Onderstaande tekst is niet 100% betrouwbaar

1

op, dat wie zoo iets als axioma invoert, even goed de stelling zelf als axioma nemen kan.

Nu weten we, dat behalve de aftelbare verzamelingen, waarvoor de stelling zeker geldt, nog alleen het continuum bestaat, waarvoor de stelling zeker niet geldt, vooreerst omdat men het grootste deel der elementen van het continuum als onbekend moet beschouwen, ze dus allerminst individueel kan ordenen, en dan, omdat alle welgeordende verzamelingen aftelbaar zijn. Ook deze kwestie blijkt dus illusoor.

Als hoofdstelling van de leer der transfinite getallen wordt gewoonlijk genoemd het theorema van Bernstein-Schröder :

,,Zijn A en B twee verzamelingen en is A een-eenduidig af te beelden op een deel van B en evenzoo B op een deel van A, dan ook A op B,"

of wat op hetzelfde neerkomt, (we voeren in het symbool ,,acob", gelezen: a aequivalent met b, om uit te drukken dat a en b een-eenduidig op elkaar afbeeldbaar zijn):

Als «

A — A, -f- B + C A oc A,

dan ook \

A oo A, + B.

(Gesteld n.1. dat de stelling in de laatste formuleering bewezen is en gegeven:

Het theorema van Bernstein.

Sluiten