in b verkregen over in / l b h , — y — v , of zoo men door 1 M*~ 1M 1M iM' /, i en // de verhoudingen der lengte, der breedte en der hoogte tot de lengte-eenheid voorstelt, /=/X b X h X i^- Spreekt men nu van 't product van lijnen, dan bedoelt men daarmee 't product van de verhoudingsgetallen, die verkregen worden, als die lijnen met de lengte-eenheid worden gemeten, terwijl ook I: M* een getal is. Dit laatste getal is nu gelijk aan 't gedurig product der drie getallen, die de verhoudingen voorstellen van de lengte , de breedte en de hoogte tot de lengte-eenheid. d. De inhoud van een rechthoekig prlpd. is gelijk aan 7 product van grondvlak en hoogte. Bewijs- Uit de Planimetrie is bekend, dat O = l x b x iM* is, waarin / en b verhoudingen. Vervangt men G : 1M* door G, zoo is ook G een verhoudingsgetal. De formule bij Eig. c verkregen gaat dus over in deze: / = G X h, als ook / een verhoudingsgetal is. EG uitbreiden en snijden door de vlakken AH' en HG', beide loodrecht op 't grondvlak ABCD. Daardoor verkrijgt men een nieuw prlpd. AG'. Het lichaam ABCDEF'G'H is een vierzijdig prisma met ABF'E tot grondvlaken AD tot opstaande § 46. T°t den regel, waardoor men den inhoud van een willekeurig prlpd. bepaalt, komt men door de volgende Eigenschappen, a. Elk scheefhoekig prlpd. is gelijk aan een rechthoekig prlpd. met hetzelfde grondvlak en gelijke hoogte. Bewijs (fig- Si). Is AG het gegeven prlpd., dan kan men de „ vlakken AF, DG en tril n " Fig. 51. ribbe. Neemt men beur¬ telings van dit prisma af een der beide driezijdige prisma's AEE'DHH' en BFF'CGG', die congruent en dus gelijk zijn, dan houdt men de prisma's AG en AG over, die dus gelijk zijn. Breidt men nu van het prlpd. AG' de vlakken AH , BG en E'G' uit en snijdt ze dan door de vlakken BE" en LH", beide loodrecht op 't grondvlak ABCD, zoo verkrijgt men het prlpd. AG", dat gelijk is aan het prlpd. AG' en dus ook aan het prlpd. AG. Het scheefhoekig prlpd. AG is dus gelijk aan het rechte prlpd. AG" , die beide 't zelfde grondvlak en gelijke hoogten hebben. b. Elk recht prlpd. is gelijk aan een rechthoekig prlpd. met gelijk grondvlak en gelijke hoogte. Bewijs (fig- 52)- We breiden 't grondvlak, 't bovenvlak en 't vlak DG" van liet prlpd. AG" uit en brengen de vlakken AH, en BG, aan, loodrecht op 't vlak AF". Dan verkrijgt men het rechthoekig prlpd. AG,, daar 't grondvlak Tf" g, a" AC, een rechthoek is, en de opstaande zijvlakken loodrecht op 't grondvlak staan. Dit prlpd. is ontstaan, door het prlpd. AG" te vermeerderen met het driezijdig prisma ADD,E''H"H, en te verminderen met het driezijdig prisma BCC,F" G" G. Daar beide laatstgenoemde driezijdige prisma's congruent en dus gelijk zijn, is het rechte prlpd. AG" = het rechthoekig prlpd. AG,. Beide hebben gelijke grondvlakken, daar het prlgr. AC — de rechthoek AC, is, terwijl de hoogten van beide prlpd.'s ook en de opstaande Fig. 52. gelijk zijn. c. De inhoud van een willekeurig prlpd. is gelijk aan V product van grondvlak en hoogte. Bewijs (fig. 51 en 52). Zijn /, G en h de verhoudingsgetallen van den inhoud van 't prlpd. AG tot de ruimte-eenheid, van't grondvlak tot de vlakte-eenheid en van de hoogte tot de lengte-eenheid, zoo is I— Gxh (% 44e). Daar nu de prlpd.'s AG, en AG gelijke inhouden, gelijke grondvlakken en gelijke hoogten hebben, geldt ook voor 't scheefhoekig prlpd. AG de regel: / = G X h. § 47. Den inhoud van een willekeurig driezijdig prisma vindt men door toepassing der volgende EIGENSCHAPPEN, a. Een recht prlpd. wordt door een diago- naalvlak verdeeld in twee congruente driezijdige prisma's. Bewijs (fig. 53). Brengt men in het rechte prlpd. het diagonaalvlak BH aan, zoo ontstaan twee rechte driezijdige prisma's. Door verschuiving van A ABD in zijn vlak kan men dezen laten samenvallen met A CDB zoo, dat A in C, B in D en D in B komt. Daar de opstaande ribben loodrecht op 't grondvlak- en onderling ?eliik ziin . zal dus A EFH rp- ► Q * OO J J ' 1g' 3 ' met A GHF samenvallen. Beide prisma's vallen dus samen en zijn dus gelijk. b. hik scheefhoekig prlpd. wordt door een diagonaalvlak verdeeld in twee gelijke driezijdige prisma s. Bewijs (fig. 54). Het prlpd. AG — het prlpd. A'G', daar beide gelijke grondvlakken HG en B'G' en gelijke hoogten hebben. Nu is het 3-zijdig prisma A 'B'D'E'FH' = \ prlpd. A'G' (zie a). Verder is het 3zijdig prisma A'B'D'E'F'H' — het 3-zijdig prisma ABDEFH, daar het veelvlak ABD A'B'D' = het veelvlak Eb H E'F'H' is. Dus is het 3-zijdig prisma ABDEFH = ^ prlpd. AG'. Eindelijk, Ann~ 1 i A 1 1 ry uddi pupu. /i u = pnpa. AG is, is het 3-zijdig prisma Fig- 54' ABCEFH= i prlpd. AG. e. De inhoud van een driezijdig prisma is gelijk aan 'tproduct van grondvlak en hoogte. Bewijs. Zijn I, G, h inhoud, grondvlak en hoogte van het prlpd. AG (fig. 53), zoo is I = G X h (§ 45 d). Dus is \ I = \G x h. Maar \ I is de inhoud van het driezijdig prisma ABDEFH en i, G = A ABD. Dus is inh. v h. driezijdig prisma ABDEFH — opp. grondvl. ABD x h. d. De inhoud van een willekeurig driezijdig prisma is gelijk aan tproduct van zijne rechte doorsnede en de opstaande ribbe. Bewijs (fig. 54). Het 3-zijdig prisma van ABDEFH = het 3-zijdig prisma A'B'D'E'F'H'. De inhoud van 't laatste is gelijk aan 't grondvlak A A'B'D' x de hoogte A'E'. Maar A A'B'D' is de rechte doorsnede en A'E' — AE de opstaande ribbe van 't prisma ABDEFH. Dus is de inhoud v/h. prisma ABDEFH = rechte doorsnee A'B'D' x opstaande ribbe AE. S 48. Eigenschap. De inhoud van een prisma is gelijk aan 'tproduct van zijn C grondvlak en zijne hoogte. Bewijs (fig. 55). Verdeelt men het prisma door diagonaalvlakken in driezijdige prisma's, dan zullen deze tot hoogte hebben de 4 Fig. 55. Kors , Stereometrie. hoogte van 't gegeven prisma. Van elk der 3-zijdige prisma's is de inhoud gelijk aan 't product van grondvlak en hoogte. De som der inhouden van alle driezijdige prisma's, dat is, de inhoud van 't gegeven prisma is dus gelijk aan de som van de grondvlakken der 3-zijdige prisma's, dat is, 't grondvlak van 't gegeven prisma vermenigvuldigd met de hoogte. OPGAVEN. 1. Een kubus zoo te verdeelen, dat daaruit blijkt, dat / , dus t vlak E\FXC?J/ 't vlak ABT. Tusschen beide vlakken ligt eene afgeknotte piramide kleiner dan het prisma, dat A ABT tot grondvlaken den afstand der vlakken ABT en /:, F, C-, tot hoogte heeft. Verder is 't verschil van den inhoud van de piramide 7ABC en van de som der inhouden der ingeschreven prisma's kleiner dan de inhoud van de afgeknotte piramide. De hoogte van deze is ^ A5C3 en wordt nu willekeurig klein, als men 't aantal deelen , waarin de ribbe AF door de evenwijdige vlakken wordt verdeeld, onophoudelijk laat toenemen. Daar dus 't verschil van den inhoud der piramide 1 ABC en dien van de som der ingeschreven prisma's willekeurig klein kan worden, is de eerste de grenswaarde van die som. b. Twee piramiden, die gelijke grondvlakken en gelijke hoogten hebben, hebben gelijke inhouden. Bewijs (fig. 49). Is A ABC — vierh. DEFG, dan zijn de vlakken A\ByC\ en /->,/:,6", , op gelijke afstanden van de toppen 7 en V aangebracht, ook gelijk (§41 ƒ). Worden dus volgens eigenschap «, in beide piramiden gelijke aantallen prisma's beschreven, r. f dan zijn deze prisma's twee aan twee gelijk. &, r „ , ,. Hunne sommen, en dus ook ae nmieien hunner sommen, als 't aantal in beide piramiden onophoudelijk toeneemt, zijn gelijk, d. i. de piramiden zijn gelijk. e. De inhoud van eene driezijdige piramide is het derde deel van dien van een prisma met hetzelfde grondvlak en gelijke hoogte. Betvijs. Brengt men door eene der zijden BD van 't grondvlak der piramide een vlak de opstaande ribbe CA door 't overstaande hoek- 4* Fig. 57. evenwijdig aan fl punt C, welk vlak gesneden wordt door 't zijvlak ABC in BE, door 't zijvlak ACD in DF en door een vlak door A evenwijdig aan 't grondvlak EF, zoo ontstaat een driezijdig prisma. Brengt men door A, Fe n B een vlak, zoo is pir. />'. ADF — pir. B . ACD, daar A ADF = A ACD is, en pir. A . BDF = pir. A . BEF, daar A BDF = A BEF is. Uus is pir. A . BCD gelijk aan ieder der beide overige piramiden, en dus de inh. van pir. A . BCD — ^ inh. prisma BCDAEF. d. De inhoud van eene driezijdige piramide is gelijk aan het derde deel van 'tproduct van grondvlak en hoogte. Bew'ijs (fig. 57). Het prisma BCDAEF — 3 X pir. A.BCD, dus de pir. A . BCD — 4 prisma BCDAEF = £ A BCD X h. e. De inhoud van eene willekeurige piramide is gelijk aan het derde deel van 'tproduct van grondvlak en hoogte. Bewijs. Door vlakken, gebracht door den top en de diagonalen van 't grondvlak uit één hoekpunt getrokken , wordt de veelzijdige piramide verdeeld in driezijdige, die dezelfde hoogte hebben als de eerste. Past men den regel, in eigenschap d vermeld, toe op elke dezer piramiden, dan is de eigenschap bewezen. f. De inhouden van gelijkvormige driezijdige piramiden zijn evenredig met de derdemachten van twee gelijkstandige ribben oj van twee gelijkstandige lijnen. Bewijs. Zijn I, G en h inhoud, grondvlak en hoogte van de eene piramide, I', G' en h' die van de andere, dan is I — \ Gh en /' = • G'h', dus / Gh G h a2 aa* — = - x = —; X = , als a en a I' G'h' G' li a'2 a' a'3' twee gelijkstandige ribben of lijnen van beide piramiden zijn. g. De inhouden van gelijkvormige veelvlakken zijn evenredig met de derdemachten van twee gelijkstandige ribben oj van twee gelijkstandige lijnen. Bewijs. Daar de gelijkvormige veelvlakken kunnen worden verdeeld in gelijkvormige viervlakken of driezijdige piramiden, vindt men, na eigenschap ƒ op elk paar gelijkvormige piramiden te hebben toegepast, eene aaneengeschakelde evenredigheid, waarvan de som der voorgaande termen, dat is de inhoud van het eene veelvlak , staat tot de som der volgende, dat is de inhoud van 't andere veelvlak, als twee gelijkstandige viervlakken