Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

lellen-axioma vallen laat')). In het bijzonder stelden zij zich ten doel, voor elk der zoo geconstrueerde logische gebouwen de benoodigde axioma's tot een minimum te beperken. Zoo heeft Hilbert voor de meeste in zijn Festschrift opgestelde axioma's aangetoond, dat zij niet kunnen weggelaten worden, zonder dat de meetkunde daardoor een deel van haar eigenschappen verliest. 3)

We moeten echter opmerken, dat het verwijt van onvolledigheid tegen Euclides vervalt, als hij zich zijn wiskundig gebouw der Euclidische meetkunde, reeds af voorstelde (als een Cartesiaansche ruimte met een bewegingsgroep), en zijn redeneeringen alleen dienen als begeleiding bij het uit duidelijk geziene

') Ook a' is uit de berekeningen van Lobatcheffsky, vooral voor het platte vlak op vrij eenvoudige wijze, wel een bestaansbewijs aan te brengen, en is het niet onmogelijk, dat hij zelf dat er in heeft willen zien; vgl. b.v. „Pangeometrie", $ 8.

,) lntusschen, zelfs, al had hij dat van al zijn axioma's aangetoond — de „Axiome der Verknüpfung" en „Axiome der Anordnung' onderzoekt hij in dat opzicht niet; waarvoor hij (1. c. p. 20) den vagen grond opgeeft, dat zij „bei unserer Darstellung den ubrigen Axiomen zu Grunde liegen" — dan was daarmee het minimumbewijs nog niet geleverd. Immers elk axioma, waarin het woord alle voorkomt, is splitsbaar, al was het alleen in het axioma voor alk op één na en dat voor de eene resteerende, en daarvoor zou dan telkens moeten worden aangetoond, dat het tweede deel niet uit het eerste volgt, wat misschien wel mogelijk is, maar in elk geval niet zoo eenvoudig, en Hilbert heeft in dat opzicht zijn onderzoek onvolledig gelaten.

Sluiten