Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

Elke twee overstaande hoekpunten der door de dubbelraaklijnen gevormde vierzijde zijn twee nevenhoekpunten van oneindig vele in C4 beschreven vierhoeken. »

§ 8. de involutie i3 op een kromme van de vierde

orde met een drievoudig punt. (*)

Is op een C4 met drievoudig punt O een cubische involutie I3 gegeven, dan heeft die eene involutiekromme r van de klasse k = (p — 1) (n — ,) = 6. Dit blijkt ook daaruit dat aan het punt O zes punten zijn toegevoegd.

We willen laten zien dat uit twee drietallen der I3 is af te leiden door welken bundel zij is ingesneden.

De drietallen A„ A2f A3 en B,, Bj, B3 bepalen met het punt O twee kegelsnedenbundels (O At A2 A3) en (O B, Bj Ii3) die op de C4 twee quadratische involuties insnijden. Deze hebben steeds een paar P', P" gemeenschappelijk.

De kegelsneden (O A, A2 A3 P' P") en (C) B, B, B3 P' P") bezitten nog een vierde gemeenschappelijk snijpunt Q dat buiten de kromme C4 ligt. Hieruit zien wij dat de kegelsneden (O P />" Q A, A2 A3) en (O P' P" () B, li, R,) een bundel (OP'P"Q) bepalen die op C4 de gegevene cubische involutie afteekent.

De ontaardingen uit den bundel wijzen aan dat er twee lineaire groepen der I3 bestaan, zoodat F* twee drievoudige

raaklijnen bezit, en bovendien volgens vroeger V2 (p i)2

(n — 2) (n 3) = 4 dubbelraaklijnen. Derhalve is het geslacht nul en de orde tien.

De kromme V en r,* hebben 36 gemeenschappelijke raaklijnen en 40 snijpunten die op de bekende manier te verklaren zijn.

Als bijzonder geval kunnen wij aannemen dat de I3 een paar O , O bevat Xu wordt de omhullende ontaard. Ze bestaat dan uit een kromme F5 en het punt O. Wij zagen

(*) Jan uk Vries: Verslag K. A. v. W. te Amsterdam; 1 Mei 1401.

Sluiten