en dus als de derdemachten van twee gelijkstandige ribben of van twee gelijkstandige lijnen. § 50. Den inhoud eener afgeknotte piramide vindt men door middel van dien eener driezijdige afgeknotte piramide, die in drie piramiden wordt verdeeld. Fig. ">8. FAE verdeeld in de beide 3 Dus is de afgekn. pir. = pir. I'„k;kxs<. happen , a. ue in/ioua eener afgeknotte driezijdige piramide is gelijk aan de som der inhouden van drie piramiden , die met de afgeknotte piramide dezelfde hoogte hebben en tot grondvlakken 'tgrond- en 't bovenvlak van deze en een vlak middenevenredig tnssehen 'tgrond- en 't bovenvlak. Bewijs (fig. 58). Men brengt het vlak F AR aan , waardoor de afgeknotte piramide wordt verdeeld in de 3-zijdige pir. F. ABC en de 4-zijdige pir. F. ABED. De laatste wordt door 't vlak -zijdige piramiden F.ABE en F.ADE. F. ABC + pir. F. ABE + pir. F. ADE of korter = P + Q -\- R. Nu is P : Q = F. ABC : F. ABE = A . BCF : A . BEF = BC : EF = AB : DE, verder Q:R= F. ABE: F. APE = AB : DE, dus P:Q=Q:R, of 0= VPR. Stellen G, B en h grondvlak, bovenvlak en hoogte der afgekn. piramide voor, zoo is /J = j//Xff, R = J h / B, Q — h x l" BG. Dus is / (de inh. der afgekn. pir.) = J h (G -j- B -j- ]/ BG). b. De inhoud eener willekeurige afgeknotte piramide is gelijk i h (G 4- B -f- y BG), als G, B en h grondvlak, bovenvlak en hoogte der afgeknotte piramide voorstellen. Bewijs (fig. 49). Is A B CA, Bt C, eene afgeknotte driezijdige piramide, waarvan 't grondvlak ABC=G, 't bovenvlak A,B,Ct = B is, terwijl de hoogte door h wordt aangewezen, dan is haar inhoud — \ h (G -f- B -f- 1/ BG). Neemt men nu eene veelzijdige piramide I'. DEEG zoo, dat het grondvlak DEEG — A ABC — G is, en de hoogten van beide piramiden ook gelijk zijn, en brengt men in de veelzijdige pir. een vlak DlEiFiGx aan op denzelfden afstand van den top T' als A^iC, in de andere piramide van den top T, zoo is de veelhoek D{EyFiG{ — A -A\B\CX — B. Tevens liggen, omdat de hoogten der piramiden gelijk zijn, die twee vlakken op gelijke afstanden O R. van de grondvlakken der piramiden, zoodat de beide afgeknotte piramiden gelijke hoogten hebben. \ erdei is pir. T. ABC = pir. T.DFFG, pir. T. A,B,C, = pir. T'. DiElF]Gi, dus de afgekn. pir. AA, = afgekn. pir. DDy Dus is de afgekn. pir. DDX — J // (G + B + V GB). § 51. Eigenschap. De inhoud van een afgeknot driezijdig prisma is gelijk aan de som der inhouden van drie $-sijdige piramiden, die 't grondvlak van t afgeknot prisma tot gemeenschappelijk grondvlak hebben, en waarvan de toppen liggen in de hoekpunten van het bovenvlak. Bewijs (fig. 59). Brengt men 't vlak DBC aan , zoo is 't afgekn. pr. = pir. D. ABC + pir.D.BCFE, en snijdt men deze 4-zijdige pir. weer door 't vlak DEC, zoo is 't afgekn. pr. = pir. I) . ABC + pir. D. BCh + pir. D . l'Ch. Nu is pir. D . BCh =■ pir. A . BCh — pir. h . ABC , en pir. D.FCE— pir. D . FCB = pir.A. FCB=pir. h . ABC. Dus is 't afgekn. pr. = pir. D . ABC + pir. h . ABC -f- pir. h. AhC. O P G A V E N. 1. Als de opstaande ribben van eene piramide gelijk zijn, kan om het grondvlak een cirkel worden beschreven. 2. Het vlak, dat een tweevlh. van een viervlak middendoor deelt, verdeelt de overstaande ribbe in deelen, evenredig met de aanliggende zijvlakken. 3. Trekt men door een hoekpunt van een viervlak eene lijn, die gelijke hoeken maakt met de aanliggende zijvlakken, dan wordt het overstaande zijvlak in een punt gesneden, dat de eigenschap bezit, dat de lijnen, die dat punt met de hoekpunten van dat zijvlak verbinden, het laatste in drie deelen verdeden, die evenredig zijn met de aanliggende zijvlakken. 4. Binnen een viervlak een punt te vinden zoo, dat de lijnen, die dat punt verbinden met de hoekpunten van het viervlak, de opstaande ribben zijn van vier viervlakken , die onderling gelijk zijn. 5- Ais twee driezijdige piramiden een drievlh. gelijk hebben, is de verhouding van de inhouden van beide lichamen evenredig met de gedurige producten van de drie aanliggende ribben. 6. Elk vlak door de middens van twee elkaar kruisende ribben van een viervlak, verdeelt dit lichaam in twee gelijke deelen. /. Door een punt in de basis van eene regelmatige piramide richt men eene loodlijn, op, die ver genoeg verlengd alle opstaande zijvlakken snijdt. De som der afstanden van de snijpunten tot het grondvlak is een standvastig getal. 8. Twee piramides zijn gelijkvormig, als ze een tweevlh. aan de basis gelijk hebben en de aanliggende vlakken gelijkvormig zijn. 9. Ken piramide door een vlak evenwijdig aan de basis te snijden zoo, dat de verhouding van 't oppervlak van de gegeven piramide tot die van de afgesneden piramide gelijk is aan de verhouding van twee gegeven lijnen. 10. Eene regelmatige vierzijdige piramide wordt gesneden door een vlak, evenwijdig aan twee overstaande opstaande ribben. Als de deelen, waarin dit lichaam daardoor wordt verdeeld , tot elkaar staan als m : n, en als de zijde van 't grondvlak a is, in welke deelen worden dan twee opeenvolgende zijden van 't grondvlak verdeeld ? 11. Eene piramide (hoogte = h) wordt door vlakken evenwijdig aan de basis verdeeld in drie deelen, die van den top af gerekend tot elkaar staan als 2:3:4. Bereken de deelen, waarin de hoogte daarbij wordt verdeeld. 12. Van een viervlak, waarvan alle ribben gelijk zijn, is elke der hoogtelijnen gelijk aan de som der loodlijnen, die men uit een punt binnen 't viervlak op de zijden kan neerlaten. 13. Als van een viervlak gegeven zijn de vier hoogtelijnen, (i, b, c en d en drie der loodlijnen, ƒ, q en r, die men uit een punt binnen 't viervlak op de zijvlakken kan neerlaten, bereken dan de vierde loodlijn. 14. Gegeven drie evenwijdige lijnen , niet in 't zelfde vlak gelegen. Op de eerste neemt men twee punten A en B, op de tweede een punt C en op de derde een punt D. Te bewijzen, dat de inhoud van het viervlak ABCD onveranderd blijft als men die punten op die lijnen willekeurig verplaatst, mits de afstand AB niet verandert. 15. De formule 3/ — // (G + B -f J/ BG) af te leiden, door de afgekn. pir. te beschouwen als 't verschil van twee piramiden, die resp. G en B tot grondvlakken hebben en den gemeenschappelijken top in 't snijpunt der opst. ribben. [Zij x de hoogte der pir., die B tot grondvlak heeft, zoo is x-: (.v -(- h)1 = B: G. Verder is 3/= G(x + //) — Bx. l'it beide vergel. x te elimineeren]. 3. De prismoïde. Eigenschap. De inhoud eener prismoïde is gelijk aan de som der inhouden van drie piramiden, die 'tgrondvlak, t bovenvlak en 't viervoud der middendoor snede van de prismoïde tot grondvlakken en de helft van hare hoogte tot hoogte hebben. Bewijs (fig. 43). We stellen de oppervlakken van 't grondvlak, 't bovenvlak en de middendoorsnede door G, li en M, en de hoogte door h voor. Zij P een willekeurig punt in de middendoorsnede. Trekt men uit dit punt lijnen naar de hoekpunten van 't grond- en van 't bovenvlak, dan ontstaan I". de piramide P . ABCDE, welker inhoud = £// X G, 2'. „ „ P . FGHK, „ „ = ihx B is. In de derde plaats ontstaan piramiden, die P tot top en de zijvlakken der prismoïde tot grondvlakken hebben. Zij P . ABF eene dezer piramiden. Nu is pir. P . ABP = 4 x pir. P . A'B'F = 4 x pir. F. A'B'P = ^ h x 4 X A A B P. Past men deze herleiding toe op alle piramiden, die de zijvlakken der prismoïde tot grondvlakken hebben, dan vindt men voor de som der inhouden \h X 4 M. De inhoud der prismoïde is dus gelijk aan h X (G B 4 M). Van deze formule zijn die voor de inhouden van prisma's en piramiden bijzondere gevallen. Voor G — B — M gaat zij over in G X h, den inhoud van een prisma. Voor B = o en dus M — {G heeft men \h X G, den inhoud van eene piramide. Voor eene obelisk, wier gronden bovenvlak rechthoeken zijn, heeft men (fig. 60) als AB ■== CD=a, AD = BC— b, A'B'= CD' = a', A'D' = B'C' = b' en de hoogte h is, terwijl PQRS de middendoorsnede voorstelt, en dus PO = RS=\(a + a'), PS = OR = , (b + b'), inh. obelisk = £ h [ab + a'b' + (a -f a') (b 4- . Snijdt men een kegel door een vlak evenwijdig aan t grondvlak , dan is de doorsnede gelijkvormig met dit vlak. Bewijs (fig. 66). De piramide in den kegel beschreven wordt door dat vlak gesneden, en de doorsnede is gelijkvormig met het grondvlak. Dit blijft waar, als men 't aantal zijden van 't grondvlak der piramide onophoudelijk vermeerdert. En nu noemt men twee figuren door kromme lijnen begrensd gelijkvormig, als dit het geval is met ingeschreven veelhoeken, waarvan de eerste de grenzen zijn. e. Snijdt men een kegel door een vlak, door den top gaande. dciu is de doorsnede een (irietioe/c. Bewijs (fig. 67). Gaat het snijdende vlak V door den top en snijdt het 't grondvlak volgens de rechte lijn AB, dan liggen de punten A en 7' tegelijk in 't snijdende vlak en in 't zijdelingsch oppervlakvan den kegel. De rechte lijn A T, die ook eene beschrijvende lijn is, ligt dus in beide vlakken. Hetzelfde is 't geval met de rechte lijn BT. d. Een plat vlak, dat het kegelvlak snijdt volgens beschrijvende lijnen, kan om eene van deze omgewenteld worden, tot het slechts éétie beschrijvende lijn met het kegclvlak gemeen heeft. Bewijs. Wordt I om A1 omgewenreiu (fig. 67 en 68), tot B in A valt, dan zal BT met AT samenvallen. BEPAMNCiKN. Hen plat vlak, dat met een kegelvlak slechts ééne rechte lijn gemeen heeft, heet raakvlak van het kegelvlak. Een kegel, die een cirkel tot grondvlak heeft, heet cirkelvormige kegel. \ alt de projectie van den top met het middelpunt van 't grondvlak van den kegel samen , dan heet de kegel rechte cirkelvormige kegel. De projecteerende lijn heet as van den kegel. Alle beschrijvende lijnen van dit kegelvlak, zijn gelijk als schuine zijden van rechthoekige driehoeken , met gelijke rechthoekszijden. Elke dezer lijnen heet schuine zijde of apothema van het kegelvlak. e. Een raakvlak van een reehien