Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

ruimte T onverschillig zijn, het is dan natuurlijk voor Teen bol te nemen wiens middelpunt ligt in het punt, waarvoor we de middelwaarde berekenen.

Soms is het echter voordeelig eene andere keuze voor de ruimte T te doen.

§ 2. Voorwaarden voor het bestaan van middelwaarden.

Wanneer de grootheid q> binnen de ruimte T oneindig groot kan worden, is het niet a priori zeker, dat we aan de integraal (1) eene beteekenis kunnen hechten.

Wij kunnen daarbij drie gevallen onderscheiden. Zij vooreerst (f oneindig in een punt P, maar in alle punten in de omgeving eindig en doorloopend. Beschouwen we nu de waarden van (f binnen een bolletje om P, met den zeer kleinen straal r. Zij r de afstand van eenig punt tot P. We trachten nu een eindig positief getal n te vinden, zoodat voor ieder punt binnen het beschouwde bolletje r < A r~ n, waarbij A eveneens eene eindige constante is. (We hebben hier q geschreven om aan te geven dat we niet willen letten op het teeken van (/.) Bestaat zulk een getal n niet, dan is de integraal (1) divergent en er kan niet van eene middelwaarde gesproken worden. Opdat (1) convergent zij, 't geen de noodzaaklijke voorwaarde is voor 't bestaan der middelwaarde, moet bovendien n < 3 zijn.

Er kunnen natuurlijk ook meerdere afzonderlijke punten P voorkomen, waar g> oneindig wordt. Zoolang hun aantal eindig is en in elk afzonderlijk de gevonden voorwaarde geldt, blijft de integraal (1) convergent. Overeenkomstige opmerkingen kunnen ook in de beide volgende gevalhn gemaakt worden.

Is (p oneindig in alle punten eener lijn die geheel of gedeeltelijk in het integratiegebied ligt, dan kunnen we de convergentie der integraal (1) onderzoeken, door om deze lijn als as eene buisvormige holte te beschrijven. Zij l do afstand van

Sluiten