Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

Stellen we f'"(o) ~ a, dan hebben we dus in f de differentiaalvergelijking:

d« f

ar» —a f>

die drie groepen oplossingen bezit, al naar a positief , o, of negatief is, n.1. :

(I) f = c, sin (*r-t-c,),

of wegens f(o) = o en f'(o)=l , i

f=— sin a. r.

et

(II) t = C, (r -f- c2),

of wegens f(o) = o en f'(o)= 1:

f = r.

(III) f=Cj sh (a r 4-o,),

of wegens f(o) = o en ff'{(o) = 1:

f = — sh » r.

et

Alle drie oplossingen blijken aan (H) te voldoen. Willen we alleen singulariteitvrije oppervlakken, dan geeft (II) het gewone Euclidische platte vlak, (III) het hyperbolische vlak, en (I) hetzij een bol (bilateraal), hetzij een elliptisch vlak (unilateraal, van den samenhang van het projectieve vlak)

Deze vier oppervlakken blijken dan achteraf, werkelijk den geëischten homogenen bouw te bezitten.

Onderzoeken we thans de Ruimten, die aan de voorwaarden van het vraagstuk voldoen, dan weten we, dat de geodetische bollen om een punt zelf vrij in zich bewegelijk moeten zijn, maar daar die bollen 1° eindig en 2° bilateraal zijn, kunnen van de vier boven gevon-

Sluiten