Tekst
Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

het raakvlak in U wel de beschrijvende lijn GPl bevatten en dus een horizontalen doorgang hebben die door G gaat maar deze^ doorgang zou loodrecht moeten staan op 0'U'. De tweede door U te trekken beschrijvende lijn op het oppervlak is dan ook met de lijn f.

K 256 Uit het hiervoren behandelde blijkt, dat een raakvlak aan het oppervlak dit tevens zal snijden volgens twee rechte lijnen terwijl een vlak loodrecht op de as een cirkel tot doorsnede „eeft. Een willekeurig vlak zal het oppervlak snijden volgens eene ellips, hyperbool of parabool, zooals wij gemakkelijk kunnen aantoonen Die doorsnede kan natuurlijk alleen dan eene ellips zijn wanmc zij eene gesloten kromme is, d. w. z., wanneer het vlak alle beschrijvende lijnen snijdt. Nemen wij nu den asymptctenkegel hulp, d. i. de kegel die 0 (Fig. 217) tot top en 2« tot tophoek heeft, dan weten wij dat de beschrijvende lijnen van de tyPf" boloïde evenwijdig loopen aan die van den kegel en dus elkvlak dat de hyperboloïde volgens eene gesloten kromme snijdt ook don kegel volgens eene gesloten kromme zal snijden en omgekeerd In 8 193 is aangewezen hoe wij dit bij een kegels a' gema e ij kunnen onderzoeken. Zij V (Fig. 217) het vlak, dat de hyperboloïde volgens eene gesloten kromme snijdt, dan zullen wij nu bewijzen dat deze doorsnede eene ellips is. Wij beschrijven daartoe in de hyperboloïde twee bollen T en 0 (1), d>e de hyperboloïde raken volgens de cirkels MC en OB en tevens het snijdend vlak in de punten R en R,. Verbinden wij nu een willekeurig punt I der doorsnede met R en R, en trekken wij door P eene beschrijvende lijn KL, die de bollen in L en K zal raken, dan is PR — IL, PR = PK en derhalve PR + PR, = LK. Daar alle beschrijvende lijnen van het oppervlak, begrepen tusschen twee parallelcirkels, even lang zijn, is derhalve, voor elk punt der doorsnede, de som er afstanden tot twee vaste punten R en R, in het vlak der doorsnede constant en dus die doorsnede eene ellips (§ 184).

Wanneer het snijdend vlak V, na evenwijdige verplaatsing tot liet door den top van den asymptotenkegel gaat, dezen kegel snijt volgens twee beschrijvende lijnen of wel dezen kegel raakt zoo za het vlak V de hyperboloïde snijden volgens eene hyperbool of wel volgens eene parabool. In het eerste geval loopt het vlak V even-

(\) Om de figuur niet onduidelijk te maken , hebben wij het snijdend vlak zoodanig geteeken™, dat een der bollen juist O tot middelpunt heeft, zonder dat dit echter op den gang van het bewijs eenigen invloed uitoefent.

Sluiten