Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

voert twee verschillende punten weer in twee verschillende punten over.

3#. Ze is afgesloten, d. w. z. is A1? At, A3.... een aftelbaar oneindige puntrij, die op het meetbaar continuum A tot grenspunt heeft, en evenzoo Bi, B,, B3.... een aftelbaar oneindige puntrij, die op het meetbaar continuum B tot grenspunt heeft, en is er een transformatie van de groep, die het puntenpaar A, Bj overvoert in B2, evenzoo een transformatie, die het overvoert in A;, Bs, enz., dan is er ook een transformatie, die het overvoert in AB.

Zij nu gegeven een willekeurige transformatiegroep op het meetbaar continuum, die de 3 bovengenoemde eigenschappen bezit, die dus is eenledig continu, uniform en afgesloten. We kunnen dan daaruit de volgende verdere eigenschappen afleiden.

4°. De volgorde der punten moet bij alle transformaties onveranderd blijven ; immers anders zouden twee punten, wier volgorde veranderd is, elkaar op hun continue banen ontmoet hebben, en zou de uniformiteit der groep gestoord zijn.

5°. Twee verschillende punten kunnen niet door transformaties uit de groep elkander in 't eindige onbepaald naderen. Immers dan zou uit de afgeslotenheid volgen, dat ze samen in een gemeenschappelijk grenspunt konden overgaan, hetgeen weer zou strijden tegen de uniformiteit.

6°. Een grenspunt van een puntrij gaat bij een transformatie over in een grenspunt van de getrans-

Groepdefinitie der optelling op het continuum.

Sluiten