Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

§ 3- i)e involutorische of symmetrische

verwantschap.

De algemeene vergelijking der (m, n) was f (x, y) = o

in x van den mcn in v van den «cn graad. Zij bezit 1/2 ! m (m — i) -f- n (n—i) J involutorische paren. In het geval dat m = n, zijn er m (m— i) involutorische paren. Vinden we er meer, dan beteekent dat, dat de krommen (S) en (S') der voorgaande paragraaf die nu van den graad 2 m worden, meer dan 4 m2 snijpunten bezitten, m. a. w. dat de krommen (S) en (S') samenvallen. Elk punt S is dus ook een punt S'. Daarvoor moeten alle paren der verwantschap (X, Y) involutorische zijn, vandaar dat men spreekt van eene involutorische verwantschap. Ze heet ook wel eene symmetrische verwantschap. Want zoodra de vergelijking f (x, y) ■ o symmetrisch is, [waarvoor m = n moet zijn en de coëfficiënten zoodanig dat door de verwisseling van x en y de vergelijking niet verandert], zijn alle paren dier verwantschap involutorisch.

Met het punt P = X komen dan m punten Y = Q overeen. terwijl met hetzelfde punt P = Y dezelfde m punten Q = X overeenstemmen, wat het kenmerk van involutorische paren is.

We beschouwen als voorbeeld een involutorische verwantschap (2, 2) afgebeeld op een kegelsnede C2. Zij de kegelsnede D2 de directiekromme. We kiezen op C2 het willekeurige punt X en trekken uit X twee raaklijnen aan D2, waardoor op C2 de punten Y, en Y2 worden ingesneden. Uit het punt Y,=X' gaan dan twee raaklijnen aan D2 die de punten X = Yj' en Y2' insnijden op C2. Was Y2 = Y2', dan hadden we een cubische involutie, waarin de punten X, Y),Y2, een gesloten groep vormen.

Immers de groep X, Yj,Y2, bepaalt drie raaklijnen. Kies nog twee raaklijnen P),P2 enPi.P3. De drietallen X, Yj, Y2 en P),P2, P3 bepalen een cubische involutie. De involutiekegelsnede dezer cubische involutie heeft vijf raaklijnen

Sluiten