Differentiaal-meetkundige eigenschappen van stralenstelsels

De krommen (a) zijn dus asymptotische lijnen van het beginoppervlak, wanneer a ecne zoodanige functie van u en V is, dat identiek aan deze vergelijking wordt voldaan.

Daar voor de krommen («): t = ^ , vindt men

dadelijk, door voor 1\ en Q, hunne waarden te substitueeren, dat die vergelijking kan worden geschreven in den vorm:

Dati-\-2Dtt-\-Dl=0

den gewonen vorm, waarin de vergelijking der asymptotische lijnen optreedt.

' Beschouwen we behalve het stelsel krommen («) nog een

stelsel krommen (a + jj, die n.1. een hoek « + y vormen

met de krommen v = constant en noemen we de waarde van t behoorende bij dit laatste stelsel 11, dan moet, daar

^ t = tga en § tt = tg («+ j), & betrekking beA A \ " '

staan:

?».=-'•

Nu bepalen de beide stelsels ontwikkel bare oppei vlakken alleen dan op het focaaloppervlak twee stelsels van orthogonale krommen, wanneer die krommen samenvallen met de kromtelijnen van dat oppervlak, wijl de beide stelsels kromtelijnen de eenige stelsels van krommen zijn, die èn orthogonaal èn geconjugeerd zijn.

Nu is, tengevolge van de genoemde betrekking.

C* 11 1

A' 1

de voorwaarde, aan welke de beide krommenstelsels. Ct cos « — A sin « = ü en Qlt-\- 1\ = 0