Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

§ ,v Constructies.

Zoodra op een kegelsnede twee paren Ai, A2 en 15,, B2 gegeven zijn, is een I2 bepaald, d. w. z. dat we dan alle paren kunnen vinden. Zoek slechts het snijpunt M der lijnen A],A2 en Bj, B2. Iedere willekeurige lijn door .1/zal dan een ander paar der involutie bevatten. Dit punt M is niets anders dan het reeds besprokene klassepunt der ontaarde involutiekromme.

De cubische involutie is door twee drietallen (A) en (B) bepaald. Hoe vinden we dan de overige drietallen?

Daartoe nemen we op de kegelsnede het punt P willekeurig aan. De twee ontaarde kegelsneden (PA], A2A3)en(PB1, B2 B3) bepalen de vier grondpunten P, Q, R, S van een bundel. Omdat nu één der basispunten nl. het punt P óp de kegelsnede is gelegen, zullen de exemplaren van den bundel eene I3 voortbrengen op de kegelsnede van uitgang. De ontaarde kegelsnede (Q S, P R) levert een 3e groep (C.)

Is nu op de kegelsnede eene cubische involutie gegeven door de beide groepen (A) en (B) dan is het mogelijk het drietal te bepalen waarvan één punt C3 vooruit aangewezen is.

De lijnen A2 A3 en B2 B3 bepalen het punt .S'. Trek nu C3 S dan snijdt deze lijn het punt P in. De rechte Q A, en P B, geven nu op B2 B3 en A2 A3 de plaats der basispunten Q en R aan. Trek nog Q R en men vindt de punten C) en C2 die met het vooraf bepaalde punt C3 ééne groep vormen, Geef C3 telkens anderen standen, dan zijn op deze wijs alle groepen der I3 te verkrijgen.

Men kan ook uit deze constructie zien dat de 13 door één drietal (A) en twee paren B2, B3 en volkomen bepaald

is. Immers deze bepalen het punt Q. De lijn Aj Q geeft 't punt P. Het punt A' wordt gevonden als het snijpunt van A2 A3 en B2 B3, terwijl A2 A3 door Q C2 in het vierde basispunt R wordt gesneden, waardoor de bundel weder bekend is.

Voor de biquadratischc involutie geldt ongeveer dezelfde

Sluiten