Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

is af te leiden, een wiskundig systeem aangeeft, waarvan de laatste wel, het eerste niet, beschouwd kunnen

en dat dan verder volgens de logische wetten eindig wordt opgebouwd (dus zonder gebruik te maken van de volledige inductie, dat is de wiskundige intuitie ,,en zoo voort.") Zou dit systeem nu wiskundige beteekenis hebben, dan zou het door een wiskundig bestaansbewijs moeten worden gecompleteerd. Maar wilden we dat geven, dan zouden we daarbij zeker de intuitie „en zoo voort" moeten gebruiken, en zouden meteen zien, dat we alle arithmetische stellingen veel eenvoudiger kunnen zien, dan volgens het gewrongen systeem van Dedekind ; deze geeft dan ook niet het bestaansbewijs. Wel geeft hij $ 66 een bewijs voor: „Es giebt unendliche Systeme," maar 1° is vereischt een bewijs voor: „Es giebt einfach unendliche Systeme," wat meer is; en 2" is zijn bewijs, dat „meine Gedankenwelt" aanvoert, fout; want „meine ("•edankenwelt" is niet wiskundig te bekijken, en het is dus ook niet zeker, dat ten opzichte van zoo iets de gewone axioma's van geheel en deel niet-strijdig zullen blijven. Wiskundige beteekenis heeft het systeem van Dedekind dus niet; om het logische beteekenis te geven, ware een onafhankelijk bewijs van niet-strijdigheid vereischt geweest, dat Dedekind evenmin geeft; had hij dat trouwens gegeven, dan had hij zich op de intuitie ,,e» zoo voort" moeten beroepen, maar had hij dte intuitief erkend, dan had hij weer gezien, hoe hij met behulp daarvan de arithmetiek eenvoudig had kunnen opbouwen, en was zijn logisch systeem hem als èn ongemotiveerd, èn omslachtig verschenen, en had hij niet volgehouden, dat ieder die rekent, onbewust alle phasen van zijn logisch systeem doormaakt, (vgl. Vorrede pag. IX: „Ich erblicke gerade in der Möglichkeit, solche Wahrheiten auf andere, einfachere, zurückzuführen, mag die Reihe der Schliisse noch so lang und scheinbar künstlich sein, einen überzeugenden Beweis dafür, das ihr Besitz oder der

Sluiten