Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

den oppervlakken daarvoor niet anders dan gewone bollen worden genomen. Zoeken we dan, welke functie de boogelementen op die bol van den straal moeten zijn, dan vinden we eerst, dat de geodetische lijnen liggen in platte vlakken door M (hier gedefinieerd als oppervlakken, gevormd door de geodetische lijnen van M naar een grooten cirkel op een bol om M), en daaruit, dat weer slechts dezelfde drie functies als boven en dus alleen de vier daaruit op te bouwen Ruimten mogelijk zijn.

Op dezelfde wijze als van 2 naar 3 gaat de overgang van 3 naar 4 afmetingen, enz. Voor elk tantal afmetingen bestaan slechts de vier bovengenoemde ruimtetypen, m.a.w. transformatiegroepen.

Van de beide groepen bij het boogelement I kunnen we een Cartesiaansche ruimte de bolvormige laten ondergaan, als we haar completeeren met een punt; de elliptische, als we haar completeeren met een ,i_1ruimte in 't oneindige.

Deze karakteriseerende voorwaarden voor de groepen der Euclidische en der niet-Euclidische bewegingen zijn ongeveer de oorspronkelijk door Riemann !) er voor gegevene. Eenigszins willekeurig is vooreerst de aanname van het kwadratisch boogelement, en dan die van de differentieerbare coëfficiënten ervan. Lie*)

') „Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen", Gesammelte Werke, i" Aufl. pag. 254.

Theorie der Transformationsgruppen III. Abt. IV. Kap. 17.

Sluiten