cirkelvorntigen kegel staat loodrecht op 't vlak door de gemeenschappelijke ribbe en de as van den kegel. Bewijs (fig. 68). Is TR de gemeenschappelijke ribbe en RS de doorsnede van V met het vlak, waarin 'tgrondvlak van den kegel ligt, zoo is RS X RM en RS X TM. dan is 't vlak V, door RS. loodrecht op 't vlak RM 1. § 59. Heeft men in een rechten cirkelvormigen kegel eene piramide beschreven , zijn P en P de omtrekken der grondvlakken van kegel en piramide, i' en a de apothema's, 0, en 0\ de zijdelingsche oppervlakken, zoo is 0\ = \P' X a, dus lim 0\ == i lim P X limrt, of dat den kegel snijdt, 't grondvlak en een Jaarme rechte cirkelvormige afSek'n°"e heet afgeknotte kegel Deze n kegd is. Het deel kegel, als de kegd een red en bovenvlak gelegen, der beschrijvende lijn > heet dan apothema. waarvan grond- en bovenvlak veel- Eene afgeknotte piraat, bovenvlak van den afgehoeken zijn. breven - knotten kegel, heet in '^ afgeknotte piramide, die ineen EIGENSCHAP. Als me" ™ < zijdm van gr0nd- en beknotten kegel * * afgeknotte kegel de bovenvlak onophoudelijk laaI grens van de afgeknotte ^ k van den afgeknotten kegel Bewijs. Het grond-• cn t b piramide. Hieruit volgt tfzrz afgek"otten ktgel dc greM" van dit' der afknotte p,^ me„ ■, „ppervlak en den Met behulp van deze c ■ P cirUelvormigen kegel vinden. inhoud van een afgeknotten lmatige afgeknotte pira- Is in den afgeknotten ^ ^ Strekken van grond- en mide beschreven en zijn p , en f. -t apothema der afge- bovenvlak, * en b hunne ap' ak Q, der afgeknotte piramide knotte piram.de . zoo « ^ + + q). te bepalen. Want 0 4 limfe + limi'(/ + ?)]- D„s is oppervlak, de stralen van grond- en ' VWhema van den afgeknotten kegel, «K> » bovenvlak en t apot^ ^ ^ [;.2 + r'i + s(r+r )]. . ^ ^ +T otdlk.'bovenvlak en hoogte der afgeknotte Zijn G, B en h y ^ iq-\- B + V GB). piramide , zoo is jiaar^ in u ^ ^ ^ R + Um y GE\, Dus is hm i d afgeknotten kegel voorstelt, of, als / den inhoud;andenag+^<+^ OPGAVE N. i n •- 't peheele oppervlak i M2 en de straal va^t^UvTakTdM. Berelen de hoogte tot op i -den inhoud tot op . cM> nauwkeurig. , , m!„, ,ordi V.cdocl.1 '.M' t,g,L i) Met kegel, zonder meer, 2. In een kegel (straal van 't grondvl. = r; hoogte —- //) is een cilinder beschreven, waarvan 't zijdelingsch oppervlak gelijk is aan 't oppervlak van een cirkel met een straal = a. Bereken de hoogte van den cilinder. 3. Welk verband moet er (zie opg. 2) bestaan tusschen r, h en a, opdat de oplossing mogelijk zij? 4. Van een kegel is de straal van 't grondvlak 1,24 M. en de hoogte 5,18 M. Bereken den inhoud van den afgeknotten kegel gelegen tusschen twee vlakken, die den kegel snijden op afstanden van 1,2 M. en 3,4 M. van den top. 5. Een kegel (str. v. h. grondvl. = r, hoogte = li) wordt door een vlak gesneden evenwijdig aan de basis. Als nu de beide verkregen deelen gelijke oppervlakken hebben, op welken afstand van den top ligt dan het deelvlak? 3. De bol. 8 61. BEPALINGEN. Een vlak, waarvan alle punten op denzelfden afstand liggen van een vast punt, heet boloppervlak. Het lichaam begrensd door een boloppervlak heet bol. Het vaste punt heet middelpunt, de afstand van dit punt tot elk punt van t boloppervlak straal van den bol. EIGENSCHAP. Snijdt men eeti bol door een plat vlak, zoo is de doorsnede een cirkel. Bewijs (fig. 69). Zij V het snijdende vlak en MN loodrecht Fig. 69. de doorsnede kleine cirkel. op V, zoo ligt /V binnen den bol, daar MN< MA is. Nu is A MNA = A MNB, dus NA = NB. Bepalingen. De doorsnede van een bol met een vlak, dat door 't middelpunt van den bol gaat, heet groote cirkel van den bol. Het middelpunt en de straal van den bol zijn dus ook middelpunt en straal van eiken grooten cirkel. Gaat het snijdende vlak niet door 't middelpunt van den bol, dan heet Een groote cirkel is dus bepaald door twee punten op den bol 1). i) Kortheidshalve zegt men op den bol, als men 't oppervlak van den bol bedoelt. K0RS, Stereometrie. 3 Door pool van een grooten cirkel verstaat men dat uiteinde van de middellijn van den bol loodrecht op dien cirkel, dat aan de linkerhand ligt, als die cirkel in eene bepaalde richting wordt door- • • 1 j loopen. Pool van een kleinen cirkel noemt men dat uiteinde van de middellijn van den bol, loodrecht op dien cirkel, dat op den kleinsten afstand van dezen is gelegen. De kleinste boog van den grooten cirkel, die twee punten op den bol verbindt, heet spherische afstand van die punten. Door hoek van twee cirkels, waarvan de een of beide kleine of groote cirkels zijn, verstaat men den hoek, door hunne raaklijnen in een hunner snijpunten gevormd. Eigenschap. Brengt men door een punt van V boloppervlak groote cirkels, dan liggen de raaklijnen in dit punt aan die cirkels in één plat vlak. Bewijs (fig. 69). Zijn PQ, PR en PS bogen van groote cirkels door P gaande, en PC, PD en PE raaklijnen aan die cirkels, zoo staan deze raaklijnen alle loodrecht op den straal PM, die de gemeenschappelijke straal van die drie cirkels is. De drie loodlijnen liggen dus in één plat vlak. BEPALING. Het vlak, waarin de raaklijnen liggen, die groote cirkels in hun snijpunt raken, en dat dus slechts één punt met het boloppervlak gemeen heeft, heet raakvlak van den bol in dat punt. Dat punt heet raakpunt. Een raakvlak staat dus loodrecht op den straal naar 't raakpunt. Eigenschappen, a. ïwee grooie cirkels van een bol deelen elkaar middendoor. Bewijs (fig. 70). Zijn APB en AQB twee groote cirkels van den bol, dan hebben zij de middellijn AB gemeen, die ieder der beide groote cirkels middendoor deelt. b. De hoek door twee groote cirkels gevormd in elk van hare snijpunten is gelijk aan den standhoek der vlakken, waarin die cirkels zijn F'g- ~0. gelegen. Bewijs (fig. 70). Is AC de raaklijn aan den cirkel APB en AD die aan den cirkel AQB, zoo is L CAD de hoek der beide groote cirkels. Zijn MP en MQ loodlijnen in de beide vlakken opgericht uit M op de gemeenschappelijke middellijn AB der beide cirkels, zoo is L PMQ de standhoek. Daar de beenen L CAD evenwijdig zijn aan die van L PMQ, zijn dus beide hoeken gelijk. gevolg. De hoek van twee groote cirkels is gelijk aan den boog van den grooten cirkel, waarop de beide eerste loodrecht staan en gelegen tusschen deze twee cirkels. c. De hoek gevormd door twee groote cirkels is gelijk aan den spherischen afstand van hunne polen. Bewijs (fig. 70). Is MP' -L MP, zoo is P' de pool van den cirkel AP. Is MQ' _L MQ, zoo is Q' de pool van den cirkel AQ. Daar nu L P'MQ' = L PMQ is, is dus de stelling bewezen. d. De hoek van twee groote cirkels, waarvan de eene genomen wordt in de richting naar, de tweede in die van V hoekpunt, is gelijk aan V supplement van den hoek, dien beide cirkels zouden maken, indien ze beide genomen werden in richtingen van of naar 7 hoekpunt. Bewijs (fig. 70). Is MP" 't verlangde van MP', zoo is P" de pool van den cirkel PA. Dus is de hoek van de cirkels PA en AQ gelijk aan P"Q' (zie c), d.i. 180 — P'Q'. e. Brengt men door twee punten van een grooten cirkel loodrecht op dezen twee groote cirkels, dan gaan deze door de pool van den eersten. Bewijs (fig. 71). Is AB een boog van een grooten cirkel en zijn AC en BC bogen van groote cirkels loodrecht op den eersten, dan Fig. 71. gaan beide door 't middelpunt D van dezen, terwijl hunne snijlijn CD loodrecht is op 't vlak ADB. CD ligt dus in de twee elkaar snijdende groote cirkels en gaat door de pool van den eersten. gevolg. Brengt men door een punt van een groote7i cirkel loodrecht ot> dezen een boog van oo° van een grooten cirkel, dan valt het uiteinde van den laatsten samen met de pool van den eersten. Bepalingen. Het deel, dat van den bol door een plat vlak wordt afgesneden, heet bolsegment. Een bolsegment wordt dus begrensd door een plat vlak, nl. een cirkel, en een deel van 't boloppervlak, dat ronde oppervlak van 't bolsegment heet. Het deel van den bol, begrensd door twee evenwijdige platte vlakken en een deel van 't boloppervlak, heet bolschijf. Een bolschijf wordt 5* dus begrensd door twee cirkels en een deel van 't boloppervlak, dat ronde oppervlak van den bolschijf heet. Het oppervlak en den inhoud van een bol en van deelen van den bol zullen we bepalen, nadat we eerst cilinder, kegel en bol en hunne oppervlakken hebben beschouwd als te zijn ontstaan uit de beweging van vlakken en lijnen. 4. Omwentelingslichamen. $ 62. Bepalingen. Als eene rechte of eene kromme lijn omwentelt om eene vaste rechte lijn en beide in 't zelfde platte vlak zijn gelegen, beschrijft de eerste een vlak, dat omwentehngsoppervlak heet. De vaste lijn heet as van 't omwentelingsoppervlak. Wentelt een begrensd deel van een plat vlak om eene rechte lijn met dit deel in 't zelfde platte vlak gelegen, dan wordt een ichaam beschreven, dat oniwentelingsiicnaam ïeet. De rechte lijn heet as van dit lichaam. Eene rechte lijn, die om eene daarmee evenwijdige rechte lijn wentelt, beschrijft sen omwentelingsoppervlak, dat we reeds als een recht cirkelvormig cilindervlak hebben leeren kennen. Een rechthoek, wentelende om eene zijner zijden, beschrijft een rechten cirkelvormigen cilinder (fig. 72). Eene lijn, met eene andere in 't zelfde vlak gelegen, maar niet evenwijdig met deze, Fig. 72. zal om deze omwentelende een recht cirkel¬ vorm^ kegelvlak of 't ronde oppervlak van een rechten cirkelvor¬ migen atgetcnouen Kegei uouinjven (fig. 73 en 74). De rechthoekige driehoek AA'B B Fig. 73. (fig. 73) wentelende om de rechthoekszijde A'B beschrijft daarbij een rechten cirkelvormigen kegel het recntnoeiag trapezium (fig. 74) dat om de rechthoekszijde A'B' wentelt, een rechten cirkelvormigen afgeknotten kegel. $ 63. Wanneer men uitgaat van de vroeger (§ 56, 59. 