Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

5} 3. I)K INVOLUTIE lp DER KAAKLIJNEN AAN EEN RATIONAI.E VLAKKE KROMME.

Zij gegeven de involutie I,, tussclien de raaklijnen eener vlakke rationale kromme Cn. Zoo'n Ip kan bijv. ontstaan door in de punten eener punteninvolutie van den p'» graad de raaklijnen te trekken.

Een groep van p toegevoegde raaklijnen bepaalt een aantal snijpunten, die ik .S'zal noemen, en wij gaan nu de meetkundige plaats zoeken van de snijpunten .S'der toegevoegde raaklijnen.

De graad n' dier kromme S is eenvoudig te vinden. Wij vragen slechts hoeveel snijpunten van toegevoegde raaklijnen op een willekeurige rechte l gelegen zijn. De raaklijnen uit de punten van / aan de kromme C„ getrokken vormen eene Ik, wanneer k de klasse van Cn voorstelt. Wij zoeken nu het aantal paren dat de involutie U gemeen heeft met de Ip.

Om dit aantal te vinden beelden wij de Cn en daarmee de Ip en de Ik af op eene kegelsnede.

Voor de raaklijneninvolutie Jp aan de kegelsnede is de involutiekromme (S') van den graad (p 1). De involutie Jk aan de kegelsnede heeft eene involutiekromme van den graad (k 1). De involutiekrommen van Jp en Jk hebben zoodoende (p i)(k 1) snijpunten, d.w.z. Jp cn Jk hebben (p i)(k 1) gemeenschappelijke paren. De Ip en Ik aan de C„ hebben bijgevolg evenveel gemeenschappelijke paren, waarmee bewezen is dat er op elke willekeurige lijn /, (p—1) (k 1) punten S voorkomen. De graad n' van de involutiekromme (S) blijkt alzoo te zijn

n' = (p 1) (k 1).

We gaan verder met de bepaling van het aantal dubbelpunten o2 van de involutiekromme (S). Beschouwen wij de toegevoegde stralen p en p' die elkaar snijden in het punt -S'. Uit S gaan dan nog (k — 2) raaklijnen / aan de kromme Cn. Noemen wij één dezer raaklijnen t = q dan is daaraan toegevoegd de raaklijn q'. en q met q' bepalen het snijpunt .S". Buiten de raaklijn t = q gaan door .S' nog (k 3) raaklijnen t' en deze alle voeg ik toe aan de raak-

Sluiten