Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

§ 6. De INVOLUTIE I2 op EEN KROMME VAN DE VIERDE ORDE MET DRIEVOUDIG PUNT. (*)

Een kromme van de vierde orde met een drievoudig punt O, is van het geslacht nul en kan ons derhalve dienen als draagster eener quadratische involutie I2.

De involutiekromme F is van de derde klasse.

Wij nemen het punt S' van C4 willekeurig, en letten op de kegelsnedenbundels bepaald door de basispunten

(Ü,S',P,,P2) en (ü,S',Q,,Q2).

Die bundels doen nog twee andere quadratische involuties op de C4 ontstaan, die een paar S" S'" gemeen hebben. Wij hebben dus de conische groepen

(0,S',S",S'", P,,P2) en fO,S',S",S"',Qt,Q2)

waaruit blijkt dat een bundel kegelsneden met de grondpunten (O, S', S", S'") eene involutie I2 insnijdt, die de paren Pi P2 en Q! Q2 bevat. Doch dan is zij noodzakelijk de involutie van uitgang, want eene involutie 12 is door twee paren volkomen bepaald. Bedenkende dat het punt S' volkomen willekeurig werd gekozen, mogen wij zeggen, dat iedere quadratische involutie I2 op een C4 met drievoudig punt door oneindig veel kegelsnedenbundels kan worden ingesneden, terwijl de veranderlijke basispunten S eene cubische involutie I3 vormen.

Wij noemen de involutie (S) toegevoegd aan de quadratische. Van de ontaardingen van den bundel (O, S', S", S"') leveren de drie deelen O S', O S" en O S'" geen paren der I2.

Alleen de rechten S'S", S"S"' en S'S'" geven paren der I2. Wij hebben hier drie paren der I3 die met drie paren der I2 op ééne rechte liggen.

Steeds ligt elk paar der quadratische involutie op een rechte met een paar der toegevoegde. Immers beschouw het paar A],A2 der quadratische involutie en laat de verbindingslijn A) A2 de C4 nog in de beide punten X' T"

*) Zie: Jan l>e Vries, Versl. K. A. v. W., Amsterdam i Mei lyoi.

Sluiten