60) gevonden formules voor 't oppervlak en den inhoud van de bovengenoemde omwentelingslichamen, kan men, door ze een anderen vorm te geven, andere regels vinden ter bepaling van die oppervlakken en inhouden. Deze nieuwe regels zijn dan geschikt om 't oppervlak en den inhoud van een bol of van sommige deelen van den bol te vinden. Deze herleiding van die formules geschiedt tengevolge van deze twee eigenschappen. a. Als eene lijn wentelt om eetie andere als as, met de eerste in 't zelfde vlak gelegen, zal de eerste een oppervlak beschrijven gelijk aan een rechthoek, -waarvan de lengte gelijk is ^ aan den omtrek des cirkels, die tot straal heeft de loodlijn, op 't midden der wentelende lijn opgericht, gerekend tot de as, en tot breedte de projectie van die lijn op de as. Bewijs. I. Is de wentelende lijn evenwijdig aan de as (fig. 72), zoo is 't cilinderoppervlak = 2nAA X AB — 2nCC X A B , als CC' loodrecht op 't midden van AB is opgericht. II. Snijdt de wentelende lijn de as (fig. 73), *>0 is zi->dch"^ opp. van den kegel = nAA' X AB. Maar is AC = BC, CC'±A B en CD JL AB, zoo is A AA'B co A CC'D en CC' = \AA. Dus is A'B : CC' = AB : CD of CC' X AB = CD X A'B. Dus ttAA' X AB = 2jiCC' X AB = 2jiCD X A'B. ^ III. Snijdt de wentelende lijn de as niet (fig. 74), zo° ls * zlJde" lin^sch oppervlak van den afgeknotten kegel = n(AA'+ BB ) X AB. Maar is AC = CB, CC'±A'B', CD 1 AB en BE X AA , zoo is CC' = i (AA' + BB') en A ABE ~ A CC'D. Dus is AB : CD — BE: CC' of CC' X AB — CD X BE, of 71 (AA' + BB') X AB = 27tCD X BE = 2nCD X A'B'. b. Als een driehoek omwentelt om eene lijn door een of twee der hoekpunten gaande en met den driehoek in een vlak gelegen, zoo is de inhoud van 't omwentelingslichaam daardoor beschreven crelijk aan dat van een kegel, die tot grondvlak heeft het oppervlak beschreven door eene zijde tegenover een vast hoekpunt, en tot hoogte de loodlijn uit dat hoekpunt op die zijde neergelaten. Bewijs. I. Wentelt een rechthoekige driehoek (fig. 73) om de rechthoekszijde A'B, zoo is zijn inhoud = * jiAA'2 X A'B. Is nu A'E _l AB, zoo is A AA'B ~ a EA'B\ en dus AA': AB = A'E : A'B. Dus is AA' x A'B = AB x A'E. H <22 Fig. 75. Fig. 76. Dus is Inh. = ^ .-tAA'2 x ^47? = ^ jiAA' X X = nAA' X ^5 X \A'E = zijdel. opp. x l A'E. II. Wentelt een willekeurige driehoek ABC om eene zijner zijden BC (fig. 75 en 76), dan kan men 't omwentelingslichaam beschouwen als de som of 't verschil van twee kegels. In 't geval in fig. 75 is 't beschreven omwentelingslichaam gelijk aan de som, in dat van fig. 76 aan 't verschil der beide kegels. Dus / = Inh. keg. ABD ± Inh. keg. ACD = 3 71 AD3 x BC. Is nu CE _L AB, zoo is AD x BC = CE X AB. Dus ƒ = -J nAD* xBC=l nAD x CE X AB = lx AD x -d/? X i CE — opp. beschreven door AB x ^ CE. III. Wentelt (fig. 77) A ABC om de lijn CD door 't hoekpunt C, zoo kan men het omwentelingslichaam beschouwen als 't versrliil rler lichamen die beschreven worden ^ door de driehoeken ACD en BCD. Noemen Fig. 77. we de inhouden der drie lichamen in deze orde /, /, en I2 en is CE de loodlijn uit C op AB neergelaten , zoo is /= /, —1± = (Opp. AD — Opp. BD) x 3 CE — Opp. AB x 3 CE. $ 64. We kunnen nu overgaan tot de bepaling vin 'toppervlak en den inhoud van den bol en van sommige deelen er van. Een boloppervlak is een omwentelingsoppervlak beschreven door een halven cirkelomtrek, die om de middellijn als as wentelt. Het lichaam, dat bij die omwenteling door 't vlak van den halven cirkel wordt beschreven, is de bol. Fig. 78. Men komt nu tot de bepaling van t oppervlak van den bol, door een cirkelboog te beschouwen als de limiet van eene ingeschreven regelmatig-gebroken lijn, waarvan 't aantal deelen onophoudelijk toeneemt. Is (fig. 78) PQ een cirkelboog, die om de middellijn AB als as wentelt, en heeft men in dien boog eene regelmatig gebroken lijn Pab . . . Q beschreven , zoo beschrijven Pa , ab enz. ronde oppervlakken van afgeknotte kegels. Eigenschap. Wanneer een cirkelboog om eene middellijn wentelt, wordt een oppervlak beschreven gelijk aan een rechthoek, waarvan de lengte de omtrek van den cirkel is en de breedte de projectie van den boosr ot> de as. Bewijs. Is MN't apothema van de gebroken lijn, zoo is (§ 63a. III) Ronde Opp. Pa — 211 MN X P'a' ti „ ab — 271 MN X a'b' „ bc — 2n MN X b'c' I „ cQ = 2n MN X C'Q' Ronde Opp. PabcQ — 2jiMN X P'Q'Laat men 't aantal deelen van de gebroken lijn in den boog PQ beschreven onophoudelijk toenemen, zoo is lim. MN — R, de straal van den cirkel. Daar P'Q' hierbij onveranderd blijft, zal het 2" lid dezer vergelijking en dus ook het 1" eene grenswaarde hebben. Terwijl de grenswaarde van de lengte der gebroken lijn PabcQ de boog PQ is, kan men dus aannemen, dat die van 't oppervlak, door die gebroken lijn beschreven, dat deel van t boloppeivlak is, dat door den boog PQ wordt beschreven. Dus R. Opp. PQ = 211R x P'Q'. Gevolg. Wentelt de halve cirkelomtrek APB om AB, zoo vindt men 't Opp. van den bol = 2jtK X 2h = 4ttR2. Den inhoud van den bol beschouwt men als de grenswaarde, waartoe het omwentelingslichaam nadert, dat beschreven wordt, als men het deel van een regelmatigen ingeschreven veelhoek, gelegen in een halven cirkel, om de middellijn omwentelt, in geval het aantal zijden van dien regelmatigen veelhoek onophoudelijk toeneemt. Eigenschap. Als een cirkelsector wentelt om eene middellijn, is de 'inhoud van 't omwentelingslichaam gelijk aan dien van een kegel, die tot grondvlak heeft het oppervlak door den boog van den sector bij die omwenteling beschreven en tot hoogte den straal van den cirkel. Bewijs (fig. 78). Is PMQ de wentelende cirkelsector en heeft men in den boog PQ de regelmatig gebroken lijn Pab . . . Q beschreven , zoo is Inh. omw. A MPa = Opp. Pa X i MN (§ 63), „ „ A Mab — „ ab X {MN, „ „ A Mbc = „ bc X i MN, „ A McQ = „ cQ x i MN. Dus inh. omw. MPabcQ — Opp. PabcQ X 3 MN. Laat men nu 't aantal deelen van de gebroken lijn PabcQ onophoudelijk toenemen, dan is lim. PabcQ — bg. PQ en lim. MN = R, de straal van den cirkel. Daar dus het 2" lid der verkregen vergelijking eene grenswaarde heeft, zoo is dit ook 't geval met het r lid. Als grenswaarde kan men dus beschouwen 't lichaam door den cirkelsector MPQ beschreven. Men vindt dus Inh. omw. sector MPQ = Opp. PQ X 3 A. Gevolg. Wentelt de halve cirkel APQ om de middellijn, zoo wordt een bol beschreven, wiens inhoud dus gelijk is aan 47tP2 X^of 3 § 65. Met behulp der vorige eigenschappen vindt men nog de regels, waardoor men de inhouden bepaalt van een omwentelingslichaam, dat beschreven wordt door een cirkelsegment, dat om eene middellijn wentelt, van eene bolvormige schijf en van een bolvormig segment. Het cirkelsegment APBQ (fig. 79), dat om de middellijn XY wentelt, beschrijft een A M Fig. 79. lichaam, dat beschouwd kan worden als't ver¬ schil van de lichamen, die bij die omwenteling beschreven worden door den sector MAQB en den A MAB. Eigenschappen, a. De inhoud van 't lichaam beschreven door een cirkelsegment, dat om eene middellijn wentelt, is gelijk aan dien van een cilinder, die tot grondvlak heeft een cirkel, wiens straal gelijk is aan de koorde van 'tsegment, en tot hoogte het zesde deel van de projectie van die koorde op de as. Bezvijs (fig. 79)- ^'3 AB = k, A B = h, -1II — a, JIA = A , zoo is Inh. omw. sector MAQB — omw. bg. AQB X 5 A' = 2.7Rh x ^ R = 3 JtRth. A AMB — omw. AB X ^ a ff ff L—* = 2jiah X J a — 3 -ta2h. Dus inh. omw. se&n. = \nR%h—lna*h = l}th(Ri—a*) = i3ikX.\ki = \rXhk2. b. De inhoud van een bolschijf is gelijk aan de som der inhouden van twee cilinders, die ieder dc halve hoogte van de schijf ! tot hoogte hebben, waarvan verder de eene 'tgrondvlak, de andere 't bovenvlak der schijf tot grondvlak heeft, en van een bol, waarvan de middellijn gelijk is aan de hoogte der schijf. Bezvijs (fig. 80). Is AA' — r, BB'=r', A'B' = h AB — k. Fig- 80- zoo is Inh. omw. segm. APB = 'KJihk2 trap. AA'B'B = j7ih(r* + r'8 + rr') Dus Inh bolschijf = h [k2 + 2r2 + 2r'2 + 2rr'] = \nh [(r — r')2 + h2 + 2 r2 + 2 r'2 + 2 rr] = ^ Tih [3r2 + y'2 + h*] = ^ nr2h -f- { nr'Vi -\- 5 nh3. Gevolg. Laat men den straal van 't bovenvlak afnemen tot nul, .111 7 ''jr zoo gaai ae ooiscnijj uccr in een bolsegment. Dus is de inh. van 't bol segm. (fig. 81), als r de straal van 't grond- Fig. 8i. vlak en h de hoogte voorstelt, nh (3r2 + h2) of i nr2h + g rth-\ OPGAVEN. 1. Ken boloppervlak te construeeren, dat door vier gegeven punten gaat, die niet in één plat vlak liggen. 2. De doorsnede van twee elkaar snijdende bollen is een cirkel, terwijl de verbindingslijn van de middelpunten der bollen door 't middelpunt van dien cirkel gaat en loodrecht is op t vlak van den cirkel. 3. Gevraagd de meetk. plaats van 't hoekpunt van een rechten hoek, waarvan de beenen door twee vaste punten gaan. 4. Welk verband bestaat er tusschen de stralen en den afstand der middelpunten van twee bollen, als deze alle mogelijke standen ten opzichte van elkaar innemen? 5. Als een rechte cirkelvormige kegel met zijn top geplaatst is in 't middelpunt van een bol, die 't grondvlak van den kegel aanraakt, is de cirkel, volgens welken de beide oppervlakken elkaar snijden, evenwijdig met 't grondvlak van den kegel. 6. Als een bol is beschreven in een kegel, raken beide oppervlakken elkaar aan volgens een cirkel evenwijdig met t grondvlak van den kegel. 7. Uoor eene lijn buiten een bol aan dezen een raakvlak te brengen. 8. Trekt men door een punt buiten een bol lijnen, die dezen snijden, en neemt men op die lijnen van dat punt af stukken evenredig met de afstanden van dat punt tot de snijpunten met 't oppervlak van den bol, dan liggen de verkregen punten weer op een boloppervlak. [Het punt heet gelijkvormigheidspunt der beide bollen.] 9. Door een punt buiten een bol een raakvlak aan dezen te brengen. 10. Uit een punt buiten een bol eene raaklijn aan dezen te trekken. 