Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

lobatcheffsky, bolyai.

Riemann.

Hilbert c. s.

n elk geval is het werk van Euclides doordenakome ingschap meest als zulk een logisch gebouw opgevat en Lobatcheffsky misschien en Bolyai zeker construeerden eveneens logische gebouwen, zonder zich om wiskundige systemen, die ze zouden kunnen accompagneeren, te bekommeren. Eerst Riemann heeft voor het onderzoek naar de grondslagen der meetkunde den juisten weg gewezen, door bij zijn redeneenngen er van uit te gaan, dat de ruimte een Zahlenmannigfaltigkeit is, dus een door ons zelf gebouwd systeem. Hij voert dit evenwel met nadruk in als een hypothese, die een willekeurig karakter draagt; en spreekt er niet van, dat we in elk geval een wiskundig systeem moeten ten grondslag leggen, en dan als zoodanig uithoofde van doelmatigheid de Zahlenmannigfaltigkeit kiezen. Zoo zijn dus Pasch, Hilbert enz., in zijn

heerd (en elke verifieering door wiskundige inductie aangevuld). Zulk een verifieering is noodig, hoe juist de gebruikte praemissen ook waren, zoo goed als van een physische hypothese, hoe bruikbaar ook tot nog toe gebleken, elke nieuwe consequentie uitdrukkelijk dient gecontroleerd te worden.

Die verifieering kan verder voor verschillende personen tot verschillend resultaat leiden, omdat zij de woorden der conclusie toetsen aan verschillende voor die woorden in hun geest bestaande wiskundige systemen, of ook zij kan bij gebrek aan zulke wiskundige systemen in afwachting van latere ondervinding, dat is vorming van nieuwe wiskundige systemen, voorloopig onmogelijk zijn.

Sluiten