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y, (lans le plan. A mon avis on chercherait en vain ÈL lesjustifier comrne telles de plus prés que je n'ai taché a faire. Ma construction les a fournies et en a fait connaitre les régies «ï'opération, d'accord parfait avec les regies générales de 1'algèbre. Ces quantités élémentaires n'ont de commun avec les suites d'opérations que le symbole, réel pour les premières, symbolique pour les secondes. Les secondes ne sont pas applicables seulement aux quantités élémentaires du plan, mais aussi a celles de 1'espace. Elles sont applicables immédiatement au calcul du plan. Les unités 1 et i étant liées par la relation i~ — — 1, il faut, pour pouvoir les appliquer dans 1'espace, chercher des unités, liées de la même manière. On

i + i 1+ii' i — i' ,, A 1—ii* i + i*

les trouve dans —^—- et —^— d un cote, ^— et —^—

AA L

de 1'autre. On voit aisément, qu'on peut écrire toute quantité de 1'espace dans les quatre unités de ces systèmes partiels. Le produit d'une des unités d'un système partiel par une de 1'autre est nul identiquement. Weierstrass a conclu du fait de 1'existence de ces systèmes partiels que le calcul a plus de deux unités élémentaires ne saurait apprendre rien de nouveau. II avait raison en tant que le calcul n'a pas besoin de nouvelles conditions de convergence et de nouvelles fonctions, mais on verra dans la suite, que précisément la réducibilité du système conduit a des simplifications inattendues.

Un seul exemple fera voir, que, dans un cas oü la valeur de la fonction s'obtient trés simplement d'une manière directe, Ï'opération sur les composantes donne la même valeur. Par une intégration dans les plans de (j et de y j'ai obtenu ailleurs de la manière directe

.,v + i n>

log i «■ = i qp + i® V' •

„v +i»

Pour la valeur de i n dans les systèmes partiels on a

l 1 4- ii' , , . i — i% . , .

2 «>s (<P ~ V') + —2— 8171 fa ~ y)\ +

( 1 —ii' . i + i' . . . | + j —^— cos (»v') + —2—8111 fa ^ r

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