11. Als uit een punt buiten een bol raaklijnen en snijlijnen naar dezen zijn getrokken, dan is 't product der afstanden van dit punt tot de snijpunten met 't oppervlak van den bol standvastig en ook gelijk aan de tweedemacht van den afstand van dit punt tot elk raakpunt. [Dat product heet de macht van dit punt ten opzichte van den bol.] 12. Als twee bollen elkaar snijden en men uiteen punt, buiten beide bollen, maar in 'tvlak, dat de doorsnede der beide oppervlakken bevat, raaklijnen trekt aan beide bollen, dan zijn die raaklijnen gelijk. [Dat vlak heet machtvlak van beide bollen.] 13- Als twee bollen elkaar aanraken, dan zijn twee raaklijnen uit een punt van 't gemeenschappelijk raakvlak aan beide bollen getrokken, gelijk. 14. Als twee elkaar snijdende of elkaar uitwendig aanrakende bollen door een zelfde kegelvlak of cilindervlak worden aangeraakt, ligt hun machtvlak op gelijke afstanden van de vlakken, waarin de raakcirkels zijn gelegen. 15. Een bol te snijden door een vlak zoo, dat de doorsnede gelijk is aan 't verschil van de ronde oppervlakken der beide bolsegmenten. 16. Een bol te snijden door een vlak zoo, dat dit vlak den bolsector middendoordeelt, die 't kleinste deel van 't boloppervlak tot ronde oppervlak heeft. 17. In een halven cirkel een rechthoekigen driehoek te beschrijven zoo, dat de inhouden der lichamen, die ontstaan door den halven cirkel en den driehoek om de middellijn om te wentelen, tot elkaar staan als S '• 2■ 18. Als een bol wordt gesneden door een vlak, dat door eene rechte lijn gaat, welke is dan de meetk. plaats van 't middelpunt der doorsnede? 19. Dezelfde vraag, als de rechte lijn is vervangen door een punt. 20. De vlakken, die twee bollen aanraken, gaan alle door een gelijkvormigheidspunt. 21. Een bol te snijden door twee evenwijdige vlakken op gelijke afstanden van 't middelpunt zoo, dat de som der beide doorsneden gelijk is aan dat deel van 't boloppervlak, dat tusschen beide vlakken is gelegen. 22. In een bol een kegel te beschrijven, waarvan t grondvlak gelijk is aan de helft van 't ronde oppervlak. 23. Als men in een driehoek eene lijn trekt, die de middens van twee zijden verbindt, en de figuur laat omwentelen om de derde zijde, bereken dan de verhouding van de inhouden der lichamen, die daarbij beschreven worden door de beide deelen van den driehoek. 24. Te bewijzen, dat, als men een parlgr. beurtelings om twee aanliggende zijden laat wentelen, de verhouding van de inhouden der omwentelingslichamen gelijk is aan 't omgekeerde van de verhouding dier zijden. 25. In een cilinder, waarvan de hoogte gelijk is aan de middellijn van 't grondvlak, zijn een bol en een kegel beschreven. Te bewijzen, dat de inhouden van kegel, bol en cilinder tot elkaar staan als 1 : 2 : 3. 26. Het ronde oppervlak van een bolsegment is gelijk aan 't oppervlak van een cirkel, die tot straal heeft de schuine zijde van den kegel beschreven in dit segment. 27. In een kegel is een bol beschreven. Als de straal van den bol R is, en 't zijdelingsch oppervlak van den kegel gelijk is aan driemaal 't grondvlak van den kegel, bereken dan den straal van 't grondvlak en de hoogte van den kegel. 28. In een bol een cilinder te beschrijven , waarvan 't grondvlak gelijk is aan 't zijdelingsch oppervlak. 5. Figuren op den bol. 4} G6. Bepalingen. Het deel van een boloppervlak, begrensd door twee halve groote cirkels, heet boltweehoek. Daar de hoeken gevormd aan de beide snijpunten gelijk zijn, heet elke der hoeken de hoek van den boltweehoek. Twee boltweehoeken noemt men gelijk, als ze zoo kunnen worden geplaatst, dat ze samenvallen. De een heet grooter dan de ander, als de laatste slechts een deel van de eerste kan bedekken. Het deel van den bol begrensd door twee halve groote cirkels en den door deze gevormden boltweehoek heet tweevlakkige bolsector. EIGENSCHAPPEN, a. Bij gelijke boltweehoeken behooren gelijke standhoeken, en omgekeerd bij gelijke standhoeken behooren gelijke boltweehoeken. Bewijs. I. Daar de-boltweehoeken gelijk zijn, kunnen ze zoo worden geplaatst, dat ze samenvallen. De daarbij behoorende standhoeken zullen dus ook samenvallen en dus gelijk zijn. II. Zijn de standhoeken gelijk, dan zullen deze zoo kunnen worden geplaatst, dat ze samenvallen. Dan zullen ook de ribben, en dus ook de boltweehoeken samenvallen en dus gelijk zijn. b. Is een boltweehoek grooter dan een andere, dan is ook de standhoek van den eersten grooter dan die van den tweeden, en omgekeerd. Bewijs. I. De kleinere boltweehoek kan zoo worden geplaatst, dat hij een deel van den anderen bedekt. Te gelijk zal dan de tweevlh. van den eersten een deel van dien van den laatsten bedekken en dus kleiner zijn. II. Is de tweevlh. van den eenen kleiner dan die van den anderen, dan kan de eerste zoo worden geplaatst, dat hij een deel van den anderen bedekt. Tegelijk zullen de ribben der beide boltweehoeken samenvallen en zal ook de eerste boltwechoek een deel van den tweeden bedekken. c. De verhouding van twee boltweehoeken is gelijk aan die van hunne standhoeken. Bewijs. Past men den kleinsten boltweehoek af op den grootsten, dan zal men bevinden , dat het geheel, gebroken of onmeetbare getal, dat daarbij verkregen wordt, gelijk is aan 't getal, dat aanwijst de verhouding der standhoeken, waarvan de kleinste dan tegelijk op den grootsten wordt afgepast. $ 67. Bepalingen. Het deel van een boloppervlak geheel begrensd door drie bogen van groote cirkels, heet boldnehoek. De deelen der bogen begrensd door hunne snijpunten heeten zijden, de hoeken door de zijden in hunne snijpunten gevormd hoeken van den boldriehoek. De drie zijden en de drie hoeken noemt men samen de elementen van den boldriehoek. Het deel van den bol begrensd door den boldriehoek en de drie cirkelsectoren, waarvan de zijden van den boldriehoek de bogen zijn, heet drievlakkige bolsector. De drie zijvlakken van den drievlakkigen bolsector vormen een drievlh. , waarvan de zijden gelijk zijn aan de zijden en waarvan de hoeken gelijk zijn aan de hoeken van den boldriehoek. Wegens deze overeenkomst tusschen de elementen van den boldriehoek en den daarbij behoorenden drievlh. zijn vroeger bewezen eigenschappen van den laatsten tevens eigenschappen van den boldriehoek, die men dus als bewezen kan beschouwen. Tot die eigenschappen behooren de volgende : a. In een boldriehoek liggen tegenover gelijke zijden gelijke hoeken en omgekeerd. [§ 25. c] b. In een boldriehoek ligt tegenover eene grootere zijde een grootere hoek, en omgekeerd. [§ 25. d] e. Twee boldriehoeken zijn congruent of symmetrisch, 1. als ze de drie zijden gelijk hebben; [§ 26. c] 2. als ze twee zijden en den ingesloten hoek gelijk hebben; [§ 26. tf] 3. als ze twee zijden en een overstaanden hoek gelijk hebben, mits de andere overstaande hoeken gelijksoortig zijn; 4. in die gevallen, die men verkrijgt, als men in de voorbaande drie gevallen zijden en hoeken verwisselt. d. Van een boldriehoek is 1. de som der zijden kleiner dan 360°; [§ 24. b\ 2. de som der hoeken grooter dan i8o° en kleiner dan 3 x i8o°; [ 25. ó] 3. de som van twee zijden grooter dan de derde; [§ 24. a] 4. de som van twee hoeken kleiner dan de derde hoek vermeerderd met 1800. [§ 25. a] BEPALING. Het verschil, dat men verkrijgt, als men de som der hoeken van een boldrieh. vermindert met 180°, heet spherisch exces. $ 68. Evenals bij een drievlh. een pooldrievlh. behoort, spreekt men ook van den pooldriehoek, die bij een boldriehoek behoort. Zij (fig. 82 en 83) ABC de boldriehoek en TABC de daarbij be- Fig. 82. Fig. *3. hoorende drievlh., dan zal, zoo men door T eene loodlijn op 't vlak A TB opricht, die loodlijn 't oppervlak van den bol snijden in de pool C van de zijde AB. [§6i.t'J Want C is dat uiteinde der middellijn loodrecht op 't vlak ATB, dat aan de linkerhand ligt, als de boog AB wordt doorloopen in de richting van A naar B. Op dezelfde wijze vindt men de polen A' en B' van de zijden BC en CA. De drievlh. TA'B'C' is dus de pooldrievlh. van den drievlh. TABC. BEPALING. De boldriehoek, die behoort bij den pooldrievlh. van een geg. drievlh., heet de pooldriehoek van den boldriehoek, die bij den gegeven drievlh. behoort. De pooldrieh. van een boldrieh. heeft dus tot hoekpunten de polen van de zijden van den laatsten. Uit de eigenschap, die aangeeft op welke wijze de elementen T van een pooldrievlh. afhangen van die van den drievlh., volgt dus dat de zijden en hoeken van een pooldriehoek de supplementen zijn van de hoeken en zijden van den boldriehoek, waarbij die pooldriehoek behoort. [§ 23.] Eigenschap. De hoekpunten van een boldriehoek zijn de po tn der zijden van den pooldriehoek. Bewijs (fig. 83). Is A' de pool van BC, B die van CA en C' die van AB, zoo is bg. AC' = 90 en bij AB' = 90. Dus is A de pool van B C . Even als de namen drievlh. en pooldrievlh., kunnen dus ook de namen boldriehoek en pooldriehoek verwisseld worden. $ G9. Bepalingen. Wanneer men twee zijden van een boldriehoek verlengt, tot ze elkaar weer snijden, vormt dit snijpunt met de beide overige hoekpunten de hoekpunten van een boldriehoek, die nevendriehoek heet van den oorspronkelijken driehoek. T--v • /r o . \ a A r>/~* .