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sivement par —s et par —(s + 2) et en rempla^ant r par 1. De cette manière on voit qu'elles restent finies.

Les conditions de convergence sont donc contenues dans les conditions générales du développement.

Évidemment la serie donne le développement de qp(ro) en fonctions sphériques d'ordre positive. Donc toute fonction de r(j, uniforme dans un volume ter miné par une sphère, qui avec sa dérivêe reste finie et continue dans toute l'étendue de cette sphère, est développable en une serie de fonctions sphériques d'ordre ascendant pour toutes les valeurs de rg dans cette sphère.

Si y(rQ) en méme temps que satisfait aux conditions

posées dans un volume, compris entre deux sphères de rayons r et I{, la formule (14) reste applicable pourvu que 1'intégrale du second membre soit prise sur les surfaces des deux sphères, les normales étant prises dans la direction extérieure au volume. Pour la preuve que dans 1'intégralè prise sur la sphère extérieure a rayon r le terme complémentaire tend a zero pour s infiniment grand, la methode précédente reste applicable, cependant les coefficients ne s'expriment pas dans les dérivées successives de la fonction (j (tq). Pour 1'évaluation «1e la partie se rapportant a la sphère inférieure, la méthode ne peut pas servir, paree qu'elle conduit a une série divergente. Pour 1'évaluation de cette partie, nous développons

suivant les puissances ascendentes de vq , ce qui

r a fp Qp

conduit a 1'identité

1 1 1 1 r y r2 (>2

re — rpQp~~~Wb1 ~

rPrP

«

,^ + lpS + l 1

•rf + ln8+l T& + 2 + 2 y« >

V P 1 -—

Tl> C'p

r'+i o'+i 1

oü le dernier terme peut s'écrire . . " .. .

^ C'p rQ~ tpQP

Pour la seconde partie de 1'évaluation du second membre de (14) on a r<Crp, de sorte que de la même manière et sous les

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