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mêmes conditions pour s — cc le terme complémentaire de la seconde partio tend ii zero que celui de la première partie. II en résulte que la seconde partie est développable en une série des puissances descendantes de rv yp , correspondantes ii des fonctions sphériques d'ordre négative. Les coefficients de

(rj' VpY sont de la forme ff — i / ^rri dSv , ceux de — —~

JJ dn I Ms + 1 I s (rPl>,Y+l

ont la valeur ƒƒ --- j(r«)s (/•<>)j dSe , les premières intégrales

prises sur la sphère extérieure, les secondes sur la sphère intérieure. Ces dernières n'ont de valeur que dans le cas oü if (rp) a des infinis au dehors de la sphère extérieure. Donc toute fonction de rq , Jinie et continue aussi bien que sa dênvée dans un volume compris entre deux sp'hères et uniforme dans ce volume, est développable en une serie de puissances asccvdantes et descendantes de ry, correspondant a des fonctions sphériques d'ordre positive et négative. (II va de soi qu'une condition ivnplicite de toute la théorie est a- — b- — c2 = 0).

On voit par ce qui précède, qu'une théorie parfaitement analogue ii celle du plan se laisse développer pour 1'espace et que les harmoniques sphériques y tiennent une place parfaitement analogue a celle des harmoniques circulaires dans le plan. Dans la théorie du quaternion exponentiel les premières sont des puissances n-ièmes (n positif) de la variable, comme les dernières le sont de la variable complexe ordinaire. Quant aux puissances négatives il faut v ajouter le facteur 1

—■ pour en obtenir une harmonique d'ordre négative, qu'elle soit circulaire ou sphérique.

ollo

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