-1 e*vp n H r 1 e n oe k uus is {Tig. 04; 1 ecu 11-' van A ABC. Beide hebben de zijde AB gemeen, /. C = L C, terwijl de overige hoeken en zijden van den nevendriehoek de supplementen zijn van die van den oorspronkelijken. C\ heet het tegenpuni van C- De driehoek , die tot hoekpunten heeft de tegenpunten van een gegeven driehoek, heet tegendriehoek van den laatsten. Dus is a A. R. r. de tecrendriehoek van £±AbC. a A.R.C. de tependriehoek van £±AhC. Een driehoek en zijn tegendriehoek hebben gelijke elementen maar in tegengestelde orde (§ 23). Ze zijn dus symmetrisch. Heeft een driehoek twee gelijke zijden of twee gelijke hoeken, dan is hij congruent met zijn tegendriehoek (§ 26) en kan dus met dezen samenvallen. Wanneer men de opstaande zijden van een boldriehoek door den top verlengt tot ze gesneden worden door 't verlengde der derde zijde, dan vormen die snijpunten met den top van den oorspronkelijken driehoek de hoekpunten van een driehoek die topdriehoek van den laatsten heet. Dus is (fig. 84) A A,BC, de topdriehoekvan AABC. Ze hebben L B— l_B, Hg. st>. A,C, — AL terwijl uvu,5>- elementen van den een de supplementen zijn van die van den ander. K 70. Wanneer men de vroeger behandelde eigenschappen van den drievlh. toepast op den daarbij behoorenden boldriehoek, komt men tot het volgende. De kleine cirkel door de hoekpunten van een boldriehoek heet de omgeschreven cirkel van den laatsten (fig. 8 5). Zijn middelpunt is het snijpunt der bogen van groote cirkels die de zijden van den driehoek loodrecht middendoor deelen. Verbindt men dat middelpunt met de hoekpunten van den driehoek, dan wordt deze daardoor verdeeld in drie gelijkbeenige driehoeken. Daar door die groote cirkels niet alleen de zijden van den boldriehoek, maar ook die van den tegendriehoek loodrecht middendoor Fig. 86. o-edeeld worden, wordt dus ook deze laatste in gelijkbeenige driehoeken verdeeld, die congruent zijn met die van den oorspronkelijken (fig. 86) (§ 69). De drie deelen van A ABC kunnen dus één voor één met die van A ABC' samenvallen. & 71. Als om een boldriehoek een cirkel is beschreven, en men een der hoekpunten van den driehoek langs dien c.rkel verplaatst. heeft men de volgende Eigenschap. Het verschil, dat men verkrijgt, als men de som der hoeken aan de vaste hoekpunten vermindert met den hoek aan '/ veranderlijk hoekpunt, is standvastig. Bewijs. Zij A ABC (fig. 85) de boldriehoek, waarom een cirkel is beschreven, dan is, als de hoeken van A BMC aan BC ieder door p, die van A CMA aan CA van A AMB aan AB ieder door r worden voorgesteld, L A + L. > LC=2r. Wordt dus C langs den cirkel verplaatst, dan is LA + L B— t-C = standvastig. . Deze eigenschap toegepast op den topdriehoek van een boldriehoek leidt tot de volgende Eigenschap. Verplaatst men een hoekpunt van een boldriehoek langs den omtrek van den cirkel, beschreven om den topdriehoek, die aan dit hoekpunt ligt, dan blijft de som der hoeken van den boldriehoek onveranderd. Bewijs (fis. 87). Zij ABC de boldriehoek en A A'BC' de top- Fig. 87. driehoek aan 't hoekpunt B. Verplaatst men nu B langs den cirkel om dien topdriehoek, dan is A '-f C'—B= standvastig (zie vorige eigenschap). Maar A= 180 — A', C — 180 — C', dus A-j-B-j- C— 360 -—(A'-jC' — B) = standvastig. § 72. Het oppervlak van een boltweehoek en van een boldriehoek wordt afgeleid uit de hoeken van deze figuren en den straal van den bol, waartoe ze behooren. Eigenschap. Het oppervlak van een boltzveehoek staat tot dat van den bol, als zijn hoek tot 360°. Bewijs. Volgens § 66 c vindt men, als de hoek van den boltweehoek a° is en de tweede boltweehoek vervangen wordt door den bol Opp. boltweeh. : Opp. bol = a° : 360°, a° anR2 of Opp. bolteewh. = X *nR = • Eigenschap. Het oppervlak van een boldriehoek staat tot dat van den bol, als zijn spherisch exces tot 720°. Bewijs. Zij ABC (fig. 84) de boldriehoek, dan vormt deze met den &ABXC een boltweehoek met den hoek B, waarvan 't opp. £ = x O is, als O 'topp. van den bol voorstelt. Daar &AXBC^ 360 de tegendriehoek is van A ABXC zijn beide gelijk (§ 70). Men heeft dus: kors, Stereometrie. 6 AABC+AAtBC= -4- X O, 360 B A ABC + A AtBCt = TXÖ, 360 C A ABC + A ABC, = -XÖ, 1 A + B+ C ~T dus iO+2X A ABC = X O, 360 A + B + C— 180 of A ABC = ———- X O. 720 Uit deze eigenschap en die van § 71 leidt men af de volgende Eigenschap. Boldriehoeken, die deselfde basis hebben en tuier toppen op den cirkel liggen, die om den topdriehoek kan worden beschreven, hebben hetzelfde oppervlak. Bewijs. Is A ABC de driehoek, wiens top B langs den omtrek van den cirkel om den topdriehoek A'BC' kan worden verplaatst, dan is A + B + C = standvastig. Het spherisch exces is dus ook standvastig en dientengevolge ook het oppervlak van A ABC. Op deze eigenschap berust de volgende constructie. Een bolveelhoek te veranderen in een bolveelhoek met hetzelfde oppervlak en waarvan 't aantal zijden één kleiner is. Zij ABCDEF (fig. 87) de gegeven bolveelhoek. Snijdt men door den boog AC van een grooten cirkel den A ABC af, construeert den topdriehoek A'BC', beschrijft van dezen den omgeschreven cirkel, verlengt de zijde FA tot het snijpunt G met dien cirkel en trekt GC, dan is A ABC — A AGC en is dus de bolveelh. ABCDEF = de bolveelh. FGCDE. III. Regelmatige lichamen. § 73. Evenals in de planimetrie onder de veelhoeken in 't algemeen de regelmatige veelhoeken later afzonderlijk worden behandeld. onderscheidt men in de Stereometrie eene groep van lichamen , de regelmatige lichamen, wier eigenschappen niet wel kunnen behandeld worden, dan nadat de bol is behandeld. Bepaling. Regelmatige' lichamen noemt men lichamen, die begrensd worden door congruente regelmatige veelhoeken , waarvan er in elk hoekpunt een gelijk aantal samenkomen. Terwijl 't aantal regelmatige veelhoeken onbeperkt is, bestaat er slechts een bepaald aantal regelmatige lichamen. Daar de som der zijden van een veelvlakshoek kleiner is dan 360°, heeft men de volgende gevallen. Begrenzende zijvlakken. Aantal zijvlakken, die in een hoek¬ punt samenkomen. driehoeken drie, vier of vijf. vierhoeken drie. vijfhoeken drie. Veelhoeken met meer dan vijf zijden kunnen geen regelmatig lichaam begrenzen , daar de som van drie hunner hoeken gelijk aan of grooter dan 360° is. Wanneer men nu de verschillende gevallen boven vermeld nagaat, zoo vindt men, dat er de volgende Fig. 88. vijf regelmatige lichamen bestaan. I. Neemt men een drievlakshoek, met zijden ieder van 6o°, neemt men op de ribben van het hoekpunt af gelijke stukken en brengt men dan een vlak door de uiteinden der ribben , dan verkrijgt men een lichaam, dat door vier congruente gelijkzijdige driehoeken wordt begrensd, waarvan er in elk hoekpunt drie samenkomen. Dit lichaam heet regelmatig viervlak (tetraëder), eene regelmatige driezijdige piramide, welk zijvlak men Fig. 89. ook als grondvlak neme (fig. 88). 2. Neemt men een viervlakshoek, met zijden van 6o°, en brengt door de uiteinden der gelijke ribben een vlak , zoo ontstaat een regelmatige vierzijdige piramide , met congruente gelijkzijdige driehoeken tot opstaande zijvlakken. Plaatst men eene piramide, congruent met de eerste, zoo, dat de grondvlakken van beide samenvallen en 6* dc toppen aan weerszijden van 't gemeenschappelijke grondvlakliggen, dan ontstaat een lichaam begrensd door acht congruente gelijkzijdige driehoeken, waarvan er in elk hoekpunt vier samenkomen. Dit lichaam heet regelmatig achtvlak (octaëder) (fig. 89). 3. Neemt men (fig. 90) eene vijfzijdige regelmatige piramide, waarvan de zijvlakken gelijkzijdige driehoeken zijn, en laat men aan elke zijde van 't grondvlak een gelijkzijdige driehoek aansluiten , zoodanig, dat de zijden van twee opeenvolgende der laatsten hoeken van 6o° vormen , dan heeft men A BCDEFGHJKI., eene figuu r bestaande uit tien gelijkzijdige driehoeken. Eene figuur AIGHJKLBCDEF congruent met de eerste kan zoo worden geplaatst, dat vijf gelijkzijdige driehoeken van de eene aan een gelijk aantal driehoeken van de andere figuur sluiten, zoo dat beide figuren samen een veelvlak begrenzen. Men verkrijgt dan een veelvlak begrensd door twintig congruente gelijkzijdige driehoeken, waarvan Af er vijf in elk hoekpunt samen- Fig. 9a komen. Dit lichaam heet regel¬ matig twintigvlak (icosaëder). 4. Een drievlakshoek, waarvan elk der zijden 90° is, ontstaat, als men drie congruente vierkanten zoo aan elkaar laat sluiten , dat ze een hoekpunt en twee aan twee ook eene zijde gemeen hebben. Twee zulke drievlakshoeken, waar¬ van de eene 't punt A en de andere 't punt H tot top heeft, kunnen zoo geplaatst worden, dat ze een lichaam begrenzen, dat zes vierkanten tot zijvlakken heeft, waarvan er drie in eikhoekpunt van 't lichaam samenkomen. Dit veelvlak heet regelmatig zesvlak (hexaëder) of kubus (fig. 91)- c. Heeft men twee congruente figu- Fig. 91. ren, ieder bestaande uit een regel- xrüfV.nfVr aan wiens ziiden congruente regelmatige vijf¬ hoeken sluiten, die twee aan twee eene zijde gemeen hebben , dan kunnen die twee figuren zoo worden geplaatst, ciat ze een \eeividK & matigen begrenzen. Dit veelvlak regelmatig twaalfvlak (dodecaeder) (fig. 92). § 74. Eigenschap. In en om elk regelmatig veelvlak kan een bol worden beschreven. Bewijs. I. Is AB (fig. 93) de gemeenschappelijke zijde van twee zijvlakken en dus eene ribbe van 't veelvlak, zijn P en P' de middelpunten van die zijvlakken en verbindt men P is dan begrensd door twaalf congruente gelijkzijdige vijfhoeken, waarvan er drie in elk hoekpunt samenkomen, en heet daarom dan is PC = P'C 't apothema en P' met C. 