Tekst
Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

ver gelegen punten der doorsnede bepalen, zoo moeten wij de snijlijnen bepalen van V met de raakvlakken in die oneindig ver gelegen punten, dat zijn de vlakken die men door L en L, evenwijdig aan de bijbehoorende riclitvlakken brengt. Die snijlijnen zijn de raaklijnen in de oneindig ver gelegen punten der doorsnede, dus asymptoten, terwijl de doorsnede zelf — die van den tweeden graad moet zijn — eene hyperbool is. Deze hyperbool kan nu gemakkelijk worden geconstrueerd, wanneer men nog slechts één punt bepaald heeft als snijpunt eener willekeurige beschrijvende lijn van het oppervlak met V, op de wijze als reeds in § 268, Fig. 229, is aangegeven.

Beschouwen wij thans het bijzondere geval dat V evenwijdig is aan de doorsnede der beide riclitvlakken en dus ook de beide lijnen l en lt evenwijdig worden. Willen wij nu de beschrijvende lijnen L en L, van het oppervlak construeeren, die evenwijdig zijn aan l en zoo verdwijnen die zelf in het oneindige. De doorsnede van V met het oppervlak zal dus wel oneindig voortloopende takken bezitten, doch de raaklijnen in de oneindig ver verwijderde punten — dat zijn de snijlijnen van V met de oneindig ver gelegen asymptotische vlakken — zullen niet meer in de figuur zijn aan te wijzen. De doorsnedekromme bezit geen asymptoten en moet dus eene parabool zijn.

Uit de voorgaande beschouwingen en de wetenschap dat het oppervlak van den tweeden graad is, blijkt dat wij hier te doen hebben met hetzelfde oppervlak, dat in Fig. 178 is geteekend en dat wij in § 199 leerden kennen. De as A'X van het oppervlak is hier de doorsnede van twee vlakken pA'X en (/A'X, die als riclitvlakken van liet oppervlak zijn te beschouwen. (N.B. Duidelijk zal het zijn dat men ook andere daarmede evenwijdige vlakken tot richtvlakken kan aannemen). Vlakken loodrecht op A'X geven hyperbolen en vlakken evenwijdig aan A'X geven parabolen als doorsneden, terwijl wij reeds in §199 zagen, dat een vlak, in den top A' loodrecht op A'X aangebracht, het oppervlak snijdt volgens twee rechte beschrijvende lijnen pfi'p' en qk'q'.

§ 273. Werkstuk. De hyperbolische paraboloïde op de projectievlakken voor te stellen; een raakvlak te construeeren in een willekeurig punt, hel oppervlak te snijden door een plat vlak zóó dat de doorsnede eene parabool is en eindelijk de as en den top van het oppervlak aan te wijzen.

In Fig. 228 zijn AB en CD de gegeven richtlijnen, terwijl het verticale projectievlak als richtvlak is aangenomen. Het horizontale

11

Sluiten