Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

Het dubbelpunt op de X-as kiezen we als oorsprong; de toenamefuncties y = fs(x) snijden nu elkaar in O, en hebben verder geen punt gemeen. Ons doel is, te bewijzen, dat die toenamefuncties differentieerbaar zijn.

Stellen we door voor de ordinaattoename der

kromme y=f<ï(x)tusschen de abscissenxen x-f A, Daar ^(x) continu is, is *4>a(x) het ook. Denken we ons. dat a4>a(x) gelijke waarden zou krijgen voor twee verschillende waarden van x, stel xf en p.

Dan zouden in het systeem, bestaande uit de krommen y — fx(x) -f- (3 en y = fje(x-f p) twee krommen voorkomen, die elkander snijden voor x = x, en x = x,-|-A, dus in het systeem, bestaande uit de krommen y = fg(x x,) + 0 en y = fa(x + x, + p) twee krommen, die elkaar snijden voor x = o en x = A. Maar dit systeem is bevat in de krommenschaar y = fa(x)-f-(3; en daarin kunnen twee krommen, die elkaar snijden voor x = o, elkaar niet nog eens snijden, tenzij — ze dezelfde kromme zijn. Maar dat zou voor de oorspronkelijk beschouwde kromme y = fx(x)beteekenen, dat ze van af x = x, en van af x = xp -f- p een homothetisch beloop zou moeten hebben, m. a. w. dat ze een periodiek-homothetisch beloop zou moeten hebben met periode p. Dan hebben we echter: g$p(x, -f-k)= »$p(xi)i voor een willekeurige waarde van k, en hieruit volgt op dezelfde wijze, als uit «^^(x, +p)= x4>& (*>) het periodiek-homothe-

Sluiten