't midden van AB, van elk der zijvlakken. Het vlak door PC én P C is ioodrecnt op AB en dus ook lood- Fig. 93. recht op elk der beide zijvlakken. Richt men nu in dat vlak uit P en P' loodlijnen op de zijvlakken op, dan snijden die loodlijnen elkaar in een punt M. Dan is A PMC sj A P'MC en dus PM — P'M. Op dezelfde wijze blijkt, dat de loodlijn, in P opgericht op 't eene zij¬ vlak , in 't zelfde punt M gesneden wordt door loodlijnen in de middelpunten van andere aangrenzende zijvlakken op deze opgericht. Het punt M ligt dus op gelijke afstanden van de zijvlakken, en is dus 't middelpunt van een bol, die MP tot straal heeft en de zijvlakken aanraakt. II. Verbindt men M en P met A , zoo ontstaat de A 1 MA, rechthoekig in P. Daar PM en AP onveranderd blijven, op welke zijvlakken ook de loodlijnen, die elkaar in .1/ snijden, zijn opgericht, zoo is ook AM onveranderd. Het punt M ligt dus ook op gelijke afstanden van de hoekpunten van t veelvlak, en is dus ook 't middelpunt van een bol, die AM tot straal heeft en wiens oppervlak door de hoekpunten van t veelvlak gaat. Bepalingen. De bol, waarvan 't oppervlak de zijden van een veelvlak aanraakt, heet ingeschreven bol. De bol, waarvan 't oppervlak door de hoekpunten van 't veelvlak gaat, heet omgeschreven bol. De straal van den ingeschreven bol van een regelm. veelvlak heet apothema, die van den omgeschreven bol straal van 't regelmatig veelvlak. § 75. Men kan de stralen van den in- en van den omgeschreven bol uitdrukken in de ribbe van 't regelmatig veelvlak. Stelt a de lengte der ribbe voor, R die van den straal van den omgeschreven, r die van den straal van den ingeschreven bol, r' die van den straal van den cirkel om een zijvlak beschreven en p die van de projectie eener ribbe op eene middellijn van den bol door een der uiteinden van die ribbe, zoo blijkt, dat 2R X P — a2 is, terwijl uit den rechthoekigen driehoek AMP (fig. 93) dat R2 —. r2 + r'* is. Is dus p eerst berekend als hoogte eener regelm. pir., waarvan de ribben gegeven zijn, dan kan men volgens de eerste formule R en volgens de tweede r vinden. We zullen deze formules toepassen, om de stralen der in- en der omgeschreven bollen van de vijf regelmatige lichamen in bovenstaande orde genomen te berekenen. 1. Het tetraëder (fig. 88). AB — a, FB±CD, AE ± FB, AE = p, AE= Va3 — (*« V 3)* = ia 1/6. Dus R = a': 5 a V 6 = J a V6. Verder is r'= ia 1/3, dus r— VR*—r'2 = ti a V 6. 2. Het octai'der (fig. 89). AB—a, AF= 2R = a]/2, r' — jaVj. Dus R = J a y 2 en r = VR* — r'* = ia 1/6. 3. Het icosaè'der (fig. 94). AB=a, AM=2R, AN — p. Hier is a — £ BN X V 10 — 21/5, dus BN = 2a : V 10 — 2 V 5 en p = AN — Dus R — — = -- V10 + 2 V 5 2p 4 en r — V R2 — r"2 = — (3 V 3 + V15)- 12 4. Het hexaëder (fig. 91). AH = 2R = a V 3> dus R = V' 3! r = 1/7?* — r'« = 4». 5. Het dodecacder (fig. 92). Daar A en T twee overstaande hoekpunten zijn, is AT — 2K. Men kan nu A als top beschouwen van de regelm. piramide ABFE. Nu is (fig. 95 en fig. 92) AA —p de hoogte dezer piramide en BF = FE = EB de diagonaal van een zijvlak van 't lichaam. Daar de straal van den omgeschreven cirkel r' is, zoo is BF = J r' V 10 + 21/5» maar daar a — \r'V10—2V 5 's> 's dus r' = 2a: V10 — 21/5 en dus BF=a I/ —+ 2 1/ 5 = ia(i + V 5), I 10— 2 1/5 ƒ = l/a' — i BF■ = a ' R = " = —(|/i =+l/3) en r= |/&"—r'« = — K250+HOI/5. 2/ 4 3 20 S 76. Berekening van de oppervlakken en de inhouden deiregelmatige lichamen, als de ribbe gegeven is. Stelt men, als boven, de lengte der ribben voor door a, 't oppervlak van een regelm. lichaam met 11 zijvlakken door 0„, zijn inhoud door J„, de lengten van de stralen der om- en ingeschreven bollen door R en r, zoo is 0n — n X 't opp. van een zijvlak, en J„ = 0„ X i r. De toepassing dezer formules op de bovengenoemde veel\ lakken geeft 3 1. 04 = 4X{«Y3=«V3.^ = «720=50* Vl X Jg(3 V3 + 1/I5) =5;28(3+vs). 4. 00 = 6a2, J0 — a3. 1 2 c. O,o — 12 X V25 -f IO 1/5 = 3'*2 ^25 4- 10 1/5, 4 ^3 ƒ„ = 3a* 1^25 -(- 10 V 5 x g-V250-1-1101/ 5 = (15+71/5)OPGAVEN. (gedeeltelijk ontleend aan eindexamens van gymnasia en hoogere burgerscholen.) 1. Als van een regelm. lichaam de ribbe a, het apothema van een zijvlak b, de straal van den omgeschreven bolA', die van den ingeschreven bol r is, bereken dan den straal van den bol, die de ribben aanraakt, I". uït r en b, 2'. uit R en a. 2. Met behulp der verkregen uitkomsten van opg. 1 de stralen der bollen, die de ribben der vijf regelmatige ribben aanraken, ieder op twee wijzen te berekenen, als de ribbe = a gegeven is. 3. De uitkomsten van opg. 2 toe te passen op een regelm. viervlak (ribbe =2,5), een regelm. achtvlak (ribbe =1,4), een regelm. twintigvlak (ribbe =3,2), een regelm. zesvlak (ribbe 4,15) en een regelm. twaalfvlak (ribbe = 2,4). (Alles tot in 3 dec.) 4. Als r, K en R' de stralen zijn van den in- en den omgeschreven bol van een regelm. viervlak en de straal van den bol, die de ribben aanraakt, welke is dan de verhouding dezer stralen, als 't verhoudingsgetal van den kleinsten bol 1 is? Hoe wordt R' uit R en r berekend ? Hoe worden met behulp van die verhoudingsgetallen de oppervlakken en de inhouden van de beide grootere bollen uit die van den kleinsten bol berekend? 5. Als 't regelm. veelvlak een achtvlak is, druk dan R, r en R' in a uit. Elke van deze drie stralen in elke der beide andere uit te drukken. 6. Bereken 't oppervlak en den inhoud van elk der bolsegmenten, die door de zijvlakken worden afgesneden van den bol, die de ribben aanraakt, als 't regelm. lichaam a. een viervlak, b. een achtvlak, c. een twintigvlak, d. een zesvlak, e. een twaalfvlak is. 7. I11 een kubus is een octaëder zoodanig geplaatst, dat de hoekpunten van 't laatste in de middelpunten der zijvlakken van 't eerste vallen. Bereken den inhoud van het octaëder, als die van den kubus I is. 8. In een octaëder is een kubus beschreven, zoodat de hoekpunten van het laatste in de middelpunten der zijvlakken van 't eerste vallen. Bereken den inhoud van den kubus, als die van 't octaëder I is. 9. Te bewijzen, dat de middens der ribben van een tetraëder de hoekpunten zijn van een octaëder. Den inhoud van dit octaëder te berekenen, als die van het tetraëder 1 M3 is. 10. In een octaëder is een cilinder beschreven, waarvan de hoogte gelijk is aan de middellijn van 't grondvlak. Als de ribbe 2 dM. is, bereken dan de hoogte en 't oppervlak van den cilinder. 11. In een regelm. achtvl. is een kubus beschreven zoo, dat elk der hoekpunten van den laatsten in eene ribbe van 't eerste ligt. Als de inhoud van 't achtvlak 1,5 dM3 is, bereken dan de ribbe van den kubus tot op 1 mM. nauwkeurig. 12. Van een afgeknotten kegel zijn gegeven de stralen van grond- en bovenvlak R en r en de hoogte h. Bereken 1' den straal van de doorsnede rechthoekig op de as, die het lichaam in twee gelijke deelen verdeelt; 2' den straal van de doorsnede, die het ronde oppervlak in twee gelijke deelen verdeelt. 13. Verdeel eene regelmatige vierzijdige piramide in twee gelijke deelen door een vlak, gaande door eene der ribben van het grondvlak. 14. Bewijs, dat de inhoud van een bolsegment gelijk is aan de som van twee kegels, die beide de halve hoogte van het segment tot hoogte hebben, terwijl het grondvlak van deneenen het grondvlak van 't segment is en dat van den anderen gelijk is aan viermaal de middendoorsnede van het segment (op de halve hoogte evenwijdig met het grondvlak.) 15. In een kegel wordt een bol beschreven. Bepaal de inhouden der deelen, waarin de kegel door het vlak van den raakcirkel verdeeld wordt, als de straal van 't grondvlak r en de hoogte gelijk aan tweemaal de middellijn van den bol is. 16. Het grondvlak van een kubus ligt in het grondvlak van een kegel, terwijl de hoekpunten van 't bovenvlak in 't ronde oppervlak van den kegel liggen. Druk den inhoud van den kubus uit in den straal van het grondvlak van den kegel, als de hoogte van den kegel gelijk is aan de zijde van het vierkant, dat in het grondvlak van den kegel beschreven kan worden. 17. Een halve bol en een kegel, wiens hoogte tweemaal zoo erroot is als de straal van den eersten, hebben hetzelfde grondvlak en hunne ronde oppervlakken snijden elkaar dan volgens een cirkel. Hoe groot is deze en hoe groot is zijn afstand van 't grondvlak, wanneer de straal van dit laatste r= 25 gegeven is. 18. Een ondoorschijnende bol, die op een horizontaal vlak rust, wordt door een lichtend punt, verticaal boven het middelpunt en op een afstand a daarvan gelegen, beschenen. Hoe groot is de verhouding der inhouden van het verlichte en het niet verlichte segment, wanneer de straal van den bol r is. a == 163, r — 10. 19. Op de hoogte van een kegel als middellijn wordt een bol beschreven. Bereken het deel van den bol, dat buiten den kegel ligt, als de straal van het grondvlak r en de hoogte li is. 20. Van een metaal, welks soortelijk gewicht s is, wordt een holle kogel vervaardigd, die in het water zweeft. Zoo de middellijn buitenzijds d is en de kogel van binnen luchtledig wordt ondersteld, vraagt men de dikte van het metaal. 21. Van eene afgeknotte regelmatige vierhoekige piramide is de ribbe van het grondvlak 4^ > die van het bovenvlak 3 e'i de opstaande ribbe 33,75 duim. Men vraagt de inhouden van de beide gelijkvormige afgeknotte piramiden, waarin de gegevene verdeeld kan worden door een vlak evenwijdig aan grond- en bovenvlak. 22. Van een regelmatigen tienhoek laat men om zijn 2' diagonaal (dat is de koorde, die van den omgeschreven cirkel een boog van 1080 onderspant) het kleinste gedeelte wentelen. Men vraagt naar den inhoud van het omwentelingslichaam, als de zijde van den tienhoek gegeven is. 23. In een bol van den straal r is een kegel beschreven, die denzelfden inhoud heeft als het segment, dat aan het grondvlak van den kegel grenst. Welke hoogte heeft het segment? 24. Men heeft van kneedbare stof een afgeknot driehoekig prisma, waarvan de zijden van het grondvlak 13, 14 en 15 Ned. duim zijn, terwijl de ribben loodrecht op het grondvlak staande, 27, 36 en 48 Ned. duim zijn. Wanneer men deze stof wil vervormen tot een regelmatig octaëdrum, hoe groot is dan de as? 25. Uit een bol, wiens straal = a is, heeft men een cirkelvormigen sector gesneden , waarvan de tophoek 6o° is. Hoe groot zullen de ribben van het tetraëdrum zijn, welks inhoud gelijk is aan dien van bovengenoemden sector ? 26. Op een holle cirkelvormige buis rust een bol; de hoogte van het ingezonken segment is gelijk aan den halven straal r der cirkelvormige opening. Men vraagt den inhoud te bepalen van het ingezonken, alsmede van het boven de buis uitstekende segment. 2J. Hoe ver moet het oog van het middelpunt eens bols verwijderd zijn, om de gedeelte van de oppervlakte des bols te kunnen overzien ? 