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u2=~ — — c), £ =P2\b(a + b) + c(o + c)j ,

dy dz

v.2=\- — ^ = — Qi (« + <'), y—— Q2\<(b—c)+ffl(a + 6){, dz dx '

w2 = -— — --— =Ri (a-)- b), u = AM bib —c) — a(a-|-c)!. dx dy '

On en obtient

ï?» + Ül + '3 - u=(6_C) ih -

dx dy dz dx

-(a+c)^-+(a + b)l^- (3)

d IJ dz

II est remarquable que Si n'entre pas dans les composantes des vélocités, ni dans u\, v\ , wi, ni dans u>, v>, w» .

De la théorie précédente on peut tirer de fort simples méthodes pour construire des problèmes de hydrodynamique dans trois dimensions. On n'aura qua imaginer une fonction i/i, la développer dans ses parties scalaire et vectorielles, alors les composantes pourront ètre considérées comme potentiel scalaire et comme composantes d'un potentiel vecteur. üepuis 011 prend la dérivée de </>, a. s. <f . Les composantes dans le développement de «j auront une relation fort simple aux vélocités, dont les composantes de >p représentent le potentiel scalaire ou les composantes du potentiel vecteur. 11 faut toujours avoir en vue, que a'2 — b- — c2 = O exige que a, b et c soient déterminées de sorte que cette équation soit satisfaite, ce qui est possible d'une infinité de manières par des systèmes de valeurs réelles.

Dans les problèmes correspondantes de deux dimensions 011 n'a pas besoin d'une telle relation. Le même cas se présente ici, si par exemple b ou c est égal a zéro. Alors, pour <pie la condition soit satisfaite, il faut que a- — r- ou ce qui est le cas des fonctions monogènes dans le plan.

On véritie aisément que la relation (2) est en effet satisfaite. On peut former la seconde dérivée ' ^ ^, qui s'écrit

d(r c>)2

dl!

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