Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

directiekromme F en de kegelsnede is nu 2 m (n—i)-|-2n (m — 1) -f- 2 (m -(- n) = 4 m n. De orde van F is alzoo = 2 m n.

De omhullende F zal bovendien een aantal dubbrtrmklijncn bezitten.

Hun aantal zullen we berekenen uit het aantal involutorischr paren der (m, n), waar het ons eigenlijk om te doen was.

Herinneren we ons weder de oneindig vele punten der kegelsnede, vertegenwoordigende twee puntenstelsels (X) en (Y) in m - n-ledig verband en projecteeren wij ze uit twee geheel willekeurige centra A en B, door de stralenbundels (x) en (y). Dat er nu tusschen die waaiers (x) en (y) ook eene (m, 11) bestaat, spreekt vanzelf, en door dualistische omzetting van het voorafgaande volgt dat de meetkundige plaats der snijpunten S van toegevoegde stralen de graad (m -)- n) moet hebben. Trouwens, men ziet het evengoed rechtstreeks. De beide stralenbundels (x) en (y) teekenen op een willekeurige rechte een puntenstelsel of met svmbool (m, n), of met (m n) coïncidenties. En dat zijn alle punten S, hetgeen beteekent dat de graad der meetkundige plaats van S is (m + n).

Gemakkelijk zien we ook in dat de meetkundige plaats van S in het centrum A een ;«-voudig en in centrum B een «-voudig punt zal hebben.

Projecteeren we nu op de ander mogelijke manier, d. w. z. het stelsel (X) uit B en het stelsel (Y) uit A, door de stralenbundels (x') en (y') dan ontstaat een andere meetkundige plaats van punten S' die weer een kromme van den graad (m -f- n) is, maar nu met een «-voudig punt in A en een w-voudig punt in B.

De krommen (S) en (S') hebben in 't algemeen (m + n)2 snijpunten. Hoe zijn die te verantwoorden? Terstond zien wij er n m in het centrum A en evenveel in centrum B. Buiten A en B, d. w. z. ergens anders, dus nog (m2-|-n2) snijpunten.

Denken we ons eens zoo'n snijpunt S = S'. De eenvoudigste voorstelling van het ontstaan van zoo'n punt S = S' is dan dat het stralenpaar x, y met het stralenpaar x',y'

Sluiten