28. Een kegel is met zijn top in een der hoekpunten van een gegeven kubus geplaatst, terwijl de omtrek van zijn grondvlak door het midden gaat van de drie ribben, die in het tegenovergestelde hoekpunt van den kubus samenkomen. Men vraagt den inhoud van dien kegel te bepalen, als de ribbe van den kubus gegeven is. 29. Aan twee cirkels, die elkaar uitwendig raken en waarvan de stralen R en r gegeven zijn , is eene gemeenschappelijke raaklijn getrokken. Bereken den inhoud van het lichaam, dat ontstaat door de figuur, welke begrensd wordt door de raaklijn en de cirkelbogen, begrepen tusschen hunne raakpunten met de rechte lijn en hun gemeenschappelijk raakpunt, te laten wentelen om de lijn, die de middelpunten vereenigt. 30. Als een regelm. vijfhoek, beschreven in een cirkel, welks straal 1 meter is, om eene middellijn wentelt, die dooreen zijner hoekpunten gaat, vraagt men het oppervlak en den inhoud te bepalen van het omwentelingslichaam, dat hierdoor ontstaat. 31. Een bol rust in een rechten kegel, welks as loodrecht staat, terwijl de top naar beneden is gekeerd. Het grondvlak van den kegel is gelijk aan 't oppervlak van den bol; de inhoud van den kegel is 2ï(p) maal zoo groot als de inhoud van den bol, die 16 (q) dM3 is. Bereken den afstand van het middelpunt van den bol tot den top van den kegel. 32. Op de zijde van een gelijkzijdigen driehoek als middellijn wordt een halve cirkel beschreven. Men vraagt naar den inhoud van het omwentelingslichaam, dat ontstaat door het gedeelte van den driehoek, dat buiten den halven cirkel ligt, om de middellijn te laten wentelen. 33. Twee kegels liggen binnen een bol; zij hebben denzelfden top, en de beschrijvende lijnen van den eenen zijn de verlengden van die des anderen; de omtrekken der grondvlakken liggen op 't oppervlak van den bol. De straal van den bol is 29 cM., de afstand van de grondvlakken der beide kegels bedraagt 41 cM. en de afstand van den gemeenschappelijken top tot het middelpunt des bols 1 cM. Men vraagt den inhoud van het omwentelingslichaam, dat door de beide kegelvlakken en door het oppervlak van den bol begrensd w'ordt. 34. Van een lichaam is 't grondvlak een rechthoek; de opstaande zijvlakken, die door de langste zijden van 't grondvlak gaan, maken met dit laatste hoeken van 30°, terwijl de beide andere zijvlakken, gaande door de kortste zijden van den rechthoek, met het grondvlak hoeken maken van 60° Men vraagt den inhoud van het lichaam, als de zijden van 't grondvlak a en b zijn. 35. Op den bodem van een hollen cilinder, wiens hoogte gelijk is aan den straal van 't grondvlak, is een halve bol geplaatst, wiens benedenvlak juist den bodem van den cilinder bedekt. De overgebleven ruimte is voor de helft met water gevuld. Hoe hoog staat het water boven het grondvlak des cilinders? 36. In het grondvlak van eene regelm. vierzijdige piramide, waarvan elke ribbe a is, heeft men een cirkel beschreven; op dezen cirkel is een rechte cilinder beschreven, welks cilindervlak de opstaande ribben snijdt. In het vierkant, waarvan de snijpunten de hoekpunten zijn, heeft men eveneens een cirkel beschreven. Men vraagt den inhoud te bepalen van den afgeknotten kegel, waarvan de cirkels het grondvlak en bovenvlak zijn. 37. Een bol met een straal R en een kegel met eene hoogte 2R en met den straal van 't grondvlak R zijn naast elkander op een vlak P geplaatst. Men vraagt op welken afstand van het vlak P men een vlak M moet aanbrengen evenwijdig aan vlak P, opdat de inhouden der deelen van beide lichamen tusschen deze vlakken gelijk zijn. 38. De punt van een recht cirkelvormig kegeloppervlak, waarvan de as verticaal is en de tophoek 6o°, is naar beneden gekeerd. In deze holte wordt een bol met straal r geworpen en daarna er zooveel water opgegoten, dat de bol juist onder water is. Hierna wordt de bol er uitgenomen, terwijl al het water in de holte komt. Hoe hoog komt dit water ? 39. De middens van drie elkander kruisende ribben van een kubus worden twee aan twee verbonden. Den driehoek , aldus gevormd, beschouwt men als grondvlak van eene piramide, waarvan de top samenvalt met een hoekpunt van den kubus, dat niet met een der drie eerstgenoemde punten op eene ribbe ligt. Men vraagt inhoud en oppervlak van die piramide uit te drukken in de ribbe a van den kubus. inleiding TOT UE PRAKTIJK en de THEORIE van het REKENEN. DOOK Dr. J. KORS, Leeraar aan de Rijks Hoogere Burgerschool te Groningen. ƒ0,50. BEOORDEELINGEN: „Een handig boekje." (Het Schoolblad.) „Dit werkje komt ons zeer bruikbaar voor." (Chr. Schoolbode.) „Voor normaalscholen is 't een mooi boekje." (Sneeker Crt) „Een boek, dat zeer de aandacht der onderwijzers verdient." (N. Prov. Gron. Crt.) LEERBOEK DEK REKENKUNDE MET OPGAVEN. DOOK Er. T. KORS, Leeraar aan de Rijks Hoogere Burgerschool te Groningen. 2 deelen a /0,90. BEOORDEELINGEN: „Een uitmuntend boek. Wij kunnen het met het volste vertrouwen aan bevelen." (Vooruit.) „De indruk is bepaald gunstig- Wij durven onzen kweekelingen dit leerboek gerust in handen geven." (Chr. Schoolbode.) „Dit tweede deel van het gunstig bekende leerboek handelt over de evenredigheden en haar toepassing, en ook bij den handel, de worteltrekking, onmeetbare getallen, reeksen, logarithmen en verkorte bewerkingen. Verschillende opgaven verhoogen de bruikbaarheid van het boek, dat wij gerust kunnen aanbevelen." (De Vrije School.) Uitgaven van P. NOORDHOFF te Groningen. _ ... / zijvlakken, die door de langste zijden van 't grondvlak gaan, maken met dit laatste hoeken van 30°, terwijl de beide andere zijvlakken, gaande door de kortste zijden van den rechthoek, met het grondvlak hoeken maken van 6o°. Men vraagt den inhoud van het lichaam, als de zijden van 't grondvlak a en b zijn. 35. Op den bodem van een hollen cilinder, wiens hoogte gelijk is aan den straal van 't grondvlak, is een halve bol geplaatst, wiens benedenvlak juist den bodem van den cilinder bedekt. De overgebleven ruimte is voor de helft met water gevuld. Hoe hoog staat het water boven het grondvlak des cilinders ? 36. In het grondvlak van eene regelm. vierzijdige piramide, waarvan elke ribbe a is, heeft men een cirkel beschreven; op dezen cirkel is een rechte cilinder beschreven, welks cilindervlak de opstaande ribben snijdt. In het vierkant, waarvan de snijpunten de hoekpunten zijn, heeft men eveneens een cirkel beschreven. Men vraagt den inhoud te bepalen van den afgeknotten kegel, waarvan de cirkels het grondvlak en bovenvlak zijn. 37. h-en bol met een straal R en een kegel met eene hoogte 2R en met den straal van 't grondvlak R zijn naast elkander op een vlak P geplaatst. Men vraagt op welken afstand van het vlak P men een vlak .1/ moet aanbrengen evenwijdig aan vlak P, opdat de inhouden der deelen van beide lichamen tusschen deze vlakken gelijk zijn. 38. De punt van een recht cirkelvormig kegeloppervlak, waarvan de as verticaal is en de tophoek 60°, is naar beneden gekeerd. In deze holte wordt een bol met straal r geworpen en daarna er zooveel water opgegoten, dat de bol juist onder water is. Hierna wordt de bol er uitgenomen, terwijl al het water in de holte komt. Hoe hoog komt dit water ? 39. De middens van drie elkander kruisende ribben van een kubus worden twee aan twee verbonden. Den driehoek , aldus gevormd, beschou wt men als grondvlak van eene piramide, waarvan de top samenvalt met een hoekpunt van den kubus, dat niet met een der drie eerstgenoemde punten op eene ribbe ligt. Men vraagt inhoud en oppervlak van die piramide uit te drukken in de ribbe a van den kubus. INLEIDING TOT UE PRAKTIJK en de THEORIE van het REKENEN. DOOK Dr. J. KGRS, Leeraar aan de Rijks Hoogere Burgerschool te Groningen. ƒ0,50. HEOOIt DEELINGEN: „Een handig boekje." (Het Schoolblad.) ,,Dit werkje komt ons zeer bruikbaar voor." (Chr. Schoolbode.) „Voor normaalscholen is 'teen mooi boekje." (Srteeker Crt.) „Een boek, dat zeer de aandacht der onderwijzers verdient." (N,. Prov. Gron. Crt.) LEE R BOEK DEK REKENKUNDE MET OPGAVEN, DOOK HDr. J. KOES, Leeraar aan de Rijks Hoogere Burgerschool te Groningen. 2 deelen a ƒ0,90. BEOORDEELINGEN: „Een uitmuntend boek. Wij kunnen het met het volste vertrouwen aanbevelen." (Vooruit.) „De indruk is bepaald gunstig. Wij durven onzen kweekelingen dit leerboek gerust in handen geven." (Chr. Schoolbode.) „Dit tweede deel van het gunstig bekende leerboek handelt over de evenredigheden en haar toepassing, en ook bij den handel, de worteltrekking, onmeetbare getallen, reeksen, logarithmen en verkorte bewerkingen. Verschillende opgaven verhoogen de bruikbaarheid van het boek, dat wij gerust kunnen aanbevelen." i De Vrije School.) Uitgaven van P. NOORDHOFF te Groningen.

Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

Is nu A'E _l AB, zoo is A AA'B ~ a EA'B\ en dus AA': AB = A'E : A'B. Dus is AA' x A'B = AB x A'E.

H <22

Fig. 75. Fig. 76.

Dus is Inh. = ^ .-tAA'2 x ^47? = ^ jiAA' X X = nAA' X ^5 X \A'E = zijdel. opp. x l A'E.

II. Wentelt een willekeurige driehoek ABC om eene zijner zijden BC (fig. 75 en 76), dan kan men 't omwentelingslichaam beschouwen als de som of 't verschil van twee kegels. In 't geval in fig. 75 is 't beschreven omwentelingslichaam gelijk aan de som, in dat van fig. 76 aan 't verschil der beide kegels. Dus / = Inh. keg. ABD ± Inh. keg. ACD = 3 71 AD3 x BC.

Is nu CE _L AB, zoo is AD x BC = CE X AB. Dus

ƒ = -J nAD* xBC=l nAD x CE X AB = lx AD x -d/? X i CE — opp. beschreven door AB x ^ CE.

III. Wentelt (fig. 77) A ABC om de lijn CD door 't hoekpunt C, zoo kan men het omwentelingslichaam beschouwen als 't versrliil rler lichamen die beschreven worden

^ door de driehoeken ACD en BCD. Noemen Fig. 77. we de inhouden der drie lichamen in deze

orde /, /, en I2 en is CE de loodlijn uit C op AB neergelaten , zoo is

/= /, —1± = (Opp. AD — Opp. BD) x 3 CE — Opp. AB x 3 CE.