Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

ljjnen aan dc krommen v — constant cn u = constant, terwijl de raakvlakken aan het beginoppervlak de bijbehoorende brandvlakken zijn, moeten die osculatievlakken in de middelpunten van geodetische kromming raken aan de tweede brandoppervlakken Sv en Su van die stralenstelsels. Hieruit volgt, dat het gegeven beginoppervlak en het tweedebrandoppervlak Sv der raaklijnen aan de krommen v — constant b. v., do oppervlakken van de kromtemiddelpunten zijn van de paralleloppervlakken, behoorende bij het zooeven genoemde normaal stralenstelsel. De normalen der oppervlakken Sv en hebben dus do richting van dc binormalen der krommen v — constant en u — constant in correspondeerende punten. Zjjn nu b.v. de krommen v = constant vlakke krommen, dan zijn de normalen van Sv langs de krommen v = constant op dat oppervlak evenwijdig. De raakvlakken van Sv langs elke kromme v — constant vallen dan samen tot één vlak, en daar dus die raakvlakken alleen afhankelijk zijn van den parameter t', is Su een ontwikkelbaar oppervlak, terwijl de krommen v = constant op Sv de beschrijvende lijnen zjjn ').

Zijn de kromtelijnen v - constant b.v. geodetische lijnCn, dan zijn ze vlakke krommen tegelijk en verkeeren we in een bijzonder geval van het hierboven beschouwde.2)

Zijn op het oorspronkelijk oppervlak de kromtelijnen v = constant b.v. vlakke krommen en is tevens voldaan aan de voorwaarde ru = f(hv), dan zullen op de paralleloppervlakken, waarvan de normalen zijn de verbindingslijnen der geodetische kromtemiddelpunten der kromtelijnen u — constant met de kromtemiddclpunten der vlakke kromtelijnen v — constant, de krommen v = constant ook zijn vlakke kromtelijnen. Immers langs deze krommen zullen do nor-

') A. Peil. (1. c. p. 119).

'') Bianchi. pag. 166.

Sluiten