Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

(of bij de limiet binnen een tweemaal getelde platte " ~ 'ruimte) een congruente groep, d. w. z. een groep in eigenschappen overeenkomende met de elliptische resp. hyperbolische (Euclidische) congruente groep '), dan heeft Hilbert aangetoond, dat alle snijpuntsstellingen doorgaan, dus ook de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging er geldig moet zijn. (Festschrift, Kapitel III; Neue Begründung der Bolyai-Lobatcheffskyschen Geometrie, Math. Annalen 57; vgl. ook Vahlen, Abstrakte Geometrie p. 25i.)

Voor een niet-Archimedische projectieve meetkunde binnen een convex ovaal heeft Vahlen (Abstrakte Geometrie p. 204—233) aangetoond, dat alle congruentiestellingen, dus ook de stelling van Pascal, dus ook de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging, zijn af te leiden uit alleen het bestaan van een affine groep, d.i. een projectieve groep, die ieder punt in ieder punt kan overvoeren, en daarbij in elk punt vrije bewegelijkheid in het infinitesimale bezit.

') Zulk een groep is te karakteriseeren als projectieve groep, die: 1". elk punt in elk punt kan overvoeren,

2°. om elk punt vrije bewegelijkheid in het infinitesimale bezit, en „bollen" om het punt bepaalt, die elke halflijn om het punt eenmaal snijden,

3". alle segmenten kan omkeeren, en van alle gelijkbeenige driehoeken de beenen kan verwisselen;

en zij bestaat uit bewegingen en symmetrische transformaties, (de laatste alleen voor de hyperbolische en Euclidische groepen uitdrukkehik te noemen.)

een congruente projectieve groep.

Sluiten