Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

puntverzamelingen op bouwen; het aantal dezer punten is steeds aftelbaar, en evenzoo het aantal der door puntenparen daaruit op het continuum bepaalde intervallen; in elk van haar intervallen, en evenzoo in haar geheel is de puntverzameling al of niet dicht (hieronder verstaan we: van het ordetype »», nadat alle welgeordende ol omgekeerd welgeordende verzamelingen er in tot een enkel punt zijn samengetrokken).

We kunnen ook zeggen: in een willekeurig segment van het continuum (waarvoor ook het geheele continuum kan worden gekozen) is de puntverzameling al of niet dicht; en nader onderzoek leert, dat dit laatste zich als volgt karakteriseert bij benadering van de puntverzameling volgens een willekeurige overal dichte duale schaal op het beschouwde seg-

en ook al haar deelverzamelingen een eerste element hebben. Naast de welgeordende kunnen we ook omgekeerd welgeordende verzamelingen krijgen. De eenige wijze om niet welgeordende of omgekeerd welgeordende verzamelingen op te bouwen, bestaat in <•> maal herhaalde tusschenvoeging in welgeordende verzamelingen van welgeordende verzamelingen; hierbij kunnen dan „dichte" (zie den tekst) deelverzamelingen ontstaan.

Men vergelijke hierbij een theorema, door Bernstein (Mathem. Ann. 61 pag. 144) uitgesproken:

Elke geordende aftelbare verzameling (dus ook elke individueel opbouwbare verzameling; immers zeg ik bij het opbouwen niets omtrent ordening, dan kan ik stilzwijgend al het later bijgebouwde na het vroeger gebouwde denken) is met behoud van orderelaties af te beelden op een deel van het ordetype *i-

Sluiten